sin2
Neka je /*, = f z (x + l)da; + xydy + xzdz, k = 1 ,2 ,3 ,4 . Cfc
a) ci ■.y = V T ^ , z = 0; đy = Jj = / X-\/l — 2 2
rfz = 0 ,
= f —x 2dx = — J 2 + 3 .
C2 : y = x , z = 2 — 2' / 2x 2 = 2 — 2 v/2x ; J 2 = / ((2 -
= dx, dz = —2 a/ 2
+ 1) + x 2 + x(2 - 2V,2 x )(-2 v /2 ))d x =
* / ((9 - 2 v ^ )x 2 + (2 - 6\/2)x + 2)dx = J = / z (x + l)d x + xydy + xzdz = Ji + J 2 = g C
b ) Ako je a = (z (x + l ) ,x y ,x z ) , onda je ro ta = (0 , x + 1 — z, y), pa posle zat'varanja krive c, krivima C3 i C4, imamo / a d f + / Sdr + / adr = / / rot a •HidSi + / / rot a ■n^dSic C3 C4 S1 1S2 C3 : x = 0, y
= 0; dx = 0,
dy = 0;
J 3 = 0.
C4 : y = 0, z
= 0; đy = 0,
dz = 0;
I4
= 0.
je deo ravni z = 0 , za x 2 + y2 < 1 , 0 < y < x , pa je n i = (0 , 0 , 1 ), f 1 _
4
S? je deo ravni y = x, za 0 < z < 2 — 2V 2a:, x > 0, pa je n? = -d~(l, —1 , 0), dS 2 = V2dxdz,
f f rot a •n^dS^ = f f —( x + l —z)dxdz = f dx S2
l)d ^ = —^
2-2V2x f (z —x —
0
D-2
0
- g.
/ = 1 _ aS J
6
3 '
4.
a ) / ( z ) = e1+i = e e i = e £
1
1
00
za |z| > 0.
71=0 oo
9 (z ) = s r j = £7ir-s7 = 5 E ( f ) " . z» If I < 1 . odnosno |z| < a. V
a'
71=0
Neka je J = f h(z)dz, gde je h(z) = f(z )g (z ). Razlikujemo dva slučaja : L
i) b < a. Onda je X = 2iri'R.esh(z). h{z) = f(z )g (z ) = f ( l + f + 2t r + 3i=r + - ) ( 1 + f + f1 + - ) , pa je R esh (z) = 1 ( 1 + 2^ + šifr + 4^ + ■■•) = e( f + 2S? + ŠK* + —) = e (e “ _ !)• X = 27rie(e« — 1) ii) b > a. Onda je X = 27ri(Res h(z) + Res h(z)). z= 0
R es/i(z) = lim[(z — a) ■
z= a
= —e1+».
X = 2 m (e1+i — e — e 1+ i ) = —27rei. b ) Razlikujemo dva slučaja: i) a [min{6, { } , m a x { 6, | }]. Onda je X = 0, jer funkcija unutar date oblasti nema singulariteta. ii) a <= [min{6, f } ,m a x { 6, £ }]. Onda je X = 2iviR es(f (z)g(z)) = —27rie1+«, jer a leži u datoj oblasti.
5
0 1 .0 4 .1 9 9 5 .
1 . Is p ita ti o b la st k o n v e rg e n cije i n aći su m u re d a
£
(n + 2)(x 2 — l ) n
2. D a to je v ek to rsk o p o lje a = (x 2y, 2x3, f( x ) z ) . a ) O d re d iti d ife re n c ija b iln u fu n k ciju / (x), x > 0, ta k o d a je (rot a ) ■(a + r) = div(a x r)
i
/ ( l ) = 1.
b ) Z a f ( x ) = x 2 iz ra ču n a ti rad p o lja a duž k riv e k o ja se d o b ija p resek o m površi x 2 + y 2 + z 2 = 4 i (x 2 + y 2)2 = 4 (x 2 — y 2), za. x , y ,z > 0 , o rije n tisa n e od ta č k e ( 2, 0, 0) k a ta č k i ( 0 , 0 , 2). 3. Iz ra č u n a ti p o v ršin sk i in te g ra l
//
xdzdy + 2yzdxdz —z 2dxdy,
gde j e S s p o lja š n ja s tr a n a ru b a o b la sti d a te sa x 2 + y 2 < 2x
i
x 2 + y2 < 2y,
z a 0 < z < y.
4 . P rim e n o m ra č u n a o sta ta k a iz ra ču n a ti 2 it
I
(1 + 2 c o s f) 5 cos3f 5 + 4 cos f
6
dt.
R e š e n je :
1. Red je definisan za x / oo
2
± 1 . Za takvo x uvodimo smenu
— t , pa
~
~
dobijamo red
antn. n=2
n —2
n » -3
Iz „ lim — = = n _lim , "tl - .o o o„+ 1 M
= 1, sledi da red konvergira za "itl < 1,’ odnosno 6
2
OO
kada je |rc| > y/2. Za a; = ± v 2 , dobijamo red
koji divergira, jer mu
7l=.£
opšti član teži beskonačnosti kada n teži beskonačnosti. Dakie red konvergira za x £ ( —oo, —7 2 ) U (v ^ .o o ), i u ovoj oblasti tražimo sumu reda. QO
S(t)
2
OO
= nE= 2
=n E =2
OO
5x(t) = t 3
E (n n=2 oo
OO
E n=2
„ ,„
oo
2
E n=2
(t” - 2)' = t3(
t
t
1
o
S (t) =
OO
i
n0 n = -9 2
)^s —
n
ln (x - 0 . |t| < 1 , t j.
“ 5 - 3 - t - F
1
n
+ V + * + ln I* — !))■
1 1
2 , 1
5(X ) _ (z 2 - l)(a :2 - 2)2 _ 3 ^ T _ * + 2 _
2 . a ) ro ta =
O
tn- 2)' = *3 ( j ^ ) ' =
J sn+1ds = p- f E Sn+1ds = ^ f - ^ d s
« —9 n
i? J ( s'2 + s + 1 +
.
OO
2)*» +n =E2 ^2 = 5i(t) + 5a(t).
-2)t» -» .= t 3
°0
(n -
i
j
k
d dx
a_ dy
8 Wž
x 2y
2x 3
/(z)z
/2
, 2 1 x2 — 2
^
x2- l ’
I > 72.
( 0 ,- /'( ® ) z ,5 a :2),
i 3 k (2z 3z - y z f ( x ) ,x z f ( x ) - x 2y z ,x 2y2 - 2 x 4), x 2y 2x 3 f ( x ) z x y z div(a x r) = 5x 2z — y z f'(x ), a + r = (x 2y + x ,2 x 3 + y, f ( x ) z + z), (ro ta ) ■(a + f ) = —(2x 3 + y )z f'(x ) + 5x2( f ( x ) z + z). a x f =
Tako dobijamo diferencijalnu jednačinu 5x 2 — y f'( x ) = —( 2 i 3 + y )f '(x ) + 5 x2( f ( x ) + 1 ), odnosno 2x 3f ( x ) = 5x 2f ( x ) , koja razdvaja promenljive i čije je rešenje f ( x ) = k x * . Iz / ( 1 ) = 1 dobijamo k = 1 i f ( x ) = 7 S 3b ) Ako zatvorimo krivu c krivom Cj koja je presek sfere x 2 + y2 + z 1 = 4 i
7
ravni y = 0, primenom Stoksove formule dobijamo
J
1Z =
adr =
JJ
c
rot a ■n d S — j a d f = X\ —T%. ci
S
ci : y = 0, x 2 + z 2 = 4; x 2 = 4 — z2, dy = 0;
o
I 2 = / x 2ydx + 2x 3dy + x 2zdz = / x 2zdz = / ( 4 — z2)zdz = —4, ci
ci
2
Površ 5 je deo sfere x 2 + j/2 + z 2 = 4 za (x 2 + y 2)2 < 4(a ;2 —j/2), x > 0 , 1/ > 0, ■ čiji je jedinični vektor normale n izabran tako da je usmeren na tu stranu sa koje gledano dobijena kontura se obilazi u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu, pa je n = z), = a/ 4 - x 2 - y 2, zx ro ta = (
___ ,,,***, y 4 —x 2 —y 2 ’ ^
r, d S =
x 2 —y 2 7
4—x2—y2
dxdy,
(x 2z) - £ ( 2x 3), | / x 2y) - ^ ( x 2z ), ^ ( 2x 3) - | ; ( x 2j/))
= (0 — 0 ,0 — 2 x z , 6x 2 — x 2) = (0, —2 x z , 5 x 2). I i = | / / (0, —2 x z , 5 x 2) •(x , j/, z )d S = \ / / ( —2 x y z + 5x 2z ) d S
s
s
% 2\/cos2v? = f f (5 x 2 — 2 x y )d x d y — f d(f f (5 p 2 cos 2 9 — 2p 2 sin
0
D
0
4
T
cos
4
= 20 / cos 2 v? cos 2 2 p dip — 4 f cos 2 2
0
0
4
-
+ 2 / cos 2 2y>(—2sin2) dip = 2 0 / cos 2 99(4cos 4 ip —4 c o s 2
0
0
f
f
= 80 / cos 6
0
0
f
0
d
f
+ ljd v 3 + 2 cos3 2y |' lo
= 8OJ1 — 8O/2 + 20/ 3 —
f
/ i = / /j(cos6t/? + 6cos4
= ^ (-g + f
+ f 77)-
8
OS|K3
0
f
4" |— I2 = J g(cos4^ + 4cos2) 4 = | ( 2 + o 10 h = J ^ ( l + co s2p )d p = | ( f + |).
0 __ 5ir _i_ 1—T H
8 3'
_
5 tt
* = T
20 + Y-
3. Posle zatvaranja površi S i primene formule Ostrogradskog dobijamo
2
= f f xdzdy + 2yzdxdz —z2dxdy = 1 \ —I i —Tz — J J J ( l + 2z —2z)dxdydz S
V
— J J xdzdy + 2yzdxdz — z2dxdy — J J xdzdy + 2yzdxdz — z2dxdy. Si S2 S\ deo ravni z = 0 za x 2 + y2 < 2x, x 2 + y2 < 2y, pa je dz = 0 i
22 = 0 , S 2 je deo ravni z = y za x 2 + y2 < 2x, x 2 + y2 < 2y, za koji je n2 = > ^ ( 0 , —1 , 1 ), zx = 0, zy = 1 , dS2 = V2dxdy I 3 = -75 J J ( - 2 yz - z 2)dS 2 = -75 J J ( ~ 2 y 2 - y2)s/2dxdy = - 2 > J J y 2dxdy, S2
D
D
gde je jD oblast u a>Oy ravni ograničena krivama p = 2 cos
)p2dpdip = / (2 - 4 z ) d x - / 5 (siny> 00 0 0 o o —2 cos dz = R ie'^dp. Kako je sin 0 =+ g—3/ismvj ^ imamo 7T sin v? = 0 V cos = 0 => )[ = — —2. 0 'o c2 : x 2 + y2 = 2y, z = 3 - x - y x 2 + (y - l ) 2 = 1, z = 3 - x - y => x = cos tp, y = 1 + sinv?, z = 2 — cos ip — sinv?; dx = —simpdip, dy — cos tpdip, dz = (sin —cos )J ^ = —§ —1 — f —1 — —7r —2. Na kraju smo dobili da je: 4. = č, —2 sin 2 0 . Primetimo i da je p(0) = 1, p {\ ) = 2 P(
1
>
4. Posmatraćemo integral = / /(z)
Ri ------
L
{z=- 2a*+ a'< -tW ' a L = L 1 U i 2
kontura data na slici.
\
i
Sa jedne strane je
X
Jednačina krive L\ je z = x , ]x| < R, te je J =
•4 o
*
-R
!=//(*)+//(*)■ Z-1 1-2
lim / f(z )d z baš integral
koii se traži. Kako je L^ '■z = iže**1, t G [0, xr], dz = R ieu dt, važi da je I f (i» - 2az<+ai + 6žF l - / I (R5e5‘<-2aHe-+aa+b:-)“ I * — / (^-ZM H-a'J-S^j4' “ -» 0 , za ii -» OO. Sa druge strane, kako je z2 — 2az -t- a2 + b2 = (z — (a + bi))(z — (a — 6i)), imamo: l = 2rri Res f ( z ) , za 6 > 0, 1 = 2 « z=a+bi
,
b > 0 : \p T —
Je 2
i
Res } ( z ) = f,‘ z —»a+oi l™ J ' (z-U -i>" w ) v
z = a -h b i
1
( —l i 4 5 -6 .7 . 8
_
35
„„
35
„„
= 4l (a+6i-a4t» F “ 2= ^ ’ pa
S5ir.
lžlF5’
b< 0 :
,
Res f ( z ) = ±
z = a —oi ; p J ----------»S tt
Je 1 ~
,
Res / ( z ) , za fe < 0,
z = a —6i
..
,
1
1
( - l ) 4 5 -6 .7 . 8
_
lim ( , _ (o1+nj?r)(4) = 4! ( l - ^ - a " - ^ ~ ~ 3 » 5 F ’ pa
‘ z —>a—oi '
'
12W
20
2 3 .0 9 .1 9 9 5 .
1 . Is p ita ti o b la st k o n v e rg e n cije i n a ći sum u re d a
n —1
itiw» t *i/Xn '
P o m o ću d o b ije n o g r e z u lta ta n a ć i su m u re d a n=l
2. D a to j e v e k to rsk o p o lje a = f ( c - r ) r , gd e j e c k o n sta n ta n v e k to r. a ) O đ re d iti d ife re n c ija b iln u fu n k c iju f ta k o d a je div(a) = div((grad f ( c - r)) x r) i / ( 1) = 2 . b ) Z a f ( c - r ) = 1 iz ra ču n a ti flu ks p o lja 3 k ro z s p o lja š n ju s tra n u d ela ru b a o b la sti { ( x ,y , z) : x 2+ y 2 <
12, x 2+ y 2 > 2%/2x, (x 2+ y 2)2 > 12(x 2- y 2), x ,y > 0}
z a 0 < z < x 2 + y 2 + 3. 3. Iz ra č u n a ti k riv o lin ijs k i in te g ra l
J
(x 2 + z)dx + (y2 + z)dy + (z + xy)dz,
C
gde je c k riv a -ra v n i z = -ra v n i y = -ra v n i z = a ) d ire k tn o ,
k o ja se d o b ija p re se k o m p a ra b o lo id a z = 4 — x 2 — y 2 i
0 za 0
u z im a ju ć i o r ije n t a c jju o d ta č k e (2 ,0 ,0 ) k a t a č k i (1 ,0 ,3 ). 4.
a ) O d re d iti a n a litič k u fu n k c iju f ( z ) ta k o d a je n je n im a g in a rn i deo fu n k c ija
i d a j e / ( 1 + 2i) = —i. b ) Z a ta k o o d ređ en u fu n k ciju f, fu n k cijo m w = ev (z k a ti o b la st {z 6 C : |z — 1 |< 1 , |z —tj > l ,R e z < 1 }.
21
p re sli-
R e š e n je :
1.
Ovaj red je definisan za i / 0, pa za takvo x uvodimo smenu x — t.
0 0 , Kako je za red E
n=l
00
„"(n+žj^ = E ant" : a" _ i™ lim ---------- — = lim iim
” Kn+2) , ., i\»_o ,ij_ 3
n -> °o a n + i
_ „
— °°i
to početni red konvergira za svako x € R, x ^ 0. Označimo njegovu sumu sa S (x ), odnosno S(t) = n - 2 +' nr r+ ,2i’ imamo
Zbog
n=l
n=l
3
S & ) = f3 E
°S, («— »)>
= f3 E
oo
o
00
«
*3( E * £ - ) ' = f3( £ E ;u)'
f3( £ ( E S - !)>' = i3( ^ ( e* - ^))' = ^ - 2et + 2ri—0
t
A(*) = £ / s ( E 0
% - V d s = £ } s(e‘ - l)ds =
n=0
S (f) =
oo
£ % ds = l
0 l + e ' f t 3 —2 ta+ t —1)
+» 50 •
Iz 5 i(f) = E ^ r f ” = fe 6 - 2et + 2 , za f = 1 dobijamo: n=l
E l i r = 2 _ e’ n=1
2. a ) a = f ( c ■r ) f , div a = r •grad f ( c - r ) + f ( c - r ) div r — r •f ' ( c •r)c + 3 / ( c - f ) , d iv ((g ra d /(c- r ) ) x r ) = r- ro t(g ra d /(c - f)) - (g r a d /(c - f)) •r o t f = f •r o t ( / '( c •f)č) = f •[/'(c f ) r o t c —c x g r a d ( / '( c - f ) ) ] = f - ( —c x / " ( f - f ) č ) = 0. Odavde, posle uvođenja smene c ■f = f dobijamo diferencijalnu jednaćinu £/ '(f) + 3 / (f) = 0 koja razdvaja promenljive i čije rešenje je / (f) = £• Iz / ( l ) = 2 dobijamo k = 2 i / ( c •f) = b ) Za / ( c - f) = 1 imamo 2 = f = (x ,y ,z ) . Posle zatvaranja površi 5 sa površima i S 2 i primene formule Ostrogradskog, dobijamo F =
f f J div a d x d y d z — J j 2 ■n \ d S i — J J a - n ^ d S ^ , tr
G.
gde je Si površ u ravni z = 0 određena sa x 2 + y 2 < 12, x 2 + y 2 > 2i / 2x , (x 2 + y 2)2 > 12 (x 2 - y2), x > 0 , y > 0 , čija je
22
orijentacija data vektorom n\ = (0 ,0 , —1), a S 2 je deo površi paraboloida z = x 2 + y2 + 3 za x 2 + y2 < 12, x 2 + y2 > 2\/2x, (x 2 + y2)2 > 12(x2 — y2), x > 0, y > 0, čija je orijentaciia data vektorom n 2 = (~2Xi~2v'V/ . J
J
4x2+ 4y2+1
dSi = dxdy => f f a ■n\dS\ = f f ( —z)dSi = // 0dxdy = 0. S1
Si
D
dS 2 = \ /l + 4
D
f
yi2
h = fd ip 0 f-!
V12
f
p3d p + fd < p
V 12cos2v
4 I n/12
+8 cos
f
f
i' 4 .1/12 p3dp = f ^ { ^
v/Šcosv)
f
0
„
d ip +
-------*■
f
dip = f (36 — 36 cos2 2
n
6
2
= 187r — 1 8/ (1 + c o s4
0
\/l2 f f pdp + / d
+ /( 6 — 4 cos2
—0 tx
\/l2 X f pdp = / ( 6 — 6 cos 2
\/3, — 3\/3-
/ / / div a dx dy dz v = f f f 3 dx dy dz v a:2+ y a+ 3
= f f Z dx dy
f
dz
= 3 / / (
= 31\ + 9 X2 = 60 tt - 0\fŽ.
3.
a ) c = CiUc2Uc3; Ji = f ( x 2 + z ) d x + ( y 2+ z ) d y + ( z + x y ) d z ,i = l ,2 ,3 ,4 . C*
ci : x = 2 cosi, y = 2 sint, z = 0; dx = - 2 sintdt, dy = 2 costdt, dz = 0;
23
J i = f ((4cos 2 1)(—2 sint) 4- (4sin 2 t)(2 cos t))dt = =!p — |. o
C2 '■y = x , z — 4 — 2x 2; dy = dx, dz = —4xdx\ &
J2 = f
((x 2 + 4 - 2
x
2) + (x 2 + 4 - 2
x
2) + (4 - 2
x
2+
x
2) ) ( - 4
x ))d x = f - % y / 2 .
