DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Es una Distribución de Probabilidad Discreta. Se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados, o cuando el resultado se puede reducir a dos opciones Ini nici ciaa con con un unaa com combi bina naci cion on de dell num nume ero de en en exitos, la cual se multiplica por la prob de Funcion de Probabilidad de la DB numero de exitos
k = Número de Aciertos n = Número de Experimentos
p = Probabilidad de Éxito q= 1-p
CON EXCEL = DISTR.BINOM(NÚMERO EXITOS, ENSAYOS, PROB ÉXITO, ACUMULADO)
Hallar la probabilidad de obtener 3 caras en 4 lanzamientos de un
Ejm 1:
n= p= x=
Ejm 2:
p= n= x
4 0.5 3
0.25
Si el 20% de los estudiantes pierden el primer año y se toma al azar un grupo Cual es la probabilidad de que máximo 2 pierdan el primer año? 0.2 6 2
0.90112
Propiedades del Experimento Binomial a) En cada prueba del experimento sólo só lo hay dos posibles resultados: Éxito Éxito o o Fracas b) Los resultados son Independientes son Independientes c) La probabilidad de éxito (p ( p) es constantes. La probabilidad de fracaso es (1-p) Se emplea en caso de dos tipos de muestreo diferente: . Población Infinita sin reemplazo . Poblacion Finita con reemplazo EJERCICIOS 1)
2)
Una muestra de aire, en la sección fundición de una empresa minera, tiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara muy particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. Encuentre: a) La posi posibil bilida idad d de que que en en las siguie siguiente ntess 18 mues muestra tras, s, exac exactam tament entee 2 conte contenga nga la molécula rara. b) La prob probabi abilid lidad ad de de que al meno menoss cuatr cuatro o muest muestras ras conten contengan gan la molé molécul culaa rara rara c) P[ 3 <= X < 7 ]. 0.283512089 p= 0.1 n= 18 x= 2 a)
x=2
0.098196841
b)
x>= 4
0.998827872 0.733795995
c)
3 <= X < 7
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial con n = 10 y p = 0.5. Trace la función de masa de probabilidad de X. a) ¿Cuál es el valor de X más factible? b) ¿Cuál(es) es(son) el(los) valor(es) menos factible(s) de X? n= p= X 1 2 3 4 5 6 7 8 9
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial con n = 10 y p = 0.5. Determine las siguientes probabilidades: a) P(X = 5) b) P(X <= 2) c) P(X >= 9) n= p=
10 0.5
a) b) c)
0.24609375 0.0546875 0.989257813
0.01074219
4)
La variable aleatoria X tiene una distribución binomial con n = 10 y p = 0.1. Determine las siguientes probabilidades: a) P(X = 5) 0.00148803 b) P(X <= 2) 0.92980917 c) P(3 <= X < 5) 0.06855589
5)
Determine la función de distribución acumulada de una variable aleatoria binomial con n = 3 y p =1/4 x=0 0.421875 x=1 0.421875 x=2 0.140625 x=3 0.015625 1
PRACTICA 1
sayos y numero de xitos elevada al
Valor 0 Valor 1
moneda 0.262144 0.393216 0.24576
de 6 estudiantes.
0.90112
.
n
0.265031877
PRACTICA 1 EJERCICIOS - DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIÓN POISSON Distribución de Probabilidad Discreta Se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. Es util cuando n es grande y la p probabilidad es pequeña Funcion de Probabilidad de la Distribución de Poisson
x = variable que nos denota el número de é = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto → Exp(1) e = 2.718282 CON EXCEL Valor 0 = POISSON(X, MEDIA, ACUMULADO) Valor 1
Se aplica a problemas donde la variable aleatoria es el número de eventos independientes que ocurren en un intervalo de tiempo, o en una región plana (con una promedio dado) a) # llamadas recibidas en un periodo de tiempo b) # accidentes de trabajo que ocurren en un fabrica en un determinado tiempo c) # de fallas en la superficie d) # bacterias en un volumen
Ejm 1:
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondos por día. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba cuatro cheques sin fondos en una día determinados? 0.133852618
Ejm 2:
Si se pueden esperar 5.6 imperfecciones por rollo de cierta clase de tela. ¿Cuál es la probabilidad de que un rollo tenga 3 imperfecciones? 0.108234006
EJERCICIOS 1)
Suponga que X tiene una distribución de Poisson con una media de 0.4. Determine las siguientes probabilidades. a) P(X = 0) 0.67032005 b) P(x<=2) 0.99207367 c) P(X = 4) 0.00071501 d) P(X=8) 1.0895E-08
2)
Suponga que X tiene una distribución de Poisson con una media de 4. Determine las siguientes probabilidades: a) P(X = 0) 0.01831564 b) P(X <= 2) 0.23810331 c) P(X = 4) 0.19536681 d) P(X = 8) 0.02977018 l=
a) b) c) d)
3)
4 P(x=0) P(x<=2) P(X=4) P(X=8)
0.01831564 0.23810331 0.19536681 0.02977018
El número de fallas de un instrumento de prueba de partículas de contaminación en un "producto es una variable aleatoria de Poisson” con una media de 0.02 fallas por
hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una corrida de 8 horas? 0.852143789 b) ¿Cuál es la probabilidad de al menos una falla en un día de 24 horas? 0.381216608
4)
Se supone que el número de imperfecciones en los rollos de tela de una fábrica textil tiene una distribución de Poisson con una media de 0.1 imperfecciones por metro cuadrado. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos imperfecciones en 1 metro cuadrado de tela? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya una imperfección en 10 metros cuadrados de tela? c) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya imperfecciones en 20 metros cuadrados de tela? d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos imperfecciones en 10 metros cuadrados de tela?
