100
Stereometrija
Resenje: а* Sa Slike 2 vidimo da је po1uprecnik opisane kruznice г= ~h, gde је sa h oznacena visina jednakostranicnog troug1a. Ako sa а oznacinю osnovnu ivicu prizme (stranicu jednakostranicnog troug1a), onda је
г= ~h = ~ · af Povrsina osnove је В=
f
2
a
Јз
=
=
43 " v'З
4
'*
а= г.ЈЗ = 2.ЈЗ ·
= з.ЈЗ.
Prizma, va1jak i sfera
101
Ь) Precnik lopte opisane oko posmatrane prizme је jednak dijagonali prizme, tj. 2R = D. Sa Slike З vidimo da dijagonala prizme predstavlja hipotenuzu pravouglog troug1a sa katetama Н i d, gde је d dijagonala osnove (kvadrata stranice а). Na ovaj nacin dobljamo 2R = v'~H~2+-d~2 = јн 2 + (a.fi)2 = Ј4+ 16·2 = vГзб = 6.
Dakle, poluprecnik lopte је R = З. Povrsina i zapremina lopte su Р= 4R 21t = 4 · 97t = З61t i V = 4R;п = 4 ·~?п = З61t .
с
4. Osnovna ivica pravilne prave sestostrane prizme је а strane d = 6. Izracunati а
А
а
Е
в
S1ika 1 S1ika 2 Ь) Zapremina kocke, koja ujedno predstavlja i zapreminu prizme, је V = = 23 = 8. Iz formule za zapreminu prizme пalazimo
ai
V=B·H
{=}
8=З.f3·Н
'*
Н= 3 ~=Ч1.
Povrsina prave praYilne trostrane prizme se sastoji iz dve baze (dva jednakostranicna trougla) i omotaca М koji cine tri pravougaonika sa stranicama а i Н. Dakle, Р= 28 +М= 2· З.јј +З ·а·Н = 6.f3 +З· 2.f3· ~ = 6.f3+ 16.
3
3. Visina pravilne prave cetvorostrane prizme је Н = 2, а osnovna ivica а = 4. а* Izracunati povrsinu i zapreminu posmatrane prizme. Ь) Izracunati povrSinu i zapreminu lopte opisane oko prizme.
а а
Slika З
S1ika 4
Re~enje: а* Prava pravi1na cetvorostrana prizma za osnovu ima kvadrat stranice а, а omotac
јој se sastoji od cetiri pravougaonika sa stranicama а i Н. Na osnovu toga vidimo da је njena povrsina Р= 2В+М = 2а 2 +4·а·Н = 2·16+4·4·2 = 64. Zapremina је V = В ·Н = а 2 ·Н = 16 · 2 = З2 .
а*
povrsinu i zapreminu prizme,
Ь)
povrsinu i zapreminu valjka opisanog oko prizme.
= З,
а dijagonala bocne
Resenje: а* Osnova pravilne prave sestostrane prizme је pravilan sestougao, а bocne strane
su p1avougaonici sa stranicama а i Н. Sa S1ike 4, koja predstav1ja jednu Ьocnu stranu prizme, vidimo da је н= Јd 2 - aZ = ЈЗ6- 9 =т= з .;з. Povrsina date prizme је
Р= 2В+М = 2·6· ауз +6·а·Н = З·9.f3+6·З · З.јј = 81.f3, а zapremina v =в. н = 6. ауз. н =з.
9
f .з .;з= i
2 3 •
Ь) Precnik valjka opisanog oko date prizme је jednak duzoj dijagonali sestoug1a (dijagona1i koja spaja dva naspramna temena sestoug1a), sto znaci da је poluprecnik valjka г = а = З. Visina valjka је jednaka visini prizme Н = З vГз раје v =в. н= г2 7tlf = 97t. з .;з= 27.f37t i Р= 28 +М= 2r 2 7t+ 2r1tH = 2 · 97t + 61t · з.ЈЗ = 187t(1 + .ЈЗ).
5. Osnova kose prizme је jednakostranicaп trougao straпice а = 4. Jed.na Ьоспа strana је normalna па ravan osnove i ima oЬlik romba kod koga је kraca dijagonala d2 = 6. Izracunati zapreminu prizme. Resenje: Potrebno је odrediti visinu prizme. Na S1ici 5 је prikazan izgled zadate prizme, pri cemu је Ьосnа strana АВВ 1 А 1 romb normalan na ravan osnove. То znaci da је visina prizme u isto vreme i visina ovog romba. Ako po1ovine dijagonala romba oznacimo sa l = !d2 =З i k = !d1, onda iz pravouglog troug1a ВОВ1 (S1ika 6) imamo daje
k=Ja2-[ 2 =J16-9=,fi
Povrsina posmatranog romba је Р= moze izracunati i kao р = а . н' to је
tJJf =
2
'*
"1_·6 =
d 1 =2,fi. 6,fi. Kako se povrsina romba
~1
102
Stereometrija
а· Н = 6~
Prizma, valjak i sfera
4 ·Н = 6У7 => Н = 'J:{l . Zapremina prizme је V =В· Н = а .(3 ·Н = 16.(3 . 3 = 6v'21. <=}
h(a+b) +Н(а+Ь+2с) 12(21 + 11) +9(21 + 11 +2·13) 384+522 = 906. Zapremina prizme је V =В ·Н= а!ь ·h ·Н= 21 11 ·12 · 9 = 1728.
=
f
2
103
СЈ
=
=
!
Ь* Presek koji prolazi kroz vecu osnovicu а donje baze i manju osnovicu Ь gomje baze је jednakokraki trapez АВС'D'. Osnovice ovog trapeza su а= 21 i Ь 11, а krak е cemo izracunati iz pravouglog troug1a ADD' Cije katete su с= 13 i Н = 9.
=
А'
а
В'
па
н А
в
а
А
Slika 5
А
в
а
Slika
б
6. Osnova prave prizme је jednakokraki trapez sa osnovicama а = 21, Ь krakom с= 13. PovrSina djjagonalnog presekaje Pd = 180. Izracunatj а) povrsjлu ј zapreтjлu prizme,
= 11
ј
Р1
а) Posmatrajmo prvo jednakokraki trapez ABCD koji predstavlja osnovu prizme. Da Ьismo izracunali dijagonalu osnove d, moramo prvo odrediti visinu trapeza.
l
В
А
D с
ь
= 5, ра iz pravoug1og trougla ВЕС nalazimo h = .Јё'Г=72 = v169- 25 = v"l44 = 12. Iz pravouglog trougla АЕС se doblja d = у'(а -!)2 + h2 = у'(21- 5) 2 + 122 = v256 + 144 = У4ОО = 20. Duzina du.Zi
ВЕ је l = ~
=
;
11
Dijagona1ni presek prizme је pravougaonik АСС'А' sa stranicama d = 20 i Н (Н predstavlja visinu prizme). Iz formu1e za povrsinu pravougaonika imamo Pd =
d ·Н
<=}
180
= а!Ь ·h1 = ! 21
11
·15
= 2ОН =>Н = 9. Povrsina prizme је Р= 2В +М= 2 · а!ь · h +аН+ ЬН + 2 ·еН =
.....
.'
<Х=б0°.
l 1
y'1t
\!,{ . 1t
.гapreminu kosog valjka ciji osni presek је romb stranice а=
2 i 11gla
Resenje: Posmatrajmo rombABCD koji predstav1ja osni presek va1jka. Sa Slike 9 vidimo da ga ·kraca dijagona1a deli na dva jednakostranicna trougla stranice а= 2. То znaci daje poluprecnik valjkajednak polovini stranice а, tj. г= 1, а visina va1jka је jednaka visini jednakostranicnog trougla Н = = ЦЖ = VЗ. Zapremina posmatranog valjka је V = В ·Н = г2 теН = те,Ј3 .
af
9.
1
.....Ј
......1
1t
8. Nacj
•. 1
= 16·15 = 240.
yfii = ~. PovгSina va1jka је
с
Slika 7 21
aEzB
Р= 2В+М = 2г2те+М = 2· ~·те+ 80 = 40+80 = 120, а zapremina V =В ·Н = г 2 те. 2г = Ш . те. ~ = 8
в
D
А
Omotac valjka visine Н i poluprecnika osnove г је М= 2гтеН. U nasem slucaju ova formula daje М = 2rn · 2г <=} 80 = 4г2 те => г 2 = ~, ра је poluprecnik osnove
г=
н
D
7. Nacj povrSinu ј zapreтjлu ravnostranog valjka (valjka kod koga је vjsjлa jednaka precлjku osnove, tj. Н = 2г) ako је povrSina omotaca М = 80. Resenje:
В' Е
с
ve
Resenje:
а-!
