¿Que Son Las Fuerzas Conservativas? Una Fuerza Conservativa Es la fuerza que genera un Campo Conservativo. Se caracterizan por realizar un trabajo que sólo depende de las posiciones, inicial y final, y no de la trayectoria del recorrido. Técnicamente, se habla de que las fuerzas conservativas son provenientes de un gradiente de campo potencial, o equivalentemente, que son fuerzas provenientes de campos rotacionales Son conservativas, por ejemplo, las fuerzas: Fuerza Gravitacional Fuerza Elástica Fuerza Electrostática Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza en un camino cerrado es cero. Por ejemplo si levantas un paquete de 1 kgf de azúcar hasta una altura de un metro la fuerza peso, que es la fuerza resistente, hace un trabajo de -1 kgf.m. Si ahora lo bajas nuevamente a la posición inicial la fuerza peso será será fue fuerza rza motri otriz z y produ roduci cirá rá un traba rabajjo igual gual a +1 kgf. kgf.m m. Finalmente si los sumas el resultado final será cero, por eso es una fuerza conservativa. Otra definición, una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza para ir desde un punto a otro no depende del camino, solo depende de las posiciones inicial y final. Por ejemplo, si subes al cuarto piso la fuerza peso de tu cuerpo realiza un trabajo que será igual a - peso * altura, si lo haces por la escalera o por el ascensor el trabajo será el mismo porque solo depende de la altura. Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida y vuelta) es cero. Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida y vuelta) es distinto de cero.
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Energía mecánica y conservación de la misma. La energía mecánica puede manifestarse de diversas maneras. La energía mecánica es la que se debe a la posición y al movimiento de un cuerpo. Para sistemas abiertos formados por partículas que interactúan mediante fuerzas puramente mecánicas o campos conservativos la energía se mantiene constante con el tiempo: . Es importante notar que la energía mecánica así definida permanece constante si únicamente actúan fuerzas conservativas sobre las partículas. Sin embargo existen ejemplos de sistemas de partículas donde la energía mecánica no se conserva: •
Sistemas de partículas cargadas en movimiento. En ese caso los campos magnéticos no derivan de un potencial y la energía mecánica no se conserva, ya que parte de la energía mecánica "se convierte" en energía del campo electromagnético y viceversa.
La energía mecánica total de un sistema se conserva si se cumplen dos condiciones: •
•
El sistema debe ser aislado. Esto significa que no actúan fuerzas externas sobre los cuerpos que conforman el sistema o que toda fuerza externa que actúe sobre estos cuerpos no realiza trabajo sobre ellos a lo largo de cualquier posible movimiento de los mismos Toda fuerza interna del sistema, es decir, una fuerza ejercida sobre un cuerpo del sistema por otro cuerpo del mismo tiene la siguiente propiedad: la fuerza no realiza trabajo total cuando los cuerpos que constituyen el sistema se mueven desde una distribución inicial a otra cualquiera y vuelven a la distribución original.
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Energía Potencial Gravitatoria, Próxima A La Superficie De La Tierra. Este tipo de energía está asociada con el grado de separación entre dos cuerpos, los cuales se atraen mediante fuerza gravitacional.
*Es la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. La fuerza gravitatoria debida a un cuerpo masivo que actúa sobre uno ligero (como el Sol sobre la Tierra, o ésta sobre un satélite) se puede aproximar por
Esta fuerza es conservativa, por lo que puede calcularse su energía potencial. Tomando como origen de potencial el infinito e integrando a lo largo de una recta radial
Esta energía potencial no se reduce a la expresión anterior para el peso cuando r es muy próximo al radio terrestre, ya que el origen de potencial es diferente (en un caso la superficie terrestre, en el otro el infinito). Para poder comparar ambas energías potenciales, debemos tomar el mismo origen. Si en la energía potencial gravitatoria que acabamos de calcular tomamos como origen de potencial la superficie terrestre, la energía potencial cambia en una constante, tal que debe hacerse 0 para r = R T. Esto da
Para ver que sí se reduce a la expresión correspondiente para el peso, suponemos que
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De forma que:
Puesto que la altura es muy pequeña comparada con el radio terrestre, podemos despreciarla en el numerador y aproximar esto por
Donde
La fuerza gravitatoria mantiene a los planetas en órbita en torno al sol. Es la que tienen los cuerpos debido a la gravedad de la tierra. Se calcula multiplicando el peso por la altura.
