Antecedentes de
geometría vT R RIIGONO
ME TRÍA TRÍA Anulfo Adrade Degado rik Castañea de Isa Pga Jesús E. Nasco Matínez Jaime aaa va
6
ÓW Cdo ópco P a ei de coedo e o ma eemá emp Eementos que explc utrn as ccticas de coce-
o o de u rdmeto; acilitn la compresó y la geeizcó del cntedo. aiació de Jos ercicos Acvdde e endize, cuyo p· emeos eóicos. { mismo rmiten ompr s se ha logdo a co dcta dcda e obevo eccos.
v
S
ial se ecuetran
• •
xnme e utvcó Tene como aidad qe e eco r í msmo pueda valorar ojivmee e qé medda a alcanzdo u domo ceble de l coimienos y ilides consddos e Jos ob jetiv de aredaje. Scoe e os ejercco e eme e toevluc Pemen a vrifccn de as rspes Bbogrf ác Procioa s fntes de nomació a as que ued rcur ara acaa agua duda bin profd7r cros tema
Por último, es d juiia agdece tas las os qe de algua maera ao co os auors n la elaación de ee ma muy ecalmete s cecid Im Hiooa l y Mar Cuaián Ruidíaz, quees azaro la eucuració didáctca
ú L MNZ P Á :O ANO E EK Ñ L P
ÍNDICE DE CONTENIDO Plog
5
UNI GEOMTRÍ
bjetvo genl, 11
Iuón, 1
Módu ódulo lo 1. Elnlo lo,, medi di as ngular e y t tp p de de á á gul l
O b je tiv o tiv o ep epc cífr ífr s s,, 13 Cuado sópt 3-4 1 Coepo ágo 4 12 e de ángo 4 12.1 a xgcima 15 12.2. rdán
e e ma gu 6 .3 1po de ágs 17 13.1 132 3 13 13. 13
Ág ay 1 g t o 8 águo ago 18 ángo ou 19 �go ommear 1 �g scmar 0 Ang njgado 2
j Mu
E iúglo eoem pncie mejnza nt.e nt.e trg
tv0 tv 0 cífs 3
7
ÍDC D
ÍDE D CON
goométrc Dmacó el us e as e vor e ua rzó de u águlo guo
Cuado snóptico 23-24 2. riángulo 4 1.1. táguo qulátero 12. E táguo scl 2 213 El ángo escleo 26 2 Prnipales mas ore iágulo, 27 23 Tiáng smjaes .4 toma d itágos plicaco 31 ercicios, 33
E
4 ecón d ángo agudo, daa ua e ss zoes trgoomécs 6 Eecici 6
Mo
Md
La een
35
betvs p, 3 Cado siópti, 3 3 ccneci 36 32 Conpos de cua, diámto scnte y tagee de cicneeca 36 32 Cue 36 322 Dámero 37 323 Scnt, 37 324 Tage, 37 33 Tom p t a nget a u crcufnci 38
L
M6lo Rzon tgonmér nglo dos
Obtivos pcíc 41 Cuado sipti Dfón aoes tooms un áng gudo 2 Ra.ones tgonoméricas de os ángos e 30', 4" 6 4 2 Raes tigonméricas d los águls de 3' y • 422 R tignomris l águlo d 4 rcs
Md 5 Rzone ¡noms de n ángo n gnel
49
jvos peco, Cuinópi, 95 Deinc l ns rinomt u ául Sgns n t orc en lo cu;¡ro rns, 3 \gnmkH l ul ' 3 2
H
8 Rzon onomt d l m n de d nlo del n o e nlo ma
Ojvo gera 39 Induccón 3
4d 30 1 : 3 a?oe tgmti de los ánu! 0' 2' 3' 32 Raoe tgmi: de los ngu 2D' y 33 Rwne tignmri: 22 d los águo
Obv espcís 73 Cdr snpi 3 7 Méodo e ducó a águ gos 73 jcicios 7
UNDAD TGONOMTRÍA
Objv espeís 69 Cuaro snpti 69 61 etddes rigonomtca fum<es 70 62. plcacoes 71 cicios, 7
Mdo
dendde tgnomt
Mo 7 Fml de d
9
W
Ohetv pcíc 7 ado sióptic 778 8 Rzones rigoométra de l sm y fnci e s águlo 78 8. Fa pa a uma, 78 82 Fulas para la dfncia 8 82 Ron rigonomts d águlo dobe y dl g m;d, 79 82 as par c e seo, e cno y gee d ánglo dole, 79 8.2 óulas pa lcular el sno l co y l �ngete el ánguo mit;d, 8 rco, 1 Mlo
d o ens e lo oeno
8
Oeti escfs, 83 ad snópti, 838 Ly e os snos Apcios, 84 2. y de os csJos. picaciones 7 icios,
J�x1me toevahn
3
Son
1
bogf ba
7
UNIDD l. GEOMETR bio gnral naza stdo
sta n amno
Apia os onpto nmnas d ngo, ingos ingo s iunna a on d pobm gomo
odccin
En ta nd dn o o onpto onpto toa toa pno bo a Bmí pan on ob q nmntos s ap n a oón d pobma goéto.
MÓO E ÁNO, EAS ANARES Y TPOS E NOS bivo pcico A trma e sd d ód am:
•
fá Js cp d ág ga saa adá Cvá a adae a ág dd ga xagmas sa á ád ág cmpma jg
Cdo inpic Ág es a aba e d as q ama é Md d ág
Gr xgim
Ra
•
go
Eqaa
a
0 = g 57 .958 =
1 go
= 0075
T ág a Ti l mimo ér n o mún y x i u l oo.
14
Cuadro sinópico • Tis ángulos
Rect: Aqel q mid 9" o •
•
J ad
ud: Md mn 9"
Ob Mid má d
Cmpemenar Cando ma .d do ánglo gal a 9
Spemena Cando ma d d ánlo ial a 80" • Cnjga Cad la ma d d ánlo l a 36•
1.2 E gdo sexgesiml Et idad q r n�c al sisma xag cs imal, i como bas l úmo 6. L crcnfca dd en 36 ps i uls d na d as cls r r sn a n r ado sxsma E g ado s smal s si vd a s vz 6 mnos, y cada mn n 6 ndos. s r d mi y sn rp entn rept vmet e · b' . 1.22 E radián D finc ón: U n adán s á lo q si s c sá codo n cro d n cír co tsca sor la ccf ncia n co d e ond al rad d l cclo A
11 Concepto de ánulo
c
nsdér n ía c OA, gi alrdo d xtmo O a na cón OB mancido n mism pao, cm m a fa 1.1 Co g ro dc s n áo ano AOB
Fu
Fu
1.
