FUNDAMENTOS PARA O PROJETO DE COMPONENTES DE MÁQUINAS
Prof. Dr. Perrin Smith Neto
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FUNDAMENTOS PARA O PROJETO DE COMPONENTES DE MÁQUINAS
Prof. Dr. Perrin Smith Neto
Departamento de Engenharia Mecânica Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Instituto Politécnico da Universidade Católica Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
PREFÁCIO DA 1A EDIÇÃO
Durante mais de 30 anos temos tido contato com os alunos do curso de engenharia mecânica de diferentes Universidades Brasileiras como Universidade Federal de Minas Gerais, Universidade Federal de Uberlândia, Universidade de São Paulo, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, do Paraná e de Minas Gerais. Atualmente estamos lecionando a disciplina Elementos de Máquinas para o curso de Engenharia Mecânica e Mecatrônica da PUC-Minas. Todos os alunos se queixam da falta de um bom livro texto nesta área em português. Também sentem dificuldades entre a ligação da teoria que aprendem na Universidade e a prática profissional. O impacto que a disciplina Elementos de Máquinas causa é muito grande, e, inúmeras vezes, vemos a necessidade de realizar um grande esforço para que a impressão de nulidade na disciplina não marque irremediavelmente o aluno que se inicia na matéria.
Para o dimensionamento dos
elementos de máquinas, que é uma aplicação contínua das teorias estudadas em Resistência dos Materiais, Mecânica dos Sólidos, Comportamento Mecânico dos Materiais, Mecânica Racional, sentem-se os alunos perdidos, dentro de um campo imenso de possibilidades, obrigados a tomar decisões, e a definir um campo imenso de possibilidades, uma situação particular, sem que se sintam com pleno domínio daquelas teorias. O clamor é geral, e por isso, marca realmente o ponto: falta para os estudantes de engenharia mecânica, a parte prática neste campo de engenharia. Alguns tópicos, por deficiência dos programas, são tratados superficialmente sem uma objetividade necessária, como a Fadiga e a Concentração de tensões.
Dentro da técnica moderna é impossível diminuir a
importância destes assuntos. São básicos, essenciais. O dimensionamento de uma peça de
máquina exige em profundidade aquilo que foi dado superficialmente na sala de aula. E fica então o aluno, com aquele sentimento de frustração a que se referiu no inicio. Incentivados por nossos ex-alunos e colegas das Universidades, com o intuito de melhor prepará-los para aplicações reais, estamos apresentando o resultado do trabalho que denominamos Fundamentos para o Projeto de Componentes de Máquinas. Neste livro pretendemos enfocar na primeira parte os fundamentos do projeto de engenharia mecânica, características mecânicas dos materiais, dimensionamento estático e dinâmico incluindo conceitos de fadiga e concentração de tensões. Na parte de aplicações nos deteremos na análise de parafusos de união, soldagem, molas, lubrificação e mancais de deslizamento, mancais de rolamentos, engrenagens cilíndricas, eixos e árvores de transmissão, freios e embreagens e elementos flexíveis de transmissão como correias, correntes e cabos de aço. Durante estes anos de ensino superior, pudemos desenvolver junto com os alunos, vários exercícios com utilização de softwares utilizando linguagens conhecidas dos alunos tipo C++, Fortran, Pascal, etc. Com isto pretendemos neste volume apresentar não somente um resumo da teoria, mas também alguns exercícios sob a forma de aplicativos, desenvolvidos para utilização dos conceitos adquiridos no conteúdo da disciplina. Durante vários anos ministrando a disciplina Elementos de Máquinas, desenvolvemos, orientando os alunos, os seguintes softwares: •
Vigas-Diagramas de momentos fletores, diagramas de cargas cisalhantes.
•
Resistência dos Materiais-cálculo de momentos de polar de inércia, centros de gravidade para várias seções.
•
Círculo de Mohr - determinação numérica e gráfica no estado plano e tridimensional das tensões máximas normais e cisalhantes, conhecidas as tensões atuantes.
•
Calculo da resistência à fadiga de elementos de máquinas em função do tamanho, acabamento, temperatura, concentração de tensões.
•
Cálculo do dimensionamento de parafusos de potência, parafusos de união em vasos de pressão.
•
Cálculo do dimensionamento do filete de solda para cargas de flexão ou torção.
•
Dimensionamento de eixos e árvores para carregamento estático e dinâmico.
•
Dimensionamento de mancais hidrodinâmicos.
•
Dimensionamento de engrenagens cilíndricas retas e helicoidais.
•
Seleção de Correias planas e trapezoidais utilizando catálogos de fabricantes.
•
Seleção de correntes e cabos de aço.
O objetivo de acrescentar estes programas é de facilitar ao leitor uma visualização dos conceitos de forma mais prática e moderna. Portanto, a idéia do livro é a de um documento
eletrônico para uma análise computacional dos projetos a serem desenvolvidos durante o aprendizado. Agradecemos aos nossos alunos e ex-alunos pelo incentivo que nos deram e ainda nos dão, a eles dedicamos esta obra.
Agradecimentos em especial à Pontifícia
Universidade Católica pelo privilégio de como professor titular na graduação e no mestrado de engenharia mecânica ter recebido todo o apoio necessário à realização desta obra. As críticas e sugestões serão sempre bem aceitas, e de antemão, as agradecemos. Também não poderia de deixar de agradecer ao apoio recebido das Coordenações de Engenharia Mecânica e Mecatrônica e
principalmente do Mestrado de Engenharia Mecânica da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Gostaria de poder receber de toda a comunidade acadêmica de engenharia , sugestões e críticas para aperfeiçoamento e melhoria desta primeira edição. Solo Dei Gloria.
Prof. Dr.Perrin Smith Neto Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Belo Horizonte, Fevereiro de 2005
Índice CAPÍTULO 01 - INTRODUÇÃO _____________________________________
01
1.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONO __________
01 02
1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO _______________________________ 1.2.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE UMA CADEIRA DE RODAS DE LAZER _______
04 05
1.3 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A SEGURANÇA _____________________________ 1.4 - FATOR DE SEGURANÇA ____________________________________________ 1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANÇA ____________________________ 1.6 - CONSIDERAÇÕES ECOLÓGICAS _____________________________________ 1.7 - CONSIDERAÇÕES SOCIAIS __________________________________________ 1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE COMPONENTES MECÂNICOS ____________________________________________ 1.9 - UNIDADES ________________________________________________________ 1.10 - COMENTÁRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS ____________ 1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECÂNICO ___________________________ 1.12 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL _______
08 09 09 13 14 15 16 18 18 22
CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ______________ 24 2.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 24 2.2 - TENSÃO __________________________________________________________ 24 2.3 - TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL _________________ 27 2.3.1 - CARGA AXIAL __________________________________________________________ 2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO ________________________________________ 2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO _______________________________________
27 27 28
2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO ______________________________________ 29 2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA _____________________ 2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR ______________________________________________________ 2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES _______________________ 2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES __________________ 2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES ____________________
29 30 32 34 35
2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO _________________________________________ 36 2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ____________________________________________ 37 2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS ___________________ 2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS (ESTADO TRIAXIAL DE TENSÕES) _______________________________________________
37 38
2.7 - EXTENSOMETRIA __________________________________________________ 39 2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE) _______________________________ 2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO ____________________________________ 2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GAUGES) __________________
40 42 43
2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO _________________________________ 2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _______________________________
45 45
2.9.1 - INTRODUÇÃO __________________________________________________________ 2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA ____________________________________________________ 2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _____________________________________ 2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ________________
45 46 48 50
2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _________________________________________ 2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________
51 61
CAPÍTULO 03 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS MATERIAIS -CARREGAMENTO ESTÁTICO ___________________________
63
3.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 63 3.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS _____________________________________ 64 3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTÁTICO _________________ 73 3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DÚCTEIS SOB CARGA ESTÁTICA _______________________
74
i
3.3.2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO _________________________________________________ 3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS SOB CARGA ESTÁTICA ______________________
79 80
3.4 - SELEÇÃO DE MATERIAIS ___________________________________________
83
3.4.1 - MATERIAIS METÁLICOS _________________________________________________ 3.4.2 - MATERIAIS CERÂMICOS _________________________________________________ 3.4.3 - MATERIAIS POLIMÉRICOS _________________________________________
84 87 88
3.5 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS __________________________________________
91
CAPÍTULO 04 - CARREGAMENTO DINÂMICO - FADIGA E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ____________________________________ 103 4.1 - INTRODUÇÃO ______________________________________________________ 103 4.2 - TESTE DE FADIGA __________________________________________________ 104 4.3 - DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIGA _________________ 105 4.3.1 - FATORES MODIFICATIVOS ________________________________________________
107
4.4 - LIMITE DE RESISTÊNCIA PARA VIDA FINITA ____________________________ 4.5 - FADIGA SOB TENSÕES FLUTUANTES _________________________________ 4.6 - FADIGA SOB TENSÕES COMBINADAS _________________________________ 4.7 - FADIGA DE CONTATO SUPERFICIAL __________________________________ 4.8 - GRÁFICOS P/ DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES KT _______________________________________ 4.9 - PREVISÃO DE FADIGA COM CARGAS VARIANDO RANDOMICAMENTE __________________________________________ 4.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _________________________________________ 4.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________
111 112 115 116 117 119 120 125
CAPÍTULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO _________________ 129 5.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES _________________________________ 5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO ________________________________________
129 129 131
5.3.1 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO, TORÇÃO E ESFORÇO AXIAL ____________________________________________________ 5.3.2 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO __________________________________________________________
133
5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO ________________________________ 5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME _________________________ 5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA ______________________________
134 135 137
5.6.1 - CRITÉRIO DE FADIGA – GOODMAN ________________________________________ 5.6.2 – CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG ______________________________________
137 138
5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE FADIGA POR SODERBERG ______________________________________________ 5.8 – CHAVETAS / PINOS ________________________________________________ 5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS ______________________________________ 5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS _________________________________ 5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CHAVETAS ____________________________ 5.12 - VIBRAÇÃO DE EIXOS ______________________________________________ 5.13 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA ______________________ 5.14 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM DIVERSAS MASSAS ___________________________________________________ 5.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VIBRAÇÕES EM EIXOS ___________________ 5.16 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________ 5.17 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR ______________________ 5.18 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________ 5.19 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________
CAPÍTULO 06 - LUBRIFICAÇÃO E MANCAIS DE DESLIZAMENTO ________________________________________________
132
139 144 145 146 147 149 151 152 155 158 161 163 164
168 ii
6.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 6.2 - LUBRIFICANTES. _________________________________________________ 6.3 - VISCOSIDADE ____________________________________________________ 6.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANCAIS. ____________________________________ 6.5 - LUBRIFICAÇÃO ELASTODINÂMICA __________________________________ 6.6 - TIPOS DE LUBRIFICAÇÃO __________________________________________ 6.7 - LUBRIFICAÇÃO ESTÁVEL E INSTÁVEL _______________________________ 6.8 - MECANISMOS DA LUBRIFICAÇÃO. __________________________________ 6.9 - LUBRIFICAÇÃO COM FILME ESPESSO OU DE ATRITO FLUIDO __________ 6.10 - SUPERFÍCIES DOS MANCAIS. _____________________________________ 6.11 - INTRODUÇÃO AO PROJETO ______________________________________ 6.12 - LEIS DE NEWTON DE ESCOAMENTO VISCOSO ______________________ 6.13 - LEI DE PETROFF ________________________________________________ 6.14 - HIPÓTESES _____________________________________________________ 6.15 - RELAÇÕES GEOMÉTRICAS EM UM MANCAL COM FOLGA. _____________ 6.16 - GRUPAMENTO DE VARIÁVEIS _____________________________________ 6.17 - MANCAL IDEAL. _________________________________________________ 6.18 - ESPESSURA MÍNIMA PERMISSÍVEL DO FILME DE ÓLEO. ______________ 6.19 - CÁLCULO DE MANCAIS PARA REGIME DE ATRITO FLUIDO. ____________ 6.20 - PRINCIPIOS HIDRODINÂMICOS ____________________________________ 6.21 - PROCEDIMENTO DE PROJETO ____________________________________ 6.22 - APLICAÇÃO ____________________________________________________ 6.23 - MANCAIS ÓTIMOS. _______________________________________________ 6.24 - TAXA DE FOLGA. ________________________________________________ 6.25 - RELAÇÃO ENTRE O COMPRIMENTO E O DIÂMETRO. _________________ 6.26 - CONSIDERAÇÕES SOBRE DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES EM UM MANCAL E PERDA DEVIDA AO ATRITO ___________________________ 6.27 - FLUXO DE LUBRIFICANTE ATRAVÉS DE UM MANCAL. _________________ 6.28 - CALOR LEVADO PELO ÓLEO. ______________________________________ 6.29 - DISSIPAÇÃO DE CALOR DO MANCAL. _______________________________ 6.30 - MATERIAIS USADOS NOS MANCAIS. ________________________________ 6.31 - CONSTRUÇÃO DOS MANCAIS. _____________________________________ 6.32 - MANCAIS DE ESCORA. ____________________________________________ 6.33 - EXERCÍCIO RESOLVIDO ___________________________________________
168 168 169 170 172 173 173 174 175 178 179 180 181 182 183 184 186 187 187 188 188 189 190 191 191 192 194 195 196 199 200 200 208
CAPÍTULO 07 - MANCAIS DE ROLAMENTOS __________________________ 210 7.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 7.2 - DIMENSIONAMENTO ______________________________________________ 7.3 - ROLAMENTOS SOLICITADOS ESTATICAMENTE _______________________ 7.4 - ROLAMENTOS SOLICITADOS DINAMICAMENTE _______________________ 7.5 - CARGA E ROTAÇÃO VARIÁVEIS ____________________________________ 7.6 - CARGA MÍNIMA DOS ROLAMENTOS _________________________________
211 211 211 213 215 216
7.6.1 - OBSERVAÇÕES ________________________________________________________ 7.6.2 - DURAÇÃO ATINGÍVEL - MODIFICADA DA VIDA ______________________________ 7.6.3 - DURAÇÃO DA VIDA ATINGÍVEL ___________________________________________ 7.6.4 - FATOR A23 ____________________________________________________________ 7.6.5 - RELAÇÃO DE VISCOSIDADE K ____________________________________________ 7.6.6 - VALOR BÁSICO A23II ____________________________________________________ 7.6.7 - FATOR DE LIMPEZA S ___________________________________________________ 7.6.8 - GRANDEZA DETERMINANTE V PARA A AVALIAÇÃO DA LIMPEZA ______________ 7.6.9 - VALORES PARA A GRANDEZA DETERMINANTE DE CONTAMINAÇÃO V _________ 7.6.10 - LUBRIFICAÇÃO COM ÓLEO _____________________________________________
217 217 218 218 219 221 224 225 227 229
7.7 - PROCESSO DE SELEÇÃO DE ROLAMENTOS __________________________ 7.8 - TIPOS DE ROLAMENTOS ___________________________________________
230 233
7.8.1 - ROLAMENTOS RÍGIDOS DE ESFERAS - ROLAMENTOS FAG FIXOS DE ESFERA __ 7.8.2 - ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR ________________________
233 235
iii
7.8.3 - ROLAMENTOS DE AGULHAS _____________________________________________ 7.8.4 - ROLAMENTOS DE ROLOS CÔNICOS ______________________________________ 7.8.5 - ROLAMENTOS AXIAIS ___________________________________________________
239 239 240
7.9 – EXEMPLO RESOLVIDOS ___________________________________________ 7.10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ________________________________________
241 248
CAPÍTULO 08 - PROJETO DE PARAFUSOS __________________________
250
8.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 8.2 - PARAFUSOS DE POTÊNCIA _________________________________________ 8.3 - PARAFUSOS DE UNIÃO - COMPRIMENTO DA PARTE ROSCADA __________
250 263 266
8.3.1 - CONSTANTE DE RIGIDEZ DOS PARAFUSOS ________________________________ 8.3.2 - RIGIDEZ DAS PEÇAS OU MEMBROS EM COMPRESSÃO ______________________ 8.3.3 - RESISTÊNCIA DO PARAFUSO ____________________________________________ 8.3.4 - EXIGÊNCIAS DO TORQUE ________________________________________________ 8.3.5 - PRÉ-CARGA DO PARAFUSO - CARREGAMENTO ESTÁTICO ____________________ 8.3.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ________________________________________________ 8.3.7 - CARGA DE FADIGA _____________________________________________________
267 268 269 271 271 274 277
8.4 - CISALHAMENTO DE PARAFUSOS E REBITES A CARGA EXCÊNTRICA _____ 8.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________
279 282
CAPÍTULO 09 - PROJETO DE SOLDAS ______________________________
285
9.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 9.2 – TIPOS COMUNS DE JUNTAS SOLDADAS _____________________________ 9.3 - CÁLCULO DAS TENSÕES – SOLDAS CARREGADAS CENTRALMENTE _____ 9.4 - SOLDAS EM ÂNGULO – CARGA EXCÊNTRICA _________________________ 9.5 – TORÇÃO NAS JUNTAS SOLDADAS __________________________________ 9.6 - CARREGAMENTO DINÂMICO _______________________________________ 9.7 – FLEXÃO EM JUNTAS SOLDADAS ____________________________________ 9.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________
285 285 293 294 298 299 300 302
CAPÍTULO 10 - TIPOS DE ENGRENAGENS E RELAÇÕES CINEMÁTICAS __
307
10.1 - INTRODUÇÃO ___________________________________________________ 10.2 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ____________________
307 308
10.2.1 - DEFINIÇÕES __________________________________________________________ 10.2.2 – RAZÃO DE VELOCIDADES ______________________________________________ 10.2.3 - O MÓDULO ___________________________________________________________
308 310 310
10.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS __________________________
311
10.3.1 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES ____________________________________________ 10.3.2 - PASSO NORMAL E PASSO FRONTAL - MÓDULOS ___________________________ 10.3.3 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES ___________________________________________ 10.3.4 - ÂNGULO DE PRESSÃO _________________________________________________ 10.3.5 - LARGURA DE ENGRENAGEM ____________________________________________ 10.3.6 - RELAÇÕES ENTRE AS FORÇAS __________________________________________ 10.3.7 - COMPRIMENTO DOS DENTES EM CONTATO SIMULTANEAMENTE _____________
312 314 315 316 317 317 317
10.4 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS ________________________
320
10.4.1 - CONES DE ATRITO - DEFINIÇÕES ________________________________________ 10.4.2 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES ____________________________________________ 10.4.3 - ENGRENAGEM VIRTUAL ________________________________________________ 10.4.4 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES - EVITANDO INTERFERÊNCIA _________________ 10.4.5 - RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ____________________________________________ 10.4.6 - MÓDULO EFETIVO - MÓDULO MÉDIO _____________________________________ 10.4.7 - COMPRIMENTO DO DENTE _____________________________________________ 10.4.8 - FORÇAS ATUANTES NAS CÔNICAS _______________________________________
320 322 322 323 324 324 325 325
10.5 - PARAFUSO SEM-FIM/COROA _______________________________________
327
10.5.1 - INTRODUÇÃO _________________________________________________________ 10.5.2 - CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS __________________________________________ 10.5.3 - ALGUNS DADOS EMPÍRICOS ____________________________________________ 10.5.4 - MATERIAIS ____________________________________________________________ 10.5.5 - DIÂMETROS E DISTÂNCIA ENTRE CENTROS _______________________________
327 328 330 331 331
iv
10.6 - TREM DE ENGRENAGENS _________________________________________
333
10.6.1 - TREM DE ENGRENAGENS SIMPLES ______________________________________ 10.6.2 - TREM DE ENGRENAGENS COMPOSTOS __________________________________ 10.6.3 - TREM DE ENGRENAGENS PLANETÁRIAS _________________________________
333 334 335
10.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ________________________________________
337
CAPÍTULO 11 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS ______________
339
11.1 - INTRODUÇÃO ___________________________________________________
339
11.1.1 - MATERIAIS PARA ENGRENAGENS _______________________________________
339
11.2 - DESGASTE SUPERFICIAL DOS DENTES _____________________________ 11.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS ______________________________
341 343
11.3.1 - INTRODUÇÃO ________________________________________________________ 11.3.2 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA _________________________________ 11.3.3 - CASOS ESPECIAIS ____________________________________________________ 11.3.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _____________________________________________ 11.3.5 -VERIFICAÇÃO DO DESGASTE ____________________________________________ 11.3.6 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS _____________________
343 344 347 349 353 358
11.4 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS __________________________
361
11.4.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 11.4.2 - VERIFICAÇÃO DO DESGASTE ____________________________________________ 11.4.3 – EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS _________
361 362 362
11.5 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS ________________________
365
11.5.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 11.5.2 - ROTEIRO DE CÁLCULO (ESQUEMA) ______________________________________ 11.5.3 - EXERCÍCIO RESOLVIDO ________________________________________________
365 366 366
11.6 - PARAFUSO SEM FIM E COROA _____________________________________
369
11.6.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 11.6.2 - DIMENSIONAMENTO PELO DESGASTE ____________________________________ 11.6.3 - VERIFICAÇÃO DISSIPAÇÃO DE CALOR ____________________________________ 11.6.4 - RENDIMENTO DOS PARAFUSOS SEM-FIM _________________________________ 11.6.5 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - SEM FIM E COROA _______________________________
369 370 371 372 374
11.7 - DIMENSIONAMENTO PELA NORMA AGMA ___________________________
377
11.7.1 - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS _________________________________ 11.7.2 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS ________ 11.7.3 - DURABILIDADE SUPERFICIAL ___________________________________________
377 379 384
11.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - DURABILIDADE SUPERFICIAL ____________ 11.9 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________
387 390
CAPÍTULO 12 – PROJETO DE FREIOS E EMBREAGENS ________________ 392 12.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 12.2 - MATERIAIS DE FRICÇÃO __________________________________________ 12.3 - CONCEITOS GERAIS DE ATRITO ____________________________________ 12.4 - CONSIDERAÇÕES SOBRE FREIOS EM VEÍCULOS _____________________ 12.5 - FREIO A TAMBOR ________________________________________________ 12.6 - FREIO A DISCO __________________________________________________ 12.8 - FREIO ABS ______________________________________________________ 12.9 - CONSIDERAÇÕES SOBRE PRESSÃO E DESGASTE ____________________ 12.10 - CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA ________________________________ 12.11 - CONSIDERAÇÕES SOBRE TEMPERATURA NO FREIO _________________ 12.12 - ACIONAMENTO DE FREIOS _______________________________________ 12.13 - OPERAÇÃO A VÁCUO SUSPENSO __________________________________ 12.14 - OPERAÇÃO DE AR SUSPENSO ____________________________________ 12.15 - OPERAÇÃO DA BOMBA HIDRÁULICA _______________________________ 12.16 - OPERAÇÃO ELETRO-HIDRÁULICO _________________________________
392 392 393 395 396 401 406 408 410 412 413 413 414 414 414
CAPÍTULO 13 – PROGRAMAS COMPUTACIONAIS _____________________ 415 13.1 - CIRCULO DE MOHR _______________________________________________ 13.2 - VIGAS __________________________________________________________
415 415
v
13.3 - FADIGA PARA PEÇAS SEÇÕES CIRCULARES OU RETANGULARES _______ 13.4 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS ____________ 13.5 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS ____________ 13.6 – DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS DE UNIÃO ______________________ 13.7 - PARAFUSO DE POTÊNCIA _________________________________________ 13.8 – FLEXÃO E TORÇÃO EM JUNTAS SOLDADAS __________________________ 13.9 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS UTILIZANDO A NORMA AGMA ___ 13.10 - MANCAIS HIDRODINÂMICOS _______________________________________ 13.11 - MANCAIS UTILIZANDO O CATÁLOGO DA SKF ________________________ 13.12 – MANCAIS DE DESLIZAMENTO _____________________________________ 13.13 – ROLAMENTOS COM UMA NOVA TEORIA DE VIDA ____________________ 13.14 – ROLAMENTOS DE ESFERA PARA UMA CARGA DINÂMICA _____________ 13.15 – SELEÇÃO DE ROLAMENTOS DE ESFERA ____________________________ 13.16 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS COM MOMENTO TORSOR E FLETOR ____ 13.17 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________________________________
416 417 418 420 421 421 422 425 425 426 427 428 428 429 430
APÊNDICE _____________________________________________________ 432 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS __________________________________ 445
vi
CAPITULO 01 - INTRODUÇÃO 1.1 - INTRODUÇÃO A essência da engenharia é a utilização dos recursos e leis da natureza para beneficiar a humanidade. Projetar uma residência com todos os detalhes é um exemplo desta utilização. A Engenharia é uma ciência aplicada, no sentido que está relacionada com entendimento de princípios científicos e sua aplicação para obtenção do alvo desejado. O projeto de engenharia mecânica é um segmento maior da engenharia: ele se relaciona com o conceito, projeto, desenvolvimento, refinamento e aplicação de maquinas e elementos de máquinas de todos os tipos. Para muitos estudantes de engenharia a disciplina Elementos de Máquinas é a sua primeira disciplina profissionalizante, distinguindo-se das disciplinas básicas de ciência e matemática. As disciplinas profissionalizantes se relacionam com a obtenção de soluções para problemas práticos. Estas soluções devem refletir um entendimento das ciências mecânicas, mas somente o seu entendimento não é suficiente; conhecimento empírico e bom senso estão também envolvidos. Por exemplo, os cientistas não entendem a eletricidade completamente, mas isto não impedem de desenvolverem equipamentos e sistemas elétricos bastante úteis e práticos. De maneira análoga, os cientistas não entendem completamente os processos de combustão ou fadiga de metal, mas os engenheiros mecânicos e industriais utilizam o conhecimento disponível para desenvolverem máquinas de combustão bastante úteis e necessárias. Quanto maiores conhecimentos científicos estejam disponíveis, os engenheiros são capazes de desenvolver melhores soluções para os problemas práticos. Devido à natureza profissional do assunto, a maioria dos problemas elementos de máquinas não apresentam uma correta e única solução. Existe um número grande de soluções trabalháveis, nenhuma das quais poderiam ser chamadas de incorretas. Mas dentre as soluções corretas, algumas são obviamente melhores do que as outras porque elas refletem, por exemplo, um conhecimento mais sofisticado da tecnologia, a conceito de projeto básico mais engenhoso, uma utilização da tecnologia de produção mais econômica e efetiva, uma aparência mais estética. Este livro se relaciona primariamente com o projeto de componentes específicos de máquinas ou sistemas mecânicos. Competência nesta área é básica para as considerações e sínteses de maquinas completas e sistemas nas disciplinas subseqüentes como Projeto de Máquinas, Máquinas de Elevação e Transportes, Projeto de Fim de Curso, Máquinas Hidráulicas, Sistemas Mecânicos, dentre outras.Todo projeto inicia-se pequeno, com boa uma 1
fundamentação. A primeira parte do livro se relaciona com os fundamentos envolvidos, conceitos de tensão e deformação, propriedades mecânicas dos materiais, análise estática e dinâmica de peças, fadiga, aplicando em parafusos, molas e freios. Estes componentes são largamente utilizados e de certa forma são bastante familiares aos estudantes. No planejamento de uma cidade, além de residências, as praças e locais de acesso como rodoviárias, ferroviárias, aeroportos, são fundamentais. Da mesma forma, a considerar uma máquina completa, o engenheiro invariavelmente descobre que as condições e restrições dos vários componentes estão interrelacionados. O projeto de uma mola de válvula de um motor automotivo, por exemplo, depende do espaço disponível para a mola. Isto representará um compromisso com o espaço para as passagens refrigerantes, folgas para vários componentes, que irá adicionar
uma nova dimensão para a imaginação e criatividade
necessária do engenheiro para obter um projeto ótimo de combinação dos elementos relacionados. Além
das
considerações
fundamentais
tecnológicas
e
econômicas
do
projeto
no
desenvolvimento de componentes mecânicos e sistemas, o moderno engenheiro deve considerar a segurança, ecologia e acima de tudo a qualidade de vida.
1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONO Esta proposta foi desenvolvida entre o autor e um aluno do curso de Mecatrônica da PUC-Minas. Visando o desenvolvimento e construção de uma cadeira de rodas fabricada em fibra de carbono e projetada com tecnologia de ponta em engenharia de desenvolvimento de produto, na PUC Minas, figura 1. A motivação é de podemos fabricar, no Brasil, cadeiras de rodas esportivas mais eficientes para a prática de esportes e cadeiras motorizadas que consumam menos bateria. Cadeiras de rodas brasileiras no mesmo nível tecnológico das desenvolvidas na Europa e Estados Unidos, figuras 2 e 3.Podendo construir cadeiras mais “baratas” e acessíveis para os portadores de deficiência Para mostrar a viabilidade desse projeto é apresentado um exemplo prático de desenvolvimento e construção de uma bicicleta esportiva de fibra de carbono. Foram utilizadas ferramentas digitais da concepção à fabricação final.
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Figura 1 - Cadeira de fibra de carbono conceito idealizada na PUC-Minas.
Figura 2 - Vista explodida da cadeira conceito
Após as pesquisas realizadas, constatou-se que a fabricação de uma cadeira de rodas esportiva, utilizando fibra de carbono na sua estrutura, a torna super leve e resistente. Com o uso dos melhores computadores e programas disponíveis na Engenharia Mecatrônica PUC Minas, foi idealizada uma cadeira escamoteável, High-Tech. Esta cadeira conceito, além de se destacar pelas suas qualidades mecânicas, ela inova com seu estilo moderno e arrojado.Seu design foi concebido para que suas curvas façam a cadeira parecer tão rápida quanto ela é, proporcionando prazer e atisfação às pessoas que a utilizarem, figura 3. Como “cadeira conceito” sua função é mostrar tendências e possibilidades de projeto.Nos esboços 3D, vários detalhes como freios, encaixes e faixas não foram mostrados, para que se pudesse focalizar a atenção apenas na geometria da cadeira, figura 4.
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Figura 3 - Vista lateral da estrutura da cadeira de rodas.
Figura 4 - Vista da cadeira desmontada.
Neste projeto, as três características principais são: leveza,design e resistência. LEVEZA: a cadeira de rodas, para ser mais rápida e ágil precisa ter o mínimo de peso possível a fim de diminuir os atritos e inércias do movimento. DESIGN: sendo uma cadeira esportiva suas curvas devem invocar o sentimento de velocidade, modernidade, agilidade e liberdade de movimento da pessoa que a utiliza. RESISTÊNCIA: usando a fibra de carbono na fabricação da estrutura, a cadeira de rodas será mais forte e mais resistente aos impactos e às condições ambientais adversas.
1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO Da concepção até à fabricação de um produto final é necessária a execução de várias etapas. Esse conjunto de etapas é denominado Ciclo de Desenvolvimento de Produto, figura 5. É adotada toda uma metodologia científica para que o trabalho seja bem sucedido, do início ao fim, com o produto final testado e livre de eventuais falhas de projeto. idealização e esboços
desenhos detalhados
fabricação
do pesquisa
lista de materiais
estudo de viabilidade
cálculos e testes
produto final
Figura 5 - Fases do Ciclo de Desenvolvimento de Produto.
Na Era da Informação,o computador vem sendo usado como uma ferramenta valiosa e indispensável para todas as áreas do conhecimento. Na engenharia, o computador realiza cálculos e simulações impossíveis de serem feitos por um engenheiro com uso de apenas um lápis e papel. Para os desenhistas e projetistas é mostrada na tela do computador, geometrias tridimensionais que podem ser movimentadas e giradas em todas as direções criando a sensação de estarem manipulando um objeto virtual, figura 6. Na fabricação os computadores 4
controlam as máquinas. Essas máquinas automatizadas realizam a fabricação das peças mecânicas com precisão e velocidade sem a intervenção do homem diminuindo assim erros e custos. Com toda essa informatização, o ciclo de desenvolvimento de produto teve uma redução de custo e tempo, e um aumento significativo na qualidade final do produto.
Figura 5 - Computador de ultima geração utilizado do projeto de uma moto de corrida.
1.2.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE UMA CADEIRA DE RODAS DE LAZER LEVEZA & RESISTÊNCIA LEVEZA A cadeira de rodas, para ser mais rápida e ágil precisa ter o mínimo de peso possível a fim de diminuir os atritos e inércias do movimento
Figura 6 - Vista lateral do quadro da cadeira de rodas.
RESISTÊNCIA Após pesquisas realizadas, os autores constataram que a fabricação de uma cadeira de rodas esportiva, utilizando fibra de carbono na sua estrutura, a tornaria super leve e resistente,em comparação ao aço e o alumínio. A fibra de carbono é utilizada na indústria esportiva para fabricação de raquetes de tênis e bicicletas . Na indústria aeroespacial para construção de foguetes e aviões.
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Para a prática de esportes,uma cadeira de rodas precisa ter características especiais sofrendo alguns ajustes em sua configuração .Abaixo são listadas algumas recomendações: •
A ajustagem do assento para baixo a fim de obter maior estabilidade , mais firmeza e um maior raio de roda disponível para impulsão. O encosto das costas precisa estar o mais próximo possível do corpo (aproximadamente perpendicular ao piso) para maior conforto e melhor resistência ao impacto.
•
A posição do centro de gravidade de seu corpo em relação aos eixos das rodas afeta a mobilidade. Os eixos das rodas e a cadeira colocados mais a frente, proporcionará maior mobilidade
e giro mais rápido. Devem ser levadas em conta nestes ajustes as preferências e características pessoais de cada praticante.
FAIXAS Para melhorar o equilíbrio e a mobilidade: •
Faixas de tórax e cintura – dependendo do tipo de lesão estas faixas melhorarão o equilíbrio e aumentarão a confiança. Entretanto, as faixas de tórax interferem com a movimentação da cadeira.
•
Faixas de pernas – uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedirá que as pernas afastem durante o jogo, dará maior estabilidade ao corpo e aumentará a mobilidade.
Figura 7 - Faixas de pernas.
•
Faixas de pernas – uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedirá que as pernas afastem durante o jogo, dará maior estabilidade ao corpo e aumentará a mobilidade
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PNEUS Pneus com câmaras de alta pressão dão melhor desempenho: •
Pneus pretos devem ser evitados para não marcar a quadra.
•
A cadeira será tão mais manobrável quanto maior for a cambagem das rodas (de 3 a 10 graus, aproximadamente).
RODAS DIANTEIRAS De 4 a 5 polegadas (10 a 12.5 cm) aproximadamente de diâmetro •
Se maiores, reduzem a habilidade de giro.
•
Se menores não rodam com suavidade e qualquer irregularidade no piso fará a cadeira trepidar.
•
Não muito finas para evitar danos na superfície da quadra.
Figura 8 - Esboços do quadro de uma cadeira de rodas fabricada em fibra de carbono.
Atualmente, o trabalho proposto se encontra no primeiro estágio do Ciclo de Desenvolvimento de Produto, na etapa de design e idealização, figura 10. Os esboços de uma Cadeira Conceito de fibra de carbono mostram a possibilidade de se desenvolver e construir uma cadeira de rodas: leve, escamoteável, resistente e moderna, utilizando tecnologias digitais CAD/CAE/CAM.
Tecnologias
de
Ponta
empregadas
pelas
indústrias
automotivas
e
aeroespaciais no desenvolvimentos de seus produtos. Os autores esperam que, por meio desta apresentação, parcerias e recursos financeiros sejam conseguidos para que se possa dar continuidade no projeto proposto.
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Figura 9 - Design e idealização
1.3 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A SEGURANÇA A qualidade de um projeto pode ser medida por muitos critérios. É sempre necessário calcular um ou mais fatores de segurança para estimar a possibilidade de falha. No passado, os engenheiros deram muito valor aos aspectos funcionais e econômicos dos novos produtos. Segurança pessoal é uma consideração que os engenheiros tem sempre em mente, mas agora demanda um aumento na ênfase. Em comparação com aspectos computacionais precisos como tensão e deformação, a determinação de segurança é como um assunto indefinido, complicado por fatores psicológicos e sociológicos.
Isto tem desafiado os
engenheiros para levar em conta todos os fatos pertinentes e então tomar boas decisões que venham a refletir o entendimento, imaginação, engenhosidade e julgamento. O primeiro passo mais importante no desenvolvimento da competência em engenharia na área de segurança é cultivar um entendimento de sua importância. A segurança de um produto é de grande valor para os legisladores, juizes, promotores bem como para os profissionais de seguradoras. No entanto, estes indivíduos não podem contribuir diretamente para a segurança de um produto; eles somente podem concordar com a urgência de se considerar uma ênfase adequada na segurança para o desenvolvimento de engenharia de produtos. É na realidade o engenheiro que deverá processar o desenvolvimento de produtos e projetos com alto grau de segurança. Deverá ter engenhosidade, capacidade imaginativa o suficiente para antecipar situações potenciais de alto risco para o produto.
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1.4 - FATOR DE SEGURANÇA Um fator de segurança pode ser expresso de várias maneiras. Ele é tipicamente uma relação entre duas quantidades que tenham as mesmas unidades; tais como resistência/tensão, carga crítica/carga aplicada, máximo ciclo/ ciclos aplicados ou máxima velocidade de segurança/velocidade de operação. O fator de segurança será sempre adimensional. A forma de expressão para um fator de segurança pode ser escolhida baseado no tipo de carga atuante. Se o elemento de máquina é sujeito a uma carga que varia ciclicamente com o tempo, ele poderá sofrer uma falha por fadiga. A resistência do material para alguns tipos de carga de fadiga pode ser expressa como um número máximo de ciclos de tensão reversa a um dado nível de tensão. Em tais casos, pode ser adequado expressar o fator de segurança como a relação do máximo número de ciclos esperados em uma possível falha do material para o número de ciclos aplicados ao elemento em serviço considerando sua vida esperada. Uma vez que haverá mais de um modo potencial de falha para qualquer elemento de falha, poderá haver mais de um valor para o fator de segurança. O menor valor do fator de segurança para qualquer peça é de grande valia uma vez que ele irá predizer o modo como se imagina que a peça irá falhar. Quando ele se torna unitário, a tensão na peça será igual à resistência do material (ou a carga aplicada será igual à carga que irá falhar, etc.) e a falha irá ocorrer. Portanto o fator de segurança será sempre maior que 1.
1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANÇA Escolhendo um fator de segurança é freqüentemente uma proposição confusa para o projetista principiante. São tantas as variáveis envolvidas, a possibilidade de fracasso se apresenta com tanta intensidade, que o projetista novato, em geral, superestima, adotando fatores de segurança grandes demais. O FS deve ser fixado com base em projetos existentes, em indicações tabeladas, gerais ou particulares, com o discernimento que o conhecimento teórico propicia ao projetista. Influenciam fortemente o valor do FS os seguintes elementos: a) material da peça (dúctil, quebradiço, homogêneo, especificações bem conhecidas, etc.); b) carga que atua na peça (constante, variável, modo de aplicação, bem conhecida, sobrecargas possíveis, etc.); c) perigo de vida (do operador da máquina, de elementos vizinhos, etc.); d) perigo da propriedade; e) classe da máquina.
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Os dois primeiros itens, a) e b), servem de ponto de partida para a escolha inicial, ordem de grandeza do fator de segurança, FS. Os três outros obrigarão a aumentar o valor fixado. O fator de segurança pode ser traduzido como uma medida de incerteza do projetista nos modelos analíticos, nas teorias de falhas, nas propriedades do material a ser utilizado. Quanto que o fator de segurança deverá ser maior que 1 (um), dependerá de muitos fatores incluindo o nível de confiança no modelo em que os cálculos serão baseados, no conhecimento da faixa das possíveis condições de carga atuantes e na confiança sobre as informações disponíveis sobre a resistência do material. Um fator de segurança menor poderá ser adotado quando testes extensos foram realizados em protótipos físicos do projeto para provar a validade do modelo de engenharia e do projeto e já se tenha dados dos testes sobre as resistências do material em particular. Não se conhecendo as características mecânicas testadas do material, um fator de segurança maior deverá ser adotado. Na ausência de qualquer norma de projeto que possa especificar um fator de segurança para casos particulares, a escolha do fator de segurança envolve uma decisão de engenharia a ser tomada.
Um método razoável é
determinar as maiores cargas esperadas em serviço (incluindo possíveis sobrecargas) e resistências mínimas esperadas para o material, baseando, portanto o fator de segurança nestes dados. Então o fator de segurança torna-se uma razoável medida de incerteza. Na industria aeronáutica, fatores de segurança para aeronaves comerciais estão na faixa de 1,2 a 1,5. Aeronaves militares podem Ter o fator de segurança menor do que 1,1 , só que a tripulação toda possui pára-quedas, além do que os pilotos de teste possuem altíssimos salários. Os mísseis possuem fator de segurança igual a 1, mas não tem tripulação e não se espera que precisem retornar a origem. Estes pequenos fatores de segurança em aeronaves são necessários para manter os pesos baixos e são justificados pela análise analítica sofisticada, com testes dos materiais usados, extenso testes de protótipos dos projetos geralmente em escala real com aplicação de cargas dinâmicas e medição de seus efeitos, e rigoroso serviço de inspeção para pequenas falhas de equipamentos. Vários autores apresentam em seus comentários, o fator de segurança como um produto de subfatores. Assim por exemplo, se a tensão perigosa é o limite de resistência à tração (limite de ruptura), pode-se fazer: FS= a x b x c x d Onde a= relação de elasticidade (limite de resistência a tração/limite de resistência ao escoamento); b= fator que leva em conta o tipo de carga. Pode-se tomar: cargas constantes: b=1;
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Carga variável sem reversão:
b=1,5 a 2,0;
Carga variável com reversão: b=2,0 a 3,0. c= fator que leva em conta o modo de aplicação da caga. Para este fator podem-se seguir seguintes indicações: Carga constante, gradualmente aplicada: c=1; Carga constante, subitamente aplicada: c=2; Choque: c>2. d= margem ou fator real de segurança.Este fator varia, em geral, entre 1,5 a 3. Para materiais dúcteis, pode-se adotar a faixa de 1,5 a 2. Para materiais quebradiços, tem-se 2,0 a 3,0. Informação
Materiais dúcteis
FS
Material
Qualidade da informação
F1
Dados
sobre
propriedades material
as O material real foi usado para ser testado
1,3
do Resultados de teste de Material bem representativo
2
disponíveis Resultados
no teste
de
testes
de
material
relativ. 3
representativo Resultados
5 de
testes
de
material
pouco
representativo Ambiente Qualidade de informações Condições ambientais Idênticas ao teste do material
F2 1,3
de trabalho
Ambiente de laboratório estável
2
Ambiente moderadamente variável
3
Ambiente extremamente variável
5
Qualidade de informações
F3
Cargas Modelos
analíticos Modelos foram testados e comparados com o 1,3
para carga e tensão
experimento
2
Modelos representam o sistema com precisão
3
Modelos representam o sistema com aproximações
5
Modelos são aproximações rudimentares Tabela 1 – Materiais dúcteis.
Tal como foi apresentado acima, o FS permite uma determinação em que a dificuldade foi dividida, tendo o projetista pontos de apoio para tomar sua decisão. Alguns cuidados devem ser levados em conta. O maior ou menor conhecimento do material e da carga aproximam ou afastam o FS dos valores mínimos dados. A presença de choque normalmente leva o FS para
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os valores mais altos, em geral de 5 a 8, para os materiais dúcteis e aproximadamente o triplo para os materiais quebradiços. Ao escolher um FS, o projetista deve verificar se não existe algum valor imposto por lei ou mandado adotar por normas técnicas. É o caso, por exemplo, de cabos para elevadores, caldeiras, pontes rolantes, etc. Quando a peça apresenta descontinuidades ou qualquer fator que mude a distribuição uniforme do esforço, acarretando concentração de tensões, os valores de FS não devem ser aplicados sem um estudo mais minucioso. O FS sobre o limite de resistência à fadiga, não pode ser determinado pela aplicação da expressão acima, sem um análise mais profunda. Algumas diretrizes para a escolha do fator de segurança em um elemento de máquina podem ser definidas, baseadas na qualidade e adequação da propriedade do material disponível, das condições ambientais esperadas comparadas com aquelas nas quais o teste do material foi realizado e a precisão da carga e análise de tensão dos modelos que foram desenvolvidos para esta análise. A tabela 1 mostra um conjunto de fatores para materiais dúcteis que podem ser escolhidos em cada uma das três categorias listadas.
O fator de
segurança resultante é tomado como o maior dos três fatores escolhidos. A ductilidade ou fragilidade do material deve ser considerada. Materiais frágeis são projetados em relação à resistência à tração ou última, então a falha significa fratura. Materiais dúcteis sob carga estática são projetados em relação ao limite de resistência ao escoamento e se espera que mostrem algum sinal de alerta da falha antes que a fratura aconteça a menos que as fissuras indiquem a possibilidade de falha de fratura mecânica. Por estas razões, o fator de segurança para materiais frágeis é freqüentemente o dobro do usado para materiais dúcteis na mesma situação. Estes métodos de determinação do fator de segurança são apenas diretrizes para um ponto de partida. Obviamente são sujeitos a julgamento do projetista na seleção dos fatores em cada categoria. O projetista é o responsável último para obtenção da segurança do projeto. Fatores de segurança maiores que os tabelados podem ser adequados em algumas circunstâncias.
1.6 - CONSIDERAÇÕES ECOLÓGICAS As pessoas dependem no seu ambiente de ar, água, alimentação e materiais para vestimenta e agasalho. Na sociedade primitiva, os utensílios eram naturalmente recicláveis pelo uso repetido. Quando foram introduzidas, a natureza tornou-se incapaz de e reciclar estas periodicamente, interrompendo os ciclos naturais ecológicos.
Os sistemas econômicos
permitem os produtos serem fabricados em massa e vendidos a preços que freqüentemente 12
não refletem o custo verdadeiro para a sociedade em termos do consumo de fontes naturais e perdas ecológicas. Agora que a sociedade está tornando-se mais consciente destes problemas, exigências na legislação e uma previsão de custos totais mais realística estão tendo um impacto crescente nos projetos de engenharia. Podem-se colocar como objetivos ecológicos básicos de um projeto de engenharia mecânica de uma maneira simples: (1) a utilizar materiais que sejam reciclados economicamente dentro de períodos razoáveis de tempo sem danos ao ar e poluição à água. (2) minimizar a taxa de consumo de fontes de energia não recicláveis (tais como fluidos fósseis) para efeito de conservação destes recursos e minimizar a poluição térmica. Segue uma lista de pontos para serem considerados: 1. Considere todos os aspectos dos objetivos básicos do projeto envolvido, para verificar se todos têm sentido. Existem métodos alternativos quando se consideram efeitos ecológicos? Eles representam a melhor alternativa? 2. Após aceitar os objetivos básicos do projeto, o próximo passo é uma revisão dos conceitos gerais que envolveram o projeto proposto. 3. Uma consideração importante é o projeto para reciclagem.
O ciclo ecológico
completo incluindo a reutilização de dispositivos e conjuntos tornam-se a cada dia que passa de uma grande importância. A industria automobilística já utiliza estes conceitos. 4. Seleção de materiais com fatores ecológicos em mente. 5. Ao especificar o processamento, fatores como a poluição de todos os tipos, o consumo de energia, a eficiência do material utilizado são considerações bastante importantes. 6. Empacotamento é outra importante área para conservação de recursos e redução da poluição. Uso de materiais reciclados e reutilizáveis para empacotamento são áreas que devem receber especial atenção.
1.7 - CONSIDERAÇÕES SOCIAIS As soluções para os problemas em qualquer área da engenharia começam com sua definição bem clara.
O objetivo básico de qualquer projeto de engenharia é melhorar a
qualidade de vida de nossa sociedade. Poderíamos citar vários fatores como saúde física, materiais bem acabados, segurança ambiental, igualdade de oportunidades; liberdade pessoal e pacientes especiais. Várias considerações de projeto podem ser incompatíveis até que o engenheiro consiga uma solução imaginativa e genial.
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Todos os produtos de engenharia estão intimamente ligados a relações sociais. Grande parte da população trabalha com organizações cuja função seja a de pesquisa, projeto, desenvolvimento, fabricação, mercado, e serviço de produtos de engenharia. O esforço pessoal aliado a fontes naturais entram no sistema de produção gerando produtos e materiais que serão úteis e adequados. As experiências são de dois tipos: (1) experiência devido a trabalho direto dos indivíduos, que é construtivo e satisfatório, e (2) conhecimento empírico obtido sobre a efetiva idade do sistema total, com implicações para a melhoria do seu futuro. Os produtos acabados servem a todas as pessoas até serem descartados, quando então eles serão fontes de materiais reciclados de longo ou curto termo e possivelmente poluição. Uma lista de fatores que constituem um índice de qualidade de vida deve levar em conta fatores psicológicos. As pessoas exibem um conjunto infinito de variáveis e características. Sabe-se também que, no entanto existem certas características inerentes e necessidades que permanecem constantes para todos os indivíduos e presumivelmente em todos os tempos. Seriam assim definidas como: 1. Sobrevivência 2. Segurança 3. Aceitação Social 4. Status 5. Auto-satisfação O primeiro nível é á necessidade de imediata sobrevivência-alimentação, roupa, vestimenta-aqui e agora. O segundo nível envolve segurança, para a própria sobrevivência e no futuro. O terceiro nível tem a ver com a aceitação social. As pessoas precisam se interagir com a família, com o grupos sociais, necessitando de amor e aceitação. O quarto nível é o de status, reconhecimento, onde se deseja Ter o respeito e admiração pelo que se é no seu ambiente de relacionamentos. O mais alto nível é o de auto satisfação, quando se cresce na direção de alcançar um potencial completo, e obter como resultado satisfação pena. Em qualquer lugar e tempo, as pessoas em cidades, estados e nações operam em um ou mais destes níveis, podendo se pensar em uma escada com estes degraus de uma existência primitiva até alcançar uma rica qualidade de vida. Vimos nas fotos o planejamento da cidade de Belo Horizonte, local aprazível, serra do curral, bem planejada, com lindos prédios, arborização, e, no entanto atualmente com inúmeros problemas e dificuldades de seus habitantes possuírem esta rica qualidade de vida almejada.
Historicamente, a engenharia tem feito esforços dirigidos
primariamente para os níveis 1 e 2. Mais recentemente, uma porcentagem maior de sistemas de produção tem sido projetados para prover a sociedade com produtos que estejam acima
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das necessidades básicas de sobrevivência e segurança, pensando na contribuição de satisfazer as legítimas e maiores necessidades do consumidor.
1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE COMPONENTES MECÂNICOS Um método essencial para atacar os problemas de componentes de máquinas é formular adequadamente e apresentar suas soluções com precisão. A formulação do problema requer consideração da situação física acoplada a situação matemática. A representação matemática da situação física é uma descrição ideal ou modelo que se aproxima do problema físico. O primeiro passo na resolução dos problemas de componentes mecânicos é definir (ou compreender) o problema. Os próximos passos são para definir ou sintetizar a estrutura, identificar as interações com o ambiente, realizar hipóteses adequadas pelo uso de lies físicas pertinentes, relações e regras que parametricamente relacionam a geometria e o comportamento do componente ou sistema. O último passo é checar os resultados e apresentar comentários. A maioria das análises utiliza, direta e indiretamente, •
Estática e dinâmica
•
Mecânica dos materiais
•
Fórmulas (tabelas, diagramas, gráficos)
•
Princípio de conservação de massa e energia
O maior objetivo destes livros é auxiliar os estudantes a aprenderem como resolver os problemas de engenharia que envolva componentes mecânicos. Um ingrediente básico da sociedade humana é a mudança. Os engenheiros deveriam procurar entender não somente as necessidades da sociedade de hoje, mas também a direção e rapidez das mudanças da sociedade que estão acontecendo. Mais ainda, precisamos entender a influência da tecnologia - e dos elementos de máquinas mecânicos e sistemas de produção associados em particular-nestas mudanças. Talvez o mais importante objetivo do futuro engenheiro será o de dar a sociedade sua contribuição que irá promover esta mudança na direção de uma melhoria no índice de qualidade de vida.
1.9 - UNIDADES Diversos sistemas de unidades são usados na engenharia. O Sistema Internacional (SI), o sistema inglês pés-libras-segundo (fps), o sistema americano, polegadas, libras, segundo(ips) e o sistema métrico pouco usado, centímetro, grama e segundo(cgs).
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Todos os sistemas foram criados da escolha de três das quantidades da expressão geral da Segunda lei de Newton :
F=
m.L t2
onde F é a força, m é a massa, L é o comprimento e t é o tempo. As unidades para estas três variáveis podem ser escolhidas e a outra é então derivada em termos das unidades escolhidas. As três unidades escolhidas são chamadas de unidades básicas, e as restantes são chamadas de unidades derivadas. A maioria da confusão que aparece quando da conversão entre as unidades do sistema inglês e internacional é devida ao fato de que o sistema internacional utiliza diferente conjunto de base unitária do sistema inglês. O erro maior é na conversão de unidades de peso (que são as força libra) para unidade de massa. A relação entre massa e peso é
M =
P gc
onde gc que é a aceleração gravitacional é igual a 32,17 pés/segundo ao quadrado o que equivale a 386 polegadas/segundo ao quadrado. Quando se utiliza todos os comprimentos em polegadas e utiliza gc=32,17 pés/Seg2 para computar massa, incorre-se em um erro de um fator 12 nos resultados. Pior ainda é quando o estudante esquece de converter o peso para massa. Os resultados deste cálculo terão um erro de 32 ou 386, suficiente para afundar um navio ou levar um avião a espatifar-se. O valor da massa é necessário na Segunda lei de Newton para determinar forças devido a acelerações. As unidades de massa na equação F=m.a podem ser g, kg dependendo do sistema a ser utilizado. Então no sistema inglês, o peso W em lbf deve ser dividido pela aceleração devido a gravidade gc como indicado para obtenção da quantidade de massa pela equação F= ma. Ainda maior confusão é feita usando a unidade de libra-massa. Esta unidade é freqüentemente usada em fluido dinâmico e termodinâmico, e aparece devido ao uso da forma diferente da equação de Newton:
F=
m.a gc
onde m=massa em libramassa; a =aceleração e gc =constante gravitacional. Na terra, o valor de massa de um objeto medido em libra-massa é numericamente igual ao seu peso em libraforça. Contudo, o estudante deve se lembrar de dividir o valor de m em libra-massa por gc
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quando usar a esta forma da equação de Newton. Então libra-massa irá ser dividida ou por 32,17 ou 386 quando se calcula a força dinâmica. O sistema internacional (SI) requer que os comprimentos sejam medidos em metros, massa em kilogramas (kg), e o tempo em segundos (sec). A força é derivada da lei de Newton e a unidade é: kg m/sec2 = newtons(N) No sistema SI, há distintos nomes para massa e força que ajudam a aliviar a confusão. Quando se utiliza a conversão do SI para o sistema inglês, deve-se estar alerta para o fato de que a força se converte de Newtons (N) para libras (lb). A constante gravitacional no sistema SI é aproximadamente de 9,81 m/sec2. Neste livro pretende-se usar preferencialmente o sistema internacional (SI), porém considerando que vários elementos de máquinas usados no Brasil são fabricados no exterior, principalmente nos Estados Unidos da América do Norte, o sistema inglês também será usado uma vez que os alunos precisam se familiarizar com os dois sistemas. Assim por exemplo, parafusos de 1/2 polegada de diâmetro, cordão de solda de 1/4 de polegada de espessura, correias de 60 polegadas de comprimento, cabos de aço de 1 polegada de diâmetro são bastante usados no meio comercial e de engenharia. Da mesma forma elementos como engrenagens cilíndricas também usam o sistema inglês e internacional. Já os equipamentos adquiridos na Alemanha, usam a norma DIN, em que o sistema é o internacional. O estudante de engenharia deverá tomar precaução e sempre checar as unidades em qualquer equação escrita para a solução de um problema técnico, seja na universidade seja na prática profissional. Você poderá estar salvando uma vida ao fazer isto.
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1.10 - COMENTÁRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS Este trabalho ora apresentado, fruto de estudos e prática profissional ao longo de 30 anos de atividades na área de engenharia, contempla aos leitores com vários programas computacionais que foram desenvolvidos e orientados para os alunos dos cursos de elementos de máquinas e projeto de máquinas. Alguns destes programas estão citados os nomes dos alunos que trabalharam sobre nossa orientação. São programas que complementam a parte teórica conceitual e, portanto permitem uma análise de exercícios com rapidez e facilidade. É claro que algum pequeno erro possa existir nestes programas, porém todos checados e funcionam perfeitamente dentro da moderna engenharia mecânica. Sugestões e comentários serão bem vindos para que em outra edição possamos ainda mais melhorar e aperfeiçoar o trabalho original.
1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECÂNICO Os projetistas de componentes mecânicos ou estruturais necessitam de métodos de cálculo que permitam avaliar, de uma forma mais racional, a probabilidade de falha de um componente ao longo da vida operacional prevista para o mesmo. Os métodos probabilísticos, baseados em conceitos de confiabilidade, tem sido empregado para este fim, sendo estes centrados na formulação de funções de desempenho, as quais expressam um modo de falha específico do componente, sendo as variáveis desta consideradas de natureza aleatória. Estes métodos permitem calcular a probabilidade desta função assumir valores inferiores a zero, representando a falha do componente. Neste trabalho apresentam-se os fundamentos destes métodos probabilísticos, bem como se aplica os mesmos para definir a probabilidade de falha de componentes mecânicos e estruturais, considerando como modos de falha o escoamento e a fadiga. Adicionalmente avalia-se a relação entre a probabilidade de falha e o coeficiente de segurança usualmente empregado nos tradicionais Critérios de Projeto de componentes mecânicos e estruturais. O emprego de métodos probabilísticos no dimensionamento de elementos estruturais ou componentes mecânicos tem como objetivo projetar um componente cuja probabilidade de falha, ao longo da vida operacional, tenha uma magnitude conhecida, podendo esta ser controlada ao longo do processo de síntese estrutural. Estes métodos probabilísticos diferem dos tradicionais Critérios de Projeto de componentes mecânicos ou estruturais, os quais são
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baseados no emprego de coeficientes de segurança, que não informam, de forma explícita a probabilidade de falha que está sendo considerada no dimensionamento do componente. Há portanto uma crescente importância que os projetistas estruturais tem dado ao uso de métodos probabilísticos no projeto de estruturas de grande responsabilidade, em função da perda de vidas humanas, prejuízos econômicos ou mesmo danos ambientais de grande monta associadas à falha destas estruturas. Muitos fenômenos observados na natureza apresentam um certo grau de incerteza, ou seja, os resultados da ocorrência dos mesmos não podem ser previstos com exatidão. Para estes fenômenos físicos, caso sejam executadas avaliações dos resultados obtidos com a realização de uma seqüência de ensaios que simulem a ocorrência de um fenômeno específico, verifica-se a variabilidade dos mesmos. Dentre estes resultados, observa-se que alguns apresentam uma maior freqüência de ocorrência que outros. Esta variabilidade nos resultados obtidos, quando da execução de experimentos que representam um fenômeno físico, é denominada de incerteza. O projeto de muitos sistemas de engenharia utiliza como conceito básico para a operação segura do mesmo a garantia de que a sua capacidade ou resistência seja superior à demanda dele exigida. No campo da engenharia de estruturas ou da engenharia mecânica, a capacidade é representada pela resistência mecânica de um componente ou conjunto de componentes, enquanto que a demanda está relacionada com a ação de uma combinação de cargas atuantes sobre os membros estruturais que compõem o conjunto em estudo. Um projeto estrutural ou mecânico é considerado apto para operação quando a sua resistência excede a demanda representada pela ação do carregamento externo. No entanto, a resistência mecânica e a ação do carregamento externo são consideradas variáveis aleatórias, ou seja, apresentam uma variabilidade na sua magnitude, caracterizando a existência de incertezas associadas com os valores da resistência mecânica e/ou com a ação do carregamento externo, que afetam a possibilidade do sistema estrutural ou mecânico manter a sua capacidade operacional ao longo da vida útil definida para o mesmo. Considerando as incertezas associadas com as variáveis acima citadas, o desempenho de uma estrutura ou componente mecânico, ao longo da sua vida operacional, não pode ser garantido pelos projetistas estruturais, havendo uma probabilidade não nula da ocorrência de falha ao longo desta vida, em conformidade com um critério de desempenho específico. A possibilidade da estrutura operar satisfatoriamente, em conformidade com as condições de projeto, ao longo de sua vida útil, calculada como complemento da probabilidade de falha, é definida como Confiabilidade. O uso dos conceitos de confiabilidade na análise e síntese de
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componentes ou sistemas mecânicos e estruturais tem como objetivo maximizar os níveis de segurança estrutural e minimizar os custos de projeto e fabricação, buscando-se uma avaliação probabilística da possibilidade de ocorrência de falha estrutural, ao invés da utilização dos tradicionais coeficientes de segurança empregados nos Critérios de Projeto. Estes coeficientes, definidos em função da experiência adquirida no passado, tanto no projeto como na operação de alguns tipos de estruturas ou componentes mecânicos, embora facilitem a tarefa do projetista quando da execução da síntese estrutural, não permitem uma avaliação da probabilidade de falha que está sendo admitida pelo Critério de Projeto. O uso de Critérios de Projeto baseados em análises probabilísticas permite a clara definição da probabilidade de falha de um sistema estrutural, bem como propicia a possibilidade de estudo da influência de cada variável aleatória sobre a segurança do sistema. Mesmo com a introdução de considerações probabilísticas, os Critérios de Projeto devem considerar a opinião de especialistas, com grande experiência na execução de projetos estruturais ou mecânicos, principalmente quando da definição das dispersões associadas às variáveis aleatórias e para seleção das formulações matemáticas utilizadas para modelar um mecanismo específico de falha. De uma forma simplificada, o problema da definição da possibilidade de falha de um componente estrutural pode ser analisado com o emprego de um modelo de comparação entre uma oferta e uma demanda. A oferta é a resistência mecânica do componente, com respeito a um modo de falha específico, e a demanda é a combinação de efeitos associados aos carregamentos externos que agem sobre o mesmo ao longo de sua vida operacional. A falha do componente estrutural ocorre quando a resistência mecânica tem magnitude inferior à magnitude dos efeitos gerados pela ação do carregamento externo. O problema básico do projetista estrutural é posicionar as funções densidade de probabilidade associadas com a resistência mecânica e com a solicitação externa de forma a minimizar a probabilidade de falha, controlando as dimensões e o material do componente estrutural. Os tradicionais Critérios de Projeto empregados no dimensionamento de componentes mecânicos ou estruturais consideram que tanto a resistência mecânica como a solicitação externa são representadas por valores determinísticos, denominados de valores nominais. A resistência mecânica nominal é um valor conservador, afastado do valor médio por um número inteiro de desvios padrões, usualmente dois ou três, de forma a obter-se um valor inferior ao valor médio, minimizando a resistência mecânica para as condições de projeto. A solicitação externa nominal tem magnitude superior ao valor médio, sendo este afastado do mesmo por um número inteiro de desvios padrões, maximizando a solicitação externa. O projeto estrutural é executado de forma
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a afastar a resistência nominal da solicitação nominal, limitando esta última a uma fração da resistência mecânica nominal, com o emprego do denominado fator de segurança, ou seja, minimiza a possibilidade da solicitação externa superar a resistência mecânica. Este método, tradicionalmente conhecido como “Método das Tensões Admissíveis”, limita a solicitação máxima atuante no componente estrutural, expressa em termos de uma tensão admissível, como uma porcentagem da resistência mecânica do material empregado na sua fabricação, devendo o arranjo estrutural e as dimensões dos elementos de máquinas, garantir que, sob a ação do carregamento externo considerado no projeto, as tensões atuantes nestes elementos tenham, no máximo, a mesma magnitude da tensão admissível. Dessa forma, o conservadorismo e a segurança introduzidos no projeto estrutural, com o emprego dos coeficientes de segurança, são dependentes das incertezas associadas com a resistência mecânica e com a solicitação externa, bem como da forma com que são definidos os valores nominais das mesmas. Usualmente, estes valores nominais são selecionados a partir da análise da dispersão associada com a resistência mecânica e com a solicitação externa, para uma família de estruturas, tais como estruturas navais, aeronáuticas e mecânicas, utilizando a experiência na construção e operação destas estruturas, e a opinião de consultores especialistas. A seleção do fator de segurança segue procedimentos similares aos acima descritos, empregados para definição dos valores nominais. O mesmo objetivo dos tradicionais Critérios de Projeto, baseados no uso do fator ou coeficiente de segurança, o qual é minimizar a sobreposição entre as funções densidade de probabilidade da resistência mecânica e da solicitação externa, pode ser obtido de uma forma que se baseia no cálculo da probabilidade da resistência mecânica ser superada pela solicitação externa, denominada neste texto de probabilidade de falha, sendo esta dependente das incertezas associadas com as variáveis acima citadas. Os Critérios de Projeto baseados nos conceitos de confiabilidade tem por objetivo minimizar a probabilidade de falha, considerando como variáveis aleatórias à resistência mecânica e a solicitação externa, utilizando as dimensões do componente estrutural e o material do mesmo como elementos que influenciam a magnitude e a variabilidade das variáveis aleatórias. A utilização dos conceitos de confiabilidade na análise e/ou síntese de componentes mecânicos ou estruturais apresenta algumas peculiaridades.
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1.12 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL O cálculo da confiabilidade de um componente mecânico ou estrutural está associado com o desenvolvimento de uma função de desempenho que representa a formulação matemática empregada para modelar um dado mecanismo de falha que o componente em estudo está sujeito a apresentar. De uma forma genérica, a função de desempenho para um componente mecânico ou estrutural pode ser definida pela relação entre a resistência mecânica e a solicitação externa, usualmente expressa em termos de tensões induzidas no componente pela ação do carregamento externo. A função de desempenho (Z) é usualmente expressa pela relação:
Z = R−S onde R representa a resistência mecânica do material do componente e S representa as tensões induzidas pela ação do carregamento externo, ou simplesmente solicitação. A falha do componente ocorre quando a solicitação ultrapassa a capacidade de resistência do componente, ou seja, quando a função de desempenho tem magnitude inferior a zero. Para definição da confiabilidade do componente mecânico ou estrutural, considera-se que tanto a resistência mecânica como a solicitação são variáveis aleatórias, e a confiabilidade é
Rc = P(Z ≥ 0 ) = P(R ≥ S ) representada pela probabilidade da resistência mecânica ser superior à solicitação, ou seja onde RC probabilidade de sobrevivência do componente, ou a sua confiabilidade. Como complemento da probabilidade de sobrevivência tem-se a probabilidade de falha, a qual é definida pela seguinte relação:
R f = P (Z ≤ 0 ) = P ( R ≤ S )
onde pf é a probabilidade de falha. Baseando-se nas formulações apresentadas nas equações acima, verifica-se que, para o cálculo da probabilidade de falha e da confiabilidade, necessita-se do conhecimento das funções densidade de probabilidade da resistência mecânica e da solicitação, podendo ser executado o cálculo analítico da probabilidade de falha através da relação: ∞
Pf = ∫ Fr ( s ) f s ( s )ds 0
sendo FR(.) a função distribuição acumulada da resistência mecânica.
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A confiabilidade é definida como o complemento da probabilidade de falha, ou seja:
Rc = 1 − p f A execução da integral constante da equação pode ser complexa, dependendo dos tipos de funções densidade de probabilidade empregados na representação da resistência mecânica e da solicitação externa. Entretanto, este não é o maior empecilho para a aplicação das equações em referência. Na maioria dos problemas mecânicos ou estruturais, a solicitação, expressa como as tensões atuantes na estrutura devido à ação do carregamento externo, é calculada como a relação entre propriedades geométricas do componente e o carregamento externo, sendo que as primeiras também tem natureza probabilística, fato que dificulta a avaliação da função densidade de probabilidade da solicitação. A probabilidade de falha calculada em conformidade coma formulação apresentada, para uma família de estruturas projetadas conforme um Critério de Projeto específico, o qual emprega um coeficiente de segurança pré-definido, permite a verificação de qual é a probabilidade de falha admissível neste Critério de Projeto, expressa em termos do uso do coeficiente de segurança e dos valores nominais da resistência mecânica e da solicitação. A obtenção desta correlação torna-se mais complexa quanto maior for o número de variáveis necessárias para o cálculo da função densidade de probabilidade da solicitação. Para funções de desempenho de formulações lineares, a determinação da probabilidade de falha pode ser simplificada, caso as funções densidade de probabilidade da resistência mecânica e da solicitação sejam do tipo normal e as variáveis sejam consideradas independentes. Outras formulações, para outras combinações de funções densidade de probabilidade, podem ser obtidas em literatura especializada na área de confiabilidade estrutural.
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CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 2.1 - INTRODUÇÃO Os conceitos mais fundamentais no dimensionamento de elementos de máquinas são a tensão e a deformação. Conhecidas as cargas atuantes nos elementos de máquinas, pode-se determinar as tensões resultantes. Neste capítulo relacionamos as tensões atuantes no corpo como um todo, sendo distintas das tensões superficiais ou tensões de contato. As tensões resultantes de carregamento estático serão analisadas neste capítulo.
2.2 - TENSÃO A tensão representa a intensidade da força de reação em um ponto do corpo submetido a cargas de serviço, condições de fabricação e variações de temperatura. A tensão é medida como a força atuante por unidade de área de um plano.
∆P – Vetor força que atua sobre o elemento de área ∆A Figura 1 – Cargas atuantes em elemento infinitesimal
Tensão = força / área ∆Px ∆A→0 ∆A
σ xx = lim
τ xy = lim
∆A→ 0
∆Py ∆A
∆Pz ∆A→0 ∆A
τ xz = lim
σxx, τxy, τxz são as componentes de tensão associadas ao plano x do ponto O σ - tensão normal: tensão perpendicular ao plano de análise τ - tensão de cisalhamento: tensão que atua paralelamente ao plano. Em uma peça submetida a algumas forças, a tensão é geralmente distribuída como uma função continuamente variável dentro do contínuo do material. Cada elemento infinitesimal do material pode experimentar diferentes tensões ao mesmo tempo. Deve-se olhar as tensões como atuando em pequenos elementos dentro da peça. 24
A figura abaixo mostra um cubo infinitesimal do material da peça que é submetida a algumas tensões tridimensionais. As faces deste cubo infinitesimal são paralelas a um conjunto de eixos xyz tomados em uma orientação conveniente. A orientação de cada face é definida pelo vetor superficial normal como mostra a figura. A face x tem sua superfície normal paralela aos eixos x, etc. Note que há duas faces x, duas faces y e duas faces z, uma de cada sendo positiva e uma negativa como definida pelo sentido de seu vetor normal à superfície. Os nove componentes de tensão atuando nas superfícies deste elemento infinitesimal estão mostrados nas figuras 3 e 4. Os componentes σxx , σyy , σzz são as tensões normais, assim chamadas porque atuam respectivamente nas direções normais às superfícies x, y e z do cubo. As componentes τxy , τxz , por exemplo são as tensões cisalhantes que atuam na face x e cujas direções de atuação são paralelas aos eixos y e z , respectivamente
Figura 2 - Componentes de tensão sobre um elemento infinitesimal tridimensional
Estes elementos infinitesimais são modelados como cubos. Os componentes de tensão são considerados atuando nas faces destes cubos em duas diferentes maneias. Tensões normais atuam perpendicularmente à face do cubo e tendem a tracioná-las (tensão normal de tração) ou comprimi-las (tensão normal de compressão).
Tensões cisalhantes atuam
paralelamente às faces dos cubos em pares e nas faces opostas, que tendem a distorcer o cubo em um formato romboidal. Estas componentes de tensão normal e cisalhamento atuantes no elemento infinitesimal compõem o tensor. Tensão é um tensor de segunda ordem e requer nove valores ou componentes para descrevê-lo no estado tridimensional. Pode ser expresso por uma matriz:
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Onde a notação para cada componente de tensão contem três elementos, a magnitude (σ ou τ), a direção da normal à superfície de referencia (primeiro subscrito) e a direção da ação (segundo subscrito). Utiliza-se σ para tensões normais e τ para tensões cisalhantes. Muitos elementos nas máquinas são sujeitos a um estado de tensão tridimensional e requer o tensor tensão.
Figura 3 – Componentes de tensão em um estado bidimensional
Em alguns casos, são usados como estado de tensão bidimensional (figura 2.2b) O tensor tensão para o estado bidimensional é:
Um elemento infinitesimal de um corpo (dx) (dy) deve estar em equilíbrio. Portanto:
∑M de onde podemos mostrar que:
o
=0
∑F
y
=0
∑F
x
=0
τ xy = τ yx
ou seja, para um ponto sob estado plano de tensões as componentes cisalhantes em planos mutuamente perpendiculares devem ser iguais. De fato, pode-se mostrar que isto é verdade para um estado mais geral de tensões, ou seja: 26
τ xz = τ zx
τ yz = τ zy
2.3 - TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL 2.3.1 - CARGA AXIAL Seja a barra, considerada sem peso e em equilíbrio, sujeita a duas forças F em suas extremidades.
σ=
P Tensão Normal (tração) A
Figura 4 - Tensão normal (tração)
2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO
σ=
P Tensão de Apoio (compressão) A
Figura 5 -Tensão de compressão
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2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO
Figura 6 - Tensão de cisalhamento
a)
Cisalhamento simples:
Figura 7 - Cisalhamento simples
b) Rebite:
τm =
V P = A A
Figura 8 - Cisalhamento de rebite
c) Cisalhamento duplo:
τm =
V P = A 2A
Figura 9 - cisalhamento duplo
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2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA Uma vez determinadas às tensões normais σx e σy e a tensão de cisalhamento τxy, é possível determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em um dado estado de tensão.
Figura 10a - Análise de tensões em um plano qualquer
Figura 10b - Análise de tensões em um plano qualquer
Aplicando as equações de equilíbrio estático:
∑F
x'
=0
σ x ' dA − σ x dA. cos θ . cosθ − τ xy dA. cos θ .senθ − σ y dA.senθ .senθ − τ xy dA.senθ . cosθ = 0 σ x ' = σ x . cos 2 θ + σ y .sen 2θ + 2.τ xy . cos θ .senθ Sabendo que: 29
cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ ,
sen 2θ = 2.senθ . cosθ ,
1 = cos 2 θ + sen 2θ
Assim:
cos 2 θ =
1 + cos 2θ , 2
sen 2θ =
1 − cos 2θ 2
Substituindo as expressões de sen2θ, cos2θ e sen 2θ:
σ x' = σ x σ x' =
∑F
y
1 + cos 2θ 1 − cos 2θ +σ y + τ xy sen2θ 2 2
σx +σ y 2
+
σx −σ y 2
cos 2θ + τ xy sen2θ
=0
τ x ' y ' dA + σ x dA cosθ .senθ − τ xy dA. cosθ . cosθ − σ y dA.senθ . cosθ + τ xy dA.senθ .senθ = 0 σ x −σ y 2
τ x ' y ' = −
sen2θ + τ xy cos 2θ
2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR Sejam as equações de transformação de tensão:
σ x +σ y
σ x' = − τ xy = −
=
2
σ x −σ y 2
σ x −σ y 2
cos 2θ + τ xy sen2θ
sen2θ + τ xy cos 2θ
Elevando ao quadrado ambas as equações e somando-as tem-se:
σ +σ y σ x ' − x 2
σ −σ y + τ x ' y ' 2 = x 2 2
2
+ τ xy 2
Esta equação pode ser de maneira mais compacta:
(σ x ' − a )2 + τ x ' y ' 2 = R 2 σ x −σ y A equação acima é a equação de um circulo de raio R = 2 a= em
2
+ τ xy 2 e o centro
σ x +σ y 2
e b=0.
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O circulo construído desta maneira é chamado círculo de Mohr, onde a ordenada de um ponto sobre o circulo é a tensão de cisalhamento τxy e abscissa é a tensão normal σx.
Figura 11 - Círculo de Mohr para tensões
CONCLUSÕES IMPORTANTES •
A maior tensão normal possível é σ1 e a menor é σ2. Nestes planos não existem tensão de cisalhamento.
•
A maior tensão de cisalhamento τmax é igual ao raio do circulo e uma tensão normal de
σ x +σ y 2 •
atua em cada um planos de máxima e mínima tensão de cisalhamento.
Se σ1==σ2, o circulo de Mohr se degenera em um ponto, e não se desenvolvem tensão de cisalhamento no plano xy.
•
Se σx+σy=0, o centro do circulo de Mohr coincide com a origem das coordenadas σ - τ, e existe o estado de cisalhamento puro.
•
Se soma das tensão normais em quaisquer dos planos mutuamente perpendiculares é constante: σx+σy=σ1+σ2=σx’+σy’= constante.
•
Os plano de tensão máxima ou mínima formam ângulos de 45º com os planos das tensões principais.
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2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES
Figura 12 - Elemento submetido a tensões σx = - 20 MPa (20 x 10 N/m ) , σy = 90 MPa , σxy = 60 Mpa 6
2
Procedimento 1- Determinar o centro do circulo (a,b):
a=
σ x +σ y 2
=
− 20 + 90 = 35Mpa 2 ,
b=0
2- Determinar o Raio
σ x +σ y R = 2
2
− 20 − 90 2 + τ xy 2 → R = + 60 = 81,4 Mpa 2 2
3- Localizar o ponto A(-20,60)
Figura 13 – Círculo de Mohr
32
4- Tensões principais:
σ 1 = 35 + 81,4 = 116,4 Mpa ,
σ 2 = 35 − 81,4 = −46,4 Mpa
5- Orientações das tensões principais:
60 2θ1'' = arc.tag 2 = 47,7º , 20 + 35
θ1'' = 25,85º
2θ1'' + 2θ 2'' = 180º → θ 2'' = 66,15º
Figura 14 – Inclinação das tensões atuantes
6- Tensão máxima de cisalhamento:
τ max = R = 81,4 Mpa 7- Orientação da tensão máxima de cisalhamento:
2θ1'' + 2θ 2'' = 90º →
2θ 2'' = 21,15º
Figura 15 - Posição do elemento submetido a tensões máximas de cisalhamento
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2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES Considere um estado de tensão tridimensional e um elemento infinitesimal tetraédrico. Sobre o plano obliquo ABC surge a tensão principal σn, paralela ao vetor normal unitário.
Figura 16 - Elemento infinitesimal tetraédrico submetido a estado tridimensional de tensões
O vetor é identificado pelos seus cosenos diretores 1, m e n, onde cos α = 1, cos β = m, cos γ = n. Da figura nota-se que: 12+m2+n2 = 1.
Figura 17 – Vetor unitário
O plano oblíquo tem área dA e as projeções desta área nas direções x, y e z são: dA.L, dA.m e dA.n. Impondo o equilíbrio estático nas direções x, y e z, temos:
∑ F = 0 , (σ dA).1 − σ dA.1 − τ dA.m − τ dA.n = 0 ∑ F = 0 , (σ dA).m − σ dA.m − τ dA.n − τ dA.1 = 0 ∑ F = 0 , (σ dA)n − σ dA.n − τ dA.m = 0 x
n
y
n
z
x
xy
x
n
xz
xy
2
xz
yz
Simplificando e reagrupando em forma matricial, temos:
34
Como visto anteriormente, 12+m2+n2 = 1, os cosenos diretores são diferentes de zero. Logo, o sistema terá uma solução não trivial quando o determinante da matriz de coeficientes de 1,m e n for nulo
A expansão do determinante fornece um polinômio característico do tipo:
σ n3 − I σ σ n2 + II σ σ n − III σ = 0 onde: I σ = σ x + σ y + σ z
(
II σ = (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) − τ xy2 + τ yz2 + τ xz2
)
(
III σ = σ xσ yσ z + 2.τ xyτ yzτ xz − σ xτ yz2 + σ yτ xz2 + σ zτ xy2
)
As equações acima são invariantes, independentemente do plano oblíquo que é tomado no tetraedro. Logo, as raízes do polinômio característico já as tensões principais.
