Geometria Analitica Eduardo Espinoza.pdf

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GEOME GEOMETRIA TRIA ANALITIC ANALITICA A PLANA TEÓRICO TEÓRICO - PR PRAC ACTIC TICO O • GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN • LA RECTA • LA CIRCUNFERENCIA • LA PARÁBOLA • LA ELIPSE • LA HIPÉRBOLA

• LUGAR GEOMÉTRICO

EDUARDO ESPINOZA RAMOS























































































PROLOGO La presente obra titulada “Geometría Analítica Plana’’ en su tercera edición, contiene esencialmente los temas que generalmente se desarrollan en los primeros cursos de matemática de las diferentes Universidades del País, así como, también de los institutos superiores. En el presente trabajo se expone en forma Teórica y Práctica en donde en cada capítulo comienza con enunciados claros de las definiciones y teoremas junto con sus respectivos ejemplos, seguido de una colección de problemas resueltos y problemas propu pro puesto estos, s, los proble pro blema mass resuelto resu eltoss sirven sirv en para ilustr ilu strar ar y ampli am pliar ar la teoría. teorí a. Se empieza el estudio del sistema coordenado unidimensional, en donde se de la distancia entre dos puntos, división de un segmento en una razón dada, la y sus ecuaciones, discusión de las gráficas, rectas paralelas y perpendiculares, distancia de punto a recta, ángulo entre dos rectas, etc., eri los siguientes capítulos se estudia la circunferencia, la parábola, elipse e hipérbola y lugares geométricos, sus ecuaciones y rectas tangentes y normales. Deseo expresar mis más profundos agradecimiento a mis colegas de las diversas Universidades de la capital, quienes con su apoyo moral y sugerencias han hecho posible la realización de la tercera edición de este libro Titulado Geometría Analítica Plana. Agradezco por anticipado la acogida que brinden a la presente obra.













































































































































































DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos.

RONALD, JORGE y DIANA Qüe Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guías de sus Prójimo















































































































































































PRESENTACIÓN La presente obra titulada GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA, del autor EDUARDO ESPINOZA RAMOS, es en líneas generales una edición revisada, corregida y aumentada. aumentada. El presente libro pretende dotar a los estudiantes de Ingeniería y Ciencias, de un texto didáctico y dinámico, en que el autor se ha esforzado en satisfacer las necesidades de maestros y alumnos. Se supone que los alumnos deben estar dotados de los conocimientos básicos de Geometría Elemental, Trigonometría y Algebra. El autor desarrolla y analiza los conceptos básicos necesarios para su aplicación de las diversas especialidades de Ingeniería y Ciencias, de tal forma que el estudiante disponga de una herramienta de trabajo práctico y comprensible. Por otra parte, ios frecuentes ejemplos y problemas resueltos que incluye en su obra, contribuyen a hacerla más interesante y clara. Conozco muy de cerca las cualidades académicas del autor EDUARDO ESPINOZA RAMOS, por haber ejercido la docencia juntos en las mismas Universidades del sistema. Se trata de un docente estudioso, investigador y productor intelectual que incursiona con gran éxito como escritor de muchas obras de su especialidad.

















































































































































































INDICE CAPITULO I 1

SISTEMA COORDENADO LINEAL

1

1.1.

Introducción

1

1.2.

Segmento Rectilineo dirigido

1

1.3.

Teorema

2

1.4.

Sisten’ ; (?oordenado Lineal

3

1.5.

T eo re m a

4

1,6.

Teorema

6

1.7.

Ejercicios Desarrollados

7

1.8.

E jercicios Pr Pro pu esto s

1

CAPITULO II

2.1.

SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL

15

Introducción

15

























































































GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN 3.1.

Introducción

39

3.2.

Discusión Discu sión de la Gráfica Gr áfica de una Ecuación Ecua ción E(x,y) = O

41

!° Intersección con los Ejes Coordenados Coorden ados

41

2° Simetrías

42

3®Extensión

46

4° Asíntotas Asínto tas

48

3.3. 3.3.

