Descripción: 352388270 Geometria y Trigonometria de Baldor Nueva Imagen
Resumen de geometría descriptiva y trigonométrica con sus aplicacionesDescripción completa
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Geometría y TrigonometríaDescripción completa
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Descripción: son problemas propuestos de geometria y trigonometria
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1,f.OMETIU \ I'LA"r-A 't DEI ESPACIO
Se llama ""BlIlo esfr"ro en un punto el formado por dos arc~ ue circulo máximo. Se mide por 1"1 ángu lo formauo por )¡tS tllngentes a In~ orcos en el pW'Lto. ti.
{77 AHEA DE UNA ESFl:.RA \ lll:. FIGURAS ESFERICAS. La ubtenciOn por metodO$ elementales de la fórmula del area de \lna esfero """ algo laboriosa . Requ iere los siguientes pasos: El area engendrada por la base AH de un t riángulo isósceles l:::.OAR at girar alredew... dI' un eje e que 110 corta al triángulo, es igu
En c{ccto: el área engendrado por AR en su giro es el arca !¡)tf'I'al de !I"{jn(IJ de t'OlIIJ de lado AB y circunferencia media la de radio 11M. Luego: Afea engendrado llOr AB
= 2 TI 11M X AB
ClERI'OS
RE.OO:'\()()~
1'('lv I, ~, !r¡;iJlflUlo:. Ó OIl,~ ., . Ó ABD son >oemejan !t:>s :
AD
..18
OH
=
HM
J. Con ~ l(leral' una Hlle~nC >a . r lu~ Irilillgul<"l" j"wf>I,.... '1'0,' Sf' rumIan um e ndIJ lo. \"c rtices Je la pdigunal ron el cenl m. Segllll d teorema anterior, el á rea de la superficie enFlendratla ,,1 )! Il "¡, r la pOh p;onal i! l redetlor d(' UJl eje, qu.. no Ii! Corl('. ('S igual al proouct u df'" 1" pro" ,..'cció" ,1(> 1.. daagt>lJil¡ §Oor(' el eje l'<"Ir 1" IOI1p;ill1" 11 .. la circllllf"n'nl" " "II~'" .."di" f'"'- 1" "1'''1''111'' d" Ii! poJi¡;l
i S. Ahora (tJJlS¡deramos una ~1,micirClmrl!'rell<:i8 gir"ndu itln:d..d.)!" ,lf' ' u diámetro. illscribimos una polisonal regular y hacernos crecer infiuitamE'ltle el número de ladO$. {'11 el límile se ohli t:>lIe que la proyección de la 1~}lignnal l'" (') di5mcll"O (2 r ); la apotema se trnn~ fcnna PII .,1 rarl.in r y f'1 ñ"p
Area su perficie esférifil
= 2 n r X 2 , = 4 n ,l.
ARiA m. llN CASQI ' ETE o DE. UNA ZONA I'::',',FEHICA Es el I;mil(' del IiJ"{'R engendradll por Ulla I'uligollal ~ular inscrita "n f'1 II n:.. al crrccr inrinil ll n"K'nte e l niimero de litdO!'. Luego: Arca de un casquete () tona
= 2n
, /¡
sll'ntlo , el radi() de la es rera ~- h la proyecciólI de la poligunlll ,,,hr.. el
'" diom"h"O perpendicular 8 la base- del casquete o bases dI" la 1.01111, "S decir, GEO:l.II ,TRI \ I'L \:" \ \
DEL E:'PAUO
la 1I11ura del casquete () zona.
\HFr\. DE l TN In
-~
ESFEIIKO
Si el huso tiene nO el ;:irea por la proporción :
3flO
st"
calcula
nO
--=471:""
X
UH nr..LACTON ENTRE El AHEA UE UNA ESFERA \' lA DEI CII.l I'\O I\O ClRCVI'\SCRITO. Si consideramos el cilindro circUII!'CrI lO limitado por dos plarkJl' tall~ntM paralf'IUlS. su área lateral es: Area IlIteral = 2nrX2r = '1nr
que 379
(',f,o,.."
ti"..
E'.s
la misma área de la esfera.
\011 \IE!\ UL lA E.... I,LHA Para obtener el volumen d .. Ulla hll~arem
V el ,'olumen de la esfera ; V, el ,'olumen del cililldn, que es i!\ual a
nrl X2 r = 2 n,.' ;
V 2 el \'olumen del l'spacio cumJlrell
dido entre la esfera y ....1 ciliudro Evidentemente:
las
ba~
del cilindro,
=
V, _ V" .
Para ukular V 2 observemos qUl' rortaJTlOS la figura por planos ]I\! se obtienen fOronaS circulan." cuya5 5J
raldos a
V
.i r",,,. -u.. de la form" 11 r - - 11 _~
=
1I (r'_~)
= n k!
' ''-''00 1, la d"tancia do:l C"'lItru al plallu, S, ;,¡hul"il e(.n ~id{.nnnus e l cono d<' , .. rticE". el centro d.. la I'5fera y de base 1.. dt'1 CllilUlro tel1dn'll1o~ que el :u·ell d., 1i1 ·.'Cdon 11 la d ,,,tallCla 1, e. I' ~'em.lo ~ d 'lidio rl" la sccdón_ l'uu . umu In.. trifm¡;¡ulltl! b, AOH \ b,(X 'J) -un "-fml' lan tt'~. re_ulta
•
r
=
-=, ,
1,.
.' d{'(i,'_ qu" .,1 u rl;'ü rlt' 1.. am," ''' circular (11 k :¡ .\ el ¡;n'a de la '«Ció" .Id conu In ~l n 1,-:) '>('In iguales, Al'licfl ntlo el prindl'to d" Cava hl'ri re~" ha qU!.' d w lumE"1l v~ del e~ l li1 • ,,, .ntl'" la ('S r.. ,.a ~ .. 1 d lind,.!', ..,; igu¡,1 a ti! ~lU'lla de los \'ol úll1ell~ de I()'o. .1". conu, "lu<, tie nen .10' ,';,h(.' el centro de la ('.~rpra \. d" b¡h"~ las el.·1 prisma. ¡'J ,,,1111110'11 iI... (¡,rla UI1" de esto~ d...... COl1lb P<; :
=
1
- 111'( , )
i
1
- 11 ,1
i
,
2
- 1Ir'.
,
2 4 l 1l,1 __ 1I ,-' = _ 1I ".
,
".
r.t:o ~nnl.l
\ 1'1 •. \:'1.'
\
un.
F;!)I'\(
lO
I.JI:..R<...IClOS I ¡ Hallar el a r eH lateral de u n cilind ro cin'u l,u' rcctu. si e l mdio .10' lit bm.e mide'" cm y la g
~2 Hallar la ~cneriltri7. ele un r ilind,'O :.a hicruio 756.6 cm' r el radio de la b.'''f' mich,'lO cm.
, J Hallar el úrea tota l df" un r ilirulro 20 cm y la getlerntri 7 -i(J cm.
4 Hallar la KenE'réltriz o.It' " el radio dE' 111 MSl> midp 'i rUI .
1111
~i
su
ljUf'
arel<
¡.. tenll
H. : 11 cm.
l'I ni d io r!c la bH,..,· ,"a l,'
R.:
h"!XO CIlI.
eilimln' cuya i,r(,iI lu lal eS -H18...! CI11'
11.: R cm.
jI El
ni ) "
6 H illlar e l ,irt'il lah'ral .te un cilind ro. la altorll 9 m .
S I ..1
rflllio .le la
lwl'>("
mirl. >
R.: B4,1..!
111.
(11 Hallar el radio de la b.,~ de un ciJill,h" sabirll(l" que ~U a re" lateral M ) ;(17.2 cm~ y la gen",r,t lrh- vo le 41) cm . 11,: ti {"m_
18) El área le lol de UII cilindro ps 7-'>. i6 m: y su ¡,¡eneról tri .... ,', ..1 dobl.' Jel rodio de la base. H all .. r ",1 nldi(') y 111 J!:e nenltrir.. r .2 Ul . R.: #1. .;:: 4- '". (
t IU ) H allar el área lotal de UII cilindro, sahiendo que iJ.{ual al lado de l hexagono regular illlil" r;IO en su 1);1* ~i
('~
~"
igual o'Illad" R.: 2\.Fi 11 " gell('ról lnl. 1" R.: ln r.
(j 1) Ha llar 1'1 ¡irea la tern l de un ct'n " cllya generalri .... vale b Clll . d radio de la bao;c mide'" cm. R .: 75.36 cm.
C12) Hallar el arca la lerill ,1" un COIlO "IIhiendu que el radio de la bas<' mide ti cm y la ahura 8 cm. R .: l~A cm . ! 1 i } Hallar el ánoa t(') tal d., un Cono si la raJio de lo base 'j an.
~enerat ri ~.
