Àlgebra lineal
I E S J O A N F U S T ER ER Departament de Matemàtiques
Matemàtiques aplicades a les Ciències Socials II Exercicis resolts de la prova d’accés a la Universitat
1) En
un cinema s’han venut en una setmana un total de 1405 entrades i la recaptació ha sigut de 7920 euros. El preu de l’entrada normal és de 6 euros i la del dia de l’espectador 4 euros. El preu de l’entrada per als jubilats és sempre de 3 euros. Se sap, a més, que la recaptació de les entrades de preu reduït és igual al 10% de la recaptació de les entrades normals. Quantes entrades de cada tipus s’han venut? (Setembre 2010)
Podem considerar com a incògnites les quantitats que demana l’enunciat: x: Nombre d’entrades de 6 euros venudes durant la setmana, y: Nombre d’entrades de 4 euros, z: Nombre d’entrades de 3 euros Tenim: “un total de 1405 entrades”: x + y + z = 1405 “la recaptació ha sigut de 7920 euros”: 6 x+ 4 y+3 z = 7920 “la recaptació de les entrades de preu reduït és igual al 10% de la recaptació de les entrades normals”: 4 y+ 3 z= 0,1 ⋅ 6 x Tota la informació queda resumida en el sistema següent: y + z = 1405 ⎫ + ⎪ 6 x + 4 y + 3 z = 7920 ⎬ 0, 6 x − 4 y − 3 z = 0 ⎪⎭ x
Comprovarem, en primer lloc, si és compatible determinat. Calculem el determinant de la matriu de coeficients: 1 1 1 6 4 3 = (−12 + 1, 8 − 24) − (2, 4 −18 −12) = −34, 2 + 27, 6 = −6, 6 0, 6 −4 −3 El determinant és diferent de zero. Per tant, el sistema és compatible determinat . El resoldrem pel mètode de Cramer: Hem calculat Δ = −6,6 6, 6 . Calcularem ara Δ x, Δ y i Δ z: 1405 1 1 Δ x = 7920 4 3 = ( −16860 − 31680) − ( −23760 −16860) = −7920 −4 −3 0 1 1405 1 Δ y = 6 7920 3 = ( −23760 + 2529) − ( 4752 − 25290) = −693 −3 0, 6 0 1 1 1405 Δ z = 6 4 7920 = (4752 − 33720) − (3372 − 31680) = −660 0, 6 −4 0 ⎛ −7920 −693 −660 ⎞ Solució del sistema: ⎜ , , ⎟ = (1200, 105, 100 ) 6 , 6 6 , 6 6 , 6 − − − ⎝ ⎠ Podem contestar ja la pregunta que planteja el problema: S’ha venut 1 200 entrades de tipus normal, 105 del tipus “dia de l’espectador” i 100 per a jubilats. jubilats.
Comprovarem ara que aquesta és, efectivament, la solució del problema: El total 1200 + 105 + 100 coincideix amb les 1405 entrades venudes. La recaptació: 6·1200 + 4·105 + 3·100 = 7920 euros, coincideix amb la que indica l’enunciat. Recaptació corresponent a les entrades de preu reduït: 4·105 + 3·100 = 720 euros, que és, efectivament el 10% dels 7200 euros corresponents a les 1200 entrades normals: 6·1200 = 7200. 2) Obtín la matriu X que verifica:
⎛ 1⎞ − 2 2 3 2 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ X − ⎜ ⎟ = ⎜ 2⎜ ⎟ ⎟⎜ 5⎟ 1 3 2 4 1 3 − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ (Juny 2010)
Podem transformar l’equació en la següent: 4 ⎞ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎛ 5 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎛ 8 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ X = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ → ⎜⎜ ⎟⎟ X = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ − 2 − 6 ⎠ ⎝ − 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ − 2 − 6 ⎠ ⎝ − 8 ⎠
4 ⎞ ⎛ 4 ⎛ 8 ⎞ ⎟⎟ i B = ⎜⎜ ⎟⎟ , podem resoldre l’equació multiplicant ambdós Si anomenem A = ⎜⎜ ⎝ − 2 − 6 ⎠ ⎝ − 8 ⎠ membres per la matriu inversa de A, ja que es comprova fàcilment que A és regular: 4 4 = −24 − (−8) = −16 ≠ 0 A = −2 −6 Tenim: AX = B
→
− − A 1 ⋅ A ⋅ X = A 1 ⋅ B
→
− I ⋅ X = A 1 ⋅ B , i, per tant:
X = A−1 ⋅ B B per tal de determinar la matriu X : Sols resta calcular A−1 i multiplicar-la per B 1 ⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ 1 1 ⎛ − 6 − 4 ⎞ 1 ⎛ 3 2 ⎞ t −1 8 4 ⎜ ⎟ o, millor: A−1 = ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎟ ⋅ (Adj( A) ) = ⋅ ⎜⎜ A = 4 ⎠ ⎜ − 1 − 1 ⎟ − 16 ⎝ 2 A 8 ⎝ − 1 − 2 ⎠⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎠ ⎝ 8 Ja podem trobar la matriu X : − X = A 1 ⋅ B =
1 ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ 8 ⎞ 1 ⎛ 8 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 8 ⎝ − 1 − 2 ⎠⎟ ⎝ − 8 ⎠ 8 ⎝ 8 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎛ 1 ⎞
X = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 1 ⎠
Com sabeu, la matriu X es podia trobar també per un altre mètode: en primer lloc cal deduir-ne la dimensió i després assignar lletres als seus elements, que utilitzarem com a incògnites auxiliars: La dimensió de X ha de ser 2x1 perquè el producte A[m× n] ⋅ X [2×1] siga igual a la matriu B[2×1] .
⎛ a ⎞ , plantejar l’equació ⎛ 4 ⎟ ⎜ ⎝ b ⎠ ⎝ − 2
Per tant, podem escriure X = ⎜
4 ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ i efectuar el producte del primer membre: − 6 ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ − 8 ⎠
⎛ 4 a + 4b ⎞ = ⎛ 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 2 a − 6b ⎠ ⎝ − 8 ⎠ Es resol a continuació el sistema
⎛ 1 ⎞ . ⎟ ⎝ 1 ⎠
mateixa solució X = ⎜
4 a + 4b = 8 ⎫ ⎬ . Conjunt de solucions: − 2 a − 6b = −8⎭
Arrib ibem, em, per per aqu aques estt cam camíí alte altern rnati atiu, u, a la la {(1,1)} . Arr
3) Obtín
totes les
⎛1 1 on A = ⎜⎜ 0 1 ⎜1 2 ⎝
⎛ x ⎞ matrius columna X = ⎜⎜ y ⎟⎟ que siguen solucions de l’equació matricial AX = B, ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠ 1⎞ ⎛1⎞ ⎟ −1 ⎟ i B = ⎜⎜ −1⎟⎟ . Quines d’aquestes matrius X tenen la primera fila nul·la? ⎜0⎟ 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ (Setembre 2009)
Podem plantejar el sistema d’equacions associat a aquesta equació matricial, on A serà la matriu de coeficients del sistema, B la matriu de termes independents, i X la matriu d’incògnites: x +
+ z = 1 ⎫ ⎪ y − z = −1⎬ x + 2 y = 0 ⎪⎭ y
Per estudiar i resoldre aquest sistema podem emprar el mètode de Gauss. La matriu ampliada del sistema serà: ⎛1 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ successivament les transformacions transformacions (-1)·[1a] + [3a] [3a] i ⎜ 0 1 −1 −1⎟ . Aplicant successivament ⎜1 2 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 1 1 1 ⎞ (-1)·[2a] + [3a] [3a], obtenim (comproveu-ho): ⎜⎜ 0 1 −1 −1⎟⎟ . Per tant, el sistema inicial és ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ x + y + z = 1 ⎫ equivalent al sistema ⎬ , el qual és compatible indeterminat, ja que és y − z = −1⎭ escalonat i té més equacions que incògnites. Si en aquest sistema considerem la incògnita z com a paràmetre (o com a incògnita lliure), tenim: − ⎫z x+ y= 1 ⎬ → x+ (−1 + z) = 1 − z→ x= 2 − 2 z (on hem substituït en la primera y = −1 + z ⎭ equació el valor de la incògnita y per l’expressió –1 + z, segons el que indica la segona equació). El conjunt de solucions del sistema serà: ); z ∈ ℜ} {(2 − 2 z, − 1 + z, z); I ara podem contestar la pregunta formulada en l’enunciat: el conjunt de solucions de l’equació matricial és: ⎧⎛ 2 − 2 z ⎞ ⎫ ⎪⎜ ⎪ ⎟ ⎨⎜ −1 + z ⎟ ; z ∈ ℜ ⎬ →
→
⎪⎜ z ⎩⎝
⎟ ⎠
⎪ ⎭
D’aquestes matrius sols una tindrà la primera fila nul·la: 2 − 2 z = 0 z = 1 . Substituint z per 1 en les files 2a i 3a, tenim la matriu: → ⎛0⎞ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠
4) En un sondeig d’opinió s’obté que el nombre d’individus a favor d’una certa normativa duplica la
suma dels que hi estan en contra i els que no n’opinen. El total d’entrevistats ascendeix a 360 persones i la diferència entre els que expressen la seua opinió i els que no ho fan duplica la diferència entre el nombre d’individus a favor i el nombre dels que hi estan en contra de la citada normativa. Determina quants entrevistats estaven a favor de la normativa, quants en contra i quants no hi van opinar. (Setembre 2009)
