Geometria y Trigonometria de Baldor

1,f.OMETIU \ I'LA"r-A 't DEI ESPACIO

Se llama ""BlIlo esfr"ro en un punto el formado por dos arc~ ue circulo máximo. Se mide por 1"1 ángu lo formauo por )¡tS tllngentes a In~ orcos en el pW'Lto. ti.

{77 AHEA DE UNA ESFl:.RA \ lll:. FIGURAS ESFERICAS. La ubtenciOn por metodO$ elementales de la fórmula del area de \lna esfero """ algo laboriosa . Requ iere los siguientes pasos: El area engendrada por la base AH de un t riángulo isósceles l:::.OAR at girar alredew... dI' un eje e que 110 corta al triángulo, es igu
En c{ccto: el área engendrado por AR en su giro es el arca !¡)tf'I'al de !I"{jn(IJ de t'OlIIJ de lado AB y circunferencia media la de radio 11M. Luego: Afea engendrado llOr AB

= 2 TI 11M X AB

ClERI'OS

RE.OO:'\()()~

1'('lv I, ~, !r¡;iJlflUlo:. Ó OIl,~ ., . Ó ABD son >oemejan !t:>s :

AD

..18

OH

=

HM

J. Con ~ l(leral' una Hlle~nC >a . r lu~ Irilillgul<"l" j"wf>I,.... '1'0,' Sf' rumIan um e ndIJ lo. \"c rtices Je la pdigunal ron el cenl m. Segllll d teorema anterior, el á rea de la superficie enFlendratla ,,1 )! Il "¡, r la pOh p;onal i! l redetlor d(' UJl eje, qu.. no Ii! Corl('. ('S igual al proouct u df'" 1" pro" ,..'cció" ,1(> 1.. daagt>lJil¡ §Oor(' el eje l'<"Ir 1" IOI1p;ill1" 11 .. la circllllf"n'nl" " "II~'" .."di" f'"'- 1" "1'''1''111'' d" Ii! poJi¡;l
i S. Ahora (tJJlS¡deramos una ~1,micirClmrl!'rell<:i8 gir"ndu itln:d..d.)!" ,lf' ' u diámetro. illscribimos una polisonal regular y hacernos crecer infiuitamE'ltle el número de ladO$. {'11 el límile se ohli t:>lIe que la proyección de la 1~}lignnal l'" (') di5mcll"O (2 r ); la apotema se trnn~ fcnna PII .,1 rarl.in r y f'1 ñ"p
Area su perficie esférifil

= 2 n r X 2 , = 4 n ,l.

ARiA m. llN CASQI ' ETE o DE. UNA ZONA I'::',',FEHICA Es el I;mil(' del IiJ"{'R engendradll por Ulla I'uligollal ~ular inscrita "n f'1 II n:.. al crrccr inrinil ll n"K'nte e l niimero de litdO!'. Luego: Arca de un casquete () tona

= 2n

, /¡

sll'ntlo , el radi() de la es rera ~- h la proyecciólI de la poligunlll ,,,hr.. el

'" diom"h"O perpendicular 8 la base- del casquete o bases dI" la 1.01111, "S decir, GEO:l.II ,TRI \ I'L \:" \ \

DEL E:'PAUO

la 1I11ura del casquete () zona.

\HFr\. DE l TN In

-~

ESFEIIKO

Si el huso tiene nO el ;:irea por la proporción :

3flO

st"

calcula

nO

--=471:""

X

UH nr..LACTON ENTRE El AHEA UE UNA ESFERA \' lA DEI CII.l I'\O I\O ClRCVI'\SCRITO. Si consideramos el cilindro circUII!'CrI lO limitado por dos plarkJl' tall~ntM paralf'IUlS. su área lateral es: Area IlIteral = 2nrX2r = '1nr

que 379

(',f,o,.."

ti"..

E'.s

la misma área de la esfera.

\011 \IE!\ UL lA E.... I,LHA Para obtener el volumen d .. Ulla hll~arem
V el ,'olumen de la esfera ; V, el ,'olumen del cililldn, que es i!\ual a

nrl X2 r = 2 n,.' ;

V 2 el \'olumen del l'spacio cumJlrell

dido entre la esfera y ....1 ciliudro Evidentemente:

las

ba~

del cilindro,

=

V, _ V" .

Para ukular V 2 observemos qUl' rortaJTlOS la figura por planos ]I\! se obtienen fOronaS circulan." cuya5 5J

raldos a

V

.i r",,,. -u.. de la form" 11 r - - 11 _~

=

1I (r'_~)

= n k!

' ''-''00 1, la d"tancia do:l C"'lItru al plallu, S, ;,¡hul"il e(.n ~id{.nnnus e l cono d<' , .. rticE". el centro d.. la I'5fera y de base 1.. dt'1 CllilUlro tel1dn'll1o~ que el :u·ell d., 1i1 ·.'Cdon 11 la d ,,,tallCla 1, e. I' ~'em.lo ~ d 'lidio rl" la sccdón_ l'uu . umu In.. trifm¡;¡ulltl! b, AOH \ b,(X 'J) -un "-fml' lan tt'~. re_ulta

•

r

=

-=, ,

1,.

.' d{'(i,'_ qu" .,1 u rl;'ü rlt' 1.. am," ''' circular (11 k :¡ .\ el ¡;n'a de la '«Ció" .Id conu In ~l n 1,-:) '>('In iguales, Al'licfl ntlo el prindl'to d" Cava hl'ri re~" ha qU!.' d w lumE"1l v~ del e~ l li1 • ,,, .ntl'" la ('S r.. ,.a ~ .. 1 d lind,.!', ..,; igu¡,1 a ti! ~lU'lla de los \'ol úll1ell~ de I()'o. .1". conu, "lu<, tie nen .10' ,';,h(.' el centro de la ('.~rpra \. d" b¡h"~ las el.·1 prisma. ¡'J ,,,1111110'11 iI... (¡,rla UI1" de esto~ d...... COl1lb P<; :

=

1

- 111'( , )

i

1

- 11 ,1

i

,

2

- 1Ir'.

,

2 4 l 1l,1 __ 1I ,-' = _ 1I ".

,

".

r.t:o ~nnl.l

\ 1'1 •. \:'1.'

\

un.

F;!)I'\(

lO

I.JI:..R<...IClOS I ¡ Hallar el a r eH lateral de u n cilind ro cin'u l,u' rcctu. si e l mdio .10' lit bm.e mide'" cm y la g
~2 Hallar la ~cneriltri7. ele un r ilind,'O :.a hicruio 756.6 cm' r el radio de la b.'''f' mich,'lO cm.

, J Hallar el úrea tota l df" un r ilirulro 20 cm y la getlerntri 7 -i(J cm.

4 Hallar la KenE'réltriz o.It' " el radio dE' 111 MSl> midp 'i rUI .

1111

~i

su

ljUf'

arel<

¡.. tenll

H. : 11 cm.

l'I ni d io r!c la bH,..,· ,"a l,'

R.:

h"!XO CIlI.

eilimln' cuya i,r(,iI lu lal eS -H18...! CI11'

11.: R cm.

jI El
ni ) "

6 H illlar e l ,irt'il lah'ral .te un cilind ro. la altorll 9 m .

S I ..1

rflllio .le la

lwl'>("

mirl. >

R.: B4,1..!

111.

(11 Hallar el radio de la b.,~ de un ciJill,h" sabirll(l" que ~U a re" lateral M ) ;(17.2 cm~ y la gen",r,t lrh- vo le 41) cm . 11,: ti {"m_

18) El área le lol de UII cilindro ps 7-'>. i6 m: y su ¡,¡eneról tri .... ,', ..1 dobl.' Jel rodio de la base. H all .. r ",1 nldi(') y 111 J!:e nenltrir.. r .2 Ul . R.: #1. .;:: 4- '". (
t IU ) H allar el área lotal de UII cilindro, sahiendo que iJ.{ual al lado de l hexagono regular illlil" r;IO en su 1);1* ~i

('~

~"

igual o'Illad" R.: 2\.Fi 11 " gell('ról lnl. 1" R.: ln r.

(j 1) Ha llar 1'1 ¡irea la tern l de un ct'n " cllya generalri .... vale b Clll . d radio de la bao;c mide'" cm. R .: 75.36 cm.

C12) Hallar el arca la lerill ,1" un COIlO "IIhiendu que el radio de la bas<' mide ti cm y la ahura 8 cm. R .: l~A cm . ! 1 i } Hallar el ánoa t(') tal d., un Cono si la raJio de lo base 'j an.

~enerat ri ~.

" a le 9 enl y ....1 R.: l ¡ tl,/l cm-o

14) Hallar el á rea tollll de un eOlio sa biendo qu e el rodio de la ha* miJe 3 cm y la altura 4 cm. R ,: 7j.'J6 cm

lti\l5n

cm~ y el radi o de la base mide 4 ClTI.

R .: 8

CII .

LL t:R PQS Rt: OO;";OOS

'"

( l b ) El área letal df! WI Clmo f!!) 13:n c;m7, El nidio df! la ha!<€! y la altura r
Hallar el area lateral de un tronco de cono cuy" altura mirl., rle las hases \'t.len 4 cm y 10 cm, respectivamentt>, R.: "39.6 cm '.

te! cm, Y los radios

( l B ) I}a llar el órea tolal de un Ironco de con o cuya altura 1IU11 f' 4 cm, si los radios de las boISf'S miden 9 cm y 6 cm. respeclivllmente. R.: I W n cm

I I Y ¡ E1 área ¡" teral de UI1 tronco de cono vale 560:1'1: cm' . El rad io tifO la base mayor y la generalriz sou iguales, El radio de la base- me nor valf' S cm y la .,hura del tronco mide 1h cm. HaUar la generatriz. R .: 20 cm.

(20) Hllllar el árf!8 1.. lera l y el área lolal de UJ1 tronco de (:(..110. S
R .:

960J!4 cm

A,

(2 11 Dos esferas de metal de radios 211 y 30, se funden juntas par!! hacer una esfel'll mayo r. Calcular el radio de 1., Ilue,'a esfera.

R.' r

" "Y'h.

(22) En Ulla esfel'll de radiu r se tiene imerilo un cilindro de m alleril La l que el diámetro del cilindro es igual a l r Arlio de la esfera, Calcular: n I el ioree lateral riel cilindro; b ) el á rea total del cilindro; e) volwnell del cilindro R.: a ) A ,.= n v'fr' .

b J A , o- ( á T\ i ) n r ('1 l '

=

li f

r'.

(23) Se tiene una es rent sittJada dentro de un cilindro de manera lI.u.' el cilindro tielle de rutUl'a y diametro el diámetro de la esrera. Determinar la relación en tre el área de la esfero )' el area lateral del cilindro, R .: SOIl igualE'" (24 } Dos c~feras cuyos diámetros SOIl 8 y 12 pulgadas respoctiv.,menh· estón limgentes sobre una mes.1. D.'ter",i'lar la ,Iistanóa enlT(! los dos I'unt'", donde las esferas tocan a la m esa. R.: 4\/ 6 pul~ada~

Dentro de una caja cúbica cuyo yo lwnen es 64 cm l • se coloca WI" poelota que toca a cada una de las caras en su punto moo)o. Calcular el V I>· Iwnen de la "elota. . 031 R .: \< = ~. (25 )

,

(,r.oME1IU'" PL.... 'A \

'"

OEL l',.o;rACIO

(2tl) St> fwule Wl ciIIndro de metal de I1IdKi r

y ahuno h. y con el me lal .e hact:n conos cuyu radIO es In mitad del 111..1M, dl'l cilindro, pero ~ donle flltura. ¿CuAnlO!> (U. nos se onhenen ji H (¡ con....

l

(2; I Ulla esfera M cobre se runde y con el metal se hacen conos del mismo radio que la esferil

y de altura igunl al dobl .. de dicho radio. ¿CUI!IJlOf> CulIOS Iie ..,bliellell?

",

H ~:._--

12"

(28,

---l

2

fVIII ..

E.II unll cai"

,1,·

form.a cubiCfl, GIben eXlICtamerlle 8 ~ fel1l5 de 2 1'lUlgadas de dian1t'tro CIIda u na _'" ('11 f:I cenlro de bIas UllfI ederd me~ que las anlenorf'S. Úllcular el ,·"lul1'\e..ll dI' kla . /1

1 "

{,lCJ1 Ha lla r 1.'1 '·uturnen del esl)ll limitarlo flor los Iron(()6 de pirámidl· y de cono_ ..It: acuuÓO fOIl las mooidll~ mdicadll5 en el dibu,u. H_ l 620 .71 1lOll(dda~ cubtr...

CIO

20"

(10) GAkulilr e l vo lumen del ", p9cio que queda U1lre 105 dOf; cilind")Ii.. de acuerdo con las moolfla5 ind lcilda~ en la figura.

R.: V

Ejn _

:so

= 16'Pi,t! rulgada~ cUbica·

SIl Hallar el "olumen del ~ ¡OOCtO hmiHld" eulre el rono " el ur

CU ERPOS REDO:>'OOS

'00

toedro de acuerdo con las medidas indicadas en el dibujo. R.. 654.96 pulgadas cúbic~ s _

Ejtt. "

Ejc.-r.

n

(32 ) De un cubo de 5" de a risla se quita Wl cilindro de 3" de d¡¡¡metm. C6kular el \"olumen de la parte que queda del cubo. R · V 8Q.67i pu lg~das cúbico,,-

=

"'o-

lEn _ mo .... m• ..toa llranel;., ..... '1 e" ... o .... loo .,'" , Iot. a~t.c:co. dejaron . .. idencio de la aplicación ma...... illoaa qv. ..to. hi,;..- de te. ~erio. (1 triD"1Iuk>, órc",ta, " aood codo, .. (-....o. ek., ... , ..."", r..,ro. fa -

..o.

miIOo,.... Lo III'ftO -q... como Iu IIO",br. inclka ha tÑIG otribvida el ro. ....._. era "'_pacla •• r.Ios, mo ....OI el piedras media",- lo ayuda d. rocti... ktbntdOf" "",,o .1 CIpCIl'fte ... lo ¡1u,lnIciO" D ... ;Iqu;'rda (u_ .000 ai'tol el. d. C.l

doo.r.........

j"

22 Trigonometría i80. ANGULO DESDE EL -

PUl\~ ro

UE VISfA TRlGOi'lQ:\I ETIUOO

-~

)

Sea OA una sem irTccta fija y OC \ mB semirrecta móvil del mismo origen

-,

; . ('11

coincidmeia con OA .

- ,

Suponga mos ahora que la semirrec ta OC gira a lrededor del punto O.

-,

en sentido contrario 8 las agu jas del reloj. Entonces OC. en cada posición engendra un á ngulo. el ángulo L AOC (Fig. 303), por ejemplo. -

)

-

)

-)

Cuando OC coincide con DA, el ángulo es lI ulo; cuando OC oomienza a gimI'. -

)

-

)

0,1 iÍngulo aumenta a medida que OC gira . Al coincidir OC de nuevo con 302

TRIGO"OMETRI ·\

lO'

-) -> DA, ha engendrado un ángulo completo (360°), pero OC puede sq¡;uir ginuulo ~ engt'ndrar un ángulo de tm valor cua1quiera

e

e

/.. \

OL-_ _ -+-+A

) 4'5·

•

) •

Fir. 30t

381 . ANGl'LOS POSITIVru;)o AI\C,ULO~ NEGATIVOS. Arbitrttria mente ~ ha convenido que los áJ1gulos engendrados en sentido contrario a las manecillas del reloj, se loman como positivos y los ángulos engendrados en l'J mismo senlKlo de la s agujas del reloj se cOllsidel'an negati,·os.

En la figur.l '1 04

Ejt>rnplo.

L. AOn

= 45°,

381. SISTf.l\.IA I)F KIE.' COOROENAIX>-.\ 'RECfAN<;t'LARE.\

<-,

una rECia XX', tomemos un punto O filiE' se llama ongen. Por el punto

,-,

O. trocemos la recta YY' de manera (-

,

I I

l

I

)

, )

( -)

que }'Y J. XX', 1 TI Tomemos una un idad y graduemos lo.; dos e;es a partir del ¡>unto O . , 3 ·' - 3 -2 -1 0 El eje XX' se grad úa posti\'amente hltda la derecha y negativamente hacia m III la izquierda. El eje YY' se gradíUI poSlti"amentE' hacia arriba y nega til'amente hacil! aOO;O. i' u'¡s n úmeros sobre el ele XX' miden las distancias en magnitud y fil( . :ro.; ~¡ flI1n ofOl ori~ 8 los )lWltos del eje y reciben el nombre de flbsci5ll5,

,

Sobre

I,EOMETIUA PI.... I\A \ DEI. ESP\(JO

Los numeros tomados sobre el eje YY' miden las distancias del "ngell a los puntos del eje y reciben el nombre de ordellmlas. AJ1alogamente, el eje XX' se llama c¡" de las obsá<,(IS y el eJe J' }" Sf." llama ele de las ordcmxlas. El punto O es la intersección de los dos ejes y se llama Orlgell d" coordenadas. Los ejes XX' y yy' di"iden el plono en 4 pnrtes, llamadas cuadrantes.

XOY YOX'

= 1 cuadrante = II cuadrante

X'OY' Y'OX

= III = IV

cuadran!!.' cuadrante.

'183. COORDENADAS DE UN PUNTO. Establecido en UJl plano UlI sistema de ejes cooraenados, a cada punto del plano le corresponden d O!' numeros re61es (una abscisa y una ordenada ) Que se llaman coordenada~ del punto. Para determinar dichas coordenadas, se I razall por el ¡JUnto l18ralela' a los ejes XX' y yy' y se detenninan los \'alores donde di<;has paralela~ cortan a los eje~. Eotos " alorK se <:olocan a continuaci6n de la letra que rqlresellta al punto, dentro de UII paréntesis, separados por una coma. ¡;rimero la abscisa )' segundo la ardclIUfla. 8H1.3)1'-- '

,, ,

Ej~mplo. En la rlgu ra 106_ las coordenadas de A son 5 y 2. Se ('~ribe : , , Cy-4-'it - .... A(5, 2). -, tiIO- 3) ,I _4 _ _ _ ___ 00' •• _.1 Recíprocamente, dadas las coordenadas de un punto C(- 4, - 2 ), para 10cali7.8r el punto se señala Fil;. SOS - 4 en el eje XX' y - 2 en el eje YY:Por estos puntos se tnW.8n paralelas a los ejes y donde se cortan esta el punto e (Fig. 3(6) .

,,

i84. I<1JNCIONES l'RlGONOMETRlCAS DE UN ANGULO AGCOO Consideremos eJ triángulo rectangulo t:" ABC ( l<~ig. 307) . Las llamadas funciones o razones trigonolllctrica¡;. de los ángulos agudos L B Y L e son las siguientes:

f.¡~ UN TRIANGULO RECfANGULO.

SF.N"O.

Es la razÓn entre el cateto opuesto a la hipotenusa.

T RI GO'l:OMETR I A

Notación. Sono del Imgulo B

~

escribe

""

~B.

b

senB = -.

a e senC = -. a

e

a>sENO. E> l. :ron entre el cateto adyacente y la hipotenusa. S. abrevia, e cosB = -a . ,~

O

b

"".

B

A

e

b

oosC=-. a

Fil. 307

TANGE.r>.'TE. E.c; la rawn entre el cateto opuesto y el cateto adya. cente. Se abrevia ton. b e

lanB=-. e

lonC =¡;:.

COTANGENTE. Es la razón entre el cateto adya<:ente y el cateto opuesto. Se abrevia coto e b

cotB =¡ ,

cotC = c'

SECAN T E. Es la razOn entre la hipotenusa y el uteta adyac.ente. Se abrevia sec. a sec B =-¡ e

e

COSECANTE. Es la razón entre la hipotenusa y el <:atcto opuesto. Se abrevia Cfe.

10 Ejemplo Dado un triángulo rec· tángulo cuyos catetos miden 6 y B cm, calcular las fu ncklnes trigonometricas del ángulo agudo lIl8yor. Por medio del teorema de Pitágoras, calculamos la h ipotenusa:

BO = A8>+ACZ

B

8 L - - ---¡r- ----'A

C,EQMETR1A PLANA \' DEL ESPACI O

W = 62+8"=36+64= 100 BC'" = 100

BC = vIOO= 10.

Sabemos que el angulo agudo mayor es el ángulo B (Fig. 3(8) porqUP. a mayor lado se opone mayor ángulo. 8 senB = t O= O.8

8 4 tanB= -= - = 1.33

6 rosB =-= O.6 10

cotB = g = :¡ = O.75

~ p

•

•"

,

•

•

6

3

"

5

-, = 1.67

5 cseB = 1f = ;¡ = 1.25

d~ (I

r.f

,

10 #cB = - = 6 10

,

"

6

, ,, "

."

J';• . 309

~85 , ruNCIONES y COFUN· ClONES TRIGQNOMETRICAS DE UN ANGULO CUALQUIERA. Consideremos los ángulos G, {J, r y ~ que en un sistema de coordenadas tienen su lado ternúnal en el t·, 2~, 3~ Y 4" cuad rautes respectivamente. Tornemos Wl pw1to en el lado termma\ y consideremos sus coordenadas y su distancia al origen.

Las funciones trigonometricas se definen así: SENO.

Es la 1'37.(,n entre la ordenada y la distancia al origen. AE

sen (l

= DA •

LQSENO.

sen {J

=

TANGENTE

AE

ti

seny =OC '

sen~ == .

00

Es la razón "n!.re la a bscisa y la distancia al origen.

OE CO.f G = OA'

tan

En

CF

BF

Oii

= (fE '

OF

ros y

= OC' •

OE

rose ==· DD

Es la razón entre la ordenada y la abscisa. BF

tan fJ = üF'

CF

tanY = OF'

DE DE

tane = o=== ·

.,

TRI GO~OMETIlIA

COTANGENTE.

E,¡ la razOll entre la abscisa y la ordenada.

OT::

001

ca

75F ootr =c¡,

= AE"

SECANTE.. Es la radln

~nlre

ol!

cot (! ==. DE

la distancia y la abscisa.

sec l'

= oc -=-= , OF

sec (! = ~ . OE

COSECANTE.. Es la rawn entre la distancia y la ordenada.

DA AE

csc ca = = ,

cscr=

oc

OD

e,,'

CSC (! == . EU

Ejrmpb. a ) Calcular las funciones: trigonométricas LXOA= a (Fig. 310), sabiendo que A (3, 4 ).

d = y3"+4"¡

d = V9+ 16 _v25;

del

d =5.

sen ca

=• '5 = 0.80.

COl

tan

=• 3 = 1.33.

3 COI a = . = 0.75.

(1

(1

ángulo

3 = '5=0.60.

S

csca = 4 = 1.25.

v

•,

•

-----

O

I

'"i

, ,

-1

-2

-,

1 1 1

I 2

fi,.

- - A(3.4)

,,'. ,

"

';'

2

O

'l.

_SL 'S

y' F i¡.

b) Calcular las funciones trigonométricas del ( Ftg. 311 1 sabiendo que B(2, - 3 ).

(

X

•

~X

SIO

d = \!2' +

2

3)'

y 4 +9;

su

lmgulo d=

L XOB = ,

v'13.

GEOMETRfA PLANA Y DEL ESPACIO

- 3

MnZ ft =--== y 13

-303 .

ros

13

- 3 km/l =-r =-1.5.

fl = •

2 = 2Vt3 . v'13 J3

2

.

coI ,. = - 3 = - 0.67.

03

set:fJ =~·

Yi3 - ',/1 3

y

•

,

+~ , o

/l+ :

- 'o

X

----- O

o

e

y' F.... SI 2

~..,

y

•

"'''"'. bll

x'

_________~~jO~-O-_*----o

B

""

~

X

...". S" AF

= 'DA '

CO$ CI

Ni

cola ='AB '

1

11

111

IV

+ + + + + +

+

-

-

'"Funciones

-

+

+ +

-

-

+

+

trigooomitrica.. de 1m linliun 1m c:uadra.ota.

á.ogWm que: (0° , 90° , 180°, 270°, 360°). ~. deremos el ángulo a (F.1@:. 313) . Las funciones trigonométricas son :

y'

sen CI

.

386. SIGNOS DE LAS }¡1JNCtOl\TES TRIGONOME· TIUCAS. Considerando que la distancia de un punto cual. quiera al origen de coordenadas siempre es positiva. vemos que los signos de 1 8~ funciones en los distintos cua· drantes, son (Fi¡: 312 ):

, ~

o ~:•

V-

3

A

o o

a___.. ,

ac !J = _ 3;::::;:'

o. =-=.. OA

AB

tlU1a =O'B '

DA

$#!C a

= OB'

OA

ese

el

= AH '

TR1GO:XOMETRIA

-,

Valores para a = O° . Si hacemos girar la semirrecta DA de mnl1l!ra que coincida con el semieje tendremos:

m.

a = OOt

AB = Ot

Enlonces:

O

AB

M!noo= Q.i¡ = OA

=0.

COI

OB OB ros Oo==..=== l . DA OB AB

O

UI1

UH

OB OB 0° = - = = _ = oc ( no existe). AB

O

DA OB sec Oo = = = = = I. OB OB

lun Oo=-=== =O.

-U= "

( nuexi.' I~ ).

Nota importante. La cotangente y la cosecante de 0° no erimn (Jorque no se puede dividir entre cero. Se representan a Vece5 por el. simbolo "Xl (se lee infinito) que indica que estas funciones trigonométrica!i van tomando valores cada vez mayores. llegando a ser tan grandes como uno quiera, a medida que el imgu10 se acerca a cero tomando siem pre va lores positi\"l>S. No hay que olvidar que :t;I no #!$ un núml!FO., sino lID. simbolo.

-,

=

Valores para ti 90° . Si hacelTlOl gIrar la semirrecta DA de manen que COincida COI"! el semieje OY, te~mos: el

= 90° .

UB = O.

Entonces;

AB AB sm 90o===== I .

OB O 00190°= =- = = =0. AB AB

cos90o= OB = 0 = 0. DA DA

sec

DA

°

AB

AB

AB

tan90 = = = - = OB U

DO.

900

VA OA = OB =O =OII.

o_ OA _ AB_ csc90 _ = _=-_ 1. AB AB

=

Valores para a 180°. Si el giro de OA. continua hasta que coincida OX', tendremos que 0lI es negativo y a = 180°, GlOIo€f ...... IbLDOIIII _ t I

AB = O,

OA=-OB.

'"

GEOMETRf.\ ¡en

Pl.A~."

O -O. _ =AB __ __ l BO o_ DA DA (1

ros 180

08

==

DA

Ion 180

0

V DEL ESPACIO

OB 08 ror l ijQo==- = _ ="" ( no existe). A8 O

08

(1

= - = = - 1. _ 08

.
= ~: = -¡}¡¡ = O.

DA

=08=

- 08 08 = - 1.

DA DA ' . (:.
AB .

O

Volores pora (.1 = 170°. Continuando el giro de DA hasta que coincida wn el sem ieje OV', tendremos que A1f es negativo y

08=0. sen270

(1

AB DA

-QA = - 1. DA

=~=

0700 _ °11 _

'V< 270 o = 08 = O =0. DA DA

ton 270 0 =

AB 08

AH O

-==: - -

= ..; (no existe) .

rot~

O-O - A'B- AfJ.

sec 270 0

OA = =DA = = = 08 O

<10

DA OA c
(no existeL

=_ t .

VolOres pum ti = 360°. Si seguimos el giro hasta que vuelvan a COlIlcidir o;r y OX las fun ciones trigonométricas de este ángulo. lendnin los mismos valores que calculamos (laMl O° . es declr: sen 360° ros 360°

tan 360°

= o. =t.

COI

360° = no existe. = t.

sec36Qo

=O.

ese

~o

= no existe.

387. RESUMEN DE LOS VAl.ORES DE LAS FUNCIO NES TRIGONo. METRICAS DE LOS ANGUJ.oS QUE LIMITAN LOS CUADRAl\'TES.

~ ~

0° O

90°

l SOO

I

O

I

O

O

no existe

I

no exiql'

U

I

noe.i~ le

--

-- -.. n

ro< ~

""

I

II

-

O 110 existe -

no existe I

1

I

1

110 "xi ~ le

I

-

1

O

O

I

no eXiste

O 110 existe I

O 110 f"x i~ te I

110 eXI ~le

Estudiando la tabla anterior vemos que el seno loma los valor~ ; 0, l. I r su \'alor mínimo es - 1. O, -1 , O. El¡ decir, que su \'a lor m~ixill1o e.;

+

,,,

TRI GONQMETRIA

+

El sene> vllria entre + t v _ 1, no pudiendo tomar va lores mayores que 1 ni yalores menores que _ t. Obseryando el coseno. yernos que también yaria enll'l'! t Y - 1. Si ana lizamos la tangente veremos que su variación es mas compleja. De 0° a 90° es positiya y yaria de O hasta tomar valores tan grande; como se quiera. Para 90° no está definida y de 90° a 180° pasa a ser negativa, variando de ,·alor.es negativos muy grandes en \'alor absoluto hasta cero. De 180° a 270° vuelve a ser positiva variando de cero hasta valores tan grandes como se quiera. Para 270° no está definida y de 270° a 360° pasa a negativa variando de valMes negativos muy grandes en valor absoluto hasla cero. Las demas funciones varian análogame-nte. Estas variaciom!s se puetleu resumir en el si!:{Uienle diagrama:

+

..,,,,

•

." ,,, ';'-..1

r-

'"

-,

O

,,,

•

NE GATIV O

•

I

•

POSITIVO

00'

F FUnOonq trigonomccncas de ángu. lo!; noubln. Es posible calcular fácilmente los \'alores de las funciones tri· gonométricas de 30°, 45° Y 60°.

E

A

o

B

Cálculo th los !Xllores de lar Jun . c-iOfIU

trigonomitricos de JOO(FiJl" 314 ).

360° L AOB = LEOD = - - = 60o; 6

OA = r; AB = /a = r;

--

l.

•

AM ='2 ='2 ;

e

'"

CEO Mt:IIU t\ 1'L.\:'Io1\ ,

DEI. ESPAt:IO

, ::ud

~

DA

r

rl

Si!Tl30<> =~=-=-=-.

2r

2

, YT

ros

OM -.-- __ ' V3=_ 0" 3O"=oz::=r=_=

DA

r

2r

2

, .o AM 2" r 1V3V3 um30 =--=--= __ =_._=_ OM ,,/J , 0" v'f 0 3

-.--

r V'T COI30•

OM - . - = __ , 0"= Yj. =--=-=-AM r r ;¡

ese 30°:...- OA = .!: = 2 r =2. AM

DI).f----~\>iA ,

,,

90· / /

/

,'

'( O)' ••. , , ", '- ,

-- -M - - 45-

,,

C:'\If-----~.

,

,

¡; Cálculo lk kn ,JOlorC$ de las fun ciones 'rigonomhrifXlS de 45 <>( l'iR. "i 1. 360" L AQ8 = ¿COD 90°.

=-.-=

AB = 1,. = r ..j2: AM

AB

r v'2

= DA' _

AM'.

=T=2-'

OA = r.

OM:

TRIG O ;,\;OMI:..R IA

, yo

, fil!n 45

-2- r \12 ..J2 =-:== - - = - - = - . OA r '1, r 2 AM

r v'l coso450 = OM = ---r- = r V2 = V2, OA

r

2r

2

' y2

AM -,2 r "l2 tun 45° = OM = r ..j2= 2 ry2 -2-

COI

r\/!l OAd - . - '1,rv'2 45° = -=-=--==~~

sec

45 °

ese

45° = =

AM

DA

-.-.-.-

1.

1.

r \J'I.

'l r \f2,

r

'1, r

2..j2

'1,V2

_

2r

2

v'2

2 V2

-

r v'2

y2

v'2

2

= OM = r ...;2=~= \1'2' 0- = -2- = \12, OA AM

=- _

r

r v'2

= --_=---=-" ---=-=-- =y'2,

C&lclllo JI! 10$ ,vrlores Je Ins funcione¡ triflO'lOmEtrieas dt: 60° ( Fifl" H fi

360' L AOB = L AOC = 3-= 120°.

,,,

GEOMETRIA PI.ANA " DEL ESPACIO

OA = r.

AB = 18= .. ..J3. -AB rV3

A

,

AM

=2=' -'

I

e

OMO

~'r¿-l' = 3~

= . . --¡-= 4"" - 31" 4

Ji._'16

OM=ft;

=.' üM=ª: r

. v'3

sen 6()0

AM = -_ . - = __ ,v'3=_. V3

= DA

r

2r

2

, co.r 60°

lJ'JW

9;

r

1

==="" = - = -= - . DA r 2 .. 2

, 15M COI6(l° -

~

t

2,.

-

-

- AM - , 0 -

V3 V3

=-'--2",/3 "'3 ",,- 3 .

- 2-

SI!C

o;r

r

2r

r

r

60°==,"=_=_= 2. OM

2 ese 60°

DA

r

2,.

2

V3

20

= AíH = ---= = - - = ---=' --=. = - r ";3 r v'J " 3 '\13 3

-.-

'"

TRIGO:-iOMETRIA

-,

FUNOON

W

60 0

2

V2 T

-.

-.

.,j2 2

I

100

I

"il

~

tan

' ,,-

'0'

,\'j

-

2\!i ~,

2>,

,~

v'J I

I

\,T

I

\,'3

,

.,j2

2

V2

2\ '3

,

F.Jf.RC IUOS ( 1) Represenlllr en un sislema de eje5 coordenados., los puntos siguientes:

ÓODt'S

P (~7, ~ 5)

K ( - 6,0) L (~ 4,~3) M( - 3, -3) N ( - l ,-3) 0 (0, - 3)

F ( 7. 6 ) G(O.5 )

A (O, O) 8 (4, O) C(3,2) D ( 7,2 ) E(6,8 )

H (~ 3.3 )

1 (-3.1) J (-5.3)

Q (2, 11 (2, -

2) 4)

S (5. -

4)

T(8. -

2)

(2) En el lriil.ngulo rectángulo e, ABC ( L A = 90°), calcular 11:15 funtrigo.lOffietrX:as de los ingulos B y C, si b = 2 cm y e 4 cm.

=

_

V5

cotB = tonC = 2.

R.: senB - ro.sr=T · ro.s

B =.fen C

2VS =,I

tmI8 = cotC=
~

"';5 .fecB=csrC = T " CJr

8=

lec

e=

\.: J) .

.

,

(3) Doldos los pUrlIO" A (2.3 ) Y B(-

I , 4 ) calcular las (unciones IriRO-

J'Jf.It»MricBs de L XQA y L XOB. R.:

3,,"li

.! :rOA

13 "

'0' L AQA

=- - , .1 .

.!'11

.¡ff

2\ JJ

Iw¡

3 L XOA = 2 '

l'O$

¿ XOB =-1'7 '

lan

¿xon

•

L XO A = '3 '

== ,,/ B

vn

, +) Decir

~i SOIl correclOS o

J ) >en 3(.1"

~ ¿ XOB

2

ese L XOA = j-

= -v'17. '1117

L XQB :....--,

•

'

d. "~ los ~IB'KJI'

=~ .

,

Il!~ S~Ulentl!S

funcIOnes;

6) COI 210° = \1'3.

f.

7) ese f 35"

=-

VI

8J

l'O$

1St)"

= _ ~3.

-

9)

lall

(20 ~ = ~.l

JO)

lec

30(1"

2)

=

45°=_

3)

1=

00° =

4)

.~" 240"' =

4.

J L XQ8 = - - .

2

L XOA

-

~

2.

S) ros .2.25" = y'il 2

It.: Correcto

== -

\,12.

2.

1 _ 3 _ 4 _ 6 _ 8.

( S I :Decir si son posibles o no, los siguiel'llf"" Ylllores: 6 ) (an 11 == 4.09. 7 ) ese F =-5. 14.

1) $ecE = - 2. JI:I. 2) tan T 0 .02. 3 ) sen X = - 1.18. 4 \ cot T 3.21. 'j ) ese P 0.03.

=

8)

== _

=

R .: Son

ros

8 = - 0.05.

9 ) cosY = - 3. 14. 10 ) COI D = - 4.16. ~ ibl ('<;

1- 2 - 4 - 6 -

7- 8 -

10.

'"

1RJ(¡( I:"OM ETRI ,~.

(6) Calcular

I~

valores de las t'xpre¡¡iones

1) 5 sen' .~ o + 8 ros" 30° 2) 3sen

300+ 6~45 °

3) 5 tan" 45° + 2 ut:' 45° 4) 4 ro, 60 0 +5csc W

'ca.<

~iguienles :

I

R.: 8 I · R.:

... !. .

R.: 9

"

R.: 12-

30° + 6 sen 45°

R.: 2 0+ 30:

6) 6 tan 300 + 2 c:sc 1-50

R" 20 + 20:

7) senZ 30° + sec2 45°

R.: 2!

S)

8) ros' 60°

+ sen! 45°

9 ) cw 16° + coi' 30°

+ Ion' 45° 30° + CJiC 30°

10) cw 30° 11 )

sen sen' 30°

+ coi' 60°

12)

13) 14 )

IS )

R.:

"

.' 3

3 R.: 2 ;¡ ,

R.: 5 R.: 5, R.:

1

10 ·

R" O'

ese' 45° + cscf 30°

7 R.: lO '

cos 60° + cos 30° cw 300 + un" 45 o

R.: 1 + 0 9

+ Jan" 30° + senZ 30°

¡j

23

Funciones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios, etc.

J88. ORCUW TRIGQNQMETRlCO y LINEAS TRIGONOMETRICASo Se llama circulo trjgorwm':',-iro aquél cuyo rodio vale la unidad. Sean XX' e YY' ( Fig. 3 11) un sislema de ejes coonJenados.. Tracemos el circulo trigonométrico de manera que ro cenlro ("oinc~a COd el origen de coordenadas O. Consideremos un ángulo cualquiera L. 0, en el primer cua~ drante y meemos BD .1 OX, Te 1. OX, AM 11 OX y RS .1 Aplicando las definiciones ya dadas de las fWlciones trigonom"triO:ls.

-,

-ox.

BD

BD

Bf)

OB

..

I

seno =- -==-=-= BD.

'"

.' UNctONES TRIGON{JMETRI(;AS DE ANGULOS (;OMi'I.EME..." ..\IUOS

00

ro.f

Il = OS

OD

'I~

00

= --;- = -,-= OD,

BOTCTCTC _ tanll = -= =-=-=-=-=TC, 00 OC f I

rol

00 OS AR a = BD = RS = (M"

AR

AR

= -;-= - ,- = AR.

Oh OT OT OT seca =-==-= = - = - = OT.

00

OC

1

f

08 OR OR OR OR ese a =-=- = -= = -=-=-=-= OR ; BORSOA f 1

,

, •,,

,

"

o

,o'

-<-

•

,,

o

"

,

r._

317

En cada uno de los otros cuadrantes, la representaci6n se obtiene de Wl8

manera analoga ( Fig. 31 8).

38!l REDUCCIQN AL PRIMER CUADR.ANTE. La conversión de un. función trigonométrica de un ángulo CUlllquiera. en otra función eqwvalffut' de un angulo del primer cuadrante, se llama: "reducción al primer cuadrante"

GEONETRI .. PI .. ~ ... Y or.1

~20

,

,

,

"• • ( " , ,

•

~\ ,

F.~P ... (; IO

",

"

,

"

"

•

~,

•

~

~ .

"

" ric".

,

"

318

Los imgulOl!i que se relacionan en estas reducciones son los complementarios y suplementarios por defeclo y por eJ(ceso y los eJ(Jllementarios por defecto. D)

Dos ángulos ,;on c{lfDplementaMos por defeclo cuando su suma vale 90 D y complementario.. por elCceso cua ndo su d iferencia vale 9OD •

b)

Dos ángulos son su plementarios por derecto cuando su suma vale t BO D y suplemenla rios por eJ(ceso cuando su diferencia vale 180D •

e ) Dos angulas son

eJ(plemt'l1tario~ ~

defecto cuando su

suma

vahv 360D • y

.'

A

x ' -1------o~~·~tr-x O 14. B

390. FUNCIONES THIGQNOMETRICAS DEL ANGULO (90'L a ~ En el círculo trigonométrico ( Fig. 319) 10li tmngulos rectángul(l5 t::,, 80A y t::" A'OH' son iguales por tener la hi· poIenui\.Q y un lingulo agudo iguales (DA = OU = Luego DA'

y' rit:o 319

sena

= AB.

ros a = 08.

1)'

L BOA = L OUA'f.

= AB Y A' B' = OB.

Las funciones trigonométricas de los ángulos complementarios (1 y (90° - a )son:

sen (90° _ a ) = A'U = OB. 001

(90 0 - a )= 0A' = AB.

FUNC IO:\'ES TRI GONO METRICAS DE ANGULOS CO M PLEMENTA.RI OS

lan a

A'll

A8

= l51í .

08 A8

tan (90°_ a ) =-==~ .

DA'

°

DA' A B'

A8

a ) = ~ = ='

(90 ter (90 ° -

a)

08

Oif = '=-"'-, DA = ___ DA' AB

° 08' DA cse (90 - a ) = A'B' = OB '

DA

csr:a = = , A8 l)p

'21

af!ui se deduce:
CO$

a,

a)

= sen a,

(f,n (94I" _ ;o )

rol a ,

COI

(1)0"' -

(911' -

a)

=

((/113

(90° _ a l rfe (<)41 ° _ a )

=

.st!r

( 'ot

.fOC

= ni: a a

Los {unriones /rigotlomh r;cus de un ringulo ron ;guules, en valor abroluto l' el/ ,l/MilO, ufos cu/unáonLt del angula comnlcmelllurio ¡1Or tk/ecto",

Ej~~

i(}l.

= sen (90° _

30°)

= ros 300 = ~3 ,

tan 7Uo = t01l (90° -

70° )

=

sen 60°

COl 2(1 " ,

FL:-':CIONES T RIGONO'1ETRICA'i DEI. ANC, l1 W

( 180° _ a )

En la figu ra 320, lE'nemos: OA = OA' = r = l ;

AB =A' 8';

08' = - 08,

= A 'E = A8,

t;en a = AB,

sen ( 180° -

oos a = UH.

ros

( IROO- a ) = 0lF= - OB.

((111

( 180°_ a )

All

10na = 08 '

col ( 180 ° _

DA

5« a = 08 '

DA

csca=AB '

°

a)

A7J?

AH

06'

- 08

=~=-=- ;

a)

Oif - OB , ==-=-=-

DA" . = DA' =-=-

A'B'

SU

(180 -

a)

rse

( 1 RO" -

8 ) = ""5:;;'

08'

DA'

AB

- OB

DA = -=- , A 8' AH

'"

(:OOMETR.IA PLANA Y DEL ESPACIO

De 811Ui

S(l

deduce:

y _~en

FÍ&'. ' 20 Y

•eo+-

~

f

•

•

,' --ffD----;7I:!o~-'__O,+- '

( 180°_ . )

ton

• "=--=--!;,+• " --f-lr--'--Je.: '

y'

= Si!n a

ros (180°_ a ) = - co,s ..

•

• O' -

( 180°_ . )

= - 101'1 •

col ( 180°_ . ) = - coIa

=_ 5« _ . ) = (se a.

~«'

( 180°_ . )

ese

( 18()"

" Las fWlcion.es 'r'gontJmtÍtl1cas de un angudo ~I iglllúefi en valor obso· luto Q lizs funciones trigonomh rica.s del angulo suplementario por de/octo, pero de J"igno con/ runo, ron ftzupción dr./ SCI10 Y de la NJSt:COnfC que 1011 del mismo signo" . Ejempb.

= sen ( 180

sen 120 0

=

_

60° )

,

600 = y'3 .

= COI (1 80°_ 60°)

COI 12(10 Y' F • . '21

SI!1I

0

= - 001 60° =_

"¡".

392 FUNCIONES TRlGONOMETRICAS DEL ANGULO (1 800

+ a)

En la figura 321, considerando los triángulos 6 AOR y t::. A'OB'. tenen\05: OA = OA" = r = l ¡ 08' = - U8 ; A'1l = - AB. sena

= AB. AJí

tana = OB "

Oli AB

cota = ....,--,..

sen ( 180

lan ( t SO

lJOl

0

+ a ) =Ii'ir = -

o

A'li' = - -n;;: A11 " + . )= -=

o

( 180

OH

A1i.

- 01:1

Oit =---==. -08 + .) = ~ A' u - AB

fUNCJONES TRIGONOMETR ICAS DE ANCULOS COMPLEMENTARlOS

DA

Uf;

s«( l 80

a = OB '

o

QAT

325

DA - OB

+ a ) == =~.

08'

DA

c:sc: a = AB ' De

aljllÍ se

.~n

(180°

t:OS

deduce :

+ a) =(180° + a ) 0

tan ( 180

ser!

a

=-C'I)S

a

y

+ a ) = tan a

A

(180°+ a ) =cot a s«( t 80o + a )=_s«a COI.

X' T-~~'-ijl-x

rse (180°+ a ) =-csea

A'

"Las !WICitml!S trifIO"Omélricas tk un Qngulo son iguales en valor obsoluto a /ns JUflCKJnes tkl tingulo Sllplemernario por exa!so, pero de signo

y'

r.-. 322

conJrario e7cepto la tangente y la roltmgente que SDn del mismo signo. Ejemplos.