" a le 9 enl y ....1 R.: l ¡ tl,/l cm-o
14) Hallar el á rea tollll de un eOlio sa biendo qu e el rodio de la ha* miJe 3 cm y la altura 4 cm. R ,: 7j.'J6 cm
lti\l5n
cm~ y el radi o de la base mide 4 ClTI.
R .: 8
CII .
LL t:R PQS Rt: OO;";OOS
'"
( l b ) El área letal df! WI Clmo f!!) 13:n c;m7, El nidio df! la ha!<€! y la altura r
Hallar el area lateral de un tronco de cono cuy" altura mirl., rle las hases \'t.len 4 cm y 10 cm, respectivamentt>, R.: "39.6 cm '.
te! cm, Y los radios
( l B ) I}a llar el órea tolal de un Ironco de con o cuya altura 1IU11 f' 4 cm, si los radios de las boISf'S miden 9 cm y 6 cm. respeclivllmente. R.: I W n cm
I I Y ¡ E1 área ¡" teral de UI1 tronco de cono vale 560:1'1: cm' . El rad io tifO la base mayor y la generalriz sou iguales, El radio de la base- me nor valf' S cm y la .,hura del tronco mide 1h cm. HaUar la generatriz. R .: 20 cm.
(20) Hllllar el árf!8 1.. lera l y el área lolal de UJ1 tronco de (:(..110. S
R .:
960J!4 cm
A,
(2 11 Dos esferas de metal de radios 211 y 30, se funden juntas par!! hacer una esfel'll mayo r. Calcular el radio de 1., Ilue,'a esfera.
R.' r
" "Y'h.
(22) En Ulla esfel'll de radiu r se tiene imerilo un cilindro de m alleril La l que el diámetro del cilindro es igual a l r Arlio de la esfera, Calcular: n I el ioree lateral riel cilindro; b ) el á rea total del cilindro; e) volwnell del cilindro R.: a ) A ,.= n v'fr' .
b J A , o- ( á T\ i ) n r ('1 l '
=
li f
r'.
(23) Se tiene una es rent sittJada dentro de un cilindro de manera lI.u.' el cilindro tielle de rutUl'a y diametro el diámetro de la esrera. Determinar la relación en tre el área de la esfero )' el area lateral del cilindro, R .: SOIl igualE'" (24 } Dos c~feras cuyos diámetros SOIl 8 y 12 pulgadas respoctiv.,menh· estón limgentes sobre una mes.1. D.'ter",i'lar la ,Iistanóa enlT(! los dos I'unt'", donde las esferas tocan a la m esa. R.: 4\/ 6 pul~ada~
Dentro de una caja cúbica cuyo yo lwnen es 64 cm l • se coloca WI" poelota que toca a cada una de las caras en su punto moo)o. Calcular el V I>· Iwnen de la "elota. . 031 R .: \< = ~. (25 )
,
(,r.oME1IU'" PL.... 'A \
'"
OEL l',.o;rACIO
(2tl) St> fwule Wl ciIIndro de metal de I1IdKi r
y ahuno h. y con el me lal .e hact:n conos cuyu radIO es In mitad del 111..1M, dl'l cilindro, pero ~ donle flltura. ¿CuAnlO!> (U. nos se onhenen ji H (¡ con....
l
(2; I Ulla esfera M cobre se runde y con el metal se hacen conos del mismo radio que la esferil
y de altura igunl al dobl .. de dicho radio. ¿CUI!IJlOf> CulIOS Iie ..,bliellell?
",
H ~:._--
12"
(28,
---l
2
fVIII ..
E.II unll cai"
,1,·
form.a cubiCfl, GIben eXlICtamerlle 8 ~ fel1l5 de 2 1'lUlgadas de dian1t'tro CIIda u na _'" ('11 f:I cenlro de bIas UllfI ederd me~ que las anlenorf'S. Úllcular el ,·"lul1'\e..ll dI' kla . /1
1 "
{,lCJ1 Ha lla r 1.'1 '·uturnen del esl)ll limitarlo flor los Iron(()6 de pirámidl· y de cono_ ..It: acuuÓO fOIl las mooidll~ mdicadll5 en el dibu,u. H_ l 620 .71 1lOll(dda~ cubtr...
CIO
20"
(10) GAkulilr e l vo lumen del ", p9cio que queda U1lre 105 dOf; cilind")Ii.. de acuerdo con las moolfla5 ind lcilda~ en la figura.
R.: V
Ejn _
:so
= 16'Pi,t! rulgada~ cUbica·
SIl Hallar el "olumen del ~ ¡OOCtO hmiHld" eulre el rono " el ur
CU ERPOS REDO:>'OOS
'00
toedro de acuerdo con las medidas indicadas en el dibujo. R.. 654.96 pulgadas cúbic~ s _
Ejtt. "
Ejc.-r.
n
(32 ) De un cubo de 5" de a risla se quita Wl cilindro de 3" de d¡¡¡metm. C6kular el \"olumen de la parte que queda del cubo. R · V 8Q.67i pu lg~das cúbico,,-
=
"'o-
lEn _ mo .... m• ..toa llranel;., ..... '1 e" ... o .... loo .,'" , Iot. a~t.c:co. dejaron . .. idencio de la aplicación ma...... illoaa qv. ..to. hi,;..- de te. ~erio. (1 triD"1Iuk>, órc",ta, " aood codo, .. (-....o. ek., ... , ..."", r..,ro. fa -
..o.
miIOo,.... Lo III'ftO -q... como Iu IIO",br. inclka ha tÑIG otribvida el ro. ....._. era "'_pacla •• r.Ios, mo ....OI el piedras media",- lo ayuda d. rocti... ktbntdOf" "",,o .1 CIpCIl'fte ... lo ¡1u,lnIciO" D ... ;Iqu;'rda (u_ .000 ai'tol el. d. C.l
doo.r.........
j"
22 Trigonometría i80. ANGULO DESDE EL -
PUl\~ ro
UE VISfA TRlGOi'lQ:\I ETIUOO
-~
)
Sea OA una sem irTccta fija y OC \ mB semirrecta móvil del mismo origen
-,
; . ('11
coincidmeia con OA .
- ,
Suponga mos ahora que la semirrec ta OC gira a lrededor del punto O.
-,
en sentido contrario 8 las agu jas del reloj. Entonces OC. en cada posición engendra un á ngulo. el ángulo L AOC (Fig. 303), por ejemplo. -
)
-
)
-)
Cuando OC coincide con DA, el ángulo es lI ulo; cuando OC oomienza a gimI'. -
)
-
)
0,1 iÍngulo aumenta a medida que OC gira . Al coincidir OC de nuevo con 302
TRIGO"OMETRI ·\
lO'
-) -> DA, ha engendrado un ángulo completo (360°), pero OC puede sq¡;uir ginuulo ~ engt'ndrar un ángulo de tm valor cua1quiera
e
e
/.. \
OL-_ _ -+-+A
) 4'5·
•
) •
Fir. 30t
381 . ANGl'LOS POSITIVru;)o AI\C,ULO~ NEGATIVOS. Arbitrttria mente ~ ha convenido que los áJ1gulos engendrados en sentido contrario a las manecillas del reloj, se loman como positivos y los ángulos engendrados en l'J mismo senlKlo de la s agujas del reloj se cOllsidel'an negati,·os.
una rECia XX', tomemos un punto O filiE' se llama ongen. Por el punto
,-,
O. trocemos la recta YY' de manera (-
,
I I
l
I
)
, )
( -)
que }'Y J. XX', 1 TI Tomemos una un idad y graduemos lo.; dos e;es a partir del ¡>unto O . , 3 ·' - 3 -2 -1 0 El eje XX' se grad úa posti\'amente hltda la derecha y negativamente hacia m III la izquierda. El eje YY' se gradíUI poSlti"amentE' hacia arriba y nega til'amente hacil! aOO;O. i' u'¡s n úmeros sobre el ele XX' miden las distancias en magnitud y fil( . :ro.; ~¡ flI1n ofOl ori~ 8 los )lWltos del eje y reciben el nombre de flbsci5ll5,
,
Sobre
I,EOMETIUA PI.... I\A \ DEI. ESP\(JO
Los numeros tomados sobre el eje YY' miden las distancias del "ngell a los puntos del eje y reciben el nombre de ordellmlas. AJ1alogamente, el eje XX' se llama c¡" de las obsá<,(IS y el eJe J' }" Sf." llama ele de las ordcmxlas. El punto O es la intersección de los dos ejes y se llama Orlgell d" coordenadas. Los ejes XX' y yy' di"iden el plono en 4 pnrtes, llamadas cuadrantes.
XOY YOX'
= 1 cuadrante = II cuadrante
X'OY' Y'OX
= III = IV
cuadran!!.' cuadrante.
