GEOMETRIA AFÍ EN E N L’ESPAI L’ESPAI EXERCICIS RESOLTS DE LA UNITAT 6 1. Explica quina és la característica comuna que tenen els diferents vectors directors d’una mateixa recta.
Resposta: Tots els vectors directors d’una mateixa recta tenen la mateixa direcció, per tant són vectors linealment dependents.
2. Si (x, y, z) = (2, –7, 1) + k(2, 3, –2) és l’equació vectorial de la recta r, determina: a) dos punts de r. b) una altra equació vectorial.
Resposta: a) El punt A(2, –7, 1) que està escrit en l’equació vectorial de la recta resulta de donar a k, el valor k = 0. Per determinar dos punts de la recta r, diferents del punt A, podem donar altres valors a k, per exemple: k=1
(x, y, z) = (2, –7, 1) + 1(2, 3, –2) = (4, –4, –1)
k=2
(x, y, z) = (2, –7, 1) + 2(2, 3, –2) = (6, –1, –3)
b) Per escriure una equació vectorial de r diferent de l’equació donada a l’enunciat, hi escriurem un altre punt i un altre vector director, per exemple: (x, y, z) = (4, –4, –1) + k(–2, –3, 2)
1
k
є lR
3. Representa la recta amb vector director v = (3, –1, 4) i que passa pel punt A(–1, 2, 3).
Resposta: Representem el punt A i el vector v l’origen del qual sigui a l’origen de coordenades O(0, 0, 0). Així, només caldrà que representem l’extrem del vector director que serà el punt de coordenades P(3, –1, 4).
Finalment, traçarem una recta paral·lela a la direcció del vector v i que passi pel punt A.
4. Determina l’equació vectorial de la recta que passa pels punts A i B, essent A(3, 0, –5) i B(1, –4, 6).
Resposta: Si coneixem dos punts de la recta, A(3, 0, –5) i B(1, –4, 6), un vector director
de r serà v = [ AB ]. Així doncs, v = (–2, –4, 11).
Per escriure l’equació vectorial de la recta r, prendrem un punt, per exemple el punt A i el vector v :
r: (x, y, z) = (3, 0, –5) + k(–2, –4, 11)
2
k є lR
5. Escriu les equacions paramètriques de la recta que passa pel punt A(7, 2, –3) i que té la direcció del vector v = (1, 0, –2).
Resposta: En les equacions paramètriques estudiades hem de substituir a 1, a 2 i a3 per les coordenades del punt A i v 1, v 2 i v3 per les components del vector director. Així resulten: x 7k r: y 2 z 3 2k
k є lR
6. Troba dos punts i dos vectors directors de la recta donada per les seves equacions contínues: x 3 y 1 z 4 2 2 3 Pertany a aquesta recta el punt P(1, 1, 1)?
Resposta: Per trobar un punt de la recta donarem un valor a alguna de les variables i calcularem els valors de les altres dues que verifiquin les igualtats de les equacions contínues. Per exemple: Per a z = –6, resulta:
x 3 y 1 6 4 1 2 3 2
Ara calculem els corresponents valors de x i de y: x3 1 2
x–3=2
x=5
y 1 1 3
y+1=3
y=2
Les coordenades del punt són (5, 2, –6). 3
Per a z = –2, resulta:
x 3 y 1 2 4 1 2 2 3
Els valors de x i y són: x3 1 2
x – 3 = –2
x=1
y 1 1 3
y + 1 = –3
y = –4
Les coordenades del punt són (1, –4, –2). Així, dos punts de la recta poden ser P(5, 2, –6) i Q(1, –4, –2).
Sabem que un vector director de la recta és v = (2, 3, –2).
