GEOESTADÍSTICA Y TEORÍA VARIABLES REGIONALIZADAS
DE
LAS
Cuando una variable está distribuida en el espacio, se dice que es “regionalizada”. Tal variable es generalmente una
La densidad de la población en
demografía, Las mediciones de la cantidad de lluvia
en pluviometría, Los rendimientos en las cosechas en agronomía.
característica de un cierto fenómeno. A modo de definición: “Una variable regionalizada es una variable
CARACTERISTICAS REGIONALIZADA
aleatoria cuya realización depende de la
Las características esenciales de la VR son:
posición”.
Localización, Continuidad y Anisotropía:
Las leyes por ejemplo, son características de una mineralización.
DE
LA
VARIABLE
A) LOCALIZACIÓN.- Implica que solo toma valores
en
el
espacio
geométrico
del
El fenómeno que se representa por una variable regionalizada recibe el nombre de
fenómeno. Este espacio puede ser todo el Yacimiento o
“regionalización”.
solo una parte y está determinada por aspectos geológicos. B) CONTINUIDAD.- Se mide más bien por
Ejemplos de regionalización son:
La cotización de un metal que puede ser considerada como la distribución de la variable “cotización en el tiempo” (espacio unidimensional). Un fenómeno geológico tal como la potencia de un estrato subhorizontal que puede ser considerado como la
distribución en un espacio bidimensional de la variable potencia. Un fenómeno mineralizado puede ser
discrepancias entre valores vecinos que pueden ser menor la discrepancia entre valores más cercanos. C) ANISOTROPÍA.- Esta característica esencial de la VR se refiere a que puede existir una dirección privilegiada donde la continuidad es mejor, en contraposición a otras direcciones más discontinuas.
En efecto:
caracterizado por la distribución en un espacio tridimensional de variables tales
“Casi todas las variables en las ciencias de la tierra, pueden considerarse como variables
como leyes, pesos granulometrías, etc.
regionalizadas”.
específicos,
La elevación topográfica de algún terreno. El perfil de pozo registrado con alguna
herramienta de sondeo. GEOESTADISTICA En términos mineros se
define
la
Entonces, una variable regionalizada es una función que representa la variación en el espacio de una cierta magnitud asociada a un fenómeno natural. Sea x un punto del espacio, se designa la variable regionalizada por la notación z(x).
geoestadística como: La aplicación de la teoría de las variables regionalizadas a la estimación de los
Debemos mencionar que en geo estadística
recursos mineros”. Pero las variables regionalizadas no están restringidas a la minería, como ejemplos en otros campos se pueden indicar:
letra x , por ejemplo la ley en el punto x se representa por z(x). z(x). Por consiguiente, z(x)
“
NOTACIÓN CONDENSADA se utiliza la notación condensada: Un punto del espacio se representa por la
puede significar:
•
z(x) si el problema es unidimensional
decir disponer de datos (compósitos) de longitud constante (figura).
•
(1-D) z(x1,
•
bidimensional (2-D) z(x1, x2, x3) si el problema es
x2)
si
el
problema
observa
que
existen
La teoría de las variables regionalizadas se propone dos objetivos principales:
tridimensional (3-D) Se
OBJETIVOS DE LA TEORÍA
es
problemas
Expresar las características estructurales de
de
una variable regionalizada mediante una
notación. Se acostumbra a designar una variable
fórmula matemática adecuada. Resolver, de manera satisfactoria, el problema
regionalizada con la letra z, lo cual coincide con la notación utilizada para la cota o elevación.
de la estimación de una variable regionalizada a partir de un conjunto de muestras, asignando errores a las estimaciones.
EJEMPLOS:
Estos dos objetivos están relacionados con:
-
CANALETAS EN UNA GALERIA
El error de estimación y
-
GALERIAS
Depende de las características estructurales (continuidad, anisotropías)
Se tendrá un error mayor si la variable regionalizada es :
CAMPO Y SOPORTE Se llama CAMPO a la zona en la cual se estudia la variable regionalizada. Para definir bien el campo (por ejemplo los límites) es necesario utilizar un modelo
1. Más irregular y 2. Discontinua en su variación espacial.
geológico adecuado. En algunas situaciones: “Cada campo debería tener un tratamiento geoestadístico diferente”
EL MODELO MATEMÁTICO GEOESTADÍSTICA
DE
LA
Para alcanzar los objetivos propuestos es necesario disponer de un modelo
Para estimar una zona contenida en una cierta unidad, sólo se utilizan datos de la misma unidad: “Se dice ¡que se tienen fronteras duras!”
matemático.
SOPORTE El soporte es el volumen de la muestra que
funciones aleatorias.
define la variable regionalizada. A menudo el soporte es un cilindro (figura)
que asigna a cada punto x del espacio un valor que depende del azar (es decir un
llamado testigo; z(x) será entonces la ley del volumen de muestra localizado en el punto
valor aleatorio). La hipótesis
Soporte: Regularización
geoestadística consiste en afirmar que la
En general, en el estudio de una variable regionalizada no es conveniente mezclar soportes de tamaños diferentes. En el caso en que los testigos que constituyen
variable regionalizada en estudio,
el sondaje son de tamaño irregular, es necesario hacer una operación la cual consiste en regularizar o compositar el sondaje, es
de nuestro yacimiento se generaron a partir de un proceso o experimento muy complejo.
