Geometria y Trigonometria

Geometría y Trigonometría

GESTIÓN DITORIAL

Clemente Mora González Jefe del Departamento de Fomento Editorial Leticia Mejia García Coordinadora de Fomento Editorial Ulises Ramírez Hernández Coordinador de Diseño Gráfico Miguel Antonio González Vidales Gestión Administrativa Mayra Guzmán Gallego Diseño Gráfico DIRECCIÓN GENERAL Av. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires. Col. Cuauhtémoc Sur Tels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08 Correo Electrónico: [email protected] Página Web: www.cecytebc.edu.mx CICLO ESCOLAR 2012-1 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra incluido el diseño tipográfico y de portada por cualquier medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.

Nota: Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradeceremos hacernos llegar sus comentarios o aportaciones a los siguientes correos:

[email protected] [email protected]

José Guadalupe Osuna Millán Gobernador del Estado de Baja California Javier Santillán Pérez Secretario de Educación y Bienestar Social del Estado CECYTE BC Adrian Flores Ledesma Director General Jesús Gómez Espinoza Director Académico Ricardo Vargas Ramírez Director de Administración y Finanzas Olga Patricia Romero Cázares Directora de Planeación Argentina López Bueno Directora de Vinculación Ángela Aldana Torres Jefe del Departamento de Evaluación Académica MUNICIPIO DE MEXICALI Cristina de los Ángeles Cardona Ramírez Directora del Plantel Los Pinos Laura Gómez Rodríguez Encargada del Plantel San Felipe Carlos Zamora Serrano Director del Plantel Bella Vista

Directorio

Jesús Ramón Salazar Trillas Director del Plantel Xochimilco Rodolfo Rodríguez Guillén Director del Plantel Compuertas Abraham Limón Campaña Director del Plantel Misiones Francisco Javier Cabanillas García Director del Plantel Guadalupe Victoria Román Reynoso Cervantes Director del Plantel Vicente Guerrero MUNICIPIO DE TIJUANA Martha Xóchitl López Félix Directora del Plantel El Florido María de los Ángeles Martínez Villegas Directora del Plantel Las Águilas Amelia Vélez Márquez Directora del Plantel Villa del Sol Bertha Alicia Sandoval Franco Directora del Plantel Cachanilla Rigoberto Gerónimo González Ramos Director del Plantel Zona Río Jorge Ernesto Torres Moreno Director del Plantel El Niño Joel Chacón Rodríguez Director del Plantel El Pacífico Efraín Castillo Sarabia Director del Plantel Playas de Tijuana Benito Andrés Chagoya Mortera Director del Plantel Altiplano Juan Martín Alcibia Martínez Director del Plantel La Presa MUNICIPIO DE ENSENADA Alejandro Mungarro Jacinto Director del Plantel Ensenada Emilio Rios Macias Director del Plantel San Quintín MUNICIPIO DE ROSARITO Manuel Ignacio Cota Meza Director del Plantel Primo Tapia Héctor Rafael Castillo Barba Director del Plantel Rosarito Bicentenario MUNICIPIO DE TECATE Christopher Díaz Rivera Encargado del Plantel Tecate

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC: La educación es un valuarte que deben apreciar durante su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, dado la formación y calidad educativa que les ofrece la Institución y sus maestros. Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado hace para brindarles educación media superior, a fin de que en lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional. Esta administración tiene como objetivo crear espacios y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia y en su comunidad. En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán del CECYTE BC. Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos, para brindar y recibir una mejor educación en Baja California, ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y económico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN Alumno de CECYTE BC: La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social. Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior, y ofrecerles programas de estudios tecnológicos que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores. El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación, y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro. Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios. La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda el sector productivo que se asienta en la región. Además de eso, el Cole gio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, por ser esta, una responsabilidad compartida. Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel del CECYTE BC. Te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal, y a que utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

PRESENTACIÓN El libro que tienes en tus manos representa un importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus academias de profesores te proporciona material de calidad para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu preparación como Bachiller Técnico. Los contenidos corresponden a los programas establecidos para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integral de la educación media superior, y enriquecidos por las competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato. Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria, convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrece para obtener una mejor formación académica. Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del Colegio: sus Alumnos.

Atentamente

Adrian Flores Ledesma

DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

gradecimiento Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico. El Colegio SEGUNDO SEMESTRE • MANUAL DE QUÍMICA II • Mario Báez Vázquez

ASESOR ACADÉMICO DEL DIRECTOR GENERAL DEL CECYTEBC

• GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Andrés Sarabia Ley

COORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G.

Andrés Aguilar Mezta

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• INGLÉS 2 • Mauro Alberto Ochoa Solano Alonso Palominos Tapia Bertha Alicia Canceco Jaime Alejandra Agúndez DOCENTES DEL PLANTEL ENSENADA

• FÍSICA I • Andrés Sarabia Ley COORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G.

Juan Francisco Cuevas Negrete Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• ECOLOGÍA • Aidé Aracely Pedraza Mendoza Clara Angélica Rodríguez Sánchez DOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS

Gloria Mosqueda Contreras Sulma Loreto Lagarda Lagarda Petra Cantoral Gómez Eva Pérez Vargas DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• QUÍMICA 2 • Saúl Torres Acuña Agustín Valle Ruelas

DOCENTES DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• LECTURA, EXPRESIÓN ORAL Y ESCRITA 2 • María Guadalupe Valdivia Martínez DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

María Elena Padilla Godoy

COORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL, D.G.

María Trinidad Salas Leyva

CAPTURISTA DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA, D.G.

Lina Rodríguez Escárpita

ENCARGADA DEL GRUPO OVIEDO MOTA

CUARTO SEMESTRE • CÁLCULO • Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

• INGLÉS 4 • Adriana Cera Morales

SEXTO SEMESTRE • MATEMÁTICAS APLICADA • Manuel Norberto Quiroz Ortega Silvia Elisa Inzunza Ornelas DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

Eloísa Morales Collín Ismael Castillo Ortíz

DOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS

• BIOQUÍMICA • José Manuel Soto DOCENTE DEL GRUPO PORTALES

Aidé Araceli Pedraza Mendoza DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Alejandra Machuca Cristina Félix

DOCENTES DEL PLANTEL MISIONES

Enid Quezada Matus Sergio Alberto Seym Guzmán DOCENTES DEL GRUPO CENTENARIO

COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA

DOCENTE DEL GRUPO PORTALES

Verónica Murillo Esquivias DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Manuel Arvizu Ruíz Joaquín Alberto Pineda Martínez Lina Roxana Cárdenas Meza Juan Olmeda González Juliana Camacho Camacho DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA

Alberto Caro Espino JEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA

Denisse Samaniego Apodaca RESPONSABLE DE FORMACIÓN PROFESIONAL

Índice: Competencia I…………………………………………………………………………………………………………………………..15 Saberes 1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana 2. Tipos de líneas y ángulos 3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante Ejemplos 1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones 2. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas Ejercicios 1. Poniendo letras y números en su lugar 2. Ángulos por todas partes 3. Ángulos entre paralelas

Competencia II…………………………………………………………………………………………………………………………..42 Saberes

1. Generalidades de los Triángulos 2. Teoremas de importancia en los Triángulos Ejemplos

1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes 2. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y Pitágoras Ejercicios

1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos 2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras Competencia III……………………………………………………………………………………………………….………………..68 Saberes

1. Generalidades de los polígonos 2. Circunferencia y círculo 3.Área y volumen de figuras geométricas

Ejemplos

1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos

2. Practicando con las circunferencias 3. Practicando con áreas y volúmenes Ejercicios

1. Miscelánea de ejercicios con polígonos 2. Miscelánea de ejercicios con circunferencias 3. A calcular áreas y volúmenes Competencia IV………………………………………………………………………………………………………………………..103 Saberes

1. Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo 2. Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones 3. Triángulos oblicuángulos 4. Identidades trigonométricas Ejemplos

1. Practicando con las funciones trigonométricas 2. A resolver y aplicar los triángulos rectángulos 3. Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos 4. Identidades trigonométricas Ejercicios

1. Ejercitándose con las funciones trigonométricas 2. Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos 3. Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos 4. Ejercitándose con las identidades trigonométricas

Competencia V………………………………………………………………………………………………………………………..150 Saberes

1. Ecuaciones Trigonométricas 2. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Ejemplos

1. Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas 2. Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas Ejercicios

1. Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas 2. A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Competencia • •

Explicar los conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Utilizar los distintos tipos de líneas, rectas, ángulos y pares de ángulos para la resolución de problemas prácticos.

Saberes 1. Conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. 2. Tipos de líneas y ángulos. 3. Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal o secante.

Ejemplos 1. Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones. 2. Como encontrar ángulos entre rectas paralelas.

Ejercicios 1. 2. 3.

Poniendo letras y números en su lugar. Ángulos por todas partes Ángulos entre paralelas.

15

1



ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA

RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar la simbología de un punto, líneas rectas, semirrectas, segmentos de recta, rectas perpendiculares y paralelas y ángulos.  Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar un axioma, postulado, lema, teorema, corolario, razonamiento deductivo e inductivo. Maneja los conceptos y valores de  los ángulos agudos, obtusos, rectos, llanos, ángulos complementarios y suplementarios.  Domina el algoritmo para convertir de grados a radianes y viceversa. Aplica principios algebraicos y  aritméticos para encontrar distintos tipos de ángulos en situaciones diversas.  Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente, para la resolución de un problema dado en donde intervienen ángulos formados por rectas paralelas. Domina los conceptos fundamentales de la Geometría Euclidiana, así como aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver problemas de geometría plana en diversas situaciones.

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Saberes Nombre Instrucciones para el alumno

Saberes a adquirir

Conceptos básicos de la geometría Euclidiana No. 1 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor Conceptos de punto, línea, superficie, plano, proposición, axioma, postulado, definición, lema, teorema corolario, razonamiento deductivo e inductivo.

Manera didáctica de lograrlos

Mediante exposición y tareas

Punto. El concepto de punto es difícil de definir. Nos lo podemos imaginar como la huella que dejaría la punta infinitamente afilada de un lápiz. Hay que imaginarlo tan pequeño que carezca de dimensiones; es decir, que no posea longitud, ni ancho, ni fondo. Los puntos se designan con una letra mayúscula y se representan con un círculo pequeño o una cruz, como se puede observar en las siguientes figuras: A • “ Se lee punto A”

B

“Se lee punto B”

Línea. Es un concepto matemático que tiene distintas acepciones. Podemos definirla como la "huella" que deja el desplazamiento de un punto, como el borde o limite de una superficie o como la intersección de dos superficies. La línea posee solo una dimensión: la longitud.

Línea recta

Línea curva

Superficie. Para la geometría, la superficie es una extensión en la que solo se consideran dos dimensiones, el ancho y el largo. Por lo tanto se dice que la superficie es una variedad bidimensional. Algunos ejemplos pueden ser una sombra, la cara de un cuerpo geométrico (la pantalla de la televisión) o las paredes de una habitación (Véanse las figuras).

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Superficies Plano. El plano, en geometría, es una superficie plana que contiene infinitos puntos y rectas (o sea que se le pueden trazar un infinito de rectas por los puntos que lo forman), es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Se dice que un plano se extiende hacia el infinito.

♦ PROPOSICIÓN, AXIOMA, POSTULADO, DEFINICIÓN, LEMA, TEOREMA Y COROLARIO Proposición matemática. Es un enunciado verdadero. Las proposiciones matemáticas se clasifican en axiomas, postulados, teoremas, corolarios y lemas. Axioma. Es una proposición de la cual hemos aceptado que su significado es verdadero, sin necesidad de demostrarse. Ejemplos: 1) Toda cantidad puede reemplazarse por su igual. 2) Si a cantidades iguales se agregan o se quitan cantidades iguales, los resultados son iguales. 3) El todo es igual a la suma de sus partes. Postulado. En la actualidad se utilizan de manera indistinta las proposiciones, axiomas y postulados, cuyo significado hemos aceptado que es verdadero, sin embargo, es conveniente señalar que en matemáticas el axioma tiene aplicación general mientras que el postulado se aplica de manera particular, es decir, el axioma: el todo es mayor que cualquiera de sus partes, se puede aplicar en matemáticas de manera general; mientras el postulado: dos puntos determinan una recta y solo una, tiene aplicación en matemáticas de manera particular, en este caso en geometría. Ejemplos: 1. La recta es la distancia más corta entre dos puntos. 2. Toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar su forma y dimensiones. 3. El punto medio de un segmento de recta es único.

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Definición. Es una proposición que implica casi siempre una descripción o convención de algo. Ejemplos: 1. Ángulos opuestos por el vértice son aquellos en que los lados de uno son prolongaciones de los lados del otro. 2. Paralelogramo es el cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos. 3. Dos ángulos que suman son complementarios. Lema. Es una proposición que se establece y demuestra previo a la demostración de un teorema. Se puede decir que un lema es un teorema a partir del cual se facilita la demostración de otros teoremas. Teorema. Es una proposición sujeta a demostración, la cual se apoya en axiomas y lemas para su desarrollo. Ejemplos: 1. 2. 3. 4.

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos rectos, es decir 180°. Los lados opuestos por un paralelogramo son iguales. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él.

Corolario. Es una proposición cuya validez se desprende de la validez de un teorema y, donde su demostración requiere un ligero razonamiento y en ocasiones ninguno. Del teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180° se obtiene: Corolario 1: La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90°. Corolario 2: Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos del otro, el tercer ángulo de uno es igual al tercer ángulo del otro.

Razonamiento deductivo. Para realizar la demostración de proposiciones geométricas se utiliza el método deductivo, el cual consiste en el encadenamiento de conocimientos que se suponen que son verdaderos (axiomas y postulados) de tal manera que se obtengan nuevos conocimientos. El razonamiento deductivo, aplicado a la demostración del conocimiento matemático, es una herramienta muy importante, ya que la aceptación de una proposición como verdadera no puede basarse en la experimentación, pues ésta depende de las condiciones particulares en las que se realice; tampoco se puede basar en la observación, a causa de que la vista resulta engañosa; ni en la medición, porque el resultado de ella está ligado a la pericia de quien mide y a la precisión del instrumento utilizado.

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A continuación se presenta un esquema de los elementos que integran la demostración geométrica: TEO REM A

D E M O S T R A C IO N G E O M E T R IC A

F IG U R A

H IP O T E S IS

Ilu s tra la p ro p o s ic ió n que se desea d e m o s tra r.

S u p u e s to s q u e s e a c e p ta n com o v e rd a d e ro s y q u e s irv e n com o base p ara el ra z o n a m ie n to .

T E S IS

R A Z O N A M IE N T O

E s lo q u e s e desea d e m o s tra r.

C O N C L U S IO N

C o n ju n to d e a firm a c io n e s y ra z o n e s o rd e n a d a s ló g ic a m e n te y q u e re la c io n a n d o la h ip ó te s is c o n la te s is , p e r m ite n la d e d u c c ió n d e lo q u e s e q u ie re d e m o s tra r.

T e s is o p ro p o s ic ió n d e d u c id a m e d ia n te ra z o n a m ie n to .