Si x, y i z indiquen, respectivament, la quantitat de persones entrevistades que s’han manifestat a favor de la normativa, s’hi han manifestat en contra i no n’han opinat, tenim: “el nombre d’individus a favor d’una certa normativa duplica la suma dels que hi estan en contra i x− 2 y − 2 z = 0 els que no n’opinen”: x = 2( y+ z) → “El total d’entrevistats ascendeix a 360 persones”: x + y + z =360 “la diferència entre els que expressen la seua opinió i els que no ho fan duplica la diferència entre el nombre d’individus a favor i el nombre dels que hi estan en contra de la citada normativa”: Tenint en compte que els que expressen la seua opinió són els que es manifesten a favor i els que es manifesten en contra ( x + y), tenim: − x + 3 y − z = 0 , o, millor: x− 3 y + z = 0 ( x + y) − z = 2( x − y) → Es tracta, per tant, de resoldre el sistema format per les tres equacions que hem obtingut: x −
2 y − 2 z = 0 ⎫ ⎪ x + y + z = 360 ⎬ x − 3 y + z = 0 ⎪ ⎭
Comproveu que aquest sistema és compatible determinat i que la solució n’és (240, 90, 30). Sols falta interpretar la solució del sistema per poder contestar el que demana l’enunciat: 240 entrevistats estaven a favor de la normativa, 90 en contra, i 30 no en van opinar. 5) Resol el sistema:
⎧ x+ y − z = 2 ⎪ ⎨ 2 x + z = 3 ⎪ x+ 5 y− 7 z = 4 ⎩
Si ( x, y,0) és una solució del sistema anterior, quins són els valors d’ x i d’ y? (Juny 2009)
L’enunciat demana dues coses. La segona ens suggereix que es tracta d’un sistema compatible indeterminat. Convé estudiar-lo i resoldre’l pel mètode de Gauss. Us indique la matriu ampliada i la corresponent matriu escalonada. Feu vosaltres els passos intermedis: ⎛ 1 1 −1 2 ⎞ ⎜2 0 1 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 5 −7 4 ⎟ ⎝ ⎠
→
⎛ 1 1 −1 2 ⎞ ⎜0 2 3 ⎟ 1 − − ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠
Així, el sistema inicial serà equivalent al sistema escalonat que correspon a aquesta darrera matriu, el qual, per tindre menys equacions que incògnites, serà compatible indeterminat: x +
− z = 2 ⎫ ⎬ −2 y + 3z = −1⎭ y
Considerant z com a incògnita lliure, aïllant y en la segona equació i substituint l’expressió trobada en la primera, obtenim també una expressió per a x en funció del valor de z, i el conjunt de solucions del sistema: ⎧ 3 − z 1 + 3 z , , z ); z ∈ℜ ⎫⎬ ⎨( 2 ⎩ 2 ⎭
Si considerem la solució ( x, y, 0), tenim z = 0, i per tant, x = 6) Donada la matriu
3− 0 3 1+ 3⋅0 1 = , i y= = . 2 2 2 2
⎛1 3⎞ ⎟. 4 2 ⎝ ⎠
A=⎜
a) Troba la seua inversa. ⎛6
8 ⎞ ⎟. 10 20 − ⎝ ⎠
b) Resol l’equació XA 2 + 5A = ⎜
(Setembre 2008-B)
1 3 = 2 − 12 = −10 . I la transposada 4 2 ⎛ 2 −3 ⎞ 1 T T . Per tant: A -1 = ⋅ ( Adj(A) ) ( Adj(A) ) = ⎜ ⎟ A ⎝ −4 1 ⎠
a) A =
de
la
matriu
adjunta
de
A
és:
⎛ −0, 2 0,3 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 0, 4 −0,1 ⎠
b) Veurem dos procediments per a la resolució. El primer és més directe, però cal tindre molt clares les propietats de les matrius i com emprar-les en la resolució d’equacions matricials. El segon, un poc més llarg, té l’avantatge que és aplicable en totes les situacions (en el primer s’utilitza la matriu inversa que, com sabem no sempre existeix): Primer procediment: Es tracta d’aïllar la matriu X. Podem sumar la matriu –5A als dos membres de l’equació. En el segon membre tindrem: 8 ⎞ −7 ⎞ ⎛6 ⎛1 3⎞ ⎛ 1 − ⋅ = 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ . Si designem amb la lletra B aquesta darrera matriu, tenim: ⎝10 −20 ⎠ ⎝ 4 2 ⎠ ⎝ −10 −30 ⎠ XA 2 = B Aquesta equació la podem resoldre multiplicant ambdós membres per la matriu A-1 que hem trobat en l’apartat a). Haurem de situar A-1 a la dreta de cada una de les expressions i reiterar l’operació: XA 2 ⋅ A −1 = B ⋅ A -1 X ⋅ A ⋅ A ⋅ A−1 = B⋅ A -1 → → expressió, A ⋅ A −1 = I i, després, X ⋅ A ⋅ I = X ⋅ A ). Tornem a fer el mateix amb l’equació així transformada: X ⋅ A = B ⋅ A -1 →
X ⋅ A = B⋅ A-1 (ja que, en la segona
X ⋅ A ⋅ A -1 = B ⋅ A -1 ⋅ A -1 . Per tant: X = B ⋅ A-1 ⋅ A-1 = B ⋅ ( A −1 )
Fem ara el quadrat de la matriu inversa de A: ⎛ −0, 2
A -1 ⋅ A -1 = ⎜
⎝ 0, 4
0,3 ⎞ ⎛ −0, 2 0,3 ⎞ ⎛ 0,16 −0,09 ⎞ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟. −0,1 ⎠ ⎝ 0, 4 −0,1 ⎠ ⎝ −0,12 0,13 ⎠
−7 ⎞ ⎛ 0,16 −0,09 ⎞ ⎛ 1 −1 ⎞ 2 ⎛ 1 Finalment: X = B ⋅ ( A −1 ) = ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ −10 −30 ⎠ ⎝ −0,12 0,13 ⎠ ⎝ 2 −3 ⎠
2
Segon procediment: Podem aprofitar part del que acabem de fer. Siga B la matriu obtinguda en el primer pas del procediment anterior: −7 ⎞ ⎛ 1 Tenim l’equació XA 2 = B , amb B = ⎜ ⎟. − − 10 30 ⎝ ⎠ Primer determinarem la dimensió de la matriu X. Com que A 2 té dimensió 2 x 2, i B també, X haurà de ser també una matriu de dimensió 2 x 2. Designarem amb les lletres a, b, c i d els seus elements. Tindrem: ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 13 9 ⎞ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ 4 2 4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝12 16 ⎠
A2 = A ⋅ A = ⎜
→
−7 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 13 9 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ c d ⎠ ⎝12 16 ⎠ ⎝ −10 −30 ⎠
Efectuant el producte del primer membre trobem: −7 ⎞ ⎛ 13a + 12b 9a + 16b ⎞ ⎛ 1 = ⎜13 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ c + d 9c + 16 d ⎠ ⎝ −10 −30 ⎠
13a + 12b = 1 ⎫ 9a + 16b = −7 ⎪⎪ Per tant, a, b, c i d han de ser les solucions del sistema ⎬ , on cada 13c + 12d = −10 ⎪ 9c + 16d = −30 ⎪⎭ equació correspon a la igualtat dels elements corresponents de les dues matrius. El sistema es pot descompondre en dos subsistemes de dues equacions amb dues incògnites. Resolent-los, trobem la solució (1, –1, 2, –3) i, per tant, la matriu solució serà: ⎛ 1 −1 ⎞ ⎟ , que coincideix amb la trobada pel primer procediment. − 2 3 ⎝ ⎠
X=⎜
Nota: el primer procediment es pot efectuar de manera un poc més eficient si es té en compte que, per a qualsevol 2 −1 matriu regular, es compleix ( A −1 ) = (A 2 ) , propietat que es pot deduir de manera immediata d’aquesta altra més general: si M i N són matrius quadrades de la mateixa dimensió i són regulars: ( M ⋅ N ) −1 = N −1 ⋅ M −1 (observeu el canvi en l’ordre de les multiplicacions). 7) Antoni
ha aconseguit 1372 euros treballant durant les vacances. Eixos diners pot gastar-los íntegrament comprant un ordinador portàtil, una càmera digital i fent un viatge. El preu de l’ordinador portàtil excedeix en 140 euros a la suma dels preus de la càmera i del viatge. Tenint en compte que el preu d’un segon acompanyant per al viatge és la meitat que el preu inicial, Antoni podria invitar el seu germà al viatge en el cas que no es comprara la càmera digital i encara li quedarien 208 euros. Calcula els preus de l’ordinador, de la càmera i del viatge. (Setembre 2008-A)
Si designem amb les lletres x, y i z, respectivament, els preus de l’ordinador, de la càmera i del viatge, podem establir les següents relacions entre ells: “Antoni ha aconseguit 1372 euros treballant durant les vacances. Eixos diners pot gastar-los íntegrament comprant un ordinador portàtil, una càmera digital i fent un viatge”: x + y + z = 1372 “El preu de l’ordinador portàtil excedeix en 140 euros a la suma dels preus de la càmera i del viatge”: x = ( y+ z) + 140 → x− y− z= 140 .
“el preu d’un segon acompanyant per al viatge és la meitat que el preu inicial”: preu del viatge si z
l’acompanya el germà: z + = 1,5 z . I, per tant: 2 “podria invitar el seu germà al viatge en el cas que no es comprara la càmera digital i encara li quedarien 208 euros”: x+1,5 z+ 208 = 1372 → x+1,5 z=1164 . Les tres equacions trobades formen el sistema següent: x +
y +
= 1372 ⎫ ⎪ y − z = 140 ⎬ + 1,5 z = 1164 ⎪⎭
x − x
z
Classifiqueu i resoleu el sistema. Trobareu que és compatible determinat i que la seua solució és (756, 344, 272). És a dir: Els preus demanats són: 756 € el de l’ordinador, 344 € el de la càmera i 272 € el del viatge. la matriu X que verifica l’equació AX + I = ABt , sent I la matriu identitat, ⎛ 1 1⎞ ⎛ 2 1⎞ = A = ⎜ B , i Bt la transposada de la matriu B. ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1 1⎠ ⎝ −1 1 ⎠
8) Determina
(Juny 2008-B)
Si A és una matriu regular, podrem emprar la matriu inversa de A per resoldre directament l’equació plantejada: A =
1 1 = 1 − ( −1) = 2 ≠ 0 → −1 1 -1 A =
Calculem ara A-1 =
A
és regular.