Qualsevol altre vector director de la recta ha de ser linealment dependent de v = (2, 3, –2). Llavors, dos vectors més de la recta poden ser, per exemple:
– v = (–2, –3, 2)
i
2 v = (4, 6, –4)
Per saber si el punt P(1, 1, 1) pertany a la recta hem de comprovar si les seves coordenades verifiquen les igualtats de les equacions contínues de la recta. Les equacions contínues són: x 3 y 1 z 4 2 3 2
Substituïm les coordenades x, y i z per les del punt P(1, 1, 1): 13 11 1 4 2 3 2
Observem que no es verifiquen les igualtats: 2
2
2 5 3 2
Així doncs, el punt P no pertany a la recta.
4
7. Escriu les equacions contínues de la recta r que passa per A(1, –2, 3) i que té la mateixa direcció que la recta donada per l’equació següent: (x, y, z) = (2, 4, 7) + k(5, –2, 3) Determina dos vectors directors de la recta r.
Resposta: En les equacions contínues estudiades hem de substituir a 1, a2 i a3 per les coordenades del punt A i v 1, v2 i v3 per les components d’un vector director d’aquesta recta. Com que la recta r té la mateixa direcció que la recta donada, un vector director pot ser v = (5, –2, 3)
Les equacions contínues de la recta r són: x 1 y2 z3 2 5 3
Dos vectors directors de la recta r poden ser, per exemple: – v = (–5, 2, –3)
i
2 v = (10,–4, 6)
8. Donats els punts A(2, 1, 4) i B(3, –1, 2), escriu les equacions paramètriques i contínues de la recta que passa per A i B, i descobreix si el punt C(1, 3, 7) pertany a aquesta recta.
Resposta: Si coneixem dos punts de la recta, A(2, 1, 4) i B(3, –1, 2), un vector director
d’aquesta recta serà v = [ AB ]. Així doncs, v = (1, –2, –2).
Les equacions paramètriques prenent el punt A i el vector v són:
x 2k r: y 1 2k z 4 2k
k є lR
5
Les equacions contínues són: x2 y 1 z 4 2 2 1
El punt C(1, 3, 7) pertanyerà a la recta si les seves coordenades verifiquen les igualtats de les equacions contínues de la recta: 12 31 74 2 2 1
Així doncs, el punt C no pertany a la recta.
9. Troba dos punts i dos vectors directors, i escriu l’equació vectorial de la recta donada per les següents equacions paramètriques: x 3 2k r: y 1 k z 3k
Resposta: Un punt pot ser el que està escrit en les equacions paramètriques A(3, 1, 0). Per trobar un altre punt donem a k el valor k = 1 i en resulta el punt B(1, 0, 3). Així, dos punts de la recta són A(3, 1, 0) i B(1, 0, 3). Un vector director pot ser el que està escrit en les equacions paramètriques: v = (–2, –1, 3)
Un altre vector director pot ser 2 v = (–4, –2, 6).
Una equació vectorial de la recta és: (x, y, z) = (3, 1, 0) + k(–2, –1, 3)
6
k є lR
10. Determina les equacions implícites de la recta que passa pel punt A(3, 1, –2) i amb vector director v = (5, 1, –4).
El vector u = (–5, –1, 4), és un vector director d’aquesta recta?
Resposta: En primer lloc escriurem les equacions contínues de la recta: x3 y 1 z2 4 5 1
Si efectuem adequadament les operacions entre les igualtats anteriors obtindrem les equacions implícites de la recta: x3 y 1 5 1
x – 3 = 5y – 5
x – 5y + 2 = 0
y 1 z 2 4 1
– 4y + 4 = z + 2
4y + z – 2 = 0
Les equacions implícites de la recta són: x 5y 2 0 r: 4y z 2 0
El vector u = (–5, –1, 4) és un altre vector director de la recta, doncs u = – v .
11. Escriu les equacions paramètriques, l’equació vectorial i les equacions contínues de la recta r: x 2 r: y 2z 1 0 Resposta: En aquest cas per transformar les equacions implícites en paramètriques no cal resoldre el sistema pel mètode de Cramer. Com que en la primera equació tenim aïllada la incògnita x, només cal que donem a z el valor del paràmetre k, z = k, i ja resulten les equacions paramètriques: x 2 y 1 2k z k 7
k є lR
L’equació vectorial de la recta r és: (x, y, z) = (2, 1, 0) + k(0, –2, 1)
k є lR
Les equacions contínues de la recta r són: x2 y 1 z 2 0 1
Observem que apareix un 0 en un denominador. Això significa que el vector director de la recta té una component nul·la. Es tracta, doncs, d’un formalisme per poder assignar unes equacions contínues a les rectes que tenen vectors directors d’aquest tipus.