La geoestadística utiliza una cierta interpretación probabilística de la variable regionalizada, mediante el modelo de las Una función aleatoria es una función Z(x)
constitutiva
de
la
¡Es la realización de una cierta función aleatoria! Lo anterior equivale a decir que las leyes
EL VARIOGRAMA CARACTERISTICAS NATURALES •
DE
LOS
FENÓMENOS
La mayoría de fenómenos naturales poseen una continuidad espacial.
•
Los datos contiguos muestran mayor similitud
•
que si éstos estuvieran alejados. Al observar la disposición de datos se nota que existe un cierto orden, una cierta continuidad.
Así, un valor alto tenderá a situarse cerca de otro valor alto.
ETAPAS PARA LA ESTIMACIÓN DE RESERVAS El procedimiento para efectuar una estimación geoestadistica de reservas puede dividirse en Dos etapas: La primera etapa: Se refiere a la: Investigación, Modelaje de la estructura física y Estadística del depósito mineral que se está estimando. Los conceptos de continuidad quedan incluidos en los variogramas que se construyen durante esta primera etapa.
La segunda etapa: Se refiere al proceso de estimación en sí, el krigeage, que depende enteramente de los variogramas construidos en la primera etapa. ¡El estudio del variograma cubrirá la primera parte del procedimiento de estimación geoestadistica!
EL VARIOGRAMA Esencialmente existen tres funciones que resumen la continuidad espacial: El correlograma p(h); La covarianza (%) y El variograma (h). Todas estas funciones describen el comportamiento espacial de la variable regionalizada en función de la distancia y la
En la práctica el variograma se obtiene mediante la expresión:
Y (h) = ½ Promedio (diferencias)2 de leyes en datos que están a la distancia h Las propiedades de los variogramas, que se deducen fácilmente de (1) ó (2) son: (0) = 0 (h) 0 (-h)= (h) La última relación proviene del hecho que si dos leyes z1 y z2 , están a la distancia h, entonces (z 1z2)2= (z2-z1)2
¿Qué es el Variograma? En general el variograma, es una función no decreciente de la distancia h ya que en promedio, cuando más separadas estén las muestras una de otra, mas diferentes serán sus leyes u otra variable que está analizando. La curva representa el grado de continuidad de la mineralización de un depósito o un fenómeno natural que se requiera investigar. El variograma ofrece una estimación precisa del tradicional concepto de la zona de influencia. El crecimiento más o menos rápido del variograma representa el deterioro más o menos rápido de la influencia de una muestra dada, sobre zonas cada vez mas remotas del depósito. Experimentalmente, uno dibuja una distancia h en la abscisa (x) y en la ordenada (y) se dibuja el valor del variograma que es el promedio del cuadrado de la diferencia entre las leyes de muestras tomadas a una distancia h una de otra.
•
•
•
dirección. No obstante que cualquiera de estas funciones es adecuada, el variograma es el más utilizado. La variabilidad entre dos puntos , x y x+h, distantes del vector h. está caracterizada por la función variograma, 2 (h), que teóricamente está definida por:
una características cualitativas de regionalización quedan muy bien expresadas a través del variograma. Esta herramienta, el variograma, no representa la totalidad ni los detalles locales del fenómeno de mineralización, pero si, expresan en forma sintética sus características esenciales. Las
COMPORTAMIENTO DEL VARIOGRAMA PARA DISTANCIAS GRANDES O PEQUEÑAS Para interpretar el gráfico del variograma distinguiremos el comportamiento para: Distancias (h) pequeñas y Distancias (h) grandes.
Caso 3. Existencia de microvariaciones. Si la equidistancia entre datos b, es menor que la escala de variación d de las microestructuras, el variograma en una vecindad del origen será:
•
•
COMPORTAMIENTO DEL VARIOGRAMA PARA DISTANCIAS PEQUEÑAS O EN EL ORIGEN Es importante analizar el comportamiento de (h) cuando h 0, es decir cerca del origen. La mayor o menor continuidad de la mineralización se representa por el comportamiento más o menos regular del variograma
Caso 1. Leyes muy regulares y continuas: Caso 2. Continuidad y regularidad promedio: Caso 3. Existencia de microvariaciones. Caso 4. Caso límite en el cual la irregularidad de las leyes es total. Habitualmente se presentan cuatro casos: Caso 1. Leyes muy regulares y continuas: En estas
Existe un crecimiento rápido hasta (h)=d (debido a la microregionalización) y un luego un crecimiento más moderado (debido a la variación a gran escala): se dice que existe EFECTO PEPITA. Co se llama constante de pepita. En la práctica la equidistancia b es mayor que d y se tendrá un gráfico. En este caso se revela una discontinuidad en el origen y representa una variable que no presenta siquiera una continuidad promedio pero si un efecto pepita.
circunstancias se dice que el variograma tiene un comportamiento parabólico en el origen. Representa una variable regionalizada con alta
Caso 4. Caso límite en el cual la irregularidad de las leyes es total.
continuidad por ejemplo la potencia de un
Por muy pequeña que sea la distancia b, las leyes de dos puntos a esta distancia son prácticamente independientes. El variograma correspondiente será:
depósito tabular El comportamiento de las leyes son tan continuas que las leyes de dos muestras distantes de b son prácticamente las mismas; es decir que para h pequeño (h) será próximo a cero.