с
Hipotenuza ovog troug1a је е = ..;с2 + Н2 = ../169 + 81 = Y25Q = 5 VIO. Sada mozemo izracunati visinu h 1 posmatranog trapeza. Vidimo da ona predstavlja jednu katetu pravouglog trougla ВС'Е cija druga kateta је l = 5, а hipotenuza е= 5VW раје hr = 2 -z2 = v25o- 25 = v'225 = 15. Povrsina Р, posmatranog preseka је
vjcu Ь gomje baze.
А
ь
А
Slika 8
Ь* povrSin11 preseka kojj prolazj kroz vec11 osnovic11 с: donje baze ј manj11 osno-
А'
в
D
D' Ь С'
D'
И prav valjakje upisana pravilna trostrana prizma, а и nju drugj valjak. NaCi
Ј
,
..
Ј
l] Ј
1
104 а*
Stereometrija odnos njihovih zapremina,
Ь*
Piramida i kupa
odnos povrsina njihovih omotaca.
Resenje: Oznacimo poluprecnik polaznog valjka sa R, osnovnu ivicu prizme sa а, а poluprecnik drugog (manjeg) valjka sa r. Na Slici 10 prikazan је izgled njihovih · R -_ 2h _- 2 · -аvГз _ а · _ 1h _ R _ а d h osnova. V1.d.tmo d а Је 3 3 2- - vГз 1 r - 3 - 2 - 27з, g е smo sa oznacili visinu jednakostranicnog trougla. Neka Н predstavlja visinu posmatranih te1a. Zapremina polaznog valjka је а*
105 V
а
zapremina
_4
з
_4
1t
1
-3·r1t-3·в·1t=6,
novodoЬijene
lopte v1 = ~ · Rз1t = ~ . fj .1t = ~. Ove zapremine se razlikuju za - 271t-1t - 261t - 1З7t V1 - v = 21! 2 - !66 - 6 - з.
8.2
Piramida i kupa т
т
т
2r1t Slika 9
D piramida
Slika 10
а2 Н V1 = в 1·H=R 21tН= 3 ·1t . Zapremina trostrane prizme је V2 = В2 ·Н = azf ·Н, а zapremina manjeg valjka Vз = В з ·Н = r 2 1tН = т; ·1tН. Ove iapremine se odnose kao 2 2r-; 2 F; V1 : V2 : Vз = Т ·1tН : т· v ЗН : 'f2 ·1tH <=> V1 : V2 : Vз = 41t : Зv З : 1t .
Ь*
Povrsina omotaca polaznog valjka је
М 1 = 2R1tH = 2 · Јз ·1tН
=
2
~
prava
!шра
• Zapremina piramide baze в i visjne
Н
• Povrsjna pjramjde baze в ј omotaca м
V=!·B·H Р=В+М
• Zapremjna kupe (konusa) poluprecnjka osnove r ј vjsjne Н ! ·В ·НV-з - гz1tН з • Povrsjna omotaca prave kupe poluprecnjka osnove r ј jzvodnjce s м= Г1tS
.
Povrsina omotaca pravilne trostrane prizme se sastoji od tri pravougaonika stranica а i Н раје М 2 =ЗаН, а povrsina omotaca manjeg valjka је Мз= 2r1tН = 2· 2 Јз ·1tН = Odnos povrsina omotaca је 2aH1t · ЗаН · аН1t ~ М 1: М2: М з= 21t: З У-': r->з 1t . м 1· М2·· М з = Тз· ·Тз .,...".
a:/f .
·
io.
Ako se poluprecnik sfere poveca za 1, пјепа povrsina se poveca za 81t. Za koliko se poveca njena zapremina? Resenje: Oznacimo polupreenik polazne 1opte sa r, а novodoЬijene sa R. Prema uslovu zadatka је R = r + 1. Za povrsine Р polazne lopte i Pt novodoЬijene lopte vazi Р1 = Р+ 81t <=> 4R 21t = 4r21t + 81t, tj. (г+ 1) 2 = r 2 + 2 <=> r 2 + 2r + 1 = r 2 + 2. DoЬili smo lineamu jednacinu 2r = 1 iz koje nalazimo r = раје poluprecnik novodoЬijene sfere R = ~ + 1 = ~. Zapremina polazne lopte је
!,
• Povrsjna prave kupe poluprecnjka osnove r ј jzvodnjce s Р = В +М = r 21t + r1ts = m(r + s)
11. Povrsina omotaca kupe је dva puta veca od povrsine osnove. Naci ugao kruisecka koji predstavlja omotac kupe.
Zпog
Resenje: Iz uslova zadatka vidimo da је М = 2/Ј <=> Г1tS = 2r21t <=> г =
f.
То znaci da је
povrsina omotaca М = ms = s~1t, pri cemu s predstavlja poluprecnik kruga od koga је doЬijen posmatrani kruzni isecak. Vidimo da је povrsina omotaca М jednaka
po1ovini povrsine tog kruga (kome odgovara centralni ugao od 360°), sto znaci da omotac predstavlja kruzni iseeak sa centralnim uglom а= 180°.
12. Dat је jednakostranicni trougao stranice а. Odrediti povгSinu i zapreminu tela koje se doblja rotacijom (obrtaпjem) datog trougla oko а) visine trougla, Ь* jedne stranice trougla.
106
Stereometrija
Resenje: а) Rotacijom datog troug1a oko njegove visine h doblcemo kupu cija visina је jednaka visini troug1a Н = h, а po1uprecnik osnove је jednak po1ovini st1-anice trougla r = ~ (vidi Sliku 11). Izvodnica ove kupe је s =а. Povrsina ovako dobljene kupe је 2 Р =В +М = r 1t + rns = a:1t + a;1t = З~1t. Zapremina је V = В ·Н = r21th = .!. . a21t . аv'З _ a3 1tv'З
l·
З4
l·
Piramida i kupa
107
Da Ьismo mogli izracunati povrsinu posmatrane piramide, potrebno је da odredimo apotemu ha (visinu bocne strane).
~'
Ako posmatramo presek piramide koji pro1azi kroz visinu osnove СЕ i vrh D (trougao ECD prikazan па Slici 13), vidimo da apotema predstavlja hipotenuzu pravoug1og trougla ЕТ D cije katete su
Т D =Н = 4V3
2-24"
ЕТ = r = .!.з •h = l. !!.fl = .!. • .ih2 - .!. з 2 з 2 -2.
i
Primenom Pitagorine teoreтe nalazimo ha = ЈН2 + r2 = Ј48 + zena povrsina је
1
i
._.1 '1
1
•
..JI 1 .
2
•
'
1
! = lf3. Tra-
Р= В+ МЗv'З·v'i93 - а 4у} +З· !!:.!!.. 2 -- Ш+ 4 4 -- Ш 4 (1 + •vf1М'19З <7Ј Ј
·i,,
1
--1
i
14. Osnova piramide је jednakokraki trapez sa osnovicama а= 5 i Ь = З i krakom с= 7. Podnotje visine је presek dijagonala osnove. Veca bocna ivica је s = 10. Izracunati
а) zapreminu piramide, Slika 11
Slika 12
Ь* Kada trougao rotira oko jedne svoje stranice, dobljamo telo koje se sastoji od dve kupe spojene duz svojih osnova. Poluprecnik osnove ovih kupa је visina jednakostranicnog troug1a, tj. r = h, а visina kupe је jednaka polovini stranice trougla, tj. Н= ~- Izvodnica kupe је s =а. Ako sa М oznacimo povrsinu omotaca kupe, onda је povrsina dobljenog tela
Р = 2М = 2r1ts = 2h1ta
= 2 · ~ · 1ta =
Ь* manju bocnu ivicu.
а) Oznacimo dati trapez sa АВСD, а vrh piramide sa L. Osnovice su АВ =а= 5, DC = Ь = З i presek dijagonala tacka Т. Tada su vece bocne ivice AL i BL. Oznacimo podnoZje visine trapeza h iz temena D sa Е, а duz АЕ sa l. Vidimo da је l = а2ь = 1. Iz trougla AED nalazimo h = Јс 2 -[2 Ј49 -1 = 4V3. Oznacimo dijagonalu osnove sa d.