P a· mdi caq án o O n radas s coa s véc n l cno d n c[ co d do r (v éa se a f r a 1. 3); siL s la on id dl aco inscado
1
el círculo pr ág o O, nocs s tin:
OA ]Jama /d na d álo aado OB ad emnal dl áo a El pno O con como l véce del álo
.2 Medds de ángulos
�
L pincpa nidad ara xp a mdda d �n á lo o l gad
_ xa g ema y adn ambi s cn como nd cca
El vlr d adan
! r
16
ÁNGUO, AGLR m � a MF>D\
El.
Y
TPOS
17
do émn d; c = 5
80
d
= ¡ ad
b)385"
L
Soli S
d ga que e l jm
385 8 00745 9 rd
Fig 1.3
xsad � r ios d r:
1.23 Conversón de meddas angulares
385 5
e igul a 180·, ents ac , qu isca sob n írl d d s mccuf l q L n , d onde n s apoxim m gul 3.6 D ad cn l r, si e pl a có aa b a medd d á gu n adans s ie:
ad
2.1 r ad
Cando O
r 80 =- d "-rd L
Ejempl2
s n d l gu g e d.
) " ad
J rd Son
8=
a
E úma i g u ald d ui cmo s pa ov a d gds a adas y ca. A d t g d d bne:
ad dnd
qve xmadamn 007453
y amé
d =
1so·
"
,
d
1q so . d amn a29 cqJVIe p1
d = 59
aí que
que
1
r
18.
d 18 0•
-ad - = 9• 2 2
b) rd oón ,
• 00753 d
u
Ejemplo
de áng
Dad
Es cada un de s iguie ánguo n adas a)45" Soución
ado q • = 007453 d = 5 (0.0753) 05 d
ma g: 80 2 ad = 2 - = 1159
3. Tipos de ángulos 3.1 Á ngulos adyacentes S die qu ds á g sn w com� sn er l u o de
-
n _ mso c
18
19
GEMTA
.34. E ángu btus
adyact. P o jmp águos a y 1 la figura 4, o
Defnicón U águ obuso aqe q tien a mgtd mayr 9 (' r). (Véae la gura 17.)
Figr
1. 32 El ángulo recto ic i ó n U ágl r e c to aqu qu md x a� am 9•, D [ 5) en rada qvae a l ad. (V é as a g a
qu
Figura .7
.35 Á gus cpemenarios
Dnicn: Si la suma la mdas d áng e d • águ s laman mplnaro y caa d e s ama e comemento l r.
E a figra 1.8, áng a y mpe
Fgum
.33 El ángul agud
ud mn D e fn ió n: U ágl agd aqu qu a mag . ) 1.6 i gura f l s e é a (V ra). /2 de 9• (o
Figur 18
Figura 1.6
S puede obvar que si d águl s n cm lement, tonces amb n agudo
20
2
136 Ánguos suplemntrios
Solución
D nunado a= , como a �sn plmea
Dención: S a sma d as mddas d do guos s 80" s d qu Jo ángl sn upemetrio ada d s s ama suplmnto de oro
a + J �· ;
2 + f = 9 ;
3 J = �
9
d dod � - " 3 3
Ls áglo a y �d a ga 19 so suemeari
r J ano: " 0', u= 9- 3= 6'
Eepl 4 Dmna a meia
del
supmno d g a, cuy mgu s 35.
Solucn
S a+ emnto d a 10 upmnto d a 18"- a= 180'- 135 45'.
Figum 1.9
Jo 5
3.7 ÁguJs conjugados
S l meid d n ángulo ¿cuánto miden a y r
Dfió: S a suma d s d?s d d gu 36·•. s á d u ál sn cojugados, y q ca no onuado r
a es
cno v la mdda de s jgado p,
olució
euncdo, a= 5 3 co a B so ugados
+ [3 = 360'; { + f = 0
En l fga 10 1� guos � n ojugd.
r tano: B . a= o 6 = 0
jrcci o
Mda /a Exprar c; uo ls siguiet ágo en ad:
Fgum 1.10
l 8'
Ejemplo3
S a mdida de un ánglo ¿cuánto miden a y j?
a
s dos vc s la mdid d su mplmen to B,
2 0 .
150'
per ada uo o uene nu ad:
2
4.3a
5. 9 ad
6 6 a
ánguos 7. Dct a d 8 S
peeno de nuo
a eida e nuo dn ?
a
a a ud
a e r ve a da ario ¿no
9 i a ida un nuo on ve a da d jado ( no d ?
MÓO 2 E TRÁNO SS TEOREMAS RNCAES Y SEMEJANZA ENTRE TRÁNOS Objeios esecficos Al trma el sud s mólo, l alumno:
•
Eucaá los picipals eom sob águlos. plcaá la semejaza iágulos la oucó poblem Rslvrá águlos ecágulo aplcado Teoema Pi/ágo.
Cuado sinóico
'
Tiágulo s l espaio limado po s ea qu s oa.
Clfcaió de los águlos segú sus s
Euiláo Cuo ts a gu.
Isóscls ao d s ige
•
Esalo C s s las n fernts
25
Cudo snóico
•
uma d ts áglos intie d to
Teormas
riángulo ga a 180•.
o áng g e a o ldos igl son ga.
3 uma d d caeea d u ág s mo l ec ld; a drca menr
Do tiágulo on smja u ánuo crpnd on u l correpondinte on pporconal.
•
Torem sobre triá o e j n
m
S d ng son muament iánglo
Figua 21
Cn a magnud d us ads los tíng uilát isó y ano
1 E riáng eqHáer
smej�
2. Si d Gng tenn n ángl gal mpdido nt ad poorinale Jo do ángus o eeane 3. Si l es ad de n tngul n eiv mn cionales J de o tiángulo, amb n ment 4
lfian en:
Dfnó: táguo qr d enen la mLma magntud
l ngl ABC d a gua 2 quláo ya 4 a=
rnguo n s la rscva mnt aale ndca, n semans.
Tom d Püágas. En un rngl engl el drad de la hio e igal a a sma d dad de l atts
Fira
2. El inglo
S lama ánglo al ac mado te ras q cotan un
riág iee
o d co lamn lo go compndds nr vérce ls d ánguo En la figa 2. s rnta u riángo d vérce A, B C y ado a b y c. ngo múnm degan s vértce
Dcí Un ángu ado on ga
óce s agude d d d s
G lados iguas Jaman teraes y e tr lado s lama bae l águo El tágu o C d la fgu a s scls, ya q s ados a b n
7
26
22 ncaes eoemas be ngulos
A couacó uian aguos toma mt nts sob táguo r s d uta pa l dsrolo ots gooméc así omo pa mprd algu otr ó matemátc s Teom 1. 80•, o a a E la gra 25 s t : a + p 8
J
e
s á rirs riá s i
ab
(base)
Fg 23
g 2 5
213 E táng een Defniió: Un áglo es caleo s las magds sus s ao so is
El águo C fga 2 s ec a a b .