2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em três tensões principais que atuam em três direções ortogonais.
Figura 18 - Elemento submetido a estado tridimensional de tensões
35
Admitindo que σ1>σ2>σ3>0.
Figura 19 - Círculo de Mohr para o estado tridimensional de tensões
2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de temperatura ou a uma carga externa, como mostrado abaixo.
Figura 20 - Corpo submetido à tração pura
Se L0 é o comprimento inicial e L é o comprimento final do corpo sob tração, o alongamento é ∆L = L – L0 e o alongamento por unidade de comprimento, chamado deformação linear, é definido como: L
ε =∫ 0
dL ∆L = L0 L0
Se o corpo se deforma em três direções ortogonais x,y,z e z e u, v, e w forem as três componentes do deslocamento nestas direções, as deformações lineares são respectivamente: 36
Além da deformação linear, um corpo pode sofrer uma deformação angular, como mostrado abaixo.
Figura 21 - Análise de deformação angular em elemento infinitesimal
Assim, para pequenas mudanças de ângulo, a deformação angular associada as coordenadas x e y é definida por:
Se o corpo se deforma em mais planos ortogonais xz e yz, as deformações angulares nestes planos são:
2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS
Seja o corpo abaixo submetido a uma força axial.
37
Figura 22 - Peça submetida a carregamento axial
Deformação axial
Deformação lateral
A relação entre o valor da deformação lateral e a deformação axial é conhecida como coeficiente de Poisson:
2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS (ESTADO TRIAXIAL DE TENSÕES) Seja um corpo sujeito a um estado triaxial de tensões σx, σy e σz.
Figura 23 - Corpo sujeito a um estado triaxial de tensões
O estado triaxial de tensões pode ser considerado como a superposição de três estados de tensão uniaxial analisados separadamente:
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1 – Deformações devido a σx:
2 – Deformações devido a σy: 3 – Deformações devido a σz:
Superpondo todas as deformações, temos:
Da Lei de Hooke, σ = E ε é o modulo de elasticidade do material, as deformações devido à σx, σy e σz são:
Para o caso do corpo ser submetido a esforços de cisalhamento as relações deformação - tensão são:
O módulo de cisalhamento G está relacionado a E e ν por:
2.7 - EXTENSOMETRIA A extensometria é uma técnica utilizada para a análise experimental de tensões e deformações em estruturas mecânicas e de alvenaria. Estas estruturas apresentam deformações sob carregamento ou sob efeito da temperatura. É importante conhecer a extensão destas deformações e muitas vezes precisam ser monitoradas constantemente, o que pode ser feito de diversas formas. Algumas são o relógio comparador, o detector eletrônico de
39
deslocamento, por camada frágil, por foto-elasticidade e por strain-gauge. Dentre todas, o strain-gauge, do inglês medidor de deformação, é um dos mais versáteis métodos. Os extensômetros elétricos são largamente utilizados para medir deformações em estruturas como pontes, máquinas, locomotivas, navios e ainda associados a transdutores para medir pressão, tensão, força e aceleração. São ainda associados a outros instrumentos de medidas para uso desde análise experimental de tensão até investigação e práticas médicas e cirúrgicas.
2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE) Em 1856 William Thomson, ou conhecido como Lord Kelvin, apresentou à Royal Philosophical Society de Londres os resultados de um experimento envolvendo a resistência elétrica do cobre e ferro quando submetidos a estresse. As observações de Kelvin foram consistentes com a relação entre resistência elétrica e algumas propriedades físicas de um condutor, segundo a equação
R=
ρL A
onde R é a resistência elétrica, ρ é a constante de condutividade, L é o comprimento do condutor e A é a área da seção transversal deste. A resistência é diretamente proporcional ao comprimento e inversamente proporcional à área da seção transversal. Quando uma barra metálica é esticada, ela sofre um alongamento em seu comprimento e também uma diminuição do seu volume, resultado da diminuição da área da seção transversal desta barra. A resistência elétrica da metálica aumenta quando esta barra é esticada, também resultado da diminuição da área da seção transversal e do aumento do comprimento da barra. Da mesma maneira, quando a barra é comprimida, a resistência diminui devido ao aumento da área transversal e diminuição do comprimento. A relação entre comprimento e dimensão da seção transversal pode ser expressa através do coeficiente de Poisson:
dD ε ν= D = L dL εa L −
40
Figura 24 - Extensômetro de fio
onde ν(ni) é o coeficiente de Poisson, D é a dimensão da seção transversal, L é o comprimento, εL (epslon) é a deformação lateral e
εa é a deformação axial. Esta relação
demonstra basicamente que, quando o comprimento diminui para um material (compressão), a seção transversal aumenta, e vice-versa para um aumento no comprimento (tensão) do material. Experimentos realizados pelo norte-americano P. W. Bridgman em 1923 mostraram algumas aplicações práticas da descoberta de Kelvin para realização de medidas, mas foi a partir de 1930 que estas tomaram impulso. É creditado a Roy Carlson uma das primeiras utilizações de um fio resistivo para medições de tensões em 1931. Entre 1937 e 1939, Edward Simmons (Califórnia Institute of Technology, - Pasadena, CA, USA) e Arthur Ruge (Massachusetts
Institute
of
Technology
-
Cambridge,
MA,
USA)
trabalhando
independentemente um do outro, utilizaram pela primeira vez fios metálicos colados à superfície de um corpo de prova para medida de deformações. Esta experiência deu origem aos extensômetros que são utilizados atualmente. A Figura 2.21 mostra um a construção geral de um extensômetro à base de fio colado. A partir de 1950, o processo de fabricação de extensômetros adotou o método de manufaturar finas folhas ou lâminas contendo um labirinto ou grade metálica, colado a um suporte flexível feito geralmente de epóxi. As técnicas de fabricação de circuitos impressos são usadas na confecção dessas lâminas, que podem ter configurações bastante variadas e intrincadas, como mostra a Figura 25.
Figura 25 Tipos de extensômetros elétricos.
41
Os extensômetros elétricos têm as seguintes características gerais, que denotam sua importância e alto uso: •
alta precisão de medida;
•
baixo custo;
•
excelente linearidade;
•
excelente resposta dinâmica;
•
fácil instalação;
•
pode ser imerso em água ou em atmosfera de gases corrosivos (com tratamento adequado);
•
possibilita realizar medidas à distância.
A base do extensômetro pode ser de: poliamida, epóxi, fibra de vidro reforçada com resina fenólica, baquelita, poliéster, papel e outros. O elemento resistivo pode ser confeccionado de ligas metálicas tais como Constantan, Advance, Nicromo V, Karma, Níquel, Isoelatic e outros. O extensômetro pode ser confeccionado também com elemento semicondutor, que consiste basicamente de um pequeno e finíssimo filamento de cristal de silício que é geralmente montado em suporte de epóxi ou fenólico. As características principais dos extensômetros elétricos de semicondutores são sua grande capacidade de variação de resistência em função da deformação e seu alto valor do fator do extensômetro, que é de aproximadamente 150, podendo ser positivo ou negativo. Para os extensômetros metálicos a maior variação de resistência é devida às variações dimensionais, enquanto que nos de semicondutor a variação é mais atribuída ao efeito piezo-resistivo. Para um extensômetro ideal, o fator de extensômetro deveria ser uma constante, e de maneira geral os extensômetros metálicos possuem o fator de extensômetro que podem ser considerados como tal. Nos extensômetros semicondutores, entretanto, o fator do extensômetro varia com a deformação, numa relação não linear. Isto dificulta quando da interpretação das leituras desses dispositivos. Entretanto é possível se obter circuitos eletrônicos que linearizem esses efeitos. Atualmente, os extensômetros semicondutores são bastante aplicados quando se deseja uma saída em nível mais alto, como em células de cargas, acelerômetros e outros transdutores.
2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO Na sua forma mais completa, o extensômetro elétrico é um resistor composto de uma finíssima camada de material condutor, depositado então sobre um composto isolante. Este é então colado sobre a estrutura em teste com auxílio de adesivos como epóxi ou cianoacrilatos. 42
Pequenas variações de dimensões da estrutura são então transmitidas mecanicamente ao extensômetro, que transforma essas variações em variações equivalentes de sua resistência elétrica (por esta razão, os extensômetros são definidos como transdutores). Os extensômetros são usados para medir variações de carga, pressão, torque, deslocamento, tensão, compressão, aceleração, vibração. A seleção do extensômetro apropriado para determinada aplicação é influenciada pelas características seguintes: material da grade metálica e sua construção, material do suporte isolante, material do adesivo, tratamento e proteção do medidor e configuração. O design dos extensômetros incorpora várias funcionalidades como alto fator de medição, alta resistividade, insensibilidade à temperatura, alta estabilidade elétrica, alta resistência mecânica, facilidade de manipulação, baixa histerese, baixa troca termal com outros materiais e durabilidade. A sensibilidade à temperatura é um ponto fundamental no uso de extensômetros, e freqüentemente o circuito de medição contém um compensador de temperatura. Da mesma forma, o tipo de adesivo usado para fixar o extensômetro à estrutura a ser monitorada é de suma importância. O adesivo deve transmitir as variações mecânicas com o mínimo de interferência possível, por isso deve ter alta resistência mecânica, alta resistência ao cisalhamento, resistência dielétrica e capacidade de adesão, baixas restrições de temperatura e facilidade de aplicação.A relação básica entre deformação e a variação na resistência do extensômetro elétrico pode ser expressa como:
1 dR F R
ε =
onde ε é a deformação, F é o fator do medidor e R é a resistência do medidor. Para um medidor típico, F é 2.0 e R é 120 ohm.
2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GAUGES) Extensômetro axial único. Utilizado quando se conhece a direção da deformação, que é em um único sentido.
Figura 26 - Extensômetro axial único.
43
EXTENSÔMETRO AXIAL MÚLTIPLO Roseta de 2 direções. São dois extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a duas direções. Utilizada para medir deformações principais quando se conhecem as direções.
Figura 27 - Roseta de 2 direções
Roseta de 3 direções. São três extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a três direções. Utilizada quando as direções principais de deformações não são conhecidas.
Figura 28 - Roseta de 3 direções
A Figura 29(a) apresenta um extensômetro tipo diafragma, que são quatro extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a deformações em duas posições diferentes. Usado para transdutores de pressão. A Figura 29(b) apresenta um extensômetro para medida de tensão residual, que são três extensômetros sobre uma base devidamente posicionados para utilização em método de medida de tensão residual. Finalmente, a Figura 29(c) mostra um extensômetro para transdutores de carga (strain-gauge load cell), que são dois extensômetros dispostos lado a lado, sobre a mesma base, para utilização em células de cargas (para medição de tensão e compressão).
44
(a)
(b)
(c)
Figura 29 - Extensômetros tipo (a) diafragma, (b) para medida de tensão residual e (c) célula de carga
A extensometria, como técnica de medição de deformações ocorridas em materiais, é essencial para monitoramento dinâmico de estruturas sujeitas a carregamentos e tem no extensômetro elétrico ou strain-gauge seu instrumento principal. Os strain-gauges têm aplicações tão variadas quanto monitoramento de deformações em pontes, vigas, medição de vibração em máquinas, medição de pressão, de força, em acelerômetros e torquímetros. Devido às vantagens e importância dos extensômetros elétricos, estes aparelhos são indispensáveis a qualquer equipe que se dedique ao estudo experimental de medições.
2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO Para o estado plano de tensões, as condições permitem o uso da aproximação segundo a qual não ocorre variação das tensões na direção z, podendo-se desconsiderar as tensões σzz , σxz e σyz em presença das outras tensões. Então:
σ xx =
(
)
E (υε xx + ε yy ) 1 −υ 2 = 2Gε xy
σ yy = σ xy
E (ε xx + υε yy ) 1−υ 2
(
σ zz = σ xz = σ yz = 0
)
εxx
=
εxx εyy εxy
2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 2.9.1 - INTRODUÇÃO A mecânica dos meios contínuos e mais especificamente a teoria da elasticidade, tem como fundamento básico o desenvolvimento de modelos matemáticos que possam representar adequadamente a situação física real em estudo. Na análise estrutural o objetivo pode ser a 45
determinação do campo de deslocamentos , as deformações internas ou as tensões atuantes no sistema devido a aplicação de cargas. Muitos estudiosos do assunto tais como Navier, Cauchy, Poisson, Green etc , destacaram-se no desenvolvimento de modelos matemáticos que auxiliaram na determinação de variáveis envolvidas num determinado estudo. Porém em certos casos práticos certas aplicações de modelos matemáticos apresentam dificuldades as vezes intransponíveis . Como exemplo sabe-se que na análise estrutural a perfeita representação matemática dos carregamentos, geometria, condições de contorno etc em muitas situações apresenta-se de forma complexa, havendo assim a necessidade de se introduzir hipóteses mais aproximadas no problema físico real possibilitando assim formas de modelagem matemática que conduzem a soluções mais simples.Por outro lado a engenharia tem demonstrado interesse cada dia maior em estudos mais precisos que se aproximam o máximo possível do modelo real . Dentre estes métodos escolhidos surgiu o método dos elementos finitos que é baseado na discretização do meio contínuo (estrutura sólida, o fluido, os gases etc).O método dos elementos finitos é seguramente um dos métodos mais difundidos na discretização dos meios contínuos . A sua utilização se deve também ao fato de poder ser aplicado em problemas clássicos da mecânica estrutural elástico-linear tais como mecânica dos sólidos , mecânica dos fluidos, transmissão de calor , acústica etc.
2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA Devido a complexidade comportamental dos sistemas estruturais utiliza-se modelos mais simplificados que consistem em separar os sistemas em componentes básicos ou seja, aplica-se o processo de análise do método científico de abordagem do problema. Com esta operação, tem-se a oportunidade de se estudar o comportamento dos elementos de forma mais simples sintetizando as soluções parciais para se obter uma solução aproximada porém segura. A discretização de sistemas contínuos tem objetivos análogos aos acima descritos, particionando-se o domínio, o sistema em componentes cujas soluções são mais simples e posteriormente utiliza-se soluções parciais para resolver os problemas. Em alguns casos essa subdivisão prossegue indefinidamente e o problema só terá solução utilizando
definições matemáticas de infinitésimos isto é, conduzindo-se a equações
diferenciais , ou expressões equivalentes com um número infinito de elementos. Com a evolução dos computadores digitais os problemas discretos podem ser resolvidos sem dificuldade mesmo que o modelo apresente um grande número de elementos dependendo apenas da capacidade do computador .
46
A discretização de problemas contínuos tem sido abordada ao longo dos anos, de forma diferente por matemáticos e engenheiros. Os matemáticos tem desenvolvido técnicas gerais aplicáveis diretamente a equações diferenciais que regem o problema tais como: aproximações por diferenças finitas , métodos de resíduos ponderados, técnicas aproximadas para determinar pontos estacionários de funcionais etc. Os engenheiros procuram abordar os problemas de forma mais intuitiva estabelecendo analogias entre os elementos discretos reais e porções finitas de um domínio do contínuo. O conceito de análise de estruturas teve início na escola francesa (1850 a 1875) com Navier , St. Venan e com os trabalhos de Maxwell, Castigliano , Mohr e outros. No período compreendido entre 1875 e 1920 as teorias e técnicas analíticas para o estudo das estruturas forma particularmente lentos devido certamente as limitações práticas nas soluções de equações algébricas . Neste período as estruturas de interesse eram basicamente treliças e pórticos que utilizavam um processo de análise mais aproximado baseado na distribuição de tensões
com forças incógnitas o que era universalmente
empregado. Após 1920 em função dos trabalhos de Maney e Ostenfield passou-se a utilizar a idéia básica de análise aproximada de treliças e pórticos baseada no método dos deslocamentos . Estas idéias portanto foram as precursoras do conceito de análise matricial de estruturas em uso hoje em dia. Várias limitações no tamanho dos problemas a solucionar que poderiam ter forças ou deslocamentos com incógnitas continuaram a prevalecer até 1932 quando Hardy Cross introduziu o Método da distribuição de momentos. Este método facilitou a solução de problemas de análise estrutural possibilitando-se assim trabalhar com problemas mais complexos . Após 1940 McHenry , Hrenikof e Newmark demonstraram no campo da mecânica dos sólidos que podiam ser obtidas soluções razoavelmente boas de um problema de contínuo através da distribuição de barras elásticas simples. Mais tarde Argyris, Turner, Clough , Martin e Topp demonstraram que era possível substituir as propriedades do contínuo de um modo mais direto e não menos intuitivo , supondo que as porções ou seja os elementos se comportavam de forma simplificada. Os computadores digitais apareceram por volta de 1950 mas a sua real aplicação a teoria e a prática não se deu aparentemente de forma imediata. Entretanto alguns estudiosos previram o seu impacto e estabeleceram codificações para a análise estrutural de forma adequada ou seja na forma matricial. Duas contribuições notáveis podem ser consideradas como um marco no estudo do método dos elementos finitos. Seus autores são Argyris e Kelsey e Turner, Clough, Martin e Topp.
47
Tais publicações uniram os conceitos de análise estrutural e análise do contínuo e lançaram os procedimentos resultantes na forma matricial; elas apresentaram uma influencia preponderante no desenvolvimento do MEF nos anos subseqüentes. Assim as equações da rigidez passaram a ser escritas em notação matricial e resolvidas em computadores digitais. A publicação clássica de Turner et all de 1956 influencia decisivamente no desenvolvimento do método dos elementos finitos. Em 1941 o matemático Courant sugeria a interpolação polinomial sobre uma subregião triangular como uma forma de se obter soluções numéricas aproximadas. Ele considerou esta aproximação como uma solução de Rayleigh-Ritz de um problema variacional. Este é portanto o método dos elementos finitos na forma com se conhece hoje em dia. O trabalho de Courant foi no entanto esquecido até que os engenheiros independentemente o desenvolveram. O nome elementos finitos que identifica o uso preciso da metodologia geral aplicável a sistemas discretos , foi dado em 1960 por Clough. Em 1963 o método foi reconhecido como rigorosamente correto e tornou-se uma respeitável área de estudos. Hoje muitos pesquisadores continuam a se ocupar com o desenvolvimento de novos elementos e de melhores formulações e algorítmos para fenômenos especiais e na elaboração de novos programas que facilitem o trabalho dos usuários.
2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O método dos elementos finitos é um procedimento numérico para resolver problemas de mecânica do contínuo com precisão aceitável na engenharia.Suponha-se que os deslocamentos e/ou tensões da estrutura mostrada na figura 30a devam ser determinados Os métodos clássicos descrevem o problema com equações diferenciais parciais, más não fornecem respostas prontas por não serem o carregamento e a geometria comuns. Na prática muitos problemas se tornam complicados para terem uma solução matemática fechada (algoritmo próprio para a solução). Neste caso portanto como o da figura 30a uma solução numérica é necessária e um dos métodos mais aplicáveis é o método dos elementos finitos.
48
Figura 30a – Estrutura plana real
Figura 30b – malha de EF
Na figura 30b é mostrada uma possível malha de elementos finitos que representa a viga da figura 30a, onde as regiões triangulares representam os elementos finitos e os pequenos círculos representam os nós que conectam os elementos uns aos outros. Pode-se dizer que os elementos finitos representam pedaços da estrutura real porém não se pode converter a figura 30a na figura 30b fazendo cortes na estrutura em regiões e unindo estas partes através dos nós pois isto resultaria numa estrutura fragilizada. Adicionalmente procedendo desta forma haveria certamente uma concentração de tensões nos nós e uma tendência a haver uma separação dos elementos nas regiões limítrofes. Na realidade uma estrutura real não atua desta forma. Assim os elementos finitos devem se deformar de maneira compatível. Por exemplo se uma aresta de um elemento permanece reta, as arestas dos elementos adjacentes deverão ter deformações compatíveis, sem que haja sobreposição ou separação. A versatilidade é uma notável característica do método dos elementos finitos que pode ser aplicado a problemas de natureza diversa. A região sob análise pode ter forma arbitrária e cargas e condições de contorno quaisquer. A malha pode ser constituída de elementos de diferentes tipos, formas e propriedades físicas. Esta grande versatilidade pode muitas vezes ser colocada em um programa computacional simples, desde que se controle a seleção do tipo de problema a abordar, especificando a geometria, condições de contorno, seleção de elementos etc. Outra característica muito positiva do método é a semelhança entre o modelo físico e o modelo real fazendo com que a abstração matemática seja fácil de se visualizar. Apesar de suas vantagens, o método dos elementos finitos apresenta também algumas desvantagens por exemplo: um resultado numérico específico sempre é obtido para um conjunto de dados que tentam representar um sistema, e nem sempre existe uma fórmula fechada que permita a verificação destes resultados. Um programa e um computador confiáveis são essenciais; 49
experiência e um bom senso na análise são necessários para se construir uma boa malha. Os dados de saída de uma análise feita devem ser cuidadosamente interpretados. 2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O método dos elementos finitos comumente usado é baseado no método de RayleighRitz e prevê a divisão do domínio de integração, contínuo em um número finito de pequenas regiões conforme visto no item anterior (figuras 30a e 30b). A esta divisão do domínio dá-se o nome de rede de elementos finitos. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuída variando o tamanho dos elementos finitos. Ao invés de buscar uma função admissível que satisfaça as condições de contorno para todo o domínio, no método dos elementos finitos as funções admissíveis são definidas no domínio de cada elemento finito. Para cada elemento finito i, é montado um funcional
∏ i , que somado aos dos demais elementos finitos , formam
um funcional ∏ para todo o domínio. n
∏ = ∑ ∏i i =1
Para cada elemento i, a função aproximada é formada por variáveis referidas aos nós do elemento (parâmetros nodais) e por funções denominadas de funções de forma. Assim a função aproximada υ tem a forma:
v = ∑ j =1 a j φ j m
onde
aj
são os parâmetros nodais e
φj
as funções de forma.
O funcional ∏ fica sendo expresso por:
∏(a j ) ≅ ∑i =1 ∏ i (a j ) n
A condição de estacionariedade gera como no método de Rayleigh-Ritz, um sistema de equações algébricas lineares tal que como:
δ ∏ (a j ) = ∑i =1 δ ∏ i (a j ) = ∑i =1 ∑ j =1 n
n
m
∂ ∏ i (a j ) ∂a j
=0
A solução do sistema de equações acima dá os valores dos parâmetros nodais
aj
que
podem ser deslocamentos, forças internas, ou ambos, dependendo da formulação do método dos elementos finitos que se utiliza. Se o campo de deslocamentos é descrito por funções aproximadoras e o princípio da mínima energia potencial é empregado, as incógnitas são as componentes dos deslocamentos nodais e o método dos elementos finitos é denominado de método dos elementos finitos, modelo das forças de deslocamentos ou método dos elementos 50
finitos, modelo dos deslocamentos ou método dos elementos finitos, modelo de rigidez. Se o campo das tensões ou esforços internos é representado por funções aproximadoras, as incógnitas serão as tensões ou esforços internos nodais e o método dos elementos finitos é denominado de método dos elementos finitos, modelo das forças ou método dos elementos finitos, modelo de flexibilidade, sendo utilizado o princípio da mínima energia complementar. Nos métodos mistos, as funções aproximadoras são expressas em termos de deslocamento e forças internas ou tensões e são derivadas de princípios variacionais generalizados, como o princípio de Reissner.
2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.
Dado o seguinte tensor da tensão associado ao sistema de referência x, y,z.
Figura 31 – Exercício resolvido 1
Determine: a) i) As componentes normal (σ) e tangencial (τ) da tensão, numa faceta igualmente inclinada relativamente a x, y, z. ii) As direções das componentes referidas na alínea i). b) Resolva a alínea anterior para uma faceta paralela a z e igualmente inclinada relativamente a x e y. c) As tensões e respectivas direções principais. d) As componentes normal e tangencial da tensão na faceta x, partindo do tensor das tensões associado ao sistema de eixos principais. Compare os valores obtidos com os valores dados inicialmente. Solução: a) i) ii)
n' =
Tz − σ ⋅ n
τ
b)
σ = −2.0 × 10 2 MPa l' =
Tx − σ ⋅ l
τ
= −0.535
τ = 2.16 × 10 2 MPa. ;
m' =
Ty − σ ⋅ m
τ
= 0.802 ;
= −0.267
σ = −50MPa
τ = 150MPa. 51
l' =
n' =
c)
Tx − σ ⋅ l
Tz − σ ⋅ n
[σ ]1,2,3
τ
τ
= −0.236 ;
m' =
Ty − σ ⋅ m
τ
= 0.236 ;
= −0.943
σ 1 0 = 0 σ 2 0 0
0 0 0 4.87 0 = 0 0.32 0 × 10 2 MPa. σ 3 1, 2,3 0 0 − 3.19 1, 2,3
l1 = −0.657 = cos(1, x)
l 2 = 0.449 = cos(2, x)
m1 = 0.612 = cos(1, y )
m 2 = 0.787 = cos(2, y )
n1 = 0.440 = cos(1, z )
n 2 = −0.423 = cos(2, z )
l3 = 0.605 = cos(3, x) m3 = 0.081 = cos(3, y ) n3 = 0.792 = cos(3, z ) d)
[σ ]x, y , z
0 0 − 0.657 0.612 0.440 − 0.657 0.449 0.605 4.87 = 0.612 0.787 0.081 × 0 0.32 0 × 0.449 0.787 − 0.423 × 10 2 MPa 0.440 − 0.423 0.792 0 0 − 3.19 0.605 0.081 0.792
2.
a) Represente no plano de Mohr, o estado de tensão abaixo definido.
Figura 32 – Exercício resolvido 2
b) Determine as tensões e direções principais do estado de tensão definido na alínea anterior, resolva analiticamente e pela circunferência de Mohr. Resolução: a)
52
Figura 33 – Solução do exercício resolvido 2
b)
σ1 = 7.606 Mpa;
θ1 = -16.850; 3.
σ2 = 0.394 Mpa;
θ2 = 73.150;
σ3 = σz =0 MPa ( valor admitido )
θ3 = θz = 900.
A figura representa o estado de tensão num ponto de uma chapa de aço.
Figura 34 – Exercício resolvido 3
a) Faça a representação gráfica de Mohr, do estado de tensão nesse ponto e determine as tensões principais e respectivas direções. b) Posteriormente a chapa é submetida a uma compressão adicional uniforme de 15MPa, segundo uma direção que faz um ângulo de 200 com o eixo dos x, marcado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Determine as tensões principais e respectivas direções , referentes ao estado de tensão resultante no ponto considerado.
53
Resolução : a)
Figura 35 – Solução do exercício resolvido 3
b)
σ1 = 67.5 MPa;
σ2 = σz = 0 Mpa;
θ1 = -24.230 ;
θ2 = θz = 900;
[σ ]x, y , z
36.76 − 39.82 0 = − 39.82 − 13.76 0 MPa 0 0 0
θ1 = -28.810; 4.
σ3 = -27.75 MPa θ3 = 65.770
;
θ2 = θz = 900;
[σ ]1, 2,3
0 58.66 0 = 0 0 0 MPa 0 0 − 35.66 θ3 = 61.190
Considere o campo de deslocamentos dado por:
( ( (
) ) )
u = 0.25 x ⋅ ( y + z )2 × 10 − 4 2 −4 v = 0.25 y ⋅ ( x + z ) × 10 2 −4 w = 0.25 z ⋅ ( x + y ) × 10 Para o ponto A (1,2,1), determine: a) O tensor das deformações referido ao referencial x, y, z. b) A deformação no ponto A segundo uma direção igualmente inclinada relativamente aos três eixos. c) Determine o plano onde se dá a distorção. d) As extensões principais. e) Determine o tensor das tensões, sabendo que E = 210 GPa e ν = 0.3.
54
Resolução:
2.25 1.75 1.50 = 1.75 1.00 1.75 × 10 −4 1.50 1.75 2.25
a)
[ε ]x, y , z
b)
ε = 5.167 × 10 −4
c)
δ ' −ε ⋅l l = x = 0.412 ; γ '
2
d)
e)
5.
δ t' =
γ 2
= 0.466 × 10 −4 rad
δ y' − ε ⋅ m = −0.827 ; m = γ '
2
[ε ]1,2,3
0 0 5.206 = 0 0.750 0 × 10 − 4 0 0 − 0.456
[σ ]1,2,3
0 0 143.4 = 0 75.0 0 MPa 0 0 56.5
n' =
δ z' − ε ⋅ n = 0.412 γ 2
Considere o estado de tensão definido no exercício 1 e um material isotrópico com
constantes elásticas: E = 210 GPa e ν = 0.3. Determine o estado de deformação correspondente a este estado de tensão, tomando como eixos coordenados: Eixos x, y, z Eixos principais 1, 2 , 3.
Resolução:
a)
b)
6.
[ε ]x, y , z
0.333 − 1.24 − 1.85 = − 1.24 0.952 0.62 × 10 −3 − 1.85 0.62 − 0.905
[ε ]1,2,3
0 0 2.73 = 0 − 0.09 0 × 10 −3 0 0 − 2.26 1, 2,3
Grava-se sobre uma chapa de aço uma circunferência de 600 mm de diâmetro. Submete-se depois esta chapa a tensões tais que :
55
σ x = 140MPa ;
σ y = 20MPa ;
τ xy = −80MPa
Figura 36 – Exercício resolvido 6
Depois da solicitação a circunferência transforma-se numa elipse. Calcular os comprimentos do eixo maior e do eixo menor dessa elipse e marcar as respectivas direções na figura.
Resolução:
Figura 37 – Solução do exercício resolvido 6
θ1 = -26.57
0
θ2 = θz = 900
θ3 = 63.430.
56
7.
Num ponto situado à superfície de uma placa de aço instalou-se uma roseta de extensômetros como se indica na figura. Depois de aplicada ao corpo uma determinada solicitação, colocando o ponto em estado plano de tensão, fizeram-se as seguintes leituras: Y
a b
εa
εb 0
30 εc
c X
Figura 38 – Exercício resolvido 7
ε a = ε y = 1× 10 −3
ν = 0.3
ε b = −2.5 × 10 −3
λ = 1.211 × 10 5 MPa
ε c = −2 × 10 −3 = ε x
E = 2.1× 10 5 MPa
G = 0.81 × 10 5 MPa Nesta situação determinar as extensões e tensões principais e respectivas direções. Resolução:
[ε ]1.2.3
0 0 1.58 = 0 0.428 0 × 10 −3 0 0 − 2.58
θ1 = -68.050;
[σ ]1,2,3
8.
θ2 = θz = 900;
θ3 = 21.950
0 0 186.66 MPa = 0 0.01018 0 0 0 − 487.25
Na vizinhança de um ponto, mediram-se as extensões segundo as arestas de um tetraedro, resultantes de uma dada solicitação, e que estão representadas na figura.
57
Figura 39 – Exercício resolvido 8
Os valores obtidos foram os seguintes:
ε a =ε x= 1 × 10 −4 ; ε b =ε y = 0.5 × 10 −4 ; ε c =ε z = −0.5 × 10 −4 ; ε d = 1.5 × 10 −4 ε e = 0.8 × 10 −4 ; ε f = −0.6 × 10 −4 a) Defina o estado de deformação no ponto por intermédio do tensor das extensões. b) Determine a extensão e a distorção numa direção igualmente inclinada relativamente a três eixos de referência x, y, z. c) Determine o plano aonde se dá a distorção. d) Determine as extensões principais. e) Represente o estado de deformação no plano de Mohr. f) Determine o valor da máxima distorção. Resolução
− 0.75 − 0.55 1 = − 0.75 0.5 0.6 × 10 −4 − 0.55 0.6 − 0.5
a)
[ε ]x, y , z
b)
ε = −0.133 × 10 −4
c)
δ x' − ε ⋅ l l = = −0.277 ; γ '
2
n' =
δ t' =
γ 2
= 0.347 × 10 −4 rad
δ y' − ε ⋅ m m = = 0.803 ; γ '
2
δ −ε ⋅n = −0.528 γ ' z
2
58
d)
ε 1 = 1.816 × 10 −4 ε 2 = −0.012 × 10 −4 ε 3 = −0.806 × 10 −4
e)
Figura 40 – Solução do exercício resolvido 8
f) γ max = 2.62 × 10 −4 rad
9.
Na figura estão indicados os elementos da superfície A e B, ambos paralelos a direção principal z, as tensões normal e tangencial no elemento A e a tensão normal no elemento B, sabendo que a tensão principal na direção z vale 50 MPa, determine:
Figura 41 – Exercício resolvido 9
a) A tensão tangencial no elemento B. b) As tensões e direções principais. c) As extensões principais supondo: E = 210 Gpa ; ν= 0.3
59
d) Componentes da tensão no elemento de superfície cuja normal, relativamente aos eixos principais, tem por cossenos directores: l =
2 2 1 ,m = ,n = . 3 3 3
e) A tensão de comparação pelo critério de Von-Mises. Resolução: a)
τ b = −10.44MPa
b)
σ 1 = 50MPa ;
σ 2 = 12.0MPa ;
θ 1 = 90 0 = θ z ;
θ 2 = 59.230 ;
c)
[ε ]1,2,3
σ 3 = −44.9 MPa θ 3 = −30.77 0
0 0 2.85 = 0 − 0.498 0 × 10 −4 0 0 − 3.02 1, 2,3
d) σ = 22.57 MPa
τ = 29.82 MPa.
e) σ eq = 82.72MPa
10.
Num corpo de aço macio sujeito a estado plano de tensão, conhecem-se as tensões normais em duas facetas ortogonais, como se indica na figura. Sabe-se também que uma das direções principais é a indicada na figura, determine: Y 60 MPa B X Z
300 100 MPa A Dir P
Figura 42 – Exercício resolvido 10
a) As tensões principais. b) As extensões principais, sabendo que E = 210 GPa, ν = 0.3 c) tensão de comparação pelo critério de Von-Mises. d) Admitindo que se trata de um material frágil com: σ c = 100MPa ; σ t = 60 MPa Verifique, pelo critério de Mohr-Coulomb, se o estado de tensão é possível.
60
Resolução:
[σ ]1, 2,3
0 180 0 = 0 0 0 MPa 0 0 − 140
b)
[ε ]1,2,3
0 0 1.06 = 0 − 0.06 0 × 10 −3 0 0 − 0.92 1, 2,3
c)
σ eq = 277.85MPa
d)
180 − 140 − = 4.4 ≥ 1 60 100
não verifica
180 ≤ 100
não verifica
a)
O estado de tensão não é admissível.
Figura 43 – Solução do exercício resolvido 10
2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.
Determinar, empregando equações e o círculo de Mohr, para cada um dos estados de tensão abaixo representados : • a orientação dos planos principais; • as tensões principais; • a máxima tensão de cisalhamento; • a orientação dos planos das tensões máxima de cisalhamento; • a tensão normal associada a tensão máxima de cisalhamento. Resposta : a) 18,52º e 108,52º; 66,10 MPa e -53,10 MPa; 59,60 MPa; -26,42º e 63,57º; 2,5 MPa; 61
b) 18,4º e 108,4º; 151,7 MPa e 13,8 MPa; 69 MPa; -26,6º e 63,4º; +82,75 MPa; c) -37º e 53º; -27,2 MPa e -172,8 MPa; 72,8 MPa; 8º e 98º; -100 MPa; d) -31º e 59º; 130,0 MPa e -210,0 MPa; 170 MPa; 14º e 104º; -40MPa.
Figura 44 – Exercício proposto 1
2.
O prisma abaixo está submetido a um Estado Plano de Deformações. Encontrar as tensões e direções principais, a tensão de cisalhamento máxima no plano xy e sua direção e a maior tensão de cisalhamento no entorno de P. Representar estas grandezas (tensões e direções) através dos círculos de Mohr correspondentes aos planos formados por cada dois eixos principais.. Encontrar as deformações específicas e deformações totais nas direções x, y e z. Encontrar as deformações específica máxima e mínima. E=210.000 MPa. (= 0,3.
Figura 45 – Exercício proposto 2
62
CAPITULO 03 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS MATERIAIS CARREGAMENTO ESTÁTICO 3.1 - INTRODUÇÃO No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes; 2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e portanto melhorá-la.
Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de
escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são apresentadas no apêndice deste livro.
Com estas poucas informações, espera-se que o
projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou carregamento. O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de prova a uma tração progressiva, sob a ação de uma cara lente e gradualmente crescente, em uma máquina de ensaios que permite medir, continuamente, a força de tração P e a correspondente variação de comprimento
63
previamente assinalado no corpo de prova. O alongamento assim determinado compõe-se de deformações "elásticas" e "permanentes". A deformação permanente pode ser medida após o descarregamento da barra solicitada. Na curva tensão deformação se distinguem os seguintes valores-limite: Limite de elasticidade que é a maior tensão que se pode aplicar ao corpo de prova sem que ele sofra deformação permanente. Considera-se limite de elasticidade "técnico" a tensão sob a qual se verifica uma deformação permanente de 0,03%. Limite de proporcionalidade é a máxima tensão sob a qual ainda se verifica proporcionalidade entre a tensão e a deformação, isto é, sob a qual ainda é constante o módulo de elasticidade.
σx ≥ σy → escoamento
σx ≥ σu → ruptura
Figura 1 - Teste de tração em materiais dúcteis e frágeis
Limite de escoamento é a tensão sob a qual se verifica um "escoamento", isto é, um alongamento sem um correspondente aumento da tensão aplicada.(
σy
também usado neste
livro como Sy) Durante o escoamento, a tensão pode variar entre o limite superior de escoamento e o limite inferior de escoamento. Não sendo possível determinar o limite de escoamento, considera-se o mesmo como sendo igual à tensão sob a qual se verifica uma deformação permanente de 0,2%. Limite de ruptura é a máxima tensão que se pode aplicar ao corpo de prova (σu ou também usado neste livro como Su ou Srup). 3.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS Podem-se primeiramente definir dois tipos de materiais. Os materiais dúcteis, que são capazes de suportar uma deformação plástica relativamente grande antes de sofrerem fratura. 64
Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material por ocasião da fratura.
Já o material é considerado frágil, quando se verifica uma pequena deformação
plástica. A linha divisória entre a ductilidade e a fragilidade é o alongamento de 5%. Diz-se que um material com menos de 5% de alongamento na fratura é frágil, enquanto que um que tenha mais de 5 é dúctil. Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material por ocasião da fratura.
A ductilidade é também importante, porque é uma medida da
propriedade que indica a capacidade do material ser trabalhado a frio. Dobramento, embutimento ou estampagem são operações de processamento de metais que exigem materiais dúcteis.
Figura 2 - Máquina para ensaio de dureza
Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é, geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell, Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa estimativa da resistência à tração. A relação é Sut= 3,45 HB , (onde Sut ou σu ) é expresso em MPa. As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de materiais. Para o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a resolução de problemas e a execução de projetos. 65
A avaliação de tensões produzidas por cargas externas e peso próprio (F) é uma das preocupações fundamentais no dimensionamento de estruturas. A tensão (σ) é avaliada por:
σ=
F A
onde F representa o carregamento e A a área da secção resistente. Os materiais podem ser solicitados por tensões de tração, de compressão ou de cisalhamento. Porém, quando submetidos a tensões de tração e compressão surge, internamente ao material, tensões de cisalhamento.
Figura 3 - Tensões de tração, compressão e cisalhamento
As deformações são representadas pelas alterações de forma e dimensões de um corpo resultantes das tensões. Conforme o tipo de carregamento aplicado tais deformações podem ocorrer instantaneamente ou a longo prazo. Dependendo ainda do tipo de material e da magnitude do carregamento as deformações podem ser reversíveis ou permanentes.
Corpo de prova antes do ensaio de tração (a)
Corpo de prova antes do ensaio de tração (b) Figura 4 – Comprimento final e inicial do corpo de prova no ensaio de tração
Deformação específica ε pode ser definida com a relação entre a variação dimensional ( ∆ ) devido ao carregamento e a dimensão inicial
∆ = lo − l f
66
ε=
∆
l
o
onde lo é a dimensão antes da aplicação da carga e lf a dimensão após a aplicação da carga. Em função dos mecanismos de tensão e deformação os materiais podem ser classificados em elásticos, plásticos, viscosos. Entretanto, na prática, como os materiais empregados na engenharia civil não são perfeitos, eles apresentam um comportamento intermediário, podendo ser elasto-plásticos, visco-elásticos, visco-elasto-plásticos. Desse modo as relações tensão-deformação, que definem o comportamento dos materiais, são apresentadas nos itens subseqüentes.
Figura 5 - Corpo de prova submetido a tração
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA Em nível microestrutural, a deformação elástica é resultante de uma pequena elongação da célula unitária na direção da tensão de tração ou a uma pequena contração na direção da tensão de compressão. Esta deformação não resulta em qualquer alteração das posições
Tensão (σ )
relativas dos átomos, conseqüentemente ocorre uma alteração no volume do material.
Def. Elástica
Def. Plástica
Deformação (εε ) Figura 6 - Gráfico tensão x deformação de material levado à ruptura
67
As deformações elásticas são reversíveis, isto é, o material recupera sua forma inicial após a remoção do carregamento. É também instantânea, ou seja, a sua magnitude independe do tempo decorrido desde o momento de aplicação da carga.
MÓDULO DE ELASTICIDADE Quando a deformação medida é uma função linear da tensão e independente do tempo, o material possui comportamento elástico perfeito. Este comportamento é representado pela lei de Hook.
ε=
σ E
onde E é uma constante, denominada módulo de elasticidade, ou módulo de Young. O módulo de elasticidade é a inclinação da reta do gráfico tensão x deformação.
COEFICIENTE DE POISSON Qualquer variação dimensional em uma determinada direção, causada por uma força uniaxial, produz uma variação nas dimensões ortogonais à direção da força aplicada. Por exemplo, pode-se observar uma pequena contração na direção perpendicular à direção da força de compressão. A relação entre a deformação lateral εx e a deformação direta (vertical) εy, com sinal negativo, é denominada coeficiente de Poisson (ν).
Figura 7 – Deformação lateral e direta – Coeficiente de Poisson
ν=−
εx εy
68
O coeficiente de Poisson (ν) está normalmente na faixa 0,25 a 0,50. Nas aplicações de engenharia, as tensões de cisalhamento também solicitam as estruturas cristalinas . Essas produzem um deslocamento de um plano de átomos em relação ao plano adjacente. A deformação elástica de cisalhamento γ (Figura 8)definida pela tangente do ângulo de cisalhamento : γ = tgα e o módulo de cisalhamento G é a relação entre a tensão (τ) e a deformação de cisalhamento (γ):
G =
τ γ
Este módulo de cisalhamento (G) também chamado de rigidez. O módulo de cisalhamento esta relacionado ao módulo de elasticidade e ao coeficiente de Poisson:
G=
E 2(1 + ν )
A tensão de cisalhamento produz um deslocamento de um plano atômico em relação ao seguinte. Desde que os vizinhos dos átomos sejam mantidos, a deformação será elástica (Figura 8 ).
Figura 8 - Deformação elástica por cisalhamento
Considerando-se a faixa de variação do coeficiente de Poisson, o módulo de cisalhamento é entre 33 e 45% do valor do módulo de elasticidade. Os módulos de elasticidade (E) à tração e à compressão, o módulo de cisalhamento (G), assim como o coeficiente de Poisson (ν), são parâmetros importantes que definem um material, dando elementos para a previsão do seu comportamento frente às solicitações externas.
DEFORMAÇÃO PLÁSTICA Quando submetidos a um determinado nível de tensão, muitos materiais apresentam uma deformação permanente, não reversível e que não produz alteração de volume, denominada deformação plástica. Ela é resultante de um deslocamento relativo permanente de planos cristalinos e moléculas adjacentes. Trata-se de uma deformação irreversível, porque os átomos
69
e moléculas deslocados não retornam a sua posição inicial, mesmo depois da remoção do carregamento.
É a deformação plástica total até o ponto de ruptura, provocada por tensões que ultrapassam o limite de elasticidade. Quando
Def. Plástica
irreversível
reversível
Tensão (σ )
DUCTILIDADE
Def. Elástica
um material é submetido à tração, a ductilidade pode ser medida pela estricção que é a
Deformação (εε )
redução da área da seção transversal do material, imediatamente antes da ruptura. É
Figura 9- Comportamento de material elasto-
expressa em porcentagem (%) como sendo:
Es=
plástico durante carga e descarga
Ao - Af x 100 Ao
onde Es é a estricção, Ao a área inicial e Af a área final. Uma outra medida da ductilidade é o alongamento, que também pode ser medido em porcentagem (%), sendo igual a:
Al =
lo − lf x100 lo
onde Al é o alongamento, lo o comprimento inicial e lf é comprimento final. Portanto, quanto mais dúctil um material, maior é a redução de área ou alongamento antes da ruptura. A tensão de escoamento é a tensão na qual o material começa a sofrer deformação plástica.
FLUÊNCIA E RELAXAÇÃO Quando os materiais são submetidos a carregamentos constantes por longos períodos de tempo, apresentam, além da deformação elástica instantânea uma parcela de deformação plástica variável com o tempo e uma parcela de deformação denominada anelástica, ou seja, uma deformação reversível não instantânea. Este processo no qual a tensão (σ) aplicada à peça é constante e a deformação crescente com o tempo, é denominado fluência (Figura 10). Se a peça for submetida a uma deformação constante, a fluência manifesta-se na forma de alívio de tensão ao longo do tempo, conhecido por relaxação.
70
Tensão
Deformação (ε )
Def. por fluência
Def. elástica instantânea ou anelástica
Tempo
Tempo
Figura 10 - Exemplos de deformação (direita) por fluência e relaxação da tensão (esquerda) por fluência
DUREZA É definida pela resistência da superfície do material à penetração efetuada por um material de dureza superior. A escala Brinell - BHN (Brinell Hardness Number) contém índices de medida de dureza, calculados a partir da área de penetração de uma esfera metálica (de aço ou de carbeto de tungstênio) no material. A penetração desta esfera é feita a partir de uma força e intervalo de tempo padronizado. A escala Rockwell de dureza pode ser relacionada a BHN, mas é a medida da profundidade de penetração (p) da esfera, e não da área da calota esférica utilizada para definir dureza BHN.
Figura 11 - Medida de dureza Brinnell
BHN =
2N
πD( D − D 2 − d 2
Para materiais que possam ser considerados homogêneos e isotrópicos, é possível estimar aproximadamente a resistência à tração ou à compressão a partir da dureza.
71
TENACIDADE É a medida da energia necessária para romper o material, expressa em N×m. No gráfico carga x deslocamento pode-se medir a tenacidade pelo cálculo da área sob a curva (Figura 12). A tenacidade é medida através de um ensaio dinâmico onde o corpo-de-prova recebe o impacto de uma massa conhecida que cai de uma altura conhecida. A resiliência é a energia dissipada pelo material em
Figura 12 - Tenacidade
deformação no regime elástica.
FADIGA A fadiga é uma propriedade que os materiais apresentam quando submetidos a esforços cíclicos, como ocorre numa ponte ferroviária cujo maior carregamento acontece com a passagem do trem. Nesta situação, o material pode romper com um nível de tensão inferior ao da ruptura estática, como alguém que fica dobrando um arame quando não pode cortá-lo com as mãos.
(a) Número de Ciclos x Resistência
(b) Número de Ciclos x Resistência
Figura 13 – Gráficos típicos de fadiga apresentando o número de ciclos de carregamento necessários para romper a diferentes tensões de (a) aços e concreto armado e (b) polímeros.
A ruptura por fadiga depende do nível de tensão ao que o material é submetido em cada ciclo: assim, quando o material é submetido a uma tensão da ordem de 95% da tensão de ruptura estática, exigirá um número menor de ciclos do que quando a tensão é de 90%. Em alguns materiais estruturais, como o concreto e o aço, existe o chamado limite de fadiga, que é a porcentagem da tensão de ruptura estática abaixo da qual o material não rompe por fadiga, isto 72
é, suportaria um número infinito de ciclos. Outros materiais, como os polímeros termoplásticos não apresentam limite de fadiga, rompendo sempre com o esforço cíclico, mesmo que isso demande um número imenso de ciclos. 3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTÁTICO Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é, geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell, Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa estimativa da resistência à tração. A relação é Sut= 3,45 HB , onde S é expresso em MPa. As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de materiais. Para o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a resolução de problemas e a execução de projetos. Os engenheiros que trabalham com projetos de máquinas e desenvolvimento de novos produtos de todo tipo de estrutura são confrontados quase sempre com problemas onde as peças possuem tensões normais de tração e compressão e flexão, além tensões de cisalhamento.Porque uma peça falha? Esta questão tem ocupado os cientistas e engenheiros por décadas. Hoje se tem muito mais entendimento sobre vários mecanismos de falhas do que se sabia no passado, devido a melhoria de técnicas de medição e testes. A resposta mais simples e óbvia para a pergunta acima seria dizer que as peças falham porque suas tensões atuantes excedem suas resistências. Que tipo de tensões ocasionam as falhas,as tensões devido a compressão, tração, cisalhamento? A resposta seria: “Depende”. Depende do material em questão; depende de sua resistência à compressão, tração e cisalhamento. Depende também do tipo de carregamento e da presença ou ausência de fissuras no material.
Para uma combinação de cargas estáticas que produzem tensões
críticas, como saber se o material irá falhar para uma determinada aplicação? Uma vez que é impraticável testar cada material e cada combinação de tensões, uma teoria de falha é necessária para predizer com base na performance do teste de tração simples do material, tão forte e resistente será sob outras condições de carga estática. A “teoria” por trás de todas as teorias de falha é que qualquer que seja o responsável pela falha no teste padrão clássico de tração será também responsável pela falha sob todas as outras condições de carga estática.
73
Por exemplo, suponha que um material tenha uma resistência à tração de 700 MPa. A teoria prediz que sob qualquer condição de carga, o material irá falhar, se e somente se, a tensão normal máxima exceder a 700 MPa. Para uma tensão normal de 560 MPa, não há previsão de falha na peça. Por outro lado, suponha que seja postulado que a falha durante o teste de tração ocorreu porque o material é limitado pela sua capacidade inerente de resistir a tensão de cisalhamento, e que baseado no teste de tração a sua capacidade de tensão cisalhante é de 350 MPa. Então se a peça foi submetida a uma tensão de cisalhamento de 420 MPa, sua falha foi prevista pela teoria. O estudante de engenharia já tendo estudado os princípios de Mecânica dos sólidos e resistência dos Materiais reconheceu nos exemplos acima a ilustração da teoria da máxima tensão normal e a teoria da máxima tensão cisalhante. Falha em uma peça submetida a um tipo qualquer de carregamento é considerada como qualquer comportamento que a torna inútil para o qual foi projetada.
Neste ponto iremos
considerar somente carga estática, deixando a parte de fadiga para o próximo capítulo. Carga estática pode resultar de uma deflexão ou instabilidade elástica bem como uma distorção plástica ou fratura. A distorção ou deformação plástica, está associada com tensões cisalhantes e envolvem deslocamentos ao longo de planos de deslocamentos. A falha é definida como ocorrendo quando a deformação plástica alcança um limite arbitrário, por exemplo 0,2 % em um teste padrão de tração. O escoamento poderá no entanto ocorrer em áreas localizadas de concentração de tensões ou em qualquer peça submetida à flexão ou torção quando escoamento seja restrito a superfície externa.
3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DÚCTEIS SOB CARGA ESTÁTICA Enquanto os materiais dúcteis irão sofrer fratura se tencionado estaticamente acima de seu limite de resistência máximo, sua falha nos elementos de máquinas é geralmente considerado ocorrer quando escoam sob carga estática. O limite de resistência ao escoamento de um material dúctil é muito menor do que seu limite de resistência. Historicamente, várias teorias foram formuladas para explicar esta falha: a teoria da máxima tensão normal, a teoria da máxima deformação normal, a teoria da energia de deformação máxima, a teoria da energia de distorção (Von Mises-Hencky) e a teoria da máxima tensão cisalhante.
Destas somente as duas últimas concordam com os resultados
experimentais e delas, a teoria de von Mises-Hencky é a mais precisa. Serão discutidas as duas últimas teorias.
74
A) CRITÉRIO DE VON MISES-HENCKY OU CRITÉRIO DA MÁXIMA ENERGIA DE DISTORÇÃO O critério de Von Mises leva em consideração todas as tensões que atuam no corpo – tensões tridimensionais, ou seja, as três tensões que atuam no cubo, definidas como s1 , s2 e s3 . Baseado em experimentos que mostram que corpos tencionados hidrostaticamente possuem escoamento muito acima (ou não escoam) dos valores dados pelos testes de tração. Von Mises conclui que o escoamento está diretamente relacionado com a distorção angular do material da estrutura. Por esta razão, este critério é baseado na teoria da energia de distorção máxima. Desta forma, a energia que produz a distorção angular em uma estrutura é igual à energia total de deformação menos a energia para produzir a variação de volume, ou seja:
Figura 14 – Energias aplicada em um corpo para variar seu volume
A tensão σm é chamada de tensão média e dada por:
σm =
σ 1 +σ 2 +σ 3 3
A energia de distorção do corpo provoca uma distorção na sua forma geométrica, como mostrado:
75
Figura 15 – Distorção geométrica de um corpo
Este critério se baseia na determinação da energia de distorção (isto é, energia relacionada a mudanças na forma) do material. Neste critério, estamos interessados na tensão equivalente
σ eq =
(σ 1 − σ 2 )2 2
e o material é considerado no regime elástico enquanto σeq ≤ SY onde SY é o limite de escoamento do material, tensão esta determinada em um ensaio de tração. Graficamente esta relação é representada pela figura 15, onde cada ponto, de coordenadas σ1 , σ2 representa o estado de tensões em um ponto do corpo. A região interna a elipse de Mises indica que o ponto do corpo encontra-se no regime elástico. O contorno indica plastificação e a região externa é inacessível. Esta teoria preconiza que em qualquer material elasticamente tencionado aparece uma variação no formato, no volume ou em ambos. A energia total de deformação
em uma peça submetida a carregamento pode ser
considerada consistindo de duas componentes ,uma devido ao carregamento hidrostático que varia seu volume e outra devido a distorção com a variação do seu formato. Ao separar estas duas componentes, a parcela da energia de distorção irá apresentar a medida da tensão cisalhante presente. O componente estrutural estará em condições de segurança enquanto o maior valor da energia de distorção por unidade de volume do material permanecer abaixo da energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar o escoamento no corpo de prova de mesmo material submetido a ensaio de tração. É conveniente quando utilizar esta teoria em trabalhar com a tensão equivalente, definida com o valor da tensão de tração uniaxial que produz o mesmo nivel de energia de distorção que a tensão real envolvida.
76
Seja a energia de distorção por unidade de volume em um material isotrópico em estado plano de tensões:
(
1 Ud = .G σ 12 − σ 1σ 2 + σ 22 6
)
Sendo σa e σb as tensões principais e G o módulo de elasticidade transversal. No caso particular de um corpo de prova em ensaio de tração, que esteja começando a escoar, temos σ1 =σy e σ2 =0, sendo (Ud)e = σy2 /6. G. Assim o critério da máxima energia de distorção indica que o elemento estrutural está seguro enquanto Ud < (Ud)e ou seja σ12 -σ1σ2 + σ22 = Sy2
Figura 16 - Teoria da energia de distorção ou Von Mises
B) CRITÉRIO DE TRESCA OU DA MÁXIMA TENSÃO DE CISALHAMENTO Este critério estabelece que a falha (escoamento) começa sempre que a tensão cisalhante máxima em uma peça torna-se igual à tensão cisalhante máxima (Ssy) que o material pode suportar. Neste critério, as duas tensões são consideradas, lembrando-se que:
τ máx =
σ1 − σ 2 2
⇒
Tensão cisalhante máxima é a metade da diferença entre as duas tensões que atuam
Assim, o procedimento é feito calculando-se a máxima tensão cisalhante que atua na estrutura, usando o modelo matemático apropriado, e comparando com o limite de resistência (escoamento) ao cisalhamento (Ssy). Escoamento começa quando:
τ máx = S sy 77
O limite de resistência ao cisalhamento ou tensão cisalhante do material está relacionado com Sy (limite de escoamento a tração / compressão). Desta forma, para um teste uniaxial de tração, apenas a tensão σ1 está presente, sendo a condição extrema quando σ1 = Sy, então:
Sy Ssy = 2 = 0,5 ⋅ Sy O limite de resistência ao cisalhamento do material é a metade do limite de resistência do material, seja no escoamento (Sy) como no limite de resistência máximo (Su). A representação gráfica deste critério esta mostrada abaixo:
Figura 17 – representação gráfica do Critério de Tresca
Este critério é mais usado para materiais dúcteis.
Figura 18 – Exemplificação de torção em uma peça
Para garantir que a estrutura não ira falhar, usa-se um fator de segurança n.
τ
τ
máx
máx
=
=
S
sy
n
S
su
n
=
=
S
y
2n
S
u
2n
A teoria da máxima tensão cisalhante deve ser a mais antiga teoria sendo originariamente proposta por Coulomb (1736-1806), que apresentou as maiores contribuições 78
para o campo da mecânica e da eletricidade. Esta teoria está representada graficamente na figura 17. Note cuidadosamente na figura 17 que no primeiro e terceiro quadrantes a tensão principal zero está envolvida no circulo principal de Mohr, o mesmo não acontecendo no segundo e quarto quadrantes. Esta teoria se correlaciona razoavelmente com o escoamento de materiais dúcteis. Contudo a teoria da máxima energia de distorção seria mais recomendada porque correlaciona melhor com os dados atuais de testes de materiais dúcteis, sendo: SY = Limite de Resistência ao Escoamento; σ1, σ2 - tensões normais principais
ESTADO UNIAXIAL - σ1 < SY O Elemento estrutural é considerado seguro enquanto a tensão máxima de cisalhamento τmax no elemento não exceder a tensão de cisalhamento correspondente a um corpo de prova do mesmo material, que escoa no ensaio de tração.
3.3.2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO 1.
A viga mostrada na figura abaixo foi construída de um material com Sy = 150MPa. Determinar a largura b da viga, sabendo-se que l = 1,5m, h=0,35m, P=100.000N, segurança n=1,7, usando o escoamento como a característica de resistência do material.
Figura 19 – Figura exercício resolvido
Resolução:
y=
σ=
h 2
M = P ⋅l
P ⋅l
b⋅h
3
⋅
h 2
=
12 P ⋅ l ⋅ 2 h2
σ=
⇒
I = b⋅h 12
M ⋅y I
σ = 6⋅
3
P ⋅l
b⋅h
2
12 79
σ≤
Condições de dimensionamento ⇒
Sy n
Então:
6⋅
P ⋅l
b⋅h
2
≤
Sy
⇒
n
b ≥ 6⋅
P ⋅l
h
2
⋅
n
Sy
100000 ⋅1,5 ⋅ 1,7 ( 0,35 )2 ⋅150 ⋅106
⇒
b ≥ 6⋅
⇒
b ≥ 0,083 m
3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS SOB CARGA ESTÁTICA A) CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL (RANKINE) Este critério de comparação entre s e v, estabelece que a falha da estrutura ocorre sempre que a maior tensão (principal) que atua na peça, determinada pelo modelo matemático apropriado, se iguala ao limite de escoamento (Sy) ou ao limite de resistência (Su). Assim:
Figura 20 – Tensão normal atuante em uma peça – Critério de Rankine
s1 = Sy s1 = Su s1 é a máxima tensão normal que atua Se o estado de tensão que atua no corpo da estrutura for um estado plano de tensão, ou seja, tensões normais sx , sy e tensão cisalhante txy , mesmo assim a comparação com S é feita tomando-se apenas a maior delas. Assim:
80
Figura 21 - Estado de tensão que atua no corpo de uma estrutura em um estado plano de tensão
Apenas s1 é usada na comparação. Pelo que foi visto, o critério da máxima tensão normal, s1 sendo a única tensão importante, tem sua aplicação em estruturas onde outras tensões são pequenas ou desprezíveis. Uma representação gráfica ilustra este critério conforme mostrado abaixo:
Figura 22 - Critério de Rankine
Sut = limite de resistência à tração Suc = limite de resistência à compressão Para os aços
⇒ Sut = Suc
Para garantir a integridade da estrutura, assegurar que a mesma não vai falhar, usa-se um fator de segurança n (1,3 ≤ n ≤ 2,0) e a comparação é feita. Neste caso o escoamento é considerado como limite de resistência critica. Critério mais usado para materiais frágeis.
σ = Sn
ut
1
→
Neste caso o escoamento é considerado como limite de resistência crítico. Critério mais usado para materiais frágeis.
σ
1
=
S
y
n
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O componente estrutural se rompe quando a máxima tensão normal atinge o valor da tensão última σU do material, determinada em um ensaio de tração em um corpo de prova de mesmo material. Assim, o componente estrutural se encontrará em situação de segurança enquanto os valores absolutos das tensões principais forem menores que Sut. O critério da máxima tensão normal é conhecido também com critério de Coulomb, devido ao físico francês Charles Augustin de Coulomb. Este critério tem uma deficiência séria, uma vez que se baseia na hipótese de que a tensão última do material é a mesma na tração e na compressão.
B) CRITÉRIO DE MOHR Ensaios de tração, compressão, torção → Envoltória dos círculos de Mohr
Figura 23 - Critério de Mohr
Este critério, sugerido pelo engenheiro alemão Otto Mohr, pode ser usado para prever os efeitos de um certo estado de tensões plano em um material frágil, quando alguns resultados de vários tipos de ensaios podem ser obtidos para esse material. O estado de tensões que corresponde à ruptura do corpo de prova no ensaio de tração pode ser representado em um diagrama de círculo de Mohr pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em σUT . Do mesmo modo, o estado de tensões que corresponde à ruptura no ensaio de compressão pode ser representado pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em SUC. Fica claro que um
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estado de tensões representado por um círculo inteiramente contido em qualquer dos dois círculos descritos é um estado de tensões seguro.
3.4 - SELEÇÃO DE MATERIAIS A seleção de um determinado material para integrar um novo produto é uma tarefa dinâmica e os princípios que a controlam são constantemente alterados à medida que novos materiais são também continuamente concebidos, bem como os requisitos técnicos e econômicos podem ser mudados. Um exemplo desse fato é a substituição das ligas metálicas por materiais compósitos na fuselagem dos aviões comerciais de última geração. A necessidade de minimizar gastos com combustível e melhorar o desempenho dessas aeronaves leva ao uso de um material mais leve. Um outro exemplo é encontrado na indústria automobilística. Até o início da década passada era comum que os blocos de motores fossem fabricados em ferro fundido, um material relativamente pesado. Entretanto, nos últimos anos a indústria automobilística tem substituído o ferro fundido por ligas de alumínio, que além de serem mais leves, permitem que o motor seja refrigerado de maneira mais eficiente. A substituição de materiais é um processo contínuo que ocorre desde os primórdios da civilização, à medida que, em função de suas necessidades, o homem iniciou a transformação de materiais em ferramentas e utensílios. Na indústria moderna, muitos fatores e aspectos são constantemente alterados. Isto provoca a contínua busca pela reposição de materiais, tendo como objetivo o menor custo de produção, bem como o aumento da eficiência do produto final. Uma lâmpada,por exemplo, é constituída por um bulbo de quartzo (SiO2) e por um filamento de tungstênio. O tungstênio, por suportar facilmente temperaturas acima de 2.0000C, é usado para transformar energia elétrica em energia luminosa. Entretanto, em presença de oxigênio, esse metal é intensamente oxidado em temperaturas elevadas, o que leva a sua degradação. Em uma lâmpada elétrica, o tungstênio é inserido dentro do bulbo e selado a vácuo, o que evita a oxidação do filamento. Um exemplo clássico de alteração no perfil de consumo de materiais é o caso da indústria automobilística. Em 1975, um carro médio americano exibia em torno de 80% de seu peso em ligas ferrosas. Com a necessidade de redução de peso imposta pelos aumentos do custo de combustíveis na década de 70, o emprego dessa ligas passou a ser responsável por 73% do peso. Tal redução é significativamente profunda quando se considera que o veículo teve seu peso reduzido em aproximadamente 25% no mesmo período, resultado direto do uso de materiais mais leves e da diminuição em tamanho. Nesse período, o uso de materiais leves, como os plásticos e o alumínio, passou de 8% do peso total do veículo para valores próximos a 23%. Atualmente, é possível encontrar em alguns automóveis,
83
carrocerias construídas integralmente em alumínio, o que além de representar redução de custos, resulta em um produto mais resistente à corrosão.
3.4.1 - MATERIAIS METÁLICOS A principal característica dos materiais metálicos está relacionada à forma ordenada com que os seus átomos estão arranjados no espaço, o que pode ser melhor sintetizado pelo termo “estrutura cristalina”. Em função do arranjo atômico, os materiais metálicos apresentam, em geral, boa resistência mecânica e podem ser deformados permanentemente sob a ação de forças externas. Além, disso, como resultado das ligações metálicas, eles são bons condutores de calor e eletricidade. Os materiais metálicos são substâncias inorgânicas compostas por um ou mais elementos metálicos e podem também conter elementos não-metálicos, como o oxigênio, carbono e nitrogênio. Dentre os materiais metálicos, destacam-se as ligas de alumínio, largamente empregadas na construção de aeronaves, as ligas de titânio usadas na confecção de implantes ortopédicos e as superligas de níquel, apropriadas para fabricação de componentes para operação em temperaturas elevadas. Os metais são vitais para indústria moderna, pois seu uso ocorre em uma gama de aplicações excepcionalmente diversificada, da indústria de microeletrônica à automotiva.
AÇOS ESPECIAIS Aços especiais são os aços que pelo seu percentual de carbono ou pela adição de elementos de liga, principalmente metálicos, apresentam propriedades específicas em termos de resistência mecânica, à corrosão e características eletromagnéticas. Assim como nos aços comuns, os aços especiais podem ser planos ou longos.
AÇOS ESPECIAIS PLANOS Os aços especiais planos são produzidos através de processos de laminação a quente ou a frio, sendo comercializados nas formas de bobinas e chapas. Os tipos mais importantes são os aços inoxidáveis, os aços siliciosos (ou aços elétricos) e os aços carbono e/ou ligados.
84
AÇOS INOXIDÁVEIS O aço inoxidável é versátil, reciclável e está presente em vários segmentos de mercado, pelas suas características mecânicas, de durabilidade, limpeza e beleza. Deve conter mínimo de 10% de cromo em sua composição, o que permite a formação em sua superfície de fina película protetora de óxido de cromo, que impede a corrosão (oxidação) do ferro. Outros elementos como níquel, molibdênio e cobre, quando adicionados, melhoram a resistência à corrosão e as características mecânicas destes aços. Os aços inoxidáveis são divididos em três tipos básicos conforme o teor de cromo, níquel e carbono em sua composição e suas características metalúrgicas. - Aços Inoxidáveis Martensíticos - contêm de 10% a 30% de cromo e alto carbono. O maior teor de carbono torna estes aços temperáveis, obtendo-se dureza superficial. - Aços Inoxidáveis Ferríticos - possuem teor de cromo idêntico aos martensíticos e baixo teor de carbono, apresentando superior resistência à corrosão. - Aços Inoxidáveis Austeníticos - quando, além do cromo, contêm níquel em percentagens de 5% a 25%. Estes são os inoxidáveis considerados mais nobres, pois o níquel melhora a resistência à corrosão, as qualidades mecânicas e a resistência ao trabalho em temperaturas elevadas. Cabe ressaltar que o setor de bens de consumo duráveis é o maior consumidor, especificamente o de cutelaria e baixelas. O consumo industrial, englobando indústrias alimentícia, bebidas, láctea, vinícolas e de balcões e frigoríficos, é o segundo maior demandante, seguido pelo setor de transportes (indústria automobilística).
AÇOS SILICIOSOS Os aços siliciosos ou aços elétricos têm características eletromagnéticas e podem ser de dois tipos: G.O. - grão orientado e G.N.O. - grão não orientado. Os aços ao silício G.O. apresentam excelentes propriedades magnéticas na direção de laminação. Estes aços são utilizados basicamente na fabricação dos núcleos de transformadores, e em menor escala em reatores de potência, hidrogeradores e turbogeradores, propiciando economia de energia elétrica e maior eficiência dos equipamentos. Os aços ao silício G.N.O. possuem as mesmas propriedades magnéticas em qualquer direção. As principais aplicações são na fabricação de núcleos de geradores e motores elétricos, não necessitando de tratamento térmico posterior. Note-se que algumas vezes são também chamados de especiais os aços ao silício, semiprocessados, os quais necessitam ser submetidos a tratamento térmico posterior pelo
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usuário, para adquirir características magnéticas do aço silicioso G.N.O., porém com qualidade inferior.
AÇOS CARBONO/LIGADOS São utilizados em máquinas e equipamentos que requerem propriedades mecânicas especiais, conferidas pelo alto teor de carbono (de 0,5% a 2,0% C) e/ou pelos elementos de liga adicionados em sua confecção. Os principais usos são nos implementos agrícolas, ferramentas e cutelaria.
AÇOS ESPECIAIS LONGOS Os aços especiais longos apresentam enorme gama de tipos em função das propriedades físicas e químicas requeridas. São geralmente comercializados sob as formas de blocos, tarugos, barras, fio-máquina, arames e tubos. Para fins de estudos, podem ser classificados em quatro tipos básicos:
AÇOS PARA CONSTRUÇÃO MECÂNICA São aços que contêm carbono até 0,5% e/ou outros elementos de liga como silício, manganês, cromo e molibdênio, de forma a melhorar suas características de resistência mecânica. Os aços para construção mecânica são classificados por vários critérios como composição química, tratamento térmico a ser submetido e aplicação final dos produtos. Os principais tipos de aços são: microligados, para tratamento térmico, para forjados, para molas, para porcas e parafusos e para rolamentos. Estima-se que cerca de 90% dos aços para construção mecânica destina-se à indústria automobilística e de autopeças. A indústria ferroviária, implementos agrícolas e de artigos de uso doméstico seriam as demais usuárias.
AÇOS DE ALTA-LIGA Estes aços contêm elementos de liga como cromo, níquel, molibdênio, vanádio, tungstênio e cobalto, adquirindo propriedades de dureza e resistência mecânica, entre outras, necessárias à fabricação de ferramentas de usinagem, estampos, moldes e matrizes, válvulas e outros produtos. Os principais tipos são: aço ferramenta, aço rápido, aço inoxidável, aço válvula e superligas.
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Os aços ferramenta podem ser para trabalho a frio e a quente. As principais características do aço ferramenta para trabalho a frio são: alta resistência a abrasão, alta tenacidade, elevada retenção de corte, alta resistência ao choque e grande estabilidade dimensional. No caso dos aços para trabalho a quente, as principais características são: elevada resistência mecânica a quente, boa resistência a abrasão em temperaturas elevadas, boa condutibilidade térmica e elevada resistência à fadiga. Os aços rápidos são aços ferramenta utilizados para fabricação de ferramentas de corte. Os aços inoxidáveis longos destinam-se a diversos usos onde se necessite material não corrosivo, tais como indústrias de alimentos, bebidas e hospitalar. Os aços válvula são inoxidáveis destinados, especificamente, para a produção de válvulas de motores a combustão. As superligas são ligas nobres, principalmente à base de níquel, feitas sob encomenda, para utilização em resistências elétricas, eletrodos de vela de automóvel, implantes cirúrgicos, entre outros.
3.4.2 - MATERIAIS CERÂMICOS Os materiais classificados como cerâmicos envolvem substâncias altamente resistentes ao calor e no tocante à estrutura atômica, podem apresentar arranjo ordenado e desordenado, dependendo do tipo de átomo envolvido e à forma de obtenção do material. Esses materiais são constituídos por elementos metálicos e não-metálicos (inorgânicos), formando reações químicas covalentes e iônicas. Em função do arranjo atômico e das ligações químicas presentes, os materiais cerâmicos apresentam elevada resistência mecânica, alta fragilidade, alta dureza, grande resistência ao calor e, principalmente, são isolantes térmicos e elétricos. Nas últimas décadas, uma gama bastante variada de novos materiais cerâmicos foi desenvolvida. Tais materiais caracterizam-se, principalmente, pelo controle de suas composições, das dimensões de suas partículas e do processo de produção dos componentes. Como resultado desse procedimento, é possível produzir dispositivos de alta resistência mecânica e resistente a temperaturas elevadas, o que possibilita a aplicação dos mesmos em máquinas térmicas, onde o aumento do rendimento está ligado ao aumento da temperatura de trabalho. Em razão de sua excelente estabilidade térmica, os materiais cerâmicos têm um importante papel na fabricação de diversos componentes, tais como insertos de pistões de motores de combustão interna ou ainda, na produção de componentes de turbinas a gás. A figura 24 mostra produtos automotivos fabricados com materiais cerâmicos. Exemplos de materiais cerâmicos incluem a alumina, a sílica, o nitreto de silício, a zircônia e o dissiliceto de molibdênio, todos caracterizados como materiais cerâmicos de engenharia.Em função da alta
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estabilidade térmica, os materiais cerâmicos são, em princípio, ideais na fabricação de componentes de máquinas térmicas, as quais têm seu rendimento aumentado quando se eleva a temperatura de operação.
(a)
(b)
Figura 24 - Produtos automotivos fabricados com materiais cerâmicos: (a) Parte superior de pistões e anéis de nitreto de silício sinterizado, (b) Rotor de turbo-alimentador de nitreto de silício.
Entretanto, além das características citadas, os materiais cerâmicos exibem baixa tenacidade à fratura, que corresponde à falta de capacidade de limitar a propagação de trincas no interior do material. Assim, no caso da existência de uma pequena trinca no interior de um componente fabricado com materiais cerâmico, a mesma propagaria rapidamente, causando a ruptura do mesmo. Tal fenômeno ocorre em escala muito menor em materiais metálicos. Algumas partes da fuselagem do ônibus espacial americano são recobertas com material cerâmico. Durante a reentrada dessa aeronave na atmosfera terrestre, em conseqüência do atrito, temperaturas acima de 1.0000C podem ser geradas, o que poderia danificar partes desse veículo. O recobrimento de material cerâmico utilizado, que pode suportar temperaturas extremamente elevadas, serve como proteção, isolando o calor gerado do resto da aeronave.
3.4.3 - MATERIAIS POLIMÉRICOS Os materiais poliméricos, apesar de abrangerem diversos materiais classificados como naturais, envolvem ainda aqueles de natureza sintética e artificial. Grande parte desses últimos tiveram sua utilização viabilizada a partir da década de 20, com os avanços da química orgânica. A principal característica que diferencia os materiais poliméricos dos outros tipos de materiais está relacionada à presença de cadeias moleculares de grande extensão constituídas principalmente
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por carbono. O arranjo dos átomos da cadeia molecular pode levar a mesma a ser caracterizada como linear, ramificada ou tridimensional. O tipo de arranjo da cadeia controla as propriedades do material polimérico. Embora esses materiais não apresentem arranjos atômicos semelhantes ao cristalino, alguns podem exibir regiões com grande ordenação atômica (cristalinas) envolvidas por regiões de alta desordem (não-cristalina). Devido à natureza das ligações atômicas envolvidas (intramoleculares → ligações covalentes e intermoleculares → ligações secundárias), a maioria dos plásticos não conduz eletricidade e calor. Além disso, em função do arranjo atômico de seus átomos, os materiais poliméricos exibem, em geral, baixa densidade e baixa estabilidade térmica. Tal conjunto de características permite que os mesmos sejam freqüentemente utilizados como isolantes elétrico ou térmico ou na confecção de produtos onde o peso reduzido é importante. Um dos materiais poliméricos mais versáteis é o polietileno, com um número de aplicações industriais bastante amplo. Outros exemplos de materiais poliméricos incluem os poliuretano, que é usado na fabricação de implantes cardíacos ou a borracha natural utilizada na fabricação de pneus.O painel de um automóvel moderno é essencialmente fabricado com o uso de plásticos (material polimérico). Entretanto, os automóveis fabricados há mais de 20 anos tinham o mesmo painel fabricado a partir de materiais metálicos. Tal substituição foi efetuada em função de dois fatores: segurança e custos. Com o uso de plásticos, o painel se tornou mais seguro para os ocupantes do veículo em caso de acidente, pois esse materiais deformam-se mais facilmente que os materiais metálicos. Com o desenvolvimento da indústria petroquímica, os plásticos tiveram seu custo reduzido, bem como os processo de moldagem tornaram-se mais eficiente, o que resultou em um produto de preço reduzido. Um automóvel de competição de última geração é basicamente construído com o uso de materiais compósitos do tipo matriz plástica e reforço de fibras de carbono. O material compósito matriz plástica/fibras de carbono permite obter uma relação resistência mecânica/peso extremamente elevada e muito maior que a de diversos materiais metálicos. Em um automóvel de competição é importante reduzir o peso total do veículo. Portanto, com o uso desse material compósito é possível projetar o veiculo, com um peso total menor. Por outro lado, o emprego de tal material em automóveis de passeio não se justifica à medida que o custo de produção seria excessivamente elevado em comparação com o uso do aço. O emprego de materiais para se produzir um produto manufaturado exige etapas de fabricação onde as características desses materiais são alteradas no tocante à forma, a dimensões, e principalmente, em relação a sua estrutura interna. No caso de materiais metálicos, o processamento pode envolver técnicas como a fundição, o forjamento, ou a laminação. No caso de materiais cerâmicos, este podem ser fundidos, sinterizados, ou tratados termicamente. 89
TIPO DE MATERIAL
CARACTERÍSTICAS
CONSTITUINTES
METÁLICO
Média – Alta resistência mecânica Alta ductilidade Bom condutor térmico e elétrico Baixa – Alta temperatura de fusão Baixa – Alta dureza
Elementos metálicos e não-metalicos
Bom isolante térmico e elétrico
Cadeiras moleculares orgânicas
POLIMÉRICO
Alta ductilidade Baixa resistência mecânica Baixa dureza Baixa estabilidade térmica CERÂMICO
Alta resistência mecânica Alta fragilidade Bom isolante térmica e elétrico Alta temperatura de fusão Alta dureza
Óxidos Silicatos Nitretos
Tabela 1 - Constituição e características dos materiais
Os materiais poliméricos são processados principalmente por moldagem a quente. Em todos os casos, um número elevado de variáveis operacionais é observado e as características e intensidade dessas afetarão de maneira significativa, a natureza do produto final. Por exemplo, a transformação de um lingote de aço em uma chapa metálica a ser utilizada na fabricação de um automóvel exige que o material seja conformado plasticamente, o que além de gerar tensões na estrutura cristalina do metal, pode modificar sua estrutura atômica, alterando o arranjo dos átomos. Tal situação pode alterar de maneira significativa, as propriedades mecânica do material utilizado. Um outro exemplo está relacionado à produção de uma peça metálica pelo processo de fundição de metais, como é o caso de um bloco de motor de automóvel. Neste caso, um molde, com uma cavidade com a mesma forma geométrica do bloco é preenchido por um volume de metal líquido. Após a solidificação deste metal, a peça é desmoldada e a fundição do pistão é concluída. Quando a velocidade de solidificação do metal líquido é alta ou baixa, a estrutura interna do material será afetada em relação a defeitos na estrutura atômica e distribuição de constituintes e conseqüentemente, alterando as propriedades da peça. Concluindo, um material para ser aplicado em engenharia necessita apresentar dados sobre suas características básicas e também sobre a maneira com que o mesmo foi processado 90
até o momento de ser empregado. Uma chapa de aço, que é na verdade uma liga de ferro e carbono, laminada "a frio" apresenta características distintas de uma outra laminada "a quente". No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes; 2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e portanto melhorá-la.
Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de
escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são apresentadas no apêndice deste livro.
Com estas poucas informações, espera-se que o
projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou carregamento.
3.5 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.
Qual a peça solicitada por maior tensão; uma barra de aço de seção reta 1,31×1,53 cm solicitada por uma carga de 209,5 N ou uma barra de aço duro de seção circular de diâmetro 6,8 mm sob uma carga de tração de 139,0 N ?
91
2.
Em um fio de aço são marcados dois traços que distam entre si 50,0 mm. O fio é tencionado e a distância entre traços passa a ser 57,6 mm. Qual o alongamento sofrido?
3.
Se o módulo médio de deformação longitudinal (Es) de um aço é 2.100.000 kgf/cm2, quanto se alongará um fio de 12,7 mm de diâmetro e com 10 m de comprimento, quando solicitado por uma carga de tração de 18.000 kgf?
4.
Se o módulo médio de deformação longitudinal (Ec) de um concreto é 250.000 kgf/cm2 , quando se encubará (deformação elástica-instantânea) uma viga de seção reta 20×30 cm com 10m de comprimento, quando submetida a uma carga de compressão de 18.000 kgf?
5.
Com o valor de encurtamento obtido no exercício 4 calcule em quanto foi reduzida a carga de tração do exercício 3.
6.
Uma carga de 450 kgf, quando aplicada a um fio de aço com 240 cm de comprimento e 0,16 cm2 de área de seção transversal, provoca uma deformação elástica de 0,3 cm. Calcular a tensão (σ), a deformação (ε) e o módulo de Young (Es).
7.
Ao se determinar a dureza Brinell de um exemplar de uma amostra de cobre, usou-se uma esfera de diâmetro 2mm impressa com uma força igual a 40 kgf. Os diâmetros de impressão, medidos a 180° um do outro foram de 0,67 e 0,69 mm. Qual a dureza Brinell do corpo de prova ensaiado?
8.
Uma barra de alumínio com 12,5 mm de diâmetro, possui duas marcas que distam entre si 50mm. Os seguintes dados obtidos de um ensaio de tração: Carga (kgf)
Distância entre marcas (mm)
900
50,05
1800
50,10
2700
50,15
3600
54,80 Tabela 2 – exercício proposto 8
a) Construir a curva tensão×deformação; b) Calcular o módulo de deformação longitudinal da barra; c) Calcular a tenacidade do material, Para este cálculo, é necessário, fazer uma simplificação admitindo patamar de escoamento linear até a ruptura (material elásticoplástico perfeito).
92
SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS 9.
Projetou-se um pequeno pino de 8 mm de diâmetro, de um ferro fundido cujas tensões de resistência a tração e a compressão são respectivamente σrt=293 MPa e σrc=965 MPa. Este pino suportará uma carga compressiva de 3500 N combinada com uma carga torcional de 9000 N.m. Calcular o fator de segurança usando a teoria da Tensão Normal Máxima, Teoria de Mohr Modificada e Teoria de Coulomb-Mohr.
10.
Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura abaixo baseando-se na teoria da máxima energia de distorção e na teoria da máxima tensão de corte e compare-as. Material: Alumínio com σe =330 MPa Comprimento da haste: L = 160 mm Comprimento do braço: a = 200 mm Diâmetro externo da Haste: 45 mm Carregamento : F = 4500 N
Figura 25 – Exercício proposto 10
11.
Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura acima se baseando na teoria de Mohr modificada. Material: Ferro fundido cinzento com σrt =380 MPa e σrc = 1200 MPa Comprimento da haste: L = 160 mm Comprimento do braço: a = 200 mm Diâmetro externo da haste: 39 mm Carregamento : F = 4500 N
12.
Determinar os fatores de segurança, correspondentes às falhas pelas teorias da tensão normal máxima, da tensão cisalhante máxima, e da teoria de Von-Mises (energia da distorção) respectivamente para um aço 1020 Laminado, para cada um dos seguintes estados de tensão: a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa. b) σx =70 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido horário). c) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário). d) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário). 93
Usando os valores típicos das resistências do ferro fundido ASTM 40, determinar os
13.
fatores de segurança correspondentes à fratura, pelas teorias da tensão normal máxima, de Coulomb-Mohr e modificada de Mohr, respectivamente, para cada um dos seguintes estados de tensão: a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa. b) σx =70 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido horário). c) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário). d) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário).
14.
Um tubo de alumínio com σe =290 MPa e σrt = 441 MPa tem 80 mm de diâmetro externo e espessura de parede de 1,25 mm e esta sujeito a uma pressão estática interna de 8,9 MPa. Calcular o fator de segurança, contra o escoamento, aplicando as três teorias para materiais dúcteis.
15.
Um cilindro de paredes grossas deve ter um diâmetro interno de 15 mm, ser feiro de um aço SAE 4140 normalizado e deve resistir a uma pressão interna de 35 MPa baseado num fator de segurança de 4. Especificar um diâmetro externo satisfatório, baseado a decisão no escoamento, de acordo com a teoria da máxima tensão cisalhante.
16.
Um elemento de máquina de seção retangular esta submetido a uma carga P = 5000N. O elemento é confeccionado com aço SAE 1020 normalizado. O raio de curvatura r = 50 mm e b = 10mm, c = 10 mm. Determine o coeficiente de segurança correspondente a teoria de von-Mises.
CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E FRATURA 17.
Um componente de máquina construído em aço, está submetido ao estado de tensões indicado. O aço utilizado tem σY = 331 MPa. Usando a teoria da máxima tensão de cisalhamento (Tresca), determinar se vai ocorrer escoamento quando: a) σ0 = 210 MPa; b) σ0 = 252 MPa; c) σ0 = 294 MPa. Resp.: a) Não; b) Sim; c)Sim.
18.
Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima energia de distorção (von
Mises). 94
Resp. : a)Não; b) Não; c) Sim. 19.
Um componente estrutural de aço, com σY = 300 MPa, fica submetido ao estado de tensões indicado.
Figura 26 – Exercício proposto 19
Determinar, usando o critério da máxima energia de distorção, se o escoamento vai ocorrer quando: a)τ0 =60 MPa; b) τ0 = 120 MPa; c) τ0 = 130 MPa. Resp. : a) Não; b) Não; c) Sim. 20.
Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima tensão de cisalhamento. Resp. : a) Não; b) Sim; c) Sim.
Figura 27 – Exercício resolvido 20
95
21.
Uma barra de alumínio é feita de uma liga para a qual σUT = 70 MPa e σUC = 175 MPa. Sabendo-se que a intensidade T dos torques indicados é aumentada gradativamente e usando o critério de Mohr, determinar a tensão de cisalhamento τ0 que deve ocorrer na ruptura da barra. Resp. : 50 MPa.
22.
Um elemento de máquina é feito de ferro fundido para o qual σUT = 51,7 MPa e σUC = 124,1 MPa. Determinar, para cada um dos estados de tensões indicados, e usando o critério de Mohr, a tensão σ0 para a qual deve ocorrer a ruptura do elemento. Resp. : a) 51,7 MPa; b) 42,8 MPa; c) 56,4 MPa.
23.
A tensão de escoamento para um dado material vale 110 MPa. Se esse material está sujeito a tensão plana e a falha por escoamento ocorre quando uma das tensões principais é igual a +120 MPa, qual o valor da menor intensidade para a outra tensão principal ? Usar o critério de Von Mises. Resp.: 23,9 MPa.
24.
Se um eixo é construído com um material para o qual σY = 50 ksi, determine a tensão tangencial máxima de torção no inicio do escoamento segundo : a) teoria da máxima tensão tangencial (Tresca); b) teoria da máxima energia de distorção (Von Mises). Resp.: a) 25 ksi; b) 28,9 ksi.
25.
O estado de tensões abaixo mostrado ocorre no ponto crítico de um elemento estrutural cuja tensão de escoamento σY = 300 MPa. Esboçar o hexágono de Tresca e a elipse de von Mises marcando sobre mesmos o ponto correspondente ao estado de tensões dado e demonstrando se há segurança ao segurança ao escoamento.
Figura 28 – Exercício resolvido 25
96
26.
O teste de tração em um corpo de prova de aço 12.5 mm diâmetro e
50 mm de
comprimento , forneceu o seguinte resultado : Carga
26
(kN)
36
46.5 54.5 71
75
80.5 85
Alongamento (mm) 0.05 0.07 0.09 0.11 0.15 0.20 0.31 0.41 Tabela 3 – Exercício proposto 26
1. Calcule o limite de resistência ao escoamento 0.2% e o módulo de elasticidade. [ 640 MPa, 207 GPa ]
2. Um peça cilíndrica de 800 mm de comprimento deverá resistir a uma força de tração de
2 kN sendo que o seu comprimento não deve exceder a 1 mm. O fator de
segurança mínimo é 2.5 .
Figura 29 – Exercício resolvido 26
27.
Este exemplo introduz conceitos que serão utilizados no tratamento de juntas com flanges. Um parafuso olhal de diâmetro de 18 mm (1) é montado através de um furo de diâmetro 20 mm em uma luva de diâmetro externo de 35 mm (2),com a porca para fixação. A porca é então apertada produzindo uma força inicial de montagem e a carga P finalmente é aplicada. A máxima tensão admissível é de 550 e 80 MPa para o parafuso e a luva respectivamente, e o módulo de elasticidade são 550 e 80 para o parafuso e a luva respectivamente. Qual a máxima carga que a montagem poderá resistir sem perda de contato e qual a força inicial será necessária? Resposta [ 136, 52 kN ].
29.
Três barras de comprimento 0.5 m
são idênticas e feitas de aço com limite de
escoamento de 250 MPa e conectadas por dois pinos. São submetidas a carga de 15 kN. Estas barras foram projetadas para suportar igual carga e fator de segurança 2,5. 97
Devido a erro de fabricação
o comprimento da barra central difere de 0,2 mm do
comprimento das outras barras exigindo que um dos pinos esteja trabalhando forçado yield steel, are conectada por dois pinos e onde é aplicada uma carga de 15 kN. Desprezando a flambagem, determine o real fator de segurança na montagem se a.
a barra central é a maior de todas. Resposta [ 2.0 ]
b.
a barra central é a menor de todas. Resposta [ 1.6 ]
Figura 30 – Exercício resolvido 29
30.
Uma prensa consiste de um parafuso central rosqueado 1 através da viga 2 que
está conectado à base através de dois cilindros idênticos 3. Todos os componentes são de aço ; suas dimensões efetivas são: 1. o passo do parafuso central é de 3mm , seu diâmetro é de 20 mm e seu comprimento é de 250 mm; 2. a viga possui 300 mm de largura, 60 mm de profundidade e comprimento de 250 mm; 3. Os cilindros são de 250 mm de comprimento e diâmetro de 15 mm cada.
Figura 31 – Exercício resolvido 30
O parafuso é girado manualmente até assentar-se na base. Qual a tensão nos cilindros quando após isto. o parafuso gira um quarto de volta ? Despreze os efeitos de deflexão e flambagem. [Resposta 209 MPa ] 98
O disco anular de raios ri e ro e espessura b, é apoio ao longo de sua superfície
31 .
externa.
Uma carga é transmitida uniformemente para sua periferia interna por
cisalhamento. Supondo que o cisalhamento no disco para o raio r seja uniforme, calcule a rigidez devida : 1.
a carga axial,F.
2. um torque, T.
Resposta [ 2 b G / ln ( ro/ri ) ] Resposta [ 4 b G /( 1/ri2 - 1/ro2 ) ]
Figura 32 – Exercício resolvido 31
32.
Quando um eixo sólido de seção circular é submetido a a uma pressão uniforme p
(devido a montagem com interferência de uma polia por exemplo) , as tensões radiais e circunferências no eixo são compressivas e iguais a p. Usando a teoria de falha da máxima tensão cisalhante, deduza equação de projeto para uma seção transversal de um eixo de módulo Z, carregada pela pressão p, por um momento fletor M e um torque T. Resposta [ n √{ (M/Z + p)2 + (T/Z)2 } = S ]
Figura 33 – Exercício resolvido 32
33.
As componentes de tensão resultantes em uma seção transversal de uma peça circular de diâmetro 50 mm, material dúctil, são mostradas: força de tração de 120 kN, força cisalhante vertical de 120 kN , momento fletor de 0,5 kNm e um torque de 1,5 kNm. Qual a tensão máxima equivalente nesta seção transversal? Resposta [ 292 MPa ]
99
Figura 34 – Exercício resolvido 33
Determine para cada um dos seguintes estados bidimensionais de tensão (MPA) , as
34.
tensões principais e a orientação da máxima tensão principal. Faça um desenho dos elementos orientados segundo as direções principais. A) σ x =
80
; σ y = 170 ; τxy =
60 c.w.
Resposta [ 50, 200 MPa,
o
116.6 ] B) σ x = -220 ; σ y = -70 ; τxy = 180 c.c.w. C) σ x = -205 ; σ y = -445 ; τxy =
35 c.w.
Resposta [ -340, 50 MPa, 56.3o ] Resposta [ -450, -200 MPa, -8.1o
]
35.
Mostre que a teoria de falha por distorção leva às seguintes formas alternativas para um
estado plano de tensão : σ e2 = σ 12 - σ 1 σ 2 + σ 22 onde σ 1 e σ 2 são as tensões principais, = σ m2 + 3 σ a2 ou em termos dos componentes básicos = σ x2 - σ x σ y + σ y2 + 3 σ xy2 ou em termos dos componentes cartesianos. Qual a relação entre as resistência à tração e ao cisalhamento que esta teoria prediz? Resposta [ 0.577 ]
36.
Um eixo uniformemente sólido ABCDE é apoiado por dois mancais em A e D, e gira a 900 rpm. Uma potência de 50 kW é aplicada ao eixo através de uma polia de diâmetro de 560 mm em C. A potência de 30 kW é dissipada pela polia de 280 mm de diâmetro em B, e 20 kW pela polia de 210 mm de diâmetro em E. Cada polia, as duas correias são paralelas e a relação de tração nelas é de 3:1. Determine o diâmetro mínimo admissível do eixo se a tensão admissível de projeto devido a fadiga é de 100 MPa. Resposta [ diâmetro de 40 mm ]
100
Figura 35 – Exercício resolvido 36
37.
O braço de uma broca abcdefg é feito de um eixo de aço com limite de resistência a fadiga de 450 MPa e está submetido ao carregamento mostrado na figura. Um mancal de apoio em g prevê a reação de torque necessário ao equilíbrio. Qual o fator de segurança?
Resposta [ teoria da máxima tensão cisalhante 1.21; teoria da
energia de distorção 1.22 ]
Figura 36 – Exercício resolvido 37
38.
O eixo horizontal ABCD é apoiado em dois mancais em B e D como mostra a figura. Uma correia envolve uma polia de 250 mm de diâmetro fica no eixo em A, e uma engrenagem de 150 mm de diâmetro primitivo está montada no eixo em C.
Os
diâmetros do eixo e a disposição axial dos componentes está mostrada abaixo.
Figura 37 – Exercício resolvido 38
101
As forças atuantes na correia são horizontais e na relação F1/F2 = 4, enquanto que a reação vertical no pinhão ,P atua tangencialmente ao círculo primitivo. Determine o fator de segurança do eixo quando suporta uma potência de 20 KW através da correia para o pinhão a uma freqüência de 7,5 Hz, sendo que o limite de escoamento do material do eixo é de 500 MPa. Neste exemplo são desprezados aspectos de fadiga e concentração de tensão Um grande fator de segurança deverá ser portanto obtido devido a estas considerações. Resposta [teoria da máxima tensão cisalhante 14.5
ou teoria da energia de distorção
15.6]
102
CAPITULO 04 - CARREGAMENTO DINÂMICO - FADIGA E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 4.1 - INTRODUÇÃO Na determinação das propriedades dos materiais através do diagrama tensãodeformação a aplicação da carga é gradual, sendo esta condição definida como condição estática. Os valores obtidos se aplicam aos critérios conhecidos como critérios estáticos. Por outro lado, as condições que freqüentemente aparecem em estruturas mecânicas são solicitações dinâmicas, onda as tensões/deformações variam ciclicamente em pequenos intervalos de tempo, como no caso de um eixo em uma máquina rotativa. Esta flutuação da tensão ou variação em função do tempo leva à estrutura a falha por fadiga. A fadiga é um processo gradual, iniciado com pequenas trincas não visíveis a olho nu, que se desenvolve de forma progressiva e acumulativa, levando a peça a falhar bruscamente após um determinado número de solicitações ou ciclos. Muitas pesquisas já foram realizadas nesta área de forma, nos dando um conhecimento parcial dos mecanismos básicos associados com a falha por fadiga. Neste capítulo iremos dar alguns fundamentos de conceitos elementares que são de grande ajuda para o entendimento do comportamento devido à fadiga. A falha por fadiga resulta, portanto de deformação plástica repetitiva, da mesma forma que um arame falha ao ser fletido repetidamente para frente e para trás. Sem o escoamento plástico repetido, a falha por fadiga não acontece. A falha por fadiga pode ocorrer a níveis de tensão bem abaixo do ponto de escoamento ou limite elástico convencional.
Devido ao fato que o escoamento plástico
altamente localizado pode dar origem a falha por fadiga, o engenheiro é levado a ter especial atenção a locais potencialmente vulneráveis tais como: quinas, roscas, rasgo de chavetas, corrosão, furos e entalhes. O aumento de resistência destes locais chamados de vulneráveis é tão efetivo quanto substituir a peça por uma material mais resistente. A fissura inicial devido a fadiga resulta em um aumento da concentração de tensão local. À medida que a fissura se propaga, o material na raiz da fissura é submetido a um escoamento reverso bem localizado e destrutivo. A seção é reduzida e cauda um aumento de tensões, a taxa de propagação da fissura aumenta até que a seção restante não é mais capaz de suportar a carga aplicada, vindo finalmente a acontecer a fratura. Este capítulo descreve a obtenção do limite de resistência à fadiga, fatores modificativos desta resistência e as teorias existentes para o seu cálculo.
103
4.2 - TESTE DE FADIGA O carregamento dinâmico consiste em solicitações onde as tensões variam ciclicamente em pequenos intervalos de tempo. Uma causa comum de fratura é a fadiga: tipo de falha devido a cargas repetidas, a qual é responsável por grande parte das falhas por causas mecânicas. Em geral, uma ou mais trincas pequenas surgem no material, podendo crescer até que ocorra falha completa. Este efeito é observado em estruturas com estado de tensões bem abaixo da tensão de ruptura. Se o número de repetições (ciclos) do carregamento é grande, da ordem de milhões, então a situação é dita fadiga de alto ciclo. Por outro lado, fadiga de baixo ciclo é causada por um número relativamente pequeno de ciclos, cerca de dezenas, centenas, ou milhares. Fadiga de baixo ciclo é geralmente acompanhada por uma quantidade significativa de deformação plástica, enquanto que fadiga de alto ciclo é associada a deformações relativamente pequenas que são essencialmente elásticas. Componentes de máquinas, veículos e estruturas, são freqüentemente sujeitos a carregamentos repetidos, também chamados de carregamentos cíclicos, e as tensões cíclicas resultantes podem levar a danos físicos microscópicos nos materiais envolvidos. Mesmo em tensões bem abaixo de uma dada resistência do material, os danos microscópicos podem ser acumulados com ciclo contínuo até seu desenvolvimento em uma trinca ou outro dano macroscópico que leva à falha do componente. A figura abaixo mostra o croqui do corpo de prova para o teste de fadiga à flexo-torção.
Figura 1 – Corpo de Prova de Moore para fadiga.
A Máquina de fadiga para testes de flexo-torção é bem simples, e o laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas, possui o equipamento mostrado na figura 2. A figura 3 apresenta um esquema da máquina, onde se verifica que o momento fletor atuante no corpo de prova é constante. O braço de alavanca provoca uma carga 10 vezes maior no corpo de prova. Um motor elétrico de 3500 rpm produz as rotações no corpo-de-prova. Estas rotações são registradas por um contador eletrônico com capacidade de contar até 109 ciclos. Ocorre o desligamento automático da máquina após a falha do corpo-de-prova.
104
Deve-se observar que a fixação do corpo-de-prova, na máquina é feita em dois pontos. Assim, o corpo-de-prova fica submetido a um momento fletor constante no seu centro, logo, nesta região do corpo-de-prova atua apenas o momento fletor.
Figura 2 - Máquina de Fadiga Flexo-Rotativa aberta no Laboratório de Análise Estrutural da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Figura 3 - Esquema da máquina de fadiga.
4.3 - DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIGA Para determinar o limite de resistência à fadiga Sf (também chamado de limite de fadiga) Moore desenvolveu uma máquina rotativa para testar corpos de provas, cujo esquema é dado abaixo:
105
Provoca-se um momento constante ao longo do comprimento do corpo de prova L com a aplicação da carga. Vários corpos de prova idênticos são testados para diferentes cargas P (diferentes tensões na seção crítica), sendo que o número de ciclos ou vida para cada um deles será, portanto diferente. A representação gráfica tem a configuração mostrada abaixo:
Figura 4 - Curva de fadiga para aços, sendo Sf o limite de resistência à fadiga.
Na figura 4 acima, pode ser observado que, para um nível de tensão σ ≤ Sf, o corpo de prova de aço não rompe, tendo uma vida infinita ou número de ciclos (N) muito grande, maior que 106 ciclos. Por outro lado, para um número de ciclos menor ou igual a 103 (mil ciclos), a tensão de ruptura é praticamente igual ao limite de resistência à tração, encontrada para os testes estáticos, sendo o valor mais recomendado pela literatura é 0,9 Su. Neste capitulo usaremos ambas as expressões Su ou Srup para o limite de resistëncia a tração. A tensão encontrada nos testes de fadiga, para uma vida infinita, utilizando a máquina de Moore, é chamada de limite de resistência à fadiga e é representado por Sf. O valor do limite de resistência à fadiga varia para os diferentes tipos de aço. Dos resultados experimentais, obtidos para aços comerciais, conclui-se que existe uma relação funcional entre o limite de resistência à fadiga do corpo de prova, Se' e o limite de resistência à tração, Su, tal que:
S f ' = 0.504 × Su
⇒
O limite de resistência à fadiga de corpos de
prova (Sf') é a aproximadamente a metade do limite de resistência à tração (Sut) para aços. É importante notar que a relação acima vale somente para valores do limite de resistência à tração de aços até 1400 MPa. Os resultados experimentais mostram que para valores acima de 1400 MPa, o limite de resistência à fadiga dos aços fica praticamente em torno de 700 MPa. Portanto S f ' = 700Mpa
⇒
quando Su > 1400Mpa . Tem-se então que,
para traçar o diagrama teórico S-N (tensão-número de ciclos) de um corpo de prova de aço, não
106
é necessário realizar inúmeros testes na máquina de Moore. A comprovação experimental mostra que a construção desta curva em escala log-log pode ser feita assumindo: 103 ciclos ⇒ usar σ = 0.9 Srup. 106 ciclos ⇒ usar σ = 0.5 Srup. Para isto basta marcar os pontos A e B, respectivamente 0,9 Srup e 0,5 Srup. Marcar o ponto C para 106, na posição correspondente a 0,5 Srup. A figura abaixo mostra este procedimento.
Figura 5 - Curva de fadiga teórica para um aço comercial
4.3.1 - FATORES MODIFICATIVOS Nota-se que o limite de resistência à fadiga Sf' encontrado para um aço, vale para um corpo de prova, de dimensões padronizadas, testado sob certas condições de acabamento e temperatura. O limite de resistência à fadiga de uma peça qualquer sofre várias influências que devem ser levadas em consideração. Os fatores de modificação são usados para modificar Sf', adaptando-o às condições reais da peça em estudo. Assim, multiplicando Sf' pelos vários fatores modificativos, K, tem-se o limite de resistência à fadiga teórico, de peça Sf.
S f = Ka × Kb × Kc × Kd × Ke × S f ' Cada fator modificativo,K tem uma função de modificação definida por um valor numérico. Assim, na expressão acima tem-se: Sf = Limite de resistência à fadiga da peça; Sf' = Limite de resistência à fadiga do corpo de prova; Ka = Fator devido ao acabamento superficial; Kb = Fator devido ao tamanho da peça; Kc = Fator devido ao tipo de carga; 107
Kd = Fator devido à temperatura; Ke = Fatores diversos, como concentração de tensões ou ambiental.
A) FATOR DE ACABAMENTO SUPERFICIAL Este fator leva em consideração o acabamento da superfície, que no caso do corpo de prova é bem acabada e polida. Como o acabamento é função do material e da forma que o mesmo foi trabalhado, a fórmula abaixo permite a sua determinação do fator de superfície Ka:
Ka = a.S rup
b
onde Srup é o limite de resistência à tração do material. Uma vez que o limite de resistência à tração de materiais dúcteis é idêntico ao limite de resistência à compressão, utiliza-se a expressão Srup, mas alguns autores utilizam a expressão Srupt para defini-lo e Srupc para o limite de resistência à compressão. Os fatores a e b são obtidos a partir da tabela a seguir: Acabamento superficial
Fator a
Fator b
Kpsi
MPa
Retificado
1.34
1.58
-0.085
Usinado ou estirado à frio
2.70
4.51
-0.265
Laminado à quente
14.4
57.7
-0.718
Forjado
39.9
272
-0.995
Tabela 1 - Valores para os fatores a e b, no sistema internacional e inglês, de acordo com [67].
B) FATOR DEVIDO AO TAMANHO O fator Kb para flexões e torções é calculado por:
d Kb = 0.3
−0.1133
d Kb = 7,62
0.11 ≤ d ≤ 2 in
(pol.)
−0 ,1133
= 1,24 .d − 0 ,107
Kb = 0,859 − 0,000837.d
2,79 ≤ d ≤ 51 mm (mm)
51 ≤ d ≤ 254 mm
(mm)
Para valores maiores, Kb varia de 0.60 a 0.70 para flexões e torções. Se a peça estiver sob cargas axiais, o tamanho não tem nenhum efeito sobre o limite de resistência à fadiga e, portanto adota-se Kb = 1. Quando a peça não estiver girando ou a seção transversal não for circular, o valor do fator Kb deve ser calculado. Nestes casos utilizamos o conceito de diâmetro
108
efetivo de, que é obtido equacionando o volume do material submetido à carga e 95% da carga máxima para o mesmo volume do corpo de prova. Quando os dois volumes são igualados, o comprimento é cancelado e precisamos considerar apenas as áreas. No caso de peças com secções não circulares, como a figura 6 Para se calcular o diâmetro efetivo para uma barra de secção retangular, usa-se a fórmula:
de = 0.808.(hb)
1/ 2
sendo que h é a altura e b a largura da seção retangular.
C) FATOR DEVIDO AO CARREGAMENTO Para carregamento axial, Kc=1 ou Kc=0,922 ( S rup > 1400Mpa ) Para carregamento de flexão Kc=1 Para carregamento devido a cisalhamento, torção Kc = 0,577.
D) FATOR DEVIDO À TEMPERATURA Os testes realizados nos corpos de prova foram à temperatura ambiente. Para peças trabalhando a temperaturas diferentes a da ambiente, os fatores Kd podem ser obtidos por tabelas ou experimentalmente. Nesta edição ainda usaremos Kd=1,pois os valores de Kd estão sendo obtidos no laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas em pesquisa em andamento.
E) FATOR DEVIDO À CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES A concentração de tensão está presente em toda estrutura que contém curvaturas significativas, entalhes e outra forma de perturbação brusca na geometria da peça. Os fatores de concentração teórico Kt, obtidos na sua maioria de forma experimental, podem ser obtidos em tabelas e gráficos próprios, como mostrado no final do capítulo. Este fator, quando multiplicado pela tensão nominal, ou seja, tensão σo calculada pelo modelo matemático sem a existência de entalhe, permite determinar a tensão máxima que atua no entalhe.
σ máx = Kt.σ o
⇒
Kt =
σ máx σo
Estes gráficos mostram os principais fatores de concentração de tensão para alguns entalhes mais usados nas estruturas.
109
Dependendo do tipo de material ou da sua resistência, este fator de concentração de tensão geométrico ou teórico, Kt, sofre alterações, diminuindo sua intensidade em função da sensibilidade q do entalhe. A relação que determina o novo fator de concentração Kf (fator efetivo ou prático), foi definido por Peterson, como:
Kf = 1 + q × ( Kt − 1) A sensibilidade ao entalhe q, depende do limite de resistëncia a tração e do raio do enalhe. Os valores experimentais da literatura usam q variando de 0 a 1,sendo que os valores mais utilizados se encontram na faixa de 0,6 a 0,9. Esta faixa de valores será utilizada nesta edição e após os resultados experimentais obtidos na PUC-Minas, teremos alteração nestes valores de q. Calculado o fator Kf, temos que:
Ke =
1 Kf
Este é o fator Ke , que devemos usar como fator corretivo,na fórmula para o cálculo do limite de resistência à fadiga de peça ,Sf.
F)
EFEITO
DA
CONCENTRAÇÃO
DE
TENSÃO
COM
CARGA
DE
FADIGA
COMPLETAMENTE REVERSA Para elementos de máquinas com entalhes as curvas S-N apresentam para o mesmo material um valor menor do que quando não possuem entalhes. Isto significa que as concentrações de tensões são importantes causando esta diminuição.
A relação entre os
limites de resistência a fadiga sem entalhe e com entalhe é designada como Kf, ou fator de concentração de tensão de fadiga. Teoricamente, poderíamos esperar que Kf fosse igual ao fator teórico de concentração de tensões Kt. Os testes, porém mostram que Kf é freqüentemente menor que Kt. Isto é aparentemente devido a irregularidades internas na estrutura do material. Um material "ideal" teria tensões internas de acordo com a teoria elástica; na realidade os materiais possuem irregularidades causando pontos localizados com maiores tensões. Então, mesmo corpos de prova não entalhados sofrem destes "entalhes internos". A equação definida como Kf = 1 + q × ( Kt − 1) , utiliza o índice de sensibilidade ao entalhe q, que varia entre 0 (Kf =Kt) e 1 (Kf=1). Há portanto necessidade de se determinar o indice de sensibilidade do material. A situação é um pouco mais complicada do que se imagina porque a sensibilidade ao entalhe depende não somente do material mas também do raio relativo da 110
geometria do entalhe e das dimensões das imperfeições internas características. Os raios de entalhe bem pequenos aproximando-se de imperfeições de material fornecem um índice de sensibilidade quase zero o que não deixa de ser uma boa noticia! Isto torna o Kf quase sempre igual a um. Os gráficos do índice de sensibilidade ao entalhe são plotados em função do raio e da resistência à tração dos materiais (Figura 7). Para os aços observa-se a tendência de que materiais mais resistêntes e duros são mais sensíveis ao entalhe. Isto significa que a troca de um aço menos resistente por um aço mais resistente e duro normalmente aumenta uma parte da resistência a fadiga, mas o aumento não é tão grande como se poderia esperar devido ao aumento no índice de sensibilidade. A Figura 4.6 também mostra que para um dado aço submetido a carregamento torcional a sensibilidade ao entalhe é um pouco maior do que para carregamento axial e fletor. Os resultados também mostram que a influência do entalhe a 103 ciclos é consideravelmente menor do que a 106 ciclos. Outro aspecto onde há uma pequena divergência entre os autores. É melhor tratar o Kf como um fator de concentração de tensão ou um fator de redução de resistência? Os autores diferem neste ponto, mas a maioria utiliza como fator de concentração de tensão. Na realidade a resistência do material não enfraqueçe pela existência do entalhe. O entalhe é o causador de tensões maiores e localizadas. Com isto pode-se utilizar as curvas S-N tanto para peças com ou sem entalhes.
G) FATORES DEVIDO A INFLUÊNCIA DIVERSAS A peça pode não possuir pontos de concentração de tensão, mas o fator Ke pode ser também utilizado quando se considera outros efeitos como, direcionamento na laminação do material, corrosão, tensões residuais, cromagem superficial e outros tratamentos de cobertura superficial.
4.4 - LIMITE DE RESISTÊNCIA PARA VIDA FINITA Uma vez determinados todos os coeficientes de modificação, é possível calcular o limite de resistência à fadiga para a peça em estudo:
S f = Ka × Kb × Kc × Kd × Ke × S f ' Desta forma é possível traçar o diagrama S-N para a peça, como já definido:
111
Figura 8 - Determinação da resistência à fadiga S, para um número de ciclos 4
(10 ciclos) e um limite de resistência à fadiga Sf determinados.
Como Sf é o limite de resistência à fadiga para vida infinita, pode-se calcular, a partir do diagrama acima o limite de resistência a fadiga (S) para uma vida finita. A solicitação cíclica em uma peça é um processo cumulativo, ou seja, se a peça resiste a 100.000 ciclos e já sofreu 30.000 ciclos, ela memoriza ou guarda este número de ciclos. Se em outra oportunidade a peça continuar sendo solicitada, o número de solicitações ainda possível é igual ao número de ciclos totais que ela suportaria menos o número de ciclos já aplicados, ou seja, 70000. A teoria de fadiga acumulativa é estudada pela Regra de Minner.
S = a.N
(0,9.S )
2
onde
a=
rup
Sf
e
b para
S N = a
1 b
0,9.S rup 1 b = − log 3 Sf
4.5 - FADIGA SOB TENSÕES FLUTUANTES Freqüentemente encontram-se em estruturas solicitações diferentes das simplesmente alternadas. Estas tensões são chamadas de flutuantes ou a combinação de tensões alternadas e tensões médias constantes. As figuras a seguir mostram estas solicitações:
112
Figura 9 - Tensões reversas, repetidas e flutuantes.
As tensões médias (σm) e alternadas (σa) são definidas como:
σa =
σ máx − σ mín 2
σm =
σ máx + σ mín 2
A influência das tensões médias e alternadas na fadiga de uma peça foi determinada inicialmente por Goodman. Na figura 10, a linha de Goodman é obtida pela reta unido na abcissa o limite de resistência à tração (Srup) e na ordenada o limite de resistência à fadiga (Sf). As tensões médias são plotadas na abcissa e as tensões alternadas na ordenada.
Figura 10 - Diagrama de Goodman, com os eixos das tensões média e alternada.
O diagrama é baseado no fato de que quando somente tensão média (σm) atua, a falha é caracterizada pelo limite de resistência (Srup.). Quando somente tensão alternada (σa) atua, a falha é caracterizada pelo limite de resistência a fadiga (Sf). Resultados experimentais mostram que, sob a ação das tensões médias (σm) e alternadas (σa), os pontos de falha, para diferentes valores de tensões combinadas acontecem como mostrado na figura acima. Isto significa que a linha de Goodman, obtida ligando Sf com Srup, é a linha de segurança para qualquer combinação de tensões σm e σa. Em outras palavras, qualquer combinação que cair dentro dos limites do diagrama está seguro, como no caso do ponto “A”.
113
Outra concepção desta teoria é o diagrama de Sodeberg ou linha de Sodeberg, que utiliza para o eixo das tensões médias o limite de resistência ao escoamento (Se), sendo um diagrama mais conservativo. Outros diagramas mais próximos da realidade, que mais se aproximam dos resultados experimentais já foram propostos, com destaque para a parábola de Gerber. A figura abaixo mostra a representação gráfica:
Figura 11 - Representação gráfica das diversas teorias de fadiga.
Nesta figura, o ponto A, resultado da combinação das tensões médias σm e alternadas σa, esta segura para as teorias de Gerber e Goodman, mas não se encontra segura segundo a teoria de Soderberg. As equações a seguir representam a formulação matemática de cada teoria:
Sa Sm + =1 Sf Sy
⇒
Sa Sm + =1 S f S rup
⇒
Sa Sm + S f S rup
Soderberg
Goodman
2
=1
⇒
Gerber
Para fins de aplicação nos problemas convencionais de engenharia, recomenda-se a utilização da teoria de Goodman. Para cálculos de tensões de fadiga em problemas reais de engenharia, deve-se utilizar um coeficiente de segurança n, que na teoria de Goodman, por exemplo, é determinado por:
n=
Sa
σa
=
Sm
σm
As tensões σm e σa podem se transformar respectivamente nas resistências média e alternada Sm e Sa se cada uma delas forem divididas pelo coeficiente de segurança n. Assim as equações que representam as teorias ficariam assim: 114
σa Sf
σa Sf
+ +
σm Sy
σm S rup
=
1 n
=
1 n
nσ a nσ m + S Sf rup
⇒
⇒
Soderberg
Goodman
2
=1
⇒
Gerber
4.6 - FADIGA SOB TENSÕES COMBINADAS Em componentes mecânicos de uma forma geral, a distribuição de tensões mais freqüente é a de tensões combinadas. Dependendo dos tipos de esforços envolvidos na parte mecânica, flexão, esforço normal ou torção aparecem tensões alternadas e médias devido a essas múltiplas solicitações. Assim, cada tipo de esforços pode gerar:
A combinação destas tensões para resultar em um única tensão, seja alternada ou média, é conseguida da seguinte forma: -
Tensões alternadas ou médias na mesma direção: → Soma (σa1)f + (σa1)n + (σa1)t = (σa1), obtendo-se a tensão resultante, alternada ou média, na direção correspondente.
-
Tensões alternadas ou médias, respectivamente em direções diferentes: → Calcula-se a tensão equivalente ou tensão de Von Misses:
σ a' = σ 12 − σ a ∗ σ a + σ a 22 1
2
σ m' = σ m12 − σ m ∗ σ m + σ m 22 Direções 1 e 2 principais. 1
2
Observa-se que as tensões contidas nos radicais já foram combinadas como a soma de todas as tensões que atuam na mesma direção. No caso das tensões estarem referidas nos eixos X e Y, a tensão cisalhante estará presente e as equações acima descritas são escritas na forma: 115
σ a ' = σ ax 2 − (σ ax × σ ay ) + σ ay 2 + 3.τ axy 2 σ m ' = σ mx 2 − (σ mx × σ my ) + σ my 2 + 3.τ mxy 2 Deve-se lembrar que cada uma destas tensões são calculadas pela equação dada pelo modelo matemático correspondente ao tipo de solicitação. Uma vez obtido σa’ e σm’, a teoria de Goodman pode ser aplicada.
4.7 - FADIGA DE CONTATO SUPERFICIAL No estudo anterior, o limite de resistência a fadiga Sf’ foi determinado usando uma máquina rotativa que flexiona o corpo de prova, e por isso é freqüentemente chamado de limite de resistência à fadiga devido à flexão. O contato direto entre peças causa a fadiga superficial devido ao contato, sendo o limite de resistência à fadiga superficial Ssf determinado de forma diferente. Trabalhos realizados por Buckingham e Talboudert determinaram que a fadiga superficial do material depende da dureza Brinell (HB), sendo o limite de resistência à fadiga superficial para uma vida de 108 ciclos, definido pelas expressões: S ' sf = 0.4 HB − 10 (Kpsi) ou
S ' sf = 2.76 HB − 70 (MPa) Este limite foi determinado para materiais (aço) em condições apropriadas e para uma vida de 108 ciclos. Em condições de trabalho o limite de resistência à fadiga superficial da peça é determinado pela expressão abaixo, que considera os fatores de modificação:
S sf = S ' sf × onde
CL × CH CT × C R
CL = Fator de vida, depende do número de ciclos CH = Fator que depende da razão de dureza CT = Fator de temperatura CR = Fator de confiabilidade
O fator CH = 1 para uma dureza das partes aproximadamente iguais. O fator de vida CL é calculado pela expressão: C L = 2,466 × N −0 , 056
para N = número de ciclos entre 104 e 108.
116
O fator temperatura CT, para condições normais da temperatura dos lubrificantes (T < 120°), é 1. Por outro lado, o fator de confiabilidade depende do sistema em consideração, sendo CR para engrenagem dado: Confiabilidade
Fator CR
90%
0,85
99%
1,00
99.9%
1,25
Tabela 3 – Fatores de confiabilidade.
A fadiga superficial é muito importante para estudar certos elementos mecânicos como a fadiga no contato de dentes de engrenagens, contato de esfera ou rolos em rolamentos, rodas e trilhos ferroviários, cames e seguidores, etc. É muito importante lembrar que, para o dimensionamento da parte mecânica usando fadiga superficial, é necessário conhecer o modelo matemático ou fórmula matemática da tensão provocada pelo contato. Estas formulações não são simples de serem escritas, e são baseadas na teoria de contato de Hertz. Uma vez calculada a tensão induzida na peça, o dimensionamento é feito comparado esta tensão com o limite de resistência à fadiga Ssf, considerando o coeficiente de segurança n.
σ=
S sf n
4.8 - GRÁFICOS P/ DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES KT
117
118
Figura 12 - Gráficos para Determinação do Fator de concentração de tensões Kt.
4.9 - PREVISÃO DE FADIGA COM CARGAS VARIANDO RANDOMICAMENTE Para se prever a vida de peças tencionadas acima do limite de resistência a fadiga,
n 1 n 2 n + +... + k = 1 N1 N2 Nk 119
é um procedimento difícil. Palmgreen e Minner propuseram muito logicamente um conceito simples onde se uma peça é carregada ciclicamente a um nível de tensão que provocaria uma falha a 105 ciclos, então cada ciclo deste carregamento consume uma parte nos 105 da vida da peça. Se outros ciclos de tensão são interpostos correspondendo a uma vida de 104 ciclos, cada um destes ciclos consume uma parte nos 104 da vida, e assim por diante. Nesta base, 100 % da vida foi consumida, e se tem a previsão da falha. A regra de Palmgren ou Miner é expressa pela seguinte equação em que n1, n2,..., nk representam o número de ciclos a específicos níveis de sobre tensão, e N1 , N2 , .. Nk representam a vida (em ciclos) destes níveis de sobre tensão, tomados da curva S-N. A falha por fadiga é prevista quando a equação acima se mantém.
4.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.
Uma peça metálica é submetida a uma carga fletora F. A mola flutua entre 9,3 kN a 10,67 kN. Possui um limite de resistência à tração Srup=1400 Mpa e limite de resistência ao escoamento Se=950 Mpa. Considerando um acabamento de forjamento para a peça, calcule o fator de segurança contra o escoamento e a fadiga para uma espessura de 18 mm. Solução: Cálculo do fator por fadiga. Devemos calcular os valores de R1 e R2.
R1 =
F 2
e
R2 =
F 2
Figura 13 - Exercício resolvido 1.
F M F = R1 .150 X 10 −3 → M F = .150 X 10 −3 2
M F max =
Momento onde a força F e aplicada.
10,67 x103 .150 x10 −3 → M F max = 800,25 N .m 2 120
M F min =
σ=
9,3x103 .150 x10 −3 2
→
M F min = 697,5 N .m
M .c (w − d ).h 3 onde I = I 12
(75x10
Assim I =
−3
)(
− 10 x10 −3 . 18 x10 −3 12
σ max =
800,25.9 x10 3 = 2,28 x10 8 Pa 3,645 x10 −8
σ min =
697,5.9 x10 3 = 1,987 x108 Pa 3,645 x10 −8
σa = σ m '=
σ max − σ min 2
σ max + σ min 2
)
3
→
→
σ a = 1,465x107 Pa
→
σ m '= 2,133x108 Pa
I = 3,645 x10 −8 m 4
Cálculo dos fatores de correção à fadiga. Cálculo de Ka – Forjado
k a = a ⋅ S rup
b
tabela 4.1 a = 272 b = - 0,995
k a = 0,201 Cálculo de Kb – Seção quadrada d Kb = 7,62
−0 ,1133
2,79 ≤ d ≤ 51 mm (mm) 1
d e = 0,808.(18 x75) 2
29,688 Kb = 7,62
−0 ,1133
→
d e = 29,688mm
→ K b = 0,857
Cálculo de Kc – Flexão Para flexão temos que k c = 1 . Cálculo de Kd – Considerando temperatura de trabalho baixa. k d = 1 Cálculo de Ke
Ke =
1 onde K f = 1 + q.( Kt − 1) Kf
Cálculo de q Adotando q=0,95,tem-se 121
Cálculo de Kt
d 10 = = 0,133 w 15
d 10 = = 0,556 h 18
e
Kt = 2,1 Donde fica Kf
K f = 2,045
K f = 1 + 0,95.(2,1 − 1) → Assim Ke
Ke =
1 2,045
→
K e = 0,489
Com todos os parâmetros podermos calcular o Sf.
S f '= 0,504.S rup para aços. S f '= 705,6 Mpa S f = Ka × Kb × Kc × Kd × Ke × S f '
S f = 0,201× 0,857 × 0,489 × 705,6 S f = 59,435Mpa Cálculo do fator de segurança pelo critério de Goodman modificado
σa Sf
+
σm S rup
=
1 n
1,465 x108 2,133 x108 1 + = 59,435 x10 6 1400 x10 6 n
→
n = 0,382
Cálculo do fator de segurança por escoamento:
σ=
(w − d ).h 3 M .c onde I = 12 I
σ max = n=
800,25.9 x10 3 = 2,28 x108 Pa −8 3,645 x10
S rup
σ max
→
n=
1400 x10 6 = 6,140 2,28 x108
2. Uma mola é submetida a uma carga variável, sendo a carga máxima F= 133 N e a carga mínima F= 66 N. O material da mola é aço com Srup= 1170 Mpa, e diâmetro d= 9,5 mm.
122
Neste projeto não foi considerada a concentração de tensões ao longo do comprimento da mola. O acabamento superficial corresponde a um laminado a quente. Qual o número de aplicação de carga N, que causará falha na peça.
Figura 14 - Exercício resolvido 2.
Solução: Calculemos o momento máximo e mínimo.
M max = 410 x10 −3 ⋅ Fmax
M min = 410 x10 −3 ⋅ Fmin
M max = 410 x10 −3 ⋅133
M min = 410 x10 −3 ⋅ 66
M max = 54,53 N ⋅ m
M min = 27,06 N .m
Cálculo das tensões.
σ =
32M π .d 3
σ max =
σm =
σa =
σ m '=
32.54,53 → π .(9,5 x10 −3 ) 3
32.27,06 π .(9,5 x10 −3 ) 3
σ max − σ min 2
σ max + σ min 2
σ max = 647,8Mpa
→
σ m = 321,5Mpa
→
σ a = 163,2 Mpa
→
σ m '= 484,7 Mpa
Cálculo de Ka – Laminado à quente
ka = a ⋅ S rup
b
tabela 4.1 a = 57,7
Ka = 57,7.1170 −0,718 →
b = - 0,718
Ka = 0,362
Cálculo de Kb
123
d Kb = 7,62
−0 ,1133
2,79 ≤ d ≤ 51 mm (mm)
d e = 0,370.d d e = 0,370.9,5 d e = 3,515
3,515 Kb = 7,62
−0 ,1133
kb = 1,092
→
Cálculo de Kc – Flexão Para flexão temos que k c = 1 . Cálculo de Kd – Considerando temperatura de trabalho baixa. k d = 1 Não foram consideradas concentrações de tensões ao longo da mola, ou seja, k e = 1 . Com todos os parâmetros podermos calcular o Sf.
S f '= 0,504.S rup para aços. S f '= 589,68Mpa S f = Ka × Kb × Kc × Kd × Ke × S f '
S f = 0,362 x1,092 x589,68
→
S f = 233,103Mpa
Cálculo do número de ciclos.
σa σm
S =
1−
S =
S rup
163,2 x10 6 484,7 x10 6 1− 117,0 x10 6
→
S = 2,786 x108
S = a.N b 2 ( 0,9.Srup ) a=
→
Sf
0,9.S rup 1 b = − log 3 Sf
Sf N = a
→
a = 4756,734 x10 6
b = −0,2183
1
b
→
N ≥ 441683ciclos
124
4.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS CARGAS VARIÁVEIS 1. Um elo como mostrado na figura abaixo, é feito de aço AISI 4130 temperdo e revenido a 540o C(Sut=1030 MPa). A carga F= 5 KN é repetitiva e reversa. Supondo não haver concentração de tensão pede-se: a) Qual deverá ser o diâmetro para N=1,40 e acabamento de usinagem? B) Idêntico ao item a, exceto que o acabamento é polido. Qual a economia no peso? C) Idêntico ao item a, exceto que o acabamento é forjado.
Figura 15 – Exercido proposto 1.
2. Idêntico ao exercício 1,exceto que, devido ao ambiente corrosivo, o elo é fabricado em bronze silício, laminado a frio e o número de ciclos esperado para a vida da peça é maior que 3x 107ciclos.
3. Um eixo é apoiado como uma viga simples de 450 mm de comprimento, de aço AISI 3120. Uma carga estática de 8900 N é aplicada ao eixo em rotação, na metade do eixo entre dois apoios (mancais). As superfícies são polidas e a peça foi projetada para uma vida infinita. aPara um fator de segurança N=1,6, baseado no limite de resistência à fadiga, qual deveria ser o seu diâmetro se não há descontinuidades na sua superfície?
Figura 16 - Exercido 3.
4. Um suporte simples como o mostrado na figura, possui uma seção retangular e foi projetado para vida infinita e carga reversa. Calcule: a) as dimensões de uma seção sem descontinuidade onde b=2,8 t e L= 350 mm e um fator de segurança (projeto) igual a 2. O
125
material é aço AISI 1020, laminado com acabamento superficial de forjamento. b) Calcule as dimensões de uma seção onde e= 100 mm.
Figura 17 - Exercido proposto 4.
5. Idêntico ao exercício 4, exceto que a vida da peça submetida a cargas reversas não deve exceder 105ciclos.
6. Um eixo é submetido a um torque reverso máximo de 1695 Nm. É usinado e feito de aço AISI3140 . Qual deverá ser o seu diâmetro para N=1,75?
7. Idêntico ao exercício 6, exceto que o eixo é oco, com diâmetro externo igual ao dobro do diâmetro interno CARGAS VARIÁVEIS COM CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES 8. Um elo de conexão é visto na figura, exceto que há um furo radial de diâmetro 3 mm, no centro da peça. A peça é usinada, feito de aço AISI2330 WQT1000 ºF e submetida a uma carga axial reversa cujo valor máximo é de 22 kN. Para um fator de segurança N=1,5, determine o diâmetro do elo no furo: a) para uma vida infinita; b) Para uma vida de 105ciclos. c) Para o elo no ítem a, qual a máxima tensão de tração?
Figura 18 – Exercido proposto 8.
9. O elemento de máquinas mostrado na figura possui espessura uniforme t=b/2,5 e é usinado. O material da peça é o aço AISI 1020, laminado. O projeto é para vida infinita e carga 126
repetitiva de 44 N a 90 kN, sendo que d=b. Pede-se: a) para um fator de segurança 1,8 (Soderberg), qual deveria ser as dimensões da peça? Qual a máxima tensão de tração atuante na peça projetada?
Figura 19 – Exercido proposto 9.
10. A viga mostrada tem uma seção circular e suporta uma carga F que varia de 44,5 a 133,5 kN, é usinada, aço AISI1020, laminado. Determine o diâmetro D se r=0,2 D e N=2 (fator de segurança), vida infinita.
Figura 20- Exercido 10.
11. Idêntico ao exercício 10, exceto que a carga F é constante e igual a 133,5 kN e a viga gira com um eixo.
12. Uma viga em balanço está sujeita a uma carga reversa de 133,5 kN. Seja o raio do filete r= 3 mm e o material da viga é o aço SAE1015. Determine as dimensões t, h (b=1,3 h) para um fator de segurança 1,8 baseado nas tensões variáveis. Considere nas seções A e B, vida infinita.
127
Figura 21 - Exercido proposto 12.
13. Idêntico ao exercício 12, exceto que a carga F varia de =44,5 kN a 222,5 kN.
14. A peça mostrada na figura é feita de aço C1035, laminado com as seguintes dimensões: a= 9 mm; b=22 mm; c=25 mm; d=12,5 mm; L=300 mm; r= 1,6 mm. A carga axial F varia de 133,5 kN a 222,5 kN e é aplicada através de pinos pelos furos. Pede-se: a) Quais os fatores de segurança nos pontos A,B e C se a peça é totalmente usinada. B) Quais as máximas tensões nestes pontos?
Figura 22 - Exercido 14.
128
CAPITULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO 5.1 - INTRODUÇÃO Eixo é um elemento mecânico rotativo ou estacionário (condição estática) de secção usualmente circular onde são montados outros elementos mecânicos de transmissão tais como: engrenagens, polias, ventiladores, rodas centradas, entre outros. Os eixos são suportados (apoiados) em mancais, de deslizamento ou rolamento, tendo secção quase sempre mássica e variável, com rasgos de chavetas para fixação de componentes. A figura 1 mostra uma iluminação de um eixo.
Figura 1 – Eixo
Os eixos são elementos solicitados a esforços de flexão, tração/compressão ou torção, que atuam individualmente de forma combinada. Para a segurança do sistema em que o eixo está inserido, este deve ser dimensionado para cargas estáticas (parado ou com rotação muito baixa) ou dinâmica (altas rotações). Este dimensionamento leva em conta a resistência do material de que foi confeccionado, comparam-se as tensões que atuam no mesmo com os limites de resistência do material, estáticos (Sy ou Su) ou dinâmicos (Se – fadiga). Em certos sistemas mecânicos, o nível de deflexão do eixo pode constituir em um parâmetro crítico, devendo o eixo ser dimensionado usando a teoria de deflexão. Em outras palavras, a geometria do eixo deve ser definida para os limites aceitáveis de deflexão, antes da análise das tensões/resistências.
5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES Há uma grande variedade de materiais possíveis para a fabricação de eixos e árvores. De acordo com o serviço devem ter alta resistência e baixa sensibilidade aos efeitos da concentração de tenção. Para se obter, em um cálculo, diâmetros menores e grandes resistências, pode-se usar aços-liga, em geral tratados termicamente. Estes aços, porém têm a desvantagem de serem 129
caros e de maior sensibilidade às concentrações de tensões. Além disso, o diâmetro é muitas vezes subordinado à certas deformações admissíveis, tornando o aço-liga contra indicado, já que o problema não é mais de resistência. Os aços-carbono, de baixo e médio teor, são, muito usados na fabricação de eixos e árvores. Aços muito empregados são os seguintes: SAE 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045, 2340, 2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4063, 4140, 4340, 4615, 4620 e 5140. Como vemos uma grande variedade de material existe para a confecção de eixos e árvores. A seleção dependerá sempre das condições de serviço, custo, usinabilidade e características especiais por ventura exigidas. É um campo muito aberto em que o projetista deve procurar sempre maiores conhecimentos, pois praticamente qualquer material ferroso, não-ferroso ou não metálico, pode ser usado, por uma razão qualquer, na execução de um eixo ou uma árvore. AISI Nº
Tratamento
Temperatura
Tensão de
Tensão de
escoamento
ruptura
Mpa
MPa
ºC 1030
1040
1050
1060
Alongamento
Redução de Dureza Área
%
Brinell
%
Q&T
205
848
648
17
47
495
Q&T
315
800
621
19
53
401
Q&T
425
731
579
23
60
302
Q&T
540
669
517
28
65
255
Q&T
650
586
441
32
70
207
Normal
925
521
345
32
61
149
Annealed
870
430
317
35
64
137
Q&T
205
779
593
19
48
262
Q&T
425
758
552
21
54
241
Q&T
650
634
434
29
65
192
Normal
900
590
374
28
55
170
Annealed
790
519
353
30
57
149
Q&T
205
1120
807
9
27
514
Q&T
425
1090
793
13
36
444
Q&T
650
717
538
28
65
235
Normal
900
748
427
20
39
217
Annealed
790
636
365
24
40
187
Q&T
425
1080
765
14
41
311
Q&T
540
965
669
17
45
277
Q&T
650
800
524
23
54
229
Normal
900
776
421
18
37
229
Annealed
790
626
372
22
38
179
Tabela 1 – Características dos Materiais para eixos
130
AISI Nº
Tratamento
Temperatura
Tensão de
Tensão de
escoamento
ruptura
Mpa
MPa
ºC 1095
1141
4130
4140
4140
4340
Alongamento
Redução de Dureza Área
%
Brinell
%
Q&T
315
1260
813
10
30
375
Q&T
425
1210
772
12
32
363
Q&T
540
1090
676
15
37
321
Q&T
650
896
552
21
47
269
Normal
900
1010
500
9
13
293
Annealed
790
658
380
13
21
192
Q&T
315
1460
1280
9
32
415
Q&T
540
896
765
18
57
262
Q&T
205
1630
1460
10
41
467
Q&T
315
1500
1380
11
43
435
Q&T
425
1280
1190
13
49
380
Q&T
540
1030
910
17
57
315
Q&T
650
814
703
22
64
245
Normal
870
670
436
25
59
197
Annealed
865
560
361
28
56
156
Q&T
205
1770
1640
8
38
510
Q&T
315
1550
1430
9
43
445
Q&T
425
1250
1140
13
49
370
Q&T
540
951
834
18
58
285
Q&T
650
758
655
22
63
230
Normal
870
1020
655
18
47
302
Annealed
815
655
417
26
57
197
Q&T
315
1720
1590
10
40
486
Q&T
425
1470
1360
10
44
430
Q&T
540
1170
1080
13
51
360
Q&T
650
965
855
19
60
280
Tabela 1 (continuação) – Características dos Materiais para eixos
5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO A determinação das dimensões de uma árvore é muito simples quando sujeito somente a carregamento estático, principalmente se comparado a quando se tem carregamento dinâmico. E mesmo com carregamento dinâmico, muitas vezes é necessário se ter uma boa noção das dimensões das peças para se ter um bom começo dos problemas e por isto faz-se antes uma analise como se o carregamento fosse estático.
131
5.3.1 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO, TORÇÃO E ESFORÇO AXIAL As tensões em um ponto na superfície de uma árvore de diâmetro (d) sujeita flexão, torção e carregamento axial são:
σx =
32 ∗ M 4∗ F + 3 π ∗d π ∗d2
(1)
τ xy =
16 ∗ T π ∗d3
(2)
Onde a componente axial (F) de σx pode ser positiva ou negativa. Nós observamos que há três carregamentos. Momento (M), força (F), e torque (T) aparecem na seção contendo o ponto especifico na superfície. Usando o circulo de Mohr podemos mostrar que as 2 principais tensões não nulas, são:
σ x 2 σ a ∗ σ b = σ x ± + (τ xy )2 2
−
1 2
(3)
Estas tensões podem ser combinadas de forma a obter a máxima tensão de cisalhamento (τmax) e a tensão de Von Mises (σ’); dando em: 1
τ max
2 2 σ a − σ b σ x 2 = = + (τ xy ) 2 2
(4)
σ ' = (σ a2 − σ a ∗ σ b + σ b2 )2 = (σ x2 + 3 ∗ τ xy2 )2 1
1
(5)
Substituindo as equações (1) e (2) em (4) e (5) teremos:
[
2 2 2 ∗ (8 ∗ M + F ∗ D ) + (8 ∗ T ) 3 π ∗d
τ max = σ '=
[
4 2 ∗ (8 ∗ M + F ∗ d ) + 48 ∗ T 2 3 π ∗d
]
1 2
]
1 2
(6)
(7)
Estas equações nos permitem determinar τmax ou σ’ quando o diâmetro(d) é dado ou determinar o diâmetro quando tivermos posse das tensões. Se a analise ou projeto da árvore for baseada na teoria da máxima tensão de cisalhamento, então τmax é:
τ all =
S Sy n
=
Sy 2∗n
(8)
As equações (6) e (8) são úteis para a determinação do fator de segurança(n), se o diâmetro for conhecido, ou para determinar o diâmetro se o coeficiente de segurança for conhecido.
132
Uma analise similar pode ser feita levando em conta a teoria da energia de distorção para falhas, onde a tensão de Von Mises é:
Sy
τ ' all =
(9)
n
5.3.2 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO Em varias aplicações, a componente axial (F) das equações (6) e (7) é próxima de zero ou tão pequena em relação às outras que pode ser desconsiderada. Daí teremos:
τ max =
σ '=
1
16 ∗ (M 2 + T 2 ) 2 π ∗d3
(10)
(
16 ∗ 4 ∗ M 2 + 3∗T 2 3 π ∗d
)
1 2
(11)
É mais fácil resolver estas equações para se encontrar o diâmetro. Substituindo as equações (8) e (9) nos temos: 1
32 ∗ n d= ∗ M 2 +T 2 π ∗ S y
(
)
1 2
3
(12)
Usando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, se o diâmetro for conhecido, calcula-se n da seguinte forma:
(
1 32 = ∗ M 2 +T2 n π ∗d3 ∗ Sy
)
1 2
(13)
Se usarmos como base a teoria de energia de distorção, teremos: 1 1 3 16 ∗ n d= ∗ 4 ∗ M 2 + 3∗T 2 2 π ∗ S y
(
)
(
1 16 = 4 ∗ M 2 + 3∗T 2 3 n π ∗d ∗ Sy
(14)
)
1 2
(15)
Onde: n = fator de segurança. n = 1,5 a 2,0 Sy = limite de escoamento do material. M = momento Máximo no eixo. T = torque máximo.
133
5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO 1.
Qual o diâmetro de um eixo mostrado na figura 2, feito de um aço AISI 1035 laminado
Figura 2 – Engrenagem no eixo.
F = 700 N 3,73kW Motor n = 1750rpm I) Torque:
T=
30 ×103.H π .n , onde H=> Potência em KW, tem-se:
30 × 10 3 .3,73 π .1750 T = 20,35N .m T=
II) Momento:
F L 700 0,3 . = . 2 2 2 2 M = 52,5 N .m M=
III) Material: Pela Tabela =>
S y = 462MPa
IV) Segurança: Usar n=2. V) Diâmetro:
134
(
32n d = M 2 +T 2 π Sy .
)
1
2
1
3
(
32.2 d= 52,5 2 + 20,352 6 π . 462 × 10 d = 13,54mm
2.
)
1
2
1
3
Do exercício anterior visto, tem-se:
M = 52,5N.m T = 20,35N.m d = 13,47mm S y = 462MPa n=2
M = 52,5N.m T = 20,35N.m S y = 462MPa
Se = Ka.Kb.Kc.K d.Ke.Kf.Se '
Su = 551,5MPa Ka = 0,78 Kb = 0,85 Kc = 0,923(Su < 1520MPa) Kd = 1,0 Ke = 1,0 Kf = 1,0 Se = (0,78)(0,85)(0,923)(1)(1)(1)(0,504 . 551,5 × 106 ) Se = 170,1MPa 1 2 2 2 32.2 52,5 20,35 + d = 6 6 π 170,1 × 10 551,5 × 10 d = 18,50mm
1
3
5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME OBSERVAÇÃO: a norma ASME para Eixo de Transmissão: - Não considera fadiga - Não considera concentração de tensão 135
Segundo a norma ASME – as máximas tensões são cisalhantes:
τ d = 0,30.S yt τ d = 0,18.S ut (16)
τ d = máxima tensão cisalhante admissível S yt = tensão escoamento admissível S u = tensão de ruptura admissível As normas prevêem que se as concentrações de tensões estiverem presentes devido a entalhe em chavetas, a tensão máxima admissível deve ser diminuída de 25%. A máxima tensão cisalhante em um eixo submetido à flexão-torção é dada por:
σ 2 = a + τ xy 2 2
τ max σx =
τx =
(17)
M M d 32.M .y = . = I π .d 4 2 π .d 3 64
T M d 16.T .y = . = I π .d 4 2 π .d 3 64
logo,
τ max x =
τ min =
1 32.M 16.T . + 4 π .d 3 π .d 3
16 π .d 3
2
M 2 +T2
σ x = tensão de flexão (psi) τ xy =
tensão de torção (psi)
M = momento de flexão (lbf.in) T = momento de torção (lbf.in) d = diâmetro dp eixo (in) Segundo o critério da ASME, momento M e T devem ser multiplicados por fatores de correção devido a choques e fadiga.
τd =
16.T . M 2 +T2 3 π .d
→
τd =
(
) (
)
16.T . C m .M 2 + C t T 2 → Fórmula da ASME (19) 3 π .d
136
para diâmetro de eixos baseado na teoria da máxima tensão cisalhante. Fatores Cm e Ct dados na tabela.
5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA Qualquer árvore girante que sofre momento de flexão e torção fixas estão sujeitos a uma inversão, reversão completa da tensão causada pelo giro da árvore, mais a tensão de cisalhamento permanecerá a mesma.
σ xa =
32 ∗ M a π ∗d3
τ xym =
(20)
16 ∗ Tm π ∗d3
(21)
onde: σxa = Tensão de Amplitude Alternada τxym = Tensão de Cisalhamento Constante Estas duas tensões podem ser manipuladas usando dois círculos de Mohr Se estivermos usando a teoria de máxima tenção de cisalhamento, teremos:
σ a = 2 ∗τ a
(22)
σ m = 2 ∗τ m
(23)
Se estivermos usando a teoria da energia de distorção, teremos:
σ a = σ xa
σ m = 3 ∗ τ xym
(24)
(25)
5.6.1 - CRITÉRIO DE FADIGA – GOODMAN Para qualquer eixo carregado com um momento de flexão e torção fixos, estará submetido a uma flexão reversa provocando tensões alternadas e torção estacionária, provocando tensões médias. Assim tem-se:
σ ax =
32M a
πd
τ mxy =
3
16Tm
πd 3
(26)
Usando estas expressões e a equação da linha de Goodman:
σa Se
+
σm Su
=1
(27)
Pode-se obter, após desenvolvimento analítico que:
137
1 2 2 2 32n M a Tm + d = π S e S u
1
3
(28)
5.6.2 – CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG Utilizando o teorema da máxima tensão cisalhante:
τ xy =
16.T π .d 3
σx =
32.M π .d 3
Para qualquer plano fazendo um ângulo α com o plano horizontal tem:
τ αm = τ αa =
16.T . cos 2.α → valor médio π .d 3
16.M .sen 2.α → (amplitude da componente alternativa) π .d 3
Por meio da geometria analítica, tem-se que:
π .d 3
n=
T 16. S sy
(29)
2
M + S se
2
1
16.n T d = . π S sy
2
M + S se
2
1 2
3
(30)
Para o critério da máxima tensão cisalhante (usada)
32.n T d = . π S y
2 2 M + S e 1 2
1 3
(31)
sendo que: S sx = 0,5.S x
n = Fator de segurança. S y = Tensão de escoamento. S e = Limite de resistência à fadiga. Para casos mais gerais usar equação:
138
1
32.n Ta d = . π S e
2
2
Mm Ma + + S y Se
2
M am + Sy
2
1 2
3
(32)
onde:
Ta = Torque (amplitude) Tm = Torque médio M a = Momento (amplitude) M am = Momento médio 5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE FADIGA POR SODERBERG 1.
Um eixo usinado é fabricado de um aço com Su = 550 MPa. Calcular n. Dado: T = 6,0 KN
R1 =
175.F 325.F → R1 = 500 500
σ a = tensão alternada σa = n=
σ max − σ min 2
Se
σa
σa =
M = 100Mpa I c
M = R1 .L = I=
= σ max
175.F .200 = 420 KN .m 500
π .d 4
onde:
64
σ a = KF .
d I π .d 3 e c= = 2 c 32
M I c
S e = K a .K b .K c .K d .K e .S e ´ S e´ = 0,504.S u 139
K a = a.Su
→
b
a = 4,51 e
b = -0,265
K a = 4,51.550 −0, 265 = 0,847 d Kb = 7,62
−0 ,1133
= 0,841
Kc = Kd = 1
Ke = K
=
f
1 Kf r = 0 , 0857 d
→
K t = 1, 72
→
D = 1, 428 d
K f = 1 + q.(K t − 1) ) = 1,58 → q = 0,80 logo, K e =
1 = 0,633 1,58
logo,
S e = 124,4MPa n=
2.
Se
σa
=
124,4 = 1,25 99,08
A transmissão representada na figura é movida por um motor elétrico, assíncrono, de indução, trifásico, com potência P= 3,7 kW e rotação n= 1140 rpm. Dimensionar o diâmetro da árvore 2, sabendo-se que a árvore é maciça e o material utilizado possui Su = 700 Mpa, Sy = 630 Mpa e o fator de projeto é 1,8, com as engrenagens enchavetadas no eixo (adotar Kf= 2,8). As engrenagens são cilíndricas (ECDR) e possuem as seguintes características geométricas: Z1= 23; Z2=49; Z3=28 e Z4= 47 m= 2,5 mm e ângulo de pressão 20º.
140
Figura 3 - Exercício resolvido 1.
Calculemos o torque na árvore 1
MT 2 =
3000 P Z 2 . . π n Z1
A potência do motor - P = 3700 W Portanto
MT 2 =
3000 3700 49 . . π 1140 23
→
M T 2 = 66.030 N .mm
Esforços na transmissão: Força tangencial (FT) Força tangencial (no primeiro par) Diâmetro primitivo
FT =
2.M T2 d 02
d 02 = m.Z 2 = 2,5.49
→
d 02 = 122,5mm
2x66030 122,5
→
FT = 1.078 N
d 03 = m.Z 3 = 2,5.28
→
d 03 = 70mm
2x66030 70
→
FT = 1.887 N
FT =
Diâmetro primitivo:
FT =
Força radial no primeiro par
FR = FT .tg 20º
FR = 1078.tg 20º
→
FR = 392 N
141
Força radial no segundo par
FR = FT .tg 20º FR = 1887.tg 20º
→
FR = 687 N
Momento fletor Plano vertical
ΣM A = 0
600.RB V = 687.500 + 392.100 RB V = 638 N
ΣF y = 0 R AV + RBV = 392 + 687 R AV = 441N
Figura 4 – Forças cisalhantes, diagrama de momento fletor no plano vertical
M max = R AV .500 − 392.400 M max = 63.700 N .mm
142
Plano Horizontal
ΣM A = 0 600.RB H = 1078.100 − 1887.500 RB H = −1393N ΣF y = 0 R A H + RBH = 1087 − 1887 R A H = 584 N
M max = M H2 + M V2 M max = 63700 2 + 139300 2 M max = 153.174 N .mm
Figura 5 – Forças cisalhantes, diagrama de momento fletor no plano horizontal
Cálculo do diâmetro considerando cargas estáticas TMTC 1
1 3 32.n d = .( M 2 + T 2 ) 2 π .Sy 1
1 3 32.1,8 d = .(153174 2 + 66030 2 ) 2 → π .630
d = 16,95mm
TED 1 1 3 16.n d = .(4.M 2 + 3.T 2 ) 2 → π .Sy
d = 16,99mm
Cálculo do diâmetro considerando carregamento dinâmico
S e' = 0,504.S u S e' = 0,504.700 → S e' = 352,8 Mpa
143
K a = a.Su
→
b
a = 4,51 e
b = -0,265
K a = 4,51.700 −0, 265 = 0,784 d Kb = 7,62
−0 ,1133
16,93 Kb = 7,62
−0 ,1133
= 0,91
Kc = Kd = 1
Ke = K
f
1 Kf
= 2 ,8
→
K e = 0,357
S e = K a .K b .K c .K d .K e .S e' S e = 0,784 x0,91x1x1x0,357 x352,8 Cálculo do diâmetro pelo critério de Goodman
2 2 32.n Ma Tm d = . + π Se Su
1 2
1 3
2 2 32.1,8 155215,3 66030 d = . + π 84,86 700
1 2
1 3
→
d = 32,15mm
5.8 – CHAVETAS / PINOS Chavetas e pinos são dispositivos mecânicos usados para fixar no eixo, engrenagens, polias e outros elementos de tal forma que o torque possa ser transmitido através dele. Os pinos são usados com duplo propósito, o de transmitir o torque e evitar deslocamento axial do componente montado no eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos.
144
Figura 6 – Chavetas e Pinos.
5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS O cubo é a parte centra do elemento (polia, engrenagem, etc.) onde é realizado um rasgo para a fixação da chaveta.
Figura 7 – União de eixos com chavetas cúbicas.
A chaveta é uma peça que vai ocupar o rasgo no eixo e no cubo, simultaneamente, fazendo a união dos mesmos. Os principais tipos de chavetas, as mais usadas são definidas por normas (padrões). Estas chavetas são do tipo: •
Chaveta meia-lua (woodruff)
•
Chaveta plana.
•
Chaveta inclinada. A figura 8 mostra estas chavetas e a geometria, bem como a forma de usinagem do
rasgo. Observar que os rasgos das chavetas meia-lua são usinados com fresa circular as chavetas planas e inclinadas com fresa circular e de topo.
145
Para exemplificar os padrões de chavetas tem-se: •
Uniões por adaptação de forma.
•
Uniões por adaptação de forma com pretensão.
•
Uniões por atrito.
•
Chaveta meia-lua.
•
Chavetas planas e inclinadas.
Figura 8 – Tipos de Chavetas
5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS Como já foi visto anteriormente, as chavetas são tabeladas quanto a sua secção.O dimensionamento da chaveta consiste em determinar o seu comprimento mínimo (L), como é o caso das chavetas planas e inclinadas (as mais usadas).
146
Figura 9 – Dimensionamento das chavetas.
As tensões que atuam nas chavetas são determinadas da seguinte forma:
Figura 10 – Tensões atuantes nas chavetas.
Quando a chaveta acopla (une) um eixo e uma polia, a transmissão de potencia do eixo para a polia, força a chaveta de forma inclinada. Esta força (F) tende a cisalhar (rasgar) a seção AA’ da chaveta. Logo:
τ=
F F = A t.L
Modelo Matemático (33)
Comparando com o limite de resistência cisalhante ao escoamento (Ssy) e para um fator de segurança n, tem-se:
τ=
S sy n
⇔
S sy F = t.L n
(34)
5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CHAVETAS 1.
Um eixo de aço AISI 1018 (ABNT) trefilado a frio tem Ssy = 185MPa. Uma chaveta quadrada deve ser usada para acoplar um eixo de d = 40mm e uma engrenagem, que transmitirão 22,38KW a uma rotação de 1100rpm. Usar fator de segurança n = 3,0. 147
F=
T d 2
R=
d 40 = ⇒ R = 20mm 2 2
Como: T =
=> Força na chaveta
30 × 103.H , onde H=> Potência em KW, tem-se π .n
Figura 11 – aplicação de chaveta.
T=
30 × 103.22,38 ⇒ T = 194,2 N .m π .1100
Logo:
F=
194,2 20 × 10 −3
⇒ F = 9713 N
Para a chaveta, temos:
F S sy = t.L n F n L= . t. S sy 9713 3 . 0,008 185 × 106 L = 19,7 mm L=
Observar que, o comprimento mínimo é L = 19,7mm como a geometria do cubo é maior do que o diâmetro do eixo, e como as chavetas têm o comprimento do cubo, pode-se dizer que o comprimento da chaveta a ser usada é:
L ≥ 40mm
148
5.12 - VIBRAÇÃO DE EIXOS A figura 12 mostra um rotor consistindo de um grande disco de massa M montado em um eixo, na metade da distância entre os mancais. A massa do eixo será considerada desprezível comparada com M. Mesmo com um balanceamento de alto grau de precisão, há contudo uma pequena excentricidade e do centro de massa g do disco, em relação ao eixo de rotação. Por causa da excentricidade, a força centrífuga ocasionada pela rotação do eixo faz com que este sofra uma deflexão r. Visto pela extremidade do eixo como na figura 12, o centro O do disco parece estar girando em torno do eixo de rotação sobre uma circunferência de raio r. A força de inércia causada por este movimento forçado é Fo = M(r + e) w2. Devido à deflexão do eixo, considerado como uma mola, a resistência à força de inércia é kr, sendo k a constante de mola do eixo na flexão. O sentido da aceleração do centro de gravidade g é conhecido neste caso, de modo que se pode mostrar o vetor MA como uma força de inércia Fo (como na figura 12). Pode-se então escrever a equação do equilíbrio estático:
∑
F = 0
M (r + e)w 2 − kr = 0
(35)
Figura 12 - Rotor com disco
149
Para se determinar o raio r, pode-se apresentar a equação (35) da seguinte forma:
r =
ew 2
(k M ) − w
Quando a velocidade ω do eixo for igual a
2
(36)
k / M , o denominador da equação (36) se
anulará e r atingirá valores intoleravelmente grandes. A rotação do eixo assim defletido parece com uma viga em vibração quando visto do lado onde somente pode-se observar a projeção do movimento. Portanto, pode-se considerar
k / M do eixo rotativo como a freqüência circular
natural ωn da viga quando levada a vibrar naturalmente no seu primeiro modo de vibração. Pode-se escrever a equação (36), na forma adimensional:
( w / wn ) 2 r = e 1 − ( w / wn ) 2
(37)
A representação gráfica da equação (37) e indica a condição crítica de rotação, quando ω for igual a ω
n
=
k / M , devido às amplitudes muito grandes da vibração do eixo. Na
condição crítica, chama-se ω de ωc e a velocidade de rotação do eixo em rotações por minuto será
nc = onde ω n =
60 60 wc = wn 2π 2π (38)
k / M normalmente é expresso em rad/s. Assim,
nc =
60 60 wn = 2π 2π
k k kg k = 9, 55 = 9, 55 = 29, 9 M M P P
≅ 30
k P
(39)
na qual nc è a velocidade crítica em rotação por minuto, k está em Newtons por metro e M. em quilogramas. Pode-se calcular a constante k da mola através da deflexão estática δest do eixo devido ao peso do rotor. Assim, k = Mg/δest e quando substituído na equação (39), a velocidade crítica será expressa pela seguinte equação:
nc = 30
1
δ est
(40)
Segundo os livros-texto de resistência dos materiais, pode-se calcular a deflexão estática de uma carga P atuando no centro de uma viga uniforme bi-apoiada, como δest = Pl3/48 EIA. Assim, a velocidade crítica de um eixo com uma massa M situado no meio da viga, pode ser calculada em termos das dimensões do eixo (l é o comprimento do eixo, entre apoios, IA é o
150
momento de inércia da área da seção reta do eixo, igual a πd4/64, d é o diâmetro do eixo) e do módulo de elasticidade E do material do eixo.
nc = 46
Ed 4 Pl 3
(41)
Assim, de acordo com a equação (41), pode-se alterar o material e as dimensões do eixo, assim como o peso da massa Af, de modo que a velocidade crítica nc seja superior ou inferior à velocidade de projeto n na qual deseja-se operar. Caso n/nc for menor do que 0,707 ou maior do que 1,414, r será menor do que o dobro da excentricidade e. Por exemplo, se a excentricidade e for 0,025 mm, r será 0,050 mm quando n/nc =
2.
É interessante observar que em velocidades muito acima da crítica (ω/ωn>>1,0), o valor de r/e = -1 e r = - e, indicando que o centro de massa de M estará no eixo de rotação. Neste caso a massa não estará oscilando, porém o eixo oscilará em torno do centro de massa de M. Até agora, considerou-se desprezível a massa do eixo. No caso da massa do eixo ser grande bastante para não ser desprezada, e o eixo ter diâmetro uniforme, deve-se somar à massa M 50 por cento da massa m do eixo, para se determinar à freqüência circular natural.
wn =
k ( M + 0,5m)
(42)
Conforme mostra a figura 12, supõe-se que os mancais do eixo sejam rígidos. Em certos casos, pode-se considerar os mancais como elasticamente apoiados, e neste caso o δest da equação (40) deve incluir a deflexão estática dos apoios assim como a deflexão do eixo. Entretanto, aplica-se a equação (40) somente quando a flexibilidade dos apoios for a mesma para todas as posições angulares do rotor.
