ARROLLAMIENTOS Norberto A. Lemozy 1 INTRODUCCIÓN La teoría clásica de las máquinas eléctricas está basada en el estudio de las interacciones entre fuerzas magnetomotrices, éstas son las dan lugar al campo magnético dentro de la máquina, a las tensiones inducidas, y a la denominada cupla electromagnética en las máquinas rotativas. Esas fuerzas magnetomotrices están producidas por las corrientes que circulan por los distintos arrollamientos. En este capítulo se hará una descripción de los distintos tipos de arrollamientos utilizados en las máquinas eléctricas, haciendo especial hincapié en los denominados distribuidos, que son los más difíciles de concebir. 2 FORMAS CONSTRUCTIVAS Y TIPOS DE ARROLLAMIENTOS En las máquinas eléctricas rotativas se encuentran dos formas constructivas básicas: las cilíndricas y con polos salientes. Estas se pueden encontrar en el estator, en el rotor o en ambos, lo que da lugar a cuatro posibilidades constructivas, que se muestran en la figura 1.
a
b
c
d
Fig. 1. Combinación de formas constructivas. Los usos más frecuentes de las distintas combinaciones son: a) Estator y rotor cilíndricos: es la combinación característica de los motores asincrónicos y de las máquinas sincrónicas de alta velocidad. b) Estator cilíndrico y rotor con polos saliente es característico de las máquinas sincrónicas de baja velocidad. c) Estator con polos salientes y rotor cilíndrico es característico de las máquinas de corriente continua y de algunas máquinas sincrónicas de poca potencia. d) Estator y rotor con polos salientes se emplea en máquinas especiales, por ejemplo en los motores por pasos. 2.2 Formas cilíndricas En las formas cilíndricas de las máquinas se colocan arrollamientos distribuidos, estos arrollamientos están formados por bobinas ubicadas en toda o parte de esa superficie cilíndrica.
1
Para fijar las bobinas éstas se colocan en ranuras realizadas en la superficie o muy cerca de ella. En general esas bobinas se encuentran recorridas por corriente alterna y cumplen la función de inducido, (lugar donde se inducen tensiones). Como en esas formas cilíndricas el flujo es alterno, las mismas deben ser laminadas y con chapas finas, para disminuir las pérdidas por corrientes parásitas y permitir la rápida variación del flujo. En la figura 2 se muestra una máquina de corriente continua de dos polos donde se pueden apreciar el arrollamiento rotórico del tipo distribuido, que cumple la función de inducido. 2.1 Polos salientes En los polos salientes de las máquinas se colocan arrollamientos concentrados que son bobinas ubicadas alrededor de los polos. Esos arrollamientos concentrados generalmente se encuentran recorridos por corriente continua y cumplen la función de excitación. Los ejemplos característicos son las máquinas de corriente continua y las sincrónicas de baja velocidad. Como el flujo en esos polos salientes es constante, o varía lentamente, se los puede construir macizos, pero muchas veces se los hace laminados, con chapas relativamente gruesas, para facilitar su construcción, ya que es más fácil estampar chapas con la forma adecuada y luego apilarlas que mecanizar un bloque de acero. En la misma máquina de corriente continua de la figura 2 se pueden apreciar polos salientes con arrollamientos concentrados en el estator los que cumplen la función de excitación.
Polo saliente con arrollamiento concentrado
Inducido cilíndrico con arrollamiento distribuido
Fig. 2. Máquina de corriente continua. Estos arrollamientos concentrados se fabrican sobre moldes y luego de aislarlos convenientemente, se colocan en los polos de la máquina. Si los conductores no tienen suficiente sección como para mantener la forma de la bobina, se utilizan carretes de soporte de material aislante.
2
3 ARROLLAMIENTOS DISTRIBUIDOS 3.1 Tipos de arrollamiento Así como los arrollamientos concentrados son simples bobinas, fáciles de concebir, los arrollamientos distribuidos son mucho más complejos ya que deben cumplir no solamente condiciones eléctricas y magnéticas, sino también constructivas: las bobinas deben ser sencillas de realizar, de colocar y minimizar el uso de materiales. Los arrollamientos rotóricos de las máquinas eléctricas se conectan a través de escobillas que puede apoyar sobre anillos rozantes, figura 3, que son aros conductores, continuos, conectados a los extremos del arrollamiento; o sobre un colector, figura 4, que está formado por segmentos conductores, denominados delgas, aisladas entre sí y conectadas a cada bobina.
Paquete de chapas ranurado
Conexiones Anillos rozantes
Eje Eje Escobillas Cabezas de bobina Fig. 3. Anillos rozantes en un roto trifásico.
Paquete de chapas ranurado
Conexiones al colector Colector
Eje
Eje Escobillas Cabezas de bobina Fig. 4. Colector en un inducido. Esto da lugar a dos tipos de arrollamientos distribuidos, los primeros denominados a anillos, o de fases son eléctricamente abiertos y pueden estar tanto en el estator como en el rotor; mientras que los segundos, denominados a colector, son eléctricamente cerrados y se utilizan solamente en el rotor. 3.2 Tipos de ranuras Como ya se dijo las bobinas de los arrollamientos distribuidos, y sus aislaciones, se alojan en ranuras o canaletas ubicadas en la superficie, o muy cerca de ella, del estator o del rotor o en ambas. Las partes magnéticas entre las ranuras se denominan dientes. Las ranuras pueden ser abiertas, semicerradas o cerradas como se muestran en la figura 5.
3
Abiertas
Semicerradas
Cerradas
Fig. 5. Tipos de ranuras. Las ranuras abiertas, que poseen sus lados paralelos, se emplean en máquinas de potencia media o grande, por ejemplo más de 50 kW y en los inducidos a colector, salvo los muy pequeños, de pocos cientos de watt. Cuando las ranuras son abiertas, con sus lados paralelos, y están ubicadas sobre una estructura cilíndrica, los dientes resultan necesariamente trapezoidales, es decir no tienen la misma sección en toda su altura, lo que debe ser tenido en cuenta al considerar la inducción magnética y la saturación de los mismos. La razón por la cual se emplean las ranuras abiertas, con sus lados paralelos, es que las bobinas utilizadas en esas máquinas son prácticamente rígidas y no se podrían colocar si la abertura de la ranura fuera más estrecha. Las ranuras semiabiertas se emplean en máquinas de menor potencia, que utilizan bobinas formadas por conductores sueltos, los que se colocan individualmente o en pequeños grupos, muchas veces en forma manual y luego se terminan de conformar y de acomodar las cabezas de bobina, en la propia máquina. A fin de poder acomodar mejor los conductores en el fondo y en el tope de las ranuras, lo que mejora el factor de llenado de las mismas, conviene que ambos sean redondeados, como se muestra en la figura 5. Tanto en las ranuras abiertas como en las semicerradas, se debe evitar que los lados de las bobinas se salgan de las mismas, especialmente si están sometidas a la fuerza centrífuga del rotor, lo que provocaría un accidente catastrófico. El cerrado de las ranuras se hace por medio de una cuña de cierre construida con un material de la resistencia adecuada y que, en la mayoría de los casos, es no magnético. En los dientes de las ranuras abiertas se hacen unas entalladuras a fin de sostener esas cuñas de cierre. Las ranuras cerradas, que no necesariamente deben tener una sección circular como se muestra en la figura 6, se emplean principalmente en los rotores de las máquinas asincrónicas. Dentro de esas ranuras se colocan barras conductoras, normalmente sin aislación, que constituyen el arrollamiento rotórico de esas máquinas. Es común que las máquinas posean distintos tipos de ranuras en el estator y en el rotor, adecuándolas a los arrollamientos empleados. 3.3 Lados de bobinas y capas Dentro de cada ranura puede haber uno, dos o más lados de bobinas, al número de lados de bobina por ranura se lo designará con la letra u. Cuando hay un solo lado de bobina por ranura, se dice que el arrollamiento es de simple capa, cuando hay dos o más lados de bobina por ranura estos se disponen en dos capas y se dice que el arrollamiento es de doble capa, esto se muestra en la figura 6.
4
Simple Capa
u=1
Doble Capa
u=2
u=4
u=6
Fig. 6. Lados de bobina por ranura. Los arrollamientos de doble capa presentan mayor flexibilidad de diseño y son los más empleados. En los arrollamientos a anillos se utilizan hasta dos lados de bobina por ranura (u=2), valores mayores de u se emplean en los arrollamientos a colector. Cuando se dibujan arrollamientos de doble capa, los lados de las bobinas que no se ven, por quedar tapados por otras bobinas, se indican con líneas de trazos como lo establecen las normas del dibujo técnico. La cantidad de bobinas que se pueden colocar en Q ranuras depende del número de lados de bobina que se coloquen en cada una de ellas. En efecto, multiplicando el número total de ranuras Q por la cantidad de lados de bobina que hay en cada ranura u, se obtiene el número total de lados de bobina que caben en esas ranuras y, como cada bobina tienen dos lados, el número total de bobinas B será: u ⋅Q B= (1) 2 Como los casos más comunes son u = 1 y u = 2 resulta:
Q 2 Si u = 2 ⇒ B = Q Si u = 1 ⇒ B =
(2)
3.4 Formas de las bobinas
Las partes de la bobina que se encuentran colocadas dentro de las ranuras son las que están sometidas al flujo mutuo y consecuentemente donde se inducen las tensiones y se desarrollas las fuerzas útiles, ésos son los lados activos de la bobina, el resto se encuentra en el aire y constituyen las cabezas de bobina y las conexiones, éstas concatenan solamente flujo disperso y contribuyen en gran medida a la reactancia de dispersión, estas son las partes más afectada por los esfuerzos dinámicos que se producen particularmente en los cortocircuitos. En la figura 7 se muestran esquemáticamente las distintas partes de las bobinas. Las bobinas utilizadas en la mayoría de los arrollamientos a anillos de las máquinas de unos pocos kilowatts, suelen hacerse sobre un molde rectangular, con los vértices redondeados, manteniendo las espiras sueltas para luego colocarlas, generalmente a mano, de a una espira por vez o en pequeños grupos, dentro de ranuras semicerradas. La forma definitiva de las bobinas, el acomodado y fijación de las cabezas, se hace en la propia máquina. En las máquinas de mayor potencia las bobinas se construyen en moldes complejos que, en varias etapas, le confieren la forma definitiva. Antes de insertarlas en la máquina, las bobinas 5
están completamente aisladas y ensayadas, especialmente cuando las máquinas son de tensiones mayores a las industriales. Como esas bobinas son rígidas se las debe colocar, con mucho cuidado y en ranuras abiertas. Cuando el arrollamiento esta terminado debe quedar perfectamente aislado, con las cabezas de bobina y las conexiones bien acomodadas y fijas para soportar los esfuerzos a que estarán sometidas; todo eso, la experiencia, la facilidad del armado y la economía de materiales, ha establecido ciertas formas de bobinas como las más convenientes; entre las más empleadas se encuentran las de forma hexagonal (diamante), trapezoidal y rectangular, como se muestran en la figura 7.
Cabezas Lados Cabezas Conexiones Fig. 7. Formas de bobinas. La forma más utilizada es la hexagonal o en diamante, especialmente en máquinas de mediana y gran potencia y con arrollamientos dispuestos en doble capa. Para que las cabezas de bobina queden perfectamente ordenadas, en sus extremos dan una media vuelta con lo que se consigue que sus lados queden a distintos niveles, figura 8.
Conexiones Fig. 8. Cambio de capa. Como las ranuras están ubicadas en una superficie cilíndrica, las cabezas de bobina no son planas, figura 8 y, además, como las ranuras tienen dirección radial, los lados de las bobinas, también deben ser radiales. En la figura 9 se muestra la cabeza de una bobina, como la de la figura 8, colocada en un rotor cilíndrico.
6
Cambio de capa Capa superior Cabeza de bobina
Capa inferior
Centro del rotor Fig. 9. Ranuras radiales. 3.5 Pasos polar y de bobina Se denomina paso polar, τp a la distancia que hay de un polo al siguiente, figura 10. En una máquina con geometría cilíndrica hay que definir el radio al cual se mide esa distancia y hay varias posibilidades, tomar el radio del rotor, el interno del estator, el medio del entrehierro u otro; lo que en todos los casos deberá quedar claramente definido. Por ejemplo si se desea calcular el flujo por polo en el entrehierro, conviene utilizar el radio o el diámetro medio del entrehierro.
τp
Fig. 10. Paso polar. Por ser distancias, los pasos se deben expresar en unidades de longitud, por ejemplo metro o milímetro, como se hace cuando hay que dimensionar las bobinas, o construir los moldes, pero cuando interesa estudiar un arrollamiento, cuyas bobinas están colocadas en ranuras equiespaciadas, resulta muy cómodo utilizar como unidad de medida la “ranura” que es, precisamente, la distancia entre ranuras. La utilización de la ranura como unidad de medida para los pasos, tiene varias ventajas: la mayoría de los resultados son números enteros, relativamente pequeños y no se requiere ningún elemento de medición, simplemente se cuentan las ranuras. 7
A la distancia entre los lados de las bobinas se la denomina paso de bobina Y1 , como se muestra en las figuras 11 a 14. El paso de las bobinas puede ser igual, menor o mayor que el paso polar, y en esos casos se dice que la bobina es diametral, acortada o alargada respectivamente, tabla I. Tabla I. Pasos de bobina. Bobina Diametral
Paso Y1 = τ p
Acortada
Y1 < τ p
Alargada
Y1 > τ p
Como se verá más adelante las bobinas diametrales son comunes en los arrollamientos de simple capa, mientra que en los de doble capa, que poseen menos restricciones constructivas, son comunes las bobinas acortadas. En ambos casos hay muchas excepciones. Las bobinas acortadas, al ser más angostas, permiten un ahorro de material y mejoran la distribución del campo magnético en el entrehierro. Las bobinas alargadas producen la misma mejora del campo magnético en el entrehierro pero utilizan mayor cantidad de material, por lo tanto su empleo es muy limitado. 3.6 Tipos de arrollamientos Los tipos básicos de arrollamientos distribuidos son dos: imbricados y ondulados, los que pueden tener variantes respecto a su forma básica. Los arrollamientos imbricados son los más utilizados, mientras que los ondulados suelen emplearse en máquinas de corriente alterna de gran porte o en algunos inducidos de máquinas de corriente continua. 3.6.1 Arrollamientos imbricados En ellos las sucesivas bobinas quedan parcialmente superpuestas En la figura 11 se muestra un grupo de dos bobinas de un arrollamiento imbricado. Donde: Y1 Paso de bobina. Y2 Paso de conexión. Y Paso total o del arrollamiento
En los arrollamientos imbricados se cumple la siguiente relación entre los pasos:
Y = Y1 − Y2
(3)
Si bien en los arrollamientos a anillos es frecuente es que Y2 sea una ranura menor que Y1 , con lo que resulta Y = 1, en los arrollamientos a colector pueden presentarse otras variantes que dan lugar a arrollamientos con distinta características y denominaciones, como se verá en 5.1.
8
Y1 Y2
Y
Cabezas
Lados
Cabezas Conexiones Fig. 11. Arrollamiento imbricado. El dibujo de los arrollamientos imbricados se simplifica suponiendo que las bobinas tienen una sola espira, figura 12.
Y
Y1 Y2 Cabezas
Lados
Conexiones Fig. 12. Arrollamiento imbricado, dibujo simplificado. Más adelante, se muestran algunos ejemplos de arrollamientos imbricados sencillos. 3.6.2 Arrollamientos ondulados En los arrollamientos ondulados dos bobinas sucesivas se encuentran distanciadas aproximadamente un paso polar, es decir no se superponen, figura 13. Los pasos indicados en la figura 13 tienen la misma denominación que en el arrollamiento imbricado de la figura 11. En los arrollamientos ondulados se cumple la siguiente relación entre los pasos: Además resulta:
Y = Y1 + Y2
(4)
Y1 ≅ Y2 ≅ τ p
(5)
9
Y1
Y2
Y1
Y Cabezas
Lados
Cabezas Conexiones Fig. 13. Arrollamiento ondulado. El dibujo de estos arrollamientos también se simplifica suponiendo que las bobinas tienen una sola espira, figura 14.
Y2
Y1
Y1
Y Cabezas
Lados
Conexiones
Conexiones
Fig. 14. Arrollamiento ondulado, dibujo simplificado. Este tipo de arrollamiento se emplea mucho menos que los imbricados y, en los a colector, también existen las variantes progresivo, regresivo, simple, doble, etc. 4 ARROLLAMIENTOS A ANILLOS Estos son los arrollamientos más utilizados, se emplean en el estator y en el rotor de las máquinas asincrónicas, en el inducido de las máquinas sincrónicas y en la excitación de las máquinas sincrónicas de gran velocidad. 4.1 Fases Como se mencionó en el punto 3.1 los arrollamientos a anillos están formados por fases, que por razones de simetría, deben ser de iguales características eléctricas y tener sus ejes magnéticos a:
10
θ=
360 m
(6)
Donde:
θ m
Ángulo eléctrico entre fases. Número de fases.
La expresión (6) tiene como excepción los arrollamientos bifásicos en los cuales θ vale 90 grados eléctricos. En el caso de los arrollamientos trifásicos el ángulo θ debe ser de 120º eléctricos, lo que se puede expresar en ranuras teniendo en cuenta que al paso polar le corresponden 180º eléctricos; resultando: 120 2 Y120 = τp = τp (7) 180 3 De forma semejante se lo puede calcular para otro número de fases. Para que todas las fases puedan tener el mismo número de bobinas, la cantidad de bobinas por fase debe ser un número entero. B : entero (8) m Ésta es una condición de simetría del arrollamiento; por lo tanto los arrollamientos a anillos no pueden tener cualquier cantidad de ranuras y de bobinas. Se dice que estos arrollamientos son abiertos porque cada fase tiene un principio y un final, por ejemplo en el caso de un arrollamiento trifásico sus bornes se designan con las letras normalizadas indicadas en la figura 15 donde los puntos indican los bornes homólogos.
U
V
W
X
Y
Z
Fig. 15. Bornes normalizados de un arrollamiento trifásico. A su vez cada una de las fases puede tener todas sus bobinas en serie o en alguna combinación serie paralelo, dependiente de los valores de la tensión y de la corriente de fase que se deseen. Cuando se conectan ramas en paralelo, las tensiones inducidas en las mismas deben ser iguales, a fin de evitar la circulación de corrientes entre las mismas. La cantidad de espiras en serie de cada rama se indica con Ns y se denomina número de espiras en serie por fase.
4.2 Grupos de bobinas Una característica distintiva de los arrollamientos a anillos es que sus fases están formadas por grupos de bobinas con q bobinas por grupo. Dentro de cada grupo las bobinas deben estar en
11
serie ya que las tensiones inducidas en las mismas no están en fase pero, según convenga, a los grupos se los puede conectar en serie, en paralelo o en una combinación serie-paralelo, siempre cuidando que las ramas en paralelo sean de iguales características para evitar las corrientes de circulación. En la mayoría de los casos, esos grupos de bobina son todos iguales, pero hay arrollamientos especiales con grupos secuencialmente distintos, por ejemplo un arrollamiento puede tener todos sus grupos de dos bobinas cada uno o, por ejemplo, la mitad de los grupos con una bobina y la otra mitad con dos bobinas, alternándose. En el primer cado resulta q = 2 y en el segundo caso el promedio da q = 1,5, en el primer caso se dice que el arrollamiento es de q entero y en el segundo que es de q fraccionario. El estudio de los arrollamientos de q fraccionario escapa al alcance de este texto. En los arrollamientos que tienen todos sus grupos iguales, q entero, la distancia entre grupos puede ser de un paso polar o de dos pasos polares. En el primer caso se suele decir que son grupos monopolares o que el arrollamiento es por polos y en el segundo caso se suele decir que son grupos bipolares o que el arrollamiento es de polos consecuentes. Los arrollamientos por polos, es decir los que tienen un grupo en cada polo, generalmente son de doble capa y son los más empleados; en la figura 16 se muestran dos grupos, de dos bobinas cada uno, de una fase de un arrollamiento imbricado de ese tipo. En el ejemplo de la figura 16 se puede observar que el paso de las bobinas es una ranura menor que el paso polar, es decir se trata de bobinas acortadas una ranura. En los arrollamientos de q entero, que tienen todos sus grupos iguales, éstos se pueden conectar en serie o en paralelo, pero siempre respetando la polaridad: cuando circula corriente por la fase los grupos deben desarrollar sucesivamente polos norte y sur. En una conexión serie, esto se logra uniendo principio con principio y final con final de cada grupo, como se muestra en la figura 16, en la que también se muestra la posibilidad de conectar los dos grupos en paralelo.
τp
τp
Y1
S
N
Fig. 16. Arrollamiento imbricado, por polos, en doble capa. Como se verá en el punto 4.5, algunos arrollamientos de simple capa, también se pueden resolver con un grupo de bobinas en cada polo.
12
En la figura 17 se muestra esquemáticamente una fase de máquina cilíndrica, de cuatro polos, con de un arrollamiento por polos y se indica en forma aproximada el campo magnético resultante.
N
S
S
N Fig. 17. Máquina con grupos unipolares. Los arrollamientos de polos consecuentes, es decir los que tienen un grupo en cada par de polos, generalmente se utilizan en simple capa debido a la menor disponibilidad de ranuras libres; en la figura 18 se muestran dos grupos de dos bobinas cada uno, de una fase de un arrollamiento imbricado de este tipo. En el ejemplo de la figura 18 se puede observar que el paso de las bobinas es igual al paso polar, es decir se trata de bobinas diametrales.
2 τp
Y1
S
N
S
N
Fig. 18. Arrollamiento imbricado, de polos consecuentes, en simple capa. También aquí, y si todos los grupos son iguales, éstos se pueden conectar en serie o en paralelo, pero siempre respetando la polaridad: todos los grupos deben desarrollar polos iguales para que en el espacio entre los mismos se generen polos opuestos. En una conexión serie, esto se logra uniendo el principio con el final de cada grupo, como se muestra en la figura 18.
13
A fin de comprender mejor el ejemplo de la figura 18 y ver cómo se cierran las líneas de fuerza y se generan los polos, en la figura 19 se muestra una fase con dos grupos, colocados en el estator de una máquina cilíndrica de cuatro polos y se indica la forma aproximada del campo resultante.
N
S
S
N Fig. 19. Máquina de polos consecuentes. En el ejemplo de las figuras 18 y 19 cada uno de los dos grupos de bobinas, genera un polo sur en el estator y, los polos norte del estator son consecuencia de esos polos sur, no es más que una forma de decir las cosas. La cantidad de bobinas de cada grupo depende de si el arrollamiento es por polos o de polos consecuentes y se calcula dividiendo el número de bobinas de la fase por el número de grupos. En arrollamientos por polos: q=
B
m Bobinas por polo y fase. 2p
(9)
En arrollamientos de polos consecuentes: q=
B
m Bobinas por par de polos y fase. p
(10)
Como ya se dijo, el valor de q calculado con la expresión (9) o (10) puede dar un número entero o fraccionario y en el presente texto solamente se estudiarán los arrollamientos con q entero.
4.3 Ejemplo de arrollamiento imbricado A fin de aplicar los conceptos expuestos, a continuación se muestra cómo resulta una fase de un arrollamiento a anillos, trifásico (m = 3), imbricado (Y = Y1 –Y2), de doble capa (u = 2), 24 ranuras (Q = 24) por polos, de cuatro polos (p = 2) y con las bobinas acortadas en una ranura (Y1 = τp - 1). El número de bobinas es: B=
u ⋅ Q 2 ⋅ 24 = = 24 Bobinas. 2 2
14
(11)
Las bobinas por fase son:
B 24 = = 8 Bobinas por fase. m 3
(12)
Las bobinas por grupo son: q=
B
m = 8 = 2 Bobinas por polo y fase. 2p 2⋅2
(13)
Q 24 = = 6 Ranuras. 2p 2⋅2
(14)
El paso polar es:
τp =
El paso correspondiente a los 120 grados eléctricos es:
El paso de bobina es:
2 2 Y120 = τ p = 6 = 4 Ranuras. 3 3
(15)
Y1 = τ p − 1 = 6 − 1 = 5 Ranuras.
(16)
A fin de presentar mejor el dibujo, la fase U-X se comenzó en la ranura 1, figura 20, y se indicó el comienzo de las fases V-Y y W-Z. Para ver cómo cada uno de los grupos forma cada uno de los cuatro polos, se supuso una corriente constante entrando por el borne U y saliendo por el borne X.
τp Y1 Y120
Y120
S N S N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
U
V
W
X
Fig. 20. Arrollamiento imbricado, por polos, doble capa, fase U-X. En la figura 21 se muestra un corte esquemático de la fase dibujada en la figura 18, donde se ven las dos capas y el desplazamiento entre las mismas, debido al acortamiento del paso de las bobinas. La figura 21 muestra la razón por la cual los arrollamientos de doble capa son los más empleados: en éstos no hay restricciones respecto a la elección del paso de las bobinas ya que los
15
lados de las mismas se encuentran en capas diferentes y, por lo tanto, es posible utilizar el paso más conveniente desde el punto de vista del diseño.
