Geometrie Afin˘a.pdf

Geometrie Afin˘ a

Contents 1 Spa¸tii vectoriale 1.1 Spa¸ii ¸tii vectoriale peste un corp K . . . . . . . . . . . . 1.2 1.2 Exem Exempl plee de spat spat¸ii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 1.3 Depen Depende dent nt¸˘ ¸a˘ liniar˘a de vectori . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Baze aze. Coo Coorrdonate de vectori. Di Dimensiune . . . . . . . 1.5 1.5 Schi Schimb mb˘ a˘ri de baze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 1.6 Subs Subspa pat¸tii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 1.7 Mo Morfi rfism smee de spat spat¸ii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . 1.8 1.8 Subs Subspa pat¸tii inv invaria arian nte. te. Vecto ectori ri prop propri rii. i. Val Valor orii pro propr prii ii . . 1.9 Forme orme lini liniare are pe un K -spat¸iu vectorial . . . . . . . . . 1.10 Forme biliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Forme p˘ atratice. Aducerea la forma canonic˘a . . . . . atratice. 1.12 Forme p˘ atratice atratice pe spat¸ii vectoriale complexe . . . . . 1.13 Forme p˘ atratice atratice pe spat¸ii vectoriale reale . . . . . . . . 2 Spa¸tii afine 2.1 2.1 Stru Struct ctur uraa afin˘ afin˘ a a unui spat¸iu vectorial . . . . . . . 2.2 Spa¸ii ¸tii afine. Propriet˘at a¸ti imediate . . . . . . . . . . 2.3 2.3 Exem Exempl plee de spat spat¸ii afine . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 2.4 Com Combinat binat ¸ii afine de puncte . . . . . . . . . . . . . 2.5 2.5 Subs Subspa pat¸tii afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Spa¸tii afine finit dimensionale . . . . . . . . . . . . 2.6.1 2.6.1 Dimens Dimensiun iunea ea unui unui spat spa¸tiu afin . . . . . . . . 2.6. 2.6.22 Repe Reperre ¸si coord oordon onat atee carte artezi zieene . . . . . . . 2.6.3 6.3 Reper pere ¸si coo oorrdonate afine . . . . . . . . . . 2.6. 2.6.44 Ra Rapo porrt ¸si s i bir birapor aportt de punc puncte te coli colini niar aree . . . 2.6. 2.6.55 Repr Reprez ezen ent˘ t˘ ari ari analitice ale unui p-plan . . . 2.7 2.7 Mo Morfi rfism smee de spat spat¸ii afine . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. 2.7.11 Trans ranslat lat¸ii ¸si si centro-a cent ro-afini finit˘ t˘at a¸ti . . . . . . . . . 2.7. 2.7.22 Proi Proiec ecto tori ri ¸si s i auto automo morfi rfism smee afine afine inv involut olutiv ivee . 2.7. 2.7.33 Mo Morfi rfism smee de spat spat¸ii afin afine fin finit di dimensionale ale . 2.7. 2.7.44 Ecua Ecuat¸iile ¸tiile carteziene ale unui p p -plan . . . . . 2.8 Forme afine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 4 6 7 11 14 21 29 33 37 44 51 54

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

58 . . 58 . . 67 . . 69 . . 69 . . 72 . . 78 . . 78 . . 79 . . 81 . . 83 . . 84 . . 89 . . 93 . . 95 . . 96 . . 98 . . 10 100

2.9 2.10 2.12 2.14

Forme biafine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forme p˘ atratice afine. Aducerea la forma canonic˘a atratice Centre de simetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variet˘ arietat a˘¸i ¸t i p˘atratice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.14.1 Clasificarea Clasificarea afin˘ a a conicelor . . . . . . . . 2.14.2 Clasificarea Clasificarea afin˘ a a cuadricelor . . . . . . .

2

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

1 05 10 109 11 1 14 11 117 11 1 19 12 1 20

Chapter 1

Spat ¸ii vectoriale 1.1

Spat ¸ii vectoriale peste un corp

K

Fie K un corp comutativ (poate fi corpul numerelor complexe C , cel al numerelor reale R, cel al numerelor rat¸ionale Q sau al claselor de resturi modulo p, Z /p ( p prim), etc). Fie (V, +) un grup pe care definim o operat¸ie extern˘a

K × V → V (α, v) care satisface axiomele:

→ α · v

·

· · V2. (α + β ) · v = α · v + β · v V3. α · (v + w) = α · v + α · w V4. 1 · v = v, pentru orice α, β ∈ K ¸si orice v, w ∈ V . (V, +, ·) se nume¸ste K -spat ¸iu vectorial (sau spat ¸iu V1. (αβ ) v = α (β v)

vectorial peste corpul K).

Observat¸ie. ˆ Intr-un spat ¸iu vectorial (V, +, ), adunarea este comutativ˘ a.

·

(1 + 1) (a + b) = (1 + 1) a + (1 + 1) b = a + a + b + b iar

·

·

·

·

·

·

(1 + 1) (a + b) = 1 (a + b) + 1 (a + b) = a + b + a + b, deci a + b = b + a.  Elementele lui V se numesc vectori , iar elementele lui K se numesc scalari . Operat¸ia intern˘ a + este adunarea vectorilor, iar operat¸ia extern˘a este ˆınmult ¸irea vectorilor cu scalari . Când K = C, respectiv K = R, spat¸iul V se nume¸ste spat ¸iu vectorial complex , respectiv spat ¸iu vectorial real .

·

3

Propozit ¸ie. ˆ Intr-un K-spat ¸iu vectorial V , au loc: este elementul neutru al grupului aditiv ( K, +), iar 0 V este elementul neutru al grupului (V, +), numit vectorul nul al spat ¸iului vectorial V .

• 0 · v = 0V , ∀v ∈ V , unde 0 K

K

• α · 0v = 0 v , ∀α ∈ K • α · v = 0v dac˘ a ¸si numai dac˘ a α = 0 sau v = 0V • (−1) · v = −v, ∀v ∈ V , unde −v este opusul vectorului v ∈ V ˆın grupul (V, +). K

1.2

Exemple de spat ¸ii vectoriale

1. Spat ¸iul vectorilor legat¸i ¸si spat¸iul vectorilor liberi sunt spat¸ii vectoriale reale. 2. Spat ¸iile vectoriale standard Kn , n

∈ N∗

Pe produsul cartezian Kn = x = (x1 , x2 , . . . , xn ), xi K, i = 1, n se poate defini o structur˘ a de K-spat¸iu vectorial, numit˘a structura canonic˘a a lui Kn . Operat¸ia extern˘a este dat˘a de

{

∈

}

x + y = (x1 + y 1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ), x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y 1 , y 2 , . . . , yn )

∀

∈ Kn,

iar cea extern˘a de αx = (αx1 , αx2 , . . . , α xn ), α

∀ ∈ Kn, ∀x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn.

3. Spat ¸iul Mm,n(K) al matricelor dreptunghiulare cu elemente din K este un K -spat¸iu vectorial. Dac˘a A = (ai,j ) ¸si B = (bi,j ) sunt dou˘a matrici din Mm,n (K), iar α K, atunci operat¸iile care dau structura de spat¸iu vectorial sunt

∈

A + B = (ai,j + bi,j ) M m,n(K)

∈

¸si αA = (αai,j ) M m,n(K).

∈

Dac˘ a m = n, se obt¸ine K-spat¸iul vectorial al matricelor p˘atratice de ordinul n. Dac˘a m = 1, se obt¸ine K-spat¸iul vectorial al matricelor linie, iar dac˘a n = 1, se obt¸ine K -spat¸iul vectorial al matricelor coloan˘a. Aceste ultime dou˘a spat¸ii se identific˘a cu K n .

4

4. Spat ¸iul funct¸iilor V A = f : A

{

→ V }

unde V este un K -spat¸iu vectorial, este, la rândul lui, un K -spat¸iu vectorial. Operat¸ia de adunare a funct¸iilor este dat˘a de f + g : A

→ V,

(f + g)(x) = f (x) + g(x),

iar operat¸ia extern˘a pe V A peste K

K × V A → V A (α, f )

→ αf,

(αf )(x) = αf (x).

Spat¸iile Kn ¸si Mm,n(K) sunt, de fapt, spat¸ii de tipul V A, unde V = K ¸si A = 1, 2, . . . , n , respectiv A = 1, 2, . . . , m 1, 2, . . . , n .

{

}

{

}×{

}

5. Spat ¸iul F(A; K) al funct¸iilor cu suport finit este un K -spat¸iu vectorial. Pe mult¸imea F(A; K) = f : A

{

→ K, f (x) = 0 cu except¸ia unui num˘ar finit de puncte }

se define¸ste suma ¸si ˆınmult¸irea cu scalari ca ˆın exemplul anterior.

C

6. Spat ¸iul vectorial real ([a, b]) al funct¸iilor continue pe [a, b], cu operat¸iile definite mai sus. De asemenea, 7. Spat ¸iul vectorial real

D ([a, b]) al funct¸iilor derivabile pe [a, b]

8. Spat¸iul vectorial Kn [X ] al polinoamelor ˆıntr-o variabil˘ a X (de grad mai mic sau egal cu un n fixat), cu coeficient¸i in corpul K, relativ la operat¸iile uzuale de adunare a polinoamelor ¸si ˆınmult¸ire a acestora cu numere reale. 9. K-spat¸iul polinoamelor de forma a0 (X 2 + Y 2 ) + a 1 X + a 2 Y + a 3 , cu ai a0 = 0



∈ K,

este legat de mult¸imea cercurilor din plan. La fel, 10. K-spat¸iul polinoamelor de forma a0 XY + a1 X + a2 Y + a3 , cu ai

∈ K, a0 = 0

este legat de mult¸imea hiperbolelor cu asimptotele paralele cu axele sistemului de coordonate. 11. Corpul numerelor reale R este un Q-spat¸iu vectorial. Evident, corpul numerelor rat¸ionale Q nu este un R-spat¸iu vectorial (operat¸ia extern˘a nu se poate defini). 5

√

√

12. Numerele reale de forma a + b 2 + c 3 formeaz˘ a un Q -spat¸iu vectorial. 13. Mult¸imea solut¸iilor unui sistem de ecuat¸ii liniare ¸si omogene cu coeficient¸i ˆıntr-un corp K formeaza un K -spat¸iu vectorial. 14. Complexificatul unui spat¸iu vectorial real Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial complex, pe el se poate defini ˆıntotdeauna o structur˘a de spat¸iu vectorial real. Operat¸ia intern˘a r˘ amâne aceea¸si, iar operat¸ia extern˘a peste R este restrict¸ia la R a operat¸iei externe peste C . S˘ a presupunem acum c˘a V este un spat¸iu vectorial real. Se poate defini pe V 2 = V V o structur˘a de spat¸iu vectorial complex astfel: operat¸ia intern˘a este dat˘a de

×

V 2

× V 2 → V 2,

(v1 , w1 ) + (v2 , w2 ) = (v1 + v2 , w1 + w2 ),

iar operat¸ia extern˘a peste C

C × V 2 → V 2 ,

(α + iβ )(v, w) = (αv

− βw,αw + βv).

Spat¸iul V 2 , cu structura de spat¸iu vectorial complex, se nume¸ste complexificatul lui V ¸si se noteaz˘a C V .

1.3

Dependent ¸˘ a liniar˘ a de vectori

Fie S = v1 , . . . , vn un sistem finit de vectori dintr-un K-spat¸iu vectorial V . Spunem c˘ a un vector v V este combinat ¸ie liniar˘ a de vectorii sistemului S dac˘a exist˘a scalarii λ1 , . . . λn K, astfel ˆıncât v = λ 1 v1 + . . . + λn vn .

{ } ∈ ∈

ˆ Exemple. In spat ¸iul vectorial real al numerelor complexe, orice num˘ ar complex z = a + bi este o combinat ¸ie liniar˘ a a numerelor complexe 1 ¸si i.

•

• ˆ In spat ¸iul vectorial K2[X ] al polinoamelor de grad cel mult 2, orice polinom P (X ) = aX 2 + bX + c este o combinat ¸ie liniar˘ a a polinoamelor 1, X ¸si X 2 .

Un sistem finit de vectori S = v1 , . . . , vn (din K-spat¸iul vectorial V ) se nume¸ste liniar independent (sau vectorii s˘ai sunt liniar independent ¸i ) dac˘a

{

}

⇒

0V = λ 1 v1 + . . . + λn vn = λ 1 = . . . = λ n = 0K . În caz contrar, S este liniar dependent . Propozit ¸ie. Sistemul S = v1 , . . . , vn este liniar dependent dac˘ a ¸si numai dac˘ a cel put ¸in unul din vectorii s˘ ai este o combinat ¸ie liniar˘ a a celorlalt ¸i.

{

}

6

{

}

Propozit ¸ie. Fie S = v1 , . . . , vn un sistem finit de vectori din V .

• Dac˘ a un subsistem al lui S este liniar dependent, atunci ¸si S este liniar dependent. • Dac˘ a S este liniar independent, atunci orice subsistem al s˘ a este liniar independent. • Numerele complexe z1 = 1 − i, z2 = 2 + 2i ¸si z3 = 3 + 3i sunt liniar Exemple. 2 dependente (peste corpul numerelor rat ¸ionale), deoarece z2 = z3 , chiar dac˘ a z1 nu 3 este liniar dependent de z2 ¸si z3 .

• Polinoamele P 1(X ) = X − X 2, P 2(X ) = 1 − 2X , P 3(X ) = 1+ X 2 ¸si P 4(X ) = 1 − 2X 2 sunt liniar dependente peste Q , deoarece P 4 = 2P 1 + P 2 .

• Se verific˘ a u¸sor c˘ a numerele complexe 1 + i ¸si 1 − i sunt liniar independente peste corpul numerelor reale.

• Vectorii e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) din Kn sunt liniar independent ¸i peste corpul K.

R

• Sistemul {1, sin x, cos x} este liniar independent ˆın spat ¸iul vectorial real R . • ˆ In R , sistemul {1, sin2 x, cos2 x} este liniar dependent. • Sistemul alc˘ atuit dintr-un singur vector v este liniar dependent dac˘ a ¸si numai dac˘ a R

v este vectorul nul. Doi vectori sunt liniar dependent ¸i dac˘ a ¸si numai dac˘ a au aceea¸si direct ¸ie. Trei vectori (legat ¸i) sunt liniar dependent ¸i dac˘ a ¸si numai dac˘ a sunt coplanari. Patru vectori sunt ˆıntotdeauna liniar dependent ¸i.

Ideea de vectori liniar independent¸i se extinde ¸si la sisteme infinite de vectori. Un sistem infinit S = vα : α I de vectori din spat¸iul vectorial V este liniar independent dac˘a orice subsistem finit al s˘au este liniar independent. În caz contrar, sistemul este liniar dependent. Un vector v V este combinat ¸ie liniar˘ a a unui sistem de vectori S (finit sau infinit) dac˘ a este combint¸ie liniar˘a a unui subsistem finit al lui S .

{

∈ }

∈

Exemplu. Fie K[X ] spat ¸iul vectorial al polinoamelor ˆıntr-o variabil˘ a X , cu coeficient ¸i 2 3 ˆıntr-un corp K . Sistemul infinit de polinoame 1, X , X , X , . . . este liniar independent, deoarece orice subsistem finit al s˘ au X m , . . . X m este liniar independent.

{

1.4

{

1

k

}

}

Baze. Coordonate de vectori. Dimensiune

Fie S = vα : α I un sistem oarecare (finit sau infinit) de vectori din K-spat¸iul vectorial V . Sistemul S este sistem de generatori pentru V dac˘a orice vector din V este o combinat¸ie liniar˘a a lui S . Un sistem de vectori B = vα : α I din K-spat¸iul vectorial V este o baz˘ a a lui V dac˘ a

{

∈ }

{

∈ }

7

• B este liniar independent • B este sistem de generatori pentru V . Dac˘ a B = {vα : α ∈ I } este o baz˘a a K-spat¸iului vectorial V , atunci orice vector v ∈ V

se poate exprima ˆın mod unic ˆın forma

v = λ 1 v1 + . . . + λn vn , unde λ 1 , . . . , λn K, iar v1 , . . . , vn B. Sistemul de scalari λ1 , . . . , λn poart˘ a numele de coordonatele vectorului v ˆın baza B. Evident, dac˘a un v V se scrie sub forma v = λα vα ¸si, ˆın acela¸si timp v = µα vα

∈

{ ∈

}⊂

{

}



α∈I



α∈I

(coeficient¸ii λα ¸si µα sunt zero, cu except¸ia unui num˘ar finit, deci sumele sunt finite), atunci

 − λα vα

α∈I

deci



(λα

α∈I

µα vα = 0,

α∈I

− µα)vα = 0, adic˘a λ α = µα.

ˆ Exemple. In spat ¸iul vectorial 3 al vectorilor legat ¸i ˆıntr-un punct O, orice sistem format din trei vectori necoplanari determin˘ a o baz˘ a. Coordonatele unui vector arbitrar vor fi date de descompunerea (se poate face geometric...) acestui vector dup˘ a direct ¸iile vectorilor din baz˘ a.

•

E

• ˆ In Kn, sistemul de vectori e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1) este o baz˘ a, numit˘ a baza canonic˘ a (sau baza natural˘a). Orice vector v = (v 1 , . . . , vn ) ∈ K n se scrie ˆın mod unic

v = v1 e1 + . . . vn en .

• O baz˘ a a lui C peste R este dat˘ ade numerele complexe 1 ¸si i. • O baz˘ a pentru spat ¸iul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2 este monoamele 1,

dat˘ a de

X ¸si X 2 .

• ˆ In K-spat ¸iul vectorial Mm,n(K), o baz˘ a este format˘ a din sistemul de matrici E i,j , unde 0 ··· 0 ··· 0 ········· E i,j = 0 ··· 1 ··· 0 (1 la intersect ¸ia liniei i cu coloana j). ········· 0 ··· 0 ··· 0 O matrice A = (ai,j ) ∈ K se va scrie ˆın mod unic sub forma

 

 

m

A =

n



ai,j E i,j ,

i=1 j=1

{ }

{ }

iar ai,j sunt coordonatele lui A ˆın baza E i,j . 8

• Subspat ¸iul nul {0V } nu admite baz˘ a, deoarece sistemul {0V } este liniar dependent. • Fie A o mult ¸ime nevid˘ a oarecare ¸si F(A; K) = {f : A → K, f (x) = 0 cu except ¸ia unui num˘ ar finit de puncte }. Aceast˘ a mult ¸ime are o structur˘ a de K-spat ¸iu vectorial ˆın raport cu adunarea funct ¸iilor ¸si ˆınmult ¸irea acestora cu scalari. Construim o baz˘ a ˆın acest spat ¸iu.

∈

Pentru orice a A, definim funct ¸ia f a : A

→ K,

f a (x) =



1, dac˘ a x = a 0, dac˘ a x = a.



Sistemul de funct ¸ii B = f a , a A este o baz˘ a a spat ¸iului F(A; K). ˆ Intr-adev˘ ar, o funct ¸ie f F (A; K) se scrie sub forma

{

∈

∈ }

k

f (x) =



λk f a (x), i

i=1

{

}

unde ai , i = 1, k este mult ¸imea (finit˘ a) a punctelor unde f nu se anuleaz˘ a, iar λi = f (ai ). ˆ In plus, dac˘ a k



λk f a = 0 F (A; K), i

i=1

∈

atunci, egalˆ and cele dou˘ a funct ¸ii pentru punctele ai , obt ¸inem λ1 = . . . = λ k = 0.

•

•

•

Orice sistem de generatori al unui spat¸iu vectorial cont¸ine o baz˘ a. Fiecare sistem de vectori liniar independent¸i dintr-un spat¸iu vectorial poate fi extins la o baz˘ a. Orice spat¸iu vectorial netrivial admite cel put¸in o baz˘ a.

Spat¸iile vectoriale care admit o baz˘ a finit˘ a se vor numi spat ¸ii finit dimensionale . Propozit ¸ie 1.4.1. Dac˘ a B = e1 , . . . , en este o baz˘ a finit˘ a a K-spat ¸iului vectorial V ¸si w = w1 e1 + . . . + w n en V are proprietatea c˘ a wi = 0, atunci sistemul B ∗ = e1 , . . . , ei−1 , w , ei+1 , . . . , en este, de asemenea, o baz˘ a pentru V .

{

}

∈

{

}



Dem: Sistemul B ∗ este liniar independent. Într-adev˘ ar, dac˘a λ1 e1 + . . . + λi−1 ei−1 + λw + λi+1 ei+1 + . . . + λn en = 0,

∗

( )

ˆınlocuind pe w, se obt¸ine (λ1 + w1 )e1 + . . . + (λi−1 + wi−1 )ei−1 + λwi ei + (λi+1 + wi+1)ei+1 + . . . + (λn + wn )en = 0 9

¸si, deci, λ1 + w1 = 0, . . . , λi−1 + wi−1 = 0, λi+1 + wi+1 = 0, . . . λn + wn = 0, λ = 0. Înlocuind λ = 0 ˆın (*), r˘amˆ ane doar o combinat¸ie liniar˘a de vectori din B , deci λ 1 = . . . = λi−1 = λ i+1 = . . . = λ n = 0. B ∗ este sistem de generatori. Orice vector v V se scrie ca o combinat¸ie liniar˘a de vectori din B. Înlocuind ˆın aceast˘ a expresie vectorul ei (care se exprim˘a din w ca o ∗ combinat¸ie liniar˘a de vectori din B , va rezulta o expresie a lui v ca o combinat¸ie liniar˘a de vectori din B ∗ . 

∈

Teorem˘ a 1.4.2. (Teorema ˆınlocuirii, Steinitz) Dac˘ a B = e1 , . . . , en este o baz˘ a a Kspat ¸iului vectorial V ¸si S = v1 , . . . , v p V este un sistem de vectori liniar independent ¸i, atunci

{

1) p

{

}⊂

}

≤ n

2) renumerotˆ and, eventual, vectorii lui B, sistemul B ∗ = v1 , . . . v p , e p+1 , . . . , en este, de asemenea, o baz˘ a a lui V .

{

}

Dem: Vom folosi induct¸ia dup˘a p. Dac˘a p = 1, avem Propozit¸ia 1.4.1. Presupunem c˘a teorema are loc pentru p 1. Fie

−

S 1 = v1 , . . . , v p−1 .

{

Aceasta ˆınseamn˘a c˘a p

}

− 1 ≤ n ¸si c˘a mult¸imea B1∗ = {v1 , . . . , v p−1 , e p , . . . , en }

este o baz˘a pentru V .

• Nu putem avea p − 1 = n. În caz contrar, S 1 = B ∗, deci S 1 este o baz˘a a lui V .

Vectorul v p (care nu se afl˘a ˆın S 1 ) se va putea exprima ca o combinat¸ie liniar˘a de elemente din S 1 . Dar aceasta ar ˆınsemna c˘a sistemul S nu este liniar independent, ceea ce contrazice ipoteza. Deci p 1 < n, adic˘a p n.

−

≤

• Deoarece B 1∗ este o baz˘a a lui V , vectorul v p se poate scrie v p = α 1 v1 + . . . α p−1 v p−1 + α p e p + . . . + αn en , unde cel put¸in unul din coeficient¸ii α p , . . . , αn este nenul (altfel, v p ar fi, din nou, combinat¸ie liniar˘a de elemente din S 1 ). Renumerotând, eventual, putem presupune c˘a α p = 0. Folosind, din nou, Propozit¸ia 1.4.1, B ∗ va deveni o baz˘a pentru V . 



Consecint¸a ˘. Dac˘ a un spat ¸iu vectorial V are o baz˘ a format˘ a din n vectori, atunci orice baz˘ a a sa este format˘ a din n vectori.

10

Dem: Considerˆ and dou˘ a baze ale lui V , una cu m elemente ¸si una cu n elemente, oricare dintre acestea poate fi considerat˘a sistemul liniar independent din Teorema 1.4.2. Vom avea m n ¸si n m, adic˘a m = n.  Num˘ arul elementelor dintr-o baz˘a a unui spat¸iu vectorial V cu baz˘a finit˘ a se nume¸ste dimensiunea spat¸iului vectorial V (dim V ).

≤

≤

Corolar. Dac˘ a dim V = n, atunci oricare n vectori liniar independent ¸i din V formeaz˘ ao baz˘ a a lui V . De asemenea, un sistem de generatori format din n elemente este o baz˘ a.

• Dimensiunea spat¸iului nul {0V } este 0. • Spat¸iile vectoriale de dimensiune 1 se numesc drepte vectoriale , iar cele de dimensiune 2 plane vectoriale .

• Un spat¸iu vectorial este de dimensiune infinit˘ a dac˘a nu admite baze finite (un spat¸iu infinit dimensional admite sisteme finite ¸si infinite de vectori liniar independent¸i .

1.5

Schimb˘ ari de baze

Fie V un K-spat¸iu vectorial n-dimensional ¸si B = e1 , . . . , en ¸si B  = e1 , . . . , en dou˘a baze oarecare. Vectorii lui B  sunt combinat¸ii liniare de vectori din B, iar vectorii lui B sunt combinat¸ii liniare de vectori din B  .

{

}

{

}

n

ei =

 

∈ K,

p ji e j ,

i = 1, n,

pij

pij ei ,

j = 1, n,

pij

j=1

(1.1)

(1.2)

n

e j =

i=1

∈ K,

Formulele (1.1) sunt formulele de trecere de la baza B la baza B  , iar matricea P = ( pij ) este matricea de trecere de la baza B la baza B  . Analog, (1.2) sunt formulele de trecere de la baza B  la baza B, iar matricea  ) este matricea de trecere de la baza B  la baza B. P  = ( p ji Evident, matricele P ¸si P  sunt unic determinate de cele dou˘a baze. Propozit ¸ie. O matrice P M n (K) este matricea unei schimb˘ ari de baze ˆıntr-un K-spat ¸iu vectorial n-dimensional V dac˘ a ¸si numai dac˘ a det P = 0.

∈



Dem: ”= ” Fie B ¸si B  dou˘ a baze ale lui V , ca mai sus, iar P matricea de trecere de  la B la B . Deoarece B  este baz˘a, relat¸ia

⇒

n



λi ei = 0

i=1

11

are loc numai pentru scalarii λ1 = . . . = λ n = 0. Dar, folosind formulele de trecere de la baza B la baza B  , relat¸ia de mai sus este echivalent˘a cu n

n

  λi (

i=1

adic˘ a

p ji e j ) = 0

j=1

n

n

(

λi p ji )e j = 0.

j=1 i=1

Dar ¸si B este baz˘a, deci ultima relat¸ie este echivalent˘a cu n



λi p ji = 0.

(1.3)

i=1

Rezult˘ a, de fapt, c˘a sistemul liniar ¸si omogen (1.3) trebuie s˘a admit˘ a doar solut¸ia banal˘ a λ1 = . . . = λn = 0, deci determinantul matricei asociate acestui sistem (care este chiar matricea P ) este nenul, det P = 0. ” = Fie B = e1 , . . . , en o baz˘a oarecare a lui V ¸si P = ( pij ) Mn (K) o matrice arbitrar˘ a, cu det P = 0. Vom ar˘ata c˘ a exist˘a o baz˘a B  a lui V , pentru care matricea de trecere de la B la B  este chiar P . Definim elementele mut¸imii B  chiar prin formulele de trecere (1.1).

⇐

{ 

 }

∈

n

ei =



p ji e j ,

i = 1, n,

p ji

j=1

∈ K.

Deoarece B  are n elemente, este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a sistemul B  este liniar independent. Dac˘ a

n



i=1

λi ei = 0, ˆınlocuind vectorii e i , obt¸inem

n

n

 (

j=1 i=1

λi p ji )e j = 0, deci

n



i=1

λi p ji = 0.

Deoarece matricea P coincide cu matricea acestui sistem ¸si este nesingular˘ a, sistemul  admite doar solut¸ia banal˘ a λ1 = . . . = λn = 0, deci B este o baz˘a a lui V , iar matricea  de trecere le la B la B este P .  Propozit ¸ie. Fie V un K-spat ¸iu vectorial de dimensiune n, B = e1 , . . . , en ¸si B  = e1 , . . . , en dou˘ a baze oarecare ale sale, v V un vector, iar v = (v1 , . . . , vn ) ¸si v =    ) (v1 , . . . , vn ) coordonatele lui v respectiv ˆın cele dou˘ a baze. Dac˘ a P = ( pij ) ¸si P  = ( p ji sunt matricele de trecere de la o baz˘ a la alta (ca ¸si ˆın (1.1) ¸si (1.2)), atunci formulele de transformare a coordonatelor lui v la schimbarea bazelor sunt

{

}

{

∈

}

n

vi =

 

pij v j ,

i 1, n

pij v j ,

i 1, n.

j=1

respectiv

∈

(1.4)

∈

(1.5)

n

vi =

j=1

12

Dem: Rezult˘ a din unicitatea scrierii unui vector ca o combinat¸ie liniar˘a de elemente dintr-o baz˘a. n

v =

n

v j e j

vi ei =

i=1

deci

n

n

n

    v j (

=

j=1

j=1

pij ei ) =

i=1

n



pij v j )ei ,

(

i=1 j=1

n

pij v j .

vi =

j=1

Folosind formulele de trecere de la B  la B , obt¸inem expresiile pentru v i .  Fie, din nou, B = e1 , . . . , en ¸si B  = e1 , . . . , en dou˘a baze oarecare ale unui spat¸iu vectorial V , v = (v1 , . . . , vn ) ¸si v = (v1 , . . . , vn ) coordonatele unui vector v respectiv ˆın  ) sunt matricele de trecere de la o baz˘ cele dou˘a baze, iar P = ( pij ) ¸si P  = ( p ji a la alta. Am v˘azut c˘a

{

}

{

}

n

vi =

 

pij v j ,

i 1, n

 p jk vk ,

i 1, n.

∈

j=1

¸si

n

v j

=

∈

k=1

Va rezulta c˘a n

vi =

pij v j

j=1

deci n,

n



n

n

n

  

 = pij ( p jk vk ) j=1 k=1

n

n



 = pij p jk vk j=1 k=1

=

n

 (

 pij p jk )vk

k=1 j=1

 = δ k , adic˘ pij p jk a produsul matricelor de trecere este matricea unitate de ordinul i

j=1

P P  = P  P = I n .

Rezult˘ a c˘a matricele care intervin ˆın formulele de schimbare de baze (¸si ˆın formulele de schimbare de coordonate ale vectorilor) sunt nesingulare ¸si sunt una inversa celeilalte P  = P −1 .

• Formulele (1.4) ¸si (1.5) au o form˘a

matriceal˘ a. Identificând un vectorul v = v1

(v1 , . . . , vn ) cu matricea coloan˘a [v]B =

  ·  ·· 

, formulele de schimbare de co-

vn

ordonate (1.4) devin

   ···  v1

vn

 

··· p1n ····· ····· ····· pn1 ··· pnn p11

=

13

     ···  v1

vn

,

sau, pe scurt, [v]b = P [v]B . 

(În matricea P , coloanele reprezint˘a componentele vectorilor bazei B  ).

1.6

Subspat ¸ii vectoriale

Fie V un K -spat¸iu vectorial. Un subspat ¸iu vectorial al lui V este o submult¸ime nevid˘a W a lui V , care r˘amˆ ane un K -spat¸iu vectorial ˆın raport cu operat¸iile induse din V . Aceasta ˆınseamn˘ a c˘ a W este subspat¸iu vectorial al lui V dac˘a W V , W = ¸si

⊂

∀(w1, w2) ∈ W × W, ∀(λ, w) ∈ K × W,

 ∅

w1 + w2

∈ W

∈ W.

λw

≺ V . O formulare echivalent˘a: W ≺ V dac˘a ¸si numai dac˘a W ⊂ V , W = ∅ ∀λ1, λ2 ∈ K, ∀w1, w2 ∈ W =⇒ λ1w1 + λ2w2 ∈ W. • Numerele complexe de forma a(1+i) formeaz˘ a un subspat ¸iu vectorial real

Vom nota W ¸si

Exemple. al lui C (peste R).

• Spat ¸iul vectorial al polinoamelor de grad cel mult trei este un subspat ¸iu al spat ¸iului vectorial al polinoamelor de grad cel mult 7 (peste acela¸si corp).

• Q nu este subspat ¸iu vectorial al lui R (peste corpul numerelor reale). • Mult ¸imea funct ¸iilor pare R → R este un subspat ¸iu vectorial al spat ¸iului tuturor funct ¸iilor R → R (peste R). • Orice spat ¸iu vectorial V admite cel put ¸in dou˘ a subspat ¸ii: subspat ¸iul nul ¸si subspat ¸iul ¸iile triviale ale lui V . ˆınsu¸si. Ele se numesc subspat

• ˆ In spat ¸iul vectorilor legat ¸i ˆıntr-un punct O, mult ¸imea vectorilor care au aceea¸si dreapt˘ a suport d  O este un subspat ¸iu vectorial de dimensiune 1, iar mult ¸imea vectorilor cu suportul cont ¸inut ˆıntr-un plan π  O este un subspat ¸iu vectorial de dimensiune 2.

• Urm˘ atoarele submult ¸imi sunt subspat ¸ii vectoriale ale lui M(K): n(n + 1) . 2 – mult ¸imea matricelor antisimetrice este un subspat ¸iu vectorial de dimensiune n(n 1) . 2 – mult ¸imea matricelor triunghiulare este un subspat ¸iu vectorial de dimensiune n(n + 1) . 2 – mult ¸imea matricelor simetrice este un subspat ¸iu vectorial de dimensiune

−

14

– mult ¸imea matricelor diagonale este un subspat ¸iu vectorial de dimensiune n. Propozit ¸ie. Dac˘ a W 1 ¸si W 2 sunt subspat ¸ii ale K-spat ¸iului vectorial V , atunci intersect ¸ia ¸si suma acestora sunt subspat ¸ii ale lui V .

∩ W 2 = {v ∈ V, v ∈ W 1 ¸si v ∈ W 2}, W 1 + W 2 = {w1 + w2 , w1 ∈ W 1 ¸si w2 ∈ W 2 }. α ∈ J } un subsistem oarecare al K-spat¸iului vectorial V . W 1

{

Fie S = vα , Intersect¸ia tuturor subspat¸iilor lui V care cont¸in S se nume¸ste subspat ¸iul generat de S (sau ˆınchiderea liniar˘ a a lui S , sau ˆınf˘ a¸sur˘ atoarea liniar˘ a a lui S ); ˆıl vom nota < S >. Este subspat¸iul cel mai mic (ˆın raport cu incluziunea) care cont¸ine pe S .

{

Propozit ¸ie 1.6.1. Fie S = vα , α V . Atunci

∈ J } un subsistem de vectori al K-spat ¸iului vectorial

{

< S >= λ1 v1 + . . . + λn vn ,

n

∈ N∗, λi ∈ K, vi ∈ S }

(sume finite).

Dem: Subspat¸iul generat de S este



< S >=

W.

≺ ⊂

W V S W Not˘ am

{

N = λ1 v1 + . . . + λn vn ,

n

∈ N∗, λi ∈ K, vi ∈ S }.

• N este, evident, un subspat¸iu vectorial al lui V ¸si ˆıl cont¸ine pe S , deci cont¸ine ¸si < S >, < S >⊂ N. • Un subspat¸iu W al lui V , care cont¸ine pe S , va cont¸ine ¸si orice combinat¸ie liniar˘a de elemente din S , deci orice vector de forma λ 1 v1 + . . . + λn vn . În consecint¸a˘, ˆıl va cont¸ine pe N , adic˘a N se afl˘a ˆın intersect¸ia acestor subspat¸ii ¸si

⊂

N < S > . Deci N =< S >.



• S este un sistem de generatori pentru spat¸iul < S >. • Dac˘a S este liniar independent, atunci S este baz˘a pentru < S >. • Dac˘a S este un subspat¸iu al lui V , atunci S =< S >. • Subspat¸iul generat de mult¸imea vid˘a este identic cu subspat¸iul nul < ∅ >= {0v }. 15

• Subspat¸iul generat de un vector nenul este o dreapt˘a vectorial˘a < v >= {λv, λ ∈ K}. • Subspat¸iul generat de doi vectori liniar independent¸i este un plan vectorial < v 1 , v2 >= {λ1 v1 + λ2 v2 , λ1 λ2 ∈ K}. • Dac˘a S = {v1, . . . , vn} este o mult¸ime finit˘a, atunci subspat¸iul generat de v1, . . . , vn este < v 1 , . . . , vn >= {λ1 v1 + . . . + λn vn , λi ∈ K}. • Se nume¸ste rang al sistemului S = {vα, α ∈ I } dimensiunea spat¸iului < S > generat de S . Rangul unui sistem finit de vectori S = { v1 , . . . , vn } este egal cu num˘arul maxim de vectori liniar independent¸i din S .

• Mult¸imea solut¸iilor unui sistem de ecuat¸ii liniare ¸si omogene ( cu m ecuat¸ii ¸si n necunoscute) are o structur˘a de spat¸iu vectorial. Dac˘a rangul matricei coeficient¸ilor sistemului este r, atunci dimensiunea spat¸iului solut¸iilor sale este n − r. Propozit ¸ie 1.6.2. Dac˘ a spat ¸iul vectorial V este de dimensiune finit˘ a ¸si W este un subspat ¸iu al lui V , atunci dim W dim V . Dac˘ a, ˆın plus, dim W = dim V , atunci W = V .

≤

Dem: Deoarece W este un subspat¸iu al lui V , orice sistem de vectori liniar independent¸i ˆın W va fi liniar independent ¸si ˆın V . Conform Teoremei 1.4.2, acesta se poate completa pˆ an˘ a la o baz˘a ˆın V , deci are cel mult atâtea elemente cât este dimensiunea lui V . În consecint¸a˘, dim W dim V . Presupunem c˘a dim W = dim V . Atunci, o baz˘a a lui W , fiind cuprins˘a ˆıntr-o baz˘ aa lui V ¸si având acela¸si cardinal, coincide cu aceasta din urm˘a. Spat¸iile W ¸si V vor fi, deci, generate de aceea¸si baz˘a ¸si vor coincide. 

≤

Propozit ¸ie. Fie W 1 ¸si W 2 dou˘ a subspat ¸ii ale lui V . Atunci < W 1

∪ W 2 >= W 1 + W 2.

• În general, dac˘a { W α, α ∈ I } este o mult¸ime de subspat¸ii ale lui V , subspat¸iul generat de mult¸imea M = < M >=





W α se nume¸ste suma subspat¸iilor W α ¸si se scrie

α∈I

W α .

α∈I

• Suma a dou˘a subspat¸ii W 1 ¸si W 2 ale lui V se nume¸ste sum˘ a direct˘ a dac˘a fiecare vector v ∈ W 1 + W 2 se scrie ˆın mod unic sub forma v = w 1 + w2 . Suma direct˘ a a subspat¸iilor W 1 ¸si W 2 se noteaz˘a W 1 16

⊕ W 2.

Propozit ¸ie. Suma a dou˘ a subspat ¸ii W 1 ¸si W 2 ale lui V este sum˘ a direct˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a intersect ¸ia acestora este subspat ¸iul nul W 1

⊕ W 2 ⇐⇒ W 1 ∩ W 2 = {0V }. Dem: ”=⇒” Fie v ∈ W 1 ∩ W 2 . Dac˘a v  = 0V , atunci un vector arbitrar w ∈ W 1 ⊕ W 2 ar admite dou˘ a scrieri distincte w = w 1 +w2 ∈ W 1 +W 2 ¸si w = (w1 +v)+(w2 − v) ∈ W 1 +W 2 , contradict¸ie cu faptul c˘a suma este direct˘a. ”⇐=” Presupunem c˘a un vector w ∈ W 1 + W 2 admite dou˘a scrieri de forma w = w1 + w2 ∈ W 1 + W 2 ¸si w = u 1 + u2 ∈ W 1 + W 2 . Atunci 0v = (w1 − u1 ) + (w2 − u2 ). Cum W 1 ∩ W 2 = {0V }, va rezulta c˘a w 1 − u1 = w 2 − u2 = 0V , adic˘a scrierea lui w este unic˘a ¸si suma subspat¸iilor W 1 ¸si W 2 este direct˘a: W 1 ⊕ W 2 .  • Fie W 1, . . . , Wn un num˘ar finit de subspat¸ii ale lui V . Suma acestora va fi subspat¸iul n



W i = W 1 + . . . + W n ,

i=1

iar un vector w

∈

n



i=1

W i este de forma

∈ W i, i ∈ 1, n.

w = w 1 + . . . + w p , wi

Dac˘a w se scrie ˆın mod unic ˆın forma de mai sus, atunci suma de spat¸ii este direct˘ a ¸si se noteaz˘a n

W 1

⊕ . . . ⊕ W n =



W i .

i=1

Subspat¸ii suplimentare. Hiperplane vectoriale Dou˘ a subspat¸ii vectoriale W 1 ¸si W 2 ale unui K -spat¸iu vectorial V se numesc suplimentare dac˘ a V este suma lor direct˘a V = W 1 W 2 .

⊕

≺ V se nume¸ste hiperplan vectorial dac˘a este suplimentar unei drepte

Un subspat¸iu H vectoriale din V .