5.13 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA Pode-se ter uma variedade muito grande de configurações de rotores desde que sejam usadas diversas massas e diversos apoios, assim como eixos de diâmetros variáveis. Embora as curvas do fator de amplificação sejam difíceis de serem obtidas matematicamente, as velocidades críticas dos eixos são determinadas com relativa facilidade através de cálculos de freqüência natural. No próximo item, serão apresentados diversos casos de determinação da velocidade crítica a partir da freqüência natural.
151
5.14 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM DIVERSAS MASSAS Em um eixo rotativo com diversas massas conforme mostra a figura 13a, pode-se determinar a freqüência circular natural ωn do eixo que, sem girar, vibra livremente, sem amortecimento, após uma deflexão inicial no primeiro modo de vibração. Pode-se aplicar o método de Rayleigh neste caso. Considerando que o sistema vibratório é conservativo, a soma da energia potencial e da cinética é constante em qualquer fase da vibração. Duas destas fases analisam-se facilmente. Na fase em que todas as massas estão simultaneamente nos máximos deslocamentos Y, a energia armazenada elasticamente no eixo é igual è energia potencial ∑ FY/2. Nesta fase a energia cinética é zero porque todos os pontos do sistema estão momentaneamente com velocidade zero. Assim, a energia potencial é
EP =
FY FY FY 1 1 + 2 2 + ... + n n 2 2 2
(43)
As forcas F são as necessárias para a deflexão do eixo, como se fosse uma mola, ate ficar com a conformação mostrada nesta fase. O produto forca-deslocamento determina energia potencial. Entretanto, como a forca e diretamente proporcional ao deslocamento, a forca media que atua durante o deslocamento Y e F/2. Durante a vibração, o eixo passa pela fase de repouso (não deformada) na qual a energia potencial e zero, mas a energia cinética e máxima porque as velocidades das massas são máximas. Considerando que as massas tem movimento harmônico simples, as velocidades são V = Yωn e as energias cinéticas são MV2/2 = M(Yωn)2/2.
Assim, a energia cinética do
sistema é
wn2 wn2 2 2 2 2 2 2 PY EC = M 1Y1 + M 2Y2 + ... + M nYn = 1 1 + P2Y2 + ... + Pn Yn 2 2g
(44)
(a) Flexão dinâmica
152
W3
d2
d1
d3
W2
W1
(b) Flexão estática
Figura 13 – Flexão
Igualando-se os membros da direita das equações (43) e (44), pode-se deter-minar a freqüência circular natural ωn. Entretanto, as forças F e os deslocamentos Y não são conhecidos, mas podem ser determinados considerando-se a forma do eixo defletido estaticamente sob a ação dos pesos conforme indica a figura 13b. Considerando que os deslocamentos Y da vibração são proporcionais as deflexões δ da deformação estática, então
Y1
δ1
=
Y2
δ2
= ... =
Yn
δn
(45)
Como as formas para defletirem uma mola são proporcionais as deflexões então
F1 Y1 F2 Y2 Fn Yn = , = , = P1 δ1 P2 δ 2 Pn δ n
(46)
Igualando as expressões da energia potencial e da cinética dadas pelas equações (43) e (44) e usando as equações (45) e (46) para a eliminação de F e Y, a equação resultante que da a freqüência circular natural é
wn2 = g
[ P1δ1 + P2δ 2 + ... + Pnδ n ] P1δ12 + P2δ 2 2 + ... + Pnδ n 2 wn2 = g
∑ Pδ ∑ Pδ
2
(47)
e a velocidade critica pode-se determinar de nc = 60 ωn /2π. A equação de Rayleigh equação (47) e uma expressão simples e altamente útil para determinar a freqüência natural fundamental de muitos tipos de rotores. A determinação da deflexão estática constitui a maior parte do esforço necessário na execução dos cálculos conforme está ilustrado nos exemplos seguintes. As fórmulas de deflexão de vigas, para inúmeros casos, estão disponíveis em livros texto de resistência dos materiais e em manuais. Pode-se aplicar o método da área do diagrama de momento fletor e outros em casos gerais. Dispõe também de métodos gráficos, conforme ilustrado no item seguinte, para a determinação das deflexões estáticas de rotores com eixos de diâmetros variáveis. 153
Para inclusão da massa do eixo nos cálculos, deve-se dividi-lo em diversos comprimentos, cada um tratado como se fosse uma massa adicional. A equação (47) não e estritamente uma avaliação exata da freqüência natural porque a curva das deflexões estáticas não e proporcional exatamente a curva deflexões dinâmicas, como foi considerado. Entretanto, o resultado obtido equação e somente um ou dois por cento superior a freqüência natural funda verdadeira. Considerando que outros fatores tais como efeitos giroscópicos durante a oscilação, ajustagens forçadas de discos no eixo, e chavetas alteram raramente a velocidade critica, a equação (47) produz uma resposta aceitável. A deflexão dos apoios pode ter uma influencia maior sobre as velocidades críticas e devem ser acrescidas as deflexões do eixo, na equação (47). A freqüência natural dada pela equação (47) é a fundamental, ou a mais baixa freqüência do sistema de massas. É desejável, portanto, se possível projetarem-se as dimensões de um, eixo de tal modo que a velocidade crítica mais baixa seja superior à velocidade de projeto. Entretanto, nem sempre isso é possível. Em turbinas de alta rotação, a velocidade de operação pode estar entre duas velocidades críticas de modo que o eixo não necessita tornar-se excessivamente pesado. Neste caso, é necessária a passagem pela velocidade crítica mais baixa, o que pode ser perigoso. Entretanto, se o rotor estiver cuidadosamente balanceado e a primeira velocidade crítica for baixa, as forças perturbadoras serão pequenas nas regiões perto da crítica. Também, a amplitude de vibração à velocidade crítica aumenta a níveis perigosos somente se for permitido um tempo para a amplitude crescer; portanto, acelerando-se na passagem pela velocidade crítica, pode-se manter as amplitudes em intensidades aceitáveis. O amortecimento natural do material do eixo, embora pequeno, também tende a reduzir as amplitudes. Muitas máquinas bem sucedidas foram projetadas para funcionar entre velocidades críticas. Quando o eixo se estende para fora dos mancais como na figura 12a, deve-se inverter os sentidos dos pesos como indica a figura 12b na determinação das deflexões estáticas para emprego na equação (47). Deve-se notar que se simula dessa maneira a curva da deflexão dinâmica de meia-onda, para obtenção da freqüência natural mais baixa.
154
(a)
(b) Figura 14 – Freqüência natural da estrutura
5.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VIBRAÇÕES EM EIXOS 1.
Um rotor de compressor de 25 kg e um rotor de turbina, de 15 kg, são montadas em um eixo de aço conforme mostra a figura 13a. O eixo deve operar à velocidade prevista de 10.000 rpm. Empregando a equação de Rayleigh (47) determine o diâmetro do eixo mais leve que possa ser usado para que tenha uma velocidade critica fundamental de 12.000 rpm, com uma margem de segurança de 2.000 rpm.
155
(a)
(b)
(c)
(d) Figura 15 – Aplicação de vibrações em um eixo
Conforme a figura 15b mostra, inverte-se a carga P2 a fim de se obter uma curva de deflexão com o formato do uma meia-onda simples. As figuras 15c e 15d mostram a forma da viga deformada sob a ação de cada carga atuando independentemente, conduzindo assim a dois casos cujas fórmulas deflexão estática mostradas a seguir encontra-se em livros-texto de resistência dos materiais. Pelo método da superposição, pode-se determinar as deflexões δ1 e δ2:
δ1 = δ1′ + δ1′′ = =
3 Pl P l 2a 1 + 2 = 48EI A 16 EI A
1 25 × 0,503 15 × 0,502 × 0, 25 0,12369 + = EI A 48 16 EI A
2 Pl P2 a 2 (l + a) 0,322 1 a ′ ′′ δ2 = δ2 + δ2 = + = 16 EI A 3EI A EI A
Usando-se a equação (47),
156
Pδ + P δ 25 × 0,12369 + 15 × 0,332 wn2 = g 1 21 2 2 2 = gEI A 2 2 25 × 0,12369 + 15 × 0,332 P1δ1 + P2δ 2 Para g= 9,81m/s² e E= 2,1 x 1010 kg/m²
wn2 = 81, 678 ×1010 I A I A = 0, 012243 ×10−10 wn 2 Para nc= 12.000 rpm
wn =
2π nc = 1260 rad/s 60
Portanto, o momento de inércia necessário do eixo é:
I A = 0, 012243 × 10 −10 × 1260 2 Como IA= πd4/64,
d4 =
64
π
I A = 395973, 4762 × 10-10
d = 0, 0793 m = 79, 9 mm Deve-se usar um diâmetro de 80mm.
2.
Os apoios do rotor do exemplo 1, figura 15a, foram considerados como rígidos. Determine a velocidade crítica do rotor do exemplo 1 se cada um dos apoios sofrer uma deflexão de 0,14/EIA sob um carregamento estático. Use IA = 1,84 x 10-6 m4 e E = 2,1 x 1010 kg/m2.
Devido à flexibilidade dos apoios, as cargas Pl e P2 terão uma deflexão adicional. Conforme indica a figura 16, sob o carregamento, o apoio da esquerda desloca-se para baixo e o da esquerda para cima. Como se pode ver, não há influência nobre a deflexão da carga P1, porém o deslocamento de Pl aumenta de 0,28/EIA. Portanto as deflexões estáticas totais são
δ1 =
0,12369 EI A
δ2 =
0,332 0, 28 0, 612 + = EI A EI A EI A .
Substituindo estes valores na equação (47),
157
wn2 = 774602 wn = 880,1 rad/s nc =
60 60 wn = (880) = 8404 rpm 2π 2π
5.16 - EIXOS ESCALONADOS A equação (47) para velocidade crítica se aplica a eixos de rotores do tipo mostrado na figura 10a, no qual o diâmetro varia em degraus. Entretanto, como IA é variável em tais casos, não se derivam com facilidade para as deflexões estáticas. Pode-se usar um dos diversos métodos gráficos, tal como o seguinte.
0,14 EI A
0, 28 EI A
0,14 EI A
Figura 16 – Eixos Escalonados
Deve-se recordar da resistência dos materiais que para se determinar à deflexão estática deve-se resolver a equação diferencial básica:
d2 y M = dx 2 EI A
(48)
Na qual y é a deflexão, M é o momento fletor como função de x, e IA é O momento de inércia da seção reta do eixo, como função de x. Integrando-se duas vezes a equação (48) obtém-se a deflexão da viga. A primeira integração conduz a dy/dx, inclinação da curva elástica da viga deformada. Além disso, iniciando-se com as cargas da viga, necessitam-se de duas integrações para a obtenção do diagrama do momento fletor. Assim, necessita-se de quatro integrações para se obterem as deflexões a partir do carregamento conhecido. Como o processo de integração é o somatório de áreas sob as curvas, pode-se empregar um método gráfico para um somatório para vigas complexas que têm funções com numerosas descontinuidades. O método gráfico exige que as curvas sejam traçadas em escala 158
a fim de que as áreas sob as curvas possam ser avaliadas através da medição de quadrados ou usando-se um planímetro. A figura 17a mostra um rotor de aço com uma engrenagem de 89,0 N e um eixo de três diâmetros diferentes. Divide-se a viga em cinco partes, mostrando-se os pesos de cada parte no respectivo centro de gravidade. Uma delas inclui o peso da engrenagem. A figura 17a é um diagrama de carregamento a partir do qual pode-se determinar o diagrama de esforço cortante mostrado na figura 17b através de métodos convencionais (a primeira integração). Obtém-se o diagrama de momento fletor da figura 17c através das áreas do diagrama de esforço cortante (a segunda integração). Por exemplo, a ordenada M1 é obtida a partir da área Al, a ordenada M2, n
∑A é a soma das áreas A1+A2 e a ordenada Mn é
1
. Deve-se levar em conta o sinal de cada
área. Devem-se multiplicar as áreas em milímetros quadrados pelo fator de conversão apropriado obtido das escalas do diagrama de esforço cortante, afim de que as ordenadas do diagrama de momento fletor sejam em N/mm.
159
Figura 17 – Deflexões em um eixo de carregamento conhecido
Depois de realizadas as integrações, deve-se transformar o diagrama de momento fletor no diagrama M/EIA conforme exigido pela equação (48). Divide-se cada ordenada do diagrama de momento fletor pelo valor adequado de EIA (E = 207x x 103 N/mm2 para o aço e IA = πd4/64) para obtenção das ordenadas M/EIA da figura 17d. Obtém-se as ordenadas da figura 17 e representando a inclinação dy/dx da elástica (terceira integração), através das áreas do diagrama M/EIA. As ordenadas traçadas a partir do eixo x' são todas positivas. Entretanto, sabese do formato esperado da elástica que as inclinações são negativas perto da extremidade da esquerda da viga, positivas na extremidade da direita e nas proximidades do meio da viga há uma inclinação nula. Assim, traça-se o eixo x escolhido arbitrariamente de tal modo que as 160
áreas negativas sejam aproximadamente iguais às positivas, na figura 17e. Faz-se a quarta integração usando-se as áreas da figura 17e para obtenção das ordenadas da deflexão estática y na figura 17f. Observa-se que as ordenadas da deflexão estática são negativas porque as áreas da curva dy/dx são negativas na extremidade da esquerda onde se inicia a integração. Embora estas ordenadas sejam levantadas a partir do eixo x\ traça-se o eixo x conforme indicado porque se sabe que são nulas as deflexões da viga nos apoios. Como o eixo x, traçado arbitrariamente no diagrama da inclinação da elástica figura 15e, havia dividido igualmente as áreas negativas e positivas, então o eixo x' e o x da figura 15f deveriam coincidir. Dos dados das curvas a e f, calculam-se os seguintes valores:
∑ Py = 2,94 N ⋅ mm ∑ Py ∑ Py = 0, 794 × 10 w =g ∑ Py 2 n
2
= 0, 0385 ⋅ mm
6
2
wn = 865 rad/s nc =
60(865) = 8260 rpm 2π
5.17 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR Para rotores que tem eixos de diâmetros variáveis como no item precedente, a determinação da segunda velocidade critica e as velocidades de ordem superior quanto à flexão, e relativamente mais complexa do que o cálculo da velocidade crítica fundamental da equação (47). Os livros-texto de Timoshenko, Den Hartog e Thomson apresentam métodos para rotores com tais eixos e para um número de rotores com eixos uniformes com e sem massas concentradas. No casos de vigas uniformes simplesmente apoiadas e vigas uniformes em balanço para as quais a formula seguinte calcula as diversas freqüências naturais:
wn = Cn
EI A g Pl 3 (49)
E o coeficiente que indica a n-ésima freqüência natural, P e o peso total da viga em kg, e / e o comprimento da viga em metros. O eixo de transmissão do automóvel e eixo de bobina são exemplos de vigas uniformes simplesmente apoiadas, e as palhetas de compressores e de turbinas são exemplos aproximados de vigas uniformes em balanço.
161
Consideremos o caso da palheta do rotor mostrada na figura 18. Mostra-se a palheta como uma viga em balanço a qual sofre um ciclo de perturbação de flexão cada vez que passa por uma palheta do estator e provoca uma mudança na força aerodinâmica. Se N e o número de palhetas do estator, então a freqüência da perturbação em ciclos por minuto será o produto de N pela rotação do rotor em rpm. Quando essa freqüência coincidir com a freqüência natural fn da palheta devida à flexão, existira uma situação crítica. Para a palheta de aço mostrada na figura 16, os cálculos seguintes ilustram a determinação das diversas velocidades criticas do rotor para o caso de um estator de 30 palhetas.
E = 207 x10 3 N / mm 2 IA =
g = 9810mm / s 2
I = 76,2mm
bh 3 25,4 x3,183 = = 68,1mm 4 12 12
p = 76,5 x10 −6 N / mm 3 P = volume × p = (25, 4 × 76, 2 × 3,18)(76, 5 × 10 −6 ) = 0, 471 N
w n1 = c1
f n1 =
EI Ag Pl 3
= 3, 52
(207 × 10 3 ) × 68,1 × 9810 = 2870 rad/s 0, 471 × 76, 2 3
60w n1 60 = × 2870 = 27, 400 ciclos/min 2π 2π
Figura 18 – Encaixe palheta e rotor
162
A velocidade crítica do rotor ocorre gerando
n c1 =
f n1 = N n c1
.
f n1 27400 = = 913 rpm N 30
A segunda e a terceira velocidades críticas são
n c2 =
c2 22, 4 n c1 = × 913 = 5810 rpm 3,52 c1
n c3 =
c3 61, 7 × 913 = 16000 rpm n c1 = c1 3,52 Em geral as palhetas de rotores devem ser delgadas e leves para maquinas de alta
rotação e freqüentemente ultrapassam a primeira e a segunda velocidades criticas. A seleção do material e importante. Alguns materiais possuem propriedades de amortecimento melhores do que outros, e isto pode significar a diferença entre o êxito e o fracasso em ultrapassar as velocidades criticas. As palhetas geralmente são curvas e sua espessura diminui gradualmente, sendo maior na base do que na extremidade: isto torna a palheta mais rígida e aumenta um pouco a velocidade critica. Observação: não deve ser utilizado em vigas não uniformes.
5.18 - EIXOS ESCALONADOS Quando o eixo tem os diâmetros escalonados como o do rotor de dois discos mostrados na figura 22, a constante da mola torcional é variável. Pode-se determinar uma constante equivalente kt em função das constantes individuais kl, k2, k3...Kn. Para molas em série, o torque instantâneo T em cada seção do eixo é o mesmo. Entretanto, os ângulos de torção diferentes. O ângulo total de torção Φt é a soma de todos os ângulos individuais de torção.
φ1 = φ1 + φ2 + φ3 + ... + φn T T T T T = + + + ... + kt k1 k2 k3 kn 1 1 1 1 1 = + + + ... + kt k1 k2 k3 kn 1 1 =∑ kt k
(50)
Para o rotor com dois discos e com eixos de diâmetro variável, pode-se substituir kt, determinado pela equação (50).
163
Figura 19 - Eixo e mancais
5.19 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS 1.
O eixo da figura suporta uma engrenagem cilíndrica de dentes retos para uma rotação de 315 rpm. O diâmetro primitivo da engrenagem é de 364 mm, t=310mm, t1=120 mm, t2=190 mm. Dimensione este eixo, calculando o valor de d. A engrenagem é enchavetada no eixo. A carga total atuando no eixo é de 15 KN.
Figura 21 - Exercício proposto 1.
2.
Um eixo é fabricado com aço AISI 1137, laminado a frio, e é usado em um cortador de grama. A potência é suprida ao eixo por uma correia plana à polia A. Em B, uma corrente de rolos exerce uma força vertical e em C uma correia trapezoidal também exerce uma força vertical. Nas condições de operação a correia transmite 35 HP a 425 rpm das quais 25 HP é transmitida ao cortador e 10 HP para o ventilador. As duas seções do eixo são 164
unidas por um acoplamento flexível em D e as polias são todas enchavetadas no eixo. Decida qual serão os diâmetros dos eixos, utilizando a teoria de falhas de Von Mises e o critério de Goodman.
Figura 22 - Exercício proposto 2.
165
3. Um eixo S de aço AISI 1137, laminado a frio, transmite potencia que recebe de um eixo W, que gira a 2000 rpm através de uma engrenagem E de 125 mm de diâmetro à engrenagem A de 375 mm de diâmetro. A potência é transmitida de uma engrenagem C para a engrenagem G, que varia de 10 HP a 100 HP, retornando a 10 HP, durante uma rotação de do eixo S. O projeto leva em conta as tensões variáveis e a teoria da máxima tensão cisalhante TMT|C e o critério de Goodman. Para um fator de projeto n=1,8, calcule o diâmetro do eixo, utilizando somente as cargas tangenciais motoras.
Figura 23 - Exercício proposto 3.
166
4.
Idêntico ao anterior, exceto que as componentes radiais das engrenagens devem também ser consideradas, todas as engrenagens com ângulo de pressão 20o.
5.
Idêntico ao exercício 4, exceto que a engrenagem G se posiciona em cima da engrenagem C.
6.
Um pequeno eixo é fabricado com aço SAE1035, laminado a quente, recebe potência de 30 HP a 300 rpm, através de uma engrenagem de 300 mm de diâmetro, sendo esta potência transmitida a outro eixo através de um acoplamento flexível. A engrenagem é enchavetada no meio do eixo entre dois mancais, com ângulo de pressão 20o, fator de segurança n=1,5. (a) Desprezando a componente radial R da carga total W, determine o diâmetro do eixo. (b) Considerando ambas componentes radiais e tangencial, determine o diâmetro do eixo.
Figura 24 - Exercício proposto 6.
167
CAPITULO 06 - LUBRIFICAÇÃO E MANCAIS DE DESLIZAMENTO
6.1 - INTRODUÇÃO
O movimento dos elementos ou peças de máquina exige superfícies de apoio, algumas das quais são fácil e completamente lubrificadas outras lubrificadas deficientemente e com dificuldade e, ainda outras, não recebem qualquer lubrificação. Em muitas situações, quando o movimento é pequeno e a carga leve, o projetista se contenta em prever um furo de óleo, ou outro dispositivo simples, e de fazer depender do operador da máquina a aplicação periódica do lubrificante. Entretanto, quando a carga ou à velocidade, ou ambas, são elevadas, como acontece comumente nas máquinas modernas, a lubrificação, seja por óleo, por ar ou outro fluido, deve ser projetada para atender as condições de operação e evitar dificuldades que, sem isso, adviriam. A lubrificação não é a apenas o lubrificante. Depende da carga, velocidade, folgas, comprimento e diâmetro do mancal e, talvez, do tipo de superfície.
6.2 - LUBRIFICANTES.
Os óleos animais ou vegetais são lubrificantes, mas, é claro, os mais importantes dos óleos são os derivados de petróleo. Os modernos óleos de petróleo contem, usualmente, um ou mais aditivos que objetivam a melhoria de alguma propriedade particular do óleo. Assim, são usados aditivos com os seguintes objetivos: para reduzir a taxa de e oxidação do óleo (antioxidantes); para limpar as superfícies das maquinas (detergentes); para reduzir a corrosão (anticorrosivos); para manter os produtos da decomposição em um estado coloidal (dispersantes); para prevenir o contato de metal com metal, como no caso dos dentes de engrenagem (agentes para extrema pressão); para reduzir ferrugem (antiferruginosos); para baixar o ponto de congelamento; para diminuir a variação do índice de viscosidade com a temperatura e para prevenir a formação de espuma. Os lubrificantes sintéticos estão assumindo importância cada vez maior em situações especiais. Um polímero dimetilsilicone apresenta o alto índice de viscosidade ** de 150, resiste à oxidação até 350º F e pode ser fabricado com a viscosidade desejada. A grafita tem sido usada como lubrificante de muitos modos: Um composto especial , lubrificante sólido, produz um filme com espessura de 0,004 mm (0,00015 pol.) a 0,0127 mm 168
(0,0005 pol.) de espessura e adere tenazmente às superfícies. Tem sido usado em mancais, engrenagens, arvores caneluradas e outras aplicações e é extremamente preventivo de escoriações nas superfícies metálicas provocadas pelo atrito.
6.3 - VISCOSIDADE
A propriedade mais importante de um lubrificante, no caso de atrito fluido, é a viscosidade. Consideremos um elemento de um fluido no qual ocorre movimento relativo das partículas. Se a velocidade da camada superficial superior é v 2 e, da inferior, v1 , a variação da velocidade entre as duas camadas é v 2 − v1 = dv, se admitirmos que as camadas superficiais estejam afastadas entre si de dh. A lei de Newton para os fluidos viscosos estabelece que a tensão de cisalhamento F / A no fluido é proporcional ao gradiente de velocidade dv / dh:
Fig.1- Definição de viscosidade
F dv =µ A dh
ou
F=µ
Av h
(1)
onde A é a área do fluido e µ é a constante de proporcionalidade , chamada viscosidade absoluta, ou simplesmente viscosidade, do fluido. Existem dois tipos de viscosidade que são comumente utilizadas. A primeira é a viscosidade absoluta e é derivada da unidade básica de força e velocidade. A outra é chamada de viscosidade cinemática definida como a viscosidade absoluta dividida pela densidade.
τ=
F u = µ⋅ b A h
(2)
Então:
µ=
F A N m2 N ⋅ s ec = = = Pa ⋅ s ec ub h m s ec m m2
(3)
169
Ou na unidade cgs:
dina ⋅ s egundo cm 2 = centipoise
(4)
Ou nas unidades inglesas:
1 reyn = lb f ⋅ s eg pol 2
(5)
Se o lubrificante não constar das tabelas, será, provavelmente, necessário à conversão a partir da viscosidade Saybolt Universal (SU), que é obtida em leituras de viscosímetros comerciais. Esta conversão é feita com o uso de uma outra propriedade denominada Viscosidade cinemática, que é a viscosidade absoluta do fluido dividida pela sua massa específica, ambas expressas no mesmo sistema de unidades. As dimensões básicas da viscosidade cinemática são L2 T-1. Como no sistema CGS de unidades, a massa especifica ρ é numericamente igual à densidade d, é fácil determinar a viscosidade cinemática VC a partir da absoluta Z em centipoise. VC = Z / ρ = Z / d = 0,22t – (180/t) (centistokes)
(6)
onde t é a leitura no viscosímetro Saybolt Universal em segundos sendo todas as propriedades consideradas à mesma temperatura. A densidade de um óleo derivado de petróleo a uma determinada temperatura θ é dada, aproximadamente, por: dθ = d60 – 0,00035 (θ-60)
(7)
onde d60 é a densidade a 60°F (cerca de 0,89 a 0,93 para es tes óleos).
6.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANCAIS.
Um mancal é constituído de duas partes principais: o munhão, que é a parte interna, cilíndrica, usualmente com movimento de rotação ou oscilação, e o mancal propriamente dito ou superfície de apoio, que pode ser estacionário, como os mancais de uma arvore, ou pode ser imóvel, como no caso de um sistema biela-manivela. Pode-se classificar os mancais de vários modos. Um deles encara o fato de ser o munhão inteiramente envolvido pela superfície de apoio ou mancal propriamente dito, caso em que o conjunto é chamado mancal completo ou de ser envolvido apenas parcial, caso em que o conjunto é chamado de mancal parcial. Um tipo simples de mancal parcial é usado quando a carga é aplicada na parte superior do munhão e este mergulhado em óleo na parte inferior.
170
Os mancais podem ser também classificados como mancais com folga ou sem folga. Nos mancais com folga o diâmetro da superfície de apoio é maior do que o do munhão. A diferença entre esses diâmetros é chamada de folga c. A folga radial cr=c/2 é a diferença entre os raios das superfícies do mancal e do munhão. A relação entre a folga e o diâmetro do munhão c/D é chamada de taxa de folga. Um mancal sem folga é aquele em que ambas as superfícies, a do munhão e a de apoio do mancal, Têm os mesmos raios. È evidente que um mancal sem folga é, obrigatoriamente, um mancal parcial, enquanto os mancais com folga podem ser completos ou parciais. Antes de podermos estudar os mancais hidrodinâmicos, temos que entender primeiro como os lubrificantes atuam. Como a viscosidade dos lubrificantes varia com a temperatura, temos que escolher um óleo ou graxa adequados para as condições de trabalho. O lubrificante escolhido também é determinado em função do acabamento das paredes do mancal. Este capítulo introduzirá os parâmetros usados para selecionar os lubrificantes, as qualificações de acabamento e o comportamento hidrodinâmico dos mancais de deslizamento O estudo de lubrificação, atrito e desgaste é chamado tribologia. A exigência fundamental para duas superfícies serem lubrificadas é que as espessuras operacionais do lubrificante entre as superfícies deve ser maior que a rugosidade das superfícies. As duas superfícies devem flutuar em um filme pressurizado de lubrificante.
Figura 2 - Relação entre a espessura do lubrificante e a rugosidade das superfícies do mancal A relação para a lubrificação hidrodinâmica è: 1
espessura..do. filme : hmin
u 2 ∝ b W
(8)
Onde hmin normalmente excede 1 µm e onde W é a carga aplicada ao mancal.
171
Pode-se ver o que acontece se hmin
for menor do que a altura da saliência da
rugosidade. Contato de metal com metade iria ocorrer, alto atrito e alta taxa de desgaste também acontecem.
6.5 - LUBRIFICAÇÃO ELASTODINÂMICA
Figura 3 – Lubrificação A característica fundamental deste tipo de lubrificação é que a carga provoca uma deflexão elástica na superfície principal formando uma pequena cunha superficial. O lubrificante é jogado para esta superfície pela rotação do elemento girante.T
Figura 4a - Operação Elastohidrodinâmica
Figura 4b - Características da lubrificação hidrodinâmica O módulo efetivo elastohidrodinâmico é utilizado no projeto de mancais de rolamentos de esferas e de rolos e em eixos que operam com mancais de nylon.O módulo efetivo é:
172
E' =
2 1 −ν 1 − ν b2 + Ea Eb 2 a
(9)
6.6 - TIPOS DE LUBRIFICAÇÃO
Lubrificação Limite: Contato entre mancal e munhão Lubrificação de filme de óleo- lubrificação intermitente Lubrificação Hidrodinâmica: O eixo do mancal é apoiado em um filme de óleo. O filme é criado pelo movimento do mancal. A figura abaixo mostra a relação entre os parâmetros do mancal e o coeficiente de atrito.
Figura 5 - Viscosidade
6.7 - LUBRIFICAÇÃO ESTÁVEL E INSTÁVEL
A lubrificação Hidrodinâmica é considerada uma lubrificação estável. Com o aumento da temperatura do lubrificante, a viscosidade tende a cair. Isto resulta em um menor coeficiente de atrito levando a temperatura do lubrificante a cair, tendo portanto uma auto-correção. Já a lubrificação intermediária é instável,pois um aumento na temperatura do lubrificante, causa uma diminuição na viscosidade e portanto um aumento no coeficiente de atrito, levando a temperatura do óleo a aumentar ainda mais.
173
6.8 - MECANISMOS DA LUBRIFICAÇÃO.
Suponhamos um munhão em repouso em seu mancal, como é mostrado esquematicamente na Fig. 6 (a). O espaço da folga está cheio de óleo e o munhão repousa na superfície de apoio, ou mancal, havendo contato de metal com metal no seu ponto mais baixo. À proporção que o munhão, com a carga (ou reação do mancal) R, começa a girar no sentido indicado na Fig. 6 (b) e (c), ocorre inicialmente, uma atrito de metal com metal e o munhão tende a subir para a direita do mancal, como se vê na Fig 6 (b). Contudo, como o óleo adere à superfície do munhão, a rotação arrasta um filme de óleo separando o munhão e o mancal e, então, o munhão move-se para a esquerda e toma a posição excêntrica em relação ao mancal, como se vê na Fig 6 (c). O mancal em rotação, agindo como uma bomba, provoca suficiente elevação da pressão de óleo pra que este assegure uma completa separação entre a sua superfície e a do mancal. Para ser assegurado esta elevação de pressão e a continuidade da película de óleo, é indispensável à existência de um espaço em forma de cunha pelo qual passe o fluxo de óleo, como mostrou Reynolds na teoria hidrodinâmica que desenvolveu sobre o assunto. Observar, neste particular, a convergência para a seção ho. A camada de óleo junto à superfície do munhão fica aderente a ela e movimenta-se com a mesma velocidade, enquanto a camada junto à superfície do mancal permanece estacionaria com esta (se o mancal for estacionário). A velocidade de óleo vai, assim, decrescendo da primeira das camadas citadas para a segunda. Em conseqüência, quanto mais rapidamente o mancal girar, mais óleo será arrastado nas seções convergentes e maior será a espessura mínima do filme ho, desde que a carga permaneça constante. Para bem compreender o fenômeno, convém ter em mente a ação da bomba do munhão.
Fig. 6- Mecanismo de Lubrificação em Mancal 174
6.9 - LUBRIFICAÇÃO COM FILME ESPESSO OU DE ATRITO FLUIDO
As superfícies mais bem acabadas mostram irregularidades quando ampliadas, de modo que existem sempre pontos mais elevados (ver Fig. 7). Para que se tenha uma lubrificação com filme espesso, e espessura mínima ho do óleo deve ser suficientemente grande para assegurar o afastamento destes pontos. Assim, quanto mais ásperas ou grosseiras as superfícies mais espesso o filme que vai separar as mesmas. Um dos objetivos dos cálculos dos mancais é o de assegurar a espessura mínima do filme de óleo ho, necessária para manter a separação das superfícies. Quanto à lubrificação com filme espesso é atingida , a força de atrito é a força necessária para cisalhar o lubrificante e é independente da natureza ou estado das superfícies lubrificadas.
Fig. 7- lubrificante cisalhado Desde que a ação de bomba do munhão não seja bastante para produzir um filme suficientemente espesso, alguns ou muitos dos pontos mais altos das irregularidades de superfície poderão tocar-se. Se este contato, ocorrer, teremos a lubrificação por filme delgado ou de atrito combinado, pois que a força de atrito dependerá tanto das superfícies como do lubrificante e ela será bem maior do que no caso do atrito fluido. No inicio do movimento, Fig. 6 (a), há contato de metal com metal e lubrificação por filme delgado. Se a carga é muito grande ou a velocidade muito baixa, o munhão poderá não bombear bastante lubrificante para assegurar a separação das superfícies. Igualmente, movimento de oscilação, partidas e paradas repetidas podem produzir rápido desgaste do mancal pois que o filme se mantém demasiadamente fino. Se a operação normal processa com filme espesso, isto é, atrito fluido, grande parte do desgaste ocorre nos períodos de partida. Por esta razão, uma maquina com superfícies deslizantes deve ser projetada para partir sem carga ou com carga leve, se bem que isto não seja sempre possível, praticamente.
175
Métodos de Lubrificação dos Mancais. Os mancais podem ser lubrificados: (a) intermitentemente; (b) continuamente, com uma quantidade limitada de lubrificante ou (c) continuamente, com uma quantidade abundante de lubrificante.
(a)
Lubrificação Intermitente. A lubrificação intermitente, seja com óleo ou graxa, compreende os casos em que é deixado ao operador a aplicação periódica do lubrificante, seja em furos de lubrificação, ou em copos de óleo ou graxa, de tipo comum ou de tipo especialmente designado como de pressão. O coeficiente de atrito decorrente deste método de lubrificação é variável e problemático e, comumente, é admitido como variando de 0,12 a 0,15.
(b)
Lubrificação Limitada. Existem vários sistemas, alguns dos quais abaixo descritos, que asseguram uma lubrificação contínua, mas de limitada quantidade de óleo, aos mancais. Estes sistemas são indicados para serviços relativamente leves.
Lubrificação por gotejamento ou por gravidade. É de uso muito comum e, sob certas condições, dá resultados satisfatórios. Um furo roscado no mancal, no lado da baixa pressão, recebe um copo de óleo que é provido de uma válvula de agulha ajustável para regular a quantidade de óleo fornecida ao mancal. Este método de alimentação de óleo permite a formação de um filme de óleo espesso (atrito fluido), mas é aconselhável usar um fator de segurança relativamente elevado e manter uma certa dependência ao computar o valor do coeficiente de atrito.
Lubrificação por mecha. É obtida por meio de mechas ligadas a pequenos reservatórios na parte superior do mancal e desenvolvendo-se ao longo de sua superfície. O óleo é suprido ao munhão por ação capilar. Este tipo de lubrificação é usado em eixos intermediários e os reservatórios de óleo devem ser completados diariamente.
(c)
Lubrificação Abundante. Existem vários meios de assegurar um abundante suprimento de óleo a um mancal, alguns dos quais discutiremos abaixo. O sistema de anel-guia, usado em muitos tipos de maquinas, é um sistema intermediário
176
no qual um anel fornecerá ampla quantidade de óleo, se o mancal for apropriadamente projetado e trabalhar velocidades médias. Karelitz verificou que a quantidade de óleo fornecida ao munhão é, aproximadamente, proporcional à largura do anel; que em altas velocidades o óleo é expulso do anel, pela força centrifuga, na parte superior, havendo, pois, necessidade de rasgos especiais para recolher o óleo e dirigi-lo ao munhão , e que os anéis mais pesados fornecem mais óleo que os leves. Detalhes da aplicação de um mancal com anel-guia do óleo a um motor elétrico, são mostrados na Fig. 8.
Fig. 8- Detalhes da aplicação de um mancal com anel-guia do óleo a um motor elétrico Corrente ou cadeira-guia e colar-guia de óleo são variações do principio do anel. No primeiro destes sistemas, uma corrente ou cadeia substitui o anel, enquanto que no segundo, um colar no eixo mergulha no reservatório de óleo e leva o lubrificante à parte superior do mancal. Notar que, se a carga atua na metade inferior do mancal, os sistemas de anel e de corrente não dividem a área que suporta a carga, enquanto que o de colar divide essa área em duas partes, tornando o mancal equivalente em dois mancais, no que se refere à distribuição 177
longitudinal da pressão. Na lubrificação por banho, o munhão parcialmente submerso em um deposito de óleo, método particularmente indicado para os mancais que suportam a carga na metade superior. A lubrificação por salpico é usada em mecanismos alternativos, como nos motores de combustão interna, onde a arvore de manivelas esta situada no reservatório de óleo (Carter) e a manivela mergulha no óleo em cada volta. Este sistema tem se mostrado satisfatório em muitas maquinas alternativas. Contudo, os resultados não são tão seguros quanto no caso de ser usada a lubrificação por pressão. No sistema de baixa pressão, o óleo flui ou é continuamente bombeado para o mancal sob pequena altura manométrica. Nos sistemas de lubrificação sob pressão, em geral um sistema de circulação, o óleo é bombeado de um reservatório. Ambos os sistemas devem fornecer abundante quantidade de óleos aos mancais. Como a ação natural de bombeamento do munhão, quando em rotação, produz pressões muito altas na película de óleo, não haverá objetivo em bombear o óleo na região de alta pressão, exceto no caso de se querer assegurar flutuação do eixo sob carga estática. A pressão com que o óleo é bombeado é muito menor do que a gerada no mancal.
6.10 - SUPERFÍCIES DOS MANCAIS.
Conclui-se da exposição acima, que superfícies lisas são vantajosas nos mancais. Se as irregularidades forem pequenas , as superfícies poderam ficar mais próximas uma da outra e o lubrificante terá sua película mais fina, sem que sejam abandonadas as condições de atrito fluido. Em conseqüência, quanto mais lisas as superfícies, maior a margem de segurança.quanto a possível ruptura da película de óleo, pois que um mancal projetado para trabalha em regime de
atrito fluido, virá, certamente, a falhar se operar por largo tempo nas
condições de atrito combinado. O calor gerado pelo atrito excessivo romperá o filme de óleo. Por esta razão as máquinas novas devem ser “amaciadas” sob baixa carga pois, deste modo, os pontos altos das superfícies em atrito serão, onde houver ruptura local do filme de óleo, alisados gradualmente e sem maiores danos. Quanto mais irregulares as superfícies, mais eficiente será este período de amaciamento.
178
Os mancais comerciais são acabados por alargador, ou ferramenta de brochear. Os munhões com superfícies apenas usinadas, sem retifica posterior são, comparativamente, ásperos.
6.11 - INTRODUÇÃO AO PROJETO
Um número de parâmetros podem estar no controle do projetista, mas há um outro grupo que é dependente do
primeiro grupo e pode ser usado para definir os limites
operacionais do mancal. A hipótese 4 acima, em que a viscosidade é constante ao longo do filme de óleo, não é muito precisa quando a temperatura do óelo eleva-se e passa ao mancal. Uma vez que a viscosidade é fortemente dependente da temperatura, isto significa que o projeto de mancal
envolve algumas iterações, utilizando tabelas desenvolvidas
por
A A
Raimondi and J Boyd, 'A Solution for the Finite Journal Bearing and its Application to Analysis and Design: III', Trans. ASLE 1, 1958, 194-209. Estas tabelas são bastante utilizadas em soluções computacionais. As variáveis obtidas ou controladas pelo projetista são viscosidade do lubrificante carga por unidade de área projetada rotação, N dimensões: r, c, l e beta ( o angulo subtendido pela parte submetida a carga no mancal). As seguinte variáveis são consideradas dependentes do primeiro grupo: Coeficiente de atrito •
Variação da temperatura, ∆t
•
Taxa do fluxo de óleo, Q
•
Espessura mínima do filme de óleo, ho Atualmente ainda, muitas tabelas ainda utilizam o sistema inglês para viscosidade em
reyns (normalmente em micro-reyns). Para converter reyns em Pa.s deve-se multiplicar por 6890. Na ausência de informações específicas, pode se supor que um óleo lubrificante mineral tenha uma densidade de aproximadamente 850 kg/m3 e calor específico de 1675 J/kgºC. Para mancais hidrodinâmicos, uma relação comprimento diâmetro de aproximadamente 1 (digamos 0.8 a 1.3) é considerada uma faixa adequada. Relações . l/d menores que 1,podem ser usadas quando um projeto compacto seja importante, tal como em motores automotivos multicilindros. Uma redução na relação l/d
aumenta o fluxo de saida nas
extremidades do mancal, auxiliando resfriamento. 179
A espessura mínima de filme de óleo aceitável depende do acabamento superficial e deverá permitir que as partículas possam passar sem causarem falhas. Para algumas aplicações, por exemplo em motores automotivos, filtragem é necessária para e remover as partículas cujo tamanho poderiam exceder a espessura mínima de óleo. Os seguintes valores da espessura mínima de ho podem ser sugeridos: •
0.0000025 m para pequenos mancais de bronze finamente embuchados.
•
0.00002 m para mancais comerciais babit
•
0.0000025 < ho < 0.000005 m para motores automotivos com mancais de fino acabamento superficial e filtragem no lubrificante. As máximas temperaturas de óleo não deveriam ser permitidas por serem excessivas
uma vez que a degradação e oxidação aumentam rapidamente. Para propósitos gerais de maquinário, uma temperatura de operação de 60ºC deveria produzir uma boa e longa vida útil. Acima 100ºC a taxa de oxidação cresce rapidamente. Temperaturas de 120ºC deveriam ser evitadas em equipamentos industriais. Nos motores automotivos a temperatura de lubrificantes podem atingir 180oC, porém óleos automotivos são formulados especificamente (e podem mesmo ser completamente sintéticos)para resistir tais condições. A lista abaixo apresenta alguns valores típicos de pressão nominal (carga/comprimento x diâmetro): •
Motores elétricos, turbinas a vapor, redutores de engrenagem, bombas centrífugas aproximadamente 1 MPa
•
Motores automotivos- mancais principais 4 - 5 MPa
•
Eixos virabrequim 10 - 15 MPa
•
Motores Diesel - mancais principais 6 - 12 MPa
•
Eixo virabrequim 8 - 15 Mpa
6.12 - LEIS DE NEWTON DE ESCOAMENTO VISCOSO
A tensão de cisalhamento em um fluido é proporcional a taxa de variação da velocidade com relação 'y', isto é:
τ=
F du =µ A dy
(10)
onde µ é a viscosidade dinâmica ou absoluta Supondo que a taxa de cisalhamento seja constante, tem-se que : du/dy = U/h e 180
τ=
F U =µ A h
(11)
Unidades da viscosidade dinâmica ou absoluta é Pa.s ou N.s/m2.
Figura 9 – Lubrificação de um mancal
6.13 - LEI DE PETROFF
Se um eixo de raio, r, gira em um mancal , comprimento l e folga radial c a uma rotação por segundo N,então a velocidade tangencial será:
U = 2πrN [m/s]
(12)
A tensão de cisalhamento é o gradiente de velocidade x viscosidade
τ =µ
U 2πµN = h c
(13)
O Torque para cisalhar o filme de óleo é definido como força x comprimento do braço
4π 2 γ 3lµN 2πµrN T = (τA)(r ) = ( 2 rl )( r ) = π c c
(14)
Se uma pequena força, w, é aplicada normal ao eixo do mancal, a pressão em N/m2 será: p = w/2rl
(15)
A força de atrito é igual a fw, onde f é o coeficiente de atrito, então o torque de atrito será: T = fwr = (f)(2rlp)(r) = 2r2flp 181
Igualando as duas expressões para o Torque T e resolvendo para
f =
f
tem-se :
2π 2γµN cp
que é a Lei de Petroff ;
µN p
e
γ c
são grupos adimensionais.
6.14 - HIPÓTESES •
O lubrificante obedece às leis de Newton para fluxo viscoso.
•
Efeitos inerciais do lubrificante são desprezados.
•
O lubrificante é incompressível.
•
A viscosidade do lubrificante é constante através do filme.
•
A pressão não varia na direção axial.
•
A curvatura do mancal pode ser ignorada.
•
Não há fluxo na direção (z) axial.
•
A pressão de filme é constante na direção 'y' , e depende da direção 'x'.
•
A velocidade da partícula lubrificante depende das coordenadas x e y.
De um diagrama de corpo livre das forças atuando em um pequeno cubo do lubrificante
dp dτ = dx dy
(17)
e como:
τ =µ
∂u ∂y
então:
dp ∂ 2u =µ 2 dx ∂y Supondo que não haja vazamento nas extremidades mantendo x constante, a integração dupla com relação a y, fornece:
u=
(
)
1 dp 2 U y − hy − y 2 µ dx h
(18)
mostrando que a distribuição de velocidade é função de y e do gradiente de pressão , dp/dx. A distribução de velocidade através do filme é obtida superpondo uma distribuição parabólica (o
182
primeiro termo) em uma distribuição linear (o segundo termo). Quando a pressão for máxima, dp/dx = 0 e a velocidade será u = - Uy/h. Seja Q é a quantidade de fluido , na direção x por unidade de tempo:
Q = ∫ udy
(19)
Na prática, estas integrações devem ser modificadas para incluir os efeitos de vazamento nas extremidades, etc.
6.15 - RELAÇÕES GEOMÉTRICAS EM UM MANCAL COM FOLGA.
A linha que passa através dos centros da superfície de apoio e do munhão é chamada de linha dos centros (Fig. 10). Notar que sobre esta linha esta situada a menor espessura do filme de óleo hmin=ho’ desde que o mancal suficientemente grande para incluir o ponto M. Se o mancal se estender apenas até uma seção x, como é mostrado na figura 10, a espessura mínima do filme hmin ficará situada na seção x e a espessura em M (no prolongamento do mancal) será designada por ho. No cálculo dos mancais, é suficiente satisfatório considerar ho=hmin mesmo que o mancal não atinja a seção M. À distância O-O’ entre os centros do munhão e do mancal é chamada de excentricidade e, é:
O − O´=
c − ho = c r − ho 2
(20)
onde cr é a folga radial. A relação entre a excentricidade e a folga radial O-O´/(c/2) é denominada razão, taxa ou fator de excentricidade. Ela é:
e=
O − O´ c / 2 − ho = c/2 c/2
(21)
ou
e = 1−
2ho ho =1− c cr
(22)
183
Fig.10 – Relações geométricas em um mancal com folga Assim , vemos que tanto e como a relação ho/ cr definem a razão de excentricidade. O comprimento do arco de contato, compreendido pelo ângulo β , Fg.10, designaremos por L A . Arco de contato = L A =
D β = rβ , 2
(23)
onde β é expresso em radianos e r = D / 2 é o raio do munhão. O comprimento do mancal,
medido em uma direção axial, será chamado de
comprimento e será designado por L. O ângulo Ǿ, Fig. 5, algumas vezes chamado de ângulo de excentricidade localiza a posição da menos espessura do filme de lubrificante ho. As relações geométricas acima, tanto se aplicam aos mancais parciais como aos completos.
6.16 - GRUPAMENTO DE VARIÁVEIS
Uma vez que o espaço não permite uma discussão da teoria hidrodinâmica, estabelecida por Reynolds e desenvolvida por outros, poderemos utilizar os princípios da 184
analise dimensional para estabelecer as relações entre certas variáveis interdependentes. Suponhamos que desejamos estudar a maneira pela qual a relação ho/cr depende das variáveis µ , n , p , c e D. Admitamos que a forma da função seja
ho = φ (µ a n b p d c e D f ) cr
(24)
em que a, b, d, etc..., são expoentes de valores desconhecidos. A equação (24) deve ter as mesmas dimensões em ambos os seus membros, para que ela seja matematicamente correta e fisicamente homogênea. O passo seguinte em uma analise dimensional será substituir em (24) as dimensões das diversas grandezas. Por exemplo, a unidade de ho/cr é mm por mm ou pol. por pol, ou seja, a unidade, que significa que ho/cr é adimensional. Representando por F, T e L respectivamente as dimensões de força, tempo e comprimento, a “dimensão” da viscosidade m será FT / L² e a equação (24) dará: a
b
d
FT 1 F e 1 = 2 2 (L ) ( L ) f T L L
(25)
Em conseqüência teremos:
a e ho µn c = c r p D
(26)
que é o ponto mais avançado ao qual nos pode levar a análise dimensional. Ela serviu para que estabelecêssemos um importante grupo de grandeza e que é confirmado por uma analise teórica mais detalhada. Se nos faltasse esta análise teórica, seria necessária a execução de numerosas experiências que nos proporcionasse informações posteriores quanto à natureza da função mostrada na equação (27). Os grupos que aparecem em (27) são adimensionais. O grupo de grandezas assim formado é denominado número de Sommerfeld S, ou número característicos do mancal. Isto é:
µn D S = p c
2
(27)
onde n, é a velocidade em rotação por segundo. 185
Este grupamento de grandezas é comumente utilizado nos diagramas, algumas vezes em sua forma adimensional exata.
6.17 - MANCAL IDEAL.
Para a realização de uma analise matemática do problema dos mancais, certas hipóteses devem ser feitas. Assim, mancal ideal é o que permite essa analise matemática. A teoria e os diagramas são baseados nas seguintes hipóteses:
(a)
As superfícies do munhão e do mancal são cilíndricas retas e lisas. Isto requer que o munhão não sofra deflexões e que as imperfeições de superfície sejam anuladas pela existência de um filme de óleo de espessura h0, adequada.
(b)
O mancal e infinitamente longo na direção axial. Isto corresponde a dizer que não há fuga axial do lubrificante. A fuga que realmente ocorre no mancal finito será considerada no calculo por meio de fatores de correção.
(c)
O lubrificante tem viscosidade constante no seu escoamento no mancal. Realmente, a viscosidade varia acentuadamente com a temperatura e mais discretamente com a pressão. Entretanto, um valor médio dá resultados suficientes para o trabalho.
Existem outras hipóteses de menor importância, que já estão incluídas nos diagramas cuja análise foge ao objetivo deste livro. A fuga axial de lubrificante, que inevitavelmente ocorre nos mancais finitos, reduz acentuadamente a capacidade de carga do mancal e faz crescer as perdas por atrito. Como resultado desta fuga, a pressão no filme de óleo varia no sentido axial, sendo máxima nas proximidades do centro do mancal e nula nas extremidades. No mancal ideal, em que não há fuga axial, esta queda de pressão não ocorre. Além disso, a quantidade de óleo em escoamento e, portanto, a elevação da temperatura do óleo são afetadas pela fuga axial.
186
6.18 - ESPESSURA MÍNIMA PERMISSÍVEL DO FILME DE ÓLEO.
A espessura mínima permissível e segura, h0, do filme de óleo depende da rugosidade das superfícies e da deflexão do munhão do mancal. O munhão pode girar com segurança com filme de óleo mais delgado se as superfícies são bem lisas. Ocasionalmente, as condições de operação são tais que a carga só poderá ser suportada se forem usadas superfícies de refinado acabamento. Este é o caso em que o calculo determina a rugosidade das superfícies. Comumente, entretanto, as superfícies comerciais ordinárias podem ser usadas sem dificuldade. Outro ponto a considerar, é da espessura da película de óleo, que deve ser suficientemente espessa
para permitir a passagem de pequenas partículas de matéria
estranha, sem danos às superfícies. Desalinhamentos ou
deflexões
excessivas podem
provocar falhas locais do filme de óleo com conseqüente aquecimento excessivo que, se propagando, causará a falha definitiva. Finalmente, a espessura mínima do filme de óleo deve ser suficiente para permitir variações imprevistas da carga e da temperatura de operação. Na base das considerações acima, muitos projetistas preferem calcular com uma espessura de filme que consideram segura. Mas poucos dados existem quanto a isto. Karelitz sugere h0= 0,0001 pol. (0,00254mm) para pequenas buchas de bronze finamente usinadas e h0 > 0,00075 pol (0,019mm) para mancais comerciais revestidos de babbit. Dennison sugere h0 ≈ 0,0004 a 0,0006 pol. (0,010 a 0,015mm) para mancais de 5 a 10 pol. (127 a 254 mm) de motores diesel trabalhando de 500 a 1200 r.p.m. Por outro lado, nas maquinas geradoras de potência, de uma maneira geral, h0 pode variar de 0,001 a 0,005 pol. (0,025 a 0,127 mm). Norton sugere h0 = 0,00025 D como uma regra aproximada, onde D é o diâmetro normal do munhão.
6.19 - CÁLCULO DE MANCAIS PARA REGIME DE ATRITO FLUIDO.
Os diagramas de cálculo, constantes neste capítulo, estão agrupados em páginas consecutivas, para uma referência Algumas vezes, é necessário fazer tentativas e aproximações sucessivas. Enquanto a viscosidade varia com a pressão, especialmente nos gases, trabalhamos com óleos em que tal variação é pequena. Para o projeto de mancais de deslizamento, o óleo geralmente usado é o motor para motores, é importante saber como a viscosidade varia com a temperatura.
187
6.20 - PRINCIPIOS HIDRODINÂMICOS
São muitas as geometrias de mancais que trabalham nos princípios hidrodinâmicos. Basicamente qualquer mancal que trabalha com um filme de óleo ou fluido é um mancal hidrodinâmico. O fluido pode ser gás ou líquido. A geometria das superfícies do mancal atuam de forma a criar fluxo e pressão no fluido. É a pressão do fluido que suporta a carga evitando o contato metal com metal. A espessura do filme de óleo sob o eixo é fina e as superfícies do mancal devem ser lisas.Para o projeto de um mancal de deslizamento deve-se assegurar que a espessura mínima do filme c seja mantida, a excentricidade do eixo e seja aceitável, a pressão no lubrificante seja possível e a viscosidade do óleo seja aceitável. Para determinar as condições de operação aceitáveis,muitos testes foram realizados e equações foram desenvolvidas. As combinações dos resultados levaram ao desenvolvimento de tabelas ou gráficos de projeto que auxiliam na escolha das dimensões dos mancais, das folgas e das características do lubrificante para condições de operação particulares.
6.21 - PROCEDIMENTO DE PROJETO
1. Selecione uma relação l/d , 1 é provavelmente um bom ponto de partida. 2. Utilizando uma carga específica e uma pressão nominal adequada, selecione o comprimento e o diâmetro do mancal. 3. Especifique uma folga radial apropriada, c, provavelmente baseado em ajuste fechado (H8/f7) ou livre (H9/d9). 4. Decida sobre uma viscosidade inicial.
Uma vez que a viscosidade varia
consideravelmente com a temperatura, é necessário normalmente utilizar para o cálculo, dois valores de viscosidade, um ligeiramente abaixo e outro ligeiramente superior ao valor final antecipado. 5. Determine o número característico do mancal ou número Sommerfield (S). 6. Obter na tabela, a variável espessura mínina de óleo em função do número característico do mancal e da relação l/d. 7. Agora se pode calcular a espessura mínima de óleo e verificar se é razoável. 8. Pode-se calcular agora a relação de excentricidade. 9. Se necessário, a posição angular da espessura mínima de óleo pode ser obtida de um outro gráfico.
188
10. No gráfico “variável coeficiente de atrito" em função do número característico do mancal, S, e da relação l/d, pode-se ler a variável coeficiente de atrito. 11. Calcule o coeficiente de atrito. Utilizando o raio e a carga atuante, calcule o torque necessário para vencer o atrito. Utilizando o coeficiente de atrito e a rotação do eixo, calcule a perda de potência devido ao atrito.C 12. No gráfico, "variável de fluxo" em função do número característico do mancal e da relação l/d calcule o fluxo total de óleo. 13. No gráfico "relação de fluxo" em função do número característico do mancal e da relação l/d , calcule o vazamento lateral do lubrificante. 14. Calcule a elevação de temperatura no lubrificante- é comum supor que todo o calor é levado para fora pelo fluxo de óleo e a temperatura de vazamento do óleo é a média da temperatura de entrada e saída. 15. No gráfico viscosidade x temperatura, checar a viscosidade do óleo após o aumento de temperatura pela quantidade calculada anteriormente, e supor uma temperatura de entrada adequada. 16. Repetir os cálculos acima necessários para checar os resultados com a viscosidade com a média das temperaturas de entrada e saída.
6.22 - APLICAÇÃO
1. Um mancal hidrodinâmico tem as características abaixo: •
W = 5kN;
•
d = 50 mm (diâmetro)
•
l = 50 mm (comprimento)
•
N = 30 rps;
•
SAE20 (óleo lubrificante)
•
Temperatura Inicial de 38º C
a) Qual a temperatura média de funcionamento para uma folga de c = 0,050 mm? b) Qual a folga de projeto para uma temperatura média de funcionamento de 50ºC, sendo esta 70% da folga ideal? Traçar uma curva e mostrar os valores.
189
DADOS INICIAIS DO PROGRAMA Carga: 5 kN Diâmetro: 50 mm Comprimento: 50 mm Rotação: 30 rps Temperatura Inicial: 38º C Folga: 0,050 Tipo: SAE 20 Relação de l/d: 1
RESULTADOS Formula Parcial: 3,75µ Temperatura média de funcionamento: 47,5ºC
FOLGA DE PROJETO Temperatura média de funcionamento: 50ºC Porcentagem em relação a folga máxima: 70%
RESULTADOS Folga Ideal: 0,014168 mm
6.23 - MANCAIS ÓTIMOS.
Um problema de mancais pode apresentar um numero indefinido de soluções. Entretanto, considerações de ordem pratica, como folga razoável, óleo conveniente e a relação L / D entre o comprimento e o diâmetro, limitam consideravelmente as possibilidades. Kingsbury mostrou que, para um certo ângulo de contato β, há um certo valor da excentricidade e que resulta em uma capacidade máxima de carga e outro valor de e que resulta em um mínimo de perda por atrito. Os mancais que correspondem a estas situações são denominados mancais ótimos sendo o de máxima capacidade de carga um tanto diferente do que proporciona um mínimo de perda por atrito. Com tantas possibilidades a escolher, o calculista deve procurar obter um mancal ótimo não importando qual deles. Pequenas variações da folga ótima, para
190
mais ou para menos, tem pequeno efeito seja na carga ou no atrito e o projeto final poderá ser um compromisso entre as folgas comercialmente usadas e os valores ótimos
6.24 - TAXA DE FOLGA.
Permanecendo os outros elementos constantes, um aumento na folga c acarreta um decréscimo no numero de Sommerfeld e na espessura mínima do filme de óleo. Assim, se a espessura mínima do filme é o elemento decisivo, um aumento da folga pode reduzir a capacidade de carga do mancal. Entretanto, a folga maior permite maior fluxo do lubrificante, de modo que o mancal trabalhará com temperatura mais baixa, uma vez que maior quantidade de calor é elevada pelo lubrificante. A folga e a taxa de folga c / D são funções do processo de fabricação. Um valor de c / D = 0,001 esta bem próximo da média para cargas constantes, porem c / D pode ser menor, digamos, 0,00075 para cargas variáveis . Tomando por base os materiais dos mancais, os seguintes valores da relação c / D podem ser tomados como guia : “Babbit” com base de estanho, 0,0005 ;liga de cádimo e prata 0,0008 ; cobre e chumbo 0,001 ; liga de prata chumbo e índio 0,001 ; liga de alumínio 0,001. Para mancais pequenos, c / D pode ser pouco maior e para mancais grandes um pouco menor do que os valores dados acima.
6.25 - RELAÇÃO ENTRE O COMPRIMENTO E O DIÂMETRO.
Quanto maior o comprimento L, para um diâmetro particular D menor a pressão média. Em um mancal em que puder ocorrer atrito combinado, uma pressão mais baixa será importante. Entretanto, se o atrito for fluido, o grupo µn / p será o elemento decisivo, com as ressalvas seguintes: 1º. , se o mancal esta sujeito às partículas ou paradas em regime de plena carga, o desgaste devido ao contacto de metal com metal não deve ser desprezado; 2º. , a pressão máxima do filme de óleo não deve ser tão grande que deforme ou provoque fadiga nos metais dos mancais. A analise feita por Needs sugere que, em média, o valor L / D ≈ 1 equilibra os vários prós e contras. Deve-se ter em mente, também, que se por um lado, há uma tendência de f crescer à proporção que o mancal se torna mais curto, a fuga axial também cresce com esse encruamento e, assim, maior quantidade de calor é arrastada pelo óleo.
191
Onde o espaço é vital, como no caso dos motores de avião e motores em V para a industria automobilística, é regra a adoção de baixas relações L / D, não sendo incomum o uso de relações tão baixas como 0,25 a 0,5. Uma certa espessura de filme de óleo que se rompe em mancais relativamente longos, devido às deflexões do eixo, pode ser bem tolerada por um mancal mais curto.
6.26 - CONSIDERAÇÕES SOBRE DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES EM UM MANCAL E PERDA DEVIDA AO ATRITO.
Devido à fuga axial a distribuição das pressões na direção axial é aproximadamente parabólica. Quando a definição devida a Newton para viscosidade, é aplicada a um munhão concêntrico com seu mancal, a equação resultante e aplicável a mancais levemente carregados e a mancais que trabalham em altas velocidades, que são os casos em que os mancais são aproximadamente concêntricos. Tal aplicação serve também para fins estimativos e, em conjunto com outras considerações, proporciona consideráveis informações de ordem prática.Com a expressão Uf = Fv, podemos, se necessário, calcular a perda de potência devida ao atrito. Os mancais são comumente construídos com ranhuras ou rebaixos para a distribuição do lubrificante, situados em oposição e abrangendo arcos de 30° a 60°, em planos formando, mais ou menos, um ângulo reto com a direção da carga Estes rebaixos atuam não só como distribuidores, mas também como pequenos reservatórios de óleo. No que diz respeito a espessura do filme de óleo e a carga, é aconselhável considerar tais mancais como parciais, com ângulo β. Entretanto, as perdas por atrito devem ser calculadas como a soma da que ocorre no arco β com a correspondente ao ângulo θ, não levando em conta as que ocorrem nos arcos correspondentes as ranhuras de distribuição porque, devido a grande espessura do filme nessas regiões, são desprezíveis. A perda por atrito na parte não-carregada (correspondente a θ), pode ser calculada, com suficiente precisão, pela equação de Newton , usando hm como a espessura média do filme de óleo. Assim: F = µAv / hm
(28)
onde A representa a área do fluido cisalhado. A Geometria do mancal da, para a espessura média hm: hm = c/ 2 + 2 / θ (c/2 – h0) cos φ sem θ/2. Se o ângulo θ situa-se entre 120° e 180°, a espessura média h
(29) m pode,
sem erro sensível,
ser calculada pela equação:
192
hm = c/2 +0,74 (c/2 - h0) cos φ .
(30)
Fig.11 – Relação geométrica devio a perda por atrito A razão ou fator de excentricidade não pode ser bem prevista pela teoria. Se um munhão esta girando a alta velocidade, seu centro praticamente coincide com o do mancal representado por A na Fig.12. Vamos supor que à proporção que a carga cresça, o centro do munhão mova-se segundo uma trajetória semicircular ABC, cujo diâmetro é a folga radial cr = c/2. Nesta hipótese, o munhão vai entrar em contato com o mancal em C, se a carga tornar-se suficientemente grande. Esta suposição aproxima-se bastante das trajetórias determinadas experimentalmente e é suficientemente exata para os fins que temos em vista.
Fig.12 - A razão ou fator de excentricidade
193
Notando que AB, na Fig. 12, e OO’, na Fig. 11, têm os mesmos comprimentos e que, em qualquer posição B do centro do munhão a distancia AB é igual a cr – h0 e que o ângulo ABC é sempre reto, virá: cos φ = (cr – h0) / cr = 1 – (h0 /cr) = 1 – (2h0/c) = e
(31)
equação que permite calcular o valor de φ. Usando o valor de cos φ de (31) na equação (30), teremos o valor aproximado da espessura média hm na capa: hm = cr [1 + 0,74 (1 - h0 /cr )2] = cr (1 + 0,74e2).
(32)
6.27 - FLUXO DE LUBRIFICANTE ATRAVÉS DE UM MANCAL.
Antes do advento das altas velocidades, encontradas em algumas das maquinas modernas, a finalidade de um lubrificante era apenas reduzir o atrito. Entretanto, à proporção que a velocidade de um munhão sob carga, cresce, a quantidade de perdas devidas ao atrito também cresce e o mancal deve dissipar maior quantidade de calor. A quantidade de calor gerado pelo atrito cresce, aproximadamente, com o cubo do diâmetro do munhão, enquanto que o calor naturalmente transmitido por convexão e radiação
é, aproximadamente,
proporcional à primeira potência de D. Assim, a proporção que a velocidade do munhão cresce, com a carga constante, mais e mais quente vai se tornando o mancal. O munhão bombeia mais óleo, o que tende fazer crescer a espessura do filme, mas o óleo perde viscosidade à proporção que sobe a temperatura; se o mancal tornar-se demasiadamente quente, o filme de óleo romper-se-á e o mancal será “queimado” Um método de retirar do mancal o calor excessivo, devido ao atrito, e esfriá-lo por meios externos, seja ventilando-o, seja fazendo circular água em serpentinas que o envolvam. Usa-se muito um sistema de circulação de óleo, cujo principal propósito é obter um bom fluxo de óleo através do mancal, para arrastar o excesso de calor gerado. O óleo, normalmente, entra no mancal na região de baixa pressão do mesmo, um pouco a frente da área que suporta a carga. Algumas vezes é prevista uma saída, um pouco além da área de carga, pela qual o óleo, livremente, abandona o mancal. Se o óleo entra sob pressão atmosférica, a ação bombeadora do munhão faz com que ele penetre na área que suporta a carga. Nos mancais em que não há vedadores nas extremidades ocorre um certo vazamento.
194
Se não existirem saídas especiais, o único caminho para o óleo deixar um mancal completo é pelas extremidades, principalmente nas extremidades da área de carga, porque o restante do mancal não está sob pressão. Admitido como retilíneo o gradiente da velocidade através da espessura do filme, como a equação (33), a velocidade media do óleo será metade da velocidade periférica do munhão, isto é, vr/2. Portanto, se o munhão for concêntrico em relação ao mancal (Fig. 220), o fluxo máximo de óleo no espaço da folga, será o produto da velocidade média vr/2 pela área de escoamento crL = cL/2, ou seja: q = vr cL/4 = 0,25 vr cL. Contudo, o valor real do fluxo na região sob carga é menor e depende da relação L/D e da excentricidade do munhão. Assim, de uma maneira geral, podemos escrever:
q = C f v r cL,
(34)
onde q é obtido em galões por minuto (gpm), com vr em ft/min, c em polegadas, L em polegadas e Cf o coeficiente de escoamento ajustado de modo que o resultado venha em gpm. O coeficiente Cf é obtido na Fig. 213, onde são apresentados dois conjuntos de curvas. Os valores de Cf, obtidos das curvas em traço cheio, substituídos na equação (34), dão o fluxo de óleo na região carregada, quando o óleo é admitido no mancal a uma pressão próxima da atmosférica. Uma parte deste óleo circula em torno do munhão e o restante abandona o mancal pelas extremidades, em fuga axial. Esta fuga axial é igual a quantidade que deve ser continuamente suprida para manter o escoamneto do óleo: corresponde a quantidade de óleo que deixa o mancal quando nenhuma pressão o força para fora, exceto a gerada no filme de óleo pela ação hidrodinamica de seu trabalho e quando a única área de escoamento é a da folga.
6.28 - CALOR LEVADO PELO ÓLEO.
A quantidade de calor levada pelo óleo que circula através de um mancal é obtida a partir da definição de calor especifico. Um valor, do lado da segurança, para óleos derivados de petróleo é, aproximadamente, 0,4 Btu/lb = °F.
Então:
Q = w(0,40)∆t (Btu/min),
(35)
195
onde Q é a quantidade de calor recebida pelo óleo quando passa através do mancal, w, em lb/min, é a vazão ou fluxo de oleo e ∆t é a elevação da temperatura do oleo. Para a avaliação que estamos fazendo, podemos usar para os óleos derivados do petróleo uma densidade de 0,83, que corresponde a um peso especifico de 6,92 lb/galão. Assim, para q gpm, § 249, temos w = 6,92q lb/min e convertendo para unidades de trabalho, usualmente adotadas para Uf, achamos:
Q = 2150q∆t (lb-ft/min),
(36)
onde q é o fluxo de óleo em gpm. Para o óleo alimentado sob pressão, § 260, praticamnete quase todo o calor gerado é, por ele, arrastado (179). Neste caso, a quantidade necessária de óleo pode ser estimada igualando Q, da equação (36), para uma certa elevação de temperatura, a Uf e calculando q. Uma elevação de temperatura inferior a 20°F é prá tica usual no caso da lubrificação forçada.
6.29 - DISSIPAÇÃO DE CALOR DO MANCAL.
Muitas horas podem ser necessárias para que a temperatura de um mancal se estabilize em seu valor de operação. Mesmo em condições estáveis, a radiação e a convecção térmica e um mancal são fenômenos complexos. De uma estimativa da temperatura média do filme do óleo, fazemos uma estimativa da temperatura na superfície do mancal. Entretanto, nem todas as partes desta superfície estão a mesma temperatura, e o material adjacente ao mancal conduz uma certa quantidade de calor, que é, eventualmente, transmitida ao ambiente por convecção e radiação. Poderemos computar esta condução de calor pela adoção de uma certa área “efetiva” de transmissão, área esta condensada nas partes metálicas adjacentes ao mancal; entretanto, restará sempre a questão do valor desta área. De qualquer forma devemos sempre fazer a estimativa da temperatura de operação em regime estável.
Em geral, a perda de calor pode ser expressa com:
Q = f cr Ab ∆t b
(37)
196
onde fcr é o coeficiente de transmissão de calor em lb − ft / min* pol 2 * ° F , Ab é a área efetiva em pol 2 através da qual se processa a transferência de calor e ∆t b é a elevação de temperatura da superfície do mancal acima da temperatura ambiente, em °F. Uma velha regra ditada pela experiência (166), recomenda que, em ar calmo, uma perda de 2 Btu / hr − ft 2 * ° F é um valor aceitável. Em conseqüência:
f cr = 0,18lb − ft / min* pol 2 * ° F (ar calmo)
(38)
Quando o ar está em momento, o valor de f cr é bem maior, até mesmo dez vezes maior, conforme publicações da literatura sobre o assunto. Assim, Karelitz (162) achou:
f cr = 0,516lb − ft / min* pol 2 * ° F
(39)
para uma velocidade do ar de 500ft/min. Quando o óleo não circula, pode-se tomar, com aproximação aceitável (162, 166) que:
∆t b = ∆t 0 / 2
(40)
onde ∆t 0 é a elevação de temperatura do filme de óleo. Para valor da área efetiva, Norton (166) sugere, aproximadamente:
Ab = 25DL
(41)
onde L é o comprimento axial do mancal e D o seu diâmetro nominal. Esta expressão para Ab é aplicável quando existem pesadas massas de metal em presença. Se o mancal é de construção leve ou tanto isolado, a área efetiva pode tornar-se tão baixa quanto 6DL. As informações acima serão, provavelmente, satisfatórias na estimativa da temperatura de equilíbrio. Porém, uma discussão resumida das considerações básicas elucidará um pouco mais a situação. Assim, lembremo-nos que sendo uma parte do calor transmitida por meio de radiação, a quantidade de calor assim transferida é, de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann , proporcional à quarta potencia da temperatura. Por considerações diversas, e admitindo que a temperatura não varie muito, poderemos chegar a:
197
f r = 0,108lb − ft / min* pol 2 * ° F
(42)
para valor da taxa unitária de calor radiado. Quanto à convecção, não foram determinadas expressões que permitam sua avaliação nos mancais. A situação pode ser considerada semelhante a de um tubo cilíndrico exposto a um fluido externo em movimento
f c D / k = 0,24 * (Dρv / µ )
0,6
(43)
onde D é o diâmetro do tubo, k a condutibilidade térmica de seu material, ρ a massa especifica e µ a viscosidade do fluido externo. Esta equação reduz-se à forma f c = Cv a
0,6
/ D 0, 4 , onde C é
uma função experimental das propriedades do ar, v a é a velocidade do ar em ft/min e D é uma dimensão característica. De alguns poucos resultados experimentais, podemos escolher C = 0,0172 e ter:
f c = 0,0172 * v a
0,6
/ D 0, 4 lb − ft / min* pol 2 * °F
(44)
que dá a taxa unitária de transmissão de calor por convecção, onde v a é a velocidade do ar em ft/min e D o diâmetro nominal do mancal em polegadas. O coeficiente total de tarnsmissao de calor f cr é, então, a soma f cr = f c + f r , cujo valor é usado na equação (36), como previamente foi explanado. Se a velocidade do escoamento do ar ao mancal puder ser estimada, o processo acima indicado será preferível. Mancais localizados próximos a polias, volantes, etc., podem ser admitidos como expostos a uma velocidade de ar de 60 a 100 ft/min. Se o problema for o de estimar a temperatura de equilíbrio para um óleo particular, a solução pode ser obtida por aproximações sucessivas. Um modo de proceder é indicado pelo roteiro abaixo: a) Supor uma temperatura do filme de óleo e ∆t0. b) Para o óleo fixado, determinar a viscosidade, o coeficiente de atrito e as perdas por atrito Uf. c) Admitir que a elevação de temperatura do mancal ∆tb seja metade de ∆t0, elevação de temperatura do óleo, e calcular Q, fluxo com que o calor é dissipado à temperatura 198
fixada. Se Q = Uf a temperatura suposta é a estimada para operação. Se Q e Uf são diferentes, supor outra temperatura do filme e repetir os cálculos. Depois de efetuadas duas series de cálculos, interpolações ou extrapolações dos valores fixados proporcionarão uma base para a terceira tentativa.
6.30 - MATERIAIS USADOS NOS MANCAIS.
As propriedades que devem ser consideradas vantajosas nos materiais que se destinam à construção de mancais são (164): baixo módulo de elasticidade, o que redundará em facilidade do material tomar a forma desejada; baixa resistência ao cisalhamento, o que proporcionará facilidade de ser a superfície alisada; baixa soldabilidade ao aço, o que dificultará o aparecimento de defeitos ou cortes na superfície; capacidade de absorção
de corpos
estranhos ou “incrustabilidade”, permitindo que, pela penetração em sua massa, sejam os mesmos removidos da película de lubrificante; resistência à compressão e à fadiga; resistência às temperaturas; resistência à corrosão; boa condutibilidade térmica; coeficiente de expansão térmica semelhante ao do aço e, como sempre, baixo custo. Os materiais mais usados são as ligas de cobre e o babbit. Os babbits são de base de estanho ou de chumbo, dependendo de qual destes metais é o principal constituinte da liga. Em todas as suas formas os babbits são ligas de baixa resistência, sendo usados em camadas muito finais [de espessura inferior a 1 mm (0,04 pol.) até 0,05 mm (0,002 pol.)] sobre casquilho de aço. Devido à sua baixa resistência à fadiga, não são satisfatórios onde a carga é severa e variável, se bem que os revestimentos muito finos possam manter-se em certos casos. Na espessura de 0,4 mm (0,016 pol.), a capacidade normal de carga (com atrito fluido) é de aproximadamente 1 kg/mm2 (1 500 psi). As ligas de cobre usadas nos mancais são principalmente bronzes que são muito mais fortes e duros do que o babbit. Uma liga de cobre e chumbo, com 25 a 50% de chumbo, em uma camada de 0,75 mm (0,03 pol.) de espessura tem boa resistência à fadiga e é usada em motores de avião. Sua capacidade de carga normal é de 2,1 kg/mm2 (3 000 psi). Bronzes ao estanho têm uma capacidade normal de carga de 3,5 kg/mm2 (5 000 psi) (173). Revestimentos de prata, para serviços pesados, são colocados pelo depósito de uma camada de 0,5 mm (0,02 pol.) a 0,75 mm (0,03 pol.) de prata sobre o aço, seguida de uma camada de 0,025 mm (0,001 pol.) a 0,075 mm (0,003 pol.) de chumbo; em seguida, cerca de 4 a 5% de índio é depositado eletroliticamente, e termicamente difundido, na camada de chumbo.
199
Um mancal de ferro fundido, suportando munhão de aço, tem se mostrado uma excelente combinação no ponto de vista de desgaste e atrito no caso do atrito combinado. Entretanto, o ferro fundido não oferece boa incrustabilidade e outras qualidades de um metal macio e marca, seriamente, a superfície do munhão no caso de qualquer irregularidade de funcionamento. Um mancal que contém seu próprio lubrificante é fabricado mediante elevada compressão de cobre e estanho (ou chumbo) em pó, que são então sintetizados a uma temperatura situada entre as de fusão dos dois metais. O resultado é um material que apresenta no seu volume mais de 35% de porosidade. As porosidades são, então, impregnadas com óleo que vem à superfície quando o mancal é sujeito a aquecimento ou pressão. Tais mancais, chamados sinterizados, são muito úteis para serviços leves em pontos de difícil acesso ou nos casos em que a operação não possa depender de uma adição regular de lubrificante, como é o caso das máquinas de uso doméstico. Um material sinterizado para mancais, classificado como SAE Tipo I, à base de bronze , pode ser aplicado em casos em que pv VII VII 50 000, onde p em psi, é a pressão na área projetada e v a velocidade periférica do munhão em ft/min. Para a aplicação da expressão acima, podemos considerar as seguintes pressões máximas: 2 000 psi para v = 2,5 ft/min; 500 psi para v entre 50 e 100 ft/min; 325 psi para v entre 100 e 150 ft/min e 250 psi para v entre 150 e 200 ft/min. Mancais autolubricados são também fabricados mediante a inserção de grafita em rasgos ou furos abertos na superfície, agindo a grafita como lubrificante. Se estes mancais forem empregados com rotação constante, limitar a pv VII 1 500 com pmax = 40 a 50 psi.. Diversas substâncias plásticas, como nylon e micarta, são usadas como mancais e podem ser lubrificadas com água ou óleo. Igualmente a madeira é usada no caso de atrito combinado, especialmente usando água como lubrificante. Os mancais à base de borracha, Fig. 226, trabalham de forma excelente com a água como lubrificante e são usados nas turbinas hidráulicas, na construção naval, máquinas de dragagem e outras aplicações. A borracha macia deixa passar a areia ou o saibro sem injuriar a superfície do munhão. Alguns detalhes sobre o cálculo e projeto de mancais de borracha são apresentados na referência. Numerosos outros materiais, metálicos ou não, são usados na fabricação de mancais. Por trata-se de um assunto vasto por si mesmo, sugere-se consulta a outras fontes.
200
6.31 - CONSTRUÇÃO DOS MANCAIS.