Teoremu 2 E o tágu sc os ángul ousos a l lad guas so gas E a g como C s u águo ócls, a b r lo to
e
e
Fg 26 Fg 2.4
erema 3. L sma d os as alq águlo s mao ec lado; a d mo D tráguo C d la gu 2.7 u
28
: f TIÁNGL,
GEOMrRlA
US : R�MS
29
En a g u 2.91 áng u Ae y A ' BC' s sm jnt y que:
a+b>c c>b, bC>a -
Y
e
Y1=Y 2 , Y
b
¡;= -
e
e
A Figur 2.7
,: I
Pr iángl ángl ABC e a fgu .8 si mag d d �y
a"
8'
e'
ur 2.9
4 inr
Ls igin ms tmin la sm z n áng uls Si d iáng s mutua qá g s s . D e m s d d Jos sig unts lr: C o ola i . D riág l n m i mb ti d ágl T orem a 1
rvm g C rol ar o 2. Ds táng rcgus s m jn si áng ul ag udo igul.
orem 2 S ds tiág ul nn u ág g u c mpd d o nt r e lds pcion es, ds iáng u smejs
'n 2
b e C be l fíg 2.10 e torm d ic q: si 1 = a 2 y = - n. t onces Jo t rágulA BC y A BC' s n a
e
Solucón· Cmo e rg ectángl, y= 9•. L sm d J ángul os intoe de n rágo 1 eo: +- 0·; 40 � . = 18.
A'
D dod: (3 = · 9· - · =5o
2.3 Triángulos emejantes
ra 2 O T eorema 3. S Jo tes ld de un t riá n gulo son e ctiv a mt por l ; d ot r, Jo d rng ul on sm n b e n a f g ra 2, s or ic q· . SI
Defnión: D á u s mjat s á C(rcsnne on 1g, o . u lado corpn¡e s pcal
8
.
�ns ls ág us AC
b
a - =
a'
y A 'B C
-
e -
b:. e'
son sm ts
31
•3
24 El oma d Pgoas. Aicacions
e
m Pg, q rcn l c y hnu t ág rcángul i m ig
e
rá ág r g um cu l c
B
ur cn trm, pr l tágl rcágu gu .3, n q:
Fr 2
r elo s o Do s rágulo s qu ien s s do s e sctivmete s. rpdicua s son s eme a n Teorm a 4.
m 2 Si fig 2.1 ,
e s p raeo
D E
E = 2 m y A • 30 y B' 50 m, D
m ¿C uánto mide A?
e 2 Eempl 2 2
n águ rángu AC c
n i ó S ol uc
C omo o s d de o s tránguo s AC Sm ja ne s, lo tato:
y AD E son
p r e eones son
a) Si a =
e l gtu h y a y
y = , ¿ át mi
Soló
r Piág a 2 2 (12) 2 2 = D
m
n
?
NGU
GMTRÍ
3
b i a= 24
¡<ánto mde b?
33
J nt
Solución
De te e Pgras:
ii
Si áogn o ne ior de n t á ngu o ec n mide 65• dee minar m i ud de os ine oe s.
l
Tálos smj
jmpl 4 U pen in 7 kil ó e hci e n, 3 kilómetros hci y kió a el u ¿A qué di d un d ida?
m
¿á ie a f gura 25, BCe a le o a DE y 1 m, 3 m y A C m nto mide?
t a u fg qu ena ngiude d. a
r
e /
F 25
S
A
g Aplao E tenoriá g lo AC, e g t d de i e n y a y n a n ude de os Sí a -1 y b- 2 ¿ cu nto mde S b 18 y c nt m de E
Fi 2.14 D la
b qu AED n ngu tgu qu B EB CD = 3 = J 7 = 4
D
Uyn mi na min m hací e l n e 2 mi h ia e ee 3 mil a ha i e nor l hí e e. ¿A qé dis a ia de p n o de p d
3
Co a gid bada e igu AD:
e ia e tma d Pi ág
al
MÓDULO 3 LA CIRCUNFERNCIA Objeivos especcos A erinar e esudo de ete duo e auno
•
Enunwrá a [icn circunferencia. Exicará os conceos de cuerda, dáero scane anene de una circunferenca.
Cuadro sinóptico Sea un uno un ano y sea r un núero osio. La circunerencw con cenro ado e onjuno de odos o unos ano que a una danca uno
Eenos a ccunferenca
sgeo í qe puoeto la crcunfeena.
Cue
Dero E ta cueda qe a por el ceno
•
Secane
•
de la icenia
Tangene t ecta en e mimo ano, ue a ta ea qe coa a la icnfeena n o p uaequiea.
a ueen e un so uo, lamado po d angeia.
37
36
3.1 La crcunferenca p un puto d un plao o y s r n úmro tvo. L crcunfrenc con ceno P y � aio ! e onjno Jos pno po qu sá a u nc r pno P.
Denicn :
3.22 Diámero Denc n S
ámetro d qe s e cno cufnca
3.3 Secae
L g 3.1 mes a icnfi.
Un secan na cicnenci s un e n pn qu.
Dencón
Fig. 3.1
32 Concepos de: cueda, dámeo cane y tangee de la cicunferenca
Fgura 3.3
324 Tangente 321 Cueda
a cuer o egm" o ciíneo u o pnos na icufenci y mg es gu mm c ene dich o.
Dencón
En g 3.2 e egmeno A' n u
Un angne u cnfeen e u ec, en e o pno qu innc en oo pno.
Dencn
E po i a punto d tangenc o pno d c onaco, y e qe a c y a uen on ngn en po e ono E gu 3.4, pno A pno ngni
+
1
Figur 3.2
gr 3.4
3
3.3 Teorema para razar la angene a una circunerencia U oma mpotante rqu feencia es:
tiza para traza la tangnte na un
Toda ange a una irnfa es pepncla al rao trazado el po onacto.
UNIDD2. TRIONOMETR Obeio general A aar d a am
•
Apará p a d a rm ía paa a prm
nroducción 1 ,
prp fma a ud a r ra prpdad a m apa a robma m r
MÓDULO 4 AZONES RGONOMÉTRCAS DE ÁNGULOS AGUDOS Obeivo epeíio ernar e estudo te o e auno
Defnrá as raoes seno coseo tange1 ctangente secane coeante un águo agu. • Cacuar sn e uso taa e vaor os a raones gonotrcas o ánguos y 6·. Cuadro inópio Raones rgonorcs os ángus 30•, 45 "X ' : ·sn
Ángo
5
� Q
t
V
2
6
2 2
2
TÉTR
42
Dfnición d as azons gonomécas d un ángulo agudo
nsdese táglo ectáguo n águo en a ga 4.
omo e mta
43
Es convente ervar que a cae, a see y a coagee rsvamee cípas del sno eo y tgent. Con s o bevaón se ped memorza fáimen as 6 razons igonoméricas jemplo Enra los valoes de s azoes igoomérias para el ánguo agudo , del ánglo C q msta a fg
B
a=3
Figu
Fgra
d n lado . d rn�� a to Se p de ea blec 6 a o es df enes o métcas, s n a 1ca b es a tigo Estas a zo ns que s co en o mo ao s · u ea ágo ag a a gura 4.1: Ro es trgo o mét del águo a Co n e acón e s la hotesa d ágo
b es ao adyante a áglo a
ra zo ns rgo o mrcas p ar l ngo so : � ao o ; n = h o tua • e
eo u ; c a "
eo
p tesa
cateto
tngte a ; "
tet adyacee teto
tage ; co a • eo sto
,E
b
a
_E eo a y b
c
e a e ;
e
scnt a
!