З
-
З
ЈI.П -
З
2 -
З
4
-
a 2 1tVЗ .
L
4
м
в
··'
пјепа zapremina V =З.
~ј
А
D
1
D
ь
с
D
N
с
""1
l_j
S1ika 14
је ЕВ = а- l = 5 - 1 = 4, to iz pravouglog troug1a BED dobljamo d = 2 2 yl(a -1) +h = V16+48 = Ј64 = 8. Omacimo sredine osnovica sa М i N. Jasno је da tacka Т pripada d11Zi MN. Tacka Т deli dijagonalu BD па dva dela: ВТ = т i ТD = n. Troug1ovi BED i ВМТ su s1icni ра su im odgovarajuce strane
Ј
Kako
в
Е h с Slika 13 Prava pravilna trostrana piramida za osnovu ima jednakostranican trougao, а podnozje visine piramide se na1azi и tezistu osnove. Iz formule za zapreminu dobljamo
Resenje:
2
V=l·B·H=t·a f·H
<=?
З=/}·Н
=:.
H=4V3.
1
i •• ,
13. NaCi povrSinu prave pravПne trostrane piramide osnovne ivice а = vГз ako је D
"'\
=
Zapremina dobljenog tela је jednaka dvostrukoj zapremini kupe V _ 2. ВН _ ~ • г2-и _ ~ . h21t. g_ _ !Ш . За 2 _ a 3 1t -
., '
Resenje:
proporcionalne
ВЕ : ВМ = BD: ВТ <=? (а -l) : ~ = d: т <=? 4: ~ = 8: т . Pos1ednja proporcija nат daje 4т = 20 =? т = 5. Sada, posmatrajuCi pravougli trougao BLT (sa pravim ug1om kod temena Т), mozemo izracunati visinu
i] 1
,..,
t:l
-,
1
Stereometrija
108
LT =Н= vs2 -m2 = v100-25 = 5V3. Zapremina posmatrane piramide је v = l· в. н= l· h. н= l· 5 3 . 4v3. 5vГз = 80. Ь* Da Ьismo izracunali duzinu manje Ьосnе ivice е, posmatrajmo trougao LTD. Njegove katete su LT = Н = 5 vГз i DT = n = d -т = 8 - 5 = З раје 2 +n 2 = v75 +9 = vГs4 = 2vГzf. е=
aib.
!
vH
15. Povrsina dijagonalnog preseka prave pravilne cetvorostrane piramide је jedпaka Pd = 12, а oЬim osnove је О= 8. Izracиnati а* povrsinи
Ь* povrsinи
i zapreminи piramide, i zapreminи kире иpisane
и piramidи.
Resenje: а* Osnova pravilne cetvorostrane piramide је kvadrat. Ako njegovu stranicu oznacimo sa а, iz formu1e za oЬim kvadrata О = 4а doЬijamo da је а = 2. Dijagonalni presek pirarnide је jednakokraki trougao sa osnovicom jednakom dijagonali kvadrata d =аЛ= 2Л i visinom koja је jednaka visini prizme Н (Slika 15). Iz formule za povrsinu trougla doЬijamo pd = dZH {::} 12 = 21-Н => Н= = 6Л. Zapremina posmatrane piramide је V = i·B·H = l·a 2 ·H = l·4·6J2=8J2. Apotemu ha nalazimo iz pravouglog trougla EFG cije katete su Н= 6..;2 i ~ = 2 1 primenom Pitagoгine teoгeme ha = ..јн 2 + (~) = v72+ 1 = .ј73. Povrsina
Piramida i kupa
109
Izvodnica kupe је jednaka apotemi, tj. s = ha = V73. Povrsina kupe је Р= В +М= г2 1t+г1ts = 1t +1tV73 = 1t(1 + V73). 16. И datи pravи kири polиprccnika osnovc г i visinc Н = гЛ иpisna је kocka AВCDA'B'C'D' tako da osnova ABCD Iezi и osnovi kире, а temena А', В', С' i D' pripadajи omotacи kире. Odrediti odnos zapremina kире i kocke.
Resenje: Polozaj kocke u datoj kupi prikazan је na Slici 17. Ako posmatramo osni presek MTN (MN = 2г i ТО= Н), videcemo da on prolazi kroz dijagonalu osnove kocke АС = d = аЛ, gde smo sa а oznacili ivicu kocke. Trouglovi TON i C'CN su slicni ра va:li
ТО :С'С = ON : CN {::}Н :а =г : (г- ~) {::}гЛ: а = г : (г- af} Poslednja proprcija daje г 2 Л- га= га {::} 2га = г2 Л => а= r.{i. Prema formulama za izracunavanje zapremine kupe V1 i zapremine kocke
. ~ ЈапlО V2 =
!·~·Н а
~ = !·r;lt·rv'z ~ = & 8
4
4
= Т
v2 doЬi-
·
т
Jz
т
posmatrane pirarnide је Р =В +М = а 2 + 4 · ~ = 4 + 2 · 2 · V73 = 4( 1 + V73) .
м
А
О
С
N
Е
Slika 17 17. Osnovna ivica prave pravilne trostrane piramide је а= 10, а иgао koji bocna strana zaklapa sa osnovom је а = ЗОО. Izracиnati а) povrsinи i zapreminи piramide, ь• dиzinи ЬоСпе ivice.
Resenje: в
А
Slika 15
А
а
в
Slika 16
Ь* Poluprecnik kupe upisane u piramidu (Slika 16) је г = ~ = 1, а visina је jednaka visini piramide Н = 6Л. Zapremina kupe је V = l· В· Н = г2 1СН = l·1t · 6Л = 21tЛ .
l·
а) Posmatrajmo zadatu piramidu АВСD prikazanu na Slici 18. Ugao izmedu boene
strane ACD i osnove АВС је ugao izmedu apoteme DE i visine osnove ВЕ. Visina h = ~- Iz pravouglog osnove је h = ~ = 10 = 5.ЈЗ, а duz ЕТ= х= trougla ЕТ D nalazimo
f
l.
Н =х· tg а= ~ . tg ЗО0 = ~ . -јз = ~. Zapremina piramide је V = -з' ·В· Н= -з' • а 4у1 ·Н = lз . НЈОЈЈ . ~з- 125ЈЈ Kako Ј· е 4 9 · 2
110
Stereometrija
u pravoug1om troug1u ETD ugao naspram katete Н jednak ЗО0 , to је hipotenuza ovog troug1a, koja ustvari predstavlja apotemu ha, dva puta veca od katete Н, tj. ha=2H= .!ј. D
ZaruЬijena piramida i zaruЬijena kupa
Resenje: Posmatrajmo osni presek АВТ prikazan na SJicj 19. Tacke М i N dele visinu ТО u odnosu 1:2:З раје ТМ =х, MN == 2х, NO = Зх i ОТ =Н= бх. т
D с
в
111
~
Е
х
Т
У
1 '
В
1
А
Slika 18
Povrsina pirarnide је
А
2
р= В+М = а р +З·~= J~fl +З· Jo;-'f
=
Ь* Bocnu jyjcu s jzracunavamo jz pravouglog trougla BTD. S obzirom da su katete TD =Н= ј ТВ= у= 2х = ,rз. to је
i
/Н2 +у2Ј ђ_+ ЈООfiii- 5·/П 9 з -у<гз ·
О
В
Slika 19 Potrebno је da odredimo poluprecnike ГЈ i г2 vece ј manje osnove zaruЬ!jene kupe koja predstavlja srednji deo polazne kupe. Iz slicr:osti trouglova АОТ i A'NT imamo 6.х: г= 3х: ГЈ {::} бхГЈ = Зхг:::} ГЈ = Iz sljcnostj trouglova АОТ i А" МТ irnamo бх : г = х : г2 {::} 6.хг2 = хг :::} Гz = ~. Visjna zaruЬ!jene kupe је Н Ј = 2х ра је njena zapremina
5·
S _,
8.3
г
25(v'З +2).