Ecuaciones Ecuacion es Factorizables

51

3.4.

Ejercicios Desarrollados Desarro llados

52

3.5.

Ejercicios Propuestos

66

CAPITULO IV

4.1.

LA LÍNEA RECTA

68

Forma de la Ecuación de la Recta

68

a) Forma Punto - Pendiente

68

























































































4.8.

Forma Norm al de la Ecuación de una Recta

89

4.9.

La Bisectriz de un Angulo

91

4 .1 0 .

Ejercicios Des Desarroll ollados

93

4.1!.


132

4.12.

Aplicaciones de las Gráficas Rectilíneas en Administración y Economía 154 A) Gráficas Lin eales de Oferta y Demanda

154

B) Gráfica Lineal de ia Demanda

156

4.13.

Equilibrio de Mercado

156 156

4.14.

Ejercicios Desarrollados

158 158

4.15.


166

CAPÍTULOV LA CIRCLTVFERENCIA

172

5.1.

Definición Definic ión

172 172

5.2. 5.2.

Elementos de la Circunferencia Circunfe rencia

172 172

5.3.

Formas de la Ecuación de la Circunferencia Circunfe rencia

173 173

A) Forma Ordinaria Ord inaria

173

B) Forma Canónica Canó nica

174 174



























































































6

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS COORDENADAS

6. l .

Traslación de Ejes

232.

6.2.

Rotación de Ejes

234

6.3.

Uso del Discriminante Discrimina nte

244

6.4.


246

CAPITULO VII

7.1. 7.1.

LA PARABOLA

248

Definición

248

























































































8

ELIPSE

8.1.

Definición Definició n

300

8.2.

Elemento Elem entoss de ia Elipse

301 301

8.3.

Formas de la Ecuación de la Elipse

302

1° Ecuación de la Elipse de centro del origen y eje Focal el eje X

302

2 ° Ecuación de la Elipse de centro del origen y eje Focal el eje Y

304

3° Ecuación de la Elipse de centro al punto Cíh,k) Cíh ,k) y eje Focal parale par alelo lo al eje X

306

4° Ecuación de la Elipse de centro al punto pun to C(h,k) y eje Focal parale par alelo lo al eje Y

308

8.4.

Ecuación General de la Elipse

311 311

8.5. 8.5.

Tangente Tan gente a una Elipse

312

8.6. 8.6.

Ejercicios Desarrollados Desarr ollados

314

8.7. 8.7.

Ejercicios Propuestos Prop uestos

323 323

























































































9.9.

Propiedad Prop iedad intrínseca intríns eca de la Hipérbola

9.10. 9.1 !.

Ejercicios Desarrollados Desarro llados Ejercicios Ejercicios Propuestos

350 35 0 352 361

CAPITULO X 10

LUGARES GEOMÉTRICOS

371

10.1. 10.1. 10.2 10.2..

Problemas Problem as sobre Lugares Geométricos Geom étricos Problemas Problem as Propuestos

372 377

























































































CAPITULO 1

1.

SISTEMA COORDENADO COORDE NADO LINEAL.-

1.1.

INTRODUCCION.Objetivo

fundamental

de

la

geometría

analitica

consiste

en

crear

representaciones visuales de los conceptos matemáticos mediante el uso de los sistemas de coordenadas, por ejemplo; el sistema de coordenadas que utilizamos para representar a los números reales, se llama recta real ó eje X.

-

3

-

2

-

1

0

1

2

3

El sentido positivo {hacia la derecha) se señala con una flecha e indica ei

























































































B Sea el segmento A B orientado, leído así positivamen positiv amente te y debe entenderse que el segmento es recorrido desde el punto A llamado origen o punto inicial al punto pun to B llamado llam ado extremo. extremo . En geome geo metría tría elemental, elemen tal, las longitud long itudes es de los segmentos A B y B A son los mismos, mismos , sin embargo, embargo, en geometría geom etría analítica se hace una distinción entre tos signos de estas longitudes. Así, el segmento dirigido en el sentido de A B será considerado de longitud positiva y el segmento dirigido en el sentido B A será considerado considerado de longitud longitud negativa negativa y escribiremos escribirem os así :

