Zbirka Resenih Zadataka Iz Matematicke Analize I - FTN

\

T

.

:

,

Momeilo B. Novkovii Momdilo Novkovie Medie Slavica S. Medii Ilija M. Kovaeevie Kovadevii

-

\::

Biljana N. Carii Carie Vladimir Curid iurii

ZBIRKA RESENIH ZBIRKA REENTH ZADATAKA ZAD ATAKA IZ TZ MATEMATIETTANALIZE MATEMATICKE ANALIZE I

Novi Sad, 2008. Sad,2008.

PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor

MATEMATICKE ZADATAKA IZ MATEMATICKE udzbenika. ZBIRKA Naziv NAZiV UdibCNiKA ZBIRKA RESENIH ZADATAKA ANALIZE I ANALIZEI

Autori: AutoriNovkovii (neformalno Dr) Momdilo Momcilo Novkovié Mr (netormalno Sadu Carie, asistent FTN-a u Novom Sadu Mr Biljana Carii, Slavica Medic, Medii. asistent pripravnik FTN-a u Novom Sadu Vladimir FTN-a u Novom Sadu Vladimir Curie, iurii, asistent FTN-a Sadu Dr Ilija Kovacevic, Kovadevii, redovni redovni profesor FTN-a u Novom Sadu Recenzenti: penziji Beogradu u penziji Matematidkog fakulteta u Beogradu Malisié, redovni profesor profesor Matematickog Dr Jovan Mali5ii, Budincevic, redovni profesor PMF-a u Novom Sadu Dr Mirko Budindevii. 32 fronta32 Narodnog fronta Izdavac: Izdavai: Symbol, Novi Sad, Narodnog

21 Ciriea21. Srumpa: étampa: SP PRINT, Novi Sad, Vladike Cirica

Tirai: 500 TiraZ:500 pije dozvoljeno dozvoljeno reprodukoautora nije prava zadrzana. Bez pismene saglasnosti autora Sva prava zadriana. Bez O Sva umnozavanje na ili umnoZavanje na bilo bilo koji magnetni upis upis ili vanje fotografisanje, magnetni (fotokopiranje, fotografisanje, vanje (fotokopiranje, ove knjige. celini iii delovima) (u ili iii ponovno objavljivanje sadrZaja sadrzaja nacin) nadin) ili

vece Fakulteta Fakulteta tehnickih Sadu na svojoj sednici tehnidkih nauka u Novom Sadu Nastavno-naucno veie Nastavno-naudno je ovu knjigu kao stalni univerzitetski univerzitetski udzbenik. udZbenik. 25. juna 2003. prihvatilo prihvatilo je

CIP -- Katalogizacija u publikaciji Biblioteka Matice srpske, Novi Sad

517(075.8)(076) s 17(o7s.8)(076)

matematiee analize II / Momcilo Momeilo B. B. Novkovic... Novkovii... reSenih zadataka iz matematiEe ZBIRKA resenih print). - 373 str.:: graf. graf. prikazi ;; 373 str. SP print). [et al,] - Novi Sad : Symbol, 2008 (Novi Sad Sad : SP Symbol, 2008 Novi Sad [et al.l 24 24 cm. cm. :

:

1 -4. Bibliografija. Tira± 500. -- Bibliografija: Bibliografija: str. str. 1-4. Bibliogralija. TiraZ

ISBN 978-86-85251-13-9 978-86-8525 l- 13-9 1. MOMM3A0 B. E. 1. HosxosHli, Hoexoeuh, Morrr.ralo asanxsa -- 3aAaiIH a) MatervratuvKa MaTeMaTHmKa aHErAIa3a 3a,qaqu a)

COBISS.SR-ID coBISS.SR-ID 2219259655 t9259655


T I

aaieg Uspomeni na naseg Uspaaeni sarudni*a dragog dragry saradnika Novkovica Momcila MomCila Noukouifia

I T

i PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor

t f

;

BIOGRAF'IJA BIOGRAFIJA Tuzno je Tuno je ii tesko tesko pisati pisati pod pod ovim ovim okolnostima za za svog svog daka daka ii najblizeg saradnika biografiju. saradnika biografiju. Recima Redima se se ne ne moZe mole iskazati iskazati sve sve sta Sta je je Momdilo Momcilo Novkovié Novkovii za kratko vreme -- 34 godine godine zivota Zivota postigao. postigao. Od decaéiéa dedaiiia sa te5kim detinjstvom sa teskim detinjstvom pribliZio priblizio se odbrani se odbrani doktorske doktorske disertacije. disertacije. Nazalost, Nazalost, do do same same odbrane odbrane nije jer ga nije doslo, doslo, jer ga je tragidna smrt tragicna smrt uu saobraiajnoj saobraéajnoj nesreéi nesreii 30. maja maJa 2001. godine sprecila 2001. godine spredila da veé zavrsenu da vei zavr5enu doktorsku disertaciju disertaciju odbrani. Momcilo Momdilo Bore Bore Novkovii Novkovié roclen roden je 26.05.1967. godine godine u Vrbasu 26.05.1967. Vrbasu u siromasnoj siromainoj radnidkoj porodici. radnickoj porodici. Osnovnu Osnovnu Skolu skolu je zavrsio zavr5io u u rodnom rodnom mestu mestu sa sa odlicnim odlidnim uspehom. Srednju uspehom. Srednju matematicku matematidku gimnaziju (strudni naziv: (strucni naziv: pomoini pomoéni istraZivad istralivac u matematici) matematici) je je zavrsio zavr5io uu Vrbasu Vrbasu sa odlidnim odlicnim uspehom. uspehom. Nosilac Nosilac je je diplome diplome "Vuk Karadlié" KaradZii" ii "Mihajlo Petrovii Petrovié Alas',. Alas". Pri tome je uspesno uspe5no udestvovao ucestvovao na mnogim mnogim takmidenjima takmicenjima iz iz matematike, matematike, fizike, geografije, istorije geografije, istorije itd. itd. Skohke kolske 1986/87 19}6lg7 godine upisuje godine se na upisuje se na Fakultet Fakultet tehnickih tehnidkih nauka, nauka, masinski ma5inski odsek, odsek, smer smer proizvodni sistemi. sistemi. Njegove Njegove studije studije zapravo zapravo pocinju podinju skolske 1987/88 Skolske je nakon 1987/88 godine, jer je nakon upisa na Fakultet Fakultet otisao na oti5ao na na odsluzenje odsluZenje vojnog vojnog roka. Momdilo Novkovii Momcilo Novkovié je osnovne osnovne studije na vreme zavr5io zavrsio na Fakultetu tehnickih tehnidkih nauka nauka uu Novom Novom Sadu, Sadu, masinski ma5inski odsek, odsek, smer proizvodni sistemi smer proizvodni sistemi Diplomirao Diplomirao je je u najkraéem najkraiem moguéem moguiem roku, roku, 23.12.1992. godine odbranom 23.L2.1992. godine odbranom diplomskog diplomskog rada "Utvrdivanje funkcionalnih zavisnosti izmetlu poslovanja i vrednosti imovine izmedu rezultata poslovanja pteduze(,a" sa preduzeéa" sa prosekom 8,38. 8,38. Momdilo Momcilo Novkovié Novkovii se se izdr2avao izdrlavao sam sam za za vreme studija. prodekan student u dva mandata, elan Bio je prodekan dlan Materijalne komisije studenata studenata FTN, elan dlan Saveta Fakulteta, ii te te duznosti duZnosti je savesno obavljao. II pored svog velikog angazovanja angaZovanja na ovim na ovim funkcijama, Momcilo je na Momdilo Novkovié Novkovii je vreme ii sa na vreme sa visokim prosekom prosekom zavrsio zavr5io osnovne osnovne studije studije kao kao treéi treii uu generaciji generaciji od od 450 450 studenata. studenata. Bio Bio je je elan dlan MENSE, Medunarodnog udruzenja Medunarodnog udruZenja natprosedno natprosecno inteligentnih.

Zbog Zbog kadrovskih potreba Fakulteta, kadrovskih potreba Fakulteta, dekanat je preporucio preporudio mladom dekanat je mladom ii perspektivnom Momcilu MomEilu Novkoviéu-Momi NovkoviCu-Momi da da upise upi5e magistarske studije studije iz iz oblasti verovatnoie, statistike Verovatnoée, statistike ii slucajnih je to sludajnih procesa. veliki je procesa. Veliki to bio bio izazov izazoi za za jednog diplomiranog masinskog ma5inskog inZenjera. inzenjera.


je za vreme magistrirao magistrirao na kratko vreme za kratko oa je upornogdu on talentom ii upornoSiu Ali Ali svojim svojim talentom ocenom 9,67 ,, prosednom sa prosednom je sve ispite u Polonio PoloZio Matematidkom fakultetu Beogradu. gama sa sa gama ii Laplasovim serija serija vremenskih vremenskih modeli modeli "Autoregresivni rad rad a magistarski "Autoregresivni a magistarski je stekao stekao zvanje manje magistra godine, dime je 1997. godine, 13. avgusta avgusta 1997. je 13. raspodelama" odbranio je raspodelama" nauka. matematickih nauka. matematidkih raspodele ii problemi "Marginalne raspodele nazivom "Marginalne pod nazivom Doktorsku disertaciju pod Doktorsku disertaciju vremenskih serija" prijavio je modelima nelinearnim modelima parametara u nekim nelinearnim ocenjivanja parametara ocenjivanja veie vede Matematickog Matematidkog Nastavno-naudno komisije Nastavno-naucno izvegtaj komisije godine. Pozitivan izve5taj 26.02.2001. 26.02.2001. godine. sednici. Nanalost, je 5. 215 sednici. NaZalost, u na svojoj 215 2001. godine na 5. 10. 10. 2001. fakulteta Beogradu prihvatilo je je jedna godine prekinuta prekinuta je 2001. godine 30.05. 2001. desila 30.05. se desila nesreii koja koja se tegkoj saobraiajnoj nesredi te5koj saobradajnoj svojom krivicom, nesreii, ne ne svojom saobradajnoj nesredi, toj saobraiajnoj karijera. U toj naudna karijera. uspe"sna nastavna nastavna ii naudna uspesna izve5taja Komisije Nastavnopozitivnog izvegtaja Prihvatanjem pozitivnog nastradao. Prihvatanjem Momcilo Novkovid je nastradao. Momdilo Novf
se za za kratko kratko vreme Novkovii se Momdilo Novkovid disertacije Momdilo doktorske disertacije Zavrgetkom Zavr5etkom doktorske blistava karijera. bila naudna je njim i pred ove oblasti vrhunskog strucnjaka strudnjaka iz razvio razvio u vrhunskog rezultata, ii kao Sto je kao gto dosta originalnih originalnih rezultata' je do do dosta do5ao je proudavanju ovih ovih modela rnodela dogao Pri Pri proucavanju primenljivi u raznim oblastima nauke. redeno, originalni rezultati su primenljivi

se 1.06.1993.godine 1.06.1993.godine Novkovii se Momdilo Novkovid stddija Momdilo osnovnih stùdija zavrgetku osnovnih Po Po zavr5etku od 6.10.1997. godine 6.10.1997. magistriranja a nakon nakon saradnik, prvo kao zapogljava zapoSljava na Fakultetu, je iz veibe je vene na Fakultetu izvodio iz na Fakultetu rada uspe"snog rada vreme uspelnog Za vreme matematike. Za kao kao asistent matematike. i struke radunarstva, Elektrotehnidke struke i za studente prve godine Elektrotehnicke analize 11 za Matematidke Matematidk e analize godine za studente studente II II godine statistika) za (Verovatnoia ii statistika) IV (Verovatnoda metoda IV MatematiCkih Matematidkih metoda godine Ma"sinskog III godine Ma5inskog za studente III tri (statistika) za odseka, Matematika tri Gradevinsnog odseka, godine odseka odseka Industrijsko studente II godine za studente u preduzedu preduzeiu za metode u odseka Statistidke metode odseka ii Statisticke menadZment. in2enjerstvo inZenjerstvo i menadnment.


sledeiih knjiga: Autor Autor je ili koautor sledeeih 1. 1.

iz matematike matematike za za upis za polaganje klasifikacionog klasifikacionog ispita iz Prirudnik za M. M. Novkovid, Novkovii, Prirucnik -181. "Bududnost ", Novi Sad, Sad, 1998, 1L-181. visu Skolu, fakultet iii skolu, "Buduinost", ili vi5u na fakultet matematike za upis klasifikacionog ispita iz matematike Priruénik za polaganje klasifikacionog Novkovii, Prirudnik 2. M. Novkovic, 2. 1 -101. L998, L-10L. "Buduinost", Novi Sad, 1998, visuskolu Skolu -- II deo, "Buduénost', na fakultet fakultet iii ili vi5u jedne ii vise viSe funkcija jedne realnih funkcija radun realnih Diferencijalni raun M. Novkovic, Novkovii, Diferencijalni 3. I.I. Kovadevii, 3. Kovacevic, M. -125. 1998,L-L25. realnih promenljivih, FTN, Novi Sad, 1998,1 realne radun realnih funkcija jedne realm Rodii, Integralni raun 4. I.I. Kovadevii, 4. Kovacevic, M. Novkovii, Novkovic, B. Roche, Sad, 1998,1 -105. promenljive, L-105. FTN,Novi FTN,Novi Sad, 1998, promenljive, jednadine, FTN FTN Novi diferencijalne jednaine, Obidne diferencijalne Novkovid, Obicne Kovadevii, M. Novkovii, 5. 5. V. Marii, Marié, I.I. Kovacevic, -95. L998, 11-95. Sad, 1998, Sad, iz Matematicke zadataka iz Matematidke re5enih zadataka Zbirka resenih I. Kovadevii, Kovacevié, Zbirka B. Rodii, Roche, I. 6. 6. M. M. Novkovid, Novkovii, B. FTN, 1 -312. 1998,1-3t2. analize 1, F fl\, Novi Sad, Sad, 1998, analize Verovatnoie ii statistike, iz Verovatnoee zadataka iz re5enih zadataka Novkovii, I.I. Kovacevié, Kovadevi| Zbirka resenih 7. 7. M. M. Novkovid, 1 -163. 1999,1,-163. Sad, 1999, Stylos, Novi Sad, analiza 1 MatematidkaanalizaL Rodié, Matematicka Marii, M. Novkovié, Novkovii, B. Rodii, 8. 8. I. Kovadevii, Kovacevic, V. Marié, jednadine), FTN Novi Sad, diferencijalne jednacine), raun; obidne obicne diferencijalne (diferencijalni ii integralni radun; 2000,1 -280. 2000,1-280. Matematicke zadataka iz iz Matematidke relenih zadataka Rodii, I.I. Kovacevié, Kovadevi1, Zbirka resenih B. Rodié, 9. M. Novkovié, B. M. Novkovii, 9. 1 -348. analize Sad, 2000, 1-348. analize 1, 1, FTN FfN Novi Sad,2000, upis na iz matematike za za upis ispita iz za polaganje prijemnog ispita Prirucnik za 10. M. M. Novkovid, Prirudnik 10. 1 -258 (posthumno). 2001, vi3u skolu, Skolu, "Buducnost" fakultet iii ili visu "Buduinost" Novi Sad, 200L,t-258

slededih naudnih naucnih radova: Novkovid je autor autor sledeiih Momcilo Momdilo Novkovii 1. 1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

i

gama i Laplasovim sa gama serija sa vremenskih serija Novkovid, Autoregresivni Autoregresivni modeli modeli vremenskih M. M. Novkovii, -72. Matematidki fakultet Beograd, 1997. godine, 1T-:72. raspodelama, raspodelama, magistarski rad, Matematicki Matematidki vesnik Autoregressive Time Series Models, Matematicki M. Novkovii, On Laplace Autoregressive M. Novkovid, 53-56. 50 (1998), 53-56. TimeSeries Models, Models, Novi Novi Sad Autoregressive TimeSeries Novkovid, On On Exponential M. Novkovii, Exponential Autoregressive M. -101. 98-10L. vol. 1(1999), 1 (1999), 98 Journal of Mathematics 99, vol. u nekim problemi ocenjivanja parametara u M. Novkovid, Marginalne Marginalne raspodele ii problemi M.'Novkovii,

disertacija Matematicki Matematidki doktorska disertacija vremenskih serija, serija, doktorska nelinearnim modelima nelinearnim modelima vremenskih -138. fakultet, Beograd, 2001, 200L, 11-138. fakultet, Novkovii za kratko vreme (34 godine Momdilo Novkovid cinjenica vidi se da je MomCilo Iz samih dinjenica 2ivota) uspeo mnogo. Zivota)

doktorata. Spadao je pred je veliki pred odbranom Spadao je odbranom doktorata. broj knjiga bio je Napisao veliki broj knjiga ii bio Napisao je Univerzitetu, nastava nastava je za na Univerzitetu, za nastavnika asistenta na koji smatraju da je nastavnika ii asistenta medu smatraju da meclu one one koji oplodena naudnim naucnim radom, osnovna delatnost ii prvenstvena obaveza. oplemenjena i oploilena


On je tom poslu tako tako ii prilazio, unosedi unoseii entuzijazam entwijazam i jednu notu inventivnosti inventivnosti klonedi Izvodena sa simpatijama ii podrgkom kloneii se se gablona. Sablona. Izvoclena podr5kom studentima takva se se nastava pokazala veoma pokazala veoma uspegnom. uspe5nom. Zbog svog velikog velikog doprinosa doprinosa radu radu ii zivotu Zbog svog Zivotu Instituta Instituta ii Fakulteta u celini ii zbog svog korektnog i srdacnog srdadnog stava prema studentima, kolegama ii je bio svima svima radnim ljudima Momdilo Momeilo Novkovid Novkovii je bio poznata ii veoma omiljena lienost lidnost na gire. FTN-u, a ii Sire. poverene zadatke Momeilo je ii sve zadatke savesno Momdilo Novkovic Novkovii je sve druge savesno ii poZrtvano druge poverene pozrtvano obavljao (pisanje (pisanje informatora obavljao prijemnih ispita, FTN-a, sprovoelenje sprovodenje prijemnih informatora FIN-a, ispita, sprovoclenje sprovodenje ankete programa Fakulteta, ankete medu medu studentima, studentima, sredivanje planova ii programa sreelivanje nastavnih nastavnih planova Fakulteta, itd). Njegova angazovanost angaZovanost na svim poslovima nije imala samo fonnalni formalni ii verbalni karakter ved vei se se sastojala sastojala od od stvarnih stvarnih napora problema. Prema konkretnih problema. napora za za resavanje re5avanje konkretnih studentima ii mladim asistentima, aa nekad ii prema starijim kolegama-nastavnicima studentima kolegama-nastavnicima se se ponagao pona5ao kao pravi ueitelj. plemenitost, eednost, dednost, skromnost, kao pravi uditelj. Njegova Njegova plemenitost, skromnost, mudrost, vrednoda vrednoia ii spremnost da svakome zapamcena medu svakome zaista pomogne ostade ostaie zapamiena meclu studentima ii svima ga poznavali. Bio je jedan od najomiljenijih svima koji su su ga najomiljenijih asistenata na Fakultetu (to je Momdilo pokazuju ii ankete gde je ankete studenata studenata gde Momeilo Novkovid Novkovii dobijao skoro eistu distu desetku, je tako tako ii redovi imao konsultacije, Novkovic imao redovi ispred ispred kabineta kabineta kada kada je Momeilo konsultacije, koje je Momdilo Novkovii drzao drZao dok god je bilo studenata). studenata).

Njegovim tragienim nage sredine, tragidnim odlaskom iz na5e sredine, studenti ii radni ljudi Fakulteta perspektivnog nauenog su su zaista izgubili velikog vaspitada mladih generacija ii perspektivnog naudnog radnika. je spreman za kratko vreme je zaista Mnogo Mnogo se se od njega njega zahtevalo, bio je spreman za za saradnju ii za mnogo mnogo dao. d,ao. Zasluzuje su ga poznavali mogu o Zaslu1uje samo samo sve sve pohvale ii divljenje. Svi Svi koji su njemu da se uvek da kau kaZu sve sve najlepge najlep5e ii ss ponosom ii tugom tugom de ie se uvek setiti njegovog osmeha, plemenitosti,... perspektivnom naudniku je Ovih nekoliko reel redi same govore o kakvom mladom perspektivnom red. Moma je otigao nag dragi Moma nagih redova. red. U naponu pregala5tva ,, na5 naponu zivota Livota ii nauenog naudnog pregalagtva oti5ao iz na5ih Bolno je nama, nama, a ii svima svima koji su su sa sa njim saradivali, da primimo nepobitnu istinu da ga nema medu neregenih, koje je u daljem svom radu zeleo meilu nama. Mnogih zadataka zadataka je nereSenih, Zeleo da puno izgubili. regi. izgubili. re5i. Njegovim odlaskom smo svi zaista neizmerno zaistarreizmerno

je bio je do5ao Kada je bio u vrhuncu Zivota, naudne karijere, kada je zivota, nastavne dogao do nastavne ii nauene je otigao plodove svoga na5 Moma je mogudnosti uziva plodove moguinosti da da uZiva svoga napornog rada, rada, dragi nag otiSao tiho iz nagih seianje i veena vedna tuga. za sve udinjeno. Nama ostaje bolno sedanje na5ih redova. Hvala mu muza Osedali smo potrebu, iako da napigemo napi5emo ovih ovih nekoliko Oseiali smo iako tegka te5ka srca, srca, da nekoliko reel, redi, da bi je pred pred nagim bila blistava eitaoci ditaoci shvatili shvatili da da je dakom Momom bila blistava ii perspektivna na5im dragim dakom nastavno-nauena de njegovi njegovi naueni naudni radovi radovi doii dodi u ruke nastavno-naudna karijera. Nadamo se se da ie ruke novih istrazivaea, istraZivada, koji ce statistidkih modela koje je u ie dalje dalje raditi na usavr5avanju ii primeni statistiekih na usavrgavanju svom nauenom naudnom radu izudavao Momeilo Momdilo Novkovid. Novkovii.


PREDGOVOR je osnova znanja iz iz Matematidke osnova svih svih ostalih znanja Matematidke anaMatematidka analiza analiza I je Predmet Matematitka svih strutnih tehnidke strudnih skoro predmeta gradiva iz praienje iz osnova za za pradenje ii shvatanje lize kao ii osnova prvoj ili goili delom na drugoj drugoj goveiem ili kao takav se se u vedem ili manjem obimu predaje na prvoj struke, ii kao fakultetima. tehnidkim, prirodno-matematidkim ii njima srodnim fakultetima. dini studija na svim tehnidkim, je da gradiva iz savladivanja gradiva iz Matematidke Matematidke te5koia kod kod savladivanja da studenti imaju imaju teskoda Uodeno je Uodeno sto zbog Skole,Sto su poneli iz iz srednje skole, zbog objektivne Sto zbog nedovoljnog nedovoljnog znanja koje su analize I,I, sto jedne ovakve zbirke koja potreba za za pisanjem jedne koja bi bi toga se se pojavila potreba teZine predmeta. Zbog toga te2ine i re5avanje zadataka. zadataka. omoguiila lakse lak5e savladivanje savla
Autori

PREDGOVOR TRECEM IZDANJU PREDGOVOR njemu su su zadacima. U njemu prethodnog izdanja sa novim zadacima. Ovo izdanje se razlikuje od prethodnog dopunjeno sa zadacigreske koje su u meduvremenu meduvremenu uodene ii dopunjeno stamparske gre5ke uklonjene neke Stamparske 2002. godinom. sa2002. ma ma sa ispita zakljudno sa Autori


SADRZAJ SADRZAJ UVOD

1

GRANICNE VREDNOSTI Granitne vrednosti nizova Graniine Ko"sijevi Ko5ijevi nizovi ........ Granitne vrednosti funkcija Graniinevrednostifunkcija Neprekidnost funkcije

10

10

"".'"':"

RAEUN DIFERENCIJALNI RAUN Osobine izvoda ne funkeije slotene Izvod I zv o d slole funlccii e Logaritamski izvod Logaritamski funkcijee inverzne e rzne funkcii IIzvod zv o d inv obliku parametarskom obliku zadate u parametarskom Izvodfunkciie Izvodfunkcije zad.ate imPlicitno Izv od. funkcije Izvod funkcii e zadate implicitno Lopitalovo Lopitalovo pravilo .. .. . .. .

ISPITIVANJE ISPITIVANJE FUNKCIJA ............ Asimptote Asiruptote funkcije ....... . Monotonost i ekstremne vrednosti pmiizvod izvod postoji prvi tadkama gde ne postoii Tangenta funkcije au tackama Tangentafunkciie prevoine tacke taile konkavnost i prevojne Konveksnost, konksvnost Neprekidnost i diferencijabilnost funkcije

..--..' '

'

"""""'"""""

25 28 33 35 37 37 38 39 40 40 41 4l 46 46 46 46 47 47 48

72

DIFERENCIJALNOG RACUNA TEOREME DIFERENCIJALNOG OSNOVNE OSNOVNE TEOREME Rolova teorema Lagraniova teorema Kosijeva torema

77 77 78 18 78

RAEUN INTEGRALNI RACUN Neodredeni integral p omo 6u smene srne ne integracija I nte grac ii a pomoéu nt e gr acii a Parcijalna P ar c ii alna iintegracija kvadralnim trinomom Integrali sa kvadratnim racionalnih funkcija IIntegrali nte grali racionalnih funkcii a irac ionalnih funkcija Integrali I nte groli iracionalnih funkc ii a funkcijaa trig o n ometrij s kih funkcii Integrali I nte grali trigonometrijskih e ks pone nciialne funkcije Integrali I nte grali eksponencijalne funkciie

80 80 80 81 83 86 88 92 102 L02 107


Odredeni integral Povriina ruvnih Povrsina ravnih likova Duilina Duzina luka krive Zapremina obrtnih tela teta Povriina omotaca Povrsina omotaia obrtnih tela FUNKCIJE VISE FUNKCIJE VIgE PROMENLJIVIH Ekstremne Ekstremne vrednosti vrednosti U slovni (vezani) ( v e zani) ekstrem Uslovni e kstre m

DIFERENCIJALNE JEDNACINE DIFERENCIJALNE JEDNAINE jednaiine prvog Diferencijalne Diferencijalne jednaCine prvog reda Jednacina J e dnaiina sa razdvojenim razdvoje nim promenljivima prome nljivima jednaiina Homogena jednacina Jednacine Jednaiine koje se svode na homogenu Lineama jednaiina Linearnajednacina Bernulijeva Bernulijeva jednaiina jednacina ednaiina totalnog diferencijala IJednacina difure ncijata IIntegracioni nt e g r ac i o ni m mnozitelj n olite lj jednaiina Klero-ova jednacina Klero-ova Uvotlenje parametara paramelara Uvoctenje Lagranlovajednaiina Lagranzovajednacina jednaiine viseg Diferencijalne jednacine Diferencijalne viseg reda S niinvanje reda diferencijalne Snizavanje jednaiine diferencijalne jednacine H omogena linearna diferencijalna Homogena jednadina diferencijalna jednacina Jednacina konstantnim koeficijentima I e dnaiina sa konstantnim koeficije ntima j e d nakih ko M eto d jednakih Metod eftcij e nota koeficijenata M e to d varijacije Metod v arij ac ij e ko nstanti konstanti Ojle rov a diferencijalna Ojlerova difu re nc ij alna jjednacina e dnaiina Neke N e ke metode metode resavanja re i avanja diferencijalnih jednaiina difu re ncijalnih jednacina ZADACT SA PISMENIH ZADACI PISMENIH ISPITA

LITERATURA

108 112 ttz 116 116 118 tzt 121 125 125 130 130 134

138 138 138 138 139 142 142 145 14s 146 146 148 148 149 149 153 154 154 155 157 157 157 159 164 164 165 168 169 169 172 172 183

375 375


jedne realne Realna Realna funkcija funkcija jedne realm promenljive promenljive

1

UVOD je svakom Ako su A ii BB neprazni neprazni skupovi skupovi ii ako je svakom xxe eA A po izvesnom jedan element dodeljen, po izvesnom zakonu, zakonu, tacno tadno jedan je na skupu AA definisana funkcija yeB, ye /3, tada tada ka2emo kaZemo da je (preslikavanje) vrednostima uu skupu B. sa vrednostima (preslikavanje) / sa B. Simbolièki Simbolidki zapisano: (Yxee A) (lyeB) (x,y)e 1. L. (b'x A) (3 ye B) (x, y) Ë f , (Yxee A) (V y1, yt, y2 2. (b'x 2. A) (V e tze B) (x,y1)ef (x,y2)ef A r (x, (x, y1) e y2 ) e +yt=yz. y1 =y2. (x, y) E / pisemo piSemo y=f(x). Umesto (x,y)e

f

f,

f

f

f

Skup A Skup nazivamo oblast A nazivamo (ili domen) oblast definisanosti definisanosti (ili domen) funkcije funkcije f,f, aa skup (*) :, xe A}c ff (A)={f (A) = {f(x) A} e B B skup vrednosti (ili kodomen) f. Promenljivu rx zovemo kodomen) funkcije funkcijel

nezavisna promenljiva (argument, original), a yy zavisna promenljiva (vrednost (vrednost funkcije ili je AAcR slika). Ako je slika). e R ii BcR je realna B e R tadazafunkciju tada za funkciju f :A-+B keemo kalemo da je realnafuni
1. 1. Analiti6ki: Analiticki:

o o o

Eksplicitno yy=f(x), f(x), Eksplicitno Implicitno F(x,y)=0, Implicitno F(x,y)=Q, parametarski Parametarski yy1flrl, f(t), x=g(t).

2. Grafidki, 2. Graficki, 3. Tabelarno. 3. Tabelarno.

Funkcija Funkcija moZe moze biti zadata pomoiu dve ili vige zadataii pomocu viSe formula sinx , x x<0 lsin

f(x)= f(x)=),l- xx ,0l [{, , x>1 I

,

,

Za preslikavanje f : A --s B kazemo kaZemo da je: . Injektivno ("1 ("L -* 1") razlicitim razliditim originalima odgovaraju razliCite (x1) * f(x2 razlilite slike, tj. tj. xt * x2 x2* ff(xt)* ) , f (xz), . Sirjektivno ("na") za svako ye B postoji x.:u ee A takvo da je B postoji je f(x)=y, f(x)=y, tj. tj. ff ((A) A) = B,, =B . Bijektivno ("1 -- 1" L" ii "na"). Oblast definisanosti definisanosti

je naj5iri Oblast Oblast definisanosti definisanosti je najsiri podskup podskup skupa gde su skupa R gde su izvodljive izvodljive sve sve operacije operacije date funkcijom. Ll


promenliive realne promenljive Realna funkcija funkciia jedne iedne realm

2

o

Q() # 0 e.@)+o t=#r, Qm (x)

funkcija y = P"(x) Racionalna Racionalnafunkcija

m

x-2#0 x-2*0

x-J x-3 " =-. x-2 x-2'

D:xeR\{2}. D: xe R\{Z}. x*2 x#2 =

,, Y

.

,

y=dg*1 Y="f(x)

n=2ke N, f(x)>_0 n=2keN, f(x)>-O ogranicenja za f(x) nemaogranidenjazaf(x) N,(-. nema rx,x>_0 x'x2o J?=l -x2=lxl= | *l=l jl x<0 '

nn=2k+ = 2k + le 1E N

,{'.\ e

,

|.-*,x<0. [1, co) xl>_I xe(-00,x2>yl<=> o lxl>r+xe(--,*7]u[r,-1. *2 -t)0<+ *2 >te J7..[ x2-1rx2-1?Oax2>-It

.

Nule funkcije

koju je y=0. ( x) je vrednost promenljive promenljive x.r za koju Nula funkcij funkcijee y == ff(x)

Parnost ii neparnost funkcije: simetridan ako simetrican skup (skup D je simetriean funkcije y == f(x) definisanosti D funkcije Ako je oblast definisanosti f (x) simetridan je tada: D)) sledi da ii -x za svako XE D siedi svakoxeD -xeE D je ff (-x) = f(x) vrednosti xE D, xe D, parna ako je kaZemo da je parna L. za funkciju /f kazemo 1. f (x) za sve vrednosti XE D. (x),, za sve vrednosti vrednostixeD. (-x) = (x) 2. za funkciju/kaZemo funkciju kazemo da je neparna ako je f (-x)=-f 2. neparna. Funkcija ne mora da bude ni parna ni neparna.

f

f

-f

Periodicnost Periodiinost

f

XE D. (x+a)= svako.r'eD. je f (x + w) = f(x) za svako , takav da daie broj
Monotonost funkcije

f

cD: kaze se da je nad intervalom 11c -> R R kaZe Za funkciju f :: D + x2 x1 <1xz , x2 E I ,, xl r monotono rastuia, talke xj x1,x2e za svake dve tacke rastuéa, ako akozasvake , E I e xi, x2 svake dve tacke . monotono opadajuia x tadke 1, opadajuéa,, ako ako za , x< f(xz), .f(xi)>f(x2), E I ,, x2e xr, x2 . monotono nerastuca, tadke xl, za svake dve tacke akoza nerastuia, ako

)

(xz) ,, f(x1) f (xt) < ff (x2)

(xi )?f(x2), 1 x2* f(xt)> xi f(xt)S f(x2) xt f(xz) . monotona nad intervalom I.1. se kaze kaZe da je funkcija monotona sludajeva se U svakom od navedenih slucajeva

.

f


promenliive realne promenljive Realm Realna funkcija funkciia jedne iedne reame

3

Konveksnost ii konkavnost

e D ec R. konkavnost funkcije se posmatra nad intervalom 1I c Konveksnost ii konkavnost Konveksnost S(x) - sedica

(xr,flx))

(x1, x2) X2) sledi: x2 ii x Ee (Xi, Ako za svake dve tacke tadke xi x 1, x2 E e II,, xl x 1 < x2 Ako . f(x)> S(x) je konkavna nad intervalom/. intervalom I. konkavnanad funkcijaje S(r) funkcija ,

Ogranicenost Ogranitenost

btoj MI M,,, takav da strane ako postoji broj kaiemo da je ogranicena ogranidena sa donje strane Za funkciju y--f(x) y=f(x) kazemo gornje strane ako postoji broj sa gornje f je ogranicena ogranidena sa je za x E D, f (x) ? M/ Funkcija Funkcija/je svako xe D,f(x)>M7. za svako je ogranicena je <
I

funkcija y Konstantna Konstantnafunkcija = Y=

(x)= = cc ff (x)

XE R, - D: D;xeR, nerastuda nerastuia ii monotono monotono monotono opadajuca, opadajuia, - nije nlje ni konveksna ni konkavna.

c

ne

x


44

Realna funkcija jedne realize promenl.iive Realnafunkcija realne promenljive

Parabola y = ax2 +bx+c, + bx + C , !=ax2

-

a#0 a*0

D: D:xe XE R.

U zavisnosti od znaka diskriminante D D (D = 4ac) za resenja b2 re5enja (nule) funkcije se dobija: = b2 -4ac) o D>0 D>0 -- resenja re5enja su realna ii razliCita, razlidita, o D=0 D=0 -- resenja reSenja su realna i jednaka, c D<0 D<0 -- nema realnih nula (re5enja (re§enja su konjugovano-kompleksna). konjugovano-kompleksna).

Eksponencijalna Eksponencijatna funkcija funkcija y ax, aa>> 0, 0, a#.1 a* 7 ! == ax ,

monotono oPada opada

-

monotono raste

D: xe R, funkcija nema nula, (-specijalan specijalan sluìraj (y=e'' = e` ) sludaj za a=e (y ) ili

l =eé-.f'` ,y == (j). e)

.


promenliive realne promenljive Realna funkcija funkciia jedne iedne reame

5

funkcija yI = Logaritamska funkcija Logaritamska =

log ax ff (x) @) = = log ax, aa>> 00, aa #* I ,

,

1

D:xER+. D:xeR+. je u pravu y=x y=r sa Logaritamska funkcija je Simetricna Simetridna je u odnosu odnosu na na pravu sa funkcijom funkcijom y! == aa''` .. Logaritamska inverzna funkcija funkcije funkcije y! == ax a* . .

A Y

Y

a>I

0
monotono raste

monotono opada opacla

-

x=1 x=l je nula funkcije, a=e=2,71828... y=lnx, a=e=2,71828... l=btx, y=logx. a=10 !=logx'

y=sinx !=sinx v

tnD

-fi,n

-31tD

-r\

0

tD

'l\

-1

- D: xe R, - skup vrednosti [-f,l], skupvrednostl [-I,1], je aa == 271. periodidna: osnovni period 2n , - funkcija je periodicna: period je = -- sin sin x x - funkcija funkcija je neparna, - sin(-x) sirt(-x) = k e Z --nule nule funkcije. - x=kn, x=kn, keZ ,

-


6 6

promenliive Réalna funkcija jedne realne realne promenljive Realnafunkcija

y=arcsinx t=arcstnx jednoznadno (zbog Funkcija y=sinx obostrano obostrano jednoznacno Funkcija !=sinx preslikava interval monotonosti) interval monotonosti) preslikava

l-+,+1 22'2) 2

CL

,

na

je moguce interval interval [-I,1]. Zato je moguie definisati Ft, t). Zato sa domenom domenom [-1,1 inverznu inverznu funkciju sa [-l,l]] ii skupom

g - .t-I--.n

vrednosti vrednostr

n1

2' -1. 2 I 2'2) C-

.

Restrikcija funkcije = sinx nad funkcije f(x) nad intervalom f(x)=sinx fnnl [71" 71 ima ima inverznu inverznu funkciju, koja se funkciju, koja

-2' ;) L-;'

sa y -= arcsinx. oznacava arcsin x. Simetrièna oznadava sa Simetridna je u u odnosu y=sinx. y=.t sa Sa !=sinx. na pravu y=x

- D: [-1,1], D: XE xel-t,t|, [ftzl - skup vrednosti vrednosti | -3 : 2'2)' 2], L 2, -x) = aresin xfunkcija y-arcsin(-x)=-arcsinxfunkcija y = aresin( t

je

neparna,

-

monotono raste. funkcija monotono

y=cosx v

I

\ -3rEl2

-,r 42,/

\nl2 u

t

/

3itl2 2n i

-t

- D: XE R, D:xeR, - skup vrednosti [-l,f], [-I,1], je u;a = 2g periodidna: osnovni period period je - funkcija 2x ,, funkcija je periodicna: - cos(-x) == cos x - funkcija funkcija je parna, Parna, - x= kn, k e Z --nulefunkcije. nule funkcije. ,=1* h, keZ 2+ 2


promenliive reame promenljive Realna funkcija funkciia jedne iedne realne

7

y=arccosx

obostrano jednoznadno (zbog Funkcija Funkcija y=cosx !=cosx obostrano preslikava interval interval [0,7r] monotonosti) preslikava monotonosti) lO,") na je Zato je moguie definisati moguée definisati Zato interval interval [-/,/[ l-l,ll. domenom [-l,l] ii skupom inverznu funkciju sa domenom Restrikcija funkcije Restrikcija ic]. vrednosti vrednosti [0, [0, "1. intervalom [0,7d ima inverznu cos x nad intervalom lO,r) ima f (x) ==cosx say-arccosx. oznacava sa y=arccosx. funkciju, koja se oznadava .

kJ]

f

xel-t,tl, - D: D: xe ol, vrednosti [0, Skupvrednosti lO, rd, - Skup -

Funkcija Funkcija monotono opada.

y=tgx l=tgx Ay

-3W2

-

a

3ac/2

x

Z,, + lm., k e Z definisana za svako svako x # *!+ 2 je (--,-), funkcije je vrednosti funkcije skup vrednosti je period je wa == n ,, funkcija periodicna: periodidna: osnovni period je neparna, funkcija tg(-x) == -tg(x) -tg(x) -- funkcija funkcija je monotono rastuia rastuca na svim intervalima oblika 2k+11) 3) g),, ke Zz r) ( /2k (( '22! 7r.(2k!

),

2 nule funkcije. kn kkeZ e Z --nulefunkcije. - x= x=lcn, ,


8

Realna Realna funkcija realne promenljive funkciia jedne iedne realm oromenliive

y=arctgx

y

jednoznadno (zbog y=rg,r obostrano Funkcija Funkcija y=tgx obostrano jednozna6no (zbog preslikava interval monotonosti) preslikava interval

37c/2

n (,-!, na ' 2' L1 2' ,

2

-g) na 2

je moguce interval (--,*). Zato Zato je interval moguie definisati definisati inverznu funkciju inverznu funkciju sa sa oblaséu obla5iu definisanosti n n (-00,00) i skupom skupom vrednosti vrednosti

(--,-) i

X*

(--) ,-i,i, 2 2

.

y=tgx nad Restrikcija funkcije funkcije y=tgx Restrikcija nad intervalom inteivalom 1t 1t (-;,;) inverznu funkciju, ima inverznu funkciju, koja a se (-2,2) ima ju , koja ozna(,avaso sa yy=arctgx. = arctgx

-7T/2

D: xe R, vrednosti Skup vrednosti -37c/2

(-;L,2

Z) E ,

,

V), 2

Monotono raste, arctgF)c arctg( x)) == -arct arctg(x) 8( x ) -- neparna.

y=ctgx Y=ctgx

x

definisana za svako svako x * lm, kn , k Ee Z, je skup vrednosti vrednosti funkcije (*,-), funkcija periodidna: osnovni period funkcija je periodicna: period je orr, cc/t, ctg(x) == ctg(x) funkcija je neparna, ctg(-x) x) funkcija -ctg( funkcija monotono opada opada na svim intervalima oblika (kn,(k (k + 1)7c), oblika (kif, I )n), k E eZ Z

2+ kn kkeZ E Z --nulefunkcije. *=I*kn, nule funkcije. - x= ,


je dne realne Realna funkc.ija Realna realm promenljive promenljive funkcija jedne

9

y--atcctgx y=arcctgx

i/

y=ctgx obostrano obostrano jednoznadno Funkcija y=ctgx jednozna6no (zbog monotonosti) monotonosti) preslikava interval (0,70 (0,n) na preslikava interval na (*,-). Zato je moguEé interval interval (-00,4 Zato je moguCe definisati inverznu funkciju inverznu funkciju sa sa domenom domenom (*,-) ii (0,n). Restrikcija skupom skupom vrednosti vrednosti (0,n). Restrikcija funkcije y=ctgx nad (0,r) ima nad intervalom intervalom an) y=ctgx ima inverznu oznadava sa funkciju, koja se oznacava sa y = = arcctgx .

(-)

- D;r€ D: xe R, (0,n) , - skup vrednosti vrednosti (0,7t) - monotono monotono opada. ,


Granicne Graniine vrednosti vrednosti nizova

10

2. GRANICE VNNDNOSTI GRANIENB VREDNOSTI

Granicne Graniine vrednosti nizova niz, dok dok njegovu preslikavanje aa:N+R realni niz, njegovu vrednost zovemo realni Proizvoljno preslikavanje Proizvoljno : N ->R zovemo (lan niza. opti ili niza. ili n-ti n-ti elan a(n) == an nazivamo op5ti

a

a

E N, 5G, za svako nne za svako N, onda se se G Ako postoji realan broj je a,SG, broj G, takav da je G naziva G, takav je ograniden }, ii za ogranieen sa niz kafemo kaZemo da da je gornja granica (gornje (gornje ogranieenje) taj niz gornja granica ogranidenje) niza njza {{a,}, za taj gornje strane. je an za E N, onda za svako svako nneN, onda se se gg naziva >_ g, broj gg takav takav da da je a,>-g, Ako postoji realan realan broj Ako postoji (donje ogranieenje) ograniden sa sa donje a,; }, i za taj niz kazemo da je ogranieen donja granica (donje ogranidenje) niza {{a,l,izatajnizkaLemo 1G, zasvako je gg1a, je ogranieen. dajeograniden. strane.Ako zanizkaLemo strane.
a

a a

je niz postoji najmanje gornje strane tada postoji { } ogranieen strane tada najmanje gornje Ako niz {a,} sa gornje Ako je ograniden sa }). Ako je (M=s;up {{a,}). je niz { niza (M=sup niz {{a,,}} ogranidenje M supremum niza ogranieenje koje zovemo M niza niza {a, zovemo supremum }} koje postoji najvece donje ogranieenje ogranidenje m ru niza niza {{a, }} koje ogranieen tada postoji ograniden sa sa donje donje strane strane tada najveie donje (m=inf {{ a,, }). zovemo infimum niza (m=inf }).

a

a

a

a

a

granidnu vrednost aa (konvergira ka ka broju a), a), ako ako za Za Za niz niz {{a,,}} kafemo kalemo da da ima granienu j" (e) takav da je I an ns(e) broj no o, -a svaki unapred dati pozitivan broj broj e postoji prirodan broj - o l.< e ,, (a-- e,a+ e, a + e) okoline (a za (e) iipi5emo pisemo da je je lim d, an = = e.To a To znaei da se se izvan svake ee okoline za nn2? no no(e) znadi da I

I

.

nalazi samo konadno konaeno mnogo dlanova elanova niza. an } ako ii samo ako niza {{an} se u E R R kaZemo kazemo da je tadka taeka nagomilavanja nagomilavanja niza ako se Za taeku tadku ace tj. ako postoji beskonaean dlanova niza, niza,tj. beskonadan svakoj eokolini beskonaeno mnogo clanova eokolini broja a nalazi beskonadno okolinu taeke podskup N, talke a. podskup No c N an }} preslika u eeokolinu N koji niz {{ a, vise tadaka moLe se se desiti da nema taeaka nagomilavanja, mofe imati jednu ili vi5e nagomilavanj a, a mofe Jedan niz moZe nagomilavanja niza, tadka nagomilavanja niza, taeku nagomilavanja. nagomilavanja. Graniena vrednost niza je uvek taeka ni jednu tadku Granidna vrednost vazi. dok obrnuto ne nevaii. Za realni niz {{ a, }} kafemo kaZemo da je: vai an l an*1 , a) monotono rastuci, E N, an a+ anql ;, b) opadajuci, ako za svako b) monotono opadajuii, svako n Ee NN,, vali an <- a+] vaLi a,3a,*1, N, vafi c) neopadajuci, ako za svako nneE N, c) monotono neopadajuii, a+1 E N, N, vai vali an d, )>_ e,+1. d) monotono nerastuii, nerastuci, ako d) ako za svako n e

a

.

je ogranieen sa gornje gornje strane koji je niz koji ograniden sa (neopadajuii) niz monotono rastuii rastuci (neopadajuci) Svaki monotono Svaki (nerastuii) niz opadajuci niz ogranieen ograniden sa svom supremumu. supremumu. Svaki monotono opadajuii (nerastuei) konvergira svom donje strane strane konvergira svom infimumu. donie je lim ==aa ,, sledi takode da je ii lim an+k == a . ako je Ako je k fiksan prirodan broj, tada ako

a

,!j!*on

lila,*r,

a = a ii f(x) jeneprekidnafunkcijautadki,r=a je neprekidna funkcija u taeki x = a ,->!r*",=a

U zadacima gde postoji lim Uzadacimagdepostoji

.

n->«,

(definicija

funkcije data je kasnije) koristiiemo koristicemo einjenicu dinjenicu da je neprekidnosti funkcije


Graniine vrednosti vrednosti nizova Granicne

11 11

lim f(an)= ff ( Hm an) = f(a). !i:*f !iy,*o,)= f .C-).0

(o,)=

(a). Ukoliko ne dinjenicu, to ne mozemo moZemo da da koristimo predhodnu cinjenicu,

(

.l"->00

ie biti napomenuto. ce graniinih vrednosti nizova osobine granicnih Neke osobine je jigo, tadaje: je: lim bn = b , tada Ako je /im an = aa ii ji$b,=b,

n

r) n-4.0 lim(an±bn)= lim an Hm bn =a±b, !i*(",!bn)= !iy_o,! n->.* li*b, =alb, .b, -- liman limb=ab, z) 1i3", 2) limanbn= li*o, li*b, = a,b , n->0. .e, 3) limcan=climan=ca, 3) li*, = c n->.0 !i*", = c.a 1)

n-->00

n

.

4) 4)

t

liman

Za bn*o ii bbtto fim!=W-=l= 0 limá=" Zab na- bbn lim b bb >°°

ligb,

<_ bn za je an je 5 b. 5) a,3bn za n>t n?_k iiako ako je lim a = a ii lim b =b tada 5) Ako je ji12o,=a i" n->e. n-> !i$b,=b tadaie aa3b. bn <_3cn cn za >_ k ii je an za nn2k takvi da daje a, <_1bn 6) Akosunizovi an } , {{0,} b } ii {{c,} cn } tatvi 6) Ako su nizovi {{o,}, liman== limc=a,tadajei li* bn = o. = a, tadaie i limbn=a.

ko, n->

li*rn n-ac. ( m>k r +alnr-tk-t+...+a lo,m>k a ant o him limaon^+atn^'.+"'+ak -=),b.' k=m n-+* bofim bo + b,n*-' +...+bn + ...+ bn ->°° bm +btitm-t been " I bp jear<0) ae <0) (+a ako ako je je ao > 0, akoieao>0,-qako k > m (+0. ft-' k>m o n-).. . hmlli=I, limnn=1 lim4li=t a>0 limna=1, a>o n->.o ,

,

o

0, lo'

-.

l''

l q I<1 limgn= 1, q=1 limq'=11, Q=l ,+€ n->e.

'

q>l l, L-' q>1 I

dve take q=-l niz Za niz ima dve tadke nagomilavanja nagomilavanja -1 Za q=-1 -l

parni 61anovi dlanovi teze teZe ka logn

rc ,, & a oeporni neparni

ka

o limlogn-o n-)@ n->= n o

, nl

je divergentan.Za < -1 divergentan. Za qq<-l pa je i +1 +1, pa

i

,

* ná a>1 o n-> lim =0, ae R, R.a>l tim{=o.6xe n-+- an

--00 .

An

a

lim lim án =0 =0 -, a> -I1 n-0 i-- nt n!

o

lim(1+1)"=e. lim(l+!-f =s'

n-->@ n

Osnovne jednakosti

n(n+1)

r+2+...+n=n(n+l) 1+2+...+n= a z2

2+4+6+...+2n=n(n+1) 2+4+6+...+2n=n(n+l) + 22 12 +22

+... + n2 +...+n2

n(n + 16(2n + 1) _n(n+1)(2n+1) =

1+3+5+...+(2n-1)=n2 1+3+5+...+ (2n-t)=n2 3(2n +

2n(n + I) 42 +...+(2n)2 +... + (2n)2 = 22 + +42 -2n(n+l)(2n+l)

63 .(n+ I)(2n+1)(2n + 3) t2 . 12 +32 +32 +...+(2n+l)2 +...+(2n+1)2 '3=(n+1)(2n!^l)(2n+3) 3


12

Granicne vrednosti Graniine vre dnosti nizova ni zova

1. Ispitati:

ogranitenost, ograni6enost, supremum, infimum, infimum, odrediti odrediti take tatke nagomilavanja

1.

3n- I a' =y. 5n+I 5n+1

graniinu i grani6nu

i

vrednost (ukoliko postoji) za { an } sa opStim zaniz niz {an opstim ilanom élanom a,, =

o,= al

t or=77, 5s 1I 11 tl a5=13,... 7 o.r=7' ,o=Tl' ,t=E' a2 11, a;

1

j'3'

a n+1 >) d, dt,+t an

2,

21'

a4

3n+2 3n-1 > 0o <=> (3n+2)(5n+1)-(3n-1)(5n+6) € aa,*1 a >) o a e 3#:26-#> <+ -an n+l 5n +6 5n +1

<=>

l5n2 +t3n+2-(15n2 +l3n-6)>0 15n2+13n+2-(15n2+13n-6)>0 Sledi, niz Siedi,

W,

n

a

O o

(Sn+6)(5n+1)

8>0

an } je monotono rastudi. rastuii. {a,1je

{

lt a < 1,/ broj I je jedno gornje ogranidenje, , ograni6enje, broj broj j3 < o, ;3 1

<_

jedno donje ograni6enje. je jedno ogranidenje.

I

(Rrvi elan = inf inf {{ a, an }} =; dlan lan niza). 3 3n -1I 3n-

.t

J-3n- I 3n-1 3-hm llm an a == ltm lim -;---7- = lim lim =il n .== tim lim --4n x+6 " n-s* 5n* I Sn+1I n->. n->. 5n* n-)@ n-> 5n+1I "--

J+5+-1 n

n

n

3

I

Kakoje Kako je lim(3-L1=j /im (3 --I ) = 3 ii hm1s +!1=5, lim (5+-1 )= 5 , toje,,^t to je lim n_)6

n

n)6

s obzirom da Dalje, Dalje,sobzirom je lim daje

lim (3 13

5+-

1

.

lim fim(5+!1

n--+*

nn

3=3 =-1 =0 ii lim 3=3,, n->00 5=5 , to je lim =!-=0 lim5=5,toje n

n-)02 n-)@

n-> n+*

n--5+11. n...> nll

n n

n-4°.

lim (3 -1) -1 -;n "!X" -n - > .i,'

n-)*

n

n->«,

- Inll ) n+@ lim 33 - lim lim ! -!1 ), n-> n-)@ 1 n _ 3 _ n I

_. II

lim(5+1) lim(5+-)

n--> t11a

lim lim 5+ lim lim:n->0. n n-+* n-)*

nll

Grani6na Granidna vrednost vrednost niza niza I

5Ji'

an } {a,}

{

je

5,

f

,

je taeka nagomilavanja ,uem nagomilavanja niza niza {{a,} an } je

3l 5

I

= sup {{ an an }1=: (pije sup (nije elan dlan niza). J S

Napomena:

Ubudude, kada budemo trazili Ubuduie, granidnu vrednost proizvoda ii kolidnika traLili grani6nu vrednost zbira, proizvoda koliènika dva ili vige vi5e nizova (dve ili nizova (dve ili vige vi5e funkcija) funkcija) odmah demo pravila za iemo primeniti pravila za ra6unske radunske operacije operacije sa granidnim vrednostima grani6nim vrednostima - pretpostavljajuCi pretpostavljajudi da pojedinadna grani6na granidna vrednost da svaka svaka pojedina6na postoji. Ukoliko ne mozemo moZemo da koristimo ta pravila, to de Ce biti posebno napomenuto.


n

vrednosti Granii ne vre dnos ti ni zov a nizova Grani(ne

2,

13

poiev od kog elana Za prethodni primer odrediti potev se svi naredni nalaze u Clana se g graniine 77 e =0,1. e-okolini granitne vrednosti as za =011.

24

an -al
3n-1 I5n-5 l5n-5-15n-3 -I5n-3 'll
1

5

10

1)

88t -=-4: < 1 1e 16<5n+ 16 < 5n+ I 5(5n+ l) 10 l0 5(5n+1)

q

n> 3 5n> 15 * n>3 = 5n>15

hoa4 no =1'4 '

sledeée graniine Izratunati Izraeunati sledede granitne vrednosti:

n-1 ) +...+

3. 3. lim (-7 + !:*,#.**...*t:,!t= n->°° n n n 2

1

2

(n-l)(n-l+l) (n-1)(n-1+1)

1+2+...+n-1 ) = him (

!gbL#)= k 11-).*

n

2

2

lim

n

2

" -rn=lim 1,-l n=l1 n2-n - n4@ n = = lim lim =limn n+* 2nz n-00 2 22 2n2

(1f.' +1 *l s'*t111"*t+11 (3)n+1 , Et'+t 5n+1((3)n+1 -" 5 4. lim " lim 5.)-=-5 4. = 5 = lim 5 - 5. lim lim lim = n-+o----1= n-+@ (3)" -1 ,r+6 n-+. 3" -5" _t _tl -5" n-. n-'° -1) S,llf 5n((3)n (f5 5 1(1+1)+2(2+1)+...+n(n+1)1.2+2.3+...+ n(n+1) ,. l(l+l)+2(2+l)+...+n(n+l) E lim ,, 1.2+2.3+...+n(n+1) = lim aarta-=.aua-= 5. f,. 311+1 a,t+t +Sn+l

.

n-)@ n-->m

n-+@ n-400

n3 n-

.

,

= lim = n--).0

nnt3

12+22+...+n2+1+2+...+n l' +2'^+...+ n' + I +2+...+ n= n' n

n(n+1)(2n+1)n(n+1) n(n+l)(2n+l)*n(n+l)

,:__-

6 n'

+6n2 n(2n2 + 3n+ t)+ 3(n2 +n) ,. 2n' 2n3 +6n ,. n(2n2+3n+1)+3(n2+n) =-aLrtr--aLtralhm - lim 2

nn-)6

6. 6.

n-> ;;i

6nt

6?1n?

66

t-, n+ 1+ n

= 1im n( n2 + lr -d!-!::!yn) tim n(Jnz = n)6 ,l 11171-27-1 l +n nz+t+n

n-...

lim n -= ,;:'*" -

,,w

"

=-t,-him

A

n2+1-n2 n2 +l-n*l-n2 nn *t +1+n *n Jr, 2

nfl

= lim

1+-T+1 t+\+t n

"

n n) ri(3 n3 ++n-n) lim fimndlni

n--l@

-

.2n2 (n3 +n)2 +nln3 n3 + +,n ++n (n3 +n)2 +n3 n3 n3 +n +n2

n3+n-n3 ' nt +n-nt +n-nn' = lhm n 3: s n ;::" n +n+n (n +n) +n' *n.{7l,*n, -rf {f; ,r*

',.-

2

2

iln

-t;,-him

u'*,t n2+1 n2 +l +n +n I 1

33'

a n na n1= n2+1I -3 n3+n-n+n)=

n(

"

_ -

+4n- 22 It

6ri3 6n3

n2+1-yn3+n) him n( nd7; -4["' + ") == 1:*rd n-)w "\ -Llrn2 +1-n)n3 +n -n))= = tr^ lim n( lim n(3 tim n(Jfr 41!Tn-n11= = -n)- n-+ n->.. him tim

n-)00

2

6

lim

n->«,

22

"(n3+n)2+n; n3+n+n2 *n+n2 '.- {1n3 +n)2 +n.l,l nt 1

lim

nj

(1+

z)2+;Il+ñ +1

=-

lll 1- 1 2233 66 1

= =---=-

7


14 t4

Granicne Graniine vrednosti nizova

(2n+3)2 = lim(2n+1+2)2n lim(1+ 2 2)2n = lim(1+ )2n 1 lim = 7. --1um(zn+i Iiml+-L)2n )2n = lim,2n+l+2 rz'= liml+ ' 2n+l' = 2n+1 ;;;'' i-*' 2n+1 ;;:' 2n+l ;;:'' ' 2n+1 2n+1 ' 21a1' 2n+l')2'= n->°°

7.

2 2n+1 2'!l

t ) 2 .=2 ,.2, 2n+1 2n+t ,r*1) liy(t+ 2n+ n-+°°

= lim (1 +

2

2n

2

1

2 2n+I 2n+t

,

1

Kako je tim (1 + Kakoje

)

2n+1 n-,,lim(l+7nU)

) 2 =="e ii li*fu-2n=2,toie 2n = 2 to je lim n-+°° 2n+1 ,

2

2

(

(

2n+t 22-.2n

.

2n +I

4n 2n+1

,,*,\fr

2n+I

'n*t'z' , +I = tim (1+ ) z +;+ = 2n +1t1 2n +I ) n->.* :,*lU+r/;7lT

lim (1 + tim(t 17-40*

2n

2

2

1

2n

2 2[2)

=12. I

2

Napomena: Napomena:

1 an

-r" an

je lim Ako 'emu je granidnu vrednost ((I+Lft,1bt,, pri demu Ako trazimo traZimo grani'nu vrednost niza + )° )b" , pri (1 + = e ii limlt+Ly, niza ((1 =e ,-+@ n-40°

Cln

lim b = a --°° ,liybu=o

(aeR, a e R aa mole +co , mol.e da da bude bude ii +*,

(

,

odnosno odnosno

*),),

Qn

je tada tada pigemo pi5emo da da je

!]

!im

1

b

lim ((1 +-)°, )b e =-"u. tim111+Ly,, en -"kb" rt',, = m

an Q,,

,r-+6

I+n2+n l+!' +n =1t (n- 1)!+(n + 1)! = tim (n-1)!+(n+1)n(n-1)!-- tim him 8.,r*(n-1)!+(n+1)! -,r*(n-t)!+(n+t).n(n-t)! -_ li* = ->°° n-+@ ,r-)6 ,-+6 (n+1)! (n+1)! °° (n+1)n(n-1)! (n+l).n(n-l)! )10. °° 2

8.

11-"°

(Vn2+n+n)2 r,[7li * nt' II

9.

(ÿn2 + n + n)2

lim n->°°

3

n +1

= lim n->c.

nn

{v;

;In6 +1

== lim n)e

"-).0

2

n2 n

-n-7))

ro. him (1n+ -,{n-{n u^fJn*Ji

10.

,,

= lim n-,* "-°°1n+

27 2J;

+Vn-; r!r+Ji +Jr-Ji

1+-1+1)2

W n

1+

3

n-

5n"

n6

-=tilim n-,* "->°°

2 T

n+,T71++,1"-.[i "'° ''* ln+Ji

Jn+I+ n-7 rln+Ji *Jr-Ji

-= lim

+?

3

tim(t-+,*** 5n" r-++2

ffiT 2

n->s.1'1+

2 +2 " = 2 sn; ),r == lim (1 + I ) 5n ( Sn 3 11. lim hm (1 timfn3 tim(t*J=16 2 )fi ) = n-a°= ->°° 5n n-»`' n+@ ,-+@ 5n 5n-

ll.

=4.

n+7-(n-J) ,-Ji - lim ,. n*Ji -1r-Jit

n+7+1n-,n n+ ,lr+J n+ + +rln-Jn ,ln+J, - 2J; VT/

3

.

rff*tf -4.

(

2 2

nn" + +nn

..

lim

=1. =1.

+'ll-

zJi

2.%n

= e" a°° 5n? = e =1 ="/377 =eo =1.


vre dnos ti nizova Granicne Graniine vrednosti

15

n

n-

n = timlrin(rJ7li-nE+nn1)2= 12. 2 [sin(g n2 + n7r+ ng) 12= 12. lim tim sin2g sin2n,[7;o = lim .

J7i

*,

II

n2+n-71 = lim[s1n7r(yn2+n-n)Cosng+ o, g( o 61-n' u m l, n o ( = n->a, - n ) s i n n ttl - n ) c o s n n +,cos r

rr

= liml(-1)n sin9r( n2+n-27 -nd

"

n\, -n) - ", fu)

"

= lim(sin27r( trd n2+n =,!,,I(rin'

=

n2+n-n))=

= lim(sin2lr( n-x.

n-!.

22

lim(sin2 fim(sinz = n)@

g(n2+n-n2) )== tln'+n+n n2+n+n

ffll

n2+n+n n'+n+n gn it' ). )= tim(sin2 4l 11m (sin2 4-l = lim(sin2 = tim(sin2 = ,r-++n+n n,,1n2+n+n 1+1 +1 n lt*L*l g neprekidna za svako je,|g+ svako x, to sin2 x neprekidnaza funkcija y! = sin2x Kako je = kako je funkcija lim Kako =L iikuko n-,111+1 ,rl

.

+1 n lt+-+t

g

je lim sin2(

2

) = sin2 lim

+ 1 +1 13.

lim

sing

1

n

VV

/17-----F n

+

= him sing( n2

1

+1

n 2

=1.

n

rI

"l-*6*otJ7;: n-->

n->02

= sin

I

+n -n+ n)=

g( n2 +nn -n)sinn7d= + cos = lim [sing(Vn2 + n -;,,osntr -n)COSrig+ coslr(J-n\ - ntsinnxf = n

n2 +n rrno(Jfr lim((-1)" sing( n\,+n -- n)) == lim((-l)' il) == - n))

= lim((-1)" sing( rrnr(J n2 = lim((-l)'

= lim ((-1 )" sin (g ( n 2+n-n)

= lim((-1)" tim((4)n sin sn#) =

n)6

g

n

)

It ,ln2 +n+n 712

n+n+n))=

F22+ n+

n

lim((-1)" sin

7

lim((-1)" sin sin$-|.g -= n-»* lim((-l)' n-)@

g(n2+n-n2)))= In2 + n+ n

).

,lt+tf+l+1 1

= 2k -1, kteN E N siedi da sledida je lim za nn=2k-1, (-1)" ==-l -1 za lim(-l)n e N ii lim za n=2k, n = 2k, k teN Kako je (-1)" =1 za lim(*l)'=l n->.0

granidnu vrednost, tj. nije konvergentan. konvergentan. niz -1)" nema grani6nu niz ((-l)'

g - to tim (-1)" sin g g ,in*= sin =1, to sin lim tim sin#=sin -, :t:LFtl' tt-n#-=rirr=,/, n-)@ "--J, ' +1 +1 +!+t +1 +1 +!+t +1 +1 J, lt*!*t

je ttm Kako je him sin

I1

2

I

j

V

n

1

¡1

n

Yr

n

n

postoji. ne postoji.


16 I6

Graniine vrednosti Granicne vrednosti nizova

Napomena:

z

za n-)@ za lim lim(-t)'sin4 (-1)" sin t+1 1 *!-*t +1

Ovde nismo Ovde nismo mogli mogli da

l,n n

YY

a

a

lim an'b, lim ar. lim b == lim

rinoJn-\t sink n2+1 11->0.

14. L4. tim u*

primenimo pravilo primenimo pravilo da da je

jer lim (-l)' jer (-1)" ne postoji.

bn

n->oo

ri-n2 +1 +n )_ )= -D.#+n ,lnz + I +n n2+1

lim((-1)" sin( Jn2 lim((-t)'.sinn( +t -n)' n2+1 = ni** 2

== lim ((-1 )" . sin lim((-t)n r'rn(n2-+

n)@

I -n22 )) )= lim ((-1)" sin ,-

,Jn2 n2+1 +t

n

>r tim((-t)'.sin$1.

n-'6

rln'+l+n n2+1 +n

n-+w

+n

je lim sin Kako Kako je sin$

= sin sin lim + n+6 tl n'+l+n n-+-rtnz+l+n n2 +1 +n n2 +1 +n lim ( -1)" sin lim(-t)'.sin]-=g. =0 n-,@

)

0 =0 sin} = = sin = 0 ,, to je

n

.

"->°°

n "Jn2

+1 +n +t

Napomena: Napomena:

Ovde OvdenismomoglidazalimFtrsinffprimenimopraviloda nismo mogli da za lim (-1)" sin primenimo pravilo da je 7r

,'l

a

lim lim an .b, bn = a, . um lim = lim an

n2 + 1 + n n'+l+n

b jer lim (-1)' b, (-1)" ne postoji. ier n->ao

-- 6n2 ++4n1)--tnn Inn -- 2ln(n 4n - 1) 2ln(n--2))= 2)) =

15. t5. lim (2n2 + 1)(ln(n3 n--> liyr,_(zn'z

n-i - 6n2 + 4n-1 2n2+1 n3 -,6n2 +4n-1 2n2+1 lim tr^m1t-6fu!!-l ln( ) r2n2+t = In lim ( = ) -htimln'. ;6n2 !4n-I12n2+t n->°° _4n,

2+6

u-r@ n3 n, -4n2 +4n

n(n-2)2 n(n_2)"

.

-

n3-4n2 +4n -(2n2+1) ,3-4r2+4n. 2 -(2n2!t) .(2r2+t) n +1)

- 2n -2n2 1 ) -(2n2+1) n';-4n2+4n (2 I )2n2+1 =1n (1 + 1 lim(I + (1 + h lim lim(t +-.-4!-)-1;3i-,'1-4ttt+4n = ln lim ;-2n .fn2+t =- In n* i--+* n3 "->°° n' n" -4n` +4n n-»* n" -4n'+4n 4n2 4n -4n' +4n

-

3

.-

,.

-(2n2 + I)2 lim -(2n2+1)2

-4n2 +4n hr,i!*;rJ7;;

= ln =

=

-t4n4+4n2+lt lim -(4n4+4n2+1)

ltm-+ e" '''

= iil e't= ln

+4' == -oo .*

n3 -4n2+4n -4'z

Napomena: Napomena:

Kako

4nt -4n2 .. -4n4 lim ---i-=--4n2 -t itn n'; -4n2 +4n e"°° eil-,'-4r2*4,,

0 _+0

-

-

ii lnu_-;.*,kada Ina -ì u 0, tada je , kada z_+0,tadaje

,.

hm iim

-4n4 4n1 -zn2-1 -4n2 -l -;- -4n +4n

_*-oo = In é'°° " lneu-*n-t-412+4,


Granitne vre vrednosti Graniine dnosti nizova nizova

17 L7

16. 16. U U zavisnosti od od realnog parametra aa diskutovati granicnu realnog parametra graniinu vrednost vrednost niza niza sa sa opstim op5tim n2

clanom ilanom o,r=t#r#', a = - 2n + 1)

a2

-n+2

n

-n+2 +(a-1)n-I

n2

n2 n2-n+2 -n+2 1)an2+(a-1)n-1

,

timlt-2n+!);7.*')'-'

lim lima,,= = lim(n2-2n+ ,r+6 noo n-i r_s* ll. n2 _ n+ 2 -n+2

= (1 + = lim (t+--;-) /7-400 n+6

-

n2-n+2 -.'l''6( -" n*' v+1

,

1

nz n2

-n+2 - n+ 2' n+1 ,*t - !im l',

2

n2 -n+z n2-n+2

^ -f +2-n-l );7.*-',*'

= 1i*rn2 lim(n2-n+2-n-I)an2+(a-1)n-1 = n-°° = n_r@ nn. -n+2 _ n+ 2

n+1 n2-n+2 -n+z {+t ), !2 n' n2-n+2 an2 +(a-/)n-1 +(a-l)n'l -n+2 un'

n+/ 1im en-+..an2+(a-l)n-1 +(q-l)n-l

= ett+-dn'

n+1

'+l je a=0+ je a#0 Ako je a= 0 jig",=e lim an =e ,)a-n+t = e. Ako je a*0+ liga,=e0 liman =e0 =1. =e.Ako 17. 17. Opti opsti ilan clan niza

n

je je ,,, a =11112 +.in --n+ Odrediti realan parametar n+ 1. L odrediti parametar x,takoda A. tako da bude = JJG

lim a = 0 ,, a zatim zatim odrediti pocev poCev od kog ilana Clam niza se svi svi naredni nalaze na n-)0.0 ko"

rastojanju manjem od 0.05 od ove granitne graniine vrednosti.

r;-

n(

n2 +An+)n-1n2 (n2 -2n 2 +1) -2n+l) lim an= = lim limbln2 n +.1n -(n- 1 )) Jn2 +An +(n -1) =- n-)@ +)n-(n-111."1n'+)n+(n-l) lim ,'* n2 n->oo ,,1 n2 + ),n +(n 112 +An + (n -1) - 1) nom°° -sin2 +An + (n 1)

a

-Tm.,,-) -

I 2+2-l+z-! n n ==lim = lim lim = n-).0 n2 + An + n -1 n--»* JTlt*,-t ''* li-lt*L*r-! 1++1-1n Ynnn

().+ 2)n- I (2+2)n-1

2+2 =0

),=-2. = .i=-2.

2

yn2 -r, - 2n l,tr'z

-(n-1)-0 l
1

I

-VIIn2-2n+n-1 <0.05 -r[r' -zr*n-t<0.05 -IIn2-2n t.o5 -n -rt"' -r, <<1.05-n

,[r\, Vn2-2n>n-1.05 > n- 1.05 l' o 2

n> 10(1.05)2 l0(1.05)z =11.025 = 11.025

+

n>1=

n2-2n I

_2 Vn2-2n-(n-1)<0 1r
e

n2 n2-2n>n2-2.1n+(1.05)2 -2n> n' -2.1r+(1.05)2 t.>

no = =12 12

0.1n> (1.05)2

.

a

18. Dat Dat je je niz 18. niz sa sa opstim opstim clanom ctanom on=o(J7m-J"+rl. = n(V n3 + An2 + n - n2 + 1) . Za Za koju koju vrednost parametra parametra rtA ée de dati niz divergirati, divergirati, a za koju konvergirati?

afil -rf-rz

= lim lim an a, = ti^ n(n' +1 ,111,' +í1n2 +n - n2 a1 ''n-».

n

-n+n)= -nan1=

= n3 + )n2 + n - n)- lim ,1r[r'n(Vn;+íln2+n-n)a 1 - 11= n( n2+1-n)= = lim n6,l n-).>

» -a00


Granitne Granii ne vrednosti vrednos ti nizova

18

= Uni

WW*n's,f]frfi*nz

n3+An2+n+n2 3rln3 n - n) V(ri3+a,i12+n2)2+n ++)n2 2n2 ++n-n)' n(43 ??,,

+r.t^l nt +)n2 +n+n2 (n3+iÛ12+n)2 1n3 +)n2 +n)2 +nyn3+Ali2+n+n2

n(n3 + An2 )n2 ++ n- n3 )) n1n3 + ,[n'*t*n n2+1+n lim = lim n( n( ,tnz*1_r|t\ilJn=6o, - lim n2 + 1 n) I(n3+2+n)2 ;:i,ft;fr;* n2 J}i

n(n2 +1-n2) + l-n2 ) - lim n(n2

ffi; n2+1+n

+*

n

+n?? n+4n2+n+n2 3 + )n2 +n + n2 +n.l,ln'

)n3 +n2 + n2 An3

lim

+lnz +n)2 +n'41n3 +)n2 +n+n2 (n3+An2+n)2+nn3+2n2+n+n2 '-,*41{n3

)n33 + nn22 r1 n ..n lltll lim = lUn-= -- ;i,:: lim 41n3+íín2+n+n2 ;;L n3+2n2+n)2 +n + )n, +n+n2 * n.;[n' n "-'°°il( 4,771+ J n? + t + nje Ako je ), * 0 + niz divergira.

4lAG;7

Ako )" =0 Ako je je 2=0

1111 --/6I /im an = konvergira: lim + niz konvergira: =--3322

_!) 2

.

a

>_ 0 . U R,, pP20. zavisnosti od U zavisnosti qe R V pn2 + qn ,t p, je niz sa t-r[po'G ilanom on== no--1sa opstim op5tim clanom je P,Qe konvergira ka: parametara q odrediti kada ovaj niz divergira, aa kada konvergira parametara pi qodrediti

19. Dat 19.

a) nuli, razliCitomod od nule. b) broju razlieitom

a) b)

n2-2n+1-pn2-qn n-1+pn2+qn n-l*rt Or- *q, = lim - t 2, tltr -ln+t-pn -qn -. )' ---ff iiiii --------'---':lint n - I - i pn- r+gn) -,,.^^ft= n-@ lim(n-1-Vpn n-I+lpn" +qn n-1+11pn2+gn n-l+11 pn'+qn "-°° n-1+pn2+qn "-°° 1

;W

(t-p)n2 (1-p)n2-(2+q)n+1 -(2+q)n+l

= = lim

n-1+11 pn2+qn svako gq niz divergira. za svako za p *1 * I iiza 1l - p *0 #0 > za "-P°°

Za p=1 niz konvergira. a = lim an

n->«,

"

.. -(2+q)n+1 -(2+q)n+l

lrmhim

n'* n-l+ln2 +qn = "-'°°n-I+V"2+gn

+ q1+ !1 -(2+q)+ -(2 n

,Lffi nYn

n1-+1+4 him lim

n

a) a) b) b)

-(2+q) -(2+q)

=-=-1--

22

2

,

e 2

n

YYYYYY

!=-t)q=-2. q= 2

e 2 = -1 lim an=- I -2 =0a l,*o^=4-1=0 q*-2. k#0,, q#-2. lima =-1-5-=k; k*0 liAo, =-l-1=k; 2

.

x

{ x3 } } realnog niza }, {rr, niza {{xn }} konvergiraju, pokazati da ii podnizovi {{*rnl, x2n }, {{rr,-, 20. 20. Ako podnizovi x2-1 }, { xq } realnog realnog niza { x2n }, {{xzo*r}, x2+1 }, {ro*} podnizovi {*r,}, Dokazati da ako podnizovi da ako niz niz konvergira. Dokazati }. (Naéi kontra primer). niz { { }.1Naei {x,, }} konvergiraju, da to ne mora i niz{x,

x

x

} niza a. konvergira ka a. an}} konvergira niza {{ a, { an?, } svaki podniz lo,r a, tada konvergira ka a, tadaii svaki an}} konvergira Ako Ako niz niz {{ c, =C xjn=c lim x3n x2n_) = b lim lim x2n-1 x2n = =a a lim x2n n->o. n->00

n-»*

x2,x4 xz,xq,xb,xg,... ,16,x8 ,..

X

x,.x3,x5,x7.x9.... ! ,lJ 'IS ,xZ 'xg -..

x3 ,x6,x9,...


Granicne Graniine vrednosti vre dnos ti nizova

L9 19

Niz {{xn, Niz x6 }} je podniz niza niza {{xr, x2, .\6 ,.r l2 x6,-T12

ka a. konvergirakaa. }} ii konvergira

Niz {{x0,, Niz x6 }} je podniz niza niza {{4, x; }} i konvergira ka c. konvergirakac. Konvergentan niz ima jedinstvenu jedinstvenu granidnu vrednost ) aq = granicnu vrednost . = cs. Niz { x_; } je podniz niza { x2n_1 } i konvergira ka b -'3-"9,"15,"2/-

Niz

{

x,_;

}

je podniz

i

niza

{

x3

} i

(1)

b = c.

konvergira ka c

Iz(l)i(2)> a=b=c. Iz(1)i(2) Izvan svake svake se- okoline okoline take talke q a imamo konaan konadan broj broj clanova dlanova niza niza {{*2,} x2, } ii konaan konadan broj broj dlanova clanova niza niza {{*r,-,}. x2n_t }. Znai, Znadi, izvan svake ee -- okoline okoline tacke tadke aa se izvan svake se nalazi nalazi samo konadan broj dlanova konaéan clanova niza {{.r, x }}. Sledi Siedi him x = x, }} je konvergentan. ie konvergentan. n->00 li*r, = a ,, tj.tj. niz {{ x .

Ako uzmemo x _ Akouzmemor, (-l)' ,, n?. , imamo him x2n =1, n2,11 ,imamo M him *rr+t=-l =-1 ii ji$ror=1. him x4 =1 = (-1) li*rrr=1, n->Lx2+/ n->c. Niz nije konvergentan konvergentan jer konvergentan konvergentan niz niz ima samo jednu tacku tadku nagomilavanja. .

2a + 1

21. Neka 21. Neka je niz jan je aat sa sa aat1 = 1I ii aen+r 3 J niz l{a,,}} dat +l==r.'"'l:

aa,t+4 +4

je niz nne e N. N.Pokazati Pokazati da je niz {{a,, an }}

konvergentan ii nati naii njegovu granicnu graniinu vrednost.

.

aClr=1,1, Qt=-, a2 /

I

9 't9

-t 9 9 2a2+1 25+1 18+5 69 -2a.+l a; Qt=5. =3 =3^,18+5= =--=J-=-.... 5' 5 " a2+4 2+q 9+4 a2+4 9+20 29'. 29' 9+20 55

Oeigledno je da je niz Odigledno niz

fan}} niz pozitivnih brojeva, brojeva, tj. ti. aa, > 00 , za za svako svako ne N . {a, { } Pokazimo PokaZimo da je niz an niz { a, } monotono rastuti. rastuii. je 1 Za Za nn= 1 treba pokazati pokazati je at da < a2. a, = ,

.

.9 al= at,5 = 1l<<=a2 -=at pretpostavimo da vai Za n= k/e pretpostavimo vaLi ao_, ak_t < a k+t - ak >0 arlak+teapal-ar>0 2ak + I1 2ak_ t+ 4)- (2ak_1 + 1)(ak + 1I _ 3. (2a k + 1)(ak_t l)(ar_t ++4)-(2a*_t l)(a*++ 4) 4) _ 3 3.2or* _ J.2ao-, r.(2ar+ +4 ak a_/+4 ao 14 +4 (ao_, +4)(ak ao_, (ak_t + 4)(a* +4) + 4) + 8ak *+ ak_ 2akak_t *8ap - (2akak_ + 8ak_I + akak + 4)4) _ a1,_1 + 4 -(2aoap1*8a1,_1 _ 3. .2otgt-t = (ak +4)(ak_t +4) lrk-")rakl-") 7ak 7ar -7ak 21(ar --ak_I) a*-t) >0. -7ao-, -t - 21(ak ,0. = j3 . (ao + 4)(ao_, (a1, + 4)(a1,4 (ak 4)(ak_/ +4) + 4) (ak 4)(ak_t +4) + 4) .

a } monotono monotono

Na osnovu principa matematidke je niz matematieke indukcije mozemo moZemo tvrditi da je niz {{ a, 1a,, a/ za ) ar 5 zasvako svako ne ne N N..

rastuti rastuii

a

}

,


Graniine i'rednosti vrednost i nizova Granitne

20

niz {{ an a, }} ogranicen ograniden sa gornje strane. Poka2imo PokaZimo da je niz

2x+1!. ima pozitivno ima x+44 x+ an } monotono niz {{4,} monotono kako je x =3 ii kako regenje re5enje x=3 ie niz je konvergentan konvergentan tada je tada ako je to ako rastuii, to rastudi, je sludaju sto je uu nagem nasem slucaju lim an = sup{ an }= a, gto !:!*o^=sup{an }='' jednadina x= * = 3s.2'| Kako Kako jednacina

_

jednadina aa=3. = 3. Kako jednacina

1.

21

x= f(x) = 6 x+4 iû ima x=f(x)=6-J!-

(vidi sliku), jedno pozitivno regenje =3 (vidi sliku), to da re5enje xx=3 smo uzeli: rastuii niz koji koji konvergira (0,3) dobili bi monotono rastudi za broj iz iz intervala intervala (0,3) za a/ a1 bilo koji broj ka supremumu, sup{a"} =- 3 ,,

) 2.

an = 3 ,, clanom an opgtim dlanom za a/ =3 dobili dobili bi konstantan konstantan niz sa op5tim zz a1=3

3. 3.