'183. COORDENADAS DE UN PUNTO. Establecido en UJl plano UlI sistema de ejes cooraenados, a cada punto del plano le corresponden d O!' numeros re61es (una abscisa y una ordenada ) Que se llaman coordenada~ del punto. Para determinar dichas coordenadas, se I razall por el ¡JUnto l18ralela' a los ejes XX' y yy' y se detenninan los \'alores donde di<;has paralela~ cortan a los eje~. Eotos " alorK se <:olocan a continuaci6n de la letra que rqlresellta al punto, dentro de UII paréntesis, separados por una coma. ¡;rimero la abscisa )' segundo la ardclIUfla. 8H1.3)1'-- '
,, ,
Ej~mplo. En la rlgu ra 106_ las coordenadas de A son 5 y 2. Se ('~ribe : , , Cy-4-'it - .... A(5, 2). -, tiIO- 3) ,I _4 _ _ _ ___ 00' •• _.1 Recíprocamente, dadas las coordenadas de un punto C(- 4, - 2 ), para 10cali7.8r el punto se señala Fil;. SOS - 4 en el eje XX' y - 2 en el eje YY:Por estos puntos se tnW.8n paralelas a los ejes y donde se cortan esta el punto e (Fig. 3(6) .
,,
i84. I<1JNCIONES l'RlGONOMETRlCAS DE UN ANGULO AGCOO Consideremos eJ triángulo rectangulo t:" ABC ( l<~ig. 307) . Las llamadas funciones o razones trigonolllctrica¡;. de los ángulos agudos L B Y L e son las siguientes:
f.¡~ UN TRIANGULO RECfANGULO.
SF.N"O.
Es la razÓn entre el cateto opuesto a la hipotenusa.
T RI GO'l:OMETR I A
Notación. Sono del Imgulo B
~
escribe
""
~B.
b
senB = -.
a e senC = -. a
e
a>sENO. E> l. :ron entre el cateto adyacente y la hipotenusa. S. abrevia, e cosB = -a . ,~
O
b
"".
B
A
e
b
oosC=-. a
Fil. 307
TANGE.r>.'TE. E.c; la rawn entre el cateto opuesto y el cateto adya. cente. Se abrevia ton. b e
lanB=-. e
lonC =¡;:.
COTANGENTE. Es la razón entre el cateto adya<:ente y el cateto opuesto. Se abrevia coto e b
cotB =¡ ,
cotC = c'
SECAN T E. Es la razOn entre la hipotenusa y el uteta adyac.ente. Se abrevia sec. a sec B =-¡ e
e
COSECANTE. Es la razón entre la hipotenusa y el <:atcto opuesto. Se abrevia Cfe.
10 Ejemplo Dado un triángulo rec· tángulo cuyos catetos miden 6 y B cm, calcular las fu ncklnes trigonometricas del ángulo agudo lIl8yor. Por medio del teorema de Pitágoras, calculamos la h ipotenusa:
BO = A8>+ACZ
B
8 L - - ---¡r- ----'A
C,EQMETR1A PLANA \' DEL ESPACI O
W = 62+8"=36+64= 100 BC'" = 100
BC = vIOO= 10.
Sabemos que el angulo agudo mayor es el ángulo B (Fig. 3(8) porqUP. a mayor lado se opone mayor ángulo. 8 senB = t O= O.8
8 4 tanB= -= - = 1.33
6 rosB =-= O.6 10
cotB = g = :¡ = O.75
~ p
•
•"
,
•
•
6
3
"
5
-, = 1.67
5 cseB = 1f = ;¡ = 1.25
d~ (I
r.f
,
10 #cB = - = 6 10
,
"
6
, ,, "
."
J';• . 309
~85 , ruNCIONES y COFUN· ClONES TRIGQNOMETRICAS DE UN ANGULO CUALQUIERA. Consideremos los ángulos G, {J, r y ~ que en un sistema de coordenadas tienen su lado ternúnal en el t·, 2~, 3~ Y 4" cuad rautes respectivamente. Tornemos Wl pw1to en el lado termma\ y consideremos sus coordenadas y su distancia al origen.
Las funciones trigonometricas se definen así: SENO.
Es la 1'37.(,n entre la ordenada y la distancia al origen. AE
sen (l
= DA •
LQSENO.
sen {J
=
TANGENTE
AE
ti
seny =OC '
sen~ == .
00
Es la razón "n!.re la a bscisa y la distancia al origen.
OE CO.f G = OA'
tan
En
CF
BF
Oii
= (fE '
OF
ros y
= OC' •
OE
rose ==· DD
Es la razón entre la ordenada y la abscisa. BF
tan fJ = üF'
CF
tanY = OF'
DE DE
tane = o=== ·
.,
TRI GO~OMETIlIA
COTANGENTE.
E,¡ la razOll entre la abscisa y la ordenada.
OT::
001
ca
75F ootr =c¡,
= AE"
SECANTE.. Es la radln
~nlre
ol!
cot (! ==. DE
la distancia y la abscisa.
sec l'
= oc -=-= , OF
sec (! = ~ . OE
COSECANTE.. Es la rawn entre la distancia y la ordenada.
DA AE
csc ca = = ,
cscr=
oc
OD
e,,'
CSC (! == . EU
Ejrmpb. a ) Calcular las funciones: trigonométricas LXOA= a (Fig. 310), sabiendo que A (3, 4 ).
d = y3"+4"¡
d = V9+ 16 _v25;
del
d =5.
sen ca
=• '5 = 0.80.
COl
tan
=• 3 = 1.33.
3 COI a = . = 0.75.
(1
(1
ángulo
3 = '5=0.60.
S
csca = 4 = 1.25.
v
•,
•
-----
O
I
'"i
, ,
-1
-2
-,
1 1 1
I 2
fi,.
- - A(3.4)
,,'. ,
"
';'
2
O
'l.
_SL 'S
y' F i¡.
b) Calcular las funciones trigonométricas del ( Ftg. 311 1 sabiendo que B(2, - 3 ).
(
X
•
~X
SIO
d = \!2' +
2
3)'
y 4 +9;
su
lmgulo d=
L XOB = ,
v'13.
GEOMETRfA PLANA Y DEL ESPACIO
- 3
MnZ ft =--== y 13
-303 .
ros
13
- 3 km/l =-r =-1.5.
fl = •
2 = 2Vt3 . v'13 J3
2
.
coI ,. = - 3 = - 0.67.
03
set:fJ =~·
Yi3 - ',/1 3
y
•
,
+~ , o
/l+ :
- 'o
X
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B
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...". S" AF
= 'DA '
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cola ='AB '
1
11
111
IV
+ + + + + +
+
-
-
'"Funciones
-
+
+ +
-
-
+
+
trigooomitrica.. de 1m linliun 1m c:uadra.ota.
á.ogWm que: (0° , 90° , 180°, 270°, 360°). ~. deremos el ángulo a (F.1@:. 313) . Las funciones trigonométricas son :
y'
sen CI
.
386. SIGNOS DE LAS }¡1JNCtOl\TES TRIGONOME· TIUCAS. Considerando que la distancia de un punto cual. quiera al origen de coordenadas siempre es positiva. vemos que los signos de 1 8~ funciones en los distintos cua· drantes, son (Fi¡: 312 ):
, ~
o ~:•
V-
3
A
o o
a___.. ,
ac !J = _ 3;::::;:'
o. =-=.. OA
AB
tlU1a =O'B '
DA
$#!C a
= OB'
OA
ese
el
= AH '
TR1GO:XOMETRIA
-,
Valores para a = O° . Si hacemos girar la semirrecta DA de mnl1l!ra que coincida con el semieje tendremos:
m.
a = OOt
AB = Ot
Enlonces:
O
AB
M!noo= Q.i¡ = OA
=0.
COI
OB OB ros Oo==..=== l . DA OB AB
O
UI1
UH
OB OB 0° = - = = _ = oc ( no existe). AB
O
DA OB sec Oo = = = = = I. OB OB
lun Oo=-=== =O.
-U= "
( nuexi.' I~ ).
Nota importante. La cotangente y la cosecante de 0° no erimn (Jorque no se puede dividir entre cero. Se representan a Vece5 por el. simbolo "Xl (se lee infinito) que indica que estas funciones trigonométrica!i van tomando valores cada vez mayores. llegando a ser tan grandes como uno quiera, a medida que el imgu10 se acerca a cero tomando siem pre va lores positi\"l>S. No hay que olvidar que :t;I no #!$ un núml!FO., sino lID. simbolo.
-,
=
Valores para ti 90° . Si hacelTlOl gIrar la semirrecta DA de manen que COincida COI"! el semieje OY, te~mos: el
= 90° .
UB = O.
Entonces;
AB AB sm 90o===== I .
OB O 00190°= =- = = =0. AB AB
cos90o= OB = 0 = 0. DA DA
sec
DA
°
AB
AB
AB
tan90 = = = - = OB U
DO.