V5
C3 : x = cos t, y = sint, z = 3; dx = —sin tdt, dy = cos tdt, dz = 0; J 3 = f ((cos2 1 + 3 ) ( - sin t) + (sin2 1 + 3) cost)dt = “ - ^ VŽJ = f ( x 2 + z)dx + (y 2 + z)dy + (z + xy)dz = ^ C
b ) Zatvorićemo krivu c sa C4 : 3/ = 0, 2 = 4 —x 2 J 4 = f ( x 2 + 4 - x 2 + ( 4 - x 2) ( - 2 x ))d x = - § . S : z = 4 - x 2 - y 2', n0 = r r
1________
■V 5 vv'l + ^ a+4»2
ff ^
f
2/ 0
1
. y
đS = y j l + 4 x 2 + 4y2dxdy,
8_
9
O
2&+ z a;2
2Si+ 2 JT
2 + xy
JO _
- - ( 2a 2 + 2y - 2x - 2y2)d S = 2 f f ( x 2 - y2 - x + j/)dx
4 * 2+ 4 y2+ l
2
f ( p 2 cos2 ip - p2 sin2 ip — pcosip + ps'm(p)pdp =
1 Po formuli Stoksa je J = / ( a :2 + z)dx + (j/2 + ž)dj/ + (z + xy)dz
= ( W -
tv
/2 ) - ( - ! ) = # - ¥ 7 2 -
4 . Iz Koši-Rimanovih jednačina sledi uy = —vx = —
24
Pa )e
u = ~ (x
X) f
((x -iy + ( l - i y ^ dy -
( j - l ) S + ( y - i p - + lP ( X )-
Takođe je U% = Vy
D 2+ ( v - i ) 2- 2 ( x - i ) 2
(( z -lW (j ,-l) V pa je ip'(x) = 0, ip(x) = c, odiiosno f ( z ) - f ( x + yi)
,
j,_ \
... - ( l - D M v - D ^ f v - l ) 3
+ P ( X) -
(( t - if + (y -
.
{x _ 1)2 + {y _ 1)2 + c + ^{ x _ 1 ) 2 + y{ y _ 1) 2 .
Iz / ( I + 2i) = c —i = —i je c = 0 i f ( x + yi) = (*_i)a+/y_i)4 = \Ž-l-i\2 = z—\—i ’ b ) ui = e’r(z _ 15-,at®> = lU l =
Z
— 1 — 2,
Iil2 =
= e» (i+ V (2- 1- i)). IU3 =
iw2,
W4 =
l +
W3 , Ws =
TTW4 , W =
e” 5 .
Data oblast se preslikala na {iu e C : argiu e ( ^ , 271), |w| < e+ } .
;
25
2 8 .1 0 .1 9 9 5 .
1. R a z v iti fu n k c ije f ( x ) = ch f n a in te rv a lu (~-7r,7tj i g(x) — |cosx| n a in te rv a lu (0 ,7r) u F u rije o v red . P o m o ću d o b ije n ih fu n k c ija n a ći sum u re d a
E 16n4 -
1'
2. N ek a je a p o te n c ija ln o v ek to rsk o p o lje sa p o te n c ija lo m / (r2) gd e je / dva p u ta d ife re n c ija b iln a fu n k cija , a r j e in te z ite t v e k to ra f = (x , y , z ). a) O d re d iti fu n k ciju / ta k o d a j e p o lje 3 L ap laso v o i da j e /(1) = 2 i
n i) = - i b ) Za / (r2) = r 2 iz ra ču n a ti fluks p o lja a kro z s p o lja š n ju s tra n u d ela ru b a o b la sti { ( x , y , z ) : x 2 + y 2 < 2, x 2 + y 2 > 1, x 2 + y 2 > 2y, x , y > 0 }, izm ed u p o v rši z = \/x 2 + y 2 i z = 0. 3 . Iz ra ć u n a ti k riv o lin ijsk i in te g ral (y 2 - z)dx + (z 2 - x)dy + (x 2 — y)dz,
a) d ire k tn o , b ) p rim en o m fo rm u ie S to k s a , ako j e c k riv a k o ja se d o b ija p resek o m ru b a ko cke
{(x , y, z) : 0 < x < 2 ,0 < y < 2 ,0 < z < 2 }, i ra v n i x + i/ + z = 3 z a 0 < z < l , i ra v n i x + y —z = l z a l < z < 2 , o r ije n tis a n a od ta č k e (2 ,1 ,0 ) ka ta č k i (1 ,2 ,0 ). 4 . P rim e n o m ra č u n a o sta ta k a iz ra ču n a ti in te g ra le 2,r
sin t cos 2t 1 4 - 3 cos 2 1
----------- — —at o
26
sin5 1 sin 2t dt. + 3 cos2 t
*/?
♦
R e š e n je :
1. Funkcija f ( x ) = ch f = e t f
- je parna, pa je 6n = 0 ,n = 1 ,2 ,...
sha: = e*~2e- —, ch'a: = sh x, sh 'x = cha:. Go = i
/c h f d x = f s h f
= | sh f.
an = 2“ / ch f cos ~-xdx = | / ch f cosnxdx =
= j ( 2 s h f cosna:
+2n / sh f sin nxdx) = | ( - l ) " s h f + ^n(2 ch f sinns - 2 n / c h f cosnxdx) o 10 ° _ 4 /j_i \n 7r 8niT :p 7" — ^T1)" =h 2 n = 4(- 1 )" , sh —
s n
2
w
-t > P a
Je
4 n 3+ l
—
, X 2 ^ ^ ch — = — sh — + > 2 7T 2
n = l
s n
2 1
n (4n ^ + l )
2 '
4(—l)n , 7T . , —7-7-1;— -rsh —cosna;, x e (—tt, tt). 7r(4n2 + 1) 2 v v
Funkcija g(a:) = | cosi| je simetrična u odnosu na pravu y — f , pa je bn = 0. 7T
fC
2
ao = - / | cosx\dx = £ f cos xdx = ^o o ^ 11 an = - / | cos a:| cos ^— xdx = f / cos a: cos 2 nxdx — f / cos s cos 2nxdx = * 0
T
0
f
f
7T
- f |(cos(2n + l ) i + cos(2n — 1 )x)dx — f / f (cos(2n + l)x + cos(2n — 1)x)dx = * o f sin(2n+l)s+ 2
sin(2n-l)x)|o2 - £ (3^5 s i n ( 2 n + l ) s + ^ sin(2n-
^ 1
! ) * ) ! * = f (SvFT sln(2n + ! ) f + 5 ^ 1 sin(2n — l ) f ) =
+
L=1T
-) =
4 (-D ; r(4An* 7-rr( n 2 —1) ’ n —1
4(—1) cos 2n s, ia;i=-+E 7r 7r( 4n 2 — 1)
x e (0 , 7r).
n=l
1 6 ^ -1
— 2 (4 n * -l)
S — E 1 6 n < -! n=l
2 (4 n J + l ) ’ p a ) e _
E 4 .i. .^ T. - |
n=l
E 4 ^ + T = | 5 l-^ 2
n=l
(ovo rastavljanje je đozvoljeno zbog apsolutne konvergencije datih redova, čije smo sume obeležili redom sa S, S 1 i S 2). Iz / ( 7r) = c h f = ^ s h f + £ s h f £ 00
Iz g( f ) = 0 = | - | E
3^
, imamo S 2 = f c t h f - f .
n=l
3K t l , imamo
= 5 , pa je
_ 1 7T , 7T 5 = 2 - 8 Cth2 '
27
2 . a = g r a d /( r 2) = 2r / ' ( r 2) f = 2/ ' ( r 2)r. a ) diva = 2 r / " ( r 2) •2 r f + 6/ ' ( r 2) = 0, tj. 2r 2/ " ( r 2) + 3 / ' ( r 2) ,= 0. Posie uvođenja smene r 2 = t, i / '( f ) = p(f), / " ( f ) = «?'(f) dobijamo diferencijalnu jednačinu prvog reda koja razdvaja promenljive, i čije rešenje je g(t) = pa je /( f ) = —2 c i-^ + c^. Iz početnih uslova dobijamo ci = —1, C2 = 0 i /(f ) =
odnosno / ( r 2) = 2 .
b ) Za / ( r 2) = r 2 ( / ( f ) = f ) je / ' ( r 2) = 1, pa imamo a = (2a:,2r/, 2z). Prvi način: Posle zatvaranja površi S, površima S i i S 2 i primene formule Ostrogradskog, dobijamo =J J a - n d S = J J J divadxdydz — J J a ■n\dS\ — J J 3 ■n 2d.S2 , S
V
S,
S2
y
gde je Si površ u ravni z = 0 određena sa x2 + y2 < 2 , x 2 + y 2 > 1 , x2 + y2 > 2y, x > 0, y > 0 , ni = (0 ,0 , - 1 ) , a S 2 jed eop ovrši konusa z = y /x2 + y2 za X1 + V2 < 2, x 2 + y 2 > 1 , x 2 + y2 > 2y, x > 0, y > 0 , rio —
=
y j 4 x 2+ 4 y 2-t-4z2
f
%
2
q
x
y.2) _ > /2 y /x 2 + y 2
y / x 2 + y 2+ z 2
dSi = dxdy =+ f f a ■nidSi = f f ( —2z)dSi = f f 0dxdy = 0. S,
D
S,
f f a - n 2dS2 = f f f 2 - $ ^ f đ S 2 = V 2 f f -x2- f + x2+y2dS2 = 0. S2 S2 ▼ 5a y j x 2+ y 2
f f f div adxdydz = v
f f f 6dxdydz = 6 f f dxdy
f
v
0
d
= 6 / dtp f p2dp + 6 f dif> f p2dp = 6 / ( ^ 0 1 ^ 2sinv? 0 = V 2v - f + ^
dz = 6 f f i/a ;2 + y2dxdy D
- \)dip + e f ( = r ~
- 6y/3, pa je F = i/Ž tt - f + ^
^
- 6 -/3 .
Drugi način (direktno): _____ _ Si je deo cilindra x 2 + y2 —2y = 0, odnosno x = i/ 2 y — y2 za \ < y < 1 od z = 0 do z = i/Ty, pa je ni = (—1,1 — y, 0), dSi = ~ ^ = = dydz, a ■n i = —2y,
28
I d‘ T " v f c '* '~ ~2'r2{ ^
F' ~
đ‘
S 2 je deo cilindra x 2 + y 2 = 1 za 0 < y < i od z = 0 do 2 '= 1 , pa je =dydz, a ■n 2 = —2 i m = (—x, —y, 0), dS 2
2
1
F 2 = —2 f
|5
, 1 2dy f dz = —2 arcsinyj
0 v 1 -*'
0
= —j .
'°
5 3 je deo ravni y = 0 z a l < x < \/2 od z = 0 do z = x , pa je n 3 = (0, - 1, 0 ), dS^ = dxdz, a ■H3 = —2 y i x
\/2
F 3 = f —2ydx f dz = 0 . 1
0
5 4 je deo cilindra x 2 + t/2 = 2 za 0 < y < 1 od z = 0 do z = \/2, pa je n 4 = ^ ( x , j / , 0), dS4 = -/2^_ S a2,’a - n 4 = ^ i V2 F * = 4 f - j t s dy { dz = ^ { f / t ^ Dakle:
F = ^
= 4 V 5 a rc s in J^ | o =
- 6^/3 - f + \/2 tt.
6
3.
a ) c = U Cj; J , = / (1/2 - z)dx + (z 2 - x)dj/ + (x 2 - y)dz, i = 1 ,. i= l
c*
ci : 3/ = 3 — x, z = 0; dy = —dx, dz = 0; J i = / ((3 — x )2 + x)d x = — 2
C2 : y — 2 , z = 1 — x; dy = 0 , dz = —dx; J 2 = / ((2 2 - (1 - x )) - (x 2 - 2))d x = - £ . 1
C3 : y — 2 , z = x + 1 ; dy = 0, cte = dr; J 3
= / ( ( 4 - (x + 1 ) + (x 2 - 2))dx = §.
0
C4 : y = 3 — x, z = 2; dy = —dx, dz = 0; J 4 == / ( ( 3 - x )2 - 2 - (4 - x))d x 1
C5 : x = 2, z = j/ + 1 ; dx = 0 , dz = dy\ Js = f ( ( y + l )2 - 2 + 4 - 2/)dj/ =
.
1
C6 : x = 2, z = 1 — y\ dx = 0 , dz = —dy\
29
f
J6 = f ( ( l - y ) 2 - 2 - ( 4 - y ) ) d y = - f .
0
J = f ( y 2 - z)dx + (z2 - x)dy + (x 2 - y)dz =
= - f .
C
b ) Po formuli Stoksa je c o sa i cos Si COS71
J = ff Si
d
Ji
y —z
zz ~ x
5x
A.
9y
9
& ' - 1^ J '-’
9
i
y
9 i
o
COS Ć*2 Si
—y
—
d_ dx
dS\ + / /
dz
y-> u i i u u o i
y2 - z z ic * i v u j i
JL
COS72 a
z2 — x
x 2 —y
COS02 dy
i
«-j. —
dS2,
dz
1/3 '
5
’
/>
je deo ravni x + y — z = 1 unutaj kocke, za koji je n 2 = ^)=(1 , 1 >—1 )Označimo sa D oblast sa slike. Kako je dS\ = v 3dxdy i dS2 = \/Ždxdy, tada je
1 1 i _a. a a dSx = ^ / / ( —3 - 2(x + 3/ + Z))dSi 9x ~5l ai I I V3 51 y2 - z z1 — X x 2 - y ^ / / d S r = - 9 f f d x d y = - 9 PD = - 9 ( | - |) = - f , s1 1
a
y2 - z
1
-1
a JL dy al 2 Z2 —X x* - y
/ / ( l + 2 (x - y + z))dS 2 5a
dS2 =
: - 7 5 / / ( - ! + 4x)d 5 2 = f f d x d y - 4 f f xdxdy = § - 4 f xd x f dy S2 D n n £> ■ 4 f x d x f dy = - f . 1 2—x / / ( y 2 — 2)cfa; 4- (^2 —
4- (x 2 — t/)dz = — 2?r 3ti
4 . Posmatraćemo integral I = / o
5
ci*-
30
Sa jedne strane je
2rc
2tt T = /
+ t/ = J i + iX2. 0 ° Sa druge strane, posle uvođenja smene z = eu , cos t — sint =
dt =
, dobijamo:
,
. 4 2 ~ l )5 dz 8z 2(3z 4 + 10z 2 + 3)
J
f ( z )dz,
gde je c jedinična kružnica u kompleksnoj ravrii sa centrom u koordinatnom početku. Podintegralna funkcija f ( z ) = z2(3z2+^ zi +3) ima singularitete za: z = 0 6 intc - pol reda 2, z = ± ^ i € intc - polovi reda 1 , z = ± \ / 3i ^ in tc polovi reda 1 , pa je Res f ( z ) = z=~r
lim
(*a-D 5
3»=(»+^i)(»3+3)
=
27i^ ’
S»*(»-*io(»»+S) = _ 2 ^ 3 ’
R e s /(z ) = lim (( 3i ^ ^ + 3))' ,
S ( z :l- l ) 4 2 z ( 3 » a + l ) ( » a + 3 ) - ( » ,l- l ) li( 6 » ( » 2 + 3 ) + ( 3 » 3 + l ) 2 z ) _
- 1™ a odatle
n
(3z'4iP(^+3P
I = —i •27ri(R es/(z) + Res f ( z ) + Res / ( z ) ) = 0, 8 4=0 z=# i » = -^ i odnosno J i = I 2 = 0.
31
2 0 .0 1 .1 9 9 6 .
1. P o m o ću step en o g re d a re š iti d ife re n c ija ln u je d n a č in u
xy" —y' + i x 3y = 0 u o kolin i ta č k e x = 0 i re š e n je iz ra z iti p re k o e le m e n ta rn ih fu n k c ija . 2. N ek a j e b v ek to rsk o p o lje s a p o te n c ija lo m u = i ( z 3 + y 3 + 3 z) i a v e k to rsk o p o lje
a = f(z)b, gd e j e f dva p u ta d ife re n c ija b iln a fu n k cy a . a ) A ko važi d a j e (grad(diva)) •r = d iva + z — diva, p o k azati d a j e ta d a f k o n sta n tn a fu n k c ija . b ) Z a /(z ) = z, p rim en o m S to k so v e fo rm u le iz ra ču n a ti ra d p o lja a duž k riv e c o rije n tisa n e od ta č k e (\/2,0 ,2 — s/ 2 ) ka ta č k i (0 ,1 ,1 ), k o ja se d o b ija p reseko m ra v n i x + y + z = 2 i -c ilin d ra i 2 + j/2 = 1, za 0 < z < y
i s > 0,
-c ilin d ra (x2 + y2)2 = 2(x2 — y2), z a ^
< x < \/2 i y > 0.
3. Iz ra č u n a ti zap rem in u o b la sti i p o v ršin u ru b a o b la s ti d a te sa
x2 x2 x2 7T
4 . F u n k cijo m w = tg —
+ + +
y2 y2 y2
+ z2 + z — z
<
3
> 1 > 1
p re slik a ti o b la st
{z 6 € : |z+
> i , Im z < 0, R e z < 0 }.
32
R e š e n je :
1. Data diferencijalna jednačina se može napisati u obliku x 2*y " — xy' + 4x 4y = 0 , tačkaa: = 0 je regularno-singularna tačka date diferencijalne jednačine oo
i rešenje se traži u obliku y =
oo
anx n+ r. Tada je y' — n —0
(n + r)a nx n+T~1,
n —0
oo
y" =.
( n + r ) ( n + r —l)a nx n+T~2, što uvrštavanjem u diferencijalnu jednačinu 71=0
daje OO
OO
OO
^ j ( n + r)(n + r - l)a nx n+r~1 - ^ ( n + r ) a na:"+’- 1 + n=0
n= 0
4anx n+T+3 = 0, n=0
odnosno posle promene indeksa, ]T j(n + r)(n + r — 2)a „ x n+r 1 + ^
n n n n n
= = = = >
4an^iXn+r 1 = 0 .
71=4
71=0
Odavde dobijamo za 0 : r ( r — 2)ao = 0 + > r = 0 V r = 2 ( a o # 0 ) , 1 : (r + l ) ( r — l)a i = 0 => ai = 0 , 2 : (r + 2)r a 2 = 0 =+ za r = 0 možemouzetif 0 , 3 : (r + 3 )(r + 1)03 = 0 => 03 = 0, — -4aTt_4 4 : (n + r)(n + r — 2 )an + 4a n-4 = 0 =+a„ (7= i - f r ) ( 7 i + r —2 ) Za r = 0, an =
'
, n = 4 , 5, . . . .
Iz ai = 03 = 0 sledi a 2n+i = 0.
04 —ga_
5-4*3-2 ’
-a o —4aa _ - a 2 ~ _ “ 2 ’ 0,6 — 6-4 ~ 3-2 ’ ° 8 ~ 4-2 „ _ (-l)"a o __ ( - l ) " a 2 •, « 4 n — (2 n )! • a 4 n + 2 — ( 2 n + l ) ! ■ —4ap
00 __ /
1 \7i,»471
(
4ap _ 8-6-2
ap n __ 4-3-2» a i ° ~
4a 2
10-8-3-2
1 \ n » .4 n + 2
^ “on =E0 ^ v^ ’r + ^ En =T0 ^' T i j' r ^ 000051 +fl2Sin:E2 . a) 6 = gradu = (x 2,y 2, 1), a = f ( z ) ( x 2,y 2, 1 ), div a = 2f ( z ) x + 2f( z )y + f '( z ) , grad(div a) = ( 2f ( z ) , 2f ( z ) , 2f '( z )x + 2 f'(z )y + f ” (z)), grad(div a) ■f = 2} ( z ) x + 2f( z )y + 2 f'(z )x z + 2f'(z )y z + f" (z )z , diva + divd = 2 f( z )x + 2f( z )y + f ’(z) + z ( 2 f ( z ) x + 2f'( z )y + f ” (z) ) . Izjednačavanjem gornje dve jednakosti dobijamo da je f '( z ) = 0, odnosno f ( z ) = c.
