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Monterrey, N.L., enero del del 2013
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PRESENTACIÓN A LOS MAESTROS Estimados colegas: Sirvan estas líneas para meditar sobre los fines de la educación que habrán de cumplirse gracias a su labor docente. Al respecto señalan los expertos: “Un hombre simplemente bien informado es lo más fastidioso e inútil que hay sobre la tierra” (Whitehead). Por lo tanto, lo que debemos tratar de producir en nuestros planteles son hombres que posean al mismo tiempo cultura general amplia y un conocimiento experto en determinada especialidad. Los conocimientos especializados servirán a los muchachos de punto de partida, en tanto que la cultura general y amplia, les hará profundizar con la filosofía y elevarse con el arte. Debemos tener muy presente que el desenvolvimiento intelectual que vale es el desarrollo, y que éste se produce principalmente durante el tiempo que los estudiantes están en nuestros planteles. Al formar a nuestros estudiantes debemos cuidarnos mucho de no enseñar las llamadas “ideas inertes” ni las “ideas decorativas”, es decir, ideas que la mente se limita a recibir, pero no las utiliza, verifica o transforma en nuevas combinaciones. La educación con “ideas inertes” no es solamente inútil, sino que es perjudicial; la educación con “ideas decorativas” sirve solo para presumir, para lucimiento eventual, para ofender a los sabios verdaderos. No limiten su labor, sean generosos con sus estudiantes, no les nieguen nada de lo que Ustedes saben o pueden hacer que ellos sepan, ahí está el secreto de nuestra profesión. El conocimiento es tal vez lo único que podemos dar sin perderlo jamás, y mientras más lo demos, más grandes seremos y más grandes serán los muchachos. Un abrazo cordial.
A LOS ESTUDIANTES Queridos estudiantes: El eminente psicólogo William James escribió “¡Ah, si los jóvenes pudieran comprender cuan pronto se verán convertidos en manojos ambulantes de hábitos, y nada más; se afanarían por perfeccionarse mientras aún son moldeables por la escuela…!” Por ello debemos estar conscientes de que la más tenue pincelada de vicio o de virtud deja su huella, que nunca es leve… cada una de nuestras acciones en el salón de clases es indeleble, en el sentido estrictamente literal y científico. La educación que reciben en el plantel incide en su formación por medio de la ciencia y la técnica, pero sobre todo por su valiosa aportación de la amistad de sus compañeros y el afecto de sus maestros; sólo un necio puede negar lo que la escuela hace por los estudiantes, y a pesar de sus deficiencias, nunca les hará daño, sino todo lo contrario, los conduce hacia su autonomía moral, a buscar el bien supremo, el bien común que sólo pueden lograr las personas buenas, pues el mal pervierte a la gente y siembra ideas perversas en sus mentes jóvenes. La educación que reciben en nuestros planteles, tiene la finalidad de convertirlos en hombres y mujeres de bien, en buenos ciudadanos, en buenos hijos, ¡hombres y mujeres morales y sabios! El maestro puede hacer brotar en ustedes todas las excelencias de que disponen, y a través de la educación se hacen visibles, se llevan a la práctica y se utilizan para hacer el bien. ¡Ustedes son nuestro tesoro! Ismael Vidales Delgado
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ÍNDICE Página
Contenido UNIDAD UNO Secuencia 1 2 3 4 5 6 7
Introducción a la geometría euclidiana.…………………………...………...…. Razonamiento inductivo y deductivo…………………………...….................. La recta …….…………………………...……………………………………... Ángulos………………………………………………………………………… Sistemas de medición y teoremas de ángulos…………………………………. Triángulos……………………………………………………………………… Polígonos……………………………………………………………………….
7 12 15 20 23 28 37
UNIDAD DOS 1 2 3 4
Circunferencia……………………………....…………………………………. Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo…………………………... Triángulos rectángulos….…………………………………………………..… Funciones trigonométricas……………….…………………………………....
44 51 58 65
UNIDAD TRES 1 2 3 4 5
Triángulos oblicuángulos….………….……………………………………...... Identidades trigonométricas………….……………………………………........ Ecuaciones trigonométricas………….……………………………………........ Ecuaciones logarítmicas…... ………….…………………………………….... Ecuaciones exponenciales….………….……………………………………....
77 87 94 98 102
Bibliografía……………………………………………………………………..
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Secuencia didáctica 1 Introducción a la geometría euclidiana 1. Datos generales. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema integrador: Nuestra casa. 1.3 Categoría: Orden y espacio. 1.4 Valores: Responsabilidad y respeto. 1.5 Sesiones: 2 hrs. 2. Propósito: Conocer la historia de la geometría, así como su definición, elementos básicos y su clasificación, a través de las diferentes actividades presentadas en los momentos de la secuencia didáctica, reafirmando con esto los aprendizajes significativos. 3. Competencias por desarrollar. 3.1 Genéricas: Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros • puntos de vista de manera crítica y reflexiva. o Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nuevas evidencias, e integra nuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta. 3.2 Disciplinares: Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los • contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Contenidos conceptuales. 4.1 Conceptos fundamentales: Figuras geométricas. 4.2 Conceptos subsidiarios: Historia y conceptos básicos de la Geometría. 5. Contenidos procedimentales: El alumno diferenciará las distintas aportaciones de los antiguos pueblos al desarrollo de la Geometría, dando opiniones sobre lo que ha repercutido en nuestra vida cotidiana, a través de su participación individual, por equipo y finalizando de manera grupal. 6. Contenidos actitudinales: El alumno mostrará responsabilidad al realizar las actividades de forma individual o en equipo según lo requiera su maestro, así como respeto por las opiniones y respuestas de sus compañeros. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Actividad 1.- Contesta con tus propias palabras cada una de las preguntas que a continuación se presentan y al finalizar comenta las respuestas en una lluvia de ideas dirigida por tu maestro. 1.- ¿Qué significado tiene para ti la palabra Geometría? 2.- ¿Sabes dónde puede ser utilizada la geometría? 3.- Identifica y dibuja 3 objetos de tú la casa que cuenten con figuras geométricas 4.- ¿Sabes que tienen que ver las pirámides con la Geometría? 5.- ¿Crees que exista relación entre la Geometría y otras ciencias? Actividad 2.- Considerando las respuestas a las preguntas anteriores escribe una definición de: Geometría: Comparte las respuestas con tus compañeros y de manera grupal lleguen a la definición de Geometría.
DESARROLLO Actividad 1.- De manera individual dar lectura al tema y al finalizar enlista en la actividad 2 las ideas principales, las cuales serán expuestas al grupo.
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HISTORIA DE LA GEOMETRÍA Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se puede encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza. No solo el origen de los conocimientos geométricos, sino diversos aspectos, como la necesidad de comparar las áreas y volúmenes de figuras simples, la construcción de canales y edificios, las figuras decorativas, los movimientos de los astros, contribuyeron al nacimiento de las reglas y propiedades geométricas que se encuentran en los documentos de las antiguas civilizaciones egipcia y mesopotámica. Podemos destacar que fueron tres pueblos los que contribuyeron notablemente al desarrollo de la Geometría: los babilonios, los egipcios y los griegos.
(1) Los asirios y babilonios La rueda inventada por los sumerios 3500 años A.C., marca en la historia el inicio de la civilización; inventaron la escritura, crearon la aritmética y las construcciones de sus ciudades revelan la aceptación de las figuras geométricas. En la antigua Mesopotamia florece la cultura de los babilonios, herederos de los sumerios. Tenían el conocimiento de cómo calcular el área de algunas figuras geométricas como el rectángulo, el triángulo y el trapecio; así como el volumen de algunos prismas rectos y pirámides de base cuadrada. Es probable que descubrieran las propiedades de la circunferencia, ya que asignaron a π un valor de 3, estableciendo la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo.
(2) Los egipcios Una antigua opinión transmitida por Herodoto, historiador griego (484-420 A.C), atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la Geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del río Nilo borraban continuamente sus extensiones. La aplicación de sus conocimientos geométricos se hicieron sobre la medida de la tierra, de lo cual se deduce el significado etimológico de Geometría, cuyas raíces griegas son: GEO (tierra) y METRON (medida). Los egipcios aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de pirámides como la de KEOPS, KEFREN y MEKERINOS, que son cuadrangulares y sus caras laterales son triángulos equiláteros, la de KEOPS es una de las siete maravillas del mundo donde se ha comprobado que además de la precisión en sus dimensiones está perfectamente orientada. Los conocimientos de los egipcios están contenidos en cinco papiros, siendo el de mayor interés el de RHIND donde se establecen las reglas para calcular el área del triángulo isósceles, área del trapecio isósceles y el área del círculo. Determinaron el valor de 3.1604 como relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, valor mucho más aproximado que el de los babilonios paraπ.
(3) Los griegos Los conocimientos egipcios sobre la geometría eran netamente empíricos, ya que no se cimentaban en una sistematización lógica deducida a partir de axiomas y postulados. El pensamiento racional de los griegos condujo a los primeros matemáticos a buscar no sólo el “cómo”, sino además el “porqué” de los fenómenos y de la realidad que los rodeaba. Para ellos las matemáticas tenían un objetivo principal; entender el lugar que ocupa el ser humano en el Universo, de acuerdo a un esquema racional.
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En Grecia comienza la geometría como ciencia deductiva, con los matemáticos, Tales de Mileto, Herodoto, Pitágoras de Samos y Euclides de Alejandría; quienes fueron a Egipto a iniciarse en los conocimientos de la geometría. (siglo VII A.C.) fue uno de los sabios, fundador de la escuela “Jónica”, se inicia en la filosofía y las ciencias, especialmente en la geometría. Tales de Mileto
Resolvió algunas dudas como la altura de las pirámides, la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles, que el valor del ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto, y demostró algunos teoremas relativos a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelas. Pitágoras de Samos (siglo
VI A.C.) fue discípulo de Tales de Mileto, fundó la escuela pitagórica, atribuyéndose el teorema que lleva su nombre y que se enuncia: “ El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos”. Otro de sus teoremas expresa: “ La suma de los ángulos interiores de un triángulo cualquiera es igual a dos rectos”.
Euclides de Alejandría (siglo
IV A.C.) uno de los más distinguidos maestros de la escuela de Alejandría y quién por encargo de Ptolomeo Rey de Egipto, reunió y ordenó los teoremas y demás proporciones geométricas en una obra llamada “Elementos” constituida por 13 libros, por lo cual se le considera el padre de la geometría.
(4) Definición de Geometría En su forma más elemental, la geometría se aplica a la resolución de problemas métricos, como calcular las áreas y perímetros de figuras planas, así como superficies y volúmenes de cuerpos sólidos. Es decir, estudia las propiedades de las formas y de los cuerpos geométricos. Para su estudio, la geometría se divide en: Geometría Estudia las propiedades de las superficies y figuras planas como los triángulos, las rectas, plana los polígonos, los cuadriláteros y la circunferencia. Esta geometría también recibe el nombre de geometría euclidiana, en honor del matemático griego Euclides. Geometría del espacio
Estudia los cuerpos geométricos cuyos puntos no están en el mismo plano, es decir, las figuras de tres dimensiones.
Existen otras geometrías especializadas en diferentes campos de las matemáticas, como son: Geometría Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenada, y los problemas analítica geométricos por métodos algebraicos, que se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones. Geometría descriptiva
Estudia los cuerpos en el espacio por medio de sus proyecciones sobre determinados planos.
Actividad 2. Enlistar las ideas principales del tema: Actividad 3.- Escribe en la siguiente tabla las principales aportaciones que realizaron los babilonios, los egipcios, griegos, así como la definición y división de la Geometría. Aportaciones de los Aportaciones de los Aportaciones de los Definición y división de babilonios egipcios. griegos. la Geometría Actividad 4. De manera grupal y de participación voluntaria se solicita a por lo menos 5 alumnos que expongan sus respuestas para que se haga una comparativa y se complementen las respuestas. Actividad 5.- Individualmente lee el tema de Conceptos Básicos de la Geometría y contesta las actividades que se van indicando y al finalizar compara las respuestas con tus compañeros.
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CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA Conceptos no definidos La estructura deductiva de la geometría parte de tres conceptos básicos no definidos que son el punto, la línea y el plano. Son conceptos fundamentales no definidos o primitivos, puesto que no hay palabras más sencillas para definirlos. Sin embargo, se pueden describir intuitivamente para comprenderlos y darles un significado. Cuerpo Físico y Cuerpo Geométrico
Son cuerpos físicos las cosas que nos rodean como: cuadernos, sillas, bolígrafos, escuadras, mesas, libros, árboles, animales, etc.
De estos cuerpos físicos la geometría considera solamente su forma y dimensiones, llamándolos cuerpos geométricos o sólidos, estos tienen tres dimensiones: longitud, ancho y altura. Por ejemplo: los conos, los cubos, las esferas, los prismas, los cilindros, etc. Los tres elementos principales con los que trabaja la geometría son: línea (largo), superficie (largo y ancho) y volumen (largo, ancho y altura). a) Une los conceptos con el dibujo que los representa: Concepto geométrico no definido Posee longitud pero carece de Se suele representar por un que carece de longitud, anchura y anchura y espesor. paralelogramo y se nombra por tres de espesor. sus puntos no alineados o por una letra griega. Línea
Punto �����
b) Del siguiente listado de objetos, clasifícalos en cuerpos físicos o geométricos según corresponda:
Actividad 6.- Realiza en tu cuaderno las conclusiones finales.
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CIERRE De manera individual realiza las siguientes actividades en tú libreta. Actividad 1.- En forma individual realiza un resumen de la historia de la Geometría. Actividad 2.- En forma individual completa el siguiente mapa conceptual.
G�������� �����:
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Actividad 3.- Contesta el siguiente cuestionario: a) ¿Cuántas partes tiene un punto? b) ¿Cómo podemos obtener un punto? c) ¿Cómo defines la línea? d) ¿Cómo defines plano?
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Secuencia didáctica 2 Razonamiento inductivo y deductivo 1.
Datos generales. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema integrador: Geometría. 1.3 Categoría: Espacio y diversidad. 1.4 Valores: Responsabilidad, tolerancia y respeto. 1.5 Sesiones: 1 hrs. 2. Propósito: Conocer la diferencia de los razonamientos inductivo y deductivo a través de la lectura que se presenta, así como realizar el análisis de los conceptos de proposición, axioma, postulado y teorema que se presentan en el desarrollo del tema. 3. Competencias por desarrollar. 3.1 Genéricas: Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros • puntos de vista de manera crítica y reflexiva. o Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética. 3.2 Disciplinares: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos • aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 4. Contenidos conceptuales. 4.1 Conceptos fundamentales: Figuras geométricas. 4.2 Conceptos subsidiarios: Razonamiento. 5. Contenidos procedimentales: El alumno desarrollara sus habilidades verbales para diferenciar los conceptos de razonamiento inductivo y deductivo, partiendo de su concepto individual, enriqueciéndolo con la ayuda de sus compañeros de equipo y de grupo. Así como también identifica las aplicaciones que se le da a estos conceptos en la Geometría. 6. Contenidos actitudinales: La responsabilidad será demostrada por el alumno al cumplir con las lecturas que le corresponden y en la participación que le sugiere el maestro, así como tolerancia y respeto hacia sus compañeros cuando den sus respuestas o aportaciones. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Actividad 1.- En forma grupal dar lectura y analizar la siguiente situación. Mientras conduces un automóvil por la ciudad, observas a un adolescente conduciendo delante de ti que te indica sus intenciones de dar vuelta a la izquierda y lo hace a la derecha. En la esquina siguiente, un agente de tránsito le levanta una infracción a otro adolescente. Poco después, otra adolescente choca contra el automóvil que conduces. Elegir a un compañero para que anote en el pizarrón las respuestas posibles a las siguientes preguntas que se les presentan. 1.- ¿A qué conclusión llegarías acerca de los adolescentes que conducen automóviles? 2.- ¿Qué razonamiento utilizas: Deductivo ó Inductivo? y ¿Por qué? Actividad 2.- Elabora con tus propias palabras un significado de método deductivo y de método inductivo.
DESARROLLO Actividad 1.- Individualmente lee el tema de Razonamiento inductivo y deductivo, además subraya lo que consideres de mayor importancia.
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RAZONAMIENTO INDUCTIVO Y DEDUCTIVO El razonamiento es la capacidad que posee el hombre de asociar en forma debida, diversas ideas, observaciones o hechos, para obtener conclusiones correctas. Todo proceso de pensar surge de algunos datos (hipótesis). A su vez, estos datos, mediante una correcta asociación de ideas, observaciones o hechos (razonamiento), conducen a establecer una nueva proposición (conclusión).
Razonamiento inductivo Este método se utiliza principalmente en el campo de la biología, física y química, que son ciencias experimentales y por lo tanto se basan en reglas y leyes generales obtenidas de las observaciones particulares concluyendo en situaciones generales. Razonamiento deductivo El universo de la geometría está constituido por un conjunto de proposiciones. Es el más usado en la ciencia y principalmente en la geometría. Se basa en ir encadenando conocimientos que se suponen verdaderos (axiomas y postulados) de manera tal, que se obtienen nuevos conocimientos (teoremas). También se le llama método analítico o indirecto cuya característica es que va de lo general a lo particular. En este método es necesario establecer los siguientes conceptos: Proposición: Enunciado que puede calificarse como falso o verdadero. Axioma: Proposición que se admite como cierta sin necesidad de demostrarse. Postulado: Proposición no tan evidente como un axioma, pero que también se admite sin demostración. Teorema: Proposición que necesita ser demostrada. Algunos enunciados se establecen como axiomas, postulados o teoremas y se describen en los siguientes cuadros. Axiomas a) La parte es menor que el todo. b) Si a cantidades iguales se les agrega una misma cantidad los resultados serán iguales. c) El todo es mayor que cualquiera de las partes. d) Si cantidades iguales se multiplican o dividen por cantidades iguales, los resultados serán iguales. e) Dos cantidades iguales a una tercera son iguales entre sí. f) Toda cantidad puede reemplazarse por su igual. g) Si una cantidad es mayor que otra, y ésta mayor que una tercera, la primera es mayor que la tercera. h) Todo número es igual a sí mismo. i) La distancia más corta entre dos puntos es la longitud del segmento que los une Postulados a) Por dos puntos dados puede hacerse pasar una recta y sólo una. b) Toda recta puede prolongarse en ambos sentidos. c) Siempre es posible describir una circunferencia de centro y radio dados. d) Toda figura se puede cambiar de posición sin alterar su forma ni sus dimensiones. e) Hay infinitos puntos. f) Todos los ángulos de lados colineales son iguales. g) Por un punto exterior a una recta existe una perpendicular a ella. h) El famoso postulado de Euclides: nombre que suele darse al postulado que fija la existencia de la paralela única a una recta por un punto exterior a ella. Teoremas a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. b) Dos ángulos adyacentes son suplementarios. c) Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. d) El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. e) Si dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos son iguales.
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Proposiciones verdaderas Toda proposición puede ser demostrada. La demostración consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. En el enunciado de un teorema se distinguen dos partes: • •
Hipótesis.- Contiene los planteamientos que son supuestos. Tesis.- Es la afirmación que se busca demostrar.