U
X τp Y1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Fig. 21. Corte de la fase U-X del arrollamiento de la figura 20. En la figura 22 se muestra el arrollamiento completo, destacándose la fase U-X.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Y
U
Z
V
W
X
Fig. 22. Arrollamiento de la figura 20 completo. 4.4 Arrollamientos de simple capa Los arrollamientos de simple capa no poseen libertad en la elección del paso de las bobinas, en efecto, una vez que se colocó un lado de bobina en una ranura la misma queda totalmente ocupada. Para una dada cantidad de ranuras, en los arrollamientos de simple capa se pueden colocar la mitad de las bobinas que si el arrollamiento fuera de doble capa. Esto hace que sea frecuente el diseño con grupos bipolares o de polos consecuentes. Por ejemplo si se resuelve el arrollamiento del punto 4.3 en simple capa, con grupos bipolares y bobinas diametrales, resulta: El número de bobinas es: B=
u ⋅ Q 1 ⋅ 24 = = 12 Bobinas. 2 2
Las bobinas por fase son:
16
(17)
B 12 = = 4 Bobinas por fase. m 3
(18)
Se puede observar que son la mitad de las bobinas que en ejemplo con doble capa. Las bobinas por grupo se obtienen con la expresión (10): B 4 (19) q = m = = 2 Bobinas por polo y fase. p 2 El paso de las bobinas y el polar es:
Y1 = τ p =
Q 24 = = 6 Ranuras. 2p 2⋅2
(20)
En este ejemplo, de simple capa y grupos bipolares, no es posible acortar el paso de las bobinas y las mismas deben ser diametrales. El paso correspondiente a los 120 grados eléctricos es: 2 2 Y120 = τ p = 6 = 4 Ranuras. 3 3
(21)
En la figura 23 se muestra la fase U-X y el comienzo de las fases V-Y y W-Z. Para ver cómo cada uno de los grupos forma cada uno de los cuatro polos, se supuso una corriente entrando por el borne U y saliendo por el borne X.
Y1 = τ p Y120
τp Y120
S
N S N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
U
V
W
X
Fig. 23. Arrollamiento imbricado de polos consecuentes, simple capa, fase U-X. En la figura 24 se muestra un corte de la fase U-X de la figura 23. Tanto en las figuras 23 como en la 24, se puede observar como la fase U-X ocupa dos ranuras sucesivas cada paso polar: las ranuras 1 y 2; 7 y 8; 13 y 14; 19 y 20 y que entre esas ranuras quedan cuatro ranuras libres, esto debe ser así para poder ubicar a las otras dos fases. Eso ocurre en todos los arrollamientos a fin de ocupar todas las ranuras y evitar superposiciones. En los arrollamientos de doble capa, como se puede observar en las figuras 20 y 21, también quedan la cantidad necesaria de ranuras libres para las otras dos fases, pero en cada una de las capas.
17
El razonamiento de dejar las ranuras libres necesarias para las otras dos fases, puede ser muy útil cuando se debe dibujar un arrollamiento, especialmente si el mismo es de simple capa. Si en el ejemplo de las figuras 23 y 24 se acortaran las bobinas, ya no quedarían suficientes ranuras libres para alojar a las otras dos fases; por este motivo es que en los arrollamientos normales de simple capa y de polos consecuentes las bobinas son diametrales.
U
X Y1 = τ p
τp
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Fig. 24. Corte de la fase U-X del arrollamiento de la figura 23. En la figura 25 se muestra el arrollamiento completo, destacándose la fase U-X.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Z
U
V
W
X
Y
Fig. 25. Arrollamiento de la figura 23 completo. 4.5 Arrollamientos de simple capa por polos Cuando la cantidad de bobinas por grupo es un número par, los arrollamientos de simple capa se pueden resolver con grupos unipolares, es decir por polos. Por ejemplo, la fase de la figura 23 posee grupos de 2 bobinas, las que se pueden colocar una en cada polo y utilizando las mismas ranuras, figura 26.
18
τp Y1 Y120
Y120
S
N S N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
U
V
W
X
Fig. 26. Arrollamiento imbricado por polos, simple capa, fase U-X. Como se tienen las mismas corrientes y en las mismas ranuras, el campo magnético resultante es el mismo que el producido por la fase de la figura 23. Pero en este caso las bobinas resultan acortadas, lo que significa un ahorro de material. En la figura 27 se muestra un corte de la fase U-X de la figura 26.
U
X τp Y1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Fig. 27. Corte de la fase U-X de la figura 26. Cuando, en estos casos, para dibujar el arrollamiento se aplica el criterio de dejar las ranuras libres para las otras dos fases, hay que tener en cuenta que si bien el valor de q calculado con la fórmula (9) indica la cantidad la cantidad de bobinas por grupo, en las fases habrá grupos adyacente que ocuparán 2q ranuras sucesivas, y entonces habrá que dejar libres 4q ranuras libres para las otras dos fases. 4.6 Arrollamientos concéntricos. Ejemplo. En máquinas de poca potencia, pocos kilowatts, se pueden emplear arrollamientos sencillos, de pocas bobinas, generalmente de simple capa, sin desmerecer mayormente el funcionamiento de las mismas. En estos casos, y para simplificar su construcción, suelen emplearse una variante de los arrollamientos imbricados, que se denominan arrollamientos concéntricos debido a que las bobinas de cada grupo están concéntricamente dispuestas. En estas máquinas pequeñas se emplean bobinas de conductores sueltos, colocadas a mano y en ranuras semicerradas. 19
Estos grupos de bobinas de distinto paso, se fabrican sobre moldes coaxiales de distinto tamaño y luego se colocan en las ranuras de la máquina, acomodando las cabezas de bobina de los distintos grupos en dos o tres planos, según sea necesario. No obstante lo dicho, hay excepciones: los rotores cilíndricos de los grandes alternadores poseen arrollamientos concéntricos de construcción muy elaborada, pero que no dejan de responder a los mismos principios que rigen a los de pequeña potencia. En la figura 28 se muestra un grupo de dos bobinas concéntricas, en simple capa, semejante al ya mostrado en la figura 11.
Cabezas
Lados Cabezas Conexiones Fig. 28. Arrollamiento concéntrico. Con el mismo criterio empleado en los arrollamientos imbricados y ondulados se simplifica el dibujo suponiendo que las bobinas son de una sola espira, resultando el dibujo simplificado mostrado en la figura 29.
Cabezas
Lados
Conexiones Fig. 29. Arrollamiento concéntrico, simplificado. Como la forma simplificada de dibujo de un arrollamiento concéntrico es una línea que forma un espiral, a estos arrollamientos veces se los llama en espiral.
20
El arrollamiento trifásico, de simple capa, cuya fase U-X se muestra en la figura 23, se puede resolver en forma de arrollamiento concéntrico, como se muestra en la figura 29.
τp
τp
Y120
Y120
S
N
S
N
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
U
V
W
X
Fig. 30. Fase de la figura 23 resuelta en forma concéntrica. En la figura 31 se muestra el corte de la fase U-X mostrada en la figura 30.
U
X τp
τp
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Fig. 31. Corte de la fase U-X del arrollamiento concéntrico de la figura 30. Comparando las figuras 23 – 24, 26 – 27 y 30 – 31 se puede observar que en todas ellas se tienen las mismas corrientes en las mismas ranuras, por lo tanto, y desde el punto de vista electromagnético, los tres arrollamientos son equivalentes; las pequeñas diferencias que hay son de naturaleza constructiva y en el de uso de material. Es importante hacer hincapié en que el campo magnético que un arrollamiento produce, depende de la distribución de las corrientes en el espacio, es decir de las corrientes en las distintas ranuras. Dos arrollamientos que generen la misma distribución de corrientes, aunque las bobinas tengan distinta forma o estén conectadas de otra manera, producirán el mismo campo en el entrehierro de la máquina. De lo anterior se desprende que las distintas formas de las bobinas y de sus conexiones responden a cuestiones de facilidad constructiva y economía de materiales. Los arrollamientos concéntricos son un ejemplo de ello. En la figura 32 se muestra el arrollamiento completo, destacándose la fase U-X.
21
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Z U
X V
Y
W
Fig. 32. Arrollamiento concéntrico de la figura 29 completo. En el dibujo del arrollamiento completo de la figura 32, se puede observar que cada una de las fases tiene un grupo de altura “normal” y otro de mayor altura. Si bien esto favorece el dibujo, evitando que se superpongan las cabezas de bobina de las distintas fases, también guarda relación con la disposición geométrica de las cabezas de las bobinas, las que deben ubicarse en dos o tres planos para poder acomodarlas. 4.7 Arrollamientos ondulados Los arrollamientos ondulados, cuyos fundamentos se han descriptos en el punto 3.6.2 y mostrados en las figuras 13 y 14, que se emplean en máquinas a anillos de gran porte, normalmente son de doble capa y con grupos unipolares, por lo tanto el número de bobinas iguala al número de ranuras (2). Como además, se debe cumplir la condición de simetría (8), se deben hacer cambios en las conexiones de las bobinas para poder formar los grupos en el lugar correspondiente; por otra parte, las bobinas se mantienen todas iguales. Por ejemplo, sea una máquina de cuatro polos, 24 ranuras, con bobinas y conexiones diametrales, figura 33. Por comodidad se ha comenzado en la ranura 1 y se han colocado dos bobinas, una en el primer grupo y la otra resulta en el tercer grupo, completando una vuelta en sentido horario. Si se vuelve a hacer una conexión diametral, seis ranuras en este ejemplo, y tal como se muestra en la figura 33, se vuelve a la ranura 1, donde se ha comenzado la primera vuelta y la fase se cerraría sobre sí misma, con solamente dos bobinas; lo que no es correcto. Para evitar lo anterior, a esta última conexión, se la hace una ranura más larga o una ranura más corta, en este ejemplo se optó por hacer esa conexión una ranura más corta, comenzando la segunda vuelta en la ranura 24, figura 34.
22
U Conexión 1
19
Bobinas
7
13
Conexión
Fig. 33. Arrollamiento ondulado, primera vuelta. Al completarse la segunda vuelta del arrollamiento, ya se tienen las dos bobinas en el primer y en el tercer grupo, figura 34.
U Conexión más corta
24 1
19 18
Bobinas
13 12
6 7
Conexiones normales
Fig. 34. Arrollamiento ondulado, segunda vuelta. Si se continúa con el criterio anterior, de acortar la conexión y continuar la fase en el mismo sentido horario, se seguirían agregando bobinas en esos grupos, que ya están completos. Pero como se desea que el arrollamiento sea por polos, se deben colocar bobinas para formar el segundo y el cuarto grupo. Para ello se comienza una nueva vuelta, pero en sentido contrario a la anterior, antihorario en este ejemplo, como se muestra en la figura 35.
23
U Conexion normal antihoraria 24 1 Bobinas
X
Conexión antihoraria más corta
6 7
19 18 Conexión antihoraria 13 12
Fig. 35. Tercera vuelta. En la figura 35 la conexión antihoraria va desde la capa interna de la ranura 18 a la capa interna de la ranura 12. En esa misma figura, y para no complicarla, se indicaron solamente una bobina del segundo y otra del cuarto grupo y se indicó el comienzo y el final de la fase. En el ejemplo analizado, en el que hay dos bobinas en cada grupo, es necesario realizar dos vueltas en sentido horario y otras dos en sentido antihorario para completar la fase. A fin de mostrar el resultado final, en la figura 36 se muestra la fase U-X completa, en forma desarrollada, y se indica el comienzo de las otras dos.
Y1= τ p Y120
Y120
S N S N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
V
W
X
Fig. 36. Arrollamiento ondulado, diametral, fase U-X.
24
U
El arrollamiento mostrado es diametral, pero también se podría resolver con bobinas acortadas; a modo de ejemplo en la figura 37 se muestra la fase U-X con bobinas acortadas una ranura.
τp Y1 Y120
Y120
S N S N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
V
W
X
U
Fig. 37. Arrollamiento ondulado, acortado, fase U-X. Se deja al lector el ejercicio de identificar las conexiones más cortas y las realizadas en sentido inverso en las fases de las figuras 36 y 37.
25
FUERZAS MAGNETOMOTRICES, ELECTROMOTRICES Y CUPLA EN INDUCIDO A COLECTOR
1.- INTRODUCCIÓN A continuación se analizarán las fuerzas magnetomotrices (fmm) desarrolladas por un inducido a colector, las fuerzas electromotrices inducidas (fem) en el mismo y la cupla que se puede generar. Se suponen conocidas las formas constructivas de los mismos y que estos temas ya han sido estudiados para los arrollamientos a anillos. En todos los casos se dibujarán inducidos bipolares por ser más fáciles de representar y además porque en ellos coinciden los ángulos eléctricos y geométricos. Para extender las conclusiones a inducidos de mayor número de polos, simplemente se deben interpretar los ángulos como eléctricos: θe = p θg
θe : ángulo eléctrico
θg : ángulo geométrico
2.- FUERZAS MAGNETOMOTRICES En general y de acuerdo a sus características, se pueden definir tres tipos básicos de fuerzas magnetomotrices, cada una de ellas producida por un tipo particular de excitación:
Excitación:
Tipo de fmm:
Características:
Corriente continua
Constante
Amplitud constante y fija
Corriente alterna monofásica
Alterna
Amplitud variable y fija
Corriente alterna polifásica
Giratoria
Amplitud constante y giratoria
La expresión amplitud constante, se refiere a la amplitud de cada una de las componentes armónicas de fuerza magnetomotriz y las expresiones fija y giratoria indican si las mismas se mueven respecto al arrollamiento que las está produciendo. Por ser más simple de analizar se comenzará por el caso de excitación con corriente continua, es decir con fuerza magnetomotriz constante. I
2.1 Excitación de corriente continua: Primero se considerará un inducido a colector alimentado con corriente continua a través de un par de escobillas diametrales; como es habitual las mismas se representan simbólicamente ubicadas de forma tal que ambas definen el eje magnético del arrollamiento: F
Ia
θ
Figura 1: Distribución de corrientes en el inducido
Como estos arrollamientos, salvo en máquinas muy pequeñas, poseen muchas bobinas y están muy distribuidos, se puede considerar que la corriente está uniformemente distribuida en la superficie del inducido, formando una capa de corriente, esto da una variación continua de la fuerza magnetomotriz en el entrehierro, dando una onda triangular y no la clásica forma escalonada. Para representar la distribución espacial de fuerza magnetomotriz conviene dibujar el inducido desarrollado y para completar el circuito magnético también se incluye el estator, suponiendo un entrehierro equivalente g constante:
Estator
g
Rotor F Fmáx F1 0
π
2π
-Fmáx 2τp Figura 2: Distribución de fuerza magnetomotriz
θ
la amplitud de la fmm desarrollada resulta: Fmáx = Número de conductores por semipolo ⋅ corriente en cada conductor Fm á x =
I Z 1 Z ⋅ a = Ia 2p ⋅ 2 2a 8 a p
[1]
donde: Z: p: a: Ia :
número total de conductores del inducido número de pares de polos número de pares de ramas en paralelo corriente de inducido
También se puede poner en función del número de espiras en serie, por rama, entre escobillas diametrales Ns :
Ns =
Z Z = 2 ⋅ 2a 4a
[2]
o sea: Fm á x =
N 1 Z Ia = s Ia 8 ap 2p
La amplitud de las componentes armónicas de la onda triangular de fuerza magnetomotriz se obtiene haciendo el análisis de Fourier de la misma, el que conduce a: 4 Fm á x F$ν = k wν
π
[3]
ν
donde ν es el orden de la armónica y el factor de arrollamiento kwν : k wν = k pν k dν
es el producto del factor de paso kpν , por el factor de distribución kdν . Como el arrollamiento está muy distribuido es lícito suponer que para cada conductor con corriente entrante, hay uno diametralmente opuesto, con igual corriente, pero saliente, lo que conduce a un factor de paso igual a uno. Por el mismo motivo el factor de distribución de puede obtener como la relación entre la cuerda y el arco correspondiente al ángulo eléctrico entre escobillas θe :
k dν
r
θe
cu erd a = = a rco
2 r s en ν r ν θe
θe 2 =
s en ν
ν
θe
θe 2
[4]
2
en este caso, en que las escobillas están diametralmente opuestas, el ángulo eléctrico entre las mismas es π , es decir corresponde a una semicircunferencia lo que para la fundamental da: 2 kd1 = π y: kw1 =
2
π
y la amplitud de la componente fundamental queda: 1 Z 4 N sk w1 F$1 = 2 Ia = Ia π 2p π ap
[6]
Si las escobillas no son diametrales disminuye el número de conductores activos por rama y el número de espiras en serie, por otra parte el factor de devanado crece al disminuir el ángulo entre escobillas, pero el efecto conjunto es una disminución de la fuerza magnetomotriz desarrollada. Para visualizar lo anterior se representa la distribución de corrientes en un inducido de doble capa con bobinas diametrales:
F2β
Ia
2β
Figura 3: Distribución de corrientes con escobillas no diametrales
en la figura se puede ver como hay zonas con corrientes iguales y opuestas que no desarrollan fuerza magnetomotriz y el resultado neto es una reducción de la cantidad de conductores activos. Manteniendo las características de devanado y la corriente en escobillas, la relación entre las fuerzas magnetomotrices para los dos casos se reduce a la relación entre conductores activos y factores de distribución: F2 β
=
Fπ
Z 2β k w 2β Z π k wπ
como se ha supuesto una distribución uniforme de conductores, los valores de Z , lo mismo que los de Ns son proporcionales a los arcos respectivos y éstos a los ángulos entre escobillas: Z2β Zπ
=
N sβ Ns
=
2β
π
por otra parte los factores de distribución están dados por la expresión [4], reemplazando resulta: s en β F2 β 2β β = 2 Fπ π π
F2 β = Fπ s en β
[7]
o sea que cuando las escobillas no son diametrales, la fuerza magnetomotriz se calcula primero como si lo fueran y luego se multiplica por el seno de la mitad del ángulo entre las mismas.
2.2 Excitación con corriente alterna monofásica
Si la corriente en las escobillas es variable, la fuerza magnetomotriz desarrollada seguirá las variaciones de la misma, si es alterna de la forma:
i a = 2 I a s en ωt el valor instantáneo de la componente fundamental de la fuerza magnetomotriz en el eje del arrollamiento, definido por las escobillas, será:
F1 =
2 Z 4 2 N skw1 I s en ωt = I a s en ωt 2 ap a π 2 p π
[8]
donde: 2
π
2
≅ 0 ,1 4 3 3
4
2 ≅ 0 ,9 π 2
el valor de la fuerza magnetomotriz en una dirección θ respecto del eje magnético se obtiene multiplicando el valor anterior por el coseno de dicho ángulo. Los valores máximos en el tiempo y en el espacio, son:
$ F$1 =
2 Z 4 2 N sk w1 Ia I = 2 ap a p π 2 π
[9]
2.3 Excitación con corriente alterna trifásica
Si se alimenta trifásicamente un inducido bipolar a colector a través de tres escobillas dispuestas simétricamente, se obtiene un campo giratorio de dos polos. Modificando el arrollamiento se pueden obtener mayor cantidad de polos y velocidades sincrónicas más bajas, lo que en general implica agregar otros juegos de escobillas. Para observar como se produce el campo, a continuación se representan las distribuciones de corriente para dos instantes sucesivos:
ic = -0,5
ia =1.0
F
ib = -0,5 Figura 4: Distribución de corrientes para t = 0
ic = 0
ia = 0,866
F
ib = -0,866 Figura 5: Distribución de corrientes para t = T/12
Como era de esperar el ángulo eléctrico girado por el campo es igual al girado por la terna trifásica, lo que da velocidades angulares iguales. Si el inducido fuera de mayor cantidad de polos la velocidad angular del campo sería:
Ωc1 =
ω p
Igual que en un arrollamiento de fases, los armónicos de fuerza magnetomotriz dan lugar a campos giratorios de distintas velocidades y sentidos. Desde el punto de vista eléctrico el arrollamiento equivale a una conexión en triángulo, por lo tanto la corriente en cada rama (fase) será la de escobilla (línea) dividida por √3 . Como la amplitud de una fuerza magnetomotriz giratoria trifásica es igual a 3/2 de la amplitud de la producida por una fase, para la que se debe tener en cuenta que las escobillas están a 120 grados entre sí, entonces:
β = 60° =
y
π 3
3 2 Z Ia π 3 2 Z F$1 = s en = Ia 2 2 π ap 3 3 4 π 2 ap
[10]
compararla con la ecuación [9], o en función del número de espiras entre escobillas Nsβ : 3 4 2 N sβ k w β I a F$1 = p 2π 2 3
[11]
donde: 3 4 2 ≅ 1,3 5 2π 2
N sβ =
2 Ns 3
k wβ =
s en β
β
=
3
3 ≅ 0 ,8 2 7 π 2
Como seguramente el lector ya pudo observar, las fuerzas magnetomotrices en los arrollamientos a colector [6], [9] y [11], se pueden calcular como en los arrollamientos a anillos, teniendo solamente el cuidado necesario en la elección del número de espiras en serie y de los factores de devanado. Para evitar confusiones es aconsejable utilizar las expresiones en función de Z que, por ser el número total de conductores del inducido, es independiente de la posición y cantidad de escobillas.
3.- FUERZAS ELECTROMOTRICES INDUCIDAS Como básicamente un arrollamiento a colector es un arrollamiento a anillos que se conecta a las escobillas a través de las delgas que forman el colector, la fuerza electromotriz inducida que aparece en las escobillas se pueden obtener a partir de la que se induce en un arrollamiento a anillos. En efecto si se tiene un único arrollamiento, por un lado con salida a anillos rozantes conectados a extracciones diametrales y por el otro lado conectado a un colector en el que apoyan escobillas, también diametrales, la tensión en las escobillas ee será igual al valor instantáneo del la tensión en los anillos rozantes ea cuando el eje magnético del arrollamiento a anillos, que gira solidario con el mismo, coincida con el eje magnético definido por las escobillas que está fijo en el espacio, es decir:
ee = ea ⏐
θ = θe
donde:
θ θe
ángulo del eje magnético del arrollamiento a anillos ángulo de escobillas
El valor instantáneo de la tensión en anillos se obtendrá como la derivada del flujo concatenado por el arrollamiento λ respecto del tiempo; el campo se supondrá sinusoidalmente distribuido en el entrehierro y se analizará solamente la componente fundamental de la tensión inducida. Se analizarán tres casos: el inducido girando dentro de campos constante, alterno y giratorio. En los tres casos se considerará al inducido girando a velocidad ωr constante:
dθ
ωr = p Ω =
dt
donde:
ωr Ω p
es la velocidad de rotación en radianes eléctricos por segundo es la velocidad de rotación en radianes geométricos por segundo número de pares de polos
entonces:
θ = ωr t + θ 0
[12]
3.1 Inducido en campo constante
Esta es la situación correspondiente a una máquina de corriente continua donde la excitación es constante en el tiempo y fija en el espacio. Φ •
Ia
θ
ωr
θe
•
•
+
-
ea +
ee
Figura 6: Inducido en campo constante
Como se ha supuesto que la fuerza magnetomotriz de excitación está distribuida sinusoidalmente en el entrehierro, el flujo concatenado por el arrollamiento a anillos será:
λa = N s k w Φ cos θ y la tensión en anillos:
ea =
d λa dt
= −ω r N s k w Φ s en (ω r t + θ 0 )
[13]
que es una tensión alterna de amplitud y frecuencia proporcionales a la velocidad de rotación. La tensión en las escobillas se obtiene simplemente reemplazando el ángulo θ , que es el argumento de la función seno, por el ángulo de las escobillas θe :
e e = E e = −ω r N s k w Φ s en θ e
[14]
Esta es una tensión constante, de amplitud proporcional a la velocidad de giro y que es máxima cuando las escobillas están a 90º eléctricos del flujo de excitación. Lo anterior muestra como el colector y las escobillas actúan como un convertidor de frecuencia ya que las tensiones inducidas en las bobinas del arrollamiento son efectivamente alternas de frecuencia fr =
ωr
[15]
2π
y en las escobillas se tiene corriente continua. De la expresión anterior se puede llegar a la comúnmente empleada en el estudio de las máquinas de corriente continua, en efecto reemplazando:
ωr = p Ω
Ns =
Z 4a
kw =
2
π
θe =
π 2
resulta: E =pΩ
π Z 2 pZ Φ s en = ΦΩ 4a π 2 2 πa
3.2 Inducido en campo alterno
Este es el caso del motor serie de corriente alterna o universal. Si en la situación planteada en la figura 6 el flujo varía armónicamente: $ s en ωt φ=Φ
el flujo concatenado por el arrollamiento será: $ s en ωt co s θ λa = N s k w Φ
donde el ángulo θ está dado por la [12], derivando respecto del tiempo se obtiene la tensión en anillos: ea =
d λa $ cos ωt cos (ω t + θ ) − ω N k Φ $ s en ωt s en (ω t + θ ) = ω N sk w Φ r 0 r s w r 0 dt
Si se desarrollan los productos cosα⋅cosβ y senα⋅senβ en función de la suma y de la diferencia de los ángulos y se agrupan términos se puede observar que está es una tensión alterna que contiene dos componentes de distintas amplitudes y frecuencias, por extensión denominada “biarmónica”, presente en los rotores de los motores de inducción monofásicos. Para obtener la tensión en escobillas se deben reemplazar los argumentos (ωrt + θo) = θ por θe :
$ cos θ cos ωt − ω N k Φ $ s en θ s en ωt ee = ω N sk w Φ e r s w e
[16]
que también posee dos componentes pero, debido a la acción del colector, ambas de la misma frecuencia e igual a la del flujo de excitación. La primera, denominada de transformación porque existe aunque el inducido no gire, de amplitud proporcional a la pulsación ω del flujo de excitación y la segunda, denominada de rotación, de amplitud proporcional a la velocidad de rotación ωr del inducido. Los valores eficaces de ambas componentes serán:
Et = Er =
ω 2
ωr 2
$ cos θ = 4 ,4 4 f N k Φ $ cos θ N skw Φ e s w e
[17]
$ s en θ = 4 ,4 4 f N k Φ $ s en θ N sk w Φ e r s w e
donde fr es la frecuencia de rotación dada por la [15]. Como estas componentes son ambas de la misma frecuencia, se pueden representar fasorialmente y sumarlas para obtener la resultante y el valor eficaz de la tensión en escobillas. La componente de transformación es una función coseno, es decir que adelanta 90º del flujo que es una función seno, mientras que la componente de rotación es una función menos seno y queda en oposición al flujo. E Et La suma vale:
E =
E t2 + E r2
[18] Φ
ésta es la tensión que mediría un voltímetro de corriente alterna conectado a las escobillas. Si se las representa en función del ángulo de escobillas se obtiene:
1 0 ,9 0 ,8 0 ,7 0 ,6 0 ,5 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1 0
º/1
Er º/1
E
E
Er
Er
0
Et
Et
10 20 30 40 50 60 70 80 90
θe
1
ωr = 0,7ω 0 ,9
ωr = ω
θe
0 ,8 0 ,7 0 ,6 0 ,5 0 ,4 0 ,3 0 ,2 0 ,1 0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Figura 7: Tensiones en función del ángulo de escobillas
Una forma útil de interpretar lo anterior es suponer al arrollamiento de inducido como “pseudo estacionario” es decir un arrollamiento que gira pero que su eje magnético permanece fijo en el espacio y en la dirección determinada por las escobillas. Si el ángulo de escobillas es cero, el eje del arrollamiento coincide con el de la excitación y hay máximo acoplamiento, dando lugar a la máxima tensión de transformación; mientras que si las escobillas están a 90º eléctricos de la excitación, el acoplamiento es nulo, la tensión de transformación es cero y en cambio hay máxima tensión de rotación, como con excitación constante. Esta forma de interpretar al inducido también permite justificar porque la frecuencia de la tensión en escobillas coincide con la del flujo de excitación.
