.
1
Basta dar una mirada a nuestro alrededor para observar elementos geométric geométricos os en nuestra nuestra casa, en las aulas de clases, clases, en las calles, calles, en los los ed edif ific icio ioss y plaz plazas as,, etc. etc. Por Por ejem ejempl plo, o, al obse observ rvar ar un ed edif ific icio io veremos rectas paralelas, perpendiculares, cuadrados, rectángulos y ángulos, incluso la idea de un punto. Por ello es de suma importancia determinar las relaciones entre los diversos elementos geométricos y que podamos identificarlos, trazarlos y comprenderlos. Si nos nos pone ponemo moss en cont contac acto to con con la natu natura rale leza za come comenz nzar arem emos os a identificarlos, como la señal que deja sobre un papel la punta bien afilada de un lápiz o un pequeño granito de sal. Un trozo de cuerda que pende de un techo al sujetar un cuadrado, un tablero de ajedrez, entre otros, representan elementos geométricos básicos. En este capitulo, iniciaremos el estudio de los elementos geomét geométric ricos, os, espaci espacios os topoló topológic gicos, os, segmen segmentos tos,, simetr simetrías ías,, plano plano cartesiano, ángulos que nos ayudaran a comprender mejor el espacio que nos rodea.
CAPACIDAD:
TAREA 01 VALOR - ACTITUD DESTREZASCONTENIDOS MÉTODOSMICROACTITUDES MÉTODOSMICROACTITUDES RESPONSABILIDAD - PUNTUALIDAD DESTREZASCONTENIDOS
2
MIDIENDO LO QUE VEO PARA APRENDER
HISTORIA DE LA GEOMETRÍA Los primeros primeros resultado resultadoss geométric geométricos os se remontan de la antigüedad y son de origen experimen experimental. tal. Fueron Fueron observad observados os por el hombre hombre en su actividad actividad práctica. práctica. Como ciencia empírica, la geometría alcanzó en su período inicial un nivel singularmente elevad elevado o en Egipto Egipto en relaci relación ón con con los trabajos de agrimensión y de riego.
Conceptos previos de los Conceptos elementos topológicos. geométricos.
Línea recta. recta.
Segmentos. Segmentos.
Plano cartesiano.
Simetría Simetría respecto al respecto a una plano recta. cartesiano.
Angulo.
Figuras geométricas.(abstract as)
Superficies.
Definición de una línea recta
Define
Representa el plano cartesiano.
Representa ángulos.
Define la simetría.
Representa simetrías en el plano cartesiano.
Segmentos de línea.
Conjuntos convexos.
Punto y plano.
Ejemplifica.
Pares ordenados.
Mide ángulos y las bisectrices.
Grafica simetrías
Crea simetrías.
Preguntas diversas.
Conjuntos no convexos.
Mide segmentos
Ubica puntos en el plano cartesiano.
Clasificaángulos.
Busca en su entorno las simetrías.
Menciona la aplicabilidad de las simetrías en lo cotidiano.
Semirrecta y rayo
D
l1 l2 l3
A B
C
l4
m
Dura Durant nte e el prim primer er mile mileni nio o ante anteri rior or a nuestra era las nociones de la geometría pasaron de los egipcios a los griegos y en la anti antigu gua a Grec Grecia ia se inic inició ió una una etap etapa a nueva del desarrollo de esta ciencia. En el período comprendido entre los siglos VII y III A.C. los geómetras griegos, además de enriquece enriquecerr la geometría geometría con numerosos numerosos resultados, hicieron grandes progresos en su argumentación. Euclides (330 - 275 antes de nuestra era) resumió y sistematizó esta labor de los geómet geómetras ras griego griegoss en su famosa famosa obra obra "ELEMENTOS", "ELEMENTOS", que ha hecho llegar hasta nosotros la primera exposición fundamentada de la geometría. En ella los razonamientos son tan irreprochables para su tiempo que los "Elementos" fue a lo largo de dos mil años desde su aparición aparición el único tratado para los que estudiaban la geometría. Los "ELEMENTOS" de Euclides; constan de trec trece e libro ibross de los los cual cuales es ocho ocho dedic dedicado adoss a la geomet geometría ría propia propiamen mente te dicha y los otros a la Aritmética. Cada libro de los "ELEM "ELEMENT ENTOS" OS" empiez empieza a con con la definición de las nociones. En el primer libro siguen a las definiciones postulados y axiomas.
