MAKALAH MATA KULIAH GELOMBANG GELOMBANG LONGITUDINAL
Dosen Pengampu: Drs. Mokhammad Tirono, M.Si
Disusun Oleh: KELOMPOK II
1. Hisyam (__6400__) 2. Rifki (__6400__) 3. Meitia Ratna Fali (16640002) 4. Hani Hardiani (16640008) 5. Aghea Tahta (166400) 6. Fithrotul Azizah (16640034) 7. Habibullah (16640052) 8. Nova Rahmawati (16640043) (16640043) 9. Ainina Farah Ainina (16640058) 10. Adilah Istiqomah (16640047) 11. Ella Dwi Cahyani (16640062) 12. Rahma Sandi Isneni (166400)
1
GELOMBANG LONGITUDINAL
Dalam penurunan persamaan gelombang
pada bab 5, kita
menggunakan contoh gelombang transversal, kemudian membahas gelombang jenis ini pada gelombang tali. Dalam bab ini kita mempertimbangkan gelombang longitudinal, gelombang dimana gerakan partikel atau osilator berada pada arah yang sama dengan propagasi gelombang. Dimana, propagasi ini merupakan transmisi atau penyebaran sinyal gelombang dari suatu tepat ke tempat lain atau dengan kata lain, propagasi adalah arah rambatan gelombang. Gelombang longitudinal merambat sebagai gelombang suara di semua fase materi, plasma, gas, cairan dan padatan, namun dalam bab ini, kita harus berkonsentrasi pada gas dan padatan saja. Dalam kasus gas, ketertarikan terhadap termodinamika yang terbatas dipaksakan; Dalam padatan, propagasi akan bergantung pada dimensi media. Baik gas maupun cairan dapat mempertahankan pergeseran transversal pada gelombang transversal, namun padatan dapat mempertahankan osilasi longitudinal dan transversal.
1. Gelombang Suara di Gas
Mari kita pertimbangkan massa gas yang tetap, yang mana pada tekanan menempati volume
dengan kerapatan atau densitas
. Nilai-nilai ini
menentukan keadaan ekuilibrium/kesetimbangan gas yang terganggu, atau rusak bentuknya, oleh penekanan dan pelepasan gelombang bunyi. Di bawah pengaruh gelombang suara : Pada tekanan Pada volume
menjadi
menjadi
Dan pada keradatan
menjadi
Kelebihan tekanan gelombang suara dan
adalah amplitudo tekanan maksimum dari
adalah komponen bolak – balik yang dilapiskan pada
tekanan gas kesetimbangan
.
Perubahan fraksional dalam volume disebut dilatasi, ditulis
/=
,dan
. Dan nilai s itu
perubahan fraksional kerapatan disebut kondensasi, ditulis
2
adalah
≈
10-3 untuk gelombang suara biasa, dan nilai Pm = 2 x 10 -5 Nm-2 (rentang
10-10 dari atmosfer) memberikan gelombang suara yang masih terdengar pada 1000 Hz. Dengan demikian, perubahan dalam medium karena gelombang suara berasal dari orde yang sangat kecil dan batasan yang jelas dimana persamaan gelombangnya sesuai. Massa gas tetap sama dengan :
sehingga, elastis.
11 11 1 memberi
ke pendekatan yang sangat dekat
Untuk gas, ukuran komprosibilitasnya, didefinisikan dalam bentuk
modulus bulknya.
Modulus bulk adalah perbedaan tekanan untuk perubahan fraksional dalam volume, peningkatan volume dengan tekanan turun memberikan tanda negatif. Nilai B tergantung pada apakah perubahan gas yang timbul dari gerakan gelombang
bersifat
adiabatik
atau
isotermal.