Existem tantos tipos de mancais, do ponto de vista de suas construções, que a discussão e as ilustrações abaixo são meramente indicativas. As buchas para mancais pequenos são, freqüentemente, feitas em uma só peça, usualmente em latão ou bronze. As buchas devem ser prensadas em sua sede e, em seguida, acabadas para o diâmetro desejado. Depois que ocorrer desgaste excessivo, a bucha deve ser substituída. Os mancais feitos em duas peças podem ser usados com calços que são removidos para compensar o desgaste do mancal. É melhor que a linha de ação da carga resultante no mancal seja inclinada de um ângulo menor que 60º em relação à linha de centro de uma das metades, no caso dos mancais bipartidos. Em nenhuma hipótese, quando o atrito for fluido, deve a linha de ação da resultante situar-se no plano de corte do mancal, por causa do efeito destrutivo das descontinuidades na pressão do óleo. Quando a linha de ação da carga forma um grande ângulo com a vertical, pode-se usar um mancal com o corte inclinado ou o plano de corte pode ser vertical em vez de horizontal. Os mancais de grande porte são freqüentemente, fabricados em mais de duas partes. Um mancal em quatro partes permite ajustagens, com o propósito de compensar desgastes, tanto na horizontal, como na vertical. Mancais para arvores de transmissão podem ser suportados por estruturas fixas às paredes ou aos vigamentos.
6.32 - MANCAIS DE ESCORA.
As árvores verticais e aquelas em que estão montados parafusos sem-fim, engrenagens helicoidais, etc., estão sujeitas a forças axiais. Estas forças são suportadas por mancais de escora é o mostrado na Fig. 236, usado para suportar arvores verticais. O maior desgaste neste tipo de mancal ocorre no raio externo pois que, nele, a velocidade linear é máxima. Em conseqüência, a superfície próxima à periferia desgasta-se gradualmente, deixando a parte central mais alta, o que, eventualmente, produz pressões muito altas nesta parte. Para eliminar, parcialmente, esta dificuldade, é usado um disco de escora, que é feito com um furo no centro. Ocasionalmente, são usados diversos discos B, cada um deles girando, então, a uma fração da velocidade do eixo, o que distribui o desgaste. A pressão admissível para tais mancais pode variar de 3,5 kg/cm2 (50 psi) a 14 kg/cm2 (200 psi), em correspondência com velocidades
201
lineares periféricas médias de 60 m/min (200 ft/min) a 150 m/min (500 ft/min), as maiores velocidades correspondendo às menores pressões. Para serviços de condições médias e com velocidades muito baixas as pressões podem elevar-se até 1 kg/mm2 (1500 psi) ou mais. O coeficiente de atrito para mancais de escora bem lubrificados algumas vezes é feito igual a 0,015.
Fig 13 -mancal de escora para eixo vertical O mancal de escora com colares, Fig. 13, é usado quando a carga é demasiadamente elevada para um tipo simples, acima descrito, ou quando for impraticável a montagem do mesmo. Em geral, ele é usado para absorver o esforço axial criado, por exemplo, por um órgão de propulsão (como uma hélice ou um rotor de turbina ou bomba). As pressões admissíveis para os mancais de colar são um pouco menores do que as permitidas nos mancais simples de escora. Isto porque a carga não é uniformemente distribuída entre os colares. Se possível, os colares devem ser colocados próximo ao ponto em que o esforço axial se origina, o que aliviará o eixo da ação de flambagem. O diâmetro do colar pode ser de 1,4 a 1,8 vezes o diâmetro do eixo e o coeficiente de atrito pode ser tomado aproximadamente igual a 0,04.
Fig 14.-mancal de escora com colares
202
Fig.15 – Viscosidade absoluta,conforme [67]
203
Fig.16 – Posição da espessura mínima do filme
204
Fig.17 – Razão da vazão,conforme [67]
205
Fig.18 – Razão da vazão,conforme [67]
Fig.19 – Razão da pressão máxima do filme,conforme [67] 206
Fig. 20 – Posição do filme,conforme [67] 207
6.33 - EXERCÍCIO RESOLVIDO Um mancal hidrodinâmico gira a 1760 rpm, com diâmetro de d = 2 pol, comprimento L = 2 pol, carga de W = 1000 lbf, e óleo lubrificante SAE 20. Sabendo-se que a temperatura inicial é de 100ºF, pede-se: a) Qual a estimativa para a temperatura média de funcionamento para uma folga de c = 0,0020 pol. b) Qual a folga ideal para uma temperatura média de 120°F? Traçar um gráfico de ho x c. c) Para o mancal dado, folga de c = 0,0025 pol e temperatura média de 120°F, qual a potência perdida? Esta potência aumenta ou diminui de quanto quando a rotação aumenta 50%? d) Quanto que a pressão máxima do mancal dado aumenta, quando a carga aumenta de 100%, c = 0,0025 pol, para a mesma temperatura média de 120ºF? Respostas N=
1760 = 29,33 rps 60
W = 1000 lbf
D = 2 pol → r = 1 pol L = 2 pol
Óleo SAE 20 Ti = 100°F
L =1 D a) c = 0,0020 pol
Tm = Ti +
∆T 2
∆T (ºF)
Tm (°F)
µ (12-11)
S
20
110
6,4. 10 −6
0,18772
35
117,5
5,3. 10
Qs/Q (12-19) 0,58
(r/c).f (12-17) 4,25
−6
0,1553 0,63 3,8 Tabela 01 – exercício resolvido 01
Q/r.c.N.L (12-18) 4,16
∆T (°F)
4,2
34
37
Para ∆T = 20°F:
S=
r 2 µ .N . c2 P
P=
W 1000 = = 250 lbf/pol2 = psi 2.r.L 2.1.2
Tm = 100 +
20 = 110° F → µ = 2
6,4. 10 −6
S=
12 0,0020 2
.
6,4.10 −6.29,33 = 0,18772 250
r . f 0,103.P 0,103.250.4,25 c ∆T = . = = 37º F Qs Q (1 − 0,5.0,58).4,16 1 − 0,5. r.c.N .L Q Para ∆T = 35°F
Tm = 100 +
35 = 117,5° F → µ = 5,3. 10 −6 (12-11) 2
208
5,3.10 −6.29,33 S= . = 0,1554 250 0,0020 2
∆T =
Assim, para c = 0,0020 pol → Tm = 100 +
34 = 117° F 2
12
0,103.250.3,8 = 34º F (1 − 0,5.0,63).4,2
b) Tm = 120°F → µ = 5,0. 10 −6
S=
12.5,0.10 −6.29,33
c2
=
0,5866.10 −6
c2
c 0,0050
S 0,0235
ho/c 0,12
0,600 .10 −3
0,0010
0,5866
0,73
0,730 .10 −3
0,0020
0,2607
0,59
0,885 .10 −3
0,0025
0,1467
0,44
0,880 .10 −3
0,0025
0,0939
0,33
0,825 .10 −3
0,0030
0,0652 0,26 Tabela 02 – exercício resolvido 01
ho
0,780 .10 −3
ho
Gráfico ho x c 0,001 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0 0
0,001
0,002
0,003
0,004
c A folga ideal está entre: 0,0010 < c < 0,0015, pois ↑T: ↓c: ↓ho
1760 12 5.10 −6.29,33 r c) N 1 = = 29,33rps → S1 = . = 0,0939 → . f1 = 2,55 2 60 250 c 0,0025
N2 =
1760.1,5 12 5.10 −6.44 r = 44rps → S 2 = . = 0,1408 → . f 2 = 3,4 2 60 250 c 0,0025
209
1 . f 1 = 2,55 → f1 = 0,0064 0,0025
1 . f 2 = 3,4 → f 2 = 0,0085 0,0025
W . f .r.N 1000.0,0064.1.1760 HP1 = = 0,179 HP 63000 63000 1000.0,0085.1.1760 HP2 = = 0,237 HP 63000 HP =
0,237 − 0,179 = 32,4% 0,179 P = K → Pmáx. = K
Aumento = d)
P Pmáx.
W (lbf) 1000 2000
Sendo que: S =
Aumento =
P(psi) 250 500
12 0,0025 2
.
Tm = 120°F → µ = 5,0. 10 −6
S P/Pmáx.= K 0,0939 0,39 0,0469 0,33 Tabela 03 – exercício resolvido 01
5,0.10 −6.29,33 P
Pmáx.(psi) 641 1515
Pmáx. = P/K
1515 − 641 .100 = 136% 641
210
CAPÍTULO 07 - MANCAIS DE ROLAMENTOS 7.1 - INTRODUÇÃO 7.2 - DIMENSIONAMENTO O projeto completo da máquina ou do aparelho já determina, em muitos dos casos, o diâmetro do furo dos rolamentos. Para uma determinação final das demais dimensões principais e do tipo construtivo deve, entretanto, ser constatado através de um cálculo de dimensionamento se as exigências quanto à vida útil, à segurança estática e à economia estão satisfeitas. Neste cálculo, a solicitação do rolamento é comparada à sua capacidade de carga. Na tecnologia dos rolamentos há uma diferenciação entre uma solicitação dinâmica e uma estática. Na solicitação estática o rolamento não apresenta ou há só um pequeno movimento relativo (n < 10 rpm). Nestes casos, deve ser verificada a segurança contra deformações plásticas muito elevadas das pistas e dos corpos rolantes. A maioria dos rolamentos é solicitada dinamicamente. Nestes, os anéis giram um em relação ao outro. Com o cálculo do dimensionamento, é controlada a segurança contra uma fadiga prematura do material das pistas e dos corpos rolantes. A vida nominal L10 conforme DIN ISO 281 raramente indica a duração realmente atingível. Construções econômicas exigem, no entanto, que a capacidade de rendimento dos rolamentos seja aproveitada ao máximo. Quanto mais for este o caso, mais importante é um correto dimensionamento dos rolamentos. As capacidades dinâmica e estática mencionadas neste capítulo se aplicam a rolamentos de aço cromo temperados em estado padrão para temperaturas de serviços usuais de até 100 °C. A dureza mínima das pistas e dos cor pos rolantes corresponde a 58 HRC. Sob temperaturas mais elevadas, a dureza do material se reduz e com isto, a capacidade de carga do rolamento.
7.3 - ROLAMENTOS SOLICITADOS ESTATICAMENTE Quando se trata de solicitação estática, calcula-se o fator de esforços estáticos fs para comprovar que o rolamento selecionado possui uma capacidade de carga estática suficiente.
fs = Onde
Co Po
fs - fator de esforços estáticos 211
C0 - capacidade de carga estática [kN] P0 - carga estática equivalente [kN] O fator de esforços estáticos fs é um valor de segurança contra deformações elásticas elevadas, nos pontos de contato dos corpos rolantes. Para rolamentos que devam ter um giro particularmente suave e silencioso, deverá ser alcançado um fator elevado de esforços estáticos. Se as exigências que se referirem à suavidade de giro forem menores, bastarão fatores fs menores. De um modo geral, devem ser atingidos os seguintes valores: fs = 1,5...2,5
Para exigências elevadas
fs = 1,0...1,5
Para exigências normais
fs = 0,7...1,0
Para exigências reduzidas.
Os valores correspondentes aos rolamentos axiais auto-compensadores de rolos e aos de alta precisão estão dados na parte das tabelas. A capacidade de carga estática C0 [kN] se encontra indicada nas respectivas tabelas dos rolamentos. Uma carga desta magnitude (nos rolamentos radiais uma carga radial e nos axiais uma carga axial e central), provoca uma pressão de superfície P0 calculada, no centro do ponto de contato mais carregado entre os corpos rolantes e a pista de: •
4600 N/mm² em todos os rolamentos auto-compensadores de esferas
•
4200 N/mm² em todos os outros rolamentos de esferas
•
4000 N/mm² em todos os rolamentos de rolos.
A carga ocasionada por C0 produz, no ponto onde incide a maior carga, uma deformação plástica total dos corpos rolantes e da pista da ordem de 1 /10000 do diâmetro do corpo rolante. A carga equivalente P0 [kN] é um valor calculado, ou seja, uma carga radial nos rolamentos radiais e uma carga axial e central nos rolamentos axiais. P0 ocasiona a mesma solicitação no ponto central de contato onde incide a maior carga entre os corpos rolantes e a pista como a solicitação realmente atuante.
P0 = X 0 * Fr + Y0 * Fa [kN]
(1)
Onde P0 - carga estática equivalente [kN] Fr - carga radial [kN] Fa - carga axial [kN] X0 - fator radial Y0 - fator axial Os valores para X0 e Y0 bem como indicações para o cálculo da carga estática equivalente estão mencionados nas tabelas para os diversos tipos de rolamentos ou em seu preâmbulo. 212
7.4 - ROLAMENTOS SOLICITADOS DINAMICAMENTE O cálculo normalizado (DIN ISO 281) para os rolamentos dinamicamente solicitados tem por base a fadiga do material, como causa da falha. A fórmula para o cálculo de vida nominal é: P
[
C L10 = L = 10 6 rotações P
]
(2)
Onde L10 - L vida nominal [106 rotações] C - capacidade dinâmica [kN] P - carga dinâmica equivalente [kN] p - expoente de duração da vida L10 é a vida nominal em milhões de rotações, atingida ou superada por, no mínimo, 90% de um lote significativo de rolamentos iguais. A capacidade dinâmica C [kN] conforme DIN/ISO281-1993 consta nas tabelas para cada rolamento. Uma carga desta magnitude resulta em uma vida nominal L10 de 106 rotações. A carga dinâmica equivalente P [kN] é um fator calculado, ou seja, uma carga radial constante em tamanho e direção, em rolamentos radiais ou uma carga axial em rolamentos axiais. O resultado de P é a mesma duração de vida quanto à carga combinada realmente atuante.
P = X * Fr + Y * Fa [kN] Sendo P - carga estática equivalente [kN] Fr - carga radial [kN] Fa - carga axial [kN] X - fator radial Y - fator axial Os valores para X e Y e também as indicações para calcular a carga dinâmica equivalente estão indicados nas tabelas dos diversos tipos de rolamentos. O expoente de duração de vida nominal p é diferenciado para rolamentos de esferas ou de rolos. Onde p =3 para rolamentos de esferas p =10/3 para rolamentos de rolos Se a rotação do rolamento for constante, a vida nominal pode ser expressa em horas:
Lh10 = Lh =
L *10 6 [h] n * 60
213
Sendo Lh10 = Lh duração de vida nominal [h] L - vida nominal [106 revoluções] N - rotação (freqüência de giro) [min-1] Simplificando-se a fórmula, teremos:
L * 500 * 33 * 1 * 60 3 Lh = n * 60 p 1 Lh C 33 * 3 = * 500 P n
ou
p
33 * 1 Lh 3 *C =p n P 500
Neste contexto significam:
fL =
p
Lh índice dinâmico 500
Isto é fL = 1 para uma vida nominal de 500 horas
fn =
p
33 * 1 n
3 fator de rotação
Ou seja, fn = 1 em uma rotação de 33*1/3 rpm. A equação da vida nominal fica, portanto, com a forma simplificada:
fL =
C * fn P
Sendo fL- fator dinâmico C - capacidade de carga dinâmica [kN] P - carga dinâmica equivalente [kN] fn - fator de rotação ou fator dinâmico f O fator fL a ser alcançado resulta de experiências com aplicações de rolamentos iguais ou semelhantes, que tenham demonstrado comprovada eficiência na prática. Nas tabelas, foram compilados os valores fL a serem atingidos para inúmeras aplicações. Estes valores levam em consideração não somente um período suficientemente longo de funcionamento até a fadiga, mas também outras exigências como o peso reduzido em construções leves, adaptação às peças contíguas, picos de carga extrema e outras (veja também outras publicações para aplicações especiais). Os valores fL são corrigidos de acordo com a evolução tecnológica. Ao se estabelecer comparações com aplicações comprovadas na prática, deve-se naturalmente determinar a magnitude do esforço segundo o mesmo método de cálculo. Nas tabelas estão indicados, além dos valores fL a serem alcançados, também os dados comumente
214
utilizados no cálculo. Nos casos em que se utilizam fatores adicionais, o valor fz se encontra indicado. Ao invés de se utilizar P, calcula-se com fz × P. Do valor fL obtido, determina-se a vida nominal Lh. Com os valores fL e Lh obtém-se os parâmetros para o dimensionamento, somente para aqueles casos onde a comparação entre os rolamentos testados em campo é possível. Para uma mais precisa determinação da vida útil, também os efeitos da lubrificação, temperatura e limpeza devem ser levados em consideração.
7.5 - CARGA E ROTAÇÃO VARIÁVEIS Se, no decorrer do tempo houver alterações na carga e na rotação de um rolamento solicitado dinamicamente, este fato deve ser considerado no cálculo da carga equivalente. Neste caso, aproxima-se a curva do gráfico obtido mediante uma série de cargas isoladas e rotações com uma duração determinada q %. Neste caso, obtém-se a carga dinâmica equivalente P, aplicando-se a seguinte fórmula:
P = 3 P13 .
n1 q1 n q . + P23 . 2 . 2 + ... [kN] nm 100 nm 100
Onde nm
nm = n1 .
q1 q + n2 . 2 + ... [min-1] 100 100
Figura 1 – Carga e rotações variáveis
215
Para simplificar, consta o expoente 3 nas fórmulas para rolamentos de esferas e de rolos. Se a carga for sujeita a alterações, mas a rotação permanecer constante, teremos:
P= P P = 3 P13 .
q1 q + P23 . 2 + ... 100 100
[kN]
Se, a uma rotação constante, a carga crescer de forma linear de um valor Pmin para um valor máximo Pmax, obtém-se:
P=
Pmin + 2.Pmax 3
Figura 2 – Carga linear no tempo
O cálculo ampliado de vida não deve ser calculado com o valor médio da carga dinâmica equivalente. O melhor é determinar o valor Lh para cada duração sob condições constantes e, baseado nestas, obter-se a vida atingível.
7.6 - CARGA MÍNIMA DOS ROLAMENTOS Sob uma carga muito baixa - por exemplo, em alta rotação em giro de teste pode surgir deslizamento que, com uma lubrificação deficiente pode provocar danificações. Para uma carga mínima para rolamentos radiais recomendamos: Rolamentos
P/C
Esferas com gaiola
0,01
Rolos com gaiola
0,02
Sem gaiola
0,04
Tabela 1 – Carga mínima dos rolamentos
Onde P - carga dinâmica equivalente C - capacidade de carga dinâmica A carga mínima dos rolamentos axiais está dada no preâmbulo da parte de tabelas. Um super dimensionamento dos rolamentos pode levar a uma duração da vida menor. Nestes
216
rolamentos existe o perigo de deslizamento e uma solicitação elevada do lubrificante. O deslizamento pode danificar as superfícies funcionais, por um engraxamento ou pela formação de micro fissuras. Para um mancal ser econômico e seguro, deve ser aproveitada toda a sua capacidade de carga. Para isto é necessário que ao projetá-lo, se considere outras grandezas de influência, além da capacidade de carga, como é o caso do cálculo de vida.
7.6.1 - OBSERVAÇÕES Os métodos de cálculo e símbolos acima expostos correspondem às indicações DIN ISO 76 e 281. A título de simplificação são utilizados nas fórmulas e tabelas para os rolamentos radiais e axiais, os símbolos C e C0 para a capacidade de carga dinâmica e estática assim como P e P0 para a carga dinâmica e estática equivalente. A Norma diferencia: Cr
→ fator de carga radial dinâmica
Ca
→ fator de carga axial dinâmica
C0r
→ fator de carga radial estática
C0a
→ fator de carga axial estática
Pr
→ carga radial dinâmica equivalente
Pa
→ carga axial dinâmica equivalente
P0r
→ carga radial estática equivalente
P0a
→ carga axial estática equivalente No intuito de simplificar, deixou-se de indicar os índices "r" e "a" junto a "C" e "P", haja
visto não existir, na prática, margem para dúvidas quanto à pertinência dos fatores de carga e cargas equivalentes para rolamentos radiais ou axiais. A DIN ISO 281 restringe-se à indicação da duração da vida nominal L10 e à vida ampliada Lna em 106 rotações. A partir destes dados é possível ser deduzida a duração de vida nominal em horas Lh e Lhna. Na prática, é costume se tomar por base Lh, Lhna e em especial o fator dinâmico (fL). Devido a isto foram incluídos neste catálogo, como complementos valiosos, valores orientativos para fL e fórmulas para Lh e Lhna.
7.6.2 - DURAÇÃO ATINGÍVEL - MODIFICADA DA VIDA Segundo DIN ISO 281 a duração atingível (modificada) da vida é obtida segundo a seguinte fórmula:
[
Lna = a1 .a 2 .a3 .L 10 6 revoluções
] 217
Ou expresso em horas:
Lhna = a1 .a2 .a3 .Lh [h] Onde Lna - duração atingível (modificada) da vida [106 rotações] Lhna - duração atingível da vida [h] a1 -fator para a probabilidade de falha, a2 - fator para o material, a3 - fator para as condições em serviço L - duração da vida nominal [106 rotações] Lh - a duração da vida nominal [h] 7.6.3 - DURAÇÃO DA VIDA ATINGÍVEL
[
Lna = a1 .a23 .L 10 6 revoluções
]
e
Lhna = a1 .a23 .Lh [h]
Sendo a1 - fator para a probabilidade de falha a23 - fator para o material e as condições de serviço L - duração da vida nominal [106 rotações] Lh - duração da vida nominal [h]
7.6.4 - FATOR A23 O fator a23 para a determinação da duração da vida atingível Lna ou Lhna, é obtido da relação
a 23 = a 23 II .s Sendo a23II - valor básico a23II s - fator de limpeza O fator a23 considera as influências do material, tipo construtivo do rolamento, solicitação, lubrificação e limpeza. O ponto de partida para a determinação do fator a23. O campo mais importante para a prática é o campo II do diagrama, que vale para limpeza normal (valor básico de a23 para s = 1). Com uma limpeza melhor ou pior, será calculado com um fator s > 1 resp. s < 1.
218
Figura 3 - Esquema para a determinação de a23
7.6.5 - RELAÇÃO DE VISCOSIDADE Κ No eixo de abscissas está indicada a relação de viscosidade κ como medida para a formação da película lubrificante.
k=
v v1
Onde v - viscosidade em serviço da película lubrificante no contato de rolagem v1 - viscosidade de referência na dependência do diâmetro e do número de rotações A viscosidade de referência v1 é determinada através da figura 3, com o auxílio do diâmetro médio do rolamento (D + d)/2 e do número de rotações em serviço. A viscosidade em serviço v de um óleo lubrificante é obtida do diagrama V-T com o auxílio da temperatura em serviço t e da viscosidade (nominal) do óleo a 40 °C. Para graxas, usa-se para v a viscosidade em serviço do óleo básico. Em rolamentos altamente solicitados e com grandes parcelas de deslizamento (fs* < 4) a temperatura do rolamento nas áreas de contato dos corpos rolantes é até 20 K mais alta que a temperatura medida no anel do
219
rolamento parado (sem influência de aquecimento externo). Isto é em parte considerado, colocando-se a metade do valor da viscosidade ½ obtida do diagrama V-T na fórmula.
k=
v . v1
Viscosidade de referência v1
Figura 4 – Viscosidade v1
220
Diagrama V-T para óleos minerais
Figura 5 – Viscosidade para óleos minerais
7.6.6 - VALOR BÁSICO A23II Para poder determinar com mais precisão o valor básico a23II é necessário ter-se o fator determinante K = K1 + K2. O valor de K1 pode ser obtido do diagrama acima, na dependência do tipo construtivo do rolamento e do índice de solicitação fs*. O valor de K2 depende da relação de viscosidade κ e do índice fs*. Os valores do diagrama (abaixo) valem para lubrificantes não aditivados ou para lubrificantes com aditivos, cuja eficiência especial não tenham sido testados em rolamentos. Com K = 0 até 6, a23II se situa em uma das curvas no campo II da figura 8. Com K > 6, só pode ser esperado um fator a23 no campo III, quando se deverá almejar um valor de K menor e mediante uma melhora das condições, alcançar o campo II definido. Se for lubrificado com a quantidade certa e com uma graxa bem adequada, podem ser selecionados valores K2, como para óleos bem aditivados. A escolha correta da graxa é muito importante em rolamentos com grandes parcelas de deslizamento e nos de grande porte, altamente solicitados. Na determinação do valor a23II e, sem um conhecimento preciso da 221
aptidão da graxa, deverá ser aplicado o limite inferior do campo II. Isso vale principalmente quando não se podem manter os intervalos de lubrificação. Fator determinante K1, na dependência do índice fs* e do tipo construtivo do rolamento.
Figura 6 – K1 versus fs*
Para a - Rolamento fixo de esferas b - Rolamento de rolos cônicos, rolamento de rolos cilíndricos c - Rolamento auto-compensador de rolos, rolamento axial auto-compensador de rolos 3 rolamento axial de rolos cilíndricos 1, 3 d - Rolamentos de rolos cilíndricos sem gaiola 1, 2 1 - V < 1 só é atingível em combinação com filtragem fina do lubrificante, de outra forma usar K1 > 6. 2 - Considere na determinação de v: o atrito é no mínimo o dobro do que nos rolamentos com gaiola. Isto leva a temperaturas mais altas do rolamento. 3 - Considerar a carga mínima Fator determinante K2, na dependência do índice fs* para lubrificantes não aditivados e para lubrificantes com aditivos, cuja eficiência especial não tenham sido testados em rolamentos.
222
Figura 7 – k2 versus fs*
K2 se torna igual a 0 em lubrificantes com aditivos para os quais haja uma comprovação positiva. Com K≥0,4 o desgaste se propaga no rolamento, se não for impedido por aditivos apropriados.
Figura 8 – Valor de K em função de a23II e k
223
Campo I: Transição para a durabilidade permanente Premissa: máxima limpeza na fresta de lubrificação e cargas não muito elevadas, lubrificante adequado. II: Limpeza normal na fresta de lubrificação Através da utilização de aditivos comprovados em rolamentos, também são possíveis valores de a23 > 1 com k< 0,4 a23. III: Condições de lubrificação inadequadas. Contaminação do lubrificante, Lubrificantes inadequados.
7.6.7 - FATOR DE LIMPEZA S O fator de limpeza s quantifica a influência da contaminação na duração da vida. Para a determinação de s, é necessário obter-se a grandeza de contaminação V figura 8. Para uma limpeza normal (V = 1) sempre vale 1, ou seja a23II = a23. Em uma limpeza melhorada (V = 0,5) e em uma limpeza máxima (V = 0,3), obtém-se, partindo do valor fs* e, na dependência da relação de viscosidade, um fator de limpeza de
s
≥1. Com s = 1, vale k ≥0,4. Com V = 2 (lubrificante moderadamente contaminado) e V = 3 (lubrificante fortemente contaminado) se torna s < 1 da área b do diagrama. A diminuição dos valores de s por altos valores de V atua tanto mais forte quanto menos seja solicitado o rolamento. Diagrama para a determinação do fator de limpeza s
Figura 9a e b – Fator de limpeza
224
Figura 9c – Fator de limpeza
Onde a - diagrama para limpeza melhorada (V = 0,5) até máxima (V = 0,3) b - diagrama para lubrificante moderadamente contaminado (V = 2) e lubrificante altamente contaminado (V = 3) Um fator de limpeza s > 1 só é atingível em rolamentos sem gaiola, quanto ficar excluído qualquer desgaste no contato rolo/rolo, através de um lubrificante altamente viscoso e com máxima limpeza (pureza do óleo de no mínimo 11/7 segundo ISO 4407).
7.6.8 - GRANDEZA DETERMINANTE V PARA A AVALIAÇÃO DA LIMPEZA A grandeza determinante V depende do corte transversal do rolamento, do tipo de contato no contato rolante e do grau de pureza do óleo. Se, na área de contato mais solicitada de um rolamento, forem sobre roladas partículas duras a partir de um determinado tamanho, as impressões deixadas nas áreas de contato de rolagem levam a uma fadiga prematura do material. Quanto menor for a área de contato tanto mais nociva é a ação de um determinado tamanho de partículas. Portanto, os rolamentos pequenos reagem com mais sensibilidade com o mesmo grau de contaminação que os maiores e os rolamentos com contato fixo (rolamentos de esferas) com mais sensibilidade do que os de contato linear (rolamentos de rolos). A classe de pureza do óleo necessária conforme ISO 4406 é uma grandeza mensurável para o grau de contaminação de um lubrificante. Para a sua determinação, é usado o método padronizado para a contagem de partículas. Neste, a quantidade de todas as partículas > 5 µm e de todas as partículas > 15 µm são classificadas em determinadas classes de pureza de óleo ISO, desta forma, um grau de pureza 15/12 conforme ISO 4406 significa que, em 100 ml de líquido se encontram entre 16000 e 32000 partículas > 5 µm e entre 2000 e 4000 partículas > 15 µm. A diferença entre uma classe e outra reside no dobro, da metade da quantidade das partículas. 225
Especialmente as partículas com uma dureza > 50 HRC agem como redutoras da duração da vida nos rolamentos. Estas partículas são de aço temperado, areia e resíduos de material de abrasão. Principalmente os últimos são extremamente danosos. Se, como em muitos casos de aplicação técnica, a maior parcela dos materiais estranhos contidos nas amostras de óleo estiver localizada na faixa de redução da duração da vida, a classe de pureza obtida com a contagem de partículas, pode ser comparada diretamente com os valores contidos na tabela. Se, entretanto, no exame do resíduo do filtro, for verificado que se trata quase que, p.ex., exclusivamente de contaminação mineral como areia de fundição ou grãos de material de abrasão especialmente redutores da duração da vida, os valores de medição deverão ser elevados em uma até duas classes de pureza, antes de determinar a grandeza de contaminação V. Ao contrário, se for comprovado que a maioria é de partículas macias, como madeira, fibras ou tinta no lubrificante, o valor de medição da contagem de partículas pode ser correspondentemente reduzido. Para atingir a pureza do óleo exigida, deverá haver uma determinada taxa de resíduo no filtro. Esta é uma medida para a capacidade de separação do filtro em partículas de tamanho definido. A taxa de resíduo no filtro ßx é a relação entre todas as partículas > x µm antes do filtro com as partículas > x µm depois do filtro. Abaixo se encontra uma representação esquemática. Uma taxa de resíduo no filtro ß3 ≥200, significa, p.ex. que no teste "multi-pass" (ISO 4572) de 200 partículas 3 µm, só uma única consegue passar pelo filtro. Com o uso de um filtro com uma determinada taxa de resíduo não se pode concluir automaticamente pela classe de pureza do óleo.
226
7.6.9 - VALORES PARA A GRANDEZA DETERMINANTE DE CONTAMINAÇÃO V (D-d) / 2
V
Mm
Contato Pontual classe de
Valores orientativos para a
pureza de óleo conforme
taxa de resíduo no filtro
ISSO 4406
≤12,5
> 12,5 ... 20
> 20 ... 35
> 35
1
conforme ISO 4572
0,3
11/8
β3 ≥ 200
0,5
12/9
β3 ≥ 200
1
14/11
β6 ≥ 75
2
15/12
β6 ≥ 75
3
16/13
β12 ≥ 200
0,3
12/9
β3 ≥ 75
0,5
13/10
β3 ≥ 75
1
15/12
β6 ≥ 75
2
16/13
β12 ≥ 75
3
18/14
β25 ≥ 75
0,3
13/10
β3 ≥ 75
0,5
14/11
β6 ≥ 75
1
16/13
β12 ≥ 75
2
17/14
β25 ≥ 75
3
19/15
β25 ≥ 75
0,3
14/11
β6 ≥ 75
0,5
15/12
β6 ≥ 75
1
17/14
β12 ≥ 75
2
18/15
β25 ≥ 75
3
20/16
β25 ≥ 75
Só devem ser consideradas partículas cuja dureza seja > 50HRC Tabela 2 – Contaminação V
A classe de pureza do óleo como medida para a probabilidade de sobre rolagem de partículas redutoras da duração da vida nos rolamentos pode ser determinada por amostras p.ex. por fabricantes de filtros e institutos. Deverá ser observada uma coleta apropriada de amostras (vide p.ex. DIN 51170). Também aparelhos de medição "on-line" se encontram hoje em dia à disposição. As classes de pureza são atingidas quando a quantidade total do óleo em circulação passar uma vez pelo filtro em poucos minutos. Para garantir uma boa limpeza dos
227
mancais, é necessário um processo de enxágüe antes da colocação em funcionamento dos mesmos. Uma taxa de resíduo ß3 ≥200 (ISO 4572) significa, p.ex. que no assim chamado teste "multi-pass", de 200 partículas ≥3 µm só uma passa pelo filtro. Filtros maiores que ß25 ≥75 não deverão ser usados, pelas conseqüências negativas para os demais agregados também instalados no circuito do óleo. Lubrificação com graxa A lubrificação com graxa é aplicada em 90% de todos os rolamentos, pois apresenta as seguintes vantagens: •
Reduzido custo construtivo
•
Bom apoio das vedações, proporcionado pela graxa
•
Alta durabilidade com uma baixa manutenção Sob condições ambientais e de serviço normais, muitas vezes é possível uma
lubrificação para a vida. Deve ser prevista uma lubrificação a intervalos regulares, quando houver alta solicitação (rotação, temperatura, carga). Para tanto, devem ser previstos canais para suprir e drenar a graxa e um depósito para a graxa envelhecida e, quando os intervalos forem curtos, eventualmente uma bomba e um regulador da graxa. Coeficiente de pressão-viscosidade α como função da viscosidade cinemática v, válido para a faixa de pressão de 0 a 2000 bar
Figura 10 - Coeficiente de pressão-viscosidade versus viscosidade
Onde a-b - Óleos minerais; e – Diéster; g - Éster triarilfosfato; h - Flúor carbono; i - Poliglicol k,l - Silicone
228
Figura 11 – Dependência da densidade dos óleos minerais em função da temperatura.
7.6.10 - LUBRIFICAÇÃO COM ÓLEO Um método de lubrificação com óleo se oferece quando as peças adjacentes da máquina já são supridas com óleo. A dissipação do calor é necessária quando houver altas cargas, altas rotações ou um aquecimento do mancal devido a influências externas. Na lubrificação com quantidades pequenas (lubrificação por quantidades mínimas), seja por gotejamento, névoa ou por ar-óleo, o atrito por "chapisco" e, com isto, os atritos no rolamento são mantidos bem reduzidos. Na utilização do ar como meio de transporte, é obtido um suprimento dirigido e um fluxo auxiliar a vedação. Uma lubrificação por injeção de óleo em maiores quantidades possibilita um suprimento correto em todos os pontos de contato dos rolamentos de alta velocidade, proporcionando uma boa refrigeração.
229
7.7 - PROCESSO DE SELEÇÃO DE ROLAMENTOS Inicialmente, devemos ter as seguintes informações: •
Desempenho e condições requeridas ao rolamento
•
Condições de operação e meio
•
Dimensão do espaço para o rolamento
•
Avaliação do tipo de Rolamento.
•
Espaço permissível para o rolamento. Devemos verificar neste item, quais os rolamentos disponíveis que se enquadram nas
dimensões requeridas pelo projeto.
INTENSIDADE E DIREÇÃO DA CARGA Ao selecionar o rolamento, verificar a direção da carga (radial ou axial) e a sua intensidade. Tipo de Rolamento
Capacidade de carga 1
2
3
Capacidade de carga axial 4
1
2
3
4
Fixo de uma carreira de esferas Contato angular Rolos cilíndricos Rolos cônicos Auto compensadores de rolos Tabela 3 – Capacidade de carga de cada rolamento
VELOCIDADE DE ROTAÇÃO E LIMITE DE ROTAÇÃO A rotação máxima permissível varia em função do tipo de rolamento, da dimensão, do tipo e material da gaiola, carga e método de lubrificação.
DESALINHAMENTO DOS ANÉIS INTERNO E EXTERNO O desalinhamento entre o anel interno e externo ocorre em casos como o da flexão do eixo em função da carga, da imprecisão do eixo e alojamento ou da deficiência na instalação. Quando temos grandes desalinhamentos, devem-se selecionar rolamentos com a capacidade de auto-alinhamento como os rolamentos auto compensadores.
230
FIXAÇÃO NA DIREÇÃO AXIAL E DISPOSIÇÃO Em uma disposição de rolamentos, uma das peças é determinada como lado fixo e é usada para fixar o eixo posicionando axialmente o rolamento. Neste lado fixo, deve ser selecionado o tipo de rolamento que suporte a carga radial juntamente com a carga axial. Na outra posição, o rolamento é denominado lado livre, suportando somente a carga radial e devem permitir o deslocamento do eixo devido à dilatação ou contração pela variação de temperatura. A não observância desta norma poderá acarretar em uma carga axial anormal no rolamento, podendo ser a causa de uma falha prematura.
DIFICULDADE NA INSTALAÇÃO E REMOÇÃO Os rolamentos de rolos cilíndricos que têm os anéis internos ou externos separáveis, de agulha ou de rolamentos cônicos, apresentam maior facilidade de instalação e remoção, facilitando a manutenção em equipamentos que requerem uma inspeção periódica. Rolamentos com furos cônicos também são fáceis de instalar, pois podem ser instalados com a utilização de buchas.
RUÍDO E TORQUE Os rolamentos fixos de esferas são os mais adequados para as máquinas que requerem baixo ruído e baixo torque, como nos motores elétricos e instrumentos de medição.
RIGIDEZ Ao aplicar uma carga no rolamento, ocorre uma deformação elástica nas áreas de contato entre os corpos rolantes e a pista. A rigidez do rolamento é determinada em função proporcional da carga no rolamento e a intensidade da deformação elástica no anel interno, no anel externo e no corpo rolante. Os rolamentos de contato angular de esferas e os rolamentos de rolamentos cônicos são os mais apropriados para casos onde devemos ter o aumento da rigidez pelo método de pré-carregamento, como em fusos de máquinas-ferramenta.
DISPONIBILIDADE E CUSTO Há diferenças significativas de custo de acordo com o tipo e tamanho de rolamento utilizado. Além disso, há a dificuldade de se obter determinados tipos de rolamentos. Diante disso, recomendamos que na medida do possível, na seleção dos rolamentos, não se optem por rolamentos de custo inacessível ou de difícil localização para compra.
231
DIMENSÕES PRINCIPAIS - SISTEMAS DE DENOMINAÇÃO Os rolamentos são elementos de máquinas utilizáveis universalmente, prontos para a montagem, devido ao fato de suas dimensões principais usuais serem normalizadas. As normas ISO correspondentes a cada tipo de rolamento são: a ISO 15 para os radiais (exceto os de rolos cônicos), a ISO 355 para os rolamentos de rolos cônicos em dimensões métricas e a ISO 104 para os rolamentos axiais. Os planos dimensionais das normas ISO foram absorvidas na DIN 616 e DIN ISO 355 (rolamentos de rolos cônicos com dimensões métricas). Nos planos de medidas da norma DIN 616, vários diâmetros externos e larguras são alocados a cada furo de rolamento. As séries usuais de diâmetro são 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4 (nesta ordem, com diâmetros crescentes). Em cada série de diâmetros há diversas séries de largura como, p.ex. 0, 1, 2, 3, 4 (correspondendo uma largura maior a cada número crescente). No número de dois algarismos para a série de medidas, o primeiro corresponde à série de largura (nos rolamentos axiais à altura) e o segundo indica a série de diâmetro . No plano de medidas para os rolamentos de rolos cônicos com dimensões métricas segundo DIN ISO 355, um dos algarismos (2, 3, 4, 5, 6) indica a faixa do ângulo de contato. Quanto maior o algarismo, tanto maior o ângulo de contato. As séries de diâmetros e de larguras são identificadas por duas letras. Em casos de divergências com relação ao plano de medidas, como nos rolamentos integrais das séries 2344 e 2347, esta característica é informada nos textos preliminares às tabelas de medidas. Exemplos para a identificação da série do rolamento e do diâmetro do furo na designação básica, segundo DIN 623.
232
Figura 12 a– Denominação dos rolamentos
7.8 - TIPOS DE ROLAMENTOS Os rolamentos são classificados de acordo com o tipo de carga que irão suportar, carga radial ou axial.
7.8.1 - ROLAMENTOS RÍGIDOS DE ESFERAS - ROLAMENTOS FAG FIXOS DE ESFERA Os rolamentos fixos de esferas de uma carreira suportam cargas radiais e axiais e são adequados para rotações elevadas. Os rolamentos fixos de esferas não são separáveis. A adaptabilidade angular é relativamente reduzida. Os rolamentos fixos de esferas vedados são livres de manutenção e possibilitam construções simples.
CARGA DINÂMICA EQUIVALENTE Com uma carga axial mais elevada, o ângulo de contato aumenta nos rolamentos fixos de esferas. Os valores X e Y dependem da relação f0 · Fa/C0, tabela 4. O fator f0 está dado em forma de tabela. C0 é a capacidade de carga estática. Se um rolamento fixo de esferas for montado com um ajuste normal, isto significa uma usinagem do eixo conforme j5 ou k5 e a caixa segundo J6, valerão os valores da tabela 4. 233
X
Y
X
Y
0,3
0,22
1
0
0,56
2
0,5
0,24
1
0
0,56
1,8
0,9
0,28
1
0
0,56
1,58
1,6
0,32
1
0
0,56
1,4
3
0,36
1
0
0,56
1,2
6
0,43
1
0
0,56
1
Tabela 4 – Carga dinâmica equivalente
Fatores radial e axial dos rolamentos fixos de esferas são relacionados por: Folga normal
P0 = Fr [kN] para
Fa ≤ 0,8 Fr
P0 = 0,6.Fr + 0,5.Fa
[kN] para
Fa > 0,8 Fr
MEDIDAS DE MONTAGEM Os anéis dos rolamentos só podem encostar-se aos rebordos do eixo e da caixa e não no rebaixo. O maior raio rg da peça contrária rsmin tem que ser, portanto, menor que a menor dimensão de canto rsmin (do rolamento). A altura do rebordo da peça contrária deverá ser de tal forma que, mesmo com a maior dimensão de canto, ainda permaneça uma superfície de apoio com uma largura suficiente (DIN 5418). Nas tabelas dos rolamentos estão indicadas as medidas máximas do raio rg e o diâmetro dos encostos. No preâmbulo do capítulo respectivo constam eventuais peculiaridades, como p.ex. nos rolamentos de rolos cilíndricos, nos de rolos cônicos e nos axiais.
234
MEDIDAS DE MONTAGEM CONFORME DIN 5418
Figura 13 - Montagens de anéis de rolamento
Por serem de construção simples, inseparáveis, adequados para operar em altas rotações, não exigirem muita manutenção e apresentarem um preço favorável, são os rolamentos mais usuais. Apresentam um grande número de tamanhos e construções. As pistas profundas e a conformidade próxima entre as ranhuras das pistas e as esferas permite suportar cargas axiais relativamente pesadas em ambos os sentidos, além de cargas radiais.
7.8.2 - ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR Rolamentos FAG de contato angular de esferas de duas carreiras.
Figura 14 – Rolamentos rígidos de esferas de uma carreira (1) e duas carreiras (2) com placas de vedação com anel interno largo.
235
A pista do anel externo é esférica e o centro do raio é coincidente ao centro do rolamento. Desta forma, o anel interno e a gaiola com as esferas giram livremente ao redor do centro do rolamento, permitindo com isto a correção de erros de alinhamento. Os rolamentos de contato angular de esferas de duas carreiras das séries 32B e 33B não têm ranhuras de enchimento, motivo pelo qual admitem cargas axiais em ambos os sentidos. Além dos rolamentos abertos, há ainda execuções básicas com blindagens (.2ZR) ou com anéis de vedação (.2RSR) em ambos os lados Os rolamentos que sejam fornecidos na execução básica vedada, podem também por razões técnicas de fabricação, ter no rolamento aberto, as ranhuras para os anéis de vedação ou os discos de blindagem. Os rolamentos de contato angular de esferas de duas carreiras têm, de um lado, ranhuras de enchimento; os rolamentos devem ser montados de maneira que a solicitação principal seja admitida pelas pistas de rolagem, que não tenham qualquer ranhura de enchimento. Os rolamentos de contato angular de esferas 33DA, com o anel interno bipartido, por seu elevado ângulo de contato de 45°, são adequados para admitir cargas axiais espec ialmente altas em sentidos alternados.
Figura 15 - Rolamentos de contato angular de esferas
As fórmulas para a capacidade de carga equivalente dependem do ângulo de contato dos rolamentos.
CARGA DINÂMICA EQUIVALENTE Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de contato α de 25 °
P = Fr + 0,92.Fa [kN]
para
Fa ≤ 0,68 Fr 236
P = 0,67.Fr + 1,41.Fa [kN]
para
Fa > 0,68 Fr
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de contato α de 35°
P = Fr + 0,66.Fa [kN]
para
Fa ≤ 0,95 Fr
P = 0,6.Fr + 1,07.Fa [kN]
para
Fa > 0,95 Fr
Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de contato α de 45°
P = Fr + 0,47.Fa [kN] P = 0,54.Fr + 0,81.Fa
para
[kN]
Fa ≤ 1,33 Fr
para
Fa > 1,33 Fr
CAPACIDADE DE CARGA ESTÁTICA O fator radial é 1; os fatores axiais dependem do ângulo de contato. Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de contato α de 25 °
P0 = Fr + 0,76.Fa [kN] Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de contato α de 35 °
P0 = Fr + 0,58.Fa [kN] Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de contato α de 45 °
P0 = Fr + 0,44.Fa [kN] Os rolamento para fusos são uma execução especial de rolamentos de contato angular de esferas de uma carreira, na qual o ângulo de contato, as tolerâncias e a execução da gaiola são diferentes. Os rolamentos para fusos são especialmente adequados para mancais dos quais são exigidas uma altíssima precisão de guia e uma aptidão para altas rotações. Eles tem tido a melhor comprovação na utilização em fusos de máquinas-ferramenta. A FAG, já há diversos anos, fornece os rolamentos para fusos das séries B719, B70 e B72 com esferas de 237
aço. Os rolamentos híbridos de cerâmica das séries HCB719, HCB70 e HCB72 têm as esferas do mesmo tamanho, porém de cerâmica. Os rolamentos para fusos de alta velocidade das séries HS719 e HS70 como também os rolamentos híbridos de cerâmica das séries HC719 e HC70 têm esferas menores de aço ou de cerâmica. Estes rolamentos se destacam pela aptidão para uma rotação mais elevada, atrito e geração de calor mais reduzido, menos necessidade de lubrificante e com isto uma duração de vida mais alta. Com os rolamentos para fusos de alta velocidade HSS719 e HSS70, como com os rolamentos híbridos de cerâmica HCS719 e HCS70, obtém-se soluções extremamente econômicas. Estes rolamentos têm anéis de vedação de ambos os lados. São lubrificados com graxa para a vida e livres de manutenção. Os rolamentos para fusos da execução universal são para a montagem em pares na disposição em X, O ou Tandem ou para a montagem em grupos em qualquer das disposições. Os pares de rolamentos da execução universal UL têm, antes de montados, uma leve pré-carga nas disposições em X ou em O. Nos ajustes interferentes a précarga do par de rolamentos aumenta (para as tolerâncias de usinagem dos assentamentos, vide a publicação FAG n° AC 41130). Ao pedir os rolamentos na execução universal deverá ser mencionado a quantidade de rolamentos e não a de pares ou de pos. Os rolamentos de esferas de contato angular possuem as pistas dos anéis internos e externos deslocadas entre si no sentido do eixo do rolamento. Isto significa que são particularmente adequados para suportar cargas combinadas, isto é, cargas radiais e axiais atuando simultaneamente.
ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR DE UMA CARREIRA (5) A capacidade de carga axial dos rolamentos de esferas de contato angular aumenta quando se aumenta o ângulo de contato α. Este é definido como sendo o ângulo entre a linha que une os pontos de contato da esfera e as pistas no plano radial, ao longo do qual a carga é transmitida de uma pista para a outra (a linha de carga) e uma linha perpendicular ao eixo do rolamento.
238
Figura 16 – Ângulo de contato em rolamentos esféricos
A esferas e os anéis interno e externo formam ângulos que podem variar de 15°, 25°, 30° ou 40°. Quanto maior o ângulo de contato, maior será a capacidade de carga axial, e quanto menor o ângulo de contato melhor será para altas rotações.
7.8.3 - ROLAMENTOS DE AGULHAS Os rolamentos de agulhas são rolamentos de rolos com rolos cilíndricos que são muito finos e compridos com respeito ao seu diâmetro. A ISO usa a definição que o comprimento do rolo é de 2,5 vezes ou mais o diâmetro do rolo. Usa se, em referência a eles, o termo rolos de agulha. Apesar da sua pequena seção transversal esses rolamentos têm elevada capacidade de carga e são, portanto extremamente apropriados para arranjos de rolamentos onde o espaço radial estiver limitado.
Figura 17 – Rolamentos de agulhas
7.8.4 - ROLAMENTOS DE ROLOS CÔNICOS Os rolamentos de rolos cônicos são projetados de forma que o vértice dos cones formados pelas pistas do anel interno e externo, e pelos rolos, coincidam em um ponto na linha de centro do rolamento. Quando se aplica uma carga radial, dá-se origem a uma componente de carga axial. É necessário usar dois rolamentos em oposição, em alguma combinação ou de duas carreiras. São usados para cargas combinadas, ou seja, carga radial e axial.
239
O ângulo de contato α determina a capacidade de carga axial do rolamento. Quanto maior o ângulo, maior a capacidade de carga axial. •
ângulo intermediário: C = 20°;
•
ângulo grande: D = 28°;
•
ângulo normal: sem sufixo = 17°.
Figura 18 – Rolamentos de rolos cônicos de uma carreira de (25) em pares de quatro carreiras (27) rolos cônicos cruzados.
7.8.5 - ROLAMENTOS AXIAIS Podem suportar somente cargas axiais. As cargas radiais não podem ser aplicadas, devido à sua construção.
ROLAMENTOS AXIAIS DE ROLOS CILÍNDRICOS Os rolamentos axiais de rolos cilíndricos podem suportar cargas axiais pesadas, são insensíveis a cargas de choque e possibilitam arranjos de rolamentos rígidos que necessitam de pouco espaço axial. Os rolamentos das séries 811 e 812 são utilizados principalmente quando a capacidade de carga dos rolamentos axiais de esferas é insuficiente. Os rolamentos axiais de rolos cilíndricos são rolamentos de sentido único, suportando somente cargas axiais atuando em um sentido. Seu formato e desenho são simples, sendo fabricados em construções de uma carreira e de duas carreiras. A superfície cilíndrica dos rolos alivia ligeiramente em direção às extremidades. A linha de contato modificada assim produzida assegura que não haverá tensões prejudiciais sobre as extremidades. Os rolamentos são de construção separável; os componentes individuais podem ser montados separadamente.
240
ROLAMENTOS AXIAIS DE AGULHAS Os rolamentos axiais de agulhas podem suportar cargas axiais elevadas, são insensíveis as cargas de choque e proporcionam arranjos rígidos que necessitam de espaço axial reduzido. São rolamentos de escora simples, suportando somente cargas axiais em um sentido. Para aplicações em que os componentes associados são inadequados para serem utilizados como pista, os conjuntos também podem ser combinados com anéis de diferentes construções.
7.9 – EXEMPLO RESOLVIDOS 1.
Selecionar um rolamento para motor elétrico, com as seguintes características: • Diâmetro do eixo, entre 50 ~ 70mm; • Diâmetro do alojamento, entre 80 ~130mm; • Força Radial = 1000 kgf; • Força Axial = 200 kgf; • Temperatura de Trabalho = 80° C; • Local com pequena concentração de impurezas; • Rotação = 3600 rpm; • Vida mínima exigida de 10.000 horas. Para o nosso exemplo poderemos definir o tipo de rolamento mais adequado para a aplicação requerida. Espaço permissível para o rolamento. Diâmetro Interno = 50 ~70 mm: poderemos utilizar qualquer rolamentos entre XX10 ~XX14; Diâmetro Externo = 80 ~ 130mm: qualquer rolamento entre XX10 ~ XX14, exceto X313 (D = 140mm) e X314 (D = 150mm). Largura = Neste exemplo, não foi especificada a largura permitida. Intensidade e direção da carga. No exemplo dado, vamos comparar a capacidade de carga dos rolamentos 6310, 21310, NU310 e 7310B: Rolamento
Cr (kgf)
Cor (kgf)
6310
6.300
3.900
21310
12.100
13.000
7310B
6.950
4.900
NU310
8.850
8.800
Número
241
Tabela 5a – Exercício resolvido 1
Todos os rolamentos acima atenderiam a exigência do projeto quanto à capacidade de carga. Velocidade de rotação. Vamos comparar o limite de rotação dos rolamentos 6310, 21310, NU310 e 7310B: Rolamento
Cr (kgf)
Cor (kgf)
6310
6.000
7.500
21310
2.800
3.800
7310B
5.000
6.700
NU310
5.600
6.700
Tabela 5b – Exercício resolvido 1
Neste caso, o rolamento 21310 não atende às exigências de rotação do equipamento. Desalinhamento Não exigido para o exemplo dado. Fixação na direção axial Definir se é livre ou lado fixo. Dificuldade na instalação e remoção Verificar as dimensões dos encostos nas tabelas de dimensões dos rolamentos. Ruído Os rolamentos de esferas são os mais adequados quando o nível de ruído é importante. Rigidez Os rolamentos de contato angular são os mais indicados, no entanto, esta exigência não é requerida para esta aplicação. Disponibilidade e custo. Tabela comparativa de custos entre rolamentos de tipos diferentes com o mesmo dimensional. Rolamento
6310
22310
30310
NU2310
7310B
Custo (unidade:x)
1,00
2,60
1,80
2,80
1,90
Tabela 5c – Exercício resolvido 1
Pelos custos simbólicos da tabela acima, verificamos que os rolamentos fixo de uma carreira de esferas têm um custo menor (para rolamentos de mesmo tamanho), além disso, são mais fáceis de serem adquiridos.
242
Diante do exposto acima, o rolamento fixo de uma carreira de esferas é o mais indicado e atende às exigências: das dimensões requeridas, da rotação, da carga radial e axial e aos requisitos da aplicação. Além disso, tem o menor custo comparado aos outros tipos de rolamentos com o mesmo tamanho e a vantagem da fácil localização para compra. Resultado do Exemplo: Definição do Tipo
Especificação do Tipo
Rolamento Fixo de uma Carreira de Esferas
6310
Tabela 5d – Exercício resolvido 1
2.
Um rolamento rígido de esferas 6309 feito de aço padrão da SKF deverá trabalhar a uma velocidade de 5 000 r/min sob uma carga radial constante Fr = 8 000 N. Vai ser utilizada a lubrificação com óleo, possuindo o óleo uma viscosidade cinemática ηc = 20 mm2/s à temperatura de trabalho. A confiabilidade desejada é de 90 % e assume-se que as condições de trabalho são de extrema limpeza. Quais serão as vidas L10, Lna e Lnaa? a) Vida nominal L10 (para 90 % de confiabilidade)
C L10 = P
p
A partir das tabelas de produtos, as capacidades de carga dinâmica para o rolamento 6309, C = 52 700 N. Uma vez que a carga é puramente radial, P = Fr = 8 000 N e por conseguinte. L10 = (52 700/8 000)3 = 286 milhões de revoluções b) Vida nominal ajustada Lna Lna = a1 a23 L10 Como é necessária uma confiabilidade de 90 %, será preciso calcular a vida L10a e a1 = 1. O fator a23 é calculado da seguinte maneira: para o rolamento 6309, utilizando d e D das tabelas de produtos, dm = 72,5 viscosidade de óleo requerida à temperatura de trabalho para uma velocidade de 5 000 r/min, ν1 = 7 mm2/s κ = η/η1 = 2,7 valor de a23 = 1,92. L10a = 1 x 1,92 x 286 = 550 milhões de revoluções c) Vida nominal de acordo com a teoria de vida da SKF Lnaa = a1 aSKF L10 Como a confiabilidade pretendida é de 90 %, a vida L10aa é calculada e a1 = 1. Das tabelas de produtos Pu = 1 340 e Pu/P = 1 340/8 000 = 0,17. Como as condições são de 243
extrema limpeza ηc = 1 e por conseguinte para κ = 2,7 o valor de aSKF é 14 para que de acordo com a teoria de vida da SKF L10aa = 1 x 14 x 286 = 4 000 milhões de revoluções Para obter as vidas correspondentes em horas de trabalho, é necessário multiplicar por [1 000 000/(60 n)] onde n = 5 000 r/min. As diferentes vidas são então L10h = 950 horas de trabalho L10ah = 1 800 horas de trabalho L10aah = 13 300 horas de trabalho Se no exemplo tivéssemos calculado para condições de contaminação tais que ηc = 0,2, aSKF seria 0,3 e L10aa = 1 x 0,3 x 286 = 86 milhões de revoluções Ou L10aah = 287 horas de trabalho 3.
O apoio de um eixo de hélice de navio possui diâmetro d=140mm . Ele suporta uma esforço axial normal de FaN=40 kN a uma rotação de nN=375 rpm e uma carga axial e uma carga axial máxima de Fav=53 kN a uma rotação nv=500 . A duração da carga normal corresponde a 75% do total e a duração da carga máxima 25% da duração total. A vida de trabalho destes equipamentos chega a 50.000 h de funcionamento. Selecione os mancais de rolos angulares adequados para este sistema.
Figura 19 - Exercício resolvido 3
Resolução:
d = 30mm 244
K = 2500 N a
n = 1500rpm F
ar
= 2000 N
F
br
= 3000 N
a) Rolamento A - SKF 30206
C(N) =40200 e=0,37
Y=1,6
B - SKF 33206
C(N) = 64400 e=0,35
Y=1,7
Testando se a disposição pertence ao grupo 2a, 2b ou 2c
F Y
ar
=
2000 = 1250 N 1,6
=
3000 = 1765N 1,7
<
F Y
a
F Y
F Y
br b
ar a
= condição2a
br b
Assim:
F
ba
=
0,5F Y
br
∴ F ba =
b
F
Aa
0,5×3000 ∴F 1,7
ba
= 882,4N
= F Ba + K a ∴ F Aa = 882,4 + 2500 ∴ F Aa = 3382 N
Cálculo da carga dinâmica equivalente
F F
ar
P =F
r
≤e
r
F P = 0,4× F + YF F
ar
r
a
>e
r
Rolamento A: SKF 30206
F F
ar
3382 = 1,69 > 0,37 2000
=
r
Assim,
P = 0,4× 2000 + 1,6× 3382 a
P = 6211N a
Rolamento B: SKF 33206
F F
ba br
=
882,4 = 0,29 ≤ 0,35 3000
Assim,
P =F b
r
P = 3000 N b
245
Cálculo do tempo de vida: (Pág 28) =
L
1000000 × C 60× n P
10 3
Rolamento A:
L
=
a
1000000 × 40200 60×1500 62 +1
10 3
L = 5614 horas de trabalho a
Rolamento B:
L
=
b
1000000 × 64400 60×1500 3000
10 3
L = 305500 horas de trabalho b
b) Pelos resultados obtidos observa-se que o rolamento A: SKF 30206 não suporta um tempo de vida de 32000 horas, já que seu limite é de 5614 horas. Já o rolamento B: SKF 33206 poderia ser utilizado. No entanto, seu limite de vida é de 305500 horas é muito maior que o necessário, o que significa um maior custo. Desta forma, o ideal para esta situação é escolher um rolamento que possua uma capacidade dinâmica C, entre os valores de Ca = 40200N e Cb = 64400N, já que a capacidade dinâmica é proporcional ao tempo de vida. Assim sendo: os rolamentos SKF 31306 e SKF32206 que possuem capacidades dinâmicas de 47300N e 49500N, respectivamente, são mais recomendados para esta situação. Verificando o rolamento SKF 31306 Considerando que tanto o rolamento B quanto A são iguais: SKF 31306
F Y F
ar
<
a
aB
=
F Y
br
= condição2a
b
0,5F Y
rb
∴ F aB =
b
F
Aa
0,5×3000 ∴F 0,72
aB
= 2083N
= F Ba + K a ∴ F Aa = 2083 + 2500 ∴ F Aa = 4583 N
e = 0,83
F F
aA
=
ra
4583 > 0,83 2000
P = 0,4×2000 + 4583×0,72∴P a = 4100 N a
F F
aB rB
r
=
a
2083 = 0,69≤ e 3000
P = 3000 N b
246
Considerando o pior hipótese, ou seja, a carga dinâmica equivalente P iguala 4100N Temos: =
L
47300 × 4100
1000000 60×1500
10 3
L = 38550 horas de trabalho b
Assim verifica-se que o rolamento SKF 31306 é suficiente para onde são necessários um tempo de vida de 32000 horas
4.
O mancal de um garfo de um roda em balanço contém dois rolamentos radiais de esferas série 62 . O diâmetro do eixo foi calculado em 25 mm. A figura mostra as medidas calculadas em mm. A carga radial radkraft F é de 2,5 kN. Selecione estes rolamentos, para as condições normais de trabalho sendo que a capacidade de carga de ambos rolamentos é determinada em função das cargas radiais Far eFbr e que um dos rolamentos deve suportar toda a carga axial.
Figura 20 - Exercício proposto 4 Resolução:
F = 5Ton = 49,05× 10 N 3
d = 0,05m a)
S
0
= 1,3 ∴ S 0 = C 0
P
0
Carga estática equivalente para rolamento axial de esfera
P =F 0
a
Assim C 0
=
S P = 1,3× 49 ,05× 10 0
0
3
= 63770
N
247
O rolamento selecionado segundo a tabela da pagina 600 é o SKF 51210 que possui uma capacidade de carga estática superior a requerida, ou seja, Co=106000N > 63770N
F
b) Para o rolamento SKF 51210 e
P =F 0
= 24,53×10
3
a
N
, qual o So?
a
C = 106000 N o
S S
0
0
= C0 =
P
0
106000 24,53×10
3
= 4,32
7.10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.
O eixo de um carrinho para combustível de forno suporta m=1,5 t devido ao peso próprio e carga F p Quando o forno estiver funcionando ele suporta temperatura t=300o C. Pelos cálculos para o dimensionamento do eixo, chegou-se ao valor de d=35 . Selecione os rolamentos de esfera para este carrinho.
Figura 21 - Exercício proposto 1
4.
Uma carga de 5 toneladas será aplicada em diâmetro d=48 mm conforme figura . Um rolamento axial de esferas suporta esta carga, permitindo pequenos giros. Deseja-se selecionar este rolamento de esferas.
248
Figura 22 - Exercício proposto 4
249
CAPÍTULO 08 - PROJETO DE PARAFUSOS
8.1 - INTRODUÇÃO Parafusos são elementos de fixação, empregados na união não permanente de peças, isto é, as peças podem ser montadas e desmontadas facilmente, bastando apertar e desapertar os parafusos que as mantêm unidas.Os parafusos se diferenciam pela forma da rosca, da cabeça, da haste e do tipo de acionamento.
Figura 1 - parafuso sextavado
O tipo de acionamento está relacionado com o tipo de cabeça do parafuso. Por exemplo, um parafuso de cabeça sextavada é acionado por chave de boca ou de estria.Em geral, o parafuso é composto de duas partes: cabeça e corpo. O corpo do parafuso pode ser cilíndrico ou cônico, totalmente roscado ou parcialmente roscado. A cabeça pode apresentar vários formatos; porém, há parafusos sem cabeça. Há uma enorme variedade de parafusos que podem ser diferenciados pelo formato da cabeça, do corpo e da ponta. Essa diferença, determinadas pela função dos parafusos, permite classificá-los em quatro grandes grupos: para - fusos passantes, parafusos não-passantes, parafusos de pressão, parafusos prisioneiros.
PARAFUSOS PASSANTES Esses parafusos atravessam, de lado a lado, as peças a serem unidas, passando livremente nos furos.Dependendo do serviço, esses parafusos, além das porcas, utilizam arruelas e contra-porcas como acessórios.Os parafusos passantes apresentam-se com cabeça ou sem cabeça.
250
Figura 2 - Parafusos passantes
PARAFUSOS NÃO-PASSANTES São parafusos que não utilizam porcas. O papel de porca é desempenhado pelo furo roscado, feito numa das peças a ser unida.
Figura 3 - Parafusos não-passantes
PARAFUSOS DE PRESSÃO Esses parafusos são fixados por meio de pressão. A pressão é exercida pelas pontas dos parafusos contra a peça a ser fixada.Os parafusos de pressão podem apresentar cabeça ou não.
Figura 4 - Parafusos de pressão
251
PARAFUSOS PRISIONEIROS São parafusos sem cabeça com rosca em ambas as extremidades, sendo recomendados nas situações que exigem montagens e desmontagens freqüentes. Em tais situações, o uso de outros tipos de parafusos acaba danificando a rosca dos furos. As roscas dos parafusos prisioneiros podem ter passos diferentes ou sentidos opostos, isto é, um horário e o outro anti-horário.Para fixarmos o prisioneiro no furo da máquina, utilizamos uma ferramenta especial.Caso não haja esta ferramenta, improvisa-se um apoio com duas porcas travadas numa das extremidades do prisioneiro.Após a fixação do prisioneiro pela outra extremidade, retiram-se as porcas.A segunda peça é apertada mediante uma porca e arruela, aplicadas à extremidade livre do prisioneiro. O parafuso prisioneiro permanece no lugar quando as peças são desmontadas.
Figura 5 - Parafusos prisioneiros
Vimos uma classificação de parafusos quanto à função que eles exercem. Veremos, a seguir, alguns tipos de parafusos. Segue um quadro síntese com características da cabeça, do corpo, das pontas e com indicação dos dispositivos de atarraxamento.
252
Tabela 1 - Características da cabeça, do corpo, das pontas e com indicação dos dispositivo de atarraxamento.
253
Tabela2 - Tipos de parafusos
254
ROSCAS Rosca é um conjunto de filetes em torno de uma superfície cilíndrica.
Figura 6 - Filetes gerados em uma superfície cilíndrica
As roscas podem ser internas ou externas. As roscas internas encontram-se no interior das porcas. As roscas externas se localizam no corpo dos parafusos.
Figura 7 - Conjunto porca e parafusos
As roscas permitem a união e desmontagem de peças. Tipos de Rocas (Perfis) Perfil de Filete
Aplicação Parafusos e porcas de fixação na união de peças Ex: Fixação da roda do carro. Parafusos que transmitem movimento suave e uniforme. Ex: Fusos de máquinas Parafusos de grandes diâmetros sujeitos a grandes esforços. Ex: Equipamentos ferroviários. Parafusos que sofrem grandes esforços e choques. Ex: Prensas e morsas. Parafusos que exercem grandes esforços num só sentido. Ex: Macacos de catraca.
Figura 8 - Tipos e roscas e aplicação
255
Permitem, também, movimento de peças. O parafuso que movimenta a mandíbula móvel da morsa é um exemplo de movimento de peças.Os filetes das roscas apresentam vários perfis. Esses perfis, sempre uniformes, dão nome às roscas e condicionam sua aplicação.
NOMENCLATURA DA ROSCA Independentemente da sua aplicação, as roscas têm os mesmos elementos, variando apenas os formatos e dimensões.
. Figura 9 - Nomenclatura e tipo da roscas
P = passo (em mm) i = ângulo da hélice d = diâmetro externo c = crista d1 = diâmetro interno D = diâmetro do fundo da porca d2 = diâmetro do flanco D1 = diâmetro do furo da porca
256
a = ângulo do filete h1 = altura do filete da porca f = fundo do filete h = altura do filete do parafuso
ROSCAS DE PERFIL TRIANGULAR As roscas triangulares classificam-se, segundo o seu perfil, em três tipos: · rosca métrica · rosca whitworth · rosca americana Para nosso estudo, vamos detalhar apenas dois tipos: a métrica e a whitworth. Rosca métrica ISO normal e rosca métrica ISO fina NBR 9527. Ângulo do perfil da rosca: a=60º Diâmetro menor do parafuso (φ do núcleo): d1=d-1,2268P. d2=D2=d-0,6498P. Folga entre a raiz do filete da porca e a crista do filete da porca e a crista do filete do parafuso: F=0,045P. Figura 10 - Rosca de perfil triangular
Diâmetro maior da porca: D = d + 2f: Diâmetro menor da porca (furo): D1 = d - 1,0825P; Diâmetro efetivo da porca (Æ médio): D2 = d2. Altura do filete do parafuso: he = 0,61343P. Raio de arredondamento da raiz do filete do parafuso: re = 0,14434P. Raio de arredondamento da raiz do filete da porca:
257
ri = 0,063P. A rosca métrica fina, num determinado comprimento, possui maior número de filetes do que a rosca normal. Permite melhor fixação da rosca, evitando afrouxamento do parafuso, em caso de vibração de máquinas. Exemplo: em veículos.
Rosca Whitworth normal - BSW e rosca Whitworth fina – BSF
Figura 11 - Nomenclatura da roscas Whitworth
A fórmula para confecção das roscas Whitworth normal e fina é a mesma. Apenas variam os números de filetes por polegada. Utilizando as fórmulas anteriores, você obterá os valores para cada elemento da rosca. Para facilitar a obtenção desses valores, apresentamos a seguir as tabelas das roscas métricas de perfil triangular normal e fina e Whitworth normal BSW e Whitworth fina - BSF.
258
Tabela 3 - Tabela de roscas no sistema inglês
259
Tabela 4 - Tabela de roscas no sistema métrico - série normal
260
Tabela 5 - Tabela de roscas no sistema métrico - série fina
261
Duas tabelas a seguir mostram os valores dos diâmetros nominais dos parafusos, suas áreas resistentes em função do tipo de rosca grossa ou fina. Na tabela 3.6é apresentado o sistema métrico e na tabela 3.7 é apresentado o sistema inglês.
Diâmetro nominal d 1,6 2 2,5 3 3,5 4 5 6 8 10
12 14 16 20 24 30 36 42 48 56 64 72 80 90 100 110
Séries rosca grossa Área de Área menor Passo p resistente At diâmetro Ar 0,35 1,27 1,07 0,4 2,07 1,79 0,45 3,39 2,98 0,5 5,03 4,47 0,6 6,78 6 0,7 8,78 7,75 0,8 14,2 12,7 1 20,1 17,9 1,25 36,6 32,8 1,5 58 52,3
1,75 2 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6 6 6 6
84,3 115 157 245 353 561 817 1120 1470 2030 2680 3460 4340 5590 6990
76,3 104 144 225 324 519 759 1050 1380 1910 2520 3280 4140 5360 6740
Séries rosca fina Pitch p
Área resistente At
Área de menor diâmetro Ar
1 1,25
39,2 61,2
36 56,3
1,25 1,5 1,5 1,5 2 2 2 2 2 2 2 1,5 2 2 2 2
92,1 125 167 272 384 621 915 1260 1670 2300 3030 3860 4850 6100 7560 9180
86 116 157 259 365 596 884 1230 1630 2250 2980 3800 4800 6020 7470 9080
Tabela 6 - Tabela de parafusos no sistema métrico- rosca grossa e fina
262
Tamanho designação
0 1 2 3 4 5 6 8 10 12 ¼ 5
16
3
7
8
16
½ 9
16
5
8
¾ 7
8
1 1. ¼ 1. ½
Diâmetro maior polegadas
UNC - Séries rosca grossa Número de Área de Área Roscas por menor polegadas N resistente At diâmetro Ar
UNF - Séries rosca fina Roscas em polegada N
Ária resistente At
Área de menor diâmetro Ar
0,06 0,073 0,086 0,099 0,112 0,125 0,138 0,164 0,19 0,216 0,25 0,3125
64 56 48 40 40 32 32 24 24 20 18
0,00263 0,0037 0,00487 0,00604 0,00796 0,00909 0,014 0,0175 0,0242 0,0318 0,0524
0,00218 0,0031 0,00406 0,00496 0,00672 0,00745 0,01196 0,0145 0,0206 0,0269 0,0454
80 72 64 56 48 44 40 36 32 28 28 24
0,0018 0,00278 0,00394 0,00523 0,00661 0,0088 0,01015 0,01474 0,02 0,0258 0,0364 0,058
0,00151 0,00237 0,00339 0,00451 0,00566 0,00716 0,00874 0,01285 0,0175 0,0226 0,0326 0,0524
0,375
16
0,0775
0,0678
24
0,0878
0,0809
0,4375 0,5 0,5625
14 13 12
0,1063 0,1419 0,182
0,0933 0,1257 0,162
20 20 18
0,1187 0,1599 0,203
0,109 0,1486 0,189
0,625 0,75 0,875 1 1,25 1,5
11 10 9 8 7 6
0,226 0,334 0,462 0,606 0,969 1,405
0,202 0,302 0,419 0,551 0,89 1,294
18 16 14 12 12 12
0,256 0,373 0,509 0,663 1,073 1,581
0,24 0,351 0,48 0,625 1,024 1,521
Tabela 7 - Tabela de parafusos no sistema inglês - rosca grossa e fina
8.2 - PARAFUSOS DE POTÊNCIA Um parafuso de força ou potência é utilizado em projetos de máquinas quando necessita mudar o movimento angular para linear na transmissão de carga. Na Figura 12, um parafuso de potência com rosca quadrada,possui um diâmetro médio dm, ,passo p, um ângulo de avanço λ, um ângulo de inclinação de hélice ψ. É submetido a uma carga de compressão axial. Deseja-se encontrar uma expressão para o torque necessário para elevar e abaixar a carga atuante. A figura 12 mostra à direita a rosca do parafuso estendida em uma volta completa. Seja F a soma de todas as cargas axiais. Para elevar a carga, a força P atua para a direita, e para abaixar a carga, a força P atua para a esquerda. A força de atrito é o produto do coeficiente de fricção µ pela a força normal N, e atua no sentido de opor-se ao movimento. O sistema está em equilíbrio sobre ação de uma destas forças, e portanto para elevar a carga F, tem-se:
263
∑F ∑F
H
= P − Nsenλ − µ N cos λ = 0
V
= F + µ Nsenλ − N cos λ = 0
(1)
De maneira análoga para abaixar a carga, teremos:
∑F ∑F
H
= − P − Nsenλ + µ N cos λ = 0
V
= F − µ Nsenλ − N cos λ = 0
(2)
Desde que não estamos interessados na força normal N, eliminando-a nos conjuntos de equações acima e encontramos P. Para elevação da carga temos:
P=F
senλ + µ cos λ cos λ − µsenλ
P=F
senλ − µ cos λ cos λ + µ senλ
e para abaixar a carga teremos:
Figura 12 - Parafuso de potência, com detalhe da rosca e cargas atuantes
Finalmente, notando que o torque é o produto da força P pelo do raio médio dm / 2, para elevação da carga, tem-se:
T=
Fd m l + πµ d m 2 π dm − µl
Onde T é necessário para dois objetivos, vencer o atrito e para elevar a caga. Analogamente, o torque T necessário para abaixar a carga , é:
T=
Fd m 2
πµ d m − l π dm + µl 264
Em alguns casos, o torque da equação (2) poderá ser negativo ou zero. Quando se obtém um torque positivo partir desta equação, o parafuso é definido como auto-frenante.. A condição para auto-frenamento é: πµdm > 1 Agora, se divide ambos os lados dessa desigualdade por πdm lembrando que tg λ = 1 / πdm, tem-se: µ > tg λ Esta relação indica que o auto-frenamento é obtido quando o coeficiente de atrito é igual ou maior que tangente do ângulo de avanço. Uma expressão para a eficiência é também muito útil na avaliação dos parafusos de força. Consideram-se µ = 0 , tem-se:
TO =
Fl 2π
A eficiência nos parafusos de potência será:
e=
TO Fl = T 2π T
As equações precedentes foram desenvolvidas para as roscas quadradas onde a carga atuante nas roscas é paralela ao eixo axial do parafuso. No caso da rosca Acme,perfil triangular ou outras roscas, a carga atuante é inclinada em relação ao eixo por causa do ângulo da rosca 2α e o ângulo de avanço λ. Desde que ângulos de avanço são pequenos, a inclinação pode ser desconsiderada e somente ser considerado nos cálculos, o angulo de rosca. O efeito do ângulo α é aumentar a força de atrito por ação da cunha. Com isso, tem-se:
T=
Fd m l + πµ d m sec α 2 π d m − µl sec α
Figura 13 – Ângulos de avanço
265
Para parafusos de potência, a rosca Acme, não é tão eficiente como a rosca quadrada, mas, ainda é usado com mais freqüência devido a facilidade de fabricação e o uso de porca divisora ajustável. Usualmente, um terceiro componente de torque precisa ser adicionado nas aplicações dos parafusos de potência. Quando um parafuso é carregado axialmente, há necessidade de um colar, empregado entre os membros rotacionais e estacionários para suportar a componente axial. A Figura mostra um mancal típico onde utiliza-se dc como diâmetro principal e µc como o coeficiente do colar de atrito. O torque necessário será:
Tc =
F µc d c 2
Figura 14 - Mecânica dos parafusos de potência
8.3 - PARAFUSOS DE UNIÃO - COMPRIMENTO DA PARTE ROSCADA O comprimento da parte roscada, LT de parafusos no sistema inglês (polegadas) é:
2 D = 1 4 in LLTr = 2 D = 1 2 in
L < 6 in ou L = 6 in L > 6 in
e no sistema internacional é :
L ≤ 125 mm ou D ≤ 48 mm 2 D + 6 LLr = 2 D + 12 125 200 mm O objetivo de um parafuso é manter duas ou mais partes juntas. O torque de aperto acarretará tração ou alongamento no parafuso; o carregamento é obtido por torção da porca até 266
que o parafuso tenha sido tracionado próximo ao seu limite elástico. Se a porca não se afrouxar a tensão do parafuso se manterá como pré-carga ou força de união (aperto). A cabeça de um parafuso de cabeça hexagonal é suavemente mais fina do que a de um pino de cabeça hexagonal. O material de uma porca deve ser cuidadosamente selecionado para encaixar com o parafuso.
8.3.1 - CONSTANTE DE RIGIDEZ DOS PARAFUSOS Quando uma conexão é projetada para poder ser periodicamente desmontada sem métodos destrutivos e seja suficientemente forte para resistir a tensões externas, momentos, ou força de corte então uma junção parafusada simples usando arruelas de aço endurecido é uma boa solução. Como visto previamente,a função de um parafuso é fixar duas ou mais partes juntas. Girando a porca, o parafuso provocará uma força de união (aperto). Esta força de união é chamada de pré-tensão ou pré-carga no parafuso. Ela existe
na junção depois da porca ter sido
devidamente apertada não importando se a carga externa P tenha sido exercida ou não. É claro, que desde que as peças (membros) são usados para ser unidas, a força de união que produz uma tração no parafuso induzirá idêntica compressão nas peças. A constante de rigidez, de um membro elástico, como um parafuso, é a razão entre a força aplicada pela deformação produzida. A pega de uma conexão é a espessura do material unido,incluindo as arruelas se houver. A rigidez do parafuso ou pino consistirá de duas partes, a parte roscada e a parte não roscada dentro da pega.Portanto a constante de rigidez do parafuso será equivalente à rigidez de duas partes de maneira semelhante à rigidez de duas molas em série.
1 1 1 = + k k1 k2
k=
ou
k1k2 k1 + k2
para duas partes em série:
Kr =
At E lt
Kd =
Ad E ld
onde: At = Área resistente do parafuso (Tabelas) lT = comprimento da parte roscada na pega Ad = área da parte lisa de parafuso ld = comprimento da parte não roscada na pega, 267
Substituindo esses valores, tem-se:
K pa =
Ad At E Ad lt + At l d
Onde kpa é uma estimativa da constante de rigidez efetiva no parafuso da zona da união (pega).