Para asegurar que las proposiciones son verdaderas se requiere una demostración compuesta por una cadena de razonamientos lógicos. TEOREMA: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales HIPÓTESIS a y b; c y d Son ángulos opuestos por el vértice.
TESIS ∠a = ∠b ∠c = ∠d
TEOREMA: Los ángulos interiores de un triángulo suman 180º.
HIPÓTESIS a, b yc Son ángulos interiores de un triángulo.
TESIS ∠a + ∠b + ∠c = 180º
Actividad 2. Una vez realizada la lectura del tema completa el siguiente cuadro estableciendo las diferencias entre axioma – postulado, axioma- teorema, postulado - teorema Axioma Postulado Teorema Axioma Postulado Teorema Actividad 3.- De manera individual elabora una definición con tus propias palabras de: Razonamiento deductivo: Razonamiento inductivo. CIERRE Actividad 1.- Contesta individualmente el siguiente cuestionario. 1.¿Cuáles son los conceptos básicos no definidos en geometría, pero que pueden describirse en forma intuitiva? 2.¿Cuál es la característica de un cuerpo geométrico? 3.¿Qué es razonamiento? 4.¿Cómo se llama el método de razonamiento en el que se apoya la geometría? 5.¿En qué consiste el método de razonamiento deductivo? 6.¿Qué es un axioma? 7.¿Qué es una proposición? 8¿Qué es un teorema? 9.Define las partes que constituyen un teorema. 10.- Menciona tres enunciados que describan un axioma, un postulado y un teorema.
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Secuencia didáctica 3 La Recta 1.
Datos generales. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema integrador: Nuestra casa. 1.3 Categoría: Espacio y diversidad. 1.4 Valores: Respeto y libertad. 1.5 Sesiones: 3 hrs. 2. Propósito: Identificar los tipos, características y propiedades de la recta a través de diferentes actividades para definir el concepto de recta. 3. Competencias por desarrollar. 3.1 Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos • establecidos. o Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. 3.2 Disciplinares: Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los • contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para • determinar o estimar su comportamiento. 4. Contenidos conceptuales. 4.1 Conceptos fundamentales: La recta. 4.2 Conceptos subsidiarios: Definición y notación de recta, clasificación y características de las líneas, línea curva y sus características, posición de una recta con respecto a un plano. 5. Contenidos procedimentales: El alumno desarrollará su imaginación espacial por medio de objetos de uso cotidiano en el que se ven reflejadas las distintas líneas y practicará el manejo del juego de geometría en la construcción de líneas. Se organizará en uno de los equipos para realizar las actividades de cierre, comentando finalmente en plenaria las conclusiones a las que llegaron. 6. Contenidos actitudinales: El alumno mostrará respeto al trabajo de los demás y trabajará con libertad de expresión al momento de contestar lo que le corresponde. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Actividad 1.- Individualmente observa con atención las figuras y contesta lo que se te pide: a) Imagina un conjunto de puntos que se han dispuesto de la siguiente manera: ……………………………………………………………… b) Ahora introducimos más puntos para eliminar por completo los espacios en blanco obteniendo el siguiente resultado: ___________________________________________ ¿Qué paso al colocar los puntos de manera más pegada, en qué se convirtió? ¿La figura que se formó tiene longitud? ¿La figura que se formó cuenta con anchura? ¿Cuáles son las características esenciales en las situaciones descritas? Define con tus propias palabras el significado de línea recta.
Actividad 2.- Observa el dibujo y escribe los diferentes tipos de líneas con las que cuenta la casa que se muestra
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DESARROLLO LA RECTA Actividad 1.- De manera individual lee cuidadosamente la siguiente información y subraya los conceptos que consideres importantes. Definición y notación de rectas La línea recta es aquella que tiene todos sus puntos en una misma dirección. La recta no RECTA tiene límites, no se conocen su punto inicial ni el final. Por lo cual, es posible prolongarla por cualquiera de sus dos extremos, es decir su longitud es infinita. La línea recta se representa con una raya o una flecha sobre dos letras mayúsculas que simbolizan dos de sus puntos, o con una letra minúscula. m . . . . A B A B ↔ Recta m Recta AB= B Recta AB= AB Notación: AB es la distancia entre los puntos A y B. SEMIRECTA o RAYO
Al marcar en una recta cualquiera un punto “O”, llamado origen, la recta queda dividida en dos partes, donde cada parte forma una semirecta o rayo.
. .
↔
AB o B es la recta que contiene a los puntos A y B.
O
.
O
O
. P
Q Recta PQ= PQ
←
Semirecta OP SEGMENTO DE RECTA
→
Semirecta OQ
Si en una recta cualquiera se marcan dos puntos A y B, todos los puntos comprendidos entre ellos forman el segmento de recta.
.
.
Segmento
B
Clasificación y características de las líneas. Las líneas pueden clasificarse en: líneas rectas y líneas curvas. 1.- La línea recta es el camino más corto entre dos M puntos.
d 1 N
d 2
El camino más corto para ir de M a N es la línea d y no las líneas punteadas d 1 y d 2 . 2.- Por dos puntos sólo puede pasar una recta.
l M
N Por los puntos de M y N sólo pasa la recta l .
3.- Por un punto pueden pasar una infinidad de rectas. Por el punto P pueden pasar una infinidad de rectas.
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4.- Dos rectas que tienen dos puntos en común, coinciden en toda su extensión. 5.- Dos rectas distintas no pueden tener más que un punto común; también pueden no tener ninguno.
.
l 1 l 2
.
M N Las rectas l 1 y l 2 pasan por M y N coinciden en toda su extensión. ��� ������ l 1 �
l 1
l 2
���� ������ � �
l 2
���� ����� ��� ������ l 1 �
l 2
l 1
�� ������ ������ ����� �����.
6.- El punto medio de un segmento recto es único. M
l 2
N El segmento MN sólo tiene un punto medio P.
l 2 7.- Por un punto de una recta se puede trazar una perpendicular a ella, y sólo una.
l 1 Por el punto P de la recta l 1 sólo existe l 2 , tal que l 1 ⊥ l 2 .
l 1 l 2 8.- Por un punto exterior a una recta, existe una y sólo una perpendicular a l 1 Es la única recta perpendicular a l 2 que puede trazarse desde el punto P, ella. exterior a l . 2
Línea curva y sus características La línea curva es la que se genera por un punto que cambia constantemente su dirección. B
D
C
E
F
La línea quebrada o poligonal es la La figura formada por una línea La línea mixta es la formada por que se forma de varios segmentos quebrada cerrada se llama líneas rectas y curvas. rectilíneos que siguen diferente polígono. direcciones.
Posición de una recta con respecto a un plano Una recta con relación a un plano, puede ocupar las siguientes posiciones:
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La recta y el plano son Cuando la recta no tiene ningún punto en común con el plano. paralelos m x
La recta corta al plano
Cuando la recta tiene un punto en común con el plano. m
x
La recta está contenida en el plano
Cuando la recta tenga dos puntos en común plano y por lo tanto está contenida en él.
con el
m
x
Por la posición de una recta con otra, dos rectas en un plano pueden ser: Perpendiculares.- Dos rectas que al cruzarse forman ángulos rectos son perpendiculares. El símbolo de perpendicularidad es ⊥ .
Paralelas.-
Oblicuas.-
Dos rectas sin punto en común. También son llamadas rectas paralelas a las que jamás se cortan por mucho que se prolonguen. Se utiliza el símbolo .
Dos rectas son oblicuas cuando al cortarse no son perpendiculares, es decir, no forman cuatro ángulos rectos. Más de 90°
Menos de 90°
Actividad 2.- Transcribe los conceptos que consideraste importantes de la lectura. Actividad 3.- De manera individual realiza las siguientes actividades:
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Escribir en un cuadro las semejanzas y diferencias entre los tipos de línea: Ejemplo: Tipo de línea Recta Curva
Semejanzas
Diferencias
Elaborar un cuadro sinóptico de la clasificación de las líneas. Elaborar un esquema de la posición de una recta con respecto a un plano.
Se forman equipos para realizar una de las actividades en una hoja de rotafolio y exponer sus trabajos. CIERRE Actividad 1.- Realiza de forma individual las siguientes actividades: a) Relaciona correctamente las siguientes columnas (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Cuando dos rectas se cruzan sin formar ángulos rectos, éstas son consideradas como: Dos puntos que delimitan una recta, todos los puntos comprendidos entre ellos forman: Cuando dos rectas en un plano jamás se cortan por mucho que se prolonguen son llamadas: Conjunto de puntos que se extiende sin límite en una misma dirección: Cuando la recta se divide en dos partes, donde cada parte formada constituye una recta llamada: Línea que se produce por un punto que cambia constantemente de dirección es llamada: Cuando dos rectas en un plano forman ángulos rectos son llamadas:
b) Menciona tres características propias de la línea recta.
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1. LÍNEA POLIGONAL 2. LÍNEA CURVA 3. LÍNEA RECTA 4. LÍNEA DIVERGENTE 5. PARALELAS 6. PERPENDICULARES 7. SEMIRECTA o RAYO 8. OBLICUAS 9. SEGMENTO
Secuencia didáctica 4 Ángulos 1.
Datos generales. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema integrador: El reloj 1.3 Categoría: Orden y espacio. 1.4 Valores: Solidaridad. 1.5 Sesiones: 2 hrs. 2. Propósito: Definir el concepto de ángulo, su notación y clasificación, a través de construcción de la simulación de reloj y el movimiento de sus manecillas. 3. Competencias por desarrollar. 3.1 Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos • establecidos. o Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. o Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. 3.2 Disciplinares: Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los • contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para • determinar o estimar su comportamiento. 4. Contenidos conceptuales. 4.1 Conceptos fundamentales: Figuras geométricas. 4.2 Conceptos subsidiarios: Los ángulos. 5. Contenidos procedimentales: El alumno identificará que en su propia casa, en la escuela y en los lugares que frecuenta puede localizar los distintos ángulos que se forman de acuerdo a su abertura, trabajando al lado de sus compañeros de equipo. 6. Contenidos actitudinales: El valor de la solidaridad se verá reflejada en el alumno cuando trabajen en el equipo, ayudándose mutuamente y explicando a algún compañero cuando no entienda los conceptos a trabajar. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Los ángulos son elementos matemáticos que se han estudiado desde los griegos y que se utilizan actualmente. Por ejemplo, en el diseño de rampas que se usan en las competencias de extremas de patineta o bicicleta. ¿Las has visto verdad? Pues en su construcción se emplean ángulos de varias medidas para hacer que la competencia sea más difícil. Como ves los ángulos no se encuentran muy alejados de nuestra realidad inmediata. Actividad 1.- En forma individual construye un reloj, con el material que tengas a tú alcance (cartón, fomi, plástico, cascarón de huevo, etc.) “Sé imaginativo y original”. Actividad 2.- Utilizando el reloj que construiste en la actividad anterior, ubica los diferentes horarios que a continuación se presentan, dibuja el comportamiento del reloj. 3:00 hrs. 3:10 hrs. 3:50 hrs. 3:45 hrs. 3:30 hrs. Observa el comportamiento de las manecillas del reloj y considera que entre ellas existen diferentes “distancias” o “aberturas”, dependiendo de la hora que están indicando.
20
1.- ¿Cuántas manecillas (líneas) son necesarias para marcar la hora? 2.- ¿Si proyectaras las líneas que pasa con ellas? 3.- ¿Sabes que nombre recibe las aberturas que se forman con las manecillas del reloj? 4.- Menciona los diferentes nombres que se le asignan a las figuras que se forman en los diferentes horarios realizados en la actividad anterior, considerando que no se mueve la línea de la hora.
DESARROLLO ÁNGULOS Actividad 1.- Realiza la lectura del siguiente tema y subraya lo que consideres lo más importante. Definición notación de ángulos E� ������y �� �� �������� ����������� ����� ��� ������ ������ ��� ��������� ��
→
����������
OB
�� ����� ����� ������� �������. �������
→
���������� OA
Un ángulo se puede denotar de las siguientes maneras: Ángulo cuyo vértice es A Una letra mayúscula situada en el vértice.
Ángulo cuyo valor es “a” ó cuyo valor es α Colocando una letra minúscula dentro del ángulo, generalmente se emplea una letra del alfabeto griego. Tres letras mayúsculas de manera que la letra media indique el vértice del ángulo. Simbólicamente la notación se realiza anteponiendo a la letra el símbolo ∠ ó bien colocando un pequeño ángulo sobre la letra. Por
∠
ó
Ángulo definido por CAB ó BAC C
A
∧
ejemplo:
α
a
B
se lee “ángulo A”
Dado que el ángulo es la abertura comprendida entre dos rectas, una de las cuales permanece fija mientras que la otra gira, los ángulos pueden ser positivos si el giro es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, mientras que si gira en el mismo sentido el ángulo es negativo. Ángulo positivo Ángulo negativo
Clasificación de ángulos Por la abertura de sus lados o la amplitud de la rotación los ángulos pueden ser clasificados como: •
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AGUDO
RECTO
OBTUSO
Mide 90º Mide menos de 90º
Mide más de 90º y menos de 180º
COLINEAL o LLANO
ENTRANTE
PERIGONAL
Mide 180º
Mide más de 180º y menos de 360º
Mide 360º
Por su posición, los ángulos pueden ser: Ángulos consecutivos o contiguos Ángulos Adyacentes B C •
C
B
Opuestos por el vértice
A
O
�
A Ángulos que tienen un vértice común y un lado que los separa. Son ángulos contiguos: ∠ AOB y ∠ BOC
Ángulos cuyos lados no comunes pertenecen a una misma recta. Son ángulos adyacentes: ∠ AOB y ∠ BOC
Complementarios
Suplementarios
Cuando dos rectas se cortan, los pares de ángulos no adyacentes que se forman se llaman opuestos por el vértice. Además, son iguales. ∠a y ∠b son opuestos ∠c y ∠d son opuestos
C
a B
O
Conjugados b
B A
C
O
A Son ángulos que suman 90º Son ángulos que suman 180º Son ángulos que suman 360º ∠ AOB + ∠BOC = 90º ∠ AOB + ∠BOC = 180º ∠a + ∠b = 360º 90°=89°60’= 89°59’60” 180°=179°60’=179°59’60” 360°=359°60’= 359°59’60” Actividad 2.- Conclusiones finales y comentarios del maestro. CIERRE Actividad 1.- En forma individual contesta la siguiente actividad compara las respuestas con tus compañeros. Completa el cuadro, anotando el valor del ángulo que falta. Tipos de ángulos ÁNGULO COMPLEMENTO SUPLEMENTO CONJUGADO
26º 47º 75º
(Ángulo + Complemento =90º ) 64º
(Ángulo + Suplemento =180º ) 154º
(Ángulo + Conjugado =360º ) 334º
150º 86º 39º28´ 76º16´
50º 32`
140º 32´
320º 32´ 280º 50´
55º32´ 21º49´06´´ 15º32´30´´
68º 10´54´´
58º 10´ 54´´
22
338º 10´54´´
Secuencia didáctica 5 Sistemas de medición y teoremas de ángulos 1.
Datos generales. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema integrador: Instrumentos de medición. 1.3 Categoría: Orden y espacio. 1.4 Valores: Responsabilidad. 1.5 Sesiones: 3 hrs. 2. Propósito: Identificar los sistemas de medición y los teoremas para ángulos, en aplicaciones prácticas de la vida cotidiana. 3. Competencias por desarrollar. 3.1 Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos • establecidos. o Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas. 3.2 Disciplinares: Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los • contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del • espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. 4. Contenidos conceptuales. 4.1 Conceptos fundamentales: Sistemas de medición de ángulos. 4.2 Conceptos subsidiarios: Relación entre grados sexagesimales y radianes, teoremas de ángulos. 5. Contenidos procedimentales: El estudiante reconocerá y aplicará los distintos métodos de medición de ángulos, trabajando individualmente con las conversiones indicadas, para después comparar sus respuestas con los compañeros de grupo, así como aprenderá los teoremas de ángulos. 6. Contenidos actitudinales: El alumno entregará en tiempo y forma sus actividades, actuando con responsabilidad en la elaboración de sus actividades que le correspondan, ya sea individuales o en equipo. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Así como existen unidades de medición para medir distancias (centímetros, metros, kilómetros, etc.), para medir peso (gramos, kilogramos, toneladas, etc.) y otras muchas unidades de medición; también existen unidades de medición para los ángulos y teoremas que los relacionan. Actividad 1.- En forma individual contesta las siguientes preguntas a) ¿Conoces alguna unidad de medición para los ángulos? ¿Cuál (es)?
b) ¿Conoces este instrumento ? c) ¿Cómo se llama y que unidades utiliza? d) ¿Dónde lo haz utilizado ó donde crees que lo puedas utilizar? Actividad 2.- Observa la siguiente figura y contesta lo siguiente:
23
Sus ángulos interiores ¿Cuántos son?______ ¿Cuánto mide cada uno?________ ¿Cuánto suman?________ ¿Crees que exista un rectángulo que no cumpla con estas características?________ Actividad 3.- Compara las respuestas con otro compañero y entreguen individualmente las conclusiones finales a los cuestionamientos anteriores.
DESARROLLO Actividad 1.- Lee y subraya cuidadosamente la información que a continuación se presenta.
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS La magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura o separación que hay entre ellos. Medir un ángulo es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón. Para medir un ángulo generalmente se utilizan dos sistemas: el sexagesimal y el circular. Sistema sexagesimal: En este sistema la circunferencia se divide en 360 partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de grado. Un ángulo de un grado ( º ) es el ángulo central que abarca un 90º 1 arco de 360 parte de una circunferencia. Cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos ( ´ ), y a su vez cada minuto también se divide en 60 partes iguales llamadas segundos ( ” ). 180º 0º 360º Grado (º) Minuto ( ´ ) Segundos ( ” )
1º = 60' = 3600" 1´= 60" 270º Ejemplo: GRADOS convertidos a GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS 25.87 º 37 º 25 º +(.87 º)(60’) 36 º60’ 25 º + 52.2’ 25 º+52+(.2)(60) 25º 52’ 12” 36 º59’60” GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS convertidos a GRADOS
30°26'45" 45" 30°26'+ 60" 30°26'+0.75' 26.75' 30° + 60' 30° + 0.44° 30.44°
7°15' 15' 7° + 60' 7° + 0.25° 7.25°
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En este sistema la unidad utilizada es el radián (rad).
Sistema circular: A r r
r
Un radián es el ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Dado que:
B
La longitud de una circunferencia = 2π r 360º = 2π radianes
Longitud del arco AB es igual al radio (r) de la circunferencia. ∠ AOB = 1
Radián
Relación entre grados sexagesimales y radianes Dado que una circunferencia es igual a 2π radianes, esto puede relacionarse en grados de la siguiente manera: 360º = 2π radianes
Radián =
360º 2π
=
Radián = 57.295777 º Radián ≈ 57 º17´44"
180º π
Para efectuar una conversión, se realiza el procedimiento siguiente:
Radianes a grados
Se multiplica por 180º y se divide entre π ó bien se multiplica por 57.29577º.