33
b ) a = z(: r2,y 2, 1),
f a - dr = f f r o t a - n QdS — f 3 - d f — f a ■dr, c
S
Ci
c2
Jednačina površi S je S : x + y + 2 = 2, sa jediničnim vektorom normale na površ rio = • ^ g (l,l,l) i dS = y/l + 1 + 1dxdy = s/Ždxdy. Naći ćemo jo š jednačine kružnice i lemniskate u polarnim koordinatama:
K : x2 + y2 = 1
p = 1, C : (x2 + y 2)2 = 2(x2 - y2) <=> p = \/2 cos 2p,
kao i ugao ip za koji se ove dve krive seku: 2 cos2y> = 1
f f r o t a - fiodS — f f ( x 2 —y2)dxdy = f dip rr
s
D
o
w
Tako dobijamo
y/2 CO8
f-
f
o
cos 2 cp •p3dp+
rr
T
1
¥
2
f
0
0
s
f d(p f cos 2
/ |(1 —t2)dt + g sin2^j
f2 V
i|0
8 2
Jednačina krive ci (vidi sliku) je ci : x = 0, 2 = 2 —j/, pa je dx = 0, dz = —
4
=
4-4
16
8
i dobijamo:
/ a - d f = f ( y 2( 2 - y ) - ( 2 - y ) ) d y = ( ^ f - - \ ~ 2 y + %-)| = - f + j + 2 - | = f§ . ci 1 11 Slično, jednačina krive C2 je c2 : y = 0, z = 2 — x, pa je dy = 0, dz = —dx i dobijamo:
f a ■dr = f ( x 2( 2 - x ) - ( 2 - x ) ) d x = ( + - ^ - 2 x + ^ ) \ f = C2
0
10
2\p2 + 1 = I tako dobijamo da je / a •d f = ^
34
- 1-
3. Iz x 2 + y2 + z 2 = 3 i x 2 + y2 - z = 1 dobijamo jz2 + z - 2 = 0 = > z = 1 V z = —2 (što otpada jer je z > 0), pa se sfera i paraboloid P\ seku u ravni z = 1 po kružnici x 2 + y2 = 2. Data oblast je simetrična u odnosu na ravan z = 0 , pa imamo V = 2(Vj + I/2) = 2( / / (a:2 + 1/2 — l)da;dj/ + / / t/ 3 — x 2 — y2dxdy) = 2tt V2 2tt \/3 ______ . V2 0 _ 2 ( f d
P = 2(P Pl + PS F ). 2V2 Ppj — f f i / l + 4 s 2 + 4y2dxdy = f dtp f ^ /l + 4p2pdp = 2n f - f t ~ = ~ k
Di
#
I = f(2 T -5 V S ), + 3- « * - ^ + 3- $ - y ^ dxdy = f f - j = M = = dxđy = f f £>2 V-* 1 V D2
P 5P = // z>2 X>2 dp = V3
o
^2 V 3-^ 2
P = 9 tt 4
-
w
ta £ . iz
= 2 ^ tt/ - & ' K - 2^
•v/3p
- v/3 tt^ J ° = 2V 5 tt,
+ 4^/3 tt. c o s tt/ Az
V » /4* - e - i ’r/4* i ( e i1r/4* + e - * » / 4 1)
_
e '* / 2* — l i( e " ’ /J* + l )
«11 = J , 102 = fiioi = f e^'u/i, ui3 = e“ 2, we = —2ws = 2 eniws, wr = 1 + we, w = —iwr.
_
.7 -, _ + 1
iu4 = io3 + 1,
Data oblast se preslikala na {w € C : |w| < l.arg tti G ( f , 7r)}.
35
2 \ e‘ ” /+ + l +
w5 =
3 1 .0 3 .1 9 9 6 -
1.
Is p ita ti o b la s t k o n v e rg e n cije i n a ći su m u re d a
/
2. D a to je v e k to rsk o p o lje a = (x + f ( z ) , y , —2g(z)). a ) P o m o ću L ap laso v ih tr a n s fo rm a c ija o d re d iti d ife re n c ija b iln e fu n k c ije / i g ta k o d a je (ro ta) •3 = - f ( z ) + g(z), d iv a = 4 f ( z ) + 4g(z) + 2
i /(0) = 2 i s(0) = - 1 . b ) Za f ( z ) = 0 1 g(z) = 1, iz ra ču n a ti flu k s p o lja a kro z s p o lja š n ju streuiu d e la ru b a o b la sti {(x, y, z) € R 3 : x 2 + y 2 < 1, x 2 + y 2 < 2y, y < x } izm eđ u p o v rši z = x 2 + y 2 + 1 i z = 0. 3. Iz ra č u n a ti zdx + x 2dy + ydz +
/ zdx + x 2dy + ydz,
gd e j e ci k riv a k o ja se d o b ija p resek o m ra v n i x + y + z = 4 s a cilin d ro m x 2 + y 2 = 2a:, z a y > 0, o rije n tis a n a o d ta č k e (2 ,0 ,2 ) k a ta č k i (0 ,0 ,4 ); a C2 k riv a k o ja se d o b ija p resek o m rav n i x + y + z = 4 s a cilin d ro m x 2 + y 2 = 4x — 3, za y < 0, o r ije n tis a n a od ta č k e (1 ,0 ,3 ) ka t a č k i (3 ,0 ,1 ); a) d ire k tn o , b ) p rim e n o m fo rm u le S to k sa . 4.
P rim e n o m ra č u n a o s ta ta k a iz ra ču n a ti k o n v erg en tn i in te g ra l OO
0
37
R ešen je:
1. Dati red je definisan za x 2 + 5x + 6 ^ 0, odnosno za x =f= —2 i i ^ za takvo x uvodimo smenu t = ■ riij_5š+ 6 - Onda je D_
lirtl (n + n —+oo
± n!(n2 + 5n
+ X) + 6) - po +
6)
pa dati red konvergira za svako £ 6 R, odnosno za svako Posle uvođenja smene xi+lx+6 = t , t € R suma datog reda je: 00 = n+3
n= 1 t oo
—3, i
—2 , x 7^ —3.
„ ° ° T . °° 1 ° ° 1 ("+3 1 f°. 1 „!(n+2)(n+3j = 53 n!(n+2)— 53 n!(n+3) = F £ nT n+2 “ P ’ 53 n! n=l t oo
= h f E
n=l
n —1
n —1
= £ / u ( e “ - l)du - £ J V ( e “ - 1)
- £ / E 0 n=l
0 n=l
du ■ £ ( u e “ —eu — £ )| * —^s{u2e u - 2ueu + 2eu - £ )| * = £ (te * - e* - £ + 1) ^ ( t V - 2 ie‘ + 2 e * - ^ - 2 ) = ^ - ^
2.
a) diva = 1 + 1 + ( - 2 )g'{z),
+ ^ + ^ - i . i a_
ro ta =
j a_
k a_
dx
dy
dz
x + f(z )
y
- 2 g(z)
( 0 , / ' ( * ) , 0 ) ,r o t S - J = f ' ( z ) , f ( z ) = —/(z )+ ff(z ), 2—2g'(z) = 4 /(z )+ 4 p (z )+ 2 =+ p'(«) = - 2/ ( z ) - 2p(z). Kada na ovaj sistem diferencijalnih jednačina primenimo Laplasovu transformaciju dobijamo sistem linearnih jednačina s F (s ) — 2 = —F (s ) + G (s), sG (s) + 1 = - 2 F ( s ) - 2G (s), čijim rešavanjem dobijamo F (s ) = , G (s) =
p a je
f ( z ) = C - ^ F i s ) ) = £ - l ( ^ g $ j ) = 2e - t * cos $ t ,
g(z) = £ -1 (G(s)) = £ - 1( ^ (* | j ^ j ) = - ^ ( ( ^ I+ t ) - ^ C . ~ 1( (s+f y + i ) = —e - t 1 cos
— %/7e_ t* sin ^ t .
b ) a = (x , y, —2), F = f f a ■n d S = f f f div a d x d y d z — f f a - r i j d S i — f f a - rfcdS^S
V
s2
Si f
2 sin v?
f f f 2d x d y d z = 2 f f ( x 2 + y 2 + \)dxdy = 2 f dtp v
o
d
f
o
TT
T
(p 3 + p )d p +
1
2 f d i p f (p3 f
0
^
+ p ) d p = 2 J(4 s in 4 cp+ 2sin 2 ip)d
f
38
/ ( 3 —4cos2
- 2 c o s 2 (fi)d,ip + f = (5
23vr 24
+ f =
ll\/3 '
8
2J % Jednačina površi S'i je z = 0, jedinični vektor normale na spoljašnju stranu površi S’i je n j = (0, 0 , - 1 ) i dSi = dxdy, pa je
\ /^
S!
2 s in i/j
n id S ! = f f 2dxdy = f dp £)
—
1
t
|
Jfa
/.+ 6
0
T
1
6
2pdp + f dip f 2pdp = f 4 sin2 ipdtp 4
f
f
0
0
0
TT
/ rfv) = (2
=
if
—^
•
Jednačinapovrši 5 2 je z = x 2+ i /2+ l, jedinični vektor normale na spoljašnju stranu površi S 2 je n 2 = , dS2 = \ /4x2.+ Ay2 + ld xd y , pa je ^ / 4 x 2+ 4 y 2+ l
f f a -n 2dS 2 = f f (—2x 2 —2y2 —2)dxdy = - 2 f f ( x 2 + y 2 + l)dxdy = s2
d
+
d
liVš 8 ‘ Dakle,
3 . a ) K rivaci jep resek p o v ršii 2+ y 2 = 2x <=» (x —l ) 2+ y 2 = 1 i x + y + z — 4, y > 0. Njena jednačina u parametarskom obliku je : Ci : x — 1 = coscp, y = sinip, z = 4 — 1 — cosip — siny>, dx = - sin
£ [0 , 7r], pa je
7T
f zdx + i 2di/ + j/dž = J [(3 — cos - sin )(—sin y>) + (1 + cos )2 cos — sincos
-)L =
—3 — 3 + 27t = 271 — 6. Jednačina krive c 2 u parametarskom obliku je: c2 : x — 2 = cos^ , y = sin , z = 4 — 2 — cos — sin G [—7r,0], pa je dx = —sin
39
sin
cos3
5 i^ ) |
10
= 4 + 3 tt.
J = —2 + 5 tt.
b ) Označimo sa Ji = J zdx + x 2dy + ydz, i = 1, 2,3 ,4 , gde je Ci
C3 : x = x, y = 0, z = 4 — x, x € [0,1], pa je
= da:, dy = 0 , dz = —dx.
J3 = J(4 -x )d x =
0
C4 : x =
y = 0, z = 4 - x, x £ [2,3], pa je dx = da;, dy = 0, dz = —da:.
2
J 4 = J ( 4 — x )d x = —§. 3
Ako je c = ci U C2 U c 3 U C4 zatvorena orijentisana kriva (vidi sliku), a S deo ravni x + y + z = 4 ograničen krivom c, za koju je n = tada je J zdx + x 2dy + ydz = J i + J 2 + J 3 + J 4 = / / rot(z, x 2, y) •ndS. c
s
d S = \fŽdxdy => // s
ž
/ a
&
2
2T
2/
H j f d S = J J ( l , l , 2 x ) ■ (1, 1, l ) ^ f
= / / (2 + 2a:) dxdy = / / 2(x + l)dxdi/+ // 2(x + 1 )dxdy = 2 j d p j ( 2 + Di
D 0
D2 ir
1
0
0
0
pco sp )p d p + 2 J d p J(3 + p c o s p )p d p = 2 J ( l + \ c o s p ) d p + 2 J (\ + \ c o s p )d p = —n 0 0 - i r . (2p + | sin 9?)|o + (393 + | s in 9?)|
= 57r.
I = —2 + 5ir.
40
f I D i = { ( x , y ) : x ~ l = p c o s ( p ,y = ,p s i p .< p ,p £ [ 0 ,i r ] ,< p e [ 0 ,i r } } j = p-, {{ x ,y ) : X - 2 = p c o s i p , y = psintp, p € [0,7r], ip € [-7 r,0 ]}, J = p.
[
£>2 =
4 . Da bismo izračunali integral J , posmatraćemo kompleksni integral X = J f (z )d z , f(z ) =
gde je L = L\ U £2 kontura sa slike. Podintegralna funkcija ima polove prvog reda u z = ± i i polove drugog reda u z = ± 2 i, od kojih samo i i 2i leže u unutrašnjosti konture £ , pa je: ) R e s /(2 ) — lim ^s+^s^+j) — (4-i)S2i — lSe3! ’ t >__1: _____________ , e3 i* \t 1; __e3 i* ( 3 i ( z + 2 i ) 2 (z 2 + l ) - 2 ( z + 2 i ) ( s 2+ l ) - ( 2 + 2 i ) 2 2z) £ 1 / ( z ) = i ^ (ii+ 2iFp i+ iy) = (2+20^ - h P— —
e - 6 (3 t-4 i(—3 ) —2 ( —3 ) —4 i-4i) (4 i)3 ( —3 )2 ~
-2 9 288ie« ’
X = I i + J 2 = / f(z )d z + / f(z )d z = 27ri(R es/(ž) + Res /( z ) ) . L,
l
2
z=i
z = 2i
£2 : z = Ret¥!,
| 3 il
3 iJ F lc ^ ^ I
7T
— / 11H2e2i;e |-4 | 2 -||f l 2 ei;»>|- 1j I
Mv5 <
/ (R l-4 )jR ^ - 1 ) ^
= (R 2- 4 ) ^ ( R 2~1) '
Poslednji izraz konvergira 0, kada R —> oo, pa je lim £2 = 0. iŽ—»00
L i : z = x, x £ [—.R, R] =+ dz =
--
2-1= / O T ^2 ( + ^ == // ( i 2+4e) i 2 +Tl )jrf:E —jR —iž
R
( x 2+4°)2( i 2+ l ) dx + * /
( x 2+ 4 ) 2 ( x 2 + l )
da.
Dakle, za R —» 00 imamo OO
, p. /
cos3x dx + i V .B / (x 2 + 4 )2(x 2 + 1)
, 16e3 - 29 sin3x 03/ — . . * 7T. 144e6 (x 2 + 4 )2(x 2 + 1)
Podintegralna funkcija integrala £ je parna, pa je /7 l , rr> >£ — 2 V -P -
OO
f
cos3a;
J ( x 3+ 4 ) 2(x 2+ l ) —OO
__ 16e_—2 9 —~ 288eć
41
2 1 .0 6 .1 9 9 6 .
1. P o m o ću step en o g re d a re š iti d ife re n c ija ln u je d n a č in u (:z2 - 1)3/" - 2 y = 2 u o k o lin i ta č k e x = 0 i re š e n je iz ra z iti p rek o e le m e n ta rn ih fu n k c ija . 2 . D a to j e v ek to rsk o p o lje a = ( x ,y z , f ( x ) ) . a ) O d re d iti d ife re n c ija b iln u fu n k ciju f ta k o d a je div(a x r) ■diva = rot a ■r 4- 3/z(grad(diva)) ■a,
/(0) = 1.
b ) Z a f ( x ) = x 2, iz ra ču n a ti rad p o lja a duž o r ije n tis a n e k riv e c k o ja se d o b ija p re se k o m p o v rši x 2 + y 2 + z = 3 i -c ilin d ra (x 2 + y 2) 2 = 3 (x 2 - y 2) za y > 0 i x > 0, -c ilin d ra x 2 + y 2 = x za y < 0, b ir a ju ć i o r ije n ta c iju od ta č k e 3.
(V 3 , 0 ,0 ) ka t a č k i (0 ,0 ,3 ).
a ) Iz ra č u n a ti p o v ršin u ru b a o b la sti {(z , y, z) : x 2 + y 2 < 2z, x 2 + y 2 < 2y, y^z2 + y 2 < 1 — z, z > 0}. b ) Iz ra č u n a ti zap rem in u d a te o b la sti.
4 . A k o je
e1/* f { z ) = (z — l)(z — 2) ’
iz ra ču n a ti in te g ra l X =
/ } ( z ) d z , r > 0, r V 1, r V 2-
1*1—r
42
R e š e n je :
1. Data điferencijalna jednačina se može napisati u obliku y"~ y = Funkcija p — je analitička u oblasti |z| < 1 , te u toj oblasti rešavamo jednačinu. Tačka x = 0 je regularna tačka date diferencijalne jednačine, pa oo
se rešenje traži u obliku y = oo
oo
oo
anXn . Uvrštavanjem y, y' —■ 52 M n i " ''1, n=0 n=1
y" = X) n (n — l)a nx n~'2 = 52 (n + 2)(n + l) a n+2a:n u diferencijalnu jednačinu n=2 n=0 dobijamo: oo
52
oo
oo
w(n - l)a nx n — 52 n (n — l)an 2:n-2 -
2a na:n = 2 ,
što prenumeracijom indeksa daje —2a 2 —2ao + (—603 —2a i)x + 52 [n (n ~ l ) a n — n= 2
(n + 2)(n + l ) a n+2 — 2an]a:n = 2. Odatle sledi —2a2 — 2ao = 2 => a2 = —1 —ao, —603 — 2ai = 0 =*• 03 = (n + 2)(n + l ) a n+2 = (n(n — 1) - 2)an => ^n+2 —
(n + l) ( n + 2 ) a « 0
—rr QjQ —
_ __ a a __ a5 — 5 —
0
Qi
(n + l)(n -2 ) ( n + l) ( n + 2 )
—-r' . . . —-t'’ fl2n “
„
__ 3 as __ 7 —
5 3 1 °7 -
0
,
_ n_2 — n+2
n
—
2
0>n5 71 — 2, 3, ...
) 3 ,...
di ^ __ 5 a r __ 7+P fl9 ~ 9 —
a 2n+i = - (2n+i)(2n'- i j 1n - 2 , 3 ,
ai _> 9 + ■•• = +
(i za n = 0, n = 1), pa je
x 2n+1 ^ ^ - ( l + a o ^ - a i g ^ + D ^ .! ) -
n=0
( 2 n + l ) ( 2 n —l )
-I E
E
n = 00
n=0
^
= - |E
/ * 2^ + t * 2 52 f t
n=0 0
2 n —2
n=l 0
d t - \ x = - I f j + p d t + ^ f j + p d t - l ^ = - \ ln|l±|| + fa:2 l n j i i f I - §x. Prvi sabirak drugog reda (za n = 0) smo pisali posebno, jer bi inače odgovarajući nesvojstven integral divergirao. .1 1+ x I y = a0(l - x 2) - x 2 + a i ( - ( l - x 2) ln J - 1+ - x ) ,
2.
|x| < 1
a) diva = 1 + z, div(a x r) = ro ta •f — rot f - a = ro ta •r i d X
3
k d
yz
f(x )
d_ dy
pa jednačina postaje:
43
= ( - y ,- f ( x ) ,
o),
(~ x y - }'{x )y ){ 1 + z) = - x y - f '( x ) y + yz(0 , 0 , 1 ) •(x, yz, f ( x )) —xyz - y z f'(x ) = y z f ( x ) =+ —x - f (x) = /(a :) =+ f ' ( x ) + / ( x ) + X = 0 (za yz f 0). Rešenje ove linearne diferencijalne jednačine je f ( x ) = —x + 1 + ce~x . Iz /( 0 ) = l + c = l = » c = 0 i f ( x ) = 1 — x.
Jednačina površi S je x 2 + y2 = 3 — z, sa jediničnim vektorom normale na površ n = i d S = f 4 x 2 + 4 y2 + 1dxdy. Tako dobijamo: y 4 x 2+4j/2+ l
rot o •ndS —
i =
I
a •d r ,
C1 / / rot 3 ■n d S = / / S
S
£)
I
0
=
= / / -6 x y d x d y = f f -6 x y d x d y + / / - 6 x p v 4 1 + 4V + 1
£>2
?
f dtp f —6p2(| + p c o sp ) shupdp + f dip —K
0
0
+ 'i co s 2 ^
f
—6p3 sinipcospdp =
0
o .1 j i0 / (—p3 sinip— |p4 sin2
—7t
lo
+/f ^ = |
o
l_,r
+ I - | = -| .
1
Pri računanju integrala nad D\, uveli smo smenu x = \ + p cos
/ a ■dr = f (x — 2x 3)dx = —3. ci
1
44
3.
a ) P = P d + Psi + P s2 + Ps3
ki : x 2 + yz = 1 , p = 1 , k2 : x 2 + y2 = 2y, p = 2 sin <^>, hz : x 2 + y2 = 2x, p = 2 cos
2cos
0
’
0
f
I 0
f
f
= / ( I - cos2ip)dip + / |d<^ + / ( I + cos2ip)dp = f f — Si : 2 = 1 - y /x2 + y 2, zx
i / i 3+y2 zy =
= ^ /l + f ^ j d z d j / = \/2dxdy, P Sl = / / d S i = / / V2dxdy = V 2P d = S, £> S 2 : x 2 + y2 = 2y => x = i/2 y - t/2, x a = -^/2~ /y2, x z = 0. rf52 = ^ 1 +
+0d2/d2
v i = p dydz'
Jednačinu presečne krive površi Si i S2 dobijamo kao rešenje sistema jednačina z 2 + r/2 = 2y, 1/ a ;2 + j/2 = 1 — z, tj. Si fl 5 2 : 2 = 1 — ■/%■
■-// 5
+ i' J V i-(v -i)2 = f + 2 /3 -4 .