_� eo o p ue to a
e5
Po medo d eoma de Págoase ecea el vaor de cao adyaete
Etoces e = tesa ae os= hienu
a s e atto oeso al águo a
Ls 6
Su Dos: a 3
3 5
a• eo esto
=-
=
5
3 5
cateto dyaete 4
3 e eo 4 =co o dyacne 4 3 o opso mplo 2 nota os vaos de as azoes rgooéicas de áglo agdo a, cuo seno es gua a 1!.
a a-
S
e hpesa pede represea tág rángo n n ág ag ; uyo la fig eto ouesto sea igua a y co ua hts gua a valo de teto adyaet b s etra aplcdo e tema de Ptágoras Cmo s ·.
S
v
\
4
RAZONE TRJGONOMÉRIC
45
C •ABC = 3•, ACB = 9• A 2,AC 1, y e teoema de Pitágoas: BC
B 2 -AC 2
2 2
-
12 = Y
e a decó d as os tgootras ra u águlo agdo se tiee:
v
60 os 3 2 s 60° ! se 30 2
Fgua 4.3 A
:J
aplcar as fómulas de las azoes igonoéas se iee
.
1
=2
a 60"
.
2 -
t
1 a
co
V
Y
o·
Y co 30 1
6 A ta 30
60 � 2 30 1 2 e 60 se 3O
V
o
42. Razones trigonométricas de los ángulos de 30°, 45° y 60°
4.22- Razones tgonoméicas del ángu lo de 45
421 Razones igonomércas de os ángos de 30° 6
Para deema las zoes tigonoéias de n ángo de 45 se ostye n iágulo reángo con ams atet guaes a a nda véae a fgra 4.5) y el águo en C gua a 9". Po o tato J águlos y 1 on iguaes a
y
3 6",
s Para deemna las azoes tigonométcas de áng de aza n tiáglo equláteo ABD de 2 dades ado, co a nd de lo ud adeuada; ejeplo cetíeo (á a gua 4:4). Ensgu¡da se taza una pependca a a base de iágulo desde e vétce B. mo s esta en la iga 44, ABC s u riágulo on
45".
B
•
A
B
gur 45
l teoema de Ptágos la ogtd de a hipoens del tágo es Figua 4.4
46
47
D a deicin e as razones igooméic ara u áglo agudo ene: 45"
V =
a vao de
V V = 1 1 t = 1 1 = V 45 V V
Rne trgonomta de lo gulo d
1
(c 4" 45•2 tan 45• + s 6•
5_ (cl • tn 6 + tan 45)2
Jemplo 3 Ecor el vao de l genes exione
)
3) 6} an 3
b 3 2 + n - ) 2 1 3 1 _ 1 2 6" 2 Ejercicos Rze rigoméca de un á1gulo gu
Enntrar o vloes 'de s zoes tgonométcs pa l ángo audo � e ingoAC qe se me fa 6 b- 3.
b 3
gr 46 Era e valor de s a ronéca de ngo ag e es gl
1
gen expses:
r· "
a cy a
J
{
\
J\ i
( /
'
A
{
�
f
'
"
_
/
/
MÓDUO 5 RZOE TROOMTRC DE U NUO EN EER Oeo epecco A rmnar e eudo ee mo
amno
• aará vaor d od a raon rgonmras sn e so d aas os ángo J�o, 3 150 2" 4 3oo: · 33 • Drmnará, on so d aa, e aor na ran ronomra d un ágo ara ddo r Cao nópco Sgno d· raon rgonoméra ranes g cante
R a
o n e S
seno y cce
eno y te
tngnt y nte
Tere cadt
ao cdte
50
5 Cuadro sinópico Razne trigoométrica los águo
150 z¡o·, 330• 20.' 24 3
30"
o ge e alor aboluto las de ánglo
P
135 zzs 315
x
5
Ro rgomic u águo gea
ordend ca
d
oseo =
F .2
cs x dstca d .
� -
ngent denda . x c
bs x tngent orded
cante nc d abcsa
iia d ee
p X F 53
5 Deinición de las razones rgnoércas de un ángulo en general
8 u ángo en có oú a fgras 5 a 5) sa P un to de crenadas rectagulares x ecte l lado t de águo 8. P
x
Fi
Fi .1
4
Si cd de ls cuaro figua trz u ndur ds e puo
P nJ ej X, dr iguo ecágo O', de lado x, y d omo muetr e s igura Si se conida que d , dstncia de P l origen, e iv q los valore de x y dede de la ición de P, la oes ooétras a luera de ágl a deen coo ige
n
= onada dica
c 0
n
abscis =
disia as
= absis odenda
"
p -, 8 )
!
x x -
y
Fgu
nca c absisa x
Po l teoem d Piágoas s ie
dicia O odnada or apcación e las does d as aons rigoméias a fnco mé on bs os ángulo gaiv o maos d 360•. S nne cmo ágos llo y iia s ig a 3·. Af ejmpo e g 90" es ormia águlo de vevesa s dicins se puede oli qu, ar dos ángul q o e mis su rstivs rzo rigom�ts so idia os a eontr as racions rigmrs e ángs negaiv o myore 0\ ema s sivo cotmina e o y 60 y nsgud s aplica s defncons. antr mbn se pued expsr l iguient foa: vals d razons tignmétrics d ángul? O on Jo mismos qu r la d o ángu O 30·; dond n = 1 2, 3, .
I�jemplo 1
i p ( 8) stá he e d rmna nguo ros rgonmics O.
encar l
= -3 c o = = 5 10 -
tn O .
=
y =
-�=
� - 10
d 10 5
co;t vlo d sen 4os· Soucn dm cormi de 4 e o y 4"
6° 5
ode:
�empo 3
o
-
Y
05 n
e ca uno P de codnds -, 8) n n sstm cdendo ean gla a fg 5)
sc
=
cO -=-
3
empl 2,
= O-y 8
l . _i
cot
orr l vor d tn (
2
8
54
RONE TIGOOMC 55 n 20 • l y es egtia nton s 320 s negivo
Solución
S ecena el cotem d · e o· y 36. -3 + 3 � 6
de donde:
•
d
X
c 20 - d cmo x es tiva eones 320 ivo. n 320 ; s egaia y x siv, enonces an 320 es egativa.
ta (3") � a 6 V
b) 48" Soci S encr s oeml ente o· y 36 4" - = 120 ; 40 20 n otermnales.