} = 3. a/ > 3 dobili bi monotono opadajudi niz koji konvergira ka infimumu, inf {a" za dobilibimonotonoopadajuiinizkojikonvergirakainfimumu, za ot>3 la,]=3.

a, <3 . Za Za n= I1 treba pokazati da je a/ .

a/=1<3 at=l<3 pretpostavimodavali da vati Za Za n=t n= k pretpostavimo

< 3.' ak ao<3 da je < 3 .. a1,*1 <3 je aA+/ Za Za n= n =,tk + 1/ treba pokazati da ak <3 +qr=3-e, aA =3-e, e>0 oo<3

a+/ Uk+l

7-2e <3. 2a +II =3" 2(3-€)+t 6-2e+1 =3J" 7-2e 2(3-e)+1 -3J--:-= . , 2ao+ ,6-2e+l \--," J,= 7-e 7-e 7-e +4 3-e+4 ak+4 3-e+4

= i = J.----= ak

je niz da je niz {{ an a, }} ogranicen ograniden moZemo tvrditi matematicke indukcije mozemo Na osnovu principa matematidke . N . E sa gornje strane, tj. tj. an an <3 ,, za svako nne an, tj. liman liman== AA.. Ian} je konvergentan,ti. ogranicen + Niz i monoton Niz Niz {an} ograniden {o.l jei" konvergent {a, }

2a n + 1 _ j.2a' '+ ! siedi iledi Iz lz aan*1 n+l = 3

qn+1 +4 an

liman+/ liman*1

n)* "-'

n-o.0

2 lim an +1 2liman*l 2A+1 (+ A=3 ' <=> e A=32A+l <=> : A+4 lim an a, +4

=3 11' =3 ;1*

A2 A2

+4A=6A+3

2± 4+ 12

jednadine su: Ala j jjednaine jja p A poslednje poslednje A7,2 ='*P Regen Resenja an lim an20 > 0 * lim Zbog an an>0

+

A20

+

22

ge AZ-2A-3=0. A2 -2A-3=0.

2± 4 odnosno A/ At == -1 A, == 3. 3. -l ii A2 =214, odnosno

an = lim lim an = 3 ..

Napomena: jelneprekidna E R, gde je neprekidna =Pan), a/areR, sa an+/ a61=f(an), problem da dat rekurzivno sd da li li niz an 1, U niz {{a, U problem }, dat demo uvek uvek posmatrati se upugtati. upu5tati, Ovde iemo nedemo se granicnu vrednost ili ili ne, ne, neiemo funkcija, ima graniEnu granicna postoji granidna da ako ovde da ako postoji vrednost. Napomenimo Napomenimo ovde granicna vrednost. koje postoji nizove za postoji granidna nizove za koje = x ii krive prave yy=x presednoj tadki tadki prave da konvergira ka presecnoj vrednost da niz mora da konvergira ka vrednost niza niza {{ an a^}1 da

f


Graniéne Graniine vrednosti v rednosti nizova

2T 21

y=f(x), f(x) , tj.tj. da za grani6nu granidnu vrednost je a=f(a) da za vrednost a= a= lim lima, vali da da je an vai a= f(a) n--)m

y =

(vidi prethodni (vidi

primer). lim an+1 = lim an primer). n-0 !i!*onn, n--0 !* rn = aa* aa== f(a). Napomenimo ovde da niz Napomenimo niz {{a, (nema grani6nu an }} nije konvergentan (nema graniEnu vrednost) vrednost) ako prava y= x i kriva x ikriva y y= f(x) nemaju nemaju zajednidkih tadaka. zajedni6kih ta6aka. = ! = 22. 22. Neka

9 je niz {{o,}, je niz a }, nneN, E N, definisan na sledeii definisan na sledeci nain nadin a c, =l@,-r**r, =1(ai_1 + ), a ao=1, =1 2 a-1

.

yrednost. Pokazati Pokazati da je niz konvergentan ii naéi granidnu vrednost. nadi njegovu graniénu

pozitivnih brojeva, tj. nizpozitivnih tj. an a>> 00 za svako nr €E N {a,}} niz

Odigledno O6igledno je da je niz niz { an añ_I +9 4r;*-,g

a -- an-1 ann-t = =

en

-

2an-1

-

=

o an-1

^-,

9

4r# 2a-1

a-1 + 9 - 2añ-1

_9 - a-1

-=

+!

2an-1

9

1

2

(a n-2 ) i' 4 "';:,:,,*' =' 2an-1

-

..

1 81 1 2 81 1 2 j!-, 81 9--*ro',-, -(a2 + ta + *t +18+-r--) *,t * -2---(an_2 +18+ tut --(4 an_2 -18+ - 36) - ta * *t 4

=

2

4 _-itol-,

_g

an-2 _

t. --I - - (an-z

2,n t 2an-1

_-lrr',-,

an-2

2on-t 2an-1

9

an-2

)

_

2on-, 2a-1

9 )2,

_ * _

2an-, 2an-1

on_2 an -2 a! <
Siedi an }} monotono Sledi da je niz niz {{an monotono nerastuci. nerastuii. je niz Kako je an }} monotono nerastuii niz {{an nerastuci ii ograni6en ograniden sa sa donje donje strane strane konvergentan, tj. lim an = A. konvergentan,tj. n->o=

t.

9

Z

An_l n /

a=

..

t

, aan =;@nt - sledi /im Iz lz =-1 (an_1 + + 9 )) siedi /rn an a, ==!-((ñlim m a,_t an-1 n+-

+9 a A=1(A+9)_A A-!ro*2t-A2+9 a 2 A 2, A, 2A o

2Z n-+-

2

<<=>

2A2=A2+9 2A2 =A2 +9

*L) 99

+ lim a n-1 ) lllfi On_1

e

<=>

+

niz an } j" je niz {{o^}

e

A2=9. A2 =9.

Resenja poslednje Re$enja poslednje jednadine jedna6ine su Ai = 3 ii A2 = -3 At=3 Az=-3. Zbog an >0 za svako nzeE N Zbog an>0 zasvako N

a_) n-J. = A=3. je niz 23. 23. Dat je niz {a*}, an }, a1=45 + 3a_1 , n>1. ar =1ll ,, a a, _=|\M, n)7. Pokazati da niz niz konvergira i naéi naii {

.3sI2

graniinu grani6nu vrednost. PokaIimo PokaZimo da je niz niz fan} ograniden. { a, } ograni6en. Za n=1 Za n=,1 treba pokazati da je je 0
i

..

0
sr*, 42+3.2

3Ji 2 0

Granicne vrednosti nizova Graniine vrednosti

22

je 00
nEN. neN. + 2> > 0 <=> + 3a,-t +2 a Q -an_1 3an-, >) a3 a3,-, <=> 2+3an_1 <=> V2+3an_1 a,-t o a,-t <=> e 2+ en ) ai_1 a> -a]-, +3ai_1 trp+ S*, >) an-1 t 1)2 l)2 >> 00 1) > 00 <=> e (2- a_1)(an-1 an-1)@n-r + 2a,-1 + l)> <=> a -(ai_1 D(a?,-t + 2a-1 -(an-r -- 2)(a,2i_1 je ai_1 a }} jej" monotono rastudi. rastuii. Kako je Niz {{r, E N svako nne N. Niz an-t <2 tacno jer je <2 za svako Ovo je tadno j" konvergentan, tj. ñlima,,=4.17 'm a = A A. Iz konvergentan, tj. sledi, niz niz 1a niz niz la ograniden, siedi, {r, }} je {a,, }} monoton ii ogranicen, .

stedi: aa, ==1pl1ij V2+ 3an_1 siedi:

= a A=V2+3A A=1[frse o

lim a, ==2+3 r,lima lt mai_1 = tf2rt li*

,+6

V

<=>

n+-

< >

<

(A-2)(A+1)2 =0. 2+3Aa Aj -3A-2=0 2VV+3A <=> A; -3A-2 =0 a(A-2)(A+t)2 =0 A3 = A2 = A3 A, = 2 ,i jednacine su: su: A1=2 Resenja Relenja poslednje jednadine , i A2 = -1 -l . je en)0,zasvako A=2. =2 E N , siedi A Kako Kako je 0 , za svako nneN,sledi qe = A' {'r -=

.

a>

.

a2

a

+ 2 , or=}, = , CE ce R+ R*.. Pokazati a,*1 ==tr*?, naiin a+ { a }} definisan na slededi sledeci Iman je niz niz {a,, 2 2 (0,1] ii ako ii samo ako ako c ee (0,1f rastudi. Dokazati da je niz konvergentan ako da je niz monotono rastuéi. graniinu vrednost. nadi naci njegovu granicnu je niz rastuii. niz {{ a, a}} monotono rastudi. Poka2imo da je PokaZimo je a2 pokazati a, ar > 00 .. Za Za n=1 n = / treba pokazati da je --a1

24. 24. Neka

al222 C c cC Ar a2=2+ =2 A1=-+-J-+-+

C

2

'2

2 2 2 8 -=->0 *" -' a.-a,-' a2-al=+ ={ro 22828 8 2 8 2

2

- ak_! >0 vaZi ak ap-a*-t Za n = /c k pretpostavimo pretpostavimo da vali Za n= ak >0 da je ak+1 ao*1 pokazati Za n= k+ 1 treba trebapokazatidaje Za n=t+/ -at,>0. .

a

ak+t - dk = ak+1-ak=2+2-(2+ t- * -,i. C

C

a-1

a -2a,-1 = !wy, (ak -ak-1)(ak + ak-1) >0 o

!,a >0)-0 + =

2

E N. N svako nne zasvako zbog a,, > za pretpostavke zbog zbog pretpostavke je niz mo2emo tvrditi da je niz {{ an a, matematicke indukcije moZemo Na osnovu principa matematidke <_ E N za svako nneN. zasvako a,
ii

a

.

}} monotono

.

n->

2

Iz a+1=a.-,, sledi: i+1 =1+&= +-n- siedi: 2 22

c " ,,-* "-' -+22 2r-* 2

a2^ a lim a.., lim añ a+1, ==L*! lim 1

nn-4..

2

=0.. 2A +c =0 =L +`9 e <=>A2A2 -2A*c A=9*A' 22 2


Granicne vrednosti nizova Graniine

i i , I

23 L3

t + /4-4c 2± ± 1- c . Da bi Resenja jednaeine su: Re5enja poslednje jednadine bi ova resenja re5enja bila su: A1,2 Ai,2 = =!ff=^lZ|i) =11+J1-r. 2) 2)

vaZiti: 1l-c>0=c cce(0,11 (0,1) > niz je konvergentan ce E (0,1] konvergentan Pokazimo da je niz PokaZimo niz fan} ograniden sa gornje strane. { a, } ogranicen qt<1. Za n=l Za n=1 trebapokazatidaje treba pokazati da je al <1.

a1=2 t =L
'

a'

' tro?.ta?.tl

Za n= k pretpostavimo pretpostavimodavali Za n=k da vai ak <1 a*<1. je + treba pokazati da pokazati I. Za ak+1 Za nn== k/c 1/ ao*, < 1.

1

.

2

2

< ak+l=c+ak < = -+-L <1+ax <1+1 =II 22 22 -+i 22 22 -*-= 2222 Ctt., r

, ,

.

'-*

A2 =11. Jt1-- cc > 1I ii A2 = 1 - Jl1- gc a< 1. A = / r[1-r. Zbog toga sto je a, <b>0 definisani sa b } definisani 25. > b > 0 ii neka su dati nizovi {{a,r}} ii {{t,,} sa al=a, ar=a, bi=b, 25. Neka je neka su dati nizovi b1=b,

granidne vrednosti su: Mogude graniene su: Moguie

I | i i I :

a

je a, < 1, I , za svako svako n Ee N . Na osnovu principa matematidke matematieke indukcije mozemo N, moZemo tvrditi da je je niz tj. lim a == A. konvergentan,tj. niz la} an }} monoton ogranieen sledi, siedi, niz Kako je niz {{a, monoton ii ograniden lim d, {o,} jej" konvergentan, A1 =1 A,, =I+

a

a+1 = a" b" a**,=%!, 2

,

a

a

ab

a niz {{0,, je niz {{a,, }} opadajudi, b }} rastudi opadajudi,aniz rastudi b+1 = . Dokazati da jeniz bu+r=J;,4.Dokazatida

niza konvergiraju ka istom broju. je an > b pokazaiemo da je b, > 0 . Primenom Primenom matematieke matematidke indukcije pokazademo < b1 b=b1) 01btb=bt) vai 0
a

.

i

ak+bk (ak+bk)e -ake+2akbk+bA2 . J;obo.** Il' o arbrl*+t=d!#M 4 2

akbk <

= akbk <

4

2

< ake 0o .ao2

i

4akbk +2akbk + 2aobr +bke + b*2 _4a*bt 4444 ak +

o J;rbr.** akbk <

bk

2

4

-

(or (ak

-bk)2 br)'

-

4

(nejednakost aritmetieke (nejednakost aritmetidke

sredine, znak jednakosti geometrijske sredine, i geometrijske zrakjednakosti

i

je ak vai vaZi samo ako je ). ar == bk br). tvrditi da da su su svi clanovi nizova svi dlanovi moZemo tvrditi Na Na osnovu osnovu principa matematicke matematidke indukcije mozemo {{b, } pozitivni svako n E N pozitivniidaje neN. i i da je an> b za i b zasvako an)b, } {o,,} 2a ann I b.an a.a.2a. n n + a.n n =a niz { an } je monotono opadajudi a1 >_ , an-1-1=

fa}

.

,

2 222"

za svako svako nneE N

2

2

a

.

{ PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor

F 1

Granii ne vrednosti vre dnos ti nizova nizo,v a Granidne

74 24

, bnbn ==$n b,*1 = anbn > bn b+1

"[ifi Jffi

1

rastuCi niz niz {{bh}'iemonotono b} je monotono rastuEi

)

E N b/ bn , za svako nne bt S3bn,zasvako N ..

ovako Moglo je ii ovako bn -an an + bn < an dn+t-dn=o'ib' -rr=*.0 an+1 -an = 2

(G

l,

b,*t -bn u, = J4 - b, = J,r,4 bn ( an - Jq bn ) > 0o anbn - bn bn+1 > an bl an } ii {{ bn b, }},, siedi: sledi: al r12 nizova {{orlr an > bn bn ? >bt E N N ii monotonosti lz a, > bn svako nze D, ,za Iz monotonosti nizova , za svako da su konvergentni, konvergentni, tj. sledi da ograniieni siedi an } ii {{U, b }} monotoni i ograniceni su nizovi nizovi {{a,} Kako su

a>

siedi o,*, =M lma=A lmbn=B.Iz = A ii ji{b, = B.lz an+1-a"2b" !i*o, "l"di A B = A+ B be 2A 2A=A+B ÷ bn ) g Mb,) o A= A=ry lim an+1 =1( lim an + lim n-40. ko,*,=1,1,*o,+ n-a 2 n-> 2

ge A= B. A*8.

l


Kohjevi nizovi

25

KOSUEVI NIZOVI KOSIJEVI

a

zaniz Za } ka2emo niz {{a^} je Kogijev kazemo da je Kosijev ako ako za za svako svako EE se R+ R+,, postoji postoji no (e) E N takav no(e)€N takav da je > no a, - < e , za za svako svako m, rn,nn >_ (e) , odnosno, no(e), odnosno, ako ako za za svako svako EE ee R+ postoji no R* postoji (E) E N ,, no(e)e lao,-anl
a

I

I

takavda takav da je

an+ p- a I< e lrn*o-o,lce

za svako n ,usvako n..>.no(E) Zns(e) ii pe p E N. N

Svaki konvergentan konvergentan niz je Kogijev. Ko5ijev. U metridkom metriekom prostoru vaZi: niz prostoru RR vati: niz {{an an }} je Kosijev ako ii samo ako ako je konvergentan.

1.

1.

a

b

Dati su Kos"ijevi Ko5ijevi realni nizovi {{ a, }} ii {{ a, }. }. je a) Ako a)Ako E R1 aoe R, =n\t/),ispitatidalije = R\ { 1 }, ispitati da li je niz niz {{an }} konvergentan i) i) u prostoruR prostoru R ii) ii) u prostoru R1 RI (Posmatrati riiz niz {{ an }} aat dat sa

a

a

a

I +- +- I ,=L+ an --n ,[.?.Lt"a n2 -, +1+7772+ +2 +n Jn' je niz b) Da liIi je niz {a,.b,l a b1 1

1

1

_In2

1

n2

{

i) i) ii) ii)

konvergentan, Ko5ijev? Kogijev?

a)

a

i) i) ii)

Niz {{an }}iefoSilev je Kogijev

+

j"konvergentanuprostoruR. Niz {{o,} an } je konvergentan u prostoru R.

++...++n

lllttln a= -=:--n+1 n'+ t ,l n+2 n'+2 ,tl

a=++ n2+2

lllttln -=:-:--::-:--:,'ln'+Z

,lnz+l n2+1

n nn n
-:-:--:: n+n ,'*n

+<+ V7 n' 471

,,1

,,1

.,1

n+n n'*n

r

+...+

,,1

+n Jn, n+n *n

n+n n,

=

¡¡" ,,ln'+, ,,ln'*t In n2+n ,,ln'+t n2+1 ,,ln'+t n2+1 yn2+1 +I Jr2+t 1

lim fim{=n - tim#=l lim n -1 + lim liman=le a =1 R1.Rt. n2 nt*Jn2+n n-'',1 n2 nj*n +n ,2+l { an lu prostoru R, Niz Niz.{a, }uprostoru R1 nije konvergentan.

b)

b)

Nizovi prostoruR prostoru R

a i {a,b,, } susuKo5ijevi Kogijevi =+ Nizovi Nizovi {o, an }}ilk} i {a, } su sukonvergentniu konvergentni u {o,Ii {

}

0 ii) ii)

}

{

b = b ). !i*o,=at !!gybn=b). n--0

( lim

ri--000

i)

{

an= a,

lim

lim (an b,,)= liman' an 7im b = a b :+Niz {{on.bn} an b } li*(o,'bn)= lim !i:!b,=a'b

je konvergentan. lekonvergentan.

Po5to je konvergentan Pogto konvergentan onda je i Kogijev. KoSijev.


nizot'i Kosijevi Koiijevi nizori

26

2.

Dati su nizovi Datisunizovi

2.

=1 +-2-+... + o,=t*i*...**, saopltimClanovima opstim clanovima an an }} ii {{a, bn }i sa {a, n

{

i

! -In a niz niz {{ b} 0,, } an }divergentan, niz { a, da je niz Pokazatida t +1 + ... * 1 b= } divergentan, a L.,r2n ! +...+ - tn n. Pokazati = 1+ n {

2 konvergentan.

an da niz niz {{ a, Pokazaiemo Pokazademo da N postoji postoji nn>ns(e) > no (e) E N no n6e

da za za svako postoji e>0 e > 0 takvo da Ko5ijev, odnosno da postoji nije Kogijev, } nije an+P - an > e va?ila,*o-o,lrt. da vai takoda pe N ii pe N tako }

.+.#.#.

.

I

(

(1+- +...+-1 ) .*-t'*l*"*!tl= an+p -anl= 1+-1 +...+1 + n+1 + n+2 +...+ lo,*o-o,l=l'-i. 2n n+p n 2 I +* I +...+ /, I * I +...+ I P p 1= *...*n+p 1> *...* = l+ = n+P n+P- n+p n+p n+p n+P n+p n+P n+P n+1 n*2 n+2 n+l 1

1

1

1

1

se p= n dobija dobija se Za Za p=r

n= 1

-. a2n -an I> la2n-o^lrh=*=+ n+n 2n 2 n

I

sledi da nije ni konvergentan. Ko5ijev siedi a, }} nije Kogijev niz {{ an Kako niz ograniden. opadajuii i ogranicen. monotono opadajudi a, } demo iemo pokazati da je monotono Za niz niz {11>,,} Za

n il _= h(n + t) - t t +* 1 +...+1-1nn) + 1 - ln(n+1)-(1 = t + +.... - bn =1+-1 -bn n t*...* 2 n n+1 i2 +...+1*. t a !1 < o ier lnn+1 == 1 - ln(1+1)<0jer r + t ) + tn n = 1 - (ln(n+1)-1nn)= 1 ln(n+1)+[nn= t,nt n + I ) - tn n) = 1 -W n+1 W n n n+1

=

l-

# j7 n+1

bn+1 bn*t

n+1 ;fi

* -,r# 1

)" (1+-I **f.' +1)"
4-I

n

n

l-'4t*!1'!. 1 <141+-1)<-I a n+1 ,
n
n n

dobija se dobija

1

ln(1

jo5 pokazati ogranicen sa donje strane. je niz pokazati da nu ograniEen Treba jog daje

<, t*).1, h2<1, In-3

Iz ln(1 + ñ)< ñ siedi s"ai ln 2< 1, rz tn(t*!).1

+ n)< tut+!1a!.

dobija se Sabiranjem nejednakosti dobija

n+1 n* I <1+1 +...+1 ,, ln(n+1)<1+1 +...+1 h(n+ t).t +!+...+!.t+!+...*I nn 22 nn 2 2"" ntx '2"'+...+1-lnn>0 <=>1+-1 +!-lnn>0 <+ l+{+... inn
in2 h2.7.... ""-

<=>

2

bn }} je konvergentan Niz {{ b,

3.

3.

:+

b (poznata Ojlerova konstanta). lim bn = =b

li*b^

Dati su su opti opSti clanovi ilanovi nizova 1I I1 1I sin2 sinn sinl sinn sinl sin2 . b + +...+ -:: ii bo=Tnz* a o,=7+;+...+ kn' " 1n2 1n3 tns*"'+ Inn 2" " - 2 22 Pomodu Ko"sijevog kriterijuma pokazati da je niz: Pomodu Ko5ijevog { bn 1} divergentan. aivergentan. b) b) {{a, konvergentan an 1} konvergentan a) a) {a,

=-+-+...+


Kosijevi Koli.jevi nizovi

27 27

a }} Ko"sijev! t
a) a) Pokazacemo da je niz Pokazaiemodajeniz

{

2

r

sin] sinn sin(n+p) sinn r I sinl sinl+...+ sinn sin(n+1) sin(n+ l) sin(n* o) .sinl sinn +...+ ) *...*7*T+...+j-'(-'-+...+7,1= +...+ ( +p + +1 r 2" 2 2n I

an+p -an I= lan*p-a,l=f

sin(n + I)

sin(n + 2)

2n+1

< 2

n+l +

2

"' +

n+2

= 2,+l (1 +2+

L., -I 2" 2"

< 2n+ l + 2n+2 + 2

+...+ 2ñ

2n+2

+"' + 2n+ n+ n+ + 2n+

+-1-+...)<---1--

11 1-2

=

+1

+ ... +

sin(n+ p) 2n+p

+ "'

<

2"

In -1

a 2,, > ! a nrr2 > n! e= n r''lE no= <=>nln2>lnl > nn"=l '41., 2 In 2 € e ln ln2 e € 4

a

Niz Niz

{ }};efoSiiev je Kosijev Niz {a,

b)

+

2+1

n+ 2n+

sin(n+2)

sin(n+1)I

sin(n + p)

+ "'+

2n+2

>

l,*r)

j"konvergentan. je konvergentan.

{o,} = Pokazacemo Pokazaiemo da niz niz {{ b b, }} nije Kosijev. Ko5ijev. { an }

1

+...+ + 1 +...+ ( 1 +...+ 1)= "'r -b" |= | Inln2 |bn+p ln2 lnn ln(n+p) 2 Inn ln(n+ ln(n+1) lnn l) ln(n+ p) ' ln2 lnn' 1 1 1 1 lttttt 1 1 = +...+ -= ln(n+1) + +...+ + > = ln(n ln(n+ l) In(n+2) ln(n+,2) In(n+p) p) ln(n+ p) ln(n+p) ln(n+ p) ln(n+p) ln(n+ p1 ln(n++ p) p-p = -+-+...+-+-+...+ln(n+p) p) n+ ln(n+ n+pp n 1 p=nn =, lb,*op= Niz {{b, bn+p - b I> = b }} nije Kosijev b }} fije Ko5ijev :+ Niz Niz {{a, nije 4>#=l = Niz 1

I

1

I

n+ n

2

konvergentan. konvergentan. 4.

cosn! cosl! cos2! Proventi da liti je je niz Proveriti niz auu* ...* ".otn!=, Kosijev. = "9-t'^! *'9^t1' +...+ n(n+1) 11.2 2 + 22. 3 3 n(n+ 1)

a

an+p

-an

=

cos(n + 1)!

cos(n + p)!

cos(n + 2)!

(n+1)(n+2) + (n+2)(n+3) + + (n+ p)(n+ p+1) cos(n + 1). + 2)! cos(n + p)! cos(n+t)t cos(n+2)! .l (n+1)(n+2) l*l(ncos(n + ... + *...*l l. "t(n+ + t)(n+ 2)l + 2)(n + 2)(n+ 3) (n+p)(n+p+1) l(n l(n+ l(n+ p)(n+ p+ l)l I

ilt

<-

1

1

+

(n+ I )(n+ 2) (n+2)(n+3) (n+1)(n+2) (n+ 2)(n+ 3) 1 tttt

1

1

_=-^--+---+...+-+

n+1 n+2 n+2 n+l n+2 n+2

!.rorr!-ro=l 1-1 " n €

1

+. ..+

+.. .+

n+3

rrn+3 !l*t+1 np=LE1

Le.l

I

1

(n+ p)(n+ p+ l) (n+p)(n+p+1)

111

1 1 1lll 1 I < < <_<_ n+1 n+p+1 n+p+l n+1 n+p n+p n+p+l n+l n+p+l n+l n 1

= -=

{ an } je Kosijev. Niz {a,}iet

Granicne G r a ni i ne vrednosti v r e dno s ti funkcija funkc ij a

28

funkcija Graniine vrednosti funkcija Granicne

f: X-

je aa taeka jedne realm je f :X ) R, promenljive ii neka neka je tadka realne promenljive R realna realna funkcija jedne Neka je R, XX ccR Neka granicnu f(x) se y=f(x) se kaze kaZe da da ima ima granidnu skup X. X. Za Za funkciju funkciju y= nagomilavanja za za definicioni definicioni skup nagomilavanja takvo da za svako X\{ a} takvodazasvako 8(e)>0 postoji xeX\{a} vrednost A 6(e)>0 vrednost à ako za svako e>0 postoji utadki a akozasvako A u tacki e>0 je l*-"1<6(e) f(x)=A lim..f(x)=A. l< E . Tada pisemo lim ako je steoi l/(x)f(x) -AAl.t.Tadapi5emo ako x -a < S(e) siedi

x

.

I

I

I

.C->Q

graniinih vrednosti funkcija funkcija Osnovne osobine granicnih je xo nagomilavanja je lim tadkanagomilavanja daje xo taeka g(x)=B,tadaje,poduslovom = B, tada je, pod uslovom da tim f( lim g(x) Ako je x) = A i lim f(x)=1i ,rr,r0 -C-1.cp

.Y-9.c0 .r-9.I0

funkcija f(x) preseka definicionih skupova funkcija s(x) ,, f (x) ii g(x) (f (x)+ g(x))= lim (x)+ lim g(x)= A!8, lim g(x)=A±B, 1) lim lim (.f(x)±g(x))= lim ff(x)± 1) ,r--'-r0 x-9xp

.t-+.t0 .c-9.c0

-_

.e-4s0 -t-+.t0

B, g(x)=A'}, (x) 2) lim ff(x)' lim f( 2) lim x ) g(x) = lim f(x)'g(x)= .r-+-to X-4X0 .I-).to .Y-).ro x-9xo lim f(x)=cA, 3) lim c c'f(x)=c'lim 3) lim f(x)=c -C-4x0 f(x)=c'A, .t-+-t0 lim lim g(x) = A

.

X-9-V0

-r-)-t0

-C-4.Y0

f(x)'-A J(x) -r-+.r(,"' zap(x)*yiB*0. g(x)*0 i B*O. c->c" =A za f(x)= .'-+.rn g(x) g(x) lim -e-9-ep lim g(x) S(x) B lim lim

4) 4)'

Um /im

X-9X0

Akoutadkix17";;;,imadesnuilevugranidnuvrednostondaonautojtadkiima Ako u tacki xo funkcija ima desnu i levu granicnu vrednost onda ona u toj tacki ima granidna vrednost jednake. granidnu vrednost ako su leva ii desna graniena granicnu vrednost

o

sin x

t

lim(1+x)r =e lim(t*.r)'t=,

lim .->o .'-'!r;=' x

-+0 -->o

.r

-1

log, (x +1) o lim = lo gu e limlog,(x+1) =logoe -4o l+0 x f

X

se ii za primenjuju se pri traZenju trazenju granidnih granicnih vrednosti nizova primenjuju smo dali pri koje smo Sve Sve napomene koje vrednosti funkcija. funkcij a. trazenje graniènih vrednosti tr ai,enje granidnih r. 1.

=

-

-

+x-2 = (x-l)(xz *'+x-2 +x-2) = lim (x-1)(x2 +x-2) ,. x2 -t-+/;s''+x'+x--i +x-3 +x2 x3 (x-l)(x'' +x2 +x-3) (x-1)(x3 +x'+x-31 -4x+3 -4x+J 3 I1 3 .r'+ 2 .. (x-l)(x+2) ,. x+2 (x-1)(x+2) = lim = lim 2 6 .r-st ,-t 6 +2x+3 x2+2x+3 i1(x-1)(x2+2x+3) 1x-l)(x2 +2x+3) t-91 sz

..

x3 -3x+2 x3 -3x+2=

lim - a.rr.--..,,.--'-;-------i-

aarra/im

x-+t x4 ya x-9l t t t"

.r-+/ A-il

-----------------

-

'tt"

--

L. 2.

alrta /im

+ t2 +t+l Al* -l t4 -1 (t-1)(t3+.t2+t+1)_ +t2 +t+t) /im 6-1 -. (t-t)(t3 - .. ,'it3+t2+t+1 = lim -l = lim - aatrlt-

i;i (t-tXtz+t+l) *'-1{y-1 -1 -1 (t -1)(t +1+1) x-> x -1 ;;if -1 t{i =t t-31. -) I = t -+ l. =t - x=t12, xx-41 Smena: Smena: 4

-,trra-"--'^--

2

r-+t /1

-..,,.-------

+t+l t'+t+l

t

2

44 -

.

3


29 29

dnosti funkcija Granicne vrednosti Granii ne vre funkciia

3.

J

*;

x'->2 x-2

x' -5x+6 - 5x + 6

,[-*15 x2 +5 -ïlx3 -1[; +x2 lim# /im 2

+15 *15

+x2 +15 -3+3 x2 -Jx? J7; -3+3 = -it-\-\ts +5

/im

s-+2

-1.,"-

2 -5x+6 x'-5x+6

x-42

X

X

,[r\s +s x2+5-3 .. ,[*s -s limJX3+x2+15-3_lim .. {r\-\ts -3- .t,,,-;. Ji.s -s Jx2+5+3 ttttt---------=limJX2+5-3 - ..rrt-x-+2yz-5x+6 l+2 X2 .C2 x-s?;z-5,r'+6 .Y2 x2 -5x+6 Jx2 -5x+6 x'-5x+6 -5x+6 .r2 ,l x2+S+3 +5 +3 x/2 +g = +*2 +15 +9 +3llxi +x2 +1512 +3Jx' 1x3 +x2 +15)2 +x2 +15 -3 J(x3 .. ilx; {rl.+n-s - x->2 lim ..,..-----------r-+2 x2 x' -5x+6 + x2 +15 +9 +3Vx3 +x2 +15)2 + x3 +x2 +15)2 - 5X + 6 V((xj . x2 +5-9 X2+5-9 lim -= .'.\h,*z x-a2 6)(x2 +s j.r++ ox"fi _ 5x + 5 ++s) 3) (x2 .. *2 -4 *'+*'+15-27 x;+x2+IS-27;' _r.* llmT-.x2-4 =lim -lim = .r+2 ';:, y'-5x+6 x2(x2-5x+6)((x;+x2+15)2 x+6 a j.1[*1, *2 115 as i' -rr* 6xi[@' * rl * ts)' +3Ix=+x2+15+9 + x -12 x' *3-+*'-12 :

t!,t-L-,.* 1

lim

him

x-2 Jx2+5+3 ''-t2,,! *2 +5 +i

x->2 'r-+2

2

x2-5x+6 vz -5x+6

I

.ri-t him

1

;l

''.2 -r-i2(x?+x2+15)2+3Jx?+x2+15+9 il(x3 +x2 +15)2 +-i.{x'' +x2 +15 +9

-

1 1 2 1 + 3x + 6) .!=+.!+ 1 (x- 2)(x 2 +3x+6) (x-2)(x+2) .!-_ to +=-4. ti^(x-2)(x2 lim 27 6 27 (x-2)(x-3) 6 x-2(x-2)(x-3) 27 sJz (x-2)(x-3) 27 66 x-42 ''-1(x-2)(x-3)

= 1i*(x-2)(x+2) = lim

4.

x+Z-Jx2+121 *s *J.+, .. x2+5+ -'Jfutrl = lim /im "[l -

x-+z JSx-Z 3x-2-J3x+2 -ll3x+Z

x->2

=-l-+16-=--. ;I27 *' +121+5 + tu s ,[*' ** -2-V x2 +5 * -3+ -z-*l x2 - +J x+2

,:* x-42

x-+2

+

s

x-2 l-

37-2-2-3 3x+2+2 ^l3x-2 -2-ll3x+2+2 x-2 x-2

+121-5 x+2-22 _rr*{xz x2+5-3+lim +5_-3 * lim li*J**2= ,,*tlx2 ';; *-Z X- 2 x->2 2 x-2 x-Z limJx2+121-5

x-2 x->2 ;-;z -r';i X=3x-2 .. JTx-2 ,. {ii3x+2 -2 -2 -z -2- lim tilti -------------=lim t,ni '....------:x->2

3

x->2 -r+2

x-2 X-Z

x-2 x->2 x-Z .r--+2

Kako je

t-;-- ^=um-477-.5 4 x2 -4 1t = It ,, x2+5+3 +3= lim -3 Jfr ,,... x2-4 17; -s JX2+5-3 lim(x+2)=-, 2 6 6 6 x--02 t=i1':,t.+4=a6' x+3 x->2 X2 2 Xx2 x--02 V t - 1I x-2 1= x+2 +2 1im x+2 -2 x+2 -2 -2 lim ,,... x-2 ,. .l;, ,,...J*+z -z G* lim = 4 v=v' *-z 4' s--32x-2 x-2 x-2 x-42 x-42 7+2+2 1'E, - F':llr' * tu * s{-t'* n!* zs = .. llx'+121-5 JX2+121+5Vx2+121+25 {7*tu-s = llm.-----;-, limJx2+121-5=1im.Jx2+121-5 lim x-2 X-Z x-42 x-2 l+2 x*2 x-2 .r-+2 +t2t+25 VX2 +121 +5Jx2 +121+25 x2 +l2t+st/r2

x

Y,lt#= %,,- ffi=':*# 1:!rT 1i!, r ffi2= lim

=1m =!!,# x-2 2

lim

x->2

75 75lt'm(x+2)= S, *=*!E(x+2)=L,

3x-2 -2 x-2

lim

.c2

3x-2 -2 x-2

3x-2 +2 lim 3x-6 3x-2+2 x2 x-2

1

4

=3 4

i


Granicne vrednosti G r ani i ne vre dno s ti funkcija funkc i i a

30

ì 3x+2 -2 ,. '{s*+1-z ,. {s*+1-z

3x+2 -2 = lim lim iTri -""-----'--=- =,,7, r-).2 ,-+z x-2

3

x-2 x*2

.r-i

r

x->2

Iti*a2 -2lliva2,ra V3x+2 -23 3x+2 +4 lim ,. 3x-6 3x-6 1I 3 ='.'!, *-z ' 1212= 12' :,[jyaj -23 3x+2+4 aa .r->2 x-2 V3x+2

-2ffi

1 414

4

;;/I

4

x2+5+ x+2-Vx2+121 =_ -r_-,2+5+J*+2-11x2+121 6+4 75 _259 6' 4 75 sledidaje: sledi da je: lim

ygff)i;

Z-n 4 12 x

*ff)i-

x

2 -3)x2-4 x-6).r2-4 = 6)r2-4 m(1 +2x = l m(x+3+2+3 = lmrt x+3 +3

!:,(#)i7 lim(2x2

x->2

150 150'

3

3

x

5.

3 33

-'3x-22 --ll3x+2 [37=2 3x + 2

.r-42 -r-+2

2x2-.r-6 -*-6 . .tx .2'r2 .r +3 x2-4 .r +-? .r'-4

x+3

o .-z-x-6)zx2-.r-6 -. 2x -+1.? 2

^ + lim(1 lim(l+{5'12-r'-.r-6

x+3 X+ 3

x->2 .r-+2

'C y. lim

2x2-x-6 lim ,'r2x2:'t-6

x+2 x2-4 =es-i2x-!-.+3 +i x->2 1z-4

=e'tZt

77 2 7 27 _ =10e7 _rii4 =ern _"fr =,4", =e5

6.

2.lim 2 .

x

1

tettir!lt

e

1

1

lim

(x-2x2't+3) (x-2)(2x+3)

l'm

(.r-2)(.r+2) =e5 x->2 =95 "2(x-2[x+2)

x t t ln -x lnx lnx-lne lnx-t-.. e= lim = lim r-e 1iryJ= = lim in(-)x-e =1n hm(-))Q fim---.Z-= limln(!)fi = =tnlim(x .r->e x)e xx)( ee -Y)e x-e x-ge xe -r)?x-e -r-)e e x- e x->e e x- e xe

lnx-I .. lnx-1 lim timxe

= =

= =

1

1

=lnlim(1+-1)'è =lnlim(1+x-e)r-e -!-. --pjl*" =lnee =lnlim(l*I-t)Q 1;; e=lnex'e =lnei =1. =lnlim(l+*-" xe e xe .r-+?e-\-)?ee e e .lW 2=1im 1-x limsin lim(1-x)tg-=lim(1-x) =lim nm sn$ = umr t - *)E +2 = .r-)1 7r x-,1 x1 !,!,(, x->1 2 x-)1 sin-21X

7. 7-

1-x u1*^ stn(---)

xf!$ =,:f,4.

-

coscos2

cos cosT

7&C

x l-x-.. 1= lim-= lim -'t sat-(1x-->1 ,inltt-x) T6

= = lim

x->1 'r-+/

It

2)

L

sin 2 (1- x) sinl(t-x)

.n

Ic

2

I

y= y= 1,r"t@ > lnh y= , = (tgx)1+?

lLm (tgx)1+i1+ui2x 8. lryrtts"lffi

7ïx

=-!

|tt**t

1+1n2 x

8.

7i

-2a

1

Z(1- x)

I1

sin(

1

ln(tgx)

1+i11+In2x ;#,h(tgx)

1I sinx x - lncos x sin x sin x-lncosx .. .. lnln sin tim---:-= In = lim ' r01+31+1n2x co x-)0 x;0 x cosx 'r+0 r0 1+11+1n2x 1+ilt+ln2x cos t+'trl l+ln2x

titil in tri yv = lim lim ,,f/i-.tti-=

;;''

lnsinx ln ln sin x ln sin sin x lncos x .. .. I$$n''cosx .. lim Ilm - *-0,1+V/ .r-+01+yI+ r->01+ x'-+0 -r01+V 1+1n2x 1*'1lt*tn'* 1 +ln2 x ln2 x +ln2 x t+4lt+tn2 x . sin sinx sinx sinxx x sin x+ ln x ln-sin ln In xx ln lnln-+ lnx

t!.!t=-------'= Um -

..',.-

*'+0

= lim ----L= x -,i-,

-r-401+V1+1n2x 1*1lt*n'x 'r"+0

-

1.,,.

-

In hxx t;- 4t ti.1 + lim x x -= lim x--)o +V *'0 *'0 't)0 - t+1lr+h2 1 ÷1n2 x x->OI+V 1+1n2xx x -r01+4/1+1712 t+4lt+h2 t+{t+h22 x

r,'-, 4 - lim

-


31 3l

vrednosti funkcija Granicne vrednosti.funkci.ia GraniCne

==

ln lnxx

.. lllll:= lim

lnx

=-..

t-.EL

x--to .xO

"x-'ol+ill+1n2x 1*11 t*m, *

I1 = =-=...€. 00-

inx lnx

= lim lllfl

.r-+0

1

1

1

pj x,' lnx lnx \ In3 lnx' =0 . timy=e-* lim y = e-°° =1limyy = lim lim lnln,ty = ln lim =4=O .x->o .x-+o .iJo' =-@ = x+o.x-o .r-it"' '

-

.

ee*

nije tadki x =0 granidna vrednost uu tacki =0 ,, jer ier funkcija fije da ovde ne postoji leva granicna Primetimo da . za < O. 0 definisana za xx<0

1+ tgx + 1+ sinx 1+ sinx . J,.,*.J,-'* 1+ tgx --@ e. x->o n*JGw lim x-+o 1+ tgx +,I1 + sinx x' x3

9.

"ll+tgx+41+sinx

1+tgx-l.. l+tsx-l-sinx ''o-' i sin --"-'x .lim lim .x-+o l\b .x-+o

x sin sin x

sinx

lim cosx - .t-)0 -rr*cosx, --slnx x' x3 + sin + 1+ x-)0 ti"*x -Y-÷o 1 + tgx +.17 ,trt+t* x; 1 1-c9sxx . lim J-= = tintx . lim cos x) 1 sin x(1--cosx) 6* li* 1-cos lim lf* sin li*sinx(l -I2 .t-+o lim = =!2.x-+0 =!x-ì0 x40 cos COS x :+0 xx' 2 x-+0 xx .r-)0 1

1i^' = lim

2

x co.Sx xt cos x

2.1()

.

2 sin2

.!-== 2

.

!

á

sinl sin

,

I rrî"'x2)2=4. z =1lm f =1. = . llm( =!-. l. li*"o"' ? .,1-1 4 4 4 x-+o' x 2';;o *' x2 2

4.-

4

42 4

2 lim sin2

2

1

2

si"x-1

1)sin2x

(sin .x

x->n

x

(1 + sin x - 1) -rll3''n" (sinx)`g x= lim(l+rinr-t)#rsinx-t)gl 10.timlim(sinx)tsz' = lim

10.

cos

lim sin x-1 x+x1-sin2.c

2

.x

:+;;n 2

ff

rr

X-i,-L -222

-

=

X->-r-L 2

l-sin x) -(1-sinx) lim -t I.l. !im ar(1-sinx)(1+sinx)

.. _-l,m/im

,-1(l-sin-r)(l+sin.r) , -e x-Z =e ' =e

1

t =T =e ="- 24e J

,

(sin 2 lim tim,(sin2 rt. x-+1

-) TrG

(x -1)3

2

--1;a----J-Jlim

x/

2)

1

T'(;'t' (.x_1)

-cos

sin Z

,2

l -.x)

m "o'29 2

cost

*

=e

!i!,(t-ror'Tr-"'iT,--'

(x-I)3 (.r-!)'

)

-tim--Z:-x-8l (X-1)2 (x-l)z(-1-l)=€ (x-1) =e '+tlL2'

e = -e')l

x-91+ t"oa x_)f -_4,,,Jl.o kada -rx-t ==l (0 a !)tx-l 4 =e -o lkada x--1-. x+l-. t kada 2

1E(' 1-"2 m) ' cns2 2

1

-x-+l

(-x -1)3

'-!':';rt =

sin2 2(1-x) ,ir2\tt-t) --,,^l'E::!'rr, lim sin21L-!1 811-*12 | 'r-t 2 x-NI 2(1-x)1 - lim

sin2(2-

= e ="t-,

= ltm (1- cos

t

1

I

11.

-.

I

1

x-Al+sinx 12 ,-11+sin-r

i

1

'ttJ

=

I1

postoji' ()G ne postoji. tim.1sin2 )(x-1); vrednost cm(sin2 Dakle, granidna granicna vrednost

.r-+,1

2

I

I

,i PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor

32 32

yrednosti funkcija Graniine vrednosti Granicne funkciia

Ina I -1 =',':i,# Ina n' - ho'a 1 tna' =',%ffi= ln(t+1) !'!,+ x ln(t+1) r-o Ylih ln(t+l) *= a "' 12.

ax

lim

= lim

x-+o

t

r-ao

= lim

t

=

lim

r-,O

lna Ina

a`-1=t, -l =t,

Smena: Smena: a*

ax a*

= ln

Me

=1n

.

t

ln(t+1) =t+15 x-!!!:J), , =t+ l, x= Ina lna

x +0 > t ->0. x->0t-.>0.

Proventi da li postoje sledede Proveriti sledece graniCne granicne vrednosti x

13. tim 13. lim X x+2x-2 x-+2x-2 x x lim 1)ry J-=*, oo, =00, lim lim x -=-00. x-2 X-2 x-2 .r-t2* x-42+ .r-+2- X-2 .r-)2-

Funkcija nema Funkcija nema granienu granidnu vrednost jer jer sa sa jedne strane teli tezi jedne strane Napomenimo da funkcija Napomenimo funkcijaneteLini ne te2i ni +. +-,, ni -00 kada ni * kada x + 22 .

+*,, aa sa sa druge druge *.

.

,

tin-41 x-+0

14. 14. lion

I+ex 1+ ex

lim l1 !r=g. =0 lim l,=1. lim =1 .r-r0+ I x-40+ *-o- !l+e.t 1+ex I+e-r l+e-t lim

1

,

Funkcija nema granicnu granidnu vrednost jer su leva ii desna granicna vrednost u tadki taeki x =0 granidna vrednost = 0 jer razlidite. razli6ite.

x-I -- x-1

15. 15. lim ltttt-

*-r Ix-l) lx - tl

x--+t

x-1 x-1 x-I:== lim x-1 = li^ lim lim 1=1, lim ix-lr= = lim l=1, lim lim x-1 lim-l=-1. ix-li= '-t = lim-1=-1. -' x-/I/ Ix-!I x->1+ x-1 .,-.tx-+I+ fx-,11 .r-+r+ .r--+t+ x-l -(x-1) x-)1+ I+ ,-l- ix-li xI --i .,;:; -tx-t) =x-1 lx-11 Funkcija nema graniìrnu granidnu vrednost jer su leva i desna granicna vrednost u taCki tadki x =1 granidna vrednost = I jer lim lim

7

razlidite. razlicite.

isinxi 16. lim 16. n*ltin*l x-a0 x-+0 xX

Isinxl (sinxl sin x sinx = fim ,r*lti'll lim =1 lim ;*W= = =r, X x-+0+ .r-+0+ XX X X lim

,

.r-+O+ .r-->0+

x-a0 x-+0-

X

lim fim

-sinx -sinx =--r. 1 .

x-+0 x-+0- XX

Funkcija nema granidnu jer su granienu vrednost uu tadki tacki x =0 su leva ii desna granicna graniEna vrednost = 0 jer razli[ite. razlidite.


Neprekidnost Neprekidnost funkcije

33

Neprekidnost funkcije Neprekidnost D -4 R kaZemoda ka2emo da jeneprekidnautadki je neprekidna u taeki xo x6eD E D akozasvako ako za svako ereR* E R+ ff::D-+R postoji SE postoji d'e R+ R+ takvo takvodasvako da svako xxeE D -f(x0)1< e. vaLil*-rol.a D va2i x- xo I< =lff (x) t*)-ft*;l
S

Za funkciju Zafunkciju

I

Da bi funkcija bila neprekidna taeki neprekidna u tadki v

vaZi: xo x,2 treba da va2i:

1. 1. 2. 2.

f(m) + e

fln)

X0 xse E

funkcija je definisana definisanautadki D, D , tj. funkcijaje u taeki xo x,,,,

je xo ako tadka nagomilavanja nagomilavanja za ako je x6 taka za D, D, tada tada postoji X-0lim vali jednakost postoji lim f(x) f(x) ii va2i X0 -r -+.YO

lam lim

fln)'e

-+.r0 .r->.rp .t

3. 3. xo- a n-b

xo m

x0+6 m+6

x

f(x)-f(Xn), f(x)= f(xo),

je xo tadka tada je furftcija D izolovana taèka E D Ako je xs e furRkcija taeki. toj tadki. neprekidna neprekidna u toj

je funkcija/prekidna Ako funkcija nije neprekidna u taèki funkcija f prekidna uu taki tadki xaa x6,, onda kaZemo ka2emo da je tadki xo , odnosno da funkcija/ima .lr0, funkcija f ima prekid u tadki taeki x,7. xo .

je neprekidna -> R ka2emo f: E D kaZemo da je tadki .r6e D sa sa leve leve (desne) strane neprekidna uu taeki f : D +R (x6-6,xol=lf ako postoji SdeE R+ E (X0 - S, X01 f(x) ako za za svako svako ereE R+ R+ postoji R* tako da za za svako svako xxe {il--ff (x0)i< t*il1
Za funkciju Za funkciju

xaa

(xelxo, x,, + (X E LXO , Xo

6)) S))

je lim Ako je (x0) funkcija lim_ f funkcija je neprekidna leve strane. neprekidna sa leve f (x) = ff (xo) -9xo

x -9-tp .t

je lim Ako je ( x0 ) funkcija lim_ f(x) funkcija je neprekidna neprekidna sa desne strane. f ( x) == ff (x0) .r-r-rd

tadki xo Funkcija fje neprekidna xo ako ii samo ako je neprekidna neprekidna uu taeki sa leve ii sa Funkcija/je neprekidna u taeki tadki ,r0 x, sa desne desne strane. je xo Neka funkcijaf xo ima prekid ii neka je tadka nagomilavanja za funkcija/ u taeki tadki xs x, taeka za oblast definisanosti definisanosti D D. 1. postoji lim (x),, onda kaZemo ka2emo da funkcijaf 1. Ako postoji tadki xo x,2 ima prividan (otklonjiv) lim ff (x) funkcija/uu taeki .

,r-r,r00 V

prekid prekid (( lim lim f(x) f(xo )) f(x)*# f(xo)) -r-+,[0

je lim (x)* postoji lim_f (x),onda lim f(x) (x) ii lim (x),pri Ako postoji lim_ff(X) lim*ff (x) , pri eemu # lim , onda ka2emo lim_ff(x) demu je kaZemo .r->xp -r-i.rp .r-+-rl .t-+-r0 -r->.rp .r-+.rp ..-+..fi da funkcijaf funkcija/uu taeki tadki xo .r, ima skok. vrste (ako Prekid (prividan prekid ili (ako nije prve vrste vrste (prividan Prekid prve druge vrste prekid prve ili skok). skok). Prekid nije prekid Prekid druge vrste). 2.

2.


Neprekidnost Neprekidnost funkcije funkciie

34

1. 1.

+x)'l", + x20 xfi'u ' x>_0 sinx+A , x<0. x10. fsiz.r+A,

1e f(x)={(e Data je funkcija l*l ={

Odrediti Odrediti A tako da funkcija bude neprekidna. (sinx+ x + A) f(0) f (0) == lim (sin .r-)n-r-+0-

(0)= I (sinx+ A)= A, ff(0)=1 lim (sinx+A)=A, lini

.r+(.,-

s

A=1 A= I

IL

(x+2)ez,x<0 2).ex , x 1o l@+ 2. 2.

:

A ,x=0 , x =0 f(x1=l tl^. 1 ,x>0. 1+lnx 'x)u' l[: u*

Data je funkcija f(x) _

A

Odrediti Odrediti A tako da funkcija bude neprekidna.

l-,

lim lim

lim -1 fim I ln x t--+o* I1+lnx .r-40'

(x+2).e't =0, (x+2)e-C =0,

:-1, =0 =g

rn .t-+o-

t

:

-1 21=g ,,! A=O

lim lim (x+2) ex lim(x+2)'e; 1;* f(0)= f(o)= .r-+o" ==.L-,o' 1+lnx ;;';'l+lnx

3.

3.

s

arctg(1 +* ll ) rx) = Data je funkcija fft*l =fonWt'

I

A

A

i :

,

x*0

' ,, x=0. x=0.

:

taiki xx == 00.. mole odrediti konstanta A tako da funkcija bude neprekidna uu tacki Da liIi se se moie Irln: = lim arctg(1 arctg(l +:) =4 2 .r-+o+x2.r-+o--xZ him

+)

Ll = * 1)= him arctg(1 lim arctg(t + x

.rn

-42

f

postoji ne postoji postoj i lim x) .. ZnaCi, Znali,ne lim^ f ((x) granidna vrednost nisu iste pa ne postoji Leva ii desna granicna x-40 tadki xx == 0 . f(x) neprekidna u tai=ki je funkcija konstanta A takva da daje funkcija f(x) .


.

l

Diferencijalni raiun raun

35

DIFERENCIJALNI RACUN RAeUN DTFERENCIJALNI Posmatrajmo grafik neprekidne (a,b). neprekidne funkcije funkcije y == f(x) b) . f (x) nad intervalom (a,

B(x.+

Ako postoji granicna granidna vrednost vrednost lim ln

dr-->0 4r-->0

Lx,y+ Ly)

(x) f(x) (x+ dx) ay f (x 4= = ,r* lim f + 4)-- f x, x+ x+ dx (a,D/, e (a, b) onda se Axe , x, ar-40 ;tY+O dx dx fis AX ,

,

granidna vrednost, koja se oznacava ta granicna y' zove sa f'( f'(x) oznadava sa zove izvod funkcije funkcij e f(x) x) ili ili y' tadki x. f(x) u tacki f(x) (x+ (x) Ax)Dakle, Dakle. f'(x)= ,'* ff(x+LW- f . f'(x)= lim ar->o Ar+0 dx AX Prava AB, gde su A ii B tacke grafika, grafika, naziva se sedica secica te krive, odredena tadkama tackama A ii B. B tadke sa tackom Pustimo da se tacka tadka B teLi da se poklopi sa tadkom A. Secica B krece kreie po krivoj ii da tezi Sedica AB pri poloZaj te tom menja svoj (nagib). Ukoliko postoji granicni granidni polozaj te seaice sedice kada tadka polozaj (nagib). tacka B svoj poloZaj poloZaj naziva tezi ka tacki f(x) u teLika tadki A, A, tada se se prava koja taj polozaj naziva tangenta krive koja zauzima taj krive yy==f(x) tacki A. tadki A. \ Pretpostavimo da je ugao Pretpostavimo ugao o sa pozitivnim smerom x-ose razlicit razlidit od a koji tangenta zaklapa zaklapa sa

delom x-ose, to je (a # Ako sedica AB sa pozitivnim delom euo je ie ßp ugao koji zaklapa secica 2?," *|1. 2). )-f(x) tgR== f(x+Ax)-f(x) --D ly f(x+ 'dr ax ax ,

pa je koeficijent pravca tga izrazom tadku A dat dat izrazom koeficijent pravca tga tangente kroz tacku (x+ (x) f(x) al)f f f(x+dx)-

tga lim tga= tim = f'(x). " = drat->o -W daAx je funkcija (a,b) b) . Izvod f(x) funkcije (x) diferencijabilna nad Imod /'(x) nad intervalom intervalom (a, Neka je funkcija y == ff(x) (a,D) promenljive x, intervalom (a, b) . Ako je ona f(x) x , definisana nad intervalom f (x) je funkcija nezavisne promenljive .

.

diferencijabilna u nekoj tacki tadki x.rr e (a,b) ,, onda onda se njen izvod reda funkcije ((f'(x))' f'(x))' naziva funkcije f(x) naziva drugim izvodom izvodom ili ili izvodom izvodom drugog drugog reda tadki xx,, koji f(x) u tacki demo y' == f"(x) iemo oznaavati oznadavati sa sa y" f'(x) . .

je definisan je nn-- titi izvod (n-l) Ako -1) reda, >_ 2 , tada - tog reda izvod ili ili izvod izvod nn-tog Ako je definisan izvod izvod (n tada je rcda, nn>2, ) ) ) x) . definisan kao izvod funkcije ft"-"(x) funkcije,y == 7{'-t t' . (f("--1)(x))'= =f 1 x1,, tj. f('(") ((x) f{n-t "D' 1

1

.

i


Diferencijalni racun Diferenciialni raiun

36

Tablica izvoda

Funkcija f(x) /(x)

Izvod Iztod f'(x)

Vai za YaZiza

1. 1

cc=const = const

00

xxeR R

2. 2.

x

1

I

xxeR E R

3J.

n-l

x" .f

nx"-I nx

d

occa_/ a-l (D(

x

nE N, xE R reN,xeR o=!-. Q, qe a) qEN a) a=pEQ, N q

q neparan x=0 neparan broj broj,, x*0

b) a=-P a=L>>1,l, b) qq

q neparan neparan a

xa x

pa-1 &o-l

t a' a

ax lna Ina a'"

d

4. 5. 5.

e

6.

log, logo x

7.

lnI tnl xxl

8. 8.

sin sln x

9. 9.

cosx cos x

10.

tgx

11 11.

ctgx

12. t2.

aresinx arcsan x

e.r.t e

I

broj, XE R broi, xe xE xe R, R, x>0

a>0, a=l, a>0, a* I, xe x R xE R xeR

1

a>0, a#1, x>0 a>0, a*1,

1!

x=0, x*0,

xlna x .t'

x

xreR E R

-sinx -stnx

XE ;re R

IZ

x * + kc k E Z x*!+kn,keZ

cos cos

I -*'7cos COs

x

I

- -----;2x sin sin'x 1

1-

x2

,

2

x= lot ke kE Z x*ktt, ,

l,l.i

IxI<1

1

13.

qrccos arccos x 1

14. T4,

arctgx

15.

arcctgx arcctgx

-x

I 1+x l+x' _-; 1I 2 1+x l+x" -------7 1 2

I

x< ,l.l1 XE ,re R

xeR xE R


37

Diferencijalni racun

Osobine Osobine izvoda = u(x) Ako funkcije funkcije uu=u(x) cc€ R, e R,

± v , uy, u i cu, tada i funkcije uu!.v,uv,Liru, x,tadai tadki x, izvod u tatki v=v(x) imaju izvod ii v=v(x) v

tacki x). Pri datoj tadki * 0 u datoj v(x)*0 pretpostavkom da je ie v(x) ( u pod pretpostavkom 11

tacki imaju izvode u toj tadki

tom je: a) a) b) b)

c)

c)

[u(x)±v(x)j =ú(x)±v'(x), = u'(x)!v'(x) , lu(x)i=v(il| [u(x) x)' lu(

v'(x),, v(x) + u(x)' u(x) v'(x) u'(x)' v(x)+ v(x)f v(ilt = u'(x)

u(x)

l#1=

ú

v(x) xS u' (x) 1 x1. v1

V(X)

v' ( x) u( x). v'(x) -- u(x)

l,(il1'

[v(x)]

'

1

2

konstanta). (c'u(x))' ú(x) ( cc je konstanta). u(x))' == cc'u'(x) d) (c d)

t

Izvod sloiene slozene funkcije funkciie tadki xx,, aa g(x) ima izvod uu tacki g(x).. Ako Ako g(x) u = g(x) funkcija y == f(u), sloZena funkcija Neka je data slo2ena f(u), u= tada je a,tadaje izvod u tacki u, izvodutadki

f(u)

(f g)'(x)== f'(u) ((f °" g)(x) f (S(x))). il@)== f(g(x))). g(x) ((f (f o" g)'(x) f'(u).g'(x) 1. 1.

podefiniciji. definiciji. x2 po Nati funkcije y! == x2 Nadi izvod funkcije

- x2

( x) = ( x + Lx)2 - *2 =x2+2xAx+(0x)2-x2 = Lx(2x + Lx) ( x + Lx) - ff(x)=(x+Ax)2 Ay= Ly = x2 + 2x' Lx + ( Lx12 - *2 =Ox(2x+Ax) = ff(x+Ox)-

Lt 2x + Ax Ay =-2r+L* Ax Ar' D-= y'= lim -Ay (2x+ Ax) = 2x . = lim 1i*(2x+Lx)=)y. y'= ' lim llr

Ax-0 Ax Ar-+o

2.

2.

de-)0 At-+o'

i)s .= (x2 - 3x + 3)5 izvod funkcije y =(x2'3x+ Nati Nadiizvodfunkcije

u=x2-3x+3y=u5 u=*2 -3"+3=y=ut

( 2 x -3). 5( x2 -3x+3)4 -3x++ 3)T = 5u4 Sua' (2x -3) (us 1iu. (x2 3 )', = - 3). y', . ué - 3 x + 3 )a' (2x y' == yú u', = - 3 ) = 5(x2 1 x2 - 3 x = (u5)ú

3.

3.

1+

sinx

+ 2arctg sinx +2arcgJffi = ln izvod funkcije y,=hryJti!* Nati Nadiizvodfunkcije 1sinx I - tl sinx

'

.

sinx t 1 sinx).+2 * ffi y,=1t - Jfi; . (1+ (6tsinx)'=1si*r I - - ^m / l, + 2.-+. ",,, = l+.lsinx 1+ sinx 1+,lstn)c ( sinx)2 1+ l+(Vsinx)" sinx l-lsinx 1+ sinx 1tin * | sinx)(1sinx)-(1+ (1+ ti" * f f t - ^[ti"i ru' J sinx)'+2 I - f t + !ffi t t + J sinx1(11 +''z. . L-. I+sinx l+sinx -L sinx 2zJsnx (t-T (I -.47,7-ix )2 .117,-.7.x

(sin x)'= x), =


38

Diferencijalni raun 1

2

(sinx)'(1- sinx)-(1 + sinx)(-

sinx

1

2Jsinx

)(sinx)'

.t1

1I,

.#'sinx 2-..1T _ = llstnx

1

cos x' ( t - Jil cosx(1sinx)+(1+ sinx)). -!.1 ) + ( t + Jiili

cos x cosx

22Jsinr sinx

I - sinx 1-sinx

-

w'G,

-

2(1-

x 2 //ix

Naii izvod funkcije Nati funkcije y == Z*

2

x

sinx

.

.r.r x.y t.lnx1 lnx-x x.!1 r y'=2i"x y'--2i;.h2. ln2 .; x=2il x =21"-r .h2.lnxr-l ln2 lnx-1

x

ln' x ln2

5.

cosx =

cosxx cos (l + sin (1+ sinx).,Gtr* x) sinx

cosx(I sinx+l+ sinx) L cosx cosx _-cosx.(t-Jsinx+l+Jstnx) + = 2(1- sin x) sinx (1+ sin x) sinx 2ror* =,.. _ _2cosx.(l+sinx)+2cosx.(l-sinx) 2cosx _ = 2cosx(1+ sin x)+2cosx(1- sin x) = .,1;t,* 2.(1-sinx)(t+sinx) sin x)(1+ sin x) sinx (l-sin2 sinx COS (1-sin2x) il..1;;4.

1

t+smx

1 +sinx vr-sinx Jsinx

( 1 + ",1 sin0(1(1 sin x )(1 -.1 sinx) sin x )

ln" 1n2

.

xx

)a á +(1f +(- )x . ( x +fif y'=+.b.xb't .k;. +b" .F;i)*Gf (- a f)+(a)xlná ñ bxb-1+bG

Nadi Nati izvod funkcije funkcije yt ==(:)o ( )h

a

b

x

a

s

b

a

y=aa +ax +xG +aa . +roo +o'o. !=ao'+a'o

6.

A

a .lnq. a* Ina+ar .lna+a," .lna.a. -', y' =au' lnaar y'=aG xo-t +ao . xG *oo -I. lnaaxG-+aG [I

Logaritamski izvod Po Po ovom ovom pravilu moZemo da traZimo mozemo da tralimo izvod izvod funkcije funkcije samo samo uu tackama je funkcija tadkama gde gde je pozitivna.

7.

7.

Naéi Nadi izvod funkcije Iy = x2 =4lj

*, . . II - x2 sin3x coszx sinsx.cos2x Il+x' +x

.

2

lny = 14*7 + Iny=ln(x; 1-x sini xcos2 x1=?6 ** rn(l - x)-ln(l + xz 1+ 3 lnsinx*2lncos sin x+2ln cos x 3 1+x2 l+x' sin'xcos2x)=?lnx+ln(1-x)-ln(1+x2)+3ln

t .tsinx) !-.+.g1-J-.2x+3.4.ror**2. Y'=?1+ ( 1) 2x+3 cosx+2 ( sinx) !.r'=4 y 3J x x 1-x l-x sinx sinx cosx l+x' 1+x2 2x , .22 -I -:::-+3ctgx-2tgx) + 3ctgx - 2tgx) - l-x "y'=y(''3x 3x 1x 1+x' I

1

1

1

1

l+x y,-;x2 1-x 1 r y' =d7 -!:+.sin sin3 x. xcos2x(2 ror2 *.,*-*-fr .

1+x2

3x

2x

1-x 1+x 2

* r,,r* - 2tgx). +3ctgx-2tgx).


39

Diferencijalni redan 8. 8.

xx funkcij€ Yy ==.r' Nad drugi izvod funkcije Nadi

.

lny=xInx lnY=16'1n*

Lr'=r.rnx**.L=lnx+l 1yx y'=1 Inx+x 1 =lnx+1 X Y

(ln x + l)l y' = 1 x, )' . (ln x + I ) + x'' .(Inx+1)' y'=(xx)'(lnx+1)+x'`

y'= x'* (lnx+ l) y'=x-(Inx+1)

ÿy'=x*(lnx+D'-+. =xx(Inx+1)2+ x

X

g.

9.

.

)x +lnx. + lnx funkcije y=(*)" y=( Naci Nadi izvod funkcije 1+ x x

(In x)' ÿ, + +(lnx)' je y, )x sledi sledi y' = ( y, = Ako je =y', =(*)*

1+x

xx x.ln1+x l+x I t+J-.r; =l1-i-1+x 1+x-x r +-t-'l+x I y; =lnln -, x =1n x+ 1 ' 1.11', = '"l+x'"+x, l+x 1+x 1+x l+x x x 1+x¡' y,'' (I+x)2 (l+x)z Y lnlnv, yi = x ln

vi=(*)'l^*.*] x

`Cln x ' Yi-(1+x) ! 1+x 1+x

X y' = 1-Lf .1m-J-a-J-1a!-. (In x+ 'y'=( !+x l+)c xx l+x I+x 1+x 1+x

inv e rzne funkcije IIzvod zv o d inverzne funkcii e

(a,b), a intervalom (a,b), nad intervalom je f(x) monotona funkcija definisana nad neprekidna strogo monotona Neka je f (x) neprekidna b) ,, pri (a,b) pti tacki x ee (a, izvod f(x) funkcij a f(x) f'(r) u tadki (t) njena inverzna funkcija. Ako funkcija f (x) ima izvod f'' (x)

f

f(x) y=f(x) tacki y= izvod uu tadki ima izvod funkcija f-i(x) je f'(x) tada funkcija * 0 , tada emu je demu f-'(*) ima f,(x)*g,

vaLi ii vai

,

ri. Yy', = ( f-t I o ) = (.f)'(Y)=f( tJ x x )' *.r.

h, 1 ==*,i, -(- y , ,i = * =*,i, *== --# .

r

Y

x.

dYX

Yx

)

dy

dx xy

dx

xy

dx

(xy)

2

x.

. +='#

% xy

'

(x2

..

,

xy(xy) -x'r.'3(x'r)x', ,l ,.!L=-xi(x'r)3 ,i ,,= dd ,_ xy dY . 1t- =_ dd ,_ xY ,,. YXl*=6=a*r-,*f)=dy|-W''dx--xÿ ,', dyX _dy'.

,

N

,.

xY3(xY)xY

(*,r)u

dx(-(xÿ))=dy(-(x))

dx

. z * .. . x'y s( x'r)z -x _ 3(xY) liY x,Y ,, itd. i16. = , s (r;),

(x) Y

= tg(x + y) . za yY=tg(x+ily'za 10. Naci Naii y' 10. qrctgY = arctgy -y =x+ * y! :3 xI == arctgY arctgy -Y

2 =-J-. l+y'

1+y 2 ! , YX=h, ]'.=+=-'*!' _- 2

2-1 xy yY- =-4-t ' l+y' 2 (- -1)=- - 2 yi = t-\=-+-Z ' y.I =(Yx)y = (y',)',.Y.', sy' -1)tt;(-r!-yy--1)=n = 4,-*-,) Y' Y'r Y' Y' z y2

1=!+ -r,*=--!--, xy=1+ 2 ,

1

Y

Y

í

y

i

Y

Y.

Y

1

Y

s Y

.

y_


40 4O

.

Diferenci.iatni racun Diferencijalni raiun

Izvodfunkcije Izvodfunkeije zadate u parametarskom parametarskom obliku Nekasunadintervalom Neka su nad intervalom lcR I c R definisane definisanedverealnefunkcije dve realm funkcije x=eft) x = v(t) ii y=ty(t), y=w(t), te telI ii neka za neka za funkciju funkciju rp(t) gft) postoji postoji inverzna inverzna funkcija funkcija I= je slo2ena r=g-t(il. (0-1(x) . Tada Tada je sloZena funkcija -i y= yr(rp (x))= (x), (x)) = f(x), definisana definisana nad nad skupom skupom vrednosti =v(g-t vrednosti {{ tp(t) pG):: tte f E II }} funkcije funkcije tp(t) e(t). Kazemoda Kazemo da jesa je sa x=x(t), x = x(t) , y= y=y(t), y(t) , te tel,funkcija I , funkcija f(x) zadatauparametarskomobliku u parametarskom obliku f(x) zadata pri demu emu demo pomoinu promenijivu iemo pomodnu promenljivu t nazvati parametrom. parametrom. jedatafunkcija Neka je Neka data funkcija yy=f(x) = f(x) uparametarskomobliku u parametarskom obliku xx=eft), = yr(t), tte = rp(t) , yy=v(t), (a,b).Ako e (a, b) . Ako neprekidne neprekidne funkcije ty(t) imaju izvode u tadki funkcije p(t) v(t) ii w(t) (a,b),i t E (a, tadki te je tp b) , i ukoliko ukoliko je (t) # 0 , tada Q,ft)*0,tada .

=ffi

funkcija y == f(x) funkcija y,r*, i va2i f(x)=E:(11 tj. yyIr = f (x) ima izvod u tadki t ivaLi ,,i. =4; dt =(YY),tT=(Y;)' ,'.=ry ,i=*=# d *=0'-)i 4 . _dYr (', # d (Yr)=d (Y).dt =Yrx,-Y,x dYr

dYY

dt

Y "`

=

YC

ym =

,- =

..

,

=

dx

-dx

= = *, dx ri, *,1i, * dx x;

= dyC

# # =

dx

dt

dt

ry *#) 1

*

(4)2

.

II , t2-1 t2-l lr=l--= Y,=1-12= a

')

t't

_Y,xr-Y,x = (4)3

x,'

g$-, (Y dt == (Yr t, ==-Yir6. )' itd. ), tr 0?i *dx' x,

11. Nadi 11. Nadi y' za za xx=lnt = lnt

t'

x,

,

ii y=t*|.' y=1+-1 t2 t2 -1 -l

, I =7,t

, 1 ^, xi

,

_Y,

-r =t-Ì =-=r--I= -

n, =!l, _= Y.r-X /-t x,t ,

t2

t2-1 t2

1

tt

1

t

t

, .,., (YC) ijth

,

t +1 I t2+l

1

2

.

=l*7==I+r2 t' = 12t'

Y.r J,Y

=

" (Yr)i

2

tt2

=

t x' xtrtt

+1 +t

t2 11

=

t2+1

1

=t+1

.

t

t

Izvod I zv od funkcije implicitno zadafe implicitno funkcrt e zadate 12. Naéi 12. Nadi

y' za arctg!-\a arctg y = ln !' za x

x2 x22++yy2

.

y'x-y= 1t I yx-y 1I x2+y2 2,x2+y2 x' ,l*' *Y' -/, I+ y2 x2 t *\

ffi

1

xX2

y'x-y yx-y

x2+y2 +y' *'

(2x+2yÿ ) '(2x+2w')

x+yy' x*W'

x2 +v2 , = x2+y2 x

a^ x' x2 y'x-y = x*!!' ) yX-yÿ y'x-y=x+yy' y'x-w'==x+y y'(x-y)= x*! x*! - y'(x-y)=x+y

X*Y , x+Y y=+ ÿ= x-y x-y


4t 41

Diferencijalni raiun Diferenciialni racun

Y

I + y' )()(x-y)-(x+y)(1-y') x - y ) - ( x + y )( I - y' ) _ xx-y+xÿ . _ ((1+ÿ 2y _ 2xÿ --2y - y + ry' --yy'-(x-xy'+y-yy') w' - (x - ry' + y - w' ) _ 2ry'

(xy)2 (x-y)2

(*-y)2 (x-y)2

(x-y)2 (x-y)2

x+y ^ r+y x-y 2x2+2xy-2xy+2y2 2(x2+y2) +y2 ) ,-y-'y -zx'(x-y)22y -zi *2^y-2ry*2y'--2(x2 =-=(x-y)3

-

^ 2x

(x-y)2

(x-y)3

(x-y)3

13. Pokazati da funkcija y = y' -4y' 13. = e2rsin5x zadovoljava jednaCinu y"4y'+ c2'sinix zadovo[iavajednaCinu + 29y 29y = 0. =6.

y' == 2e2' 2e2x sin y' sin 55x x + 5e2x 5e2* cos cos 5x y" = 4e2x sin Sx + 10e2x cos y'=4e2* sinSx+10e2* cos5x+ I0e2'' cos sinSx= 5x + 10e2í 5x - 25e2x sin 5x = cos5x-25e2'* = e2x sin sin 55x x + 20e2-x 20e2'* cos cos 55x x = -21 -21e2*

* sin 2x -- 21e2-r 5x --44 I sin 55x x +20e + 2a e2* cos co1fu 2

ez

Y

.-

(2e2í 29e2x sin 2e2'r sin x ) + 29e2* sin 55x x + 55e2x e2'* cos cos 55x) sin 5x 5x = =0. 1

#

Y J

Lopitalovo pravilo Lopitalovo Oartt.t --.. _..1-0

aa-

0*

(x) gx x

KoliCnik Kolidnik f

ima

s(x)

neodredeni oblik neodredeni oblik "*9'" 0

lim f(x) g(x) = 0 , odnosno lim g(x)=0, neodredeni oblik oblik odnosno neodredeni f (x)== lim x->a r)a

.x-4a .t-+4

kada ->a. kada xx+a.

kada -> a , ako kada xx16t, ako vagi vaZi da da je

"- " "3" 00

ako ako f(x) -i ±oo f(x)-+t-

g(x)+t* i g(x) --> t0.0

i

°C' Za nalagenje granicne vrednosti neodredenog oblika ""!" " ii ""3 ""-treba treba proventi Za nalafuenje graniine proveriti da da lili -0€

granicna vrednost granidna vrednost /im

f(x) postoji f(x) postoji ili granidne vrednosti vrednosti üm ili ne. ne. Za Za nalagenje nalaZenje graniCne 1i*M,

t::"#g(x)

x-aa x"+a g(x) g(x) ìresto pokazuju korisnim tzv. Lopitalova pravila. desto se pokazuju pravila. Neka su funkcije f ::(a,b)+R (a, b) Nekasufunkcije R ii g:(a,b)+R g : (a, b) -> R diferencijabilne nad otvorenim intervalom diferencijabilnenadotvorenimintervalom x->a

f

-

(a, (a,b) b) ii pri tom tom je (a,b) * 0 ,, xxee (a, neka je b) iineka {(*l*0 ie g'(x) lim = lim = 0 (( lim lim f(x) g(x)=0 = lim g(x)=Q). = 0) . lim g(x) lim f(x) lim g(x) f(x)= f(x)=

x-a+ .a-)o*

x-ab .t-+6-

x->a+ -r)o*

x->bx+b-

f(x) lim lim f'.(x) =B)

f(x) (r lim f'.(x) =A ( f(x)t iivazi postoii lim Ako postoji ii hm Ako postoji 1i* f(x) 1i* f(x) vagi tadaoosroii lrm f(x)) =A(x->b- g'(x) -B) tada ' x--+a+ g'(x) g(x)' .xa+ .*-o* g(x) .r->u* g (x) x-+b- g(x) r+f g (x) 8(x) 'r-+r .. (x) = lim jednakost hm = A (('x--+f lim = B) (x) = lim 1,^ fff(x) 7i* ff'.(x)=A lim ff(x)= 1i* fl'.(x)_r, = "iednakostx-a+ g(x) .x->a+ g'(x) g'(x) g(x) x->bx-+b- g(x) *--+o* g'(x) x+t' ex) -.+o* g(x)

f(x) Ako Ono I!*l

-)t-, s'(x)

g (x)

,

-> a+ (kada (kada xx+b-), kada -+ b- ), tada -> kada xx-+a* tada ii 11-Q->

ry+t-, g(x) s(x)

,

kada kada xx+a* a+ (kada

x-+b-). x->b-).


raiun Diferencijalni Difcrenciialni racun

42

14. L4. lim liln x-j0 x-+0

etgx etg*

eig.x

e's'

e-tgx -2x - 2x --e-tg*

,t---@= lim x-)0 .r-+o

2x 2xs 2x3

= = lim

x 1I -2 cos2 x= -2cos2 ----;--=--__..IIL

etgx +e-tgr + e-'gx e'gx

I =1

_.

=-,

ltm lim

-

..

6x2 e,g.x

..

ets.,

.,.

tl 2

12

rgx ) 2 2 _e-tg* (__i;_)_2. 2cosx(_sinx) cos x(- sin x)

cos x-\ cos'

COS cos'

x:t

2x

+ 4 sin x cos x_ e'g't -e-tg'r +4sinx.ror3, x + 4 sin x cos3 x_ -l .. e'g.x -1 lim - e-'gx +4sinx,rrs3 ) X 12 12 .x-,0 't-+o xx'cos' COS2 x x

l,

cos4 xx-12sin2 -12 é'gx -e-ts*.-++4cos4 "tr-r.COS X COS x co.s .r cos e'g'x

llm lim =-. x-w l2 .r-+o 12

1

COS2 X

ets'Y.ie-tg's e'gx e-'xx

12 x->() 12.r--+0

=-I

1

cOS2 X

ltm lim =-6-r+o 6.x-,0

6x'cos'x cOS2 x 6x2

.r+0 x->o

!gx .6-l)-2 .-+-r-'r' ) 2

12

12

x

sin2 x.cos2 cos2 xx

+4

_ =

I

1 !gx

rr^, + =1 lim( e"'r''= * -=-!-. 12 .i':b'ror, COS' 12

e

6= l

-1gx

l +4)=L= 1. x-12sin' *.ror' vv! *l=L(l+ +4cos4x-12sin2xcoS2x)=1(1+1+4)= "'r-l *4rosa '' 1212"'''''.x->n 12 t2- 22' X COS *' cos22 X x' ,t 15. Nad 15. Naii lim n)0. a>0, n>0. lim:-, á'x r x-9°° eeax ,

__>*

n-2 n-1 n-2 n n-1 (n-l)xn-2 n(n-1) ,. xx'-2 n(n-l) nn ,. xxn-t nn ,. (n-1)x n.)cn-l ,. xx' ,. nx .im-= hm llm uni-= tifti-=-. tirti-=-. L,na = lim llm lim = 2 == =ax ax ax ux ax .** eeo'' gat -r--+,* e a x-)* aa.. ee* a2 a' €o'\ x-)* a a, eeox a x--s* eat

x

x-

-

I =0. lL.ti* -=0. _-

= =.....=

x

a.x

n.r

n lim ea.x ot an 'raa 2 A .x-aoo I

1

*' ,r*{

-

-ro1

-1on

*

-9x

-99

-= lim -98x =50limx | =50 =lim-100x 7i^-1.00'x-t,t =50.timx - :;; =s0.li^-?8'* -- xo t :':;i :;'i 1 -x- J-'" 2\ 2, "" -+22 x-)0 -,7 2 2 ex2 (-?) e-x ex e7 e7 e7 (--) rlt t4t

16. x2 =1imx 16. lim ex100 ri^*-"lo x,0 ;:b *roo =- x-NI

fit

-

x xx

x

22 -96 ---96.--2-il

x l. x, 50! lim lim = 50 49 lim ==.....= 50!.timt, = 50! =50.49.trm* =50!.lim lx--+0 x-4 x-)0 I .r-+0 x-40 x)0 -2

z ex er2

z e.r2

e,x

?

0 50! !im e x2 ==0. ==50!'limeS , x" x-00 -I ex .(-?) ,r',t-41 -r'' I1 .

Iax-10 2

In( x-a) cosxln(x-a) ln(x-a) x-r.o lim x_a 17. =cosa tim r*cosx'ln(x-a) =cosa lim = =cosa. =cosa.ti* ex -17. ;;; .x-oa x-)a x-)a *Ju ln(ex e'\ ln(ex -e°)) ln(e'' -e°) -"a ln@' ) -eo

rr*

-eo

x

a

ee't -e - eu

cosa u ex -e° cosa cosa ,, ,x cosa e'x -ea cosa ., e'' .. e'' -eu ==-cosa e° = cos a lim Um ee = lim llm-=- -eo=-.e =COSA ea .x-sa r-)a x->a x-4a ea ;:;e''(x-a) i-o x-a x-a eo e.x(x-a) e° ea eo

= him cosa =COSA. ---- hm-

..

xx+stnx + sinx 18. rm Um 18.

r-+€ X x je f(x) modemo da da primenimo Lopitalovo g(x)=x. Lopitalovo pravilo = x + sin x , a g(x) = x . Ovde ne moZemo Neka je f(x)=x*sinx,a jer + postoji. lim (1 cos x) ne lim f'(x) f'(x)== !i11(1+cosx) ier lim


43 43

Diferenciialni racun raiun Diferencijalni

ti' x-0 * li* sin =0. X

tin'

u* x+sinx= lim(l +sinx) =/, jer je /im tim lim(1+sinx)=l,jerje "+ I = x-40. ,t-+x-4c° J-+-r-)6 X X

,f,

",".°

i ",1- " mogu se se odredivati 00 ", " 00 00 ","-0 "'r i"1I ostali neodredeni izrazi oblika " 00.*"," --o ",","" 0° koristedi Lopitalova pravila (ukoliko su zadovoljeni zadovoljeni uslovi za njegovu primenu).