=I
T f e
T*
= arcsin(j/- 1 ) j* + 2 / 2 ^ - 4 = - f + f + 2 / 3 - 4
S 3 : x 2 + y2 = 2x => y = V 2 x - x 2, ?/(. = ^=— 5 , rf5,3 = \ / l + f e S r + 0d xd z = - ^ i ^ d i d z ,
45
= 0,
Jednačina presečne krive površi Si i S 3 je V 2 x = 1 — z, tj. z = 1 — '/2 x . PS3 = J J đ S s = f f ^ 53 Ds
J f - J ^ 0
T
5 ttV 2
X3tt
12 +
d 0
*
7y/3
\/6
+ 2
12
= P s, = f + 2 V 3 - 4 ,
2
b ) V = f f ( 1 - yZzT2 + y2)dxdy = f f dxdy — f f y /x 2 + y2dxdy = T \ —TiD
57T
T\ =
12
2
f
2 sin
I 2 = f dip
0 W|M
D
D
\/3 ’
f
0
f
f
1
2 cos y
p2dp + f d i p f p2d p + f dip f I 0 f 0
f
p2dp = f |(1 - c o s 2
/ - 1 ( 1 - *2) * + i? + / |(1 - *2)rff =
dip + / |(1 — sin2 tp) cos tpdtp f
-2 V 3 + f + * . 3^/3 _ 32 13ir ~2 9 + 36 ‘ OO
4.
i)
= 1 + z + 55? + 3T?r + 4 iF + -
71—0
1
_
(z —l ) ( z —2) “ V /V J oo
_ !_____ L _ _______ 1 z -2
z -1 —
1,
•
OO
>_ _J_
2 l-z / 2 ^
_
1—z ~
2
OO
-I- V zn =
_I
71—0
2- ^
n=0
*
E ( ! “ s ^ ) 2" = (1 - |) + (1 - 1p)z + (1 - w )z2 + (1 - f t ) * 3 +
•
71=0
o°
Res / ( z) = ( l - | ) + i f ( l - ^ r ) + ^ ( l “ F ) + s ( l - ? r ) + — = s
71=1
Z—0
oo
S ? (l-^ ) =
oo
E i f - E ^ r = e 1 - l - e 5 + l = e - V /e-
n=l
n=l
Dakle, za r < 1 je T = 2m Res f ( z ) = 2 m (e — 'Je ). ii) Kako je Res f ( z ) = lim
1
= —e, za 1 < r < 2 je
T = 27ri(Res f ( z ) + R e s /(z )) = 2?n(e — Ve — e) = —2iri\/e. z —0
Z= 1
iii) Za r > 2, zbog R e s /(z ) = lim + + = e ) = Ve imamo z=2
z —^2 *
I = 27ri(Res f ( z ) + Res f ( z ) + Res f ( z )) = 27ri(e — Ve — e + J e ) = 0.
46
2 7 .0 8 .1 9 9 6 .
1. a ) R a z v iti u u F u r ije o v r e d p o k o s in u s im a fu n k c iju f ( x ) = x z a x € [0, 7rj. b ) R a z v ija ju ć i p o d in teg ra ln u fu n k ciju u s te p e n i re d u o k o lin i ta č k e x = 0 i k o r is te ć i re z u lta t pod a) iz ra ču n a ti in te g ra l •
/ 2.
1 + x2
X
1 —X2
dx.
D a ta je v e k to rsk o p o lje 3 = /(c ■r)r, gd e j e c k o n s ta n ta n v e k to r, a r = ( x , y , z ) v e k to r p o lo ž a ja . a ) O d re d iti d ife re n c ija b iln u fu n k ciju / ta k o d a je 4(grad /(c ■r )) •( f + rot a) — 3(c ■f ) 2 = d iva,
/(1) = 1.
b ) Z a /(c •r) = 1 iz ra ču n a ti flu ks p o lja a k ro z s p o lja š n ju s tr a n u d ela ru b a o b la sti
{(x , y, z) : x2 + y2 < 2x + 2y, x 2 + y2 < 4}, za 0 < z < 1. 3. Iz ra č u n a ti k riv o lin ijs k i in te g ra l
I=
J
(y + l)dx —xdy + dz,
C
gd e je c k riv a k o ja s e d o b ija p resek o m ra v n i x + y + z = 3 s a - c ilin d ro m x 2 + y2 = 2x, za a; > y > 0, - cilin d ro m x 2 + y2 = 2y, za y > x > 0, o r ije n tis a n a od ta č k e (2 ,0 ,1 ) ka ta č k i (1 ,1 ,1 ), a) d ire k tn o , 4 . F u n k cijo m
preslikati oblast
b ) p rim e n o m fo rm u le S to k s a .
,
z + zi + 3 —i
w =f(l + e
2» + l
„
)_1 —- J
{z € C : |z —i + 1| > 1, |z — 2i| < 1, Rez < 0}.
47
R e š e n je :
1.
a ) Parno produžimo funkciju / nad intervalom [—7r, 7r]. Tada je bn = 0 i 7T
7T
J7T
ao = § / xdx — 7r; a n = ^ / x c o s n x d x = ~ ( j s in m + ^ cosn z) = o o 10 F ^ ( ( _ l ) n — 1) (« = x, du = da:, dv = co sn xd x, v = ~ sinnx) =+ a 2fc = 0, a 2fc_l =
^2fc_1)^7T*
b ) Tačka x = 0 je prividan singularitet funkcije g (x) = j ln ( —1,1), pa se može đodefinisati da je g (0) = lirn g (x ) = 0. i Pokažimo da je nesvojstveni integral 7 = / M n o
x £
j
dx konvergentan. Ispi-
tajmo konvergenciju u (levoj) okolini tačke x — 1. Kako su integrali / ln^ x ^dx, ............................ o J(-^ l ~ x ) d x , konvergentni, dovoljno je da ispitamo konvergenciju integrala o x f ( —ln(1~x) )dx. Uvodenjem smene t - —ln(l — x ), x = 1 — e~*, dx = e~ ldt o OO
dobijamo integral — f - r z jd t Mi ispitujemo tačku x = 1, tj. tačku t = oo, o 00 odnosno integral J = — f -rz\dt. Znajući da važi e* — 1 > t3, t > 0 to zbog 1 00 |J| < f fjdt, integral J (apsolutno) konvergira. 1 Dakle, integral / M n ff^ jd x = / o o konvergentan.
^d x — f ^ —^ -d x — f —^X ^ dx, je o o
} ln(l + X2) - i l n ( l - , S) = 1 E ( - ! ) " - ! + ! ^2n—l _ .. — 2_/ k—1 (konvergira z a i 6 ( —1 ,1 )).
E
n=l
2k—\
- i E
n=l
^ - ( - ^ r
=
2 V ^ z 2fc-l fc=l
Znamo da važi osobina: Neka je { / „ } niz funkcija integrabilnih na intervalu [a, 6] i E fn funkcionalni red koji uniformno konvergira na [a, 6] ka funkciji s : [a, h] —» R. Tada je funkcija s integrabilna na [a, 6] i za svako c ,d £ [a, 6] važi
48
d
oo
oo
f( £ c
n=l
d.
d
/ f n(x)d x = f s(x)dx.
fn (x ))d x = £
n = lc
Stepeni ređ £
c
f n (x), f n(x) =
t , n e N, je uniformno konvergentan na
n=l
[0, t] C (—1, l),-p a primenjujući prethodnu osobinu, imamo:
4 00
1
J = lim /g(a:)da: = J
/im 2 £
n=l
0
— (2 n £ -l)(4 n -2 )
_o
lim / 2 £
0
~ t *“ £ .
rda: =
n=l
OO t - _ lim 2 £ / f ^ r d a : = t-> l- n = l 0
(2 n -l)a '
Iskoristimo teoremu Abela: OO
Neka je
a n .Tn
realan stepeni red i R £ (0, oo) njegov poluprečnik konver-
n=l
gencije. Ako on konvergira za x = R (x = —Ji), tada on uniformno konvergira za x £ [0, Ji] (a; C [—Jv, 0]) i njegova suma je neprekidna funkcija na intervalu (—Ji, JI] ([—Ji, Ji)), odnosno važi oo
lim
oo
anx n = £
£
oo
lim anx n = £
n = l x -* R -
n=l
Na osnovu nje dalje sledi I = £
anR n .
n=1
lim A '
! r,2 . n= 1 '
Iz razvoja funkcije / (vidi a)), za x = 0 dobijamo 0 = \ n=l 1 2
OO
£
( 2 n —l ) 2 =
2.
V ’ te J e ^ =
;
2
X -
a ) Kalco je divf*= 3, ro tr = 0, imamo da je
grad f ( c •f ) = f '( c •f ) grad(c ■f) = f ( c - f ) c diva = g r a d /(c •f ) ■f + f ( c - f ) d iv r = f ( c - f ) ( c - f ) + 3 f ( c - f ) rot a = grad f ( c - f ) x f + f ( c - f) rot r = f ( c - r ) c x f, odakle zamenom u datu jednačinu dobijamo 4 / , ( c - f ) c - f + 4 ( / ' ( c - r ) ) 2 c - ( c x f ) —3 ( c - f ) 2 = f ( c ■f) c •f + 3 / ( c - f ) , pa zbog c i ( c x f) sledi c ■(c x f) = 0, uz smenu c - f = t dobijamo 4f / '( i ) - 3i2 = t f ( t ) + 3f ( t ) , tj. f ( t ) - \ f(t) - t = 0. Rešavanjem ove linearne diferencijalne jednačine dobijamo [ / = u ■v, u'v + v’u — \uv — t = 0, v’ — |n = 0 = > ^ = Y = ^ l nl; = ln ^ => v = f, u't = t =>• u' = 1 =+• u = t + c, / ( i ) = f2 + ct, / ( 1 ) = 1 + c = 1 =?■ c = 0 J / ( t ) = t2, odakle je / ( c - f) = (c •f ) 2.
49
b ) Primetimo da je x 2 + y2 = 2x + 2y (x — l ) 2 + (y — l)2 = 2 p = 2cos<^ + 2sinyj; x 2 + y2 = 4 p = 2; => cos <£>+sin
Si
Si
dS = dxdy => f f r •n^dS = f f 0dxdy = 0; D
Si
dS = dxdy => f f f - n^dS = f f dxdy. Si
D
l a = r => f f f div fdxdydz = f f f 3dxdydz = 3 f f dxdy f dz = 3 f f dxdy. v
v
o
d
D
Dakle, 0 2 ( c o s ^ J-fs in c/j )
F = 2 f fd x d y = 2 f dtp - f
d
=
f
§
2 ( cos ip-l-sin ip)
2
pdp+2 f d
o
o
o
f
f
pdp
o
0 f f 4(cos2 tp + 2 sin
0
f
1 1° sin2
a ) Izračunajmo koordinate tačaka A, B , C \ D krive c (vidi sliku):
= 0, a: + x = y, x + x = 0, x + x = 0, 2/ =
i/
j/ + z = 3, x 2 + y2 = 2x =$■ x - 2, z = l= + A (2 ,0, 1); y + z = Z, x 2 + y2 = 2x => x = y= 1, z = 1 =+ 5 ( 1 , 1 , 1 ) . y + z = 3, x 2 + y2 = 2y => y = 2, z = 1=>■ C ( 0 , 2, 1). 0, x + y + z = 3 = » D ( 0 , 0,3).
Uvedimo oznake: J i — f ((y + l)d x — xdy + dz), i = 1 , 2 , 3 , 4 . y : + y2 = 2x, z = 3 — x — y (x — l ) 2 + 1/2 — 1> 2 — 3 x Cl => X = 1 + cosip, y = sinip, z = 2 - cosy> - sinv>; da: = -sin< pd
50
f
J i = / (sin
f
J 2 = / ( 2 4- sin <^)(—sin y?)dip — cos2 o sin2
—cosip)dp = (cos
+ (sin
\
■ I = —ir — 4.
\
2 1
: / Zl / / /
0
\\ i
4 2
*
b ) J i + J 2 + J 3 + J 4 = / / rot(i/ + 1, —x , 1) •ndS s
0 c3 : 3; = 0 , z = 3 — y; dx = 0, dz = —Jj/;
J 3 = / —dy = 2.
c4 : y = 0, 2 = 3 — 2;; dy = 0 , dz = —dx\
J 4 = J dx — dx = 0.
S : a; + 1/ + z
3,
1 a
(0,0,-2).
3
k
dx
dy
'&ž
y+ l
—x
1
9
a
2 2
0
JS 1 = \/Ždxdy,
n =
iot(y + 1 ,—a;, 1) =
/ / rot(y + 1, —x, 1) •ndS = / / ( 0 , 0 , - 2 ) ■( l , l , l ) 4 ? d S = J J ( - 2 )dxdy =
s
s cos v?
2
—2 j d i p
0
J
0
f
D
2 sin
pdp — 2 f dp J f 0
f
f
pdp = —2 / 2 cos2 vaJp —2 / 2 sin2 ipdtp 0 f
51
= (—2tp — sin2ip)j * + (—2
/ = —7r —2 —2 = —7r —4.
w = ((1 + e- ( i - ‘+2/(*i+i)))-i _ i )2.
w\ = zi, W2 — w i + 1, W3 = w-r = ew6, wa = 1 + u>7, wg =
ti/4 = 2ui3, ws = 1 —i + W4, we = 7ru;s, wio = wg — §, w = wl0.
^2 ~h
0
-i -1
0
52
0 -i
r 1 5 .0 9 .1 9 9 6 .
00 (2" + 3n)n“” ' JJ — ■■■■-:■■■■— u z a v isn o sti o d re aln o g n—1 (n + 2 )n. p a ra m e tra a , a za tim u z im a ju ć i d a j e a = 0 s u m ira ti red .
1. Is p ita ti k o n v e rg e n ciju re d a
2. Iz ra č u n a ti p o v ršin sk i in te g ra l
J f xydydz + xydxdz + zdxdy, s gd e je S s p o lja š n ja s tr a n a ru b a o b la s ti d a te sa x 2 + y 2 < z, x 2 + y 2 < (z - 2)2, z < 2; a) d ire k tn o ,
b ) k o ris te ći fo rm u lu O stro g rad sk o g .
3. a) D a to j e v e k to rsk o p o lje a = x f ( x + y)i + x y z j + x f ( z ) k , gde j e difere n c ija b iln a fu n k c ija f ( t ) re š e n je in te g ro -d ife re n c ija ln e je d n a č in e t
/'(<) + f ( t ) = -
J
f ( t ~ u )eudu, f ( 0) = 1.
O d re d iti fu n k c iju f ( t ) i p ro v e riti d a li j e p o lje 3 za f ( t ) = 1 — t p o te n c ija ln o . b ) D a t o je v e k to rsk o p o lje a = a;(l — x — y)i + xyzj + x ( l — z)k. N aći rad R = ’R i — R-i gd e j e R\ rad p o lja 3 duž p re s e čn e k riv e p o v rši (x2 + y2)2 = A(x2 —y2), x > 0, y > 0 i x + y + z = l od ta č k e A do ta č k e B, a R i ra d p o lja 3 duž p re se čn e k riv e p o v rši x 2 + y2 = 2x, y > 0 i x + y + z = I, o d ta č k e A do ta č k e B gd e su .4 (0 ,0 , 1) i B ( 2 , 0, —1). 4 . P u n k ciju f ( z ) = 7-------- 77------rr, a > 6 > 0 r a z v iti u L o ra n o v re d po (z —a ) ( z —0) s te p e n im a od z. 5. P o la z e ć i od in te g ra la J z ~ 2/2e~ azdz, a > 0, gd e j e c k o n tu ra n a slici, C
iz ra ču n a ti k o n v erg en tn e in te g ra le 1 %= J —
0
53
vx
dx i I 2 = / — = - dx.
0 v®
R ešen je:
1. q =
(n + l ) a = Jim
{
_
lim
3e, oo,
a=1 a > 1 .
0,
a <1
.i± | .
iim aZ±i±32± i . s±| . 2 ” 4-3”
E
o!
(n-f 1)°
(n + l)»
n“
(n + l ) a ■[(1 + ± )" ]a = 3ea Jim (n + 1 ) - 1 =
Za q < 1, tj. a < 1 red konvergira, inače divergira. n= exl
n+3
_ y = v^ 2i i i = i!) /L n! j
= + /(* ) ( - 2/ ( x ) ) ' - ( E f S 0 /(a :) = /r [e I (a; — 1)]|Qn== 0g ? (eX(x — 1) + 1)=4> /(ar) = ± r / xexda;n ==> A = ( / (2 ) - |) + ( / ( 3 ) - |) = |(e2 + 1) + |(2e3 + 1) - 1 = f e 3 + + 2 - §•
a) f f xydydz + xydxdz + zdxdy = f f xydydz + xydxdz + zdxdy + p s f f xydydz + xydxdz + zdxdy. 2.
K
z = x 2 + y2, (z - 2)2 = x 2 + y2 =+ ( z - 2 ) 2 = z = > z = l , z = 4 => z = 1 (z < 2). x = pcos(p, y = psinip, |J[ = p. P ; z - X2 - y2 = 0, z = p2, 0 <
s
n 0d S = f f ( P cos q + Q cos /3 + R cos 7 )đS, S
s
f f f ( x , y ,z )d S = f f f ( x , y , z(x , y)) S
y / l + P2 +
D
9 = g f , imamo
/ / xydydz+xydxdz+zdxdy = / / [xy -2x+xy-2y+ (x2+ y 2) ( - l ) ] D
p
/1+4^a+4ya ' *
4
27T 1
0
q
-5
V^l + 4x2 + 4y*dxdy = f f (2p4 cos2
ir
/ [(—sinV')2cosi/' + cos2 ip(— sinip)}dip —
- 2 7 r = —f
(ip =
— 7T
Za donji deo konusa imamo K : z —2 + \Jx2 + y2 = 0, z = 2 —p, 0 < 0
< p < 1, n0 = ^ ( ^ “
>
1 }-
54
*
f f xydydz+xydxdz+ zdxdy = f f f r p - - ."* K
1] + v
+ { 2 ~ J x ‘2 + y2)-
V * +*
D
y / x 2+ y 2
2tt 1 ■V2dxdy = / / (p3 cos2
/ / xydydz + xydxdz + zdxdy = —f +
/ / ( P cos a + Q cos p + R cos y )d S =
b) Iz formule Ostrogradskog / / / ( § £ + fj? + V
§f )dxdydz, sledi 2 —y / x 2 + y 2
/ / xydydz + xydxdz + zdxdy = f f f { y + x + 1)dxdydz — f f dxdy S
V
f
x 2+ y 2 2ir 1
D
,
(y + x + l)d z = / / ( 2 - V x2 + V2 ~ V 2 + ?/2))(j/ + z + l)dxdy = f f ( 2 - p 0 0
D
—p2)(p co sp + p sin p + 1 )pdpd
3. a) £ ( / '( * ) ) + £ ( / ( * ) ) = - £ ( / / ( * - u )e “d u), s C (f(t )) - 1 + £ ( / ( * ) ) = o - ^ (/(t fiC ^ e 1), odnosno uz oznaku F (s ) = C( f ( t ) ) , s F (s ) — 1 + F ( s ) = —^ (s ) j r j , F ( s ) = i — pr, te primenom £ _1 dobijamo da je f ( t ) = 1 — t. a = x ( l — x — y)i + x y z j + x ( l — z)k i 3 d_ d_ dx dy x ( l — x —y) xyz - a nije potencijalno polje. => rot a =
b ) 1Z\ =
/
a ■dr,
k d_ dz x ( l — z)
= —xyi + (z — l ) j + (yz + x )k ^ 0
L X(A ,B ) : (x 2 + r/2) 2 = 4 (x 2 - y2), x ,y > 0,
ii( A .B )
1 + ?/ + « = 1. 7
/
a •dr,
L 2(A, B ) : x 2 + y2 = 2x, y > 0, x + y + z = 1.