52 Signos de las razones trigonométrcas en los cuatro cuadrantes
omo 9" < 20 < 18", 20 termia en l egndo cadrante.
Sguno uadnte l sen y ese o psivs.
como y s itiva eocs 20 ivo. c 2u � ; cmo x s gatva ence 20 es negativo
n 20
Peso qu siempre s sitiva y sn e e igl a y/ ntoes s e tie el msmo sigo que y. Af sen 9 s sitivo cdo 9 termna e e prme o gn cdn ( es pitiva) y ngvo cno term en tr o cr cadrans es ngatjva) H aciedo cosdercions smilre ra as OLs 5 azoes se obee resltados q se mestr n la figra 56.
Pimer cuaanf Ls s raz so svas
Tce un
Ca uaa
Só ta y ct
Sóo cs y sc
so svs
sn psvas
tan 20 l , itiva x egaiv noes an 20 s gaiva X
5.3. Razones trigoométricas de os ánguos de 12°, 135° 150° 21 0° 225° 240° 300°' 315 y 330° 5.31. Razone trigonométrc de Jos ángulos e 150°, 20 30 s rzons gooméras de J ángu de 50, 20 y 0 s igle n valor aoto las azs igonométris de ángo de 30 o ea cado más dieren n sino dendiedo a ran y del c adrae nd sé lad erm ia de dich águ} En la gua 5.7, s ms e ánlo d 0 en iin rmal. A pir d s g s n lc as ons tgt 1" to ángo recángulo OPP'.
Figura 5.6 Jjemplo 4
p ( !'
1)
Dcir n qué cuadant termi ada ágo y esabce el sgo de seno o y gente. a 20 Solución
Como 270• < 320 < ", 320 min el caro cdante.
<' r 57
GORC
OOR(A
En la gura anrio ped v qu:
•
a = 180" - 50•
=
c 21 o·
vd d
vo e J lao d ánulo OPP e pen hace gal rpcame a o valor e la del ránguo AC d l gura 4; dcr:
OP BC
= _
d
Y Y 0 =
sc 210·
e
Y ·
" = � = 0 2
c 50
= �
X
ct 2 10" = - . - · V
Eonc, como puo P ncuera gundo cada endrá r enaa P 1) y a a d no a rgn á A aplca a ncón a azon rgoméc paa ángo n ga I = l • d
= !d = -v
y
P " AC 1 y OP AB
n
l d
n 20 =
30· trágulo recágulo OPP' s mjan al rágo ABC la fgura 4. l aparado 2
=
!
_
= _
210" = � . l 1 = 2
Pa so las zn gomé tc! áng 330• bié se pe de a mm ma, ólo que e s ca !¡s oors e uto p
n
é gur 9
s
Paa acur a raz rgooma dl nguo e prde d gu orma aa l ao 0 qu aa la nada l puno P g
é
u
5
oce e ene P(
sn
c
=
130•
"
l
d
.
= _
2
E V
d
=
8 Enonc, e e
5
tan 30" = l _
2
58
IGN
RZOE TIGONOM�C
= 330" = �y V 1
30· = �X
Entons OP' . 1 PP = " y ?P = 2. E ste el punto P tedá dn�s (-1 V ) y 1� d¡sn1 de ese po l oe s: d 2. A p s zoes onomtis d ulo en eel s =ne
V
n 20 d = 2
0 = 2 -1 Emplo
cos
3 2 ot 30 = (2)
ot 120"
+ V = + = +
120" = �
2
Ccu e o de s siets expsones 1
1
s 70s oomts de los ául d 120 240 y Ls sonos uaes en vlo soo a l d ánuo d 6 En u 5 se ust el ánu de 20• en có o z l áuo tálo OPP e u ped ve
d
.
_
= V = -1 "�=
y
20 EX = 1 -2
(n 330tso20 1 = 2 + 1 + 1 5..2 Rzone gonoméic d lo guo de 2, 24°
20 � = Pa clcula oes tooés del ánlo de 240 s pd e . u fom qe a e so e 120", óo qu h ls deds de pto p
- ) (ve l
• a 8 120 = • l ilo OPP semje á'loAB de l u 4 de pt 6.
42
P ( -1 , v )
p ( 1 v '
gu
oes s ten: Figua .10
59
240 = ld = -V 2
60
/ZONS TRIONOMTIC
!GONMERA
y
tan 20 " =
c 20
•
X
y
a) - os 2 + c 3" - sec 2
2
cos 240
61
- =
-. = - - =
b)
1
-}
.
300) 20 + c 12"
c 24 = ! = -2 X
240
-l
y
5.3.3 Rzones trgooméicas de ls águs e 15°, 25" 35
2
V
. - =
P el cso d as zones rigonomtricas l águo de 3 ambié s ocd d la msm mera sóo que e es cao as cdenadas dl uno P n (, -V ) (·é� la gua 52)
}
• Ls l l aos ignmétrcas d ángulos de 35 225 3 son gue vlr a as azos trigonméca d ánguo d 4 a igu 53 e mutr el áglo d 3 en scón nom. A <tir d st figu se pen cacr las rs trigométcas de 3" aao l iág rgl OPP '.
X
P
p
'
Figura
s
�
tan 30·
=
=
:
v
= Y V 3· 2
-.
r
co
=
oo =
1
5.12
P tn ne: n 0
35
-v )
En I igura u vs •
-V
j 6 cl el var d a siguents eiones
53
�i
X
d
•
300
Y
=
2
{
= o· ·
= 4" e tángu ecánuo de apardo 4.2.
OPP '
es semat t
ABC
d a fga 4.5
vitd de o teo J vle de l e triágu OPP e pdn hacr gas pectivamne valors d os las del iágul ABC d l fgr . d apado 42; dcr
62
IOOÍ
OP '
= AC ,
P
NE TRGOOÉI BC = 1 ,
OP = A
.
Entonce se ene
Entos, mo e pno se enent en e segndo cuadnte, tendr r rdnada (-1, ) y la dstancia e este uo a org rá: d A apar la denició de ls azoes rgonom�ticas para un ángulo en gera se n sn
135°
=
l• . d V
t 35 l
1
y
1
.y
X
-1
1 X -
c 5• •
=1
25
d c 135 = =
. 135 �y Para lcular a ones igonom�rcas de ágo de 225 se pee e igua orma ue ar so de 35", slo qu ahora las crdenadas del unto P n - figa 5. 4
P, F 515
Etoce in:
Y, 3 . s = d
225"
315
1
s:
1 a 315. l X
1
C 35. , y: = -1 1 P ( -1 , )
F 514
-1
�X V � -1 d
.