= cos (180 + 30°) = - cm 30° = -(3 . tan 225° = tan (180° + 45°) = tan 45° = 1. ros 210°

0

393_ FUNCIONES TRIGONOMETRlCAS DEL ANGULO (360°_ a) . En la figura 322. considerando los triangulos l:::,. AOB y l:::. A·OB, tenemos: UA = OA'= r = l ;

ren a = AH. CO$

A'B _ _ AB.

sen (360° _ a ) = A' H= - A1f.

a = 08. AB

tan a= o7J '

lan (360

°-

a)

001 (360°_ a )

A'B -__ AB . =_= 08 08

=2!!. = -~ . A'B AB

CEOMETRI.'\ PL-\NA Y DEL ESPO\C:!O

DA' DA sec (360°_ a) =-==-=-. 08

o

ese (360 -

OB

DA ' DA a ) =-==--z=:-. A'B - AB

De üqui se deduce

y A ~+

- sen ( j6(lo _ a ) =-sena

__

cos ( j6()° - a )

,

= ros a

tan (300°_ a ' = - tana

" -+---¡¡1-4.-'-,---\-, -,

COI

( 'kilI" -

a)

=

5eC

( 3600

al

=

-

ese (.i6()0 _

a) -

cot a 1«

_

a

en; a

"Los funciones Irigorwmhricas de un angula son iguales en IJOIm- absoluto a las funciones del ángulo ez· FiJ:_ 323 plementaric, _" ro IÚ signo CQtllr(ZTio acepto el coseno y la secante que son del mismo $tsnt)"_ y'

Ejmlplo$.

M!n

315°

ros 3U00

= M!n (360° _ 45° ),.é - se" 45°. = ros (360°_60°) = cos 60° =2I '

394 FUNCJONES TRlGONOMETRlCAS DEl. ANGULO - a . En la figura 323. considenmdo los tricingulos b AOB y b A'OB. tenemos:

- =OA = = r= l¡ OA sena = AB_ (;OS

a = 08.

AB

tana = OB-'

lili

cota=-=.

AB

A'B = - AB_ sen ( - a ) (;OS

(- a )

= TI = - AIj.

=Olj.

tan ( - a )

AJB - AB ===-==-. OB OB

001. ( - a)

OB = A'OB'n = --=. - AH -......:=:-

r l' :-;c io~ f.S TRI GOr-:OM ETRICAs DE ANGL LOS COMPLEMENTAR IOS

DA)

scc (- a ) = ___ 08

DA

ese a =-= ,

C>c (-

AB

De flquí

5e

a)

DA' AH

=

'25

DA -=-"

OH DA - AH

= --=n; = --=-'

deduce:

sen( ·

cos ( - a l

a l=-.<;rll a c= CO$ a ( - a l = - lall a

rol ( a )=-OOl a sec ( - a ) =sec a

Ion

c.~c

(- a ) = - ese a.

"Las IUfldones tTlgo'¡QmétTlcos ¿. un tingulo negativo son iguales en valor absoluto (1 1m lunriones (1,,/ mismo ú"gulo posiliuo. pero de signo contrario, rzcepto el cosrno y la s#'Conle quP liel/en el mismo signo", Ejem plos. un (- 30° ) = -

1

sen 30° = - 2 '

sec (- 45°) ::; SI'C 45° =

v'2.

EJ ERCICIOS ( 1) En un circu lo trigonométrico señll lllr IlIs linellS trigonométriCfls de cada uno de los siguientes ángulos: 1) 30° 2) 120° 3) 210° 4) 300°

') W 6) 135°

7,

275° 8) 3 15°

9) 60° 10)

150° 11 ) 240" 12) :J30°.

(21 Reducir 1115 funci ones trigonométricas siguientes, a otras equivalentes, de ángulos menores de 45°:

1) sen 64". 2) tan 65° , ') scc 70°, 4) ros 80° 30" 10", , ) - ese 50" 20", 6) - tan 75" 15' 20". 7) - sen. 50°, ese 45 ° 20'_ rol 50". 9) 10) cos85°.

.,

R .: COI 26°. R.: rol 25° . R .: ese 20". R .: sen 9" 29' 50". R,: - Sf!C 39" 40'. R .: - col 14° 44' 40".

R.: - ros

4()".

R .: sec 44° 40',

R.. tan 40° . R.: sen 5°.

".

GEO METRI .... PU:>;" " DEL ESPACIO

11 ) tun 120°, 12) sen t OSO, 13 ) ese 100° 20'. 14) -SIr: 170°, 15 ) COI 135°, 16 ) -1ft: 135°, 17) -rol IS5°, 18 ) tun 170°, 19) cos 96° 15', 20) sen 110", 21 ) col 225°. 22) _ col 2'1<1° 30'. 23 ) ese 250°, 24) cos 210°, 2 ' ) sen 260° 32'. 26) - S « 250° 30' 15". 27 ) sen 210° 20'. 28) _ tan 260°. 29) $«: 25()°. 1O) sen 200", JI )

ros

305°.

l2) sec 33()0. B ) - sen 320°. l4 ) = 300". J<) COl 350" 30'.

R.: R.: R.: R .: R .: R.: R .: R.: R-. R.:

30°. 15°, lec 10° 20'. S« toO, -(;OS 45°, sec 45°,

COI

20°,

R"

col

45°,

-COI

CO$

25°, - Wn tOO, - snJ6" IS', col

,an 29° 30'. R.: - 5 « 20°.

R .: -

R" R.: R.:

R" R.: R.: R.:

30". -ros 9° 28', ese 19° 29' 45", _ sen 30° 20'. - COl 10°. -csc 20°, _ sen 20°. -t;t)S

R_' sen 35°. R .: see 30°, n_o sen 40°, R.: -scc 30°, R .: cos 9° 30'.

I l) Reducir 185 runciones trigonométricas siguientes 11 185 de un Ángulo positivo menor de 45°.

1) sen ( - 350" 45') . 2) ros (_ 315°). l ) tan (-2200). 4) sen (_ 190°). 5) stX (_B5° 15' ).

R.: sen 9° 15'; R" ros 45°, R.: _ ton 40°, R.: Sl'n 10°. R.: ese 4° 45"'.

GIIlGOS y IOMANOS. 0..,_ eSe iDs ,

.... ~DIDIII~

los

ev.a-

_pri_ .. WI'"

en-p ,.

~

.........

....- los _ - . lograron _ be.... _na _ ---........... _ ' - -o A kI ¡'quienlll .. _ _ ... c.wo.. , •

24 Relaciones entre las funciones trigonométricas, identidades y ecuaciones trigonométricas 395. RELACIONES FUNDAt'\1E.NTALE.S ENTRE. LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN MISMO ANGULO. En un sistema de coor· denadas consideremos un Angulo a de lado inicial OX ( Fig. 324). Tnlremos por un punto cualquiern e del lado terminal la perpendi.cular Me al eie OX. Aplicando las definidoneli de las funciones trigonométricas., tenemos:

Me sen a=-oc

(t )

'"

",

Gf.oMETR IA PLANA Y DEI. ESPAC IO

Me

IOrla = _

OM

c04 a

=

OM

....,..0=-

MC

oc = Vi'Ii1

(5)

OC a==Me:

(6)

( 3)

5« a

( 4)

ese

Multiplicando ( 1) por (6 ), lenemos: serl

ti

ese a

y

MC OC =- OC . r:;c = 1

U!'la ese

(1

= 1.

x·

sen ( l Despejando e.: a :

o y.

Muhiplicando (2) pur ( S), tenemos: ros a

OM OC sec a = ___ , - = = 1 OC

OM

cos a. sec a = 1.

Despejando ros a :

ros a

= -I - .

Despejando

$etC el

: - - --

5I'r

n'

~ I

=-

Muhiphcando ( i ) por (. ) , tenemos: lan a rol a

= MC,E!!! = I 0/'.1 M e

lana cot a = 1.

Despejando

lar!

a,

I lan a = - _ .

Despt'jondo

('Of

a:

COI a

~9f¡.

ro' _

I =-. la" a

RECIPROCIDAD DE LAS FUNCION~ 1 RIGONOi\ lETRICA$. IUlteriores se deduce que 5011 reciprocas las siguientl'~

De las fórmulas

fundones del mimlO arco' f) 2)

El seno y la

3)

1... I
El

r~8nte.

coseno ,v la SC'Ca nle. ,l'

la rohmgt'nle.

RELAC IO!\ES E.... TRE LAS FUNC IO'ES TR IGO!lóOMETR ICAS

397. OTRAS RELACIONE.." I MPORTANTES. lenemos:

Compal'lUldo este

~ultado

Dh'idiendo (1 ) y (2 l.

con (H. tenemos; / QJ1 C1. =

y

'29

..., .

-

-

ro. .

( 7)

.

I
como:

(8)

lQJ1C1. = - -

Comp'lMlndo (7) Y (1\ ' . tenemos

. "'""...

"" Rt!ln.ciÓll ,.,lIrr ,./

$('nfJ

)

=--

,./

(9)

De la,

tORno.

Me

rómlUla ~

(\

~.

(1):

(1)

Mn Q = o c -

11

y E1C\'ando al cuadrado:

Sumando mIembro

miembro:

fI

$enJ CI. +t'O~t n

=

~ + OMl = ~+OM' OCl

OC,

Pf.>ro por el teorema de Pjtilgoras ~ 4- 0.'111 $t!1l1 C1. +~ Q =

E.~

decir;

OC!

= ñl:'t

OC' = L OC'

___

w',,' CI. + ro, l

a

1.

De donde se deduce:

'l'n' a <1'11

(J

_ l _ ro~ a

\

1

r f,.

(J

\ I

'11!'11"

Q

'"o

CEOMETRI<\ PI ,"':'A y DEI. ESPACIO

r

la !WCtlnl e. Relación entre la co/{mBenfe J' la COSt!C(Jflte J' la tangente sen ! a. CI:W a = l. dividiendo por serfl d , tenemos:

+

De la igualdad

sen' a

U!n 2 a

Separando:

sen' a

+ cos'l a 1

cos' a

+ sen' a = sen' a .

I +cof· a =c~ a .

Si dividimos la igualdad um" a

+

00$' t'l.

sr,,' a + cor- a sen' a

= 1 por ~ a :

ros' a .

cos' a

I

.- + -= -. cos- a "oS' a ros" a

Separando:

Um' a I I

ser a

.

j9R. DADA l NA FLNCION THIGONOl\1F.TRICA DE l N ANC;t1l,O. LALCULAK LA!'! RESTANn.:s. 1. Dado el a l ro.l ena.

~no ol)l~cr

loda" la. dn llao;,.

=

spn' a -t ros" a 1 cos! a = l - sen' a sen' a

ros h¡

a

= \.' 1

..¡en

(l .

f{lII~nle. ~n a

=a

lO"a = - pero:

tan a

f'

_

= _ \

c'o~e:.; a'=,~ I -sen! ..

f 'f' /tmp( IU('.

1

0>1 0 =Ion - -<'1=

U na

Vi ('ni a

VI

vn' a

RELACIONES ENTlU: I.AS fUNCIONES TRICONOMI!.TRICAS

d) ut:anle

t set:a = - ros a

p'"''

=. =

v",---; ,~:::;;·c.;:-.

t

ese a

~ n.

11. ()bt~ner todas 1&$ rUrK:iona lri~Of'Olllél~ tn (unci6n o:kt oosnJO. a ) uno. sen'a+~a = t

rerr a = l -cor a

I

vsewa

\ /1

b) ta"Beme.

COS" a

"". =.

tana = - -

p'"''

sen a

= V",::::::..... ;;;¡C.;o-.

..

VI

~

rol 1)

St!CQTlle.

el

=.

= -:;F~S:-_ V i cW'- el

,

e ) COUeQnte . 1

csca=-wn a

",

'"

CEOMIITRIA PUSA " DEL ESPACIO SIn

a

=

V',=-""" :='-::•.-

111 . En función de la tant¡nltc. a ) fimo.

tan a

"" • • pero ros a = __

ton (1

-:7,::.,,~n;,:.:=.~ = ,11 sen' a.

=

..... a

Vr,-:::-;;;;¡.-;;I U!n' 0. •

_

( 1 -sn1' tJ )= se~ Q

lonl a

lan' a

lanJ Cl -

Ion"(1 lan' Cl

--=

sen'

(1

=

St!n~ 11

y,,' el + lan' a . sen' a.

= sen" a ( 1 + tun' a ).

= ":+,""'. ¡::¡'~a;;n;"~' a = - ,.:;:=-:-,. I + to"' o

sen' (J

«n b)

I~ .

""'""

tan cr.

w n-a . =..... a

pl"ro

sen a

"'-;;:;;-:= \/1 a:N" a .

V ¿!: i ~_~~.~ -' "" a tanl a ' cos' a = l - cor a tana =

tan' o. ·

~

a + coi'

(1, =

_a

larr a

'"

1

~ CI (lan r G + I )= 1

-

e) COIanpmU,

f

= 1 - .rco.s* a

+ tan' a

,

rol a = - - . Iml a

'

a

ftE LAC IO:-' ES r.:-'TRE LAS d)

F U ~ C I OZ\ES

TR1GONOMET RI CAS

~unte.

pero:

= __~t~__

sec o

t

VI + tan' a Vi

sec «

+ tan' a :

r ) ro..erante t

esca = - Wll o

pero:

sen « = _-,,"'~~:.:,:.:..,,V I + tan' o

ese IV. [." función de lA u ) seno.

11

= V i + taw a I~ .

(OIanl{t:nu~.

=.

COI a = - _ ~n .

P'""

ros a =v l

sen'

11 .

vtit=~,~.n';;;:;.~

col a = ~

l -sen2 a

,en'.

wn .

cot' a ' sewa = t - sen' a col' a ' ,sen' o + sen' « 1

=

se.ra(COI 2 a+ 1 ) sen a

V i + COI'

=1; «

CO/' a+l

)33

GWM ETRI A PU.NA y Of.L ESPAC IO

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""

.

cot a = - ren o pero:

ren a = v l

col.

VI

cos" a

=

cot~

a (1 - cos-" a ) cos" a rol' a - cot' a COS" a = cost cot 2 o = ros! a COl~ (1 , COS"

+

COl~

o

ros'

(1

(1 (1

= ros" a ( 1 + COl' a ). = 1 +""'. cot' o rot . \,/ 1

e)

+ rol

2

a

tangenl~.

1

I QII O = - - .

rol •

d ) secante.

1 6ec o. = - -

""

.

pero:

1 rol •

e) cosecanJe.

1 csca = - -

pero:

~."I

a

'.11

+ ('<,1' 11.

1

sen a

= ""'F~""'" V i + rot' o.

Uf' G

JlELACI0NES E.'TRE L.0\5 fUNC IONES TR IOOl"OMETR lCAS

"5

\" . En funciÓll de la .a:anle, a)

~t!'r1O.

st!C

pero:

ros

,

=ro< -•

o= v"--re=n:;·C.=-.

s~

-

a

,

o

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sec' a -

rec' a

u:ct a

sen ' a

sen ! a

=

I

= I _ seC! o sen' o = .
sl'C' o sen! 0

sec' a ( 1 - sen' o ) = 1.

rect

0 • SlX" a

=

1

.

retl

•

,

b) roretlQ.

rec a = - -

""

.

soc a ' ror a .:.:: 1;

d

a

,

ocu a o:: - - ,

,« •

t UII¡!.l'tlte.

sena 'an o: =ro, -.

P'""

y

COS O: = -

l an

I

•ec •

J ) cotangente. rol

-

""

,ec~•~-; ,=. =V~'~e<'§.

~

,

,

,=.

0: = - -

a

.

.

= Vu:ct a

l.

33'

COOMETR'" PLANA " DEL ESPAc.;IO

1.

pe ro~

e)

rosernme.

= -'wn a

ese a

VI. En función (1 ) serIO.

d~

,

la

Cosn:aOIC'.

ac a = - - - ; sen o :sen o.

b,

= --¡~"";:o,:.:.,," ..¡ser:: a

,sen a ;:;: 1 ;

,

= --- . C~ .

,

roseno.

ese a = - --

~n .

pero:

S('TI

a

= V"--;"",,,,;-;.;-.

ese a

= 7v'i"F~cor:::::;-.:

I --:-:;-=1CR- •

aW a ;

ro~

(JI.

I --::;-- c~- •

t

" o»

cs¿ a - l ese' a

ti

= VCS~ a a ('SI"

eJ

umpf'nU! ,

un .

'Q,.Q =~-

«>., •

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I sen a =--ese a

,. ~,

.

Um

a

=

=-

ros: a .

RELACIO:\"ES E:\TRE l..AS

d)

Ft:"C I O~ES

TRIGOt<;"OMETRICAS

S37

rotaFIgel11e.

t

a =--1011 a pero:

a

Ion

COI

e)

t

= "",,,,:,.._,,,

VcW

(l

el

", ,{

,

, ~~ ~

,~

a

V,

,<.. - Cl

V,

.....' a .U

(1

V'

«t a

V'

1,

= VcsC'

,

1.

(l

a

"1

" , + '01' a

", + fa~: a

J ' + elDl' a

,

<0,1

V,

(1

,

la .. a

",~t: a

,¡ , +

lall a

r.t>I

V,

CM'

ne a Cl ct< Cl

\< e~

"' a

" ,
a

, ,

,

,

" ...1 (1

,

(1

"
a Cl .,¡Ut~ o tU

,

Son igualdades \jue se cumplen 1'108n1 cualey¡uierd valores del angulo que- aparece en ht igualdad. Exi ~ten vanos m¡'1Cdos llo8ra !lrobar identidades trigunolllétricas, algunas muy interesante<'. ¡)ero vamos a explicar el que nos parece mas sencillo 400. IDENTlD ADE.<; TRIGONOI\1ETRICAS.

pRnI

el a lumno:

,

Vnc1 0

cse

a.

t- '01' a

,

,

,

,~ a

+ lall' a

.u o

Ut a

,

vi + 1<,,,' 0 a

o

I

- tO,' o

,

,1 f~.1

+ 10..' 1'1

.01

a

u. o

,

'''~ a

e',. a

<0 '

v,

<", a

,,,,2 a

,

. . ,, : ( l

.~"

a

'~ a

, , ;e (1

' 0'-

a

. oa

a

COI a

, .. ~ o

. " . el

. oa

la~

= :v::;;c;"'~a:;::::;

secallte.

,~"

'~ a

a

,

".

CEOMETRIA PLANA V DEL ESPACIO

"Se e:cpreSOn todo!! l~ thminot de lo igualdad en función del smo l' y se efectúan Las opemdCH'ln indiuwas.. ronsi8ui¡:ndose ari la ,dentl dad de ambos mieml>rQS" .

COIierW

Ejemplo.

Demostrar que:

ese ... 1

,en a

l ec a

= rol a + tana;

_ l_ _ cosa+sena . ros a - sen a CO;S'.'

-;;;-;;--''-;;;;;--;- _

-sen...

ros •

cos' •

sen a

+ sen" • cor.

¡

401. ECUACIONES TRIGONOMETruCAS. Son ilquellas t'n IlIs cuales la iudJgniUl aparece como ¡fflgulo de lWlciolles trigouométricas. No existe un método general para re!iOlver una ecuación trigonometric:a. Generalmente se tnmsfonna tooa la ecuación de manera que quede expresada en una $Ola funci6n trigonométrica y entonces se resuelve como una f!CU8CK.n algebraica cualquiera. La única diferencia es que la incégnita es u no fu nción /rl gorwmetr¡CO. envezdeserr. y o L Como a veces hay que elevar al cuadredo o multiplicar por un factor, se introducen soluciones extrañas.. Por ésto. hay que comprobar las obtenidas en la ecuación dada. Por ejemplo, si estamos n!SOlviendo una eclUtción cuya incógnita es sen a y obtenemos para ella los valores - I Y 2, tenemoti que despreciar el valor 2. porque el seno de un ángulo no puede valer más de l . Resuelta la ecuación algebraicamente. queda por resolver la parte trigohorm\tric.a ; es decu-, ronoc~do el valor de la función Lrigonometrica de un {mgulo detenninar cuál es ese angulo. Recordemos que lóls funciones trigonom':tncas repiten sus valores eo los cuatro cuadrantes, siendo pOll"itivas en dos de ellos y negativas en los otros dos., es decir, que hay clOl!i ángulos para 10I!i cuales W18 función trigonométrica tiene el mismo valor y signo. Además., romo las funciones trigonometricas de ángulos que se diferen. dan en un núme r o exacto de "Vueltas., son iguales, seni necesario añadir a las soluciones obtenidas, un multiplo cualquiera de 360°, es decir, n · 360°. Ejanplo l .

Resolver la ecuación: 3+ 3rosx = 2sen 2 x.

RELACIONES E..'1TRE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

939

Expresando el seno en función del coseno:

3 + 3 ron: ;:::: 2(1- aW x) 3+ 3 cosx= 2 - 2cos"x

+ 3-2= O + 3cosx + 1 = O.

2cos' x+ 3 ros x 2 c.us

2

X

Considerando cos x como incógnita y aplicando la fórmu la de la ecuaciOn de segundo grado resulta; ros x

=-

3 ± v'3 1

+X2xt

- 3±v'9=8 -3±y'1

2X2

=

4

4

Separando las dos raíces: COSx=

co.s x =

Las

W IUc)Olle$

- 3+1 4

-+

-3 - 1

~= - 1.

+

son·

P.ro

1 oosx = - ?l

Para

oosx = - l

x

= 120

0

± n . .360".

+

Ejcmpkl. 2. Re50Iver la ecuación sen x t = CO.I' "Expresando el C06eno en funci6n del seno, resulta :

sen x

+ 1 =v'1

sen" x

(senx+1)I = [v'1

sen"x

sen"x]2

+ 2 sen x + 1 = I - sen"x

.sen"x+.sen" x+ 2 senx + 1 -

1= O

2 sen"x+2senx = O sen" x + sen x = O scnx (senx + 1)= 0.

Las dos soluciones son: senx = Oj .senx= - i. x = 90 o ± n 360". Para sen x = O PtlllI .sen x - - 1

-

-3±1

+

GEO METR I" PLAAA Y DEL ES PA C IO

EJ ERC IC IOS Calcular las olrllS /um::ionl'{. l(lb'l'"du:

1)

1

senx = ~.

R .: rosx =

~3 tan x = ~3. -

2v':r

ootx =v'3 , seex= -,_ ese x = 2. 2)

R.: sen x COI

= 2~6

tan x = 2\16.

x ={f. sec x =5.

5y6

esex = 12' 3)

,

3 R.: .smx = S'

tanx = 4'

. _ 2y'j3 ' _ 3yrr R.. sen x - 1'3"'" rot x - ---¡r'

4)

2

ton:X = J'

Vl3 secx=-3-'

csc:x=~ . 5)

_ ._:-J3+

'---5

'

R.:

3y34

senx = ~.

3 t(Ulx = S' ese

001

x.=.vi

504

rosx=~.

5 :X: = 3"

,

RE U\C IONES ENTR E I.AS f UNt: IOl\ ES TRI GONOMETRICAS

203

'.1

3VIT

R .: se". =~ , r::os . = ~.

2

I U"X = ,r' CQI

7)

set'! x +ros x = 1 _ _'_ . sen x la"x

8)

ro... -.= sen x. ro,

9) ' O) 11 )

12) IJ )

' 4)

I - sen . sen' 1; =

ros x - ..-:i":=::1 +umx

"-'-=="""", cw "--" 1;

15)

' 6) 17 )

' 8)

lan,, - um . ~' x

,

'9)

secy+ lany =sccy - tany.

20)

lanx+rol

2' )

~_ , OOOI _ U

JI:

= un

JI:

1

co.r

X

3

X = [.

'"

CEQMETRIA. PLANA. Y DEL ESPAC IO

1 22) t - 2sen'I= 1 23)

.en. --=sec X _

24 )

(S«

"'"1

COI ..

....

X

= t + sen:L

tlUl . ) '

+ sen x )

25)

ro.tl x = ( 1

26)

( I -sen" x ) ( 1

27)

tanlx + tan x • '

sen. + oos sen x

sen ,,).

( 1-

+ IOn" x) = 1. secx+cscx &t!c x C$C x

x

ros x

29)

1 sen'" . co.st" + ~ x = 1---,-. a, x t an x + tan y = tan. l an )" (COI . + COI y).

JO)

2 sen! JI

ji)

ton y +cot y = scc y . ese}.

32)

1+'nn·,. = ~ x ·

33)

ton l "

34)

t

28)

+ coi' " = 1 + sen'

. COl""

ros .. _

= $(m' " + cos'

)t.

+ 2 sen x cos " = .sen " CO\J " ( 1 + 001 x ) ( 1 + tan x ). 1 + ~--.!.. ' _ = 2 sec2 y. ! +.sen y I sen y

35) jf¡)

2 tan x + 1 =

37)

3 sen x ros x

j8)

um II

+ CO$

39)

2. tan

JI:

40)

-

Cl»x+2.sen",

"'"COl x. = 3 sen2"

lO:

=

+ cOS = ~+2senll . ro. . II

41 ) 42)

tan3 x csc2

'-

tan" "

-

('01"' II

JI

COl'

sen:ll:+ tan x mi. 111:

.

f- ton . ).

COS ,. ( 1

= cos2 sen x sec x cor x = t.

43)

ll.

+

CSC' "

JI

JI

•

COl· x.

.nm· JI = l .

=sen

:11.

tan JI..

RE.U..C IONES ENTRE LAS FUNCIONES TRI GONOMETRICAS

+ rol :o: ::::: _~.=ec':,:':..., cot x tun'- ,,_ l '

tan " tan x 46 )

-HI.

+ -'' --:=; ro,. '= ' '''::x = 1 + tan x + cot x.

tan x rol •

2

1 = .fen' z _ coS"':I:.

~n'! Z _

+ ""J -;:;;;C;;"" ser x 1 50 )

cotx - tan :o: tan :o: +rotx

1 _ 2sen 2 ",

4 i)

343

,

1 1 +lan2 y

;::: 2

.w!'c x + l 1

C$c

x . rot x.

+ ,tan' x = sen' x-sen' y.

=d + tW1 d = ,-"'Ó,,=nCd " .

51)

sec d

52)

lanx (cos 2 x -sen: x ) I tan""

53)

lan·x -

7+)

(l-sen2 fJ )( I + IW1' fJ ) = sen fJ s« fJ cot fJ.

55)

(senB + CO$ B)" + (sen B -cos Bl' = 2(ton>8 cor'8+cotr8 scn28).

cos' x - sensen x ++cos :o: l

"

scc;< ", = 1- 2se&' " .

R~lver

las siguientes ecuaciones. Las menores de 360". 56)

sen x = sen 80° .

57)

C05

(4()0 -

ll ) ;:::

58)

(."OS

Y=

(60° -

59)

Ion x = tan

60) ( 1) (2) 63) (4)

COS X +2lif!nX;:::2. 2senx ;::: 1. 2 cos x rot x. esc x = secx.

C"O.f

)'). 2x

=

65)

tan x - l =O. 2"". .. 00&' '' ;::: .3 - .. cos x.

66)

("0.(1

67) 66)

.i oos2 x + sen'! x = 3. 2 sen! x sen x = O.

x

3(t-sen x )

+

"

se dan ¡>ara ángulos

R.: SOo. R .: 20°. R .: jOo.

ros x.

(i -

~C"iOllf'S

)

R .: 30°. R .: R.: R.: R .:

90°, 36° 52'.

30° , 150°. JO o , 150°. 4-50, 2:25°. Ro 30° , 150°. R.: 60°, 300°.

H..: W. EíO o, 90°. R.:

0° , 1800, 360°.

R.:

()O,

180°, 210°.

,..

COOMETRIA PLANA \' DEL ESPACIO

69) 1O)

CO.l' X

00.1' JI.

+ 2senl Jt = 1.

= -V3"stn x.

11 )

v'3sen x = 3 ros x.

7') 73) 74)

t.vr· -I

=

3 = 2 s~:o: .

csC' x 2 COlI x . sen x = ros • .

R.: 0° , 360°. 120°, R.: 30", l SOo, 210° , R.: W. 120°, 240° , , 135", 225", R" R.: 4ó", t35°, 225° , R" 45°, 225".

..,0

240°, 330°,

300°, 315°, 315°,

IL HOMIft MOOHNO EN LA Al'UCAClaN DE LA 0f0MIfIKA. W. _ co ......cdMet uIIII.o" ....... ..... a • _, ... pi"""'", .. cirOllllf_ a., . . . poro .............. ~ .... ....... wIor.. h ... ., Ioud6w .. u_u ......... ,..., ..

25 Funciones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos 402. FD"'CIOl'\E$ TRIGOl'\OMETRJCAS DE LA Sl 'MA DE DOS Al'\ GUIDS. Sean l XOC= ¿ a y l COD= L b. dol Angulos CU~'8 suma es lXOC+ l COD = l XOD = / a+ L b. Por un JlW1to cualquiera de OC. tracemos CM .1. OX y CD .1. OC. Por el punto D Irnct>mo< 'jjjij J.. OX y por el ponlo C. IrucCIT\05 CII 1. 7J!iI'. Consideremoa b

En l10CM y b,rDII

Iriángu 1011 l1OCM . l1COI/ y !:lOCO

¿CDII

¿ MOC-Q

,.,

100f' ., 'I&Inb. oogudoo. y tI;' r 1.,11, 1If''1lfndic.,lart''o

.

,

COOMETR'A

+ b).

Cálculo de um (a gura 325. tenemos:

sen

(a + b)

NO

= =00

PI~'NA

Y DEL ESPACIO

En la fi-

,

(1)

+

o

Pero: ND = N H HD (2 ) ........ . (el lodo e; Igual a la suma de la ~ fk... rt('~) .

y

N H = (VIL' (lados upuestos

(3)

de

un

Sustituyendo ( 3 ) en

r('C] li ngulo) .

(2) :

ND = M C+ H D

Sustituye ndo

(4 ) en

. .. .... .

-'O~~---No--o"------ X

(4)

HII'.325

( 1 l . tenemos:

( + b) sen a -

~+ HO .

ME+ OD7liJ

OD

OD

!\1uhiplicando el n umerador y denominador de la primera fracción por OC y el n umerador y denom in ador de la segu nda po r Cli, tenemos:

M e oc HD CD u n (a + b) = -=- ' -=+-=-, OC OD e D DO ' Pero:

MC

( 5)

liD e D =cos a .

OC=sen a ,

CD

OO =$Cl b .

Sustituyendo estos va lores en (S . ,en(.'1T\OS: sen ( a

.

+ b)

sen;o. ros b

{.alculo

d~ ('US

ON

cos(a + b) = -==-.

00

y romo: -,;;r¡;¡ = H C.

+ b l.

(t)

El todo es igual a la suma de las partO"< _

Pl'ro: OM = ON +MN

7JÑ= OM -MN

(oa

+ ro< a U'rr b.

(2)

Du pe jéllldo ON

"

l.. Ido..

" l'ue~l n~

de UB n 't" l"n guln ;

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS D:E U. SU M"" y DE LA DIFERENCI....

,.1

sustituyendo (3) e n (2 ) , tenemos: ON = OM - HC.

(4 )

Sustituyendo (-1-) en ( 1 \, tt>nt>lTlOIi:

C05 (a+ b)

= OM- I/C 00

Multip licando el numerador y denominador de la primera fracción por OC Y el numerador y denominnd
m,

cos (a

oc + b) = OM bc- . OD 1K!

Pero:

CD

7113 CD

CD . 0 0 .

OM"

= sen .,

OC

(5)

=cos a .

oc

ClJ

_=ct)&" b .

(j¡j=renb .

00

Sustituyendo estos valores en (1) , tenemos

ros( a + b

ros '"

CfJ$

~('n

b-

a

_ I 'i'n

b.

Calculü de tan
ran ( .

+

b ) = un ( a + b ) = sen a ('Os b +SOI b ces a .

ros (a + b )

CO/;

00$ .

b

sen a sen b

Dividiendo numemd(lr y di!l\OImnador por cos a ros b, tenemos:

$en . ros b la" (a

+ b ) = co.r a

+ sen b cos .

00$ a tos b ros b sen a sen b cos a co.s b

sen. cos b +senb cos a

( + = ros aa

tan a

b)

00'

b C05 b

cm'

cos a cO~ b

sim plifi mndo:

Ion ( .

COI

ros a ros

$('n a

+ ren b

cos a

cos b

sena sen b · + b ) = ~'=~~~~ ros a ros

a COI b

s('n a u n b .

b

b

( 1)

.

,

(.F.OMETkl \ PL.'\!IoA , DE I. ESJ'At: IO ~n.

-ro.- . = tana,

Pero:

Sustituyendo (2

,.

(2) ~Il

Y (i "

(\ ) ,

(a + b

um

(a

(3,

tenemos,

;';·,,·~I-:.::'w"i;' ;ob;-¡;l-=/n:,':tona "mb

_

·1

Ulcu lo d(" rnt (a

.."

~b

ros b = tanb .

+ b ) = ros Ca + b) = sen (a + b )

+ lo

•

cos a ro« h _ 6Dla ¡"nb . sen a ro.f b +senb ros a

D ,vid irntlo Jl wnerdor y denom inador po r sen lO f"-n b. Il'n emos:

(a+ lo )

COI

..

cosaw:s b I a St:Tlb ro' (.+ 1.0 ) = sen COiS b l.VI' •

( 1)

SCñ'b+sena

-" - = rot • ~. Sll~li hJyl'ndo

=

ros a ros lo - se' I . sen b sen • .vm lo sen . ros 1.0 + $en lo COI a . senasen h

( 2, Y

.

( j ) eJl

tl

j .

nn b - -b - =COI b .

y

(2)

.en

(3)

tc,lCmc~ ;

rol a

col lo

101 .. + ('o,-b- -

wll a + h l ~ It

Fl M IOl\L... '1IHl.Ol'O'\1I-:-rnICA.'" ni': LA IlIFE"ENLIA DE JXI.s AN(.LI.O~ . Si en las rónnu l a~ anteriore$ sUJlúneTnoS ..1 ánfCUlo b negativo, tend remos : (~Iculo

um Pero:

1.+ ( - 1.0 )1

de

~'n

(a

b ) +.w!rl (-

b ) cos a..

( 1)

sen (_ 1.0) = - set! b.

( ')

= setl . cos( -

ros (- 1.0) = ros b.

(2 )

y

b

Sustituyendo (2 \ Y (l) en (1 1 1enemos: sr" ( a -

hl

,,'n a C'M b -'¡'nb ro·' • .

UlcuJo do:

. "O;f

(a

b ).

cosJ a +{- b))=cou· cos(- b) - se' lasen(- b).

( 1)

n .T NcroNES TR TGONOMETR lt o\S DE Lo\ SL MA" OE LA O n ERENC IA

Pero:

cos(- b ) = cos b,

(2 )

sen ( - b) = - sen b.

y

3049

(3)

Sustituyendo t l l y t J I, en t i l. tenemos; {a

roJ;

bj

ros.

C,.jlculo de

lu,¡la + ( - b) ] =

CO$

((/ti

+ .(en a

b

(a -

lona+ Ion

tan a .

1

sen b.

b J.

(- b)

( 1)

b) '

((In (

lun ( - b) = - Ianb.

(2)

Sustituyendo (2 / en ( 1J, tenemos: lan ( a -

tan

b)

a

tan lo

'+trma/nnb '

C.ákulo de COI (a -

o,,,

lo ).

[a+(_b) ] = cot . · COI ( - b) - I COl a + COI (

Pero:

( 1)

b)

(2)

COI ( - b ) = -cotb

Sustituyendo (2 ) en (1 l. tenclTI()5: _

COl

y cambiando de

SlgnOS OJI

' _·_"',= '~b:.-_': = -"""=~ COI a COI lo

( a - lo)

numerador y denu minador: (a - lo )

COlb + 1

COla COl

lo

COl a

4<». SECANTE. Y CO!-.ECANl'J.. m. LA ..,L \lA Y UE LA DlFERF..."'le JA DE OOS A RW5. AulltjuC es posible deducir fónnulas para estos valer res, debido a su complejidad es prereribltl uSIIr las siguientes relaciones: ;sec

(a ± b)

= ros Ca1 ...... b ) ,

r:st: (a ± lo)

=

1

Kn

4 n'í. ¡U·:.... UMF.N DE FOHM ULAS.
serl

a ros lo +-

Sl!n

b

CO$

a.

(a ..!.. lo ) =- cot a co. b ...... twna knb.

tona ( +. b)

=

tona±lanb l ...... lana · tnnb

.

(a ± lo)

GEOMETRIA PLANA'" DE I. ESPACIO

'50

col ( a

± b) =

rota · cotb ::¡:: l

b

COl

-+-rot a

1

sec (a ± b) = cos Ca ± b) . ese (a ± b) EjQllplo:>.

= sen (1±. h) .

Sabiendo que sen. a.

=

v:

y

COI

b

=

-v: .

calcular las fWl·

ciones trigonometricas de (a ± b) .

= ' =Vl

~w.

j.-( 4 ),=A-Jr -.![. V-

T 2y2 \/2=2\72-= 1.

tan,, =;;= $DIa

T

V2 2...;2. a =-;;;;= 0= 2y2"= 1. T

ros a

COI

2

sf'n b =vl

ror:6

j~ - t 4- r=jl -~=fi ~ .

1 J:mb T t tan b = cosb = ~=V3'

2

Susúruyendo estos valores en las fórmulas, re;;ulta:

FLNCIONES TRIGONOM,ETRICAS DE LA SU MA Y DE LA DIFERENCIA

t

sen ( a

+ b ¡ = V6 VZ .

ros ( a

+ 11) = .Y"'6-..

V2

•

...¡r

1 :¡:: I

ll/n

(a + b)

3

0

-,

3 ± y'3

v'3 3 . . . V3

= 3 ......

3

= 3+...;3 3+VI_ 9+óVT+3 , \13

3

ton (.

3±y'3

I ± ,--

lun (a + b

= v'6-:;- V /2

sen (a _ b)

3+y'3

+ ' ) = 12+66 \,1'r-_

Ir/n t a _ bJ = 3-v'3 3-~

3+y3

3- v'J

9

6(2 +

6

3

-../3)

9 - 6y'3+3

•

3

2-";3,

I

rol ' a :t b )

= la R ~ .. ± ~ ) .

2- v'3_ 2 _ VT 2

ror

(a _

11 )

&er

= 2 -I _V;JJIi"=

( a ± b)

sec (a + 11)

2

I == -T--:-,," ros Ca ± b)

= V6 4 0

"" -

2+'"

. 2

+ V3

3.5 1

'"

C EOMETR I'\

PLA~\

•

soc l a - b) =VS+V2

eSI"

rse (a

(a

b¡

YO-v.- ' (YO \12)

\lb' V'l =

6

2

= um (at ::!: b )

•

vI- v.- ~ . (YO-\I2) =

= \It •

0) \1'2= -' (YO+ 6 2

+ b) = '\lbb+ y'2rse ~ . - b )

\ DEI. ESPAC IO

yo

y262

'6- \12:

v

EJERCICIOS Calcular aplicando la, fórmulas de las funciones trisono metncas de la MIma y dircrencia de án guJos y los valores de las funciones IrigonOm l?l riaas de los ángulos nota bles ( ]O " +'í ' . 1,)0' ). las funciones lril/:onométncas de los á ngulos siguientes: _"" , , 'L. $en to5° 41 (y'2 v6).

= + 1 cas 105<> = ;¡: (-v'2" - ,jO) . l ar! 105 = - (2 + \/1). 0

COl

105°=....;'3- 2.

se(;

105°

=-

(~+

y'6).

ca; t Mo = Vb-V2. 1 R.: sen75 °= 4(V6+~;

ros 75°

=1(v'O-~) .

= 2 + vr: col 75" = 2 -.JJ". "" w = v'if + V'!: tan 75°

ese 75° =

Vli-

~

FUNdONES TRICONOMETRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIfERENCIA

n.:

.sen 150

= +1 (VtlT -

3S3 -

\/2).

1 ~ cos 15 0 = 4 (yo + \/2). lanI5°= 2 _ y I COI 150 = 2+\/1

t5°= V6-V2. ese 15 = ",'6+ V2. ángu los (.+ b ). sa biendo: sec

0

Calcular las runciones trigonometricas de los

H..: sen(a + b l= ros (.11

+ b ) =, 6t~

lun ( a + b ) col

17V13 65 '

17

= 6"' 6

(a + b )= i7 '

SVil

+ b)

c~c

+ b) = 5fi3

(a

5..;rr

('i) ros a = ~

+ b) =

50";2501 2501

ros ( a

+ b) =

-2501 .

lar!

(a

cos(a -

b)=

tan ( a -

b)

= 161

(a -

b)

= 18.

18V""[;"

65

5\1'13

~ ( a - b J= ~.

ese ( a _ b)

= 5VIT

y

R .· sell (a

.

b l= 65 .

col

=-.-

ser (a

vIT

sel! ( a -

y2501

+ b ) = 50.

sec (.11 + b ) = --J25ij[

s~n (a -

cos ( a

b,

=

-

_ b) _

-

IO\/2SOf 2501

49y"'2501

2501 10

tut/(a -

bJ = -

49 '

sec (a -

b )= 0501 49 .

.

CEOMETRIA PLANA Y DEL ESPAC IO

(6) sena = 2 f

H. .: sen (a

y

ros b =v'f".

3VW. + b ) = ---w--

sen (a -

V IO b) = 10

ViO - -Rr

ros (a -

3\1'10 b) = """ll)"".

+ b) =

ros Ca

lan Ca+ b) = -3.

sec (a+b) = - Vl0.

+ b ) ;::: ~ .

ese l a (7 )

1 lana = 'J

H. .:

1

b) = 3".

tan ( a -

sec (a - bJ

vUf =-,-.

ese Ca -

= V I O.

b)

1 COIb = • .

y

9V65 + b) ;::: ---a5".

Ca -

b)

- 7V85 = ----sS-.

85

ros (a -

b)

6V85" = ----as.

tanCa+b) = - r .

tan (a -

b)

- 7 = -¡;-.

(a + b) = . -.

COI ( a -

b) = - 7-.

sec (a -

b)

$1m

Ca

-.-.

cos (a+ b ) =

COI

'i*'n

2V!5

sec ( a + b )

=

ese (a+ b)

=

V85" .

•

v:-s.

- 6

ese (a - b )

yg-

= ---0-.

= -',185 7

Simplificar: ( 8) ser¡(a+b) ros a -

ros (a+ b) sena.

R .: senb.

b) sena -

sen (a - b) ros a.

R.: sen b.

( 9 ) ros (a -

(10 ) (sen a + .senpP+{ros a -ros fJ )I+2CO$(a + fJ ). (11)

(sen a - .umfJp

(12 )

(sen o -

+ 2 sen a

sen {J.

sen {J )I+ (CO$ o +cos fl )l -

Demostrar las siguientes identidades:

R.: senl a

R.: 2.

+ sen

l

{J.

2cos ( 0 - /1 ). R .: 2 - 4 sen o serl {J.

fUNCioNES TRIOONOMETRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA

1 (13) cos(a+45° )· sen (a+45° ) =2 (200.r4-1) . (14 ) cos (x + y ) cos y +um (x+y) seny = cos x.

(1 5) cos{x - 300) . Een (:x +300 ) = V;-+sen:xCOS:x. ( 16 ) sen (x + y) sen(x (1 7)

y)= ros' y - carx.

cos (a+b) . ros (a - b}= ros'a + aWb-l

! .n

/

,

26 Funciones trigonométricas del ángulo duplo 406. FUNOONES TRlGQNONU.•'TRlCAS DEL ANGULO DUPLO Cálculo de- Mm 2 a. Si en la igualdad, sen (a + b ) sen a cos b sen b COI a,

=

hacemos b

=- a,

+

resulta: Sl'n (a

+ al

=

Sf!11

a

COI"

a

+ sen a

ros a.

M' n Z a = 2st>n a cos a.

Cálculo de:

C'O.5

2 a.

ros (a

Si en la igualdad:

+ b ) = cw a

COI"

'"

b -sen a senb,

fUNCIONES TRIGONOMETRICAS DEL ANGULO DUPLO

hncernol> b

=a.

resulta : (;OS (a

+ a) =ros a

= ros' a -

cos 9.. a

Si

54'

quiere

a

(;01"

ros a _ fe" a sen a.

sen~ L

función solamente del coseno, se sen' a. t -ros' a

ell

'''1

=

~us tituye :

cos2 a = 00$~ a _ { 1 _ ca.:a J

y 1"CSul ta:

= ~ a_l +corlOo

ms 2 lOo = 2iW a -

Si en la iguAldad:

<:i.IOIlo de lan:1..

Inn ( a

hacemos b

= a,

resulta : Mn (a

r

1.

tan a + 1011 b + b) = ,r:::=i,,",:-=o;;;;;-¡;Ion a Irm b

tona + lana + a ) = ,-"":=7'''''~~ Irm a Inn a

/011

2a = I

2 /nn a Inw a

4()7. rVNCIONES TRJ(,ONOMETRICAS C'. ikulo de Sf'n 3.. Si en la fórmul a: Sim

hACtnKlS b

+ b ) = Sl'n a

00$ b + sen b ro!