Razonamiento inductivo El razonamiento es el proceso mediante el cual se sacan conclusiones a partir de la información. En ocasiones, la gente saca conclusiones basadas en sus propias observaciones. Al observar varias veces que una acción produce el mismo resultado, se concluye, en general, que esa acción tendrá siempre el mismo resultado. A esta clase de razonamiento se le llama razonamiento inductivo. Y a la conclusión que se saca del razonamiento inductivo se le llama generalización. Ejemplo: Supóngase que alguien cortó, de una hoja de papel, tres triángulos diferentes:

2

1

2

3

2

1

3

1

3

Las esquinas de cada triángulo se cortaron y colocaron juntas tal como se muestran a continuación:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

¿Qué se observa acerca de la suma de las medidas de los ángulos?, ¿Es cierto para todos los triángulos? Por lo tanto la generalización será: La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, siempre da 180˚

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Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno

Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas

Poniendo letras y números en su lugar No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu profesor. Responsabilidad Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema de lograrlas Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan las respuestas ó dudas.

1.

Examinar las proposiciones siguientes e identificar con una A si es axioma, una P si es postulado, una D si es definición o una T si es teorema:

• • • • • • •

Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales los resultados son iguales. ( ) Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí. ( ) El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. ( ) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( ) Todo número es igual a sí mismo. ( ) Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales. ( ) Dos ángulos que suman son suplementarios. ( )

• • • • •

Dado un segmento, hay un punto y sólo uno que lo divide en dos partes iguales. ( ) En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales. ( ) Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos-internos son iguales. ( ) Mediatriz de un segmento es la perpendicular trazada en su punto medio. ( ) Ángulo central es aquel que tiene su vértice en el centro del círculo. ( )

2.

Indicar de que teorema es consecuencia inmediata cada corolario (un teorema puede tener más de un corolario). Teorema: a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. ( ) b) Dos triángulos son iguales si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo comprendido. ( ) c) En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. ( ) Corolario: 1. 2. 3. 4.

Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, ni más de un obtuso. Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos iguales. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°. Dos triángulos rectángulos son iguales si tienen respectivamente iguales sus catetos.

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Saberes a adquirir

Tipos de líneas y ángulos No. 2 Analiza la información que se presenta en este apartado, y aplica tus principios aritméticos y algebraicos para representar ideas. Tipos de líneas: Revisando la Rectas, semirrectas, información, segmentos de recta, Manera didáctica de realizando tareas y rectas paralelas, lograrlos participando perpendiculares y activamente en el oblicuas. grupo.

RECTA. La línea recta se representa con una figura como la siguiente: A

B

El símbolo

se lee “recta AB”.

Las puntas de flecha indican que la figura se puede prolongar en ambos sentidos tanto como se quiera. La línea recta también se puede designar con una sola letra minúscula. m

El símbolo

se lee “recta m”

SEMIRRECTA O RAYO. Una semirrecta se representa con una figura como la siguiente: O

A

El símbolo

se lee “rayo OA”

La figura indica que el rayo tiene su rigen en O, pasa por A en línea recta y se prolonga indefinidamente como indica la flecha. SEGMENTO DE RECTA. Un segmento de recta, o simplemente, un segmento se representa con una figura como la siguiente: m

El símbolo

se lee “segmento AB".

También

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se lee “segmento m”

♦TIPOS DE LÍNEAS Según la posición de una recta con respecto a otra, dos rectas pueden ser: perpendiculares, paralelas y oblicuas. Rectas perpendiculares. Si dos rectas al cruzarse formas ángulos rectos, se dice que son perpendiculares entre sí. C

B

A

D Las rectas perpendiculares se representan de la siguiente manera AB ⊥ CD.

Rectas paralelas. Dos líneas rectas son paralelas, si se prolongan indefinidamente y nunca se cruzan. Las rectas paralelas se representan por un par de rayas verticales A

||.

B Se lee “ AB paralela a CD”

C

D

Rectas oblicuas. Dos rectas que se cruzan sin formar ángulos rectos se llaman oblicuas, como se muestra en la figura:

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♦ ÁNGULOS Definición de ángulo: Se denomina ángulo a la abertura comprendida entre dos semirrectas o rayos que parten de un punto común llamado vértice y las semirrectas o rayos reciben el nombre de lados del ángulo.

Nomenclatura del ángulo: Para nombrar un ángulo se puede utilizar cualquiera de las formas siguientes:

Formas de notación:

a)

o

se lee “ángulo a”

b) ∡B

o

se lee “ángulo B”

c) ∡ABC d) ∡CBA e)

se lee “ángulo ABC” se lee “ángulo CBA”

Cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, el uso de una sola letra mayúscula para referirse a uno de ellos crea confusión, por ello, debe utilizarse la notación con tres letras mayúsculas, en la cual la letra del vértice va en medio. Ejemplo:

En esta figura, es mejor denotar los tres ángulos posibles de la siguiente manera: ∡ABC ∡ABD ∡DBC

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Ángulo Agudo

Ángulo Recto Ángulo Obtuso Es aquél cuya magnitud es Es aquél cuya magnitud es igual Es aquél cuya magnitud es mayor que menor que 90º a 90º 90º

Ángulo Nulo

Ángulo Llano

Ángulo Cóncavo

Es aquél cuya Es aquél cuya magnitud es Es aquél cuya magnitud es igual a mayor que 180º pero menor magnitud es igual a 0º 180º que 360º

Ángulo Perigonal Es aquél cuya magnitud es igual a 360º

Bisectriz de un ángulo: Es la semirrecta que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos partes iguales.

La semirrecta VP es la bisectriz del ángulo ∡MVN

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PAREJA DE ÁNGULOS

Ángulos adyacentes

Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice. BAC es adyacente con

Ángulos opuestos por el vértice

DAC

- Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. – Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

1=

2y

3=

4

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°. Ángulos Ángulos complementarios

El BAC es adyacente al viceversa.

DAC y

- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.

Ángulos suplementarios

El BAC es adyacente al viceversa.

DAC y

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♦ UNIDADES DE MEDIDA DE LOS ÁNGULOS Medidas de ángulos. La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la apertura o separación que hay entre ellos, es decir, que dependen de la amplitud o separación que hay entre las dos rectas que lo forman. Medir un ángulo, es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón, los cuales utilizan como unidades de medición los grados sexagesimales ó los radianes. Sistema sexagesimal Este es el sistema más común, creado por los sumerios, basándose éstos en los 360 días del año, es decir que su unidad se obtiene al dividir la circunferencias en 360 partes iguales, cada una de las cuales, recibe el nombre de GRADOS.

Esta circunferencia esta dividida en 360 partes ó 360 grados. Un grado entonces, es equivalente en fracción a quebrado a 1/360 de la circunferencia total, es decir, que un grado es igual a una de las 360 partes en las que se divide una circunferencia. Donde el grado se divide a su vez, en 60 minutos y éste en 60 segundos, representándose de la siguiente forma: Grados (°), minuto (´), segundo (”) (1 grado = 60 minutos) (1 minuto = 60 segundos)

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Sistema circular. La unidad utilizada en este sistema es el radian. Donde un radian, es el ángulo cuyas lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. A r

r 1 radián

B

0

r

Longitud del arco “AB” es igual al radio (r ) de la circunferencia, ∡ AOB = 1 radian. Relación entre grados y radianes Se sabe que el radio ( r ) cabe 6.283 veces alrededor de la circunferencia, entonces, tenemos que: (ya que 1 radio = 1 radián;

)

En conclusión, la fórmula que relaciona grados con radianes es: .

Dividiendo todo entre 2 obtenemos una relación equivalente:

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Ejemplos Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas

Como obtener el valor de ángulos dadas ciertas condiciones No. 1 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Manera didáctica Orden Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

1. Cambiar las siguientes cantidades dadas en grados, a radianes: (Para cambiar de grados a radianes, se multiplica el ángulo por el factor

).

a) Nota: Si no sabes usar bien tu calculadora, pregúntale a tu profesor.

b) Solución:

a) b)

2. Transformas las siguientes cantidades dadas en radianes, a grados: (Para cambiar de radianes a grados, se multiplica por el factor

a) b) Solución: a) b)

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)

3. Encontrar el complemento y suplemento de 35°43′ . Recuerda que ; 90° = 89°60′ y 180° = 179°60′ . a) El complemento es: 89°60′ − 35°43′ = 54°17′ b) El suplemento es : 179°60′ − 35°43′ = 144°17′

4. Si dos ángulos se representan por A y B, plantear la ecuación de cada problema y después hallar sus valores. Los ángulos son suplementarios y uno es 15 grados menor que el doble del otro.

Datos A=A

Planteo

5. Hallar el valor de

Operaciones

solución

en la siguiente figura:

Solución: Para resolver este problema se plantean un par de ecuaciones. Hay muchas opciones para plantearlas; A continuación se toma una de estas opciones: (son ángulos opuestos por el vértice) (son ángulos opuestos por el vértice) Podemos expresar estas ecuaciones de la siguiente manera: Que al resolverlas por suma y resta tenemos;

30

;

Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas

Ángulos por todas partes No. 2 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera didáctica Responsabilidad de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas

1. Observa el mapa con atención y contesta las preguntas indicadas:

1. 2. 3. 4.

¿Cuáles vialidades son paralelas a la calle Avinguda 308? ¿Cuáles vialidades son perpendiculares a la calle Avinguda 308? ¿Cuál vialidad es oblicua a la calle Avinguda 308? Si te toparas con un turista en la intersección de Avinguda 313 y Avinguda 302, ¿cómo le dirías para que llegara a un Burger King que se localiza en la intersección de Doctor Fleming y Arcadi Balaguer?

31

2. Llenar las siguientes tablas: Transformación de grados a radianes Grados Radianes

Transformación de radianes a grados Radianes Grados

3. Hallar el ángulo desconocido que falta

4. La figura muestra una entrada vista desde arriba. Si abres la puerta de forma tal que la medida del sea igual a , ¿Cuántos grados más deberías abrir la puerta para que el ángulo entre la pared y la puerta sea de

.

32

5. Hallar el valor del A.

en cada una de las siguientes figuras: B.

C.

6. Indicar que clase de ángulo es: a) El complemento de un ángulo agudo. b) El suplemento de un ángulo obtuso. c) El suplemento de un ángulo recto.

7. Hallar dos ángulos complementarios tales que: a) Uno sea el doble que el otro. b) Uno sea 20° mayor que el otro. c) Uno sea 10° menor que el triple del otro. d) Uno sea 5° menor que el cuádruplo del otro. e) Uno sea 6° mayor que el doble del otro.

8. Hallar dos ángulos suplementarios tales que: a) Uno es el cuádruplo del otro. b) Uno sea 20° mayor que el triple del otro. c) Uno sea 60° menor que el doble del otro. d) Uno sea 36° mayor que el doble del otro. e) Uno sea 10° mayor que las 2/3 partes del otro

33

9. IDENTIFICAR ÁNGULOS. Afirma si los dos ángulos que se muestran son complementarios, suplementarios o ninguno de los dos.

A.

C.

B.

D.

10. Hallar el valor de

en cada una de las siguientes figuras:

A.

B.

C.

D.

34

E.

F.

11.

12. Completa la siguiente tabla:

35


Saberes a adquirir

Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una No. 3 transversal o secante. Lee y analiza la información que se te presenta y aclara cualquier duda con tu profesor Ángulos alternos internos y externos, opuestos por el Mediante exposición y Manera didáctica de vértice, tareas. lograrlos correspondientes y colaterales internos y externos.

♦Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal (secante) Dos paralelas cortadas por una transversal forman ocho ángulos, cuatro llamados internos por estar situados dentro de las paralelas y cuatro llamados externos por estar fura de ellas.

En la figura son ángulos: Internos: 3, 4, 5 y 6 Externos: 1, 2, 7 y 8

Se llaman ángulos correspondientes a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (uno interno y otro externo). Los ángulos correspondientes tienen la propiedad de ser congruentes, es decir, sus medidas son iguales, lo cual se demuestra en el teorema correspondiente.

36

En la figura anterior son pares de ángulos correspondientes: El

es correspondiente con el

;

El


;

El


;

El


;

Se llaman ángulos alternos-internos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y dentro de las paralelas (internos). En la figura anterior son ángulos alternos internos: Con base en la propiedad (demostrable) de que los ángulos correspondientes son iguales, se puede deducir que los ángulos alternos-internos son iguales. Como

por ser correspondientes y por otra parte por ser opuestos por el vértice, se deduce que por propiedad transitiva de la igualdad.

Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que:

.

Se llaman ángulos alternos-externos a dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos alternos-externos:

Los ángulos alternos-externos son iguales. Como

por ser correspondientes, y por otra parte por ser opuestos por el vértice, se deduce que por la propiedad transitiva de la igualdad.

Con un razonamiento análogo al anterior se deduce que Se llaman ángulos colaterales-internos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos). En la figura son ángulos colaterales-internos:

37

Los ángulos colaterales-internos tienen la propiedad de ser suplementarios. Como

por ser correspondientes, y por otra parte por formar un ángulo llano, se deduce que Porque toda cantidad puede ser substituida por si igual. Con un razonamiento

análogo al anterior se deduce que Se llaman ángulos colaterales-externos a dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y fuera de las paralelas (externos). En la figura son ángulos colaterales-externos:

Los ángulos colaterales-externos tienen la propiedad de ser suplementarios. Como

por ser correspondientes, y por otra parte por formar un ángulo llano, se deduce que =180 porque toda cantidad pude ser substituida por su igual.


Como encontrar ángulos entre rectas paralelas No. 2 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre ángulos entre paralelas. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Manera didáctica orden Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

38

Ejemplo 1.Encuentre la medida de los ángulos indicados con letras minúsculas en la figura. Suponga que las líneas horizontales son paralelas. Justifique su respuesta. (Ángulos alternos-internos) Forman un ángulo llano

.

Ejemplo 2. Hallar el valor de

, y establecer las relaciones establecidas.

(Ángulos alternos internos) (Ángulos alternos internos) (La 1ra. ecuación por 2)

Sustituir el valor encontrado de

en una ecuación cualquiera:

.

39


1.

Ángulos entre paralelas No. 3 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden Manera didáctica Responsabilidad de lograrlas Ejercicios y tareas sobre el tema

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


Pon en línea en blanco si los pares de ángulos que se muestran son correspondientes, alternos-internos, alternos-externos, colaterales-internos y colaterales-externos _________________

__________________

__________________

__________________

__________________

__________________

_________________

__________________

__________________

__________________

Hallar los ángulos que se te piden en la siguiente figura, suponga

2. que

.

40

En la figura de la izquierda, hallar los valores de los ángulos señalados con letras minúsculas, si

3.

Las líneas oblicuas son paralelas.

4. Hallar los valores de

y

figuras. Considere que las rectas

según sea el caso, en cada una de las siguientes son paralelas.

a)

c)

b)

d)

5. En las siguientes figuras En este ejercicio

. Hallar el valor de “x”.

es bisectriz del ∡AOC.

41

Competencia • • • • •

Explicar la definición y clasificación de los triángulos Utilizar los teoremas del ángulo interior y ángulo exterior Aplicación del Teorema de Tales Aplicación de Triángulos semejantes Aplicación del Teorema de Pitágoras

2

Saberes 1. Generalidades de los Triángulos 2. Teoremas de importancia en los Triángulos

Ejemplos 1. Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar triángulos congruentes 2. Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos los teoremas de Tales y Pitágoras

42

Ejercicios 1. A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos 2. A usar el Teorema de Tales, los Triángulos Semejantes y Teorema de Pitágoras





Emplea sus conocimientos para definir y clasificar a los triángulos.  Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para calcular el valor de los ángulos interiores y exteriores de los triángulos.  Maneja los conceptos de triángulos congruentes para identificarlos en distintos contextos.  Domina el algoritmo para resolver problemas en donde se aplica el teorema de tales. Aplica principios algebraicos y  aritméticos para resolver problemas cotidianos, en donde se aplican los conocimientos sobre triángulos semejantes. Elije la estrategia aritmética o  algebraica para resolver problemas cotidianos en donde se usa el Teorema de Pitágoras. Domina los conceptos fundamentales, así como aplica principios y teoremas fundamentales sobre los triángulos.