8.3.2 - RIGIDEZ DAS PEÇAS OU MEMBROS EM COMPRESSÃO Numa seção anterior, determinou-se a rigidez do parafuso região de pega. Nesta seção, estudar-se-á a rigidez de uma peça ou membro na região de união. Ambas as constantes devem ser conhecidos. Poder-se ter mais do que duas peças ou membros na pega de união por parafuso. Todos eles agem como forças compressivas em série, e portanto a constante de rigidez das peças km pode ser obtida pela equação abaixo:
1 1 1 1 1 1 = + + + + ... + K pe K 1 K 2 K 3 K 4 Ki Utilizando a metade do ângulo vértice α =30º, o alongamento de um cone com espessura dx sujeito a uma força de tensão P é:
dδ =
P dx EA
(3)
Figura 15 - Rigidez das peças comprimidas
A área de elemento é:
268
(
) ( )
2 2 = A = π ( ro2 + ri 2 ) = π x tan α + D − D 2 2 D + d D−d = π x tan α + x tan α + 2 2
Substituindo na equação a, integrando, o alongamento será:
δ=
P t π E ∫0 (D + d ) x tan α + 2
δ=
dx (D − d ) x tan α + 2
( 2t tan α + D − d )( D + d ) P ln π Ed tan α ( 2t tan α + D + d )( D − d )
Com isso, e com α =30º, a rigidez será:
K pe =
P
δ
=
0,577πEd (1,15t + D − d )( D + d ) ln (1,15t + D + d )( D − d )
Figura 16 - Cone para determinação da rigidez das peças a unir
O diâmetro da arruela da face é por volta de 50% maior do que o diâmetro do parafuso de cabeça sextavada.
Para este caso o valor de km (rigidez das peças) será dado pela
equação:
K pe =
0,577πEd (1,15l + 0,5d ) 2 ln 5 (0,577l + 2,5d )
8.3.3 - RESISTÊNCIA DO PARAFUSO A tensão do parafuso é um fator chave na análise e seleção de conexões parafusadas. As normas para parafuso oferecem a resistência à tração (Srup) e resistência de prova (Sp) e a
269
resistência à fadiga,em função do diâmetro nominal do parafuso e do tipo. Assim é que existem as normas SAE, ASTM,,etc. A carga de prova é a força máxima que um parafuso pode suportar sem se deformar permanentemente. A resistência de prova é a relação entre a carga de prova e a área de resistência do parafuso. A resistência de prova corresponde aproximadamente à resistência ao escoamento.
TENSÕES ATUANTES NO PARAFUSO SUBMETIDO A CARGA EXTERNA ESTÁTICA Considerando que apenas uma carga P seja aplicada a uma conexão parafusada. Assumindo também que a força de união, chamada de pré-carga Fi, tenha sido corretamente aplicada pelo aperto da porca antes da força P ser aplicada. A nomenclatura usada será: Fi = Pré-carga P = carga externa Ppa = porção de P suportada pelo parafuso Ppe = porção de P suportada pelas peças (membros) Fpa = Ppa + Fi = carga total resultante no parafuso Fpe = Ppe + Fi = carga total resultante nas peças (membros) A carga externa P, ao ser aplicada na conexão aparafusada provoca uma deformação δ. Uma vez que a constante de rigidez das peças,k, é a relação entre a carga pela deflexão ou deformação,tem-se:
δ=
Ppa K pa
=
Ppe K pe
Como P = Ppa + Ppe, tem-se:
Ppa = Ppe
K pa K pe
Portanto, a carga resultante no parafuso será:
Fpa = Ppa + Fi =
K pa K pa + K pe
P + Fi
Fpe < 0
A carga resultante nas peças ou membros será:
Fpe = Ppa − Fi =
K pa K pa + K pe
P + Fi
Fpe < 0
270
É claro, que estes resultados são validos somente enquanto a carga de união se mantém nas peças.
8.3.4 - EXIGÊNCIAS DO TORQUE Apesar do coeficiente de atrito poder virar muito, pode-se obter uma ótima estimativa do torque necessário para produzir uma determinada pré-carga combinada, através da equação seguinte:
d tan λ + µ sec α T = m + 0, 625µc Fi d 2d l − µ tan λ sec α Define-se o coeficiente de torque K como sendo termo entre parênteses, e então:
K=
d m tan λ + µ sec α + 0, 625µ c 2d l − µ tan λ sec α
A equação pode agora ser escrita: T = KFid O coeficiente de atrito depende da rugosidade da superfície, precisão e grau de lubrificação. Em média, tanto µ quando µc são aproximadamente 0,15. O valor de K ≈ 0,20 para µ = µc = 0,15 independente do tamanho do parafuso empregado é independente da rosca ser bem acabada ou não.
8.3.5 - PRÉ-CARGA DO PARAFUSO - CARREGAMENTO ESTÁTICO A partir da equação abaixo
F pa =
K pa P K pa + K pe
+ Fi = CP + Fi
(4)
Onde C é chamado constante de junta e é definida na equação (4) como sendo
C=
K pa K pa + K pe
Então, Fpe = (l – C)P – Fi A tensão de tração no parafuso pode ser encontrada dividindo-se ambos os termos da equação (a) pela área resistente At. Isto leva a:
σ pa =
CP Fi + At At
(5)
271
Porém o valor limite de σb é a resistência de prova Sprova. Esta com introdução do fator da carga n, a equação (b) passará a ser,
S prova =
CnP Fi + At At
(6)
ou
n=
S prova At − Fi CP
Figura 17 - Vaso de pressão com parafusos de união
Chama-se n, de fator carga ao invés de fator de segurança, já que duas idéias são de alguma forma relacionadas. Qualquer valor de n > 1 garante que a tensão no parafuso será menor que a tensão de prova. Outra maneira de garantir uma junta segura é exigir que o carregamento externo seja menor que o necessário para causar a separação da junta. Se a separação ocorrer assim mesmo, então toda o carregamento externo recairá sobre o parafuso. Fazendo Po ser o valor de carregamento externo que causaria a separação da junta. Na separação, Fpe = 0, então: (l – C) P0 – Fi = 0
(7)
o fator de segurança contra a separação da junta é
n=
Po P
(8)
Substituindo P0 = nP na equação (8), encontra-se:
n=
Fi P (1 − C )
como sendo fator de segurança contra separação da junta .
272
No diagrama da tensão x deformação de um parafuso de material de boa qualidade, não existe um ponto claro de escoamento e o diagrama percorre suavemente até a fratura, que corresponde ao limite de resistência a tração. Isto mostra que independentemente da pré-carga aplicada no parafuso, este irá manter a sua capacidade de carregamento. Isto é que mantém o parafuso firme e determina a resistência da junta. A pré-carga é o “músculo” da junta, e sua magnitude é determinada pela resistência do parafuso. Se a resistência total do parafuso não é usada na aplicação da pré-carga, então, o dinheiro estará sendo desperdiçado e a junta ficando mais fraca. Parafusos de boa qualidade podem ser pré-carregados no regime plástico para desenvolver mais resistência. Alguns dos parafusos de torque utilizados para aperto produzem torções, que aumentam a tensão principal de tração. Entretanto, esta torção é mantida apenas pela fricção da cabeça do parafuso e da rosca; em tempo de relaxar e diminuir levemente a tensão do parafuso. Como uma regra, o parafuso rompe durante o aperto ou nunca se rompe. O alongamento real do parafuso deve sempre ser usado quando possível especialmente em carregamentos alternados. De fato, se há necessidade de alta confiança na junta, então, a pré-carga deve ser sempre determinada pelo alongamento do parafuso. As recomendações da RB&W para pré-carga são de 60 kpsi para parafusos SAE grau 5 para conexões não permanentes, e os parafusos A 325 (equivalentes aos acima) usando em aplicações de estrutura devem ser apertados até a carga de prova ou acima (85 kpsi para um diâmetro de no mínimo 1 pol). Bowman recomenda uma pré-carga de 75% da carga de prova, que é aproximadamente o mesmo da RB&W para parafusos reutilizados. Em vista destas, é recomendado tanto para carregamento estático com alternado que o seguinte critério seja utilizado para a pré-carga:
0,75 F prova Fi = 0,90 F prova onde FProva é a carga de prova, obtida da equação Fprova = AtSprova Aqui Sprova é a resistência de prova. Para outros materiais, um valor aproximado será Sprova = 0,85 Se. Porém, deve-se ter muito cuidado ao utilizar um material fraco em conexões que utilizam as arruelas.
273
8.3.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDO 1.
Calcular o coeficiente da junta abaixo. Na figura abaixo sejam: A = 150 mm;B = 200 mm; C = 300 mm; D = 20 mm e E = 25 mm. O cilindro é feito de ferro fundido com E = 113 GPa e a tampa de aço com E = 207 GPa. Foram selecionados dez parafusos M12 ISO 8.8 com pré-carga de aperto de 75% da carga de prova. Para uma pressão constante de 6 MPa, qual o valor do fator de carga n neste projeto?
Figura 18 – Exercício resolvido
Resolução: 1-Cálculo da carga externa por parafuso:
P=
pA 6 × 10−3 π 1502 = = 10, 6 kN N 10 4
2-Comprimento de pega: Lpega = D + E = 20 + 25 = 45 mm 3-Comprimento da parte roscada do parafuso: LT = 2D + 6
L ≤ 125mm
LT = 24 + 6 =30 mm 4-Comprimento do parafuso: D + E + H = 45 + 10,8 = 55,8 mm L = 60 mm 5-Comprimento da parte lisa do parafuso: llisa = L – LT = 60 – 30 = 30 mm 6-Comprimento da parte roscada da pega: lrp = Lpega – llisa = 45 – 30 = 15 mm 7-Cálculo da área na parte lisa:
274
Alisa =
πd 2 4
=
π 12 2 4
= 113,04 mm2
8-Obtenção da área resistente: At = 84,3 mm2 9-Cálculo da rigidez das peças:
K pa =
Alisa At E MN/m l liso At + Lrp Alisa
Cálculo de k1, t1 = 20 mm, E = 207 GPa.
k1 =
0,577 Edπ = 4470 MN/m (1,15t1 + D − d )( D + d ) ln (1,15t1 + D + d )( D − d )
Cálculo de k2, t2 = 2,5 mm, E = 113 GPa.
k2 =
0,577 Edπ = 59040 MN/m (1,15t2 + D − d )( D + d ) ln (1,15t2 + D + d )( D − d )
Cálculo de k3, t3 = 22,5 mm, E = 113 GPa.
k3 =
0,577 Edπ = 2343 MN/m (1,15t3 + D − d )( D + d ) ln (1,15t3 + D + d )( D − d )
1 1 1 1 = + + = 1498 MN/m K pe K 1 K 2 K 3 10-Cálculo do coeficiente de junta:
C=
K pa K pa + K pe
= 0,238
11-Resistência de prova: Sprova = 600 Mpa 12-Cálculo da pré-carga: Fprova = SprovaAt = 50,58 kN
Fi = 0,75F prova Fi = 0,90 F prova
conexão reutilizável conexão permanente
Fi = 0,75 Fprova = 37,94 kN 13-Cálculo do fator de carga:
275
S prova At Fi
n=
2.
= 5,03
C.P
Uma peça foi parafusada a uma estrutura de aço para suportar uma carga de tração flutuante. Os parafusos são de ½ pol. rosca grossa, SAE grau 5, apertados com a précarga recomendada. A rigidez recomendada é de kb = 4,94 Mlb/pol e km = 15,97 Mlb/pol. a) Determine a carga repetida que pode ser imposta a esta montagem, usando o critério de Goodman para um fator de segurança 2,0. b) Calcule o fator de carga baseado na carga obtida em (a). 1-Área resistente: At = 0,1419 pol2 2-Resistência de prova: Sprova = 85 kpsi 3-Limite de resistência a tração: Srup = 120 kpsi 4-Limite de resistencia a fadiga: Sf = 18,6 kpsi 5-Pré-carga: Fi = 0,75Fprova = 0,75 Sprova At = 9,046 kip 6-Coeficiente de junta:
C=
K pa K pa + K pe
= 0,236
7-Tensão alternada:
σa =
σ max − σ min 2
=
CPa = 0, 832 Pa kpsi 2 At
8-Tensão média:
σm =
σ max + σ min 2
= σa +
Fi = 0,832 Pa + 63, 75 kpsi At
9-Resistência alternada:
Sa =
S rup − 1+
Fi
At
S rup
kpsi
Sf
10-Cálculo da carga alternada:
276
n=
Sa
σa
⇒σa =
Sa 7,55 ⇒ 0,832 Pa = n 2
Pa = 4,532 klbf 11-Tensão alternada:
σa = 3,77 kpsi 12-Tensão média:
σm = 67,52 kpsi 13-Fator de carga:
n=
S prova At − Fi C.P
= 2,82
Figura 19 - Exercício resolvido 2 - cálculo do coeficiente de junta C
8.3.7 - CARGA DE FADIGA Valores médios de fatores de redução da resistência à fadiga, para sessões logo abaixo da cabeça do parafuso e também para o início da rosca na haste do parafuso. Esses valores já estão corrigidos e tabelados para a sensibilidade da arruela e acabamentos da superfície. Projetistas devem perceber que podem aparecer situações onde esses valores devem ser mais cuidadosamente tratados, já que estes são apenas valores médios. De fato, Peterson observa que a distribuição das falhas típicas dos parafusos se aproxima de 15% abaixo da cabeça do parafuso, 20% no final da rosca e 60% na rosca da porca. 277
Na maioria das vezes, o tipo de carregamento de fadiga encontrado na análise da junta do parafuso é uma carga aplicada externamente, que flutua entre zero e uma força máxima P. Essa seria uma situação de um cilindro de pressão, onde por exemplo, a pressão existe ou varia de zero a um valor máximo P. A fim de determinar a tensão alternada e a tensão média para essa situação, emprega-se a notação: Fmax = Fb e Fmim = Fi. Portanto, a tensão alternada do parafuso é:
σa =
Fpa − Fi 2 At
=
K pa K pa + K pe
P C .P = 2 At 2 At
Então desde que a tensão média é igual à tensão alternada mais a tensão mínima, temse:
σm =σa +
Fi CP Fi = + At 2 At At
Sabe-se da importância de ter uma pré-carga alta nas juntas aparafusadas. Isso é especialmente importante em carregamento submetido à fadiga porque faz o primeiro termo da equação (24), ser relativamente pequeno quando comparado ao segundo termo, que é a tensão devido a pré-carga. A observação da equação acima mostra que ela é construída por uma constante Fi / At no eixo da tensão média (Figura 20). À distância AC representada área de falha e AB área de segurança; então AC / AB é o fator de segurança de acordo com o critério de Goodman. Então:
n=
Sa
σa
Observamos que a distância AD é igual à Sa, tem-se:
Sa = Sm −
Fi At
(10)
A linha modificada de Goodman pode ser dada por:
S S m = S rup 1 − a S f
(11)
278
Sf
Srup
Figura 20 - Diagrama de Goodman para parafusos de união
Resolvendo as equações (10) e (11) simultaneamente, temos: S a=
S rup − 1+
Fi
At
(12)
S rup S
f
8.4 - CISALHAMENTO DE PARAFUSOS E REBITES A CARGA EXCÊNTRICA A figura abaixo mostra uma junta parafusada submetida a cisalhamento. A figura 21a a falha por tração nas peças unidas. A tensão de tração é a carga P dividida pela área líquida da chapa, isto é a área reduzida de uma quantidade igual à área de todos os furos dos parafusos ou rebites. Para materiais quebradiços e cargas estáticas devem-se incluir os efeitos da concentração de tensão.
Figura 21 - Tipos de falha por cisalhamento
279
Os efeitos de concentração de tensão não são considerados em projetos estruturais, porque as cargas são estáticas e os materiais dúcteis. Na figura 21b ilustra uma falha por quebra do parafuso ou da chapa. O cálculo para essa tensão, chamada de tensão de mancal é complicado, devido à distribuição de cargas sobre a superfície cilíndrica do parafuso. Os valores exatos das forças que agem sobre o parafuso são desconhecidos; por isso, costuma-se considerar que os componentes das forças distribuem-se uniformemente sobre a projeção da área de contato do parafuso, tendo então a tensão o seguinte valor: carga P dividida pela área A, onde A é a área projetada igual a t x d, onde t é a espessura da chapa mais fina e d o diâmetro do parafuso ou rebite. A figura 21c mostra a falha do parafuso por cisalhamento puro, onde a tensão é a carga P dividida pela área A,sendo neste caso a área A da seção reta do parafuso.
CARGA EXCÊNTRICA NO PARAFUSO Um exemplo de carga excêntrica nos parafusos é mostrado na Figura 22. Isso é uma parte de estrutura de uma máquina (viga A), sujeita à ação de flexão. Nesse caso, a viga é unida a membros verticais em suas extremidades através dos parafusos. Reconhecer-se-á a representação esquemática da Figura 22, com uma viga, com ambas as extremidades fixas, com um momento de reação M e com reações a força cisalhante V em suas extremidades. Para conveniência os parafusos de uma ponta de viga, foram desenhados em maior escala na Figura 22c. O ponto O representa o centróide do grupo de todos os parafusos desse exemplo, todos os parafusos possuem o mesmo diâmetro. A carga total em todos os parafusos será calculada em três passos. No primeiro passo a força cisalhante é dividida igualmente entre os parafusos, de maneira que em cada parafuso F1= V / n, onde n é o número total de parafusos no grupo e F1 é chamada força de cisalhamento primária. Nota-se que em uma distribuição igual da força direita para os parafusos, assume um membro absolutamente rígido. O arranjo do parafuso ou o tamanho e forma dos membros, justificam o uso de outras possibilidades, como a divisão da carga. A carga do momento ou cisalhamento secundário é a carga adicional em cada parafuso devido ao momento M. Se rA, rB, rC,... são as distâncias radiais da centróide ao centro de cada parafuso o momento e carga de momento são mostradas como se segue: M = F2ArA + F2BrB + F2CrC + ...
(13)
Onde F2 é chamada carga de momento ou cisalhamento secundário.
280
Figura 22 - Parafusos e rebites submetidos a cisalhamento combinado
Figura 23 - Parafusos e rebites submetidos a cisalhamento combinado
A força suportada por cada parafuso depende da distância radial ou centróide; quer dizer, no parafuso mais distante do centróide se aplica maior carga, e no parafuso mais próximo menor carga podemos então escreve:
F2 A =
F2 B F2C = rB rC
(14)
Resolvendo as equações (13) e (14) simultaneamente obtemos:
F2 A =
Mrm r + rB2 + rC2 + ... 2 A
(15)
Onde m refere-se a um parafuso particular, onde se deseja determinar a carga.
281
No terceiro passo as forças de cisalhamento primária e secundária são somadas vetorialmente, para obter a carga resultante em cada parafuso. Desde que todos os parafusos ou rebites são geralmente de igual tamanho, somente o parafuso com carga máxima deve ser considerado. Quando a carga máxima for encontrada, a resistência deve ser determinada usando os métodos já descritos.
8.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.
Um parafuso de potencia de 30mm de diâmetro e rosca simples, passo de 6 mm possui um apoio axial de diâmetro médio de 40 mm . Os coeficientes de atrito cinético na rosca e no apoio são 0,15 e 0,1 respectivamente. a) Calcule o torque necessário para elevar a carga de 100 kN. [501 Nm] b) Se o parafuso gira a 1 Hz
determine a potência necessária ao parafuso e a
eficiência do parafuso e a eficiência do parafuso e apoio combinados Resposta [3,15 kW 19%] c) Se o atrito de apoio é eliminado por um rolamento axial, mostre que o parafuso é auto-frenante e determine o torque necessário para abaixar a carga . Resposta [106 Nm] d) O parafuso é lubrificado completamente de tal forma que o coeficiente de atrito diminua 50%. Qual o efeito da lubrificação na performance aqui?
2.
A tampa de um cilindro pressurizado é fixada por meio de 10 parafusos cuja constante de rigidez é 1/4 da rigidez total da junta. Cada um dos parafusos é submetido a uma carga inicial de aperto de 5 kN. Após isto, uma carga externa de 20 kN é aplicada à tampa pela pressão contida no cilindro. Plotar a variação da carga do parafuso e da junta em função da carga externa, avaliar a máxima carga atuante em cada parafuso, a mínima carga total na junta e a carga de separação.
Resposta [5,4; 34; 62,5
kN]
Figura 24 – Exercício proposto 2
282
3.
Um braçelete de aço é aparafusado a uma peça de aço no teto por meio de dois parafusos de classe 8.8 e pega de 48 mm de comprimento. Qual o torque de aperto necessário a ser utilizado e qual a carga correspondente em cada parafuso quando uma carga externa de 48 kN é aplicada ?Resposta [480 Nm; 125 kN]
Figura 25 – Exercício proposto 3
4.
Uma tampa de vaso de pressão é fixada por meio de idênticos parafusos de união. A pressão atuante do fluido é de 6 MPa. Selecione parafusos de classe 8.8, utilizando um fator de segurança 3.
Figura 26 – Exercício proposto 4
5.
A extremidade de uma biela de aço é fixada por meio de dois parafusos de aço,classe 8.8 M12 x 1,25 (rosca fina). Uma carga reversa de 20 kN é transmitida entre a biela e o mancal do eixo virabrequim. A parte da biela que envolve cada parafusos,elasticamente comprimida é suposta como tendo uma área anular de 300 mm2.
Figura 27 – Exercício proposto 4
Determine o fator de segurança para a carga reversa, com a) Carga inicial zero no parafuso . Resposta [2,0] b) Carga inicial no parafuso necessária para evitar a separação. Resposta [6,8] c) Parafusos submetidos a um aperto inicial de 70% da carga de prova. Resposta [3,6] d) Estime o torque necessário para o aperto para (a). Resposta [91 Nm] 283
6.
Os componentes de um atuador hidráulico são de aço - o cilindro possui um diâmetro D = 100 mm, espessura da parede t = 10 e comprimento L = 300 mm. A espessura dos braceletes é w = 20 mm, e são conectados juntos com 5 parafusos M12x1,75, grau 5,8, apertados com 75% da carga de prova. Em operação o cilindro é pressurizado entre 0 e 4 MPa.
Figura 28 – Exercício proposto 6
a) Determine a rigidez dos parafusos e da junta supondo que o cilindro é comprimido uniformemente e que as extremidades dos braceletes são rígidas. Resposta [ 344, 2240 kN/mm] b) Calcule as tensões média e alternada nos parafusos. Resposta [ 289, 4.7 MPa] c) Calcule o limite de resistência a fadiga dos parafusos supondo uma confiabilidade de 50%. Resposta [ 115 MPa] d) Quais os fatores de segurança contra falha por fadiga e falha estática? Resposta [ 8.3, 9.8] 7.
Uma junta parafusada consiste de flanges de aço de largura w = 12 mm com uma junta de diâmetro interno Di = 150mm, diâmetro externo Do= 250mm e espessura t = 2 mm. O material da junta tem uma constante de rigidez de 100 MPa/mm com coeficiente de junta = 1.5 e Sy = 2 MPa.
Desprezando a rotação, avalie a conveniência da junta em
resistir pressão fluida flutuando entre 0 e 1 MPa, se seis parafusos de aço M10x1.5 classe 5.8 forem utilizados.
Figura 29 – Exercício proposto 7
284
CAPÍTULO 09 - PROJETO DE SOLDAS 9.1 - INTRODUÇÃO A solda, é um processo de fabricação, que nos lembra que existem muitas facetas em um projeto em adição à análise das tensões. De fato, a análise das tensões e o dimensionamento são, com freqüência, as menores partes do trabalho. Na maioria das vezes, os projetos são afetados de modo algo sensível pelos processos de fabricação, que neste livro devem ser postos de lado por falta de espaço. Entretanto, uma vez que a análise convencional de tensões nas soldas, freqüentemente, apresenta dificuldade e tratamento especial, abordaremos abreviadamente soldas, dando uma menor ênfase a ela como processo. O efeito deste processo de fabricação sobre o projeto é suficientemente grande para dar, às máquinas e aos elementos de máquina soldados, um aspecto bem característico. A escolha de solda, fundição, forjamento, etc., é um problema econômico que pode ser respondido corretamente de diferentes maneiras, dependendo das circunstâncias locais. A solda pode ser um processo menos dispendioso onde o custo de modelos para fundição venha a ser uma percentagem grande do custo total, ou onde existam dificuldades de usinagem e fundição.
9.2 – TIPOS COMUNS DE JUNTAS SOLDADAS Alguns tipos comuns de juntas soldadas são mostrados na figura 1. As juntas podem ou não ser reforçadas, como se vê na figura 1a e 1b. As soldas são também classificadas de acordo com a posição horizontal, vertical, inclinada, etc. Diz-se que uma junta é fechada quando as partes a unir estão em contato na junção, como na figura 1c; é aberta quando as partes a unir estão separadas na junção, como na figura 1a.
Figura 1 - Tipos comuns de juntas soldadas.
285
(a) Junta de topo. As chapas para junta de topo podem não ser chanfradas, quando delgadas, chanfradas num lado apenas ou chanfradas em ambos os lados como na figura 1a. O formato do chanfro pode também ser outro que não um V; um U, por exemplo, simples ou duplo, aberto ou fechado. O chanfro em U é preferido, especialmente para soldas profundas. Uma junta de topo pode ser reforçada, em ambos os lados, em um lado apenas, ou não ter reforço. Um cordão de solda nivelado com as chapas em ambos os lados, isto é, sem reforços, é melhor para resistir às tensões repetidas, porque o reforço é uma descontinuidade que acarreta concentração de tensões. Se uma junta de topo é submetida a uma tensão de flexão em relação ao eixo da solda, uma tira é, algumas vezes, soldada em um ou ambos os lados para reforçá-la. Deve-se evitar este tipo de carga, se possível. (b) Junta sobreposta. Este tipo é mostrado na figura 1b, uma é uma solda em ângulo sem reforço, a outra reforçada. A solda em ângulo padrão tem uma seção em triângulo reto isósceles, como mostrado, com os catetos do triângulo iguais à espessura da placa. A espessura de penetração t, figura 1, é usada nos cálculos de resistência, porém o tamanho da solda é a sua dimensão b ou perna. Uma solda reforçada é aquela que tem uma penetração t maior que b cos 45º. Para uma quantidade particular de metal de solda, uma solda em ângulo com uma superfície côncava é relativamente fraca. Entretanto, o canto vivo onde a solda se une a superfície da chapa soldada, figura 1b, é ponto de concentração de tensão. Se a junta é submetida a tensões repetidas, o custo do metal de solda extra, necessário para confeccionar uma união com concordância nestes pontos, pode ser o compensador. (c) Junta em T. A chapa A, figura 1c, pode ser chanfrada num lado, em ambos os lados ou pode ser chanfrada, como na figura 2c. Se bem que as juntas em T devam, de preferência, ser soldadas em ambos os lados, isto nem sempre é possível, pois depende da acessibilidade. (d) Junta de Quina ou em Cantoneira. Se uma solda em ângulo é colocada pelo lado de dentro de uma junção em quina, ela é normalmente uma solda ligeira, como mostrado na figura 1d. A penetração T desta solda é da ordem de 1,35 vezes a espessura da chapa. É mais barato dobrar a chapa para fazer um canto do que solda-la. (e) Solda de Beiradas. Soldas, figura 1e, provavelmente não são usadas para placas mais espessas que, aproximadamente, ¼ pol.
286
(f) Soldas de Tampão. Se uma placa apóia-se sobre uma outra e se abrem orifícios que são enchidos ou parcialmente enchidos com metal de solda, obtemos o que é chamada uma solda de tampão. (g) Solda Intermitente. Uma solda intermitente típica tem pequena extensão de solda, da ordem de 2 ou 3 pol. de comprimento com espaçamento dos centros de 6 polegadas. A extensão mínima deve ser ao menos quatro vezes a dimensão b da perna e nunca menor que 1 pol. O espaçamento não deve ser maior que 16 vezes a espessura do elemento mais delgado para trabalho à compressão, nem maior que 32 vezes para outros tipos de tensões. Este método de solda economiza o custo onde é desnecessária uma solda contínua que pela norma P-TB-2, da ABNT, ainda em estágio experimental, apresenta dois tipos de solda intermitente: a solda em cadeia e a solda em escalão, assim definidas: solda em cadeia – solda em ângulo usada nas juntas de cordões intermitentes que coincidem entre si, de tal modo que a um cordão sempre se opõe outro; solda em escalão – solda em ângulo usada nas juntas T, composta de cordões intermitentes que se alternam entre si, de tal modo que a um cordão sempre se opõe uma parte não-soldada. (h) Solda de Ponteio. Uma solda de ponteio é uma solda intermitente, um ponto de solda aqui e ali ao longo da junta, usada para manter elementos em posição para fins de montagem ou para a operação principal de solda.
Figura 2 – Juntas soldadas.
287
Inadequado
Adequado
Tabela 01 – Tipos de solda
288
Inadequado
Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
289
Inadequado
Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
290
Inadequado
Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
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Inadequado
Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
292
Inadequado
Adequado
Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda
9.3 - CÁLCULO DAS TENSÕES – SOLDAS CARREGADAS CENTRALMENTE Muitas soldas, se não a maior parte, são feitas sem um cálculo prévio da tensão. A resistência da solda pode mesmo não ter significado. Entretanto, devem ser verificadas no que diz respeito à resistência mecânica sempre que forem destinadas a suportar cargas conhecidas ou estimadas. Os métodos convencionais de calcular tensões, nas soldas, não estão sempre de acordo com as análises corretas, porém têm as vantagens da simplicidade e concordância razoável com as experiências. Uma vez que a falha da solda ocorre normalmente ao longo da penetração t, esta seção é usada nas equações de resistência. 293
(a) Soldas de Topo. A equação da resistência para projeto de soldas de topo, em tração, figura 2a, é F = σttL Onde L é a extensão do cordão e t a espessura da chapa (a espessura do reforço não está incluída ). Em reservatório de pressão, as soldas, as soldas de topo são calculadas em termos de suas resistências em relação à resistência da chapa. Os testes apontam que as soldas de topo reforçadas em aço doce podem ser consideradas com a mesma resistência estática que as placas que estão unindo, porém é mais seguro adotar uma eficiência da junta de 90% ou menos. (b) Solda em Ângulo Carregada Transversalmente. A área de penetração de uma solda da figura 2b ou 2c é tL = (b cós 45º) L; para dois cordões, é 2tL, e a equação da resistência torna-se : F = τ(2tL) = 2Lb cos45º A tensão em soldas com o carregamento representado é considerada de cisalhamento. Uma vez que a junta sobreposta, figura 2b, está sujeita à flexão, bem como à tensão admissível moderada. (c) Solda em Ângulo Carregada Longitudinalmente. É sabido que as tensões nas extremidades de uma solda, carregada como se vê na figura 2d são muito maiores que a tensão média sobre a extensão da solda. Quanto mais extensa a solda, maior é a discrepância entre as tensões máxima é média. A tensão de cisalhamento média em tais soldas é calculada por : F = τ(2tL) = 2τbL cos45º Esta pode ser usada para soldas curtas deste tipo. Em dúvida, considerar, para uma carga estática, a tensão máxima cerca de 30% maior que a média.
9.4 - SOLDAS EM ÂNGULO – CARGA EXCÊNTRICA Existem muitas maneiras de se aplicar uma carga excêntrica em soldas. A seguir, analisaremos alguns casos. (a) 1º caso, figura 2. O momento fletor na solda é M = Fa. O módulo de resistência da seção é tL2/6 para cada cordão ou tl2/3 para ambos os cordões. Substituindo estes valores na fórmula do momento fletor, temos para a tensão normal : σ = (M/Z) = (3Fa/tL2) = (3Fa/bL2cos45º) = (4,24Fa/bl2)
294
Admitindo a tensão de cisalhamento distribuída uniformemente, obtemos : τ = (F/A) = (F/2tL) = (F/2Lb cos45º) = (0,707F/Lb) Usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima, obtemos a seguinte tensão : τmax = [τ2+(σ/2)2]1/2 = [(F/2tL)2+(3Fa/2tL2)2]1/2, Onde se pode encontrar a extensão de solda L necessária para uma tensão admissível τmax ou vice-versa. (b) 2º caso, figura 2. Um modo de proceder, quando duas ou mais soldas estão impedindo uma rotação, é admitir que o centro de rotação está no centro de gravidade G do cordão de solda. Quando o metal da solda está disposto assimetricamente, pode ser usado o centro de gravidade das áreas de penetração, ponto G da figura 3. Em seguida, admitir, também, que a tensão devida ao momento Fe, em qualquer ponto de uma solda, é proporcional à sua distância de G; isto é, τ/ρ = τ1/ρ` onde τ é a tensão, num ponto qualquer B, e τ1 é a tensão máxima que ocorre no raio máximo ρ`, no ponto H. Desta forma, em B a força de cisalhamento perpendicular a ρ é tomada
Figura 3 - Força de cisalhamento perpendicular
Como τ dA , e o momento resistente desta força em relação a G é ρτdA. Usando τ = ρτ1/ρ` e igualando o momento aplicado Fe ao momento resistente, obtemos : Fe = ∫ρτdA = (τ1/ρ`)∫ρ2dA, Onde observamos que ∫ρ2dA é o momento de inércia polar, JG de uma área que tomamos como área de penetração em relação a G. A equação acima pode conseqüentemente ser escrita da seguinte forma :
295
Fe = (τ1 JG)/ρ` Para obter JG recordemos que o momento de inércia de uma área delgada longa, em relação a um eixo que passa pelo centro de gravidade O e perpendicular à área é J` = AL2/12, onde L é o comprimento da área e a outra dimensão (penetração) é bastante pequena, comparada com L. Também, recordando o teorema dos eixos paralelos, (J = J`+ Ad2), obtemos, figura 3 : JG = J`+ Ad2 = (AL2/12) + Ar2, onde r é a distância entre o centro de gravidade O de uma área de penetração e o centro de gravidade G de todas estas áreas. Caso as soldas inferior e superior tiverem o mesmo tamanho e a mesma extensão, o JG total será duas vezes o dado pela equação. Em geral, o JG total é a soma dos momentos de inércia polares de todas as áreas de penetração, em relação a G, e o valor JG de da equação deve ser este valor total. Agora, se o momento for produzido por uma carga F, como se vê na figura 3, esta força é considerada como induzindo também, nas soldas, uma tensão de cisalhamento média orientada para baixo : τ2 = (F/A) Onde A é a área total das penetrações. Se estas tensões de cisalhamento atuam nos sentidos mostrados em H, figura 3, a resultante HN de é obtida pela lei dos co-senos, como : τmax = (τ12 + τ22 + 2τ1τ2cosθ)1/2 É tomada como a tensão de cisalhamento máxima. A análise precedente é aproximada e, além disso, pressupõe que não haja tendência da chapa torcer. Pela natureza da análise, é suficientemente acurado considerar os vários pontos P, O e H como se estivessem situados ao longo da borda da chapa. Usando a imaginação na figura 4, podemos fazer análises mais simples ou mais complicadas que a apresentada. Esta, entretanto, é perfeitamente satisfatória.
296
Figura 4
- Tensão de cisalhamento
(c) 3º caso, figura 5. Este é o caso de uma solda em ângulo mas anelar, sendo submetida a um momento de flexão M. Seja a σ tensão de tração sobre uma extensão de solda elementar r dθ, figura 4. A força correspondente é dF = σdA = σtr dθ onde,
Figura 5 - Solda em ângulo
como de costume, a área é baseada na penetração t. As tensões no cordão são tomadas proporcionais à distância do plano neutro, que é o plano horizontal que passa pelo centro de gravidade. Se a tensão máxima, é σ1, temos : σ/r = σ/(r senθ) ou σ = σ1 senθ. Substituindo este valor de σ na expressão de dF, obtemos : dF = σ1 senθ tr dθ Multiplicando ambos os membros por r senθ, temos : ∫(dF)(r senθ) = σ1 tr2 ∫ sen2θ dθ onde o primeiro membro é igual ao momento aplicado M, e o segundo membro é o momento resistente. A integração dá : M = σ1 tr2 ∫2π sen2θ dθ = σ1 tr2π σ1 = (4M/πtD2) = 4M/π(b cos45º)D2 = (5,66M/πbD2) 297
9.5 – TORÇÃO NAS JUNTAS SOLDADAS A figura 2 ilustra uma viga em balanço com solda de comprimento L a uma coluna por 2 filetes de solda, força de cisalhamento F e um momento M. A força cisalhante produz cisalhamento primário nas soldas de valor: τ’ = F / A onde A é a área da garganta de todas as soldas.
Figura 6 - Isto é uma conexão de momentos; tal conexão produz torção nas soldas
O momento no apoio produz cisalhamento secundário ou torção nas soldas e esta tensão é dada pela equação: τ’’ = M.r/J, onde r é a distância do centróide do grupo de soldas ao ponto da solda de interesse e J é o segundo momento polar de inércia do grupo de soldas em relação ao c.g. do grupo. Quando se conhece o tamanho das soldas, estas equações podem ser resolvidas e os resultados combinados para se obter a maior tensão cisalhante. Note que r é usualmente a maior distância do c.g. do grupo de soldas. A vantagem de tratar o tamanho da solda como uma linha é que o valor de Ju é o mesmo com relação ao tamanho da solda. Como a largura da garganta do filete de solda é 0.707h, a relação entre J e o valor da unidade é: J = 0.707h.Ju
na qual Ju é encontrado por métodos convencionais para uma área que tenha largura da unidade. A transferência da fórmula para Ju deve ser empregada quando a solda ocorrer em 298
grupos. A tabela 1 lista as áreas das gargantas e o momento unitário polar de área para os filetes de solda mais comumente encontrados. O exemplo que se segue é típico de cálculos normalmente feitos.
9.6 - CARREGAMENTO DINÂMICO Os princípios de projeto para cargas variáveis como explanado no capitulo 04 podem ser aplicados às uniões soldadas quando for possível uma avaliação segura das tensões atuantes. A resistência a fadiga de uma junta de aço soldadas pode ser estimada como a metade de sua resistência a ruptura. Os fatores de concentração de tensão podem ser obtidos por métodos experimentais e normalizados. Testes de fadiga de soldas tem dados alguns resultados como: Para solda de topo reforçadas ,
Kf=1,2
Ponta de solda em ângulo transversal Kf=1,5 Extremidade de solda em ângulo longitudinal Kf=2,7
299
Tabela 2 - Propriedades de Torção das Soldas de Filete conforme referëncia [67]
9.7 – FLEXÃO EM JUNTAS SOLDADAS A figura 17a nos mostra uma viga em balanço soldada em um suporte por um filete de solda no topo e no fundo Um diagrama de corpo livre de um cordão de solda nos mostra uma força de reação de cisalhamento F e uma reação de momento M. A força de cisalhamento produz um cisalhamento primário nas soldas de magnitude: τ’ = F / A
(6)
300
onde A é a área total da garganta. O momento M produz uma tensão normal de dobramento nas soldas. Embora não necessário, é de costume na análise de tensões na solda assumir que esta tensão age na direção normal à área da garganta. Ao se tratar as duas soldas da figura 8b como linhas, encontramos o segundo momento unitário de área sendo:
Iu =
bd 2 2
(7)
Então o segundo momento de área baseado na garganta da solda é:
bd 2 I = 0,707h 2
(8)
Figura 8 - Uma viga em Balanço soldada a um suporte no topo e no fundo
A tensão normal é:
τ =σ =
Mc M ( d / 2) 1.414M = = 2 I 0,707bd h / 2 bdh
(9)
O segundo momento de área na equação (9) é baseado na distância d entre as duas soldas. Se este momento é encontrado tratando-se as duas soldas como retângulos, à distância entre os centróides da solda seria (d + h). Isto produziria um momento levemente maior e resultaria em um menor valor da tensão σ. Assim o método de tratamento de soldas como linhas produz resultados melhores. Talvez a segurança adicional é apropriada na visualização da distribuição de tensões. Uma vez que as componentes σ e τ das tensões foram encontradas as soldas sujeitas ao dobramento, elas devem podem ser combinadas através do uso do diagrama do círculo de Mohr para achar as tensões principais ou a máxima tensão de cisalhamento. Então uma teoria de falha apropriada é aplicada para determinar probabilidade de falha ou segurança. A tabela 3 lista as propriedades de dobramento mais prováveis de serem encontradas na análise de cordões de solda.
301
Tabela 3 - Propriedades de dobramento, conforme referëncia [67]
9.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.
Um bracelete como mostrado na figura abaixo é feito de aço estrutural e suporta uma carga repetida de 9 kN a uma distância de a=25 mm da parede. Qual deve ser o comprimento L da solda com espessura de 9.5 mm para resistir a esta carga atuante?
Figura 9 – Exercício proposto 1
302
2.
Uma peça é feita de chapas placas submetidas a flexão e soldadas com solda E6020. Uma carga F constante de 23 kN, L=460 mm (comprimento), altura h=100 mm e a=150 mm. (a) Utilizando um fator de segurança N=3,75 para a tensão de cisalhamento admissível do projeto(80% do Limite de resistência a tração),qual a espessura do cordão de solda ?
Figura 10 – Exercício proposto 2
3.
A peça abaixo deverá suportar uma carga F=80 kN sem torção na solda de eletrodo E6010. A placa possue uma altura de L2=250 mm (10 pol), Supondo valor de L1= 130 mm(5 pol) calcule a espessura do cordão de solda. A distância do ponto de aplicação da carga até a parede é de 286 mm (11,25 pol).
Figura 11 – Exercício proposto 3
303
4.
Qual a junta mais efetiva, a transversal ou a longitudinal, e de quanto ? Resposta
[Transversal,22%]
Figura 12 – Exercício proposto 4
5.
A tensão normal admissível para as soldas acima é de 240 MPa. Determine a máxima carga admissível F, em cada caso. Resposta [ 100, 35.3, 14.5, 10.3 kN ]
Figura 22 – Exercício proposto 5
6.
As duas vigas são cada uma soldadas em um suporte fixo como mostrado. Calcule a máxima tensão cisalhante em cada uma das soldas.
. Figura 13 – Exercício proposto 6
7.
Uma força de 7,5 kN atua na peça mostrada ao lado. Qual a máxima tensão cisalhante na solda?
Figura 14 – Exercício proposto 7
304
8.
A viga em balanço de seção transversal circular, é soldada no suporte usando eletrodod E48xx e carregada por uma força de valor F, inclinada em [ 4 -3 -12 ] como mostra a figura. Qual o máximo valor da força para um fator de segurança 1,5 ? Resposta [ 19.7 kN]
Figura 15 – Exercício proposto 8
9.
A viga em balanço horizontal de seção transversal triangular é soldada a uma parede vertical e suporta um peso de 15 kN como mostra a figura. Qual a espessura do filete de solda para uma tensão admissível ao cisalhamento de 250 MPa
na junta ?The
horizontal cantilever of triangular cross-section is fillet welded to a vertical wall and supports a weight of 15 kN as sketched.
Resposta [ 4 mm]
Figura 16 – Exercício proposto 9
305
10.
A viga Z é unida obliquamente ao plano apoiada por dois filetes idênticos de soldas, um em cada flange, e carregada por um momento M de 1400 Nm, cujo eixo está indicado na figura. Para uma tensão de projeto de 250 MPa, qual a espessura do filete necessário?
Figura 17 – Exercício proposto 10
306
CAPITULO
10
-
TIPOS
DE
ENGRENAGENS
E
RELAÇÕES
CINEMÁTICAS
10.1 - INTRODUÇÃO Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em diversas aplicações. Existem várias opções de engrenagens de acordo com o uso a qual ela se destina. A maneira mais fácil de se transmitir rotação motora de um eixo a outro é através de dois cilindros (figura 1). Eles podem se tocar tanto internamente como externamente. Se existir atrito suficiente entre os dois cilindros o mecanismo vai funcionar bem. Mas a partir do momento que o torque transferido for maior que o atrito ocorrerá deslizamento.
Figura 1 - Transmissão de rotações por contato direto,dois cilindros
Com o objetivo de se aumentar o atrito entre os cilindros, fez-se necessária a utilização de dentes que possibilitam uma transmissão mais eficiente e com maior torque. Nasce assim a engrenagem. Todo estudo da engrenagem estará concentrado no estudo de seus dentes, iguais em uma mesma engrenagem, relativo à sua geometria e resistência. As engrenagens como elementos de transmissão de potência se apresentam nos seguintes tipos básicos:
307
10.2 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
Figura 2 – Engrenagens cilíndricas
10.2.1 - DEFINIÇÕES Círculo primitivo é a base do dimensionamento das engrenagens e seu diâmetro caracteriza a engrenagem (figura 1). As rodas conjugadas usualmente têm seus círculos primitivos tangentes, se bem que esta condição não seja necessária no caso de engrenagens de perfil evolvental. A circunferência externa também chamada de cabeça do addendum ou externa, limita as extremidades externas dos dentes.O addendum ou altura da cabeça do dente é a distância radial entre as circunferências externa e primitiva.O círculo da raiz é o círculo que passa pelo fundo dos vãos entre os dentes.O deddendum ou altura do pé do dente é a distância entre os círculos primitivo e de raiz. A folga do fundo é a distância radial entre a circunferência de truncamento e a da raiz.
Figura 3 -típico dente de engrenagem cilíndrica evolvental
308
A figura 3 apresenta apresenta o dente evolvental de uma engreangem cilíndrica de dentes retos,onde:
de = diâmetro externo
c = folga
di = diâmetro interno
F = largura
dp = diâmetro primitivo
p = passo
a = addendum
rf = raio do filete
d = deddendum Espessura do dente é o comprimento do arco da circunferência primitiva, compreendido entre os flancos do mesmo dente. O vão dos dentes é a distância tomada em arco sobre o círculo primitivo entre dois flancos defrontantes de dentes consecutivos. A folga no vão é a diferença entre o vão dos dentes de uma engrenagem e a espessura do dente da engrenagem conjugada. A face do dente é a parte de superfície do dente limitada pelo cilindro primitivo e pelo cilindro do topo. A espessura da engrenagem é a largura da engrenagem medida axialmente (é a distância entre as faces laterais dos dentes, medida paralelamente ao eixo da engrenagem). O flanco do dente é a superfície do dente entre os cilindros primitivo e o da raiz.O topo é a superfície superior do dente. O fundo do vão é a superfície da base do vão do dente.Quando duas engrenagens estão acopladas, a menor é chamada pinhão e a maior simplesmente engrenagem ou coroa. O ângulo de ação é o ângulo que a engrenagem percorre enquanto um determinado par de dentes fica engrenado, isto é, do primeiro ao último ponto de contato. O ângulo de aproximação ou de entrada é o ângulo que a engrenagem gira desde o instante em que um determinado par de dentes entra em contato até o momento em que este contato se faz sobre a linha de centros. O ângulo de afastamento é o ângulo que a engrenagem gira desde o instante em que um determinado par de dentes atinge o ponto sobre a linha de centros, até que eles abandonem o contato.
309
10.2.2 – RAZÃO DE VELOCIDADES A razão ou relação de velocidades ou relação de transmissão é a velocidade angular da engrenagem motora dividida pela velocidade angular da engrenagem comandada. Para engrenagens de dentes retos está razão varia inversamente com os diâmetros primitivos e com o número de dentes.
relação de velocidades = e =
N1 D2 = N 2 D1
10.2.3 - O MÓDULO Em toda engrenagem existe uma relação constante relacionando o número de dentes (N) e o diâmetro primitivo (dp). No sistema métrico esta relação é chamada de módulo m (em milímetro) e no sistema inglês de passo diametral (número de dentes por polegada). Por outro lado o passo é definido como o comprimento do círculo dividido pelo número de dentes. Assim:
Sistema Métrico
Sistema Inglês
m = dp/N
P = N/dp
p = π.dp/N
p = π.dp/N
p = π.N
p.P=π
Tabela 1 – Módulo no sistema inglês e métrico
A tabela a seguir mostra os principais passos diametrais (P) e módulos (m) padronizados, necessários, pois às ferramentas usadas para usinar os dentes são também padronizados em função destes números.
Módulo m [m] Passo P [1/in]
1
1.25
1.5
2
2.5
3
4
5
6
8
10
12
16
20
25
2
2¼
2½
3
4
6
8
10
12
16
20
24
32
40
48
Tabela 2 – Módulo e passo
310
Descrição
Fórmula Sistema métrico [mm]
Sistema inglês [pol]
Addendum
m
1/P
Deddendum
1.25 × m
1.25 / P
Diâmetro do pinhão
m × Np
NP / P
Diâmetro da coroa
m × Ng
NG / P
Distância entre centros
(dg +dp)/2
( dG + dP ) / 2
Altura do dente
2.25 × m
2.25 / P
Diâmetro ext. do pinhão
dp + 2a = m (Np + 2)
dP + 2a
Diâmetro ext da coroa
dg + 2a = m (Ng + 2)
dG + 2a
Folga
0.25 × m
0.25 / P
Raio do filete
0.30 × m
0.30 / P
Diâmetro base
Db = dp × cos θ
db = dP × cos θ
Número mínimo de dentes
12 a 15
12 a 15
Tabela 3 – Fórmulas
10.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS
Figura 4 - Esquema de um par de dentes helicoidais com eixos não paralelos
A figura 4 apresenta o princípio de funcionamento das engrenagens cilíndricas de dentes retos. Para a análise das relações de velocidades entre duas engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais a figura 5 apresenta um esquema explicativo: AB - se deslocou para A’B’ - A’B’//AB 311
AB - segmento de reta, com inclinação qualquer, pertencente aos dois planos. M - pertence aos dois planos M - -do plano (1) se deslocou para M’ M - do plano (2) -se deslocou para M”
Figura 5 - Análise de velocidades em dois dentes helicoidais em contato
10.3.1 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES Seja: ε = ângulo formado pelos eixos, no espaço. α1 = ângulo formado pelo eixo de 1 com a linha AB que é o angulo de inclinação da hélice da roda 1. α2 = ângulo formado pelo eixo de 2 com a linha AB que é o ângulo de inclinação da hélice da roda 2. v1 e v2 = velocidade M nos planos 1 e 2, respectivamente. nn - normal à linha AB
312
Figura 6 - Análise de engrenagens cilíndricas helicoidais
TEOREMA As projeções das velocidades absolutas de dois corpos, sobre a tangente comum, no ponto de contato, são iguais (figura 6). AB - tangente comum nn - normal à tangente comum AB vn – v1 . cos α1 = v2 . cos α2 w1 . r1 cos α1 = w2 . r2 cos α2
w1 r2 ⋅ cos α 2 = w2 r1 ⋅ cos α1 O dente de uma engrenagem cilíndrica reta pode ser considerado gerado pela translação do perfil envolvente segundo a direção do eixo da engrenagem. O dente da engrenagem cilíndrica helicoidal é gerado pela translação do perfil envolvente que se move segundo uma hélice em torno do eixo da engrenagem. Em cada plano normal ao eixo da engrenagem, o perfil será uma envolvente do circulo, e como tal será conjugado com uma (engrenagem) cremalheira de flancos retilíneos. Os perfis dos dentes da cremalheira, são porém, deslocados, uns em relação aos outros, obtendo-os, para a cremalheira, perfis trapezoidais inclinados segundo uma reta que faz um ângulo a com o eixo da roda.
tan β f =
R'⋅M ' R'⋅S '
313
tan β n =
tan β n R ⋅ M R'⋅M ' = ⋅ cos α tan β f = cos α R⋅S R'⋅S '
Figura 7 – Ângulos de pressão e passos para engrenagens helicoidais
10.3.2 - PASSO NORMAL E PASSO FRONTAL - MÓDULOS Pn = Pf . cos α
Mn = mf . cos α
Diâmetro Primitivo d = mf – z
∴
d=
Mn ⋅Z cos α
NOTA: A partir da relação de velocidades obtida anteriormente podemos escrever:
W1 λ2 ⋅ cos α 2 M f 2 ⋅ N 2 ⋅ cos α 2 = = W2 λ1 ⋅ cos α1 M f 1 ⋅ N1 ⋅ cos α1 Mas: Mf2 . cos α2 = Mf1 . cos α1 = Mn Portanto:
W1 d 2 ⋅ cosα 2 N 2 = = W2 d1 ⋅ cosα1 N1
314
Figura 8 - Cilindro com detalhe para engrenamento helicoidal
Seja: r - raio do cilindro primitivo ρ - raio de curvatura da hélice abcde. ρ = r/cos2 α
(Analítica)
N=
2 ⋅π ⋅ ρ 2 ⋅π ⋅ r 2 ⋅π ⋅ r = = 3 p⋅n p ⋅ n ⋅ cos α p f ⋅ cos3 α
Mas:
N 2 ⋅π ⋅ r = N (nº real de dentes) ∴ N v = pf ⋅ f cos 3 α
10.3.3 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES Todas as considerações feitas para as engrenagens cilíndricas retas valem para as helicoidais desde que se considere que os perfis envolventes estejam no plano frontal.
N mm =
2⋅k sen 2 β f
Foi visto anteriormente que:
tan β f =
tan βn cos α
(Helicoidais)
Sabe-se também que: C = K . mf ∴
K=
mn = cos α mf
Em
N mm =
2 ⋅ cos α sen 2 β f
Sendo β f e βn muito próximos podemos escrever
315
sen β f ≅
N mm =
sen β n cos α
2 ⋅ cos 3 α sen 2 β n
sen 2 β f =
sen 2 β n cos 2 α
N min 2 = 3 cos α sen 2 β n
Mas:
N min =N cos 3 α
N mm =
2 sen 2 β n
(número de dentes de engrenagem virtual)
Esta última expressão vem salientar que o perfil no plano normal ao eixo (logo, perfil frontal) difere muito pouco do perfil correspondente de uma engrenagem cilíndrica reta com ângulo de pressão β n e número de dentes Z*. Relação de Transmissão - para as helicoidais podemos chegar até 6/1.
Figura 8 – Engrenagens helicoidais
10.3.4 - ÂNGULO DE PRESSÃO O valor de β n é padronizado (mesmos valores usados nas cilíndricas retas). O valor de βf é
β f = arctg
tan β n cos α
Ângulo de Inclinação de Hélice: a prática recomenda: α = 10 a 45º Quando o ângulo é grande a componente axial aumenta sensivelmente. Recomenda-se que, para ângulos superiores a 25º, as engrenagens sejam. feitas com dupla hélice (espinha de peixe).
316
10.3.5 - LARGURA DE ENGRENAGEM Para engrenagens de caixas de marcha k = 7 a 14. Para ‘engrenagens de redutores silenciosos e a alta velocidade k 20 a 40.
Figura 9 - Plano mostrando as componentes radial, tangencial e axial no dente de uma engrenagem helicoidal
O plano τ que contém S normal a PoPo S - força total agente sobre o dente.
Decomposição de S:
Sf
T (radial
S
P (tangencial)
A
Axial
10.3.6 - RELAÇÕES ENTRE AS FORÇAS
S=
Pn cos β n
Mas:
Pn =
P P ;S = cos α cos β n ⋅ cos α
A = Pn . sen α A = P . tg α
T = S ⋅ sen β n =
P ⋅ sen β n cos α ⋅ cos β n
P=
T =
P ⋅ tan β n cos α
2 ⋅ Mt d
10.3.7 - COMPRIMENTO DOS DENTES EM CONTATO SIMULTANEAMENTE Vimos, nas engrenagens helicoidais,, sendo os dentes deslocados uns em relação aos outros, o engrenamento é gradual e não periódico. Logo, temos sempre mais de um par de dentes em contato. 317
Se o fator de recobrimento for 2 teremos o caso da figura abaixo:
Figura 10 - Número de dentes em contato-fator de recobrimento
Na figura 10 temos: M1M2 - comprimento da linha de engrenamento N1N2
- comprimento do arco de ação
Neste caso impomos: N1N2 = 2 X passo As linhas da figura 10 (b) N1 N2 representam os eixos dos dentes. Esta figura representa o cilindro primitivo desenvolvido no plano, logo os eixos dos dentes tornam-se retas inclinadas de uma relação ao eixo da engrenagem. O comprimento de “dente em contato” no caso da figura 10 será:
l = 2⋅
b cos α
l = comprimento da linha de engrenamento. Generalizando:
l= f⋅
b cos α
onde f é a relação de contato Nas engrenagens comum faz-se: f = 1,5 Logo:
l ≅ 1,5 ⋅
b cos α
318
Figura 11 - Detalhe dos planos normal e transversal para análise de forças das engrenagens helicoidais
Descrição
Fórmula Sistema métrico [mm]
Sistema inglês[pol]
mn
1 / Pn
1.25 × mn
1.25 / Pn
Diâmetro do pinhão
mt × Np
NP / Pt
Diâmetro da coroa
mt × Ng
NG / Pt
Distância entre centros
(dg +dp)/2
( dG + dP ) / 2
Altura do dente
2.25 × mn
2.25 / Pn
Diâmetro ext. do pinhão
dp + 2a = mt (Np + 2.cos ψ)
dP + 2a
Diâmetro ext da coroa
dg + 2a = mt (Ng + 2. cos ψ)
dG + 2a
0.25 × mn
0.25 / Pn
Addendum Deddendum
Folga
Tabela 4 – Fórmulas
319
Figura 12 - Componentes radial,axial e tangencial no dente de engrenagem helicoidal
Wt = W . cosθ n . cosψ
Wr = W .sinθ n
Descrição
Wa = W . cosθ n . senψ
Fórmula (Sistema Inglês)
Razão de transmissão
mg = Ng/Np
Addendum da coroa
Ag = 0.54 / P + 0.46 / (P.mn)
Altura do dente
H = 2.0 / P
Folga
C = 0.188 / P + 0.002 in
Largura do dente
F = Ao / 3 ou 10 / P (usar o menor)
Número mínimo de dentes
Pinhão
16
15
14
13
Coroa
16
17
20
30
Tabela 5 – Fórmulas do sistema inglês
10.4 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS 10.4.1 - CONES DE ATRITO - DEFINIÇÕES A transmissão entre eixos concorrentes é obtida por meio dos chamados cones de fricção que, dotados de saliências e reentrâncias originam as engrenagens cônicas. O perfil correto (não deformado) do dente é obtida em um plano perpendicular a geratriz do cone.
320
Figura 13 - Esquema mostrando os diferentes diâmetros para engrenagens cônicas de dentes retos
- Cone primitivo: cone de fricção que a engrenagem substitui. - Geratriz primitiva: geratriz do cone primitivo - Cone externo: cone circunscrito à engrenagem - Cone interno: cone correspondente ao fundo do dente - Diâmetro primitivo: (d) é o maior diâmetro do cone primitivo. - Diâmetro externo: (de) é o maior diâmetro do cone externo. - Diâmetro interno: (di) é o maior diâmetro do cone interno. - Espessura da engrenagem: (a) é o comprimento do dente, medido sobre a geratriz primitiva. - Semi-ângulo da engrenagem: (ε) ângulo formado pela geratriz com eixo da peça.
Figura 14 - Esquema mostrando os diferentes diâmetros para engrenagens cônicas de dentes retos
321
10.4.2 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES Seja: δ = ε1 + ε2 = ângulo pelos eixos das engrenagens r1, r2 = raios primitivos Da figura 15 podemos escrever:
W1 n r d sen ε 2 = 1 = 2 = 2 = W 2 n 2 r1 d 1 sen ε 1
Figura 15 - Relações geométricas entre ângulos primitivos e diâmetros para engrenagens cônicas de dentes retos
10.4.3 - ENGRENAGEM VIRTUAL Na figura 16, seja Ot Po = Rt o comprimento da geratriz do cone traseiro. É nesse cone traseiro que o perfil do dente tem o seu formato correto. Assim, a mesma tabela de fatores de forma dada para as engrenagens cilíndricas retas, será as cônicas, com as seguintes considerações: Desenvolvimento: - Desenvolvendo o cone traseiro em um plano obtemos um setor de círculo. - Neste setor e com o mesmo passo da engrenagem cônica fazemos o traçado dos dentes cobrindo todo o setor.
322
- Imaginamos a complementação da circunferência, ainda com o mesmo passo, obtendo assim a seção de uma engrenagem cilíndrica reta chamada engrenagem virtual (ou fictícia), com um número de dentes representamos pelo símbolo Z*.
Figura 16 - Detalhe do comprimento do cone traseiro em engrenagens cônicas de dentes retos
Com estas considerações podemos escrever:
Z* =
2 ⋅ π ⋅ Rt p
mas, (figura 16):
Rt =
dp 2 ⋅ cos ε
Então:
2 ⋅π ⋅ d d Z = = 2 ⋅ p ⋅ cos ε m ⋅ cos ε cos ε
Z* =
Em função de Z* tiramos da tabela de Y o valor do fator de forma que terá, aqui, o símbolo Y*. Este valor de Y* será usada no dimensionamento das cônicas.
10.4.4 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES - EVITANDO INTERFERÊNCIA Analogamente às cilíndricas retas:
Z* ≥
2 sen β 2
ou
Z min ≥
Z 2 ≥ cos ε sen 2 β
2 ⋅ cos ε sen 2 β
323
10.4.5 - RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO
R=
W1 Z 2 = W2 Z1
(relação de redução)
Onde: Pinhão:índice 1 Coroa: índice 2 Sendo: δ = ε1 + ε2
e
R=
sen ε 2 sen ε 1
Escrevemos:
R=
sen ε 2 sen ε 2 = sen (δ − ε 2 ) sen δ ⋅ cos ε 2 − sen ε 2 ⋅ cos δ
R=
1 sen δ ⋅ cot ε 2 − cos δ
cot ε 2 =
1 + R ⋅ cos δ R ⋅ sen δ
No caso particular (e muito comum) de δ = 90º podemos escrever: tg ε2 = R Desta maneira calculamos os valores dos semi ângulos do par cônico.
10.4.6 - MÓDULO EFETIVO - MÓDULO MÉDIO MÓDULO EFETIVO
m=
d diâmetro primitivo máximo = z número real de dentes
MÓDULO MÉDIO
mm =
d m diâmetro primitivo médio = z número real de dentes
OBS: O diâmetro primitivo médio é tomado a partir da metade do comprimento a do dente. 324
Podemos escrever:
mm d m = m d Como:
rm = r −
a ⋅ sen ε 2
d m = d − a ⋅ sen ε
ou
Então:
m m d − a ⋅ sen ε a = = 1 − ⋅ sen ε m d d Mas:
a=K.m
logo:
K m m = m ⋅ 1 − ⋅ sen ε Z
que é a relação entre módulo médio e módulo efetivo.
10.4.7 - COMPRIMENTO DO DENTE a=K.m onde: K = 6 (engrenagens comuns) K = 8 (engrenagens de média precisão) ; K = 12 a 15
(engrenagens de muita precisão montadas sobre eixos bastante rígidos)
NOTA: Alguns autores recomendam que:
a≤ K ⋅m ≤
1 1 d OPo = ∴ 3 3 sen ε d 6 ⋅ sen ε
onde
K≤
Z 6 ⋅ sen ε
10.4.8 - FORÇAS ATUANTES NAS CÔNICAS A força total S, atua sobre o dente atua no plano médio, sobre a engrenagem fictícia (ver figura 17).
325
Figura 17 - Força atuante sobre dentes de engrenagens cônicas
A força S se decompõe em duas T* e P* = P O plano de S (T* e P*) é perpendicular à geratriz primitiva. A força P* é tangente à circunferência de raio Rt e também é circunferência de raio r. Logo P* = P. A força T* se decompõe em T (radial) e A (axial)
P= T = T* . cos ε
2⋅ M t dm
força tangencial
mas T* = P . tg β T = P . cos ε . tqβ
força radial
A = T* . sen ε = P . sen ε . tg β A = P . sen ε . tg β .
Figura 18 - Análise de forças atuantes
As forças ficam assim distribuídas: PoPo = geratriz do cone primitivo 00 = linha de centro da engrenagem
326
Figura 19 - Esquema de um par de engrenagens cônicas de dentes retos
Alguns autores utilizam a seguinte notação:
Wt = W . cosθ ; Wr = W .sinθ . cos γ Wr = Wt .tgθ cos γ
; Wa = W . sen θ . sen γ
Wa = W .tgθ sen γ
onde Wt= força tangencial; Wr=força radial e Wa=força axial e W força ou carga total no dente da engrenagem.
10.5 - PARAFUSO SEM-FIM/COROA 10.5.1 - INTRODUÇÃO As engrenagens de rosca sem fim são usadas para transmitir potência entre eixos que não se interceptam e que, quase sempre, estão em ângulo reto. Razões de velocidades relativamente altas, podem ser obtidas satisfatoriamente num espaço mínimo, sem ter que, normalmente, com .sacrifício do rendimento, comparado com outros tipos de engrenagens. O contacto por impacto no engrazamento de engrenagens retas e outras não se apresenta nos para fusos sem-fins. A rosca do sem-fim desliza, em contacto com os dentes da engrenagem, ação esta que resulta em funcionamento silencioso se o projeto e confecção forem adequados. Quando a relação de redução das velocidades é muito grande, uma das engrenagens terá o diâmetro e o número de dentes pequenos e sua forma será a de um parafuso, donde a designação de parafuso sem-fim; neste caso a de maior diâmetro receberá a designação de coroa. Ainda que existindo a possibilidade de emprego do mecanismo para um ângulo de eixos qualquer, a prática o utiliza sempre para π/2 e numa faixa de redução bastante ampla, geralmente de 1/10 a 1/100, ainda que este limite possa ser ultrapassado, quando seremos 327
conduzidos a diâmetro bastante elevados para a coroa. Esta poderá ou não envolver o parafuso sendo o primeiro caso mais eficiente e comum. Como engrenagens helicoidais que são, praticamente, tudo o que foi dito para engrenagens de eixos paralelos, vale para o atual caso.
Figura 20 – Parafuso sem fim.
10.5.2 -
CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS
O parafuso sem-fim e a coroa podem ser projetados para transmissão entre eixos normais ou fazendo um ângulo qualquer.
PASSO E AVANÇO O passo P é a distância, media axialmente, de um ponto corres pendente ao filete adjacente. O avanço é a distância axial que a rosca avança numa volta, isto é, a distância que a porca se desloca ao longo do eixo numa volta. Um parafuso sem-fim de uma entrada tem um avanço igual ao passo. Um parafuso sem-fim de duas entradas tem um avanço igual a duas vezes o passo etc.
328
Uma entrada
Duas entradas
Três entradas
Figura 21 - Esquema de um parafuso sem fim com diferentes entradas
O ângulo de pressão é β, o ângulo de flancos é 2β. O ângulo de avanço é γ. O ângulo de avanço é o ângulo formado pela tangente à hélice com um plano normal ao eixo da rosca.
γ
p
= arctan
avanço π ⋅Dp
Onde: Dp = diâmetro primitivo do parafuso O mesmo modo que para as engrenagens helicoidais, os sem-fins tem um passo normal pen. Nas engrenagens helicoidais o passo fr tal é medido num plano ⊥ ao eixo; nos sem-fins o passo frontal pf é medido na direção do eixo e é designado por pc. Para os sem-fins, a relação entre os passos e: Pnc = Pac . cos γp Onde γp é o ângulo de avanço que é chamado algumas vezes de ângulo de hélice (incorreto). No entanto, o seu emprego prático se limita, quase que no primeiro caso, motivo pelo qual ele será abordado. Com esta consideração adotando-se o índice P, para indicar o parafuso sem-fim e C para a coroa, tem-se: αc + αp = π/2 Onde α representa os ângulos de inclinação e PFP = PAC PNP = PNC PAP = PFC Onde PF, PN e PA representam respectivamente os passos frontal, normal e axial, como definidos para as engrenagens helicoidais. 329
m FP = m AC = dp/Np m NP = m NC m AP = m FC = dc/Nc Sendo dp o diâmetro primitivo do parafuso e dc o diâmetro primitivo da coroa. Comumente os parafusos sem-fim apresentam poucos helicóides constitutivos dos dentes (de 1 a 4, ainda que esse número possa ser excedido). Como a cada dente corresponde um vazio e, conseqüentemente, a uma operação de corte, os parafusos de um, dois ou mais dentes, são ditos de uma, duas ou mais entradas.
10.5.3 -
ALGUNS DADOS EMPÍRICOS
Para se obter urna boa forma dos dentes, aconselha-se a escolher os seguintes números de dentes (ou nos de entradas) do parafuso: R
40:1
20:1
13:1
10:1
8:1
7:1
6:1
5:1
4,5:1
4:1
Zp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabela 6 – Número de dentes
Para se evitar a interferência que se agrava nas regiões mais externas do parafuso, recomenda-se a seguir as seguintes proporções: Zp + Zc ≥ 40
e
Zc
18
24
32
38
46
54
62
≥ 65
βap
30º
27º30’
25º
22º30’
20º
17º30’
15º
14º30’
Tabela 7 – Exemplo de proporções Zc ,βap
Onde β ap = ângulo de pressão num plano axial do parafuso
Figura 22 - Esquema de um corte nos dentes de parafuso sem fim, mostrando o ângulo de pressão no plano axial do parafuso.
E também:
330
αc
≤ 12º
β a (P)
14º30’
12º a
20º a
20º
25º
20º
22º30’
> 25º 25º
Tabela 8 – Ângulos αc, βa (P)
Onde αc ângulo de inclinação de hélice da coroa.
10.5.4 - MATERIAIS Parafuso – aço-aço cementado, ferro fundido cinzento. Coroa
–
bronze comum, bronze fosforoso, bronze de chumbo (altas velocidades),
bronze de alumínio, e bronze de silício (baixas velocidades e altas cargas), ferro fundido cinzento (serviços leves). OBS: é usual fazer-se o núcleo da coroa de ferro fundido ou aço, com aro externo de bronze
para reduzir os custos. Figura 23 - Esquema de um parafuso sem-fim/coroa mostrando passos, diâmetro primitivo e ângulos de hélice e avanço.
10.5.5 - DIÂMETROS E DISTÂNCIA ENTRE CENTROS
dG = dw =
N G × pt
π
⇒ diâmetro da coroa
C 0.875 ⇒ diâmetro do sem-fim, onde C é a distância entre centros: (1.7≤ K≤ K
3.0) 331
C=
dW + d G 2
pt = px mG =
⇒ distância entre centros
⇒ passo transversal igual ao axial para eixos perpendiculares
NG NW
⇒ razão de transmissão, onde Nw é o número de dentes do sem-fim ou
número de entradas
L = pt × N w ⇒ avanço tgλ . =
L ⇒ λ é o ângulo do avanço π × dw
Combinando sucessivamente estas expressões pode-se obter uma única expressão, que relaciona os parâmetros mais importantes para a definição do sem-fim/coroa:
1 + mG tgλ C = K
8
para os valores de 1.7 ≤ K ≤ 3.0
O valor de K está compreendido em 1.7 e 3.0, sendo recomendado usar 2.2. Os ângulos de avanço mais usados variam entre 4° e 25°, para ângulo de pressão normal θn de 14°30' e 20°. É mais recomendado usar: Para θn = 14°30' θn = 20°
⇒ λ = 0° a 15°
⇒ λ = 15° a 30°
É possível construir uma transmissão sem-fim/coroa com C (distância entre centros) variando de 50 mm a 150 mm
dependendo da potência desejada. Esta análise permite
identificar a possibilidade geométrica do sem-fim/coroa, antes do dimensionamento final para uma dada potência. Em um redutor sem-fim/coroa, o movimento ou potência entra pelo sem-fim que solicita a coroa com força W, que pode ser decomposta em três componentes, conforme figura.
332
Figura 24 - Análise de forças e ângulos em um circulo primitivo de um pinhão sem fim.
10.6 - TREM DE ENGRENAGENS Um trem de engrenagens é um acoplamento de duas ou mais engrenagens. Um par de engrenagens é a forma mais simples de se conjugar engrenagens e é freqüentemente utilizada a redução máxima de 10:1. Trens de engrenagens podem ser simples, compostos e planetárias.
10.6.1 - TREM DE ENGRENAGENS SIMPLES Trens de engrenagens simples são aqueles que apresentam apenas um eixo para cada engrenagem. A relação entre as duas velocidades é dada pela equação 1:
e=±
rent d N = ± ent = ± ent rsaida d saída N saida
A figura 25 mostra um jogo de engrenagens com 5 engrenagens em série. A equação para a relação de velocidades é:
N2 N 2 N 3 N 4 N 5 e = − − − − =+ N6 N 3 N 4 N 5 N 6 Cada jogo de engrenagem influi na relação das velocidades, mas no caso de trens simples, o valor numérico de todas as engrenagens menos a primeira e a última são cancelados. As engrenagens intermediárias apenas influem no sentido de rotação da engrenagem de saída. Se houver um número par de engrenagens o sentido de rotação da última será oposto ao da primeira. Havendo um número impar de engrenagens, o sentido permanecerá o mesmo. É
333
interessante notar que uma engrenagem de qualquer número de dentes pode ser usada para modificar o sentido de rotação sem que haja alteração na velocidade, atuando como intermediária.
Figura 25 -Trem simples de 06 engrenagens
10.6.2 - TREM DE ENGRENAGENS COMPOSTOS Para se obter reduções maiores que 10:1 é necessário que se utilize trens de engrenagens compostos. O trem composto se caracteriza por ter pelo menos um eixo no qual existem mais de uma engrenagem. A figura 26 mostra um trem composto de quatro engrenagens. A relação das velocidades é:
N 2 N 4 e = − − N 3 N 5 Esta equação pode ser generalizada para qualquer número de engrenagens no trem como: e = ± produto do número de dentes das engrenagens motoras produto do número de dentes das engrenagens movidas
334
Figura 26 - Trens de engrenagens compostos
Note que as engrenagens intermediárias influem diretamente no processo de determinação da velocidade de saída e de entrada. Assim uma relação mais elevada pode ser obtida apesar da limitação de 10:1 para trens individuais. O sinal positivo ou negativo na equação depende do número e do tipo de disposição das engrenagens, internas ou externas.
10.6.3 - TREM DE ENGRENAGENS PLANETÁRIAS São trens de engrenagem com dois graus de liberdade. Duas entradas são necessárias para obter uma saída. Normalmente se usa uma entrada, um sistema fixo e uma saída. Em alguns casos como em diferencial de automóveis uma entrada é usada para se obter duas saídas, uma para cada roda.
Figura 27 - Trem de engrenagem convencional e trem planetário
A relação de velocidades pode ser calculada pela fórmula:
335
e=
N 3 − N1 N 2 − N1
Em uma forma mais geral:
e=
N ent − N braço N saida − N braço
onde: Nent = número de rotações por minuto da engrenagem de entrada Nsaída = número de rotações por minuto da engrenagem de saída Nbraço = número de rotações por minuto do braço Trens planetários apresentam algumas vantagens, como relações de velocidades maiores usando engrenagens menores, saídas bidirecionais, concentricidade. Estas fatores fazem com que o engrenamento planetário seja largamente utilizado em transmissões de automóveis e caminhões.
10.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.
O número de dentes de determinadas engrenagens no trem epicicloidal estão indicadas, todas possuem o mesmo módulo. A engrenagem A gira a 1000 rpm no sentido horário enquanto a engrenagem E gira no sentido antihorário a 500 rpm. Determine a velocidade direção da rotação a engrenagem anel D e do suporte F.Resposta [371 rpm antihorário, 40 rpm horário]
Figura 28 – Exercício proposto 1
2. No trem epicicloidal ilustrado, a engrenagem C é fixa e o conjunto planetário BD gira livremente no suporte que é coaxial com os eixos de entrada e saída. Mostre que se zb ze > zc zd então os eixos de entrada e saída giram na mesma direção. 336
Figura 29 – Exercício proposto 2
3.
Qual a faixa prática para a distância entre centros de um par de engrenagens cilíndricas
de dentes retos com módulo 4 mm, com 19 e 35 dentes? Se forem fabricados com deslocamentos de perfis de 1,5 mm e 2 mm respectivamente, avalie o angulo de pressão atuante e a relação de contato. Resposta [ 108.6 ≤ C ≤ 112.8 mm, 24.47o, 1.42 ]
4. A planetária B gira livremente no eixo que é fixado na engrenagem de dentes internos F e a engrenagem planetária E está girando louca no eixo do braço de saída. Dados os números de dentes das engrenagens, calcule a rotação de saída quando a rotação do eixo de entrada giraa 1000 rpm.
Resposta [ 524 rev/min ]
Figura 30 – Exercício proposto 4
5. No trem epicicloidal visto na figura abaixo, o suporte 6 das engrenagens 3 e 4 giram a 100 rpm sentido horário e a engrenagem 5 fixa ao eixo de entrada gia a 2000 rpm no sentido antihorário. Determine a rotação da engrenagem de dentes internos 2 que está fixa ao eixo de saída do redutor. Os números dentes foram dados para cada engrenagem. 337
Figura 30 – Exercício proposto 5
6.
O eixo de entrada do trem epicicloidal mostrado na figura abaixo, gira no sentido horário.
O suporte das engrenagens satélites 3 e 5 possui a mesma rotação do eixo de entrada. As engrenagens 1 e 6 são de dentes internos e estão fixas na carcaça do redutor. Determine a relação de redução,W entrada/W saída, sabendo que a engrenagem 7 está enchavetada no eixo de saída.
Figura 31 – Exercício proposto 6
338
CAPÍTULO 11 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS 11.1 - INTRODUÇÃO 11.1.1 - MATERIAIS PARA ENGRENAGENS Não é preciso salientar a importância da escolha do material adequado para executar-se uma engrenagem; basta que se lembre de que do material ira depender diretamente a qualidade geral do funcionamento, seja quanto à resistência as cargas aplicadas, seja quanto à resistência ao desgaste, fatores que, em geral, determinam a falência da peça. Há uma série de fatores que limitam a liberdade de escolha dos materiais para as engrenagens: 1. Impossibilidade de obtenção do material condições comerciais; 2. Dificuldade de execução; 3. Impossibilidade de usinagem para o acabamento desejado; 4. Impossibilidade de posição e continuações. A inconveniência dos três primeiros elementos é evidente por si mesma. Estudamos a inconveniência do quarto, isto é, da incompatibilidade de posição e combinação. A experiência em laboratório e a prática mostram que uma engrenagem de um dado material se comporta satisfatoriamente, quando trabalha combinada com engrenagens de certos materiais e falha completamente quando opera com engrenagens de outros materiais, além disso um par de materiais pode comportar-se adequadamente -quando ao engrenagens são colocadas em determinadas posições e falhar totalmente quando as posições são invertidas. Como exemplo do primeiro caso, pode indicar o bronze fosforoso, que trabalha satisfatoriamente com o ferro fundido e com o aço endurecido, mas comporta-se mal com o aço mole, com o bronze e com os materiais laminados à base de ferrol. A figura 1 adiante nos indica quando ocorre a incompatibilidade das combinações dos materiais mais empregados. Como exemplo do 2º caso pode-se apontar o conjunto parafuso sem fim e coroa: um parafuso sem fim de ferro fundido e uma coroa de bronze apresentam elevada resistência ao desgaste (mais elevada que a de um parafuso sem fim de aço e uma coroa de bronze); se entretanto, as posições forem invertidas, isto é, se o parafuso sem fim for executado em bronze e a coroa em ferro fundido, a resistência ao desgaste torna-se bastante deficiente. Apontaremos em seguida os materiais mais utilizados na fabricação de engrenagens, indicando suas principais características de comportamento.
339
FERRO FUNDIDO O ferro fundido é um dos materiais que vem sendo utilizado largamente há longo tempo e, mais recentemente sua fundição vem sendo aperfeiçoada de tal modo que se conseguem, quer por processos especiais de fundição, quer pela composição de ferros-ligas, materiais capazes de suportar tensão até de 2.100 Kg/cm2. O ferro fundido para engrenagens deve apresentar uma dureza tão elevada quanto possível: no caso, porém de ser prevista alguma operação de usinagem, a sua dureza Brinell deve estar dentro dos limites 170 e 220 Bh. O ferro fundido em areia deve ser de baixo teor de carbono, menor que 3,4%, a fim de ser evitado e um excesso de grafita. O emprego do ferro fundido é limitado pela possibilidade de ocorrência de forças elevadas e de choque.
