FTN - Zbirka Zadataka Iz Teorije Redova

i

Nevenka Adžić

Zbirka zadataka iz Teorije redova

Novi Sad, 2011.

Naziv udžbenika: Zbirka zadataka iz Teorije redova Autor: dr Nevenka Adžić, redovni profesor Fakulteta tehničkih. nauka u Novorn Sadu

Izdavač: Centar za matematiku i statistiku Fakulteta tehničkih nauka u Novom Sadu

A u to r zad rža va sva p rava: B e ž p ism e n e sa g la sn osti a u to ra n ije d o z v o lje n o re p ro d u k o v a n je (fo to k o p ir a n je , fo to g r a fisa n je , m a g n etn i u pis ili u m n ožav an je na b ilo k o ji n a č in ) ili p o n o v n o o b ja v ljiv a n je sa d rža ja (u celin i ili d e lo v im a ) 6ve k n jig e.

Sadržaj 1 B r o jn i re d o v i 5 1.1 Osnovni p o jm o v i ...................................................................................... 5 1.2 Redovi ss. pozitivnim članovim a............................................................. 8 1.3

Alternativni r e d o v i................................................................................

12

2

R e d o v i fu n k cija 2.1 Osnovni p o jm o v i ................................................................................... 2.2 Stepeni red ov i......................................................................................... 2.3 Razvoj funlccije u r e d ................................................... 2.4 Sumiranje r e d o v a .............................................................................•• •

14 14 15 19 21

3

P ro v e re zn an ja I d e o 3.1 Provera znanja iz Teorije 3.2 Provera znanja iz Teorije 3.3 Provera znanja iz Teorije 3.4 Provera znanja iz Teorije 3.5 Provera znanja iz Teorije 3.6 Provera znanja iz Teorije

redova I deo redova I deo redova I deo redova I deo redova I deo redova Ideo

......................................... .......................................... .......................................... .......................................... .......................................... . . ...................................

24 24 25 26 27 28 29

P ro v e re zn an ja II 4.1 Provera znanja 4.2 Provera znanja 4.3 Provera znanja 4.4 Provera znanja 4.5 Provera znanja 4.6 Provera znanja

redova II deo redova II deo redova II deo redova II deo redova II deo redova II deo

......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ......................................... 6 .........................................

30 30 31 32 33 34 35

............................................................ ............................................................ ............................................................ . . ...................................................... ............................................................ . ......................................................... ............................................................ ............................................................

36 36 37 38 39 40 41 42 43

4

5

6

deo iz Teorije iz Teorije iz Teorije iz Teorije iz Teorije iz Teorije

Z a d a ci sa k o lo k v iju m a 5.1 Kolokvijum iz Teorije redova 1 5.2 Kolokvijum iz Teorije redova 2 5.3 Kolokvijum iz Teorije redova 3 5.4 Kolokvijum iz Teorije redova 4 5.5 Kolokvijum iz Teorije redova 5 5.6 Kolokvijum iz Teorije redova 6 5.7 Kolokvijum iz Teorije redova 7 5.8 Kolokvijum iz Teorije redova 8 Z a đ a ci sa p ism en ih isp ita 6.1 Pismeni iz Teorije redova 1 6.2 Pismeni iz Teorije redova 2

—1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6

-

1 2 3 4 5

44 ................................................... ... ■ • • 44 .................................................................. 45

I)

4

SADRŽAJ

5

1

Brojni redovi

1.1

Osnovni pojmovi napisati i izračunati peti član reda i treći član niza parcijalnih suma. Rešenje:
$2

°° „ _ o --------

2 .)Z a red

n=l

— flo + Gi + ° 2 = sin 0 + sin^ + sin ir = 0 + 1 + 0 = 1. napisati i izračunati deseti član reda i peti član niza

71

parcijalnih suma.

r

OO

]T ) i _ i l —

i)z a r e d

napisati i izračunati sedmi član reda i četvrti član

n=l

niza parcijalnih suma.

2n 2

4 .J Za red

napisati i izračunati treći član reda i drugi član niza

n=3

parcijalnih suma. . jza red

^

-L H -

suma. Rešenje: s0 = l ,

Si = 1 — | = 5 ,

6 kared V ' -— C 7 n=0 + l nih suma. j j j Z a red

napisati i izračunati prva tri člana niza parcijalnih

n=0 n

^

s 2 = 1 - 5 + 5 = io-

napisati i izračunati prvih pet članova niza parcijal-

2n^~~2

napisafci 1 izračunati prva 6etiri elana

Parcii al*

n=2

nih suma. ( J ) Za red suma.

^ n

napisati i izračunati prva tri člana niza parcijalnih

n=l

(jT )pokazati da red

cos ^

divergira.

n=0

Rešenje: J 717T Kako lim an = lim coS — ne postoji, to dati red divergira. n—»oo

n —*00

0

6

1

10., Pokazati da red

] P (—1) V

B R O JN IR ED O VI

divergira.

71=0 oo

11. Pokazati da red

sin

divergira.

n= oo

12. Pokazati da red

] (—l ) n

divergira.

n=0

n2

~ 13.

Pokazati da red

^

divergira.

n=0

Rešenje: Kak° rv^oo 0,1 ~ niSSo 5n2 _ 2n = E ^ 0’ t0 datl ^ 14. Pokazati da red

n+ 2 --------4 — 2n n=3 }

OO

15. Pokazati da red

divergira.

n 3 — 3n

divergira.

n »l 00

16. Pokazati da red

1 £ H 17.

divergira.