43


Saberes a adquirir

Generalidades de los Triángulos No. 1 Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. • Definición, notación y clasificación de los triángulos. • Teoremas del ángulo interior y exterior de los Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y triángulos. tareas. • Criterios de congruencia entre triángulos.

TRIÁNGULOS Definición y notación: El triángulo es un polígono de tres LADOS, que viene determinado por tres puntos no colineales llamados VÉRTICES. Los vértices se pueden denotar por letras mayúsculas: A, B y C. Los lados son los segmentos que unen dos vértices del triángulo y se denotan con la misma letra que el vértice opuesto. Es decir: El lado “a” es el segmento que une los vértices B y C, el lado “b” es el segmento que une los vértices A y C y el lado “c” que es el segmento que une los vértices A y B. (Figura 1) Figura 1

Figura 2

44

Ángulos interiores: son aquellos formados por cada par de lados consecutivos del triángulo. Se denominan por las tres letras mayúsculas de los vértices o por una letra griega ubicada entre los lados del ángulo. (Figura 1) Ángulos exteriores: son los ángulos formados por un lado del triángulo y la prolongación de otro hacia la región exterior. (Figura 2) Notación de triángulos Los triángulos se nombran por sus tres letras de sus vértices anteponiendo un símbolo en forma de triángulo. Ejemplo: En la figura anterior el triángulo se denota como ∆ ABC.

♦Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican según sus lados y sus ángulos.

Según sus lados

Según sus ángulos

equilátero

tres lados iguales

acutángulo

tres ángulos agudos

isósceles

Por lo menos dos lados iguales

rectángulo

un ángulo recto

escaleno

tres lados desiguales

obtusángulo

un ángulo obtuso

Además, a los triángulos en general que no sont rectángulos se les llama oblicuángulos. Por la medida de sus lados:

45

Por la medida de sus ángulos

(Ángulo recto)

Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a

M

N

.

Hipótesis son ángulos interiores de un triángulo. Tesis

Trazo auxiliar: Trazar por , Plan: Al trazar por uno de sus vértices del triángulo la paralela al lado opuesto, se obtiene un ángulo llano del cual se demuestra que sus partes son iguales a los ángulos del triángulo dado.

46

RAZONAMIENTO Afirmación

Razón

1.

1. Por construcción

2.

2. Por ser alternos internos

3.

3. Por formar un ángulo llano.

4.

4. Substituyendo ( 2 ) en ( 3 ).

Teorema: Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes con él.

Criterios de congruencia entre triángulos • Primer criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, son iguales. (l.a.l. = l.a.l.)

47

•

Segundo criterio: Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, son iguales. (a.l.a. = a.l.a.)

•

Tercer criterio: Dos triángulos que tienen sus tres lados respectivamente iguales, son iguales. (l.l.l. = l.l.l.)

•

Cuarto criterio: Dos triángulos que tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales, son iguales.

48


1.

Como calcular ángulos faltantes de triángulos e identificar No. 1 triángulos congruentes. 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

Hallar los valores de los ángulos faltantes en las siguientes figuras

a)

b)

∠A + ∠B + ∠C = 180°

En el ∆ABC : ∠A + ∠B + ∠C = 180°

50° + 35° + ∠C = 180°

∠A + 40° + 95° = 180°

∠C = 180° − 85°

∠A = 180° − 135° = 45°

∠C = 95°

(usando el ( ∠y es un ángulo exterior)

49

)

2. Determinar que triángulos son congruentes y señalar en cada caso el postulado correspondiente. a)

b)

c)

Soluciones: a) ∆I ≅ ∆II

l.a.l = l.a.l En el ∆III el ángulo de 60° no está comprendido entre los lados de 8 y 12.

b) ∆I ≅ ∆III

a.l.a. = a.l.a. En el ∆II el lado de 28 no está comprendido entre los ángulos de 40° y 85°

c)

∆ II ≅ ∆ III

l.l.l. = l.l.l. En el ∆I sus lados tienen medidas diferentes a las de los triángulos II y III.

50


1.

A encontrar ángulos y lados faltantes en los triángulos No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


Mide los lados de los siguientes triángulos y escribe el nombre de cada uno de ellos.

Triángulo _____________

Triángulo __________

51

Triángulo ___________

2. Une según corresponda.

Triángulo isósceles.

Tiene sus 3 lados de igual medida.

Triángulo equilátero.

Tiene 2 de sus lados de igual medida.

Triángulo escaleno.

Tiene sus 3 lados de diferente medida.

3.

Une según corresponda.

Triángulo acutángulo.

Tiene 3 ángulos agudos

Triángulo obtusángulo.

Tiene un ángulo de 90 grados

Triángulo rectángulo.

Tiene un ángulo mayor de 90 grados

agudos.

52

4. COMBINAR TRIÁNGULOS. En los ejercicios siguientes, combina la descripción del triángulo con su nombre específico: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Longitudes de los lados: 2cm, 3cm, 4 cm Longitudes de los lados: 3cm, 2cm, 3cm Longitudes de los lados: 4cm, 4cm, 4cm Medidas de los ángulos: Medidas de los ángulos: Medidas de los ángulos:

5.

6.

53

A. Equilátero B. Escaleno C. Obtusángulo D. Equiángulo E. Isósceles F. Rectángulo

4. Hallar los valores de “x” e “y” en cada inciso de las siguientes figuras: b) Nota: ∆ABC es equilátero. ∠D = 90° a)

5. Identificar en cada inciso los triángulos que son congruentes y dar el postulado de congruencia que lo Justifica. a)

b)

54

c)

6.

En las siguientes figuras ∆I ≅ ∆II , hallar “x” e “y”.

55


Teoremas importantes de los Triángulos No. 2 Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. • Teorema de tales • Condiciones Manera didáctica de para que dos lograrlos triángulos sean Mediante exposición semejantes, y y tareas. aplicaciones. • Teorema de Pitágoras y aplicaciones

Saberes a adquirir

El Teorema de Tales establece que: Sí un sistema de rectas paralelas que cortan a dos transversales, determinan en ellos segmentos correspondientes proporcionales. Aplicado a los triángulos establece que: Toda paralela a un lado de un triangulo, divide a los otros dos lados en segmentos proporcionales. A

Q

B

La figura muestra al teorema de Tales Demostración:

Xn

Y

(1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí) (2) QP y QR son transversales

P

R

(3) Por el teorema de Tales:

56

La figura anterior muestra el teorema de Tales de Mileto Demostración: (1) AB II XY II PR (Rectas paralelas entre sí) (2) QP y QR son transversales (3) Por el teorema de Tales:

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre los elementos (puntos, rectas, ángulos,…) de esas dos figuras se establece una relación por la que cada elemento f le corresponde otro de f´. Dos figuras semejantes f y f´ cumplen con las siguientes relaciones métricas:

AB BC AC = = =K A ' B ' B 'C ' A 'C '

Proporcionalidad de Segmentos: entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos correspondientes son proporcionales. Si A, B, C son puntos de f y A’, B’, C’ los correspondientes puntos de f entonces se cumple que:

AB BC AC = = =K A ' B ' B 'C ' A 'C ' La razón de proporcionalidad K se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras semejantes cuya razón de semejanza es 2, cada segmento de la primera es de longitud doble que el correspondiente segmento de la segunda.

57

TEOREMA DE PITÁGORAS

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.


Aprendamos a utilizar la semejanza entre triángulos y apliquemos No. 2 los teoremas de Tales y Pitágoras. 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

Ejemplo 1 Aplique el Teorema de Tales para hallar el valor de “x” . Solución: ⇨

⇨

por lo tanto

58

Ejemplo 2: Cálculo de la altura de un árbol usando la longitud de su sombra, por medio de triángulos semejantes:

En cualquier día soleado, se puede medir la altura de un árbol usando solo su sombra siguiendo el siguiente procedimiento: Se entierra una vara o pértiga a un lado del árbol a medir y se toman las siguientes medidas; la longitud de la sombra BC, la altura de la vara ab y la sombra que proyecta la pértiga bc, dejando como incógnita la longitud AB que es la altura del árbol. A continuación se hace la siguiente proporción,

AB BC (ab)( BC ) , que al despejar AB nos queda AB = = ab bc bc Supongamos que se midieron las distancias BC = 12 m, ab = 1.5 m y bc = 2 m, la altura del árbol sería,

AB =

(1.5)(12) = 9 metros 2

Ejemplo 3. Hallar el valor de “x” e “y” en la figura por medio de triángulos semejantes:

2 x 20 = 11 10 20 x = 220 x = 11

24 20 = y 10 3 20 240 = y 3 3( 240) y= = 36 20

59

Ejemplo 4: Calcular el valor del cateto que falta en el triángulo rectángulo siguiente: Si =c

es la hipotenusa, entonces tenemos: Despejando

tenemos:

Sustituyendo datos y sacando raíz a ambos lados, =a

Ejemplo 5 : Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 32 mm y 24 mm .

Puede observarse que se forman cuatro triángulos rectángulos iguales, cuyos catetos son la mitad de cada diagonal. Por lo tanto, la hipotenusa del triángulo es el lado del rombo.

60

Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar

Competencias genéricas a desarrollar Manera didácticas de lograrlas

A usar el Teorema de Tales, los triángulos Semejantes y el Teorema No. 2 de Pitágoras Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


Ejercicio 1: Encuentre el valor de “x” en cada caso, aplicando el Teorema de Tales.

Ejercicio 2: En cada uno de los siguientes ejercicios, cada par de triángulos son semejantes. Calcular el valor que representan las letras:

61

Ejercicio 3: Ambrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero le falta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla.

¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar?

Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:

62

La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m. La sombra de Ambrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante. Entonces, ¿cuánto vale la altura del muro?

Ejercicio 4: Martín necesita medir el ancho del río que pasa cerca de su propiedad, pero no puede llegar al otro lado. ¿Cómo podría medir el ancho del río?

Para resolver su problema, Martín le pide a unos amigos que le ayuden a hacer las siguientes mediciones y observaciones:

63

Observemos que sucede si obtuvieron los siguientes datos:

¿Cuál será entonces el ancho del río?

TEOREMA DE PITÁGORAS Ejercicio 5. Para evitar que un poste de luz se rompa, Rocío debe colocar un cable de acero desde su punta hasta el piso como se muestra en el dibujo. El poste mide de altura 4m y el cable en el piso debe estar separado 3m de la base del poste. Rocío debe comprar el cable de acero a la medida adecuada, pues no le debe faltar ni sobrar.

¿Qué debe hacer Rocío para saber cuánto comprar de cable?

64

TEOREMA DE PITÁGORAS Ejercicio 6: ¿A que distancia de la pared se encuentra la escalera de la siguiente figura?

Ejercicio 7: Calcula la distancia que debe recorrer un teleférico, sabiendo que debe salir de la estación de servicio y llegar a la cima de la montaña, cuya altura es de 650m, como se muestra en la figura.

65

Ejercicio 8: Antonio tiene un terreno rectangular cuyas medidas son 23m de largo por 41m de ancho, por el cual debe atravesar un cable de teléfono para establecer comunicación de la bodega ubicada en la parte final del terreno, empleando la mínima cantidad posible de cable de teléfono. ¿Qué medida deberá tener el cable?

Ejercicio 9: ¿Cuánto debe medir la varilla de soporte que se emplea para construir el soporte del papalote que se muestra en la figura?

66

Ejercicio 10: Cuando se descubrió la pirámide Keops de Egipto, fácilmente pudieron medir cuánto medía cada lado de su base (233 m) y la longitud de su pendiente (186.784 m), pero la altura no la midieron físicamente, sino que la calcularon. ¿Cómo calcularía usted la altura de la gran pirámide?

Ejercicio 11: Calcula los centímetros de cuerda que se necesitan para formar las letras N, Z y X dadas las siguientes dimensiones:

67

Competencia • •

• • •

Explicar la definición y clasificación de los polígonos Calcular los ángulos interiores, ángulos exteriores y número de diagonales de los polígonos. Conocer las rectas y ángulos notables de la circunferencia Aplicación de las fórmulas para calcular el área de los polígonos en diferentes contextos Aplicación de las fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos sólidos en diferentes contextos

Saberes 1. Generalidades de los polígonos 2. Circunferencia y círculo 3. Área y volumen de figuras geométricas

Ejemplos

1. Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos 2. Practicando con las circunferencias 3. Practicando con áreas y volúmenes

68

3

Ejercicios 1. Miscelánea de ejercicios con polígonos 2. Miscelánea de ejercicios con circunferencias 3. A calcular áreas y volúmenes







 ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA 


69

Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar y clasificar a los polígonos. Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar los ángulos interiores y exteriores de los polígonos. Maneja y aplica los conceptos de rectas y ángulos notables de la circunferencia. Domina el algoritmo para calcular el número de diagonales en los polígonos. Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente, para calcular áreas y volúmenes de las figuras más comunes en la geometría plana ¬ Domina los conceptos fundamentales de los polígonos y circunferencia para calcular sus ángulos interiores, ángulos exteriores y diagonales en distintos contextos. ¬ Calcula áreas y volúmenes de las figuras más comunes en la geometría.


Saberes a adquirir

Generalidades de los Polígonos No. 1 Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. • Definición , notación y clasificación de polígonos • Clasificación de los cuadriláteros Manera didáctica de • Ángulos lograrlos Mediante exposición interiores y y tareas. exteriores de polígonos • Diagonales en los polígonos

Definición Etimológicamente la palabra polígono proviene de las raíces “POLI” que significa muchos y “GONOS” que significa ángulos, por lo tanto en un TRAZO QUE TIENE MUCHOS LADOS. También se define como las figuras planas formadas por la unión de tres o más segmentos que forman una línea quebrada cerrada llamada línea poligonal. LÍNEAS POLIGONALES: existen dos tipos de líneas, la quebrada que no forma polígonos, y la cerrada que es la que forma los polígonos.

70

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Se han establecido tres distintas clasificaciones de los polígonos: 1.- Por la amplitud de sus ángulos, los polígonos pueden ser clasificados como: A) CONVEXOS: son aquellos cuyos ángulos son todos menores de 180º y solo pueden ser cortados por dos puntos mediante una recta secante. B) CONCAVOS: Son los que tienen uno o varios ángulos mayores de 180º y pueden ser cortados en más de dos puntos por una recta secante.

2.- Por la medida de sus lados y sus ángulos pueden clasificarse en: A) Regulares: son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales, es decir, que son equiláteros y equiángulos. Los principales elementos de un polígono regular son: Centro (C ): Punto interior que está a la misma distancia de cada vértice. Radio (r ): Es el segmento que va del centro a cada vértice Apotema (a ): Distancia del centro al punto medio de un lado.

71

Ángulo interior de un polígono regular: Es el formado por dos lados consecutivos. Ángulo exterior de un polígono regular: Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

La suma de los ángulos exteriores de un polígono convexo es de

Angulo central: Es el formado por dos radios consecutivos. Si n es el número de lados, entonces el ángulo central será. Ángulo central La figura muestra un ángulo central

B) Irregulares: los que tienen a lo menos un lado con distinta medida o sus ángulos son diferentes.