L R A .B ) A
A
TZ = !Z\—Tl2 = (7?i+ / a -d f)—(l l 2 + f a-dr) = f f rot a-fi0d S —f f lot a-’fiodS. B
B
Si
rot a = (—x y ,z —l ,y z + x ) , S : z = 1 —2: —y, no — ^ ( 1 ,
S2
1), d S = \pidxdy,
Si, i = 1 ,2 su delovi ravni S koje ograničavaju duž A B i redom krive L ,(A , B ), i = 1,2. R = f f + { ( - x y ) - l + ( ( l - x - y ) - l ) - l + ( y ( l - x - y ) + x)-l\ V Ž d xd y + Di
- / / -7j[(-a ;i/) •1 + ((1 - x - y) - 1) •1 + (y (l - x - y) + x) ■l]VŽdxdy =
55
- / / (2xy + y2)dxdy + f f (2xy + y2)dxdy. Di D2
x — p cos ip, y = p sin
5 2>/c03ŽV 11 = - f f ( 2 x y + y2)dxdy = - f d(fi f (2p2 costpsimp + p2 sinJ ip)pdp = Di
0
i
0 T
^
- / (sin 2
0
4
= 2 f t 2dt - / ( 2 - 2 cos3 2ip)d
#
f 2 cos 7 12 = f f ( 2 x y + y2)dxdy = f f (2p2 cos 75sin p + p2 sin tp)pdp = f (2 sin
0
cos 'p + sin2
0
0
= / 8 cos5
0
+ / 4 cos4
0
- / 8 p 5 dp + ) s i n 2 2V ■l ± ^ d < p = S ^ ! 1 + / s i n 2 iA ■ 1 0 10 0 = f + i [ f ( f - \ sin2ip) + i s i n 3 i/>]|* = 5 + f (p = cosp\ip = 2p ).
7T 4 2 ' 3
1 7T 4 8 — 3
37T 8 -
4 . Tačke a i b su jedine singularne tačke funkcije / , pa posmatramo oblasti: 1°) |z| < b, 2°) b < \ z \ < a, 3°) |z| > a. U sve tri oblasti funkcija je regularna. Za prvi slučaj znamo da se / može u krugu |z| < b razviti u Tejlorov red:
£ (i)"l
fM -
£
n=0
i l f J i +
K
.
U drugom sLučaju, funkcija /i ( z ) =
nema singulariteta unutar kružnice
|z| = a, pa se može razviti u Tejlorov red, dok /ž (z ) = j r s u |z| < a ima
56
singularitet, pa je razvijamo (u prstenu b <\z\ < a, gde je regularna) u Loranov red. Dakle, OO /( * ) = = is(A W - M z )) = = + b{ + E $ n=0
n=0
<+a+r +E
n=0
n=0
& s£ r * n = s*s [...+ 6*-a+ * - 1 + i + £ * + ...].
Za treći slučaj jasno je da funkcije / a i / 2 razvijamo u Loranov red, tj. OO _ °° ir,
/(*) = + ( + - s=s) = s=s ■Kr=f - tttt) = s=s •;(E > - nE= 0 K = n=0 E n=0
an—bn _1 b ' a—1 y
e~«( II
5. Uzmimo da je a r g z “ ’ jednak 0 za z = x £ R + . Zbog regularnosti podintegralne funkcije unutar konture c, imamo I = f
y = cos x
s\ v
C
X2
z ~3 e-az tžz = 0. Razbijajući integrai I po delovima, važi R
0
%
JC
T
I — f x ~ i e~axdx 4- f R~^še~%le~aReU R ietldt -f f y ~ ie ~ i% le~atyidy r 0 R 0 . -f J r ~ i e ~ ^ ' l e ~ a re U r i e u d t = I i + 1 % + 1 3 + 14. 2
■f 2|J2|< J| JŽ - 3 e- T . e- aflc° ^ e- iQflsint -R ie u \dt = f R i e ~aRcostdt < V R f e - aR( ~ i t+1)dt = 0 0
f e ^ d t = jŽ g -H ia rr = ^ 0 lne » 10
“ 0
= “v7rBt ’ & (1 _ e _ ° R)- A -» °o =+ 0 < iž — lim |J2|< 0 , tj. J 2 -» 0. ■*“ »oo Slično, IJ4I < ^
, tj. kada r —> 0,
0 < lim |J4|< =- lim —V - = =- lim — 7- ^ 0 1
1
2“ r - ► 0
vr
2“ r —*0
T7?
= 7r lim ^ r-* 0 e
= 0, pa J 4 -+ 0.
Ako r —>0 i R —> 00, tada OO
OO
OO
—> f x ~ i e ~ axdx = ~ f a iu ~ ? e ~ ndu = -4= / u 2- 1e“ wdu = - ^ r ( | ) 0 o v 0 (u = ax, du = adx), Ii
I3
00
_
7T ■
_
1
— f ie * ly *(cosay — isinay)dy. 0
Konačno
00
1
- t r ( | ) - i - ^ ( l - i ) f y~* (cosay - isinay)dy = 0. v 0
h + l S= y fln i),
h - l 2 = 0 => Ta = X 2 = 5 g = V ^ -
57
2 7 .1 0 .1 9 9 6 .
1. R a z v iti fu n k c iju sha: = - — ^ — u F u rije o v re d n ad in te rv a lo m (-7 r,ir).
fc- 1
..
K o r is te ć i t a j ra z v o j n a ci > , ( - l )
2fc3 - 2fc2 + k'
fc=1
2 . D a ta su p o lja b — (/(u) + s ( u))n + (/(u) —g {u ))r i c = (/(“ ) + *)* + (s (u) + z _ i ) J + (9(u) + j/)fc, gd e j e « = i + t/+ z p o te n c ija l p o lja a, a /(u) i s(u) d ife re n c ija b iln e fu n k cije . a ) P rim e n o m L ap laso v ih tra n s fo rm a c ija o d re d iti fu n k c ije f ( u ) i g(u) ta k o d a j e p o lje c p o te n c ija ln o , a d a za p o lje 6 važi div6 = u ( f' ( u ) g'(u) + 3) i da j e /(0) = s(0) = 0. b ) N a ći p o te n c ija l p o lja Ć. c ) Z a ta k o n ađ en e fu n k c ije f ( u ) i g(u) n a ć i ra d p o lja Ć od ta č k e A (l,0 ,3 ) d o ta č k e B ( 0 ,l ,3 ) p o k riv o j L d o b ije n o j p re se k o m p o v rši x 2 + y 2 = 1 i z = 3. 3. D a te su p o v rši
S i : x 2 + 4y2 + 4z2 —8z —4 = 0, z > 1, S 2 : x 2 + 4y2 — 4z2 + 8z - 4 = 0, z > 1.
a ) Iz ra č u n a ti zap rem in u t e la o g ran ičen o g p o v ršim a S i i Sab ) Iz ra č u n a ti p o v ršin sk i in te g ral I =
JJ
(x 2 —yz)dydz + (y 2 — xz)d,xd,z + (z2 — xy)dxdy,
s gd e j e S s p o lja š n ja s tr a n a p o v rši k o ja o g ra n iča v a t e lo d a to s a S i c)
i S2• Iz ra č u n a ti k riv o lin ijsk i in te g ra l
/ x d x + (x + y)dy + (x + y + z)dz, C
gd e je c k riv a p re se k a p o v rši S i i S 2.
,
4 . Iz ra č u n a ti m te g ra l
j |z
f
sin l/z ,
_ \)dd z '
|=2
5 . P re s lik a ti o b la st (z € C : |z| > 1, |z + 2i| > 1} p o m o ću fu n k c ije
3tt iz + 1 /(z ) =
.
58
R ešen je:
1.
Funkcija sh je neparna, pa je Furijeov red, nad intervalom ( —7r , 7r), za OO
nju: E bn sm nx, gde je n= 1
7r bn = - f s h x sin nxdx * o 7T
7T
= ^ ( / e 1 sinnrda: — / e -1 sinnrda:) rj I j = f eaxsinbxdx = a- e ax sin 6x a—J % f eax cosbxdx a= co ste + £ / ) => / = 2#^jj(asin&x — bcosbx).
/
a
v aeox
sinfca;— £ (£
(u = sin&a;, dn = eaxdx, du = b cosbxdx, v = \eax\ p = cos bx, dq = eaxdx, dp = —6 sin bxdx, q = ~eax.) x
—X
j 7T '
= / [ i ^ r ( s i n n x — n co sn x ) — — jy (—sinnx — n cosnx)] = _ 2sh7T _ f— 7r 1+n2
■n ^ n ~ e~n) \ 7 t— 1
,
=+
sh x=
X) ' 71=1
aln nx, x € (—7r, 7r).
B fc+ C fc -1 _ A 2fc3 - 2 f c 4 +fc — fc + 2 fc * -2 fc + l
A = -1 2j 1 + B = 0 =+- —2A + C = 1 =$► B — 2 C = —1 C = -1 2fc—2 ,
sh f = 2*=
E
^ T ^ s i n ^
= ^
E
fc= l
^ ~ i+ ( 2f
c
-
( " 1)
1 =
sh 7T
—
< D f c - 1 2fc—1 X sK -1) 2k? 2fc+ l ’ fc= 1 (sin = ( - ! ) * + / n = 2k - 1 ; sin f “
(-H*->(fc-i) _ |S,r +ifc- 1
2-, 2fc3- 2fci+fc - + v fc= l
fc= l ZL
1
2. ro tc -
_ ln
= 0 , n = 2fc) ,
_ . t..
2fc—1 , V C-1) 2fc^—2fc+X +■ fc
s h f - 5f c - l n 2 =
fc= l
9
a ) a = grad(x + y + z) = ( 1 , 1 , 1 ) = i + j + k, i d_
dx
}(u ) + z
3
d_
dy
g(u) + z ■
k d dz
= ( / ' ( « ) —i? '(« )+ i)-( o, i , - i ) = 5
g(u) + y
=> f ' ( u ) - g ' ( u ) + 1 = 0 . div &= ( 1 , 1 , 1 ) ■grad( f ( u ) + g(u)) + 3 ( f ( u ) + g ( u )) + (x, y, z) •grad( f ( u ) g(u)) = 3 / '( u ) + 3p '(u )+ 3 / ( u ) + 3^ (u )+ u f ' ( u ) —ug' (u) = u ( f ( u ) - g ' ( u ) + 3) =+
59
eal
f ' ( u ) + f ( u ) + g'{u) + g (u ) = u. Označimo sa / = £ ( / ) , g = C(g). Primenom Laplasove transformacije: / »
= - 1
- S»
sf(s)-sg(s) = - i
/ ' ( “ ) + s '( “ ) + / ( « ) + ff(“ ) = «
s / ( s ) + S ff(s) + / ( s ) + g ( s ) =
1 1 / ( s) = -^»(s+i) 2 s+1 g(s) = + | ~ 11 2 s
sf(s)-sg(s) = - i (s + l ) / ( s ) + (s + l)š (s ) = 4,-
4f
li 2 s
Koristeći inverznu Laplasovu transformaciju, dobijamo:
/(“) :
--+L_u 2+ 2
’
. . 1 1 _ g(u) = u - - + - e
c = (—^ + \e ^x+v+z^+ z ) i + ( x + y + z — \ + \e (I +v+2) + 2 _ x )j + (a; + j/ + 2 - | + l e - ^ + v + ^ + y)k = ( - | + i e-(*+v+*) + 2 , 2/ + 2z - | + \e-(* + v + * ),x + 2t/ + z - | + i e-
b) Potencijal polja c = (P ,Q ,f l) je K = / a • dr Ma M M
=
/
P d x + Qdy+ Rdz, gde
Mo
je Mo(x'o,2/0j 2o) neka početna tačka, a M ( x , y , z ) proizvoljna tačka. Putanju MoM možemo birati proizvoljno jer je polje c potencijalno, pa krivolinijski integral ne zavisi od putanje. Izaberimo putanju M 0Mi U M xM 2 U M 2M , gde je M i ( x ,y 0,z0), M 2( x , y , z 0) (vidi sliku). Tada je X
y Q ( x ,y ,z 0)dy + J R (x ,y ,z )d z .
U = yo
xq
20 x
y
Ako se uzme tačka M o(0,0 ,0 ), imamo da je U = / ( —| + \e~x)dx + f ( y — o o | + |e-*~v)dy + f ( x + 2y + z - § + \e~*~v-*)dz = ( - \ x - \
0
10
+ (\y2 -
\y — \e~xe~v) ^ + ((x + 2y — \)z + \z 2 - \e~x~Ve~z)\Q = —\[e~x~v~z + x + y + z — y2 — z2 — Ayz — 2 xz — 1], Dakle, potencijal )eU\ = U + C.
60
c ) Parametarske jednačine krive L su: x = co stp,
1Z =
*2
z = 3,
/
J Č - dr = J P d x + Qdy + Rdz = / AB
y = sin tp,
[ ( - f + ke-UosV+SmV+3) +
0
A
3 )(—sintp)+ (sin<£7f 6—f - f f e _ (cos 95+810^ 3)) costp]chp = / [ —f sin
~ cos
- 2e
— [| cos
^ sin
7
J |0 “ 2 ‘
Kako traženi krivolinijski integral TZ ne zavisi od putanje već krajnjih tačaka, možemo ga računati pomoću formule TZ = U (B ) — U( A) = S i : x 2 + 4y2 + 4z 2 — 8z + 4 = 8 +$ x 2 + 4y* + 4 (z — l )2 = 8
3.
( š v ^ + (Vfp +
z ^
elipsoid (”gornja”polovina).
S 2 : x 2 + 4j/2 — 4z 2 + 8z —4 = 0<=>a:2 + Ay2 = 4 (z 2 — 2z + 1) <+ (z — l )2 = £ +y2
++ z - 1 =
+ y 2, z > 1 ; konus.
Kako (0 ,0 ,1 + 1/ 2) € -S’i i ( 0 ,0 , 1 ) e S 2, to je S\ iznad So, bar onaj deo koji ograničava kriva c = Si n 62 : 4z 2 — 8z — 4 + 4z 2 — 8z + 4 = 0 +> 8z 2 — 16z = 0 +> z = 2. Dakle, c : a:2 + 4t/2 = 4 , z = 2. Takođe je:
D = { ( x , y ) : ^ + y2 < l } .
a ) x = 2pcosip, j/ = psinip, z = z, |J| = 2p; Sf :z = 1 + \ t/ 8 - s 2 - 4j/2, z = 1 + i / 2 S2 :
p2;
z = 1 + \ J z J + y 2, z = 1 + p.
2tt 1 i + V ^ V = f f f dxdydz — f f
2tt 1
V
0 0
f
2 pdzdpdtp =
1+p
______ 2tt 1 ______ f f ( l -f \/2 — P2 - 1 - p)2pdpd(fi = f d(fi f (2py/2 — p2 — 2p2)dp = oo o o
27r[_ | (( 2 - p 2) § + p 3) [ ] = f ( / 2 - l ) . 2tt 1 1+'s/2-P 2 b ) 7 = J f J (2x + 2y + 2z)dxdydz = 2 J J V
0 0
(2p cos cp + p sin tp + *)■
J 1+ p
2jt 1
2tt 1
2pdzdpdtp = 4 / / dpdtp(2p2 cos ipz + p2 simpz + o o
= 4 J Jd p d tp o o
/ 61.
((2 p2 cos
= 4f
dp[(y/2
- 2p]ip] [
T=
p2
— 1 —p] + |[(1 + \ / 2 —P2)2 ~ C1 + P)2])
- p 2 - p)( 2p2 sin
- (? - 1 -
p2
4 / [ - P ^ v / ^ P 2 ~ P) + * ( 2 ~ 2p2 - 2p + 2 i/ 2 — p2) + p*(v/2 - p2
- p)]dp = 4jr(2p - p2 - |p3 + 2 arcsin ^
c )/ = //
s
co sa s Sx x
cos (3 a Si x+ y
cos^ a Si x + y + z
+ f V 2 ~ ^2)|0 =
d S = / / (cos a — cos 0 + cos 7 )dS. s
Si n S 2 '■z = 2, n 0 = (cos a , cos /3, cos 7 ) = ( 0, 0 , 1 ) =+ I — f f d S = / / fitedj/ = 2tt.
s [
D
/ 2pi/ 2 - p2dp = - f t - 2 t d t = - f (2 - p2)5 (v /2 — p2 = t, —2pdp — 2tdt) f \/2 — p2dp = f \/2 cost • \/2 costdt = 2 / cos2 tdt = / ( 1 + cos2t)dt =
t +sin 2t _ f 4.sin t\ /i _ sin2 t = arcsin
a r c s i n ^ + f \/2 - p2
^ y l —' =
(p = \/2 sinl > 0 , tžp = \/2 cosldi).
J
4 . Za funkciju / ( z ) = , tačka z = 0 je esencijalni singularitet, dok je z = 1 pol drugog reda. Stoga imamo
^
'
= ( i ^ ) ' = ( E * " ) ' = E nz”~ \ «n — —0
s in i = E ( - l ) - 11^ nn==1 l
*1 n —= l1
/ ( z ) = (1 + 2z + 3z 2 + 4z 3 + ...) •( i -
+ ŠRS - •••)•
Koeficijent uz z _1 u tom razvoju je
OO
-
0-1 = 1 - I + rn + - = 1 - 5F + i - ••• = E 0( - l ) n TkjT = cos 1 = R e s /( z ) . R m f ( z ) = p if jr fim ((z - l ) 2 ■ /
f( z )d z = 27ri(Res / ( z ) + Rfis f ( z ) ) = 27ri(cos 1 + ( —cos 1)) = 0.
|*|=2 5.
= lim (c o s J ■(~ p r ) ) = - cos 1 .
2=0 = i+
Wi = z + i, w = ewe.
2=1
=+ w = f ( z ) = w2 = m ,
(w 3 ( ± & - f ) =
w3 = ==,
■ w4 = 2 w 3,
- f , w 3( —i) = - i )
62
ws = i + w4 ,
we = ^fw5,
Oblast G = {z 6 C : |z| > 1, \z + 2i\ > 1 } funkcijom / preslikava se u oblast {z € C : arg z € (0,
63
0 1 .0 2 .1 9 9 7 .
1. N a ći o p šte re š e n je d ife re n c ija ln e je d n a č in e 2x 2y" — xy' + (1 — x 2)y — 0, u o b lik u step en o g re d a , u o ko lin i ta č k e x = 0, za x > 0. 2. Iz ra č u n a ti deo zap rem in e t e la o g ran iče n o g sa p o v ršim a
x?_ a2
b2
c2 J
_ xyz_ x = 0, y = 0, z = 0, abc ’
k o je se nalazi u prv o m o k ta n tu , gde j e a , b , c > 0. 3.
D a t a su p o lja v e k to ra 3z
1 + x2 b = y z ( 2 x + y + z)i + x z ( x + 2y + z ) j + x y ( x + y + 2 z)k. N a ći d ife re n c ija b iln u fu n k c iju / : R —> R , ta k o d a p o lje a bu d e solen o id n o , ako je /(1) = §. P o k a z a ti d a j e p o lje b p o te n c ija ln o i n a ć i n je g o v p o te n c ija l. 4. N a ći a n a litič k u fu n k ciju f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x ,y ) , g d e je u(x, y) = /(0) = 0, a za tim iz ra ču n a ti in te g ral / = / f ( z ) d z , gd e j e c p ro iz v o ljn a C
z a tv o re n a p u ta n ja (p o z itiv n o o rije n tis a n a i b e z s a m o p re s e c a n ja ). 5. K o r is te ć i ko m p lek sn i in te g ra l f c z dz, gd e j e c z a d a ta k o n tu ra , izraC
oo
č u n a ti k o n v erg en tan in te g ra l / cos x 3 dx.
o
64
,
R e š e n je :
1.