3.3 Inducido en campo giratorio
Esta es la situación correspondiente, por ejemplo, a un motor Schräge. Se supondrá al campo girando a una velocidad:
ωf = 2 π f f = p Ω f
tal que:
θf = ωf t
θf
θ θe
ωr
Φ
+
-
ea
+ ee
-
Figura 8: Inducido en campo giratorio
y el flujo concatenado por el arrollamiento a anillos será:
( ) Φ cos [(ω − ω ) t − θ ]
λa = N s k w Φ cos θf − θ = = N sk w
f
r
0
y la tensión en anillos es:
( = −(ω
) − ω )N
[(
]
)
e a = − ω f − ωr N s k w Φ s en ω f − ωr t − θ0 = f
r
sk w
(
Φ s en ω f t − θ
)
que es una tensión alterna cuya amplitud y frecuencia dependen de la velocidad relativa entre el inducido y el campo giratorio. Reemplazando θ por θe se obtiene la tensión en escobillas:
(
)
(
e e = − ω f − ω r N s k w Φ s en ω f t − θ e
)
[19]
En este caso la tensión en las escobillas es alterna de una amplitud que depende de la diferencia de velocidad entre el campo giratorio y el inducido y una frecuencia determinada por la velocidad del campo giratorio respecto a una referencia fija, por ejemplo las propias escobillas. Al cambiar la posición de las escobillas solamente se cambia la fase de la tensión. Aquí también el concepto de arrollamiento “pseudo estacionario” permite justificar porque la frecuencia depende de la velocidad de rotación del campo respecto del eje definido por las escobillas y como al cambiar el mismo solamente cambia la fase de la tensión. Por otra parte, como el valor del flujo no cambia en el tiempo, el módulo de la tensión inducida depende del hecho físico del movimiento relativo entre el campo y los conductores del inducido. Si la amplitud del flujo variase en el tiempo, también aparecería una componente de transformación en la tensión inducida. Definiendo un resbalamiento s como la diferencia de velocidades en por unidad respecto al campo giratorio:
s =
ω f − ωr
se puede expresar la tensión anterior en función del mismo:
ωf
(
e e = −s ω f N s k w Φ s en ω f t − θ e
)
[20]
y el valor eficaz resulta:
E =
s ωf 2
N s k w Φ = 4 ,4 4 s f f N s k w Φ
[21]
En las expresiones recuadradas [14], [16], [17], [18], [19], [20] y [21] se utilizó el número de espiras en serie Ns y el factor de devanado kw para destacar la equivalencia de las mismas con las utilizadas en los arrollamientos a anillos, pero como corresponden a escobillas diametrales, los mismos se pueden reemplazar por las expresiones [2] y [5] respectivamente. Si bien las tensiones dadas por las expresiones anteriores fueron obtenidas suponiendo que las escobillas eran diametrales, en realidad se pueden aplicar para cualquier ángulo entre las mismas, siempre que se tome la precaución de usar el número de espiras en serie y el factor de devanado correspondiente. Sin embargo se presta menos a confusión y es más cómodo calcular primero la tensión inducida como si las escobillas fueran diametrales y luego multiplicar el resultado por el seno de la mitad del ángulo entre las mismas: e e 2 β = e e π s en β
[22]
de la misma forma que se hizo para las fuerzas magnetomotrices.
4.- CUPLA En una máquina de entrehierro constante, con fuerzas magnetomotrices estatórica y rotórica sinusoidalmente distribuidas y en la que se supone toda la energía magnética almacenada en el entrehierro (µFe = ∞), la cupla electromagnética desarrollada, en Newton-metro, se puede obtener como la derivada de dicha energía respecto de la posición y resulta la siguiente expresión: Te =
π 2
p 2 Φ f F$a s en θ
[23]
donde: p:
número de pares de polos
Fa :
amplitud de la componente fundamental de la fmm de armadura ángulo eléctrico entre el flujo y la fmm de armadura
Φf : flujo por polo θ:
y de acuerdo al “principio de alineación”, el sentido de esta cupla es tal que tiende a alinear la fuerza magnetomotriz de armadura con el flujo de excitación.
Una condición necesaria para que el valor medio de esta cupla no sea nulo es que el flujo y la fuerza magnetomotriz permanezcan estacionarias entre sí, es decir que ambos estén fijos en el espacio o que ambos giren en la misma dirección y con la misma velocidad. En la práctica los casos de interés son: 1: 2: 3:
ambos fijos en el espacio y constantes (máquina de corriente continua) ambos fijos en el espacio y pulsantes (motor serie monofásico) ambos giratorios (motor Schräge)
4.1 Ambos fijos en el espacio y constantes en el tiempo
Suponiendo escobillas diametrales podría ser:
Φf θe Fa
Te Ia
Figura 9: Flujo de excitación y fuerza magnetomotriz de armadura
donde el ángulo entre el flujo de excitación y la fuerza magnetomotriz de armadura está determinado por la posición de las escobillas. Si como ya se dijo esta situación es la correspondiente a una máquina de corriente continua, el eje magnético del inducido estará en cuadratura con el de la excitación. Reemplazando la fuerza magnetomotriz de armadura por la expresión [6]:
1 Z F$a = 2 Ia π ap y
θ = θe =
[6]
π 2
queda: Te =
pZ Φf I a 2πa
[24]
que es la expresión usualmente empleadas en estas máquinas, la que si se deseara también se puede poner en función del número de espiras en serie Ns , dado por la expresión [2] e introducir el factor de devanado [5] como en la ecuación [6], pero como ya se dijo se presta menos a confusión trabajar con el número total de conductores Z especialmente si las escobillas no son diametrales; en este caso, es aconsejable obtener la cupla multiplicando la expresión [24] por el seno del semiángulo eléctrico entre las mismas.
4.2 Ambos fijos en el espacio y pulsantes con la misma frecuencia
Como en el caso anterior el ángulo entre el flujo de excitación y la fuerza magnetomotriz de armadura está determinado por la posición de las escobillas, que normalmente es de 90º. Si:
θ = θe $ s en ωt φf = Φ f ia = 2 I a s en (ωt − ψ ) teniendo en cuenta la fuerza magnetomotriz dada por expresión [6] y reemplazando en la [23]
Te =
π 2
$ s en ωt p 2Φ f
1 Z π2 ap
(
)
2 I a s en ωt − ψ s en θe
si luego de simplificar y ordenar se desarrolla el producto de senos como: s en α s en β =
[
]
1 co s (α − β ) − co s (α + β ) 2
resulta: Te =
$ pZ Φ f I co s ψ − co s 2ωt − ψ s en θe 2πa 2 a
[
(
)]
[25]
que es la suma de un valor constante y otro pulsante con frecuencia doble a la de excitación. En general interesa la cupla media, es decir la componente constante: Te =
$ p Z Φf I a cos ψ s en θ e 2πa 2
[26]
para que esta componente sea máxima el flujo de excitación y la corriente de inducido deben estar en fase, ψ = 0 , y el ángulo de escobillas debe ser 90º eléctricos Las dos condiciones se cumplen en un motor serie de corriente alterna: en efecto como el flujo de excitación está producido por la misma corriente que desarrolla la fuerza magnetomotriz de armadura, ambos quedan prácticamente en fase en el tiempo y por otra parte las escobillas se ubican de forma tal que los ejes magnéticos de la excitación y de la armadura queden en cuadratura. Las mismas razones justifican los inconvenientes del motor derivación de corriente alterna donde, debido a las disímiles relaciones inductancia/resistencia de los circuitos de excitación y de inducido, no es posible lograr que el flujo de excitación y la fuerza magnetomotriz de armadura queden en fase. Comparando las expresiones de la cupla en corriente continua [24] y en corriente alterna [26], para iguales condiciones de saturación máxima y pérdidas en el cobre, esta última es √2 veces menor. Esta es una razón más a favor del motor de corriente continua respecto del de alterna a colector y, junto a la reducción de las caídas de tensión, contribuye a la mayor velocidad que desarrolla un motor universal, (motor serie para corriente alterna y continua) cuando se lo utiliza en corriente continua. Igual que antes, las expresiones [25] o [26], se pueden poner en función del número de espiras en serie Ns e introducir el factor de devanado kw pero si las escobillas no son diametrales, no es aconsejable hacerlo por la posibilidad de confusión, en ese caso la cupla conviene obtenerla multiplicando dichas expresiones por el seno del semiángulo eléctrico entre las mismas.
4.3 Ambos giratorios
En las máquinas trifásicas que funcionan en condiciones de alimentación equilibrada, se puede suponer que el campo giratorio y la fuerza magnetomotriz del inducido poseen amplitudes y giran a velocidades constantes, por lo tanto permanecerán estacionarias entre sí formando un ángulo que dependerá de las condiciones de funcionamiento y no exclusivamente de la ubicación de las escobillas. Fa Te
θ
Φf
Figura 10: Flujo y fuerza magnetomotriz de armadura giratorios
La cupla estará dada por una expresión como la [23] obtenida en el primer caso, donde la fuerza magnetomotiz de armadura corresponde a un campo giratorio como el dado por la expresión [10], reemplazando queda:
Te =
π 2
p 2 Φf
3
2 Z
4 π 2 ap
I a s en θ
simplificando y ordenando: Te =
3 p Z Φf I a s en θ 2 2πa 2
[27]
al introducir la fuerza magnetomotriz en esta ecuación ya se tuvo en cuenta que las escobillas se encuentran a 120º eléctricos entre sí.
FUERZAS MAGNETOMOTRICES EN ARROLLAMIENTOS A ANILLOS Norberto A. Lemozy 1 INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se estudian las fuerzas magnetomotrices (fmm) producidas por arrollamientos distribuidos a anillos y su distribución en las máquinas de entrehierro constante. Respecto a la geometría de la máquina, hay dos formas constructivas básicas: las cilíndricas y las de polos salientes, las que pueden estar tanto en el estator como en el rotor, dando lugar a cuatro combinaciones posibles, como se muestra en la Tabla I, donde en la columna “Máquina” se colocó un ejemplo representativo, existiendo otras posibilidades de aplicación. Tabla I. Formas constructivas. Estator Rotor Máquina Cilíndrico Cilíndrico De inducción Cilíndrico De polos salientes Sincrónica De polos salientes Cilíndrico De corriente continua De polos salientes De polos salientes Motor por pasos En la mayoría de las formas cilíndricas se colocan arrollamientos distribuidos, recorridos por corriente alterna con la función de armadura, o inducido (lugar donde se inducen tensiones), ejemplo de esto, son las máquinas sincrónicas, las de colector, de CC y de CA, y las de inducción, aunque en éstas últimas no se habla de “inducido”, sino simplemente se dice estator y rotor. Si la corriente que recorre estos arrollamientos distribuidos es alterna (hay excepciones), el núcleo magnético debe ser laminado, para reducir las pérdidas por corrientes de Foucault. Cuando en los polos salientes hay arrollamientos, estos son concentrados, cumplen la función de excitación, es decir generan el campo magnético necesario para la conversión de energía, y generalmente están recorridos por corriente continua; por ejemplo los polos de excitación de una máquina de CC o sincrónica. Los arrollamientos distribuidos están formados por bobinas alojadas en ranuras (o canaletas) distribuidas sobre una superficie cilíndrica; en la gran mayoría de los casos todas las bobinas poseen el mismo número de espiras, todas las ranuras son iguales y se encuentran equiespaciadas. Si no se cumplen estas suposiciones se deben aplicar otros procedimientos de análisis, distintos de los generales que a continuación se verán. Se denominan arrollamientos a anillos o de fases a aquellos bobinados formados por circuitos eléctricos independientes e iguales, denominados fases, (el caso más común es el trifásico), con ejes magnéticos desfasados en el espacio un ángulo eléctrico igual a:
2π 360 radianes, ó grados m m
(1)
Donde m es el número de fases. Las expresiones anteriores tienen como excepción los arrollamientos bifásicos en los cuales las fases se encuentran a
π
2
radianes ó 90 grados eléctricos entre sí.
1
Conviene recordar que la relación entre los ángulos eléctricos y los geométricos es la siguiente:
θ e = θ = p ⋅θ g
(2)
Donde p es el número de pares de polos de la máquina. Como cada fase tiene un principio y un final, éstas son circuitos eléctricos abiertos. Cuando el arrollamiento se encuentra en el estator, los extremos de las fases se conectan a un tablero de bornes, mientras que si el arrollamiento se encuentra en el rotor de la máquina, la conexión a la bornera se hace por medio de anillos rozantes y escobillas. Por ese motivo es que también se los denomina arrollamientos a anillos. En los rotores de las máquinas eléctricas también se utilizan otro tipo de arrollamientos distribuidos, denominados a colector, que se conectan a través de un colector y escobillas; el comportamiento de estos arrollamientos se analizará en otra oportunidad. A continuación se analizará una máquina cilíndrica, de entrehierro constante, como podría ser un motor de inducción o una máquina sincrónica de rotor cilíndrico. En todos los casos, el entrehierro g (gap, en inglés) que se utiliza es el denominado entrehierro equivalente, es decir un entrehierro que presenta la misma reluctancia que el entrehierro real más las ranuras del estator y del rotor:
g = Ce C r ⋅ g ′
(3)
Donde Ce y Cr son los “factores de Carter” del estator y del rotor respectivamente y g´ es en entrehierro geométrico. Los factores de Carter son números iguales o mayores a la unidad que se calculan en base a las dimensiones de los dientes y de las ranuras. Si en el estator o en el rotor, no hay ranuras, o éstas son totalmente cerradas, el correspondiente factor de Carter es igual a uno. En todos los casos el entrehierro equivalente es mayor o a lo sumo igual al entrehierro geométrico. En la figura 1 se muestra un sector de estator con ranuras abiertas, un sector de rotor con ranuras semicerradas y su equivalente, de igual reluctancia, pero sin ranuras.
g´
g
Fig. 1. Entrehierro equivalente.
2
2 TIPOS DE FUERZAS MAGNETOMOTRICES Según sea el tipo de corriente que circula por el arrollamiento es el tipo de fmm que se desarrolla: Tabla II. Tipos de fmm. CORRIENTE Continua Alterna monofásica Alterna polifásica
FMM Constante Alterna Giratoria
Las fmm constantes tienen amplitud constante y están fijas respecto a los arrollamientos que las producen. Las fmm alternas tienen amplitud variable y están fijas respecto a los arrollamientos que las producen. Las fmm giratorias tienen amplitud constante y se desplazan respecto a los arrollamientos que las producen. A medida que se analicen las distintas fmm, se irán aclarando los enunciados anteriores.
3
3 ANÁLISIS DE UNA FUERZA MAGNETOMOTRIZ CONSTANTE Si bien no es lo más común en la práctica, para simplificar este primer análisis, se supone que la corriente que recorre el arrollamiento distribuido es continua, de esta manera no hay variaciones temporales de la fmm desarrollada y, como ya se dijo, se está en presencia de una fmm constante. En el presente trabajo se representan mayormente máquinas de dos polos, porque de esa manera los dibujos resultan más sencillos y los grados eléctricos y geométricos coinciden. Esto no es ninguna restricción, en efecto si se piensa que todos los ángulos, en todas las expresiones, son ángulos eléctricos, las mismas serán aplicables a máquinas de cualquier polaridad. Si por algún motivo especial se debe trabajar con ángulos geométricos, se lo dejará expresamente indicado utilizando un subíndice g . 3.1 Una bobina diametral El primer caso que se estudiará es la fmm producida por una bobina diametral, colocada en el estator de una máquina, de dos polos y recorrida por una corriente continua I . Se dice que una bobina es diametral cuando el paso de la misma Y1 es igual al paso polar de la máquina τ p . Y1 = τ p
Bobina diametral:
(4)
En la figura 2 se muestra esquemáticamente una espira diametral.
I
Fig. 2. Espira diametral. En la figura 3 se muestra un corte, transversal al eje, de la máquina de la figura 2 en el que se indica una bobina diametral, con Nb espiras, recorridas por la corriente continua Ib , y aproximadamente, el campo magnético que se produciría.
4
θ S N Nb Ib S N Fig. 3. Una bobina diametral. Para representar más fácilmente la distribución de la fmm en el entrehierro de la máquina, conviene representarla desarrollada para lo cual se la corta en θ = 0 , resultando como se indica en la figura 4. N bI b
N bI b
Estator
g
Rotor Y1 = τ p
Fig. 4. Máquina desarrollada. Haciendo una circulación a lo largo de una línea de fuerza se tiene que:
∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ ds
(5)
s
Suponiendo que la permeabilidad del hierro es infinita, el campo en el mismo resulta nulo: Si:
µ Fe = ∞ ⇒ H Fe = 0
(6)
Al existir campo no nulo solamente en el entrehierro, entonces la integral de la izquierda de la ecuación (5) se reduce a 2⋅Hg⋅g y la de la derecha es la fmm encerrada por el camino recorrido, es decir Nb⋅Ib , resultando: 2 ⋅ H g ⋅ g = Nb ⋅ Ib
(7)
Como el entrehierro es constante, la fmm que desarrolla la bobina queda simétricamente repartida a ambos lados de la misma, resultando una distribución como la indicada en la figura 5. En la figura 5, para simplificar, se supuso que toda la corriente está concentrada en un punto en el centro de la ranura, lo que produce un escalón de fmm perfectamente vertical. En la realidad, el lado de la bobina tiene un espesor finito, lo que daría lugar a un escalón de la misma altura Nb⋅Ib pero con una cierta pendiente, como se muestra en la figura 6.
5
N b Ib
N b Ib
Estator
g
Rotor F
Y1 = τ p
N b Ib 2 Fmáx
N b Ib π
0
2π
θ
N b Ib 2
Fig. 5. Distribución de fmm para una bobina diametral. En este caso los armónicos de alto orden de la onda de fmm resultante tendrían menor amplitud, lo que es una situación ventajosa. Resumiendo: adoptar flancos verticales simplifica el estudio y da resultados ligeramente más pesimistas que en la realidad. N bI b
F N bI b 0
θ
Fig. 6. Bobinas con espesor finito. En la mayoría de las aplicaciones se busca que la distribución de fmm en el entrehierro de la máquina sea lo más sinusoidal posible. La mejor forma de comparar dos formas de onda para ver cuál es la más sinusoidal es hacer un análisis de Fourier de las mismas y comparar la amplitud de sus componentes armónicos, aquella que tiene armónicos más pequeños es la más sinusoidal. Más adelante se verá cuales son los armónicos más perjudiciales para el funcionamiento de la máquina. El desarrollo en serie de Fourier de la onda de fmm de la figura 5 da como resultado:
F=
4
1 1 Fmáx (cosθ − cos 3θ + cos 5θ − ⋅ ⋅ ⋅⋅) 3 π 5
(8)
Donde Fmáx es la amplitud de la onda y θ es el ángulo eléctrico medido a partir del eje magnético de la bobina, como se muestra en la figura 3. Al tomar el origen de coordenadas en coincidencia con el eje magnético de la bobina, la onda de fmm resulta una función par y por tal motivo el desarrollo (8) contiene solamente 6
componentes coseno, que son funciones pares. Por otra parte la fmm de la figura 5 posee simetría de media onda, o sea que se cumple:
T f (t ) = − f (t ± ) 2
(9)
y las funciones con simetría de media onda solamente poseen solamente armónicos impares. El término enésimo de la ecuación (8) se puede escribir como:
Fν =
4
π
Fmáx
1
ν
⋅ cosν ⋅ θ
(10)
donde la ene minúscula griega ν (nu) indica el orden del armónico. Como se dijo más arriba, en general se busca obtener ondas sinusoidales de fmm y la de la figura 5 dista mucho de serlo, posee un alto contenido armónico y, en particular, grandes componentes de quinta y séptima armónica que son de las más perjudiciales. Para aproximar esa onda cuadrada a una onda sinusoidal se recurre a crear escalones en los flancos de la misma, para lo cual hay dos posibilidades: acortar las bobinas o distribuirlas. 3.2 Bobinas acortadas Una bobina acortada es aquella que tiene un paso Y1 menor que el paso polar de la máquina τp . Y1 < τ p
Es decir:
(11)
Si en una máquina se colocara una sola bobina acortada, resultaría un campo con semiciclos asimétricos, que generarían armónicos pares, lo que es totalmente indeseable. Por tal motivo, en el ejemplo siguiente, se colocaron dos bobinas iguales y acortadas que, al estar simétricamente dispuestas, producen una onda de fmm con simetría de media onda, sin armónicos pares, figura 7.
θ
Nb Ib
Nb Ib
S
N
Fig. 7. Dos bobinas acortadas. Para obtener la distribución de fmm se puede seguir un procedimiento como el empleado con la bobina diametral de la figura 5, o aplicar superposición y sumar las ondas que producen cada una de las bobinas; pero cuando los arrollamientos son más complejos conviene proceder mecánicamente. Esto se puede hacer observando la figura 5 en la que: a) Los escalones se producen en correspondencia con el eje de las ranuras donde hay corriente. b) La altura de cada escalón es igual a la fmm que se desarrolla en la respectiva ranura. 7
c) Recorriendo el gráfico de izquierda a derecha, y de acuerdo a las convenciones adoptadas, cuando en la ranura la corriente es entrante ⊗ el escalón es hacia abajo, y hacia arriba en el caso contrario. d) Al completar el gráfico se debe terminar a la misma altura a la que se empezó. e) El eje de abscisas conviene trazarlo al completar el gráfico y de forma tal que las áreas, positivas y negativas, encerradas por ese eje y la curva en todo el desarrollo de la máquina, sean iguales, (valor medio nulo), esto garantiza que todo el flujo que sale por los polos norte sea igual al que entra por los polos sur (divergencia nula). f) En los arrollamientos que se analizarán en el presente curso (arrollamientos de q entero) los semiciclos positivos y negativos de las ondas de fmm son iguales y tienen simetría de media onda. Los puntos d) y f) también sirven para verificar que el arrollamiento en estudio está bien dibujado. Siguiendo el procedimiento anterior, la distribución de la fmm en este caso resulta como se indica en la figura 8 en la que se puede ver como se generaron dos escalones iguales en cada flanco de la onda de fmm, esto reduce el contenido armónico de la misma, haciéndola más sinusoidal. Estator
g
Rotor Y1 < τ p F
τp
Fmáx
N bI b π
0
2π
θ
N bI b
Fig. 8. Distribución de fmm para dos bobinas acortadas. Realizar el análisis de Fourier de la onda escalonada de la figura 8 resulta bastante laborioso y no es conveniente hacerlo en este momento; más adelante se usará un procedimiento alternativo, que conduce a los mismos resultados y en una forma mucho más simple. En este caso, el resultado del análisis de Fourier es el siguiente:
F=
Donde:
4
1 1 Fmáx (k p1 ⋅ cosθ + ⋅ k p 3 ⋅ cos 3θ + ⋅ k p 5 ⋅ cos 5θ + ⋅ ⋅ ⋅⋅) π 3 5 k pν = sinν c
π 2
(12)
(13)
Se denomina factor de paso del armónico ν y, cuando las bobinas están acortadas, es menor que la unidad. El coeficiente c vale: 8
c=
Y1
τp
(14)
y es el paso relativo, también menor que la unidad para las bobinas acortadas. Si las bobinas son diametrales, tanto c y kpν resultan iguales a la unidad. El signo de cada uno de los términos de la ecuación (12) quedan dados por el factor de paso, pero esto no tiene importancia porque lo que realmente interesa es la amplitud de cada uno de los armónicos. En este caso, el término enésimo de la ecuación 12 se puede escribir como:
Fν =
4
π
Fmáx
1
ν
⋅ k pν ⋅ cos ν ⋅ θ
(15)
A modo de ejemplo y para mostrar el efecto del acortamiento a continuación se calculan los 4 factores de paso para un arrollamiento en el que c = , tabla III: 5 Tabla III. Factores de paso para c = 4/5.
ν 1 3 5 7
kpν [%] kpν 0,9511 95,11 -0,5878 -58,78 0 0 0,5878 58,78
Donde se puede ver que la fundamental se reduce solamente en un 5%, la tercera y la séptima armónicas en un 41%, aproximadamente y que la quinta armónica desaparece. Este ejemplo fue elegido ex profeso para mostrar como cuando el paso relativo es: ⎛ 1⎞ c = ⎜1 − ⎟ ⎝ ν⎠
(16)
se anula el armónico de orden ν El ejemplo anterior fundamentalmente tiene propósitos didácticos y no es una buena opción de acortamiento, ya que queda una gran componente de séptima armónica. Como se verá más adelante, en los arrollamientos trifásicos, los efectos de los armónicos múltiplos de tres, se cancelan; por lo tanto no es muy importante tratar de reducirlos de esta forma. Como ya se dijo la otra forma de producir escalones en los flancos de la onda de fmm, es distribuyendo las bobinas. 3.3 Grupos de bobinas diametrales A fin de que no aparezcan los efectos del acortamiento se estudiará el caso de disponer de tres bobinas iguales y diametrales, espaciadas un ángulo eléctrico α entre sí, figura 9. El ejemplo de la figura 9 corresponde a un grupo de tres bobinas, cantidad que, como es frecuente en la terminología de los arrollamientos distribuidos, se indica con q .