=2 a . resulta: srn (a

sen 3 a =

Y corno:

(a

+ 2 a ) = sen a

Sim

a (cor' a -

DEL ANGULD TRIPLO

cos 2 a

vn!a)

+ sen 2 a

a..

co.s a.

+

(2srn a COI a ) 2 sen a coi' ..

=sen a co.r a - sen' a + cos' a = t - sen' a. 5lIstituyc ndo resulta: sen~ a = sen a ( 1 - sen' a ) - sen' a + 2 sen a (1 wn 3 a = 3 sen a _ a.

COI

a

un! a )

4s#u~

C.akulo de en' 3 a. Si en lo fórmula : COI (a+ b ) =COI loo oosb-sena senb, hacell1O$ b

= 2 a,

resulta: ros (a 2 a)

cos 3 a

+

= ros a

ros 2 a-sen a se" 2 a.

= a (cost a _ sen! a ) -sen a (2 sen a cos a ) = co,sI a - a sen' a - 2 ros a sen! a. COI

COI

'" y sustituyendo

GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPAC IO

sen" a

= 1-

tendremos;

ro.Jl..

ros 3 a = c:o~ a -

(;'OS a (I -COS' a ) - 2cos a ( I- ~ a) a-ros a+~ a - 2 cos a+2~ a 4 cor' a - 3 ros a.

=~

COI

3a

=

Cálculo de tan 3 a.

Si en la fórmula: tal/ a

+ tan b

(a + bJ = ~='-'--'-'=""c lan a ' fanb

Ion

baCE'mOS b = 2 a, T6uh a:

+

tun (a +2 a )= t

SustilUyendo

Ion

2a

ttJ.n a lal! 2 a rana ' l(1n2."

= t 2 taTItan"a a • rc5ulta:

tana+ larra ~~~~i25'=~~'~=

,=" ~ ;1

tona '

!l tan. a

tan' a

'mil a

3 tan a

lan3 a =

I

tan' a

:i lan" a

408. FUNCIONES TRlGONOMETRlCAS Cálculo de sen

i.

Si en la fónnula : cos2a = I -2s.en" a,

hacemos

+

la,,'twra a 2 lan a

tan a -

lun' a lt tan' a ::I:~~

-

resulta:

•

cosx = t - 2sen22"

y dE'spejando wn' ~ :

• = l -cos a ;

2 sen" 2"

•

sen22"

..

,,, 2

DEL ANGULO

MITAD.

FlM-IO NES TRICOt;OMETRICAS DEL ANCULO DUPW

Cálculo de cw ~

Si en la fónnulil : COI"

h
x

= !l '

"9

2a

= 200r

1,

:1. -

THUh::t. :

x

COI"x = 2~~-t

y d~pejando cor ~ :

<:ikulo dt: 10"~ _ De la fÓl"mula:

x

x

J;e)1

2

tan ~ = -x

=~

.

,an~ = .¡ j;¡~2~==x •

j

I - COI" :.: 2

l+ COS X

•

f.jF.RCIClOS (1 )

Sabiendo que

.$e"

q

= ~, ca\culas- tel

~_

el ooseno y la tangente

del 0"11\110 2 q _

24 R _: Hn.2 q =25' 7

cw2q = ~,

24 tan.2q =T_

CEOMET RIA PLo\N .... V DEL ESP ..\ C I O

(2)

= ~ , calcular el seno,

Sabicndo que sen r

el coseno y la tangente

dd á ngulo 3 r. IL sen 3 r = I, ros 3 r = 0, tnn 3 r no existc. ( 3J

Si sen 5

= t5' calculnr se no, el coscno y la

=

tangen te de l :'lIlI ulo

• j

ro6 "2 =

um (4)

15 -

I5+304V1T

•

4yIT

7

calculAr el SCIlO. el coseno y la tllllgente de los an-

Si

gulo!; 2 u y 3

s

2=

~.

u.

R.: um2 u =

• \IR 25

¡;e,, 3 u =

'

cos 2 1.1 =

- 17 --g-

cos3 u =

tan 2 u =

- 4 y'21 17 '

tanJ u =

- ·Vff 125 -

11 8 125

9 ..j2 1

118

.

(5) CaIcu1a r las rUllciones tri¡ronométriC8S de los angulas de 15° y de 22° 311.

R.:

sen I 5°= ~~ - ..j"J. I

I

cos 15° = 2" V2+ ton ISO = 2 -

+ ..jj .

c:.OI

15° = 2

rol

22° 30' = y2+ l .

Sft:

22° 30' = y4 -2~

y3.

VI I

I r -y:!.

sen 22 0 30'

= 2 '12 -

cos 22° 30'

= ~..fi: + \ /2."

la n 22° 30' = y2-

1.

rt:NC IONES TklGONOMETlllCAS DEL

(6 )

~NGULO

DUPW

361

Ikmostrar : PI ) Ion. sen 2 x = 2um' • . b) DOS 2 a = ('OS" a - st'n' a. ~n 2 ,.

"

I

+

("0$

= Ion)'.

2 )'

2

d .,

sen 2 le. csc2 . = 1 + ros 2 x + C01 2 x .

f' )

1

Il

+ CCI.f 2 .

um 2 • .

"" .

=h (7 ¡

sen 2 a .

ro/a +um a

"

I + ' anx I lan x

-

sen 2 .

Re
a)

M'n. =- ~.sen 2 s..

b)

cos2 . = rost • .

H~'

el

tOllx = sen 2 s .

K · 45° . J:i'i 0 • 225°, 315°.

dI

3 tanx =_ tan 2 s . R.; S2° 14'. 121° 46'.232° 14'.301° 46'.

0 ° . 180° . 360°.

~m.

TRANS!;"OR\"1AC ION DE Sl'\IAS y DIFERENCIAS DE SENOS. y "Ar..;LF"..NTE.~ EN PRODllC ruS. Si a y b ' on dos á ngulos y hacemos, a + b= A y a - b = R. al ~I ver ('1 sistcnlPl;

U)~ F..No.'"

Tcn t'lI lOJ :

I a = ;¿ (A -i R).

sen (a + b l = sena (th b + .W1I

Sum Pllldo

«()

(a -

b)

=M I a

CV."

b_

~enb

/"0')$ 8 ;

w n b ros a

y (2). lenemos: sen (a + b )

+ ""

(a - b )

=2

$#:11

a DOS b.

(" (2 )

'" y sUSlituyendo Jos "'
GEOMETRIA PLAN .... Y DEL ESPACIO

wn A + un fI

=

b, a y b. resulta: I I 2 sen j¿ (A B) ros 2 ( A ~ 8 ).

+

De las mismas fOrmulas re; lamo!; ( 1) y (2) ;

Diferencio di' M:nos.

um(a+b)= .sena cos b +sen b ros a ; -

sen(a -

y resulta:

b )=-senacosb+senbcosa,

Un (a+ b ) - sen (a -

SUslituyffido: s.€n A -

SUnln d,.

sen B

(a+ b l

ros (a -

= 2 sen b ros a

b) I

= 2 .Ien 2: ( A -

= ros a

8 ) ros

ros b -

I

'2 {A + " J.

sen a sen b;

( 1)

b ) =t:OS a cos b + sena SCrl b,

(2)

511111",1(.10 ( 1 ) .'" ( 2 ) : ros (a+ b ) + cos ( a -

y sustituyen do:

b)

=

2 ros a ros b .

1

ros A +ros

1'1 = 2 cos

ros (~+ b ¡

ros (a -

1

2:

(A + BI ros

2 (A -

M).

En las mismas fÓnTlulas :

DI/erEnNf/ di' .<('flOS.

-

(2)

De las rórmulas:

COSOIOS. ('0$

( 1)

b)

=

ros a COI b -;- sen a Sfln b ¡

= _ ros a

ros b -

fíe ll:lo S('1I

( 1) (2)

b

Al reSlnr ( 1 ) Y (2 ), tenemos: ros (a+b)_cos (a -

Suslituyi'ndo: ros A -

co;¡; 8

Sumn d(' I ftnw'ntl'S.

b ) = - 2sen a wnb I

I

= - 2sen!l ( A + B ) um:¿ ( A -

[)(' ltl fórmula "

srn A M flB tonA+tor¡R = cos A + ros B ' se deduce: tan A

um A ros B +sen B cos A + ton R = '---;:;;,':O",¡-'-ros A cos B Ifln

A

+ tfln H ::;:

sen (A + H) ros A cos B

B).

f\J NC IONES TRI CO"OMETRICAS DE L -\"'CU LO DUPLO

De h, rónnula : sen A lanA _ lan B = cos A -

36!

lJ' l ut'nnQ dI.' tangt'ntl's

Ian A - Ian 8

=

tarz A -

SOl A ros B -

lanB =

. CO$

sen B

~

= 2 sen 2I (A -

8)

.

R)

I

CI'l.f

Ji

(A

ros B = -

2sen

I

2

(A+ B)

1m

I

2

B).

+ 8 ).

+ ros 8 = 2; ros ~I (A + 8 ) ros;¡I (A -

A-

•

"".

u n (A A

+sm 8 ;:; 2 sen 2I (A + BJ ros:;¡I ( A -

111m A -

ros A

um B ros A

cos A COG B

41 0. RES Ul\-lF..N.

sen A

unB ros 8 '

B).

(A -

8 ).

tarz A + tan B = 1Cn .(A + B) . COIf

lall A -

tan 8

A .

COI

B

sen.(A - B) A . ros- B .

ro.t

EJ ERCICIOS Tnmsforma r "' produclO:

1) SBrI 35° + sen 25°. 2\ sen35° _ ICn9.S°.

R.: R.: R.; R_'

ros 5° .

...¡j sen 5°:

5 ) un 4x _ senll.

2co.r 4x 2 cos 5 a 3 R.: 2sen [ x

6) sen. (45° + x } - sen (45° - x) . 1 ) COI 25° _ cos 35°.

R.: R.:

3) cos5 x +cos3 11. 4 ) cor8a+a>.r2 ..

8)

C'OI

x _ ros .. x.

Q) sen1 x +sen3ll. 10) €OS 4()0 ~ 20°.

+

COf

x.

COI

3 lI.

COS

2

...¡¿ ser. x. 11m

S

X .

5°. S

3 R.: 2 w n !l x un!l x.. R.: 2 sen 5 x eos2 x. R.: "';3 ros tOo .

GOOMETRIA PLANA \' DEL ESPAC IO

-."

11 ) len 105" _ sen 15°.

R " y2

t2 \ ros 10° - ros 70°, t3 ros (90° + a ) - cos (90° - a) ,

R_' sen 4()0. R .: -2sen a ,

14

t

se" Q()0 _ sen 30°,

I ~ ¡ COI 50° -

COS 4()0,

t. ,

CD.f

("Gf;

61)0 _

Ro: 2' R_' -V2sen5°. R_' - y'2$t'T1 15°,

30°,

0 "

t 71 Jen75° - sen lSo,

,.

('f}1

n °

+ ros

R- ' T '

"i.

15°,

R.: T '

t . , sen 4()0 + Mm 20°.

1/_' corlO°,

20) sen 75° + sen 15°,

R-'T'

V6

+ COl x,

22\ cos2 x -cos x.

R_' 2cos3x cos2., 3 t R_' -2 sen~. sen~ x ,

23)

R,: 2 sen:t 11.

Z! ) ros 5 x

5

~,,2x+sen3 .,

14) ;sen 7x - sen9",

lan 30°

..

+V3

+ tan 6(}0,

R,: ~,

28) tDn 50° _ tan 25°. \

R.: tan 25°

tan 45° _ tan 15" ,

JO ) tan (45° - a )

+

R_'

+ lan ( 45° + ;t) .

)"

sen 30° 00°

(OS

"

SOO,

15°,

ISO, R~' y'2 sen 15°, R,: y'2CO$ I5°, R_' - V¿sen f 5",

+ COl 30°,

-U!11

V2sec

&eC

R,: 2:sec2 a, Ro:

31 ) sen 60° C06 60°. 32 ) COl 30° -:sen 30°,

m

00°,

V'¿ COl

.

-,

35 ) lan 6(}0 + COl 60°.

R_' jVj

lJc..OIO'< lrar, Inmsrorma ndo f!1I producto, l a~ , .guienles Igualdadf!'O:

3fi)

cos 50° _ ros 4()0 cos 256 cos 3S6

2t JI:.

R_' -2senx cos8x, R,: 2sen411. cos x, R_' AX saO,

25) sen 3 x + sen 5 x, 26) lan 20° + tan 50°.

21

COI

-

v'2.

'I'UNC IO NES TRIGONOMETRICAS DEI. ANGUW DUPLO

37 )

38 )

C'OS 75°_ ~n

15° =

UIn

75° _ COl 15°,

+ C'OS 60° = sen 30° + ros 30°. ~n350- sen 25 ° ros 40° + ros 20° COS 25 6 ros 35" = sen 4()6 + sen 2Qó

39 ) sen 60° 40)

Simpli/kar lransform undo 1)

sen (30° +:x)

LIt

•

prCJIIUl"IO.

+ sen (3UO-

,,) .

R ,: ros x.

2} sen (45° + x ) _ sen ( 45°_ x ) ,

R .:

v'2 sen x.

3) ros (45°+ x ) +cos (45°_ x ),

R.:

~cos

4 ) ros (30"+ x ) - cos ( 30" - x ).

R.: - senx.

5)

+ sen (a. ros ( a. + P) + ros ( 11

sen (u + P)

P)

P)'

+

6)

sen (a. P) - sen ( a. - fJ ) sen (a+ fJ ) + .ten(a - p ) ·

7)

C'O.f tnt

8)

9)

IO l

(a + p ) - cos ( I1 - P ) ( a + fJ ) + ros (a. 11)

ro.t ( a + p ) - ros (a - fJ ) ,t en ( u P) sen ( a Pl

+

sen ( a + p ) ros ( o fJ )

+

l.'Of (a sen (a

R .; tan o .

R ,: col a tan p. R ... _ ton o lan

'

+ sen (a -

pJ

oos ( o

11) '

+ P) + oos ( a + P) - sen (o -

x.

.

p) . P) .

R .: - tana. R.:

-

rol

R.: col fJ.

p.

p.

27 Resolución de triángulos 411. RESOLUCION DE TRtANGULQS. Si bie:J. un triángulo consta de seis elementos: 3 ángulos y 3 lad~ está perfectamente delennillildo si $e conocen tTes de ellos siempre que uno de los w.tos sea un lado. Resolver un triángulo consiste en calcular 3 de los elemcnlo6 cuando se conocen los ..... tro<.

41 2. TRIANGUlOS RECfANGULOS. En el caso de 10& lri<íngulos rectángulos. como tienen un ángulo recto, estAn detenninados. es decir, se pueden resoh-er cuando se conocen dos de SU!l elementos siempre que uno sea un lado. Esto nos conduce a los siguientes (;8505 de resolución de triilngulos rectángulos:

".

36'

RESQLtTCION DE TRI .... NGULOS

2" D.lb un ClIICIO l la hipolcnwa. 3" Dad:J5 un calCIO )' un ángulo agudu. 4" Dado. la hiJY-llcnu~ ) un ángulo IIgud...

e

Antes de resolver los Iriangulos \'CMse mAs adelante (Cap. XXVIII ) el manejo de las Iilblas de hmcicfies lri· gonométricas natU1ll lcs, ( Fig 326 ). "rim ~ r C4l..
DadOli

Data._

Io~

•

dos caU:II,K.

Fórmulas

+ el

b = '5U m

11 """ \ / .,.

c _ 64

t(m8 = ~

ni

e L-_

<

A = 9(1"

_ _ _ _- ' A <

C = Q()° - B

.'ic.

'26

Cálculo de a.

= \fb2+ C' _ y'SO: + 64" _ V2500+ 4006 = \/65%

iI

t!1 ,21 m

enlculo de B. t an

B=

b

25 e= 50 64 = 32 = 0.78125; 8 = 38°.

enlculo de C. 8 90° _ 38°

e = 90° _

=

e

= 52°,

•

Segundo a...o: Dad"" un calcto )' la hipolcnu~ (Fig 327 ).

Datos

Fórmulcu

=v .·

a = 60an

b

C = 28

scnC = ~

(' /11

eL

•

A = 90°. Cálculo de b. b

C'

= v:a

B = 90o- C,

C' _ y'W

1

W _ y'3600

C

28

14

7

= ;; = 60 = '\0 = 15=

_

,

-..,. _ _- ' A

Fic. 327

Cálculo de C. .~c" e

_

0.46666,

COOMEn l ." PLANA Y DEL ESPACIO

Cálculo de B.

e

B = 900 - C = 900-27049' =62° II'. TCTCCT caso: Dado<¡ un ángulo agudo (Fig 328 ) .

•

call.~to

) un

Fórmulas b

= 1.4

B = 90o - C

m

c = btanC b

C = 37°

a

,

BL------=----' A

= Señ"B '

Cn/rulo de B. 8 = goo -

C = 90° _ 370 =

1),\0 .

Cnlculo d. c. c = b tan C = 1.4 tan

~7°

= 1.4 X 0. 75355 == l .tlñ m .

Cn/rulo di a.. a

= senb b =

1.4 1.4 I 7. 'i'J" = el 798f14 = .

e

a

Jl\

Cu¡ulo ca5O: Dado!. la hipotmus;a un ingulo agudo ( Fi¡;:. ~29 ¡.

b

o.t~

Fórmulas

a = 20.1 km

B = 90o - C.

C

b = a .fe" 8

-o

'taO 16'

A = 90°

c = a sI!1IC.

CtileuLv de B B

= 9Uo-C = 90°_18° 16' ::::::51 ° 44'.

B L - _----;;_L...-' A

Cnlculo de b.

e

b FiJ!. '29

=

a sen B = 20.1 sen 51° 44' = km.

= 20.1 X 0.78'i 14 ::; 1'i _71:1

Cálculo de c. c = a senC

= 20.1 sen ~ o 1(j· =

2U.1 X 1).6 1932

= 12 .4'i

km

RUOLUCION

D~

.,

TRI ANGULOS

413. AREA DE LOS TRlANGULOS RECTANGULOS. el área de un lrÍángulo viene dada por la fónnula : An'" =

Sltbemos que

e

I

2 bitS(' X altura.

En el triimgu10 rectá ngulo se puede tomar por ba~ Y a1lura los dos calelos Fill:. BU ).

•

b

Esta fórmula pUE:de tollUl r las formas siguienlf':!i:

En d primer

C:MO:

B

e Fic· 330

F.JI d 5Cgundo caso:

A = !bc

•

c:

= Va'

b".

A = ~ val A =-ie \/a1

c'(c:) .

<'.

o también:

F.JI el t ercer caso:

e = b tanC.

I

A =~ b ( bt(/"C) .

A

I

= ~b"tanC

A

'70

GEOMETRIA PlANA Y DEL ES PACIO

o también: En d (;Uano

pero:

c&5O:

une.

1

;

A =¡¿ asenBa

c = :a unC.

A = j¿alsen.R sen e

sen 8 =cos C

y

senC=cos B . 1

A =j¿ al sen

o pero:

1

b = :asenB

e

cose;

( 1)

A =2 a3 senO COI Bi

(2)

1

1 2sen2 B = senB cos B

$en2C = 2:scnC cosC.

y

sen2 B =2sen 8 cos B (3)

1 2"U'n2C=senC cosCo

Y

(4 )

Sustituyendo ('\) en (2) y ( 4 ) en ( 1), tenemos:

1

A= llal Y

1

A =2 a l

1

.

1 A = ;¡:al sen2R;

]lienZ 8 ;

1

1

A = :¡::alsen 2 C .

2sen 2C.

EJERCICIOS Resolver los siguientes triflngulos rectangulos y hltJlllf su HI'eH (A). Los numeros de los catetos e nipolenusas representan unidades de longi tud cualesqu¡~ ..." ( metros, pulgad .. ,., t.'l.c.) de la misma clase en citda cjen:icio. 1) b = 50,

e = 40.

R.: a = 64.01,

C = 38 40', Q

2) a = 30, 3) c =60.

b = 25.

c = 28° 30'.

B = 51° 20',

A = 1000.

= 56° 26',

R.: e = 1658. c = 33° 34'.

8

R"

8 = 61°30', A 3315.30.

b = IIO.51, a 125.74 ,

=

A

= 207..25.

=

JtE5OLUCION DE TRlA!''¡GULOS

<) a = +,

B =62°30.

5) b = 14,

,=

6) &= 7.SO,

, = 5.25.

18.

b =30.

C

= +
R_' a = 22.81, B = 37° 53",

C = 52° r, A = 126.

R" b = 5.35,

C=#° 3O', A= 14.04.

R.: c B

8) &=90, 9)

• I

,=

45.

= 25.62. =+9° 30',

& = 39.45, A = 384.30.

R .: b = 8+.57, B = 70° ,

c = 30.79, A = 1301.95.

R" a = 50.08.

C = 63° 56', A. = +95.

8 = 26° +',

10) &= S.3,

b =4.7.

R _o e = 2.44, B 62° 28',

C = 27° 32', A = 5.73.

11 )

8 =65° 50'.

R"

b = 100.29, 2+° l O',

a = 109.75, A = 2256.52.

c = +5,

=

12) a = 43.5,

8

13) b= 30,

,=

=

e=

38°.

R .: e = 34.27, C = 52°,

+
""

= 50, B = 36° 52',

11

b = 26.7e, A = 458.87. C = .!H 0 8', A = 600.

b =3.8.

R.: e = 11.17, B = 18° 47',

C = 71 ° 13'. A = 21.22-

15) b = 2,

B = 2 7° 20'.

""

& = 4.35, A =3.87.

16) a =57.7

C = 29°

R.: B = 61 °,

1<)

.

"=22,

C=20°.

'"

e 1.84, A=3.27.

B =45° 30', 7)

=

R .: b = 3.55, C= 27° 30',

a = 11.8,

17) b =60,

,

18) a ::;= 9.3,

,=

= 80. 6.2.

R.:

e = 3 87, e = 62° 40',

=

b = 50.47,

e 27.97, A = 705.82.

= lOO, 8 = 36° 52',

C = 530 8', A = 2400.

11

R.: b = 6.93. B = 48° l O',

C = +I °5Q' A = 21.48. a = 271 .92, A = 15312.

19) b = 2+
8 = 62°.

R ..' C = 28°, e = 127.60,

20) a = 175.5,

C = 27° 15'.

R ..· B 62° 45', b = 156.02,

=

c =8036, A = 6268.88.

CEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO

'" 414.

RESOLUCION GENERAL DE TRIANGULOS OBUCUANGU· LOS. Para la resolución de triángulos oblicuángulos se puede a plicar la ley de los seT/lJlf, la ley de los cosenos y la ley de las tan¡entes, como veremos a continuación. 415. LEY DE LOS SENOS. "Lw /mJo& tk un triángulo SOII prOporciCHlU les a los senos tú los an gulos oPUe5tos" . Para la demostración consideremos dos casos; Primer caIiO: El tri.:i."!.( ulo es .rutan guia. Sea ABC ( Fig. u n un triángu-

lo acutángulo.

e

Tracemos las alturas CD y AE. E

CD

En el f::, ACD:

T=senA;

En el l:::.BCD:

-=.sen B¡

• ·L-----~D,-----CC---C·B

en

•

Ci5 = .. sen.B .

Fia:_ :SS1

(2)

Companmdo (1) Y (2) , tenemos:

(3) En el l!.ACE:

AE -¡;-=senC;

En el l1Al1E:

--¡:- = sen8;

AE

AE = bsenC.

(4)

'AF=csenB.

(5)

Comparando (4) Y (5) , tenemos:

(6)

bsenC=csenB; Compafllndo (3) Y (6) , tenemos: •

senA

b

,

= senB = sen e .

Segundo aso: El triángulo es obcusáIlgulo. triángulo obtusángulo.

Sro l:::. ABC ( Fig. 332 ) un

I\ESOLI.'CION DE TR IANCULOS

'"

Tracemos las alturas CD y AE.

CD

En el ÓCDB:

_ = strnB¡

( 1)

En el ÓCDA:

~=Mn

(2)

•

(tSO- A ) = .nA;

Com".,....,.,

( 1) y ( ~ , : a $en8 = b un A ; • b senA sen 8 . (')

=

e

En el ÓAEC:

¡

AbE = unc;

AE = b SlrnC .

•

¡

(+)

• • D '---··_···~..~----'c;:--_::::'" • ! 160-A

En el Ó AEB:

AE = sen 8 · e

(')

AE= c SJen 8 ComJlllrilnrlo ( 4 1 y ( '1 ), tenanos: ~nC = csen 8 ¡

b

b sen fl

e

(6)

= sell e .

•

Comparando C\ ) y (6 ) , tenemos: • sen A

4lf1.

b

= wn 8 =

e lell e

·

cuadrado de: un lado de un lñingulo es ~uaJ a la ~uma de loo. euklrados de: w,., oh~ ~ ladm, meno- el duplo del produelO de dichl& laoo... nor d e()!iaM)
Para la demostración consideremos ' .... onc:r

,

LEY DEL OOSF-NO. - rJ

al.<;o:

tl INngulo

guJo acutimguh T rocemos 1" IIltura 1i1J.

r:o;

•

•

• F~.

"'"

a('.,bn1!'ul<

•

e

m

casos: Sea A1JC ( V ... . H3) u n triion-


Pe.- el teorema generalizado de Pitágoras. tenemos: a'= b2+c" Al)

p~

-

,

2bAD.

(1 )

AD = ccosA .

= cosA;

Sustituyendo (2) en ( 1), tenemos:

(2)

a' = bl + c"_ 2bccos A Análogamente, se demuestra:

9

,: e

b2 = a'+c' -

•

2accwB;

c' = a l + bl-2abros C .

,

I : IBO-A I

Ol.•• ----- ---T----hb---.::::,~C

&guDdo ca.scr. El trián. guJo C$ obtusánglllo. Sea ABe (Fig. 33+) un triángulo obtusángulo.

Tracemos la altura BD, prolongando AL'. Sea LA > 9O

Q

•

Por el teorema generali7.ado de Pitágoras. tenemos: ( 1)

a'= b2+c" + 2bmJ

AV

,

- = cos (1BO-A) = - cosA¡

AD = - ccosA .

(2)

Sustituyendo (2) en ( 1), tenemos:

a 2 = b:'+c'+2b(_ ccosA) ;

.1= b2 + c' -

2bc ros A .

417 LEY DE LAS TANGENTES. " En ,,,do triá.ng ulo oblicuángulo, la difermcia de tb de $US latb C$ • su 5WIla COIIlO la tangente de la mitad de la di(crencia de los ángub opuemJ$ a eiQIl lados C$ • la tangente de la mitad de la 1 WJ1a de dichos ingub". DEMOSrtV.OÓN :

a b senA = sen8; •

- b-

~A

= nm.B

¡

Ley de los senos;

'"

RESOLtJ CION DE TRIANGtJ LOS

a-b

-a =

senA-sen B

a+b

senA + sen B

•

~n A

-- -

(I}}

,~ A

l.-

P ropiedad de proporaones

(2)

Dividiendo ( 1) por (2), tenernos: a - b senA - senB a sen A a+b =,fenA+senB; a sen A a-b SIl!n A- sen B a+ b - sen A +sen B Transformando en producto:

a- b a+b

1 I 2'(A - B) cos2" (A + B)

2.~n

1

2 sen 2" (A

+ B) ros 21 (A -

B)

oroellando y simplificando:

sepólrando:

sen 2 ( A -

B)

COS~(A+B)

a+b = COS4(A -

B)

1€'r12' (A+ B)

a-

b

1

Pero: se7J

1

2 I

cos2' y

(A -

B)

1

tan 2' (A-B); (A -

.

(' )

(4)

B)

I

COI

1

2 (A+B) 1

.ren2"(A+B)

t

= col2'(A+B) .

(5)

'"

CEOMETRIA PLANA V DEL ESPACIO

Sustituyendo (4 ) Y ( 5 ) en (3) , tenemos: a-

b

a+b

= tan 2I (A -

y como:

B)

1

'2 (A+ B) .

COl

I

COl

'2 ( A + B) =

1

(6)

(7)

.

tan '2 (A+ B)

Sustituyendo (1) en (6) , tenemos:

a- b

t a+b = tan2: (A -

B)

I

UllIi.! (A+ B)

I

a- b tan 2" (A - S ) a+ b= 1 . tan 2: (A + B)

418. EJEMPLOS DE RESOLUCION DE TRIANGULOS OBLICUAN GULOS. PriJTlCT C1tC : ConocidO!io los tres lados. Resolver el tri:ingulo cuyos datos son: 34, b = 40, c. = 28. . Se' apli~ la ley del coseno. Ejemplo.

a

Cárrulo de A. a' = bZ

+ r:" _

2bc: ros A .

Despejando cos A:

rosA =

b'+c:" 2bc

a'

4OJ +28 J - W 161.10 + 784 ros A = 2 X 4{) X 28 = 2240

Ca lculo de B. Análogamente:

co.s B =

_ W + 28"- 4Q2 2 X 34 X 28

ros 8 -

..

af+ c" _ b'

,

= 1156+ 784 19()4.

1\

7e¡ 43'.

;

1156

307 = 560= 0.54821.

•

1600 = 340 = 017857. 1904 '

m

RESOU';CION DE TRIANCULOS

Calcuro de C . Análogamente:

al

rosC =

ros

C = W + 40" -

2ij:

2X :W X40

Es decir:

+ bf 2ab

c" '

=e-' :.:156c:...:+~ ' 600ii----,7c:"C 2120

1972 2720 = 0.72500.

A=

56° +S" B :: 79" +3" C :: H O 32' A

+ R+ C

178° 120' _ 180°.

EJERC ICIOS Re.'lOlver 1)

.. = 41 , b = 19.5, c:

2)

,,,, siguientes triángulos oblicuá.ngu.los. R." A :: 101 ° 1(f.

B :: 27° 5f!.

= 32.48.

•= 5.312., b = 10.913. 1: : :

R."

13.

c = 51° . A = 23° 40". R = 55° 33". C = 100° 47".

", =25. b 31.51 , 1: = 29.25.

R.: A :: 48° 25',

. \ • :: 85.04. b = 70. 1: = 79.20.

R o A :: 69° 11' , R = 50° 18'. C = 6003t'.

"

"

=

.. = 1048,

/l _' A :: 63°

b = 11 36.82, = 761.58.

.. = 32.56.

20'.

8 = 15°47". C :: 40° 53".

1:

6\ .. = 33, b = 5 1.4i. 1: = 46.25. 7\

8 = 70° 32'. C = 6t ° 3' .

/l .: A == 39°,

8 = 79°, C = 62°.

u_·

A

= 52° 18',

na

GEOMETRIA PLANA Y DEl. ESPACIO

b

= iO,

3r.

B = to3° C = 24° S',

e = 16.19.

8) _ = 28,

=

53° 30'. B = 77° 30'.

Il..- A

b = 34. e 26.3,

=

C = 49°.

9) a = 13, b = 4.

R_' 11. = 53° 8'. 8 = 14 ° 15', C = 11 2° 3 7',

c: = 15.

=

=

10) • 10.59, b = 14.77, e 20.\ $.

R.: A 30" 40', 8 = 45 ° 20', C = 104°,

=

419. SEGUNDO CASO.

Resolver un triilll~ulo oonocidos dos Indos y el

ángulo comprendido. f.j...mplo.

Resolv~

el triá ngulo cuyos datos son; b = 6;

c = 10. F6rmllla~

A

= 68° 18'.

• = v'b' + c! ~

b = 6. e

~8=

= 10.

cos C =

2be ros 11.,

a~ +c' - Ir

2a.c

'

. '+ b' - c' 2ab

.

Calculo tú a. a = \fb2'~+~c'~~2~"' -"",-A ~_ a

= v'36 + 100

V62+ UF

2 X 6 X l O ros 68° 18';

120 X 0.36975 _ v' t 36

44.37

V9 1.63 .

a = 9 5 7.

Cálculo tk 8 . rol

B=

.' +

c' 2ac

Ir

191.63-36 19 1.4

9.57 2

+ 1(P _

fi2

2 X 9.57 X 10 155.63 = 0 .8 131 1. 191.4 R = i'i

36',

9 1.63+ 100-36 19 1.4

,,.

RESOLUCION DE TRIANCULOS

Calculo tÚ C.

CNC =

a'

+ blI 2ab

9 .Sl' + 52 - HV 2 X 9.57X6

t:"

w.-C = 127.63- 100 114.84

27.63 114.84-

91.63+36_100 12 X 9.57

0.24059.

C = 76° 6'.

EJERC ICIOS Resolver 105 siguientes triángul05 obticuAngulo5: 1)

a

= 32.-45,

b = 27..2 1.

C = 66° 56".

2) b = 50, • = 66.6, A 83° 26'.

=

.

Ro: e

=

R .: a

=

33.19, A = 64° 6', 8 = 48° SS'.

78.58, 8 = 39° 13', C = 57°2I'.

= =

3)

= 40, e = 24.86, 8 = 98° 6'.

•

R.: b SO, A 52° 24', C = 29° 30'.

' )

•=

R_' e A

60, b = SO,

C

" h)

= 78° 28'.

b = 49.8, e = 7?6,

A

= 59° 11'.

54.75. •= = 318,

•

8 = 41 ° 27'.

7) a = 11 26.5, b 708.3, C = 63° 48'.

=

= 6 t .52, • = 83.44, A = 29° 14'.

R) b

= 70, = 'i7° 7',

8 = 44° 25'. R .: a B

= 67.4,

= 39° 23',

C = 8 t 0 26'.

=

/l.: b 374, A = }4.0 15', C = 104° 18'.

R_· e A D

R_' a

= 1032.3, = 78° 13', = 37° 59'.

=

42.30, R = 45° 18', e 105° 28'.

=


= 11 . = b = 40, e = 24.8,

9) a

R,: A

b = 21, C 97° 50'.

10)

20',

e =25. R .: a

= 50, =

B 52° 2 1 ~. C = 29° 30'.

A = 9S° 9'. 420. TF...flCER CASO,

Dados

lado y do!; ángulos.

UI1

Datos

Fórmulas

A = S00 25',

A + B + C = l S00 ;

B

= 25° 50'.

B = 56°

= 35° 43',

• b senA = sen B

e = 60.

<

= senC '

Cálculo de C.

A+B+C = 1800 ;

SOo 25'+ 35° 4-3'+C = 180°;

e=

180° _ 11 6° S'

116° 8'+C = t80°

= 63° 52"

Ctilculo de • . •

•

<

sen A = .senC ; a 0.98604-

60 0.89777 ' 59. t 6240 = M .RB. 0.89777

0.8977 7

Calculo de b. b

<

60

b

sen B = senC;

b

b

60

O.")8378

0.89777

= 60 X 0.58378 = 39.0 1. 0.89777

'SI

RESOLUCION DE TRIANGLLOS

EJERC ICIOS Resolver los siguientes tri.ingulos oblicuángulo<;·

= 19.5, 32.5, A = 10 1" 10'.

1) _ = 41 , 8 = 27 0 50', C = 510 ,

H.: b

2) _ = 78,6, A = 83 0 26', 8 = 390 13',

"-'

3) • = 1048, A 63 0 20', 8 = 75" 47'.

/te b = 1I 36.S, IC = 767.6, C ;;;; 40" 53', R.: _ = 60,

IC ;;;;

=

4) b

= 50,

A = 57° r . C = 78° 28'.

') b = 3 1.5,

=

A 48° 25', C = 6t 0 3',

b --: 50. = 66.6, C S7° 21'. IC

...~

=

= 70, 8 ;;;; 44" 25',

IC

~

R" 8

=

70" 32', • = 2S, e = 29.25.

6) e = 547.5, 8 = 4 1"27', C = 1()4.° 18'.

'" _ =-=

7) b = 40,

R" _ = 32.6, IC = 16.8,

B = 103" 37', C = 24° 5' .

8) b = 61.5, A = 29° 14', 8 = 45° 18' , = 15, C= 11 2" 37', A = 53° 8',

9)

IC

10)

IC

= 24.S. 8 = 52" 21', C;;;; 29" 30'.

b = 374, 318. A 34" IS'.

A =52° 1S'. R,: _ =42.30,

= 83.44, C = 105" 28', IC

R" b = 4,

_ = 13, 8 = 14" IS'. /te _ = 50, b =40, A = 98" 9',

421. AREA DE LOS TRIANGUl.OS OBLlCUANGULOS. Prime,. GaSO Dados los tres lados. Se emplea la fórmula de H erón, ya estudiada en Geometría,

382

GEOMETRIA Pu"NA V DEL ESPACIO

Ejemplo.

Y

Hallar el iu-ea del triAngulo wyos lados son: a = 18, b = 26

c~28.

p-a =36 -18 = 18¡

p=

18+26+28

7.

p - b = 36-26 = 10;

•

p -e=36-2B=8.

P =2=36; A.

= y p (p

a) (p

e) _ y36 X 18 X 10 X 8;

b) ( p

A. =v'36X 9X2X2X5X4X2 A. =6 X 3 X 2 X 2V5X2_72~ A.

y36X9X4X~)(4X2;

72 X 3.162.

= 227 .69+.

Segundo caso.. Dados los lados Y el ángulo comprendido. Si los lados son a y b Y el ángulo comprendido C se utiliza la fónnu!a : 1

A =Z absenC. OJ!.MOSTR.-\CIÓN. De la fónnula : 1 A' = 2"bh; ( 1)

• ,

••

,

- = senC;

•

h

h = asenC .

.'-----~D<-------·.c------C~C

(2)

Sustituyendo ( 2) en ( 1) : 1

A· = 2 ba .renC. F• • 33S

Análogamente se obtiene:

1

Arca =2" bc sen A; ATea

Ejemplo. yC =30o.

= 2"1 ac:sen B .

Hallar el área del triángulo cuyos datos son: a

= 7, b = 8

RESOLUCION DE TRIANCULOS

1 1 At = 2"ab.fI!n C = Z

A,

7 X 8 sen 30°;

1

= 2' X 56 X 0.5= 28 X 0.5= 14. A

Tercer caso.

x

'"

Dados

Wl

= 14.

lado y dos ángulos.

De la fórmula anterior:

1

A. = 2absertC y de la ley de los senos,

•

b

senA se deduce., despejando b:

(1)

sen 8

b _ asen8 . - fenA •

y sustituyendo en ( t ) :

(oren S ) sen A

A' =21 a

sene .

A _ a'sert8 scn C ,2senA

Análogamente se obtiene:

A _ b" sen A senC . ,-

A.

2$enB

•

= el se,! A U!n B 2senC

Ejelllpln.

Y c: = 50.

Hallar el área del triángulo cuyos datos son; A = 70°, B = 50°

A,

A. =

A,

c2senA senB

2senC

2500 X 0.93969 X 0.76604 2 X 0.86603 899.7575 0.8fJ603

2 sen 60°

1250 X 0.93969 X 0.76604 0.86603

= 1038.9. A, = 1038.9.

GEOMETRIA Pl...ANA V DEl ESPACIO

EjEllCICIOS Hallar las áreas de los triángulos oblicuángulos de los ejercicios anteriores

de este capítulo. RESPUESTAS EJERCICIOS

.

( Dados los tres )

,u,,)

EJERCICIOS

w-

( Dados dos ladru r ~l ángulo com prendido ) 1)

EJERCICIOS

(Chulos un Iadc , dos ángulos)

1) 2)

310.68 1655

2 ) 28.5 34ó 4 ) 2590

2)

405 1655

3)

...3

3)

372000

')

14-70

4)

1470

5) 372000

5)

1660

5) 34ó

ti) 7)

6)

5750

6) 7)

.... 2

8) 9)

2.

310.68

3)

8)

9) '0)

751 266.2

.

359 76.

' ) 3...... 8) 1258. 1

9) 124-.3 10) "'3.

10)

57600 1258. 1

"'3.

LA •

el

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't' lA TOPOlOGtA. UI "'0'011.

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7

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~--------------------~-

28 Logaritmos. Logaritmos de las funciones trigonométricas 422. LOGARITMos. LoguillnO de lUI número a d C8tpO'U:lltt a que que dcvar otro nUmc:ro llamado base dd siskm.1., para obtQler d número d~ Si la base es 10 los logaritmos se llama n vulgures., decimales o de Briggs. Son ha)'

los mas usados en la matemática elemental. Es decir: De las igualdade!i de la primera cohunna, se deducen las de la segunda columna: 10 -

3

10 -

2

1

1

U)3

1000

1

1

=_= __ = 0.001 ,

resu lta:

= - = - =0.01 10" 100 '

log 0.001 = - 3

log 0.0 1 = - 2

'"

~

~

GEOMr.TRIA PLANA V DEL ESPACIO

'"

1

1

10 -

::= lO'

=

1

los

resulta:

10=0.1.

=I• 10. = 100 . t ()()() • lO' = 10000. 1{)' = 100000.

0.1= -1

u,g1=O lag 10 = I

10° 10'= 102 t ()l =

=

log 1{)() 2 log UX>O = 3

"

lag 10000= 4 IoH 100000 5

=

Y así sucesivamente. 4Q3. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS VULGARES. I~) Los únicos números cuyos k,garitmo> son números ent~ son las polencias de 10 de oponente entero.

10 10 10°

2

ID,

= 0.01 = 0.1 I

1

0.01 = -2

log0.1 = -1

=

106 1 = 0 log 10 = t log 100=2 Iog 1000 3.

101 = 10 . tOl = t OO 10' 1000

=

=

2") El logaritmo di': 105 númCl'()!¡ L-osnpn:ndidos aun: 1 y lO, tienen sus logaritmos comprendidos entre O } 1 ya que: Iog I = O )' lag 10 1.

=

Ejanplos:

log 2

= 0.3010

lag 8

JoB ..

=0.6021

log 9 = 0.9542.

= 0.9031

Los números comprendidos entre 100 y 1000 tienen su logaritmo comprendido entre 2 y 3, ya que log 100 2 Y log 1000 = 3. Análogamente, los n úmeros comprendidos entre 1000 y 10000, tienen su logaritmo €nln: 3 y 4, ya que log 1000 3 Y lag 10000 = 4.

= =

Ejemplos: log 200

= 2.3010

tog 2000

= 3.3010

log 400 = 2.6021

108 4000 = 3.6021

1Of: 800 = 2.903 1

log 8000

"~ti ..1J'j

=

3.9031.

no tienen logaritmo El Sogarilmo de todo número que no sca una potencia de 10 de exponente entero COlISta de una parte j")

Lm nú rm:ros

LOCAJl.ITMOS.

LOGARITMOS DE LAS t'UNCIONES TIlIOONOMETRlCAS S81

enten y uo.a rute docirnal. La pane f;D UQ se llama cara.ctc:ristic:.a y la parte decimal man.tisa.

Ejemplos:

= 0.3010 lag 400 = 2.6021

10g 2

log 8000 = 3.9031

= = = = =

característica O mantisa = 0.3010. caracteristica 2 mantisa 0.6021. carnc:t.er1stica 3 mantisa 0.9031.

La mantisa es siempre positiva. La caractens\ica es pOril;va si el níanero es mayor que 1 y n~p:ativa cuando el nUmero está comprendido entre O y 1. La característica de los logarítmos de los números comprendidos entre I y l O, es cero. Para hallar la característica del logaritmo de un n lÍmero mayor que l. se resta una unidad al nUmero de cifras de su parte entera.

4856 386 8 1215.65

tiene tiene tiene tiene

4 3 1 4

cirras; la característica de su logaritmo es cifras; la caracteristica de su logaribnO es cifra; la característica de su logaritmo es cifras de parte entera ; la caracterlstica de

3. 2. O. su logaritmo es 3.

Para hallar la caracteristica de un número menor que 1, se suma la unidad al número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra sisnificativa. E&a caracteristica es negativa.

la caracteristica de lo,¡ 0.4 es - t , la Qlracteristica de lo¡¡ 0.05 es - 2, la característica de lOff 0.008 es - 3. Cuando se escribe un logaritmo cuya caracterlstica es negativa, el signo menos se coloca sobre la caracterlstica y no ddante de ella, porque de esta JlUllleI"8 afectarla a todo el logaritmo y debemos recordar que las lIlIUltUaS siempre son positivas. Ejemplos:

log 0.04 = 2.6021

logO.0008= 4.903t

que significa:

+ 0.6021

-

2

-

4 +0.9031.

J88

GEOMETRIA PLANA Y DEL ESP.... CIO

+2.+. CALCULO LOGARITMlOO. Si B es la base de un sistema de qaritmos Y M Y N son dos números cualesquiera, tenem05: Si :

[ogM = x , logN = y ,

entonces:

(t)

"

(2 )

Logarilmo de un producw. .. '1 Iosaritmo ¿ Utl. ~ n sunlQ de fo¡ logaritmos de 1m factord'. Multiplicando miembro a miembro ( 1) Y (2 ), tenemos:

B" ·

iew:rl

o lo

B~ = MN.

Bo+' = MN .

logMN = x+ y . Pero:

IOff M

=x

y

(3)

logN = y .

Sustituyendo estos valores en (3 ), tenemos: log MN

= IogM + 1o¡;N .

Logarilll1O de: 11ft cocK-nt~. "U qarilmo de un coci.ente es iSual al loga'limo del dil-'Idcndo l7JnI05" el lo¡an,mQ del dit'i$(K" . Dividiendo miembro a miembro ( l) Y (2 ) , tenemos:

•• M W = N ; B" - '

M

=-. N

M '08-=--y . N

Pero:

log M

=x

Y

(4)

logN = y .