Fuerzas No Conservativas En contraposición, las fuerzas no conservativas son aquellas en las que el trabajo a lo largo de un camino cerrado es distinto de cero. Estas fuerzas realizan más trabajo cuando el camino es más largo, por lo tanto el trabajo no es independiente del camino. La energía mecánica total no es constante. En sistemas físicos reales, suelen presentarse fuerzas no conservativas, como la fricción. El trabajo hecho por una fuerza no conservativa ejercida sobre una partícula que se mueve por una trayectoria cerrada es
diferente de cero. 4
W AB=-F r x W BA=-F r x El trabajo total a lo largo del camino cerrado A-B-A, W ABA es distinto de cero W ABA=-2F r x
Fuerzas Conservativas Y Energía Potencial En Tres Dimensiones. Fuerzas Conservativas. El trabajo realizado por una fuerza cuando una partícula se mueve desde un punto A a un punto B depende en general del camino recorrido. Por ejemplo, una fuerza de rozamiento realiza un trabajo mayor cuanto mayor sea la distancia recorrida, aunque los puntos iniciales y finales sean los mismos en todos los caminos. Existe una clase de fuerzas, denominadas fuerzas conservativas, para las cuales el trabajo entre dos puntos es independiente del camino que se emplea para ir de uno a otro
Para una fuerza conservativa, por tanto, podemos omitir la indicación de la curva y escribir simplemente
Donde la integral se calcula por un camino arbitrario. Eso sí, alguno hay que elegir, sea el que sea.
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Energía Potencial. En un sistema físico, la energía potencial es energía que mide la capacidad que tiene dicho sistema para realizar trabajo en función exclusivamente de su posición o configuración. Puede pensarse como la energía almacenada en el sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. La independencia del camino permite definir una función denominada energía potencial como el trabajo, cambiado de signo, para ir desde un punto fijo (el origen de potencial ) hasta el punto que deseemos:
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•
•
•
La independencia del camino es necesaria para que podamos decir que la energía potencial como función solamente del punto . Si la integral dependiera del camino, para un mismo punto obtendríamos diferentes valores, según por donde hubiéramos llegado a él. El origen de potencial es aquel punto para el cual la energía potencial es cero. Dependiendo de cada problema pueden elegirse orígenes de potencial diferentes para la misma fuerza, pero una vez elegido, debe mantenerse siempre el mismo para que los cálculos sean correctos. Si dada una fuerza conservativa, calculamos dos energías potenciales diferentes, tomando dos orígenes de potencial distintos, la diferencia entre ellas es una constante (en el sentido de que no resulta una función de la posición )
De su definición como un trabajo resulta que la energía potencial se mide en julios (J) en el SI.