) '

Određiti opšti član reda i sumu reda ako ie s„ = - 2_ n+1

Rešenje: a n = &n

Sn—1

Tt — 1

n+ 1

s = lim sn = lim — n-*co

18.

n—*00 n + 1

n

n( n+l ) ‘

= lim —

n-*oo 1 + A

= 1.

Odrediti treći član niza parcijalnih suma, opšti član reda i sumu reda ako

19. Odrediti peti član reda i sumu reda ako je sn ■ 20. Odrediti opšti član reda i sumu reda ako je sn

21. Izračunati sumu reda n=0

on

.

2n 2 + 1 n2 —1 1 (n - l ) n ‘

1.1

■| 'fc'

Osnovni pojmovi

7

ReSenje: Radi se o geometriskom redu sag — —| pa je ” (-!)" ” / l\ n 1 2

to

2n

V

22. Izračunati sumu reda

1 - (-4) ^ n«»0

3'

2^ 3n ’

oo

23. Izračunati sumu reda

(~ i)n

^ 5n - l • n»0 ~

24. Izračunati sumu reda *

4n - l

2—t 5n+2 ’

n »0

8 •t

I

|

4

8

1

1.2 1.

BR O JN IR ED O VI

Redovi sa pozitivnim članovima Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda “ i V* 1 Vn3 + 2n ReSenje: •

T z k z ; < v b ’ a red H i ZJn ( q = 2 > x) konvergira pa i red n-v/n n=l v "

1

E %/n5 + 2n konvergira. 2.

Pomoću uporednog kriterijuma I vrste .ispitati konvergenciju reda " . 2n - 1

E 3n + 5 ‘

n=0

3.

Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda ~ 2n — 5

E Vn7 + n 4

n=*0

4. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda 00 i V ------ 1 n (0 .n .

5.

Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda OO

E Vn3 — 2n

zT, n=2

Rešenje:

n n , v—^ 1 . . > - 7==, a red > v n 3 - 2n Vn3 ^ Vn V n 3 + 2n

6.

.

-=

(a

= *

< 1) đivergira pa i zad

divergira.

Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispjtati konvergenciju reda 3n + 1 2n —2 ’ n=2

E

7. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda . 2n + 5

V™7 ~ n“ ' 8. Pomoću uporednog kriterijuma I vrste ispitati konvergenciju reda n3n

E 2n — 1 ’

.

-

■

1.2

Redovi sa pozitivnim Slanovima

9. Pomoću uporednog kriterijuma II vrste ispitati konvergenciju reda 2n + l

— J i/n 4 — 3n Rešenje: 2n + 1 - ~ - ^ L = 2- i = , a red Y Vn3 - 3n 2 Vn5

- 7= divergira (a = 5 < 1) pa i dati -A

red divergira. 10. Pomoću uporednog kriterijuma II vrste ispitati konvergenciju reda 2n — y/n j " V n 5 + 3n 2 11. Pomoću uporednog kriterijuma II vrste ispitati konvergenciju reda — n 2 — 3n + 1 ^

12. Pomoću uporednog kriterijuma II vrste ispitati konvergenciju reda 2” + n n2 + 5" ’ n=l

0° ^ ^ 5^ n=l

13. Pomoću Dalamberovog kriterijuma pokazati da red

konver-

gira Rešenje:

lim £ «± 1 = lim M i-*-oo

an

n —+00

~

= 1 lim ( i + i ) = i < l . 5 n —>00 ^

n J

0

»n + 2 — r—

14. Pomoću Dalamberovog kriterijuma pokazati da red

n = l,

konver-

n'

gira. 15. PomoćuDalamberovogkriterijumapokazatidared

divergira. n=0

^ 16. Pomoću Dalamberovog kriterijuma pokazati da red

4n_1

2__, (n _ i ) 5n

konvergira. 17. Pomoću Košijevog korenskog kriterijuma pokazati da red divergira.

00 n „223n

2n

10

1

Rešenje: r\C9CKJC. „ / n 23n

V 2"

n -fo o

3 ..

2

/

/—\2

3

y

2

n - .o o v

^

B R O JN IR ED O VI

3

2

18. Pomoću Košijevog korenskbg kriterijuma pokazati da red

n 2n jP — n=l s

konvergira. °°

7j,23n

2_, ""^n

19. Pomoću Košijevog korenskog kriterijuma pokazati da red

n=l

divergira. 20. Pomoću Košijevog korenskog kriterijuma pokazati da red ^

( 1+ —]

71=1 '

divergira.

'

°°

■■ 21. Pomoću integralnog kriterijuma dokazati da red

1 —

konvergira.

n=i n

Rešenje: +°°

J X2 1

T

,

„ T

,

^

lim f - 1 = lim ( - - ) = lim + i ) = !• T—t+ca J X2 T -.+ 0O \ XJ T-*+oo \ T ) 1 1

22. Pomoćuintegralnogkriterijumadokazatidared

OO ^ —= -

korrv'ergira'.

OO oo ^ e-n 71=0

23. Pomoću integralnog kriterijuma dokazati da red

00

konvergira.

1

----- 3— “ in ln n n=2


konver-

gira.

00 1 — — divergira. i n ln n n=l

25. Pomoću integralnog kriterijuma pokazati da red > Rešenje:

f

I

dx

= / —:— , 7 xlnx 1

dx

lnx = t, — = dt pa je x

OO

I = j Q = lnt|g° = ln (+ oo) — InO = +00 — ( —00) = + 00.

1.2

11

Redovi sa pozitivnim članovima


^

2-t T i* = l

n+ 1 n2

2n


divergira.

divergira.

n»0 28. Pomoću integralnog kriterijuma dokazati da red

lnn

E n ln2 n

divergira.