•

Exemple. Dou˘ a drepte distincte din spat ¸iul euclidian 3-dimensional, care trec prin origine, sunt subspat ¸ii vectoriale independente (adic˘ a intersect ¸ia lor este subspat ¸iul nul 0V ). Suma lor este o sum˘ a direct˘ a ¸si este planul vectorial determinat de cele dou˘ a drepte.

{ }

• Un plan ¸si o dreapt˘ a care nu apart ¸ine planului, ˆın spat ¸iul euclidian 3-dimensional,

care trec prin origine, sunt subspat ¸ii vectoriale independente. Suma lor este direct˘ a ¸si este ˆıntreg spat ¸iul. Sunt, deci, subspat ¸ii vectoriale suplimentare.

17

• Subspat ¸iile matricelor simetrice, respectiv antisimetrice, sunt subspat ¸ii suplimentare. Pentru orice matrice A ∈ M (K), avem A = As + Aa , 1 1 unde As = (A +t A) este o matrice simetric˘ a, iar Aa = (A 2 2 antisimetric˘ a.

−t A) este o matrice

• Subspat ¸iile matricelor triunghiulare ¸si al matricelor simetrice nu sunt independente, doarece intersect ¸ia lor este subspat ¸iul matricelor diagonale.

Propozit ¸ie. Fie V un K-spat ¸iu vectorial n-dimensional. Orice subspat ¸iu W de dimeniune m al lui V admite cel put ¸in un subspat ¸iu suplimentar ˆın V . Subspat ¸iul suplimentar va avea dimensiunea n m.

−

Dem: W este, la rândul s˘au, un spat¸iu vectorial m-dimensional, deci admite o baz˘a finit˘ a, cu m elemente, B = e1 , . . . , em . Aceast˘a baz˘ a se poate completa pân˘ a la o baz˘a a lui V . Fie S = f m+1, . . . , fn un sistem de vectori din V , astfel ˆıncât B S s˘a fie baz˘a a lui V . Fie U spat¸iul vectorial generat de S , evident un subspat¸iu (n m)-dimensional al lui V . Este imediat faptul c˘a U este un spat¸iu suplimentar al lui W . 

{

{

}

}

−

∪

• Dac˘a V este un spat¸iu vectorial n-dimensional, atunci hiperplanele sunt subspat¸ii de dimensiune n − 1. • Hiperplanele unui spat¸iu vectorial 2-dimensional sunt dreptele vectoriale. • Hiperplanele unui spat¸iu vectorial 3-dimensional sunt planele vectoriale. • Propozit¸ia anterioar˘a este adev˘arat˘a ¸si ˆın cazul spat¸iilor vectoriale infinit dimensionale: Orice subspat¸iu propriu al unui spat¸iu vectorial admite cel put¸in un subspat¸iu suplimentar.

Teorem˘ a 1.6.3. (existent¸a hiperplanelor) Fie V un spat ¸iu vectorial (finit sau infinit dimensional) ¸si W un subspat ¸iu propriu al s˘ au. Exist˘ a cel put ¸in un hiperplan vectorial al lui V care cont ¸ine pe W . Dem: Fie B o baz˘a a lui W . Aceasta se poate completa pˆ an˘ a la o baz˘a a lui V . Fie S un sistem de vectori din V , pentru care B S este baz˘a a lui V . Sistemul S este nevid (altfel, B ar fi o baz˘a a lui V , deci W ¸si V ar fi generate de acela¸si sistem de vectori, adic˘a ar coincide ¸si W nu ar mai fi un subspat¸iu propriu al lui V ). Fie v S ¸si fie

∪

∈

H = .

Evident, V =< v > H , deci H este un hiperplan al lui V . Mai mult, deoarece H cont¸ine baza lui W , H va cont¸ine ˆıntreg spat¸iul W . 

⊕

Teorem˘ a 1.6.4. Fie V un K-spat ¸iu vectorial n-dimensional ¸si W un subspat ¸iu de dimeniune m al lui V . Atunci W este intersect ¸ia a n m hiperplane vectoriale.

−

18

{

} }

Dem: Fie B = e1 , . . . , em o baz˘a a lui W . Aceasta se poate completa pân˘ a la o baz˘a a lui V . Fie S = f m+1 , . . . , fn un sistem de vectori din S , pentru care B S este o baz˘a a lui V . Fie Bi = (B S ) f m+i , i 1, n m.

{

Sistemele Bi cont¸in câte n cˆ ate un vector din S . Fie

∪

∪ \{

− 1 vectori:

}

−

tot¸i vectorii din baza lui V , mai put¸in respectiv

H i =< Bi >, Evident, H i sunt n

∈

i 1, n

∈

− m.

− m hiperplane ale lui V . Vom ar˘ata c˘a n−m

W =



H i .

i=1

Fie M =

n−m



i=1

H i .

• W ⊂ Bi, ∀i ∈ 1, n − m, deci W ⊂< Bi >= H i, ∀i ∈ 1, n − m, adic˘a W ⊂ M .

n−m



i=1

H i =

• Dac˘a v ∈ M , atunci v ∈ H i, ∀i ∈ 1, n − m, deci v va fi o combinat¸ie liniar˘a de vectori numai din B (elementele lui S ”dispar” pe rând), adic˘ a v ∈= W ¸si M ⊂ W . 

Teorema anterioar˘ a are loc ¸si ˆın cazul spat¸iilor vectoriale infinit dimensionale: Dac˘a W este un subspat¸iu propriu al unui spat¸iu vectorial V , atunci exist˘a o familie de hiperplane H α , α I , astfel ˆıncât W = H α .

∈



α∈I

Teorema dimensiunii, Grassmann Fie W 1 ¸si W 2 dou˘a subspat¸ii (de dimensiune finit˘a ) ale spat¸iului vectorial V . Are loc relat¸ia dim W 1 + dim W 2 = dim(W 1 + W 2 ) + dim(W 1 W 2 ).

∩ Dem: Presupunem c˘a dim W 1 = m, dim W 2 = n ¸si dim(W 1 ∩ W 2 ) = p. Fie B = {e1 , . . . , e p } o baz˘ a a lui W 1 ∩ W 2 . Aceasta se poate completa atˆ a t la o baz˘ a B1 a lui W 1 , cˆ at ¸si la o baz˘ a B 2 a lui W 2 . S˘a presupunem c˘a

{

} B2 = {e1 , . . . , e p , b p+1 , . . . , bn }

B1 = e1 , . . . , e p , a p+1 , . . . , am Fie

{

este o baz˘ a a lui W 1 ¸si este o baz˘ a a lui W 2 .

}

B3 = e1 , . . . , e p , a p+1 , . . . , am , b p+1 , . . . , bn . Vom ar˘ata c˘ a B 3 este o baz˘a a lui W 1 + W 2 . 19

• Ma Maii ˆıntˆ ıntâi, ai, B3 este un sistem de generatori pentru W 1 + W + W 2 . Fie v ∈ W 1 + W + W 2 . Atunci v Atunci v = w = w 1 + w2 , unde w unde w 1 ∈ W 1 ¸si w si w 2 ∈ W 2 . Deci v = λ = λ 1 e1 + . . . + λ p e p + λ p+1 p+1 a p+1 p+1 + . . . + λm am + µ1 e1 + . . . + µ p e p + µ p+1 p+1 b p+1 p+1 + . . . + µm bm ,





 

w1





w2

adic˘a v este o combinat¸ie ¸ie liniar˘a de vectori din B 3 .

Sistemul B 3 este este liniar independent. independent . Fie • Sistemul B (∗) λ1 e1 + . . . + λ p e p + λ p+1 p+1 a p+1 p+1 + . . . + λm am + µ p+1 p+1 b p+1 p+1 + . . . + µm bm = 0. Vom ar˘ata ata c˘ a tot¸i ¸i coeficient¸ii ¸ii se anuleaz˘a. a. Relat¸ia ¸ia de mai sus este echivalent˘a cu λ1 e1 + . . . + λ p e p + λ p+1 p+1 a p+1 p+1 + . . . + λm am =

−µ p+1 p+1 b p+1 p+1 − . . . − µm bm .

Termenul din partea stâng˘ ang˘ a este un vector din W 1 , iar cel din dreapta un vector din W 2 . Rezult˘ a c˘ a ambii membri se afl˘a ˆın W ın W 1 W 2 . Deoarece µ Deoarece µ p+1 p+1 b p+1 p+1 + . . . + µm bm W 1 W 2 , rezult˘a c˘ a µ p+1 = α 1 e1 + . . . + α p e p p+1 b p+1 p+1 + . . . + µm bm = α

∩

∈

∩

¸si si rela re lat¸ia ¸t ia (*) devine λ1 e1 + . . . + λ p e p + λ p+1 p+1 a p+1 p+1 + . . . + λm am + α1 e1 + . . . + α p e p = 0 sau (λ1 + α1 )e1 + . . . + (λ (λ p + α p )e p + λ p+1 p+1 a p+1 p+1 + . . . + λm am = 0. Aceasta din urm˘a este o combinat¸ie ¸ie liniar˘a de vectori din B 1 , care este o baz˘a pentru W pentru W 1 , deci tot¸i ¸i scalarii sunt zero. În particular, λ p+1 = . . . = λ = λ m = 0. p+1 = . Înlocuind Inlo cuind ˆın (*), obt¸inem ¸inem o combinat¸ie ¸ie liniar˘a de vectori din B2 , deci ¸si si restul scalarilor se anuleaz˘a. a. Rezult˘ a c˘a B 3 este o baz˘a a lui W lui W 1 + W 2 ¸si si dimensiune dim ensiuneaa acestuia ac estuia este egal˘a cu num˘arul arul de elemente din baz˘a. a.

−

−

−

dim(W dim(W 1 + W 2 ) = p + (m p) p) + (n p) p) = m + n p = p = dim W 1 +dim W 2

− dim(W dim(W 1 ∩ W 2 ).



• Dac˘a W 1 ¸si W si W 2 sunt subspat¸ii independente ¸ii independente,, atunci dim W 1 + dim W 2 = dim(W dim(W 1 + W 2 ). ¸ii ale spat¸iului ¸iului vectorial n-dimensional V V ¸si dim W 1 + • Dac˘a W 1 ¸sisi W 2 sunt subspat¸ii dim W 2 > n, atunci W atunci W 1 ∩ W 2  = {0v }. 20

1.7 1.7

Morfi Morfism sme e de spa spa¸ii ¸ tii vectoriale

Fie V Fie V ¸si W si W dou˘ a spat¸ii ¸ii vectoriale vecto riale peste pest e acela¸ a cela¸si si corp c orp K. O aplicat¸ie f ¸ie f : V W s W see nume¸ num e¸ste st e morfism al morfism al lui V lui V ˆın W ın W (sau aplicat (sau aplicat ¸ie liniar˘ a , sau omomorfism sau omomorfism ) dac˘ a satisface condit¸iile: ¸iile:

→

∀ v1, v2 ∈ V, V , ∀ λ ∈ K, ∀ v ∈ V. V .

f ( f (v1 + v2 ) = f ( f (v1 ) + f ( f (v2 ) f ( f (λv) λv) = λf ( λf (v ) Condit¸iile ¸iile de mai sus sunt echivalente cu f ( f (λ1 v1 + λ2 v2 ) = λ 1 f ( f (v1 ) + λ2 f ( f (v2 )

∀ λ1, λ2 ∈ K, ∀ v1, v2 ∈ V. V .

• O aplicat¸ie ¸ie liniar˘a f : V → V se nume¸ num e¸ste st e endomorfism endomorfism (sau operator operator liniar ) liniar ) al spat¸iului ¸iului vectorial V vectorial V ..

¸ie liniar˘a bi biject je ctiiv˘ a f : V → W num e¸ste st e izomorfism izomorfism al lui V pe W . • O aplicat¸ie W ssee nume¸ W . Dou˘a spat¸ii ¸ii vectoriale V ¸si si W W sunt izomorfe (V  W ) W ) dac˘a exist˘a un izomorfism f : V → W . W . izomorfism f : V → V V ssee num nume¸ e¸ste st e automorfism al automorfism al lui V lui V .. • Un izomorfism f Propozit ¸ie. ¸ie. 1) Fie f : V → W un W un morfism de spat ¸ii vectoriale. Atunci a) f ( f (−v ) = −f ( f (v ), ∀ v ∈ V b) f (0 f (0V ) = 0 W . W este un izomorfism de spat ¸ii vectoriale, vectorial e, atunci ¸si si f −1 : W → V V este → W este

2) Dac˘ a f : V un izomorfism. Exemple. liniar˘ a.

• Aplicat ¸ia identic˘ a 1V

: V

→ V , V , 1V (v (v ) = v , ∀ v ∈ V , V , este o aplicat ¸ie

• Dac˘ a V V este un spat ¸iu vectorial, iar W W un subspat ¸iu al s˘ au, inject ¸ia canonic˘ canonic˘ a a lui W ˆın V , : W → V , ¸ie liniar˘ a. V , i : W V , i(w) = w, w , ∀w ∈ W , W , este o aplicat • Aplicat ¸ia nul˘ a 0 : V → W , W , 0(v 0(v ) = 0W , ∀v ∈ V , V , este o aplicat ¸ie liniar˘ a. • Omotetia de de raport h h este o aplicat ¸ie liniar˘ a. Dac˘ a V V este un K ¸iu vectoria vecto riall ¸si si K -spat ∗ h ∈ K , omotetia de raport h este definit˘ a prin H h : V → V , V , H h (v ) = hv, hv , ∀v ∈ V . V . Deoarece h  = 0, H h admite o invers˘ a H 1/h : V → V , V , deci o omotetie a unui spat ¸iu este un automorfism al acestuia.

• Operat ¸ia de derivare, deriva re, ˆın spat ¸iul vectorial R ¸ie liniar˘ a a spat ¸iulu ¸iu luii ˆın R [X ], este o aplicat el ˆınsu¸si.

21

• Fie V V un K ¸iu vector vect oria iall ¸si si W W 1 ¸si si W W 2 dou˘ a subspat ¸ii suplimentare: V = W 1 ⊕ W 2 . K -spat Un vector v ∈ V admite V admite o descompunere unic˘ a de forma v = w 1 + w + w2 , cu w1 ∈ W 1 ¸si si w2 ∈ W 2 . Aplicat ¸ia

pW : V 1

→ W 1,

pW (v ) = w 1 , 1

∀ v ∈ V

¸ia lui V pe W 1 , f˘ se nume¸ nu me¸ste st e proiect acut˘ a paralel cu W 2 . Analo Analogg se poate defini defini proiect ¸ia lui V pe W 2 , f˘ acut˘ a paralel cu W 1 .

Aplicat ¸ia sW : V 1

→ V, V ,

sW (v ) = w 1 1

− w2, ∀ v ∈ V

se nume nu me¸¸ste st e simetria lui lu i V V fat ¸˘ a de W W 1 , f˘ acut˘ a paralel cu W W 2. Analog se poate defini simetria lui V fat ¸a ˘ de W 2 , f˘ acut˘ a paralel cu W 1 . Proiect ¸iile ¸si si simetriile definite mai sus sunt aplicat ¸ii liniare.

• Fie E E O spat ¸iul vectorial ( 3-dim) al vectorilor legat ¸i ˆın O1 ¸si E O spat ¸iul vectorial si E ( 3-dim) al vectorilor legat ¸i ˆın O2 . Aplicat Aplicat ¸ia f : E O → E O , f ( f (O1 A1 ) = O 2 A2 , unde 1

2

1

2

vectorii O1 A1 ¸si si O2 A2 sunt echipolent ¸i, este un izomorfism de spat ¸ii vectoriale.

Propozit ¸ie. ¸ie. Fie F : V

¸ie liniar˘ a ˆıntre ın tre dou˘ do u˘ a spat ¸ii vectoriale. → W o W o aplicat ≺ V , a) Dac˘ a M ≺ V , atunci f ( f (M ) M ) ≺ W , W , unde f ( f (M ) M ) = {f ( f (v ), v ∈ V } mult ¸imea valorilor lui f . este mult f .

W , atunci f −1 (N ) N ) ≺ V , V , unde ≺ ≺ W , f −1 (N ) N ) = {v ∈ V, V , f ( f (v ) ∈ N }

b) Dac˘ Dac˘ a N

este preimaginea preimaginea lui N . N . imaginea aplicat¸iei Fie Im f = f ( f (V ) V ) imaginea aplicat ¸iei f f ¸si ker ke r f = f −1 (0W ) nucleul lui f . f . Aceste Acesteaa sunt subspat¸ii ¸ii ale lui W lui W ,, respectiv V respectiv V .. Propozit ¸ie. ¸ie. Fie f : V

¸ie liniar˘ a. Atunci: → W W o aplicat a) f f este injectiv˘ a dac˘ a ¸si si numai dac˘ a ker f = {0V }. b) f a dac˘ a ¸si si numai dac˘ a Im f = W . f este surjectiv˘ W .

{ }

c) f f este bijectiv˘ a dac˘ a ¸si si numai dac˘ a ker f = 0V ¸si si Im f = W . W . Propozit ¸ie. ¸ie. Fie f : V din V . V .

W o aplicat ¸ie liniar˘ a ¸si S = {vα , α ∈ J } un sistem de vectori → W

a) Dac˘ a f este f este injectiv˘ a ¸si S este S este liniar independent, atunci ¸si si f ( f (S ) este liniar independent. 22

b) Dac˘ a f este surjectiv˘ a ¸si S este sistem de generatori pentru V , atunci ¸si f (S ) este sistem de generatori pentru W . c) Dac˘ a f este bijectiv˘ a ¸si S este o baz˘ a pentru V , atunci f (S ) este o baz˘ a pentru W .

• Not˘am cu Hom(V, W ) mult¸imea aplicat¸iilor liniare de la V la W ¸si cu Izo(V, W ) mult¸imea izomorfismelor de la V la W .

În raport cu operat¸iile de adunare a funct¸iilor ¸si ˆınmult¸ire a acestora cu scalari, Hom(V, W ) are o structur˘a de K -spat¸iu vectorial. El este un subspat¸iu vectorial al lui W V .

• Not˘am End(V ) mult¸imea endomorfismelor unui K-spat¸iu vectorial V . Mult¸imea End(V ) este un K-spat¸iu vectorial ¸si admite o structur˘ a de inel cu unitate (relativ la compunerea funct¸iilor), ˆın consecint¸a˘, este o K -algebr˘ a asociativ˘ a cu unitate.

• Not˘am Aut(V ) mult¸imea automorfismelor unui K-spat¸iu vectorial V . Mult¸imea Aut(V ) admite o structur˘ a de grup ˆın raport cu operat¸ ia de compunere a funct¸iilor. Grupul automorfismelor unui K-spat¸iu vectorial V se mai nume¸ste ¸si grupul general liniar al lui V ¸si se noteaz˘a cu GL(V ). Proiectori Un endomorfism p : V p2 = p p.

→ V se nume¸ste proiector al spat¸iului V dac˘a p2

Propozit ¸ie. Dac˘ a p : V

→ V este un proiector, atunci

◦

a) Im p

= p, unde

⊕ ker p = V ;

− p este, ¸si el, un proiector. Dem: a) Fie v1 = p(v) ¸si v2 = v − v 1 . Evident v = v1 + v2 , v1 ∈ Im p ¸si p(v2 ) = p(v) − p(v1 ) = p(v) − p2 (v) = 0V , deci v 2 ∈ ker p. Rezult˘a c˘a Im p + ker p = V . Deoarece b) endomorfismul q = 1V

imaginea unui vector prin f este unic˘a, rezult˘a c˘a v1 este unic, la fel v2 , deci suma este direct˘ a. b) Se verific˘a direct.  Avem Im p = p(v), v V

{ ∈ } Im q = {v − p(v), v ∈ V } ker p = {v ∈ V, p(v) = 0 V } ker q = {v ∈ V, v − p(v) = 0 V }.

Vom ar˘ata c˘ a Im p = ker q ¸si Im q = ker p.

23

• Im p = ker q Fie w ∈ Im p ⇒ ∃v ∈ V cu w = p(v). Deoarece w − p(w) = v(v) − p 2 (v) = 0V , ⇒ w ∈ ker q , deci Im p ⊆ ker q . Fie v ∈ ker q ⇒ v = p(v) ∈ Im p ⇒ v ∈ Im p, deci ker q ⊆ Im p. • Im q = ker p Fie w ∈ Im q ⇒ ∃ v ∈ V cu w = v − p(v). Deoarece p(w) = p(v) − p2 (v) = 0V ⇒ w ∈ ker p, deci Im q ⊆ ker p. Fie v ∈ ker p ⇒ p(v) = 0V , deci v se poate scrie v = v − 0v = v − p(v) ⇒ v ∈ Im q , adic˘ a ker p ⊆ Im q . Deci spat¸iul V se descompune ca sum˘a direct˘a V = Im p

⊕ ker p

¸si V = ker q

⊕ Im q.

→

→

Aplicat¸ia p : V Im p este proiect¸ia lui V pe Im p, f˘acut˘a paralel cu ker p, iar q : V Im q este proiect¸ia lui V pe Im q , f˘acut˘ a paralel cu ker q . În general, dac˘a W 1 ¸si W 2 sunt dou˘a subspat¸ii suplimentare ale lui V , V = W 1 W 2 , iar p : V W 1 ¸si q : V W 2 sunt proiect¸iile lui V pe cei doi factori, avem p 2 = p, q 2 = q ¸si p + q = 1V . (desene)

→

⊕

→

Automorfisme involutive Un endomorfism s : V V este involutiv dac˘a s 2 = 1 V . Deci orice endomorfism involutiv este un automorfism. Pentru fiecare automorfism involutiv s, definim

→

ps : V

→ V,

1 ps (v) = (v + s(v)) 2

1 ps (v) = (v s(v)). 2 Aplicat¸iile p s ¸si q s sunt proiectori ¸si satisfac relat¸ia p s + q s = 1V . Deci, plecând de la un automorfism involutiv s, se pot construi doi proiectori p s ¸si q s , cu p s + q s = 1V . Plecâ nd de la un proiector p : V V , se poate construi automorfismul involutiv s p : V V , s p (v) = 2 p(v) v. De fapt, un automorfism involutiv s : V V nu este decât o simetrie a lui V fat¸a˘ de subspat¸iul Im p s , f˘acut˘ a paralel cu subspat¸iul ker ps . (desene p.48) q s : V

→

−

→ V,

−

→

→

24

Morfisme de spat¸ii finit dimensionale Presupunem acum c˘a morfismele sunt definite ˆıntre spat¸ii vectoriale de dimensiuni finite. Fie V un spat¸iu vectorial n-dimensional, W un spat¸iu vectorial m-dimensional ¸si fie f : V W un morfism.

→

• Morfismul f este unic determinat de valorile sale pe vectorii unei baze BV = {e1, . . . , en} a lui V .

Într-adev˘ ar, orice vector v

∈ admite o scriere unic˘a de forma n

v =



xi ei ,

i=1

adic˘ a

n

n

 

f (v) = f (

x i ei ) =

i=1

xi f (ei ).

i=1

Cunoscˆ and valorile f (ei ), i = 1, n, f este determinat ˆın mod unic.

• Dac˘a BW = {r1, . . . , rm} este o baz˘a a spat¸iului W , atunci orice vector de forma f (ei ) ∈ W , i = 1, n, se poate exprima ca o combinat¸ie liniar˘a de vectori din B W : m

f (ei ) =



a ji r j ,

i = 1, n.

(1.6)

j=1

Sistemul de scalari (a ji ) determinat ˆın (1.6) poart˘ a numele de coordonatele morfismului f ˆın bazele B V ¸si B W .

• Vom vedea cum se comport˘a morfismul f la o schimbare de baze.  = { e , . . . , e } o alt˘  = { r , . . . , r } o alt˘ Fie BV a baz˘ a a lui V ¸si BW a baz˘ a a lui W . n m 1 1 Formulele de schimbare de baze (ˆın V ¸si ˆın W ) sunt, respectiv n

ei =

 

p ji e j ,



i = 1, n, det( p ji ) = 0,

j=1

(1.7)

(1.8)

m

r j

=

q kj rk ,



j = 1, m, det(q kj ) = 0.

k=1

T ¸ inând seama de (1.6) ¸si (1.7), avem n

f (ei )



= f (

p ji e j ) =

j=1

n



p ji f (e j ) =

j=1

n

m

  p ji (

j=1

k=1

25

m

akj rk ) =

n

 (

p ji akj )rk

i = 1, n.

k=1 j=1

(1.9)

Pe de alt˘a parte, f (ei ) este un vector din W , deci se scrie ca o combinat¸ie liniar˘a de  , vectori din B W m

f (ei )

=



  a ji r j ,

j=1

 ) sunt coordonatele lui f ˆın bazele B  ¸  unde (a ji V si B W . Folosind (1.8), vom avea m

f (ei )

=

m

m

     a ji r j

 a ji (

=

j=1

j=1

m

q kj rk ) =

m

 (

 a ji q kj )rk

i = 1, n.

(1.10)

k=1 j=1

k=1

Identificˆ and coeficient¸ii vectorilor rk ˆın (1.9) ¸si (1.10) (BW este o baz˘a a lui W , deci vectorii s˘ai sunt liniar independent¸i), obt¸inem formulele de schimbare de coordonate ale unui morfism la schimbarea bazelor : n

m



p ji akj =

j=1



 a ji q kj

i = 1, n,

k = 1, m.

(1.11)

j=1

• Dac˘a v ∈ V are coordonatele v = (x1, . . . , xn), w = f (v) ∈ W are coordonatele w = (y1 , . . . , ym ), iar matricea morfismului f : V → W ˆın bazele BV ¸si BW este

A = (aij ) dat˘ a prin formulele (1.6), atunci, identificˆ andu-l pe v cu matricea coloan˘a x1 y1 . .. .. X = ¸si pe w cu Y = , relat¸ia w = f (v) are o scriere matriceal˘a . xn yn

   

   

Y = AX,

(1.12)

iar coordonatele lui f (v) sunt date prin n

y j =



a ji xi ,

j = 1, n.

(1.13)

i=1

 , Y ¸ Dac˘ a X ¸si X  sunt matricele lui v ˆın bazele BV respectiv BV si Y  matricele lui  , P = ( p ) ¸ f (v) ˆın bazele BW respectiv BW ij si Q = (q jk ) sunt matricele de schimbare de baze definite prin (1.7) ¸si (1.8), avem

X = P X 

¸si

Y = QY  .

Ecuat¸ia matriceala (1.12) devine QY  = AP X  adic˘ a Y  = (Q−1 AP )X  .

(1.14)

Rezult˘ a c˘a, atunci când schimb˘am bazele ˆın V ¸si W , matricele asociate morfismului f se schimb˘a dup˘ a legea A = Q −1 AP. 26

Exprimˆ and elementele lui A  ˆın relat¸ia matriceal˘a anterioar˘ a, obt¸inem m

aiα =

n



q˜ ij a jk pkα

i = 1, n α = 1, m,

j=1 k=1

unde (˜ q ij ) = Q −1 .

• Dac˘a V este un spat¸iu vectorial n-dimensional ¸si B

{

}

= e1 , . . . , en o baz˘a a sa, atunci coordonatele lui f ˆın baza B sunt date de sistemul de scalari (a ji ), unde f (ei ) =

n



j=1

a ji e j . Matricea lui f ˆın baza B este A = (aij ). Dac˘ a schimb˘am baza

ˆın V , iar matricea schimb˘arii de baze este P , atunci A  = P −1 AP . Teorem˘ a 1.7.1. Fie V un spat ¸iu vectorial n-dimensional, W un spat ¸iu vectorial mdimensional ¸si f : V W un morfism. Atunci

→

dim Im f + dim ker f = dim V.

{

}

Dem: Fie d = dimker f ¸si r = dim Im f . Fie B d = e1 , . . . , ed o baz˘a a lui ker f . Ea poate fi completat˘a pˆ an˘a la o baz˘a B = e1 , . . . , ed , ed+1 , . . . , en a lui V . Dac˘ a v = x 1 e1 + . . . + xn en este un vector arbitrar din V , atunci f (v) = x 1 f (e1 ) + . . . + xn f (en ), adic˘a sistemul f (e1 ), . . . , f ( en ) este un sistem de generatori pentru Im f . Dar e1 , . . . , ed ker f , adic˘a f (e1 ) = . . . = f (ed ) = 0. Rezult˘a c˘a sistemul f (ed+1), . . . , f ( en ) este sistem de generatori pentru Im f . Ar˘at˘ am c˘a sistemul f (ed+1), . . . , f ( en ) este liniar independent. Fie

∈

{

{

{ }

}

{

}

}

λd+1 f (ed+1 ) + . . . + λn f (en ) = 0. Atunci f (λd+1f (ed+1 ) + . . . + λn f (en )) = 0W , deci λd+1 f (ed+1 ) + . . . + λn f (en ) ker f.

∈

Dar ker f este generat de baza sa B d , care nu cont¸ine vectorii e d+1 , . . . , en . Rezult˘a c˘a λd+1 = . . . = λ n = 0. În consecint¸a˘, sistemul f (ed+1 ), . . . , f ( en ) este o baz˘a pentru Im f , adic˘a dim Im f = n d. 

{

}

− • Dimensiunea subspat¸iului Im f ⊂ W se nume¸ste rangul morfismului f . • Dimensiunea subspat¸iului ker f ⊂ V se nume¸ste defectul morfismului f . • Teorema 1.7.1 afirm˘a c˘a rang f + def f = n. • Rangul unei aplicat¸ii liniare nu poate dep˘as¸i dimensiunea nici unuia dintre spat¸iile V ¸si W ; rang f ≤ min {n, m}. 27

• rang f = m ≤ n ⇐⇒ f este surjectiv˘a (deoarece dim Im f = dim V , deci Im f = V ). • rang f = n ≤ m ⇐⇒ f este injectiv˘a (deoarece dim ker f = 0, deci ker f = {0V }). • rang f = n = m ⇐⇒ f este bijectiv˘a. Dou˘ a spat¸ii vectoriale sunt izomorfe dac˘ a ¸si numai dac˘ a au aceea¸si dimensiune. Propozit ¸ie. Fie V un spat ¸iu vectorial n-dimensional, W un spat ¸iu vectorial m-dimensional ¸si f : V W un morfism, fie BV = e1 , . . . , en o baz˘ a a lui V ¸si BW = r1 , . . . , rm o baz˘ a a lui W . Atunci rang f = rang A,

→

{

}

{

}

unde A = (aij ) este matricea lui f ˆın bazele BV ¸si BW . Dem: Avem rang f = dim Im f = n lui f . Fie v =

n



i=1

xi ei

− dim ker f . Vom calcula dimensiunea nucleului

∈ ker f =⇒ f (v) = 0W =⇒

f (ei ), obt¸inem

n

f (v) =

m

 xi

i=1

n

   ⇒  i=1

xi f (ei ) = 0W . Înlocuind expresiile lui

m

a ji r j = 0W =

j=1

n

(

xi a ji )r j = 0 W

j=1 i=1

¸si, deoarece vectorii r j sunt liniar independent¸i, rezult˘a c˘a

∈ − −

n

i=1

xi a ji = 0. Deci componentele

(x1 , . . . , xn ) ale unui vector v ker f sunt solut¸iile unui sistem de ecuat¸ii liniare ¸si omogene, adic˘ a determin˘a un spat¸iu vectorial de dimensiune n rang A. Rezult˘a c˘a dim ker f = n rang A ¸si, deci, rang f = n (n rang A) = rang A.  Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt imediate:

−

−

• Rangul aplicat¸iei produs nu poate dep˘as¸i rangul nici uneia dintre aplicat¸iile factor rang(f ◦ g) ≤ min { rang f, rang g}. • Rangul unei aplicat¸ii este invariant la compunerea cu izomorfisme f izomorfism =⇒ rang(f ◦ g) = rang(g ◦ f ) = rang g. • Dac˘a A este matricea asociat˘a morfismului f : V → W ˆın bazele BV ¸si BW , iar B este matricea asociat˘a morfismului g : W → U ˆın bazele B W ¸si B U , atunci matricea asociat˘a prodului g ◦ f : V → U , ˆın bazele B V ¸si B U este B A. • Rangul matricei asociate unui morfism f : V → W nu depinde de alegerea bazelor

ˆın spat¸iile vectoriale V ¸si W . Într-adev˘ ar, la schimbarea bazelor, matricea lui f se  −1 schimb˘a dup˘ a formula A = Q AP , unde Q ¸si P sunt matrici p˘atratice nesingulare.  Deci rang A = rang A. 28

• Dac˘a f ∈ End (V ) (V finit dimensional), atunci, din A

= P −1 AP , vom avea det A = det A, deci determinantul matricei asociate unui endomorfism f este invariant la o schimbare de baz˘ a ˆın V . Num˘arul det A (invariant) se nume¸ste determinantul endomorfismului f ¸si se noteaz˘a det f .

Teorem˘ a 1.7.2. a) Fie V ¸si W dou˘ a spat ¸ii vectoriale finit dimensionale ¸si fie BV ¸si BW cˆ ate o baz˘ a fixat˘ a ˆın fiecare din cele dou˘ a spat ¸ii. Corespondent ¸a

−→ Mm,n(K), f −→ A,

Hom(V, W )

unde A este matricea lui f ˆın bazele B V ¸si B W , este un izomorfism de spat ¸ii vecˆ toriale. In consecint ¸˘ a, spat ¸iul Hom (V, W ) este finit dimensional ¸si are dimensiunea mn. b) Corespondent ¸a

−→ Mn(K), f −→ A,

End(V )

este un izomorfism de algebre . c) Corespondent ¸a

−→ GL(n, K), f −→ A,

GL(V)

este un izomorfism de grupuri .

1.8

Subspat ¸ii invariante. Vectori proprii. Valori proprii

≺ V este invariant ˆın raport cu un operator f ∈ End (V ) dac˘a f (W ) ⊆

Un subspat¸iu W W .

•

{ }

Exemple. Subspat ¸iile triviale 0V ¸si V ale spat ¸iului V sunt invariante fat ¸˘ a de orice endomorfism.

• Orice dreapt˘ a vectorial˘ a < v >∈ V , v ∈ V ∗, este invariant˘ a ˆın raport cu omotetia hρ : V → V , hρ (w) = ρw. ˆ Intr-adev˘ ar, dac˘ a λv ∈< v >, atunci hρ (λv) = ρ(λv) = (ρλ)v ∈< v >. • Fie p ∈ End (V ) un proiector, p2 = p. Am v˘ azut c˘ a V = Im p ⊕ ker p. Spat ¸iile Im p ¸si ker p sunt invariante ˆın raport cu p. ˆ Intr-adev˘ ar,

∈ Im p =⇒ ∃v ∈ V, p(v) = w =⇒ p(w) = p( p(v)) = p(v) ∈ Im p =⇒ p( Im p) ⊂ Im p, v ∈ ker p =⇒ p(v) = 0 V =⇒ p( p(v)) = p(0V ) = 0 V =⇒ p(v) ∈ ker p =⇒ p(ker p) ⊂ ker p. w

29

• Fie s ∈ End (V ) un operator involutiv, s 2 = 1 V . Fie W 1 = Im (1 V + s) ¸si W 2 = Im (1V − s) dou˘ a subspat ¸ii ale lui V . ˆ In raport cu s, W 1 ¸si W 2 sunt subspat ¸ii invariante. ˆ Intr-adev˘ ar,

∈ W 1 ⇒ ∃v1 ∈ V, w1 = v1+s(v1) ⇒ s(w1) = s(v1+s(v1)) = s(v1)+s2(v1) = s(v1)+v1 = w1 ∈ W 1 ⇒ ⇒ s(W 1) ⊂ W 1, w2 ∈ W 2 ⇒ ∃v2 ∈ V, w2 = v 2 −s(v2 ) ⇒ s(w2 ) = s(v2 −s(v2 )) = s(v2 )−s2 (v2 ) = s(v2 )−v2 = −w2 ∈ W 2 ⇒ ⇒ s(W 2) ⊂ W 2. Fie V un K-spat¸iu vectorial ¸si f ∈ End (f ). Se nume¸ste vector propriu al lui f un vector v ∈ V , v  = 0 V , pentru care exist˘a un scalar λ ∈ K, astfel ˆıncât w1

f (v) = λv.



Scalarul λ asociat vectorului propriu v = 0 V se nume¸ste valoare proprie a endomorfismului f . Propozit ¸ie 1.8.1. Fie λ K o valoare proprie a endomorfismului f : V V . Mult ¸imea (λ) V , a tuturor vectorilor proprii asociat ¸i lui λ, este un subspat ¸iu vectorial al lui V .

∈

Dem: V (λ) = v adev˘ ar,

→

{ ∈ V, f (v) = λv}.

Mult¸imea V (λ) coincide cu ker(f

− λ1V ).

Într-

∈ ker(f − λ1V ) ⇐⇒ (f − λ1V )(v) = 0V ⇐⇒ f (v) = λv ⇐⇒ v ∈ V (λ).

v Deci

V (λ) = ker(f

− λ1V ),

iar acesta din urm˘a este un subspat¸iu al lui V .  Spat¸iul V (λ) se nume¸ste spat ¸iul propriu al endomorfismului f , corespunz˘ator valorii proprii λ.

{ } → { } {

Propozit ¸ie 1.8.2. Dac˘ a λ1 , . . . , λ p sunt valori proprii distincte dou˘ a cˆ ate dou˘ a , ale endomorfismului f : V V ¸si v1 , . . . , v p sunt, respectiv, vectori proprii corespunz˘ atori acestor valori proprii, atunci sistemul v1 , . . . , v p este liniar independent.

}

Dem: Vom demonstra prin induct¸ie dup˘a p. Dac˘ a p = 1, avem o valoare proprie λ , c˘areia i se asociaz˘a un vector propriu v V , ˆın mod necesar nenul, v = 0 V . Presupunem acum c˘a sistemul de vectori proprii v1 , . . . , v p−1 , asociat sistemului de valori proprii distincte dou˘a câte dou˘ a, λ1 , . . . , λ p−1 , este liniar independent. Fie λ p o alt˘ a valoare proprie a lui f , distinct˘a de celelate p 1 ¸si fie v p un vector propriu asociat lui λ p . Presupunem, prin absurd, ca vectorul v p este liniar dependent de vectorii din v1 , . . . , v p−1 . Rezult˘a c˘a exist˘a scalarii α 1 . . . , α p−1 , nu tot¸i nuli, astfel ˆıncât



{ }

∈

{ } −

{

{

}

v p = α 1 v1 + . . . + α p−1 v p−1 . 30

}

Multiplicˆ and and cu λ cu λ p , obt¸inem ¸inem λ p v p = λ = λ p α1 v1 + . . . + λ p α p− p−1 v p− p−1 .

(1.15)

Pe de alt˘a parte f ( f (v p ) = f ( f (α1 v1 + . . . + α p− f (v1 ) + . . . + α p− f (v p− p−1 v p− p−1 ) = α 1 f ( p−1 f ( p−1 ), deci λ p v p = α = α 1 λ1 v1 + . . . + α p− p−1 λ p− p−1 v p− p−1 .

(1.16)

Sc˘azˆ azˆ and and relat¸iile ¸iile (1.15) (1.15 ) ¸si si (1.16), (1.16 ), obt¸inem ¸inem 0V = α 1 (λ1

{

− λ p)v1 + . . . + α p− p−1 (λ p− p−1 − λ p )v p− p−1 .

}

Dar sistemul v1 , . . . , v p− ¸ia de mai sus este echivalent˘a ¸ia p−1 este liniar independent, deci relat cu λ1 = . = . . . = λ = λ p− = λ p , p−1 = λ contradict¸ie ¸ie cu faptul c˘a valorile proprii sunt alese distincte dou˘a câte ate dou˘ a. a.



Corolar. Un endomorfism al unui spat ¸iu vectorial de dimensiune n are cel mult n valori proprii distincte.

→

Teorem Teor em˘ ˘ a 1.8 1 .8.3 .3.. Fie V V un spat ¸iu vectorial de dimensiune n, n , B o baz˘ a a lui V , V , f : V V un endomorfism al lui V ¸si si A = (aij ) matricea asociat˘ a lui f ˆ ˆın baza baza B . Valorile alorile proprii proprii ale endomorfismului f f sunt r˘ ad˘ acinile ecuat ¸iei polinomiale

− λI n) = 0.0 . Dem: Fie λ Fie λ ∈ K o valoare proprie a lui f ¸si v si v ∈ V , V , v  = 0V , un vector propriu asociat det(A det(A

acesteia, f ( f (v ) = λv. λv . Pres Presup upun unem em c˘ a, a, ˆın baza baz a B , componentele lui v sunt (x (x1 , . . . , xn ), iar cele ale lui f ( f (v ) sunt (y (y1 , . . . , yn ) ¸si si identifi ide ntific˘ c˘am a m pe v pe v ¸si pe f ( f (v ) respectiv, cu matricele coloan˘ a X ¸si Y si Y .. Relat¸ia ¸ia f ( f (v ) = λv se scrie, matriceal, AX = λX, deci (A

− λI n)X = 0 ∈ Mn,1 n,1 (K).

