TORZIJA - Radna verzija
Elastična teorija torzije štapova konstantnog poprečnog preseka je razvijena u naučnim tekstovima, najviše od strane Timošenka i Trahaira, no u daljem tekstu neće biti prikazivane teoretske osnove, već će se ukratko razmotriti torzija sa aspekta metalnih konstrukcija, sa posebnim naglaskom na grede I preseka. Pošto se kao što je već rečeno radi o elastičnoj teoriji, važi princip superpozicije sa ostalim uticajima u elementu. Teorijske osnove se sem u Timošenkovoj knjizi "Teorija elastičnosti" koja je svojevremeno prevedena na srpski jezik mogu veoma detaljno i lepo izložene pronaći i u knjizi profesora Vlatka Brčića "Otpornost materijala".
2.1 Sent Venanova torzija Ako se jedna greda optereti jednakim momentima torzije suprotnog smera delovanja, i ako su krajevi slobodni da se krive u smislu vitopere van svoje ravni, onda će se u gredi javiti smičući
naponi koji će se odupreti momentu torzije i imaće raspored smičućih napona kao na što je prikazano na slici ispod.
Slika 1 - Sen Venanovi smičući naponi
1
Ovi naponi su direktno povezani sa deformacijama koje će se javiti od momenta torzije, a te
deformacije nazivamo uvrtanje, i tačku oko koga se ovo uvrtanje odvija zovemo centar smicanja. Ako se osmotre naponi smicanja sa slike gore, dobiće se jasna slika o razlici efektivnosti savladavanja torzije izmeću otvorenih i zatvorenih preseka. Kod zatvorenih profila, svi smičući naponi su istog smera, uvećavajući tako njihovo dejstvo, dok su kod otvorenih profila oni različitog smera na suprotnim stranama ploča i stoga mnogo manje efikasni u obezbećivanju torzione otpornosti preseka.
Poprečni presek punog ili šupljeg kružnog oblika će ostati ravan i posle uvrtanja kao rezultat jednakog obrtanja svih tačaka, dok to neće biti slučaj kod ostalih oblika preseka. Ovo zavisi od oblika poprečnog preseka. Puni preseci, i šuplji zatvoreni preseci će imati zanemarljivo malu deplanaciju. Kod L ili T profila je slična situacija. Međutim, kod otvorenih profila sa dve nožice, kao što je to I profil ili U profil, ova pojava je mnogo izraženija. U suštini deplanacija je efekat kontra rotacije flanši u svojim ravnima, kao što je predstavljeno na slici ispod.
Slika 2 - Pogled odozgo na I gredu izloženu ujednačenoj torziji Uvrtanje Promena ugla uvrtanja je data izrazom
φ' = T/GIT T ili MT - moment torzije ; G - modul klizanja ; It - St. Venanova torzijona konstanta ili torzioni moment inercije
Znači razlika u uglovima izmeću dva kraja grede je L MT/GIT. Izrazi za napone su dati sledećim formulama:
2
je debljina flanše ili nožice, zavisi gde se određuje određuje smičući napon. Sva tri izraza su ekvivalentna, a t je
2.2 Ograničena torzija ("Warping torsion") Kada je deplanacija preseka sprečena, pojaviće se dodatni smičući, ali i normalni naponi u preseku, i oni će delimično učestvovati u odupiranju torziji (opterećenju). Najjednostavniji način
da se ovo ilustruje je ako posmatramo gredu, istu onu sa slike 2, koja je ovog puta opterećena koncentričnim momentom torzije u sredini svoje dužine. Deformacije će u tom slučaju izgledati kao što je prenaglašeno prikazano na slici ispod.