P
n a
b b
a
3
b) ¿Por qué se utiliza un compás?. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
A. PUNTO c) ¿Para que sirve una escuadra?. Es la idea geométrica más pequeña. Se le representa con una letra mayúscula. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------A D ------------------------------------------------------------B
C
2. En cada caso traza todas las rectas posibles por los puntos dados.
B. RECTA Es la idea geométrica formada por infinitos puntos sucesivos que se encuentran en una misma a) dirección. Se le representa con una letra minúscula.
b)
a
Recta a:
a
b
Recta b:
b
C. PLANO Es la idea geométrica que puede contener 3. Responde y justifica tu respuesta. completamente puntos y rectas. Se le representa con una letra mayúscula. a) Grafica un punto “E” y tres rectas que contengan a dicho punto. …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………
Plano P
b)Grafica un punto “M” y cinco rectas que pasen por dicho punto.
Observaciones: Recta horizontal
Recta vertical
Recta oblicua
…………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… c) Grafica dos puntos “C” y “D” y la recta o las rectas que pasen por dichos puntos a la vez. …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………
Recordemos: 1. Reflexiones y responde. a) ¿Para qué se utiliza una regla?.
d)¿Cuántas rectas se pueden trazar por un punto de un plano? …………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………………………………
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4
e)¿Cuántas rectas se pueden trazar por tres puntos 3. Graficar los puntos “P” y “Q”; además la recta o de un plano? rectas que pasen por ambos puntos a la vez. …………………………………………………………… 4. Graficar la recta vertical “ l ” y los puntos “M”; “N” y …………………………………………………………… “Q” contenidos en ella. …………………………………………………………… 4. Relaciona los objetos siguientes con los elementos geométricos que conozcas. 5. Graficar la recta horizontal “a” y los puntos “E”; “F” y “H” contenidos en ella. a)Un poste. 6. Graficar la recta “m” y los puntos “P”; “Q” y “R” …………………………………………………………… exteriores a dicha recta. b)Una ventana.
7. Graficar la recta horizontal “b” y los puntos “M”; “N”; “P” y “Q” exteriores a dicha recta.
…………………………………………………………… 8. Graficar un plano “P” y a los puntos “A”; “B” y “C” contenidos en ella.
c) Una carpeta.
…………………………………………………………… 9. Graficar un plano “Q” y a una recta “a” contenida en ella. d)Una pelota. 10.Graficar un plano “R” y a la recta “ l ” contenida en ella. Luego a los puntos “M” y “N” que pertenecen a. …………………………………………………………… 5. Graficar la recta “a” horizontal y los puntos “A”, “B” y “C” contenidos en ella.
A. Rectas paralelas Dos o más rectas son paralelas si no tienen ni un punto en común.
6. Graficar la recta “c” horizontal y los puntos “M”, “N” y
“K” exterior a ella.
1
l
a
l3 l4
b
a es paralela a b
2
:
(a
// b ).
B. Rectas secantes Dos rectas son secantes si tienen un punto en común, llamado punto de intersección o punto de corte.
1. Graficar un punto “A” y cuatro rectas que pasen por dicho punto. 2. Graficar un punto “M” y ocho rectas que pasen por dicho punto.
OBSERVACIONES: i) Rectas perpendiculares.- Son dos rectas que forman 90°.
5
a
b
2. Graficar tres rectas paralelas y una recta secante. Contar los puntos de corte.
a
y
b
son perpendiculares a (
b
)
ii) Rectas concurrentes.- Son tres o más rectas que se intercectan en un mismo punto. En el gráfico se concurrentes
muestra cuatro rectas 3. Graficar cuatro rectas secantes y contar los puntos
de corte.
A
iii)
Número de puntos de corte:
4. Graficar cinco rectas paralelas y una recta secante. Contar los puntos de corte.
Tres rectas y tres puntos de corte
Cuatro rectas y seis puntos de corte
5. Graficar dos rectas secantes y dos rectas paralelas. Contar los puntos de corte.
6. Graficar tres rectas paralelas y dos rectas secantes. Contar los puntos de corte.
Recordemos: 1. Graficar dos rectas paralelas y una recta secante a 7.- Graficar tres rectas concurrentes y una secante a ellas. Contar los puntos de corte. ambas. Contar los puntos de corte.
6
8. Graficar una recta perpendicular “l ” a la recta “f”.
9. Graficar dos rectas secantes: una vertical y la otra horizontal. f
9. Graficar las rectas “a” y “b” perpendiculares a la recta “n”.
10. Graficar seis rectas paralelas verticales. Además dos rectas oblicuas, secantes a las anteriores
n
10. Graficar cuatro rectas concurrentes y una recta secante a dichas rectas, contar los puntos de corte. A. Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos es la medida del segmento de recta que une a dichos puntos. Q A 0
B
1
P
2 3 4
0
La distancia entre “A” y “B” mide 4 cm
}
1
3
2
5
4
La distancia entre “P” y “Q” mide 5 cm
B. Distancia entre un punto y una recta Está representado por un segmento perpendicular trazado desde el punto hacia la recta. B
1. Graficar tres rectas concurrentes y dos rectas secantes. Hallar el número de puntos de corte.
A 1 , 5
2. Graficar dos rectas paralelas y dos rectas secantes. Señalar el número máximo de puntos de corte. 3. Graficar cuatro rectas paralelas verticales y además una recta secante.