A B = - B A de donde:

A B + B A = 0

Si A, B y C son puntos cualquiera de una recta orientada siempre se cumple



























































































El número de ordenamiento posibles de los puntos A, B y C sobre una misma recta es 3! = 6, de los cuales dos mostraremos en la figura siguiente: C

B

En la figura de (a) se tiene:

C

A

B

/IC + C 5 = A B

Pero de la relación de ( a) se tiene C B - - B C entonces A C - B C = A B , de donde A C = A B - i - B C ahora en la figura (b) se tiene:

A C = A B + B C

























































































El símbolo P(x) indica que el punto P tiene ia coordenada x. Si Pi(x¡) y P y i x r ) , son dos puntos arbitrarios de ia recta recta X ' X , la fórmula:

P^P, -X 2 -X, -X , expresa la magnitud del segmento P,P-,. La fórmula:

/ ¡ A ! = i AS -A-|

expresa la longitud del segmento

•

{*) ... {*)

























































































OBSERVACION: La distancia dirigida entre dos puntos de un sistema coordenado lineal se obtiene restando la coordenada del origen de la coordenada coorde nada del extremo. Cuando la distancia de

a

P i i x y ) está en el sentido positivo

jT jTi < X j entonces; Xj X j - jr, es un número positivo. positivo.

Pi(x,)

Cuando Cuand o la distancia de

O

Pj(X,)

a P i { x 2 ) está en el sentido sentido negativo,

























































































a)

/^{-12 /^{ -12 ). P,(3) P,(3) Solución

X

Pi -1 2

p ^ O

P2 3

d(P^,P 2 ) = ì - ( - \ 2 ) = \5 \ 5 distancia dirigida í/(/Í,P 2 ) = |3 - { - I 2 ) | = 15 dist distan anci ciaa nodirigida nodirigida b)

P^{-4), P,(-9)

Solución

























































































Como

r = =

...(O

pp p p - ,

La longitud del segmento dirigido P P es: es: ...(2) La longitud del segmento dirigido P Py es:

P P - , = O P y - O P => P P - , = x - , - x

... (3) Y-.V,



























































































aplicando el teorema 1.3: C B = C D + D B de donde C D = C B ~ D B ... (2) ahora sumando suman do ( 1) 1) y (2):

2CD = A D + C B - A C - D B

como D es punto medio de A B entonces A D = D B

























































































- 8 + 2(10) 2(10) -8 + 20 12 , -v, = — j—^— —^— = — -— ~ ^ ~ ^ por por lo tant anto B( B(4)

por po r !o tanto, los punt p untos os pedid p edidos os son; A(-2), A(-2 ), B(4), M (l) (l ) Los extreríios extreríios de un segmento dirigido son los puntos punto s f¡(9 f¡ (9 ) y

p p

Hallar

























































































Calculando la coordenada de A El punto P es punto medio de A y Q

A P = P Q => P - A = Q - P -25-a -25 -a-, -, = -9 -(-2 5 )

=> X i = - 4 \ ; A(-41)

























































































B 8

J

La distancia que separa a los móviles de A y B es:

►X

























































































Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido cuyos extremos son los puntos/^(-7) y P,(-19). ®

Rpta. (-15), (-11), (-13)

Un extremo de un segmento segmento dirigido dirigido es el punto P{-8 P{-8)) y su punto medio es M(3). Hallar la coordenada del otro extremo.

