FUERZA MAGNETICA Y CAMPO MAGNETICO

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Toribio Córdova C.

CAPITULO VIII Campo magnético y fuerza magnética

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8.1 Polos magnéticos y líneas de campo La ciencia del magnetismo nació de la observación de que ciertas piedras (Magnetita Fe3O4) atraían pedazos de hierro. A estas piedras se les denominaron imanes naturales (véase la figura 8.1a). Uno de los imanes naturales más importante es la tierra (véase la figura 8.1b), cuya acción orientadora sobre la brújula ha permitido diferenciar el polo norte verdadero del norte geográfico y determinar los denominados polos magnéticos de un imán.

(a) Figura 8.1.

(b)

(a) Imán natural en forma de barra, (b) Imán terrestre con sus polos norte y sur

A partir de una experimentación cualitativa se puede establecer que:      

Una barra imanada presenta dos polos. Estas son regiones cercanas a los extremos del imán donde aparentemente se concentra la actividad magnética. Entre dos polos magnéticos existe siempre o una atracción o una repulsión Sólo existen dos clases de polos magnéticos denominados polo norte(N) y polo sur(S). En ausencia de otros imanes en su vecindad, una brújula se orienta por sí misma en la dirección norte - sur. El polo que apunta hacia el norte geográfico se le denomina polo norte y el que apunta hacia el sur geográfico se le denomina polo sur del imán. La fuerza de interacción entre dos polos magnéticos presenta la dependencia del inverso al cuadrado de la distancia que los separa. Dos polos de diferente nominación experimentan una interacción atractiva como se muestra en las figuras 8.2a y 8.2b y dos polos de la misma nominación experimentan una interacción repulsiva como se muestra en la figura 8.2c y 8.2d.

Figura 8.2.

(a) y (b) Interacción atractiva entre dos polos de diferente nominación; (c) y (d) interacción repulsiva entre polos de igual nominación

Debe señalarse que cuando una brújula se coloca en una región cerca de un alambre que no transporta corriente eléctrica, la brújula no experimenta una orientación respecto al alambre (figura 8.3a). Sin embargo, si por alambre circula una corriente hacia arriba (figura 8.3b) o hacia abajo (figura 8.3c), la brújula experimenta una orientación. Esta situación indica que el origen del campo magnético son las corrientes eléctricas.

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(a) Figura 8.3.

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(b)

(c)

(a) la brújula en la cercanía a un conductor por el que no fluye corriente no experimenta orientación, (b) la brújula en la cercanía de un conductor que transporta corriente hacia arriba experimenta una orientación, (c) si la corriente fluye hacia abajo la brújula se orienta en dirección opuesta

En la práctica resulta imposible aislar a un sólo polo magnético, es decir si se divide a un imán en dos partes iguales como se muestra en la figura 8.4, lejos de obtener un sólo polo se obtiene dos imanes con sus propios polos magnéticos norte y sur y si nuevamente dividimos a estos imanes en dos partes se obtiene cuatro imanes. Por lo tanto, se dice que el campo magnético es de origen dipolar.

Figura 8.4.

El campo magnético es de origen dipolar es decir si se divide a un imán en n partes se obtiene n imanes.

Para trazar un campo magnético se utilizan las brújulas, siendo la dirección del campo magnético la que apunta la aguja de este instrumento cuando se coloca cerca de un imán (véase la figura 8.5a. El vector campo magnético (B) conocido también con el nombre de Inducción Magnética, se le puede representar por líneas de campo como se muestra en la figura 8.5b.

(a) Figura 8.5.

(b)

Trazado de las líneas de campo magnético para un imán en forma de barra usando una brújula, (b) el campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético

El ampo magnético se encuentra relacionado con las líneas de fuerza de la siguiente manera: a) El campo magnético siempre es tangente a una línea de campo magnético.

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b) Las líneas de campo magnético se dibujan de tal manera que el número de líneas por unidad de área de sección transversal sea proporcional a la magnitud del campo magnético. c) Las líneas de campo magnético son cerradas y terminan en el interior del imán. d) Las líneas de inducción se dibujan saliendo del polo norte y entrando en el polo sur. En la Figura 8.6a, 8.6b y 8.6c, se muestran la forma como se dibujan las líneas de campo magnético.

Figura 8.6.

(a) Líneas de fuerza para un imán en forma de barra, (b) líneas de campo magnético para una bobina que transporta una corriente I, y (c) un imán en forma de herradura produce un campo magnético uniforme

8.2. Fuerza magnética y campo magnético. Experimentalmente se demuestra que cuando una partícula cargada q, se mueve con una velocidad 𝑣⃗, en el espacio �⃗, experimenta una fuerza de origen magnético 𝐹⃗𝑚 como se muestra en la en donde existe un campo magnético 𝐵 figura 8.7a. La fuerza magnética tiene las siguientes características. �⃗, a) La fuerza magnética sobre una partícula cargada es siempre perpendicular tanto al vector campo magnético 𝐵 así como al vector velocidad 𝑣⃗, de la partícula. �⃗, a la magnitud de la b) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional a la magnitud de 𝐵 velocidad de la partícula 𝑣⃗ y a la carga q que lleva la partícula. c) La magnitud de la fuerza magnética es directamente proporcional al seno del ángulo entre el vector velocidad �⃗. 𝑣⃗ de la carga y al vector campo magnético 𝐵 d) La fuerza magnética depende del signo de la carga puntual móvil. Todas estas características se resumen en la ecuación matemática

   FB = λ (qvxB )

(8.1)

Donde λ es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades elegidas. En el sistema internacional de unidades λ es igual a la unidad. Por lo tanto la ecuación anterior se escribe:

   FB = qvxB

(8.2)

La magnitud de la fuerza magnética se expresa

FB = qvBsenθ

(8.3)

La dirección se determina usando la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.7c. En la figura 8.7a, se observa que si la carga q se mueve dentro de un campo magnético producido por un imán experimenta una fuerza magnética y en la figura 8.7b se observa que si q se mueve con una velocidad 𝑣⃗ que está �⃗, la fuerza magnética 𝐹⃗𝐵 siempre es perpendicular al plano formando un ángulo θ con el camp o magn ético 𝐵 �⃗, entonces dicha fuerza siempre será todo el tiempo una fuerza lateral. formado por 𝑣⃗ y 𝐵

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(a)

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(b)

(c)

Figura 8.7. (a) Gráfica que ilustra el trazo de la fuerza magnética, (b) Aplicación de la regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética

Por otro lado la ecuación (3) también indica que:   

La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es cero. La fuerza magnética se anula cuando la velocidad de la partícula cargada es paralela al campo magnético (figura 8.8a) La fuerza magnética sobre la partícula cargada tiene su valor máximo cuando la velocidad y el campo magnético son perpendiculares esto es θ = 90º como se muestra en la figura 8.8c. Este valor está dado por: Fmax = qvB

(8.4)

La unidad del campo magnético en el sistema internacional de unidades es B: 1Tesla = N.s/C.m = N/A.m = 1 Weber/m2 Las unidades del campo magnético en el sistema c.g.s. el denominado Gauss. 1 Tesla = 104 Gauss. Si la partícula se mueve en una región en donde existe un campo eléctrico y un campo magnético, la fuerza resultante sobre la partícula cargada se expresa en la forma

    F= qE + qvxB R

(8.5)

A la ecuación anterior se le denomina como Fuerza de Lorentz.

(a) Figura 8.8

(b)

(c)

(a) la fuerza magnética es nula cuando la carga se mueve paralelamente al campo magnético, (b) la fuerza magnética es perpendicular al plano de la velocidad y el campo magnético y (c) la fuerza magnética es máxima cuando la velocidad y el campo magnético son perpendiculares.

Debe observarse además que la fuerza magnética al ser perpendicular a la velocidad de la partícula cargada y al campo magnético, no produce cambio alguno en la velocidad y como tal la energía cinética se mantiene constantes.

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En otras palabras, la fuerza magnética no puede mover hacia arriba o hacia abajo a la carga. Consecuentemente, la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula.

        = dW F= q (vxB).(= vdt ) q (vxv ).= Bdt 0 m .ds

(8.6)

Sin embargo, la dirección de la velocidad de la partícula puede ser alterada por la fuerza magnética, como veremos posteriormente

8.3 Flujo magnético Se define al flujo magnéticoΦ B a través de una superficie dada S como la integral de la componente del campo �⃗ perpendicular a la superficie, sobre el área dada. magnético 𝐵

Para determinar el valor de ΦB consideremos una superficie arbitraria S tal como se muestra en la figura 8.9, y �⃗ no es constante ni en magnitud ni en dividámoslo a ella en elementos dA. Por lo general el campo magnético 𝐵 �⃗ determina el valor local del campo magnético en el dirección sobre la superficie, sino que el campo magnético 𝐵 punto P.

Figura 8.9. Flujo magnético a través de una superficie. �⃗ normal a dA en ese punto, es simplemente la componente del campo magnético en la La componente de 𝐵 dirección del vector unitario normal 𝑛�⃗ a la superficie, esto es

 = Bn B= cos φ B.n

(8.7)

El elemento de flujo dΦB a través del área dA será

 dΦ = BB dA = B.ndA B

(8.8)

Para calcular el flujo total ΦB que atraviesa toda la superficie S se procede a integrar la ecuación (8),

= ΦB

  B .dA ∫ = S

 B ∫ .ndA

(8.9)

S

Si el campo magnético ��⃗ 𝑩 es constante en magnitud y dirección en todos los puntos de la superficie y si ésta es  plana, la cantidad B.n también será la misma para todos los elementos dA. Por lo tanto, la ecuación (8) se escribe

 = Φ B B.n= ∫ dA BA cos φ

(8.10)

S

Donde A es el área total de la superficie. Si además el campo magnético es perpendicular al superficie θ = 0º, la expresión anterior se reduce a (8.11) ΦB = BA Las unidades del flujo magnético en el sistema internacional de unidades es Weber. 8.4 La ley de Gauss para el magnetismo.

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Si se tiene un imán en forma de barra de longitud muy grande, la fuerza magnética entre los polos obedece a la ley de Coulomb, en el sentido de que son inversamente proporcionales al inverso al cuadrado de la distancia entre los mismos. Como las “cargas magnéticas” se pueden considerar como la fuente de los campos magnéticos los mismos que decrecen con la inversa del cuadrado de la distancia, se puede demostrar temporalmente la ley de Gauss para el magnetismo, imaginando que B se origina en una “carga magnética” aislada. En forma análoga a lo que se hizo con la ley de Gauss para el campo eléctrico 

∫ B.ndA = 4πKq

(8.12)

m

S

La integral se evalúa sobre toda la superficie y la carga magnética qm es la carga magnética total encerrada dentro de la superficie gaussiana. La constante K relaciona a B con la supuesta “carga magnética” qm y la distancia, es decir   q  B = K  m2 e r r 

(8.13)

Puesto que la única causa que origina a los campos magnéticos es las corrientes eléctrica y además los campos magnéticos son de origen dipolar, la “carga magnética” realmente no existe, es decir equivale a un valor cero para qm. Entonces la ley de Gauss para el magnetismo se escribe 

∫ B.ndA = 0

(8.14)

S

Geométricamente se puede entender observando que las líneas de campo magnético comienzan en el polo norte (N) y terminan en el polo sur (S) es decir forman líneas cerradas, entonces la ecuación (8.14) se satisface en la medida de que todas las líneas de campo que entran en la superficie S también salen de la superficie, es decir ninguna línea puede comenzar o terminar dentro de la superficie.