3 c m
c m
n
m
La distancia entre “A” y …… mide 1,5 cm
La distancia entre “B” y ………. mide 3 cm
C. Distancia entre dos rectas paralelas Está representado por el segmento perpendicular a 4. Graficar tres rectas paralelas horizontales y además ambas rectas. dos rectas paralelas verticales que intersecan a las rectas anteriores. m n 3 cm
5. Graficar seis rectas concurrentes y una recta secante a ellas. 6. Graficar cinco rectas secantes no concurrentes. 7. Trazar las rectas l1 y l2 perpendiculares a la recta “a”. a
a 1 cm b La distancia entre ……. y……. mide 1 cm
M IR A
8. Trazar las rectas “a”, “b” y “c” perpendiculares a.
7
La distancia entre ……. y …….. mide 3 cm
Figura: Puente de San Francisco (EE.UU.) A
5. Graficar la distancia de “B” a medidas.
B l1
B
l1 y l2
. Dar sus
l2
l
6. Graficar un punto “A” y una recta “l” horizontal que disten 7 cm.
1. Graficar la distancia entre “A” y “B” y medirlo.
7. Graficar un punto “B” y una recta “m” vertical que disten 10 cm.
A
B
2. Graficar la distancia entre “P” y
l
y medirlo.
P
8. Graficar tres rectas horizontales “a”; “b” y “c” que disten 3 cm en forma consecutiva.
3. Graficar la distancia entre “a” y “b” y medirlo.
a b
4. Graficar la distancia entre medidas.
l1 ; l2 ; l3 y l4
y dar sus
9. Graficar una línea recta horizontal y dos puntos “B” y “E” contenidos en ella que disten 8 cm.
l1 l2 l3
l4
8
10. Graficar una recta vertical y dos puntos “M” y “N” contenidos en ella que disten 6 cm. 6. Ubicar los puntos “A” y “C” que pertenezcan a “ l ” y disten 5 cm.
7. Graficar las distancias de “A” a las rectas Luego medirlas. a
A b
1. Trazar la distancia entre “P” y “Q”; “Q” y “R” y “P” y “R”. Luego medirlos.
8. Trazar las distancias de los puntos mostrados a la recta “ l ”. Dar las medidas. B
Q
C
A
•
l
P •
• R
9. Graficar las distancias entre. Luego medirlas. 1
2. Trazar la distancia entre “A” y medida.
3
l2
l4
luego calcular esta
A
m
10.Graficar las distancias de “P” a las rectas “l1”; “l2” y “l3”. P 1
3. Ubicar un punto “P” a una distancia de 2 cm de “ l ”. l2 l3
4. Ubicar los puntos “A” y “B” a una distancia de 3 cm de n
A. Definición El segmento de una recta es la porción de recta que tiene como extremos a dos puntos. La medida del segmento es la distancia entre sus extremos.
5. Graficar dos rectas paralelas y horizontales que disten 1,5 cm.
9
A
B
5. Graficar a los puntos “M”; “N” y “R” contenidos en una recta de tal manera que: m MN = 7 cm y m NR = 6 cm. Luego ubicar el punto medio “A” de MR .
4 cm
Segmento AB: Medida del segmento AB: m = 4 cm
B. Punto medio de un segmento de recta Es el punto que pertenece al segmento de recta y lo divide en dos medidas iguales. B
Ubicación del punto medio de un segmento de recta con el uso del compás
“M” es punto medio de A B
Paso 1: Se toma el compás y se traza desde los extremos con una misma abertura, obteniéndose dos puntos de corte como en la figura II ó III.
A
M 2,5 cm
2,5 cm
Fig. I.
A B
1. Graficar una recta horizontal y los segmentos A B y BC contenidos en ella consecutivamente que midan 6 cm y 8.cm respectivamente.
Fig. II.
A
B
2. Graficar los segmentos consecutivos y que midan 5 cm y 9 cm. Fig. III
3. Graficar un segmento DE que mide 12 cm y ubicar su punto medio “M”. A
4. Graficar el segmento punto medio “N”.
AB
B
de 8 cm y ubicar su
Paso 2: Se marcan los puntos de corte y se unen. Luego la intersección entre el segmento inicial y la línea de unión de los puntos de corte será el punto medio buscado. Fig. IV 10
A
M
B
Fig. V 3. Graficar el segmento de recta A B en posición vertical que mide 12 cm, luego ubicar su punto medio usando el compás. A
M
B
“M” es el punto medio de
4. Graficar un segmento PQ en forma oblicua de 11 cm, y ubicar su punto medio haciendo uso del 1. Ubicar el punto medio de un segmento de recta que compás. mida 14 cm haciendo uso del compás.