Scriind Scriind pe componente componente egalitatea egalitatea matriceal˘ matriceal˘ a de mai sus, obt¸inem ¸inem n



j=1 j =1

− λδ ji )x j = 0

(aij

i = 1, n

(1.17)

deci un sistem de ecuat¸ii ¸ii linia li niare re ¸si si omoge om ogene ne ˆın necuno ne cunoscut scutele ele x xi , i = i = 1, n, sistem care trebuie s˘ a admit˘ a solut¸ii ¸ii diferite de cea banal˘a. a. Rezult˘a c˘a determinantul matricei asociate acestui sistem trebuie s˘a fie nul. Dar matricea asociat˘a este chiar A chiar A λI n , deci det(A det(A λI n ) = 0.

−



31

−

• det(A det(A − λI n ) este un polinom p olinom de gradul n gradul n ˆın nedeter ned etermina minata ta λ λ.. Ordonat dup˘a puterile lui λ lui λ,, el va avea forma

P ( P (λ) = ( 1)n (λn unde δ n−1 = a = a 11 + . . . + ann =





−

n



i=1

a11 a12 δ n−2 = + . . . + a21 a22 diagonali de ordinul 2.

− δ n−1λn−1 + . . . ± δ 0),

aii = tr A tr A,urma ,urma matricei A matricei A..



an−1n−1 an−1n ann− ann nn−1

··· δ n−k = suma minorilor diagonali de ordinul k . ···



=

 

n−1 i=1



aii aii+1 ii+1 , suma minorilor ai+1i +1i ai+1i +1i+1

δ 0 = det A.

• Dac˘a λ este λ este o valoare proprie a endomorfismului f endomorfismului f ,, atunci sistemul (1.17) determin˘a − λ1V , deci chiar subspat¸iul nucleul endomorfismului f endomorfismului f − ¸iul propriu asociat lui λ. λ . • Dac˘a rangul operatorului f operatorului f − λ1V este r este r,, atunci dimensiunea nucleului s˘au au este n este n − r, deci dimensiunea subspat¸iului ¸iului propriu asociat valorii proprii λ este n este n − r . Teorem˘ Teore m˘ a 1.8. 1. 8.4. 4. Polinomul P ( P (λ) = det(A det(A − λI n ) este invaria invariant nt la schimb schimb˘ ˘ arile arile de baz˘ a din V . V .

Dem: Fie P P matricea unei schimb˘ari ari de baze baz e ˆın V ¸si si A matricea lui f ˆ ˆın noua nou a baz˘ baz a. a˘. Avem det(A det(A λI n) = det(P det(P −1 AP λI n ) = det(P det(P −1 (A λI n )P ) P ) = det P −1 det(A det(A λI n )det P = P = det(A det( A λI n ).

−

−

−

−

−

Polinomul P ( P (λ) se nume¸ num e¸ste ste polinomul caracteristic al al operatorului f . f . R˘ad˘ ad˘ acinile acinile sale se numesc r˘ ad˘ acini caracteristice , iar sistemul de scalari λ1 , . . . , λn este este spectrul operatorului f , f , Spec f = λ1 , . . . , λn .

{

{

}

}

{

}

Teorem˘ Teore m˘ a 1.8. 1. 8.5. 5. Fie V V un spat ¸iu vectorial de dimensiune n, B = e1 , . . . , en o baz˘ a a sa, f : V V un endomo end omorfism rfism ¸si A si A matricea lui f ˆ ˆın baza baza B . Vectorii lui B sunt vectori proprii ai lui f f dac˘ a ¸si si numai dac˘ a matricea A este matricea diagonal˘ a

→

unde λ1 , . . . , λn = Spec f . f .

{ {

⇒

}

 

λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 . .. . .. . .. . .. 0 0 . .. . . λn

 

,

Dem: ”= ” Dac˘ a B este alc˘atuit˘ atuit˘a din vectori proprii, exist˘a scalarii λ1 , . . . , λn pentru care f ( f (ei ) = λ i ei i = 1, n, deci matricea A matricea A are chiar forma diagonal˘a din teorem˘a. a. ” =” Dac˘a A are forma dat˘a ˆın baza baz a B , deoarece f ( f (v ) = Av Av,, v f ( f (ei ) = λ i ei , i = 1, n ¸si, si, deci, dec i, tot¸i ¸i vectorii bazei B sunt vectori proprii. 

∈ K,

V , rezult˘a c˘a ∀ ∈ V ,

⇐

32

1.9 1.9

Forme orme lini liniar are e pe un

¸iu vectorial K-spat¸iu

Fie V Fie V un K -spat¸iu ¸iu vectorial. O aplicat¸ie f ¸ie f : V

→ K, care satisface condit¸ia ¸ia f ( f (λv + λv + µw) µw) = λf ( λf (v ) + µf ( µf (w) ∀ λ, µ ∈ K, ∀ v, w ∈ V

se nume¸ num e¸ste st e form˘ a liniar˘ a pe V V (sau funct (sau funct ¸ional˘ a liniar˘ a pe V pe V ). ). Exemple. Aplicat ¸ia constant˘ a f : V f (v ) = 0 K, f ( liniar˘ a pe V pe V .. Ea poart˘ a numele de forma nul˘ a pe V . V .

•

∈ K, ∀ v ∈ V , V , este o form˘ a

→

• Aplicat ¸ia f ¸ia f : Kn → K, dat˘ a prin f ( f (x1 , . . . , xn ) = a 1 x1 + . . . + an xn ,

∈ K, este o form˘ a liniar˘ a pe Kn.

unde a1 , . . . , an

• Pe R-spat ¸iul polinoamelor reale de grad cel mult n, aplicat ¸iile I ¸si si D, definite mai jos, sunt forme liniare.

1

I : R[X ]

D : R[X ] Not˘am am

cu V cu V ∗

→ R,

→ R,

  

I (P ) P ) =

∀ P ∈ ∈ R[X ],

P ( P (x)dx,

0

D (P ) P ) =

dP ( dP (x) dx

∀ P ∈ ∈ R[X ].

,

x=0

mult¸imea ¸imea formelor liniare pe K -spat¸iul ¸iul vectorial V vectorial V .. V ∗ = f : V

{

→ K, f f form˘a liniar˘a}.

În raport cu adunarea funct¸iilo ¸ii lorr ¸si si ˆınmul ın mult¸irea ¸t irea acestora cu scalari, V ∗ este un K-spat¸iu ¸iu ∗ vectorial. Spat¸iul V ¸iul V se nume¸ nume¸ste st e spat ¸iul dual al dual al lui V lui V .. Forme liniare pe un spat¸iu ¸iu vectorial finit Dac˘ a spat¸iul ¸iul vectorial V vectorial V este finit dimensional, dimensional, de dimenisune n dimenisune n,, atunci ¸si si dualul s˘au au este finit dimensional ¸si si are tot dimensiunea n dimensiunea n (ˆ (ˆın general gen eral,, Hom Hom((V n , W m ) M mn (K)). Fie B Fie B = e1 , . . . , en o baz˘a a lui V lui V .. Orice vector v vector v

{

}

Atunci

n

V se scrie sub forma v = v = ∈ V se

n

 

f ( f (v ) = f ( f (



xi ei ) =

i=1

n

xi f ( f (ei ) =

i=1



n



i=1

x i ei .

ai xi ,

i=1

unde am notat a notat a i = f = f ((ei ). Sistemul de scalari (a ( a1 , . . . , an ) poart˘ a numele de coordonatele de coordonatele formei f ˆ ˆın baza ba za B . Pornind de la baza B baza B a lui V lui V ,, se poate construi o baz˘a ˆın B ∗ . Definim aplicat¸iile ¸iile ei : V

→ K,

ei (v ) = x i ,

unde v unde v = (x1 , . . . , xn ) sunt componentele vectorului v vectorului v 33

i = 1, n

∈ V ˆ V ˆın baza ba za V . V .

• Este imediat faptul c˘a aceste aplicat¸ii sunt forme liniare pe V . • Sistemul {e1, . . . , en} este un sistem de generatori pentru V ∗. Într-adev˘ ar, pentru orice form˘a f ∈ V ∗ , n

n

 

f (v) = f (

x i ei ) =

i=1

deci f =

n



i=1

n

xi f (ei ) =

i=1

n

  ai xi =

i=1

ai ei (v),

i=1

ai e i .

• Sistemul {e1, . . . , en} este liniar independent.

Într-adev˘ ar, n



n

i

λi e = 0

i=1

∈ V

∗

 ⇒  ⇒

= (

n

i

λi e )(v) = 0

i=1

 ⇒

∈ K, ∀ v ∈ V =

λi (ei (v)) = 0,

i=1

∀ v ∈ V =⇒

n

=

λi xi = 0,

i=1

∀ xi ∈ K =⇒ λi = 0, ∀ i = 1, n.

Deci, sistemul de forme B ∗ = e1 , . . . , en este o baz˘a a spat¸iului dual V ∗ , numit˘a baza dual˘ a a lui B . Un vector e i din B ∗ verific˘a e i (e j ) = δ ji . Vom studia acum comportarea bazei duale ¸si a coordonatelor unei forme f V ∗ la o schimbare de baze ˆın V . Fie B = e1 , . . . , en ¸si B  = e1 , . . . , en dou˘a baze ale lui V . Trecerea de la B la B  se face dup˘a formulele

{

}

{

}

{

∈

}

n



ei =

p ji e j ,



i = 1, n det( p ji ) = 0.

j=1

Dac˘ a, ˆın cele dou˘a baze, coordonatele lui v  (x1 , . . . , xn ), avem

∈ V sunt, respectiv v = (x1, . . . , xn) ¸si v =

n

xi =



pij x j ,

i = 1, n, det( pij ) = 0.



j=1

Atunci

n

i

e (v) = x i = adic˘ a

n

 

pij x j j=1

pij e j (v), i = 1, n

=

j=1

n

i

e =

 

pij e j ,



i = 1, n det( pij ) = 0,

j=1

iar

n

ai = f (ei )

= f (

p ji e j ) =

j=1

n



p ji f (e j ) =

j=1

34

n



p ji a j , i = 1, n,

j=1

(1.18)

deci

n

ai =



p ji a j ,



i = 1, n det( pij ) = 0.

j=1

V ∗

(1.19)

Vectorii lui V se numesc vectori contravariant ¸i (sau, simplu, vectori), iar vectorii lui se numesc vectori covariant ¸i sau covectori .

⊂

Teorem˘ a 1.9.1. O submult ¸ime H V a unui spat ¸iu vectorial V ( finit sau infinit dimensional ) este un hiperplan al lui V dac˘ a ¸si numai dac˘ a H este nucleul unei forme liniare, nenule, pe V. Dem: Fie H un hiperplan al lui V . Înseamn˘ a c˘ a H este un subspat¸iu suplimentar unei drepte vectoriale, deci exist˘a a V H , astfel ˆıncât

∈ \

V = H < a > .

⊕

Orice vector v

∈ V admite o scriere unic˘a de forma v = h + λ(v)a, h ∈ H, λ(v) ∈ K.

Putem defini aplicat¸ia λ : V

→ K, v −→ λ(v),

unde λ(v) este scalarul din scrierea unic˘a de mai sus.

• λ este nenul˘a (altfel, V = H , fals). • λ este un morfism. Într-adev˘ ar, oricare doi vectori v 1 , v 2 ∈ V admit, respectiv, o scriere unic˘a de forma v1 = h 1 + λ(v1 )a v2 = h 2 + λ(v2 )a, h1 , h2 ∈ H. Pe de alt˘a parte, vectorul v 1 + v2 ∈ admite o scriere unic˘a de forma v1 + v2 = h + λ(v1 + v2 ), h ∈ H. Rezult˘ a, ˆın mod necesar, c˘a λ(v1 ) + λ(v2 ) = λ(v1 + v2 ). Analog, λ(αv1 ) = αλ(v1 ).

• H = ker λ. Dac˘ a v ∈ H =⇒ v = v + 0.a =⇒ λ(v) = 0 =⇒ v ∈ ker λ =⇒ H ⊂ ker λ. Dac˘ a v ∈ ker λ =⇒ v = h + λ(v)a = h + 0a = h ∈ H =⇒ ker λ ⊂ H . Deci orice hiperplan este nucleul unei forme liniare nenule pe V . Reciproc, fie f ∈ V ∗ o form˘ a liniar˘a pe V , nenul˘a ¸si fie H = ker f . Vom ar˘ata c˘ a H este un hiperplan. Deoarece f este nenul˘a, exist˘a v 0 ∈ V , astfel ˆıncât f (v0 )  = 0. • V = ker f + < v0 >. 35

⊂ −

Evident ker f + < v0 > V . Fie v V ¸si fie w = v λ(w)v0

∈

∈ V , unde λ(w) = (f (v0))−1f (v) ∈ K. Avem f (w) = f (v) − λ(w)f (v0 ) = 0,

∈ ker f . Exprimându-l pe v , obt¸inem v = w + λ(w)v0 ∈ ker f + < v0 >, deci V ⊂ ker f + < v0 >. • V = ker f ⊕ < v0 >. Deoarece, pentru un v ∈ V , vectorul w este, din modul de definire, unic determinat, suma deci w

va fi direct˘a. Rezult˘ a c˘a ker f are o dreapt˘a ca spat¸iu suplimentar, deci este un hiperplan.  Dac˘ a spat¸iul V este finit dimensional, de dimensiune n, iar B = e1 . . . , en este o baz˘ a a lui V , aceasta induce o baz˘a dual˘ a B ∗ = e1 , . . . , en ˆın V ∗ . Orice form˘ a liniar˘a f

V ∗ se scrie sub forma f =

∈

{

n



i=1

{

}

}

ai ei , unde scalarii ai , i = 1, n nu sunt tot¸i nuli,

ei : V K, e i (v) = x i , v = (x1 , . . . , xn ) V . Am v˘azut c˘a un hiperplan este nucleul unei forme nenule. Atunci

→

∈

n

{ ∈ V, f (v) = 0 } = {v ∈ V, (

ker f = v



ai ei )(v) = 0 = v = (x1 , . . . , xn ) V, a1 x1 +. . .+an xn = 0 ,

} {

i=1

∈

}

deci un hiperplan al unui spat¸iu n-dimensional este mult¸imea vectorilor v V ale c˘ aror coordonate, ˆıntr-o baz˘ a oarecare, verific˘ a ecuat¸ia liniar˘ a ¸si omogen˘ a

∈

a1 x1 + . . . an xn = 0, rang(a1 , . . . , an ) = 1. Teorem˘ a 1.9.2. Dou˘ a forme liniare, nenule, pe un spat ¸iu vectorial V ( finit sau infinit dimensional ) au acela¸si nucleu dac˘ a ¸si numai dac˘ a sunt liniar dependente. Dem: ”= ” Fie f 1 , f 2 : V K dou˘a forme nenule pe V , astfel ˆıncât H = ker f 1 = ker f 2 . Nucleul oric˘arei forme nenule este un hiperplan, deci exist˘a v 0 V H astfel ˆıncˆ at

⇒

→

∈ \

V = H < v0 > .

⊕

Fie v

∈ V . Rezult˘a c˘a

∈

v = h + αv0 , h H, α

∈ K,

deci f 1 (v) = f 1 (h) + αf 1 (v0 ) = αf 1 (v0 ), f 2 (v) = f 2 (h) + αf 2 (v0 ) = αf 2 (v0 ).

−

Notˆ and a = f 1 (v0 ) ¸si b = f 2 (v0 ), din relat¸iile de mai sus rezult˘a c˘a (bf 1 af 2 )(v) = 0, deci f 1 ¸si f 2 sunt liniar dependente. ” =” Dac˘a f 2 = αf 1 , este imediat faptul c˘a cele dou˘a aplicat¸ii au acela¸si nucleu. 

⇐

36

• Dac˘a V este un spat¸iu vectorial finit dimensional de dimensiune n, ecuat¸iile a1 x1 + . . . an xn = 0, rang(a1 , . . . , an ) = 1 ¸si b1 x1 + . . . bn xn = 0, rang(b1 , . . . , bn ) = 1 reprezint˘ a acela¸si hiperplan vectorial dac˘a ¸si numai dac˘ a rang

1.10



a1 . . . an b1 . . . bn



= 1.

Forme biliniare

Fie V un K-spat¸iu vectorial. O aplicat¸ie g : V V K, liniar˘a ˆın raport cu fiecare argument, se nume¸ste form˘ a biliniar˘ a pe V . Deci, o form˘a biliniar˘ a verific˘a

× →

g(λ1 v1 + λ2 v2 , w) = λ 1 g(v1 , w) + λ2 g(v2 , w), g(v, λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ 1 g(v, w1 ) + λ2 g(v, w2 ),

∀ λ1, λ2 ∈ K, ∀ v1, v2, w ∈ V, ∀ λ1, λ2 ∈ K, ∀ v, w1, w2 ∈ V.

Rezult˘ a imediat c˘a

−

−

−g(v, w), ∀ v, w ∈ V, g(v, 0V ) = g(0, vV ) = 0 V , ∀ v ∈ V. • Aplicat ¸ia g : Kn × Kn → K, dat˘ aprin g( v, w) = g(v, w) =

Exemple.

g(x, y) = x 1 y1 + . . . xn yn , este o form˘ a biliniar˘ a pe Kn .

• Aplicat ¸ia constant˘ a nul˘ a, G : V × V → K, g(x, y) = 0 ∈ K este o form˘ a biliniar˘ a pe V .

• Fie f 1 ¸si f 2 dou˘ a forme liniare pe V . Definim produsul tensorial al formelor f 1 ¸si f 2 ca fiind aplicat ¸ia f 1 ⊗ f 2 : V × V → K, (f 1 ⊗ f 2 )(v1 , v2 ) = f 1 (v1 )f 2 (v2 ), ∀ (v1 , v2 ) ∈ V × V. Aceasta este o form˘ a biliniar˘ a pe V . Not˘am prin L(V V ; K) mult¸imea formelor biliniare pe V . Se verific˘a u¸sor c˘a adunarea ¸si ˆınmult¸irea cu scalari, definite ˆın mod obi¸snuit, sunt operat¸ii interne ˆın L (V V ; K). Mai mult, ˆın raport cu aceste operat¸ii, L(V V ; K) are o structur˘a de K -spat¸iu vectorial. Vom construi un izomorfism ˆıntre L(V V ; K) ¸si spat¸iul Hom (V, V ∗ ). Fie g L (V V ; K), g : V V K.

×

×

×

× × → 37

∈

×

• Pentru un vector v ∈ V , definim aplicat¸ia gv : V → K, gv (w) = g(v, w), ∀ w ∈ W. Se verific˘a imediat c˘a

∈ V ∗. Într-adev˘ ar, g v (λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ 1 g(w1 ) + λ2 w2 , ∀ λ1 , λ2 ∈ K,∀ w1 , w2 ∈ V . • Aplicat¸ia F : L(V × V ; K) → Hom (V, V ∗), definit˘a mai jos, este un izomorfism de gv

spat¸ii vectoriale.

× V ; K) → Hom(V, V ∗), g −→ F (g),

F : L (V

unde F (g) : V

→ V ∗,

F (g)(v) = g v

∈ V ∗,

iar g v : V K este definit˘a prin g v (w) = g(v, w). Într-adev˘ ar, F este un morfism :

→

⇔ ∀ v ∈ V, F (λ1g1+λ2g2)(v) = λ1F (g1)(v)+λ2F (g2)(v) ⇔ ⇔ ∀ v ∈ V, (λ1g1+λ2g2)v = λ1(g1)v +λ2(g2)v ⇔ ∀ v, w ∈ V, (λ1g1+λ2g2)v (w) = λ1(g1)v (w)+λ2(g2)v (w) ⇔ ⇔ ∀ v, w ∈ V, (λ1g1 + λ2g2)(v, w) = λ1(g1)(v, w) + λ2(g2)(v, (w). F (λ1 g1 +λ2 g2 ) = λ 1 F (g1 )+λ2 F (g2 )

F este injectiv˘ a :

⇔ ∀ v ∈ V, F (g1)(v) = F (g2)(v) ⇔ ∀ v ∈ V, (g1)v = (g2)v ⇔ ∀ v, w ∈ V, (g1)v (w) = (g2)v (w) ⇔ ∀ v, w ∈ V, (g1)(v, w) = (g2)(v, w) ⇔ g1 = g2. F (g1 ) = F (g2 )

F este surjectiv˘ a : Într-adev˘ ar, plecând de la un morfism arbitrar h : V V ∗ , v h(v), unde h(v) : V K, aplicat¸ia g : V V K, dat˘a prin g(v, w) = h(v)(w) este o form˘a biliniar˘a pe V ¸si F (g) = h. Fie g o form˘a biliniar˘ a pe V . Submult¸imile

→

→

× →

→

{ ∈ V, g(v, w) = 0, ∀ w ∈ V } N 2 = {w ∈ V, g(v, w) = 0, ∀ v ∈ V } N 1 = v

sunt subspat¸ii vectoriale ale lui V . Ele se numesc spat ¸iile nule ale formei g.

• O form˘a biliniar˘a g pe V se nume¸ste nesingular˘ a (sau nedegenerat˘ a ) dac˘a subspat¸iile sale nule coincid cu subspat¸iul {0V }, adic˘a 38

{ }

N 1 = N 2 = 0V . În caz contrar, g este singular˘ a (sau degenerat˘ a ).

• O form˘a biliniar˘a g pe V se nume¸ste simetric˘ a dac˘a g(v, w) = g(w, v) ∀ v, w ∈ V. Dac˘ a g este o form˘a simetric˘ a, atunci subspat¸iile nule ale lui g coincid: N 1 = N 2 . s Not˘a m cu L (V V ; K) mult¸imea formelor biliniare simetrice pe V . Este imediat faptul c˘ a Ls (V V ; K) este un subspat¸iu vectorial al lui L(V V ; K).

×

×

×

• O form˘a biliniar˘a g pe V se nume¸ste antisimetric˘ a dac˘a g(v, w) = −g(w, v) ∀ v, w ∈ V. O form˘a biliniar˘a g este antisimetric˘a dac˘ a ¸si numai dac˘a se anuleaz˘a când argumentele ˆ sunt egale. Intr-adev˘ ar, dac˘a g este antisimetric˘a, luând v = w, obt¸inem g(v, v) = g(v, v), deci g(v, v) = 0. Reciproc, dac˘ a g(v, v) = 0, atunci g(v + w, v + w) = 0 ¸si, folosind liniaritatea pe cele dou˘a argumente, rezult˘a c˘a g(v, w) = g(w, v). Not˘a m cu La (V V ; K) mult¸imea formelor biliniare antisimetrice pe V . Mut¸imea La (V V ; K) este un subspat¸iu al lui L(V V ; K).

−

−

×

×

×

Propozit ¸ie. Avem

× V ; K) = Ls(V × V ; K) ⊕ La(V × V ; K).

L(V

Dem: Fie g

∈ L(V × V ; K). Definim aplicat¸iile gs : V

× V → K,

1 g s (v, w) = [g(v, w) + g(w, v)] 2

¸si 1 g a (v, w) = [g(v, w) g(w, v)]. 2 Se verific˘a faptul c˘ a g s ¸si g a sunt forme biliniare pe V . Mai mult, g s ga L a (V V ; K). În plus, g = g s + ga , deci ga : V

× V → K,

∈

−

×

∈ Ls(V × V ; K) ¸si

× V ; K) = Ls(V × V ; K) + La(V × V ; K).

L(V

Pentru a ar˘ata c˘ a suma este direct˘a, este suficient s˘a verific˘am faptul c˘ a Ls (V

× V ; K) ∩ La(V × V ; K) = {0},

unde 0 este forma identic nul˘a. Dac˘ a g Ls (V V ; K) La (V V ; K), atunci g(v, w) = g(w, v) ¸si, ˆın acela¸si timp, g(v, w) = g(w, v). Adunˆ and, obt¸inem g (v, w) = 0, v, w V . 

∈ −

×

∩

×

∀

39

∈

Forme biliniare pe spat¸ii finit dimensionale Fie V un K-spat¸iu vectorial de dimensiune n ¸si B = e1 , . . . , en o baz˘a a lui V . Fie g : V V K o form˘a biliniar˘a pe V . Dac˘a, ˆın baza B, vectorii x, y V se scriu sub

× →n

forma x =



i=1

{

n

    

xi ei respectiv y =

j=1

y j e j , avem

n

g(x, y) = g(

n

deci

n

xi ei ,

i=1

}

n

y j e j ) =

j=1

∈

xi y j g(ei , e j ),

i=1 j=1

n

n

g(x, y) =

gij xi y j ,

i=1 j=1

unde g ij = g(ei , e j ). Sistemul de scalari (gij ) poart˘ a numele de coordonatele formei g ˆın baza B. Polinomul n

n



i=1 j=1

gij xi y j este expresia algebric˘ a a formei g ˆın baza B . Matricea coordonatelor

A = (gij ) =



g11 . . . g1n . . . . .. . . . gn1 . . . gnn



se nume¸ste matricea asociat˘ a lui g ˆın baza B. Identificˆ and un vector x coloan˘ a X a componentelor sale, forma g are expresia matriceal˘ a

∈ V cu matricea

g(x, y) =t XAY.

{

}

Plecâ nd de la o baz˘a B = e1 , . . . , en a lui V , se poate construi o baz˘ a pentru spat¸iul L(V V ; K) al formelor biliniare pe V . Pentru orice i = 1, n ¸si j = 1, n, definim aplicat¸iile

×

eij : V

× V → K,

eij (x, y) = x i y j ,

∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ V.

Se verific˘a imediat c˘a acestea sunt liniare ˆın fiecare argument, deci eij

∈ L(V × V ; K), ∀ i = 1, n, ∀ j = 1, n.

Vom ar˘ata c˘ a sistemul

{eij , i = 1, n , j = 1, n} × V ; K). • {eij , i = 1, n , j = 1, n} este un sistem de generatori pentru L(V × V ; K).

este o baz˘ a ˆın L(V

40

Într-adev˘ ar, dac˘a g este o form˘a arbitrar˘ a, avem n

g(x, y) =

n

n



gij xi y j =

i=1 j=1

n



gij eij (x, y),

i=1 j=1

deci

n

n



g =

gij eij ,

i=1 j=1

unde coeficient¸ii sunt dat¸i de g ij = g(ei , e j ).

• Sistemul {eij , i = 1, n , j = 1, n} este liniar independent. Avem n

n



n

ij

λij e = 0

i=1 j=1

n

 ⇒

n

ij

λij e (x, y) = 0,

i=1 j=1

∀ x, y ∈ V

n

 ⇒

λij xi y j = 0,

i=1 j=1

∀ xi, y j ∈ K

∀

¸si rezult˘a, ˆın mod necesar, c˘a λij = 0, i = 1, n, j = 1, n. Formele e ij din baza lui L(V V ; K) verific˘a e ij (eh , ek ) = δ hi δ jk . Dac˘ a V este un spat¸iu vectorial n-dimensional, atunci dimensiunea spat¸iului L(V V ; K) este n2 . Spat¸iile L(V V ; K) ¸si Mn (K) sunt izomorfe. Un izomorfism ˆıntre cele dou˘ a spat¸ii vectoriale este dat de

×

×

×

× V ; K) −→ Mn(K), g −→ A = (gij ).

L(V

Fie g(x, y) =

n

n



i=1 j=1

n

(g + h)(x, y) = g(x, y) + h(x, y) =

n

n

  

gij xi y j ¸si h(x, y) =

i=1 j=1

hij xi y j dou˘a forme biliniare pe V . Atunci

n

n

n

gij xi y j +

i=1 j=1

n

hij xi y j =

i=1 j=1

n



(gij + hij )xi y j ,

i=1 j=1

deci matricea sumei a dou˘a forme este suma matricelor celor dou˘a forme. Analog, matricea formei λg va fi (λgij ). Dac˘ a g este o form˘a simetric˘a, g(x, y) = g(y, x), atunci

n

n



i=1 j=1

gij xi y j =

n

n



i=1 j=1

g ji xi y j ,

deci g ij = g ji , pentru orice i = 1, n, j = 1, n. Deci, dac˘a g este o form˘a biliniar˘a simetric˘a, atunci matricea asociat˘a este simetric˘a. Analog, dac˘a g este o form˘a biliniar˘a antisimetric˘a, atunci matricea asociat˘ a este antisimetric˘a. Studiem comportarea coordonatelor (gij ) ¸si a bazei eij la o schimbare a bazei ˆın V . Fie B = e1 , . . . , en ¸si B  = e1 , . . . , en dou˘a baze ale lui V . Trecerea de la B la B  se face dup˘a formulele

{

}

{

}

{ }

n

ei =



p ji e j ,

i = 1, n det( p ji ) = 0.



j=1

41

Dac˘ a, ˆın cele dou˘a baze, coordonatele lui x  (x1 , . . . , xn ), avem

∈ V sunt, respectiv x = (x1, . . . , xn) ¸si x =

n

xi =



pij x j ,



i = 1, n, det( pij ) = 0.

j=1

În consecint¸a˘, n

 gij

= g(ei , e j )

n

= g(

phi eh ,

h=1

deci

n

n

    pkj ek ) =

k=1 n

 gij

n

phi pkj g(eh , ek ) =

h=1 k=1

n



phi pkj ghk ,

h=1 k=1

n

=

phi pkj ghk ,

i, j = 1, n.

(1.20)

h=1 k=1

De asemenea,

n

ij

e (x, y) = x i y j = deci

n  ( phi xh )( pkj xk ) h=1 k=1

n

n

    n

ij

e =

=

n

phi pkj xh xk h=1 k=1

=

n



phi pkj ehk (x, y),

h=1 k=1

n

phi pkj ehk ,

i, j = 1, n.

(1.21)

h=1 k=1

O form˘a biliniar˘a se mai nume¸ste ¸si tensor covariant de ordinul 2. Propozit ¸ie. Fie g o form˘ a biliniar˘ a pe un spat ¸iu vectorial finit dimensional, iar A matricea asociat˘ a lui g ˆıntr-o baz˘ a dat˘ a. Rangul matricei A este invariant la schimbarea bazei ˆın V . Dem: Am v˘azut c˘a, relativ la o baz˘a B a lui V , forma g are ecuat¸ia matriceal˘a g(x, y) =t XAY. Dac˘ a B  este o alt˘a baz˘ a ˆın V , vom avea g(x, y) =t X  A Y  , unde A  este matricea lui g ˆın baza B  (notat¸iile sunt cele convent¸ionale, X este matricea coloan˘ a având drept componente coordonatele vectorului x, etc, ¸si tot ce e cu prim este relativ la baza B  ). Expresia matriceal˘a a schimb˘arii coordonatelor unui vector la schimbarea bazei este X = P X  , unde P este matricea schimb˘aii de baze (de la B la B  ) ¸si det P = 0.. Vom avea, deci t XAY =t X  A Y 



42

¸si, ˆınlocuind pe X ¸si pe Y , obt¸inem t

(P X  )AP Y  =t X  A Y  ,

sau t

X  (t P AP )Y  =t X  A Y  .

În sfâr¸sit, t

P AP = A  .

Va rezulta c˘a det A = det A (det P )2

·

¸si, evident rang A = rang A.



Vom numi rang al formei biliniare g, definit˘a pe un spat¸iu vectorial finit dimensional V , rangul matricei asociate lui g ˆıntr-o baz˘a oarecare a spat¸iului. Propozit ¸ie 1.10.1. Dac˘ a rangul unei forme biliniare g, definit˘ a pe un spat ¸iu vectorial ¸iile nule ale formei g are dimensiunea n r. n-dimensional, este r, atunci fiecare din spat

−

{ ∈

∀ ∈ V }. Dar

Dem: N 1 = x V, g(x, y) = 0, y

n

g(x, y) = 0,

∀ y ∈ V

n

 ⇔

gij xi y j = 0,

i=1 j=1

∀ y j ∈ K,

deci N 1 este spat¸iul solut¸iilor sistemului de ecuat¸ii liniare ¸si omogene n



n

gi1 xi = 0, . . . ,

i=1



gin xi = 0.

i=1

−

Dac˘ a rang (gij ) = r, atunci dim N 1 = n r. Analog, N 2 este spat¸iul solut¸iilor sistemului de ecuat¸ii liniare ¸si omogene n



n

g1i xi = 0, . . . ,

i=1

 i=1

¸si, deci, dac˘a rang (gij ) = r, atunci dim N 1 = n

1.11

gni xi = 0

− r. 

Forme p˘ atratice. Aducerea la forma canonic˘ a

Fie V un K -spat¸iu vectorial ¸si g : V V K o form˘a biliniar˘a simetric˘a. Îi asociem lui g funct¸ia h : V K, h(v) = g(v, v), v V.

× →

→

∀ ∈

43

Din biliniaritatea lui g ¸si din definit¸ia lui h, obt¸inem g(v + w, v + w) = h(v) + 2g(v, w) + h(w), adic˘ a

1 g(v, w) = [h(v + w) 2

∀ v, w ∈ V,

− h(v) − h(w)].

În consecint¸a˘, putem spune c˘a forma biliniar˘a g este determinat˘a de restrict¸ia sa h la diagonala lui V V .

×

• Funct¸ia h se nume¸ste form˘ a p˘ atratic˘ a pe V , asociat˘a formei biliniare g. • Forma g, determinat˘a de h, se nume¸ste forma polar˘ a (sau forma dedublat˘ a ) a formei p˘ atratice h.

• Spunem c˘a forma p˘atratic˘a h este nesingular˘ a dac˘a forma polar˘a g este nesingular˘a. În caz contrar, h este singular˘a.

Funct¸ia h are câteva propriet˘a¸t i imediate:

• h este o funct¸ie omogen˘a de gradul 2. h(λv) = λ 2 h(v),

∀ v ∈ V.

• h este o funct¸ie par˘a. Luând pe λ = −1 mai sus, obt¸inem, ˆıntr-adev˘ar, h(−v) = h(v), ∀ v ∈ V. • h verific˘a identitatea paralelogramului. Din g(v, w) + g(v, −w) = 0, obt¸inem h(v + w) + h(v − w) = 2[h(v) + h(w)], ∀ v, w ∈ V. Presupunem acum c˘a spat¸iul vectorial V este finit dimensional, de dimensiune n ¸si fie B = e1 , . . . , en o baz˘a a lui V . Dac˘ a, ˆın baza B, vectorul x V este de forma x =

n



i=1

{

}

xi ei , atunci expresia lui h ˆın coordonate locale va fi n

∈

n

 

h(x) = g(x, x) =

g(ei , e j )xi x j .

i=1 j=1

Notˆ and a ij = g(ei , e j ), avem

n

h(x) =

n

aij xi x j

i=1 j=1

¸si, evident a ij = a ji (forma g este simetric˘a). 44

(1.22)

Polinomul omogen, de gradul 2, ˆın nedeterminatele xi ,

n

n



i=1 j=1

aij xi x j , se nume¸ste ex-

presia algebric˘ a a formei p˘ atratice h. Coeficient¸ii aij (care sunt aceia¸si cu coeficient¸ii formei polare g ˆın baza B) se mai numesc ¸si coordonatele formei p˘ atratice h. Matricea A = (aij ) se nume¸ste matricea asociat˘ a formei p˘ atratice h ˆın baza B (evident, este chiar matricea formei g ˆın baza B ). Deoarece rangul matricei A nu depinde de baza aleas˘a, putem defini rangul formei p˘ atratice h s˘a fie rangul matricei A. Forma p˘atratic˘ a h este nesingular˘ a dac˘a ¸si numai dac˘a rang A = n (evident, rang h = rang g, iar dac˘a g este nesingular˘a, subspat¸iile sale nule – care coincid, c˘aci g este simetric˘a – degenereaz˘a la 0V , adic˘a au dimensiunea egal˘a cu zero. T ¸ inând cont de Propozit¸ia 1.10.1, rezult˘ a c˘ a rang A = n). Forma p˘atratic˘ a h este singular˘ a dac˘a ¸si numai dac˘a rang A < n. Expresia (1.22) a formei p˘atratice h ˆıntr-o baz˘a B are (cu convent¸iile obi¸snuite) o form˘ a matriceal˘a h(x) =t XAX,

{ }

unde matricea A este simetric˘a: tA = A. Aducerea la forma canonic˘ a Expresia unei forme p˘atratice h, definit˘a pe un spat¸iu vectorial de dimeniune n, depinde de baza considerat˘a ˆın V . Se pune problema dac˘ a exist˘a o baz˘a ˆın V fat¸a˘ de care h s˘a aib˘ a expresia algebric˘ a de forma h(x) = λ 1 (x1 )2 + . . . + λn (xn )2 .

(1.23)

Expresia (1.23) poart˘ a numele de forma canonic˘ a a lui h. O baz˘a ˆın care h are forma canonic˘ a se nume¸ste baz˘ a canonic˘ a . Expresia matriceal˘a a lui h este

h(x) = (x1 , . . . , xn )

 

λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 . .. . .. . .. . .. 0 0 . .. λn

     ··  x1

.

xn

Matricea corespunz˘atoare formei canonice este, deci, o matrice diagonal˘a. Rangul matricei A nu depinde de alegerea bazei ˆın V . Aceasta ˆınseamn˘ a c˘ a, dac˘ a rangA = r n, atunci, ˆın forma canonic˘ a, doar r din cei n coeficient¸i λi sunt nenuli. Renumerotˆ and, eventual, putem presupune c˘a λ1 , . . . , λr = 0 ¸si λr+1 = . . . = λn = 0. Rezult˘ a c˘a forma canonic˘ a a expresiei algebrice a lui h este

≤



h(x) = λ 1 (x1 )2 + . . . + λr (xr )2 ,

45

(1.24)

iar scrierea matriceal˘a

h(x) = (x1 , . . . , xn )

  

λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 . .. . .. . .. . .. 0 0 . . . λr . .. . .. . .. . .. 0 0 ... 0

... 0 ... 0 . .. . .. ... 0 . .. . .. ... 0

     ···   ·  x1

.

xn

Teorem˘ a 1.11.1. (Gauss-Lagrange) Fie V un spat ¸iu vectorial n dimensional, h o form˘ a p˘ atratic˘ a nenul˘ a pe V , avˆ and, ˆıntr-o baz˘ a B a lui V , expresia n

h(x) =

n



aij xi x j ,

aij = a ji .

i=1 j=1

Se poate face ˆıntotdeauna o schimbare de baz˘ a ˆın V astfel ˆıncˆ at, ˆın noua baz˘ a, expresia lui h s˘ a aib˘ a forma canonic˘ a h(u) = λ 1 (u1 )2 + . . . + λn (un )2 . Dem: Forma p˘atratic˘ a h este asociat˘a la o form˘a biliniar˘a simetric˘ a g, iar coeficient¸ii aij sunt dat¸i de aij = g(ei , e j ). Deci, ˆıntr-adev˘ar, aij = a ji , iar expresia lui h este, scris˘a dezvoltat, h(x) = a 11 (x1 )2 +. . .+ann (xn )2 +2a12 x1 x2 +2a13 x1 x3 +. . .+2a1n x1 xn +. . .+2an−1n xn−1 xn . Vom face demonstrat¸ia prin induct¸ie dup˘a num˘ arul m de coordonate care intervin ˆın expresia lui h. Dac˘ a m = 1, h va avea forma h(x) = a 11 (x1 )2 , expresie care are, evident, forma canonic˘a. Presupunem c˘a ˆın expresia lui h intervin m coordonate, x 1 , . . . , xm , deci h(x) = a 11 (x1 )2 +. . .+amm(xm )2 +2a12 x1 x2 +2a13x1 x3 +. . .+2a1m x1 xn +. . .+2am−1m xm−1 xm ¸si c˘a o form˘ a p˘atratic˘ a ˆın m 1 coordonate se poate aduce la forma canonic˘ a. Vom distinge dou˘ a cazuri.

−

• Exist˘a un termen p˘atratic cu coeficientul diferit de zero. presupune c˘a a 11  = 0.

Renumerotând, putem

Ordon˘ am termenii lui h(x) dup˘a coordonata x 1 ¸si vom avea h(x) = a 11 (x1 )2 + 2x1 (a12 x2 + . . . + a1m xm ) + φ1 (x2 , . . . , xm ), unde φ 1 este expresia unei forme p˘atratice numai ˆın coordonatele x 2 , . . . , xm . 46

Completˆ and primii doi termeni pân˘ a la un p˘atrat perfect, obt¸inem h(x) =

1 (a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm )2 + h1 (x2 , . . . , xm ), a11

unde h1 (x2 , . . . , xm ) = φ 1 (x2 , . . . , xm )

− a111(a12x2 + . . . + a1mxm)2

este o form˘a p˘atratic˘ a numai ˆın coordonatele x 2 , . . . , xm . Prin schimbarea de coordonate v1 = a 11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm , v2 = x 2 , . . . , vn = x n , forma p˘ atratic˘ a h va avea expresia h(v) =

1 (v1 )2 + φ2 (v2 , . . . , vm ), a11

−

unde φ2 este expresia unei forme p˘atratice ˆın m 1 coordonate. Folosind ipoteza de induct¸ie, rezult˘a c˘a exist˘a o schimbare de coordonate de forma m

u1 = v 1 , ui =



bij v j , i = 2, m, um+1 = v m+1, . . . , un = v n ,

j=2

astfel ˆıncât φ2 (v2 , . . . , vm ) = λ 2 (u2 )2 + . . . + λm (um )2 . Compunˆ and cele dou˘a schimb˘ari de coordonate, obt¸inem o schimbare de baz˘a ˆın V astfel ˆıncˆ at, ˆın raport cu noua baz˘ a, expresia lui h are forma canonic˘a h(u) = λ 1 (u1 )2 + . . . + λn (un )2 , 1 . a11 Tot¸i coeficient¸ii termenilor p˘atratici sunt nuli.

cu λ 1 =

•

Expresia lui h are forma h(x) = 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + . . . + 2a1n x1 xn + . . . + 2an−1n xn−1 xn



¸si exist˘a cel put¸in un coeficient nenul. Presupunem c˘a a 12 = 0. Facem schimbarea de coordonate v1 = x 1 + x2 , v2 = x 1 Atunci, ˆınlocuind x 1 = h ˆın noua baz˘ a

v1 + v2 , x 2 2

− x2, v3 = x3 . . . , vn = xn. v1 − v2 = , x = v , . . ., x = v , obt¸inem expresia lui

h(v) = a 12 deci acest caz se reduce la primul.