=-·V y 1
a e cao de rones goméras d ngo d 5• también ede de a msma maea sólo e en ete cao as denadas del uo P n (1, - (v fgur 55)
-1 t 35 = Xy = -1 1
X
-1
t 225· . - 1
d V c s = s ) tan 225°
c 35· = : _ d X
n 25 �
c 35 c 35 •
. � V = 1
d
y
V
5 51 Detenacón de nguo agudo dada una de sus aon�s tgonomtcas
j 7 Clcular l vor de u e exrsion:
4 tan + 2 c 5 225 4 (-1) + 2 (1 + 2 -1 = )
sdéree e msmo i de t de do 4. deemci de nulo, dd d e u zoe, e m e iguee eeplo
135.)2- 15
�mpl 9
=
225
= 12
2+1
Ddo a 504 eco l áglo a a de eo rl, e s e la umns e l de 0.5040. Se ece u l lor ero m ceco l do 0.52, coresde
=3
Se lcul l dieci e e vlo ddo, 05040 e hldo e l bs, dferec 0.0015 qu quivl 1 rts porole, e bc e ismo rnn a coums de par ooles, e lz e l umn cuo eczdo es . Coo e so de u lo uo e o ooe ume el áglo e tce e um 6 ' 30• 10 s ee :
025.
mnacón cn d aba
n
d a d na aón gnméca d n ngl agd
3 1 ' 3 1'
Ls ve d l ones gomtr d J nu pen nmde m o d tl
,
de de
• 16
nn,
n
Rtrígoom U áglo grl
el puno P 3, - 4) tá be e ado ein dl ángo O en�nrr e vo de s
6 zon igoométic de
Fjemlo Ha vl c 5. En t coeo t se lz n la co mn cuo ncaao s s e ee mismo nón e númer co cu bdo e 50 encontádos l vo de 02 Se iue el mmo rlón ht a cum d pats roporcin de ncdo 2 o e ectr el úo 4 0004 Co eci en ls e ppcn s e s s ;tn e dr
30 10.
4
q
Enrr e lor de igiee expresiones:
2 750' n (31 ) 4 t Sg
.7 X . dond 44 52 = 070
O
rzo trgoom n o rs
Dr e q cudrte erm d glo y lc e igno de o, ceo y
t. 5
6 7
66
RZN OOMÉ
GONOM{A
710 Rzo toomét e lo ál
10 10 y 330"
Cl le l vo de a sgue e s e e s oe s:
8 3 150 +
n 210' 2 e 330
9 2 n 150
e 150 -2 330
2
c � - 077 25 tan 1198
Rzo toomét e lo álo
0 0" 300
C l e l or de la s gue te e x e sone s
1
n 120 s • - 20 3 3 n 240 + 2 10' - 0" ·
10 (tn 0') 1 20'
5
6 c 10 + (tn 20l
-
Rzo toomt lo álo Clua l val de
!.
13" y 1
sigintse re sine s
16 t 35 + 10 ta 5 135 174 ta 135 t 25 tn 35
lB 19·
315) t 35 35) tn
c
35') 225) 135
315)
Dtrmac o u d aba d vao ua raz rgooéca u ángu agu Hlle l v e
0
0 -
Detem l álo o de e sus zo oom
a- 09407
e 330
150' ( 0 + 330'
n 42'
Dado e vlo de z tgonomét e tae lá guo:
0 10) 150 8 11
2 s
6
MÓDUO 6 DEDADES TRGONOMÉTRAS Obeivos especícos A rmnar do e m, aumn:
Ennará a dendad rnomér mena Rrá preone ronomr u ono
Cuado sinópio ENTADES RGONOMTRJS
•
Para
• n 2 e + s o -
+ - c e l ot e - c e
Invea
9 =
o
e
9
1
= e · 9
•
a e
1
o 9
a e
7
1
Cuadr o s in óptco
62 Aplcacons
Contuación
E l gn, rcunmn s nro smpf xpsos q connn rzons igoomtrcs o bn tnsfomrs n n orm tu. s ddds gonomts ndmns sn úls n s stuons mo s vá n sguns jmpos.
ENTDADES TIGNMÉTICAS
•
Po ointe
na n e e ot e � nO
Emo
Smpc cd d ls sguns xprsons: ac O O O O (1 n O)
6. nias gonoméicas unamnals
Suón
ndd ( )
Ls idntdds rgonométs fundmnls lscn n rs gu q n: nons Ind pagó:
(
) ) Ind nvesas
o 9 n 9 = n e o
1 s9= O o e O
)
1
n e tn e ot e o t e
O O n2 O o co2 O D l dndd (5):
1 o s o nons eo o a n o - os o Soón
D dndd
(6)
n e s 0 = os o 9 = n O noncs
nds po oen
a n 9 o a- tn o n e os e
()
n2 O os n 0 = = e n e
M{ o tanto:
a iena ( : eoce
ÓULO ÓRUAS E RUCCIÓ Eercics
gf; S ipl aa a de as sgue xse
O O O (1 O 3 2 a 1 2
Objevos especcos A t td t
Aá s fó p d z tgéts ágs t 0" 0 d ág gds.
Cado spco Fó p d zs géti d ágs
co � n O - O
3.
+ +
O =-
t
éodo de redccn a gos agdos
Cuaqe ró goomta e n ngo en 9 360 e puee euir a na aó igoomra n gu ago aio o vara e a gee ómu
9 O ( O O)=an ( 9 O) = cot O
+
( + O n O ( 9 + O ( + ) t
FÓRMU D RDIÓ
Cad O slta e · 9 180 2· e a óua ae n e ican a qu e a azne gmca aa da u t ángul tn Can va uc zn tnétias ngu e e 3 ngv m enta ectiv ceinal te 3 y lueg e aplian a óla e uión: Eeml
n 2· Soucón
n 20. n 9 + = c u = 9 20 n 20°
b 90•
ó
60: 0 = o· 57o· = 1 Se ua s inal
Ence
90 0" 9• + 120") - ] 20
an 9 + 0") · ) -100) Souón
S ua cemal ent
= 26"
o· y 30
E: -• n 260 n 9 + 170) = 10 s 9" + -n so �jercici
2 22 210•
5 tn 4.