2. Ubicar el punto medio de un segmento de recta que 5. Graficar un segmento cualquiera sin medirlo y ubicar mida 9 cm haciendo uso del compás. su punto medio haciendo uso del compás.
11
10. Graficar un segmento de 9,5 cm y ubicar su punto medio con el uso del compás.
Observa, muy atentamente el interior de un….
1. En la recta “ l ”, graficar el segmento de longitud.
AB
de 5,5 cm
2. Graficar los segmentos consecutivos AB y BC que están contenidos en “ l ”, de tal manera que: AB=3,5 cm y BC = 4,5 cm. l
3. Graficar un segmento PQ de 6 cm de longitud y luego ubicar su punto medio “M”. 4. En la recta “ l ”, graficar los segmentos AB,BC y CD que midan 2 cm; 3,5 cm y 2,5 cm respectivamente.
5. Graficar un segmento medio “P”.
MA
1. Ángulo agudo Su medida varía entre 0° y 90°. A
de 10 cm y ubicar su punto
7. Graficar un segmento de 7,5 cm y ubicar su punto medio con el uso del compás.
B
O
6. Graficar un segmento ACde 6,5 cm y luego ubicar su punto medio “M” usando el compás.
2. Ángulo recto Mide exactamente 90°. A
8. Graficar un segmento de 8,5 cm y ubicar su punto medio con el uso del compás. O
9. Graficar un segmento de 9 cm y ubicar su punto medio con el uso del compás. 12
B
3. Ángulo obtuso Su medida varía entre 90° y 180° 1 8 0 ° 0 °
A
O
140°
B
9 0 °
90°
4. Ángulo llano Mide 180° y se representa por una recta.
°
70°
1
0 °
8
8 0
0
1
°
0 °
180° O
A
B
Elementos de un ángulo
LADOS
50°
MEDIDA 1. Medir los siguientes ángulos y clasificarlos:
VÉRTICE EL TRANSPORTADOR El transportador sirve para medir las aberturas entre los lados de un ángulo. 90°
................................................................ ........................... 1
° 0
°
8
0
1
8 0
°
0 °
¿Cómo se mide un ángulo? Dado el cuadrilátero mostrado: ….........................................
……………………………………….. 13
A
2. Graficar un ángulo de 60° y clasificarlo.
B i s e c tr iz d e l á n g u l o A O B q u e m id e 6 0 °
30° 30°
O
B
Q
Bisectriz del á n g u lo P O Q q u e m id e 1 4 0 °
4. Graficar un ángulo de 135° y clasificarlo. 7 0° 70° O
P
25° 25°
5. Graficar un ángulo de 45° y clasificarlo.
B is e c t r iz d e l á n g u lo q u e m id e 5 0 °
Trazar la bisectriz de un ángulo haciendo uso del compás. Paso 1: Con una abertura arbitraria y a partir del vértice del ángulo, se traza con el compás y se marcan los puntos de corte.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO. Es la línea que divide a un ángulo en dos nuevos ángulos de medidas iguales. Vértice
14
Paso 2: Luego, a partir de los puntos marcados y con la misma o con otra abertura trazar con el compás y marcar el punto de corte. 2. Graficar un ángulo de 120° y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego comprobarlo con el transportador.
Vértice W
Paso 3: Finalmente al unir el vértice y el punto de corte “W”, se obtiene la bisectriz del ángulo inicial. B i s e c t r iz d e l á n g u l o Vértice
W
3. Graficar un ángulo de 90° y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego comprobarlo con el transportador.
1. Graficar un ángulo de 100° y trazar su bisectriz con el uso del compás. Luego comprobarlo con el transportador.
4. Graficar un ángulo agudo cualquiera y trazar su bisectriz con el uso del compás.
15
9. Graficar un ángulo de 145° y trazar su bisectriz empleando el compás. 10. Graficar un ángulo recto y trazar su bisectriz con el uso del compás. 5. Graficar un ángulo obtuso cualquiera y trazar su bisectriz con el uso del compás.
1. Graficar un ángulo de 75° y clasificarlo.
1. Recta numérica 2. Graficar un ángulo de 95° y clasificarlo.
Es una recta enumerada a partir del cero; hacia la derecha números positivos y hacia la izquierda números negativos.
3. Graficar un ángulo de 165° y clasificarlo. 4. Graficar un ángulo de 140° y clasificarlo.
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
2. Plano cartesiano
5. Graficar un ángulo de 30° y clasificarlo. 6. Graficar un ángulo de 40° y trazar su bisectriz usando el compás. 7. Graficar un ángulo de 110° y trazar su bisectriz con el uso del compás. 8. Graficar un ángulo de 160° y trazar su bisectriz usando el compás.
16
Es un plano formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y la otra vertical. Todo punto se representa por dos números, el primero corresponde a la recta horizontal y el segundo a la recta vertical.