72

NOMBRE DE LOS POLÍGONOS REGULARES DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS

Nombre

Lados

Triángulo (o trígono)

3

60°

Cuadrilátero (o tetrágono)

4

90°

Pentágono

5

108°

Hexágono

6

120°

Heptágono (o Septágono)

7

128.571°

Octágono

8

135°

Nonágono (or eneágono)

9

140°

Decágono

10

144°

Endecágono (or undecágono)

11

147.273°

Dodecágono

12

150°

Tridecágono Tetradecágono Pentadecágono Hexadecágono Heptadecágono Octadecágono Eneadecágono Icoságono Triacontágono Tetracontágono Pentacontágono Hexacontágono Heptacontágono Octacontágono Eneacontágono Hectágono

13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90 100

152.308° 154.286° 156° 157.5° 158.824° 160° 161.053° 162° 168° 171° 172.8° 174° 174.857° 175.5° 176° 176.4°

73

Forma

Ángulo interior

Chiliágono Miriágono Megágono Googológono

1,000 10,000 1,000,000 10100

179.64° 179.964° ~180° ~180°

n-ágono

n

(n-2) × 180° / n

Clasificación de los cuadriláteros convexos

74

Ángulos interiores de un polígono •

La suma de ángulos interiores (AI) de un polígono convexo de n lados es igual al numero de lados del polígono menos dos (n -2) por 180°.

De lo anterior se obtiene el siguiente corolario: •

En un polígono regular de n lados, cada uno de sus ángulos interiores se obtiene al dividir AI (suma de los ángulos interiores) entre n (número de lados) , esto es:

Diagonales en los polígonos •

El número de diagonales d que se pueden trazar desde un mismo vértice de un polífono convexo de n lados es igual al número de lados menos tres.

•

El número total de diagonales D que pueden trazarse desde todos los vértices de un polígono convexo de n lados es igual a la mitad del producto del número de lados por el número de lados disminuido en tres.

75


Ejercitando nuestro cerebro con los polígonos No. 1 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

1. Calcula la suma de los ángulos interiores de un polígono de 15 lados.

Sustituyendo

2. Calcular la medida del ángulo central de un pentágono regular. Solución:

n = 5, medida del ángulo central =

3. Calcular la medida del ángulo interior de un pentágono regular.

Solución:

n = 5,

76

4. Calcular el número de lados de un polígono regular cuyo ángulo interior mide

.

Eneágono 5. Calcular el número total de diagonales que se pueden trazar en un Hexágono.

n=6

6. ¿En qué polígono se cumple que el número de lados es igual al número de diagonales? Solución: Sea n = numero de lados; El número total de diagonales será también n

⇒

Que al sustituir queda: Reordenando términos nos queda: Factorizando:

que nos conduce a

El polígono pedido es n = 5, que es un Pentágono.

77


Miscelánea de ejercicios con polígonos No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


1. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente:

78

2. Consulta la clasificación de los polígonos para llenar la siguiente tabla:

3. Consulte los conocimientos estudiados para llenar la tabla siguiente: = suma de ángulos interiores = suma de ángulos exteriores

79

4. ¿Cuál de los siguientes polígonos es convexo y cuál no es convexo?

5.

SELECCIÓN MÚLTIPLE

a) La medida de un ángulo exterior de un polígono regular de ocho lados es: C) 45° D) 90° E) 180° A) 360° B) 8°

b) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 30° entonces, el número de lados es: A) 36 B) 24 C) 3 D) 12 E) 10

c) Si la medida de un ángulo exterior de un polígono regular es 36°° entonces, el ángulo interior mide: B) 72° C) 36° D) 44° E) 144° A) 90°

d) En el heptágono regular, la medida de cada ángulo interior es: A) 120° B) 128,57° C) 900° D) 60° E) 180°

e) La fórmula que permite calcular la medida de un ángulo interior de un polígono regular de n lados es: A) n

B) n − 2

C)

(n − 2) ⋅180ο n

D) (n − 2) ⋅ 180°

f) La medida de cada ángulo exterior en un polígono regular de trece lados es: A) 27,69° B) 13° C) 90° D) 130° E) 30°

80

E) 2 ⋅ n

6.

Actividades de aplicación.

P1.- El ángulo exterior de un polígono mide 85o. ¿Cuánto medirá el ángulo interior correspondiente?

P2.- Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono. Si fuera regular, ¿Cuánto mediría cada uno?

P3.- ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular? P4.- ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260o? P5.- ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 45o? P6.- ¿Puede haber un polígono regular cuyo ángulo exterior mida 75o? ¿Y con un ángulo interior de igual medida?

P7.- ¿Cuánto vale la suma del ángulo interior y del ángulo exterior de un decágono regular? P8.- ¿Cuánto vale el ángulo interior de un polígono regular de doce lados? P9.- ¿Cuánto vale el ángulo exterior de un pentágono regular? P10.- El ángulo interior de un polígono regular mide 156o. ¿Cuántos lados tiene el polígono? P11.- El ángulo exterior de un polígono regular vale 20o. ¿Cuántos lados tiene el polígono? ¿Cuántos lados posee el polígono cuyos ángulos interiores suman 2520o?

7. Recordando el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, encuentra el valor de los ángulos señalados con letras minúsculas.

81


Circunferencia y círculo No. 2 Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor.

• Saberes a adquirir

Líneas y ángulos notables de la circunferencia


Mediante exposición y tareas.

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a igual distancia de otro punto interior fijo llamado centro. El círculo es la superficie del plano limitada por una circunferencia.

Como se puede observar, la circunferencia es una línea y por lo tanto solo tiene longitud, mientras que el círculo es una superficie y por lo tanto tiene área. La circunferencia o círculo se representan con el símbolo Θ , la diferencia se obtienen del contexto.

82

Líneas Notables

AB Cuerda CD Diámetro Secante Tangente

OI

Radio

Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes). Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se llama punto de tangencia o de contacto. Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

AC arco AC; BC arco BC; ACB arco ACB; CAB arco CAB

Arco: Es una parte de la circunferencia. Un arco se representa así:

y se lee “arco”.

Semicircunferencia: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia. Arco menor: Es aquel que mide menos que una semicircunferencia. Arco mayor: Es aquel que mide más que una semicircunferencia. En la figura anterior AC y ABC son respectivamente, un arco menor y un arco mayor. El uso de las tres letras, en el segundo caso, es indispensable para distinguir los dos arcos. El arco ACB es una semicircunferencia. En lo sucesivo la palabra arco se referirá a un arco menor, a menos que se especifique lo contrario.

83

ÁNGULOS NOTABLES

1. La medida de un ángulo central es igual a la del arco comprendido entre sus lados.

(Ver figura arriba)

2.

Todo ángulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad de la del arco comprendido entre sus lados. (Ver figura arriba)

3.

Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.

(Ver figura arriba)

4.

Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por medida la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados. (Ver figura arriba)

84


Practicando con las circunferencias No. 1 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

1. Hallar los ángulos que se piden en las siguientes figuras:

Soluciones: 1. ∠x = AB , por lo tanto, AB = 110°

3.

∠x =

BC − DE 100° − 40° 60° = = = 30° 2 2 2

BC = ABC − AB = 180° − 110° = 70° Por lo tanto ∠y =

2. ∠x =

AC + BD 2

Por lo tanto

BC 70° = = 35° 2 2

⇒ 85° =

100 + y 2

⇒ 170° = 100° + y

y = 170° − 100° = 70°

85


Miscelánea de ejercicios con circunferencias No. 2 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


1. Dar el nombre a cada una de las siguientes líneas: a)

AB es:

b) CD es: c) OE es: d)

OF es:

e)

EF es:

2. Dar el nombre que corresponde a cada uno de los siguientes ángulos:

86

3. Si ABC es un triángulo inscrito, como se ilustra, hallar : a) ∠A si arco a = 100° y arco c = 200° b) ∠A si AB ⊥ BC y a = 100° c) ∠A si AC es un diámetro y a = 100° d) ∠B si ABC = 235° e) ∠B si a = 75° y c = 2 b

4. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en E. como se ilustra, hallar: a) b) c) d) e) f) g) h)

∠ x si AC = 90° y BD = 70° ∠ x si AC y BD miden 60° cada uno. ∠ x si AC + BD = 210° ∠ x si BC + AD = 150° AC + BD si ∠x = 85° AC + BD si ∠x = 100° BC si ∠x = 60° y AD = 160° BC si ∠y = 72° y AD = 2 BC

5. Si AB y AC son secantes que se cortan en A, como se lustra, hallar: a) b) c) d) e)

∠A si c = 90° y a = 40° ∠A si c − a = 82° ∠A si c = a + 40° a si c = 135° y ∠A = 40° c si a = 60°

87


Saberes a adquirir

Áreas y volúmenes de figuras geométricas No. 2 Lee y analiza la información que se presenta y aclara cualquier duda con tu profesor. • Áreas de figuras Manera didáctica de Mediante exposición y planas lograrlos tareas. • Volúmenes de sólidos

ÁREAS Y VOLÚMENES Definición de Área y Volumen. Qué es un área. Una unidad cuadrada es la superficie que encierra un cuadrado cuyo lado es 1 unidad (de longitud). 1 cm

1 centímetro cuadrado ( 1 cm

Se llama área de una figura plana, por ejemplo, un polígono, al número de unidades cuadradas que contiene su superficie. Como quiera que un rectángulo de 5 unidades de longitud y 4 unidades de anchura se puede dividir en 20 cuadrados unidad, su área es de 20 unidades cuadradas.

4 5 Volúmenes. Unidad cúbica es un cubo que tiene por arista la unidad de longitud. Por ejemplo, la pulgada cúbica es un cubo cuya arista mide una pulgada.

1 cm 1 cm

1 centímetro cúbico 1 cm

88

Se llama volumen de un cuerpo al número de unidades cúbicas que éste puede contener. Por ejemplo, una caja cuadrada que tiene 3 unidades de longitud, 3 de anchura y 3 de de altura, ocupa un volumen de 27 unidades cúbicas, o sea, que tiene una capacidad o espacio suficiente para contener 27 cubos de una unidad de longitud por arista.

3

3

3

En las fórmulas relativas a volúmenes, éstos se expresan en unidades cúbicas, y éstas deben ser de la misma denominación que la utilizada para medir las dimensiones. Por ejemplo, si en la caja anterior, la unidad para medir tanto la anchura, la altura y la longitud hubieran sido metros, el volumen sería 27m3 .

Perímetros y áreas de las figuras más comunes

Figura

Perímetro

Área

Triángulo

= semiperímetro Cuadrado

89

Rectángulo

Paralelogramo cualquiera

Rombo

Trapecio

Polígono regular cualquiera

90

Fórmulas alternativas para encontrar áreas de polígonos regulares comunes, considerando la medida del lado. ( l = lado ) Pentágono: A = 1.721l 2 ; Hexágono : A = 2.598l 2 ; Eptágono: A = 3.634l 2 2 2 2 Octágono: A = 4.828l ; Eneágono: A = 6.182l ; decágono: A = 7.694l

Sector circular

Polígono cualquiera El perímetro se obtiene

El área se obtiene triangulando

Sumando cada lado.

el polígono y sumando las áreas de dichos triángulos.

91

ÁREAS LATERALES

, ÁREAS TOTALES

Y VOLÚMENES DE LAS FIGURAS MÁS COMUNES

Área

Volumen

Cubo

a a

a

Paralepípedo rectángulo

c b a

El volumen de un prisma recto cualquiera, es igual al producto del área de su base por su altura.

Prisma recto cualquiera

Pirámide regular cualquiera

El volumen de una pirámide regular cualquiera, es igual a 1/3 del producto del área de la base por su altura

92

Cilindro circular recto

Cono circular recto

Esfera

93


Practicando con áreas y volúmenes No. 1 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁREAS

1) Hallar el área del siguiente triángulo: Solución:

A=

bh (11)(7) = = 38.5cm 2 2 2

2) Hallar el área de un triángulo rectángulo si los catetos son iguales y la hipotenusa vale 16. Solución: X=

16

Por Pitágoras

Área:

x 2 + x 2 = (16) 2

2 x = 256 2

Base = x

x 2 = 128

Altura = x

94

bh ( x )( x ) x 2 128 A= = = = = 64 2 2 2 2

3) Hallar la altura de un triángulo si el área es igual a 25 y el lado a la cual pertenece la altura dada es igual a 5 Solución:

A=

bh que al despejar “h” nos da 2

h=

2 A 2(25) = = 10 b 5

4) Hallar el área de un cuadrado si el perímetro es igual a 10. Solución:

Perímetro = 4l = 10 El lado será l =

Área:

10 = 2.5 4

A = l 2 = (2.5)2 = 6.25

5) Si el área de un cuadrado es 81, hallar la longitud de la diagonal. Solución:

A = l2

81 = l 2 l =9

La diagonal forma triángulos rectángulos cuyos catetos valen 9 Usando Pitágoras

l 2 + l 2 = (diagonal)2

d 2 = (9) 2 + (9) 2

6) En un paralelogramo, hallar la altura si el área es igual a 21 y la base supera en cuatro unidades a la altura. Solución: Sea h = x

bh = A

x( x + 4) = 21

b = x+4

x 2 + 4 x − 21 = 0 ( x + 7)( x − 3) = 0 x = −7 ;

x=3

La altura es h = 3 y la base x + 4 = 7

95

7) Hallar el área de un trapecio isósceles CDEF, si

= B = 22,

= b = 12 y a = 13

Solución: D

22-12 = 10

E

Por Pitágoras: C

G

F El área del trapecio será: unidades cuadradas

8) Hallar el área de un rombo si una de las diagonales es 10, y el lado es 13. Solución: Si suponemos que la diagonal d = 10, entonces la mitad de esta diagonal es 5. Puede entonces observar que se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es

, que al aplicar Pitágoras da: D = la otra diagonal ⇒

Obteniendo raíz a ambos lados queda La diagonal completa será D = 24 Por lo tanto el área del rombo será

96

unidades cuadradas

9) Hallar el área de un triángulo equilátero si la altura es igual a 6. ¿Por qué h =

a 3 ? 2

En la figura, se toma a uno de los triángulos formados por la altura h y se aplica Pitágoras: 2

2

a 3 a = h2 ⇒ a 2 = h 2 a =   + h2 ⇒ a 2 − 4 4 2 2

Al obtener la raíz a ambos lados da

h=

a 3 2

. En este

ejemplo, como h = 6 se obtiene el lado a de la siguiente manera:

6=

a 3 que al despejar a se obtiene 2

Por lo tanto el área será

10) Calcular el área sombreada de la siguiente figura. Cada punto lleno representa el centro de un arco de circunferencia o el centro de un círculo. Paso 1: En el triángulo rectángulo, la medida de los catetos será da,

⇒

.

Paso 2: El área de ese triángulo es: Paso 3: Área del sector circular

Paso 4: El área del segmento circular, no sombreado, es la resta del sector circular y el triángulo: Paso 5: El área sombreada será la resta de la media circunferencia menos el segmento circular no sombreado:

97

, que al resolver

EJEMPLOS RESUELTOS DE VOLUMEN 1) Hallar el volumen de la siguiente figura. Considere que r = 8 cm . Solución: 2 r = altura del cilindro circular recto; 3r = altura del cono.

La figura está formada por un cilindro circular recto y un cono. Paso1: El volumen del cilindro circular recto es:

V = π r 2 h = π (8cm)2 (16cm) = 3216.99cm3 Paso 2: El volumen del cono será:

1 1 V = πr 2 h = π (8cm) 2 (24cm) = 1608.495cm3 3 3 Paso 3: Paso 3: El volumen total de la figura es:

VT = 3216.99 + 1608.495 = 4825.485cm3

2) Hallar el volumen de una pirámide regular de base pentagonal de altura 20 cm si la longitud del lado de la base pentagonal es igual a 6 cm.