Grados a radianes
Se multiplica por π y se divide entre 180º ó bien se divide entre 57.29577º.
Actividad 2.- De acuerdo a la lectura que realizaste, contesta la siguiente y después compara las respuestas con los demás. a) Expresa en radianes o en ángulos sexagesimales, según la conversión indicada. Convertir a Radianes Convertir a grados GRADOS RADIANES RADIANES GRADOS 25º 3π rad 70º π 140º
2 3π 8
34º24` 245º
2.25 rad 5.345 rad
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Teoremas de ángulos. Actividad 3.- Dibuja dos rectas paralelas (AB y CD), de preferencia en forma horizontal, y córtalas por otra recta (no perpendicular) a la denominaremos “secante” (SS´). Observa tu dibujo y contesta de manera individual lo siguiente: ¿Cuántos ángulos se Tienen? _____________________ Numera los ángulos que se forman para identificarlos (en tu dibujo) Los pares de ángulos _____________________________________ son opuestos por el vértice. Establece la relación de igualdad entre cada par de ángulos opuestos por el vértice según tu numeración: Ángulo Igual Ángulo Cada par de ángulos opuestos por el vértice son de igual = magnitud entre sí. = = = Identifica los pares de ángulos que se encuentran fuera de las rectas paralelas. Escribe cuales son dichos ángulos: _____________________________. De estos ángulos, encuentra cuales son los pares que tienen igual magnitud y escribe la relación de igualdad:
A estos pares de ángulos iguales se les conoce como alternos externos y son de igual magnitud.
Ángulo
Igual =
Ángulo
=
Ahora identifica los pares de ángulos que se encuentran por dentro de las rectas paralelas. Escribe cuales son dichos ángulos: _____________________________. De estos ángulos, encuentra cuales son los pares que tienen igual magnitud y escribe la relación de igualdad:
A estos pares de ángulos iguales se les conoce como alternos internos y son de igual magnitud.
Ángulo
Igual =
Ángulo
=
A continuación indica cuales son los ángulos que se encuentran en el mismo lado de la recta “secante”: _________________ y _______________ Encuentra la relación de igualdad entre aquellos ángulos que se encuentran por un mismo lado de la recta secante.
Ángulo
Por la izquierda: Igual = =
Ángulo
Ángulo
Por la derecha: Igual = =
Ángulo
����� ������� ��� ������������� �� ��������� ���������������� � ��� �� ����� �������� ���������������
¿Cuáles son los pares de ángulos que se encuentran dentro de las paralelas en el mismo lado de la secante (en el mismo semiplano)? Izquierda:______y______ Derecha: _____y____ Observa bien tu dibujo y mediante un razonamiento deductivo determina cuanto suman cada par de ángulos: __________.
26
���� ��� �� ������� ������ �� ������ �� ���������� �������� � ��������������
¿Cuáles son los pares de ángulos que se encuentran por fuera de las paralelas en el mismo lado de la secante (en el mismo semiplano)? Izquierda:______y______ Derecha: _____y____ Observa bien tu dibujo y mediante un razonamiento deductivo determina cuanto suman cada par de ángulos: __________. ���� ��� �� ������� ������ �� ������ �� ���������� �������� � ����� ���������
CIERRE Actividad 1.- De manera individual, completa el siguiente enunciado. Los principales sistemas de medición de ángulos son: _________________y ____________ 1º tiene _____minutos y un minuto tiene_____ segundos. 1 radian equivale a __________grados. Actividad 2.- Menciona los 6 teoremas que se fueron estableciendo durante la Actividad 2:
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Secuencia didáctica 6 Triángulos 1.
Datos generales. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema integrador: Las figuras. 1.3. Categoría: Espacio y diversidad. 1.4. Valores: Respeto y responsabilidad. 1.5 Sesiones: 4 hrs. 2. Propósito: Resolver problemas teóricos y prácticos aplicando conceptos, técnicas y procedimientos relativos a los triángulos, así como las propiedades geométricas y el teorema de Pitágoras. 3. Competencias por desarrollar. 3.1. Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos • establecidos. o Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos. 3.2. Disciplinares: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos • aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 4. Contenidos conceptuales. 4.1. Conceptos fundamentales: El triángulo. 4.2. Conceptos subsidiarios: Definición, notación y clasificación de triángulos, rectas y puntos notables en los triángulos y teoremas de triángulos. 5. Contenidos procedimentales: El alumno de manera individual aprenderá las diferencias que existen entre los triángulos según su clasificación y las distintas líneas que se pueden trazar dentro de un triángulo; después en equipo resolverá el cuadro sinóptico comparando el resultado con sus compañeros de grupo. 6. Contenidos actitudinales: El respeto y la responsabilidad se verán reflejadas en las actividades en las que el alumno trabajará al lado de sus compañeros haciendo cada uno lo que le corresponde y respetando las ideas y argumentos de los demás. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Actividad 1.- Observa las siguientes figuras y contesta de manera individual a cada uno de los cuestionamientos:
Las figuras anteriores, son ejemplos de triángulos. Mientras que las figuras siguientes no los son:
¿Qué tienen en común las figuras que son ejemplos de triángulos? ¿En que difieren con las figuras que nos son triángulos?
28
Realiza una definición del concepto de triangulo. Compara tus respuestas con las de tus compañeros y de forma grupal construyan una definición de Triángulo.
DESARROLLO Triángulos Actividad 1.- Lee cuidadosamente las siguientes definiciones. Definición y notación de triángulos El triángulo es un polígono de tres lados. Los puntos donde se cortan se llaman vértices. Los elementos de un triángulo son: Lados, ángulos y vértices. Los segmentos B , BC y CA son los lados. Los puntos A,B y C son los vértices. ∠ A , ∠ B y ∠C son los ángulos internos. Un triángulo se designa por el símbolo ∆ , y para nombrarlo se utilizan las tres letras de sus vértices . Clasificación de triángulos: se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. Según sus lados ISÓSCELES
EQUILÁTERO
a
a
a
ESCALENO
a
a
c
a c b Los tres lados tienen igual Dos de sus lados son iguales Los tres lados son de diferente magnitud. y el otro desigual. longitud. Según sus ángulos OBLICUÁNGULOS RECTÁNGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO C C C A
B
A
B
A
B
Uno de sus ángulos internos es un Es el que tiene sus tres Es el que tiene un ángulo interno ángulo recto (90º). ángulos internos agudos. obtuso. Actividad 2.- En equipos, contestar las actividades a y b, los cuales deben ser plasmados en hoja de rotafolio para que sean pegados en el salón, y de esa forma cada equipo comparará las respuestas. (NOTA: no son expuestos, solo pegados) a) Realiza la clasificación de los triángulos en el siguiente diagrama de jerarquización:
29
����������
D� ������� ��� �� ������ �� ��� �����
A���������
b) Con base a tus observaciones contesta las siguientes preguntas: ¿Qué diferencias existen entre un triangulo escaleno y uno isósceles? ¿Cuál es la diferencia entre un triangulo equilátero y uno escaleno? ¿Qué diferencias hay entre un triangulo isósceles y uno equilátero? ¿Qué diferencias hay entre un triangulo acutángulo y uno rectángulo? ¿Qué diferencias hay entre un triangulo rectángulo y un obtusángulo? ¿Qué diferencias hay entre un triangulo obtusángulo y un acutángulo? Actividad 3. Realiza la lectura de manera individual y subraya lo que consideres más importante. Rectas y puntos notables del triángulo: Los puntos notables de un triángulo son los puntos de intersección de las rectas notables, llamadas: Altura, Mediana, Mediatriz y Bisectriz. RECTA PUNTO NOTABLE NOTABLE Altura Ortocentro Mediana Baricentro o Gravicentro
RECTA PUNTO NOTABLE NOTABLE Mediatriz Circuncentro Bisectriz Incentro
ALTURA A
MEDIANA
B ����������
B
C
����������
La altura es una línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto. El punto donde se cruza la prolongación de las tres alturas se llama ortocentro.
C
A
La mediana es la línea que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. El punto donde se cruzan las tres medianas se llama baricentro o gravicentro.
30
MEDIATRIZ A
BISECTRIZ
A ��������
������������
B C B C La mediatriz es una línea perpendicular a un La bisectriz es la línea que divide un ángulo segmento que pasa por su punto medio. por la mitad. El punto donde se cruzan las tres mediatrices El punto donde se cruzan las bisectrices de los se llama circuncentro y está a la misma ángulos se llama incentro. distancia de los tres vértices. a) Relaciona las columnas escribiendo dentro del paréntesis el número que corresponda a la respuesta correcta. 1) Polígono de tres lados. ( ) Circuncentro 2) Triángulo que tiene todos sus lados diferentes. ( ) Equilátero 3) Es la línea que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto. 4) Punto donde se cruza la prolongación de las tres alturas.
( (
) Obtusángulo ) Escaleno
5) Es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. 6) Los triángulos se clasifican según sus: 7) Triángulo que tiene dos lados iguales y uno diferente. 8) Punto donde se cruzan las tres medianas. 9) Es la línea que divide un ángulo por la mitad. 10) Triángulo que tiene tres lados iguales. 11) Triángulo que tiene un ángulo obtuso. 12) Punto donde se cruzan las bisectrices. 13) Nombre del triángulo que sus tres ángulos son agudos. 14) Es una línea perpendicular que va de un vértice al lado opuesto. 15) Nombre del triángulo que tiene un ángulo recto. 16) Punto donde se cruzan las tres mediatrices.
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (
) Incentro ) Vértices ) Triángulo ) Altura ) Mediatriz ) Isósceles ) Lados y ángulos ) Baricentro ) Mediana ) Ortocentro ) Acutángulo ) Bisectriz ) Rectángulo
Actividad 5.- Compara con tus compañeros las respuestas de manera grupal y el maestro realiza las conclusiones adecuadas.
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Teoremas de triángulos Actividad 6.- Realiza la lectura de los siguientes teoremas, una vez que hayas terminado resuelve los ejercicios que se presentan. TEOREMA 1: Los ángulos interiores de un triángulo suman 180º . C �
d
c
e
a
b
A HIPÓTESIS a, b y c son los ángulos interiores del triángulo.
B TESIS
DEMOSTRACIÓN Sea l la paralela a AB que pasa por C . ∠a + ∠b + ∠c = 180º ∠d + ∠c + ∠e = 180º Por formar un ángulo llano. Por ser alternos internos entre ∠a = ∠d paralelas. Por ser alternos internos entre ∠b = ∠e paralelas. ∴ ∠a + ∠b + ∠c = 180º Por sustitución.
TEOREMA 2: Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes a él.
n
m HIPÓTESIS ∠ s ángulo externo.
p TESIS
s
DEMOSTRACIÓN ∠ s = ∠m + ∠n Por el Teorema 1 de ∠m + ∠n + ∠p = 180 º triángulos. Por ser adyacentes. ∠ p + ∠s = 180 º ∠m y ∠n ángulos internos no ∠m + ∠n + ∠ p = ∠ p + ∠ s Por la propiedad transitiva. adyacentes a ∠ s . ∴ ∠m + ∠n = ∠ s Porque una igualdad no se altera si a los dos miembros se les resta la misma cantidad. ∠m + ∠n + ∠ p − ∠ p = ∠ p + ∠ s − ∠ p Porque ∠m + ∠n = ∠ p TEOREMA 3: La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo vale cuatro ángulos rectos (360º). B �
� � �
A
�
�
C
32
HIPÓTESIS
TESIS
DEMOSTRACIÓN
∠ x + ∠ y + ∠z = 180º
b y ∠c
∠a , ∠
∠a + ∠x = 180º
ángulos interiores. ∠b + ∠y = 180 º
∠ x , ∠ y y ∠
ángulos exteriores.
Por ser ángulos adyacentes y formar ángulos colineales o llanos.
∠c + ∠z = 180º ∠a + ∠b + ∠c + ∠ x + ∠ y + ∠z =
∠a + ∠b + ∠c = 180 º
∠ x + ∠ y + ∠z + 180º =
540º ∠ x + ∠ y + ∠z = 540º −180º
540º Dos o más igualdades
pueden sumarse miembro a miembro. Por ser ángulos interiores de un triángulo. Sustituyendo.
∴ ∠ x + ∠ y + ∠z = 360º
a) Encuentra el interior de del siguiente triángulo e indica el teorema que estas aplicando. Solución: �
Teorema: 47�
65�
�
�
b) Encuentra el valor de los ángulos exteriores con los datos que se proporcionan e indica el teorema que estas aplicando. ∠ A =
87° ∠ z = 125° �
Solución: �
B
C
Teorema:
A
�
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El Teorema de Pitágoras Actividad 7.-De forma individual construye una figura como la que se muestra a continuación utilizando cartulina o fomi y recórtala separando cada una de las partes. Usando los cortes necesarios, intenta hacer que los dos cuadrados pequeños quepan dentro del cuadrado grande sin desperdiciar ningún pedazo de dichos cuadrados. Una vez terminado la construcción de la figura contesta las preguntas: a) Reúnete en parejas para compartir tu solución propuesta y realiza mejoras al modelo. b) Seleccionen el modelo que cumpla con todas las especificaciones c) ¿Qué tipo de triángulo empleamos? d) ¿Qué figura se construyó sobre cada lado del triángulo en cuestión? e) ¿Funciona para cualquier triángulo? ¿Por qué?
del
problema.
Podemos concluir: “La suma de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa de dicho triángulo”. El párrafo anterior es lo que conocemos como el Teorema de Pitágoras. Actividad 8.- Lee cuidadosamente el Teorema y realiza el formulario que consideres necesario para la realización de los problemas planteados, así mismo contesta las actividades que se te presentan.
H�������� �
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa; mientras que los otros lados se llaman catetos. Pitágoras observó que para todos los triángulos rectángulos, los cuadrados construidos sobre los catetos, al sumar sus áreas, se obtiene un valor igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.
C�����
De acuerdo al Teorema de Pitágoras se establece que: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
FÓRMULAS PARA DETERMINAR LA LONGITUD DE LOS CATETOS HIPOTENUSA
c2
=
a 2 + b2
c = a 2 + b2
CATETO
a
CATETO
b
a2 = c2 − b2
b2 = c2 − a2
a = c2 − b2
b = c2 − a2
34
Ejemplo de inducción Encuentra el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos. 1) Como el dato buscado es la hipotenusa, aplicamos la fórmula: c =
� � = 16
a 2 + b2
Sustituyendo los valores, tenemos:
� = 34
c
=
( 34 ) 2
c
=
1156
c
=
1412
+ +
(16 ) 2 256 c
=
37 . 57
Ejemplo de mecanización: Observa el siguiente triángulo e identifica el lado que falta y completa la información: 2) Como se desconoce el cateto _________ aplicamos la fórmula:
____ = c 2 − ___ 2
� = 39
�
Sustituyendo los valores, tenemos:
___
=
( 39 ) 2
b
=
1521
b
=
_____
−
−
(___)
2
________
b
=
___
� = 15
Ejemplo de aplicación: Ahora bien, intenta resolver el siguiente triángulo: 3) � =96 � = 58
a) En forma individual encuentra el valor del lado que falta en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos. � �=5
� =5.29
�
� =12
�=8
� =10
� =6
35
�
CIERRE Actividad 1.- De manera individual complementa la siguiente información. Un triángulo es: Clasificación según Lados Ángulos
Actividad 2.- En lo siguientes triángulos indica las rectas y puntos notables que le corresponden:
A
B C
B
A
C
A
B
A
C
B
C
Actividad 3.Resuelve individualmente los siguientes problemas aplicando el teorema de Pitágoras. a) Una escalera de mano de 15 m de longitud llega hasta la cúspide de un edificio cuando su pie está a 5 m del edificio. ¿Qué altura tiene el edificio? b) Para sostener verticalmente un poste de 9 m de largo es necesario colocar un cable desde su extremo superior al piso. Si la distancia entre el soporte en el piso y la base del poste es de 14 m, ¿cuánto debe medir el cable tensado?
36
Secuencia didáctica 7 Polígonos 1.
Datos generales. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema integrador: El patio de tú escuela. 1.3 Categoría: Orden y espacio. 1.4 Valores: Responsabilidad y honestidad. 1.5 Sesiones: 3 hrs. 2. Propósito: Resolver problemas teóricos y prácticos de polígonos que involucran los diferentes tipos de polígonos, así como el cálculo de sus ángulos, perímetro y áreas. 3. Competencias por desarrollar. 3.1 Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos • establecidos. o Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 3.2 Disciplinares: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos • aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. • 4. Contenidos conceptuales. 4.1 Conceptos fundamentales: Polígonos. 4.2 Conceptos subsidiarios: Definición y notación de polígonos, clasificación de polígonos, cuadriláteros. 5. Contenidos procedimentales: Los alumnos trabajarán con las fórmulas de perímetro y área, así como incorporar a su acervo las nuevas fórmulas para encontrar las diagonales y los ángulos interiores y exteriores, resolviendo ejercicios de forma individual, para después comparar sus resultados con sus compañeros. 6. Contenidos actitudinales: El alumno fomentará su honestidad al trabajar con sus compañeros y autoevaluarse y co-evaluar a sus compañeros dentro de los equipos, así como al trabajar individualmente con responsabilidad. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Actividad 1.- A partir de las siguientes figuras contesta las preguntas que a continuación se te presentan:
a) ¿De qué tipos de figuras se trata? b) ¿Tienen algo en común? c) ¿Cuál es el nombre que se le da a cada una de ellas? Nombre ___________________ característica _____________________ Nombre ___________________ característica _____________________ Nombre ___________________ característica _____________________
d) ¿Conoces el nombre que se les da a las figuras que tienen más de 4 lados?
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Actividad 2.- De forma grupal obtener una definición de Polígonos:
DESARROLLO Polígonos Actividad 1.-En forma individual lee la siguiente información y subraya lo que consideres más importante. E
D
Definición y notación de polígonos Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro.
F C
Etimológicamente, la palabra POLÍGONO proviene de las raíces poli que significa muchos y gonos que significa ángulos. Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en los vértices del mismo. Su notación se efectúa escribiendo las letras mayúsculas después de la palabra polígono o del nombre específico del polígono, también por sus símbolos gráficos. En un polígono se consideran los siguientes elementos: • • • •
Lados, Ángulos, Diagonales y Vértices.
A
B
�������� ABCDEF H������� H������� ABCDEF
Diagonales Vértice
Ángulo Interno Ángulo Externo
Lado Clasificación de polígonos Se han establecido tres clasificaciones para los polígonos: Por la amplitud de sus ángulos. • Por la medida de sus lados y sus ángulos. • Por el número de lados. • AMPLITUD DE LOS ÁNGULOS Convexos Cóncavos Son aquellos cuyos ángulos interiores son todos Son los que tienen uno o varios ángulos mayores menores de 180º y sólo pueden ser cortados en dos de 180º y pueden ser cortados en más de dos puntos por una recta secante. puntos por una recta secante.