Sustituyendo estos valores en ( .. ). tenemos: M

log- = IogM-IogN. N

LogariblW de una POtencia. "1:.1 logaritmo de una polencIG _ igual al aponen.te por el to,aritnw tk la ba#" .

Elevando a la potencia "n", ambos miembros de la igualdad ( 1). teneJl106:

=

(B") M-. B" " = M- ,

logM- = n - x .

(5)

LOGARITMOS

y como:

Iog M

LOGARITMOS DE LAS FUNCIONES TRtGOr.:OMETR1CI\.S 389

= x.

rustituyendo este valor

eIl

(S), tenemos:

logMa = n IogM . lopritmo de. una n.ú.. " El logaritmo tú Utul ,ait es igual ol loslVitmo del rodiolFlM dividido en/'e el índice de la rait. ... Extrayendo raí:t enesirna en ambos miembros de la igualdad (t). telleJD05 :

y como:

lOS M

= x.

sustituyendo este 'Valor en (6), tenemos: Iog

EjemplO'<:

..:i'M = lo¡¡ M

•

.

lag (3.4 X 5.62): log 3.4 + lo¡¡ 5.62 10f{(25 X 8.3 X 61 5)::= log 25

lag ..!!.. 0.72

1_ _

"-'5

= los 1.8 -

4.3 X 5.9_1 12.35

-

+ log 8.3 + 1og6t5

logO.72

43 + /"'"59 - 10 1235 "-'5' B ·

OS·

log 3.2' = 9 X log 3.2

lOS (7.8' X 3.62) 10f!

log 425

-,4.6'

= 510g 7.8+ lag 3.62

= 4 X IDg4.6- log5

( T~) = 10._ """"4" -

ANTILQGARITMOS. logaritmo dado..

~ponde lItI

lag 2.

Se llama &fttilogaritmo, al número. que

o&-

'Ol

GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO

Ejallplos: Si,

= log 800 = 2.9031

amilogO.30IO = 2 amilog t.602t = 40 anJilog 2.9031 = 800.

log2 0.3010 log40 ='1.6021

EJERCICiOS CalcWo.r lo.s c.a.racterlsticas de los logaritmos de los siguientes númen;)$:

· . . . . . . . . . . . . . .. · . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

1) 432. 2) 86. 3)

7528.

4)

13.56. 7.18. 436.925. 108.36.

5) 6) 7)

8) 23.01. 9) 9.3426. 10) 48.35272. 11 )

· . .- ..• . ....•.....

· ............... · ...... ......... · ...... .... .. ...

14)

0.00000083.

tS )

0.0000721. 48365. 324.162. 18.36S09.

16) 17)

18)

19) 0.0072320)

0.000015.

Aplicar logaritmos

R.: 2.

.....•..... • •. . -

,~

12) 0.0028. 0.000325.

R .: 2.

R" R" R" R" R" R"

... - .•.•....•... ·....... ........ ·............... · - ......... .. ... · .. ... .......... ·.. ... ....... ... · .... - - ....... ·....... ........ ..... -•....•... . ...... " ... .. ... · .... ... ..... ... ................

0.5.

13)

R" 2. R" 1. R" 3. R" 1. R" O.

~

..

..

•,

1.

O.

•• l.

3. 4.

7.

R" 5. R" 4. R" 2. R.: 1. ~

3.

R.: 5.

siguientes expresiones:

21)

o,.

22)

S•.

R.: log5x=log5+lcgs..

23)

42 X 5.6. e

e log¡¡

log3" = logx-log3.

R" log ah = toga + 10gb.

24)

d'

........

R" R_'

25)

3'

•

........

R"

fog (42 X 5.6) = lag 42

•

= logc -

logd.

+ lag 5.6.

LOGARITMOS.

26)

LOGARITMOS DE LAS FUJlóClONES TRlGONOMETIlICAS 591

.. oh x

· .. . ....

al

32)

T

....

· ...... ' · . . . . ... · .. ... .. · ... ... ........ · .. .....

33)

,¡lA.

· .......

34)

t'i2

· .......

35)

y'M

36)

Demostrar

27)

28) 29) 30) 31 )

x" .

b'.

15J • 3x'.

x

-v'Ñ.

· .......

que:

~

y l+n' 1 OS ,,1+n'+1

2

"" los

= lOS a +

logb -

log x.

R.: IOS "5= logc+ Iog d -

log 5.

R.: Iog~= logA.

ab x

'" =

lOS 11(& n losx. Iogb' = 4 X logb. log 15' = 3 X 108' 15. log3xt = 108'3 + 2 X I08'x. 4b' R.: 1Dg - .- = lag 4 + 3 Iogb - tagS.

"" "" "" ""

,

3

"" ""

Iog -eIi2 = log 12 _ 5 x

los x.

1Dgy'M . ~ = IosM+,.,N

[log( " 1+02

•

3

.

I ) - 106n J.

Calcular los antilogaritmos en las siguientes expresiones. 31) 38)

39 ' 4
=0.3010. los y = 0.6021. lOS z = 0.9031 . lag 2

41 )

108'20 = 1.3010. lag t = 2.6021.

42)

108' 8

los m

=0.9031.

= = = = = = =

1 .3010. log 0.02 = 2 .3010. 45) los p 3.9031. 46) los 100 2.000. 47 ) '08' x 1 .8837. 48) lOS'" = 1 .9243. 4Q) lag 3 0.4771. 50) lo¡ h 2.0016. 51 ) log lO' 1.5145. 43) 44)

"" ,. "" "" .. "" ".. "" "" ".. "" 2.

20 t.

8.

~

0.00.

P-

R.: 100.

"" ". L

R.: R .: 3. R.: h.

""

w.

426. MANEJO DE LA TABLA DE LOGARITMOS. Existen muchas tablas de logaritmos de diversos autores. cuyo manejo viene explicado en

GEOM ETR1A PLANA Y DEL ESPACIO

la misma tab la . Nos limitaremos a explicar d m anejo de la labia incluida como apéndiCfl a este If'xlo. Se em plc>I esta tabhl para resol ver dos cuestiones: AI

Halla r el k ga nlmo de un numero dada.

81

Halla r el antilogaritmo de un logaritmo dado.

A) Hallor el 101((""''''0 de un 1II·m ll'ro. Primero se detennina la caracteristica de acuerdo con Jo f'xplicado en el inciso 423.

Pora hallar la mantisa; l·) Cuando se trola de un número de una cifra: se toma la mantisa de la decena correspondiente a diclto número, 1!11 la columna encabezada ''0''.

o loS 1

•

1

= 0.000

•

•

_ "'"

O.'\ -, I

lOS 2

= 0.3010

2') Cuando S4 Irala de un número tÚ! dos o/ros. Se busca el número en la columna N y se toma la mantisa en la oolurnna encabeuda cero.

• • • "" .,. "M ,.,,, ..., " ."" , "'" 'o; ,,'" ,," ",,, " "... ,.., ,,.o ''''' ,," " N

O

1

,

.",

lar 51 = 1.7076

7' 01

1 ' 77

1324

7151 73J'

1 185

71Y.J

7 ' 93

7275

73.$8

I.cx:ARITMOS

LOGAJUTMOS DI: LAS FUNCIONES TRIGONOMtTRJCAS '93

,

N

..

1og92

= 1,9638

-

'" '''''' ""J " "J' 068, 90

".,. "

'J~2

<)73' 9 777

<.l,H 7 <.lYl5

W.\6 <)7 112

•

<;I~\2

~;~ "'" "" " ,""

"'''

974 1 97 86

97¡~ 979 '

97 .

'"''

3') Cuando se trata de un ,¡limero de trel cifras. Se bwc.an las das primeras cifras en la colwnna N y se toma la mantisa en la columna correspondiente a la tercera cifra.

o

log382

= 2.582 1

1

,..,

~1I2'

62-4.'

6 25.\

"

" log+12 = 2. 6149

,

,

•

,sJ'

,,,,,

, 62,.4

4" ) Cuando se traLO de un IUÍmero de más de tres cifras. Este caso vamos a explicarlo desarrollando un ejemplo. Ha llemos log &005. Primero d~ minamos la característica. Como la parte entera tiene una sola cifra, dicha I:;lIracterlstica es cero. Determ.inemos la mantisa: Se consideran las tres primeras cifras y buscamos lot? 8.00 Y hgB.Ot.. N

log 8.00;:: 0.9031

lag 8.01

= 0.9036

,

1

•

'"

GEOMt:TRIA PLANA Y DEL ESPACIO

10g 8.01

= 0.9036

los 8,00 =

0.9031 0.0005

diferencia conespondiente a 0.01.

Sabiendo esta diferencia, calculamos la diferencia cor-respondiente a 0.005.

-===

0.01 0.005 -

0.00005 JI;

x= EntonceS":

0.01

0.00025

0.01

= 0 .9031 = 0.00025 = 0 .90335

log 8 .00 diferencia para 0.005 [Off 8 .005

421. MANERA DE HALLAR EL ANTILOGARITMO. 1 ~) Cua7MÜJ el logQTilfflQ figfVu en la rabla.

rN

log x

= 1.7076

. = 51 lag Y= 3.1259

Y = 5320 Jo¡; z

108 u

= 0.7482 =

u =

1:7642

O.SR I

•

1

•

,... ,.., "" " "o,.4.l ".., ,,'o "SO "" " " -, " "ro" --'0' ""__• .,I(l --,(, __'" ,~

7°;6

.

.'ó

""1

7 177

734 0

;~

, .... 1

. ~')O

;497

¡S59

l.o¡o6

7.'>14

¡"~

7(>,12

. ,-

-~:~. - ,

793'

."'

7' 0 ' 7' SS

725 1

73 2 4

,

",

-"ti ;9~

-

.

• ••

7 11 0

7 19J

Ir"

~;~

-"

'-:;{

,", ~5~

Cuando la manb.sa se encuentre en la columna encabezada por "O", el antilogantmo se encuentra en la columna encaw.ada por "N", Cuando la manusa se encuentra en una columna el'lcabeu da por " 1" , ''2'', elc., d icha cifra se coloca a continuación de las cifras tomadas en la columna " N",

LOGARITMOS.

LOGARITMOS DE LAS f'UNCIONES TRICONOMETRICAS

S~

La caracteristica nos detennina la pos ición del punto decimal, o sea, el número de cifras de la porte entera.

Cua"do El lOgaritmo no ligura en la tubkJ. Vamos a explicarlo con un ejemplo. Tenem06: wg _= 1.0875. QuereIJlO!; determina r el valor de _, es decir el antilogaritmo COJTeSpondiente al logaritmo 1.0875. Sabemos que la caracteristica 1, significa que el número tiene dos ¡;;jfras en su parte entera. Nos falta buscar cuales son estas ¡;;jfras y esto lo da la mantisa 0.0875. Buscamos en la tabla la mantisa que más se aproxime por defecto. 2" )

N

O

1

•

,-

."09'

:11: =

122 11 73

, °.'>.1 1

.,,, "'" ,

• "',.

En este caso encont r amos que la mantisa 0.0864 corresponde al núme' ro 12 en la columna 2. Es decir a un nlunero cuyas cifras son 122. Como sabemos que el número tiene (los cifras de parte entera, tene· mos, que aproximadamente el valor ooscaoo. es 12.2. Si qW'nmlOS obtener una aproximación mayor, es decir más cifras deci· males, hacemos lo siguiente; a)

HaUamos la diferencia entre la mantisa que ten emos y la que hemo.:

tcnJado de la tabla. A esta diferenc ia la llamaremos l ' diferencia: 0.0875 0.0864

l ' diferencia = 0.0011 b) HallamOli la diferencia entre la manlisa tomada en la tabla y la mantisa siguiente que (:(lfTe'Sponde Al n úmrrt) 12 3. A esta d iferencia la lIa. JnareIn06 2J diferencia :

0.0899 0.0864

2" dirr.rcnCI3 _ U.OO35

".


c.)

Ahora decimos:

Si 35 corresponde a una diferencia de 1 11" . . . . l[

,, = 11j5 = 0.314. Luego las cifras del número buscarlo son;

12.2314.

EJ ERC IC IOS

Calcular las siguientes expresiones, empleando logaritmos: 1)

2) 3)

53.2 X 16.24

89.2

-

R_' 9.685.

71.5 X 8.64 _

R_" 143.665.

O.5X8.6 (---6.3) X (-

9.432) 0.05 ) X 816.5 -

R.: -

1.-455.

.,

S" X 0.3' =

S)

S'X&X4J"=

6)

4.'F =

R_' 45.703.

1)

O.... 2."

R .: O,()(x)368.

B)

.=

(

,

,

.

R .: 16.fl 75.

R.: 10.366.

"

-

•

., JO )

11 )

12)

¡ji

.... .... .... .... .....

(j

.

\/836 X 9.12

J64.8

X 203.5

9402

J,fx)T (~)f =

-

.. . . . . . .. . . . .. . . ..

. .. ..•............... •.... .... .... • - ..... ....

.. . .. .... . .. .. . . .

'"

1.041.

Ji.; 8,73 1.

R.: 3.4.

R"

0.7225.

R.: 0.905.

LOGARITMOS

13)

(

LOCARITMOS DE LAS FUNCIONES TRTOONO METR1 CAS 397

0.(6123)1 0.1823

R.: 0.483.

=

14) v'3xV5xv'O.04 = V~.28 X y'62.15

15)

R.: 3.655.

428. MANEJO DE LA TABLA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS NA11JRALES. Esta tabla se emplea para resolver dos cuestiones:

1')

Hallar el valor de una fWlción trigonométrica de un angu lo dado. Dado el valor de W1a función tri gonométrica de un á llgulo, hollor dicho ñngulo.

2')

Para hollar el valor de una función trigonométrica COtlsiderem06 dos casos: Cuando d áogulo dado figura en la u bla . Para hallar el volor de una función de un ñngulo menor de 45°, se busca el angulo en la l ' crr lumna de lo iu¡uierda y el nombre de la función en la fila vertical correspondiente. El valor de la función trigonométrica si halla en la intersección de la fila donde se lee el ángulo y la columna encabe;,.ada por la función trigono. métrica buscada. CaliO A )

Ejemplo. ~"'M

-

Halla r ros 2 7° 2ú'. •• !040

i~

., '" r ,. '" .,'" ",'

",'

~~

'"

...,

•• 6 17

.,'", "

¡ ,,6 ..... 772 ,."

,~ .ZOJ

"'" ",

2. 166

0<,

'"

2 . "0

"

''''

• .oqó

,,. "'"

o,.

..S09~

'"'

*

...

",

1.<}6j

1. lll

)19 10

"" '" '"

,"

~

'"

I.

1. 127

.118 70

• So ·So" 7

8.~7

1.88 1

,'",

I.IlJ

.

1.1\42

1. IJ8

.87811

'"

::;:

". r,: ..,. '"

. ."

"

, .M" '-" .,. '" ", '"

-n.

¡;::

., >l' l• O'

".¡:;

., O'

ros 2 7° 20' = O.fI884 Si. el ánguJo dado es mayor de 45°, se oosc.a el ángulo en la últ;m n ro. wmna de la brecha, y el nombre de la fW1ción en la última ,,10 in/n,ur. E] va lor de la función se halla en la intenección de la fila y la columna. igual que en el ejemplo anterior.

398

COOMETRIA PUNA y DEI. ESPACIO

Hallar tm 54 0 10'

Ejemplo 1.

[

~ 20'

.,. '" ,"'

00

20'

'"

I

." SO' lO' O'

..

'"

".

~:~

". '"... ,..

.. • · · ... ", ...'" ,.. .,.", :i: ,..,.. "" ... ...... ..> .>.

1.~88

'"

1.¡66

.

.

'JO .68 73

.. ~r. ",

.~~ • OO'

.5807 B., I

I ·in

.7 133

.~78

l .jO l

c..

'"

u

'" "

,,, 7.:J

..'"

.7365

-

.

1·455

1.21J

lO'

".

.~ ",'

•82 4 1

20' 00'

22.\

l . 28

' .1 21

,~

' .40 2

'",

1•.176

'"' ,-

1.22f,

'>'

,.

'.2llo

.8 1 1

'i.~

,,8

~

SO'

". SO'O'

'" '" '"'

.-- ......... . 8 14 1

."•

,"'

~

cut ')4" 10'=0.7221 .

CasO B) . Cuando d ingulu dado no rtgura en la tabla., En este caso, el valor de la función trigonometrica se detennina por inu:rpolaci6n. La interpolación tmlsisle en lomar dos valores inmediatamente próximos al valo.- bus· cado, uno superio.- y otro irúenor. que se encuentran en la tabla y de ellos deducir el valor buscado. Ejanplo 2. Hallar el serlO de 20" 15'. Como el angula esta comprendido entre 2{)" 10' Y 20" 20'. hallamos los senos de estos valores.

....... ,." .... . ,..,., ". o'

J..2.\6

20'

:~

,.. "",. .,.,' .'", ~

20'

"', ,

.'", ...". ro

a. 24

,- '" ," .""

,. ." · •s.

J.018

"

", ,...

a.747

2 ·f,SS

.J1J9

2·6'75

'u '" '"

~!

.J50 2

~'

72.,

."'.

'""

...

1.0 I

."

, .... oo .. "" OO' ... ...... ... ".'" ·9397

JII¡

.Q.l67

",.

, 0-' ~

'iV sen 20•

20' sen 20" 10'

- 0.3475

= 0.3448 10' = 0.0027

......

'"

-95 11

", ··n.\ '.'

SO

."

, o'

W

• .,'"'" •

. l. ,~

'"

LOGAR ITMos.

LOGARITMOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS '"

Estableciendo la proporción correspondiente, tenemoo: 10 ' - - 0.0021

"

-- x

x=

0 .0011 X:5 10

0.0021 2

x = 0.00135

sen 20" 10' = 0 .34480 :5' = 0.0013:5

parte proporcional a

un 20" 1:5' = 0.3461:5 Ejemplo 3.

'"

••

Hallar e l coseno de 21" 23'.

... ,.

,.,

••• '" 1·91,3

.-

~

~

·454"

2.:10'

10' ",'

~~ ",

JO'

.4 6 '7

2. 1(,6

,"

",'

~

'" '"

2 . ",0

·!l.117

1.1:>10 1

I.IJJ

'~~ w, ", , . .,. 471 2

·504."\0

., .

1.142

!. •

...

lO' O' W

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lO'

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1·92 1

lO'

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1. l n

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1.127

.8~70

". ,,'

~~

'" '" ."'''' ~~ '".JI! .,,, '" '.1' 'l'

,,o

,"

,., '"

T

lO'

. .,.• 2
IV

'

'"

lIY 20'

cos 27" 20' = 0.88&1cos 27" 30' = 0.8870 10' = 0.0014

", -,' --

0.0014

x=

x

x=

0.0014 X 3

10

0.~2 = 0.0004

=

ros 27" 20' 0.8884 parte proporcional iI J' = O.OCl():l.

cos 21" 23' = 0 .8880 Obsérvese que en este caso, el valor obtenido parn 105 3', se resta. ¡lO'"". -que al aumentar el ángulo, el coseno dismJ,/U ye. Lo mismo sucede con la cotangente y con la cosecanle.

C t:O M ETIlt .... !'I.ANA Y D EI. ES !'ACtQ

429 MANFJO DE LA T AfiLA DE.. F UNCIONES TRIGONOMETRI GAS L
Ha lla r el valor df' log

H a llarnl)!; l.rimero .sen 12° 00'

Sf'n

12° 20'.

= 0.2136

Y despues loS 0.2136 = 1.3296.

=

lag.ser¡ 12° 20' I.3~)6. Sin ('mbargo, este procEdimiento m.'Ce!'óita emplear primero la tablil de fun ciones trigonomélricas lIaturales y despues la ta bla de logaritmos. Pard diminar Esta operéll:ión, en dos etapas, se h,m preparado tablas que rum directamente le!; logaritmos de las fwu:iollcs trigonométricas. Las tilblils que damos en el a l~nd.ice contienen en la primerd columnil de la izquierda. los IÍngulos desde 0° hasta 45 0 de t O' en Hf. Los ángu los desde 45° hasta 90° , ~ dan en orden inverso. en liI primera columna de la derecha, también de l eY en ur. Si el IÍngulo e~ mf:núr de 45° . se busca en lil columna de 111 izquierda y el nombre de la función se lee por lil parle superior; cuando el ángulo es mayor de 45"', Se busca en la columna de la derecha y el nombre de la funóón se lee por la p.urte inferior. PUI1l fucilitar la interpolación, se oon columnas de diferellci¡¡s. E...tas w)wmms encabezadas por la letra ' d" , están situlldus ¡t ht derecha de las calumnas " L sn!" y " 1. ro <" Las colu.m.nas de la tangente y la wUlngente. encabculdilS " L tan" y " 1. rot" , tienen una diferencia COm\Ul, situada entre las dos IXIlwnnas, encabezada por las letras "'. k" , . Los senos y los cosenos tienen un valor menor que la unidud y, por t,mto. los logaritmos de estos valores tienen earacteristieas negativas, Como también las tangentes de los ángulos menores de 45° , Y las cotan~ ~ntes de ángulos mayores de 45 0 y menores de 90° son menores c.¡ue 13 unidild, sus logaritmos tienen curactcristica nep;ittiva. Para e,';'tar escribir características neg¡¡tivas en la tabla, se pone 9 en lu-

Por tanto:

gar de 1; 8 en lugar de 2, HG .; por tanto. al tomarlos de la tabla. debemos recordar este convenio, Las carac~rístiCII s de Ins logaritmos de I¡¡s tangen tes de los ángulos comprendidos entr(> 45 0 y 90°, son 185 que fig uran e n la tabla ; t8mbién lo son las de los logaritmos de las cotangentes de á'VfUlos menores de 45° . En esta tabla no aparecen 1C!i ,'a lores de los I~aritmos de las secantes y las cosecantc!!. En caso que fuera nEcesa rio calcularlos. recomemos que la secante y la cosecante son los n.-cíprocos del cosenO y el seno respectivamente.

.

LOGARITMOS_ LOOARITMOS DE LAS Ft.:NCIONES llUGOr.;OMETRI CAS

,'J

•

,

•

~.

I,~,n

l , ... 9 · 1n7~

•

. ;1 .1') ·1 1ó(1

••

,.. ,'.'..

"

....., ..

•• ... ...... ..... . ... ... ......

.., •• ., .,

..

....,•

'.' ••

... ...

••

log sen 30°

= 7 .6990

= 1.9368 log tan 30° -40' = 1 .7730 ¡og COI 31 == 0.2212 log COI 31 UI == 0.2184. log r;:o.s 30° 10' 0 0

. ~ISS . ~U7

+0 1

..,

GEOMETRIA PLAN,", \ ' DEL ESPACIO

Ejaup&os.

lag sen 4:5<> lO'

= I .8507

log ros 45° 20' = 1.8469 log ros 45° 30'

= 1 .8457

10M tan 4 5° 40' = O.OtOI log mi. 45<> 50' = T.9874.

430. INTERPOLACION. Cuando se trata de buscar el logaritmo d", una funó6n trigonométrica que no esta en la tabla. ya que en ella los valores eslall calculados de ICf en 10', necesitamos hacer u n cálculo auxiliar, llamado interpolDáón. Vamos a e"plicarlo con ejemplos:

Ejemplo 1.

H allar /og sen 30° 25',

Buscamos:

log sen 30° 20'. log sen 30" 20'

=1.7033.

Tom¡lmos de la columnil " d". la diferenc:i8: 22 ( veintidos die-Lmilesimas). que corresponde a 10'. Sabiendo esta diferencia, calculamos la diferencia ar rrespondiente a 5'. 10' -

-

22

x = 22XS' _22_ 11 10' - 2 .

5'-- . Entonces tenemos:

108 set! 30' 20'

valor correspondienle a

= T.7033

5' =

log sen 30° 25'

11

--

= 1.7044

El valor correspondiente a 5', lo sumamos a l log un 30' 20', porque el seno es /tna funáón r:reciente. También lo es la tangente. Ejanplo 2.

Hallar lag

t;Ot

45° 32'.

log rot 45° 30'

= 1 .9924.

Tomamos de la columna " de" , la diferencia: 25 (veinticiru:o diezrnilesimas) <¡ue wrresponde a 10'. Sabiendo esta diferencia, calculamos la diferen-

LOGARITMOS.

LOGARITMOS DE LAS fUNC IONES TRIGONOMETRICAS 403

tia COlTeSpondiente a 2'.

10' -

-

2' _ _

25 •

ll=

2'X 25 10'

50

= JO=5.

Entonc::es tenemos;

lo, VAlor

COI

45° 30' = 1 .9924-

= 5 log COI. 45° 32' = 1.99 19

cOf"N"Spondiente

A

2'

El valor COITeSpond.lente a 2'. lo restam06 al log COI. 45° 30', porque la COlangenJl' es ,mil /unrión decrecil'Pl/f'. También lo es el coseno.

EJ ERC IC IOS Hallar los &iguientes valOre5; 1)

JORlo1l5° .

R.: ;¿.9420.

2,

108

COI

R.: 0.1842.

3)

101{

un 20° 32'.

. .

9° 20'.

R .:

T.:S+.SO.

4

lOS ros 25 0 16'.

R.: 1 .9563.

")

101: sen 34° 40'

R.: 1 .1550.

!off ros 510 •

R . 1 .1989.

7)

log .9CtI 59° 30' .

R.: T.9353.

0 ' ) /og lan 64 42'.

lag COI 11 0 3ft' .

R . 0.3254. R . 1.5211.

10 '

lOS (.U' 80 0 20"

R... 1.2251-

11 )

10fl se1l 85 0

R.: 1.9983.

12 1

101{

13)

lOS Ion 68 0 12'.

)

OOf

'>5 0 16'.

14 1 log .
- - -

R..

11551

R.: 0.3919. R. . '1.9835. R .. 1 .9634

-

CEOME11l1" PlAN" \ Dl.L ESP'CIO

16)

lo, rol 13" S',

R" 0.6338.

11)

lo, r:os 75°.

R .: 1.41 30.

18)

Jogcol 5+" fI .

R·

19)

Io,SIm 17° 51' ,

R" 1.+865. R" I .4R6'i.

20 ) lo,

COI

12" 9'.

1.8597.

la IIHm.trio oplkado en la Era del ""ocio. El

hombre moderno H ha lonodo o lo conq,,¡do del . .ocio .ickrol. l ... ",tilite. ortit;ciol•• ton ..e rdo. .s.r... c.rebros q". r.,i.'ron cuantos datos inte· retOn O len ci.ntíficos.. E.......ehlc,,1os ... poaol...

.1

han p reparado .1 (ami... 01 hoonbre_ El U'IIIono,,· lo .... of hombre h,horo. Estas na"'" q" ••"rcon lo ..trotod.ro .... ofreeon de n .....o forlll"" d • (;eom.trio oplicado : .de..., cono.. ciliNIros, trian · lI"tos, .'<:litera, al s• ...,icio d. la o...cla mod .... a .

29 Aplicaciones de los logaritmos 431. APUCACION DE LOS LOGARITMOS A LA RESOLUCION DE. TRIANGUlDS Y AL CALCULO DE. LAS AREAS. La aplicación de los logantm05 facilita notablemente la resolución de los triángulos 8 las areas de los mismos, ya que los productos o cocientes se convierten en sumas o restas respectivamente. 432. APLICACION DE. LOS LOGARITMOS PARA LA RESOLUCJON DE. TRIANGULOS RECTANGULOS. A las fórmulas empleadas para resol· ver los triángulos rectángulos y calcular sus áreas, se les aplica logaritmos, sin hacerles transformación alguna. Se exceptúa el calculo de la hipotenusa en el ter. caso. que se suele calcular sin emplear logoritmtJ.f.

~,

.........

)-

.

406

GEOMETRlA PLANA Y DEL ESPACIO

Primer b

Resolver y ca1cular el área del triángulo:

CaJlO.

= 208.

Fórmulas:

0 =

C =

160.

Vb' + ~ .

LC= 900 - L B ,

b·c Area =-. .

b

tanB=- ; c Cákulo" o. fJ

= "'¡b' +~ v'2ó8i + J6(p

cdLcuÍo

d6 L B.

V432ti4

+ 25600

tanB=~c .

\/6886+

262.04.

Cálculo de L C.

lag tan B = lag b - logc 108 160 lo¡ 208 2.3181 los' 160 = 2.2041 lag tan B = 2.318J - 2.2041 0.1140.

los tan B = lag 208 -

=

=

B = 52° 26'. CtJlculo del área.

+ +

=

log b lag c - log2 togA = 108 208 + lag 160-.lag 2 lo¡ A = 2.3181 2.2041 - 0.3010 lag A ;::: 4.2212 A = 1664231.

108 A

Segundo caro.

Resolver y ca1cular el área del triángulo:

b = +26.

o ;::: 690,

Fórmulas:

e

= V(o. + b) (o

sen B = a~ .

b) ;

Area CoL,·ulo de e.

c=

y(o+ b)(o

= ~ yI(o. + b )(o

b).

+2 lag (o-b) lag (0+ b ) = log 1116 = 3.1)476 I08 (0 - b) = Iog 264 = 2.+216

log e=

lag (0+ b )

b) .

..,

APLICACIONES DE LOS LOOARITMOS

3.0476

I08'c =

+ 2.4216 2

5.4692 2

c = 542-

Jogc = 2.7346; I

b sen8 =-. a

álculo de 8 .

= =

108' sen 8 log b - log o log sen B = log 426 - lag 690 108+26 2.6294log 690 = 2.8388 J08 sen B = 2.6294 L B = 38° r .

Oí/culo eh L C.

2.8388 = 1 .7906

L C = 90° - L B = 90° L C = ~it ° 53'.

38° 7'.

oc

t '¡/rulo del área.

A = 2·

+

108 A = lag b log c - Iog 2 lag A log 426 lag 542 - log 2 lag 426 = 2.6294-

=

+

log 542 = 2.7346 log 2 0.3010 log A = 2.6294 2.7346 --0:3010 log A = 5.0630 A 115600.

=

+

=

Tercer roso.

r=

Resolver y calcular el área del triángulo:

195.

LB

= +0"20',

formulO$:

b = clanB . I

~

Area = 2~tanB .

a =-- ; ~C

rálcu/o de C.

(ti/culo dl'! b.

L C = 90o- L 8 = 90° - 40° 20'. L e 49° 4(f.

=

b = ctan8.

= lag 195 + lag tan lag 195 = 2.2900 Jog tan 20' = 1 .9289

108 b

4()0

4()0

20'

GEOMETR1-\ PLANA'

108 b b

DEI , ESPAC IO

= 2.2900 + T.92S9 = 2.2 189

=16S.5. ,

a= - - .

Cdlruto de a.

"",e

1080 = logc - IogsenC 108 o = lag t 95 - lag sen 49° 108 195 = 2.2900 log sen 49° 40' 108'0 = 2.4079 (l 255.H

4(Y

= 1 .8821

=

1

Cálculo del área.

A = Zc"tanB .

108 A log A lag A

= 2lagc+ 108 tan B - I0Ff2

= 210g 195 + 108 lan

-H)0

20' -

108 2

= 2(2.2900) + 1.9289 - 0.30 10

lOS A = 4.5800 + 1 .9289 - 0 .30 10 108' A = 4.2079 A ('mulO r a $() .

11>140.

Resoh'er~'

calcular el area del lriangulo:

[' = 63" 1S' .

a = 80. Fórmlllas:

LB

c = a~nC

Le ;

9() ' -

b = a!ienB ; C,ikllw del 1. B.

r,ílculo de ( .

L A = 90" .

A rM

1

= ia'sen 2 r .

L B =900-L C = 90° _63° B 2(,' 4')' . c= a sen C.

= = =

+ +

log e loga lag sen C log e log 80 108 sen 63" 15' lag 80 1.9031

log Sffi 63° 15' 108 l"

= 1.9S08

= 1.9031 + 1.9508

I~ e:::: 1.85~9

7 1.1

1"i~.

\PLlCACIONES DE LOS LOCA IUTMOS

Cálculo

d~

b.

b = asen B. logb = I08'a+ logsenB

=

lo¡;¡: b 108' 80 + lag sen 26° 45' log sen 26° 4-5' 1.6533

=

=

108' b l.9031 log b = 1.5564b kI.UI .

Cülrulo dRl

+ 1.65'n

•

I A = '4rrsen 2C.

Qrffl.

A

=

A

lOS A

i

80" sen 2(63 ° 15')

= '4I 80" sen 126

0

3
= 2 Jog 80 + lag sen 126 0 30' - lag 4

log A - 2 ( 1.903 1)

+ 1.9052 -0.002 1

log A = 3.8062 + 1.9052 JOS A = 3. 1093 A 12í16.

0.6021

=

Resolver y calcular pi IÍ rea de los siguienles IriilllgulO!' rect¡ingulos.. em· IlIMndo logaritmos. 1) b = 1l2.

c = 4'l.

1.)

(/

=

4.

L B = fi2 ° m'.

11 ..·

(/

=- 50.08.

L B =- 26° 4'. L C = 63° 56'. Area =- 49<;. 11.:

b = 3.55,

¿ C =- 21° 30'. e =- 1.84. A.-ea 3.27.

=

i,

b = 30. L e =- 40° 30'

e =- 25.62, ¿ B =- 49° 30'. a =- 39.45. Are8 =- 384.30.

11.:

.. o

CEOMETR IA PLANA Y DEL ESPACIO

4 ) 0 = 43.5, L B = 380 ,

5) h = 240, L B = 62 D ,

11 1 c= 45.

L B = 65° 50'.

7 ) c= 50, Le = 28° 30'

e= Le = b= Arel!. =

R_'

R_' L C = c= a= Area

34.28, 52",

26.78, 459.01 . 28", 127.64. 211.8O,

= 15320. R.: b = 100.29, Le = 24° 111, a = 109.75. Area = 2256. R_'

b ;::: 110.51 , a t25.74. Area 33 15.30.

= =

8 ) Un ingenwro flecesila medir la a ltura de una IOITI! AB. Se sima en un p\Wto e, de manera que BC = 60 m y L ACB = 58° 1(/. Hallar dich a a1tum. R.: 96.64 m .

!H Un árbol de 12 m de ahura. proyecta una sombra de 20 m sobre un terreno hori7.DnlaL Hallar el ángulo de elevación del Sol. R.: lO" 5er. 10) Desde 18 parte superior de un faro de 60 m de altura sobre el nivel del mar, se observa un buque con un ángulo de depresión de 28° 30'. ¿Cual es la dist:mcia del buque al faro? R.: 110.50 m . 11 ) U n aviÓn vuela ' rombo al este con una velocidad de 300 km / h. Se encuentra eG n un vienlO que ,iene del Norte, con una velocidad de 60 km / h. Hallar la velocidad resulta nte y el rumbo verdadero del avión.

R.: 305.8 km /h. S 78° 5{}' E. 12) Para medir la alH:hura A 8 de Wl río, un agrimensor escoje un Il\.IlIto e litl que fJC = 30 llI .v i BCA = 62° y L. AIJC = 900. CAlcul",r la anchura del río. R.: 56.42 m.

11) Un túnel de 300 m de largo tiene una inclinación de 15°, re!ipecto a la hori7.0ntal. ¿Cuá l es la diferencia de nivel en ambos extremos? R.: 17, 64- m .

14) Se hace un disparo con un cañón que forma con la horiwntal un ángulo de 400. La veloodad de la bala es de 950 m Is. Hallar las rom~ nentes "mical y horizontal. R.: Vert. 727.70 mIs. Honz. 610.66 mIs. 15) En un tramo de carretera se asciende 50 m al recorrer 5 km.. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal? R.: 34'. 16 ) Desde el último piso de un edilicio de 50 ro de altura, se obsel"Yan dos autos estacionados en linea recta, en el mismo plano del observador. Las ángulos de depresión 9OI'l : 380 y 21 0 • Hallar la distancia entre ellos. R.: 191.7 Dl. 17) Una loma tiene una altura de 1200 m. Si desde un punto situado en el suelo, se observa la cüspide con un ángulo de elevación de 23 0 4<1', la que distancia está dicho punto? R .: 273.80 m .

= =

433. APLlCAClON DE LOS LOGARITMOS PARA LA RESOLUCIQN DE TRIANGULOS QBUCUANGULOS. 1. Seno di! ID mitad de un cin~",lo en luncf6n de las lados del 'riángulo Aplicando la ley de cosenos al ángulo A, tenemos: a'- = Ir + ~- 2bc ros A . Despejando cos A , tenemos:

e

ol - Ir -~=- 2bccosA

+ Ir + cZ = 2bc COfi A. Ir+cZ - U' cosA = 2&

-

af

( 1)

a

b

Por otra parte, sabemos que: (2)

Sustituyendo ( I } en (2 ) , tenemos:

A L------~

e Fi&. 336

Efec.tuanrlo;

Agrupando;

B

C EQM ETR IA PLANA \" DEL ESPAC IO

A

,;en

T =

..j

la'

lb

e )' .

~bc

Faclonzando el lflllOlmo;

}~act:orUando

(3)

la diferenciO! de cuadnuJos.

Uamando 2p al perirnet.ro y restando 2b y 2c, suceslvamente, tenemos:

a+b+c ;:::: 2p - 2b ;::::- 2b

b+ e

a

2p

2b

a _ b+c = 2(p _ b ). Análogamente;

(4 )

a+b+ c=2p

- 2c = -2c 2p

2c

a+ b

e

a+ b-

c=2( p -c).

(iJ

Sustituyendo (4 ) y (5) , en (3) , tenemos;

seu4- = ~( p

5~' ~ = ) 1(1)

b)

e) 2(p

4¡;C

. ) (p

<)

Simplificando y ordena.rulo

+OC

A= j
sen "2

b )(p

¡;c

<)

En fonna análogB, se obtiene: B

sen "2 =

j (P

a)(p

e)

~

senf =j(p a)(p ab

b)

(6)

2. Coseno de la mirad dl! un tinguln l!n función de los lados del tririrrgulo

( 7)

APLll.:';'C10 NLS DE LOS LQGAR..ITWOS

Swu ituy endo ( 1, en (7), tent!"nMK:

1+ 1';01 A=

•

)

.'

b' + t"""'"

2

..

Efectuando;

..

. '

Ert'Ctwmdo.

a'

Faclori~ndo

a)

Faclori7.ando la diler-enca de cuacJn¡do!-

(' )

Si a 2p., le restamos 2a. tenemcIs: (9)

a + b+ c = 2p -

2&

= -2&

- a + b + c = 2p-2a b + c - a = 2 (p - a). Sustituyendo (9 ) Y (lO). en (8), tenem06:

C»S

A j 2P [2(P 2 = 4bc:

A_ j PCPbe

co.s"]" _

a)

el trinomio;

a»

(10)

·.

GEOMETRIA PLA."''''' Y DEL ESPAC IO

En fonna análogo, se obtiene: cos -:- =

ros ~

j

p (pac b )

= jP(Pab

e) .

3 . Tangente de lo mitad de un ángulo en función de Jos lados del tritingulo. A

sen "2

A

lan "2=

A

""" 2

A

A

Sustituyendo los valores ya calculados de sen "'2 y oos 2' tenemos:

A

I(/n ~=

j

2

(p

b ) (p

""

J PCPbe

tan A = 2

<)

j(P

a)

<) b)( p p (p a)

De la misma manera, podemos calcular:

tan.! 2

= j(p

a ) (p e) p(p b)

tan~ =j (p a )(p b) . 2 p (p e)

434. APLICACIQN DE LOS LOGARITMOS PARA LA LEY DE TAi'f GENTES. La ley de senos nos da: a b senA = !ien8'

cambiando los medios:

•

sen A

-= -senO -,

b

APLI CAC IONES DE LOS LOG ARIn.tOS

y aplW:ando

lUla

de las propiedades de las propordones. tenemos: a-

b

-;:¡:-¡; =

sen A -sen B sen A sen B .

+

Transfonnamio en producto el nume rador y denominador de la segunda ra7.ón:

,

,

=-2(A+B) sen.,., ( A - .B )

•a -+ bb - ---¡:-----'"¡:----I 1 sen "2 CA

+ B)

ros "2: (A -.8)

1

a- b a+b - -

" c-'- - flm~(A - B ). fUlI ~ (A B)

,

+

a_ b

tun ii( A -

B)

a+b -

tan~ (A + B )

En lo fórmuJa onlel"ior es necesario que se cumpla a En caso que b es decir:

> a,

> b.

bastada con invertir las difE
,

lan~

(B -

b Y A-

B,

A)

,

tan ~( B +A) R~ución

de lriinguIos obIicui.ngulos. Primer caso. Dados IO§ t.ru I;ldos.

En la fónnula

tan ~ = j( P p (;HPa )

e). , multiplicando ambos tér-

minos del quebrado, por el pe.rentesis del denominador. (p-a), tenemos:

ton ~ = j

'2

recordando que r

a )(p p (p

= p_'-_a j (P

<¡

b )(p

ajo a )(p p

b)( p

= j~(P'---_'~¡~(~P-'p::-,b~¡~(P,-----,,<¡c ,

<¡

donde r es el radio del

".

CroMETRIA I'LANA \' DEL ES ...... CIO

circulo inscrito fl llria ngulo y haciendo la susti tución correspondiente, Ic nemos: A

1

A

<

tan "" =p ¡r; _ il <. tan ", = - - . :.; p- a

Análogamente, 8

e

,

lon -

tan "'2= p _ b ;

2

<

= --.

p-

c

Sabemos que el area de un triángulo en función de sus lados

Ana.

=

v p tp viene dada por la fórmula A a Heron, matemático uleja nd r ino.

a ) (p

b) t p

Multi plicando y dividiendo por " p", el ra dicando

e) • que se atri buye tendrel1lO5;

'l

A= j P'( P

A= p j'lC~P=:'~l~C:ep~p::!bl!)([pi~~'r) A = pr .

Ejemplo.

Resoh'er el triangulo a

p=

• + b .+- e

-

2

p _ a = 407.4 -

b p- c

p-

= 407.4 = 407.+ r

lcg r

= log ( p -

163.6

= 16

~

b = "\97.5; c= 253.7.

+ 391.5 + 263.7 2

163.6 = 243.8. 397.5 = 9.9. 253.7 = 153.7.

= j~~P,---,."l-,C!:.p-:p,-b",l"C"p_",,l a)

+ log ( p -

b)

+ lag ( p -

e)

- log p .

2

log ( p - a ) = 1°8243.8 = 2.J R70 . 1.08 (p - b) lag 9.9 0.9956. los ( p e ) = ' 08 153.7 = 2.1867.

=

=

los p = logr =

=

lag 407.4 2.6100. 2.3870 0.9956 2. 1867 -

+

+ 2

2.6100

.=

2.9593

2

= 1.4796

" PLl CAC ION ES DE LOS I..(X;ARITMOS

C§.lculo del

A

A.

ton 2

,

=-- . p- '

A logtan = log r - Iog (p - iII ) .

2

A logtan - = 1.4796-2.3870= 1.0926 2

A = 1'¡'° 6' . 8

,

lon - = - - . 2 p- b

CiIc"lo del L B.

8 log tan 2 lo~

8 tan 2

!. = 71 ~

=

log r - 10{.{ (p - b )

= 1.4796 -

0.9956

= 0.4840

SO';

2

e = - ,-. p- <

Cálculo del 1. C.

tan 2

e

101lIan- = log r - log (p - c). 2 logtan C = 2

1.4700 - 2. 1 867 = T.292~ C = 22° 12' .

Area.

.\

=

pr . 10ll A

= laS r +

101' A

= 2.6100 + 1.4796 = 4.fl89ti

I~r

A

Sellundo roso.

Dados dO\ ladOb

c;.¡!culo de los ÁJ1gulos.

~

12290. lA insuto compn:ndido.

Sea e el ÁnRulo nHdo.

".

GEOMETRIA PLANA Y Dt:L ESPACIO

SIlbemos. por la ley df' lallRentes que:

.+b a-

J tan'2 ( A -

b-

I

fan

2 (A + B)

tan

2 (A -

I

a-

B)

b

I

n l= a+b,an'2(A+8 1

( 1)

Pero,

L A+ L 8+LC= 180° . ¿ A + L 8 = l80 o - LC. Dividiendo por 2, ambos miembro.;:

A+ B 2

t80"-C 2

-

4(A + 8 ) = 90° _

~.

Entonces:

lan~ ( A SustituyEndo (2)

1:11

+ .8 ) = l aTl

(90°- ~ )

=cot

~

.

(2)

( 1 l. tenemos: I f(1n-(A 2

e

a- b B ) = -COI - . él b 2

+

Esta rónnula y la que nos da L A + L 8, nos l)eJ'11'\iten calcular el valor de A Y el valor de B. Para CIIlcular el lado, se emplea la ley de senos Ejemplo.

Resolver el triángulo:

• = 322.