Mereka
harus
reversibel
termodinamika untuk menghindari mekanisme kehilangan energi dari difusi, viskositas dan konduktivitas termal. Ketiadaan total proses pembangkit entropi acak ini mendefinisikan proses adiabatik, siklus termodinamika dengan efisiensi 100% dalam arti bahwa tidak satu pun energi dalam gelombang, potensial atau kinetik, hilang. Dalam gelombang suara, konsep termodinamika membatasi amplitudo tekanan berlebih; Amplitudo yang terlalu besar menaikkan suhu lokal di gas pada puncak amplitudo dan konduktivitas termal akan menghilangkan energi dari sistem gelombang. Gradien kecepatan partikel lokal juga akan berkembang, menyebabkan difusi dan viskositas. Dengan menggunakan nilai konstan modulus bulk adiabatik membatasi gelombang suara menjadi kecil osilasi karena tekanan total
diambil
sebagai konstan, amplitudo yang lebih besar mengarah untuk efek non linier dan gelombang kejut, yang akan kita bahas secara terpisah di Bab. 15. Semua perubahan adiabatik dalam gas mematuhi hubungan
adalah rasio dari pemanasan khusus pada tekanan dan volume konstan,
masing – masing diferensiasi memberi:
3
−0
( Dimana subskrip a menunjukkan adiabatik)
sehingga sifat elastis gas adalah maka
yang dianggap konstan. Karena
,
, kelebihan tekanan, didapat:
Dalam gelombang suara, perpindahan dan kecepatan partikel berada disepanjangsumbu x dan kita memilih koordinat untuk menentukan perpindahan dimana (x,t). Dalam mendapatkan persamaan gelombang, kita mempertimbangkan gerak elemen gas dari ketebalan x (x) dan unit penampang melintang. Di bawah pengaruh gelombang suara, perilaku elemen ini ditunjukkan pada Gambar 6.1.
Gambar 6.1
Gambar 6.1 Elemen tipis gas penampang melintang dan ketebalan x memindahkan sejumlah dan diperluas dengan jumlah δ/dx di bawah pengaruh tekanan yang berbeda
– /
.
Partikel di lapisan x dipindahkan jauh dan partikel di x + x tergeser sejauh + , sehingga kenaikan ketebalan x elemen penampang satuan (yang karenanya mengukur kenaikan volume) adalah:
∆ ∆
Dan
4
∆ ∆
dimana /δx disebut regangan. Medium ini mengalami deformasi karena tekanan sepanjang sumbu x pada kedua sisi elemen tipis tidak seimbang (Gambar 6.1). Besar gaya yang bekerja pada elemen dituliskan dengan:
Massa elemen adalah 0x dan percepatannya diberikan, untuk perkiraan yang dekat, oleh 2/dt2. Dari Hukum Newton kita memiliki
Dimana,
Maka,
Tapi
adalah rasio elastisitas terhadap inersia atau densitas gas,
dan rasio ini memiliki dimensi
Dimana c adalah kecepatan gelombang suara Dengan demikian,
5
Adalah persamaan gelombang. Ditulis ƞm sebagai amplitudo maksimum perpindahan kita memiliki ungkapan berikut untuk gelombang dalam arah x positif:
Hubungan fase antara parameter-parameter ini (Gambar 6.2a) menunjukkan bahwa ketika gelombang adalah arah x positif, tekanan kelebihan p, kenaikan
ƞ̇
densitas fraksional s dan kecepatan partikel adalah semua
/2 rad pada fase di
depan perpindahan ƞ. Sedangkan perubahan volume ( rad fase dengan perubahan kerapatan) adalah
/2 rad di belakang perpindahan yang tidak lagi ditahan saat
arah gelombang dibalik (Gambar 6.2b); Untuk gelombang dalam arah x negatif
Pada kedua gelombang, perpindahan partikel ƞ diukur dalam arah x positif dan elemen tipis ∆x gas berosilasi tentang nilai ƞ = 0, yang mendefinisikan posisi sentralnya. Untuk gelombang di x-arah positif gelombang ƞ = 0, dengan
ƞ̇
maksimal pada arah x positif, memberikan tekanan akses positif maksimal
(kompresi) dengan kondensasi S m maksimal (kerapatan maksimum) dan volume minimum. Untuk gelombang di arah negatif x, nilai yang sama ƞ = 0 dengan
ƞ̇
maksimum arah x positif, memberikan tekanan akses negatif maksimum (penghalusan), volume maksimum dan kepadatan minumum. Untuk menghasilkan kompresi dalam gelombang yang bergerak dalam arah x kecepatan partikel
ƞ̇
seharusnya maksimum pada arah x negatif pada ƞ = 0. Jarak ini penting saat kita mendefinisikan impedansi medium terhadap gelombang. Tanda perubahan dilibatkan dengan perubahan konvensi arah yang harus kita ikuti saat membahas gelombang Bab 7 dan 8.