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MEDIDA DE SUS LADOS Y ÁNGULOS Regulares Irregulares Cuando sus lados y ángulos son todos iguales entre Cuando al menos uno de sus lados o ángulos es sí. diferente a los demás.
NÚMERO DE LADOS NOMBRE DEL NÚMERO DE LADOS NOMBRE DEL POLÍGONO POLÍGONO 3 Triángulo 9 Eneágono 4 Cuadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Endecágono 6 Hexágono 12 Dodecágono 7 Heptágono 15 Pentadecágono 8 Octágono 20 Icoságono A los demás polígonos se les nombra por el número de sus lados; por ejemplo: polígono de 13 lados, de 25 lados, etcétera.
Cuadriláteros Son polígonos limitados por cuatro lados y forman entre sí cuatro ángulos. Estos polígonos se indican por las letras mayúsculas de sus vértices, escritas enseguida de su representación gráfica. C D
C
D
D A
C
B
B
A
ABCD
B ABCD
A ABCD
• • •
Los cuadriláteros se clasifican de acuerdo a sus ángulos y a la forma de sus lados, es decir, al paralelismo de sus lados opuestos. Los tres principales grupos son: paralelogramos, trapecios y trapezoides. PARALELOGRAMOS Son paralelos sus lados opuestos. Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Cuatro lados iguales. • Lados opuestos iguales • Cuatro lados • Lados opuestos iguales 2 a 2. iguales. 2 a 2. Cuatro ángulos rectos. • Cuatro ángulos rectos. • Ángulos opuestos 2 • Ángulos opuestos Sus diagonales son a 2. iguales 2 a 2. • Diagonales iguales y iguales y perpendiculares. oblicuas.
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TRAPECIOS Si únicamente dos de sus lados opuestos son paralelos. Escaleno Rectángulo Isósceles Es aquel que tiene los Es aquel que tiene un lado Es aquel que tiene los lados no paralelos de lados no paralelos perpendicular a las bases, formando un igual longitud, formando con las bases desiguales. ángulo recto con cada base. ángulos adyacentes iguales.
TRAPEZOIDES Sus lados opuestos no son paralelos entre sí. Simétricos Asimétricos Son los que tienen dos pares de lados consecutivos Son aquellos que no ofrecen ninguna de las iguales pero el primer par de lados consecutivos características de un trapezoide simétrico. iguales es diferente del segundo. E � �� ��������
Actividad 2.- Para realizar la siguiente actividad requieres 20 palillos, 1 transportador, 1 regla, Forma equipo y dibujen en una hoja las figuras que les sean solicitadas: a) Toma tres palillos y colócalos formando un polígono (llámala figura 1), mide con el transportador cada ángulo interior del primer polígono que se dibujo y en seguida calcula la suma de los ángulos internos con la siguiente relación Si= (n – 2) 180° Y anota el resultado ¿El cálculo realizado con la fórmula coincidió con el anotado? b) Toma cuatro palillos y forma un polígono (figura 2), mide con un transportador cada uno de los ángulos interiores del polígono y realiza la suma; anótala. A continuación, realiza el cálculo de la suma de los ángulos interiores de la figura 2 con la fórmula dada en el inciso “a” ¿Cuál es tu resultado? __________ coinciden los resultados obtenidos en el paso 5 y 6 ________ c) Traza en la figura 2 las diagonales a partir de un solo vértice. ¿Cuántas diagonales se pudieron trazar?______________________________________________ ¿Cuántos triángulos determinó la diagonal?___________________________________________ ¿Se puede trazar otra diagonal de otro vértice? _____________porqué _____________________ ¿Cuántas diagonales en total se pueden trazar con la figura? ______________________________ ¿Porqué?____________________________________________________________ ¿Coinciden con la fórmula ? ___________________________________________ Actividad 4.- Realiza la lectura de la siguiente información y contesta las actividades que se vayan presentando.
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Teoremas sobre polígonos Teorema 1. La suma de los ángulos interiores ( S ∠i ) de un polígono es igual al producto de dos ángulos rectos por el número de lados (n) del polígono menos 2.
S i = 180º (n − 2) ∠
La medida de cada ángulo interior (∠i ) de un polígono regular de n lados se puede calcular por medio de la siguiente fórmula:
∠i =
180º (n − 2) n
=
S i n ∠
Teorema 2. La suma de los ángulos exteriores
(S e ) de un polígono es igual a 360º. ∠
S e = 360º ∠
La medida de cada ángulo exterior (∠e ) de un polígono regular de n lados se puede calcular por medio de la siguiente fórmula: ∠e =
360º n
Teorema 3. El número de diagonales de
n por (n − 3).
( D ) de un polígono de n lados es igual a la mitad del producto
n(n − 3) D = 2
(d ) que se pueden convexo de n lados es igual a: d = n − 3 El número de diagonales
trazar desde un vértice de un polígono
La diagonal es la línea que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Ejemplo de inducción: Si tenemos una figura de cinco lados n = 5 . La aplicación de los teoremas nos permite calcular los siguientes aspectos de este polígono. Número diagonales vértice:
d = n − 3 d = 5 − 3 d = 2
de Número de diagonales del La suma de por polígono: interiores es:
n(n − 3) 2 5(5 − 3) D = 2 D = 5 D =
ángulos La medida de cada ángulo interior es:
∠
= 180º (n − 2 )
∠
= 180º (5 − 2)
S i S i S i ∠
=
540º
∠i ∠i
41
180º (n − 2 ) n 180º (5 − 2) 540º = = 5 5 = 108º
∠i =
Ejemplo de mecanización Si tenemos un polígono de siete lados Número de Número de diagonales del La suma de diagonales por polígono: interiores es: vértice:
d = n − 3 d = ___ − 3 d =
n(n − 3) 2 ___ ( ___ − 3) D = 2 D = ___ D =
ángulos La medida de cada ángulo interior es:
S i = 180º ( ___ − 2) S i = 180º ( __ − 2) S i = ___º ∠
∠i =
∠
180º (n − 2 ) n ∠i =
∠
∠i =
Ejemplo de aplicación Se desea construir un librero el cual será colocado en la esquina de un salón que tiene forma de hexágono regular, en el lugar que indica la figura de abajo. Para fabricarlo a la medida es necesario conocer la medida del ángulo de esa esquina. ¿Cuál es valor?
Perímetro y área de polígonos. Definición de perímetro y área. Perímetro En los cuerpos geométricos las caras o límites de los sólidos se llaman superficies, las cuales determinan su forma. Al medir el contorno de una figura geométrica obtenemos su perímetro que representamos con la letra P. Área
El área de una figura geométrica es la medida de su superficie; la unidad de medida, generalmente es el metro cuadrado y se expresa en m 2 .
Fórmula
A =
bh 2
El perímetro y el área de una figura geométrica puede ser indicada por medio de una fórmula, la cual es la expresión de una ley o de un principio general, usando símbolos o letras. Una fórmula es una ecuación en la que podemos despejar cualquiera de las variables que en ella intervienen, considerándola como incógnita.
donde : b = base h = altura
Ejemplo.- El área del triángulo se expresa como: Despejando para base 2 A Despejando para altura h= 2 A
b
b=
h
Investiga las formulas geométricas para calcular superficies y perímetros de: Un Rectángulo, Un cuadrado, un Paralelogramo, Un Triangulo, un Rombo, Un trapecio y un Polígono Regular Actividad 5.-De acuerdo a las formulas anteriores obtén el área y el perímetro de cada uno de los problemas indicados, además dibuja la figura que corresponda. 1) De un rectángulo cuya base mide 5cm y la altura 3cm. 2) De un cuadrado de 3cm por lado. 3) De un rombo cuya diagonal mayor es de 7cm, la menor de 4cm y sus lados miden 3cm.
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CIERRE Actividad 1.- De manera individual contesta cada una de las siguientes actividades. a) Relaciona las columnas escribiendo dentro del paréntesis el número que corresponda a la respuesta correcta.
1) Figura geométrica limitada por segmentos de recta denominados lados, donde el extremo de un segmento es el origen del otro. 2) Es un elemento del polígono. 3) Polígono que tiene sus ángulos interiores menores de 180°. 4) Polígono que tiene todos sus lados y ángulos iguales. 5) Polígono que tiene once lados. 6) Cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos. 7) Trapecio que tiene los lados no paralelos desiguales. 8) Cuadrilátero que sus lados opuestos no son paralelos entre sí. 9) Trapezoide que no ofrece ninguna de las características de un trapezoide simétrico. 10) Polígono proviene de las raíces poli y gono que significa:
(
) Convexos.
( ( ( ( ( ( ( (
) Endecágono. ) Escaleno. ) Asimétrico. ) Cóncavos. ) Trapezoides. ) Muchos y ángulos. ) Regulares. ) Polígono.
( (
) Paralelogramos. ) Vértices.
b) Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas. 1) Polígonos que tienen uno o varios ángulos mayores de 180°. A) Regulares B) Convexos C) Irregulares D) Cóncavos 2) Polígonos en los que al menos uno de sus lados o ángulos es diferente a los demás. A) Regulares B) Convexos C) Irregulares D) Cóncavos 3) Nombre del polígono de 20 lados. A) Icoságono B) Pentadecágono C) Decágono D) Triángulo 4) Polígonos que tienen únicamente dos de sus lados opuestos paralelos. A) Paralelogramos B) Trapecios C) Trapezoides D) Rombo 5) Trapezoides que tienen dos pares de lados consecutivos iguales pero el primer par de lados consecutivos iguales es diferente al segundo. A) Simétricos B) Rectángulo C) Isósceles D) Rombo c) Resuelve los siguientes problemas, aplicando los teoremas correspondientes. ¿Cuántas diagonales, en total, se le pueden trazar a un polígono de 15 lados? ¿Cuántas diagonales se le pueden trazar desde un mismo vértice a un polígono de 14 lados? ¿Cuál es el polígono al que se le pueden trazar 11 diagonales desde un mismo vértice? ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior vale 140°? ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores miden 90° cada uno? ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°? d) Obtén el área y el perímetro de cada uno de los problemas indicados, además dibuja la figura que corresponda. De un triángulo isósceles cuya base mide 6cm, la altura 5cm y los lados 10 cm. De un hexágono regular cuyo lado mide 3cm y su apotema 1.5cm. De un trapecio cuyas bases miden 10cm, 7cm, su altura 5cm y sus otros dos lados miden 6cm.
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UNIDAD II Secuencia didáctica 1 Circunferencia 1. Datos generales. 1.1. Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2. Tema Integrador: Nuestro planeta. 1.3. Categoría: Orden y espacio. 1.4. Valores: Orden y responsabilidad. 1.5. Sesiones: 4 hrs. 2. Propósito. Resolver los problemas teóricos y prácticos de circunferencia aplicando las propiedades y teorías de los ángulos en la circunferencia, mediante la obtención de perímetro y áreas del círculo y la circunferencia. 3. Competencias por desarrollar. 3.1. Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. • Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada o uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. • Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera o reflexiva. 3.2. Disciplinares: Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o • variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de Información y la Comunicación. 4. Contenidos conceptuales. 4.1. Conceptos fundamentales: Circunferencia. 4.2. Conceptos subsidiarios: Circunferencia, características de la circunferencia y su definición. 5. Contenidos procedimentales: desarrollar en el alumno procesos de construcción de aprendizajes significativos a través del trabajo individual, así como también realizar diversas actividades en equipo y finalizar con el consenso grupal. 6. Contenidos actitudinales: Para el desarrollo de las competencias genéricas y disciplinares, es importante que el alumno desarrolle sus actividades en forma ordenada, y entregando sus actividades como son solicitadas por el docente en tiempo y forma, generando con ello la responsabilidad de cada uno de ellos. 7. Momentos de la secuencia : APERTURA Actividad 1. – Individualmente en tu libreta da respuesta a cada uno de los cuestionamientos que a continuación se presentan. 1. 2. 3. 4.
¿Qué forma tiene nuestro planeta? Dibuja 3 objetos que cuenten con la misma figura que tiene el planeta. Existen características semejantes entre los objetos mencionados. Coméntalas Si en la figura del planeta la partiéramos a la mitad y trazáramos una línea de extremo a extremo del planeta, ¿Qué nombre recibe esta línea? 5. Ubica el centro de la circunferencia y traza una línea a cualquiera de los extremos del planeta. ¿Qué nombre recibe este segmento de línea?
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Intercambia las respuestas con tus compañeros y realicen la definición de la figura geométrica que forma el planeta.
DESARROLLO Forma equipo con uno de tus compañeros para que juntos lean la información que se proporciona acerca de la circunferencia, y al mismo tiempo realicen las actividades que van indicando, en su libreta. No olvides subrayar lo que consideres más importante. CIRCUNFERENCIA Definición y notación de una circunferencia La circunferencia es una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro. La superficie limitada por la circunferencia, es decir, la parte interior, es llamada círculo.
� �
Una circunferencia o un círculo se denota por las letras centro “O” y del radio “r”: c (o, r ) . Su simbología puede ser expresada como
Elementos de una circunferencia La circunferencia puede ser cortada en varios de sus puntos por varios tipos de rectas, llamadas: Cuerda:
Es un segmento de recta cuyos extremos están en la circunferencia.
Diámetro:
Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por su centro. Este segmento representa la cuerda de mayor longitud que puede trazarse en la circunferencia. Recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia.
Radio:
Secante:
Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Tangente:
Recta que tiene un solo punto común con la circunferencia.
Arco:
Es una porción de la circunferencia determinada por dos de sus puntos llamados extremos.
Flecha:
Es la parte del radio, perpendicular que va del punto medio de la cuerda hacia el arco subtendido por ella.
45
�
Actividad 1.- Anota en tu libreta los siguientes conceptos y contéstalos correctamente. 1) Es una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro. 2) Superficie limitada por la circunferencia, es decir la parte interior. 3) Segmento de recta cuyos extremos están en la circunferencia. 4) Es una porción de la circunferencia determinada por dos de sus puntos llamados extremos. 5) Es la parte del radio, perpendicular que va del punto medio de la cuerda hacia el arco subtendido por ella. 6) Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos. 7) Recta que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. 8) Recta que tiene un solo punto común con la circunferencia. 9) Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por su centro. Este segmento representa la cuerda de mayor longitud que puede trazarse en la circunferencia. Actividad 2.- En tu libreta dibuja un círculo e identifica con diferentes colores los elementos de la circunferencia. Actividad 3.- Lee cuidadosamente la información que a continuación se presenta y subraya lo que consideres más importante para ti. Ángulos en la circunferencia En una circunferencia se trazan diversos ángulos, los cuales reciben su nombre de acuerdo con la posición que presenta el vértice. Siendo los siguientes: ÁNGULO CENTRAL ÁNGULO INSCRITO Tiene su vértice en el centro de la circunferencia y Es aquel cuyo vértice coincide con cualquier punto sus lados son radios. Su medida es igual a la de la circunferencia y sus lados pasan por dos medida de su arco correspondiente. puntos de la circunferencia. Su medida es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados.
∠ AOB =
ÁNGULO EXCÉNTRICO o INTERIOR Es cualquier ángulo cuyo vértice es un punto interior de una circunferencia. El vértice no coincide con el centro. Su medida es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones.
∠ E =
∠ ABC =
arcoAB
arcoAC 2
ÁNGULO EXTERIOR Es cualquier ángulo que tiene su vértice en un punto exterior de una circunferencia, y sus lados cortan a la misma. Su medida es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos comprendidos por sus lados.
arcoAB + arcoDC 2
∠ B =
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arcoAC − arcoDE 2
ÁNGULO SEMI-INSCRITO Es aquel cuyo vértice es un punto cualquiera de una circunferencia; pero uno de sus lados es una secante, y el otro una tangente a la misma. Su medida es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados
∠ ABC =
arcoBEC 2
Actividad 4.- Con los datos que se te dan, resuelve el siguiente problema, en tu libreta. Cuál es el valor del ángulo B si el arco AC vale 50° y el arco DE 10°
Perímetro de la circunferencia y área de un círculo Actividad 5.- De manera individual lee las siguientes definiciones y contesta las preguntas, una vez terminado comparte con tus compañeros las respuestas y anota las conclusiones finales. “El área de un circulo es igual al producto de π por el cuadrado del radio.”
Área del círculo
A = π r 2 ó
A=
π d2 4
Cantidades variables: _____________________ Cantidades constantes: ___________________. ¿De qué depende el valor del área del círculo? ¿Cómo harías para conocer el área de un círculo conociendo el diámetro? ¿Modificarías la fórmula? Ejemplo: El área de un círculo que mide 5m de radio es: Datos r =5 m π = 3.1416 A=?
Fórmula
Sustitución
Resultado
A = π r 2
A = (3.1416)(5m) 2
A = 78.54 m 2
Perímetro de Si el valor de π es la razón entre la longitud C de la circunferencia de cualquier círculo la y su diámetro, o sea: circunferencia C = π C = 2π r donde ó π = d
C
d
¿Qué tienen en común las fórmulas del área del círculo y perímetro de la circunferencia? Conociendo el área de un círculo, ¿podrías encontrar el perímetro de la circunferencia? ¿Cómo?
47
Ejemplos. Calcula el perímetro de una circunferencia de 10cm de radio. Datos Fórmula Sustitución r=10 cm. C = 2π r C = 2(3.1416 )(10 cm) π=3.1416 C =?
Resultado
C = 62.83 cm
¿Cuál es el radio de una circunferencia cuyo perímetro es 6.28m? Datos
Fórmula
r =? π = 3.1416 C = 6.28 m
Sustitución
C 2 π 6.28 m r = 2(3.1416) r =
C = 2π r C r = 2 π
Resultado
r = 1m
Actividad 6.- Resuelve individualmente los siguientes problemas, en tu libreta. Te recomendamos seguir el procedimiento. a) Calcular el perímetro de la circunferencia de 8 cm de diámetro. b) Perímetro de la circunferencia de radio 15 m. c) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia de 50 cm de perímetro? d) Calcular el área del círculo de 25 m de radio. e) Calcular el área del círculo de 15 cm. de diámetro. Actividad 7- De manera individual lee cuidadosamente el siguiente tema y realiza un formulario Área de figuras circulares
A
�
C
�
D
B
Un cilindro está limitado por dos bases, que son dos círculos iguales y paralelos y por una superficie lateral, denominada superficie cilíndrica, engendrada por un segmento B al girar alrededor del eje CD al cual es paralelo. Se puede considerar el cilindro como generado por el rectángulo ABCD al girar alrededor de CD . Por lo tanto, cilindro es un cuerpo geométrico generado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. El segmento B se llama generatriz porque al girar genera la superficie lateral del cilindro.
Area = 2π rh + 2π r 2 El cono está limitado por una base y por una superficie lateral, denominada superficie cónica, engendrada por un segmento AV al girar alrededor de VO . Un cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos. El segmento AV se llama generatriz porque al girar genera la superficie lateral del cono.