Ri a u l igt i un zó tigm e un g agu itv
-1
Redci caa u sigiens xprn u : goméica d ánglo gd iv
u u u
75
MÓDULO 8. RAZONES TRGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DFERENCA DE DOS ÁNGULO� DEL ÁNGULO DOBLE Y DEL ANGULO MITAD Objetvos especícos Al mna l udo es mlo l aluno:
Aplaá l fómulas paa calcular l sen cono y angne d la suma y fnca ángulos. • Aplaá las fómulas paa calcular l so, coseno y tangn l ángulo bl l ángulo mia
Cuadro sinóptico
•
FÓRUSP L ZONE TRGONOMtTRJCAD U DIRENC D DO ÁNGULOS, D ÁGUO DOB YD ÁGUO MTAD sn ( a + p ) . s a c � c a s p Suma d dos ángulos a p c a c � - s a s p =
a 1 - tan : . �
Dfnca s ángulos
•
( a - 1 ) � s a c � - a sn P c ( a J ) - c a c � s a f t a- � 1 t ( a - J )
77
•
1 + t a tn
1
·
8
SUM Y IFERENCA D DS ÁNGL
uado nópco
n (o - �) = c n f) = c f en
( -
FR O RGOOMÉRCS DE U
/
•
DIFENC DE DO GUOS DE ÁGUO DOBE DEL ÁGUO MID Ánlo b 2 2 n
2 - n 2 an 2 n 1 - a
Áno mt
2
�-
2
1
+
t n 1
1 + tn an 1
También en e o paa tan ( -
de 9".
8 1 Fórmua paa a uma
Sin nar a dmtraión s ra a onaón as órmus para
n �) o ) y an n ( + p) = n n s ( � f - 1 tan ( +
tan + 1 - an ta
Pra as óma n + ) + p t aui o; mias q a a ómua tan ( , o no d r mipo mpar d ya q n a situacó n n n nas 82 Fóma paa a dfeencia A patir d as óma pa a um d ám a ómu pr a dirna
,
b e mú imrs
Jjmplo1 Pr meio d s óma ma o "f 1 ern¡a e d ánguo. clula vao las guetes xpones: e!
"
olución Sea = 45", 1 6" n 05" = 45. +
81 azone gonoméc'a de a ma y deenca de do ánguo
7
«") = n 4 r· + 45" sn
. Y + V = V V fl + 2 2
b) n
2
+-=
2
4
15•
ouión
Sa = j •
a
=
1
"
= ta n
+ (V)
(6. - 45.) .
tn w·
1+
-
tan
.
45
tn 6 tan
45"
v 1
(1) . 1 + V
8.2 Razon es t r gon omé t r icas del águlo dobe y de án go mitad 82 1. Fórmulas paa calcla el , el ceno Y la ngente del ánglo doben le P mdio d l órmuas pra a ma d ágl y hano
ce cmostrr qu:
- ,
0
GONOMRfA SM
2 2 n o 2 = 2 n2 n
n 2." s 5'
2 a
an 2a =
2
ómas paa calcula el e e ce a angete de gu mad
de a fóula paa s , se e esabl a siguet e sion aa el águo ta: A
2
2
1 - r
IFERECA DE ÁNG ULO
4
�ercii Rzones trigméric d lum a y dfr d d águlo Cllar e vaor de la sguintes exprons: l. s 75", h1ciendo a 45• y 1 3 _
2
2 ta 105', haindo
a 45• p _ 6•
3 5' i a ' 45 .
2
Ro goomé dl ng lo dobl y dlnglo
1 + o
Para a ane el águlo iad ten la sigene expones
2
n + CS
o
1 - ta
2
ll l ao e co 60' dae co 30• y en 30 uzado la fua pa l ono del águo oe Eemplo
1
Soun
emplo 3
lcular e alo de S eat os 45
Son 22S era en e er uadrae sóo se oa a raíz iva de la
sn �.
s 15', hcno a . 6'y � 45"
5. lua el al $ 60 medi $
3 y r 30,
6 Cca el lo d 2' 12
2 8. Cca l lo d .5' 3 45 y c 45' 7. ar vao de n 10, si cs 20. .
-
MÓDULO 9. LEY DE LOS SENOS Y LEY DE LOS COSENOS Objetivos específcos Al ema el esdo d óo, ao: • Aplá la ley los seo e laoucó u riágulo • Aplaá la le e lo ose la esolun u n tiáguo.
Cuadro sinópico Ly los sos En to tiánguo, los ad o procionaes a os seno s álos oesos.
l ey de los sen se pede expesar omo: a a
b sn !
oe
8
e sn y
85
Cuadro sinóptco
Cotinació
L csos En o ránguo, l adado de ado caqua es gal a sa de os cadad de los otr d ad mn el dol cto de st lados el eno dl ánglo omprenddo ente l
e Resolve l triágulo dados uz 20 y 42 0' (vée l fgua 2) a 62,
=
y
ly d o enos s pued xresar como: a2=b2+c2-bco b 2 a C 2 e 2 a2+b2-aby
9. Ley de lo eno. Apccione
ly d sno, ue s ap e a solción d agos triáng oblicuágos, se euca de la sgente mara
Fg 92
Socón Ley d los sens. En to ángulo adn procionles
d sus ángulos opuest
Co rern a a fgura 91 la ey d sn s puede expr como
Ese ema s d ee medio de a le de n Incógnta J c Como a sum de os 3 gs itrors d tráguo es 80 s i
h
180
+y = 0• 12" 20 + 4ZO 10) 2
Se apc ly de o paa
b:
. a n J b
d dond son nmdas las sgues azos:
a n b s � e y n ; = a
J '
n 2• 0 62 (040 29· b a 62 sen 12 20' 0.920
aplica a le de l ss ra e: = n y . e = a y a
a n y e = n
42 10 1 2" 20
Po lo to Fr 9
e
J 2
b = 29., e 454
62 063 4.4 0920
=
Y OS OS Y Y OS COSOS
86
2 Resovr el tiánguo C dado gu 9
b e 68 y 55 0 a
0 (n 38 0'
OW76 = 800.67
8
764
Po Jo ato
8 ,
e
9 Ley de lo coeno Aplcacone Para l solu qu de
8 gra 93
Solución
y
e b
o e ado y > l obema e solucó úic Se ca ley de o seos ógas � y S ala l ey d los en r f:
; P b y b y _ 80 10 80 (08208 0.67 e
628
68
n f 0.67
roms d rágl, mbé se uza la ey de Jo
L de os cono En to trálo el uadrdo d u ldo cuauia s gual la sma d l drad de J or d, meno dol ucto so do r e co de ánguo mrdido re ell
C reca a ga 9 y d l osenos ude exs oo
2 b2 + c2 2
b
e
Por lo ano: 38 0
80 (1 +y 80 - 8" + 10
Fg 94
Aora la la y d Jos e ra :
n · f
b
-
-
a
b
j Rsovr gulo C ddos V l gur .
b 24 y y .