8.5. Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica. Debido a que la corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento, ellas estarán sometidas a una fuerza �⃗ como se muestra en la Figura 8.10. Dicha fuerza es proporcional a lateral, si sobre ella actúa un campo magnético 𝐵 la intensidad de corriente I, a la inducción magnética B y es perpendicular a ambas cantidades. La dirección de la fuerza magnética se determina mediante la regla de la mano derecha aplicada como se muestra en la figura 8.10b. En la figura 8.10c, se muestra un experimento que muestra el efecto del campo magnético sobre un corriente

(a) Figura 8.10.

(b)

(c)

(a). Cuando un alambre que transporta una corriente I se encuentra en un campo magnético, experimenta una fuerza magnética, (b) regla de la mano derecha para determinar la dirección de la fuerza magnética y (c) experimento en el laboratorio que muestra la fuerza magnética sobre corrientes

Consideremos un alambre recto suspendido en la región entre dos polos magnéticos de un imán como se muestra en la figura 8.11a. El campo magnético se encuentra ingresando al plano de la página y se representa mediante aspas

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(x). Podemos demostrar rápidamente que cuando no pasa corriente a través del alambre (figura 8.11b) el alambre se mantiene recto. Sin embargo, si a través del alambre fluye una corriente de abajo hacia arriba (figura 8.11c) el alambre sufre una deflexión hacia la izquierda, mientras que si por el alambre fluye una corriente de arriba hacia abajo el alambre experimenta una deflexión hacia la derechas como se muestra en la figura 8.11d.

(a) Figura 8.11.

(b)

(c)

(d)

Deflexión experimentada por un alambre que transporta corriente

�⃗, la intensidad de corriente I y la Para determinar una expresión matemática que relacione el campo magnético 𝐵 ⃗ fuerza magnética 𝐹𝐵 , consideremos un conductor recto de sección transversal A y longitud l que transporta una corriente eléctrica constante I, tal como se muestra en la Figura 8.12a. El campo magnético se encuentra entrando a la página.

(a) Figura 8.12.

(b)

(a) Fuerza magnética sobre un conductor recto; (b) fuerza magnética sobre un elemento corriente

diferencial de

La carga se mueve con una velocidad de deriva promedio 𝑣⃗𝑑 . Debido a que la cantidad de carga total en este segmento es 𝑄𝑡 = 𝑞(𝑛𝐴𝑙), donde n es el número de cargas por unidad de volumen, la fuerza magnética total sobre el segmento es

       = Fm Q= q (nAl )( = vd xB ) nqAvd lxB tot vd xB    Fm = I (lxB )

Donde: 𝐼 = 𝑛𝑞𝐴𝑣𝑑 y 𝑙⃗ es un vector dirigido a lo largo de la dirección de la corriente eléctrica

(8.15)

Para determinar la fuerza magnética sobre un alambre de forma arbitraria, se divide al conductor en elementos diferenciales de longitud 𝑑𝑙⃗, sección transversal A que transporta una corriente tal como se muestra en la figura

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8.12b, y se evalúa la fuerza sobre dicho elemento La carga dentro del conductor se mueve con una velocidad v y en el tiempo dt atraviesa un volumen dV dado por dV = Adl

(8.16)

El desplazamiento de la carga es 𝑑𝑙⃗ , el cual apunta en la dirección de la corriente en tal punto, con esto la velocidad se expresa   dl (8.17) v= dt El elemento de fuerza 𝑑𝐹⃗, sobre la carga dq será

   dF = dq (v xB )

(8.18)

Remplazando la ecuación (8.17), en la ecuación (8.18), se tiene    dl   dF = dq xB   dt 

(8.19)

Siendo ρ la densidad de carga por unidad de volumen, la carga dq se escribe en la forma dq = ρdV = ρAdl

(8.20)

Por lo tanto, la fuerza magnética sobre el elemento será    dl   dl   dF = ρAdl  xB  = ρA (dl xB ) dt  dt 

(8.21)

Pero (dl/dt) es la magnitud de la velocidad, entonces la ecuación anterior se escribe    dF = ρAv(dl xB )

(8.22)

Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente se define como I = JA = ρvA

(8.23)

   dF = I (dl xB )

(8.24)

La ecuación (8.20) se escribe

La ecuación (8.24), nos permite determinar el elemento de fuerza 𝑑𝐹⃗, que actúa sobre la carga dq dentro de un segmento de conductor de longitud 𝑑𝑙⃗. La fuerza resultante sobre un segmento de conductor de longitud finita, se obtiene integrando la ecuación (24) sobre todos los elementos del conductor  F=

 



∫ I (dl xB ) = I ∫ (dl xB )

(8.25)

En donde se ha sacado la intensidad de corriente I, fuera de la integral ya que se trata de una corriente eléctrica continua. Para un circuito cerrado la integral se calcula alrededor de la trayectoria formada por el conductor, esto es

   ( ) F = I dlxB ∫

(8.26)

C

Existen en la práctica dos casos que merecen nuestra especial atención: �⃗ es de magnitud y dirección constante y el alambre es finito, entonces la expresión (8.26), a) El campo magnético 𝐵 se escribe (véase figura 8.13a)

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B       F =  I dl  xB = I (l AB xB )  A 

∫

(8.27)

b) El campo magnético es de magnitud y dirección constante y la trayectoria es un circuito cerrado, entonces se tiene (véase figura 8.13b)

[∫ ]

   F = I dl xB = 0

(8.28)

En esta ecuación, la integral se anula ya que la suma vectorial de todos los elementos de longitud 𝑑𝑙⃗, es igual a cero porque ellos forman un polígono cerrado.

(a) Figura 8.13.

(b)

(a) Fuerza magnética sobre un alambre curvo que lleva una intensidad de corriente I y se encuentra dentro de un campo magnético uniforme, (b) Fuerza magnética sobre un conductor cerrado que lleva una corriente I y se encuentra en un campo magnético uniforme

Una de las aplicaciones de las fuerza sobre corrientes se da en los altavoces (véase la figura 8.14). El campo magnético radial creado por el imán permanente ejerce una fuerza sobre la bobina de voz la cual es proporcional a la intensidad de corriente en la bobina, la dirección de la fuerza puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda según el sentido de la corriente. La señal proveniente del amplificador hace oscilar la corriente en términos de sentido y magnitud. La bobina y el altavoz al que está acoplada responden oscilando con una amplitud proporcional a la amplitud de la corriente en la bobina.

Figura 8.14.

Componentes de un altavoz. El campo magnético radial ejerce una fuerza sobre la corriente de la bobina de voz en la dirección mostrada. Cuando la corriente oscila en la bobina de voz, el cono acoplado a la bobina oscila a la misma frecuencia.

8.6. Momento o Torque sobre una espira que lleva una corriente eléctrica.

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Cuando un alambre por el que circula una corriente eléctrica I se sitúa en el interior de un campo magnético �⃗, se ejercen fuerzas sobre cada trozo de alambre. Si el conductor tiene la forma de una espira cerrada, no uniforme 𝐵 existe ninguna fuerza neta sobre ella debido a que las distintas fuerzas ejercidas sobre la espira se suman vectorialmente dando una resultante nula. Sin embargo, en general las fuerzas magnéticas producen un par o momento sobre la espira que tiende a hacer girar a la espira como se muestra en la figura 8.15a, de modo que su �⃗ como se muestra en la figura 8.15b. superficie resulte perpendicular a la inducción magnética 𝐵 Para mostrar esta situación consideremos una espira rectangular de lados a y b por la que circula una corriente constante I como se muestra en la Figura 8.15c. La espira se encuentra en una región en donde existe un campo magnético uniforme paralelo al plano de la espira.

(a) Figura 8.15.

(b)

(c)

(a) Espira de corriente en el interior de un campo magnético, (b) espira con el área perpendicular al campo magnético y (c) Fuerza y Momento (torque) magnético sobre una espira de corriente

Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira serán: Fuerza sobre AB

    = F1 I (l AB j ) xBj= ⇒ F1 0

(8.29)

Fuerza sobre el alambre BC

     F2 = I (lBC k ) xBj ⇒ F2 = − IaBi

(8.30)

    F3 =I (−lCD j ) xBj ⇒ F3 =0

(8.31)

     F4 =− I ( lDA k ) xBj ⇒ F4 = + IaBi

(8.32)

Fuerza sobre el conductor CD

Fuerza sobre el conductor DA

Analizando las ecuaciones (8.29), (8.30), (8.31) y (8.32), se observa que las fuerzas sobre los lados AB y CD son nulas y que las fuerzas sobre los lados BC y CD son iguales en magnitud pero sentido opuesto formando estas dos fuerzas una cupla o par de fuerzas. La fuerza neta sobre la espira sigue siendo nula pero el momento respecto a cualquier punto es diferente de cero. El momento de la fuerza F2 respecto del punto O, es       b  M 2 = r2 xF2 =  j  x(− IaBi ) = 12 IB(ab )k 2 

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(8.33)

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El momento de la fuerza F4 respecto del punto O, es       b  M 4 = r4 xF4 =  − j  x(IaBi ) = 12 IB(ab )k  2 

(8.34)

El momento total con respecto al punto O debido a todas las fuerzas será

     MT = M1 + M 2 + M 3 + M 4    M T = 0 + 12 IB(ab)k + 0 + 12 IB(ab)k   M T = IB(ab)k

(8.35)

Pero el producto (ab) es igual al área de la espira A, entonces el momento se expresa   M T = IBAk

(8.36)

El momento resulta igual al producto de la corriente eléctrica I, por el área A de la espira por el campo magnético B. Este momento tiende a hacer girar a la espira alrededor del eje Z. Considere ahora un circuito rectangular que transporta una corriente I colocado de tal forma que el vector unitario �⃗, y los lados de la espira son normal 𝑛�⃗ al plano de la espira forme un ángulo θ con el campo magn ético 𝐵 perpendiculares al campo magnético, como se muestra en la figura 8.16.

(a) Figura 8.16.