AÇO FUNDIDO O aço fundido também é bastante utilizado, com teor de carbono entre 0,35 a 0,45%, com que se obtém, uma resistência ao desgaste satisfatória. Após a fundição a peça deve ser tratada termicamente para que desapareçam todos os traços da estrutura dentritica. Sua resistência às forças elevadas e principalmente aos choques é melhorada com a adição de cobre, níquel ou alumínio em sua composição.
AÇO DOCE O aço doce deve ser utilizado com teor de carbono entre 0,10 e 0,25%, de manganês entre 0,6 a 0,8 para cargas pequenas; com teor de carbono entre 0,35 e 0,45% para cargas elevadas; pode também ser empregado com teor de carbono entre 0,50 e 0,60 e, embora se obtenha, neste caso, uma resistência aos choques e a ductibilidade são mais baixas, de modo que os aços com este teor devem ser evitados quando é prevista a ocorrência de choques de grande intensidade.
AÇO-CROMO-NÍQUEL O Aço-Cromo-Níquel deve ser empregado com teor de cromo entre 0,5 e 1% com teor de níquel entre 2,5 e 3,5% e com acréscimo de um teor de molibdênio (para fins de cementação) entre 0,2 e 0,6%. 340
AÇO PARA CEMENTAÇÃO O aço para cementação deve apresentar baixo teor de carbono: a cementação garante uma elevada resistência ao desgaste e o baixo teor de carbono uma elevada resistência a tração qualidades que recomendam o emprego deste tipo de aço. Entretanto, ao lado destas vantagens o aço para cementação apresenta o inconveniente de exigir uma obtenção custosa e de apresentar certa distorção, principalmente quando temperado em água em lugar de óleo. Esta desvantagem às vezes e tão pronunciada que es prefere abandonar um aço para cementação e adotar um aço-cromo-níquel, ainda que haja aumento no custo do material. Material
Trabalha Bem com
Bronze
Ferro Fundido
Fosforoso
Aço endurecido
Trabalha Mal com Aço comum Bronze Laminados de ferrol
Ferro Fundido Aço Comum
Babbitt Latão Mole Aço endurecido
Bronze Aço Comum Laminado a base de fenol
Bronze Mole Latão Aço endurecido
Ferro Fundido Babbitt
Bronze de liga tratado
Laminado a base fenol Aço endurecido Aço Níquel
Aço Níquel (algumas vezes)
Aço níquel
Coroa de bronze
endurecido Ferro Fundido
Todos os materiais Tabela 1 – Características dos materiais.
11.2 - DESGASTE SUPERFICIAL DOS DENTES A experiência mostra que em grande número de casos os dentes das engrenagens se apresentam desgastados depois de certo tempo de funcionamento. Neste tópico indicaremos os tipos de desgaste superficial que podem atacar os dentes de uma engrenagem, suas causas e os modos de evitá-los. 341
A) DESGASTE POR ESCORREGAMENTO Este desgaste manifesta-se geralmente onde o deslocamento do ponto de contacto entre os dentes é menor, isto é, na região a-a sobre A, na região b-b, sobre B, como se vê na figura 1 que representa três posições particulares de dois dentes engrenados. Sua causa pode ser compreendida, lembrando-se de que sempre se processa com escorregamento crescente a partir do ponto do passo, onde é nulo.
Figura 2 – Escorregamento de engrenagens
B) DESGASTE POR CORROSÃO Este desgaste manifesta-se através de superfície corroída típica; e produzida pela fadiga do material e conseqüentemente desagregação de sua superfície; pode ser evitado com a adoção de dimensões para os dentes que conduzem, sob a ação das cargas atuantes, as tensões de fadiga superficial toleráveis pelo material escolhido.
C) DESGASTE POR ABRASÃO Este desgaste se manifesta através da formação de uma superfície esmerilada, polida; é produzida pela ação esmerilhadora de poeira ou partículas, misturadas com o lubrificante (estas partículas podem ser partículas metálicas que se destacam dos mancais: partícula abrasivas que não foram removidas antes da montagem; partículas arenosas devida a fundição; partículas diversas conduzida. pelo óleo ou pela atmosfera. Pode ser evitado mediante cuidados especiais na montagem, mediante proteção do mecanismo quando a atmosfera no local de serviço for portadora de poeiras, de um modo geral, mediante a manutenção das peças em boas condições de limpeza.
342
D) DESGASTE POR ARRANHAMENTO Este desgaste se manifesta através de profundos riscos na direção do escorregamento superficial; é produzido por pontas ou superfícies rugosas deixadas nos dentes pela imperfeição da usinagem; pode ser evitado com a execução de um acabamento mais cuidadoso.
E) DESGASTE POR TRANSPORTE Este desgaste manifesta-se através de uma série de ondas constituídas por saliência e reentrâncias próximas da linha de passo é produzido pelo deslocamento plástico do material sob aquecimento excessivo e cargas elevadas; pode ser evitado mediante o emprego de uma lubrificação adequada.
F) DESGASTES POR ACRÉSCIMO Este desgaste manifesta-se através de uma soldagem e subseqüente desagregação das superfícies em contacto; é produzido pelo superaquecimento das partes em contacto quando cessa completamente a lubrificação; pode ser evitado mediante o emprego de um processo de lubrificação no qual esta cessação completa não possa se verificar.
11.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS 11.3.1 - INTRODUÇÃO Chama-se engrenagem de força aquela em que é maior o perigo da ruptura do que o perigo do desgaste. Por exemplo: engrenagens lentas ou engrenagens que funcionam por breves períodos ou com possibilidades de fortes sobrecargas durante o funcionamento. A ruptura pode ser de: tipo estático ou fadiga. A de tipo estático é muito rara: pode ocorrer por contato defeituoso, por cálculo errado, por sobrecargas não previstas ou ainda por fatores desconhecidos. Este tipo de ruptura se manifesta logo no inicio do funcionamento. A ruptura por fadiga, de modo geral, é a mais comum. De fato, sobre o dente age uma carga que vai desde zero a um determinado valor, voltando novamente a zero. É, portanto, uma carga pulsativa. A ruptura é progressiva iniciando-se na parte de concordância do dente com sua boca. Para o carregamento pulsativo é maior a resistência a compressão que à tração. O dimensionamento de uma engrenagem é feito baseado na resistência a ruptura onde, para levar
343
em conta os efeitos dinâmicos, entraremos com um coeficiente Cv chamado coeficiente de velocidade ou de super solicitação dinâmica.
11.3.2 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA Algumas hipóteses simplificadoras foram feitas por LEWIS para que se chegasse a um resultado racional da expressão do módulo da engrenagem. O método de LEWIS é o seguinte: “Consiste em verificar que o dente da engrenagem, considerado como uma viga engastada, não se rompa sob a ação de força S, admitida estática”. Considera-se que: •
A força esteja distribuída uniformemente sobre todo o comprimento do dente.
•
A força esteja aplicada na extremidade (topo) do dente.
•
Toda a força atue num só dente.
•
Os efeitos de concentração de tensões sejam desprezíveis. A hipótese de dimensionamento é:
σf ≤ σadm Onde:
σadm
=
tensão admissível
σf
=
tensão de flexão (atuante)
A tensão admissível é:
σ adm =
σR KS
(1)
Onde: σR
=
tensão de ruptura do material (Kg/mm2)
KR
=
coeficiente de segurança-que, a título indicativo pode ser:
(tabelado).
3 a 3,5 -
para rodas em funcionamento normal
4a5 -
para rodas sujeitas a choques e oscilações de carga
6
-
Cv =
para condições extremamente desfavoráveis
coeficiente de velocidade ou de super solicitação dinâmica, cujo valor é:
Cv =
A A+v
(2)
Onde: A
=
3 para engrenagens de pouca precisão
A
=
6 para engrenagens de média precisão 344
Para engrenagens de alta precisão
5,6 5,6 + v
Cv = v
=
(3)
velocidade periférica, na primitiva, em m/s.
A tensão atuante de flexão vale:
σf =
Mf ⋅ c J
(4)
Onde: Mf = P.h = momento fletor
Figura 3 – Aplicação do momento no dente
s c = = distância da linha neutra à fibra mais afastada. 2
J=
1⋅ s3 = momento de inércia da seção da base do dente. 12
Levando estes valores na expressão de σf vem:
σf =
6⋅ P⋅h 1⋅ s 2
(5)
Sendo h e s funções do passo. Onde: h=k1 . p
s=k1 . p
Podemos escrever:
σf =
6 ⋅ k1 ⋅ p 1k ⋅ p 2 2
2
=
p 1⋅ p ⋅
k 22 6k 1
345
k 22 = y recebe o nome de FATOR DE FORMA do dente (tabelado em função deβ e de Z). 6k1 Fazendo 1=k.m (comprimento dente) e p = m.π (passo da engrenagem) vem:
σf =
P P = k ⋅ m ⋅ y ⋅π k ⋅ m 2 ⋅Y
(6)
2
Onde: Y = π.y (também tabelado) O valor da força P tangencial é
P=
Mt 2 ⋅ Mt 2 ⋅ Mt = = r d m⋅Z
Sendo Mt = Momento de torção (Kg/mm2) A expressão final de σf é:
σf =
2 ⋅ Mt k ⋅ m3 ⋅ Y ⋅ Z
(7)
Voltando à condição do dimensionamento podemos escrever:
σ 2 ⋅ Mt ≤ R ⋅ Cv 3 K ⋅ m ⋅Y ⋅ Z KS m≥
2 ⋅ Mt
σR
3
(8) Fórmula de Lewis
⋅ Cv ⋅ K ⋅ Y ⋅ Z
KS Ks = coeficiente de segurança K = varia de 8 a 12 (em geral) ; K = 6 a 14 (para caixa de marcha)
20
m≥3
2 ⋅ Mt σ ⋅ K ⋅Y ⋅ Z
σ =
σ adm KS
(9)
(10)
Fórmula corrigida para carregamento dinâmico
m=3
2 ⋅ Mt ⋅ Kt ⋅ K 1 σ ⋅ Cv ⋅ K ⋅ Y ⋅ Z ⋅ K 2
(11)
346
Kt fator de concentração de tensão E1 + fator de serviço K1 fator de serviço K2 fator de correção do fator Os valores de Kt, K1 e K2 são dados na tabela a seguir: Tipo de
K1
Carregamento Constante
1,25
Pulsativo
1,35
Com Choque
2,50
Tabela 2a- Tipo de Carregamento.
Tipo do Perfil
Kt
Perfil evolvente β =14º 30´
1,54
Perfil evolvente não corrigido β 1,33 = 20º Perfil evolvente corrigido β = 20º 1,43 Tabela 2b- Tipo do Perfil.
Valores
K2
Perfil evolvente e
1,0
cicloidal Perfil gerado não
1,7
corrigido Perfil gerado corrigido
1,6
Tabela 2c- Valores.
11.3.3 - CASOS ESPECIAIS CASO I - DADOS DO PROBLEMA N (C.V.)
- potência a transmitir
n (RPM)
- rotação do pinhão
R
- relação de redução
A expressão (11) deduzida anteriormente será aplicada neste caso. O fator Cv é indeterminado, pois, depende da velocidade periférica que, por sua vez, depende do diâmetro (d0 = m.Z).
347
Para a determinação de Cv usamos o me todo das aproximações sucessivas assim: com um valor de Cv primeira aproximação: Cv’ = 0,7 Calcula-se:
m' ≥ 3
X Cv '
(12)
Onde:
X =
σR KS
2 ⋅ Mt ⋅ K ⋅Y ⋅ Z
•
Com m’ (padronizado) calcula-se d’
•
Com d’ calcula-se v (em m/s)
•
Com v calcula-se E Cv´ (em segunda aproximação)
•
Com Cv” calcula-se:
m" = 3
X Cv "
(13)
Achado m” (padronizado), adotado como módulo final, calcula-se os outros elementos da engrenagem.
CASO II - DADOS DO PROBLEMA N (C.V.)
- potência a transmitir
n (RPM)
- rotação do pinhão
R
- relação de redução
E
- distância entre centros
Com E e R calculamos os diâmetros primitivos do par. A fórmula (11) se reduz a:
m=
σR KS
Onde fizemos Z =
2 ⋅ Mt ⋅ K t ⋅ K 1
(14)
⋅ Cv ⋅ K ⋅ Y ⋅ d p ⋅ K 2
d m
O único termo desconhecido é Y que, em primeira aproximação fazemos igual a Y’ = 0,3 (valor médio para β=20º envolvente) ver tabela doa fatores de forma.
348
Analogamente ao caso 1 obteríamos:
m' =
G Y'
(15)
Onde:
G=
σR KS
2 ⋅ Mt ⋅ Cv ⋅ K ⋅ d
•
com m’ acha-se Z’ (arredondando a um nº inteiro)
•
com Z’ tiramos da tabela o novo 1”
•
chega-se ao módulo definitivo.
m" = •
G Y"
(16)
achado o módulo final (padronizado) os diâmetros devem ser corrigidos alterando-se assim a distância entre centros, E. Deve-se notar que a alteração de E é muito pequena não influindo sensivelmente no projeto do par.
•
se E for tomada como distância rigorosamente estabelecida deve-se recorrer a dentes especiais (maag, primitivas deslocadas).
Esquema do processo para o cálculo da indeterminação: 1º Processo: Cv = f(m) Cv’ = 0,7 (arbitrário) m = f(Cv) Cv´ m´ v v Cv” m” Então padronizamos m” = m 2º Processo: Adota-se um módulo tabelado m´ v Cv’ m” m m (padronizado)
11.3.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1.
Dimensionar a engrenagem para carregamento dinâmico com torque a transmitir = 3 Kgm, σ = 3Kg/mm2, Z =50 dentes, n = 300 rpm, perfil envolvente não corrigido β=20º.
349
Resolução: Mt = 3000 Kg . mm n 300 rpm
N = M ⋅W = M ⋅ N=
3 ⋅ π ⋅ 300 30 ⋅ 75
π ⋅n
=M⋅
30
π ⋅n 1 30
⋅
75
N = 1,28 C.V
Resolvendo pelo 2º processo temos: a) para N = 1,26 CV n = 300 rpm
m = 1,25
b) m = 1,25 mm
r=
d0 = m.z
m ⋅ Z 1,25 ⋅ 50 = 2 2
c) v =
π ⋅d ⋅n
(m/seg)
1000⋅ 60 π ⋅ 62 ⋅ 300 v= 1000 ⋅ 60
d) Cv =
6 6+v
r ≅ 31 mm
v = 0,96 m/seg
Cv =
6 6 + 0,96
Cv = 0,86
e) Mt = 3000 Kg.mm σ = 3 Kg/mm2 Z = 50 dentes e
β = 20º Y = 0,408 (tabelado)
K
10 adotado
Kt
1,53 (tabela)
K2
1,0 (tabela 11) não corrigido
m=3
2 ⋅ Mt ⋅ K t ⋅ K 1 2 ⋅ 300 ⋅1,53 ⋅1,5 =3 σ ⋅ Cv ⋅ K ⋅Y ⋅ Z ⋅ K 2 3 ⋅ 0,86 ⋅ 0,408 ⋅10 ⋅ 50 ⋅1
f) dp = m. Z
dp = 3.50
dc = dp + 2 m = 150 + 2 . 3
dp = 150 mm
dc = .256 mm
l = K . m => 1 = 10 . 3 => l = 30 mm Z = 50 dentes β = 20º (navalha nº 6)
350
2.
Dimensionar o par de Engrenagens. Dados: O perfil evolvente β = 20º não corrigido n = 1200 rpm (rotação do pinhão). R = 4/1 (razão de redução). Carregamento com choques, engrenagens de média precisão. Material usado: aço SAE 1045
σR
=
60
Kg/mm2.
Potencial a transmitir N = 10 CV
Mt =
N 10 ⋅ 30 ⋅ 75 = W π ⋅1200
Mt ≅ 6Kgm = 6000 Kg.mm Kt = 1,53 (tabelado) K1 = 1,5 (tabelado)
σ =
σ rup KS
=
60 5
K l = K.m
K = 10 (tabelado)
Z = 17 Y = 0,302 β = 20º Z = 17 dentes (adotado) Cv’ = 0,7 (arbitrado) K2 = (p/ perfil envolvente)
m=3
2 ⋅ 6000 ⋅1,53 ⋅1,5 = 3,55mm 12 ⋅10 ⋅ 0,302 ⋅17 ⋅ 0,7 ⋅1
dp1 = m.Z = 3,55 X 17 = 60
V=
π ⋅d p ⋅n
Cv =
60
=
π ⋅ 60 ⋅1200 60
6 6 = 6 + v 6 + 3,76
m 2 = m1 ⋅ 3
= 3760 mm/seg
ou
V = 3,76 m/s
Cv = 0,62
C v1 0,7 = 3,55 ⋅ 3 = 3,7 Cv2 0,62
M = 3,75
(mais próximo padronizado)
dp = m . Z = 3,75 . 17 = 63,6 dc = m . Z + 2 m = 71,3 l = K .m l = 10 . 3,75 l = 37,5 Usar navalha nº 1 (tabelado em função do número de dentes). Cálculo da Outra Engrenagem que está acoplada 351
m = 3,75 dp = m. Z = 3,75. 68
dp = 255
dc = 255 + 7,5 dc = 262,5 l = 10 . 3,75
1 = 37,5
Navalha nº 7 (em função do nº de dentes) Aço SAE 1045 (mesmo da outra) 3.
Dá-se N = 16 Cv (potência a transmitir), n = 900 rpm (rotação do pinhão), E = 180 mm (+
5%). Perfil envolvente, corrigido β = 20º carregamento pulsativo, com oscilação de carga. Engrenagem de alta precisão. Material usado SAE 1045 com σr = 60 Kg/mm2. Resolução:
R=
n1 900 3= n2 = 300 rpm n2 n2
n1 r2 = r2 = 3 . r1 n 2 r1
r2 =
Mas 180 = r2 + r1 r1 = 45
Mt =
σ =
3 ⋅ 180 4
dp1 = 2 . r1
r2 = 135
dp1 = 90
16 ⋅ 75 ⋅ 30 = 12,7 Kgm π ⋅ 900
σ rup KS
=
60 4
Kt = 1,43
Cv =
K1 = 1,35
5,6 5,6 + v
K2 = 1,0
v =W ⋅R = Logo
π ⋅d ⋅n
Cv =
60
=
π ⋅ 90 ⋅ 900 60 ⋅1000
5,6 5,6 + 2,06
= 4,25 m/s →
v = 2,06 m/s
Cv = 0,75
Adota-se K = 10 Y = 0,3 (em média)
m=3
2 ⋅12700 ⋅1,43 ⋅1,35 15 ⋅ 0,75 ⋅ 0,3 ⋅1 ⋅ 90 ⋅10
m = 4,07
352
dp1 = m ⋅ Z 1 Z 1 =
90 = 22 4,07
β = 20º Z = 22
Y1 0,3 = 4,07 ⋅ Y2 0,33
m 2 = m1 ⋅
Z1 =
d p1 m2
Y = 0,330
=
m = 4 (mais próximo padronizado)
90 = 22,5 4
p/ Z1 = 22 dp1 = 22.4 = 88 p/ Z2 = 22 X 3 = 66 dp2 = 4 X 66 = 264 r1 + r2 = 176 180
171
±5%
189
p/ Z1 = 23
E = 176
dp1 = 23 X 4=92
p/ Z2 = 23 X 3 = 69
dp2 = 69 X 4 = 276
E = 184 = r1 + r2 logo qualquer das aproximações é aceitável.
11.3.5 -VERIFICAÇÃO DO DESGASTE As engrenagens, nas quais o perigo do desgaste é maior que o perigo da ruptura são chamadas de engrenagens de trabalho. São as engrenagens muito velozes ou as que funcionam por períodos muito longos (sem que aconteçam sobrecargas notáveis). O dimensionamento baseado no desgaste consiste em: “Verificar que a pressão de contato, calculada com as fórmulas de HERTZ, quando o contato se dá sobre as primitivas, seja inferior a um valor admissível experimental, dependente da dureza BRINELL do material e do número de repetições de carga sobre a engrenagem”.
OBS: Supõe-se aqui que as condições de lubrificação sejam boas e que não exista nenhum meio abrasivo interferindo no funcionamento par em estudo.
353
Figura 4 – Condições de lubrificação.
FÓRMULA DE HERTZ:
1
σ c = 0,35 ⋅
σc =
+
1
S ρ1 ρ 2 ⋅ 1 1 1 + E1 E 2
(17)
tensão de contato de HERTZ ou tensão atuante
S = força total sobre o dente: S =
P cos β
E1; E2 = módulos de elasticidade dos materiais em contato ρ1; ρ2 = raios de curvatura principais mínimos das superfícies dos dentes em contato.
ρ 1 = r1 ⋅ senβ =
mo ⋅ Z1 ⋅ senβ 2
ρ 2 = r2 ⋅ senβ =
mo ⋅ Z 2 ⋅ senβ 2
Desenvolvendo a expressão anterior, chegamos à fórmula da pressão de contato de HERTZ:
σ c2 =
Z + Z 2 E1 ⋅ E 2 4,4 ⋅ P ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ p ⋅ sen2 β Z 1 ⋅ Z 2 E1 + E 2
(18)
A tensão de contato admissível (experimental) vale:
σ c ⋅ adm =
0,5 ⋅ H B g 6 10
1
6
354
Onde: HB - dureza BRINELL do material (tabelado) OBS: para o aço e na falta de tabela: HB ≅ 3 σR (Kg/mm2) g - número de repetições dos ciclos de carga (função do nº de horas de funcionamento tabelado) g = 60 . n . hf
sendo n (RPM)
A desigualdade σc ≤ σc admissível deve ser verificada. Com esta condição chega-se a:
P=
Z ⋅Z E + E2 sen2β ⋅1⋅ p ⋅ 1 2 ⋅ 1 ⋅ σ c2 4,4 Z 1 + Z 2 E1 ⋅ E 2
(19) O valor da força tangencial
O segundo membro e multiplica por Cv, para levar em conta as solicitações dinâmicas, e assim teremos:
Z ⋅ Z E + E2 sen2 β ⋅1 ⋅ p ⋅ 1 2 ⋅ 1 ⋅ σ c2 ⋅ adm = C 4,4 Z 1 + Z 2 E1 ⋅ E 2 Obtemos:
P ≤ 1 . p . C Cv
Indicando com Padm a força máxima tangencial admissível vem: Padm = 1 . p . C . Cv
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES Se acontecer Patuante > Padm podemos variar: 1. modificar l (comprimento do dente) 2. modificar o nº de dentes 3. aumentar a dureza BRINELL o que seria mais conveniente. Deve-se verificar: Pat ≤ Padm Onde:
Pat =
Mt (força tangencial atuante máxima) r Módulos Normalizados (m.m)
0,3 – 0,4....0,9
16 – 18 ... 24
1,0 – 125.... 3,75
27 – 30 ... 42
4,0 – 4,5 ... 6,5
45 – 50 ... 75
7,0 – 8,0 ... 15 Tabela 3 – Normalização de módulos.
355
Número mínimo de dentes para evitar interferências β = 20º 10
β = 149º 30’ 18
Velocidades médias (6 a 9 m/s)
12
24
Grandes velocidades (15m/s - cargas grandes)
16
30
Tipo de transmissão Pequenas velocidades -pequenas cargas
Engrenamento externo
Z1 + Z2 ≥ 24
Engrenamento interno
Z2 – Z1 ≥ 10
Tabela 4 – Número mínimo de dentes.
Fatores de Forma Y Z1
β = 149º 30’
β = 20º
Z1
β = 149º 30’
β = 20º
12
0,210
0,245
28
0,314.
0,352
13
0,220
0,261
30
0,320
0,358
14
0,226
0,276
34
0,327
0,371
15
0,236
0,289
38
0,333
0,333
16
0,242
0,295
43
0,346
0,396
17
0,251
0,302
50
0,352
0,408
18
0,261
0,308
60
0,358
0,421
19
0,273
0,314
75
0,364
0,434
20
0,283
0,320
100
0,371
0,446
21
0,289
0,327
150
0,377
0,459
22
0,292
0,330
300
0,383
0,471
24
0,298
0,336
—
0,390
0,484
26
0,307
0,346
—
—
—
Tabela 5 – Fatores de Forma.
Materiais usados em engrenagens: Material SAE-1035
σR (Kg/mm2) 30 a 45
HB 150
SAE-1045
55 a 60
170
SAE-1060
65 a70
200
SAE-8640
70 a 85
-
SAE-4140
85 a 90
-
Ferro Fundido
21
220
Tabela 6 – Materiais usados em engrenagens.
356
Duração em horas ESPÉCIES DE MÁQUINAS
de funcionamento hf
Instrumento e aparelhos de pouco uso. Aparelhos de demonstração, dispositivos para manobra de portões corrediços. Motores de avião.
500 1000 – 2000
Máquinas para serviço curto ou intermitente, quando eventuais perturbações de serviço são de pouca importância: Máquinas - ferramentas manuais: aparelhos de elevação para oficinas; máquinas manuais em geral, máquinas agrícolas;
4000 - 8000
guindastes de montagem; aparelhos domésticos. Máquina para serviço intermitente, quando eventuais perturbações de serviço são de muita importância: Máquinas auxiliares para instalação de força; equipamento de transporte para fabricação contínua; elevadores; guindastes para
8000 - 12000
carga real; máquinas - ferramentas de pouco uso. Máquinas para 8 horas de serviço diário não utilizado inteiramente. Motores elétricos estacionários, engrenagens para fins gerais.
12000 - 20000
Máquinas para 8 horas de serviços diários, utilizados inteiramente. Máquinas para oficinas mecânicas em geral; guindaste para trabalho contínuo; ventiladores, transmissões intermediárias.
20000 - 30000
Máquinas centrífugas; bombas; transmissões; elevadores de minas; motores elétricos estacionários, máquinas de serviço contínuo em
40000 - 60000
navios de guerra. Máquinas para a fabricação de celulose e papel; máquinas para o serviço público de força motriz; bombas para abastecimentos públicos de água; máquinas de serviço contínuo em navios
100000 - 200000
mercantes. Tabela 7 – Espécie de Máquinas.
357
11.3.6 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS 1.
Um trem simples de engrenagens cilíndricas retas tem as seguintes características: N = 100 CV
- potências motoras
n = 1600 RPM- rotação do pinhão R = 3,75/1
- relação de redução
β = 20º
- ângulo de pressão
Engrenagens de média precisão, de aço SAE-1060, sujeitos a condições extremamente desfavoráveis. O mecanismo pertence a uma máquina para oito horas de serviço diário, não utilizado inteiramente. PEDE—SE: a) Dimensionar o par quanto à resistência b) Verificar o par quanto ao desgaste c) Com croquis da solução encontrada
Solução: a) Cálculo é dado por:
2 ⋅ M t ⋅ K t ⋅ K1
m≥ 3
σR
KS
⋅ Cv ⋅ K ⋅Y ⋅ Z
1. Momento de torção:
N 100 ⋅ 75 ⋅ 30 ⋅10 3 Mt = = = 44.800 mm.Kg w π ⋅1600 2. Material: SAE-1060 - σR = 70 Kg/mm2 3. Coeficientes de segurança: Ks = 6 (condições extremamente desfavoráveis) 4. Fator velocidade: Cv’ = 0,7 (arbitrado em 1ª aproximação) 5. Fator de proporcionalidade: Adotaremos: K = 20 (grandes potências). 6. Número de dentes das engrenagens:
R=
3,75 60 = 1 15 358
Z1 = 16 dentes (pinhão) Z2 = 60 dentes (coroa) 7. Fator de forma: Y = 0,295 (em função de Z1 = 16 e β = 20º) 8. Módulo em 1ª aproximação:
X=
σR KS
m' = 3
2⋅M t
=
⋅ Cv ⋅ K ⋅Y ⋅ Z
2 ⋅ 44 ⋅ 800 ⋅ 6 ⋅ K t ⋅ K 1 = 81,3 70 ⋅ 20 ⋅ 0,295 ⋅16
X 81,3 =3 = 4,85 mm Cv ' 0,7
m‘ = 5,0 mm (padronizado) 9. Diâmetro primitivo em 1ª aproximação: d1 = m . Z1 = 5,0 . 16 = 80 mm 10. Velocidade periférica em 1ª aproximação:
v=
π ⋅ d 1 ⋅ n1 6 × 10 3
= 6,7 m / s
11. Fator velocidade em 2ª aproximação:
Cv " =
6 6+v
Cv " =
6 = 0,473 6 + 6,7
(média precisão)
12. Módulo em 2ª aproximação: (o valor encontrado depois de padronizado, será adotado como final):
m" = 3
X 81,3 =3 = 5,7 mm Cv " 0,473
M = 6,00 mm b)
Verificação ao desgaste: Condição de verificação:
Pat ≤ Padm 1. Força tangencial atuante:
Pat =
M t1 2 ⋅ M t1 2 ⋅ 44800 = = = 940 Kg r1 m ⋅ Z1 6 ⋅16
2. Força de contato admissível: Padm = l. p .C . Cv 359
Onde:
C=
sen 2 β Z 1 ⋅ Z 2 E1 + E 2 ⋅ ⋅ ⋅ σ c2adm 4 ⋅ 4 Z 1 + Z 2 E1 ⋅ E 2
3. Largura das engrenagens: l = K . m = 20.6 = 120 mm 4. Passo das engrenagens: p = m . π = 6,0 . 3,14 = 18,84 mm 5. Fator velocidade: Cv = 0,47.3 (adotado como valor final, por simplificidade). 6. Cálculo da fator C:
σ c adm =
0,5 HB 6
g 10 6
HB = 200 (sem tratamento térmico) g = 60.n.h = 60. 1. 600. 15000 = 1440.106 ciclos de carga hf = 15000 horas de funcionamento
σ c adm =
0,5 ⋅ 200 6
1440
= 29,8
E1 = E2 = 21.103 Kg/mm2 (módulo de elasticidade do aço)
C=
sen40º 16 ⋅ 60 42 × 10 3 ⋅ ⋅ ⋅ 885 = 155 ×10 −3 4,4 16 + 60 441×10 3
7. Força admissível: Padm = 1.p.C.Cv = 120. 18,84. 155. 10-3. 0,0473 = 165 K 8. A desigualdade: Pat ≤ Padm não foi atendida. Uma das modificações que poderia resolver o problema consiste em cementar as peças, com isto a dureza Brinell tríplice, bastando, então multiplicar por 9 (nove) o valor do Padm. A nova Padm fica igual a: Padm = 9. 165 = 1485 Kg
360
Comentando as peças fica verificado o par quanto ao desgaste. n
= 6,0 mm
z1 = 16 dentes d1 = 96 mm de1= 108 mm p
= 18,84 mm
z2 = 60 dentes d2 = 360 mm de2= 372 mm l
= 120 mm
Figura 5 – Engrenagens Cilíndricas.
11.4 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS 11.4.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA O cálculo é feito no plano, normal no eixo do dente. Neste plano, o dente helicoidal pode ser aproximado ao dente de uma engrenagem cilíndrica reta com número de dentes igual ao número virtual com o ângulo de processo: Pn < Padm - Condição de Cálculo Onde: Padm = carga admissível no plano normal
Padm = Y * ⋅b ⋅ Pn ⋅
σ r ⋅ Cv KS
Padm = Padm ⋅ n ⋅ cos α = Y * ⋅b ⋅ Pn ⋅
σ r ⋅ Cv KS
⋅ cos α
A condição no plano normal ao eixo da engrenagem passa a ser: P
Padm = Y * ⋅ f ⋅
β cos α
⋅ M n ⋅π ⋅
Padm = Y * ⋅ f ⋅ 1 ⋅ m n ⋅
σ r ⋅ Cv KS
≤
Padm
⋅ cos α
σ r ⋅ Cv KS
361
P=
2⋅ M t 2⋅ M t 2 ⋅ M t ⋅ cos α = = d M f ⋅Z M n ⋅2
σ ⋅C 2 ⋅ M t ⋅ cos α ≤ Y * ⋅ f ⋅1 ⋅ m n ⋅ r v M n ⋅2 KS Mn ≥ 3
sendo l=k
2 ⋅ M t ⋅ cos α ⋅ K 1 ⋅ K t σ r ⋅ Cv ⋅Y *⋅ f ⋅ K ⋅ Z KS
(20)
11.4.2 - VERIFICAÇÃO DO DESGASTE A relação S e Sf e a mesma entre os raios de curvatura dadas na fórmula de HERTZ. Disto conclui-se que se pode verificar a engrenagem helicoidal ao desgaste considerando um par de rodas cilíndricas tendo a mesma seção frontal de um par helicoidal, isto é, tendo o mesmo número de dentes, mesmo modulo e mesmo ângulo de pressão frontal. P
≤
Padm
Padm = C f ⋅ 1 ⋅ pf ⋅ C v onde C f =
sen 2 β1 Z 1 ⋅ Z 2 E1 + E 2 ⋅ ⋅ ⋅ σ c2adm 4 ⋅ 4 Z 1 + Z 2 E1 ⋅ E 2
onde: σc adm2 é um valor experimental, tem o mesmo valor usado nas cilíndricas retas.
σ c2adm =
0,5 HB 6
g 10 6
11.4.3 – EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS 1.
OBS: neste exercício aparecerão algumas fórmulas que não foram vista anteriormente. Dimensionar o par de Engrenagens cilíndricas helicoidais de eixos paralelos, sendo dados: N = 10 CV
potência a transmitir
n = 1200 rpm
rotação do pinhão
R = 4/1
razão de redução
perfil envolvente, não corrigido, β = 20º, α=22º, carregamento com choques, aço SAE 1045 com σr = 60 Kg/mm2 362
vida das engrenagens 20.000 horas. a) dimensionar pela resistência b) verificação pelo desgaste c) cálculo do rendimento
mn ≥ 3 Mt =
2 ⋅ M t cos α ⋅ K 1 ⋅ K t σ ⋅ Y * ⋅Z ⋅ K ⋅ C v ⋅ f
10 ⋅ 75 ⋅ 30 =6 π ⋅1200
Mt = 6000 Kg.mm
cos α = cos 22º = 0,93 K1 = 1,5
σ = σr/Ks = 60/5 = 12 Kg/mm2
Kt = 1,53
Zv = 17 dentes valor tirada da tabela para não haja interferência. Zv = Z/cos3α
Z = Zv . cos3α = 17 . 0,8 ≅ 14
K = 10 (adotado)
Z = 17
f = 1,5 (adotado)
Y* β = 20º
Y* = 0,302
Cv = 0,7 (adotado) Substituindo, teremos:
mn ≥ 3
2 ⋅ 6000 ⋅ 0,93 ⋅1,5 ⋅1,53 12 ⋅ 0,302 ⋅10 ⋅14 ⋅ 0,7 ⋅1,5
mn ≥ 3
2 ⋅ 60 ⋅ 0,93 ⋅1,53 = 3,65 1,2 ⋅ 3,02 ⋅1,4 ⋅ 0,7
dp =
m n ⋅ Z 3,65 ⋅14 = = 55 cos α 0,93
v = Wr =
π ⋅1200 30
⋅ 27,5
r=27,5
v = 3,46 m/s
Logo:
Cv =
6 = 0,63 6 + 3,46
mn ' = mn ⋅ 3
Cv 0,7 = 3,65 ⋅ 3 = 3,74 mn = 4 Cv ' 0,63
mais próximo padronizado
363
Verificação ao desgaste:
P=
M 2 ⋅ M ⋅ cos α = v mn ⋅ Z
P=
2 ⋅ 6000 ⋅ 0,93 = 200 Kg 4 ⋅14
Padm = l * p f ⋅ C f ⋅ C v
(21)
l* = 1,5 . K . mn = 1,5 . 10 . 4 = 60,0 mm
pf = Cf =
mn ⋅π 4 ⋅π = = 13,6 mm cos α 0,93 sen 2β f
4,4
Z 1 ⋅ Z 2 E1 + E 2 2 ⋅ ⋅ σ adm Z 1 + Z 2 E1 ⋅ E 2
⋅
tan β n tan 20º = = 0,391 cos α 0,93
tan β f =
Z1 = 14
βf = 21º30’
Z2 = 56
R = 4/1 HB = 3 σr
σ c adm =
0,5 ⋅ H B g 10 6
σr = 60 HB = 180 g = 60 n n hf = 60 . 1200 . 20000 = 1,44 X 107 Logo:
σ adm =
90 4
1440
= 26,9 σadm2 = 720
Substituindo estes valores teremos:
Cf =
0,68 14 ⋅ 56 4,2 × 10 4 ⋅ ⋅ ⋅ 720 = 0,12 4,4 14 + 56 4,41×10 8
Padm ≤ 60,0 . 13,6 . 0,12 . 0,63 Padm ≤ 66,5
200 ≤ 66,5
teremos portanto que recalcular Cf. 200 ≤ 60,0 . 13,6 . 0,63 . Cf’ Cf’ = 200/55,5 = 0,36 Cf
K . σc adm2 364
σ'
2 c adm
=
C ' f ⋅σ c2adm Cf
=
0,36 ⋅ 720 = 2160 0,12
σc’ 2.= 46,5
Logo:
σ adm =
0,5 ⋅ H B 6
g
= 46,5
HB =
46,5 ⋅ 3,35 0,5
H B ≥ 310
10 6 σr = 46,5
e conseqüentemente Rendimento:
η=
cos 2 α ⋅ cos β n cos α ⋅ cos β + f ⋅ sen α 2
2
=
0,86 ⋅ 0,94 η = 92% 0,86 ⋅ 0,94 + 0,1 ⋅ 0,68
11.5 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS 11.5.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA
A) ESTÁTICO
mm ≥ 3
2⋅ Mt σ ⋅ K ⋅ Y * ⋅Z v
Fórmula de Lewis
mm = módulo médio
K m m = m ⋅ 1 − ⋅ senε Z 1 Z K≤ ⋅ 6 senε Y* fator de forma β
Zv (nº virtual de dentes)
ângulo de pressão 2⋅M t
m≥ 3
K σ ⋅ K ⋅ Y * ⋅Z v ⋅ 1 − ⋅ sen ε Z
3
(22)
B) DINÂMICO
mm ≥
3
2 ⋅ M t ⋅ K t ⋅ K1 σ ⋅ K ⋅ Y * ⋅Z v ⋅ K 2 ⋅ C v
(23)
365
K1 fator de serviço K2 fator de correção do fator de forma K2 = 1,70 para todas engrenagens cônicas de dentes retos 2 ⋅ M t ⋅ K t ⋅ K1
m≥ 3
3
K σ ⋅ K ⋅ Y * ⋅Z v ⋅ 1 − ⋅ sen ε ⋅ K 2 ⋅ C v Z
(24)
11.5.2 - ROTEIRO DE CÁLCULO (ESQUEMA) Cv m1 dp1 v1 Cv1 m2 Onde:
m2 = m1 ⋅ 3
Cv C v1
“Adota-se Cv = 0,7 e calcula-se m1 em seguida dp1, v1 e assim por diante”. 11.5.3 - EXERCÍCIO RESOLVIDO 1.
Dimensionar a resistência, um par de engrenagens cônicas de dentes retos de eixos perpendiculares com razão de redução R = 19/7. A potência a transmitir é de 40 CV e o pinhão guiará a 2500 rpm. O material a usar será um aço de σr = 70 Kg/mm2. O carregamento será com choques, sob condições extremamente desfavoráveis. O perfil será envolvente β = 20º (corrigido). Quanto à precisão serão engrenagens comuns. Solução:
Mt =
N 40 ⋅ 75 ⋅ 30 = = 11,5 Kgm W π ⋅ 2500
σ =
K1 = 1,5
Mt = 11.500 Kg.mm
σ rup KS
=
70 = 11,8 Kg / mm 2 6
Kt = 1,43
K≤
K2 = 1,70
1 Z ⋅ 6 senε
R = 19/7 Z1 = 3 X 7 = 21 (nº de dentes do pinhão) δ = ε1 + ε2 = 90º R = tg ε2 ∴
tg ε2 = 19/7 = 2,71
Z1 1 1 21 K≤ ⋅ ≤ ⋅ 6 sen20º10' 6 0,34
ε2 = 69º50’
e
ε1 = 20º10’
K = 10,02 K ≅ 10
366
Adotando Cv1
= 0,7 3
3
3
K 10 10 3 1 − ⋅ senε = 1 − ⋅ sen 20º10' = 1 − ⋅ 0,34 = (0,836) = 0,58 Z 21 21
Zc =
21 21 Z = = = 22,3 cos ε cos 20º10' 0,94
Y* β = 20º pela tabela
Y* = 0,33
2 ⋅11.500 ⋅1,43 ⋅1,50 11,8 ⋅ 0,33 ⋅ 22,3 ⋅ 0,58 ⋅ 0,7 ⋅1,70 ⋅10
m1 = 3
m1 = 3 83
m1 = 4,35
dp1 = m1 . Z = 4,35 X 21 = 91,5 mm
v1 =
π ⋅dn 60
Cv2 =
=
π ⋅ 91,5 ×10 −3 ⋅ 2500 60
6 6 6 = = 6 + v 6 + 12 18
m 2 = m1
v1 = 12 m/s
Cv2 = 0,33
0,7 = 4,35 ⋅ 2,1 0,33
m2 = 5,58 m = 6
(mais próximo padronizado)
Verificação ao desgaste: Patuante ≤ Padm
Mt 1 ≤ l ⋅ pm ⋅ C ⋅ Cv ⋅ 3 rm K Onde:
Mt momento atuante
rm raio médio rm =
dp 2
l − ⋅ sen ε 2
l comprimento do dente Pm-‘ passo médio Onde: Pm = π . mm = π . m (1 – K/z . sen ε)
C=
sen 2 β Z v1 ⋅ Z v 2 E1 + E 2 ⋅ ⋅ ⋅ σ c2adm 4,4 Z v1 + Z v 2 E1 ⋅ E 2
367
σ c adm =
0,5 ⋅ H B
onde g = 60 . n . hf
g 10 6
HB = dureza Brinell Cv Coeficiente de velocidade
Cv =
6 6+v
ou
Cv =
5,6 5,6 + v
ou
Cv =
3 3+v
K3 fator que leva em Conta a distribuição não uniforme de cargas sobre o dente das Engrenagens cônicas de dentes retos. Verificação ao desgaste para o problema anterior:
Mt 1 ≤ l ⋅ pm ⋅ C ⋅ Cv ⋅ rm K3 Mt = 11.500Kg . mm
rm =
dp 2
−
l ⋅ senε 1 ; 2
m = 6 dp = m . Z = 6 X 21
l = K . m = 10 X 6 = 60 sen ε1 = sen 20º10’ = 0,34 rm = 126/2 – 60/2 . 0,34 = 52,65 pm = π . m (1 – K/Z sen ε1) = π . 6 . (1 - 10/21 . 0,34) pm = 16 Cv = 0,33
calculado anteriormente
K3 = 1,4
C=
sen 2ε Z v1 ⋅ Z v 2 E1 + E 2 ⋅ ⋅ ⋅ σ c2adm 4,4 Z v1 + Z v 2 E1 ⋅ E 2
Z v1 =
Z v2 =
21 21 = = 22,4 cos 20º10' 0,94
57 = 165,2 cos 69º50'
Z v1 ⋅ Z v 2 2,24 ⋅1,652 × 10 3 = = 19,7 Z v1 + Z v 2 (0,224 + 1,652) ×10 2 E1 + E 2 4,2 ×10 4 = = 0,95 ×10 − 4 (para aço com E = 2,1 X 104 Kg/mm2) E1 ⋅ E 2 4,4 ×10 8
368
σ c adm =
0,5 ⋅ 210
se g = 60 . 2500 . 2000
g
g = 3 X 109
10 6 105
σ c adm =
3000
=
105 3,8
σc adm2 = 27,72 = 762
Logo:
C = 0,146/1 . 19,7 . 0,95 X 10-4 . 762
Então:
11.500/52,65 ≤ 60 . 16 . 0,208 . 0,33 . 1/1,4 218 ≤ 47,066
C = 0,208
Não verificou, faremos uma correção aumentando a dureza do material. C = X . σc adm2
C1 =
C
σ
2 c adm
⋅σ '
2 c adm
mas
σ c2adm σ'
2 c adm
=
HB HB'
2
C HB Então: 1 = C H B '2
logo: 218 ≤ 60 . 16 . 0,33 . 1/1,4 . C1 218 ≤ 227 C1
C1 ≥ 218/227 = 0,96
C1 H 2 = B2 C HB'
H B ' 2 = 210 2 ⋅
0,96 0,208
HB’ 2 = 2102 X 4,6
HB’ ≥ 450
11.6 - PARAFUSO SEM FIM E COROA 11.6.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA Sendo a coroa o elemento menos resistente, será o determinante do módulo. A forma dos dentes, de espessura variável, bem como o tipo de contacto, que depende de vários fatores, tais como o ângulo da rosca, ângulo de avanço do parafuso, dificultam ainda mais uma solução teórica precisa. Diante disso, adotam-se hipóteses simplificadoras que conduzem a resultados apenas aproximadas, não se considerando considerações de rigorismo, como o fator de concentração de tensões, por exemplo. As fórmulas serão análogas aquelas das engrenagens cilíndricas helicoidais de eixos paralelos. A ruptura poder-se-á dar por flexão ou por cisalhamento; Earle Buchinghan, aconselha, para a flexão, determinar o modulo pela equação de Lewis.
369
2 ⋅ M tc ⋅ cos α c K ⋅ Y * ⋅Z c ⋅ σ
mn ≥ 3
(26)
onde o índice c se refere a coroa. Para o cisalhamento, a mesma autoridade aconselha a determinar a resistência pela fórmula:
Fτ =
2 ⋅ S ⋅τ 3
Pat ≤ Fτ
(26)
Onde: Fτ é o esforço cortante a que pode resistir o dente (1 X g). S = λ . 1 . PAP - é um valor proporcional à área resistente (mm2) λ - é uma constante l - é o comprimento do helicoide τ - é a tensão de cisalhamento do material (Kg/mm2) PAP - é o passo axial do parafuso 14º3
β α (P)
0’
λ
0,60
20º
25º
30º
0,70
0,75
0,75
Tabela 8 – Passo axial do parafuso.
11.6.2 - DIMENSIONAMENTO PELO DESGASTE Earle Buckingham aconselha o uso da fórmula abaixo para determinação da força resistente que o dente pode suportar: Padm = dpc . b . K1
Pat ≤ Padm
(27)
onde: dpc é o diânetro primitivo da coroa (mm) b é a largura da coroa (mm) K1 é o fator de pressão em Kg/mm2, obtido do quadro abaixo:
370
Fator de Pressão (K1) [K1 – Kg/cm2]
Material Parafuso
Coroa
γp = 0 a 10º
γp = 10º a 25º
γp >25º
Aço (250 BR)
Bronze fosforoso
420
500
650
Aço cementado
Bronze fosforoso
560
700
850
Aço cementado
Bronze fosforoso
850
1050
1300
Ferro Fundido
Bronze fosforoso
1050
1300
1600
Tabela 9 – Fatores de Pressão.
OBS: γp – ângulo de avanço do parafuso αc – ângulo de inclinação de hélice da coroa γp = αc
Figura 6 – Ângulo de inclinação.
11.6.3 - VERIFICAÇÃO DISSIPAÇÃO DE CALOR
N
CV
1,9 ⋅ C 1,7 = R+C
Onde R - razão de redução C - distância entre eixos em mm NCV - potência que pode ser transmitida sob condições admissíveis de dissipação de calor. Se a caixa da engrenagem fica muito quente, o óleo pode tornar-se muito fino e ser expulso das superfícies pela pressão de contacto. Se isto acontecer, o atrito aumentara, mais calor será produzido e, finalmente, ocorrera sério desgaste. Os lubrificantes de extrema pressão (EP) reduzem as dificuldades resultantes do atrito combinado, tornando possível capacidades mais elevadas.
371
11.6.4 - RENDIMENTO DOS PARAFUSOS SEM-FIM Um estudo das forças na área de contacto conduzirá a uma expressão para o rendimento. A reação da superfície, para a análise das forças, pode ser admitida num ponto O (figura 7).
Figura 7 – Análise das forças de um parafuso sem-fim.
A força N é perpendicular à superfície naquele ponto e é mostrada atuando sobre o semfim; assim sua projeção sobre o plano Zy, fará segundo um ângulo βα com o eixo dos Z onde β α é o angulo de pressão num plano dimensional. Sua projeção sobre o plano ZX se fará segundo um ângulo γ com o eixo dos Z onde γ é o ângulo de inclinação de rosca. O plano abcd é ao eixo dos Z e abcd retângulo. O ângulo doc é β α o ângulo de pressão no plano normal é βu = ângulo aôb. A relação entre estes ângulos é a seguinte:
tan β n =
ab dc e tan β α = CO CO
como pode ser visto na fig. anterior. Dividindo tg βn por tg βα e notando que ab = dc, obtemos: tan β n CO = = cos γ tan β a bO
ou
tg β n = tg βα . cos γ
(28)
Além da força normal existe a força de atrito que é tangente à hélice e fica no plano xZ. A reação total do plano é a soma vetorial destas duas forças. As forças nas quais estamos interessados são as componentes x, y e z da reação total da superfície, chamadas respectivamente wt, S e Ft conforme a fig. Vamos relacioná-las com N e Ff = fN. A componente de N sobre Ob é N cos β u. A componente de N cos β u ao longo do eixo dos Z é N cos βu . cos γ , que atua para baixo. A componente da força vertical de atrito Ff é fN sen γ quando atua para cima. A componente vertical total Ft é dada por: 372
Ft = N cosβn . cos γ - fN sen γ
(29)
atuando para baixo na fig. onde Ft é a força motriz sobre a coroa, obtida da equação de potência de saída aplicada a engrenagem. A componente horizontal da reação total no plano (N e fN) é: W t = N cos β n . sen γ + fN cos γ (30) onde é a força motora sobre o sem-fim e é ao eixo do parafuso no circulo primitivo. Eliminando N das equações (29) e (30), obtemos:
cos β u ⋅ senγ + f ⋅ cos γ Wt = Ft ⋅ cos β u ⋅ cos γ − f ⋅ senγ
(31)
Se a força de atrito é nula, f = 0 e a equação (31) torna-se:
cos β u ⋅ senγ Wt ' = Ft ⋅ = Ft ⋅ tan γ cos β u ⋅ cos γ
(32)
W t é a força que se opõe ao giro do sem-fim. Quando parafuso executa uma rotação, numa certa quantidade de trabalho é efetuada contra essa resistência, conseqüentemente em (31) e (32). W t é respectivamente proporcional ao trabalho executado com e sem atrito. Conseqüentemente, o rendimento, que é a razão do trabalho ideal (sem atrito) para o trabalho real (com atrito), é a relação entre da equação (32) e da equação (31) ou
M=
cos β n cos γ − f ⋅ senγ Wt ' = tan γ ⋅ Wt cos β u senγ + f ⋅ cos γ cos β u − f ⋅ tan γ cos β u − tan γ + f
ou M = tan γ ⋅
Uma representação gráfica típica da equação anterior, rendimento em função do ângulo de avanço γ, é mostrada na figura 8 abaixo. O rendimento destas transmissões, além de variar com β e γ, é sensível à lubrificação, à velocidade de deslizamento no contacto, à qualidade de mão-de-obra e aos materiais.
373
Figura 8 – Rendimento x Avanço.
Da figura 8 vemos que para ângulos de avanço muito pequenos, o rendimento é baixo, porém para ângulos de avanço entre 30º e 60º o rendimento é razoavelmente elevado. Quanto menor for o diâmetro do sem-fim para um passo particular, maior será o ângulo de avanço, porém, para se obter ângulo de avanço dentro de gama de rendimentos máximos é necessário usar-se parafuso sem-fim de várias entradas, com 3, 4, 5 ou mais filetes.
11.6.5 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - SEM FIM E COROA 1.
Dimensionar um sistema, parafuso coroa, segundo as especificações: Potencia a transmitir = 22 CV Rotação do parafuso 1980 rpm Rotação da coroa = 180 rpm Material do parafuso = aço cementado com
σr = 90 Kg/mm2
τr = 45 Kg/mm2
funcionando em condições normais com Fs = 3 material da coroa - Bronze fósforo: σr = 27 Kg/mm2 τr = 12 Kg/mm2 ângulo de inclinação de hélice = 14º Serviço contínuo, caixa comum com ventilação, sendo o sem fim com perfil envolvente.
374
a) dimensionar pela resistência - carregamento Estático. b) verificação ao desgaste. c) verificação quanto ao cisalhamento. d) cálculo do rendimento. e) verificação a dissipação de calor. Dimensionamento pela Resistência
mn ≥ 3
2 ⋅ M tc ⋅ cos α c σ ⋅ Y * ⋅Z c ⋅ K
M tc =
716 ⋅ N CV 716 ⋅ 22 = = 87,5 Kgm Mtc = 87500 Kgmm n 180
supondo carregamento estático.
cos αc = cos 14º = 0,97 σ = σr/Ks = 27/3 = 9 Kg/mm2 R = 1980/180 = 11/1 mas
R = Zc/Zp
pela tabela uma relação de 10/1 11/1 = Zc/4
σ = 9 Kg/mm2
4 entradas
Zc = 44 dentes
sendo o sem fim com 4 entradas. Para que não haja interferência temos que ter:
Zc
Z vc =
cos α c 3
=
44 = 48,5 ≅ 50 0,97 3
Zv = 50 Y*
Y* = 4,08 X 10-1
β = 20º
mn ≥
3
2 ⋅ 87500 − 0,97 1,7 ×10 4 3 = 9 ⋅ 0,408 ⋅ 4,4 ⋅ 8 13,6 ×10 2
mn = 5
b) Verificação ao desgaste: Pat ≤ Padm
Pat =
2 ⋅ M tc d pc
d pc =
m n ⋅ Z c 5 ⋅ 44 = = 227 cos α c 0,97
Pat =
2 ⋅ 87500 = 772 Kg 227
e
Padm = d pc ⋅ b ⋅ K 1
e
375
b = l . cos αc = k .mn . cos αc b = 5 . 8 . 0,97 b = 38,8 mm K1 (fator de pressão) = 7 Kg/mm2 (tabelado) 772 ≤ 227 . 38,8 . 7
∴ Verifica
Se a condição não fosse satisfeita recalcularia-se um novo módulo utilizando a expressão abaixo:
m n⋅Z c 2 ⋅ M tc ≤ ⋅ k ⋅ mn ⋅ cos α c ⋅ k1 mn⋅Z c cos α c cos α c
mn ≥ 3
2 ⋅ M tc ⋅ cos α c Z c2 ⋅ k ⋅ k1
c) Verificação ao cisalhamento: Pat ≤ Fτ Fτ = 2/3 S . τ
sendo τ = 45/3
S = λ . l . Pap
λ Sap Zc p/ βap = 20º λ = 0,7
sen α c =
L AP l
l=
L AP sen α c
L AP = τ ⋅ PAP PAP = P fc =
Pn
cos α c
=
π ⋅ m n 50 ⋅ 3,14 = PAP = 16,2 mm cos α c 0,97
Figura 9 - Exercício resolvido 1.
l=
6 ⋅16,2 97,2 = = 402 sen14º sen14º
S = 0,7 . 402 . 16,2 = 4570 mm2 τ = 15 Kg/mm2 Fτ = 2/3 . 4570 • 15 Fτ = 45 . 700 Kg Logo: Pat ≤ Fτ d) Cálculo do Rendimento:
η=
cos β n − f ⋅ tan γ cos β n − 0,1⋅ tan 14º ⋅ tan γ = ⋅ tan 14º cos β n ⋅ tan γ + f cos β n ⋅ tan 14º +0,1
tg β n = tg β α . cos γ = tg 20 X cos 14 = 0,37 X 0,97 tg βn = 0,36 βn = 19º sendo ∴ cos 19º = 0,945 e tg 14º = 0,25
376
η=
0,945 − 0,1 ⋅ 0,25 ⋅ 0,25 = 0,685 η = 68,5% 0,945 ⋅ 0,25 + 0,1
e) Verificação quanto a dissipação de calor:
N 1 ⋅ Y1 ⋅ Y2 ⋅ Y3 C ≥ n 100 1+ 6 ⋅ 1000 2
C=
d pp + dpc
d pp =
d pc =
mas
2 mn ⋅ Z p senγ p
=
5⋅4 = 83 0,242
m n ⋅ Z c 5 ⋅ 44 = = 227 ∴ senα c c 0,97
N1 = 22CV
C=
83 + 227 = 155 mm 2
y2 = 1 (devido a relação de redução)
y1 =1 (serviço contínuo)
y3 = 1,17 (aço temperado sem retificar)
22 ⋅1⋅1 ⋅1,17 155 ≥ 1980 100 1+ 6⋅ 1000 2
2,4 ≥
25,75 =2 12,9
(logo 0K!)
11.7 - DIMENSIONAMENTO PELA NORMA AGMA
11.7.1 - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS A) CÁLCULO DA TENSÃO DE FLEXÃO, POR LEWIS, SEM CONSIDERAR O EFEITO DINÂMICO
a) σ =
6Wt l M = l / c Ft 2
b) σ =
Wt P FY
377
Número de
Y
Dentes
Número de Dentes
Y
Número de Dentes
Y
12
0,245
21
0,328
50
0,409
13
0,261
22
0,331
60
0,422
14
0,277
24
0,337
75
0,435
15
0,290
26
0,346
100
0,447
16
0,296
28
0,353
150
0,460
17
0,303
30
0,359
300
0,472
18
0,309
34
0,371
400
0,480
19
0,314
38
0,384
Rack
0,485
20
0,322
43
0,397
-
-
Tabela 10 – Número de Dentes e fator Y.
B) FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO EFEITO DINÂMICO a) K V =
1200 ; (sistema inglês) 1200 + V
b) K V =
6,1 ; (sistema internacional) 6,1 + V
C) FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA TENSÃO DE FLEXÃO CONSIDERANDO O EFEITO DINÂMICO a) σ =
Wt P ; (sistema inglês) K v FY
b) σ =
Wt ; (sistema internacional) K v FmY
D) FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO CARREGAMENTO TANGENCIAL a) Wt =
33000 H ; onde H entra em hp (cavalo vapor) e V em ft/min (pés por minuto) V
b) Wt =
H ; onde H entra em Watts e V em m/s. V 378
11.7.2 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS 1.
Um pinhão de aço tem um passo de 6 dentes/polegada, 22 dentes, e um ângulo de pressão de 20º. O pinhão gira a uma velocidade de 1200 rpm e transmite uma potência de 15hp a uma engrenagem de 60 dentes. Se a face mede 2 polegadas estime a tensão de flexão.
2.
N 22 → d= → d = 3,67 in P 6
•
Cálculo do diâmetro: d =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 22 tem-se Y = 0,331:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt =
•
Cálculo da tensão de flexão: σ =
πdn 12
→V =
π × 3,67 × (1200) 12
→ V = 1152 ft / min
1200 1200 → KV = → K V = 0,510 1200 + V 1200 + 1152 33000 H 33000 × 15 → Wt = → Wt = 430lb V 1152
Wt P 430 × 6 →σ = → σ = 7,64 Kpsi K v FY 0,510 × 2 × 0,331
Um pinhão de aço possui um passo diametral de 12 dentes/polegada, 16 dentes um ângulo de pressão de 20º e tem a face do dente com uma largura de ¾ de polegada. É esperado que este pinhão transmita 1,5 hp a uma rotação de 700 rpm. Determinar a tensão de flexão.
N 16 → d= → d = 1,33 in P 12
•
Cálculo do diâmetro: d =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 16 tem-se Y = 0,296:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt =
•
Cálculo da tensão de flexão: σ =
πdn 12
→V =
π × 1,33 × (700) 12
→ V = 243,73 ft / min
1200 1200 → KV = → K V = 0,83 1200 + V 1200 + 243,73 33000 H 33000 × 1,5 → Wt = → Wt = 203,1lb V 243,73
Wt P →σ = K v FY
203,1 × 12 → σ = 13,23Kpsi 3 0,83 × × 0,296 4
379
3.
Um pinhão de aço tem um módulo de 1,25 mm, 18 dentes, um ângulo de pressão de 20º e 12 mm de largura de face. Em uma velocidade de 1800rpm é esperado que este pinhão consiga transmitir 0,5 kW. Determine o resultado da tensão de flexão.
d → d = 1,25 × 18 → d = 22,5 mm N
•
Cálculo do diâmetro: m =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 18 tem-se Y = 0,309:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt =
•
Cálculo da tensão de flexão: σ =
πdn 60000
→V =
π × 22,5 × (1800) 60000
→ V = 2,12m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,742 6,1 + V 6,1 + 2,12
H 500 → Wt = → Wt = 235,85 N V 2,12
Wt K v FmY
→ σ =
235,85 → 0,742 × 12 × 1,25 × 0,309
σ = 68,58MPa 4.
Um pinhão com 15 dentes e um ângulo de contato de 20º módulo de 5 mm e a largura da face igual a 60 mm. O pinhão gira a uma rotação de 200 rpm e transmite 5 kW para uma engrenagem idêntica. Qual é o resultado do a tensão de flexão.
d → d = 5 × 15 → d = 75 mm N
•
Cálculo do diâmetro: m =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 15 tem-se Y = 0,290:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt =
Cálculo
da
tensão
de
πdn 60000
flexão:
→V =
π × 75 × (200) 60000
→ V = 0,785m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,886 6,1 + V 6,1 + 0,785
H 5000 → Wt = → Wt = 6369,43N V 0,785
σ=
Wt K v FmY
→
σ=
6369,43 0,886 × 60 × 5 × 0,290
→
σ = 82,63MPa
380
5.
Um pinhão com um módulo de 1mm 16 dentes 20º de ângulo de contato e um carregamento de 0,15 kW a uma rotação de 400 rpm. Determine a largura da face para uma tensão de flexão de 150 MPa.
d → d = 1× 16 → d = 16 mm N
•
Cálculo do diâmetro: m =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 16 tem-se Y = 0,296:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt =
•
Cálculo da tensão de flexão:
πdn 60000
→V =
π × 16 × (400) 60000
→ V = 0,335m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,948 6,1 + V 6,1 + 0,335
H 150 → Wt = → Wt = 447,76 N V 0,335
σ=
Wt K v FmY
→
F=
447,76 → 0,948 × 150 × 1 × 0,296
F = 10,64mm 6.
Um pinhão com ângulo de contato de 20º tem 17 dentes e um módulo de 1,5 mm transmitindo 0,25kW na rotação de 400 rpm. Encontre a largura do dente apropriada para que a tensão de flexão não ultrapasse 75 MPa.
d → d = 1,5 × 17 → d = 25,5 mm N
•
Cálculo do diâmetro: m =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 17 tem-se Y = 0,303:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt =
•
Cálculo da tensão de flexão: σ =
πdn 60000
→V =
π × 25,5 × (400) 60000
→ V = 0,534m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,919 6,1 + V 6,1 + 0,335
H 250 → Wt = → Wt = 825,08 N V 0,303 Wt K v FmY
→
F=
825,08 → 0,919 × 75 × 1,5 × 0,303
F ≥ 26,32mm
381
7.
Com um ângulo de contato de 20º um pinhão transmite 1,5 kW a uma rotação de 900 rpm. Se o pinhão tem 18 dentes determine valores coerentes para o módulo e a largura do dente. A tensão de flexão não pode ultrapassar 75 MPa. •
Para um módulo igual a 2,5mm
•
Cálculo do diâmetro: m =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 18 tem-se Y = 0,309:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt =
•
Cálculo da tensão de flexão: σ =
d → d = 2,5 × 18 → d = 45 mm N
πdn 60000
→V =
π × 45 × (900) 60000
→ V = 2,12m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,742 6,1 + V 6,1 + 2,12
H 1500 → Wt = → Wt = 707,55 N 2,12 V Wt K v FmY
→
707,55 → 0,742 × 75 × 2,5 × 0,309
F=
F ≥ 16,46mm 8.
Uma engrenagem pinhão para transmitir 3,5kW em uma velocidade de 1200 rpm. Com um ângulo de contato de 20º, 19 dentes e com uma tensão de flexão de 70 MPa, encontre valores coerentes para a largura de face e o módulo. •
Para um módulo igual a 2,5mm
•
Cálculo do diâmetro: m =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 19 tem-se Y = 0,314:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt =
•
Cálculo da tensão de flexão: σ =
d → d = 2,5 × 19 → d = 47,5mm N
π .d .n 60000
→V =
π × 47,5 × (1200) 60000
→ V = 2,984m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,671 6,1 + V 6,1 + 2,984
H 3500 → Wt = → Wt = 1172,76 N V 2,984 Wt K v FmY
→
F=
1172,76 → 0,671 × 70 × 2,5 × 0,314
F = 31,8mm 382
9.
Estime a potência que pode ser transmitida em kW em um pinhão com módulo de 4mm, 20 dentes, ângulo de contato de 20º, largura da face do dente de 50mm, rotação de 1000 rpm e máxima tensão de flexão de 62,5 MPa.
d → d = 4 × 20 → d = 80mm N
•
Cálculo do diâmetro: m =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 20 tem-se Y = 0,322:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt = σK v FmY → Wt = 62,5 × 0,592 × 50 × 4 × 0,322 →
πdn 60000
→V =
π × 80 × (1000) 60000
→ V = 4,189m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,592 6,1 + V 6,1 + 4,189
Wt = 2382,8 N •
10.
Cálculo da potência: H = WtV → H = 2382,8 × 4,189 → H ≤ 9,98kW
Um pinhão com um ângulo de contato de 20º tem um módulo de 6mm, 21 dentes, largura da face de 75mm e uma tensão de flexão de 60 MPa. Qual é a potência máxima que pode ser transmitida se a rotação for de 800 rpm.
d → d = 6 × 21 → d = 126mm N
•
Cálculo do diâmetro: m =
•
Cálculo da velocidade: V =
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 21 tem-se Y = 0,328:
•
Cálculo da carga tangencial: Wt = σK v FmY → Wt = 60 × 0,536 × 75 × ×0,328 →
πdn 60000
→V =
π × 126 × (800) 60000
→ V = 5,278m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,536 6,1 + V 6,1 + 5,278
Wt = 4746,82 •
Cálculo da potência transmitida: H = WtV → H = 4746,82 × 5,278 → H = 25,05kW .
383
11.7.3 - DURABILIDADE SUPERFICIAL
E) COEFICIENTE ELÁSTICO É DEFINIDO PELA AGMA - FÓRMULA OU TABELA 1
1 Cp = 2 2 π 1 − υ p + 1 − υ g Ep Eg
2
onde E é o módulo de elasticidade do material constituinte e v é a razão de Poisson dados pela tabela 11.
Constantes físicas dos materiais Módulo de Material
Elasticidade (GPA)
Razão de Poisson
Alumínio (todos os tipos)
71,0
0,334
Liga de berílio e cobre
124,0
0,285
Latão
106,0
0,324
Aço carbono
207,0
0,292
Ferro fundido, cinza
100,0
0,211
Cobre
119,0
0,326
Vidro
46,2
0,245
214,0
0,290
Chumbo
36,5
0,425
Magnésio
44,8
0,350
Molibdênio
331,0
0,307
Monel
179,0
0,320
Liga de níquel e prata
127,0
0,322
Liga de níquel e aço
207,0
0,291
Bronze fosforoso
111,0
0,349
Aço inoxidável
190,0
0,305
Liga de níquel, cromo e ferro
Tabela 11- Módulo de elasticidade e razão de Poisson para os diferentes tipos de materiais.
384
Material da engrenagem Coeficiente elástico (Cp) em MPa Aço Material do
Módulo de
pinhão
elasticidade (MPa)
Aço
Ferro
Ferro
Ferro
Alumínio
maleável nodular fundido e bronze
Latão
200000
170000
170000
150000
120000
110000
200000
191
181
179
174
162
158
Ferro maleável
170000
181
174
172
168
158
154
Ferro nodular
170000
179
172
170
166
156
152
Ferro fundido
150000
174
168
166
163
154
149
120000
162
158
156
154
145
141
110000
158
154
152
149
141
137
Alumínio e bronze Latão
Tabela 12 - Coeficiente elástico Cp com relação ao material do pinhão e da engrenagem.
F) FATOR DINÂMICO CV Para encontrarmos o fator dinâmico de um engrenamento podemos utilizar a fórmula abaixo ou a Tabela 13.
A Cv = A + (200V ) 12
B
(12 − Qv ) 3 2
, A = 50 + 56(1 − B ) e B =
4
onde: V é a velocidade tangencial
em (m/s) e Qv é o fator de qualidade do engrenamento.Obs: Quando não for fornecido o fator de qualidade Qv devemos calcular Kv, e igualar com Cv. Cv Velocidade
Fator de qualidade (Qv) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
2
0,58
0,63
0,67
0,71
0,75
0,79
0,82
0,85
0,89
0,92
0,95
4
0,49
0,54
0,59
0,64
0,68
0,73
0,77
0,81
0,85
0,89
0,94
6
0,44
0,49
0,54
0,59
0,64
0,69
0,73
0,78
0,82
0,87
0,92
8
-
0,45
0,51
0,56
0,61
0,66
0,70
0,75
0,80
0,86
0,91
10
-
-
0,48
0,53
0,58
0,63
0,68
0,73
0,79
0,84
0,91
12
-
-
-
0,51
0,56
0,61
0,66
0,72
0,77
0,83
0,90
14
-
-
-
-
0,54
0,59
0,65
0,70
0,76
0,82
0,89
(m/s)
Tabela 13 – Fator Dinâmico Cv
385
Cv Velocidade
Fator de qualidade (Qv) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
16
-
-
-
-
0,52
0,58
0,63
0,69
0,75
0,81
0,89
18
-
-
-
-
-
0,56
0,62
0,68
0,74
0,81
0,88
20
-
-
-
-
-
0,55
0,61
0,67
0,73
0,80
0,88
22
-
-
-
-
-
0,54
0,60
0,66
0,72
0,79
0,87
24
-
-
-
-
-
-
0,59
0,65
0,72
0,79
0,87
26
-
-
-
-
-
-
-
0,64
0,71
0,78
0,87
28
-
-
-
-
-
-
-
0,63
0,70
0,78
0,86
30
-
-
-
-
-
-
-
-
0,70
0,77
0,86
32
-
-
-
-
-
-
-
-
0,69
0,77
0,86
34
-
-
-
-
-
-
-
-
0,68
0,76
0,85
36
-
-
-
-
-
-
-
-
0,68
0,76
0,85
38
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0,75
0,85
40
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0,75
0,84
42
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0,75
0,84
44
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0,74
0,84
46
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0,84
48
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0,83
50
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
0,83
(m/s)
Tabela 13 (continuação)– Fator Dinâmico Cv.
G) FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TENSÃO DE CONTATO 1
Wt 1 1 2 + σ c = −C p C F cos φ v r1 r2 onde r1 =
d p senφ 2
, r2 =
d g senφ 2
, φ é o ângulo de pressão.
386
11.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - DURABILIDADE SUPERFICIAL 1.
Um pinhão com um ângulo de pressão de 20º, 20 dentes, um módulo de 4mm, construído de ferro fundido movimenta uma engrenagem de ferro fundido com 32 dentes. Encontre a tensão de contato se o pinhão gira a uma rotação de 1000 rpm, a largura da face é 50 mm e transmite 10 kW de potência. • Cálculo do diâmetro do pinhão: m =
d → d = 4 × 20 → d = 80 mm N
• Cálculo do diâmetro da engrenagem: m = • Cálculo da velocidade do pinhão: V = • Cálculo do efeito dinâmico: K V =
d → d = 4 × 32 → d = 128 mm N
πdn 60000
→V =
π × 80 × (1000) 60000
→ V = 4,19m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,593 6,1 + V 6,1 + 4,19
• Cálculo da carga tangencial: Wt =
H 10000 → Wt = → Wt = 2386,64 N 4,19 V
• Pela tabela 3 com pinhão e a engrenagem constituídos de ferro fundido temos uma constante elástica Cp de 163 MPa. • Como CV = K V então CV = 0,593 • Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão: r1 =
r1 =
→
2
80 × sen 20º → r1 = 13,68mm . 2
• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem: r2 =
r2 =
d p sen φ
d g sen φ
2
→
128 × sen 20º → r2 = 21,89mm . 2 1
Wt 1 1 2 + → • Cálculo da tensão de contato do engrenamento: σ c = −C p C F cos φ r1 r2 v 1
2386,64 1 2 1 σ c = −163 × + → σ c = −520MPa . 0,593 × 50 × cos 20 13,68 21,89
387
2.
Um engrenamento é constituído de um pinhão de aço com 19 dentes e uma engrenagem de ferro fundido com 30 dentes. Os dentes apresentam um ângulo de contato de 20º. Determine os valores do módulo, largura da face que corresponda a uma potência de entrada de 3,5kW, uma velocidade do pinhão de 1200 rpm e uma tensão máxima de contato de 600 MPa. •
Para um módulo igual a 6mm
•
Cálculo do diâmetro do pinhão: m =
•
Cálculo do diâmetro da engrenagem: m =
•
Cálculo
da
velocidade
do
d → d = 6 × 19 → d = 114 mm N
pinhão:
d → d = 6 × 30 → d = 180 mm N V=
πdn 60000
→
V=
π × 114 × (1200) 60000
→
V = 7,16m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,46 6,1 + V 6,1 + 7,16
•
Cálculo do efeito dinâmico: K V =
•
Cálculo da carga tangencial: Wt =
•
Com pinhão de aço e uma engrenagem de ferro fundido temos uma constante
H 3500 → Wt = → Wt = 488,64 N V 7,16
elástica Cp de 174 MPa. •
Como CV = K V então CV = 0,46
•
Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão: r1 =
r1 = •
2
→
114 × sen 20º → r1 = 19,5mm . 2
Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem: r2 =
r2 =
d p sen φ
d g sen φ 2
→
180 × sen 20º → r2 = 30,78mm . 2 1
•
Wt 1 1 2 + Cálculo da largura dos dentes do engrenamento: σ c = −C p C v F cos φ r1 r2 1
464,22 1 2 1 → − 600 = −174 × + → F ≥ 7,6mm . 0 , 46 × F × cos 20 º 19 , 5 30 , 78 388
3.
Um redutor consiste de um pinhão de ferro fundido com 21 dentes girando a 800 rpm movimentando uma engrenagem de ferro fundido com 44 dentes. O engrenamento tem um ângulo de pressão de 20º, largura da face de 75mm e um módulo de 6mm. Para uma tensão de contato de 480 MPa estime a potência máxima que pode ser transmitida.
• Cálculo do diâmetro do pinhão: m =
d → d = 6 × 21 → d = 126 mm N
• Cálculo do diâmetro da engrenagem: m =
• Cálculo da velocidade do pinhão: V =
• Cálculo do efeito dinâmico: K V =
d → d = 6 × 44 → d = 264 mm N
πdn 60000
→V =
π × 126 × (800) 60000
→ V = 5,27m / s
6,1 6,1 → KV = → K V = 0,536 6,1 + V 6,1 + 5,27
• Com pinhão e a engrenagem constituídos de ferro fundido temos uma constante elástica Cp de 163 MPa. • Como CV = K V então CV = 0,536 • Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão: r1 =
r1 =
2
→
126 × sen 20º → r1 = 21,55mm . 2
• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem: r2 =
r2 =
d p sen φ
d g sen φ 2
→
264 × sen 20º → r2 = 45,15mm . 2
1 1 Wt + C v F cos φ r1 r2
• Cálculo da carga tangencial do engrenamento: σ c = −C p
1 2
→
1
Wt 1 2 1 − 480 = −163 × + → Wt = 4779,26 N . 0,536 × 75 × cos 20º 21,55 45,15
389
• Cálculo da potência transmitida: Wt =
H → H = 4779,26 × 5,27 → H = 25,22kW V
11.9 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.
Na instalação mostrada na figura, o conjunto sem-fim/coroa tem as seguintes características: NG = 30 (número de dentes da coroa) Nw = 1 (número de dentes, de entrada) λ = 7o 41’ (ângulo de avanço) dw = C0,875/ 2,2 (diâmetro do sem fim) ϕn = 14o30’ ( ângulo de pressão normal) Material - coroa de bronze centrifugado, sem-fim de aço retificado. Determinar a potência e rotação do motor sabendo-se que um fator de serviço de 1,5 deve ser considerado para o sem-fim/coroa e uma eficiência de 95% para o conjunto engrenagens helicoidais e polias.
Figura 10 – Exercício proposto 1.
2.
No redutor mostrado na figura abaixo, o rolamento A suporta uma carga radial de 3972 N,. O rolamento B suporta a carga radial pura de 2840 N. O eixo gira a uma rotação de 150 rpm e a carga axial é de 1125 N. A vida desejada é de 11.500 horas. Os diâmetros do eixo são em A 35 mm e B 30 mm. Selecione os rolamentos que julgar mais adequados. 390
3.
Um conjunto de engrenagens cilíndricas de dentes retos, consiste de um pinhão de 16 dentes ,angulo de pressão 20o acionando uma engrenagem de 48 dentes. A rotação do pinhão é de 300 rpm, largura da face de 50 mm, e módulo 4 mm. As engrenagens são feitas de alta precisão com fator de segurança 1,8. Determine a potência a ser transmitida pelo par de engrenagens, levando em conta a flexão e o desgaste, Dados: limite de resistência a fadiga= 230 MPa; Dureza Brinell 180 HBN; CL=CH=CT=CR=1; CP=190; Jp=0,2;
4.
Um conjunto de engrenagens consiste de um pinhão de aço 16 dentes, 20o acionando uma engrenagem de ferro fundido de 48 dentes. A rotação do pinhão é de 300 rpm, largura da face de 2 pol, e passo diametral de 6 dentes por polegada. As engrenagens são feitas de padrão de qualidade no.7 e devem ser montadas rígida e precisamente. Determine a tensão de contato AGMA se estas engrenagens transmitem 5 HP.
391
CAPITULO 12 – PROJETO DE FREIOS E EMBREAGENS
12.1 - INTRODUÇÃO Os freios são elementos associados à rotação, e têm como função armazenar energia rotativa. O escorregamento ocorre devido a dois elementos que estão movendo a diferentes velocidades, dissipando energia durante essa ação. O torque transmitido durante a frenagem nos freios de fricção está relacionado à força atuante, ao coeficiente de atrito e à geometria do freio.
12.2 - MATERIAIS DE FRICÇÃO Um material de fricção no freio deve possuir as seguintes características: •
Um alto e uniforme coeficiente de fricção;
•
Condições impermeáveis para o meio;
•
A habilidade para suportar altas temperaturas, junto com uma boa condutividade térmica;
•
Boa resiliência;
•
Alta resistência para o desgaste, descamação e risco.
A manufatura de materiais friccionais é um processo altamente especializado, e é aconselhável consultar catálogos de fornecedores a fim de selecionar materiais friccionais para aplicações específicas. Os materiais utilizados para se construir um freio devem ser selecionados de acordo com a análise do revestimento. O revestimento é determinado pela mistura dos materiais que irão compor o freio e pela seqüência de produção dos componentes. Existem, basicamente, três tipos de revestimentos.
REVESTIMENTO ORGÂNICO Esse tipo de revestimento é geralmente composto por seis ingredientes básicos: •
Asbestos: pela resistência térmica e pelo alto coeficiente de fricção
•
Modificadores de fricção: por exemplo, óleo para dar uma fricção desejada
•
Preenchimento: por exemplo, goma de borracha para controlar os ruídos
•
Agentes de cura: para promover as reações químicas requeridas durante a manufatura
392
•
Outros materiais: por exemplo, chumbo em pó, lascas de latão e alumínio em pó para aumentar a performance durante a frenagem
•
Materiais coesivos: resinas fenólicas para unir ingredientes
Asbestos têm características que fazem com que sejam encaixados nas aplicações de fricção: estabilidade térmica e resistência adequada ao desgaste. Por essas razões foi encontrada uma aceitação universal como ingrediente básico nos materiais que compõem os freios.