12

1

1.3

B RO JN IRED O VI

Alternativni redovi

1. Dokazati da red

apsolutno konvergira. n=l

Rešenje: S obzirom da red

00 1

— konvergira jer je a = 2 > 1, to dati red apsolutno

'R'

n = li

konvergira. 2. Dokazati da red

jjP y A v.ts=5= = n_ j v n — 3n 2

3. Dolcazati da red

V ' ,, . ; .... : v n 2 + 2n

°°

4. Dokazati da red

apsolutno konvergira.

(_ ]\ n

apsolutno divergira.

°° (—l j n(n 2 + 5) 2 ^ 'n3\M + 4n 2 n=i

apsolutno konvergira.

*

(—l ) n

2_, ' 2n •

5. Ispitati apsolutnu konvergenciju reda

n = 0

Rešenje: (-l)n

°° -^n ^ - predstavlja geometrijski red sa q = |. 71=0 n=u Kako je 0 < q < 1, ovaj geometrijski red konvergira, pa dati red apsolutno konvergira. „

E n=0

2n

T .

.

,

,

..

,

^ ( - l ) nn > '— .


n=o

2

° ° t (—3)n 2n ’•

2_,


71=0

”


2_,

(—2)n

.

71=0 --

9.

/ _i\ n

Pol
^ uslovno konvergira.

^

n=0

Rešenje:

K a k o je a n+1< a n^

^

<

^

1

lim an = lim ------- - = 0, to p o Lajbnicovom kriterijumu dati ređ kon-

n —► oo

vergira.

n— +oc 2TI +

1

• 1.3

13

Alteraativni redovf

10. Pokazati da red V ' -— r=- uslovno konvergira. _ / 2)n 11. Pokazati da red V ' -— -— — - uslovno konvergira. (n - l ) 2- i 71=0 CO

/

iy i

—— uslovno konvergira.

12. Pokazati da red

n—O

lnn

2 RE D O V IFU N KC IJA

14

2

Redovi funkcija

2.1

Osnovni pojmovi OO

1. Dokazati da red funkcija

^

sm nx

uniformno konvergira za svako

n=1

x S R. ReSenje:

smnx

1 < —5-

^ V

A

konvergira pa po Vajerš trasovom kriterijumu

ns**l

dati red uniformno konvergira. 2. Dokazati da red funkcija

cosna; ^ n n=l 3 + 2n

uniformno konvergira za svako

S lll E —=

unifornmo konvergira za svako

x e R. T17TX

-----

„= o ^ + 5 i£ lR . 4.

Dokazati da red funkcija

V ' c ° s(n + 2)x + 1 n°

n = l'

uniformno konvergira

za svako x £ R . 5.

Pokazati da red V ^ cos n? . uniformno konvergira za svako fnr= 3l n V n - 2

1 nVn — 2 ny/n — 2 1 1 ^ — 7------- ~ — ■= A V ' — r— konvergira (a = | > 1) pa dati red nVn —2 nVn £?3 ny/n 2 uniformno konVergira (Vajerštrasov kriterijum). oo

6.

Pokazati da red V ' —z— — uniformno konvergira za svako x £ R . . n2 — 1 n=2

7.

Pokazati da-red >

8.

f_l )71COS^ 7V^X Pokazati da red > >— ---- rr uniformno konvergira za svako x e R . n=3 ( " 2)

^

\/| C0S?7T. — l)x |

. „-----

(n 2 — 4 ) 0 i

- uniformno konvergira za svako x G 3R.

2.2

15

Stepeni redovi

2.2

Stepeni redovi

1. Ako je lim i/|an|= 2, odrediti interval konvergencije reda n —+oo

oo

T

On(2a; - 1)” .

n-»0

Rešenje: S obzirom da je poluprečnik konvergencije datog reda R = “ 5 < 2x — 1 < 5 | < 2a: < | p a je /= (i,f).

to je

2. Ako je lim i(/|an|= A, odrediti interval konvergencije reda n-+oo

oo

^ a n(x + 5)n . n=0

3. Ako je lim ?j/|an|= 4, odrediti interval konvergencije reda n —»oo

E “ n (* - f ) " •

n=0

4. Ako je lim \/\an\= 1, odrediti interval konvergencije reda n—+oo

oo

T . On(3x + 1)” . n=0

5. A k o je

lim p + t 1 = h , šta je interval konvergencije reda

n—*oo I “ n l

*

f ) a n( x + l ) n ? n=0

Rešenje: S obzirom da je poluprečnik konvergencije datog reda R = 2, to je I = ( - 1 - 2 , - 1 + 2) = ( - 3 ,1 ) .

6. A k o je oo

lim F +11 = | , šta je interval konvergencije reda

n—+oo I a”

I

^ a n(3x + l ) n ? n= 0

7. A k o je

lim 1 ^ 1 = 2 , šta je interval konvergencije reda

n —+oo | 0ti I

E an( x - |)n ? n=0

8. A k o je J

lim

n—+oo I

OO

T n=0

an( 2x - %/2)n ?

=

, šta je interval konvergencije reda

2

16

9.

RE D O V IFU N KC IJA

Izvršiti naznačene operacije sa redovima OO

°°

'

z 2 ]T (n - i)®" - 5 ] T ( 2n + n=0

n=0

Rešenje: OO

OO

00

OO

x2 J 2 { n - l)xn - 5 ^ ( 2 n + l)xn = £ ( n “ 1)E”+2 “ I ] ( 10n + 5)1" = n=0

n=0

oo

n=0

oo

n=0 OO

= 5 ^ (f c -3 )g fe—y ^ (1 0 n + 5 )x ” - 5 - 1 5 x = ^ ( n - 3 - 1 0 n - 5 ) g " - 5 - 1 5 g = fc=2

n=2

oo

n=2

+ 8)1" - 5 - 1 5 x -

= n=2

10.