⎛ 1 1⎞ t ⋅ ( Adj( A ) ) : Adj(A) = ⎜ ⎟ A ⎝ −1 1 ⎠
1
⎛1 −1 ⎞
t ( Adj(A) ) = ⎜ ⎟ . Per tant: ⎝1 1 ⎠
→
1 ⎛1 −1⎞ ⎛ 0,5 −0,5 ⎞ = 2 ⎜⎝1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0,5 0,5 ⎟⎠
Tornem ara a l’equació: AX+ =I matriu del segon membre, tenim:
t
AB
→
= AX
AB− t
. ISi designem amb la lletra C la
⎛ 1 1⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎟ ⋅⎜ ⎟−⎜ ⎟ = ⎜− ⎟ − 1 1 1 1 0 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 1⎠
C = AB − I = ⎜ t
L’equació AX = C ja és directament resoluble multiplicant ambdós membres per A-1 (que haurem de situar a l’esquerra de A i a l’esquerra de C ): AX = C→
−1
−1
A AX = A C → −1
−1
I⋅ X = A C
→
−1
tant: X = A C . Per
⎛ 0,5 −0,5 ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 1,5 −0,5 ⎞ ⎟ ⋅ ⎜ −1 1 ⎟ = ⎜ 0,5 0,5 ⎟ 0,5 0,5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
X = A C= ⎜
9) Una
immobiliària ha venut un total de 65 places de garatge en tres urbanitzacions diferents. Els guanys obtinguts per la venda d’una plaça de garatge en la urbanització A són de 2.000 euros, 4.000 euros per una en la urbanització B i 6.000 per una en la urbanització C. Sabem que s’han venut un 50% més de places en la urbanització A que en la urbanització C. Calcula el nombre de places de garatge venudes en cada urbanització sabent que el benefici obtingut per les venudes en la urbanització C és igual a la suma dels beneficis obtinguts per les venudes en les urbanitzacions A i B. (Juny 2008-A)
x, y i z
representaran, respectivament, el nombre de places venudes en les urbanitzacions A, B i C. Tindrem: “un total de 65 places de garatge en tres urbanitzacions”: x + y + z =65 “Sabem que s’han venut un 50% més de places en la urbanització A que en la urbanització C”: x= 1,5 z x− 1,5 z= 0 → “el benefici obtingut per les venudes en la urbanització C és igual a la suma dels beneficis obtinguts per les venudes en les urbanitzacions A i B”: → 6000 z = 2000 x+ 4000 y x+ 2 y− 3 z = 0 Obtenim el següent sistema, que podeu comprovar que és compatible determinat i amb solució (30, 15, 20): x +
+ z = 65⎫ ⎪ x − 1,5 z = 0 ⎬ x + 2 y − 3 z = 0 ⎪ ⎭ y
Per tant, les places de garatge venudes han estat: 30 en la urbanització A, 15 en la B i 20 en la C. 10) Obtín totes les solucions del següent sistema d’equacions lineals: ⎧ x + y + z = −1
⎪ ⎨2 x − y + z = 0 ⎪ −2 x + 7 y + z = −4 ⎩
(Setembre 2007-B)
L’enunciat suggereix que es tracta d’un sistema compatible indeterminat, però ho haurem de comprovar. En qualsevol cas, l’estudiarem pel mètode de Gauss: La matriu ampliada del sistema és: ⎛ 1 1 1 −1 ⎞ ⎜ 2 −1 1 0 ⎟ . En el primer pas farem dues transformacions: substituirem la segona fila per ⎜ ⎟ ⎜ −2 7 1 −4 ⎟ ⎝ ⎠
la combinació lineal 2·[1a] + (–1)·[2a], i la tercera fila per 2·[1a] + [3a]: ⎛ 1 1 1 −1 ⎞ ⎜ 0 3 1 2 ⎟ . Ja es pot observar que les files segona i tercera són proporcionals. Això no − ⎟ ⎜ ⎜ 0 9 3 −6 ⎟ ⎝ ⎠
obstant, podem completar el procés amb una tercera transformació: substituirem ara la tercera fila per la combinació lineal (–3)·[2a] + [3a], i tenim:
⎛ 1 1 1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 3 1 −2 ⎟ ⎜0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠
Aquesta matriu és la matriu ampliada d’un sistema escalonat que ha de ser, necessàriament, equivalent al sistema inicial. El sistema és: x +
+ z = −1 ⎫ ⎬ 3 y + z = −2 ⎭ y
Es tracta d’un sistema compatible indeterminat, ja que té menor nombre d’equacions que d’incògnites. Podem considerar z com a incògnita lliure (potser fóra millor elecció y en aquest cas: proveu a expressar vosaltres el conjunt de solucions en funció de la incògnita y). Els passos següents són: x+
y =
−1 − ⎫z −2 − z . I, substituint aquest “valor” de y ⎬ . De la segona equació: y = 3 y = −2 − z ⎭ 3 −1 − 2 z en la primera equació i resolent-la per a x, trobem x = . El conjunt de solucions del
3
sistema plantejat en l’enunciat es pot escriure com:
⎧⎛ −1 − 2 z −2 − z ⎞ ⎫ , , z ⎟ ; z ∈ℜ ⎬ ⎨⎜ 3 ⎠ ⎩⎝ 3 ⎭
Per cert, si haguérem optat per expressar les solucions en funció de la incògnita y, tindríem:
{(1 + 2 y, y, − 2 − 3 y) ;
y∈ℜ}
11) S’estan
preparant dosis amb dos tipus de complements per als astronautes de la nau Enterprise. Cada gram del complement A conté 2 unitats de riboflavina, 3 de ferro i 2 de carbohidrats. Cada gram del complement B conté 2 unitats de riboflavina, 1 de ferro i 4 de carbohidrats. Quants grams de cada complement són necessaris per a produir exactament una dosi amb 12 unitats de riboflavina, 16 de ferro i 14 de carbohidrats? (Setembre 2007-A)
Les incògnites poden ser justament les quantitats per les quals pregunta l’enunciat: x: quantitat (en grams) del complement A y: quantitat (en grams) del complement B Podem representar les dades en una taula de doble entrada per tal d’aclarir millor les relacions que indica l’enunciat: x (complement A)
y (complement B)
Dosi
Riboflavina (unitats/gram)
2
2
12
Ferro (unitats/gram)
3
1
16
Carbohidrats (unitats/gram)
2
4
14
Les 12 unitats de riboflavina provindran de les contingudes en el complement A (2 unitats/gram x + y = 6 en x grams) i en el complement B (2 unitats/gram en y grams): 2 x + 2 y = 12 → Les 16 unitats de ferro, d’igual forma: 3 x + y = 16 . I les 14 de carbohidrats: 2 x + 4 y = 14 , o millor, x + 2 y = 7 .
Tenim, per tant, el sistema següent: + y = 6⎫ ⎪ 3 x + y = 16⎬ x + 2 y = 7⎪ ⎭ x
Per resoldre aquest sistema amb més equacions que incògnites tenim dues opcions principals: Procediment 1: resoldre el sistema format per dues qualssevol de les tres equacions (en l’exemple farem 1a i2a) i, obligatòriament, comprovar que la solució trobada també satisfà la tercera equació . Procediment 2: estudiar i resoldre el sistema emprant el mètode de Gauus (ja que els altres dos mètodes que solem emprar són aplicables únicament quan es tracta de sistemes amb el mateix nombre d’equacions que d’incògnites). Desenvoluparem successivament els dos procediments: Resolució pel procediment 1: Resoldrem el sistema
+ y = 6⎫ ⎬ pel mètode de Cramer: 3 x + y = 16⎭ x
El determinant de la matriu de coeficients és Δ =
1 1 = −2 . Δ ≠ 0 i, per tant, el sistema és 3 1
compatible determinat. Calculem ara Δ x i Δ y : Δ x =
6 1 1 6 ⎛ − 10 − 2 ⎞ = −10 i Δ y = = −2 . Tenim que la solució és ⎜ , ⎟ = (5, 1) 16 1 3 16 2 2 − − ⎝ ⎠
Hem vist que el sistema és compatible determinat. Això significa que (5, 1) és l’únic parell de. Si també és solució de la tercera equació, serà l’únic parell de nombres que és solució de les tres equacions. En aquest cas el sistema format per les tres equacions serà compatible determinat, i ja en tindrem la solució. Si passa el contrari, és a dir, si la solució trobada per al sistema format per les dues primeres equacions no satisfà la tercera, no n’hi haurà cap solució del sistema format per les tres: el sistema serà incompatible, i la situació plantejada per l’enunciat no tindrà solució. La tercera equació és x + 2 y = 7 . Comprovem la solució trobada, (5, 1): 5 + 2·1 = 7. Per tant, el sistema és compatible determinat i té com a solució el parell (5, 1). Resolució pel procediment 1: aplicarem el mètode de Gauss al sistema + y = 6⎫ ⎪ 3 x + y = 16⎬ x + 2 y = 7⎪ ⎭ x
⎛ 1 1 6 ⎞ ⎜ ⎟ La matriu ampliada del sistema és: ⎜ 3 1 16 ⎟ . Si substituïm la fila segona per la combinació ⎜1 2 7 ⎟ ⎝ ⎠
lineal (–3)·[1a] + [2a], i la tercera per (–1)·[1a] + [3a], tenim:
6 ⎞ ⎛ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 2 − 2 ⎟ . Si ara substituïm la tercera fila per la combinació [2a] + [3a], ja tindrem la ⎜0 1 1 ⎠⎟ ⎝ 6 ⎞ ⎛ 1 1 ⎜ ⎟ matriu escalonada: ⎜ 0 − 2 − 2 ⎟ . Com veiem, la tercera fila ha quedat reduïda a zeros. Però ⎜0 0 0 ⎠⎟ ⎝ això, contràriament amb el que sol ocórrer en la majoria d’exemples que hem vist, no significa que el sistema siga compatible indeterminat. Com sabeu, és convenient posposar aquesta classificació al moment en què ja hem escrit el sistema que correspon a aquesta matriu: Recordarem (ho hem d’escriure sempre per demostrar que entenem bàsicament en què consisteix el mètode de Gauss) que aquesta darrera matriu la podem considerar com la matriu ampliada d’un sistema, que escriurem a continuació, el qual serà equivalent al sistema plantejat a l’inici: x
+
= 6⎫ ⎬ − 2 y = − 2⎭ y
Aquest sistema és escalonat i té el mateix nombre d’equacions que d’incògnites. Per tant és compatible determinat. Podeu comprovar que la solució coincideix amb la trobada pel primer procediment. Hem arribat, per dos camins alternatius, a la conclusió que, per a la producció de la dosi que planteja l’enunciat s’han d’emprar 5 grams del complement A i 1 gram del complement B. 12) Els
tres models existents d’una marca d’automòbils costen 12.000, 15.000 i 22.000 euros, respectivament. Un concessionari ha ingressat 1.265.000 euros per la venda d’automòbils d’aquesta marca. Quants cotxes ha venut de cadascun dels models si del més barat es van vendre tants com dels altres dos junts i del més car la tercera part dels cotxes que costen 15.000 euros? (Juny 2007-B)
Utilitzant les lletres x, y i z per designar les quantitats demanades, podem establir les següents relacions: “Un concessionari ha ingressat 1.265.000 euros per la venda d’automòbils d’aquesta marca”: 12000 x+ 15000 y+ 22000 z= 1265000 12 x+ 15 y+ 22 z= 1265 → “del més barat es van vendre tants com dels altres dos junts”: x = y + z “del més car la tercera part dels cotxes que costen 15.000 euros”:
z=
y
3
→ →
x − y − z =0 y−3 z=0
Tenim el sistema de tres equacions amb tres incògnites: 12
x +
15
x
−
y y
y +
22
− z − 3z
z =
1265 ⎫ ⎪ = 0 ⎬ = 0 ⎪⎭
Si calculem el determinant de la matriu de coeficients, sabrem si és compatible determinat o no: 12 15 22 Δ = 1 −1 −1 = 36 + 22 − ( −45 −12) = 115 . És diferent de zero i, per tant, el sistema és 0 1 −3 compatible determinat. Si la solució (única) del sistema està formada per tres nombres enters no
negatius, podrem contestar la pregunta formulada amb el nombre de cotxes venuts de cada una de les categories. Si no és així, caldrà contestar que la situació plantejada no és possible. ⎛Δ
Δ
Δ ⎞
Resoldrem el sistema pel mètode de Cramer. La solució serà la terna ⎜ x , y , z ⎟ . Ja ⎝ Δ Δ Δ ⎠ coneixem el valor de Δ . Calcularem ara els determinants de les matrius associades a les incògnites: 1265 15 22 Δ x = 0 −1 −1 = 3795 − ( −1265) = 5060 ; 0 1 −3 12 15 1265 0 = 1265 Δ z = 1 − 1 0 1 0
12 1265 22 Δ y = 1 −1 = 0 − ( −3795) = 3795 0 0 0 −3
i
5 060 3795 1265 ⎞ Tenim com a solució del sistema: ⎛⎜ , , ⎟ = ( 44,33,11) . Per tant, el concessionari 115 115 115 ⎝ ⎠ ha venut 44 unitats del més barat, 33 del de 15 000 €, i 11 del més car. ⎛ 1 2⎞ t t −1 −1 la matriu A = ⎜ ⎟ , calcula A⋅ A − 5 A , sent A i A les matrius transposada i ⎝ −1 3 ⎠ inversa de A, respectivament.