Tačka x = 0 jc regularno-singularna za datu jednačinu J , pa rešenje OO
53 a.nx n+r, x
tražimo u obliku: y =
> 0,ao J
0, ođnosno jednačina J je
n=0
ekvivalentna sa
2x 2
OO
n=0
'
'
OO
'
+ r)(n + r - l ) x n+r_2 — x 53 a«(n + r)a :n+7'_1 n=0
oo
+ (1 - ®2) E a>>rn+r = 0 n=0
oo
* '■
53
oo
oo
2a„(n + r)(n + r - l ) x n+r - 53 a n(n + r ) x n+r + 53 9mXn+r
n=0 oo
n=0
n=0
—53
5 ) [2a„(n + r)(n + r - 1 ) - a„(n + r) + a n - a n_ 2]a;n+r + 2a 0r ( r - l ) x r n= 2
+ 2a i( r + l ) r x r+1 — a 0r x r — a i( r + l ) x r+1 + a 0x r + a ix r+1 = 0
2r 2 — 2r — r + 1 = 0 , a i ( 2r 2 + 2r — r — 1 + 1 ) = 0 , an[(2n + 2r)(n + r - 1 ) - (n + r - 1 )] - a n_ 2 = 0 , n = 2,3 ,... Kako je 2 r 2 — 3r + l = 0 < + r n = 1 > r2 = to za ai = 0 sledi
0, a 2fc =
= |(3 ± \/9 — 8) <=> r\ = l , r 2 =
a ( 4 fc+ 2 r - l ) ( 2 k + i— 1) =
^ 1 n ( 4 i + 2 r —l ) ( 2 i+ i— 1=1
K5|M
2 r 2 — 3r + 1 = 0, a i(2 r 2 + r ) = 0 , an = (2n+2r 3"i)(n+r_ i ) , n = 2 ,3 ,... .
1) ° '0 '
Ako sa a2n i a“ 2n označimo koeficijente reda koji odgovaraju respektivno za r = 1 i r = |, onda je (za a 0 = 1 ): yi = x J (l + ] T a 2nx 2n), y2 = V x { l + ^ a j nx 2n), n=l
n=l
pa imamo y = ciyi + c2y22. Uvedimo uopštene sferne koordinate: x = ap sin“ ip cos^ 0, y = bp sin“ ip sin^ 6 , z = cp cos“
65
sin 2 tp cos tp Sin 9 cos 6
f o
V = f f f dxdydz = abc f sin ip f v o o __ abc ~ 3
f sin7 p cos3 ipdp f sin3 6 cos3 QdB •=■
0
0
p2dpd0dp .
Polje a = (a i, a2,a.s) je solenoidno ako i samo ako je đ iva = 0 : diva = + ^ ■ = 0 ^ f ' ( x ) + -ff=sf(x) = 0 . Rešavajući ovu linearnu
3. ^- + ^
jednačinu dobijamo da je f ( x ) = f|+§, odakle iz / ( 1 ) = § sledi c = 0 , tj. (x (l + x 2)i + 2x 2(l + x 2)yj - (1 + x 2)zk).
} ( x ) = j f l r , pa je a =
Polje 6 = ( 6a , 62, 63) je potencijalno, ako postoji skalarna funkcija u (potencijal polja 6) tako je grad u = 6. j 6
, .d u d u d u = gradu = ( - , - , - )
= yz( 2x + y + z), — = x z (x + 2y + z), — = xy (x + y + 2z).
^
Iz prve jednaćine je u = xy z(x + y + z) + c(y,z), odakle zamenom u drugu i treću dobijamo: = a:z(x + 2y + z) = x z (x + 2y + z) + | | = ^ f | = 0 =+ c(y, z) = y>(z), || = xt/(x + y + 2z) = xy(x + y + 2z) + (z) = c = const. Dakle, u(x, y, z) = xyz(x + y + z) + c. a
_a_ dy
61
62
k d
31 = ( x 2 + 2 x i / + 2 x z —x 2 —2xy —2xz, 2xy + y 2 &3 + 2i/z —2xy— y2 —2yz, 2xz + 2yz + z 2 — 2xz —2yz — z 2) = ( 0 , 0 , 0), to je polje 6 bezvrtložno. Oblast R 3 je jednostruko povezana, pa je svako bezvrtložno polje i potencijalno, odnosno i na taj način smo mogli pokazati da je polje 6 potencijalno. Kako je rot 6 =
4.
Iz Koši-Rimanovih jednačina imamo: du _ 2x (x 2 + (y + l ) 2) — 2x (x 2 + y2 + y) _ 2x(y + 1) _ dx (x 2 + (y + l )2)2 (x 2 + (y + l )2)2 dy’
odakle je v = f dm = 2(y + 1 )dy imamo v= 9j£
+ c(x). Koristeći smenu m = x 2 + (y + l ) 2,
CW = ~ xi+(l+i)i + c(x). —
( 2 j/ + l ) ( s 2+ ( W+ l ) 2) - 2 ( W+ l ) ( g 2+ j/2 + W)
3W Si (s2+(y+i)2)2 c '(x )) =+ c '(x ),= 0 =+ c(x) = c.
_
/ - ( j 2+ ( y + l ) 2 ) + j - 2 x
-
(**'+Š+ipp
f ( z ) = u(x, y) + iu(x, y) =» / ( 0) = 0 + i (0 + c) = 0 ^ /W
= ^ 5 ^
+
66
+
Iskoristimo li osobinu da je f ( z ) — u(z, 0) + iv(z, 0), sledi da važi
f{~\ — z1 i -iz _ z(z-i) _ _z_ J z2+l ‘ z*+1 (z+i)(z—i) z+i 1 Ako je h(z) regularna u int c U c i zq € int c, tada važi Košijeva integralna formula: h(zo) = f —ff-dz. Dakle, ukoliko —i G intc, tada je C
I
= f f(z )d z = f C
dz = 27ri •(—i) = 27t. Ako je —i € ext c, onda je /
C
regularna u int c U c, pa je I = 0. Za —i € c, ne može se izračunati I , jer kompleksni integral definišemo za funkcije neprekidne nad krivom c. 5. Iz regularnosti funkcije f ( z ) = e“ 3, unutar krive c, sledi da je I = / f ( z )d z = 0. S druge strane je C
I = Jj + I2 + I3 = f eix3dx + f e iR3e3i>R ieiidt + f e ^ * >3 ■e‘ id y . 0
h = f
0
R
+ |)dy -» - ( 4 + |) 7 e -v 3dy = - ( 4 + f ) /
R
0
— V<|+* f o
=
0
R —> oo (t = y3, y = t %, dj/ = ^t~idt).
|/2|< /| e
0
0
= g ^ r(l — e~R ), pa za R —> oo sledi da 12 —> 0. OO
OO
/ cosa:3dx + i f sinx 3dx = 4 0
_
OO
' ^ (g ) + g •r ( | )i => / co sx 3dx = 4
0
0
67
_
■+ ( 5 )-
0 1 .0 3 .1 9 9 7 .
1.
a ) R a z v iti u F u rije o v red fu n k ciju
sin 2 x, 0, CX)
b ) N a ći sum u red a;
X € [—7T, — §
^
2. Iz ra č u n a ti p o v ršin u i zap rem in u t e la o g ra n iče n o g p o v ršim a z = - ( x 2 + y 2), z = 2 a — y / x 2 + y 2, a > 0,
a
k o je sad rži ta č k u .4 (0 ,0 ,a ). Iz ra č u n a ti i d užinu k riv e k o ja n a s t a je u p re se k u ru b a tog t e la s a rav n i y = 0. 3 . R e š it i in te g ro -d ife re n cija ln u je d n a čin u Z
2 f ( z ) —5
j
f" (z —u) sin 2udu = 2 cos 2z — sin 2z,
o ako se z n a d a j e /(0) = 1, /'(0) = —1. N a ći fu n k c iju g : $t —> R, g(0) = 0, ta k o d a p o lje v e k to ra a = 24f ( z ) x i + y g ( z )j —g ( z ) k bu d e solen o id n o . 4 . P re s lik a ti o b la st {z € C : |z| < 1, 0 < argz < f }, fu n k cijo m i ( l - z4)2 -
W
(1 + z4)2 i( 1 - z*)2 + (1 + z 4)2 '
OO i + 2 dx. 5. Iz ra č u n a ti g lav n u v re d n o st in te g ra la J —OOx4 —1
68
R e š e n je :
1 . a ) Punkcija / je neparna, pa je: a„ = 3. J f ( x ) c o s n x d x , = 0 , bn — 7T •
/ J / ( s ) sin nxdx = f / sin 2x sin nxdx. —1T
0
Iz sin a x sin fix = |(cos(a —p ) x — cos(a + (3)x) sle'di I a,p = f sin ocx siri(3xdx = l ( g a ^ E _ Š S ^ I * ) + c , a ^ ±/3; dok za a = / / 0 , 7aiC, = / sin2 axd x = / 1~co2s2a:l:dx = | (x — sm22 a l) + c. Dakle, l
~
2 1 /s m ( n .- 2 ) i 7T ' 2 \ n-2
sin ( 7i + 2 ) i i j » _ 1 ,-s i n ( n - 2 ) f n+ 2 (|0 — tt V n-2
=>■ &2n7+2 = 0, m € N, &2m+l m e Nn;
62 =
i
L=ir 7r L2m+3
s in (n + 2 )f , 0 n+ 2 /> n r + n
1 2rh—1 J
7r
• •
4m 2 + 4 m - 3 1
. i (x _ ^ ) | J = i oo
/(x ) =
oo (nn cosnx + &„ sinnx) =
n=l
| sin 2x + |
OO
s
i \f n j - 1
£
5 Z &n n=l
sinnx
Sin(2m + l)x .
m=0
b ) Zbog sin(2m + 1)| = cosmir = (—l ) m, sledi:
m= 0
m=0
4 m 2 + 4m — 3
=
0.
2 . Jednačine datih površi u cilindričnim koordinatama su: z = - p 2, a
z = 2 a —p
te je jednačina presečne krive: \pl = 2 a — p ,z = ~p2 O p = a , z = a. Time je i određena projekcija D date oblasti na xOy, sa D' = {(p , +)|0 < p < a,
J l + W + S d x d y = // ^/l + ( ^ ) 2 •p d p d p = 2 * 4 ( 1 + £ ) ! ) [
= ^ (5 + 5 -1 ), P2 = / / ^ i + { ^ ^ y
+ { - ^ L ~ y dxdy = V 2 J dxdy =
69
r.
P = Pi + P2 = ^ ( 5 7 5 - 1 + 6V2).
V = JJfdxdydz= J J 0 0
V
J pdzdpdtp = 2ix J p(2 a — p — ~p2)dp = =^f-. i p2
0
p = 0 =4- z = \ x 2, z = 2 a - \x\ = 2 a - x jer x > 0. Kako je đužina luka u xOz ravni: l = J
1 + ( jf )2 dx, to je
/ = l 1 + l2 = 2 / J l + (f x)2dx + 2 / V l + ( - l ) 2rf® = 2 - § / \ / T + F d f + 0 V 0 o
2\/2a = až [t\/t5~+T + ln |t + -v/tM-T]]! + 2\/2a = a [-/5 + 2\/2+ § ln(2 + \/5)J.
3. 2 f ( z ) — 5 / / " ( z —u) ■sin2 u d u = 2 co s2z — s in 2 z /£ =>o 2 £ ( / ( z ) ) — 5 £ ( / / " ( z —ii) sin 2u du ) = 2£(cos 2z) — £(sin 2z) => 2F ( s ) - 5( s 2F ( s ) - s f ( 0) - f ' ( 0 ) ) - ^ 4 = 2 •^
- &
=+ F ( s ) =
/ ( 2) = £ _ 1 (;7 T ) = e_ZPolje a = (24 f ( z ) x , y g ( z ) , —g ( z ) ) je solenoidno ako je div a = 0, tj. 2 4 / (z) + g ( z ) — g ' ( z ) = 0 , odnosno dobija se linearna diferencijalna jednačina g ’ (z) — g ( z ) = 24e_z čijim rešavanjem dobijamo da je g ( z ) = —12e~z + cez, pa zbog <7(0) = 0 sledi da je c = 12, odnosno g ( z ) = —12e_z + 12ez = 24 sh z . A
4-
W\ Wy = W \3
-
U1 -
ii(l-z d - ^ 4r) 2 - -(l+a:4)a d + z 4) 3 _ i ( 1 _ * 4 ) 3 + ( 1 + z 4 ) !| -
= Z4 , Wq
1
= 2 w \2,
_
i + ( i ± ^ )2 -
W2
= —Wl,
WS
= (w7)2, w9 = i + w8,
,
W
=
W \3
W3
= 1 +
W2,
— 1.
70
2i
i + f ^ - l ) 2
W4
=
_ \
W 3,
W l0 = W Č > ,
W5 W l\ =
= = ,
W&
= 2lUS,
==,
W \2
= iwn ,
Wi
= p v 4^, 11)5(1 + 5 ) = g~ + | i1,, U u iii(—2i) 2iJ = - | i , m)8 = p*e‘*w, p2el2v, ii)ii(— w : {z £ C : \z\.< 1, 0 < a r g z < j } — > { w e C : [id | < 1 } .
71
W i2
= e 'ttD n .
5. Posmatrajmo kompleksni integrai I = / f( z )d z , gde je f ( z ) = a C
c kontura sa slike. Kako se unutar te konture nalazi tačka z = i, pol prvog reda funkcije / , to je / = 2rri Res f ( z ) = ■ ffirl*=i = 2 « ^ f = - f ( 2 + i).
Sa druge strane je J =
+ / f( z )d z +
/
+ / f(z)dz +
/ —1- f r
c\
— /ž
C2
/ p f ^ d z + //(z )d z . l+r c3
l//( * ) d * l = 1/ C3
< / n
0
^ a
i^ id t = /^ fR d f =
0
0
+ f-/f/7r =+ filim / f( z )d z = 0 .
Iz osobine da za funkciju / koja ima pol prvog reda u tački z = a, važi da
<2
je lim f / ( a + re'^ rie^dt = i(Ž2 —ii) Res / ( z ) , sledi r —*0/ lim f f(z )d z = (i 2 — t i ) iR e s /(z ) ,
r —>0 / co
z=o
gde je co = (z e C : z = a + re4\ f € [ti, *2]}Znači, lim / f(z )d z = —7ri Res / ( z ) = —7ri (rtf U = -l = f i i "z=— —— 11
r —»0**
^
lim / f( z )d z = —n i R e s f ( z ) = - n *fJfU=i = -jT rt r-» 0CJ 2-1 Dakle, kada r —» 0, R —» oo, OO
v.p.
f J
7T . 7T . 3 . x +-2: . . a i = —7T — —t ---- 7 * + -TT* : 2 4 4 x*~ 1
Primetimo da smo za rešavanje integrala / f(z )d z mogli koristiti smenu Cl
z + 1 = r e lt, tj. z = re!t — 1, dz = rieu dt. Tako dobijamo
/ /(* )* Cl
= f i, r 7T
7T
logno nalazimo integral / f(z )d z uvođenjem smene z - L = relt. C2
/
f( z )d z — /
r e« (r e « '+ 2 )( r 3e2“ +
2 re“ + 2 ) ^
72
/ i£dt = —fp i, r —> 0 .
0. Ana-
0 6 .0 4 .1 9 9 7 .
1. K o r is te ć i fo rm u lu sin2a = 2sin a cosa. iz ra č u n a ti su m u re d a
E i n(cos|r).
[o,i].
71=1
2. Iz ra č u n a ti p o v ršin u p o v rši k o ju ise c a c ilin d a r (x2+ y 2)2 = 2xy, iz ko n u sa (z — 2)2 = X2 + y 2, kao i zap rem in u t e la k o je o b ra z u ju . 3 . N aći d ife re n c ija b ila u fu n k ciju / : R —* K , ta k o d a j e v e k to rsk o p o lje
s - d M . "M M i ' x ’ 1 + x2 ’
3z
1 + x2
\
so len o id n o , ako j e /(1) = 1. O d re d iti ra d to g p o lja o d ta č k e 0 ( 0 ,0 ,0 ) ka t a č k i M (1 ,1 ,3 ), p o duži O M , 4.
a ) N a ći a n a litič k u fu n k c iju /(z ) = u(x,y) + i v(x, y), /(0) = 0, gd e je
- ( + « ) = xv + -(~ + T j^ b ) F u n k cijo m w = /( z ) p re slik a ti o b la st G = { z € C : |z + 2i| > 1, Im z < —1}. £ a z _ e bz
5.
I s p ita ti p o s to ja n je i v r s tu s in g u la rite ta fu n k c ije /(z) = — --- j —, gđe a € Q , 6 6 l = R \ Q i 0 < 6 < a < l . Iz ra č u n a ti glav n u v re d n o st in te g ra ia 00 e ax — e hx e az f ------------- dx, k o r is te ć i in te g ra l f -------- dz, a € (0 ,1 ), gd e j e c k o n tu ra
-V,
1-
J 1 ~ e*
sa slike. y - R ± 2n i
2ni
R+2jti C
-R
0r
R
x
1
73
R e š e n je :
1 . S„ = E Incos £ = ln
f[
cos £
= ln[(cos f •cos $ ■••cos £ ) ■
= ln [(cosf •••cos^rr- s i n ^ ) • j a ^ ]
= ln [(cosf • • ■ c o s j* ,- s i n ^ ) • sin - f
2* sm
•= M sin a ' 2^ # ? ] = Insina - ln a - ln ^ 2^
J
=» lim S n = ln -sin a n —>oo
2. x = pcos^p, y = psimp, (x 2 + y2)2 = 2xy, p = V'sin2
Konusna površ (z - 2 )2 = x 2 + y2, z = 2 ± V± 2 + y 2 je simetrična površ u odnosu na z -o su . Za nju je zx = ± — zv = ± 2^ +y2’ Pa Je: __________ Vsin 2
’
O
o
o
4 \ Z 2 /f ( \ ^ 5 2 ^ ) 2d
D
D
f Vsin2»> f ___________ \ /x 2 + y 2 dxdy = 4 f f p ■pdpdp = f / V 2 sin^cosy> 2 sin <^cos <^đ
0
0
74
4#S(f,§)
=
*
4
'/ 2 r 2 Ci) _ 4V 2(ini))2 ... 4+2 A r 2 (i) _ 3 W _ 3 l r (j) “ 3 iir(|) -
9
'
Uveli smo smenu t = sin2 ip, Vsin
Polje a je solenoidno ako je d iv a .= 0, tj.
^ ( ^ ) + ■§$(? { + $ ) +
^ ( _ i + ^ ) = 0 ^ / ' ( * ) + xQ +{i)f ( x ) ~ i + / i = 0. Rešavanjem ove linearne jednačine dobija se da je f ( x ) = ^’\ f/f}x , odakle iz / ( 1 ) = 1 sledi c = —1 , tj. m
=
te je S = ( f e i ,
Jednačina prave p određene vektorom p = O M = (1 ,1 ,3 ) i jednom svojom tačkom je ^=2 = = ^^2 ili parametarskom obliku x = t, y = t, z = 3t. Kako nas interesuje deo prave - duž O M , to je t 6 [0,1]. Rad je 72. = f + OM
) [ - I + - 12 i + + ! # j i p “ i i S V l * = - « r t g <|0 - 1 2 lnm|, +
+ + * ■ '' -
(arctg t — +Pf )|q = —f — 9 b i2 — 1. (m = l + t 2;
u = t , du = dt, dv =
• sjgdt, v = f
4 . a) Iz Koši-Rimanovih jednačina imamo:
1) => u = - (y + 1) / c(y), dy
= -jf^ )
|| = |^ = —^ q q r^ y rp r-2(y +
+ c(y) = - ( y + 1 ) /
+ c(y) =
+
(m = x 2 + (y + l ) 2, dm = 2xdx).
__
__
^
dx
2+fa+D j-2 fa + l): + ć ( y ) = (**+(i:«+i)2)3
=» c'(y) = 0
=+ c(y) = c. f ( z ) = u (x ,y ) + iv (x,y ) => 0 = / ( 0) = u( 0 , 0) + iu( 0 , 0) = l + c + c = - l . /(* ) = ( 5 ^ ^
" 1) +
= ^ T F ^ + I - !•
K akoje x = R ez = f (z + z), x 2 + y 2 = \z\2 = zz, to je
____________ f ( z ) = i^__ ljV rrJr—A1 zž+ 2J(ž-z)+l b) w = f ( z ) = ^ uji
= z + i;
w2 =
- 1;
y = Im z = f-t (z - z) = |(z - z),
Cž+1 zz+iz—zi+1
1 — MLzril____ 1 = — Ž_
(z~i)(z+i)
z+i
G = {z 6 C : |z + 2i| > l ,I m z < - 1 } . w3 = w 2;
Wi = iw3;
w = W i~ l.