=

2 12,

a = 322 LA+ L B +LC = I80° .

a = 322 b = 212 a+b = 534

b

b = 2t2 LA+L B = I80 o -LC= I80 o -tlOo =70°

a-b = 11O

1

lon- (A _

2

I

108 tan '2 ( A -

R)

- b 00'e = a__ + b 2 él

R)

=

rol! (a -

b)

e - lOS (a + b ) + 108 col 2"

"PI.I(.;AUONt:S DE LOS I.OGARITMOS

1 log tun 2 (A - S )

,

log/U' I~

(A-

110° = 108 110 + lag COI ~-/OS534

8 ) = lag " 0+ logcot 55° - 108534 log l to=2H4 H

laR COl 'i5° = 1.13452 IOfj

,

R)

= 2.04 14 + -1.84-52 -

,

8)

= 1.1 59 1

lOS (011 "2 (A 10B ((/11

'>3+ = 2.727')

ji ( A -

2. 7275

-

~ (A _ A) = 8° 12';

A-

Comparando con este valor .v el de L A

+ ¿ 8 = 70°, .

A - B = 16° 24' A + B = 1O° 2A

= 66° 24'

=

te nemos:

86° 24'

L A =-.-

¿ A = 43° 12' .

A+ B= 69° 60' - A + B = - 16° 24'

28

B = 16° 24'.

,,,2,"" ::::..' ¿ 8 =-_,53·

53° 36'

LB

= 26° 48'

Comprobación:

¿ A = 43° 12' ¿ B= 26° 48' ¿ C= 11 0° ¿A+ ¿ B + LC= 179° 60' = 180° Cálculo dd hu lo c.

.= ,

Paro calcular el IAOO e.

M!n A

~

em plea la le}" de los s.enOl'i

sen e'

a sell e c = senA '

IoB e

= 108 a + 108 sen e -108 se" A =log 322 + los sen 11 0° - Io~ se1l 43° 12'

CE(JML' RL... ¡ 'L\N ... "

lOS 322

DEL ES PAC IO

= 2,5079

lOS sen 110° :: 1.9730 logsen 43° 12'

los e = 2.5079 + 1.9730 -

= 1.8354 1 .8354 = 2.6455

.', e:=: (lrf{i/og 2.6455 :=: 442

1

A =~ ab un C .

IOf A

= lag. + log b + lognmC _ = lOS 122 + IOB 2 12

log2

+ log u.'n l1 U" -

108 2

= 2.5079 IOIJ 2 12 = 2.3263 fc:.g J J 0° = 1.9710 log 322

SIn

lcB2 "'" u.301O

= 25079 + 2.3263 + 1.9730 -

IoB J\

U.301 U = 4 5062

32 100 ap",x.

A

tercer cruo. Dado~ un ledo) do. ángWo... Con la fónnula L A + L B + L e l BIP. se cakuJa el Los 10005 se calculan por medio de la ley de senos:

=

• b e sen A =senO = sl'tlC '

l..ianp'o.

ResoIvl'r t'J IminguJo;

A

75 ' 2(( .

L B = 40" 48' .

c= 30.

Cálculo del L c.

L A+ L 8 +LC= 1800 ;

Le =

II~Oo

( 7'j0 20'

-

+ iO° 48' ) = (

Cücuk. del lado • $01

Q

e

A

= senC;

M e 'i2' .

180° -

11 5 0 68'

00'0

ángulo,

APLICAC IO NES DE LOS LOGAR ITMOS

losa

= 108 e + 10gsenA _

WgMl

e

= lag 30 + lag sen 75° 20' - lag sen 63° 52' Ivg30 = 1.4771 lag sen 75° 20' = 1 .9856 108 sen 63° 52' lOS a

= 1.4771 + 1.9856 -

= 1 .9531 1.91)31 = 1.5096

a= 32.33.

Cá1Q110 dd lado b. b , seTI B = senC;

log b

b - 'C:senB -

= loge + lO8 sen B = log 30 + Iog sen

tNmC

log sen e 48' _ rog sen sao52'

4{)0

log3(J = 1.477J loS sen -100 48'

lag sen 63° 52' lag b

= 1.4771 +

1.8152 _

= 1.8152

= 1.9531 1 .9531 = 1.3392

b = 2 1.84, ArM.

lOS A

r

A _ cZsenA sen B -2sen ( A + .B )'

= 2 108e + lagum A + kJ8scn B - [108 2+ 108 sen (A + 8 ) ] =2108 30 + loS sen 75°20' + lag sen
loS sen 11 6° 8' IW{ A = 2 ( 1.4771) + 1.9856

= 2.9542 + 1 .8008 -

= 2.5009

+ 1.8152 -

= 1.9531 (0.3010

0.2541 A

= 316,9.

+ 1.9531 )

GEOMETR I .... !'LANA y DEL ESPACIO

'"

EJ ERC IC IOS Resolver los siguientes triongulos. empleando logaritmos. 1)

a = 41 , b e

2)

= 19.50,

R.: L A

L B =210 50', L e = 51 ° ,

= 32.48.

a = 10.+,

a = 45,

e 7.8, L A = 7.J° Ht , L B = 60° 58'.

R .:

b = 32, e 41.06, Le 61° 45',

L A = 74° 54', L 8 = 43°2 1'.

')

5)

')

7\

" 9)

=

37.40, h = 38.25, e = 25. a

=

b = 38.25, LB 72 c 33', L C =38° 34',

R.:

= e = ti; a = 15.2. b = 40. e = 30. a

=

73 1,

b = 652,

Le = 10° 25', 10\

42, b = 50. e 53.24.

B =

=

111

=

R.:

a 5.:J. b = IO.Q,

a =

25.

= =

Ro L A =68° 52', LB 72° 34', L e = 38° 34'.

b 18, c = 31 , L A = 53°45'.

=

=

R.:

b = 9.5, L C = 45 D 52'. 3)

= 101 ° 10',

a = 25, LB 35° 30', Le 90° 45',

= =

a = 3 7.40,

L A = 68" 53', e = 25.

R.: t A = 23° 4Q', LB 55° 33'. L e= 100° 41"'.

=

R.: L A = 19° , L B = 120059', LC= 400 t',

R.:

=

e 800, L A = 59° ZS', t. B = 50° 10'.

= =

R.: L A 47" 50'. L B = G2" Z'. Le 70° 8'. R.: L A = 48° 25',

'PLIC .... C IQNES DE U>S LOG .... RITMOS

b e 121

11 ,

."

= 31.5. = 29 .~.

a = 15.19, L B = 1200 59', LC= 40° 1'.

• = 17. b = 2O. e 14.

=

LB LC

= 70° 32', = 6 1° 3'.

b = 40, c = 30, L A = 19° .

R .:

=

n .: L A 56° 45'. L B = 79° 43', LC= 43° 32'.

Resolver los siguienles tri oTlgulos y calcular su área, aplicando logaritmos.. J41

• = 4732, b = 5970. e = 5009.

' <1

b = 4270. e 4900. 37° 56'. LA

1ti 1

e LA LB

171

lB)

19)

20\

= =

= 2700,

R.: L A

R"

a= L8 = Le = Area =

3038, 59° 46'. 82" 18', 6432000.

R .:

b= • = Le= Area

1732, 1615, 107° 30', 1334000.

= 34" 41". = 37° 43'.

=

a = 12.2 1. c = 18. 75, L B = I 06" 52' .

R"

a = 76.34, b ::; 107.58. e = 11 5.44.

R"

. = 4732, L B = 75" 32'. LC = 54"20'.

R.:

=

LA 45" 46'. L e = 25"50', b = 11 58.7.

=

50" B'. L B = 75" 32'. LC= $4" 20', Area = 11470000.

b = 25.17, L A = 27° 40'. L e= 45° 28". Area 109.5.

=

LA= L8 = -L C -==. Arca

39" 50', 64° 32', 75"38' , 3978.

= =

b 5970, e = 5009, L A = 50° 8', Area 11470000.

=

R .:

= 8 75. 532. = 108° 24',

a e= LB Arca

= 220900.

Tablas macemácicas

(";¿OMF.TR I \ DI: BALDOR

LOGARITMOS

,

TABLAS DE I.cx;ARITMOS 1

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS NATURALES

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TA BLAS DE FUr-;C IONES T RIC.OSOM ETR1 CAS NATURALES

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LOGARITMOS

DE LAS FUNCIONES

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TABLAS

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LOGAR ITMOS

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Repasos de álgebra

CEOMETRIA DE BALOOR

Estos repaso! de Algebra, han sido incluidos en este texto ron el fin de que, al el alumno cuen te con el bagaje matemálico " 1'II'C1'!53.00 y suficiente" para que klI!I problemas planteados, a lo largo de elle libro, puedan ser solucIOnados arm6nicamente }' ,in "Iaguna$" que pudiesen arrastrar de <:OnOcimienlos impartidos n:sol~rlos,

anteriormente. Por ello, cada uno de los 29 repasos funciona cone!atinmtnte con los 29 capiluo de que consta este libro s.iendo conveniente que el a1ullUlO proceda a dar respuesta a cada repaso IIntes de empeur a e:J1udiar su capítulo correspondiente.

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REPASOS DE ALetaRA

Repaso de AJgebra N· 1

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GEOMETRIA DE 8ALDOR

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7,,'y" - 8 de

+ 9x'y + "V + 7x"-t + 16xy' +}.I + 7

R~tar la suma de 7a' -a" - 8a ; - 3a" + 1Ia' a" + 4; - 6a' - lI a' - 2a + 8; - 5a' + 5a' - 4a + 1 dro la$umade - 3a' + 7a' - Sa + 5con5a" _ 7a" + 41 ..· - 5Oa + 8 R.: ae + Sa' - 4a' - 2a' + 4-4a' - 4-4a

10) Restar la suma de .." - 7a"x' + 9; - 2Qa'" + 21a'x' - 199x' ; x' + 9a',,' - 80 d", la suma de -4,,' + 1Sa')(1 - 8 ; - 9..'x - 17..",· + 11 a')('; a" + 36

R.: - 5,.a + 199x' - lOa",,' - a'x' + l1a'x +99

R.'

GEOMETRIA DE BALDOR

Simplificar suprimiendo signos de: agrupacioo )' reduciendo términos semejantes. 1) i r +

f-(x2-

xy ) + (-3y'

.¡..

2xy)-(3x' +

)"I>J

R.: 3xy- 4y"

R. ,

2) a+ {<- 2a + b)-(--a + b -c) + a J 3) 2x + [ - 5>o; -(-2y

+ {-x +

l-}ll

H'

R.: 2.

+

Y

4) -(a + b) +{-3a+ b- [ -2a+b -
(- 2a + 3b )+(--:b + a -

b )J

R.: Ja -

7b

6) 7m.-{- [m.+3n .... C5- nl - C- 3+mlll} - <2n+3) R .: 7m" + 2n i )

2a -C---4a+ bJ -! - [- 4a + (b- a1- C-b+a1l} R.: b

8)

-1- (~»)-I + (~») + I-I-b + ,) -1 +(~»)

¡ R .: b

R.: -a+b

10) - x + / -
5

REPASOS DE ALGURA

R·'

Repaso de A1gebra NQ 5

Simplificar: 1)

~( a+b)_ 312a+b _ (a+2 )}

R.: --4a - 4b+6

2l -[:b - 2)' +(x - 2y) - 2 (x+y) - 3(2x+ l l l

R.: 4x+6r+3

3) h" -

R.: 5x"+4x - 5

!- 3x + 5 -

[- x+X{2+x)l}

4) a - (x + ~')- 3 ( ,, - y )+ 2

r

(x - 2y) - 2(- x - y)] R.: a - 2x + IOy

5)

2 (3

h)

3 (a+2bl -4 ! a - 2b+2[ - a+b -

I+2(a - b)J] R.: - 17a

fi) m -

3 (m + n ) +

f-

r- (-

20 + o ) - 2 - 3 (m _ n + 1) +

+

12b + 8

mI J

R.: - 7n + 5

7)-31.- ',)+'!- ' 1- ',

3

1.. ,)l] - !- I- I",Ji] R.: 36x + 29)'

8) 5{ - ( a + bl - 3 [- 2a+ 3b -

(a+b)+ (- a - bl+2(

a+bl] - al

R.: 8Oa - 5Ob

IO) - a+b

- 3

2(a - b)+3{ -

(-a + 2 (

1+

311

[2a + b

3 (a+b -

1)1} R.: - 3a+9b - 3

GEOMETRI A DE IL\LDOR

R· IO

Repaso de Algebn Hallar el vak)r

n~rioo

N~

6

de .las o:xpn:siOOl'S siguientel, pan.: a = -I ; b = 2; e

,

=- 2

J ) (a - b )1 + (b _ e)" _ (a _ e) '

R.: 15

2) (b + a)' _ (b _ e )"_ (a -

R.: - 14"2

l)

e) "

ah

be -, + -ae -b a

4) (a

+

5) 3 (2a

b

+

R.: 3~ 4

e)"- (a -

b-

Hallar el v.\Ior num.!;rico de

,

R.: ~~

e

6x' -

~

71

(a -

x)"

R.: 3

tu expresiones

a - 2; b =

, 3";

sigu i~tC!ll,

x = - 2; ). "" - 1;

3xy " 2 + 2 -y&

+

(x -

8) (3x - 2)") (211 -

y )"

+

(x"

)"

y"}( m

i)') x+x• -

la 2.. 17n m 10) - + --<' + - - - + 2 (x m

n

Jll

para: = 3, n =

,

2

R.:

24n ) + 4x·)·· -

4x - 2+y& x, 9 ) 3y + (';; -

x

+

c )"

+ b) - 4a (b + e ) - 2c(a - b )

6)

,

•

2

m

y+4 )

+1y

n)

, ,

R.: 18.!.

,

R.: 60~

R.: 25

~ 3

,

R.: - 12 6

R. I!

REP .... SOS DE .... I,GEBR ... R~

de Algebra

+ 2){)I + 3)

' 1 (x .I)()I -

, R.: x".4)1. 4

1) (x • 2)" 2) (x

N~

R.: x'+5)1+ 6

1)

R.: x" -

I

4) ()I _ l)"

R.; )l1 _ 2x + ,

5) (1 + b)"

R.: 1+3b+3b'+b"

6 ) (a . b)(a - b )( a" 7 ) (x . l )(x -

b')

l ){x" - 2)

R.: a' - 2a"b' + b' R .: x' -3x'+ 2

' ) (2a. + x )"

R.: Sa' + 12a'x + fiax' •

9'

R.: x' - 24)1' - 25

(x + 5 )(x -5){ x" + 1)

'O, (a + 2)( 01 -

3){a - 2)(a + 3)

R.: a' - 1101' + 36

X"

GWMETRIA DE IlALDOR

11.-12

R~

de Algebr:a N" 8

Resolv1'!r las ecuacionel siguien tes:

1) (X_2 )" - (3 - x )" ... 1 2 ) 14 -

(5x -

1) (2x+3 )= 17 -

3) ( X_ 2)" + x (x -

( IOx+ 1)(x - 6)

3) = 3{x + 4)( x - 3) - ( x -+ 2)(x -

4 ) (3x -

I ) "- 5{x - 2) -

(2x + 3 )"- (5x + 2)(x -

5) 2(,, -

')" - 3(x + 1)" + (x - 5 )(x -

1) + 2

1) = O

R.:

,

R.:

- 12

R.:

•

R.:

3) + 4(x' - 5x + 1) = 4,," -

I

I

5 12

R.: I 6 ) 5(x -

2)" - 5(x + 3)' +(2x ,

7) x" - 5x+ 15 -= x (x - 3) 8 ) 3(5x - 61(3x

1) (5x .... 2) -

14 +5(x

10x" = O

2)+3( 13 -

2x)

+ 2) - 6(3x + 4 ) {x - l ) - 3(9x + I){x

9 ) 7{x - 4 )" - 3 (x+5) "= 4 (x + l)(x -

10) 5(I - x) ' - 6 (x" - 3x -

I ) _2

7) '"' x{x - 3) - 2x(" + 5) - 2

9 R., - i7

R.: O 2) :z O R.:

R., R.:

2 7 I

2

-, 7

R- Il

REPASOS DE ALCEBRA

Iksc:C:II"npon er en factores:

1) 2a·. +

R.: aJe (2a + b - 3 )

2~ - 3aJe

2) (x + y)(n + 1) - :3 (n + 1)

R.: (n + 1)(. + y- 3)

3) 6m - 9n + 21ru -

R.: (2m - 3n )(3 - 7.)

14mx

4 ) a' - 2a"b' + b'

R.: (a" - b" )' R.: ( I +~)' 3

6) a"m' n' -

7) a' -

(a -

R .: (am"n" + 12)( am"n" -

R.: (a"+ a -

l)'

12)

I )( a' - a + 1)

8 ) a' - b" - 2bc -

c'

R. , (a + b + c )( a - b - c)

9 ) (. + y)" + n"-

m' - 2n (x + y)

R.: (. + y + m - n )( x + y - m - n )

10)

t

I44

c' - x· +

tOO

C EOMETRI .... DE BAlJ)()R

k ·14

Repaso de Algcbra N" 10 De5r:omponcr en factores : J ) 4m' + Sin'

R.: (2m" + 6mn + 9n") (2m" - 6mn + 9n")

2) m" - 12m + 1I

R.: (m -

3 ) x"

+ 8x -

4 ) mi

+ mn -

5 ) (e

+ d )" - 18 (e + d ) + 65

loo 56n'

I )(m -

II )

IB)(x -

lO)

R.: (x

+

R .: (m

+ Bn)(m -

7n )

R.: (e+ d - 5)(e+d 6 ) 2a"

+ 5a + 2

7) x' I

3x~

13)

R.: (a + 2)(2a + 1)

+ 3x + I R.: (x

~

1)'

B} 8x" - 27y'

R.: (2x - lr)( 4x" + 6xy + 9y")

9 ) 27x" - (X - Y) "

R.:

JO) x'

+ 12B

(2x+y )( 1 3~ - 5XY+r )

R-I)

REP ....SOS DE ALC f: BRA

Rcpaw de Algdwa N9 11 Descomponer en factores:

1) ax" + lOax" + 25ax 2) 3abx" - 3abx -

R.: ax (x + 5)"

tBab

R.: 3ab (x - 3)(x + 2 ) 3) (x + y) '
I

x'

r- x

6 ) 5a' - 3125

R.: (x"+ 2xy + r" + I )(x+y + l )(x + y R.: ( 2

l)

+ x )(2 - x)( x" + 2x + 4 )(x" - 2x + 4 )

R.. : x(x' + I )(x + I )( x -

t)

R.: 5(a" + 25)(a + 5 )(a - 5 ) R.: ( 1 + ab )( l - ab )( 1 + ab + a"b")( I - ab + a"bO)

+ b)(a _ b)( a1 +

R.: a t a

9 ) 3- la"

R..: 3 ( 1 + a )( l - a )(a" + a + I )(a" - a + 1)

10) x'

I

~

ah

+ x' - 81x" - BI R. : (x + I )(x + 3)

,

+ b"){al - ab + bO)

8 ) a' - ab"

( ~ 3)

(x'+ 9 ) (x" _ x

+ 1)

GEOMETR IA DE BALDOR

R- 16

Repuo de Algcbn N' 12

Hallar el M.C.D., ent re: 1) a"- b"; a" - bb + b'

R.: a - b

2 ) 4x" -y"'; (2x - y)"

R.: 2x - y

' ) 4," + &1- 12 ; b "- m + 4; lia" + /Ba - 24

R. : 2(a - l ) 4) 3x" - x ; 27x" -

1; IBlt" - 6x+3a1l - a+6x - 2

R.: 3x 5) 2a" -

am

1

+ 4a - 2m ; 2am" - m"; 6a' + 5am - 4m" R.: 2a - m

Hallar el M .e.M. CI'Itrc;

6 ) 3a")[ - 9a"; x"-6x + 9

R.: 3a"(x - 3)"

7) (x -

R.; ()[ + I}{X _ 1)1

8 ) a"

I )'; x' - I

+ a -lO; a" + 3a - 18

9) 2a"

+ b ; 3a"-3a ; a' - a"

R.: (a + 6 )(a - 5)(a - 3) R .: 6a"(a

+

I )(a -

I)

R.: ( 1 + . )( I - a )"( 1

+

a

+

a")

REPASOS DE ALGEBRA

Repaso

d~ AIK~bra N~

13

CEO METRI .... DE BALDOR

R- 18

Efectuar:

a +1 a- I

3a-3 a2 _ a 2-+2' a +a 2

1) - - X - - ~ """-'~'--;; 2

R.:

3(a + 2) 2a

R.:

a(a+b-+-e) • b ,

a 2 _ 8a+7 a 2 _36 a"-a - 42 2) a' lIa + 30 X a2 1 + a 2 4.. 5 3 ) (a

+ b)" - e" X

(a

b)"

e'

(a a"

+ e)"-bl + + ah ae

a + b + e a'

mi + 6mn -+- 911" 4m" - n" 4 ) 2m'n + 7mn" + 3nlX Bm" 2nm

mi -+- 27n"

R.: 5) (al - Sa)' X 27 - a" a' - 9.." 9 a" (a + 3)' 3a + (al + 3a)"

4m + n n(m" + 3mn + 911")

R.: a ' (a - 3)

Hallar el ",,-,madero valor de:

.-,

6) ,.+3

parax = 2

x:"- a'

7) ,,"+a"

8)

para,. = a

a2 _ a _ 6 a" + 2a 15

paraa ... 3

9 ) Jt" -7Jt +6 I Jt" 2Jt + 1 Jt ~

•

10) Jt -

"Y

•

y ,. )' = Jt

R.: O

R. : O

R.: 5 8

R.: r.o (no eJtiste)

R.: 2

REPASOS DE ALGF.8 RA

Simplificar:

b a

, + _ b_ a- b 1) -----¡;¡ + 3b 1- - 2 - ~ a" a- b b+

a 2)

a+b

b

R.; --b

a-

a2 + b" b" b b+ a+ • a" 2b"X a - b X •

b

--.c--, 2a b I + -b-

R.: 1

Resolver:

'1

11 - 3 11-4 -11 -'-2 -'- -- 5-

1)

~ex6 1) _ ;rx:Z) _~ (x

R.:

.

, ,

2)+~ = 0

3

.",} -' -- -4= 11 - -' +:0 , • •-,<'',--:+-, ,,, li ) 7)

a,, - a (a + b) = - x -

(1

10

141 )

2

~ (~+~) _!(~ _ ~) _ 5a+ Ilb

4 b

a

3 b

a

IOx

+ ah )

8 ) x{a + b) - 3 - a (a - 2) _ 2 (x 9 ) x+m _ x+n = mr +n" m n mn

12a

,

-,

R.: 9

3

6-I 2x - 5-4 5x"" 12 lO 4x

R.:

,

,i

R.:

R.: I) - x ( a - bl

R.: R.:

, .- , .-,-, ~ 5

n-

R .: b

m

R."

GEOMETRtA DE BALDOR R~

de AIgdJn

N~

16

En la f6nnula : ') A

..

2) A _

~ ( a - l ) ll . dapejar

3) A _

.r·,

5) V ..

despejar r

j h ... r", df:Spcj¡or r

Repretmtar grifi<:amente:

6) y :: 3" + 3 7) ,. _ x _ 3

8) y ..

•2 + "

9 ) y = 7I! + 1 10) x'

2A - hb' R.: b _

h (b + b') des . b 2 ' peJU

+ y'

z 49

h

n

R.:

R.:

"

=

2A

;=-¡

, . ,/~

R.: h

,r-

R.:

,j'.\

a ,-

.h

"

R. 21

REPASO S DE ALGEBR ...

Repuo de Algcbta ~ig\lientel

Rewk'Ct io5

N~

17

sistemas de a:uacioncs:

1) 7,, - 4y = 5

s,c + Sy = 13

R.: x

='

1, Y =

,

'2

2) ,,-5)' = 8 - 7" + 62y _ 25

R.: x = 23, y _ 3

3) Ilx - 9y "" 2 13,, -

15y .. - 2

t ) 3x -

(9x

+ y ) "" 51 - (2" + 9)')

(3y + 7) = 5y - 47

4x -

R.: x = 1, Y = 1

R.: x _ 6, Y = 8

" ,, - - 3y 6+ 3 1 +5" y = - - .1;) ~+!= m n

R.: x _ _ I,y=l

2m

''''' - ''y =

m~- mn '

R.: x ., mi, y '"' mn

•• ',O

7) - + - = -11 7 15 - - - = -4

,

•

R.: x = - 1, Y = - 5

8) lllO:+2y = 2

"

2 - 3y = - 1

"'

,. !

5+ 4

'O , x -2 2 _ 2

, ,

x = ¡¡, y "" 2

= 2

x - 5y = 25

y

R.:

y

,

R.: x "" 5, y '" -4

3= 4

2 +x - 3 ",,_ .!..!. 3 3

R.: x = 4, Y = --6

Jvn

CEOMETRIA DE 8ALOOR

Repuo

d~

AIlttbra N" 18

ResoIV1:r los sig\lic:nt!.'S sistCffias de ecuaciones:

1) 6x +3y+21 _ 12 9x - y + 41 = 37 IOx + 5y + 3l _ 21

R.: x = 5

,,-4 z = - 3

2) x+2z = 11 2y+zaO x+2z _ 11

R.: x => 3

y= - 2

z= 4 • l - '3• - 3 3) '2+2

,~ ~

• l - '2• - -5 '3+6 6• - l3+6• = 0

R.:

, _O y "" 12 z = 18

I

I

• I

y I

4 ) - + -= 5

- +- . 6

• • I y

,I

- + - =- 7

R.: x =

I

'2 I

y ='3 I

1 ""4

' ) 7x + lo,. + 4z = - 2 5x - 2y + 6z = 38 3x +y - z = 21

R.: x = 8 y=- 5

1 = -2

REPASOS DE ALGE8RA

Ha.U..r el valor de la! determinantes 6)

7)

1

R.2'

~ntes:

-11

2 5 3 ---4 6 2

I-~ ~

, •

R .: - 44

il

R.: 45

8) Resolvu grolflCAlllente:

x+y+z=5 3x+2y+z = B 2x + 3y

+ 3z =

R.: x = 1

14

Y~ I

9) b+2y+3z = 24 4x+5y+2z = 35 3x+ 2y +z= 19

~

•

R.: x = 3

.-. y= 3

lO ) Re$olw:r:

2x - 3y+z+4u = 0 3x + y - n - 3u = - 10 6x + 2y - z + u = -3 x + y - 4z - 3u = --6

R.: x C - 3 y= 4 z = -2

u =5

GEO METRIA DE BALDOR

R-Z4

Repaso de Alpra N" 19

Desarrollar, aplicando la regla adecuada : 1) (9ab"

2)

+

5a'~)'

G m'- ~n3r

' ) (a" + 9a>,,' )" .)

(ij"' -; )~r

S) (5"' - 7x' + 3",)'

.)

(~- ~ + ~J

7) ("' - x" - 2)'

.

R_: Sla' b' +

,,-,

9Oa>~

+ 25a'b"

"

- m' - m'n" + - nO 25 16

R_: a"' + 27a" '" + 243a'''x'' + 7293'-',," 343 x .. 21 'V + 6 x:'y" 64 lO R.: 512 - T6 x '} - 343 Y

R.: 25x' - 70,..' + 30,..' + 49x' - 42x" + 9x" n' ::ln" a"bO 9 2b' b' R.: 16 - 10 + lif + 25 - 15 + Si R.: x" - 3x'0 - 3)(' + 11x'

+ 6x' - 12x' - 8

8)

(3 - ")' 3

10,..· 5x" x, o R.: 243 - 135,,' + 3Ox' - - -+ - - 3 27 243

9)

(H )'

R.:

Hallar el

6~

a~

729 -

ténnino del desarrollo de:

2a' 5a' 2Oa' 135a> 486a 729 27b~ 3b' - bs + --¡;.- -"""iT + ¡;¡-

R ·2~

REPASOS DE ALGEBRA

Repao.o de Algcbra

1) ~8Ia"b"

20

R., la"b"

2x' + lx' + I + 2x

2 ) " x·

N~

x~

R. , x' - x'+x + R.:

,,

5+

2

,

R.: x'- x' - 2 o

R.' 2b -

b 1 +2.

Expresar con radical.

,,,

61

xJt.J

R.:

xVx

E)(presar con exponCflte positil·o 3

7)

R.: lx)""

c'y--

8 ) Exprnou

~in

denumimwur

3a~'

a- 'x 9) Expresar con exponente positivo

R.:

" a-O

-. a'i

10 ) Hallar el valor de

,

(25) ~

R.:

I

5

fIY ~

R."

C EQMETRIA DE BALDOR R~

de Algcbra N° 21

1) Hallar el valor nurn&ico, para x = 16, Y = 8 ! x'

,- H

-

.

_1 _ !

"

x,

1 R.: 4607-

"_ XY+ _

"

., 2) Multiplicar x-" por" •

.

8

3 ) Multiplicar ordenando previamente

,

a- o + 2a- 1 b- i

+

,

.

+ b-' , R.: a--t + a- i b-

2b- 'pora- ' _ a-'i b-¡

, i

+

a- ' b--1

, 4) Dividir a'i entre a

5) Dividir, ordenando previamente

15a" -

I9a

+

a~

+ J7 - 24a- ' + 10a-,

ent~

3a

+ 2-

5a- '

R.: jat _ 3a + 4 - 18- ' 6 ) Hallar el valor -:le:

(,- l)' 7) Desarrollar: 8)

(Vx -

..¡a" + 4a',- 2a",-

I

Vr)1

•

12a'

+ 9a

R.:

•

1

•

x'- 3xl + 3x2"y - yi , ,

R.: a + 2a' _ 3al

R.: alb" + 3 _

a~-t

+ 2b-

REPA SOS D E ALGEBRA

Simplificar

R.: 1000Yz' \1' 2i:iXi 2)

~ ..J 4a 2

2

27y"

3) \*f25a"b 2

R.!

3~VTy

R.:

V50b

R.:

V75x'»1

R.:

~·7 12a·b'

4 ) Hacer enu~m el radical

5x'y

V3

5) Reducir al mínimo wm(m índice

ti 2 7a~x"

't' 5a"'x' 6) Escribir de mayor a menor

R.: ~f'l2. \1'3, '0'5

\1'3. '0'5, {/32

7) Reducir 2 Vl5--2' \:, , +' ,- \,-5

R.:

B) Simplificar

2 V 700 - 15

JJ.15 + 4 ,pi16 "J!7

R.: 12 \,7

' ) Simplificar

V m"n - V9m n 2

+

V 16mn'

10) Simplificar

, - , - + ',7 \1' r0'625 - rO'I92

1715 -

V4mn'

, --

8 \1' 1536

R.: 2n

Vm -

2m

R., 'V'5 - 9V'5

Vn

CEOMETRIA DE BAl..OOR

R-Z8

Efectuar:

1). 5Vl2 X 'J'V75

R.: 450

' ) IV! + V! + V') X 11'2 - V!)

R.:

3J Y25x".,." X y 125x'

R.: 5

R. ,

Vili - V\l - t

1Ji,,'y

yv.

,

R. ,

(Ir. Dc:urrollar

6) 11'2 - \'».

R.: 5 - 2V6

7) Simplificar

R.; 2 8)

..

t ",

9)

,.

R.:

95V2 + 76'\13 2

19

5 \,2 10)

R. ,

4\rs:

Va + Vi 2Va + 'IX

R.:

-'- ",9

2.

x + l{iX

4.

•

R."

REPASOS DE A[.GEIlRA

1) Racionalinr 2) r>ivKIirV2

5) RctOI\ler

2

2~ 9

R.: 2'11 + 8~

VIV5

+

+

22

5

R.: 7 + 2 - 3

VI enl", V2- V5

+

V9x

14 = 9

x

+

10

4

R., 15 R.:

5) Simplificar 3

y-::::::r;o

R.: !lb"i

6) Simplificar

9 v=r;4 - 5" -49 + 3 7) Multiplicar 2" 8 ) Diyidi r"

v=m

1 X3"

150 +

V

28

R.: Z2i R.: -84

''f!

9

R.,

_ 1

R.,¡ 2O - 4i

9 ) Sumar.

12 -

11"

1: 8+7

10) Sumar: i ; 4 + 3i ;

V2 + 5i

R . (5 +

V2) +7i

5 V"l5

R-"

C EOMETttlA DE; BALOOR

i,rr; 9 -

1) Sumar: 9 + 2) Res tar 8 -

7V

1 de 15 - 4V

3) De - 3 - 7 V i ) M uhipJicar 8 -

11

R.: 18

iV!

R.: 7+3i

I

l , resta r - 3 + 7y=T

V

R .: _ 14i

9 por

+l/=H

5) Multiplicar

R. : 103

V2 -

+

7i

5i por

V2 + 5i

R.: 27

6 ) Dividir (5 - 3"

1) entre (3

+ 4V

R.: 3

1)

29i

25

7) Repraerllar gráficamente

- 1- 5i 8)

R~lver:

49x" -

70x + 25 ;:: O

9 1 Resol\"er: (x -

10 ) Resolver: (2x: -

5 )" -

(1( -

3J ' - ( x

R.: 6 ) " = (211 -

+ 5 )"

= - 23

3)" -

118

, 7

Ro, 7, - 3'2I R.:

I

" "3

RI':PASOS DE ALGEBRA

1) 5x(. -

2) x x

"1 lII ClII -

I)

2(2x' - 7l11 )_ ~

135 _ 10(5l11 + 5 ) _ _ 18 ... I ) - .5 (x -

4 ) . ' - 2&11: + a' - b"'

R..: _ 1,-8

•

R , 10, - 19

2) _ 2

R.: 2, •

=O

R : (a - b), (a + b) R .:

"', 2

6) (x - 3)' - (2x + 5)" _ _ 16

2 R.: 0'~3

7) 2Vx-Vx'+'1 - 1

R.:

8)

I- x _ %

R.: R.

10)

x + ' ¡ lII + 8 - 2vx+3

R.:

•

. I

"

1, 6


R·32

Repaso de Algebra

N~

27

Detenninar el carácter de las raices, $in resolver la ecuación.

1) 3x' - 2x +5 = 0

R,: Imaginarias

2) 3x'+5x - 2 .. 0

R.; Realcs, desiguales

3) 36x' + 12x + I = O

R.: Realcs, iguales

4 ) In\,estigarsi-ky 2, son las raices de: 5x' -

11x + 2 "" O R.; No

5) Dctenninar la ecuación CU)'as raitt$ son: O )' 2 6 ) Hallar dOIII

níune~ ru)'a suma es -

R.: x'-2x = 0

3 ~ y cuyo producto es 1

R.: -3

1

Y-3

7) Descomponer en factores, hallando las raices:

11x' -

1531( -

180

R.: (11x + 12)(x -

Raoh-cr:

8 ) x" - 25 = 0

R,: - 5), 5

9 ) x' - 4'ix"- I96 = 0

R,: ±7

10) 1(' - 4Ix' +400 = O

R,: ±

VI.

±2

15)

R_33

REf'ASOS DE ALCE8 RA

1) Tnonsformar en suma de radk:alcs simples!

J13 - 12 v15

R.: 3V5 - 2V7

2 ) Hallar el 11 0 lémlino de la progresión

ari~tica:

R.:

-.

3) Hallar la razCn
5

-:- 1 . . . - 4 donde --4

C$

el lOO ténnino.

i: Hallar la luma de 10$ 9

primeros lénninos de la progresión aritnN!tica: D

.

~.

22 -2I

5 ) Interpolar cuatro rnr
2 R.: 5, 6 S' 6 ) Hallar d 10 ténnino de la progretión geon N!trica:

.. 3 : 2 : 34

77

..

4

1

' 5, 9'5'

3 10'5' 12

IL : 243

7) Hallar d 50 término de la progresión gcomEtrica: 27

R.: ~ 8 ) Hallar la nlÓn de la progresión geométrica de 8 lénninos: ..;..7 5: ::: : 640

IL: 2

9) Hallar la $lima de los 10'prime¡w terminas de

.. 2 I

I I

6 5531

a,."

-;-;- 4 : 2 lO) Interpolar:; medios seonJétric;os entre 128 y 2

R .: 128 : 64:32: 16 : 8 : . : 2

R-"

COOMETRIA DE HALOOR

Repuo de Algebra N9 29 Hallar el valor, empleando Iogaritmoa

n

R.: 13.1577

95.13 + 7.23

2) 0.15' 3) .:;

4)

I

2"

R .: 0.0034 X 3

2

'3

R.: 4.6512

V33117

5681 3

R .: 1.2077

DadooJ: Iog 2 = 0.3010, lag 3

=:

0.4771

log .:; = 0.6990, lag 7 = 0.8451

Hallar: 5) lag 120

R.: 2.0792 R.: 1.9420

6 ) log 0.875 Resol~r

•

1 ) 0.2" "" OJX)16

R.:

8 ) 5" - ' . 625

R.: fi

Hal.lar el numero de términos de la progresión: 9) :-:- 2 : 3 : . . ..

10) -:-:- 6 : !I : ... :

R.: 6

~

R.: 6

Ejercicios adicionales


Prólogo El departamen to de

mat~lIatica.s

de

PubtiOlC~

Cultural, ha preparado ('$-

ta guia, tomando en cuenta lo Jiguioenlt' ;

Este te,,!o !I(' ha dh·idido rn 90 pal'to!S oorrespondimdo cada una de ellas a una hora de da~, por lo que ~ JUror\l: que d cu~ nonnal se cubriría en 90 5e5iotte'I, dlf'pendie ndo por supuesto de las características dt-I grupo. 2 & ha put'Sto especial énfilSU en los puntOS (jI/e el prof~r desearla que sus alumnos IU\';cran presenlrS en lodo momento.

1 Al adjuntar e!lta guia, se ha aumentado el li bro original en 45.() problema.s Y. en cada una de cuas 90 parta se han in ten:alado 5 problemas que, después de cada sesión, el alumoo podci resolvcr a manera de urca o bien podrán ulil;7.
Esta guia $e hizo para impa rtir el cul10 d e Geometría Plana y del Espacio, no obslallle que el libro contien" también Olrtlli capítu los adicionalrs romo 5Of\ la Trigonolllelria, Logarit llXK, Kool ución de triángulos empleando logaritmos, etc. S A titulo de sugert'ncia para. el profC$Or Je ría , eromendable (Iue despu& de e xpooer la parte teórica de una cie rta 5eSiórl )' dar lo!< ejemplos que cre)'e ra conveniente, i" vilara a sus alumnos a resolve r algunos de 10:1 problemas del libro quc· tienen respueSla )' que M' encuen tran al final de cada capítulo)' después d e qut" ellos hubieran adquirido la ron fiaru:a su ficieo te. intentaran resol~r los de la guía. n Los problemas de la guía podrán cal ific~ como e xámenes si 5e jU1ga conveme nte b ien emplearse para tarea.~. Por regla general, un prolC$Or se: \ 'e obligado :l recurri r a otl'Ol textos en bU$C:l de problemas adidonm. Esta guia tiene por ob)eto ahorrarle este trabajo sin q'" !le quiera pasar por a lto que para im partir una uignatura siem pre es necesario consultar otl'Ol libros. ti C'.on el objeto de enrati7ar a lgunos puntos, M' ha creado conV01 iente introduci r el mlor para. facili tar la tar{'a dd I"Studian te. 1) En la maroría de los prohlemas ha)' u n espacio para sus respu('$las, sin embargo, se: encon trarán algunos CU)'a soludón debrorá hacer.lt" por separado debido al trando de curva que ret¡ uiera el problema en panicular)' otl'Ol que imphcan la drm,~traci6n de un teorema que requiere un espacio n:lati\'amente grande. 10 Se agradece de antemano cualquier sugerencia 1'eS1><:cto a esta g uía con e l fin {le mejorarla.

°

1.01 Ed iton:s

Introducción BREVE R E.SERA HISTORI CA (

........

1

)

Babilonia, E!ipto, Grecia. Tal.,. d~ Mil"lo. Pit4,gor.u de &meo.

Eudida ( EkmenIOl ). Pb.tón. A"Iu1medel de Siracu.... ApoIoorIio d" htp. Jf"rón de A]"jandria. Geom.I
" un IO! illlporta ntn

Forma en que rontribuyel'Orl estos cicntíficol en la formación de la Geometría. b ¡ Ejem plos sobre la aplicación de la Geometría en 1<)$ problemas prácticos,

D)

E~n:icios

ad icionales

Decir a quién !le debe el descubrimien to y la denllO$trad6n, de la b" + t:" para cualquier triángulo rectángulo.

~Iación

a" =

R f'lprU·$I0.

2 Señalar qul

llllOrtaciOllC:A

dio Euclides a la Geometría.

Rr
~.

¿Quibl denJQ5tro la fónnula para hallar el área de un triángulo en función de $U5

lados?

R npul'JID :

4 ¿En dónde oomicnza a fonnane la Geomet ria

COfllO

ciencia deductiva?

Rrípunlll : . .. . . . .. . . . ..... .. .

5.

eEn

qué principi05

!le

basa la Geom e tría Euclidiana?

RrspruJla:

Ca l i rtC.ación~

_ _ _ _ _ __

Generalidades

2

( Págs. 7-9) Stttion~1

I M r ,odo ded"",;"o. '2 Axicrna. 3. PUllubdo. " ~.

TlOOfftna ,

Corolario.

6. Teo,"""

~lp,oco.

7. lA:m.l.

8 1'«00io. 9. Problema.

PuntOli importantes Di f~n::nóa fundamental entre los cona::p U.l5 anterioll:l. b \ Apl icación dI' 10$ rorll:CptOll anteriores por medio de ejemplQl.

Q)

EjtrC iciooo adicionales

Ex plicar en qur: rCl15.i$l.C el M i lOOa deductivo. Hnpunf(¡ :

2

Dttir si todo IrofWla. m:iproco es

\~ rdadero.

Dar un ejemplo de acuerdo con

su rupUella.

Rnpullto.

1. ¿ Es posible que de un Corolario

le

dedutta un teorema?

na ..

r.ill'OrlO!'ll.

}(r'pursttJ :

4

De los siguientet enunciados, le,iaJar cuál es tellfl'oua. ax'OIna. pOlitu]ado o pro. blenla ; n ) COr'lllru;r la circu/,rerel>cia q ue

..,.ala por Iff!!I puntos dado.<.

R,jpu<'$ttJ

b \ El tooo es maror

Rnpurdo ..

qUl"

sus part...,

GENER ..... LlD ..... DES

...

,

rI Hay infinitol puntos.

Rt'sp"""a ... . ... . . ..

. . . . . . .. . .. . .. .. .

tl1 La 'Uma de los ingulOl intll';riorel &o: un triángulo es igual a dos recIOS.

Rn/l,u,to ~

Diga \o que entientla por Le'r\a y por E.tcoIio.

CalifiQÓÓn,_ _ _ _ _ _ __

GEOMETR IA Pl.J\l\A Y DEL ESPAC IO

3 ( Págs. 9-11) SoKdoa... 10. FJ punlO. 11. La linea. 12. Cue,..- rl.icOf, y g.-nk.x.... 13. Superfici....

Puntos importantf:5 a) ConCt':pto de punto y línea,

b ) Ejemplo5 de lmea rttta, curva, quebrada, telT.lda. el Dimensiones de: punto y línea.

d) Cuerpos geométricos. Sus dilTlensiooes. , ) Superficies de 105 cuerpos. Sus dimensiones.

Fjucicio- adicionalo

TI"lI7..ar dos puntos a 8 cm de distancia uoo del otro. TraZ3r un tercer punto que diste 6 cm de cada uno de los dos puntos antel"Íorc:$. R npu.·Jta:

2 Trazar dos puntos sobre ti papel. Trazar UIIa lí nea rttta que pase por ellos. ¿Puede lrazane terior?

0(.,.

línea rttta que paJe por dichos puntos, diferente de la an-

Rnpunla: 3 TI"lI7.ar un punto en ti papel. TnII7.ar una línea rttta que pase por ti punto. ¿Cua.II3.!1 líne3.!l rtttas puede traZ3r que pasen por dicho punto? R t'fpIU·JIO'

t

¿ Cuántas superficies tiene ti

5iguiente cuerpo geométrico? Señale por medio de letras dich3.!l superficies.

/ ; F -_ _-:;",G

Bf'-_---;,__-';Cr

,,

R ... puejla:

E'

H

-~--_.

-' A

o

<.,

CEJIor..RAlIOAOES ~

¿Cuinta& lincas m:w tkne la &igu~1A:

B

figura geométrica? ¿ El COfl"C'ClO d«ir qur: la f¡gura ~ lIf1 cur:rpo gcomf;trico? ¿Por

"""

A rE-+-"",<,---'~

G

e

E ""'-_ _ _ _ _-"" 0 CaJif'.Clld6n_

C EO METR IA PLANA " DEL ESPAC I O

(Págs. 11 -13)

4

Sec:eiona

14. S<:mirTttl.... 1$. St-gmemo. 16. PI ... no.

17

Snniplano.

18 19

Imr....cción de pI"'not. 1'oIigon.al" cóm: .......... ,. con.-ex ....

Punl Oi'i impurtantr,,; Comprender el C(lIlttplO dt semil"J"1!(:l.a y el d.. segmento. Condición para que tres puntQ!l cstén en una línea recta. b ) Propicdadcs caratleristil:a.s de Jos planos. Rl'prl'5l::ntadón de un plano pur mtdio de dos Jíntas recla$ o por medio de tres pUnl05. r) Ejtm¡.¡l05 de mlen.-ttKmes de plaTKlli y la linca direrente que SI' fomla en la ;nlers«ción de dil:hos planos. d I Definición de poligonal cóncava y con\"eXa. Lados y vértices de la poligonal.

a)

F.~rcicio- ad iciona~

¿ Es posiblt que por tres puntos direrenles p3..'Ien dos planos direrenlt5?