6 5 4 C(-4; 3)
B(2; 4)
3 2 1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
A(3; 1) 0
-1
2.- Ubicar el segmento………., tal que: P = (-1; 5) y = (-4; 1)
1
2
3
4
5
6
Q
7
-1 -2 -3
E(6; -3)
-4 D(-2; -5)
-5 -6
3.- Ubicar el segmento…………, tal que: D = (-5; -1) y E = (-2; -6)
Graficar un plano cartesiano y además lo pedido en cada ejercicio. 1.- Ubicar el segmento……., tal que: A = (5; 5) y B = (2; 4)
4.- Ubicar el segmento…………., tal que: M = (1; -2) y N = (7; -5)
17
4. G = (2; -3) y H = (5; -1) 5. I = (-4; 3) y J = (3; 5) 6. A = (1; 5), B = (-2; 4) y C = (-3; -4) 7. P = (-2; 5), Q = (-3; 5) y R = (4; 3) 8. M = (6; -2), N = (-5; -4) y T = (-2; 6)
5.-Ubicar el segmento tal que: C = (-1; 1) y F = (4; 2)
9. T = (9; 3), R = (-7; 4) y I = (-1; 8)
10. A = (0; 7), L = (-6; 0) y E = (5; -8)
6.- Para cada ejercicio, graficar usando un tablero de madera con clavos. a) Ubicar los puntos: A(2; 3), B(-3; 1) y C(1; -4), luego unirlos. b) Ubicar los puntos: P(-4; 5), Q(-4; -3) y R(3; 5), luego unirlos. c) Ubicar los puntos: D(0; 0), E(4; 6) y F(2; -5), luego unirlos. d) Ubicar los puntos: M(-3; 2), N(4; 0) y P(0; -6), luego unirlos. e) Ubicar los puntos: H(0; 7), K(-6; 0) y L(3; -4), luego unirlos.
E j e d e s i m e t r ía
Graficar un plano cartesiano para cada ejercicio y I. Reflexión de un punto respecto a una recta ubicar los puntos indicados, para luego unirlos. Dado un punto P y una recta “a”, para reflejar el punto P respecto a un eje a se procede de la siguiente manera:
1. A = (3; 3) y B = (5; 4) 2. C = (-3; 4) y D = (-5; 3)
1°. Se traza el segmento de unión PP' perpendicular al eje de reflexión a .
3. E = (-2; -4) y F = (-1; -8) 18
1°. Se reflejan los puntos A, B y C obteniéndose los puntos A’ , B’ y C’
2°. P y P’ tienen que estar a la misma distancia del eje de reflexión a .
2°. Luego se unen y se obtiene el triángulo A’B’C’.
a P
* Observación:
d
• El triángulo A’B’C’ es la reflexión del triángulo ABC con respecto a l .
d
• Los triángulos ABC y A’B’C’ son simétricos con respecto a l .
P’
Ejemplo 2 Reflejar el cuadrilátero ABCD con respecto a l . A
l
B
II. Reflexión de una figura respecto a una recta Para reflejar un triángulo, cuadriláteros o polígonos con respecto a una recta “a”, se ubican a los vértices y se refleja cada uno con respecto al eje a ; siguiendo los pasos del caso anterior.
D
C
Resolución: A
l
B
Ejemplo 1 Reflejar el triángulo ABC con respecto al eje l . B
A
D
B’
C
l
D’
A’ C
1°.Se reflejan los puntos A, B y D porque C pertenece a l .
Resolución:
B
A
2°. El cuadrilátero A’B’CD’ es la reflexión de ABCD.
l Ejemplo 3 Reflejar el triángulo EDF con respecto a F
C
E
B’
l
C’ A’
D
Resolución: 19
F
3.
E
m
D’ Q
l
R
P
S
D E’
4.
F’
N m
1°. En este caso especial D se encuentra al lado de l .
E M
2°. Luego; E’D’F’ es reflejo del triángulo EDF.
T
5.
E
A
F
m
I.- Dibuja en cada caso la imagen que obtienes mediante la reflexión respecto a . 1. m
B
A
C
2. B
C D
m
Copia cada figura y su eje de reflexión en tu cuaderno. Dibuja en cada caso la imagen que obtienes mediante la reflexión respecto al eje l .
A
1.
20
l
2.
7. l l
3.
4.
I.-Reflexión de un punto con respecto a los ejes X e Y. Y
5.
4
P’(-5;3)
P(5;3)
3 2
Q(3;2)
1 -5 - 4
-3
-2
-1
0 -1 -2
l
X 1
2
3
4
5
Q’(3;-2)
-3
• P’ es la imagen de P con respecto a
Y
• Q’ es la imagen de Q con respecto a X
6.