900
VA OA = OB =O =OII.
o_ OA _ AB_ csc90 _ = _=-_ 1. AB AB
=
Valores para a 180°. Si el giro de OA. continua hasta que coincida OX', tendremos que 0lI es negativo y a = 180°, GlOIo€f ...... IbLDOIIII _ t I
AB = O,
OA=-OB.
'"
GEOMETRf.\ ¡en
Pl.A~."
O -O. _ =AB __ __ l BO o_ DA DA (1
ros 180
08
==
DA
Ion 180
0
V DEL ESPACIO
OB 08 ror l ijQo==- = _ ="" ( no existe). A8 O
08
(1
= - = = - 1. _ 08
.
= ~: = -¡}¡¡ = O.
DA
=08=
- 08 08 = - 1.
DA DA ' . (:.
AB .
O
Volores pora (.1 = 170°. Continuando el giro de DA hasta que coincida wn el sem ieje OV', tendremos que A1f es negativo y
08=0. sen270
(1
AB DA
-QA = - 1. DA
=~=
0700 _ °11 _
'V< 270 o = 08 = O =0. DA DA
ton 270 0 =
AB 08
AH O
-==: - -
= ..; (no existe) .
rot~
O-O - A'B- AfJ.
sec 270 0
OA = =DA = = = 08 O
<10
DA OA c
(no existeL
=_ t .
VolOres pum ti = 360°. Si seguimos el giro hasta que vuelvan a COlIlcidir o;r y OX las fun ciones trigonométricas de este ángulo. lendnin los mismos valores que calculamos (laMl O° . es declr: sen 360° ros 360°
tan 360°
= o. =t.
COI
360° = no existe. = t.
sec36Qo
=O.
ese
~o
= no existe.
387. RESUMEN DE LOS VAl.ORES DE LAS FUNCIO NES TRIGONo. METRICAS DE LOS ANGUJ.oS QUE LIMITAN LOS CUADRAl\'TES.
~ ~
0° O
90°
l SOO
I
O
I
O
O
no existe
I
no exiql'
U
I
noe.i~ le
--
-- -.. n
ro< ~
""
I
II
-
O 110 existe -
no existe I
1
I
1
110 "xi ~ le
I
-
1
O
O
I
no eXiste
O 110 existe I
O 110 f"x i~ te I
110 eXI ~le
Estudiando la tabla anterior vemos que el seno loma los valor~ ; 0, l. I r su \'alor mínimo es - 1. O, -1 , O. El¡ decir, que su \'a lor m~ixill1o e.;
+
,,,
TRI GONQMETRIA
+
El sene> vllria entre + t v _ 1, no pudiendo tomar va lores mayores que 1 ni yalores menores que _ t. Obseryando el coseno. yernos que también yaria enll'l'! t Y - 1. Si ana lizamos la tangente veremos que su variación es mas compleja. De 0° a 90° es positiya y yaria de O hasta tomar valores tan grande; como se quiera. Para 90° no está definida y de 90° a 180° pasa a ser negativa, variando de ,·alor.es negativos muy grandes en \'alor absoluto hasta cero. De 180° a 270° vuelve a ser positiva variando de cero hasta valores tan grandes como se quiera. Para 270° no está definida y de 270° a 360° pasa a negativa variando de valMes negativos muy grandes en valor absoluto hasla cero. Las demas funciones varian análogame-nte. Estas variaciom!s se puetleu resumir en el si!:{Uienle diagrama:
+
..,,,,
•
." ,,, ';'-..1
r-
'"
-,
O
,,,
•
NE GATIV O
•
I
•
POSITIVO
00'
F FUnOonq trigonomccncas de ángu. lo!; noubln. Es posible calcular fácilmente los \'alores de las funciones tri· gonométricas de 30°, 45° Y 60°.
E
A
o
B
Cálculo th los !Xllores de lar Jun . c-iOfIU
trigonomitricos de JOO(FiJl" 314 ).
360° L AOB = LEOD = - - = 60o; 6
OA = r; AB = /a = r;
--
l.
•
AM ='2 ='2 ;
e
'"
CEO Mt:IIU t\ 1'L.\:'Io1\ ,
DEI. ESPAt:IO
, ::ud
~
DA
r
rl
Si!Tl30<> =~=-=-=-.
2r
2
, YT
ros
OM -.-- __ ' V3=_ 0" 3O"=oz::=r=_=
DA
r
2r
2
, .o AM 2" r 1V3V3 um30 =--=--= __ =_._=_ OM ,,/J , 0" v'f 0 3
-.--
r V'T COI30•
OM - . - = __ , 0"= Yj. =--=-=-AM r r ;¡
ese 30°:...- OA = .!: = 2 r =2. AM
DI).f----~\>iA ,
,,
90· / /
/
,'
'( O)' ••. , , ", '- ,
-- -M - - 45-
,,
C:'\If-----~.
,
,
¡; Cálculo lk kn ,JOlorC$ de las fun ciones 'rigonomhrifXlS de 45 <>( l'iR. "i 1. 360" L AQ8 = ¿COD 90°.
=-.-=
AB = 1,. = r ..j2: AM
AB
r v'2
= DA' _
AM'.
=T=2-'
OA = r.
OM:
TRIG O ;,\;OMI:..R IA
, yo
, fil!n 45
-2- r \12 ..J2 =-:== - - = - - = - . OA r '1, r 2 AM
r v'l coso450 = OM = ---r- = r V2 = V2, OA
r
2r
2
' y2
AM -,2 r "l2 tun 45° = OM = r ..j2= 2 ry2 -2-
COI
r\/!l OAd - . - '1,rv'2 45° = -=-=--==~~
sec
45 °
ese
45° = =
AM
DA
-.-.-.-
1.
1.
r \J'I.
'l r \f2,
r
'1, r
2..j2
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_
2r
2
v'2
2 V2
-
r v'2
y2
v'2
2
= OM = r ...;2=~= \1'2' 0- = -2- = \12, OA AM
=- _
r
r v'2
= --_=---=-" ---=-=-- =y'2,
C&lclllo JI! 10$ ,vrlores Je Ins funcione¡ triflO'lOmEtrieas dt: 60° ( Fifl" H fi
360' L AOB = L AOC = 3-= 120°.
,,,
GEOMETRIA PI.ANA " DEL ESPACIO
OA = r.
AB = 18= .. ..J3. -AB rV3
A
,
AM
=2=' -'
I
e
OMO
~'r¿-l' = 3~
= . . --¡-= 4"" - 31" 4
Ji._'16
OM=ft;
=.' üM=ª: r
. v'3
sen 6()0
AM = -_ . - = __ ,v'3=_. V3
= DA
r
2r
2
, co.r 60°
lJ'JW
9;
r
1
==="" = - = -= - . DA r 2 .. 2
, 15M COI6(l° -
~
t
2,.
-
-
- AM - , 0 -
V3 V3
=-'--2",/3 "'3 ",,- 3 .
- 2-
SI!C
o;r
r
2r
r
r
60°==,"=_=_= 2. OM
2 ese 60°
DA
r
2,.
2
V3
20
= AíH = ---= = - - = ---=' --=. = - r ";3 r v'J " 3 '\13 3
-.-
'"
TRIGO:-iOMETRIA
-,
FUNOON
W
60 0
2
V2 T
-.
-.
.,j2 2
I
100
I
"il
~
tan
' ,,-
'0'
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-
2\!i ~,
2>,
,~
v'J I
I
\,T
I
\,'3
,
.,j2
2
V2
2\ '3
,
F.Jf.RC IUOS ( 1) Represenlllr en un sislema de eje5 coordenados., los puntos siguientes:
ÓODt'S
P (~7, ~ 5)
K ( - 6,0) L (~ 4,~3) M( - 3, -3) N ( - l ,-3) 0 (0, - 3)
F ( 7. 6 ) G(O.5 )
A (O, O) 8 (4, O) C(3,2) D ( 7,2 ) E(6,8 )
H (~ 3.3 )
1 (-3.1) J (-5.3)
Q (2, 11 (2, -
2) 4)
S (5. -
4)
T(8. -
2)
(2) En el lriil.ngulo rectángulo e, ABC ( L A = 90°), calcular 11:15 funtrigo.lOffietrX:as de los ingulos B y C, si b = 2 cm y e 4 cm.
=
_
V5
cotB = tonC = 2.
R.: senB - ro.sr=T · ro.s
B =.fen C
2VS =,I
tmI8 = cotC=
~
"';5 .fecB=csrC = T " CJr
8=
lec
e=
\.: J) .
.
,
(3) Doldos los pUrlIO" A (2.3 ) Y B(-
I , 4 ) calcular las (unciones IriRO-
J'Jf.It»MricBs de L XQA y L XOB. R.:
3,,"li
.! :rOA
13 "
'0' L AQA
=- - , .1 .