12. Donada la recta r, determinada per les equacions implícites següents: 5x 3y 2z 1 0 r: x 3y 2z 4 0
a) Escriu una equació vectorial. b) Troba dos vectors directors.
Resposta: Primer transformarem les equacions implícites en paramètriques resolent el sistema pel mètode de Cramer. Triem un menor d’ordre dos el determinant del qual sigui diferent de zero: 5 3 = 15 + 3 = 18 0 1 3 Substituïm la incògnita que no intervé en aquest menor per un paràmetre, z = k, i traslladem els termes que contenen k al segon membre de les equacions: 5x 3y 2k 1 0 x 3y 2k 4 0
8
5x 3y 1 2k x 3y 4 2k
Finalment, apliquem la regla de Cramer: 1 2k 4 2k x= 18
y=
5 1
3
9 1 = 3 6k 12 6k = 18 2 18
3
1 2k 21 12k 21 12 4 2k 20 10k 1 2k 7 2 k = k = = 18 18 18 6 3 18 18
z=k
a) Una equació vectorial és: 2 (x, y, z) = 1 , 7 , 0 + k 0, , 1 6 2 3
k є lR
2 b) Si v = 0, , 1 és un vector director de la recta, dos vectors directors 3 poden ser, per exemple:
3 v = (0, 2, 3)
i
–3 v = (0, –2, –3).
13. Escriu una equació vectorial del pla que passa pel punt A(5, 1, –2) i que té com a vectors directors u = (1, –3, 4) i v = (0, 1, 2).
Resposta: Com que tenim les coordenades d’un punt del pla i les components de dos vectors directors linealment independents, podem escriure directament l’equació vectorial: (x, y, z) = (5, 1, –2) + (1, –3, 4) + (0, 1, 2)
9
, є lR
14. Determina si el punt A(8, 1, 6) pertany al pla l’equació vectorial del qual és:
: (x, y, z) = (3, 1, 0) + (3, –2, 4) + (1, 1, 1) Resposta: El punt A pertany al pla si les seves coordenades verifiquen l’equació vectorial del pla, és a dir, si existeixen dos nombres reals i tals que: (8, 1, 6) = (3, 1, 0) + (3, –2, 4) + (1, 1, 1) O el que és igual, el sistema següent ha de ser compatible determinat: 8 3 3λ μ 1 1 2λ μ 6 4λ μ
5 3 λ μ 2λ μ 0 6 4λ μ
Com que el rang de la matriu dels coeficients és 2, el rang de la matriu ampliada també ha de ser 2, per tant el determinant d’ordre 3 ha de ser 0: 5 3 1 0 2 1 = –10 + 18 + 12 – 20 = 0 6 4 1
Així doncs, el punt A pertany al pla.
15. Donat el pla (A; u , v ) representat per l’equació vectorial següent:
(x, y, z) = (1, 2, –3) + (2, 0, –1) + (3, –1, 2) a) Determina dos punts de diferents de A. b) Obtingues dos vectors directors diferents de u i v .
c) Escriu una altra equació vectorial.
Resposta: a) El punt A(1, 2, –3) que està escrit a l’equació vectorial resulta de donar els valors = 0 i = 0.