6
2. Distribusi Energi di Gelombang Suara
Energi kinetik dalam gelombang suara ditemukan mempertimbangkan gerak elemen individu gas dengan ketebalan .
∆
dengan
Setiap elemen akan memiliki energi kinetik tiap unit penampang melintang:
∆ ∆̇ ̇ Ekin
̇
Dimana akan tergantung pada posisi dari elemen. Nilai rata-rata energi kinetik rapatan ditemukan dengan mengambil nilai dirata-ratakan di atas wilayah dengan panjang gelombang n. Sekarang
̇ ̇ =
msin
Jadi
̇ ̅̇ ̇ᵐ ∫ −/∆ =
2 m
Sehingga tingkat kerapatan energi kinetik pada media tersebut
̅∆
kin
̇ = ρ ƞ
= ρ0
m
0
m
(osilator harmonik sederhana amplitudo memiliki energi kinektik rata-rata satu
siklus ).
Kerapatanenergipotensialditemukandenganmempertimbangkankerja PdVpadamassa gas volumeV0selamaperubahanadiabatikpadagelombangsuara. Hasilini dinyatakanuntuksikluslengkapsebagai berikut;
7
Tanda negatif menunjukkan bahwa perubahan energi potensial positif pada keduanya. Sebuah kompresi (p positif, dV negative) dan sebuah penipisan (p negatif, dV positive). Kondensasi
∫ ditulis
Dengan p = Bɑ s Diberikan
8
Gambar
6.3
Segitiga
berbayang
menunjukkan
bahwa
energi
potensial
diperoleh gas pada tekanan yang sama dengan yang diperoleh dalam penghilangan saat p dan v berubah.
Gambar 6.4 Distribusi energi di ruang angkasa untuk gelombang suara dalam gas. Keduanya bersifat potensial dan kinetik , dimana energi maksimal bila kecepatan partikel
Adalah maksimum dan nol pada
Dimana
dan ketebalan ∆x pada elemen-elemen penampang melintang
mewakili volume V0. Sekarang
Kemudian,
Jadi, didapatkan
Dan nilai rata-ratanya di atas
memberikan potensial kepadatan energi
9
Kita melihat bahwa nilai rata-rata kerapatan energi kinetik dan potensial dalam gelombang suara yang sama, tapi yang lebih penting, karena nilainya masingmasing untuk elemen ∆x yaitu
kita amati bahwa elemen tersebut
memiliki potensi maksimum (atau minimum) dan energi kinetik pada waktu bersamaan. Kompresi atau penghilangan menghasilkan elemen energi yang maksimal, karena nilai Gelombang
mengatur kandungan energi. Dengan demikian, energi di
terdistribusi
dalam
sistem
gelombang
dengan
jarak
seperti
ditunjukkan pada Gambar 6.4. Dimana, distribusi tidak sama dengan jarak sehingga tidak seperti gelombang transversal.
3. Intensitas Gelombang Bunyi
Ini merupakan ukuran energi fluks, nilai dimana energi bersebrangan dengan area gabungan. Jadi itu merupakan produk kepadatan energi (kinetik+potensial) dan kecepatan gelombang c. Jarak normal gelombang bunyi pada intensitas diantara 10-12 dan 1 W m -2, level yang sangat rendah yang merupakan sensitivitas telinga. Gemuruh dari kkerumunan penonton sepak bola yang meneriakan gol hanya akan sehangat secangkir kopi. Intensitas dapat dituliskan
Pada umumnya,intensitas bunyi dapat diberikan: I0 = 10-2 Wm-2 Dimana, ini merupakan level rata-rata 2 orang yg sedang berdiri sebelahan berckap-cakap. Saling berteriak pada range ini menaikkan intensitas dari faktor 100 dan pada range 100 I 0 ke 1000 I0 (10 WM-2) suara nya menyakitkan. Kapanpun intensitas bunyi meningkat dari faktor 10, dapat dikatakan sudah naik 1 B jadi range dinamisnya telinga sekitar 12 B. Sebuah inensitas meningkat oleh faktor dari 100.1 = 1.26
10
peningkatan intensitas 1 dB, sebuah perubahan oleh kebisingan yang hanya dapat di deteksi oleh orang dengan kemampuan pendengaran yang baik.dB merupakan desibel.