(b)

(a) Fuerzas sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme. La fuerza resultante es cero pero la magnitud del momento (torque) es diferente de cero, (b) el momento de torsión es máximo cuando la normal a la espira es perpendicular al campo magnético

Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira son: Fuerza sobre el conductor AB     F1 = I (−l AB i ) x(− Bsenθi + B cos θj )   F1 = −bIB cos θk

(8.37)

    F3 = I (l CD i ) x(− Bsenθi + B cos θj )   F3 = +bIB cos θk

(8.38)

Fuerza sobre el conductor CD

Fuerza sobre el conductor BC

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    F2 = I (l BC k ) x(− Bsenθi + B cos θj )    F2 = −aIB(cos θi + senθj )

(8.39)

    F4 = I (−l DA k ) x(− Bsenθi + B cos θj )    F4 = + aIB(cos θi + senθj )

(8.40)

Fuerza sobre el conductor DA

Las ecuaciones (35), (36), (37) y (38), muestran una vez más que la fuerza neta sobre la espira es cero, veamos ahora que sucede con los momentos respecto al punto O. Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O      M 1 = r1 xF1 = (− 12 ak )x(− bIB cos θk )  M1 = 0

(8.41)

Momento de la fuerza F3 con respecto al punto O      M 3 = r3 xF3 = ( 12 ak )x(− bIB cos θk )  M3 = 0

(8.42)

Momento de la fuerza F2 con respecto al punto O

      M 2 == r2 xF2 ( − 12 bi ) x  − aIB ( cos θ i + senθ j )    M 2 = 12 ( ab ) IBsenθ k

(8.43)

Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O

   = M 4 r4= xF4

   bi ) x  aIB ( cos θ i + senθ j )    M 4 = 12 ( ab ) IBsenθ k

(8.44)

     M T = M1 + M 2 + M 3 + M 4    M T = 0 + 12 IB(ab) senθ k + 0 + 12 IB(ab) senθ k   M T = IBAsenθ k

(8.45)

(

1 2

El momento total respecto al punto O será:

La magnitud del momento será

M T = IBAsenθ

(8.46)

Si en lugar de una sola espira se tiene N espiras del mismo tamaño. El momento sobre toda la espira será M = (NIA)Bsenθ

(8.47)

Se define al momento dipolar magnético 𝜇⃗ como una cantidad vectorial perpendicular al plano del circuito y está expresado mediante la ecuación





µ = NIAn

Entonces la ecuación (41) se escribe

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(8.48)

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M = µ Bsenθ

(8.49)

   M = µ xB

(8.50)

Ecuación que en forma vectorial se escribe

Esta ecuación es similar a aquella obtenida para el momento producido por un campo eléctrico 𝐸�⃗ , externo sobre un







dipolo eléctrico M = µ E xE . Es necesario señalar que el sentido del momento dipolar magnético 𝜇⃗ es el de avance del tornillo de rosca derecha que gira en el mismo sentido que el de la corriente eléctrica. Es decir el sentido también se puede determinar mediante el uso de la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.17. Las unidades del momento dipolar magnético son el amperio por metro2 (A.m2)

Figura 8.17.

Regla de la mano derecha para determinar el momento dipolar magnético de una espira circular que transporta una corriente en sentido antihorario.

Debido a que, cuando una espira que transporta corriente se encuentra dentro de un campo magnético externo, obra un momento de torsión, deducimos que debe hacerse trabajo positivo o negativo mediante un agente externo para cambiar la orientación de la espira. Es decir, una espira de corriente o cualquier dipolo magnético tienen una energía potencial asociada con su orientación en el campo magnético. El trabajo hecho por el agente externo para rotar el dipolo magnético desde un ángulo θ 0 a un ángulo θ está dado por θ

θ

θ0

θ0

Wext =U − U 0 =∫ Mdθ =∫ µ Bsenθ dθ =µ B (cos θ 0 − cos θ )

(8.51)

Puesto que Wext = - W, donde W es el trabajo hecho por el campo magnético. Se puede determinar la energía para una rotación cualquiera giro asumiendo que U0 = 0 cuando el momento dipolar magnético y el campo magnético son perpendiculares. Entonces la energía potencial en cualquier posición será

  U= − µ B cos θ = − µ .B

(8.52)

�⃗, siendo U un La configuración es de equilibrio estable cuando 𝑝⃗𝑚 se encuentra alineado paralelamente con 𝐵 �⃗ mínimo con 𝑈𝑚𝑖𝑛 = −𝜇𝐵. Por otro lado, cuando 𝜇⃗ y 𝐵 son anti-paralelos la energía potencial es un máximo 𝑈𝑚𝑎𝑥 = +𝜇𝐵, en estas condiciones el sistema es inestable. 8.7. Fuerza magnética sobre un dipolo magnético. En la sección anterior se ha demostrado que, la fuerza que experimenta una espira de corriente (dipolo magnético) localizada en un campo magnético uniforme es nula. ¿Qué sucedería si el dipolo magnético se encuentra en un campo magnético no uniforme?. En este caso debemos esperar que la fuerza magnética neta sobre el dipolo sea diferente de cero. Para ilustrar esta situación consideremos un pequeño dipolo cuyo momento dipolar 𝑝⃗𝑚 = 𝜇⃗ es localizado a lo largo del eje de un imán en forma de barra, como se muestra en la figura 8.18,

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El dipolo experimenta una fuerza atractiva ejercida por el imán cuando el campo magnético en el espacio no es uniforme. Así, puede aplicarse una fuerza externa para mover el dipolo hacia la derecha. La fuera 𝐹𝑒𝑥 ejercida por un agente externo para mover al dipolo una distancia ∆𝑥 hacia la derecha está dada por

Fex (∆x) = ∆U = − µ B( x + ∆x) + µ B( x) = − µ[ B( x + ∆x) − B( x)]

Figura 8.18.

(8.53)

Un dipolo magnético en la cercanía de un imán en forma de barra

Para desplazamientos ∆𝑥 pequeños, la fuerza puede expresarse en la forma

[ B ( x + ∆x) − B ( x)] d B Fex = −µ = −µ dx ∆x

(8.54)

𝑑𝐵

La cual es una cantidad positiva ya que < 0, es decir el campo magnético disminuye con un aumento de la 𝑑𝑥 distancia x. esta es precisamente la fuerza necesaria para mover el dipolo en contra de la atracción magnética ejercida por la barra.- En forma general la fuerza magnética se expresa en la forma

dB d   Fm µ= ( µ .B ) = dx dx

(8.55)

Utilizando la definición de gradiente la expresión anterior se escribe

  Fm = ∇( µ .B)

(8.56)

8.8. Movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético. Una característica importante de la fuerza magnética que actúa sobre una carga en movimiento en el interior de un campo magnético es que dicha fuerza es siempre perpendicular a la velocidad de la partícula. Por consiguiente la fuerza magnética no realiza trabajo sobre la partícula y la energía cinética de ésta no sufre alteración por acción de dicha fuerza, lo único que hace la fuerza magnética es modificar la dirección de la velocidad y no su magnitud, En el caso en el cual la velocidad de la carga sea perpendicular al campo magnético considerado uniforme, como se muestra en la figura 8.19, la fuerza magnética nos da la fuerza centrípeta responsable del movimiento circular. �⃗, la velocidad 𝑣⃗, el radio del círculo r, se aplica la segunda Para encontrar una relación entre el campo magnético 𝐵 ley de Newton en dirección normal, esto es:

∑ Fn = ma n Fm = qvB =

mv 2 r

De donde se obtiene el radio de la órbita descrita por la partícula cargada

r=

mv qB 358

(8.57)

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Toribio Córdova C.

De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por

v r

ω= =

v q ⇒ω = B (mv / qB ) m

(8.58)

Esta ecuación nos indica que la velocidad angular con que gira la partícula es independiente de la velocidad v y sólo depende de la carga q, de la masa m y del campo magnético B. La expresión vectorial de la velocidad angular está dad por

q



ω = −  B m

(8.59)

El signo menos indica que la velocidad angular tiene un sentido opuesto a la dirección del campo de inducción magnético.

(a) Figura 8.19.

(b)

(c)

(a) Movimiento de una partícula cargada dentro de un campo magnético uniforme. (b) Haz de electrones moviéndose en una trayectoria circular dentro de un campo magnético

Por otro lado, si la dirección de la velocidad inicial no es perpendicular al campo magnético, la componente de la velocidad paralela al campo es constante pero no existe ninguna fuerza paralela al campo. En estas condiciones la carga se mueve describiendo una hélice (véase la figura 8.20a), cuyo radio de hélice está dado por la ecuación (56), �⃗. donde 𝑣⃗ es ahora la componente perpendicular al campo 𝐵

Figura 8.20.

(a) Movimiento de una carga puntual que inicialmente tiene componente perpendicular y paralela al campo magnético, (b) Movimiento de una partícula cargada en el interior de la botella magnética

El movimiento de una partícula cargada en el interior de un campo magnético no uniforme es aún más complejo. La figura 8.20b, muestra el campo producido por dos bobinas separadas cierta distancia. Si una partícula entra en esta región experimentará fuerzas hacia el centro en las regiones cercanas a las bobinas y si esta tiene energía cinética suficiente circulará de un lado a otro en el campo producido por las bobinas. Este campo se denomina botella magnética.

359

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Toribio Córdova C.

En forma análoga el campo magnético terrestre no uniforme atrapa a las partículas cargadas provenientes del sol en regiones en forma de rosquillas que circundan a la tierra, como se muestra en la figura 8.21. Estas regiones se denominan cinturones de radiación Van Allen

(a) Figura 8.21.

(b)

(a) Cinturones de radiación Van Allen alrededor de la tierra. (b) auroras boreales originadas por el movimiento de las partículas cargadas dentro del campo magnético.

8.9 El motor de corriente continua. Un motor eléctrico es aquel dispositivo que trabaja o se alimenta de corriente contínua. Está formado generalmente por las siguientes partes.

8.9.1.

Partes principales  Un inductor o estator. Es un electroimán formado por un número par de polos. Las bobinas que las arrollan son las encargadas de producir el campo inductor al circular por ellas la corriente de excitación.  Inducido o rotor (arrollamiento de inducido). Es una pieza giratoria formada por un núcleo magnético alrededor del cual va el devanado de inducido sobre el que actúa el campo magnético.  Colector de delgas: Es un anillo de láminas de cobre llamadas delgas, dispuesto sobre el eje del rotor que sirve para conectar las bobinas del inducido con el circuito exterior a través de las escobillas.  Escobillas. Son unas piezas de grafito que se colocan sobre el colector de delgas, permitiendo la unión eléctrica de las delgas con los bornes de conexión del inducido. Al girar el rotor, las escobillas van rozando con las delgas, conectando la bobina del inducido correspondiente a cada par de delgas con el circuito exterior. El motor y su estructura básica se muestra en la figura 8.22.

8.9.2.

Funcionamiento. El motor de CC basa su funcionamiento en la fuerza ejercida por el campo magnético de un imán sobre un elemento en forma de espira la cual transporta una corriente. Se obtendrá el valor máximo de fuerza cuando el campo magnético sea perpendicular al conductor y tendrá una fuerza nula cuando el campo sea ��⃗ que se origina es 𝑀 ��⃗ = 𝜇⃗𝑥𝐵 �⃗. En la figura 8.23, cada paralelo al flujo de corriente eléctrica. El par torsor 𝑀 uno de los segmentos del conmutador hace contacto con uno de los bornes, o escobillas de un circuito externo que incluye una fuente de fem. Esto hace que entre la corriente por uno de los lados del rotor y salga por el otro. El rotor al están en el campo magnético producido por el imán, gira en sentido anti horario debido al par producido por el campo sobre la corriente (véase figura 8.23a).

360

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Toribio Córdova C.