Slika 2 - Pogled odozgo na I gredu izloženu momentu torzije u sredini Da su dve polovine grede razdvojene, leva polovina bi se deformisala kao na slici 2 , a desna isto tako samo u suprotnom smeru. Pomeranja usled deplanacije dve polovine bi bila ista na sredini
grede, ali suprotnih smerova. Međutim, pošto je greda neprekinu ta na tom mestu, deformacije su sprečene. Obe flanše su ograničene da se savijaju u osnovi i uvrtanje će imati različit priraštaj promene duž obe polovine. U bilo kojoj tački grede, torzija se prenosi delom Sent Venanovom torzijom (St Venanovim smičućim naponima), a delom ograničenom torzijom. Ovo je prema Evrokodovoj terminologiji izraženo kao (kl. 6.2.7) :
koefici jentima sigurnosti. gde se sufiks Ed odnosi na opterećenja pomnožena parcijalnim koeficijentima Kao i inače, raspodela ovih delova opterećenja vrši se prema krutostima elementa na svaku od ove dve vrste torzije. Ovo je matematički zapisano sledećim izrazom: 3
gde je pored izvoda ugla obrtanja i već pomenutih pomenutih veličina prisutan i sektorski sektorski moment iner cije ili sektorski centrifugalni moment (na eng. "warping constant") Iw . On je za simetrične I preseke približno jednak:
Formulisanje ugla obrtanja za promenjiv moment torzije duž grede, i za različite uslove oslanjanja je kompleksan zadatak, ali za širok spektar uobičajenih situacija određeni su algebarski izrazi. U Aneksu su dati dijagrami nastali iz ovih izraza kao najlakši način dolaska do potrebnih vrednosti. Naponi pri ograničenoj torziji Naponi pri ograničenoj torziji, bilo da su izazvani nejedna kim ili koncentrisanim momentom torzije ili ograničenjem deplanacije na krajevima, sastoje se od normalnih i tangencijalnih. Izrazi za normalne napone su dati sledećim izrazom, a na slici sli ci dole se vidi vi di njihom raspored po preseku.
Slika 3 - Raspored normalnih i smič ućíh napona u I preseku usled ograničene torzije
4
Sw je sektorski statički moment i ovde je obeležen indeksom 1, što je davno usvojena
nomenklatura ključnih tačaka preseka, koja nije nastavljena u Evrokodu. Tačke 0 i 1 označavaju redom vrh nožice i mesto susreta rebra i nožice. U praksi, smičući naponi su dovoljno mali da se mogu zanemariti. Što se tiče normalnih napona, pošto je retko slučaj da se torzija javlja kao jedini uticaj u elementu, radi lakšeg formulisanja uslova zajedničkog delovanja torzije i savijanja, rađe se koristi torzioni moment u flanšama nego normalni napon. Vrednost ovog momenta data je sa:
Kod dvostruko simetričnih I preseka, može se zapisati i kao
gde je I f moment inercije nožice, i približno jednak po lovini momenta inercije preseka.
Uprošćeno se radi preliminarne ručne analize ograničena torzija može izračunati zanemarujući Sent Venanovu torziju. Tako posmatrajući, torzija se prima dvema silama istog intenziteta a različitog smera koje deluju u flanšama i imaju intenzitet F =T / (h-tf). Moment ograničene torzije se onda dobija kao za prostu gredu Mw,Ed = = FL/4. Ovo je inače konzervativno pojednostavljenje, ali se za dugačke grede može pokazati prekonzervativno.
2.3 Relativni odnos ograničene i Sent Venanove torzije Ako se gore pomenuti izraz za ukupnu torziju drugačije zapiše, dobija se
gde je
Parametar a je poznat kao torziona savojna konstanta i ima dimenziju dužine. On je indikator
brzine kojom se efekti ograničene torzije ublažavaju i nestaju.
5
Slike dole prikazuju varijaciju Sent Venanovog torzionog momenta za tri vrednosti L/a, a za slučaj
grede sa koncentričnim momentom u sredini koju posmatramo kroz prethodnih par strana. U svakom od ovih slučajeva, moment ograničene torzije je jednak razlici ukupne torzi je i Sent Venanove torzije. Kriva L/a=1 predstavlja relativno kratku gredu, kod koje se većina torzije prenosi ograničenom torzijom. Kriva L/a=10 predstavlja dugu gredu, kod koje će se većina torzije preneti Sent Venanovom torzijom. Na slici dole se vidi iznos momenta ograničene torzije kod greda različitog odnosa L/a. L/a. Kada je
ovaj mali (1) vidi se da je moment približno jednak FL/4, dok je za dugu gredu moment približno jednak 20% ovog izraza i teži vrednosti FL/a. FL/a.
Slika 4 - Raspored normalnih i smič ućíh napona u I preseku usled ograničene torzije
6
Tabela 1 - Raspored normalnih i smič ućíh napona u I preseku usled ograničene torzije
Iz gore navedenog vidi se da će relativni uticaj ograničene torzije zavisiti od parametra a, koji zavisi od oblika poprečnog preseka. Kao gruba ali pregledna smernica data je tabela iznad u kojoj su označeni uticaji ove dve vrste torzije u savlađivanju spoljnog torzionog opterećenja. Takođe treba da zapamtiti da što je kraća greda, veći je uticaj ograničene torzije, i obrnuto (jer je L/a manje).