Paso 1: Área de la base pentagonal

A = 1.721l 2 = 1.721(6cm) 2 = 61.956cm 2 Paso 2: Fórmula del volumen

V =

1 1 Ab h = (61.926cm 2 )(20cm) 3 3

V = 413.04cm3

98


A calcular áreas y volúmenes No. 3 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


EJERCICIOS DE ÁREAS 1) Hallar el lado de un cuadrado si: a) El perímetro es igual a 44 , b) La diagonal es igual a 8. 2) Si el área de un cuadrado es 81, hallar: a) El lado, b) El perímetro, c) La diagonal. 3) Hallar el área de un triángulo rectángulo si: a) Los catetos miden 5 y 6; b) los catetos son iguales y c) la hipotenusa mide 16. 4) Hallar el área de: a) Un triángulos cuyos lados son iguales a 5, 12 y 13; b) Un triángulo isósceles cuya base es 30 y cuyos lados iguales miden 17. 5) Hallar el área de un triángulo equilátero si: a) Un lado es igual a 10; b) El perímetro es igual a 36; c) La altura es igual a 5 3 . 6) Hallar El área del trapecio isósceles CDEF, si b = 17, a = 10 y h = 6.

D

C

E

G

F

99

7) Dado un trapecio isósceles, hallar las bases, si los lados iguales miden 5, la altura 3 y el área 39. 8) Hallar el área de un rombo si: a) Las diagonales son 8 y 9 b) Las diagonales son 11 y 7

c) El perímetro es 40 y una de las diagonales es 12 d)El perímetro es 32 y la diagonal menor es igual al lado.

9) Hallar el área de un octágono de 4 cm de lado y apotema 4.828 cm. 10) En las siguientes figuras, encontrar el área de la región sombreada. El punto resaltado representa el centro de una circunferencia o de un círculo.

11) a) La figura ABC es un equilátero. AB = BC = CA = 10cm. P, M y N son los puntos medios de los lados. Calcule el área de la parte sombreada de la figura. b) El ABCD es un cuadrado OA = 4cm . Calcule el área de la parte sombreada de la figura. a)

b)

100

EJERCICIOS DE VOLÚMENES 12) Calcular el volumen de las siguientes figuras: a)

b)

c)

3m

13) Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista

14) Calcular la diagonal de un paralepípedo rectángulo de 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto.

101

15) Calcular el volumen de las siguientes figuras: a)

c)

c) l = 6cm, w = 4cm y h = 8cm

d) Prisma recto

102

Competencia • •

• •

Explicar las funciones trigonométricas en el plano cartesiano Resolver triángulos rectángulos y sus aplicaciones con el uso de las funciones trigonométricas Aplicar la Ley de Senos y la Ley de Cosenos Emplear las ocho identidades trigonométricas fundamentales

Saberes 1. 2. 3. 4.

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el triángulo rectángulo Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones Triángulos oblicuángulos Identidades trigonométricas

Ejemplos 1. 2. 3. 4.

Practicando con las funciones trigonométricas A resolver y aplicar los triángulos rectángulos Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos Identidades trigonométricas

103

4

Ejercicios 1. 2. 3. 4.

Ejercitándose con las funciones trigonométricas Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y la Ley de Cosenos Ejercitándose con las identidades trigonométricas





Emplea el lenguaje de la notación matemática para representar las seis funciones trigonométricas  Argumenta la naturaleza de las matemáticas como una herramienta para interpretar las funciones trigonométricas en diferentes contextos  Domina el algoritmo para resolver triángulos rectángulos y sus aplicaciones Aplica principios algebraicos y  aritméticos para aplicar la Ley de Senos y la Ley de Cosenos Elije la estrategia aritmética o  algebraica más conveniente para resolver identidades trigonométricas Domina los conceptos fundamentales de la trigonometría, así como aplica principios algebraicos y aritméticos para resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos en distintos contextos.

104


Funciones trigonométricas en el plano cartesiano y en el No. 1 triángulo rectángulo Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor ¬

¬ ¬ Saberes a adquirir

¬

¬

Ángulos en posición normal Ángulos coterminales Valor de las funciones trigonométricas para cualquier ángulo. Valor de las funciones trigonométricas para ángulos especiales Gráfica de las funciones trigonométricas



EL PLANO DE COORDENADAS Y ÁNGULOS Para el estudio de ángulos en un sistema de coordenadas, es útil definir un ángulo en términos de una rotación. Un ángulo se forma por la rotación de un segmento de recta o rayo sobre su extremo; la posición inicial del segmento se llama lado inicial del ángulo; la posición final del segmento se llama lado final; el punto de rotación, se llama vértice del ángulo (ver figura).

105

La cantidad y dirección de rotación es la medida del ángulo, cuya unidad más común es el grado, definido como 1/360 de la rotación total. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, la medición es positiva; pero si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, la medición será negativa. Si la rotación es completa en el sentido contrario de las manecillas del reloj, se tendrá un ángulo cuya medida será de 360° , con los lados inicial y final coincidentes. En la figura siguiente se muestran diversos ángulos y sus medidas o valores.

Ángulo en posición normal. Un ángulo se encuentra en posición normal dentro de un sistema de coordenadas sólo si su vértice coincide con el origen y su lado inicial se encuentra sobre el eje positivo x . En las figuras abajo se muestran dos ángulos en posición normal, uno positivo y otro negativo.

106

En la figura siguiente se muestran diferentes ángulos con el mismo lado terminal o final. Tales ángulos se denominan ángulos coterminales. En dicha figura, los ángulos de 45° y 405° son coterminales. Los ángulos de −315° y 405° también lo son. Las medidas de los ángulos coterminales difieren en múltiplos de .

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA CUALQUIER ÁNGULO Sea θ un ángulo, colocado en posición normal, y sea P( x, y ) un punto cualquiera, distinto del origen, perteneciente al lado terminal del ángulo. Las seis funciones trigonométricas de θ se definen, en términos de la abscisa, la ordenada y la distancia de P como sigue:

seno θ = sen θ =

ordenada y = dis tan cia r

coseno θ = cos θ =

abscisa x = dis tan cia r

tangente θ = tan θ =

ordenada y = abscisa x

cosecante θ = csc θ =

dis tan cia r = ordenada y

secante θ = sec θ =

dis tan cia r = abscisa x

cotangente θ = cot θ =

107

abscisa x = ordenada y

Al trabajar con un triángulo rectángulo cualquiera, es conveniente designar los vértices de los ángulos como A, B, C, y los lados opuestos a los ángulos como, a, b, c, respectivamente. Con relación al ángulo A, el lado a recibe el nombre de cateto opuesto y el b de cateto adyacente; con relación al ángulo B, el cateto adyacente es a, y el cateto opuesto es b. Al lado c se llama siempre hipotenusa. Si ahora se coloca el triángulo en un sistema de coordenadas (véase figura abajo) de tal manera que el ángulo A quede en posición normal, las coordenadas del punto B, en el lado terminal del ángulo A, son (b, a) y su distancia es c = a + b . En estas condiciones, las funciones 2

2

trigonométricas del ángulo A, pueden definirse en términos de los lados del triángulo rectángulo, como sigue:

sen A =

a c.opuesto = c hipotenusa

csc A =

cos A =

b c.adyacente = c hipotenusa

sec A =

tan A =

a c.opuesto = b c.adyacente

c hipotenusa = a c.opuesto

cot A =

108

c hipotenusa = b c.adyacente

b c.adyacente = a c.opuesto

VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES Es fácil determinar las funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales. Al aplicar las definiciones de estas funciones, puede usarse cualquier punto P ubicado sobre el lado final del ángulo. En la figura , P se ha escogido de manera que r = OP = 1

Compruébense los valores de la tabla 1: Nótese que, para ciertos valores de θ , algunas funciones tienen valores indefinidos. ¿Por qué?

Tabla 1

109

Las funciones trigonométricas de otros ángulos especiales también pueden determinarse mediante el empleo de relaciones geométricas. Se puede recurrir a las figuras siguientes para obtener los valores de las funciones trigonométricas de ángulos especiales:

C

B

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS • Representación de las funciones trigonométricas en el círculo unitario Sea θ un ángulo cualquiera dado, en posición normal. (En la figura 2-20 se muestra θ en cada uno de los cuadrantes). Descríbase una circunferencia con centro en el vértice O, y cuyo radio de tome como unidad. Esta circunferencia corta el lado inicial OX de θ en A, el semi-eje positivo de las Y en B, y el lado final de θ en P. Trácense también las tangentes a la circunferencia en A y B. Las tangentes trazadas cortan el lado final de θ (o su prolongación en sentido contrario a partir de O) en los puntos Q y R respectivamente.

110

En cada una de las figuras, los triángulos rectángulos OMP, OAQ y OBR son semejantes y, en consecuencia,

senθ = MP / OP = MP

csc θ = OP / MP = OR / OB = OR

cos θ = OM / OP = OM

secθ = OP / OM = OQ / OA = OQ

tan θ = MP / OM = AQ / OA = AQ

cot θ = OM / MP = BR / OB = BR

Los segmentos de recta MP, OM, AQ, etc., son segmentos dirigidos tales que la magnitud de cada función viene dada por la longitud del segmento respectivo, y el signo de la función corresponde al sentido indicado. Los segmentos dirigidos OQ y OR se consideran positivos cuando están determinados sobre el lado final del ángulo, y negativos cuando están determinados sobre la prolongación, en sentido contrario, del lado final. GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

A continuación se da una tabulación de valores, para que el alumno en un eje de coordenadas rectangulares grafique las funciones trigonométricas Tabla 2.

Los valores del ángulo x están expresados en radianes.

111

112

Ejemplos Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar

Manera didácticas de lograrlas

Practicando con las funciones trigonométricas No. 1 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

1. Encuéntrese, para cada caso, el ángulo coterminal positivo más pequeño: a) 840° b) −115° Solución Hágase un diagrama para cada ángulo. Súmese o réstese 360° , hasta obtener un ángulo cuyo valor se encuentre entre 0° y 360° .

840° − 360° = 480°

−115° + 360° = 245°

480° − 360° = 120°

113

2. El lado final de un ángulo θ contiene el punto P = ( −5, −12) de la figura. Determínese los valores del seno, coseno, tangente de θ , cosecante θ , secante θ y cotangente θ . Solución: El valor de r se encuentra mediante el teorema de Pitágoras

r = ( −5) 2 + ( −12) 2 = 169 = 13 Nota: La distancia r siempre se considerará positiva. Lo único que puede ser negativo son sus componentes

x e y que determinan la ubicación del cuadrante. Entonces:

3. Sea cos θ = −

sen θ =

−12 12 =− 13 13

csc θ = −

13 12

cos θ =

−5 5 =− 13 13

csc θ = −

13 5

tan θ =

−12 12 = −5 5

tan θ =

5 12

6 y θ un ángulo en el cuadrante II. Encuéntrese sen θ y tan θ . 10 Solución:

De la función cos θ = −

6 −6 = 10 10

Se tiene que x = −6 y r = 10 . Por tanto, se puede encontrar el valor de y por Pitágoras.

62 + y 2 = 102 por tanto Como θ está en el cuadrante II, se tiene que y = 8 , así, sen θ =

114

8 4 = 10 5

y

tan θ =

8 4 =− −6 3

4. Si se tiene un ángulo θ en el cuadrante III y csc θ = -2, encuéntrese sen θ , cos θ , tan θ , sec θ y cot θ . Solución: De csc θ = -2 se obtiene una función recíproca, con lo que sen θ = −

1 . Para obtener 2

los valores de las demás funciones, se debe conocer los valores de las coordenadas de un punto sobre el lado final de θ .

2 , de donde y = −1 y r = 2 (ver −1

De la definición de cosecante se tiene que csc θ = −2 =

figura). Del teorema de Pitágoras: x 2 + (−1) 2 = 22 , se obtiene x = ± 3 y como se tiene un ángulo en el cuadrante III, x = − 3 . De aquí se sigue que,

cos θ = −

3 2

tan θ = −

1 3 =− 3 3

sec θ = −

2 2 3 =− 3 3

cot θ = − 3

5. Determínese los valores de a) sen360°, b) tan( −270°) y c) sec 540° . Solución: Hágase un dibujo para cada ángulo y evalúese con base a la tabla 1.

sen360° =

0 = 0; 1

tan (− 270°) =

1 =indefinido 0

115

sec 540° =

1 = −1 −1

6. Determínese sen60°, cos 60° y tan 60° Solución: Dibujando un ángulo como el de la figura 2-16, se puede escoger un punto P sobre la recta del lado final, de tal manera que por comodidad r = OP = 2. Sea A el punto desde el que se levanta una perpendicular el eje x , con lo que ∆PAO es un triángulo rectángulo de 30° y 60° . La longitud del lado opuesto al ángulo de 30° es la mitad de la longitud de la hipotenusa, lo que lleva a la conclusión de que OA = ½ (2) =1. La longitud del lado opuesto al ángulo de 60° es

3 veces la longitud del lado más corto, con lo que se concluye que PA =

3 . De lo anterior se

tiene que las coordenadas de P son x = 1, y = 3; por lo tanto: También podemos usar el teorema de Pitágoras para demostrar los valores de los lados del triángulo de la figura.

(1) 2 + ( 3 ) 2 = (2) 2 1+ 3 = 4

sen60° =

3 2

cos 60° =

1 2

tan 60° = 3

7. Determínese los valores de sec150°, csc150° y cot150° . Solución: De la figura 2-17, se tiene Dibújese el ángulo y el triángulo PAO con r = 2 . ∠POA = (180° − 150°) = 30°. El triángulo POA es un triángulo rectángulo de 30° y 60° y las coordenadas del punto P son x = − 3, y = 1, de donde se tiene que:

sec150° =

2

− 3

=−

csc150° = 2 ,

116

2 3 3 cot150° = − 3

8. Determínese los valores de sen315°, cos 315° y tan 315° . Como en los ejemplos anteriores, dibújese una recta con r = 2 (ver figura). Entonces, ∠POA = (360° − 315°) = 45°. El triángulo considerado es el ∆POA rectángulo de 45° y 45° . La longitud de la hipotenusa es que

2(OA) = 2 y

2 veces la longitud de cada uno de los lados restantes. De aquí

OA = 2. En forma similar, PA = 2 y las coordenadas de P serán

x= 2, y=− 2. Podemos usar Pitágoras para demostrar el valor de los lados del triángulo

( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = ( 2) 2 2+2=4

sen315° = −

2 , 2

tan 315° =

9. Determínese sec( −135°) , csc(−135°) y

cos 315° =

2 , 2

− 2 = −1 2

cot(−135°) .