3

2

 −  v12

v22

4



47

3

+ ...,

n

n

• Oricum am alege o baz˘a canonic˘a pentru h, num˘arul p˘atratelor cu coeficient¸i nenuli care intervin ˆın forma canonic˘a este acela¸si. El este egal cu rangul formei h.

• Forma polar˘a g asociat˘a formei h va avea expresia corespunz˘atoare formei canonice a lui h

1 g(u, v) = [h(u + v) 2

− h(u) − h(v)],

adic˘ a g(u, v) = λ 1 u1 v1 + . . . + λn un vn . Ea se nume¸ste forma canonic˘ a a expresiei formei polare g. Fie A = (aij ) o matrice p˘atratic˘ a de ordinul n. Minorii diagonali principali ai matricei A sunt determinant¸ii ∆1 = a 11 , ∆2 =



 

a11 a12 , ∆3 = a21 a22

 

 

a11 a12 a13 a21 a22 a23 , . . . , ∆n = det A. a31 a32 a33

Teorem˘ a 1.11.2. (Jacobi) Dac˘ a matricea unei forme p˘ atratice h, dat˘ a prin n

h(x) =

n

aij xi x j ,

aij = a ji ,

i=1 j=1

are tot ¸i minorii diagonali principali nenuli, atunci exist˘ a o baz˘ a canonic˘ a astfel ˆıncˆ at, ˆın aceast˘ a baz˘ a, h are forma canonic˘ a h(u) =

1 ∆1 ∆n−1 (u1 )2 + (u2 )2 + . . . + (un )2 . ∆1 ∆2 ∆n

Dem: Ideea este urm˘atoarea: dac˘ a B = e1 , . . . , en este baza lui V ˆın care h are expresia init¸ial˘a , vom construi, pornind de la B, o alt˘a baz˘ a f 1 , . . . , fn , care s˘a fie canonic˘ a (deci ˆın noua expresie a lui h s˘a nu avem decât termeni p˘atratici) ¸si, ˆın plus, coeficient¸ii acestor termeni p˘atratici s˘ a fie chiar cei care apar ˆın enunt¸ul teoremei. C˘aut˘ am ca vectorii din noua baz˘a s˘ a fie de forma f 1 = p 11 e1 f 2 = p 12 e1 + p22 e2 ... f m = p 1m e1 + . . . + pmmem ... f n = p 1n e1 + . . . + pmnem + . . . + pnn en . p11 p12 . . . p1n 0 p22 . . . p2n Matricea schimb˘arii de baze este P = ¸si vrem ca det P = . .. . .. . . . . . . 0 0 . . . p nn p11 . . . pnn = 0.

{



 

48

}

{

}

 

{ {

} }

Vom ar˘ata c˘ a este posibil s˘a determin˘am coeficient¸ii p ij astfel ˆıncât baza f 1 , . . . , fn s˘ a fie canonic˘a, iar coeficient¸ii formei h s˘a fie cei cerut¸i. Fie g forma polar˘a asociat˘ a lui h ¸si fie b jm coordonatele lui h ˆın baza f 1 , . . . , fn . Evident b jm = g(f j , f m ) j, m = 1, n.

∀

Deoarece g este simetric˘a, este suficient s˘a ne referim doar la coeficient¸ii b jm cu j

≤ m.

• Deoarecem cerem ca baza {f 1, . . . , fn } s˘a fie canonic˘a, trebuie ca b = 0 ∀ j < m = 2, n ¸si b jj  = 0 ∀ j = 1, n. jm

Exprimˆ and coeficient¸ii b jm , obt¸inem b jm = g(f j , f m ) = g( p1 j e1 + . . . + p jj e j , f m ) = p 1 j g(e1 , f m ) + . . . + p jj g(e j , f m ) j < m,

{

}

deci baza f 1 , . . . , fn va fi canonic˘a dac˘ a lu˘am g(e j , f m ) = 0

∀ 1 ≤ j < m = 2, n

¸si, deoarece bmm = g(f m , f m ) = g( p1m e1 +. . .+ pmmem , f m ) = p 1m g(e1 , f m )+. . .+ pm−1m g(em−1 , f m )+ pmm g(em , f m ) = = p mmg(em , f m ), vom lua g(em, f m) = 1

∀ m = 1, n,

bmm = p mm

∀ m = 1, n.

astfel ˆıncât

• Pentru determinarea coeficient¸ilor p ij , vom proceda prin induct¸ie dup˘a m. Dac˘ a m = 1, condit¸iile de mai sus se reduc la g(e1 , f 1 ) = 1, adic˘a g(e1 , p11 e1 ) = 1, deci 1 p11 g(e1 , e1 ) = 1 = p 11 a11 = 1 = p 11 = . Deci a11

⇒

⇒

b11 = p 11 =

1 1 = . a11 ∆1

Presupunem c˘a am determinat coeficient¸ii p ij pân˘a la vectorul f m−1 ¸si c˘a b m−1m−1 = ∆m−2 pm−1m−1 = . Vom ar˘ata c˘ a putem determina coeficient¸ii lui f m ¸si c˘a b mm = p mm = ∆m−1 ∆m−1 . ∆m

49

Condit¸iile puse pentru determinarea bazei devin

 

a11 p1m + . . . + a1m pmm = 0 ... . am−11 p1m + . . . + am−1m pmm = 0 am1 p1m + . . . + amm pmm = 1

(1.25)

Deci, determinarea coeficient¸ilor lui f m revine la rezolvarea unui sistem de ecuat¸ii. Determinantul acestui sistem este chiar ∆ n = 0, deci sistemul este un sistem Cramer ¸si are solut¸ie unic˘a. Înseamn˘a c˘a coeficient¸ii lui f m sunt unic determinat¸i prin condit¸iile puse ¸si ∆m−1 baza f 1 , . . . , fn este canonic˘a. În plus, rezult˘a imediat c˘a p mm = , deci ∆m

{



}

∆m−1 . ∆m Rezult˘ a c˘ a, ˆın baza f 1 , . . . , fn , forma p˘atratic˘ a h are coeficient¸ii termenilor omogeni egali cu zero, iar cei ai termenilor p˘atratici b jj determinat¸i mai sus. Expresia algebric˘a a lui h va fi, deci, bmm = p mm =

{

}

1 ∆1 ∆n−1 (u1 )2 + (u2 )2 + . . . + (un )2 .  ∆1 ∆2 ∆n Teorema lui Gauss ne asigur˘a de faptul c˘a exist˘ a ˆıntotdeauna o baz˘ a canonic˘ a a spat¸iului vectorial V (de dimeniune n), fat¸a˘ de care o form˘a p˘atratic˘ a h are expresia algebric˘ a h(x) = λ 1 (x1 )2 + . . . + λn (xn )2 . h(u) =

Mai mult, dac˘a rangul matricei formei polare asociate lui h este r cei n coeficient¸i λ i sunt nenuli, iar forma h are expresia

≤ n, atunci doar r din

h(x) = λ 1 (x1 )2 + . . . + λr (xr )2 .

• Dac˘a V este un spat¸iu vectorial complex, atunci se poate efectua o schimbare de coordonate de forma z1 =



λ1 x1 , . . . , zr =

iar expresia algebric˘a a lui h va fi



λr xr , zr+1 = x r+1, . . . , zn = x n ,

h(z) = (z1 )2 + . . . + (zr )2 . Aceasta se nume¸ste forma normal˘ a a expresiei lui h.

• Dac˘a V este un spat¸iu vectorial real, putem presupune (eventual renumerotând) c˘a λ1 , . . . , λ p sunt pozitivi, iar λ p+1 , . . . , λr sunt negativi. Efectuând o schimbare de coordonate de forma

u1 =



λ1 x1 , . . . , u p =



λ p x p , u p+1 =

 |

λ p+1 x p+1 , . . . , ur =

|

expresia algebric˘a a lui h este de forma

h(u) = (u1 )2 + . . . + (u p )2

λr xr , ur+1 = x r+1 , . . . , un = x n ,

− (u p+1)2 − . . . − (ur )2.

Aceasta se nume¸ste forma normal˘ a a expresiei lui h. 50

 | |

1.12

Forme p˘ atratice pe spat ¸ii vectoriale complexe

Fie V un spat¸iu vectorial complex. O aplicat¸ie g : V V C care satisface condit¸iile

× →

g(α1 v1 + α2 v2 , w) = α1 g(v1 , w) + α2 g(v2 , w) g(v, α1 w1 + α2 w2 ) = α 1 g(v, w1 ) + α2 g(v, w2 )

∀ α1, α2 ∈ C, ∀ v1, v2, w ∈ V ∀ α1, α2 ∈ C, ∀ v1, v2, w ∈ V,

se nume¸ste form˘ a sesquiliniar˘ a . Dac˘ a g este o form˘a sesquiliniar˘a pe spat¸iul vectorial complex V , atunci aplicat¸ia

→ C, h(v) = g(v, v) ∀ v ∈ V, h : V

se nume¸ste form˘ a p˘ atratic˘ a sesquiliniar˘ a .

• O form˘a sesquiliniar˘a g este perfect determinat˘a de forma p˘atratic˘a sesquiliniar˘a h asociat˘a.

Într-adev˘ ar, avem h(v + w) = h(v) + h(w) + g(v, w) + g(w, v) ¸si h(v + iw) = h(v) + h(w)

− ig(v, w) + ig(w, v).

Înmult¸ind a doua relat¸ie cu i ¸si adunând, obt¸inem 2g(v, w) = [h(v + w)

− h(v) − h(w)] + i[h(v + iw) − h(v) − h(w)] ∀ v, w ∈ V.

(1.26)

• O form˘a p˘atratic˘a sesquiliniar˘a satisface urm˘atoarele propriet˘a¸ti imediate: h(v + w) + h(v − w) = 2[h(v) + h(w)] ∀ v, w ∈ V, h(αv) = α 2 h(v)

||

∀ v ∈ V.

• O form˘a sesquiliniar˘a g se nume¸ste form˘ ahermitian˘ a dac˘a satisface proprietatea g(v, w) = g(w, v) ∀ v, w ∈ V. Forma p˘atratic˘ a h asociat˘ a unei forme hermitiene se nume¸ste form˘ a p˘ atratic˘ a hermitian˘ a . Propozit ¸ie. O form˘ a sesquiliniar˘ a g este hermitian˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a forma p˘ atratic˘ a asociat˘ a h este cu valori reale.

51

⇒

Dem: ”= : Dac˘ a g este hermitian˘a, atunci g(v, w) = g(w, v) v = w, obt¸inem g (v, v) = g(v, v) v V , deci h(v) = g(v, v) R ” =” Am v˘azut c˘a g este determinat˘a de h prin relat¸ia

∀ ∈

⇐

2g(v, w) = [h(v + w)

∈

∀ v, w ∈ V ¸si, luând ∀ v ∈ V .

− h(v) − h(w)] + i[h(v + iw) − h(v) − h(w)] ∀ v, w ∈ V.

Atunci 2g(w, v) = [h(w + v)

− h(w) − h(v)] + i[h(w + iv) − h(w) − h(v)] ∀ v, w ∈ V.

Partea real˘a a celor dou˘a expresii de mai sus este aceea¸si. Vom ar˘ata c˘ a suma p˘art¸ilor ˆ imaginare este zero. Intr-adev˘ ar,

−

−

− − − − = h(v + iw) + |i|2 h(v − iw) − 2h(v) − 2h(w) = 0,

−

[h(v+iw) h(v) h(w)]+[h(w+iv) h(w) h(v)] = h(v+iw)+h[i(v iw)] 2h(v) 2h(w) =

∀

∈

conform unei propriet˘a¸ti demonstrate la ˆınceputul paragrafului. Deci g(v, w) = g(w, v) v, w V ¸si forma g este hermitian˘a.  O form˘a hermitian˘ a g care are proprietatea c˘a h(v) > 0, v V , v = 0V , unde h este forma p˘ atratic˘ a hermitian˘ a asociat˘ a lui g , se nume¸ste form˘ a hermitian˘ a pozitiv definit˘ a .

∀ ∈



• O form˘a hermitian˘a pozitiv definit˘a este nesingular˘a, iar forma p˘atratic˘a asociat˘a se anuleaz˘ a numai pentru vectorul nul.

Propozit ¸ie. Fie g o form˘ a hermitian˘ a pozitiv definit˘ a ¸si h forma p˘ atratic˘ a asociat˘ a. Au loc inegalit˘ at ¸ile:

• Inegalitatea lui Cauchy-Schwarz |g(v, w)| ≤ • Inegalitatea triunghiului h(v + w) ≤



   

h(v) h(w)

h(v) +

∀ v, w ∈ V.

h(w)

∀ v, w ∈ V.

Dem: Pentru a demonstra inegalitatea lui Cauchy-Schwarz, pornim de la faptul c˘a g este pozitiv definit˘a, deci h(v αw) 0, v, w V , α C. Avem

− ≥ ∀ ∈ ∀ ∈ h(v − αw) ≥ 0 ⇔ g(v − αw,v − αw) ≥ 0 ⇔ h(v) − αg(v, w) − αg(v, w) + ααh(w) ≥ 0 ⇔ ⇔ h(v) − αg(v, w) ≥ α[g(v, w) − αh(w)], ∀ v, w ∈ V, ∀ α ∈ C. Dac˘ a h(w) = 0 =⇒ w = 0V , iar inegalitatea devine egalitate. Dac˘ a h(w) > 0, alegem α =

g(v, w) ¸si, ˆınlocuind, obt¸inem h(w)

h(v)

1 − h(w) g(v, w)g(v, w) ≥ 0, 52

de unde rezult˘a inegalitatea lui Cauchy-Schwarz. În cazul celei de-a doua inegalit˘a¸ti, deoarece g este hermitian˘a, avem



h(v+w) = h(v)+h(w)+g(v, w)+g(v, w) = h(v)+h(w)+2 g(v, w)

≤ h(v) + h(w) +

≤ h(v)+h(w)+2|g(v, w)| ≤

    h(v) h(w) = (

h(v) +

h(w))2 ,

de unde rezult˘a inegalitatea triunghiului.  Presupunem acum c˘ a spat¸iul vectorial complex V este finit dimensional, de di-

{

}

menisune n ¸si c˘a B = e1 , . . . , en este o baz˘a a sa. Dac˘ ax = atunci o form˘ a hermitian˘ a g va avea ecuat¸iile n

g(x, y) =

n



i=1

xi ei ¸si y =

n



j=1

y j e j ,

n



xi y j g(ei , e j )

i=1 j=1

¸si, notând g(ei , e j ) = a ij , vom obt¸ine n

g(x, y) =

n



aij xi y j .

i=1 j=1

Deoarece a ji = g(e j , ei ) = g(ei , e j ) = a ij , rezult˘a c˘a A = t A, adic˘ a matricea asociat˘a unei forme hermitiene ˆın raport cu o baz˘a dat˘ a este egal˘a cu transpusa conjugatei sale. Rezult˘ a c˘a elementele de pe diagonala principal˘ a ale acestei matrice sunt reale. În scriere matriceal˘a, o form˘a hermitian˘ a va avea expresia g(x, y) =t XAY. Considerˆ and forma p˘ atratic˘ a hermitian˘a h asociat˘ a lui g, de rang r canonic˘ a, aceasta va avea ecuat¸ia matriceal˘a

≤ n, ˆıntr-o baz˘a

h(x) = g(x, x) =t XAX, unde A este o matrice diagonal˘a, cu elementele numere reale. Deci

h(x) = (x1 . . . xn )

Expresia algebric˘a a lui h va fi

 

λ1 . .. 0 . .. 0

... 0 . .. . .. . . . λr . .. . .. ... 0

... 0 . .. . .. ... 0 . .. . .. ... 0

h(x) = λ 1 x1 2 + . . . + λr xr 2 ,

| |

| |

unde scalarii λ i sunt reali. 53

     ···  x1

xn

.

1.13

Forme p˘ atratice pe spat ¸ii vectoriale reale

Fie V un spat¸iu vectorial real n dimensional ¸si o form˘a p˘atratic˘ a h : V baz˘ a canonic˘ a a lui V , forma p˘atratic˘ a h se poate aduce la forma normal˘ a h(x) = (x1 )2 + . . . + (x p )2

Într-o

→ R.

− (x p+1)2 − . . . − (xr )2,

≤

unde r n este rangul formei h (invariant la schimbarea bazei canonice). Urm˘ atoarea teorem˘ a ne asigur˘a c˘a ¸si num˘arul p (num˘arul termenilor pozitivi ˆın forma normal˘a) este invariant la schimbarea bazei. Teorem˘ a 1.13.1. (Sylvester) Num˘ arul termenilor pozitivi ˆın expresia canonic˘ a a unei forme p˘ atratice reale nu depinde de alegerea bazei canonice.

{

}

Dem: Fie B = e1 , . . . , en o baz˘a canonic˘ a a lui V , ˆın care forma h are expresia h(u) = (u1 )2 + . . . + (u p )2

− (u p+1)2 − . . . − (ur )2 ∀ u(u1, . . . , un) ∈ V,

astfel ˆıncât, matriceal, expresia lui h(u) se poate scrie

h(u) = (u1 , . . . , u p , u p+1 , . . . ur , ur+1 , . . . , un )



Ip Θ Θ

−

Θ Θ Ir−p Θ Θ Θ

     u1 .. .

.

un

Dac˘ a B  = f 1 , . . . , fn este o alt˘a baz˘ a canonic˘ a a lui V , ˆın raport cu care h are expresia

{

}

h(w) = (w1 )2 + . . . + (wq )2

− (wq+1)2 − . . . − (wr )2 ∀ w(w1, . . . , wn) ∈ w,

atunci h(w) = (w1 , . . . , wq , wq+1 , . . . wr , wr+1 , . . . , wn )



Iq Θ Θ

−

Presupunem, prin absurd, c˘a q < p. Fie spat¸iile L1 =< e 1 , . . . , e p , er+1, . . . , en >

−

Θ Θ Ir−q Θ Θ Θ

     w1 .. .

.

wn

¸si L2 =< f q+1 , . . . , fr > .

−

−

Deoarece dim L1 + dim L2 = (n r + p) + (r q ) = n + p q > n, rezult˘a c˘a intersect¸ia spat¸iilor L 1 ¸si L 2 cont¸ine vectori nenuli (dim L1 +dim L2 = dim(L1 + L2 )+dim(L1 L2 )). Fie v L 1 L2 , v = 0 V (considerând componentele acestui vector ˆın cele doua baze, ˆıntre a ”q + 1-a” component˘a ¸si a ” p-a” compenent˘ a, nu toate componentele sunt nule).

∈ ∩



∩

2 + . . . + v p2  = 0, ∈ L1 =⇒ v = v1e1 + . . . + vq eq + vq+1eq+1 + . . . + v pe p, vq+1   2 v ∈ L 2 =⇒ v = vq+1 f q+1 + . . . + v p f p + v p+1 f p+1 + . . . + vr f r vq+1 + . . . + v p2  = 0.

v

54

Vom avea h(v) = (v1 , . . . , vq , vq+1, . . . , v p , 0, . . . , 0, vr+1, . . . vn )



Ip Θ Θ

Θ Θ Ir−p Θ Θ Θ

−

2 = v 12 + . . . + vq2 + vq+1 + . . . + v p2 > 0

     v1 .. .

=

vn

¸si   h(v) = (0, . . . , 0, vq+1 , . . . , v p , v p+1 , . . . , vr , 0, . . . , 0)

∈





Iq Θ Θ

Θ Θ Ir−q Θ Θ Θ

−



V =

2 −vq+1 −. . .−vr2 < 0.

Exist˘a, deci, un vector v V , v = 0V , pentru care h(v) > 0 ¸si h(v) < 0, absurd. Un rat¸ionament analog ne conduce la concluzia c˘a nici cazul p < q nu este posibil. În consecint¸a˘, p = q . 

• Num˘arul p al termenilor pozitivi din expresia canonic˘a a unei forme p˘atratice reale

este invariant la schimbarea bazei canonice. El se nume¸ste indicele pozitiv de inert ¸ie .

• Num˘arul q = r − p (invariant ¸si el) se nume¸ste indicele negativ de inert ¸ie . • Diferent¸a s = p − q poart˘a numele de signatura formei h. • O form˘a p˘atratic˘a h se nume¸ste pozitiv definit˘ a (resp. negativ definit˘ a ) dac˘a h(v) > 0, ∀ v = 0 V (resp. h(v) < 0, ∀ v = 0 V ). • O form˘a p˘atratic˘a h se nume¸ste pozitiv semidefinit˘ a (resp. negativ semidefinit˘ a ) dac˘ a h(v) ≥ 0, ∀ v ∈ V (resp. h(v) ≤ 0, ∀ v ∈ V ) ¸si exist˘a v  = 0V pentru care h(v) = 0.

• O form˘a p˘atratic˘a h se nume¸ste nedefinit˘ a dac˘a ∃ v1, v2 ∈ V , astfel ˆıncât h(v1) > 0 ¸si h(v2 ) < 0.

Rezult˘ a imediat c˘a:

• O form˘a p˘atratic˘a h este pozitiv definit˘a (resp. negativ definit˘a) dac˘a ¸si numai dac˘ a p = n (resp. q = n).

• O form˘a p˘atratic˘a h este pozitiv semidefinit˘a (resp. negativ semidefinit˘a) dac˘a ¸si numai dac˘a p = s < n (resp. q = −s < n). • O form˘a p˘atratic˘a h este nedefinit˘a dac˘a ¸si numai dac˘a pq = 0. Propozit ¸ie. Fie V un spat ¸iu vectorial real n dimensional ¸si h : V → R o form˘ a p˘ atratic˘ a pe V . h este pozitiv definit˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a tot ¸i minorii diagonali ai matricei asociate sunt pozitivi. 55

Dem: O form˘a p˘atratic˘ a pozitiv definit˘a h poate fi adus˘a la expresia canonic˘a h(x) = λ 1 (x1 )2 + . . . + λn (xn )2 , adic˘ a h(x) = (x1 . . . xn )



∀

λi > 0 i = 1, n,

λ1 . . . 0 . .. . .. . .. 0 . . . λn

     x1 .. .

.

xn

Elementele nenule ale matricei fiind toate strict pozitive, este clar c˘a tot¸i minorii diagonali ai s˘ai sunt pozitivi. Reciproc, dac˘ a tot¸i minorii diagonali sunt pozitivi, atunci Teorema lui Jacobi ne d˘a o form˘ a canonic˘ a a lui h, h(x) =

1 ∆1 ∆n−1 (x1 )2 + (x2 )2 + . . . + (xn )2 , ∆1 ∆2 ∆n

¸si, evident, h este pozitiv definit˘a.  Fie V un spat¸iu vectorial real ¸si h : V R o form˘a p˘atratic˘a pe V . Fie g : V V R forma polar˘ a asociat˘ a lui h. Dac˘a S = v1 , . . . , vn este un sistem de vectori din V , determinantul s˘ au Gram ˆın raport cu forma h este

→ {

Gh (v1 , . . . , v p ) =

 

× →

}

 

g(v1 , v1 ) . . . g(v1 , v p ) ... ... ... . g(v p , v1 ) . . . g(v p , v p )

{

}

Propozit ¸ie. Fie h o form˘ a p˘ atratic˘ a pozitiv definit˘ a pe V ¸si S = v1 , . . . , v p un sistem de vectori din V .

• Dac˘ a S este liniar independent , atunci Gh(v1, . . . , v p) > 0. • Dac˘ a S este liniar dependent , atunci Gh(v1, . . . , v p) = 0. Dem: Subspat¸iul vectorial < S > generat de S = {v1 , . . . , v p } este finit dimensional ¸si putem considera o baz˘a ˆın < S > ca fiind chiar S = {v1 , . . . , v p }. Restrict¸ia h| :< S >→ R este o form˘a p˘atratic˘ a pozitiv definit˘a pe un spat¸iu real finit dimensional. Rezult˘a, conform propozit¸iei anterioare, c˘a determinantul matricei asociate este pozitiv. Dar matricea asociat˘a lui h este matricea care are ca elemente g(vi , v j ), deci determinantul s˘au este chiar G h (v1 , . . . , v p ), deci Gh (v1 , . . . , v p ) > 0. Dac˘ a S este liniar dependent, rezult˘a c˘a exist˘a scalarii λ1 , . . . , λ p R, nu tot¸i nuli, astfel ˆıncât λ1 v1 + . . . + λ p v p = 0V .

∈

Avem g(v, 0V ) = 0,

∀ v ∈ V =⇒ g(vi, λ1v1 + . . . + λ pv p) = 0, ∀ i = 1, p. 56

Deci, sistemul liniar ¸si omogen (ˆın necunoscutele λ j ) λ1 g(va , v1 ) + . . . + λ p g(va , v p ) = 0

a = 1, p

admite solut¸ii diferite de solut¸ia banal˘ a. Rezult˘a c˘a determinantul coeficient¸ilor este nul, adic˘ a G h (v1 , . . . , v p ) = 0. 

57

Chapter 2

Spat ¸ii afine 2.1

Structura afin˘ a a unui spat ¸iu vectorial

Fie V un spat¸iu vectorial cu scalarii ˆıntr-un corp K . O submult¸ime a lui V de forma

{

∈ }

A = a + U = a + u, u U ,

∈

unde a V ¸si U este un subspat¸iu vectorial al lui V , se nume¸ste varietate liniar˘ a ˆın V . U poart˘ a numele de subspat ¸iu director al variet˘a¸tii A. Mult¸imea tuturor variet˘a¸t ilor liniare ale spat¸iului vectorial V , ˆımpreun˘a cu mult¸imea vid˘ a, formeaz˘a structura afin˘ a (V ) a lui V .

A

A(V ) = {a + U, a ∈ V, U ≺ V } ∪ ∅. Exemple

• În spat¸iul E 3O al vectorilor legat¸i ˆın punctul O, consider˘am mult¸imea A a vectorilor cu extremitatea pe o dreapt˘a d ⊂ E 3O (care nu trece prin punctul O). Aceast˘a mult¸ime este o varietate liniar˘a , al c˘arei spat¸iu director este dreapta vectorial˘a (deci care trece prin ”originea” O) d  , care are direct¸ia paralel˘a cu cea a dreptei d.

∈

Evident, pentru orice vector v0 A fixat, un vector v  v = v 0 + u, unde u d , deci A = v 0 + d .

∈

∈

A se scrie sub forma

∈

Dac˘a identific˘am vectorul v A cu extremitatea acestuia, situat˘a pe dreapta d, structura de varietate liniar˘a a lui A se transmite dreptei d. O astfel de varietate a din 3O (deci dreptele care nu trec prin origine sunt liniar˘a se nume¸ste dreapt˘ variet˘a¸ti liniare ˆın 3O ).

E

E • În acela¸si spat¸iu E 3O al vectorilor legat¸i ˆın punctul O, consider˘am mult¸imea B a vectorilor cu extremitatea ˆıntr-un plan π ⊂ E 3O (care nu trece prin punctul O). Aceast˘a mult¸ime este o varietate liniar˘a, al c˘arei spat¸iu director este planul vectorial (deci care trece prin ”originea” O) π  , paralel cu planul π. Evident, pentru orice vector v0 B fixat, un vector v  v = v 0 + u, unde u π , deci B = v 0 + π  .

∈

∈

58

∈ B se scrie sub forma

∈

Dac˘a identific˘am vectorul v B cu extremitatea acestuia, situat˘a ˆın planul π, structura de varietate liniar˘a a lui B se transmite planului π. O astfel de varietate liniar˘a se nume¸ste plan din 3O (deci planele care nu trec prin origine sunt variet˘a¸ti liniare ˆın 3O ).

E

E

• Consider˘am un sistem neomogen de m ecuat¸ii liniare, cu n necunoscute. n



aij x j = b i ,

i = 1, m , aij

j=1

∈ K.

Presupunem c˘a sistemul este compatibil, adic˘a rang(aij ) = rang(aij , bi ) = r

≤ n.

Mult¸imea A a solut¸iilor sistemului neomogen de ecuat¸ii este o varietate liniar˘a a lui Kn. Spat¸iul s˘au director este mult¸imea U a solut¸iilor sistemului de ecuat¸ii liniare ¸si omogene asociat (acesta este un subspat¸iu al lui K n ). Într-adev˘ ar, dac˘a x = (x1 , . . . , xn ) este o solut¸ie fixat˘a a sistemului dat, atunci pentru orice solut¸ie u = (u1 , . . . , un ) a sistemului omogen asociat, este imediat faptul c˘a (x1 + u1 , . . . , xn + un ) este, de asemenea, o solut¸ie a sistemului neomogen. Deci A = x + U .

∈ A(V ) ¸si b ∈ A, atunci A = b + U . b ∈ A =⇒ ∃ u ∈ U, b = a + u, deci a = b − u ¸si A = a + U = (b − u) + U =

Propozit ¸ie. Dac˘ a A = a + U

Dem: b + ( u) + U = b + U .  Rezult˘ a c˘a o varietate liniar˘a A nu depinde de punctul a ales din A (de exemplu, o dreapt˘ a din 3O este determinat˘a de direct¸ ia sa — spat¸iul s˘au director — ¸si un punct arbitrar al dreptei).

−

E

• O varietate liniar˘a A ∈ A este un subspat¸iu vectorial al lui V dac˘a ¸si numai dac˘a 0V ∈ A. Dimensiunea unei variet˘ at¸i liniare Propozit ¸ie. Dac˘ a A = a + U = a  + U  Dem: Deoarece a  

∈ A, atunci U = U .

∈ A, rezult˘a c˘a A = a + U  = a + U , deci a + U = a + U  ¸si U = U .

În consecint¸a˘, ˆın reprezentarea unei variet˘a¸t i liniare sub forma A = a + U , subspat¸iul s˘ au director U este unic determinat. Îl vom nota cu D(A) ¸si o varietate liniar˘a A va fi de forma A = a + D(A). Definim dimensiunea unei variet˘a¸ti liniare A = a + D(A) astfel: dim A =



∅ ∅

dim D(A) dac˘ a A= 1 dac˘ a A =

−

59

.

• Dac˘a dim A = 0, atunci A = a+ < 0V > ¸si mult¸imea A (format˘a dintr-un singur vector a) se nume¸ste punct . Identific˘am vectorul a cu punctul {a}. • Dac˘a dim A = 1, dim A = 2, dim A = p, atunci varietatea liniar˘a A se va numi respectiv dreapt˘ a , plan sau p-plan . Dac˘a 0 V ∈ A, atunci vom avea o dreapt˘a vectorial˘a, un plan vectorial, respectiv un p-plan vectorial.

• Dac˘a U este un hiperplan vectorial, atunci A = a + U se nume¸ste hiperplan . particular, dac˘a V are dimensiunea n, un hiperplan va avea dimensiunea n − 1. Propozit ¸ie. Dac˘ a Aα ∈ A(V ), pentru α ∈ I , atunci Aα ∈ A(V ).



În

α∈I

Dem: Dac˘ a



Aα = , propozit¸ia este evident˘a . Fie a

α∈I

∅

Aα = a + D(Aα ), pentru orice α

∈ I . Este imediat faptul c˘a

∈





α∈I



α∈I

 ∅

Aα = a +

Corolar. Dac˘ a variet˘ at ¸ile liniare Aα sunt finit dimensionale, α nevid˘ a, atunci dim Aα = dim D(Aα ).



Aα = . Rezult˘a c˘a

α∈I



D(Aα ).



α∈I

∈

I , ¸si au intersect ¸ia

α∈I

Teoreme de caracterizare pentru variet˘a¸t ile liniare Propozit ¸ie 2.1.1. Dac˘ a a ¸si b sunt dou˘ a puncte distincte din V , atunci exist˘ a o singur˘ a dreapt˘ a ˆın (V ) care cont ¸ine punctele a ¸si b; o vom nota cu ab.

A

Dem: Dreapta a+ = a + λ(b a), λ K cont¸ine punctele a ¸si b, deci existent¸a este asigurat˘a. Presupunem acum c˘a D este o adreapt˘a arbitrar˘a din (V ), care cont¸ine punctele distincte a ¸si b. Vom ar˘ata c˘ a D = a+ . Într-adev˘ ar, deoarece a D, rezult˘a c˘a D = a + U , unde U V , de dimeniune 1 (adic˘a generat de un singur vector al lui U ). Dar b D = b = a + u, cu u U , deci b a = u ¸si este imediat faptul c˘a =, adic˘ a = U .  Deci, dreapta ab care trece prin punctele distincte a ¸si b este

−

∈

⇒ −

≺

{

−

∈ }

A

−

∈

−

{

ab = a + λ(b

∈ −

− a), λ ∈ K}

¸si ea se mai poate scrie sub forma

{ − λ)a + λb,λ ∈ K}.

ab = (1

D˘ am acum o caracterizare a variet˘a¸t ilor afine cu ajutorul dreptelor. Propozit ¸ie 2.1.2. Fie V un spat ¸iu vectorial peste un corp K care cont ¸ine cel put ¸in trei elemente. O submult ¸ime A a lui V este o varietate liniar˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a

∀ a, b ∈ A, a = b =⇒ ab ⊂ A. 60

⇒

∈ A

Dem: ”= ” Dac˘ aA (V ), atunci A = x + D(A), unde x a = b dou˘ a puncte din A. Varietatea A se poate scrie



∈ A ¸si D(A) ≺ V .

Fie

A = a + D(A).

∈

⇒ − ∈

−

⊂

⊂

Deoarece b A = b a D(A), deci D(A), adic˘a ab A. ” =” Fie A o submult¸ime a lui V care satisface condit¸ia din enunt¸. Dac˘ a A = , atunci A este o varietate liniar˘a. Presupunem c˘a A = . Fie a A ¸si not˘am U = A a = u = x a, x a . Vom demonstra c˘a U este subspat¸iu vectorial al lui V .

⇐

 ∅

∈

−

∅

{

−

• Pentru orice u 1, u2 ∈ U ¸si orice λ ∈ K, rezult˘a c˘a (1 − λ)u1 + λu2 ∈ U.

∈ }

(2.1)

Într-adev˘ ar, dac˘a u 1 = x 1

− a ¸si u 2 = x2 − a, cu x 1, x2 ∈ A, avem (1 − λ)u1 + λu2 = (1 − λ)(x1 − a) + λ(x2 − a) = (1 − λ)x1 + λx2 −a ∈ A − a = U.

   x1 x2

• În (2.1) ˆınlocuim u 1 = 0V (deoarece a ∈ A =⇒ 0V = a − a ∈ U ) ¸si obt¸inem ∀ λ ∈ K, ∀ u ∈ U, =⇒ λu ∈ U. • Deoarece corpul K are cel put¸in trei elemente, rezult˘a c˘a exist˘a α ∈ K, α = 0, α = 1. Înlocuim ˆın (2.1) λ = α, u 1 = (1 − α)−1 v1 ¸si u 2 = α −1 v2 , cu v 1 , v2 ∈ U . Atunci ∀, v1, v2 ∈ U =⇒ v1 + v2 ∈ U. Deci U este un subspat¸iu vectorial al lui V , iar A = a + U este o varietate liniar˘a.  Dac˘ a K are doar dou˘a elemente, propozit¸ia nu mai este adev˘arat˘ a. Fie K = Z2 = 0, 1 , V = Z 2 Z2 ¸si M = (0, 0), (0, 1), (1, 0) V . Orice dreapt˘ a din Z2 Z2 cont¸ine exact dou˘ a elemente (ab = a + λ(b a), λ = 0, 1 ), deci oricare ar fi dou˘a elemente ale lui M , dreapta care trece prin ele este cont¸inut˘ a ˆın M . Dar M nu este varietate liniar˘a, c˘aci dac˘a ar fi, t¸inând cont de faptul c˘a (0, 0) M , ar rezulta c˘a M este un subspat¸iu vectorial al lui Z 2 Z2 . Dar atunci (0, 1) + (1, 0) M , deci (1, 1) M , ceea ce este fals. În urm˘atoarea caracterizare a variet˘a¸t ilor liniare nu excludem nici un corp.

  −    } ⊂}       ∈∈   ∈

×

{ {

×

{ }

×

Propozit ¸ie 2.1.3. Fie V un spat ¸iu vectorial peste un corp K. O submult ¸ime A V este o varietate liniar˘ a a lui V dac˘ a ¸si numai dac˘ a este satisf˘ acut˘ a urm˘ atoarea condit ¸ie: n

∀

∈ A, ∀ λ1, . . . , λn ∈ K,

( x1 , . . . , xn

61

 i=1

⊂

n

 ⇒

λi = 1) =

i=1

∈ A.

λi xi

(2.2)

⇒

∈ A

Dem: ”= ” Dac˘ aA (V ), atunci A = x + D(A), unde x x1 A. Varietatea A se poate scrie

∈

∈ A ¸si D(A) ≺ V .

Fie

A = x 1 + D(A). n



∈ A, i = 1, n ¸si λi ∈ K, i = 1, n, cu λi = 1, =⇒ xi − x1 ∈ D(A) ≺ V , deci i=1 λi (xi − x1 ) ∈ D(A). În consecint¸a˘,

Pentru xi n



i=1

n

n

  λi xi =

i=1

n

λi (xi

i=1

− x1 ) +

n

  −    λi x1 =

i=1

λi (xi

⊂ D(A) + x1 ∈ A.

x1 ) +x1

i=1

∈D(A)

⇐

∅

” =” Fie A o submult¸ime a lui V care satisface condit¸ia din enunt¸. Dac˘ a A = , atunci A este o varietate liniar˘a. Presupunem c˘a A = . Fie a A ¸si not˘am U = A a = u = x a, x a . Vom demonstra c˘a U este subspat¸iu vectorial al lui V .

 ∅

∈

−

• Pentru orice u 1, . . . , un ∈ U ¸si orice λ i ∈ K, cu n



n



i=1

{

−

λi = 1, rezult˘a c˘a

λi ui

i=1

∈ }

∈ U.

(2.3)

Într-adev˘ ar, dac˘a u i = x i n

n

  λi ui =

i=1

i=1

− a, cu x i ∈ A, ı = 1, n, avem n n λi (xi − a) = λi xi − λi a =

n

   −⊂    i=1

i=1

λi xi a

i=1

A

− a = U.

∈A

• În (2.3) ˆınlocuim n = 3, λ1 = α ∈ K, λ2 = β ∈ K, λ3 = 1 − α − β , u3 = 0V (deoarece a ∈ A =⇒ 0 V = a − a ∈ U ) ¸si obt¸inem ∀ α, β ∈ K, ∀ u1, u2 ∈ U, =⇒ αu1 + βu 2 ∈ U. Deci U este un subspat¸iu vectorial al lui V , iar A = a + U este o varietate liniar˘a.



Înf˘ a¸sur˘ atoarea afin˘ a a unei submult¸imi Combinat¸ia liniar˘a

n



i=1

λi xi , ˆın care coeficient¸ii λi

∈

K verific˘a

n



i=1

λi = 1, se num¸ste

combinat ¸ie afin˘ a a punctelor x 1 , . . . , xn V . Am v˘a zut c˘a intersect¸ia variet˘ a¸t ilor liniare este o varietate liniar˘a. Fie M V . Intersect¸ia tuturor varet˘a¸tilor liniare ale lui V , care cont¸in pe M , se nume¸ste ˆınf˘ a¸sur˘ atoarea afin˘ a (sau ˆınchiderea afin˘ a ) a lui M ¸si se noteaz˘a cu af M . Este clar c˘a af M este elementul minim al lui (V ) (ˆın raport cu incluziunea) care cont¸ine pe M .

∈

⊂

A

A

∈ A(V ), M ⊂ A =⇒ af M ⊂ A. 62

Propozit ¸ie 2.1.4. Fie V un spat ¸iu vectorial peste un corp K . ˆ Inf˘ a¸sur˘ atoarea afin˘ a a unei mult ¸imi M V este mult ¸imea tuturor combinat ¸iilor afine care se pot forma cu un num˘ ar finit de elemente din M .

⊂

n

af M =

 {

n

λi xi , n

i=1

Dem: Fie X =

{

∈ N, x1, . . . , xn ∈ M, λ1, . . . , λn ∈ K,

n



i=1

λi xi , n



λi = 1

i=1

∈ N, x1, . . . , xn ∈ M, λ1, . . . , λn ∈ K,

}

n



i=1

(sume finite).

λi = 1 . Vom ar˘ata

}

c˘ a af M = X . ” ” Pentru aceast˘a incluziune, este suficient s˘a verific˘am faptul c˘a X este o varietate liniar˘ a care cont¸ine pe M . Evident, M X , deoarece orice x M este de forma x = 1 x.