.!'11
.¡ff
2\ JJ
Iw¡
3 L XOA = 2 '
l'O$
¿ XOB =-1'7 '
lan
¿xon
•
L XO A = '3 '
== ,,/ B
vn
, +) Decir
~i SOIl correclOS o
J ) >en 3(.1"
~ ¿ XOB
2
ese L XOA = j-
= -v'17. '1117
L XQB :....--,
•
'
d. "~ los ~IB'KJI'
=~ .
,
Il!~ S~Ulentl!S
funcIOnes;
6) COI 210° = \1'3.
f.
7) ese f 35"
=-
VI
8J
l'O$
1St)"
= _ ~3.
-
9)
lall
(20 ~ = ~.l
JO)
lec
30(1"
2)
=
45°=_
3)
1=
00° =
4)
.~" 240"' =
4.
J L XQ8 = - - .
2
L XOA
-
~
2.
S) ros .2.25" = y'il 2
It.: Correcto
== -
\,12.
2.
1 _ 3 _ 4 _ 6 _ 8.
( S I :Decir si son posibles o no, los siguiel'llf"" Ylllores: 6 ) (an 11 == 4.09. 7 ) ese F =-5. 14.
1) $ecE = - 2. JI:I. 2) tan T 0 .02. 3 ) sen X = - 1.18. 4 \ cot T 3.21. 'j ) ese P 0.03.
=
8)
== _
=
R .: Son
ros
8 = - 0.05.
9 ) cosY = - 3. 14. 10 ) COI D = - 4.16. ~ ibl ('<;
1- 2 - 4 - 6 -
7- 8 -
10.
'"
1RJ(¡( I:"OM ETRI ,~.
(6) Calcular
I~
valores de las t'xpre¡¡iones
1) 5 sen' .~ o + 8 ros" 30° 2) 3sen
300+ 6~45 °
3) 5 tan" 45° + 2 ut:' 45° 4) 4 ro, 60 0 +5csc W
'ca.<
~iguienles :
I
R.: 8 I · R.:
... !. .
R.: 9
"
R.: 12-
30° + 6 sen 45°
R.: 2 0+ 30:
6) 6 tan 300 + 2 c:sc 1-50
R" 20 + 20:
7) senZ 30° + sec2 45°
R.: 2!
S)
8) ros' 60°
+ sen! 45°
9 ) cw 16° + coi' 30°
+ Ion' 45° 30° + CJiC 30°
10) cw 30° 11 )
sen sen' 30°
+ coi' 60°
12)
13) 14 )
IS )
R.:
"
.' 3
3 R.: 2 ;¡ ,
R.: 5 R.: 5, R.:
1
10 ·
R" O'
ese' 45° + cscf 30°
7 R.: lO '
cos 60° + cos 30° cw 300 + un" 45 o
R.: 1 + 0 9
+ Jan" 30° + senZ 30°
¡j
23
Funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, etc.
J88. ORCUW TRIGQNQMETRlCO y LINEAS TRIGONOMETRICASo Se llama circulo trjgorwm':',-iro aquél cuyo rodio vale la unidad. Sean XX' e YY' ( Fig. 3 11) un sislema de ejes coonJenados.. Tracemos el circulo trigonométrico de manera que ro cenlro ("oinc~a COd el origen de coordenadas O. Consideremos un ángulo cualquiera L. 0, en el primer cua~ drante y meemos BD .1 OX, Te 1. OX, AM 11 OX y RS .1 Aplicando las definiciones ya dadas de las fWlciones trigonom"triO:ls.
-,
-ox.
BD
BD
Bf)
OB
..
I
seno =- -==-=-= BD.
'"
.' UNctONES TRIGON{JMETRI(;AS DE ANGULOS (;OMi'I.EME..." ..\IUOS
00
ro.f
Il = OS
OD
'I~
00
= --;- = -,-= OD,
BOTCTCTC _ tanll = -= =-=-=-=-=TC, 00 OC f I
rol
00 OS AR a = BD = RS = (M"
AR
AR
= -;-= - ,- = AR.
Oh OT OT OT seca =-==-= = - = - = OT.
00
OC
1
f
08 OR OR OR OR ese a =-=- = -= = -=-=-=-= OR ; BORSOA f 1
,
, •,,
,
"
o
,o'
-<-
•
,,
o
"
,
r._
317
En cada uno de los otros cuadrantes, la representaci6n se obtiene de Wl8
manera analoga ( Fig. 31 8).
38!l REDUCCIQN AL PRIMER CUADR.ANTE. La conversión de un. función trigonométrica de un ángulo CUlllquiera. en otra función eqwvalffut' de un angulo del primer cuadrante, se llama: "reducción al primer cuadrante"
GEONETRI .. PI .. ~ ... Y or.1
~20
,
,
,
"• • ( " , ,
•
~\ ,
F.~P ... (; IO
",
"
,
"
"
•
~,
•
~
~ .
"
" ric".
,
"
318
Los imgulOl!i que se relacionan en estas reducciones son los complementarios y suplementarios por defeclo y por eJ(ceso y los eJ(Jllementarios por defecto. D)
Dos ángulos ,;on c{lfDplementaMos por defeclo cuando su suma vale 90 D y complementario.. por elCceso cua ndo su d iferencia vale 9OD •
b)
Dos ángulos son su plementarios por derecto cuando su suma vale t BO D y suplemenla rios por eJ(ceso cuando su diferencia vale 180D •
e ) Dos angulas son
eJ(plemt'l1tario~ ~
defecto cuando su
suma
vahv 360D • y
.'
A
x ' -1------o~~·~tr-x O 14. B
390. FUNCIONES THIGQNOMETRICAS DEL ANGULO (90'L a ~ En el círculo trigonométrico ( Fig. 319) 10li tmngulos rectángul(l5 t::,, 80A y t::" A'OH' son iguales por tener la hi· poIenui\.Q y un lingulo agudo iguales (DA = OU = Luego DA'
y' rit:o 319
sena
= AB.
ros a = 08.
1)'
L BOA = L OUA'f.
= AB Y A' B' = OB.
Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios (1 y (90° - a )son:
sen (90° _ a ) = A'U = OB. 001
(90 0 - a )= 0A' = AB.
FUNC IO:\'ES TRI GONO METRICAS DE ANGULOS CO M PLEMENTA.RI OS
lan a
A'll
A8
= l51í .
08 A8
tan (90°_ a ) =-==~ .
DA'
°
DA' A B'
A8
a ) = ~ = ='
(90 ter (90 ° -
a)
08
Oif = '=-"'-, DA = ___ DA' AB
° 08' DA cse (90 - a ) = A'B' = OB '
DA
csr:a = = , A8 l)p
'21
af!ui se deduce:
CO$
a,
a)
= sen a,
(f,n (94I" _ ;o )
rol a ,
COI
(1)0"' -
(911' -
a)
=
((/113
(90° _ a l rfe (<)41 ° _ a )
=
.st!r
( 'ot
.fOC
= ni: a a
Los {unriones /rigotlomh r;cus de un ringulo ron ;guules, en valor abroluto l' el/ ,l/MilO, ufos cu/unáonLt del angula comnlcmelllurio ¡1Or tk/ecto",
Ej~~
i(}l.
= sen (90° _
30°)
= ros 300 = ~3 ,
tan 7Uo = t01l (90° -
70° )
=
sen 60°
COl 2(1 " ,
FL:-':CIONES T RIGONO'1ETRICA'i DEI. ANC, l1 W
( 180° _ a )
En la figu ra 320, lE'nemos: OA = OA' = r = l ;
AB =A' 8';
08' = - 08,
= A 'E = A8,
t;en a = AB,
sen ( 180° -
oos a = UH.
ros
( IROO- a ) = 0lF= - OB.
((111
( 180°_ a )
All
10na = 08 '
col ( 180 ° _
DA
5« a = 08 '
DA
csca=AB '
°
a)
A7J?
AH
06'
- 08
=~=-=- ;
a)
Oif - OB , ==-=-=-
DA" . = DA' =-=-
A'B'
SU
(180 -
a)
rse
( 1 RO" -
8 ) = ""5:;;'
08'
DA'
AB
- OB
DA = -=- , A 8' AH
'"
(:OOMETR.IA PLANA Y DEL ESPACIO
De 811Ui
S(l
deduce:
y _~en
FÍ&'. ' 20 Y
•eo+-
~
f
•
•
,' --ffD----;7I:!o~-'__O,+- '
( 180°_ . )
ton
• "=--=--!;,+• " --f-lr--'--Je.: '
y'
= Si!n a
ros (180°_ a ) = - co,s ..
•
• O' -
( 180°_ . )
= - 101'1 •
col ( 180°_ . ) = - coIa
=_ 5« _ . ) = (se a.