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En Tres Dimensiones La expresión anterior se generaliza fácilmente al caso de un oscilador armónico tridimensional. El trabajo elemental es ahora
Integrando desde la posición de equilibrio
O, en términos del módulo del vector de posición
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Fuerza Derivada De La Energía Potencial En Tres Dimensiones La trayectoria es alguna curva en el espacio y η un vector, la variación de primer orden debe ser cero y podemos hacer el cálculo por medio de tres desplazamientos sucesivos. Así que tendríamos tres ecuaciones, una para cada dimensión. Si tenemos dos partículas con una fuerza entre ellas, sumamos su energía cinética y su energía potencial. Puesto que cada una se mueve en tres dimensiones, su trayectoria varía y tendríamos seis ecuaciones. Consideremos el caso de una partícula que se mueve de manera relativista. La acción estará dada por las ecuaciones de movimiento en forma relativista. El primer término es menos la masa en reposo m0 por la velocidad de la luz al cuadrado por la integral de una función de la velocidad. Y en el segundo término tenemos el potencial escalar φ y el producto de la velocidad y el potencial vectorial . La función que se integra sobre el tiempo para obtener la acción se llama Lagrangiano el cual es función de las velocidades v ι y las posiciones x ι de las partículas,
. Ahora, analicemos una trayectoria real en el espacio-tiempo en una dimensión. Conocemos la trayectoria verdadera y pasa por un punto ''a'' y otro punto ''b''. Si la integral total nos da un mínimo entonces cada trayectoria infinitesimal de un punto a otro también nos da un mínimo. Como estamos considerando curvas infinitesimales, nuestros dos puntos están casi en el mismo lugar por lo que solamente debemos analizar la variación de primer orden en el potencial. Esto solamente depende de las derivadas del potencial en cada punto, o sea, la fuerza. ¿Por que una partícula toma la trayectoria según la cuál la acción va a ser mínima?, ¿por qué de tantas trayectorias que puede tomar, se va por “la verdadera”? Lo que ocurre es que analiza todas las trayectorias posibles y digamos que escoge el camino “más rápido”, un fenómeno análogo a la difracción de la luz. 8
Recordemos que ocurre con la luz: si emprende una trayectoria que emplea un tiempo diferente, llegará con una fase diferente. La amplitud total es la suma de las amplitudes tomadas por los diferentes caminos que puede tomar. Cuando las fases coinciden se van sumando hasta llegar a una amplitud equilibrada. Ahora el camino dominante es aquel donde muchas trayectorias tienen la misma fase. La mecánica cuántica (para el caso no relativista y despreciando el espín del electrón) nos dice: la probabilidad de que una partícula que parte del punto 1 en el tiempo t 1 llegue al punto 2 en el tiempo t 2 es el cuadrado de la amplitud de probabilidad. Para cada trayectoria imaginaria debemos calcular una amplitud y luego sumar cada una para llegar a la amplitud total. La amplitud correspondiente a cada trayectoria nos la indicará la integral de la acción S. La amplitud es proporcional a una constante por . Donde el ángulo de fase es y es la constante de Plank. Si es muy pequeña y la acción tiene un valor grande las trayectorias se cancelarán ya que la fase entre dos puntos cercanos será muy distinta. Si la constante de Plank tiende a cero, la partícula irá por una trayectoria en particular para la cual la acción no varía en primera aproximación. De esta manera nos podemos olvidar de la probabilidad de que siga cualquier otra trayectoria. Podemos describir la electrostática diciendo que una cierta integral es un máximo o mínimo. Si queremos encontrar el potencial φ en todo punto del espacio y conocemos la densidad de carga sabemos que: (Ecuación de Piosson) Si calculamos la integral de la energía potencial U* sobre todo el espacio
La distribución correcta del potencial φ será un mínimo.
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Para demostrar esto podemos tomar: φ = φ + f y ρφ = ρφ + ρf y lo sustituimos en U*. Dejamos fuera los términos de segundo orden y las derivadas de f. Es casi el mismo procedimiento que hicimos al calcular S. Entonces:
El término que está entre paréntesis debe ser cero, de esta manera llegamos a
En la integral de ΔU * .podemos reemplazar la integral de volumen de la divergencia por una integral de superficie:
Entonces f sigue siendo cero ya que si estamos integrando sobre todo el espacio, la superficie sobre la que estamos integrando está en el infinito. ¿Qué ocurre cuando no sabemos donde se encuentran todas las cargas?. Para esto supongamos que tenemos conductores sobre los que hay cargas repartidas de alguna forma. Integramos U * sobre todo el espacio fuera de los conductores. Como φ no varía sobre el conductor, f es cero sobre toda la superficie, por lo que la integral de superficie seguirá siendo nula. Los límites de la integral de volumen solamente abarcarán el espacio entre los conductores, lo que nos llevará nuevamente a la ecuación de Poisson. Así que la integral original de U * es también un mínimo si la calculamos sobre el espacio exterior de conductores que están a potenciales fijos, o sea que toda función de prueba φ será igual al potencial dado de los conductores cuando x,y,z es un punto sobre la superficie de un conductor. Si tenemos dos conductores a ciertos potenciales, estos se ajustarán de manera que U * sea mínimo.