Figura 8.22. Estructura básica de un motor de corriente contínua. En la figura 8.23b, se observa al rotor girado 90° respecto a su posición inicial. Si la corriente a través del rotor fuese constante, el rotor estaría en equilibrio. Pero es en estos instantes en que entra en juego el conmutador, ahora cada escobilla está en contacto con ambos segmentos del conmutador. Por tanto, aquí no hay diferencia de potencial entre los conmutadores siendo la corriente en el rotor igual a cero y el momento magnético es cero. El rotor sigue girando en sentido anti horario debido a su inercia y una vez más fluye corriente a través del rotor como se muestra en la figura 8.23c. Pero ahora la corriente entra por el lado de color azul y sale por el rojo, esto es una situación opuesta a la figura 8.23a. En tanto que el sentido de la corriente se ha invertido con respecto al rotor, el cual ha girado 180°. El motor de la figura 8.23 es de una sola espira. En los motores prácticos existen muchas espiras aumentándose de este modo el momento magnético y como tal aumenta también el momento torsor. Debido a que un motor convierte energía eléctrica en mecánica, requiere entonces de una alimentación de energía eléctrica. Si la diferencia de potencial entre sus bornes de Vab y la corriente es I, entonces la potencia de alimentación será P =VabI. Aun cuando la resistencia del devanado es aproximadamente nula, debe existir siempre una diferencia de potencial para que la potencia P sea diferente de cero. Veremos más adelante la aparición de una fem inducida la que provoca una fuerza contra electromotriz.

Figura 8.23

Diagrama esquemático de un motor simple de CC. El rotor es una espira de alambre que gira en torno a un eje. Los extremos del rotor están acoplados al conmutador. Los segmentos del conmutador están aislados unos de otros.

8.10 El efecto Hall. E. C Hall descubrió que cuando una placa metálica por la que pasa una corriente I se coloca en un campo magnético perpendicular a ella, aparece una diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este efecto se denomina efecto Hall.

361

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Toribio Córdova C.

Para mostrar dicho fenómeno consideremos una placa metálica que transporta una corriente I, como se muestra en la figura 8.24. Supongamos además que los portadores de carga eléctrica son los electrones cuya carga es q = - e. Cuando se aplica un campo magnético B, perpendicular a la placa, en el sentido del eje +y, los electrones se encuentran sometidos a la fuerza magnética expresada por

   Fm = ( −e ) ve xB    Fm =− ( e ) ( −ve ixBj )

(

)

  Fm = e ve Bk

(a) Figura 8.24.

(8.60)

(b)

(a) Conductor de ancho t instalado en circuito y sometido a un campo magnético, (b) los electrones experimentan una fuerza magnética FB de tal manera que son desplazados hacia el lado superior de la placa

La ecuación (8.60) indica que los electrones resultan sometidos a una fuerza en la dirección + z, es decir los electrones son desviados al lado superior de la placa, el cual resulta cargado negativamente. Por lo tanto, el lado inferior resulta cargado positivamente al tener una deficiencia de electrones, como resultado de esto aparece un   campo eléctrico 𝐸�⃗𝐻 paralelo al eje +z. La fuerza debido a este campo eléctrico será Fe = −eE dirigida hacia abajo, llegando en algún instante a contrarrestar a la fuerza magnética debida al campo magnético, produciéndose el equilibrio (véase la figura 8.25a). Esto a su vez da lugar a una diferencia de potencial vertical entre los bornes opuestos del conductor, siendo el lado superior el que está a un potencial menor que el inferior; dicha diferencia de potencial es proporcional al campo magnético. Para mostrarlo, observe que las dos fuerzas que actúan sobre los electrones se encuentran en equilibrio, esto es

  F = Fe + Fm     F = −eE + (− e )v xB = 0 De donde se obtiene

   E H = −ve xB

(8.61)

La magnitud del campo eléctrico será

= EH v= ve B e B sen90º

(8.62)

Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial está dada por

∆V H = E H d Remplazando la ecuación (50) en la ec. (51), resulta

362

(8.63)

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∆VH = ve Bd

(8.64)

A partir de las medidas de la diferencia de potencial para una cinta de tamaño determinado por la que circula una corriente I en el interior de un campo magnético B se puede determinar el número de portadores de carga por unidad de volumen. Teniendo en cuenta que la densidad de corriente J está dada por

J = nev d La velocidad de los portadores es

ve =

J ne

(8.65)

Al sustituir la ecuación (53) en la ecuación (52), da como resultado

 J  ∆V H =   Bd  n.e 

(8.66)

Recordando que (J = I/A), la expresión anterior se escribe

∆V H =

IBd n.e. A

(8.67)

De donde se obtiene que el número de portadores por unidad de volumen está dado por

n=

IBd eA∆V

(8.68)*

Un análisis idéntico pero esta vez usando portadores de carga positivo permite obtener la misma ecuación (56)* con la única diferencia es que los portadores de carga positivos se acumularían en la parte superior dejando un exceso de portadores negativos en la parte inferior (véase la figura 8.25b)

(a) Figura 8.25.

(b)

(a) Si los portadores son negativos el borde superior se carga negativamente, dicho lado se encuentra a un potencial menor al del lado inferior, (b) Si los portadores son positivos el borde superior se carga positivamente, dicho lado se encuentra a un potencial mayor al del lado inferior

8.11. Aplicaciones del movimiento de partículas cargadas en el interior de campos magnéticos. En esta sección se describe algunas aplicaciones de los principios formulados en el capítulo. Se sugiere al lector leerlo detenidamente y ampliar sus fundamentos con la lectura del mimo tema proporcionado por otros autores. 8.11.1

Selector de velocidades.

363

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Toribio Córdova C.

Cuando se produce un haz de partículas cargadas en un filamento caliente (cátodo), no todas las partículas tienen la misma velocidad. Una forma cómo seleccionar un conjunto de partículas que tengan la misma rapidez es usar el dispositivo mostrado en la figura 8.26a, en donde se observa la presencia de un campo eléctrico y un campo magnético mutuamente perpendiculares a este se llama selector de velocidades. En la figura se observa una partícula con carga +q, masa m, que ha sido liberada en la fuente de iones con una velocidad v y atraviesa una ranura entrando en el espacio donde el campo eléctrico y magnético son perpendiculares. El campo eléctrico está dirigido hacia abajo y el campo magnético ingresando al plano del dibujo. Por tanto, la partícula +q �⃗, hacia arriba. Si se experimenta una fuerza eléctrica 𝐹⃗𝐸 = 𝑞𝐸�⃗ , hacia abajo y una fuerza magnética 𝐹⃗𝐵 = 𝑞𝑣⃗𝑥𝐵 escogen las magnitudes de los campos de tal manera que las fuerza se equilibren, la fuerza neta sobre +q será nula. Entoces aplicando la segunda ley de Newton al diagrama de cuerpo libre (figura 8.26b), se tiene

∑F

y

= 0 ⇒ qvB = qE v=

(8.69)

E B

Es decir solamente aquellas partículas que tengan la misma velocidad v pasará a través de la ranura de S2 sin desviarse.

Figura 21.

8.11.2

(a) selector de velocidades de partículas cargadas, (d) DCL de una partícula positiva dentro de los campos cruzados.

Experimento de Thomson

J. J. Thomson (1856 – 1940) utilizó el aparato mostrado en la figura 22 para medir la relación de carga a masa del electrón. El aparato consiste de un tubo de vidrio en cuyo interior se ha hecho alto vacío y en el cual se aceleran electrones provenientes del cátodo caliente y se reúnen en un haza mediante una diferencia de potencial ∆V entre los dos ánodos. La velocidad de los electrones es determinada por el potencial acelerador ∆V. Utilizando la conservación de la energía se tiene

1 2 mv = e[∆V ] ⇒ v = 2

2e(∆V ) m

(8.70)

Los electrones pasan entre las placas e inciden en la pantalla del extremo del tubo, la cual está recubierta de un material fluorescente que emite luz en el punto de impacto. Los electrones pasan en línea recta entre las placas cuando se cumple la ecuación (8.69), al remplazar esta ecuación en la ecuación (8.70) se riene

E = B

2e(∆V ) e E2 = ⇒ m m 2 B 2 ∆V

(8.71)

En esta ecuación todas las cantidades del segundo miembro se pueden medir por tanto se puede determinar la relación e/m. El aspecto más importante del experimento de Thomson es que encontrón un solo valor para e/m. Es decir esta magnitud no depende ni del material del cátodo ni del gas residual presente en el tubo ni de ningún otro aspecto del experimento. Esta independencia permitió descubrir la primera partícula subatómica que ahora llamamos

364

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

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electrón. Así mismo Thomson demostró que la rapidez de los electrones eran casi un décimo de la velocidad de la luz. El valor más preciso de e/m es

e = 1, 758820174.1011 C / kg m

(8.72)

Años posteriores al descubrimiento de Thomson, Robert Millikan pudo medir la carga del electrón con una alta precisión permitiendo de esta manera encontrar la masa del electrón obteniéndose:

me = 9,10938188.10−31 kg

Figura 22.

8.11.3

(8.73)

Aparato de Thomson para medir la relación e/m del electrón

Espectrómetro de masas.

Un espectrómetro de masas es un dispositivo que se emplea para separar iones dentro de una muestra que poseen distinta relación carga/masa. La mezcla puede estar constituida por distintos isótopos de una misma sustancia o bien por distintos elementos químicos. Existen distintos modelos de espectrómetros. En la figura anterior se ha representado un esquema de su principio de funcionamiento. Todos los elementos del espectrómetro deben estar en el interior de una cámara de vacío. La muestra gaseosa (situada a la izquierda de la figura) se ioniza mediante un haz de electrones. Los iones positivos son acelerados por un campo eléctrico. Entre las placas aceleradoras existe un campo eléctrico, por lo que los iones experimentarán una fuerza dada por:

  Fe = qE Donde q es la carga de los iones positivos. A continuación el haz de iones pasa por una zona del espacio donde existe un campo magnético B. La fuerza que el campo magnético hace sobre una carga es

   Fm = q[vxB ] Fuerza que es perpendicular al campo magnético y al vector velocidad de la carga (en este caso, de los iones positivos).

365

Física General III

Figura 22.

Campo magnético y fuerza magnética

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Espectrómetro de masas el cual utiliza un selector de velocidad para obtener partículas con velocidad constante posteriormente las partículas se mueven en trayectorias curvilíneas (semicircunferencias para después impactar sobre una pantalla fluorescente

Como la fuerza (representada en verde en la figura) es perpendicular a la trayectoria de los iones, éstos tendrán aceleración normal y se desviarán describiendo una trayectoria curva. Utilizando la la segunda ley de Newton, se tiene

∑ Fn = man ⇒ qvB = R=

mv 2 R

mv q B

Para un valor fijo de la velocidad y del módulo del campo magnético, cuanto menor sea el cociente m/q menor será el radio de curvatura R, de la trayectoria descrita por los iones, y por tanto su trayectoria se deflectará más. Si la muestra está constituida por isótopos del mismo elemento, todos tendrán la misma carga, pero los que sean más pesados se deflectarán menos. Por tanto, haces de iones de distinta relación carga/masa llegarán a puntos diferentes de un detector, y, en función de la intensidad de las señales que dejan, se determina la abundancia relativa de cada tipo. El primer espectrómetro de masas fue desarrollado en la década de 1920 por el físico inglés Francis William Aston, y recibió en 1922 el Premio Nobel de Química por su desarrollo.

366

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Toribio Córdova C.

W = ∆Ek (2)

8.12 PROBLEMAS RESUELTOS. 1.

Un electrón es lanzado dentro de un campo �⃗ = (1,4𝚤⃗ + 2,1𝚥⃗) T. magnético dado por 𝐵 Determine la expresión vectorial de la fuerza magnética sobre dicho electrón si se mueve con una velocidad 𝑣⃗ = (3,7. 105 𝚥⃗) m/s.