13) Donada
(Juny 2007-A)
A =
1 2 = 3 − ( −2) = 5 ≠ 0 → −1 3
Calculem ara A-1 =
t
-1 = A
A
és regular.
⎛ 3 1⎞ t ⋅ ( Adj( A ) ) : Adj(A) = ⎜ ⎟ A ⎝ −2 1 ⎠
1
→
⎛ 3 −2 ⎞
t ( Adj(A) ) = ⎜ ⎟ . Per tant: 1 1 ⎝ ⎠
⎛ 1 −1 ⎞ 1 ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 0,6 −0, 4 ⎞ t = = . Sabem també que A ⎜ 2 3 ⎟ . Per tant: 5 ⎜⎝ 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0, 2 0, 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ −1
A⋅ A − 5 A
⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 5 5 ⎞ ⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 2 7 ⎞ =⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 2 3 ⎟ − ⎜ 1 1 ⎟ = ⎜ 5 10 ⎟ − ⎜ 1 1 ⎟ = ⎜ 4 9 ⎟ − 1 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
14) En
el primer curs de batxillerat d’un institut hi ha matriculats un total de 65 alumnes dividits en tres grups: A, B i C. Dinen en el centre 42 d’ells, que corresponen a la meitat dels del grup A, les quatre cinquenes parts dels del B i les dues terceres parts dels del C. A una eixida fora del centre van acudir les tres quartes parts dels alumnes del grup A, tots els del B i les dues terceres parts dels del C, sumant en total 52 estudiants. Quants alumnes hi ha en cada grup? (Setembre 2006-B)
Utilitzant les lletres x, y i z per designar les quantitats demanades (el nombre d’alumnes de cada grup), podem establir les següents relacions: “En el primer curs de batxillerat d’un institut hi ha matriculats un total de 65 alumnes dividits en tres grups”: x + y + z = 65 “Dinen en el centre 42 d’ells, que corresponen a la meitat dels del grup A, les quatre cinquenes parts dels del B i les dues terceres parts dels del C”:
4y 2z + = 42 → 15 x+ 24 y+ 20 z= 1260 2 5 3 “A una eixida fora del centre van acudir les tres quartes parts dels alumnes del grup A, tots els del B i les dues terceres parts dels del C, sumant en total 52 estudiants”: x
+
3 x 2z + y+ = 52 → 9 x+ 12 y+ 8 z= 624 4 3 Tenim el sistema de tres equacions amb tres incògnites: y z + + = 65 ⎫ ⎪ 15 x + 24 y + 20 z = 1260 ⎬ 9 x + 12 y + 8 z = 624 ⎪⎭ x
Si calculem el determinant de la matriu de coeficients, sabrem si és compatible determinat o no: 1 1 1 Δ = 15 24 20 = 192 + 180 +180 − (216 +120 + 240) = −24 . És diferent de zero i, per tant, el 9 12 8 sistema és compatible determinat. Podeu, si voleu, resoldre’l pel mètode de Cramer. Trobareu: Δ x = −576 ; Δ y = −480 ; Δ z = − 504 . Dividint cada un d’aquests valors entre Δ = −24 , tenim que
la solució del sistema és: (24, 20, 21). Tenim ja la contestació a la pregunta formulada. El nombre d’alumnes és de 24 en el grup A, 20 en el B i 21 en el C. ⎛ 3 −1 ⎞ la matriu A que verifica l’equació AB+ A= 2 Bt , on B = ⎜ i Bt representa la ⎟ ⎝0 2 ⎠ matriu transposada de B.
15) Determina
(Setembre 2006-A)
Podrem resoldre l’equació utilitzant la matriu inversa si entenem bé la següent transformació, que es basa en la propietat distributiva de la multiplicació de matrius respecte de la suma de matrius (també en podem dir “traure una matriu factor comú) i en el fet que qualsevol matriu quadrada (en aquest cas A) la podem considerar el producte d’ella mateixa per la matriu identitat ( A = A ⋅ I ): t AB+ A= 2 B →
A⋅ ( B+ I) = 2 B . t
Necessitarem la matriu inversa de B + I (si aquesta és
una matriu regular). Tenim: ⎛ 3 −1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 4 −1 ⎞ B + =I ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝0 2 ⎠ ⎝0 1⎠ ⎝0 3 ⎠
→
B +
I=
4 −1 = 12 ≠ 0 0 3
−1
Podem calcular ( B + I ) : ⎛3 0⎞ ⎟ ⎝1 4⎠
Adj(B+I) = ⎜
→
⎛3 1⎞
t ( Adj(B+I) ) = ⎜ ⎟ ⎝0 4⎠
1 ⎛3 1⎞ . Tornant ara a l’equació, multiplicarem cada membre (per la dreta) per 12 ⎜⎝ 0 4 ⎟⎠ aquesta matriu: -1 ( B + I ) =
A⋅ ( B + I ) = 2 B
t
→
A⋅ ( B + I ) ⋅ (B + I )
−1
= 2 Bt ⋅ ( B + I )−1 →
t −1 A ⋅ I = 2 B ⋅ (B + I )
Tenim, per tant, A = 2 Bt ⋅ ( B + I) −1 . Sols falta calcular aquest producte: −1
⎛ 3 0⎞ 1 ⎛3 1⎞ ⎟ ⋅ ⋅⎜ ⎟ . Podem organitzar aquesta operació de la següent − 1 2 0 4 12 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A = 2 B ⋅ ( B + I) = 2 ⋅ ⎜ t
manera: multipliquem els dos escalars, multipliquem les dues matrius i, finalment, multipliquem els dos resultats obtinguts. És a dir: ⎛ 3 ⎛ 3 0⎞ 1 ⎛3 1⎞ 1 ⎛ 9 3⎞ ⎜ 2 A = 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎜ ⎟ = ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎝ −1 2 ⎠ 12 ⎝ 0 4 ⎠ 6 ⎝ −3 7 ⎠ ⎜ − 1 ⎜ ⎝ 2
1⎞ 2 ⎟⎟ 7⎟ ⎟ 6⎠
El mètode alternatiu consisteix a designar els elements de la matriu A amb lletres i fer les operacions indicades en l’equació matricial. D’eixa forma s’estableix un sistema d’equacions en què les incògnites són els elements desconeguts de la matriu A. Us recomane que resoleu novament l’exercici utilitzant aquest mètode. Podeu tindre com a referència el segon procediment emprat en aquest document en l’exercici corresponent a setembre 2008-B.
16) Resol el següent sistema d’equacions lineals utilitzant el mètode de Cramer: x + y −2 z = x
2 x − y
−6 ⎫ ⎪ + z = 5⎬ = 11⎪⎭ (Juny 2006-B)
Els quatre determinants que cal emprar són: −6 1 −2 1 1 −2 1 −6 −2 1 1 −6 Δ = 1 0 1 = 5 ; Δ x = 5 0 1 = 15 ; Δ y = 1 5 1 = −25 i Δ z = 1 0 5 = 10 2 −1 0 11 −1 0 2 11 0 2 −1 11
El “conjunt de solucions”: {( 3, − 5, 2 )} . Podeu veure més detalls de la utilització del mètode de Cramer en l’exercici corresponent a juny 2007-B.