10
Per determinar dos punts del pla , diferents del punt A, hem de donar altres valors a i , per exemple: Si = 1, = 0, resulta: (x, y, z) = (1, 2, –3) + 1(2, 0, –1) + 0(3, –1, 2) = (3, 2, –4) Si = 0, = 1, resulta: (x, y, z) = (1, 2, –3) + 0(2, 0, –1) + 1(3, –1, 2) = (4, 1, –1) Així, dos punts diferents de A són, per exemple, B(3, 2, –4) i C(4, 1, –1).
b) Qualsevol vector director de serà una combinació lineal de u i v , per tant podem prendre, per exemple:
u + v = (2, 0, –1) + (3, –1, 2) = (5, –1, 1)
u – v = (2, 0, –1) – (3, –1, 2) = (–1, 1, –3)
Així, dos vectors diferents de u i v són (5, –1, 1) i (–1, 1, –3).
c) Tot i que n’hi ha prou de canviar el punt o un dels vectors directors per obtenir una altra equació vectorial del pla, els canviarem tots:
: (x, y, z) = (3, 2, –4) + (5, –1, 1) + (–1, 1, –3)
, є lR
16. Escriu les equacions paramètriques del pla que passa pel punt A(1, –2, 3) i amb vectors directors u = (5, 1, –3) i v = (1, –3, 4).
Resposta: Si substituïm les coordenades del punt del pla i les components dels vectors directors en les equacions paramètriques estudiades, resulten: x 1 5λ μ y 2 λ 3μ z 3 3λ 4μ
11
, є lR
17. Determina si el punt P(–2, 1, 0) pertany al pla les equacions paramètriques del qual són: x 1 3λ μ : y λ μ z 5 λ Resposta: El punt P(–2, 1, 0) pertany al pla si les seves coordenades verifiquen les equacions paramètriques del pla, és a dir, si existeixen dos nombres reals λ i µ tals que: 2 1 3λ μ 1 λ μ 0 5 λ
3 3λ μ 1 λ μ 5 λ
Perquè aquest sistema sigui compatible determinat el determinant d’ordre 3 de la matriu ampliada del sistema ha de ser zero: 3 3
1 1 1 1 = –1 – 15 + 5 + 3 = –8 0 5 1 0
Així doncs, el punt P no pertany al pla.
18. Escriu una equació vectorial, unes equacions paramètriques i una equació general del pla que conté el punt A(–2, 0, 3) i que té com a vectors directors u = (3, –2, 1) i v = (2, 0, –1).
Resposta: Com que tenim les coordenades d’un punt del pla i les components de dos vectors directors linealment independents, podem escriure directament una equació vectorial: (x, y, z) = (–2, 0, 3) + (3, –2, 1) + (2, 0, –1)
Unes equacions paramètriques són:
, є lR
x 2 3λ 2μ y 2λ z 3 λ μ
Per obtenir una equació general hem de desenvolupar el determinant següent: x2 3 2 2 0 = 0 y z 3 1 1
12
2x + 5y + 4z – 8 = 0
19. Expressa en forma vectorial l’equació d’un pla l’equació general del qual és x – 3y + 2z – 5 = 0.
Resposta: Identifiquem les variables y i z amb els paràmetres i respectivament, i aïllem x en l’equació general del pla: x = 5 + 3y – 2z
Les equacions paramètriques són:
L’equació vectorial és:
x 5 3λ 2μ y λ zμ
, є lR
(x, y, z) = (5, 0, 0) + (3, 1, 0) + (–2, 0, 1)
20. Esbrina el valor de a perquè el punt A(1, 5, a) pertanyi al pla les equacions paramètriques del qual són: x 2 λ 2μ : y 3 2λ z 1 λ μ
Resposta: Si un punt pertany al pla, les tres equacions obtingudes en substituir x, y i z per les coordenades del punt, han de formar un sistema compatible determinat. Per tant, el determinant corresponent ha de valer zero: x2 1 2 y 3 2 0 = 0 z 1 1 1
Si substituïm per les coordenades del punt A(1, 5, a): 12 1 2 1 2 1 5 3 2 0 = 2 2 0 = –2 – 4 + 4a – 4 + 2 = 4a – 8 = 0 ; a = 2 a 1 1 1 a 1 1 1