Kita melihat bahwa 0c muncul di sebagian besar ungkapan untuk intensitas. Lebih jelasnya terdapat ketika kita mendefinisikan impedansi dari medium gelombang yaitu
̇ (Rasio dari gaya persatuan luas terhadap kecepatan) Sekarang, dari gelombang arah x positif
Jadi:
Jadi, impedansi akustik dijelaskan dengan medium pada gelombang, seperti pada kasus gelombang transversal pada tali, yang diberikan dengan kerapatan(densitas) dan kecepatan gelombang dan ditentukan oleh elastisitas dan inersia medium. Untuk gelombang dengan arah x negatif, impedansi akustik spesifiknya yaitu:
Dengan perubahan tanda karena adanya hubungan perubahan fasa.
−−
Satuan dari 0c dinyatakan dengan dalam buku praktis akustik. Dalam satuan tersebut udara mempunyai impedansi akustik spesifiknya bernilai 400, air bernilai 1.45 x , dan baja bernilai 3.9 x Nilai ini akan menjadi lebih signifikan ketika kita menggunakannya pada refleksi dan transmisi gelombang suara.
106
107
Meskipun impedansi akustik spesifiknya 0c merupakan kuantitas nyata dari bidang gelombang suara, itu memiliki tambahan komponen reaktif ik/r untuk gelombang sferis, dimana r adalah jarak yang ditempuh oleh muka gelombang. Komponen ini cenderung bernilai nol dengan bertambahnya r sebagai gelombang sferis menjadi bidang yang efektif.
11
4. Gelombang longitudinal dalam Zat Padat
Kecepatan gelombang longitudinal dalam padatan bergantung pada dimensi spesimen di mana gelombang sedang melaju. Jika lapisan padat adalah palang tipis dari penampang melintang, analisis untuk gelombang longitudinal dalam gas sama-sama valid, kecuali modulus bulk Ba digantikan oleh modulus Young Y, rasio tegangan longitudinal pada batang terhadap tegangan longitudinalnya. persamaan gelombang itu:
1 ,
Gelombang longitudinal dalam medium memampatkan medium dan mendistorsinya secara lateral. Karena zat padat dapat mengembangkan gaya geser ke segala arah, distorsi lateral seperti itu disertai dengan geser melintang. Efek dari gerakan gelombang ini pada benda padat penampang melintang cukup rumit dan telah diabaikan pada spesimen yang sangat tipis di atas. Namun, dalam zat padat bulk, mode longitudinal dan transversal dapat dipertimbangkan secara terpisah. Kita telah melihat bahwa pemampatan longitudinal menghasilkan tegangan ; Distorsi lateral yang menyertainya menghasilkan ketegangan / y (tanda berlawanan dengan ƞ / x dan tegak lurus terhadap arah-x). Disini adalah perpindahan ke arah y dan merupakan fungsi dari kedua x dan y. Perbandingan tegangan ini:
ƞ /
/⁄/ =
Dikenal sebagai perbandingan Poisson dan dinyatakan dalam bentuk konstanta elastis Lame' λ dan μ untuk yang solid seperti:
Dimana
2 112 22
Konstanta ini selalu positif, sehingga Konstanta modulus Young menjadi:
< 1/2, dan biasanya
≈
1/3. Dalam hal ini
Konstanta μ adalah koefisien transversal kekakuan; Yaitu perbandingan tegangan melintang terhadap tegangan transversal. Ini memainkan peran elastisitas dalam propagasi murni.