�
Area = π rh + π r 2
48
Ejemplos: En las siguientes figuras, calcular el área sombreada. Datos 1) Área del círculo
Sustitución y Resultados Área del círculo 2
2
A = π r ó A =
π d
4
Área del cuadrado
2
4
= 314.15cm
2
Área del cuadrado
A = lxl A sombreada es igual a: A cuadrado – A círculo l = 20 cm. d = 20 cm. Área del círculo
2)
A =
π ( 20cm)
A = (20cm)(20cm) = 400cm 2 Asombreada=400cm2-314.15cm2 Asombreada=85.85cm2 Área del círculo
2
2
A = π r ó A =
π d
A = π (5cm) 2 = 78.53cm 2
4
Área del cuadrado
Área del cuadrado
A = (10cm)(10cm) = 100cm 2
A = lxl A sombreada es igual a:
Asombreada=100cm2-78.53cm2
A cuadrado – A círculo
Asombreada=21.47cm2
r = 5 cm como d= 2r por lo tanto el diámetro d = 10 cm l = 10 cm. 3)
Área del círculo
Área del círculo
A = π r 2 ó A =
π d
Área del rectángulo
1.2
2
A = π (0.6m) 2 = 1.13m 2
4
A = lxa
Área del rectángulo
A = (1.2m)(2.8m) = 3.36m 2
A sombreada es igual a: A rectángulo – r = 0.6 m l = 2.8 m. a = 1.2 m.
Acírculo 2
1.13m 2 Asombreada= 3.36m − 2 2
Asombreada=2.79m2
Actividad 8.- En las figuras siguientes, calcular el área sombreada. Realiza los ejercicios en tu libreta.
1m
a)
b)
c)
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CIERRE Actividad 1.- Contesta las siguientes preguntas, en tu libreta. a) Línea recta que toca un punto de la circunferencia. b) Es una porción de la circunferencia limitada por dos de sus puntos llamados extremos. c) Es la cuerda de mayor tamaño que tiene la circunferencia. d) Recta que pasa por la circunferencia y toca a dos puntos de ella. e) Superficie que queda limitada por la circunferencia. f) Es una región limitada por un diámetro y su arco de circunferencia.
Actividad 2.- Calcula lo que se te pide en cada caso. a) Perímetro de la circunferencia cuyo diámetro es de 13 cm. b) Área de un circulo cuyo perímetro es 6 m. c) Área de la figura sombreada.
Actividad 3.- Transcribe lo que consideraste más importante del tema, em tu libreta. Actividad 4.- Formen equipos para que con la ayuda de las Tecnologias de Información y Comunicación realiza uma presentación del tema.
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Secuencia didáctica 2 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo 1. Datos generales. 1.1. Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2. Tema Integrador: El salón de clase. 1.3. Categoría: Orden y espacio. 1.4. Valores: Responsabilidad. 1.5. Sesiones: 3 hrs. 2. Propósito Resolver problemas de funciones de trigonométricas para ángulos agudos que involucren razones trigonométricas utilizando método de solución de triángulos rectángulos. 3. Competencias por desarrollar. 3.1. Genéricas Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de • medios, códigos y herramientas apropiados. o Expresa ideas y conceptos mediante la representación lingüística, matemáticas o gráficas. 3.2. Disciplinares Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o • estimar el comportamiento. 4. Contenidos conceptuales. 4.1. Conceptos fundamentales: Relaciones transcendentales. 4.2. Conceptos subsidiarios: Razones trigonométricas, concepto de trigonometría, razones trigonométricas. 5. Contenidos procedimentales: Para el desarrollo de los aprendizajes significativos, el alumno tiene la responsabilidad de realizar sus actividades de diferentes formas como son el trabajo individual, equipo y grupal, cada uno en su debido momento, dependiendo de la actividad que se esté realizando. 6. Contenidos actitudinales: para que se desarrollen los aprendizajes en los estudiantes, cada uno de ellos debe realizar sus actividades correspondientes de una forma responsable y considerando las indicaciones que se presentan. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Actividad 1.- Observa cuidadosamente las figuras que a continuación se presentan.
De manera individual contesta las siguientes preguntas. 1. 2. 3. 4.
¿A qué tipo de figuras pertenecen? ¿Cuántas líneas tienen? Menciona lo que te acuerdes de las figuras que se te presentaron. Realiza 3 dibujos que se encuentren en el salón de clase que cuenten con esa figura geométrica o bien que se puedan formar haciendo algunas modificaciones o dividiendo la figura simétricamente.
51
5. Intercambia las respuestas con tus compañeros compañeros y complementa aquella información información que no hayas considerado. 6. Compara las respuestas con las de los compañeros y elaborar de forma grupal una definición de trigonometría.
DESARROLLO Lee cuidadosamente el tema que a continuación se presenta y subraya aquello que consideres importante. CONCEPTO DE TRIGONOMETRÍA Trigonometría La palabra trigonometría es un vocablo latino compuesto por trígono, trígono, que significa “triángulo” (tres ángulos) y metria, “proceso de medir” o “medida”. Rama de las matemáticas que estudia las relaciones que existen entre los distintos elementos de las figuras geométricas, haciendo énfasis en los ángulos y los l os lados de los triángulos. La trigonometría se divide en: • Trigonometría plana: También es conocida como trigonometría rectilínea porque estudia los triángulos rectilíneos y, en general, los triángulos construidos en los planos. Trigonometría del espacio o esférica: Su objeto de estudio son los triángulos esféricos; esto es la • región de la superficie de una esfera limitada por llos os arcos de tres circunferencias máximas.
Relaciones Trigonométricas La trigonometría se fundamenta en algunas relaciones, que se llaman funciones trigonométricas, que se definen como “las razones entre elementos rectilíneos ligados a un ángulo, cuya variación depende de la variación del ángulo”. Las razones que existen entre los lados de un triángulo rectángulo varían al variar el ángulo de que se ángulo. trate; es decir que las razones son funciones del ángulo. A estas razones se les llaman funciones llaman funciones trigonométricas. trigonométricas. relaciones. Entre los pares de lados se forman seis forman seis razones que dan lugar a seis relaciones. Funciones trigonométricas de ángulos agudos FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Nombre de la función Abreviación Definición Seno sen Es la razón entre cateto opuesto y la hipotenusa. Coseno cos Es la razón entre cateto adyacente y la hipotenusa. Tangente tan Es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Cotangente cot Es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. Secante sec Es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Cosecante csc Es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto. Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se definen: defi nen: B
� �
A
�
C
Para el ángulo A: c es la hipotenusa. a es el cateto c ateto opuesto. b es el cateto adyacente. Para el ángulo B: c es la hipotenusa. a es el cateto c ateto adyacente. b es el cateto opuesto.
52
De acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas para el ángulo A y B se designan como: Para el ángulo agudo A Para el ángulo agudo B
a c b cos A = c a tan A = b
b c a cos B = c b tan B = a
b a c sec A = b c csc A = a
senA =
cot A =
senB =
a b c sec B = a c csc B = b cot B =
Ejemplos de inducción. Expresa las funciones trigonométricas correspondientes al ángulo señalado con la l a letra mayúscula. Caso 1. Dados los tres lados. 25 15 � 20
Identificar los datos:
Cateto Opuesto (c.o) = 15 Cateto Adyacente (c.a) = 20 Hipotenusa (h) = 25
Sustituir los datos de acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas:
c.o 15 = = 0.6 h 25 c.a 20 = = 0.8 cos M = h 25 c.o 15 = = 0.75 tan M = c.a 20
c.a 20 = = 1.333 c.o 15 h 25 = = 1.25 sec M = c.a 20 h 25 = = 1.667 csc M = c.o 15
senM =
cot M =
Caso 2. Dados los dos catetos. �
12
15
Identificar los datos:
Cateto Opuesto (c.o) = 15 Cateto Adyacente (c.a) = 12 Hipotenusa (h) = ?
Encontrar el dato que falta, en este caso la hipotenusa, utilizando h el Teorema de Pitágoras:
=
c.o 2 + c.a 2
53
=
(15)2 + (12)2
=
225 + 144
=
369 = 19.20
Sustituir los datos de acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas:
c.a 12 = = 0.8 c.o 15 h 19.20 = = 1.6 sec R = c.a 12 h 19.20 = = 1.28 csc R = c.o 15
c.o 15 = = 0.78125 h 19.20 c.a 12 = = 0.625 cos R = h 19.20 c.o 15 = = 1.25 tan R = c.a 12
cot R =
senR =
Caso 3. Dada una función trigonométrica. tri gonométrica. Dado senA =
8 , calcula el valor de las demás funciones trigonométricas. 17
Recordar la definición de la c.o = senA función, en este caso de seno y h compararla con el dato que se nos da:
=
8 17
Entonces tenemos que:
c.o = 8 e h = 17
Encontrar el dato que falta utilizando el Teorema de Pitágoras:
c.a = h 2 − c.o 2
Sustituir los datos de acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas:
senA =
=
(17)2 − (8)2
c.o 8 = = 0.4705 h 17 c.a 15 = = 0.8823 cos A = h 17 c.o 8 = = 0.5333 tan A = c.a 15
289 − 64
=
225 = 15
=
ca 15 = = 1.875 c.o 8 h 17 = = 1.1333 sec A = c.a 15 h 17 = = 2.125 csc A = c.o 8 cot A =
Ejemplos de práctica o mecanización: Completa la información para que llegues a la solución.
1) Identificar los datos:
Sustituir los datos de acuerdo a las definiciones de funciones trigonométricas:
B
Cateto Opuesto (c.o) = 6 Cateto Adyacente (c.a) = Hipotenusa (h) =
c.o 6 = = h 10 c.a = = cos B = h 10 c.o 6 = = tan B = c.a
senB =
54
10 8 6
cot B = sec B = csc B =
c.a c.o h c.a h c.o
=
=
=
8
8
=
=
2) 5
C
3
Identificar los datos:
Cateto Opuesto (c.o) = Cateto Adyacente (c.a) = Hipotenusa (h) =
Encontrar el dato que falta utilizando el Teorema de c.o = ( ___ )2 − ( ___ )2 Pitágoras:
=
___ − ___ = ____
c.o. =
Sustituir los datos de acuerdo a las definiciones de funciones trigonomé-tricas:
c.o = h c.a = cos C = h c.o = tan C = c.a
senC =
cot C = sec C = csc C =
c.a c.o h c.a h c.o
=
=
=
Actividad 1.- Expresa las funciones trigonométricas correspondientes a los ángulos señalados con letras mayúsculas, realiza la actividad en tu libreta. 1) 2)
52
45
6
3
3)
�
4)
A
25 24
�
4
15 � 8
7
13
5)
5
6)
3
2
�
B
55
Actividad 2.- Dada las siguientes funciones, determina los valores de las demás funciones trigonométricas.
TanA =
3 2
SenC =
2 5 C
A
SecB =
12 5
CosA = B
17 55 A
CIERRE Actividad 1.- De manera individual, realiza las siguientes actividades. Una vez terminadas las actividades el maestro seleccionará a algunos estudiantes para que compartan sus respuestas con los demás. a) Une con una línea la definición de cada una de las funciones trigonométricas con su nombre. Es la razón que existe entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
Seno
Es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto opuesto.
Coseno
Es la razón que existe entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Tangente
Es la razón que existe entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.
Cotangente
Es la razón que existe entre la hipotenusa y el cateto adyacente.
Secante
Es la razón que existe entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
Cosecante
56
b) Observa la información proporcionada, calcula los datos que te hagan falta y encuentra lo que se te pide.
1) Encuentra la tan A
2) Encuentra el cos B B
15
10
6
8
A 8
3) Con la sec B =
13 . Encuentra la cot B 12
4) Si el seno de un ángulo es igual a
será la tangente para ese mismo ángulo?
B
5) Hallar el valor de la cot A, si la tan A =
8 , ¿cuál 10
5 6
6) Con el cos θ =
57
8 . Encuentra la csc θ 17
Secuencia didáctica 3 Triángulos rectángulos 1. Datos generales. 1.1. Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2. Tema Integrador: La bodega. 1.3. Categoría: Orden y espacio. 1.4. Valores: Respeto. 1.5. Sesiones: 4 hrs. 2. Propósito. Resolver problemas de funciones de trigonométricas para ángulos agudos que involucren razones trigonométricas utilizando método de solución de triángulos rectángulos. 3. Competencias por desarrollar. 3.1 Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. • Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada o uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. • Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera o reflexiva. 3.2 Disciplinares: Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o • variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de Información y la Comunicación. 4. Contenidos conceptuales. 4.1. Conceptos fundamentales: Relaciones trascendentes. 4.2. Conceptos subsidiarios: Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo, resolución de triángulos rectángulos. 5. Contenidos procedimentales: desarrollar en el alumno procesos de construcción de aprendizajes significativos a través del trabajo individual, así como también realizar diversas actividades en equipo y finalizar con el consenso grupal. 6. Contenidos actitudinales: Para el desarrollo de las competencias genéricas y disciplinares, es importante que el alumno desarrolle sus actividades en forma ordenada, y entregando sus actividades como son solicitadas por el docente en tiempo y forma, generando con ello la responsabilidad de cada uno de ellos. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Actividad 1.-En forma individual lean cuidadosamente la siguiente situación, realiza el dibujo en tú libreta considerando los datos que proporciona el problema y contesta las preguntas que se te plantean. El abuelo de Raúl tiene una bodega en forma de cono en la que almacena trigo y necesita saber como calcular ¿Cuánto trigo puede almacenar en ella?, por lo que le pide ayuda a Raúl para calcular dicho volumen y así conocer sus ganancias. Ellos saben que el radio de la base es de 4 m y el ángulo que se forma entre el piso y la generatriz del cono es de 56º. Pero para poder calcular el volumen se necesita conocer la altura de la bodega, ¿cómo podría calcularla?
58
Al terminar, compara las respuestas a las preguntas anteriores con los demás compañeros. ¿Qué función trigonométrica relaciona los datos proporcionados?, ¿cómo calcularías la altura de la bodega?
DESARROLLO Actividad 1.- En conjunto con el maestro analizarán la información presentada, así como los ejemplos, una vez que terminen contesta las actividades que se indican.
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Resolución de triángulos rectángulos Recordando un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90˚). Resolver un triángulo es determinar las medidas de los lados y ángulos. Sin considerar el ángulo recto, los tres lados y los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo pueden variar de valor y se pueden presentar los siguientes casos: • • • •
Si conocemos los dos catetos. Si conocemos un cateto y la hipotenusa. Si conocemos un cateto y un ángulo agudo. Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo.
Ejemplos de inducción. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. 1) Si conocemos los dos catetos. B
Datos a=5 b = 7 C =90°
�
�
C
Incógnitas c= A= B=
A �
Calcular el lado que falta c = a 2 + b 2 = (5) 2 + (7) 2 = 25 + 49 utilizando el Teorema de c = 8.6 Pitágoras: Calcular los ángulos A y B haciendo uso de las funciones trigonométricas: Calculando ∠A :
tan A =
c.o c.a
=
5 7
=
0.7142 A = tan
−1
=
=
74
(0.7142)
A = 35.53º A + B + C = 180° B = 180° − A − C B = 180° − 35.53° − 90° Calculando
∠B :
B = 54.47º 59
2) Si conocemos un cateto y la hipotenusa. B
Datos b = 4 c=9 C =90°
�
�
Incógnitas a= A= B=
C �
Calcular el lado que falta a = c 2 − b 2 utilizando el Teorema de a = 8.06 Pitágoras:
=
(9) 2 − (4) 2
=
81 − 16 = 65
Calcular los ángulos A y B haciendo uso de las funciones trigonométricas: Calculando
∠A :
Calculando
∠B :
c.a h A = 63.61º
cos A =
=
4 = 0.4444 A = cos 9
−1
=
(0.4444)
A + B + C = 180° B = 180° − A − C B = 180° − 63.61° − 90° B = 26.39º
3) Si conocemos un cateto y un ángulo agudo.
Datos a=2 B = 35º C =90°
B �
Incógnitas b= c= A=
� C
A �
Calcular el ángulo que falta A + B + C = 180° A = 180° − B − C utilizando el Teorema de suma de A = 180° − 35° − 90° ángulos internos de un triángulo:
A = 55º
Calcular los lados b y c utilizando las funciones trigonométricas: Calculando b:
Calculando c:
c.o c.a b tan 35° = b = 2 tan 35° b = 2(0.7002) = 1.40 2 c.a 2 2 2 = = 2.44 cos B = cos 35° = c= h c cos 35° 0.8191 tan B =
60
4) Si conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo. B
Datos c = 20 A = 38º C =90°
�
�
C
Incógnitas a= b= B=
A �
Calcular el ángulo que falta utilizando A + B + C = 180° B = 180° − A − C el Teorema de suma de ángulos B = 180° − 38° − 90° internos de un triángulo:
A = 52º
Calcular los lados a y b utilizando las funciones trigonométricas: Calculando a:
c.o h a sen38° = a = 20sen38° a = 20(0.6156) = 12.31 20 senA =
Calculando b:
c.a h b cos 38° = b = 20 cos 38° b = 20(0.7880) = 15.76 20 cos A =
Ejemplos de práctica o mecanización.
1)
B
Datos a=3 b = 6 C =90°
�
�
C
Incógnitas c= A= B=
A �
Calcular el lado que falta c = a 2 + b 2 utilizando el Teorema de c= Pitágoras:
=
61
(___)2 + (___)2
=
___ + ___ = ___
Calcular los ángulos A y B utilizando las funciones trigonométricas: ∠A :
Calculando
tan A = A
∠B :
Calculando
2)
c.o c.a
=
3
= ________
A = tan
−1
=
(_______)
=
A + B + C = 180° B = 180° − A − C B = 180° − _____ − 90° B=
B
Datos b = 20 A = 39.41º C =90°
�
�
C
Incógnitas a= c= B=
A �
Calcular el ángulo que falta utilizando A + B + C = 180° B = 180° − A − C el Teorema de suma de ángulos B = internos de un triángulo:
B=
Calcular los lados a y c utilizando las funciones trigonométricas: Calculando a:
Calculando c:
Actividad 1.- Con los datos que se proporcionan, traza el triángulo y calcula los elementos que faltan.
Lados a = 25 b = 40 c=? 1)
Lados a=4 c = 25 b = ?
Ángulos A=? B=? C = 90°
Ángulos A=? B=? C = 90°
3)
2)
62
Lados b = 40 a=? c=?
Ángulos A = 32° B=? C = 90°
4)
Lados c = 16 a= b =
Ángulos A=? B= 62.75° C = 90°
Actividad 2.- Resuelve los siguientes triángulos rectángulos, según la información proporcionada. 1)
2) B=?
B=? � = 18
�=?
� = 85
� = 12 A=?
C
� = 70
4)
B=?
3)
A=?
C
�=?
B �=?
� = 35.5
A=?
C
5)
26.8
� = 25
� =?
A=?
� =12
C
�=?
6)
B
B=? � = 2.54
�=?
� = 140
54.46°
�=? 30.6° A=?
C
�=?
A �=?