Izvršiti naznačene operacije sa redovima oo oo

2 ]P (3n - l)a;n 4* 3a; ^ n=l

11.

n x U '

n=2

Izvršiti naznačene operacije sa redovima °°

OO

{x - 1) Y ( n + 2) e " + x& 5 Z ( n + i) ^ " - 1 n=0

n=0

12. Izvršiti naznačene operacije sa redovima oo

«

oo

xn+l

n + 1'

71=3

n=0

13. Ako je

lim p i ± i

OO

n -to o [ ° "

I

= 1 , naći izvod reda *

V ' an{x - 1)"

i pomoću

n=0

D ’Alambertovog kriterijuma pokazati da je poluprečnik konvergencije dobijenog reda Ri = 2. Rešenje: / oo

\1

£ > „ ( * - l)n \ n«0

oo

nan{x — l )n_1

=

/

n=0

Poluprečnik konvergencije datog reda je R = 2, a poluprečnik konvergencije dobijenog reda je = ! ■ ! ? = 2. i?i = lim I7—o f “— I = lim 4 . lim 1 1

n—+oo Tn + l ) a n-n I

n—*00

n-+oo |a" + i

OO

14.

Ako je

lim

n~+oo ! a» .1

= 3

naći izvod reda

V ' an(2x H- 5)n i pomoću n=0

D ’Alambertovog kriterijuma pokazati da je poluprečnik konvergencije dobijenog reda i?i = |.

2.2

Stepeni redovi

17 I

I

_

W

— I t naći izvod reda

]T) an(x — |)n i pomoću

• D ’Alambertovog kriterijuma odrediti polupreenik i interval konvergencije dobijenog reda. OO

16.

A k oje

^

lim

>naći izvod reda

y ^ q n(x + \/3)n i pomoću n=l

D ’Alambertovog kriterijuma odrediti poluprečnik konvergencije dobijenog reda. OO

17.

Ako je

lim v/|an |= 2 , naći integral reda

n —+oo

‘— n —0

an(x + 2)ra i pomoću

Košijevog kriterijuma pokazatida je poluprečnik konvergencije dobijenog reda i?i = \ i odrediti interval konvergencije. Rešenje: Poluprečnik konvergencije datog reda je R = |.

/ Ea"(x+ 2)ndx =E / an(x + 2)ndx ~ E

J n -0

Z =ioJ

—=

t= o

n + 1

= E ^ T ( - + 2r +1n=0

£

= n]i “

^

- «1^ v f e r = s - f = i Pa

Ri = R = Interval konvergencije je I = ( —2 —

—2 + |) = ( —|, —|). OO

18.

A k oje

lim i/|an|= | , naći integral reda

71—kOO

°

an( x —'5 )n i pomoću

*■" ^ 71=0

Košijevog kriterijuma odrediti poluprečnik konvergencije dobijenog reda. .

19.

OO

Ako je

lim v/lan| = t/ 5 , naći integral reda

n —+oo v

T "' an(x + 2\/5)n

* n=l

'

*

i

pomoću Košijevog kriterijuma odrediti poluprečnik konvergencije dobijenog reda. oo

20.

lim v/|an|= 1 , naći integral reda

A k oje

n —►oo

V ' n a „ ( x + l ) n ipom oću

/■■..■J n=0

Košijevog kriterijuma odrediti interval konvergencije dobijenog reda. 21.

Izvršiti naznačene operacije sa redovima /

«=

E Vn= 0

\

'

* / /

/

- x /

OO

\

^ ( n + l)x n \n=0

dx.

)

1

18

2

ReSenje: / oo ' '

K ED O VIFU N K CIJA

/ OO

(I Z 21") “ * / ( 53(n + 3i)®B) đ x - Y ^ nx‘n 1_ x \n*0 oo

/

\n=0

oo

=

oo

- 52 s"+2 = n=l oo

/

n=0

n=l

fc= 2

fc=o

—52 kxk + 1+ 2x. fc=2 22. Izvršiti naznačene operacije sa redovima f

f

;

\ n= 0

£

Y

+

( * 2

+

/

2

)

E

(

n

-

l

K

.

n=0

23. Izvršiti naznačene operacije sa redovima

2xf52nxTl^ +J f5](n!!“

dx-

24. Izvršiti naznačene operacije sa redovima

n=0

^

\n=l

/

oo

+ l )xk - Y l xk =

a;n+1 = n=0 •

2.3

Razvoj funkđje u red

2.3

19

Razvoj funkcije u red

1. Razviti u stepeni red funkciju g(x) — e2x i odrediti za koje vrednosti x dobijeni razvoj važi. Rešenje: e2* _ f ' ( 2£ T

x e IR.

nl

n=0

2. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = sin f i odrediti za koje vrednosti x dobijeni razvoj važi. 3. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = ln (l+ 4 x ) i odrediti za koje vrednosti x dobijeni razvoj važi. 4. Razviti u stepeni red funkciju g(x) =

x dobijeni razvoj važi. 5.

—-

i odrediti za koje vrednosti

1 — 5X

Napisati Maclaurinov red za funkciju g(x) = co sx 2. Rešenje: ( - l ) n (x2)2n ž -'0 ( 2n)! ' '

g(x) = co sx 2

“ n=0

( _ l ) n x 4n

W

ieR.