II. Reflexión de un punto con respecto a otras rectas 21
Y
C(5;4)
Y 4 Q(-3;3)
A(1;3)
P(3;4)
3
B(3;2)
a
2 Q’(-3;1)
1 -1 0
- 5 - 4 - 3 -2
P’(3;0) 1
-1
2
3
4
X
X
B’(3;-2)
5 A’(1;-3)
-2
C’(5;-4)
-3
Ejemplo 2 Reflejar el cuadrilátero PQRS: P(-1;1), Q(1;3), R(4;4) y S(5;2) con respecto a la recta que pasa por los puntos (0; -2) y (2;-2).
• P’ es la imagen de P con respecto a a • Q’ es la imagen de Q con respecto a a
Y
b
Y 4
R(-3; 3)
S(5;2)
3
P(-1;1)
R ’( 5 ; 3 )
2 1 -5 - 4
-3
-2
R(4;4) Q ( 1 ;3 )
-1
0 -1
X
X 1
2
3
4
( 0 ;- 2 )
( 2 ;- 2 )
5 P ’( - 1 ; - 5 )
-2
S ’( 5 ; - 6 )
-3 T ( - 1 ; - 4 )
-4
Q ’( 1 ; - 7 )
T ’( 3 ; - 4 )
R ’( 4 ; - 8 )
• R’ es la imagen de R con respecto a b • T’ es la imagen de T con respecto a b
III. Reflexión de figuras Para reflejar figuras en el plano cartesiano, se reflejan primero los vértices utilizando los procedimientos anteriores. Luego se unen.
Ejemplo 1 Reflejar el triángulo ABC: A(1;3), B(3;2) y C(5;4) con respecto al eje X.
1. Grafica el cuadrilátero ABCD: A(0;3), B(2;3), C(2;6) y D(0;6). Luego reflejarla con respecto al eje X. 2. Dibuja el cuadrilátero ABCD: A(6;2), B(8;4), C(7;5) y D(5;3). Luego reflejar dicho cuadrilátero con respecto al eje Y.
22
3. Graficar el triángulo ABC: A(1;4), B(4;6) y C(1;7). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (0;4) y (8;4). 4. Graficar el triángulo ABC: A(3;3), B(6;2) y C(5;7). Luego reflejarlo con respecto al eje X. 5. Graficar el triángulo ABC: A(4;2), B(7;2) y C(7;6). Luego reflejarlo con respecto al eje Y. 6. Dibujar el triángulo PQR: P(1;4), Q(6;1) y R(7;4). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (0;-1) y (3;1). 7. Graficar el triángulo PQR: P(1;1), Q(2;2) y R(3;5). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (-2;0) y (-2;4). 8. Graficar el cuadrilátero PQRS: P(0;2), Q(2;2), R(4;4) y S(4;6). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (-1;0) y (-1;3). 9. Graficar el cuadrilátero PQRS: P(0;1), Q(3;1), R(3;5) y S(0;5). Luego reflejarlo con respecto al eje Y.
8. Graficar el triángulo ABC: A(3; 1), B(5; 4) y C(7; 2). Luego reflejarlo respecto a la recta que pasa por los puntos (-1; 0) y (-1; 3). 9. Graficar el triángulo PQR: P(-4; -5), Q(0; -2) y R(3; -6). Luego reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (0; 2) y (2; 2).
5
1
(2; 5) B(4; 3) 2
4
X
C(4; -1) A(-1; -3)
I. CLASES DE TRIÁNGULOS DE ACUERDO A LAS LONGITUDES DE SUS LADOS • Triángulo Escaleno
1. A(-3; 4), B(1; 1) y C(4; 3)
Sus lados son de diferentes longitudes.
2. A(2; 5), B(3; 7) y C(5; 4)
B
3. A(-1; -2), B(0; -6) y C(4; -3) II. Dibuja cada triángulo PQR en tu cuaderno y refléjalo respecto al eje Y. 4. P(1; 5), Q(6; 0) y R(2; -5)
.
Y
10.El cuadrilátero anterior, reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (0; -3) y (4; -3).
I. Dibuja cada triángulo ABC en tu cuaderno y refléjalo respecto al eje X.
l
10. Reflejar el triángulo ABC respecto a
A
• Triángulo Isósceles
5. P(-4; 1), Q(-1; 5) y R(0; -3)
Dos de sus lados miden igual.
6. P(0; 6), Q(-4; 0) y R(2; -3) III. Resuelva lo siguiente: 7. Grafique el cuadrilátero ABCD: A(-4; 1), B(0; 4), C(2; 4) y D(5; 1) y reflejarlo con respecto a la recta que pasa por los puntos (0; -2) y (3; -2).
23
C
• Triángulo Equilátero
Ejemplo
Sus tres lados tienen igual medida.
Graficar el triángulo de lados 5; 7 y 9 cm respectivamente.
Resolución: -
Graficar un lado de preferencia el mayor.