Viendo la figura se observa que ∠POA = 225° − 180° = 45° , donde las coordenadas de P son

x = − 2 y y = − 2 , con lo cual nos da: sec(−135°) =

2 − 2

csc(−135°) =

117

=− 2

2 − 2

=− 2


Ejercitándose con las funciones trigonométricas No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


I. En los siguientes ejercicios, evalúense las funciones sen θ , cos θ ,tan θ , csc θ , sec θ y cot θ del ángulo θ en posición normal, cuya recta del lado final pasa por los puntos cuyas coordenadas se indican. Dense las respuestas en la forma más sencilla posible. 1. P (3, −4)

2. P ( −5, −12)

4. P ( −9,12)

3. P (8,15)

II. Supóngase que θ es la medida de un ángulo en posición normal, cuyo lado final se encuentre en el cuadrante indicado para cada caso. En los ejercicios siguientes se da el valor de una función; encuéntrese el valor de las funciones restantes. Exprésese la respuesta en la forma más sencilla posible: 1. senθ = −

3. cos θ = −

4 ; cuadrante III 5

4 ; cuadrante II 5

8 ; cuadrante II 10

4. tan θ = −

3 4

6. sec θ =

5. tan θ = − ; cuadrante IV

7. cos θ =

2. senθ =

3 ; cuadrante IV 2

3 ; cuadrante II 2

13 ; cuadrante IV 12 4 3

8. csc θ = − ; cuadrante III

118

III. Los ejercicios 1 a 16 se refieren a ángulos en posición normal, para los cuales hay que determinar las seis funciones trigonométricas. Cuando el valor sea indefinido, establézcase también. 1. 210°

2. 135°

3. 300°

4. 315°

5. 540°

6. 720° 7. 630°

8. 450°

9. 240° 10. 225° 11. 330° 12. 45° 13. − 180° 14. − 270° 15. − 450° 16. − 225°

IV. Los ejercicios 1 al 10 son aseveraciones. Dígase si son verdaderas o falsas (V o F). 1. cos(−45°) = cos 45°

2. sen(−120°) = − sen120°

4. cos 30° = sen60°

5. sen30° = cos 60°

7. cos 30° + cos 60° = cos(30° + 60°) 9. (sec180°) 2 = 1 + (tan180°) 2

3. tan(−30°) = tan 30°

6. ( sen135°) 2 + (cos135°) 2 = 1

8. sen60° + sen30° = sen(60° + 30°) 10. sen120° = 2sen60° ⋅ cos 60°

V. Hallar el valor numérico de: 1. 2sen30° cos 30° cot 60°

2. sen60° cot 30° tan 45°

3. sen30° cos 45° + cos 60° tan 30°

4. cot 60° tan 30° + sec 2 45°

5. tan 2 60° + 2 tan 2 45°

6. 2 cot 30° + sec 60°

7. 3 tan 45° − 4 sen30°

8.

sen60° − cos 30° sec 60°

10.

9.

tan 45° + cot 45° csc 30° cos 45° sec 60° csc 45°

Te ponemos las respuestas de los ejercicios V para que te orientes: 1)

1 ; 2) 2

3)

3 2+2 3 7 ); 4) ; 5) 5; 6) 2( 3 + 1) ; 7) 1 12 3

8) 1; 9) 0 ; 10) 1

119


Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones No. 2 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor ¬

Saberes a adquirir

Como encontrar los elementos de un triángulo rectángulo usando funciones trigonométricas ¬ Aplicaciones prácticas usando triángulos rectángulos



Generalidades para resolver triángulos rectángulos: En esta sección y la siguiente se aplicarán las funciones trigonométricas al problema de la solución de triángulos. Se empezará por considerar el triángulo rectángulo. En un triángulo rectángulo se tienen cinco elementos fundamentales. Loa ángulos agudos y los tres lados. Loa dos ángulos agudos son complementarios por lo que conociendo una de ellos el otro se puede obtener restando a 90° el valor del ángulo conocido. Si se conocen dos elementos fundamentales de un triángulo rectángulo, que no sean dos ángulos, es posible resolver el triángulo, es decir, se pueden calcular los valores de los demás elementos. En general se presentan dos casos: a) Cuando se conoce un lado y un ángulo. b) Cuando se conocen dos lados. La resolución se hace con aplicación de las funciones trigonométricas y con el teorema de Pitágoras. Se recomienda tratar de trabajar con las funciones seno, coseno y tangente, ya que estas funciones son las que aparecen directamente en la calculadora.

120

Consideraciones a tomar en los problemas de aplicación: Al aplicar la resolución de triángulos rectángulos a problemas de orden práctico generalmente se hace referencia a ángulos llamados de elevación y de depresión. Llamaremos visual a la línea recta que va del ojo del observador al objeto observado. Se llama ángulo de elevación al que forma la horizontal con la visual que se halla por encima de la horizontal y el mismo plano vertical. Se llama ángulo de depresión al que forma la horizontal con la visual, el cual se halla por debajo de la horizontal y el mismo plano vertical.

En la figura, la persona A observa a la persona B con un ángulo de depresión, mientras que la persona B observa a la persona A con un ángulo de elevación

121


A resolver y aplicar los triángulos rectángulos No. 2 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.


1. Resolver el triángulo rectángulo ABC si ∠A = 65°20′ y c = 75 m. Datos

∠C = 90° ∠A = 65°20′ c = 75 m

Incógnitas

∠B = a= b=

∠B = 90° − ∠A = 89°60′ − 65°20′ = 24°40′ Nota: Al formar una función, tomamos un lado conocido y un lado desconocido.

senA = senA =

a c

a 75

75sen65°20′ = a

cos A = cos A =

b c

b 75

75 cos 65°20′ = b

75(0.9088) = a

75(0.4173) = b

68.16 = a

31.30 = b

Solución: ∠B = 24°20′; a = 68.16m; b = 31.30m.

122

2. Resolver el triángulo rectángulo ABC si a = 32.45 m y ∠A = 29°18′. Datos

∠B = 90° − ∠A

Incógnitas

∠C = 90°

= 89°60′ − 29°18′

∠B =

∠A = 29°18′

b=

a = 32.45 m

c=

= 60°42′ Tomamos un lado conocido y uno desconocido, que al despejar c da: Sustituimos, Ahora podemos usar Pitágoras para hallar lado b:

3.

Resolver el triángulo ABC si a = 45.2 m y b = 20.5 m.

Datos

Incógnitas

∠C = 90°

∠A =

a = 45.2 m

∠B =

b = 20.5 m

c=

Con los lados conocidos podemos usar la tangente: ⇨

⇨ , con lo cual

Podemos encontrar ∠B restando ∠A de

123

Podemos usar Pitágoras para el lado c:

4. Un topógrafo encuentra que el ángulo de elevación del asta de una bandera como el de la figura, es de 61.7° ( 61°42′ ). La observación se hace desde una altura de 1.5 m sobre el nivel del piso y a una distancia de 10 m del asta. En estas condiciones, determínese la altura del asta. Solución: El problema se reduce a encontrar el lado f del triángulo de la figura 2-27 y sumarle 1.5, que es la altura sobre el nivel del piso donde se encuentra el punto de observación.

tan 61.7° =

f 10

f = 10(tan 61.7°) f = 18.57 Al valor obtenido hay que sumarle 1.5m, que es la Altura sobre el nivel del piso, así : Altura del asta = 18.57 + 1.5 = 20.07 m .

5. Un vigilante se encuentra en la ventana del faro de la figura, a una altura de 32 m sobre el nivel del océano. El ángulo de depresión del barco es de 27° . ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro?

Solución: Podemos formar el triángulo ABC como en la figura 2-28b. El lado b será la solución del problema.

tan 27° = b=

32 b

32 = 62.80 m tan 27°

124


Aplicando tus conocimientos con los triángulos rectángulos No. 2 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


I. Resolver el triángulo rectángulo ABC, dados: 1) c = 54

∠A = 37°40 ′

6) a = 156

∠A = 49°36′

2) c = 458

∠A = 64°18′

7) a =245

∠A = 54°40′

3) c = 12

∠A = 49°

4) a = 67

∠A = 42°30′

5) b = 25

∠B = 57°

8) b = 842

∠B = 79°14′

9) a = 120 10) b = 261.7

∠A = 61° ∠A = 43°21′

Respuestas: 1) ∠B = 52°20′; a = 32.99; b = 42.74 2) ∠B = 25°42′; a = 412.70; b = 198.63

6) ∠B = 40°24′; c = 204.858; b = 132.765 7) ∠B = 35°20′; c = 300.32; b = 173.68

3) ∠B = 41°; a = 9.056; b = 7.87

8) ∠A = 10°46′; a = 160.11; c = 857.08

4) ∠B = 47°30′; c = 99.17; b = 73.12

9) ∠B = 29°; c = 137.205; b = 66.516

5) ∠A = 33°; a = 16.235; c = 29.808

10) ∠B = 46°39′; a = 247.33; c = 359.87

125

II. Resolver el triángulo rectángulo ABC, dados:

1) a = 36

b = 58

6) c = 326

a = 28

2) a = 18.9 b = 32

7) c = 156.8 a = 99.46

3) a = 425

b = 260

8) c = 89

a = 72

4) c = 47

b = 33

9) c = 149

a = 51

5) c = 729.5 b = 617.5

10) c = 137 b = 105

Respuestas: 1) ∠A = 31°50′; ∠B = 58°10′; c = 68.26

6) ∠A = 4°56′; ∠B = 85°04′; b = 324.795

2) ∠A = 30°34′; ∠B = 59°26′; c = 37.16

7) ∠A = 39°22′; ∠B = 50°38′; b = 121.219

3) ∠A = 58°33′; ∠B = 31°27 ′; c = 498.22

8) ∠A = 54°; ∠B = 36°; b = 52.316

4) ∠A = 45°24′; ∠B = 44°36′; a = 33.466

9) ∠A = 20°01′; ∠B = 69°59′; b = 140

5) ∠A = 32°10′; ∠B = 57°50′; a = 388.41

10) ∠A = 39°58′; ∠B = 50°02′; a = 88

III. Resolver los siguientes problemas aplicados, usando triángulos rectángulos. 1. Cuando los rayos del Sol tienen una inclinación de 49° sobre la horizontal, el árbol de la figura proyecta una sombra de 8.8 m sobre el piso, desde la base del mismo. ¿Cuál es la altura del árbol? Resp: 10.1 m

126

2. Determínese la distancia AB y CB a través del lago mostrado en la figura.

3. El techo se define, en meteorología, como la distancia vertical del suelo a la base de las nubes, Para medir el techo se coloca un reflector apuntando verticalmente hacia la nube. La figura muestra un meteorólogo tratando de determinar cuál es la altura del techo. ¿Cuál es el valor de esta altura? Resp: 540 m

4. El barco de la figura navega en línea recta a lo largo de la costa. Cuando se encuentra directamente frente el faro (L), el ángulo formado entre la línea del barco al faro y un hotel (H), es de 53° . En estas condiciones, ¿Cuál es la distancia (d) que hay entre el barco y el faro?

127

5. Un aeroplano se encuentra volando a una altura de 760 pies cuando los motores fallan repentinamente. Determínese el ángulo de deslizamiento θ , necesario para que el aeroplano pueda llegar a un terreno plano que se encuentra a 5000 pies del lugar donde sucede la falla de los motores de la figura. Resp: 8.6°

6. Un observador de aves mira el nido de un águila, en el claro del risco de la figura. ¿Qué distancia hay entre el nido del águila y la cima del risco?

Resp: 7.65 m

7. El copiloto del aeroplano de la figura, que vuela a una altura de 8000 pies sobre el nivel del océano, descubre una isla. Calcúlese la anchura de la isla.

128

8. Un topógrafo hace dos observaciones, como se muestra en la figura, con objeto de obtener el valor de la altura de la montaña ahí mostrada. Determínese la altura de la cima de la montaña h, sobre el nivel del altiplano, si la distancia entre los dos puntos de observación es 200 pies.

9. Un topógrafo desea medir la altura h de un edificio, pero no puede medir la distancia que hay entre los puntos B y C como se ve en la figura. Primero se sitúa en B y mide el ángulo de elevación . Después retrocede 350 m, y desde A a la parte superior del edificio (punto D) resultando de mide el ángulo de elevación al punto D, obteniendo

. Con estos datos hallar la altura del

edificio. Resp: 261.3 m

10.

Con los datos de la figura, estima la altura del acantilado. La altura del mástil es de 6 m.

129


Triángulos oblicuángulos No. 3 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor ¬

Saberes a adquirir

Aplicación de la Ley de Senos ¬ Aplicación de la Ley de los Cosenos

Manera didáctica de lograrlos Mediante exposición y tareas

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS En un triángulo oblicuángulo se tienen seis elementos fundamentales: Los tres lados y los tres ángulos. De tal manera que puede haber tres ángulos agudos o un ángulo obtuso y dos agudos, pues conociendo dos ángulos, el tercero se puede obtener restándole a 180° la suma de los dos primeros. El triángulo oblicuángulo se puede resolver si se conocen tres elementos, no todos ángulos, excepción hecha con base en el caso ambiguo. En general se presentan cuatro casos: a) Cuando se conoce un lado y dos ángulos. b) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. c) Cuando se conocen dos lados y un ángulo comprendido. d) Cuando se conocen los tres lados. De modo que la resolución de estos cuatro casos se hace con la aplicación de la ley de senos, de los cosenos o de ambas. Ley de los senos. En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos; es decir,

a b c = = senA senB senC

130

Ley de los cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido; es decir,

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C


Aplicando la Ley de Senos y la Ley de Cosenos No. 3 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

Conociendo un lado y dos ángulos (Ley de Senos) Ejemplo 1. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 22 m, ∠A = 35° y ∠B = 65° . Datos

Incógnitas

131

Solución:

Cálculo del lado b

Cálculo del lado c

Que al despejar b queda:

Que al despejar c queda:

Conociendo dos lados y un ángulo no comprendido entre los lados conocidos (Ley de Senos) Ejemplo 2. Datos:

Incógnitas

lado c Solución: Cálculo del ángulo B Cálculo del ángulo C

Cálculo del lado c Por lo tanto

132

Conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre esos dos lados (Ley de Cosenos) Ejemplo 3. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 125 m, b = 230 m, ∠C = 35°10′ . Datos

Incógnitas

Cálculo del lado c

Cálculo del ángulo A

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C

Se puede usar la Ley de senos

c 2 = 15625 + 52900 − 57500(0.8175) c 2 = 68525 − 47006.25

c = 21518.75 = 146.69

Cálculo del ángulo B: NOTA: Si hubiéramos decidido halar al

por la Ley de Senos tendríamos:

⇨

⇨

Podemos observar que el valor obtenido no concuerda con el cálculo anterior para el ángulo B, pero al observar el triángulo nos percatamos que se trata de un ángulo mayor a . En este caso se realiza la siguiente operación:

.

133

Conociendo los tres lados (Ley de Cosenos) Ejemplo 4. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si a = 36, b = 48 y c = 30.