17) Tres
constructores inverteixen en la compra de terrenys de la forma següent: la primera va invertir mig milió d’euros en terreny urbà, 250.000 euros en terreny industrial i 250.000 euros en terreny rústic. La segona, va invertir 125.000, 250.000 i 125.000 euros en terreny urbà, industrial i rústic, respectivament, i la tercera, 100.000, 100.000 i 200.000 euros en aquests mateixos tipus de terreny, respectivament. Transcorregut un any, venen tots els terrenys. La rendibilitat que obté la primera constructora és del 13,75%, la de la segona de l’11,25% i, finalment, la de la tercera és del 10%. Determina la rendibilitat de cada un dels tipus de terreny per separat. (Juny 2006-A)
Abans de començar el procés de resolució, analitzem la informació presentada. Podem emprar una taula de doble entrada: Empresa 1
Empresa 2
Empresa 3
Inversió en terreny 500 000 urbà
125 000
100 000
Inversió en terreny 250 000 industrial
250 000
100 000
Inversió en terreny 250 000 rústic
125 000
200 000
Inversió total Rendibilitat (%)
500 000 11,25%
400 000 10%
13,75% d’1 000 000 €
11,25% de 500 000 €
10% de 400 000 €
137 500 €
56 250 €
40 000 €
1 000 000 global 13,75%
Rendibilitat global (€)
Utilitzant les lletres x, y i z per designar les quantitats demanades (la rendibilitat o percentatge de guany sobre el preu de compra, de cada un dels tres tipus de terreny) podem establir les següents relacions: “la primera va invertir mig milió d’euros en terreny urbà, 250.000 euros en terreny industrial i 250.000 euros en terreny rústic... La rendibilitat que obté la primera constructora és del 13,75%”: x
⋅ 500000 +
y
⋅ 250000 +
z
100 100 100 5000 x+ 2500 y+ 2500 z= 137500
⋅ 250000 = 137500 . Tenim: →
2 x+ y+ z = 55 .
Procedim de la mateixa forma amb les dades de les altres dues constructores i obtenim el sistema: + z = 55 ⎫ ⎪ x + 2 y + z = 45 ⎬ x + y + 2 z = 40 ⎪ ⎭
2
x +
y
Resoleu aquest sistema i comprovareu que és compatible determinat, amb solució (20, 10, 5). Les rendibilitats demanades són: 20% la del terreny urbà, 10% la de l’industrial i 5% la del rústic.
⎛a b⎞ ⎟ que verifica l’equació matricial AXB = C , sent: 0 c ⎝ ⎠ ⎛1 0 ⎞ ⎛1 2⎞ ⎛ −1 −2 ⎞ , i = = A = ⎜ B C ⎟ ⎜− − ⎟ ⎜− − ⎟. 1 1 1 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 8⎠
18) Calculeu la matriu X = ⎜
(Setembre 2005-B)
A i C són matrius regulars. El càlcul dels determinants és immediat:
1 0 1 2 = 1 i B = = −3 − ( −2) = −1 . Podem resoldre l’equació multiplicant en −1 −3 1 1 ambdós membres per la matriu inversa de A (a l’esquerra en els dos membres) i per la matriu inversa de B (a la dreta en els dos membres): A =
−1
−1
−1
−1
→ AXB = C A ⋅ A⋅ X ⋅ B⋅ B = A ⋅ C⋅ B 1 B⋅ B− = I , i que I ⋅ X ⋅ I = X , tenim: −1
. Tenint en compte ara que A−1 ⋅ A = I , que −1
X = A ⋅ C⋅ B
Calcularem les dues matrius inverses i, després, farem el producte de les tres: −1 = A
⎛ 1 0⎞ T ⋅ ( Adj ( A )) = ⎜ ⎟, i A ⎝ −1 1 ⎠
1
−1 = B
⎛ −3 −2 ⎞ ⎛ 3 2 ⎞ T ⋅ ( Adj ( B) ) = − ⎜ ⎟=⎜ ⎟ B ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ −1 −1 ⎠
1
Finalment: ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ −1 −2 ⎞ ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ −1 −2 ⎞ ⎛ 3 2 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎟ ⋅ ⎜ 3 8 ⎟ ⋅ ⎜ 1 1⎟ = ⎜ 2 6 ⎟ ⋅ ⎜ 1 1 ⎟ = ⎜ 0 2 ⎟ 1 1 − ⎝ ⎠ ⎝− − ⎠ ⎝− − ⎠ ⎝− − ⎠ ⎝− − ⎠ ⎝ ⎠
X = A− ⋅ C ⋅ B− = ⎜ 1
1
Com hem vist en l’exercici de setembre 2008-B, podríem haver trobat el valor de X utilitzant la forma en què la descriu l’enunciat, que ja ens donava una part de la solució (l’element (2,1) igual a zero, com hem comprovat).
19) Dos
germans decideixen invertir 10 000 € cadascun en distints productes financers. El major va invertir una quantitat A en un producte que ha proporcionat un benefici del 6%, una quantitat B en un altre que ha donat una rendibilitat del 5% i la resta en un termini fix al 2% d'interés. El germà menor va invertir eixes mateixes quantitats en altres productes que li han proporcionat, respectivament, uns beneficis del 4, 3 i 7 %. Determineu les quantitats A, B i C invertides si els guanys del germà major han segut 415 € i els del xicotet 460 €. (Setembre 2005-A)
Les tres quantitats que demana són les mateixes per a cada un dels dos germans. Designem-les amb les lletres que indica l’enunciat. Podem establir: “invertir 10 000 € cadascun en distints productes financers”: A + B + C = 10000 “El major va invertir una quantitat A en un producte que ha proporcionat un benefici del 6%, una quantitat B en un altre que ha donat una rendibilitat del 5% i la resta en un termini fix al 2% d'interés ... els guanys del germà major han segut 415 €”: 0,06A +0,05B +0,02C = 415 “El germà menor va invertir eixes mateixes quantitats en altres productes que li han proporcionat, respectivament, uns beneficis del 4, 3 i 7 %. ... els guanys del ... xicotet 460 €”: 0,04A + 0, 03B + 0, 07C = 460 Com veiem, es tracta de resoldre el sistema format per aquestes tres equacions:
A B C + + = 10000 ⎫ ⎪ 0,06A + 0,05B + 0,02C = 415 ⎬ 0,04A + 0,03B + 0,07C = 460 ⎪⎭ Resoleu aquest sistema. Comprovareu que és compatible determinat i que la solució és la terna (2 000, 4 500, 3 500). Per tant, les quantitats A, B i C són, respectivament: 2 000 €, 4 500 € i 3 500 € ⎛ 2 2 1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 20) Siga ⎜ 2 3 1 ⎟ la matriu dels coeficients d’un sistema d’equacions lineals i ⎜1 ⎟ la matriu dels ⎜ 2 5 1⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
seus termes independents. Es demana: a) Escriviu les tres equacions que formen el sistema. b) Obteniu totes les solucions del sistema. (Juny 2005-B)
a) És immediat: 2 2 2
x +
y +
z =
x
y +
z
y +
z
x
2 + 3 + 5
1⎫ ⎪ = 1⎬ = 1⎪⎭
b) Si intenteu resoldre’l pel mètode de Cramer, trobareu que el determinant de la matriu de coeficients és zero. Per tant, no és resoluble per aquest mètode i sabem que no serà compatible determinat. Potser siga incompatible o, com sembla indicar l’enunciat, compatible indeterminat. Estudieu-lo i resoleu-lo pel mètode de Gauss. Si seguiu el procediment que emprem sempre en classe, trobareu que la matriu escalonada que correspon a la matriu ampliada d’aquest sistema és: ⎛2 2 1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 0 0 ⎟ . Per tant, el sistema és equivalent al que té com a matriu ampliada les dues ⎜0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
primeres files d’aquesta matriu: 2 x + 2 y + y
z =
1⎫ ⎬ = 0⎭
Aquest sistema és compatible indeterminat perquè, sent escalonat, té més incògnites que equacions. Encara que la segona equació estableix de manera única el valor de y, la primera estableix una relació de dependència entre els valors de x i z. Qualsevol d’aquestes dues incògnites es pot triar com a paràmetre per a expressar cada solució en funció del seu valor. Si triem, com tenim per costum, z com a incògnita lliure, tenim, en substituir y per zero en la primera equació: 1 − z → 2 x= 1 − z . Per tant, el conjunt de solucions d’aquest sistema és: x= 2 ⎧⎛ 1 − z ⎫ ,0, z ⎞⎟ ; z ∈ℜ ⎬ ⎨⎜ ⎠ ⎩⎝ 2 ⎭
21) Hel·lena,
Pere i Joan col·loquen diàriament fulls de propaganda sobre els parabrises dels cotxes aparcats al carrer. Pere reparteix sempre el 20% del total de la propaganda, Joan reparteix 100 fulls més que Hel·lena i entre Pere i Hel·lena col·loquen 850 fulls als parabrises. Plantegeu un sistema d’equacions que permeta esbrinar quants fulls reparteixen, respectivament, Hel·lena, Pere i Joan i calculeu aquests valors. (Juny 2005-A)
Podem designar les incògnites amb les lletres x, y i z, per a indicar, respectivament, les quantitats que reparteixen Hel·lena, Pere i Joan. Tindrem: “Pere reparteix sempre el 20% del total de la propaganda”: Tenint en compte que el total és la suma dels que reparteix cada un d’ells, és a dir, x + y + z , tindrem: y = 0, 20( x+ y+ z) . O, de forma equivalent: x− 4 y + z = 0 (comproveu-ho). “Joan reparteix 100 fulls més que Hel·lena”: z= x+100 “entre Pere i Hel·lena col·loquen 850 fulls”: x + y = 850
→
− x+ z=100
El sistema que demana l’enunciat és el següent: x −
4
− x x
y +
z =
+ z +
y
0 ⎫ ⎪ = 100 ⎬ = 850 ⎪⎭
Resulta molt fàcil de resoldre per qualsevol dels mètodes que hem estudiat. Comprovareu que és compatible determinat amb solució igual a (550, 300, 650). Hel·lena reparteix 550 fulls, Pere 300 i Joan 650.