9
θ
S NbI b
α
NbI b
α
NbI b N
Fig. 9. Tres bobinas diametrales distribuidas. Aplicando el procedimiento descripto en el párrafo 3.2, la distribución de la fmm en el entrehierro de la máquina, resulta como se ve en la figura 10. Estator
g
Rotor Y1 = τ p
F
N b Ib
Fmáx
N b Ib
π
0
2π
θ
N b Ib
Fig. 10. Distribución de fmm para tres bobinas diametrales. En este caso se produjeron tres escalones en los flancos de la onda de fmm y, de igual forma que en el caso anterior, esto reduce el contenido armónico de la misma, haciéndola más sinusoidal. Al hacer el análisis de Fourier resulta:
F=
4
1 1 Fmáx (k d 1 ⋅ cosθ + ⋅ k d 3 ⋅ cos 3θ + ⋅ k d 5 ⋅ cos 5θ + ⋅ ⋅ ⋅⋅) 3 π 5
(17)
Igual que en el caso anterior, el signo de cada uno de los términos de la ecuación (17) quedan dados por el factor de distribución:
k dν =
sin qν q sinν
10
α 2
α
2
(18)
Cuando las bobinas están distribuidas q > 1 , el factor de distribución es menor que la unidad. Es muy importante no olvidar que el ángulo α debe expresarse en grados eléctricos, como están definidos por la relación (2). En este caso, el término enésimo de la ecuación (17) se puede escribir como:
Fν =
4
π
Fmáx
1
ν
⋅ k dν ⋅ cos ν ⋅ θ
(19)
A modo de ejemplo y para mostrar el efecto de la distribución, a continuación, se calculan los factores de distribución para un arrollamiento en el que q = 3 , y α = 20° grados eléctricos, tabla IV: Tabla IV. Factores de distribución para q = 3 y α = 20°.
ν
kdν [%] kdν 1 0,9598 95,98 3 0,6667 66,67 5 0,2176 21,76 7 -0,1774 -17,74
Comparando estos resultados con los consignados en la tabla III se puede observar una mejor reducción de los armónicos quinto y séptimo. 3.4 Capas de corrientes En algunos casos, como en los arrollamientos a colector, la distribución del arrollamiento es muy grande y se puede suponer que hay una corriente uniformemente distribuida en el entrehierro, formando una capa de corriente con densidad uniforme, figura 11. θ
S γ
N
Fig. 11. Capa de corriente. Esta situación es un caso límite de distribución donde la cantidad de elementos de corriente y de escalones que se forman en los flancos de la onda de fmm, tienden a infinito y el ángulo entre los mismos tiende a cero: q→∞ (20) α →0
siendo el producto de ambos el ángulo γ de la figura 11:
lím q ⋅ α = γ q→∞ α →0 11
(21)
En este caso los flancos de la onda de fmm se vuelven escaleras de infinitos escalones es decir rectas, como se muestra en la figura 12. Estator
g
Rotor γ
F
γ
Fmáx π 2π
0
θ
Fig. 12. Distribución de fmm para una capa uniforme de corriente. El desarrollo en serie de Fourier de esta onda da las mismas expresiones (17) y (19) ya vistas, y el factor de distribución se puede obtener pasando al límite la expresión (18): sin qν lím q sinν q→∞ α →0
α 2 = lím
α
sin qν q ⋅ν
2
α 2
α
2
(22)
Resultando: k dν =
sinν
ν
γ
γ 2
(23)
2
Dado que en el denominador de la ecuación (23) queda un ángulo, éste debe estar expresado en radianes. También resulta conveniente recordar que tanto este ángulo, como todos los de las otras ecuaciones, son ángulos eléctricos, definidos por la relación (2). Si se toma un caso equivalente al del ejemplo anterior, pero suponiendo una capa uniforme de corriente, resulta un ángulo γ de:
γ = q ⋅ α = 3 ⋅ 20° = 60° =
π 3
(24)
Los resultados de aplicar la expresión (23) se dan en la tabla V y, como se puede ver, son muy parecidos a los de la distribución escalonada de la tabla IV. Tabla V. Factores de distribución para una capa de corriente.
ν 1 3 5 7
kdν [%] kdν 0,9549 95,49 0,6366 63,66 0,1910 19,10 -0,1364 -13,64
12
3.5 Fmm máxima
En todas las expresiones de fmm vistas, aparece el valor máximo de la misma Fmáx que resulta del gráfico de la distribución en el entrehierro. Como hacer el gráfico para obtener este valor es un tanto incómodo, el mismo se puede obtener de los datos del bobinado en sí. En efecto este valor máximo es igual a la suma de las fmm que producen todos los conductores de la fase que se encuentran en medio paso polar, por ejemplo, figura 13.
F
Fmáx θ
τp /2 τp
Fig. 13. Fmm máxima. Llamando: Z: m: 2a: p: 2p: Ns: I:
Número total de conductores del bobinado. Número de fases. Número de ramas en paralelo de la fase. Número de pares de polos. Número de polos. Número de espiras en serie por fase. Corriente de fase.
El número de conductores por fase, es:
Z m
(25)
La cantidad de conductores, por fase, que hay en un semipolo es:
Z 1 1 ⋅ ⋅ m 2 2p
(26)
Como cada fase puede tener circuitos en paralelo, figura 14:
I / 2a I U
X
2a ramas
NS Fig. 14. Ramas en paralelo en una fase. La corriente en cada rama resulta: 13
Ib =
I 2a
(27)
Entonces la fmm máxima resulta: Fmáx =
1 Z Z 1 1 I ⋅ ⋅ ⋅ = I m 2 2 p 2a 8 map
(28)
Teniendo en cuenta que cada espira tiene dos conductores, el número de espiras por fase resulta: Z (29) 2m Definiendo el número de espiras en serie de la fase como el número de espiras en serie que tiene cada rama de la misma, queda:
Ns =
Z 1 2m 2a
(30)
Reemplazando este valor en la expresión (28) queda: Fmáx =
Ns I 2p
(31)
Expresión general muy usada, que se puede reemplazar en todas la ecuaciones de fmm ya vistas. 3.6 Caso general de una fmm constante
Muchos de los arrollamientos a anillos empleados en las máquinas de corriente alterna poseen acortamiento y están distribuidos, en estos casos se combinan ambos efectos y se acostumbra a definir el denominado factor del arrollamiento o del devanado kw donde la w proviene de arrollamiento en inglés winding: k w ν = k pν ⋅ k dν
(32)
Teniendo en cuenta todo lo dicho, la fuerza magnetomotriz, correspondiente a la armónica de orden ν que desarrolla una fase, recorrida por una corriente continua I , se puede escribir como: Fν =
4 N s ⋅ k wν 1 ⋅ ⋅ I ⋅ cos ν ⋅ θ π 2p ν
(33)
Frecuentemente al producto N s ⋅ k wν se lo denomina número de espiras efectivo Ne : N eν = N s ⋅ k wν = N s ⋅ k pν ⋅ k dν
(34)
Ya que debido al acortamiento y a la distribución, la fase se comporta como si tuviera menor cantidad de espiras, pero concentradas. Como en la mayoría de los casos solamente interesa conocer la amplitud de cada una de las componentes armónicas, se toma el máximo de la ecuación (33) y se lo indica con un ∧ :
4 N s ⋅ k wν 1 Fˆν = ⋅I ⋅ π 2p ν (35) 14
3.7 Arrollamientos concéntricos
En todos los casos estudiados se supuso que las ranuras son equidistante y que todas las bobinas producen la misma fmm es decir tienen la misma cantidad de espiras y están recorridas por la misma corriente. Esto se cumple en la mayoría de los casos, pero hay algunas excepciones, por ejemplo los arrollamientos concéntricos, como el que se muestra en la figura 15. Estator
g
Rotor F
Y1 > τ p Y1 = τ p Y1 < τ p
N b Ib
N b Ib
Fmáx
0
π
2π
θ
N b Ib
Fig. 15. Arrollamiento concéntrico. En este ejemplo las bobinas tienen distinto paso Y1 y no se podía aplicar la expresión (13) del factor de paso. Pero, teniendo en cuenta que la distribución de fmm en el entrehierro depende exclusivamente de la distribución de las corrientes en el mismo, y no de la forma en que se interconecten los lados de las bobinas, se puede suponer un arrollamiento equivalente con los lados de las bobinas en las mismas ranuras, que producirá la misma onda de fmm, pero con todas las bobinas del mismo paso, como el de las figuras 9 y 10. Como las formas de onda de fmm que producen estos arrollamientos son iguales, tendrán el mismo contenido armónico. O sea que el factor de devanado del arrollamiento equivalente de la figura 10 es directamente aplicable al arrollamiento de la figura 15. Algunos pocos arrollamientos no cumplen con las premisas anteriores y el análisis de las ondas de fmm se debe realizar por otro camino; por ejemplo: algunos grandes turboalternadores tienen rotores cilíndricos con ranuras que no están equiespaciadas o sus bobinas tienen distinta cantidad de espiras, también los arrollamientos denominados “de q fraccionario” tienen grupos con distinta cantidad de bobinas y no se puede aplicar la expresión (18).
15
4 ANÁLISIS DE UNA FUERZA MAGNETOMOTRIZ ALTERNA
Si por un arrollamiento a anillos circula una corriente alterna monofásica, se desarrolla una fmm cuyo valor depende del valor instantáneo de la corriente y se la denomina alterna. Si en la expresión (33) se reemplaza la corriente continua por una alterna monofásica de valor: i = 2 I sin ω t
(36)
donde I es el valor eficaz de la corriente alterna, resulta:
Fν =
2 N s ⋅ k wν 1 ⋅ ⋅ I ⋅ sin ω t ⋅ cos ν ⋅ θ π 2 p ν 4
(37)
y el coeficiente numérico vale: 4
π
2 = 0,9 2
⋅
(38)
La ecuación (37), de dos variables t y θ , corresponde a una onda estacionaria en el entrehierro de la máquina. Para una máquina bipolar y considerando solamente la componente fundamental, esta fmm se la puede representar en función del ángulo y tomando al tiempo como parámetro, figura 16.
F senω t = 1 senω t = -0,5 senω t = 0,5
senω t = 0 π
0
2π
θ
Fig. 16. Fmm alterna. En la figura 16 se puede ver que tanto los máximos como los nodos de la onda se producen siempre en la misma posición del entrehierro, razón por la cual se dice que la onda es estacionaria. Muchas veces solamente interesa el valor máximo absoluto, es decir el valor máximo en el tiempo y en el espacio, que se suele indicar con un doble ∧ :
2 N s ⋅ k wν 1 ⋅ ⋅I p π 2 ν
4 ˆ Fˆν =
(39)
Más adelante se verá que una fmm alterna se puede suponer como la suma de dos fmm giratorias.
16
5 ANÁLISIS DE UNA FUERZA MAGNETOMOTRIZ GIRATORIA 5.1 Introducción
El 18 de marzo de 1888, el físico Italiano Galileo Ferraris (1847-1897), presentó una nota a la Academia de Ciencias de Turín, Italia, denominada “Rottazioni Elettrodinamiche Prodote per Mezzo di Corrente Alternate” donde hacía consideraciones teóricas sobre cómo obtener un campo magnético giratorio por medio de corrientes bifásicas, explicaba distintas formas de obtener dichas corrientes, describía dos aparatos que mandó a construir, los resultados de las experiencias que realizó y lo que las mismas le sugerían acerca de la nueva forma de convertir energía eléctrica en mecánica. Pero, lamentablemente, no le dio a su desarrollo la trascendencia que tenía. Como los aparatos electromecánicos por él construidos tenían pequeño rendimiento, pensó que sus aplicaciones como motor no tendrían lugar en la industria. En la actualidad los motores basados en este principio son los más utilizados y los que presentan las mejores perspectivas de utilización para el futuro. 5.2 Análisis gráfico del campo giratorio
Ésta es una forma muy simple de mostrar como el campo magnético producido por la acción conjunta de tres bobinas, cuyos ejes magnéticos se encuentran a 120 grados, alimentadas por un sistema trifásico perfecto de corrientes, genera un campo magnético bipolar que rota en el espacio. En la figura 17 se han representado tres corrientes de un sistema trifásico perfecto, del que se tomarán los instantes t1 t2 y t3 separados en un doceavo de período.
i 1 0,866
iB
0,5 T/4 0
t
T/6
- 0,5
iA - 0,866 -1
iC t1 t2 t3 Fig.17. Sistema trifásico.
En las figuras 18, 19 y 20 se muestra un corte de una máquina trifásica elemental, de entrehierro constante, con tres bobinas iguales dispuestas a 120 grados entre sí. De estas bobinas se muestran solamente los bornes de entrada y se supone que están conectadas en estrella. En cada dibujo se muestran las corrientes correspondientes a los instantes t1 t2 y t3 del sistema trifásico. Se adoptó convencionalmente que una corriente positiva es entrante a la fase.
17
iA = 1
S
N
iB = -0,5
iC = -0,5
Fig. 18. Corrientes y campo en t1.
iA = 0,866
S
N iB = 0
iC = -0,866
Fig. 19. Corrientes y campo en t2.
iA = 0,5 ∆θ = 60°
S
N
iC = -1
Fig. 20. Corrientes y campo en t3. 18
iB = 0,5
Observando las figuras anteriores se puede apreciar como se genera un campo magnético bipolar y como al ir cambiando el valor de las corrientes en las bobinas, va cambiando la dirección de dicho campo magnético. No obstante lo sencillo del análisis se puede obtener la velocidad de rotación, denominada velocidad sincrónica o de campo, en radianes geométricos por segundo. En efecto el ángulo girado entre los instantes final e inicial es de 60° que corresponde a π/3 radianes: ∆θ g = 60° =
π
3 2T T ∆t = t 3 − t1 = = 34 6 ∆θ g π 3 2π Ωs = = = = 2πf = ω T ∆t T 6
(40)
Es decir en este caso en que el campo es bipolar, p = 1, su velocidad angular coincide con la pulsación de la corriente que lo produce. En el presente texto, y como es costumbre en máquinas eléctricas, se emplean tres tipos de velocidades angulares:
ω: Ω: n;
Velocidad angular eléctrica (o pulsación) en radianes eléctricos por segundo [1/s] Velocidad angular geométrica, en radianes geométricos por segundo [1/s]. Velocidad angular geométrica, en revoluciones por minuto [rpm].
Las relaciones entre las mismas son: Ω=
Ω=
ω p
2πn 60
(41) (42)
Si se modifica la disposición de las bobinas se pueden obtener campos magnéticos con mayor cantidad de polos, por ejemplo, si las bobinas abarcan la cuarta parte de la circunferencia del estator, figura 21, resultará un campo tetrapolar.
iA
Fig. 21. Una fase elemental de un arrollamiento tetrapolar.
19
Para tener una idea aproximada del campo magnético resultante es suficiente hacer circular corriente por una sola fase, quedando como se muestra en la figura 22.
iA
S
N ∆θ = 90°
N
S
Fig. 22. Campo magnético de cuatro polos. Para hallar la velocidad de rotación del campo magnético se puede tomar un intervalo igual a un semiperíodo; en ese tiempo, y debido a la simetría de media onda, todas las corrientes del sistema trifásico tendrán el mismo valor instantáneo, pero con sentido opuesto. Entonces donde había un polo norte habrá un polo sur y viceversa y el ángulo geométrico girado será de 90°. Resultando: T 2 π ∆θ g = 90° = 2 ∆θ g π 2 2π 2πf ω = = = = Ωs = T 2T 2 2 ∆t 2
Sí : ∆t =
(43)
O sea que cuando p = 2 el campo giratorio rota con una velocidad angular igual a la mitad de la pulsación de la corriente que lo está produciendo. A partir de estos dos sencillos ejemplos es fácil deducir que, en general, se podrá escribir:
Ωs =
ω p
=
2π f p
[rad/s]
(44)
Donde: f: p:
Frecuencia de las corrientes. Número de pares de polos.
En definitiva, tanto esta expresión (44) como la (41) son consecuencia de la relación entre los ángulos eléctricos y geométricos dada por la ecuación (2). En el uso cotidiano es muy común emplear las velocidades angulares expresadas en revoluciones por minuto o rpm, cuya equivalencia es la dada por la ecuación (42), igualando ésta con la (44) resulta:
20
ns =
60 f p
[rpm]
(45)
Las velocidades sincrónicas más comunes, para 50 y 60 Hz, son las indicadas en la tabla V. Las máquinas denominadas sincrónicas giran exactamente a estas velocidades, mientras que las asincrónicas lo hacen a una velocidad ligeramente diferente, en general menor. Tabla V. Velocidades sincrónicas en rpm. p 1 2 3 4
f = 50 Hz 3.000 rpm 1.500 rpm 1.000 rpm 750 rpm
f = 60 Hz 3.600 rpm 1.800 rpm 1.200 rpm 900 rpm
5.3 Análisis cuantitativo del campo giratorio trifásico
A continuación se hace un análisis cuantitativo de una fuerza magnetomotriz giratoria producida por un sistema trifásico de corrientes. Cada fase produce una fuerza magnetomotriz alterna, las que se suman en el entrehierro de la máquina, dando lugar a la fuerza magnetomotriz resultante. En este análisis se suponen las tres fases iguales, con sus ejes magnéticos a 120º eléctricos entre sí y recorridas por un sistema trifásico perfecto de corrientes descripto por las ecuaciones (46). i A = 2 I ⋅ sin ω t i B = 2 I ⋅ sin (ω t − 120 ) (46) iC = 2 I ⋅ sin (ω t + 120 ) 5.3.1 Análisis para la fundamental
La componente fundamental de la fuerza magnetomotriz que genera una fase, está dada por la expresión (37), y tomando ν=1 :
ˆ F1 = Fˆ1 ⋅ sin ω t ⋅ cosθ
(47)
que corresponde a una onda estacionaria respecto de la fase que la produce y donde:
2 N s k w1 I (48) π 2 p es el valor máximo en el tiempo y en el espacio de dicha onda y el ángulo θ es el ángulo eléctrico medido desde el eje de la fase correspondiente, como se muestra esquemáticamente en la figura 23. ˆ 4 Fˆ1 =
Al considerar las tres fases se tendrán tres ángulos: θA θB θC pero como se muestra en la misma figura 23, las diferencias angulares con las fase A y B son de 120° y 240° respectivamente, lo que permite tomar como referencia el eje magnético de dicha fase A y utilizar un ángulo genérico θ medido a partir del eje de esa fase A.
21
iA
A
θA = θ
P
θC = θ − 240° C
iB B
iC
θB = θ − 120° Fig. 23. Esquema de una máquina trifásica. Teniendo en cuenta lo dicho, las fuerzas magnetomotrices, de fundamental, producidas por las tres fases se pueden expresar como: ˆ FA1 = Fˆ1 ⋅ sin ω t ⋅ cosθ ˆ FB1 = Fˆ1 ⋅ sin (ω t − 120) ⋅ cos(θ − 120) (49) ˆˆ F = F ⋅ sin (ω t + 120) ⋅ cos(θ − 240) C1
1
En un punto genérico, como el P de la figura 23, se tendrá la suma de las tres fuerzas magnetomotrices. Para poder realizar la suma hay que desarrollar las expresiones anteriores teniendo en cuenta que:
sin α ⋅ cos β =
1 2
[sin (α + β ) + sin(α − β )]
(50)
y queda: ˆ FA1 = 12 Fˆ1 [sin (ω t + θ ) + sin (ω t − θ )] ˆ FB1 = 12 Fˆ1 [sin (ω t + θ − 240) + sin (ω t − θ )] ˆ FC1 = 12 Fˆ1 [sin (ω t + θ − 120) + sin (ω t − θ )]
(51)
los tres primeros términos son tres funciones armónicas a 120º una de otra, por lo que sumadas dan cero y los tres restantes son iguales entre sí. Entonces la suma da: ˆ (52) F1 = FA1 + FB1 + FC1 = 32 Fˆ1 ⋅ sin (ω t − θ ) que es la ecuación de una onda de, amplitud constante, que se propaga en el sentido positivo de θ. Reemplazando el valor máximo por (48), resulta la ecuación siguiente:
F1 =
3 4 2 Ns I k w1 ⋅ sin (ω t − θ ) 2π 2 p
El factor numérico de la expresión (53) queda igual a:
22
(53)
34 2 = 1,35 2π 2
(54)
Como resulta de la expresión (52), el número 3 que aparece en ésta, y en las (53), (54) y en otras futuras, es consecuencia de estar analizando un caso trifásico, en general este factor será igual a m, el número de fases del arrollamiento. Si se representa la fuerza magnetomotriz resultante, dada por la ecuación (53), para dos instantes sucesivos, resulta la figura 24:
F t>0
t=0 A A'
θ
0
Fig. 24. Onda de campo resultante de fundamental. Para obtener la velocidad de propagación, que en este caso es una velocidad angular, se toma un punto de fase constante tal como el A A’ de la figura 24:
ω t − θ = cte
(55)
y haciendo la derivada respecto del tiempo:
ω− de donde:
ωs =
dθ =0 dt
dθ = ω = 2π f dt
(56)
(57)
Es decir que la velocidad angular del campo, también denominada velocidad sincrónica, coincide con la pulsación de las corrientes que lo están produciendo. Estas velocidades angulares están expresadas en radianes eléctricos por segundo y, como ya se dijo, si se desea expresarlas en radianes geométricos por segundo, hay que dividir por el número de pares de polos p de fundamental que desarrolla el bobinado. Para distinguirlas se utiliza la letra omega mayúscula Ω: Ωs =
ωs p
=
2π f p
(58)
Ecuación coincidente con la (44) obtenida anteriormente y a través de un análisis más fenomenológico. 5.3.2 Análisis para el tercer amónico
Las ondas de fuerza magnetomotriz que produce cada una de las fases de un arrollamiento, nunca son perfectamente sinusoidales, por lo tanto si se hace el análisis de Fourier de las mismas aparecerán armónicos espaciales en el entrehierro de la máquina. Estos armónicos de fmm son de amplitud bastante reducida y desarrollan un múltiplo de los polos que desarrolla la fundamental. 23
Como en la mayoría de los casos estas ondas de fmm poseen simetría de media onda, solamente poseen armónicos impares. Si se consideran los terceros armónicos de fmm que cada una de las fases produce, y que desarrollan el triple de polos que la fundamental y además que un ángulo θ equivale a un ángulo υ⋅θ para el armónico de orden υ :
θν = ν ⋅ θ
(59)
ˆ FA3 = Fˆ3 ⋅ sin ωt ⋅ cos 3θ ˆ FB 3 = Fˆ3 ⋅ sin (ωt − 120) ⋅ cos 3(θ − 120) ˆ FC 3 = Fˆ3 ⋅ sin (ωt + 120) ⋅ cos 3(θ − 240)
(60)
resulta:
donde:
2 N s I k w3 π 2 p 3
(61)
cos 3θ = cos 3(θ − 120) = cos 3(θ − 240) sin ωt + sin (ωt − 120) + sin (ωt + 120) = 0
(62)
4 ˆ Fˆ3 = y como:
la suma de las tres fuerzas magnetomotrices da cero. Es decir que los componentes de tercer armónico que cada fase produce, en los sistemas trifásicos, se cancelan entre sí y no dan lugar a ningún campo magnético resultante.
F3 = 0
(63)
5.3.3 Análisis para el quinto armónico
Si se consideran los quintos armónicos de las fuerzas magnetomotrices de cada fase, que desarrollan cinco veces los polos de la fundamental resulta: ˆ FA5 = Fˆ5 ⋅ sin ωt ⋅ cos 5θ ˆ FB 5 = Fˆ5 ⋅ sin (ωt − 120) ⋅ cos 5(θ − 120) ˆ FC 5 = Fˆ5 ⋅ sin (ωt + 120) ⋅ cos 5(θ − 240)
(64)
ˆ donde Fˆ 5 es semejante a las anteriores. Para realizar la suma hay que desarrollar los productos sin α ⋅ cos β : ˆ FA5 = 12 Fˆ5 [sin (ωt + 5θ ) + sin (ωt − 5θ )] ˆ FB 5 = 12 Fˆ5 [sin (ωt + 5θ ) + sin (ωt − 5θ + 120)] ˆ FC 5 = 12 Fˆ5 [sin (ωt + 5θ ) + sin (ωt − 5θ − 120)]
(65)
y la suma resulta:
F5 =
3 4 2 N s I k w5 sin (ωt + 5θ ) 2π 2 p 5
y la velocidad de rotación: 24
(66)
ωt + 5θ = cte
(67)
ω +5
dθ =0 dt
(68)
ω s5 =
dθ ω 2πf =− =− dt 5 5
(69)
de donde:
Es decir que los quintos armónicos de las fuerzas magnetomotrices de fase, desarrollan un campo con cinco veces los polos de la fundamental, que gira en sentido contrario, (inverso) y a un quinto de la velocidad del mismo. 5.3.4 Análisis para los armónicos pares
Si bien la mayoría de las veces las fases de las máquinas eléctricas producen ondas de fuerza magnetomotriz con simetría de media onda, las que no poseen armónicos pares; en algunos casos, como ser arrollamientos de q fraccionario, motores en los que se cambia la velocidad por modulación del número de polos (PAM: Pole Amplitude Modulation) o en presencia de algunas fallas del bobinado, se pueden producir ondas de fuerza magnetomotriz asimétricas, que poseen armónicos pares, los que pueden dar lugar a campos magnéticos giratorios. Por ejemplo en el caso que las fases produzcan segundos armónicos, resulta: ˆ FA 2 = Fˆ2 ⋅ sin ωt ⋅ cos 2θ ˆ FB 2 = Fˆ2 ⋅ sin (ωt − 120 ) ⋅ cos 2(θ − 120) (70) ˆˆ F = F ⋅ sin (ωt + 120) ⋅ cos 2(θ − 240) C2
2
ˆ donde Fˆ 2 es semejante a las anteriores. Desarrollando los productos sin α ⋅ cos β : ˆ FA 2 = 12 Fˆ2 [sin (ωt + 2θ ) + sin (ωt − 2θ )] ˆ FB 2 = 12 Fˆ2 [sin (ωt + 2θ ) + sin (ωt − 2θ + 120)] ˆ FC 2 = 12 Fˆ2 [sin (ωt + 2θ ) + sin (ωt − 2θ − 120)]
(71)
y la suma resulta:
F2 =
3 4 2 N s I k w2 sin (ωt + 2θ ) 2π 2 p 2
(72)
con una velocidad de rotación:
ωs2 =
dθ ω 2πf =− =− dt 2 2
(73)
Es decir que los segundos armónicos de las fuerzas magnetomotrices de fase, desarrollan un campo que gira en sentido contrario al de la fundamental, (de igual manera que los quintos) y a la mitad de la velocidad del mismo. 5.3.5 Resumen de los campos armónicos trifásicos
Procediendo en forma análoga con los otros armónicos se llega a que las velocidades sincrónicas, en radianes eléctricos por segundo valen:
ω sν = ± 25
ω ν
(74)
Donde el signo más corresponde a los armónicos de giro directo, como el de la fundamental, el signo menos a los de giro inverso y, además, los de características homopolares se cancelan. En la Tabla VI se indican los sentidos de giro de cada una de las fmm armónicas. Como los más importantes son los de orden impar, a éstos se los ha indicado en negrita. Tabla VI: Giro de los campos armónicos trifásicos. Giro Directo Inverso Se cancelan
Armónica 4 ... 7 8 ... 5 6 ... 9
1 2 3
Si se desea expresar las velocidades sincrónicas armónicas en radianes geométricos por segundo, se puede usar la relación (58), resultando Ω sν =
ω sν p
=±
2π f pν
[rad/s]
(75)
y si se desea expresarla en revoluciones por minuto, se puede usar la relación (4): n sν =
60 Ω sν 60 f =± 2π pν
[rpm]
(76)
En las expresiones (75) y (76) p y f son, respectivamente, el número de pares de polos y la frecuencia correspondientes a la fundamental. De las ecuaciones anteriores resulta que la amplitud de cada componente es constante y se desplaza a velocidad constante respecto del arrollamiento, pero debido a las distintas velocidades y sentidos de desplazamiento el campo resultante cambia ligeramente de forma y de amplitud a medida que va rotando.