(Pri inverziji w2, kružnica |z + i| = 1 se preslikava u pravu /1B , -A (^ , —|), B ( —^y , —j ), dok prava y = 0 u samu sebe.)
75
Oblast G s e funkcijom / preslikava u oblast { vj 6 C : —| < R em < —1}-
5. Mogući singulariteti su nuie funkcije 1 — ez, z = 2kwi, k € Z i to nule prvog reda, jer je (1 — ez)'|z_ 2jbri = —e2kin = - 1 ^ 0 . Kako je tačka z = 0 i nula brojioca, to je ona prividan singularitet. To nije slučaj sa z = 2kiri, k G Z \ { 0 } , jer ea2/c7rl — e62fe,ri = 0 2kna = 2knb + 2hr <+ b = a — £ , l £ Z, što je kontradikcija, jer b e I, a a — f G Q. Znači, z = 2km, k e Z \ { 0 } , su polovi prvog reda za funkciju / . Da funkcija / ima prividan singularitet u z = 0, moglo se objasniti i na _ai bz t „6* osnovu toga da je lim 1, -e~* — lim ——-§*— b —a. ° ~e Ako je /i ( z ) =
tada:
2tt I = / f\{z)dz = I i + I ^ + h + I i + h + h + h + h = f xr^dx + / frprmidy + \ 2*3*“—
c
J/
ar(*-J-2 ir i)
r
+
p
o ^ ir i- l-r e * * )
.
i* j .
,
f f— 5-^n-ne^dž +
2tt 1 e
e “ ( * + 2 ir i)
0
9 e« ( -H -fiy ) / fz^TTRtr
f \_exWi dx + —r 2tt
+
r1 —e ^ 1d x + j/ — X_e-‘-a-rie^dt. r'«tt Kako je Ilm 5— - — 1 , to je lim ---- &riext = i lim e' u—0 “ J r —»0 X -e" r —*0
0
i •1 •(—1) = —i, pa sledi lirn h = / ( —i)dt = ni.
76
/ ‘
lim i+ ^ = r-r 0 re
-i+reu riext = ep2aori _e^_ ^ T ie * -+ e2a 7
Analogno iz J e2a7ri(—
2tt
l —e r
sle
;„27rai = 7rie:
< / jiz^+S[|i|dy = / | fg^ zi| dy < /
= 2 i r ^ j - . Kako je
2rrpt3 j ~ 27re^“ 1/ i i —> oo, to lim I 2 = 0 (a < 1). i?—>00 27r
_qR
-« H
Slično |/6|< / Z_e-.itdy = 2ir-f— Tt, pa lim i 6 = 0 (a > 0).
0
Iz regularnosti funkcije / i (z) =
>unutar krive, sledi da je / = / /1 (z)dz = C
0, a odatle V.P. /
^ d z + T r i- e ^ + T ri- V .P ./
— OO
atx 2»a»
— OO
V .P./ jr^-da: =
= 7rctg7ra
— OO
=>
00
ax
b*
V.P'. / ~ J ~ ^ -d x = 7r(ctg7ra —ctg7rt).
77
= 0
\
0 9 .0 6 .1 9 9 7 .
1. a) R a z v iti fu n k ciju f ( x ) re d p o kosinusim a.
{
sin2 x, 1,
* e [o, f j 6 [f , 7r]
x
u n e p o tp u n i F u rije o v
+ 1)( 4ic2 + 4fc - 3) '
b ) N aći su m u re d a g
2. D a ta su p o lja p = x 2i + y 2] + z 2k i q = (1 + y z )i + ( - 1 - x z ) j + (y2 - x y )k . 2 2 2 N a ći fluks p o lja p kroz d eo p o v rši | j + ^ = + r , 0 < z < g , p , g > 0 , u p rav cu v e k to ra n o rm ale t e p o v rši k o ji o b ra z u je tu p u g ao s a v e k to ro m k = (0 ,0 ,1 ). P o k a z a ti d a j e p o lje q solen o id n o i ia m e la rn o . 3. D a t j e in te g ra l / = / ( ! + ln(xy) + yz)dx + x ( k + z)dy + xydz. a ) P o k a z a ti da v re d n o st in te g ra la n e zav isi o d p u ta n je L i n aći funkc iju U ( x ,y , z ) ta k o d a j e p o d in teg rain i izraz n je n to ta ln i d iferen c ija l. b ) Iz ra č u n a ti v re d n o st in te g ra ia I , ako j e L duž A B o rije n tis a n a od ta č k e 4 (1 ,1 ,1 ) ka ta č k i B (2 ,3 ,4 ) (d ire k tn o n e k o r is te ć i a )). 4. P re s lik a ti o b la st G = {z € C : \z +
\, |z + \i\ > | }, fu n k cijo m
iriz w ■, e z + i . 5. K o ris te ć i in te g ra l / -
Ln2 z
rdz, y /Ž (z + 1)
gde je c k o n tu ra s a slik e , iz ra ču n a ti
00 In x k o n v e rg e n tan in te g ra l f —=,------— dx.
0 v x(x+ l)
78
«
R e š e n je :
bn = 0,
1.
a) Kako je Furijeov red po kosinusima u pitanju, to je; 7T “2 7 r a„ = f / f ( x ) cos n xd x = ~ ( f sin2 x cosnxd x + f co snxdx).
0
[
0
= siff 2 + c,
/ cos
/ sin2 a: cos nxdx = /
52
cos a cos 0 = \ [cos(a + /?) + cos(a - /?)] =» cos nxdx = § [ / cos nxdx - / cos 2x cos nxdx] =
f [ ^ - / | (cos(n+ 2)x + c o s ( n - 2)x)dx] = n / 2, n 6 N
«. = I S * ? - i + S i P Zbo6 ,in („ ± 2 ) } - - si„ 7
= {
■^2fc+l)'(4fc3+4fc-3) ’ * e N0 i
*j*
= 0, fc G N \ {1}. 2.
K
2
_ lg M ^ k + c, |
(» # 2, » € K).
+ HT5 + ^ = 2] = i sin TT '
a» = F 5 si n y [
a.2fc+l =
1
2.
a2 = f [ / sin2 (r cos 2xdx + / cos 2+dx] = |[| / cos 2xdx - 4 / cos2 2+d x+ Q f 0 "0 / co s 2xdx] f ao = f
j
0
= | [ls i !^ £ !2- I / ( l + cos 4x)dx +aii^s|7r ]= 10 o 'f
f ( x ) d x = %[fsin2 xdx + f dx] =
0
5
_ 1.
1 [(| _ sia4s)|5 + |]
3
2‘
oo
f(x)
= —
Y + ^
n —1
3
i
4
4
ant cos nx
_ cos 2x
4 ^ \
7r
( - 1) ” . cos( 2m + l) x . (2m + l)(4 m 2 + 4m — 3)
b ) Uzimajući da je x = 0, imamo da je tražena suma f ( / ( 0 ) — |) = —f .
2. Označimo sa 5 j deo konusne površi iz zadatka, a za S 2 deo ravni S 2 : z = b čiji je vektor normale k. Neka je i+, i = 1 ,2 fluks polja p kroz površ Sj, a F kroz površ S = Si U 5 2. Ako je V = { ( x ,y ,z ) : f r + < fy, 0 < z < 6} , na osnovu formule Ostrogradskog imamo F = f f f divpdxdydz = f f f (2 x + 2 y + 2 z )đ x d y d z = 2 / / / (p cos 91+ p sin <^>+ V V V'
79
2n
a
b
a 2-n
z)pdpd(pdz = 2 / dcp f dp J dz[p2(cos
a
o
ZP) + f (b2 - ^ P 2)]dlfidp = 2 /[ p 2(6 - I p ) f (cos
F2 = f f p ■ndS = f f ( x 2 •0 + y2 •0 + z2 •1 )dS = f f z2dS = f f b2 ■1dxdy =
S2 S 2 a gde je a = {( x ,y ) : x 2 + y 2 < a 2} projekciju oblasti V na
S? b2 p„ = a2b2Tt, xOy ravan.
Fi = F - F2 = Polje r/ je solenoidno, jer je div? = ž C 1 + 2+0 + IjC - 1 - * 2) + -§-z (y 2 -
= 0.
Polje g je lamelarno ako važi q ■iotq = 0, što je tačno jer i
k
3 d 9y
d
d = ( 2y - x + x , y + y , - z - z) = Fl 1 + y z —1 — XZ y2 - - xy (2y, 2y, —2z) => q- rot q = 2 y + 2y 2z — 2y - 2x y z — 2 y 2z + 2 x y z = 0. rotg =
3.
a ) Uz oznake J = / (P dx + Qdy + Rdz), znajući da je | š = h + z = L
x = 7% , %f = 2/ = , sledi da postoji funkcija U ( x ,y ,z ) , tako da je dU = P d x + Qdy + Rdz, pa integral ne zavisi od putanje L. Takođe uzimajući da je (x0, y0, z0) = ( 1 , 1 ,1 ) imamo x
y
z
x
U ( x ,y ,z ) = f P ( x , y , z ) d x + f Q(x0, y ,z ) d y + f R ( x 0,yo,z)dz = /( l + l n ( z y ) + xo y
yo
l
zo ix
z
ty
y z )d x+ f ( ^ + z)dy+ f ldz = (x + xln y + x (ln x — 1 ) + xyz)\ + (ln y + i/z) + 1 v 1 li U
12
= xyz + a:lna:y — 1 .
1 I = U(2 ,3 ,4 ) - 17(1,1,1) = 2 ln 6 + 23. b ) Jednačina prave kroz tačke A i B je: y = 2f + 1, z = 3f + 1, < € [0,1].
= 2=1 = t, tj. x = t + 1,
1
I = f (P dx + Qdy + Rdz) = / [ ( l + ln(t + l)(2 t + 1) + (2 1 + l)(3 t + 1 ))+ AB 0
1
( t + l ) ( 2tf t + 3 t + l ) - 2 + 3 (t+ l)(2 t + l)]d t = /[ l n ( t + l ) + l n ( 2 t + l ) + 1 8 t 2+ 2 2 t+ 8 +
0 1\dt = [(f + l)(ln (t + 1) — 1 ) + J ( 2t + l)(ln ( 2t + 1 ) — 1 ) + 6t 3 + l l t 2 + 8t +
|ln(2t + l)|jo = 2 ln 6 + 23. 4 . w = e’ri(1+^ ).
80
W ! = z + i, w2 = Wi , w3 = Wi = - i w 3 = e Z*W3, w5 = w4 + 1, we = iw5 = e~žlw5, wi = itw5, w = eW7. Oblast G se preslikava u oblast { » e C : I iid jj < 0 }.
5. Birajmo onu granu korene funkcije za koju je V r e lt = V r e 15. Izaberimo i onu granu ln z funkcije L n z za koju unutar konture c važi da je 0 < a rg z < 27r. 1 = / ^ 7 T T ) dz = 2H r i B n J i z ) = 2ni •[(1 + z ) ^ Q ^ ] \ z = - i = = 2 7 r i - % ^ = -2 7 r3. R
Takođe je o + / 2w
ln2 . ' / r e + ( r e i t + 1)
,
2 tt
ln 2 i e 2irl y / x e 2l r i ( x e 2ir t - h l )
;+i ) a r + j rielidt = h + 12 + I 3 + I4.
81
dx
1*1 s / iv S S £ n i |fl“ “ l‘,‘ s
\h\ <
•\/r ln2 r + 8?r3
Dakle, kada r
=> lim I 4 = 0 .
0 , R -*<*>, f ^ n
0
=
- 2- 3’ ‘j-
00
F 2 ln2 x —4ir 4 tt2 : , J
r }d x - 7
. . f
+1)
y /x (x + 1) ■v/x(a:
,/
0
ln x + 1)
,
- 2rr3,
pa je
/ 0
ln x , T T+T 1n) rfa: = a \/x(x
Kao propratnili rezultat dobili smo da je / ^7^ / f r d x = —7r3
82
2 7 .0 8 .1 9 9 7 .
1. Is p ita ti ap so lu tn u , u slovn u i u n ifo rm n u k o n v e rg e n c iju fu n k cio n aln o g ( —1)" e nx + e~ nx re d a > -— —■ ---------------- , n ad in te rv a lo m f—1.21, a z a tim z a x = 1 z—' n + 1 en + e~n 1 1 71=0 o d re d iti n je g o v .z b ir . 2 . D a ta su p o lja a = (x + Zy + 2 z ,2 x + z , x —y) i
.
.
.
' b = (x l J
o
f(t)sm 3 (z -t)d t,y f(z ),-z ).
N a ći c irk u la c iju p o ija a p o k o n tu ri A R .IB C L IC A , o r ije n tis a n o j o d ta č k e A k a ta č k i B , gd e j e A B : y = 4 — x 2, z = 0, A ( 2 , 0 ,0 ), B ( 0 , 4 ,0 ), C (0 ,4 ,3 ). N a ći fu n k c iju f : R —> R, ta k o d a j e p o lje 6 so len o id n o . 3. N a ći zap rem in u o b la sti V = { ( X , V , Z ) : ( ^ + y^ + ^ f < y } . 4 . R a z v iti fu n k ciju f ( z ) =
u L o ra n o v re d p o s te p e n im a o d z —1,
’
'
n 1
iz ra ž a v a ju ći k o e flcije n te re d a u fu n k c iji o d A(n) = T j -ni = oJ'-
2ir
gjj^
5 . Iz ra č u n a ti in te g ra ! f ------r-=—dx. 6 o 1 + sin2 x
83
R e š e n je :
1. Za f n (x) = enx + e /^ (x ) = n e^ 1 = 0 =» ® = 0 € [ - 1 ,2 ] je tačka minimuma, jer }'n (x) > 0 , x > 0 i f'n (x) < 0 , x < 0 . Kako na zatvorenom intervalu neprekidna funkcija dostiže supremum, odnosno ima maksimum, to je on dostignut na krajevima intervala, tj. za x = 2. Uzmimo da je x £ (1,2]. Lako je videti da — josnovu lim ~ t —+oo
1
— lim ~ ~ = oo, a > 0, imamo da t —► oo
1
red 22 ^n+i '
~ L e+ x
pa na
• e. „ t e_„
~h 0 , te
e "re
divergira tačkasto. ri
^) m—1
n+\ uslovno konvergira i suma mu je jednaka 22 5— m— m= 1 = ln (l + 1) = ln2. Naravno, on apsolutno ne konvergira. Za x = ± 1 ,
Neka je sada x e (—1 ,1 ). Zbog parnosti funkcije / „ dovoljno je ispitati apsolutnu konvergenciju z a i £ [0 , 1 ). Iz
„/\
lim
(—l)nenx
|
„ -.o o V 1(n + l)(e ” + « - " ) 1
js s ,
i =
1*
=
lim
______________ ^ S+T e- ^ l + e ^
1 e V^+T e- Vl+e-2"
= ex 1 < 1 , kao i iz < 1 , sledi da redovi
2 2 (n+i)(e” +T-"j ’ 2 2 (n + ijp + e -" )’ na osnovu Košijevog kriterijuma, apson=0 lutno konvergiraju, pa je i njihov zbir apsolutno konvergentan red.
71=0
Pokažimo da dati red uniformno konvergira nad proizvoljnim intervalom [o, 6] C (—1 ,1 ). Neka je c = max(|a|, |6|). Tada funkcija f n dostiže supremum, pa je fn (x ) < /n (c), x G [a, b]. Po Vajerštrasovom kriterijumu 1 (n|i)(e" + e " ) 1 n-f-1
-cn ecn+e—= a:n, zbog konvergencije reda en+e
00
a n (razmatranje kao napred)
n=0
sledi i uniformna konvergencija početnog reda. Označimo sa C cirkulaciju polja a, duž cele konture L = A B U B C U C A ,
2.
a sa C (A B ), C ( B C ), C (C A ), duž AB, B C , C A redom. Kako je A B = { ( —s, 4 — s 2,0)|s € [ - 2 ,0 ] } , B Č = {( 0 ,4 , z)\z 6 [0 ,3 ]}, C A = {(2 t + 2, - 4 f , -3 t)| t G [—1 , 0]}, sledi: C = f ( x + 3y + 2z)dx + (2x + z ) d y + ( x —y)dz = C ( A B ) + C ( B C ) + C (C A ) = L 0
3
0
f (7s 2 + s — 12)ds — 4 f dz + f (—54f — 18)dt = —
-2
0
divft = 0
- 1
£ ( x f f ( t ) sin3(z —t)dt) + ^ ( y f ( z )) + ^ ( - z ) = 0
84
z
<» / f ( t ) sin 3(z - t)dt + f ( z ) - 1 = 0;
0
£(sm 3z> ■C ( f { z ) ) + £ ( f ( z ) ) _ £ ( 1) = 0 «+ s ^ F (s) + F ( s ) _ I = 0 F (s) = r p + n = 72+il + f = + o = i , 6 = o, c = | = > /( ž ) = £ - i ( ^ i i ^ + I ) _ + 3.
m = ± co sV i2 z + i
s
x = apcosipsind, y = bpsin
J =
(p2)2 - bpsinipsinfl => p = p € [0 , v^sini+’sin8\-
= —abcp2 sin$.
bsinipsine =+ sinyi > 0 => tp e [0 , tt] 8 6 f0 ttI 1 ’ J’
V = / / / dxdydz = J ' J ' f \J\dpdpd9 = a b c j j ? o 62c.
4.
|* - 1|.< 1 => i
f
p2 sin 6dpd8d(p =
0 0 0
V'
= ( - i )' = - ( j r ^ ^ j j j ) ' = - ( £
OO
( - 1 ) » ( * - !) » ) '
Tl—0
OO
- E ( - 1 T n ( z - l ) ” -1 => j t = E ( - l ) n(n + l)(z - 1 )" ; n~ 1 71=0 / ( 2)
-
^e
=
E
n—u
( —! ) > + l ) ( s - l ) » . E ~ { ~ ( z - l ) ~ m = E ck( z ■v m=0^ »t. . fc—O
00
m
l)fc + XI Čfc(z - l)~fc. k—1
00
C* — E
m=0
00
ak+mbm = E ( —l) * +m(A; + m + 1 ) • TO= 0
00
( - l ) kp + l) E ^ !+ E m=0
čk-
E
m=0
1
00
m =l
'
m!
_ (_ D * 1
;
J+ n m 0
m=0
1
= ( - 1 )* V L
1
= (-1)* [e(2 -
~
_ (_ d *
(fc+ m )! ~
= (- 1)*
j= 0
m!
= (—l)*(/s + 2)e.
ambk+m = E (—l ) m(m + 1)^7t^ —
( - 1 ) * [e**1- * - * E
k+m+1 _
<-
L>
# )]/_ =
X_1
= ( - l ) * ; fe:t(r1-*:+(l-ifc)e:,;x - * - E 1 i ^ t i x i - |fel j —0
L
k) - 1E=1 (j/i)T + i=o E jr •(* -
(fc - l)A(fc - 1)].
85
3'
lx-.
1)] = (—l)*[e •(2 _ fc) - A(A - 2) + J
|z - 1| > 1 =4- p- = ^ r r f i F =
' (l+ ^ )
_ T ^ i P E ( - 1) ” (« +
l)(z - l ) - n, ( jer je za |1|< 1 , ( j +j )2 = - ( j ^ ) ' = - ( £
( ~ l ) ntn)' =
71=0
oo
- £
oo
( - 1 )" n t ” - 1 = £ ( - l ) n( n + l) ln ).
71=1
71=0
oo
/(* ) = ^
oo
£ ( —l ) ” (n + l)(z - l ) - n • £ 71=0
.
* = & -(* - l ) " m
771=0
= £ dk(z - l ) - * - 2. fe—o d k =
£
B f ( —l ) ‘ - » ( A - m + l) = ( - l ) k £
771=0
^ -± 1
771=0
= ( - i ) fc[(fc + l) £ +r - £ 1 m=0 m= 1 '
J
= ( - I ) fc[(fc + l)A(fe) - A(fc - l)].