⊆

⊂

∈

∈ A(V ), vom folosi Propozit¸ia 2.1.3. Fie y j =

Pentru a demonstra c˘a X cu

n



i=1

λij = 1, j = 1, k ¸si fie µ j k

∈ K, j = 1, k, cu k

µ j y j =

deoarece

n

(

k

µ j (

j=1

n

(

k

n

λij xi ) =

i=1

i=1 j=1

µ j )λij =

n

µ j = 1. Atunci

i=1

·

∈ X ,

λij xi

k

(

∈ X,

µ j λij )xi

i=1 j=1

∈ A(V ). Deoarece af M este cea mai mic˘a varietate liniar˘a a lui V care cont¸ine pe M , rezult˘a c˘a af M ⊆ X . ”⊇” Fie A ∈ A(V ) o varietate liniar˘a arbitrar˘a, astfel ˆıncât M ⊂ A. Vom ar˘ata n n c˘ a X ⊂ A. Într-adev˘ a r, fie x ∈ X . Deci x = λi xi , unde xi ∈ M , iar λi = 1. i=1 i=1 Deoarece xi ∈ M , iar M ⊂ A, atunci xi ∈ A. Folosind din nou Propozit¸ia 2.1.3, rezult˘a n c˘ ax= λi xi ∈ A, deci X ⊂ A. Adic˘a X este inclus˘a ˆın orice varietate liniar˘a A, cu i=1 M ⊂ A, deci X ⊂ af M .  i=1 j=1

µ j λij ) =

j=1

n

      j=1

k

 

n



i=1

λij = 1, deci X







Rezult˘ a imediat c˘a

• M = af M ⇐⇒ M ∈ A(V ). • af {a, b} = ab. Ecuat¸iile unei variet˘ a¸t i liniare Presupunem acum c˘a spat¸iul vectorial V este finit dimensional, de dimeniune n, ¸si fie B = e1 , . . . , en o baz˘a a sa. Fie A (V ) o varietate liniar˘a de dimensiune r, r n. Atunci A este de forma A = a+ < d1 , . . . , dr >,

{

}

∈ A

≤

unde a A, iar vectorii d 1 , . . . , dr sunt liniar independent¸i. Aceasta este ecuat ¸ia vectorial˘ a a variet˘a¸tii A.

∈

63

În raport cu baza B a lui V , putem determina coordonatele vectorilor a, d1 , . . . , dr . Dac˘ a a =

n



i=1

ai ei ¸si d j =

n



i=1

dij ei , j = 1, r, atunci varietatea liniar˘a A este dat˘a de r

{

∈

A = x = (x1 , . . . , xn ) V, xi = a i +



j=1

dij λ j , λ j

∈ K}

¸si am obt¸inut ecuat ¸iile parametrice ale variet˘a¸tii A. Pe de alt˘a parte, variet˘a¸tile liniare coincid cu solut¸iile sistemelor de ecuat¸ii liniare, deci n

{

∈

A = x = (x1 , . . . , xn ) V,



j=1

}

aij x j = b i , i = 1, m ,

unde rangul matricei (aij ) este r. Teorema dimensiunii. Paralelism Variet˘ a¸tile liniare A, B Vom nota A B.



∈ A(V ) se numesc paralele dac˘a D(A) ⊆ D(B) sau D(B) ⊆ D(A).

Propozit ¸ie. Dac˘ a A, B

∈ A(V ), cu A  B, atunci A ⊆ B, sau B ⊆ A, sau A ∩ B = ∅. Dem: Dac˘a A ∩ B = ∅, nu mai e nimic de demonstrat. Presupunem c˘a A ∩ B  = ∅ ¸si fie a ∈ A ∩ B. Rezult˘a c˘a A = a + D(A) ¸si B = a + D(B). Deoarece A  B, putem presupune c˘ a D(A) ⊆ D(B). Atunci, A = a + D(A) ⊆ a + D(B) = B ¸si propozit¸ia este demonstrat˘a. 

∈ A(V ), A = a + D(A), B = b + D(B). Atunci af (A ∪ B) = a + D(A) + D(B)+ . Dem: ”⊆”. Într-adev˘ ar, deoarece A ⊆ a + D(A) + D(B)+ ¸si B ⊆ a + D(A) + D(B)+ , rezult˘a c˘a A ∪ B ⊆ a + D(A) + D(B)+ , deci af (A ∪ B) ⊆ a + D(A) + D(B)+ (deoarece af (A ∪ B) este cea mai mic˘a varietate liniar˘ a care cont¸ine pe A ∪ B). ”⊇”. Am v˘azut c˘a af (A ∪ B) este o varietate liniar˘a (ca intersect¸ie de variet˘a¸ti liniare). Deci af (A ∪ B) = a + D( af (A ∪ B)). Avem: A ⊆ af (A ∪ B) =⇒ D(A) ⊆ D( a f (A ∪ B)), B ⊆ af (A ∪ B) =⇒ D(B) ⊆ D( a f (A ∪ B)), a, b ∈ af (A ∪ B) =⇒ ⊆ D( a f (A ∪ B)), Propozit ¸ie 2.1.5. Fie A, B

deci a + D(A) + D(B)+ ⊆ a + D( a f (A ∪ B)) = af (A ∪ B). 64



∈ A(V ), A = a + D(A), B = b + D(B). Atunci A ∩ B  = ∅ ⇐⇒⊂ D(A) + D(B). Dem: ”=⇒” Fie c ∈ A ∩ B. Atunci exist˘a u1 ∈ D(A) ¸si u2 ∈ D(B) astfel ˆıncât c = a + u1 = b + u2 . Rezult˘a c˘a b − a = u 1 − u2 ∈ D(A) +D(B), deci ⊂ D(A) +D(B). ”⇐=” Dac˘a ⊂ D(A)+D(B) =⇒ b − a ∈ D(A)+D(B), deci exist˘a u1 ∈ D(A) ¸si u2 ∈ D(B), astfel ˆıncât b − a = u 1 + u2 . În consecint¸a˘, b − u2 = a + u1 = c, deci c ∈ A ∩ B. Propozit ¸ie 2.1.6. Fie A, B

      ∈B



∈A

∈ A(V ), A = a + D(A), B = b + D(B). Atunci a + D(A) + D(B) dac˘ a A ∩ B  =∅ af (A ∪ B) = a + D(A) + D(B)+ dac˘a A ∩ B = ∅

Consecint¸a ˘. Fie A, B



.

(2.4)

Exemplu. Presupunem c˘ a V este un spat ¸iu vectorial de dimensiune 3 ¸si fie d1 = a+ < d1 > ¸si d2 = b+ < d2 > dou˘ a drepte distincte din (V ).

A

• Dac˘ a d1 ∩ d2 = {P }, atunci af (d1 ∪ d2 ) = a+ < d1 > + < d2 >= a+ < d1 , d2 >, obt ¸inˆ and planul determinat de cele dou˘ a drepte.

• Dac˘ a d1  d2, atunci < d1 >=< d 2 >, deci af (d1 ∪ d2 ) = a+ < d1 > + = a+ < d1 , b − a >, obt ¸inˆ and planul determinat de vectorii (liniar independent ¸i) d 1 ¸si b − a (acesta este, evident, planul determinat de d1 ¸si d2 ).

• Dac˘ a d1 ¸si d2 sunt necoplanare, atunci af (d1 ∪ d2 ) = a+ < d1 > + < d2 > + = a+ < d1 , d2 , b − a > ¸si, deoarece d1 , d2 ¸si b − a sunt liniar independent ¸i, af (d1 ∪ d2 ) este ˆıntreg spat ¸iul V .

Propozit ¸ie 2.1.7. (Teorema dimensiunii) Fie A ¸si B dou˘ a variet˘ at ¸i liniare nevide, de dimensiuni finite, din spat ¸iul vectorial V . Atunci dim af(A

∪ B) =



∩  ∅

dim A + dim B dim(A B) dac˘ a A dim[D(A) + D(B)] + 1 dac˘a A

Dem: Dac˘ a A B = , atunci af (A dimensiunii (Grassmann), obt¸inem dim af(A

−

∩

∩ B = ∅ ∩ B = ∅

.

(2.5)

∪ B) = a + D(A) + D(B) ¸si, folosind teorema

∪ B) = dim[D(A) + D(B)] = dim D(A) + dim D(B) − dim(D(A) ∩ D(B)) = 65

= dim A + dim B

− dim(A ∩ B).

Dac˘ a A B = , atunci, conform Propozit¸iei 2.1.6,  D(A) + D(B), deci vectorul b a este liniar independent de vectorii din [ D(A) + D(B)]. Rezult˘a c˘a

∩ −

∅

−

∪ B) = dim[D(A) + D(B)+ ] = = dim[D(A)+D(B)]+dim < b−a > − dim([D(A)+D(B)]∩ < b−a >) = dim[D(A)+D(B)]+1, deoarece [D(A) + D(B)]∩ = {0V } (altfel subspat¸iul 1-dim ar fi inclus dim af (A

ˆın subspat¸iul D(A) + D(B)).



Exemplu. Vom determina pozit ¸iile relative ale unei drepte ¸si un plan ˆıntr-un spat ¸iu vectorial 4-dimensional V . Fie d = a+ < d1 > o dreapt˘ a ¸si π = b+ < d2 , d3 > un plan.

• Dac˘ a d ∩ π = ∅, atunci af (d

∪ π) = a+ < d1 > + < d2, d3 >,

iar

∪ π)] = 1 + 2 − dim(d ∩ π) ≤ 4, de unde rezult˘ a c˘ a dim(d ∩ π) ≥ −1, deci dim(d ∩ π) = {0, 1}. a) Dac˘ a dim(d ∩ π) = 0 =⇒ d ∩ π = {P }, dim ( af (d ∪ π)) = 3, deci intersect ¸ia dintre d ¸si π este un punct, iar ˆınf˘ a¸sur˘ atoarea afin˘ a a lui d ∪ π este un hiperplan. b) Dac˘ a dim(d ∩ π) = 1 =⇒ d ∩ π = d, dim ( af (d ∪ π)) = 2, deci d ⊂ π. • Dac˘ a d ∩ π = ∅, atunci af (d ∪ π) = a+ < d1 > + < d2 , d3 > + , dim[af(d

iar dim[af(d

∪ π)] = dim[< d1 >,< d2, d3 >] + 1 ≤ 4, de unde rezult˘ a c˘ a dim < d1 , d2 , d3 >≤ 3, deci dim < d1 , d2 , d3 >= {2, 3} (evident, d2 ¸si d3 sunt liniar independent ¸i, deci dim < d1 , d2 , d3 > ≥ 2). a) Dac˘ a dim < d1 , d2 , d3 >= 2 =⇒< d1 >⊂< d2 , d3 >=⇒ d  π, iar af (d ∪ π) = a+ < d2 , d3 > + este un hiperplan. b) Dac˘ a dim < d1 , d2 , d3 >= 3 =⇒ dim af (d ∪ π) = 4 =⇒ af (d ∪ π) = V ¸si d ∦ π (dreapta d nu este paralel˘ a cu planul π ¸si nici nu are puncte comune cu π).

66

2.2

Spat ¸ii afine. Propriet˘ a¸ t i imediate

A = {A , B , C , . . .} o mult¸ime nevid˘a de puncte. • Un element (A, B) ∈ A× A se nume¸ste bipunct al lui A, de origine A ¸si extremitate

Fie

B.

• Un bipunct de forma (A, A) este un bipunct diagonal sau bipunct nul . • Bipunctele (A, B) ¸si (B, A) sunt bipuncte simetrice . Un K-spat¸iu vectorial V determin˘a o structur˘ a afin˘ a pe A dac˘ a se poate defini o funct¸ie ϕ : A × A → V , astfel ˆıncât: 1) ϕ(A, B) + ϕ(B, C ) = ϕ(A, C ), pentru oricare A, B,C ∈ A; 2) Pentru orice A ∈ A ¸si orice v ∈ V , exist˘ a un unic punct B ∈ A, astfel ˆıncât ϕ(A, B) = v.

A

Mult¸imea , dotat˘ a cu o structur˘a afin˘ a, se nume¸ste spat ¸iu afin . Un spat¸iu afin este, deci, determinat de un triplet ( , V , ϕ) care verific˘a cele dou˘a condit¸ii de mai sus.

A

• Mult¸imea A este spat ¸iul baz˘ a (sau spat ¸iul suport ), iar elementele sale sunt punctele spat ¸iului afin .

• Spat¸iul vectorial V este spat ¸iul director al spat¸iului afin, iar elementele sale nenule sunt vectori directori .

• Funct¸ia ϕ este funct ¸ia structural˘ a a spat¸iului afin. Spat¸iul afin este real sau complex , dup˘a cum scorpul K al scalarilor lui V este real sau complex. Notând ϕ(A, B) = AB, cele dou˘a condit¸ii din definit¸ia structurii afine devin:

∈ A;

1) AB + BC = AC , pentru oricare A,B, C 2) Pentru orice A

∈ A ¸si orice v ∈ V , exist˘a un unic punct B ∈ A, astfel ˆıncât AB = v. În continuare, vom ment¸iona un spat¸iu afin prin (A, V , ϕ) sau, folosind notat¸ia ϕ(A, B) = AB, prin (A, V ) sau, când se subˆınt¸elege spat¸iul director V , doar prin spat¸iul s˘au suport A. Propozit ¸ie. ˆ Intr-un spat ¸iu afin (A, V ), avem 1) Vectorul asociat oric˘ arui bipunct diagonal este vectorul nul , AA = 0V

∈ V, ∀ A ∈ A.

2) Vectorii asociat ¸i la dou˘ a puncte simetrice sunt vectori opu¸si , BA =

−AB, ∀ A, B ∈ A. 67

3) Pentru fiecare punct A

∈ A, aplicat ¸ia ϕA : A → V,

ϕA(B) = AB

este o biject ¸ie. Fie O un punct fixat ¸si fie O = O mult¸imea bipunctelor lui , de origine O O. Prin biject¸ia V , (O, A) OA, bipunctul (O, A) se poate identifica cu vectorul ˆ OA. In acest mod, structura vectorial˘a din V se introduce pe O .

∈ A

A →

A →

{ }×A

A

A

• Spat¸iul vectorial AO astfel determinat se nume¸ste spat ¸iu vectorial tangent ˆın O la A. • Un vector din AO se num¸ste vector tangent ˆın O la A (sau vector legat al spat¸iului afin A, de origine O). • Evident, spat¸iul vectorial AO este izomorf cu V . • Considerând biject¸ia A → AO , A → (O, A), vectorul (O, A), asociat punctului A, se nume¸ste vector de pozit ¸ie al punctului A ˆın raport cu originea O. Vom spune c˘a bipunctul (A, B) este echipolent cu bipunctul (C, D) ¸si vom scrie (A, B) (C, D) dac˘a (A, B) ¸si (C, D) determin˘a acela¸si vector ˆın V , adic˘a

∼

∼ (C, D) ⇐⇒ ϕ(A, B) = ϕ(C, D). ˘ pe A×A. Fie (A×A)/∼ mult¸imea Este imediat faptul c˘a ∼ este o relat¸ie de echivalent¸a (A, B)

claselor de echivalent¸a˘ ¸si [(A, B)] clasa bipunctului (A, B). Aplicat¸ia

A × A)/∼ → V,

(

[(A, B)]

→ v = ϕ(A, B)

este bine definit˘a (evident, nu depinde de alegerea reprezentantului (A, B) al clasei [(A, B)]) ¸si este o biject¸ie. Putem, deci, s˘a identific˘am clasa [(A, B)] cu vectorul ϕ(A, B) = AB. În acest fel, structura de spat¸iu vectorial a lui V se poate transporta pe spat¸iul factor ( )/∼ care va avea, astfel, o structur˘a de spat¸iu vectorial.

A×A • Spat¸iul vectorial astfel definit se nume¸ste spat ¸iul vectorial al vectorilor liberi din spat¸iul afin A. • (A × A)/∼ este izomorf cu spat¸iul s˘au director V . • O clas˘a oarecare de bipuncte echipolente se nume¸ste vector liber al spat¸iului afin A.

68

2.3

Exemple de spat ¸ii afine

Structura afin˘ a a spat¸iului

E 3

E

Dac˘ a 3 este spat¸iul punctual euclidian 3-dimensional, iar vectorilor liberi din 3 , consider˘am funct¸ia

E

ϕ :

E 3 × E 3 → E 3,

E 3 este spat¸iul vectorial al

ϕ(A, B) = AB,

−−→

unde AB este vectorul liber asociat vectorului legat AB determinat de bipunctul (A, B). Tripletul ( 3 , 3 , ϕ) este un spat¸iu afin real. Fie O ¸iul 3 al vectorilor liberi cu spat¸iul 3 un punct arbitrar. Putem identifica spat O vectorial 3 tangent la 3 ˆın punctul O. Structura afin˘ a pe 3 este determinat˘a de un O O triplet ( 3 , 3 , ϕ), unde ϕ este operat¸ia de sc˘adere din 3 ,

E E ∈ E E E E

E

E ϕ :

E 3 × E 3 → E 3O ,

E

E −−→ −→ ϕ(A, B) = OB − OA.

Structura afin˘ a asociat˘ a unei variet˘ a¸t i liniare Fie A o varietate liniar˘a dintr-un spat¸iu vectorial V , A = a + D(A). Pe A se poate defini o structur˘a afin˘ a, numit˘ a structura afin˘ a canonic asociat˘ a lui A, considerând funct¸ia ϕ : A

× A → D(A),

ϕ(a + u, a + w) = w

− u.

Se verific˘a imediat cele dou˘a condit¸ii din definit¸ia structurii afine, deci tripletul (A, D(A), ϕ) determin˘ a o structur˘a afin˘ a pe A. Structura afin˘ a asociat˘ a unui spat¸iu vectorial Fie V un K -spat¸iu vectorial. Structura afin˘a canonic asociat˘ a lui V este dat˘a de tripletul (V , V , ϕ), unde ϕ : V V V, ϕ(v, w) = w v.

× →

−

Spat¸iul afin standard Kn Pe spat¸iul vectorial aritmetic K n , structura afin˘a este dat˘a de tripletul (Kn , Kn , ϕ), unde, din nou, ϕ : Kn Kn

× → Kn, ϕ(A, B) = AB = (b1−a1, . . . , bn−an), ∀ A = (a1, . . . , an), B = (b1, . . . , bn) ∈ Kn.

2.4

Combinat ¸ii afine de puncte

Propozit ¸ie. Fie un spat ¸iu afin ¸si = A0 , A1 , . . . , A p un sistem finit de puncte din . Fie αo , α1 , . . . , α p a α0 +α1 +. . .+α p = K un sistem de scalari cu proprietatea c˘ 1. Atunci exist˘ a un unic punct P , astfel ˆıncˆ at

A

{

A

}⊂

S { ∈ A

}⊂A

OP = α0 OA0 + α1 OA1 + . . . + α p OA p , oricum am alege punctul origine O

∈ A. 69

(2.6)

Dem : Presupunem c˘a, alegˆ and originea ˆın O, g˘asim punctul P astfel ˆıncât OP = α 0 OA0 + α1 OA1 + . . . + α p OA p ¸si, pentru originea ˆın O  , avem punctul P  , cu O  P  = α 0 O  A0 + α1 O A1 + . . . + α p O  A p . Atunci p





O P = O O + OP =



p



αi O O +

i=0



p

αi OAi =

i=0



p



αi (O O + OAi ) =

i=0



αi O  Ai = O  P  ,

i=0

deci O  P = O  P  ¸si P = P  .  Deoarece alegerea lui O ˆın (2.6) nu este esent¸ial˘a, putem folosi notat¸ia P = α0 A0 + α1 A1 + . . . + α p A p .

• Fie S = {A0, A1, . . . , A p} ⊂ A un sistem finit de puncte din A. Un punct P ∈ A se nume¸ste combinat ¸ie afin˘ a (sau baricentru ) a sistemului de puncte S dac˘a exist˘a un sistem de scalari {αo , α1 , . . . , α p } ⊂ K, cu α 0 + α1 + . . . + α p = 1, astfel ˆıncât P = α 0 A0 + α1 A1 + . . . + α p A p .

(2.7)

• Sistemul de scalari {αo, α1, . . . , α p, α0 + α1 + . . . + α p = 1} se nume¸ste sistemul de ponderi al punctului P fat¸a˘ de S . • Dac˘a S = {Aα, α ∈ J } este un sistem oarecare de puncte din A, atunci un punct P ∈ A este combinat ¸ie afin˘ a a lui S dac˘a exist˘a un subsistem finit al lui S , astfel ˆıncˆ at P s˘a fie combinat¸ie afin˘a a acestuia.

• Un sistem oarecare S de puncte din A se nume¸ste sistem de generatori al spat ¸iului afin A dac˘a orice punct P ∈ A este o combinat¸ie afin˘a a lui S . Propozit ¸ie. Fie S = {A0 , A1 , . . . , Aq , Aq+1 , . . . , A p } un sistem de puncte din A ¸si P = α 0 A0 + . . . + αq Aq + αq+1 Aq+1 + . . . + α p A p ,

α0 + . . . + αq + αq+1 + . . . + α p = 1,



un baricentru al s˘ au. Dac˘ a α = α0 + . . . + αq = 0, atunci P = αQ + αq+1 Aq+1 + . . . + α p A p ,

α + αq+1 + . . . + α p = 1,

α0 α1 αq unde Q este baricentru al subsistemului A0 , A1 , . . . , Aq , cu ponderile , ,..., . α α α Reciproc, dac˘ a P este dat de

∈ A

{

}

P = αQ + αq+1 Aq+1 + . . . + α p A p ,

{

}

α + αq+1 + . . . + α p = 1,



cu α = 0, iar Q = β 0 A0 + β 1 A1 + . . . + β q Aq ,

S

β 0 + β 1 + . . . + β q = 1,

{

}

atunci P este baricentru al sistemului , de ponderi αβ 0 , . . . , α βq , αq+1 , . . . , α p . 70

• Un sistem finit de puncte S = {A0, A1, . . . , A p} din A se nume¸ste afin dependent dac˘ a cel put¸in unul din punctele sale este combinat¸ie afin˘a a sistemului format cu celelalte puncte. Punctele lui S se numesc afin dependente .

• Sistemul S = {A0, A1, . . . , A p} se nume¸ste afin independent dac˘a nu este afin de-

pendent sau dac˘a este alc˘atuit dintr-un singur punct. Punctele lui S se numesc afin independente .

S { {

} }

A

Propozit ¸ie. Sistemul de puncte = A0 , A1 , . . . , A p din este afin dependent dac˘ a ¸si numai dac˘ a sistemul de vectori S = A0 A1 , . . . , A0 A p din V este liniar dependent. Dem: Presupunem c˘ a sistemul de puncte Rezult˘ a c˘a

∃ α1, . . . , α p ∈ K,

S = {A0, A1, . . . , A p} este afin dependent.

α1 + . . . + α p = 1,

A0 = α1 A1 + . . . + α p A p ,

adic˘ a

∀ O ∈ A,

OA0 = α 1 OA1 + . . . + α p OA p .

Alegˆ and, ˆın ultima relat¸ie, originea O s˘ a fie chiar punctul A 0 , obt¸inem c˘a 0V = α 1 A0 A1 + . . . + α p OA p , unde scalarii α i nu sunt tot¸i zero, deoarece suma lor este egal˘a cu 1. Rezult˘a c˘a sistemul de vectori S = A0 A1 , . . . , A0 A p este liniar dependent. Reciproc, presupunem c˘a sistemul S = A0 A1 , . . . , A0 A p este liniar dependent. Rezult˘a c˘ a α1 , . . . , α p K, nu tot¸i nuli, cu α 1 A0 A1 + . . . + α p A0 A p = 0V ,

{

}

∃

{

}

∈

adic˘ a

∀ O ∈ A,

α1 (A0 O + OA1 ) + . . . + α p (A0 O + OA p ) = 0 V ,

sau

∀ O ∈ A,

(α1 + . . . + α p ) A0 O + α1 OA1 + . . . + α p OA p = 0V .

   α

• Dac˘a α = 0, atunci

∀ O ∈ A,

αOA0 = α 1 OA1 + . . . + α p OA p ,

deci

∀ O ∈ A,

α1 α p OA0 = OA1 + . . . + OA p , α α

¸si α1 α p A0 = A1 + . . . + A p , α α adic˘ a sistemul de puncte

S este afin dependent. 71

p

cu

 i=1

p

cu

 i=1

αi = 1, α

αi =1 α

• Dac˘a α = 0, atunci α1OA1 + . . . + α pOA p = 0V , unde nu tot¸i scalarii α i sunt nuli. Presupunem c˘a α 1  = 0. Atunci −α1OA1 = α2OA2 + . . . + α pOA p, deci

∀ O ∈ A,

OA1 =

−

α2 OA2 α1

−...−

p

α p OA p , α1

cu

i=2

¸si

∀ O ∈ A,

A1 =

−

α2 A2 α1

− ... −

α p A p , α1

− − p

cu

i=2

αi = 1, α1

αi = 1, α1

S este afin dependent.  Sistemul de vectori S = {A0 A1 , . . . , A0 A p } se nume¸ste sistem de vectori asociat sistemului de puncte S = {A0 , A1 , . . . , A p }. Schimbˆ and rolul punctului A0 cu alt punct din deci, ¸si ˆın acest caz, sistemul de puncte

sistem, se pot obt¸ine alte sisteme de vectori asociate unui sistem de puncte. Toate aceste sisteme se deduc din primul prin transform˘ari elementare.

• Un sistem format din dou˘a puncte {A, B} este afin independent dac˘a ¸si numai dac˘a punctele sunt distincte A  = B. • În E 3, trei puncte necoliniare sunt afin independente. La fel sunt ¸si patru puncte necoplanare.

• Orice sistem de puncte care cont¸ine un un subsistem afin dependent este afin dependent.

• Dac˘a un sistem este afin independent, atunci orice subsistem al s˘au este afin independent.

S {

∈ }

Vom spune c˘a un sistem oarecare de puncte = Aα , α J din pendent dac˘a orice subsistem finit al s˘au este afin independent.

2.5

A este afin inde-

Subspat ¸ii afine

Fie ( , V , ϕ) un spat¸ iu afin. Fie  o submult¸ime nevid˘ a a lui ¸si ϕ = ϕ|A ×A  . Dac˘  ) este un subspat restrict¸ia lui ϕ la  a V  = ϕ (  ¸iu vectorial al lui V ,    atunci tripletul ( , V , ϕ ) are o structur˘a de spat¸iu afin. Se nume¸ste subspat ¸iu afin al spat¸iului afin ( , V , ϕ) un triplet (  , V  , ϕ ), unde  este  , iar V  = ϕ  (   ) este o submult¸ime nevid˘a a lui , ϕ  este restrict¸ia lui ϕ la  un subspat¸iu vectorial al lui V . Mult¸imea vid˘ a se consider˘a, prin definit¸ie, subspat¸iu afin al oric˘arui spat¸iu afin . Un subspat¸iu afin (  , V  ) este determinat fie de mult¸imea  a punctelor sale, fie de  ¸ un punct P 0 si de spat¸iul s˘au director V  .

A

A ⊂ A

A × A A

∈ A

A

A A

A ×A A

A

A

A × A

A

72



A A ×A



• Când cunoa¸stem pe A , spat¸iul director va fi V  = {AB, A, B ∈ A }, sau, fixând un punct P 0 ∈ A , V  = {P 0 A, A ∈ A }. • Când cunoa¸stem punctul P 0 ∈ A ¸si spat¸iul V , atunci A = {A ∈ A, P 0A ∈ V }. Exemple. Orice submult ¸ime format˘ a dintr-un singur punct  = A subspat ¸iu afin al lui . Spat ¸iul s˘ au director este V  = 0V V .

•

A { } ⊂ A este un A { }≺ • Orice dreapt˘ a d ¸si orice plan π din E 3 sunt subspat ¸ii afine ale lui E 3. Spat ¸iile lor directoare sunt, respectiv, o dreapt˘ a vectorial˘ a d ∈ E 3O ¸si un plan vectorial π  ∈ E 3O , care le determin˘ a direct ¸ia (adic˘ a d  d  , resp. π  π  ). • Variet˘ at ¸ile liniare din Kn, determinate de mult ¸imea solut ¸iilor sistemelor de ecuat ¸ii liniare, sunt subspat ¸ii afine ale spat ¸iului afin standard Kn . Spat ¸iile lor directoare n sunt subspat ¸iile vectoriale ale lui K , determinate de solut ¸iile sistemelor liniare ¸si omogene, asociate sistemelor date. De exemplu, ˆın K3 , spat ¸iul solut ¸iilor ecuat ¸iei Ax + By + C z + D = 0, cu rang (A,B,C ) = 1, este un subspat ¸iu afin al lui K3 . Spat ¸iul s˘ au director este spat ¸iul vectorial al solut ¸iilor ecuat ¸iei omogene asociate Ax + By + Cz = 0. Urm˘ atoarea propozit¸ie este o generalizare a axiomei paralelelor din

A

E 3.

∈ A

Propozit ¸ie. Fie ( , V , ϕ) un spat ¸iu afin. Pentru orice punct P 0 ¸si orice subspat ¸iu   vectorial V al lui V , exist˘ a un unic subspat ¸iu afin al lui care cont ¸ine punctul P 0 ¸si  admite pe V ca spat ¸iu director.

A

A

 . Tripletul Dem: Definim  = A , P 0 A V  ¸si fie ϕ  restrict¸ia lui ϕ la  (  , V  , ϕ ) este un subspat¸iu afin al lui ( , V , ϕ), cont¸ine pe P 0 ¸si admite pe V  ca spat¸iu director. Deoarece aplicat¸ia ϕP :  V  , A P 0 A, este o biject¸ie, rezult˘a c˘a  este unic determinat. 

A

A { ∈ A 0

A →

∈ } A −→

A ×A

A

• Un subspat¸iu afin al lui A este o dreapt˘ a ˆın A dac˘a spat¸iul s˘au director este o dreapt˘a vectorial˘ a din V .

• Un subspat¸iu afin al lui A este un plan ˆın A dac˘a spat¸iul s˘au director este un plan vectorial din V .

• Un subspat¸iu afin al lui A este un hiperplan ˆın A dac˘a spat¸iul s˘au director este un hiperplan vectorial din V .

73

Propozit ¸ie 2.5.1. O condit ¸ie necesar˘ a ¸si suficient˘ a pentru ca o submult ¸ime nevid˘ a s˘ a fie un subspat ¸iu afin al lui este ca

A ⊂ A

A ∀ P, Q ∈ A, ∀ α, β ∈ K, α + β = 1 =⇒ αP + βQ ∈ A. Dem: Presupunem c˘a A este un subspat¸iu afin al lui A. Înseamn˘ a c˘a spat¸iul director   V al lui A este un subspat¸iu vectorial al spat¸iului director V al lui A. Fix˘am A 0 ∈ A . Atunci V  = {A0 P, P ∈ A } ≺ V. Fie P, Q ∈ A . Atunci A 0 P, A0 Q ∈ V  ¸si, deoarece V  ≺ V , rezult˘a c˘ a, pentru orice λ ∈ K,   (1 − λ)A0 P + λA0 Q ∈ V . Deci exist˘ a R ∈ A , astfel ˆıncât A0 R = (1 − λ)A0 P + λA0 Q.  Deci R = (1 − λ)P + λQ ∈ A . Reciproc, presupunem c˘a implicat¸ia din propozit¸ie este adev˘arat˘ a . Fix˘am A0 ∈ A ¸si fie V  = {A0 P, P ∈ A }.

Vom ar˘ata c˘ a V  este un subspat¸iu vectorial al lui V .  , astfel ˆ Fie v V  . Rezult˘a c˘a exist˘a P ıncât v = A0 P . V  este o submult¸ime a lui V , deci v V ¸si, deoarece este un spat¸iu afin cu spat¸iul director V , rezult˘a c˘a, pentru orice λ K, exist˘a un unic R , astfel ˆıncât A0 R = λv. Deci λv = A0 R =  , rezult˘  , ceea ce (1 λ)A0 A0 + λv = (1 λ)A0 A0 + λA0 P ¸si, cum A 0 , P a c˘ a R ˆınseamn˘a c˘a λv V  .  , astfel ˆ Dac˘ a v, w V  , atunci exist˘a punctele (unice) P, Q ıncât v = A0 P ¸si 1 1 1 1 w = A0 Q. Combinat¸ia afin˘ a T = P + Q se va afla ˆın  , deci A0 T = v + w V  . 2 2 2 2 Rezult˘ a c˘a ¸si suma v + w V  , deci V  V , iar  este subspat¸iu afin al lui .  Evident, propozit¸ia anterioar˘a este valabil˘a pentru orice combinat¸ie afin˘a a unui num˘ar finit de puncte din  .

∈

−

∈ ∈ ∈ ∈

∈A A ∈ A

−

∈

≺

∈ A ∈ A A

A

∈ A

∈

A

A

A

S {

}

Propozit ¸ie 2.5.2. Fie ( , V ) un spat ¸iu afin, = A0 , A1 , . . . , A p un sistem finit de puncte din ¸si S = A0 A1 , . . . , A0 A p sistemul de vectori asociat. Atunci mult ¸imea baricentrelor lui ,

A

{

}

S S = {P ∈ A, P = α0A0 + . . . + α pA p, α0 + . . . + α p = 1}, este un subspat ¸iu afin al lui A . Spat ¸iul s˘ au director este ˆınf˘ a¸sur˘ atoarea liniar˘ a a lui S (deci subspat ¸iul < S > generat de S ).

S

Dem: Pentru a demonstra c˘ a este un subspat¸iu afin, vom folosi Propozit¸ia 2.5.1. Fie

∈ S ¸si λ ∈ K. Punctele P ¸si Q sunt de forma P = α0A0 + . . . + α pA p, cu

P, Q

p

respectiv Q = β 0 A0 + . . . + β p A p , cu p

(1

− λ)P + λQ = (1 − λ)



i=0

β i = 1. Atunci p

i=0

β i Ai =

i=0

74

i=0

p

   αi Ai +

p



[(1

i=0

− λ)αi + λβ i]Ai ∈ S ,

αi = 1,

deoarece p



p

[(1

i=0

− λ)αi + λβ i] = (1 − λ)

n

  αi + λ

i=0

i=0

β i = (1

− λ) + λ = 1.

Deci este un subspat¸iu afin al lui . Vom ar˘ata c˘ a spat¸iul director al lui este chiar < S >. Spat¸iul director al lui (relativ la punctul A 0 , dar acest spat¸iu nu depinde de alegerea punctului din )

S

A

S

S

V = A0 P,

{

S este

P

∈ S}.

Vom verifica dubla incluziune V =< A0 A1 , . . . , A0 A p >. ” ” Fie v V . Rezult˘a c˘ a exist˘a un unic P S , astfel ˆıncât v = A0 P , deci v = α0 A0 A0 + α1 A0 A1 + . . . + α p A0 A p , adic˘a v < A0 A1 , . . . , A0 A p >. ” ” Fie v < A0 A1 , . . . , A0 A p >. Rezult˘a c˘ a v = α 1 A0 A1 + . . . + α p A0 A p , unde nu tot¸i scalarii α i sunt nuli. Vectorul v poate fi scris sub forma

⊆ ⊇

∈ ∈

∈

∈

v = (1

− α1 − . . . − α p)A0A0 + α1A0A1 + . . . + α pA0A p.

Deci v = A 0 T , unde T = (1

∈ S {

− α1 − . . . − α p)A0 + α1A1 + . . . + α pA p ∈ S ,

adic˘ a v V .  Dac˘ a = A0 , Aα , α J este un sistem infinit de puncte, not˘am cu mult¸imea baricentrelor tuturor subsistemelor finite ale lui . Se arat˘a, ˆın acela¸si fel, c˘a este un subspat¸iu afin al lui ¸si c˘a spat¸iul s˘au director este ˆınf˘a¸sur˘atoarea liniar˘ a a sistemului de vectori S = A0 Aα , α J , asociat lui . Subspat¸iul afin se nume¸ste ˆınchiderea afin˘ a (sau ˆınf˘ a¸sur˘ atoarea afin˘ a ) a sistemului .

∈ }

S

A ∈ } S ⊂ A

{

S

S S

S

ˆ Exemple. Inchiderea afin˘ a a sistemului alc˘ atuit dintr-un singur punct = A este punctul A ˆınsu¸si, iar spat ¸iul s˘ au director este subspat ¸iul trivial 0V V .

A

•

S { } ⊂ { } ≺

• ˆ Inchiderea afin˘ a a unui sistem de dou˘ a puncte afin independente (deci distincte) S = {A0, A1} din A este dreapta afin˘ a S = {P ∈ A, P = (1 − λ)A0 + λA1, λ ∈ K}, iar spat ¸iul s˘ au director este dreapta vectorial˘ a

{

}

{

∈

< S >=< A0 A1 >= A0 P V,

A0 P = λA 0 A1 , λ

∈ K}.

• ˆ Inchiderea afin˘ a a unui sistem de trei puncte afin independente (deci necoliniare) S = {A0, A1, A2} din A este planul afin S = {P ∈ A, P = (1 − λ − µ)A0 + λA1 + µA2, λ , µ ∈ K}, iar spat ¸iul s˘ au director este planul vectorial < S >=< A0 A1 , A0 A2 >= A0 P V,

{

}

{

∈

75

A0 P = λA 0 A1 + µA0 A2 , λ , µ

∈ K}.

A A A A ∩ A A A ∩ A  ∅ ∩ Dem: Dac˘a A1 ∩ A2 = ∅, atunci propozit¸ia este evident˘a. Presupunem c˘a A 1 ∩ A2  = ∅. Fie P, Q ∈ A1 ∩ A2 ¸si fie λ ∈ K. Deoarece A 1 ¸si A2 sunt subspat¸ii afine, rezult˘a c˘a (1 − λ)P + λQ ∈ A1 ¸si (1 − λ)P + λQ ∈ A2, deci (1 − λ)P + λQ ∈ A1 ∩ A2 , deci A1 ∩ A2 este un subspat¸iu afin. Fie A 0 ∈ A1 ∩ A2 . Spat¸iul director al lui A1 ∩ A2 este V 12 = {A0 P, P ∈ A1 ∩ A2 }. Vom ar˘ata c˘ a V 12 = V 1 ∩ V 2 , unde V 1 = {A0 Q, Q ∈ A1 }, V 2 = {A0 R, R ∈ A2 }. ”⊆” Fie v ∈ V 12 =⇒ exist˘a un unic P ∈ A1 ∩ A2 , v = A 0 P , deci v ∈ V 1 ∩ V 2 . ”⊇” Fie v ∈ V 1 ∩V 2 . Exist˘a un unic Q ∈ A1 ¸si un unic R ∈ A2 , astfel ˆıncât v = A 0 Q = A 0 R, deci Q = R ∈ A1 ∩ A2 , adic˘a v ∈ V 12 .  • Dac˘a S este un sistem de puncte din A, atunci intersect¸ia tuturor subspat¸iilor afine ale lui A , care cont¸ in pe S , este un subspat¸iu afin (cel mai mic — ˆın raport cu incluziunea — spat¸iu afin care cont¸ine pe S ). Acesta coincide cu ˆınf˘ a¸sur˘atoarea afin˘a a sistemului S . Propozit ¸ie. Fie (A, V ) un spat ¸iu afin, A1 , A2 ⊂ A dou˘ a subspat ¸ii afine nevide ¸si V 1 , V 2

Propozit ¸ie. Fie 1 ¸si 2 dou˘ a subspat ¸ii afine ale lui ¸si fie V 1 ¸si V 2 subspat ¸iile lor directoare. Atunci intersect ¸ia 1 ¸iu afin al lui iar, 2 este, de asemenea, un subspat dac˘ a 1 ¸iul s˘ au director este V 1 V 2 . 2 = , atunci spat

spat ¸iile lor directoare.

A1 ∩ A2 cont ¸ine cel mult un punct .

a) Dac˘ a V 1 ¸si V 2 sunt independente, atunci

A1 ∩ A2 cont ¸ine cel put ¸in un punct . c) Dac˘ a V 1 ⊕ V 2 = V , atunci A1 ∩ A2 cont ¸ine exact un punct . Dem: a) Dac˘ a A 1 ∩ A2 = ∅ , atunci afirmat¸ia de la a) este adev˘arat˘ a. Presupunem c˘ a A1 ∩ A2  = ∅. Fie P, Q ∈ A1 ∩ A2 . Spat¸iul director al lui A1 ∩ A2 este V 1 ∩ V 2 , deci P Q ∈ V 1 ∩ V 2 . Dar V 1 ¸si V 2 sunt independente, deci V 1 ∩ V 2 = {0V }, deci P Q = 0V ¸si, ˆın consecint¸a˘, P = Q. b) Presupunem, prin absurd, c˘a A 1 ∩ A2 = ∅ . Fie A1 ∈ A1 ¸si A2 ∈ A2 . Spat¸iile directoare ale lui A1 ¸si A2 sunt, respectiv V 1 = {A1 P, P ∈ A1 }, V 2 = {A2 Q, Q ∈ A2 }. Deoarece V = V 1 + V 2 , rezult˘a c˘a ∀ v ∈ V , exist˘ a v1 ∈ V 1 ¸si v2 ∈ V 2 , astfel ˆıncât v = v1 + v2 . Pentru A1 A2 ∈ V , exist˘a un unic P ∈ A 1 ¸si un unic Q ∈ A 2 , astfel ˆıncât A1 A2 = A 1 P +A2 Q. Deci A1 A2 = A 1 A2 +A2 P +A2 Q, de unde rezult˘a c˘a A2 P +A2 Q = 0V , ceea ce este absurd, c˘aci A 2 Q ∈ V 2 ¸si ar rezulta c˘a A 2 P ∈ V 2 , dar P ∈ A1 , deci A 2 P ∈ / V 2 . b) Dac˘ a V 1 + V 2 = V , atunci

c) Rezult˘a imediat din a) ¸si b).



