UTN – Regional Avellaneda
Álgebra y Geometría Analítica
EJERCICIOS RESUETOS RESUETOS !E GEO"ETR#A •
RECTA EN R $
Actividad !ado el %a& de recta' H → k ( x − y − )) + t ( * x − $ y − ))) = ( + 'e ,ide calc-lar. a ec-aci/n de la recta del %a& 0-e ,a'a ,or el ,-nto medio del 'egmento 0-e tiene como e1tremo' a lo' ,-nto' A23+435 y 62)(+$5 Solución: Encontramos las coordenadas (xm ,ym ) de M, punto medio del segmento AB, calculando la semisuma de las coordenadas correspondientes correspondientes de los puntos A y B xm
=
3 + )( $
=7
y m
=
−3+$ $
= −) ,
luego
M(7,!)
"e#emos encontrar la ecuación de la recta del $a% &ue contiene a dic$o punto, por lo tanto M, de#e satis'acer la ecuación H → k ( x − y − )) + t ( * x − $ y − ))) = ( Asignamos un alor ar#itrario y coneniente a k, k! *eempla%amos en la ecuación k!, x7, y! H → )( 7 − 2 −)5 − ))
+ t ( *87 − $82 −)5 − ))) = ( −7 → t =
*esolemos y despe+amos t
$9
− 7 − ( * x − $ y − ))) = ( $9
or -ltimo reempla%amos reempla%amos t en la ecuación del $a% H → ( x − y − )) + *esoliendo . . −
$9 :
−; $9
x −
9 ):
y
+ *) = ( , multiplicando a am#os lados de la igualdad por $9
, para lograr una ecuación m/s sencilla
Respuesta: Respuesta:
. . : x
+
3y
−
)7
=
(
Ecuación 1
0am#i1n 0am#i1n podemos resoler el mismo pro#lema encontrando el centro del $a% y luego la ecuación de la -nica recta &ue pasa por ese punto y por M ara encontrar el centro del $a%, resolemos resolemos el sistema
x − y − ) = ( * x − $ y − )) = (
El sistema es 2ompati#le "eterminado, admite -nica solución solución (3,4)
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El centro del $a% es 5(3,4) .a ecuación &ue pasa por 5 y por M tiene dirección d = 5M = ( 7 − :+−) − $ ) = ( 3+ −:) 0enemos un punto de la recta y su dirección, con estos datos escri#imos la ecuación sim1trica de la recta &ue pasa por M con dirección d
x − 7 3
. .
Respuesta:
=
y +) −:
Ecuación 2
6eri'i&ue &ue las ecuaciones ! y 4 representan a la misma recta •
<ANO EN R :
E=ercicio Adicional a5 !ed-cir y obtener la ec-aci/n del ,lano 0-e contiene a la ba'e SR<" de la ,ir>mide
Solución: ara o#tener la ecuación del plano necesitamos tres puntos no alineados del mismo, por e+emplo (48489), S(48989) y M(9848!) 5#tenemos las direcciones S M, paralelas al plano, pero no paralelas entre s S (98489) M (4898!) Supongamos &ue el punto ;(x8y8%)∈ pl π , entonces el ector ; (x48 y48% ) ∈ pl π , luego los ectores S, M y ; son coplanares por lo tanto el producto mixto entre ellos de#e ser nulo ;, 82 S, × M, 5 x
*eempla%ando y resoliendo
−
$
y
−
(
$
$
(
Respuesta: La ecuación del plano
π es
$
=
(
%
( −
−
=
(
)
$ x
−
3 % + 3
=
(
o
π : x
+ $ % − $ = (
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b5 !eterminar la medida del >ng-lo ag-do 0-e ?orma la ba'e SR"< de la ,ir>mide con el ,lano coordenado @8 El pro#lema de calcular el /ngulo entre dos planos no paralelos o coincidentes, se reduce a calcular el /ngulo entre sus ectores normales n8m
co' θ =
n m
.uego si n es la normal del plano π n = 2)B oB$5 (los coe'icientes A,B,2 de la ecuación, son las componentes de un ector normal a dic$o plano) y m = 2(B(B)5 es una dirección normal al pl ;<, reempla%ando en la 'órmula co' θ = co' θ =
Respuesta:
2)B(B$582(B(B)5 ) + 38 ) $ *
θ ≅ 26°34’
c5 !ed-cir y calc-lar la longit-d de la alt-ra de la ,ir>mide tra&ada de'de el vrtice D8 .a longitud de la altura de la pir/mide es la distancia desde el punto = al planoπ dist 2=+ π 5
=
Ax + By
+ 2% + " A$ + B $ + 2 $
*eempla%ando: ecuación del plano x + $ % − $ = ( y punto =(3898>) dist 2=+ π 5
=
)8: + $83 − $ )+ 3
Respuesta: La altura de la pirámide es
; *
unidades
ic8 Andrea Arce