22) Dos
fills decideixen fer un regal de 100 € a sa mare. Com que no tenen prou diner, compten amb l’ajuda de son pare i decideixen pagar el regal de la següent forma: el pare paga el triple del que paguen els dos fills junts i, per cada 2 € que paga el germà menor, el major paga 3 €. Quants diners ha de posar cadascú? (Setembre 2004-B)
Podem designar les incògnites amb les lletres x, y i z, per a indicar, respectivament, les quantitats aportades pel pare, el germà major i el germà menor. Tindrem: “un regal de 100 €”: x + y + z = 100 “el pare paga el triple del que paguen els dos fills junts”: x = 3( y + z) “per cada 2 € que paga el germà menor, el major paga 3 €”:
y
=
z
→
3 2 Com veiem, el problema es podrà resoldre trobant la solució del sistema: x + x −
y +
→
x− 3 y − 3 z = 0
2 y −3 z = 0
z =
3 y − 3 z 2 y − 3z
100⎫ ⎪ = 0 ⎬ = 0 ⎪⎭
Estudieu i resoleu aquest sistema. Trobareu que és compatible determinat i comprovareu que la solució del problema és: Pare: 75 €; germà major: 15 €; germà menor: 10 €.
23) Obteniu la matriu X que
verifica AX – B = 3 X , essent: ⎛ 3 2 −1⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = 3 0 1 i B = −1 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 1 3 ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (Setembre 2004-A)
és una matriu de dimensió [3 x 1]. Per poder efectuar AX – B, AX ha de tenir la mateixa dimensió. Aleshores, X també ha de tenir dimensió [3 x 1], ja que ha de tenir tantes files com columnes té A i tantes columnes com la matriu producte AX . Comprovem que tot és correcte:
B
A[3×3] ⋅ X[ 3×1] − B[ 3×1] = 3 ⋅ X[ 3×1] ⎛ x ⎞ Aleshores, podem fer X = ⎜⎜ y ⎟⎟ , i tindrem: ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 2 −1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 3 x ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟ 3 0 1 ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ − ⎜ −1 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2 1 3 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3 z ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 3 x + 2 y − z⎞ ⎛ 3 x⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ y⎟ ⎜ ⎟ . Amb un poc més de x+ z 3 ⎜ ⎟ = ⎜ 3 ⎟ + ⎜ −1 ⎟ ⎜ 2 x+ y + 3 z⎟ ⎜ 3 z ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
→
manipulació d’aquesta expressió, arribem al sistema: 2 y − − 3 y +
3 x 2 x +
y
z
= −2 ⎫ ⎪ z = −1⎬ = 1 ⎪⎭
Estudieu i resoleu aquest sistema. Si empreu el mètode de Gauss haureu de reordenar primer les equacions. Per qualsevol mètode que ho feu, haureu de trobar que el sistema és compatible 2 9 28 determinat i que la solució és ⎛⎜ − , , ⎞⎟ = (−0, 4; 1,8; 5,6) . Per tant, la matriu X que demana ⎝ 5 5 5 ⎠ l’enunciat és: ⎛ 2⎞ ⎜− 5 ⎟ ⎜ ⎟ 9 ⎟ X = ⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎟ 28 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 5 ⎠
24) Joan
decideix invertir una quantitat de 12.000 € en borsa, comprant accions de tres empreses diferents, A, B i C. Inverteix en A el doble que en B i C juntes. Transcorregut un any, les accions de l’empresa A s’han revaloritzat un 4%, les de B un 5% i les de C han perdut un 2% del seu valor original. Com a resultat de tot açò, Joan ha obtingut un benefici de 432,5 €. Determineu quant va invertir Joan en cadascuna de les empreses. (Juny 2004-B)
Podem designar les incògnites amb les lletres x, y i z, per a indicar, respectivament, les quantitats invertides per Joan en les empreses A, B i C. Tindrem: “invertir una quantitat de 12.000 €”: x + y + z =12 000 “Inverteix en A el doble que en B i C juntes”: x = 2( y+ z)
→
x − 2 y −2 z = 0
“les accions de l’empresa A s’han revaloritzat un 4%, les de B un 5% i les de C han perdut un 2% del seu valor original. Com a resultat de tot açò, Joan ha obtingut un benefici de 432,5 €.”: 0,04 x+ 0,05 y− 0,02 z= 432,5 o, alternativament, 1, 04 x+1, 05 y+ 0, 98 z=12 432, 5 Amb el sistema format per aquestes tres equacions podrem determinar si el problema té solució i quina és: + y + z = 12 000 ⎫ ⎪ x − 2 y − 2 z = 0 ⎬ 0,04 x + 0,05 y − 0,02 z = 432,5 ⎪⎭ x
Resoleu-lo. Comprovareu que és compatible determinat i que la solució és (8 000, 2 750, 1 250). Per tant, la solució del problema és: Joan va invertir 8 000 € en accions de l’empresa A, 2 750 € en accions de l’empresa B i 1 250 € en accions de l’empresa C. ⎛ −4 0 ⎞ ⎟, ⎝ 1 1⎠
25) Donades les matrius A = ⎜
⎛ −1 2 ⎞ ⎟ i ⎝ 2 0⎠
B =⎜
⎛ 2 0⎞ ⎟ ⎝ −1 2 ⎠
C= ⎜
Calculeu la matriu X que verifica l’equació AXB=2C. (Juny 2004-A)
Vegeu l’exercici corresponent a setembre 2005-B, que és gairebé idèntic a aquest. 26) Donats els punts del pla (1, 1)
i (3, –2), es demana: a) trobeu de forma raonada l’equació de la recta que passa per ambdós punts, b) deduïu si l’esmentada recta és paral·lela o si talla la recta d’equació 3 x + y = 5 , i c) en aquest últim cas, calculeu el punt de tall. (Setembre 2003-B)
a) El pendent de la recta el podem trobar així: m =
y1 − y0 x1 − x0
=
−2 − 1 = −1,5 . I l’equació: 3 −1
y = y0 + m( x − x0 ) = 1 − 1,5( x − 1) = −1,5 x + 2,5
b) La recta d’equació 3 x + y = 5 té pendent igual a –3, ja que el pendent d’una recta sempre coincideix amb el coeficient de la variable independent quan escrivim l’equació en forma explícita: y = −3 x + 5 . Per tant, no són paral·leles perquè no coincideixen els pendents. Necessàriament han de tenir un únic punt d’intersecció: la recta determinada en l’apartat a) talla la recta d’equació 3 x + y = 5 .
c) Caldrà resoldre el sistema
= −1,5 x + 2,5 ⎫ ⎬ . Si igualem els segons membres d’aquestes −3 x + 5 ⎭ y = y
equacions, tenim: −1,5 +x 2,5 = −3 +x 5 →
1,5 =x 2,5
5 la segona equació: y = −3 ⋅ + 5 = 0 . Per tant, es tracta del punt 3
→
x=
5 . Substituint ara en 3
⎛5 ⎞ ⎜ , 0⎟. ⎝3 ⎠
Nota: tots els apartats es poden resoldre utilitzant sistemes equacions. En l’apartat a), considerant l’equació de la recta de la forma y = mx + n i substituint les coordenades de cada un dels dos punts. En l’apartat b), estudiant el sistema format per les equacions de les dues rectes: si és compatible determinat, es tallen en un punt; si és incompatible són paral·leles no coincidents; i si es compatible indeterminat, són coincidents. 27) El
preu del bitllet d’una línia d’autobús s’obté sumant dues quantitats, una fixa i una altra proporcional als quilòmetres recorreguts. Per un bitllet entre les poblacions A i B s’han pagat 20 € i per un bitllet entre les poblacions A i C s’han pagat 32 €. Si la distància de A a C és el doble de la distància de A a B, calculeu de forma raonada quant s’haurà de pagar per un bitllet a una població que dista de A la meitat que B. (Setembre 2003-A)
Designem amb les lletres F i P les quantitats que s’utilitzen en el càlcul del preu: f serà la mateixa quantitat per a qualsevol distància, i p s’emprarà com a factor pel qual es multiplicarà la distància en quilòmetres. El preu del bitllet, y, en funció de la distància en quilòmetres, x, s’obtindrà amb la fórmula: y = F + Px F i P són constants desconegudes, i x i y són variables. Per al viatge entre les localitats A i B podem considerar que la distància és d . Tindrem: F + P d = 20 La distància de A a C serà 2 d (doble que la distància entre A i B). Podem escriure: F + P ⋅ 2d = 30 → F + 2Pd = 30 Si ara considerem P d com una incògnita (designarem aquest producte amb la lletra k ), tenim: F + k = 20 ⎫ ⎬ . Aquest és un sistema de dues equacions amb dues incògnites. Podeu comprovar F + 2k = 30 ⎭ que és compatible determinat, i que la solució és (10, 10). Sabem doncs que la part fixa (F) és 10 €, i que la part proporcional a la distància (P d ) és també 10 € entre les localitats A i B. Per a una distància que en siga la meitat, tindrem: Part fixa: 10 € 10 € = 5€ Part proporcional a la distància: 2 Total: 15 €.
28) Cinc amics solen prendre café junts. El primer
dia van prendre 2 cafés, 2 tallats i un café amb llet i van haver de pagar 3 €. L’endemà van prendre un café, un tallat i tres cafés amb llet, per la qual cosa van pagar 3,25 €. El tercer dia només es van reunir quatre amics i van prendre un café, dos tallats i un café amb llet, el compte va ascendir a 2,45 €. Calculeu de forma raonada el preu del café, del tallat i del café amb llet. (Juny 2003-B)
El sistema d’equacions que es pot establir amb aquestes dades és: 2
x +
2
x + x +
y +
z =
y +
2
3
y +
z z
3 ⎫ ⎪ = 3, 25 ⎬ = 2, 45 ⎪⎭
on, evidentment, x, y i z són els preus dels tres tipus de consumició, en l’ordre que apareixen en l’enunciat. El sistema és compatible determinat, i la resolució del problema no presenta cap tipus de dificultat especial. Trobareu que la contestació correcta és 0,55 €, 0,60 € i 0,70 €.
⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ −10 ⎞ x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 29) Donada l’equació matricial següent: −2 1 ⎜ ⎟ + y = 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎝ y ⎠ ⎜ z ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Obteniu de forma raonada els valors de x, y, z . (Juny 2003-A)
Si fem les operacions que indica el primer membre, tindrem: ⎛ 3 x− 2 y ⎞ ⎛ ⎜− + ⎟+⎜ ⎜ 2 x y⎟ ⎜ ⎜ y ⎟⎠ ⎜⎝ ⎝
⎛ 4 x− 2 y ⎞ ⎟ = ⎜− + ⎟ y ⎟ ⎜ 2 x 2 y⎟ z⎟⎠ ⎜⎝ y+ z ⎟⎠
x⎞
S’ha de complir, per tant: ⎛ 4 x − 2 y ⎞ ⎛ −10 ⎞ ⎜ −2 x + 2 y ⎟ = ⎜ 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ y + z ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Si les matrius han de ser iguals, ho hauran de ser els elements que ocupen la mateixa posició en cada una d’elles. Tindrem el següent sistema: 4 x − 2 y −2 x + 2 y y
= −10 ⎫ ⎪ = 6 ⎬ + z = 3 ⎪⎭
És un sistema extremadament senzill de resoldre. És compatible determinat, i la solució és: ( –2, 1, 2). Tindrem: x = –2, y = 1 i z = 2.