Cálculo del ángulo B

Cálculo del ángulo A

b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B a 2 + c 2 − b 2 36 2 + 30 2 − 48 2 cos B = = 2ac 2(36)(30)

Que al despejar tenemos:

cos A =

b 2 + c 2 − a 2 48 2 + 30 2 − 36 2 = 2bc 2(48)(30)

cos B = −0.0500 ∠B = 92°52′

cos A = 0.6625

∠A = cos −1 0.6625 = 48°30′

Por último:

134

∠C = 180° − 48°30′ − 92°52′ = 38°38′



Demostrando tus conocimientos con la Ley de Senos y No. 3 la Ley de Cosenos Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


I. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: 1. a = 15

∠B = 48°15′ ∠C = 54°

6. a = 74 ∠A = 63°42′ ∠B = 34°52′

2. a = 85

∠B = 65°20′ ∠C = 50°10′

7. a = 82 ∠B = 51°42′ ∠C = 109°17 ′

3. a = 364

∠A = 50°15′ ∠B = 57°45′

8. b = 678 ∠A = 36°10′ ∠C = 44°35′

4. a = 478

∠B = 77°36′ ∠C = 45°

9. c = 246 ∠B = 38°56′ ∠C = 57°25′

5. a = 128 ∠A = 62°40′ ∠C = 38°20′ 10. c = 931 ∠B = 40°57′ ∠C = 129°29′ Respuestas: 1. ∠A = 77°45′ ; b = 11.45; c = 12.42

6. ∠C = 81°26′ ; b = 47.19; c = 81.63

2. ∠A = 64°30′ ; b = 85.58; c = 72.31

7. ∠A = 19°01′ ; a = 34.05; c = 98.62

3. ∠C = 72° ; b = 400.40; c = 450.31

8. ∠B = 99°15′ ; a = 405.36; c = 482.16

4. ∠A = 57°24′ ; b = 554.14; c = 401.18

9. ∠A = 83°39′ ; a = 290.14; b = 182.82

5. ∠B = 79° ; b = 141.43; c = 89.36

10. ∠A = 9°34′ ; a = 177.75; c = 700.95

135

II. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: 1. a = 525, b = 380, ∠A = 58°20′

5. a = 551, c = 608, ∠A = 60°12′

2. a = 25, b = 30, ∠A = 50°10′

6. a = 85, b = 45,

3. a = 740, b = 380, ∠A = 58°20′

7. a = 10, b = 6, ∠A = 20°10′

4, a = 14, c = 12,

∠A = 35°30 ′

∠A = 110°20′

8. b = 15, c = 8, ∠B = 39°15′

Respuestas: 1. ∠B = 38°01′; ∠C = 83°39′; c = 613.80

5. ∠B = 46°33′; ∠C = 73°15′; b = 460.96

2. ∠B = 67°09′; ∠C = 62°41′; c = 28.93

6. ∠B = 29°45′; ∠C = 39°55′; c = 58.17

3. ∠B = 25°55′; ∠C = 95°45′; c = 865.11

7. ∠B = 11°56′; ∠C = 147°44′; c = 15.48

4. ∠B = 29°51′; ∠C = 114°39′; b = 21.91

8. ∠A = 121°02′; ∠C = 19°43′; a = 20.31

III. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: 1. a = 78, b = 54, ∠C = 42°20′

5. b = 129, c = 87, ∠A = 27°14 ′

2. a = 67, b = 33, ∠C = 36°

6. a = 124, b = 175, ∠B = 83°26′

3. a = 886, b = 747, ∠C = 71°54′

7. b = 46, c = 18, ∠A = 115°42′

4. a = 455, b = 410, ∠C = 62°19′

8. b = 45, c = 31, ∠A = 55°19′

Respuestas: 1. ∠A = 94°; ∠B = 44°40′; c = 52.66

5. ∠B = 115°09′; ∠C = 37°37 ′; a = 65.2

2. ∠A = 118°18′; ∠B = 25°42 ′; c = 44.73

6. ∠A = 44°45′; ∠51°59′; c = 138.76

3. ∠A = 60°45′; ∠B = 47°21′; c = 965.26

7. ∠B = 47°31′; ∠C = 16°47 ′; a = 56.2

4. ∠A = 63°46′; ∠53°55′; c = 449.2

8. ∠B = 81°40′; ∠C = 43°01′; a = 37.4

136

IV. Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos: 1. a = 25, b = 36, c = 44

4. a = 6.34, b = 7.30, c = 9.98

2. a = 380, b = 400, c = 150

5. a = 12, b = 18, c = 20

3. a = 120, b = 80, c = 100

6. a = 83, b = 54, c = 41

Respuestas: 1. ∠A = 34°25′; ∠B = 54°54′; ∠C = 90°41′ 4. ∠A = 39°20′; ∠B = 46°50′; ∠C = 93°50′ 2. ∠A = 71°29′; ∠B = 86°32′; ∠C = 21°59′ 5. ∠A = 36°20′; ∠B = 63°42′; ∠C = 79°58′ 3. ∠A = 82°49′; ∠B = 41°25′; ∠C = 55°46′ 6. ∠A = 121°51′; ∠B = 33°50′; ∠C = 24°19′

V. Resuélvase los siguientes problemas usando la ley de senos: 1. ¿A qué distancia está la muchacha del castillo situado en el punto C?

137

2. Una joven caminante que se encuentra en el punto A de la figura desea dirigirse al punto C, que se encuentra a 2.8 km en línea recta. A causa de las condiciones del terreno, decide seguir la trayectoria de A a B para de ahí dirigirse hacia C. ¿Cuál será la distancia total que deberá recorrer?

Respuesta: 3.2 km

3. El globo de la figura, que está sujeto al punto A por una cuerda, es desplazado por el viento hasta el punto C. Si un observador se encuentra en el punto B, ¿Cuál es la longitud de la cuerda que sujeta al globo? La distancia entre A y B son 1526 m.

Respuesta: 1512 m

138

4. Un parque de béisbol está trazado como se muestra en la figura. Calcúlese la distancia que hay desde home ( H ) hasta el punto C en el jardín central, siguiendo una trayectoria recta. La distancia de H a A es también 315 pies. Al unir con una recta los puntos A y C, el ángulo H se corta a la mitad.

Respuesta: 378.70 pies

VI. Resuélvase los siguientes problemas usando la ley de los cosenos. 1. Un topógrafo encuentra que el ángulo en el punto A de la figura, desde donde se observa los puntos B y C, en cada orilla del lago, es 72° . Encuéntrese la distancia a través del lago determinando la separación que hay entre los puntos B y C.

Respuesta: 21.7 m

139

2. En la figura se muestra un terreno de forma triangular, cuyo frente corresponde a las calles Vine y Wilson. Calcúlese la longitud del lado restante.

Respuesta: 28.47 m

3. Un golfista golpea la pelota desde el punto de saque ( tee ) y la envía hasta el punto P de la figura . ¿A qué distancia se encuentra la pelota del hoyo?

Respuesta: 158.1 yardas

P

140

VII. Subraya la respuesta correcta en los siguientes ejercicios: 1. ¿Cuál es la longitud del lado c?

a) 7.67

b) 8.12

c) 6.25

d) 7.34

2. ¿Cuánto vale el ángulo B de la siguiente figura?

a)

b)

c)

141

d)

3. El área del triángulo ABC es:

b)

a)

c)

d)

4. Las diagonales de un paralelogramo miden 8.54 y 5 cm y el ángulo que forman es de . Calcule los lados a y b.

a)

a = 5 cm b = 6.31 cm

b) a = 4 cm b = 2.76 cm

c) a = 6 cm b = 3.60 cm

142

d) a = 7 cm b = 5.23 cm


Identidades trigonométricas No. 4 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor ¬

Aplicar las ocho identidades trigonométricas fundamentales a) Relación inversa b) Relación por cociente c) Relación pitagórica

Saberes a adquirir



IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Una identidad trigonométrica es un a igualdad que se cumple para cualquier valor del ángulo que aparece en la igualdad. Las relaciones fundamentales son las siguientes:

senθ csc θ = 1

(1)

cos θ sec θ = 1

(2)

tan θ cot θ = 1

(3)

tan θ =

senθ cos θ

(4)

cot θ =

cos θ senθ

(5)

cos 2 θ + sen 2θ = 1

(6)

1 + tan 2 θ = sec 2 θ

(7)

cot 2 θ + 1 = csc 2 θ

(8)

143

Las ocho relaciones fundamentales agrupadas anteriormente son identidades y se pueden usar para deducir otros menos fundamentales. El método mas simple para demostrar que un a ecuación en una identidad, consiste en convertir uno de los miembros para la educación en la forma que tiene el otro miembro. Tal como se indico, no existe un método general para lleva r a efecto estas conversiones, pero las indicaciones siguientes pueden ser útiles como guía en este tipo de operacione3s: 1.- Generalmente es más conveniente trabar con el miembro mas complicado de la identidad. 2.- Si uno de los miembros contiene uno o más operaciones indicadas, estas se deben efectuar como primer paso. 3.- Si uno de los miembros contiene mas de una función, mientras que el otro miembro contiene solo una, se convierten las funciones del primer miembro en términos de la función que entra en el segundo, de acuerdo con la relación fundamental. 4.- Si el numerador de uno de loe miembros contiene varios términos y el denominador solamente uno, se puede en ciertos casos, efectuar la conversión deseada expresado el miembro en cuestión como una suma de funciones y aplicando luego las relaciones fundamentales. 5.- De ser posible, uno de los miembros debe ser factorizado. Después de ello, quizá sea posible distinguir el paso siguiente. 6.- Algunas veces, para obtener las conversiones deseadas es necesario multiplicar el numerador y el denominador de un miembro por un mismo factor. Esto es equivalente al multiplicar la función por la unidad. 7.- Si no es posible aplicar ninguna de las indicaciones anteriores, las funciones del miembro mas complicado se conviertan en senos y cosenos, y se simplifica.

144


Calentamiento con las identidades No. 4 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

Ejemplo 1. Demostrar que es una identidad.

senθ + cos θ tan θ = 2 tan θ cos θ Simplificado: Por definición:

senθ cos θ tan θ + = 2 tan θ cos θ cos θ tan θ + tan θ = 2 tan θ 2 tan θ = 2 tan θ

Ejemplo 2. Demostrar que la siguiente ecuación es una identidad

sen 2θ − cos 2 θ = sen 4θ − cos 4 θ Por diferencias de cuadrados, trabajando el lado derecho:

sen 2 − cos 2 θ = ( sen 2θ + cos 2 θ )( sen 2θ − cos 2 θ ) Como cos 2 θ + sen 2θ = 1 , la expresión anterior se transforma en:

sen 2 − cos 2 θ = (1)(sen 2θ − cos 2 θ )

145

Finalmente

sen 2 − cos 2 θ = sen 2θ − cos 2 θ

Ejemplo 3. Demostrar la identidad trigonométrica:

csc x tan x = sec x Por definición:

1 senx ⋅ = sec x senx cos x

1 = sec x cos x Si despejamos la identidad 2 tendremos que

sec x = sec x Si x = 30° csc 30° tan 30° = sec 30° (2.0000) (0.5774) = 1.1547 1.1547 = 1.1547 Ejemplo 4. Demostrar la igualdad. 2

Cos A (sec A – cos A) = sen A Multiplicando: Por identidad: Por lo tanto:

cosA secA - cos 2 A = sen 2 A cosA

1 2 2 - cos A = sen A cos A 2

2

1 - cos A = sen A sen 2 A = sen 2 A

Si A = 45° 1 - (cos 45)° = (sen 45° ) 2 A 1 – 0.50 = 0.50

146

0.50 = 0.50

Ejemplo 5. Demostrar la siguiente identidad. csc 2 A + cot 2 A csc 2 A = csc 4 A Por identidad: (1 + cot 2 A) + cot 2 A (1 + cot 2 A) = csc 4 A Desarrollando la expresión: 1 + cot 2 A + cot 2 A +cot 4 A = csc 4 A 2

4

4

1 + 2cot A + cot A = csc A Factorizando: 2

2

4

(1 + cot A) = csc A 4

4

csc A = csc A Ejemplo 6. Hallar la demostración de: 4

2

2

4

sec A – 2sec A tan A+ tan A = 1 Factorizando: 2

2

2

(sec A - tan A) = 1 Por la identidad: 2

2

1+ tan A = sec A Sustituyendo: (1+ tan 2/ A - tan 2/ ) = 1 2

Simplificando: 2

(1) = 1 1= 1

147


Ejercitándose con las identidades trigonométricas No. 4 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


EJERCICIOS Demostrar que cada una de las siguientes ecuaciones es una identidad. Aplicar las ocho identidades fundamentales. 1. cot A (tan A + cot A) = csc 2 A 2

2. sen A (csc A – sen A) = cos A 3. (sec A – tan A) ( sec A + tan A) = 1 4. sec 2 A + csc 2 A = sec 2 A csc 2 A 5.

1 − tan A sec A 1 + tan A + = sec A tan A sec A tan A

6.

senA 1 + cos A =0 1 − cos A senA

7.

1 + tan Asen 2 A − tan A = cot A - cos 2 A senA

148

8.

tan xsenx 1 + cos x = 1 − cos x cos x

9.

cot x − tan x = cot x + 1 1 − tan x

10.

senx tan x - senx = tanx csc x − cot x

11.

1 + 3 cos y 1 + 2 cos y − 3 cos 2 y = 1 + cos y sen 2 y

12.

senx + cotx = cscx 1 + cos x

13.

sec y 1 + tan 2 y = 2 sec y ( seny + cos y ) 1 + tan y

14.

sen 3 y + cos 3 y sec y − seny = tan y − 1 2 sen 2 y − 1

15.

cos y + seny 2 tan y 1 + = 2 2 1 − tan y 2 cos y − 1 cos y − seny

149

Competencia • •

Explicar el algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y algunas aplicaciones.

Saberes 1. Ecuaciones Trigonométricas 2. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

Ejemplos 1. Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas 2. Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Ejercicios 1. Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas 2. A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas

150

5

  ATRIBUTOS DE LA COMPETENCIA 


Domina el algoritmo para resolver ecuaciones trigonométricas Aplica principios algebraicos y aritméticos para desarrollar el método más pertinente en la resolución de las ecuaciones exponenciales. Elije la estrategia aritmética o algebraica más conveniente para resolver ecuaciones logarítmicas

Domina los conceptos fundamentales del álgebra y la trigonometría, así como aplica las estrategias más pertinentes para resolver ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

151


Ecuaciones trigonométricas No. 1 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor ¬

Saberes a adquirir

Concepto de ecuación trigonométrica ¬ Resolución de ecuaciones trigonométricas



ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas. En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas. Para resolver la ecuación trigonométrica calculamos el número finito de valores del ángulo en un intervalo especificado para los que se satisface la ecuación. Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica.

152


Calentamiento con las ecuaciones trigonométricas No. 1 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

Ecuaciones que se resuelven mediante operaciones algebraicas simples No existe un método general para la resolución de las ecuaciones trigonométricas. Los métodos de resolución son parcialmente algebraicos y parcialmente trigonométricos.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación: 2 senθ cos θ − cos θ = 0

para

cos θ ( 2 senθ − 1) = 0

Factorizado:

Igualando cada factor a cero, se obtiene:

cosθ = 0

θ = cos −1 0 = 0°

2senθ − 1 = 0

Solución: rad,

,

senθ =

1 2

θ = sen −1

1 = 30° 2

. También puedes dar la solución en radianes:

(Si tienes duda pregunta a tu maestro porqué

153

también son soluciones).

Ejemplo2. Resuelva la ecuación

para

Solución: Factorizando Iguale a cero cada factor y simplifique:

La solución con este factor: Esta igualdad no interesa puesto que

no

puede ser mayor que 1. La única solución es la anterior.



Ejercitando el cerebro con las ecuaciones trigonométricas No. 1 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


Resuelva las ecuaciones siguientes para 1.

7.

2.

8.

3.

9.

4.

10.

5.

11.

6.

12.

7.

154


Saberes a adquirir

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas No. 2 Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor ¬ Concepto de función exponencial ¬ Concepto y propiedades de los logaritmos ¬ Concepto de cologaritmo ¬ Aplicación de las ecuaciones exponenciales y logarítmicas



Función Exponencial Una función exponencial es una función definida por ecuaciones del tipo: , donde

, b≠ 1

Donde b es una constante, llamada la base y el exponente en una variable. El dominio de f es el conjunto R de números reales. A las funciones exponenciales se acostumbra a llamarlas funciones de crecimiento puesto que su uso mas extenso esta en la descripción de diferentes clases de fenómenos de crecimiento. Estas funciones se usan para describir crecimiento de poblaciones de personas, de animales, de bacterias; desintegración radio activa, formación de nuevas sustancias químicas. Es una reacción; aumento o disminución en la temperatura de una sustancia cuando se calienta o se enfría; aumento de dinero colocado a intereses; absorción de la luz al pasar por el aire, agua o vidrio; descenso de la presión atmosférica cuando aumenta la altura; aumento del aprendizaje de una destreza como la natación. La base exponencial es un número irracional, denotando por “e” y es la base exponencial de uso mas frecuente tanto en la parte teórica como practico.