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene

1 2 mv= qα (∆V ) (3) 2 La velocidad de la partícula será

Solución

     i j k j k vy = vz 0 3,7.105 0 Bx By Bz 1,4 2,1 0   F = −1, 6.10−19 [−1, 4(3, 7.105 )]k   F = (8,3.10−14 k ) N Rta

 i    F qvxB = = vx

2.

v=

Debido a que la partícula describe un movimiento circular, la fuerza magnética siempre se dirige al centro de la trayectoria. Entonces se tiene

v2 r mv m 2qα (∆V ) r = = qα B qα B m

∑ Fn = man ⇒ qvB = m

Un protón se está moviendo con una velocidad 𝑣⃗ = (6. 106 𝚥⃗) m/s en una región del espacio en donde el campo magnético viene expresado por la �⃗ = (3,0𝚤⃗ − 1,5, 𝚥⃗ + 2𝑘�⃗) T. ¿Cuál es la ecuación 𝐵 magnitud de la aceleración en este instante?.

r=

Solución

    F = ma = q p vxB B   i j 1, 6.10−19  qp   = (vxB ) 6.106 0 a = 1, 67.10−27 m 3 -1,5    = a 0,958.108 (12.106 i − 9.106 k )    a = (11.496i − 8, 622k ).1014 m / s 2  a = 14,37.1014 m / s 2 3.

2qα (∆V ) m

 k

r=

1 0, 2T

1 2mqα (∆V ) B qα

2(3,3,10−27 kg )(1000V ) 2(1, 6.10−19 C )

r = 2, 27.10−2 m

0 2 4.

Una partícula alfa (m = 3,3.10-27 kg, 𝑞 = 2|𝑒|) es acelerada desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 1 kV. Entonces la partícula ingresa en una región donde existe un campo magnético 𝐵 = 0,2 𝑇, perpendicular a la dirección de su movimiento. ¿Cuál es el radio de la trayectoria que describe la partícula alfa?.

R ta

Una varilla conductora de 72 cm de longitud tiene una masa de 15 g. La varilla se encuentra suspendida en un plano vertical por un par de alambres flexibles dentro de un campo magnético B = 0,54 T cuya dirección es saliendo de la página tal como se muestra en la figura. ¿Qué corriente debe fluir a través de la varilla para que la tensión en los alambres soportantes sea igual a cero?

Solución El trabajo que realiza el campo eléctrico en la región donde existe una diferencia de potencial sobre la partícula alfa es

W = qα (∆V )

Solución Para que las tensiones en los alambres verticales sean nulas entonces la fuerza magnética debo estar dirigida hacia arriba para que equilibre al peso. Entonces aplicando la regla de la mano derecha so obtiene que la corriente debiera estar dirigida hacia la izquierda es decir de Q a P tal como se muestra en el DCL de la varilla

(1)

Por otro lado el trabajo es igual a la variación de energía cinética, es decir

367

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Toribio Córdova C.

Usando coordenadas cilíndricas tenemos

    dF = I (−dleϕ ) x( Bsenθ er + B cos θ ez )    = dF IBdlsenθ ez − IBdl cos θ er Debido a la simetria que presenta la figura, las componentes radiale se cancelan mutuamente ya que existe una componente idéntica en el lado izaquierdo. Entonces sólo queda la componente z

La fuerza magnética se expresa mediante la ecuación

     = FB I ∫ dlxB = I ∫ −dli x( Bk )   FB = IlQP Bj  FB = IlQP B

(

)

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

∑F

y

La fuerza magnética neta que actua sobre el anillo será

=0 ⇒ FB =W =mg

 = F

IlQP B = mg I=

5.



z

C

mg 0, 015 kg (9,8m / s 2 ) = lQP B 0, 72 m(0,54T ) I = 378 mA



dF  θe ∫= ∫ IBdlsen=

 IBsenθ ez  ∫ dl

  F = 2π IBsenθ ez  F = 2π IBsenθ

Rta

C

La fuerza magnética sobre el anillo es repulsiva ya que está dirigida hacia arriba en la dirección +z.

Un imán en forma de barra con su polo norte arriba es localizado simétricamente en el eje y debajo de un anillo conductor de radio r el cual transporta una corriente I en sentido horario como se muestra en la figura. En la localización del anillo, el campo magnético forma un ángulo θ con la vertical. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre el anillo?

6.

Un protón, acelerado por una diferencia de potencial ∆𝑉 = 500 𝑘𝑉 atraviesa un campo magnético homogéneo transversal cuya inducción es B = 0,51 T. El espesor de la zona del campo es d = 10 cm (véase la figura. Determine: (a) el ángulo α de desviación del protón respecto a la dirección inicial del movimiento, (b) el desplazamiento vertical ∆y1 al salir de la región del campo magnético (c) el momento lineal de la partícula cuando sale del campo magnético. Considere que mp = 1,67.10-27kg y qP=1,6.10-19C.

Solución Para evaluar la fuerza magnética sobre el anillo se divide a éste en elementos diferenciales de corriente pequeños 𝐼𝑑𝑙⃗, como se muestra en la figura. La fuerza sobre el elemento será

   dF = IdlxB

Solución Datos e incógnitas.

368

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Toribio Córdova C.

= ∆V 500 = = V B 0,51 T d 10.10−2 m

d 10 = R 20 α= 30°

senα=

= m p 1,= 67.10−27 kgq p 1, 6.10−19 C  = y1 ???; = p ??? α ???; ∆=

Se procede ahora a determina el desplazamiento vertical

Al ingresar el protón en la región donde existe un campo magnético, experimentará una fuerza expresada como

∆y1 = R − R cos α = 20.10−2 m[1 − cos 30°] ∆y1 = 2, 679cm

   = Fm q= vxB q p (v0iˆ) x(− Bkˆ)  Fm = q p v0 Bjˆ Fm = q p v0 B

Finalmente el vector momento lineal está dado por (1)



  p= mv = m p [v0 cos 30 iˆ + v0 sen30° ˆj ] −27

p 1, 67.10 kg (9, 788.10 m / s )[0,8iˆ + 0,5 ˆj ] Debido a que el protón en = el interior del campo  describe un movimiento circular, la aplicación de la = p [14.16.10−21 iˆ + 8,17.10−21 ˆj ]kg .m / s segunda ley de Newton nos da ∑ Fn = man q p v0 B = m

R=

7.

2 0

v R

mv0 qp B

(2)

Ahora se procede a determinar la velocidad con que ingresa el protón al interior del campo magnético.

6

Una barra cilíndrica de masa m radio R es colocada sobre dos rieles paralelos de longitud l separados por una distancia d, como se muestra en la figura.la varilla lleva una corriente I y rueda sin deslizar a lo largo de los rieles los cuales están ubicados en un �⃗ campo magnético uniforme 𝐵 dirigido verticalmente hacia abajo. Si la barra está inicialmente en reposo, ¿Cuál es su velocidad cuando abandona los rieles.

Remplazando la ecuación (4) en (3), resulta

1 2 mv0 = q∆V 2 1 [1, 67.10−27 kg ]v02 = 1, 6.10−19 C[5.105V ] 2 v0 = 9, 788.106 m / s (3)

Solución

En la figura se muestra la trayectoria descrita por el protón en el campo y la orientación del vector velocidad con que abandona el campo

Para resolver el ejemplo se utiliza el sistema de referencia mostrado en la figura

La fuerza magnética que actúa sobre la barra cilíndrica será

    = F I= dlxB I dli x ( − Bk ) ∫ ∫   F = IBd ( j )

(

369

)

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

El trabajo total hecho por la fuerza magnética sobre la barra cilíndrica cuando se mueve a través de la región es.

= Wi → f

f

 

F .ds ∫ ∫= i

i

f

Toribio Córdova C.

Al ingresar al campo experimenta una fuerza magnética expresada por

   = Fm q= vxB qe (v0iˆ) x(− Bkˆ) e  Fm = − qe v0 Bjˆ

  l IBd (= j ).dxj IBd ∫ dx 0

Wi → f = IBld

El módulo de la fuerza magnética será Utilizando el teorema trabajo-energía cinética se tiene.

Fm = qe v0 B

( Ek ,tras + Ek ,rot ) f − ( Ek ,tras + Ek ,rot )i Wi → f = ∆Ek =

(2)

Debido a que el electrón en el interior del campo describe un movimiento circular,

Puesto que el momento de inercia de la barra es 𝐼 = 𝑚𝑅2 /2, y cuando la barra rueda sin deslizar se cumple que 𝑣 = 𝜔𝑅, la ecuación anterior se escribe en la forma

1 1 3 IBld = mv 2 + mv 2 = mv 2 2 4 4 v=

4I l B d 3m La aplicación de la segunda ley de Newton nos da

8.

∑ Fn = me an

Un electrón es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de ∆V = 500 V, entonces ingresa dentro de un campo magnético B uniforme. Este campo hace que la partícula recorra media revolución en un tiempo de 2 ns. ¿Cuál es el radio de su órbita?.

v02 qe v0 B = me R mv (3) R= e 0 qe B De otro lado la velocidad angular con que gira la partícula cargada está dada por

ω=

q v v = = e B r (me v / qe B) me 2π qe B = T me

B =

2π me 2π (9,1.10−31 kg ) = qeT 1, 6.10−19 C[4.10−9 s ] B = 8.93.10−3 Tesla

(4)

Solución Remplazando las ecuaciones (1) y (4) en (3) resulta

En primer lugar se determina la velocidad del electrón con que ingresa al campo magnético.

ve =

2qe ∆V = me

R=

2(1, 6.10−19 C )(500V ) 9,1.10−31 kg

ve = 1,33.107 m / s

me v0 9.1.10-31kg[1,33.107 m / s ] = 1,6.10-19 C[8,93.10−3 T ] qe B R = 8, 43 mm

(1) 370

Rta

Física General III

9.

Campo magnético y fuerza magnética

Toribio Córdova C.

8, 25.10−3 − [6, 6.10−6 C ][v][1, 02T ] = 6, 23.10−3 N

Una partícula cargada con q = +6,6µC, se mueve en una región del espacio en donde existe un campo eléctrico cuya magnitud es 1250 N/C dirigido en la dirección positiva del eje x, y un campo magnético de magnitud 1,02 T dirigido en la dirección positiva del eje z. Si la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre la partícula es 6,23.10-3 N y se encuentra dirigida en la dirección +x. Determine la magnitud y la dirección de la velocidad de la partícula. Asuma que la velocidad de la partícula se encuentra en el plano x-y.

v = 0, 255.10−3 m / s  v = [−255.103 ˆj ]m / s

Rta

10. La espira de corriente mostrada en la figura, consiste en un lazo con dos semicírculos de diferente radio. Si la corriente en el circuito es I = 2 A, y los radios son a = 3,00 cm y b = 9,00 cm. Determine el momento dipolar magnético de la espira de corriente.