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Supongamos que tenemos dos conductores en forma de condensador cilíndrico. El conductor interior tiene radio a y potencial V. El exterior tiene radio b y potencial cero. Si utilizamos la φ correcta y calculamos U * , nos debe dar la energía del sistema con una capacidad C correcta. Pero si el φ falso se aproxima al valor correcto entonces al calcular la capacidad C obtendremos una buena aproximación ya que su error será solamente en segundo orden. Si no conozco la capacidad se pueden utilizar estas aproximaciones para encontrarla, lo que debemos obtener es el menor valor de C. Si en el ejemplo del cilindro tenemos un potencial correspondiente a un campo constante, las condiciones a satisfacer son que la función vale V en t = a, cero en r = b. Al calcular U * e igualándola con la energía del sistema, al despejar C tendremos una fórmula aproximada. Si la comparamos con la C verdadera notaremos una buena aproximación. Si consideramos un alambre delgado en el interior de un cilindro, el campo no será constante, pero si tomamos b/a muy pequeño el campo constante sí podrá ser una buena aproximación. Para obtener una mejor aproximación podemos empezar por calcular C, su menor valor es el que más se aproxima al verdadero. Supongamos que el potencial es cuadrático en r, entonces el campo eléctrico será lineal. Esta forma cuadrática debe cumplir que φ sea igual a cero en r = b y que φ sea igual a V en r = a. Además introducimos una constante α, entonces, al obtener el campo E lo elevamos al cuadrado e integramos sobre el volumen, además debemos darle a α valores arbitrarios hasta que tengamos el valor mínimo de C.
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Energía Potencial De Un Sistema De Partículas. [Supongamos ahora que las fuerzas internas son conservativas, y que por tanto existe una función E p,12 dependiente de las coordenadas de m1 y m2 tal que
(9.31) donde E p,12 se refiere al instante t y E p,12,0 al instante t 0. Llamaremos a E p,12 la energía potencial interna del sistema. Si las fuerzas interiores actúan a lo largo de la línea r 12 que unen las dos partículas, entonces la energía potencial interna depende solamente de la distancia r 12, ... En este caso la energía potencial interna es independiente del sistema de referencia ya que contiene sólo la distancia entre las dos partículas, situación que representa razonablemente bien la mayoría de las interacciones que se encuentran en la naturaleza. Sustituyendo la ec. (9.31) en la ec. (9.30), obtenemos (E k + E p,12) - (E k + E p,12)0 = W ext
(9.32)
La cantidad
(9.33) será llamada la energía propia del sistema. Esta es igual a la suma de las energías cinéticas de las partículas relativas a un observador inercial y su energía potencial interna, la cual, como lo mostramos antes, es (bajo nuestra suposición) independiente del sistema de referencia. Si en vez de dos partículas tenemos varias, la energía propia es
(9.34)
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Sustituyendo la definición (9.33) de la energía propia en la ec. (9.32), obtenemos U - U 0 = W ext
(9.35)
lo que establece que el cambio de la energía propia de un sistema de partículas es igual al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas externas. Este importante enunciado se llama la ley de conservación de la energía. Hasta ahora la ley ha aparecido como una consecuencia del principio de conservación del momentum y la suposición de que las fuerzas interiores son conservativas. Sin embargo, esta ley parece ser verdadera en todos los procesos que observamos en el universo, y por tanto se le concede validez general, más allá de las suposiciones especiales bajo las cuales la hemos derivado. La ec. (9.8) expresa la interacción del sistema con el mundo exterior por medio de su cambio de momentum. La ec. (9.35) expresa la misma interacción por medio del cambio de energía del sistema. Consideremos ahora un sistema aislado en el cual W ext = 0, ya que no hay fuerzas exteriores. Entonces U - U 0 = 0 o sea U = U 0. Esto es, la energía propia de un sistema aislado de partículas permanece constante, bajo la suposición de que las fuerzas internas son conservativas. Si la energía cinética de un sistema aislado aumenta, su energía potencial interna debe disminuir en la misma cantidad de manera que la suma permanezca igual... El principio de conservación del momentum, junto con las leyes de la conservación de la energía y del momentum angular, son reglas fundamentales que según parece gobiernan todos los procesos que pueden ocurrir en la naturaleza.