-

L

a) a)

«0.00 "0.*"

-> a, tada je -> ±00 kada kada xx)Q,tada Ako je je lim f(x)=0 ii g(x) +t*

i

!ly,f(x)=0 -4a

.0

-f

(x) (x)'8(x)= f(x) g(x) = ,:gry, lim xu

lim

xa f

,

oblika " ", ili iztazoblika*l',iti a to je neodredeni neodredeni izraz

g(x) 8,j,.)

*). g(x) lim f(x) = lim 1f( ) s( x) = !h,f xa I:!,ffi,x (

,

x-->a

19.

a to

je neodredeni oblika " izraz oblika neodredeni izraz

-a oo

". ".

1I x1n2x* x-1 rnx=rimA.:l)=fi^ lim 4 = = lim in(x - I) Mx = Iim liruln(x= =-rim'U 1I x-)1 I1 .r-sl x-1 x/ xsI .r-+/ .r-+t -1 x-l .C->1 x->1 -l

In(x-1)

1". m; !nx

=-lm =-lim <+l

ln2 x x

lnz x+ x.2tnx'! 1n2x+x21nx 1

x = lim(In2x+21nx)=0. =- lim(lnz x+2lnx)=Q . r-)1/ -r+

_0

E-€ b) «00

±

±00 g(x) -> t* (f(x)+ ( f (x) -> t- kada kada xx+a -> a ii g(x)+

f -

(., lim [ f ((x) g(x) = lim f(x)[1 tim[ x ) - sr * ) ]l= !,f,f

X-)a

-

-> a) kada xx->a) kada

g(x).]

f(x) l, **,)

xa

s!,*),.l -00 slucaj je ti*l lim tI g(x) slueaj se svodi na prethodni. Ako je " xa[ .._+,1_- f(x) ) -=

g(x)->t*,kada -> ± kada x +aa. *0 ,to f(x)f(x) f(x) - g(x) I::,1, #,1*r,,o

Ako I - g(x) Akoje J'e lim

,

-

.C-)a

r

ll

1)) == lim 20. tr* x[1-xIn(1+1)J rlt-*tn1t+!1] 20. lim(x-x2ln(l+ lim(x-x2ln7+ly X-)0. .r-+6

.r-+- L x-°.

X X

X JJ

1) 1l (---=) ln(1+1) 1+1 1+!- x h(I +!-1 11 I c lim xln(1+1)= m \=t=1' = ltlim-a= x hm lim lim#= lim*-= xln(l+!-|= I I x x-);;;. i-'* I x=-;:L 1

.v-->m

x'-

-x 1

x

-

1

xx22

l.I

!

1-xln(1+-)

lim *lt-xtn(t*/rl= 4i_x In(1 + 1)J = lim u* u*t-*tn:t*;)x=- r*

xx+el

X X).r-)@ x-

jX

xx

I1 -(ln(1+x)+x ( 2)) -(tn(t*L)**-1.e\tt

I

ll

1+-

x .r-)@

x

1+t+LX 1I --= X2 x'

xx"

I

I I

t


44

Diferenciialni racun raiun Diferencijalni

t h(t +!1ln(1+1) 1

'

xx*l x+1 -= 1im x lim 1/ x-400 r-+-

= lim = lim

.r-+E .r-)oo

x x

1

1+1

(

x

-7 x

22

X xx-

= lim lir,

;x ;= x->2(x2+2x+1) r)@2x.(x+r)1,*G x-a°'2x2(x+1)2 +2*+t) ex

lim(1+x21n

x->o°

VVV

2

--x`.r-

II

ex

x+l

.. tt . *ex

lim + ln = lim 1 + In lim x2 !'*17** x+1 =1 x-oox2 r*l x->o'x+1 ex

1

a

x2(x+1)2

= =-. 2

1+In

x) = lim x-÷-

x+1

x(x+ l)+ x2 -x(x+1)+x2

3

,w@-,) x[x2

21. 21.

-T;tr . =!A-=

= lim x-,..

2

2

4

= IN = lim

-1 z) x (x+1) 2

1

Coo

Il =* JJ

=.17-1e=

=1

I x+1 e(x+1)-ex) e(x+l)-ex. , 22 .x+l 1+ ln ex (x+t)2 x3 *t exex (x+1)2 2 z..l)+6:l-' x2 x+1 lx" x+l = lim I1 x-*oo 1

ex

,

1

*

,

= lini

!x

x -4o0

-7

1

x

X2

-t

x-(_ x(), 22. +_) ee 2

= = lim

C-i=o

_,W

x2 2 1t.. 2 I1 ex.(x+ !)' *2 x' xi+ex(x+1))_ )= hm(--+--)=-= lim(--+ =-2Z-t-+* x-)- xX x+ 2Z X'+Xx -2.1 1+ ln ex

x+1

x2

0

"1 *. aa* *0 g0 », C) .. "; *"0° 16,,. C)

e

.

»;s ..

je Ø(x) Neka je = f(x)x(x) , f(x)>O Neka (u nekoj je /im ). Ako f(x) > 0 (u nekoj okolini okolini take tadke aa). Ako je f(X)g(X) timflxlsE) 0(x)=f(t)t('), .r-4a

* " -0 " f g(x)=0), -4 00 x) = 0 ), "00(1" x)+ f (x) .r-4a .(1a

neodreden izraz neodreden izraz oblika ""0° ( x) = " ( lim ff(x) 00 " = lim x->a -t-)a

((

g(

(

a

a ii kada kada x -> a

± ili"l*"(limf(x)=I f s(x)+t-

lim g(x) = 0) ili " 1°6 " ( lim (x) =1 ii g(x) -> limg(x)=0) --> a), tada je kada kada xx+a),tadaje -41 -t)a hm lim In g( x ) In ln S( x) = f(x) neodreden 0(x) neodreden izraz lnl(x) izt.az oblika "0.00"i" " 0' " i " 00 0 ". = lim g(x)

.C-ìa

X.

.l->a

*

.C-*a x-1a

*'

-/I -1 + x) x 22. tim(g!-A); zz. lim ( (1 )x x-40 x)0

e

-11

)x ); ,=,(t+x)'' y-((1+x)x e e

t

t 1n(1+x)x = rl ln(1+x)-1J * lny=1 lny- .rn(l+x)* =L.f!.h(t+x)-t1 x ee xxlxx 1

J

I

1

1 -x 1im 1+x t+r-l in y- = hm lim 1 timtny= u^!.1!.h(t+x)-t1= L-.1n(1+ x) -1 1 = 6^tn(I+I)-x lim 6^ -' = x->0 x2 x-0 .r-+0 x0 .r-+0 x s-40 x-+0 2x I l1x 2X x" ) .r+0 ¡

ln(1 + x)


t

'-

DifererrciialnirizCun raeun Diferencijalni

45 45

I

'

1-1-x I 1i^ l+x 1+ --1 hm

x -=_!fi^ 1= I =_l x=_Llm 1+x x )x-+oa.(1q16) 2*+olqa 2 2x-0 x-o x(1

:,_

1

2 x-0 x 2.r-+0

'

x + x)

lim

2

1

1

lim

',

2

li*lny=-!*lnlimr=-1 +limn=r-l limy=e 2. liminy=-1lnlimy=-1 x-+o 2 2 x-->n

.

x-+o i.r-+0-2.r-+0'2x+0'

Yi

' t '.? ..:t

li9 .I -;

3

23. Zl.

1ilim

*4+tax x°+Inx

x-o+ r-+o+ 3

x4+1"x l=Y4+lnx

3

In y= =lny 4+lnx 4+Inx

In x 1

3. ?._ '-$-= lim y= lim lim In lny= li* q+nx= = 1iv1 = 3j *--i*"'' x-o+ .r-'i* 4+lnx x-o+ -'-i* ! x-,o+ 31nx 3l'*

, i,.x

x

y=3* tim y=e3. lim iny=31n lny=3=ln lim lim lim y=3 !=ei. x+f ' x-o+ x->0+ x-+o*' x+o+" x-*0+

: ,l

.,t,

24. /im lim (ctgx)h' 24. (ctgx)u`x r-+o* x-o+

y = (ctgx)tu y=(ctgx)1nx t,

In(ctgx) lny = hfttgx) = ¡ny = *. In x

, E

= hm -x = lim -fim-x-umlt--t x-q0+ x4)+

7x I

I .r- 1I t 2

1

In(ctgx) ln(?tgx) y = 1;^ lim lim lim ln lny= ' In x x->o+ x-o+ ,r--ro+ .r-0* lnx

ctgx ctgx

lim 1i^ =x-o+ .r+o+

-1

x slnx sin x x-.)0+ sinx x4+ sin

(

,

-

sin *t x) = 1ip2 nm L= x -rinz =x-o+ x coff,sin2 2 t-o* cos ! sin xx x sin sinx xI

1

- -1

x Um y= lim = -1 lim inlny=-l+ln lim yv=-,1 ' -1 In x-)0+ x+o*'

x+o+ x->0+

:+ lim y=e-t. = e-t

.

r.4)*x-40+

I t

7

Y

PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor r

46

Ispitivanje Ispitivanie funkcija funkciia

ISPITIVANJE ISPITIVANJE FUNKCIJA FUNKCUA

r

Asimptote funkcije

(a,*) ((-w,q)) , ae a E R. f(x) intervalom (a,00)((-00,a)), R. Funkcija 0(x) 0(x) je /(x) definisana nad intervalom je limV(il-Q(il1=0. asimptota funkcije f(x) kada Analogno, funkcija Q(x) asimptotafunkcije/(x) ->0.0 ako je lim [f (x) -Ø(x)]=0 Analogno,funkcija 0(x) kada xx-+*

Neka je funkcija

.

x->o.

* ,, ako je je asimptota funkcije/(xJ funkcije f(x) kada - 0(x)] = 0 .KaLe Kate se, takode, --) -0. takocle, da kada x -> je lim [f (x) da t*l-0(ill=0 .

x->,!y2lf (x) - 0(x) pi5e kada.rx -) pige se ff(x) -> +@ (odnosno se funkcijaf(x) asimptotiki ponaga pona5a kao i se funkcija/(x) asimptotski kao 0(x) Q(x) kada Q(x) je sledeii: postoji realan xx-+4 -> -04). Geometrijski smisao sledeci: postoji realan broj broj b, D, takav smisao asimptote je takav da da je za svako (x) proizvoljno > razlika ordinata krivih =0(x) mala b (x i y ruzlikaordinata y = f(x) malazasvako x b i kada x -> -00 ). y=f(x) sepribliZavasvojoj x-+-*). Ako je asimptota asimptota prava, znaei kriva yy== f(x) kaZe se da kriva ima: n ; ne R, kaze mx + n; znaEi 0(x) f (x) ima: Q(x) = nlx 1) m # 0 kosuasimptotu kosu asimptotu 0(x)=rnx+n, 0(x) = mx + n , 1) Za Za m*0 f(x) *) X m[f (x) - (mx + n.)] = 0 ili,ti tnl@-6*!1):0, /im (uzmimo da (m x -400) Po definiciji definiciji je (uzmimo da x-+ l 0, !:*VG)-(na+n)l=o x a J em=limf(x) ppaje = limUtrl-**1. lim [f(x)-mx]. m= 1;* f(x) ,, nn= x.rJE x x->,+X

n, kada Ako postoje brojevi min, -> +00 m i n, kriva y= y = f(x) asimptotu y! == mx ++n, kada x.r -+ +@ . f ( x ) ima za asimptotu Analogno se moraju biti funkcije ne se posmatra slueaj ne moraju biti iste kada x.r -> sludaj kada -) -0 -6 .. Asimptote funkcije .*. . kada x -> odnosno x -+ -> -00 kada 9 +00 F, , odnosno,r 2) m=0 horizontalnu asimptotu 2) Za Za m=0 asimptottt 0(x)=n. S(x)= n. prava 0(x)=n (,lim postoji lim f(x) vidimo da da jeje prava lim Ako ( (x)) Ako postoji 0(x)=n== lim f(x) f(x) f(x)),, vidimo

f

!iy_f(*)

(x)) horizontalna (0(x) kada.rx -) +@ ( x -> horizontalna asimptota funkcije f(x) -+ f (x) kada @(x) == lim ff(x)) ,lim

y=f(x) Funkcija y= f(x) 3) Funkcija

3)

-

). 1.

u taeki =a ako ne postoji postoji okolina tadki xx--a ako ne ima vertikalnu ima vertikalnu asimptotu asimptotu u pravu xx=4 Za pravu =a ka2emo da je ogranieena. kaZemo da ograniilena. Za vertikalna asimptota krive krive f (x) .

take je funkcija funkcija f(x) f(x) tadke aa nad nad kojom kojom je

f

r

.

Monotonost ii ekstremne ekstremne vrednosti funkcije

je f'(x)> (x) je 0, funkcija funkcija ff(x) Neka funkcija funkcija f(x) nad intervalom I.1. Ako je izvod nad f'(x) >0, f(x) ima prvi izvod je f(x) opadajuca monotono rastuca rastuia nad intervalom I,d aa ako je f'(x) <0 ,, funkcija je monotono opadajuia nad intervalom I./. take ac€R, R, tada je realna nekoj okolini okolini tadke tada ka2emo kaZemo da da Ako je realna funkcija funkcija f(x) /(x) definisana uu nekoj postoji 5>0, funkcija f(x) a ima ako postoji ima minimum (maksimum) ako funkcija taEki c 6>0, takvo takvo da da za za minimum (maksimum) f(x) nu taeki Ako funkcija (a)). (a-6, (x)> (a) (f (x)< Ako funkcija f(a)). u taèki a ima E (a-5, a)v(a, a + 8) f(x) ( (x) < f u tadki a ima xxe a) u (a, a+6)+ > f(a) f f funkcija ima ima ekstremnu ekstremnu vrednost. vrednost. Ako minimum ili ili maksimum ka2emo da da uu taeki minimum maksimum kaZemo tadki aa funkcija je f'(a)=0. i ako postoji postoji f(a) funkcija ima u taeki ekstremnu vrednost je 0 i ako tada funkcija f(x) ima u tadki ekstremnu vrednost a a f'(o) f(x)

f

f(a).

.

Take je f'(x) == 00 zovemo stacionarnim taekama. da se TaEke u kojima je tadkama. Jedna od od mogucnosti moguinosti da


47

I.cn itivanie, funkcija funkc i i a Ispitivanje

je da da ispitamo znak prvog ili ne je vrednost ili ima ekstremnu vrednost li u da li u tadki a funkcija ima ispita da izvoda. za XE (a - S, a) je takvo da daza xe(a-6,a) postoji 8>0 d>0 takvo je funkcija ako postoji neprekidna ii ako tadki aa neprekidna funkcija uu tadki Ako Ako je onda funkcija uu tadki aa je f'(x)<0 ( f'(x) > 0) onda f(x)<0 (f'(x)>0) E (a, a +8) je > 0 , ((f'(x)<0),aza f'(x) < 0) , a za xxe(a,a+6) f'(x) f'(x)>0, ima ekstremnu vrednost ii to maksimum (minimum).

f(a)

jeaparanbroj,funkcija n paran broj, funkcija ? 2 . Ako je * 0, nn>2.Ako f'(a) = f"(a) _... = f ("-1)(a) = 0 ii f(n)(a)*0, Nekaje Neka je f'(a)=f'(a)=...=f(n-')(o)=0 ako je < 0 odnosno maksimum ako to: maksimum vrednost ii to: ekstremnu vrednost ima uu tadki tadki aa ekstremnu i" f(')(o)<0 f(x) f(x) ima nema ekstremnu broj, funkcija f(x) neparan broj, n neparan je n > 0 . Ako Ako je je fh)(o)>0. f(x) nema minimum ako ako je minimum

f(a)

f(a)

rastuia aa ako je (o) > 0 0 funkcija je uu tadki a rastuda (")(a) je f vrednost u tadki a. U tom sludaju ako je f@

f(a)

opadajuia 0 funkcij tunkcijaa je u tadki a opadajuda. fo) (o)<< 0

o

tackama gde ne postoji prvi izvod Tangenta Tangenta funkcije u tatkama

izvod. tadka u kojoj kojoj ne postoji prvi izvod. je xo x, taEka Neka je

1)

1)

f

tada jednadina desne tangente (ako je (xo+)) tada je lim lim f'(x) Ako je f'(x)== A| ii lim . f(x) = f(x0+ x)xg+ x-,x0+

x-4x0+ x--txg+

- f(x0) = A(x - xo ) , odnosno neprave desne je yy-f(xil=A(x-xo), (x0 , f (x0 )) ie tadki (xo,f(xil) = f(x0+ )) u tadki f(x0) f(xo)=f(xl*D (x0* )) (x0,ff (x0+)) je f(x0) tadki (x0, tadki x0 x6 ili je G0* D u tadki tangente (funkcija nije definisana u tadki f (xil * ff (x0+))

f

y- (xo+ ) = A(x -x0). je ie y-f(xo*)=A(x-xo). f'(x) = A ii lim_f'(x1=tr 2) Z) Ako jeje lim xxp-

jednadina leve tangente (ako je leve tangente lim f(x) = f (x0-) tada jednadina lim_f(x)=f(xo-)

x->X0x-x0

neprave leve odnosno neprave f(x0) = A(x -x0), odnosno y-f(xil=A(x-xo), je ytadki (xo,f(xil) (x0 f (x0 )) ie u taEki f(x0) = f (x0- )) u f(xo)=f(xo-D ,

(xs,ff(x0-)) (xe- )) je f(x0) taEki (x0, ili je x6 ili tadki x0 tangente (funkcija nije definisana u tadki f (xo- D u tadki f (xo) * f(x0-)) 3) 3)

je y-f(x0-)=A(x-x0). Y-f(xo-)=A(x-xo). ie = ±. Ako je je lim lim f'(x) Ako -f'(x)=!o x-,xo+ t)r6+

f

f(x) = f (x0+) ii 1im lim.I(x)=f(x'*)

jednadina vertikalne vertikalne desne tada tada jednadina

.r->X0+ r-):g+

f

(xo,f (x0 je f(x) (xo* )) u tadki tadki (xo, (ako je tangente (ako tailgente $il))) ,, odnosno neprave vertikalne desne = f (x0+)) f (x) = (xo,f(xo*)) tadki (x0, f(x0+)) * f(x0+)) uutadki je f(x0) x6 ili ilije tangente (funkcija nije definisana u tadki x0 tangente(funkcijanijedefinisanautadki f(xil*f(xl+D

je x=xo. je x=xo leve tangente (xs- ) tada jednadina vertikalne leve (x)== ff(x0-) je lim f'(x) =t* =±0. ii lam tim_ff(x) 4) Ako je tim_f'(x) 4) x->X0x-)xo x-rxo je f(x0) tadki (xo,.f(xo)), (xo, f(xo )) , odnosno neprave vertikalne leve tangente (x0-) ) u tadki (ako je f (xil== f(xo')) (xo'f(xo-il (x0-)) je je f(x0) tadki (x0, * (x0-)) uu tadki ili je xp ili (funkcija nije definisana u tadki tadki x0 (funkcija. nije definisana u ie f(xil*f(x6-D

f

f

f

x=x0. x=xo.


48

o

Ispitivanje Ispitivanie funkcija funkciia

Konveksnost, konkavnost konkavnost ii prevojne tatke tacke

je f"(x) Ako Ako je > 0 ((f'(x)<0) f"(x) < 0) nad intervalom tada je funkcija f(x) konveksna (konkavna) intervalom I, I,tada funkcija/(x) f'(x)>0 nad nad intervalom L L Ako postoji f"(x) Ako postoji je funkcija nad intervalom 11ii ako je funkcija/(.r/ f(x) konveksna f'(x) nad je (konkavna) nad I, tada je nad1, (f'(x) f'(x) >_ 0 ( x)5.. 0) nad intervaloml. intervalom I. S0) f'(x)20 je P(a, (a)) prevojna Ako Ako je P(a,ff (a)) prevojna tadka tacka funkcije postoji t(a), funkcije f(x) je f'(a) = o .. f (x) ii ako postoji f'(a) , tada je f'(o)=0 je prevojna Za taku Za ta(ku P(a, f(a)) se se ka2e P(a,f(a)) prevojna tadka da je kaZe da taka funkcije f(x) postoji okolina ako postoji f(x) ako (a-5,a+6) je funkcija f(x) (a - 8, a + S) taCke tadke a, a, takva takva da (a-6,a) da je nad intervalom nad intervalom (a a) konkavna S, konkavna flx) (konveksna), a nad intervalom (a,a+ (konveksna), (konkavna). (a, a + S) 6) konveksna (konkavna).

1.

1.

(x

(x -2)3 Detaljno Detaljno ispitati ii nacrtati grafik funkcije y = .11(x

-

2)3

x xr

Domen

l++++++

(*-2)' (x-2)3 >o >0

(x-2f b-21

)i

x#0 x*0

++++++++++

x

V

++++++

o2 0

++++++ 2

a4 x

D:xER\[0,2) D: xe R\I q2) Nule funkcije

(x-2)'1 I(X-2);

y= v-

=o

x

(x-2); =0t=:.(x-2)3 e(x-2)3 =o e (x-2)3 =oax-2=0x=2 =0 e x-2=0+ x=2 x

Asimptote

(x-2f G4 3

1;=*

lim -r--+0-

=

(x-2)' = F,-rr =- = x 1--;-

prava asimptota funkcije. prava x=0 vertikalnaasimptotafunkcije. x = 0 je ie vertikalna

i

lim .r-+t-

m

n1 nr

= hm

f(x) X

funkcija nema horizontalnu asimptotu.

-

- x-> hm X 1

= lim[f (x) *l= lim [f (ilx] = tt*( lim ( = -t+

-

.-> rJ6

(x-2)2 (x-2)

I(x 2); x

Jx_2 - am (x-21 X x

(x

x) = lim x(.11( x->°°

= lim

r->w

x-2 x-2 =1 X lii(x-2)3

2)?

x

1)

- lim

1

x3

x


Ispitivanjefunkcija !;gtitivanje funkcija

49

ezf

i .-r-3 x-(x -2) 1.(____x-2) . x-(x-2) (x-2)2 ('-')2 -l _1 *-'l iI 2 x ) x *2 x = l.r-ro m = lim ==-s'!Er;)2=-3 =lim 3 lim(x-2)2 =-3 =lim = x 1,l .t* x-).3 r-c. x -1

i-7 x

2

x2

x-33 je kosa asimptota funkcije kada kada x + lt == x= prava yl

jy

x f(x) = x-2 2-x Tx m2 = lim mz= tim u*l*-21,8-= lim x-4-ô .f x =x-^° .(_+.. .r--^^ x -r_+* xX I xX I

I

(x-2); +x = lim (1x1 j:*l r@ -,*LV .r->. '.J= .YxX

+

n2 nz = lim [f(x)+x]= xl= tim V( x)

.,lim

Y

2

=

-1

(x-2); +x)= * x)= X

YY

3?

(-x

x-)- (-x

== lim lim

x-2 ((_)-'+x)= VVV

)

x

3

3 - ( x-2 ) lim lim =x-o-r. x

+ x) = lim um x(lx(1 x--*--

(x-2)z t -f:lsl x.t

1I

-3 -2 -J

;X

=

prava lz prava y2 =-x* = -x + 33 je kosa asimptota funkcije kada xJ-)-o9. -->-...

Monotonost Monotonost ii ekstremne ekstremne vrednosti

3(x-2)2

1

=

21I(x-2)3

x-(x-2)3 - (x-2)2(3x-x+2) X2

2I(x-2)3 yy

X

x4

2(x+1) (x-2)4

2Jx3(x-2)3

x

=(x+qx-2 =(x+ l) y'>0 (-1,0)wp,-) >0 za xe x E (-1,0)u [2,00) funkcija raste y'<0 <0 za xe x E (<,- I1 1) funkcija opada Napomena: Napomena:

Kada pisemo pi5emo da da funkcija raste (opada) za raste (opada) E (-1,0)u [2, co), to za xxe(-t,Uwtz,*), to znadi znaci da da funkcija funkcija raste (opada) nad intervalom intervalom ((-1,0) -1,0) i da funkcija raste (opada) nad intervalom [2, °). [2,-). Funkcija ima minimum

tga= y'(2+) tg a = y' 2+ ) = =,'3 1

E8

27 za x = -1 (y(-1)=

-1-2)3 Ai (

-1

=.li

= 27 ). ).

= o -- koeficijent pravca tangente =0

a=0 d = 0 -- ugao izmedu izmeclu tangente tangente i pozitivnog pozitivnog dela x-ose. x-ose.


50

(1+

Ispitivanje funkcija

tadke Konveksnost, Konveksnost, konkavnost ii prevojne tacke

_

x-2 +(x +1 )

x3

1

2. 2.ix3

x-2

-(x-2)3xZ ,I x-2

x

Ex-2 ,' 1 x3

x2 -2x+(x+1)(3-x) *'-2x+(x+l)(3-x)

x(x-2)

-Y

xb

x3

r;t

(x+1)(x-3x+6) 2(x-2)) X a )_ x

'Ifr-2 x -2 x2 -2x+3x-x2 -2x+3x-x2 +3-x = 3 .x2 - x-2 x(x -2) x(x3 x(x-2) x3 x3 - 2) 1,, t-

1,,

t-

V

++++++ ++ + +

x

++ (x_2) (x-2)

+ + + + ++ ++++++ x(x-2)

++++++l 2

konveksna. funkcija je konveksna. funkcija (a,0)u(2,*;) 0) u (2, za xxee (-cc., za tacaka. Funkcija Funkcija nema prevojnih tadaka.

y'>0 y' >0

Napomena: znaEi da je , to znaci x E (-00,0) (konkavna) za za xe(-*,0)w(2,*), pi5emo da je funkcija konveksna (konkavna) Kada pii;emo je funkcija da je funkcija konveksna 0) ii da intervalom (<,@) nad intervalom (konkavna) nad konveksna (konkavna) funkcija konveksna funkcija (konkavna) nad intervalom (2,*).. (konkavna)

Grafik Grafik funkcije



2.

2.

51

Detaljno ispitati ii nacrtati grafik funkcije y, Detaljno

Domen xx+l1o +1 *0 xx*-l * -1

s x2 -=F..,

.

x+1

-

Nule funkcije

f 22

D:xeR \ { -1} +D,xeR\{-/}

22

x x=o ' =0a x =0 ax=0. =oHh=oa ,=i/# x+1 x+1

y=

i

Asimptote Asimptote

f,x = -00 llL=*, x+1I .,->-t- | x* 2

fim lim

f z, x = 00 g ll-!-=e x+1 .--i* Y x+,1 x-)---)+ lim lim

x=-1 vertikalna asimptota x=-1 jeje vertikalna

prava prava

?

funkcije.

t,x2

ly-lhx+1 ==!e ] lim


,F X2

*=.!kW=l^ffi,=]K-h=o .r-± x'(x+1) -rt°° x(x+1)

m= lim

C-0t

+

x+1 =

x

3

z

1

X

=0

V

funkcija nema kosu asimptotu.

Monotonost i ekstremne vrednosti Monotonost

i,-#=! r!fi ##-!u1

x2 ; =1*) ,y,=7r-x---+1) 1

2x(x+1)-x2

1

(x+1)2

3

(x+1)i x(x+2)

x(x+2)

(x+1)2

(x+1)2

3(x+1)2

x4

x2

++++++ 0

2

--------i

i++++++

--" -'" i \i i++++++ ++++++i -2 -20

x+2

X

-.,

Za -1 funkcija nema ekstremnu vrednost jer jer -1 Za x == -/ D. -l e D. y'>> 00 za y' za xe x e (-00, (-*,-21v(0,*) -2)u(0,...) funkcija raste y'<0 y' X (-2,<0 za za xe (-2,-1)u(-1,0) t)w(-t,0) funkcijaopada funkcija opada Funkcija ima maksimum Funkcijaimamaksimum za x=-2 x = -2 (y(-2)=fil.Funkcijaimaminimum ( y(-2) =41e1). Funkcija ima minimum 0 - ;fi- 4 za 0 za

x=0 y(0) = 0 ). x=0 ((y(0)=o). Prvi izvod nije definisan za I

tga=

lim .r-+o+

y'=

lim _r->o+

x=0.

x+2

?

(x

l)

z

/1.

3(x+I)2

( PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor

Ispitivanje Ispitivanje funkcija funkciia

52

. = -,ß ttg/3 = hm y ,r0=,rg_y'=** P=-r. 2 .r-90.

tatke Konveksnost, Konveksnost, konkavnost i prevojne tacke

2(x+1)x-(x+1)2 ,t ,(x+I)2 ,4 2(x+t)x-(x+1)2 2(x+1) (x+1)2 **2 1((x+1)2 -(*+2).2!rll)r@l)' ,(x+l)2 -(x+2) -., - x+2 -6t,-i - 3I ((x+1)2 Y'= t=:jr@'ll x 3 , (x+1)2 x y (x+1)4 ---r-t-x2 .-v

Y

4

.1 x+1-2x-4 3(

(x+1)3

(-x-3

x2 x+2 3(x+1) (x:+1)4

i(x+1)2 x

;I(x+1)2 +(x+2)(x-1) 3x2(x+1) x

3

?i(x+1)2 x

-x-3 (x+1)

x2 -3x2 -9x+x2 _ ---3x2 -9x+

)_

x2

(x+1)4

)=1

+(x+2)(x-1)

x 3x2(x+1) (x+1)2

(x+1)2 -3x(x+3)+(x+2)(x-1) x 3x(x+1);

,W=#W

+2x-x-2 +2xx-2 ; I(x+1)2

x + 1l' 9x(x+1); 9x(

x2 X

x2

3

3( (x..1.1)3 y 1

2x-x-1

i

i

_(-2x2 +8x-2)

, (X +1)2

9(x+1);

x

y

xi =-2-1-3+4x+1= 0 +4x+l=olxr=-2-Jj

3 yY

x4

x2=-247.3 x2 =-Z*Ji -zNj -2

-2

2x'

8x2

I

#fr+r/

i-'ii ii;

+t++++ ++

(x+1f

+++++ i--"'-'-i+t---"--"- rr Y"

-z4i

-2-Y

-2+'17 -1 -1 -2+,/a

z+6) + 47, 0) v (0, .) . ( -2 y" za xe (-2 - 47, -1) l)w( y' <0 <0 za x E (*2-J7,-2+J1,Uu(0,*)

funkcija je konveksna 73) funkcija (-x, - 2 -1173 za x eE (-00, y' > 00 za y" ) u (-1, Ft, -2+4 - Jj )L.) funkcija funkcija je konkavna.

prevojne take suprevojnetadke y(-2+ ))ll su (-2+ AG,,yF2*$ - Na, y(-2 - 47)), Fz+Ji Take Tadke (-2 Q*J7,yF2*Jil, y1-z 473) * J7 ) *. 0,46 ).). bF2 - J7 ) = 1,72, Y(-2


53

Ispitivanje funkcija Ispitivanie funkciia

funkcije Grafik funkcije

yA

0,46

-2-f

-2 +f

-2

-1,58 1,72

2

3.

3.

(x'-1) l)i3 .1)3 (x funkcije y == (x + 1)3 grafik funkciie Detaljno ispitati i nacrtati grafik Nule funkcije Nule

Domen

22

a x=-1 x=-l ii x=1. x=ly=(x+1)3(x-1); y-(x+1)3(x-l)i =0 =0 <=> za y=1. x=0 za

D:XER D:xeR

Asimptote Asimptote

nema vertikalnu vertikalnu asimptotu. Funkcija nema !im lim f(x)=±0. f (x)- t- 3 funkcija nema horizontalnu asimptotu.

.r-4t 'r+t-

l3 (x+t)j(t-lt? (x + 1)3 (x -1)2 (x) - r* =0. m = nm m= rim fI(x) = um =a .r-Jt- Jr -r-+tX X

=

nema kosu asimptotu. funkcija funkcijanemakosuasimptotu.

Monotonost i ekstremne vrednosti 2

tf ?

1

+H

+2(x+1)3 -Jt(x-1) st *+ t t' ÿ(x-1)2 tt-|3 =-- 3(x+1)2 * (r * ÿ =3(x+1)2(x-1)3t1 +(x+1)3 d1 * - t 1' 3 33 x-1 (x+l)2(11x-z) (x+!)2(llx-7) (x+1)2

=

--

(9(x-1)+2(x+1))= t)+2(x+ t)1= =ffi,r(xx-1 33

r

PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor t

54 54

Ispitivanje funkcija Ispitivanjefunkcija

++++++++++++ 7

11x-7

Ìl

+++++ - -lTv ------i _---/--.'fi ++++++i----i+++++ Z7

x-I x-1

ÿy'>a > 0 za x v (1, co) *ee (-00,11) {*,fi)vtt,*)

y

y'<0 <0 za x*.e (11,1) ffi,l funkcija opada.

funkcija raste

1

11 Ti

Funkcija uu tacki tadki x = -1 ne menja znak u toj toj -./ nema ekstremnu vrednost jer prvi izvod ne11menja

tadki. Funkcija tacki. Funkcija ima ima maksimum maksimum y(11) XLI -.11. minimum0za minimum 0 za x=1. x =1. Prvi izvod izvod nije definisan za zt x= x = 1. I. (x+ t)'z-(Itx-7) tga= tga= lim !'= = lim lim (x+1)2(Ilx-7) " lim .r-+1+ ..-+,t*' .r-+t+ 3 x-)l+ x-1 3.{x-t t1g = tim tgß= limÿy'=-*= =-0,0 ß=-n fl =-1 ?

.r-+/Ct

za t=i

za x

7 ( 7

\

2,23J

.

(y(11) [rf7t=2,23).

11

Funkcija ima Funkcija

==*4, q=L 2

Z 2

Konveksnost, konkavnost ii prevojne tatke tacke ,)

t t( x + t )2 + 2( t t x - )( x + I ) ]| +2(11x-7)(x+1) 1[I 11(x+1)2 7

-.r-l _ --' '3 3

v Y"

[t]'i 7-1 -(11x-7)(x+1)2 * x+I '4r,-,t -ls -

1

11

-

7

)2

)(

3(x-1)

(x- t)2 ,¡fix-1)2

x+1 +ffi gtrkx 941(x-1)4

(x + t x - I ) + 6( I I x - 7 )( x - t ) - ( t t x - 7 )( x + I 1f= [33(x+1)(x-1)+6(11x-7)(x-1)-(11x-7)(x+1)]= x+1 [33x2 s *' -33+66x2 66 x - 42 x + 42 - r r x2 t t x + 7 x + zf= -11x+7x+7]= = -+ll - s s * 66 x2 --66x-42x+42-11x2 941(x-1)4 o't1x-t1a'

= =

tf

11

8(x+1)(11x2 -14x+2) _8(x+l)(11x2 -t4x+2)

9V(x-1)4 s'G4

ttx2 -t4x+2=o* 11x2-14x+2=0

7+3 -,-r-frJ7 ii *r-# x1-7-3j 11

----- +++++++++++++++++ + + + + + + + + + + + + + ++

i-L li

7-3/311 -1

x+1

i

7 -3v 7-3'/i *Tr

7-0

+++ 11x2-14x+2 \/-3.--

i1 ++++

+3

77+3J7

y" v'

--77


55

Ispitivanje Ispitivanie funkcija funl
7-35 '>00 za za xe x e (-t1 ,

7+315

@) funkcija funkcija je ie konveksna ffp11 ) V (,+11 °°) funkcija je konkavna konkavna funkcijaje ) y"<0 -1)v(7-3./5,1)v(1,7+35 y'<0 za xe (<,t1e,4,r,w(1,+) 11 11

yy' >

(

Take (-1,0), (-1,0), radke

'

y(7+3)) suprevojnetaCke y(7-3)) t tff (7-3.5 prevojne tadke ,ttfflsu (7+315 tff11 ,tt#,, 11 11 I1

funkcije (y(-t) ( y(-1) =0, =0 ,

y(7-35 r,#) 11

=

t,3e,

rtffl

y(7+315)-204). = 2g4 ). 11

Grafik funkcije

Z=39 IT

4.

4.

tt

t Zt39 1I

,il(x2 + 2x)2 .. grafik funkcije Detaljno ispitati i nacrtati grafik funkcije yt = Detaljno =4[M

Nule funkcije

Domen

D:xeR

x =-2. yy=0rax2+2x=0c=>x(x+2)=0.=.x=0 =0 e xz +2x=0 a x(x+2)=0 a x=0 ii x=-2.

Asimptote asimptotu Funkcija nema vertikalnu vertikalnu asimptotu lim =41(x2 +2x)2 *!**= ltd.T

(x) = lim f(x) ,r* -_ lim .t-+l-y+!. x->"±'' ,x asimptotu.

,r- f

==

e oe e


V(x2 + 2x)2

-

(x2

lim

+2x)2 = =tx;

i

funkcija funkcijanemakosu nema kosu


56

Ispitivanie Ispitivanje funkcija funkciia

Monotonost ii ekstremne vrednosti vrednosti I

4(x+1) =-lfu x(x + 2) 3'ilx(x+2)

. (2x + 2) y' y'=(x2+2x) =1( x2 + 2xll; (2x+2)=

" 3'

3

++++ x+2x l+2x 0

-2

+++++++++

x+1

-1

++++ -2

y>

v'

0

-1

(-2,-l)w(0,*) y'> 00 za y'> 1) u(0, .) funkcija raste za xxeE(-2, y' < (4r2)v(-1,0) <0 0 za za xxeE (-00,-2) u(-1, 0) funkcija opada Funkcija Funkcija ima ima minimum minimum 0 0 za ima minimum y(0) = 0 ). Funkcija ima za x=0 x=0 ((y(0)=0). minimum 0 0 za = -2 za xx=-2 (y(*l)=,1). ( y(-1)= I). Funkcija ima maksimum,l maksimum 1 za = -1 (y(-2) (y(-2)==0). 0 ). zd x =-l Prvi izvod nije definisan definisan u tadkama tackama x =0 = 0 ii x= -2 . x = -2 4-(x+l) tga= tga= lim !'= y'= lim lim lim 4(x+1) tg/= lim y'=e- F=L =+ 3 a=-L2 " x->2tgQ=rm 2 .v-2- 3.tr1x(x+2) 3 Vx(x+2) .+2-- .,-+2+ y1=0ß= 2 .r--+2+ .

tgy= y= y'=*)y=-+ tgy= Um lim y'= 22 x->o' x-+o'

y'=*1[=L tg8= 5=5 lim y'=00 ry6= lim 2 x->0+ .r+o+-

Konveksnost, Konveksnost, konkavnost i prevojne tacke taike 2

y== y"

4.3Vx2+2x-4(x+1)3.3(x2+2x) ; 2(x+1)-12(x2+2x)-8(x+1)2 _

9V(x2 +2x)4

9 V(x2 + 2x)2

4(3x2 +6x-2x2 -4x-2) -4x-2) _ 4(x2 +2x-2) _4(3x2 9V(x2 +2x)4 9 V(x2 +2x)4

s1tr7w

s{u+uf

x2+2x-2=O x2 +2x*2=o=xt=-1*Ji

i x2=-1+1r.i xr=4+J7

i

++++++ + + + + tj;-

-----

1-

-:---:l ++++++ ++++ -1+1T

),

..

y

y' y" > 00 za za xe x E (-00, (*,- - 1t --J7 )w Fl + ^8,4 funkcija jeje konveksna y" < 0 0 za za xX e E (-1y' (-l - J7,--1t +* 15) funkcija je konkavna konkavna Ji) funkcija Tacke (-1.17.3,,yFl (-I -Ji y(-1-1,173 ,y(-1 ++J1)) su prevojne tacke Tadke radke funkcije Ft ++.t-j,y1l -Ji I)) ii (-1

(y(-t-r[il (y(-13)=1,58, y(-1+,1il == 1,58 ). 1,58). = 1,58, y(-1+11.T

))


Ispitivanje funkcija Ispitivanje

57

Grafik funkcije

5.

5.

2x Detaljno ispitati i nacrtati grafik funkcije y == arctg arc4*. X

Domen

-I

Nule funkcije 'l

x2-1#0 *2 '- -t*o R\{-1,1} , f= D: xe Rt{-l,l} x'+l= x*+l) x2#lx#±1

2x

y=qrctg;it-Qsy=Q. y=arctg 2x =0<=>x=0. X

-1

Neparnost ii parnost funkcije (x) + funkcija je neparna. Kako je funkcija neparna (simetridna uu odnosu f (-x) == -f (x) na koordinatni koordinatni podetak), dovoljno dovoljno je posmatrati funkciju samo za za x >2 00 .

-f

f

Asimptote Asimptote 2x 2x .. n I r/+ )t' I 'r-+/x2 -1 2 ' -l 2x .. nl-'= lim arctg 2x = qYgts(*) arctg(-00) = -n = --'r, .!'!!-""'s;17= 2 x2 -1 lim arctg = arctg. = Itm.arCtgT=Arctga=-

.. arctgf 2x

arctg0 =0 lim arctg x22x = = arct?0 =0 x' -1I

x-000 .r-+6

TC

I

+

Funkcija nema kosu asimptotu.

funkcija nema vertikalnu asimptotu.

prava y=0 y =0 je horizontalna asimptota asimptota funkcije.

Monotonost ii ekstremne ekstremne vrednosti vrednosti .

n, Y

_ =

2(x2 -1)-2x2x I 2x2 -2-4x2 _ I1 -l)-2x.2x _ .2(x2 .2x2 (x2 -1)2 2x 2 = (*r-t)2 (x2-t)2+4x2 (*2-l)2 -1)2 (x2 -1)2 +4x2 (x2 ?x )f 1l+( +('xr_t' 1

-1 -2-2x2 -2-2x2

-1)2 F_tF-

(x2

x

-

-2(1+x2)) _ -2

--2(l+x2 x4 -2x2 +1+ 4x2 xa-2x2+l+4x2 (t+x2)2 (1 +x2)2 1-4-X2 l+x2 y'<0 y' <0 za svako xe zasvako xe D D funkcija opada. funkcijaopada. .Funkcija nema ekstremnih Funkcija ekstremnih vrednosti.


Ispitivanje Ispitivanje funkcija

58

-22 (Y=-,r) lim = lim lim 4=4 =-1 (y=-x) tgca= lim rya= x-)t1 .r-+t/!'= s->±1 t-++l 1+

(y=-2x) tgp=y'(0)=-2 (y=-2x) tgß=y'(0)=-2

l+x"x

take konkavnost ii prevojne taCke Konveksnost, konkavnost ,

2.2x 2'2x

tY -----T--;-

'

(l+x2)2 (1+x2)2

4x (1+x2)2 1l+x212

funkcija je konveksna (0,1) y' l)wu (1,a) funkcija za x e (0, y" > 0 0 za prevojna ta6ka tadka funkcije. Tacka (0,0) je prevojna Tadka

Grafik funkcije

6. 6.

2x arcsin# funkcije y == x + arcsin Detaljno Detaljno ispitati ii nacrtati grafik funkcije 1 +x2

Domen Domen 2x

funkcije Nule funkciie 2x e y=x+arcsin#=oQx=0. y=x+aresin

D:xeR -1< -1.3=
1+x 1+x2 1+ x' Parnost i neparnost funkcije (simetridna u odnosu (-x) == -f ff (-x) -f (x) * funkcija je neparna. Kako je funkcija neparna (simetritna za samo je za x> ) 0 .. funkciju posmatrati pocetak) dovoljno posmatrati na koordinatni koordinatni podetak) Asimptote Asimptote vertikalnu asimptotu. Funkcija nema vertikalnu

=± t- 3

lim lim ((x+aresin x + arcsrn 2x , )).r++6 1+xI +'*x' r-++°°


.2x2x

aresin

f(x) == lim 1 + x2 t**'-r=, )=1 (1 + u*1t*Y rim f(x) ml nr== lim .C xX -t-+-r-+€ XI PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor

Ispitivanje funkcija Ispitivanje

59

- x] = .r->. U^ lim rrrrfnfr=arcsinl=0 aresin 2x = aresin 0 =0 ligV(r)-r)= r + 1-1-x2

nj n,== lim [f (x)

t

jekosaasimptota. prava prava yy=x = x je kosa asimptota.

Monotonost i ekstremne ekstremne vrednosti

i

1

,

-\

y =1+ Y'=l+

1

2x ,2 l, , 2x llt -1---------;))2 l+x' I 1+x2

2(1+*2 2(1+x2)-2x2x 1-2*.2,

(1+x2)2 11+x212

-1)2 (r**')'f,## (1+x2)2II( x2 +1)2 (x2

l.1+ 22 , lr**' 'f y =1-

y'= j

1

_t, -1+ -'-

2(t-x2) 2(1-x2) x2 (1+x2 11**'1*1 11 II

, xelo,t)

y'>a ÿ> E [0,1) v 0,00) 0 za za xxel0,1)v11,*1

funkcija raste funkcijaraste nema Funkcija Funkcijanemaekstremnihvrednosti. ekstremnih vrednosti.

XE [0,1)

,

2x2

xE (1,00) xe(t'a) ['-#1+ x2 ' 1

@=-

(1+x2)2

211-x21 2(1-x2)

=1+ =l+

2(1-x2) 1I =1+ (x2+1)2-4x2 (1+x2)2

,

Prvi izvod izvod nije definisan za =1. zd x = I. 2 tga= y'= lim tga= lim lim.!'= (1lim.1t--2 -1=Q1q=0 (y=0) 2)-0a=0 x>1+ x-,t+ x--+l+ .r-r/+ l+x' 1+ x

tgß= tg\=

2 lim y' = lim(t+!1=2 lim (1+---T)- 2 lim!'=

r .r-+/-

.r->>.Y-+/-

>>

l+x' I+ x

(y=2x) (y =2x)

Konveksnost, konkavnost ii prevojne take tadke

4x o*= f(l+x2f I (1+x2)2=

u, =z

'

I

4x 4* (1+x2)2

xEOM *elo,t)

'

l@

--/r-t xE xe(t'*)

y'>0 >0 za y" (1, 00) za XE xe(1,*)

funkcij funkcijaa je konveksna

y' < 0 za y'
funkcija funkcija je konkavna

(0,0) ii Take Tadke @,0)

(1, 1t,

1+prevojne take funkcije ( y(0)=0 , y(I)=1+y(l)=t*2).). t*ll ) su suprevojnetaEkefunkcije(y(0)=0,


:

60 60

Ispitivanje Ispltivanje funkcija funkxije ,1,

Grafik funkcije

t

'-'i

x>0

'il grafik funkcije funkcije yt = ispitati i nacrtati grafik 7. Detaljno ispitati =]rr1i1*, logl x + I

7.

t Domen

>0 x>a

x<0

x

1-x ,0t l; ' x>1

'

y

x

I

xloge tt"c"

<0,

log(-x) + 1I losFx)+ x log e xloge

x

Nule funkcije

x>0

y=Oax=1. Y=0ex=1.

D: xE R\{0} D:xeR\{0}

x<0 -1 log(-x) + 1= I = 0 + log(-x) == -l !y =0 = 0 = log(-x) -x=10_f= -x=.t0-1 =L*r=-L

x=-j-10t0 1 10 I0


61 61'

Ienithnnio funkcija fitnkriin Ispitivanje

Asimptote

x>0 funkcije' vertikalna asimptota funkcije. 0 je vertikalna prava x.r = 0 ti* G1-x x == € :+ prava

lim

x->o* x--+o+ X

u^ffi

lim x -1 = O .r-+e xw xX =0

--> horizontalna asimptota kada xx->-' prava y ==0 0 jejehoraontalnaasimptotakada + prava

x<0 log(-x) + 1I lim ,r* log(:x) = logee x->ox-+o- xx log

funkcije' e :) prava prava x-r = 00 je vertikalna asimptota funkcije.

I

1

.,_,, | -'

-x) + 1 - lim log(-x)+l -xl4l0 1i* -xln10 r, log( lim r-+€ log e loge x->-° x--r* loge =x-»^ x loge € x --* -oo . kada --> funkcije kada

(1) =0 jehorizontalnaasimptota _0 + prava horizontalna asimptota = 0 je prava yy=0

asimPtotu. Funkcija nema kosu asimptotu. ekstremne vrednosti Monotonost ii ekstremne

x>0 x 1-x ----L-^lt* -x-2(1-x) 1-x , -x-2(l- x) 22Jl-x l_-----j-_ 2x2 1- x 2x'.lI-x

X2 x

(

--t

I I

o)_- n

'G ' .,,=)#

t

x-2 1- x 2x2 2x'41-x

(1,2) funkcija raste 2) E(1, y'>0 > 0 za xxe funkcija opada oPada (0,I)w(2,*) v(2, ..) y'<0 xe (0,1) y' < 0 za XE

0< x<1 o
---

t>_f x>1

lz*'J-*- t

2. Funkcija ima maksimum =1. Funkcija za x =,1. m 00 zax minimum Funkcija Funkcija ima minimu !2 zazu*x = Z'

x-2 ---_Zt P=-, ry-#=+*

2-x -a=?tlt ,ro=:y.ffi-*+d=Z 2x2 x-1

.. tga= lim

,sP= him tgig= x-> l- 2x2 17-77x

2

x->i*

2

x<0 -1 -t

-x ,,, :_:# y= Y =0 y'=0

log ge x lo log(-x)) + t1))' to loge gg e - ((tog('x ¡og b e log(-x)) - 1I 10 - s - !og(-x x2 bg, *2 loge X2 log2 e

r'

-

e-

e e =1 t=>x=-10 a uet-hl=0 e -t=tax---fi 10x

Lte

log(- IOx*)) =toe(: 0 x2 log log'e '2

10e

vy' e

lo


62 62

Isoitivaqie.funkci.ia Ispitivanje funkcija

y'y'>0 > 0 za za XxeF*,q E (- ÌO 0) funkcija funkcijaraste raste ,

10

y' < 0 za X E (-00,-1Ó za xe Y'<0 1*,- l-))

funkcija funkciia opada

10'

( e 10\¡ (y(--e )=--10 rc \ttrt=-;y

Funkcijaimaminimu^ Funkcija ima minimum -110 = -10 ,u x*=-a -10 za

e e

Konveksnost, konkavnost konkavnost ii prevojne taCke take

x>0 a y,l Y =='2 2

x2,tf,v 1-x-(x-2)L2x 1-x+X -1*-2 2xJTi+x2

X2

xalt-x1 2x2 -2x3 4x2 + 8x+.i.r'1 +8x+ 5x3 -10x2 - 2x3 --4x2 - lox2

s*'-r2x+8 3x2-12x+8

4x3 (1 -x)-$11- x y== )t*t1t-xyl1-*' y' 3*'-l2x+8 It- 3x2 -12x+8

4x3(x-1) x-1 1*- t)J; lt*t

qx3 (t 4x3(1

3x2-t2x+B=o 3x2-12x+8=0

x>l x>1 6+2g a+z'lV

O

3jj

6+2 *r=# 6-2 3

/= 3 = x*,=4,

++++++

o 66-ffi -2F

--

1 -7x -x) -x - ilJ-t

0
'

127-.

3x2 +8 3x2 -12x -t2x+8

-7

t-

2x2 1t - x1- 1x - zlltxl t - *l - *21 2x2(1-x)-(x-2)[4x(1-x)-x2,

4x4(1-x)

qxa(t-ilJt-x 4x4(1 -x) 1

I

-1 -L 22Jt-x 1-x

,

X2z

ix 12x+8 "ti-t2x+B

3

y'> 00 xxeE (0, y"> (0,x2)w(x,,*) x2) u (xi,.) funkcij funkcijaa je konveksna y' y'<0 <0 XE (x2,1)w(1,x1) xe (X2,1) U (1, x1) funkcija je konkavna funkcija konkavna

Take (x1, y(x1)) ii (x2,y(x2) Tadke (xt,y(xtD (x 2, y(x2 )) suprevojnetadkefunkcije(y(xt)=0,46, su prevojne take funkcije ( y(x1) = 0,46 , y(x2) y(x2)=0,46). 0,46). x<0 loge -- 2 100x2 - 100x2 tog----7x2 -(loge log( -x) log I10) 0 ). 2x 2x log - Ttog e -- log(-x) - log Il- -loge x ee 'yy -- loge x4 x3 log, loge *3 3-3

=0rß 100x2 =1 €.'=*o x = !'=oebsry=o(+ *=-* 100 p x e 10 e ry=t 100x2

y =

2

e2

e3

?

Otlog

eM _x 10

y' 0

10

.% y'<0 za XE xe (*,-fu-) (-00; 2

funkcija funkcija je konkavna konkavna

?/

y'>00 za ÿ>

xxeE

-/2

(-fi,0) (10 0) ,

funkcija funkcija je konveksna


Ispitivanjefunkcija Ispitivanje funkcija radka TaCka

%%

(efi10 ,re7)) 'y( ÌO))

63

(, =.,tr).

je prevojna taka tacka runr
Grafik funkcije Y

z

_.._.

0,46 6-2Y 1

3 6+243

2

3

1

-3

10 e

e3

10

I S. 8.

eint x funkcije y! ==xx'eEfil Detaljno ispitati ii nacrtati grafik funkcije Detaljno

.

Nule funkcije Nule

Domen

I

x#t1 Ir]xl#0 tnlxl*0= x+tl x0 x*A D: xe R R \ {-1,0,1 {-/,0,/ }}

x =0 e D. y= xei"ixt x.e44 =0 =0 za x=0 Funkcija nema nula.

yy=lnl xl =tnlxl

y

{t ast,* y=1 y= I xe-C t x

xe r"t-x) lxetn(-'t

,

,

(0,1)w(1,.*) xE xe (0,1)v(1,00)

,,

(a,-l)w(-1,0) xxe e (-03,-1) u (-1,0)


64

Ispitivanie Ispitivanje funkcija funkciia

Parnost i neparnost funkcije (simetridna u odnosu -f (x) = funkcija je neparna. Kako je funkcija neparna (simetriena ff (-x) == -f na koordinatni koordinatni poCetak), podetak), dovoljno dovoljno je posmatrati posmatrati funkciju samo samo za za x > 0 .. Asimptote Asimptote iltt t lim x.effi x e lim =0 ,, lim lim x.eR x e i"-C =0 =0 x-0+ x->t.r-+/-r-+0+ asimptota asimptota funkcije. I e lim x e I"x ==00

ljg*.r* -100

m *,==

t

lim x el" = lim, x.eR =o

,,

C

.r-+/+ x->l+

g prava je vertikalna prava xx==1I je

:e funkcija nema nema horizontalnu asimptotu.

f

hm (x) - lim e"-r =1 x !!**= x!y,* =t

iI e In rr

eh'*(--4-r-, f t I * I r 1 x = h^''"!'''+ nt' = fiml x.etn., -rl= fimxlst,., -1 xx:lnt hn'"''r-' lip =limez".C-1=lim 1n2x)=limx'eñ.r -tl= .*--L xL x-wo [ .r-+6 I .r-16 _ I ]I x-).0 x-)... .*--r* 1n2 x-°° lnz x I ,* L xxx2 x2 = lim 4x -nm ! = lim = | ti* lim *x = lim lim trm 4 = 1 li^ x* == * = |2Z.r-+* 2 x-4.0 lllX x-s* ln' S .r-+* 2 ZlllX Z.r-+ln x 2 ln x =1 Z x-> l t

ni=[imIIII("xer"x-x1=limxei".Y

1

(

1

1

1

1

1

1

-r--+* 1

x xx

>

=

x

funkcija nema nema kosu asimptotu kada kada rx -> Monotonost Monotonost i ekstremne vrednosti vrednosti

*.

x-1 )=eix h'{-t **.r* e-11=r*1r-11="* )=er"x(1xx. ln2x ln2x ln2x ln' x ln' x ln' x

y'=eñx y,=r* +xeitx .(-

1n2

1

1

ln2 x - 1 - (ln x-Ine) 1n2x-1= x - lne). (ln xx-lnl) - n!1

t

t

ee

=0 a 1n2x-1=0 ln2 x-l=0 € < !'=0

ln2 1n2x=1 x=l

< lnx=t/ lnx=±1 <+xt=é =1 , x2=et A xt=e-lt =!, *r="1 =e ="

0 0

++ +++ ++

e

++

!nz-ln -1 e

t-i e 9i

+++ --i--.-------:+++

lnx-lne lru-lnc

----- 'i-------- i +++++ +++++i--------i+++ +++ 3' / 0I e

o +

+

0

1

e

ée

.)

p,!1w y' za x Ee (0,1) y'>> 0 za v (e,1e,*) funkcija raste e

y'<0 za XE (-,1)0(1,e) *.1!,11r,r,", e

funkcija opada opada

----'e


Ispitivanje Ispitivanje funkcija

65

Funkcija ima minimum y(e) za (y(e)*7,3g).Funkcija minimum y(e) za x=e x = e (y(e) maksimum y1!1 y(-) 1 za = 7,39 ). Funkcija ima maksimum e

t1(y(' 0,14). r =: (y(1)=0,14). x=1 )= e e

l1

' :1 '

' , i ,

lim. ÿ= tga= lim lim. e1"r(1st" 11-:+)= 2)=1a=45° l* a=450 (y=x) rya= !' = lim

x-->o+ x-40 x-)0 .r-+o+

!

I

,i

!

1

Irt-G* 1 e/nx tgß= hm tg?= y'= lim lim !'= lim ei"C(1et'*(l-t't 2 )= )- lim Um e"C1i*:.--0+p=g =0 ß=0 rtn'r - lim x-,1x-41.t-+/.u-+lln' xx x-g,r-+/.r-+F ln In x-a/ln' x Konveksnost, konkavnost i prevojne taCke

t

y"=einx ,,t=oln-r,tZ-t.ll.( -t ) (1 ' -12 x. Inlnz x' '

t

J-

) -e/1+r -(1n2 x-1)+21nx -(ln2x-t)+2tnx xIn;xx xln4x x.ln4 x

t= tteln.r.Lzalnt.2 1 )+e/nx lnz In2 x' x.ln3

I elnx elnt 2 -"-"--'--:= '(-lnz ( ln x+21nx+1) x+ 2lnx+ 1) = x.ln44 xx xln

I

,

In ln' x

-In2x+2lnx+1=0, x+2lnx+l=0, -rn2

et--.47 Inx=t, lnx=t, -t2 +2t+l=0 a t1,2=1±15 tt,z=ltJi q a x1= xt=/*0 -t2+2t+1=0 e1+43. , xz=/-fi

-

rytnxJw' + + ++

--- ++++++ ++

+ ++

++

Ó

i++++++'

ffi-lnzx+2lu+t y" y' > 0 0 za ( x2, 1) za x e (x2, v (/,xr) (1, x1) funkcija je konveksna I )w y" y'
t

(e1+45,y(e1 + .5)) Tacke Tadke ("'*fi,y(rt*O prevojne tadke tacke funkcije ,y(e1 -12-)) ,u su prevojne (y(x,)=17, funkcije (y(xi)=17, ll i, (e11st-J7,y1et-f)/ y(x2) 0,06). = y(x2)

:

I

I

I

I

I

I I

,/ PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor I

Ispitivanje Ispitivanje funkcija funkcija

66

Grafik funkcije

) t7,u)

_*,

1l

t: 9. 9.

Detaljno Detaljno ispitati ii nacrtati grafike funkcija x nalaienja (bez g(x) = 3 ex -x ex -3 ii f(x) = @eznalaZerfa s(x)=3.e" -x.e"

fln=#i ex

.

-I

fIlx)\. "(x) ).

g(x)=3ex-xex-3 g(x)=3.e'* -x.e'' -3 Nule funkcije

Domen

D:xe D:xeRR

g(x)=3eY-xex-3=0 g(x)=3.e'' -x'e'' -3=0) x=0

jo5 neku = 0 . Da li li funkcija funkcija ima ima jo§ neku nulu za xx=0.Da nulu za ima jednu nulu Odigledno da funkcija ima Odigledno da funkcije. ispitivanja na osnovu daljeg ispitivanja zakljudidemo zakljudiiemo Asimptote Asimptote

Funkcija nema nema vertikalnu asimptotu. hm lim lim(3.e'' -x'"'-3)= lim lim g(x)= lim(3ex-xex-3)= -r+6

=

ex(3-x)-3=-00 e'"(3-x)-3=* +-. asimptotu kada kada x -4 funkcija nema nema horizontalnu horizontalnu asimptotu -rJ6

.



67

hm g(x) = lim (3ex -xe'-3)=3 - xex - 3) = 3 lik lim ex'' -- lim -3 =- .r->-ao hm 3 - lim ex -3 = -3 !gs(*t=.!iy*(3r'' .rte .r-,-eo 1,:"__l-s= x-4-oo _!y*-s=.r-3-** .tiy_r. -3=-3 e e

:> prava y == -3 kad x --> -3 je horizontalna asimptota funkcije kad -co .. -) .* e 33.e'' ml = mt = lim Y

r-+e

-x e-3 -x.e* -3 = C

lim(3.e* lim(3 ex -ex lime*(2-x)=* = x,r-r@ ex(2-x)=-. -e* -xex)= -x.e*)= lim

X

+ funkcija nema kosu asimptotu asimptotu kada kada xx -4 + -. .

x-9. J-ro

Monotonost Monotonost i ekstremne ekstremne vrednosti wednosti

g'()c)=3'e* g(x)=3ex -ex -e* -xex -x.et =ex(2-x) =e*(2-x) > g'(x) 0 x) (*,2) 0 za za x xe E (-00, 2) funkcija raste 8'( g'(x)<0 g'(x) < 0 za za xxe(2,*) E (2, funkcijaopada funkcija opada Funkcija ima maksimum maksimum g(2) g(2) za x = 2 ( g(2) =2 Se) == 4,39). Konkavnost, konveksnost Konkavnost, konveksnost i prevojne take taike

.)

g'( x) = g''( = e"`(2 e-' 12 -x)+ex(-1) (I e* (1- x 1+ e-' (-l ) == ex - x)

g'( x) > 0 g''( (*,+l) funkcija 0 za za Xx Ee (-00,+1) funkcija je konveksna g'(x) g''( x) <0 < 0 za (,1,*) za xxeE (1, 00) funkcija funkcija je konkavna konkavna (l,S(I)) Tadka (l, Taka g(1)) je prevojna tacka tadka funkcije funkcij e ( S(l) g(1) = 2,44 2,44). ).

Grafik funkcije

Sa grafika funkcije se vidi da funkcija joi jednu nulu .r funkcija g(x) g(x,) ima jog x = = numeri6ki odrediti). numeridki

A (broj A se mole A moZe


Ispitivanjefunkcija

68

x . f(x)= f(x)=;_

\e -I

Domen Domen

e'-l*0ee'*l<=+x+0 ex- 1 #Ot=e'` #1e=>x #0 \ {0}) D: xE xe RRUo

Asimptote x hmL= ex -1

lim

x-+ot x--,ot

=

? Jt

,-' -

*-.,tlr 1t (ex x-÷ot

1

1{"'

'

3 (ex -1)2 I : =0 lim =lim I x-)ot x'+o* ex ? ex -1) -t) 3t '"* .

1

lim = lim

vertikalnu asimptotu. nema vertikalnu funkcija nema ^l

33(ex-1) --l) 3.il(ex_1)2 r". aV = lim r.*3'1@* lim x-w3 .t-)d ee'' ;; Ver / .r+€ e'* ex x'41;7-1 -

tim4= r,*t' I.

s'e'' ?ex

fimL=0-0 x" '-- {e'' - /

= lim

+*'... kada x -, jehorizontalna :+ prava = 0 je horizontalna asimptota kada prava y =0

2

3

kada x -) .* /im -:I= - e ? funkcija nema horizontalnu asimptotu kada nm c'-3ex-I ''* 4lr* - I

'

x.f

m.=

lim m2t = lim

1-*--co

f(x) f(x) X .t

{74 x x_ e

3

-

= lim ,r* --» .,.t-+*

lim

X

1

ex

-1

-

1

i

a

,4 _1(e._1) 3e.r 3e.'

I

1) + (e -l)a -. 1l+(e''

!y---= ;

X ) = lim 1 + lim x(1 x11+51= + x) = lim timF++il-n.= Y.lle* x-' x-->-o0 3 ex .rr-* ..-* 1lr, _I _l ex -1

n2 = lim (

3

1

-l) -*k. 3

rh :9---= -7 x2 1

--x2

x

2 2lr=-4 x2 *'r=te'=0 tim ex =0 ti* -J-=l =2 lim lim nm 2x = ,,* - 3 A-1-.0 = 1 lim =`33 iL lim *'r'=1 x2ex u^ ' x.* 3 ,-'-e-' 3r x-+-e-x x-)--0. 3 ;3L e-x ,':*" --e-' 3x-s--=_e::::-ffi]-i e-' -L=! kada 'rx + € ' = -x je kosa asimptota funkcije kada prava y! = prava

x2ex lim =:= fi* x-i- 3-;'(ex _1)4

1

1

=

vrednosti Monotonost i ekstremne vrednosti Monotonost

-, (e(e'' -1)t)2 -

1 ex-1-x3 ttu -t +.

3

*) = f,(x)f'(

3

x1

ex

2

V(ex _1)2

-3-xe't == 3ex -3-xex -3e'' 3.4[te'-tf 3'41(ex -1)4

g(x)

3y(ex -1)4

funkcija funkcija raste za xxeE (0, A) f'(x) f'(x)>> 00 za (A,*) 0.0) funkcija opada (*,0)w 0) v (A, E (-co, za xxe f(x)<0 f'(x) <0 za =A za xx=A. f(A) za maksimum f(A) imamaksimum Funkcija f(x) f (x) ima .

0. tadki .rx == O. Prvi izvod nije definisan u tacki


Ispitivanje funkcija Ispitivaniefunkcija

69

-3-xe` -3-x.e* 4 á .r-+0+ .r-+0+ _C->0+ -r+03 (ex -1); 3.(e* -1f tgß= lim lim f'(x)=-... tBF= ß=B=-L f'(*)=< 3 ,2 lim f'(x)= g f .(x)= tga= lim

lim li*

3ee 3e"r

.

r-)0-r-+0-

e'"(2-xr) e`(2-x) =+ =+* !+o+ .x->0+ f 4(er 4(e'` -1);e` - 11s ,''

= lim lim .r

)

E ir Q-a=2

2

-=

Grafik funkcije

In x + n.l=mlffil In x -1

1

10. Detaljno ispitati ii nacrtati grafik 10. Detaljno grafik funkcije funkcije f(x) = In

Domen

xl-1 0 tnlxl-t*o

In)

xi* € lnItnlxl*1 t=>

in! x1+1 0 tnlxl+t*0

1

xl#e e x#-±e :'t*s l*l*"

Ixl*é l*l+"-t

<=>

1

D: D j R\-e,-1 R\{-e,-

a

<=>

xl *-1 e lnltnlxl*-I

<=>

x)e *00

±e -1

x*!e-t

e,1-}

0, e ",:} :,r, e)JJ)

Parnost ii neparnost funkcije (simetri6na uu odnosu odnosu na yff(-x) == f(x) f (x) = funkcija je parna. Kako je funkcija parna (simetridna osu) dovoljno je posmatrati posmatrati funkciju samo za > x 0 . > . za 0 Nule funkcije funkci.ie ln x + 1 ln x+1 (x)=,,|*l=r*l#l=, f (x)In =0t=> ln x-1 ln x-1 i

L* Fr

r

t

lnx+1lr*tl __l Z\ ' Inx-1 lnx-l

lnx+1 lnx+l _, 1) ' lnx-1 lnx-l lnx+1=lnx-1 lnx+l=lnx*l <=> e 1=-1 I=-l

Inx+1=-Inx+1 lnx+1=-lnx*l t=> a 21nx=0 2lnx-0 <=> e x=1 x-l

Asimptote

lnx+1 !!i:!l=

lnx+1 tn x + t h l= ht=o =1n1=0 x-1 1,.-+a*llnx-l ln x-1 lnx-l x-0+ .r-+o+ | ln lim trm in hl

= ln lim um I .. ->0+

I

i

Y


Ispitivanje Ispitivanie funkcija .funkcija

70

lim.

!n x + ! i"vertikalna -00 * prava .rx=-/ lnl+41 je vertikalna asimptota funkcije. = lnx-1 = = ' ee' 1

*-!* llnx-ll lnx+1 prava .rx =e = = e je vertikalna asimptota funkcije. uminnlryl lim .-"t lnx-1 = - = llnx-ll

+

e-e-

In x+1!-l= funkcije. lim =o horizontalna asimptota funkcije. li* Inlzl!!'.+ =0 jejehorizontalna = prava yy =0 r+@ llnx-ll lnx-1

Funkcija nema kosu asimptotu.

f(x)=ln

lnx+1

lnx-1

+++++++++++

tnx+l

o b

+ ++

++

]nx lm-l1

o 0il

+++++ ++++++ ++++++i---------i+++++ e 0 0le

lnx+1 b*+1 tnxJ]nx-1

1

e

f-nlnx+l tnx+l xe (0,- -)U(e, I *1 1 00) lln-? , xe(0 =)w(e, lnx-1 I tnx-t

e

'

(x)=1 f (x)= Ilnln-lnx+1 tnx+t,

I e) (-,e) xe (-/ ,

1-lnx I L-lnx I

e

vrednosti Monotonost i ekstremne vrednosti Monotonost

, :)w(e, (0, 1) v (e, xee (0,

X

e

. . (x)= (x) fI^,.

-)

00)

lgn*-l)-(lnx+l).! -2 x-1 x(Inx-1)-(lnx+1) lnx-l z _--_xx -22

2

In

lnx+1 tnx+ I

x-l) x(ln2 x-1)

(ln xx-1)2 - t)2

x(ln 2

ln 2 x) x(1x(l-lnz x)

+++++++++++

lnx+1

0

Ei ++++++++++++ i-------- 1l-lu -lnx

o

f'(x)

/Ie

o0

e

I

0 za za xe x e (0,L)w1e,-1 (0,1) v (e,00) f'(x) <<0 ee

opada funkcija opada

Funkcija nema ekstremnih ekstremnih vrednosti. tg a= lim tga= lim

2?-t-2

--a-=2 .rn+ x(1 -ln' .r-+tt+ x(l - ln2 x) x)

z=

x-1-- -2 lim -.x -1 -' -2 ; = ltm nm _=2 lim -x t -Y->+ *-o+ ln x .Y->n+ 1.r--+0+ -21n x.r-+0+ l-ln'In' xx .Y->n+ -21n* -1

= 2 lim hm x

x


Ispitivanje Ispitivanjefunkcija funkcija

71 7l

-. -x - 2 = lim -. II llm --=-00 -- =< r+o+ 1I .r-+o+ xx x-)0+ x->(l+ ;x 1 (l,e) XE xe(-,e) -x = hlfl := = lim e

3

tt d=-a=-2

I

1t -tn*1+(lnx+ t)'! 1-lnx x'(1-lnx)+(lnx+1) x=- 2 frrr.r=I-lnx.x' fr (x) ''Y' hx+l (t-lnx)z x(1-ln2x) x(t-ln2 x) (1-lnx)2 ,

I

(:, e)e/ funkcija raste. Funkcija nema ekstremnih ekstremnih vrednosti. f'(x) za XE xe (1, f'(x)>> 00 za e Konveksnost, konkavnost i prevojne take taike

?,, \_ rJt^r-.f"(x) '"'

rL

1xx)J

-2[1-1n2 x+x1-ztnx1'!] -zlt-m' x+x(-2lnx) '

_

x+21nx-1) 2(ln2 20n2x+2lnx-l) x)2

x2(1-1n2 x)2 x2(1-1n2 *'1l-lr2*12 *2 1l-ln2*1' ln2 x+ x+2lnx-1=0, ln x = t, t2+2t-1=0 2 ln x - I =0, lnx=t, t2 + 2t - I =0 e tt.z = -l lJ|,

+++++++++++++ + ++

++

2, s-t-J',

x1 x1 =e-1=

x2 x2 =e-1+.7 =

"-t+Ji

lnx-lnx,

1nx-lnx,

x2

x,

je konveksna funkcija f"(x) > 0 za E (0,x1)w(x2,e)v(e,*) (0, x/ ) u (x2, e) u (e, .) funkcijajekonveksna za xxe f'(x)>0 " je konkavna (xl,-)1 u(-1 x2) funkcija za X funkcijajekonkavna ff'(x)<0 (x) <0 za xe (r,,!)v(!,"r) eee e (x2)--. 0,87 ). (xt,f(xrD (x2,f(x2l Tacke (xi, f(xl )) ii (x2, prevojne take funkcije ( f (xl ) _ -0,88, f Tadke suprevojnetadkefunkcije(f(xt)=4,88, f (x2 )) su f(xz)=0,87). ,

Grafik funkcije funkcije


72 72

Diferencijabilnost funkcije Diferencijabilnost funkcije

Diferencijabilnost Diferencij abilnost funkcije

f

Funkcija / je diferencijabilna nad izvodza nad otvorenim otvorenim skupom D ako postoji izvod za svako xe x E D .. Ako je funkcija diferencijabilna diferencijabilna u taEki tacki (nad skupom D) neprekidna u toj tadki D) onda je ii neprekidna tacki (nad skupom D). Obrnuto (nad Obrnuto nije uvek tadno. tacno.

l.1.

funkcije f(9 f(x) = Date su funkcije

lxx+x2cos' I , xx*o0 + x'cos-

l-2

A I a

x 3 cos- ,x#0 -+x rr@)-[,o*rtros'!-,x*o g(x) = 2 x ,x=0 ,x=o ,x=0, I rB ,x=0.

x '

i

je I@) a) Odrediti Odrediti A i B tako da funkcije ii pokazati da Jje a) ' = l = S'tOl J budu neprekidne P P f('0)=g(o)=2 |. je g'(x) b) Pokazati da je b) za x = O. g'(x) neprekidna funkcija, a da da f(x) ima prekid za 0. g(x) monotone? c) postoje okoline kojima su su funkcij funkcijee f(x) u kojima c) Da Da lili postoje okoline tacke taike x ==00 u f(x) ii g(x) I1 ). (Posmatratinizove (Posmatrati { b.} date sa nizove {o,}i ibb.an } i {a,}aate an = 1 saan=--f'"=Tl2ro)' 37t -+2nr -+2n7r 2 i+2nz {

i

',

!

'

2

a) a) '

A=Ic o(2+x2cos)=0, B= B=smc(2+xjcosX)=0 A= lim(4+x'ror!)=0, tim(1*rt ror!)=0 x--+0'

2

x'

x-+0'

+

2

X

f'(x) ==|+ 2*ror!+ 2x cos-1 sin 1, za x# 0, g'(x) ror!+ s*'2 COS-1 os = 3x os x+ xrrin!,za sin-1 , za x #*00 rin!,za x *0, 7!x1 {(*) =l+ 2+

ó f'(x) ltnf'Gl

X

2+

I pa. zato po definiciji trazimo l!!6sin1*, zato po traZimo izvod u msinl, pa

jer ne ne postoji, jer ne postoji postoji ne

r=o'

tacki tadki x = 0

.

dx ,+nrrorJ--o + dx cos- 0

j::,W-f( I!,#

f(0)=áTmof( r'(o) =

0+ dx

2

0 )=dimo 2 =

|

1

1 =limo(l+dxcos-)=! = jj\,ri * d* "o'ft =

dx

I' I g'(0) = tim m g(x) g'(o)= + x sin ) = s'G)== llim(!+3x',or!**r; xx-+o ó(! + 3x2 cos -1-+ x-to'2 'n;)=12 , b) Kako je g'(0) = = l g(x) b) Kakoje g'(x) neprekidna za za x =0 tr^^{t*1, to je funkcija funkcija g'(x) ó X

,

f

lim (x) = t,*^(l+zr*r!+rn!-7 tim + 2x cos 1 + sin 1) xo !lyof'@= X->o (12 x x f'(x) nije neprekidna za x =0 nijeneprekidna za x=0. f'(x)

ne jer ne postoji ne postoji ne postoji, jer

..

lim. sin 1, + funkcija funkcija !:{bt,r*,

.

c)

c)

Funkcija g(x) g'(x) jeieneprekidna neprekidna za =0 za xx=0 u kojoj je je

limb k4

q

,

g(x) > 0 , tj. okolina uu kojoj g(x) monotono raste. funkcija g(x) kojojfunkcija raste. S'@>0,ti.

je da Ocigledno Odigledno je da su su svi svi clanovi dlanovi nizova nizova n.«.

g'(0)=lrO,papostojiokolina 2 >0 pa postoji okolina tacke i g'(0)= =0 tadke xx=0

i

pozitivni je pozitivni ii da an ii {{O^} bn da je {o,I

{

}

}

lim liman=6 an =0

i

i

=0. =o '

f(an)=-1--+ + 2an 2, n cosro, L + sin-rind = f'(

*2

an

an

=1 + = -

i2

-+

-

3 2 cos( a 2n7r) 2no) + sin( sin(! + 2n7t) 2 nr) = = > 0o . 2 2 U +_ 2n7í r,*cos(L2 22

l,


' l

Diferencijabilnost funkcije

73

-

f'(b ror{*+ sin2b cos rin{ == 1 + 3n 2 cos( 3n +* 2nn) + rt4lLa sin( 3n + 2nn) _= -1 < 0o f'(b, )) =1 = + za, -*. 2 l+ bn bn :.2 t;rortL 2 2 2 + 2nn

..

2

u svakoj okolini tacke U je I'(x)>0 tadke x=0 posroje take x=0 postoje tadke uu kojima je je f'(x) > 0 ii tadke tacke u kojima je pa ne postoji nijedna f(x)
f

3+x 13

x)0. ,, x>0.

sin7x 7x

Odrediti A A ii BB tako tako da da funkcija bude diferencijabilna za je funkcija za svako svako X. r. Da Da lili je rastuca uu taCki rastuia taCki x == 0O?? Da li je funkcija monotona monotona u nekoj okolini tacke taCke x = = 00?? Da bi bi funkcija Da bila diferencijabilna, mora funkcija bila biti neprekidna uu taCki mora biti tadki x=0 x = 0 ii mora postojati f'(0). t(0). tim (!+ *2 ,in!1= Ip) Ym (3+x2sinx)=f(0) .r-+o*'3 7x (l+ *' ,ro{1=0, f(0)=B lim (x+x2sinl)=0, B =0 f (0)= B = B=O .Y-40' .r+o'' 3J 7 x' 7x x) = f(x) f'(

e

I

A

rin!* 1 *r --ror],.!c41, 11(Z) 7x 7x+x2cos 7x 7' 7x 7

z* I 1 +2xsin

l+ 3 L;

,

x2 x

e

I

,x<0 ,x
A

17x

x>o x>0

,x<-0 ,x3o

f'(*) = 1!* f'(x)= 1 +2xsinl--cos z*rirl _!"orL . x>0 x>o 3 7x [J7x77x

7

,

f(0)= f'(o) = A lim lim

1 '(x)= lim ff'(x)= tim (l+Z*rir!-lrrrl) (-+2xsin---cos-) 33 7x 7x 7 7x 1

-r-+o+

.Y->o+

lim ->n+ .rly;,,

f'(x) f'(x)

1

1

7

,t+o+ .Y-)o+

7x

ne postoji, jer ne ne ne postoji postoji tim /im .Y-40+

pa zato cosdesni izvod uu tadki cosl, pa zatodesni tacki xx=0 = 7x ,

O

trazimo po definiciji traZimo

+(dx) sine tin* f(0* + al)-f(o* ) fim 3 *+t*1.'? f'(0+ ))= = lim lim f(0++dx)-f(0) lim f,(0* =*-o* QX Ax Ax dY->0+ At--+o+ dY->O+ 1 (l +axsin II )_= lim lim (-+dxsin )=l A=l = = dY-,o' 3 Ar+0*'3 7dx 7Ax' 33 3 =1 . f'(0) je rastuca u tacki xr=0 + funkcija funkcijajerastucautaEki =0 f'(0)=Lr0 3 1 . XE y'1x1=!>o (-e,ol+ r(x)=.r'€ (-E,0] '3 >0 dx

2

1

=

.

3

1 =l+z*rn!-!ror!>!-2, -!

1 4 xE e)= f'(x)= -,'€ (0, e) -1 -2e-1 =L-2r, -2E>00 f'(x) 1 +2xsin - I cos 7x 77 7x 7x 7x 33 77 21 21 dovoljno dovoljnomaloe>o3. malo E > 03.

za za

svako


D ifere ncii abilnost funkr i i e Diferencijabilnostfunkcije

74

f

je monotono rastuia rastuca jer funkcija/je taEke x.r == 00 funkcija Dakle, u svakoj dovoljno maloj okolini take je f/(x)>0 xe(-e,e). je za za f'(x)>0 ,, x>0 x)o I L**trin| 14x' jefunkcija ,, x=0 funkcija f(x)_ 3. 3. Data je l@=1 ,", g*ril'+ax+B,x1o. +Ax+B , x<0. It (1+ex)x

tatki x == 0 funkcija bude diferencijabilna u taCki konstante A, B iC i C tako da funkcija a) Odrediti konstante take x = 0 koristedj nizove taCke u okolini okolini u nije monotona b) Pokazati Pokazati da da funkcija f(x) = ,, koristeci /(x) nije monotona 1 I .I %=Wr4=@. a" 2ng b" (2n + 1)7c

a) b)

..

1

= 0 ii = 0 , mora biti neprekidna u taki xx=0 a) Dabifunkcijabiladiferencijabilnautadki Da bi funkcija bila diferencijabilna u taki xr=0,morabitineprekidnautadki a) postojati mora postoj ati PO). f'(0) .