El punt A pertany al pla si a = 2. 13
21. Troba l’equació general del pla que passa pels punts A(–3, 1, 0), B(–1, 0, 3) i C(2, 1, 5).
Resposta: Un punt del pla és, per exemple, A(–3, 1, 0). Dos vectors directors poden ser:
u = [ AB ] = (2, –1, 3)
v = [ AC ] = (5, 0, 5), o també el vector 1 v = (1, 0, 1) 5
Els dos vectors u i 1 v són linealment independents i, per tant, els podem 5 prendre per obtenir l’equació general del pla:
x3 2 1 y 1 1 0 = 0 z 3 1
x–y–z+4=0
22. Determina l’equació general d’un pla si una de les seves equacions vectorials és: (x, y, z) = (1, 3, 7) + (1, 0, 3) + (–2, 1, 4)
Resposta: De l’equació vectorial obtenim un punt, A(1, 3, 7) i dos vectors directors, u = (1, 0, 3) i v = (–2, 1, 4).
L’equació general del pla és: x 1 1 2 y 3 0 1 = 0 z 7 3 4
14
3x + 10y – z – 26 = 0
23. Donat el pla : 2x – y + 5z – 1 = 0, es demana: a) Trobar-ne dos punts. b) Obtenir les seves equacions paramètriques. Resposta: a) Els punts del pla han de complir la seva equació general. Per tant, donem valors a dues de les incògnites i aïllem la tercera. En aquest cas aïllem y per la seva simplicitat: y = –1 + 2x + 5z Per exemple, si x = 0 i z = 0, resulta si x = 1 i z = 0, resulta
y = –1 y=1
Els dos punts són: A(0, –1, 0) i B(1, 1, 0). b) Per obtenir les equacions paramètriques identifiquem x i z amb els paràmetres i respectivament, i prenem l’equació y = –1 + 2x + 5z: x λ y 1 2λ 5μ zμ
, є lR
24. Determina la posició relativa de r i r’ en cada cas: 3x y 21 0 a) r: 5y 3z 3 0
b) r:
x3 y3 z 1 6 4 2
3x y 1 0 r’: 5x 2z 10 0
r’: (x, y, z) = (3, –3, 1) + k(1, –3, –2)
Resposta: a) Les rectes venen donades per les seves equacions implícites, així que considerem el sistema format per les quatre equacions.
3x 5y 3x 5x
y 21 0 3z 3 0 y1 0 2z 10 0
Hem de trobar el rang de la matriu M i de la matriu ampliada M’, associades a aquest sistema. Resulta: rang (M) = 3 i rang (M’) = 4. Per tant, les rectes r i r’ s’encreuen. 15
b) r:
x3 y3 z 1 2 6 4
r’: (x, y, z) = (3, –3, 1) + k(1, –3, –2)
La recta r ve donada per les seves equacions contínues i la recta r’ per la seva equació vectorial, així que trobarem la seva posició relativa a partir dels seus vectors directors que, respectivament, són: v = (–2, 6, 4)
i
v = (1, –3, –2)
Els vectors v i v són linealment dependents, doncs v = –2 v .
Llavors, les rectes poden ser coincidents o paral·leles. Per distingir-ho prenem un punt de la recta r, per exemple A(3, –3, 1) i comprovem si verifica l’equació de la recta r’. En aquest cas el punt A també pertany a la recta r’, doncs és el punt que està escrit en la seva equació vectorial. Per tant, les rectes r i r’ són coincidents.