Rr' l'uo /a 2 ¿En ("u,lntas formas podría represenlar un plano? Rrspun /a

"1

¿ Qué linea SI' fomla f:fl la inw,"stcdón de las superfir il'S de la figura?

Rnp .. , ,ID:

4

Medir la poligonal siguienle y dar ~u Iongil ud total en C Ul o

Rn pu, stD:

• j

,

,

¿Cuantos ladQ!; til'rlC la Jloligonal ante rior? ¿CU,\ntOli \-irti ra?

R"' pur,ta Ca l ificaci6n~_ _

,

_....

-

GE!'JERA LIDADES

( l'áftS. 13-17 )

;)

20_ Mrdid. dr Rs""'ntOl. "21 Ermr. "22. Opc ....e'''''''' «In "'BJlI"n.OI. "2'. I S".ld~d r dai.".ldJod de "'jI;mrnu:,..

l'untO!> import&nll'$ Q! Diferencia entre el s~lema mélrico decimal )' el JiSI~ma ingll'5. b) Mo:diciórJ de 5egJ11enl~ utililando la regla )" el compás. r) Divers:u c1asn dI' crrore. (de paralajl', dI' "anación de in~trumenlo d~ ~di

ti ;

ción, elc.) . E~n:K:ios dh·CnoeE dI' suma. resta . muluphueliln. ig uahJad )" .Jc:si.l tualdad de ~nento!>

.:jercicioot adicionalo Dado. lO!'

~ment()5

a )' b, dibujar

los !IC."gllll_"1lIOS

2Q , 3b,

d -

b. 2a

~

b.

Rup,,,"Q 2 t;lih"lando la fj¡(II01 . "omplMar lo siguiente .

RD

DE -t

AC = :::il" -f EB """ BD

1. El q111enlo AB mide 4 cln. Dividir el K'g"mento Al': ('J1 lu ",i..m" partes qlW" tI ~111 .. nlo AB. ;(:uanto mid.- cada I~rtl' dI' AC'

Rr,pu. "n 4

Dad~ k:. lfegl1lenlO$ siguienlo", completar lo que a cOf1.linuat"i6n ,.. expresa, mn I~ ~ignO!> < o >,

~. ,

. ~. •

.,

AH

E15

C,

b)

AB

EF

G'

<)

eH

AH

,11 f.·F

en

•, ,

F

~

O

'"

1:-12

GEOMFTR 1... PI ....... XA ,

DI:L ESPACIO

5. ¿ En cuintas partes podóa divid ir un sqrrnenlo dado? R rlpUI'JtlJ ·

Calificación~

_ _ __ __

6 ( I>ágs. 17.21) SucÑ>nft

24 Genm~trb. 25. Teorema ,.

PUnlO
D) MI.'fTlorilar el concepto de Geometría. b ) Di~'e1"5a5 CeomelriM que existen dentro de la Matemática y diferencia entre cada una de el1;u. ti Demostrar el teor'ef'ua I señalando lo que eli hipótesis, oonstrucCiÚ1 au .. i¡iar r demostración. d l Ejemp\o$ do: poligonales señalando cuál es la envolvente y cuál la envur:lta.

Probar que la suma de do! lados tercer lad o.

2

cua'o::squie ~

de un triingu lo es ma)'Or 'lue el

¿ Cómo se llama la Geomclría que estud ia cuerpo!< grornétriCO!l?

R. J/'unl
Citar tres tipos de Geometrías diferentes que So.: estudian dentro de la Matem:ítica.

4

Dibujar una poligonal señalando cuál es la envolvente y cu.-11 la en,·uelta. RnpurllO"

5

¿ Por qué se sei"iala que las poligonales WIl convexas? ¿Si no son con\'eXas, es po!iibk: que la envuelta sea mayor que la en\'olvento::? Rnp u~ f/11.

Calificación_ ____ _ _ __

7

Angulos (Pa!';s, 2'2-24) ~io ....

26. "nllulo.

27. Mnlid. de inllUb. 28. Rrl .... i6n en l ... g,ado Punl~

.n:~8n;mal

Y ti ,.di'".

importanla

al Mwi(,ón de diferentes :íngulos. b ) Conttpto de: ~rtice y di- lados de: un ingulo. r) r\ola.r que se puede dividir la circunferencia en cualquier fonna • )' la ventaja de dividirla en grados sexagesimalcs. d I Sistema .. ircular El radi" n. Ejemplos dono.- JI/' utilire el , iSlema circuh' r. Mcmori7.ar la rónnula para la ('olwersi6n entre el grado sexage$imal y el radián.

Ejw: icio!. adiriona," Dibujar dos I'Klas tales que rOlmen un ángulo de :

" ) 30" 20' b) 65" 40' e I !l OO JO' d ) 2QOO 15' "

300" 50'

en el sistema

se~imal.

2. ¿ Cu.:lI es ..1 ángulo qut: expresado en rad ianes o en grados se..agesimales tiene: el mismo valor numérico? R r
1

Trazar dos T'Klas taltos que fonnen un ángulo de :

100' 50'" SO' 200" 75" 3IY d 350' 10'" 90' en el sistema

Q

b)

-1

¿ Cuál

~mesimal .

angulo es maror 1""

la figura ?

R"pul'1ttl

-) ¿CuantOS septJndos licne un án/(ulo de 3200 4Q'?

R . 'p""'/"_

....

Catificaeión' _ _ ______ _ _

:\N GU LOS

8

(Págs. 24-26) Sacioon 29. An!tUl.,. ady-,=tnlu. 30. Angulo rttlo 31. Angulo llano. 32 Anploo complt"",ma rioo.. 3~ Compl~,...,nlo ck un "'SUIo. H . Angul.,. luplc::rnrnlarios. 3~.

Su pl.-.ntnlO

d~

un "'gulo.

¡'unlos importanlO a ) Definición de á ngulos : adyattn ll':!l, rectos, llanOli, complementarios y ~uplcmcn. tanos. b) Complemento y suplemen to de un ángulo.

Ejerócio!, .adicionak5 /,

/ ,

/,

LO!! :\.ngulOl AOB y BOC son ángulo.. adyacente •. Si AOB = 1RO25' 30". OOte· nt'r el valor

2

"

de BOC.

""

/ ,

/,

Los ,;ngulos AOB y BOe son coml,lcmcntariOli. Obtener el valor de AnB 5;

"

BOC

==-

4 0C' 15' 45".

Ropul'Jla :

J.

¿Cuál n el

~uph:memo

de cada uno de los $lgUlo:fltes ángulos?

D) 10" 15' 18" b 1 85 0 45' 33"

d

1050 30' 02"

R lJpUl"tar

4

b)

a)

¿ Cu:mdo se d;ct: nlcntarios?

q~

,)

do< ángu los !iOn cOlllplemenlarios? ¿ y cu[¡ndo $011 supl...

R.'s pur.ta :

5. Obtcner tre5 ángulos tales (Iue su suma sea igual a un ángulo llano, el pri mero sea el quíntuplo del tercero, y el segundo ~II. el cuádrul,lo del tercero. RfJpu~jta :

Ca lif)c.a<"iÓn._~~~~~~~

0fQMf1'_ lat«IOIll _ 1l

CEQMETR IA PLANA Y DEL ESPAC IO

E-16

(Págs.. 26-27 )

9

So:a:;""""

36

Teorr:ma 2_

31. An«'l l(ll OP"f;ltoI por d -irtÍt:e.

38. Teo~" 3. 39. AII«"a ronoorc:"l;voo.

PUnlO$ importanles

a l Demostración
~a l ando

la rondrucci6n auxil iar en cada

,~ .

b ) Calcepto)' definición de ángulos opuestos por el u:'rtice. el Ejemplos de ángulos consecu tivos.

Ejercicim a d iciona1e!;

•

o o

De la figura, obtener: A

"

El valor del ángulo AOD. RClp u nlD:

"

2. El \lalor del ángu ln DO B.

,.

R Clp unta

"

"

3. El valor de AOD + DOR. R UpUl'lt a;

/,

<1-.

¿Se puede decir que 10$ ángul.. AOB

/,

y DOe son oonsecu th·.. ?

• e

A

o

o

R I'Jp ucJta: ...

5. De la figura anlerior, diga cua.les ángulos

IOn

coruecu tivos )' por qué.

RI'Jp uI'Jla:

Ca lirlCa cM) n~

_ _ _ _ _ __

ANGULOS

10 (Pág5. 28--31) ""cc~

'1-0.

T~

4.

41. T"ore..... 5.

Puntos importantes 11 ' Demostraci6fl de los teorema5 4 y S. b ) Recalcar la ronna de construir la hipótesis y la dema;tración de 10$

teorema~.

Ej","ricio<. adicionalc:s l . Dado el siguiente too...,ma. demostrarlo empleando los COIlCeptQ5 de hipótesis. tesis, construcción auxiliar y demostración: ""La ~'n\a de los á"8ulos miemos de un triángulo SUI!l',rnClII :

di

180""

- - - - - - cw:ilior

a

b A

A

la propiedad de que 11 = d por altemos intemOl.. 2 De la figura 5igu)cnte: ApfO\~aT

e

a

B

A

a

""

¿Cuál es el ángulo igual a AOD -

""

COD?

R rJpucstll ." ..

""

""

3. De la figura antenar. ¿cuál es el ángulo igual a AOD + 80D R",pu,.
""

COD?

CEOMETR I A PLANA Y DEL ES PAC I O

4

/,

/,

¿Pod ria asegurarse que los ángu los A()R y RCD son adyacenlt'$? Dar ra7'Ol1t'$.

o B

e O

~

____________--,A

R €Jpunta : . • • . .

,...

J. Si el ángu lo

,...

A

,...

igual al doble del ángu lo 2 y 2 es el lri ple del ángulo 3, ¿cuán. to mide cada ángu lo? J

C'!I

A

R ,..pu,",tfJ I = A

h A

3 =

Calif"tcación _ _ _ _ _ _ _ __

Perpendicularidad y paralelismo. Rectas cortadas por una secante. 11 Angulos que se forman Su.,io:onq 42 . D~f;ni";on .... 43. Carkl~r r.dpro(() de la 44 P..,tulado. ",S. T<:<>«ma 6.

~rpendicubrid~d _

Punl(l§ importanto

rec:w perpendiculares. Análisis de lo que se ~-erifica cuando se tnua una perpendicular )' vanas obli.

a ) Conc:rpto de b) r)

cuas por un punto ellótenor a una recta. An:m~i~ df' 10 qUl' !lo: ""riliGa al l ra"... r por un punto e:'lter1or a una rl!Cta , Vil· riu R"Clas que corten a la primer.!.

Ejacicioi adicionak:!. ¿Cuándo dedffiO'l que dos rectas son perpend iculares? R r
2

Si por un punto ~terior a una rectil tnuaffiO'l una perpendic ular y varias obliCUIU, ¿sed alguna de las oblkuas, mayor que la perpendicular del punto a la recta?

:1

Si c6 es perpendicular a AB, ¿será AB perpendicular a CD? ¿Por qué?

R e' fN. rJtlr

4 ¿Cuántas perpendiculares a una

~Ia

podemos ttanr que tengan la propiedad

&- pasar por un punto exterior a dicha rec:ta?

Rn /"".,'a : . ..

..19

E-2
GEOMETRIA PLANA Y DEL ESP .... CIO

5. Si .18 "" 2BC y 08 J.AC. ¿!lf:rá OA mayor, igualo menor que OC? Explicar en q ué se basa para dar la respuesta.

A Respu~Jla :

B

e

. .. .. .

Ca lifi cación~

_ _ _ _ _ __

PERPENDICU LARIDAD Y PARALELISMO

12

(Págs. 35-36) 46. Reciproco. 41 . Ditlanci .. de un pun lo .. una 48. Paraldiamo. 49. T~a 7. ~O.

~ta.

ConlIano.

PtmtO!l i~tes o) Con«,pto de distancia de un PUniD a una recia. b ) Concepto de pan.1elismo. e) En el teorema 7, observar cl hecho de que ¡>Qr un punto no pueden pasar dos perpendiculares a la misma ra:la. [jncicios

adM:~k$

¿ Cuál es la d istancia mis oorta que hay de un punto a una recta? R l"JpUf'Jlo :

2

¿Cuándo decimos que dos rectas IOn paralelas?

Ru ¡n.l"5lo : .. . . .

3. ¿Qué propiedad es aque lla por la cual acqx.a.111O!I que toda rec ta es paralela a ú misma? Rf'Spuu to : ....

4

¿Cuántas p
~terior

R f's"..,.s to : ...

S Si dos segmentos oblicuO!! dicular?

!1()11

igua.les, ¿equidi5tan $US piel del pie de 1... perpen-

Ru ¡n.ilsto : . ... ............ _ . ...... . .. ... ..... . .... .

~lir~

_____________

GEOMETR IA PLANA Y DEL ESPACIO

E-22

13

PuntOllo

(Págs. 36-38) Stccion... 51. Po.tulado de Euclida. 52. Corola rio l. 53. Cnrola ria 11 54. Carolanc. 111. 55. Caracln-<:S drcl p;o. ... le!ismc>. 56. M,;tado de demCJotraciórl pOI" r«\ucción al abtutda. ¡lI1porunl~

a l Estudio del postulado de Euclides. b ) Observación re5f>«1O a que la negación de este post ulado dio origen a las CeolI.etrias no Euclidiana~. r ) A partir del postu lado, deducir 105 CoT()lariOll 1, 11 Y 111. d I Los caracteres del paralelismo pueden se r expresados también como lo. Reflexivo

20. Simétrico 30. Tran,iti\lO que son 105 misJJlos que 105 en unc iados en la secciÓll 55 . ) En qur consiste el m~todo de rrd uui6n 111 abJurdo,

¿Qué podelTl():S docir de dos Ttttas de un plano qu" son perpendiculares a una ter~ra?

RPJpul'<'a:

2. ¿ Cuántas paralelas a u na recta dada , se pueden tra7ar por un pu n to ex terior a dicha n:e!a?

RrsputJla ·

1

¿ Quf poderTlOli decir ck dos

R'Ctas

parale las a una teKera?

RrspUtJtil: .. ..

~

¿ Cómo es una perpendic ular a una recta. ron respocto a las paralelas dt- esta recta? R,·r"unta ·

PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO j

Explirar en qué consiste- t i método do: rfOdw rción o/ abrwrdo. Rf"JpU"'fQ;

CaJifiaodon~

_______

~

CEOMETRIA PLANA Y DEL ESP .... C IO

E-U

14

(P.a~.

..ro....

38-40)

51 . ProblffiLOol ,TUic.:.. 58. RectaJ n>nad ... por u"" lle<:ante.

Puntos importantes ti) Traxar una perpendicular a una ~1a. dada, que pase por uno de sus puntos (por un eKtrt"1no, por el o:mtro O por cualquier otro punto) . b) Trazar paralelilS a una recta dada, q!.le pasen por un punto exterior a dicha

rec::ta. e) Bisectriz de un ángulo cualquiera. Fonna de tranrla.

Ejercicios adiciona 'es 1. Trazar la perpendicular al segmento AB, que pase por el punto medio de dicho segmento.

A )e

)( 8

2. Trazar la perpendicular al segmento AB anterior, que !>Me por el punto B. ¿Cómo trataría la misma. perpendicular del Ejercicio 2 !in prolongar el menlO AH?

j

.~----------------~~~.

A

ses-

B

4. Trazar una paralela al segmento AB, que pase por el pWlto P.

p ><

A 5. Traxar la

bi~lriz

XX------------------~K B /,

del ángulo AOB. B

O--------------A ~ Calif ; cación~

_ _ _ _ _ _ __

PE RPENDI CULARIDAD Y PARALE LI SMO (Pág~

15

4(41)

s.ro..~

S9. 60. 61. 62. 63.

Angul .. AngulOlO An!UlOlO AngulOlO AngulOlO

inlcmoo. u.lcrltOlL ahen .... co,",""",",w..nles. conjugadlll.

64. Paraldu rladu por 6S. Recíproc<>.

una o«ame,

66. Tt>O«ma 8. 67. Reciprooo.

Puntos importantes a ) Dadas dos rectas. cortadas por una secante, reconocer los distintos ángulos que

se ronnan (internos, externos, etc.) . b ) Postulado de las paralelas cortadas pOr una s«anle. el Teorema 8. Ejercicios adicKxWc:s

]. Dada la siguiente rigura, decir qué angulos A

5OfI: A

A

A

D\ byh,e)'c A

AA

b ) b Y e, A

l' AA

e) a y d, A

f

AA

A

y h

e

A

y g ,....

f

d ) tJye,dyh A l')

AA

9

A

e y h, b y r

RtJpunla: a ) ..

. b)

c) . . . .... d ) . . . . . . . e)

2. Demostrar que la suma de los ángulos intl!mos de un triángulo cualquiera es 180'

:1

Dada la ·rigura, deJnostrar que la suma de IUS ángulos in ternos es :l6()O.

A,-__________- , B

o

e

G EO M ETRI .. f'L.":-¡A y DEL ES PAC IO

&-26

R rrpu("'a·

~.

Si At.V 11

PQ

n

ML------~.~t7.L------ N

d ~'rv

p ----i~~~-------Q a b dt:"fir <¡uf nombre ,eciben lO!; .;ngulcc : AAAAAAAA

n

,j). A

h. a ).

¿ . • (' ,,~,

AA

y ¡¿o b Y f. A"

1'\

b l J¡yf,J!~ •. rfyb,c)"o . A

AA

AA

AA

"'-

f)"f/ , t yc. h y b ,R yo .

('1

R. ¡pu nID a l

bJ

.)

Si g

;-o

49" en la (¡gur.. del .. j~n::i("io anterior, !!$Criba 105 \"3lort:s de koII siguicn·

1<'5 angu la¡: A

al "

R"J"" ,lo.

A

., b)

<,

"

A

A

<, f

d, •

'J {J

A

.J b

"

"

C alific.ad6n

A

{J

<

d,

A

"

d

PERPENDICU LARIDAD Y PARALELISMO

-68. 69. 10. 1 1. 12. 73.

16

( PáKS- 4246)

9. Rrdpto
P unlOS importanlCS 11 ) I:k:nlOMración de \05 teoremu 9,10)' 11 . b ) Recíprocos respecti\'(:6 ok 1(:6 teoremas anteriores. el Notar que 1011 3 tooremas anleriores tienen teoremas recíprocos, y no 10005 1011 tooranu lienen su recíproco.

Ejercicios adicicmaie!;

-

,,

-

",'

1. De la figura, si GI' es la biseclriz de EFD, f:H es la billCClriz de BEF y CD

fI -AB,

C ----.F~~---D H

A A

derl105trar que 11

+

E

A

b = 90".

R'Jp u.f'Jt ll :

A

A

A

2. Si el á~lo 1 es igual al ángulo 2 ma5 e l ángulo .'l, delT10ltrar que AB es paralela a C:D .

C -------~>cr----- D

A' - -_ _$'::: :...-'-'-_ _ _B R Upu.n l ll

CroMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO _

3. Si AB

___

A

CD, RS i ST, Y 1 :: 55°, indicar el valor de los sigutenles ángulos :

11

A

,A_ _-c~~S-.r-______ '

_) 2

c"---'."~ , SL'_---"~ a

A

b) 3 A

,) 4 A

R

d) 5 A

Respu~stas:

_ _ __

4. Si MN

11

_ _O

T

A

01 ) 2 ...

b) 3 =

A

A

el 4 =

d) 5 =

A

A

OP. a = 10",

t=

60", indicar el valor de los ángulos siguientes:

A

-) A>

,

,

»,

•

A

b

A

N

•

d) ,

,

A

,)

O

P

9

A

Respuestas: 11 ) b =

A

~

A

A

b ) e ""

el d =

A

A

dI e =

e) f =

~

A

A

~

~

5. Si 1 = 2, Y 3 _ 4, demOlllrat que 5 = 3 + 1. -

~

6

2

C alifi<:.ac',ión»-_ _ _ _ _ ____

Angulos con lados paralelos o perpendiculares

17

(Págs.. 47-49)

,."""'"

74. Ttor'!!ma 12 7.5. T~ 13.

76. TIOOI" ...... 14.

Puntos importantes a l Teoremas 12, /3 Y 14. Ejf"rf:~ad ~

Dado el teorema ~ig\lienle: "si lo. ladc::a de un ingulo son perpendiculares a 1~ lados de otro, los ángukls son iguales o IlUplemmtarios", completar lo que se indica.

,

o

,

.

e

, / /

/

,~- -- -- -

E

,

BLJ..:._ _ _--'A H

Hipótesis: AB.1 De, FE .lOC. A

A

Tesis : d ... c.

Construcción auxiliar : Trácese

EG.1 FE

)'

EilJ. DE.

Demostración :

BA lDE .-. 8A MEH. ¿ Por qué? R esjNtJtll ' . A

2. ,', d =

A Q.

¿Por qué?

R tsputJltI : ... ...... ...... . ........... ...... • ....... A

A

3. e es el oomplernento de b. ¿ Por quH Rts~JtQ : .. .. .. ... ........ .. .. .. .......... .. . . .... . .. . .... .. .. . A A 4. a tMnbién ea c.omplemento de b . ¿ Por qué?

R CJput!J t Q: . ....•••.

A

j

A

, ' . < "- 1>.

¿ ~ qué?

A

Y so::

concIU}~

A

que ti :: t . Ca lifi~n~

_ _ _ _ _ __

"NGULOS CON LADOS PARALELOS

[,31

( Pá¡;:s. 49-53 )

18

s."",,", 77 Te.~ /5 78. Tco~~ /6 79 T"".ema 11.

Puntm imponanu!s a) b)

Teo ....",as 15, 16 ~. 17. Ilada rualquier figura rdatlVa a lI:ualdad de 10$ 1'0 forma ral'ida r rorrec ta.

ángul~.

defioir la iJ¡ualdad dI' í-.-

Ej ercidO!> adicionales

Ind icar ,,¡

SOn

falS05 o

n~rdaderos

10$ siguien tes en unciados:

1. Si dOlii a ngulas ticn,," sus lados rfl.f>CCtiv.a menlc son cO"'l'leLllrnlarios.

pcrpendicular~.

dichos á ngulos

Rnpu"JIlI :

2 Si un punto pencnr("{' a la ladtJs dd ángulo.

bioo::c t ri~

do:- un ángulo, NiI"

. '$

I"tjuidistantt- dI' lO!'

RI!Jpuf"JltJ:

Si dos i,"gulos 5011 complementario!; a un mislOo a n!!;uln, eslO5 ¡jngulos 5011 suIllemcntariO$. R • •pu..sta:

4. I)m¡ angulO!i son

ad~'acenk~

ruando tienen un lado COmún.

R l"1pUn la :

J. Si los ladO$ de un :ingulo iguales o suplementarios. R" spUI!Jla '

$00

paralelos a los lad05 de otro, dichos imgulO!i 5011

......•

CaliftcacMln'_ _ _ _ _ _ __

19

Triángulos y generalidades (Págs.. .:;4-58)

Sttcioon 80, Triingul.,.

81. Cl3lificacJoo "'" loo triánguJOI. 82 . Rr.:I". y ptJn,,," notable. en tl triingulo.

Punto!> imporl anles a) b) e) d)

Definición dr triángulo. Elemento<; de un triángu lo.

CI¡uifica("ión de los triángulos a tendiendo a sus lados )' a 5U5 >ingulos. Qué :oc entiende por pcrimctro r por scmipcnmc tro. Fórmula del ilCmiperímc_ Iro de un tri¡\ngulo cualquiera. 41) MCllIor;<:ilción de lo que es : mediana, altura, hiso..'Clriz, ic('ntm, hariccnlrq. orlOcentro, cirruncenlro y .uedialm de un triángulo.

Eje rcicios adicionales 1. Atendiendo a sus lados ¿qué dilM: de triángulos son Jos siguientes?

Ruput:Jta: 2. Atendiendo a sus ángulos ¿qu", clase de triángulos son los siguiL'ntes?

RtJpueJla: 3

Decir los nombres de los siguientes elementos del triángu lo en el cual pI.: que: AC = CD, AV.l BC, CD 1 A.F Y CE = EV . E-32

$e

cum·

TRI ANCULOS y CENERALIDADES

G

F

p

A~8;--~C'----_"":::~'O a ) ¡fE

"

b) GB

,) Punto O

ti) Punto P.

R n pun ttu : a )

b)

d)

Dec:ir los nombres de los sigillcntcs elementos del triángulo, en el eual se eumro

pIe 'juc : AD = DB, AE = EC, ER.l. AG, NR J. AB, /J )

ER

b) AS

e

/J

ro ro

ro

= b, ' ''" d.

N

S

d Punto Q . d ) Punto R . R b ) _ . .. . . . . . . . . .. . d) _ . • . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . ..

5. ¿En qué da3C' de triángulos coinciden el b/Jrluntro. el ortounfro . el iun"o y el ",,""un/rQ? Rt1puCl tO : ...... . . .. .. .. . .. . ... .... .. . .. . .. .. . .

Calificuión_ _ _ _ _ _ __

C EQ METIU A PLANA Y DEL ESPACIO

E.34

(Págs. 58-60 )

20 Punt~

S«cicmu 83. Tro«:ma 18. 84. Angulo alenor de un tri"ngulo. 8!i. T eonma 19. 86. T~a 20.

importantes

a ) Señalar ,,1 ángu lo ,~"'tf"ri(¡r en diferentes dases de triangulos. b) Mcmori7.ar los teoremas l B)' 20, )·a que se aplican constantemente en di\'er$lIS ciencia.\.

EjCTcidos ad iciona k:s

"

~ 1. Si el án¡.:u l(¡ I es igual a 30" y EBC es re<:to, dar los vaJores de I0Il ángu l05 ~''''

BAr:

+

~,

ACB )' de ASe.

e E /

/

/ /

/

A

L-------~~ B~'L--------O

Rrsp,.u:¡ta:

2. Encontrar el án¡.:ulo en el vértice de un IrUtngukl is&celes si el ángulo exterior en dicho "htice es igual a 140" . Rupl.u:sla.

3. Un triángu lo isósceles tiene un ángu lo de 3oo en el vértice. ¿ Qué ángukl5 foro man las biscc:triCCl de 105 otros dos ángulos? R CJpul'sla: 4

¿ Cuál .~ el menor ángulo que put.'CIe ser fon nado en un triángu lo rectángulo?

Respuesla

5

¿ Es (";erto q ue en un lI·i;,.ngu10 equilátero de cualquie r magni tud , siempre el ángulo exterior en cualquier ,-ért;«: será igual a 12O"? ¿ Por qué?

R rspul'Sla :

Calificación~_ _

T R IA"CULOS " CE" ER ALIDAD ES

.........

21

( Págs. 60-63)

87. IguaLd"
I)unt~ illlporCa nt~

a ) Enunciado de los teoremas de igualdad

d~

triángu l!).l..

bl Mínimo de cOfldiciOllC5 que debt:n cumplirse para

qu~

dO'l triángulos sean igua'

b. e) Lado!; y ángulos homólogos en un triángulo. dl Propi.:dades de los triángulos.

Ejercicio.

adidona~

Responder con Fal50 o

Verdad~m

a los siguientes enunciados:

1. Dos triángulos son iguales si tienen 105 tres lados respectivamente iguah:s. R nptUJla '

•.. , ••. . .

2. En un triángulo, un lado que la diferencia.

~ ma)'or qu~

la suma de ]os

0 1(05

dos lados y menor

R CJpULJta :

3. Dos triángulos 50n iguales si superpuestos coinciden. ~ 4-

....

na triángulos 50n igual.:s si tienen iguales da.¡ lados entre eUos.

y el ángu lo comprendido

R t'Jpuesla :

5. En un triángulo a mayor lado se opone menor ángu lo y viceversa. R eJpueJ ta ;

Calificación__________

Casos de igualdad de triángulos

22

Pri_.

(Págs. 64-67 )

s"cciMes 89. 90. 9i .

CQO.

~ndo C ...... T~rur Caso.

I'untos imp<' rt&ntcs a \ Explicar en qué consiste d ,nélodo de supcrpa>ición para facilitar la dCrT\OI5tración de lo¡ teoremas correspondientes al Primero, Segundo y Tercer Caso de Igualdad de Triángulos. b ) ML'IllOril.ación de los tres teoremas anteriores, E~rcicio!¡

adicionalC$

En la figura siguiCflte:

se cumple que AB ~ AD y VC = BC. DcmoArar que : l.

A /1 _

A

b.

R t'JpIU'J IO;

"'

-'"

2. ADE es igual a ABE. R rJ/lluJ/ll:

3

BE =

ED.

RnpueJla: 4

AC J. BD . R CJ"", ..JtQ ; Ó

~

5. ABC = AOC.

Calificac:ió n __ _

, -,.;

CASOS DE IGVAIDAD DE T RI Ar
&"

(Pigs.. 67-72)

23

Stccioncs 92. ea... dt igualdad dt Iriinguloa nc1insu l0l. 93. Aplkadonn dt la ;sualdad dr rri'nsuIOl.

Puntos imporuonlcs 11 ) Máximas condiciones para que

lie

cumpla la igualdad en

\a;

triángulos l"I:ct án-

gul~

b ) Diferentes casos y demostración de cada wfo de ellos. rl Aplicaciones di\"Cnas que pueden realizane util i~do La propiedad de igua ldad

de triángulos tecmngulns. Ejercidos adicionales

-

"

._ - - -

Si BD es la bisec triz del ángu lo ABC. C D ! BG Y AD .l AB.

B

D Demostrar que CD _ AD. R t'Jput'Jtll '

AZi,

CD..l BC y AV! AB, demostrar que 1ifj

- = BC y -C D 3. Si ABC es is&ccles, AC

" demost ra r L" la bisectriz del ángulo 14GB,

2. De la figura anterior, si CD ""

"

cs la bisectriz del ángu lo ABC.

/,

'"

que ADG "" BDG.

e

A '----,':----' 8

o

...38

C EQMETRIA PLANA 'V DEL ESPACIO

-

/ ,

--

• . En la figura anterior, $i CD es la. bUectriz de AC8 y CD.l AB, demostrar que Lo.

Lo.

ÁDC = BDC.

R u putJta: ..... . ......... .

S. Demostrar el sigu~te Corola.rio deducido de los T«lremas de Igualdad de Triángulos rectángulos : "Si un ángulo agudo de un triángulo rectingulo es igual a un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, los otros ;Íngukl5 agudos de ambos triángulos rectángulO$ IOn iguales". RU ptotJta : .... _ . ..................... .. .

Cdd~ciM~

__________

Polígonos

24

(Págs. 7'-75) Sec.:iooe. 94. Defon;cion .... 9.5. Oi.,."w.

Puntos impoTlantcs a ) Definición de polígono. b ) E1rmentO$ de un polígono. e) Perímetro. F6nnula del perímetro de un polígono cualquiera.

4 ) Memorizar los nombres de los poIígOO
Ejercicim . dictornllo 1. ¿Cómo se llama el polígono que tiene IOdos sus lados y ángu los iguales?

Rt'Spues' p; . 2. Si un polígono tiene n lados, (cuántos vbtice5 tendrá? ¿ y cuántos ángulO$?

R rsp.ustd :

1. Si un polígono regular tiene 12 1;uIos Y ciKIa lado mide 4.5 cm ¿cuánto mide su perímetro? Rn pucsta: . -4

D«ir el nombre de 101 polígonos $iguienta de acuerdo con el número de lados dado :

3'.... 4 lados

Rt sput:utJ:

•

5 lado!;

6 lados 8 ,.00. 10 lados 12 lados 5. Definir \o que es diagonal de un polígono.

Ru pucs'p ; . . .... . . .

E.)9

_....

25

GEOMEl'RIA PLANA \' DEL ES PAC IO

96. TIOOO"=a 24. 97. Valor de un 96. T.,.,...,..,a 25.

(Págs.. 75-77 )

'~Io

inltnor de un poIi¡ono r e¡u lar.

99. Valor de un "'8'110 rJ
PunlOS importanles ,,) Memonur la. f6nnula para obtener la suma de los ángulos interiores de un polígono en función del número de lados de dicho polígono. b) Deducir el valor de un ángulo interior de un poligono regu lar, Pllrtiendo de la f6rmub. anterior. e) Anllli13r el Teorema 25. d ) Fónnula del valor de un ángulo uterior de un polígono regular en funci6n del número de lados del polígono. t!) Aplicación del lcorema 26 en diferenles polígonos...

Ejercicios adicionales 1. La f"a7.6n de la suma de los ángulos ¡nteno...... de un polígono a la suma de los ángulos exleriores es de 5 : 1. ¿de qué polígono se trata?

Rn pul"Sta

........ .. . . ........ .. ..... ~ . .... .... ............. ... .

2. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a cuatro veces la kllTl3. de los ángu los exteriores de dicho polígono. ¿De qué polígono se trata?

Rn pursla ' 3. En el Pentágono Regular siguiente, cakular el vakx de los ángulos que se muestran en la figura: h

a) a _ _ _ __ h

b)

b ~--- h

e) r = - - - -

4

En la figura, se encuentra dibujado un políg«lO regular. Conteste lo que a continuación se pide :

A

a J Ol : - - - - A

bl ' = - - - -

a

A

el (" '" - - - - -

d I Ad _ _ __

, 5. Si la luma de \os ángulos exteriores de un polígono regular r'$ igual a la suma de 1011 ángulos interiores de dicho polígono ¿cuántos lado!; tiene? RnpUf'SllI ; . . .

.•

..

Calificación _ _ _ _ _ _ __

G tOMETRIA PLANA V DEL ESPACIO

(Págs. 77-00)

26

s",a:iooe. 101 Teon:OTIa 27. 102. T...,.., .... 28. 103. R~pnxo.

Puntos iD.portantes a) Número total de di..gonales que pueden tra>:ane desde todo¡ 1m; ~·értices. en un

polígono cualquiera. b ) Aplicación ¿e la f6nnu la anterior en di \·enDS polígonos. l) Igualdad de pollgonDI a l descomponerlos en igual ni.llnuo de triángulos qUl""

§ean I\5peclivarrtenk igualn. E~rcicios

adicionales

l . Si el número de diagonales que pueden tra:.a.no: desde un vértice de un polígono es igual a la suma de los angun inlerion!:' dividido por 240, ¿ de qué polí.~no r trata ? R("JPU'II (J ·

2. El número de diagonales que pueden trazarse desde un vértic:r de un polígono es igu.al a la l uma de 10$ ;l.ngulos exte riores menos 338. ¿ Cuántos ]atJo¡ tiene dicho polígono? R npueJt a .

3 ¿CLlál

n el número total de diagonales que §e pUMen trazar en un Eneágono?

R upul""J I(J ; .

4

¿Cual es el poligono en cl cual se pueden lr;Uar 90 diagonales en total?

5 Si 1'1 número total de diagonaln que $e pueden trazar en un polígono es igual al cuádruplo del número de diagonales que se pu.,den traur desde un \·rrtice ¿de q~ poligono se trata?

~ lir~ ~ n"-

___________

27

Cuadriláteros Su....,

(Pigs. 81-82)

I(K. C .. adril'tnoo. 110. Lado. opualOl. 106. LadOl cclllM:CUli ...... 107. Vbt;CH y "'gulos opü"",tm 108. Suma de inguloo interior"".

I OSI.

~gOlUl.l"",

desde un ""'nic..,

110. NÚm(,o loul de diagonal.,...

Puncos importantes ,.) Ddinici6n de Cuadrilátero. b) Elemt:nlos de un cuadrilátero. e) Aplicación de las rónnula.s ya vi§t.a.s, que nos dan la s.urna de k!!i Angulas Inte-

riores, las diagonales desde un vii";cc, y el númt:ro total de diagonales en un cuadrilátero.

¿Cual es el número de diagonales que se pueden trazar desde un \'':rtice en un cuadrilatero? Rupuuto. : . .. ........ . .... . ......... . . . . . . ...... . . . ........... ' . .

2

¿Cuál es el número tot:.1l de diagonales qur:

3 ¿Cuál

r:!i

lit:

pueden tra:.¡¡¡r en un cuadrilátero?

el nlor de la suma de los angulos interiorn en un cuadrilátero?

R CJ/JI'CJl tJ ' • • • . . .

"

"La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a la suma de 105

ángulos exteriores de dicho cuadrilátt:ro". Demostrar esta do las f6rmulali adecuadas. Rn~tlQ '

~·eraci6n.

aplican-

.. . .. .

5. ["'presar lo que se entiende por vértices y á.ngulos opuestos de un cuadrilátero. RtsPIUJI,, : •

CalifM:ación _ _ _ E~,


(Pip.. 8 2-85)

28

So!ttiones 11 L 11 2. 113. 114.

Clasificación CI...ficaci6n Cluificación Cluificación

d., loo cuadrilil.,fOI. dIO 101. r-nldq¡rarnoo. y eI""",nlOl d e 101 trapee; ..... dr 101 nap"zoida.

Punto!o importantes a ) Memorización de la clasificación de los cuadrih\lel'OS. b ) Recone,x:.er por medio dc las figuras, de qué tipo de cuadrilátero se trata . .:) Nombres de los trapecios y elementO! de 101 mismos.

Ejrrcici05 adtcionales Ordr si $On FalJo.. o Cur l ol 10$ siguientes enunciados : Rcctangulo

el

el cuadrilatero que tiene

IUS

cuatro ángulos y los lados iguales..

Rnpu("1,a: 2. Romboide es el cuadrilátero que tiene los lados iguales y 10$ ángulos contiguO! desiguales. R upuuta 3. Trapecios Rectángulos son los cuadriláteros que tirnen dos ángulos r c<:tos. R npucJto. : ..................... .

. .. . .

~

....... .

4. La distancia entre \:1$ bases de Un Tn.pecio se llama diagonal. Rflpunta 5

En los

Trape~ides

simEtricos, las diagonales forman Un ángulo de 60".

Raputl,a .

Calif"tcaci6

--

CU ADRILAT EROS

(Págs. 86-M)

I U . Propiedades de lo. poon.ldoc"""nw. 11 6. Teornna 29. 117. Reclproco.

29

Punlm importantcs a) Demostracibn de las propiedades de los paralelogramos. b) Mostrar la \1mlaja en la oorutrucci6n de paralelogramos, ronoc;iendo

lUS

pro-

pied~.

e) Propiedade!; particulues del rectángulo. del rombo y del cuadrado. a partir de las propiedado go:neralc:s de los paralelogramos. d ) Demostración del trorema 29 y su teorema recíproco.

EjeTcicios adiciorut.lcs l . Construir un cuadrado cuya diagonal sea igual a 4 cm. R espucJltl :

2. Construir un rombo cuya diagonal sea igual a 5 on.

3. ¿Cuál seria el máximo valor que puede tener un lado de un reclángulo, si las diagonales son iguales a 7 cm cada una? Rrspuesttl . . .

4. Demostr.u la siguiente propiedad de Jos paralelogramos : "Dos ángulos consecutivos de un paralclogrMnO $OJ'I $uplementarios\'. Resptoesta · . . ..

CroMETR IA PLANA V OEL ESPAC IO

5 Aplicando la igualdad de triángulos, derrlOlltrar que: "Las diagonales de un rec· tángulo son iguales".

Calif.cación~

_ __ __

30

Segmentos proporcionales 1...... """')

s..ccionco 118. Repuo do. 1.. propi".t.
Puntos importa nlcs d) Explicar lo que le entiende por rv.ón )' por proporción. b ) Definir lo que es el antf'Xedente )' el consecuente en una proporción cualquiera.

e) Manorizar las propiedades principales de las proporciones indicadas en la Secció" 11B. d) Analizar lo que ti cuarta, tercera y media proporcional. d Comprend"r "¡ concepto de ~gmenlos proporcionales. Ejercicio.. adiciona ll'$ 1. Un número es ¡.!tUa] a 27~ ~'t:Cft otro númcro r la razón de es 7 : 12. Hallar dichos números.

e5({)§

dos númcror;

2. Enoontrar la media proporcional entn: 6 y 24. R fJpUl'f l P'

3 Encontrar la

CU¡¡rta

proporcional a 3, 5 )' 27.

Ru"..nttl '

4

Encontrar d valor de

Ji

en la proporción: :" _18)'

2,,- -;R r spUl'IltJ .

5. Encontrar el valor de x ro la siguiente proporción. ( 2x R t:SPUOl"

+ 8)

; (x

+

2) = (2x

+ 5) :

(x "'" 1)

•.

CaJiricaoon _ _ _ __

~I-- - "

E_<8

CEOMETR I A PLANA Y DEL ESPAC IO

31

(Págs. 91-94) 'iccciona 12!i. Dividjr un "'&mento en oU'Ol de. que alfn

<:n

una ru6n dada.

126. T~ma 30. 127. Teorana JI . I 28. ObMervadó".

P un to!; impon a ntC5

a) Establecer la fonna de dividir un .5egffiCnlO en una razt.¡ dad". b) .l)emostrar que el punto P que se obtiene al dividir el ~IO en una razón dada es únicO. e) Teo~ma de Tales. d) Demostnr que el teorema de Tales es absolutamen te ~ner.ll, y que :se verifica para cualquier número de paralelas y para cualquier posición de las tran:wel103les. ~) Demostrar que e l teorema ta mm&! se verifica lo mUrno que los segmentos sean conlTlCJl$l,U'ables o incoo mensurab les entre sí. f) Explicar Jo que ~ignific. que dos segmentos sean eonmcn5urables o incomnensurableo! entre si.

Ejercicios adiciollaks Dividir el segmento AS en la razoo

A 2. Dividir el segtnerJW

,'5'

x * - - - - -----"--_K B A!

en la

A ,*'--------------------~~ B ,

~ .. _ - '-=3' udT10stJllr que

S.,. - 2

.. • I

• . ¿ So.,

V2 y V3

0..:'

x+2

c+3

'a mUlen -,-~-,--

conmensurables?

RnputJta

5. Demostrar que en la figura

C8 CD = = = BA DE

.

SI

-

se cumple que BD 11 Al'.

SEGMENTOS PROPORCIONALES

E-49

e

A L-_ _ _--" E R f!Jpuf!jta : . .. . . . .

Calificación' _ _ _ _ _ __ __

C EOMETRIA PLANA Y DEI. ESPAC IO

32

(Pigs. 94-96) Stt<.... 129. T~m .. 32. 130. RKíproco. 131. Corolario

Puntos imponanlcs Q) Aplicación del teorema de Tales para la demostración del teon:llla 32 b ) Demostración del teon:ma rttiprooo y del corolario del teon:ma 32

Ejercicios

adic~

e

B ' V'- - --\D A L---________~

ÚI

E

la figura , si BD 11 AE Y CB _ 2AB, ¿qué ..alo r llenen CD

R" sp"~JtQ

_

2. En la fiRUra, si BD

_ 11

_

_

AE, CB = 9 cm, BA

/

=

y

DH!

_

4.5 cm y CD

= 7 cm ¿qu":

valor

tient"" DE! Rop"f"!tQ

-

-

3. En la f.gura , si BD H AE Y CB =

3"2 -CA , ¿qué

..alor tienen CD y CE!

Rf"SpIUJIQ: . 4

lo$ lados no paraklo$ de un trapewide miden 10 y 15 cm, respectivamente. Una recta paralela a I~ bases divide al lado de 10 cm en la razOn 1 :4. Enconlrar en qué raZÓf\ qur.da dividido el 5I'gmenlo que mide 15 CIII.

Rrsp"utt1.:

."

5. Una línea paraJ.:la a un lado de un triángu lo y
_ _ __ _ __

SEGMENTOS PROPORC IONALES

(Págs. 97-98)

33

s.u;...., 132. Tcon:m.a 33. t H . Probkm.a. 134. Cumprobac::i6n.

Plintos imporianft:§ Q) Propied;w.l de la bio«lriz de un ángulo Inlerior de un lriángulo.

b ) Fonna de calcular los segmenlOs delenninados en uno de los lados de un

lriángulo, por la biseclriz del ángulo l,lpueSlo a dicho lado. 105 segmentos. La 5uma de eslOS ~t:ntos debe ser igual a la magnitud del lado con5iderado del triángu lo.

e) Enseñar a comprob¡u los valores oblenidOli sumando

Eje~icios adiciooa~

Los tres lados de un triángulo miden 20 cm, 16 cm y 12 cm . Encontrar los segmentos de terminados en el lado menor por la bisect riz de l ángulo opuesto a dIcho lao:lo. R,l pUrJta .

2 Repetir el ejercicio 1, pero

d~t~ rminando

los segm....rltos en el lado mayor.

Rn pul"$IQ .

3. Muestre cómo dividi r un lado de un triángulo en segmentos 01 ros &;.¡¡ lados.

4

propo~ionalo a

105

Lo6 tres lado¡ de un triimgu lo miden 16, 24 y 32. EnCOf\trar los segmen tos detenninadOli f"Il el lado mayor por la oiseclri7. del ángulo opuesto a dicho lado. R, ¡pUnln

5

R~p:tir

el

~je n:: icio an t~rior,

pero dr:tr:nnil1ando 10$ M:glllcllIos sobre r:I lado

menor. Rl"lpu, 'la

C al ifiQ.r:ión _ _ _ _ _ _ _ __

'-52

34

Gf.OMETRIA PLANA Y DE L ESPACIO

(Págs. 98- 103) Sec:dOIlH U~. P'robI<:mao SrirlCQo oobre ""gmen los proporcionaleo. 156. Dividir "n ..,gmmto en part" propoO'cion.aleo .. vano. nú"",,,,,. 137. Hallar la cuana proporcional .. , .... ..,gmenlOl dadOl. 138 . Hallar la lercu a ptOpCIO'Cional .. d", ..gmentOl dados.