76

• Fie A1 ¸si A2 dou˘a subspat¸ii afine ale spat¸iului afin A. Închiderea afin˘a a mult¸imii A1 ∪ A2 se nume¸ste uniunea subspat¸iilor A1 ¸si A2 ¸si se noteaz˘a A1 ∨ A2. Propozit ¸ie. Fie (A, V ) un spat ¸iu afin, A1 ¸si A2 dou˘ a subspat ¸ii afine ale sale ¸si V 1 , respectiv V 2 spat ¸iile lor directoare.

A1 ∩ A2 = ∅, atunci spat ¸iul director al subspat ¸iului afin A1 ∨ A2 este V 1 + V 2. b) Dac˘ a A 1 ∩ A2 = ∅, atunci spat ¸iul director al subspat ¸iului afin A 1 ∨ A2 este (V 1 + V 2 ) ⊕ D, unde D este dreapta directoare a unei drepte afine D, determinate de dou˘ a puncte A1 ∈ A1 ¸si A2 ∈ A2 . Dem: a) Fie A ∈ A1 ∩ A2 . Spat¸iile directoare ale lui A1 ¸si A2 sunt, respectiv V 1 = {AP, P ∈ A1 }, V 2 = {AQ, Q ∈ A2 }, iar spat¸iul director al lui A1 ∨ A2 este W = {AR, R = αP + βQ, α + β = 1, P ∈ A1 , Q ∈ A2 }. a) Dac˘ a

Ar˘ at˘am c˘a W = V 1 + V 2 . ” ” Fie v W . Rezult˘a c˘a v este de forma v = AR, unde R = αP + βQ, cu P si 1 ¸ Q V , deci αAP V 1 ¸si, analog, AQ V 2 , 2 . Deci AR = αAP + βAQ. Dar AP V 1 adic˘ a v V 1 + V 2 . 1 1 ” ” Fie v V 1 + V 2 . Rezult˘a c˘a v se poate scrie sub forma v = v1 + v2 , unde v1 V 1 2 2 1 1 ¸si v 2 V 2 . Deci v = AP + AQ, unde P si Q a v W . 1 ¸ 2 , adic˘ 2 2 b) Fie A 1 si dreapta afin˘a determinat˘a de punctele A1 ¸si A 2 . Spat¸iile 1 , A 2 2 ¸ directoare ale lui 1 ¸si 2 sunt, respectiv

⊆ ∈ ∈A ∈ ⊇ ∈ ∈

∈ ≺

∈ A ∈

∈

∈

∈ A

∈ A ∈ A D A A V 1 = {A1 P, P ∈ A1 },

∈A

{

V 2 = A2 Q,

∈

Q

∈ A2}.

Vom ar˘ata c˘ a

A1 ∨ A2 = A1 ∨ A2 ∨ D. Incluziunea ⊆ este evident˘a. Fie M ∈ A1 ∨ A2 ∨ D . Punctul M va fi de forma M = αP + βQ + γR, unde P ∈ A1 , Q ∈ A2 ¸si R ∈ D ¸si α + β + γ = 1. Dac˘ a γ = 0, atunci M ∈ A 1 ∨ A2 . Dac˘ a γ  = 0, atunci, scriind punctul R sub forma R = (1 − λ)A1 + λA2 , obt¸inem M = αP + βQ + γ (1 − λ)A1 + γλA 2 = αP + γ (1 − λ)A1 + βQ + γλA 2 ∈ A1 ∨ A2 , deoarece este o combinat¸ie afin˘a (evident, α +β +γ (1 − λ)+γλ = 1) de puncte din A1 ∪A2 . Avem, deci, A1 ∨ A2 = A1 ∨ A2 ∨ D = A1 ∨ (A2 ∨ D). Aplicˆ and punctul a) al propozit¸iei, rezult˘a c˘a spat¸iul director al lui A1 ∨A2 este V 1 + (V 2 + D), deci (V 1 + V 2 ) + D.

77

∩

{ }

R˘amˆ a ne de ar˘atat c˘ a (V 1 + V 2 ) D = 0V . Presupunem, prin absurd, c˘a exist˘a un vector nenul v D, astfel ˆıncât v V 1 + V 2 . Deoarece D este un spat¸iu vectorial 1-dimensional, vectorul v este coliniar cu vectorul A 1 A2 . Deci A 1 A2 V 1 + V 2 . Rezult˘a c˘a exist˘ a P si Q ıncât A1 A2 = A1 P +A2 Q. Deci A1 A2 = A 1 A2 +A2 P +A2 Q, 1 ¸ 2 , astfel ˆ ˆ adic˘ a A2 P + A 2 Q = 0V , imposibil, deoarece A2 Q ¸a˘, 2 , iar A2 P / 2 . In consecint suma spat¸iilor V 1 + V 2 ¸si D este direct˘a. 

∈ ∈A

∈ A

∈

∈ A

∈ ∈A

• Fie A un spat¸iu afin, A1 ¸si A2 dou˘a subspat¸ii afine ale sale ¸si V 1, respectiv V 2 spat¸iile lor directoare. Spunem c˘a A1 ¸si A2 sunt paralele dac˘a V 1 cont¸ine V 2 sau V 2 cont¸ine V 1 . A1  A2 ⇐⇒ V 1 ⊆ V 2 sau V 2 ⊆ V 1. • În mult¸imea subspat¸iilor afine ale unui spat¸iu afin A, relat¸ia de paralelism este o relat¸ie reflexiv˘a ¸si simetric˘ a.

• Pentru subspat¸iile afine ale lui A care admit acela¸si spat¸iu director, relat¸ia de paralelism este o relat¸ie de echivalent¸a ˘. De exemplu, toate dreptele afine din A, care au dreapta afin˘ a D ca spat¸iu director, sunt paralele ˆıntre ele.

• Subspat¸iile afine A1 ¸si A2 sunt strict paralele dac˘a A1  A2 ¸si A1 ∩ A2 = ∅ (dac˘a intersect¸ia lor este nevid˘a, atunci unul dintre subspat¸ii ˆıl cont¸ine pe cel˘alalt).

2.6 2.6.1

Spat ¸ii afine finit dimensionale Dimensiunea unui spat ¸iu afin

A

Un spat¸iu afin este finit dimensional dac˘a spat¸iul s˘au director V este finit dimensional. Se nume¸ste dimensiune a unui spat ¸iu afin dimensiunea spat¸iului s˘au director V .

A

• Mult¸imea vid˘a este considerat˘a, prin definit¸ie, un spat¸iu afin de dimensiune −1. • Spat¸iile afine de dimensiune 0 sunt punctele. • Un spat¸iu afin de dimensiune 1 se nume¸ste dreapt˘ a afin˘ a (sau dreapt˘ a ). • Un spat¸iu afin de dimensiune 2 se nume¸ste plan afin (sau plan ). • Un subspat¸iu afin al unui spat¸iu afin n-dimensional A va fi, deci, un spat¸iu afin de dimensiune p ≤ n. El se va numi p-plan afin (sau p-plan ). Propozit ¸ie. Dac˘ a S = {A0 , A1 , . . . , A p } este un sistem de puncte afin independent, atunci

ˆınchiderea sa afin˘ a este un p-plan.

Dem: Închiderea afin˘a a lui este un spat¸iu afin, al c˘arui spat¸iu director este generat de sistemul de vectori A0 A1 , . . . , A0 A p , deci are dimensiunea p. 

{

S

}

78

A

Teorem˘ a 2.6.1.1. (Teorema dimensiunii pentru spat¸ii afine) Fie un spat ¸iu afin finit dimensional, 1 , 2 subspat ¸ii afine, avˆ and spat ¸iile directoare V 1 , respectiv V 2 , cu dim V 1 = p ¸si dim V 2 = q . Dac˘ a s = dim( 1 V 2 ), atunci 2 ), iar i = dim(V 1

A A

p + q =



A ∨A

∩

A1 ∩ A2 = ∅ A1 ∩ A2 = ∅

s + i dac˘ a s + i 1 dac˘ a

−

.

(2.8)

∩

Dem: Conform teoremei lui Grassmann, dim V 1 +dim V 2 = dim(V 1 V 2 )+dim(V 1 +V 2 ), adic˘ a p + q = i + dim(V 1 + V 2 ). Dimensiunea spat¸iului afin 1 ¸iului s˘au director. Acest 2 este dimensiunea spat spat¸iu director este dat de

A ∨ A

 deci

dim(V 1 + V 2 ) = 2.6.2

A1 ∩ A2 = ∅ A1 ∩ A2 = ∅

V 1 + V 2 dac˘a V 1 + V 2 + D dac˘a



,

A1 ∩ A2 = ∅ A1 ∩ A2 = ∅

s dac˘a s 1 dac˘ a

−

.



Repere ¸ si coordonate carteziene

Fie un spat¸iu afin finit dimensional, de dimensiune n ¸si fie V spat¸iul s˘au director. Se nume¸ste reper cartezian ˆın un sistem R = (O; B), unde O , iar B = e1 , . . . , en este o baz˘a a lui V . Punctul O se nume¸ste originea reperului R. Dac˘ a R = (O; B) este un reper cartezian ˆın , atunci oric˘arui punct P i se asociaz˘a vectorul s˘ au de pozit ¸ie OP V , iar acesta este de forma OP = x 1 e1 + . . . + xn en , n cu (x1 , . . . , xn ) K . Deci, orice reper R = (O; B) al lui define¸ste o biject¸ie

A

A

∈ A

A

∈

∈

{

}

∈A

A

A → Kn,

→ (x1, . . . , xn).

P

Sistemul de scalari (x1 , . . . , xn ) poart˘ a numele de coordonatele carteziene ale punctului P fat¸a˘ de reperul R. Vrem s˘ a vedem ce se ˆıntâmpl˘ a la o schimbare de reper ˆın . Fie R = (O; B) ¸si    R = (O , B ) dou˘ a repere ˆın spat¸iul afin (finit dimensional) , cu B = e1 , . . . , en ¸si    B = e1 , . . . , en . Reperul R este determinat fat¸a˘ de reperul R atunci când cunoa¸stem coordonatele lui O ˆın baza B ¸si componentele vectorilor e i fat¸a˘ de baza B. Presupunem c˘ a

{

A

}

n



OO =

A

{

}

n



ei =

pi0 ei ,

i=1



p ji e j .

j=1

Fie P 0 = ( pi0 ) matricea (coloan˘a) a coordonatelor lui O ˆın baza B ¸si P = ( pij ) matricea de trecere de la baza B la baza B  (vom avea det P = 0). Sistemul de scalari ( pi0 , pij , det( pij ) = 0) poart˘a numele de coordonatele reperului R fat¸a˘ de reperul R. Acestui sistem de coordonate ˆıi asociem atˆ at perechea de matrice (P 0 , P ), cât ¸si matricea p˘ atratic˘ a nesingular˘a, de ordinul n + 1,





  1 0 P 0 P 79

,

numit˘a matrice de coordonate ale reperului R fat ¸˘ a de reperul R. Putem s˘a determin˘am, ˆın acela¸si fel, ¸si reperul R fat¸a˘ de reperul R , exprimând vectorul O O ¸si vectorii e j ˆın baza B  . n



O O =

n



pi0 ei ,

e j =

i=1



pij ei .

i=1

Dac˘ a matricea coordonatelor lui O ˆın baza B  este P 0 , iar matricea de trecere din baza B   ), cu det P  = 0, atunci matricea de coordonate a lui R fat¸a ˆın baza B este P  = ( p ji ˘ de R  este 1 0 . P 0 P 





 





 ·

−1

 

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Avem = . Într-adev˘ ar, =     P 0 P P 0 P P 0 P P 0 P A I n  unde matricea coloan˘a A este dat˘a de A = P 0 +P P 0 . Dar P 0 este matricea componentelor vectorului OO ˆın baza B , iar OO  = O  O. Scriind A = [OO  ]B + P [O O]B ¸si folosind forma matriceal˘ a a trecerii din baza B ˆın baza B  , avem

·

−

·



−[OO]B + P · [OO]B = −P · [OO]B + P · [OO]B = 0. Vom vedea acum cum se schimb˘a coordonatele unui punct din A la o schimbare de n reper. Fie P ∈ A . Coordonatele lui P fat¸a˘ de reperul R sunt date de OP = xi ei , iar A =



n





fat¸a˘ de reperul R  sunt date de O  P =

j=1

x j e j . Fie, de asemenea, OO  =

Deoarece OP = OO  + O P , rezult˘a c˘a n

n

xi ei =

i=1

deci

n

           n

n

x j e j

pi0 ei +

i=1

=

j=1

n

i=1

xi ei =

i=1

pi0 ei . (desen)

i=1

n

x j (

pi0 ei +

n

i=1

n



j=1

pij ei ),

i=1

n

pij x j )ei .

( pi0 +

i=1

j=1

În consecint¸a˘, ecuat ¸iile transform˘ arilor de coordonate corespunz˘atoare schimb˘arii de reper sunt n

xi = p i0 +



pij x j ,



i = 1, n, det( pij ) = 0.

j=1

Ecuat¸iile (2.9) au o form˘a matriceal˘ a X = P 0 + P X  , unde X = (xi ), X  = (xi ) ¸si P 0 = ( pi0 ) sunt matrici coloan˘a. 80

(2.9)

,

• O schimbare schimbare de reper se nume¸ste ste translat ¸ie dac˘a ei = ei , ∀ i = 1, n.

În acest caz,

P = I n. Ecuat¸iile ¸iile unei translat¸ii ¸ii sunt

xi = p = p i0 + xi ,

i = 1, n.

• O schimb schimbare are de reper se nume¸ nume¸ste ste centro-afinitate centro-afinitate dac˘a O

= O, adic˘ adic˘ a P 0 = 0.

Ecuat¸iile ¸iile unei centro-afinit˘at a¸i ¸ti sunt n

xi =



pij x j ,



i = 1, n, det( pij ) = 0. 0.

j=1 j =1

2.6.3 2.6.3

Repere ¸ si si coordonate coordonate afine afine

Un reper Un reper afin ˆ ˆıntr-u ınt r-un n spat sp at¸iu ¸iu afin n-dimensiona -dimensionall ( , V ) V ) este un sistem ordonat de n + 1 puncte afin independente din ,

A

A

R = {E 0, E 1, . . . , En }. Reperului afin Reperului afin

R ˆıi asociem aso ciem reperul reperu l cartezian R = {E 0 ; (E 0 E 1 , . . . , E0 E n )}, ∈ A, vectorul unde {E 0 E 1 , . . . , E0 E n } este o baz˘a ˆın V . V . Rezult˘a c˘ a, a, pentru orice punct P ∈ E 0 P se scrie ˆın ın mod unic sub forma

E 0 P = α 1 E 0 E 1 + . . . + αn E 0 E n ,

∈ K,

α1 , . . . , αn

adic˘a

− − OE 0 = α = α1 (OE 1 − OE 0 ) + . . . + αn (OE n − OE 0 ), ∀ O ∈ A. În consecint¸˘ ¸a, a˘, pentru orice punct P ∈ A , exist˘a un unic sistem de scalari α0 = 1 − α1 − . . . − αn , α1 , . . . , αn ∈ K, astfel ast fel ˆıncât at OP

P = α 0 E 0 + α1 E 1 + . . . + αn E n ,

cu α cu α 0 + α1 + . . . + αn = 1.

Sistemul de scalari α0 , α1 , . . . , αn poart˘ a numele de sistem de sistem de coordonate afine (sau afine (sau baricentrice ) ale punctului P punctului P fat¸˘ ¸a˘ de reperul afin . Exist˘ a o biject¸ie ¸ie ˆıntre ıntr e mult¸imea ¸imea reperelor afine ale unui spat¸iu ¸iu afin n-dimensi -dim ensiona onall ¸si si mult¸imea ¸imea reperelor sale carteziene. Dac˘a = E 0 , E 1 , . . . , En este un reper afin, atunci reperul cartezian asociat are ca origine punctul E punctul E 0 , iar baza este dat˘a de sistemul de vectori carteziene (α E 0 E 1 , . . . , E0 E n . Dac˘a un vector E vector E 0 P V are coordonatele are coordonatele carteziene ( α1 , . . . , αn ), atunci coordonatele atunci coordonatele afine ale afine ale punctului P punctului P sunt (α ( α0 = 1 α1 . . . αn , α1 , . . . , αn ).

{

{

}

}

R

R { ∈ ∈ ∈ ∈ A

}

− − −

Fie (A, (A, B ) un bipunct bipunct nenul. nenul. Puncte Punctele le A ¸si si B , fiind afin independente, determin˘a o dreapt˘ a afin˘ a = P = αA + βB, α + β = = 1 .

D {

}

81

Fie P Fie P , P = B . Rezult˘a c˘a exist˘a α, α , β K , cu α cu α = 0, 0 , astfel ast fel ˆıncât P at P = αA + αA + βB βB , − 1 deci P P = αAP + βBP β BP ,, echivalent cu faptul c˘a αAP = βP B . No Notˆ tˆ and and k = βα K, rezult˘a c˘ a, a, pentru orice punct P , P = B, B , exist˘a un scalar k scalar k K astf a stfel el ˆıncˆ ın cât at

∈ D 

∈ ∈



∈ ∈ D 

∈

∈

AP = kPB. Scalarul k Scalarul k astfel astfel definit poart˘a numele de raport de raport ˆın care punctul punc tul P P divide bipunctul (A, B ). Dac˘ a P , P = B, B , are coordonatele afine (1 x, x), x = 1, atunci raportul rap ortul ˆın care P care P x divide divide (A, B ) este k este k = . Coordonatele afine ale lui P lui P se se mai numesc coordonate numesc coordonate afine 1 x omogene , iar raportul k raportul k este coordonata este coordonata sa afin˘ sa afin˘ a neomogen˘ a (sau a (sau coordonata coordonata raport ). raport ). Fie dreapta afin˘a re real˘ a , determinat˘a de bipunctul nenul (A, (A, B ). Exist˘ Exist˘ a o biject¸ie ¸ie ˆıntre ınt re axa ax a R a numerelor reale ¸si si .

∈ ∈ D  

−



−

D

D R → D,

x

−→ P = (1 − x)A + xB.

Pe R avem o relat¸ie ¸ie de ordine: P 1 (x1 ) precede pe P 2 (x2 ) dac˘a x1 < x2 . Aceast Aceast˘˘a relat¸ie ¸ie de ordine induce o relat¸ie ¸ie de ordine pe . Rezult˘a c˘a P precede P precede pe A dac˘a x < 0, P P este ˆıntr nt re A ¸ A ¸si B si B dac˘a 0 < x < 1 ¸si B precede pe P pe P dac˘a 1 < x. Dac˘a P are P are coordonata raport x k = , rezult˘a imediat c˘a P e P est stee ˆıntr ıntree A ¸si B si B dac˘a k > 0 ¸si P nu P nu se afl˘a ˆıntre nt re A ¸si B si B 1 x dac˘ a k < 0.

D

−

A

R

Putem extinde coordonatele raport ˆıntr-un spat¸iu ¸iu afin n-dimensional . Fie = E 0 , E 1 , . . . , En un reper afin ¸si si R = E 0 ; E 0 E 1 , . . . , E0 E n reperul cartezian asociat. Fie P Fie P , astfel ˆıncât at coordonatele carteziene ale vectorului E vectorului E 0 P s˘a fie (α (α1 , . . . , αn ) ¸si, ˆın consecint¸˘ ¸a, a˘, cu α cu α 0 = 1 α1 . . . αn , coordonatele baricentrice ale lui P fat¸˘ ¸a˘ de reperul afin sunt (α (α0 , α1 , . . . , αn ). Deci

{

}

∈ ∈ A R

{

}

− − −

P = α0 E 0 + α1 E 1 + . . . + αn E n ,

E 0 P = α1 E 0 E 1 + . . . + αn E 0 E n .





Dac˘ a P = E 1 , . . . , En (ceea ce este echivalent cu faptul c˘a α 0 = 0), avem E 0 P = α 1 (E 0 P + P E 1 ) + . . . + αn (E 0 P + P E n ), deci α0 E 0 P = α 1 P E 1 + . . . + αn P E n .



Deoarece α Deoarece α 0 = 0, obt¸inem ¸inem E 0 P = k 1 P E 1 + . . . + kn P E n , unde k unde k i = α = α i α0−1 , i = i = 1, n, sunt coordonatele sunt coordonatele raport ale raport ale lui P lui P fat˘ a de reperul afin

82

R.

2.6.4 2.6.4

Raport si s¸i biraport de puncte puncte coliniare coliniare

{

}

|

Fie A,B,C un sistem de trei puncte coliniare ¸ coliniare ¸si distincte si distincte.. Not˘ am am prin k prin k = (A, B C ) raportul ˆ ˆın care car e punctul pun ctul C divide C divide bipunctul (A, (A, B ), AC . CB Considerˆ and and un reper rep er cartezian pe dreapta suport a celor trei puncte, cu originea ˆıntrun punct oarecare O ¸si si baza baz a dat˘ dat a˘ de un vector nenul v , coordonatele carteziene ale celor trei puncte vor fi A(a), B ), B (b) ¸si C ( ( A, B C ) este C (c). Atunci, raportul (A,

|

(A, B C ) =

|

− −

c a . b c Putem asocia asoc ia sistemului dat ˆınc˘ ınc˘a cinci astfel de rapoarte ¸si si ele vor lua valorile

|

k = (A, B C ) =

1 1 1+k k (B, A C ) = , (A, C B ) = (1+k (1+k), (C, A B ) = , (C, B A) = , (B, C A) = . k 1+k 1+k k Punctele A, B ¸si si C fiind C fiind distincte, rezult˘a c˘ a k = 0 (C = A) A ) ¸si k = 1 (C = B). B ). Evident, dac˘ a unul dintre cele ¸sase sase rapoarte rapo arte este determinat, toate celelalte sunt determinate.

|

|

{

−

|

− 

|

 

−



|

−

 

}

Fie A,B,P,Q un sistem de patru puncte coliniare ¸si distincte si distincte.. Numi Numim m biraport al cuaternei ordonate (A,B,P,Q (A,B,P,Q)) scalarul

|

(A, B P, Q) =

| |

(A, B P ) P ) . (A, B Q)

Punctele A Punctele A ¸si B si B se numesc puncte de baz˘ a , iar punctele P punctele P ¸si Q si Q puncte de diviziune . Se arat˘a u¸sor sor (de exemplu, considerând and un reper cartezian pe dreapta suport a celor patru puncte), c˘a

|

|

|

|

(A, B P, Q) = (B, A Q, P ) P ) = (P, ( P, Q A, B ) = (Q, P B, A). Deci, din cele 4! = 24 cuaterne ordonate care se pot forma cu patru puncte distincte date, numai ¸sase sase dintre ele pot avea birapoarte distincte. Dac˘ a A, A, B,P,Q sunt B,P,Q sunt patru puncte coliniare distincte, atunci

|

(A, B P, Q) = λ, (A, P Q, B ) =

|

1

− −

,

1 (A, B Q, P ) P ) = , λ λ (A, Q B, P ) P ) =

|

|

|

− λ, −λ. (A, Q|P, B ) = 1−λ

(A, P B, Q) = 1

− 1,

1 λ λ O cuatern˘a de puncte coliniare distincte A,B,P,Q este armonic˘ este armonic˘ a a dac˘a biraportul s˘ au au (A, B P, Q) este egal cu 1. Puncte Punctele le P ¸si si Q se numesc comjugate armonic fat¸˘ ¸a˘ de bipunctul bipunctul (A, B ).

|

(A, B P, Q) =

|

{

}

( A, B |P ) P ) = −(A, B |Q), −1 ⇐⇒ (A,

deci dac˘a punctul P punctul P se se afl˘a ˆıntre ınt re A A ¸ ¸si B si B,, atunci conjugatul s˘au au armonic Q armonic Q nu nu se poate afla ˆıntr nt re A ¸si B si B . 83

2.6.5

Reprezent˘ ari analitice ale unui p-plan

Fie un spat¸iu afin de dimensiune n ¸si V spat¸iul s˘au director. Fie  un subspat¸iu afin al lui , având spat¸iul director V  , cu dim V  = p, deci  este un p-plan al lui . El poate fi determinat fie printr-un punct P 0 al s˘au ¸si spat¸iul s˘au director V  , fie printr-un sistem de p + 1 puncte ale sale, afin independente.

A A

A

A

A

Reprezent˘ari ale unui p-plan determinat de un punct ¸si spat¸iul s˘ au director  ¸ Fie P 0 si u1 , . . . , u p o baz˘a a lui V  , astfel ˆıncât R = P 0 ; (u1 , . . . , u p ) este un reper cartezian al lui  . Fie, de asemenea, R = O; (e1 , . . . , en ) un reper cartezian ˆın .  , avem Pentru orice P OP = OP 0 + P 0 P.

∈ A {

A ∈ A

}

{

(desen)

∈

Dar P 0 P avem OP = u j =

n



i=1

V  ,

n



i=1

{ }

}

A

p

deci P 0 P =

xi ei ¸si OP 0 =

 

j=1 n

i=1

t j u j . Exprimând ¸si vectorii OP ¸si OP 0 ˆın baza din V ,

xi0 ei . În plus, fiecare vector u j din baza lui V  se scrie

uij ei . Înlocuind, obt¸inem p

   

OP = OP 0 +

t j u j ecuat¸ia vectorial˘ a a unui p plan,

j=1

sau

n

xi ei =

i=1

de unde rezult˘a

p

n

xi0 ei +

i=1

n

t j (

j=1

uij ei )

i=1

p

xi = x i0 +



t j uij ,

i = 1, n ecuat¸iile parametrice ale unui p plan.

j=1

Scrise dezvoltat, ecuat¸iile parametrice ale unui p-plan devin

 

x1 = x 10 + t1 u11 + t2 u12 + . . . + t p u1 p x2 = x 20 + t1 u21 + t2 u22 + . . . + t p u2 p

···

,

∈ K.

t1 , . . . , tn

xn = x n0 + t1 un1 + t2 un2 + . . . + t p unp

• Dac˘a p = 1, obt¸inem dreptele din A. Fie D o dreapt˘a afin˘a, P 0 un punct al s˘au ¸si v  = 0V un vector din spat¸iul s˘au director V  (V  este o dreapt˘a vectorial˘a, deci {v } este o baz˘a ˆın V  ). Vectorul v  = 0 V se nume¸ste vector director al dreptei D. În raport cu baza {e1 , . . . , en } din V , v este de forma v = u1 e1 + . . . + un en . Coordonatele (u1 , . . . , un ) ale lui v se numesc parametrii directori ai dreptei D. Obt¸inem, ˆın acest caz,

84

 

sau

x1

x1 = x 10 + tu1 x2 = x 20 + tu2

ecuat¸iile parametrice ale unei drepte

···

xn = x n0 + tun

− x10 = . . . = xn − xn0

ecuat¸iile simetrice ale unei drepte. un ¸iile unei drepte care trece prin P 0 (x0 , y0 , z0 ) ¸si are vectorul 3 , ecuat

u1 Dac˘ a este chiar director v ( p, q, r) sunt

A

E

 

sau

x

x = x 0 + tp y = y 0 + tq , z = z 0 + tr

t

∈ R,

− x0 = y − y0 = z − z0.

p q r Dac˘ a dreapta este cont¸inut˘ a ˆın 2 (identificat cu xOy), atunci ecuat¸iile dreptei devin



E

x = x 0 + tp , y = y 0 + tq x

sau, ˆın cazul ˆın care

D

t

∈ R,

− x0 = y − y0,

p q nu este paralel˘a cu Oy, y

− y0 = m(x − x0). • Dac˘a p = n − 1, obt¸inem hiperplanele din A. Sistemul de ecuat¸ii parametrice ale unui hiperplan este

¸si rezult˘a c˘ a

 

x1 = x 10 + t1 u11 + t2 u12 + . . . + tn−1 u1n−1 x2 = x 20 + t1 u21 + t2 u22 + . . . + tn−1 u2n−1

···

xn = x n0 + t1 un1 + t2 un2 + . . . + tn−1 unn−1

 

x1 x2

− x10 u11 u12 . . . u1n−1 − x20 u21 u22 . . . u2n−1 ··· ··· ··· ··· xn − xn0 un1 un2 . . . unn−1

 

= 0,

deoarece prima coloan˘a este o combinat¸ie liniar˘a a celorlalte. Ecuat¸ ia de mai sus este ecuat¸ia hiperplanului sub form˘ a de determinant. Obt¸inem, de asemenea, a1 (x1

− x10) + . . . + an(xn − xn0) = 0 ecuat¸ia cartezian˘a a unui hiperplan

sau a1 x1 + . . . + an xn + a0 = 0 ecuat¸ia cartezian˘ a general˘ a a unui hiperplan. 85

Reprezent˘ari ale unui p-plan determinat de p + 1 puncte afin independente Presupunem c˘a p-planul  este determinat de p+1 puncte afin independente A0 , A1 , . . . , A p . Vom putea asocia p-planului  reperul cartezian A0 ; (A0 A1 , . . . , A0 AP ) ¸si problema este redus˘ a la cazul anterior. Dac˘ a R = O; (e1 , . . . , en ) este un reper cartezian ˆın spat¸iul afin , atunci vectorul  este de pozit¸ie al unui punct arbitrar P

A

A }

{

{

{

} A

∈ A

}

OP = OA 0 + A0 P, sau

p



OP = OA 0 +

t j A0 A j .

j=1

(desen) Exprimˆ and ˆın baza e1 , . . . , en , ca ¸si ˆın cazul anterior, vectorii care intervin, obt¸inem

{

n

OP =



xi ei ,

n

OA 0 =

i=1

}



n

xi0 ei ,

− OA0 =

A0 A j = OA j

i=1



− xi0)ei,

(xij

i=1

iar ecuat¸iile parametrice ale p-planului determinat de punctele A0 , A1 , . . . , A p sunt

{

p

xi = x i0 +



− xi0),

t j (xij

j=1

}

i = 1, n.

Scriind desf˘a¸surat, avem

 

− x10) + t2(x12 − x10) + . . . + t p(x1 p − x10) − x20) + t2(x22 − x20) + . . . + t p(x2 p − x20) ··· xn = x n0 + t1 (xn1 − xn0 ) + t2 (xn2 − xn0 ) + . . . + t p (xnp − xn0 ) x1 = x 10 + t1 (x11 x2 = x 20 + t1 (x21

∈ K.

,

t1 , . . . , tn

De exemplu, ecuat¸iile parametrice ale dreptei afine determinate de punctele A 0 ¸si A 1 sunt x1 = x 10 + t(x11 x10 ) x2 = x 20 + t(x21 x20 ) , t K,

 

− − ··· xn = x n0 + t(xn1 − xn0 )

∈

iar ecuat¸iile simetrice ale acesteia sunt x1 x11

− x10 = x2 − x20 = . . . = xn − xn0 . − x10 x21 − x20 xn1 − xn0

Ecuat¸iile parametrice hiperplanului determinat de sistemul de puncte afin independente A0 , A1 , . . . , An−1 sunt

 

{

}

− x10) + t2(x12 − x10) + . . . + tn−1(x1n−1 − x10) − x20) + t2(x22 − x20) + . . . + tn−1(x2n−1 − x20) ··· xn = x n0 + t1 (xn1 − xn0 ) + t2 (xn2 − xn0 ) + . . . + tn−1 (xnn−1 − xn0 ) x1 = x 10 + t1 (x11 x2 = x 20 + t1 (x21

86

,

∈ K,

t1 , . . . , tn

iar ecuat¸ia hiperplanului sub form˘ a de determinant este

 

− x10 − x20 ··· xn − xn0 x1 x2

ecuat¸ie echivalent˘a cu

− x10 − x20 ··· xn1 − xn0 x11 x21

  

− x10 . . . − x20 . . . ··· xn2 − xn0 . . .

− x10 − x20 ··· xnn−1 − xn0

x12 x22

x1n−1 x2n−1

x1 x10 x11 . . . x1n−1 x2 x20 x21 . . . x2n−1 ... ... ... ... ... xn xn0 xn1 . . . xnn−1 1 1 1 ... 1

  

 

= 0,

= 0.

Dac˘ a un punct P are, ˆın raport cu un reper cartezian R, coordonatele carteziene (x1 , . . . , xn ) atunci coordonatele sale afine ˆın raport cu reperul afin asociat lui R, sunt (α0 , α1 , . . . , αn ), unde α 0 = 1 x1 . . . xn , α 1 = x1 , . . . αn = x n . Dac˘ a ˆın ultimul determinant sc˘adem din ultima linie suma celorlalte linii, obt¸inem ecuat¸ia hiperplanului ˆın coordonate baricentrice

R

− − −

  

α1 α2 ... αn α0

α10 α20 ... αn0 α00

α11 α21 ... αn1 α01

. .. . .. ... . .. . ..

α1n−1 α2n−1 ... αnn−1 α0n−1

  

= 0.

Este imediat faptul c˘a condit¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a pentru ca un sistem de n + 1 puncte A0 , A1 , . . . , An din s˘a fie afin independent este ca

  

{

} A

x1 x10 x11 . . . x1n−1 x2 x20 x21 . . . x2n−1 ... ... ... ... ... xn xn0 xn1 . . . xnn−1 1 1 1 ... 1

   

= 0 sau

  

α1 α2 ... αn α0

α10 α20 ... αn0 α00

α11 α21 ... αn1 α01

. .. . .. ... . .. . ..

α1n−1 α2n−1 ... αnn−1 α0n−1

   

= 0.

Vom da o alt˘ a reprezentare parametric˘a a unui p-plan, folosind coordonatele raport ale p-planului. Fie A0 , A1 , . . . , A p un sistem afin independent de puncte din , care determin˘a p-planul afin  . Acestui sistem de puncte i se poate asocia reperul afin  este de forma (A0 , A1 , . . . , A p ). Orice punct P

{

A

}

A

∈ A

P = α 0 A0 + α1 A1 + . . . + α p A p , Raportând spat¸iul afin ale p-planului 

A

α0 + α1 + . . . + α p = 1.

A la un reper cartezian, obt¸inem sistemul de ecuat¸ii parametrice

xi = α 0 xi0 + α1 xi1 + . . . + α p xip ,

i = 1, n, 87

α0 + α1 + . . . + α p = 1.

{

}

Asociind reperului afin de mai sus reperul cartezian A0 , (A0 A1 , . . . , A0 A p ) , vectorul de pozit¸ie al punctului P este A0 P = α1 A0 A1 + . . . + α p A0 A p , deci A0 P = α1 (A0 P + P A1 ) + . . . + α p (A0 P + P A p )

⇐⇒

⇐⇒ (1 − α1 − . . . − α p) A0P = α1P A1 + . . . + α pP A p.

   α0





Dac˘ a P = A 1 , . . . , A p (echivalent cu α 0 = 0), atunci A0 P = k 1 P A1 + . . . k p P A p ,

k j =

α j , j = 1, p. α0

Rezult˘ a c˘a

−

P A0 = k 1 (A1

− P ) + . . . + k p(A p − P ) ⇐⇒ P (1 + k1 + . . . + k p) = A0 + k1A1 + . . . + k pA p.

În consecint¸a˘, coordonatele baricentrice ale punctului P sunt date de P = α0 A0 + α1 A1 + . . . + α p A p , unde

1

α0 = 1+



j=1

k j

α j =

,

p

k p

, j = 1, p,

p



1+

j=1

A sunt

iar ecuat¸iile parametrice ale p-planului

k p

p

xi0 + xi =

 

j=1 p

1+

k j xij

j=1

,

i = 1, n.

k j

∈ BC ,

Aplicat¸ie. Teorema lui Menelaus. Fie ABC un triunghi oarecare. Punctele A 1 B1 CA, C 1 AB (diferite de A, B, C ) sunt coliniare dac˘ a ¸si numai dac˘ a

∈

∈

|

|

|

(B, C A1 )(C, A B1 )(A, B C 1 ) =

−1.

Solut¸ie: Punctele (A,B,C ) determin˘a un reper afin. În raport cu acest reper, avem

− λ)B + λC, B1 = µA + (1 − µ)C, C 1 = (1 − ν )A + νB ,

A1 = (1

88

iar rapoartele din teorem˘a sunt

|

(B, C A1 ) =

λ 1

−λ

|

,

(C, A B1 ) =

µ 1

−

, µ

|

(A, B C 1 ) =

ν

1

− ν .

Punctele A1 , B1 , C 1 sunt coliniare dac˘a ¸si numai dac˘a determinantul coordonatelor lor afine se anuleaz˘a, adic˘a

 

2.7

0 µ 1

−ν

1

−λ 0 ν

λ 1

−µ 0

 

=0

⇐⇒ λµν + (1 − λ)(1 − µ)(1 − ν ) = 0.

Morfisme de spat ¸ii afine

Fie ( , V , ϕ) ¸si ( ,W,ψ) dou˘ a K -spat¸ii afine. O aplicat¸ie σ : afin˘ a (sau morfism afin ) dac˘a

A

B

A → B se nume¸ste aplicat ¸ie

∀ P, Q ∈ A, ∀ α, β ∈ K, α + β = 1. Dac˘ a (A, V , ϕ) este un spat¸iu afin ¸si O ∈ A, aplicat¸ia ϕ : A×A → V induce o aplicat¸ie bijectiv˘ a ϕ O : A → V , P −→ OP . Propozit ¸ie 2.7.1. O aplicat ¸ie σ : A → B este afin˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a O ∈ A  astfel ˆıncˆ at, dac˘ a O = σ(O), aplicat ¸ia t : V → W , determinat˘ a de relat ¸ia t ◦ ϕO = ψ O ◦ σ, σ(αP + βQ) = ασ(P ) + βσ(Q),



este liniar˘ a.

◦ ϕO = ψO ◦ σ este echivalent˘a cu ∀ P ∈ A, (t ◦ ϕO )(P ) = (ψO ◦ σ)(P ) ⇐⇒ t(OP ) = σ(O)σ(P ). σ A −→ B  ↓ ∗ ↓ −→

Dem: Relat¸ia t





V

t

(2.10)

W

”= ” Presupunem c˘a σ este aplicat¸ie afin˘a ¸si demonstr˘am c˘a t : V

⇒ → W este liniar˘a. • t este omogen˘a dac˘a ∀ v ∈ V , ∀ λ ∈ K, t(λv) = λt(v). Fie O ∈ A, v ∈ V ¸si λ ∈ K. v ∈ V =⇒ ∃ !P ∈ A, v = OP, λv ∈ V =⇒ ∃ !Q ∈ A, λv = OQ, OQ = λOP =⇒ AQ − AO = λ(AP − AO), ∀ A ∈ A =⇒ Q = (1 − λ)O + λP. Avem

t(λv) = t(OQ) = σ(O)σ(Q) = σ(O)σ[(1

− λ)O + λP ] = λσ(O)σ(P ) = λt(OP ) = λt(v). 89

• t este aditiv˘a dac˘a ∀ v, w ∈ V , t(v + w) = t(v) + t(w). Fie O ∈ A ¸si v, w ∈ V . v ∈ V =⇒ ∃ !P ∈ A, v = OP, w ∈ W =⇒ ∃ !Q ∈ A, w = OQ, 1 1 1 1 1 1 v + w ∈ V =⇒ ∃ !R ∈ A, v + w = OR =⇒ R = P + Q. 2 2 2 2 2 2 Avem t(v+w) = 2t

  1 1 v + w 2 2









1 1 1 1 = 2t(OR) = 2σ(O)σ(R) = 2σ(O)σ P + Q = 2σ(O) σ(P ) + σ(Q) = 2 2 2 2

= σ(O)σ(P ) + σ(O)σ(Q) = t(OP ) + t(OQ) = t(v) + t(w).

⇐

” =” Presupunem c˘a t este liniar˘a ¸si demonstr˘a m c˘a σ este aplicat¸ie afin˘a . Fie O fixat, λ K, P, Q ¸si R = (1 λ)P + λQ. Avem

∈

∈A

−

−

−

∈ A

−

σ(O)σ(R) = t(OR) = t[(1 λ)OP +λOQ] = (1 λ)t(OP )+λt(OQ) = (1 λ)σ(O)σ(P )+λσ(O)σ(Q), deci σ(R) = (1

− λ)σ(P ) + λσ(Q).



→

Aplicat¸ia liniar˘a t : V W , definit˘a prin t(OP ) = σ(O)σ(P ) se nume¸ste aplicat ¸ia liniar˘ a asociat˘ a lui σ (sau aplicat ¸ia tangent˘ a la σ, sau urma lui σ) ¸si are proprietatea c˘a

∀ A, B ∈ A

t(AB) = σ(A)σ(B).

Într-adev˘ ar, t(AB) = t(OB

− OA) = t(OB) − t(OA) = σ(O)σ(B) − σ(O)σ(A) = σ(A)σ(B).