REVESTIMENTO SEMIMETÁLICO Esse tipo de revestimento substitui parte dos asbestos e dos componentes orgânicos da dureza orgânica por ferro, aço e grafite. As razões para essa substituição são: •
Aumento da estabilidade friccional e performance a alta temperatura;
•
Excelente compatibilidade com o rotor e resistência ao desgaste a alta temperatura, para temperaturas maiores que 230oC;
•
Alta performance com ruídos minimizados.
REVESTIMENTO METÁLICO Esse tipo de revestimento recebeu atenção pelas aplicações especiais envolvendo grande dissipação de calor e altas temperaturas. Materiais de fricção sinterizados de cerâmicametalica são aplicados com sucesso em freios de jatos e em carros de corrida. Dois métodos são usados para fabricar esse tipo de revestimento de freio – weaving e moldagem. Ambos são feitos basicamente com asbestos com materiais coesivos para manter as fibras de asbestos unidas. O tipo moldado é mais utilizado.
12.3 - CONCEITOS GERAIS DE ATRITO Os conceitos gerais de atrito ou fricção, tem sido desenvolvidos ao longo dos anos. Como aço e ferro fundido são aplicados no revestimento dos freios, as fontes principais de fricção são: •
Adesão: Com o movimento do revestimento sobre o tambor ou a superfície do rotor, seus constituintes metálicos unem-se ao material do rotor e do tambor. O cisalhamento dessa junção produz a força friccional.
393
•
Deformação por cisalhamento: O coeficiente de fricção cresce à medida que a temperatura cresce, sugerindo que a deformação seja um fator importante pois a resina amacia-se com o crescimento da temperatura. Acredita-se que o efeito da deformação ocorre a partir da formação de uma onda de deformação e não a partir de uma perda por histereses.
•
Sulcos:
Durante o processo de movimento tangencial entre as superfícies,
protuberâncias no disco do tambor encadeia-se com partículas dos ingredientes, desarranjando-as. Quando a tensão última é excedida, ocorre a ruptura no polímero e as partículas são perdidas. Para que não ocorra a perda dessas partículas, longos amiantos ou fibras de aço fornecem a tensão mecânica necessária para evitar perdas excessivas de material durante a abertura dos sulcos. •
Histereses: A energia perdida que está envolvida com a tensão elástica, produz uma fonte muito pequena de fricção no freio.
•
Filmes da superfície: A contaminação da superfície com material de revestimento decomposto afeta muito o coeficiente de fricção por reduzir a adesão e a deformação por cisalhamento. A importância de cada componente de fricção discutida acima, variará de acordo com a
vida do revestimento. A operação inicial do sistema pode envolver grandes ranhuras devido à alta rugosidade original da superfície. À medida que a rugosidade vai diminuindo com o uso, o efeito positivo do crescimento da adesão vai ficando mais importante assim como o efeito negativo da contaminação das superfícies. O coeficiente de fricção para o material de freios com fricção em ferro fundido é uma função da carga, velocidade e temperatura. A expressão da força pode ser escrita como: F = K(T)Pa(T)Vb(T) Onde K(T) = Constante, dependente da temperatura; P = Carga normal; a(T) = Expoente da carga dependente da temperatura; V = velocidade de escorregamento; b(T) = Expoente da velocidade dependente da temperatura. Pela influência da carga, velocidade e temperatura para um material de fricção como o amianto, percebe-se que o aumento da carga ou da velocidade causa um decrescimento no coeficiente de fricção. Entretanto, análises como essas devem ser feitas com cuidado devido à grande influência que a temperatura da superfície causa no coeficiente de fricção. 394
12.4 - CONSIDERAÇÕES SOBRE FREIOS EM VEÍCULOS Um freio de fricção transforma a energia cinética em calor, entretanto, devido ao projeto dos veículos, esse calor dissipado não é distribuído igualmente a todas as rodas. O calor dissipado em cada freio será uma função da distribuição estática e dinâmica do peso sobre as rodas e do design do sistema de freio. A carga dinâmica será dependente do design do veículo (distribuição estática do peso, a altura do centro de gravidade e a base do volante) e da desaceleração. A soma das forças durante a frenagem, mostra que a desaceleração do veículo em porcentagem da aceleração da gravidade g é menor ou igual ao coeficiente de fricção entre o pneu e o chão. Esse coeficiente de fricção dependerá do tamanho e da construção do pneu, da superfície do chão, e do escorregamento relativo entre o pneu e o chão. Se o peso está uniformemente distribuído da direita para a esquerda, a carga dos pneus da frente e de trás (LF e LR) pode ser escrita como: LF = W(F = µh/d) LR = W(R = µh/d) Onde: F: carga estática da roda da frente = dR/d; R: carga estática da roda de trás = dF/d; d: base da roda; dF: distância do centro de gravidade à roda da frente; dR: distância do centro de gravidade à roda de trás; µ: coeficiente de fricção; h: distância vertical do chão ao centro de gravidade. Essa expressão pode ser usada para estimar a mudança no carregamento devido às forças de fricção no chão durante a frenagem. Uma transferência de peso significativa ocorrerá para veículos altos e curtos. Para veículos baixos e longos, porcentagens menores do peso serão transferidas. O balanço da frenagem entre a frente e a traseira é um fator importante no projeto. O sistema de freio poderia ser projetado de forma que os freios da frente produzam um torque 4 vezes maior que o de trás. Entretanto, em condições molhadas, o coeficiente de fricção reduz bastante, resultando em um balanço no sistema de freio de 80% na frente e 20% atrás que causaria um escorregamento das rodas da frente. Se o sistema de freio fosse balanceado para uma desaceleração dinâmica de distribuição de peso mais baixa, as rodas de trás escorregariam primeiro durante a desaceleração máxima para condições secas.
395
Para decidir a respeito do projeto do balanço do freio, a influência do escorregamento da roda no controle do veículo tem que ser considerada. O controle do veículo está relacionado com o escorregamento da roda no seguinte sentido: Travando apenas as rodas de trás resulta na perda parcial ou total do controle do veículo. Dependendo de suas características essa situação levaria o veículo a rodar. Travando apenas as rodas da frente resulta em um movimento retilíneo do veículo onde há perda quase total do controle do volante. Conclui-se que para a maioria dos veículos, é melhor um balanço do sistema de freio favorecendo primeiro o travamento das rodas da frente. Para um melhor controle do veículo durante o frenagem, sistemas de freio ABS foram desenvolvidos. Esses sistemas medem a velocidade relativa da roda e do veículo e modela a pressão do freio para manter cada roda no limite de adesão sem escorregar. O coeficiente máximo de fricção para os pneus na estrada ocorre a uma pequena porcentagem de escorregamento que esta mais perto das condições de rolamento que de escorregamento. Assim, um sistema ABS de freio pode ser projetado para produzir um torque máximo durante o frenagem. 12.5 - FREIO A TAMBOR A sapata interna do freio consiste essencialmente de três elementos: a superfície de fricção, os meios de transmissão do torque para as e da superfícies e o mecanismo atuante. Dependendo do mecanismo de operação, esses freios são classificadas como anel de expansão, centrífugo, magnético, hidráulico ou pneumático. O anel de expansão do freio é muito usado em máquinas da indústria têxtil, escavadoras e em ferramentas onde o freio pode estar localizado dentro da polia de transmissão. Os anéis de expansão do freio têm vantagens devido aos efeitos centrífugos; transmitem um alto torque, mesmo em baixas velocidades; requerem engrenamentos positivos e uma força de afrouxamento suficiente. O freio centrifugo é usado principalmente para operações automáticas. Se molas não são usadas, o torque transmitido é proporcional ao quadrado da velocidade. Isso é particularmente útil para acionamentos de motores elétricos onde, durante a partida, a máquina acionada adquire velocidade gradativamente. Molas também podem ser úteis para prevenir o engrenamento até uma certa velocidade ser atingida mas choques podem ocorrer. Os freios magnéticos são particularmente úteis para sistemas automáticos e com controle remoto. Tais freios também são úteis em acionamentos sujeitos a ciclos de carga complexos.
396
Freios hidráulicos e pneumáticos são úteis também em acionamentos que tem ciclos de carga complexos e em máquinas automáticas ou em robôs. Nesse caso o fluxo do fluido pode ser controlado remotamente por válvulas solenóides. Esses freios são encontrados também em forma de disco e pratos múltiplos. Em sistemas de freios, a sapata interna ou freio tambor é usada principalmente para aplicações automotivas. Para analisar o mecanismo de uma sapata interna, olhar Fig 1, no qual mostra uma sapata com o pivô no ponto A, e a força atuante agindo no outro lado da sapata. Não é possível admitir que a distribuição de forças é uniforme devido ao longo comprimento da sapata. O mecanismo não permite pressões aplicadas no salto. A pressão nesse ponto é considerada zero.
Figura 1 – Sapata interna
Para uma distância pequena do salto é muito comum omitir o material de fricção na prática. Isso elimina interferências, e de qualquer forma o material poderia contribuir muito pouco para a performance. Em alguns projetos, o pino articulado é feito móvel para prover pressão adicional do heel. Isso promove o efeito de uma sapata flutuante. Considerando uma unidade de pressão p agindo sobre um elemento de área do material de fricção localizado no ângulo β a partir do pino articulado. A pressão máxima pa está localizada no angulo βa a partir do mesmo ponto. Não é considerada a hipótese de que a pressão nesse ponto é proporcional à distância vertical a partir do desse ponto. Essa distância vertical é proporcional ao seno β e a relação entre as pressões é:
397
p pa = senβ senβa p = pa
senβ senβa
Observa-se que p é máximo quando β = 90º ou quando o ângulo do ponto livre β 2 é menos de 90º então p será máximo no ponto livre. Quando β = 0 a equação acima mostra que a pressão é zero. Por contribuir muito pouco na ação de frenagem, material de fricção localizado no salto, pode ser omitido também. Um bom projetista concentraria o máximo possível do material de fricção na vizinhança do ponto de máxima pressão. Tal desenho é mostrado na Fig 2. Nessa figura, o material de fricção começa no ângulo β1, medido a partir do pino articulado no ponto A, até um ângulo β2. Qualquer arranjo como esse resultará em uma boa distribuição do material de fricção.
Figura 2 – Forças na sapata
A força atuante F tem componentes Fx e Fy e opera a uma distância c do pino articulado. Uma força normal diferencial dN age em qualquer ângulo β a partir do pino articulado e sua magnitude é dN = pbr dβ onde b é a largura da face (perpendicular ao papel) do material de fricção. Substituindo o valor da pressão, a força normal é:
dN =
pabrsenβdβ senβa
dN = (pa br senβ dβ)/senβa
A força normal dN tem componentes horizontais e verticais dN cosβ e dN senβ respectivamente. A força de fricção f dN tem componentes horizontais e verticais cuja 398
magnitude é f dN senβ e f dNconβ respectivamente. Aplicando as condições da estática, é calculado a força F, o torque T, e as reações no pino Rx e Ry. A força F é calculada fazendo soma de momentos no pino articulado e igualando a zero. A distância das forças de fricção para o cálculo do momento é r-acosβ. O momento Mf dessas forças friccionais é:
M f = ∫ fdN (r − a cos β ) =
fpa br senβ a
β2
∫β
senβ (r − a cos β )dβ
1
No qual é obtida substituindo o valor de dN. É conveniente integrar acima para cada problema. À distância da força normal dN para o cálculo do momento é a-senβ. Chamando o momento das forças normais MN e fazendo o somatório desses momentos no pino articulado, obtém-se:
M N = ∫ dN (asenβ ) =
p a bra β 2 sen 2 βdβ senβ a ∫β1
A força atuante F deve balancear esses momentos:
F=
MN −M f c
Fazendo MN = Mf a condição de self-locking é obtida e nenhuma força atuante é requerida. Assim, é necessário obter as dimensões para uma ação de auto energização. Para que isso ocorra, a deve assumir um valor tal que MN > Mf. O torque T aplicado no tambor pela sapata do freio é a soma das forças de fricção f dN vezes o raio do tambor.
fpa br 2 T = ∫ frdN = senβ a
β2
∫β
1
fp a br 2 (cos β1 − cos β 2 ) senβdβ = senβ a
As reações no pino articulado são calculadas pela soma das forças horizontais e verticais. Assim, para Rx e Ry:
Rx = ∫ dN cos β − ∫ fdNsenβ − Fx =
β2 p a br β 2 2 ∫β senβ cos βdβ − f ∫β sen βdβ − Fx 1 senβ a 1
R y = ∫ dNsenβ + ∫ fdN cos β − Fy =
β2 p a br β 2 2 ∫β sen βdβ + f ∫β senβ cos βdβ − Fy 1 senβ a 1
A direção da força de fricção é reversa se a rotação for reversa. Assim para rotações no sentido anti-horário, a força atuante é:
F=
MN +M f c 399
E como os momentos tem o mesmo sentido, o efeito auto energizante é perdido e para o sentido anti-horário de rotação, o sinal dos termos friccionais nas equações para as reações no pino mudam para:
Rx =
β2 pa br β 2 2 ∫β senβ cos βdβ − f ∫β sen βdβ − Fx 1 senβ a 1
Ry =
β2 p a br β 2 2 ∫β sen βdβ + f ∫β senβ cos βdβ − Fy 1 senβ a 1
Simplificando:
A=∫
β2
β1
B=∫
β2
β1
β2
1 senβ cos βdβ = sen 2 β 2 β1 β
2 β 1 sen βdβ = − sen2 β 2 4 β1
2
Para rotações no sentido horário:
Rx =
pa br ( A − fB ) − Fx senβ a
Ry =
p a br (B + fA) − Fy senβ a
Assim para rotações no sentido anti-horário:
Rx =
p a br ( A + fB ) − Fx senβ a
Ry =
pa br (B − fA) − Fy senβ a
Usando essas equações, o sistema de referência esta sempre na origem no centro do tambor. O eixo x através do pino de articulação é considerado positivo. E o eixo y positivo é sempre considerado na direção da sapata. As seguintes suposições são feitas para uma análise precedente: 1. A pressão em qualquer ponto da sapata é considerada proporcional à distância do pino articulado, onde o zero está no salto, considerando que o padrão de pressões, que são especificado pelos fabricantes, usa a média e não a máxima. 2. O efeito da força centrifuga foi negligenciado. No caso dos freios, as sapatas não estão em rotação portanto não existem forças centrífugas. No desenho da embreagem, o efeito dessa força tem que ser considerado na hora de aplicar as equações da estática.
400
3. A sapata é considerada rígida. Como isso não ocorre na verdade, alguma deflexão ocorrerá, dependendo da carga, pressão e dureza da sapata. A distribuição de pressão resultante pode ser diferente da considerada. 4. Toda a analise foi baseada no coeficiente de fricção que não varia com a pressão. Na verdade, o coeficiente pode variar com várias condições, incluindo temperatura, desgaste, e ambiente.
12.6 - FREIO A DISCO O conceito de freio a disco é um dos mais antigos. O primeiro projeto foi patenteado em 1902. Mas devido a sua falta de auto energização, freios a disco foram aplicados apenas em aviões até 1940. Após a segunda guerra, o desenvolvimento dos freios a disco foi acelerado devido ao aumento do peso e velocidade dos veículos: era necessário um freio com melhores condições de dissipar calor. Foi visto que os discos de tambor podem ser projetados por auto-energização. Apesar desse fato ser importante por reduzir o esforço requerido do freio, tem suas desvantagens. Quando freios de tambor são usados em veículos, somente uma mudança mínima no coeficiente de fricção, causará uma grande mudança na força do pedal para frear. Uma redução de 30% no coeficiente de fricção devido à mudança de temperatura ou umidade, pode resultar em 50% de mudança na força requerida pelo pedal para obter o mesmo torque de frenagem. O disco de freio não tem auto-energização e não é susceptível à mudanças no coeficiente de fricção. Mecanismos operacionais podem ser classificados como: •
Solenóides;
•
Alavancas;
•
Articulações com molas de carga ;
•
Hidráulico e pneumático;
401
Figura 3 – Sapata externa
A notação para sapatas com contrações externas está mostrada na Fig 14.3. Os momentos das forças normais e de fricção no pino articulado são os mesmo que para as sapatas internas de expansão. As equações são as mesmas:
Mf =
fp a br senβ a
MN =
∫
β2
β 1senβ (r − a cos β )dβ
p a bra β 2 β1 sen 2 β dβ ∫ senβ a
Ambas as equações fornecem valores positivos para momentos no sentido horário quando usadas para sapatas de contração externa. A força atuante deve ser grande o bastante para balancear os momentos:
F=
MN +M f c
As reações horizontais e verticais no pino articulado são calculadas da mesma maneira que para as sapatas de expansão interna:
Rx = ∫ dN cos β − ∫ fdNsenβ − Fx R y = ∫ dNsenβ + ∫ fdN cos β − Fy
402
Simplificando:
Rx = Ry =
p a br ( A + fB ) − Fx senβ a
pa br (− B + fA) + Fy senβ a
Se a rotação é anti-horária, o sinal do termo de fricção em cada equação é reverso. Assim a equação para a força atuante é:
F=
MN −M f c
E o auto-energizamento existe para rotações anti-horária. As reações horizontais e verticais são calculadas da mesma maneira que antes:
Rx = Ry =
pa br ( A − fB ) − Fx senβ a
pa br (− B − fA) + Fy senβ a
Deve ser notado que quando projetos de contração externa são usados como freios, o efeito da força centrífuga é diminuir a força normal. Assim, quando a velocidade aumenta, um valor maior é requerido para a força atuante F. Um caso especial é quando o pivô é simetricamente localizado e colocado de tal maneira que os momentos das forças de fricção no pivô são iguais a zero. A geometria de tal freio será similar ao da figura 4a. Para obter-se a relação da distribuição da pressão, é considerado que os revestimentos de uso permanecerão em sua forma cilíndrica. Isso significa que o desgaste ∆x na figura 4b é constante independentemente do ângulo β. O uso radial da sapata é ∆r = ∆x cosβ. Se em uma área elementar da sapata, for considerado que a energia ou perda friccional é proporcional à pressão radial, e se for considerado que o uso é diretamente relacionado à perda de fricção, tem-se a analogia:
403
Figura 4a – Freio com pivô simétrico
Figura 4b – desgaste do revestimento do freio
p = p a cos β A p é máximo em β = 0º. Observando a figura 4a tem-se:
dN = pbrdβ = p a br cos βdβ A distância a até o pivô é de tal maneira que o momento das forças de fricção Mf é zero. Simetricamente significa que β 1 = β 2 e:
M f = 2∫
β2
0
( fdN )(a cos β − r ) = 0
Substituindo:
2 fp a br ∫
β2
0
(a cos
2
β − r cos β )dβ = 0
404
No qual:
a=
4rsenβ 2 2 β 2 + sen2 β 2
Com o pivô localizado de acordo com essa equação, o momento no pino é zero e as forças de reação horizontais e verticais são: β2
Rx = 2 ∫ dN (cos β ) = 0
pa br (2 β 2 + sen2 β 2 ) 2
Devido à simetria:
∫ fdNsenβ = 0 β2
R y = 2 ∫ fdN (cos β ) = 0
pa brf (2 β 2 + sen2 β 2 ) 2
Onde:
∫ dNsenβ = 0 Também devido à simetria. Note que Rx = -N e Ry = -fN, como deveria ser esperado a partir da escolha particular de a Entretanto, o torque é: T = afN
12.7 - FREIOS FLEXÍVEIS Freios flexíveis são usados em escavadoras, guinchos e outras máquinas.
Figura 5 - Forças em um freio flexível
405
Pela Figura 5 a força atuante P2 é menor que a reação sobre o pino P1 devido à fricção e rotação do tambor. Qualquer elemento em um comprimento angular dβ, estará em equilíbrio sobre a ação das forças mostradas na figura. Fazendo o somatório na direção vertical obtêmse:
(P + dP )sen dβ + Psen dβ − dN = 0 2
2
dN=Pdβ Para ângulos pequenos sen(dβ/2) = dβ/2. A partir do somatório de forças na horizontal, obtêm-se:
(P + dP )cos dβ − P cos dβ − fdN = 0 2
2
dP-fdN=0 Substituindo e integrando:
∫
P2
P1
φ dP = f ∫ dθ 0 P
→
ln
P1 = fφ P2
→
P1 = e fφ P2
O torque pode ser obtido a partir da equação: T = (P1 – P2) D/2 A força normal dN agindo sobre um elemento de área da largura b e comprimento r dβ é: dN = pbrdβ Então:
Pdθ = pbrdθ p=
P 2P = br bD
A pressão é proporcional à tensão na dobra. A pressão máxima pa ocorrera na extremidade livre e vale: Pa = 2P1/(bD)
12.8 - FREIO ABS Muitos dos atuais modelos de veículos estão equipados com o sistema de freio antibloqueamento - ABS. Esse sistema utiliza componentes eletrônicos e hidráulicos, que ajudam a prevenir o bloqueamento das rodas durante períodos de forte frenagem. O sistema antibloqueamento garante a segurança dos ocupantes do veículo, mantendo o controle direcional enquanto oferece máxima eficiência na frenagem. 406
O sistema hidráulico do freio atua reduzindo a pressão a fim de evitar o travamento das rodas, mantendo o atrito entre as rodas e a pista num valor ótimo. Já o sistema eletrônico do ABS age recebendo sinal dos sensores e enviando sinais de comando para o atuador hidráulico. Os componentes do ABS são: •
Sensores de velocidade nas rodas;
•
Coroa dentada;
•
Atuador hidráulico;
•
Módulo de controle Electronic Control Unit (ECU).
O sistema pode ser aplicado nas duas rodas traseiras ou nas quatro rodas.
SENSORES DE VELOCIDADE NAS RODAS E ROTORES DENTADOS Esses sensores são utilizados para determinar a razão de rotação das rodas. A extremidade do sensor está localizada perto do coroa dentada, que é geralmente preso ao eixo do veículo ou na articulação guiada e gira na mesma velocidade das rodas. Quando o rotor gira, uma tensão é induzida no sensor. O módulo e a freqüência dessa tensão varia em relação à velocidade da roda. O sensor de velocidade pode vir montado em cada roda ou na carcaça do eixo ou ainda na transmissão.
ATUADOR HIDRÁULICO O atuador hidráulico é a unidade que tem a capacidade de aumentar, diminuir ou manter a pressão no freio. Ele age baseado em sinais recebidos do módulo de controle. O atuador hidráulico consiste basicamente nos seguintes componentes: •
Conjunto bomba/motor, que supre o acumulador com fluido de freio pressurizado;
•
Acumulador, que recebe o fluido de freio altamente pressurizado;
•
Conjunto de válvulas bloqueadoras, que contêm as válvulas solenóides hidráulicas. No sistema intregrado ABS, o conjunto cilindro mestre/elevador de pressão é uma parte
integral da unidade hidráulica. Nesses sistemas, o acionamento assistido é provido pelo fluido de freio pressurizado que é suprido pelo acumulador. Em um sistema não integrado, um conjunto convencional cilindro mestre/bomba é usado. Alguns veículos são equipados com atuadores que utilizam motores elétricos ao invés de válvulas hidráulicas para regular a pressão do freio. 407
MÓDULO DE CONTROLE Um módulo de controle anti-bloqueamento é um computador que usa sinais dos sensores de velocidade da roda para determinar quando e como o sistema anti-bloqueamento deve operar em uma determinada situação. Quando a roda está próxima à uma condição de bloqueamento, o módulo de controle emite sinais para o atuador hidráulico para regular a pressão do fluido que afeta a roda em questão.
OPERAÇÃO DO ABS Durante o período de frenagem normal, ao porção anti-bloqueamento do freio não opera. Apesar disso, os sensores continuam monitorando a velocidade de rotação das rodas e enviando sinais para o módulo de controle. Quando o pedal do freio é pressionado, fluido de freio escoa do cilindro mestre, através do atuador hidráulico, até o freio. Quando o módulo de controle detecta que a roda está aproximando do bloqueamento, ele emite sinais para a válvula solenóide no atuador hidráulico para bloquear a passagem de fluido entre o cilindro mestre e o freio da roda em questão. A pressão do fluido do cilindro mestre não pode, assim, escoar através da válvula solenóide, e, a pressão do freio, na roda afetada, é mantida constante. Quando o módulo de controle detecta um bloqueamento completo, ele comanda o atuador a diminuir a pressão na roda afetada. Para realizar isso, a válvula solenóide no atuador move-se para interromper a pressão de fluido vinda do cilindro mestre e permite que o fluido, atuando no freio, escoe para o reservatório do acumulador. No mesmo instante, a bomba contida dentro do atuador, força o fluido do acumulador de volta ao cilindro mestre. Quando isso ocorre, a pressão atuante na roda diminui. Quando todas as rodas estão girando normalmente, a válvula solenóide no atuador retorna à sua posição original e o sistema de frenagem convencional volta a funcionar. Se for necessário, um sistema típico anti-bloqueamento pode repetir esse ciclo por volta de 15 vezes por segundo.
12.9 - CONSIDERAÇÕES SOBRE PRESSÃO E DESGASTE Uma freio axial é o qual os membros de fricção são movidos na direção paralela ao eixo. Contudo, exceto por instalações relativamente simples, ele vem sendo desbancado pelo freio a disco, empregando-se um ou mais discos nos membros operacionais. Nas vantagens dos freios a disco está a liberdade proporcionada pelos efeitos centrífugos, a grande área de fricção que
408
pode ser instalada em um espaço pequeno, as superfícies mais efetivas na dissipação do calor e a favorável distribuição de pressão. Supondo um disco de fricção com diâmetro externo D e diâmetro interno d. Para obter a força F necessária para produzir um torque T e uma pressão p, dois métodos podem ser usados, dependendo da construção do freio. Se os discos são rígidos, o maior uso ocorrerá primeiro nas áreas de fora devido ao maior trabalho de fricção nessas áreas. Após o certo desgaste, a distribuição de pressão ira mudar permitindo um uso mais uniforme. Essa é a base do primeiro método. O outro método de construção, emprega molas para obter uma pressão uniforme sobre a área.
DESGASTE UNIFORME Após um primeiro desgaste e um uso dos discos até o ponto em que o uso uniforme fique possível, a maior pressão deve ocorrer em r = d/2 para que o desgaste seja uniforme. Para a pressão máxima pa, obtém-se:
pr = pa
d d ou p = pa 2 2r
No qual é a condição para ter-se a mesma quantidade de trabalho realizado no raio r e no raio d/2. Considerando um elemento de área de raio r e espessura dr, a área desse elemento é 2πr dr fazendo com que a força atuante no elemento seja dF = 2πrp dr. Variando r de d/2 a D/2 e integrando F obtém-se:
F=∫
D/2
d /2
2πpr = πpa d ∫
D/2
d /2
dr =
paπd (D − d ) 2
O torque obtido pela integração do produto da força de fricção e do raio é:
T =∫
D/2
d /2
2πfpr 2 = πpa d ∫
D/2
d /2
rdr =
fp aπd 2 D −d2 8
(
)
Substituindo:
T=
Ff (D + D ) 4
A equação que fornece a força atuante para a pressão máxima pa é valida para qualquer quantidade de pares de fricção ou superfícies. A outra equação fornece a capacidade de torque para apenas uma superfície de fricção.
409
PRESSÃO UNIFORME Quando pode-se considerar uma pressão uniforme sobre a área do disco, a força atuante é simplesmente o produto da pressão pela área.
F =
(
2 pa D2 − d 2 4
)
Como antes, o torque é obtido, integrando o produto da força de fricção e o raio:
T = 2πfp ∫
D/2
d /2
r 2 dr =
2πfp 3 D −d3 24
(
)
Para a pressão máxima pa:
T=
Ff D 3 − d 3 3 D2 − d 2
Essas equações são válidas para o torque em um único par de união de superfícies. Deve-se multiplicar o número de superfícies em contato para o caso de mais de uma.
12.10 - CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA Quando os membros rotativos de uma máquina são freados, a energia cinética de rotação deve ser absorvida pelo freio. Essa energia aparece no freio na forma de calor. Energia cinética é absorvida, durante a mudança de velocidade, pelo freio, sendo transformada em calor. Foi visto como a capacidade de torque do freio depende do coeficiente de fricção do material e de uma pressão normal segura. Entretanto, a carga deve ser tal, que se o valor do torque for permitido, o freio deve ser destruído pelo seu próprio calor gerado. A capacidade da engrenagem é limitada por dois fatores: as características do material e sua habilidade de dissipar calor. Se o calor é gerado mais rapidamente que é dissipado, tem-se um problema de aumento da temperatura. Para um melhor esclarecimento do que ocorre durante a frenagem, simula-se um modelo matemático de dois sistemas inerciais conectados por um freio. Os momentos de inércia I1 e I2 possuem velocidades angulares iniciais w1 e w2. Durante o acionamento do freio, ambas as velocidades angulares mudam e se tornam iguais. Assume-se que os dois eixos sejam rígidos e que o torque seja constante. Escrevendo a equação de movimento para a inércia 1: I1β”1 = -T
Equação (1) 410
Onde β”1 é a aceleração angular de I1 e T é o torque. Uma equação similar para I2 é: I2β”2= T
Equação (2)
Pode-se determinar as velocidades instantâneas β’1 e β’2 de I1 e I2 depois de um período de tempo t pela integração das Eqs. (a) e (b). β’1 = −
T t + w1 I1
β’2 = −
T t + w2 I2
A diferença das velocidades, conhecida como velocidade relativa, é
I +I
2 t β’= β’1 - β’2 = w1 − w2 − T 1 I1 I 2
A operação de acionamento da embreagem é completa no instante em qual as duas velocidades angulares β’1 e β’2 se tornam iguais.Considerando o tempo requerido pela inteira operação igual a t1. Então β’ = 0 quando β’1 = β’2, então a equação acima fica:
t1 =
I 1 I 2 ( w1 − w2 ) T (I1 + I 2 )
Essa equação mostra que o tempo requerido para o operação de frenagem é diretamente proporcional à diferença de velocidade e inversamente proporcional ao torque. Considerando o torque constante, acha-se, através das equações acima, a razão da dissipação de energia durante a frenagem: U = Tβ’ = T [ w1 − w2 − T (
I1 + I 2 )t ] I1 I 2
A energia total dissipada durante a ação da embreagem é obtida integrando a equação acima: t1
t1
0
0
E = ∫ udt = T ∫ [ w1 − w2 − T ( =
I1 + I 2 )t ]dt I1 I 2
I 1 I 2 ( w1 − w2 ) 2 2( I 1 + I 2 )
Note que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da diferença de velocidades e é independente ao torque.
411
12.11 - CONSIDERAÇÕES SOBRE TEMPERATURA NO FREIO A temperatura atuante na interface rotor-revestimento é fundamental para a fricção e desgaste e está associada com os materiais em questão. É nessa interface que o calor causado pela fricção é gerado e onde atuam as mais altas temperaturas. A temperatura do material da presilha determina o modo de desgaste e o filme presente na superfície que influencia no coeficiente de fricção. O equilíbrio da temperatura é relacionado com o calor de entrada (proporcional ao peso do veiculo, à velocidade inicial e à freqüência de parada) e a magnitude do calor dissipado. O calor é perdido através da condução para o conjunto de freio assim como por convecção e radiação para a vizinhança. CALOR DE ENTRADA A entrada instantânea de calor no freio q é igual a mudança da energia cinética no veículo:
q = ∆KE =
∂ ∂ 1 KE = mv 2 ∂t ∂t 2
onde q = razão de entrada de calor no freio, Btu/s KE = energia cinética do veículo, Btu m = massa do veiculo, peso/32,2 ft/s2 v = velocidade instantânea do veiculo, ft/s O design do sistema de freio irá determinar a porcentagem do total de calor gerado que irá se dissipar em cada roda.
VARIAÇÃO DE TEMPERATURA O aumento de temperatura no conjunto do freio pode ser aproximado pela clássica expressão:
∆T =
H cW
onde ∆T = aumento de temperatura, oF c = calor específico, Btu / (lbm.oF) W = massa do freio, lbm Uma equação similar pode ser escrita no SI:
∆T =
E cm
412
onde ∆T = aumento de temperatura, oC c = calor específico, J/ kg. oC m = massa do freio, kg As equações acima podem ser usadas para explicar o que acontece quando o freio opera. Entretanto, existem várias variáveis envolvidas, então não é de se esperar que tais análises se aproximem de resultados experimentais. Por essa razão, tais análises devem ser utilizadas, em ciclos repetitivos, onde tem-se um melhor efeito na performance. Um objeto aquecido a uma temperatura T1, esfria até uma temperatura ambiente Ta de acordo com a relação exponencial abaixo:
Ti − Ta = (T1 − Ta )e − ( AU / WC ) t onde Ti = temperatura instantânea no tempo t, oF; A = área de transferência de calor, ft2; U = coeficiente de superfície, Btu/(ft2.s.oF). A temperatura do freio depois de repetidas frenagens vai depender de quanto do calor gerado é perdido devido à condução, convecção e radiação. Outro fator significante será o torque residual no freio. Esse torque residual não gera altas temperaturas, mas reduz a perda de calor do freio, mudando efetivamente o equilíbrio da temperatura após múltiplas frenagens.
12.12 - ACIONAMENTO DE FREIOS Os acionamentos usados em carros de passeio são quatro; vácuo suspenso, ar suspenso, hidráulico e eletro-hidráulico. O mais usado é o de suspensão a vácuo.
12.13 - OPERAÇÃO A VÁCUO SUSPENSO Na posição neutra, ambos os lados do pistão de acionamento e do diafragma simples do acionamento à vácuo são abertos e ar entra no coletor a vácuo. Quando o freio é requisitado, ar é admitido em um lado do pistão e do diafragma. Imediatamente, pressão do ar atmosférico move o diafragma e força o pistão para frente, causando o movimento para frente da barra de pressão que age no pistão do cilindro mestre e aciona os freios. Alguns veículos grandes são equipados com diafragmas em série. A operação é similar a unidade única de diafragma, com ar sendo admitido em um lado de cada diafragma promovendo uma assistência ao acionamento.
413
12.14 - OPERAÇÃO DE AR SUSPENSO Na posição neutra, ambos os lados do pistão de acionamento estão sob pressão atmosférica. Quando o freio é aplicado, o coletor a vácuo é admitido em um lado do pistão, diminuindo a pressão desse lado. Imediatamente, a pressão atmosférica atuante no outro lado causa o movimento do pistão, forçando a barra de pressão para frente, acionando o pistão do cilindro mestre que, por sua vez, aciona os freios.
12.15 - OPERAÇÃO DA BOMBA HIDRÁULICA O mecanismo de bombeamento causa uma pressão hidráulica requerida para acionar o freio. Esse mecanismo combina uma válvula de bobina central aberta com o cilindro hidráulico em uma única carcaça. Esse mecanismo hidráulico possui também um reservatório, chamado acumulador, que armazena o fluido sobre pressão para promover assistência ao freio em caso de queda de pressão. Na posição neutra, o fluido escoa da bomba, passando através da válvula, para o mecanismo de engrenagem, e volta para o reservatório. Quando o freio é aplicado, a válvula fecha o retorno do fluido vindo do compartimento da bomba e admite fluido entrando nesse compartimento. O fechamento da válvula também restringe o escoamento do fluido para o mecanismo de engrenagem, causando o bombeamento a fim de aumentar a pressão do fluido. Enquanto a pressão hidráulica no compartimento de bombeamento aumenta, ela age no pistão, que, por sua vez, move para frente o pistão do cilindro mestre para acionar o freio. Se existir uma perda de pressão, a pressão no pedal do freio atua na válvula da bobina para abrir a válvula acumuladora. A pressão na bomba fornece, então, uma reserva de suprimento de energia ou fluido. Quando o suprimento se esgota, o sistema reverte para a operação manual. A operação manual ocorre quando existe uma falta de assistência durante a aplicação do freio. Isso aumenta o esforço necessário para acionar os freios.
12.16 - OPERAÇÃO ELETRO-HIDRÁULICO Compõe este sistema: bomba eletro-hidráulica, um fluido acumulador, chave de pressão dual e uma bomba hidráulico. A bomba opera entre uma faixa limite de pressão para manter a pressão do fluido satisfatória para o acionamento do elevador de pressão. Quando o pedal do freio é acionado, o fluido acumulador sob pressão, age sobre o pistão da bomba para que o cilindro mestre entre em atuação.
414
Capítulo 13 – Programas computacionais
OBSERVAÇÕES PARA INSTALAÇÃO E UTILIZAÇÃO Instale o programa no diretório c:\Elementos .Os programas devem ser instalados diretamente no disco rígido, pois se instalados em diretórios com muitas sub-pastas podem não funcionar corretamente. Alguns programas estão na plataforma DOS portanto podem não funcionar corretamente em algumas versões do Windows. Quando se inicializar algum programa em que esteja operando em plataforma DOS, este deve estar maximizado, caso isso não ocorra pressione as teclas Atl+Enter para maximizar. A maioria dos programas interpretam o ponto como digito decimal e não a virgula. Os programas podem ser acessados diretamente ou através de um programa geral instalado no diretório c:\Elementos\Elemaq\Elemaq.exe
13.1 - CIRCULO DE MOHR Programa – Morh\Circ.exe •
Primeiro passo: Selecione uma opção: [1] Estado Triplo de Tensões [2] Estado Plano de Tensões
•
Segundo passo: Entre com as Tensões: [1] Tx – Tensão normal no plano x [2] Ty – Tensão normal no plano y [3] Tz – Tensão normal no plano z [4] Txy – Tensão cisalhante no plano xy [5] Txz – Tensão cisalhante no plano xz [6] Tyz – Tensão cisalhante no plano yz
13.2 - VIGAS Cálculo de Momento fletor e esforço cortante em vigas: Obs: Use ponto ao invés de virgula para décimos e centésimos. Programas: 415
•
Vigas\R1.exe – Engastada com extremidade livre com força sendo aplicada na extremidade da viga
•
Vigas\R2.exe – Engastada com extremidade livre com força sendo aplicada em uma posição intermediaria a viga.
•
Vigas\R3.exe – Engastada com extremidade livre com carregamento aplicado ao longo da viga.
•
Vigas\R4.exe – Engastada com extremidade livre e momento sendo aplicado na extremidade da viga.
•
VigasR5.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força aplicada no centro da viga.
•
Vigas\R6.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força aplicada em uma posição intermediaria da viga.
•
Vigas\R7.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força uniforme aplicada na viga.
•
Vigas\R8.exe – Bi-apoiada nos extremos e com momento aplicado em uma posição intermediaria da viga.
•
Vigas\R9.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força aplicada simétrica em uma posição intermediaria da viga.
•
Vigas\R10.exe – Bi-apoiada em balaço e com força aplicada na extremidade da viga.
•
Vigas\R11.exe – Engastada e apoiada com força aplicada no centro da viga.
•
Vigas\R12.exe – Engastada e apoiada com força aplicada em posição intermediaria da viga.
•
Vigas\R13.exe – Engastada e apoiada com carregamento aplicado ao longo da viga.
•
Vigas\R14.exe – Bi-engastada com força aplicada no centro da viga.
•
Vigas\R15.exe – Bi-engastada com força aplicada em uma posição intermediaria da viga.
•
Vigas\R16.exe – Bi-engastada com carregamento uniforme aplicado ao longo da viga.
13.3 - FADIGA PARA PEÇAS SEÇÕES CIRCULARES OU RETANGULARES Programa – Fadiga\Fadiga1\fadiga.exe Este livro apresenta um programa computacional Fadiga, que desenvolvemos para o cálculo do limite de resistência à fadiga. O item Opção possui dois níveis: Seção Circular e Seção retangular. Deve-se primeiramente através do item opção selecionar o tipo de seção da peça. Em seguida selecione o tipo de carregamento no qual a peça está sujeita. Para a seleção
416
do carregamento basta clicar sobre a figura desejada. Deve-se agora preencher todos os dados solicitados. Observe, também, que diversas variáveis estão indicadas no desenho que você optou. Os valores não devem ser digitados arbitrariamente, por exemplo, se você digitar um valor D>d, poderá haver um erro. Por fim, clica-se no botão calcular o resultado. Note que ao selecionar uma determinada seção, aparece os desenhos relacionados ao tipo de seção. Se você selecionar uma seção retangular apenas os desenhos da seção retangular estarão disponíveis.
13.4 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS Programa – Fadiga\Fadiga2\fadiga.exe Os cálculos são realizados através da fórmula Se dada neste capítulo. O usuário deverá: •
Consultar a lista de aços disponíveis teclando a opção [1];
•
Entrar com o aço comercial tabelado [2];
•
Escolher o processo de fabricação do aço: [1] Laminado a quente; [2] Estirado a frio; [3] Normalizado; [4] Recozido; [5] Temperado.
•
Escolher o tipo de acabamento: [1] Retificado; [2] Usinado ou estriado a frio; [3] Laminado a quente; [4] Forjado.
•
Escolher o tipo de esforço: [1] Axial; [2] Torção / Flexão.
•
Indicar o tipo de seção: [1] Retangular; [2] Circular; [3] Tipo “I”; [4] Cantoneira. 417
•
Indicar o fator de carregamento: [1] Axial; [2] Fletor; [3] Torsor ou cisalhante.
•
Indicar o valor da temperatura de trabalho (entre 20ºC e 600ºC).
•
Fornecer o valor de Ke, fator devido à concentração de tensões (use ponto para frações).
Resultados do programa: •
Valores de Su, Sy, Ka, Kb, Kc, Kd, Se’, Se;
•
Resistência à fadiga para N ciclos;
•
Vida em ciclos para uma tensão reversa;
•
Carga máxima aplicada ciclicamente.
13.5 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS Programa – Fadiga\Fadiga3\element.exe Os cálculos são realizados através da fórmula Se dada neste capítulo. O usuário deverá: •
Indicar o valor de Su (limite de resistência a tração) da peça. Poderá escolher o valor tabelado ou indicar um novo valor via teclado.
•
Indicar o Tipo de seção: [1] Seção circular; [2] Seção retangular; [3] Perfil I; [4] Perfil U;
•
Informar se a peça trabalha: [1] Fixa; [2] Sob rotação.
•
Informar a geometria da seção, se for eixo, por exemplo: [1] Eixo maciço; [2] Eixo com raio de adoçamento; [3] Eixo com furo radial; [4] Eixo com entalhe; [5] Tubo vazado; 418
[6] Tubo vazado com furo radial. •
Digite o diâmetro do eixo ou calcule o diâmetro efetivo da peça.
•
Informe o tipo de carregamento atuante: [1] Carga axial; [2] Carga de flexão; [3] Carga de torção.
•
Indique a temperatura de trabalho - retirar o valor da tabela de temperatura em o Celsius, variando de 20 a 600 ºC.
•
Indique o acabamento superficial da peça: [1] Retificado; [2] Laminado a frio ou Usinado; [3] Laminado a quente Forjado.
•
O programa informa o valor do Limite de Resistência à fadiga da peça (vida infinita). A partir destes dados obtidos, pode-se agora proceder à estimativa da vida da peça. O usuário deverá entrar com os dados das tensões atuantes sobre a peça, para que o programa determine se esta terá vida finita ou vida infinita.
•
o
Caso 1 - Vida infinita - O programa calcula o fator de segurança do projeto.
o
Caso 2 - Vida finita - O programa calcula a vida da peça em número de ciclos.
O usuário deverá digitar: [1] A máxima tensão atuante sobre a peça em Mpa; [2] A mínima tensão atuante sobre a peça em Mpa.
•
O usuário deverá informar se há pré-carga na peça e o seu valor.
•
O usuário deverá informar qual o critério a ser usado: [1] Critério de Goodman; [2] Critério de Soderberg.
•
O programa apresenta como solução: [1] O gráfico das tensões médias x tensões alternadas com as linhas de Goodman e Soderberg e as tensões alternada, média e o ponto de trabalho. [2] O programa apresenta o limite de resistência à fadiga (Se) se infinito ou limite de fadiga se finito (Sf). [3] O programa apresenta a curva de fadiga da peça destacando os valores de 103 ciclos (0,9 Su) e 106 ciclos, Se. [4] O programa informa a vida da peça com o coeficiente de segurança.
419
13.6 – DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS DE UNIÃO Programa: Parafusos\VasoPressao\Vaspres.exe Este programa computacional utiliza as equações deste capítulo para dimensionar parafusos de união submetidos a carregamento estático e dinâmico.
Figura 1 – Programa parafuso.exe
Dimensionamento de Parafusos de União em Vasos de Pressão O usuário deverá: •
Digitar o valor máximo da pressão interna do vaso em MPa.
•
Digitar o valor do diâmetro interno do vaso de pressão d (mm).
•
Digitar o valor da espessura da tampa do vaso, D (mm).
•
Digitar o valor da espessura do vaso E (mm).
•
Digitar o fator de segurança requerido para o projeto.
•
Digitar o valor do número máximo de parafusos que se deseja.
•
Informar se no projeto, os parafusos possuem ou não porca.
•
Informar se no projeto, os parafusos possuem arruela.
•
Utilizando tabela do programa, informar o material da tampa do vaso. [1] Aço 207 GPa [2] Alumínio 70 GPa [3] Ferro Fundido 131 MPa [4] Ferro Nodular 170 MP
•
Utilizando tabela do programa, informar o material do valorf
•
Informar a característica da junta [1] Conexão permanente [2] Conexão reutilizável
420
O programa apresenta as possíveis soluções utilizando parafusos de classe ISO padronizados. Apresenta uma tabela com as seguintes informações Projeto - Qualidade dos Parafusos - Classe ISO - Diâmetro (mm) - Comprimento do Parafuso (mm)
13.7 - PARAFUSO DE POTÊNCIA Programa: Parafusos\ParafusoPot\Parapote.exe O programa fornece como resposta o diâmetro da raiz, o diâmetro médio, torque para elevar a carga, torque para abaixar a carga, eficiência do parafuso e potencia em HP. Como entradas temos: •
Entre com o valor da carga [N]
•
Entre com o valor da bitola do parafuso [mm]
•
Entre com o passo [mm]
•
Entre com número de entradas do parafusos
•
Coeficiente de atrito para os cálculos [1] Sim [2] Não
•
Tipo de rosca [1]
Rosca quadrada
[2]
Rosca trapezoidal
•
Ângulo da rosca em graus
•
Velocidade com que a peça deve-se mover [mm/s]
13.8 – FLEXÃO E TORÇÃO EM JUNTAS SOLDADAS Programa: Solda\solda.exe O programa tem a função de calcular as tensões de torção e de flexão atuantes em juntas soldadas. •
•
Selecione a opção do programa [1]
Determinação da tensão cisalhante
[2]
Determinação da altura h da solda
Tipo de solicitação 421
[1]
Torção em junta soldadas
[2]
Flexão em juntas soldadas
•
Plano de atuação da força
•
Tipos de carregamento
•
Entre com o valor da força
A resposta do programa é o valor da tensão.
13.9 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS UTILIZANDO A NORMA AGMA Programa: Engrenagens\Engren.exe Cálculo de engrenagens de dentes retos e engrenagens de dentes retos helicoidais: [1] Cálculo simples [2] Cálculo de esforços [3] Dimensionamento a.
Dimensionar um par de engrenagens para determinada aplicação, calculando-se assim seu módulo, bem como diâmetros e números de dentes.
b.
Para um dado par de engrenagens, calcula-se a máxima força tangencial que este possa sofrer. Utiliza-se a norma AGMA para tais cálculos, podendo o dimensionamento ser feito para o desgaste ou para a flexão (ou ambos).
Restrições:
Engrenagens de dentes retos - ângulo de pressão 20o. Engrenagens de dentes helicoidais - ângulo de pressão normal 20o.
•
Determinar: [1] Módulo da engrenagem [2] Máxima força
•
Para determinação do módulo do par de engrenagens são utilizados os seguintes critérios de dimensionamento: [1] Tensão de Flexão [2] Tensão de contato [3] Ambos os critérios
•
Determinação da Resistência do Pinhão:
Para tanto, deve-se especificar o material da engrenagem ou sua dureza. Tabela do programa (tabela 1) com indicação de material e dureza mínima: •
Especificação do material da coroa- utilizar tabela de material com dureza
•
Digite o valor da máxima potência a ser transmitida em KW 422
•
A relação de redução do sistema é a razão entre a velocidade de rotação da engrenagem condutora (pinhão) pela velocidade de rotação da engrenagem conduzida (corôa).
•
Entrar com os dados informando a relação entre as velocidades.
•
Informar a classe AGMA das engrenagens: [1] Engrenagem comercial [2] Engrenagem precisa [3] Engrenagem de alta precisão
•
Informar o número de qualidade AGMA
•
Informar a vida desejada para o pinhão em número de ciclos
•
Informar parâmetros referentes a características do engrenamento
•
Velocidade de rotação do pinhão(no caso de velocidade variável indicar a máxima) em rpm
•
Temperatura de trabalho do engrenamento: [1] Até 120o Celsius [2] Acima de 120o Celsius
•
Condições de Montagem: [1] Montagem acurada, com engrenagens de precisão [2] Montagem menos rígida, engrenagens menos acuradas [3] Montagem acurada, onde não há conato total das faces
Aço temperado e recozido AGMA A-1
100 HB
Aço temperado e recozido AGMA A-2
240 HB
Aço temperado e recozido AGMA A-3
300 HB
Aço temperado e recozido AGMA A-4
360 HB
Aço temperado e recozido AGMA A-5
400 HB
Aço endurecido por indução ou chama tipo A
50 HRC
Aço cementado e com camada endurecida
55 HRC
Aço cementado e com camada endurecida
60 HRC
Aço AISI 4140
48 HRC
Aço AISI 4340
46 HRC
Aço Nitralloy 135M
60 HRC
Aço 2,5 % Cromo
60 HRC
423
Ferro Fundido AGMA-30
175 HB
Ferro Fundido AGMA-40
200 HB
Ferro Nodular Recozido e Temperado AGMA A-7 a
140 HB
Ferro Nodular Recozido e Temperado AGMA A-7 c
180 HB
Ferro Nodular Recozido e TemperadoAGMA A-7 d
230 HB
Ferro Nodular Recozido e Tempeado AGMA A-7 e
270 HB
Ferro Maleável A-8-c
165 HB
Ferro Maleável A-8-e
180 HB
Ferro Maleável A-8-f
195 HB
Ferro Maleável A-8-i
195 HB
Bronze AGMA -2c - máxima resist. à tração
275 Mpa
Alumínio Bronze 3 - máxima resist. à tração
620 Mpa
Tabela 1 – Dureza mínima dos materiais
•
Confiabilidade requerida para o Projeto
•
O sistema é constituído de: [1] Engrenagens de dentes externos [2] Engrenagens de dentes internos
•
Indicar a aplicação mais próxima da desejada para o sistema [1] Suporte de elevadores [2] Movimentação do braço de suporte de guindastes móveis e suas conexões [3] Máquinas alternativas ou movidas a pistão [4] Unidades acionadas por motor [5] Maquinário leve, acionado por motor ou eixo [6] Guindaste para suporte de grandes cargas [7] Outra aplicação qualquer
•
Parâmetros de referência - selecionar um item abaixo: [1] Distância entre centros de engrenagens [2] Diâmetro do pinhão [3] Número de dentes do pinhão [4] Número de dentes do pinhão a critério do programa
•
Determinação da largura do par de engrenagens: [1] Especificar o valor via teclado 424
[2] Calcular o valor em função do módulo [3] Determinar pelo programa [4] Determinar pelo usuário •
O programa apresenta como solução final
O módulo calculado, módulo padronizado, largura mínima recomendada; dados do pinhão e coroa após padronização: número de dentes, diâmetros primitivos.
13.10 - MANCAIS HIDRODINÂMICOS Programa: Mancais\Mancal\Mancal.exe A função do programa é encontrar os valores da temperatura média dos mancais, folga ideal, potencia dissipada e pressão máxima nos mancais. Dados necessários: •
Diâmetro do mancal
•
Comprimento do mancal
•
Carga máxima atuante
•
Rotação em rpm
•
Tipo de óleo lubrificante (SAE)
•
Temperatura de entrada do óleo
•
Folga radial
O programa realiza interações sucessivas e determina em função dos dados: •
A temperatura média do mancal utilizando a teoria hidrodinâmica.
•
Calcula também a espessura mínima de óleo (ho) ;
•
A curva de ho x c (folga radial).
•
Determina a folga ideal no mancal hidrodinâmico.
•
Apresenta finalmente os seguintes resultados: Temperatura média do mancal, pressão máxima do lubrificante; folga ideal, potencia dissipada pelo atrito; e o gráfico hox c.
13.11 - MANCAIS UTILIZANDO O CATÁLOGO DA TIMKEN E SKF Programa: Mancais\Bearing\Bearing.exe O programa fornece uma tabela de acordo com o fabricante SKF para seus tipos de mancais, além de tem a possibilidade de inclusão de novos rolamentos no banco de dados. Seque as opções fornecidas. 425
•
Menu principal: [1] Banco de dados de rolamento [2] Tabela de vida por utilização [3] Alterar dados do rolamento atual [4] Inclusão de novo rolamento [5] Selecionar pela vida nominal [6] Remover filtro
13.12 – MANCAIS DE DESLIZAMENTO Programa: Mancais\MancaisDesl\prjMancalexe Dados de entrada •
Carga [kN]
•
Diâmetro [mm]
•
Rotação [rps]
•
Temperatura inicial ºC
•
Folga [mm]
•
Tipo de óleo usado [1] SAE 10 [2] SAE 20 [3] SAE 30 [4] SAE 40 [5] SAE 50 [6] SAE 60 [7] SAE 70
•
Relação de i/d: [1] 1 [2] ½ [3] ¼ [4] infinito
Projeto •
Temperatura de funcionamento
•
Porcentagem em relação a folga máxima % 426
Como resultado temos Gráfico h0 x c e uma tabela indicando os valores de ∆T, Tm, Viscosidades, f=r/c.
13.13 – ROLAMENTOS COM UMA NOVA TEORIA DE VIDA Programa: Rolamentos\EXER--3.exe O programa tem como objetivo fornecer o rolamento adequado ao tipo de trabalho desejado. •
Tipo de Máquina [1] Pequeno porte [2] Uso intermitente [3] Alta confiabilidade [4] Uso diário <8 horas [5] Uso diário de 8 horas [6] Uso contínuo •
Tipo de ambiente [1] Muito limpo [2] Limpo [3] Normal [4] Contaminado [5] Muito contaminado
•
Confiabilidade [1] 90 % [2] 95 % [3] 96 % [4] 97 % [5] 98 % [6] 99 %
•
Selecionar a vida útil desejada
•
Força radial [N]
•
Força axial [N]
•
Temperatura de trabalho
Como resposta temos o rolamento selecionado
427
13.14 – ROLAMENTOS DE ESFERA PARA UMA CARGA DINÂMICA Programa: Rolamentos\EXER--4.exe O programa tem como objetivo fornecer o rolamento adequado ao tipo de trabalho desejado. •
Tipo de Máquina [7] Pequeno porte [8] Uso intermitente [9] Alta confiabilidade [10]
Uso diário <8 horas
[11]
Uso diário de 8 horas
[12]
Uso contínuo
•
Selecionar a vida útil desejada
•
Força radial [N]
•
Força axial [N]
Como resposta temos o rolamento selecionado
13.15 – SELEÇÃO DE ROLAMENTOS DE ESFERA SELEÇÃO DE ÓLEO ATRAVÉS DA VISCOSIDADE Programa: Rolamentos\EXER--6.exe O programa tem como objetivo encontrar uma viscosidade para o óleo para um rolamento especificado a ser usado para as condições de trabalho a ser apresentada. •
Séries de Rolamentos A – Série 618 B – Série 160 C – Série 60 D – Série 60 E – Série 161 F – Série 62 G – Série 63 H – Série 64 I – Série 42 J – Série 43 428
•
Disposição [1] Tandem [2] O [3] X
•
Força radial [N]
•
Força axial [N]
•
Capacidade de carga estática
•
Velocidade [rpm]
•
Diâmetro interno
•
Diâmetro externo
•
Temperatura de trabalho
Como resposta temos a viscosidade que o óleo deve apresentar.
13.16 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS COM MOMENTO TORSOR E FLETOR Programa: Eixos\Eixos1\Eixo1.exe O programa solicita os seguintes dados: •
O usuário deverá informar um dos seguintes dados, para o cálculo do momento torsor: [1] Momento torsor - Força em N e distancia da origem do eixo em m; [2] Torsor (N.m); [3] Potência (HP) e rotação em rpm.
•
Selecionar o seguinte critério de Resistência (carregamento estático): [1] Critério da Máxima tensão cisalhante; [2] Critério da energia de distorção,
•
Selecionar para carregamento dinâmico: [1] Limite de resistência à tração do eixo; [2] Fator de concentração de tensão; [3] Tipo de acabamento do eixo; [4] Limite de resistência ao escoamento.
•
Cálculo do Momento Fletor: [1] Posição do Momento desejado; [2] Posição dos apoios (estabelecer a quantidade e a localização dos apoios); [3] Forças distribuídas (o valor e a localização das forças); [4] Forças concentradas (o valor e a localização no eixo). 429
•
Estabelecer um fator de segurança.
•
Como resultado o programa calcula o momento fletor na localização desejada e determina o diâmetro do eixo no local. Este programa, portanto determina o diâmetro do eixo para a localização estipulada pelo usuário.
13.17 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS Programa 2 – Eixos\Eixos2\Elemaq.exe • •
Selecionar dimensionamento de Eixos. O usuário deverá escolher o critério de resistência desejado: [1] Critério de Goodman; [2] Critério de Soderberg; [3] Critério da Energia de distorção; [4] ASM.
•
Selecionar o tipo de acabamento superficial do eixo: [1] Retificado; [2] Usinado; [3] Laminado a quente; [4] Forjado.
•
O programa mostra o desenho de um redutor com duas engrenagens no eixo sendo que: [1] R1= raio da engrenagem motora do eixo 1; [2] R2= raio da engrenagem movida do eixo 2; [3] R3= raio da engrenagem motora do eixo 2; [4] R4= raio da engrenagem movida do eixo 3.
•
Para o eixo intermediário (engrenagens 2 e 3) o usuário deverá especificar as seguintes distâncias: [1] Distância da engrenagem 2 ao mancal esquerdo; [2] Distância entre as engrenagens 2 e 3; [3] Distância da engrenagem 3 ao mancal direito.
•
O usuário deverá especificar o fator de segurança.
•
Informar se as engrenagens são enchavetadas no eixo
•
O programa fornece os diâmetros do eixo nos trechos: [1] Diâmetro do eixo na seção da engrenagem 1; 430
[2] Diâmetro do eixo na seção da engrenagem 2; [3] Diâmetro do eixo na seção da engrenagem 3. •
O fator de concentração deve ser usado, utilizando os tipos de entalhes definidos na unidade I.
•
Para o caso de chavetas, o fator de concentração de tensão é Kf = 3, para eixos submetidos à solicitação de torção e flexão, que é o caso para a maioria dos eixos.
•
Lembrar que quando existir chavetas no eixo, usar: Ke = 0,3.
431
ANEXOS
432
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS N° Da
Descrição
Tabela A-1
Propriedades Mecânicas para Alguns Aço-Carbono
A-2
Propriedades Mecânicas de Alguns Plásticos de Engenharia
A-3
Propriedades Mecânicas de Algumas Ligas de Alumínio Fundido
A-4
Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Cobre Fundido e Forjado
A-5
Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Titânio
A-6
Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Magnésio
A-7
Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Ferro-Fundido
A-8
Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Aço Inoxidável
A-9
Propriedades Físicas de alguns Materiais de Engenharia
A-10
Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas e Aços Ferramenta
A-11
Propriedades Mecânicas para algumas ligas de Alumínio Forjado
433
Tabela A-1 – Propriedades Mecânicas para Alguns Aço-Carbono
Número SAE/AISI
1010 1020
1030
1035
1040
1045
1050
1060
1095
Condição Laminado a quente Laminado a frio Laminado a quente Laminado a frio Laminado a quente Normalizado a 1650°F Laminado a frio Q e T a 1000°F Q e T a 800°F Q e T a 400°F Laminado a quente Laminado a frio Laminado a quente Normalizado a 1650°F Laminado a frio Q e T a 1200°F Q e T a 800°F Q e T a 400°F Laminado a quente Laminado a frio Laminado a quente Normalizado a 1650°F Laminado a frio Q e T a 1200°F Q e T a 800°F Q e T a 400°F Laminado a quente Normalizado a 1650°F Q e T a 1200°F Q e T a 1000°F Q e T a 800°F Laminado a quente Normalizado a 1650°F Q e T a 1200°F Q e T a 800°F Q e T a 600°F
Resistência a Tração Nominal (2% de tolerância) kpsi MPa 26 179 44 303 30 207 57 393 38 259 50 345 64 441 75 517 84 579 94 648 40 276 67 462 42 290 54 372 71 490 63 434 80 552 86 593 45 310 77 531 50 345 62 427 84 579 78 538 115 793 117 807 54 372 61 421 76 524 97 669 111 765 66 455 72 496 80 552 112 772 118 814
Resistênci Alongament Dureza a a Tração o acima de 2 Brinell Última pol kpsi 47 53 55 68 68 75 76 97 103 123 72 80 76 86 85 92 110 113 82 91 90 108 100 104 158 163 98 112 116 140 156 120 147 130 176 183
MPa 324 365 379 469 469 517 524 669 731 848 496 552 524 593 586 634 758 779 565 627 621 745 689 717 1089 1124 676 772 800 965 1076 827 1014 896 1213 1262
% 28 20 25 15 20 32 12 28 23 17 18 12 18 28 12 29 21 19 16 12 15 20 10 28 13 9 12 18 23 17 14 10 9 21 12 10
-HB 95 105 111 131 137 149 149 255 302 495 143 163 149 170 170 192 241 262 163 179 179 217 197 235 444 514 200 229 229 277 311 248 13 269 363 375
434
Tabela A-2 – Propriedades Mecânicas de Alguns Plásticos de Engenharia
Material
Módulo de Elasticidade Aproximado E Mpsi GPa
Resistência Tensão de Alongament a Tração Compress o acima de Última ão 2 pol kpsi
MPa kpsi MPa
%
ABS
0,3
2,1
6,0
41,4
10,0
68,9
5 a 25
Vidro cheio 2040%
0,6
4,1
10,0
68,9
12,0
82,7
3
Acetal
0,5
3,4
8,8
60,7
18,0
Vidro cheio 2030%
1,0
6,9
10,0
68,9
18,0
Acrílico
0,4
2,8
10,0
68,9
15,0
Fluoroplástico (PTFE)
0,2
1,4
5,0
34,5
6,0
41,4
100
Nilon 6/6
0,2
1,4
10,0
68,9
10,0
68,9
60
Nilon 11
0,2
1,3
8,0
55,2
8,0
55,2
300
0,4
2,5
12,8
88,3
12,8
88,3
4
0,4
2,4
9,0
12,0
1,0
6,9
17,0
17,0
0,1
0,7
2,5
62,1 117, 2 17,2
0,4
2,4
9,6
66,2
16,4
1,1
7,8
15,5
106, 9
17,5
82,7 117, 2 113, 1 120, 7
Polipropileno
0,2
1,4
5,0
34,5
7,0
48,3
500
Vidro cheio 2030%
0,7
4,8
7,5
51,7
6,2
42,7
2
0,3
2,1
4,0
27,6
6,0
41,4
2 a 80
0,1
0,7
12,0
82,7
16,0
110, 3
1
0,4
2,5
10,2
70,3
13,9
95,8
50
Vidro cheio 2030% Policarbonato Vidro cheio 1040% Polietileno HMW Óxido de Polifenileno Vidro cheio 2030%
Poliestireno de Impacto Vidro cheio 2030% Polisulfano
-
124, 1 124, 1 103, 4
60
Temp. Máx. °F 160200 200230 220
Gravidad e Específic a 1,05 1,30 1,41
100
185220 140190 350330 180300 180300 250340 250
1,20
2
275
1,35
525
-
0,94
20
212
1,06
5
260
1,23
7 5
250320 300320 140175 180200 300345
1,56 1,18 2,10 1,14 1,04 1,26
0,90 1,10 1,07 1,25 1,24
435
Tabela A-3 – Propriedades Mecânicas de Algumas Ligas de Alumínio Fundido Ligas de Alumínio
Condição
Fundido
43
195
Molde fundição permanente-fundir Areia de fundição – fundir
Resistência a Tração Nominal (2% de tolerância)
Resistência a Alongament
Durez
Tração
o acima de 2
a
Última
pol
Brinell
kpsi
MPa
kpsi
MPa
%
-HB
9
62
23
159
10
45
24
165
36
248
5
-
26
179
48
331
16
75
24
165
48
331
3
-
43
296
47
324
0,5
125
30
207
32
221
0,5
85
Areia de fundição – 220
solução tratada termicamente
380
Fundição em estampa – fundir Molde fundição
A132
permanente – tratado termicamente + 340°F Areia de fundição –
A142
tratado termicamente + 650°F
436
Tabela A-4 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Cobre Fundido e Forjado
Ligas de Cobre
CA110 – Cobre Puro
Condição
Tira recozida
Resistência a Tração Nominal(2% de tolerância) kpsi MPa 10 69
ResistênAlongacia a mento > de Tração 2 pol Última kpsi MPa % 32 221 45
Dureza Rockwell Brinell 40HRF
Mola temperada
50
345
55
379
4
60HRB
Tira recozida envelhecida
145
1000
165
113 8
7
35HRC
Fortemente envelhecido
170
1172
190
131 0
3
40HRC
Tira recozida
10
69
37
255
45
53HRF
Mola temperada
62
427
72
496
3
78HRB
Tira recozida
15
103
40
276
50
50HB
Têmpera dura
60
414
75
517
7
135HB
Tira recozida
11
76
44
303
66
54HRF
Mola temperada
65
448
94
648
3
91HRB
Tira recozida
14
97
46
317
65
58HRF
Mola temperada
62
427
91
627
30
90HRB
Recozida
19
131
47
324
64
73HRF
Mola temperada
80
552
100
689
4
95HRB
CA614 – Bronze Alumínio
Macio
45
310
82
565
40
84HRB
Duro
60
414
89
614
32
87HRB
CA655 – Bronze Alto Silicone
Recozido
21
145
56
386
63
76HRF
Mola temperada
62
427
110
758
4
97HRB
CA170 – Cobre Berílio
CA220 – Bronze Comercial CA230 – Bronze Vermelho CA260 – Bronze em Cartucho CA270 – Bronze Amarelo CA510 – Bronze Fósforo
CA675 – Bronze Manganês
Macio
30
207
65
448
33
65HRB
Meio-duro
60
414
84
579
19
90HRB
Bronze Estanho pesado
Como fundido
19
131
34
234
18
60HB
20
138
50
345
40
85HB
Bronze Estanho Níquel
Como fundido Fundido e tratado termicamente
55
379
85
586
10
180HB
437
Tabela A-5 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Titânio Resistência a Tração Ligas de Titânio
Condição
Nominal (2% de tolerância)
Resistência Alongamena Tração Última
Dureza
to acima de Rockwell 2 pol
ou Brinell
kpsi
MPa
kpsi
MPa
%
Ti-35A
Folha recozida
30
207
40
276
30
135HB
Ti-50A
Folha recozida
45
310
55
379
25
215HB
Ti-75A
Folha recozida
75
517
85
586
18
245HB
Liga de Ti-0,2Pd
Folha recozida
45
310
55
379
25
215HB
Liga de Ti-5 Al-2,5Sn
Recozida
125
862
135
931
13
39HRC
Liga de Ti-8 Al-1 Mo-1
Folha recozida
130
896
140
965
13
39HRC
Liga de Ti-8 Al-2 Sn-4 Zr-2 Mo
Barra recozida
130
896
140
965
15
39HRC
Liga de Ti-8 Al-6 V-2 Sn
Folha recozida
155
1069
165
1138
12
41HRC
Liga de Ti-6 Al-4 V
Folha recozida
130
896
140
13
2,5
39HRC
Liga de Ti-6 Al-4 V
Tratada termicamente
165
1138
175
1207
12
-
Liga de T1-13 V-11 Cr-3 Al
Folha recozida
130
896
135
931
13
37HRC
Liga de T1-13 V-11 Cr-3 Al
Tratada termicamente
170
1172
180
1241
6
-
438
Tabela A-6 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Magnésio Resistência
Ligas de Magnésio
Condição
Resistênci Alongament
Nominal
a a Tração
o acima de
Rockwel
(2% de
Última
2 pol
l ou
tolerância) kpsi AZ31 B AZ80 A AZ91 A & AZ91 B AZ91 C
AZ92 A
EZ33 A HK31 A
HZ32 A
ZK60 A
Dureza
a Tração
Brinell
MPa kpsi MPa
%
Folha recozida
22
152
37
255
21
56HB
Folha dura
32
221
42
290
15
73HB
Como forjado
33
228
48
331
11
69HB
Forjado e envelhecido
36
248
50
345
6
72HB
Fundição em estampa
22
152
33
228
3
63HB
Como fundido
14
97
24
165
2,5
60HB
Fundido, solução tratada termicamente
19
131
40
276
5
70HB
Como fundido
14
97
25
172
2
65HB
Fundido, tratado quimicamente
14
97
40
276
10
63HB
Fundido, envelhecido e tratado quimicamente
22
152
40
276
3
81HB
Fundido e envelhecido
16
110
23
159
3
50HB
Endurecimento forçado
29
200
37
255
8
68HB
Fundido e tratado termicamente
15
103
32
221
8
66HRB
Fundido – tratado quimicamente e envelhecido
13
90
27
186
4
55HB
Como prensado
38
262
49
338
14
75HB
Prensado e envelhecido
44
303
53
365
11
82HB
439
Tabela A-7 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de FerroFundido Resistência a
Ligas de Ferro Fundido
Tração
Resistência a
Tensão de
Nominal (2%
Tração
Compres-
de
Última
são
Condição
Dureza Brinell
tolerância) kpsi
MPa
kpsi
MPa
kpsi
MPa
-HB
Como fundido
-
-
22
152
83
572
156
Como fundido
-
-
32
221
109
752
210
Como fundido
-
-
42
290
140
965
235
Como fundido
-
-
52
359
164
1131
262
Como fundido
-
-
62
427
187
1289
302
Ferro Dúctil 60-40-18
Recozido
47
324
65
448
52
359
160
Ferro Dúctil 65-45-12
Recozido
48
331
67
462
53
365
174
Ferro Dúctil 80-55-06
Recozido
53
365
82
565
56
386
228
Ferro Dúctil 120-90-02
QeT
120
827
140
965
134
924
325
Ferro Fundido Cinzento - Classe 20 Ferro Fundido Cinzento - Classe 30 Ferro Fundido Cinzento - Classe 40 Ferro Fundido Cinzento - Classe 50 Ferro Fundido Cinzento - Classe 60
440
Tabela A-8 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Aço Inoxidável Resistência a Tração Ligas de Aço Inoxidável
Resistência Alongamen
Nominal (2%
a Tração
to acima de
de
Última
2 pol
Condição
tolerância)
Dureza Rockwell ou Brinell
kpsi
MPa
kpsi
MPa
%
Tira recozida
40
276
110
758
60
85HRB
Laminado a frio
165
1138
200
1379
8
41HRC
Folha recozida
40
276
90
621
50
85HRB
Laminado a frio
165
1138
190
1310
5
40HRC
Folha recozida
35
241
85
586
50
80HRB
Laminado a frio
160
1103
185
1276
4
40HRC
Tipo 314
Barra recozida
50
345
100
689
45
180HB
Tipo 316
Folha recozida
40
276
90
621
50
85HRB
Laminado a quente
55
379
100
689
35
200HB
Recozido
35
241
80
552
50
150HB
Folha recozida
45
310
70
483
25
80HRB
Tratado termicamente
140
965
180
1241
15
39HRC
Barra recozida
50
345
95
655
25
92HRB
Tratado termicamente
195
1344
230
1586
8
500HB
Barra recozida
95
655
125
862
25
260HB
Tratado termicamente
150
1034
195
1344
15
400HB
Barra recozida
65
448
110
758
14
230HB
Q e T 600F
275
1896
285
1965
2
57HRC
17-4 PH (AISI 630)
Endurecida
185
1276
200
1379
14
44HRC
17-7 PH (AISI 631)
Endurecida
220
1517
235
1620
6
48HRC
Tipo 301 Tipo 302 Tipo 304
Tipo 330 Tipo 410 Tipo 420 Tipo 431 Tipo 440C
441
Tabela A-9 – Propriedades Físicas de alguns Materiais de Engenharia Módulo de ElasticidaMaterial
de E
Módulo de
Coeficiente
Rigidez G
de Poisson
Massa
Gravidade
Específico
Específica
Específi-
γ
ρ
ca
Lb/in³
Mg/m³
Mpsi
GPa
10,4
71,7
3,9
26,8
0,34
0,10
2,8
2,8
Liga Cobre Berílio
18,5 127,6
7,2
49,4
0,29
0,30
8,3
8,3
Bronze
16,0 110,3
6,0
41,5
0,33
0,31
8,6
8,6
Cobre
17,5 120,7
6,5
44,7
0,35
0,32
8,9
8,9
Ferro, Molde, Cinzento
15,0 103,4
5,9
40,4
0,28
0,26
7,2
7,2
Ferro, Molde, Dúctil
24,5 168,9
9,4
65,0
0,30
0,25
6,9
6,9
Ferro, Molde, Maleável
25,0 172,4
9,6
66,3
0,30
0,26
7,3
7,3
6,5
2,4
16,8
0,33
0,07
1,8
1,8
Ligas de Níquel 30,0 206,8 11,5
79,6
0,30
0,30
8,3
8,3
Ligas de Alumínio
Ligas de Magnésio
44,8
Mpsi GPa
Peso
Aço Carbono
30,0 206,8 11,7
80,8
0,28
0,28
7,8
7,8
Ligas de Aço
30,0 206,8 11,7
80,8
0,28
0,28
7,8
7,8
Aço Inoxidável
27,5 189,6 10,7
74,1
0,28
0,28
7,8
7,8
Ligas de Titânio 16,5 113,8
6,2
42,4
0,34
0,16
4,4
4,4
Ligas de Zinco
4,5
31,1
0,33
0,24
6,6
6,6
12,0
82,7
442
Tabela A-10 – Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas e Aços Ferramentas Número SAE/AISI 1340 4027
4130
4140
4340
6150 8740 H-11 L-2 L-6 P-20 S-1 S-5 S-7 A-8
Condição Recozido QeT Recozido QeT Recozido a 1450°F Normalizado a 1650°F Q e T a 1200°F Q e T a 800°F Q e T a 400°F Recozido a 1450°F Normalizado a 1650°F Q e T a 1200°F Q e T a 800°F Q e T a 400°F Q e T a 1200°F Q e T a 1000°F Q e T a 800°F Q e T a 600°F Recozido QeT Recozido QeT Recozido a 1600°F Q e T a 1000°F Recozido a 1425°F Q e T a 400°F Recozido a 1425°F Q e T a 600°F Recozido a 1425°F Q e T a 400°F Recozido a 1475°F Q e T a 400°F Recozido a 1450°F Q e T a 400°F Recozido a 1525°F Q e T a 400°F Recozido a 1550°F Q e T a 1050°F
Resistência a Tração Nominal (2% de tolerância) kpsi MPa 63 434 109 752 47 324 113 779 52 359 63 434 102 703 173 1193 212 1462 61 421 95 655 95 655 165 1138 238 1641 124 855 156 1076 198 1365 230 1586 59 407 148 1020 60 414 133 917 53 365 250 1724 74 510 260 1793 55 379 260 1793 75 517 205 1413 60 414 275 1896 64 441 280 1931 55 379 210 1448 65 448 225 1551
Resistência a Alongame Tração nto acima Última de 2 pol kpsi MPa % 102 703 25 125 862 21 75 517 30 132 910 12 81 558 28 97 669 25 118 814 22 186 1282 13 236 1627 10 95 655 26 148 1020 18 110 758 22 181 1248 13 257 1772 8 140 965 19 170 1172 13 213 1469 10 250 1724 10 96 662 23 157 1082 16 95 655 25 144 993 18 100 689 25 295 2034 9 103 710 25 290 1999 5 95 655 25 290 1999 4 100 689 17 270 1862 10 100 689 24 300 2068 4 105 724 25 340 2344 5 93 641 25 315 2172 7 103 710 24 265 1827 9
Dureza Rockwell ou Brinell -HB 204HB 250HB 150HB 264HB 156HB 197HB 245HB 380HB 41HB 197HB 302HB 230HB 370HB 510HB 280HB 360HB 430HB 486HB 192HB 314HB 190HB 288HB 96HRB 55HRC 96HRB 54HRC 93HRB 54HRC 97HRB 52HRC 96HRB 57HRC 96HRB 59HRC 95HRB 58HRC 97HRB 52HRC 443
Tabela A-11 – Propriedades Mecânicas para algumas ligas de Alumínio Forjado Resistência a Tração
Ligas de Alumínio
Nominal Condição
Forjado
(2% de
Resistência a Tração Última
Resistência Alongamena Fadiga a
to acima de
5E8 ciclos
2 pol
Dureza Brinell
tolerância) kpsi
MPa
kpsi
MPa
kpsi
MPa
%
-HB
Folha recozida
5
34
13
90
-
-
35
23
Laminado a frio
22
152
24
165
-
-
5
44
Folha recozida
11
76
26
179
-
-
20
-
Tratado termicamente
42
290
64
441
20
138
19
-
Folha recozida
6
41
16
110
-
-
30
28
Laminado a frio
27
186
29
200
-
-
4
55
Folha recozida
13
90
28
193
-
-
25
47
Laminado a frio
37
255
42
290
-
-
7
77
Folha recozida
8
55
18
124
-
-
25
30
Tratado termicamente
40
276
45
310
14
97
12
95
Barra recozida
15
103
33
228
-
-
16
60
Tratado termicamente
73
503
83
572
14
97
11
150
1100
2024
3003
5052
6061
7075
444
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DE
AÇO
PARA
PRINCIPIANTES
(e
leigos
e
curiosos),
Morsing,
www.morsing.com.br 13. CARVALHO, José - Elementos de Máquinas 14. Catálogo Geral NSK 15. Catálogo Geral SKF 16. Catálogos – Dayco, Gates, Goodyear. 17. CIMAF - COMPANHIA INDUSTRIAL E MERCANTIL DE ARTEFATOS DE FERRO, www.cimaf.com.br. 18. COLBOURNE JR, The Geometry of Involute Gears, Springer-Verlag 1987 rather theoretical for this course. 19. CONNOR LP ed,Welding Handbook, 5 vols, American Welding Society 1987. 20. CRADDOCK DH, Introduction to Fastening Systems, OUP 1974. 21. CZERNIK DE, Gaskets: Design, Selection & Testing, McGraw-Hill 1996. 22.
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DE
AÇO
PARA
PRINCIPIANTES
(e
leigos
e
curiosos),
Morsing,
www.morsing.com.br 100.
CARVALHO, José - Elementos de Máquinas
101.
Catálogo Geral NSK
102.
Catálogo Geral SKF
103.
Catálogos – Dayco, Gates, Goodyear.
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CIMAF - COMPANHIA INDUSTRIAL E MERCANTIL DE ARTEFATOS DE FERRO,
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