6. Napisati Maclaurinov red za funkciju g(x) = ln j- j- — 7. Napisati Maclaurinov red za funkciju g(x) = - - - ■„ .

8. Napisati Maclaurinov red za funkciju g(x) = ex* + e- 1 *. 9.

Napisati Taylorov red za funkciju g(x) = ex u tački a = 1. Rešenje: Kako je p ^ ( x ) = e*. to je

1), n!

=

n=s=0

1>“

10. Napisati Taylorov red za funkćiju g(x) = sin x u tački a = f . 11. Napisati Taylorov ređ za funkciju g(x) = e2x u tački a = 3 . 12. Napisati Taylorov red za funkciju g(x) = cosx u tački a = n. 13. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = x 2 ln (l — 2x) i odediti za koje x dobijeni razvoj važi.

20

2

R E D O V IF U N K C IJA

Rešenje:

7i=l 2

x n2~i =l

2nXn

y ,

2nXn+ 2

n

“n = l

n

n=l

Eazvoj važi za|2x| < 1, tj. |*| < |. 14. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = -— — i odediti za koje x dobijeni 1— razvoj važi. 15. Razviti u stepeni red funkciju g(x) = x3e~x i odediti za koje x dobijeni razvoj važi. 16.

Razviti u stepeni red funkciju g(x) = x ln (l + x) — ----------- ------------- ------------- i o 1 4- x

x dobijeni razvoj važi.

21

Sumiraaje redova

2.4

2.4 1.

Sumiranje redova °° 2n 2 — 3n + 5 2 _ , ----------------- xn-

Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda

71=1

Rešenje:

p_ r a" _ r n - « a n+1

(n + l)(2n2 - 3 n + 5) _ n(2(n + l ) 2 —3(n + 1) + 5)

Kako za x — ± 1 dobijamO brojne redove kod kojih opšti član ne teži nuli, to zadati red konvergira za |rr| < 1.

xn = 2 X ) n x " - 3 £ > » + 5 £

£ n=l

. w

= 2a: ^

n=l

uu

na:” -1 — 3

oo w

--

n=l

^

=

n=l

^da: = J xn~1>

xn + 5 ^

da: s \7l=0

—2a: (1 —x)2

/

\7l=0

1 —a:

/

J

\fc=0

/

+ 3 —51n(l —x).

2.


3.


°° n 2 — n + 1

— —— -— xn.

00

4. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda

3 n l± 4

__i

— n 2 + 2n ^ n +1 n=0 oo

n2 _ n _ 2 '

5. Odrediti interval lconvergencije i naći sumu reda n=3

ReSenje:

R = lim - ^ - = lim (n + l ) 2 - n ~ 3 = 1 n-+oo a n+ i

n —+00

fiz — Tl — 2

Za x = ±1 dobijamo brojne redove koji apsolutno konvergiraju (ct = 2) pa zadati red konvergira za |x| < 1. „ , . 1 1 1 1 . 1 1 _ Kako Je n2 _ n _ 2 (n + l ) ( n - 2) 3 'n -2 3 ' n + l ,t0je

xn 71=3

1

n 2 —n — 2 — 3

xn n=3

n+ 1

l A in _ 3 n=3 + ;n - 2 _

2

22

n

n=3

1

+

—

=

[ (

'

3x

/

1

i .

\1 — x

' Ž

(

-

I n ( 1 -

X ) -

3x

ln(1

* >

-

1

X

3

6

/

^

3

. /

t

n~3dx —

j

3 n=3*' « ‘ -

e

J r

x2

ć .'

—

Y

1 _ /r*5 -

4

2) dx ■

x£

xndx ~

[

n==3

3 'C

|dx

X

- X -- F X

=

xn~2

E n —2 3 n=3

=

k=0

dx 1- x

-

II

3x

OO

X-2

I

Sn+1

0;

1

1

_

RE D OV IFU N KC IJA

”

X1 “

T

*

rZz'* —=-----r. n=3 n2 —4

E

7. Odrediti iiiterval konvergencije i naći sumu reda 71=0

8. Odrediti interval konvergeneije i naći sumu reda

^ n=2 oo


^ n=0

n 2 + 5n 4- 6 '

nx n2 — 1 ’ (n + (~ l)").-rn TJ.!

Rešenje:

R = lim n-+co

a „+ i

= .lim i”, + + 1)\ 4-.00 (n + 1 + ( — l ) n+ 1)n!

= iim (n + ( - 1); ^ ± f t = + oo 71rr»0O n + 1 + .(--l )n+1 Dakle, dati red konvergira za svako i 6 E . (n + (—l ) n)a:n ^ a:n ( - l ) ni n n! n!

E

X« - 1

(-x )n

oo

— »a;

t.

oo

—

« E £ ^ E“ '„T-E fe b +E n=1 x

'

n=0

=0

= xe + e"

n=0

10. Odrediti interval konvergencije i naći sumu reda ■ .

>

— “ tt *.

(n ~ 1)1


°°' / _ 2)n 2.n-2 Y ----- — ------ . *-—L n! n=2


“ (3n + (—2)n)xn } ------------ ;---------- . z—■' n!

n=0

2.4

23

Sumiraaje redova

o°

13.

Koristeći sumu reda sumU stepenog reda

a_

>

3

------- xn izračunati sumu

2n 2 — 3

reda n=l

2"

Rešenje: r, ,• an ,. (n + l) (n 2 - 3 ) R = l m r -------= lim —rr1— ' — rr = 1. n—oo an+i n-,oo n ((n + 1)-* — 3(n + 1)) Kako za x = ± 1 dobijamo brojne redove kod kojih opšti član ne teži nuli, to zadati red konvergira za jmj < 1. oo o o oo o° n V — - xn = V n r " - 3 V - = " n “ n n=l n=l n=l OU

= x

OU

p

n z ”-1 — 3

I xn~ldx =

—X

(1 —x)2

•31n(l — x).