ZaгuЬijena piгamida i zaruЬijena kupa
VJ = 1·1t. НЈ
И+ ГЈГz + t1)
=
t ·1t. 2х ( ~ + 5. ~ + ~) = t ·Г2 1tХ ·н ·
Kako је zapremina polazne kupe V = VЈ
Ј
1· г2 rt · Н = 1·г2rt . 6.х, to је
__ ,
13
З •Г7tХ·-
1З
._jl
-=Ј Ј8=-. V З. г21tХ. 6 108
zarubljena piramjda
zaruЬ!jena
kupa
19. Izracunati povrsinu omotaca prave zaruЬJjene kupe ako njena izvodnica za0 klapa ugao od ЗО sa ravni osnove, а povrsina osnog preseka је Р = 5. А' г ОЈ г В'
• Zapremjna zaruЬijene pjramjde сјје baze su ВЈ ј В2, а vjsjna Н V =
Р=ВЈ +В2+М
t
18. Иsina prave kupe podeljena је и odnosu 1 : 2 : З racunajuCi od vrha ravnima
koje su paralelne ravni osnove. Odrediti odnos zapremine srednjeg dela i zapremine polazne kupe.
А
R
О г Е
R-г
в
Slika 20
Resenje:
lzgled osnog preseka АВВ'А' је prikazan na Slici 20.
То је trapez sa osnovicama
а = 2R i Ь = 2г i vjsinom h = Н, gde R predstavlja poluprecnik vece osnove zaruЫjene kupe, а г poluprecnik manje osnove, dok је Н visina zarubljene kupe. Polazecj od formule za izracunavanje povrsine trapeza dobljamo
P='1!-·h
{::}
5=2Rt_2r.н
i
!Ј
t ·Н· (ВЈ+ .,/ВЈВ2 +В2)
• Povrsjna zaruЬijene pjramjde сјје baze su вЈ ј В2, а omotac м • Zapremjna zaruЬijene kupe po/uprecnjka osnova R ј г ј vjsjne Н V = ·Н(ВЈ + .,jBJBz +Bz) = П!ј · (R 2 +Rг+г2 ) • Povrsjna zaruЬijene kupe po/uprecnika osnova R ј г ј jzvodnjce l Р= ВЈ +Bz +М =R 2 rt+г2rt+ (R +г)rtl = 1t(R 2 +г2 +Rl +г!)
1 .....Ј
{::}
(R+г)Н=5.
!Ј
IJ IJ 1 1
!
1
112
S tereometrija
Iz pravoug1og troug1a ЕВВ' kod koga је hipotenuza ВВ' jednaka izvodnici /, s obzirom da је ugao L.EBB' =а= ЗО0 , zak1jucujemo da је Н= ~ раје (R+г)Н=5
<=*
(R+г)·~=5
<=*
(R+г)/=10.
Ako iskoristimo ovaj rezu1tat, dobicemo da је povrsina omotaca posmatrane zarub1jene kupe jednaka М= (R + г)тtl = 10тt. 20. Dataje prava pravilna trostrana zaruЬljena piramida sa osnovicama а= 9, Ь =З i bocnom jvicom с= 5. Izracunati а) ПJenu povrsjпu ј zapremjлu, Ь*
povrsinu ј zapreminu
zaruЬljene
kupe
орјsпе
oko nje.
Resenje: а)
Povrsina zaruЬljene piramide se sastoji od dva jednakostranicna troug1a: АВС stranice а = 9 i А' В' С' stranice Ь = З i tri jednakokraka trapeza sa osnovicama а i Ь i krakom koji је jednak bocnoj ivici с= 5. Da bismo odredi1i visinu trapeza h, podimo od duzi DC = l (S1ika 22) koju na1azimo kao l = а·:;,Ь = 9 ; 3 = ~ = З. Iz pravoug1og troug1a DCC' dobijamo h = Ј с2 -[2 = v25 - 9 = 4. Povrsina zaruЬljene piramide је р= Bl +В2+М = + ь2f +З· аiь ·h =
ay'S
=
8lf +~+З· 9!3 ·4 = 90f +72= 45f +72.
Da Ьismo izracuna1i zapreminu zaruЬljene piramide, potrebno је da odredimo visinu Н. Podimo od visina troug1ova АВС i А'В'С' (S1ika 21) h 1 = af = i h2 =
~
2:f
za vezbu
113
Ь* ZaruЬljena kupa opisana oko date zaruЬijene piramide ima za po1uprecnike osnova R = ~h1 = ЗЈЗ i г= ~h2 = ЈЗ, visina јој је jednaka visini zaruЬijene piramide Н = ЈIЗ, а izvodnica l је jednaka bocnoj ivici l = с = 5. Povrsina posmatrane zaruЬljene kupe је .·.· р= тr(R 2 +г2 +Rl+гl) = тt (27 +3 + 15v'з +5v'з) = 10тt(З +2v'з), azapremina V = ·тtН(R 2 +Rг+г2 ) = ·тtЈТ3(27+9+3) = IЗтrЈТЗ.
t
t
8.4 Zadaci za vezbu 1. Osnova prave prizme је jednakokraki trougao osnovice 30 i po1uprecnike upisane kruznice г = 1О. Izracunati kolika је zapremina ako је visina prizme [Н= 36, V = 19440] jednaka visini troug1a koja odgovara osnovici. 2. Za ko1iko se mora povecati visina pravog va1jka ра da povrsina omotaca novodoЬijenog va1jka bude jednaka povrsini datog va1jka? Za ko1iko se pri tome poveca1a zapremina? [h 1 = h +г, V1 = V + г 3 тt] З.
Pravoug1i trapez osnovica а= 10 i Ь = 2 i povrsin~ osnovice. Naci povrsinu i zapreminu nastalog te1a.
Р=
90 rotira oko vece
[Р= 540тt,
4. Osnovna ivica pravilne prave cetvorostrane piramide је а = 2, ivice prema bazije а= 60°. Naci povrsinu i zapreminu.
V = 1050тt] а
ugao bocne
[Р =4(1 +../7), V
{3. Pomocu njih na1azimo
= 3
=
~]
Prav jednakoivicni para1e1opiped sa rombom и osnovi presecen је ravni koja sadrzi manju dijagona1u osnove i srediste boene ivice koja је mimoi1azna sa tom dijagona1om. Izracunati povrsinu dobijene piramide ako је osnovna ivica romba а= 2, ajedan ugao romba а= 60°. [Р= Ј3 + 4] Odrediti duzinu prostome dijagonale D ramide ako је В 1 = 4, В 2 = 1 i V = 7.
те
-- R-- з2 h 1 --
. W2
-З умз.Ј --
.
2 2 Т'С'- г -- з h 2 -- з · lfl 2 -- умз .Ј, Posmatrajmo pravougli trougao ЕСС' sa hipotenuzom СС' = с = 5 i katetama ЕС = R- г= 2v'з i ЕС' =Н. Primenom Pitagoгine teoгeme dobijamo Н= Ј с2- (R- г)2 = v'25- 12 = ЈТЗ. Zapremina zaruЬljene piramide је 2
з
V = !(BI +JBIB2+B2)H =
1
t (s!p + Jslp. 9f + 9f) .ЈТЗ =
_- iU. 8Ifl+27fl+9fl _ 4 з
З9у'19 4 .
zaruЬljene
pravi1ne cetvorostrane pi[D = ~]
Prava zaruЬljena kupa ima izvodnicu s = 5 i po1uprecnike osnova R = 5 i г= 1. NaCi poluprecnik osnove pravog valjka koji ima s njom jednaku visinu i povrsinu omotaca. [R 1 = 5]
8. u dati pravi1ni tetraedar ivice а upisan је drugi tetraedar cija su temena tezista strana datog tetraedra. NaCi odnos zapremina ovih tetraedara. V1
rv : = 27 : 1.]
9. Osni presek kupe је jednakostranicni trougao. Odrediti odnos zapremine kupe i 1opte opisane oko posmatrane kupe. (Vl : v2 = 9 : 32.]
1.14
Stereometrija
10. Povrsina lopte opisane oko prave pravilne cetvorostrane prizme osnovne ivice а = 4 је Р = 3бп. Izracunati povrsinu dijagonalnog preseka. [Pd = 8v'2.]