I

LL

i

+x;sin liml I* r' r,r4'l J.. + Ax+81 = (1+e; )r +Ax+B liml (l+e* C = Urn C= =,,*[ xx" ) x-)o 44 ..-0.[ Y->o .r-+oI 1

1

rr

1/r

! /Ix.11x ri^'"' .-r,-o-"-tt'! 1.",,, tt.* lim ll.r =e,lim,,. !*e!lir =ex-.o,,*e

!!! !

lim lim

r-r0-

-

-

+

[

1

( l+e., )" (l+e'' )* = lim (1+ex)e (1+ex)x .. eNx llt lim

I

Um timl x->o ,t-r0- |

enA

=e"

=l

t-L 1

z

x -t11lx2

1/x =g'-i-r-"''ll-r2X2 -

= =e'4-'*

-r-+0-

= .r-o0 =e 't'0

l

r

+x;sin

L

4

2x 1=0 l=r*r, *--+o*l4)+ t,i,\f=o

1

lim (t+e* (1+ex)x+Ax+B )'' +Ax+B =1+B, ri*-l

I

L

C=1+B=0C=0 C=l+B=0+C=0

x->o

B=-1 B=-l

ii

x<0

II

1

!

Tada je f'(x)=g'(x)+A. (1+ex +el )x Nekaje Nekaje f(x)=g(x)+Ax+B,gdeje )i ..Tadaje f'(*)= 8'(x)+ A. e(x)=(1 f(x)= g(x)+ Ax+8, gde ie g(x)= g(x) se trai logaritamskog izvoda. traZi korigcenjem kori5ienjem logaritamskog Izvod funkcije funkcije g(x)

!

ln(l+e't In(1 + e-C )) g(x) ==:_-jlng(x) In x x

1

1

l!,t 1

ex (- 2)x-In(l+ex- ) t'"-'F+)'x-ln(l+e*) x

! 1

j-ry -!-.g'(-r)=*=--_" g(x) x_ *r(t+";) 1

g( x x)

S(x) =

1+er

=

x2

| ex! x) = _ -S(x) S(x) -st*).1 -4 t.xl

1

1

x;(1+ex)

x2

^

1l 1

1

s'

!

ln(1+ex- )

ex

(

1

* +

x(1+e`) e* 1 lx'11+

ln(1+ex) ln( I +-e' ) X

2

|

I


D ifere ncij abilnost funkcije Diferencijabilnost fankcii e

75

I

L

.

1l

1

1

g'(*)++ A=-g(x).1'., f'(x) A = -g(x) *ln(t f'(*)== g'(x) e

+-e' In(1 Ze'`

r

' x;(1+eY) l*t1t*r;1

X2

ftll

1

)l* o )+A

l

1

ln(1 ZeC ))+A 1+ el. ". . *tn(l+rej xx" rt; 1t + 1 x(1+eC) l "tr

lim - g(x)( f'(0-) = r,*lf'(0- )= 11*11 r-'o-L

i!t

e ex

)

1

ex

.

j,

ex x-2 x -3x -1*-' == li* tr*1= lim4=4 lim_ lim_ x-2 =-3 lim = fi* lim_ x-; = lim_ 11* -3,x-4 = lim -2x-; , = .r4)-X'' =-33 x-0 = J J J J 1I .r--+0xo 2.."i 1t = xo *-;11.r4gx-a0 x0 = 1 1 x-0 .r-+0x? I -r-+O-x (1+ ex ) x''(l+s*) ee-t e-r ex x e,*a xZ e-r ,*+ lim_

1

q

=6 =6

x2

x

x4=a -I

2

trm -f =-6 =6 lim rim Jim ex =O. =4 x-)0x-ao"I =0. x-+0-t.r-*'Jlx+0x-o- *:;1 e e.\ e e x x2 Jim rim

-2

-

-C

/

:'!,

!1

1

---T'e1

F3) xz)

!

eC(

1

1

!*a?=ls#=-l!*-?=o lim

In(1+e-

xo-

r

x2

je Sledi Siedi da je

lim 1+e.r

)

x-->e-

=

2x

1

lim e-? = 0.

2 x--0- x

f'(0-) f'(0- ) = A . .

x>0

(-

2+xcos 2 )=4+3x2sin sx2 srn\+ *' ."or\.{-41--4* -2cos r*2 ,in)-zror\ f'(*)=!* 4vxx4x'x f'(x)=4+3x2sin

Jim

r

f'(x) ne postoji, jer ne postoji ne postoji

x->o+ .,ly;*f'(x)

Um

pa zato zato po definiciji tralimo cos-T, pa traZimo desni

:g,rî,x ax+(z1x); ...?sin. t 12

.r.--)o+

izvodutadkix=o'

izvod u tadki x = O.

f,(o*)=]3_W=|:1,#= f'(0+) =

lim .f(o+

+`dx)-.f(0+) = lim

dr-40+

dx

dr -*0+

l r1=!1 lim(1 lim t4+tdrl'zrin +6%1,02 sin =4v-+0 Lk 12 4 4 ar-+o+ Ax' ) = 4

=

1 A= f'(0-) f'(0- )== f'(0+ f'(0* )* O=*

b) b)

je da da su Odigledno Odigledno je su svi nizova svi Clanovi dlanovi nizova

je lim pozitivni ii da bn } pozitivni da je an =0 liman=g {o,} i {U,} n

ii

lim =0 =0. n!i*b, bn

.

1 2 f(an)=so', sin rin \ -2 ro,\ f' ) = ! + 3an - zcos 1

(

an

4+

n

1

an

1

=

4+ * i*

3

-

7 ! - 2 ==--2 .0 = -Z <0 4

sin t,n 2nî 2nx - 2cos2nî 2 cos2rr =

1


F

Dif'erencijabilnost D ifere nc i i ab i I nos t funkcije funkc i i e

76

3 I +2 >0 t)n-2cosQn+ l)n= 1 +2=-9 u0 f'(bn)=-+ -2cos =1I +* 3 sin(2n+ sin(2n+1)7t-2cos(2n+1)7t= rinl-2"orj^= !f'(b-)=!+sul '\ 't' 44 3b2"" sin 4 4 =94 bñ 4 Qn+l)n (2n + 1)1t br^ bñ hr^ 4 tadaka u kojima je je f(x)<0 tadke x =0 Ovim smo pokazali da uu svakoj svakoj okolini taeke = 0 ima tacaka f'(x) <0 ii

1

je tacaka u kojima je tadaka

4.

4.

1

pafunkcija tadke x .r =0 f'(x) funkcija f(x) =0. f'(x)>> 00 pa f (x) nije monotona u okolini tacke .

z

2x2 {' (x -1)sin - l)sin! + x t x #* 0

= Data Data je funkcija funkcija f(x) 1t1={2*'

I

o'

x=0. 'x=o'

,

0

postoji okolina tacke x=0 x=0 u Pokazati da R. Da Da lili postoji okolina taike Pokazati za svako xe R. je f(x) svako xE daie l@) diferencijabilna za kojoj je funkcija f(x) = nizove an o^=* flx) monotona (posmatrati nizove

21

je f(x)=2(3x2 Za # 0 je Za xx*0 f'(x)=2(3x2

-2x) sin 1 -2(x -1) cos -1 + 1. -2x).stn!-2(x-l)'rrr!*/. x x xx

/

* 0 . Kako x #0. /im costo Kako trm to cos! ne postoji x-ao x-tO

xX

ii b^= bn (2n+1)n)? ,fu)? Ovaj izraz postoji za ovaj izraz za svako

primenom definicije naii primenom f'(0) f'(0) moramo nati

Î () - Î f,(o)=I\,ryg=i:r,%= f'(0)=

ámo

2(dx)2 (dx -1) sin

(o) =

dx

dx

áx mo

(2Ax(Lr -1) = m. o(2dx(dx sin4++ l)I)== = lztim - t ). sin

Ax--+0' postoji Kako ii f'(0) f'(0) postoji

AX

+ dx

I. t.

xE R (x) je diferencijabilna diferencijabilna za svako xe + ff(x)

..

(x) monotona je ff(x) monotona posmatramo Da bi ispitali da li postoji okolina tacke tadke x =0 = 0 u kojoj ie I 1 nizove sa opstim clanovima an op5tim dlanovima o^ ==;l i U, n=@' "

Znfi 2nr

(2n+1)r se nalazi beskonacno x =0 se lim an =0 , lim bn =0 , pa u svakoj okolini tacke tadke .r=0 beskonadno mnogo n->00 !i!*o.=O, n->0. !!!*bn=O,p2

61anova dlanova ova dva niza. 3 nE N 3 -+>>0 svako ne n)sin2nr -2(2nr r(#-!)r,nrr, Ucos2nn + I = 3-zffi--1)cos2n2r+1= n 0 za svako 1

f'(an) f'(an) == 2(4n2r2

2

f (bn ) = -1 + (2n + 1)7r <0 ,

1

1

,

za svako n E N

.

je f(x) svakoj okolini taEke take x= beskonacno mnogo tadaka uu kojima je > 0 ii 0 ima U svakoj mnogo taeaka x=0 ima beskonadno f'(x)>O pa ne postoji okolina take beskonacno mnogo tacaka beskonadno tadke x =0 tadaka uu kojima je =0 u ie f'(x) <<00 ,, pa kojoj je f(x) kojojje /(x) monotona.


..

di.ferenciialnog Osnovne teoreme diferencijalnog

raduna raiuna

77

RAEUNA DIFERENCIJALNOG RACUNA TEOREME DIFERENCIJALNOG OSNOVNE TEOREME Rolova Rol.ova teorema A], ima izvod nad zatvorenim intervalom [a, neprekidna nad zatvorenim [a, b] -> R R neprekidna [4, 14, Ako je funkcija f ::la,bl+ E (a, b) , bar jedna tacka 6e(a,b), je postoji tada (b) , f (a,b) ako je f(a)= b) iiako intervalom (a, otvorenim otvorenimintervalom f(a)=f(b),tadapostojibarjednalalka je f'()=0 takva da je f'(€)=0..

1. 1.

+R f/ .'R :R->R

je Neka Neka je

da je osobinom da sa osobinom funkcija, sa puta diferencijabilna diferencijabilna funkcija, dva dva puta za xe xe(a,b)(a,b). f'(b)=0 ii f(x)#0 f(a)= lk)*o za f(a)--f(b)=o (a,b). b) Dokazati da je intervalu (a, ima najvi5e jednu nulu uu intervalu najvise funkcija da Dokazati a) Dokazati a) / b]. opadajuéa nad intervalom [a, monotono opadajuda rastuda ili monotono monotono rastuéa fa,bl. funkcija / monotono b) ' intervalu (a, D) resenje u intervalu jednatina l'@) "(x) = 0 ima bar jedno re5enje b) Dokazati da jednacina b) =0

f

f

.

f

.

f

ti- da (a, b) , tj. intervalu (a,b), nule uu intervalu dve nule ima dve funkcija / ima da funkcija suplotno da a) Pretpostavidemo suprotno a) Pretpostaviiemo teoreme osnovu Rolove Rolove na osnovu na Tada Tada f(c) = f(d)=0 . (a,D/ da je b) tako tako da postoje c,de postoje c, d e (a, ie f(c)=f(d)=0. sa uslovom zadatka "sto je kontradikcija sa (a,b) (c,d) je c (a, tako da b) postoji postoji 6 eE (c, d) ie f'(€) = 0 ,, sto najvi5e jednu nulu uu intervalu moLe da ima najvik funkcija f moze (a, b) . Dakle, Daklq funkcija za x Ee (a,b) f(x) * 0 za f'( x) *0 0 ne menja znak, ili f'(x) < 0,, tj. prvi izvod ne (a, b) je (a,b) intervalu (a,b) . Dakle, u intervalu (a, b) .Daklq f'(x)>> 00 ili ie f'(x) pokaZemo da opadajuia. Ostaje da pokazemo rastuda ili monotono opadajuéa. pa je funkcija / monotono rastuia je rastuda, rastuia, funkcija monotono funkcija / sludaj da vali ii na krajevima intervala. Uzmimo slucaj to vaZi E (a, b) svako xxe(a,b)(a) >_ (x) za svako je f(a)>f(x) daie (a,b).Pretpostavimo b) . Pretpostavimo da svako xxee (a, tj. > 0 za zasvako tj. f'(x) f'(x)>0 (o,x) postoji €ee (a, x) takvo da je je f(a). (x) onda, (a)= f (x) na osnovu Rolove teoreme, postoji otda, na Ako je .

f'()= f

f

f

f

f

.

f f funkcije f/ ,, je ff(a)> (x) tada, (a) > f tada, zbog neprekidnosti funkcije nemoguie. Ako je 5ro je nemogude. f'()=0 f (x) f'(€) =0 ,, sto je f()= tl Dakle da je takvo da e (a, x) takvo postoji (e(a,x) Ij > f(x) postoji 17, f(a)> za f(€)=rl'Dakle svako t?, za svako f(a)>t:.>I(x) (a,bl. rastuda u b) f intervalu jerjefunkcija je funkcija / rastuiauintervalu (a, < x , sto jenemoguie je nemogude jer f()> f(x) za za (f(x) (a,b). Slidno se dokazuje ii za drugu krajnju b) Slicno E (a, (x) za svako (a) < f svako xxe mora biti ff(a)< Znaci Znadimorabiti f (x) [a, b] intervala ala la,b): taéku interv tadku <_ b) (a,b) (x) za svako xx Ee (a, zasvako f(b) f f (b)< f(x) sto je nemoguce. nemoguie' 0 , Sto je f'()= daie E (x, b) takvo da f(b) f'(€) =0' f (b)== f(x) f(x)= postoji €e(x,b) je (x, b) takvo da je postoji postoji f (x) je f(b) x sto je nemogude. Sto jenemoguie' f(x) za za 6>x rl , tj. f()< f'()= fG)
.

.

:

fW) -0 f'G)=a.

.


78 78 2. 2.

Osnovne teoreme diferencijalnog di.ferenci.ialnog racuna raiuna

Pokazati Pokazati da da jednaiina jednacina acosnx+a_Icos(n-1)x+...+alcosx=0 a,rcosnx+ a,r-rcos(n- 7)x+...+ arcosx =0 ima ima bar bar jedno re5enje (0,r). intervalu (0, resenje u intervalu r) .

ñ

Funkcija F(x) Funkcija F(x) =larinw+fu1sin(n= sinnx+ñ_1sin(n-17 I )x+...+ apiruc zadovoljava zadovoljava uslove uslove Rolove (funkcija teoreme (funkcij je neprekidna nad teoreme a F(x) F(x) je nad intervalom intervalom [Ot [ 0,7r ], ], diferencijabilna nad intervalom (0,n) intervalom (0,7G) ii F(0)=F(n)=0) F(0) = F(la) = 0 ) odakle postoji odakle siedi sledi da da postoji €e(0,r) (O,10 za za koje koje je ( F'g) F' tj. a,cosnf = 0, 0 , tj. je acost4 ++ an_ a r_,cos(n icos(n -1g I + ... + +... =0 a pos( ito aico4 ,sto trebalo €) = i i dokazati. =0, - ){ Lagraniova teorema Lagranzova teorerna

je funkcija Ako je funkcija ff ::[a,bl+ [a, b] -> R R neprekidna nad nad zatvorenim intervalom intervalom [a, b] i iima ima izvod la,U] nad nad otvorenim otvorenim intervalom intervalom (a, (a,b), jedna tacka b) , tada tada postoji bar jedna postoji bar tadka €e(a,b) (a, b) takva takva da da je: f(b) (a)

-f ruffL=r,r€t. b-a =f,()

3.

3.

jx

1 16J' -9 jednaCin a 2rror!+ Pokazati da jednaCina 2xcos + sin sin!-, ima bar =1611 bar jedno resenje re5enje uu intervalu =t -g ima

x*

x

3344

2ir

(-,-) . (-1-) n n 7fE Funkcija F(x)= Funkcija F(x) = *' x2 COS-1 os 1 je neprekidna ,or! neprekidna nad interv intervalom *^l!_,!'1, -

rtr) ,-]

xx

g [-eLx

,

a diferencijabilna nad

intervalom (-3 ,-4 ) pa intervalom uslove Lagranlove Lagranlove teoreme, tj. postoji tj. postoji 4,11 pa zadovoljava uslove ir lfn ltr.

je takvo da je takvo

rfllF(-1)r1!1= r'GX!-3 F(-)=F'()(-4 --3 ). n1tftltfi n n 7I t.

(.E (-3 f7,a .E ,-4)I

r

a' lt

- - --_

--

4 3 16 v 9 ir 16 NE 9 1 16Nri -9 p'(€).!1 ptltF(F( -) =)- rrlt cos cos- = +9 --+t2 - t6J-2 :s = =F()'7t' = ir ir \,o,1-+,o,+ tr 3 2 ir2 tr' 44 jr2 /---3 nfi jr2 n2 2ír2 fi'2

16j -9 =lrr,,, =[2 cos

#

2n2

1

i

+ *,,, sin

r22

;l -*n = z€cos [ 1

1

2

1

cos

2712 16 .5 -9 1 +,in[ + sin = _

#

Koiijeva Kosijeva teorema

Ako su funkcije ff(x) (x) ii g(x) g(x,) neprekidne nad zatvorenim intervalom intervalom [a, D],, imaju izvode [a, b] nad nadotvorenimintervalom otvorenim intervalom (a, (a,b),izasvako je b) , i za svako xxe(a,b) E (a, b) je g'(x) g'(x)+0,tadapostojibar # 0 , tada postoji bar jedna f(b) f(a) f!€) . !!)- f(a! = .ft) tacka E (a,b), tadka ( e (a, b) , takva takva da aa je ie " g(b) g(b)-- g(a) s(a) c'(6)' 8W)


79

raduna te oreme diferencijalnog difere nc i i alno g, raiuna Osnovne O snov ne teoreme 4. 4.

x

funkcije Date su funkcije

2e g(x)== x --!++ 2arctgex zarcfge' . Naéi Nadi sve ii g(x) sa f(x) = x + arccos e2x f(x)=x+arcror#i /f ii gg sa 2 +1 .

g(x) . vaili f(x) realm realne brojeve x za koje vaii f(x)== g(x).

f'(x) =1 + f'(x)=1+

-1 -t 2ex f . k\,

2

x (ezr + 1) - 2ex 2e2_r 2e 2e*(e2'*+l)-2e'.2e2' (e2r+I)2 1e2'* + 112

_1_ -' '

*lt) !'-( ( e2x ""

e2x-1>0t=>e2i>1 -l>0e"" >I

"2''

2ex(e2'r 2e''(e2'' -1) -l)

_1I(e2.Y+1) lrr*-tlt"2. +t)

x>0 2x>0+x>0 => 2x>0 2xlne>In1=0 e a => 2xlne>lnl=0

2eY _(e`+1)2 x>0 1+ ?"' =(r'=*t)' .rro l,* +1

f'(x)=\,"A=ry-,..0 (ex -1)2 2ex -

f'(x) =

e2_r

e2_Y

e2i+1

1

e2r+1 x <0

e.Y=(e2.+1)2 s'(x)=t*2.fi."'=ff{ 12r +1 1+e

S(x)=1+2

e

g(p) neprekidne neprekidnezasvako za svako = g'(x) . Kako su funkcije f(u) vafii f'(x) Za svako x>0 x >0 vati Zasvako f(pl ii g(Ft) f'(*)=g'(x).Kakosufunkcije (0,x), to pe (0,x), to one one ispunjavaju postoji za svako /LE za svako pefO,xf prvi izvod ovih funkcija postoji izvod ovih e [0, x] ,, ii prvi ,u vaZi postoji 6e(0,x) takvo da (0, x) takvo da vai >0 postoji pa za svako xx>0 za svako teoreme, pa Kogijeve teoreme, uslove KoSijeve uslove

fV

f(x) f(x)-- f(o) - fl6) - g(0) 8g) g(x) s@-c@'7@ (0) = arccos l =0 l(0)=arccosl=0

f

| + 2arctst = -| f'(€)= s'G)+#=, g) =1 g

gBe ( 0)) = =0

-

f)

+

zf, = o

f(x) =1 f(x) = g(x) za svako x2o. x >_ 0 . =l=f(x)=g(x) zasvako g(x) c(x)

posmatramo funkciju za svako svako x <0 posmatramo (x) *# g(x) je ff(x) pokazali da da je bi pokazali Da Da bi S(x) za taCka a <0 <0 za za koju koju je je F(0) bi postojala tadka F(0)=0. Ako bi Ocigledno je (x) - s(x). g(x) . Odigledno F(x) = ff (x)F(x)= =0. Ako je =0. e (a, 0) , takvo takvo da da je FW) F'(t)=O. postoji (e(a,0), osnovu Rolove Rolove teoreme teoreme postoji F(a)=0, na ia osnovu F(a)*O, obzirom da je nemoguce, ss obzirom Medutim, Meilutim, ovo je nemoguie,

l)2--(e* + l)2 -4e` <0 F'(x)=f7x)-S(x)=(e`-1)2_(e.r+1)2 F'(x1= f'(x)- g'(x)-k' =e2i+1 ,!".+l1.0 +l e2x+1 "''' svako x<0. x < 0 "2'' g(x) za zasvako f(x) f(x)*# g(x)

za

svako svako

x<0. x<0.

Dakle,

.


: 80

inteorol Neodredeni integral

INTEGRALNI INTEGRALNI RAeUN RACUN Neodredeni integral Neodredeni

Ako za za funkciju funkciju

: I -> R XE xefI , postoji postoji funkcija : 1- R , funkcija FF:l+R, ff :I-+R,

, , koja ima koja ima izvod F'(x) nad F'(x) nad intervalom intervalom /I ii pri tom tom vaZi je F(x) vai F'(x) I , onda = f (x) , XE F'(x1=f(x), xe.I, onda kaZemo ka"zemo da da je primitivna primitivna funkcija funkcije funkcije f(x) f (x) nad intervalom I.I

Skup Skup svih primitivnih funkcija funkcije primitivnih funkcija funkcije f(x) nad nekim intervalom l(x) nad neodretleni integral funkcije ff(x) neodredeni ( x) ii oznacava oznaEava se sa sa !J ff (x)dx { x)dx .

/ naziva se

1

U ovoj U ovoj definiciji definiciji f(x) se naziva nazivapodintegralna funkcija, f(x)dx podintegralna funkcija, f(x) se f (x)dx podintegralni izraz, J znak integrala, a postupak nalgenja neodredenog integrala naziva se integracija. iztaz,!znakintegrala,apostupaknalaZenjaneodreCIenogintegralanazivaseintegracija. jedna primitivna funkcija je F(x) Ako je F(x) jedna (x) nad funkcija funkcije funkcije ff(x) nad nekim nekim intervalom, je skup onda onda je skup svih primitivnih funkcija, svih primitivnih funkcija, tj. tj. Jlf(ila* f(x)dx nad nad tim tim intervalom intervalom oblika {{f1x1+ F(x)+cc..ce :cE R sto R}, piSemo J! f(ila* kraie pisemo f(x)dx = F(x)+c . }, Sto krade

je funkcija Ako je funkcija f : I -+R neprekidna neprekidna nad nad intervalom I/ tada tada postoji primitivna primitivna funkcija F :: I -> funkcija -->R nad intervalom I,I tj. R nad tj. postoji postoji neodredeni neodredeni integral integral funkcije funkcije f(x) nad f(x) nad datim intervalom. Osobine neodredenog neodredenog integrala integrala

1. (fflff*Mxf=f(x), f(x)dx)' = f (x) 2. 2. Jf'(x)dx=f(x)+c, If'(4a*=f(x)+c, 3. 3. al|tilax=f(x)dx, dJf(x)dx=f(x)dx, 4. J a f(x)dx 4. (x)dx, a=const, a f ff (x)dx d=const, f (x)dx = = a.! la. 1.

,

,

5. J(fi(x)+ + f,( f(x))dx -5. x))dx == J[ fft(x)dx+ f2{ x) +.....+ I f ,t il + f2(x)+ fr( x)dx +.....++ J[ f(x)dx, ,{ ila* + J! f2(x)dx+ f,( ila*, {


: .

.

integral Neodredeni integral

81

Tablica integrala dx ,dxlxlx 1 * c = -- arcctg:+ arcctgx+c1, arctgx+c=-1 a *0 a#0 = -arctg: l+ 'x'+a' q a a a a a a 1, x2 +az

J

x+c Jdx=x+c ldx= x

n +l n+l

Jxndx= I xndx='

n+1 n+l

Jdx=lnl [4 = kl

x+c *l*,

x

2dx x-a +c, a*o a#0 ln Ih=*,,|:**ol*,, 2a x+a x -a

J

*" +c

'

'

1

dx

a+x +c, a#0

1

=

-x2 2a a-x #h=**lxl,.,,a*o J

Je`dx=e`+c te'dx=e't +c

Ja`dx= Ia'dx=

c

a2

11 x2

á` o' *, +c

+a2

dx

J

ln lnaa

=ln x+ x2±a2 +c, a#0

dx

J

Va2

c = -orrror! + c 1, a>0 ct ) 0 -aresinx = arcsin! + c=-arccosx+cl,

- x2

a

a

J sin xdx= -cos x+c !sinxdx=-cosx+c

ln tgx +c J dx I#=ml,s;1., sin x= 2

Jcosxdx=sinx+c [cosxdx=sinx+c

J

dx .dx I COS , X -tgx+c cos x

arc sin á+c,c, a>0 L7 +(*,,n!+ Ja2-x2dx=2 a>o I {,' -.' a, =;J a2-x2+ 2

dx ,dx ctgx+cc = -ctgx+ l-:-r sin sln x

Jx2+Adx=xx2+A+Aln x+ x2+A * el*, +c I "[-'*ea-=] J7. A -+ml,*J-;

J

dx =1n tg(x+)4 +c I*=ml,rr|*il*, cos x 2

2

2

2

2

jednakosti vaie Podrazumeva Podrazumeva se se da da date date jednakosti vaZe nad onim intervalima intervalima nad nad onim nad kojima kojima su podintegralne funkcije neprekidne. podintegralne

Integracija pomoiu smene I nte gracij a pomoéu srne ne Neka sirjekcija (tz :: 11 sirjekcija g I, -->1 + I ec RR ima neprekidan od nule nule nad intervalom neprekidan izvod izvod razlicit razliilt od intervalom 1, ii neka za funkciju f :1--->R neka za funkciju : I -+ R postoji postoji neodredeni nad intervalom intervalom I.1. Tada integral nad neodredeni integral Tada vai vaLi (*)a* J f(x)dx = J f (rp(t))rp (pri posle (t)dt , (pri tom se se posle integracije integracije desne tom se podrazumeva da da se desne strane = I f {rO{t))O'ft)dt , If nad intervalom I, ( )c) ). 1, stavi stavi t == rPe-l (x) ). dx r. J7xz-8 I#-

1

=

ffi dx

t i7Jx2-( 1,2)

7

i

x-

=1

1

7

2

=

+,

xj--sr§

x17-+ h.l#*|., fyl#1* 1

+c==

ln

88

V7

1

ln

+c

21156

x7

i

l'


82

intesral Neodredeni integral

Napomena: Napomena: se na Prilikom tra2enja neodredenog integrala skoncentrisacemo tra1enja neodredenog na metode skoncentrisaiemo se metode trazenja traZenja datog podrazumevajuii da se gde su se integral integral tra2i trali nad nad nekim nekim intervalom gde integrala podrazumevajuci su konkretne

metode metode izvodljive. izvodljive. Na primer, ako 2 =t toto znai Na primer, ako uvodimo smenu tgry1=t znadi da uvodimo smenu da smo smo se, se, ako ako u z

zadatku nije drugacije drugadije napomenuto, napomenuto, ogranicili interval (-n,n) -- pod uslovom da je nad ogranidili na interval podintegralna tim intervalom intervalom traZi odretleni odredeni integral o svim funkcija definisana. Kada se trai dinjenicama cinjenicama ce ie se voditi raduna, tj. o intervalima gde su odgovarajuée odgovarajuie metode primenljive. x arctg 2= arctg= xx - tI arctg arctg 1

z t#*=ili* =-J dx= 4+x2 2.

2 dx

f

2

4

(x)2 2

3

3.

*#

x

\1+(2)

dx=2dt

2

2

1+4X2 =I arctg2x dx = =1,xdx = 1 dt 1 +(2x)2

arctg2x o. = f xdx _ dx 1 +4x2 1+4x

t+*,

2

+c

i

!# t@

x-

1 x =-Jtdt=-+c=-(arctg-) 2 4 4 t2

1

*

arctg2x = tt

dx ;::' !;, =1dt t 8 1+4x2 #.=T.)= 2

3.3

I

2

=1 dtt = 1 lnl t 1-1 =t,a,Fi = j at -1 Jt; 0,, 8 tt*-*t,! t

8

2

3 2

2

3

+c ==lmlt +*'l-!ro,,,rr*,) *, 1 InI1 +4x2) -1(arctg2x)2 +c. 3

8

tW*=!#*.rs#a*+!f.=

4. J e""ggx+xln(1+x2)+1 dx = J e°"'K dx + J x

4.

1+x2

( = =l

'H o,

arctgx == tt dx

1+x2 t lu

=

1+x2

In(' + x2 ln(l+ ) = tt \ x21 = 1,\ xdx

1+x2

1+x2

dx +

J

dx

1+x2

=

+arctgx+c= ='r;i,)=vo'*l!',0',.1#='' =

1dt

2

=Je'dt+2Jttdtl+Jldx2=e'+t4 ***orctsx+c=

ti

2

= eards' em" *lUrrr, + (ln(1 + * x2 x2 ) slz 1 +arctgx+c.. = 2 +arctgx+c

4

5. JI s.

Jln(x+J1+x2) 1+x2

(ln(x+

dx= 1

6. 6.

1+x2)=t

dx

I

tz

2rr

3

=Jt2dt=-3 +c =3LIn(x+ 1+x 2 )12+c

+ x2

2

[[i=i= 1+x x=r')= =t) x=t2 a*=(G I 1+Jx dx= dx=2tdt dx=2tdt J

J

l+

I

t+t; dt=2J t+1-1+t3 +1-1 +t-t dt= ,g!:\,-rrt+t-t+t3 l+t 1+t ' ) ' l+t J=2J

±2J(t+1)(t2-t+1)dt=2t-41n1 dt qt{i%, t+11+2.(t; t l+ 2 rl -t? o*, = -l*+t)+c= 4*. 1+t 1+1

=2Jdt-4J = 2l at -

= 2t

4

tnl t +

3

2

=2J-41nI *tll,]d;f -x+zJi +c. J+1I+()?-x+2+c. =zJ, -qmlJi


Neodrefuni integral Neodrecteni

7. t7. J x

83

1+lnx=t 1+lnx=t2 t2-1 -4]r',),*.= 2tdt=2Jt2dt-2Jdt= =l* %. dx=2tdt "J =Jlloo, i lnx dx= 1 + lnx

= 2!t2 dt

=

- z! at =

x

3 2.^t3 ^ +, = !-11+ =-2 zt -2t+c= =

2"lR 131nx (lnx-2)+c. (1+lnx) tnx).JlTlil t + t,u +, = ATLQy 1+lnx-2 x -2)+c -zJ 1+Inx+c=

2i3

.

d' 3J x' dx-J d' 3 1 J2x+3-3dxg. J1-3xdx-J 1l-3x o* =: dx ar=r dx ,2x+3-3 4*= -3t 3+2x 3+2x 3+2x 3+2x -3.122' 3+2x '3+2x '3+2x '3+2x '3+2x 3+ 2x = 2dx = dt\ (s+2x=t=2dx=dt\ x 3 x x 9g, ddx 11 , ddx 3, tt, ddx 3s 2Jdx+2 =

t

dx=2dt a-=iat ,lTz*=Vl-3ax--2r=l 3+2x 3+2x 2x 1t 'dt _11 dt_3t x _11 lnl trl-1r* 11 3 = =ZlT-rr=4, 'ltnl ,l-2x+c ,2 l-2x+c 4 J t 4 2 r=lltnl3+2*l-!x+c. 4,lnl 1

) 3+2*- 21ax+ -J3+2x

2

3+2x

2

/)=

3

.

P ar c ij alna integracija Parcijalna i nt e g rac ij a

su u(x) u(x) ii v(x) v(x) diferencijabilne funkcije ii neka postoji primitivna funkcija funkcije Neka su postoji primitivna funkcija u'7x1v1x1.. Tada u'(x)v(x) Tada postoji pri tom vai funkcija funkcije funkcije u(x)v'(x) u(x)v'(x) ii pri vaZi jednakost jednakost

Judv=uv-Jvdu. tudu = uv - lvdu . 1. 1.1=1*rl7-+uuJ-*'-1a* 1=Jx x2+lln x2-1 dx

q 1du= u=ln x2-1 u = pr[-*' fly = +

2(771.1 2xdx== 4x dx a., +2xdx x2 -1 x'-l x2 -1 -1 *2-t x2-l 1

1

,t x2

2,,1

3

/ x2+1 =t dv=x du =,,!,4 x2+Idxv=Jx 1 dx v = 1,J x2+1dx= 1 =2Jt2dt=2 t a, =f = 1,,i o, = + :,.::;:,)=

*\

= 2 dt \xax=jat)

xdx

t -!hla'G **

1=41 r =+,ld +D' 1nkJT x2-1-3J4(x2+1)3 (x2+1)3

x(x2 +1)3 J

x2

-I

2x

1 '3 i

'

=3(x2+1)2 *, * t 1) = +,

dx

x -1

(x2 +1 = t21 (r2 )2 -22 +4 2 l4dt dt= Jo +2)dt+4J dr = = J _2= =J t xdx=tdt -2 t t -2

dx=l

i $ +2t+4 242 ln t-/ 1+112

= t 3

3

1

1

+c

-1 (x2 +1)2 +2(x2 +1)2 +ln

x2

+1

+c

3

1=17(x 2+1) x2+Ilnx2-1-1(x2+1) 9

x2+1-?3

x2+1

ln 3

+c


Neodredeni integral intepral

84

2.

2.

Jtarcsinxlnx aresinx lnx dx u u=aresinx = arcsinx

du=7f7dx, 1 dx, dv=lnxdx dv = lnxdx = du= 1-x2 dx

/u1 =1n o', =+)= x dut = \ ='n:= x =xlnx-Jxdx =xlnx-x xtnx- x x* = dvt dx v1 = x [drr=dx+v,=y )

*rnr-lr*=

y =ltnxdx=1u., v= J ln xdx =

x(lnx-1)dx [ffi1-x2 u=tnx-t=du=!, u=lnx-1 du=d, dv= x dx au=ffia* x

x(Inx-1)aresinx lnx dx = x(lnx - l)arcsinx- J larcsinx Jaresinxlnxdx 1-x2

t

t (1-x2=t \ =_1,,0, (t-*'=t Jdt =_1 Jt Zdt=-1 = o' = = -rt'{ -z!i 2 2 ' = 1_x2 xdx=--dt 2 = -t*)= z 2 i [,a, 2 Jx(lnx-1)dx=- 1x2 -(Inx-1)+J 1-x

xdx Jc xdx

)ffi=

z

-i

t

I 1

t

1-x2 == -J;7

lW=-dlri16,-tt*1&,, 1-x2 x

r t+, 1-x2=t2xdx= 4fi 4fi : :;='*)= -JI-t2 !* =,.t+-lnt^lfl+, *' 1,,1ffi., J

1-x2 dx= =('

= Jdt+J = I at + t2

dt

-1

-tdt

=-l

t

x2=1-t2

x

1

=

2

dx=1-x Jx(lnx-1) I y1-x2

tdt=*, =

J1 -t2

1fj! t2-1

t2-1+1 dt= dt= o, = J a, =

It-1 +c = 11-x z -F. 2 ln 1-x2 -1 +c = ^! t+1 1-x2 +1

2

(I nx-1)+

1-x2 -1 +c 1 1-x +-ln 2 1-x2+1 2

Jaresinxlnxdx=x(lnx-1)aresinx+ 1-x2(lnx-2) -x2 =t

t2

u=t2

_- 1 2,

1

2

In

1

-x2 -1 +c.

1

-X2 +1

du=2tdt

1

2,

dv=e'dtv=e'

=--2 (t e -2Jte , dt)= 3. Jx5e-x 2 dx= ft e dt= [*s,-,,d*=l*r::rr,)=_+,u,,0,=(:;:'";:,1=,_",)=_t,t2e,_2[te,dt1= 2 2 xdx=-1 dt \xdx=-Z2 , 1 =t e = _!t2,, 2

,

2

(ut =t

dut=dt

=(:i,: dvt :; = e'dt vt = e' :::::=

+Jter + dt = ! rc, dt

",)= (l**'*$)*r 2 )+c.=-Ztze'+te' --r-'"`2(1+x2+ =-ff +tet -e' -et =-e

_ _iu, dt== t e +te + te, -Jer ! dt 1 2

r

r

e,

2

4

"'


85

Neodredeni integral Neodredeniintegral

/u = arctg

4. Jltt' 1)'arctg (xz ++ 1) arctg

xz

4.

-1 dx

x2

-1

xVx2

=

-1

+x 3 3

v=

dv=(x2+1)dx

x2+ dx=(-x +x)arctgx - x2-1+4 * *1o,,,gJ7a -*tffi-= -itffi-=t** 7--

z t 1 =(-x = (!* *+x)arctgx -1--J 3 ")o,,e,[F - 3 1

dx

du =

3

3 I

xz

1

z

3

1

3

1

3J

dx

."17

I -*tffi-1

=(3x?+x)arctg = r! * + *1. o,,tgJ x2 1t

3J

x z 21+4dx= = x

I

x2-1-JVx2-Idx =(3x;+x)arctg - 4 - + *1. orrry,l-*' - !1,[* ra- - 3j /dx yx

ltp

=(13 x3 +x)arctglix2-1 -13 (x2 x2-1 -Iln 2

= 1

x+-1x72--71

=(x;+x)arctgx2-1-6x x2-1-61nx+yx2-1 ¡¡

5.

5'

dx dx

?

J2I

3

(*2

+o2)2 )

I 1I arctg xx ll, xx -aaat'ctg-aa - --; | ---1

a2 (x2+a2)2 a" e''(x'+a")" -'a2 xdx y= dvu= = u=x s) du=dx, d

a

x

2

+a

x2

-1 +c =

+c.

dx 1 l,a2+*2-*2 a2 +x2 -x2 . 1¡ I r xr dx - Il,2 J 2 dx ax=7)7} - aslJ (x z +a z ) z 2 (x2 2 2

(x2 a 2= a 22lJ @\ar)r= 2z

2

)-1- ln x+

,

xdx =

u4or*a*=

xdx tcdx

(x2 +a2)2 *ory 1*,

x+**,='l=4 a2 t 1 2

z

= v= Jdv=J ,=ldv=!:p!r==(r (x'+a')'z xdx= 1 dt (x2 +a2)2

xdx

2

I t 1t dt = Jt- dt=--t- _ --t12 .7;7 =-; t$=!1rra,=-*,-, 2 2 x2 +a2 t2 1

2

2 i)- ''#=t1r'a'=-i'' l*a*=to, x 1l' dx dx = 1I arctg xx xx +c xdx =_J a 2a zarct8-----------*c 2 2(x2 '[--j--rd'r==-(x' +a2 x

2(x2 +a2) (x2 +a')',f,r',+Zl;fi= +a2)2 x2 +a2) l;arag4+_+. x r_,;+c= 1,1 , dx dx =-arctt--7(t"'"'%. 1I .x x +c arctg + )+c = x arctg 1( 1 arctg - 2(x2+a2) I aa 2a2(x2+a2) 2a 2a. (x- +a" ) J(x2+a2)2 ) za' 6\d ), a a a2 2a a tr7*o.

1

I

I

(

r6. I

6.

x) (-sin(ln x)) sin(tn x)) (ln x) cos(ln x)'(x1= du == 22cos(ln cos2 (ln = cos2 = u= cosz cos2(lnx)dx =l JI

"

v=x dv=dx + v=x dv=dx

t

((

t

)/

(ln t) x)++ !Jsin(2lnx)dx sin(2 ln x) dx * rot2 (In cosan x) x)sin(Inx)dx = xcos2 *cos2 (ln + 2l cos(ln sin(ln x)dx = xcos2 (ln x) x)+2J =

(/

= dx dv=dx\ sin(2lnx) dv 25 cos(2 cos(21n = ln x) x)rn xx)dx sin(2 rn )dx = - 2l - -X *)a* v" == *x )== x sin(2

uu= = sin(2ln x) 2 du = z rolr(z tn x)dx

JI sin(21n sin(2 rn xx)) dx =lau =

t

dX

+l \ _=

u/ =cos(2lnx) = cos(21nx) ,,

dv1 dx` dv, = =66\

xsin(2lnx)-2xcos(2lnx)-4[sin(2lnx) dx =lOu, r, ==x* =xsin(21nx)-2xcos(21nx)-4Jsin(21nx)dx du' == -sin(21n4@ -sin(2 ln x)2dx vi X i )=

I

l-


86

Neodrecteni Neodreileni inteeral integral

(x

sin(2 In x) dx == sin(ln x) sin(ln x) !J sifl2ln t(.v S

--2.rcos(2lnx))+ 2x cos(2 ln x)) + c

1 cos22(lnx)dx + (x lnxldx = *xcos2 ror2 (In t, x) x)+ sin( 2 ln tn x) x)cos( 2 ln x)) x )) + c - 2x cos(2 !f cos t ( x sin(2 (

(

Integrali sa kvadratnim trinomom I

Integrali oblika J Integrali

a

m =0 m=0

mx + n

, l#?r*dx ax2 +bx+c

((aa

* 00,,

b2 b2

<0) 4ac< 0 ) re§avaju re5avaju se se na sledeii -- 4ac sledeéi nain. nadin.

axe ax2 +bx +bx+c=al(x+k)'*tl +c= a[(x +k)2 +11 ,, k,l=const k,l =const

tl e l.,.'.'.....,,'..............-

Jt

.

rl

.

- nflt

4a-__ dx

da dx

l_

a (X+02 ax2+bx+c +1 e*'+bx*c-"' at lx+k)2 +l m#0 m*0

+n r ,1x*, 'ax'+bx+c mx

JI ----;-

axe +bx +c

m

(2ax +b) +n-

rnb

,fiGo*+u)*'-# 2a dx q^

2a dx u^ _= J|

'

ax'*b-r*c axe +bx +c

t_

---;-

dx dx

r+1 = dx dt = 1l_-t I x+ x+t1+ c , dx , dt _[.r+.t=r) arctg t+ c= 1 arctg =-arctg-+c--arctl-+c =l JI J J dx=dt) a, =dt )=1,4y t2+22 2 2 2 2 x2+2x+5 (x+1)2+4 -+z-*s (*+r)\r=[

r't t

2(2x-4)-2+6

2x-4 dx+41 dx 3 = -3x-2 dx= dr+41 2. 'x'-4x+5 O*-ur1,'*--0,-'*u dx d* =-J ,x2 3x-2 =![ x2 -4x+5 =2*-4 2t -4x+5 x2 -4x+5 ' ,\17+s= x2 -4x+5 2 x'-4x+5 x'-4x+5

2.

J

J

2x-4 2x-4 dx+4J dx dx =J3, 2' x`'-4x+S (x-2)`'+1 +t x'-4x+5 '(x-2)t 3

--r-

I

t

(x2 x2-4x+5=t

nl

2

-it *. =

)--

-I

x-2=r,) -4.r+5=t x-2=t1 ,

l-

dx=dtt ) (2x-4)dx=dt dx=dtr \(2x-41dx=dt

Jdt+4Jtd+1 I 7,nl*' - t x + sl+ 4arcts( x - 2 ) + c = nl ttl+4arctgtr+c=lnlx2-4x+SI+4arctg(x-2)+c. 4 l+ 4arugt 1 *, =

h

.

=2lnl

r

--r

mx + n II dx ( a #0 , b2 - 4ac <0) re"avaju se na slican nain Integrali oblika J [IntegralioblikaIffid,x(a+0,b2_4ac<0)re5avajusenaslidannadin

+bx+c

kao integrali oblika I.

III Integrali oblika III Integrali

(m*0, aa*0 4ac <<00 )) se pomoéu dx # 0 , b2 b2 pomoiu dx (m#0, -4ac !J (*r*OJM 'I (mx+ n)Vax2 +bx+ c ,

I

smene mx II. smene mx++ n=1-n = I svode na integrale oblika IL t


87

Neodredeni integral Neodrecteni

1

t'

3.i 3.

dx

1

t

-t! dt I x+l=!=dx--/x+1= t dx = 1z t'

(x+ l) x2 +2x (x+1)Vx2

dt 2 40,

\-

tt' '')=11 I =-1-t t-t (l-t)2 +211 (1-t)z = 1 -1= -rt-t t / t t \rt xx='-l tt2t

-l 1I

1

¡¡¡

z

=-l

= -1

r dt = aresin 1 +c =-l-L=-orrrinJ--=+, x+t x+1 1-tz 'Jt-r' (t-t)2 +2t-2t2 tlI (1-t)2+2t-2t2 )

dt

..

t' t2

1

se na integrale oblika 4ac <<00 )) svode se ,, b2 (a bx + c dx dx (a*0 y ax2 +.b.." oblika fIJtf Integrali oblika IV ry Integrali -4ac

-7 Ilia2-x2 f[,'

a* dx

a*. x2+Ae dx. i 1!J*\

i

¡ l,z 1 1 ' I 1I , 12) 1-)2)= 1Y4-(x =(x- x2 =-(x z -x+4)+4=4-(xx-x z dx=1 V-(x-7) 1I \ i 1 x-2=t = +$orrrrnl+, = =j (2)2-t2dt=24-t2+2aresinl+c= z

4.

1

e;

dx=dt 2x41t

=2*4

dx dx=

2

+8aresin(2x-1)+c. xx2 - +$arcsin(2x-t)+c. J;-rl

_ llE,.r . dxdx s' 3x2-x+1

5.

i 3x2-x+1=3(x2-3)+1=3(x2-3+36)+1-jt*t=3(x2 -!*{t*,-iZ=)_ (sr'-r+t=3(x2 2=\

=L

_

3. [(x-1)2+36] *fi=slr--[r.fi) )

=3(x-1)2+-12 =s(*-*),

I

1

6x-1 6x-l 22 t66 arctg xx-66 +c=-arctg ,-+c +c =:frarctcT+c ==4r =-3 r 11 J' 11 11 11 Jtt 3 (x_1)z+( l.z .,.lll11)z,z rlll dx

1

1

6. 6.

1

(*-;6;) +l-;-) 6

6

+3x+4-Sx-3 (x-1)2 -2x+1 j!L## j!Ho, !#* +3x+4 1

dx== x2 o. x2

x2

+3x+4

dx== x2

x2

+3x+4

5x+3 dx= !j!)-d* +3x+4

dx=jdx ar =! a* - j

5(2x+3)+3-15 2x+3 dx+9j 2 dx =x_j2 _ s*-= x*-5 1z 2x+3 ar+21 - 2I -2 lpTfro* =,.._ ,1''**st+s-f dx=x-5j

lffi

x

z

+3x+4

InIx2+3x+4I+ * s * * +l* =x-Z = * - 1,,1*'

7.

j

dx

4 2+3x-2x2

2

x

+3x+4

Z

d* :

dx

(x+2 ;W 3

)

2

=

x2

+(

2 )2

=

r

o,,,sff *, fr arctg2x+3+c 9

/2+3x-2x2 =-2(x2 =

..

-2 x)+2=-2(x2 ----3-x+-2-)+2+ 8=\

=-2(x-4)2+28

2[16-(x 4)21


88 88

Neodredeni integral

I1

dx

r

(4)2

Jz

3)z

I 4x-3 =aresin4 S 3+c. =77arcsm--7-+c.

3x-6 dx 3 2x-4 8. 8. t&dr=3t-L 2'J*'-4x+5 ' I

*' -4x+ 5=r)=.,3 tL=!.r! dt 3 t2 a*=( x2-4x+5=t

2',[i 2, ,l*'-4x+s 2jx2-4x+5 -((2x-4)dx=dt)=-1-,-jVx2-4x+5 V \(2x-n)ax=at) 2.

j,ljlf,fi

= 3Vx2- 4x +5

e.j 9. I

dx

xJx2

+x-I +x-1

=

2 +

-=

+c. a,.

!tt /x=1t=1\

-

dx=-IZ dt

1¡ 2 +1

1

t jl t

dt

dt

it lt+t-t2 l+t-tZ

jVf t-

t

dt

l+t-t2

t2

+ -t+)+1-4 =-(t-+)2+4 = 4-(t-12-)2 I= r, -!f)=

=(i-Ft-t2 =(t*t-t, =-02 = _=_j _J

1

_2__

dt

=

aresin

45

)2 ,+,'-G-r)' 1

+ c = -aresin x

)_-

+c ==-arcsinffi*, -aresin 2 -x + c 45 x45

I nt e g ali rracionalnih Integrali ac io nalnih funkcija funkc ij a

Svaku nepravu racionalnu funkciju R( Svaku neprivu R(x) = P(x) (stepen x) = P(x) jeieveii veci ili jednak ,rr"O"n polinoma P(x) Q(x) ffi P(x) od od stepena polinoma polinoma Q(x) mozemo napisati uu obliku -T (x)+ Rt(x) gde obtiku gde je Q(x))) mozemo ie T(x) Q(x) Q(x) ' H=rol*W,

polinom, a polinom,

^

R o!1.! 1(x) racionalna racionalna funkcija funkcija kod

je stepen koje je kod koje stepen polinoma polinoma Rr(x/ Ri(x) manji manji od

Q(x)

(#Rt(x)

stepena polinoma stepena polinoma Q(x) OO) (

Q(x)

se naziva pravi razlomak razlomak ili prava racionalna funkcija).

je P(x) Neka je P(x) polinom polinom stepena stepena manjeg manjeg od od n,n, aa Q(x) polinom oblika e(x) polinom Q(x) = c, (x - a x)= c (x ...(x ( x2 + b x -- aapo )k )t"" (x2 btxx + c, ct )', )t' ...( ...(x2 + byx cg )t° Q( brx + c, )k' ...1 - adr' )t,,, gde je "' k/ + k2 k,+kr+...+ko+2(lt+lr+...+lr)=il, +...+ kp + 2(l1 + 12 +... + lq ) = n , flje n je stepen stepen polinoma polinoma Q(x) ai , b1 b, ii c1 c, su su realni reami e(x),, ai, 1

1

koje brojevi za zakojevai:i bj j=1,2...,q b2r-4rj.0, - 4ci < 0 , !=1,2,...,p, i =1, 2,..., p , j (svakipolinom =1, 2...,q (svaki polinom Q(x) mo"ze e(x) sesemoZe napisati u tom obliku).

Tada se se R(x) R(x)=1! = Qx moze *or"napisati napisati u obliku x Q(x)

A"

At,

A

''

A A00,,.,,.

t R(x)=( A u +...+ *... ' )+...+( *...*1-Ao'-+...+ R(x)=( Yt +...+ )+ x-a1 x-dt x-a (x_at)", x_dp (x-ad t) (x_ar1^r' (x-ae)"


Neodredeni inte*ral integral

89 89

B;;x+C,1 Br d+Ctt +( +1 . 2 +...q +...+ lqtux+cqt, +...+ Bll,x+C¡¡ - +...+1 +...+( +...+ "' 'r'x2 +byx+cy 'X +b,x+c1 (r'+btx+c)tt xz +bix+cl (x2 +bix+c)1' *brx*c, (r2 +byx+cy)`y (x2 +brx+cr)tu (nepoznatih) koeficijenata. Koeficijente A; Koeficijente Ai,, B,j B; ii Cd Cu dobijamo metodom metodom neodredenih neodredenih (nepoznatih) koeficijenata. Ova pretpostavi se Ova metoda se se sastoji sastoji uu sledeEem: za datu se da sledeCem: za datu funkciju funkciju R(x) R(r) pretpostavi vaZi data da vai Byix+Cyl Brqtx*cqt

Brtt,x*Ctr,

By;yx+Cyiy

.

, i ' ,' ,

jednakost uu kojoj kojoj su su A; A;i,, B; Bii ii C, MnoZenjem te te jednakosti sa C; neodreileni neodredeni koeficijenti. Mno2enjem polinomi; kako Q(x), dobijaju se se na na levoj levoj ii desnoj desnoj strani su dva strani polinomi; kako su dva polinoma polinoma identidki identicki Q(x/, jednaka ako jednaki koeficijenti jednaka ako ii samo samo ako su im uz iste iste stepene stepene od ako su im jednaki koeficijenti uz od x, te se x, te se izjednacavanjem izjednadavanjem ovih koeficijenata jednaina za odredivanje koeficijenata dobija sistem jednadina odredivanje A Aij ,, B; Bij ii C; Cij ..

Razlomci oblika

Bx+C

A

nazivaju se prosti ili parcijalni razlomci. ,*-lomcioblika#,ffinazivajuseprostiiliparcijalnirazlomci. (x- a)" (xZ+bx+c)t

. t-

-

r 1.

x2dx

J

j (x2 (x2 -3x+2)2 -3x+2)2

x2 x2-3x+2=(x-1)(x-2) -3x+2=(x-l)(x-2)

x'ABCD - A 2

x2

D

(1)

x-2 +

x-1 + (x-

(x-1)2(x-2)2

t I

C

B

1

-4x+4)+B(x2 -4x+4)+C(x2 -2x+1)(x-2)+D(x2 -4x+41+B(x2 -4x+4)+C(x2 -2x+t) -2x+t)(x-2)+D(x2 -2x+1) x2 =Ax';-4Ax2+4Ax-Ax2+4Ax-4A+Bx2-4Bx+4B+Cx;-2Cx2+Cxx2 =Ax3 -4Ax2 +4Ax-Ax2 +4Ax-4A+Bxz -4Bx+48+Cx3 -2Cx2 +Cx-2Cx2 - 2Cx2 + 4Cx -- 2C + Dx2 -2Dx+D - 2Dx+ D ( (-5 x2 =(A+C)x3 *2 - t + c )xj ++(-5A+B-4C+D)x2 A+ B - 4C + D)x2 +(8A-4B+5C-2D)x+(-4A+4B-2C+D) + (8A- 48 + 5C - 2D)x + (4A+ 48 - 2C + D ) A+C=O, A*C=0, -5A+B-4C+D=1, 4A+48*2C+D=0. 8A-4B+5C-2D=0, -4A+4B-2C+D=0. -5A+B-4C+D=1, 8A-48+5C-2D=0, jednadinu (1) (t) sa (x Pomno2imo PomnoZimo jednacinu sa (x-1)2 - l)2 . 12 =A(x-1)(x2 x2 =A(x-I)(x2

,

.

I

D:;)(*-l)2 =B+A(x-1)+( C + D '-r=B+A(x-t1+69-a x-2 x-2 (x-2f (x-2)'2)(x-1)2 (x-2) (x-2) Za se B=1. Zz x ==1l, dobija se .B =,1 x

.' ',

2

.

,

jednadinu (1) (1)sa (x-2)2 . Pomno/imo sa (x-2)2. PomnoZimo jednainu

t2

t . '

i .

:

A B =D+( :+ + .)(r-2)2 +c(x-2) 2)(x-2)2+C(x-2) -J-==D+( x-1 xt ()i(x-1) (x- l)' lf (x-1) x

2

A

B

2

Za x = 2 , dobija D=4. se D= jednacina dobija A = 4 ii C = Za x=2, dobijase 4.Dalje Dalje se izsistema iz sistema jednadinadobija -4 A=4 =4.

j; , f

.

*' 2

,. 4+ 4

t

-4 + Idx= j( 1 l/-+-+-+ x ' --2' x-1 (x-1) x-2 (x3 (x- -3x+2) i-lf 2+-4 -3x+2)2*^-t'*-l' ---------dl-= dx dx ,dx da

4

2)dx= :)dtt-

(x-2) G-2f'*

x-1=tdx=dt 4j +4j ot:i.!#-\L+q#=(i]r==',i!i!0,,)= x-2 (x- Ir (x-2)2 -(x-2=tt dx=dtt

= =4j x-1

dx

=

a -i ot!.!;'zat-4!!t+tlt,-2dt, =4jdt+ jt-2dt-4fdtt +4jtt-2dtt =4ln1 tt +c= -4ln1 1+4t1 = =qhltF4-o*lt,l++!t!+c= t ti -I -1

tl+

I

i


Neodredeni integral

90

lx-ll x-1 l-- 1I 4 II +c=ln(x-1)4 x-l d 5x-6 +c. s - ln(-l' -4-+ 'x-2' x-2 x-1 x-2 --*c. x-l x-2 x-2 x2-3x+2 x'-3x+2 lr-21 xz+3x-1 x2+x+1 x2+x+1+2x-2dx-J x2+lx-I -rr-rx2+x+!+2x-2-o*=[ *'+,r+1 .d.** 2 z. dx dx+ J, ' (x-1)(x2+x+1)1 (x-l)(x' +x+1)'' (x-l)(x' +x+l)"' (x-l)(x' +x+1)2 +xll)" (x-1)(x2 (x-1)(x2+x+1)2 dx x-l x-1 dx dx ^r +21 dx=J +2J +21 '(x-l)( (y: l)(x2 +x+1) (x-1)(x2 +x+1)2 (x-1)(x2 (x2 +x+1)2 + x+ l)2 x'+x*l)2 + x+l) je D< jednadine x2 jer je Koreni jednaine + x + 1= 0 Koreni D<0. 0 su kompleksni jer x2 +x+l sukompleksni =0 J !4r = 4In

.

I1 A Bx+C = A + Bx+C x-t-- x2 (--tX.- +x+1) (x-1)(x2 +*t)- x-1 +x+t x- +x+1

1=A(x2+x+1)+(Bx+C)(x-1) I = A( x2 + x + l)+ (Bx+ C)(x - t) 1= (A+B)x2 I =(A+ B)x2 +(A-B+C)x+(A-C) +(A-B+C)x+(A-C) A+B=O, A+B=0, A-B+C=O, A-B+C=0, A-C=1 A-C=l Za se A = Dalje sistema jednaina dobija Za x =1 A={. Outl" se iz izsistemajednadina dobija B=--1 n =-4ii C ==-4 -3 =1 dobija se 3 J"33 =1lcdx dx Ilt .

dx dx r *t3 x-1 (xqxx, +x+1) +x+t)=il (x-1)(x2

J

* iffi.

dx x+2 , Ilrdx x+2

.

J2x+1+3dx= lt2xtl+3.

1

dx= x2 +x+1 3 x2 +x+1 3 3l#*= 3l x-1 x-t- 6617;#'=

dx 2x+1 x =(x2 *+x+1=(x+-) =J x * t = 1' * . 31 =(*' I x-1 - * tJ x2+x+1 dx - *t tr +-J= 1)= 2 zf; x2+x+1 4J

=

1

1

1

3 t

1

J

6

-1l, dx dx Il, 2x+l 2x+1 1l. - 3JJ.t-t 6Jx2+x+l 2 x2+x+1 2J

(*-,=t=dx=dt x-1=tdx=dt dx

=-l---l---l .1

dt

1

=

!3 t

dt

t

t

1

(x+2) G+:f2

dt2

r i - t6J +' - :2J ;:E; ti +(-) +(;f 1

1

1

.,+,' +(2) VS

= x2 +x+1= + x* I = tt (2x+1)dx t 1 > (2x + l)dx = Or, =l r' = dtl

2

x+1 =t2dx=dt2 =t2)dx=dtz

[r.12 1

tl-ólnl tt I-Z = =3lnl *,,1' t- t,,1,, t-

2

I l=

)

arctg= ",,,,ft ;+

1

1

I

t

2

2

t2

1

2t2

;2

-,,1 t actg-'r**il =3lnx-l1-bi x2+x+1tx+tl-f,7actc--J=!hd*-tl-!ml*2. -| , J o''t'.

2(x+1)

1

V3

x+ ,r+-I 2

I

2f

d.

dx

+x+1)2 1 u4?x=t '! (x2 ((x+ 2) +( ) 11**)t'*r*f 2

4 4 JJJ

3

2x+1 2x+l

2f 2

)

2

2(x+1) ,I arctg2(x+)+ = { ----7- + = -'----=-

^.{J ., z(V)'

Ql-C t

{J

2(1'

2x+1 2x+l 3(x'+x+l) 3(x2+x+1)

3[(x+1 )2 +()2 1

*1,..1r.,*r

= -----uiarctg + ------;tt!<------- T =

JJ

,

,

,

x2 +3x-1 2 1 1 2x+1 8 2x+1 dx=-Inl I- -ln(x +x+1)x tllplx2 +x+ t1-larctsU#.+o,,ry4!!* arctg" + arctg + =1,,1.,'(x-l)(x'+x+l)t 6 6' 6 (x-1)(x2+x+1)2 6 ' JS J; Jvr vr

JI

--4-:#-?-

2

3,


91

Neodrecteni Neodredeni integral

(x-l)2 2x+1 2x+t 55 4x+2 4x+2 * ---7 4x+2 1t. (x-1)2 ----:4x+2 *+c=6 *c. arctg -----7- +c. ltt -** C = = 112x2+x+1+3(x2+x+1)+3arctg 6 J{J {J +x+1) x'+.r+,1 3(x'+x+l) 3(x 3(xt+x+l) --:

Ik

+

^ J. 3.

x3 -1 . ,xj-l

1 1 4x' -x+x-4 dx=-Jdx+-J l r4x; ax=)[ax*f,!

1 4x' -4 lr4xt-4

-x+x-4 dx =-J dx=-J 7l----:4x' tJl-dX 4 4x3 4xj?-xx -x 4 4x 44t 4x' 4xt -x -x =-l-ci"f,= 4xt -x 1

a

4

4

x-4 ILx-4 _-l-x+ I_ =1 I_-_------------4 x(2x-1)(2x+1) 44 4'x(2x-l)(2;+l) B C A A+ B x-4 -4 ==-+-++ 2x-1 2x+1 2x-l 2x+l x(2x-1)(2x+1) x x(2x -- 1)(2 x )(2x+1) x-4 A(2x-1)(2x+1)+Bx(2x+1)+Cx(2x-1) x - 4= = A(2x - I )(2x + I ) + Bx(2x + 1) + Cx(2x - I ) Za xr=-: = -1 se B= B=--7 4. Za xx=! =1 dobija aoAiiuse Za dobija se A = 0 dobijase A== 4.Za Za xx=0 -l.Z^ 2 2

x-4 dx= x(4x 2- 1),,d,=

of!,

1

=

_ti

.

2

dx77t dx dx , = 4l;-zl ,rdx

x-4 r x-4 l;p;:

11p;f;x Jx(2x-1)(2x+1)dx=4J =41n1 = 4 tnl

(

x

Jdt_9 Jdt xl-L xt-it*-il+= 4 t 4 ti

9g1 dx dx

-2-. C=-|. 2

C =

1 dx=2dt

-1 = t

2x

dobija se r"

=f'--l=t)a*=tat 2J2x+1 2-+ t=[rr* 2J2x-1 1 2*- 1-71 2x+1t = tti ) dx a_ = -dt2 =

t

l= = la,,)i

xl-lni2x-1I-9n12x+1I ti tl= I=41n1 ahl.l-1*l2x + tl ti-1n) xl-lnl xl-f,nl,l-1*lt - tl-Jmlz, 4 4 4 4

+ml

x'-1 dx=lx+lnlxllnl2x+ll+c. + t l+ c = ! x + *l,l- L 1nI2x-1I- t l- *^t2x !#16 16 4 *,,lzx 4x' -x 9

-

3

x +1 4. Jt =*t*1 =d* (x" -4x+ ' (x2 5) -4x+5)' je D<0. jer je jednadine x2 D <0 su kompleksni jer Koreni jednacine - 4x + 5 =0 sukompleksni *'-4*+5=0 x'+1 Ax+B x3 +l Ax+B + Cx+D (x2 -4x+5)2 x2 -4x+5 (x2 -4x+5)2 T?:7;+-;f

4.

2

.

=7:;+s*6;7

+D x' + 1= (Ax+ B)(x2 -4x+ 5)2 +Cx x3 +l=(Ax+B)(x2 +Cx+D -4x+5)2

-

3

2

-

SB + D 48 + C)x xxj +1= + I = Ax3 Axj + ((B B - 4A)x 4A)x2 + ((5A 5A- 4B C )x + 58

B-4A=0, B-4A=0,

A=1,

5A-4B+C=0, 5A-48+C=0,

SB+D=1 58+D=l

jednadinadobijase =11, D=-I9. D=-19. dobija se AA==1, l, B=4, CC=ll, Resavanjem sistema jednacina ReSavanjemsistema

,

x3+1 x''+l

dx Jtl---=------------4_\'=

(r'-4x+5)z (x2 -4x+5)2

2x-4+12dx+ Ilx-19 dx = Il,2x-4+12. . x+4 x+4 dx+J ttx-19 L ,l------4.r = - l-----------d.tf tl--dJ t x2 -4x+5 (x/ (x2 -4x+5)2 22'x'-4x+5 x2 -4x+5

x'-4x+5

-4x+5)z

11(2x-4)+3

.4rr*-4)+3 dx=ix2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1)= +l)= '(x'-4x+5)' - --- "dx=(r'-lr*5=x2 -4x+4+l=1x-212 (x2 -4x+5)2

+J +lJ.2

dx 2x-4 dx+3J 2x-4 dx+6J dx tt dx+11 a,*ttfftrr*. =itiSkax+ol--i!. ((x-2)2 -4x+5)2 2f -4x+5 (x-2)2 +1 *#,+1)2r

=

1

J

2

!-h( == 1 ln(x2 2

l:, PDF I

"'

4x + 5 ) + 6arctg( x - 2) --4x+5)+6arctg(x-2)-

=

(x2

3x-6 il = +3 arctg(x-2)+ 2(x2 21x2 -4x+5) 2(x2 2( x2 -4x+S) -4x+5) 22 -4x +5) 11

compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor

92

Neodredeni Neodredeni integral

3x-17 +c = -4x+ 51+ 2 arctg(x-u+ffi*, arctg(x-2)+ =lml*' 2lnix2 -tx+sl+f 2(x2

..

-4x+5)

x4_-6x3_+12x2 -6x3 +12x2 +6 _ x(x3 -6_xz -6x2 +l_2x-8)+8x+6 8**6. +12x-8)+8x+6 dx 8x+6 5. s. dx= dx = fllxdx+t xdx + Jf o, = frx(xi f',*a ' (x x3-6x2+12x-8 xt + I2x-8 x'' + l2x-8 x3-6x2+12x-8 (x-2)3 -6x" -2)'' -6xt 8x+6 A B 8x+6ABC C + + x-2' (*-2)2 (x-2)'' (x-2)3 x-2 (x-2)2 ' (x-2)3

d, dx

=-I-f

8x +6 = A( A(x +6= x -- 2)2 ++B(x-2)+C B( x - 2) + C -

8x+6 8x+6 == Ax2 +(-4A+B)x+4A-2B+C +(4A+ B)x+4A-28+C A=O, -4A+B=8, 4A-28+C=6 A=0, 4A+B=8, 4A-2B+C=6 Resavanjem sistema sistema jednadina jednaina dobija Re5avanjem dobija se A=0, C== 22. se A B = I ii C =0, B=8 dx 8x+6; dx =Cx-2=t1= dx=8f +225 o. rt + 22! =(; :;,')= dx=dt (x-2) = (x-2) (x-2)-

!ff

-L,

#

JII

88 11 tt =8ft-2dt+22ft-3dt=-8-22t--=8!r2dt+22!t3at=-1-rr1=-- 2 tt 2 x-2 x-2 - (x-2)2 x4-6x3+12x2+6-x2 11 *2 8I tt + ,x4-6xJ+r2x2+6 --TL. ,r--- 6x2 2 x-2 2 x_2 (x-2)2 (x_2), 6x,+l2x_g +12x-8 2

=

iracionalnih funkcija IIntegrali nte grali iracionalnih

I

I

pfly'f

Integral oblika R x,( p++ g)'' ,..., px + gp oblikaf1nl *,f!I!b-)"

L px+q

px+q JI

dx o,

.

Posmatrajmo integral je podintegralna integral kod podintegralna funkcija racionalna funkcija Posmatrajmo kod koga je funkcija racionalna funkcija od od x.r ii od ax + b pri ax+.b, je aq (inade se razlicitih stepena pri demu razliditih stepena izraza emu je -bp #0 (inace se izraz irr^ru aq-bp*O izraz svodi svodi na

px+qq px+ je ss najmanji zajednidki konstantu). Neka je zajedniCki sadrzalac eksponenata konstantu). sadrZalac imenilaca imenilaca eksponenata

\,\,...,\,.

ax+b =t`. ax+b y' ,r. ,.iax+b Uvedimo smenu smenu e (1ax*b )r' Tada uvedimo = t za Tada jje za svako -t'. ,@--t=o**b =r"i px+q px+q px+q px+q I px+q .

ii

je, ss obzirom da se imenilac svakog broja =1, 2, ..., k , pri demu cemu je, broja r,r, sadrzi sadrZi uu s, s, sri s4 ceo broj. broj. = 1,2,...,/c, gts

Takode = Takoele je ie x*=L!,

-b

a-pt5 a- pt-

promenljive

,

pa pa se se dati na integral integral racionalne racionalne funkcije dati integral integral svodi svodi na funkcije nove

t.r.

6x1 =t

dx

f(x+1)2

-

x+1

x+1= t6

dx=6t5dt,

-65(t-1)(t+1)+Idt=6f(t+1)dt+6f ( =

ult#P, t-1

= 6! t + t )at + ul

-

f 6t5 dt=ó f t4

-t3

t2-l+ldt= t-1

+6t+6lnit-11+c= dt a -{ = | *t-1 =6t. a

2

+ 6t +

mlp

+c=

,n64lx+ =33 x+1t +6lnó x+1 -1 +c. ;.,r 1 +66 +AmlEl;i = jl,f x+1 -tl*r.


93

integral Neodrecteni intesral Neodreiteni

2.

jl-

x+ldx= x+1=t6

1+3 x+1

\

1

dx = 6t5dt

=-6 j(tó -t° -13 +t2

6jt= 8

3

6t5dt=

+t2

5

t2 +1

i +t-1+-t+1)dt =-6t' +6t5 +6t° t2+1 ++.6t5 +31,4_

7

-6t2 +6t+ -6t3 4

5

2

3

2tdt tdt dt = 6 6arctgt 6t + 6 2t3 -3t2 t' .t,'*|t -zf *lffi-e -3f +ot+o'! !*=-lt +1 it ff-o*"tgt+c= +1 +1

+6

':

,i-t

=

61

J

7

t2

t2

+

2

5

1

+ c=

2

+ft{Frl' x+i)'+6(ó x+1)5++ =-6t'+6t5+3t°-2t3-3t2+6t+31nit2+ll-6arctgt+c=-6(ó =-9t *9sr *2,' -zf -3t2 +6t+3tnli' +tl-oor"tgt*"=-16l**tl' 5 7 2

5

7

r + rl - 6arcry\lii + c' x+1+1I-6arctgóx+l+c. +(óx+1)°-2(óx+1)3-3(óx+1)2+6(óx+1)+31nI + I 1{;1' - zGI* + t)' -x{ * + t)' + 6(Vx + t) + ln lG+ 2'

II II , . ,

binomnog diferencijala Integralibinomnogdiferencijala Integrali

gde xt su m, m, nn je integral (a + bx" )'dx , gde oblika jxm integral oblika diferencijala je binomnog diferencijala Integral binomnog [x*(a+bx"1Pdx, nule. Integral razli6iti od nule. 0 ), a a ii b realni brojevi razliditi n, p *0),ao racionalni brojevi ((n,p racionalni

ip

i

I/

t , odakle = t" , xn ==t, odakle je smenom x" pre svega, transformisati smenom svega, transformisati mo2e, pre se moZe, ie xx=tn, (a + bx" )'dx , se [x*1a+bx")Pdx, t m+1 , !-t_I ^*l -I -t gde smo it " (a + bt)' dt = 1 jty (a + bt)'dt , gde na 1!1,?-'1o+bt)pdt=llU,r+bt)pdt, se integral svodi pa se svodi na = 1 t" dt pa dr dr=!.,;-'0,, 1

,

tn

m+1 -. m+l (takocle racionalan broj). q (takode I=e stavili ::'' - 1n sluEaja: Razmotrimo Ruzmotrimo tri slu'aja:

, '

r

r

s tj. dobija dobija se se integral je jt{is (a+ Tada je o pp jeje ceo otf at == jR(t, )dt,, tj. ceo broj, broj, qs =1a + bt)'dt =,J .Tada IRG,;t )dt .

integral racionalne funkcije od z.z. z' svodi na integral smenom ,t = zs razmotren ranije, a on se smenom razmotren

I |

.

;

'L! , '

n

n

n

broj, q je je ceo ceob-j,

integral Tada se dobija integral p == I (racionalan). lracionalan). Tada J

+ bt = zs svodi na integral svodi na se smenom smenom aa+bt-z' koji se (a + bt) s )dt , koji jt4 (a+ bt) s dt = jR(t, !ryt,@+br)')dt, Jf @+bt)'dt= racionalne funkcije od z.

.

p = r ). Tada je je ceo broj (neka je p=L).Tadaje p+qieceobroj(nekaje p+q s

,

a+ bt s a + bt p 'emu se poslednji integral priEemuseposlednjiintegral jR(t, ( dt = !R1t,1'.! jt9 (a + bt)' dt = jt'+q tq(a+bt)pdt= ): )d,,, pri lto+t10+-bt lpdt= I

r

smenom smenom

a + bt

-z'zs

svodi na integral racionalne funkcije od z.z.


94

Neodrecteni integral

,dx l-

3.

dx

'll*t 4x3(1+bx) u*[li) J

-t,

tb o{t+t1-t6tsdt= -fJ; = r'-x ='o')= J(tb) [{to) 4(1+t)-l6tsdt=

= Jx = llr 14(1+x6)-ldx= 1t * ** )-'ar

3

dr=ótsdt ) \dr=6Pdt

(

dz =6Jt2(1+t)-ldt=l t=z2 =12Jz(1+z2)-lzdz=12Jz2+1-Idz=l2jdz-12J D[z(t + 221'tzdz = n!*dz =61,11t +t)-t dt =(';:'rro,)= =t2ldz- t2l-!L

dt = 2zdz

z2 + 1

lttl

1

1

= l2z 12z - 12arctgz l2arctgz + c = l2ti 12t 2

-12arctgt - l2arcrytl2

-

a-tdx t4.

"

tJ

dx

)

t

x'1*1t(4 --3Ji)

(t

=

1

!

1

+ cc == 12x 12 l2xD

t

_!

z2 +

-- l2arctgxd 12arctgx 12

+c. +C.

\

3 3

-i x3 -t, 2(4-x3)-1dr = t, x = tr l= *7 ;tdr== | xr = Jx =3Jt 2(4-t)-lt2dt H - t)-t t2dt == 1x-vgdr 3t2dt 3t2 ldr == ) !

!

x-t

tl

dt

f

2

r

2

j ft-2(4-t)-ldt=l g - t |-t dt =(i,=="r =3 1=z 6 zG - z2 l-tzdz = a z a, = -o6 dz= 1,* =6Jz(4-z2)"lzdz=6J [ ror)= dt=2zdz 4-z2

Ih

dz =-6 = 4 Jdz-24J laz - z+ z2-22

=

1fi

1*^l#*

4z - 24

2 2

ln

l

i1$,-4+4dz2

=

z2-4

z-2 +c =-6t2 -6u^lH. -2 +c= = -a,* = z+2 " " +2

=-6G -61n bx-2 +c. bx+2

-txdxl:= xdx 5. 5. J

= Jx(1 + x 3

t)

"l'*tJi

=2 Jt2(1+t) =)1,'tt+t)

3 1\ x3 =t,x=t2 lx3 =1,y=12 1 . I3 2

[x(l+x3)2dx=1, 1

2dt 32l

(?

(

2 !t

2

!

2

dr

) 2 dx

=

dr=3t2dt =)tzat

\ lax

t

!t

2t2dt = (1+t) 2t2dt= l=iF2(t+t) = 3 Jt2

2

'

)

(1+1=Z -2z +l)dz=1"s -2z 3J(z1-1)2-zdz=3J(z *32*c= =(::;:r,)=s[o2 -t)',!'a'=slk4 -222 +1)dz=-z -2" +3z+c= z dt = 2zdz 5 1

4

2

3

3 I 3 . | el _2( t+r)' +3(1+t)2 = -3 (1 +t)z -2(1+2 -5 +3(l+r;'+c=31t+ +c = 5 (1+ 1lx'1i x2 )2 -2(1+ 4/x2 -x2 )z +c )2 =ag+t)2 +l(t+ trl*')i +r.. -rrt*Vx')I +3(1+; 3

(t t t -) !! 1+dx= Jx ?3(I+x3)2dX= x3 =t, x=t *' t, x tr = = * -3Jt-2(1+t)2t2dt=3J(1+t)2dt= s!;, 1t + t1i,zo, s *,1i 7, tt *" )i d*=| 1

6.

J

3

!

!

!

!*1

T2

1+t=z2 dt = 2zdz

dx = 3t2dt = 3t2dt ldx

J

x(1 + x) 1

2 3

!

=

[(t

=

) 3

6 + c = 2. d 1+7)3 6Jz2dz=6z-; t + r f =2(1+yx)2 *, = 2 - (t +tJi )i +c [z2az = 6.? +c=2(

3

,

dx

!

l=

_JJ

3

7.

3

= =

(/

1N l)

3 I t' x = t2 2 t 2dt= Jf-1(1+t) =2 t2 xt l=+rr,,,*,,i,-to, = 1 ld*='t dt dx =- t-22dr \\2) 2 i

z 4, Jx-2(1+x2) x2 =l*' [x-21t + x2 1 2dr= tr+tz

=

-t

I


95

Neodredeni intesral Neodrefuni integral

+t -=z 1

1 '2(1+t)-;2dt=2Jt 1 =--it

;2 ?2. (1+t)

2

1+t

1

dt=2Jt-'

( t

)

;2dt=

2 ,

t

1+t 1 z z2 1I (z2 -1)i -_t )'' : o, - -, -L*, dz=-J-dz=-z--+c===-J = _1r' = _1(r2 t z,t3 *, 2 t z (r2-t)2 z -1) (z ' z'

\

1

z2-1

2z

- -1)2 dz

dt =

t2

t=

t

+c=

1+t

x2

S. 8.

C.

1+x z

X2

f

tI

/f

JV3x-x3dx 1{i-sa*

t

t\

i (!-

I x2 =t =t. x=t2

d*=l

, Jxi(3-x2)idx= = ), =!x713-x

,ll, A-- (3-t)3 4.! ? lslF 1 ft=1 =rl, 3'1s(3-t)3dt= -t)s at =)[t t

i

Jt

2

,

ldx='t dx=1t 2 . \2

_r

2dt 2dt

z

2

(zi +1)2

,'t

i t

3

zj ++It z'

J(3-t;dt=lrrl,= 9z t 2' o,=ldt.'= 1r,,, dz 2

(z3 + (z' lat=ftaz 1)

2

i

3

9

,

1

(3-t =z' ; ,t=

=-!j** *

!t _!

i

2

o,1= -1

ti

u=z tt =z

,l

1 2dt= =-Jt6(3-t)7it =il,o(3-t)tt 2dt=

t

dz

(zi+1=t

2

du=dz, dv = du= dz, dv=

#++1)

z

l,

dz

(z3

1 dt 1 t y= v=Jdv= ro" =l'r'r)r'_ Jl= 3t/ *$ 3t 3Jt2 = -7; 3(zi+1) 1

z2dz

dz

+1 J dz 2dz=l,r1tyo'=3(z' +1) 33l z' r\t+1 (z' +1) 3(t\t)*

J

,z

Bz+C A 1llABz+C 1 = = + -;_*, r -z+1 z' +1 (z+l)(z2 -z+1) z+1 z2 ;..+t ( A+ B)z2 + (-A+ B + C )z + ( A+ C ) B)22 +(-A+B+C)z+(A+C) 1= A( z2 --z+1)+(Bz+C)(z+1) z + I ) + ( Bz + C )(z + I ) = I = A(z2 = (A+

A+C=l A+B=O, A+B=0, -A+B+C=O, -A+B+C=0, A+C=1

) L. Dalje se izsistemajednadina n =--1 C=-2 dobija B iz sistema jednaina dobija -1 dobija se r" Aa ==4. Za z ==-.1 = -! ilL=Za --J3 3 3

.

-J'

I 1 J2z-1-3dz= 1., l_!_.!r2z--l-3dr= z-2 1 z-2 dz=llnlz+ll dz _1, 1 d, _t1dz t dz _;d'=7lnlz+-t 3 3 22r z2-z+1 3 zl -z+l 3 ,, z+l 3l z2-z+1 +l

= r z+1 3 3r z+1 z3i

dz

=Lml,+\-!,,1; - z+ tl+ -+- 2Jj.,-=31nIz+1I-InIz2-z+1I+

=3lnIz+1I-lnz2-z+1I+2rJ I J (z-,2

)2

3

6

2

I I

I

Y.

PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor I

96

Neodredeni integral

z--I I

+ * -21

*

*,'rff # arctg 21

i1-Z 22

JI 3x-x

:

9

dx=

-=

-61n2 -z + ! ml, + tlt ^lr -, ++ lItl+

fr

lniz +

z

1

1

o,,ts arctg

1

2z-l Js

-3(z;+1)+3(31nIz+II-ólnz1z2 -z+1+arctg 1

2z-1

(3 -x2 ); =

3

2

1

x2

3-x2 +1

In

,I3-x2 ïr

x2

+1

2

+I4 In

2i

113 2 1J(3-X)2

;

_

3-x2

arctg

2

+c

x2

X2

III III

Integrali oblika JjR(.r, R(x, ax2 + bx + c )dx

.

je dat Neka je dat integral JR( x, ax2 + bx + c )dx gde je R )dx (a*0 R racionalna funkcija ( a # 0 ), funkcija od ,tl x i ), gde 1n1*,Jrr\U**, y ax2 + bx + c Ovaj J*'+b-+r. ovaj integral se se svodi na integral racionalne racionalne funkcije primenom jedne od Ojlerovih smena. .