Rpta. (14)











































































































































































































































































CAPÍTULO

















































































































































































PÂP^. Luego















































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































48

isaa 2/+3

En fonna fonn a similar despejamos despejamos x = -

/ - I

Los valores excluidos son 1 y -1 de donde R p = R - {-1,1} La parte sombreada es donde se encuentra la gráfica. Y

1

-2

0

3

X

-1

4 ° ASINTOTAS. Si existe una recta L para una curva C de tal manera que se desplaza a lo largo de la recta L indefinidamente, la distancia entre L y C tiende a cpro, en este caso se dice d ice que la recta L es una asíntota de la curva C. La curva C es posible que se se aproxime

la recta L por cualquier lado lado y en























































































Las asíntotas asíntotas que puede tener una curva son; son; asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Ahora veremos como se determinan cada una de estas asíntotas. asíntotas. -

ASÍNTOTAS HORIZO NTAL ES.La asíntot asíntotaa Horizo Horizonta ntall es la recta de la forma L; y = k. Para calcular las asíntotas horizontales de una curva, se ordena la ecuaf'ión E(x,y) = O en potencias decrecientes de x y se hace cero si es posible po sible el coefic c oeficiente iente de la mayo m ayorr poten po tencia cia de d e x luego lueg o se s e despe de speja ja y.

Ejem Eje m plo.plo .-

Hallar las asíntotas horizontales de la curva de ecuación; ecuación;

E i x ,y ) ^ y ^ ( 9 - x ^ ) + { x - \ f = Q Solución

E { x , y ) = y H 9 - x - ) + ( x - 1 )^ = 9 y - - x \ - +

+ 2jc - 1 = O

ordenando en potencias decrecientes de x, se tiene: ( l - j ^ ) x ^ + 2 x + 9 / - I = n se observa que x ^ es el de mayor potencia; potencia; luego a su coeficiente igualamos a cero cero es deci decir; r; OBSERV OB SERV ACIÓ N.-

+1 = O de donde y = ± 1 son dos asínt asíntota otass horizon horizonta tale les. s. Si de la ecuaci ecuación ón E(x,y>= O al despejar despejar y se ti«ie ti« ie una expresión de la forma.























































































I)

L: y = 0, sí sí n < t n

ü) i : y =

, sí n = m ¿o

iíi) iíi) Si n > m , la gráfica gráfica no tiene asíntota horizontal. horizontal. Ejemplo.-

Hallar la asíntota horizontal de la curva de ecuación

E ( x , y ) = x ' y - a " - A x y + 4y = O Solución _2

Despeja Despejando ndo y de

-4 x y -i- 4 y = 0 =i> y =

Luego de acuerdo acu erdo a la parte ii) se tiene: L: y =

1

, a ' - 4 a + 4

asíntota horizontal

ASÍNTOTAS VERTICALES.Son las rectas de la forma L: x - h para calcular calcul ar las asíntotas verticales de una curva, curva, se ordena la ecuación ecuación E(x,y) E(x,y) = O en potencias potencias decrecientes decrecientes en y, luego se hace igual a cero si es posible el coeficiente de la mayor potencia pote ncia de y, enseguida enseg uida se despeja de speja x. Ejemplo Ejem plo..-

Hallar las asíntotas asíntotas venicales de la curva £'(A-,>’) = . v V - + ( y - - l ) A - 2 j - - 3 = 0

Solución Ordenando

en

forma

decreciente

con

respecto

a

y

se

tiene

{.r‘ .r‘ + .r - 2) .v ‘ - x - 3 = 0, luego uego el coefi oefici cien entte de la mayo mayorr pot potenci enciaa de y es

.v " + a ' - 2 = 0

los asíntotas verticales. verticales.

d e d o n d e ( x + 2 ) ( x - 1 ) = 0 s e t ie ie n e

x =

- 2 . x = 1 son























































































i)

Se reemplaza y = mx + b en la ecuación E(x,y) = O de tal tal manera que E(x,mx E(x,mx

i¡) i¡)

b) = O esté en función función de x.

Se efectuá las operacion opera ciones es indicadas ordenand orde nandoo la ecuación en forma decreciente en x.

iii) iii) Se iguala a cero los los coeficientes coeficien tes de las dos potencias poten cias más altas de x. x. iv)

Se resuelve resue lve las las ecuacione ecua cioness obtenidas obtenid as en iii) de donde se obtienen obtiene n los los valores de m y b.