26
6 TEOREMA DE LEBLANC
El teorema de Leblanc establece que “una fmm alterna se puede suponer como la suma de dos fmm giratorias, de amplitud igual a la mitad del máximo de la fmm alterna, que rotan a la velocidad sincrónica y en sentidos opuestos”. Esto se puede demostrar muy fácilmente tomando la componente fundamental de una fmm alterna como la dada por la expresión (47) y desarrollando el sinα⋅conβ con la (50):
ˆ F1 = Fˆ1 ⋅ sin ω t ⋅ cosθ
(77)
lo que da lugar a: F1 =
ˆ ˆ Fˆ1 Fˆ ⋅ sin (ω t + θ ) + 1 ⋅ sin (ω t − θ ) = F1− + F1+ 2 2
(78)
que son dos ecuaciones de onda, una progresiva y la otra regresiva, es decir que se desplazan en el entrehierro en sentidos opuestos y a velocidad sincrónica. Lo anterior se puede mostrar gráficamente suponiendo que las fmm son vectores en el espacio. En efecto, como la fundamental y cada una de las armónicas de fmm están sinusoidalmente distribuidas en el entrehierro, se las puede representar por vectores en la dirección y con el sentido de sus máximos y módulos igual a esos respectivos máximos. En la figura 25 se muestran, en sucesivos instantes, dos fmm representadas por los vectores F y F- que rotan en sentidos opuestos, a velocidad sincrónica ω y como la suma de ambos, es un vector F que tiene siempre la misma dirección y su módulo pulsa, es decir se trata de una fmm alterna. +
F F F+ ω
ω
F F ω
ω
F+ F
F=0 ω
F+ ω
F ω ω
F+
F Fig. 25. Teorema de Leblanc. Si se consideran las componentes armónicas de la fmm alterna, también se tendrán dos campos giratorios opuestos, rotando a velocidades submúltiplos y generando ν polos. Por ejemplo el quinto armónico de la fmm alterna dará lugar a: ˆ ˆ Fˆ Fˆ F5 = 5 ⋅ sin (ω t + 5θ ) + 5 ⋅ sin (ω t − 5θ ) = F5− + F5+ (79) 2 2 En este caso no hay campos rotantes que se cancelen, ya que tienen que dar lugar a todas las componentes armónicas que posee la fmm alterna. Como se verá más adelante el teorema de Leblanc es muy útil para interpretar fenomenológicamente lo que ocurre en presencia de campos magnéticos alternos.
27
6 BIBLIOGRAFÍA
Manuel Cortés Cherta: “Curso Moderno de Máquinas Eléctricas Rotativas” Tomo I “La Máquina Eléctrica en General” Editores Técnicos Asociados S. A. 1970.
28
MÁQUINAS DE CORRIENTE ALTERNA A COLECTOR Norberto A. Lemozy 1 RESEÑA HISTÓRICA En el comienzo de las aplicaciones de la energía eléctrica, a final del siglo XIX, y debido a la gran influencia de Thomas Alba Edison (1847-1931), reinaba la corriente continua, se la empleaba principalmente para iluminación y en los primeros motores eléctricos utilizados por la industria. Pero también fue en esa época que George Westinghouse (1846-1914), con la colaboración de Nikola Tesla (1856-1943), empezó la promoción de la corriente alterna, con los resultados que hoy todos conocemos. Desde esa época, los motores de asincrónicos de corriente alterna, y a pesar de sus grandes ventajas constructivas, tardaron en imponerse a los de corriente continua, fundamentalmente por la dificultad de poder variar fácilmente su velocidad; cosa que es muy sencilla en estos últimos. Ante ese panorama no resulta sorprendente que se hayan desarrollado motores de corriente alterna que, a semejanza de los de corriente continua, poseen un colector y son de velocidad variable. Dentro de la diversidad de máquinas a colector que se desarrollaron, tanto de corriente continua como de corriente alterna, algunas continuaron empleándose hasta nuestros días. En el caso particular de las de corriente alterna, la más importante de todas es el motor serie a colector, en particular su versión monofásica. En el presente capítulo se estudiarán primero los motores serie, luego se analizará el motor repulsión monofásico y el motor trifásico Schrague, por considerar que son los más significativos. 1 MOTOR SERIE 1.1 Introducción Una de las principales aplicaciones de los motores de corriente continua es en tracción eléctrica, donde se emplean motores de excitación serie por ser los que poseen la característica externa que más se adapta a ese uso. Cuando a principio del siglo XX se fueron reemplazando gradualmente las líneas de distribución de corriente continua por las más eficientes de corriente alterna, se pensó también en utilizar en los ferrocarriles motores monofásicos serie de corriente alterna, a fin de eliminar la necesidad de emplear las estaciones convertidoras de corriente alterna a corriente continua, en las que originalmente se empleaban unos convertidores rotativos denominados conmutatrices, que son máquinas que resultan de la combinación de una de corriente continua con una máquina sincrónica y que en la actualidad están totalmente fuera de uso. Esas conmutatrices fueron reemplazadas por rectificadores, primero de cátodo de mercurio y en la actualidad de estado sólido que son mucho más económicos, pequeños y duraderos. Si a un motor de corriente continua de excitación serie o derivación se le invierte la polaridad de la fuente que lo alimenta no cambia el sentido de giro, ya que se invierten simultáneamente las corrientes de excitación y de inducido. Lo anterior hace pensar que si al motor se lo alimenta con corriente alterna, cuya polaridad cambia f veces por segundo, el motor podría funcionar normalmente, pero esta es una verdad a medias, en efecto, aun a frecuencias industriales aparecen 1
efectos que desmejoran el funcionamiento del motor, por ejemplo habría que hacer todo el circuito magnético laminado para reducir las pérdidas por corrientes parásitas, lo que no sería demasiado complejo. También entran en juego las reactancias de los circuitos las que no solamente dan lugar a potencias reactivas, que no se traducen en potencia mecánica, sino que también generas desfases entre las corrientes de ramas en paralelo de distinta constante de tiempo, como ser el circuito de excitación y de armadura de un motor derivación, lo que da lugar a una reducción de la cupla electromagnética. Esto último no ocurre en los motores de excitación serie, donde la corriente de excitación y la de armadura son la misma cosa y no existen desfases. Esa es la razón por la que no prosperaron los motores derivación de corriente alterna. Como se verá más adelante, en los motores de excitación serie, los problemas anteriores se pueden resolver convenientemente, pero hay un problema que no tiene una solución satisfactoria: es el de la conmutación. En efecto, en las máquinas de corriente continua la conmutación puede realizarse en forma casi perfecta, pero en las de corriente alterna esto no es posible; lo que obliga a un mayor mantenimiento y acorta la vida del colector; este es uno de los motivos principales por lo que estos motores no llegaron a reemplazar a los de corriente continua en tracción eléctrica. Si bien se han desarrollado motores serie trifásicos, éstos no encontraron aplicaciones prácticas y cayeron rápidamente en desuso. En cambio los monofásicos se han empleado en algunas líneas de ferrocarriles, principalmente europeas y han subsistido hasta nuestros días. Conviene señalar que, por razones prácticas, los ferrocarriles se alimentan a través de dos conductores ya sea con corriente continua o corriente alterna y por eso se estudiarán solamente los motores serie monofásicos. 1.2 Ecuaciones y fasoriales El esquema básico de un motor serie, monofásico, de corriente alterna es el mostrado en la figura 1. d Ff ; Φ f I
Ef θ; Ω ; Te
θe U
Fa ; Φ a q
q Ea t
Ea r
d Fig. 1. Motor serie básico.
2
Los estatores de los motores serie de potencia, como los utilizados en tracción eléctrica, y a diferencia de los de corriente continua, son laminados y cilíndricos, con el ranurado necesario para alojar al arrollamiento de excitación y a otros arrollamientos auxiliares, cuya función se verá más adelante. El arrollamiento de excitación suele ser distribuido y del tipo concéntrico. El rotor, es laminado y tiene un arrollamiento a colector convencional, de las mismas características de los usados en las máquinas de corriente continua. Al circular la corriente I = I f = I a por el motor de la figura 1: i = i f = ia = 2 I sin ω t [A]
(1)
Se desarrollan dos fuerzas magnetomotrices alternas, siendo el valor máximo espacial de la componente fundamental de excitación: 2 N sf ⋅ k wf I sin ω t [A] π 2 p
(2)
2 N sa ⋅ k wa I sin ω t [A] π 2 p
(3)
4 Fˆ f = y la de armadura: 4 Fˆa = Donde: Nsf : Nsa : Kwf y kwa : p:
Número de espiras en serie de la excitación. Número de espiras en serie, entre escobillas, de la armadura. Factores de devanado de la excitación y de la armadura, respectivamente. Pares de polos.
Como el inducido posee escobillas diametrales, el factor de distribución vale: k wa = k da =
2
π
(4)
Ambas fuerzas magnetomotrices están en fase en el tiempo y se encuentran en cuadratura en el espacio, por lo que desarrollan una cupla. La fuerza magnetomotriz de excitación da lugar al flujo de excitación, en el eje directo d-d, cuyo valor instantáneo es: Φ f = µ0
Dl ˆ ˆ f sin ω t [Wb] F =Φ pg f
(5)
De la misma forma el valor instantáneo del flujo de armadura, en el eje transversal q-q, vale: Φ a = µ0
Dl ˆ ˆ a sin ω t [Wb] Fa = Φ pg
Donde:
µ0 = 4 π 10-8 [H/m].
D : Diámetro en el entrehierro [m]. l : Longitud del rotor [m]. g : Entrehierro equivalente [m].
3
(6)
A estos flujos se los considera en fase con la corriente, despreciando el pequeño desfase que producen las pérdidas en el hierro. Esos flujos dan lugar a fuerzas electromotrices inducidas, por transformación, en los propios arrollamientos, cuyos valores eficaces son:
Ef =
2π ˆ [V] f N sf k wf Φ f 2
(7)
Eat =
2π ˆ [V] f N sa k wa Φ a 2
(8)
Donde f es la frecuencia de la red. Estas fuerzas electromotrices de transformación adelantan 90º a los flujos que las producen. Además, y como ocurre en las máquinas de corriente continua, el flujo de excitación produce una fuerza electromotriz de rotación en el inducido:
E ar =
2π ˆ sin θ [V] f r N sa k wa Φ f e 2
(9)
La frecuencia de rotación fr es función de la velocidad de giro:
fr =
ωr p Ω p n = = [Hz] 2π 2π 60
(10)
Donde:
ωr : Velocidad angular en radianes eléctricos por segundo. Ω : Velocidad angular en radianes geométricos por segundo. n : Velocidad angular en rpm. Como ya se vio en [1], las fuerzas electromotrices de rotación están en contrafase con el flujo que las produce y dependen del seno del ángulo de escobillas, en este caso como el ángulo de escobillas vale -π/2, figura 1, su seno vale -1 y la fuerza electromotriz Ear resulta en fase con el flujo Φ f . Si a las fuerzas electromotrices anteriores se le suman las caídas de tensión en las reactancias de dispersión y en las resistencias se tiene la tensión aplicada U:
U& = E& f + E& at + E& ar + ΣrI& + ΣjxI& [V]
(11)
Representando fasorialmente la ecuación (11), resulta la figura 2: Como ya se dijo, en el fasorial de la figura 2 se han supuesto los flujos de excitación Φf y de armadura Φa, en fase con la corriente I. La tensión de rotación en la armadura es la responsable de la potencia de campo Pc desarrollada por el motor, de la misma forma que en una máquina de corriente continua, resulta: Pc = E ra I = Te Ω [W]
4
(12)
Σ rI
E ar
E at U Ef
ϕ Ff ; Φ f
Σ jxI
I
Fa ; Φ a Fig. 2. Diagrama fasorial del motor serie sin compensación. La potencia disponible en el eje será:
Pm = Pc − Prot = Pc − PFe − Pryv [W]
(13)
Donde: Prot : PFe : Pryv :
Pérdidas rotacionales [W]. Pérdidas en el hierro [W]. Pérdidas por rozamiento y ventilación [W].
La cupla electromagnética media Te se puede obtener de la ecuación (12) o también a partir de las ecuaciones generales para una máquina cilíndrica [2], como ser: Te =
π 2
∧ p 2 Φ f ⋅ Fa sin(Φ f Fa ) [Nm]
(14)
Además como el flujo de excitación se encuentra en el eje longitudinal y las escobillas, que determinan la dirección de la fuerza magnetomotriz de armadura, en el eje transversal, el ángulo entre ambas es de π/2 y el seno de la expresión (14), vale uno. Como el flujo de excitación y la fuerza magnetomotriz de armadura son alternos, la cupla dada por la expresión (14) es instantánea. Reemplazando en la ecuación (14) los valores instantáneos del flujo de excitación y de la fuerza magnetomotriz de armadura, dados por las ecuaciones (5) y (3) respectivamente, resulta: ˆ f I ⋅ sin 2 ω t [Nm] Te = 2 p N sa k wa Φ
(15)
Reemplazando el sin 2 ω t queda: Te =
2 ˆ f I ⋅ (1 − cos 2ω t ) [Nm] p N sa k wa Φ 2
(16)
Expresión que muestra que la cupla electromagnética tiene un valor constante y una componente de doble frecuencia superpuesta. El valor medio de la cupla electromagnética instantánea dada por la ecuación (16) es: Te =
2 ˆ f I [Nm] p N sa k wa Φ 2
5
(17)
Esta cupla se puede poner en función del número total de conductores del inducido Z y del número de pares de ramas en paralelo a del inducido: N sa =
Z 4a
(18)
Reemplazando Nsa y kwa en la ecuación (17), resulta:
Te =
1 Z p ˆ Φ f I [Nm] 2 2a π
(19)
Valor 2 veces menor que en una máquina de corriente continua que opere con el mismo flujo máximo y una corriente igual al valor eficaz de la alterna, lo que daría las mismas pérdidas en cobre. Pero en la práctica esto no es tan así [3] ya que si la corriente continua tiene el mismo valor eficaz que la alterna, el flujo máximo en alterna será 2 veces mayor que en continua y se compensará la pérdida de cupla, por lo menos a bajas corrientes donde no hay saturación. Como la fuerza magnetomotriz de armadura es proporcional a la corriente y, suponiendo linealidad, el flujo de excitación también lo es, la cupla resulta proporcional al cuadrado de la corriente, como es característico en los motores serie. 1.3 Compensación
Observando el fasorial de la figura 2, se puede ver que hay importantes caídas de tensión en cuadratura con la corriente, que aumentan la potencia reactiva, bajan el factor de potencia y no contribuyen a la potencia mecánica. Para resolver este inconveniente se pueden realizar varias acciones, la más sencilla y eficaz es colocar en el estator un arrollamiento compensador que genere un fuerza magnetomotriz igual y opuesta a la de armadura para anular el flujo transversal Φa con lo que se elimina la fuerza electromotriz Eat y se mejora considerablemente la situación. Si el arrollamiento compensador se conecta en serie con el inducido, se dice que la compensación es conductiva y resulta como se muestra en la figura 3.
d I
Ff ; Φ f
θ; Ω ; Te
θe U Fa
Fc
q
q
d Fig. 3. Motor serie con compensación conductiva.
6
Como la corriente en el arrollamiento compensador es la misma que en el inducido, para que las fuerzas magnetomotrices sean iguales, se deberá cumplir que ambos tengan la misma cantidad de espiras efectivas, es decir: N sa ⋅ k wa = N sc ⋅ k wc
(20)
Otra forma de lograr el mismo efecto en inductivamente, colocando en el eje transversal un arrollamiento en cortocircuito, como se muestra en la figura 4. En este caso el inducido se comporta como el primario de un transformador y el arrollamiento compensador como un secundario en cortocircuito y las fuerzas magnetomotrices desarrolladas por ambos serán iguales y opuestas, independientemente del número de espiras, lo que da mayor flexibilidad en el diseño del arrollamiento compensador.
d I
Ff ; Φ f
θ; Ω ; Te
θe U Fa
Fc
q
q Ic d
Fig. 4. Motor serie con compensación inductiva. En este caso se cumple que: I a ⋅ N sa k wa = I c ⋅ N sc ⋅ k wc [A]
(21)
Y la corriente en el arrollamiento compensador depende de la relación de espiras efectivas. En ambos casos el arrollamiento compensador suele ser distribuido y del tipo concéntrico. Si el motor serie está compensado, la ecuación de tensiones resulta:
U& = E& f + E& ar + ΣrI& + ΣjxI& [V]
(22)
En ambos casos el arrollamiento compensador aporta resistencia y reactancia de dispersión al circuito serie. Si la compensación es inductiva, el arrollamiento compensador, al quedar referido al inducido, también aporta a las sumatorias de resistencias y de reactancias de dispersión. El diagrama fasorial de un motor compensado es el de la figura 5. El hecho de que en un motor serie compensado la fuerza magnetomotriz resultante en el eje transversal, sea prácticamente nula, no significa que también se anula la cupla electromagnética, en cuyo caso el motor dejaría de funcionar. En efecto la fuerza magnetomotriz de armadura sigue existiendo y con el flujo de excitación desarrollan la cupla electromagnética que hace girar al 7
rotor de la máquina. Entre la fuerza magnetomotriz de compensación y el flujo de excitación también se desarrolla una cupla electromagnética, pero la misma está entre dos arrollamientos estatóricos que no tienen posibilidad de movimientos relativos.
Σ rI
E ar
Ef ϕ
Σ jxI
U = cte. I = cte.
Ff ; Φ f Fig. 5. Diagrama fasorial del motor serie con compensación. Como todas las caídas de tensión reactivas del diagrama fasorial son función de la frecuencia de la red, otra forma empleada para reducir la potencia reactiva y mejorar el factor de potencia del motor serie, es bajar la frecuencia de la tensión de alimentación. Esto parece una solución poco práctica, especialmente teniendo en cuenta que en la época en que estas cosas empezaron a hacerse, no existían convertidores electrónicos; pero como se aplicó a los ferrocarriles que, como es normal, tienen sus redes de alimentación propias, el cambio de frecuencia no afecta a otros usuarios. En ferrocarriles de la costa este de Estados Unidos y de Europa se emplearon frecuencias de 25 Hz (50/2) y 16 ⅔ Hz (50/3); frecuencias más bajas no se podían usar porque el parpadeo (flicker) de las lámparas incandescentes era muy notorio. Aún en la actualidad hay servicios ferroviarios alimentados con esas frecuencias. Bajar la frecuencia de alimentación es aproximar el funcionamiento del motor de CA al motor de CC, que sin duda lo hace mejor. 1.4 Características externas y control de la velocidad
Como ya se dijo, la característica externa del motor serie de CA es la típica de los motores serie, con una forma casi hiperbólica, lo que da una potencia de salida aproximadamente constante. Figura 6. 160 140 Velocidad %
120
100%
100
80% 60%
80
50% 40%
60 40 20 0 0
20
40
60
80
100 120 140 160
Cupla %
Fig. 6. Característica externa a varias tensiones. 8
El control de la velocidad se hace reduciendo la tensión aplicada al motor, figura 6 ó intercalando resistencias en serie, figura 7. En ambos casos se reduce la velocidad de giro. 160 140 Velocidad %
120 R=0
100
R1 R2>R1
80 60
R3>R2
40 20 0 0
20
40
60
80
100 120 140 160
Cupla %
Fig. 7. Característica externa con resistencia serie. La reducción de la tensión aplicada es la forma más empleada para reducir la velocidad y el efecto en el motor se puede observar en el diagrama fasorial. A continuación se analiza el caso de un motor compensado y a fin de reducir las variables se puede suponer que el motor opera a cupla constante, que en un motor serie es sinónimo de flujo y corriente constantes y por lo tanto la suma de las caídas de tensión, desde el origen hasta el punto A permanecerán constantes, entonces al reducir la tensión debe reducirse el módulo de la tensión de rotación de armadura Ear, que a flujo de excitación constante, implica una reducción de la velocidad, figura 8. Se puede observar que al reducirse la velocidad empeora el factor de potencia, ya que predominan las caídas reactivas.
E ar Σ rI A Ef ϕ
Σ jxI O
U I = cte.
Ff ; Φ f = ctes.
Fig. 8. Fasorial para distintas tensiones y cupla constante. Si la tensión aplicada no alcanza a cubrir las caídas de tensión, se debe interpretar como que con esa tensión el motor no es capaz de desarrollar esa cupla. En forma semejante se puede analizar el efecto de agregar resistencia en serie: en este caso aumentan las caídas resistivas y se reduce la tensión de rotación de armadura, figura 9.
9
Σ rI
E ar
A Ef
U = cte. ϕ = cte. I = cte.
Σ jxI O
Ff ; Φ f = ctes.
Fig. 9. Fasorial para distintas resistencias y cupla constante. 1.5 Conmutación
El talón de Aquiles de los motores de corriente alterna a colector es, sin duda, la conmutación, y esa es la razón de su uso limitado. Cuando las bobinas pasan por el eje transversal, donde se encuentran las escobillas, en un tiempo muy breve, se debe invertir el sentido de circulación de la corriente; como ya se estudió en la máquina de corriente continua, el tiempo de conmutación Tc vale: Tc =
be [s] vc
(23)
Donde: be : Ancho de la escobilla [m]. vc : Velocidad tangencial en la superficie del colector [m/s]. Por ejemplo, en un motor serie de 4 polos 50Hz que gira a 3.000 rpm (una vuelta por ciclo), las bobinas conmutan cuatro veces por vuelta, es decir cuatro veces por cada ciclo de la corriente, si el colector tiene 200 delgas y el ancho de cada escobilla corresponde al de dos delgas, el tiempo de conmutación resulta de 0,2 ms, cien veces menor que el período de la corriente. Al invertirse el sentido de circulación de la corriente por la bobina que está conmutando, y debido a la inductancia de dispersión de la propia bobina y a las inductancias mutuas con otras bobinas que también están conmutando, aparece la denominada tensión de reactancia, ex , cuyo valor es proporcional a la velocidad de giro y al valor de la corriente. La tensión de reactancia se opone a la variación de la corriente en la bobina, retrasa la conmutación, aumenta la densidad de corriente en el borde de fuga de la escobilla y da lugar a chispas. Esa tensión de reactancia se puede compensar con una tensión de rotación, también proporcional a la velocidad de giro y al valor de la corriente, producida por el flujo de los polos de conmutación, ubicados en el eje transversal y recorridos por la corriente de armadura. En las máquinas de corriente continua los polos auxiliares compensan la tensión de reactancia muy eficientemente y pueden operar con cualquier estado de carga, conmutando prácticamente sin chispas; pero en el motor serie de corriente alterna además de la tensión de reactancia, en las espiras que están conmutando aparece una tensión de transformación, figura 10. En la figura 10 se ve como las bobinas que están conmutando concatenan prácticamente la totalidad del flujo alterno de excitación, el que induce en ellas una tensión de transformación independiente de la velocidad giro y que los polos auxiliares no pueden compensar para todas las velocidades de funcionamiento del motor, a lo sumo lo pueden hacer para una dada velocidad de rotación. 10
d
Ff ; Φ f
q
q d Fig. 10. Bobinas conmutando.