Solución La dirección del campo eléctrico, el campo magnético, y la fuerza involucrada en el problema se muestran en el diagrama

Solución El momento dipolar magnético viene expresado por



µ B = NIAeˆn Estrategia. Debido a que la partícula está cargada π  µ B 1[2,5 A] [(0, 09 m) 2 + (0, 03m) 2 ](−kˆ) positivamente el campo eléctrico E, ejerce = una 2 fuerza en la dirección +x. Por otro lado debido a  que la fuerza neta que actúa sobre la partícula está µ B = −0, 035 A m 2 kˆ en la dirección +x, la fuerza magnética puede estar en la dirección x, pero podría tener la misma 11. Una corriente de 200 mA es mantenida en una dirección o la opuesta. Para ver ello comparamos bobina circular compuesta por 50 vueltas de 25 cm las magnitudes relativas de la fuerza neta y la de radio cada una. Si dicha bobina es ubicada en un fuerza eléctrica para decidir con cuál de estas dos campo magnético de 0,85 T con su área paralela al direcciones coincide la fuerza magnética. Debido a campo como se muestra en la figura. Determine: que la dirección de la fuerza neta es conocida, se (a) el momento dipolar magnético de la bobina y usa la regla de la mano derecha para determinar la (b) la magnitud del torque magnético ejercido por dirección de la velocidad de la partícula. el campo magnético sobre la bobina. La fuerza eléctrica que actúa sobre la partícula es

  F qE = = 6, 6.10−6 C[1250 iˆ N / C ] e  Fe = 8, 250.10−6 N (1) Debido a que la fuerza neta es menor que la fuerza magnética se encuentra dirigida en sentido –x. De acuerdo con la regla de la mano derecha se determina que la velocidad de la partícula se encuentra en sentido –y.

Solución Parte (a). Cálculo del momento dipolar magnético



µ B = NIAeˆn π

Aplicando la segunda ley de Newton se tiene



µ B = 50[0, 2 A][ (0, 25m) 2 (−kˆ)

∑ F= Fneta ⇒ Fe − Fm= Fneta

2 µ B = [−0,982kˆ] A m 2

qE − qvB = Fneta



371

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Parte (b). Cálculo del torque magnético

Toribio Córdova C.

En la figura se muestra el DCL del alambre

   M = µ B xB = [−0,982 kˆ]x[0,85 iˆ]  M = [0,84 ˆj ]T A m 2  M = (0,84) T A m 2 12. Un alambre masa es m = 10 g está suspendido mediante unos alambres flexibles, como se muestra en la figura en un campo magnético dirigido hacia el interior de la página y cuyo módulo es B = 1,25 T. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la corriente necesaria para eliminar la tensión en los alambres flexibles?. Considere que el sistema se encuentra en un plano vertical y que el radio del alambre es R = 10 cm.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene

∑ Fy =0 ⇒ Fm =mg 2 IRB = mg I =

mg 10.10−3 kg[9,8m / s 2 ] = 2 RB 2[0,1m(1, 25 T )] I = 392 mA

13. Un campo magnético uniforme de magnitud 0,15 T está dirigido a lo largo del eje positivo de las x. Un positrón que se mueve a 5.106 m/s entra en el campo siguiendo una dirección que forma un ángulo θ = 85° con el eje de las x como se muestra n la figura. Se espera que el movimiento de la partícula sea helicoidal. Determine: (a) el paso de hélice p y el radio r de la trayectoria.

Solución Para que sean eliminadas las tensiones en los alambres flexibles es necesario que la fuerza magnética que actúe sobre el alambre esté dirigida hacia arriba. Por ello se usa la regla d la mano derecha y se observa que la corriente se dirige de izquierda a derecha como se ve en la figura

Solución La fuerza magnética sobre la partícula cargada será

   Fm = q (vxB )  = Fm q[v0 x iˆ + v0 y ˆj ]x[ B iˆ]  Fm = − q[v0 y B kˆ] (1)

La fuerza magnética será

     = Fm I= dl x B I dl ( ) [ ∫ ∫ ]xB  Fm = I  ∫ (dlsenθ iˆ − dl cos θ ˆj )  x[− B kˆ]  π = Fm IRB  ∫ ( senθ dθ iˆ − cos θ dθ ˆj  x kˆ  0   Fm = 2 IRB ˆj

Las componentes de la fuerza serán

Fx = 0

(2)

Fy = 0

(3)

Fz = −q v0 y B 372

(4)

Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

Las ecuaciones (2) y (3) indican que las componentes de la velocidad no varían en estas direcciones. Es decir el protón se moverá a lo largo del eje x con velocidad constante si ser perturbado por el campo magnético B debido a que v0x es paralelo a B, siendo su rapidez.

Toribio Córdova C.

El movimiento descrito por el protón es helicoidal por tano el avance que experimenta en el eje x se denomina paso de hélice y está dado por

p v= (5.106 cos85°m / s )[0, 43.10−6 s ] = 0 xt p = 0,187 m

= v0 x v0 cos85 = ° 5.10 cos85° 6

14. Un disco de radio R tienen una densidad de carga uniforme σ (C/m2). El disco rota alrededor de su eje central con una velocidad anular ω rad/s con su eje perpendicular a un campo magnético �⃗ = 𝐵𝚥̂. (a) Encuentre su momento uniforme 𝐵 dipolar magnético, (b) Muestre que el torque magnético sobre el disco tiene una magnitud de 1 𝑀 = 𝜎𝜔𝜋𝐵𝑅4 .

v0 x = 0, 436.106 m / s Sin embargo la componente y de la velocidad es perpendicular al campo magnético. Por ello el protón experimentará una fuerza Fz dirigida perpendicularmente al plano que contiene a v0y y al campo magnético B. Dicha fuerza hará que gire el protón con una velocidad angular ω alrededor de un eje paralelo al campo magnético (eje x) describiendo un círculo de radio R como se muestra en la figura.

4

Solución El disco se divide en elemento de carga dq en forma de anillos de radio r y espesor dr como se muestra en la figura

Aplicando la segunda ley de Newton en dirección centrípeta se tiene

∑ Fn = man ⇒ Fm = m q v0 y B = m

R= R=

v02y R

2 0y

v

R

mv0 y qB

1.6725.10−27 kg (5.106 sen85°m / s ) 1, 6.10−19 C[0,15T ] R = 0, 0347 m

La densidad de carga dq será

dq ⇒ dq = σ dA dA dq = σ (2π rdr ) (1)

σ=

El período no es más sino el tiempo que demora en dar una vuelta completa. Esto es

= T

2π m p 2π (1, 6725.10−27 ) = qp B 1, 6.10−19 (0,15)

Si el disco gira a una velocidad angular ω constante, la corriente generada por tal rotación será

T = 0, 43 µ s

373

Física General III

dI =

Campo magnético y fuerza magnética

dq 2πσ rdr = = σω rdr T 2π / ω

(2)

El momento dipolar magnético está dado por

 d µ B = (dI ) Aeˆn

 d µ B = [σω rdr ][π r 2 ]kˆ  d µ B = πσω r 3 dr kˆ (3) Integrando expresión (3) resulta



R

µ B = πσω ∫ r 3dr kˆ 0



µB =

πσω R  4

4

k

Rta

Parte (b). Para determinar el torque magnético, primero se determina el torque diferencial producido por el momento dipolar magnético diferencial. Esto es

   = dM (= d µ B ) x( B ) [πσω r 3 dr kˆ]x( B ˆj )  dM = −πσω B r 3 dr iˆ Integrando la expresión anterior se tiene

 R M = −πσω B ∫ r 3 dr iˆ 0

 πσω BR 4 ˆ M= − i 4  πσω BR 4 M = R ta 4

374

Toribio Córdova C.

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Campo magnético y fuerza magnética

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magnética sobre la porción recta y curva del alambre

8.13. PROBLEMAS PROPUESTOS. 15. Un protón viaja con una velocidad de 3.106 m/s a un ángulo de 37° en la dirección del campo magnético con un valor de 0,3 T en la dirección de las y positiva. Determine: (a) La magnitud de la fuerza magnética sobre el protón y (b) su aceleración 16. Un protón se mueve perpendicularmente a un campo magnético uniforme B a una velocidad de 1.107 m/s y experimenta una aceleración de 2.1013 m/s2 en la dirección positiva de las x cuando su velocidad está en la dirección positiva de las z. determine la magnitud y dirección del campo magnético.

20. Una varilla con 0,72 kg de masa y un radio de 6.00 cm descansa sobre dos rieles paralelos como se muestra en la figura que están separados por una distancia d = 12, cm y tienen una longitud L = 45 cm de largo. La varilla conduce una corriente I = 48 A (en la dirección que se muestra) y rueda por los rieles sin deslizar. Perpendicularmente a la varilla y a los rieles existe un campo magnético uniforme de magnitud B = 0,24 T. Si la varilla parte del reposo, determine la velocidad de la varilla cuando abandona los rieles.

17. Una partícula con una carga de +8,4 μC y una velocidad de 45 m/s entra en una región donde existe un campo magnético uniforme de 0,3 T. Para los casos mostrados en la figura, encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre la partícula.

18. Un conductor suspendido por dos alambres flexibles, como se muestra en la figura tiene una masa por unidad de longitud igual a 0,040 kg/m. Determine la corriente que debe pasar por el conductor para que la tensión en los alambres de soporte sea igual a cero cuando el campo magnético tiene un valor de 3,6 Tesla dirigido hacia la página. ¿Cuál es la dirección de I? .

21. En la figura el cubo tiene aristas de 40 cm. Cuatro segmentos rectos de alambre, ab, bc, cd, y da forman un lazo cerrado por el que fluye una corriente I = 5 A en la dirección indicada. En la dirección positiva de las y existe un campo magnético uniforme de magnitud B = 0,02 T. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética que se ejerce sobre cada segmento.

19. Un alambre doblado en forma de semicírculo, de radio R = 0,25 m, forma un circuito cerrado y conduce una corriente I = 3 A. el alambre está en el plano xy y con un campo magnético uniforme está dirigido a lo largo del eje positivo de las y como se muestra. Si la magnitud del campo es B = 0,25 T. Determine la magnitud y dirección de la fuerza

22. Una bobina de N = 200 vueltas, muy apretadas tiene las dimensiones de a = 8 cm y b = 6 cm. Si la bobina se encuentra en un campo magnético B = 0,48 T en la dirección + x como se muestra en la figura. Determine: (a) El momento dipolar

375

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Campo magnético y fuerza magnética

magnético, (b) la magnitud del torque magnético sobre la espira cuando por esta circula una intensidad de corriente I = 15 A y (c) el sentido de rotación de la bobina.

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25. Un lazo cuadrado de alambre, de longitud l = 0,1 m por lado, tiene una masa de 50 g y pivota sobre el eje AA’ que corresponde a un lado horizontal, como se muestra en la figura. Un campo magnético uniforme de 500 G, dirigido verticalmente hacia abajo llena completamente la región en la vecindad del lazo. El lazo lleva una corriente I tal que su posición de equilibrio se alcanza cuando θ = 20°. (a) Considere la fuerza sobre cada segmento separadamente y encuentre la dirección de la corriente en el lazo para mantener el ángulo en 20°. (b) Calcule el torque alrededor del eje debido a estas fuerzas. (c) Encuentre la corriente en el lazo que se requiere para que la suma de todos los torques (alrededor del eje sea cero. Considere el efecto de la gravedad sobre cada uno de los cuatro segmentos del alambre separadamente.