• O aplicat¸ie afin˘a este unic determinat˘a de o pereche de puncte corespondente O ¸si O  ¸si de aplicat¸ia liniar˘a indus˘a t : V → W . • Deoarece t ◦ ϕO = ψO ◦ σ, iar aplicat¸iile ϕO ¸si ψO sunt bijective, rezult˘a c˘a aplicat¸ia afin˘a σ : A → B este injectiv˘a (surjectiv˘a , resp. bijectiv˘a) dac˘ a ¸si numai dac˘a aplicat¸ia liniar˘a indus˘a t : V → W este injectiv˘a (surjectiv˘a, resp. bijectiv˘a). Propozit ¸ie. Fie σ : A → B o aplicat ¸ie afin˘ a.  ∅, iar V  este spat ¸iul s˘ au a) Dac˘ a A  ⊂ A este un subspat ¸iu afin al lui lui A , A  = director, atunci σ(A ) este un subspat ¸iu afin al lui B , cu spat ¸iul director t(V  ).  ∅, iar W  este spat ¸iul s˘ au b) Dac˘ a B  ⊂ Im σ este un subspat ¸iu afin al lui lui B , B  = director, atunci σ −1 (B ) este un subspat ¸iu afin al lui A, cu spat ¸iul director t −1 (W  ). 



90

Dem: a) Fix˘am O

∈ A ¸si fie O  = σ(O). Atunci A = {P ∈ A, OP ∈ V  },

deci σ(A ) = σ(P )

∈ B, OP ∈ V } = {σ(P ) ∈ B, σ(O)σ(P ) = = t(OP ) ∈ t(V  )} = {σ(P ) ∈ B , O  σ(P ) ∈ t(V  )}. Dar O  ∈ σ(A ) ¸si t(V  ) ≺ t(V ) ≺ W , deci σ(A ) este un subspat¸iu afin al lui B, cu spat¸iul {

director t(V  ). b) Avem

B = {P  ∈ B, OP  ∈ W }, deci σ −1 (  ) = σ −1 (P  )

∈ A, OP  ∈ W } = {P ∈ A, Oσ(P ) ∈ W } = = {P ∈ A, σ(O)σ(P ) ∈ W  } = {P ∈ A, t(OP ) ∈ W  } = {P ∈ A, OP ∈ t −1 (W  )}. Dar O ∈ A ¸si t−1 (W  ) ≺ t−1 (W ) ≺ V , deci σ −1 (B  ) este un subspat¸iu afin al lui A, cu B

{

spat¸iul director t −1 (W  ).



Consecint¸e:

• Dac˘a σ : A → B este o aplicat¸ie afin˘a, atunci a) Im σ este un subspat¸iu afin al lui B. b) Dac˘ a A1 ¸si A2 sunt subspat¸ii afine ale lui A, atunci A1  A2 =⇒ σ(A1 )  σ(A2 ). Într-adev˘ ar, dac˘a A1  A2 , atunci V 1 ⊂ V 2 sau V 2 ⊂ V 1 , deci t(V 1 ) ⊂ t(V 2 ) sau t(V 2 ) ⊂ t(V 1 ) ¸si, deci, σ (A1 )  σ(A2 ). • Dac˘a σ : A → B este o aplicat¸ie afin˘a injectiv˘a, atunci pentru fiecare B ∈ Im σ, σ −1 (B) este un punct din A . Într-adev˘ ar, B este un subspat¸ iu afin al lui B , −1 cu spat¸iul director { 0W }, deci σ (B) este un subspat¸ iu afin al lui A , cu spat¸iul director t−1 (0W ) = ker t. Dar σ este injectiv˘a, deci t este injectiv˘a ¸si ker t = {0V }. În consecint¸a˘, spat¸iul director al lui σ −1 (B) este {0V }, deci σ −1 (B) este un punct al lui A. • Dac˘a σ : A → B este o aplicat¸ie afin˘a surjectiv˘a, atunci pentru fiecare B ∈ B, spat¸iul director al subspat¸iului σ −1 (B) este ker t ⊂ V . În consecint¸a˘, dac˘ a B 1 , B2 ∈ −1 −1 B, atunci σ (B1)  σ (B2). Exemple de aplicat¸ii afine

• Aplicat¸ii definite pe Kn cu valori ˆın Km 91

Fie σ : Kn

→ Km, σ(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym), unde n

y j =



a ji xi + b j ,

j = 1, m.

i=1

Aceasta este o aplicat¸ie afin˘a, iar aplicat¸ia liniar˘a asociat˘ a este t : Kn

→ Km, t(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym),

unde

n

y j =



a ji xi ,

j = 1, m.

i=1

• Omotetii de centru O ¸si raport k Fie O ∈ A un punct fixat ¸si k ∈ K∗ . Aplicat¸ia σk : A → A, σ(P ) = (1 − k)O + kP, se nume¸ste omotetie de centru O ¸si raport k. Evident, σ k (O) = O. Aceasta este o aplicat¸ie afin˘ a, iar aplicat¸ia liniar˘a asociat˘ a este tk : V

→ V,

tk (OP ) = kOP,

adic˘ a omotetia vectorial˘ a de centru O ¸si raport k. Omotetia de raport k = 1 este 1 A , iar t1 = 1V . Omotetia de raport k = simetria lui fat¸a˘ de O, σ −1 (P ) = 2O P , iar t −1 (OP ) = OP .

A

−

A

A

−

A

− 1 este

A → A → ◦

A →

Propozit ¸ie. Fie ( 1 , V 1 ), ( 2 , V 2 ) ¸si ( 3 , V 3 ) trei spat ¸ii afine ¸si σ 1 : 1 2 , σ 2 : 2 ¸ii afine, cu aplicat ¸iile liniare induse t1 : V 1 V 2 , respectiv t 2 : V 2 V 3 . Atunci 3 aplicat σ2 σ1 : 1 ¸ie afin˘ a, iar aplicat ¸ia liniar˘ a indus˘ a este t = t 2 t1 . 3 este aplicat

A

◦

→

A → A

∈ K, α + β = 1, ¸si orice P, Q ∈ A1, avem

Dem: Pentru orice α, β

◦

(σ2 σ1 )(αP + βQ) = σ 2 (ασ1 (P ) + βσ 1 (Q)) = ασ 2 (σ1 (P )) + βσ 2 (σ1 (Q)), deci σ 2 σ1 este o aplicat¸ie afin˘a. În plus, pentru orice A, B

◦ ∈ A, (σ2 ◦ σ1 )(A)(σ2 ◦ σ1 )(B) = σ 2 (σ1 (A))σ2 (σ1 (B)) = t 2 (σ1 (A)σ1 (B)) = t 2 (t1 (AB)), deci aplicat¸ia liniar˘a asociat˘ a lui σ 2 ◦ σ1 este t 2 ◦ t1 .  Propozit ¸ie. Dac˘ a σ : A → B este o aplicat ¸ie afin˘ a bijectiv˘ a, iar aplicat ¸ia liniar˘ a indus˘ a −1 este t : V → W , atunci σ : B → A este aplicat ¸ie afin˘ a, iar aplicat ¸ia liniar˘ a indus˘ a este −1 t : W → V . 92

Dem: Fie α, β K , cu α + β = 1 ¸si fie P, Q ˆıncˆ at σ (A) = P , σ(B) = Q. Avem

∈

∈ B.

Rezult˘a c˘a exist˘a A, B

∈ A, astfel

σ −1 (αP +βQ) = σ −1 (ασ(A)+βσ(B)) = σ −1 (σ(αA+βB)) = αA+βB = ασ −1 (P )+βσ −1 (B), Deci σ −1 este aplicat¸ie afin˘a. În plus, deoarece σ −1 (P )σ −1 (Q) = σ −1 (σ(A))σ −1 (σ(B)) = AB = t −1 (P Q), rezult˘ a c˘ a aplicat¸ia liniar˘a indus˘a de σ −1 este t −1 .



A→A A A A

O aplicat¸ie afin˘a bijectiv˘ a σ : se nume¸ste afinitate (sau automorfism afin , sau transformare afin˘ a ) a spat¸iului afin . Mult¸imea afinit˘ a¸t ilor unui spat¸iu afin formeaz˘a un grup ˆın raport cu operat¸ia de compunere. Acest grup se noteaz˘a GA( ) ¸si se nume¸ste grupul afinit˘ at ¸ilor lui . 2.7.1

A

Translat ¸ii ¸ si centro-afinit˘ a¸ ti

A

A → A

O translat ¸ie pe un spat¸iu afin este o afinitate σ : , cu proprietatea c˘a aplicat¸ia liniar˘ a indus˘a este aplicat¸ia identic˘a t = 1V : V V . Rezult˘a c˘a o translat¸ie este unic determinat˘ a de o pereche de puncte corespondente. Fie σ : o translat¸ie, O ¸si σ(O) corespondentul lui O prin σ. Aplicat¸ia liniar˘ a indus˘a de σ este 1V , deci, pentru orice P , avem OP = t(OP ) = σ(O)σ(P ). În consecint¸a˘, OP = Oσ(O) + σ(O)σ(P ) + σ(P )P,

A→A

→ ∈A ∈ A

∈ A

de unde rezult˘a c˘ a

∀ P ∈ A,

Oσ(O) = P σ(P ).

∈

Vectorul v = P σ(P ) V , (care depinde numai de σ), poart˘ a numele de vectorul translat ¸iei σ. Propozit ¸ie. Mult ¸imea translat ¸iilor unui spat ¸iu afin este un subgrup al grupului afinit˘ at ¸ilor GA( ), izomorf cu grupul aditiv al lui V . Este, deci, un grup comutativ.

A

A

Dem: Fie GT( ) = σ :

A { A → A, t = 1V } mult¸imea translat¸iilor spat¸iului afin A. Este evident c˘ a produsul (compunerea) a dou˘a translat¸ii este o translat¸ie (dac˘a σ1 , σ2 sunt translat¸ii, atunci aplicat¸ia liniar˘a indus˘a de produl σ 2 ◦ σ1 este t 2 ◦ t1 = 1V ◦ 1V = 1V ) ¸si c˘a inversa unei translat¸ii este tot o translat¸ie (inversa lui 1V este tot 1V ). Deci GT ( A) este un subgrup al lui GA ( A). Orice translat¸ie σ este unic determinat˘a de vectorul v = P σ(P ) ∈ V , iar acest vector este independent de alegerea lui P ∈ A. Consider˘am aplicat¸ia h : GT(A) → V, σ → v = P σ(P ). 93

• h este un morfism de grupuri. Într-adev˘ ar, fie σ1 , σ2 ∈ GT (A), v1 , respectiv v2 vectorii corespunz˘atori ¸si fie P ∈ A un punct fixat. Avem

◦

◦

◦

h(σ2 σ1 ) = P (σ2 σ1 )(P ) = P σ1 (P ) + σ1 (P )(σ2 σ1 )(P ) = v 1 + v2 = h(σ1 ) + h(σ2 ).

• h este injectiv˘a. ∀ ∈ A, deci σ 1(P ) = σ2(P ) ⇒ σ1 = σ2.

Dac˘ a h(σ1 ) = h(σ2 ), atunci P σ1 (P ) = P σ2 (P ), P

• h este surjectiv˘a. Pentru orice v ∈ V ¸si P ∈ A , fixat, exist˘a un unic punct Q ∈ A , astfel ˆıncât P Q = v.

Notˆ and Q = σ(P ), aplicat¸ia h este surjectiv˘a. Deci h este un izomorfism de grupuri. Deoarece V este abelian, ¸si grupul translat¸iilor GT ( ) este abelian. 

A

Izomorfismul de mai sus ne permite s˘a definim pe grupul abelian al translat¸iilor GT ( ) o structur˘a de K -spat¸iu vectorial. Operat¸ia extern˘a este dat˘a de

A

K × GT (A) → GT (A),

(λ, σ)

→ σ  = λσ,

unde translat¸ia λσ este definit˘a prin P σ (P ) = λP σ(P ),

∀ P ∈ A. A

A → A, cu A → A, atunci σ

O centro-afinitate de centru O a spat¸iului afin este o afinitate σ : proprietatea c˘a σ(O) = O. Dac˘ a t : V V este aplicat¸ia liniar˘a indus˘a de aplicat¸ia afin˘ aσ: este o centro-afinitate dac˘a ¸si numai dac˘a

→

t(OP ) = Oσ(P ),

∀ P ∈ A.

A A. Propozit ¸ie. GCAO (A) este un subgrup al grupului afinit˘ at ¸ilor GA(A), izomorf cu grupul Not˘ am prin GCAO ( ) mult¸imea centro-afinit˘a¸tilor de centru O ale spat¸iului afin GL(V ) al transform˘ arilor liniare ale spat ¸iului director V .

Dem: Este evident c˘a produsul (compunerea) a dou˘a centro-afinit˘a¸ti de centru O este o centro-afinitate de centru O (dac˘a σ 1 , σ2 sunt centro-afinit˘a¸ti, σ1 (O) = O, σ2 (O) = O, deci σ2 σ 1 (O) = O) ¸si c˘a inversa unei centro-afinit˘a¸t i este tot o centro-afinitate (dac˘a σ(O) = O, atunci σ −1 (O) = O). Deci GCAO ( ) este un subgrup al lui GA ( ). Fie

◦

A

h : GCAO ( )

A → GL(V), 94

A

σ

→ t.

• h este un morfism de grupuri. Într-adev˘ ar, fie σ 1 , σ 2 ∈ GCA O (A) ¸si t 1 , respectiv t 2 aplicat¸iile liniare induse. Avem h(σ2 ◦ σ1 ) = t 2 ◦ t1 = h(σ1 ) ◦ (σ2 ). • h este injectiv˘a. Dac˘ a h(σ1 ) = h(σ2 ), atunci t1 = t2 , deci t1 (OP ) = t2 (OP ) ⇒ Oσ 1 (P ) = Oσ 2 (P ) ⇒ σ1 (P ) = σ 2 (P ) ⇒ σ 1 = σ 2 . • h este surjectiv˘a. Fie t ∈GL(V ) ¸si O ∈ A fixat. Pentru orice P ∈ A , exist˘a un unic punct Q ∈ A , astfel

ˆıncˆ at t(OP ) = OQ. Notˆ and Q = σ(P ), aplicat¸ia h este surjectiv˘a. Deci h este un izomorfism de grupuri.  Teorem˘ a. Fie O . Orice afinitate σ : σ = σ 1 σO , unde σO GCAO ( ) ¸si σ1 GT( ).

∈A ∈

◦

A

A → A se scrie, ˆın mod unic, sub forma ∈ A

Dem: Fie σ1 translat¸ia definit˘a de perechea de puncte O ¸si σ(O). Deci Oσ 1 (O) = Oσ(O), adic˘a σ(O) = σ 1 (O). Evident, σ1 , definit˘a ˆın acest fel, este unic˘a. Fie σO = σ 1−1 σ. Deoarece σO (O) = σ 1−1 (σ(O)) = σ 1−1 (σ1 (O)) = O,

◦

◦

rezult˘ a c˘ a σ O este o centro-afinitate de centru O ¸si σ = σ 1 σO . 2.7.2



Proiectori ¸ si automorfisme afine involutive

Un proiector afin pe un spat¸iu afin c˘ a π 2 = π.

A este un endomorfism afin π : A → A, cu proprietatea

• Aplicat¸ia liniar˘a p : V → V , asociat˘a unui proiector afin π : A → A, satisface p2 = p, adic˘ a este un proiector vectorial. În consecint¸a˘, V = Im p ⊕ ker p. • Fiecare punct P ∈ Im π este un punct fix pentru π. Într-adev˘ar, dac˘a P ∈ Im π, atunci P = π(Q) ¸si π(P ) = π 2 (Q) = π(Q) = P . Deci A1 = Im π este un subspat¸iu de puncte fixe. Mai mult, orice proiector afin π : A → A reprezint˘a o proiect¸ie a lui A pe subspat¸iul s˘au A1 =Im π, f˘acut˘ a paralel cu un subspat¸iu A2 , de direct¸ie suplimentar˘ a V 2 = ker p. Dac˘a O ∈ A1 , fixat, atunci pentru orice P ∈ A, avem OP = Oπ(P ) + OP  , unde Oπ(O) (desene)

∈ Im p, iar OP  ∈ ker p.

Un automorfism afin involutiv al unui spat¸iu afin , cu proprietatea c˘a σ 2 = 1 A .

A

95

A este un endomorfism afin σ : A →

• Aplicat¸ia liniar˘a s : V → V , asociat˘a lui σ, satisface relat¸ia s2 = 1V , deci este un automorfism vectorial involutiv. În consecint¸a˘, ¸si σ este un automorfism afin.

Leg˘atura dintre proiectori ¸si automorfisme afine este dat˘a de:

• Dac˘a σ este un automorfism afin involutiv, atunci aplicat¸ia πσ :

1 1 πσ (P ) = P + σ(P ) 2 2

A → A,

este un proiector afin.

• Dac˘a π : A → A este un proiector afin, atunci aplicat¸ia σπ : A → A, σπ (P ) = 2π(P ) − P este un automorfism afin involutiv. (desene) 2.7.3

Morfisme de spat¸ii afine finit dimensionale

A B A→B

Fie ( , V , ϕ) ¸si ( ,W,ψ) dou˘ a spat¸ii afine finit dimensionale, de dimensiuni n, respectiv m, σ : o aplicat¸ie afin˘a, iar t : V W aplicat¸ia liniar˘a indus˘a. Se nume¸ste rang (respectiv defect ) al aplicat¸iei σ, rangul (respectiv defectul) aplicat¸iei liniare induse t. Rezult˘a imediat c˘a

→

• rang σ = dim Im σ; • ∀ Q ∈ Im σ , def σ = dim σ−1(Q); • rang σ+ def σ = n. Propozit ¸ie. Fie R = (O; (e1 , . . . , en )) un reper cartezian ˆın , iar B  = (O ; (f 1 , . . . , fm ))  un reper cartezian ˆın . Dac˘ a P (x1 , . . . , xn ) ¸si P (y1 , . . . , ym ) , atunci o aplicat ¸ie afin˘ a σ : , P σ(P ) = P 

B

A

∈A →

A→B

∈B

este determinat˘ a de sistemul de ecuat ¸ii n

y j =



a ji xi + b j ,

j = 1, m,

(2.11)

i=1

iar aplicat ¸ia liniar˘ a indus˘ a t : V are ecuat ¸iile

→ W

n

y j =



a ji xi ,

i=1

96

j = 1, m.

(2.12)

Dem: Ecuat¸iile (2.11) sunt numite ecuat ¸iile aplicat ¸iei σ fat¸a˘ de reperele R ¸si R  . Fie (b j ) coordonatele lui σ(O) ˆın reperul R . Avem O P  = O  σ(P ) = O  σ(O) + σ(O)σ(P ) = O  σ(O) + t(OP ), deci

m

m

n

m

m

n

   ⇔   ⇔     ⇔     ⇔ y j f j =

j=1

b j f j + t(

j=1

m

j=1

n

b j f j +

j=1

y j f j =

i=1

m

y j f j =

x i ei )

j=1

m

j=1

m

xi

i=1

b j f j +

a ji f j

i=1

m

y j f j =

j=1

xi t(ei )

j=1

m

b j f j +

j=1

n

(

a ji xi )f j ,

j=1 i=1

de unde rezult˘a (2.11). Deoarece t(OP ) = σ(O)σ(P ) = O  σ(P ) 

− Oσ(O), obt¸inem (2.12).

Sistemul de scalari (a ji , b j ) poart˘ a numele de coordonatele aplicat ¸iei afine σ fat¸a˘ de  reperele R ¸si R . Acest sistem este format din coordonatele (a ji ) ale aplicat¸iei liniare induse t ˆın bazele (ei ) ¸si (f j ) ¸si din coordonatele (b j ) ale punctului σ(O) ˆın reperul R  . Ecuat¸iile (2.11) se pot scrie sub form˘a matriceal˘ a Y = AX + B, unde Y = (y j ), X = (xi ) ¸si B = (b j ) sunt matrici coloan˘a, iar A ecuat¸ie matriceal˘a se mai poate scrie sub forma

     1 Y

iar matricea

  1 0 B A

1 0 B A

=

1 X

∈ Mmn(K).

Aceast˘a

,

este matricea asociat˘ a aplicat¸iei σ. Rezult˘a imediat c˘a rang σ = rang A = rang

  1 0 B A

.

În cazul unui endomorfism afin, raport˘ a m atˆ at P cât ¸si σ(P ) la acela¸si reper R. Ecuat¸iile lui σ sunt de acela¸si tip, iar A este o matrice p˘atratic˘ a. Fie σ : un endomorfism afin al spat¸iului afin n-dimensional ¸si R = (O, (e1 , . . . , en )) un reper cartezian. Ecuat¸iile lui σ sunt

A→A

A

n

y j =



a ji xi + b j ,

j = 1, n,

i=1

iar ecuat¸iile aplicat¸iei liniare induse t sunt n

y j =



a ji xi ,

i=1

97

j = 1, n.

• σ este un automorfism afin dac˘a ¸si numai dac˘a t este un izomorfism de spat¸ii vectoriale, ceea ce este echivalent cu det A = det(aij )  = 0; avem X = A −1 Y − A−1 B; • σ este o translat¸ie dac˘a ¸si numai dac˘a t = 1V , adic˘a A = I n, sau a ij = δ ji ; vectorul corespunz˘ator translat¸iei σ are coordonatele b j = y j − x j ; • σ este o centro-afinitate de centru O dac˘a ¸si numai dac˘a σ(O) = O, adic˘a B = 0, deci b j = 0.

Teorem˘ a 2.7.3.1. Fie R = (O; (e1 , . . . , en )) ¸si R  = (O  ; (e1 , . . . , en ) dou˘ a repere carteziene ale unui spat ¸iu afin n-dimensional . Exist˘ a o transformare afin˘ a σ : , unic determinat˘ a de O = σ(O), ei = t(ei ), i = 1, n.

A

A→A

Dac˘ a P are coordonatele (xi ) ˆın reperul R ¸si σ(P ) are coordonatele (xi ) ˆın reperul R , atunci ecuat ¸iile transform˘ arii σ ˆın reperele R, R sunt xi = x i ,

i = 1, n.

Dem: Exist˘a ˆıntotdeauna o transformare afin˘ aσ: ei = t(ei ), i =

1, n. Fie OP =

n



i=1

    

xi ei

¸si O  P 

=

i=1

n

t(OP ) = t(

xi ei . Avem

n

x i ei ) =

i=1

¸si, ˆın acela¸si timp,

n

A → A, pentru care O = σ(O) ¸si n

xi t(ei ) =

i=1

xi ei

i=1

n





xi ei ,

t(OP ) = σ(O)σ(P ) = O P =

i=1

deci x i = x i , , i = 1, n. Deoarece t este unic determinat˘ a de valorile sale pe vectorii bazei (ei ), iar σ este determinat˘ a de o pereche de puncte corespondente O ¸si σ(O) ¸si de aplicat¸ia liniar˘a t indus˘ a, rezult˘a c˘ a σ este unic˘a. 

∀

2.7.4

Ecuat ¸iile carteziene ale unui

p-plan

Consider˘ am Km atât cu structura canonic˘a de K-spat¸iu vectorial, cˆ at ¸si cu structura canonic˘ a de spat¸iu afin. Fie un spat¸iu afin de dimensiune n ¸si σ : Km o aplicat¸ie afin˘a. Nucleul aplicat¸iei σ, notat ker σ, este subspat¸iul afin σ −1 (0), unde 0 Km . Am v˘azut c˘a, dac˘ a σ este surjectiv˘a, atunci ker σ este un p -plan  , unde p = n m. Deci, nucleul unei aplicat¸ii afine surjective este un p -plan. Mai mult, orice p-plan se poate ”vedea” ca nucleul unei aplicat¸ii afine surjective.

A

A→

−

Propozit ¸ie. Pentru orice p-plan astfel ˆıncˆ at ker σ =  .

A

∈

A ⊂ A

A ⊂ A, exist˘ ao aplicat ¸ie afin˘ asurjectiv˘ a σ : A → Kn− p, 98

Dem: Fie R  = O; (e j ), j = 1, p un reper ˆın  . Baza acestuia se poate completa pˆ an˘ a la o baz˘a a spat¸iului director al lui , astfel ˆıncât R = O; (e j , eβ ), j = 1, p , β = p + 1, n este un reper cartezian ˆın . Consider˘ am reperul canonic O; (f γ ), γ 1, n p al lui n− p K . Conform Teoremei 2.7.3.1, exist˘a o aplicat¸ie afin˘a σ : Kn− p , caracterizat˘a prin

{

} A

A

σ(O) = 0,

A

{

{ A→

∈

− }

}

t(e1 ) = . . . = t(e p ) = 0,

t(e p+1 ) = f 1 , . . . , t(en ) = f n− p , unde t este aplicat¸ia liniar˘a indus˘a de σ. Coordonatele lui σ sunt b j = 0,

j = 1, n

− p,

(a ji ) = (Θ p , In− p ),

j = 1, p, i = 1, n.

• P ∈ A ⇐⇒ σ(P ) = 0; • rang (a ji ) = n − p, deci σ este surjectiv˘a.  ∈A

Fie (x1 , . . . , xn ) coordonatele unui punct P fat¸a˘ de un reper cartezian R =  O; (e1 , . . . , en ) din ¸si fie un p-plan. Acesta coincide, deci, cu nucleul unei n− p aplicat¸ii afine surjective σ : ¸ inând cont de ecuat¸iile unei aplicat¸ii K ,  = ker σ. T  afine (2.11), rezult˘a c˘ a P dac˘ a ¸si numai dac˘a sistemul de coordonate (x1 , . . . , xn ) este o solut¸ie a sistemului de ecuat¸ii

{

}

A

A ⊂ A A→ A ∈A

n



a ji xi + b j = 0,

j = 1, n

i=1

− p,

rang (a ji ) = n

− p.

(2.13)

Spat¸iul director V  al lui  este determinat de ker t, unde t este aplicat¸ia liniar˘a indus˘a de σ. Folosind (2.12), rezult˘a c˘a un vector v se afl˘a ˆın subspat¸iul director al p-planului  , v = (v1 , . . . , vn ) V  , dac˘a ¸si numai dac˘a componentele sale (v1 , . . . , vn ) verific˘a sistemul de ecuat¸ii omogene

A

A

∈

n



a ji xi = 0,

i=1

j = 1, n

− p,

rang (a ji ) = n

− p.

(2.14)

Sistemul de ecuat¸ii (2.13) poart˘a numele de ecuat ¸iile carteziene generale ale p-planului  afin ˆın raport cu reperul R, iar (2.14) ecuat ¸iile p-planului vectorial director .

A ⊂ A • Dac˘a p-planul considerat este un hiperplan, el va fi determinat de o singur˘a ecuat¸ie cartezian˘a

n



ai xi + b = 0,

i=1

99

rang (ai ) = 1.

• O dreapt˘a afin˘a ˆıntr-un spat¸iu afin 3-dimensional va fi determinat˘a de un sistem de ecuat¸ii de forma



a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + b1 = 0 , rang a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + b2 = 0



a11 a12 a13 a21 a22 a23



= 2.

Un sistem de coordonate pentru un vector director al acestei drepte va fi o solut¸ie a sistemului omogen



a11 v1 + a12 v2 + a13v3 = 0 , rang a21 v1 + a22 v2 + a23v3 = 0



a11 a12 a13 a21 a22 a23



= 2.

• Un plan afin dintr-un spat¸iu afin 3-dimensional va fi determinat de o ecuat¸ie de forma

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + b = 0,

rang (a1 , a2 , a3 ) = 1.

Coordonatele unui vector din spat¸iul s˘au director vor fi o solut¸ie a ecuat¸iei omogene a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 = 0,

2.8

rang (a1 , a2 , a3 ) = 1.

Forme afine

Fie ( , V ) un K-spat¸iu afin, iar pe corpul K vom considera atât structura canonic˘a de K-spat¸iu vectorial, cât ¸si structura canonic˘a de spat¸iu afin. Se nume¸ste form˘ a afin˘ a pe spat¸iul afin o aplicat¸ie afin˘a F : K. Deci

A

A A→ F (αP + βQ) = αF (P ) + βF (Q), ∀ P, Q ∈ A, ∀ α, β ∈ K, α + β = 1.

Orice aplicat¸ie afin˘a induce o aplicat¸ie liniar˘a ˆıntre spat¸ii vectoriale. Deci, formei afine F : K i se asociaz˘a forma liniar˘a f : V K, cu urm˘atoarea proprietate: dac˘a O este un punct arbitrar, numit origine , atunci f (OP ) = F (O)F (P ), P . Dar, ˆın K, F (O)F (P ) = F (P ) F (O), deci

A→

→

∀ ∈ A

−

f (OP ) = F (P )

∈ A

− F (O), ∀ P ∈ A.

Vom nota cu r = OP vectorul de pozit ¸ie al punctului P fat¸a˘ de originea O ¸si b = F (O) K. Rezult˘a c˘a F (P ) = f (r) + b, P . (2.15)

∈

∀ ∈ A

• Forma afin˘a F este, deci, determinat˘a de forma liniar˘a indus˘a f ¸si de valoarea b a lui F ˆın originea O.

• O form˘a afin˘a F este constant˘a dac˘a ¸si numai dac˘a forma liniar˘a indus˘a f este forma nul˘ a.

100

• Dac˘a A este un spat¸iu afin n-dimensional, iar R n= (O; (e1, . . . , en)) este un reper

 

cartezian, atunci, exprimând vectorul r = OP =

i=1

n

f (r) = f (

n

  xi ei ) =

i=1

xi ei , vom avea

n

f (ei )xi =

i=1

ai xi ,

ai = f (ei ),

i=1

deci o form˘a afin˘ a este dat˘a de o funct¸ie polinomial˘ a de gradul I , ˆın coordonatele (xi ) ale punctului P , n

F (P ) =



∀ P (x1, . . . , xn) ∈ A.

ai xi + b,

i=1

Sistemul de scalari (ai = f (ei ), b = F (O)) poart˘ a numele de coordonatele formei F ˆın reperul R. Hiperplane afine

A → K subspat¸iul afin F −1(0 ker F = F −1 (0) = {P ∈ A, F (P ) = 0 ∈ K}.

Se nume¸ste nucleu al formei afine F :

K

),

Propozit ¸ie. Condit ¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘ a pentru ca o submult ¸ine nevid˘ a s˘ a fie hiperplan afin este s˘ a existe o form˘ a afin˘ a neconstant˘ a F : at = ker F . K, astfel ˆıncˆ

⇒

H

Dem: ”= ” Fie un hiperplan afin al lui vectorial H . Fix˘am un punct P 0 . Atunci

∈ H

{

H = P 0 P,

H ⊂ A H

A→

A. Spat¸iul s˘au director este un hiperplan ∈ H}.

P

A →

H fiind un hiperplan vectorial al spat¸iului director V al lui , rezult˘a c˘a H coincide cu nucleul unei forme liniare nenule pe V , adic˘a exist˘a f : V K, f = 0, astfel ˆıncât H = ker f . Deci f (P 0 P ) = 0 K, P 0 P H , adic˘a f (P 0 P ) = 0 K, P . Fix˘am un punct origine O . Avem

∈ ∀ ∈ A

∀ P ∈ H, Definim F :

∈



∈ ∀ ∈ H

f (OP ) = f (OP 0 ) + f (P 0 P ) = f (OP 0 ).

A → K, prin

∀ P ∈ A, unde F (O) = −f (OP 0). Aceasta este o form˘a afin˘ a neconstant˘ a pe A ¸si, ˆın plus, P ∈ ker F ⇐⇒ F (P ) = 0 ⇐⇒ f (OP ) = −F (O) = f (OP 0 ) ⇐⇒ P ∈ H. ”⇐=” Fie F : A → K o form˘a afin˘ a neconstant˘ a ¸si fie H = ker F . Nucleul lui F este un subspat¸iu afin al lui A, având spat¸iul director ker f , unde f : V → K este forma liniar˘a asociat˘a lui F . Deoarece F este neconstant˘a, rezult˘a c˘a f este nenul˘a, deci ker f este un hiperplan vectorial al lui V . În consecint¸a˘, H este un hiperplan afin.  F (P ) = f (OP ) + F (O),

Fie F 1 ¸si F 2 dou˘a forme afine neconstante pe 101

A.

• Hiperplanele afine ker F 1 ¸si ker F 2 coincid dac˘a ¸si numai dac˘a F 1 ¸si F 2 sunt proport¸ionale. ker F 1 = ker F 2 ⇐⇒ ∃ λ ∈ K, λ  = 0, F 1 (P ) = λF 2 (P ), ∀ P ∈ A.

Într-adev˘ ar,

⇒ ker f 1 = ker f 2 ⇒ ∃ λ ∈ K, λ = 0, f 1(OP ) = λf 2(OP ), O ∈ A fixat, ∀ P ∈ A ⇒ ⇒ F 1(P ) − F 1(O) = λ(F 2(P ) − F 1(O)) ⇒ F 1(P ) = λF 2(P ) + [F 1(O) − λF 2(O)] ⇒ F 1 (P ) = λF 2 (P ) + [ −f 1 (OP 0 ) + λf 2 (OP 0 )] = λF 2 (P ).

ker F 1 = ker F 2

Reciproc, dac˘ a F 1 (P ) = λF 2 (P ), este evident c˘a ker F 1 = ker F 2 .

• Hiperplanele afine ker F 1 ¸si ker F 2 sunt paralele dac˘a ¸si numai dac˘a formele liniare f 1 ¸si f 2 induse sunt proport¸ionale.

Evident, deoarece spat¸iile vectoriale ker f 1 ¸si ker f 2 trebuie s˘a coincid˘a, deci f 1 ¸si f 2 s˘a fie proport¸ionale.

Ecuat ¸ia general˘ a a unui hiperplan afin este f (r) + b = 0,

r = OP, b = F (O), f = 0.



(2.16)

A

Dac˘ a spat¸iul afin este n-dimensional ¸si este raportat la un reper cartezian, obt¸inem din nou ecuat¸ia cartezian˘a general˘a a unui hiperplan n



ai xi + b = 0,

rang (ai ) = 1.

i=1

Pozit ¸ia unei drepte fat¸˘ a de un hiperplan

A

Fie ( , V ) un spat¸iu afin,

Pozit¸ia lui

D o dreapt˘a a lui A ¸si H un hiperplan. Ecuat¸iile lui D ¸si H sunt D : r = r0 + tv, t ∈ K, v ∈ D, H : f (r) + b = 0, f = 0, b ∈ K.

D fat¸a˘ de H va fi dat˘a de solut¸iile sistemului



r = r 0 + tv . f (r) + b = 0

Eliminˆ and pe r, obt¸inem f (v) t + f (r0 ) + b = 0.

·

0) + b • Dac˘a f (v) = 0, ecuat¸ia (ˆın t) are o singur˘a solut¸ie t1 = − f (rf (v) .

Dreapta s¸i

hiperplanul vor avea un punct comun P 1 , cu vectorul de pozit¸ie r1 = r0 + t 1 v. Dreapta intersecteaz˘ a hiperplanul. 102

• Dac˘a f (v) = 0, rezult˘a c˘a orice vector v din spat¸iul director al lui D este cont¸inut ˆın nucleul lui f , deci ˆın spat¸iul director al hiperplanului H . Dreapta este paralel˘ a cu hiperplanul.



– Dac˘a f (r0 ) + b = 0, ecuat¸ia nu are solut¸ii, deci comun. Ele sunt strict paralele; .

D  H

D ¸si H nu au nici un punct

– Dac˘a f (r0 ) + b = 0, ecuat¸ia are o infinitate de solut¸ii. Dreapta este cont¸inut˘ a ˆın hiperplan; .

D ⊂ H

Snop de hiperplane Fie ( , V ) un spat¸iu afin ¸si (  , V  ) un subspat¸iu afin al s˘au. Snopul de hiperplane de centru subspat ¸iul  este mult¸imea tuturor hiperplanelor  din care cont¸in pe . Snopul de hiperplane de direct ¸ie subspat ¸iul V  V este mult¸imea tuturor hiperplanelor din , al c˘aror spat¸iu director cont¸ine pe V  .

A A A

A

A ⊂ A ≺

A

În continuare, presupunem c˘a este un spat¸iu afin de dimeniune n. Fie  un p-plan afin din . Acesta este dat de un sistem de n p ecuat¸ii liniare:

A

A

n



A

:

A



a ji xi + b j = 0,

−

j = 1, n

i=1

− p,

rang (a ji ) = n

− p.

(2.17)

H un hiperplan din A, dat printr-o ecuat¸ie liniar˘a:

Fie

n



H :

ai xi + b = 0,

rang (ai ) = 1.

(2.18)

i=1

Hiperplanul apart¸ine snopului de hiperplane de centru p-planul  dac˘ a ¸si numai dac˘a mult¸imea solut¸iilor sistemului (2.17) este cont¸inut˘ a ˆın mult¸imea solut¸iilor ecuat¸iei (2.18). Aceasta se ˆıntâmpl˘ a dac˘ a ¸si numai dac˘a rangul matricei extinse a sistemului determinat de ecuat¸iile lui (2.17) ¸si (2.18) este egal cu rangul matricei (a ji ) a sistemului (2.17), deci cu n p, a11 a12 a1n b1

H

A

−

rang

 ··· 

an− p1 a1

··· ··· ··· ··· ··· an− p2 ··· an− pn bn− p a2 ··· an b

 

= n

− p,

ceea ce este echivalent cu faptul c˘a ultima linie a matricei de mai sus este o combinat¸ie liniar˘ a a celorlalte linii. În consecint¸a˘, hiperplanul apart¸ine snopului de hiperplane de centru p-planul  dac˘ a ¸si numai dac˘a exist˘a scalarii λ 1 , . . . , λn− p , nu tot¸i nuli, astfel ˆıncât

H

A

n− p

ai =



n− p

λ j a ji , i = 1, n,

j=1

b =



j=1

103

λ j b j .

A dat

Evident, ecuat¸ia unui hiperplan din snopul de hiperplane de centru p-planul prin (2.17) este n− p

n

  λ j (

j=1

a ji xi + b j ) = 0,

λ j

i=1

∈ K.

În particular, dac˘a este un spat¸iu afin 3-dimensional, atunci un snop de plane de centru punctul P 0 (x10 , x20 , x30 ) poart˘ a numele de stea de plane de centru P 0 . Un plan din acest snop va avea ecuat¸ia de forma

A

− x10) + λ2(x2 − x20) + λ3(x3 − x30) = 0. Tot ˆıntr-un spat¸iu afin 3-dimensional A, un snop de plane de centru dreapta a12 x2 + a13 x3 + b1 = 0 D : aa1121xx11 + , rang (aij ) = 2, + a22 x2 + a23 x3 + b2 = 0 se nume¸ste fascicul de plane de ax˘a D. Un plan din acest fascicul are o ecuat¸ie de forma λ1 (x1



λ1 (a11 x1 + a12x2 + a13 x3 + b1 ) + λ2 (a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + b2 ) = 0.

Fie

H ⊂ A un hiperplan din ( A, V ), a c˘arui ecuat¸ie este n

H : ¸si fie V 



ai xi + b = 0,

rang (ai ) = 1

i=1

≺ V un subspat¸iu vectorial p-dimensional al lui V , n



V :



a ji xi = 0,

j = 1, n

i=1

− p,

rang (a ji ) = n

− p.

Hiperplanul apart¸ine snopului de hiperplane paralele de direct¸ie V  dac˘ a ¸si numai dac˘a exist˘ a scalarii λ1 , . . . , λn− p , nu tot¸i nuli, astfel ˆıncât

H

n− p

ai =



λ j a ji ,

i = 1, n.

j=1

În consecint¸a˘, orice hiperplan paralel cu un p-plan de ecuat¸ii (2.17) va avea o ecuat¸ie de forma n− p

n

  λ j (

j=1

a ji xi ) + λ = 0,

λ

i=1

∈ K,

rang (λ j ) = 1.

În particular, un hiperplan paralel cu un hiperplan de ecuat¸ie (2.18) va avea o ecuat¸ie de forma n



ai xi + λ = 0,

i=1

104

λ

∈ K.

D

Într-un spat¸iu afin 3-dimensional , de ecuat¸ii

 D :

A, un plan din snopul de plane paralele cu o dreapt˘a

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + b1 = 0 , a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + b2 = 0

rang (aij ) = 2

va avea o ecuat¸ie de forma λ1 (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ) + λ2 (a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ) + λ = 0, rang (λ1 , λ2 ) = 1.

2.9

Forme biafine

Se nume¸ste form˘ a biafin˘ a pe spat¸iul afin argument.

A o aplicat¸ie G : A × A → K, afin˘a ˆın fiecare

∀ P 1, P 2, Q ∈ A, ∀ α1, α2 ∈ K, α1+α2 = 1, G(P, α1 Q1 +α2 Q2 ) = α1 G(P, Q1 )+α2 G(P, Q2 ), ∀ P, Q1 , Q2 ∈ A, ∀ α1 , α2 ∈ K, α1 +α2 = 1. Propozit ¸ie 2.9.1. Fie O ∈ A un punct origine ¸si AO spat ¸iul tangent ˆın O la A. Aplicat ¸ia G : A × A → K este o form˘ a biafin˘ a pe A dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a o form˘ a biliniar˘ a O O 1 O 2 O g : A × A → K , dou˘ a forme liniare f : A → K , f : A → K ¸si o constant˘ a c ∈ K , G(α1 P 1 +α2 P 2 , Q) = α 1 G(P 1 , Q)+α2 G(P 2 , Q),

astfel ˆıncˆ at

G(P, Q) = g(OP,OQ) + f 1 (OP ) + f 2 (OQ) + c,

∀ P, Q ∈ A.