~«'
( 180°_ . )
ese
( 18()"
" Las fWlcion.es 'r'gontJmtÍtl1cas de un angudo ~I iglllúefi en valor obso· luto Q lizs funciones trigonomh rica.s del angulo suplementario por de/octo, pero de J"igno con/ runo, ron ftzupción dr./ SCI10 Y de la NJSt:COnfC que 1011 del mismo signo" . Ejempb.
= sen ( 180
sen 120 0
=
_
60° )
,
600 = y'3 .
= COI (1 80°_ 60°)
COI 12(10 Y' F • . '21
SI!1I
0
= - 001 60° =_
"¡".
392 FUNCIONES TRlGONOMETRICAS DEL ANGULO (1 800
+ a)
En la figura 321, considerando los triángulos 6 AOR y t::. A'OB'. tenen\05: OA = OA" = r = l ¡ 08' = - U8 ; A'1l = - AB. sena
= AB. AJí
tana = OB "
Oli AB
cota = ....,--,..
sen ( 180
lan ( t SO
lJOl
0
+ a ) =Ii'ir = -
o
A'li' = - -n;;: A11 " + . )= -=
o
( 180
OH
A1i.
- 01:1
Oit =---==. -08 + .) = ~ A' u - AB
fUNCJONES TRIGONOMETR ICAS DE ANCULOS COMPLEMENTARlOS
DA
Uf;
s«( l 80
a = OB '
o
QAT
325
DA - OB
+ a ) == =~.
08'
DA
c:sc: a = AB ' De
aljllÍ se
.~n
(180°
t:OS
deduce :
+ a) =(180° + a ) 0
tan ( 180
ser!
a
=-C'I)S
a
y
+ a ) = tan a
A
(180°+ a ) =cot a s«( t 80o + a )=_s«a COI.
X' T-~~'-ijl-x
rse (180°+ a ) =-csea
A'
"Las !WICitml!S trifIO"Omélricas tk un Qngulo son iguales en valor obsoluto a /ns JUflCKJnes tkl tingulo Sllplemernario por exa!so, pero de signo
y'
r.-. 322
conJrario e7cepto la tangente y la roltmgente que SDn del mismo signo. Ejemplos.
= cos (180 + 30°) = - cm 30° = -(3 . tan 225° = tan (180° + 45°) = tan 45° = 1. ros 210°
0
393_ FUNCIONES TRIGONOMETRlCAS DEL ANGULO (360°_ a) . En la figura 322. considerando los triangulos l:::,. AOB y l:::. A·OB, tenemos: UA = OA'= r = l ;
ren a = AH. CO$
A'B _ _ AB.
sen (360° _ a ) = A' H= - A1f.
a = 08. AB
tan a= o7J '
lan (360
°-
a)
001 (360°_ a )
A'B -__ AB . =_= 08 08
=2!!. = -~ . A'B AB
CEOMETRI.'\ PL-\NA Y DEL ESPO\C:!O
DA' DA sec (360°_ a) =-==-=-. 08
o
ese (360 -
OB
DA ' DA a ) =-==--z=:-. A'B - AB
De üqui se deduce
y A ~+
- sen ( j6(lo _ a ) =-sena
__
cos ( j6()° - a )
,
= ros a
tan (300°_ a ' = - tana
" -+---¡¡1-4.-'-,---\-, -,
COI
( 'kilI" -
a)
=
5eC
( 3600
al
=
-
ese (.i6()0 _
a) -
cot a 1«
_
a
en; a
"Los funciones Irigorwmhricas de un angula son iguales en IJOIm- absoluto a las funciones del ángulo ez· FiJ:_ 323 plementaric, _" ro IÚ signo CQtllr(ZTio acepto el coseno y la secante que son del mismo $tsnt)"_ y'
394 FUNCJONES TRlGONOMETRlCAS DEl. ANGULO - a . En la figura 323. considenmdo los tricingulos b AOB y b A'OB. tenemos:
- =OA = = r= l¡ OA sena = AB_ (;OS
a = 08.
AB
tana = OB-'
lili
cota=-=.
AB
A'B = - AB_ sen ( - a ) (;OS
(- a )
= TI = - AIj.
=Olj.
tan ( - a )
AJB - AB ===-==-. OB OB
001. ( - a)
OB = A'OB'n = --=. - AH -......:=:-
r l' :-;c io~ f.S TRI GOr-:OM ETRICAs DE ANGL LOS COMPLEMENTAR IOS
DA)
scc (- a ) = ___ 08
DA
ese a =-= ,
C>c (-
AB
De flquí
5e
a)
DA' AH
=
'25
DA -=-"
OH DA - AH
= --=n; = --=-'
deduce:
sen( ·
cos ( - a l
a l=-.<;rll a c= CO$ a ( - a l = - lall a
rol ( a )=-OOl a sec ( - a ) =sec a
Ion
c.~c
(- a ) = - ese a.
"Las IUfldones tTlgo'¡QmétTlcos ¿. un tingulo negativo son iguales en valor absoluto (1 1m lunriones (1,,/ mismo ú"gulo posiliuo. pero de signo contrario, rzcepto el cosrno y la s#'Conle quP liel/en el mismo signo", Ejem plos. un (- 30° ) = -
1
sen 30° = - 2 '
sec (- 45°) ::; SI'C 45° =
v'2.
EJ ERCICIOS ( 1) En un circu lo trigonométrico señll lllr IlIs linellS trigonométriCfls de cada uno de los siguientes ángulos: 1) 30° 2) 120° 3) 210° 4) 300°
') W 6) 135°
7,
275° 8) 3 15°
9) 60° 10)
150° 11 ) 240" 12) :J30°.
(21 Reducir 1115 funci ones trigonométricas siguientes, a otras equivalentes, de ángulos menores de 45°:
1) sen 64". 2) tan 65° , ') scc 70°, 4) ros 80° 30" 10", , ) - ese 50" 20", 6) - tan 75" 15' 20". 7) - sen. 50°, ese 45 ° 20'_ rol 50". 9) 10) cos85°.
.,
R .: COI 26°. R.: rol 25° . R .: ese 20". R .: sen 9" 29' 50". R,: - Sf!C 39" 40'. R .: - col 14° 44' 40".
R.: - ros
4()".
R .: sec 44° 40',
R.. tan 40° . R.: sen 5°.
".
GEO METRI .... PU:>;" " DEL ESPACIO
11 ) tun 120°, 12) sen t OSO, 13 ) ese 100° 20'. 14) -SIr: 170°, 15 ) COI 135°, 16 ) -1ft: 135°, 17) -rol IS5°, 18 ) tun 170°, 19) cos 96° 15', 20) sen 110", 21 ) col 225°. 22) _ col 2'1<1° 30'. 23 ) ese 250°, 24) cos 210°, 2 ' ) sen 260° 32'. 26) - S « 250° 30' 15". 27 ) sen 210° 20'. 28) _ tan 260°. 29) $«: 25()°. 1O) sen 200", JI )
ros
305°.
l2) sec 33()0. B ) - sen 320°. l4 ) = 300". J<) COl 350" 30'.
30". -ros 9° 28', ese 19° 29' 45", _ sen 30° 20'. - COl 10°. -csc 20°, _ sen 20°. -t;t)S
R_' sen 35°. R .: see 30°, n_o sen 40°, R.: -scc 30°, R .: cos 9° 30'.
I l) Reducir 185 runciones trigonométricas siguientes 11 185 de un Ángulo positivo menor de 45°.
1) sen ( - 350" 45') . 2) ros (_ 315°). l ) tan (-2200). 4) sen (_ 190°). 5) stX (_B5° 15' ).
R.: sen 9° 15'; R" ros 45°, R.: _ ton 40°, R.: Sl'n 10°. R.: ese 4° 45"'.
GIIlGOS y IOMANOS. 0..,_ eSe iDs ,
.... ~DIDIII~
los
ev.a-
_pri_ .. WI'"
en-p ,.
~
.........
....- los _ - . lograron _ be.... _na _ ---........... _ ' - -o A kI ¡'quienlll .. _ _ ... c.wo.. , •
24 Relaciones entre las funciones trigonométricas, identidades y ecuaciones trigonométricas 395. RELACIONES FUNDAt'\1E.NTALE.S ENTRE. LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN MISMO ANGULO. En un sistema de coor· denadas consideremos un Angulo a de lado inicial OX ( Fig. 324). Tnlremos por un punto cualquiern e del lado terminal la perpendi.cular Me al eie OX. Aplicando las definidoneli de las funciones trigonométricas., tenemos:
Me sen a=-oc
(t )
'"
",
Gf.oMETR IA PLANA Y DEI. ESPAC IO
Me
IOrla = _
OM
c04 a
=
OM
....,..0=-
MC
oc = Vi'Ii1
(5)
OC a==Me:
(6)
( 3)
5« a
( 4)
ese
Multiplicando ( 1) por (6 ), lenemos: serl
ti
ese a
y
MC OC =- OC . r:;c = 1
U!'la ese
(1
= 1.
x·
sen ( l Despejando e.: a :
o y.