23. Una partícula A con una carga q y masa mA y una partícula B con carga 2q y masa mB son aceleradas desde el reposo mediante una diferencia de potencial ΔV y subsecuentemente deflectadas por un campo magnético uniforme en trayectorias semicirculares. Los radios de las trayectorias de las partículas A y B son r y 2r, respectivamente. La dirección del campo magnético es perpendicular a la velocidad de las partículas. Determine la razón entre sus masas.

26. El campo magnético B en cierta región es de 0,138 T, y su dirección es la del eje de las +z en la figura ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie abcd?. ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie befc?. ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficie aefd?. ¿Cuál es el flujo neto a través de toda la superficie?

24. Un lazo de corriente consiste de un semicírculo de radio R y dos segmentos rectos de longitud l con un ángulo θ entre ellos. El lazo es entonces localizado en un campo magnético uniforme representado por los puntos en la figura mostrada. Determine: (a) La fuerza neta sobre el lazo de corriente, (b) El momento dipolar magnético y (c) El torque magnético sobre el lazo de corriente.

27. Un estudiante de física afirma que ha acomodado imanes de modo tal que el campo magnético dentro del volumen sombreado de la figura del problema 27 es

 = B

( β − γ y ) ˆj 2

Donde β= 0,3 T y γ = 2,0 T/m2. (a) Halle el flujo magnético neto de ��⃗ 𝑩 a través de las cinco caras que encierra el volumen sombreado de la figura?. ¿Es plausible la afirmación del alumno?. ¿Porqué?

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�⃗ es el doble del valor aceleración de la barra si 𝐵 hallado?.

28. Una varilla metálica con una masa por longitud unitaria λ Transporta una corriente I. La varilla está suspendida de alambres verticales en un campo magnético vertical uniforme, como se muestra en la figura. Si los alambres forman un ángulo θ con la vertical cuando están en equilibrio. Determine la magnitud del campo magnético.

31. La espira rectangular de alambre de la figura tiene una masa de 0,19 g por centímetro de longitud y está fija en el lado ab a un eje de rotación sin fricción. La corriente en el cable es de 6,8 A en la dirección mostrada. Encuentre la magnitud y la dirección del campo magnético paralelo al eje y que ocasionará que la espira se balancee hasta que su plano forme un ángulo de 30º con el plano yz 29. El circuito de la figura está formado de alambres en su parte superior e inferior y de resortes metálicos idénticos en los lados derecho e izquierdo. La porción superior del circuito se encuentra fija. El alambre inferior tiene una masa de 10 gramos y una longitud de 5 cm. Los resortes se estiran 0,5 cm bajo la acción del peso del alambre y el circuito presenta una resistencia total de 12 Ω. Cuando el campo magnético se encuentra operando hacia el exterior de la página, los resortes se estiran 0,3 cm adicionales. Determine la magnitud del campo magnético. 32. Un alambre doblado como se muestra en la figura. Si cada tramo recto tiene una longitud 3L y el medio círculo tiene una radio L y por el alambre circula una corriente I en el sentido indicada. Determine la fuerza magnética sobre el alambre cuando éste se encuentra en un campo magnético �⃗ dirigido en la dirección +x. 𝐵 30. Una barra metálica de masa m está apoyada sobre un par de varillas conductoras horizontales separadas una distancia L y unidas a un fuente ∆V, según se ve en la figura. Si la resistencia del circuito es R cuando se establece un campo �⃗ vertical. (a) Despreciando el magnético 𝐵 rozamiento y considerando que en t = 0 la barra está en reposo, determinar la velocidad de la barra en cualquier instante. (b) ¿En qué sentido se mueve?. (c) Si ahora se considera la fricción siendo el coeficiente de rozamiento estático esμ S, halle el valor mínimo del campo B necesario para hacer que se ponga en movimiento. (d) si los conductores de apoyo carecen de rozamiento pero están inclinados hacia arriba de modo que forman un ángulo θ con la horizontal ¿Qué campo magnético �⃗ se necesita para que la barra no deslice vertical 𝐵 hacia abajo por los conductores?. ¿Cuál es la

33. Un área circular con un radio de 6,5 cm yace en el plano xy . ¿Cuál es la magnitud del flujo magnético a través de éste círculo debido a un campo magnético uniforme B = 0,23 T. (a) en la dirección +z, (b) a un ángulo de 53,1° respecto al eje +z y (c) en la dirección +y. 34. Una partícula cargada entra en un campo magnético uniforme B y sigue la trayectoria

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Campo magnético y fuerza magnética

circular mostrada en el diagrama. (a) ¿La partícula está cargada positivamente o negativamente?, (b) La velocidad de la partícula es 140 m/s, la magnitud del campo magnético es de 0,48 T, y el radio de la trayectoria descrita es 960 m. Determine la masa de la partícula si su carga es 820 μC.

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de los alambres rectos y (b) el torque magnético total que produce el campo magnético.

38. Sea la espira rectangular de la figura de lados a y b, recorrida por una corriente de intensidad I en el sentido indicado, situada en el interior de un campo magnético no uniforme de valor

35. Dos rieles conductores se encuentran fijos sobre un plano inclinado 30° con la horizontal. Si en la región del espacio existe un campo magnético cuya magnitud es B = 0,05 T. ¿Cuál será la intensidad de corriente que debe fluir por la barra de aluminio de 0,27 kg para que ésta deslice sin fricción a una velocidad constante.

 a B = B0 k x

Calcular la fuerza que aparece sobre los lados cd y de.

36. Un haz de protones se mueve a través de un campo magnético uniforme de magnitud 2,00 T, dirigido a lo largo del eje positivo de la z. los protones tiene una velocidad de 3.106 m/s en el plano xz a un ángulo de 30° con el eje +z. Encuentre: (a) La fuerza sobre el protón y (b) su aceleración.

39. Un alambre compuesto por dos segmentos rectos de longitud 2a y un cuarto de circunferencia de radio a que transporta una corriente I, se encuentra fijo en una región donde existe un campo magnético B en la dirección +x. Encuentre la fuerza neta que actúa sobre el alambre.

37. Una espira cuadrada de lado 2a de alambre que transporta una corriente I, se encuentra en el interior de un campo magnético B dirigido en la dirección –z como se muestra en la figura. Determine: (a) la fuerza magnética sobre cada uno

40. En la figura se muestra una espira cuadrada de alambre que se encuentra en el plano xy. La espira tiene lados de longitud L y por ella circula una corriente constante I en el sentido horario. El campo magnético está dado por    B = ( B0 z / L) j + ( B0 y / L)k , con B0 una

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constante positiva. (a) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre cada alambre, (b) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética neta sobre la espira.

44. La barra AC de la figura tiene 40 cm de longitud y una masa de 40 g, y se desliza libremente sobre las tiras metálicas en los bordes de un plano inclinado. Una corriente I fluye a través de estas tiras y la barra, y existe un campo magnético By = 0,2 T en la dirección opuesta al eje y. (a) ¿De qué magnitud debe ser I para que la barra permanezca en reposo?. (b) Si la corriente que fluye en el conductor es realmente 2,5 A ¿Cuál es la aceleración de la barra a lo largo del plano inclinado?.

41. Un protón se está moviendo a 1500 m/s en el campo de 135 T mostrado en la figura. ¿Cuál es el radio de la trayectoria descrita por el protón?.

45. Una bobina circular de alambre con un radio R = 1 cm tiene N = 100 vueltas y transporta una corriente I = 500 mA. ¿Cuál será el torque ejercido sobre la bobina cuando esta es ubicada en una región donde existe un campo magnético uniforme B = 5 mT el cual hace un ángulo de 60° con el plano de la bobina?

42. El lazo triangular de alambre mostrado en la figura lleva una intensidad de corriente I = 4,70 A. Un campo magnético uniforme está dirigido paralelamente al lado AB del triángulo y tiene un magnitud de 1,8 T. (a) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza ejercida sobre cada uno de los lados del triángulo, (b) determine la magnitud de la fuerza neta ejercida sobre el alambre, (c) encuentre la magnitud y dirección del momento dipolar eléctrico y (c) la torsión sobre el alambre

46. A un alambre conductor se le da la forma de una M con las dimensiones que se muestran en la figura y se le hace conducir una corriente de 15 A. Un campo magnético externo B = 2,5 Tesla está dirigido como se muestra y está a través de toda la región ocupada por el conductor. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza total ejercida sobre el conductor por el campo magnético.

43. Un electrón que se halla en el punto A de la figura tiene una rapidez v0 = 1,41.106 m/s. Determine: (a) la magnitud y dirección del campo magnético que obliga al electrón a seguir la trayectoria semicircular de A a B; (b) el tiempo necesario para que el electrón se traslade de A a B.

47. Un campo magnético no uniforme ejerce una fuerza neta sobre un dipolo magnético. Un imán de gran intensidad se pone bajo un anillo conductor

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50. Una espira de alambre está formada por dos semicilindros conectados por dos segmentos rectos. Los radios interiores y exteriores son 0,3 m y 0,5 m, respectivamente. Por el circuito fluye una corriente de 1,5 A, siendo su sentido horario en el semicírculo exterior. Determine el momento magnético de esta espira de corriente?.

horizontal de radio r que conduce una corriente I, como se muestra en la figura. Si el campo magnético B forma un ángulo θ con la vertical en la posición del anillo. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza resultante sobre el anillo?.

51. Una barra metálica delgada de L = 50 cm de largo, con una masa de m = 750 g descansa sobre dos apoyos metálicos (sin estar sujetos a ellos) en un campo magnético uniforme de B = 0,450 T, como se muestra en la figura. Una batería y un resistor de R = 25 Ω están conectados a los soportes. (a) ¿Cuál es la máxima fem ε, que la batería puede tener sin que si interrumpa el circuito en los soportes?. (b) La fem de la batería tiene el valor máximo calculado en el inciso (a). Si el resistor recibe de improviso un cortocircuito parcial y su resistencia disminuye a R’ = 2,0 Ω, encuentre la aceleración inicial de la barra.

48. Una bobina rectangular con 200 espiras tiene 5 cm de alto y 4 cm de ancho. Cuando la bobina es colocada en un campo magnético de 0,35 T, su máximo torque es 0,22 N.m. ¿Cuál será la corriente que fluye en la bobina?.

49. Una bobina rectangular de 50 vueltas tiene lados de 6 cm y 8 cm y transporta una corriente de 1,75 A. está orientada como indica la figura y pivota alrededor del eje z. (a) Si el alambre situado en el plano xy forma un ángulo θ = 37º con el eje y como se indica, ¿qué ángulo forma el vector unitario normal n con el eje x; (b) Expresar n en función de los vectores i y j; (c) ¿Cuál es el momento magnético de la bobina?; (d) Determine el momento magnético del par que actúa sobre la bobina cuando se sitúa en un campo magnético uniforme B = (1,5 j) Tesla.

52. Los protones con una energía cinética de 5,0 MeV se mueven inicialmente en la dirección positiva de las x, y entran en un campo magnético  B = (0, 05kˆ)T dirigido perpendicularmente hacia afuera del plano de la página que se extiende desde x = 0 hasta x = 1,0 m, como se muestra en la figura. Determine: (a) la componente y del momento de los protones cuando salen del campo magnético, (b) el ángulo α entre el vector velocidad inicial del haz de protones y el vector de velocidad después de que el haz de protones salga del campo. Ignore los efectos relativistas y considere que 1 eV = 1,6.10-19 J.