155

La función:

f ( x) = e x Se le dice la función exponencial por uso tan extenso. Las razones para la preferencia para “e” como una base son claras en cursos mas avanzadas. El numero irracional “e” con cinco cifras decimales es:

e =2.71828

LOGARITMOS Logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar otro número llamado base para obtener el número dado. Así:

4° = 1 41 = 4

4 2 = 16 4 3 = 64 Luego, siendo la base 4, el logaritmo de 1 es 0, por que 0 es el exponente a que hay que elevar la base 4 para que de 1; el log 4 es 1; es log 16 es 2, el log 64 es 3, etc. Esta forma de representación se llama forma exponencial. Base. Cualquier número positivo se puede tomar como base de un sistema de logaritmo. La forma exponencial de las relaciones anteriores, las podemos representar de otra forma que se denomina forma logarítmica: Forma exponencial

Forma logarítmica

4° = 1 41 = 4

4 2 = 16 4 3 = 64

156

SISTEMAS DE LOGARITMO Pudiendo tomarse como base de un sistema de logaritmos cualquiera numero positivo, el número del sistema es ilimitado. No obstante, los sistemas usados generalmente son dos: El sistema de logaritmo Vulgares o Briggs cuya base es 10, y el sistema de logaritmos naturales o neperianos creados por Neper, cuya base es el número inconmensurable

e = 2,71828181828…

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS 1.- Logaritmo de un Producto. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log b MN = log b M + log b N 2.- Logaritmo de un Cociente. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo de dividiendo menos el logaritmo de divisor.

log b

M = log b M − log b N N

3.- Logaritmo de una Potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

log b M P = P log b M 4.- Logaritmo de una Raíz. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical dividido entre el índice de la raíz. log

n

M =

log M n

Para todos los casos si b, M y N son números reales positivos, b ≠ 1 y p es cualquier número real.

157

Logaritmos de Briggs Observando la progresión en forma exponencial:

10 0 = 1

10 −1 = 0.1

101 = 10

10 −2 = 0.01

10 2 = 100

10 −3 = 0.001

10 3 = 1000

10 −4 = 0.0001

10 4 = 10000

10 −5 = 0.00001

Podemos deducir fácilmente la forma logarítmica de los logaritmos de base 10. Cuando la base es 10 se acostumbra omitir este número en la notación. Tú podrás notar que en la calculadora tampoco aparece el número 10, lo cual significa que es un logaritmo base 10. log 1 = 0

log 0.1=-1

log 10 = 1

log 0.01=-2

log 100 = 2

log 0.001= -3

log 1000 = 3

log 0.0001=-4

log 10000 = 4

log 0.00001= -5

CARACTERISTICA Y MANTISA El logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10 consta de una parte entera y una parte decimal. La parte entera se llama característica, y la parte decimal, mantisa. La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número esta comprendido entre 1 y 10; positiva si el número es mayor que 10 o negativa si el numero es menor que 1. Las potencias de 10 solo tienen característica; su mantisa es cero.

158

COLOGARITMO Se llama cologaritmo de un número al logaritmo de si inverso; también se le conoce como antilogaritmo. Ejemplos:

log 35 =

1{

.1 54441 23

caracteristica

matisa

log 5350 = 3.7284 log 0.025 = -1.6021

Cologaritmo: 1.5441= 35 Cologaritmo: 3.7284= 5350.56 Cologaritmo: -1.6021= 0.025 Para calcular el logaritmo de un número, basta activar la tecla “log” en una calculadora científica, programable o graficadora preferentemente Casio, Texas Instruments o Hewlett Packard. Utilizar imitaciones puede calcular resultados ambiguos o errados. Para calcular el cologaritmo o antilogaritmo, antes de activar la tecla “log” se presiona la tecla “shift” en la calculadora Casio y “2nd” o “INV” para las Texas Instruments o Hewlett Packard.

ECUACIONES EXPONENCIALES Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las cuales la incógnita está en el exponente. Para resolver ecuaciones exponenciales, se aplican logaritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita.

159



Trabajando con las ecuaciones exponenciales y logarítmicas No. 2 1. Repasa los conocimientos estudiados sobre los triángulos. 2. Analiza los ejemplos que se muestran a continuación. Orden Manera didáctica Exposición y preguntas sobre el tema de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participación activa cuando surjan dudas, o se tenga la respuesta a las dudas de otros compañeros.

Ejemplo 1. Graficar la función exponencial: Proponer valores: x

-3

-2

1 8

1 4

f(x) −

-1

0

1 2

1 1

2 2

3 4

8

Gráfica hecha con una calculadora graficadora

160

Ejemplo 2. Construir la grafica de la función exponencial mostrada para − 3 p x p 3 o equivalente, Proponer valores: x

-3

-1

y

27

3

0 1

1

3

1 3

1 27

Ejemplo 3. Construir la grafica de la función:

Proponer valores: x y

-3

-2

-1

0

1

2

14.33 12.71 11.27 10 8.87 7.87

161

3 6.98

Ejemplo 4. Hallar el resultado de 632 x 0.285 aplicando logaritmo. log (632x0.285) = log 632 + log 0.285 = 2.8007 + (-0.5452) = 2.2555 colog 2.2555 = 180.09

Ejemplo 5. Hallar por log el valor de:

331.81 x 0.0004 x 54.72 = Aplicando la propiedad de logaritmos para multiplicación: log 331.81+log 0.0004 + log 54.72= 2.5209+ (-3.3979)+1.7381= 0.8611 colog 0.8611= 7.2627 Aplicando la ley de los signos = -7.2627

Ejemplo 6. Por logaritmos, resolver la división:

8753.90 = 14.5342 Aplicando la propiedad de logaritmos en la división: log 8753.90 - log 14.5342 = 3.9422 - 1.1624 = 2.7798 colog 2.7798 = 602.2821

162

Ejemplo 7. Hallar el valor de la potencia:

9.507 = Aplicando la propiedad de exponentes en logaritmos. 7(log 9.50) = 7(0.9777) = 6.8441 colog 6.8441 = 6983372.961 Ejemplo 8. Hallar el valor de la expresión por logaritmos.

4328x0.08146 816.95 Aplicado las propiedades de los logaritmos: log 4328 + log 0.08146 - log 81695 = 3.6363 + (-1.0890) - 2.9122 = 3.6363 - 1.0890 - 2.9122 = -0.3649 colog - 0.3649 = 0.4349 = 0.4315

Ejemplo 9. Resolver la expresión por logaritmos.

200.48 x 0.07497 = 8.16 x0.039 Aplicando las propiedades logarítmicas: (log 200.48 + log 0.07497) – (log 8.16 + log 0.039) =

(2.3021 + (−1.1251)) – (0.9117 + (−1.4089)) = (2.3021 – 1.1251) – (0.9117 – 1.4089) = 1.177 + 0.4972= 1.6742 colog 1.6742 = 47.2285

163

Ejemplo 10. Hallar el valor del producto de potencias.

Resolviendo por logaritmos: 3 7 3 7

log 4 + 94 log 6 =

(0.6020) + 94 (0.7781) = 0.2580 + 0.3458 = 0.6039 colog 0.6039 = 4.0167

Ejemplo 11. Hallar por logaritmos.

4

43.9 x 0.007 = 0.18 x 79.62

Aplicando propiedades: =

1 [(log 43. + log 0.007) – (-0.18 + log 79.62)] 4

=

1 [(1.6424 – 2.1549) – (-0.7447 + 1.9010)] 4 =

1 1 [(- 0.5124) – (1.1563)] = (-1.6687) 4 4 = -0.4172 colog -0.4172 = 0.3827

164

Ejemplo 12. Calcular la operación de radicales por logaritmos.

43.19 × 5 0.88 = 7 724.13 Por logaritmos:

1 1 1 log 43.19 + log 0.88 log 724.13 = 2 5 7 = 0.8177 + (-0.0111) – 0.4085 = 0.8177 – 0.111 – 0.4085 = 0.3980 Finalmente se obtiene

colog 0.3980 = 2.5006

Ejemplo 13. Resolver la ecuación: Aplicando propiedades de logaritmos:

x (log 7) = log 85 Despejando x: x=

log 85 log 7

x= x = 2.2831

165

1.9294 0.8451

Ejemplo 14. Resolver la ecuación: Por propiedades logaritmos: (3x+2) log 6 = log 216 3x+2 =

log 216 log 6

3x+2 =

2.3344 0.7781

que al despejar x nos da:

3x+2 = 3

3x = 3 - 2

x =

1 3

“ESTUDIO DE POBLACIÓN” Una de las poblaciones más importantes de logaritmos tanto de Briggs como Neperianos y la notación exponencial es en el estudio de la población y su crecimiento. La dotación de servicios, crea la necesidad de ejecutar proyecciones del crecimiento de la población a determinado numero de años. Agua potable, electricidad, salud, alcantarillado y sistema de transporte son algunos de los servicios para los cuales es necesario realizar las proyecciones del crecimiento de la población. Estos estudios de crecimiento se apoyan en datos estadísticos recabados generalmente cada 10 años por medio de los censos de población. Las poblaciones crecen por nacimientos, inmigración y anexión, principalmente; de crecer por muerte y emigración. Cada uno de estos elementos tienen gran influencia por los factores sociales, económicos y del medio ambiente que son inherentes a la localidad, otros son de origen regional, nacional y mundial. Existen varios métodos de predicción de población futura, los cuales indican la formación de un juicio para la toma de decisiones con relación a la población del proyecto dentro de un periodo de tiempo considerado. Localidades próximas a centros turísticos, agrícolas, industriales, el conocimiento de hoteles y otros nos permite conocer la población flotante, misma que en muchos casos puede implicar necesidades extraordinarias en lo referente al suministro del servicios públicos.

166

Ejemplo 15. De acuerdo a los Censos de Población y Vivienda ejecutados por el INEGI (instituto Nacional de Estadística, Geográfica e Informática), los siguientes datos representan la población de Mexicali, Baja California desde el año 1930 a 2000, hallar la población para: (a) (b) (c) (d) (e)

2008 2010 2015 2025 2050 DATOS DE POBLACION AÑO

POBLACION MEXICANA

1930

14,482 Habitantes

1940

18,775 Habitantes

1950

64,609 Habitantes

1960

107,076 Habitantes

1970

310,940 Habitantes

1980

487,708 Habitantes

1990

601,968 Habitantes

2000

764,902 Habitantes

MÉTODO GEOMÉTRICO

Pf = PUC e kt

en donde:

k=

ln Puc − ln Pi Tuc − Ti

Puc = Población Ultimo Censo Pi = Población Inicial, un censo antes de Puc t = Diferencia de años Tuc = Año del ultimo censo Ti = Año del censo de Pi

167

Sustituyendo:

k=

ln 764902 − ln 601938 2000 − 1990

k=

13.5475 − 13.3079 = 0.0240 10

Finalmente:

Pf 2008 = 764902e ( 0.0240)(8)

a)

Pf 2008 = 764902(1.2117) Pf 2008 = 926809 hab Pf 2010 = 764902e (0.0240)(10)

b)

Pf 2010 = 972381 hab c)

Pf 2015 = 764902e ( 0.0240)(15)

Pf 2015 = 1,096,357 hab d)

Pf 2025 = 764902e ( 0.0240)( 25)

Pf 2025 = 1,393,742 hab e)

Pf 2050 = 764902e (0.0240)(50)

Pf 2050 = 2,539,564 hab

Para aplicar la fórmula Pf = PUC e kt , hay que activar la tecla e x . Para calculadoras Texas Instruments aplastar las teclas 2 ND y luego e x

mientras que para las calculadoras Casio hay que

aplastar shift y luego e x .

168

Ejemplo 16. La población de Eureka situada en el extremo Norte de California en la frontera con el estado de Oregon, contaba con 50,000 habitantes en 1930. Para 1960 la población había aumentado a 75,000 personas. ¿Cuál será la población esperada para el año 2010 en Eureka, California?

Pf = PUC e kt

k=

ln 75000 − ln 50000 = 0.0135 1960 − 1930

Pf 2010 = 75000e ( 0.0135)(50)

Pf 2010 = 75000(1.9640)

Pf 2010 = 147,302 hab

169

Ejercicios Nombre Instrucciones para el alumno Actitudes a formar Competencias genéricas a desarrollar


A practicar las ecuaciones exponenciales y logarítmicas No. 2 Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor. Orden y Manera didáctica Ejercicios y tareas sobre el tema responsabilidad de lograrlas 1. Propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. 2. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


1. Construir la gráfica de cada función exponencial para − 4 ≤ x ≤ 4 . Fijar puntos de la gráfica para x entero y luego unirlos con una curva continua. (a) y = 3

x

(b) y = 4(3 ) x

(c) y = 2

−x

(d) y = 2

x

−x

(e) y = 4(2 )

2. Utilizando la calculadora científica, encontrar el logaritmo de cada uno de los números. (a) log 5.32

(b) log 28.14

(c) log 3.50

(d) log 9.93 (e) log 8.72 (f) log 47

(g) log 846000 (h) log 0.000094 (i) log 5.039 (j) log 213 (k) log 0.00093 (l) log 0.19

3. Utilizando una calculadora científica, hallar el cologaritmo del logaritmo de x. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)

log x = 0.9226 log x = 0.8929 log x = 0.7913 log x = 0.4954 log x = 9.4146 log x = 0.9698 – 4 log x = 4.4140 log x = 1.6130 log x = 0.6809-3

(j) log x = 0.00089 -2 (k) log x = 0.4769-3 (l) log x = 5.9323-8 (m) log x = - 0.1837 (n) log x = -0.6396 (o) log x = -2.9258 (p) log x = 2.318 (q) log x = 2.5735 (r ) log x = 0.4385

170

4. Resolver las siguientes operaciones por logaritmos. (a) (b) (c) (d) (e)

(82.6)(957) (6152)(48.2) 41.17/ 6714 (6752000)(0.00918)

(g)

4

(9.496) 7 6 (f) (0.000304) 309.13 526.91

(h)

(i)

(2.5034) 5 (0.0778) 0.02442

(0.0347) 4 (j) (0.00972)(−555) (k)

(5.78) 2 0.5749 8594)(15.991) 0.017

(l)

(m)

(639000) 4 (0.0007423) 7 6 0.1148

5. Encuentre el valor de x en cada uno de los siguientes problemas a)

e)

b)

f)

c)

g)

d)

h)

171

6.

Según los Censos de Población y Vivienda realizados por el INEGI, las siguientes cifras representan la población de Tijuana, Baja California de 1960 a 2000. Aplicando el método geométrico, ejecutar una proyección para los años:

(a) 2008 (b) 2010

Datos de Población

(c) 2015 (d) 2025 (e) 2050

Año

Población Tijuana

1960

165,673 hab

1970

340,596

1980

461,260

1990

747,381

2000

1,210,820

7. Los siguientes datos representan la población de Ensenada, Baja California durante los censos de 1|960 a 2000. Aplicando el método geométrico, realizar una proyección de crecimiento para los años. (a) 2009

Datos de población

(b) 2010

Año

(c) 2012

1960

64,917

(d) 2013

1970

115,418

(e) 2025

1980

175,387

(f) 2050

1990

259,979

2000

370,730

Población Ensenada

172

Geometria y Trigonometria

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