Pun tos imponamo

a) Resolución de problemas relativos a raWlles y proporciones empleando el método gráfico. b) Ejercitar d manc:;o del comp/is y la regla.

Ejercicios ad idOllales Resolver los ejercicios sigllienlo gráfICamente: 1. Dividir proporcionalmente a 3, 5 Y 7 un segmento de 15 cm.

Ropw(', ta: .. . .. .. ... . 2. Hallar la cuarta proporcional a segmwl~ q~ miden 3, 6 Y 9 cm.

R· JlnUJtQ :

3

•

Hallar la tercera proporcional a segmentos qul'! miden 5 y 1 cm.

E_53

SEGMENTOS PROPORC IONAU:S

4.

~

los segrnr:ntos w. )'.

!.

conslruir un segmento x tal que ,....

o:

wz.

w y

z 5

EncOrltrar la cuarta proporcional a ~tOS que miden 2, 5 Y 3 cm en magnitud respectivamente. Compruébese algebraicamenle.

CaJifkación. _ _ _ _ _ __ _

•

35

Semejanza de triángulos (Págs. 104- 106) ~(......,.

139. 140. 1+1 . 142.

Ddinición. LadOl hom6IogOl. CaraCl"'u ck la ... mtjanu de !,iánguIOl. Ru6n de ""_jan... . 1+3. Manera
PuntO!li importan tes

o) Definición de semejan7-lJ, de triángulos. b) Signo de serncjan7..... e) Memorizar la fomla de ~Iabl~r la proporciOllalidad de 105 lados. d ) Los caracleres de la !iemejanza de triángulc;.$ también pueden ser definidos corno: 1) R efln:wo. 2) S,mrl,";o . 3 ) Tf
Ejercicim adicionales Definir lo que se entiende por lados homólogos de un triángulo. R t'Spun lQ :

2

¿Qué se cnti.. nde por

ra~.6n

de semejanza en un triángulo?

RupUFJlo

, . &tablecer la proporcionalidad de los lados d e los triángulos siguientes en los "

""

cuales se cumple que a = J, b =

AA ti, e

=

,..

f.

• d ~ LC-L--------------"--'C'

R o p"rsla : •. ....

SEMEJ AJliZ.' \ DE TRI ANGULOS

"'

¿Cuándn~'

di('(' 'Iu('

do<; In.inl!"IIIn< ~

'll'IIlf"jan les?

R, í/",,·r<'a ·

.'j,

S. 101 ángul05

(ir

bi.::n sus lados

resfl<'C l i~'05~

dos Iri.inllulos son

resJl"'Clivalll~nlf'

iguales ¿ serán iguales lam-

R . ' PUl "a,

Cali' tcación _ _ __ _ __

GOOMETlUA Pi-ANA Y DFL ESPAC IO

E-.)6

36

( Págs_ 106-108) ~d....u

144 Teo~ 3 4 IU. Casot de _ _ janu de rrilng"b• .

Puntos impor1antn ti) T eorema fundamen tal de existeneia de triángu los semejantC$. b) Teorema n-cíproco. (") Defin ición de 10$ Caso!! de semejan7a di': triánguk>s. d) Meroori7.a r los CiI!iOS y ejemplificarlos num éricamente.

Contestar con Fallo

O

I'lIrdadno Ioos 5iguienle$ enunciados :

Toda paraJela o un lado forma con los otros dos lados un triángulo igual al primero.

2

~

triángulos

$Of"I

semejantes si tienen dos ladO$ rC$pec:livamenle iguales..

Respunttl:. . 3.

~ t riángu lO$ SOn semejantel si tienen dOI la dOli propordonalC$ e igual el ángulo opuesto a uno de estos lados.

4. Dos t riángu los

SOn

semejantes si t:enen dos ángu los respecti vamente iguales..

Rnput!Jtd: .. . ................... .

5. Todo triángu lo semejante a olro es igual a uno de las triángu los que pueden oblenerx t rau.ndo una paralela a la base de éste. Rtsput!sla : . . ... _.. . .. . C al;rocación~

_ _ __ __

SEMEJ .4.I"iZA DE TRIA/';C U LOS

.......

37

(Págs.. 109- 11 2)

146. Primer calO. 147. SeSUndo Cuo. 148. Trn":C>" aJO.

Puntos importanla

Il ) Impon.ancia fundamental de 101 casos de semejanza de triángulos. debida a su COO$tame apl icación. b ) ~moul1lCión de 10$ tres C350S utilizando el teorema fundamental de existencia de triángulos semejantes. Ejercicios adicionales

Indicar la proporción los siguienlt:S ejercicios :

~ria

para dcmor;;trar la

~mejama

1.

2

3 12

-4

de triángulos en

(;EOMETRIA. PLANA. V DEL ESPACIO

~ 24

,

Rf'Jpu~Jla

4 .5 7 Rf'Jpu~Jla:

5.

21 16

30 R rspUf'Jla

Calificación

S EMEJAl"U DE TRI ....."'GU LOS

38

( Págs. 112-11 6) ~cciona

149. CI._ dt R'IT1tjanza dt Intnsuloi =1'n~IOl. l~ Propo...,ionalidad de la. alturas dt d,. ,n'n~uIOl ..,_jBntn.

PunlQS importantes Razonar los casos de 5eiTll"jall7.a de triángul~ rectángul05. b) Notar que las demost radCllles le raci litan al tra lar CM uüngulClS rec lángulos. e ) Ejemplos rela livO!! a la propClróonalidad de las alt"ral de dos triángu los ~m(" jantes.

ti )

Ejercicios adicionakli 1. La sombra de un árbol, cuya altura no se ~, mide 15 m, y la sombra de un~ uara vertical de 6 rn dI' alto mide 2 rn. Las medidas rueron tornadas a la rnimlll hora, estando el árbol Y la vara muy prÓJcimos uno dd otro. ¿ qur al tura lime el árbol?

Rupu • •ta Demourar los $iguiemes enundadalo ; 2

fu triángulos 50Il semcjames

SI 5US

lados

SOfI

respectivamente: paralelo5.

RI"pul'fltJ-

:1

Dos triángulos 50Il semejantes si sus lados!lOll r~X'Cti"arnc:nte: (Wrpt'ndiculaR'S. Rnpursta

4

Dos triángulClS semejantes a un ten::e:ro, son seme:jantes mIre 5; R"'purf/a

5

La altura trazada a la hipotenu'l.ll de: un triángulo rectángulo divide al triángulo 11'11

dos triángulos semejanteS entre sí y con dicho triángulo.

D

A

L-~B~----------~ C

GWMETRIA PLAN" Y DEL ESPACIO

R espuesta : ............. .

califK2ción~

_____________

Relaciones métricas en los triángulos

..........

(Págs.. 117- 120)

39

1.5 1. Proyuciona.

n2. I'ro)e«:iona d( iOI Iadoo ck un "iJ.ngulo. 153. Tmr(ma 38

Puntos impcKta nlO

a) Hatt r notar que las pl'O)'ecciOlln 5011 la base de la geomeuia ~ríp liva. b ) n.:rUliciÓll de: proyeccilm. t:) P royccciórl de un ~lIlenl() ~ varias ~iciOflC:S, ~e una recta dada. d ) Fonna de expresar las proyeo:ionc:s evitando COfIf~iOl'lO. (J F.$ludiar oon cuidado lo que se veri rir:a al trll7.ar la altura co","pondiente a la hipotenusa en un lriángulo r«cingulo.

Ejen:i<:ios

.adicional~

¿Qu'; <:oncJu~iones st' puedt'fl obtene r si las proyec:cionl!l de dos lad.. de un tri án_ gulo sobre el tercer lacio 5011 iguales? R CJf)U·(sta: , . '

2 ¿Cuál es la proyección de un ralelo a la recta?

iC'gITlCTl IO

Klbrc una rttla,

1;

dicho segmento es pa'

Rnpwuta' 3 ¿Cuál será la pro)'tcci60 Ji el segmento es perpendicular a la recta?

4

"Sor!

únicu la:s proyec:ciCflI:1 de kili ca letcA de un triingulo recLÍngu lo oobn: la

hipotenusa?

Rup ..eJla

5

¿ Cuál $ería \11 PI'O)'ecc:1ón de un catetn r.nh ... ..1 Olro catll'to m un lriángu lo ,...... tán~o?

CalirlCaCión_ _ _ _ _ __ E~I

<;WMETR ' ... PI.A:>;A ,

E.62

40

DEI. ES ..... CIO

( Páp;'- 12()-123)

'-«'-

IS4 T",,~ 39 '.'>S. Corolario 1". 1.'>6 Corolario 2" U7 T...,r~ ..... #}

I',,mt m im porta nle-c a ) ~t emorwar

..1 teorema d.· Pil;igonu. b ) Generalizar el l('(lrema de Pit.tgoras.. e) Apli cación de \.a Lq de Pllágoras para la resoluci6n de un rombo. de un lrián" lI:ulo i5ÓM:c-1es.. de un tra ~lo, etc.

Encon trar la altu l"a de: un tri.tn¡.;"lo iSÓlScc¡""; si su ba!iC mide 8 cm )" sU'! lados igualL"S mid('n 10 cm cada uno.

R. Ijm. ,t a

2 Encunlrar el lado I de un rombo ,.¡

Ud

diagonal!'!! midm 30 y 40 cm,

reApecli~·a·

menl(· RdPU, 'ID 1

H allar la <.l iagon ..1 d de UIl rombo si un lado miLI" 26 cm y la Olra diagonal unde 20 cm.

R.-,pu••112 -+

E ncOI"\trar la altura del trapeckl de la figura :

12cm

13 cm

j. 22 cm

R, 'p UIIID

.:.

Encontrar el lado de un cuadrado si su diagonal m.de 5 cm.

R. '1",,-, 112 Ca¡¡ficac i6 n~

_ _ _ _ _ __

RELACIONES METRICAS EN LOS TRIANGULOS ( Pá~.

41

123- 127)

,,"""'"

138. Clui'.... ación do: "n UU.nlulo conociendo loo 1<" ladoJ. 1S9 C.tlculQ dO' la proyección de On lado 1Ob..., otro. 160. C.lI<:,,1o do: la ah" ... dO' un Iri.tnlUIo ~n función de loo 1.0<10&.

important~

)' unlO$

'1) Aplicacióo d~1 teorema de Pitigoras para reconocer si un triánsulo es rectán-

gulo, acutángulo u obtusángulo. Proyc«:ion~ de un lado de un triángulo 5Ob..., otro lado. La trigonometría faci[iu. este cálculo empleando la fuoción coseno. rI Memorizar la fórmula pala calcular la allura de un triángulo m función de los lados.

b)

Ejercicio.. adicionales Clasificar los. IriangulOli siKuien t,.,s, clado$ e =

b) 0 = 6

b "'" :)

e '" 8

7

b= 6

(' = 6.5

A

.1 o

= 7,

~

Rl'Jpu.·J/o

2

lados :

ffl

b = 6.

. 1

~

-l·

b} ••.

Oadat los lados de un triángulo, o '" 14, b d,., los lados o y b sob..,., el lado ('.

<) =:

7,

= 9, calcular [a pr~ción

3 Calcular la Illt'flOr altura d,., \05 5iguientc:s triángulos :

18,

e = 16

1> 0 = 30, b = 24,

e = ]8

.1

o '"' 12.

("' O """

2,

R tlpufllO :

.¡

. ~

b = 3.

e =: 4

a) ..

') .

e) .......

Calcular la mayor altura de ]os siguientes triángulos: a l A = 9,

h

B, <

~ 6

bl a =:

a,

<

~

11

(" : <1

7, b = 8, <

~

10

-

Rl'l pUI sto '

b =: 6,

o).

.....

') .

d .

r:EOMt:TR I ..

Pl.A~A

V DEI.. ESPACIO

5. Dadas las tro ahur.&lI de un triáng\llo ¿ podlían calcularse lo. tres lad05 de di. che triángulo ? RnplJl"Jta.

CaJifM::aC" ió~.~

_ _ _ _ __

Circunferencia y círculo

42

(Págs. 128-1 31) & CI';o"". 161 . 162. 163. 164. 16S. 166.

Ddinki6n. P untal inlerior~ y pun,OI ex ,." iotn. Circulo. CiKUnf.,...,nda. ;gualn. Arco de drcllnf."""cia. Cuerda.

161. Dw".,tm. Ifi8. P..kioneJ de .... a rttta y una

c;r ~unl.,",nci...

169. Fisur;lo en tI d,,, .. Jo. 170. Angu¡ .. can""',,, )' ,,1'('01 forrespondiellln.

PunlOS importa ntes

a) COfIcepl05 t¡ue deben nJallOTizarse. Definición de orcunfe rttlcia y circulo. - Cuerda, an:o y diámetro de una circunferencia. - Secante y lang~rlle a una circunferencia. b) Figuras q~ deben analizarse: _ Segmento circular. .:o- Corona circular. - Sector circular. - Tr..pecio ciro:ular. e) PunlO5 comunt'S de una secante y de una tangente COn una c ircunfe rencia. ti) Comprcndc-r el eoo<:epto de angulo cen tral ~. de arco corrcspomdien tt a dicho ángulo. F.je rci~ ad ici~les

Escribir el n(mll:ro que 1., corresponde en las figuras a los elemen tos 5iguientrs: Pun lO interior

Diámetro

Punto exterior

A=

Secante T angente

Cuerda

Radlo

S~gm~r>to circular Sector circular Corona circular T rapr:cio circular AnKulo cent ral

"

., •

, ,

o

"

Galifi<:ación_

CEOMETRIA PLANA Y DEL ESPAC IO

(PáJQi. 131-133)

43

s..a.... 171 . 172. 173. 174

TI .... ldad de inlUIoo y arcos. Dai¡g....ldad ~ ' n«uloo y ar«>l. Are.. CONCCU1¡..... y .wn>I Y dif~...,nri.a de an".. Teornna

·n.

Puntos ;mporlanla a) Ejemplos de igualdad y desigualdad de angulm y arcos. b) Operaciones de suma y dife rencia de arcos. e) Propiedades dd diametro.

1. Si Ufl areo 51' divide en dos partes, ¿Sl,I angulo central quedará dividido tarobifn en dos partes? H, spl1.n'll ·

2 En la figura liguif'llle. O es el centro de la c:in:unfel'l'f\c:ia y AB es su diámetro. Si DD

fl

AC. demostrar que

A

A

Il _

b.

Rnpl1. n tll "

3. ¿Cuánto mide el ángulo centl'1ll de una cuerda igual al radio dd círculo? RI'Jpl1.t!Jtll "

ot. ¿Cómo se lIaman!05 lados de un ángulo inscrito? R t!SptustlJ : . " .

CIRCUNFERENCiA. V C III.CULO

-

-

;. Si O l! 1. AC, denlOltrnr que:

~ Q

~

~ ;';..._ _, ~

o A ~::t::7'C B R~J~t'JIQ

Ca)ifÑ:ac ión

'-6'

G EOMETRI-\ PLA:>;'\ y DEL ES PACIO

44

( Págs. 133.135) Stcrion~1 175. Scrni(:in:llnl~ren<:ia •.

176. ScrnidrrulO1. 117. T~ 43. 178. T~ If.

Puntos importantes Comprender el concepto de: semicircunferencia)' de: semicírculo. b ) Estudiar con cuidado el teorema. 43. e) Cc::mpn:ndcr el teorema +4. 11 )

Ejuncias adicKmalcs

"

l . En la figura, 5; AC es diámetro de: la circunferencia. demostrar que ABC .:5 rtCto.

AI E - - - - ; lC

2. ETl la figura anterior, si AB = AD )' Be = De, de:lllO!otrar que: AC es el dia· metro. Hn/ll
"

3. ETl la figura, AB es el diimetro )' la bisectri~ del iTlgulo AeD. 0/1.' .1 -Ae y OA! 1 AD.Dc:mo$t"u que Ae = AD.

e

" M

o

C lk CUXFtk"EX€IA y C IRCCLO

-\

i.n la flgUra an\~OOr, ~ ... .... AON "" ADM.

"....

R~Jpv'-"Q .

,;

ÁD =

de, ON 1. de y 01J J. AD,

E~'

defl'Kl$lTal"

que

...

¿El lo misflIO decir ~micirrunre",ncia q ue ~micírculo? ¿Por qué ?

Rf!JP",-s'": .... CaJiflC.l.ción_ _ _ _ _ __

,.ro

CEOMETRIo\ PLA!\'A Y DEL ESPACIO

45 Soeccionn

17'. Teoro:ma 4S. i80. Teorcrtlll rff;prono.

181 . TeoKma 46. 18'2. Tcoovna ..,dproc:o.

P1J nlos importantes a) b) e) d)

RelacionH enlre las cuerdas y w. arcos corTelpOlldi.mta. Relaciones enlre las cuerdas y SUI dislallcia.s al centro. Ejcn:idos de aplicación pan. la campremión de dichas n:bciooa. Teon:mas ~írnxos rtSpccti,"OS.

Contestar con FtJ/JO o ¡',rdaduo los siguientes enunciados :

Diámetros del mismo o de círrulos iguale! son igualeJ. R'JpueJltJ ..

2

En drrulos iguales. cuerdas iguales tienen arcos ig\lalcs. R eJpu.rslo ·

:i

Un ri iá metro ¡xrpendicular a una cuerda biseca dicha cuerda y su arco. R i'SpUl'itlJ ;

4 Si un ...dio bi5eCa a una cuerda, entonces forma

COI!

dicha cuerda 60".

Rupll
5. En un mismo circulo, cuerdas iguales equidistan del centro del circulo.

Ropue¡/a: . .. .. ..... . . ... .. . . .. . ... . . ... .

calir~ · .~~·

______________

C IRCU NFERENC IA Y CIRCULO

-

46

(Págs. 138-141 )

183 T..ng.nle a b ci...,,,n'rrencia. 184. T.,....,ma 47. 18~. Trorwna rrdproro. 186. Nomuol. una ci...,unferencia. 187. Trorema 48.

PunlOS importaRICS a ) Tangl:nle )' nonnal a una circunferencia.

b) Punto de tangencia o punto de eontacto. ,) Perpendicularidad de la tangente oon d radio, en el punto de contacto. d ) Demoslración del teonma 47. ~) Distancia de un punto a una circunferencia (cuando el punto es interior y cuando es exterior ) .

l . ¿ Cómo se llama el punto comú n a una cin:unferencia y a una tangenle a dicha cin:unfen:ncia~

2. Demoslrar : "Una linea recia ~rpendicular a \1n radio de una cirrunferencia en su eKlremO, es tangl:nte a dicha cirnmferencia" .

A

A

3. Demostrar que" "'" b en la figura, si BD es el diámetro de la cin:unferencia y SD 11 AG.

b

B p ' - - - --"I D A

GEOMETR I \ PL.\S'" y DEL ESPAC IO

4. Si AB es tangentr a la cin:unfrrencia y O es rl centro dr dicha circunferencia. enrontrar rl radio de la circunferencia si AB = 4 Y AO '" 6. B

o

5. En la (igu"" antrrior. si el radio de la circ unferencia es igual a 8 y con trar AO.

AB =-

Rupu.olu: CaJificaci6n_ _ __

_

12. f"n-

(Págs. 141 _144)

47

'Wrdonn

188. Pmiciorlct 189. 190. 191. 192. 193. 19t.

re~t¡"a,

C;...,,,nfr...,ne;". Cin:unfurnda.• C;r~"nl.. rcnf""" ein:unlrrcnci.. ei...,,,nlrn:new ei...,,,nlr...,....,;".

de dOf cinunf.. ...,neia~,

ClIlerion:s. lanl"nl.,. ClIfu;""""'nl ... O«¡tnl.,.. I"nlmlel ;nlrnonntn lC-. ;nlrr;o..,.. concfnnica •.

n) Posiciones relativas dt' dos ci rcunferencias.

b) Propiedades respeclO a llo distancia enlre los cmlros de lns circunferencias. , ) P"nIOll romurlI'"I segím Sl.IS posiciones relativas-.

En el espacio en blanco eéribir el número rnrrespondienle de acuerdo con 1., posición df' la~ drcunrerenri~ liguientrs : _

( :ircunfrrr-nri." menl ...

lan!lrnl,"", inttrinr-

--

( : ircunro-r("llcia~

lan~nl'"

f'xlI'rior-

mente. Circunfert"llcia.. ('"xtrriorf"S. Cirl"\mr.. renci~ seo:-anleo Cim..mft'renda~ inlerlQrf'!I

,

,

© O .O •

Calificación

GEOMETRIA PLANA Y DEL ESP .... CIO

E-74

48

( Págs. 144.148) Scttiorln 19.5. T~D~ 49. 196. Troreno. ~lpro<:D. 197. Teormu. 50.

Puntus importantes D) Aprender las fónnulas respectivas que nos dan las dinandas ent re kl5 centros de dos circunferencias de acuerdo con sus po5ictone5 relativas. b) Demostración del teorema SO. Recalcar el hecho de que las paralelas pueden estar en cualquier poliCi6n respecto a la circunferencia, en los tres Ca.Kl$ de dicho teorema. Ejercicios adiciooak:s

Si T, = 4 cm y r. ,. 6 cm, encontrar la distancia entre los centros de las cir· cunferencia.¡ siguientes:

2. Si r, = 10 cm

y r~ ., 20 cm, encontrar la distancia entre los centros de las circunferencias siguientC$.

Rnp,,¡'J jtJ · . .. . ... . . .

3

Dernostrar : " Si dos líneas rectas detenni nan arcos iguales en una cin:unferencia, ktas son paralelas" . Rnpun ltJ

CIRCUNfERENCIA Y C IRCULO

4 Construir gráfICamente la llUlgt'flte a la circunferencia siguiente en el punto A. N

"

•

O

!i. Construir una tangente paralela a la euerda MN de la cicio anterior.

circunfe~ncia

del ejer-

CaJificación_ _ _ __ _ _ _

Angulos en la circunferencia

49

(Pig!<. 149- 151 ) Sft,cionn

198.

"n....

1o "
Puntos importa ntes a) Ueflnicionn tJ., ángu los en la ciKunferencia. b) Comprender el ooncepto de <.¡ue a igua ldad d., ángu los. liU longi tudes de los areos son distintas para d«:unferencias diferentes. Comprender lo que es ángulo inscrito, srmi-inscrito ~. ('x-insc rito.

r'

Escribir el nombre de los

IlÍguitnto~

ánJ!:ul ..,

f'1l

la figura .

, A

Rr.purJttl' :

ti

A

•,

A A

d .. .• . • •..

2. ¿Cuált:S el mayor n.lor de un angulo ¡n..erito en una circunferencia? Rf'J p ... n ' Q·

'1

Demostrar que : " En u na misma ci ....... nfcr1'ncia o m c ircun ferencias ;,I{uales. los ángulos a:nlrales !IOn proporrionales a sus an:os COITl"SI)()f\dientes".

R",P"u'o: .. . . ... . . . .. . .. . . . E_i r,

\:-'C.LLOS E.' L\

UR(;L~fEREr-;C IA

E·1'

4

Trvar. ulili;f.ando un tranliflOl lador. los ánJtU lm 5iguicnles: a J 23° b l 47° e l 115° d I 223° e l 345° .

.5

Definir 10 que es angulo senn.inscrito y ángu lo ex·i nsc rito. R'JjJu
."

GEOMETRIA

PLA.~ ....

Y DEL ESPACIO

50 """lO' T~ j / . 204. Corolario / . 205. Corolario 1. W6. A...,o <:ap¡oa: de un ",&ulo.

Punto!>

imporl.nl~

a} Medida del angu]o inscrito. lJemOlltooón de los dilcremes

ClWlI!i lOmando en cuen ta la posición del cen tro de la circunferencia respecto a los lados del ángulo inocrilO. b ) EjemplifICar el corolario J . Todos los ángulos irucritos en el mismo arco son iguales. Ddinjei6n de aroo cap;u.. e) Memorizar el corolario 2 del teorema 51.

Ejacidos adicionaks De la figura ,iguirnte :

~

"

r"\

1. SI MP = 220" Y O = 40", rl"lCOl1 ltar MN.

,,

~

"

2 Si MN = 55° )' O = 300, cncon..... MP.

3

""

~. Si MP = 200" )' PN = ¡lOO, e nconlnor O R tJpu eJtQ

""

~. 4. Si PN = 120" )' MN = 700, encontrar O

..... NCULOS EN lA CIRCUNf.ERtNC I.....

á. En la figura siguiente, encotItr.u x y

)1,

si x

'-70

" A = AB, )' '"' o.

A

Ca lifi cació n~

_ _ _ _ __

C EQMETRI.'\ PLAXA \' DEL. ES n UO

51

( Págs. 154. 156) Sn-C"iootn

207. Teorema S2. 208. T rornn.a S3. 209. AnSUIo inleri
I' un' .... import:¡¡ntes

01 Ill-mU5traciÓll de los teon:mas 52 y 5.<1 re$pecto a la mro ida del .in¡.:"lo M"mi. lIlSfritO y del ángulo ex· inscrito en una circunrerencia b ) Rcrordar lo
Si x = .'lO". t'ncontra¡ J' f"n la figura siguient(' :

•

, B

R ('Sp,.t"Jta

!

En la

fi~lIra

anterior. si ;: = 200". encon trar r.

ReJpuf'Jto ·

En la fiftUra

H I"pu r'JIII

~iguiente.

• •. •• .

r..

s¡ AB

r'I = 1()O'l , · CD = 90" . ,·nc"f,ntrar

""

BOA .

"':-:C:ULOS EN LA

C IRCU~ fER E~c.; I ...

Re/pu. ,fo ' í

f"""\

/ ,

f"""\

En la figura siguiente, si AB ,. 180" Y COA ", 7] 0 , cncoonaJ" Be.

o e 8

R. ,pun la ; .. . .. .. •. ........ .. ... .... ... ..

C.lifkación

Relaciones métricas en la circunferencia

52

(Páp. 1.57-161) S«c~

2 1 L T eorem a 54. 211. T~rnn. SS. 2 13. Teorema 56.

P unto.. impor ta nte,. Q) M edida ocl ángulo interior y del ángu lo exterior a una circunferencia.

b) Memorizar las (únnula5 qul' nos dan dichas medida¡. e) Ejemplo!! di~nos sobre medidas de ángulos intcrio~ y c >I,erioJU. d) Fónnula q~ nos da la relación entre l!os cuerdas que se: cortan en una drcun-

fermcia . •.jerri.::io- IId id onaln

" = 22° y CD n .. 93°, En la fi,,.ul'll, ,¡ O es el centro dI' la circunferencia, ODE cOCOl1 trar :

e

"

La medida del oiogulo CU D. Rupu n ta

n

'2 . La medida del arco BE. Rl'Jpu~J 'tI :

'\

La medida del arco

n

Be.

.J . La medida del ángu lo

"

/ME.

R",,,.uJta

5

IfUCribi r geométricamente un ángulo de 45° en una circunferencia.

R. I PU' Utl

.

Calificacióu__ E,·B2

RELA LIO!'\ES METRI CAS EN LA

C IRCt" NfERE~C IA

( Págs. 161-163 )

.., 53

St.:riorK. 214. T.,..,..,."a 57. 2U. T.,..,.em_ 58. 2 16. D¡"·ioi6n lIu.o

217. Clkulo _,...11\;':0 del KAID"o to áureo..

funt .. imponame5 n) Conceptos quo: d~'rl memorilane: F6nnula de la relación en tre secan te< Fónnula de la relaci6n entre La langentc y la Iel"a nte t razadaJ desde un pun to exterior a una circunferencia. b ) Comprender el COfIttplu de segmentO áureo. l

J Aplicando la propiedad de las proporciones calcular analí ticamente el segmentO ~IUreo

y C!ilablcccr la fónnu la respectiva.

EjrKicio. adiciona," La circunferencia de la figura tiene por radio 6 cm ; !iendo O su ceruro, AB = 2 cm y AE "" .. .::m. calcular AC.

,

R .spUI'J !O

2 S, L" la fig'''llI anlet;Or AD

Itl cm, AD ~ 3 cm yAC .. 5 cm, c.alcular AE .

R ripul'J/a

3 Si m la figura, A B = ..

CII1 .

Cfj = 3.5 cm y QB = 5

B

~~/ D

R I'f{lUu l a ~ . .

e

C III ,

calcular QD.

(;OOMETJlI .... PLAN ..... Y DEL ESPAC IO

4. En la figura siguaerlle, si QT "" 15 cm

r QA

D

7 cm, encontrar el valor de AB.

• R'~",'Jta:

5. Si el

." . .. .......

qmml 0 metlto~

• . . . . .. . . . .. .. . .... .

áureo de un tcgmI':nto "" igual a 7 cm ¿cuánto mide dicho .eg-

R, Jp.. ,stfl: ....................... . . . ................... . . . . . . . C.IiIQción~

_ _ _ __

RELACIOr-:ES METRICAS EN LA CIRCUN FEREt-;CIA

54

1Pág>. 163-166) Se: ti a e. 218 Ejempln&. 2 19. División lu~a de un oqmenlo. SoI" ción grirM:a. 220. JUllir",,,,,ión del "",Iodo gñfico.

Puntos imponanlU o) Rcaliur \os ejcmpkls do: la s.ección 2HI para calcular los segmento. iureoa. b) Forma de resolver el problema de la división iurea ~'TÍIficamente. e) Comparar !IOluciones griflcas y analítiC3.5 y ntablettr la justmcaci6n del método gr.í.flCo.

1. Encontrar la fOrmula en la que áuuo : <1 ... ((x) : Rt"lpu~.to ·

yo;

obtenga d M'gml':nlo m función del segmento

..

2 ¿Cuál CI el segmento cuyo segmento á ureo es igual a 11 cm?

3. Encont rar lri.fteamCl1te el qIDCI110 áumo de un gilud. R~$ ,.. ~$to :

..

de ,J I cm de

M;.¡-

. . . . . . . . . . . . . .. .

[k,llo05tnu que el segmento total es igual a 1.61 R~J f1
~IO

~'cces

el !III!ft"ltI'IO áunlO.

. ...... . .. . . . . .

5. Hallar grár.camel1 te el segl1lCfl tO áureo de 19 cm y romprobar analíticamente. RrJ/N~sto :

. .. . . . ... . ........................ . . ~~f~aciOn

_________________

Relaciones métricas en los polígonos 55 regulares

.........

(Pigs. 167.170)

221. Políg<>nOl rq:ul ... es. 22 2. PoIi«O ¡"",.ilO,

223. 224. 22). 226. 227 228. 229. 230

P"ntos

Circunf"""nda drcuruc.ita. PoI1SOOO circul'lOCrilo. Cirrunfc...,n.-'" ¡nacrita. Radio de un poIígo ..... rpgu la r. "na:u1o erntr ..\. Tcor=>ll 59. Combrio.

Teonma 60.

import .nf~

,,) ConceptO!! qut" deben mcmoriune : _ Ddinid6n d .... poligr.'lo rrgular. - Radio de un polígono regu lar. - Angula centraL b ) Comprender \(:J$ conceptos de: - Polígono inscrito y circunscrito. - Circunferencia ;nKnla y circunscrita. r) Fo nna de lrala/" gráficamen te un polígono inscMlo o circunscrilo a una circunferencia.. d) Dem05traciOn de lo!¡ ICOren1ll5 59 y 60.

Defin ir 1011 ténninos que a continuación

Polígonos regulares. Rrspu l'slfI. ' . . .••. ..

2 Poligono inscrito y polígono circu nscrito Rl'$puuttl.: ..... . ........ .

St'

indican :

RELACIO"lES METRI CAS EN LOS POLlCONOS

1

(;¡rcunr~rencia

in!OCrÍla ) cin::unfcrencia circunscrita.

R. sp ,uJtG .-

4

RadIo dc un poligono

~ular.

Rnput'JIG

5

AnguJo

c~ntra.l.

R,
Calificactón_ _ _ __ _ _ _

GEOMETRIA PLANA \' DEL ESPAC IO

'·88

(Págs.. 170-172)

56 s.n,.,ioM.

231. TI':Of'ftf\a 61. 232. Apol.,.,..a. 233. Cilculo de la apotena ..... fuoci6n d,.J bdo Y del radio.

Puntos imporlanlC:S

el conecplo de apotema. b ) Analizar el teorema 61 y ~neraJi:arJo : Todo polígono regular puede ser inscri to o circurucnlo a una circunferencia. r ) Analizar la COTl!ItroCdÓfl ¡¡:ráfica n..«:saria pan. calcular la rónnula del apotema en (unción del lado y del radio. ti) Hacer notar filie el 1t.'On:ma de Pitágoras el la úniclI ayuda necesaria para ¡kogar a dicha fórmula. a) MClnori~ar

1. ¿Qur

le

cnlinxk por apotema?

RCJ/J',usta:

2

Demostrar qu(' " todo polígono regular puede ser circunS(:rito m una rencia".

circunf~

:1. ¿ Cwimo miti<- la apotema de un hexágono de 6 cm de radio? R l'lpul'¡ ttl : .. . . .•• . •... . .. . .. ... . ..... . .. . . .• . •. • • • . • •.••• . ••. .. . • •• .

-l. Expn:$3.r el lado de un polígono

<.'11

función dd radio Y de la apotema.

Rupun ttl :

5. ; Cuánto mide el radio de un hclGigono si su apotema tiene un valor de 8 cm? RIS1N~It4 :

.... . . ...... .. ..... . ..... . .................... . ... . .... .. .

CaJifteaeilm.....--_ _

REI....C IO NES METR ICAS EN LOS POL IOONOS

-

234 23'; 236

57

( Pags.. 172_176)

Cikulo dd lado del polígono ...",,1,... ¡"",rilo de dobI~ 1l .... m<"
l'un lO!l impon anta tl) Ra70flar la fOlma de constn,;r la f6rmula del lado del p::llígono regu lar insniw

dc.' doble núnwl"O

ru'

lados.

b} .\'otar qut' se utiliza solamente el teorema de Pitágoras generalizado y la f6rmula

del all
r

del lado, para llegar a la f6rmula amenor.

r) Mnllorizar las eOflit"u::ÓOnt'S auxi liares pal-a el rálculo de los lados del polí-

gono Inscrito} r ;.-cllno¡rrito. 11) N.,.....,"er los ¡'jcml'los dt' la

~ITi6n

236.

Ejn"eee adicionales Cakullil' el Jado dt, un dodet'"agono imerito en una ci.-cunfcn:ncia o en la cual enc u"ntra inscrito un hcxagono cuyo lado mide 4 cm,

!ir

R~JfJl" ¡In·

2. Si ..1 lado •.I<- un cuadrado inscrilO <'ll una circun fc~ ncia el igual a 23 lar el lado drl ort,igono inSCrilo en la lIIi.\.lna circ.unfercncia.

Clll,

calcu_

R rJ /lIUJt o:

1. Ras:.ntl~ Ion I~ datO!; dd ejtorricio 2, calcular e l lado del p::lligono dt, 32 laJo,; insc rito ('1l la lIlisma cil'cunfrr('ncia.

4. El lado do.- "n pentágono in5CrilO t-n una ci.-cunkrcncia de 18 cm de radio, mid,' 9\ 5.53 ron : cakula r el lado dd decagono imerito en la mi.\.lna cin:unfcf('fIcia. HI'Jpunfl1 : 'j.

Calr"lar <"1 lado del poligono dr 20 lados inRrilo ricio 4.

f'fI

la ci rcu nfe rencia del {'jer-

C.liriCación~

_ _ _ _ _ _ __

GEOMETRIA PLANA V DEL ESPAC IO

(Pág'S. 17&.179)

58

"""dona 231. Cilc ...1o <10;1 lad.. IItI huigo" .. rqular. 238 Cik ... 1o dtl lado IItI uiingulo '"'I";r'I,,.o. 239. Lulo dd ruadrado. 240

''\JntO!l

T e<)..,ma 62.

imporl.nl~

D) M....,nori7Ar el hecho de q ue,", lado del hexágono regu lar inSCnlO es i¡.:ual al radio. b) Cákulo del hexigono regular, de: triángulo ~uilátero y del cuadrado inscri to . • ) Ded ucir 105 pasos ncccs:lri05 para el calculo del lado de cualquier polígono ins("fito en una cin:unfe~ncia.

Calcular el lado del hexágono fl"gu lar in5CrilO en una circun ferencia de 7.62 cm de diámetro.

RU PU,JtD

2

El lado de un triángulo cqu llá lero inscli lO en una cin: unrcrencia mide 3.6 Calcu lar 1'1 lado del cuadrado in5Cn to en la InWrul cin.:unferencia.

Clll.

Rn pu n tll : '$

.Cuanto mide la ahura c e un Iri,tIlgulo e<¡UlI:ilc lu inscnto rn una circ u nfeK"n_ cia dc 7.6 cm de radio? RFJpl,,·sItJ

4. El lado de un ("uadrado inso::rito en una circunfen:ncia Imde 11 cm. C alcular el lado del tliangulo <'
j

Aplicando la I' ropi...-dad del qmento áureo, calcular el lado del decágono regular inscri to en ulla circunfett:nda de I m de radio.

Califkad6n

RELAC IONES METRICAS EN LOS f'Ol..I(;ONOS

[-91

(Pár- 179-183)

59

Suciooa 241. Cikulo d~1 lado d~l d~dgono ""sula. ;nscr;w ..., una cin:""I~""rl<""'. 242. Teon'rn;\ 63. 2i!. Cikulo del lado del pendgono '""8"ular ins<"ri,o ~n una ci r
PuntfK import.1l.nle..

nJ Propic:dad que I;(."f\e el lado del dedggno regular inKri to rc5pCCto al 1,) r) d}

,J

~nc:nto

áureo del radio. Apn:wcchando esta pro¡Jiedad u!cular el lado del decágono IDSCriIO. Ra~onar la propiedad que tiene el lado del pcnlágono regular. Esludiar la ron5InJffión auxiliar detenidamente. Cálculo del pentágono y del oc tágono rq.:u lar inscritO$. Cowprobaóón del lado del pen tágono por los dos métodos.

Ej~icim ad icion.a.!e.o; Aplicando la propiedad dd 5cg1ncnto áu~, calcular d lado del decágono re_ gular inscri to en una circunferencia de 21 cm dc diámetro. R rspuuftl

2

Si un oc-cágono inKrilO en una circunfc......,óa tiene 10 Cm de medida por lado. calcular d \"alor del rad>o de la circunferencia a la que eslá inscrito. R n pu rs l ll .·

Aplicando la propiedad que tiene el lado del pentágono regular, enrontrar el \'alo r de un lado de hle lii esl'" inscrilO a una circunfc...,ncia quc tiene un radio de 14 cm.

4. Construir d resultado del problema anterior, midiendo la hipotenusa y rompar.mdola ron d resu ltado obtenido analitieam<-"f1te. R npurJltl : j.

Si diado de un ocúgono regu lar es igual a 3. cm, calcular el '-aUio de la circunferftlCia a la que puede eslar inscrito. H rspueJltl :

CaJificación, ______ __ _

60

Polígonos semejantes. Medida de la circunferencia. (Pigs. 183- 189) Sttci0n6 2iS. CI.kulo
~i rtunf"...,ncia

n Cakulo del lado dodecágono regular ¡n~rito. b) Hacer un cuadro gt:ncral eJe ¡al rónllulas obu-nidas )' ¡Jando el \'alo r de un I'a' dio cualquiera, aplicar la. fórmula. para cakular 0,1 lado de ('ua lquirr polígono inscrito. ,) Establecer los requiMIOS indi5p('n~l~ para <¡u.' dos po ligonO'< I\('¡m M"mcjantes. ti) Ildillición de lados hornó~ f'n dos políl(tmoo¡ ~ml'jant('l.

, ) Explicar lo que signirlCa: Condición necesaria.

OmdiriÓll suficiente. Condición nec<"San a y sufid<-'flte.

Hallar el lado del dod<..-<:ágono re¡(ular ¡nsnit" en una cirrunf.'rmcia que tiene 2 m de r.ld io.

R. 'fu. I/d ; :?

. .•• .

E"presar el lado del octágono regular ilU('rito f.'I1 una ,'iN'un rc n:ncia, en función dd lado dd pcn láJ.:Oflo rt-gu la r ¡n!leriTo f'n la misma ('ircuofefi'oda.

R, ,,,,,n /a: E OCOOlfar la fómmla del lado del dodccitgono regu lar inscri to en una cin::unf.."rmcia, en función del lado del octág.:;mo rt.1(l.lar i05l"rito 1'0 la misma cir..."oferen... ia.

~ Es nen!$3.ria y suficieolf' la condición de que dos polígonO!. c uando lic."flen sus :ín~lO!. o rdcnadalllmle i~"al.lO v ';0..15 lado$ I'ordonal .... ?

f.-92

liOn

scmcjanlLlO

homól~

pro-

YO I.I GUNOS SEMEJ .... NTES

:¡

¿ Cuindo oo.' dio;-." qu" "na C
C-.lirlCaCión~_.

.

_____

61

_....

GEOMETRIA PLANA" DEL ESPACIO

(Págl. 189- 192)

249. Teor=\a 64. 2~

T"""""" 65.

2~2

Corolario. TO'Of"ma 66.

2~ 1

Punto. importantes tJ ) Teorema 64 ele scmcjama de poligol1O!'i n:gulares. b) Razbn de los lados., de los radios y de las apotemas de dos poligonos regulares del mismo nÍlmero de: lados. (J MemoriTar la fónnula t"neomrada en el IL'Orellla 65. d ) ~mo5tradón de que la razón entre el períme tro de un poligono regu lar)' el radio o diámetro de la circunre rcnda circunscrita es C()rlllante. Ejemplifica..-. r) Aprovechar la propiedad de las poligonales (cnvoh-cn le )' envuelta l, para derna;¡lrar el teorema 66.

f.jc:n:iciO'< adirionab Contestar ron FtJlJo o ¡'"dadl'ttJ los sigmcnlt.'l; I"ntlnciados -

1>00; polí¡ronos irrq;;ulares d.,1 millno núrnt-ro <.le lados 50n SClllcjanlt.'S.. R.lpurl/a 2. La r.vón dt' los lados <.It" dos poligonos rl:g\J larC5 del mislllo número de lados ,'l; igual a la raron de sus diámelros.

R , 'puota 1

La 1"lV.ón .,ntre el JJCrírnL"1TO de IIn poligQllo regu la r y el radio de la cin:unfe· rencia ci rcunscrita, es conslanlt" para lodos los pol ígonos regulares del mismo nÍlmcTO dc.- lados.

..

En una d,runfen:ne,a, ,,1 !""íwdro de un pulígollO n:gular <.le 2" lados nor (jue el perímetro dd polípo rt"g\llar inSl"rilo dl- " lados.

e~

,,1<:-

R fI/'l.In ltJ .

5

La Tal.0n de los f.'Crím"lros ~ da; ¡lOligonos regu lares de l mislllo números de lados inscrilOS a circunf"''-Tlcias dífen:f1tt:5, "5 igual a la l:amn de Ioti diámetros de dichas circunCerencias. RtJ pu4"Jto ' Ca lificJr ciÓf1~

_ _ _ _ _ _ __

POLlGONOS SEMEJANTES

(Págs. 193-196) 2)3 2M . 2!1!1. 2.'>6. 2!17. 2:;8. 2:;9.

62

To:o«ma 67. Lonllilud de la "irrunfrrf:T"lCia. Rdad6n enln: la apolrma r el radio. Trorrma 68. Corolario. El nú""''''' 0;:. Corolario.

Puntos importantes ll) Expl ica r 10 que se entiende por límite. bJ Dt"1oOiul-aci6n de que el limite €kl polígono inscrito, cuando el numero de lados st' hace infin'to, es la circunferencia en la cual está inscrito dicho polígono. r) Allalizar la relación de la circunferencia al diámctl'O para cualquier circunferencia. d) El numero r. Oivcnas fOl1nas de obtenerlo. Irracionalidad de dicho numero. f') MClTlom.ar la fóm¡u]a e :: 2... ,.

F.jtrcic~

adicionales

Conteste con Si o N() 10'\ siguknt es ejercicios: loa relación de ]a c irrunfcrencia al rad io es constante para todas las circunferencias.

2

La longitud de una circunferencia depende del diámetro de dicha circunferencia. Rrop .. nlll:

:-1. La razón de las JongitudQ de dOlll circunfcn:nciIU cualQljuiera, es constante. Rl"Jp .. r"a ' 4 . Conociendo el valor de la longitud de una circunferencia, JlOdCITlO5 tnlzarla.

R, x"" €Jta . i . El número ".

C!i

racional.

C:a lific:a ció n~

_________

CEOMtTRIA PL .... NA Y DEL ESPAC IO

E-96

63

-

...

260. 26 1. 262. 263. 264.