Akojea)a,uvodiseSmenaJm=t!,xJi(prvaojlerovasmena).Tadaje Ako je a > 0 , uvodi se smena V axe + bx + c = t± xlc; (prva Ojlerova smena). Tada je

(uzmimodajeJm=t+xJi,znakminusispredanemenjanadin (uzmimo da je Jax2 + bx + c = t + x,17 , znak minus ispred a ne menja natin

+ax

[2-C izvodenja) 1) ax2 2 , odakle izvoelenja) ax2+bx+c=t2+2xtJ-a+ax2, je x= x ,"-'=. odakle je

"

b-2t

b-2tJa

je.rx Znaci Znadi da da je

je ii dx rt (takotle (takode je dx racionalan racionalan izraz izraz od od tt ii dt), dt), a I -c, t'-c + bx + c =t+ ,lo*'*bx*c = t ± xJlr=t+f,_ Jax2 = t+ t ',,1a,t1ti.i. ii y,lr-46-a, ax2 + bx + c je racionalan racionalanizraz izraz od t.t.

racionalna funkcija racionalna funkcija od od

x,

2

b-2t

,l

,

Prema Prema tome, dati integral se transformise transformi5e u integral racionalne funkcije od t.

.

je .c > 0 ,, mo2e Ako je moZe se se uvesti smena ax2 + bx + c = xt+Ji xt ±1,1-5 (druga Ojlerova smena). Tada je (uzmimo ispred korena znak plus) Tada

Jj+b+,

2xt

2t-4: b ax ax22 + bx + c = x2 t2 + +bx+c=x2t2 +2xtJi+c,odakle + c , odakle je = i" x*=&. aa-t' - t2 Prema Prema tome, xr je je racionalna racionalna funkcija od /, funkcija od t, aa kako kako se se dr ax2 + bx + c izra2avaju d* ii yGG; izrazavaju takode racionalno racionalno preko r, t, dati integral se svodi na integral racionalne funkcije od t.L

Ako Ako kvadratni kvadratni trinom trinom ax2 ++bx+c bx + c ima ima realne realne razlitite razlidite korene korene xt x1

i

i

x2, x2, moie moZe se

staviti staviti yJ;t\ ax2 + bx bt + -,c == (x -- xtx 1).) tt (treiaOjlerova (treta Ojlerova smena).


Neodredeni integral

97

Kako je ax2 ++bx+c bx + c = =a(x-xt)(x-x2), a( x - x t )( x - x2 ), to je ,)

X= ,-oxz-xl' = ax2 2ít2

a-t/ a-t

.,[ ; .6t dx ii ax2 +bx+c a6*a,

.

a(x-xt)(x-x2)=(x-x1)2t2 a( x - x )( x - x2 ) = x - x )2 t2, aa odatle je 1

1

1

,

je racionalna takode zavise od r. t. Prema Prema tome, rx je zavise od

funkcija od /, t, a kako se 6t dx ii ,l*' ax2 a+ 6* bx+c a, izreavaju izraZavajuracionalno racionalno preko t,r, dati integral se svodi na integral racionalne funkcije od l.t. 9.

tdx

dx

r

(x+l)yx2 +x+l t*+ 4,!tlal,; je Kako je a > 0 0 koristimo prvu Ojlerovu smenu. J

t2 -1 3./x2+x+1 =t-x= =t-x xz x2+x+1 =t2 -2tx+x2 +x+1 =t2 *="1+2t J-'-t-1 -2tx+rz ) x= l+2t

2t(2t+1)-2(t2-1) -t)

dx= d_\_2t(2t+t)-2(!2 (2r + l)' (2t+1)2

2(t2 +t+1) dtdx= dt=dx_2(t2 +t+_t) o, dt (2t

(2t+1)2 + l)"

i-l = t2+t+1 t2+t+l t-x=t t2-1 1+2t l+2t 2t+1 2t+l ,-r=t

,

2(t2

.-f x+

,=-f

t2-1 +1= t2-1+2t+1 i-t+2t+t f-l 2t+1 2t+1 2t+ I + 2t+l l1-=-

=

2 tt2+2t +2t

2t+1 2t+ I

+t+1) +t+l)

(2t+1)2 = dt=2j dt =2J dt =(t2+2t=(t+1)2-12)= J t2 t(t+2) t2 +2t +t+1 t2 +2t (x+1)yx2 +x+1 2t+1 2t+1 dx

x+yx2+x+1 ,*J7;;i +c -2 1ln t+1-1 =In =In =r!#J=, t+2 t+1+1 (x+1)yx2 ***t (t+1) -IZ l*ffi=^l,;l,=^l x+2+Vx2 *a2ar[; +x+1 *a l.' $*tr[.] +x+1 dt

dx

/Idx

10. n.

c

2

a

1

l+ yl+x-x2 1+x-x' dx

J

tl

je c >0 Kako > 0 koristimo drugu Ojlerovu smenu. Kako je

2t+l 2t+1 +x-x2 =xt-l=l+x-*2 =xt-1 1+ x - x2 =*2t2 = x2t2 -2*t+' -2xt+.It I x= "lt----' ,, U t2+1 2(t +1)-2t(2t + I) 2(t2 +t-l) 2t2+t t2+1 _tz +ll-2t(-2t+t) *, _l_+t +t:t) dt. t2+t-1 !t-t _ dx dt = (t2 Or_2(t2 4,=-2(t dt xt-1= _rt_t =2,1. (12 +1)2 (t2+l)2 (t2+t)2 +1)2 tz+l = t2+1 t2+1 t/+l t2+1 t2+l 2

,

IV]

2(t2+t-1) +t - t) _2(t2 (t2+1)2 (t2 + I)2

dx +

--h2

J

+t-1 +t-l t2 +l

t2

dt dt=-2J at = -21f,, t2 +1

c=-

= * c = -2arctg 2arctg = -2arctgt -2arctgt +

l+ y l+ x- x2 x

+C

:

l l i

{ t


Neodredeni integral intesral

98 98

11.

dx

J

-2x2 -2x2 +5x-2 1 5±3 x1=2,2, 25-16 sxJ-x _) + J.t z ) xt ---5± -la =+ l-, = -r. =! -2x - -5Ji - z.\- +5x-2=0x12= - =o " x2=2 -4 -4 trecu Ojlerovu koristimo,r"ui Ofl"rovu smenu. razlidite korene #"n" koristimo i*u realm r"a*li razlieite Kako kvadratni trinom ima r------;,l - z*' + s x - 2 =t(x-2)-2x2+5x-2=t2(x-2)2 -2x2+5x-2 = t( x - 2) * -2x2 + s x - 2 = t2 x - 2)2 +1 I i t(* -) -2x+1=t2x-2t2 2r2+l ) -') x 2t2 -2(x-2)(x1)=t2(x-2)2 =# = -2(x - 2)(x -11 -2)2 > -2x * I = t2 x -2t" - x= 2

(

2'

tz +2 t2

2

-_w-

4t(t2 +2)-2t(2t2 +t) _4t(t2+2)-2t(2t2+1)-

dx= dx

(t2+2)2

dx dx

s.-, y-2x2 +5x-2 "[-h\ ¡

=

12.

-Jlarctg

= =I

6tdt =- ótdt

(t2+2)2 1t2 +212

6t 2 t +2)2

-3t % t2+2 t2

dt =-2 = *21J

+2

2t2+l 2t2+4)2t2+4 -3t -3t t'+2 t2+2 t'+2 t2+2 t'+2 t2+2

Lt^-.t-.t-.1---r--=t(x-2)=t(2t2+1

''

=arctg

+ j

dt +()2 = -J-2,,,ry# frTV t2

+,c==

=-arctg2x2+Sx-2 + 5x-2 -2x2 +c. c.

(x-ilJl (x - 2)-5

x+1 dx Jx2 +x+1 je a > 0 0 koristimo prvu Ojlerovu smenu. Kako je J

-1 r- +x+1-l-)i)x2 ) +x+l=t2 - ) -2tx+x2;,x=ffi - 't x= t2t--l =t-xx2+x+1=t2-2tx+x2 2t+1 t2 -l it2+t+1 +t+l . 2t(2t+l)-2(t2 2(t2+t+1) 2(t2 +t+il 2t(2t+1)-2(t2-1) -lt dt= _=-x=t- t2-1 dt,- tr-_r-=t-d_r-_:-------: _'---ct--4dt dx= 2t+1 2t+1 2t+l 2t+l (2t+t)'z (2t+t)z (21+1)2 (2t+1)2 ,l11x2+x+1 *2

(2 t2 +2t +4t-1dt= +4t+t+4t-l +2t dt= 1 J 4t2 +4t+1 t2 +2t 2(t2 +t+-t) +t+1) dt=2J t2 x+1 2t+1 .2(t2 41=21 Jf-Ldx=l dx=J ?,*t '4t'+4t+l +4t+1 'Jx2+*+l 't'+t+l 2 4t2 +4t+t 4t2 +4t+1 (2t+l)' t2 +t+1 (2t+1)2 li x2 +x+1 2t+1 2t+l 1 4t-1 l,1 l,1 4t-1 4t-l dt= -II t + l,4t-l '- -=dt dt J| =-Jdt+-J -:ldta:f --:-:-dt=:-t+2 2 (2t+1)2 2' 2'+1,*lf 2 2'12t+tS' 2 2 4(t+ L)2

B A(2t+1)+B = 2At+A+B 4t-1 A 4t-IABA(2t+1)+B2AI+A+B = + =-+-=--+=2t+l' (2t (2t+1)2 (2t+t)2 2t+1 (2t+l)2 (2t+l)2 (2t+1)2 (2t+1)2 + 1)2 A+B=-1 4t-1=2At+A+B, 2A=4, 4t-l=2At+A+8,

sistema jednadina jednaeina su = 22 su A = Re5enja Resenja sistema

ii B=-3. B = -3 .

4t-12 dt 3 dt _11n2t+1 4'-l=rr,=l dt +3 I |'(2t+l)' dt- d' -3t ==!nlrr+rl+3. 2t+1 J2t+1 2J(2t+1)2 2i ' 44 2t+l 2'(2t+!)z 2' '2t+l (2t+1) 1

I


Neodredeni Neodrecteni integral

99 99

x+l 3 = r*l2 tnlzt+tl* ;-!:J-4*=l dx=t+lnl2t+1I+ r I 'J*2+x+l 2 4( 2t+1 4et+l) x +x+1 )

J

1/I +x+1 +x)+-In2yx *.t*!rml, ,[j-a +x+1 *a +2x+1+ azx+ tl+ =ldZ...t 2 1

2

ll

2

1

2

I

dx

J

II

4L2(Vx2

13.t---L 't*Jl-2x-x2

13.

@ rr

33

+c +c..

+x+1 +x)+11

1+J1-2x-x2

Kako Kako je je c > 0 koristimo drugu Ojlerovu 0 koristimo Ojlerovu smenu.

2t-2 -2t2+1 t=-l t-1 .l t -r-- -' =xt-11-2x-x 1-2x-x t -2xt+1 r=':-' = xt - l + l -2x-x' =x =2-t2+l = *'t2 -2xt+ l= x=t2+1 2

2

2 2

t2+l

t2+1-2t(t-I) 2 t2-2t-1 t2-t t2+1 = it2 -2t-1 a., = 2t\;2t!J.:J)-=-2,' dx=2 d, .rt - r- = r=-+ ;2, -rt dt, - - 2t - t - . xt-1=2 -t2+l (tt+l)2 (t2 +1)2 + 1 (t2 +1) 2 t2 t2+l t2 + 1 t2 +1 t2+l 1t2+l1z t2 -2t-1 t2 -2t-1 -2t-l -2t-l dt -"-dt 2 dx (t2 + (t'+l)' t2 +l)" t'-2t-l I)2 +l)2 -2t-1 dt ., (t2 +I)2 ,I -----------;-r, _ +1)2 = 2J (t2 ;=-2J -- 't ------T- - "t(t-l)(t'+l) . t2t-'-2t-l 2(t'-tl -2t-1 --t)t) t(t-1)02 2(t" 2(t2 t(t-l)(t2 +1) +t) 1+111-2x-x2 l+ I-2x-x2 1+ l*-t2 +1 t2 +1 +l t2 +l -dl

-2t-1 AA +t-1 B , Ct+D _A(t-tXt2 +t)+Bt(t2 +1)+t(t-t)(Ct+D) -2t-l . B = A(t-1)(t2+1)+Bt(t2+1)+t(t-1)(Ct+D) t(t-1)(t2+1) t(t-lxtz +l) tt t-l + (2+1 tz +l +l) t(t-txt2 +1) 41-1)02 t2

t2

-2t - I = A(t - t)(t2 + l)+

Bt(t2 + 1)+ t(t

- t)(Ct + D)

Za t= 0 dobijamo dobijamo A=1. Za t=0 Dalje je C= Za t=1 A=l.Za t=/ dobijamo B=-1. B=-l.Daljeje 0 ii D= 2. C=0 D=2. dx

J

dt dt 25 2dt = -hltl+tnlt t I+ Mit -II2arctgt + c== -l** -tl-2arctgt*c t*-4*= t t-1 t +1 1+JI-2x-x2 t+Jt-2x-x2 =

1nI

t-1

l+ l-2x-x2

gde je r= gdeje t=1+y1-2x-x2

= ln 2arctgt +c =,,1+l-rarctst+c

x

t

vedini slucajeva Ojlerove Ojlerove smene smene uu veiini sludajeva dovode prilidno glomaznih racionalnih do integrala dovode do integrala prilicno racionalnih funkcija, funkcija, pa preporuduje pa se se preporucuje da se one da se one koriste koriste samo samo uu slucajevima sludajevima kada kada nema nema drugih mogudnosti integracije. Razmotridemo moguinosti integracije. Razmotriiemo zbog toga neke neke specijalne specijalne sluCajeve zbog toga sludajeve integrala

koje postoje metodi resavanja *,J..\ +bx+c)dx U* *, )dx za zakoje re5avanja pogodniji od Ojierovih Ojlerovih smena. !ru JR(x,ax2 (x) a) Integral oblika J a)IntegraloblikaI#dx,a*0,gdejeP,(x)polinom,?.togStepenaodx P" dx , a =0 , gde je P (x) polinom n-tog stepena od x

ax2 +bx+c

(n2l), 1), resava re5ava se primenom identiteta

( n

>_

P(x)

dx

je Q_1(x) dx - Q_t(x)yax2 +bx+c +.11 gde je +l!---r . , gde e,-t(x) polinom 1p-=g,,-,1*1J*\bur +bx+c ax'+bx+c +bx+c Jax2 ax tl ax'+bx+c

J

¡¡

,

,,1

2

stepena sa neodredenim stepena n-1 n*l sa neodredenim (nepoznatim) (nepoznatim) koeficijentima, koeficijentima, aa IA neodredena (nepoznata) konstanta. (nepoznata) konstanta. Nademo izvod izvod leve desne jednakosti ii i poslednje jednakosti leve i desne strane strane poslednje sredivanjem sreclivanjem po po stepenima stepenima od x, odreduju od x, odrerluju se se koeficijenti polinoma Q_/(x) koeficijenti polinoma e,_,(x) ii Rl, resavanjem re5avanjem sistema od od n+ n+1I nepoznatih. ,


Neodredeni integral

100 3J

x . 4# * Bx*qr[t+2.- r' +J dx =(Ax2+Bx+C)Jl+2x !fux J1+2x-x2 ''11,' Jt+r---'z / r, J1+2x-x2 -

u.

= (Ax2

14. J

-3

x2

l-x

+ + (Axz + n.r + c )4 1-x *' +(Ax2+Bx+C) =(2Ax+B)J1+2x - (2A.r + ilrft + L, - x2 + 'Jl+2x-x2 J1+2x-x2 l+2x-x2 J1+2x-x2 JI+2x-x2 Jt+2*-*2 I

X3

I

-

yi X3

+ C)(1+ 2x x' + (Ax2 + Bx Bx+C)(l x)++ .î), = (2Ax+ (2Ax + B)(1 x2 )1+1A*' B)(l +2x- x) =

x; ==-3Ax?+(5A-2B)x2+(2A+3B-C)x+(B+C+) x3 -3 Ax3 + ( 5 A - 2B)x2 + (2A + 38 - C )x + ( B + C + ),)

B+C+.1=O B+C+1=0 2A+38-C=0, -3A=1, 5A-2B=0, 5A-28=0, 2A+3B-C=O, -3A=1, jednadinadobijase )'=4 = --5 C = -16-9 i 2=4 A = -1, -3 Ba=-!, C=-+ dobija se A= sistema jednacina Resavanjem ReSavanjemsistema 3', 6' 6 ,

,

x; J

JI+2x-x2

dx=(-1x2_5x-9)J1+2x-x2 +4J

dx

dx

JJ1+2x-x2

=5

6

6

3

/2-(x-1)2

.

dx dx

J1+2x-x2

-Cx -I=t) dx=dt

dt = aresin t +c = +c aresin L=orrrinl+, r ' J(v Jz =orrrin4+, - t2 ,lrJif L )2 -,' 'lz

_Jf =

x-1

x; J

J1+2x-x2

15. J

z 2 +1

Jx2 +x+1

x +1 x2+l x2 +x+l Jx2+x+1 2

2 +c. +aresin dx=- 2x2 +5x+19 J1+2x-x JI+r*'aorssinL-I

E*''

6

dx = (Ax +B)Jx2

+x+1 ++ 1,1

- AJx2 +x+1 +(Ax+B) +(Ax+ B)

dx

Jx2 +x+1

2x+l

.l

231x2+x+1 2J-'+*rt

x2 +x+l Jx2+x+1

I2x+1

2x2+2=2A(x2+x+1)+2Ax2+2Bx+Ax+B+2.7. 2x2 + 2 = 2A( x2 + x + 1) + 2Ax2 + 2Bx+ Ax + B + 2), 2x2 +22 == 4Ax2 +(3A+2B)x+2A+B+2.Î, + (3A+ 2B)x + 2A+ B + 2X, 2x2 + 4A=2, 3A+2B=0,, 2A+B+22=2 2A+ B+21,=2 3A+28=0 3.^ = 7 jednadina dobija se ," A == 11 . BS==--4 Resavanjem Re5avanjem sistema jednaina -- iI .A=-

,

.lt

z +1 x2+l .x J dx=(x-3)11x2+x+1+7J '2

x l:r'--l---

'J*'+r+l Jx2 +x+1

J

2

4

8

,2'

48

.

8

dx

II. I ..t + (-r JJ,) 2 (x++-)' Z

2) 2' +( 22

x-r -l 3 -r 2-7 =(2-4)Jx

2

I 77l +-Ii-rl x+1+Jx2+x+1 +x+1+81n -r+*+ ,tr' + -- t +c.

8l

2

1..


'101 101

integral Neodredeni intesral x22+x+1 +x+l

16. J

x(x+1)+1 x(x+ l)+ I

dx

xVx2-x+1 ;Jx'? - x+ t

xyx2-x+1

x+1 +.=rL+'tL Jx2-x+1 dx+J

dx_

I

,,1

x'-x+l

x+1 dx=AVx2-x+1+AJ lpx=AJ.,\*+t+4#/ xt -x+1 -x+1 x'-x+l -x*t' dx

x2 ,,1

,rl Yx2

2Ax-A 2Ax-A

x+1 x+l ,,1*' Vx2-x+1 -**l

21x1 2-x+1 Ztlx2

-x+l

*

2x+2=2Ax-A+2.1 * 2 = 2Ax - A+ il" 2x

+

A

-*+t

A=2 A=1, 2),= Z+ l- 1=1 A= 1, 2A=2+A

J

2

,tl x2 11

dx

(x --)2

-x+1+ln x-2+x2-x+1I

(*=! x=) 1r,dt = = =J 'm-la*=-La,a-'7ffi -t+1--x+1 =- z \\ r' ) ;\--7dx

x2

1

1

t

t2

dx

t

=

dt

2

x+1 Vx2

-x+1

1

= -ln

-t+1

=

Jr

+42 .,*r o-lf - 2 2

(I-1-) 2

t2

---+ x 2 1

dt

dt

J

t2

t

- ln t- 2 +1t2 -t+1

J

xx2-x+1 xlx'-x+l

Jx2-x+1 rl*2

x+1 dx=Vx2-x+1+3 -*a1al1 I+a*=,ts x' -x+1 - x+ l =1X 2

/

dx

1

-1+1

1

x

x2

- ln -2+yx2-x+1 +11X2 dx=1,x2-x+1+3ln X--1 2

1-1+1x2 -1+ x

x

dx a#0, svodi se na neN Integral oblika J b)Integraloblikat-_+,neN,a*0,svodise.naintegral

b)

,

,

+c.

2

(x-a)"tl (xax2+bx+c +bx+c axn

integral

je fuau j" -a = 1 . Tada smene xx-d=1. prethodnog tipa uvodenjem smene

t"

t

=-

1 at+1 +c dt dt , 122 +bx+c = a( 01 +1 ) 2 +b gde p, p, qq ii r +, =fi.rlo,'+qt+r pt 2 +qt+r , gde +b.a!t yax dx=\tax*=-2, =l*7,2 t t t

z

/I

,

Y

zavise od a, b, c ii a .

1

,

.

17. JI t7.

dx

t**u'J*\x

/ =

x+1=-t2dt

x=Ì-1=1tt

\

x2+2x=(1-t)2+2-2t=1-2t+t2+2t-2t2 =1-t2

(x+1)3yx2+2x II

\

t2

t

t2

t2

/

7 i

I PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor I

102 102

Neodredeni Neodrecleni integral intesral

_t

r, dt

j _f -t2 dt=jl-t2-ldt=f 1-t2dt-fI# =S,IG -!# I+ 1{at I#a1 1-t2 VI-t2 tll-t" tll-t' I ll-t' 1-t2 1-t2 1

t2

=

=

=

¡¡t2dt

1-12

1

1I t; 12 7,1-;r-

at

=

dt

-

=

Y

rI

rf1-t2 +* 1 oaresint-aresint+c= r * rm - o r c sin t * c = = -24

!

t2

x2+2x-1 aresin +c. u - t * ;fi r J-+ 2(x+1) x+1 ffi 1

2

rr

+

1

in

.

IIntegrali nte grali trigonometrijskih trigonometrij skih funkcija

II

Integrali oblika j sin(ar)cos(ßx)dx , jlsin(ac)sin(fu)dx, cos(ar)cos( fEx)dx , gde su oblika Isin(u)cos(fu)dx, sin(ar)sin(ßx)dx , jIcos(w)cos(fu)dx, su a p proizvoljne konstante, resavaju ii ß trigonometrijskih identiteta: re5avaju se primenom trigonometrijskih sin( = sin( ax) m ) cos( cos(ßx) Ftc I =

sin(ax sin( fix) sin(m )) sin{ N ==

[sin(a-ß)x+sin(a+ß)x] o + sin(a + B )xl lbirf - B )x

2

[cos(a-- Bß)x ß)x] coda + B )x - cos(a+ )xl 2 lbor@

p )xl cos(ax)cos( [cos(a cos(ui) cos(fix) + cos(a+ cos(a + ß)x] fuI == ![cos1a - ß)x B )x +

2

1.

flsintxcoslxdx sìn6xcos7xdx ==

1.

l11

fsin I 3xdx = = 3xp:c = =!2 jsin(-x)dx Ib,r,-*)++ sin t1341x 1r,nt-*l* +*,13xdx 2 lsin |2 j[sin(-x)

cos cosl3x+c.. =-cosx--coslJx+c 2 26 226 7 2.

3. 3.

-1 $50 sin 2x +c. jsin3xcos5xdx =I2.j[sin(-2x) -1 . 2x) sin aid Lcos( - cos x * = rlsin3xcossxdx =!tlr,n,-r*)+sin8xld=! 4cos(-2x) -*cos =l f[cos5xfsinlOxsinlsxdx 25x]dx= -1 sin 5x sinl bxstnt 5 *a* = 5x s, - cos cos 25 xldx = L

!

2lJ[cos

+

8

2

l

=

t

z

x+c

! lrrr' fcosxcos5xdx= cosx cos ro,xdx+ * + |2 lcos x cos xdx = f[1 + cos 2xldx + 2 I4 !t, +cos2x]dx+ +I [cos4x+ + ! fffro, I * + cos 6x]dx= sin x + c -1 *x + 6 xfdx = !* Il sin2x+1 ri, 2x + L sin4x+1 sin x + L sin6x+c = =

.

88x + cc =

16

4

I cos8x+c. -cos cosSx+c. =!"os2*44t6 16 4. cosxcos2xcos3xdx =l = fcos x[cos dx = = 4. flcosxcos2xcors*,h *fro, *x + cos cos5x] Sxldx 2 !ro, =

srn

10

5

4 4J'

COS

4 4

8

8

16 t6

4

24

6

..

II II Integrali oblika oblika jt R(sinx, Rlsinx, cosx)dx cosx)dx je podintegralna funkcija racionalna Posmatrajmo Posmatrajmo integral kod racionalna funkcija kod koga je funkcija od od sir sin xx ii cos x. Svaki se svesti cosx. Svaki ovakav integral racionalne funkcije po integral mote moZe se svesti na na integral integral racionalne po novo] novoj


Neodredeni integral integral Neodreiteni

103

promenljivoj, promenljivoj, smenom smenom ,=rSi. trigonometrijskim obrascima t = tg2 . Koristedi se poznatim poznatim trigonometrijskim Koristeii se

2--=,2t,,

2tg ?tuL

da je sin *='nu' imamo x= imamodaje

-.,

2t

t+t' I+t8 2X 1+t2 t+U2|

ts

,

t-rr2! . t2) 1tg2 u 2- 1? =1.-' r 1+t2 t+W2| I+t8 2 X t+t'

cos = cosx=

.

2dt je dx = (2k+ Ako je je xxe((2k*l)n, e ((2k -1)g, (2k +1)7c), Z , tada je xx=2arctgt+2kx,pa dx=# = 2arctgt + 2kur , pa je t)r), kE ke Z,tadaje

I + t2

da je Siedi Sledi da 2 21 1- t1 2dt yx je R1 R, nova racionalna funkcija. funkcija. = R( R(sin x, cos x)dx nf R t( t )dt,, gde je R1 sin x,cos x = , = R1(t)dt !J !J 1+t2 1+12 1+t2 !

J),fr

#

-J

2t

sinx tin'

tgx

2 dt= d* =(,rL= r) = tf,tC1+t s. 'l+sinx+cosx tI+sinx+cosx dx= - .J=a, 1+t2 2t +1-t2 l*r" \-22 - tJJ) 't+_2t_*!1"_

5.

2

J

l+t' 1+t2 l+t" 1+t2 dt tdt tdt dt 4Ls,- 2t - 'ttt = 't =,t (t+t2)2 45 1+t2+21+1-12 l+t2 +2t+t-t2 (1+12)2 4J2(t+1)(1+t2)-J(t+1)(t2+1)dt= 2(t+txt+i) '1t+t11t2 +11-" 1+12 l+r d, = dt +t2)) t=+l +l)dt=l 2t+1-(1 (t+1)2 -(t2 +1) t+1 21 _rt2t2++2t+t _(t+t2 dt dt_l't+l = dt =J dt dt = J o,*+ dt_[G+l)2 L,, =, J t+1 22't'+l 't"t2 +1 (t+])(tz ++1) ' (t(t+l)(tz 1) + 1)(t2 +l) + 1) +l t2 +1 ' (t+1)(t2 x dt X X +--lntg-+1 +J -+1 tl,. +c. . t dt - J-=-lnit + +11+arctgttl+ arct gt - hilt tnlt+ll+c=-lntg + tl+c = U I t+1 = 2 2 *2 ^1, 2 |2 - ml,r ;.,1., I ^1,' t2 +1 tt

J-

h *

1

1

2

2

;.

22

22

dx dx

6.

J

cosx+2sinx+3

_( tgx .^x_.)_r = -J 2

1+t t+t22

4t

1-t2 4t i----:-r-ji-a 1+t2 l+tz

=

2dt

dt

t=# '2(t'+2t+2) '(t+l)'+l 2( +2t+2) (t+1)2+1 ^ = JI#

1

1+t 2 dt= dt_ J dt=1,.r.11t.2^ t 1-t2 ^rat= +41+3+312 l-t2 +4t+3+3t2 2

1+t2 l+t2

I+t2 l+t2 =arctg(t+1)+c=arctg(tgX+1)+c. = arcts(t + l)+ c = arcts(ts)+ 1l+ c' 2

Data smena desto dovodi do integrala integrala glomaznih racionalnih funkcija, pa je preporudljivo izbegavati je onda kada je to mogude. moguie. Navegdemo Naveliemo neke od specijalnih sludajeva integrala uvesti neku drugu smenu. racionalne funkcije od cos xx,, u kojima od sin xx ii cos kojima je pogodnije uvesti I1 Ako Ir Ako jeje uu

integralu funkcija RR takva takva da integralu oblika oblika IJR(sinx,cosx)dx Rginx,cos x)dx funkcija da je R(sin x,cos x) = cos x) smena sin x == tt (cos xdx = x,*cos x,cos x),, uvodi se smena = -R(sin = dt) . -R(sin x, .

IZ 12

je u Ako je u integralu Ako funkcija RR takva integralu oblika oblika JR(cosx,sinx)dx takva da da !R(cosx,sinx)dx funkcija R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x) uvodi smena x = t (-sin se cos xdx = R(- sin x,cos = -R(sin x,cos x), smena x=t dt). = dt) ,

je

.


104 104

Neodreileni integral Neodredeni intesral

13 I3

je u Ako Ako je u integralu integralu oblika oblika JR(sinx,cosx)dx funkcija R R takva takva da da je t R(sinx,cos x)dx funkcija je R(*cos R(x,- cos x) = R(sin x, R(- sin x,-cos x,cos cos x) ,, to je R(- cos xtgx,xtgx,-cos cos x) = R(cos xtgx, xtgx,cos cos x) . Dakle = R(cos .

dt uvodi se smena tgx = t (d.=#). (dx = tgx-*t I+ t

sinx-cosx sinx - cosx

-1 o* dx=j-dx= tgx

(tor=t 'tgx = t, xr=nrrtol\ = arctgt

1. Jrsinx+2cosx** , dt =!6dx=lo-=* =ftgr-td*=l'"'" dx= sinx+2cosx tgx+2

7.

"'-'o'| "t-l t-1 =j

dt dt

t-1 t-l

=jt

dt

t+2 T7=l L+t2 (t+2)(t2+1) 1nru,, u,d'

i)=l-t+2

12

t-1 t-l A A Bt+C At2 +A+Bt2 +Ct+2Bt+2C At2+A+Bt2+Ct+2Bt+2C t+2'/a1 (t+2)(t+i) (t+2)(t2 +1) (t+2)(1+t2) t+2 t2+1 (t+2)(t2+1) tt-1 + l)+ Bt +C Xt + 2) - I +T A(t2 +1)+(Bt+C)(t+2) =-f-=

(

A+B=O, 2B+C=1 A+B=0, 28+C=1, A+2C=-l A+2C=-1 3 Za = -2 dobija se Za t =-2 A=-j. se A == Dalje sistema dobija B =1, i C= O"f:" se iz izsistemadobija, -S =-.!i. S sinx-cosx - cosx x=--l33, dtdt +-Jdt=--J 33 , 2t dt +-j 2t dt 1LJ c sinx l,3t-l 3t -1 33, dt Jl---'------------dx=--j l-=--4t=--l l--d[--l-=

-

,

.

1

.

dt

=

sinx+2cosx 55't+2 'sinx+2cosx lOu t'+l t+2 5't'+t 5 t2 +1 55't+2 t+2 10 5St t2 t2 +1 tz +1 +l =-Slnl + z j!tnl,'t2+I-arctgt+c=-lnitgx+2l-101nI . ,l-!arctst +c = -l,rltgx+21-*,^lts2x +t l-1r*. . tg2x+II-x+c. = -i,rlt t+2+IOln

8.

!!t*

sin5x (sin2 x)2 (1- cos2)2 sin xdx = dx = = IJ sin xdx = ft sin q q cos x cos x cos x

t* *

J

##

(1 -t2)2 tq -2t2 =-J j -?!2 dt==-yto =-1(t -t2 l2 o, tg

2 =- cos x 2t +--+c, + =-cosx*-

tg

1

99.

+1t +

=t

=(::,:;, - sin xdx == dto,)=

g 1 dt -jtdt=-t--+-+c= r, =-!at+z!12at-!radt=-t-?*4*, dt=-Jdt+2jt=

2

2

t

313

+c.

3 cos x 3cos" cosx 3 cos x (sinx=t si n x = t dx dx cos xdx n d.x dx . cosxdr 1l. cosxdx \tt-t_t_-_t_-lcos xdx Jsinx r j j t t sin2x - 2sin2 xcosx xdx sinxsinZx cos = dt 2t xcosx -J 2sin2 2tin2 xcos2 *ror2 x* 2 sin2 sinz x(1-sin2 x(l-sin2 x) x) \cosxdx=dt)

ffi, 1-t2 +t2

*

= J dr== -jro, * I it2 7fa= 2 t2(1-t2) 2 1-t l!2 r' dr+-jt2(1 -t2) ! t.l1+sinxl 1+sinxl+c. _- 11 +Iln =--+-lnl-l+c. 2sinx 4 = =

dt

1

1

1

!1

2

dt

= =

1+t _c== -*Zt +* -ln 1-t I.. *^l _h #

2sinx 4 ll-sinxl I -sinx

/tgx = t, dx = 10.

dx

Jl+sin2x

=

sin x=

dt

cosx=

t ¡¡

=

j lih=itj;l=t'Ji 1+d2t2

2J

''.lE) t2+I)2

-j

=

I 1+t2 j

y1+t2 dt

1 11

2

dt

dt

1+t2

'

t+c

1+t2

1+

=

t2 1+t2

I+t2 = 1+2t2 1+t2

+, =fiarcts(ts*Ji)*, arctg o,,rytJl arctg(tgx)+c


Neodretleni Neodredeni integral

105

III Integrali III Integrali oblika oblika J(sinox)m(cosfóx)"dx re§avaju se , m,ne pomoiu ojlerovih m,neN N resavaju se pomocu Ojlerovih f6inw)^(cosfuf dx, esci e¡t' +=r-N /eri e formula ,rn*="T sin ax = cosfu=rao fix = ,, cos

-e' ^l-*' 2i 2i2

11. 11.

2

If== [sin3xcos23xdx fsin3xcos23xdx

e.d eóxi jr'ri +3e-.ci hi ,, ehi -3exi +3e-*i -e-3x; +"-3''i j,.r x cos 2 3x +2+e4*i i ehi +C . = (,€*i -e-xi -e-''i ,-r,e3''i -r-'1*i e6''i +2+e-6x; sin' ri;i = "i'ti = âv;--^=rTr2i )` rTi=7.-(

4

2 ) -8i 4 edx, _2e-3ri _e-gxi _6eii _3e-5i _fxi + 2e3xi +2e3xi +3e-3xi + 3e-hi 3e7x, óex` 3e-5xi + + 3e-7'd +3esxi +6e-n +3e-7n 3e5x; +6e-x; 2e-hi e-9x; _ -3e7xi _e9xi -32i - 32i e9.ci e7xi 7.ri e-7xi e5s; 1, Sx; r . Sri .lri . exi.ri e.citl -7.ri --9ti -S.ri -"?ri -9.ri 1t e "

-

e9x1

-

-

-

-

-e-9x1 -e + J e -e _ -=-G--T* 16 2i 16 2i ra a

-

I ehi e' -Chi -e-".

5 e- -e-.

16T2i

o

e'-

-e"' _

+ 2i 16 r6--*E--T= 16 2i

16

I sin 3._ JJ 1t sin3+ 6 ^x + 33._ =--1 stn 9x+ sin7x-3sin5xsan / x sm J + 6 sinx sln x ----16 16161616-16 16 16 -16 -s'rn -16 - 16 1 'lsingxax+! sin 9xdx+ 31lsinT tI== -L xdx -a sin7xdx31616 fsin5xdx-1 61616 'sin Jsin3xdx+ lsinSxdx lsin3xdx+L lsinxdx= xdx = - -L16 rr---'-'' 16 r 16 16 r 16 r t^3_3_1^3 3 = xcos7x+3 cosT x + _cos.5r + _ cos x _ = cos x+c. x+c cos 5x+1cos3x-3 - 144 cos 9xr44 112 48 il2 80 80 48 88 y

=

1

9

3

.

12. = Jsin22xcos3xdx 12. 1I=lsin22xcosixdx 2x1 2xi

_r-2-ri

, *=,*)r.{" -2x1 )2 2ie

sin2 sinz 2xcos3 2xcosi x=(e

-v-:=

.e-ri *r" +e-.d (e'

-xi

Yi

2e

3. )., =

e3x1 +e-3x; _2*r4.ri ,3.ti e4i' -2+e-4xi +3ex' ++3e-.n *j".ri 3e xi +e-3n "4:i 4i2 8 e7x1 exi e-.d + 3e5x' + 3e3x1 *r-ri 2e3.a _6"-ri óex' _6r-ti *3"i.ri óe-si _2r-3.ri -2e-34 *r-.ri + 3e-3x/ + *3r-jn 3e-5x/ *r"-z.ti + 3e 7x' _ *3r-5.ri _r7"ui *3r5.ri -2dn

-

-

-32 e3xi e-3xi 5 e.ri e-xi 1 e7.r; *"-7'ri _3.eS'ri +e5" +e-S'n _1.e3''i+e-3''i *t6'-T-= -s.{+e-*i =_1.r7'ri -t6 -16' 16 2 16 t6 2 16 +16 22 22 2 1 cosz x - 16 cos5xcos3x+ cos * sx,rr s, + ,o, = 16 cos7xe-7xi

-fi

fi

"os

3

e5x;

1

6fi

fi16

_

S

3Jcos5xdx-1 L fI cos3xdx+ L JI cos t1=-1 cos xdx= I cos z xdx - ![ cos xdx = - L Jcos7xdx-16 = 16 16' 16' s xax - 16 16.cos3 xdx + 16 16'

I sin7x 3 sin 1.sin .- -80 5 - -18 ^ +-6 5x sinjrsin x+ c. sin3x+:sinx+c. 3x =--sin7;112 112 80 18 16 IV IV

Integral oblika [(Pntgr*"osfu Integral J (P(x)earcosfx +Qm(x)e`tsin/x)dx +e^@)e8sinfu)dx.

Posmatrajmo integral ltrlilr* J (Pn(x)e cos fix Posmatrajmo integral + Qm (x)e"r sin gde je fix) dx ,, gde je P (x) polinom n-tog sin Bx)dx P,(x) n -tog fu+Q,(x)eft stepena, Qm(x) stepena, -tog stepena, a a i p ,B proizvoljne rn-tog stepena, a proavoljne konstante. Ovaj Ovaj integral se Q,(x) polinom m resava primenom identiteta re5ava (x)e`x px ) dx= +Q,(x)e` * )"^ cos cos ßx sin fix) dx = Rr(x)e R*( x )e^ sin fix + Tp( x)ee cos cos fix + c, Bx + Q,( x )e* sin J(P I { f,{ fu +T,k(x)e Bx +c,

ai


106 t06

Neodredeni intesral integral

su RA (x) ii su Rr(x)

(nepoznatim) sa neodredenim neodredenim (nepoznatim) Tr (x) polinomi polinomi k-tog T1,(x) t-tog stepena stepena sa koeficijentima, a a k= koeficijentima, = max{m,n}. max{ m, n} Diferenciranjem leve leve ii desne desne strane, strane, izjednadavanjem izjednacavanjem jednadina sa koeficijenata uz odgovarajuce koeficijenata odgovarajuie stepene od 2k + 22 jednaina stepene od x ii resavanjem re5avanjem sistema od + polinoma R1,(x) Tr(x) koeficijenti polinoma Rk (x) ii TA (x) . 2k 22 nepoznatih, dobijaju se koeficijenti

gde gde

.

13. e2x cosxdx 13. j(x+ 1).e2'cosxdx I (x + 1)

x/

(Cx+ D). xdx=(Ax+B)e2r COS co, x 1). e2* cos cos xdx sinx+ x+(Cx+D)e2i - (Ax* B). "2* sin J(x+1)e2e !(x+ "2* r/ * . . ((x+1)e2i sin x+(Ax+B)e2'e(2 cos x)+Ce2i x) + C . e2'' COS x + t r' COS A. e2'' sin sin x+ x + co;s cos x+ x+ ro, *x=Ae2x x + ( Ax + B e2'' 2 sin )

=

1'

1

+(Cx+D) x-- sin x) e2i(2 + (Cx + D 1. e2'r cos x 12 cos (x B +C + 2Dfcos [sin x+[(A+2C)x+B+C+2D (x+1)cosx + l)cos x =lpe-C)x+ =[(2A-C)x+A+2B-D ]cosxx A+ 28 - Dlsinx+l(e+ZC)x+

2A-C=O, A+2B-D=O, 2A-C=0, B+C+2D=l A+28-D=0, A+2C=1, A+2C=1, B+C+2D=1 2 Resavanjem dobija se = 1 B=ir,D=-. Re5avanjem sistema sistemadobija r" AA=*,, C==*. =1 =*,, 25 5 5 25 ,

r!.

,

sin x+(Sx+25)e2"r e2'' cos cos x. x. x + t 1. e2'' cos cos xdx=(Sx+2S)e2'C xdx = * l. rin - * ttr * j(x+1)e2"r !( "2* " 14. u.

|

*1.

j[xe2xcosx+(x2 -2)e2xsinxi -21e2*sinx) dx !lxe2"cosx+(x2

x+c/, r/

*'

J[xe2xcosx+(x2 * e* * r le2x ri, * *lo*' +Ex+F ro, * * r * Bx + c )J r'* e2x sinx+[Dx2 - 2 1e2' sin*fd* =f[Ax2 +Bx+C 7"" cos lf *"'* ror, + 1x2 -2)e2xsinxdx=

*'

l r"

*

xe2x sin x=[2Ax+B]e2xsinx+[Ax2+Bx+C] cos + Bx + c e2x(2sinlx+ *r2' cos rn,x+(x2-2)e2x * + ( x2 - 21e2* sin cosx)+ x)+ x =l 2ex + B lez' sinx *l 12 rin *

+[2Dx+E +fzox + E ]e2x x) = je2i(212ror, cos x-- sin x)= cos x+[Dx2+Ex+F x +fo*' * Ex + F)"'* fr" COS = Ex -F i+ [2Ax+B+2Ax2+2Bx+2C-Dx2 rin x*lzo** B + 2Ax2 + 2Bx + 2C - Dx2 = e2i sin -* - rl+ "2'' +e2x cos [Ax2 +Bx+C+2Dx+E+2Dx2 + ro, x*le*' * Bx+ C + 2Dx+ E +2Dx2 +2Ex+2F + 2Ex+ 2F ]= l= "2*

= [(A+2D)x2 +(B+2D+2E)x+C+E+2F +18 +2D + 2E)x+C + E +2Ff] =l1e+zo1x2

ro, x+ ** ," cos

e2"Y

+[(2A-D)x2 + 2B -- E)x + 2C --F (2A+28 sin *l1ze- D)x2 + (2A E)x++ B B+2c Fll e2"r r''' rin* A+2D=0, A+2D=0, B+2D+2E=1, B+2D+2E=1, C+E+2F C+E+2F=0, =0, 2A-D=1,

2A+2B-E=0, 2A+28-E=0, B+2C-F=-2 1 16 1 18 p=2,111. 213 Resavanjem sistema dobija se ,q=4, o=-1, A =? , B=-,C=D=E= F= Resavanjemsistemadobija e=* o=-!-, C=-L, i ' ' "" 55' 125 25 125' 55' 25 25 25 125 t25 18 213)e2xr 6)e2x sinx+(-1 f * #,. cosx+c rr" ror, + x2 -2)e2xsinx}lx sin * + p!- x2 cosx + c t]5 r' - *, - 2 1e2' sinxh, ==(? llf[xe2xco9x+(x2 25 5 25 125 125 *rr2' #)e2 1

x2

1

'

u== sin 5x 5x

(u

=ldv=exdx =

15. 15. II exsin5xdx e* sinSxdx =

du=5 cos 5xdx du =Scos5xdx\

I= =

ex = e-' sin sin 5x-5Jex 5 x- 5l e'' cos 5xdx 5 t:dx =

' =ex [dv=c'dx)y=st ) "u1 cos 5x dui1 =5 sin 5xdx 5 x + du (ut = = cos = -5sinSridx) = ex 5x 251j exsin5xdx e" sin sin 5x 5x 5e'' cos 5x e* sinSxdx = = - 5ex - 25 = y, = ex e'* dx ) vt s'r [rr, = exdx )=


107 L07

Neodredeni integral Neodredeni

-

cos5x) 5 x) + c .. e* si sinlxdx r* sin 5x 5 x - 5ex 5e* cos n5xdx = :L (ex = 26 Jex 26' 'I 1

oblika Integrali oblika integracijom. integracijom.

re5avaju se se parcijalnom (x) ea'dx resavaju (x) cos fixdx , JP (x) sin,ßxdx , jP JP lP,1x1'"*dr !f;*lstnpxax, lP,1xlcosftdx,

e kspone ncij alne funkcije I nte grali eksponencijalne Integrali funkcij e

yx,, gde se smenom smenom ex e' == t .. re5ava se od ex e' ,, resava gde je R R racionalna funkcija od oblika JI n1e* Integral oblika R(ex )dx

d

*=#=*,d

je J!n1e.yx=lR(il+,Sto se R(ex )dx = J R(t) , sto znaci znadi da da se je exdx = , pa Tada je e'dx=dr, Tada = dt , odakle je r^ je i" dx = dc t e t na integral racionalne racionalne funkcije od t. integral svodi na ((:

xx

rc. J 16.

arctge2

'\

x

e2

dx ==1"' !-ylge'z dx

2k'l: 2rlih arctgt

=t,x=2lnt t' x = =

-2t dt ,211+e,) lo-=1* e2(1+ex) dt (u=orrrrr+du=4 -'-'o-

Jt(1+t2)

dx =

l= l

\

r,

)

I

2

J--:+ = !m,+1)

dt = t2(t2 t'1t'+11 +1)

1

y

+ t2

t

2

t2(t2

t2dt dt = Jlidt

I*

-J -

dtt2 dt) !ffir,1 lffi* 1+ tt 1+t2-t2 dt- j dt dt 2= 2J # 0+1u, #= +#' *-J1+t2 #.

-

t( 1

)

I

t(1 + t )

l_

dt

t2

+1

=

o,,,r,) -+1 - arctgt t /

J

)+

t

dt

=I

= =

i

t+tz 1+ t

= 2(-arctgt - arctg2 arctg2tt *+ J 2(-lorrtst

tJ

arctgt dt 4! dt = z!*..1!%, = 21 t t2(1+t2)

=

2

t(1 + t )

t

dt

1

i

-InItnl'tI-21n11+t2 = l- *"1 t +

I

(arctgt=z\ arctgt = z I 2) z arctg z t arctgt zdz = J = dt a,=l to"'s!^ l=lrar=f,=arcts't tl+tz 2 2 2 2 =dz | "";=dzl' 1+t2 2

,i

1+t \'l+r'

)i

X -r

Jarctge I #g:* r

2

dx =

arctg2tt + lnll + +,c == + t21+ 2ln) fl+ orrtg, tnl t |I2arctg2tt + 2 - np -'o",' r' - 2arcts2

2arctgt

e2(1+ex) ,z1l+e.r) .r

ex 2arctpei ,*x +ln- e'* 2arctge 2 +c.' arctg2e2 -arctP-e'+ln-+C ' 1+ ex l+e't z e "; \ i

17. u.

Jxt#a. 3x

x

X

=t,

=(";.

e2x+1

-2Z[fi, J dt

= [J at dt =

e

t2

+1

dx==' 2

x = ln t

{=,,'li

-

r* + 3

=Jt= 2 t

2arctgt ++ c == e' = t - 2arctgt ex =

rffi,

Z1-2dt-t dt=Jt21dt-Jt = =

+1

t

2

=

t?!, +1 t

2

t

+1

2arctge' + c . -- 2arctgex

.


108

Odredeni intepral integral

Odredeni integral Odretleni

x

Uoéimo zatvoren interval Uodimo interval [a, b] e R. KonaCan = {xo, xj,..., }, takav da je Konadan skup tacaka tadaka P P={x11,x1,...,x,}, la,blcR. aa=x0
x

.

= A(P) max dx; = 2(P) (maksimalna duZina intervala (maksimalna du2ina intervala podele P).

ft?{,h,

/55;5_n

...,

Na svakom intervalu intervalu [x;_ j, x; ] , ii=1,2,...,n =1,2,..., n izaberimo izaberimo f, ii neka je _ (j, )E R R. l*,-t,*,), ie €=(€t,h,...,€,)eR'. Na ovaj nain nadin dobija se podela intervala intervala [a, tadkom koju oznacavamo b] sa saizabranom izabranom taCkom oznadavamo sa la,bl (P'6t (P) ' je ff :[a,b)-+ Neka je : [a, b] (P,() podela podela sa R je (P4) R ii neka je sa izabranom izabranom tackom tadkom intervala intervala [a, b] . Zbir Zair la,U]. n

I(ff ,P,€)=LfGi)bi I( ,P4). (;; )dx; se se naziva naziva integralna ili ili Rimanova Rimanova suma suma (integralni ili ili Rimanov i=l i=i

f

zbir) funkcij funkcijee f(x) f ( x) za datu podelu

(P

,€ )

,

y

a=xo x, x

x

x,

x b=x

x

,

je limes (granidna broj II kazemo Za broj kaZemo da je (grani6na vrednost) integralnih suma suma 1(f,P,) /(/,^p,f) funkcije : [a, b] -> R , za .i(P) --> 0 iipi5em" X(P)-+0 pisemo lim I( ako za svako e> postoji Sd>0, e>00 postoji >0 , f :[a,bl-+R,za

f

.i(P)->0

^liF\',(f,P,€),akozasvako takvo takvo da da za za svaku svaku podelu podelu P izabranu E (P) , kada P ii svaku svaku izabranu tgku talku (e((P), kada 2(P)< ),(p)<6, S , va2i vaLi nejednakost 1/(f ,p,€l-ll.t. P, - II < e . Ako nejednakost lttf Ako postoji I , onda postoji lim I( ,P,€)=/, onda se se kaze kaZe da da je ,

)

f

^.Ury Î(f ,t(P)-)o

funkcija funkcija f(x) integrabitna u Rimanovom rrntrif)n1'o smislu nad intervalom intervalom [a, b] . Broj nrol IÎ se se naziva naziva f(x) integrabilna [a,a].

Rimanov ili odredeni odreeteni integral funkcije funkcije f(x) nadintervalom intervalom [a, b] iipi5e pige se f f (x)dx se I= t =1f f (x) nad [a,U] f *U*. Pri tom se se aa

i bb nazivaju nazivajudonja donja odnosno gornja granica integrala, respektivno. respektivno.

a

i


109

integral Odredeni intesral

Darbuove sume

je funkcija sume. Neka Neka je funkcija f(x) vezi sa sumom stoje stoje Darbuove Darbuove sume. U uskoj vezi sa integralnom integralnom surnom U uskoj /(x,) p je podela podela je P={xo,xl,...,xn} tog i neka nad intervalom intervalom [a,b] definisana definisana ii ograni6ena ograniEena nad ={xs,x1,...,;rn} la,Ul i neka intervala. sledece oznake: intervala. Uvedimo sledeie (x), sup f(x). sup f(x), M == sup Mi == sup tni= inf m= inf m; = inf f(x), m= inf f(x), f (x). f I(x), M; ' [a,b] ,Xi xefu,bl ..e[..;-1,r;] -rela,bl ..e[..,-1,.r,] XE[ .C¡_¡,.C¡ .CE[a,b] n

n

gornjaa , nazivamo donja i gornj s( f Sume = s( , P) = E m; dx; ii SS== S(/,P) S(f ,P)= Sume ss = =im,lx; =iU,l*,, f ,P) i=l i=l b] , respektivno. intervalom [a, Darbuova suma funkcije funkcij s f(x) fa,b),respektivno. f (x) nad intervalom

Njutn - Lajbnicova formula b] , ii ako je funkcija ako f(x) ima intervalom [a, nad zatvorenim zatvorenim intervalom integrabilna nad Ako Ako je funkcija f(x) [a,D], f(x) ima f(x) integrabilna b

f

je JI f (x)dx (*M* == F(b) F(q) .. F(b)-- F(a) [a, b] , tada je F(x) nad nad intervalom primitivnu funkciju F(x) intervalom fa,Ol,tada Smena promenljive [a, b] -> R ff ::la,bl+R

: [ao, ßd-> [a, b] ima neprekidan neprekidan funkcija rpA:ldy,P;+la,b) neprekidna, aa funkcija je aefao,Bol, onda vaZi jednakost = rp(ß) , onda a=g(a), izvod. Ako je izvod. Ako aE [ae,ßn], fr.lao,Fo1, ß E [ao,ßo], a= v(a) , bb=g(P),

Neka je funkcija

t0

fi

u

a

b

(*M"== Jtff(v(t)kó (t)dt tettt))d{t@t. !J ff(x)dx

Parcijalna integracija b] . Tada intervalom [a, vaZi nad intervalom Tada vai v(x) imaju izvode nad funkcije u(x) imaju neprekidne neprekidne izvode Neka funkcije Neka u(x) ii v(x) fa,bl. b b b bb b jednakost IJ u(x)dv(x) u(x)v(x) x )v( il1.--fv(x)du(x). u( x )dv( x ) = u( I v( x )du( x ) . (

a

a

a

bbb b b vdu.. pi$e u obliku udv = krace pise obliku Jludv uvl -J Formula se kraie = uv - lvdu b

4

E

a

Osobine odretlenog odredenog Osobine 1. 1.

4

a

a

integrala integrala a

f(x)dx =0 . je J f(*M*=0. ondajei Ako je funkcija f(x) u taCki a a onda Akoje definisanautadki /(x) definisana oo b b

< b ii If(*M* 2. Ako je aa
3.

3.

b

b

a

a

b

f(x)dx = -J f (x)dx . postoji, onda je JIfltV*=-lftx)dx. postoji,ondaje

b b bbb J( f(x) f g(x))dx = J f(x)dx J g(x)dx st*Ddx= f(x)dxxt s(x)dx,, !lft*lx I b

t

a

a

bb

b

a

a

a

4. Jla. a ff(x)dx=d[f(x)dx. (x)dx = aJ f( x)dx 4.


110

Odrefuni intepral Odredeniintegral

Neka tadke a,b Neka take a,b ii ce R predstavljaju krajeve ceR krajeve za za tri tri zatvorena zatvorena intervala. intervala. Ako Ako je (x) integrabilna na najvecem funkcija ff(x) najveiem od ovih intervala, onda je ona integrabilna ii na ostala dva. Pri tom tom vaZi vai jednakost

5.

bcb r b fI f(x)dx f r*u* = j.f(x)dx+ f (x)dx I f {ilax + JI f(x)dx b

a

a

.

C

2

Izraeunati IzraCunati po definiciji definiciji jx2dx l*'a*.

1.

-I

jednakih delova poOelimo na Interval Interval [-1,2] n jednakih na n [-1, Z] podelimo (ekvidistantna (ekvidistantna podela).

.3

xi-t ==--- x1_1 nn 3

dx; Lt; = x; xi

-,f(x n

S Sn

--EH +i.3n )

Xi

i=1

i=1

3 6 =ñ(nñ

=3

2

n(n+l)

3 n

n =--E(1 -6i+

n

n

;=1

n(n+1)(2n+1)

9

+n2

Z9 i2)=3(n-6 n

n

n

n

1=1

9 n i+-,-, L,,, i2 )_ n

)=39 n2 +n +29 2n2 +3n+1 n2

i=1

=

+- 18n2 -18n+ 18n2 + 27n + 9 = 3+9(n+ 1) 2n2

2

2n2

j

9(n

*' d* == lim S z 1) ) = 3 S, = lim trm (3 +WJ)1 1s + iJ x2dx n n-)6 n->.* n-+6 _t 2n 2n" 2.

I Koristeci integralnu sumu izraCunati Koristedi izraeunati tf axdx a" dx

.

o 0

Interval lnterval [o,r] [0,1]. oetimo delimo tadkama taekama ,, x; =1, i =0,...,n =]-, =0,...,n. n ii 2 n_I n-l n-11 n-tt ! Z , l a-1 or-l .ri =-(I+a" s,,=fl = E-an +a" +.,.+a , )= =!.1t+an +an )=l .

je Donja Donja Darbuova suma suma je

.

1

n

;=on i='fl

-

D

3.

n

lI . a-1 ar-l

'lo''d*= = lim lim jaxdx n->==n ,*n 'n 1

, a" oi_l -1

n

!'

q.-l a-1 a-1 = lim - . liml = n-+°n n-+6n LI _=o-l Ina lna 1

a" -I an -l

n°° l!*o.a ako je

je a = on =

Odrediti lim odrediti

n

n

-1 = ln

lj",:"

1

n

* n+1 *+ fr + n2

1

a"

n 1*#=",1a l.;) jer je lim

a" an -1 -l 1/n 4n

n2

a= + =I( ,, n2+1 n2 +r n2 n2+22 +22+,..+ n2+n2 n- *n. nn n

/ (L)

22

l

...+ *...* + +

n

n2 + n2 #

+...+

I

1+-22 I+n2 ,*J_*p*,.*3,-i?o '' i ,2 r' '*7n2

1+

1

n

,

n

n

)=1E

n;=1

1+(i)2 t+1LY n n


111

intesral Odredeni integral

intervalu [0,1] u intervalu funkcijee y == + gornjaDarbuova Darbuova suma funkcij aa, jeje gornja [0,/]. 1+x2 l+x' L arctg0 =arctst dx * == arctgx o"'s*l!' = arctgl lim a =1 = - arctgo = 4 ko' 1

.

lfi

4. 4.

1

I1

01+x2

-4°°

Odrediti 2 m odrediti

°o=

a ako je a rr****.-*#. I +? +...+ n2

nll*o,akoje

I

1

2

-

11S,i n .n.

2 n 1l.l 1 2

2

n

2

.

+...+-t =-(-*--r ...+:)- -n1=1n a, a =-F+-7-+...+-1-=-(-+-+...+-)=L=-a+a lli=1ll n n nn nn nn nn' n nn n (0, '1l intervalu (0,1) funkcijea y == x u intervalu an a, je gornja Darbuova suma funkcij 2 =1 ... + Z)=jxdx=x lim( ri* 2++ *...*)t =+ =l ** = 2° Z n-+*ll' nno O O 2Z -'°° n nn'

t\ i+ \

1

1

+(

xx -1, x>0 fr*-t.x>0 l*'-1, x >0 g(x) 8(r)=t 1Lx-_0. , x=0. 0 ,x=0, x=0 Q

- xx -I Date su funkcije Ííx) = Datesufunkcijenr=t-

5. 5.

>

,

f(x) ii Da lili su su funkcije funkcije I@) 0 ? Da za xx20? g(x) imaju imaju primitivnu funkciju za f(x) ii g(x) funkcije 16) Da lili funkcije Da da lili imaju imaju isti integrabilne, da su integrabilne, Ako su >_ 0 ? Ako b], aa20? nad intervalom g(x) integrabilne nad intervalom [a, g(x) la,bf, >_

a >_ 0 ? [a, b], bl, a>-0 odredeni integral nad intervalom [4,

lny=xlnx y=xx )=.tr't *lnY=xlnx

L1 x lim 4= fim ln x = lim lim y = lim lim xxlnx= lim lim ln lnv= =x->0+ I ' 1 x->0+ x--+0+ -*-+0+-l1 x->0+ .t-o* x->0+ .r-if x2 x x*2 lim xx=e°=1 xt =eo = I lim

-= in x lntx

=0 = lim lim -x -x=0 x-40+ -r-+0+

x->o+ -r+0'

lim lim

lim xx-1=0 (x* x'' -l=0 (xC-1)= -t)= lim x-,°+ -r-+0+

x->o+ .r-+0+

funkciju' Funkcija Funkcija g(x) pa ima ima primitivnu funkciju. >- 0 , pa za xx20, f(x) je neprekidna za 8(x) za Funkcija Funkcija f(x) nema primitivnu funkciju. x= 0 ima prekid prve vrste pa nema =0 konacno g(x) jer funkcija g(x) f(x) funkcija ier ima konadno Obe su integrabilne; funkcija f (x) jer ier je neprekidna, a funkcija odreileni integral integral jer (x) ii g(x) g(x) imaju isti odredeni >_ 0 .. Funkcije Funkcije f za xx20 radaka prekida za mnogo taCaka f (x) tadaka. konaCno mnogo tgaka. se razlikuju u konadno tele

,

6. 6.

e

1

e

1

1

u=lnx hx

du= o"

e

= = +)= +(xlnx-x)I x =-(xlnx-x)I * tn * - ill: jlnxdx= = Jllnxldx= -( x tn x - * 11,.+ [ tn xdx + [ tn xax =l' [l tnx lax= -- jlnxdx+ . i 1 i dv=dx v=x ) \av=ax=v=x ' :e 1

1

:'

=

1

P

e

I

I

e

1

1

1

e

+e-0-e+1=2-?. .^ 4: -xi4:I =-(0+1)+1-1 =-xlnxi ' +xl *lr*+xlnxi -o - e* t = z -?e . -10 *L1* t -!+, e e ,,= ,*


112

Odredeni integral

Povr{ina ravnih likova Povrsina

o

Pravougli koordinatni Pravougli koordinatni sistem Neka je funkcija f(x) zatvorenim intervalom intervalom [a, /(x) neprekidna nad zatvorenim [a, b].

y

x

b b

f

a

a

b

c

a ab

b

(x)dx-lf P =lf P= J f(x)dx (*M* -J f(x)dx

P= -J f (x)dx =-[

P=Jf(x)dx

y

x fix) s6) a b b bbh h P r == JI f (x)dx = ltJ ( f {x)(x) - g(x))dx 1x)dx -J - I g(x)dx s( x)dx = s{ il)ax

f

aauo

f

a

a

b bbb

b

aaao

a

rP = -J x)dx + + J[ f x)dx =1( x) g(x)dx f (x)dx -! g( = [ (f f (x) - g(x))dx s{ il)ax (

{

{

a

l.1. IzraCUnati povr5irtu Izralunati povr§iriu

ograni6enu ograniCenu krivom krivom yy=2arctg(x-l)-x, = 2arctg(x -1) -x, njenom qienom kosom asimptotom i pravama pravama x = 2n , x == 0. =-27r, a'

y=2arctg(x-1)-

Asimpfote: Asimptbte:

y=-x+lt, x-a00 y=-x+ir, J-+6

y=-x-1t, x-4-ea y=-x-n, J-)€

c

y=-x-n -n x=0 0

0

0

P ='ifzarcts( = J[2arctg(x-1)-x+x+n]dx=2 e yx + n Jdx x - I ) - x + x + n)ax = z Jarctg(x-1)dx+n I orrts( * - t I ax -2a

-2n

-2a -2n

-27t -2x,


Odrecteni integral

113

() (x-l=r\ x-1= t _t * = j arctg(x r x -1)dx = o

)

_j1rc,s -2n

tarctst = tarctgt =

-

l; :ii ) dx = dt

(

dt u= arctgt, du = dt

r* =l:

= !j *,, arctgtdt = =

) 1+ R ::,::,:,= v= t2

dv = dt,

t

)=

0

4 .

= tarctgt m,, ry, _ !

tdt

=

0

Inll + t2I = (x -1)arctg(x *tl=(xt)arctg(r-o -1) ir_-*ult*r*--Ink + (x -1)2I tfllor*== -*^V -2n I

I

-2a

. Ink + (1t + 2702I -2! lnn 2z +znfl== lnlt

( t + 2n)arct == -arctg(-1) 27c) 2n)arctg(-1-arct s( -t ) + (1 s( -t - 2n)

{

- 7t(1 + 2n)arctg(1 2n)arctg( t + + 2tt) 2nl -lnz -2 ln 2 +L *!np Inh + (1 znfl2I =!U + 21) 4

=

00

0

=2n ldx=xl =zn jdx=x I

-2a -2tt

-2a -2t

r =|-zf P= 2 -2(1+2ir)arctg(1+2rc)-In2+ t + 2n)arctg(t +2tc)- ln2 + hlt !nil +{t + zx)rl+ 22 +(1+27021+ zr2 2. 2,

IzraCunati povr5inu ograniCenu Izracunati povr"sinu ograniZenu kru2nicom krulnicom x2 ++y'=g y2 =8 "2 2 y=x -x. Y=x2

i

i

parabolamt y2 parabolama y2 = 7x ii =7x

Tadka A Ta6ka A je presedna preseìrna tacka tadka kruznice kruZnice x2 *2 + +y2 y2 = = 86 ii parabole parabole y2 =7 x. =7x. presedna taCka Tadka B je preseCna Ta6ka tadka krulnice kruZni ce x2 y2 = *2 + * y2 =8 iiparabole parabole

I

L

y=x2-x. y = x2 -x

.

l-t2-z_!l

/

2-22

e=l..tzxax-[t*2 P=j 7xdx-j(x2-x)dx+j 8-x2dx-j(x2-x)dx= x2dx+j 8-x2dx-jx2dx+jxdx= -*)ax+!rlt-*'a*-lt*, -x)dx=J71*ra**iJa-*ra*-i*ra*+i*rt*= 000t10t00 0

1

/

0

1

o

0

.l3

I

(,* r;Jq X 8- x2 + x3 I+( . 8 aresin -r- -1 s x31 + 1 * i,= = = J7, =47 2 2 :*,,i,fr)l',!3 i,. | x21 2

1

2

2

2

1

0

I

t

2{

4

* z * 4 arcsin =2+2+4aresin = 3

L

1

0

2

2

2112

2

0

2

! 1-8+2= *, = +3 - -+4+7L-4aresin +2 + 3 + n - t o,,,ini= 2112

- 1-4aresin - o o,,,,,# - I3 2 !J7

1

I

t

r

t

( i


Odredeni integral

114

3.

3.

pravama xx=a =a i pravama

= If;tn2x povr5inu ograniienu krivom yy=Jitn2x ogranicenu krivom Izracunati IzraCunati povr"sinu Um P.. x= x=11 ii y=O,azatimnaci ! =0 tazatim nadi li\P

(0
i

a->0*

(u=ln2 /u=ln2

.

du=2lnxdx\ x=du=Ztn*L\ x

=l t ) , ' l= dv=x2dxv=x2 x2dx=r=1*7

p =iJ-* tn' *a, P=JAFIc1n2xdx=

'

a

I

2

;

/)

[dv=

3

/

= x2 1n2 xI =3"1

-

I

I

,n**== Jx2 lnxdx

3 ^' 4i,,-1ll u

f u1

a

dx dui = x

=1n x

_(u,=lnx+au,=* I -[rr, 3

x=a

vi =-3 x dvl=x2dx =*I*=vt=3-,)-

X

1

3

3 3 2 ^tI II -2 rn'o*$oi Jx2dx)=-?a2ln2a+Sa2lna+8X n'o-$r!*i,n*l' =-221n2a-4(?x21nxl t=-!"1 -ll'za* =-Zol 9 3 9 3 3a 3 3 3 a I

3

3

=

= ^..g$ti z' 2

I2 3

i

=--|o;, 2- a2(31na-41na)+ r,nz a - 4 tn a) + -, ) #,,(1-a2

=

1 I

2

=--2

u* lim P =-? lim 9 a-*0* a->o* u-+o+ a-+o+

31n2 3ln2

ln a 4 66lna

a- 16

+-27 a->n* lim ,,* lim u* '3 ? --4*L -? u,-+o+ 27 27 u+o+ 27 99 a)o* 27 27 27 _lri --a-

a-41na a-4lna +*E=16 ' = 3 .t 16

-

a-2-

16

a

2

s

2

3. 16 16 16 16 16 8 16 ; tim a2 ai =lim = timL= lim a = =!e *L t,* _!!- _!! lim =!!-ta =!e ' 27 a->o* 27 27 u--+0' 27 2z a0* -3 27 27 27 27 ;;;. a--0* 3 -S 27 "i:i- ao-1 27 tr-i 27 --a

-_---

3

_+-

8

31na-2 3lna- 2 _3 _l

=

aq2

-=

3

1

2

2

.

koordinatni sistem Polarni koordinatni

p = P((0), p@), kriva P= Neka je data kriva

u polarnom koordinatnom sistemu, aa3g3 fi, ß -a 2z ,upolarnom F,l9-ql32x <_

(c) <_

<_

I

,

I

polupravama ogranidenu polupravama OAB, ogranicenu p(O neprekidna gde je je p neprekidna funkcija. Geometrijsku figuru OAB, p== p(9) nazvacemo krivolinijski krivolinijski trougao. p = p(v) p(O nazvaiemo krivom p= ß iikrivom g=d y9 = a,, tp e== p

krivolinijskog trougla iznosi P tog krivolinijskog Povrsina Povr5ina P Q 1 1frPP ==11o'(@de. J p2(0drp. 2


Odrecteni integral Odredeni 4. 4.

115

Izracunati povr5inu povrsinu ograniienu ogranicenu kardioidom p == a(l+ Izraiunati a > 00.. a(1 + cos 9) , a> cosg), cp)2 dg = P = 2Pt = JJa2(1+ a2 I + cos cp)2dcp= P=2P1 1

0

lt

gldp == = o' 4(1+ 2coscp+cos2 cos g + cosz cp)dcp = [ (t + 2 0

n

2

x

rorrpp * 2 J(1+cos2cp)dcp= f cosc/xlcp+ =a2 a2l Jdcp+2a2 drp + zo'! = {! 0 t t + coszg)dq = 0 r a2 s 2 a X O

+-cp +-si r'ef+2a2sincpl zo' ,noin+4oio+!rinzof

=a2rp) =

o* o

2

0

r+-22

=

o= 0

4

0

a2n 33 2.t , q2rt =a _ -A-a ltr = = 4-E +2

2

5. 5.

2

Nati povr5inu povrsinu ograniCenu ogranicenu krivom p == asin3g, Nadi R. asin39 , aaeE R.

sin39=0 sin39=0>

91 Qt

lf (0t==0, 92 = 3

ltE

= +iryU,

;1-cosócpd a2sin23 11,P=31 o' rrn2 3@e = 3a2 =r 2 3

2rt! fo

2

n

nElt

ir

a2

o2fi 3a2 3az J o2sinócplJ = a22r =-T91+-8 ==-(Dl +-SmOOl v

-=

?

4"08"o4 o

.

o

o

Parametarski oblik Ako jefunkcija je funkcija yy=f(x) = f(x) data u parametarskom obliku x=eG), = w(t) , ttefa,Bl,pri x = cp(t) , yy=V/(t), datauparametarskomobliku E [a, fi], pri cemu demu funkcije gft ) ii yr(t) funkcij e cp(t) ry(t) zadovoljavaju zadovoljavaju uslove: a) gft) ima neprekidan prvi izvod nad zatvorenim a) funkcija intervalom [a,,8], funkcija cp(t) imaneprekidan zatvorenim intervalom 1o,91, b) rastuda nad zatvorenim b) funkcija funkcija cp(t) intervalom [a,)6], zatvorenim intervalom AG) je ie monotono rastuCa la, fr), c) zatvorenim intervalom c) funkcija funkcija yr(t) neprekidna nad zatvorenim intervalo m [a,ß], VG ) je ie neprekidna [q, 91 , d) za ? 0 svako E [a, ß] . d) yr(t) svako t ela,frl. Vft)>0

B-p

Q

i

fi

je Pr == JlyG)d(t)dt Tada je yr(t)cp'(t)dt ,, P == flt. y x; xi dt .

6.

6.

.

a a Nati povr"sinu ogranicenu jednim lukom cikloide xx=a(t-sint), Nadipovr5inuograniienujednimlukomcikloide = a(t sint) , y!=a(I-cost), = a(1 cost) , aaeR, E R.

-

-

t1=0 t1:x=0, tt: x=0, y=O Y=0+tt=0 y=0=tz=21t t2 t2 =2r t2 :i x=2ar, x=2att, y=0 xx'(t)-a(l-cost) (t) = a(1- cos t)


116 1t6

integral Odrecteni Odredeni intesral

zta

2n 2ta

2tE

2i[

27t

2n 21t

27t 2tr

P= f a2(1- COS t)2dt=a2 fl(t-2cost*cos't)dt=a2 dt-2a2 flcostdt+az cos tdt+ae lcoszttlt= (1 -2 cos t + cos2 t)dt = a2 f!dt-2a2 fcos2tdt= r=1a211-cost)2tlt=q2

0o0000 0 0 0 2 2tt 2 2r 2tr 2r 2r 2tt -2 27 -2 2 ' = a e tf dt-2a2 cos tdt+á ftdt+l fItotztat--2a2tc+a2tr= cos 2tdt=2ae1r+a216=3a2r. dt+á dt*2a2 f!cosut+\3a27t. =o' 2 0 o o00 2 0

0

71

7. 7.

<_ t <_ 2zt , Nati povrsinu ograniCenu krivom xx=a(zcost-cos2t), y = a(2sint - sin2t) 03t<2n, Nadipovr5inuograniCenukrivom = a(2cost - cos2t) , l=a(2sint-sin2t)

a>0.

(sintt - sin y(t). 4 2t)(2 sin 2t) = y(t) sin2t)(2 sintt - sin sin2t1= xi == -2a2 -2a2 (sin sin 2t -2 = -2a2 (2 sin2 t - sin sin 2t + sin sintt sin2t sintt sin2t 2t) sinz 2t) - 2 sin = -zaz

x, a( -2 -2 sin t + 2 sin 2t) 2t ) = xi = sin 2t) 2t ) = -2a(sin -2a( sin t - sin = a(

t=2n t=0

t=n

2

2° 2°I-cos2t 2°1-cos4t P=-8a f dt+12a sin 2tdt-4a f r = -ar2l!:'9t21, + tza2tf sin rintt srnzdt -+;l#t 2 2

,t-fr8

lt

it

ft

R

q o'T =4a2 f dt-4a2 at - + a2lf cos cos2tdt-24a2 2tdt - z+ a2if sin2 = o

=

if

cos I4tdt=4a2r+2a2n=6a2n. at =4 a2 Tt + 2a2N = 6 a2 n . f cos ttcostdt+2a2 cos tdt + 2azl

o

o

o

Duzina DuIina luka krive

r

Pravougli koordinatni Pravougli koordinatni sistem

f

jeuravnidefinisanakrivaA,Bsa a <_ x <_ b , gde funkcija Pretpostavimo da je u ravni definisana kriva AB sa y= f(x), (x) , a
f(x)

b

( x ) nad zatvorenim Duzina luka krive b] je = f 41+(f2 zatvorenim intervalom DuZina krive y == ff(x) n 1 7" (x))dx intervalo m [a, 1 * 11a* fa,bl i" lt =1,[

a o

1. Nati duCinu luka krive y2 --2lny-4x=0 1. Nadiduiinulukakrive 2lny - 4x =0 I 1l, , I1 I x=4Y -t=-v z-21ny, xJ,=-y-1

2

= -2 . dox,=4-+. od ,=! x = do od 4 4 442

2

=-v-4' --tn\, 2' 2- 2y 2, x=4,Y2-2lny=1y=1, x=*=4,y'-2lry=l=y=1, -=?-i, -2, y2 -2lny=12 -2)y=e y2-2lny=e2-2y=e 4'" 2

t rt y, ==-= l,I dx=x'dy, dx= xcly, 1+(ÿ)2dx= l + (y')2 dx = 1+

2 x'dy=

l=f111+(x')2dy= f 1+(y2-1)dy= 2y 1

J

1+(x)2dy

1

i'

4Y

I

J(Y2+zdy=

z2y2+Idy=

4y2 +y4

1

(2Y)

e)e+1 le * !i,* ledy_1 2P +21nyI e2+1 =f-1y=2 -1)+2(1-0)= n t1i, =4(e + t- )= fydy+2 f--4Y =i,*, = = n = 2y li,w, * f, "' ; ! 4 1

1

2. 2.

2

Y

2

e

1

1

1

1

2

r

1",*

t)

(

0

+

2

Nati duzinu astroide Nadi dulinu x 3+ astroide *1 * y,13== a-3a> 0. ol ,, or 0.


tt7 117

integral Odredeni intepral Odredeni

i

^l^l !*-7 qz=y-7y'=g 3x J '+3yJ' ;y'=0 I

-!3/ 'Y'= -x-! y_''= -r s Y _!_?2 1

'?

a x

2

1

2

xJ-t-.rt2-x3-)J y--r) =-=(ÿ)2=x-_z =--T-(y

=y2 y3 xj x; y

y ' YJ 2

2

l=4 J 1+y2dx=4J t=4.1

° JX3

01 o

op

3

x-

o

1

2

+ zy

;

dx=4j.

2

1

1

1

jx 3sar-4ri dx=4a3 dx=4a? =4o7i* oto

o

x3

) t x 1u

t. t

2

°

a

3

+i 2 33

(

!2 1

2

=6a;a; 6a, =6o3ot ==6a.

°

Polarm koordinatni sistem Polarni koordinatni

jednadina krive AB u polarnom koordinatnom sistemu, Ako je je p= p = p@), p(9), pela,Fl, (pE [a,ß], jednaina sistemu, gde funkcija p= p((p) ima intervalom [",0] prvi izvod nad intervalom funkcija p=p@) ima neprekidan neprekidan prvi izvod nad tada je [a, ß] tada

B-/pz

de +pizd

+ p'2 t ='[rlp' 1= 1 av

.

Naéi duiinu 3. ladi a(1+ cos(p) auZinu luka kardioide kardioi de p == a(1+ a) 0 . 3. cosg) ,, a> .

p'=-asing) P' = -a sincP (0)2 + ( p')2 = p2 a2 (1 + cos +a2 sin2 pz +(p')2 sinl =o2(l+cosg12

(p = a2(1 + 2 cos 9+cos2 9+sin2 (p) = = e=a2(l+2cosg+cot'g+tin'g1 1+?sQ(p =4a2cos2 IcP =2a2(1+cos(0)=4a21+cos =4o2 cor2 =2a2(l+costp)=4oz

22

9E ge (0,2T) (0,tr)- rot$>O COS9 >_O r1=21 = zj o

4.

4.

2 4a cos d(p=2j2acosd(p=8asinil r^\arp = 2!,2r ro,po = a o rn 2

@

2

o

sint = lf2 ,==8a(sin-sin0)=8a.

2

0

Naéi logaritamske spirale Nadi duiinu tuka logaritamske duZinu luka spirale

a a(

2

sin 0 )

6

q

.

poCetka do pp=eoe 0) od = e" (a> od koordinatnog paetka do @>0)

take taike A(p=1,(p=0). A(p=l,rp=0). p=0 P=0+ (p=-00 Q=q p2 p'=aeoe p2 +()2=p2ay+a2e2ar=(1+a2)e2oG, +(p')2 p'=ae° P = p,o, +o,"2o, =(l+a2 )e2oe, {W

l= r=

1+a2d(p=111+az rim'lr,r,{1*1or=W aO

lim je°`° a-t-'aW

1+ a2 )2=e°`° ="ot^lG

1+a2 1+a2 lim fim e°`°(1-eaß')= eualr-eur)-..tt,.n -"11,.; to-+* aCl w-4.0 aA

lim tim e°vi0= e,ef '. 0-7.7 co-+* CO


118

.

Odredeni intesral integral Odrefuni

Parametarski oblik Parametarski

f(x) data u parametarskom obliku xx=e0), gdeza Ako je kriva kriva y ==f(x) datauparametarskomobliku = 9(t), yy=Vft), = yr(t) , ttela,Bl E [a, 13] gde za p,la,fl+R,ty:lo,f1-R : [a, )31-> R, y, : [a, ß] funkcije cp R vaki: vaLi: p0) ry(t) imaju imaju neprekidne funkcije neprekidne izvode q>(t) ii yr(t) izvode nad p'(t)>0. zatvorenim intervalom [a,,ß] pri tome >0. zatvorenim intervalom tome q1(t) Tada Tada je ie lo,Fl ii pri =

5. 5.

1+

2

t

fi

cP (t)dt

= 11,19.2(t)+ y/2(t)dt a

B

tj.

/12dt xi2 + yi2 at t=l l= J1142

.

a

Nati dukinu luka krive y = a(sint-tcost), Nadiduiinuluka krive ya(sint -tcost), x=a(cost+tsint),0 x = a(cost + tsint) , 0 5St32tu, t 5 2n, a>0. a> 0 . 4xi == a(sin t + +tt cos cos tt)= at cos a( - sin sin t + sin cos t ) = at y; a(cost -cost sintt)= sintt ) = at sin li == a(cost - cos t + t sin (xi)2 +(yi)'=o't' +(y,' )2 a2 t2 (4)2 2r 2t-22-2r

2r

2r-

a l= a2t2dt=a f tdt=-t2 =2ott2. t= s! rta2iat=aIdt=1.r'| =2a7r2. 0 00

6.

6.

2

0

0

Nati = a(t sint) , !y == d(7a > 0 .. Naii dukinu a(1- cost) duZinu luka cikloide x = cost),, a> -sint), yi ==asint 4xi =a(1-cost), a sin t =a(l -cost), y; (*i)2 t+cos2 t)= (x; )2 +(y,' )2 = a2(1- cos t)2 ++a2 t = a2 -2a2 + a2(sin2 t+cos2 a2 sin2 t=a2 +(yi)2 sinz tt+a21sin2 t1= =a211-cost12 -2a2 sing I -lt' =4a2sin2

=2a2(1-cost)=4a21-cost 2a2 (l - cost) = 4r' = 22 =

4a2

sin2

|

t A1(4)2+(yr)2 =2asin2 stn& = /,a

2n

2R

t.

2

21r .2n

l= =-4a(-1-1)=8a. 1 = 12asin-dt=-4acos-I 4a(-t - t) = 8a. | 2a lnldt = 4acosll = to 22 20 2'o Zapremina obrtnih obnnih tela

o

Pravougli koordinatni sistem Pravougli

je funkcija Neka je [a,b] -> R R neprekidna neprekidna nad Neka funkcija f ::[a,b]-> intervalom [a,b]. krivolinijski trapez, ato sese krivolinijski trapez, cije intervalom dije [o,a]. Ako

stranice su interval [a, b], delovi pravih xx=a = a ii xx=b = b ii stranicesuinterval [a,b],delovipravih <
rl

V f2(x)dx. v =7[j = f2 (")d*. a


119 1t9

Odredeni integral intesral

1.