30) Un
tren transporta 500 viatgers i la recaptació de l’import dels bitllets d’estos ascendeix a 2.115 €. Calculeu de forma raonada quants viatgers han pagat l’import total del bitllet, que val 9 €, quants han pagat el 20% del bitllet i quants el 50%, sabent que el nombre de viatgers que han pagat el 20% és el doble del nombre de viatgers que han pagat el bitllet sencer. (Juny 2002-A)
Si x, y i z indiquen, respectivament, la quantitat de persones que han pagat l’import total, el 20% del preu del bitllet i el 50%, tenim: x persones han pagat 9 € y persones han pagat 0,20·9 = 1,80 € z persones han pagat 0,50·9 = 4,50 € Les condicions que imposa l’enunciat condueixen a les següents equacions: x + y + z = 500 500 viatgers en total: Recaptació total de 2 115 €: 9 x + 1,8 y + 4,5 z = 2115 Y és el doble de x: y = 2 x Per tant, les quantitats es poden esbrinar resolent el sistema: y + z = + 500⎫ ⎪ 9 x + 1,8 y + 4,5 z = 2115⎬ y 2 x − 0⎪⎭ = x
Es comprova que aquest sistema és compatible determinat i que la solució n’és (150, 300, 50). Sols falta interpretar la solució del sistema per poder contestar el que demana l’enunciat.
31) Un
estudiant va obtenir un 6 en un examen de matemàtiques que constava de tres preguntes. En la primera pregunta va obtenir una qualificació igual al doble de la qualificació que va obtenir en la segona pregunta i en la tercera pregunta va obtenir una qualificació igual a la suma de les qualificacions de les altres dues preguntes. Esbrineu raonadament la qualificació de cada pregunta. (Setembre 2001-B)
Si x, y i z indiquen, respectivament, les qualificacions de les preguntes 1a, 2a i continguda en l’enunciat es pot reflectir amb les següents equacions: x + y + z Qualificació total 6: x + y + z = 6 x − 2 y En la 1a pregunta doble que en la 2a: x = 2 y x + y − z z = x + y En la 3a la suma de les altres:
3a, la informació = 6⎫ ⎪ = 0⎬ = 0⎪⎭
Es comprova que el sistema és compatible determinat i que la solució n’és (2, 1, 3). Sols falta interpretar la solució del sistema per poder contestar el que demana l’enunciat.
32) En
una reunió hi ha 40 persones. La suma del nombre d’homes i de dones triplica el nombre de xiquets. El nombre de dones excedeix en 6 la suma del nombre d’homes més el nombre de xiquets. Esbrineu raonadament quants homes, dones i xiquets hi ha. (Setembre 2001-A)
Siguen x, y i z el nombre d’homes, el nombre de dones i el nombre de xiquets. Tenim: x + y + z = 40 40 persones en total: x + y = 3 z Entre homes i dones són el triple que els xiquets: y = x + z + 6 Les dones són 6 més que entre homes i xiquets: Les tres quantitats es poden determinar resolent el sistema: + y + z = 40⎫ ⎪ x + y − 3 z = 0⎬ x − y + z = − 6⎪ ⎭ x
Es comprova que el sistema és compatible determinat i que la solució n’és (7, 23, 10). Sols falta interpretar la solució del sistema per poder contestar el que demana l’enunciat.
33) Hem
invertit 4.000.000 de pessetes en accions de les empreses A, B i C. Després d’un any, l’empresa A va repartir un benefici del 6%, la B del 8% i la C del 10%. En total rebem 324.826 pessetes. a) Deduïu raonadament si es pot esbrinar o no què invertim en cada empresa. b) Deduïu raonadament què invertim en cada empresa sabent que a l’empresa C invertim el doble que a l’empresa A. (Juny 2001-B)
x, y i z indicaran, respectivament, les quantitats invertides en A, B i C. Tenim:
Inversió total de 4 000 000 PTA: x + y + z = 4 000 000 Benefici total de 324 826 PTA: 0,06 x + 0,08 y + 0,10 z = 324 826 a) El sistema format per aquestes dues equacions tindrà 3 incògnites. Cap sistema amb major nombre d’incògnites que d’equacions pot ser compatible determinat. Per tant, no podrem determinar de manera única les quantitats invertides. Nota: si no po t ser com pa tible d eterminat ha d e ser o inc om pa tible o c om pa tible indeterminat, pe rò, co m es pot comprovar, els coeficients de les incògnites en les dues equacions no són proporcionals. Per tant, serà co mpa tible indeterminat. La pregunta tam bé s’ha uria p og ut c ontestar estudiant e l sistema am b el mèto de de Ga uss i dem ostrant així que és compatible indeterminat.
b) La inversió en C és el doble de la inversió en A: z = 2 x . Afegint aquesta equació al sistema anterior tindrem ara un sistema de tres equacions amb tres incògnites: y + z = 4 000 000⎫ + ⎪ 0,06 x + 0,08 y + 0,1 z = 324 826⎬ z = 2 x 0⎪⎭ − x
Es comprova que el sistema és compatible determinat i que la solució n’és: (241 300, 3 276 100, 482 600). Sols falta interpretar la solució del sistema per poder contestar el que demana l’enunciat.
1 −3 1 0 0 −3 , i . Apliqueu els resultats obtinguts per a resoldre 1 2 1 4 4 2 ⎧ x − 3 y = 0 per la regla de Cramer el sistema ⎨ ⎩ x + 2 y = 4
34) Calculeu
els determinants
(Juny 2001-A)
Els determinants són els que s’han de calcular per a aplicar el mètode de Cramer. El primer és Δ , el segon Δ y i el tercer Δ x . Els calculem: Δ = 5 (diferent de zero i, per tant, el sistema és compatible determinat i es pot resoldre utilitzant aquest mètode), Δ y = 4 i Δ x = 12 . Tenim: x =
Δy 4 Δ x 12 = = 2,4 i y = = = 0,8 . La solució del sistema és (2,4; 0,8). 5 5 Δ Δ
⎧ x + y + z = 1 ⎪ 35) Troba totes les solucions del sistema ⎨ y + z = 2 . ⎪− x + y + z = 3 ⎩ (Setembre 2000-B)
Apliquem el mètode de Gauss per a estudiar el sistema. La matriu ampliada és: ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 1 1 2 ⎜ ⎟ que es transforma en ⎜ − 1 1 1 3⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 0 0 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ 0 1 1 2 ⎜ ⎟ , matriu escalonada reduïda, que és la matriu ⎜0 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
ampliada del sistema que escriurem a continuació, el qual és equivalent al sistema inicial: = − 1⎫ x ⎬ . Aquest sistema és compatible indeterminat (hi ha una incògnita que sí y + z = 2⎭ que té un valor determinat, però les altres no). Si considerem z com a incògnita lliure, podem = −1 ⎫ x escriure el sistema així: ⎬ . El conjunt de solucions serà: { (– 1, 2 – z, z); z ∈ R} y = 2 − z ⎭ 36) Entre els partits polítics A i B obtingueren el 90% dels vots en unes eleccions.
Calcular el percentatge de vots que va obtindre cada partit, sabent que en les eleccions següents: el partit polític A va sofrir un descens d’un 10% en el nombre de votants respecte a les anteriors eleccions, el partit polític B va tindre un 10% d’augment en el nombre de votants respecte a les anteriors eleccions, i que entre els dos partits van tornar a obtindre el 90% del total dels vots. (Setembre 2000-A)
x i y
indicaran, respectivament, els percentatges de vots obtinguts pels partits A i B en les primeres eleccions. Tenim: x + y = 90 En les primeres obtenen entre els dos el 90%: En les segones: El percentatge que obté A és un 10% inferior a l’obtingut en les primeres: 0,90 x El percentatge obtingut per B augmenta un 10%: 1,10 y Tornen a obtenir el 90% entre ambdós partits: 0,9 x + 1,1y = 90 Aleshores els percentatges x i y han de complir simultàniament les dues equacions plantejades. És a dir, s’obtindran com a solució del següent sistema:
+ y = 90⎫ ⎬ 0,9 x + 1,1 y = 90⎭ x
Es comprova que el sistema és compatible determinat i que la solució n’és: (45, 45). Sols falta interpretar la solució del sistema per poder contestar el que demana l’enunciat.
37) El senyor Gómez deixa als seus fills en herència la seua fortuna, amb les següents condicions:
• El gran rebrà la mitjana aritmètica del que reben els altres dos més 30.000 euros. • Al mitjà li deixa la mitjana aritmètica del que reben els altres dos. • El menut rebrà la mitjana aritmètica del que perceben els altres dos menys 30.000 euros.
Expliqueu, raonadament, si amb aquesta informació és possible esbrinar quant ha heretat cada un dels tres fills. (Juny 2000-B)
x, y i z indicaran, respectivament, els diners que han de correspondre al fill gran,
Les condicions recollides en l’enunciat es poden expressar així:
al mitjà i al menut.
y + z
⎫ + 30 000 ⎪ 2 2 x − y − z = 30 000⎫ ⎪ x + z ⎪ ⎪ y = 0⎬ ⎬ . Escrivint el sistema en forma canònica: x − 2 y + z = 2 ⎪ x + y − 2 z = 30 000⎪ x + y ⎭ − 30 000⎪ z = ⎪⎭ 2 x =
S’estudia el sistema pel mètode de Gauss i es comprova que és compatible indeterminat, per la qual cosa no és possible saber, amb la informació coneguda, quina quantitat ha heretat cada un, ja que caben moltes possibilitats diferents (per exemple, 120 000 € per al gran, 110 000 € per al mitjà i 100 000 € per al menut, o 20 001 € per al gran, 10 001 € per al mitjà i 1 € per al menut, per posar-ne dos possibilitats ben diferents). Nota: Ob serveu que, pe r exemp le, la primera e qua c ió del sistema és igual a la suma mem bre a mem bre de les altres dues. Així, el sistema no pot ser compatible determinat. Observant també que no hi ha proporcionalitat entre els coeficients de les incògnites en les equacions segona i tercera, es dedueix que el sistema és compatible indeterminat. Com veieu, no és imprescindible la utilització del mètode de Gauss, però és rec om ana ble, p erquè e ns ap orta seg ureta t i senzillesa en el raona me nt.