Como en los motores serie la velocidad varía entre límites muy grandes, la mayoría de las veces conmutan con chispas, las que inevitablemente erosionan el colector, obligan a un mantenimiento frecuente y encarece su uso. Esa es la razón principal por la que no prosperó su aplicación en el transporte ferroviario donde se siguieron utilizando los motores serie de corriente continua. Es interesante observar que al bajar la frecuencia de la tensión de alimentación, también se reduce la tensión de transformación inducida en las espiras que están conmutando, y el motor opera en mejores condiciones. Ese es otro de los motivos por los que se emplearon redes de baja frecuencia para alimentar a los ferrocarriles. 2 MOTOR UNIVERSAL 2.1 Introducción
Si bien en la actualidad los motores monofásicos serie, de potencia elevada, solamente se emplean en algunos pocos ferrocarriles que operan desde hace bastante tiempo; sus versiones de pequeña potencia, son muy utilizados y en una gran diversidad de aplicaciones. Como estos motores pueden operar tanto en corriente alterna como en corriente continua, se los denominó universales. En la actualidad solamente se los usa en corriente alterna y se emplean en herramientas de mano (taladros, amoladoras, sierras, etc.) y muchos electrodomésticos (batidoras, procesadoras, licuadoras, aspiradoras de polvo, etc.). Como el volumen de un motor está más relacionado con la cupla, que con la potencia desarrollada; un motor de poco volumen y poca cupla que gire a gran velocidad, puede entregar una potencia mecánica importante. Los motores universales, que giran a 10.000 o más rpm, pueden desarrollar una potencia mecánica importante, por ejemplo superar el kilowatt, con un volumen reducido. Comparados con los motores de uso industrial, la mayoría de los motores universales tienen una vida útil mucho más limitada, pero como los artefactos en los que se los usa no tienen un uso muy frecuente y son de relativamente bajo costo, terminan amortizándose de manera muy económica.
11
Como tanto en las herramientas eléctricas de mano como en los electrodomésticos, el costo del motor puede ser un porcentaje importante del costo total, es importante simplificar la construcción del mismo para abaratarlo; por tal motivo, los motores universales se los construye con polos salientes en el estator y arrollamientos de excitación concentrados, es decir más parecidos a las máquinas de corriente continua. Por el mismo motivo, estos motores no poseen polos auxiliares ni arrollamiento compensador. En la figura 11 se muestra una forma constructiva típica de estos motores universales.
d
Arrollamientos de Excitación
Polos de Excitación Expansión Polar
q Arrollamiento de Inducido
q Inducido
Carcasa d Fig. 11. Motor universal. 2.2 Características externas y control de la velocidad
Las características externas de un motor universal son como las mostradas en la figura 6 y la velocidad también se ajusta variando la tensión aplicada. En la actualidad, el control de la tensión se hace en forma electrónica y se emplean circuitos muy sencillos y económicos que recortan los semiciclo de la tensión de la red por medio de un “triac”, una posible configuración es la mostrada en la figura 12.
T a1
a2 g
D R
C
M
Fig. 12. Control electrónico de la velocidad. Donde: M Motor; T Triac; D Diac; R Potenciómetro y C Capacitor. 2.3 Compensación
12
La mayoría de los motores universales no tienen compensación de la fuerza magnetomotriz de armadura, pero en algunos casos se toman medidas para reducir el flujo en el eje transversal. Debido al gran entrehierro presente en el eje transversal, el flujo se cierra principalmente a través de las expansiones polares y se lo puede reducir colocando una ranura abierta en el eje del polo, como se muestra en la figura 13, donde se indica el flujo producido solamente por Ia.
d
Fa
Ia q
q
d Fig. 13. Ranura en el polo. También es posible colocar dos espiras en cortocircuito en esas ranuras para que creen una compensación inductiva, que opera solamente en corriente alterna, figura 14.
d
q
q
d Fig. 14. Compensación inductiva en el motor universal.
13
3 MOTOR REPULSIÓN 3.1 Introducción
El denominado motor de repulsión es un ingeniosa variante del motor serie, ya estudiado, en el que la corriente de la armadura está creada inductivamente. En el motor serie básico de la figura 1, la que por comodidad se vuelve a repetir con el número 15, la corriente del inducido se puede crear inductivamente colocando otro arrollamiento de excitación en el eje transversa y cortocircuitando las escobillas, como se muestra en la figura 16.
d I
Ff
θ; Ω ; Te
θe U Fa
q
q
d Fig. 15. Motor serie básico.
d Ffd
I
Ff
θe θ; Ω ; Te
U
q q
Ffq
Fa Ia d
Fig. 16. Motor con la corriente de armadura creada inductivamente. 14
Por lo dicho este motor no podría operar con corriente continua. En lugar de tener dos arrollamientos de excitación se puede colocar uno sólo en la dirección de la fuerza magnetomotriz de excitación resultante, como se muestra en la figura 17.
d Ffd
I
Ff
U
θ; Ω ; Te q q
Ffq
Fa Ia d
Fig. 17. Motor con un solo arrollamiento de excitación. En la figura 18 se muestra el motor repulsión con los ejes longitudinal y transversal reubicados y definiendo un nuevo ángulo de escobillas θ e' como el suplemento de θ e para que resulte menor a 90 grados eléctricos.
d I
Ff ; Φ f
U θ'e θ; Ω ; Te
θe
q
q Ia
Fa ; Φ a d
Fig. 18. Motor repulsión.
15
3.2 Características externas y control de la velocidad
Variando el ángulo de escobillas, varía la cupla electromagnética desarrollada y consecuentemente la velocidad. En la figura 19 se muestra la variación de la cupla. El máximo se aproximadamente para θ e' ≅ π 6 = 30° . 40
Zona de trabajo
Cupla
30
20
10
0 0
20
40
60
80
100
Ángulo de escobillas
Fig. 19. Variación de la cupla con el ángulo de escobillas. Cuando el ángulo de escobillas es cero, el motor se comporta como un transformador en cortocircuito, absorbe mucha corriente de la red y no desarrolla cupla porque las fuerzas magnetomotrices de excitación y de armadura están alineadas. Figura 20.
d Ff ; Φ f
I cc U
θ'e = 0 Te = 0 q
q I acc
d
Facc
Fig. 20. Motor con θ e' = 0 .
16
Cuando el ángulo de escobillas es 90 grados, el motor se comporta como un transformador en vacío, absorbe una pequeña corriente magnetizante y tampoco desarrolla cupla porque no hay corriente en el inducido. Figura 21.
d I0
Ff ; Φ f
U Te = 0 θ'e = π/2 Fa = 0 q
q
Ia = 0 d Fig. 21. Motor con θ e' = π 2 . Al motor se lo arranca con las escobillas a 90° y luego se va reduciendo ese ángulo con lo que crecen la cupla y la velocidad hasta llegar aproximadamente a los 30°, donde se tiene el máximo de ambas. Es decir que la velocidad se controla mecánicamente variando el ángulo de escobillas. En la figura 22 se muestran las características externas para dos ángulos de escobillas. 140
Velocidad %
120 100 θ = 24°
80
θ = 34° θ = 45°
60 40 20 0 0
20
40
60
80
100
120
Cupla %
Fig. 22. Características externas.
17
140
En su momento, estos motores se emplearon en electrodomésticos que requerían velocidad variable, como ser batidoras, pero con el advenimiento de los semiconductores de potencia, actualmente es más sencillo y económico utilizar un motor universal y un variador de tensión, del tipo mostrado en la figura 12, que el mecanismo para mover las escobillas de un motor repulsión, esa en una de las razones por las que los motores repulsión han caído en desuso. Si bien el descripto es el motor repulsión más sencillo y usado, se han realizado unas cuantas variantes del mismo y con distintas características [3], pero han tenido muy pocas aplicaciones y no llegaron a nuestros días. 4 MOTOR SCHRAGE 4.1. Introducción
De todas las máquinas a colector trifásicas de corriente alterna, sin duda la que más éxito tuvo fue el motor de velocidad variable, denominado motor Schrage en homenaje a su inventor. Si bien este motor subsistió hasta nuestros días, no obstante en la actualidad, son ventajosamente reemplazados por los motores asincrónicos de rotor en cortocircuito alimentados con variadores electrónicos de la velocidad. Un poco de historia, Hidde Klass Schrage, hijo de Hindrik Schrage y de Hilje Westerdijk, nace el 15 de febrero 1883, en Usquert, en el municipio de Eemsmond, de la provincia de Groningen en la parte norte del Reino de los Paices Bajos. Como Ingeniero Mecánico trabajó en la AEG (Allgemeine Elektrizitaets-Gesellschaft) de Berlin, en la ASEA (Allmänna Svenska Elektriska Aktiebolaget) de Estokolmo, en Baden-Baden y en París, donde se casó el 6 de marzo 1924 con Anna Elisabeth de Haas. El 2 de diciembre de 1913 Hidde Klaas Schrage, que en ese entonces trabajaba en la compañía ASEA de Vesterâs, Suecia, patenta en la oficina norteamericana de patentes el motor a colector, de velocidad variable, hoy conocido como Motor Schrage. En la figura 23 se muestra el encabezado de dicha patente:
Fig. 23. Una de las patente del motor Schrage.
18
4.2. Control de la velocidad de un motor asincrónico
Si de la expresión del resbalamiento (24) de una máquina se inducción, se despeja la velocidad resulta (25): Ω −Ω s= s (24) Ωs Ω = Ω s (1 − s ) =
2πf (1 − s ) [1/s] p
(25)
Donde: s:
Resbalamiento [°/1] Ω: Velocidad de rotación [1/s] Ωs: Velocidad sincrónica [1/s] f: Frecuencia [Hz] p: Pares de polos En la expresión (25) se puede ver que las variables son: la frecuencia, la cantidad de polos y el resbalamiento. Control de la frecuencia: por este medio se puede conseguir una variación continua de la velocidad, dentro de límites muy amplios. Como no es sencillo obtener una tensión de frecuencia variable, este procedimiento recién se pudo aplicar en forma económica cuando se desarrollaron semiconductores de potencia de bajo costo y, sin duda, es la mejor forma de controlar la velocidad y la que mayores posibilidades presenta. Cambio del número de polos: como los polos magnéticos se presentan de a pares, este procedimiento no produce una variación continua de la velocidad; lo que da lugar a motores de dos, tres o más velocidades, que pueden ser muy útiles para muchas aplicaciones. El cambio de la polaridad se consigue cambiando las conexiones del arrollamiento estatórico y utilizando un rotor en cortocircuito. Control del resbalamiento: existen varias formas de controlar el resbalamiento de una máquina de inducción, por ejemplo bajando la tensión aplicada a un motor de rotor en cortocircuito, baja la cupla y aumenta el resbalamiento. Si bien la reducción de velocidad obtenida no es muy importante, este procedimiento es común utilizarlo en pequeños ventiladores.
Las otras formas de controlar el resbalamiento se aplican a motores con rotor bobinado, lo que de por sí es más costoso. En general consisten en extraer potencia eléctrica de los bornes del rotor, esa potencia se puede disipar en un reóstato rotórico, transformar en mecánica y agregarla al eje del motor (cascada Krämer) o devolverla a la red (cascada Scherbius). Estos dos últimos procedimientos no son simples y se han resuelto con grupos de máquinas, y actualmente están en desuso, auque existen una variante electrónica de la cascada Sherbius. La forma propuesta por Schrage es una variante en la que el intercambio de potencia con el rotor se hace desde una fuente que inyecta una tensión de la frecuencia adecuada al resbalamiento. El principio es el siguiente, si se considera una fase rotórica, de un motor de inducción, sin referir al estator y se le coloca una fuente en serie, resulta el circuito equivalente de la figura 24.
19
+ s E2
I2
sx2
r2
f2 = s f1
+ Ei −
−
Fig. 24. Circuito equivalente de una fase rotórica. Aplicando la segunda ley de Kirhhoff se tiene: E& 2 s = sE& 2 = E& i + (r2 + jsx 2 ) I&2 [V]
(26)
Donde: E2s: Tensión inducida para el resbalamiento s. E2: Tensión inducida a rotor detenido (constante). Ei: Tensión inyectada. r2: Resistencia rotórica. x2: Reactancia de dispersión rotórica a frecuencia de red. Si la máquina está en vacío la corriente I2 y la caída por ella producida se pueden despreciar, resultando aproximadamente: sE& 2 ≅ E& i [V] (27) De donde, trabajando con los módulos, el resbalamiento resulta: s≅
Ei E2
(28)
O sea que el resbalamiento es aproximadamente proporcional al módulo de la tensión inyectada. Una tensión inyectada nula, rotor en cortocircuito, da un resbalamiento próximo a cero que es el caso normal de funcionamiento de un motor de inducción. Una tensión inyectada positiva, del sentido indicado en la figura 24, da un resbalamiento positivo, es decir una velocidad subsincrónica. Una tensión inyectada negativa, es decir opuesta a la indicada en esa figura 2, da un resbalamiento negativo, es decir una velocidad hipersincrónica. El principal inconveniente para aplicar este procedimiento consiste en que la tensión inyectada, en todo momento, debe tener la frecuencia de resbalamiento: f 2 s = s ⋅ f1 [Hz]
(29)
4.3 Obtención de la tensión a inyectar en el motor Schrage
Sin duda la forma en que Schrage resolvió la forma de obtener la tensión Ei es lo más ingenioso de este motor: esa tensión se obtiene del propio motor y no son necesario máquinas adicionales como en las cascadas Krämer o Scherbius [3]. A fin de comprender este proceso considérese un motor asincrónico trifásico, con rotor bobinado, que se lo alimenta a través de los anillos rotóricos y se cortocircuita el estator, es decir al revés de lo habitual. En esas condiciones, el campo giratorio producido por el rotor trata de mover al estator, como éste está fijo, por reacción, es el rotor el que se mueve en sentido contrario. Figura 25. 20
ω − ω r= s ω = ω c
Φ
ω f1 ⁄⁄⁄ ωr
Fig. 25. Motor asincrónico alimentado por el rotor. En la figura 25 se puede observar que el campo giratorio rota a velocidad sincrónica ω , respecto del propio rotor, que el rotor gira en sentido contrario al campo y a una velocidad menor ωr < ω (considerando los módulos). Entonces y respecto a un sistema de referencia fijo, como el estator, el campo giratorio rotará a la diferencia de velocidades ω - ωr que vale:
ω − ω r = ω − ω (1 − s ) = sω [1/s]
(30)
Para independizarse del número de polos, se tomaron todas las velocidades angulares en radianes eléctricos por segundo. Si al rotor se le agrega un arrollamiento a colector en un par de escobillas aparecerá una tensión de las siguientes características. La frecuencia depende de la velocidad de rotación del campo giratorio respecto a un sistema de referencia fijo como el de las escobillas: fe =
ω c s ⋅ 2πf = = sf = f s [Hz] 2π 2π
(31)
Es decir que la tensión de escobillas tiene siempre la frecuencia de resbalamiento, independientemente de la velocidad del rotor. El módulo de la tensión depende de la separación de las escobillas y será máximo para escobillas diametrales. Si las escobillas están formando un ángulo 2β la relación entre las tensiones vale: Tensión para escobillas a 2β = senβ (32) Tensión en escobillas diametrales O sea que variando la separación de las escobillas se varía el módulo de la tensión lo que producirá el cambio de la velocidad del motor.
21
La fase de la tensión depende de la posición de las escobillas, moviendo todas las escobillas en sentido contrario al del campo giratorio un ángulo ρ la tensión en escobillas se adelanta en ese mismo ángulo. Se entienden ángulos eléctricos. En la mayoría de los casos ese arrollamiento a colector es independiente del arrollamiento que se conecta a la red, compartiendo las mismas ranuras rotóricas. Si bien el rotor gira, ambos arrollamientos permanecen estacionarios entre sí, constituyendo un transformador, y son recorridos por corrientes de frecuencia de red f1 . 4.4 Esquema eléctrico
Para obtener un sistema trifásico de tensiones se colocan, en una máquina de dos polos, tres pares de escobillas a 120 grados entre sí las que se conectan a las tres fases estatóricas (secundario), como se muestra en la figura 26.
ω − ω r= s ω = ω c
Φ
Secundario (Estator) Terciario (Rotor)
2β
f1 ⁄⁄⁄ Red
ωr
Primario (Rotor)
Fig. 26. Esquema eléctrico del motor. Para variar el ángulo 2β entre las escobillas, hay un mecanismo que permite moverlas en sentidos opuestos, manteniendo los ejes magnéticos en la misma posición espacial. Para lograrlo las escobillas se colocan sobre dos aros porta escobillas que se mueven en sentidos opuestos. En el esquema de la figura 26 las escobillas sombreadas estarían en uno de esos aros y las restantes en el otro aro. Es común que las tres fases rotóricas, que reciben la alimentación de la red a través de tres anillos rozantes, se pueden conectar en estrella o en triángulo. A ese circuito de la máquina se lo denomina comúnmente primario, al arrollamiento estatórico se lo denomina secundario y al arrollamiento a colector terciario. Si bien las conexiones a las delgas del colector se podrían hacer desde el mismo arrollamiento primario, es decir utilizar el mismo arrollamiento para las dos funciones; como ya se dijo, es conveniente colocar el terciario, que junto al arrollamiento primario, se comportan como un transformador reductor de tensión; esto permite reducir la cantidad de espiras del terciario y hacer sus bobinas de una sola espira, lo que si bien aumenta la corriente del secundario y del terciario,
22
facilita la conmutación y reduce el número de delgas del colector [3]. Como los bobinados primario y terciario se encuentran alojados en las mismas ranuras del rotor, aumentan su tamaño y consecuentemente la reactancia de dispersión, baja el factor de potencia y empeora la regulación de la velocidad. 4.5 Diagramas fasoriales
En los puntos siguientes se muestran los diagramas fasoriales, para distintos valores del ángulo de escobillas 2β , correspondientes al circuito equivalente rotórico, no referido, de la figura 24 y a su ecuación 26. A fin de limitar las variables en los diagramas se supone que los mismos están a cupla constante. En efecto, la cupla electromagnética se puede poner como en la ecuación (14): Te =
π 2
∧ p 2 Φ ⋅ F2 sin(Φ F 2 ) [Nm]
(33)
Como a tensión de alimentación y frecuencia constantes se puede suponer que el valor del flujo giratorio Φ resulta prácticamente constante y como la fuerza magnetomotriz F2 es proporcional a I2, tiene la misma dirección y con sentido contrario, por la convención generadora usada en el secundario; figura 27, el seno de la expresión (33), resulta: ∧ (34) sin(Φ F 2 ) = sin(90 + ψ 2 ) = cosψ 2
Por lo tanto la cupla electromagnética resulta proporcional a la proyección de la corriente I2 sobre la fuerza electromotriz E2 y permanece prácticamente constante. Te ∝ I 2 cosψ 2 = cte. [Nm]
(35)
Otro tanto ocurre con la caída r2 I2.
E 1= E'2 ≈ U1 = cte.
I'2 ψ2 cte. r'2 I' 2
cte.
90° F2
ψ2
Φ ≈ cte.
cte.
Fig. 27. Fasorial simplificado de un motor de inducción con cupla constante. 4.5.1 Funcionamiento con β = 0
En la figura 28 se muestra el fasorial correspondiente al caso en que las escobillas están superpuestas sobre la misma delga, es decir la tensión inyectada Ei es nula. En esas condiciones el motor se comporta como un motor asincrónico convencional, operando con el rotor en
23
cortocircuito. El resbalamiento s y la frecuencia secundaria f2 son muy bajos y, consecuentemente la caída en la reactancia de dispersión jsx2I2 y el ángulo ψ 2 son muy pequeños.
ω 2= s ω 1 ≈ 0
ωc ≈ 0
I2 jsx 2 I 2
β=0 Ei = 0 s≈0 Ω ≈ Ωs
cte.
sE 2 r2 I 2
ψ2
Φ
2β = 0
cte.
Fig. 28. Fasorial rotórico sin tensión inyectada. 4.5.2 Funcionamiento con β positivo
En este caso la tensión inyectada tiene el sentido mostrado en el circuito equivalente de la figura 24 y se la supone en fase con la tensión inducida E2 , para lo cual el eje magnético de cada fase secundaria debe coincidir con el eje magnético definido por las escobillas a la que está conectada, como se muestra en la figura 29. Cabe recordar que, como se vio al estudiar el motor trifásico de inducción, el módulo de la tensión inducida E2 es constante, ya que corresponde al valor que se tiene cuando el rotor está detenido y el circuito secundario abierto. En el fasorial se puede observar, que debido a la presencia de la tensión inyectada Ei , el módulo de la tensión inducida sE2 es mayor que el de la figura 28, lo que implica un mayor resbalamiento, es decir velocidades subsincrónicas. Debido al mayor resbalamiento, también es grande la frecuencia en el secundario y la caída en la reactancia de dispersión, lo que aumenta el ángulo ψ2 y retrasa la corriente I2 lo que baja el factor de potencia del motor a esas velocidades.
ω2 = s ω1
sE 2 Ei
ωc I2
Φ
2β
jsx 2 I 2 ψ2
cte. r2 I 2
cte.
β>0 Ei > 0 s>0 Ω < Ωs
Fig. 29. Fasorial rotórico en subsincronismo. 24
4.5.3 Funcionamiento con β negativo
Si se mueven las escobillas de forma tal que éstas queden permutadas, como se muestra en la figura 30, se invierte la polaridad de la tensión inyectada y el fasorial muestra que la tensión sE2 queda invertida, lo que significa que el resbalamiento es negativo y velocidad hipersincrónica. Como el fasorial de la figura 30 no está referido, es decir está a la frecuencia de resbalamiento f2 = s f1, se debe tener en cuenta que los fasores del mismo giran en sentido contrario a lo habitual y la que corriente I2 sigue estando atrasada de la fuerza electromotriz E2 en el ángulo ψ 2 y lo mismo ocurre con la caída de tensión en la reactancia de dispersión jsx2I2 que adelanta 90° a la corriente. Como se puede ver en el fasorial, el factor de potencia a velocidades hipersincrónicas es mejor que a velocidades subsincrónicas. También es interesante observar que en velocidades subsincrónicas, el campo giratorio rota en sentido contrario al rotor y a velocidades hipersincrónicas lo hace en el mismo sentido. Si se ajusta la posición de las escobillas, con un pequeño β negativo, como para que el rotor gire exactamente a la velocidad sincrónica, el flujo permanecerá fijo en el espacio y en las escobillas se tendrá una pequeña tensión continua.
ω2 = s ω1 I2
jsx 2 I 2
r2 I 2
ψ2
cte.
Φ 2β
cte.
ωc β<0 Ei < 0 s<0 Ω > Ωs
sE 2 E i Fig. 30. Fasorial rotórico en hipersincronismo. 4.5.4 Modificación del ángulo ρ
La mayoría de los motores Schrage tienen la posibilidad de ajustar, en fábrica, la posición de todo el conjunto de escobillas, lo que modifica la fase de la tensión inyectada al secundario. Normalmente, y como en los casos anteriores, esa tensión inyectada se la ajusta para que quede en fase con la fuerza electromotriz inducida E2 . Al ángulo de fase entre ambas tensiones se acostumbra a designarlo con ρ Para verificar que el ángulo ρ sea nulo, se puede hacer funcionar al motor en ambos sentidos de giro, si al hacerlo mantiene la misma velocidad, ese ángulo será nulo. Pero en algunos casos conviene modificar el ángulo ρ para mejorar el factor se potencia a velocidades subsincrónicas, que como ya se dijo, suele ser bastante bajo. En efecto si se adelanta la tensión inyectada, para lo cual hay que mover todas las escobillas en el mismo sentido en el que gira el rotor y en contra del sentido de giro del campo rotante,
25
como se muestra en la figura 31, se reduce el ángulo ψ 2 y mejora el factor de potencia. Pero esta no es una solución ideal, ya que si se cambia el sentido de giro del motor el ángulo ρ cambia de signo y la situación se invierte. O sea que este procedimiento solamente es aplicable a motores que no cambian su sentido de giro. La modificación del ángulo ρ también tiene un pequeño efecto en la velocidad, el resbalamiento correspondiente a la figura 31 es un poco menor que el de la figura 29.
ρ ω2 = s ω1 Ei
sE 2
2β ρ
ωc
I2
ρ
Φ cte.
jsx 2 I2 ψ2
r2 I 2
cte.
β>0 ρ>0 Ei > 0
s>0 Ω < Ωs
Fig. 31. Fasorial rotórico en subsincronismo con Ei adelantada. 4.6 Características externas
Las características externas del motor Schrage son las típicas de un motor de inducción trifásico, auque el resbalamiento nominal, es decir la regulación, es un tanto mayor que en éstos; fundamentalmente debido a las mayores dimensiones de las ranuras rotóricas que deben alojar a los arrollamientos primario y terciario, lo que aumenta la reactancia de dispersión y las caídas de tensión. 160 140 Velocidad %
120 100
β = − 90° β = 0° β = 90°
80 60 40 20 0 0
20
40
60
80
100 120 140 160
Cupla %
Fig. 32. Características externas. 26
Como se muestra en la figura 32, el rango de variación de velocidad que se logra es aproximadamente desde 0,5 a 1,5 veces la velocidad sincrónica. El principal inconveniente del motor Schrage es su complejidad, lo que aumenta su costo y el mantenimiento. 5 REFERENCIAS
[1] [2] [3]
Norberto A. Lemozy: “Fuerzas magnetomotrices, Electromotrices y Cupla en Inducido a Colector”. Apunte de Cátedra. 1997. Norberto A. Lemozy: “Cupla en Máquina Cilíndrica”. Apunte de Cátedra. 2001. E. Openshaw Taylor: “The Performance and Desingn of A.C. Conmutator Motors” Editorial Pitman, 1958.
5 BIBLIOGRAFÍA
Manuel Cortes Cherta: “Curso Moderno de Máquinas Eléctricas Rotativas” Tomo IV: “Máquinas sincrónicas y Motores de C. A. de Colector” Editores técnicos Asociados, 1977. G. S. Brosan y J. T. Hayden: “Advanced Electrical Power and Machines” Editorial Pitman, 1966. M. Kostenko y L. Piotrovsky: “Máquinas Eléctricas” Tomo II, Editorial Montaner Simon S. A. 1968.