CIERRE Actividad 1.- De manera individual, realiza las siguientes actividades. Ejemplo de aplicación. a) Ahora sí con la información obtenida y el trabajo que has realizado vuelve a revisar el problema planteado al inicio y contesta lo que se te pide. En el rancho del abuelo de Raúl hay una bodega en forma de cono donde se almacena trigo. El abuelo le pidió que le ayude a calcular la cantidad de trigo puede almacenar para así poder determinar la cantidad dinero que tiene invertido así sabrá cuanto va a obtener si vende todo su contenido. Ellos saben que el radio de la base es de 4 m y el ángulo que se forma entre el piso y la generatriz del cono es de 56º. Pero para poder calcular el volumen se necesita conocer la altura de la bodega, ¿cómo podría calcularla?
63
b) Resuelve los siguientes ejercicios. 1) Un albañil desea construir una escalera de 18 m; ¿qué ángulo debe formar dicha escalera con el piso, si tiene que alcanzar una altura de 8 m? 2) El pie de una escalera de 12 m, apoyada contra la pared, queda a 5 m de ésta, suponiendo que el piso es horizontal, ¿qué ángulo forma la escalera y el piso? 3) Una persona cuya altura es de 1.78m, proyecta una sombra de 3.5m. Calcula el ángulo de elevación del sol. 4) ¿Qué altura alcanza sobre un muro una escalera de 5 m de largo, si forma con el piso un ángulo de 65° 10´? 5) Un ingeniero construye una rampa de 125 m de largo con una elevación de 25°. ¿Qué altura alcanza sobre la horizontal?
Actividad 2.- Una vez terminadas las actividades el maestro seleccionará a algunos estudiantes para que compartan sus respuestas con los demás.
64
Secuencia didáctica 4 Funciones Trigonométricas 1. Datos generales. 1.1. Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2. Tema Integrador: Trigonometría. 1.3. Categoría: Orden y espacio. 1.4. Valores: Responsabilidad y respeto. 1.5. Sesiones: 7 hrs. 2. Propósito: determinar las funciones trigonométricas para los ángulos 30°, 45°, 60° y de un ángulo cualquiera, partiendo de las figuras geométricas que son el cuadrado y un triángulo equilátero. 3. Competencias por desarrollar. 3.1. Genéricas : • Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. o Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. • Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. o Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 3.2. Disciplinares : Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. • Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos • aritméticos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 4. Contenidos conceptuales. 4.1. Conceptos fundamentales: Funciones trigonométricas. 4.2. Conceptos subsidiarios: Circulo unitario, Identificación de funciones, signos de las funciones, Funciones de ángulos de 30°, 45°, 60°, Funciones para un ángulo cualquiera. 5. Contenidos procedimentales: Desarrollar en el alumno procesos de construcción de aprendizajes significativos a través del trabajo individual, así como también realizar diversas actividades en equipo y finalizar con el consenso grupal. 6. Contenidos actitudinales: Para el desarrollo de las competencias genéricas y disciplinares, es importante que el alumno desarrolle sus actividades en forma ordenada, y entregando sus actividades como son solicitadas por el docente en tiempo y forma, generando con ello la responsabilidad de cada uno de ellos. 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Actividad 1.-En forma individual da respuesta a cada uno de los siguientes cuestionamientos. Al finalizar completa tus respuestas con tus compañeros. a) ¿Qué es un círculo? b) ¿Qué es un círculo unitario? c) Dibuja un plano cartesiano y enumera sus cuadrantes d) ¿Cuáles son las funciones trigonométricas? e) Define las funciones trigonométricas
65
DESARROLLO Actividad 1. Realiza de manera individual la lectura del siguiente tema y subraya lo que consideres más importante. El círculo trigonométrico o unitario En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con razones, es decir con cocientes de los lados de un triángulo rectángulo, pero también es posible representar esas funciones como segmentos de recta. Para ello es necesario definir el círculo trigonométrico. Un círculo trigonométrico es aquel que se construye sobre un sistema de coordenadas cartesiano, de manera que el centro del círculo coincida con el origen del sistema y su radio mida una unidad de longitud. Es conveniente señalar que el círculo trigonométrico queda dividido en cuatro partes por los ejes π coordenados; cada parte abarca 90° , recibe el nombre de cuadrante y se designa con un número 2 romano; la numeración va en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj a partir del eje X. 90°
CUADRANTE I II III IV
RANGO De 0°a 90° De 90°a 180° De 180°a 270° De 270°a 360°
�
��
0°
180° ���
��
270°
Identificación de las funciones f unciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes Para generalizar el estudio de las relaciones trigonométricas, empezaremos por ubicar los ángulos en el plano de coordenadas cartesianas. � ���� ��������
θ
� ���� �������
66
En las siguientes figuras se representa a los ángulos que tienen su lado terminal en el primero, segundo, tercer y cuarto cuadrante, considerando sus coordenadas horizontal y vertical así como la distancia de un punto en el lado l ado terminal hacia el origen, dando lugar a la formación f ormación de un triángulo de referencia para cada ángulo.
PRIMER CUADRANTE �
Función
y d x cos θ = d y tan θ = x x cot θ = y d secθ = x d csc θ = y
senθ = ��������
�
(�) θ
� A������ (�)
Signo + + + + + +
SEGUNDO CUADRANTE
Función
�
y d − x cos θ = d y tan θ = − x − x cot θ = y d sec θ = senθ =
�
(+) �
θ
� � �
Signo + -
−
cscθ =
67
d y
+
TERCER CUADRANTE Función
�
senθ = θ
� � � (�) �
�
− y
Signo -
d − x cos θ = d − y tan θ = − x − x cot θ = − y d sec θ = − x d cscθ = − y
+ + -
CUARTO CUADRANTE Función − y
senθ =
�
d x cos θ = d − y tan θ =
θ
+ ��
�
cot θ =
(�) �
x − y d
sec θ =
�
cscθ =
d − y
Signo + + -
Signos de las funciones f unciones trigonométricas Para determinar los signos de las funciones trigonométricas representadas por rectas, tomamos en consideración el concepto referente al sistema coordenado cartesiano siguiente: •
Todos los segmentos perpendiculares al eje de las abscisas son positivos si están arriba de él y negativos si están abajo.
•
Todos los segmentos perpendiculares al eje de las ordenadas son positivos si están a la derecha de él y negativos si están a la izquierda.
68
Actividad 2.- De acuerdo a la información anterior realiza un resumen de los signos de las funciones trigonométricas por cuadrantes, escribiendo el signo correspondiente en la fila del cuadrante y la columna de la función correspondiente: Cuadrante I
II
III
IV
Función Sen Cos Tan Cot Sec Csc
+ -
+ -
Funciones trigonométricas de ángulos de cuadrante Se establece que un ángulo pertenece a un determinado cuadrante cuando su lado terminal detiene su giro en dicho cuadrante; en el caso en que coincida con los ejes de 90°, 180°, 270°, 360°, se establece que el ángulo es límite de dos cuadrantes.
Del ángulo de 0° Consideremos el triángulo rectángulo: �
El mismo triángulo con el queda, en consecuencia: x = d, y = 0
ángulo
� �
� θ
0° � �
�
De donde:
0 =0 d x cos 0° = = 1 d 0 tan 0° = = 0
sen 0° =
69
cot 0° = sec 0° = csc 0° =
x = ±∞ 0 d =1 d = ±∞ 0
θ
=
0°,
Del ángulo de 90° Consideremos el triángulo rectángulo: �
El mismo triángulo con el queda, en consecuencia: y = d, x = 0
ángulo
=
θ
90°,
� �
� θ
90° �
�
�
De donde:
sen 90° = cos 90° = tan 90° =
y =1 d 0 =0 d y = ±∞ 0
0 =0 y d sec 90° = = ±∞ 0 d csc 90° = = 1 y cot 90° =
Del ángulo de 180° Consideremos el triángulo rectángulo: �
El mismo triángulo con el queda, en consecuencia: d = x, y = 0
ángulo
θ
=
�
� �
180°
θ
�
�
��
De donde:
sen 180° = cos180° = tan 180° =
70
0 =0 d − x = −1 d 0 =0
−
x = ±∞ 0 d = −1 sec180° = − x d csc180° = = ±∞ 0 cot 180° =
−
180°,
Del ángulo de 270° Consideremos el triángulo rectángulo: �
El mismo triángulo con el queda, en consecuencia: d = y, x = 0
ángulo
θ
=
270°,
� 270°
θ
�� �
�
�
De donde:
�
sen 270° =
− y
= −1
d 0 cos 270° = = 0 d − y = ±∞ tan 270° = 0
0 =0 − y d sec 270° = = ±∞ 0 d csc 270° = = −1 − y cot 270° =
Del ángulo de 360° Consideremos el triángulo rectángulo: �
El mismo triángulo con el queda, en consecuencia: d = x, y = 0
ángulo
θ
� 360° �
θ
� �
� �
De donde:
0 =0 d x cos 360° = = 1 d 0 tan 360° = = 0 x
sen 360° =
71
x = ±∞ 0 d sec 360° = = 1 x d csc 360° = = ±∞ 0 cot 360° =
=
360°,
Actividad 3.- Escribe el signo que le corresponde al valor de las siguientes funciones y el cuadrante donde se ubican. 1)sen 38° 2)cos 70° 3)tan 92° 4)cos 135° 5)tan 245°
Funciones trigonométrica de ángulos de 30°, 45° y 60° Trazamos un triángulo equilátero ABC de 2 unidades por lado, bisectamos el ángulo C y formamos dos triángulos rectángulos iguales. Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°, cada ángulo del triángulo mide 60°. C
2
2 30°
30°
60°
60°
B A 2
C
Calcularemos el segmento CD por el teorema de Pitágoras.
2 30°
CD = (2) 2 − (1) 2 CD = 4 − 1 = 3
60° B D
1
Las funciones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60° son:
sen 30° =
1 2
cot 30° =
cos 30° =
3 2
sec 30° =
tan 30° =
1 3
=
3 3
csc 30° =
3 1
=
3
sen 60°
2 2 3 = 3 3 2 =2 1
cos 60° =
tan 60° =
1 3 = 3 3 2 sec 60° = = 2 1
3 2
=
cot 60° =
1 2
3 1
=
3
csc 60° =
2 3
=
2 3 3
Para determinar los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo de 45°, se considera un cuadrado de 1 unidad, trazamos una diagonal.
72
1 B
B
D
45°
1
1
1
45°
C
45°
C
AC
1
AC 1
Aplicando el teorema de Pitágoras para calcular el segmento AB.
AB = (1) 2 + (1) 2 AB = 1 + 1 = 2 Entonces las funciones trigonométricas son:
sen 45° = cos 45° = tan 45° =
1 2 1 2
=
=
2 2 2 2
cot 45° =
sec 45° =
1 =1 1
csc 45° =
1 =1 1
2 1 2 1
=
2
=
2
Funciones trigonométrica de ángulos múltiplos de 30°, 45° y 60° Utilizando las mismas figuras con que representamos los ángulos de 30°, 45° y 60° podemos calcular cualquier múltiplo de ellos, siempre y cuando el lado terminal no coincida con uno de los ejes coordenados.
73
Ejemplos de Inducción. Cálculo del ángulo de 120° El ángulo de 120° se encuentra en el segundo cuadrante por lo tanto 180°-120° = 60°, de donde el ángulo del triángulo que se forma es de 60°. Por lo tanto las funciones son: 2
sen225° =
3
−1
=
2
−
2
2 −1 − 2 = cos 225° = 2 2 −1 =1 tan 225° = −1
120°
60°
cot 225° =
−1 −1
=1
2 =− 2 −1 2 =− 2 csc 225° = −1
sec 225° =
�1
Cálculo del ángulo de 225° El ángulo de 225° se encuentra en el tercer cuadrante por lo tanto 225°-180° = 45 °, de donde el ángulo del triángulo que se forma es de 45°. 225°
sen330° =
Por lo tanto las�1funciones son: �1
45°
−1
cos 330° = 2
tan 330° =
2
3 2 −1
3
3 =− 3 −1 2 2 3 = sec 330° = 3 3 2 = −2 csc 330° = −1 cot 330° =
=−
3 3
Cálculo del ángulo de 330° El ángulo de 330° se encuentra en el cuarto cuadrante por lo tanto 360°-330° = 30°, de donde el ángulo del triángulo que se forma es de 30°. 330°
Por lo tanto las funciones son:
3
30°
�1
3 2 −1 cos 120° = 2 3 =− 3 tan 120° = −1
sen 120° =
2
74
cot 120° =
−1
=−
3 3
3 2 = −2 sec120° = −1 2 2 3 csc 120° = = 3 3
Ejemplo de práctica o mecanización. Ahora, bien, completa la información que se te va proporcionando para el cálculo de 135° , utiliza los ángulos de 30° ó 45° ó 60°. El ángulo de _________ ° se encuentra en el ________ cuadrante por lo tanto ___ °-135° = ___ °, de donde el ángulo del triángulo que se forma es de ____ °. Por lo tanto las funciones son: 2
sen 135º =
135°
1 45°
cos 135º =
2 −1
cot 135º =
−1
2
sec 135º =
�1
tan 135º =
csc 135º =
1
Actividad 4.- Grafica y determina los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos indicados a partir de los ángulos de 30°,60° y 45°. 1) 150° 2) 210° 3) 240° 4) 300° 5) 315° Funciones para un ángulo cualquiera En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x, y), corresponde un punto definido del plano, y a cada punto del plano corresponde un par único de coordenadas (x, y). En el proceso de la gráfica hay que tomar en cuenta los signos de las coordenadas para ubicarse en cada cuadrante. Ejercicio de práctica ó mecanización. Localiza el punto (2, 5) en un sistema coordenado y determina las funciones trigonométricas del ángulo θ que se forma. Utilizando Pitágoras determina la distancia “d”
senθ =
5
cosθ =
29
tan θ =
5
cot θ =
2 5
secθ =
29
cscθ =
5
Actividad 5.- Determina las funciones trigonométricas del ángulo θ sabiendo que guarda relación con los siguientes puntos. 1)A(6,7) 2)B(-4,5) 3)C(6,3) 4)D(2,-5)
75
CIERRE Actividad 1.- Contesta las siguientes actividades. 1) Lucero compró un papalote el cual gira en la coordenada P (5,15). Demuestra las funciones trigonométricas a partir del ángulo θ. 2.- Se diseño una portería el cuál forma un ángulo de 60º con la pared donde está situada. a) Representa está máquina en un plano cartesiano y determina: ¿Qué signo tiene para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente y que cuadrante le corresponde b) Por un error se tomó esta ángulo, el ángulo correcto que forma la máquina es de 60º con el piso. Representa está máquina en un plano cartesiano y determina: ¿Qué signo tiene para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente y que cuadrante le corresponde? 3.- Define las funciones trigonométricas y anota que signo le corresponde a cada función dependiendo del cuadrante. 4.- ¿Qué aprendiste en estos temas?
76
Unidad III Secuencia didáctica 1 Triangulo Oblicuángulos 1. Datos de identificación. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema Integrador: Trigonometría. 1.3 Categoría: Orden y espacio. 1.4 Valores: Responsabilidad. 1.5 Sesión: 7 hrs. 2. Propósito. Identificar las características y elementos de un triángulo oblicuángulo para diferenciar los casos donde aplicará ley de senos y ley de cosenos y así llegar a la resolución de problemas de la vida cotidiana. 3. Competencias a desarrollar. 3.1 Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. • Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada o uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 3.2 Disciplinares: Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. • Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos • o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de Información y la Comunicación. 4. Contenidos conceptuales. 4.1 Concepto fundamental: Relaciones trascendentales. Triángulos oblicuángulos. 4.2 Concepto subsidiario: 5. Contenidos procedimentales: Para el desarrollo de las competencias genéricas y disciplinares, el desarrollo de las actividades se deben realizar pariendo del trabajo individual, continuando con los integrantes del equipo y cerrando las actividades de una manera grupal. 6. Contenidos actitudinales: El alumno debe asumir la responsabilidad en el desarrollo de las actividades, para lograr con ello los aprendizajes significativos. 7.- Productos de aprendizaje de cada uno de los momentos (Apertura, Desarrollo y Cierre) Apertura Desarrollo Cierre Actividad 1.- contesta las Actividad 1.- Leer y subrayar los Actividad 1 Realizar las preguntas de recuperación de conceptos más importantes identidades en la libreta conocimientos. Actividad 2.-Determina las funciones mediante el círculo unitario Actividad 3.- Demostrar la identidades dadas, en tu libreta 7. Momentos de la secuencia: APERTURA Actividad 1.- En equipo contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno ¿Cómo se dividen los triángulos de acuerdo a sus ángulos? Dibuja un triángulo con un ángulo agudo ¿Cómo se le llama a los triángulos que no presenta un ángulo agudo? ¿Cómo se llama al triángulo que tiene tres ángulos agudos? Dibuja un triángulo que tenga un ángulo obtuso ¿Cómo se le llama al triángulo que tiene un ángulo obtuso? Compara y comenta las respuestas con tus compañeros
77
DESARROLLO Actividad 1.- Lee la siguiente información individualmente y anota en una libreta las dudas que tengas de los ejemplos que se presentan. Un triángulo es oblicuángulo cuando no presenta un ángulo recto, se denomina de dos formas: triángulo acutángulo si tiene tres ángulos agudos y triángulo obtusángulo si tiene un ángulo obtuso, por lo que no es posible resolverlo si aplicamos las funciones trigonométricas. Ejemplos: Triángulo acutángulo
Triángulo obtusángulo
Para la solución de triángulos oblicuángulos se utiliza: Ley de seno. • Ley de coseno. •
Ley de Seno “En cualquier triángulo, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.
a b c = = senA senB senC La ley de seno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:
caso 1 AAL Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. caso 2 LLA Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Ejemplos de Inducción: Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo con los datos que se dan a continuación. Caso 1 (AAL Dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos). Datos: B
Lados a =? b = ? c = 80
Ángulos A =22° B=? C =130°
�
a b c = = senA senB senC
78
�
130° 22�
A
�
C
Fórmulas
A + B + C = 180
a c = senA senC
b c = senB senC
-Primero encontraremos el ángulo B.
Como A + B + C = 180° Implica que B = 180° − A − C = 180° − 22° − 130°
B = 28°
-Segundo encontraremos “a”.
a 80 = sen 22° sen130°
a=
80 sen22° sen130°
a=
80(0.3746) 0.7660
� = 39.12
- Tercero encontraremos “b”.
b 80 = sen28° sen130°
b=
(80) sen28° sen130°
b=
(80)(0.4694) (0.7660)
� = 49.02
Caso 2 (LLA Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos). Datos: Lados Ángulos a b c = = a =8 A =? senA senB senC b = 11.29 B =83° c =? C =? A
B �
83�
�
C �
Fórmulas
A + B + C = 180
a b = senA senB
b c = senB senC
-Primero encontraremos “A”.
8 11.29 8 sen83° = senA = senA sen83° 11.29 senA = 0.7032 A = sen -1( 0.7032 )
senA =
8(0.9925) 11.29
A = 44.68 °
-Segundo encontraremos “C”.
Como A + B + C = 180° Implica que C = 180° − A − B = 180° − 44.68° − 83°
C = 52.32 °
-Tercero encontraremos “c”.