11. Osnova prave prizme је jednakokraki trapez ciji krak је с= 13, duza osnovica а = 21 i visina h = 12. Ako је povrsina prizme Р = 90б, izracunati [Pd = 180.] povrsinu dijagona1nog preseka. 12. Osa kose kupe је nagnuta prema ravni osnove pod uglom а= б0°. Izracunati zapreminu kupe ako је rastojanje izmedu centra osnove i vrha kupe jednako [V = ~-] precniku osnove 2r = 2. 13. Povt·sina kupe upisane u pravu pravi1nu cetvorostranu piramidu osnovne ivice а= 2 је jednaka Р= (1 + V73)n. Izracunati povrsinu i zapreminн piramide. [Р1 = 4(1 + V73), V = 8v'2.]
Zadaci za vezbu
115
para1e1na је ravni osnove. Izracunati povrsinu dobljene zaruЬijene piramide. [ ~ (45v'з + 9v'91)]
\
~(,
21. (ЕО, МЕН- 03) Izracunati zapreminu pravilnog tetraedra ako mu је rasojanje izmedu sredina dve naspramne ivice V2. (~] 22. (SO, GO- 03) Poprecni presek kana1a је jednakokraki trapez sa osnovicama а = 1Om, Ь = 4m i krakom с = 5m. Kopanje kana1a је trajalo б dana i svakog danaje iskopano 100m duzine. Kolikaje zapremina iskopane zem1je i ko1iko dana Ьi traja1o kopanje daje svakog dana iskopano 120m duzine? [V = 1б800m 3 , n= 5]
23. (SO, GO - 04) Data је kocka ABCDA 1B 1C 1D 1 zapremine 64. Ako је S sredina ivice A1D1 odrediti povrsinu piramide AВCDS. [Р= 24+8VS +8v'2J
14. Oko kocke povrsine Р= 32 opisanaje 1opta. Izracunati zapreminu dela 1opte iznad gomje strane kocke. [V = ~(3n- 2v'з).] 15. Osnova kose prizme је pravilan sestougao stanice а= 4. Dve para1elne Ьосnе strane su normalne na ravan osnove i imaju oЬiik romba cija duza dijagonala је d1 = 2-/7. Izracunati zapreminu prizme. [V = 3бv'21.] 1б. Zapremina kosog va1jka kod koga izvodnica zaklapa ugao а = б0° sa ravni osnove је V = 8nv'з. Odrediti po1uprecnik osnove ako se zna da је osni presek romb. [г = 2.]
17. Prava pravilna cetvorostrana piramida је podeljena na tri dela ravnima koje su para1e1na osnovi tako da је visina srednjeg de1a dva puta veca od visine gomjeg de1a, а visina donjeg de1a jednaka polovini visine polazne piramide. Odrediti odnos zapremine po1azne piramide i doЬijenog srednjeg de1a. [V: Vt = 108 : 13.]
18. lzvodnica prave zarubljene kupe zaklapa ugao а= 30° sa ravni osnove. Ako је povrsina omotaca М= 101t, odrediti povrsinu osnog preseka. [Р= 5.] 19. (ЕО, МЕН - 02) Izracunati zapreminu 1opte upisane u pravilan oktaedar ivice а. (Pravilan oktaedar se sastoji od dve jednakoivicne prave pravi1ne cetvorostrane piramide koje imaju zajednicku kvadratnu osnovu, а vrhovi tih piramida su sa raz1iCitih strana te osnove. [V = a 3{61tJ 20. (SO, GO- 02) Prava pravilna sestostrana piramida cija osnovna ivice је а= б а bocna ivicea s = 1О, presecena је ravni koja prolazi kroz sredinu visine а
..... 1
""\
1
IJ
Ј
IJ Ј
.,
jul 2(}() 1. godine
ELEKTROTEHNIKA IRA (;UIVARSTVO, SAOBRACA.! I GRABEVINARSTVO (prijemniispit ujulu 20()1 i septembru 20()]. i2002. godineje bio isti za ove tri struke)
10.
Visina i izvodnica kupe odnose sa kao 1: 2, a njena zapreminaje I OOOJrem). Izracunati povrsinu kupe.
Kako
je
I-I : s
= I: 2,
V=.!_r'JrH=IOOOJreIl13
to
je
s = 2H. Iz
r' = s' -
sledi daje H=IOem, paje 3 povrsina kupe je P = 1'2Jr + r7lS= IOOJr(3+ 2Ji)em2.
I'
I-/'
sledi
= IOJiem,s=
da
je
I'
= H Ji. Iz
2 Oem.Dakle, trazena
ELEKTROTEH1VlKA
10.
1 RACU1VARSTVO, SAOBRACA.l1
Pravougli trougao cije su katete a = 3cm nastalog rotacionog tela.
v=
I
:r
GRADEVINARSTVO septembar 2001
b = 4cm rotira oko katete b. Naci zapreminu
S·H, 1
H =b=4cm
V=
r=a=3cm
V = 12JrcmJ
:r
9Jr·4
ELEKTROTEHNlKA GRAfJEVINARSTVO
8.
1 RACUNARSTVO,
MEHATROJVlKA, SAOBRACA.l1 septembar 2002
Osnova prave pravilne sestostrane piramide je upisana u osnovu valjka a njen vrh lezi u centru gomje osnove valjka. Ako je visina piramide /1=6 em, a njena zapremina V povrsinu valjka.
= 12Jicm
J,
naci
r=£I
a'13
1 1 V =-8·/-/ =-6 ·--·6= 3 3 4
P, = 2nr/1 + 2r';r
P"
= 32;r
t;
12,,3 =:>a =2
E LEKTROTEHNIKA
10.
I RACUNARSTVO;
il.fEHATRONIKA
jul2002
Izracunari zapreminu lopte upisane u pravilni oktaedar ivicea. ( Pravilni oktaedar se sastoji od dve jednakoivicne prave pravilne cetvorostrane piramide koje imaju zajednicku kvadratnu osnovu, a vrhovi tih piramida su sa razlicitih strana te osnove.)
Neka je S oentar upisane lopte u oktaedar ABCDVV' ,tj. presek dijagonala AC i BD kvadrata ABCD i neka je T normalna projekcija tacke S na ravan trougla Bev (kako je u pitanju pravilnui oktaedar to tacka T mora da bude bas teziste trougla BCV). Sa r oznacimo poluprecnik upisane lopte Ako je P sredina ivice BC tada iz pravouglog trougla STP sledi da je
, , , , a' I aJ?, r: = ST- = SP- - PT- = --(---)4 3 2 1 - f7 V =-a'-.;6 n. 27
,
a-J6.
tj. r = --. pa 6 .
je
.
v
zaprermna trazene lopte
ELEKTROTEHNlKA
10.
IRA CUNARSTVO;
111EHATRONIKA
ju120()3
Izracunati zapreminu pravilnog tetraedra, ako mu je mstojanje izmedu sredina dve naspramne ivice (7 bodova)
.J2.
Ako sa MiN oznaeimo redom sredine ivica AB i CD tetraedra ABCD a sa a=AB to iz pravouglog trougla AlviN sledi da je 2 (;)
+ (51 = (~ a.J3) 2 odnosno
v=!..a2.J3.a 3
4
{2=a3.J2.
V3
12
da je
{/ = 2.
Sledi da je zapremina
tetraedra jednaka
ELEKTROTEHNIKA
IRA CUNARSTVO;
MEHATR01VIKA
juI2()04
ELEKTROTEHNIKA
I RACUNARSTVO;
l11EHATRONIKA
jul2005
ELEKTROTEHNIKA
IRA CUNARSTVO;
l11EHATRONIKA
6.
Povrsina rombaje P, = 18, ajedan od njegovih uglova je a =
juI2()()6. godine
~.
lzracunati povrsinu
ornotaca tela koje nastaje rotacijom romba oko njegove strauice. Ako je a stranica romba i h visina romba koja je naspramna ostrom uglu, tada je
I
teje h= -a.lz
2
!!_ = sin a = _!_, a
1
]8 =P; = h ·a= _a2 dobijamo a= 6.
2
Povrsina P obrtnog tela sastoji se od povrsine
omotaca valjka visine a i poluprecnika osnove h, i
POI'
dye povrsine POK omotaca prave kupe sa izvodnicom (/ i poluprecnikom osnove II:
,
POI'
2
=a(2h7l)=a-7l=367l,
1 ,
POK
Zakljncak: P = POI' + 2POK = 727l.
=h7la=-a-7l=187l,
2
ELEKTROTEH1VlKA
8.