Dem: ”= ” (Orice form˘a afin˘ a F : K este de forma F (P ) = f (OP )+F (O), unde O f : K este aplicat¸ia liniar˘a indus˘a de F ). Folosind faptul c˘a aplicat¸ia G : K este afin˘a ˆın primul argument, rezult˘a c˘a exist˘a (pentru orice Q , fixat) o form˘a liniar˘a 1 O F : Q K, astfel ˆıncât

⇒

A → A ×{ }→

A→

A×A →

∈A

G(P, Q) = F 1 (OP,Q) + G(O, Q). Aplicat¸ia F 1 este liniar˘a ˆın primul argument ¸si afin˘a ˆın al doilea. Folosind faptul c˘a F 1 O este afin˘a ˆın al doilea argument, rezult˘ a c˘a exist˘a o form˘a biliniar˘a g : O K, astfel ˆıncât F 1 (OP,Q) = g(OP,OQ) + F 1 (OP,O).

A × A →

Aplicat¸ia G este afin˘a ˆın al doilea argument, deci exist˘a o form˘ a liniar˘a F 2 : O (asociat˘a lui G(O, Q)), astfel ˆıncât

{ }×AO → K

G(O, Q) = F 2 (O,OQ) + G(O, O). În consecint¸a˘, avem G(P, Q) = g(OP,OQ) + F 1 (OP,O) + F 2 (O,OQ) + G(O, O),

105

unde F 1 :

AO × {O} → K ¸si F 2 : {O} × AO → K sunt liniare. Definim f 1 : AO → K, f 1 (OP ) = F 1 (OP,O), f 2 : AO → K, f 2 (OQ) = F 2 (O,OQ), c = G(O, O).

Aplicat¸iile f 1 ¸si f 2 sunt forme liniare ¸si, ˆın plus, G(P, Q) = g(OP,OQ) + f 1 (OP ) + f 2 (OQ) + c. ” =” Vom verifica faptul c˘ a o aplicat¸ie G : K, de forma G(P, Q) = 1 2 g(OP,OQ) + f (OP ) + f (OQ) + c este biafin˘a. Fie α1 , α2 K, cu α1 + α 2 = 1 ¸si fie P 1 , P 2 , Q . Avem

⇐

A × A →

∈A

∈

G(α1 P 1 + α2 P 2 , Q) = g(α1 OP 1 + α2 OP 2 , OQ) + f 1 (α1 OP 1 + α2 OP 2 ) + f 2 (OQ) + c = = α 1 [g(OP 1 , OQ)+ f 1 (OP 1 )]+ α2 [g(OP 2 , OQ)+f 1 (OP 2 )]+(α1 +α2 )f 2 (OQ)+ (α1 +α2 )c = = α 1 G(P 1 , Q) + α2 G(P 2 , Q). Analog se verific˘ a faptul c˘ a G este afin˘a ˆın al doilea argument.  Oric˘ arei forme biafine G i se asociaz˘a un sistem de patru forme (g, f 1 , f 2 , c), unde c este considerat ca o form˘a afin˘ a constant˘ a pe . Evident, acest sistem depinde de alegerea punctului origine O, prin relat¸iile

A

f 1 (OP ) = F 1 (OP,O) = G(P, O)

− G(O, O), f 2 (OQ) = F 2 (O,OQ) = G(O, Q) − G(O, O), g(OP,OQ) = G(P, Q) − G(P, O) − G(O, Q) + G(O, O).

Alegˆ and un alt punct origine O  , formei biafine G i se asociaz˘a sistemul (g  , f 1 , f 2 , c ), unde G(P, Q) = g  (O P, O Q) + f 1 (O  P ) + f 2 (O  Q) + c , c = G(O , O ). O .

Vom determina leg˘atura dintre sistemul de forme asociat punctului O ¸si cel asociat lui Avem g  (O P, O Q) = G(P, Q)

− G(P, O) − G(O, Q) + G(O, O) = = g(OP,OQ)+f 1 (OP )+f 2 (OQ)+G(O, O) −[g(OP,OO )+f 1 (OP )+f 2 (OO  )+G(O, O)]− −[g(OO, OQ)+f 1(OO)+f 2(OQ)+G(O, O)]+g(OO , OO )+f 1(OO )+f 1(OO )+G(O, O) = = g(OP,OQ)−g(OP,OO )−g(OO  , OQ)+g(OO  , OO  ) = g(OP,O Q)−g(OO  , O  Q) = g(O P, O Q), deci g  (O P, O Q) = g(O  P, O Q),

106

de unde rezult˘a c˘a g nu depinde de alegerea punctului origine O. Vom spune c˘a g este forma biliniar˘ a pe V asociat˘ a lui G (unde V este spat¸iul director al lui ). Relativ la cele dou˘a forme liniare f 1 ¸si f 2 , avem

A

f 1 (O P) = G(P, O )

− G(O , O) =

= g(OP,O )+f 1 (OP )+f 2 (OO  )+G(O, O) [g(OO  , OO  )+f 1 (OO  )+f 2 (OO  )+G(O, O)] =

− = f 1 (OP ) − f 1 (OO  ) + g(OP,OO ) − g(OO  , OO  ) = f (O P) + g(O P, OO ) 1

¸si, analog, f 2 (O Q) = G(O  , Q)

− G(O, O) = f (OQ) + g(OO , OQ). 2

Forma constant˘ a c se schimb˘a dup˘ a relat¸ia c = G(O  , O  ) = c + f 1 (OO  ) + f 2 (OO  ) + g(OO  , OO  ).

A este de dimensiune n ¸si fie R = (O; (e1, . . . , en)) un reper A × A → K o form˘a biafin˘na. Punctelor P, Qn ∈ A li se asociaz˘a,

Presupunem c˘a spat¸iul afin cartezian ˆın . Fie G :

A

      

respectiv, vectorii de pozit¸ie OP ¸si OQ, iar OP =

i=1

xi ei ¸si OQ =

n

1

2

G(P, Q) = g(OP,OQ)+f (OP )+f (OQ)+c = g( n

=

n

i=1 j=1

Notˆ and

y j e j )+f (

j=1

n

2



xi ei )+f (

i=1

j=1

n

1

y j f 2 (e j ) + c.

xi f (ei ) +

i=1

aij = g(ei , e j ),

n

1

xi ei ,

n

xi y j g(ei , e j ) +

y j e j . Avem

n

i=1



j=1

j=1

b1i = f 1 (ei ),

b2 j = f 2 (e j ),

expresia formei biafine G, ˆın raport cu reperul R, este n

G(P, Q) =

n



n

aij xi y j +

i=1 j=1

n

  b1i xi +

i=1

b2 j y j + c,

c = G(O, O),

j=1

unde P (x1 , . . . , xn ) ¸si Q(y1 , . . . , yn ). Expresia matriceal˘ a a formei biafine G este G(P, Q) =t XAY + B 1 X + B 2 Y + c, unde X =

        x1 .. .

xn

, Y =

y1 .. .

yn

, A = (aij ) M n (K), B 1 = (b11 . . . b1n ), B 2 = (b21 . . . b2n ).

∈

107

y j e j )+c =

Matricea asociat˘ a formei biafine G ˆın reperul R este matricea D =



tB1

A B2

c



,

iar expresia matriceal˘a a lui G devine t

G(P, Q) = ( X 1)D

  Y 1

.

Fie R  = (O ; (e1 , . . . , en )) un alt reper cartezian ˆın ¸si X = P X  + P 0 , Y = P Y  + P 0 , det P = 0, formulele de schimbare de coordonate. Înlocuind ˆın

A



G(P, Q) =t XAY + B 1 X + B 2 Y + c ¸si indentificând cu G(P, Q) =t X  A Y  + B 1 X  + B 2 Y  + c , coordonatele formei biafine G se schimb˘a dup˘ a formulele matriceale A =t PAP, B 1 = ( t P 0t A + B 1 )P, B 2 = ( t P 0t A + B 2 )P, c =t P 0 AP 0 + B 1 P 0 + B 2 P 0 + c. Dac˘ a scriem transformarea de coordonate sub forma

            X 1

=

P 0

X  1

P 0 1

,

atunci matricea D, asociat˘ a formei G, se transform˘a dup˘ a regula t P

D =

Deoarece det

t P

t P 0

0 1

D

P 0

= det

P 0

P 0 1

t P 0

0 1

P 0 1

.

= det P = 0,



rezult˘ a c˘ a rang D  = rang D. Se nume¸ste rang al formei biafine G rangul matricei asociate D, ˆıntr-un reper oarecare. Propozit ¸ie. ˆ Intre rangul formei biafine G ¸si rangul formei biliniare asociate g avem relat ¸ia

≤ rang G ≤ 2 + rang g.

rang g

108

A

Dac˘ a G este o form˘a biafin˘ a pe un spat¸iu afin de dimeniune n, ˆın raport cu un reper R, consider˘am forma biliniar˘a g asociat˘ a lui G, matricea D asociat˘ a formei biafine G ¸si matricea A asociat˘ a formei biliniare g. Not˘ a m ∆ = det D ¸si δ = det A, determinantul mare , respectiv determinantul mic al formei biafine G. Efectuˆ and o schimbare de reper, relativ la un reper R ˆın , vom avea matricele A , D ¸si determinant¸ii ∆ , δ  . Deoarece rang A  = rang A, rang D  = rang D,

A

vom spune c˘a rangul lui G ¸ si rangul formei biliniare asociate g sunt invariant¸i absolut¸i ai formei G. T ¸ inând cont de faptul c˘a A =t P AP,

D =



t P t P 0

0 1

  D

P 0

P 0 1

,

rezult˘ a c˘ a ∆ = (det P )2 ∆,

δ  = (det P )2 δ.



Vom spune c˘a ∆ ¸si δ sunt invariant¸i relativi de pondere 2 ai formei G. Dac˘a δ = 0, ∆ ∆ atunci  = , deci câtul celor doi determinant¸i este un invariant absolut al formei G. δ δ De asemenea, sign (∆) ¸si sign (δ ) sunt invariant¸i absolut¸i ai formei G. Am v˘azut c˘a, la o schimbare a coordonatelor X = P X  + P 0 , matricea A, asociat˘ a formei biliniare g induse de G, se schimb˘a dup˘ a relat¸ia A =t PAP, iar termenul liber c =t P 0 AP 0 + B 1 P 0 + B 2 P 0 + c. Rezult˘ a c˘a tot¸i coeficient¸ii formei g sunt invariant¸i fat¸a˘ de subgrupul translat¸iilor (dac˘a schimbarea de variabile este o translat¸ie, atunci P este matricea unitate, deci A = A), iar termenul liber c este invariant fat¸a˘ de grupul centro-afinit˘a¸tilor de centru O (o centroafinitate are proprietatea c˘a O  = O, deci P 0 = 0 ¸si c  = c).

2.10

Forme p˘ atratice afine. Aducerea la forma canonic˘ a

O form˘a biafin˘ a G :

A × A → K se nume¸ste simetric˘ a dac˘a G(P, Q) = G(Q, P ), ∀ P, Q ∈ A.

În consecint¸a˘, G este simetric˘a dac˘ a ¸si numai dac˘a g este simetric˘a ¸si f 1 = f 2 . Dac˘ a O este un punct origine ales arbitrar, atunci o form˘a biafin˘ a simetric˘a este de forma G(P, Q) = g(OP,OQ) + f (OP + OQ) + G(O, O),

∈ A

109

O unde g : O K este o form˘a biliniar˘a simetric˘a, iar f : liniar˘ a. g ¸si f se numesc formele induse de G, relativ la originea O.

AO → K este o form˘a

A × A → A

Dac˘ a este un spat¸iu afin de dimensiune n ¸si R = (O; (e1 , . . . , en )) este un reper cartezian ˆın , atunci

A

n

G(P, Q) =

n



n

aij xi y j +

i=1 j=1

unde OP =

n



i=1

xi ei , OQ =

n



j=1



bi (xi + yi ) + c,

i=1

y j e j , aij = g(ei , e j ), a ji = aij , bi = f 1 (ei ) = f 2 (ei ) ¸si

c = G(O, O). Matriceal, expresia lui G se scrie G(P, Q) =t XAY + B(X + Y ) + c,

t

A = A.

Matricea D ata¸sat˘a formei biafine simetrice G este D =



A B

tB

c



,

deci o form˘a afin˘ a G este simetric˘a dac˘ a ¸si numai dac˘a matricea sa este simetric˘a: t D = D.

A × A → K este o form˘a biafin˘a simetric˘a, not˘am cu H restrict¸ia sa la A × A, H : A → K, H (P ) = G(P, P ). Funct¸ia H se nume¸ste form˘ a p˘ atratic˘ a afin˘ a pe spat¸iul afin A , asociat˘ a formei biafine Dac˘ a G : diagonala lui

simetrice G. Deoarece

1 1 1 1 1 H ( P + Q) = H (P ) + G(P, Q) + H (Q), 2 2 4 2 4

∀ P, Q ∈ A,

rezult˘ a c˘ a

1 1 1 G(P, Q) = 2H ( P + Q) [H (P ) + H (Q)], P, Q , 2 2 2 deci funct¸ia G este perfect determinat˘a de H . Forma biafin˘ a simetric˘a G, dedus˘a din forma p˘atratic˘ a H se nume¸ste forma polar˘ a (sau forma dedublat˘ a ) a lui H .

−

Dac˘ a O

∀

∈ A este un punct origine, atunci H (P ) = h(OP ) + 2f (OP ) + c, 110

∈A

unde h : O K este forma p˘atratic˘ a asociat˘ a formei biliniare simetrice g induse de G, iar c = H (O). Dac˘ a este un spat¸iu afin n-dimensional, atunci, ˆın raport cu un reper cartezian R = (O; (e1 , . . . , en )), avem

A → A

n

H (P ) =

n



n

aij xi x j + 2

i=1 j=1

unde OP =

n



i=1



bi xi + c,

i=1

xi ei , a ij = g(ei , e j ), a ji = a ij , b i = f (ei ) ¸si c = H (O).

Matriceal, avem H (P ) =t XAX + 2BX + c,

t

A = A.

A × A → K o form˘a biafin˘a simetric˘a, H : A → K forma p˘atratic˘a afin˘a AO × AO → K forma biliniar˘a asociat˘ a lui g, iar h : AO → K forma t

Fie G : asociat˘a lui G, g :

p˘ atratic˘ a (liniar˘a) asociat˘ a lui H . Fie D = evident



A B

B c



matricea asociat˘a lui G. Avem,

ρ = rang H = rang G = rang D, r = rang h = rang g = rang A. Numerele ρ = rang H ¸si r = rang h sunt invariant ¸ii formei p˘ atratice H ¸si verific˘a

≤ ρ ≤ r + 2.

r

Teorem˘ a 2.11. Fie H o form˘ a p˘ atratic˘ a afin˘ a pe un spat ¸iu afin n-dimensional ¸si h forma p˘ atratic˘ a indus˘ a. Exist˘ a ˆıntotdeauna o schimbare de reper ˆın , astfel ˆıncˆ at expresia lui H s˘ a aib˘ a una din formele:

A

A

a) H (P ) = λ 1 u21 + . . . + λr u2r , dac˘ a ρ = r, b) H (P ) = λ 1 u21 + . . . + λr u2r + µ, dac˘ a ρ = r + 1, c) H (P ) = λ 1 u21 + . . . + λr u2r

− 2ur+1, dac˘ a ρ = r + 2,

unde r = rang h, iar ρ = rang H . a a lui H , iar Oricare din expresiile de mai sus ale lui H se nume¸ste forma canonic˘ reperul fat ¸˘ a de care H are forma canonic˘ a se nume¸ste reper canonic . Dem: Fie O

∈ A un punct origine. Forma p˘atratic˘a afin˘a H se scrie H (P ) = h(OP ) + 2f (OP ) + c,

A,

sau, ˆın raport cu un reper cartezian oarecare R = (O; (e1 , . . . , en )) ˆın n

H (P ) =

n



n

aij xi x j + 2

i=1 j=1

 i=1

111

bi xi + c,

aij = a ji .

Forma p˘atratic˘ a asociat˘ a h este n

n

   

h(OP ) =

aij xi x j ,

aij = a ji .

i=1 j=1

A tB matricea lui H . B c Dac˘ a rang h = r, atunci exist˘a o schimbare de coordonate (deci o schimbare de baze

Fie A = (aij ) matricea lui h ¸si D = ˆın spat¸iul director

O

A

al lui

A) de forma xi =

n



p ji y j , j = 1, n, cu det P = 0, astfel ˆıncât

j=1

forma p˘ atratic˘ a h se reduce la expresia canonic˘a

h(OP ) = λ 1 y12 + . . . + λr yr2 ,



λ1 , . . . , λr = 0.

Fat¸a˘ de acest reper, H va avea forma n

H (P )

= λ 1 y12 +

...+

λr yr2 +

2



bi yi + c.

i=1

Efectu˘ am translat¸ia

Expresia formei H devine

   

b1 z1 = y 1 + λ1 .. . br . zr = y r + λr zr+1 = y r+1 .. . zn = y n

H (P ) = λ 1 z12 + . . . + λr zr2 + 2br+1 zr+1 + . . . + 2bn zn + c . Matricele ata¸sate lui h ¸si H sunt, respectiv A =

  Ir O O O

,

D =

unde B  = (br+1 . . . bn ).



Ir O O O O B

O t  B c



.,

a) Dac˘ a rang H = r, atunci rang D = r, deci br+1 = . . . = b n = 0 ¸si c = 0. Expresia lui H este H (P ) = λ 1 z12 + . . . + λr zr2 . b) Dac˘ a rang H = r + 1, atunci b r+1 = . . . = b n = 0 ¸si c  = 0.Notˆ and c  = µ, obt¸inem



H (P ) = λ 1 z12 + . . . + λr zr2 + µ. 112

c) Dac˘a rang H = r +2, atunci cel put¸in unul din coeficient¸ii b i este nenul. Presupunem c˘a b r+1 = 0. Efectuând schimbarea de coordonate



   

z1 = u 1 .. . zr = u r zr+1 =

− b

1

r+1

br+2 ur+2 +

(ur+1 +

...+

bn un +

c ) , 2

zr+2 = u r+2 .. . zn = u n

expresia lui H devine H (P ) = λ1 u21 + . . . + λr u2r

− 2ur+1.



Presupunem c˘a spat¸iul afin este real ¸si c˘a H are valori reale. Printre cei r termeni p˘ atratici din expresia canonic˘a a lui H , exist˘a p termeni ai c˘aror coeficient¸i sunt pozitivi ¸si r p termeni cu ceoficientul negativ. Eventual renumerotˆ and, putem presupune c˘a λ1 , . . . , λ p > 0 ¸si c˘a λ p+1 , . . . , λr < 0. Efectuˆ and schimbarea de variabil˘a

A

−

 √     | |   | |  v1 =

.. .

λ1 u1

v p = λ p u p v p+1 = λ p+1 u p+1 .. , . vr = λn ur vr+1 = u r+1 .. . vn = u n

obt¸inem formele normale ale expresiei lui H : a) H (P ) = v 12 + . . . + v p2

1 − v p+1 − . . . − vr2, dac˘a ρ = r, 1 − . . . − vr2 + µ, dac˘a ρ = r + 1, b) H (P ) = v 12 + . . . + v p2 − v p+1 1 − . . . − vr2 − 2vr+1, dac˘a ρ = r + 2. c) H (P ) = v 12 + . . . + v p2 − v p+1

Am v˘azut c˘a num˘ arul p este un invariant al lui h. Rezult˘a c˘a invariant¸ii absolut¸i ai unei forme p˘atratice reale sunt ρ, r ¸si p.

113

2.12

Centre de simetrie

Fie un spat¸iu afin ¸si H : se nume¸ste K o form˘a p˘atratic˘a afin˘a. Un punct P 0 centru de simetrie pentru H (sau centru ) dac˘a H ia valori egale ˆın orice pereche de puncte ale lui , simetrice fat¸a˘ de P 0 . Dac˘ a P , atunci simetricul lui P fat¸a˘ de P 0 este 2P 0 P , deci P 0 este centru pentru H dac˘a ¸si numai dac˘a H (P ) = H (2P 0 P ), P .

A

A→

A

∈ A

∈ A

−

− ∀ ∈ A

Avem H (2P 0

− P ) = G(2P 0 − P, 2P 0 − P ) = 4H (P 0) − 4G(P 0, P ) + H (P ),

deci P 0 este centru pentru H dac˘a ¸si numai dac˘a H (P 0 ) = G(P 0 , P ),

∀ P ∈ A.

(2.19)

Propozit ¸ie. O form˘ a p˘ atratic˘ a afin˘ a H este constant˘ a pe mult ¸imea centrelor sale. Dem: Fie P 0 , Q0 dou˘a centre ale lui H . Avem H (P 0 ) = G(P 0 , P )

∀ P ∈ A,

H (Q0 ) = G(Q0 , Q),

∀ Q ∈ A.

În consecint¸a˘, H (P 0 ) = G(P 0 , P ) = G(P 0 , Q0 ) = G(Q0 , P 0 ) = H (Q0 ).



C

Propozit ¸ie 2.13. Mult ¸imea a centrelor unei forme p˘ atratice afine H este un subspat ¸iu afin al lui . Dac˘ a = , atunci spat ¸iul s˘ au director coincide cu spat ¸iul nul al formei biliniare asociate g.

A

C  ∅

Dem: Dac˘a = , atunci este un subspat¸iu afin al lui Fie O un punct origine, fixat.

∈ A

C ∅

C

A. Presupunem c˘a C = ∅.

∈ C ⇐⇒ H (P 0) = G(P 0, P ), ∀ P ∈ A ⇐⇒

P 0

⇐⇒ h(OP 0) + 2f (OP 0) + c = g(OP 0, OP ) + f (OP 0 + OP ) + c, ∀ P ∈ A ⇐⇒ ⇐⇒ h(OP 0) + f (OP 0) = g(OP 0, OP ) + f (OP ), ∀ P ∈ A ⇐⇒ ⇐⇒ g(OP 0, OP 0) + f (OP 0) = g(OP 0, OP ) + f (OP ), ∀ P ∈ A. Notˆ and v = OP 0 − OP ∈ V (unde V este spat¸iul director al lui A), rezult˘a c˘ a P 0 ∈ C ⇐⇒ g(OP 0 , v) + f (v) = 0, ∀ v ∈ V. (2.20) Fie v ∈ V , arbitrar. Definim aplicat¸ia F v : A → K, F v (Q) = g(OQ,v) + f (v). • F v este o form˘a afin˘a. 114

Într-adev˘ ar, este u¸sor de verificat c˘a

∀ Q, M ∈ A, ∀ α, β ∈ K, α + β = 1.

F v (αQ + βM ) = αF v (Q) + βF v (M ),

• P 0 ∈ C ⇐⇒ P 0 ∈ ker F v , ∀ v ∈ V . Avem

∈ C ⇐⇒ F v (P 0) = g(OP 0, v) + f (v) (2.20) = 0.

P 0 Rezult˘ a c˘a

C =



ker F v .

v∈V

C

Deoarece F v este o form˘a afin˘ a, nucleul s˘au ker F v este un hiperplan afin, deci mult¸imea a centrelor formei p˘atratice afine H este o intersect¸ie de hiperplane afine, deci un subspat¸iu afin al lui . Fie W spat¸iul director al lui . Dac˘a P 0 , atunci W este

A

C

∈ C

W = P 0 P 0 , P 0

∈ C} .

{

Vom ar˘ata c˘ a W = N (g), unde N (g) = P 0 P 0

∈ W, g(P 0P 0 , Q0Q0) = 0, ∀ Q 0Q0 ∈ W }. Incluziunea N (g) ⊆ W fiind evident˘a, fie P 0 P 0 ∈ W . Avem {

(2.20)

g(P 0 P 0 , Q0 Q0 ) = g(OP 0 OP 0 , Q0 Q0 ) = g(OP 0 , Q0 Q0 ) g(OP 0 , Q0 Q0 ) =

−

−

−f (Q0Q0)+f (Q0Q0) = 0,

deci P 0 P 0

∈ N (g) ¸si W = N (g). 

Presupunem c˘a spat¸iul afin este n-dimensional ¸si fie R = (O; (e1 , . . . , en )) un reper cartezian ˆın . În raport cu acest reper, forma p˘atratic˘ a afin˘ a H are ecuat¸ia

A

A

n

H (P ) =

n



n

aij xi x j + 2

i=1 j=1



∀ P (x1, . . . , xn) ∈ A.

b j x j + c,

j=1

Forma biliniar˘a asociat˘ a este n

g :

O

O

A × A → K,

g(OP,OQ) =

n

 i=1 j=1

iar forma liniar˘a asociat˘ a este n

f :

O

A → K,

f (OQ) =



j=1

115

b j x j .

aij xi y j ,

Conform (2.20),

∈ C ⇐⇒ g(OP,v) + f (v) = 0, ∀ v ∈ V.

P Dac˘ a OP =

n



i=1

xi ei , iar v =

n



j=1

v j e j , atunci n

n

 ∈ C ⇐⇒  ⇐⇒

P (x1 , . . . , xn )

n

aij xi v j +

i=1 j=1

n



b j v j = 0,

j=1

∀ v j ∈ K ⇐⇒

n

(

aij xi + b j )v j = 0,

j=1 i=1

∀ v j ∈ K.

În consecint¸a˘, coordonatele (x1 , . . . , xn ) ale unui centru sunt solut¸ii ale sistemului de ecuat¸ii n



aij xi + b j = 0,

j = 1, n.

(2.21)

i=1

Se observ˘a c˘a de ecuat¸ii

n



i=1

aij xi +b j =

1 ∂H , deci mult¸imea centrelor este dat˘a de solut¸iile sistemului 2 ∂x j

  

∂H =0 ∂x 1 .. . . ∂H =0 ∂x n De fapt, P P C (H ) (P este un punct critic al lui H ). Exemplu: Dac˘a H (P ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) 4, atunci R3 , x + y + z = 0 .

∈ C ⇐⇒ ∈ }

−

C = {(x,y,z) ∈

• O form˘a p˘atratic˘a afin˘a H are centre de simetrie dac˘a ¸si numai dac˘a sistemul (2.21) este compatibil, ceea ce este echivalent cu faptul c˘a rang A = rang (A,t B). În aceast˘ a ipotez˘ a, dim C = n − rang A. • Forma p˘atratic˘a afin˘a H are centru unic dac˘a ¸si numai dac˘a sistemul (2.21) are solut¸ie unic˘a, adic˘ a rang A = n, sau δ  = 0. Deci H are centru unic dac˘a ¸si numai dac˘ a forma p˘ atratic˘ a asociat˘ a este nedegenerat˘a. În acest caz, putem alege originea reperului ˆın centrul s˘au unic P 0 . Vom avea B = 0 ¸si c = H (P 0 ). Expresia lui H va fi H (P ) =





n

n



i=1 j=1

aij xi xi + c. Matricele ata¸sate sunt

A 0 , deci ∆ = δH (P 0 ). În consecint¸a˘, când originea 0 H (P 0 ) reperului este aleas˘a ˆın centrul unic al formei, expresia lui H este A = (aij ) ¸si D =

n

H (P ) =

n

 i=1 j=1

116

aij xi xi +

∆ . δ

Formele care admit centre au expresia canonic˘a de tipul a) sau b). Cele care nu admit centre au expresia canonic˘a de tipul c).

C

∅

{ }

Observat¸ie: Exist˘ a cazuri ˆın care = , de¸si N (g) = 0V . De exemplu, dac˘a 2 H (P ) = z 2(x + y), atunci = , iar N (g) =< (1, 0, 0), (0, 1, 0) >. Dac˘ a P 0 este un centru pentru H ¸si N (g) = 0V , atunci orice dreapt˘a afin˘ a , determinat˘ a de P 0 ¸si de spat¸iu director D N (g), este o dreapt˘a de centre pentru H . O dreapt˘ a vectorial˘a D N (g) se nume¸ste direct ¸ie central˘ a a formei H .

−

C ∅

≺

≺

2.14

{ }

D

Variet˘ a¸ ti p˘ atratice

A → K este mult¸imea ker H = H −1 (0) = {P ∈ A, H (P ) = 0 }. • O submult¸ime H ⊂ A se nume¸ste varietate p˘ atratic˘ a a lui A dac˘a exist˘a o form˘a p˘ atratic˘ a afin˘ a H : A → K, astfel ˆıncât H = ker H . • O varietate p˘atratic˘a dintr-un plan (dim A = 2) se nume¸ste conic˘ a (sau curb˘ a plan˘ a

Nucleul unei forme p˘atratice afine H :

de gradul 2).

• O varietate p˘atratic˘a dintr-un spat¸iu afin 3-dimensional (dim A = 3) se nume¸ste cuadric˘ a (sau suprafat ¸˘ a de gradul 2).

• O varietate p˘atratic˘a dintr-un spat¸iu afin A, cu dim A > 3, se nume¸ste hipercuadric˘ a (sau hipersuprafat ¸˘ a p˘ atratic˘ a ).

Cˆ and nu este pericol de confuzie, vom spune hipercuadric˘a ˆın spat¸iul afin varietate p˘atratic˘ a. Ecuat ¸ia unei hipercuadrice este

A, ˆın loc de

H (P ) = 0.

∈ A

∈ A .

Fie O un punct origine ¸si r = OP vectorul de pozit¸ie al punctului P hipercuadricei se scrie sub forma

Ecuat¸ia

h(r) + 2f (r) + c = 0, unde h : O K este forma p˘atratic˘a asociat˘a lui H , f : asociat˘a lui H , iar c = H (O).

A →

AO → K este forma liniar˘a

A

{

}

Dac˘ a spat¸iul afin este n-dimensional, raportat la un reper cartezian R = O; (e1 , . . . , en ) , un punct P , de coordonate P (x1 , . . . , xn ), verific˘a

∈ H

n

n

 i=1 j=1

n

aij xi x j +



bi xi + c = 0,

i=1

117

aij = a ji ,

sau, matriceal, t

XAX + 2BX + c = 0,

sau t

( X 1)



tB

A B

c

  X 1

t

A = A,

= 0,

t

A = A.

• Un punct P 0 ∈ A este centru pentru hipercuadica H dac˘a este centru pentru forma H .

• Un punct P 0 ∈ H este punct singular dac˘a este centru pentru hipercuadrica H. • Un punct P 0 ∈ H care nu este singular se nume¸ste ordinar . Folosind (2.20), rezult˘a c˘a P 0 ∈ A este centru pentru H dac˘a g(OP 0 , v) + f (v) = 0, ∀ v ∈ V = AO , adic˘a forma liniar˘a g OP + f : AO → K este forma nul˘a. În cazul ˆın care A este n-dimensional, centrele unei hipercuadrice H sunt solut¸iile 0

sistemului de ecuat¸ii

n



aij xi + b j = 0,

j = 1, n.

i=1

O hipercuadric˘a rang

(At B)

H admite centre dac˘a acest sistem este compatibil, deci rangt A =

⇐⇒ ρ = r sau ρ = r + 1, unde r = rang A, iar ρ = rang D =

(

∈H ∀ ∈ A



A B

B c



).

H

Din (2.19), rezult˘ a c˘ a P 0 este un punct singular al hipercuadricei dac˘a G(P 0 , P ) = H (P 0 ) = 0, P , deci forma afin˘a G P : K este forma nul˘a. Dac˘ a este un spat¸iu afin n-dimensional, atunci punctele singulare ale hipercuadricei sunt solut¸iile sistemului de ecuat¸ii

H

A

    n

0

A→

aij xi + b j = 0, j = 1, n

i=1 n

i=1

. bi xi + c = 0

O hipercuadric˘a admite puncte singulare dac˘a sistemul de mai sus este compatibil, A deci rang A = rang = rang D ( ρ = r). B

 

⇐⇒

A

H ⊂ A

Propozit ¸ie. Fie un spat ¸iu afin n-dimensional real . Ecuat ¸ia unei hipercuadrice poate fi adus˘ a, printr-o schimbare de reper ¸si, eventual, ˆınmult ¸irea cu un scalar nenul, la una din urm˘ atoarele forme normale: a) x21 + . . . + x p2

2 − x p+1 − . . . − x2r = 0, dac˘ a ρ = r; 2 b) x21 + . . . + x p2 − x p+1 − . . . − x2r = 1, dac˘ a ρ = r + 1; 2 − . . . − x2r = 2xr+1, dac˘ a ρ = r + 2, c) x21 + . . . + x p2 − x p+1

118

unde ρ = rang H , iar r = rang h. Hipercuadricele pentru care rang H = r + 1 (∆ = 0) se numesc hipercuadrice propriuzise , cele pentru care rang H = rang h n (∆ = 0) se numesc hipercuadrice singulare , iar hipercuadricele singulare pentru care rang H 2 se numesc hipercuadrice degenerate .

≤

2.14.1



≤

Clasificarea afin˘ a a conicelor

O conic˘a este o varietate p˘atratic˘ a dintr-un plan afin. Dac˘ a planul este raportat la un reper cartezian, atunci conica este dat˘a de

H H = {P (x, y), H (P ) = 0 },

unde H (P ) = a 11 x2 + 2a12 xy + a22 y2 + 2b1 x + 2b2 y + c,

a211 + a212 + a222 = 0.



(2.22)

Matricele asociate formei conicei sunt A =



a11 a12 a12 a22



,

D =

Invariant¸ii conicei sunt ρ = rang D,

r = rang A,



a11 a12 b1 a12 a22 b2 b1 b2 c



.

p = indicele conicei.

Asociem determinant¸ii ∆ = det D,

δ = det A.



Dac˘ a ∆ = 0, avem o conic˘ a propriu-zis˘ a (sau nedegenerat˘ a ), iar dac˘a ∆ = 0, conica este singular˘ a sau degenerat˘ a .

Centrele unei conice sunt solut¸iile sistemului de ecuat¸ii



a11 x + a12 y + b1 = 0 . a12 x + a22 y + b2 = 0

• Dac˘a δ = 0 (r = 2 ¸si ρ = 2 sau ρ = 3), atunci rang A = rang (A tB) = 2 ¸si conica are un centru unic.

• Dac˘a δ = 0 (r = 1), putem avea mai multe situat¸ii: – Dac˘a ρ = 1, atunci rang A = rang (A t B) = 1 ¸si conica are o dreapt˘a de centre. – Dac˘a ρ = 2, atunci rangul lui (A t B) poate fi 1 sau 2. Dac˘a rang (A t B) = 1, atunci conica are o dreapt˘a de centre. Dac˘a rang (A t B) = 2, atunci conica nu are centru. 119

– Dac˘a ρ = 3, atunci rang (A t B) = 2 ¸si conica nu are centru.

ρ

3

r

2 1 2

2

p Ecuat¸ia normal˘a 2 1 0

x2 + y 2 = 1 x2 y 2 = 1 x2 y2 = 1

1

elips˘a (δ > 0) hiperbol˘a (δ < 0) elips˘a vid˘a

− − −

1 1 1 1

x2 = 2y x2 + y 2 = 0 x2 y 2 = 0 x2 = 1

0

−x2 = 1

1

x2 = 0

−

1

1

Denumirea conicei

parabol˘ a (δ = 0) un punct dublu (δ > 0) pereche de drepte secante (δ < 0) pereche de drepte conice paralele (δ = 0) pereche vid˘a de degenerate drepte (δ = 0) dreapt˘a dubl˘ a

Natura conicei



∆=0 conice propriuzise

∆ = 0 conice singulare

O conic˘a propriu-zis˘a poate fi elips˘a, hiperbol˘a sau parabol˘a . O conic˘a degenerat˘a const˘ a din o pereche de drepte (paralele sau secante), o dreapt˘a dubl˘ a sau un punct dublu. Conicele propriu-zise cu centru unic sunt elipsa ¸si hiperbola. Conicele degenerate cu centru unic sunt perechea de drepte secante ¸si punctul dublu. Singura conic˘a f˘ar˘ a centru este parabola, iar conicele degenerate ˆın dou˘a drepte paralele sau confundate admit o dreapt˘a de centre. (desene-reprezentarea grafic˘a a conicelor fat¸a˘ de un reper normal) 2.14.2

Clasificarea afin˘ a a cuadricelor

O cuadric˘a este o varietate p˘atratic˘ a dintr-un spat¸iu afin 3-dimensional. Raportând spat¸iul la un reper cartezian, cuadrica este dat˘a de

H H = {P (x,y,z), H (P ) = 0 },

unde

H (P ) = a 11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12xy+2a13 xz+2a23 yx++2b1 x+2b2 y++2b2 z+c, (2.23) cu a 211 + a222 + a233 + a212 + a213 + a223 = 0. Asociem matricele A =





a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33



,

D =

120

 

a11 a12 a13 b1 a12 a22 a23 b2 a13 a23 a33 b3 b1 b2 b3 c

 

.

Invariant¸ii cuadricei sunt ρ = rang D,

r = rang A,

p = indicele cuadricei.

Consider˘ am determinant¸ii ∆ = det D,



δ = det A.

Dac˘ a ∆ = 0, avem o cuadric˘ a propriu-zis˘ a (sau nedegenerat˘ a ), iar dac˘a ∆ = 0, cuadrica este singular˘ a ; dac˘a, ˆın plus, rang H 2, cuadrica este degenerat˘ a .

≤

Centrele unei cuadrice sunt solut¸iile sistemului de ecuat¸ii

 

a11 x + a12 y + a13 z + b1 = 0 a12 x + a22 y + a23 z + b2 = 0 . a13 x + a23 y + a33 z + b3 = 0

• Dac˘a δ = 0 (r = 3) atunci cuadrica are un centru unic. • Dac˘a δ = 0 (r < 3), putem avea mai multe situat¸ii: – Dac˘a ρ ≥ 3, atunci cuadrica nu are centru.

– Dac˘a r = 2 ¸si ρ = 3 sau ρ = 2, atunci cuadrica are o dreapt˘a de centre. – Dac˘a r = 1 ¸si ρ = 2 sau ρ = 1, cuadrica are un plan de centre.

H

∈ H

Un punct P (x,y,z) este punct singular pentru dac˘a este centru ¸si, ˆın plus, P , adic˘ a H (P ) = 0. În consecint¸a˘, P (x,y,z) este punct singular dac˘a este solut¸ie a sistemului de ecuat¸ii a11 x + a12 y + a13 z + b1 = 0 a12 x + a22 y + a23 z + b2 = 0 . a13 x + a23 y + a33 z + b3 = 0 b1 x + b2 y + b3 z + c = 0

 

121

ρ

4

r

3 (δ = 0)



2 (δ = 0) 3 (δ = 0) 2 (δ = 0)



3

2

1

1 (δ = 0) 2 2 (δ = 0) 1

p Ecuat¸ia normal˘a 3 2 1 0 2 1 3 2 2 1 0 1 2 1 1

x2 + y 2 + z 2 = 1 x2 + y 2 z 2 = 1 x2 y 2 z 2 = 1 x2 y 2 z 2 = 1 x2 + y2 = 2z x2 y2 = 2z x2 + y 2 + z 2 = 0 x2 + y2 z 2 = 00 x2 + y 2 = 1 x2 y 2 = 1 x2 y2 = 1 x2 = 2y

− − − − − − − − − − −

x2 + y 2 = 0 x2 y 2 = 0

−

x2

=1

(δ = 0)

0

−x2 = 1

1 (δ = 0)

1

x2 = 0

Denumirea cuadricei elipsoid hiperboloid cu o pânz˘ a hiperboloid cu dou˘a pânze elipsoid vid paraboloid eliptic paraboloid hiperbolic punct dublu con cilindru eliptic cilindru hiperbolic cilindru vid cilindru parabolic dreapt˘a dubl˘ a pereche de plane secante pereche de plane paralele pereche vid˘a de plane plan dublu

Natura cuadricei cuadrice propriuzise ∆ =0



cuadrice

cuadrice dege-

singulare

nerate

∆=0

O cuadric˘a propriu-zis˘a poate fi elipsoid, hiperboloid sau paraboloid. O cuadric˘a singular˘ a nedegenerat˘a poate fi con sau cilindru. O cuadric˘ a singular˘a poate degenera ˆın o pereche de plane, un plan dublu, o dreapt˘a dubl˘ a sau un punct dublu. O cuadric˘a cu centru unic pate fi un elipsoid, un hiperboloid, un con sau un punct dublu. O cuadric˘ a f˘ar˘ a centru este un paraboloid sau un cilindrul parabolic. O cuadric˘ a cu o dreapt˘a de centre este un cilindru eliptic, un cilindru hiperbolic, o pereche de plane secante sau o dreapt˘a dubl˘ a, iar o cuadric˘a cu un plan de centre este o pereche de plane paralele sau un plan dublu. Numai cuadricele singulare sau degenerate pot avea puncte singulare. Acestea sunt: un con, o pereche de plane secante, un plan dublu, o dreapt˘a dubl˘ a sau un punct dublu. (desene-reprezentarea grafic˘a a cuadricelor fat¸a˘ de un reper normal)

122

Geometrie Afin˘a.pdf

Recommend Documents