Posmatrani brojni red đobijamo kada u zadati stepeni red uvrstimo x — pa je JČL 9n 2 — 3 —1 E - ^ r - = - 31n(x = - 2 + 31n2'

(l-l)2

14. Koristeći sumu reda sumu stepenog reda reda

'f '

^

„)

..

3n(n 2 - 1 )

15. Koristeći sumu reda sumu st'epenog reda

n=0

16.

Xn

} —z— - izračunati sumu *—i n~ — 1 n= 2

60 n + 1

-------- xn izračimati sumu

n •5n

Koristeći sumu reda sumu stepenog ređa

^ n=0

reda f n=0

(ILZ3^ .

n

3 ^

izračunati sumu

3

24

3

PROVERE ZNANJA I D E O

Provere znanja I deo

3.1

Provera znanja iz Teorije redova I deo - 1

1. Za red

2n + l

2 _ , ------- napisati četvrti član reda i polcazati da dati red n=2 n

divergira.

2. Za red

^

- izračunati treći člail niza parcijalnih suma i sumu

n=0

datog reda. 3. Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju reda

4. Pomoću Caychyevog kriterijuma pokazati da red

^

++

V '

■v/n — 3 / na — 1 divergira.

5n 2n

5. Pomoću Dalamberovog kriterijuma pokazati da red 2_, ^ -[- 1); konvergira.

6. Pokazati da red

°°

/ _i\ n

>

V

■;■ ,j

uslovno konvergira.

25

Provera zaanja iz Teorije redova I deo - 2

3.2

3.2

Provera znanja iz Teorije redova I deo - 2 OO

1.

Ako je

y > n = - 1, dokazati da ostatak posmatranog brojnog reda teži n=0

nuli. 2. Zared

E —— n=3

napisati drugi član niza parcijalnih suma i pokazati

^

da dati red divergira.

3. Za red

°°^ /_^\n V ' -— J —

izračunati treći član reda i sumu datog reda.

n=0

4.

Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju reda Vnfi — 5n2 + 1

E

n=2

5.

Pom oćuKošijevogkriterijum aispitatidalired

2_ , —

—

konvergira.

n=l 00

6.

Pomoću Dalamberovog kriterijuma ispitati da li red V ]

g n —1

" ■v: konver-

gira.

°° (—i)n 7. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda

j T g— -g. n= 0

26

3

3.3

PR O V E R E ZNANJA I D E O

Provera znanja iz Teorije redova I deo - 3 OO

1. Ako je n=0 teži nuli. 2. Za red

f ' (-!)" : +—/ 3n

izračuhati drugi člau reda i sumu datog reda.

n=0

2n - l

3. Ža red

h

l~ n

da dati red divergira. 4. Koristeći uporedni kriterijum ispitati lconvergenciju reda Vn3 — 5n 2 + 1 7^ 1=*2

n2 oo

jn + l

5. Pomoću ću Dalamberovog lcriterijuma ispitati da li red V ' ----------- konvergira

E 2n •n 5 ---------

n=l OO

7. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda

^ n=0

konver°ira

cn

/

^

•o

a

.

•

27


3.4

3.4 1.

Provera znanja iz Teorije redova I deo - 4 6„ = - 4 , dokazati da ostatak posmatranog brojnog reda teži

Ako je n=0

nuli. 2.

Za red

' P — — - napisati treći član niza parcijalnih suma i pokazati 2— " - 4n da dati red divergira. 71=3

3.

Za red

-1

' P -— — izračunati četvrti član reda i Sumu datog reda. 3n 3"

n=0

4. Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju reda v - ' Vn6 7 — 5n 3 + 1 2 -7

^4

71= 2

3" •n 3 ^ —

5. Pom oćuKošijevogkriterijum aispitatidalired

konvergira.

n=l

3n“

6. Pomoću Dalamberovog kriterijuma ispitati da li red n=l '

gira.


00^ /_i\n ]P 5n + 4 '

konver'*

28

3

3.5

PR O VER E ZNANJA I D E O

Provera znanja iz Teorije redova I deo — 5 OO

1. Ako je

^

bn = —1, dokazati da opšti član posmatranog brojnog reda

n=0

teži nuli.

2. Za red

^ n=o

■ -n•

izračunati treći član reda i sumu datog reda.

4

3. Za red

-— — napisati Četvrti član niza parcijalnik suma i poka1 -s- 3n n=s2 zati da dati red divergira.

4. Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju reda Vn5 — 5n 2 + 1

£• 2 3n + l

5.

Poriioću Dsdamberovog kriterijuma ispitati da li red gira.

6. Pomoću Košijevog kriterijuma ispitati da li red

E OO


------— konver-

^ ( n ~ 2)‘

E

3n ■n 5

7n

(~i)n _ 2n — 3 ’

konvergira.

29


3.6

3.6

Provera znanja iz Teorije redova I deo — 6 OO

1.

Ako je

^2, = —3, dokazati da ostatak posmatranog brojnog reda teži n=0

nuli. 2.

Zared

V ' ---- —

*—{ 1 — 3n

napisati drugi član niza parcijalnih suma i pokazati

n=l

da dati red divergira. (~ i)n

3. Za red n=0

2n

izračunati peti član reda i sumu datog reda.

4. Koristeći uporedni kriterijum ispitati konvergenciju reda f l . v/n 4 5 — 5n 2 + 1 n6

n—1

5.