38) Per un gelat, dues orxates i
quatre batuts ens cobraren en una gelateria 1.700 ptes. un dia. Un altre dia per quatre gelats i quatre orxates ens cobraren 2.200 ptes. Un tercer dia haguérem de pagar 1.300 ptes. per una orxata i quatre batuts. Raoneu si hi ha o no motius per a pensar que algun dels dies ens presentaren una factura incorrecta. (Juny 2000-A)
i z indicaran, respectivament, el preu d’un gelat, d’una orxata i d’un batut. Les condicions recollides en l’enunciat es poden expressar així: x + 2 y + 4 z = 1 700⎫ ⎪ = 2 200⎬ 4 x + 4 y y + 4 z = 1 300⎪ ⎭ S’estudia el sistema pel mètode de Gauss i es comprova que és incompatible, la qual cosa significa que el preu d’algun dels articles (o de més d’un) no ha estat el mateix en les tres ocasions: o ha hagut un canvi de preus o, com suggereix l’enunciat s’ha produït un error en alguna de les factures.
x, y
39) Ordene la meua habitació i observe que el nombre de llibres, revistes i discos és 60. El triple del
nombre de discos és igual a la suma del nombre de llibres i del doble del nombre de revistes. El quàdruple del nombre de discos és igual a la suma del nombre de llibres i el triple de nombre de revistes. Calcula el nombre de llibres, revistes i discos. (Setembre 1999-B)
x, y i z
indicaran, respectivament, el nombre de llibres, el de revistes i el de discos. Les condicions recollides en l’enunciat es poden expressar així: x + y + z = 60⎫ x + y + z = 60⎫ ⎪ ⎪ 3 z = x + 2 y ⎬ . En forma canònica: x + 2 y − 3 z = 0⎬ ⎪ x + 3 y − 4 z = 0⎪⎭ 4 z = x + 3 y ⎭ Es comprova que el sistema és compatible determinat i que la solució n’és (20, 20, 20). Sols falta interpretar la solució del sistema per poder contestar el que demana l’enunciat.
40) Un
joier té tres classes de monedes A, B i C. Les monedes del tipus A tenen 2 grams d'or, 4 grams de plata i 14 grams de coure; les de tipus B tenen 6 grams d'or, 4 grams de plata i 10 grams de coure, i les de tipus C tenen 8 grams d'or, 6 grams de plata i 6 grams de coure. Quantes monedes de cada tipus ha de fondre per obtindre 44 grams d'or, 44 grams de plata i 112 grams de coure? (Setembre 1999-A)
x, y i z
indicaran el nombre de monedes de cada tipus (A, B i C, respectivament), que ha de fondre el joier per tal d’obtenir la quantitat exacta de cada un dels tres metalls que planteja l’enunciat, és a dir, sense que n’hi haja romanents. Per a major claredat podem recollir les dades en una taula de doble entrada:
Tipus A Tipus B Tipus C Se’n necessiten:
Contingut de cada un dels metalls Nombre de monedes necessàries Or (g) Plata (g) Coure (g) 2 4 14 x 6 4 10 y 8 6 6 z 44 g 44 g 112 g
Amb x monedes de tipus A, y monedes de tipus B i z monedes de tipus C s’obtenen les següents quantitats de cada un dels metalls: Or: 2 x + 6 y + 8 z ; plata: 4 x + 4 y + 6 z ; coure: 14 x + 10 y + 6 z Per tant, si el problema és resoluble, caldrà trobar una solució formada per nombres enters no negatius, del sistema: 2 x + 6 y + 8 z = 44⎫ ⎪ 4 x + 4 y + 6 z = 44⎬ 14 x + 10 y + 6 z = 112⎪⎭ Efectivament, es comprova que el sistema és compatible determinat i que la solució n’és (5, 3, 2), formada per enters no negatius. Sols falta interpretar la solució del sistema per poder contestar el que demana l’enunciat.
41) Un comerciant té x
garrafes de 10 litres d'oli cada una i y botelles d'1 litre d'oli cada botella. Un altre comerciant té y garrafes de 10 litres d'oli cada una i x botelles d'1 litre d'oli cada botella. El segon comerciant té 9 litres més que el primer comerciant. Se sap que els dos tenen més de 30 litres d'oli i menys de 50 litres d'oli. Esbrinar raonadament quants litres d'oli té cada un. (Juny 1999-B)
Amb les dades de l’enunciat, podem establir, en funció dels nombres desconeguts x i y, la quantitat d’oli que té cada un dels comerciants: 10 x + y litres el primer i 10 y + x litres el segon. La informació que el segon comerciant té 9 litres més que el primer permet construir la següent equació: 10 y + x = 10 x + y + 9 . La podem reescriure així: 9 y = 9 x + 9 o, millor: y = x + 1 . El problema ara es pot formular ara així: Es tracta de trobar dos nombres enters no negatius x i y tals que y siga una unitat major que x i de manera que al substituir els dos valors en 10 x + y i 10 y + x , el resultat de cada una d’aquestes expressions siga major que 30 i menor que 50. El podem resoldre de dues maneres: estudiant els diferents possibles valors de x o de forma gràfica: Primer mètode: Donem successivament valors enters no negatius a x, deduïm en cada cas el corresponent valor de y, i comprovem si es compleixen les restriccions: Valor de x 0 1 2 3 4 ≥5
Valor de y 1 2 3 4 5 ≥6
Valor de 10 x + y 1 12 23 34 45 ≥ 56
Valor de 10 y + x 10 21 32 43 54 ≥ 65
És solució? no (< 30) no (< 30) no (< 30) sí no (> 50) no (> 50)
Hem comprovat que l’única possibilitat compatible amb les dades és que el valor de x siga 3 i el de y siga 4. Sols falta interpretar la solució trobada per poder contestar el que demana l’enunciat. Segon mètode: Representem en coordenades cartesianes les rectes 10 x + y = 30, 10 x + y = 50, 10 y + x = 30 i 10 y + x = 50, les quals defineixen un quadrilàter (és, més específicament, un paral·lelogram). Com veiem en la gràfica adjunta, els únics punts interiors amb coordenades enteres d’aquest polígon són: (3, 3), (4, 3), (4, 4) i (3, 4). L’únic d’ells que pertany a la recta y = x + 1és el punt (3, 4). Sols falta interpretar la solució trobada per poder contestar el que demana l’enunciat.
1 1 2 1 1 2 , i . Aplica els resultats obtinguts en la resolució 2 −1 1 −1 2 1 ⎧ x + y = 2 del sistema ⎨ . 2 1 − = x y ⎩
42) Calcula
els determinants
(Juny 1999-A)
Vegeu l’exercici corresponent a juny 2001-A.
43) Calculeu un número de
tres xifres que verifica: • La suma de les xifres és 24. • La diferència de les xifres de les centenes i les desenes és 1. • Si s’intercanvien les xifres de les unitats i les centenes el número disminueix en 198. (Setembre 1998-B)
i z indicaran, respectivament, les xifres del nombre xyz: x la xifra de les centenes, y la de les desenes i z la de les unitats. Tenim:
x, y
+ y + z = 24⎫ ⎪ x − y = 1⎬ x − z = 2⎪⎭ x
Es comprova que el sistema és compatible determinat i que la solució n’és (9, 8, 7). Sols falta interpretar la solució del sistema per poder contestar el que demana l’enunciat. Nota: La tercera equació del sistema es pot deduir tenint en compte el significat de la notació decimal dels nombres. Amb les xifres xyz s’indica 100 x + 10 y + z; i amb zyx: 100 z + 10 y + x. La condició xyz = zyx + 198 es transforma en 100 x + 10 y + z = 100 z + 10 y + x +198; i aq uesta d arrera en x – z = 2.
⎛1 2 3⎞ ⎜ ⎟ 44) Donades les matrius A = ⎜ 3 2 1 ⎟ , B = ⎜1 1 1⎟ ⎝ ⎠
⎛7⎞ ⎜9⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
i
⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ y ⎟ , escriviu les tres equacions del ⎜ z ⎟ ⎝ ⎠
sistema AX = B i resoleu-lo trobant les solucions. (Setembre-1998-A)
+ 2 y + 3 z = 7⎫ ⎪ El sistema és: 3 x + 2 y + z = 9⎬ . Aplicant convenientment el mètode de Gauss es pot x + y + z = 4⎪ ⎭ − z = 1⎫ x obtenir el sistema equivalent: ⎬ . El sistema és compatible indeterminat. És y + 2 z = 3⎭ x
immediat trobar-ne el conjunt de solucions si es tria z com a incògnita lliure. Nota: Que un sistema és c om pa tible inde terminat ta mb é es po t c om provar observant (qua n aç ò resulta fà c il) que una de les eq uac ions po t ser co nstruïda c om a c omb inac ió linea l de les altres (semp re q ue a que stes no siguen incompatibles entre si). En aquest cas podeu observar que si sumeu membre a membre les dues prime res s’o bté el quà druple de la tercera: [3a] =
1 4
[1a] +
1
[2a] .
4
⎛6 4 6 ⎞ ⎜ ⎟ 45) Resoleu l’equació AX = B, si A = ⎜ 4 6 −2 ⎟ i B = ⎜ 2 10 4 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ (Juny 1998-B)
La matriu X ha de tenir dimensió 3 x 1, per tal que tinga sentit la multiplicació de matrius del primer membre de l’equació matricial i que, al mateix temps, el producte siga una matriu de dimensió 3x1 (la matriu B). Si es calcula el determinant de la matriu A s’obté 352. Com que el determinant no s’anul·la, la matriu A és regular (existeix A −1 ). Tenim dos mètodes bàsics per trobar la matriu X: resoldre directament l’equació matricial, o, segon mètode, plantejar i resoldre el sistema