Caso 2. Continuidad y regularidad promedio: En este caso, el variograma cerca al origen tendrá la forma:
Llamada continuidad lineal, es caracterizada por una tangente oblicua en el origen y representa una variable que tiene una continuidad promedio. Se dice que el variograma tiene un comportamiento lineal cerca del origen. Este tipo de continuidad es más común para leyes en depósitos metalíferos.
Se dice que el variograma presenta un efecto de pepita puro: (0)=0 y (h)=C Para todo h=0.
COMPORTAMIENTO DEL VARIOGRAMA PARA GRANDES DISTANCIAS Se estudiará ahora el comportamiento de la función (h) para (h) grande, para lo cual analizaremos tres casos hipotéticos. Caso 1. Leyes de crecimiento (decrecimiento) progresivo. Caso 2. Leyes con pseudo-periodicidades. Caso3. Fenómeno estacionario sin pseudoperiodicidad (o fenómeno de transición)
Caso 1. Leyes de crecimiento (decrecimiento) progresivo.
Se dice que hay una deriva o tendencia. Si se calcula la función, se observará que (h) siempre crece.
unidades; en otras palabras, dos puntos cuya distancia sea superior a a = 6 unidades son prácticamente independientes en ley. La magnitud a se llama alcance y la constante C se llama meseta.
CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA MALLAS IRREGULARES
Nótese que en muchos casos cuanto más separadas están las muestras, estas son mas diferentes. Esto ocurre frecuentemente en depósitos hidrotermales. La figura se refiere a un depósito de Cu-Ni
Caso 2. Leyes con pseudo-periodicidades.
Lo más probable es que no encontremos ningún o muy pocos pares de datos que estén exactamente a la distancia h1. Es necesario entonces introducir aproximaciones para el cálculo de γ(h). Por lo tanto utilizaremos los siguientes métodos:
MÉTODO DE LA MALLA REGULAR Consiste en forzar los datos a seguir una malla regular de lados b1xb2:
El fenómeno tiende a repetirse de manera estacionaria (es decir, no hay tendencia): Si se calcula la función γ(h) se observará la presencia de máximos y mínimos.
CÁLCULO DEL VARIOGRAMA PARA MALLAS IRREGULARES
Se dice que el variograma presenta efecto de hoyo o de agujero. En la figura, d = 9 unidades proporciona una medida del pseudo-período; Δ es una medida de la intensidad del efecto (si el fenómeno es perfectamente periódico, entonces Δ = 0).
Caso3. Fenómeno estacionario sin pseudoperiodicidad (o fenómeno de transición) El fenómeno es homogéneo en su variación espacial, con cambios bruscos
Se asocia cada dato al vértice mas cercano de la malla. Luego se aplica el método de la malla regular. Este método tiene algunos problemas: Pueden haber datos en el centro de una celda ó dos o más datos que van al Se basa en la aproximación siguiente:
APROXIMACIÓN 2: MÉTODO DE LOS SECTORES “Dos puntos están aproximadamente a la distancia h si una vez fijado el primero, el segundo cae en la zona de la figura”: mismo vértice.
VARIOGRAMA OMNIDIRECCIONAL
Se observa que a partir de una cierta distancia del orden de a=6, la función (h) permanece aproximadamente constante: γ(6) = γ(7) = γ(8) = . . . = constante = C Esto quiere decir, que da lo mismo que la distancia que separa los puntos sea 6, 7, 8 o más
En este caso se justifica calcular el variograma promedio, llamado variograma omnidireccional , el cual se puede obtener, en este caso, mediante un promedio ponderado de los valores del variograma (ponderación por el número de parejas N') Variograma omnidireccional. Su cálculo se justifica en el caso isótropo. CASO BIDIMENSIONAL: En la figura que se observa la localización de pozos de tiro en un banco de una mina de hierro. Supongamos que queremos calcular γ(h1) utilizando el algoritmo general, siendo h1 el vector siguiente:
OBSERVACIÓN IMPORTANTE ACERCA DEL CÁLCULO DE VARIOGRAMAS: El variograma γ(h) es un promedio; este promedio es bueno cuando el número N' de parejas es grande. Sin embargo, a medida que lhl crece, N' decrece; la práctica justifica entonces la regla siguiente: "Un variograma γ(h) es significativo hast a una distancia dM igual a la mitad de la dimensión del campo en la dirección de h".
EL KRIGEAGE Estimar valores desconodidos a partir no solo de los conocidos, sino también de su estructura y continuidad espacial.