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Puede suceder que las fuerzas externas actuantes sobre un sistema sean también conservativas de modo que W ext se puede escribir como W ext = E p,ext,0 - E p,ext, donde E p,ext,0 y E p,ext son los valores de la energía potencial asociada con las fuerzas externas en los estados inicial y final. Entonces la ec. (9.35) se transforma en U = U 0 = E p,ext,0 - E p,ext
La cantidad E = U + E p,ext = E k + E p,int + E p,ext
(9.36)
se llama la energía total del sistema. Permanece constante durante el movimiento del sistema bajo fuerzas conservativas internas y externas. Este resultado es similar a la ec. (8.29) para una sola partícula... Dado que la energía cinética depende de la velocidad, el valor de la energía cinética depende del sistema de referencia usado para discutir el movimiento del sistema. Llamaremos energía cinética interna E k ,CM a la energía cinética referida al centro de masa. La energía potencial interna que depende únicamente de la distancia entre las partículas, tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia (como se explicó antes) y, por tanto, definiremos la energía interna del sistema como la suma de las energías cinética y potencial internas. U int = E k, CM
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Tratamiento De Las Fuerzas Conservativas En Sus Tres Dimensiones. Se dice que una partícula esta en movimiento cuando cambia su posición sucesivamente en un sistema de referencia, considerándose fijo o moviéndose a velocidad constante. El movimiento puede ser absoluto o relativo llevándose a cabo en una, dos o tres dimensiones. 1 – DIM, 2 – DIM y 3 – DIM. Muchos de los objetos (partículas) que estudian en física, desde los átomos hasta las galaxias, se encuentran en movimiento. Ejemplos: 1.- El viento 2.- Las olas 3.- Las aves que vuelan 4.- Los animales que corren 5.- Las hojas que caen 6.- La tierra y los planetas que se mueven alrededor del sol o de la galaxia 7.- Los electrones se mueven en el interior del átomo, dando lugar a la absorción y a la emisión de la luz, o se mueven en el interior de un metal, produciendo una corriente eléctrica 8.- Las moléculas de gas se mueven, dando lugar a la presión. 9.- Lanzamiento de cohetes espaciales 10.- Rayos X, microondas Temblores, mareas, estructura interna de la tierra y externa. Lo que el Físico y el ingeniero hacen esencialmente, es ordenar las cosas de tal manera que, bajo la interacción mutua de las partículas se produce una cierta clase de movimiento.
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Propiedades del movimiento. 1.- Ordenado al azar 2.- Continuo o intermitente y prosigue o se repite 3.- Mezcla confusa de todo ello
Clasificación general del movimiento El movimiento de una partícula se clasifica de acuerdo con la forma de la trayectoria que sigue y con la manera que la partícula cambie de velocidad. Trayectoria: es el recorrido que sigue una partícula para unir dos puntos, pueden ser rectilíneos o curva 1.- Movimiento de traslación 2.- Movimiento rotatorio 3.- Movimiento vibratorio La descripción de movimiento de una partícula son: 1.- Ecuación del movimiento matemático 2.- Graficas
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