-
Luego con el compás y a partir de los extremos trazar con las medidas de los otros dos lados.
II. CLASES DE TRIÁNGULOS DE ACUERDO A LAS MEDIDAS DE SUS ÁNGULOS • Triángulo Acutángulo m c 5
Sus ángulos internos son agudos. 0° < α < 90° 0° < β < 90° 0° < θ < 90°
β
α
7 c m
A
-
θ
• Triángulo Obtusángulo
B
9 cm
Finalmente el punto de intersección es el tercer vértice. C
Un ángulo interno es obtuso.
90° < φ < 180°
A
9 cm
B
φ
• Triángulo Rectángulo Un ángulo interno es recto. 1. Graficar el triángulo de lados 3; 4 y 5 cm.
III. CONSTRUIR UN TRIÁNGULO CONOCIENDO LAS LONGITUDES DE SUS TRES LADOS 24
6.- Graficar el triángulo de lados 2; 6 y 6 cm. 2. Graficar el triángulo de lados 5; 6 y 7 cm.
7.- Graficar el triángulo de lados 2; 1 y 5 cm. 3. Graficar el triángulo equilátero de lados 7 cm.
4. Graficar el triángulo de lados 1; 3 y 3 cm.
1. Graficar el triángulo de lados 4; 7 y 9 cm, si éste existe. 2. Graficar el triángulo de lados 6; 8 y 10 cm, si éste existe. 3. Graficar el triángulo de lados 9; 9 y 10 cm, si éste existe. 5. Graficar el triángulo de lados 2; 5 y 6 cm.
4. Graficar el triángulo de lados 1; 5 y 5 cm, si éste existe. 5. Graficar el triángulo de lados 13; 13 y 4 cm, si éste existe. 6. Graficar el triángulo de lados 5; 12 y 13 cm, si éste existe. 7. Graficar el triángulo de lados 8; 15 y 17 cm, si éste existe. 8. Graficar el triángulo equilátero de lados 10 cm, si éste existe. 9. Graficar el triángulo de lados 4; 9 y 6 cm, si éste existe. 25
10. Graficar el triángulo equilátero de lados 12 cm, si éste existe.
¿Qué observaste?
Mira Usan triángulos, tú construye otra figura más complicada.
Q u é l o s t r iá n g u l o s n o e x is t e n , “ p o r q u e e l l a d o m a y o r t ie n e q u e s e r m e n o r q u e la s u m a d e l o s o t r o s d o s l a d o s ” .
EXISTENCIA DE LOS TRIÁNGULOS. Ya sabemos construir triángulos conociendo las medidas de los tres lados. Pero, ¿qué sucede si queremos construir el triángulo de lados 3; 4 y 7 cm?
4 cm
A
1. Graficar el triángulo de lados 2 ; 3 y 8 cm.
3 cm C
4 cm
3 cm
B
7 cm
Se observa que no se forma un triángulo y se concluye que el triángulo de lados 3 ; 4 y 7 cm no existe.
2. Graficar el triángulo cuyos lados miden 1 ; 5 y 7.cm.
26
3. Graficar el triángulo de lados 3 ; 7 y 12 cm.
8.- Graficar el triángulo isósceles de lados 4 y 8 cm, si el triángulo existe.
4. Graficar el triángulo de lados 5 ; 6 y 13 cm.
5. Graficar el triángulo de lados 7 ; 9 y 20 cm.
9. Graficar el triángulo isósceles de lados 9 y 3 cm, si el triángulo existe.
6.- Graficar el triángulo de lados 4; 7 y 11 cm. ¿Existe el triángulo?
10. Graficar el triángulo isósceles de lados 5 y 12 cm, si el triángulo existe.
7. Graficar el triángulo cuyos lados son 5; 5 y 3.cm (triángulo isósceles). ¿Existe el triángulo?
27
En todo triángulo la suma de ángulos internos es igual a 180°. Recordemos:
180°
Recta
* Utilizando el compás: 1. graficar el triángulo de lados 1; 2 y 3 cm, comprobando si existe o no.
B
a° + b° + c° = 180°
b°
2. graficar el triángulo de lados 5; 8 y 14 cm, comprobando si existe o no. 3. graficar el triángulo de lados 6; 7 y 15 cm, comprobando si existe o no.
a°
c°
A
C
4. graficar el triángulo de lados 8; 8 y 16 cm, • Si se corta una hoja de papel, en forma de cualquier triángulo, marca las medidas de los ángulos internos comprobando si existe o no. como: α°, β° y θ°. 5. graficar el triángulo de lados 11; 9 y 18 cm, comprobando si existe o no. 6. graficar el triángulo de lados 5; 12 y 14 cm.