a) b) c) d)
5)
0.004524187 0.367879441 0.135335283 0.264241118
El número de fallas de un instrumento de prueba de partículas de contaminación en un "producto es una variable aleatoria de Poisson” con una media de 0.02 fallas por
hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el instrumento no falle en una corrida de 8 horas? b) ¿Cuál es la probabilidad de al menos una falla en un día de 24 horas? a) b)
0.852143789 0.381216608
0.16
1
PR EJERCICIOS - DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIÓN NORMAL Es una distribución de Variable aleatoria continua Funcion de Probabilidad
Características de la Distribución Binomial - La forma de la Campana de Gauss depende de los parametros media (m) y desviación (s) - Tiene una única moda que coincide con su media y su mediana - Es simétrica con respecto a su media (m) - La curva normal es asintótica al eje de X
Supongamos que sabemos que el peso de los estudiantes universitarios sigue una di aproximadamente norma., con una media de 140 libras y una desviación estandar d Determine : a) Probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras b)
La probabilidad de que una persona elegida al azar, tenga un peso mayor o ig
c)
La probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115
p(x<=150) Z = (150-140) /20 = 0.5
Definir gra´ficamente el area graficamente Determinar el valor de Z Buscar el valor de Z
Buscamos en tabla Area (0.6914) a) 0.691462461 b) 0.308537539 c) 0.585812688 EJERCICIOS 1)
El sistema de empaque de cereales para desayuno en una compañía se ha ajustado para lograr colocar un promedio de 13 onzas de cereal por caja. Por supuesto no to las cajas tienen exactamente 13 onzas debido a las fuentes aleatorias de variabilida Tiene una desviación estandar de 0.1, la distribución de pesos es de probabilidad no a) X= m= s=
2)
Determinar la probabilidad de que en una caja escogida tenga a lo más 13.2 13.2 13 0.1
a) z=
97.72%
El tiempo necesario para reparar la transmisión de un automovil en un taller se distr normalmente con una media de 45 vehiculos po r minuto y una desviación estandar minutos a) ¿Cuál es la asignación de tiempo requerido de trabajo para que exista un 90% posibilidad que la reparación se termine a tiempo? X=
55.25241252
45 8 0.9
m= s=
Prob
3)
Supongamos que el ingreso familiar mensual en una comunidad tiene una distribuci normal con media $ 600 y una desviación estandar de $100. a) Calcular la probabilidad de que el ingreso de una familia escogida al azar sea menor que $400 X= m= s=
Prob
<400 600 100 2.28%
4)
Una máquina expendedora de refrescos se ajusta para servir 7.00 oz (onzas) de liquido por vaso. La desviación estándar es de 0.10 oz. ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina sirva? a) Entre 7.10 y 7.25 onzas de refresco? 0.15244559 b) 7.25 oz o más? >7.25 0.00620967 c) Entre 6.8 y 7.25 onzas? 0.9710402 d) ¿Cuánto refresco se sirve en el máximo 1% de las bebidas?
5)
Una población normal tiene una media de 80.0 y una desviación estándar de 14.0. a) Calcule la probabilidad de un valor entre 75.0 y 90.0. 0.401982307 b) Halle la probabilidad de un valor entre 75.0 o menos. 0.360492431 c) Estime la probabilidad de un valor entre 55.0 y 70.0. 0.200452496 d) Determine el valor de X arriba del cual ocurrió el 80% de los valores.
6)
La vida util de las llantas radialesde cierta marca sigue una distribuciòn normal con media de 38000 millas y desviación estandar 3000 millas Se pide a) ¿Cual es la probabilidad de que una llanta selecionada alea tenga una vida util de por lo menos 35000 millas 0.841344746
7)
¿Cuàl es la probabilidad que se prolongue su vida util más de 45000 millas? a) p(x>45000) 0.990184671 b)
p(40000<=x<=45000) 0.242677209
8)
Una población normal tiene una media de 50.0 y una desviación estándar de 4.0. a) Calcule la probabilidad de un valor entre 44.0 y 55.0. 0.827543025 b) Evalúe la probabilidad de uno mayor que 55.0. 0.105649774 c) Obtenga la probabilidad de uno entre 52.0 y 55.0. 0.202887765 d) Determine el valor de X abajo del cual ocurriera el 95% de los valores