Muhiplicando (2) pur ( S), tenemos: ros a
OM OC sec a = ___ , - = = 1 OC
OM
cos a. sec a = 1.
Despejando ros a :
ros a
= -I - .
Despejando
$etC el
: - - --
5I'r
n'
~ I
=-
Muhiphcando ( i ) por (. ) , tenemos: lan a rol a
= MC,E!!! = I 0/'.1 M e
lana cot a = 1.
Despejando
lar!
a,
I lan a = - _ .
Despt'jondo
('Of
a:
COI a
~9f¡.
ro' _
I =-. la" a
RECIPROCIDAD DE LAS FUNCION~ 1 RIGONOi\ lETRICA$. IUlteriores se deduce que 5011 reciprocas las siguientl'~
De las fórmulas
fundones del mimlO arco' f) 2)
El seno y la
3)
1... I
El
r~8nte.
coseno ,v la SC'Ca nle. ,l'
la rohmgt'nle.
RELAC IO!\ES E.... TRE LAS FUNC IO'ES TR IGO!lóOMETR ICAS
397. OTRAS RELACIONE.." I MPORTANTES. lenemos:
Compal'lUldo este
~ultado
Dh'idiendo (1 ) y (2 l.
con (H. tenemos; / QJ1 C1. =
y
'29
..., .
-
-
ro. .
( 7)
.
I
como:
(8)
lQJ1C1. = - -
Comp'lMlndo (7) Y (1\ ' . tenemos
. "'""...
"" Rt!ln.ciÓll ,.,lIrr ,./
$('nfJ
)
=--
,./
(9)
De la,
tORno.
Me
rómlUla ~
(\
~.
(1):
(1)
Mn Q = o c -
11
y E1C\'ando al cuadrado:
Sumando mIembro
miembro:
fI
$enJ CI. +t'O~t n
=
~ + OMl = ~+OM' OCl
OC,
Pf.>ro por el teorema de Pjtilgoras ~ 4- 0.'111 $t!1l1 C1. +~ Q =
E.~
decir;
OC!
= ñl:'t
OC' = L OC'
___
w',,' CI. + ro, l
a
1.
De donde se deduce:
'l'n' a <1'11
(J
_ l _ ro~ a
\
1
r f,.
(J
\ I
'11!'11"
Q
'"o
CEOMETRI<\ PI ,"':'A y DEI. ESPACIO
r
la !WCtlnl e. Relación entre la co/{mBenfe J' la COSt!C(Jflte J' la tangente sen ! a. CI:W a = l. dividiendo por serfl d , tenemos:
+
De la igualdad
sen' a
U!n 2 a
Separando:
sen' a
+ cos'l a 1
cos' a
+ sen' a = sen' a .
I +cof· a =c~ a .
Si dividimos la igualdad um" a
+
00$' t'l.
sr,,' a + cor- a sen' a
= 1 por ~ a :
ros' a .
cos' a
I
.- + -= -. cos- a "oS' a ros" a
Separando:
Um' a I I
ser a
.
j9R. DADA l NA FLNCION THIGONOl\1F.TRICA DE l N ANC;t1l,O. LALCULAK LA!'! RESTANn.:s. 1. Dado el a l ro.l ena.
Son igualdades \jue se cumplen 1'108n1 cualey¡uierd valores del angulo que- aparece en ht igualdad. Exi ~ten vanos m¡'1Cdos llo8ra !lrobar identidades trigunolllétricas, algunas muy interesante<'. ¡)ero vamos a explicar el que nos parece mas sencillo 400. IDENTlD ADE.<; TRIGONOI\1ETRICAS.
pRnI
el a lumno:
,
Vnc1 0
cse
a.
t- '01' a
,
,
,
,~ a
+ lall' a
.u o
Ut a
,
vi + 1<,,,' 0 a
o
I
- tO,' o
,
,1 f~.1
+ 10..' 1'1
.01
a
u. o
,
'''~ a
e',. a
<0 '
v,
<", a
,,,,2 a
,
. . ,, : ( l
.~"
a
'~ a
, , ;e (1
' 0'-
a
. oa
a
COI a
, .. ~ o
. " . el
. oa
la~
= :v::;;c;"'~a:;::::;
secallte.
,~"
'~ a
a
,
".
CEOMETRIA PLANA V DEL ESPACIO
"Se e:cpreSOn todo!! l~ thminot de lo igualdad en función del smo l' y se efectúan Las opemdCH'ln indiuwas.. ronsi8ui¡:ndose ari la ,dentl dad de ambos mieml>rQS" .
COIierW
Ejemplo.
Demostrar que:
ese ... 1
,en a
l ec a
= rol a + tana;
_ l_ _ cosa+sena . ros a - sen a CO;S'.'
-;;;-;;--''-;;;;;--;- _
-sen...
ros •
cos' •
sen a
+ sen" • cor.
¡
401. ECUACIONES TRIGONOMETruCAS. Son ilquellas t'n IlIs cuales la iudJgniUl aparece como ¡fflgulo de lWlciolles trigouométricas. No existe un método general para re!iOlver una ecuación trigonometric:a. Generalmente se tnmsfonna tooa la ecuación de manera que quede expresada en una $Ola funci6n trigonométrica y entonces se resuelve como una f!CU8CK.n algebraica cualquiera. La única diferencia es que la incégnita es u no fu nción /rl gorwmetr¡CO. envezdeserr. y o L Como a veces hay que elevar al cuadredo o multiplicar por un factor, se introducen soluciones extrañas.. Por ésto. hay que comprobar las obtenidas en la ecuación dada. Por ejemplo, si estamos n!SOlviendo una eclUtción cuya incógnita es sen a y obtenemos para ella los valores - I Y 2, tenemoti que despreciar el valor 2. porque el seno de un ángulo no puede valer más de l . Resuelta la ecuación algebraicamente. queda por resolver la parte trigohorm\tric.a ; es decu-, ronoc~do el valor de la función Lrigonometrica de un {mgulo detenninar cuál es ese angulo. Recordemos que lóls funciones trigonom':tncas repiten sus valores eo los cuatro cuadrantes, siendo pOll"itivas en dos de ellos y negativas en los otros dos., es decir, que hay clOl!i ángulos para 10I!i cuales W18 función trigonométrica tiene el mismo valor y signo. Además., romo las funciones trigonometricas de ángulos que se diferen. dan en un núme r o exacto de "Vueltas., son iguales, seni necesario añadir a las soluciones obtenidas, un multiplo cualquiera de 360°, es decir, n · 360°. Ejanplo l .
Resolver la ecuación: 3+ 3rosx = 2sen 2 x.
RELACIONES E..'1TRE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
939
Expresando el seno en función del coseno:
3 + 3 ron: ;:::: 2(1- aW x) 3+ 3 cosx= 2 - 2cos"x
+ 3-2= O + 3cosx + 1 = O.
2cos' x+ 3 ros x 2 c.us
2
X
Considerando cos x como incógnita y aplicando la fórmu la de la ecuaciOn de segundo grado resulta; ros x
=-
3 ± v'3 1
+X2xt
- 3±v'9=8 -3±y'1
2X2
=
4
4
Separando las dos raíces: COSx=
co.s x =
Las
W IUc)Olle$
- 3+1 4
-+
-3 - 1
~= - 1.
+
son·
P.ro
1 oosx = - ?l
Para
oosx = - l
x
= 120
0
± n . .360".
+
Ejcmpkl. 2. Re50Iver la ecuación sen x t = CO.I' "Expresando el C06eno en funci6n del seno, resulta :
sen x
+ 1 =v'1
sen" x
(senx+1)I = [v'1
sen"x
sen"x]2
+ 2 sen x + 1 = I - sen"x
.sen"x+.sen" x+ 2 senx + 1 -
1= O
2 sen"x+2senx = O sen" x + sen x = O scnx (senx + 1)= 0.
Las dos soluciones son: senx = Oj .senx= - i. x = 90 o ± n 360". Para sen x = O PtlllI .sen x - - 1
-
-3±1
+
GEO METR I" PLAAA Y DEL ES PA C IO
EJ ERC IC IOS Calcular las olrllS /um::ionl'{. l(lb'l'"du:
1)
1
senx = ~.
R .: rosx =
~3 tan x = ~3. -
2v':r
ootx =v'3 , seex= -,_ ese x = 2. 2)
R.: sen x COI
= 2~6
tan x = 2\16.
x ={f. sec x =5.
5y6
esex = 12' 3)
,
3 R.: .smx = S'
tanx = 4'
. _ 2y'j3 ' _ 3yrr R.. sen x - 1'3"'" rot x - ---¡r'
4)
2
ton:X = J'
Vl3 secx=-3-'
csc:x=~ . 5)
_ ._:-J3+
'---5
'
R.:
3y34
senx = ~.