1.

povr5i izmedu Naéi Nadi zapreminu zapreminu tela tela koje koje nastaje nastaje obrtanjem obrtanjem oko oko x-ose .r -ose povr§i izmedu krivih krivih

g@)=3-t'-2rl;] f(x)= 3-x2 ++zr[24 2V2- x2 ii g(x)=3-x2-2112-x2 f(x)=i-x2

..

/

V[,yG] xel-A,A1 D: D: 2-x2>_0 2-x2 2o= xE[-

2-x2 g(x)=0+ 3-x2 =2 g(x)=0 =rJr-*'

/ ' 2

+*o =8-4x2 9-6x2 +x4

x4-2x2+1=0 *'-2*'+l=o (x' -1)2 (x2 - 1)' =0 = ±1 X x =*1 g(0)=3-212f(0)=3+215, ) = 3 - 2J-2 f (0) = 3 + 2Ji,'sQ

to11

-o 1

-,12-

1

J'

f2(x)dx, Vr=1, V2= 1t fI g2(x)dx s'(r)a*

V1=riv, =7t J

_J1 -5 -5 -J' Ji, , {z v =Vj V =vt -V2 -vz =r = r JI Lf2(x)-g2(x)] lf2 (*)- s' (ilj dst = tt J[f(x)-g(x)][.f(x)+g(x)]dx= [[ft*l- strl)Vt*l* g(x)ldx = -,5 -5 -J' -J' 2-x2 dx= {4. *= =It 41,2-1,x2 J alz 8 2-x2(3-x2) = off oJ, 1o - zx21dx = zo{t' - -' (6-2x2)dx=2rt -r' (3 - x2 ) (

-

o

-J,

,lz-*' 2-x

o

-5x2+6dx &g* b Jz-*' i ,lz-*' 2-x2 2-x2 +6dx=(Ax;+Bx2+Cx+D) +Bx2 +cx+oy[z-*, *4#2-x2 2-x2+.,J I#!".=1A*, I-Sx

(, - r' xt - r' ) (2-x2)(3-x2)dx=1ótt =16tt = ruof = ruotJ J

*

0

Q

Jx4

x4

2

,

dx

V2-x2 x4 -5x2 *4 -s*2 +6

,l;*, 112-x2

+ Bx2 +Cx+ol#-# +Cx+ D) -2x 2-x2 +(Ax3 +Bx2 +zo*+c1Jfi

=(3Ax2+2Bx+C) =13Ax2

2

2-x2

+Cx+D)+ A. +6 =(3Ax2 +2Bx+C)(2-*2)-*(A*3 +2Bx+C)(2 - x2) - x(Ax' +Bx2 +Cx+D)+1" a6=(3Ax2 (4B- D)x+ 2C+.ì. x4 6 = -4Ax4 3Bx3 +(6A-2c)x2 + (6A - 2C)x2 ++(48-D)x+2c+1" *o -5x2 -38x3 -5*2 ++6--4Axa x4 *o -5x2 -5*2

-4A=1A=-4, -4A=l+e=-!,4' -3B=OB=0, -38=0*B=0, L

l-

6A-2C=-5C=, 6A-2C=-5=) C=Z4'

4B-D=OD=0, 4B-D=0+ D =0, 2C 2C+.=62,= + l=A- X=*

x2+6 1 +7+-x)V2-x 5 2+x *o -s" +o*=F!*, *f - aresin-I dx=(--x .lti ,Jll?f &=lorrr;n ÌfLx4-5 4 2 4'2iJz-r, 'o y2-x2 2-x2 JZ-*, dx

7

I

I

4

0

I

5

J

0

2

o

2

,12'oo

= =

5 5 Sfi = larcsin aresin I1- orrrinT aresin 0 = = 2 2 4 57r 2 vV =16tt = 16n.Sfr = 2on2 .

-5

224

I

5

4

-=201r 4

I


r20 120

o

Odredeni integral intesral

Polarm koordinatni Polarni koordinatni sistem

je funkcija Posmatrajmo Posmatrajmo figuru figuru F F u polarnom polarnom koordinatnom koordinatnom sistemu. sistemu. Neka je funkcija p == p@) p(v) nenegativna ii neka ima neprekidan prvi izvod izvod nad zatvorenim zatvorenim intervalom intervalom [a, fl] e [0,7r]. la,flcfO,xl. Treba Treba nadi naii zapreminu tela polarne ose. nastalog obrtanjem tela nastalog obrtanjem figure F oko oko polarne figure F ose. Zapremina obrtnog teta tela je je vV ==

2.

2.

3 a ot tg) !P! J

p;(tp)sinrpdrp. sin g dg .

Nadi zapreminu zapreminu tellnastalog Naéi tela nastalog obrtaqiem obrtanjem kardioide kardioide oko polarne ose. 2

2

;

(1 +

cos rp)4

v =?o1r''1+coso)3 sinrdo--2 *(t+cosQ)a '

3bo 3 V=3rJa'(1+cosrp)'sinlrp=-3na r

4

4

8a ;n f -=8oto .

'o 0

(

33

Parametarski oblik

Ako se kriva y=V(t), kriva y == f(x) data u parametarskom obliku , y = = w(t) , ttefa,p),gd,eza obliku xx=e0), E [a, ß] , gde za funkcije vale iste povrSinu ravnih likova, funkcije (qft) .tlft) vaZe v(t) ii yr(t) iste osobine kao definisali povrginu kao ii kada smo definisali kada smo

p-

fl

obrce oko x.r -- ose tada je zapremina obrie oko zapremina V dobijenog dobijenog tela data obrascem obrascem V = xlr{'(t)g'1t1dt =z J yi2 (t)rp (t) dt ,, B fl

x'[f

tj. tj. V=>t V = J y2 .xi 4 dt. dt .

a

3. Naci zapreminu Nuei1"O"..inu 3.

= a + rcost yy=b+rsint torusa nastalog obrtanjem = b + rsint oko torusa nastalog obrtaqiem kruga kruga xx=a+rcost oko xx--

ose.

4xi =-rsint t)2 (-r sin y2 . 4 y2 t) sint)2 sint) xi _(b = ft + r sin .

IC ,r

^

27r 2tt

V =-;rJ(b+r ( sin t)2(-r t )2 ( -r sin sin t)dt) t )dt 1 = b + r sin sin t)2 t )2 (-r sin tt)dt-Or = -n I ( b + r sin )dt - ( /, JI ((b+ = -r sin

o0n t.2x 211. =RYJ(b2+2br sin t+r2sin2t)sintdt+r7t 2br sin t + r2 sin2 sin2 t)sintdt+rnlJ (b2 +2brsint+12 sin2 t)sin tlsintdt= t dt = =tu[(b2 +2brsint+12 {a2 + o 0x 27r L, 2 1-COS2t 2 2 2 2 =7crJ(b sin t+2br +2br sin t+r 2 sin sint+2br.l-cgs2t +r (1-cos t)sint)dt+rt[J(b *1211-cos2 t)sint)dt+flt'fp'*2brsint+12 sin2 tlsintdt= =ni(u2 IC

,,2

O

2


Odretteni integral Odredeni

t2t 121 br27r

n

nr3 *

0

0

,J1"+ ]j,rori tItf -7trb2 =-7Crb2costl +b7tr2tl + an ,ti*&sin2tl" Sin2tl -1tY3 rorrf tI +-cose = -nrb2 costl + co,/1"+an tI +b7Lr2tI + -nri COS -n u2COS n

n

n 2 ooao'03'onf

o

2E

2

* br'J sin +b2n ri, 2tI 2r'1" -7tr3 ro, - *r cost 2'o,n3--tn is

+

2n ,,1"

*

l

E

t

3

!,3

2n

27c

o

n

n

2a

_nrb2 ( _t _ I 1 + bn2r2 _ t3 _t _ t + rorr,l" ==-nrb2(-1-1)+btt2r2-7tr3(-1-1)+ cos3tl 1

?

*+

3

n

1

n ?

(-1-1)-ttrb2(1+1)+btt2r2-, - t ) - nrb2 ( t + t + bn212 1

{,,

?

(1+1)+n * r, * (1+1)=2b7t2r2. t, *, t = 2bre212 .

$

Povriina Povrsina omotaca omotaia obrtnih tela

o

Pravougli koordinatni Pravougli koordinatni sistem yÌ

=flX) yv=fix)

Definisimo Defini5imo povr5inu povrsinu "omotada" obrtnog tela, "omotada" obrtnog koje se tela, koje se dobija obrtanjem krivolinijskog dobija krivolinijskog trapeza, Eapeza, dije dije stranice stranice su interval interval [a, b] , delovi pravih xx=a aetovi pravih = a ii xx=b = b ii kriva [o,al, y= oko x.r -- ose. ose. Funkcija x <_ b ,, oko Funkcija f(x) = f (x) ,, aa1<_ x1b f (x) je nenegativna ii ima ima neprekidan prvi izvod izvod nad nad zatvorenim zatvorenim intervalom intervalom [a,b]. [a,b].

f

a

b

x

p= Povrsina M omotada obrrnog obrtnog tela tela je P y 1 +lyf 21iy,[t + (y')2 dx .. = 2xf a

1. Izradunati povrAinu povr5inu omotaCa 1.. IzraCunati omota& parabolidnog parabotiCnog ogledala dubine

preCnika D == 2Ji m. lm, prednika m.

A(1,12-) A(t,Jr) z

yY2

=ax =ax

d7)'=a)a=2=y2 =2s, (15)2=aa=2y2=2x

y=t 2x Y =*,lt ,,21 2 V=:=:

1

' 2J2x 2 2x 2x Jzr

Y

2x

2x +1 Nrix

2x + 1= t\ M=2nj u = z tl 2x 2x+1=27tJ z * + t a* =(';:'1 = zo! l 2x+Idx= dx=2dt/ 2x ;)= n !,[t at = n o

?i !

+(y')2

1

I1+ 1

li wr

= =-

3

;

1

=

27c

3

3 -3

3

=2(2x+1)2I z * * t ti = f, = 3

r

3

3 =2,-23 = (3,-1) -+=!6J7 -tt m2. 3" --+=2"J7 ^,

^-l


122

Odredeni integral

2.

x-ose. Nad Nadi obrde se se oko oko x-ose. 1 ii svojom asimptotom obrce krivom yy=+ ogranicena krivom Figura Figura ograniiena ' = 1+xZ I+xt

2.

nastalog tela. zapreminu zapreminu tako tako nastalog

4

= y!== 00 horizontalna asimptota

1 = lim um =0 -C->°°1+x2 ,-+- 1+ x"

A->°° o

3. 3.

I

x

ffi) =,

*

n2

w

) arctgco+ + arc t I) = 2n x-». lim (1 arctgxl+ a, r, wio* t dx = 2n zn lim tim ( 2(x2 + 1) ,t !2 sa 2(w2 + 1) t2 (1t + x2 )2 0

j vV == 2n i,,?,-i 2TE tlim

1

#V,r.

ffif

^

(y - b)2 = a2 oko +(y-b)2 oko xx x2 + krulnice x2 rotacijom kruinice nastalog rotacijom =a2 torusa nastalog povrsinu torusa Nadi povr$inu Nad

2

'

-

ose ose

(b> a). (b>a).

-

(y-b)2 b)2 ==a2 a2 (y

..t-

--x2 x2

y-D==na a2-x2 -x y-b=+ I-2 y=D=\4 a2-x2 y=b± -x

ÿ-!==L^

2

(y,)2 x r-,'r2'- X2

x

,,lat-x' a2-x2

4+,* !

YI+(ÿ)2 duor =

M=2.2nJ(b+ya2-x2) 0

uj

= 4nJ(t = --"to'

L ab ,[d+ a2 I

V

a

a2-X2

4 ab "'L'J/_*,

a2 ct

2

-=+

-x2 -x

a

a

a2 -x2 !a'-x'

dx=

a2-x2

! 6ns6 qv6sin x f = = + dx = 8nabaresin aa'o -*z

8nabJ . -L,toz a )dx = +a)dx+4nJ( + ddx + 4nol ( = Stwbi - a)dx 0Va2 -x2 a2 -x2

0) = I * arcsin arcsinA) = 8nab(aresin Sttab(arcsin 1= 4abn2 =

.

dx+2 Z1cJ(b- a2-x2)

X

a -x a2-x2

IG

-x2 o

.

sistem koordinatni sistem Polarni koordinatni

omotaa povrSina P P omotada oko polarne polarne ose, tada je povrsina qla,01.lO,rl oA*eoko ß] e [0, r] obrce p((p),, ep[a, kriva p p== p(rp) Ako se se kriva p(P) ima ima neprekidan prvi izvod nad p = p(op) funkcija p= pretpostavkama da funkcija obrtnog tela, pod pretpostavkama obrascem aataobrascem zatvorenim intervalom [a, zatvorenim intervalom la, ß] B) data n-

Q

( ril sin g dq) dg . sin rp P= 2r JI p( p(v)11p2(v)+ = 27r exl p' kpl * p'2 (yo)

a


Odretteni integral Odredeni 4. 4.

123 L23

povr5inu lopte poluprecnika polupreinika R. Nati Naii povrsinu

p= je povrgina polarnom koordinatnom R je kruZnice u sistemu, pa pa je jednatina kruznice u polarnom koordinatnom sistemu, povr5ina lopte ie jednadina =R t--t P P=2nJR2sinrpdrp=-2irR2cosrpl =2rlR2 singdg=-2n R2 cosgl

=42tR2. =4n R2 .

n

r

Parametarski oblik Parametarski

kriva y == f(x) data u parametarskom Ako se kriva = v(t) , yy = yr(t) , ttefa,B), e [a, fil, obrie obrte obliku xx=gft), parametarskom obliku =V0), oko x-r -- ose, tada pretpostavkama: oko tada je povr5ina povrgina P omotata omotada obrtnog tela pod pretpostavkama: a) v(t) ima a) funkcija funkcija g(t) imaneprekidan pozitivan prvi izvod nad zatvorenim zatvorenim intervalom neprekidan pozitivan intervalom [a, la, 13] fl,, b) funkcija yr(t) b) prvi i izvod nad zatvorenim zatvorenim nenegativna i je ima prvi neprekidan intervalom intervalonr VG) 1o,01, [a, t6[

fiB-

data obrascem p P == zo:lvltild'(t)+rtr'2 21r J yr(t).j p 2 (t) + V2 (t) dt .. $) at a 5. 5.

Naii Nati povr5inu povr §inu tela nastalog nastalog obrtanjem oko x - ose. obrtanjem jednog svoda cikloide oko

x= a(t- sin t), x; yi =a x=a(t-sint), xi =(1cost), y! =a(l =a(1--cost), sin t cost) , y; =asint =(l-cost), (ri)2 (4)2 +(y; )2 =o'(l-2rost+cosz = a2(1 -2 cos t +cos2 t)+a2 +(yi)2 t)+ a2 sin2 t=2a2(l-cost)=4a2 t = 2a2(1 -cost) = 4a2 sin2 sin? !_

22

&

jer je 31(x;)2 +(y,')2 =2orirl, = 2asin2, jer je sin 0 za 2> [0,2,r]. sin!>o za tE tefo,zr).

Povrsina omotaìra Povr5ina omotada nastalog tela je 2rz 21.2x,.2x 2a t t !-rlr,n!-a, (t -cost)sin!-dt cos t)sin2t dt = (1= 8a2 = 8o'n'fJ sin3 ,int dt =8a2it --tl J(1-cos2 -cos2 2)sin2dt =

27t

p P == 4a2rt to'n'fJ

t

la,

o

"!lt

t

'n" |2'f'n = -t6o2n(-1 - t ) + !!q2n(-t - l) =9 ozn. =-16a2ncost 16a2n"""' = -t6o2nror!-1n 2(1 3 21=-16a2n(-1-1)+16a2n(-1-1)=64a2tt. ,,,,+ 3 3 cOS3

2Ir

1+16a2n

n

dx

6. Nati Naii I/ == J!# cosx+2

6.

nad intervalom nadintervato* x = 1r, cos cosx

Uvedimo smenu smenu tgrri= 2 =t

#,+ t

,

1

(0n) je Za Za XE xe (0,7r)

3n

. fO,*). 2

(O, 2

2

,

dx a*

2dt

,,

= =

[# #= 4* - fr dx

cosx+2

= = Jt

2

1 2t 1-t -----T+ I+t2 l+t'

z

= = 2 J zdt t +3

2

=ff 1+12 d x

tc;tg 2 arctg? arctg t+ct *,, =? o,,,sfr +cl =77arctsl7+c, Ng

'

.

-x SliCno 3 ieje Ir=l#=fr*r,r'$*rr. Slidno za zaXExefr,!t = - arctg? +c2. cos x+2 tg

Or,

)

12

J

2

2


Odredeni integral Odredeni'i*e sral

124 L24

(il=-4 Kako je funkcija ff(x) =

I 1

cosx+ cos)i+ 2z

nju postoji neodredeni neprekidna svako x to za zanju neprekidna za zaivako neodrecteni

integral nad zadatim intervalom.

I,==

Dakle, 1= lim lim Dakle, lim liml= .Y-411-r-+tr X-->7l J)tKako Kako je

lim 12. lim.12.

.r-,tt'

tg tc;2 ,r lim I = lim lim II1= lim #arctgfi+c1=fr+c1 -3 -)71 S-)ñ x-)t x--+x-{J {J lJ

x

2

zx

tg; ? tg g,, lim +c2 =- +cZ, lim lim 12= Ir= lim arctg *arctg++c2--fr*c2, /¡-2 " ' ll.l S Y11-+ ' xll+ .t-n* 11,l 3 -*-o* 1-l J: je +c] sledi da je + c] ==-fr+rr, - + c2 odnosno da je c2c2 ==#*r,. 2

2

-

7C

71.

,

43 #*r,

43

.43

.

Dakle,

2arctg tgt8; +c xx

f,7qrct877+c

(0,1r), xxcE (0,n-)

E

'x=lt x =71

+c {3

J= 1=

_re

-Lt

n z)att

x

tg--1 t8=

.++c,

arctg Tarctgt'*7*c, alJ 4J 1lJ

xE xe

.3n ). (,3 (r,V).


L

125 t25

F unkci ie vise vile promenljivih oromenliivih Funkcije

PROMENLJIVIH FUNKCIJE FUNKCIJE VISE PROMENLJIVIH vaLe ii za Slidne osnove osnove va2e realne promenljive. Slidne dati osnove realnih funkcija dve realm iemo dati Ovde demo vise realnih promenljivih. realm realne funkcije vi5e te2i tadki Mc(xc,y0) M11(xo,lo) tadka M(x,y) M(x,y) teZi z = f(x,y) f(x,y) kada tadka funkcije z= Broj Broj AA je granidna vrednost funkcije postoji Sd > 00 takvo svako e > 00 postoji putanje), ako ako za svako (duZ neke proizvoljne putanje), bilo koji nadin (du2 na bilo pise pi5e se sto se uu obliku Sto < (x,il-el
f

(.r,y)--+(.r6,tx) Yo ) (x,y)->(xo

x->xn )'-9}b

f

;]i,

(x,y) je neprekidna Mo(xo,y0) ako je tadki Mo(xo,yo) neprekidna u tadki Funkcija zz == ff(x,y) Funkcija (xo,yo) ye ) je tadka nagomilavanja definicionog skupa. (xo,yo), (x,y)= y0 ) , (xo, y) = ff (x0, lim ff(x, lim ,r -i -t6 _-)X0

Y->Yo -y-+-Yo

neprekidna. je (x0,ye definisanosti funkcija je u njoj neprekidna. ( xo,yo )) izolovana tadka oblasti definisanosti Ako je (x'y). (x+Ax,y+ly)y) . + dx, y + dy) f (x, je lz= dz = ff (x (x, y) ie funkcije zz== ff (x,y) Totalniprira5taj Totalni prirastaj funkcije je y) ako M(x,y) neprekidna u tadki M(x, (x, y) je neprekidna Funkcija Funkcija z == ff (x,y)

-f

hm dz== limoAz

dv-40 A1,-+0 dv->0

( x + Ax,y + Ay ) - f ( x,y )7= 0 . lim[f(x+dx,y+dy)-f(x,y)]=o. |i*ol f

dv-0 dy-40 Ay10

f

-f

je 7.7= (x, y) , (x+ dx, y) f(x,y), 4z = f(x+Lr,y)popromenljivojx promenljivoj x je (x, y) po funkcije z= ff(x,y) prirastaj funkcije Parcijalniprira5taj Parcijalni (x,y) y) .. ty)- f (x, (x, y + dy) promenljivoj y je d,.z Arz = a po promenljivoj = f (x,y (x,y) funkcijee z= y) po promenljivoj x je izvod funkcij z = ff (x, Parcijalni izvod

f

-f

az A,Z= lim dz ,, =`z ,, f(x+dx,Y)-.Î(x,Y) f (x+ Lr,y)- f (x,Y) = um ' dv--W dx dx ilJo ax tx dv->0 ax ai- ii\o

promenljivoj y je a po promenljivoj

Arz lim (x,y + ty)- f (x,y) ,, dyz ,, f.f(x,Y+dY)-f(x,y) = dy-a0 4-30 ay--+o ay->o Ay Ay Ey dy ay dY az dz=

lim

prira5taj u ovoj y) ako se njen totalni priragtaj tadki M(x, M(x,y) (x,y) y) je diferencijabilna u taEki Funkcija Funkcija zz == ff (x, moze napisati u obliku: tadki moZe A iB i B neki neki brojevi brojevi nezavisni od suA dy) dy , gde su = A dx + B dy + a(dx, dy) dx + ß(dx, Ay).Ay,gde dz Az=A.Ax+8.ly+a(Ax,Ay).Ax+F(Lr, te2e nuli. teZenuli. dx i dy nuli kad Ax i Ay telenulikad Ay) te2e dy) ii ß(dx, Ay ii a(dx, a(Ax,Ay) dx Ax ii dy FU*, dy) a(dx, dy) dx+ ß(dx, dy) dy ox). +(Ay)2 a(dx, dy) dx + ß(dx, dy) dy = dx2 +dy2 (Ax)2 + (Ay)2 (dy)2 = w J(dx)2

(x+Ax,y+Ay) tadaka (x + dx, y + dy) ii je 1/(4x)2 izmettu taEaka rastojanje izmedu ,{@r + (4)2 rastojanje gde je , gde ,

(x,y)(x, Y) 11(4x)2 + (dy)2 B dy + w a.l@ dx + B.Ay dz A. Ax+ Az = A

w== 0 lim @ dr-)0 Ar)0

*

funkcija funkcija je diferencijabilna.

dy--o0 Ay+0


126

Funkcije vise promenljivih

a) a)

f

Ako je funkcija zz= (x,y) y) diferencijabilna u tali tadki M(x, = f (x, M(x,y), y) , tada je ii neprekidna uu toj tadki. tacki. b) Ako je funkcija b) funkcija zz=f(x,y) = (x, y) diferencijabilna uu tacki talr
f

a

A,

f

Totalnidiferencijalprvogredafunkcije Totalni diferencijal prvog reda funkcije z=f(x,y) z = f (x, y) u tacki M(x, utadki M(x,y) y) ie je dz az=lax**or. = dx + dy

ydy'

dx x

.

a )(M) njega njegazovemo --(--)(M) zovemo drugim parcijalnim izvodom izvodom ili $f$ dxi ax; axi dxi parcijalnim izvodom parcijalnim izvodom drugog drugog reda funkcije f tadki M, po promenljivima promenljivima x; M, po / uu taki x,, x x, (tim a f redom) kojeg redom) kojeg oznacavamo oznadavamo sa sa $,*, (M) ili ili fr u sludaju je i= j slucaju kada kada je f*,,.rj(M). xi.(M). U ax;axi dx,dx,

Ako postoji parcijalni iruoo izvod

,

2

'

a2 f odgovarajuii parcijalni odgovarajuci parcijalni izvod izvod oznadavamo je oznacavamo sa (M). Ako Ako je

"u

zovemo mesovitim. me5ovitim.

U opstem sludaju, u slucaju, mesoviti parcijalni izvodi, imati razlidite razlieite vrednosti. vrednosti.

to jest va2i vazi jednako jednakost

a2

i* j , i*j,

parcijalni izvod parcijalni

a 2f a2 (M) ii (M), ako postoje, mogu ax;axi axJax;

ffi,",

Ako postoje drugi mesoviti parcijalni izvodi izvodi

take tatke M(x,y) M(x, y) ii ako su oni neprekidni

aaxt fft*,.

a2

ffiul,

(M) it

ax;axi ffi,",

a2

(M) uu nekoj nekoj okolini

axJ ffirul .ax;

u datoj datoj tacki ta(ki M, onda su su oni i jednaki uu ovoj tadki, taki,

a2

31-

(M) (M) u ). 1* ) = = ax; ", ax;ax dxidx j =d'! dx ax; rdx, (

Totalni Totalni diferencijal drugog reda a- + d2z=d(dz)=d(azdx+azd o,y)t = = d ( dz ) = a r ax ff ay ff

d2 z

*

t

.

az+azd (az . or,o, a, + ayy )dx+ d u* - r{ * +azd * !,ay ay ax f, *ay y) y ==

_ ax (ax

320*r.#0, =tla-*$dy)2r. =á o*, *, dx2+2 =d"= DxE; dx' áxaydxdy+Zdy2=(áxdx+áydy)2z. 2

1. 1.

2

2

Za funkciju zz=*'*2ry2 Zafunkciju = x2 - 2xy2 +ys + y3 naci naiiparcijalneizvodeprvogidrugogreda,kaoitotalni parcijalne izvode prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal prvog prvog i drugog reda. -az -2x-2y2,' " ax dx

*=z*-zy', atz

a

2

az

3y 2 --J xy + -J +=4xy+3y2 dy

z_-ax+6y,

2

Z= á(-4y+3y2)=-4y )=4y ay2 ax2 fr=r, #={er*3y, #=4x+6r, a

ayax

ax


promentiivih vife promenljivih Funkcije Fqnkci.ie vile dx + =!a**!dy ay dY z dx

a, = dz

dy

2

127 t27

)dx + (3y2 -4xy)dy = (2x - 2y2 1dx+13y2 =(2x-2y2 2

2

2

8ydxdy + (6y -4x)dy2 2dx --Sydxdy+(6y'4x)dy2 avz = d*' *z!'! a*an*a2',2 dy2 d2zá d'r=d"= dx2+2áXdxdy+á =2d.x2 dx2- a.ra) ' dy' y 2

..

X2 x2

! y) = funkciju f(x, 2. Z. Za funkciju = I ee-i IG, g .

Y

kao ii totalni nadi parcijalne izvode prvog ii drugog reda, kao naci

yv diferencijal prvog i drugog reda. n -r2 --ll x-y x' -x' - y x=e +1 __ 1, af---2x y '-7=e .62x).!=-4.r-; +!-.,-; -ÿ e-y , {=-4."; ''i e ,-T (-2x)1 y; y2 y'

-.2

dxyYy-

y

^

--"

Ydy Ydy

2(2X2 -y) 2x - Y(--)) --Y+**-* = r-Ln-^zt-il

#=-ft,;i y

x2

(e

2

Xe

y

y

_x2

a2

C2

C2

C2

aX2

v-

y

2

Y

y-

2

a2

.C2 -r2

2

-'t'

2

X y e d*++.e df=-22 e Ydx+ df =-3.e

v-l y

dyy'Y y2 ay

y2

2

X2

*2

.C2

.C2

.r2 .C2

af=-37. 22Y g=1,

-+ *L e;o

f --2x(- e"-i 2 #=-ro-i 2

.C2

3

e "-i Y

.C2

)-!'ii (2y-x2) 1zr- r

x2

2

x2)=-22 e

Y

*' 24 e (-2y+x2)=

y y i,=-?,-*,-rr+ 'r2 *2 ,a__ O2 -y?-3y2(x2-y) e +e x2' x2 -y= arf _y3_3yz(x2y2 == 7;= a2 g=---f-; y y6 Y

axay

y

Y.

Y

Y

y

t

Y

(2

-e-ÿ =e

-3x2y±3y2+x4 -x2y Y5

d2 42,

"

3.

)+ )=e'Ty

x4 xa

-4x2y+2y2 -4x2y+2yz y5

x` 'tl

x2 'tl -f, *'-q*'y+zy' x4 -4xsy+2y2 2xe ;-y) .r-j y dy2. dy' . (2y-x2)dxdy+e a*, *2.2*'r' .(2y-x2;dxdy+e t =2(2x -2(2xz--y) e dx2+2.

-

2"

2c2

Y

Y

Yy''

yy"

yv-

jednaCina = u + v , y = u -v zadovoljena jednaéina funkciju zz=arctgL, je za = arctg x , xx=tt+vt za funkciju da je Dokazati da y u -v az dz az + = -dz + v2 au dv u2 +u2' du' av y-x x y x 1 1 1 az =Dz ax azay 1+ ) 1- X2 +y2 X2 y2 =( +y' X2 x'+y' x" +y2 Ea 1+ y au au + aEy x' y" au ax dxdu du =* x'+y' x' y! , x2 , . x2 1+

!=tt'tt

=!L_

Y=Yy-y4=J- I := I '-L' != =t =2 2 '*7 '"7 y

==+

y

y+x x 1 y2 azay az_aZax y2 dz-ozdx*?rdy= y l,**, 1)-X2+y2 y2)( ,t' ,.e4X-tl= =r' =.!.r* ( y 1+y2+x2 x'+Y' y2+x2 y' y'+x' Exdv dyEv y'+x'! Ev xáv+ayv u-v tt-v 2(u-v) 2(u-v) 2y 2Y x+y .r+Y Zz az dz y-x v-.r az --T-_.--:---=--;u'+v' 2(u'+v') u2+v2 u+ dv x'+y' x'+y' X2+y2 du áv=x2+y2+X2+y2 x'+y' 2(u2+v2)

v

-'


128

4-

4.

Funkcije vige promenljivih

2) Pokazatidafunkcija Pokazati da funkcija z(x,y) z(x, y) definisana definisanaimplicitno implicitno xr+y+z + y + z =ln(xz = ln(x2 +y2 + y2 +z +221 jednatinu (y zadovoljava jednacinu zadovoljava -z)Aff++ e(z -x) áz = x -y . O-

f *=

az

-!

.

x+y+z ,r+y+ z=ln(x2 =ln(x2 +y2 +z2)/ +rl-) x

/ .dz I Az t+ff=7fur**r,fft 1+á =

x2+y2+z2 (2x+2záh) =2x+2z az x2 +y2 + z2 +(x2 +y2 + r' )-=2x+2zx2+y2+z2+(x2+y2+z2

,*=zx+zz! ax ax

2x - (x2 +y2 +22) + z2 ) _2x-(x2

az dz

Ex ax x2 +y2 + 12 -2, x2+y2+z2-2z

J+y+ z=ln(x2 +y'+r') x+y+z=ln(x2+y2+z2)

r/, az az 2y-(x2+y2+ZZ) 2Y v2- + 12 ) ?' : (,2-+ 1+-==-4-----(zy- + zzlt z z xx'+y'+z'' +y z +z 2(2y+2z-)-= ay'= ay aJ- xx2+y2+r2_2, ay +y z +z 2 -2z az t +L ay dy

1

az

+y2-+22 )-2xz+z(x2 +y2+z2) +y2 +22 ) 2xy-y(x2+y2+z2)-2xz+z(x2 x)ay o-rl!+rr-*l!-2xy-y(x2 *T (y-z)ax+(z ' ' dx 'dy x2 +y2 +r2 -2, x2+y2+z2-2z +

az

-2

+22 -zz 2yZ-Z(XZ +y2 +121-2ty+x1x2 +ZZ) 2xy+x(x +y2 +221 f *-ylb' +y2 +z2 +z2) (x-y)[x2 -zzf -2yz-z(x2 -x =.t-) y.. x2 + y2 +z2 -22 x'+y'+zz - 2z x2 +z2 -2z *2 +y2 +y'+22 -22 xy 5.

Data je funkcija z(x, y) =

cos

Al x2

x2

+y2

, (x, y)

(x, y) = (0,0)

0

l

(0,0)

a) a) Ispitati Ispitati neprekidnost funkcije z(x, y) y) uatatki (0,0). tacki (0, 0).

b) Naci Naei (0,0) i i az ffto,ot

b)

y frto,ot.

c) c) Pokazati da funkcija z(x, y) nije nijedlfeiencijabitna z(x,y) (e0).. diferencijabilna u tacki tacki (0,0) a) a)

Da bi funkcija z(x,y) z(x, y) bila neprekidna neprekidna u taki (0,0) mora je tadki (0,0) da je morada

tim=J:c,.oL=o. xy cos =0.

lim

1

,,lr'*y' x+y x+y i.l|,l*'*v' r-,0 ,,401

2

Ay

Ix2

2

2

cos

+y2

1

Jx2 +y2

X

I

y

2

0

ay x2

cos

+y2

x2

+y

funkcija z(x, y) je neprekidna.

1x2+y2


promenliivih Funkcije viie vik promenljivih Funkciie

r29 129

Ax.Ocos dx0

I1

-!Zz(dx, 0) - z(0,0) z(0, 0) (dx) Ax,0)o 0 (dx)2 ,knf J(nf b) !e,o)= (0,0)= lim = lim lim -= ,,* ,,^ fim = = dr->0 = =o dr->0 Ar->0 Ar-+0 ZU At-+O dx Ax Ax Ax ax dx AX 0o:4 dy -^" 1t cos az 4(492 (dY)2 y* z(o'tY)-z(o'o) z(0, dY) - z(0, 0) = hm o =0 Um lim ,r*W'""W !,0.r,= (0, 0) = lim = -o =dy-+n = Ay-0 ay dy->n ay--+O Ay ay-+o dy dy Ay ty dy z(

b)

2

D

ar--+o

ay--+0

c) c)

-

y)= dz == z(z(xx *+ Lr, dx, y + dy) Az Ay ) - z(x, z( x, y) =

l'

* (dy)2 + 4(dx)2 * r,rrl 1 d* 1' + t t,

dx+*

dy a, az *o*ayz

I cos+ V(dx)2 +(Ay)2 (dY)2 l(Axr +(ayf l(axr ++(ayr

dx dy dz(0,0)=z(dx,dy)-z(0,0)= /z(0,0 ) = z( Ax, Ay ) - z(0,0 ) = + 11002

Kako je Kako je

(0, 0) = 0 i ifiro,o)=O> áz (0, 0) = 0 az(0,0)=rJ(Ld\(4,f dz(0, 0) = u(dx)2 + (dy)2 ax frro,ot=o Y

4002 ,tt,ail'-,bf co

cos

.

dx dy cos =$c^+) (dx)2 +(Ay)2 +(ay)2 ,ltt V(dx)2 +(ay)z 1

Y +(dy)2

J(ax)2

dxdy cos Ax.Ay

(Ax)z +(dy)2 (dx)2 +(zry)2"""

I

1

V0)2 +(dy)2

lM@F

da dy A|.AV 1 lim a)= cd= htn him ------:------;cos1 lrm cos ar-->o dv-40 (A-)2 +(dy)2 _/(-)2 +(dY)2 dy-a0 v,ltt t, +(ay)2 dy-o

aY=k'at

=

i;:?, i;:$(/x)'+(ay)'

k k'(4)2 him ()Xlxf-.rcsL= cos 1 - =k k lim cos timcosL. =ti* arn Ar-+0 (1+ z.r-+o (1 (t + *t V(1+k2)(dx)2 k2)(dx)2 I ! dr->0 ft/ +1 + t2 Xh), +*2 Xl*f k2 ,ltt +k2)0x)2 Jtt w tai 00 kada diferencijabilna u tadki a ne neteLi kada i;:fl funkcija z(x, nijediferencijabilnautadki y) nije z(x,y) á - funkcija 2

=

1

;

je 6. Neka Neka je

6.

funkcija z=z(x,y) sa z = z(x, y) data funkcija data sa

(0,0/. (0,0).

l - x2 + +Jl-r'+W.

,=p*;

y2 + z = v_Jx2 +

Ispitati

neprekidnost i diferencijabilnost diferencijabilnost date funkcije utaCki (0, 0). u taCki (4 Funkcija z je definisana za I xx15.1, neprekidna. definisan a za < lI ii uu toj toj oblasti je neprekidna. < I , I y |S I I

I

I

z(dx 0) - z(0 (dx)2 + '0) = ár m n álmn dx

+1_2

ffo,ot=j::,%-=*r,W ttl* az (0, 0) ax

bl Jt'rtrl' - t = y*,l Idxl+l-(dx)2-1= lim(I ikI -

lim ,,* l

dr-o Ar-+0

((402

,

dx AX

Ar-+0' dx dr-)0 /Lt

I+ J1-( AY)2

dx

01)2 ( Ailz

4 d1-(z)2 74rlt-1nf

-1

+1) +t1

ax->o+ It1 , dx-a0+ Ax +0, dx0 ,

1= )=1

{-1 L-/

,

dx -> 0+ ay dx { -1 , dx -* 0Dakle, Dakle, funkcija y) nije funkcija z(x, postoje parcijalni parcijalni izvodi z(x,y) nije diferencijabilna, jer ne ne postoje izvodi uu tacki tadki (0,0). Slicno

az -(0,0)= lim As->0

AY

1

,

I

.


promenliivih Funkcije F unkciie vise viie promenljivih

130

7. 7.

arctg x , y #*a0 az da ie je yY pokazati aa Ako je z- = -larc4L,y

"-i

az

Pokaztti da funkcija -(0,0)=-(0,0)= funkcija =ffto,ol = 0 .. Pokazati ay ax {@,ol

,y=o g 0 '!=o

(0,0).Da Da lili su taCki (0,0). su oba izvoda zz nije diferencijabilna u taCki

az az dz.dz

Dr

ax

neprekidna uu taCki y neprekidna

taCki

Ey

(0,0)? @,a)?

1-

az dzn2lvdzn2xx y

y2 ,,,,,,,_1L-=L

Dx x2 *2 +y2 +y2 yy

c3x

az

x_=--

y2

+ y2 x = *2 dx y") x2 +y2 (' y2 +y2'' -=L x2 +y2

X

x2

*2

y2 +y'

.

az 0-0 z(4x,0)- z(0,0) o-o = 0 - z(0'0) ==aY-40 lim ,,* z(a'0) li* = um !e,01= =o -40 4r-+0 dx A.r->0 /bt ax dx dx: az z(0, dy) - z(0,0) arctg0 -0 z(0,ty).'z(o,o) arctg9-0 im0 alimo um -=00 ay (O.0) 1i* !O,0,= = Ay at'-->o ar'+o tY dy Ay AT

_

Pokazademo da funkcija nije neprekidna. Pokazaiemo Y_x XY )='r

=L

'l

7r

lim = lim lim arctgl lim arctgarcrg!':arctgl = e-40 y 4 x-, x-+0V.(+041

I

y--+0 ' y->0 L* )=--. .. x.r y---Y .. ol 7c lim Itm arctgarctg- = ltm arctg= lim arctg -1= -I = --l x-40 yv 44l x-)0 .r-+0 -Y-+0 y-+o y->0

nije neprekidna, neprekidna, pa funkcija pa nije funkcija nije nije ni diferencijabilna.

)

(0,0) funkcija u tacki tadki (0,0) bi bila Kada bi bi oba parcijalna izvoda funkcija bi Kada oba parcijalna izvoda bila bila neprekidna neprekidna u diferencijabilna u toj sto smo pokazali pokazali da nije tadno, prema tome oba parcijalna diferencijabilna toj tacki, tadki, Sto (0,0) . u tadki (0,0). izvoda ne mogu biti neprekidna neprekidnautaiki Ekstremne vrednosti Ekstrernne vrednosfi D ii tadka tacka Mo(xo,y0) Neka je funkcija z == f(x,y) Mo(xs,y6) je nekoj oblasti D f (x,y) diferencijabilna u nekoj unutragnja unutra5nja tadka iz iz te oblasti.

broj e> dy koji zadovoljavaju zadovoljavaju uslov Ako postoji broj lx ii Ay e > 0 ,, takav da za svako dx (0,0) siedi
ul.

,

,

I

I

-f

I

I

tif (x0 , y0 ) = f (xo + dx, yo yo+Ay)-f(xs,til>0 funkcija u tacki Mo (xo , yo ) ima + dy) (xo , y0 ) > 0 tada lokalni Af(xo,yo)=f(xo+Ax, Mo(xo,yo) tadafunkcijautadki imalokalni

minimum. Drugim Drugim redima, u tacki Jo) funkcija (x, y) ima tadki M0(x0, ima lokalni maksimum ili lokalni Mo(xo,yo) funkcija z= f(x,y) postoji ea-okolina minimum takva da minimum ako ako postoji -okolina take u svim Mo(xe,yo) svim tadkama tadke Mo(xo,yo) takva da u M(x, (x,y)M(x,y)* y) # Mo (xo , y0 ) iz ove okoline 4f == ff (x, y) f (xo,yo) (xo , yo ) je istog znaka. Mr(xo,y6) okoline 4

f

-f


promenliivih viie promenljivih Funkciie vire Funkcije

131 131

uslov za ekstrem: Potreban uslov (x,y) toj tacki tadki parcijalni izvodi (xo , yo ) , tada uu toj izvodi tadki Mo M6(xs,lo), funkcij a z= y) ima ekstrem u ta6ki z=f Ako funkcija f (x, dz . dz .-. ili ne postoje. -az iednaki nuli ili - iliili su jednaki - ii -Dz

Er ay Ey ax

izvodi parcijalni izvodi kojima su su parcijalni Tadke u Ta6ke u kojima

y" az , -az *, ax ay

jednaki jednaki nuli ili ne postoje nazivaju nuli ili ne postoje nazivaju se

kojima je tadke funkcije Tadke uu kojima kritidne tacke funkcije z= z=f(x,y). f (x, y) Tacke kritiene i"

=0

ax *=O

i

i

= 0 nazivaju nazivaju se

z Y *=O

taEke. stacionarne ta6ke.

Dovoljan uslov za ekstrem:

f

(x« ,y0 ) = o je tatka (x, y) , tj. neka je funkcije zz--= f(x,y), talka Mo tadka funkcije (x y ) stacionarna taCka Mo(xo,)0) Neka je ie ff{*o,to)=0 ax ,

i

i

ukljudujuCi ii tu tu tadku, tadku, funkcija (xo , yo ) , ukljuìrujuEi talke Mo Ms(x6,yr,), okolini tacke u nekoj nekoj okolini Ako u (xo, yo ) = 0 Ako

á (x,y) z

.

fif*o,lo)=0. Y

(x,y) y) u tacki funkcija zz == ff (x, tadki parcijalne izvode drugog reda, tada funkcija neprekidne parcijalne z= z=f f (x, y) ima neprekidne Mo(xu,y6): Mo(xo,Yo)

. . .

(x,y) (xo , yo ) ima y) uu tacki tadki Mo Mo(xo,yo) ima ako je za (dx,dy)*(0,0) funkcija z= ff (x, (dx, dy) # (0,0) funkcija ako je d2z >0 za d2z>0 minimum, (xo yo ) ima je d2z (dx,dy)*(0,0) tadki Mo f(x, y) uu taCki Mo(xo,yo) funkcija z= z=f(x,y) za (dx, dy) # (0,0) funkcija ako je d2z<0 ako <0 za maksimum, maksimum, taìrki Mo(x6,y6) Mo (xo yo ) nema z = (x, y) u tadki (dx,dy)*@,A) nema funkcija z=f(x,y) znak za (dx, dy) # (0,0) funkcija ako ddzz menjaznakza ako 2 z menja ekstrem. ,

f

,

vaZi za bilo koju funkciju nn - promenljivih. Ovaj kriterijum kriterijum vai uslov za za ispitivanje ispitivanje ekstremne promenljive vai vaZi ii sledeii dovoljan uslov sledeci dovoljan Za funkciju Za funkciju dve dve promenljive

vrednosti: vrednosti:

je rt (ilit<0), t < 0) <0 (ili >0 ii rr<0 - s2 >0 imamaksimum rt-s2 1) 1) ima maksimum ako je > 0) r > 0 (ili tt>0), ako je je rt -*s2 s2 >0 >0 ii r>0 minimum ako 2) 2) ima imaminimum je rtrt -- s2 <0 , 3) 3) nema nema ekstrem ako ie =0,, ako je rt -s2 -s2 =0 4) potrebna 4) potrebna su dalja dalja ispitivanja ako a2z O2z d2z gdele I J=-. gde je r=-, r= d2zt=:--; t

,

,

,

2

2

dx'

l.1.

,

ay dY'

axay dxdY y

funkcije z = ln(l 2xy)++ xy -- x Naci ln(y Naii ekstremne vrednosti funkcije - 2xy)

.

az y=-J(-2y)+ 2+2xy-y-2x+1=0 +y-1=0 I =0 =0 o b 4+y-l =0 a 2+2ry-y-2x+ (-2y)+yt--l1=0 3x- Yy-2xy'"'" ax 2x-1 2x-l -2 xY

az I y=+(t

(1 2x)+x=Ot=>I+x=Ox=-1 x=o a !* *=o= *=-! Ev ay = v-2ry y-2xy -2x)+ v vY Y


132 132

promentjivih Funkcije vise viie promentjivih

2+2ry-y-2x+l=0 2+2xy-y-2x+1=0

y2 -y-2=0 e -y+?+1=0 -y+2+l=0 a y2-y-2=0

<=>

<=>

v Y

jednadine su Re5enja Resenja poslednje jednacine su yi -1 ii )r == -l

yz=2. Za y2=2. Zaxx koordinatu dobija se =1 ii se x1 .r1=/

=-L. Dakle, stacionarne take tadke su su A(1,-1) A(1,-t) ii B(--1 Of -4,21. ,2). =-*. '22 ad2z a 2 4 ,=*=+(;--+y-l) r dx' dx 2x-l ax2ax(2x-1+y-1) (2x-1) ex_l)" d2z aa.t1 X)=- 1I s=-=:_(-l=-(-+ a2z addz aAl 1 a2z az t=-;a2z t=-=-(-+x)=-s= x)=1. _-(-)=-(-+x)=1. =:-(:-r ; ay dy y axay dxdy ax dx y dx ay dy ax y' ay2 dy' Tacka TaCkaA A Tacka TaikaBB ,z

X2

2

2

Y

r=-4, t=-1, s=1 ';-i!;-"')ljo rt-s2 =4-1=3>0

r<0

1 r=-1, t=--, r=-1,,=-!,,-1 s=1

4

rt-s2 =!-t=-1'o -1=-3<0 ttatkiA. rt-s2=1 4 4

Funkcija i,il[",:" z(x,y) z(x,y) ima imamaksimum maksimum -2 -2 u taCki A.

Funkcija Funkcija nema ekstrem u tacki tadki B.

2.

2.

Naii Nati ekstremne ekstremne vrednosti funkcije yo -x2 y' funkcije z,== x4 ,' + y4 2*y - y2 - "2 -- 2xy 3 -a--1-=4x e 2x 2lt3 --x-y=04:=>x+y=2x * -y = 0 e x* y = )yj3 - 2x - 2y = 0 <=> * = qrt -2x-2y=0

..

ax dx

áz=4y -2x-2y=0 e 2y' - *-y =0 € x*! =2y' er-' =y =y''3 *=qy' ;-2x-2y=0<2y3-x-y=0
) x=y x=!

yr=l 2x3 -2x=0ex(x2 -l)=0(+ xt=0, x2=-1, x3=1 2x3-2x=0ax(x2-1)=0<=>x1=0, Y1=0, Y2=-1, Y3=1 !t=0, !z=-1, Ys=l Stacionarne take tadke su A(-1, A(-1, -1) i , B(1,1) C(0,0) B(l,l) i C(0,0). , -l) t2z z=12xz-2, t2z ;2 r-a z=12y2-2, t=a 1=12y2-2- ,=d2 s= z==-22 ,="r=12x2-2. t=d .

ax2 dx'

ay'

ay2

axay a.ra)

Tacka Taika A

r=10, t=10, s=-2 + rt-s2 rt-s2=100-4=96>0 =100-4=96>0 (r>0) Funkcija z(x,y) Funkcija z(x,y) ima minimum -2 u tacki A. imaminimum -2 utadkiA. Tacka B Taika

r=10, t=10, s=-2) s=-2 rt-s2=100-4=96>0 rt-s2 =100-4=9d>0 (r>0) Funkcija z(x,y) Funkcija z(x,y) ima imaminimum minimum -2 utadkiB. u tacki B. Tacka Taika C rr=-2, = -2, t=-2, t = -2, ss=-2 = -2

- s2 ==4-4=0 4-4 = 0 =potrebnasudaljaispitivanja. > rtrt-s2 potrebna su dalja ispitivanja.

Treba proveriti da li je d2zz stalnog je d2 stalnog znaka znaka za svako dovoljno dovoljno malo malo (dx,dy) (dx,dy) #* (0,0) . Za tacku tadku C je i" atz

a2z =a2z *=*=!'?. =-z axe dx' dy' ay2 axe dz'


IJJ 133

viie promenljivih Funkcije F unkci ie vise oromenliivih

á

dx2 dxz

2 2dy2 = 4dxdy - 2dy2 a*ay + o' r =d"^ d*' +* 2z á = !'!aÿ dxdy -2dx2 -- 4dxdy ' at Z2l dyarz == -2dx dxdy

d z z= ax 2

0y, *2(dx + dy )2 + 2dxdy + dy' ) _ _= -2(dx2 dxz +2dxdy+dy2) = -2(dx+dy)2 -2(

je d2 ispitivanja, pa imamo: sto je potrebna su dalja ispitivanja, za dx == -dy Zbog toga togailto Zbog d2zz =- 00 za -dy potrebna

.

za -x za y= ! =--r

(dy=-dx)je ly=*Lr) je

(

004

( Ay )2 ( Ay )a ( Ailz 2 AxAy - (4x)2 Ax,0 + dy) 7y I z( 0 g ) _ dz Az = z(0 z( 0 + dx,0 )2 = - (dy - 2dxdy = ( Ail4 + (Ay)4 - z(0,0) o, 2(dx)4 >>0, (-404 -(/x)2 - (dx)2 --2Ax(-Ax)-(-Ail2 2dx(-dx) - (-dx)2 ==2(Ax)4 +FAi4 (dx)4 + ==(Ax)4 (Ay=/x)je y=x (dy=dx)je za !=x za

.

(41.x)4 +(Ail4 Az=(Lr)a dz = (404 +

2) < 0 za dovoljno malo dx zadovoljnomalo 20x)2 ((dx)2 --Z)<0 /x. 2(dx)2 -(Ail'? - (402 --2(Ail2 - 0x)2 ==2(Ax)2((^x)2 -(Ailz .

funkcija z(x, 0) , to funkcija y) nema z(x,y) rrema tadke C(o, prira5taj nije stalnog znaka C(0,0), znaka u okolini tacke Kako prirataj tadki C. vrednost u tacki ekstremnu vrednost ekstremnu

3.

3.

Odrediti ekstremne Odrediti ekstremne vrednosti funkcije

+2xy+2yz+4x+6y+6z. 2y2 +2z2 + 222 + 2xy + 2yz+ 4x + 6y + 62. u = x2 r' ++2y2

-=

au x+y+22 =0 Z* + 2y + 4 =0 c=, a.r+y+ = 2x+2y+4 = -! -2 =0 > xx=-y-2 *?x ax au =00 <=> a 2y+x+z+3=0 2y + x+ z + 3 = 0 !0y = 4 + 2x + 2z + 6 = ay 3 au

e 2z+y+3=o+ z=-Yl3 *=u+2y+6=o =4z+2y+6=0t2z+y+3=0z=-y2 dz2 y-y!3 *t=0 e 2y-y-3+2=0y=1 2y-y-3+2=0=y=! 2y-y-2-y23+3=0 2y-y-2-y1J+3 =0 a y-y23+1=0 2"2 <=>

.4=>

je A(-3,1,-2) tadka je Stacionarna tacka Stacionarna

a2u a2u d'u d'u a2u a2u a2u d2u d'u d'! ---'i-? -o' =2. =o=o- ii' ayaz =, =r' ' a.ray -' '' ay2 ' ' dydz axaz axay = 2' dxd, ax2 dx2= 2, ay,= 4' áz2 dz2= 4' a2u d'u

"'--';-2.

a2U

a2U

a214 a2U a2U 2 2 +2 +2 dxdz dydz a.rar*23'! 4r4r== dxdy + z dz + -2 dx 2 *d2u + dy a*av+z!2! drz onz *d'! or, ddru=d'! u = -'" ---2 *z?'! -'ayaz axaz dydz " dxdz axay dxdy adt2 dx2 dz2 y

a2u

2(dy + dz)2 + 2dz2 >>0 +2(dy+dz)2 +2d22 4dz 2 +4dxdy+4dydz=2(dx+dy)2 + 4dxdy + 4dydz = 2(dx + dy)2 + = 2dx2 +4dy2 + 4dy 2 + +4d22 =2dx?

u(-3,1,-2)=-9. y, z) u(x,y,z) u(-3,1,-2)=-9. Dakle, funkcija u(x,

tadki A(-3,1,-2). ima minimum A(-3,1,-2) . minimum -9 -9 u tacki


134 134

prome nl i ivih Funkciie vire Funkcje viie promenijivih

Uslovni U slovni (ve (vezani) zani) ekstremi

f

je data Neka je data funkcija funkcija f ::D+R je data D D c R2 ii neka R definisana definisana na na skupu skupu DcR2 neka je data funkcija { (x, rp : D -+ R . Oznadimo g( x,yy))= Oznacimo sa B skup skup B == {1 1. Pretpostavimo E D :: tp(x, = 0 }. x,yy)) e Pretpostavimo da je je B #* 0. A. KaZemo Kazemo da je skup B odreden skup.B odreclen uslovom ili vezom vezom rp(x, y) = 0 . e(x,y) =0 .

Kazemo da KaZemo da funkcija funkcija z=f(x,y) z= f (x, y) uu tacki tadki A(x,y)eB ima uslovni (vezani) lokalni A(x, y) E B ima uslovni (vezani) (vezani) lokalni maksimum (uslovni (uslovni (vezani) lokalni minimum) gk,il minimum) pri pri uslovu uslovu rp(x, y) = ako postoji postoji broj = 0 ,, ako E 0 , takav da (Bt{a €>> 0,takav dazasvako za svako X \I A }}) nnL(A,e) XeE (B vaii L(A, E) vazi f(X)0) (f(X)>> f(A)), f(A)),tj.(postoji € > 0) f(X) < f(A) (f(x) (za svako svako XE f(X)<< f(A) (f(X) > f(A)). Xe Bn(L(A,e)\{A})) B a(L(A,s)\iA b ftn f(A) (f(X)> jednim imenom Uslovni lokalni maksimum odnosno lokalni maksimum odnosno uslovni uslovni lokalni lokalni minimum jednim imenom zovemo uslovni ili vezani ekstremi. Jednadina Jednaina p( v(x, x,yy)) = 0 zove se jednadina veze. =0

je jednaina jednadina krive Ako krive L :: g(x,y) Ako je v(x, y) =- 0 ,, tada tada se problem problem nalazenja nalaZenja uslovnih uslovnih ekstrema ekstrema funkcije L moze zz= = f(x,y) f(x, y) na na krivoj krivoj L mo1e formulisati formulisati na na slededi sledeii nain: nadin: nadi ekstrem funkcije funkcije z=f(x,y) z= f (x, y) u naii ekstrem u D D pod g(x,y)-*0 uslovom da je rp(x, daje y) =0 . .

Dakle, u nalazenju uslovnog ekstrema funkcije zz=f(x,y) Dakle,unalaZenjuuslovnogekstremafunkcije promenljivexiysenemogu = f(x,y) promenljive x i y se ne mogu vige viSe smatrati kao kao nezavisno promenljive. One povezane relacijom One su povezane relacijom rp(x, p(x,y) y) =0 = 0 ,, koja se, zove jednaeina veze. zove jednadina veze. Da bi prona5li pronagli tacke koje mogu Da bi tadke koje mogu biti biti uslovni uslovni ekstremi ekstremi funkcije (x,y) z = ff(x, pod uslovom z= y) pod uslovom da da jeje rp(x, y) =0 formiramo formiramo Lagran2ovu LagranZovu funkciju e(x,y)=0 aF dF, aF AF ' aF ' F(x, y, 2) = f F(x,y,).)= (x, y) +.iv(x, ),rp(x,y) y) ii izjednacimo izjednadimo prve parcijalne izvode izuod" Ii aFfunkcije lunl(crJe f (x,y)+ ax E:'

ay Y

DA ;7

F(x, y, 2) sa nulom. jednadine F(x,y,l.) nulom. Dobijamo Dobijamo sistem od tri jednacine "aF

r,t)+ 1q",(x,y)=Q, fY(x,y)+.ívC(x,y) = 0, f,f ax = ff= aF

*tI+ Lpn(x,y)=o, av = f,f fy(x,Y)+4y(x,Y)=0,

(*) (*)

{= aF ar

Q(x'l)=0,

-= =wx,y)=0, pomodu pomoiu kojih odredujemo odreilujemo vrednosti A ,t ii koordinate koordinate xr i y mogudih moguiih taaka tadaka ekstrema. Pitanje postojanja ii prirode prirode uslovnih uslovnih ekstrema se pomodu znaka se regava re5ava pomoiu znaka drugog totalnog diferencijala Lagranzove Lagr aniov e funkcije z

z

F z

a !F dxdy+ a l, dyz d*' +2 * z 9^' a*ay +d^' 7rz, IF dxz axay aye dxdY axz dx' dy'

dzF(x,Y) J2 F1 x,y 1 = a =d-'

,


promenl.iivih vile promenljivih Funkcije Funkci.ie vise

135

iz dobijenih dobijenih iz xo yo A vrednosti xo,!0,1 za skup vrednosti za skup ,

,

a

dy = 0 dx + YO**YOr=0 Dy dx a Y

(dx,dy)*(0,0). (dx, dy) * (0, 0) . Ako

=0 dx + (*) pod pod uslovom uslovom dy ax dx aY ay ^Ya**{ay=0,

( *)

,

(xo,yo) funkcija tadki (xo,y0) je d2F(x, yo ) < 0 , tada u Weld d2F1xo,yo)<0, je

minimum' je d2F(xo, y0) > 00 uslovni minimum. dzFlxo,yol ako je maksimum, a ako (x, y) ima uslovni maksimum, ff (x,y)

poduslovomda uslovom da je = f(x1,x2,...,x) pod zelimo da nademo ekstreme funkcije z7=f(x1,x2,...,"v,) akoZelimodanademoekstremefunkcije Slidno, Slicno, ako t (pl (xi ,x2,...,xn) = = oO lr,(*,,xr,...,xn)

0

,..., xn ) = xr,...,xn) 92(x1, x2 =0

]Ort*,,

LagranZovu funkciju n,, formiramo Lagran2ovu 1 <_ m <- n , I3mS

,

t.................. I o (Pm (Xp XZ ,..., Xn ) = 0 lQ*(*1'xr,...,x,)

(xt,x2,...,x,)+ l,rP,(x,,xr,...,x,)+...+ ),r9*(x,,x2,"',xn)' F,(x,,xr,...,xn,),t,12,...,X*) = fÎ(x,X2,...,X)+íî(Q(X,XZ,...,X)+...+Am(Pm(X1,X2,...,Xn). 4. 4.

=0 5 pod uslovom y + 2x -16 funkcije zz= = y2 - 16 =0' Naéi Naii ekstreme ekstremefunkcije -x2 ++5 y2 -X2 .

F(x,y,A)=y2-x2+5+2(y+2x-16) F( x,y, ),) = y2 - x2 + 5 + )"(y + 2x' 16) do =-2x+2.i=0 aF g x=.î =-r**2),=0ca.x=X d,r ax

áF2 a

)'

dF

=2n+),=oeY =-, Ev Y aF =-3 3A-32=0 * )r=4 b i|-i2=O -y+2x-16=0t-2+22-16=0 +2x-16=0(+ -L+il,-tA=0 a J 'i =, 2 il"' 32 ni,-*,

je A( tadka je Stacionarna tacka Stacionarna

,

)

.

a2F a'r=-2.94=2. --2 a2F -2 a2F -0 =o

Dx'

ax2

aye dv'

!'!

axay dxdY

se dy + 2dx =0 uslova dobija se = -2dx -24* Diferenciranjem Diferenciranjem uslova = 0 ,, odnosno dy =

=-

d2F=-2dx2+2dy2 d2F =-2dx2 +2dy2 =-2dx2 +8dx2 =6dx2 uslovni minimum minimum imauslovni Funkcija y) ima z(x,y) Funkcija z(x,

5.

5.

'

.

>0.

241

-4 3

u tacki A.

"tadkiA'

27 n#i naci onaj onaj koji koji ima ima najmanju zapremine V ==27 paralelopipeda zapremine Od svih Od svih pravouglih paralelopipeda prostornu dijagonalu. dijagonalu. je V == xx'y' y zz .' sa x,y ,Y,y ii zz onda je oznadimo sa paralelopipeda oznacimo Ako stranice paralelopipeda lt.1 x>0, y>0, z>0 D=1/x2+y2+z2 , x)0, D=ll*'+y'+z' 27)) )"( xyz - 27 _ 11x2 r' + A(xyz+ y2 + z2 z, ).) = F(x,y, F( x,y,z, rl 12 +y2 h-


136

Funkcije vise promenljivih

dF

2

x +îyz=0/x Vx2+y2+z2 +a.xyz=0 jx2+y2+Z2 x

ax

l

DF

+íixz=0/y Ix2+y2+Z2

y2

Y

ay

y

aF

Y

Ix2+y2+z2

+íixyz=0

v

2

z

z +Ayx=O/z +íîxyz=0 vx2+y2+z2 .,Ix2+y2+z2

az

Odavdesledi Odavdesledi x2 .rr2 = y2 =12.Zbog =z2.Zbog =y2

LF -xyz-27=0 DA #,= ^rr-r7 =o

a

<=>

x; x3

x>0, y>0, z>0 > x=y=z. x=y=2. !>0, z>0

-27=0 x=33 -27 =o a x=

tacka je Stacionarna tadka je A(3, A( 3, 3, 3) 3 ) .. 3

9A=-

27

,_-

r-:---;---; 11,1.2 ,l x'+u2 +22 d'F a2F

313 3.27

7

27 =

1

3,57

t=

X

x -.r-L I t ) ) Vx2+y2+z2

_

27!Z/---:

lx' + y- + z' +r-

27

g 9

27 -9 27-9

2 2,5 a2F a2F -=-L=2Ji =a'F 27 =a'F 27 27427 22J27 31,127 3.J 27 ay2 dy2- az2 dz2 -27 I x+y2+z2 o Ji 3Jj 45_ ,l*'+y'+r' 4Jj a2F a2p a2F a2p +nz=+Az--1-35_

27 JZZ

x2 ,- ++vv2 + z2

ax2 dx2

-=

1

a2, a2p

I

-= xY x2 +y 2+Z2 aray=

,?- 27 27 z? =--=M=E]. axaz ayaz

11

axay

27

Diferenciranjem Diferenciranjem uslova dobija se yzdx++ xzdy je xx=y se yzdx xzdy++ xydz =0 Kako je =y= sledi da je rydz=0. =zz siedi .

dx + dy + dz dx+dy+dz

=0 dz = -dx -dy . =0,, odnosno dz=-dx-dy.

227

-8

) dz2 1dydz) _ = $,0;(dx 2 ++ dydy2 + dz *,**(dxdy + dxdz + dydz) = & (2dx2 ror, + 2dy2 2dy2 + * ro*r, 2dxdy)l -dxdy dx2 -dxdy = dy2 )= - dx2 - dxdy -dxdy )= - dxdy - dy2 $ (dxdy 12f ra*' + dy2 + dxdy) -12j(dx2+dy2+dxdy)=49 L(dx+ . r o minimum = *,n,,nu*

dd22 F ==

2

2

2

8

{

=

27

(

Zy)2+3Qy2 +l1ax+$), +l J>0 J

Funkcija FunkcijaD D ima uslovni minimum minimum .tr6 taCki A. 315- u tadkiA. Najmanju prostornu dijagonalu dijagonalu ima kocka sa stranicama x = z = 33 . =y= = z= 6. 6.

Proveriti da li Proveriti da li funkcija funkcija un= = xy+ yz uu tacki xy+yz taiki A(1,1,1) A(l,t,I) ima ima uslovni uslovni ekstrem je ekstrem ako ako je

x2+y2 =2 ii y+z=2. *'+!'=2 l*z=2, F ( x, y, z, ).,, 22 ) = xy + yz + ),, ( x2 + y2 21 + X,2e + z 2) F(x,Y,z,21>22)=xy+yz+d1(x2+y2-2)+22(Y+z-2) +2).1x=0, ay =x+z+2.îly+.i2 =Y+22ix=0, z+2X.1y+4=0, =0,

aFS=,

aF aFa.

ai=t'*Y'-2=0,

Dai

-Y+ =0, az ff=t+L=0,

#=**

AF aF

z-2 =0 =y+z-2=0 a22 {4-t +


ax

ulkcije vik vile promenljivih !Funkcije

137

Date jednadinesuzadovoljene je 2, = --2 ii jednacine su zadovoljene za za x=!=z;,t x = y = z =1 ako je

2 z+=2).1 =22=-1, -t *=2).,=-1, dx' ay' - =-1, *=o a2F

=22¡=-1,

a2r

a2F

a2F

ay

az dz'

^,=-l

L=-l

22 =

.

-

2

a2r ^

aZF a2F a2p a2F axay =1' axaz = °' ayaz Diferenciranjemuslova Diferenciranjem uslova y!*+ s=2 z =2 dobija se dy + dz =0 , odnosno dz ==-dy. dobijase dy+ dz=O,odnosno -dy

6=''

.

ffi=0, w='

.

Diferenciranjem Diferenciranjem uslova uslova x2 + y2 =2 =2 dobija x2+y2 se 2xdx 2xdx+2y4=0, dobija se + 2ydy =0 , odnosno odnosno dx + dy =0 d.x+dy=Q,

' .

je dx == -dy Odavde je

..

- dy2 +2dxdy+2dydz=-(dx-dy)2 + 2dxdy + 2dydz = -(dx - dy)2 + +2dydz=-(Zdy)2 2dydz = -(2dy) 2 2dy2 = -dyz -2dt, =
, .

7. 7.

Odrediti Odrediti najvecu najvedu ii najmaqiu vrednost funkcije najmanju vrednost funkcije zz="'+y'-12x+16y = x2 + y2 -12x+ 16y u u oblasti ,a x 2 + y2 <<-25 x-+y'<25.

' L ' , '

je neprekidna na Funkcija Funkcija z(x,y) z(x,y) je na zatvorenoj *2 +y2 +y2 <-<25, pa mora dostizati zatvorenoj oblasti oblasti x2 25, pa svoju najvecu najveiu ii najmanju najmanju vrednost. Unutar oblasti Unutar oblasti x2 + y2 <25 < 25 treimo fia1imo obican obiian ekstrem. az dz

^ '2=o+ x=6, x=6, =z)t-[. a, ax-2x-12=0 (-8)2 ==36+64=100>25 62 + +(-8)2 36 +64 = 100 > 25

áz=2y+16=0y=-8 =2y+16 =Ll=y=-E *=2y+ta=o=y=-8 0y Y

(6,-8) ne tacka (6,-8) pripada oblasti. >talka nepripadaoblasti.

Za Za x2 y2 =25 = 25 treimo xz + +y2 tralimouslovniekstrem. uslovni ekstrem.

F(x,y,l)=x2 +y2 -l2x+I6y+11x2 +y2 -2s1. F(x,y,2)=x2+y2-12x+16y+2(x2+y2-25). DF

' , t

2x - 12 + 2)st =o x-6+ lx =o =,x== 6A = x-6+2x=0 #ax ==2x-12+22x=0 *l+.X. F 6y=0=y=+ =2y+16+21y=0=y+8+ +áYdt=2y+16+2Ay=0y+8+Ay=0y' 1+ l+x" aF)

a2 =x2+y2-25=0 #.=*'+Y'-25=o 36 36 64 _-__.------TT__-_--_.J _U 25 =0 (t+ (1+2)2 ).f (t+ (1+2)2 ).f 100 -25(1 + 1,12 =0 (t + 1)2 =4 100-25(1+2)2 = 0 a (1+2)2 =4 1+2=2 l+ ),=2* )", ==1t , 1+2=-2 l+ ),=-2* 22=-3 A"=-j j,-4) za Stacionarne tadke taCke su su A( A(3,-4) A1=1 za X,, B(-3, 4) za za 22 )2 =- -3 = I ii B(-3,4) -3 . z( 3, - 4 ) = 25 z(3,-4)= 36 -64 = 64 -75 minimum najmanja vrednost - - = -75 z(-3,4)== 25 + 36+64 z(-3,4) =125 36 + 64 = 125 maksimum maksimum -- najveCa najveda vrednost. ,

.


pn'o I reda re da Dif'erencijalne D iJ'e re nc' iialne jednaeine i e dnai ine pnwg

138

DIFERENCIJALNE DIFERENCIJALNE JEDNACINE JEDNAEINE jednatine prvog reda Diferencijalne Diferencijalne jednacine promenliive razdvaja promenljive Jednacina J ednaiina koja razdvaja kao proizvod dve moZe napisati kao jednadina oblika se desna strana mofe F(x,y) cija dija se oblika y'y'== F(x,y) To je jednacina od yy,, ti. tj. druga samo samo od jedna zavisi od x, x, aa druga samo od zavisi samo kojih jedna od kojih neprekidne funkcije od neprekidne funkcije y'= f(x)'g(y).

Y/=f(x)g(Y) dy fUt. r0 * r =f(x)g(Y) ff=

*0 + I#= ffIf(ila, a #= f(x)' dx, g(Y) e(v) #0 - (x)dr g -f(x)dx,

1. 1.

g(Y)

Y)

jednadine y(x2 y(x2 opte resenje relenje diferencijalne diferencijalne jednacine Nadi Naéi op5te dy

Y(x2-1)dr--x(y2-1)/

dy = 4**dx * !-*0, i2 tfu, x-1 jy -1 y2 -1 Y

1

1

Zx

<=>

1)

.

dr (x -1)(y -1)

y r* d, -!av=y'-l x2-1dr x'-I y2-1dy 1

t)y' = -x(y2 -4y2 --1)y'

Y

1

=

-12

tfi* 2x

Jx2

-1

dr

*'-tl+" y2-1I =-1nI x2-11+c nlt'-tl=-rl y2-lI+1nIx2-II=c mlf -rl+n1,'z -rl=" y2-1x2-1I=c mlf - tfl*' - tl= " -,ll-'x2-1l-ec-c! - ,l= "" =,,. y2-III lr'

1nI

1nI

1nI

I

Napomena: jednadine", podrazumevamo da se trafi traZi da se resenje diferencijalne ops"te relenje diferencijalne jednacine", Kada kazemo kaZemo "Nadi "Naii opite kojem su su intervalom uu kojem nad intervalom re5enja nad skladu sa op5teg resenja opgte sa definicijom definicijom opsteg re5enje, uu skladu opSte resenje, jedinstvenosti resenja. reSenja. To, egzistencije i jedinstvenosti zadovoljeni uslovi odgovarajucih odgovarajuiih teorema u vezi egzistencije zidovoljeni trai partikularno partikularno se traZi kada se primeru kada konkretnom primeru proveriti uu svakom medutim, treba svakom konkretnom treba proveriti medutim, jednadine). resenje uslov zadate diferencijalne podetni uslov diferencijalne jednacine). re5enje (dat je pocetni u implicitnom dato u implicitnom obliku reSenje dato op5te resenje primeru dobili smo opte Konkretno u nasem dobili smo na5em primeru Konkretno u

y2-1II -' ll x2-1I -' l==c¡', za lr' 'u " G1C, ={{x,l)e < d,--. }. -1}, 1. (x,y)E ={(x,y)E RZ R2 :0

Diferencijalne prvog reda D ifere nci i alne jedna'ine o p re da i e dnaCinc prv 2. 2.

139

y == rsing resiti diferencijalnu jednatinu resiti diferencijalnu rsinot jednainu

t

Uvodenjem smene smene Uvodenjem fx2+y2 -x 1t -* ..,,

rcosv, xx == rco$g

y--r[7* yv

J

--.

ay ay Ev 3v d sinsintpdr+rcosede , dy dy av pdr+r cos tpdp dr dro , ,y- dxdx- árdr+áxdp - cosQ cos pdr-r dr - r sin sin?pdp dQ *or*!a,p dr dq x2+y2 ,l *' *y' =r2cos2CP+r2sin2Cp - lrz cosz g+12 sinz tp =r =y

dr+ :-dr+:"-d(p Dr

L

il

N

r-r cos rp

sin pdr+r cos pdtp sintPdr+rcosrPdt|

=Wrsinrp cos pdr-r sin pdp r sin p cosgdr-rsingdg

sin2 g dr + r singcos g drp = cos p dr + r singcos g dg cos (p cp dr dr-- rsinpdrp+cos2 sinz vdr+rsinpcosydp= r sing dg+ cos2 pdr+rsinpcoscpdp

-

(sin2 g rp+ g)dr == -r -r sin sing) + cos2 g cos p)dr de P - cos e dp

dr sintpdp dr=--sint|d@ , dr dr )r

rr 1l-cose -cos p -=4-l-=-l-dA

sin (0 t sin@ ll-cosg J1cos cpd

sintp d9_rl- cos cp=t --rdt rI= -In' tnc tl+Inc -|ffid, -tnlrl+ laf = hlrl= 1-cos0 =(";;;:r1-'0,)=sincpdp = dtll

rI =_j Inl tnlrl=

1

Mir ln c lnl r I+ lnl I1cpl= lo, cos vi= - cos l+ lnI

r(1cos çp) = c , r(l-cosg)=6,

t

cos rp)l= > lnIlnl r(r(1cp)1= ln ct t - cos x x cos v= COSO=-=, xx rr x2+y2

,l*, *y,

x2+y2 -*=". -X=C *r'tr- , il=c)=C a(+ ,[*\y' Gx2+y2(1Jx2+ 2

y tl*'+y'

3.

3.

-xy

-" | 'l jednaCine y' Nad diferencijalne jednaine Naii opste op5te resenje re5enje diferencijalne !' = -x yy+xy + xy ,, -x(l+y) l+y -x(l+y) xx 1+y Y ' =-=-y(1+x) y(l+x) 1+x l+x y

- y I dv=- x* dr* j1dy=-jl-dx lLan=4 x* d* 1+ydy l+y " 1+xdx l+x 'l+y' 'l+x

.

y

I#,

I#

[*

= -Jdx+Jl -l d. * 4.xl+xldx ! o, Jyl+yldy = -J i7;' * - Jdy-Jyd+l y-lnl + t l= -a a 1rf r + x l+c . , - tnlty+11=-x+lnll+xl+c.

jednaiina Homogena Homogena jednacina je jednaina jednadina koja je To je na oblik y'-r(i),gde koja se se moze moZe svesti svesti na = f( Z) , gde je oblik y' I

f/

neprekidna neprekidna funkcija. funkcija.

je uu funkcija od jednadina svodi Smenom =2- ,,gde gde je jednadinu koja Smenom uu=L od xx,, homogena svodi se homogena jednacina se na jednainu ,t

razdvaja razdvaja promenljive.


t40 140

1.

1.

Dife re nci i alne jednacine Diferencijalne i e dnai ine prvog oryo p reda re da

-

-

jednaiine (x - y)ydx Nati opSte Nadi opte re5enje resenje diferencijalne diferencijalne jednacine y)ydx - x2dy x'dy == 0 .. 2z

*2 dy = ( ry x2dy=(x),

-y2)dx xY dy = *6 - y2 )d.* ) dy= 2y dx x

e y'=L-(l x xxxx x x x !-=u) ?r =uy=xuy'=u+xú ! = x.u+ y'- u+ x.tt' 1 1 du ,)lduldudxndu,dx I{+,\'It =u-u u+xu

dy dy=(y-(y)2)dx<=>y'=-(y)2 =1L-/-)2 )dx )'

,

2

=U-U-+

u2 lt'

-= dx =--=...:=--3 x uz dx

du

u =

x

2 =-j'x

dx xx

du

l-=-lJtnz u

dx

x

-1 =-lnI c=-lnc1 xI+c=-lnixcll, --,nlrl+c= -'rttl -lnlx.c1l, c=-Inc1 u L=hl*.ril,r=fr;1. -x =Mix c1I, y= lnix cII

y 2. 2.

.

jednaiina 2x4 da se se diferencijalna jednacina yy'++ y4 ya == 4x6 je zz Pokazati da /16 smenom 2xa yÿ smenom yJ = gde je z^ , gde - zm, jednaCinu i nati funkcija funkcija od od x, svodi na homogenu homogenu diferencijalnu diferencijalnu jednacinu naii njeno op5te opste reienje. resenje. Zm y' = mz*-l 'z' 2 Y = zt ,, Y' = mzm-1

z' . me-1 mz^-t .z' Z'++ Z4m 24' == 4X6 4x6 )

2X4Zm 2x4 ,,

=

-22

X2 ,2 Z2m-1 m M ,2m-l

2X4Z2m-1 2*4 r2m-l

,mz'=4x6 24^ mZ = 4X6 -- Z4m

z2m+1

,2m+l

2mx4

2m- I =2) 2m-1=2

3 >) m=_ m=-J2 2m+1=4 2m+l=4)

z' =

4 xz

z

4

4 x

2

l

z a

3(Z) --3(x) i5 t,*f 3 z2 *3x4 = 1,I,' -

(homogena homo g ena diferenci ednacina ) diferencijalna J alna Jjednadina)

L=t*z=xt, Z =t z=xt, Zz'=t*Xt' =t+xt' x

=---t

, 44 I1 4 -3t3 dt 4-t6-3tj , 4 / t 1-=dt 4-t6 t+xt ,+-t'i, =----=--I'a= XI' x-= tt,=2---t-4-=----f dx 3t' 33 dx 312 3t2 33 3t/ 3tz 312

dx dx t", 3t2 3", - I.X dt dt dt d, , 3t2 -d'-ld'=f r x _Jt6+3t3-4 r . = X x t6+ t6 +3t3 3t3-4 t6 +3t3 -4'' -4 1

i+ ln c== f!#-312 - lnitnlx l+,n,

t6+3t3-4

t= r t*

dt = =(':,;;

=

" 3t2dt=dr = o,)= _

r

t 1

=* *rdrl - * I*r+dr4 r2+3r-4 ;= dr

=

r

t

J

=

1

r - t i-lnl r + a l) = on1 r-1 = ln l- rnl r+41) tS (lni ts r+4 +lnixi=lnclns r+4+Inx=lnclnx5 r+4 =lnc 51n r+4

=

"l#


reda pn,og reda Diferencijalne jednacine pn'og Diferencijalne jednaiine

141 141

Z3

r-I =c x5-lft3 -1 lr-t -t x xx'\!u4-c+x r+4 ilrt3 +4 =c:x'

3 X3

5

_1

=cx

Z3-X3 Z3

Z

+4Xj

=c

X3

,1

3.

wy -X 2

z' Z3-y2x =!'

=x'sr!* y2 + 4X3 5

C. =c.

'=w' -y

1'-

jednacine y, re5enje diferencijalne diferencijalnejednaiine Nadi NNad opste op5te re"enje

2y 2v

--trx

y' = -

2xy

2

2

jednadina) diferencijalna jednacina) (homogena diferencijalna

t-l)2 x

! =u, - u, yy=xu, =tt* x' tt' = x' u, y' =u+xú x u+u3 2u 2u 2u ,=.a.2u u- u+r3 xu,,==--w=u+xú Ua^.U = -a I.e 1-u l-u' 1-u l-u' l-u' 1-u 1-u l-u? l-u2 du= dx ,17ttu= ,dx 1-u2 1j u(1 + u ) 'x x -< 'u(l+u") X X +u ) u(l+u') u(1 +Cu Bu+C A(1+u2)+Bu2+Cu 1-u2 I-u2 -AA *Bu+C + -A(l+u2)+Bt!2 -uu=u l+u2 u(1 + u2 ) u(I+uz) 1+142 u(1 + u2 ) u(l+u2)

Uvodimosmenu Uvodimo smenu

Y

2

u-

2

2

..

j

U

1-u2=(A+B)u2+Cu+A l-u2 =(A+B).u2 +Cu+A A=1+B=-2 C=0, A=1B=-2 A+B=-1, C=O, A+B=-1, r,1 + lnlul-lnl1+u2I=1nIxl+c nlul-tlt+u2l='u,lxl+c + 1+u2 x ci,c=lnci !,*-#,ou= #=x'ct, c=tnc1 u 1+u2)du= I+ jXx

vv

y

Y

31+y2 -x

-xx'ctciX2+y2 cx2y2 * ci,*fix2 +y2 -x = ct' = x' ct =* t=

x' ct

.1

x'

x2

4.

x2 x'

dodira tangente tacki dodira tangente ii preseka je rastojanje izmetlu tadki rastojanJe izmedu Nad familiju krivih kod kojih Je Nadi familiju -osi odreduje tangenata. na y odsecka koje na duiini odseika sa y -osom jednako duZini tangente sa

f

je nekoj tacki taEki T(x,y) T(x,y) ie tangente uu nekoj Jednadila tangente y = (x) . Jednaina tunkcija y=f(x). je nepoznata funkcija Neka je je (x0=0) = y -xÿ Rastojanje (xr=fl,; yo Rastojanje izmedu y - osi je na y-osi y!-!o=y'1x-x). - yo = (x -x0). Odsecak Odsedak na lo=!-xf'. (l'yil) jeie (tadka (0,y0)) osom sa y tangente sa )-osom (tacka preseka tangente tangente T(x,y) dodira tangente T(x,y) ii preseka tacke taEke dodira .