25. Estudia la posició relativa dels parells de plans següents: a) : 3x – y + 2z = 0 ’ : 6x – 2y + 4z – 1 = 0
c) : 5x – 2y + 3z + 7 = 0 ’ : 2x – 3y + 7z – 1 = 0
b) : 2x – y + 3z + 4 = 0 ’ : x + 3y – 2z + 1 = 0
d) : z + 1 = 0 ’ : z = 1
Resposta: Determinarem la posició relativa comparant els quocients dels coeficients homòlegs de les equacions generals. a) i ’ són paral·lels, ja que 3 = 1 = 2 0 6 4 1 2
1 b) i ’ són secants, ja que 2 3 1
c) i ’ són secants, ja que 5 2 2 3 d) i ’ són paral·lels, ja que 0 = 0 = 1 1 0 0 1 1 16
26. Troba l’equació del feix de plans que conté la recta r i escriu l’equació del pla del feix que conté el punt B(2, –1, 0). x y 2 0 r: 2x y 3z 1 0
Resposta: L’equació d’un pla que contingui la recta r serà una combinació lineal de les equacions de dos plans diferents que continguin r. Així, l’equació del feix de plans secants d’aresta r és:
(–x + y + 2) + (2x – y + 3z – 1) = 0
,
є lR
α β
és:
Una equació més senzilla i equivalent a la primera, fent que =
(–x + y + 2) + (2x – y + 3z – 1) = 0
є lR
–x + y + 2 + 2x – y + 3z – 1 = 0
є lR
(2 – )x + ( – 1)y + 3z + 2 – 1 = 0
є lR
Podem expressar l’equació de la forma:
que és l’equació general del feix de plans secants d’aresta r.
Per trobar l’equació del pla del feix que conté el punt B(2, –1, 0), hem de determinar el valor de per al qual les coordenades de B verifiquen l’equació d’un pla del feix. Per això, substituïm aquestes coordenades a l’equació del feix de plans:
(–x + y + 2) + (2x – y + 3z – 1) = 0 Resulta:
(–2 – 1 + 2) + (2 · 2 + 1 + 3 · 0 – 1) = 0 ;
– + 4 = 0 ;
= 4
L’equació del pla del feix que conté el punt B és: 4(–x + y + 2) + (2x – y + 3z – 1) = 0 17
2x – 3y – 3z – 7 = 0
27. Determina tres plans que continguin la recta d’equació: r: (x, y, z) = (2, 1, 7) + k(1, 5, 3) Resposta: Escrivim les equacions implícites de la recta r: 5x y 9 0 r: 3x z 1 0
x 2 = y 1 = z 7 ; 5 1 3
Tres plans que continguin r formaran part del feix de plans d’aresta r, l’equació del qual és:
(5x – y – 9) + (3x – z + 1) = 0;
(5 + 3)x – y – z + 1 – 9 = 0 ,
є lR
Prenent diferents valors de obtenim diversos plans. Així, els tres plans poden ser, per exemple: Si = 0
3x – z + 1 = 0
Si = 1
8x – y – z – 8 = 0
Si = 2
13x – 2y – z – 17 = 0
28. Determina l’equació del feix de plans paral·lels al pla : x – 2y + 7z – 1 = 0. A continuació, troba el pla del feix que conté el punt A(5, 0, 3). Resposta: El feix de plans paral·lels a té per equació: x – 2y + 7z + K = 0
K є lR
Per trobar l’equació del pla del feix que conté el punt A(5, 0, 3), hem de determinar el valor de K per al qual les coordenades de A verifiquen l’equació d’un pla del feix. Si substituïm resulta: 5–2·0+7·3+K=0;
5 + 21 + K = 0 ;
El pla del feix que conté el punt A és: x – 2y + 7z – 26 = 0 18
K = –26
29. Estudia la posició relativa dels plans donats per les equacions següents: a) 1: 2x – 3y + 5z – 7 = 0 2: x + 5y – 2z + 1 = 0 3: 5x – y + 8z – 13 = 0
d) 1: x + z – 1 = 0 2: –y – 3z + 1 = 0 3: 2x + 4z = 0
b) 1: x + y – 3z + 5 = 0 2: –2x – 2y + 6z – 10 = 0 3: –x – y + 3z – 9 = 0
e) 1: x + 3y – z + 5 = 0 2: 2x + 5y + z + 4 = 0 3: x – y – 5z + 3 = 0
c) 1: 4x – 6y + 8z – 14 = 0 2: x – 5y – 7z + 1 = 0 3: 2x – 3y + 4z – 7 = 0
f) 1: 4x – z – 4 = 0 2: 5x + 2y – 3z – 5 = 0 3: 21x – 6y – 7 = 0
Resposta: Per determinar la posició relativa de tres plans hem d’estudiar la compatibilitat del sistema format per les seves equacions generals i, quan calgui, determinar la posició relativa dos a dos dels plans. a) 1: 2x – 3y + 5z – 7 = 0 2: x + 5y – 2z + 1 = 0 3: 5x – y + 8z – 13 = 0 El rang de la matriu M i de la matriu M’, associades a aquest sistema és: rang (M) = 2 i rang (M’) = 2 El sistema és compatible indeterminat. Les seves solucions depenen d’un paràmetre. Per tant, aquests plans tenen una recta en comú. Observem que 1 i 2 no són coincidents, 1 i 3 tampoc no són coincidents, ni tampoc 2 i 3 ho són. Per tant, els tres plans 1, 2 i 3 són secants en una recta.