11.29 c = sen83° sen52.32°
c=
(11.29) sen52.32° sen83°
c=
(11.29)(0.7914) (0.9925)
�=9
Ejercicio de práctica ó mecanización B �
83�
A
�=8
C � = 11.29
Primero analizamos los datos Lados que nos proporciona el a = triángulo oblicuángulo. b = c = ¿A qué caso corresponde?
79
Ángulos A= B= C=
Fórmulas que aplicarás a senA
b
=
c
=
senB
senC
Recuerda que: “La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°” A + B + C = 180
La Ley Seno se puedes descomponer en las 1) siguientes relaciones: 3) Sustituye los datos que te proporciona el problema
1) 2) 3)
Observa que la primera relación solo falta el valor del ángulo “A”, entonces despejaremos y encontraremos su valor:
a
b
=
senA
senB
b
(
)
(
)
senA
(
senA
senA =
senC
)
sen (
=
sen (
senC c
=
senC
(
)
sen (
(
)
c
) =
senA
(
)
)
c
=
senC =
senA
a
c
=
senB
(
2)
)
)sen 83° ( )
senA = (
)
−1
A = sen
(
)
A=
Ahora hay que encontrar el valor del ángulo C
A + B + C = 180
(
)+ ( C = 180° − (
) + C = 180° )− ( )
C =
Para encontrar el valor del lado “ c ”
11.29 sen 83° c = c =
=
c sen (
)
(11.29)(sen ___) sen 83°
11.29( 0.9925
)
=
c =
Por lo tanto los datos faltantes del triángulo oblicuángulo son:
80
Lados Ángulo
( ) 0.9925
Actividad 2.- Comparte y aclara las dudas con tus compañeros y maestro.
Actividad 3.- Con los datos que se proporcionan, traza el triángulo y calcula los elementos que faltan. 1) Lados a = 68.7 b = 45 c =?
Ángulos A=? B=38° 57’ C=?
2) Lados a = ? A=? b = 11.36 c = 9.77
Ángulos B=? C=53.67°
3) Lados a = 42.3 b = ? c = 83.44
Ángulos A=? B=? C=105.5°
� = 66.07 A = 73.68�
� = 10.15 A = 56.82�
� = 61.51 A = 29.23�
Actividad 4.- Resuelve en tu libreta los siguientes triángulos oblicuángulos, según la información proporcionada. 1) B �
49�
A
� = 34.37
� = 26
� = 24.36
45�
�
C
2)
3)
� = 5.44
A
� = 17.5
� = 56
� =40
A = 56.61�
106
�
� = 46.75
A
80�
B C
A = 55.3�
B
� = 15.2
C
�
Ley de Cosenos “En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman”.
81
PARA ENCONTRAR LADOS
a2 a
=
a2
=
b = a2
c2 c
a2
=
a
=
c2
+
b2
=
b2
b2
+
+
c2
c2
+
+ 2
−
+
PARA ENCONTRAR ÁNGULOS
A
2 bc cos A
−
2 bc cos A
−
2 ac cos B
c2
−
2 ac cos B
b2
−
2 ab cos C
b
2
−
2 ab cos C
B
=
b −1 cos
=
2 2 2 + − a c b −1 cos 2 ac
C =
2
+
c2 − a2 2 bc
2 2 2 + − a b c −1 cos 2 ab
La ley de coseno es muy útil para resolver triángulos oblicuángulos cuando se conocen:
caso 1 LLL Los tres lados. caso 2 LAL Dos lados y el ángulo comprendido. Ejemplos de Inducción: Resuelve el siguiente triángulo oblicuángulo con los datos que se dan a continuación. Caso 1 (LLL Cuando se conocen los tres lados). Datos: C Lados a =3 b = 5 c =6
Ángulos A=? B=? C=?
�=5
�=3
B
A
C=6
Fórmulas despejadas:
b 2 + c 2 − a 2 a 2 + c 2 − b 2 −1 , B = cos , A = cos 2 bc 2 ac −1
a 2 + b 2 − c 2 , A + B + C = 180° C = cos 2 ab −1
-Primero encontraremos el ángulo A. (5) 2 + (6) 2 − (3) 2 25 + 36 − 9 −1 −1 52 −1 = cos −1 A = cos = cos = cos (0.8666) 2(5)(6) 60 60
82
A = 29.92 °
-Segundo encontraremos el ángulo B. (3) 2 + (6) 2 − (5) 2 9 + 36 − 25 −1 −1 20 −1 = cos −1 B = cos = cos = cos (0.5555) 2(3)(6) 36 36 -Tercero encontraremos el ángulo C. C = 93.83 °
A + B + C = 180°
C = 180°-A-B
C = 180° − 29.92° − 56.25°
Caso 2(LAL Dos lados y el ángulo comprendido). Datos: Lados Ángulos a = 3 A =? Fórmulas b = 4 B =? A c = ? C =60° a
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C , B = cos 1 −
B = 56.25 °
2
2
+c −b
2ac
2
B �
�=3 60� C
�=4
, A + B + C = 180°
-Primero encontraremos c.
c2
=
(3) 2 + (4) 2 − 2(3)(4) cos 60°,
c2
=
9 + 16 − 24(0.5), c 2
=
25 − 12, c 2 = 13
� = 3.60
-Segundo encontraremos “B”. (3) 2 + (3.60) 2 − (4) 2 9 + 12.96 − 16 −1 −1 5.96 −1 = cos −1 B = cos = cos = cos (0.2759) 2(3)(3.60) 21.6 21.6 B = 73.98 °
-Tercero encontraremos A.
A = 46.02 °
A + B + C = 180°, A = 180° − B − C , A = 180° − 73.98° − 60° Ejercicio de práctica ó mecanización. 1) Los datos de un triángulo oblicuángulo son: b = 8.5, c = 9.8,
∠A
Primero analizamos los datos que nos proporciona del triángulo oblicuángulo. ¿Qué caso es? Dibuja en tu libreta un triángulo oblicuángulo con sus datos:
= 52º Lados a = b = c =
2
2
Ángulos A= B= C=
2
a = b + c − 2bc cos A
Calculamos el lado “a”
a2 2
a
2
a
2
a
( ___ )2 + ( ___ )2 − (2 )( ___ )( ___ )(cos 52º ) = ( ___ ) + ( ___ ) − ( ___ )( ___ ) = ( ___ ) + ( ___ ) − ( _________ ) = ( _______ ) =
a =
Cálculo el ángulo B utilizando la Ley de Seno.
(
_________ a =
)
=
senB
)
sen 52°
)(sen 52°) ( ) 1 ) B = sen ( senB =
(
(
−
B =
83
Cálculo del ángulo C:
A + B + C = 180º )´+C = 180º 52° + ( ) C = 180º−52°´−( C =
Lados Ángulo
Por lo tanto los datos faltantes del triángulo oblicuángulo son:
Actividad 5.- Con los datos que se proporcionan, realiza los siguientes ejercicios en la libreta trazando el triángulo y calculando los elementos que faltan 1) Lados Ángulos 2) Lados Ángulos � = 56.95 � = 13.93 a = 12 A = ? a = 40 A = ? b = 10 B = ? b = ? B = 42° A = 28.03� A = 57.41� c = ? C = 78° c = 80 C = ? 3)
Lados a= b = 10 c = 20
Ángulos A = 46.57° B=? C=?
� = 15 B = 28.96�
Actividad 6.- Determina los elementos indicados en las siguientes figuras en tu libreta. 1)
A
B
� = 72 � = 60
� = 50
�=?
16�
C
B=?
� = 38.2
C � = 40
� = 36.82
B = 55.71�
3)
A
4)
B
A
�=?
� = 49
� = 47
�=?
125�
B
115�
A C
� = 27
C
� = 66.29
� = 94
� = 123
CIERRE Actividad 1.- Identifica que ley aplicar según los datos proporcionados de los siguientes triángulos oblicuángulos y resuelve en tu libreta los ejercicios.
84
1)
Ángulo A = 38° B = 72 ° C=
Datos Lado a= b= c = 11
Datos 2)
Ángulo A= B= C = 60 °
Ley:_______________________
Ley:________________________ 3)
4) C
B = 98° c=4
A
�=8
� = 11
a
b = 12
Lado a=8 b = 11 c=
C
A
B � = 14
Ley:__________________
Ley:_________________
Actividad 2.- En los siguientes problemas aplica la ley de seno ó coseno para dar solución al problema planteado. 1) Hay tres botes en las afueras de la costa de la playa de Cabo San Lucas. El capitán del bote M sabe que el bote N está a 4.5 km de distancia y que el bote P está a 5.3 km de distancia. El ángulo entre los dos botes es de 40°. a) ¿Qué distancia tienen el bote N del bote P? b) El capitán se da cuenta que cometió un error calculando el ángulo entre los dos botes. Debería haber calculado 32°. Usando este ángulo. ¿Qué distancia tiene el bote N del bote P? 2.- Laura y Ana están acampando en la Sierra Madre, caminan 8 Km. desde su campamento base, con un rumbo de 42°. Después del almuerzo, cambian de dirección con un rumbo de 137° y caminan otros 5 Km. a) ¿A qué distancia están Laura y Ana de su campamento base? b) ¿Con qué rumbo deben caminar Laura y Ana para regresar a su campamento base? (Recuerda que un rumbo se mide en el sentido de las manecillas del reloj, desde el norte)
85
3.- Cuando el avión pasa por la recta que los une, cada observador mide el ángulo de elevación al avión, como indica la figura adjunta. ¿A qué distancia del avión se encuentran las personas en dicho momento?
50° A
60°
300 m
B
86
Secuencia didáctica 2 Identidades Trigonométricas 1. Datos de identificación. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema Integrador: Trigonometría. 1.3 Categoría: Espacio. Respeto y trabajo colaborativo. 1.4 Valores: 5 hrs. 1.5 Sesión: 2. Propósito. Identificar las identidades trigonométricas partiendo de los conocimientos previos del alumno e introduciéndolo al tema a través de la lectura y las actividades del mismo, para finalizar con su aplicación en la solución de problemas cotidianos. 3. Competencias a desarrollar. •
•
3.1 Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada o uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 3.2 Disciplinares: Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las Tecnologías de Información y la Comunicación.
4. Contenidos conceptuales. 4.1 Concepto fundamental: Relaciones trascendentales. 4.2 Concepto subsidiario: Identidades. 5. Contenidos procedimentales: Desarrollar en el alumno procesos de construcción del aprendizaje a través de las actividades individuales, por equipo y finalizando con los compañeros de manera grupal. 6. Contenidos actitudinales: En el desarrollo de las actividades el alumno debe demostrar respeto por sus compañeros, así como también la realización de trabajos de manera colaborativa. 7. Momentos de la secuencia: Apertura Realiza en tu cuaderno las preguntas de recuperación de conocimientos Actividad 2 Elaborar de forma grupal la definición de identidad trigonométrica
Desarrollo Actividad 1. Lectura individual y subraya los conceptos más importantes Actividad 2.- Realiza en tu cuaderno las demostraciones de las identidades
APERTURA Actividad 1.- Contesta las siguientes preguntas en tu cuaderno: ¿Qué es una igualdad? ¿Cómo se clasifica? ¿Cuál es la diferencia entre ecuación e identidad? ¿Cuáles son las funciones trigonométricas? ¿Qué entiendes por identidad trigonométrica?
87
Cierre Actividad 1.- Obtener las identidades por medio de despeje. Actividad 2.- Determina las funciones considerando el círculo unitario Actividad 3.- Demostrar las identidades ( cuaderno)
Actividad 2.- En una lluvia de ideas dirigida por tu maestro comparte las respuestas de las preguntas anteriores y construyan el significado de Identidad Trigonométrica. Identidad trigonométrica:_________________________________________________________. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ DESARROLLO Actividad 1. Lee cuidadosamente la información del tema que a continuación se presenta y subraya lo que consideres importante. En el curso de Algebra se señaló que el concepto de igualdad como una expresión en la que dos cantidades tienen el mismo valor, y se indicó la diferencia entre dos tipos de igualdades: las ecuaciones y las identidades. En este tema estudiaremos las identidades que se verifican entre las funciones trigonométricas. Definición de identidades trigonométricas. IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA: Es una igualdad en la que se relacionan las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Se cumple para cualquier valor del ángulo que aparece en la expresión. Las identidades trigonométricas se emplean para: escribir una expresión trigonométrica de una forma equivalente, lo cual tiene utilidad en la resolución de ecuaciones trigonométricas, en la comprobación de la validez de otras identidades trigonométricas de mayor complejidad y en la resolución de problemas propios de otras disciplinas científicas, como la química y la física, siempre que se requiere sustituir una expresión matemática por otra equivalente, entre otros usos.
Identidades trigonométricas fundamentales Para las funciones trigonométricas existen ocho identidades fundamentales, que pueden ordenarse en dos grupos principales: I. Identidades de equivalencias de las funciones trigonométricas: División, Recíprocas II. Identidades pitagóricas
Las identidades de equivalencias de las funciones trigonométricas se les conocen con este nombre porque establecen las relaciones entre las funciones trigonométricas. Son las siguientes: •
Identidades de división
Si tenemos el círculo unitario y en él el ángulo MOP, donde P ( x, y ) es el punto en el que el lado final del ángulo corta la circunferencia, entonces:
88
Para el ángulo Θ MP = cateto opuesto MP = seno MP = y OM = cateto adyacente OM = coseno OM = x
OP OP OP
= = =
Por definición la función Seno y Coseno del ángulo Θ es:
hipotenusa radio 1
x 1
Seno
=
y 1
Coseno
=
Seno
= y
Coseno
= x
De igual manera, la función Tangente es igual a:
Tan
=
cateto opuesto cateto adyacente
=
y x
=
Seno Coseno
Por lo tanto,
Tan
Θ =
Y la función Cotangente es
Cot
=
Seno Θ Coseno Θ
cateto adyacente cateto opuesto
=
igual a:
x y
=
Coseno Seno
Por lo tanto,
Cot •
Θ =
Coseno Θ Seno Θ
Identidades trigonométricas recíprocas
Son aquellas en las cuales, el producto de dos funciones es igual a la unidad. Considerando el círculo unitario descrito anteriormente, tenemos que las identidades recíprocas son las siguientes:
( Sen
Θ) (Cos Θ) =
Sen Θ 1 Sen Θ 1
=
1
1
(Cos
Θ) ( Sec Θ) =
Cos Θ 1 Cos Θ 1
89
=
Θ) (Cot Θ) =
1
(Tan
1
Sen Θ Cos Θ Cos Θ Sen Θ
=
1 1
•
Identidades pitagóricas
Se llaman así porque para su demostración se emplea el teorema de Pitágoras. Estas identidades son las siguientes:
Sen 2 Θ (cateto opuesto )2
Cos 2 Θ
+
=
1
(cateto adyacente )2
+
(Sen )2
+
Sec2 Θ
(Cos )2
(hipotenusa )
(1)2
1 + Tan2 Θ
=
De la igualdad
=
=
∠
AOB
=
1 ,
dividimos por Cos 2 Θ resulta:
Sen2 Θ Cos 2 Θ Tan 2 Θ
Cos 2 Θ Cos 2 Θ
+
+
1
Csc2 Θ De la igualdad
1 Cos 2 Θ
Sec 2 Θ
=
=
=
1 + Cot 2 Θ
∠
AOB
=
1 ,
dividimos por Sen2 Θ resulta:
Sen 2 Sen 2
Cos 2 Θ 1 + = Θ Sen 2 Θ Sen 2 Θ Θ
1 + Cot 2
Θ = Csc
2
Θ
Procedimiento de verificación de la validez de una identidad trigonométrica. Demostrar una identidad trigonométrica consiste en comprobar que la igualdad propuesta es cierta para cualquier valor del ángulo que aparece en ella. Para un alumno que es principiante en esta actividad, es recomendable que todos los términos de la igualdad se expresen en función se senos y cosenos, y trabajar en uno de los miembros. Para demostrar identidades es necesario: conocer bien las identidades trigonométricas fundamentales; dominar el álgebra, principalmente los productos notables y la factorización; manejar las operaciones con fracciones comunes y, sobre todo, mucha práctica. Las siguientes reglas son útiles para demostrar identidades trigonométricas: Consigue un formulario completo y confiable. • Si no encuentras la sustitución adecuada, convierte todo a senos y cosenos. • • Si ves un 1 sumando o restando a una función trigonométrica al cuadrado, es probable que sea una identidad pitagórica. El 1 es muy importante, así que si en una identidad trigonométrica se escribieron constantes • mayores que uno, divide todo entre la constante para obtener la unidad. Siempre que puedas, reacomoda los términos, así tendrás otra visión del problema. • El álgebra es fundamental. Pueden aparecer productos que desarrollar o expresiones que se • pueden factorizar. Ten cuidado con los denominadores comunes y fíjate en los recíprocos. •
90
Ejemplos de inducción: Demostrar que
cot A =
1 tan A
tan A =
y
cot A
cos A senA
=
Utilizando las identidades trigonométricas
senA cos A
Sustituyendo las identidades trigonométricas en el miembro izquierdo y aplicando extremos por extremos y medios por medios.
1 1 1 = cot A = senA tan A cos A cot A =
Por lo tanto, queda demostrada.
cos A senA
Demostrar que Cos A Sec A = 1 Utilizando la identidad trigonométrica
1 cos A 1 cos A =1 CosA cos A =1 1=1 cos A cos A sec A = 1
sec A =
Sustituyendo la identidad trigonométrica en el miembro izquierdo y efectuando la multiplicación Por lo tanto, queda demostrado
sen 2 A + cos 2 A 2 = cos A 2 tan A + 1
Demostrar que sen A + cos A = 1 y tan2A + 1 = sec2A
Utilizando la identidad trigonométrica
1 2 = cos A 2 sec A
Sustituyendo la identidad trigonométrica en el miembro izquierdo.
1 como [cos A] = sec A
2
2
A = cos 2 A sen 2 A + cos 2 A 2 = cos A 2 tan A + 1 ∴ cos
2
Por lo tanto, queda demostrado
Ejemplos de práctica o mecanización. Para que la siguiente identidad quede demostrada completa los siguientes pasos:
Sen A
+
Cos A Cot A
Convertimos el primer miembro a senos y cosenos
=
Csc A
Sen A + Cos A
Sen A +
91
Sen A
Sumamos obteniendo un denominador común que es Sen A.