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53. Un haz de protones con una energía cinética de 3,00 MeV se mueve en la dirección positiva de las x y entra en una región donde existe un campo �⃗ = (0,02𝑘�)𝑇, dirigido hacia afuera magnético 𝐵 del plano de la página y que se extiende desde x = 0 hasta x = 1 m, como se muestra en la figura . Determine el desplazamiento vertical del haz al salir de la región donde existe el campo magnético.

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anchura y su masa por unidad de longitud es λ𝑚 = 20 𝑔/𝑐𝑚. Un campo magnético uniforme B = 0,2 T tiene la dirección mostrada. Por medio de dos alambre superiores puede enviarse una corriente que circula por la estructura. (a) si no pasa corriente por la estructura. ¿Cuál es el período de éste péndulo físico para pequeñas oscilaciones?. (b) si una corriente de 8 A fluye a través de los conductores en el sentido indicado, ¿Cuál es el período de este péndulo físico?. (c) Si la corriente es de sentido opuesto al indicado en la figura, la estructura se desplazará un ángulo θ a partir de la posición vertical. ¿Cuál debe serla magnitud de la corriente para que la estructura permanezca en equilibrio

54. Un electrón de velocidad 107 m/s entra a una región de campo magnético uniforme B = 0,8 T, dirigido hacia el exterior de la página como muestra la figura. Si el ángulo θ = 60°, Determine: (a) el ángulo φ, (b) la distancia d, (c) el tiempo que permanece en el interior del campo (d) la frecuencia del movimiento. 57. El circuito de la figura está formado por una batería cuya fem es 𝜀 = 24 𝑉, conectada por alambres en su parte superior e inferior y de resortes metálicos idénticos en los lados derecho e izquierdo. La porción superior del circuito se encuentra fija. El alambre inferior de forma semicircular tiene una masa de 24 gramos y un radio de r = 8 cm. Los resortes se estiran 0,6 cm bajo la acción del peso del alambre cuando no existe campo magnético y el circuito presenta una resistencia total de R = 16 Ω. �⃗, dirigido Cuando el campo magnético 𝐵 perpendicularmente hacia el interior de la página se encuentra actuando, los resortes se estiran 0,4 cm adicionales. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye en el circuito y (b) la magnitud del campo magnético aplicado.

55. Un cable conductor por el que circula una corriente I tiene la forma de una espira semicircular de radio R situado sobre el plano xy. Si en la región existe un campo magnético �⃗ = 𝐵𝑘� perpendicular al plano de la espira como 𝐵 se muestra en la figura. Determine la fuerza magnética sobre la espira.

56. La estructura rectangular de la figura puede girar libremente alrededor del eje A-A horizontal. La estructura es de 16 cm de longitud y 6 cm de

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58. Un alambre doblado como se muestra en la figura transporta una corriente I y va colocado en un �⃗, que sale del plano campo magnético uniforme 𝐵 de la figura. Determine la fuerza magnética que obra sobre el alambre.

horizontal en el punto de salida del campo, (d) determine ∆𝑥, la desviación horizontal total.

59. Un anillo de radio R tienen una densidad de carga uniforme λ (C/m). El anillo rota alrededor de su eje central con una velocidad anular ω rad/s con su eje perpendicular a un campo magnético uniforme �⃗ = 𝐵𝚥̂. Determine: (a) el momento dipolar 𝐵 magnético, (b) El torque magnético que ejerce el campo magnético

63. Una esfera no conductora tienen una masa de 80 g y un radio de 20 cm. A su alrededor se enrolla apretadamente una bobina plana y compacta de alambre con 5 vueltas, donde cada vuelta es concéntrica con la esfera. Como se puede ver en la figura la esfera es colocada en un plano inclinado que se inclina a la izquierda abajo, formando un ángulo θ con la horizontal, de manera que la bobina resulta paralela al plano inclinado. En la región existe un campo magnético uniforme de 0,35 T dirigido verticalmente hacia arriba. ¿Qué corriente debe pasar por la bobina para que la esfera pueda quedar en equilibrio sobre el plano inclinado?. Demuestre que el resultado no depende del valor del ánguloθ.

60. Una corteza esférica de radio R posee una densidad de carga superficial σ. Si a dicha esfera se le hace girar alrededor de su diámetro con una velocidad angular ω. Determine el momento angular de esta esfera giratoria. 61. Una corteza sólida de radio R posee una densidad de carga uniforme ρ. Si a dicha esfera se le hace girar alrededor de su diámetro con una velocidad angular ω. Determine el momento angular de esta esfera giratoria. 62. Una partícula con una carga de 2,15 μC y una masa de 3,2.10-11 kg viaja inicialmente en la dirección +y con una rapidez v0 = 1,45.105 m/s. Después entra en una región que contiene un campo magnético uniforme dirigido perpendicularmente e ingresando a la página como se muestra en la figura. La magnitud del campo magnético es de 0,42 T. La región se extiende hasta una distancia de 25 cm a lo largo de la dirección inicial del recorrido; a 75 cm desde el punto de entrada en la región de campo magnético hay una pared. Cuando la partícula con carga entra en el campo magnético, sigue una trayectoria curva cuyo radio de curvatura es R. Después sale del campo magnético al cabo de un tiempo t1, habiendo sido desviada una distancia ∆𝑥1. A continuación la partícula viaja en la región libre del campo e incide en la pared después de sufrir una deflexión total de ∆𝑥. (a) Encuentre el radio R de la parte curva de la trayectoria. (b) Determine t1, el tiempo que la partícula pasa en el campo magnético, (c) Determine ∆𝑥1, la desviación

64. La figura muestra un dispositivo usado por Dempster para medir la masa de los iones. La puerta S es un cámara en la cual se está efectuando una descarga en un gas y produce un ión de masa M y carga +q casi sin velocidad. El ión se acelera mediante una diferencia de potencial ∆V y se hace ingresar en magnético B. En el campo describe un semicírculo y va a chocar contra una placa fotográfica a una distancia x de la abertura de entrada dejando ahí su marca. Demuestre que la masa M está dada por la ecuación

M=

382

qB 2 x 8(∆V )

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Campo magnético y fuerza magnética

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67. Un alambre flexible cuelga del punto P en una región donde hay un campo magnético horizontal uniforme de magnitud B, dirigido hacia el plano de la figura y perpendicular a él. Se sujeta una pesa a la parte inferior del alambre a fin de proporcionar una tensión uniforme T a todo el alambre de peso despreciable. Cuando fluye una corriente I de la parte superior a la inferior del alambre, éste se curva para formar un arco circular de radio R. (a) considerando las fuerzas que actúan sobre un segmento pequeño de alambre que subtiende un ángulo θ. Demuestre que el radio de curvatura de alambre es R = T/IB. (b) Si ahora se retira el alambre y en el punto P se lanza una partícula con carga –q y masa m en la misma dirección en la que se extendía a partir de P, demuestre que la trayectoria de la partícula sigue el mismo arco circular formado por el alambre si la rapidez de la partícula es v = qT/mI.

65. Una barra conductora de masa m y longitud L se desliza sobre rieles horizontales conectados a una fuente de voltaje. La fuente de voltaje mantiene una corriente constante I en los rieles y en la barra, y un campo magnético vertical uniforme ��⃗ 𝑩 llena la región comprendida entre los rieles como se muestra en la figura. (a) Despreciando la fricción, determine la magnitud y la dirección de la fuerza neta que actúa sobre la barra conductora. (b) Si la barra tiene un masa m, halle la distancia d que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles a partir de su posición de reposo hasta alcanzar la velocidad v

68. Cierta bobina de voz de un altavoz tiene 50 espiras de alambre y un diámetro de 1,56 cm, y la corriente que fluye en la bobina es de 950 mA. Suponga que el campo magnético en cada punto de la bobina tiene una magnitud constante de B = 0,22 T y está dirigido a un ángulo de 60° hacia afuera respecto a la normal al plano de la bobina como se muestra en la figura. El eje de la bobina está en la dirección y. La corriente en la bobina tiene un sentido anti horario. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza magnética sobre la bobina.

66. Una partícula alfa cuya carga es q = +2e que tiene una masa m = 6,65.10-27 kg se mueve en una trayectoria circular de radio R = 0,5 m en el �⃗ = interior de un campo magnético 𝐵 � �−1,00𝑘�𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎, como se muestra en la figura. Determine: (a) el período del movimiento, (b) las velocidades lineal y angular del movimiento de la partícula alfa y (c) la energía cinética (en electronvoltios) de la partícula alfa

69. Un alambre aislado de masa m = 5,4.10-5 kg está doblado en forma de U invertida, de tal modo que la parte horizontal tiene una longitud l = 15 cm. Los extremos dolados del alambre se encuentran parcialmente sumergidos en dos depósitos de mercurio, con 2,5 cm de cada extremo debajo de la superficie libre del mercurio. La estructura entera se halla en una región donde existe un campo magnético uniforme B = 6,5 mT dirigida hacia el interior de la página como se muestra en la figura. Se establece una conexión eléctrica entre los

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Física General III

Campo magnético y fuerza magnética

depósitos de mercurio a través de los extremos del alambre. Los depósitos de mercurio están conectados a una batería de 1,50 V y a un interruptor S. Cuando se cierra S, el alambre salta 3,5 cm en el aire, medidos respecto a la posición original. (a) Determine la rapidez v del alambre en el momento en que sale del mercurio, (b) suponiendo que la corriente I a través del alambre fue constante desde el momento en que se cerró el interruptor hasta que el alambre salió del mercurio, halle el valor de I.

70. El circuito de la figura está formado por una batería cuya fem es 𝜀 = 24 𝑉, conectada por alambres en su parte superior e inferior y de resortes metálicos idénticos en los lados derecho e izquierdo. La porción superior del circuito se encuentra fija. El alambre inferior de forma semicircular tiene una masa de 24 gramos y un radio de r = 8 cm. Los resortes se estiran 0,6 cm bajo la acción del peso del alambre cuando el interruptor S se encuentra abierto y el circuito presenta una resistencia total de R = �⃗ , 16 Ω. Cuando se cierra S y el campo magnético 𝐵

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72. En la figura se muestra una espira cuadrada de alambre que se encuentra en el plano xy. La espira tiene lados de longitud L y por ella circula una corriente constante I en el sentido horario. El campo magnético está dado por  = B ( B0 y / L)iˆ + ( B0 x / L) ˆj , con B0 una constante positiva. (a) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética ejercida sobre cada alambre, (b) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza magnética neta sobre la espira, (c) si la espira puede girar libremente en torno al eje x, encuentre la magnitud y dirección del torque magnético sobre la espira.

dirigido perpendicularmente saliendo del plano de la página se encuentra actuando, los resortes se estiran 0,4 cm adicionales. Determine: (a) la intensidad de corriente que fluye en el circuito y (b) la magnitud del campo magnético aplicado.

71. En el espectrómetro de masas de la figura, los iones acelerados por una diferencia de potencial V entre S y A entran en el campo magnético B que cubre un sector de 60° y son enviados a una emulsión fotográfica. Demostrar que q/m = 32V/B2D2.

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