12
Gambar 6.5 Gesekan dalam bentuk zat padat bulk menghasilkan gelombang transversal. Tegangan geser melintang adalah Ϭβ/Ϭ x dan tegangan geser melintang adalah μϬβ/Ϭ x, di mana
μ adalah modulus geser kekakuan
Gelombang melintang dalam padatan massal yang modulus Young dimainkan untuk gelombang longitudinal dalam spesimen tipis. Gambar 6.5 mengilustrasikan geser pada gelombang bidang transversal, di mana regangan transversal didefinisikan oleh / x. Tekanan melintang pada x oleh karena itu Tx = μ / x. Persamaan gerak melintang dari elemen tipis d x kemudian diberikan oleh:
+ ̈ ( )̈ ̈ /
,
dimana ρ adalah densitasnya, atau:
Tetapi
karena itu
Persamaan gelombang dengan kecepatan yang diberikan oleh c 2 = μ/ . Efek dari kekakuan melintang µ adalah untuk mengencangkan padatan dan meningkatkan konstanta elastis yang mengatur propagasi gelombang longitudinal. Secara massal, kecepatan gelombang ini tidak lagi diberikan oleh c 2 = Ƴ/ρ , tapi menjadi c2
+µ
Karena modulus Young Ƴ = λ + 2µ - 2λσ, elastisitasnya meningkat sebesar 2λσ ≈ λ , sehingga gelombang longitudinal dalam padatan bulk memiliki kecepatan lebih tinggi daripada gelombang yang sama sepanjang spesimen tipis. Dalam padatan isotropik, dimana kecepatan propagasi sama kesegala arah, konsep modulus bulk, yang digunakan dalam diskusi tentang gelombang dalam
13
gas, berlaku sama. Dinyatakan dalam bentuk konstanta elastis Lame, modulus bulk untuk solid ditulis B = λ +
µ = Ƴ [3(1-2σ)]
-1
Kecepatan gelombang longitudinal untuk padatan massal menjadi CL
+
1/2
Sementara kecepatan transversal tetap sebagai C T =(
µ
1/2
5. Aplikasi untuk Gempa Bumi
Nilai darikecepatan ini dikenal dengan gelombang seismik yang dihasilkan oleh gempa bumi. Didekat permukaan bumi, gelombang longitudinal memiliki kecepatan 8 km s -1 dan gelombang transversal menempuh jarak 4,45 km s -1. Kecepatan gelombang longitudinal meningkat dengan kedalaman sampai, pada kedalaman sekitar 1800 mil, tidak ada gelombang yang ditransmisikan karena diskontinuitas dan ketidaksesuaian impedansi yang parah yang terkait dengan inti fluida. Dipermukaan bumi, kecepatan gelombang transversal dipengaruhi oleh bukti bahwa komponen tegangan yang diarahkan melalui permukaan adalah nol, yang dikenal sebagai Gelombang Rayleigh, berjalan dengan kecepatan yang sesuaipersamaan:
Dimana
0.9194
0.25
Dan
0.9553 0.5 Energi Gelombang Rayleigh dikonversikan ke dua dimensi; Amplitudonya seringkali jauh lebih tinggi daripada gelombang longitudinal tiga dimensi dan karena
itu
berpotensi
lebih
merusak.
Dalam gempa bumi, kedatangan gelombang longitudinal yang cepat 14
diikuti oleh Gelombang Rayleigh dan kemudian oleh pola gelombang refleksi yang rumit termasuk yang terpengaruh oleh struktur struktur bumi, dikenal sebagai Gelombang Cinta. 6. Gelombang Longitudinal dalam Struktur Periodik
Konstanta elastis Lame, λ dan μ, yang digunakan untuk menentukan jumlah makroskopik seperti modulus Young dan modulus bulk, ditentukan oleh kekuatan yang beroperasi pada jarak interatomik. Pembahasan gelombang transversal dalam struktur periodik telah menunjukkan bahwa dalam array satu dimensi yang mewakili kisi kristal, kekakuan s = T / a dyn cm -1 dapat ada di antara dua atom yang dipisahkan oleh jarak a. Bila gelombang sepanjang kisi semacam itu membujur, perpindahan atom dari ekuilibrium ditunjukkan oleh ƞ (Gambar 6.6). Peningkatan pemisahan antara dua atom dari a ke a+ƞ memberikan tegangan ε = ƞ/a, dan tegangan normal pada area wajah a2 dari sel satuan dalam kristal sama dengan sƞ / a 2 =sε /a, sebuah gaya per satuan luas. Sekarang modulus Young adalah rasio tegangan longitudinal ini terhadap regangan longitudinal, sehingga Y = sε/ εa atau s = Ya. Frekuensi getaran longitudinal dari atom massa yang dihubungkan oleh konstanta kekakuan diberikan, sangat kira-kira