1 RA CUNARSTVO;
MEHATRONlKA
ju12007. godine
Sve boone ivice prave, pravilne, trostrane pirarnide jednake 1 i neka su i uglovi izmedu svake dve 7r
bocne ivice jednaki -. 2 a) Izracunati zapreminu i povrsinu pirarnide. b) Izracunati visinu piramide. a) Ako bocnu stranu piramide uzmemo za osnovu, tada je to piramida cija osnovaje pravougli trougao cije katete sujednake I, a visina piramideje takodje I, paje zapreminajednaka
I -·1 I _. 3 2
rn
= - . Povrsina se sastoji od povrsine tri pravougla trougla i povrsine jednog 6
jednakostranicnog trougla stranice
..fi,
pa je povrsina jednaka 3."!_
2
+ ( ..fi)2.J3 _II2 (3 +.J3) I. 4
b) Ako sada uzmemo da je osnova piramide jednakostranicni trougao stranice
. pirarm . idee jei d na k a 3I zapremma
(..fi)2.J3 4 . Hid= 6'
0
. H a kl e je
..fi,
=.J3I = 1.J31 3.
tada je
ELEKTROTEHNlKA
1RA t;UNARSTVO; MEHATR01VlKA
jill 2(}(}8. godine
Od kocke ivice 2 + ,fi odseeeno je 8 rogljeva (pirnmidlca) rako da od svake strane kocke ostane pravilan 4.
osmougao. Naci zapreminu tako dobijenog tela.
lz jednacine \f.~l,. +x+ V.:. .~ = 2 + 12 sledi ciaosnovna ivica x pirarnidice je x =
joj y
=
;fi = l,pa je zapremina trazenoga lela V = (2 + J2)3 -
8 . ~ . (t
12, a bocne ivice su ),2). y = (2 + v'2j3 - 4-
ELEKTROTEHNlKA
lRACUNARSTVO; MEHATRONIKA
Beene ivicc pravc pravilnc ~ctvorOSlranc piranudc
4.
SlI
ju12009. godine
jednakc I.a ivica njcnc kvadratnc osnovc jednaka jc x,
a) Odredili zapreminu V (x) te piramide Uzavisnosri od .r. h) Odredui za kojer, funkcija lI'(x) ima maksimum, akoje IV(.<) = 18V2(x).
c) Da lije i zaprcmina V~v) maksimatna za to islll vrcdnost x,? Ako jestc izracunati I~,,,,x= V(.v,}.
a) Potrehno je ndredili visinu H zadate piramide. Primenom Piragorine teoreme dobija se cia je H
=
J
2
I - (~)
=/
I-
?, x E 1-,,'2, v'2J. Zapremma posmatrane piramide je V =
tBH = ~i,-?,XE (-v'2,v'2J. h) lI'(x) = ISV2(x) = ISi;( I - 4-) = 2t _x6. 1I"(x) = 8xJ - 6.,-\ pa je W'(x) = 0# 2.<3(43,,2) = 0# (x = OVx = ¥ Vx= -¥). Kakoje x ivica osnove piramidc mora biti.v » O. 4
10
¥.
1V"(.r) = 24.\·2- 3Ox4• P" jc IV" (¥) < 0 i funkcjja II' (x) ima maksimum U lacki .<1= c) Funkcija V(x) je poziuvna, funkcijc V(x) i II' ~r) su reprekidne te II ~,.)i IV(.r) istovrcmcno rastu i opadaju 510waci da moraju imati eksirem u istoj l:tcki. Zapremina V (x) je maksimalna 1.<1 1$IU vrednost XI = i VnllJ.....= V =
¥
(¥) W.
ELEKTROTEHNIKA
I RACUNARSTVO;
MEHATR01VlKA jut 2010. godine
Neka su P, Q i R tri temena kocke susedna ternenu E te iste kocke. Izraeunati odnos duzina telesne dijagonale kocke i visine piramide EPQRciji vrh je tacka E.
4.
Resenie: Neka]e ivica kocke (I i visina pirarnide h. Prvi nacin: Ako je T teziSle 6PQR, Iada je T E2 = EP2 - T p2 "* 1,2= 02 Drugi nacin:
*0"
Kako je zapremina piramide VEPQR
= J,• J (012]'.;3." Ij." = *(1)3. Trafeni odnosje •
n
2
(""~).;3) "'" I, = !(/)3. '''(( =:;. jednnka seslini zapremine kocke, 10 iz I'EPQR= ~B." sledi
t"J, =3.
'fa
.J
E sa ivicama EP, EQ, ER su jednaki uglovima koje obrazuje visina piramide sa till) isrim ivicama, pa visiua pripada dijagouali. Kakoje visina piramide nonnalna na D.PQR (jer je pmvilna). 10 je i telesna dijagonaln normalna na D.PQR. Uoci,no dijagonalni presek kocke, prnvougaonik cije strauicc su (I i aJ2. Dijagonala tog pravougaonika oJ}) je rclcsna dijagonala kocke, a projekciju stranice (Ina IU dijagonnlu je Imzena visina hIe piramide. jer je ravan trougla PQR nonualna nil telesnu dijngonalu kocke. pil se projekcije taeaka P,Q,R na telesnu djjagonalu poklapaju sa tezisrem 6PQR. Katetu (I pravouglog rrouglajc gcomerrijska srcdina njenc projckcijc It na hiporcnuzu ihipotcnuzc 0';3, pa jc a~ .{/J3 Ij. *a,j3 i ~ 3. Cetvr!i ~acin:Projekcije neke rri ivice kocke nil telesnu dijagonalu re kocke prekrivaju celu dijagonalu, a bez krajnjih tacaka one su medusobno disjunktne. Kako re ivice kocke obrazuju iste uglove sa relesnom dijagonalom freci nacin: Uglovi koje obrazuje dijagonala kocke iz rernena
,,=
="
=
kocke, sledi da su ie tri projekcijejednake.
od kojihje jedna visin:l" piramide
EPQR, pn je
Irflleni 0(In05 3: .1= 3.
ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE - ELEKTROTEHNIKA, RACUNARSTVO, ANlMACIJA U INZENJERSTVU I MEHATRONIKA, FTN NOVI SAD 29.06.2011.
3. Izvodnica prave kupe je I, a poluprecnik osnove je x. a) Odrediti zapreminu V = V(x) te kupe u zavisnosti od x. b) Odrediti maksirnum
F,,,,,,
funkcije F = F(x) , ako je F =
!rVZ.
c) Odrediti maksirnum v"u
V= iX21t\1l-.~ *>V2=~x4~(I_x2) *> ~V2 =x4(I_x2) _6x5 +4x> = -2.~(3x2 - 2), pa iz F' = 0 sledi da je x = ov.; =
Resenje:
F' =
(pa i funkcije
=F. IzF=-i'+x4 sledi da je izvod Ocevidno je da maksirnurn funkcije F
t. V) nastupa za x = Ii· Prema [Orne F,,",X = ii i V,,",x= 92:;I'
RESEN.JA ZADATAKA SA PRI.JEIVINOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA ELEKTROTEHNIKU, RACUNARSTVO, ANIMACI.JU U INZEN.JERSTVU I MEHATRONIKU, FTN NOV~ SAD 03.07.2012.
3. Borne ivioe prave pravilne trostrane pirrunide su jednake 1, a) Odrediti zapreminu V =
11(,,)te pirnmide
IIznvisnosti
fl.
ivica osnove je x.
od
3:.
b) Odrediti ruaksimum F"wz funkcije F = F(3:), nko je F = 144Vl. c) Odrediti rnaksimum 1I",.z flLnkcije II = lI(x)
V= tZ·,-&J1- ~: .,,144112=_x6+ 33;' =F b) F' = -63:" + 123;3 = 0 .,. " = ± ,,'2. F"wz = F( /2) = -8 + 12 = 4. c) Ocevidno je da maksirnurn funkcije F (Po.i funkcije V) nastupa za s: = /2. Prema tome V"wz = V( /2) = !;. ReSenje: a) V=
tZ·fiJ1-(~qfif'"
RESENJA ZADATAKA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA OBLASTI: ELEKTROTEHNIKA, RACUNARSTVO, ANIMACIJA U INZEN.JERSTVU, BIOMEDICINSKO INZENJERSTVO I MEHATRONlKA Ol.()7.2013.
9. U loptu poluprecnika R = I upisana je prava kupa cija je visina x. lzraziti zapreminu kupe kao funkciju njene visine, Za koje .rje zapremina kupe najveca?