β
7. graficar el triángulo de lados 8; 10 y 17 cm. α
°
θ
°
°
8. graficar el triángulo isósceles de lados 11 y 3 cm. 9. graficar el triángulo isósceles de lados 6 y 1 cm. Luego para comprobar que la suma de los ángulos internos es 180°, bastará con doblar las puntas hasta que coincidan exactamente en una recta.
10.graficar el triángulo isósceles de lados 7 y 3 cm.
β
°
¿Qué observas?
β°
α°
β° α°
θ°
θ°
Y se observa que:
α°
+
β°
+
θ°
= 1 8 0°
Observación: En un triángulo rectángulo como un ángulo mide 90°, entonces los otros dos ángulos suman 90°.
28
α°
β° α° + β° = 9 0 °
b°
a° a° + b° = 90°
4. En un triángulo rectángulo un ángulo interno mide 50°. Calcular el otro ángulo.
1. Dos ángulos internos de un triángulo miden 60° y 80°. Calcular la medida del tercer ángulo interno y clasificarlo. 5. En un triángulo rectángulo un ángulo interno mide 20°. Calcular el otro ángulo.
2. Dos ángulos internos de un triángulo miden 30° y 6. En un triángulo dos de sus ángulos miden 70° y 40°. 70°. Calcular el tercer ángulo interno del triángulo y Calcular el tercer ángulo y clasificar a dicho clasificarlo. triángulo.
3. Dos ángulos internos de un triángulo miden 20° y 7. Dos ángulos de un triángulo miden 75° y 15°. 100°. Calcular la medida del tercer ángulo interno y Calcular el tercer ángulo y decir de qué tipo es el clasificarlo. triángulo.
29
60°
70°
α°
8. Dos ángulos de un triángulo miden 80° y 20°. Calcular el tercer ángulo y decir el tipo de triángulo. 2. Hallar “x°”
x°
50°
3. Hallar “α°” 9. En un triángulo rectángulo un ángulo mide 55°. Calcular el tercer ángulo interno y clasificar el triángulo.
α°
8 0 °
4. Hallar “β°”
130°
10.En un triángulo rectángulo un ángulo mide 45°. Calcular el ángulo interno faltante y clasificar dicho triángulo. 5. Hallar “θ°”
β°
10°
θ°
25°
45°
6. En un triángulo isósceles uno de los ángulos iguales mide 65°. Calcular el tercer ángulo interno. 7. En un triángulo dos ángulos internos miden 74° y 46°. Calcular la medida del tercer ángulo interno.
1. Hallar “α°”
8. En un triángulo dos ángulos internos miden 27° y 53°. Calcular la medida del tercer ángulo interno.
30
9. En un triángulo isósceles el ángulo opuesto a la base mide 36°. Calcular las medidas de los otros dos ángulos.
1. Con el transportador, medir el ángulo de 40° y uno de sus lados mide 8 cm.
40° A
10.En un triángulo isósceles el ángulo opuesto a la base mide 118°. Calcular las medidas de los otros dos ángulos.
B
8 cm
2. Luego, medir el lado faltante de 5 cm y unir los extremos formándose el triángulo. C
5
c m
40° A
8 cm
B
I. Construir un triángulo conociendo un lado y los dos ángulos adyacentes a él Ejemplo: Construir un triángulo ABC tal que: m
A = 60°; m
C = 70° y m AC = 8 cm. 1. Graficar el triángulo ABC tal que:AB m cm; m A = 30° y m C = 50°.
Resolución:
=5
1. Graficar el lado AC de 8 cm y medir los ángulos de 60° y 70° con el transportador.
60° A
70° C
8 cm
2. Luego, prolongar los lados hasta que se intersecten. B
2. Graficar el triángulo ABC, tal que: m A = 10°; m C = 30° y m AC = 12 cm.
60° A
70° 8 cm
C
II. Construir un triángulo conociendo las longitudes de dos lados y el ángulo entre ellos Ejemplo: Construir un triángulo donde dos lados miden 5 y 8 cm y forman un ángulo de 40°. Resolución:
31
QR
3. Graficar el triángulo PQR tal que: m cm; m Q = 100° y m R = 20°
4. Graficar el triángulo DEF tal que:EF m cm; = 8 cm y m E = 80°. DE m
= 9
= 10 8. Graficar el triángulo PQR tal que: m P = 120° ; m Q =mPQ 30° y = 8 cm.
5. Graficar el triángulo MNL, tal que: m MN cm; = 6 cm y m N = 100°. NL m
=7
4. Graficar el triángulo ALE tal que: m A = 90°; m E = 45° ym = 12 cm. AL
6. Graficar el triángulo MNL tal que: m M = 90°; m MN = 4 cm y mML = 3 cm.
7. Graficar el triángulo DHE tal que: m H = 140°; m DH = 6 cm y m HE = 4 cm.
5. Graficar el triángulo PQR tal que: m R = 20°; m Q = 140° y m PQ= 11 cm.
32