PomoćuKošijevogkriterijumaispitati d a lired

°° jn . n3 2_ , — — ^

6. Pomoću Dalamberovog lcriterijuma ispitati da li red

4 n_1

^ ( n + 2)!

gira.


konvergira.

2 -> n=0

( - 1)" 4n + 5 ’

konver-

30

4

PR O V E R E ZNANJA I ID E O

4

Provere znamja II deo

4.1

Provera znanja iz Teorije redova II deo — 1

1. Fokazati da red

f

)

n«*l

s in (2 n a :)

n2 + 1

uniformno konvergira za svako x € R. | 3^ gn ' •

9*^^

2.

Ođrediti oblast konvergencije reda

2_, n«0

3.

Izvršiti naznačene operacije s redovima

2 y ^ ( n - l ) x " ~ 2- 5 y ^ ( 2—ri)xn n=3

4.

5.

n=»0

Razviti u red funkciju x2 ln (l + 4x) i odrediti za koje x dobijeni razvoj važi. Naći sumu reda

V ' — -----a :71 n

i n—1

\x\ < 1.

Provera znanja iz Teorije redova IT deo - 2

4.2

4.2

31

Provera znanja iz Teorjje redova II deo — 2

1. Ako je lim

O n +l

an

= 3 dokazati da je poluprečnik konvergencije izvoda anxn jednak

stepenog reda n=o

2. Pokazati da red

«

uniformno konvergira za svako x 6 R.

V ' n s *D^ n^ n3 + 3a;2

2a;4

3. Razviti u red funkciju f(x) = 1

+

i određiti za koje x dobijeni razvoj

f

vazi.

4. Naći sumu reda

~ ~ —~*ni

I1 ! < 1

32

4

4.3

PR O VER E ZNANJA U DEO


1. A k oje lim

On+l

= 3 dokazati da je poluprečnik konvergencije integrala

OO

stepenog reda JD o „ x ” jednak 3. n=0 oo

2

r r cos(3 nx) ..j ■• uniformno konvergira za svako x e

E

n=l

R. 3. Razviti u red funkciju f(x) —

3x“

1+ 1

i odfediti za koje x dobijeni razvoj

važi.4 4. Naći sumu reda

- — ^ —xn, n=l

|a:| < 1.

Provera znanja iz Teorije redova H deo - 4

4.4

4.4

33


1. Ako ie lim

On+1

n—*co

stepenog reda

= 4 dokazati da je poluprečnik konvergencije izvoda a7i£n jednalc

n=0

2.

Pokazati da red

V ' rcsm ^ns) n=l

n4 + 4x4

3.

Razviti u red funkciju / ( z ) =

4.

Naći sumu reda

oo

3x3 • ^ i odrediti za koje x dobijeni razvoj

^

V ' --------- xn, n=l

uniformno konvergira za svako x € R.

n

|cc| < 1.

34

4

4.5

PR O VER E ZNANJA IID E O

Provera znanja iz Teorije redova II deo - 5

1. A k oje lim

^n-fl


On

00 stepenog reda Y

jednak - .

n=o

2

suif2tw)

2. Pokazati da red

"g~-~g~~2"

uniformno konvergira za svako x 6 R.

Tl=l 3. Razviti u red fimkciju / ( s ) =

2 z2 - •••••g i odrediti za koje x dobijeni razvoj 1+ f

vazi. 4.

- — ^ —xn,

Naći sumu reda n*l

|x[ < 1.

0

Provera znanja iz Teorije redova H deo - 6

4.6

4.6

35

Provera znanja iz Teorije redova II deo - 6

1. A k oje lim

°n


On+l

00

stepenog rsda £

an£n jednak 2.

n »0

2. Pokazati da red

^

uniformno konvergira za svako x e R.

W g°S^

n=l

5x2 3. Razviti u red funkciju f(x) = —— i odrediti za koje x dobijeni ražvoj * "T*

4.

Naći sumu reda

^

^s n,

|a:| < 1.

/><

t

36

5

Z A D A C IS A K O L O K V U U M A

5

Zadaci sa kolokvijuma

5.1

Kolokvijum iz Teorije redova 1

1.

2n jT , gn _ 2 napisati peti čian reda, treći član niza parcijalnili n «l suma i pokazati da dati red divergira. Za red

2. Pomoću Dalamberovog kriterijuma ispitati da li red

3. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda oo

4. IzvrSiti naznačene operacije s redovima

5. Razviti u red funkciju f(x) = - - ^

ii

V '

~*~^a;n,

n.

. oo n=0

i odrediti za koje x dobijeni razvoj

•raži. 6. Naći sumu reda

f —i j «

-—

2 ^ ( n — l)a:n — 5 ^ ( 2 —n)a:n n «l

X

°°

>

--------konvergira.

n=2„ n — 1

|x| < 1.

5.2

37


5.2


1.

Za red

T ' - — — napisati šesti član reda, treći član niza parcijalnih n=l

suma i pokazati da dati red divergira.

0° 2.

Pomoću Caychyevog lcriterijuma pokazati da red

—

konvergira.

n=l

.. . 3. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda

^ (_ i)« / ;

OO

4. Izvršiti naznačene operacije s redovima

3

OO

n=1

5. Razviti u red funkciju f(x) —

(1 - n)xn

(n + l ) x n - 2

X2

.

n=0

.

.

_ ' g ” i odrediti za koje

.

.

.

.

x dobijeni razvoj

važi. 6. Naći sumu reda

° ° 'r— , 3 —2 n 2_, — ~— x >

, | ^ l1 ' ^

n=l

\

38

5

5.3

Z A D A C IS A KOLOKVIJUM A

Kolokvijum iz Teorije redova 3 °°^ / _n\n

1.