Calcular las asíntotas oblicuas de la curva de ecuación ecuación £(a‘,y) = .Y"

-x y + y = 0

Solución Sea L: y = mx + b, la ecuación ecuació n de la asíntota oblicua i)x~ + ( m - b)x + b = 0 A'" - x{mx + ¿) + wx + A= O, de donde (1 - ni)x

por po r iden i dentidad tidad se tiene:

: 1- = O ^ => m = 1 , b = l 1^/77-/) = O

L: y = X+ 1 es la asíntota oblicua

3.3.

ECUACIONES ECUACIONES FACTORIZABLE.Cuando la ecuación E(x.y) = O en el primer miembro tiene un producto de dos o más factores factore s variables, en este caso la gráfica de d e E(x,y) = O consiste con siste de la la gráfica de cada uno de los factores facto res resultantes, esto es sí E(x,y) = u.v.w























































































E jem plo.plo .-

Trazar la gráfica de la ecuación

E ( x ,y ) =

- x 'y + xy' -9 x + 9y = 0 Solución

Factorizando x ^ - y ^ - x ^ y + x y ~ - 9 x + 9 y = 0 setiene

x ^ - y ^ - { x ^ y - x y h - 9 ( x - v ) = 0 {.r - j ) ( x ’ + Ay Ay + V ') - vy(A- - y ) - 9 (x - y ) = O

[ x - y X x ^ + x y + y ' - x y - 9) = O, de donde { A - y ) ( A ^ + y ^ - 9 ) = 0 =í> x - y = Ü V j t - + y ^

E { x , y ) = ( x ~ y X x - + y - - 9 ) = (^ o

3 .4 .4 .

-9

= 0

y - x v jc-+y‘ =9

E J E R C IC IO S D E S A R R O L L A D O S ..-

























































































Con el eje X, hacemos hacemos y = O y reemplazamos en en la ecuación ecuación O- 2.r^ 2.r^ - 0 = 0 => x = O e s l a intersección con el eje X Con el eje Y, hacemos x = O y reemplazamos en la la ecuaci ecuación ón 0 - 0 - 1 6y = 0 = > y = 0 es la intersección con el el eje Y. Simetrías Con respecto al eje X; £'(x £'(x,,>’) >’) = ^ ' ' v - 2 .v‘ - i 6 v , ■ => E(x.y) E ( x - y ) = - V - 2 x ' + 16.V

E(x,-y,

no es simétrica respecto al eje X., Con respecto al eje Y;

E { x ,y ) = ^ x ' y - 2 x - - \ b y ,

£ (- t,v ) = .r\v-2.v" -16.V es simétrica respecto al eje Y Con respecto al origen:

r-, , r-, , => E(x,y) = E(-x,y)

























































































Despejamos x: x = ±4

como X es real si

y

v- 2

'^ > O

—

- 2

donde R ¿ = < -oo,0 ] u < 2 ,+oc > Asíntotas.

Asíntotas Verticale Verticales: s:

v=

I x ^

“ .V--I6

de donde donde .r“ - 1 6 = 0 => x = 4, x = 4 asín asíntot totas as Asíntotas Horizontales: x = ±4

y

y

- 2

de donde y - 2 = 0 => y = 2 asíntota

























































































©

x y - x - 4 y + 2 = 0 Solución Sea E(x,y) E(x,y) = xy - x - 4y + 2 = O la ecuación ecuación de la gráfica gráfica Intersección con los ejes Coordenados. Con el eje X, hacemos hacemo s y = O, de donde don de al reemplaz reem plazar ar se tiene: tiene: E(x,0) = x(0 ) - X- 4(0) 4(0) -^2 -^2 = 0 =?> x = 2 e s l a interse intersecc cción ión con el ejeX. Con el el eje Y, hacemos x = O, E(0, E(0,y) y) = 0(y) 0(y) -O - 4y+2= 4y+2= O

de donde dond e al reemplaz reem plazar ar se tiene:

y = ^ es la inte inters rsec ecci ción ón con con el el eje eje Y. Y.