( Páp. 196-202)

Clk,,1o de la lon811OO f1I, una ó . c.. nle..,ndll. LonJitud de un aroo de ci..,unfenncia de n- , c.kulo de ",,10m aproximados de '1:'. M~todo lI;ri.li.o pan rec tifoca. apro"imadarnrnte J ullir.... ci6n de la conll rucción ~nterior.

UNI

c ircunfuencia.

"'unto! importanto o) Aplicaciones de la ró nnula de la circunferencia en función del radio. b ) t-k" ooriudón de la fórmula "I ue flOI¡ da la lonK; tud de un arco do: '1" <,:n fun. ción del ndio )' de 10I n". e) Ent<:ndc:. la forma de obtener valores cada vc:j; máll aproximados al \"alor de ,.. (nu\todo de los perimetros), ti) Anali7..ar el método grá fico para rec tificar una circunferencia.

La longit ud de una ci rrunre",,"cia cunferencia.

, ~

di

de 3 m. Calcular el radio de dicha cir.

R.-'pm sttl ; El lado del penligono inscrito en una ci~u nrerencia mide 3 "alo. de la longi tud de I. cin::unfcn:ncia.

cllL Halla. el

l'" arco de 6()0 mide 6 m.. Hal lar el diáme tro de la "i.ru nferencia que con· tiene dicho arco.

R ...pt
••• • • •••. •• •••• • •••••••••. • •• ••••••• .• .

Rectificar gráfican\ell tt' una drrunfel"l'ocia
"

"

"

Hallar el :ingulo 'AO B en b. figura, con los da tos siguicnlC!l: AB = 2 = radio = 1.5 m.

IIJ .

".

f'OLlGONOS S[ Mf:JA:o."Tt:S

[ -9 7

A

• o

Rt'J /"U!JIQ : .. ' . • •••..•• . .••...•.... . .....••.•.•• .. . ..• .. • .. .

Calif.cación. _ _ _ _ _ . _ _

64

Areas (Págs.. 203-2(5) S«.. io ..... 265. Superficie. 266. Arn. 267. Medida ck una IUperfic:~. 268. Suma y dift ... ncu. ,¡., ártu. 269. Fíl"""" '"
d~

fillUrU .

PunLO$ importilDIC$

a ) ConttptOS que deben ml':morizane.

Odinici6n de 5uperficio:. Definid6n de área. Figura5 n¡uivah:nt~. b) Compn:nder el concepto d.. "m"di, IIna l,,~r/lt:it·'. e) Fonna de medir una superficie. d) Ejercicios re51X"("IO a ."lI1a y diCerencia de áreas. 1') Carncten:$ de equivalencia.

l. Definir lo que es área. R,jplI.nta

2

•

Definir lo que es superficie. R I'J/¡¡u,,' a:

3

¿Cómo!lOl1 las áreas de dos figuras nluivalcntes?

4-

Expresar 10$ canu:teres O propiedades de la equiualem:ia dr figura$. RI'J,p .."ttl

AREAS

5_ ¡Urno:le efectúa la medida Oc una superficie? Rl'sput:JltI "

CalirtGIt:ión. _ _ _ __ _ __

_.....

~,oo

65

t : FOMETRI\ ,,1..-\:-"

Y DEI. F,S I'''-t lt)

(Págs. 205-207 )

T..,rtma 69. T...,mna 10. 273. T.., ......... 11 . ~7 1.

~72.

I'unll" imporlanlt '

/1) E.xplicar 10 que: sign irica unidad común de mC'dida. b) Anali:r.ar el teot"ema 69. r } A panir &-1 teorema 69, demostra r los teoremas 70 )' 71. d) Ejt",-..:id05 que rlld liten la comprensión de est05 teorcmllS.

J:jcrdriu", adklOnalc-. L 001

lt'Ctán~lIlos

son iS"alcs. li tienen igualcs las bases y las alturas respocti"a-

mt'nlt' ,

2. Si dos re<'"1;;nguIOl!i litonen lal altul'lH iguales, "'S área'

""".

!lOIl

propottionak-s a la~

:t

La r:uoo de las á reiU de dos rect.íngu los es propol"Cional a la ra:ron .Id producln de las brucs por 511~ alturM.

4

Si o:n la figura, .A es <";1 punto medio de Be y DI:: Y B15

nCE, demo.ura r qUl' ('1

.c-. .c-. área del ¡ri;íngulo BOE es ig ua l a l a rca de l lriángulo BCE.

e D

A

B&:::::::--::::>"E

&.101

.... RE .... S

.;,

Si en la figura. U es ..1 punlo medio de MN Y BD, Y ABCD es un paraklogramo. qll(' el are.a del paralelogr:uM ABNM = ¡rea del paralt:logramo

demostrar MNCD.

D ~-------------, C

f------4~-----i N O

A

'-------------:>J S

RtsplltJta: ,

CaJif"lcaciOn_ _ _ _ _ _ __

..",

CWMETRIA PLANA Y DF.L ESPAC IO

( Pig50 207-2(9)

66 Sc~d..nel

174. T.,."nna 12. 115. Teomna 13. 176. CoroLario.

Punto!; importantes D) Memori7.é1r la fónnu l... que nos da el área del ~t.ángulo. b) Deducir el área del cuadrado a partir de la del rectángtlJo. e) Mcmori7.ar la rómlU la del área del cuadrado.

Ejercicios adicionales 1. El área de un cuadrado es igual a 60 cm', Encon trar el radio del drt:ulo en que puede 0 la1 inscrito. R nptt~do. .·

•........ .. ... .

2. La diagonal de un rcctángulo m ide 10 cm y fOTrlla un ángulo de 35° con un lado. Hallar el área dd Tel:lángulo. RespurJltI .- .... . ................ .

3. El área de un l'ectir.ngu lo es de 43 cm' y un lado midl" 6 cm ; cm:ontrar el valor de la diagonal del rectángu lo.

R t spuuta: 4. El lado de un cuadrado mi de x -

2. f.nconu-ar

Su

área.

5. Un terreno está valuado en $300.00 el me tro cuadrado. Si mide 18 lJl de lado y el terreno tiene fonna cuadrangular ¿ cual es el preóo de dicho terreno ? R C.J/IIUJla " " . • • . . • • . • • • • • .

Calificación'_ _ _ _ _ _ _ __

AREAS

-277. 278. 279. 280. 281.

Puntos

( P~

2Q9.212 )

E.-1 03

67

Tn>nmII 74. TtortlTUl 75. Corolario l . Corolario 2. Corolar;". 3.

importallt~

a ) Area del paralelogramo. b) Razonar con respec to al área del paralelogramo y la del Ittto'ingu lo. r) Melnoriotar el Ílrea de l triángulo. d) IJcmostrar el corolario I )' 2. 1") Recordar la definición dc equivalencia de figuras gtQmétricas.

EjerdciOl adiclo nalcs Si las o'i~a5 de un rectángulo y de un paraklogramo son iguales, ¿ cuál ~rá la altura de l paralelogramo si iW base m ide 10 cm )' la ba\e )' la alt ura del rec tán· gu la miden 14- y 12 cm, respectivamente? R elpUf!J l tl

2. Encontrar el área de la figura !ig\liente:

5

'
2

3

Si un triángulo )' un cuadrado tien~ áreas )' bases igua les, y el lado del cuadra. do es de 7 CJll ¿ cuál e~ la al tura del triangu lo? R t"1 pUf!Jl"

4

La hipotenusa )' un lado de un triángulo rectángu lo miden 24 y 17 cm respecti, ·amente. Encont rar el área del triángulo rectángu lo. R up Ul!JI "

E- ",.

.)

C roMETll l A PL.\ XA V DEL ES PAC IO

Expresar el area de un paralclo¡.:ramo en fu nción del án'a

R eJpueslll :

C .lifkaciOO~

_ _ _ _ _ _ __

.-\RL-\S

E- IO)

( Págs. 212·214 )

68

S«cion.-. 282. Teornn. 16. 283. T..."...,... 11.

)'untO!>

importanle.~

a) Ocducci6n del teono,ma 76 y 77.

b l Aptit'aó6n d.. \os teoremas

antcrio~

F.jercicioo. adicionales

en ejercic ios d ¡\"CI"5OS.

L'!.

_

Encontrar el área del triángulo ABC si li D = 6

ni.

__

/ ....

/t E = 7 m. BD = 1 m. DA E

'"

- 60" Y á rea del triánK" to A DE ... 18.19 m'. B

E

A

2

En la figura IIoigu imtc, si A C = R IU. A e' = 9

In.

e

"

Y área de l ABe = 30 m", en·

"

contrar el área del AB'e'.

••

• L----~,"
En la figu ra anterior, i!oi AS = 6 ni, área del triángulo AB'C' = 60 m" y área del triángulo ABe = 50 m". enco ntrar la magni tud del lado AU

CEOMETRIA PLANA Y DF.L ESVACIO

E-106

"

4. En la figura antcrio" si -A8' = 3 -AH Y área del ABe = 10 lO',

~ncontrar

d

'"

área del A8'C.

RCS/J1l.esto. ".....

!j.

~

-

-

En la figura anterior, si ¡fUe' = 2 ABe)' ¡fe = 3 cm, encontrar Ae'.

R espuesta Ca l ificación~

_ _ _ _ _ __

E-l01

.'\RE.... S

69 Scc.cionct.

2M . Trorrma 78. 285. T~ 79. 286. T"",rrma 80.

PtJ ntos importantes a ) Memorizar la f6nnula del área del triángulo en funci6n de ~us lados. b) Ikducir de esta f6nnula, el á ...... a dd t.i:ingulo equilátero. r) Analizar la f6nnula del á ......a del triángulo en función de ~us lada!; y dd radio de la drcunfcrencia inscrita.

EjerciciOli adidonaks Los lados de un triángulo

!!OfI

6, 7 Y \O m, I""C$ptttiva.mente. Hallar

MI

área.

R"Jp,us!/J

2

En un triángulo, un lado mide 3 m, otro lado 5 a 3.75 m . Encontrar el área de dicho triángulo.

In

Y su w:miperímc tTO es igual

Rnp"tl!/J · 3

El área de un triángulo es igual a 2A cm" y dos lados miden 9.5 y 7.A cm respecti\'amente. Hallar d valor de su sc:mipenmetro. Rt .•p"tsfa .

4

El án:a de un triángulo equilátero

el

igual a ¡3 cm'. Encontrar el \"alor de l lado.

Rrs p"".'!/J

5. El scmiperimctro y d área de un triángulo miden :1 cm y V3 cm' , respe<:ti,·a· malle . Enrontrar d radio de la circunfen:ncia inscrita en dicho tri.ingulo. Rn p"tJta .

~ir~c~n,

_________________

E- 111fI

Gf.oMf.TRJ\ PlAS'" y DEL f,SP ... C IO

70

( Págs. 217-220) ~r;on."

1117 Trornna 81. 1811. T ~ma 82, :!R9. l :orol,.rio. 290. Tror ••"" 83.

l'unlO" inlp"rlanlc-.

nJ

Om(epIO~

qtlt" cldX'n lT"1t"UlOrizarse. Area d .... lri';ngulo I'n fu ndón de

1>.11

lados y dd radio de la rirnmferl'O("ia

drclln~1Íla.

Area del rombo. Area del ruadrado "n flllw;ón de IU di~nnal.

Area del lrapc<::io.

bJ Comparar las fórmulas del ¡irca dd ("uadradu t"n rtln("iim dt, su dia~lfIal r la tkl rombo. r J E~ribir las f/lnllula.< de las :in'as c.m palabra.~ r mtnlO1Í7arlai di' esta mam' ,-a.

Enronlrar la {{mllula del radio de la c i.cunferen ria ("i rcun~rita en un ni';ngulu. I'n funC"iún de 10l< lado" ílllica1111'ntl' de d icho uiánffulo.

~. :!

Si IUi ladO$ dt· un tri.íngulo midc,. 1, 1.5 r I! cm, nspccti\'lUl1t'tllt', t.'TICOIltra .. ,,1 :,n'a y el radio d .. la rirrunferl'nda cirrunsrrita en dicho lri¡íngulo.

R. 'I"""a; El á rt'a dt, un rombo

t'l<

igua l a 28 cm' , Ellctm lrar el \... Ior dt, la

dia~nal.

La diagonal dt, Un cuadradu mid t, 6 nn. Halla.' su area. R, j"/Ju'JIQ: í

l )anoslra, que el :'tea de un I'"il.p«io CI igual al IJI"Ixlucl
R"I¡ur"Q'

( :a lific.u itÍ,.

( P~s.

220-223 )

71

<;n ... ionr.

'191 '192 '191

f'unl Ol
Tron'm:t 8~, T.."..IT\:& R.'1, {'-orola"',

imporlanl~

,,¡ t'ollt'rplU!l "1"" dl'lJf11 Arra An.'a lo ¡ t:',ndiar ,l Alm li'/ ar

Ej,'rckin,

nl<'''IO,;,a~-:

dI' un IlOlí¡:¡nnn regular, IIt'I ...irl'"lo, In!; t<:Ol1"m:lS 84 , 85 lO!< l'ulKrpl,"; de 'lími,r jJarll la u" ",ostrari6n lid ,i n 'a , k'l dn'"l..,

adicionll l~

El :1Il!a dI" un pt'I1I,igonn ,... igual a 23 111'. E,,"()flt,'¡If ,,1 ,al".. ti.' ..., ladn.

Rifpur,ln !

E" ..nnlra" ,·1 :",'a &.' 1In tri:UlJilu lo eo.¡ui l.J trro si 5u ;\11011""" .-,c i1.(ual a 2 \ '1 cm

Rn/lIl1' ,' n

El an:a ti,· una cin:lln(c ..'n.. i::a .'5 '!{Iml a 20 "" . Ha llar d lado ud IICIII.J.I;!Qf1" inlol'nlO o'n dicha ..i,-run r,·rrnria.

R. ' /,ur, ' n ;

La .tJJOh'ma d., Un hcxá,'cu"o C'I ij.(lIal a 13 cm. H allar rI , 'alor d.' la r:';rún ,lo- la_ .;1('35 de la rirnm rermria I'irruru.crita ~ .,k o.Ii .. hn polígon... R rJ pUI'fl n

<.:aliriCJ;ción

CEOMET R Ii\ Pl-Ar'A Y DEL f.S PAC IO

E-IIO

72

(Pap. 223·226)

""""'"

29-4. T.orans 86. 29~. T.on:ma 87. 296. C.omIario. 297 . Scclon:s (i rcubra

"'nltj~nlt •.

298. T_ema 88.

PunlOS importa ntes a) DecJucd(¡n del área de una curona circular. b) MellloriVlr la fórmula del área del St.'Clo,· circu lar. t) Comparar el área del St:Clnr circular con el área de un triángulo que tenga por base la longitud dd arro !.le! 5'.."CÍor y por altura d radi
2. El ;"u'ea de una cOI"na circular el ig>.l al a 33 m" y su roldi
111 .

Rl'Sp u ~JtI1. :

3. Em:ont.-ar d iinguln central de un arco cuya longilud es de 12.,. cm 5i d área del SCClOr circ .. ]ar CII igual a 48" cm". RCJpu~Jla

4. Si el área de uo SO,."ctor de una circunferencia de 4 m de radiu mide 16 1112 , en· <:im trar el área del St.oclor tc:mejanle al an terior en una circu nferencia d.. 5 m de radio. R l'Sp ut!5IIJ

5. Enrontrar el área d.... n sector circular de 60" 5i el radio de la circunferencia el igual a 6 CIII . R n pU fJtIJ ' •...••......•.•.••.•....•..••...••...•..•

Ca l i fi cación~

_________

E·1I1

73

(Págs. 22&232)

........

299. Twl"l'fNl 89. 300 Corolario.

11ll

Area del segmen 'o rlrculH .

PuntOli imP'""lanlCS

n) lkduclr la fónnula para ralcular el

arca

dI'! trapecio circular.

bJ Equivak.'Jlcia ent re el trapecio circlllar }' el t ra pecio

"~tílineo. eo.,dicioncs. e) Ramnar la forma d., hallar el arca de u n sq;men to rircular. d ) H aur ull resumen de fórmu las para la ap)icaci/lll
EjCTCiciO$

adicional~

l . Encont rar el :írea d(' 1m t rap<..-cio circular limit ado por dos rad ios q ue forman un ángulo ct... lIra l de 25 n y por dO!! arcos de radins 28 y 35 n n, resp<..'C tiva nM....' te. Hi"f/J.U'Jl n·

2. Eoa:oo,trar

1' )

área de un

5l."glllenLO

ciTl"ular !;.i el radio de la circunfclftlcia eS de

8 cm " ~" á ngulo cen tral es de 75° . R rsputsln .

3. H alla r el área d e un ~gmeTLIO ci ....... lar ¡j su c uenl.a mide.- 20 r m y C!.Ta a UTL a di~tancia de 4 cm del n'l1Im
4

H allar el a rta de la figura siguiet,¡e:

+--12an---+

4cm

Hupuenn .

4cm

[..11 2

GEOMET1lIA PLAlSA \' DEL ESPAC IO

5. Hallar el área IOmbrcada de la rlf!:lIl'a 5iguiente donde " Y r. la$ cil'('unferenc::ia$ cornspondit.'IlIL'S.

$Ofl

10$ radios de

Calirtcaci6n_ _ _ _ _ __

74

Rectas y planos St:cco.:-s 30'2. D~t(rminadón &'1 pl~no. 303. Posiciona ~ duo plano.. 304. POIiciooes de una 'KU y un plano. 30~. POIic:ion"" de duo rc<:1 .... n l d rapacio. 306. T.,.,..,ma 90 307 TlPOftma 9 1 308. Coo-obrio. 309. Teortona 9'2.

PunlOS

importan~

G) " .. Illil;lr l-u d;vena, ' onl1M de clcto:nninnr un plano. bJ Comprobar que las ImicaI posit;iont.'I que pUl."tk'fl lencr (los planos en t re sí son: cmta~ o ser paralelos. r ) Determinar las posiciones que pUl.oden ocupar una "-'tIa 'J un plano. Igua llllente ¡JaI1l \;u posicionC$ de dos "-octas t.'rl el <:$pacio. d ) }ntent.'Cciones de dos planos paralelos cun un (.,rcer plano que los corte. ,) Anali:tar los tt.'Oremas 91 )' 92.

F.jcl"CiciOl adicionales ¿ Puo.:tle odcmlinarsc un plano pI.Ir dos puntOll? ¿ Por

tref

puntos situados

t.'Jl

una

Illlt.'a recta ~ ¿ Por qué? RupllullJ ;

2

¿Es posible que la inlcOt.'CciÓII UC
$I'a

un ¡JoIIIIIO? Dar razona.

R ' ¡ PlltSIIl O .

,

¿Cuá ndo

H'

t:lImpl.: que una n.l:l a )' fllI plano ¡ienero más de un pun to común?

Rtsplltsttl:

4. ¿En qué caso d•• rtttas ticnt:ll más de un punto comun? R l'Jp tJ.flisla ·

}:·1I3

E-IH

GEOMETRIA PLANA Y DEL ESP .... C IO

5. o...mostrar d teorema siguiente: Una recta pcrpcndiclllar a otras dos que se intenecan, es perpendicular al plano fonnado por diclllu; recta¡.

RnpuestD.

CalirlCación_ _ _ _ _ _ __

RECTAS Y PLA."lOS

75

(P5gL 236-239)

s...:c...... 31 0 . Tcomna 93. T~nn" 9f

'11 . 312.

Tco~na

95

'U. Tcornna 96. " . R""la I"'l"JKndicular a un plaoo

Puntos importantes D) Analizar 1m teoremas 93 )' 94. b) E~tudiar delcnidamenu: el IL'O,ema 95. l) Ot."rTKlSlrar que 1011 5tg:lle nlOll correspondientes '1m: K forman al cortar dos r«tas CO<1 un ,.lslc",a .Ie ¡.>!am.., ..... \ ¡.>rupon;ionalcs. d) M"'!l
Fjerricios adiciooaks ConIe!>lar ron FDlso (1 l'erdDdno 105 si¡;tuienlCl enunciados; Si un plano cuna a uno de dlll planos pamlelm, Nllla lambi":-n al otro. Rrfp .. ~Jttl :

2 Si dos plan05 ton paralelO!! a un millfflo plano; I ~", una TeCla Ct">rT1ím. Rl'Jp" rJfn :

1

Dos

rectM l>Bralcl3.!i a una terttra li':"I1m un punlo

c"mim.

Rl"Jput'JlrI .·

4

Si M.o (ilrla.l dos rKla~ ror un par de p131105 paralelos, los wgrTlL'1l1l» dierllcs I00I\ proporcionalCII.

ru~pon

Rn put$l tJ ; 'j

1/na rffta el p"rpt."ndirular a un plano si CI perpendicular a "na de hu n:ctas del plano que pa!'ll por la intcl'St:('ri611. Ra pultJtn ·

Caliric.ación _ _ _ _

E- 11 6

GEOMETRI .... p!..AN .... y DEL ESPA.CIO

76

( Pigs. 2:J9.242) Su..... 3 1 ~. Disuoncu. de un punto 1' . un pI .. no ... 316. Paralel;""'" y perpo:ndiculan
PunICS importantt3

P a un p lano .... b) Comprobar que dos rectas paralelal !IOfl pcrpo:ndk:ulard a un plano, si y $Ólo si una de las rectas di perpL'Tldicula r a dicho plallo. e) V isualizar dos planO& paralclo& l.'Tl el I'!Ipacio y la d islancia. entre dichos plallOl. Comprobar que esta distancia es la mínima que l.':IIiste entre los planos. dJ Memorizar 105 conttplos de: Angu lo d iedro. n) Analizar cuál di la d istancia de: un punto

Caras del di.....Jro. Amtall del diedro. Angula recti líneo de un died ro. Angulol d iedros consecut ivO$. (") Definición de igualdad y desigualdad de áng ulos di..-dros.

[jade;c)) adkionaifoc.

'"

l . ¿ Cuál di la distanda del punto P al plano de la figu ra, si APB es perpendicula r al plano, AB = 16 cm, AP = 12 cm y BP = lB cm? p

A

Rt'spUfila: . .... . . .... .. ... . .... .... . . ....... ...... . ...... 2. ¿Cuál

L'S

la distancia t:ntre dos planos paralelos?

Rnpu,·s/a . .. .......... ... ...... .

. ...... .

RF...CT .... S y I>l.ANOS

3 Explic.u lo

e

un ángulo

t-117

dirdro.

Rup"f'.,a .· 4

En la fiSura siguientc, encuenlre UUIi pares de ingulc. uRodros COfue(lI ti."tIi.

"

•

5

G

¿ Puak.... tener una ari$ta r.omún tJ05 flnguJOI diedros? ¿ Puedcn wnc r una cara ronu'm ~ i: Por q"¡;?

H.,." ..tsla CaJificación, _ __ _ _ __

[...118

GEOMETRIA PL'\NA Y DEL ESPAC IO

77

(Pigs. 242-245) y."dont< 323. Planos "".-pendiculares. 324. Plano biJ.tctor d~ un ingula dirdro. 32!i. Proy«eión de un pU",o A aobr~ un plano .. 326. D,na".,ia ~n!r~ doJ f'tC1", q~ .., cru~n . 321 Angulo polit:dro convuo. 328. Sección plana d~ un ingulo poIirdro. 329. AnllUIoo died,... en un "'lulo poIirdro.

l'unlOS impolfUntcs a) Odinici6n de planos perpendiculares apron:chando la definición de ángu lo

diedm. b) Comprobar hu propiedades de los planos. e) Perpendicularidad de: los planos bisectores de d~ diedros adyacentes. d ) Proye<'tar di\-ersos pun tos sobn: un mismo plano y vuificar el paralelismo de las perperodiculares bajadas de 101 puntOl al plano. ,) Anali7.ar cuál cs la d istancia entn: dOl rec:tIU que guarden difen: ntes posiciones en el espacio. f) Memom.ar los conceptos siguientes: Plano bisector de un ángulo diedro. Angulo poliedro convexo. Angulos diedros en un ángulo poliedro. Sección plana de W1 ángulo poliedro. f. jercicios ad icionalt\ 1. Demostrar: Dos planos !iOn perpendic ulares entre sí, si uno de e1\ca fonna con el otro dOl5 ángulos diedros adyacen tes iguales.

Rr ,put:sta, . . ... . .

2 Demostrar: Si de: un pun to interior a un ángulo died ro tr3UrTlO5 las perpendiculares a las caras del diedro, el plano de:ten ninado por las rectas perpendiculares ilt:rá perpendicular a las caras del diedro.

Ro put:Jta :

3

Demostrar: Cualquier punto que equidiste de las caras de un angulo diedro, está contenido en un plano que biseca dicho angulo diedro.

R'¡/Jue ,ta

R ECT AS 'r' PLAN Os

E·119

4 La distancLa dd punto P a la arista del wgulo diedro recto ABMN es igual a 30 cm ; encontrar la distancia del punto P considerado a las caras del diedro, li di<;ho punto está con tenid o en el plano bisector del Angulo diedro recto ABMN

~ p

B

A

5

Un segmento de recta que mide 18 cm forma un Angulo de f:I:1' COIl un plano ... Encontrar la longitud de su proyttcibn en d plano ...

Ca lif icació n~

_ _ _ _ __

&-120

CEOMETRIA PLANA y DEL ESPACIO

78

(Págs. 245-249)

........

330. An..,lo trir:dro. ~31. CluificaciOn de 101 332. POOcdro COf)Ye1W. 333. Poliedros regula_.

l~roI.

Puntos impot1ant" IJ) Memorizar lo que " un ángulo triedro. b) Definir: triedro rectángu lo, birrectángulo y trirrectángulo.

e) Dibujar un poliedro convexo de acuerdo con su definición. d ) Memorizar el nombre de los cinco policdrm n.:gulare5 de 4, 6, 8, 12 Y 20 car.u respectivamente. ~) Comprobar que (micamenle hay cinC(l poIiedTO$ regulares convel(()S. Ejcn:iciOII ad.donales Definir lo que es un angul0 triedro. RCIPIit!du : .. ' . .. .... .

2. ¿Cuáles son 105 triedros isósceles? Rt!Jp llt!stlJ : . ••••......••.......• . ••• • •••. .. . .•••..... .. . . . . . . .

3. ¿Cuál es la propiedad

4

rnfu¡ importante" qUe"

tiene un poliedro

con~?

¿CuánlOli poliedros regulares oom'exO$ e"xisten y por qué rawn? R CJput!Jl a

, • . . , ., . . , . . " " , . , ... , .. ,

5. Dado el numero de caras de los poliedros regulara, escribi r pond it:nte" a continuación de cada uno de ellos:

$U

nomb re

COrTes-

4 caras - - - - - -6,~ ------

8 caras - - - - - - 12 canu - - - - - - 20'~ ------

Calilicación- _ _ _ _ _ _ __

Prismas y pirámides

-

...

79

(Pipo 251J.2S3)

5 54. Priarna. Definición y dMlCl'lIOt.. SS5. Panlo.leplpedo.

' '6.

OrtOEdro

3S1.

c..bo.

337. Teonnuo 97.

" 9. Romboedro. S40. Pirimide.

Puntos importanla a ) Mcmoriu.r los conceptos de :

-

b) e) a)

r)

PNma.

Prisma recto. - Prisma oblicuo. - Paraldepípedo. - O rtocdro. - Cubo. - Romboedro. - Pi r.imide. &ludiar lo que 50n las caras latttaks, aristas later.r.1C5 )' allu ra de un prisma.. C lasificación de los prism as. Verifica r que en el onoedro, el cuad rado de la diagonal es igual a la suma dI!' 10$ cuadrados de las tres a ristas que conc urren e n un lI.u.no ,·';rtice. Notar q ue la aplicación del teorema de Pitágoras es k> mfill importante para realilar esta den'lOStraci6n. Oasificaci6n de las pirámides.

1. Defin ir lo q ue es un prisma. R'Jpll~~ta '

2 ¿Cuánto mide la diagonal de: un ortoedro si sUl ladOl miden 4, 6 Y 8 cm respet:tivameruc: ?

"

¡)educir la f6nn uLa. de la diagonal de un cubo en función de un lado l . Rnpuuta: ... E-1 21

G OOMETR1A PLANA Y DEL ES PAC IO

4

¿ Q~ n Ul'!a pirámide? R l'IpUl'Il fl .

~

¿ El'! qué sr basa la clasificaci6n de 10!5 pirámides? Rt'lp"~Il(l '

Ca lir icaci6 "~

_ _ _ _ __

PRI S MAS V P IRAMIDES

&.12'

(Págs. 254-257 )

80

s.".....,

341. Pirlmidc ",... Ia. 342. Teorema 98. 343. Arru
Puolm importan tes a) Estudiar e.I teorema 98. b) Memorizar los concepto. de ; - Pirimide regular. - Apotema de una pirámide regular. e) Ana/ilar lo que es el área tOla l y el área lateral de un prisma o pirimide. d) Deducir las rónnulas del área lalel"1l l y total de un prisma rr.("10. ,.) Delenninar las divenas rectas ronnadas en prisrn:u diferentes.

Ejercicioo< .didooll'n

l.a altura de una pirámide de base cuadrada es igual a 16 ILI Y el área de una al plano de la ba5e y a 6 m de 61a, es de 56.25 m'. Hallar el área de la base de la pirámide.

§C:CCibn paralela

Ru puCJta

2 Encont ra r el área laleral y el área total de un pnsma n:cIO de 7.5 cm de alto. que tiene por base- un pc-:ntágono cuyos lados miden 3 cm. R(sp~j t a

3. Si el área lau~ral y tolal de un prisma reciO miden 85 y 200 cm", encon trar la altura de dicho prisma si Su base es un octágono regular.

R.'sp ..~sta · 4

Encootrar el área lateral de un prisma recto si su base es un triangulo equiláu:ro con un área de 15 Clll" y 51.1 altur:a es igual al Iriple de la magnilud de un lado de la base. Respucjta

",

El perunelro de la base de un prisma recto mide 14 m y su área lateral n igual a 324 m~ . Enconlrar su altura. R,j pu~J ta Ca l i fi cació o~

_ _ _ _ _ __

[,,124

GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPAC IO

81

(Págs. 257-261) Mee",,,,,.

347. Pi.imide ~ular . 348. Tronco de pirimide. Area !ale ral y IDlal.

Punl05

impoctant~

a) Examinar d área lateral de una pirámide regular y memorizar su fórmula res. pecti\.a. b) Deducir la f6rmula del área total de una pirámide n:gu lar cualquiera, e) Esludiar lo que es un l ronco de pirámide y pirámide ddkiente. d) ESludiar cuidadosamente la fórmula del area lateral y la del área total de un tronco de pir:i.mide.

Eje~

adicionala

Encontrar el área lateral de una pirámide regular si el perímetro de la base mide 108 m y la alt ura de una de las caras laterales es igual a I1 m.

Rt'sIJlUSla

2

En oon trar la f6rmula del área tota l de una pirámide cuadrangular en fum:i6n de las diagonales do la base y de la altura de la pirámide.

Res/nusla ;

1

El perímelro de la base mayor de un tronco oe pirámide 1:$ igual a 85 cm ) el 5emiperimc:tro de la base: mmor es igual a las dos quinlas panes del perimelro d«- la base: mayor. Encont rar la apotema dd tronco si su área lateral mide BOO cm',

..

La base de una pirámide cua drangu lar m ide 8 cm de lado. S~ el afea total es igual al doble de l área lateral de la pirámide, enoontrar el valor de dichas áreas.

R.'s putsta : ., . . ... .. .. ... .. . .... .. .... . ............ . . .

5

H allar el área total de un tronco de pirámide hexagonal regu lar si las base5 miden 8 y ') cm de lado respectIvamente, y la altura del tronco de pir:i.m irle es de 5 CfIl .

RnplO tSla : . .. . . .......... .. . . . .. ..... .... . Calificaci6n _ _

82

Volúmenes de los poliedros

.........

IPigs. 262-265)

349. o.:rinic>one.. ,!lO. Teorema 99.

PuntOll imporlMltt:li

a) Memoroa.r la ckfinici6r1 de volumen de un poliedro. b} Estudiar la:¡ diferentn unidades que existen para expresar el \'olurnen de un cuerpo. e) F6nnula del volumen de un ortoedro.

E jen:kiOll ad icionales

Explicar lo que es volumen de un poliedro.

2

¿CuantO$ cm" hay en 18 m"?

Rtspwnta ·

1

~, el volumm de un ortoedro C1 igual a 25 m" ¡"ocontrar la altura de dicho ortoedro.

4

Encontrar la fónnula del volumen de un cubo en función de su diagonal.

.. 1 ,ír..a de la ba5e

101,,',

5 Si el volumen de un cubo el numéricamen te igual al duplo de l cuadrado de un lado de dicho cubo, encontra r el lado y el \"Dlumen del cubo. R es IlII.I'Jta '

Calirteaci6n_ _ _ _ _ __

E- 126

CEO M ETR IA PLANA Y DEL ESP .... C IO

83

( Págs. 265-268) SKcio...... 351 T e(If'ftna 100 352 T~ /0 / . 353. TtOrema /02. 35-4. Pri"".. igual ... _ 355 Prisma u\H""'do.

Puntos importantes

a) EslUdiar 106 teoremas l OO, /01 )' 102. b) Igualdad de prismas, Propiedades. r) M anoritar la defin ici6n de prisma tru ncado.

Ejercicios adicionales Contestar con C¡' t/o o Fnlw los &Iguicl'lles et>unciado!;: La rlUÓn de los \"O lúmellC$ de dos pirám ides de igual bale es igual a la raxón ce sus alt uras respectivas.

RHpunla 2. I.a razón de los \'olúr=ne de dos pirámi des de producto de sus bases respect i\·as.

~al

alt ura es proporcional al

R"pU'Jla

3. La razón de los "olümcnes de dos ortoedros es igual a la r:uón de Jos productos de dos de sus dimensiol'leS. R"p ul'J/a 4

Dos pri!.mas rectos que tienen iguales sus bases )' sus alt uras, tienen diferentes areas laterales.

5

Prisma truncado es la po rción de prisma comprendida entre la bale )' un plano paralelo a dicha base q ue corte a IOOas las arislas laterales. Rl'Jpuclla Ca l ifi cación~

_ _ _ _ _ _ __

\'OH MENES DE LOS POLIEDROS

[ -121

(Pág5. 269-272)

84

Medon" 356 PriIrruo. H¡,.;-":nl ..... 357

T,..,..,....

103_

3S8. T ronm. UH . 359. TcorerTUI lOS .

1' "nl05 im porlantr'l 0.) Estudiar la equivalencia. de prismas. VerifICar la igualdad de \·oIUmenes en pris-

mas a¡uivalentes.. b ) IkmosIrar la. et¡uivalencia que existe enlre el prisma oblkuo yel prisma recto,

y las condiciones n«earias para que se cumpla esta

~uiva.lencia.

r J Menx¡rt7.ar el volumen de un paralelepiprdo recto. ti) Deducir el \'Olumcn de un par.delepipedo cualq uiera.

rJUcicios ad icionak-l Si el volumen de un paralelepípedo re(:lo r:s igual al doble de la base y al lri ple de la altura, encontrar dicho volumen. Rn put!Jl fI:

2 Expresar el volumen de un paralelepípedo recto cuya base es un cuadrado, en función de la diagonal de la b
. .. , . .

1 ¿Cuándo 100 dos prismas equivalentes? R r' pucJta

-1-

Escribir los caracteres que tieM la equivalencia de prismas. R l'SputJt a:

5 ¿Qué condiciones deben exi$tir para que un prisllla oblicuo sea equivalente a un prisma recIO? R rJpun tfl

C.li f ica c iÓf!~

_ _ _ _ _ __

[.L28

C EQMETRIA PLANA Y DEI. ESPAC IO

85

(P,ig§. 272-275) s",( ciOil."

360. T....-ana. 106. 361 . To:on:ma 107. 362 Tf
Punt", importantes a) Descomponer cualquit>r paralelepípedo en dos prumilS triangulares «juivalentes. b) Estudiar 1'1 !I'Orellla 107. e-) QefllOlltl1lr la equivalencia quo: exi$to: entre dos tCU;tOOI"Oll do: igual altura y bases equivalentes. d ) Ro:cordu la definición do: límite.

Ejrn:t.=ios adJcionab Encontrar el \"Olumo:n del prisma triangular de la. figura:

~ I ~

' ,= I

,,

10 cm

I

........

..... ...l ....

-,

RCJpueJla ." 2

Establecer la fÓrmula del \"Olumen de un prisma triangular en función de la altura y los lados de la base de dicho primla. RnpUl!lIa

3. ¿Cuál es el límite de los "olúmenes de los primlall inscritos en un tetraedro?

Rt'PUU la ; 4

¿ Por dónde debe pasar 1'1 plano que: divide a un paraldeplpedo en dos prismas triangulares equÍ\'a1cnto:l? ¿ Por qué?

-

E- I29

VO LUMENES DE LOS POLlEDIlOS

5 Encon trar la f6rmula del volumen del tetraedro regu lar en función de una de

""""-

R t:sput:JIQ ; ••.•........•.•••.•.••.•.•.•.•....••....•..••..

________________

~lir~c ~ n

E· ] :lO

86

GEOMETR I A PLANA V DEL ESPACIO

_....

(Págs. 275-277 )

363. Teorema /09. 364

T,.,nma /10.

I'untfl(!; importantC"; Demf>lltl"ilT 4"" .. 1 ~·oh ' m~n dr! tetraedro es igual a !a tercera pane del ~'O!unlCn €k un pri~ma u ianl{ular €k la misma base e igual altura. h ) A pan" d,·! trorrma anterior, establece r la f6nnula del volumen €k una pirámide CUa" luiera. r) Memorizar dicha CÓt"mula ",p~da en palabras. (1 )

Ejercicio.. Adicionales De,nostrar ; ·'Toda pir.'midr base e igual al tura"

f'"S

la tel"Ce1"il pan e de un prisma que tenga iguaJ

... • . . •. .. ... .. ..... .. . ...... . .... .

R. 'P,..,!//I

2 Encontrar el volumen de una pir:i.lllid<: tuya base mide 106 igual a 12 m R("j pU~jl/l

m~

y

IU

aJ lura es

.•.. .. ••• . •. ..• . .... . ... .. . .. . • •. , •.• . . • .•. •• .. . .. .• ... •

3 Demostrar; ·'La razón €k lo!. volúmenes de dO! pir.imKles productos de ~U5 ba.ses por IU5 alt~ras" .

~

igual a la de IQS

4 Encontl"il r el \'Olumen de una pirámide que mide 7 m de al tul"il y cu)'a base es un rombo OJyal diagonale m iden 4 y 3.5 m. R("Jpu~Jt/l .

i

Derno5trar; lento".

"nos

picimides de igual ah ura y base, equi\'ak:ntes, $On equiva.

. . . . . , . . . . . . . , . . . .. . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . , . . , . . . . . . . . . . . . . , . Calific:ación_ _ _ _ _ _ __

VOLUMENLS DE LOS POLIEDROS

(p.... 278-282)

.........

365. T COfc.... 111. 366. T~ma 112.

367. Volumen del lronco dt pirLnidc de buco !)Ualela.

Puntos

important~

G) Memoriur el teOrema 111 }' demoslrarJo analizándolo cuidadosamente. &) Establecer .la f6nnula del teorema anterior. ~)

Estudiar detenidamente el teorema 112.

dI Deducir la fórmula del volumen del tronco de pir.imide de bases paralelas. Ejercicios adicioruroles Encnntrar el volumen de los trorlCO$ de pir:i.mides siguientes :

2m

4m

,

Ru pUI'J'lI . . .... . .. .

5cm

87

C[OWtTIlL\ PLANA '\ D[1. UPACIO

:1

f. _ 5 cm f. _ 8 an , _ lIan

Rtl/l"~Jla .

.. . ............ .

• •

,

Rc. plUJUJ ' ••••.•.••.•••••••

Cuerpos redondos

88

(Páp. 283-288) ~cio>MJ

368. Suprrficie d~ """""ció... 369. Cilindro. lalenl , 1OC.d. Vol .......... 3 10 . Suprrfio:ie o:6o.io:. do: ~oIuci6n. 371. Cono ci"""lar rn:lO. Ana. b.l~ ., IOlal . Volumen.

""..,aI

Punto-.

;mporta.nt~

a) Entender lo que es una superficie de revolución. b) Estudiar 1u ronn:u de tn~ndnr lu l u perficiet de un cilindro, de un cono y d~ una esfera, d Establecer lu fónnulas del án:a lateral, total y del ",olumen de un cilindro. 11) Memorizar las dcfiniciones siguM:nta ; - Cilindro, - Volumen del cilindro. - Superf>Cic: cónica de l'e\'OIuci6n. - Generalri..: y directriz de un (.'OnO. - Cono circ ular rrocto. e) Deducir las fbrmulali dt-I área lateral, tOla! '1 del volumen del oono circular I'ttto.

F.;andm adicionaln 1. ¿Cómo

~

engmdl'1l una .uperficie de revolución?

Rt!Jp." ,to ...

2

Encontnr el án'il laten!. total y el volumen de un cilindro de 6 m de alt ura y 3 n1 de radio.

R"pucJla 1

¿Qué superf'"acja engmdran a un cilindro, a un cono y a una aren ?

4 Si el ';',ca. lateral y el i rta total de un cono circular midm 43 y 65 cm' respectiV2mtntc, h,lIar el valor de la generatriz y d~l radio de dicho cono. R CJ punftl ; • . .•. .. . .

.• . . . .•.... . . . ... . ..••...... .

1-133

Cl ' ERPOS REDO:>;DQS

(Pigs. 288-294 ) Sr........... 372. Tronco do: ~ono. Atu. lal~fa! r 'Ola!. 313. S.. ~tfirie nf'¡rica l' esfera. 374. p.,.i. 376. Figu r.. ~n la suP'!tficie ... f"rica r "n la eof"r:>.

89

PuntO'! importanll:'l a J Memorizar las deriniciones siguien tes: T ronc:o de (ono. Superficie eslérka. Esfera. Casquete esfl'óric:o. St.'gTIlCnto esférico Huso 15féric:o. Cuña esffrica. Triangulo esfiric:o. Angulo esfénco. bJ Deducir IlIS f6rmulas com:spondiemes al área lau'ral, lotal y al volumen del tronco df' cono. el üludiar las posiciones relali\'as de una f\':Cta y una esfe ra. d ) Obtención del cono y del cilindro circunscritos Cf1 una esfera determinada.

[jo:rc,cio
Encon trar el valo r de l ;Í,rea lateral y del atea tolal de un lronco de cono que mide 8 y 6.5 cm de radios y cuya generatrü forma un angulo de 45° con el rad io mayor.

2 H al lar ,,1 ,'olumen de un tronco de cono que tiene un a allura de 16 m y cuyos radios miden 9 y 7 m respectiva mente. R U pueJla

3

Derinir lo que

el

un casquete esférico y un segmenlO esférico.

RfSpueJla ,

4

¿ Cómo se llama la porción do: superfido: esCenca ¡imitada por dos semicirculos n'l:iximos?

"'36


5 ¿Q.x. es un ingulo esférico? ¿y qué

el

un triangulo esf"rico~

Rnp"eJltI: ..

Calificación~

_ _ _ _ __

C UERPOS REDONDOS

_....

90

(Pigs. 294-3(1)

371. Area. de una esfna y de fiprN eJUicao. 318. Relaei6n enl,., el "ca de una esfrn. y la dd cilindro cir('una<:lÍlo. 319. Volumen de: la rafe .....

Punl05 importanl"

pasos necesarios para encontrar la fórmula del área de una superficie esférica. b) Deducir las áreas de una zona esférica )' de un huta esférico. ( ) Establecer la lónnula de:l \'olu~n de la esfera. d ) Me:morizar la fórmula del volume:n de: la esfera en función de su radio.

tl ) &Iabmr los

Ejercicio!; adicionales

Eno;'lfItrar el

area

de una IUperl"u::ie esférica de: 3 .8

lT1

de diámetro.

R U puut4: .. . ...... ...... . .. . . . . . .. . ...... ......... . .... ... . .. .

2

Si el radio de una ed"era mide 5.4 cm )' la ahura de un casquele esférico es igual a 3.2 cm. encontrar el área de dicho casquete csf-irico. R~Jpurstt1 :

3

........ . . . . . ............. . .. . .. •,. ........... . .

EnconlTar el volume:n rompN:'ndido entre la parte exterior de la esfera. )' la par_ te: interior de la figura siguiente: :

1

,.

-----

1

1- - - - " ' 1

Rn pu u ta : .. . ......•. . . . . ... ... . ... ..... . ..

4

Si el volumen de una nfera R ~Jp ut5t(1.

et igual"" a

283 cm\ encontrar su diámetro.

....... . .... . .. . .. . . ....... . . . .

&-," .s

GOOMETRI A PLANA Y DEL ESPAC IO

Encontrar el volumen oomprendido entre la esfcra y el tetraedro regular iruc:rito, si el radio lk la esfera es igual a 1 m.

/ I I I I

I

I

I ~\. \ \ \ , \

\

\

.... , ........

\

\.

........" \

, \

I::::::. _______~ R eJpul'Jtl2 ; •...••••••.••••....•.•......... . •...•••. • .. . . . . • .•. • .. . • . . ..

Califiadón_ _ _ _ _ _ __

Geometria y Trigonometria de Baldor

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