Resenje: Nekaje r poluprecnik baze upisane kupe. Tadaje,2 = R2_ (x- RJ2= 1- (x- 1)2 = 2x-.,2. Zapremina V kupe je V = !r21t.t = I(2t - .,2)x = I(2r2 - .,.3). Posmatrajmo funkciju J(x) = 2,2 - ..-3, za .r > O. Njen prvi izvod J'(.<) = 4.<- 3.,2= .«4- 3x). Za xE (0, je f'(x) > 0, a za xE (~,~) je J'(x) < O.Sledi da funkcija j', pa i funkcija V zapremine kupe, ima maksimum za x = ~.
s)
SA OBRACAJ I GRABEVINARSTVO
9.
jill 2002. godine
Prava pravilna sestostrana piramida osnovne ivice a = 6 i bocne ivice s = 10 presecena je ravni koja prolazi kroz sredinu visine a paralelna je ravni osnove. lzracunati povrsinu dobijene zarubljene pirami de.
VA, :VA=A,B,: AB=VO, :VO=I: 2=>0., =A,B, =3AS, =5. I=a-a, 2
=~=>h=~S2_/2 2 I
= ,J9i. 2
P = B+ B, +A1 = 6 a213 +6 a~13 +6 a+a, Ii= ~(45-J3 +9,J9i). 4
4
2
2
SA OBRACA.I I GRAEJEVINARSTVO
9.
ju12003. godine
Poprecni presek kanala je jednakokraki trapez sa osnovicama a=IOcm (gornji deo kanala), b=4cm (dno kanala) i krakom c=Scm. Kopanje kanala je trajalo 6 dana i svakog dana je iskopano 1(JOm duzine. Kolika je zapremina iskopane zemlje i koliko dana bi trajalo kopanje da je svakog dana iskopano 120111 duzine ?
Oznacimo sa IIdubinu kanala ( visina jednakokrakog trapeza).
h=~
=4m; B=PABCO=a;bh=28m2; H=6·100=600m;
Zapreminaje V = BH = 28 . 600 = l6800mJ
;
a trazeni broj dana
11 je
H =5. 120
n=-
SA OBRACA.I I GRA:l)EVINARSTVO
8.
jill 2004. go dille
Data je kocka A BCDA,B, C,D, zapremine 64cm2• Ako je S sredina ivice A,D, odrediti povrsinu piramide ABCDS.
SAOBRACA.J 8.
I GRAJ)EVINARSTVO
jill 2005. godine
Neka su 0=3 i b=Z rcdom duzine ivica donje i gomje osnove prave pravilne cervorostrane zarubljene piramide ABCDA,B, C,D,. Ako je a=45· ugao izmedu bocne ivices idonje osnove A BCD
naci povrsi IlU piramide. Trougao AA;A, je jednakokrako pravougli, pa je AA; = H te iz jednakokrakog trapeza ACC,A, imarno
2H +b.J2
= a.J2
~ H
=.J2
(a -b)=
2
.J2 2
Poprecni presek pirarnide je jednakokraki trapez PQRS cije su osnovice a i b, krak visina bocne srrane 11, a visina jednaka /-l. Stoga je
h
=
(
b)2 + H2 -_ ../323
a -2
B
Povrsina piramideje P
= B, +B?-+M = (/
+ b' +4· a +b 11=13 + 5../3
2
SA OBRACA.J I GRAJJEVINARSTVO 9.
jill 2006. godine
Neka je kocku ABCDA,B,C,D, stranice m upisana kupa cija je upisana u kvadrat ABCD, a vrhje u sredistu kvadrata A,B,C,D,. Odrediti odnos R: r, gde je R poluprecnik sfere opisane oko te kupe, a r poluprecnik sfere upisane u kupu.
n,,/,'-::-
_
':
_l-~·~~ ..-·-,-' c,
A,
.-
.
/;\'.
B
: .. ;: D: • ::
.:
'.
I
}~::'~'~''''';-:-'' :~ ...
p
Af.: ~ •..
-.i;'.
"
,'0
\ ....
Q
\
C N
8
Slika 2.
Slika i.
Neka je kocku ABCDA,B,C,D, stranice m upisana kupa cija je upisana u kvadrat ABCD, a vrhje u sredistu kvadrata A,B,C,D, .Odrediti odnos R: r, gde je R poluprecnik sfere opisane oko te kupe, a r poluprecnik sfere upisane u kupu. Poluprecnik sfere opisane (i upisane) oko kupe odgovara poluprecniku kruznice opisane (i upsiane) oko njenog poprecnog preseka, tj. Jednokakrog trougla I1MNQ, cija je osnovica MN = m , a kraci su MO ,= NO ,=
m
2
(m)! -"2
m.j5 .
=-2-
(shka2).
Poluprecnik upisane kruznice nalazimo iz izraza 2m·m
2P r=-=
o
m $-1 m$ -I m$ m$ - $+ 1. $-I = 4 -2-
m+--+--
2
2
Poluprecnik upisane kruznice dobijamo pomocu sinusne teoreme R =
b
2 S111 j3 stranica trougla I1MNq, a j3 je ugao koji se nalazi naspram te stranice. Kako iz pravouglog trougla DONq sledi da je sin LONOI =
')55
2$.
--,
5
III
, gde je b proizvoljna
.
pnmenom smusne
2
m$ teoreme na srranici MOl i ugao kod temena N dobijamo da je R =
2
5
5m
8 5 5($-1) -;- m$ -1 - 2($ -I) - 8 R_
4
5m
r: --_ 2v5 8 2-
SA OBRA 10.
ccn GRABEVllVARSTVO
jill 20()7. godine
Prva pravilna cetvorostrana piramida osnovne ivice a = 12-/2cm i bocne ivice s = l3an presecena je ravni koja je paralelna osnovi, a koja visinu deli na dva jednaka dela. lzracunari povrsinu dobijene zarubljene pirarnide.
lz slicnosti trouglova ~H, = t~H2 = If DCTH2 sledi h = TH2 = ~S2 -(
fj.T~H,
A,B, = 6.Ji.. Iz pravouglog trougla da je visina bocne stranice
~.
t/ = ../169-36·2
pornenutih trouglova H,H 2 p= BI +B2 + M
T
= (6.Ji.)
=.J97,
pa je iz slicnosti
= t TH = If .Sada je:
A ----__:_~
2
2
c
+(12../2/ +4· 6.fi~12.fi.
'T =
B
360+18../i94
SA OBRACA.T, GRAfJEVINARSTVO
I GEODEZI.lA I GEOMATIKA jill 2008. godine
Ako su BJ = 8 i 82 = 2 povrsine osnova prave pravilne zarubljene cervorostrane piramide zapremine V = 28, izracunati povrsinu njenog ornotaca M iduzinu prostorne dijagouale D.
6.
II
'\/
J
./
{'
Iz fonnule za zapreminu zarubljeue piramide mozemo izracunati njeuu visum: 28 = tH(8 + 2 + v'8-2) ¢::> H = 6. Iz povrsina baza dobijamo duziue ivica idijagonala osnova:
0=
J8= 2V2, b= V2, ell =2V2V2 =4,
d2 =
V2V2 =2.
lz poprecnog preseka JvfNPQ racunamo visum boone strane h2
= H2 + (a2b)2 =
'i ::::} ,,= fii·
Sada mozemo izracunati povrsinu omotaca:
1\1=40+b"=4.
2
\n;! =6../73
3V2. 2 v2
iduzinu dijagonale piramide:
D2 = J{2 -+- (dJ
-
dJ ;d?)2 = 45 ::::}D = 3-/5.
SA OBRACA.I,
GRADEVINARSTVO
I GEODEZIJA I GEOMATIKA j1l12009. godine
10.
Data je prava pravilna cetvorostrana piramida kod koje je ivica osnove a = 5J2[ bocna ivica s = 13. Izracunati ivicu kocke koja je upisana u piramidu tako da se gornja temena kocke nalaze na bocnirn ivicama piramide.
.~ E
-
E'
/1' ,
//12 ..--==:---
rb bl2.