Simetrías Con resnecto al eje X:

[ E {x { x ,y, y ) = x v - x - A y + l \ r í \ A ^ E(x,y)ííE(-x,-y) [A(x,->') = - x y - X+ 4 V+ 2 no es simétrica con respecto al eje X. Con respecto al eje Y:

























































































Extensión Despejamos Despejamo s y: es decir v =

Despej Despejamo amoss x: es decir decir jr=

V-

2

j r - 4

4y-2

de donde don de D ¡ ; = R - {4}

dedond ded ond e £)r = /? - { ! }

>'-1

Asíntotas. Asíntotas Asínto tas Verticales: Verticales: x-4 =0

Y— 2

v= ' , de donde dond e .v-4

x = 4 es una asíntota asíntota vertical vertical

Así Asíntot ntotaa Hori orizontal:

y - 1= O

4v~2 .v = * , de dond dondee v- 1

y = 1 es una asíntota horizontal

Tabulación. x

0

y

1

1 i

2

3

2 0

3 -1

4 X

5 3

6 2

7 5 3

























































































0

x ^ y ^ - 4 x y ^ + 3 y - - A ^ 0

Solucién Sea E(x, (x, y) = x ^ y ' - 4xy' +

- 4 = O, la ecuación de la gráfica. gráfica.

Intersección con los Ejes Coordenados. Con el eje X, hacemos y = O, O, de donde dond e al reemplazar reem plazar se tiene: 4.r(0)+ 3(0) - 4 = -4 - 4 íí O => => no exist existee intersecc intersección ión E(x, 0) = x^ (0) - 4.r(0)+3(0) Con el eje Y, hacemos hacem os x = O, O, de donde al reemplaz reem plazar ar se tiene: £ M

= ( 0 ) v -- - 4 { 0 ) v -+ - + 3 y - 4 = 0 => y = ^ ,

=

existe intersección. Simetrías. Con respecto al eje X: ¡ E ix i x , y) y) = x ^ y ^ - 4 x y ^ + 3 y ^ - 4 i E { x - y) =x - y ^ - 4 x y U 3 y - - 4

es simétrica respecto al eje e je X. X. Con respecto al eje Y:

,

E(x,y) = E(-x,y)



























































































Extensión. Despejando Y: y = -

±2

de donde está definida si

•Jx~ -4.V+3 x ^ -4 x + 3> 0 s i ( x - 2 ) ^ > l

de donde

x ^ -4 - 4 . x: x : + 4> 4 > l => ( x - 2 ) " > l o

x - 2 > l V x - 2 <-l

o

x>3 V x < 1

= < - x , l > U < 3,+oo >

^ ^ 2v±Jy-+4 Despejando Despejand o x; x = — , que estara estara definidas! y^^ Ude V donde /?£ = /?- {0 ¡ --------

Asíntotas.

























































































Solución x , y ) = x ^ y - 4 y - \ - x = Q A a ecuación de la gráfica Sea E ( x,

























































































Con respecto al eje Y:

E { x ,y, y ) = x ^ y - 4 y + x ,

E { - x ,y ) = x - y - 4 y - x

E(x,y)

E(-x,y)

no es simétrica con respecto al eje Y Con respecto al origen:

E ( x ,y ,y ) = x ' v ~ 4 v + x E ( - x ,- y ) = - x - y + 4 y - x

^

E(x, E(x,y)Ê(y)Ê(-x, x,-y) -y)

no es simétrica simétrica con respecto respe cto al origen Extensión. Despejamos Y;

v = -— A" - 4

de do nd e D ¿ = R - {-2,2}

























































































Tabulación. X

-4

-2.5

- 1. 5

-1

0

1

1.5

2.5

4

y

0.3

1.1

-0.9

-0.3

0

0.3

0.9

-I.l

-0.3

























































































Simetrías. Con respecto al eje X:

^ E { x ,y ,y ) = x ~ y - A y - x ‘ E(x,-y) = -x^y-ir4y-x

,

=>

E(x,y)

E(x,-y)

no es simétrica con respecto al eje X. Con respecto al eje Y:

¡E {x,y) = x - y - 4 y - x ^ E ( -x ,y ) = x ^ y - 4 y - x ^

E(x,y) = E(-x,y)

es simétrica con respecto al eje Y. Con respecto resp ecto al al origen;

¡ E { x ,y ) x \ v - 4 - x



























































































Asíntotas. Asínt Asíntot otas as Ver Vertica icales: es: - 4=O ^

v - - - — , de dond dondee

X - - 4

X= -2, -2, X= 2 son las asín asínto tota tass vert vertic ical ales es..