b) 1: x + y – 3z + 5 = 0 2: –2x – 2y + 6z – 10 = 0 3: –x – y + 3z – 9 = 0 El rang de la matriu M i de la matriu M’, associades a aquest sistema és: rang (M) = 1 i rang (M’) = 2 El sistema és incompatible sense solució. Observem que 1 i 2 són coincidents. Per tant, dos plans 1 i 2 són coincidents, i paral·lels al tercer pla 3. 19
c) 1: 4x – 6y + 8z – 14 = 0 2: x – 5y – 7z + 1 = 0 3: 2x – 3y + 4z – 7 = 0 El rang de la matriu M i de la matriu M’, associades a aquest sistema és: rang (M) = 2 i rang (M’) = 2 El sistema és compatible indeterminat. Les seves solucions depenen d’un paràmetre. Per tant, aquests plans tenen una recta en comú. Observem que 1 i 3 són coincidents, per tant, aquests dos plans són coincidents, i secants al tercer pla 2 en una recta.
d) 1: x + z – 1 = 0 2: –y – 3z + 1 = 0 3: 2x + 4z = 0 El rang de la matriu M i de la matriu M’, associades a aquest sistema és: rang (M) = 3 i rang (M’) = 3 El sistema és compatible determinat. Té una única solució: (2, 4, –1). Per tant, els plans 1, 2 i 3 són secants en el punt i el punt (2, 4, –1).
e) 1: x + 3y – z + 5 = 0 2: 2x + 5y + z + 4 = 0 3: x – y – 5z + 3 = 0 El rang de la matriu M i de la matriu M’, associades a aquest sistema és: rang (M) = 3 i rang (M’) = 3 El sistema és compatible determinat. Té una única solució: 2, 15 , 11 . 8 8 15 11 Per tant, els plans 1, 2 i 3 són secants en el punt 2, , . 8 8 f) 1: 4x – z – 4 = 0 2: 5x + 2y – 3z – 5 = 0 3: 21x – 6y – 7 = 0 El rang de la matriu M i de la matriu M’, associades a aquest sistema és: rang (M) = 2 i rang (M’) = 3 El sistema és incompatible sense solució. Observem que no existeixen plans paral·lels. Per tant, els plans són secants, o es tallen, dos a dos. 20
30. Estudia la posició relativa de les rectes i els plans següents: 3x y 11 0 z1 0
a) r:
i
: 3x – y + 7 = 0
5x y 4 0 b) r: 3x z 1 0
i
: 3x + z – 1 = 0
x 5y 0 c) r: x y z 2 0
i
x 3 5k d) r: y 2 z 1
: 5x – y + 2z – 1 = 0
i
: 3x – y + 2z + 3 = 0
e) r: (x, y, z) = (–3, 2, –5) + k(1, 1, 1)
: (x, y, z) = (0, 4, 1) + (0, 1, 2) + (1, 0, –1) x 2 k f) r: y 5 z 3 3k
i
: (x, y, z) = (2, 3, –1) + (1, 5, 1) + (3, –2, 0)
Resposta: 3x y 11 0 z 1 0
a) r:
i
: 3x – y + 7 = 0
Com que la recta ve donada per les seves equacions implícites i el pla per la seva equació general considerem el sistema format per les tres equacions El rang de la matriu M i de la matriu M’, associades a aquest sistema és: rang (M) = 3 i rang (M’) = 3 2 La recta i el pla són secants. Es tallen en el punt , 9, 1 . 3
5x y 4 0 b) r: 3x z 1 0
i
: 3x + z – 1 = 0
S’observa que el pla és precisament el que correspon a la segona equació que ens defineix la recta r. Per tant, la recta està continguda en el pla. 21