+ Cos
2
Sen A
A
=
Sen A
Como ______________ , entonces queda demostrada la identidad
Actividad 2.- Escribe en tu cuaderno y demuestra las siguientes expresiones trigonométricas. 1)
tan A = senA sec A
2)
cot A = cos A csc A
4)
sec A = tan A csc A
5)
csc A = cot A sec
3)
sec A = csc A tan A
6) tan A cos A = senA
CIERRE Actividad 1. En cada una de las identidades trigonométricas es posible obtener otras más, las cuales se obtienen por medio de despeje de las relaciones principales siguientes:
(sen A)(csc A) = 1
sen A
=
csc A
=
2
2
sen A + cos A = 1
IDENTIDADES RECIPROCAS: (cos A)(sec A) = 1 Se pueden también expresar como:
cos A
=
sec A
=
(tan A)(cot A) = 1
tan A
=
cot A
=
IDENTIDADES PITAGORICAS sec2 A = 1 + tan2 A
csc2 A = 1 + cot2 A
sen A
=
cos A
=
tan A
=
csc A
=
sec A
=
cot A
=
Actividad 2.- Considerando el círculo unitario mostrado en la siguiente figura, determina las funciones trigonométricas para el ángulo Θ
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Sen
Θ =
Cot Θ
Cos
Θ =
Sec
Θ =
Tan
Θ =
Csc
Θ =
=
Actividad 3.- Demuestra las siguientes identidades. (Realiza las operaciones en tu libreta) 1) senAcot A = cos A 2) csc A tan A = sec A 3) csc A(1 − cos 2 A) = senA
4) senA(1 + cot 2 A) = csc A
5) (tan 2 A + 1) cos 2 A = 1
6) sec 2 A(1 − sen 2 A) = 1
7) sec A(1 − sen 2 A) = cos A
sen 2 A + cos 2 A 2 8) = cot A 2 tan A
sen 2 A + cos 2 A 2 9) = cos A 2 tan A + 1
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Secuencia didáctica 3 Ecuaciones Trigonométricas 1. Datos de identificación. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema Integrador: Trigonometría. 1.3 Categoría: Espacio. 1.4 Valores: Respeto y tolerancia. 2 hrs. 1.5 Sesión: 2. Propósito. Identificar y resolver los diferentes tipos de ecuaciones trigonométricas que se presentan, haciendo uso de las propiedades, funciones y procedimientos algebraicos, dependiendo de cada caso. 3. Competencias a desarrollar. 3.1 Genéricas: Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. • Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada o uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 3.2 Disciplinares: Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. • Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos • aritméticos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 4. Contenidos conceptuales. 4.1 Concepto fundamental: Relaciones trascendentales. 4.2 Concepto subsidiario: Ecuaciones Trigonométricas. 5. Contenidos procedimentales: desarrollar en el alumno procesos de construcción de aprendizajes significativos a través del trabajo individual, así como también realizar diversas actividades en equipo y finalizar con el consenso grupal. 6. Contenidos actitudinales: Que el alumno respete las reglas del algebra y trigonometría en su aprendizaje. 7. Momentos de la secuencia: Apertura De manera individual realiza las preguntas que se te proponen en tu libreta Actividad 2 Elaborar de forma grupal la definición de ecuación trigonométrica
Desarrollo Actividad 1. Lectura individual y subraya los conceptos más importantes Actividad 2.- Completa los enunciados donde se especifica las partes de la ecuación trigonométrica Actividad 3.- Resolver las ecuaciones trigonométricas
APERTURA Actividad 1.- De manera individual contesta las siguientes preguntas: ¿Qué es una ecuación? ¿Cuáles son las propiedades de las ecuaciones? ¿Qué entiendes trigonometría? ¿Cuáles son las funciones trigonométricas?
94
Cierre Actividad 1.- Contesta las preguntas de acuerdo con lo aprendido Actividad 2.- Resuelve las ecuaciones trigonométricas que se te plantean en tu cuaderno
Actividad 2.- En una lluvia de ideas dirigida por tu maestro comparte las respuestas de las preguntas anteriores y construyan el significado de: Ecuación trigonométrica:__________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________
DESARROLLO Actividad 1. Lee cuidadosamente la siguiente información del tema y subraya lo más importante. Ecuación trigonométrica Es una igualdad entre funciones trigonométricas de un mismo ángulo que sólo se satisface para un determinado valor o valores del ángulo. Ejemplo: ������ �������
2 senθ
=
cos θ
���������
������� �������
F������ ��������������
Actividad 2.- Individualmente completa los siguientes enunciados según la descripción anterior, en donde se especifican las partes de una ecuación trigonométrica: a) Una ecuación____________________, consta de ______________, miembros, los cuales son identificados como:______________________, que se ubica a la izquierda del signo de_______________________; y el _______________________ ubicado a la del signo =. b) En una ecuación de este tipo se tienen funciones__________________ y otras operaciones indicadas. c) La________________ es el ángulo de las _________________ involucradas en esta ecuación. d) De esta manera, podemos decir que una ecuación trigonométrica es una igualdad en la que_____________________. e) En una ecuación____________________________, la igualdad se verifica para_____________valores de la_____________________________________.
sólo
Solución de una ecuación trigonométrica. En la solución de ecuaciones trigonométricas se utilizan el mismo método estudiado en álgebra. Para el despeje de variables recuerda que: Si el término está sumando, pasará restando y viceversa. Si el término está multiplicando, pasará dividiendo y viceversa. Observa con atención los pasos del procedimiento para resolver ecuaciones trigonométricas y anota las dudas que tengas para que al finalizar preguntes a tu maestro. Ejemplos: Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas para los valores no negativos del ángulo , menores que 360° (Nota: revisa los ángulos de las funciones a partir de la página).
95
θ
1) 2 senθ − 1 = 0
2 senθ = 1 senθ =
El uno está restando pasa sumando. El 2 está multiplicando pasa dividiendo.
1 2
Por lo tanto la ecuación se satisface cuando θ=30°,150°. 2) 3cosθ - 1 = 0 3cosθ = 1 cosθ =
El uno está restando pasa sumando. El 3 está multiplicando pasa dividiendo.
1 3
Por lo tanto la ecuación se satisface cuando θ = 70.52877937°, 289.47122206° Nota: Después del punto puedes colocar tres números, en este caso tiene todo el valor que da en la calculadora para que compruebes que da el mimo resultado. Comprueba: Cos (70.52877937°)= 0.333333333
Ejemplo de práctica o mecanización: 1) 2 cos2 θ = cosθ cosθ está positivo pasa hacia el miembro izquierdo_______. . Observamos que cosθ es el factor común de la ecuación. 2 cos2 θ − cosθ = 0 Cos θ (____________ - ______________) = 0
cosθ = _________
Factorizamos.
cosθ = _ __________ ___
Por lo tanto la ecuación se satisface cuando
θ1 =
___ y 270º
θ2 =
60º y ____
Actividad 3.- Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones trigonométricas para los valores no negativos del ánguloθ, hasta 360°. 1) 2 cosθ − 1 = 0 2) 4 senθ − 2 = 0 60� � 300� 30� � 150�
CIERRE Actividad 1.- Contesta las siguientes preguntas de acuerdo a la información de ecuaciones trigonométricas: a) ¿Cuántos miembros tiene una ecuación? b) ¿Qué elementos tiene una ecuación trigonométrica? c) ¿Qué representa la incógnita en una ecuación trigonométrica? d) En una ecuación trigonométrica, ¿la igualdad se verifica para cualquier valor de la incógnita? ¿Por qué? e) ¿Qué es una ecuación trigonométrica?
96
Actividad 2.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para los valores no negativos del ánguloθ, hasta 360°. 2) cscθ − 2 = 0
1) 2 senθ − 3 = 0
30� � 150�
60� � 120�
3) cot θ − 1 = 0
4) 2 cos θ + 3 = 0
150� � 210�
45� � 225�
97
Secuencia didáctica 4 Ecuaciones logarítmicas 1. Datos de identificación. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema Integrador: Trigonometría. 1.3 Categoría: Espacio. 1.4 Valores: Respeto y tolerancia. 2 hrs. 1.5 Sesión: 2. Propósito. Identifica y aplica las diferentes propiedades de los logaritmos, ya sea base diez o logaritmo natural para la solución de las ecuaciones que se presentan, así como también determina el valor de la incógnita que se encuentra dentro la expresión algebraica. 3. Competencias a desarrollar. 3.1 Genéricas: • Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. o Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. • o Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 3.2 Disciplinares: Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. • Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos • aritméticos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 4. Contenidos conceptuales 4.1 Concepto fundamental: 4.2 Concepto subsidiario:
Relaciones trascendentales. Ecuaciones logarítmicas.
5. Contenidos procedimentales: desarrollar en el alumno procesos de construcción de aprendizajes significativos a través del trabajo individual, así como también realizar diversas actividades en equipo y finalizar con el consenso grupal. 6. Contenidos actitudinales: para el desarrollo de las actividades, debe presentar respeto y tolerancia para el trabajo con sus compañeros, así como también con las indicaciones proporcionadas por el docente. 7. Momentos de la secuencia: Apertura De manera individual completa la ecuación que se plantea y luego compara respuestas con tus compañeros Actividad 2.- Ecuación logarítmica
Desarrollo Actividad 1. Lectura individual y subraya los conceptos más importantes Actividad 2.- Resuelve las ecuaciones logarítmicas en tu libreta. Actividad 3.- Resolver las ecuaciones trigonométricas
98
Cierre Actividad 1.- Contesta las preguntas de acuerdo con lo aprendido Actividad 2.- Resuelve las ecuaciones trigonométricas que se te plantean en tu cuaderno
APERTURA Al igual que las ecuaciones algebraicas, trigonométricas, las ecuaciones logarítmicas son igualdades que se satisfacen sólo para determinados valores de la incógnita. Actividad 1.- Observa la siguiente ecuación y completa la información de acuerdo a tus observaciones. Al finalizar comparte con tus compañeros las respuestas y corrige si es necesario. ��������� ������ �������
log( x + 2)
= 2 + log( x − 3) ������� �������
a) Una ecuación____________________, consta de ______________, miembros, los cuales son identificados como:______________________, que se ubica a la izquierda del signo de______________________; y el ______________________ ubicado a la del signo =. b) En una ecuación de este tipo, la incógnita está _______________________________. c) En una ecuación____________________________, la igualdad se verifica para_____________valores de la_____________________________________.
sólo
Actividad 2.- De acuerdo a la información anterior define: Ecuación logarítmica: ____________________________________________________________ _______________ ______________________________________________________________
DESARROLLO Actividad 1. Lee cuidadosamente el tema y subraya lo más importante. Ecuaciones logarítmicas Son ecuaciones logarítmicas aquellas en las que la incógnita o las incógnitas aparecen dentro de un logaritmo. El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el neperiano, y normalmente, siempre es la misma base en toda la ecuación. Solución de ecuaciones logarítmicas Primero debes de reconocer la forma logarítmica y como se representa en forma exponencial. En una ecuación logarítmica se trata de resolver la ecuación transformándola a la forma exponencial de modo tal que ya no quede ningún logaritmo y nos quede una ecuación algebraica solamente. Aquí te presentamos la forma logarítmica y como se transforma a exponencial.
significa b L = N Forma Forma logarítmica exponencial Donde b se llama base, L exponente, N es la potencia L de b. Log b N = L
99
Para resolver la ecuación logarítmica debes de utilizar, a parte de la forma exponencial, las propiedades de los logaritmos:
1) log b AB = log b A + log b B
2) log b
A = log b A − log b B B
3) log b An
=
n log b A
log b A n log a N 5) log b N = log a b 4) logb n A =
Nota: A está identidad se le llama cambio de base. Ejemplos: Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. 1) log10 ( x + 2) + log10 ( x − 1) = 1
log10 ( x + 2)( x − 1) = 1
Usando la propiedad (1).
b = 10, N = ( x + 2)( x − 1), L = 1
Identificamos los valores de b, N y L.
b L= N
Log b N = L
Son las formas logarítmica y exponencial
101 = ( x + 2)( x − 1)
Pasamos el problema a la forma exponencial.
x 2 + x − 2 = 10
Desarrollamos el producto.
( x + 4)( x − 3) = 0
Factorizamos.
x + 4 = 0 x = −4
Separamos los factores para encontrar la solución.
x − 3 = 0 x = 3
Al sustituir el valor de x = -4 en el problema original resultan logaritmos negativos, por lo tanto no podemos usar este valor. Entonces x = 3 es la única solución de acuerdo con la definición de logaritmo.
100
Ejemplo de práctica o mecanización. 1) log5 (3 x + 6) − log 5 ( x − 6) = 1
log 5
3 x + 6 =1 −6
b=__ N
=
3 x
6 x − 6 +
___________
51 3 x
=
+
Usando la propiedad ____.
L=____
___________
3x + 6 −6 6
=
3x
Son las formas logarítmica y exponencial. Pasamos el problema a la forma exponencial.
5 _____
+
Identificamos los valores de b, N y L.
6
=
5x
Despejamos y realizamos las operaciones correspondientes. −
30
+
3x
= −3 0
-2 x
x
=
=
−3 6
x
=
Actividad 2.- Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. 1) log 3 ( x + 6) + log 3 3 = 2
3) log3 ( x + 2) + log 3 ( x − 6) = 2
5) log5 7 + log 5 ( x + 6) = 3
� = �3
� =7
� =11.8571
2) log4 4 + log4 ( x − 6) = 2
4) log2 8 + log2 ( x − 4) = 3
6) log 3 (2 x + 6) − log 3 ( x − 4) = 2
� = 10
�=5
�=6
CIERRE Actividad 1.- Contesta las siguientes preguntas de acuerdo a la información de ecuaciones trigonométricas: a) ¿Cuántos miembros tiene una ecuación? b) ¿Qué elementos tiene una ecuación logarítmica? c) ¿Dónde está la incógnita en una ecuación logarítmica? d) En una ecuación logarítmica, ¿la igualdad se verifica para cualquier valor de la incógnita? ¿Por qué? e) ¿Qué es una ecuación logarítmica? Actividad 2.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas para los valores no negativos del ánguloθ, hasta 360°. 2) log( x 2 ) + log(6 x) = 1
1) log( x + 5) = log(4 x − 3) =
101
Secuencia didáctica 5 Ecuaciones exponenciales 1. Datos de identificación. 1.1 Nombre de la materia: Geometría y Trigonometría. 1.2 Tema Integrador: Trigonometría. 1.3 Categoría: Espacio. 1.4 Valores: Respeto y tolerancia. 1.5 Sesión: 2hrs. 2. Propósito. Resolver ecuaciones exponenciales partiendo de sus conocimientos algebraicos, de las propiedades logarítmicas y del uso de la calculadora. 3. Competencias a desarrollar. 3.1 Genéricas: • Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. o Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. 3.2 Disciplinares: Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos • aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. 4. Contenidos conceptuales. 4.1 Concepto fundamental: Relaciones trascendentales. Ecuaciones exponenciales. 4.2 Concepto subsidiario: 5. Contenidos procedimentales: Desarrollar en el alumno procesos de construcción de aprendizajes significativos a través del trabajo individual, así como también realizar diversas actividades en equipo y finalizar con el consenso grupal. 6. Contenidos actitudinales: Para el desarrollo de las competencias genéricas y disciplinares, es importante que el alumno desarrolle sus actividades en forma ordenada, y entregando sus actividades como son solicitadas por el docente en tiempo y forma, generando con ello la responsabilidad de cada uno de ellos. 7. Momentos de la secuencia: Apertura De manera individual anota las diferencias y semejanzas entre las ecuaciones. Actividad 2.- Contestar las preguntas propuestas Actividad 3.- De acuerdo a las dos actividades anteriores realiza la definición de ecuación exponencial
Desarrollo Actividad 1. Análisis de ejemplos propuestos, escribir en el cuaderno las dudas encontradas acerca del tema Actividad 2.- Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones exponenciales que se te presentan
102
Cierre Actividad 1.- Completa los enunciados de acuerdo con lo aprendido Actividad 2.- Resuelve las ecuaciones exponenciales en la libreta. Actividad 3.- Solución de problemas de aplicación de acuerdo a lo aprendido.
APERTURA Las funciones exponenciales pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc.
Actividad 1.- Observa las siguientes ecuaciones y anota las semejanzas y diferencias que tiene entre ellas.
a)
2 senθ
=
cos θ
b)
log( x + 2)
= 2 + log( x − 3)
Semejanzas
2
c) x =
256
Diferencias
Actividad 2.- De acuerdo a tus observaciones, contesta las siguientes preguntas. ¿Qué tipo de ecuación representa el inciso a?_________________________________________. ¿Qué tipo de ecuación representa el inciso b?_________________________________________. ¿Qué elementos tiene la ecuación c?________________________________________________. La incógnita “x” de la ecuación c representa:_________________________________________. ¿Cómo le llamaría a la ecuación c?
Actividad 3.- Comenta las respuestas de las actividades anteriores y en forma grupal definan: Ecuación exponencial:____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________.
DESARROLLO Actividad 1. Realiza el análisis del siguiente tema para poder llegar a la comprensión del mismo. Ecuación exponencial Es toda ecuación que contiene a la incógnita como exponente. El número de bacterias en un cultivo de laboratorio después de “x” días se determina por la ecuación N (b) = 400(2) x . Para encontrar los días transcurridos para tener 102,400 bacterias se tiene que resolver la siguiente ecuación:
2 x = 256 A este tipo de ecuaciones se les conoce como ecuación exponencial. En este apartado encontrarás la forma de resolver este problema.
103
Solución de ecuaciones exponenciales. Al igual que las ecuaciones algebraicas, trigonométricas y logarítmicas las ecuaciones exponenciales se resuelven tratando de encontrar los valores de “x” que cumplan la igualdad. Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 1) 5 x = 6252
log 5 x = log 6252
Aplicando logaritmos a los dos miembros.
x log 5 = 2 log 625
Aplicando la propiedad (3) de logaritmos.
x =
2 log 625 log 5
x =
2(2.7959) 0.6989
Despejando la variable.
x =8
Obtener los valores en la calculadora.
Ejemplo de práctica o mecanización. 1) 5 x −1
log 5 x
=
−1
25
= _______
______ log 5 = _______
Aplicando logaritmos a los dos miembros. Aplicando la propiedad (3) de logaritmos.
x log 5 − _________ = _________ Despejando la variable. x log 5 = ________ + __________ __________ + _________ x = log 5 Obtener los valores en la calculadora.
=
Actividad 2.- Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 1) 5 x = 625 2) 7 3 x 3 = 243 −
� =4
3) 3 x
=
� =1.9409
4) 12 2 x −1 = 5 x
9 �=2
� =0.7394
104
CIERRE Actividad 1.- Completa los siguientes enunciados de acuerdo a lo que aprendiste. a) Una ecuación _________________ consta de ______________miembros, los cuales son identificados como:_______________________, que se ubica a la izquierda del signo de___; y el _________________, ubicado a la__________________ del signo =. b) En una ecuación de este tipo, la incógnita es ___________________________________. c) De esta manera, podemos decir que una ecuación exponencial es una igualdad en la que _______________________________________________________________________. d) En una ecuación________________________, la igualdad se _______________ valores de la_____________________________.
verifica
sólo
para
Actividad 2.- Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. 1) 4 x +1 = 16 x −1
3) 5 2 x −3
=
4
�=3
� = 1.9306
2) 64 x
4) 3 x
=
=8
7
� = 0.5
� =1.7712
Actividad 3.- Aplica el procedimiento que seguiste en la solución de ecuaciones exponenciales y resuelve el siguiente problema. El número de bacterias en un cultivo de laboratorio después de “x” días se determina por la ecuación N (b) = 400(2) x Para encontrar los días transcurridos para tener 102,400 bacterias se tiene que resolver la siguiente ecuación:
2 x = 256
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BIBLIOGRAFÍA
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