V(x-o)2 +(y-y+xy')2 =Vx2 +(xy')2 Ix2+(xy)2 =1 ,[W y-xy'I/2 * =lt-xt'l/'

x2+(xy')2=y2-2xyy,+(X3')2 x2 +(xy')2 - y2 -2xvv'+(ry')2


142 142

jednaiine prvog reda Diferenci.ialne jednacine Diferencijalne

2xvv' 2xyÿ == v' y2

.Y)

2

(y)2-1

t-t- x =5+ = x 2xy2.y

x2 -- *2 - t'

y = =

2

(homogena diferencijalna diferencijalna jednadina) jednacina)

z.-

x

t,=u, Y :-= lt. t y=xu, y'=u+xú U+ Xll' ! = Xil, y' =

x

x-= u= 2, =' d*=-r;-'= dx 2u

,2-l u2-1

..,,_-,== u+xu '--=i-

du du u2-1 u2-l

du = - dx * 4-n"=-+ u2+1 2u

mlu2 InI u2

X

2u -=-; 2u

1

1

2u

1 -c1 x

+ +tl=-61,l+c= 11= -lnI x I+ c =1n ,rl+.r, ,, c=tnl c=lnlcll c

c y 2 +1= c +l =9, I =L = 1* X xxzr x x

u2+1 = u2

u2-l-2u2 u2+1 u2+l u2-1-2u2

2u

+ x2+y2=c1x. *2 +y2 =ct.x

Jednacine lednaiine koje se svode svode na homogenu

Diferencijalnajednadinaoblikaf=rrffi/gdesua,,a2,b1,b2,c1ic,realni Diferencijalna jednacina oblika y' = f( aix + b1y + c1 gde su a1, a2 b1, b2 c1 i c1 realm ,

,

a2x+b2y+c2 brojevi, aa / neprekidna funkcija, funkcija,mole jednadinu koja mofe se svesti na diferencijalnu diferencijalnu jednacinu koja razdvaja razdvaja promenljive promenljive ili ili na homogenu.

f

a) a) D o=lo-' = a1

u,'l=0.

b1 = 0 . U tom tom slucaju sludaju smenom a1x a,x+b1y*c,=1 + b1y + c1 = t iliili a2x + b2y arx+b2y+c2=, v2t +t L2 --- --J- smenom c2 = dara data -' t u4 a2 b2 bzl lo, jednadina se diferencijalna jednaina diferencijalna se svodi jednadinu koja svodi na na diferencijalnu diferencijalnu jednainu koja razdvaja promenljive promenljive. b) D b) * 0 Uvodimo D*0. Uvodimo smenu smenu xx=X+d, = X + a , y!=Y+p, = Y + fi, gde gde se se aa ii B ß odreduju odrecluju iz iz sistema a1a+ ap+b,B+c, b1ß + c1 =0, b2ß + c2 = a2a+brp+cr=0 jednoznadno odredeni). (a,g a, ß su su jednoznano =0, a2a+ odrecleni). Tada Tada je ( \ Y +b/ ,_ a1X + b1Y f f Y =Y g 1 , X*0 je homogena x *0., aa to to je homogena direrencijarna diferencijalna i a2X+b2Y- a2+b2X/ '' CX) .

0(

a1X

='(ffi)= rl#l=4*1,

jednadina. jednaina.

1.

1.

1-3x I 3t Nadi Naci op5te opste re5enje resenje diferencijalne diferencijalne jednaCine jednacine y' == ;

ÿ'

-3y - 3y . 1+x+ y 1+x+y

l-- 3t --i".1=-J+J=0 =-3+3=0 uvodimosmenu uvodimo smenu 1l+x+y=1 + x +y = t lt," t l+y'=tl 1+y'=t't=> y'=t'-l e y'=t'-1 I1-3x-3y=1-3(x+y)=1-3(t-1)=1-3t+3=4-3t - 3x - 3y = I - 3(x +y) = I - 3(t - l) = I - 3t + 3 =4- 3t 4-3t , = 4-3t 4-2t t { - t =t:-,, t'-1= +1= a 1 =4-}t + -4-3t = ax t t 4-2t =dx V\at t

Kako je D Kakoje = D=l

t j4t= jdx)

I

-at

o p=[ax -2j44?2t4dt=jdx-2 j(1 442t)dt= jdx I;*,=!d, -ttffi,=!ax*-11,,-


4-2t

143

Diferencijalne jednacine prvog reda

-i,2 * li*2dt 1

t,

=x+c =x+c

-mP - zl= - -1-1,t-InI4-2tl=x+c

x+c

2

-2(1+x+y)-1nI4-2-2x-2yl=x+c - 1 + x + v ) - tnl4 - 2 - 2x - 2vl= * *, r(

* =c+2 o --2x-2y-1nI-2(x+y-1)I : )' - tt - ml- zt * + v - t )l='

<=>

=c1. c, . -2x-21 n - lnl(x + y - I )l= c + | + h 2 = - !, - L y-1nI(x+y-1)I=c+2+1n2

2--2'/'t2

2.

2.

S)dx =0 + (x -2y (2x - y + 4)dy 4)dy +(x jednacine (2x- 2y + 5)dx = 0 .. diferencijalne jednacine rdenje diferencijalne opte resenje Nadi Naéi opste

(2x (2x-y+4)dy = -(x - 2Y + S)dx - y + 4)dy =-(x-2y+5)dx x-2y+5 y,, -x+2y-5 dy x-2y+5 dy -x+2Y-5 2x-y+4 " 2x-y+4 dx dx 2x-y+4

je D= ,=l Kako Kakoje

-I

2

=1-4=-3 O,uvodimosmenu ',1=r-o=-3+0,uvodimosmenu ^' -rl 12 -X -a+2Y-2ß-5 1,, Y'- -X-a+2Y+28-5

"

=Y'. y=Y+ß + p ii ÿy'=y'' x=X+a, x=x+a'!=Y

' 2X+2a-Y 2X+2a-Y-ß+4 - P+a 2a-ß+4=0 2a- B+4=0 -a+2ß-5=0, -a+2P-5=0, se a d== -1 sistema dobija se Resavanjem Re5avanjem sistema -l ii Bß == 2. *'; -tt')!-1+2Y --7*'r! =-' Y' ,' = -X+2Y YX -Y = = 2X 2X-Y

jednadina) diferencijalna jednacina) (homogena diferencijalna (homogena

2-,_+ X

Y L=t=Y =tY=XlY'=t+Xt' =Xt*Y'=t+Xt' x X tz-l +2t-2t+t2_=-t2-1 -1+2t _r_-l t= -1+2t-2t+t2 X't==-!+2t = -1+2t *xf t+Xt' t+xt,=-l+2t 2-t 2-t 2-t 2-t 1 2t dt 2-t d_dX J dX t

?a,=ff-4*-*t;?,=l+ X t2-1 Jtt_ -1 t

2J

2

X

lnIt2-11= 2lnl 2.!trv:ll-!mlt 'l In X+c -' 'z"'lt+tl t+1 2"'"1" -tl=tnx+c

2

ln

t-1 (t+1) t2-1

Y

-1nXcl

Y Y- 12 ,,2 ( ) (X

tV-,, *-'l

lt+tl -1

X

(+1)

1

c--htc1 ln(t2-1)2 Init+ll ml'-trl-,n1t2 =hx-c1, c=Inc] -111 =lnXc1,

(X)2-1

t2z

-c1X/ =r,.x /

Y

-1 (Y-X)XZ --, X -x)x2 =c L-L-s = Ct)L= =_ V-' ' Xa =

(f+1)2[()2 *+1] t1 (X-rIr!* x n l&t, l,* 1,*

u'

1)?

+X)i (Y+X); E

2

Y-X Y -X -c = r'2

----=

(Y +X)' (Y+X);

2

Y=y-2, X=x+1

y-2-x-1 (y-2+x+1)'

y-x-3

-c 2

(y+x-1);

-c

2


144

Diferencijalne,jednacine prvo_g reda

3. 3.

Naii Naéi op"te op5te re"enje reSenje diferencijalne diferencijalne jednaiine jednacine y,'=6!t!)2 = x -y

-l

2x-2y+1

1

)2..

-1

je D= Kako je o =ll-'^l=-r*r= =-2 + 2 = 0, 0 , uvodimo uvodimo smenu smenu2x2x-2y+ 2y + 1= I =tt . 2 -2 12-21

"

2(x-y) 2(x-y)=t-1 =t- I

t-3

t-1 t-1 t-1-2 t-3 r-1-2 * -t ==4, .f,x-y-1= -y -, =1-, = 2 =t-3 = x-y 2-1= - 2

=+ =+

=2-t' 2-2y,2-2ÿ 1,)y,=+ f =14y, =t'ÿ 2t 2 2-/ 2-t' (t-3)2 1t-3)2 (t - 3)2 4t2 4t2 -(t2 (t-3)2 ^ ,,=4_{_z_(r-1), -1t2 -6t+9) -6t+g) 2-t'_ -7-=-iT= /'-i = y'=(__2_)2 ,,=17 =(_t__3 )2 t

212

a

2t,

4t2

2

r'"

2t2

dt=dx or=dx

)

--T-

2t2 2t2

212

22 .3t2 +61-9-6t+9 3t2+6t-9-6t+9dt=dx dt=dx

3t'+6t-9 3t2+6t-9 33 3f +6t-9 3t2+6t-9 2t-3 dt-= Jdx + 2t 2 6t+6-15dt=x+c Jdt-2J [dx 3t* 3 i,3 3 312+6t-9 = x+c 3t2+6t-9 10 dt + 6t + rl,, t-3lnI3t2+6t+9I+ =x+c I )2-( 2 =x+c

rti#,

-it#ffi,

I

i' i^l3i

3

ffi t+1-2 t+1

2

2 t+t - z 3i +6t+91+-10 + 6t + gl*!! -1 In - 1 1n1312 =x +c I 33 f-,) 3t-33"lI 2.2 2.2-'lt+t+21 t+1+2 =,*" -2 (2x-2y+ hl 3(2x 2y + t1)2 s1z, 6( x 2y + 1)+91++61n t ) +, )2 + 6(2x - zy - 2y+ t3 e, - 2y + 1)t --3J lnI l.. *

-2 1,

3

4.

Naci Nadi op5te opte re5enje re§enje diferencijalne diferenc[ialnejednaCine jednacine

!*7 f- 4x-y+ = 2x+y-I 2x+y-1 =41*-

4-1 21 l2tl 4a- p+7 =0 ,, 4a-,ß+7=0

je D= Kako je o=11-,'l=o*r=6*0. = 4+2 = 6*0 , uvodimo uvodimosmenu smenu

"

7

2x -2y =x +c 2x -2y +4 =,

^lffil

2

1

4.

I

*.

.

x=X+a, y=Y+fi, y'=Y'. !=y * F, y, =y, .

2a+ 2a+11-1=0 B-l=0 Re5avanjemsistemadobija Re3avanjem sistema dobija se se a =-I ii B= d=-l 3. Q = j.

x=X-l:+X= x=X-1 X=x+1, x+1, y=Y+3Y=y-3, y=y +3*y =!_3, y'=Y' y, =y, Y ,Y 4y' _4X-Y lH Y' (homogena diferencijalna jednadina). diferencijalna jednacina). = =* E (homogena 2X 2X+Y +Y z+_ ^ ÿY 2+X x y' == uu++ X.u' Uvodimo smenu { = Uvodimo uu, Y = =X-u, X. y, Y' X ú. X x = du 4-u 4-u-2u-u2 4-3u-u2 *-u2 u2+3u-4 +3u-4 u+X ,rary.u'-!J! ú = 4-u -x4=1-u u= --u-4-u-2u-u2 2+u 2+u dX dX 2+u 2+u 2+u 2+u -4-3u-u2 2+u 2+u 2+u 2+u 2+u il( ____utt=__ du=--dX u' + 3u-4 X u2+3u-4 ,

.

X-=


jednaiine prvog Di.ferencijalne jednacine prvog reda Diferencijalne reda

2+u 2+u

,,

145 145

2+u 2+u A A B Au+4A+ Bu- B - Au+4A+Bu-B - u-1 + (u-l)(u+4) (u+4)(u- l) (u+4)(u-1) u'+3u-4 u2+3u-4 (u-1)(u+4) u-l u+4 =

A+B=1, 4A-B=2 A+B=1,

Re5avanjem sistema dobija r" Resavanjem se A = =1

5

du 3, du 3 22, du du

5J-1+5Ju+4 5'u-l 5'u+4

-l-r-l-=-lu

i B=-2 r, =1. .

,dX dX J' X

!ilniu-11+1lniu+41=-IniXl+c nl u - t n u + 4 l= - tnl x l+ c = - tnl x l+ tn 1 ^t

h{AW

c

1

ln cit k?X,. c= c = tn

= = ln

c

64[,t1' *+In(u+4)2 lnV(u-1); k{tu+q'z ==lniku-1)?(u+4)2 =ln = h+ il(u-1)3(u+4)2 ==!JX .q (Y-X);J(Y+4X)2 +qxf tY -xl3

)

X

(._J)3 c2 =c¡ (X+4)2 ==#,cz=cl tf;-tt,.tf,+$ ,

XS

(y + X)3(Y 4X)2 =c2 > (YE -_x)3 +4x)2 =+ =6, "z Xs Xs XS Y + 4X = y - 3 + 4x a( =y + 4x + I Y-X=y-3-x-1=y-x-4, - X = y - 3 * x - I =! - x -4, YY+4X=y-3+4x+4=y+4x+1 (y (4x + y + l)2 =c2. (y-* x-4)3 * - 4)' .(4x+y+1)2 = cz.

Lineama jednaiina Linearnajednacina je jednaina jednadina koja se To je y'+/(x)y=g(x), gde su se mofe moZe svesti svesti na na oblik oblik y'+ su/i f i gg neprekidne f(x)y= g(x) gde neprekidne ,

funkcije.

a) a) b) b)

é

jednadine dato je obrascem y = Resenje jednaine g(x)e!I(''xL'ax7 = e-!n'ta*lc f (x)d`dx ] . f ("Y)dr [c -J - ! g(x)el Resenje je oblika Re5enje je oblika !y ==uv, uv , gde su v funkcije .Iz y'=tt'v*nv' = u'v+ uv' sledi u ii v od xx.lz siedi da su u funkcije od da je (x)uv je uy' + f(x)uv = u'v + uv' g(x) g(x), + (v'+ odnosno da vu' (v' + f(x)v)u odnosno g(x). , je = g(x) . da vu'+ Nepoznatu f = f(x)v)u =

funkciju funkciju

y

v

1

trazimo uslova v'+ f (x)v = 0 . traZimo iz uslova v'+f(x)v=0.

.

L=-71ry" d = -f (x)dx *

dv

= -J f (x)dx Pri I+=-!f{ilax.Vn

J

.

trazenju traZenju neodre(lenog jer se neodredenog integrala ovde se obzir konstanta, se ne ne uzima uzima uu obzir konstanta, jer se ona ona uu daljem trazenju traZenju resenja skrati. skrati.

"dxvttv

l.1.

g(x)+du=8(x) du = g(x) dx u4= g(x) = J g(x) dx *+ Jdu d*. [au=18(') r dx v

v du =

Naci Naii opste op5te resenje re5enje diferencijalnejednatine diferencijalne jednacine

2

= (x + 1)3, 1)3, x * # -1. t' -*, -1. x+1 y =@+

Uvodimo smenu y! == uu-v, v , y' = = u'v tt'v + uv' 4v' . -

u'v+uv u', + ur' --UV = ( x + I )'? ) -4yy uv=(x+1);

x+l

2

v)u=(x+1); = x + I )3 --Z-vp x+l x+1 (

2 ? v=0) dvd'u =J+l lnlt,l=2lnlx+/l* r,= (x+t)2 dxlnlvl=21nlx+ll x+1,dx = t

,'' --J-r=0 x+1 J+/

V

VLL +(v vy' + 1r'

v

(x+ 1)2 .u' - 1x+ 113 > du=(x+1)dx (x+1)2u'=(x+1); du- (x+ l)dx

v=(x+i)2

l

u=!t' + x+c - u=x2+x+c 2

y = u. vv = *' (** t)2 +x(x+1)2 + x( x+ +c(x+1)2. t )2 + c(x + l)2 !'2 = |x2(x+1)2 2

.


146 146

Diferencijalne jednacine prvog reda Di.ferencijalne.iedrwiine 3 * d* =* x !y dx

2.

resenje diferencijalne jednacine dy = x + Naéi op5te opste re5enjediferencijalnejednaiine Nadi

2.

-

jednacina) diferencijalna jednadina) y = x2 (linearna diferencijalna * y' --!y= r' (lin"rrna Uvodimosmenu 'v + v' 'tt Uvodimo smenu !y=uv, = u' v , y'=ú !' = tt' v+v'u. ,rl vúy' +(v --X OU= x2X2 + (v' -!vy= vu'+uv'1 uv=x2 v. u + u. v --n. r = *' > v. 1

y' == += x2 r' +*IJy

'dxx'r dx

.

2

xx . I ., r -r - ) dv dxlnvl=lnlxlv=x v-Iv=O v'--v=0 ) lnlvl=lnlx l= v=,r v xxvx x -=; xu'=x2=x xt'= x2 9 y'= x * du=xdx du= xdx ) u=x r=t*, +c X

d=

r

2

2

I

x' x'

+cx. yy=-+cx. = '2 2 Berizulijeva B e rirulii ev a jednacina .i e dnaiina

f

R , aa/ii gg su neprekidne je ae y'+ f(x)y= neprekidne funkcije. de R, jednacina oblika g(x) ya,, gde je To je jednadina oblika y'+ f(x)y = g(x).yo je i jednaeina koja razdvaja promenljive ona je linearna (za (za a =1 ona Za a=0 a=0 iliili a=1 onajeijednadinakojarazdvajapromenljive Za a=,l onajelinearna a=l je sveli je uu tom sveli na linearnu iizaproizvoljno za proizvoljno a, na linearnu y'=y(g(x)-f(x))). bi je a jer je = y(g(x) - f(x) )). Da bi tom slucaju sludaju y'

í

-a , jednadina postaje pa jednacina pa smenu (x) = (1- a)y-a , smenu z(x) z'(x)=11-a)y-o.!', uvodimo =y uvodimo z(x)=yt-a, z'(x)

*+.Î(x)Y-g(x)ya " f(x)'y-s(x)'y' =0/(1-a)y-a =0 --U /'(1-a)'y / (t -d).yy-a*^ (1-a).

í

(x)+.Î(x)(1z'(x)+ a) y y-a f(x)(l-d).y.y-"

-(1-a)g(x) Ya .y-o Y-a =0 -(l-a)s(x)'yo

z'( x)+ ( I - a). f( z`(x)+(I-a) f(x)z(x)-(1-a)g(x)=0. x). z( x)- ( I - a). g( x) = Q .

1. Nati funkciju koja prolazi kroz tacku (-1,-1) sa osobinom da je odsecak tangente 1.NadifunkcijukojaproIazikroztaiku(_1'_1)saosobinomdajeodsecaktangentena

-

jednak kolicniku apscise kvadrata apscise x osi uu svakoj x-osi svakoj tacki taiki jednak koliCniku kvadrata dodira.

ii kvadrata kvadrata ordinate ordinate

na tacke tatke

u nekoj tangente u nekoj taeki tall
y - yo = y'(x -x0). !-!o=y'(x-xo).

y"r x22 x^ y'-= y''

-y

. Po uslovu = x Odsecak na -osi je je (yo =0) xo=*-4. uslovu zadatka je Odsedak na x.r-osi =0) x0 yv

.

,-

x2 - x2 _ yv + --I _ xY2 , Z *2 xy2 *2-*2 *2-*2 - x2 x-7 .\ --- = ----= 4 ------3- ------y y y vy'y'vvy' I ,,ltr*2,llt x x' jednacina a == 22 )) diferencijalna jednalina 1, x2 x' = 1, x' == !)---1 b -1x + 1 x' == 00 (Bernulijeva diferencijalna y'yy'yy' <+ x' -1 1

Y

Y

Y

Y

2

X

Y

Y

y'

Y

y'


j e dna i ine prvog pn o g reda Diferencijalne D ife re ncij alne jednacine re da

147

' - zI x'' z'= z -t ,Z=-1.X.

Uvodimosmenu Uvodimo smenu

z =X = x_t

,

I

.

X2

z +1=0o + -z *'-!**4*, x'-I -I !*4= --z+-T=u =0 =o + 4-! -r,-!r+4=o yx+1x2 y y" y' y' x2 x'yx Y

Y

Yj

yj

x

Y

Yj

,'z'+I +!r-+ z --7- = 0 (linearna diferencijalna diferencijalna jednadina), jednacina), =0

Y ly' y z =u.v , z'=úv+uv' z=uv, z' =lr'v +l.lv' , . 1 , , 1 1 u,v+uv, +!u, uv+uv +-uv==413 + u,t,+(t, +-v)u= +!r,)u=L uv+(v y' y yr y3

Y

3

Y

Y

v

Y

1/ v'+-v u, +l-r, =0 =0=+= dv =-I r, dv =-dY * lnt, = -lny= v= -d, lnv=-lny -!-r, =L=

ydylr'yydy y v Y du 1= I dul I I Z u=--+c +c dy , u=-I =- ) du==-7dy dy Y yy" ayy yy -!y It. 1I cy-l y' cy-1 1t y2 x(Y)=-= y y z(y) cY y' z(y) cy--1I Y Y Y2 (-1,-l Uslov da kriva prolazi kroz tadku tacku (-1, 1)) daje daje -1= + c =0 - I=+ =0 -cl- I

3

Y

Y

,

6111

,

..

-c-I

Tako da je tra2ena Tako traZena funkcija funkcija x = -y2 tj. y = =-11:.X .. -y2,, tj. -l:;

2.

Nati Nadi krive kod kojih krive kod je u tacki odsecak u svakoj svakoj taCki - osi proporcionalan kojihje na yJ-osi proporcionalan odsetak tangente tangente na kvadratu ordinate ordinate tacke dodira. taike

2.

je yo yy'1x -x0) yp = na y- osi je = y -xÿ - xy'.. Prema uslovu zadatka ! - yo lo == y'(x - x6) na j" je yy-*y'jednadina sa xÿ = ky2. Ovo je Bernulijeva diferencijalna jednacina tq2 .OvojeBernulijevadiferencijalna sa a = 2 Uvodimo smenu d=2. Odsecak tangente Odsedak tangente

.

.

,_l .r_ y'' t=-,t=yy' ,

1

t.

'

Y

y

k --T t=k t +!t=! -1-!.!=t y x y Xx = y' xy xX Xx 1

1

jednadina). (linearna diferencijalna diferencijalna jednacina). 1[n"urrra

Uvodimo smenu t == uv lrv,, t' == u'v ++141/ uv'

uv+uv =u'r, + uv' +-uv1 + !u, =t ,

,

k

xxxxxx

=

v'+I u, +!-,v = =, -=-=00 + -:v x

I

dx *=

k 1 +-v)=+!r) = x x dv dx - + lnItnltl=-/rlrl !!=-+ =1 v I= -lnl x * vr=1

, , uv+u(v u'v + u1r'

x

* -=--

l

x

x

v

,l =kk ú, =k u=kx+c úll'.-=-+u'=k+u=l
1

lc

c

y

x

1-c=k + -' =* * L-L= t I

y

AB1. !=e.-9=B+A*B=1. k=A,-k=B

x

1

kkyx

Y


prv o s re Diferencijalne reda D ifere nci i alne jednacine da i e drwiine prvog

148

3. 3.

(2x2ylny-x)y'= ylny -x)ÿ = yy.. Naéi opte resenje jednacine (2x2 Naii op5te re5enje diferencijalne diferencijalnejednaCine

x---,-lY' x-

Y

, y yY ----14 2x2 ylny-x 2x'y lny -

I

,

-

2x2 ylny-x

-2xzYlnY-x Y Y

Y,

l^

2 a =2). + 1 x -21n jednacina sa a= diferencijalna jednadinasa 2\. x'x'+! yx = =0 0 (Bernulijeva diferencijalna -2lnyxz

Y v

-x''í,'=-4 = -z *2 1

Uvodimo smenu = smenu z,== x_a '" -!.

+

-y !* x' -Lyx

4 --Z

"t-o

'

,

x

x

jednacina) diferencijalna jednadina) y= 0 (linearna (linearna diferencijalna + r' -y 2lny=0 -!,y z++2ln smenu z= Uvodimo smenu u v, í= ú v+ u v' z--u-v, z'=lt'.v*u.v' l u). u lu.uv=-21ny 1 1v' - 1 v)u=-2lny vu'+uv'vuy''+(v'v. u' + u. r' - 1 v = -2 lny + y. = -2 lny 2lny = 0

.

vy

Y

Y

v'-1 ,' -i,v=0dv=dY hlvl= tnlyl> v=Y v=y =o=! - Idyl=

* v

Y

y

yu' yu'=-21nydu=-2lnydy du = -2!"Y-a, = -2 lny

= -ln2 y + c - uu=-InZy+c z-u v-c y-y1nZy 3,,['=!= x-1 . 1 z=,.v=c.y-yln2.y zz Y(c y(c-ln'y)' -InZY)

-

Y v

1=

g diferencijala Jednacina totalnog dlfere ncij ala I e dnaiina totalno

Jednacina P(x,y)dx+Q(x,y)dy P(x, y)dx +Q(x, y)dy =0 jednacina totalnog diferencijala ako postoji funkcija Jednadina =0 jejejednadina je jednadine funkcije F(x,y) F(x,y) takva da leva strana jednacine totalni diferencijal funkcije F(x,y),, tj. da je F(x,y)

i)

1)

dF(x,Y) = P(x,Y)dx + Q(x,Y)dY dF(x,Y)

aF DF 2) {=p(*.yt -= 2) P(x.Y), Q(x,Y) e(x,y). += ax dr dy Y

je.F(x,y/=c. sledi da da je F(x, y) = c Da Da bi iz dF(x,y)=0, postoji, tada Ako takva takva funkcija funkcija F(x,y) tadaiz dF(x, y) = 0 , sledi F(x,y) postoji, jednadina totalnog u otvorenoj otvorenoj jednostruko P(x,y)dx + Q(x,y)dy =0 bila jednacina = O bila P(x,y)dtt+Q(x,y)dy totalnog diferencijala u .

je ii dovoljno da y) = áQ (x, y) , Q(x, povezanoj oblasti -,r,=fff *,11, y0 ) # 0 oblasti G G potrebno je da bude bude áÿ (x, Q(x,,.yo)*0

(x,y)eG,(xo,yo)eG. (x,Y)EG, (x0,Y0)eG.

l.

1.

fff

,,

x* Naéi opte resenje diferencijalne jednacine (( IY )2dx+( )2 dy = 0 Nadiop5tere5enjediferencijalnejednaiine )2dr+( x+y )'dt=0. x+y x+y

.

xx Y P(x,y)=( P(x,Y)=( Y )Z, )2, Q(x.Y)=( )Z QG,g=( x+y x+y x+y x+y )2


prvog reda reda Diferencijalne jednacine prvog Diferencijatne.iednaCine

x+y-y AP-2^ yy x+y-y

149

2xy 2xy I

DP

(x+y)'f DP aQ x+y (x+y)' (x+y)2 (x+y)3 Dy x+_y _-. =W-. =9i ay ax 2xy x+y-x x aQ=2 a8^x.r+y-.r2xYlbEx _--__;-l

ay

:-t

ax Ex

24i

(x+y)') x+y x+y (x+y)2 (x+y)' (x+y)3

y) takva da je F(x,y) postoji funkcija funkcija F(x, jednadina totalnog diferencijala postoji Kako je ovo jednacina

aF(x,Y)dx+aF(x,y)d dFU,t) +dFQe ,y) 4y -0. o. ax dx DF( x,Y) aFLx,Y) ax dx

ax

Y

)2

ay dy X2

=

aF(x,Y) -( xx )2 ! )2)2,W)=( )2 =(xx+Y +y ay +y dY xx+Y

aF(x,Y) _( YP=(fr,, x+y ax aF(x,Y) aFLx,y)

Y

ay dy

=

x +y

2

a-=-fi*ttrt x+y +S(Y)

F(x y)= j( Y)2dxF(x,y)=lrfif

Y2

2Y(x+Y)-Y2 +S,(y) ' =-Z*y-1' -2-y22 +S(Y) +5,(y) - *2y(x+y)-y2 +S(Y)= 2 (x+y)' (x+y) (*+y)' (x+y) +y2 +3ry -2xy-y2+s'(Y), +s'(.v). S'(Y)=x2+y2+2xy=(x+y)2 s'(-v) -x2 =l'x!y)2-=t

(x+y)" (x+y)2

-L=-2*y-yr' (x+y)' (x+y)z (x+Y)2 (x+Y)2 dS(y) =1

jdS(Y)= Jdy,

dy ry=t*!as1y1=[dy,

(x+Y)' (x+y)2

S(y)=y+c1 S(Y)=Y+c1

2 -y 2 xy ,22 y i ct = xv+v2-v2 Y Y +cl, c : +c1 c1= F(x,y)=Ftx,y j = ->+ +y+cl =-i = x+y 1 x+y x+y x+y x+y

xy

x+y

=C.

-=L. m n oZite li Integracioni I nt e gr ac i o ni mnozitelj

-*

uslov nije ispunjen ispunjen uslov Ako Ako nije

aP(x, Y) = aQ(x, Y)

pa

jednadina diferencijalna jednacina pa diferencijalna , ax postavlja se se pitanje mo"ze moZe lili p(x,y)dx+Q(x,y)dy jednadina totalnog diferencijala, postavlja y)dx + Q(x, y)dy = P(x, =0 nije jednacina nule takva da h(x, tazlidita od nule x, yy)) ,, razlicita funkcij a h( se se ona ona uciniti udiniti takvom, odnosno, da lili postoji funkcija jednadina totalnog totalnog diferencijala. diferencijala. bude jednacina jednadina h(x,y).P(x,y)dx+h(x,y).Q(x,y)dy=0 h(x, y) P(x, y)dx + h(x, y) Q(x, y)dy = 0 bude jednaina ii dovoljan Potreban mnozitelj. Potreban mnoZitelj. integracioni se naziva se postoji) naziva h(x, y) (ukoliko postoji) Funkcija Funkcija h(x,y)

a ry=ry, Y

Q(x, x' vy)I ]I h( x' y) a[ dl h(x, a[ h( x' vy) P(x, dl h(x' v l' Q( v ) ]] )' P( x' y) . ay ax dx ah(x,Y) aP(x,Y) ah(x,Y) p( x,y)'0,+.'.t' h(x,y) aQ(x,Y) * h(x,Y) h( x,y) h(x,Y) = Q(x,Y)' + P(x,Y) ax ax + aay dy adv Y aQ(x, y)t aP(x,y) ah(x, y)) ah(x,y) 1 x' t t P(x,Y) o( *', )'ah*t - Q(x,Y) ay ax ax h(x,Y)[ )=as*Y h( x, yy)) . funkcij a h(x, poslednje g izraza izr aza se odreduje nepoznata funkcija Iz poslednjeg

dat je sa sa uslov za njenu egzistenciju dat

ry

#ilru

ff

at

o(*,y).ry+

ry

-ry


150 I50

1. 1.

Di.ferenci.ialne.iednaiirw n*vog reda Diferencijalne jednacine prvog 5

Pokazati Pokazati da diferencijalna jednacin da diferencijalna jednacina

^

integracioni mnozitelj mnoZitelj oblika integracioni oblika

y h(hq))

3

4

3x )dx+(xz (x3 (4+t)d.x+(x2 + *i'1- )dy =0 ima Vn=o 33

y"yyt' y Y

y

i naci nadi ono resenje koje

sae seCe x-osu r-osu u taCki x=1. x=.f.

Ako pomnoZimo pomnozimo datu diferencijalnu jednadinu jednainu sa integracionim mnoziteljem mnoZite ljem yy.n1L1 h(Z)

2

y+ X x 3x )dx + y nflXr' dobiiemo dobidemo yr. h( h(-)( xz +*$,0, 3 )dy =0 Dabi jednadina bi ovo W\4*!,**r. ovo bila bila jednacina =0.. Da X 5

3

4

x

y

Y

Y

totalnog totalnog diferencijala diferencijala mora vaziti aP = aQ mora vaziti

ay ax #=X,

je Pr == h(nllyl+ gde gde je y Xx2 + 3x3 3x31, , a 5

,

x y

a

g=1r1!-y*2y*3*o Q= h(y )(xzY + 3x)

xy

y

x

ah(t) dh .dt dt ah(t) dh dt I h=h(t) dh(t) -!x -,, - t, h=h(t) -dh (--), =1{.1-)=1.dnft) =4.at =h,.L dx ax dtdx dt dx ay ay dtdy dt dy x x2 *r" aP ah -2xs 3x4 + )+h( o r4t, y+ t1 n. exy +d) =*,.2, ), # a(z+3x' ax ax #a =X,i y)+h(2xy+ Y) y

,

y

aQ

ah

x

x5

Y

Y

?

3x3 1 +

2

?

a

12x3

+

y

Y

n. a2!' t n'. F4)(*', *{1+ n.exy+41 +3x3)+h(-2x5)=h'()(x2Y+3x4)+h(2xy+12x3) *,ixz yz

n1 h'

3x'' 1+

x

y3

=

Y

Y

n7{*s*'+y2 h'(x2 +3x21=h(2ry*12*' +2x5 *?*t )' +3xz+yz+3xz)=h(2xy+12x?

v-rf'

Y

y

Y

2xy4 +l2x3y2 2xya +12x3y2 +2xs +2x5 3

h'

y3 v'

h

xa +6x2y2 +y4 x4+6x2y2 +ya

2x(x4+6x2y2 +y4) x +y1) _zxtx1+oxlyl =2.*Yy =2t ylxa +6x2yz +y4) y(x4+6x2y2 +ya 1

y2 Y Y2

dh_2dt jdh_2Jdtlnlhl=lnIt2

I+=, -n=$. h t = o= t h=y #=1" h ff>,,lh1=mlt'l h=t2 x 2

l

2

t

.

Na ovaj nain nadin dobili smo jednadinu jednainu totalnog diferencijala (x3 + 3ry2 ldx+ (yi + 3x2y)dy =0 =0.. 1x3 +3xyz)dx+(y3

aF(x, dF(x,y) y)

dF(_x,y)=v.,+jx2v .?*J,t) , z aF(x, y) = y3 + 3x2y x3 + 3xyz r =x a, ay dy aF(x,Y) dF(x,y) r . y 2 F(x,y)=!(x3 x4 =x3+3x + 3xy )x d = +3ry21dx=I.*f12 23 x z y z ++s(y) S(y) - ax = F ( x, Y) ar-=.tr + rLy4+ ax

aF *#

(xay,

2

Y)

?

-= 3xzy 3x2y + S'(Y) S(y) = y3 + + 3x2y+ S(39= ct S(y) =t*+ r, 4

4

3xzy

4

4

4

4

F(x,y)=**|rf F(x,Y)=x +3xzyz+y *t*,, **=c +c¡x+-3xzyz+y =C 4

2

4

- +.irr' 4 2

4


reda omog, reda jednacine prvog Diferencijalne Di.ferenciialne.iednaiine

151 151

x=1,, dato uu implicitnom tadki x=1 u tacki x - osu u je C=+.Re5enje sede .r-osu Re§enje koje sae C= (1,0) je tadki (1,0) U U tacki je x4 +6x2y' xa +6x2y2 obliku, je

2.

2.

y4 =1. *ro =I.

ima integracioni jednadna xdx + ydy + xdy -- ydx diferencijalna jednaCina da diferencijalna ldx =0 = 0 ima Pokazati Pokazati da reienje. op5te re"senje. nad njeno opste h= h(x2 + y2 )) iinadi mnoZitelj oblika h=h(x2 mnoiitelj dobiiemo jednadinu sa +y2,) dobicemo sa h(x2 +y2) diferencijalnu jednacinu pomnoZimo datu diferencijalnu Ako pomnozimo h=h1x2 +y2 1 ' h(x-y)dx+h(x+y)dy=0, h(x-y)dx+h(x+y)dy =0, h=h(x2+y2).

valiti * == g. mora vaZiti jednadina totalnog diferencijala mora totalnog diferencijala bila jednacina ovo bila Da bi ovo Da bi dx dy aQ ay

,

gde je gde

P=h(x-y),a P =h(x-J),a Q=h(x+y). 2=h(x+y). h= h(t) , +y2 =t , h=h(t), *2x2+y2=1,

dh dt dt dx

ah ax

o'.r. , -=h'-2x,

*=#.*=

áÿ (x-y)-h=2y(x-y)h'-h, - y ) - h = 2y(x - y )h' - h, *dy== *,, dy áP 2x(x+ y)'h'.+ h 2y(x-y)h'-h=2x(x+y)h'.+h 2y(x-y).h'-h=

2h'(xy-y2-x2-ay)=2h 2h'(xy-y2 -*2 -E)=2h> 1 h' h'll 1 -=--=-h x2+y2 x2+y2 t

ah

dh dt 2y.. h''2y dt dy = h'

ay #= *=#

- + + h =2x(x+y)h'+h Q = áÿ (x+y)+h = 2x( x + )h' + h # =*, v)

v

+y2 )=-h> h'(x2 +YZ)=-h -h'(x2+y2)=h -h'(x'*y')=h) h'(x2

I

h=-1 h I=-InI tl* h=! t#"=1+ a nlhl=-/nl = h=*f x2+y2

dt j h'(t ) dt =-J h

1nI

t

t

1

t

x-y 2dx+ x+y .[+Y r-v Zdy=O =0 --;----;ctx*-;+dY 2 +y xr'+YX +y' +y x" x-y aF aF r+y aF= .r-y aF_ x+y

ay x2+y2 dr x2+y2 h *'+y2 ,2 +y2 '' -=+ x xy af ,t'-v ) F= aF F j

ax -=-

! x ! S(v) ln(x + y)dx rl# 2= v'!arctg!+ S(y) t2 - y-arctg-+ = !-h(*' = l+d"=fr x2 x+y x2+y t +t 2y.v'E'J'.,--'trar +s'(Y) _ x+y2 +s'(Y) x( 2 )+s'(YJ = + + Zv-4.*F1)+S'(il=4,+t';+S'(y)= = F 'J, *, ++y2 +y, "y ,, *y, -,,, *2l*J;+S'(.v,r +y, 6=2' .45

ax= ar x2+y2

2

C1

YJ

2

2

2

1x2

2

1+-

Y

2

)

Y

2

y

2

Y

2

Y

v'

Y

x+y +S'(y)= I,*', s'(Y)=0 s(Y)=c S'(y)=0 - S(Y)=c * S'(y)= x+y {*Y, x2 +y2 = +y2 x'+y' x'+y"

X2

- arctg x= C. x2 + y2 -arctg!=g. hrl*\y'

In

Y v


152 152

,

Di.ferenci.ialne.iednaiine Diferencijalne jednacine prvog reda reda

jednaiina 3. Pokazati dadiferencijalna 3. da diferencijalna jednaina

(sx2 + (5x2 +2xy+3yj 2xy + 3y3 )dx + 3(x2 + +xy2 xy2 + +2y31dy=0 2y3 )dy = 0 ima )dx+3(x2 ima integracioni integracioni mnoiitetj mnozitelj oblika oblika h == h(x h(x + y) i nací nadi njeno opte op$te resenje. re5enje.

.

h(x+y).(5x2 +2ry+3y3 )dx+3h(x+y).(x, *ry, +2y3 )dy=g h(x+y)(5x2+2xy+3y3)dx+3h(x+y)(x2+xy2+2y3)dy=0 ah(x+y) (5x2 !P, t *' +2xy+3y3)+h(x+y)(2x+9y2)= + 2*y + 3yi 1 + h( x + y )(2x + 9y, ) = ay dy

=3ah(x+y)(x2+xy2+2y3)+3h(x+y)(2x+y2) jdh(*+,) {x2 + ty2 +2yj 1+3h1x+y)(2x+y2 )

= "E;t4

ax

ah(t) ,{*v x+y=t, h= h(il, -h,hi', ti = t, h=h(t), =

ry aY

,

h, = ni,

ah(t)

Y= t* = 4 ,

hi. ax =h,

,

.r

h,

-6y3)=h(t)(6x+3y2 -6y' ) = h(t)(6x+ 3y2 -2x-9y2) -2r -9y, h'(2x2 ti1Zx2 + + 2xy + 3xy2 2ry + 3ry' - 3y3 3yt ) = h(t)(4xh(t)(4x- 6y2)= 6y' ) = 2h(t)(2x zh(tx2* 3y' ) - 3y2 nilzxl h; x + yy) y1f = [2x(x sy2 (x * ++ y)] 2h(t)(2x 3y2 )) )(2x - 3y2 - 3y2 = 2h(t h;(Sx2 hi(5x2 + 2ry + 3y2 - 3x2 +2xy+3y2 3x2 -3xy2 - 3ry'

1

1

1

-

-

h;(2x 3y2 )( h;(2x-3y2 x + y ) = 2h(t )(2x 3y2 ) )(x+y)=2h(t)(2x-3y2)

dh(t) h(t)

W

=,'

dt

dh(t) dt =4 h(t) +t

*t ## =

h,

=

2

=2

= h(t) * x +y + t h=

= 21nI + lnI mlnlt h(t)I1l= 2 tnl t h( t ) = t2 t2 > h(x+ h( x + yy)) = ( x + y)2 _ (x+ y )2 l= h(t) I

7x+y1215x2 +2ry+3yi 1dx+3(x+y)2(x2 +ry2 +2yi 1dy=g (x+y)2(5x2+2xy+3y3)dx+3(x+y)2(x2+xy2+2y3)dy=0 + 2ry + y2 )(5x2 +2xy+3y3) + 2ty + 3y3 1 = (x2 +2xy+y2)(5x2 *ax -=,t' = 5x2 5x2 +2x3y + 2x3 y+ +3x2y3 3x2y-' +10x3y + l0x3y +4x2y2 + 4x'y' +6xy2 +6ry' +5x2y2 + Sx2y2 +2xy3 = + 2xyj +3y5 + 3ys

aF Dy $=r,r*

y)2(x2 y)2(x2 +xy2 +ry2 +2yi +2y3)1=(3x2 +ry2 +2y3) +2y, )= +6xy+3y2)(x2 =(3x2 +6ry+3y, = Xr, +xy2

= 3x4 +3x3y2 +3*ty'+6x2yj +6x2y3 +6x3y+6x2y3 +12xy4 +12rya +3x2y2 +3xy4 +3rya +6y5 =3x4 +6ys

F(x,y)=!{5x4 F(x,y)= J(5x4 +2x3y+3x2y3 +10x3y+4x2y2 +l0x3y+4x2y2 +6xy4 +6rya +5x2y2 +Sx2y, +2xy3 *2ry, ++3ys 3y5 )dx = 1dx= 1 4 37 +2x 5.4 4 3 2 2 4 5 3 2 =x5+2x y+3x y +3x y +3x +3x2ya *1*'y'+*'y, =tt *1*oy+r''y'' ,.,2 yr 3 +3xy +3^ts5 +S(y)= +s(y)= Jy +x 'y+x y-' *lroy*lt3y2

2

2--' 3--,

3.-

= x5 +3x4y+*''yt +3x4y+x3y3 +3xsy2 +3x3y2 +3x2ya +3x2y4 +*,yt +x2y3 +3xy5 +3rys +S(y) =xs +S(y)

aF(x,y) 9!++=3x4 3x4 +3x3y2 +6x3y+12x2y3 +6x3y+t2x2y3 +3x2y2 +15xy4 +t5rya +5,7y)= +s'(y)= ay dy

5S' > S,(y)=6ys = 6y

2+6x2 3+6x3 4+3x2 2+3 =3x4+3x3 +3x3y2 =3x4 +12rya +6ys Y +6x2y3 Y +6x3y+6x2yi Y +6x2 Y ;+12 xY +3x2y2 Y +3ryr xY 4+6 Y S(y)=y6 +ct = Y6 +c1 S(Y)

(Y)

5

3 3

X5 + x5 +3xay+r'ty'' 3x4y + x y +3xiy2 + 3x3y2 +3x2ya + 3x2y4 + +*,yt + 3xy5 + x2y3 +3rys *y66

=C x2(x3 +3x2y+3xy2 *21*j +3x2y+3ry2 +y3)+y3(x3 +yi 1+y''1*i +312y+3ry2 +yi )=c +3x2y+3xy2 +y3) =C +y3)(x+y)3 =C. (x2 7x2 +y311x+y)3


Diferencijalne pm o g Difere ncij alne jjednacine e dnaiine prvog

reda re da

153

'

Klero-ova jednaiina jednacina Klero-ova

' -

To je je jednadina jednacina oblika y == ry' ( y') .. Neka je y' = p, xÿ + ff(y') pidemu p , pri emu je p funkcija od od xr . y=xp+f(p), y=xp+f(p), y'=p*xp'+f'(p)'p', y' = p+ xp' + f'( p) p' , p'(x+f'(p))=0. Odavde sledi da je Odavde siedi je ili ili p'=0 p'=0 ili ili x+ x+ f(p)=60 f'(p)=g .

.

p'=0+ p=c)!=cx+f(c) p'=Op=cy=cx+f(c) p) = x+ f'( g(x)+ x = -f'( p) pp== g(x)ay=x. g(x) y = x g(x) x+ x=-f'(p)+ + f[g(x)] f'(p)=0* fl1(il]

, 1. 1.

, i -llt -Pxx

Resiti diferencijalnu jednaCinu jednainu y == xy' Re5iti diferencijalnu xÿ -lny' - lnÿ . p= p(x) y'= p, P+ P=P(x)

y=x'p-lnp y=xp-lnp

y'=p*x.p;-!.p') p'(x-!)=O =P+xp --1pp p(x-I)=0 P P . p'=O p'=0-p=c)y=c.x+lnc p=c y=cx+lnc . xI= 0 p=-1 x-z=0+ p =4,3 !=l-lni-=l+lnx y =1- In-1 =1 + In x p

2. 2.

-

x

x

I, y_!,y,=_4r,,2*o y=z,y=2i,z#0 -(z)? x í)=0, {-Lr!-4.r')=0, z zb z4 z2 z6r4zz-

jednatinu (ÿ Uvodeci smenu yJ=l (y')3 Uvodedismenu = resiti re5iti jednainu )3

--lo(l+ry')=0. y° (y + xy) = 0 .

z-Z

1

(-z')3 (-í)3-z+ xz' =0 -z+ xí =o

.

. .

(singularnore$enje). resenje). (singularno

,

1

1

. .

(singularnorelenje). (singularno res"enje).

zz = = xz'

- (íz')3 (Kleroova diferencijalna jednaCina) diferencijalna jednadina) )3 (Kleroova

íz'=p, =p, z=pdx (

z= xp- p3 ) 7'= z'=p+(x-3p2)p' z=xp-p3 p+(x-3p2 )p' > pp=p+(x-3p2)p' p+(x-3p2 )p' (*-3p2 )p'=0 (x-3p2 p'=0 p' =o ili ili x-3p2 =0. )p'=0 =Q .

= . p'=0 = p=c p=s- z=xc-c3 =!=*c-c'' 1 =xc-c3 = y= y=# 1 y xc - c' x-3p2 =0t+p=tfi p=m"

,tGr x x = ±x +( ) +qy 3 ;=*rt/i , 1

;

±x >z=!.x.8-,r8, )3 3 -(t 3 z

(singularno re"enje). resenje).

Y

"


I

154

Diferencijalne Diferencijalne jednaiine jednacine prvog reda

154

3.

3.

Resiti diferencijalnu Re$iti

á, a=const. jednaiinu yI =-- xÿ jednacinu xy' + 4, c=const. y v

á

jednadina se svodi na Smenom y'y'== pp jednacina Smenom na yy == xp+ xp++ .. p p , a , , a , y' =p+xp p(xp'(x -3) p2)=0 = p* rp' -* p' =0 * pp' =0 =0 iliili *

p

.

p- = p' p'=0)p-c)y=cx+! p'=0 p=c y=cx+á

.

a-a)"li x=Z= xp2 x--=0= p2 =Ox=

-4p-

=0 =O

c

p2=áp=± =-x= O=*{;

y=±xT-

+

á=±

F

P-

x

x

ax± ax=±2 ax.

Uvodenje parametra parannetra Uvotlenje jednaEine F(x,y,y')=0, U nekim slucajevima F(x, y, y') = 0 , aa da se sludajevima mo2e moZe se se odrediti resenje re3enje jednacine se ne odredi y' kao funkcija od parametra i posebno posebno je vazan od xx ii y .. Postupak se sastoji u uvodenju uvodenju parametra valanza za jeparametar jednadinakojesenemogureSitipo slucajeve sludajeve jednacina koje se ne mogu resiti po y'.Dakle,uzmimoda Dakle, uzmimo da je parametar pp=y'. = . je F jednadine F(x,y, Tako dobijamo dve jednacine pdx.. Ako je F diferencijabilna, imamo p) = 0 ii dy == pdx F(x,y,p)=0 aF Lo**Lor*L1o=s. ..

dx + ax Dx

dy + áp dp = 0O.

áÿ dy'dp'

jednadina mote jednom od Ova se pisati Ova jednacina pisati uu jednom oblika moZe se od oblika

+páÿ )dx +

,*.0*,*+ffae=o (áx áF

dp = 0

ili ili

AF+ p AF + p AF dp = 0 (?+p?)dy+p?dp=0.

je to jedne od F(x, y, p) = 0 ii jedne iz F(x,y,il=O to moguce, mogude, iz Sada, Sada, ukoliko ukoliko je áF)dy áF dy dp Y p jednadine odredi se poslednje dve jednacine p) ili y( p).. Ako smo smo odredili odredili x == x(p) ili y == y(p) x(p) se rx == x( x( p) tada tada .

áx dx

(

{P ) ap je x(p) je =1Iv'Y (p) p)= px'( o)dn +c .. Ako smo odredili y(p) dp *, +c y(p) p) tada je x( p) = odredil i y = ie y( = [j px'(p)dp+c = y( p

1.

1.

jednaiinu (y'13 Re"siti Re5iti diferencijalnu diferencijalnu jednacinu (303

..

=O. 4xyy' + 8y2 8y2 = 0. -- 4xyÿ

y'= p, dy=pdx dy= pdx y'=p,

pi p3 -4xyp+8y2 -4xyp+8y2 =0 > 4ypx pi +8y2 4ypx== p; p; pt-!+8y2 8y'- {*rr-, 2y *= = p2 p * o, y + o = ' 4yp 4yp

4y p 4y p'

Posle diferenciranja imamo

PZ +?)dy, Z)ar, dx= Ldy d* = 1 -22)dp+(t!p dy -4Mp + 7t=* zYp'4y'pp 4y p p p 2

dx=( a* =

2y


.

prv o p re Diferencijalne reda ife re nci i alne jednacine D da i e dnaCine prvog

155 15s

lay=r!-4up*(-{p, 1 dy=(p zY-22)dP+(?- p)dY P P

2y

p' p

pP4y' 4y

dp=(p2+-)dy=P -lr' a,=t4-Z*lpy=rt dy o, z 2yp 4y 2vp' 4v' p 4y 2p 4v'p P PP p3-4y2 pt p3-4y2 dy dp=dy dy-2dp dp _pt -4y' dp-4y' .dy _ dp =.rdp -4y z

3 2 pt,-41' P

2y pp =e_=-dy y 2y 2w 2y' T-'

p p 2yp 2yp

jdy =2jdp ='t

I

p

2yp

=2lnl t l+' = nl n''',1, p2ciI, cc=lnc] = rP2 = t ? !y=cip2 * = hl tyIl= tnl pl+c=lnl

*

lnI

tn

2

c

c

je c2 *x==-t-*2''p'2c1 p2 =**2c1p c2 + c3 p, gde je rz =*, = 4-1 +2c i p= = =c21.cqp, 4c2 4c1 4 p2 p 4ctp'p4ct-4cz rP 2+

1 c3 c7

p= , =L1*(x-c2) -rz)

,

cj = 2c2 c3 =2c2.

.

(x-c2)2 = > yy==\1x-c2)' ro(*-rr)',oc4 ==4. =c4(x-c2)2 c3 ci ci

.

C3

jednadina u regenju Konstante c2 c4 mogu se predstaviti preko konstante c2 ii c4 konstante c, tako da jednacina reSenju prakticno praktidno ima samo samo jednu konstantu.

Lagranzova jednacina Lagranlovajednaiina

je pp funkcijaod To je jednadinaoblika jednacina oblika y=xf(y')+g(y').Nekaje y'=p pridemu je y = xf (y') + g(ÿ ) . Neka je y' Toje = p pri'emu funkcija od .r. x xf(p)+ f(p)dx+x f'( p)dp+ g'( y= p)+ g(p) p)dx+ x. f'(p)dp+ g'( p)dp dy = f( = xf( S( il ) dy= pdx pdx- f((P)dx p)dx = (x. ( p(x f(P) g'((P))dP p))dp p))dx = (x (P))dP e (P (x f(P) - .ff((P))dx f'(p)++ 8 S'(p))dp f'( p)++ 8 .

.

a

-f

p- f(p) *0 P-.f(P)*0 dx

.

Î'(P) f't P'l ' x+ jednadina) (linearna diferencijalna * * gr'((p) diferencijalna jednacina) = !dp !) , (linearna ' p-f(p) dP pP-.f(P) f(p) P-f(p) p-f(p)=0= p-f(p)=Op=pi,tadaje p=pl,tadaje jednadine. y= g(pr) singularno resenje xf(pl)+g(pl) reSenje date diferencijalne diferencijalne jednacine. = xf(pt)+

l.

1.

jednaiinu y ==ipr+ Resiti Re5iti diferencijalnu jednacinu (2x + y'). l).

, I . ,.2) y=-xY"-2(Y")2 ) = -,t-l ,{l Smenom

' =P y'=p

Y

-

2 dobijamo xP-2P y= -rp-lp'. dobijarro J Y=-

-

dy = -pdx xdp pdp dy=-pdx-xdppdp

p#0 p*0

> pdx pdx=-pdx-(x+ = -pdx - (x + p)dp p)dp t

2pdx =-(x+ p)dp 2pdx=-(x+

dx xx I dx _1-I x == --I1...(linearna (linearna diferencijalna jednadina). --I 9 y'1+-I --=diferencijalna jednacina). dp 2p 2 dp 2p 2 2p 2p -L22' x= x' = lr'v + l,r.v' = ulr. vv, x=u'v+uv' -I u'v+uv'+ u'v+uv'+ I uv =---1 vu' +(v' v )u= uv=-!)vu'+(v'+u lr=-l 2p 2 2p 2p22p'2 2 ,

1


jefuuiine prvog reda Diferencijalne jednacine Diferencijalne

156 1s6€

Jv

t -! , vv ^ dv dv vv dv dv tdo dp ,dv l,do .tlnlvl=-lhl I dv dp -Z v+2-p=0ap=-2p l' +- =g=-=--=,-3--a l-=--l: )lnvl=-2lnlpv=P ol) u= o =-2 --2Jp I I ov = 2p dp 2p vv 2p 2'p 2 1

-+,_-1t du=-1t pz+)

p ,u'=-,) PZÚ 2

du

dp 2 TO=-Z?, s

1

1

1

t +.

t

2

3

2

"'

+ +c du=-1 p2dpu=-1 p2+c du=-7pzdp=u=--p!

,-l

1

-!t'1 x=uv=p-2 x = y. v = p, (-p2+c)=-3p+cp t-i p, + c) = -! n+ cn,2 ,-l 2)-3,t! =-3 p2-cp2 y=-pF:p+cp y=-p(-3 p+cp 2,-io'=-!p2-cp2 1

1

2

:

y' = 0 singularno regenje. p=0 > !'=0* y=0 je singularnore5enje. 2. 2.

jednaCinu y = Re§iti = 2xy'+(!')2 2xÿ +(y')1.. Re5iti diferencijalnu diferencijatnu jednainu

y'=p, dy=Pdx ÿ =P, dy=pdx yy=2xp+pz = 2xp+ pz p + 2x$ + pP = 2p+2xcbc+2p 4dx dx dx dx z

2

dy=2pdx+2(x+P)dP ay = 2 pdx + 2(x + p)dp

pdx = pdx + 2(x + p)dp ) -pdx 2(x + p)dp = 22pdx -pdx == 2(x

p*0 p0

dx2(x+p)_ dx 2(x+ p) 2 ^ 2x 2 dp p p dppp ) jednadina) x'+? +ax= x' diferencijalna jednaCina) = -2 -2 (linearna diferencijalna p P x=uv, =ú v+uv' x=u.v, xx'=lr'.v+u,y' u'v+uv'+? uv =-2 vú +(v'+? v)u =-2 (v' Zv)u u'u + ru' + Zuv = -2 pp = -2 ) vu' + + ...._=--=--^-L

P

,'

4.1v

+2, =0 =

P

v1=-21n1 r? = I+' -4+=ln)hlvl= -ztnlp

dv=-2dp

*=

v=p

p1I =+, = p-22..

2 t dU ^ ) . r, ^ 't ^? ) . ) u=-3p;+c. jdu=-2Jpzdp u=-|o'*r. =-2p2 du=-2pzdp =du=-2p2dp=!au=-2lp2dp = ff--2p2 duP 2 1I 22 cc .2. x=uv=(--p =-3p+P2 x = tw =(-j O' +c) p*F +,).T=3 -) , =-2^ p-zú p-2u'=-,

v

P2

2

3 2

p y = r-1 p+4). 2p+ o' = -02^' +*2' * o' =z' - P!^ y=(-3P+ p2)2P+p2=-43 p p 3 3' pz' 3 pc+p2= pp=0, 0 y = p = 0, y' = 0 je resenje. > 0 singularno re5enje. = !=


157

Diferencijalne jednacine viseg reda

viseg reda jednacine viSeg Diferencijalne Diferencijalne jednaiine diferenciialne jednacine Snizavanje Sniinvanj e reda diferencijalne i ednaiine

a)

a)

integracija). y@G) f(x) (direktna integracija). y(" ) (x) = = /(r)

jednaCine y"sin4x y'sin4 x = = sin2x .' diferencijalne jednacine reienje diferencijalne 1. Nati Naii resenje

1.

sin _ 22x

= ,'~ ==':,# Y sin x

x

2 sin

#? sin

=,

X

sin x = t cos x gfux "dx = y' * =(,::T;: = 22! y = ! yy'd* r,)= (cos xdx = dt sin; x sin` x ffi x

J

+CI * r, * r, =2lt t t-t dt ==2Jd = -J"= -) = il 4 = 2J2 +CI sinz x

sin'x

tt'

't''I3

cz . +cif ctgx + cc ix c y'dx = j4 y= y = !Jy'dx= tx + c2 I dx == ctgx+ J d2 * sin x .

y(k), y(k+1), y(")) F(x,yG),y(k*'),..,!(") b) b) F(x, )=0 ,

smena: y(k) smena: Y(k) 2. 2.

j

y) sadrZiy) < k < n (diferencijalna jednadina jednacina koja ne sadrIi 7
=z, =2, z=z(x).

jednaCine xy" diferencijalne jednacine Nati resenje reSenje diferencijalne Nadi ry' = ,

p

y'l,i ÿrn yx .'

,

=z y=z, Y'=2, yY'=z'

ln? xz' = = zzln13

jednacina) diferencijatna jednadina) i= ln z (homogena diferencijalna 7'=1mL

xxx

x

x

=u+xu xu' z'=lt+ z= xu, i ?L=u) =uz=xu, *ordx

x

X

u+xu'=ulnu u*xtt'=ulnu

du

=u(lnu-1) '= *4=u(lnu-l):) u(lnu-1) u(lnu-l) dx

du Jd | u(lnu,d' tx ) u(lnu-1) l),, =llL

J

xx

c=1nI C1 I, c=lnlctl lnpccll, 1nI ln u -11= lni x i+ hllnu-ll=tnlx l+cc== lnixci

I

-=-

tt="1+c1'x lnu=ctx+ l.) u=e1+c,x lnu-1I -= ctx 4 lnu=clx+1 lnu.x l+c x I+Cr z = xu= x,e z=xu=xe ,

1x y,=z=xe1+'. !' = z = *. "l+ct"r =

_ =

( du=dx ) uu= = xr =) du=dx Jy-dx= Jxei+c1xdX= = y = Iy'd* = [ x. el*'t'' d,x =[a, dv-e1+c1xdx = rt+ct'x4r= vv== Lrru'' CI

1L 1+c1s _L1r,*",.*O*=Lr.rt+c1.x 1 ¡el+c i xdx=-xe I+c1x x*.rt+c1.t e C1 Ctu C1 CI CI

1

CI

J

-2 fir,*",* e

CI

1+c1x

)=

+ cz +c2 2) eel'"r'* +C2 * c2 =( =,tx--*,. 1

C1

1+c1x

C1


158 158

3. 3.

Diferenci.ialne.iednaiine Diferencijalne jednacine viseg viieg reda

Naiire5enjediferencijalnejednaCine Naéi resenje diferencijalne jednaCine x= ey y,, e! + y".

y'=p+y'=ty'dx=lN" y"=p y'=Jy"dx=Jpdx dx x =eu"dx +p x=e°+p dx=(1+e°)dp )dp = ii= et, +l + dx=(t+ep dp

u=pP] du=dp du= dt

=42 ++peP-e°+cl pep -ep +c

y' y'=Jp(1+eP)dp= = ! o(t + ep ldp = f! pdp+f Nn+ pePdp= nepdo =(u,.=

dv=ePdp v=eP-l=+r, \dv=ePdp=v=eP ) 22

[

y=

1

fy'dx== f(2 * pep -sP +ct)(t * e°)dp= ep )dp = !fdx lfln'p2+peP-e°+c

2

= J(Z p2 + * peP -e° + p2e° + pe2c -e2p * pe2P -e2P +c, +c +c,ep -sP +tn'ro fe°)dp !(ro' 1dp

+c

*='oo!)=

2 t p 2 f p 2 e P =(u =p2du=2pdp = pp2ep e -21 2-rpe P + +2st 2e P Ip'r, --r = pp2ep -2!pepdr= r e- ° -2pep 1u,= ,: tr-pe dp ' dv=e°dp v=eP ) [dr=ePdp=v=eP

=-16 p3 *peP + pe° -e° +tn'ru ,=*o +eP +1 +1n",, pe° +"0 peep --e -sP -eP -r, +1 e2° +clp+cleP p2eP --pro +ctp+c1ep +c2. -lrro2P -1 -|rr, 2

y

Re5enje je dato u parametarskom Resenje parametarskom obliku

2

4

2

y= p*ep , y=(p-3)e2P+(p *(+-t+ct)."0 x=p+e°, t=f!-lol.rr, *f6 p3+cip+c2. -1+ci)eP+1 nt +clp+c2. 2 4 2

4.

Naci Nadi resenje re5enje diferencijalne diferencijalne jednaCine jednaCine

4.

,,,=Z,l y .. =Z =z, !y =z, xí + z == x2 xz'+ *'

ry'+ y"= !, = x2 ..

a ,'+!-z +-z ==;ux (linearna (linearna diferencijalna jednadina) diferencijalna jednacina)

z=tt.v z=uv,, z'=úv+uv' z'=lr'v+uv' vú ur' + uu' + ! uv=x +uv'+1 uy = I xXX

v'+v= v' +! = o = x xv

!u'u, =, -1 =x xr3

4

vú vu' +(v'+ + (v' +!1u v)u=x =x x

!! -+ > hlvl= v x

-dv =-dx =

-tnl*

=1 l+,v=1 x

*1* y' = x2 s du= *2d* u'=x2 x2dx u=X;+c r, = u= 3

et =UV =-+z=yv=t*L* 33x3x x

z

:)

X2

tl

,=t *r,ci =z=-+3 x

yyr=

x2

2

y' = fy"dx= y'= * Sr-,a* = ! y'dx = IJ(3+)dx=

;

* , , tnl xI+c2 x l+ c, {9+clnl

9+cIc,tnlxl+c2)dx lnI x +c2)dx = 36 +cy(xlnl xixl-x)+c2x+c3 x)+c2x+cq ={+c1{xtnl I,+*

y= = fly'dx y'dx = = f(

I

c) c) F(y, F(!, yy',, ..., y(n) )) = .., , y(n) ) = 0 ,, n >

..

I (diferencijalna (diferencijalna jednaina jednadina koja ne saddi sadrzi x) ,

.

dz .y =z = z, = 2,.z, ' =d! dx dx=1.+=4.r, dy dydx dx dy y y

yy' =z, z = z(y), y"= y, = z, z=z(y),

=


red.a

159 159

vileg reda Diferencijalne jednacine Diferencijalne iednaiine viseg

dy_d(iz) 2)2, itd. ,_ z z,,. + ,2 1. z = zz2. ,._dy'_dy' d_ =- dy' . dy _ d( z'.' ) y, z, + z. y-(zz+(z))z=zz+z(z),itd. = ' - dx dY dy dy dx dx dydx z

yn, =

5. 5.

.

.

(

1

z, 12

( z,

y' . y'-- /7 = y ' y'.

jednacine y' resenje diferencijalne diferencijalne jednaiine Nad re5enje Nadi

z* t =y.

z. z'

dy rdy=f .dz dz * 4= y.#=L t+* z-I y y - t!= fia, z-I dy z

z

z

dz a, = ! a, + !4 dz=jz-1dz=fdz+j a, = !# !$ z-1

lnlyl=j rnltl=

z

=z+lnlz-II+c1 = z + tnl z - I l+ c

1

z

z+lnl z-l l+c,'=cZ(z-l).e',z , c2=e z+Inl z-Ili =c2(z-1)e C|=ectc¡ y=e !=e

dY

I

dy

(ez + zeZ - eZ idz = c2eZdz 'v=Lrr'le'+re'-"'far=czezdz `

dx = 1 dy = 1 c2 =z z2.. z ,a=z)clx=-dr dx *cs c2eZ +c3 x = jdx = c2ez ,=ldx=

(z -1)e` l)e' cz(z* c3 c j,, y c2€' + obliku xx== c2eZ parametarskom obliku ! == c2 Resenje Re5enje je dato u parametarskom za y izrazzay zameniti u izraz od.rx pa zameniti Ovde smo mogli izraziti zz kao funkciju od

x-ç? z=ln c2

x-c3

s, -x--ca-=r=mlx-ci-|,,, eZ=

lr,C2

C2

I

.

c2eZ = x - C3 "r"" =x-c3

1)(x -c3). y = (In v=(hlTl-,x*-,,,. X

C3

C2

6. 6.

jednaCine 3yy' 3yy' Nad reSenje diferencijalne jednacine re5enje diferencijalne Nadi ,

6 .. 51y'12 = =0 - 5(y)2

,

,.

yY'=zrY'=zz' =z, y =zz

'-

3yz' - 5z=0 ) 3yzí-5z2=0 3yzz' - 5zz = 0 + 3yí-5z=0

3y i=** z

t

5

z'

=

í=3z r' =* 3y

5 zI= lnl y I+c + hlzl=]*lrl+c 3 z = 3 j ÿ = z = ÿ +=*-l+=it? dz

5d

s T-:

dz

5 d

lnl

c=In' cl '=''df "=tnl'tl

z= c1 ys

,

I

s

dy=cldx y'=z=cili*y3dy=cix y'=z=c1y3 j^2

jy 3dy=cljdx -Zy =ctx*cz -i;i 3 =c1x+c2 J y'iay=c,!ax=

-

y2(c1x+c2)=-2. i1[/p,*+cr1=-1'

I

e dnaiina linearna dife rencii alna ijednacina arna difereneijalna Homogena H omo ge na line I

' i y

jednadina je jednadina jednacina oblika diferencijalna jednacina Homogena Homogena diferencijalna ar(x),a,(x),"',ar(x) neke gde su su ao(x),a1(x),...,an(x) +ao(x)Y=O, gde +...+a/x)y'+as(x)y=0, an( +a,-,(xy(n-tl +...+a1(x) on(x)y(') x)Y("'+an-1(x)Y{"-11 # 0 .. an(x)*0 neprekidne funkcije ii an(x) n"prekidne jednadine dela jednacine homogenog dela jedno je poznato partikularno regenje re5enje y1(x) poznato jedno partikularno Ako je Ako lilx) homogenog je z=z(x), snaava red z = z(x) , sniZava gde je y = z y1, gde smenom !=z'!t, tada se se smenom (x) , tada y"+a1(x)y'+ao(x)y= y" + a 1(x)y' + a0 (x)y = f f(x), jednadine. diferencijalne diferencijalne jednacine.


I

160

160

Diferenci.ialne.iedrnCine Diferencijalne jednacine vikg vile& reda

Ako Ako znamo dva znamo partikularna re"senja dva partikularna re5enja y1(x) r/x)

i

yr(*) y2(x)

i

jednadine jednacine

y'+a,(x)y'+ao(x)y = ff(x), (x), tada y"+a1(x)y'+a0(x)y= tada je je funkcija funkcija y3(x)=Y2(x)-y,(x) jedno partikularno rs(x)=yz(x)-ylx) jedno resenje homogenog regenje homogenog dela dela jednadine, jednadine jednacine, pa pa se se taj taj deo deo jednacine regava relava smenom smenom yh = y3z ln=!sz opste resenje Opte polazne nehomogene regenje polazne jednadine je je y(x)=yh(x)+y1(x) nehomogene jednaCine y( x) = y{x) + y /x) ili y(x)=yo(x)+yr(x) = yh (x)+ y2(x) . y(x) 1. 1.

Nadi op§te Naci op5te re§enje relenje diferencijalne diferencijalne jednaCine jednaCine

xx,y'+2.y'-ry=0, je yr=t y"+ 2 ÿ- xy = 0, ako ako je

partikularno re"senje. partikularno re5enje.

x.e''-eI -el =ex(-+z í x-1 ,-z' x-l -+z -T=e"(=+z x

ex ex ,, =2.;*, ,, e* -- e'' y=z';, y=z-, yJ =z

x

x ex

x

x2

"

,

x-1)+er(zx-z y, y"=ex(z ="-*(1++zr.f,1+e*1LL

xX

x2 x,

x.

xz

-)

2

)

x--^l xrz2 -2x(x-1))= -2*(*- ll *2, x-1+z x2 xa

-

*,--''-i-)=

I ,. z( ,,1--)+ ,. ,'" z'+í1 ,2 1/ ).l = -2)+Z1---)+;-;'*''(;-?)+ z'(7-7) -="-l " L !*r.t!--l ;-'' x x x x x x x x x )= eY I z'+2.(t-l ).2'+(t-Z*41 2)zi ,1 =". x x[L=-z"+2(I-1)z'+(1-?+ xx x *'rr'-) x

+(

r

Z2

(=exz1

[z_+2.(l_i-)zF+o_._+_y).z].ex I ,.*z.rt-!t.2,+(t-2*4t.11.r.,

*z +2.(i+z e, _2.e., =0 1!*, ,!_\y (1 - 2)) er-zer=0 x J *''-l L xr'-'* x x,2"" ,'z"+(2-?+?)í + p -Z a ?). z' + t -? * 4 * ?-4 -1)z=0 +(1-?+-+-2 z t z"+2z=0 z. + 22, = a xxXxrxx, X X x x2 x x2 -, l. =0 , "

-?

(

. =u, z'=lr' z'=u, z =u ú + 2u = 0 + *=-ru*4!=-2dx u'+2u=0 du = -2u du = -2dx z

tnlul=-2x1c u = -2x +c ) uu=s-2'r+c = e-z.T+c ==ct.e-2* = e` e-2x , ct=€c = 1nI c1 CI -2.Y -2x z=c1 je -2.T dx=-2 e +c2 e +c2 =c +c2, *c2, c;c-t _=c.t.e-2.r - 7=6,,!e-2rdx=-7,e-2* =_Z

dx dxu

z'=u=ct.e-2* z=u=c1 e -2.0

-

-.l e e'' e e-x ee* .-*c2._. y=2.-=c.l y=z-=c; -+C2 l'

2. 2.

|

C

X xx-x

\

I

u

X

.

X

Naci op5te Naii opgte re5enje resenje diferencijalne diferencijalne jednaCine jednaCine (2x + 1)1+ l)y' + (4x -- 2)y' 2)y, -8y se zna da - gy =0 = 0 ako se je njeno partikularno re§enje reSeqie oblika (m obtika emx e^' == const) const) .

y1=e mx ,y1=mew", ,

" y1

2 mx =me

-8em =0 2m2 x + m2 + 4mx - 2m - I = 0 + 2mx(m+ 2)+ 2m2x+m2+4mx-2m-8=0 2) + (m + 2)(m -4)= - 4) = 0 (2x+1)m2emx +(4x-2)memn

(m + 2)(2mx + m -4)=

m = -2 za svako x

y1=e-2x

,

-2.0 . y=z,e-2r y=z e y,=zre-2* ,, y =ze. -2x -2ze-2* 2x =(z -2z)e-2.Y =(zr_22)e-2.r zx z, - 4z' s'"-2* 2z'e-2x e-2* 2z'e-2x e-2t + 4ze !'y" = z"e-2x 4 ze-2* = (z' - 2z' 4 z )e-2-, - 22, - 42, + 4z)e-2x 2x ((2x+1)(z"-4z 2 x + I )( z' - 4z' +4z)é + 4 )e-2' + 4 x - Z )( z, - Zz 1e-2-, -8zé +(4x-2)(z'-2z)é 2x =0 - g ze-2* =0 -2.Y

1

2.Y

z

(


Diferencijalne Difere nciialne jednaéine viie p reda iednaiiru vikg

161

(2x + l)z' + (-8 x - 4 + 4x - 2)z' + (8x + 4 -- 8x + 4 -- 8)z = =00 (2x+1)z"+(-8x-4+4x-2)í p' , (2x+ l)z'-(4x+6)z'=0 z"=p', z'= p, z'= (2x+1)z"-(4x+6)í =0 ) ,'-!Nr'=g, z"_4x+6í =0, z'=p, 2x+1 2x+ I 4x+6 -j4x+ódx dp 4x+6 p,=!x+6 p

) @-=#*-l+=[ffi* 2x+1 p 2x+1 p j4x+6dx= j2(2x+1)+4dx=2jdx+2j 2dx =2x+21nl2x+11+c t nlol= I# a* 1ffi* 4ffi 2x+1 2x+1 2x+1

P ' 2x+l' 2x+1

I

1nlpl=

-- 2x + 2 tnl 2x +

= z[ a* +

=

l+ c

1+r e2x+21nI 2.r+2lnl 2.c+1 2:+ll+c ,,) ?t p=e C1(2x + 1)2 e2x c j= e` =cl2x+l)2e2*,c,=s'

c

,

z' = p = c1(2x + 1)2e2x z'=p=cr(2x+l)2"2*

(u = (2x + 1)2

z=jz'dx=clj(2x+1)2e2idx= 7 = ! z, dx = c t ! ( 2 x + t 12 e2 dx =1"; *

?

a

2r : :: :r:: I ":,. \dv=e2xdxv=2e

I

I

I

/

3.

3.

=2

2x :1,,.)= v1=-1 1

2

+cle2x (2x+1)2e2x -cl(2x+1)e2x *cp2x +c2 +c, == 2\ (2x+1)2e2i -2cj(2(2x+1)e2x zx - zc, {tQx )e2' - je2xdx) = 2 } tzx 2 (4x2 +1)e2x +c2c, = (4x2 +4x+1-4x-2+2)e2i +cr ==}H*' 4x+ -4x-2+21e2* +c2 =|{l*' 2 2x y=ze-2i =C (4x2+1)+C2 y= cr.é e-2' =L14r2 " 2', {

+ t )2 e2''

+I

!e2' dx1 --

+ t l2 e2*

c

1

1

2x + I 1e2.'

+ 11e2'' +

1

z. e-2.r

I

=

/

dui

1

+

t

u1 =2x+1

=l;: dv ::;::

!

!.

*,,)= 4(2x+1)\

1

1 * -, =c1(2(2x+1)2e2x = c r ( Q * + t )2 e2 -2j(2x+1)e2xdx)= - 2! { z x + I ) e2 dx )

= =

du =

+ I S+

.

jednaCine-y"+ y'+Lr'-!t=0 ako se zna da je x 1 y -0 ako se zna Nati opste re5enje resenje diferencijalne diferencijalne jednaine Nadi op5te x 17-x'

1l-xx

partikularno resenje njeno partikularno reSenje oblika oblika ex e'..

y'=(z'+z+z'+z'1et y=z,ex y=zex,, ÿy'=(z'+z)et +z+z"+í)ex =(z'+z )er ,, y"=(í

(z'+22'+ry"'' x (z+ )ex (z"+ 2í + z)ex +1,LTz'+z)e'-

1-x l-x'

I

1

1-x |-x

z,.e'' ex

=0

x)í =0, r' +Q+fi)z' )z=0 > z"+(2+ z'+e+fi)z'+(1.*-*)z=0 1-x =0, 1-x 1-x 1-x

z"+(2+--2.--)z' + (1 + z

,

1

Z z'

=u, z' =u' =u, z"=u'

1I 1+1-x l+l-x u=( 2-x 2-2x+x 2-x u= 2-2x+xu=.^ xx )u=u (-- - 1)u I u u ' ---)y x-l )u I-x = x-1 l-x = -- 1-x 1-x - -- 1-x l-x' l-x = --1-x

uu' =-(2+ - -( 2 + ,

* t$uu=j(xl1 =,* - 1)dxj rfi - 1)dx *uu=(xl1 I )dx

=t

I )dx

ct =€c ul=lnl x-1l-x+cu=e,-x+tnlx-j=cl(x-1)é lnlul=lnlx-l l-,r+c e14=sct-x+tnl*-tl =ct(x-l)'e-*x,, c1=e` =u=c1(x-1)e-x z' = u = c ,( x - l ). e-'' u=x dv dv=e xdxl= e-''dtt\ z=jz'dx=clj(x-1)e-xdx xe-xdx-cjje-xdx=1 7 = ! z'dx = c t!(x- l).e-'dx =cif =(du=dx = c t!xe-*dx-c 1[e-'d"tt := ', v= le ^:ldu=d* -e ,=-r-'' lnl

í

)

(-xe-x + j[ ee-* dx) je-x = = cl (-xe-x dxl++ cc,e-t c r(-xe-* = cc jt(-xe-t "`

+ c, ) + cle-x -- e-x c,e-'' +C2 e-' )+


162 1.62

D Diferencijalne ifere nci i alne jednacine vi ie s reda re da i e dnaiine viseg

i (x e-'r e-_` + = -c -c t(x. +ee-'tx =

y=ze.r y z. e'( =

4.

4.

(-c

fi

.

-

e-.0 ) + c, c2 = -c -clxe-.` e-'' )+ c2 txe-x ++c2

e-'* ++c2)ex cr). e'' ==-cix+c2e`. -c tx* cze'' .

Nad re"senje jednadine + x) y"+ 2y' - 6xy = 4 - 12x2 ako jednaCine (3x3 +x).y'+2y'-6xy=4-12x2 Naii opte op5te reienje ako su su lr=ax*b y, = ax + b ii y2 + C njena dva partikularna partikularna re§enja. Bx+C re5enja. lz == Ax2 + Bx

=ax+b, yi yi =0 y¡ =a, y7=0 !t =ax*b, y1

-

-

-

2a 6x(ax + b)= 6ax2 -6bx+ 2a-- 6x(ax+ b) = 4 - 12x2 12x2 > -6ax2 l2x2 -6bx+ 2a == 4 - 12x2

-6a=-12, 4b=0, -6b=0, 4a=*12,

2a=4 Iz sistema jednadinadobijase jednacina dobija se a= Izsistema a= 2 ii b=0 b =0

= 2x * lt=2x

yz =2e =2A y2 =2Ax+ = 2Ax + B, B, li , y; (3x3 + +x)2A+4Ax+2B-6x(Ax2+Bx+C)=4-12x2 x).2A+4Ax+28-6x.(Axz + Bx+C)=4 l2x2 6C)). x+ 2B = = 4 -12x2 x + 28 -- 6Bx2 + (6A- 6C - l2x2 y2 !z

= Ax2 + Bx +C Bx*C =

,

-6B=-12, 6A-6C=0, 48=-12,6A-6C=0,

2B=4 28=4 jednadinasedobija Iz sistema jedna6ina Izsistema se dobija B=2 ii A=C=I A=C=l

)

y2=x2 y2 = x2

+1 +2x+l +2x

+ I je partikularno relenje resenje homogenog dela jednadine. jednaine. = lz - ! t = x22 +1 Y3=Y2-Y1=x ls yh =z(x2+1), =z'(x2+1)+2xz +t), yÿy'n=z'.(x2 +1)+2xz lh=z'(x2 yf, yh = =z"(x2+1)+2xí z' ( x2 + l ) + 2 xz' +2z+2xí + 2 2 + 2 xz' = + 22 x2 + 1 ). 2' + 4 xz' +2z =(x2+1)z"+4xí 1

-

(3x3 ( 3 x3 +x)(x2 + x)( x2 +1)z"+(3x3 + I )z' + ( 3 x3 +x)4xz'+2(3x; + x)4xz' + 2( 3 x3 + x)z+2(x2 I )z' + 4xz - 6x( x)z + 2( x2 + 1)z' 6x( x2 + I1)z )z = =0

x(3x2+1)(x2+1)z"+(12x4+6x2+2)z'=0 x.(3x2 +t)(x2 +l).2'+(12x4 +6x2 *2).2'=0 p, z'= p',, p=p(x) z'==p, p= p(x) z"=p

í

xx.(3x2 (3x2 +1)(x2 +1) p'+(12x4 +6x2 + 6x2 +2).p=Q +2) p = 0 +l)-p'+(l2xa dp dp pP

12x4+6x2+2 l2xa +6x2 +2 rtr=_).3xa +4x2 +l-x2 +3xa ,,_ dx- 2 3x4+4x2+1-x2+3x4dxx(3x4+4x2+1) x.(3xa +4xz +l) x(3x4+4x2+1) x.(3xa +4x2 +l)

__

dx L^ ^ dx+2

x3x3 x-3x3 2x-6xj dx 2x-6x3 - 2^ dx+ dx xx (x2 +1)(3x2 +1) xx (x'+l)(3x'+l) 4x2 +1 3x4 3x* ++4x'+l 2x-6x; Ax+B 2x-6x3 Ax+B+ Cx+D ) A=-4, , A=4. B=D=O B=D=Q ii C=6 ---;-----=-=:+# (x' (x2 +1)(3.x` 1) +l)(3x' ++l) x2 +1 3x' 3x2 +1 x'+l +l dp = dx 2x 6x 6.* d* Q=-z.d* dx+ dr* ?* -2. xx p +1 x2 +1 3x2 x'+l 3x'+l P a

- -.'

e^

-

----------;-

--

c p=r,ffi,

I=-2 lnI x I- 2 ln1 x2 +11+11113x2 pl=-2tnlxl-r^lx2 1 I+ +tl+mlsx2 ++tl+c

lnI tnlp

= p=

cl

3x2 + 1

x (x +1) z

dx z'=pz= dx=c 7' - p ) z = f[ p pdx = r,1$ffi*x=c = r,!ffi+ f

=cif =''

1

z3 -'' 4\ x

2

/

cr,1

.