Ing. Norberto A. Lemozy 2009
27
REACCIÓN DE INDUCIDO EN MÁQUINAS DE CORRIENTE CONTINUA Norberto A. Lemozy 1 INTRODUCCIÓN El objetivo del presente capítulo es estudiar el origen, los efectos y la corrección de la reacción de inducido o de armadura en las máquinas de corriente continua. La mayoría de las máquinas eléctricas, salvo los reactores y los electroimanes monofásicos, poseen dos o más arrollamientos y, cuando se encuentran en carga y circulan corrientes por esos arrollamientos cada uno de ellos produce una fuerza magnetomotriz (fmm) que, al combinarse, dan lugar al flujo en la estructura magnética, a las tensiones inducidas, y a las fuerzas y cuplas que originan las acciones ponderomotrices de la máquina. En la figura 1 se muestra un corte esquemático de una máquina básica de corriente continua de dos polos y se indican sus partes principales: La carcasa completa el circuito magnético y es el órgano estructural a donde se fijan, entre otras cosas, los polos y los escudos (no indicados) que soportan al eje por medio de los cojinetes. Los polos principales o de excitación, con sus expansiones polares y sus arrollamientos de excitación de tipo concentrado. El inducido o armadura con su arrollamiento de armadura, de tipo distribuido, alojado en ranuras, y también se muestran figuradamente las escobillas que en realidad apoyan sobre el colector (no indicado).
d Arrollamientos de Excitación
Polos de Excitación Expansión Polar
Arrollamiento de Inducido q
q Inducido
Escobillas
Carcasa
d Fig. 1. Corte de una máquina básica. También se indican el eje longitudinal o directo d-d, definido por los polos de excitación y el eje transversal o en cuadratura q-q, que son ejes de simetría de la máquina. 1
2 ANÁLISIS CUALITATIVO A continuación se analizan los mapas de campo aproximados que se tienen en una máquina de corriente continua, como la representada en la figura 1 y con la siguiente distribución de corrientes en la excitación y en el inducido. Figura 2.
d
θ
q
q
d Fig. 2. Corrientes de excitación y de inducido. El análisis se hará en tres situaciones: cuando hay solamente corriente de excitación If, cuando hay solamente corriente en el inducido Ia y cuando están presentes ambas corrientes. 2.1 Campo de excitación Cuando hay solamente corriente de excitación las líneas de fuerza del campo producido siguen una trayectoria como la mostrada en la figura 3 donde el sentido de la corriente If es tal que el polo superior resulta norte y el inferior sur. En la figura se indicó con un vector Ff la dirección dominante de ese campo. Se puede observar que la línea neutra magnética, n-n, es decir la recta que une los puntos de campo nulo del inducido, coincide con el eje transversal de la máquina; además la inducción magnética es prácticamente constante bajo los polos y decae en los extremos de las expansiones polares. Esta es la situación que existe en un generador en vacío, y es la distribución de campo que se desea en las máquinas de corriente continua. 2.2 Campo armadura Si se tiene solamente corriente de armadura Ia , lo que no es una situación normal en las máquinas de corriente continua, se producirá una fuerza magnetomotriz, indicada simbólicamente por el vector Fa , en la dirección definida por las escobillas, figura 4. El sentido de la corriente de armadura se supuso entrante en la mitad superior del inducido y saliente en la otra mitad, por lo tanto el inducido genera un polo norte en su lado izquierdo y un sur en el derecho. En este caso el campo resultante se cierra principalmente a través de las expansiones polares y también resulta una inducción prácticamente constante en el entrehierro.
2
d If
q ≡n
q ≡n
If
d
Ff
Fig. 3. Campo de excitación.
d
Fa
Ia
q
q
d Fig. 4. Campo de armadura. 2.3 Campo resultante Cuando la máquina de corriente continua se encuentra en carga y hay corriente en la excitación y en el inducido, la fuerza magnetomotriz transversal del inducido distorsiona el campo producido por la excitación, produciendo un campo resultante como se indica aproximadamente en la figura 5, que se aleja de la distribución ideal mostrada en la figura 3.
3
d Ω motor
Ω generador
If n' ∆θ Fa q
Ia
q n'
If
Te Ff d Fig. 5. Campo resultante.
De acuerdo al principio de alineación, que establece que las fuerzas magnetomotrices tratan de alinearse, la Fa trata de alinearse con la Ff y se genera una cupla electromagnética en el rotor (inducido) en sentido antihorario, por lo tanto la figura 5 corresponde a un motor girando en ese sentido o a un generador haciéndolo en sentido contrario. Analizando el campo resultante en la figura 5 se pueden observar dos efectos significativos. 2.3.1 Corrimiento de la línea neutra magnética. La línea neutra magnética se desplaza un ángulo ∆θ, en el sentido de giro de un generador, a una nueva posición n'-n'. Esto origina problemas de conmutación que se traducen en la formación de chispas entre las escobillas y el colector las que erosionan la superficie de este último. Esto se soluciona agregando a la máquina los denominados polos auxiliares que se ubican en el eje transversal y su fmm restituye la línea neutra magnética al eje transversal. Figura 7. Antiguamente las máquinas de cierto porte poseían un mecanismo para poder mover manualmente las escobillas a la posición donde se producían menos chispas; pero como esto es función de la carga, podrían requerirse ajustes frecuentes. Además si se mueven las escobillas a una posición próxima a la de la línea neutra magnética, la fmm de armadura genera una componente en el eje longitudinal Fad que se opone a la de excitación, figura 6, lo que es altamente indeseable ya que se reduce la fuerza electromotriz inducida y la cupla electromagnética y puede llevar a los motores a un funcionamiento inestable. Además si se invierte el sentido de giro el efecto es totalmente contrario y se empeora la conmutación. Por lo expuesto, esta práctica ha sido totalmente abandonada, y una máquina con polos auxiliares bien diseñados conmuta perfectamente para todos los estados de carga sin necesidad de ajustes posteriores.
4
d Ω motor
Ω generador
If n' Fa Fad q
q
Faq
Ia n' If
Te Ff d
Fig. 6. Fuerza magnetomotriz desmagnetizante. 2.3.2 Distribución no uniforme del flujo bajo la cara polar. En la figura 5 se puede observar que las líneas de fuerza del campo magnético se concentran en un extremo de la expansión polar y se separan en el otro extremo, esto da lugar a los siguientes efectos, en orden de importancia: Aumento de la tensión entre las delgas correspondientes a las bobinas que pasan por la zona de alta inducción. Saturación de ese extremo de la expansión polar. Aumento de las pérdidas en el hierro en el inducido y en las superficies de las expasiones polares. La tensión entre delgas que toleran las máquinas a colector es relativamente reducida, ya que ellas se mueven en un ambiente poco favorable: el aire está ligeramente ionizado y hay restos del grafito de las escobillas entre las delgas, en general no debe supera los 20 V. En las máquinas grandes, que poseen un flujo polar importante, y aunque las bobinas tengan una sola espira, este límite se alcanza con bastante facilidad. En esas máquinas grandes, no es tolerable un aumento de la tensión entre delgas ya que se corre el riesgo de que se generalice un arco eléctrico en toda la superficie del colector, que lo destruiría y se produciría un cortocircuito importante. La saturación de un extremo de la expansión polar reduce el flujo por polo y consecuentemente la fuerza electromotriz inducida y la cupla electromagnética. Como las pérdidas en el hierro de la máquina se determinan por medio de un ensayo en vacío, al aumento que se produce en carga, por la reacción de inducido, que no es muy grande; se lo considera como una pérdida adicional de la máquina. Todos los problemas anteriores se solucionan colocando un arrollamiento distribuido en ranuras en las expansiones polares, denominado arrollamiento compensador. Como su 5
construcción es bastante compleja, se reserva a las máquinas multipolares de gran potencia donde el problema de la tensión entre delgas es crítico. Las máquinas de pocas decenas de kilowatts se las puede diseñar con tensiones entre delgas suficientemente bajas tal que, auque aumenten, no requieran del arrollamiento compensador que las encarecería. En la figura 7 se muestra esquemáticamente una máquina como la de la figura 2, con el agregado de los polos auxiliares y del arrollamiento compensador, aunque este último no sería común en una máquina de dos polos. También se indicaron los sentidos de las fuerzas magnetomotrices, y como se puede observar, tanto los polos auxiliares (Faux) como el arrollamiento compensador (Fc) generan fuerzas magnetomotrices opuestas a la de la armadura (Fa).
d Arrollamiento Compensador
Faux q
Faux
Fa
q Fc
Arrollamiento del Polo Auxiliar
Ff
Polo Auxiliar
d
Fig. 7. Máquina compensada. Como los efectos de la reacción de armadura son proporcionales a la corriente del inducido Ia, los polos auxiliares y el arrollamiento compensador, identificados con las letras GH, se conectan en serie sustractiva con el inducido (AB), como se muestra en la figura 8, de forma tal que la corriente Ia entra al inducido por un borne homólogo (A) y sale por el correspondiente de los polos auxiliares (H), para que se resten las fuerzas magnetomotrices. El puente entre los bornes B y G suele ser interno de la máquina y en el tablero de conexiones solamente están presentes los bornes A y H. Los efectos de la reacción de inducido en una máquina bien diseñada, con polos auxiliares y arrollamiento compensador, son insignificantes y funcionará correctamente en todas las condiciones de carga y velocidad, aún con pequeñas sobrecargas. Una máquina en tales condiciones, se dice que está totalmente compensada.
6
q
Ia
A
Inducido
Arrollamientos de Excitación
d
d B H
Polos auxiliares y Arrollamiento Compensador
G
q
Fig. 8. Conexiones. 3 ANÁLISIS EN BASE A FUERZAS MAGNETOMOTRICES Una forma más detallada de analizar el fenómeno de la reacción de inducido en las máquinas de corriente continua es estudiar la distribución de las distintas fuerzas magnetomotrices en el entrehierro de la máquina. En una máquina básica, como la mostrada en la figura 2, se encuentran presentes dos fuerzas magnetomotrices: la de excitación y la de armadura. A fin de facilitar la representación de las fuerzas magnetomotrices, conviene representar a la máquina desarrollada, tomando como eje de abscisas el ángulo θ definido en la figura 2, siguiendo este criterio la máquina de esa figura se vería de la siguiente manera, figura 9.
If q
d
q
d
q Estator
Ia
g Rotor π
0
2π
θ
Fig. 9. Máquina desarrollada. 3.1 Fuerza magnetomotriz de excitación Si se considera solamente la corriente de excitación If , se puede obtener la diferencia de potencial magnético que actúa en el entrehierro aplicando la ley de Ampère:
∫ H ⋅ dl = ∫ J ⋅ ds S
Donde: H Campo magnético [A/m] dl Diferencial de longitud [m]. J Densidad de corriente [A/m2]. ds Diferencial de superficie [m2].
7
(1)
Si para evaluar la integral curvilínea se toma como trayectoria una línea de fuerza, los vectores H y los dl tendrán la misma dirección y el producto escalar se transforma en algebraico, si además se supone al hierro infinitamente permeable, el campo H en el mismo será nulo y solamente contribuirá a la integral el campo en el entrehierro. Tomando una trayectoria como la indicada en la figura 10, la fuerza magnetomotriz encerrada por la misma es 2Nf ·If que, por simetría, se reparte mitad en cada entrehierro. Ff q
máx
= Nf ⋅If
d
q
(2) d
q
N f If
N f If N
S
F; B F
N f If B π
0
2π
θ
-Nf If
Fig. 10. Fuerza magnetomotriz de excitación. Al considerar al hierro infinitamente permeable, toda la superficie de la expansión polar será, desde el punto de vista magnético, equipotencial; y se puede suponer, simplificadamente, que fuera de la misma la diferencia de potencial magnético o fuerza magnetomotriz actuante, es nula, resultando una distribución rectangular, como se muestra en el gráfico de la figura 10. Debido a la dispersión de las líneas de fuerza en los extremos de la expansión polar y a la saturación que se puede originar en los mismos, la inducción magnética B sigue una distribución más redondeada. En la figura 10 se muestra aproximadamente como podría ser esta curva. La mejor manera de obtener la distribución de inducción en el entrehierro es resolver las ecuaciones del campo utilizando algún método de cálculo numérico, como por ejemplo el de los elementos finitos, considerando la geometría de la máquina, la permeabilidad de sus distintas partes y las corrientes en los arrollamientos. 3.2 Fuerza magnetomotriz de armadura Los inducidos, salvo en máquinas muy pequeñas, poseen una considerable cantidad bobinas y éstas se encuentran uniformemente distribuidas en la superficie del mismo, esta situación se aproxima mucho a una capa de corriente. Como la corriente de inducido Ia se reparte en las ramas en paralelo del mismo, si se llama a al número de pares de ramas en paralelo, la corriente en cada rama será:
8
Ia 2a
(3)
Si Z es el número total de conductores del inducido y D el diámetro del mismo, la densidad lineal de corriente en la superficie del inducido será: A=
Z Ia [A/m] π D 2a
(4)
Esta densidad lineal de corriente, en las máquinas grandes puede ser de varias decenas de kA por metro de perímetro del inducido.
q
d
q
d
q
Ia
F Fa máx π
0
τ p/2
2π
θ
-Fa máx
Fig. 11. Fuerza magnetomotriz de armadura. Como ya se mostró en la figura 4 las líneas de fuerza del campo producido se cierran principalmente a través de las expansiones polares. Si se presenta la máquina desarrollada y se hacen circulaciones como las indicadas en la figura 11, la fuerza magnetomotriz encerrada será proporcional a la longitud de la capa de corriente que se encuentra dentro de esas trayectorias. Al suponer infinita la permeabilidad del hierro, el campo H en el mismo es nulo y esa fmm se reparte por mitades en el entrehierro. Además como la corriente está uniformemente distribuida en la superficie del inducido, la variación de la fmm es lineal. Los máximos de esa fmm se encuentran sobre el eje transversal q y su valor se puede calcular sumando los Ampère vuelta que producen los conductores del inducido que se encuentran desde el eje longitudinal d, hasta el eje transversal q, es decir medio paso polar. La cantidad de conductores en medio paso polar será:
1 Z 2 2p
(5)
Multiplicando esos conductores por la corriente en cada uno de ellos, dada por la expresión (3), se tiene el valor máximo de la fmm de armadura: 9
Fa máx =
τ 1 Z Ia = A p 8 ap 2
(6)
Si bien esa fmm puede ser importante, como actúa en el eje transversal, donde el entrehierro es grande, los valores de inducción que desarrolla no son grandes, pero sus efectos no son nulos, como sería de desear, y la línea neutra magnética se desplaza. 3.3 Fuerza magnetomotriz resultante
Si se tienen simultáneamente las corrientes de excitación y de armadura, la fmm resultante será la suma de las representadas en las figuras 10 y 11 y se indica en la figura 12. q
d
q
d
q
If Ia F F; B B π 0
2π
θ
∆θ
Fig. 12. Fuerza magnetomotriz resultante. Teniendo en cuenta el valor del entrehierro en cada punto, se puede inferir aproximadamente como sería la curva de inducción B, la que pasará por cero donde la fmm resultante también lo es, puntos que se encuentran desplazados ∆θ del eje transversal, lo que desmejora la conmutación. También se observa que en un extremo de cada expansión polar la inducción se reduce y en el otro crece. Si las expansiones trabajaran en la zona lineal de la curva de magnetización del hierro, la reducción que se produce en un lado se compensaría con el incrementa que se produce en el otro y el flujo por polo permanecería constante. Pero en la práctica las expansiones polares de las máquinas, es especial las de mediana a gran potencia, se diseñan próximas a la saturación, y el extremo más exigido por la reacción de armadura se satura y la inducción crece menos de lo esperado, como se indica la figura 12 con un rayado, y el flujo por polo se reduce, con la consecuente reducción de la fuerza electromotriz inducida y de la cupla electromagnética. 3.4 Polos auxiliares
A fin de no desmejorar la conmutación, se debe anular el campo resultante en eje transversal de la máquina y mantener la línea neutra en esa posición, para lo cual, como ya se dijo, se colocan los polos auxiliares, según se muestra en la figura 7. En principio esos polos auxiliares 10
deberían producir una fmm igual al valor máximo de la fmm de la armadura Fa máx , figura 13, pero como se verá al estudiar el fenómeno de la conmutación, al invertirse el sentido de circulación de la corriente en las bobinas de la armadura que están conmutando y debido a las inductancias presentes, aparece una tensión inducida, denominada tensión de reactancia, que también empeora la conmutación. Esa tensión de reactancia se puede compensar con los polos auxiliares para lo cual se incrementa su fmm en un valor ∆Faux , lo que se indica con un rayado en la figura 13. Faux = Fa máx + ∆Faux
q
d
q
(7)
d
q
Ia
F
∆ Faux
Fa máx
π
0
2π
θ
-Fa máx
Fig. 13. Fuerza magnetomotriz de los polos auxiliares. 3.5 Arrollamiento compensador
Como ya se dijo, para evitar los inconvenientes producidos por la distribución no uniforme de la inducción en la zona polar, se coloca el arrollamiento compensador mostrado esquemáticamente en la figura 7. El arrollamiento compensador debe producir una fmm igual y opuesta a la que la armadura produce en esa zona, de forma tal que al sumarlas den una resultante nula y no se altere la fmm de excitación, figura 14. Si el ancho de la expansión polar es bp la fmm máxima del arrollamiento compensador resulta:
Fc máx =
bp
τp
Fa máx
(8)
La presencia del arrollamiento compensador reduce la fmm necesaria en los polos auxiliares, en efecto al valor dado por la expresión (7) se le puede descontar la (8):
⎛ b ⎞ Faux = ⎜1 − p ⎟ ⋅ Fa máx + ∆Faux ⎜ τ ⎟ p ⎠ ⎝
11
(9)
q
d
q
d
q
Ia
F
bp τp
Fc máx π 0 -Fc máx
Fc Fa
2π
θ
Fc+ Fa
Fig. 14. Fuerza magnetomotriz de compensación. 4 CONCLUSIONES
Los efectos indeseables de la necesaria reacción de inducido son más críticos cuanto mayor es la potencia de las máquinas. Las de menor potencia admiten un grado de sobredimensionamiento que hace innecesaria la compensación, a partir de unos pocos kilowatts resulta conveniente colocarle polos auxiliares y en las de mayor porte, algunas decenas de kilowatts, se les agrega el arrollamiento compensador, ya que el diseño es más ajustado y el sobredimensionamiento resulta muy costoso. Una máquina de corriente continua bien diseñada, mantenida y utilizada, funcionará correctamente y tendrá una vida útil que seguramente cubre las mejores expectativas. 5 BIBLIOGRAFÍA
Manuel Cortés Cherta: “Curso Moderno de Máquinas Eléctricas Rotativas” Tomo II Máquinas de Corriente Continua. Editores Técnicos Asociados S. A., 1972. M. P. Kostenko y L. M. Piotrovski: “Máquinas Eléctricas” Volumen I, Montaner y Simon S. A., 1979. Michael Liwshitz-Garik y Clyde C. Whipple: “Máquinas de Corriente Continua” Compañía Editorial Continental CECSA, 1972. Alexander S. Langsdorf: “Principles of Direcr Current Machines” Editorial Mac. Graw Hill, 1959. Juan Corrales Martín: “Cálculo Modular de Máquinas Eléctricas” Editorial Marcombo, 1994.
12
TENSIONES INDUCIDAS EN MÁQUINAS A ANILLOS Norberto A. Lemozy 1 INTRODUCCIÓN El objetivo del presente capítulo es obtener las expresiones de las tensiones inducidas en una fase de un arrollamiento a anillos, que gira dentro de un campo magnético. Primero se analiza la tensión inducida en una espira diametral, luego en una espira acortada, en un grupo de bobinas y en bobinas con sus lados inclinados respecto de la generatriz del cilindro rotórico, es decir formando una hélice, estos conceptos son generales y pueden aplicarse a cualquier tipo de arrollamiento. Luego se calcula el flujo por polo, suponiendo una máquina de entrehierro constante, y se determinan las tensiones inducidas en una fase completa de un arrollamiento a anillos ubicado en el rotor y se consideran tres casos: a) El arrollamiento gira dentro de un campo constante. b) El arrollamiento gira dentro de un campo rotante. c) El arrollamiento gira dentro de un campo alterno. 2 TENSIONES INDUCIDAS Se considera que en el entrehierro de la máquina hay un campo magnético constante en el tiempo y fijo en el espacio, el que podría estar producido por una corriente continua circulando en el estator o por imanes permanentes colocados en el mismo. Si bien en la práctica la distribución de la inducción B en el entrehierro, nunca es perfectamente sinusoidal, si se hace el análisis armónico de la misma, cada una de las componentes tiene distribución sinusoidal, por lo tanto es lícito realizar el estudio para este tipo de distribuciones de campo en el entrehierro y aplicarlo, primero a la componente fundamentas y luego a las armónicas. 2.1 Una espira diametral Se estudia una máquina, como la representada en la figura 1, que por sencillez se tomó de entrehierro constante, con una espira diametral ubicada en el rotor, el que gira con velocidad angular ωr en radianes eléctricos por segundo. Cabe recordar que se definen los ángulos eléctricos como:
θ eléctrico = p ⋅ θ geométrico
(1)
Y las velocidades angulares como las derivadas respecto del tiempo de esos ángulos:
ω r [1 s ] = p ⋅ Ω [1 s ] = p
1
2 π n [rpm] 60
(2)
Donde: p: es el número de pares de polos de la máquina. Ω: es la velocidad angular en radianes geométricos por segundo [1/s]. n: es la velocidad angular en revoluciones por minuto [rpm].
π
Fig. 1: Espira diametral. Por comodidad se dibujan y analizan máquinas de un par de polos para que coincidan los ángulos eléctricos y geométricos, pero si se consideran todos los ángulos, en todas las expresiones, como ángulos eléctricos, salvo que se diga lo contrario; las conclusiones que se obtienen son aplicables a máquinas de cualquier polaridad. Haciendo una representación desarrollada de la espira que se mueve dentro de la componente fundamental del campo magnético de inducción B [T], se tiene la figura 2.
B v
B1 e1
e2
Y1 = τ p
θ
B2
e Fig. 2: Espira diametral moviéndose en el campo magnético. Como la inducción magnética en el entrehierro es radial y los lados de la espira están dispuesto según la generatriz del cilindro rotórico, los mismos cortan perpendicularmente a las líneas de fuerza del campo magnético. Si la longitud activa de dichos lados es l [m], la tensión inducida en bornes de la espira será: e = e1 + e2 = 2e1 = 2 Blv
2
(3)
Donde v [m/s] es la velocidad tangencial, que vale: v = ωr ⋅ r
(4)
Siendo r [m] el radio del cilindro rotórico. Todas estas tensiones inducidas son alternas y están en fase, ya que los dos lados de la espira pasan simultáneamente por los ceros y por los máximos del campo magnético. Si se las representa fasorialemente resultan todos los fasores en fase, como se muestra en la figura 3.
E1
E2 E
π
Fig. 3. Tensiones inducidas en espira diametral. En este caso la tensión resultante vale: E& = E& 1 + E& 2 = E& 1 + E& 2
(5)
2.2 Una espira acortada Si en las condiciones anteriores se acorta la espira, como se muestra en la figura 4, las tensiones inducidas en sus lados ya no estarán en fase, la tensión inducida en el lado 2 tendrá un desfase, de la correspondiente al lado 1 en un ángulo (1 − c )π , donde c es el paso relativo:
c=
Y1
τp
<1
(6)
Siendo Y1 el paso de la espira y τp el paso polar.
cπ
(1-c) π
Fig. 4. Espira acortada. Si se vuelven a representar el entrehierro y la espira en forma desarrollada, figura 5, se puede ver que cuando el lado 1 alcanzó el máximo de la inducción B, y en consecuencia el máximo de la tensión inducida, el lado 2 todavía no lo alcanzó, por ese motivo se dice que la tensión 2 está atrasada de la 1.
3
B v
B1 e1
e2
Y1 = cτ p
θ
B2
e Fig. 5. Espira acortada moviéndose en el campo magnético. Por lo dicho los fasores representativos de las tensiones inducidas tendrán el mismo módulo (los máximos son iguales, pero ocurren en momentos distintos) pero el fasor E& 2 estará atrasado un ángulo (1 − c )π , como se muestra en la figura 6.
E1 cπ
A
B
E2 C E
Fig. 6. Tensiones inducidas en espira acortada. Como el triángulo que se forma es isósceles, la tensión resultante vale:
π E& = A B + B C = 2 A B = 2 E&1 sin c 2
(7)
Se define factor de paso kp a la relación de los módulos de la tensión inducida resultante en la espira acotada respecto a la tensión inducida resultante en la espira diametral: kp =
E en espira acortada E en espira diametral
Donde E = E&1 = E& 2 , reemplazando resulta:
kp =
2 E sin c
π
2 = sin c π 2E 2
(8) PARA LE PRIMER ARMONICO "1"
(9)
Teniendo en cuenta que un ángulo θ1 para la fundamental, vale ν⋅θ1 para el armónico de orden ν . θν = ν ⋅ θ1 (10)
4
La expresión (9) se puede generalizar para un armónico de orden multiplicando al argumento de la función por el orden del armónico:
k pν = sin cν
π
ν
simplemente
(11)
2
Entonces, cuando se necesita calcular la tensión inducida en una espira acortada, se la calcula primero como si fuera diametral y luego se la multiplica por el correspondiente factor de paso: Eν en espira acortada = k pν ⋅ Eν en espira diametral
(12)
Lo mismo vale para la tensión inducida en una bobina. 2.3 Bobinas distribuidas
Sea un grupo de tres (q=3) bobinas diametrales, iguales, separadas un ángulo eléctrico α entre sí, y conectadas en serie, como se muestra en la figura 7.
α
Nb Nb
α
Nb
Fig. 7. Tres bobinas diametrales distribuidas. Como las tres bobinas tienen el mismo número de espiras, sus tensiones inducidas van a tener el mismo módulo pero van a estar desfasadas un ángulo eléctrico α entre sí, formando un polígono regular, en este caso de tres lados, como se muestra en la figura 8; donde se agrega una construcción auxiliar para establecer las relaciones entre las tensiones.
α
E1
E2 α
B C
A
E
α /2 r
α
α
E3 D
α
O Fig. 8. Tensiones inducidas en las bobinas distribuidas.