Za red

■■• ' • izračunati treći član reda i sumu datog reda. n—0

2. Za red

n —1 ^

naPisati treći član niza parcijalnih suma i pokazati

ns3 da dati red divergira. OO O 3. Pomoću Košijevog kriterijuma ispitati da li red V J — konvergira. n=2

4.

5.

6.

Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda

V '' (—l ) n > -— — . ' n+ 5 7 1= 0

Razviti u red funkciju f(x) = x2 ln (l — 2a;) + -— — i odrediti za koje x 1 —3i dobijeni razvoj važi. Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda

n

39

Kolokvijmn iz Teorije ređova 4

5.4

5.4

Kolokvijum iz Teorije redova 4 /

1.

Za red

l ) n

V "' -— — napisati peti 51an reda, treći član niza parcijalnih n=l

suma i odrediti sumu datog reda. 2.

_ Pomoću Košijevog kriterijum'a ispitat-i da li red

^ konvergira.

n«2

n! —

E

konver-

na*l

gira. 4. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda

5. Izvršiti naznačene operacije s redovima

(-i)n

2 ^T^(n — l)a:n —5 J ^ (2 —n )xn n «l

6.

^ nsO

n=0

Razviti u red funkciju x 2e2x i odrediti za koje x dobijeni razvoj važi.

7. Naći sumu reda

— •t + 2 --------- xn_1, n=l

n

|x| < 1.

40

5

5.5

Z A D A C IS A KOLOKVJJUMA


1. Za red

( _ i ) n2n n=o .

napisati treći član niza parcijalnih suma i izra-

d

čuuati sumu reda. 2. Ispitati da li red

------ -

konvergira pomoću

71=0

a) Košijevog kriterijuma b) Dalamberovog kriterijuma uniformno konvergiraza svako x e R.

3. Pokazati da red n=ssl

3x 2 4. Razviti u red funkciju f(x) = ........... i odrediti za koje x dobijeni razvoj 1 T" važi. oo

5. Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda

n(2x + l ) n. n=l

5.6

5.6 1.


41

Kolokvijum iz Teorije redova 6 Za red

^

n=0n

5" čunati suniu reda.

—

napisati drugi član niza parcijalnih suma i izra-

-

2.

Ispitati da li red

71 n=o

konvergira pomoću

2

a) Dalamberovog kriterijuma b) Košijevog kriterijuma 3. Pokazati da red

E°° Vn? cos(nx) n=l

x2 + n s

uniformno konvergira za svako x G

R. 4. Razviti u red funkciju / ( x ) = važi. 5.

2x3 i odrediti za koje x dobijeni razvoj l + 2x

Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda

OO ^ n ( 2 x - l ) n. n=0

5

42

5.7 1.

Z A D A C IS A K O L O K V U U M A

Kolokvijum iz Teorije redova 7 (2 b o d a )Z a r e d

°° / _2"\n 53

napisati treći član reda i izračunati sumu

n=0

reda. 2.

(3 b o d a ) Ispitati da li red

Vrfi - 2n + 3 2_^-------- 2--------

, konvergira

n=l 00

7T E 2^ 3

konvergira 4 5

•n »l

4. (4 b o d a ) Razviti u red funkciju f{x) = ^

i odrediti zak oje x dobijeni

razvoj važi. OO

5. (8 b o d a ) Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda

^ n=0

n ( 2 x + l) n.


5.8

5.8

43

Kolokvijum iz Teorije redova 8 (—3 )"

1. Za red

napisati drugi član reda i izračunati sumu reda.

n=0

2. Ispitati da li red

^

2n + 3

j50]1vergira

n=l

” 3. Ispitati da li red

4.

3"+ i -------

konvergira

2/ Razviti u red funkciju f(x) = - — — i odrediti za koje x dobijeni razvoj važi.

5.

Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda

^ n=Q

n(3x — 1)".

6

44

ZADACISA PISMENIHISPITA

6

Zadaci sa pismenih ispita

6.1

Pismeni iz Teorije redova 1

, 1. Ako je n-ta parcijalna suma ređ

A 2^, °n

^ . ( n - 3\" data izrazom sn = ( - I ,

odrediti treći član. reda, izračunati sumu datog reda i odrediti lim an. « —foo , , , 2. Ispitati da h red

3.

sinnn\/n3 + 3n2 > -------- 7=ž=5 -----vn “ 2

, konvergira

Razviti u red funkciju f{x) = (a: + l ) l n ( l - - ) , odrediti za koje x dobijeni , , . . razvoj važi i pomou dobijenog rezultata lzracunati

4.

Odreditioblastkonvergencijeinaćisumureda

2n - l 2__, n (n _ ^ ^n'

A

'l n* "1“ Zn T*

(3-'c-2)n.

6.2

6.2


45


1. Za red

" ^

(—2)n_1 ..napisati treći član niza parcijalnih suma, pokazati

n=0

na osnovu Košijevog i Dalamberovog kriterijuma da dati red konvergira i izračunati njegovu sumu. „ T -i. j v j 2. Ispitati da li red

V2, v'n 5 - 2n + 3 - 3n 2 > — ■ a......— ^ v n 8 — 5n6 + 5

konvergira

3. Eazviti u red funkciju f(x) = xs ln (l — 5x), odrediti za koje x dobijeni razvoj važi i pomou dobijenog rezultata izračunati

^ n»>i n

OO

4. Odrediti oblast konvergencije i naći sumu reda

“

n® 2

— ------ (2x + l ) n. n2 — 1

FTN - Zbirka Zadataka Iz Teorije Redova

Recommend Documents