≈
≈
Dimana m = a3 dan c0 adalah kecepatan suara dalam padatan. Nilai c 0 5 × 103 ms-1, dan a 2 × 10 -10 m, sehingga ѵ 3 × 1012 Hz, yang nilainya hampir sama dengan frekuensi gelombang transversal di wilayah inframerah. Spektrum elektromagnetik. Frekuensi ultrasonik tertinggi yang dihasilkan sejauh ini adalah tentang faktor 10 yang lebih rendah dari ѵ= c 0 / 2 a. Pada frekuensi 5 × 1012 sampai 1013 Hz banyak hasil eksperimen yang menarik harus diharapkan. Perlakuan matematis yang lebih tepat menghasilkan persamaan gerak yang sama untuk partikel r seperti pada gelombang transversal; yaitu
≈
≈
Dimana s=T/a dan
15
Gambar 6.6 Pemindahan atom dalam susunan linier karena gelombang longitudinal dalam struktur crysal Hasilnya sama persis dengan gelombang transversal dan bentuk kurva dispersi juga serupa. Nilai maksimum frekuensi cut-off! M, bagaimanapun, lebih tinggi untuk longitudinal daripada gelombang transversal. Ini karena konstanta elastis longitudinal Y lebih besar dari konstanta transversal μ; artinya, gaya yang dibutuhkan untuk perpindahan tertentu dalam arah longitudinal lebih besar dari pada perpindahan yang sama pada arah melintang. 7. Batas-batas pada Refleksi dan Transmisi Gelombang Suara
Bila gelombang suara memenuhi batas yang memisahkan dua media impedansi akustik yang berbeda, dua syarat batas harus dipenuhi dalam mempertimbangkan refleksi dan transmisi gelombang. Yaitu : i.
Kecepatan partikel
̇
Dan ii.
Tekanan berlebih akustik p
keduanya terus menerus melintasi batas. Secara fisik ini memastikan bahwa kedua media tersebut berada dalam kontak yang lengkap yang di mana-mana melintasi batas. Gambar 6.7 menunjukkan bahwa kita mempertimbangkan gelombang suara pesawat yang bergerak dalam medium impedansi akustik spesifik Z 1= 1c1 dan bertemu, pada kejadian normal, batas bidang yang tidak terbatas yang memisahkan media pertama dari impedansi akustik tertentu Z 2= 2c2. Jika subskrip i, r dan t menunjukkan kejadian, tercermin dan ditransmisikan masingmasing, maka kondisi batas memberi
16
Untuk kejadian gelombang maka
dan untuk gelombang reduksi , persamaan (6.2) menjadi:
atau Z1ήi – Z1ήr = Z2ήt Mengeliminasi ήt dari (6.1) dan (6.3) yang telah diberikan
Mengeliminasi ήr dari (6.1) dan (6.3) yang telah diberikan
Sekarang
dan
Dapat dilihat bahwa jika Z 1> Z2 terjadi pada kecepatan partikel yang direfleksikan di masukan fase, maka akan terjadi pula pada kecepatan partikel yang direfleksikan di keluaran fase. Terjadi Superposisi yang direfleksikan pada kecepatan yang berada di masukan fase yang berperan penting untuk membatalkan tekanan (Sebuah tanda penekanan di dalam sistem gelombang berdiri). Jika Z1< Z2 tekanan berada di masukan fase dan kecepatan berada di keluaran fase.
17
Tekanan akustik dan kecepatan partikel yang dipancarkan selalu berada di masukan fase dengan pasangannya. Pada tembok yang sangat keras, dimana Z 2 tak terhingga, maka kecepatannya ή = 0 = ή i + ήr , yang berperan penting untuk menambahkan tekanan pada batas. (Lihat ringkasannya di hal 546) 8. Refleksi dan Transmisi Intensitas Suara Koefisien intensitas transmisi dan transmisi diberikan oleh
Konservasi energi memberi
Perbedaan besar antara impedansi akustik khusus udara di satu sisi dan air atau baja di sisi lain menyebabkan ketidakcocokan impedansi yang ekstrem saat transmisi energi akustik antara media ini dicoba. Ada hampir total refleksi energi gelombang suara pada antar muka udaraair, terlepas dari sisi dimana gelombang mendekati batas. Hanya 14% energi akustik yang dapat ditransmisikan pada antar muka air baja, sebuah batasan yang memiliki implikasi parah untuk perangkat transmisi dan deteksi bawah air yang mengandalkan akustik.
18