5
En la figura 8 se han trazado las mediatrices (perpendiculares en los puntos medios de los lados) correspondientes a las tres tensiones, las que se cortan el punto O que es el centro de la circunferencia circunscripta al polígono o circuncentro. También se han trazado los radios r de dicha circunferencia. Los ángulos α de desfase entre las tensiones, son los ángulos exteriores del polígono, los que a su vez son iguales a los ángulos interiores del mismo. En este ejemplo la suma de los ángulos interiores resulta 3α , porque son tres bobinas; en general si se tienen q bobinas en serie en el grupo, la suma de los ángulos interiores sería qα . El módulo de la tensión resultante E se puede expresar como:
α E& distribuido = A D = 2 ⋅ A C = 2 ⋅ r sin q 2
(13)
Si las tres bobinas del ejemplo estuvieran superpuestas en las mismas ranuras, sus tensiones estarían en fase y la resultante sería el triple de la correspondiente a una de las bobinas; en general si el grupo tiene q bobinas en serie, el módulo de la resultante sería:
α E& concentrado = q E&1 = q 2 ⋅ A B = q 2 ⋅ r sin 2
(14)
El factor de distribución kd es el cociente de los módulos de las tensiones resultantes con distribución y sin distribución: kd =
E& distribuido E& concentrado
Reemplazando resulta: kd =
2 ⋅ r sin q q 2 ⋅ r sin
α 2 =
α
2
(15)
sin q q sin
α 2
α
(16)
2
Generalizándola para el armónico ν : k dν =
sin qν q sinν
α 2
α
(17)
2
Donde, como ya se dijo, q es el número de bobinas del grupo y α es el ángulo eléctrico entre las mismas. Entonces, cuando se desea calcular la tensión inducida en un arrollamiento distribuido, se la calcula primero como si fuera concentrado y luego se la multiplica por el correspondiente factor de distribución:
Eν distribuido = kdν ⋅ Eν concentrado
6
(18)
2.4 Bobinas helicoidales
En algunas máquinas las ranuras del rotor se inclinan respecto de la generatriz del cilindro que lo representa, en esos casos las ranuras, y en consecuencia los lados de las bobinas que se encuentran en las mismas, dejan de ser rectas y se transforman en curvas de doble curvatura: en hélices cilíndricas de un paso muy grande. Si las ranuras del estator, como es lo habitual, son rectas en la dirección de las generatrices del mismo, el campo magnético producido por las bobinas estatóricas mantendrá su simetría axial. En la figura 9 se muestra como una ranura rotórica, que a la izquierda está enfrentada con una ranura estatórica, en el extremo derecho del rotor se encuentra girada un ángulo γ respecto de la misma ranura estatórica.
Estator Rotor
Estator
Rotor
Rotor γ
Ranura estatórica
Ranura rotórica
Fig. 9. Ranura rotórica inclinada. Ese ángulo γ es la rotación de la hélice cuando se desplaza una longitud igual al largo del rotor. Cuando un conductor rotórico helicoidal se mueve dentro del campo magnético producido por un estator con ranuras rectas, sus elementos de longitud dl cortan distintos valores de inducción magnética B. El ángulo eléctrico entre los diferenciales de tensión inducida, correspondientes al primer y al último elemento conductor, es el ángulo de rotación γ. El diagrama fasorial correspondiente a los infinitos diferenciales de tensión inducida en el conductor es un arco de circunferencia cuyo ángulo central es γ y la tensión resultante es la cuerda, figura 10.
γ
dE A
E γ
r
O Fig. 10. Diagrama fasorial.
7
B
El factor de hélice kh es el cociente de los módulos de las tensiones resultantes con ranuras helicoidales y con ranuras rectas: E& con hélice kh = E& sin hélice
(19)
La tensión resultante con ranuras helicoidales es la cuerda de la figura 10 que se puede expresar como:
γ E& con hélice = ∫ dE& = 2r sin 2
(20)
Mientras que la suma de todos los módulos de los diferenciales de tensión inducida es la longitud del arco subtendido por el ángulo γ: E& sin hélice = ∫ dE& = arco =rγ
Reemplazando en la (19) resulta: kh =
cuerda = arco
γ
2r sin
2 =
rγ
γ
γ 2
(22)
2
Que generalizando para un armónico de orden ν: khν =
sin
(21)
sin ν
ν
γ
γ 2
(23)
2
Entonces, cuando se desea calcular la tensión inducida en un arrollamiento con ranuras helicoidales, se la calcula primero como si fueran ranuras rectas y luego se la multiplica por el correspondiente factor de hélice:
Eν con hélice = khν ⋅ Eν sin hélice
(24)
A fin de no cometer un error de cálculo conviene destacar que el ángulo que figura en el denominador de las expresiones (22) y (23), además de ser un ángulo eléctrico, debe estar expresado en radianes. El factor de hélice puede considerarse como un caso límite del factor de distribución en el que: q→∞ (25) α →0 lim qα = γ Además: (26) q →∞
α →0
Es decir: khν = lim
q →∞ α →0
sin qν q sinν
α 2 =
α
2
8
sin qν qν
α
α 2
2 =
sinν
ν
γ 2
γ 2
(27)
Cuando los arrollamientos están muy distribuidos, como los de colector, el factor de distribución se calcula directamente como la relación entre la cuerda y el arco, es decir como si se tratase de un caso de hélice. Este factor de hélice no es propio del estator ni del rotor, ya que el ángulo γ se define entre las ranuras del rotor respecto de las del estator. Si se inclinaran ambas ranuras hacia el mismo lado y el mismo ángulo, no aparecería el factor de hélice. Por lo tanto, el factor de hélice, se debe utilizar cuando se estudian las interacciones entre el estator y el rotor, por ejemplo en el cálculo de las tensiones inducidas en el rotor debidas al campo producido por el estator, o viceversa, o en el cálculo de la cupla electromagnética y debe aparecer una sola vez en la productoria de los distintos factores del estator y del rotor. Si en cambio se estudian las tensiones inducidas en un arrollamiento, debidas al campo producido por el propio arrollamiento, la hélice, si la hubiera, no produciría ningún efecto.
Factor de hélice
La razón por la cual se inclinan las ranuras del rotor, lo que no deja de ser una complicación constructiva, a fin de que aparezca el factor de hélice, es atenuar armónicos de orden superior. A modo de ejemplo en la figura 11 se grafica el factor de hélice en función del orden de la armónica, para un rotor de 24 ranuras, cuatro polos y con valores de rotación de la hélice (arco rotórico correspondiente al ángulo gama) correspondientes a media, una y una y media ranuras del rotor.
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4
Media ranura Una ranura Ranura y media
0
10
20 30
40 50 60
70 80
Armónico Fig. 11. Factor de hélice En la figura 11 se puede observar que cuanto mayor es la inclinación, más rápidamente se atenúan los armónicos.
9
2.5 Caso general
A fin de conseguir una buena reducción de armónicos, el arrollamiento puede tener bobinas acortadas, distribuidas y con las ranuras inclinadas, de esa forma se combinan los distintos efectos y se pueden obtener resultados muy satisfactorios. En ese caso la tensión resultante se calcula como si el arrollamiento fuera diametral, concentrado y con ranuras rectas y luego se la multiplica por el producto de los tres factores: Eν acortado, distribuid o, inclinado = k pν k dν k hν ⋅ Eν diametral, concentrado, recto
(28)
Al producto de los tres factores se lo suele llamar factor del arrollamiento: k w ν = k pν ⋅ k dν ⋅ k hν
(29)
Si las bobinas del grupo o de la fase poseen distinto número de espiras, si los ángulos α no son todos iguales, o los grupos poseen distinta cantidad de bobinas, como en los arrollamientos fraccionarios; las expresiones de los factores dadas más arriba, no son aplicables y se debe recurrir a otros procedimientos de cálculo. Afortunadamente la mayoría de los arrollamientos se ajustan a las condiciones estudiadas.
10
3 FLUJO POR POLO
A fin de poder obtener el flujo concatenado por cada fase, y luego la fuerza electromotriz inducida, primero hay que determinar el flujo por polo. En las mayoría de las máquinas eléctricas, cuando están en carga, se encuentran presentes dos fuerzas magnetomotrices, por ejemplo la del estator Fe y la del rotor Fr que, si se considera cada armónica por separado, cada una de ellas tiene una distribución sinusoidal en el entrehierro y es representable por medio de un vector en el espacio. En virtud de esa distribución espacial, la fuerza magnetomotriz resultante FR se puede obtener haciendo la suma vectorial de las mismas aplicando, por ejemplo, la regla del paralelogramo: FR = Fe + Fr
(30)
La suma anterior (30) es común hacerla tomando los valores máximos de las fuerzas magnetomotrices. En la figura 12 se muestra, en una representación desarrollada, la inducción magnética B1 debida a la componente fundamental de la fuerza magnetomotriz resultante FR1 .
B1 ∧ B1 l 0
θ
π
Sp1
τp
Fig. 12. Superficie polar de fundamental. Donde τp es el paso polar y l es la longitud axial del rotor. La superficie polar para la fundamental Sp1 corresponde a un sector de la superficie lateral del cilindro rotórico correspondiente a un paso polar, figura 13. Si el cilindro rotórico tiene un diámetro medio D, la superficie polar de fundamental se puede expresar como:
S p1 = Siendo p el número de pares de polos.
11
π Dl 2p
(31)
Sp τp
l
D
Fig. 13. Superficie polar en el rotor. Como la distribución de la inducción es sinusoidal, una forma sencilla de calcular el flujo por polo es tomando el valor medio de la misma y multiplicándola por la superficie polar:
Bmed1 =
Fˆ 2 ˆ 2 B1 = µ 0 R1 π π g
(32)
Donde: µ 0 = 4π 10 −7 [H/m] Bˆ es el valor máximo de la componente fundamental de la inducción [T]. 1
FˆR1 es el valor máximo de la fuerza magnetomotriz resultante [A]. g es entrehierro equivalente [m].
El entrehierro equivalente es el entrehierro geométrico multiplicado por los factores de Carter del estator y del rotor. El entrehierro equivalente, sin ranuras, presenta la misma reluctancia que el entrehierro real ranurado. Haciendo el producto se obtienen el flujo por polo para la fundamental: Φ1 = µ 0
Dl ˆ FR1 [Wb] pg
(33)
Si se considera un armónico, por ejemplo el tercero, donde hay un ciclo de la fundamental habrá tres ciclos de ese tercer armónico, y la superficie de uno de esos polos, se reduce a la tercera parte de la superficie de un polo de fundamental, figura 14: En general se puede poner: S pν =
1 π Dl ν 2p
(34)
Dl FˆRν [Wb] pg ν
(35)
S p1
ν
=
Resultando el flujo por polo:
Φν = µ 0
12
B
∧ B3
l 0
2π
θ1
π
Sp3 τp
Fig. 14. Superficie polar para el tercer armónico. 4 FLUJO CONCATENADO
Todo lo estudiado hasta ahora, tiene un carácter bastante general, lo que sigue está orientado a los arrollamientos de fases, es decir arrollamientos abiertos con un principio y con un final. El valor máximo del flujo concatenado por una fase, es decir cuando el eje magnético de la fase coincide con la dirección del campo magnético, está dado por:
λˆν = N s k wν Φν [Wb]
(36)
Donde kwν es el factor de arrollamiento para el armónico ν definido por la (29) y Ns es el número de espiras en serie por fase es decir el número de espiras en serie que hay entre los bornes de la fase. Cuando las fases tienen ramas en paralelo, estas ramas deben ser todas iguales, a fin de evitar corrientes de circulación entre ellas, ésta es una condición de simetría del arrollamiento y Ns es el número de espiras de una de esas ramas.
13
5 TENSIONES INDUCIDAS EN UNA FASE
A continuación se estudian las tensiones inducidas en una fase rotórica que gira en un campo magnético, primero constante, luego rotante y finalmente alterno. Al rotor se lo considera girando con velocidad angular ωr constante definida por la ecuación (2). 5.1 Fase en campo constante
Como ya se dijo en el párrafo 2 un campo magnético constante es el que tiene amplitud constante y está fijo respecto al arrollamiento que lo produce, en este caso el campo estatórico podría estar generado por medio de corriente continua o imanes permanentes. En la figura 15 se muestra esquemáticamente un rotor cilíndrico bipolar girando dentro de un flujo constante Φ :
Φ = cte.
θ
ωr
Fig. 15. Fase en campo constante. Si bien el esquema de la figura 15, por sencillez, muestra una máquina bipolar, si se consideran ángulos eléctricos, las conclusiones que se obtienen, son aplicables a máquinas de cualquier polaridad. Además se omitió el estator, el que puede ser cilíndrico o de polos salientes indistintamente, ya que al considerar las componentes armónicas de la inducción en el entrehierro, las mismas estarán distribuidas en forma cosenoidal en el entrehierro. El ángulo girado por el rotor será:
θ = ωr t + θ 0
(37)
El ángulo de fase inicial θ 0 está incluido a fin de generalizar la expresión. El flujo concatenado por la componente fundamental vale:
λ = N s k w Φ cosθ
(38)
La expresión anterior (38) solamente es válida cuando el rotor es cilíndrico ya que si posee saliencias la variación del flujo concatenado no sería una función coseno del ángulo y el resultado resultaría aproximado. En realidad esta restricción no es muy limitativa, ya que la mayoría de las máquinas poseen inducidos cilíndricos. Para obtener la tensión inducida se aplica la ley de Faraday:
e=
dλ [V] dt
Derivando el flujo concatenado, dado por la (38), la componente fundamental queda:
14
(39)
π⎞ ⎛ e = ωr N s k w Φ cos ⎜ ωr t + θ 0 + ⎟ 2⎠ ⎝
(40)
Que es una tensión alterna de pulsación:
ωr = 2π f r
(41)
Cuya amplitud depende de la frecuencia de rotación y su valor eficaz es: E=
2π fr N skw Φ 2
(42)
Como tanto la frecuencia como la amplitud dependen de la velocidad de giro, a esta tensión inducida se la suele denominar de rotación. Este es el tipo de tensión inducida que aparece en las máquinas sincrónicas. Si se considera un armónico de flujo de orden ν , por cada vuelta del rotor el mismo encuentra ν p pares de polos, entonces la frecuencia y la pulsación de la tensión inducida resultarán ν veces la correspondiente a la fundamental:
f rν = ν ⋅ f r
(43)
La velocidad de rotación en radianes eléctricos por segundo se puede generalizar para el armónico de orden ν considerando la relación (10) que establece que para los armónicos los ángulos se deben multiplicar por el orden del armónico. Entonces la relación (1) se puede generalizar como:
θ eléctrico ν = ν ⋅ θ eléctrico = ν ⋅ p ⋅ θ geométrico
(44)
Que si se la deriva respecto del tiempo, da las respectivas velocidades angulares de rotación:
ω rν = ν ⋅ ω r = ν ⋅ p ⋅ Ω
(45)
Reemplazando en la expresión (40) resulta:
π⎞ ⎛ eν = ν ω r N s k wν Φν cos ν ⋅ ⎜ ω r t + θ 0 + ⎟ 2⎠ ⎝ Cuyo valor eficaz es:
Eν =
2π ν f r N s k wν Φν 2
(46)
(47)
5.2 Fase en campo giratorio
Cuando por el estator de la máquina circula un sistema polifásico de corrientes, se produce un campo giratorio en el cual cada componente armónica de la fuerza magnetomotriz, posee amplitud y velocidad de giro constantes y algunas se pueden anular. A continuación se analiza la tensión inducida en una fase rotórica, que gira con velocidad angular ωr dentro de un flujo que rota con velocidad de campo ωc la que, en general y para la fundamental, coincide con la pulsación de las corrientes que lo están produciendo. Esta situación se muestra esquemáticamente en la figura 16 donde se tomaron al rotor y al campo girando en el mismo sentido.
15
θ θc
ωr
Φ ωc
Fig. 16. Fase en campo giratorio. Si:
θ = ωr t + θ 0 θ c = ωc t
(48)
El flujo concatenado por la fase será:
λ = N s k w Φ cos(θ c − θ ) λ = N s k w Φ cos[(ωc − ω r )t − θ 0 ]
(49)
La tensión inducida en la fase se obtiene haciendo la derivada respecto del tiempo: e=
π⎤ dλ ⎡ = (ω c − ω r ) N s k w Φ cos ⎢(ω c − ω r )t − θ 0 + ⎥ dt 2⎦ ⎣
(50)
Ésta es una tensión alterna cuya amplitud y cuya frecuencia dependen de la diferencia de velocidades entre el campo giratorio y la de rotación de la fase. Frecuentemente se utiliza una variable denominada resbalamiento s definida como: s=
ωc − ωr ωc
(51)
Si el rotor gira en sentido opuesto al campo rotante, en las expresiones (49), (50) y (51), las velocidades angulares se deberán sumar. La tensión inducida dada por la ecuación (50) se puede poner en función del resbalamiento como:
π⎞ ⎛ e = sω c N s k w Φ cos ⎜ sω c t − θ 0 + ⎟ 2⎠ ⎝
(52)
De esta forma se puede ver que tanto la amplitud como la frecuencia dependen del resbalamiento, por ese motivo a esta tensión inducida se suele llamar tensión de resbalamiento y es la que aparece en los rotores de motores asincrónicos o de inducción. Como ya se dijo, en la mayoría de los casos, la velocidad de giro del campo de fundamental coincide con la pulsación de las corrientes que lo producen, es decir:
ωc = ω = 2 π f
(53)
16
Entonces la frecuencia de resbalamiento vale: s ⋅ ωc
fs =
=
2π
s ⋅ 2π f 2π
= s⋅ f
(54)
Donde se toma el módulo del resbalamiento a fin de no obtener frecuencias negativas. El valor eficaz de la tensión de resbalamiento (52), resulta:
E=
2π s ⋅ f N s kwΦ 2
(55)
Como ya se habrá podido apreciar, esta tensión inducida es un caso particular de la tensión inducida cuando el rotor gira dentro de un campo constante, estudiada en el punto 5.1, y surge de reemplazar la velocidad de rotación ωr por la velocidad relativa entre el campo y el rotor ωc - ωr. Si se tienen en cuenta lo flujos armónicos habrá que considerar sus respectivas velocidades angulares y sus respectivos sentidos de giro. Si el campo giratorio es producido por un sistema trifásico balanceado de corrientes hay solamente campos armónicos impares, los múltiplos de tres se cancelan y las velocidades de giro valen:
ωcν =
ω ν
(56)
Además los campos armónicos de orden ν = 2 + 3k con k = 0; 1; 2… giran en sentido opuesto al de fundamental. Se puede definir un resbalamiento para cada armónico haciendo: sν =
Ω cν ± Ω ncν ± n ω cν ± ω r ω ± ω rν = = = Ω cν ncν ω cν ω
(57)
Correspondiendo el signo menos del numerador al caso en que el rotor y el campo rotante giran en el mismo sentido, como en la figura 16, y el signo más al caso contrario. Las relaciones entre las velocidades angulares ω ; Ω y n son las dadas por la ecuación (2) y además: Ω cν = ncν =
ω cν p
=
ω νp
(58)
60 f νp
(59)
Con las salvedades hechas más arriba respecto a las componentes que se anulan y las que rotan en sentido contrario. En todas las expresiones el número de pares de polos p es el que le corresponde a la componente fundamental del campo. La frecuencia de resbalamiento dada por la ecuación (54) se puede generalizar para las armónicas poniendo: f sν = sν ⋅ f
(60)
Por lo expuesto, la tensión inducida por los armónicos del campo giratorio resulta:
17
π⎞ ⎛ eν = ν ⋅ sν ω cν N s k wν Φν cos ν ⋅ ⎜ sν ω cν t − θ 0 + ⎟ 2⎠ ⎝
(61)
Cuando el campo giratorio está producido por un sistema polifásico de corrientes, y de acuerdo a la ecuación 56, resulta:
ν ⋅ ω cν = ω = 2π f
(62)
Igual a la pulsación de las corrientes. El valor eficaz de la tensión (61) es:
Eν =
2π sν ⋅ f N s k wν Φν 2
(63)
5.3 Fase en campo alterno
Si el arrollamiento estatórico está recorrido por una corriente alterna monofásica, la fuerza magnetomotriz y el campo magnético que se desarrollan serán alternos: es decir sus amplitudes dependerán del valor instantáneo de la corriente, que se supone perfectamente sinusoidal, y estarán fijos respecto al arrollamiento inductor; por lo tanto el valor instantáneo del flujo por polo será: φ = Φ máx sin ω t (64) Donde la pulsación del flujo es la de la corriente que lo está produciendo y vale:
ω = 2π f
(65)
En la figura 17 se muestra esta situación.
φ = Φ máx sen ω t θ
ωr
Fig. 17. Fase en campo alterno. Igual que en los casos anteriores, el ángulo θ está dado por la expresión (37); y el flujo concatenado por toda la fase rotórica será:
λ = N s k w Φ máx sin ω t ⋅ cos(ω r t + θ 0 )
(66)
Aplicando la ley de Faraday (39) se obtiene la tensión inducida en la fase rotórica, la que posee dos términos: e=
dλ = ω N s k w Φ máx cos ω t ⋅ cos(ω r t + θ 0 ) − dt − ω r N s k w Φ máx sin ω t ⋅ sin (ω r t + θ 0 )
18
(67)
Para interpretar más fácilmente la expresión anterior (67), conviene desarrollar los productos de funciones trigonométricas de acuerdo a las siguientes igualdades: 1 [cos(α − β ) + cos(α + β )] 2 1 sin α ⋅ sin β = [cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 cos α ⋅ cos β =
(68)
Resultando: 1 {cos[(ω − ω r ) t − θ 0 ] + cos[(ω + ω r ) t + θ 0 ]} − 2 1 − ω r N s k w Φ máx {cos[(ω − ω r ) t − θ 0 ] − cos[(ω + ω r ) t + θ 0 ]} 2
e = ω N s k w Φ máx
(69)
Ordenándola queda:
ω + ωr
N s k w Φ máx cos[(ω + ω r ) t + θ 0 ] + 2 ω − ωr + N s k w Φ máx cos[(ω − ω r ) t − θ 0 ] 2
e=
(70)
En la expresión anterior (70) se puede ver que la tensión inducida es alterna y posee dos componentes: una de las cuales tiene amplitud y frecuencia proporcionales a la suma y la otra proporcional a la diferencia de las pulsaciones de la excitación ω y de rotación ωr , por tal motivo suele llamarse “biarmónica”. En la figura 18 se muestra un ejemplo de una tensión biarmónica en la que ω = 300 1/s y
ωr = 250 1/s.
Este tipo de tensión inducida y las corrientes por ella producidas, se encuentran presentes en los rotores de los motores de inducción monofásicos. Si ωr = ω, es decir el rotor gira a velocidad sincrónica, la componente diferencia de la tensión inducida, se anula y solamente queda la componente suma, con una frecuencia igual al doble de la del flujo alterno que la está produciendo, normalmente el doble de la frecuencia de red, ecuación (71). Si ωr = 0 la tensión inducida solamente posee una componente de la frecuencia con la que pulsa el flujo y la amplitud de la misma depende del coseno del ángulo θ0 , ecuación (72), cuando éste ángulo vale cero, hay máximo acoplamiento y la tensión es máxima. La máquina se comporta como un transformador de acoplamiento variable. Si ωr = ω :
e = ω N s k w Φ máx cos(2ω t + θ 0 )
(71)
Si ωr = 0 :
e = ω N s k w Φ máx cos θ 0 cos ω t
(72)
Los valores eficaces de cada una de las componentes de la (70) serán:
19
E+ = E− =
π 2
π 2
(f
+ f r ) N s k w Φ máx
(f
− f r ) N s k w Φ máx
(73)
e
0
0,025
0,05
0,075
0,1
0,125
0,15
0,175
Tiempo [s]
Fig. 18. Tensión biarmónica. Donde las frecuencias fr y f son las que resultan de las ecuaciones (41) y (65). El valor eficaz de toda la tensión biarmónica (70) se puede determinar como en el caso de una poliarmónica: E=
(E ) + (E ) + 2
− 2
(73)
Una justificación más fenomenológica del por qué se produce una tensión inducida con dos componentes se puede realizar en base al teorema de Leblanc. Figura 19.
φ = Φ máx sen ω t ωr Φ máx 2
ω
ω
Φ máx 2
Fig. 19. Teorema de Leblac. En efecto, de acuerdo a dicho teorema, un campo alterno se puede descomponer en dos campos giratorios, de amplitud igual a la mitad del máximo del alterno, que rotan a velocidad sincrónica ω y en sentidos opuestos. Por lo tanto se puede considerar que la tensión inducida es la suma de dos tensiones de resbalamiento: una debida la campo que gira en mismo sentido que el rotor, dando una amplitud y una frecuencia proporcionales a la diferencia de velocidades; y otra
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debida al campo que gira en sentido opuesto al rotor, dando una amplitud y una frecuencia proporcionales a la suma de las velocidades. Si se consideran las componentes armónicas de flujo que genera el arrollamiento, cada una de ellas pulsará de la misma forma que lo hace la corriente es decir con ω , es decir:
φν = Φ máxν sin ω t
(75)
Mientras que los ángulos en el entrehierro y, consecuentemente la velocidad angular de rotación, se verán multiplicados por el orden del armónico, ecuaciones (44) y (45). Por lo tanto el flujo concatenado por la fase resultará:
λν = N s k wν Φ máxν sin ω t ⋅ cos ν ⋅ (ω r t + θ 0 )
(76)
Haciendo la derivada de esta expresión y ordenando los términos, como se hizo para la componente fundamental, se llega a:
ω + νω r
N s k wν Φ máxν cos[(ω + νω r ) t + νθ 0 ] + 2 ω −νω r + N s k wν Φ máxν cos[(ω −νω r ) t −νθ 0 ] 2
eν =
(77)
Expresión a la que también se puede llegar aplicando el teorema de Leblanc. 6 BIBLIOGRAFÍA
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