Funciones cuadráticas

4to. 1ra. T. T. - Matemática Prof. Flavia Terrizzano

Funciones cuadráticas Definiciones

Se dice que f es una función de A en B y se denota f: A → B si a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota f(a) = b. El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Se denota Dom f. f. El conjunto imagen está formado por los valores que alcanza la función. Se denota Im f. Ejemplo f(x) = x2

y = x2

Para representar esta función construiremos una tabla de valores, mediante la cual obtenemos algunos de los pares ordenados correspondientes a su gráfica. x 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

y = x2 0 1 4 9 16 1 4 9 16

Para f(x) = x2 tenemos que Dom f: R. Como todo número elevado al cuadrado da como resultado un valor de signo positivo, el conjunto imagen serán los reales reales positivos incluido el cero. cero. Im f: [0;+∞ ). La gráfica de la función cuadrática recibe el nombre de parábola. Sus dos ramas son simétricas simétricas respecto a una recta. En la gráfica construida x=0 es eje de simetría.

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Se llama vértice al único punto de intersección de la parábola con su eje de simetría. En el ejemplo el vértice es el punto V = (0;0). Dado que la función pasa a ser decreciente a creciente en x=0, entonces en este punto hay un mínimo. No tiene máximo. Funciones del tipo x 2 + b ó –x2 + b

f(x)=x2

g(x) = x2 + 2

h(x) = x2 – 1

i (x) = x2 + 3 j (x) = -x2

k(x) = -x2 +1

i(x) =x2 + 3 g(x) = x2 + 2

f(x) = x2

h(x) = x2 - 1 k(x) = - x2 + 1

j(x) = - x 2

Función

Dominio

Imagen

f(x) = x2 g(x) = x2 + 2 h(x) = x2 – 1 i (x) = x2 + 3 J (x) = -x 2 k(x) = -x2 +1

R R R R R R

[0 ; + ∞ ) [2 ; + ∞ ) [-1 ; + ∞ ) [3 ; + ∞ ) (- ∞ ; 0] (- ∞ ; -1]

Eje de simetría x=0 x=0 x=0 x=0 x=0 x=0

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Vértice

Máximo

Mínimo

(0 ; 0) (0 ; 2) (0 ; -1) (0 ; 3) (0 ; 0) (0 ; 1)

(0 ; 0) (0 ; 1)

(0 ; 0) (0 ; 2) (0 ; -1) (0 ; 3) -


Observamos

f(x) = x2 (+Vy)

±

Vy, la parábola se desplaza sobre el eje y hacia abajo (-Vy) o hacia arriba

Cuando el coeficiente de x2 es positivo, la parábola “mira” hacia arriba, es cóncava hacia arriba. arriba. Si el coeficiente coeficiente de de x2 es negativo, la parábola “mira” hacia abajo, es cóncava hacia abajo.

Funciones del tipo f(x) = a x 2

Gráfico de las siguientes funciones f(x) = x2

g(x) = 2 x2

h(x) =

1 2

x2

i(x) = - 3 x 2

j(x) = - 0,75 x2

f(x) = x2 g(x) = 2 x2 h(x) =

1 2

x2

i(x) = -3 x2

j(x) = - 0,75 x 2

Todas las parábolas de la representación gráfica tienen como eje de simetría x = 0 y vértice en V = (0 ; 0). Si a>0 las ramas de la parábola están orientadas hacia arriba. Si a<0 las ramas de la parábola están orientadas hacia abajo. A medida que el valor absoluto de a aumenta, la abertura de las ramas de la parábola disminuye. A medida que el valor absoluto de a disminuye, la abertura de las ramas de la parábola aumenta.

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Conclusiones

Si a > 0, la parábola es cóncava cóncava hacia arriba. arriba. Si a < 0, la parábola es cóncava cóncava hacia abajo. La abertura de las ramas de la parábola y = a x2, depende del valor absoluto de a. Cuan Cuanto to más más grand grandee es el valor valor abso absolu luta ta de a, más más cerca cerca del eje de sime simetr tría ía se encuentran las ramas de la parábola. El vértice y el eje de simetría no dependen del valor de a.

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Funciones cuadráticas

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