x 5y 0 c) r: x y z 2 0
i
: 3x – y + 2z + 3 = 0
La recta ve donada per les seves equacions implícites i el pla per la seva equació general, així que considerem el sistema format per les tres equacions El rang de la matriu M i de la matriu M’, associades a aquest sistema és: rang (M) = 3 i rang (M’) = 3 La recta i el pla són secants. Es tallen en el punt 35 , 7 , 23 . 2 2
x 3 5k d) r: y 2 z 1
i
: 5x – y + 2z – 1 = 0
Expressem la recta mitjançant les seves equacions implícites: y 2 z 1
El sistema format per aquestes dues equacions i l’equació general del pla és tan senzill que podem resoldre’l directament. Només cal que substituïm en l’equació del pla 5x – y + 2z – 1 = 0, els valors de y i z de les dues primeres equacions: 5x – (–2) + 2 · (–1) – 1 = 0 ;
5x + 2 – 2 – 1 = 0 ;
x= 1 5
1 Per tant, la recta i el pla són secants en el punt , 2, 1 . 5
e) r: (x, y, z) = (–3, 2, –5) + k(1, 1, 1)
: (x, y, z) = (0, 4, 1) + (0, 1, 2) + (1, 0, –1) Com que la recta i el pla venen donats per la seva equació vectorial estudiarem la seva posició relativa a partir dels seus vectors directors. Un vector director de la recta és v = (1, 1, 1) i dos vectors directors del pla són u = (0, 1, 2) i v = (1, 0, –1).
22
1 0 1 Com que el determinant 1 1 0 = 0, els tres vectors són linealment 1 2 1 dependents, és a dir el vector director de la recta és combinació lineal dels del pla.
Així doncs, la recta està continguda en el pla o és paral·lela al pla. Per distingir-ho prenem un punt de la recta, per exemple A(–3, 2, –5) i comprovem si verifica l’equació del pla: x μ : y 4 λ z 1 2λ μ
3 μ 2 4 λ 5 1 2λ μ
μ 3 λ 2 5 1 4 3
S’observa que la darrera equació no es verifica. Per tant, la recta és paral·lela al pla.
x 2 k f) r: y 5 z 3 3k
i
: (x, y, z) = (2, 3, –1) + (1, 5, 1) + (3, –2, 0)
Un vector director de la recta és v = (1, 0, 3).
Dos vectors directors del pla (linealment independents) són u = (1, 5, 1) i v = (3, –2, 0).
Com que el determinant
1 1 0 5 3 1
3 2 = –49 0, els tres vectors són 0
linealment independents.
Per tant, la recta i el pla són secants. Es tallen en el punt 6 , 5, 129 . 49 49
23
31. Indica la posició relativa de les rectes i plans següents respecte de la referència: x z 5 0 a) y 2
x 2 c) y 3
x 2 e) y 1 k z 1
x 0 g) z1
b) y = 0
d) x = 3
f) 3z = –5
h) 5y – 2x = 0
Resposta: a) La recta és paral·lela al pla XZ. b) És el pla de coordenades XZ. c) La recta és paral·lela a l’eix OZ. d) És un pla paral·lel al pla YZ. e) La recta és paral·lela a l’eix OY. f) És un pla paral·lel al pla XY. g) La recta és paral·lela a l’eix OY. h) És un pla paral·lel a l’eix OZ.
24