!-#. r

1

2dx = +1)2

(x2

(x +1)2 dx 1 1 x Cif! +2cif == -cct - ciarctgx+2ci-arctgx+2ci * r z c prctgx * 2c 1 * 2' +c2z r* -i-.,,+' z x x +1 " (x +1) 2 2(x +1) ¡

dx

2

c= In cil c =tnlcll

X

dx

#

!

-

!""

t


,

jednqiine viieg Diferencijalne jednacine viseg reda reda Diferenciialne

't , ' " ,

= cl r=rt.#

z

+ c2

+ 1) x(x z +l)*c2

)

163 163

je regenje re3enje homogenog +11 je homogenog dela yh = z (x2 +l)=X*rr.(x2 +1)=Lc + c2 (x2 +1) ln=2.(x2 x

jednadine, + c2 (x2 +1)+2x polazne jednadine. + 1)+2x regenje re5enje polazne jednaine, pa je y ==ln*!t yh +y, = jednaine. =X*rr.(x2 x

5.

5.

Nati su y1=1 Nadiop5tereSenjejednatine akosu opgte re"senje jednaCine (1-x2)y'+2y=2 (1- x2 )y"+ 2y= 2 ako Jl = I partikularna regenja. partikularna re5enja. ys = lz y2 x2 -1 partikularno re5enje y3 regenje homogenog dela -!tyi = *2 - I je partikularno

= x2 i lz=x2

i y2

njena njenadva dva

1)l), yiy¡, == z'(z'(x2 x2 1) - l)++ 2xz

yh = = z(x2 !n

'

,

1)+2xí +2z+2xí = (x2 1)í +4xí +2z -l1z'+4xz'+22 -l)+2xz'+22+2xz'=1x2 (1x2) [(x2 +2z1+ t - x2 )'f{ *' - 1)z" r)r' *+ 4xz' + 2z)+ 2(x2 x2 1)z=0 - 1)z = 0 (x2 1)2z"+4x(x2 (x2 1)z'+2(x2 =0 +l)z=0 -l-x2 +1)z -l)2r'+4x1x2 -l1z'+21x2 1x2 4x (*2 -l1r'+4*r'-o ) z'+{z'=0; + z'=0; í =u, z"=ú z'=u, z'=u' (x2-1)z"+4xz'=0 X2 -1 4x du 4x du 4x du 4x , ,du ^t 2xdx u'=u -_dx J-= 2J lt'=---a-U l-=-21yh = z"(x2 ri=r'(*2 (

' :

z1

1

xt-l

=, -=----;-dX uu u x2 -1 x2 = ' u xt-l cl

uI=-2lnl x2II+c=ln tnlul= -2tnlx2-r l+c = (x2 -1)2

"1fu|,'

1nI

í=u= z' = tt =

z= = z=

cl

7:F (x2

=(u=x

I# (x 2

e1 1)

,

'x'-l x2 -I

c c=1nI = r, c,

tl#l l2

2

x = n, x 2-1x dx== -', c J dx

+c I# !**', -1 -1)2

[4*1)2

(x2

x2

(x2

==

1

du=dx, dv=(xsdl)2

=ci(Zln =,,, e! x+l x-1 c- ln

+,u°=fu C1

I

-1 ) -

2

+1l xI *,, Jx i)=c1(-1-x-1 =,', x+1 x+1 i,4*lil+, + ijI d 1) - ). *,4#| x2

x

. I+2

2ln

2(x2

4

I

) +c2 = =

cl 2x x+c =,,(,,lil;|. x-1 I 2, c, =-=-+ ^l#l -X x+1 + 4-*,, ;( x+1 *) 1 )+c2, 1 =

yn Yh

4

2

2

x2

c

x-1 ytnl#|.

== (x2 -1)z=c3(x2 -I - t ). z = c.1 x2 1)(ln

x+1

ln

+

cI

c

2

X2

C3

=

4

2x )+c2(x2 11 + cr1x2 -1)

I

-

x2 *1

1)+c2(x2 + c2(x2 -1)+1. xhl#|. -t +t x2x x+1 + *)

Y=Yh+ = c s( x2 - t ! = ! n * ! t =c3(x2-1)(ln

'

6.

6.

)

.

jednadine (x2 Nati 4xy' + 2y = y, =x Naii opgte op5te regenje re5enje diferencijalne 6x ako ako su diferencijalne jednaCine su y, - x ii 1x2 -1)y"+ = 6x - 11y' + 4x1+

+x+1 partikularna regenja. njena dva partikularna resenja. x+1 x2+x+1 x2+x+1-x2-x x2+x+1-r2-, 1I r'=--*-ll-=;7 Y3=Y2 ,s=tz'tt == x2+x+l x+1 x+1 *+t - x= x+1 x2

y, ==*

Y2

: t


Diferencijalne jednacine vile s reda iednaiine vikg

164

í

zz , í(x+1)-z r' _ ,z v,= n x+ 1 "'n,_z'(x+l)-z= (x+ x+ l (x+ (x+1)2 (x+1)2 1)2 x+1 l)2 z"(x+l)-z _z'(x+l)2 (x+1)2 -2z(x+1) z' _ 2z' 22' * 2z 2, -22(x+l) _ z" ,," =_z'(x+l)-z' Yti rh ' (x+ x+1 x+ I (x+1)2 (x+ t)2 (x+1)3 (x+ l)a (x+ l)3 t)2 (x+1r)2 (x+1)4 It-)z')2 1 ' 2z (x-l)(x+l)l+ ( J

Yn=x+1'Yn=

í

(x-1)(x+1)I

y* * i

"

L x+1 #. ffi,). 4'(h - ffi) (x+1),)+z--=0

+4x( - x+1 + (x+1)2 )

'

+

2

" 2(x-1)+ 4"=)r'*(2(r-l) 4* 2(x+1))z=0 )z,+(2(x-1) 4x (-t-l)z'+,-2(x-!) * 4x (x-1)z"+( ,*2(*+]!p=0 - (x+I)z 2+ x+1 .r+ I x+l' '(x+l)z (x+l)z' x+1 (x+1)2 (x+1) (x+1) 2x-2-4x*2x*2z=0^ 2x-2-4x+2x+2 . ,. , -2x+2+4x Z,, a-'-------";-Z=v (A -1)z + -2x+2+4xz+ 1t-t1Z x+ (x+ x+1I (x+1)2 l)/2 (x-l)z'+22'=01)z"+2z'=0 z"+ r'*J-z'=0, z'=u, 2 í =0, =u, z'=u' x-l x-1 jdu --2j dx 2 fu u'* 22 u=0 ú+ u-Q 2 du -2 a, a, = l@=-21 =- x-L t x-1 x-1 x-l u x-l u x-1 = t ,tu lnI uI =-2lnl x-1 +c lnlul=-2lnlx-t u=#,C2 c1ct=lnc2 =lnc2 l+c, = u=

=o

z"=ú

,'=u= Z =u=

C2 '2

2

(xl)'= (x-1)2

+c;

) z= dr= ---c1-+---c1-+c3 2=lz'dx=l C2 2=d*=--9-16, jídx=j r r (x-'2 x-1 x- I (x-1)2 1)'

Ir, =-fi*;fr' Yn=x2-11 x+1' C C7

C7 C3

C7

!=ln*Y, Y=Yn+Y1-=-;-*;;j*r, x2? 1+x+1Y1 C7

Jednacina konstantnim koeftcije koeficijentima ntima J e dnadina sa konstantnim jednadina oblika Jednaina sa konstantnim koeficijentima koeficijentima je jednacina Jednadina .y'+ao.y=l(x),gdesu an y(n) *en-t.y(n-t) +an_1 y(n-1) +...+a1 an.y(') (i=0,1,...,n)konstante +...+a1 y'+ao y= f(x), gde su ai =0,1,...,n ) konstante a, (i

je y == yh Opste re5enje regenje jednadine jednacine je Op5te * ! p.. ln +yp jednadina, a Jednacina ar'r' an r" + an_1 Jednadina r"-1 + ...* ... + at a1 .rr + ar-1 .r'-t * ao e1, = karakteristidna jednacina, =00 se zove karakteristicna jednadine. r 1, t2,...,tn su koreni (re5enja) (resenja) karakteristicne karakteristidne jednacine.

1)

1)

jednadine su realm Koreni karakteristicne Koreni karakteristidne jednacine realni ii razliciti razliditi

Yn= ln -

n

lc,c1e's'''* i=l i=1 je 4. 2) Ako je ri realan jednadine visestrukosti 2) koren karakteristicne realan koren karakteristidne jednaine vi5estrukosti m m ( m>.1), m>1 ), tada tada uu r¡.x

.

fundamentalni skup re3enja regenja ulaze sledeiih sledecih m lz funkcija er'x x2er¡.x xm-1er;.x . g'i* g'i* e'it ,, Xx er¡.x , ..., ,, s2 , ,,,, xm-l e'i-Y . 3) 3) Neka je koren Neka je koren rirj == daij *+ Fi.ii kompleksan kompleksan koren koren karakteristicne karakteristidne jednadine jednacine (imaginarni deo deo je razlieit razliiit od nule). '' je !yii == s'i Tada je jednadine. er' '"x resenje re5enje date diferencijalne diferencijalne jednacine.


165 165

viles reda reda Diferenciialne jednacine Diferencijalne iednaiine viseg

"

ax a._c r-x ax+Qxi fl..ci =e' r0i'x'i ' =e' y=e' - goi''(cosßx+ISlnßix) lcos Bix+i sin Brx) = r'i't' e' !i = g'i''t =e' "ai"r+pi't'i .

'

re5enja ulaze pa zbog toga u fundamentalni skup resenja interesuju realna resenja, re5enja, pa Nas interesuju

a

_ , * _

I

' i : ,

sin ßix. l,{yi}==e a ' .x 'sin B,x '

.e

Re{y,. ' 'cos fl R"{r, }=e jx ii Im yi F ix }= eoj"'

' .

: -

.

"ot'*

171>1I ),), tada je rirj=dj* tada uu fundamentalni fundamentalni skup skup vi5estrukosti m m ((m> koren visestrukosti 4) = ai + ßi 4) Ako Ako je Fi.ii koren jednadine ulaze sledeée sledeie funkcije diferencijalne jednaine re5enja date diferencijalne resenja m-1 a.x .cos a x .cos pp, ax .cos ..., xx*-l"oi"' e' cos ß.x cos ß.x, e Brx Fjx, x,edi'x cos ßx,...,

xe'

"oi"r

a.s ax slnßx, xe ' sinßx,..., x.edi'*.sinBrx,...,

eroi'''.sinFjx, '

m-1

a.r

sin ßix. xx^-ledi''.sinprx. e '

koeficiienata Metod jednakih koeficijenata Metod

je a, P,(x) ii Q(x) fie R, R,aa Pm(x) a,Be eat [ Pm( x)cos fix +Qn(x)sinfix]] gde je Ako je Q,,(x) polinomi f(x)=e*lP,(x)cospx+Qn(x)sinfu ie f(x)= re5enje oblika step ena min, ima jedno jedno partikularno resenje stepena m i n, jednadina jedna6ina ima .e^fTolxlcos (x) nepoznati nepoznati polinomi stepena (x) ii RA Rp(x) su Tk Tp(x) + Rk(x)sin j, gde su Ro(x)si, ßx fu+ fu),gde !y 1t = xr 'e'[ Tk (x) cos ßx jednadine. vi5estrukost korena karakteristióne karakteristidne jednaeine. k = max(m,n) max(m, n) ,, a r je visestrukost jednadine,uzimase O. r=0. uzima se r= Ako a+ ß nijere5enjekarakteristidne Ako resenje karakteristióne jednaóine, Bii nije

1. 1.

1+ 3xex y' == x2 y' + y" x2 + 7+ diferencijalne jednacine y" Nadi opte op$te resenje re5enje diferencijalnejednaCine Naci

.

.

y'+y'=0*rt+r'=0)12(r+l)=Qart=r2=0,r,=-1 r;+r2=0 r2(r+1)=0 r1=r2=0, y'ff+y"=0 x

yy =c1+c2x+c3e Yh=ct*c2x*cze-''

.

y'+y'= x2 + l y'+y"=x2+1

+l e^lP^1x1cosfu+Q^(x)sinfu7=x2 ea`[Pm(x)cos fix +Qn(x)sinßx]=x2+1 k=m=2, a+ Bi=0=r=2

a+ßi=0r=2

yi,1 Y,,,

P^(x)=x2 +1, * a=0, ß=0, 0=0, Pm(x)=x2

+Bx+c)=Ax4 +Bx3 +cxz =x2 (Ax2+Bx+C)=Ax4+Bx;+Cx2 =*''(Ax2

2C y,i =24Ax+6B yl,1 =l2Ax2 = 12Ax2 +6Bx+ +6Bx+2g,lir =24Ax+68 !'r, =4Ax;+3Bx2+2Cx, =4A*'+38x2 +2Cx,li, ,

+6Bx+2C = x2 +1 +l 24Ax+68+l2Ax2 24Ax + 6B + 12Ax2 +6Bx+2C=x2 6B)x + 68 6B + 2C == x2 X2 + +1I (24A + 6B)x l2Ax2 12Ax2 ++ (24A+

12A=1, 24A+6B=0, 12A=1, 24A+68=0,

i t i

t r

6B+2C=1 6B+2C=l

3. C= 1, B=-1 i c=1. t2 n=-4 3 3 12

pe5enjasistemajednadinasu A= Resenja sistema jednaóina su A=+,

I1 rT-}I12x 4t -3x +23JX =-x 3

V- =-} "Pt 12 --f 3 . y'+ y" = 3xe'' y'w +y"=3xex

i

2

22 .

2

ß=0, Pm(X)=3x, a=1,, F=0, P^(x)=3x, ea`[Pm(x)cosßx+Qn(x)sin Al= 3xex * a=l "*lP.1x1cospx+Q,(x)sinFx)=3xe' k=m=1, d+ Bi=l*r=0

a+ßi=lr=0


166

jednaiine viseg Di.ferencijalne jednacine Diferencijalne viieg reda

166

yp1 =(Ax+B)ex, +(Ax+B)'et Ae' +(Ax+ B) e' ,, !p, =(Ax+B)'e'' , 42= !'u, =Ar* yPZ = Ae'' + Ae* + ( Ax + B )' e'', y/72= 2Aex + =Aex+Aex+(Ax+B)ex, Ae' + ( Ax + B ). e' +Ae"+(Ax+B)e" !'p, li, = 2Ae*

(3A+ Ax+ Ax+ B) B). ex (2A+ Ax+ Ax + B) e' + (2A+ B). ex e' == 3xe* 3xex 2Ax+5A+28=3x, 24=3, 2Ax+SA+2B=3x, 2A=3, 5A+28 =0 SA+2B=0

24 =-4

Re5enja Resenja sistema jednadina su A jednaina su e=1 = ii B=-14 A 2 3 3 t5 15 e yp1=(2x-4) rn, =(|x'1,'r.

. .

Y

.

I a I z 3 c 33 4)ex 15 yp=yp,+yP2=12x4-x+x2+(Zx!p=!pt *lpz= n* -jr' +-x- +(-x-T)'"" +fro *ir' +t)t-frc. é x+Ix4-1 x'+3x2+(3x-15 )ex. ! = ln t ! p =ct * c2x * r,"-. y=yh+yp=cl+c2x+c3 -!r' 4 12 3

.

2

2. 2.

2

,

jednaiine y".Nati ono ono re5enje re§enje y(r) Nadi y'- y"+ 2y'+ 2y =e y(x) jednaine

2rl'+2y'+2y=e

/ -!, zx

koje zadovoljava koje zadovoljava uslov

2

y(0)=1, y(x)=0. 11 lim Y(x)=Q. lQ)=

y'-y"+2y'+2y=0 r3 -Lr'*2r*2=o 'y--Zy'+2y'+2y=o = r'-r2+2r+2=0 22' 2 ,l^1 (r-2)'(r+:)=0 (r-2) (r+-2)=0 = rl=r2=2, rt=12=2, r.,=-V

r=-

2

I y h -c F2* +c2xe2i + crxe2* +c;e + c $' 22x =Cle2., yh

-7,

.

^

-+., 2 y'-2y"+2y'+2y=e2 "y---y-+2y'*2y=e 2" 1 t e,-1*

2C

p,(x) = I a=--2-,, ,ß=0, - e*fP^1x1cos fu+e,(x)sin p*l) o=-f, F = 0, Pm(x)=1 =e[P,,,(x)cos,ßx+Q(x)sin,ßx]

k=m=0, a+ßi=-Zr=1 d+Bi=-:+r=l lI --.e --x 2 h6s-1'* 2 yp=Axe = ,,Y=A(1-2)e !o !'o = tr11 -4)r- ''' 2' 1

1

Z.-A(3-x)e1 y"-A(-1-1+x)e y; = AF:-)*t,;i'2=A(x-1)e 2C,, yi o(; tt,-l= = A|-;k-:' y =A(1-x+1)e 2 2 4 4 4 8 2 4 8 p

1

I

1

"i-;-:1,-:' l

1

r. - Z, e$ - t,,-1. 2t=e 2x+2A(1-x)e 2X+2Axe 2, A(3-k)e od - k- 2Y-?A(x-1)e * 2 A( t - re-;'' + 2 A*"-I'' =,-i' 4

;8

2

4

2

(-8-gA+2A-A)x+(++2)A=1 t-!-Z r7*Z* 2)A = r = A=2S t =! ' 8 8e+ 2A- A)x + ',4 2 25 I -;-, 44 --x yl, xe 2 lp=Vxe' 1

.


vile s reda Diferencijalne jednacine Diferenciialne iednaiinc vikg

1-

167

'l'' 1

--x )t +c2xe2x ' xe --x CIe2x 2' 2-'+Lxe +c3e 2+ 2 y=cqt'' +c2xezx lcrg y= I

4

25

.

y(0)=ct*cr=l3c.l y(x) = 0 y(0) = c1 +c3 =1 c; ==1l, , lim = c2 = 0 limy(x)=0*ct=c2=0

-

_!., , 2 yy=(25x+1)e Zx. l)e =1|x+ '2s

'

'

;

y' -- 2y" 2y' == xsin2x xsin2x + x + 2 . opte resenje 3. Naii Nad op5te jednacine yM reSenje diferencijalne diferencijalne jednadine 3. . y'-2y'=0 =0, r3rr=2 =2 y"-2y"=0 ) r'? -2r2 =0 - r2(r-2)=0 ,'1r-21=0 - r1rt =r2 ,t -2r'=0 =t2=0,

,

.

D^, yy'-2y"=x sin 2x -2y- = xsin2x

Pm( x)=0 xsin2x=e`xx[Pm(x)cosßx+Q(x)sinßx], d = 0, ß=2, x sin2x = e*lPr(x)cos px+ Q,(x)sin px), a=0, Q,(x) = x, P,(x) =Q F = 2, Q(x)=x, k=m=1 a+ßi=2ir=0, a+ Pi=2i+r=0, k=m=l yu, y =(Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x = (Ax+B)cos2x+(Cx+D)sin2x sin 2x + C sin2x+2(Cx+ sin 2x + 2(Cx + D)cos2x= D) cos 2x = cos 2x - 2(Ax + B) B)sin2x+C Acos2x-2(Ax+ )'p, == A

I

' i

= (2Cx + A+ 2D ) cos 2x + (-2 Ax - 28 + C ) sin 2x (2Cx+A+2D)cos2x+(-2Ax-2B+C)sin2x =

' I

=2Ccos2x-2(2Cx+A+2D)sin2x-2Asin2x+2(-2Ax-2B+C)cos2x= ri,=2Ccos2x-2(2Cx+A+2D)sin2x-2Asin2x+2(-2Ax-28+C)cos2x= ;= (4Ax-48+4C)cos2x+(4Cx*4D-4A)sin2x (-4 Ax - 4B + 4C )cos 2x + (-4Cx -4D- 4A) sin 2x y't ympi =(4A-BCx-8D-8A)cos2x+(4C+8Ax+88-8C)sin2x = (-4A-8Cx-8D-8A)cos2x+(-4C+8Ax+8B-8C)sin2x

, t i

yh =C1 +C2x+c3e2x Yh=ctlc2x*c7e2x

)cos 2x+ (-l2A-8Cx-8D)cos2x+(-l2C+8Ax+88)sin2x+(8Ax+88-8C)cos2x+ (-12A-8Cx-8D)cos2x+(-12C+8Ax+8B)sin2x+(8Ax+8B-8C +(8Cx +( 8Cx +

8D 8 A) sin sin 2x = 8 D + 8A) = x sin 2x

sin 2x [-12A-8D+8B-8C+(8A-8C)x]cos2x+[-12C+8B+8D+8A+(8A+8C)x]sin2x [-tzA-8D+88-8c +(8A-8c)x]cos2x+ltzc +88+8D+8A+(8A+8c)xlsin2x == xxsin2x -12A-8D+8B-8C=0, 8A-8C=0, 8A-8C=0, -12C+8B+8D+8A=0, -l2C+88+8D+8A=0, 8A+8C=1 -l2A-8D+88-8C=0,

.

Resavanjem sistema dobija se AA== Re5avanjemsistemadobijase

t'

yP, = .1( x+ Yrt =V(t

! t'

|

1fi, n=*,,r=fii 3 =1 ,

16

B=

32

,

C

16

i

D=-*. 16

D=

)cos2x+ 16 (x-1)sin2x ',*lrrorzr+Ltr-l)sin2x 2. i6.

D^'

y"--2y y" x*2 -2y- ==x+2 x+2=e`xx[P,,,(x)cosßx+Q(x)sinfix] x* 2 = e^[P^1x1cos Bx+ Qn(x)sin ful a+13i=0r=2, k=m=1 a+ Bi=0>r=2, k=m=l

P,(x)= x+2 > a=0, d=0, Fß=0, =0, Pn,(x)=x+2

I yp, =x2(Ax+B)=Ax3+Bx2, y pz=x2(Ax+B)=Axj y;,2 =6Ax+2B, yir=6A =3Ax2+2Bx, +8x2, 42 +2Bx,lir=6Ax+28, !'rr=3A*2 yn2 = 6A t 6A-12Ax-4B=x+2 6A- t2Ax-48 = x*2 -12A=1 6A-48=2 l2A=1, 6A-4B=2 i Resavanjem ReSavanjem sistema dobija se se A = = -12 -l ii B == -8 -+ r"128 1I 55z s-8x yp2 =--I' rvp2=-12x --tr I g',

..

3

2

t2'-

t


168 168

jednaiine vileg reda Diferencijalne Diferencijalne jednaine

1

c1* c 2x + c ?e2'r + + +c2x+c?e2i+1(x+3)cos2x+ Y=Yh+y1,1+yPZ ! = ! n * ! p, * ! p, ==CI { * - I ) sin 2x 1lt, ]l2 ro, Z* + fi16 (x-1)sin2x16

*t - }8 ; x'-3x2. *1 12

Metod M e tod varijaeije v arij acij e konstanti kon stanti

je poznat Ako Ako je poznat funadamentalni funadamentalni skup y2, skup re5enja homogene diferencijalne regenja yl, ,y homogene 1t,12,.......,1jednadine jedna6ine tada se se partikularno tada partikularno resenje moze nati reSenje moZe po formuli naii po yP=C1(x)y1+C2(x)y2+ +C(x)y,gdesufunkcije C(x), i=1,2, ,n odredene Ci(x),i=1,2,......,n to=C/x)'y1+C2(x)'yr*......*Cn(x)'yn,gdesufunkcije jednadina iz sistema jedna6ina Ci( x).y, + Ci(x1.y, +.......++C(x)y C',(x).yn =0 Cl(x)y1+C(x)y2+ =a

+c(x)Y' Ci( x).yi + C)1x1. y', + .......+ Ci(x). yi =0 C,(x)Yi+C'z(x)y2+ =0 i

+ CZ y(,'-t) +c)1x). C(x) yf-t)) == f(x) ci( x). Yin-11 (x) yy-') (x) Ynn-1 Yi-l' ++.......++ Cc',(x). f(r) '

g(x) kod neodredenog integrala Ako se pri tralenju 2, traZenju funkcija funkcija Ci(x) Ci (x) ,, i = , n iz iz C; Ci = g(x) integrala - 1,1,2,......,n g(x)dx partikularno C; (x) = JC(x)dx = J g(x)dx C;(x) ne uzme konstanta tada se dobija relenje. resenje. ICi(x@x = I Prema tome op3te opte re5enje regenje je oblika y! = yh + = ! n * yP ! p. .

x

t . 4. Naii opte re5enje 4. diferencijalne jednaiine 2y' + y = Nati op5te resenje diferencijalne jednacine y"= -e. f - 2y' x . y'-2y'+)=0 (r-l)2 =0 ) 11 =r2=1 12 *2r+l=0 * (r-1)2 y"-2y'+y=0 > r2-2r+1=0 =t2=l '

+c2'x'e'' Yh=C1ex+C2xex lh=cI'e't +c2(x)'x'e'' y =cl(x)ex+c2(x)xex !p=ct(x)'e' Re"savajudi ReSavajuii sistem c'1( x)' e' + c)( x). x. e* = c'1(x)e'r+c'2(x)xex =00 x

Cl (x) c'1( x). ex e*

++ c2c'r((x) ( x + 1) x). (x t ). ex e* = =

e€'*

xX

dobidemo da je dobiiemo

! = c2(x)=Jc'2(x)dx=J xl = !c)1x4dx = 1L =lnl = nl xI cl(x)=-xc2(x)=-x 1 =-1 ci1xl = -x. c)1x1=-r.1 = -t * cl(x)= /x) = Jcl(x)dx=-Jdx=-x lci(x)dx - -!dx = -x c)1 x 1 = -I c2(x)_

c21 x 1

c

xl !yP=-xer+xexIn' p = -xe* + xe- 'lnl x + c2xe* c2xex -- xex * YP c F' * xe* + xer xe*' lnI lnl xxl. !Y = Yh !n + !p= = Clex (

5. a

.

jednaCine y"+3ÿ Nati Nadi opte op5te resenje re5enje diferencijalne y' + 3y' + 2y == diferencijalne jednacine

y'+3y'+2y=g y"+3y'+2y=0 r2+3r+2=0 12 (r+t)(r+2)=Q +3r+2=0 * (r+1)(r+2)=0 _)* *x 1c2e ''' Yh = C/e + c2e-2x lh=ct€

1

=+ 1+ex 7+ex

.

r1 =-1,, r2 =-2 1rt=-l 12=-2


D ifere nci i alne jednacine Diferencijalne viie g, reda re dn .i e dnaiine viseg

!p=

C

a

t( x)e-'r + C 2(

169 t69

2a x)e-2'

I

2x +c)(x1e-2'' =0 CI(X)e-x +C'2(x)é ,i(il"-* =o

,

x _2C2(x)é 2.r -C'1(x)é -ci1x1e-*-2ci(x)e-2'=

1

:l e'' i ex

+ 11+

z.Y

Sabiranjem Sabiranjem jednaEina jednaina dobijamo dobijamo

I

L f

,!

** 1+ex

e --Ci(x)e-2' C; (x)e- ==L 1 r e C2 Ci(x)=* (x) =

1+e'' 1+e'

.t,r

-r,

W*1+e'`

.r

c 11 x 1 = ! c'r( xM* = -1 e--dx=-jeC(l+e`)-eYdX=_je'`dx+j C2(x)=JC'2(x)dx=-J = -1 = -! e* dx + !

I.

=-ex+In(ex+1) = -e'' +ln(e't +l)

t

=# 1+e'

C(x)e-x ci(il"'* =

' '

1

1+ ex -r

ex

dx-= 1+e` #.

ex +1) > CI(x)= cilx)=!cl(x)dx=!i7!*=tn(e* jC'1(x)dx=J dx_ln(e'Y+1)

.Y+(ln(ex+1)-e'`)é2x y p=ln(e* +1)e-* +(tn(e'' +l)-ex)e-2x yp=ln(ex+1)e

1+e'

2x y=yh+yp = +c2é +c2e-2t +e--*xln(ex+1)+(ln(ex+1)_e.Y)é ln(e'' +I)+(ln(e'+1)-e'r )e'2x . 2i+é ) =ln*!p=cF-*

j e dnaiina Ojlerova Oj I e ro v a diferencijalna dife r e nc ij alna jednacina

, ' t i

,

(ax+bf ,(nt + An-1(ax+brn-tr(n-I) +...+ Ar(ax+b)y'+hy +Aoy=f(x) (ax+b)"y(")+An_1(ax+b)n-1y'"-1)+...+AI(ax+b)ÿ = f(x) a,b,Ao,A1 ..... An_1 a,b, A6, A1,..., Ar- t -- konstante Ako je ax + b > 0, aat0,smenom *0 , smenom ax ax+b>0, + b= e' t = In(ax + b) , odnosno ax*b=e')t=ln(ax+b),odnosno

q ,, dy dy dt a dt , - ae -t,\.y,=4e 'Yv =:,-=dt + b 'y' dt dx dx ax ax+b dy' dt . -, . -, , a , dy' dt a -r2, . 2t -t,y', = 3-. (yi -y,). yi ), -a é e. yi = a(e-, yi -e y,) l. 4 (y, = o2 r-2, "" y, =a(e dt dx dt dx ax+b at+b

--

y

dy'. dt o2z (-2e-2' . ,. -, w . , 2, 2, w - dy' -3, (yi(yi e-2' (y, o"-t -a 3yi + + 2y, 2yi )1,itd. :- = (-2é (y, , itd. - a33 ee-it (y, - 3y, )+ é Oi-yiil. - y,.)) ae -yiy, J+

v' -'-1 t'dtdxyw dt

da

-a

jednadinu sa konstantnim koeficijentima. data jednadina jednaina se svodi na jednainu

r I r

+ b < 0 , a*0 Za ax a * 0 uvodisesmena uvodi se smena ax+b=-et ax+b10, ax + b = -e' .. je homogeni Za =0 , b* Za aa=0, b*00 dobija dobija se se nehomogena nehomogena linearna jednaina Ciji linearna jednadina Eiji je homogeni deo deo sa konstantnim konstantnim koeficijentima. a=0 ii b=0 koeficijentima. Za Za a=0 se Ao y = f (x) b=0 dobija dobija se , a to nije a to h.y=l(x), jednadina. diferencijalna diferencijalna jednaina.

6,

6. lt

' t

Re3iti ReSiti diferencijalnu (I+r)3 diferencijalnu jednaiinu jednainu (1+ y'+(1+x)y'-y=(1+x)2 x)3 yw+ (1 + x)ÿ -y = (1 + x)2 za > -1. za x x>-1.

1+x=e' I+x=e' +t=ln(l+x) t=ln(1+x) -, i -2, i -7, y, =(yi-yi)e-2, y =e ,, =e-,!1, yi y=(y, yw =13'7-y, 1e-21 , y. =bi-3yi+2yi).e-jt 3y, +2y,) e .r-3'(yi-3yi+2yi1+et ."''yi-y=12' es' 3' (y, - 3y, +2y,) +e eear y,-y =ez, N

e


170 170

Diferencijalne jednacine Diferenciialne iednaiine vile vilegs redq reckt Dlr-r2t

y7- 3y; + 3y; -y= Ir-Jlr+Jyt-y=e

e21

yi-3yi+3yi-y=0 y7-3y7 +3y'r-y=0 ) ,3 r3-3r2+3r-1=0 (r-1)3=0 =r2=r3=1l =Q a 11=t2=rr-3r2 +3r-l=Q a (r*t)i yh = cte' + c2te' + c3t2e' lh=cFt+crte'+crt2et

D-r-r2l +3y¡-y=e21 !,-Jl,+5yt-y-e e2' = e2' =e°7[Pm(t)cosßt+Q(t)sinfit] e*lP^g)cos p t +QnG)sinF t)> pi=2 r=0, k=m=0 k=m=0 a+ ßi=2 =

P,,,(t)=1t a=2, Fß=0, ai2, =0, P.(t)=

yp =Ae2i,, !p=2A.e2.' yp =2Ae?',,li=4A."2" yp =4Ae2', yp yi=.8A.e2' =8Ae2t !p=A.s2'

(8A* (8A-12A+6A-A)e21 =e2r A=1. 12A+ 6A- A)e2t = 12' > A= I. 2r 2t

yp = e lp=€ +e2' yy= c F' + c2te' c rte' + c3t2e' c.tt2et + e2' = Cle' ( I +x)2 y == c1 x) + c2 x) In(l + x)2 c t((1I + x) c2((1 I + x). ln( I + x)+ ln2 ( I + x) x)++ (1 x) + cc3j((1t + x) x). 1n2(1

7.

..

Naéi opte resenje jednaCine x2y'+ Naiiop5tere5enjejednadine 2xÿ -2y = x2 +7 za x>0. x > 0. x2/ + 2xy'-2y=x2 + I za t )t=lnx 2,(Y,-Y,) y' = e-' yi, y' = e-2' 0i - yi) y'=e-'Y,, y'=e-

xs1=pt = e'

e21 yi 1 + 2e' .ey¡-2y, ,2' . e-2t (y,=e2i+1 e-' yi - 2y, = 12' + I {ti - Yr)+2e'

"-2'

*

c=>

yi + yi - 2yt ==e2'+1 r'' + I y¡+y¡-2y,

3'1-y1-23'1=0 vi-yi-2y,=o

yr=-) r2+r-2=0 (r-l)(r+2)=0 ) rt=1, rz +r-2=0 ) (r-1)(r+2)=0 11 =l, r2=-2 2' = cie' + c2é !h=cft+c2e-2' yi+yi-2!,=l =1 Y,+Y,-2y, 1t = =e°1 [Pn,(t)cosßt+Q(t)sinßt] e*lP^0)cos P,(t)= l d=0, ß=0, B t+Q,(t)sin B tl) a=0, F =0, Pm(t)=1 Yh

a+ßi=0r=0, a+ pi=0=r=0, k=m=0 k--m=O =0 =A, yp, = !p,=A,!'0,=li,=o --2A= 2A =1t > A=-1 L=-L2 ypi

I

1

lp, =-V YPI ,. t ^ =e2r 2, yt+yt-zyt=e Y,+Y,-2yr e2' ,2' =eG°[Pm(t)cosß7+Q(t)sin ="*fP,(t)cosPt+OnltlstnBtf a+ßi=2r=0, a+ Bi=2*r=0, k=m=0

P^(r)=l ) a=2, e=2, ß=0, f =0, P,(t)=i

y! p2 Ae2i , yp2 y'p, = 2Ae2t ,, yö2 4Ae2' = 2Ae2t liz = 4Ae2r o2 = Ae2t ,

A=44

(4A+2A-2A)e2i (4A+ 2A-2A)e2' =- e2' s2' a 4A=1 4A= I + A= L


Diferenci.ialne Diferencijalne jednacine vileg .iednaCine viie s reda

171 t71

't, 1I 21 7e''

=4e I oz = yp2

--

e2, + yf,z =c,e' +cre-2t clef + c2e-21 -*-1U' =r,**?-*.*f = yh + y +!p, Ctx + 2 !y =ln*!pr =

8. 8.

x2

..

jednafiine (2x (2x+I)2 Nati Nadi oplte opAte resenje reieqie jednaiine y'+(4x+2)y'-4!=x2 +1)2 y' + (4x + 2)y' -4y = x2 za za 2x+7>0. 2x + I> O.

2x*l=e' 2x+1=e' t=ln(2x+1) +t=ln(2x+l)

.l

r, =lrr, -r" x2=4ezr-2e'+4 = x=+= 21 dy dt 2 , _, , ,dydt2,^-,, .V'. y, =2 e- y, y-dtdx-2x+1 Jt '1' =:.._=_.V.=2.e '' dt dx 2x+l 2x=e, 2x=e'-1x=e -t

y

I

( yi yi ) = q . r-2'21(y,-y;) = +. -=2é'2(-e-ry,+e ,' =d = 2 . e-' . 2(-e-' . yi + r-'1y,)=4é - yi ) 'dtdx dt + dx 4e2,e , I z, I ,,l+,yJ-4y,=e2,-e'+4 4. e2' . e'2t 1yi yi 1+ ne' . é e-' yi .

2J(y,-y)+4e'

I

I F

I F

-41. =-e

1

2, 4yi -4y, =*r'' 4y,-4y,=41 e

,

1

4y; --4y, 4yi 4y, =g =0 ,2 r2

-1=0 - I =0 :)

11

=1, r2=-1 = I , f2 =-l

= cle' + c2é ' yh !h=cF'+c2e-' 1

2,

='Or'' =4e =ecr[Pm(t)cosßt+Q(t)sinßt] = 2, ß=0, Pm(t)= F=0, P,1t1=! *"'' = e'lP^1t lcos B t + Qnft)sin F i> aa=2, 4yi -4y, 4y,-4y,

:

a+ Bi=2=r=0, k=m=0 a+ßi=2r=0,

I

yp1 ! p, =

:

(t6A-4A)e2' (16A-4A)e2r

=Ae2', A' 92' , !'p, yp, =2Ae2t, = 2A'e2' t yP, !'0, =4Ae2, = 4A'e2'

t-

yp, Yo,

: t t

, i

I t

t

t !

424--e

-1 -2e -t, +4

t

=1 e2' > 12A=-112A=f,= =*r',' 4

4

112, 2, e

A= -L A=* 48

=d,

1

,

=-lr'

4yi -4y, 4y,-4y,=-2e

-Ze' a=1, -*"' =e`"[Pm(t)cosßt+Qn(t)sinßt] = e*lP,1t1cos B t + e,ft)sin B fl t a f =0, Prttl=-) = t, ß=0, a+ pi=l+r=1, k=rn=0 a+ßi=lr=1, k=m=0 Pm(t)=2

yp2 !p,

=Ate' At. el,, !'p, yp2 =A(1+t)e', )1;2= t) e' =A(2+t)e' A(t + 1+ I +t). = = A(1 + t).et, yi, = A(1 = A(2+t).et

8A=-2 + 8A e= -L A=-16 =-1= 2216

(8A+ 4At -4At1. e' =-Ze' (8A+4At-4At)é = -!r'


Diferencijalne Diferenciialne jednacine .iednaiine vile g reda

172

r,

t,te, =--6t'e

I = yn2

t

{yl -(y, 4yß -4y,

1I

=a =44

P^0)=* a =0, /3=0, r*lr,(,)cos B t +Qn(t)sin P ls a=0, =elP,(1)cos/3t+Q(t)sin/it] 0 =0, P,(t)=

I=

a+/3i=Or=0, d+ pi=0*r=0,

k=m=0 !p.r=A'!'pr=!'rr=0 yp,=Aÿr,=yp3=0 A=-1I -4A= 1 6=-

-4A=!= 4416 I

16

1

r

P-t 16 t6

I y= \=c,e'*cn€-t+ cle + c2e-' J"481616 -L16 -Lr."' t e "2' -16 + 48 e2,

-fi

. * t ). tn(2x + | + t)2 --1(2x+1)ln(2x+1)--1 ty =ci(2x+1)+ = c t(2x + t ) * c2 +1(2x+1)2 16 16 fitz* 48 2x+1 *ex

*.

jednacina resavanja diferencijalnih diferencijalnih iednaiina Neke N eke metode relavanja 1. 1.

= a(x) z, ((a(x)*0) a(x) * 0 ) tako jednaiini y"+? =0 uvesti smenu smenu y!=a(x)'zt y'+Zy'+ y' + yy=0 jednadni x jedna[inu. diferencijalnu jednadnu. re§iti datu diferencijalnu da se uz z' ,, a zatim reliti se anulira koeficijent uz

diferencijalnoj U U diferencijalnoj

í

q' z + a' z' + +áz'+ai z + 24' z + az' ÿ ==a"z+az y' = a'z + qz',, y' a' z' + az' =ci y=az, = a' z+2áz+az" ! = az, y'=az+az 2á z,a 23p'+1o'*2o Z (o'r +(a"+-+a)z=0 +o1r=o +2a)z az"+(2cí (a, z + or' + (2a' qZ a"z+2az + az, +1_ azr s) + az = o ) az' e,z + 2a, z, +az"+?(az+az)+az=0

.+-=o 2a 2a 2a 2o'*-=0 x

x x

-_-- -_-=-; a

a da a da );=-;=;

da da

x

dx

dx dx x

xx

x

x

j=-jl; =-J; da ,da

dx ,dx

a

x

Z, a"= a=-,ci=o'=4 a=1, o'=-4, x xx'x' x x 2

lnlal= -lnlxl tnlal=-trl*l)

-

lí

I . +(-7--7+-1 .2 2 I )z=0 +(+-+1=)z=0 -zx xx'x'x 1=i, r2=-i 12=-i z"+z=0 * r2+1=0 r2=-1 12 +l=0)12 z'+z=0 =-larr=i, z 1 x + c2 sin x) y = o, = I = r, cos x+c2sinx). z=cl x * c2 sin x x :) y=az= Z CoSx+c2 = L (cicos = I cos x x xx (

C

2,

2.

.

2x1+

jednatini 2xy'+ y'++ 2y = smenu x == x(t) x(t) birajud birajudi funkciju uvesti smenu diferencijalnoj jednaCini U diferencijalnoj = 00 uvesti uz g(t) tako da se anulira koeficijent 9(t) takoda "dt o, "

,rl ,y,,\,,u yrr y y" = y" = =+, y: ! -=-*/

"i" x,

"

re§enje za naci opte za x > 0O. op5te re$enje zatimnadi +dt ,, ta zatim

-

I

xt'!r y, x,

(i)2 (ilt

(x)2

(xi)?


reda Dikrenci.ialne.iglnaiine Diferencijalne jednacine vileg reda

173 173

2x 1, y;+2y,=0 e vi*+'vi+2v,=s x',y?)+y;+2y,=0e y,2x'x,' ,'l-# 2x(,#-#1*\*zy,=o ,r (.4)3 y+ x, y'2 x, (x,) (x;)- (x,)-

#

. (x' )2 - 2x y,+

. . , (xi)z x,=0 -2x y,+ 2y,=0 ) (x,) -2x'xi=s ,r.W.yi+2y,=o (x/); # 2x

x'

2

'

p'p'. *i ==PPX x¡=p(x), xi = p(x), x, p?-2xP.rP=0 p2 -2x'p'.rp=0

dx z*1=pt'+=+ p 2dp p-2x'p'.r=0 * p-2x P.r =0 - 2.:11-2-= dxPx P

xl= znl nl ? xx=p2 f áx2jdp I! 7= 4Q-p * hl xI=21nI lnl

=

=P

1

x=(x,')2 * = ( *i)2

* x;= xi = *I -

t=2 + "=l= .22

x=

44

t=2Jx

t2

1

x 2dx=dt 11 r* = dt > 2yi +2y, 2y7

* =* 21;=t zG =, = x= 4

)

=0

y,+y, Yi+Y, =0

I^{'" }=sint R"{ei' }=cost, cost +i sin t, RQ{é' ei' =cost+isint, =i,r2=-i, }='i'r l=,o", Im{e" =-i, e"= =0* r, =i,r2

r2+1= +I r2

+c2 sin 2,,r; c2 sin2Ji' 21.;:. + cos2'ti ct cos t, y= * c2 c2 sin sint, cost + y= c1 cost ! = c1 ! = ct

.

2

3. UU

3.

= uvesti uvesti smenu +!n 2(2x++ 1t + + 2)y' + 2(2x 2x(x+ I++2x(x 2 )y = 0O

jednadinu x2 x2 y' diferencijalnu diferencijalnu jednaCinu

jednalina sa konstantnim konstantnim koeficijentima, a zatim je a takvo da se dob[ie jednaCina se dobije xo u, gde je y! = xau, difencijalnu jednaCinu. re§iti re5iti datu difencijalnu JednaCinu.

t' tt + xo tt',, y'=«(a+ xo lt' * *a-I u' +xaú I ) xd-z u + md- ; +axa-1ú y' = q( a - 1)xa-2u+Q'xa-1u y' y'=aXa-1 = @co- u+xau I

xa+

*

2 g x + 2 + x2 )xau =0 l+ (4x x" u'l+ * 4x)[axa-1 ) xa u = u + xo u'l+ (2x2 2ara-1t u' )W"4 u + xau x2 [a(a o -1)xa-ZU *'fo{ Q x' + - l ) *'- u + 2ar!-

*

t

l

t

+ q( a - l ) x" u + 2&o tt' + x'*2 u' + 2M'* u + 46o u + 2 x'* u' + a(a-1)xau+2axa+lu+xa+2uff+2axa+Iu+4axau+2xaú o (4ro*' + 2xa xd*2 1u = 2xo + xa+2 + 4xa+1u,+ 4 xo*l u' + (4xa+1 =0

xa+2u+[2axa+1 +2xo +xo*2fu=0 +4xq*t +2xa +4qr.a +4xa+1 +2sxo*t +4axa u,+fa1a-t1xo +2axa+1 +2xo*21 u'+Ea(ac-1)xa +4xa+1 +2xa+21 xo*2,.+b*o*, +4xo*t sa xa+2 xo*2 dobija se Deljenjem jednadine sa 1 4.2a+4 2d + 4 , Ca(a-1)+4a+2 4 +l + t\uu=0. + W+ = o' * zy' *( u'+(2a+ u' + 1W +2)u X X x.f,[r'.r) = 0 odnosno je 2a+4 daie 2a+4=0, treba da svako xx treba za svako bio konstanta za u' bio uz u' Da bi koeficijent ttz Da bi a=-2. r1 =r2 =-1 (r+t)2 =0 12 +2r+l=0 ) (r+1)2 u'+2u'+u =0 = r2+2r+1=0 u'+2u'+u=0 =0)rt=rz=-l ,

y=cf u=c1e

x+c2xe 'r

x

u

e-`

-Zu= 2 = 2(c1+c2x). y= *-'u=#=4k,+c2x). *c2x€-ra y=x x

x


174 174

Diferenci.ialne.iednaiine Diferencijaine jednacine vi.teg vileg reda

4. U 4. u smeni smeni x = ta to odrediti odrediti d a tako tako da da sese diferencijalna jednacina diferencijalna jednaCina xy" 211+ 3x3 3*t )y' )y' + 9x5 9xs y = 9xs (x3 jednaiinu sa + 1)ex l1e" svede ry' --2(1+ syede na na jednacinu 1x3 + sa konstantnim konstantnim 3

koeficijentim koeficijentima, a, a zatim re§iti re5iti datu datu jednaCinu. jednaCinu.

yi . x,Yr xiyi _ yi a(a-1)ta-2 ,,, Y, Y ,v,"_-- (*;f - 1_;f = -;qz;t-ffitr a2t2a-2 -a(a-l)t"-2 Lrt3a_3 (xí);

yi y,= Y, Y, .. ,y=4= ,i ata X, -i do_t,

Y,

(xr)2

Y

va-2

-''

fi ta ( a-1 - ) ta-2 ót3a Y, "ta,, a2t2a-2 - .ru a2t3a-3 Y, -2h-att" - sfa (fd + t). e'3" ma-1 +9tsay, =9tsa(t3a+1)e,'a o2,2a-z ;r;!*vi 2 020_1 fu+efov, (d

,

a

.d-l-1 :t

,"

yi -1u

+

2a z!

Kako Kako je uz je uz

t

?n-t

.

"'

a A-. a

. a-.

,-

ga2fo-2 (tta +1). +6d3a-, + yi' + 9a2t6a-2 6a7 3a-1 ). 9a2fo-2y, * rr. e'3° )Y, Y, _ = 9a2t6a-2(t3

"tid

yi y,"

broj 1, broj ,1, to to da da bi bi diferencijalna diferencijalna jednadina jednaina bila bila sa sa konstantnim

koeficijentima, koeficijentima, uzmimo da je

q=!=) x=t 6a2 =g 2 a=1 6a-2=0 r= rl 3

:

x3 -, r== *'

a-l a-1 *2a 2a 3a-1 +6a3a-t _2 *U*3a-t +6at3a-' ==3a-l +6ar3a-1 =2 ttt t

t

t

,a

g.+.f"(r+1) 9a2fo-2 1fo + l). e''t" = (t + t). e' 9a2t6a-2(t?a+1)é =Y-t s, =(t+1) et = (t + l).e' 9

.

yi-2yi+y,=(t+t).et Y7-2Yr+Y,=(t+1).e, yi-2y; y7- 2Y, +*!, =0 Y, =0 r2 -2r 12 +1 = (r -1)2 =0 -2r+1-(r-I)2 =0t yh !h

.

11

=r2=1 =rr=l

= C1e' +c2te' + c2te' =cFt

yi -zyi +y, =(t+ t).e' Yr-2Y,+Y,=(t+1)e' (t + 1)et = u'fP,(t)tos B t +gn1t1sin p t)* a=1, p^(t1=1a 1 (t+1)e'=e`"[P,n(t)cosßt+Q(t)sinßt] o= l, gß=0, =0, Pm(r)=t+1 a+pi=l*r=2, a+ßi=lr=2, k=m=I k=m=1 y,, =t2(At+B)e' =(At3+Bt2)e', +Bt2 1.e', yp !p=t2(At+B).et=1At3 +Bt2 +3At2 +2Bt).et =(At;+Bt2+3At2+2Bt)e' !'r=(Ati

yli=(et3 = (At; +Bt2 +3At2 +2Bt+3Atz +2Bt+6At+28).et +Bt2+3At2+2Bt+3At2+2Bt+6At+2B)é At3 At3 + Bt2 + +Bt2 +3At2 3At2 +2Bt+3At2 +2Bt+3At2

-4Bt+At; +Bt2 =t+I =t+1 -4Bt+At3

A=, 6'

6A=1 6A=l+e=4,

.l t I yu=( t;+2r2)e' y=(6 O.r'+!.tl ).e'

+2Bt+6At+28-2Ar1 +2Bt+6At+2B - 2At3 -2B12 -28t2 -6At2 --

28=l>B=! 2B=1B=2 - 2

a

, , -1 , I 1 . t;+1 *i.r,t2 r.e, ) =(c1+c2x3+1 !y=c1e'+c2te'+(1 = c Ft +c2te' *(t.,' *, *f,. *o ). =(ct +r2x-, **. x9+1.x6)ex.' 6

2

6

"*'

.


175 175

vile s reda Diferencii alne jednacine Diferencijalne iednaiine viseg

5.

5.

jednaCina y'+ ycos2 x = y'tgx y' + ÿ tgx -* ycos2x sin2ZxcosZx xcos2 x smenom diferencijalna jednacina da se se diferencijalna Pokazati da Pokazati = sin opte jednaiinu i naci i naii njeno re5enje. njeno op5te resenje. koeficijentima sinx = sinx = tt svodi na jednacinu sa konstantnim koeficijentima

yi',[J tj

-dy _dy dt yicos 11t2 I - sin2x=y,' rin\ = VIx = yi ..l + = cosx=y,' " =+ dx=+ dtdx dx dt dx -2t ) 1-t2 yilt I y" dt y, _ + yi. =y7(1-t2)-y7't t- I +y7 J - -yi . t =(y, = y"= oi.J 1-t2 + ' = 4. dt ddx dt x 2ztlt-i 1- t2 t 1-t2 yi(t )=i (t -t2 ) -f y(1-12)=t2(1-12) -t2 )-yi. t +yi JG Y,(1-t2)-y7t+y,' y'

d

+).

1

#-y(t 1,11

Yi y, -Y=t2 -Y =t2

r, =1 r2-1=0 12 -l=0 ) r, =-1, = -l , r2 =

yi-y=0 * y;-y=0

1

r1

*c2e-l c2e ' !h=cft = cle' + y;-y=t2 Yi-Y=t2 a=0, f3=0, i ="'fP,ft)cosBt+Q*ft)sinBtf t2 =eQ1[Pn(t)cosfit+Qm(t)sinßt] ) d=0, fr=0, Pn(t)=t2 p=0=r=0, a+i f3=0r=0, k=2 a+ì At? + Bt+c , y'o=2At+B,li=2tr yP =2At+B, yp =2A yp !p==At2+Bt+C, Yh

2A- At2 - Bt -c = t2 2A-At2-Bt-C=t2 B=0, 2A-C=0 C=-2 A=-1 A=-1,, B=0,2A-C=a=C=-2 2 y =-t -z -2 !p=-t,-t)^ +c2e-slnx t sin2 x-2. yy =C1eS%nx x- 2. y = cle' +c2e -2 , *c2€', -t2 = c Fsin' + c2e-tinx -sin2 !=cF' -t'-2, 6.

= x(t) y')xln2x + y = 1n2lnx smenom smenom xx=x(t) jednacina (xy"+ se diferencijalna jednaCina Pokazati da se Pokazati 1xy'+y')xln2x*y=ln21nr resenje. opte re5enje. jednaiinu sa konstantnim nadi njeno op5te koeficijentima i nad konstantnim koeficijentima moie svesti na jednacinu

,

,,,, ,

!,

' *','" -.--.t-4--

lty,

Y, lt'Xtx,

(*i)' (*il'z (x7)2

' x" x h2 ;)+y¡ xln2x+y=1n21nx '¡ = x x t) l-* *,. (xi)2-, xi x2ln2x ,2 lnT* , *ff xln2xY7+y,=ln2lnx xh2 x' yi +y, tn, x Y+(x7)z-x ri (x7); ffi ,,

[ x(( z;2 -

x+v

x

)'

tn2

tn

D

'

'

(x7)2

je uz Kako je uz Kako

=

tn

sa konstantnim jednacina bila bila sa bi diferencijalna yy broj broj .1, 1, to to da da bi diferencijalna jednadina

koeficijentima koeficijentima treba da je xlnx xlnx *2 x2ln2x lr2 *

,

t1 xlnx =c2x1nx, cz=7. c2 =x,, _ xlnx -± 11c =c --,-xt=T=c2xtttx, =cl = =t{ct -dT=ct+ c c ix, (x7)2 dx' dx dxi dx' dxi , =-=--L x+c22xlnx l)xi =c2x1n2 x+c2xlnx *i x, =#=X.#=cz(lnx+ dt dx dt -c2(lnx+1)x,' =slx1r2 ,

-


176

176

Di.ferenci.ialne.iednaCine Diferencijalne jednaeine vigeg vileg reda

(*i)2 -x.xi _,_z2 .._r1*'ln2 x-clx2lnz x-c2rxzlnx , 22 (x,)2-xx," 1I xln x= c2xZ1n2x-c2x2ln2x-c2x2lnx xln x=--

(*i)' (xj)3

C2x; clxs ln; lnj xx

c2 c2

c,yi-Ly;+y, - y; + y, ==ln2lnx. 1n2 In x. Uzmimo da 2

Polazna Polazna jednadina jednadinu c1y; jednaina se transformi5e transformie u jednainu

je je

c,=licr=1. c1 =1 i c2 =1

x; x', =xlnx

.

-dt - t#.=!at =Jdt * = +=dt xdx x xln x

ln(lnx)=t ln(Inx)=t

t

lnx=s, Inx=é

s x=ePr ,=r"'

ln2 lnx=ln2 1n2lnx e'=t2 =ln2el

je tn Primetimo Primetimo da da je lnxx > 0 0 zbog zbogoblasti oblasti definisanosti jednadine. definisanosti diferencijalne diferencijalne jednalzine. polazna diferencijalna Sada se polazna jednadina svodi na diferencijalna jednaina yi +* y, y, = na yi y,'-- y,' t2 .. = t2

vi-yi*!,=o y, -y, +yr =0

-i, r.=' *6,

r2 -r+1=0 ,2 r, =!-6 r. -r+l =o =' = r1= ' 1

1

r2

2 2 2 2-1'. r

22'2' 2 t (1--+-1)r 'r (cos t+isin2t), e,,i*?,, 2 2 =e2 ,ror$t+i rir$t) , =

.t Jl.

"i,

ri

(I+1)r (1+1)r V3 *"["'1.*"'l=ri' e = e2 cos--t ,or{, I, e , ,.[ "t 2

t j + Jit+c2e2sinV3t. yh=cle2cos lh =CF' cos-t+cZ, 2 ,I ,,n8,. RF

2

2

,

2

2

2 J It

V3 t ,inq, 2

= e2 sin

",1.*,rI="1,

z

yi-yi+lt=t2 3'r-yr +y,=r ,.

2

f

p^(t1=12 tl= a=ß=0, o= g =0, P,(t)=t2

t2 =e°1 P^(r)cos B t+Q,ft)sinB ] = e'f[Pm(t)cosßt+Q(t)sinßt

a+ a+,1i=0r=0, ft=0+r=0, k=m=2

y'o =2At+B, !ypp =At2+Bt+C, = Atz + Bt +C, yp = 2At+ B, yp l'p =2A =

2l

2A-2AtB+ Atz + Bt+C =t2 > A=1, 2A-2At-B+At2+Bt+C=t2 A= l, B=2, B =2, C=0 C =0 y!p=t2 = t2 + 2t +2t r rJi y=c +cos-t+c2. ,t ,,n& ,*t2 +2t !=ct.ez r

r

2

2

In(tn x)t\'m ln x +1n2 . n2 (In t)*','*($' 0n x) + 21n(In x))' 2 t *r'"

y= ln(ln *x) + c2 sin o{E'n"n = [C1 cos

' f"''

x)

2 tn( tn x

.

C


177

vile s reda Diferencijalne Diferenciialnc jednacine iednaiine viieg

.

7.

7

(1 - x)ÿ+ jednaiina 12x dva x)y' + y = (2x -- x2 x2 )y"+ diferencijalna jednacina Data je diferencijalna = xr .. Odrediti bar jednu, dva 1y' + (1jednaCina na = t jednaCina svodi svodi na I f(x) se smenom se smenom da funkciju /, , tako puta diferencijabilnu tako da puta diferencijabilnu funkciju f(x)= jednatine za re5enje date jednacine op$te re§enje jednaiinu sa konstantnim koeficijentima, a zatim naci naii op§te jednacinu x e (0,2) (0, 2) .

f

f

f f

f *y,

, dy dt + yr,f"= y,"f2++yif' dyr dt dy, ,+ , y,=*.*=ri.r, y, =* y, - cit dx =y,. , ,, !,y ==N-.f,+yi.f = dt *.f,+yif'=yif'2 dx dx

y

w

w

x)f')y', + y, == x *' )f" x2 )f'2 y; ++ Px (2x ((2x -- x2 )f' + (l(1-- x)f')y; 17'2yi 12x - x2 " paie je (2x -- x2 f'2 =c x' ))f'' y' treba da bude konstanta, pa sledi da daira i uz y" /, siedi =, Kako uz y stoji broj 1, C = =C (2x-x2)f'2 12x-x21f'2 =c f'2 =** = f'2

f'= f'=#

2x-x

f'== 7'

j l = !+ S = f =cl l-(x-l)' x2 2x-x' 42xtl1-(x-1)2 CI

dX

ct

I

ci

-.

¡-

,r =Vc , cl =G

,

2x-x2

c 1aresin(x-1)+c2 arcsin('r - I ) + c' =ci --

,'l

ct cl

x-1 x-l

2-2x 2-2x

' 31(2x-x2)3 "- 2 *, It 2 ÿ(2x-x2)3 Je*_ x2 )3- l1z*_ +(1-x) (2x - -r2 )' $ x-1 + (t - fl$ cl (2x-x2)cl =o0 ,l2x 2x-x2 ÿ(2x-x2)3 tl{2x - x' - x' )'' l

c

-

1

jednadinu cyi +y= cy; +y x . Uzmimo da je transformise u jednaCinu se transformi5e svako c Za svako c polazna polazna jednadina se = x.

ci =1 i c2 =0. ct=licr=9. = arcsin(x t= arcsin(x -1) - l)

e

x= = sin sintt *+ I1..

jednaCina svodi diferencijalna jednacina Sada se polazna diferencijalna

y' + y == sin sintt + II na y"+ na

y'*y =o y"+y=o 12=-i r2+1=0 l=i, r2=-i +1=0 * 11=i, 12 =cost+isint e''tt =e" =eit =costiisint yh =ci sin t+ c2 cos t !n=ctsint+c2cost y'+y=l y"+y=1 Pr(t)=1, a+ßi=Or=O, d+ Bi=0= r=0, k=0 a=0, ß=O, f =0, Pn(t)=1, =y, =0 A=1 =A, yp, J'0,=Yi,=o*A=I !u,=A, y"+y=sint !'*Y=sinl

P,(t)=0, Q,,,(t)=I ß=1,, P(t)=0, o=0, 9=l sint=e`"[Pn(t)cosfit+Q,,,(t)sln,ßt] sint=edf Pnft)cosBt+Q^Q)sinBtl* a=0, Q*G)=l a+ßi=ir=1, a+ Bi=i+r=1, k=0 y,, =t(Asint+Bcost) !u. =t(Asint+Bcost) y'u. =Asin+Bcost+Atcost-Btsint=(A-Bt)sint+(B+At)cost yp = A sin+ B cos t * At cos t - Bt sin t = ( A - Bt ) sint + ( B + At ) cos t yP, ti, =-Bsint+(A-Bt)cost+Acost-(B+At)sint=(-2B+At)sint+(2A-Bt)cost =-B sint +(A- Bt)cost + Acost-(B+ At)sint =(18+ At)sint+(2A- Bt)cost (-28 ++ 2At) (-2B 2At)sint sint +2Acost + 2Acost == sint

>

B=-!2

A=O, A = 0, O =


178 178

Diferencijalne Diferenciialne jednaeine viiep reda iednaiine viseg

-t!t

cost cos t +l +I

y(t ) = c t sin y(t)=cl sintt+c2 + c2 cost cos t -

b't"\ JW

cost =yl-sin2t cost =3,11-(x-1)2 =J =

=J27-7 = J;* - *,

p, --f,arcsin{ 2x-x2(c2 x - I )) + I . aresin(x-1))+1. ty =cl(x-1)+ = c r( x - t ) + JR 2 8.

Nati Nadi

tri puta diferencijabilnu funkciju z= z = f(-x ), x,! x, y > 00 koja zadovoljava l(L), yv

a2z *'f *az ++3xy3 sot y2(3y+4x)a 2x2z = *r ri ,ioL -2x2z=x2eysinx. ,'Ay * aA}.axay ay ax3 y #-

diferencijatnu diferencijalnu jednacinu x2y3

!-t,z=f(t) z=f(t) x=t, yv

az dz ,., , , II ,, az dz ,,, , xx , Z, ctx y dy ay=z,ty=2 ax=z,tx=yZ,, y' d2z aa (t atz I z,+z,(-y2)=-y2 I , x, , I1,,, xx, 1, ,l1 z,,,,) = -7 zi + - zif a'= -r',Z,-y; = -lx z,'i, axay ay aray a, (y '; a2 z d2z-t 1 , t.,, II ,, a3 I1 z'i.-,, ,, , 1I , -,-, Z, zi, d'',=-7. t'., = a. z,tx ;T ax2 dx'= :Iy Z, tx = -. y' Z, Jax3 y' dx'' y Z, yy' Z,

)=-21,

-

.

2

x2y? *'y'

l;

2

zM+3xy;(s^y31-\riz', 4.ri+ y )'y'y'y'y

2

,

Y

y

-; -*ril-t3y3

z

x

z,")-(3y3+4a.y2)(++ry2 11-4ril-z*', - ,,ri z,)-2x2z=x2ey

y

sin,in'

y

y

x

x* x24-3xyz; x2 zi - s tyzi -3x24+3xyz; + 4 x2 zi -2x2z sin *' rin - 3 x2 zi + 3 ryzi +4x2z; - 2 x2 z == x2e'

"i

vy

zi- Szi + lzi -2z= 4-3z,"+4z; e' sint sin t - 2z = et

z7-34 +4z;-2z=0 > r3 zi*szi+lzi-22=o ,3 -3r2+4r-2=0 -3r2 +4r-2=o (r-l)(r2 -2r+2)= (r-1)(r2 rFl -2r+2)=0 + r1=1 r2-2r+2=0 12 -2r+2=0 ) r2=1+i, 12=l+i, r3=1-i b =l-i eí1+1l, +i )t I*i ), }=e'sint =e' e( (cos t+i sin t), et (cos t + i sin t ), Re{e(l+')' - .é' ==e' R"{e( nil, }=e' rrr r,, 1,,,{e"+il' I }= ", cost }= ", ri, t "' "" ^{s( t

zh zh

=cle' +cret +c2e' cost+c3e'sint cost+cpt sint =cPt

zM- 3z¡+ ziSzi + 4z; 4zi -2z si,ntt - 2z == e'et sin

et sint =edIP^(t)cos Bt+e,ft)sin e'sint=e°![Pm(t)cos t+Q(t)sinßt] B fi

a+iB=,1 +i=r=l,k=0 a+ifi=l+ir=1, k=0

* a=1, a= l,

p*(t)=0, Qen(t)= g == l, fi 1 , Pn,(t)=0, (t)=1I

zp = t e'[ Acost+Bsint ] zp=t'e'lacost+Bsintf z'p ( A cos t + B sin t ) + A cos t + B sin t + t( -A sin t + B cos t I ]= ,'p = = e'[f t(Acost+Bsint)+Acost+Bsint+t(-Asint+Bcost) l= "' = ( e'[(A+ e'l( (A+ A+ A+ ( (-A+ B)t)cost + (B B)t)cosr (-A+ B + B)t)sint] B)t) sintl =


je*niine vaeg Diferencijalne Diferencij alne jednacine viie g reda

179

-

z'p = zp e' lA + ( A + B )t ) cos t + ( B + ( -A + B )t ) sin t + ( A + ( A + B )t )( sin t ) + ( A + B ) cos t + =e'[A+(A+B)t)cost+(B+(-A+B)t)sint+(A+(A+B)t)(-sint)+(A+B)cost+

'

(-A+ + (B + +(B +(A+ B)t)cost B)t) cost+(A+ B) 2A +2B+ (-A+ B)sint7= +2Bt)cost +(+(-2A+ r'l?a+28 sint]= e'[( 2A +2B +2Bt)cost 28 - 2At)sint] 2At)sinl zi == e'[(2A +2B 2 B +2Bt) + 2 Bt ) cost+(cos t + (-2t + ( 2 A +2B + 2B + +2Bt)(2t++ 2B2 B - 2At)sint 2At ) sin t +(2A 2 Bt )( - sint) sin t ) +2B + 2 Bcost+ cos t + IQe + "'

'

+(+ (*2A+28 2A +2B2At)cost -2Asint)= (-2A+ (4A+ 2Asint ]= e'[( 6B+(2A +2B)t)cost +(6A +(e'[rc\+(+A+28)t)cost 2A- 2B)t 2B)r sin t ] sint) - 2At)cost-

t ' ' ,

e' [(6B + (-2A + (-6A + (-2A €'lrcn+ (-2A-28)t)sint 2B)t)cost - 2B)t) sin t -- 3(2A cost +(4A+ 3(2A+28 2Bt)cost + 2B + 2Bt) cos t e2A++ 2B)t) (-2A+ -3( 2B 2At) sint sin t+ + 4(A+ 4(A+ (A+ B)t) (-A+ B)t)sin B)t)cost 4( B + (-A+ B)t) sint)-2t( cost + 4(B t)-2t(AAcos cos t + B sin t)]= sint)l= -J -2A+ 28 - 2At) = e'sint sint = et

(-2A+4At)cost-28sint=sint (-2A + 4At )cos t -2B sint= sin t A

i

1B

=O, -28=t=B=-* -2B= = -2 =0,

,1, t.

z = zp=-:e'sint e' sin t

'

z =zh +zp = Cie' +c2e' cost +c3e' sin t- 2e'sint z=zh+zp=cte'*cze'cost+c-:e'sint-le'sint

-2

t

2

i-r-r-r-r

x

x

x

, ,

x

- *c2€!- cos-+c3e!' x - x x - sin-x =CteY +c2e'' ,=cF)* cosl+c-re,- sinlr- J*d s;n!.

z

y

p.

9.

sin---e' y

2y

.

y

Naéi Nadi dva puta diferencijabilnu y' ) ,, nad oblaku diferencijabilnu funkciju z = f(x2 obla5du R2 \{(0,0)} t ftO,O;) koja t
'

a2 d2z

az dz

-x2

2v2

2y2

u

y2 -*' - + y2) + [n(x2 z= ' x(x2 ay2 + y2 ) ax (x2 + y2 )2 DJ' x2 *1*'+y'1a* y2 x- ++)-

' '

t,

v2

2y2 2v2

,

.

*'*y'=t,z=f(t) x2+y2=t, z=f(t) az

,

a2z

- f, 2x azy = .fr' 2y ay = 2(f, y 2y +.f, ) =2f; + 4y fr *=fi'2x,*=fi'2v,#=2(fi'v'2v+fi)=zfi+av2f ,

.

,

,

2

.

,

ax

22

r

y2 27;++y'y,'+Lf-2x,fi+-Jt-y= *yr) 2fi +4y2f,+ y2x2 x22 2x fi + 2y2 2 f= 2lr' 2r,n(*, +y) (x'+y')' x(x'+y') (x2 +y2 ) x+y x'+y' ln(x2 +y2)

' r

4y2fi+2.y2 -*2-+*2-+y2 .fi+ 4y2f,'+2y2-X2+x2+y2 2y2 . . y=-?y'--tn(*, ln ( x2+ +y, f, ' + . ;2y2 - x"2y2 y 2)) x' *!' (x' +y')' +y"

.||

4f,"+ + 2Îr =? ln(t) 41.,*afi-*2[,

| .l-' .t-

2t2 2tf + f,7, == tint 2t2 f,'+ jednadina) t lnt (o[lerova (Ojlerova diferencijalna diferencijalna jednaina) 7;+ z6;+

''

'Jt'

Îi t 1

t/ t2

=Ztn,,, t '' t

t=e', t=e.',.s=lnt,t)0, s=lnt, t>0, fifi=e-'f!,fi=e-2'(fi-f!) =e-Sfs, f,=é 2s(fs-fs) (f"2e2s 2e2'.r-"(fi-f!)+2e'e-"fi+./,=sr' e-25, f')+2es ' f'+ f = ses s s

c

s

2f:+ fs == se' 2f:*./, rr'


Diferencijalne D ifere ncii alne .ie jednaeine vikg reda dnaCine vi Ie R re da

180

.

" f" =o 2fr+f,=0 2f!+

i 2r2+1=0gr1= r2-2r2 + I =0 e r, =h,, ,, =-#i

42

e"i' =cosi+isrri, cos-+i sin-- R"{e','l=ror#, I.{r','I= ri, s

er,s

"',"

= -

'

s

=

s

42

42

R

I,,, {er's

42

}

=sin

s

42J-L

-tt

fh = cl cos s + c2 sin s ln=ctcos7Vs+czsmtr-2s

'

f =ses 2f:'+ 2fi+f=se'

e

ses [P (s) cos $+Q,(s)sin filr + Qm (s) sin fú] se' = e^fPn(s)cos fls)>

a =1,1, ßI =0, Pn(s)= s a= =0, Ph(s)=s

a+ß=1r=0, k=1 d+fr-1>r=0,k=l fp ==(As+ B)e' = (As +A+B)es, fp =(As*2A+ = (As +2A+B)es A+ n)e', fi B)r', fp (As +B)es, fo fi =(As+ 2As+4A+2B+As+B=s B=g 2As+4A+28+As+B=s A=3, = O=1, B=-* f', ro

s

g)es _(li =r!,-f,r'

t ss+c2sins+(3s-9)es 4 I1 s + (7.t1 s 4. + z sin -

1

( s) = c cosfr ff(s)=c r 42

Í

c

6)e' rL. =C1COS( ln(x2+y2))+c2sin(! +y2 ). +y2 ))+crsidfrm{oz 4f ln((x+))+(lln(x+-+y2). 2 +y22 ))+(!mr*' *y'l-tx*' f =c1cos1Sh(x2 3 9 10. 10.

Nati tri koja zadovoljava puta diferencijabilnu zadovoljava diferencijalnu Naii tri puta diferencijabilnu funkciju funkciju f.f == f(xy) /(xy) koja jednatinu U jednainu x3

a3

f + xy a f + 2y af 8f == x2y2 za x>0 ii y >>0. O. x2y2,zL 2

,

axa ay #.*#+U$-V axas

xy=t, ff =f(t) D=t,

a =Îi't ti. =xfi fi, gl != z

dy

t'" =

x.

t

+ x. fi. = 7i +x'fi"'y ' axay dr.dy

-fr

x

,fi

,:=y.f; á=f¡'tti =y'f; ,#=y.fi.y,#=f {=r; axe =yf,"'y, =y?'f, °

x3y3 f,'+ xy.(xy. fi+ f,"+f,)+2yxf,'-8Jt x2y2 x'y;f,"+xy(xy fl+2yx.fi-8f, ==x2y2 jednadina) t; (ojlerova diferencijalna f, == t2 t3 f,"+ st' f; t2 (Ojlerova diferencijalna jednacina) 7,'+ t2 f,"+ 7i+ 3t fi - 88f,

t=ez z=1nt 7=pz 1z=lnt f, e-3'3Z(fZ"-3f"+2fí) fi =e = e-'`f', f!, f,"=e-2z(f-"fi = r'2' ( fi - f), fi= fi- 3 f! + z 7i 1 e3'e-3'1g3fi++2f_')+e2ze-2( 2f!)+ e2'u-" (f!- f')+3e`é e ;`(.f 3fz `f'-8f f!)+ 3e'e-'f!-8f,

f

8f_ =e2z f!-zf!++i!-8f,=e2'

°e

f.

1

=

e2z

""


Difere nc i i alne .jjednacine e dnaiine viseg viie g reda Difereneijalne

181

. f"-2f,"+4f-'-8f =0 f:*2f:+4f:-8f-=0 r; -2r2 =2i r;r,=-2i =-2i ,3 +4r-8=0 - (r-2)(r2 +4)=0 * rt=2, -2r2+4r-8=0 (r-2)(r2+4)=0 =2, r212=2i, e2iZ e2i' =cos2z+isin2z, RF{e2i` R"{r''' }=cos2z, Ir{r'" }=sin2z }=rinz, }=ror2r, Im{e2i ,

I

fh * c3 + cc22 cos sin 2z cos 2z + c, sin2z = c F2' * frn =cte2Z {I

.

2z f"-2f"+4f'8f =e f:-2f:+4fl -8f. =s2'

I

e2` =r*lP,(z)cospz+Q,,(z)sinpzl ,2' =e`2 [Pm (z)cos,ßz+Q(z)sin

a+ßi=2r=1, a+ Bi=2)r=1, k=m=0

I

P^(21=1 ) a=2, e-2, ß=0, f =0, Pm(Z)=1

fzi, Ae2Z + 2Aze2z + 2Az)e2' fZt, = Ae2' 2Az)e2Z Ass2',, fiu 2Aze2' = 1 A+ frp = Aze2Z = (A

I

I

( 2A + 2A f,; ZA + 44Az)e2Z Az )e2' = 4 A + 4Az)e2` 4 Az)e2' = (4A fiu == (2A 1

ff:; =(4A+8A+8Az)e2Z =(12A+8Az)e2z 2A + I = A+ A+ = (4

8 Az

8

1e2'

(

I

Az 1e2'

I2A+8Az*8A-8Az+4A+8Az-8Az= I 12A+8Az-8A-8Az+4A+8Az-8Az=1

=

I88

A= 8A= I + A=! 8A=1

f^12: fp =8ze.2z =-rO -" rzp g

ff,

c F2' +c2 * c 2 cos2z+c3 cos 2z + c 7 sin zez= =cte2c 2z++ !- ze2` sin2z =

''8

8

l=e=, z=lnt, t=l:y. t=ez, t=xy, e'=x!, eZ =xy, z=lnxy Z-tnt)

f =, = ctx2y2 c2 cos(21n Ay)+css sin(2 sin(2ln cos(2ln ry)+ tn y ) + (_y)2 In ry t12y2 + c2 '' tn Ay ^y1+11 8'.^712 A

c

..

jednadinu 11. y(x) resiti 11. Prelaskom inverznu funkciju Prelaskom na na inverznu funkciju funkcije funkcije y == y(x) re5iti diferencijalnu diferencijalnu jednacinu y3 y'y* - 3y3 (y')' -3yz(y')2 y2 11 +3lny)05 +8x(y')5 y3y,.Y"-3y3(y")2 y" -7y(.>')4 \x(y')s == 60 .. + 3lny)(y')s + - 3y' (y')t y' -7y(y')l + y2(1

xx' , = I1 y, =-I;f Y Y =7, M

,

Y

;

=

3

x

;

")2 ,, 3x 3(x')2 x' . ,t =-AF= x X EV n.

, Y Y

1l, x" 2?,, X" 1 I 3(x")2 - 1I,+y ynt,y!:+a.r-l=0 y,t,rt(*r)r' y (I+31ny) +8x _=0 *''"*t ,4-3y" 3(x")2 7y i,-3f€t-+3yr-!" -"r'f ' xx (x (xf) -y, xx (x (x')* (x')u (x')' (tt')' (x')" (x')' ) (x (x ) (x ) (x 6f) jednadina) y3 y2 (Ojlerova y3x"-3y2x"+7yx y) = y2(1 +31n diferencijalna jednaina) x' - 3y2 x' +7yx' -8x dil'erencijalna 8x I + 3lny) - = t=lny y=9t y=e' )t=lny 3

3

2

1

)_

(

Primetimo da je zbog oblasti definisanosti diferencijalne diferencijalne jednacine iednadine yy >> 00 .. .

x

-r .

"

"

.

" t xx' = =ee-' xl, xx' ==e2=ee-2' ((x,-x,), xl - xl 1, xx' = e-3' (x,-3x,+2x,) 1 xi - s xi + z xi 1 i

n.

?i

n.

21 rx 8x, -e2j e3iP (x, r'i';'(x"-3x"+2x *7 - 3 xir + 2 xir)x)+7éé + 7 e' e-' xir -8x r + 3 t )I 3 e2' r-2' (xr*7" - *; - 12' ( 1+3t 1 - 3e2'e r 1 "t' x7-64+ xi I 2 xi -8x, 3t + I ) . e2' ezt - A xi + 124 - 8 x, =_ ((3t+1) 1

1

r-

1

I

i,, PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor

I

182 t82

Diferencijalne Diferenciialne jednacine vile s reda iednaiine vi.feg

lzxi -8x, xi-axi ++124 4-6x; -8x, =0 =g

-6r2+12r-8=0 ,jr3 -612 +l2r-8=0 ) (r-2)3 =Ort=r2=1-;=2 =0)rt-t2=rr=) xh =Cte21 xh =ct,e2t

+crtuz' +c3t2e2' +c{2e2' +c2te2'

+ t Zxi -8x, 4-64 xi- Axi +124 = 3t + ). - x, =(3t+1)e2i 8

(

I

ez'|

(3t + 1). 12' = eta [P,,,(t)cosßt+Q(t)sin,ßt] P^(t) = 3t + I /3=0, t +Qn1t1sin B tl ) a=2, e - 2, F (3t+1)e21 =0, Pm(t)=3t+1 "*fP^(t)cos B a+ Bi=2) r=3, k=m=1 k=m= I +3nf ]e2' +(4A+28)t3 +3Bt2 xxp=t3(At+81.e2' +Bti )e2', x'p=lZe/ =t;(At+B)e2i =1Alto =(At4+Bt3 =12At4+(4A+2B)t3 1.s2', xP l.e2' (16A+ +6& e2' = +6Bt 4p L4At4 + jl. e21 *; =lneta 4B)t3 +(12A+12B)t2 +(t2A+ t2ay2 +(16A+4B)t;

a+ßi=2r=3,

(72A+ 368)t2 ++(24A+36B)t+6B (24A+ 31ty + aB jl. e21 + (48A+ 8B)t3 + e2t x; L8At4 +(48A+8B)t; +(72A+36B)t2 *; ==laeta

-

j6B)t+68-24At4 + 6B 24A14 8At4 +(48A+88)ts + (72A + 36B)12 +(24A+ + (24A + 36B)t + (48A + 8B)t3 +(72A+368y2 SAta

--(96A+248)ti (96A + 24B)t3 -

+368f -8At4 +(48A+248)t3 +36Bt2 -(72A+72B)t2 =3t+1 -36Bt+24At4 +(48A+24B)C; -(72A+728)t2 -368t+24At4 -BA,ta -8Bt3 -ant3 =3t+l

24At+68=3t+l=A=*,r=t 24At+6B=3t+1 A=- B=6 B=6

e2r

*o =1!-ro *l-rt ).r'' xp=(8t4+6t3) (c 1 +C2t+C;t2+814+ * c2t * c 7t2 * x=xh +xp ,r =.r, -F x,, = * 6t;)e2i l. = (CI "''

lro frt

x(y) =(ct y). y2. y2 . + c2 lny * c 7 ln2 tn' y+= (c 1 +c2lny+c? t + ln4 y+* 6ln'3 y)

f,no,

lnt

{


Zbirka Resenih Zadataka Iz Matematicke Analize I - FTN

Recommend Documents