3 t(Ulx = S' ese
001
x.=.vi
504
rosx=~.
5 :X: = 3"
,
RE U\C IONES ENTR E I.AS f UNt: IOl\ ES TRI GONOMETRICAS
203
'.1
3VIT
R .: se". =~ , r::os . = ~.
2
I U"X = ,r' CQI
7)
set'! x +ros x = 1 _ _'_ . sen x la"x
8)
ro... -.= sen x. ro,
9) ' O) 11 )
12) IJ )
' 4)
I - sen . sen' 1; =
ros x - ..-:i":=::1 +umx
"-'-=="""", cw "--" 1;
15)
' 6) 17 )
' 8)
lan,, - um . ~' x
,
'9)
secy+ lany =sccy - tany.
20)
lanx+rol
2' )
~_ , OOOI _ U
JI:
= un
JI:
1
co.r
X
3
X = [.
'"
CEQMETRIA. PLANA. Y DEL ESPAC IO
1 22) t - 2sen'I= 1 23)
.en. --=sec X _
24 )
(S«
"'"1
COI ..
....
X
= t + sen:L
tlUl . ) '
+ sen x )
25)
ro.tl x = ( 1
26)
( I -sen" x ) ( 1
27)
tanlx + tan x • '
sen. + oos sen x
sen ,,).
( 1-
+ IOn" x) = 1. secx+cscx &t!c x C$C x
x
ros x
29)
1 sen'" . co.st" + ~ x = 1---,-. a, x t an x + tan y = tan. l an )" (COI . + COI y).
JO)
2 sen! JI
ji)
ton y +cot y = scc y . ese}.
32)
1+'nn·,. = ~ x ·
33)
ton l "
34)
t
28)
+ coi' " = 1 + sen'
. COl""
ros .. _
= $(m' " + cos'
)t.
+ 2 sen x cos " = .sen " CO\J " ( 1 + 001 x ) ( 1 + tan x ). 1 + ~--.!.. ' _ = 2 sec2 y. ! +.sen y I sen y
35) jf¡)
2 tan x + 1 =
37)
3 sen x ros x
j8)
um II
+ CO$
39)
2. tan
JI:
40)
-
Cl»x+2.sen",
"'"COl x. = 3 sen2"
lO:
=
+ cOS = ~+2senll . ro. . II
41 ) 42)
tan3 x csc2
'-
tan" "
-
('01"' II
JI
COl'
sen:ll:+ tan x mi. 111:
.
f- ton . ).
COS ,. ( 1
= cos2 sen x sec x cor x = t.
43)
ll.
+
CSC' "
JI
JI
•
COl· x.
.nm· JI = l .
=sen
:11.
tan JI..
RE.U..C IONES ENTRE LAS FUNCIONES TRI GONOMETRICAS
+ rol :o: ::::: _~.=ec':,:':..., cot x tun'- ,,_ l '
tan " tan x 46 )
-HI.
+ -'' --:=; ro,. '= ' '''::x = 1 + tan x + cot x.
tan x rol •
2
1 = .fen' z _ coS"':I:.
~n'! Z _
+ ""J -;:;;;C;;"" ser x 1 50 )
cotx - tan :o: tan :o: +rotx
1 _ 2sen 2 ",
4 i)
343
,
1 1 +lan2 y
;::: 2
.w!'c x + l 1
C$c
x . rot x.
+ ,tan' x = sen' x-sen' y.
=d + tW1 d = ,-"'Ó,,=nCd " .
51)
sec d
52)
lanx (cos 2 x -sen: x ) I tan""
53)
lan·x -
7+)
(l-sen2 fJ )( I + IW1' fJ ) = sen fJ s« fJ cot fJ.
55)
(senB + CO$ B)" + (sen B -cos Bl' = 2(ton>8 cor'8+cotr8 scn28).
cos' x - sensen x ++cos :o: l
"
scc;< ", = 1- 2se&' " .
R~lver
las siguientes ecuaciones. Las menores de 360". 56)
sen x = sen 80° .
57)
C05
(4()0 -
ll ) ;:::
58)
(."OS
Y=
(60° -
59)
Ion x = tan
60) ( 1) (2) 63) (4)
COS X +2lif!nX;:::2. 2senx ;::: 1. 2 cos x rot x. esc x = secx.
C"O.f
)'). 2x
=
65)
tan x - l =O. 2"". .. 00&' '' ;::: .3 - .. cos x.
66)
("0.(1
67) 66)
.i oos2 x + sen'! x = 3. 2 sen! x sen x = O.
x
3(t-sen x )
+
"
se dan ¡>ara ángulos
R.: SOo. R .: 20°. R .: jOo.
ros x.
(i -
~C"iOllf'S
)
R .: 30°. R .: R.: R.: R .:
90°, 36° 52'.
30° , 150°. JO o , 150°. 4-50, 2:25°. Ro 30° , 150°. R.: 60°, 300°.
H..: W. EíO o, 90°. R.:
0° , 1800, 360°.
R.:
()O,
180°, 210°.
,..
COOMETRIA PLANA \' DEL ESPACIO
69) 1O)
CO.l' X
00.1' JI.
+ 2senl Jt = 1.
= -V3"stn x.
11 )
v'3sen x = 3 ros x.
7') 73) 74)
t.vr· -I
=
3 = 2 s~:o: .
csC' x 2 COlI x . sen x = ros • .
R.: 0° , 360°. 120°, R.: 30", l SOo, 210° , R.: W. 120°, 240° , , 135", 225", R" R.: 4ó", t35°, 225° , R" 45°, 225".
..,0
240°, 330°,
300°, 315°, 315°,
IL HOMIft MOOHNO EN LA Al'UCAClaN DE LA 0f0MIfIKA. W. _ co ......cdMet uIIII.o" ....... ..... a • _, ... pi"""'", .. cirOllllf_ a., . . . poro .............. ~ .... ....... wIor.. h ... ., Ioud6w .. u_u ......... ,..., ..
25 Funciones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos 402. FD"'CIOl'\E$ TRIGOl'\OMETRJCAS DE LA Sl 'MA DE DOS Al'\ GUIDS. Sean l XOC= ¿ a y l COD= L b. dol Angulos CU~'8 suma es lXOC+ l COD = l XOD = / a+ L b. Por un JlW1to cualquiera de OC. tracemos CM .1. OX y CD .1. OC. Por el punto D Irnct>mo< 'jjjij J.. OX y por el ponlo C. IrucCIT\05 CII 1. 7J!iI'. Consideremoa b
En l10CM y b,rDII
Iriángu 1011 l1OCM . l1COI/ y !:lOCO
¿CDII
¿ MOC-Q
,.,
100f' ., 'I&Inb. oogudoo. y tI;' r 1.,11, 1If''1lfndic.,lart''o
.
,
COOMETR'A
+ b).
Cálculo de um (a gura 325. tenemos:
sen
(a + b)
NO
= =00
PI~'NA
Y DEL ESPACIO
En la fi-
,
(1)
+
o
Pero: ND = N H HD (2 ) ........ . (el lodo e; Igual a la suma de la ~ fk... rt('~) .
y
N H = (VIL' (lados upuestos
(3)
de
un
Sustituyendo ( 3 ) en
r('C] li ngulo) .
(2) :
ND = M C+ H D
Sustituye ndo
(4 ) en
. .. .... .
-'O~~---No--o"------ X
(4)
HII'.325
( 1 l . tenemos:
( + b) sen a -
~+ HO .
ME+ OD7liJ
OD
OD
!\1uhiplicando el n umerador y denominador de la primera fracción por OC y el n umerador y denom in ador de la segu nda po r Cli, tenemos:
M e oc HD CD u n (a + b) = -=- ' -=+-=-, OC OD e D DO ' Pero:
MC
( 5)
liD e D =cos a .
OC=sen a ,
CD
OO =$Cl b .
Sustituyendo estos va lores en (S . ,en(.'1T\OS: sen ( a
.
+ b)
sen;o. ros b
{.alculo
d~ ('US
ON
cos(a + b) = -==-.
00
y romo: -,;;r¡;¡ = H C.
+ b l.
(t)
El todo es igual a la suma de las partO"< _
Pl'ro: OM = ON +MN
7JÑ= OM -MN
(oa
+ ro< a U'rr b.
(2)
Du pe jéllldo ON
"
l.. Ido..
" l'ue~l n~
de UB n 't" l"n guln ;
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS D:E U. SU M"" y DE LA DIFERENCI....
,.1
sustituyendo (3) e n (2 ) , tenemos: ON = OM - HC.
(4 )
Sustituyendo (-1-) en ( 1 \, tt>nt>lTlOIi:
C05 (a+ b)
= OM- I/C 00
Multip licando el numerador y denominador de la primera fracción por OC Y el numerador y denominnd
m,