2.4 CENTAR SMICANJA Na slici ispod prikazan je položaj centra smicanja za karakteristične preseke u metalnim konstrukcijama. Torzija najčeđće nastaje kada je element opterećen ekscentrično u odnosu na svoj centar smicanja. Najčešće, centar smicanja se poklapa sa težištem, pa torziju razmatramo ako opterećenje ne deluje u težištu preseka, ali kao što se vidi sa slike, centar smi canja se ne poklapa sa težištem kod svih uobičajenih preseka. Ako presek ima osu simetrije, centar smicanja će se nalaziti na ovoj osi. Dalje, moment torzije će biti jednak opterećenju pomnoženom upravnom rastojanju između centra smicanja i pravca vektora opterećenja. Takođe je važno gde opterećenje deluje visinski u odnosu na ovu tačku (centar smicanja). Opterećenja koja deluju iznad su destabilišuća, dok su opterećenja koja deluju ispod stabilišuća.
7
smicanja za neke uobičajene uobičajene poprečne poprečne preseka preseka Slika 5 - položaj centra smicanja
8
Slika 6 - ugao torzije i njegovi izvodi po dužini konzole usvojenog I preseka
9
Slika 7 gore- normalni naponi u ekscentrično opterećenojj gredi opterećeno
odvojeno i njihova suma dole - smičući naponi u gredi usled savijanja i deplanacije
10
2.5 Postizanje ukrućenja na osloncima za ograničenu torziju Poboljšanje krutosti na deplanaciju bi, bar u teoriji, moglo biti poboljšano postizanjem uklještenja za ovaj uticaj na osloncima. Ipak, većina veza sa zavrtnjevima, čak i one dizajnirane tako da prenesu moment savijanja nisu sposobne da obezbede dovoljnu krutost na deplanaciju. Da bi se
ovo obezbedilo potrebno je onemogućiti na osloncu relativno pomeranje flanši, bilo vezivanjem jedne za drugu, bilo vezivanjem obe obe za neki krut oslonac. Ovo je u praksi teško postići. Veze koje obezbeđuju ovakvu krutost prikazane su na slici ispod. Zbog komplikovane izrade, pa samim tim i cene, ove veze se retkko, ako ikad, ovakve izvode u "normalnim" konstrukcijama. Ipak, u praksi kor išćene veze sa čeonom pločom sprečavaju donekle rotaciju preseka u svojoj
ravni. Stoga su krajevi niti slobodni niti im je sprečena deformacija, već negde između. Međutim, zbog dodatnih komplikacija, kao i zbog gotovo nemogućnosti da se stepen ovog uklješt enja proceni u svakoj vezi, čine potragu za elastičnim uklještenjem za deplanaciju neprimamljivom. Izbor se stoga svodi na sve ili ništa, a siguran izbor je ništa (slobodni krajevi).
Slika 8: gore - veze sa čeonom pločom koje mogu mogu preneti torziju (ploča (ploča
mora biti celom visinom, po mogućnosti prepuštena)
dole- veze koje predstavljaju ukrućenje ukrućenje za ograničenu torziju
11
2.6 Dimenzionisanje U profila Kao što je prikazano u tabeli ranije u tekstu, U profili su jednako kao i I profili torziono fleksibilni, i torziju primaju kombinacijom Sent Venanove i ograničene torzije. Međutim, zbog asimetrije oko z ose, verovatnije je pojaav torzije kod ovih profila. Drugim rečima, centar torzije i težište ne leže na istoj vertikali, pa se usled vertikalnog opterećenja koje deluje na gornju flanšu ili čak i na rebro, javlja i torzija. Da se ne bi javila torzija od vertikalnog opterećenja, U profil mora biti opterećen u liniji svog centra smicanja. Pri takvom opterećenju javlja se samo savijanje, a tok smičućih napona je predstavljen na slici ispod. ispod.
Slika 9: levo - rotacija U preseka oko centra smicanja desno - smičući naponi u U preseku opterećenog opterećenog vertikalnom silom u centru centru smicanja
12
13
ANEKS 1 :POLOŽAJ CENTRA SMICANJA I FORMULE ZA Iw ZA NEKE POPREČNE PRESEKE
14
ANEKS 2 : DIJAGRAMI REŠENJA ZA φ I NJEGOVE IZVODE (statički sistem i opter. su dati na grafiku)
15
16
17
18
19