4v Asíntotas Horizontales: Horizontales: x = ± —^ —^ , de donde don de v~l y -

1-0

Tabulación.

^ y=

1

es la asíntota horizontal.

























































































Intersección con los ejes coordenados. Con el eje X; hacemos y = O, que reemplazamos reemplazam os en la la ecuación: el eje X. X. E{xSS) = -V" - x{0) + 0 = 0 => x = 0 es la intersección con el Con el eje Y : hacemos hace mos x *= O, que reemplaz reem plazamo amoss en la ecuación; £( 0 ,y) = 0 - ( 0 ) v + .v = 0 => y = 0 es la la intersecció inter secciónn con el eje Y. Simetrías. Con respecto al eje X;

E ( x , v) = ;(■ - -vv -vv + V

E(x.y)Ê(x,-y)

























































































y i- J y “ —4v Despejamos X: x = - — ^ ^ , que está definida si -4_k > 0 =>

- 2)* >4

=> y - 2 >2

y>4 V y<0

por po r lo tanto tan to tene t enemos mos:: R ¿ = < -oo,0 ] u [4 ,oo > Asíntotas. 2

Asíntotas Asíntotas Vertica Verticale les: s:

y = — , de donde ,v-l

x - l = 0 = > x = l es la así asíntota ntota vert vertic ical al..

v y - 2 <2

























































































3.5.

EJERCICIOS PROPUESTOS.PROPUESTOS.-

I)

Discutir cada ejercicio ejercicio determinando las intersecciones, intersecciones, simetría, simetría, extensión y asíntotas. Construir las gráficas correspondientes.

x ^ y - 4 y - x = Q

© © ®

x y - x + 2 y

- \ = 0

xy-x-4y+3=0

x ^ y - - x ' - y = 0

© x ^ - x y + 5 y = 0 © x y ^ - x - y ^ + \ = © x " ~ x y + y ^ © x - y 2

0

=1 2

+4.r‘ +4. r‘ -4 y^ =0

























































































(^

_ y ^ + x v ^ - 4 x > ' -4 - 4 . \' \' = 0

R pta. ( x + v ) { > ' ^ -4 - 4 a ^) = 0

@

3 x ’ - 2, 2 , r V - 1 2 x ‘ + 8 xj xj + 3xy- - 2>'^ = O Rpta Rpta.. (3x (3x - 2jXx^ 2jXx^ +

0

- 4x) = O

x ^ - 2 x ^ - x ^ y - 3 x + 2x y + x y - + 3 x } > - y ^ -^0 -^ 0

Rpta. (x-j;)(x^ + >> ^-2 .v-3) = 0 0

^ x^ y + x y * -9 .x + 9_y = 0

Rpta. Rpta. (x - yXx^ yXx^ + y" - 9) = O



























































































CAPITULO IV

4.

LA LINEA RECTA.-


























































































Hallar la ecuación de la recta L de pendiente pendien te 2, que pasa por po r el punt pu ntoo A (l,3 (l ,3). ). Solución

La ecuación de la recta es: es:

L: y-yQ=mL(x-x^)



































































































































































































































































































































































a + b = ab = 4 => b = 4 - a

...(2)

















































































































































































ii)

La recta

es perpendic perp endicular ular a la recta

¿2

(¿1

1 ¿2)

V

























































































ii)

¿ 1I I

2

A ^ B 2 + A 2 B ^ = 0

























































































Se

I

(a + 2)x+(¿i 2)x+(¿i - 9 ) y + 3¿

8

+5- O ^

mi

a+2







































































































































































































































































































































































































































































































Geometria Analitica Eduardo Espinoza.pdf

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