I
I I
I
,
\
C2
A2
\
13
\D b
--
-/- -
I'
- ';-1 _~__
__--
. 81 B
..C1
C A
C
Neka su temena osnove piramide A, B, C j D, neka je vrh E. Neka su temena upisane kocke na osnovi piramide A I, 8" C1, 01, a nil bocnun ivicama A2, B;u C2 i 02. Neka je b = A I BI iraienaivica DiJagonalaOSllOV(! piramlde je AC = 5/2/2 10,dljagonala osnove kockeje A2C2 = b/2. Pitagorina teorema za polovinu jednakokrakog trougla AC£ daje visinu piramide H = ";"1-=-32"-_-:5"'2 = 12. [z slicnosti trouglova ACE i A2C2E sledi proporcija:
=
12 - b = b/2 ~ '120-lOb 12 10
= 12/2b
~ b
=
120
12V2+ 10
=
60
6..;2 + 5
= 360J2
-300
47
GRAlJEVINARSTVO;
SAOBRACA.I;
GEODEZI.lA I GEOMATIKA ju12010. godine
9.
Dati su poluprecnik R = 4 donje osnove zarubljene kupe i izvodnica s = 5. Ako je povrsina te zarubljene kupe P = 42rr, izracunati njenu zapreminu.
P
:..-----
_-
H
$=5
= R2n + r2n + (R + ,.)$n = [16 + r2 + (4 + r) . s]n = 42n ~ ,2 + 5,. - 6 = 0 ~ r = I (odbacuiemo r = -6) H=
------. R =4
V
J
52 -
1 = 3nH(R2+rl~
(R - ,-)2 = ';25 - 9 = 4
+r2)
=
zr
3 ·4 ·(16+4 +1) =28n
PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATlKE Sao bracaj, Gra
,
7. U pravu pravilnu zarubljenu eetvorostranu piramidu, kod koje su ivice osnova 11 = 8 i b = 2, upisana je sfera. lzracunati bocnu ivicu zarubljene piramide i njenu zapreminu, Poprecni presek ove zarubljene piramide je jednakokraki trapez osnovica a = 8 i b = 2 i krakova c. Ako je u piramiduupisanasfera, onda je u trapez upisana kruznica Ij. on je tangentni, odakle zakliucujemo dajea+b =c+c c = (8+2): 2 =5. Visina trapeza je ujedno i vis ina zarubljene piramide i racunamo je primenom Pitagorine teoreme
'*
H2=c2_(~)2
'*
H=-/25
9-4.
Zapremina V = ~. 4(82 + -/82 . 22 + 22) = 112. Bocna strana zarubljene piramide je jednakokraki trapez osnovica a = 8 i b = 2, visine c = 5 i krakova 5 koji ujedno predstavljaju ibocne ivice ove piramide. Stoga 52 = c2 + (";b)2 5 = /25 + 9 - .;34.
'*
ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Gradevinarstvo, Geodezija i geomatika
Saobracaj,
6. Povrsina prave pravilne cetvoroslTane piramide iznosi 40, a visina bocne strane je 3. lzracunati zapreminu kupe opisane oko piramide.
Neka je ABeD kvadrat u osnovi piramide, i neka je T vrh pirarnide i opisane kupe. Neka je H visina piramide i opisane kupe, h = 3 visina bocne strane piramide, i neka je Q sredina npr. duzi Be. Na osnovu date povrsine PI' piramide dobijamo Pp= 40 =02 +4h~ =02 + 60 $}
02+60-40-0
~
0
'T'T'"
-
1~2-
-6± /36tl60 2
T
-6±14 -2-
# 0 E {-10,4}, odnosno o =4 (negativno resenje odbacujemo).
A
B Iz pravouglog trougla
TSQ sledi
H=
VTQ2 -SQ2 = JIP - (!)2 = 0. Poluprecnik
osnove
opisane kupe je polovina dijagonale kvadrata koji je u osnovi pirarnide, dakle r =
tV20 = 2 V2, te
za zapreminu kupe dobijarno Vk =
-
t,21tH = t· 8·1t·
.j5 = Rf1t·
Oblasti: Saobracaj, Gradevinarstvo, Ceodeziju i geornatika, Ciste energetske tehnologije
Resenja zadataka prijemnog ispita odrzanog 03.07.2013.
6.
f) zarubljenu Ikupu je upisana lopta . Ako njena lzvodnica s duiine i) zaklapn "gao 60· sa ravni osnove, naCi zapremlnu lop te l zapreminu zarubljene kupe. Rclenje: Posmatrajmo popreenl presek zarubljene kupe u koji je upisann knt'l!nka polupreenlka RL, gde je R" ""UjIL' lopte. Iz pravouglog trougla clje su stranice J/ i R - ", a hipotcnuza s (R - polupreenik velike
amove kupe, r - poluprei:nik male amove kupe, H - visina Impe), dobijnmo H '" ¥,RL Znprernina lopte je Vi- = ~Rt\f=
'"
L:'1fl'r.
$to so tire
R i v-, lz posmatra,nog
pravouglo,g trougl" imamo R -,. = Kako je trapez koji predst avlja poprecni presek zarubljene kupe ustvnri tangentni I:t}tvorougoo, Inoiemo z:~kljllcit.i da v;lii 2R 2,. = 2s, odakle (Iobijamo R r = I). R,cl,wanjem si15tem.:t R, = i) i R - ,. = ~, dobijamo R = 14'i r = ~. Znprernina 'l.,,"ubljene kupe je VK = ":1 (R,2 Rr ,.2) =
+,.
1f
162.!).j3 91.)
•
zapremine zarubljene kupe, potrebno je izracumt.i polupreCn:ike
.(f '" 5'{3.
*.
+
+
+ +
OSNOVNE STRUKOVNE STUDIJE
ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT IZ
MATEMATIKE 01. 07. 2011.
9. Osnova prave piramide je pravougaonik cija je dijagonala d = 2vl5em. i a, : b = 1 : 2, gde su sa a i b oznacene dueine stranica pravougaonika Ako je visina piramide H = 3em,naci njenu zapreminu. Zapremina piramide je V = ~B.H, gde je sa B oznacena povrsina haze [pravougaonika). Iz a : b = 1 : 2 dobija se b B
= ab =
=
2·4
2a. Iz
=
([2
=
a2
+ IJ2
8em,2, daJje je
= 2a sledi 20 = V = ~. 8·3 = 8 crn.~. ib
5a2, odakle je a
=
2em. i b
=
4 em. Kako je
14.22 STRUK 4.7.2012. I. U pravouglom
",ete su CB ,. Scm iAC = 120m.
(0) IZllIwD.,i visinu koj. odgovara hipotenuzi. (b) I~unati
tapremiDu lela koje nastaje rotacijom Irougla ABC oko "a-
..,eBe. (a) Iz Pitagorine teoreme za pravougli uougac ABC imamo:
Ato povrsinu trOU810ABC napi!emo na dva naana: J
1
J
P = iBe ·CA = iAB·IIe. oenoseo P- i5
I ·12 = i13·IIe.
dobijamo lie = ';~l = ~cm. (b) Telokoje nastaje ro,.cijom je kupa sa polUpreCDiltomosnove r:AC ~ 12cm i visinom H = BC =Scm. Zapreminaje V = = 121KS= 24Oncm'.
~"'lII{ !
Fakultet
tehnickih
nauka, Novi Sad
03.07.2013.
PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE za upis na osnovne strukovne studije za studijske programe: • Energetika - obnovljivi izvori elektricne energije • Elektronika i telekomunikacije • Softverske i informacione tehnologije - Inoija
2. U pray valjak poluprecnika osnove J3 em. i visine 4 ern, upisana je pravilna trostrana prizrna tako da osnove prizme pripadaju osnovama valjka, Izracunati zaprerninu prizme.
Nekaje
= J3 em. - poluprecnik osnove H = 4 em - visin a valj ka,
r
h - visina jednakostranicnog
trougla koji je osnova upisane prizme,
a - stranica jednakostranicnog B - povrsina jednakostranicnog T_
u,
r
= '32h
s Iedi1
b.
=
3 '2r
., = (a)2? 2' + h-, odnosno
0.-
prizme je V
=
B .H
valjka,
trougla koji je osnova upisane pr izme, trougla koji je osnova upisane prizme.
=
3v'3 em.. Takod . osnova pnzme . -2U(.Ie,IZ troug Ia ktoji.. je sled' •. 1
3??
27 = Vf4:':, = \ /4:;. 4" =
4'a.- = li", odnosno a
3,/3' 3 = b. . '2o. . H = -2. '2 . 4 em =
s"
r: 3 9v 3 em' .
3 em. Zapremina