8
88 e
e
A
A iga 9.5
ga
on Incóta aplca a y os oso para
on Inóna a apca la y nos paa
a
a
- 2(32) (24) '
151 125.3
2
S apca la ly lo a a :
n a · n n a n
a n y . 132 sn 2• 4'
n a . n a 05051 o
12
- (37 + (43.4 (252 2 (3}34) 0. c a b + c a 01 Po lo tao
=
132 (0.4797) =
253
0 505
·
35 49 Se apla la y l conos paa :
tt:
a " 20' 7 Paa p a 10 - (• 2 ' 20· 59' 4
c = 4
o o tato
o o ao
25.3 a 17 � 20 59 3
1 6" '
Ejmp 4
o ! =
2
--
(25.2) + (43 4) -
2 (.2 3)
O982
10" - a p 0 (3 1 49 6 0 - 8 ' 03
aa
Rovr rnuo C ao 252, b 3. (Vé ra 9.
a + c bz
43.4
9
1RIGOMTRA
LY D LS SNOS Y Y S COSENS
Por l tan:
= 35•
18' 49",
4. Rv oC dd
�
=
6 f' ", y 3 0 .
a � 6.34, b - 7.3 y
e - 99 8.
Ejercicio Ld
lo ses
1. elv e tigloAC ads e - 2, a 35 y � - 6 A
2 e el rnuloAC
d¡do 525, b - 421 y o n· 50'.
e L d ls cosen 3 e áuAC ddo b - 10, e - 270 o 18 40'
A
e
270
e
9
. 1 EXAMEN DE AUTOEVALUACIÓN
Slce a no d los s la pcón ca. a) 45 ) A rd
B bd
55" 7" - A 9739 ad d
C¡ d
. 6 d
C d
O-d
b)
,
6
¡
Rlc! la lua de la uierda rh
n la essta ota e la olm1a e la
A D áglo n cte cndo: B g n mpeen si
_ guo on ro ng n jad
) m g ) m g 18' e gu n mim vti ) een común y o xere uno
t
u g 3 o , cd g n go
94
AMEN DE AUVLUACIÓN
3. Par un sigut evro dq s flsas raas.
)
L suma de os 3 nglos eo r d o riguo g a adia. ) verdde
( faso
(
(
so
(
aso
L sma de los gu ieros go uágu o e ga a 180• ) vdero
) Si o tres ados de un iág uo so secivmnte poocione a del oro,
os do ngl son smet
vrdde
b Un homre euena aado ua cira dis de u farol S l ma qe yc el home r e so mid 240 m y disaia ina e a y el exremo de su omr es de 3 m, ¿cuto mide e homre?
(
16m 8m ó rr
b To rngulo eáe s eqiguo ) erddeo
95
XMN DE AUEVLAN
na ircfeca es:
1 m
. m
)
Un cuva oalmen e crd
D Un nuno de d ao C o u po qu eudst e n pno jo amdo no
D onjunto de put de po y disti a puo o mado no es menor gul u logd lma dio
) faso
Do trngulos n emnt sí l sm¡ de us ángs es igu 180•
va ( ) lso Domeas igos u ien s ldos eimente pallos o i erd ls 4 Sc c 1o o opcó oTc ) Cosidése la g:
6 pé ra q a cró oa cad mo
a que cne e os puos A Disa nr d pun de l cuneei. Rec a la inrcia n lo uto. CD egmento recilneo deemino por dos nos
Rado mro Cd
( ) (
de l cunfn
e
)
de l ccunfencia.
ngee
E. Disna d no n no caqea
Segmeo deemado do untos d l cfeec qe pa l
7 A la có a c co
un Ínguo etgulo den s ze gootrs pa n ángulo
go mo ge eo A eo y
E vao d es 0.00
B 414
C 7548
. 803
eto oueso eo o ye eo E ite o o ousto
n (
s n
)
c
(
)
MEN D AUTOEVLCIÓN
96 MEN DE AUTEVALAÓN 8 Sin rcur al de tabs gonmé, rc1 omne la lumna e a
zqu omna l cha
... 1 2 c . E. F. ..
n · n 45' (
A B
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3• c
9. -
(
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) n + ¡ 2 n (45 6 3) n (5
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)
(
Relaion crrctmn cumn d a iuid con l cl� d dh A
) El valo de 6 2 ( )�
(
A 0 2.' 29 5 c. 27'
.
0 30.3'
B-2' y 3485
0 ATVAUACJÚ 16. En lo qu sigue, lc opó rrcta
dé la fgur:
) Si • 2� etoc B
SOLUCONES b 35
e 45
y
)
MÓDULO 1 (págs. 3
A 4 80'
B 2 c 86
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0 b 29 ent
b) Si:
A
6 5
B.
59. 35'
45
y
- 038
l d - 44 d 2 6 5 27 d 6 4 20· 3858 6 Cmplmnt de • " 8 - , 45 0 , � -
MÓL á 333
0 2AE m 22 b) 81
4 72 ills
02 MÓDO 4 (ágs. 41 - 47) .
3 sn � sc .
cs
2
� - v
SLUCINf 10 1 6 9 -
tan 1 - 32
74
8 .
m f · j 3
90
W 04
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V ,
. 700'8"
3.0 4 4
394 21 "
25 58'"
5 8
MÓDLO S págs 49 1.
O
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3
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MÓDUL 6 pg 69 - 72
67
S
tn O - 3
cl O
-5
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2 1 3 1
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]2
MÓDO 7 g. 73 75 l . - en 70 2 tn 4' 3 30 3 5 40
U 8 (�s. 77 - 81 l
.+V
4 1
+Y
3 3 V - 6 003 14.
� 3 4
15. 3
4 V - 1 )
104
SUCIN
SLCIOE
(A)
Scante
Te 7 n a 2 8.
2+V
l - 1 5 , b 7' 2 42 , � - 37'2 " , y • 9 - � - 0 , -40 . 204 � 62 u-
•
45
(C) b)55 = (A 2. n ) su sma igul C s sm ;l 0 s sm 20 A ten l s vérc ldo mú y s xrs del t s sm s 0, sm s l prí¡ dr b) ade fal d da e) fl ! de 4.
=
a) ( D
b) B
5 C R Dámtr Ca
•
(
a
( D )
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y 916
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e
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o· tan 5' s 30
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( E)
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MDULO ág. 83
( C)
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A)
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B ) A
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e E 5 b) !o 39 - A e a 0
9.
f e
i j g
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1. 1
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105
106
SLUCION
d ) f
(V V er (V
g)
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F (A C (D l)
i
3
2
1-.
) 4)
2 sn
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b sn2 A
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BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
2 tn
1
a
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2
1
-
f) 15.
2
-
a) b - ( D )
bCA 16. a) 1 = ( D )
Ays, Fk Jr., Trignmí plaa séca, Clccó Schm M Grw ll
B J Geomtría ignma, Cultra Mc S.. M. Bn, ich, ría y rbem" d eo pana, Clcc Scm M Grw
U MUS éxc H, i¡nmr, lc uturl Mx. ls Plm, Shch Gemera modera ECS, Mxo.
Hmmin mrí lmenta
b = ( A
1
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07