5. Uzimajući za konturu L kružnicu {z e € : |z| = 1 } pozitivno orijentisanu, imamo z = e“ , x € [0 , 2tt], sina: = z2~" = —i '^ " 1 , i zbog z 4 — 6z 2 + 1 = 0 <+ z 1/2 = ± (1 - V2), z3/4 = ± (1 + V5) je
1—i< 1
L 1+(
S
: ( - a
1)2
-
r 2z 3 + 4 izr - 2 J (22+ 2z_l)(^fi - 2
L
j ___ r 2 z 2 + 4 i z —2 j ------ o__z - i ) d z - J z i - e P + i “ 2 - i7 rl
(fo:s f (z) + Res /( z ) ) , gde je / ( z ) = Iz Res / ( z ) = Z=Zo
2z 2 f 4 i z - 2 4zd- 1 2 z
2=2o, sledi 1 = 2,ri( l ^
86
+ 1 7 ^ ) = ' /27r-
1 7 .0 9 .1 9 9 7 .
1. Is p ita ti ap so lu tn u i u n ifo rm n u k o n v e rg e n c iju fu n k cio n aln o g re d a
E :n + 1- (. i e
+ !) .
a z a tim za x = 0 o d re d iti n jeg o v zb ir. 2. O d re d iti fluks v e k to ra p o lo ž a ja r kroz s p o lja š n ju s tra n u p rav o g kru žnog c ilin d ra p o lu p rečn ik a osnove R i v isin e H , ako n je g o v a d o n ja osnova leži u xO y rav n i i c e n ta r t e o sn ove j e k o o rd in a tn i p o č e ta k . 3. Iz ra č u n a ti k riv o lin ijsk i in te g ra l f x 2ds, gd e j e c k ru ž n ic a x 2+ y 2+ z 2 = a 2, C
a > 0 , x + y + z = Q, o rije n tis a n a o d ta č k e ( ^ (
'
2a
a
) k a ta č k i
a \
v%’ Vš’ 'Te'’
z2 +1997 -. P r e s lik a ti n jo m o b la st z2 — 1 G = {z € C : |z| < 1, Im z > 0 }. H a z v iti tu fu n k c iju u L o ra n o v re d po s te p e n im a od z + 1.
4 . D a ta j e k o m p lek sn a fu n k c ija /(z) =
Ln2 z dz, gde j e c k o n tu ra s a s lik e , iz ra ču n a ti (z2 + 4)2 ln i dx k o n v erg en tn e in te g ra le / d x if i ( l 2 + 4 )2 i ( ^ r f
5. K o ris te ć i in te g ra l /
87
R e š e n je :
1 . |(**Ta“v
()a;|c-»»a- a + 1 ) <
+ l)^ l| <
+ 1) = (
i
+
1) ^ = C n . [ Za t > 0, f ( t ) = te 2n * + 1 , je f '( t ) = e-2n £ (1 — 4n 2t 2), odnosno za t = sk funkcija / ima maksimum, jer f ( t ) > 0 , č £ ( 0, i /'( č ) < 0, č > ^ . J Kako X)
to iz konvergencije reda f ]
^
n=o
n=0
^ l ( x e -2n 1 + 1 ) konvergira apsolutno
ovom kriterijumu, funkcionalni red £ .
r
n=0
i uniformno nad celim R.
OO
Za x = 0, S V 1 .3 1
k= 0
1 gr
=
2 3„ i± i
po Vajerštras-
71=0
oo
E *3^’ E , j-; tj. oe _— j +i j
•E
n=0
=
E
Cn , Cn =
22 an- kbk = k=0
. _j — i _____ 99 j ----4* oo
IU drugačije S (x ) = 22 (n + 1)x n = ( E x n+1)' = ( ^ ) ' = 7= ^ , n=0 n=0 1 X ” x’~
1*1 < 1 =+ 5 = 5 ( i ) = |.
2. Ako sa S i, S 2 i S 3 obeležimo redom površi donje osnove, gornje osnove i omotača cilindra, traženi fluks F je jednak: F = J f r - d . Š = f f f ■d Š + f f f - d Š + f f f - d Š = F 1 + F 2 + F 3. s Si S2 S3 f ± d Š (na S i) =» f •d Š = 0 =+ F x = 0;
-^2 —
ff (r ’ n o)dS s?
= f f H d S = H f f d S = H R 2n (no jedinični vektor Sn s2 spoljašnje normale i d S = |d5|j; f 3 = f f ( r ■n0)dS = R f f d S = R ■I jcR H = 2tcR 2Hs3 s3 F = 0 + R2ttH + 2R?icH = ZtcR 2H. 3 . x 2 + y2 + z 2 = a 2, x + y + 2 = 0 =+ x 2 + y2 + (x + y )2 x2 + y 2 + x y = s = & ( & X) 2 + (y + l x f = ( J ^ f =+ y £ x = ff- cos Tp, y + § x = ff- sin (p. Dakle, 2a X ~ V 6 COS,fi’ y - ^ s^ F - - ^ c o S V, z = ~ - ^ sin^
88
-^ c o s ^ .
2
1 = f x 2ds = / % -co s2 ^ - [§a 2 sin2
4.
/(* )= ■ * 1 ^
jdi
— z2;
= 1+ ® W3 = u?2;
w2 = +)i - 1;
tu4 = ==;
(wi = p2e2lv,z = pel¥>; p = 1 ,
w5 = 1998 iu4; |i /j i |
/ = 1 + ws .
= l,A ig iu i e [0,27r];
/ : G — ♦ G' = {z e C : R e * < - 9 9 8 } .
= 1 + 1 9 9 8 ^ (^ i - ^ r ) = 1 + 9 9 9 ( 5 ^ -
m
|z + 11 < 2 ( 12^1 < 1 ) =* ^ i = ^
/w
=
= - 1
999 z + 1 - 999 £ ^ + T ( 2 + 1 )n = 1 - 999 n£=
—1
2^ ( 2 + 1 )n-
|z + 1 | > 2 ( l ^ j l < 1 ) => j r r — z+i ■ i _ i ^ . — z+1 ' £ ( z + i ) " n=U
*~r*
oo
2
2n( z + l ) - n - 1 , odnosno
n= 0 Q Q Q
OO
00
f ( z ) = 1 - ——- + 999 V 2n(z + l ) _n_1 = 1 + 999 V 2n(z + l) ~ n_1. 2+ 1 £=o n=l
89
Napomenimo da kada se kaiže "razviti u okolini tačke 2o”obifino se podrazumeva razvoj u oblasti 0 < |z — Zo| < r, dok se za "razviti po stepenima od z — zq" podrazumeva ono što je rađeno. 5. Uzmimo onu granu lnz, funkcije L n z za koju u unutrašnjosti konture c važi 0 < argz < 2n. Tako npr. na gornjoj ivici zaseka ln2 z uzima vrednost ln2 x.
fjgfadz + /
I = I T ^ W dz = h + h + h + h = c
d ((ie27ri)2+4)
+S
r
0
($ cU ^ R ieHdt+
ri eu dt = 27ri(R es./(z)+ Res J ( z ) )
R
f w w w dx + l 2 ~ f
+ h = 27ri( E f i f (z )+
/(z )-
Kako su z = ± 2i polovi drugog reda funkcije / ( z ) = a e { —2 , 2} : „
.
,,
. ,2
in2 z
R e s /(z ) = ((z - m )2 •
..
imamo da za
21n z-i-( 2 +oi)s—2(z+o») ln2 z
------- ' ' W
------------
= ^ 3-(21n ai — ln2 ai).
2r 27rfiln2 iž R i, 87T 8ttj3 ___R r |lnJŽeuj2 id ; J j U+ _ f ln2 R +t2 _ 27riiln2 R \h\ < J ||ft2e24i|_4|2 I-Ktc |at — iJ (^2_ 4)2 ttdt — + 3 (ft2_ 4)2
Ir I
0
- ^ l n 2 R , KI t o ^
I- »
■)e J ) J L ( 2(i^ -4 )? + +
=
TO P* = * &
(fl1-4 )1) = °> *1-
\h\ < '(fir ?4)!i r ln2 r +
*
=
Sl6di da
=
, pa je lim I4 = 0 , jer H_mrln2 r = lim
=
-2 lim l-Y- = - 2 lim - V = 0 . r —>0
i— >0 - ' f l
Kada R —> oo, r- —» 0 dobijamo: / — z~lp2 f~if i f t x~4K^ - dx + 0 + 0 = 27ri[^ (2 ln 2i - ln2 2i) - ^ (2 l n ( - 2i) ln2(—2i))]
=
2 7 r i [i(2 ln 2 + Tri - (ln 2 + f
—yf[21n2 + 7ri — ln2 2 — 7riln 2 +
i ) 2)
- ^ ( 2 ln 2 + 37ri - (ln 2 +
Š f i ) 2 )] =
— 21n2 — 37ri + ln2 2 + 37r iln 2 — 2s_] =
—jg[—2sri+" 27ri ln2 — 2 tt2] = f p [ —ln2 + 1] + fp. (Argumenti za 2i i —2i se nalaze u intervalu [0 ,27r).) OC
OO
Uz oznake J i = /
J2 = f
-47ri J i + 4 tt2J 2 ;
■ln 2)i + •
TO'
90
, imamo
Ji = m Q n 2 - l), J 2
7T
32'
1 8 .1 0 .1 9 9 7 .
1.
I s p ita ti, za a G R + , ap so lu tn u i uslovnu k o n v e rg e n c iju re d a ^ ( - l ) n a r c s in (itg -^ -).
2. a) Is p ita ti za k o je
q
00 1 — e~x E I in te g ra l / = J ------------ dx k o n v erg ira.
0
x
b ) K o ris te ć i L ap laso v e tra n s fo rm a c ije , n a ći v re d n o st n e sv o jstv e n o g
00 e - ®2 0 x
in te g ra la J = f ------ d x , za one a £ R kad a o n k o n v erg ira. 3. O d re d iti fluks v e k to ra a = xi + 2yj + z k k ro z s p o lja š n ju s tra n u S ru b a t e la V d a to g sa x 2 + y 2 > z 2, x 2 + y 2 < R 2 ( R > 0 ), a ) d ire k tn o ,
b ) p rim e n o m fo rm u le O stro g ra d sk o g .
4 . a ) P re s lik a ti o b la st ( z 6 C : \z\ > 1, | < arg z < ^ - } p o m o ću fu n k c ije
/(* )
2iz5 iz 5 — 1 ’
b ) N a ći reg u larn u fu n k c iju g(z) = u ( x ,y ) + i v ( x ,y ) , z = x + iy, g(0) = i, z a k o ju j e u(x, y) = ex[x cos y — (y + 1) sin y\.
/ C
e iz — e~ z ------------- dz, gd e j e c k o n tu ra sa slike, OO
/
91
cos x ~ e 1 -------------— dx.
x
R e š e n je :
1. Ispitajmo konvergenciju reda ]>D(—l ) non, an = arcsin(| tg n=l
(■& lim HHinl = 1 ) i tg t ~ t
Kako za t —>0 važi arcsint
t-»o
z
(<=> lim — 1), to sledi: v t^o * '
1
(a > 0 =>
1 - 1 1
—t £ ---- *
&n
€ (0 ,1 ) C (0, f ) =4> \ tg £
€ (0, \ tg 1) C (0 ,1 ) => an > 0)
Red apsolutno konvergira za a > 1. Kako su arcsinx i tga; na (0 ,1 ) rastuće funkcije, a ^ , a e ( 0 , l ] opadajuća na (0 , oo), to je >
(n + l ) “
, ,1 1 . . ,1 arcsin (- tg — ) > arcsxn(- tg
2 6 (n + 1)“
odnosno niz an opada. Zbog toga, a i iz
) 4=^ on > a n+i,
lim on = arcsin(i tg lim i )
n —*oo
n —»oo
= 0,
po Lajbnicovom kriterijumu dobijamo da red uslovno konvergira za a £ (0,1].
2 - a ) I = f - - ^ — dx + / 1—e x —>0, f ( x )
1—e x r .a
__ e
x
—1 ,
—
-dx = h + J2. x__
=> 7i ~ f
T .a
odakle dobijamo
da Ji konvergira za a — 2 < 1, tj. a < 3. 00
x —i oo, f ( x ) ~
=> I 2 ~ / j I , odnosno J 2 konvergira za a > 1. 1
Dakle, I konvergira za a e (1 ,3 ). OO
C30
oo
. .
b ) J = f e~x ■x _Q_1 •xđa: = | / e~*(\/f)~a - 1 di = § / e~4t o o o | F ( 1 ), gde je F (z ) = / e~ztf(t)d t, f ( t ) = 1 " ^ . o
[ x =Vt,
F (z ) = £ ( / ) =
=* 3 =
J > - ! . « < !•
3 . a ) F = f f 3 - fiid S + / / o •n 2d 5 + / / o •n 3
92
dt =
Si ■ f i ( x ,y ,z ) = x 2 + y 2 - z2 = 0 , z > 0, g ra d /i = 2 (rc, y, - z ) ,
\
dS = ^ /l + ( f § )2 + ( Sy)2d'x dy = V2dxdy;
x = p co sp , y = psirnp;
D = {(x ,y ,Q )
z = V * 2 + J/2>
: x 2 + y2 < R2}
J
S 2 : /2(a;, y, z) = a:2 + y2 - z2 = 0, z < 0, grad /2 = 2(x , y, - z ) , n 2 = db *;+ui~*k i/x 2+y2+z2
72 = Z(fc,n2) > f =» uzeti znak —. Znači dobija se da je:
cos72
= ± ^ 3+^ +
jP2 = Fi-
S 3 = S f U 5 3 : / 3 (x, y, z) = x 2 + y 2 - R 2 = 0, A = pr#o * (^ ) = {(0 , y, z ) : |y| < R, |z| < R }. 5J : x =
ć)y
ier i e c o s a 3 > 0 , a 3 = Z (i,n 3). _=JS!_
^3 = / / 7 2R ■2R2 f
grad / 3 = 2 (x , y, 0);
v'-R2 - y2 > 0 ,
n3 =
r
0 , te zbog 2 < 0 , moramo
> dz
^
—0 ~ U
dS
= // ^
= \A +
+odydz=
'7 * ? * *
"
= 4jR3 (arcsint|o + ^(m — 5 sin2m)j^
93
dydz
• _4 * * ) = 3 ttJ?3.
=
& = t =$> dy = Rdt;
j
m = arcsin t, t = sin m => dt = cos m dm ,
f -^ L ^ d t = / sin2 m dm = f 1~~’:of 2m drn = ~(m — | sin2m ) + C
S |: x = - y # 2 - 2/2 < 0, jer je c o s a 3 < 0 , a 3 = Z (i,n|). F 36 = f f ^ L d S = f f # ± x L dydz = F l 3 si V * 2+v2 JA v'K1- ^ F 3 = F 3“ + /•! = 6 F 37T. Konačno, F = F x + F 2 + F 3 = 6F 3 tt - | F 3tt - | F 37r = f i r R 3. b ) F = f f 3 ■n d S = f f f div adxdydz = 4 f f f pdpdtpdz 2ir
R
S
p
V
V'
R
= 4 f d
0
o
-p
diva = ^ + ^ + = 4, a = (ax ,a y, az). x = pcosip, y = psinip, z = z;
III
ar
*
-1
vv
%
? j
k,
vi2y% j(l V-
0
-/
J
0
! W\ = z5, z = pe1*, iui ==p5ei5 £ t = f ,p e (l,o o ) =+ |n;i| = p5 e (l,o o ), argtDi = 7r; i = ^ , p G (l,o o ) =+ |toi| = p5 € (l,o o ), Argwi = 2tr, argtni = 0 P = 1,* e ( f , i r ) => |wi| = 1 , argiui = 5t £ (7T,27r);
94
u >2 = i w i = w 3 = W 2 — 1; W4 = w 3 \ w$ = + «. w 6 = 2 iy s ; U) = 2 + W6-
b ) Iz Koši-Rimanovih jednačina: = ex [x cos ?/ — (?; + 1) s'my] + e1 cos?/ = ex [(x + l)c o s y — (y + l) sin y], imamo v = ex / [ ( x + 1 ) cosy — (y + l)sinj/]dy = ex [(x + l)s in y + co sy + y cosi/ — sin 3/] + c(x). [
f y sin ydy = —y cos y + / cos ydy = —y cos y + sin y; m = y, dm = dy, dn = sin ydy, n = —cos y
j
tj. ex [(x + 1 ) siu y + cosy + y co sy - siny + sin y\ + c '(x ) = —e x [—x sin y — sin y — (y + 1 ) cosg/] => d (x ) = 0 =+ c (x ) = c. fl(0) = u( 0 , 0) + iv( 0, 0) = 0 + i(l + c) = i =+ c = 0 =+ g (z ) = ex [xcosy — (y + l)s in y + i(x + l)s in y + ic o s y + iy co sy —isiny] = ex[xco sy + ix siny — (y + 1) siny + i(y + 1 ) cosy] = ex [xey' + i(y + l ) e yl] = ex+yz[x + i(y + 1 )] = ez(z + i). regularna u int c, to je / = / f(z )d z = 0. Važi i
5. Kako je f ( z ) = R
J
.
I = f ^ - d x + f ! r 0 = h + I2 + h + h-
0
Reu
Znajući da je e',iReM
— re * 1
R .
R
-d x = f e”+ e 'JLztoZ’ dx = / 2co3a;—2e -dx.
-dx + / T
h + h = f '
-i r c * 4
-R ietldt + / ~ v' - f - —i d y + f -------- n------rie u dt
g—
sin H-i-R coa i
g —i?e
\h\ < f \2— j£h -— Rieu \di < / ( | e ^ ‘ |+ |e- ^ ‘ |)|i|dt = / ( e- « si“* + (sint >
cost >
+ 1 ),
\h\ < j ( e ~ Rsint + e~Rcost)dt < f ( e - Ri* + e~R(- - t+^)dt = ^ r a r j 2 +
0
e ~ * ■#
ir
|§ =
10
0
*
- 1) + ^ ( e * - 1 ) = f ( l - e ~ * ).
K ada R —> 00, imamo h —■*0. 7T
14 = i f (e- re’‘ - eire'‘ )dt —> 0, r —» 0 , jer lim(e- re“ - e,re“ ) = 0 . Dakle, za R —* 00, r —>0 dobijamo 2J = 0, tj.
95
J = 0.
10
0 1 .0 2 .1 9 9 8 .
X. A k o je
c > 1, iz v ršiti p arn o p ro d u žen je F : [—2, 2] —* R, fu n k c ije
{ c r + l —C,
-CE+l+C,
l£[l-l/c,l] X 6 [1,1 + 1/cj
0,
xe[0,l-i)U (l+ l/c,2]
-
,
a z a tim ra z v iti fu n k ciju F u F u rije o v re d . U k o lik o je d € [0,2), ra z v iti fu n k c iju G : [ - 2 + d, 2 + d] —►R, G(x) = F ( x - d) u F u rije o v red . 2. D a to je p o lje a = y z ( f ( u ) + x ) i + x z ( } ( u ) + y ) j + x y ( f ( u ) + z ) k , gde je u = x + y + z, a f ( u ) d ife re n c ija b iln a fu n k c ija ta k v a d a j e /(0) = 1. i) O d re d iti fu n k ciju f ( u ) ta k o d a j e p o lje a p o te n c ija ln o u je d n o stru k o p o v ezan o j o b la sti i n aći n je g o v p o te n c ija l. ii) N aći ra d p o lja 3 p o duži A B od ta č k e A (l, 2 ,3 ) do ta č k e S ( 2 , 3 ,4 ). 3.
Iz ra č u n a ti zap rem in u t e la d ato g sa (x 2 + y 2 + z 2) 3 < a 3 (x 3 + y 3 + z 3), x , y , z > 0 ( a > 0 ).
4. D a ta j e fu n k c ija f ( z ) =
R a z v iti fu n k c iju / u L o ra n o v re d u
o ko lin i ta č k e z = —1. P r e s lik a ti fu n k cijo m / o b la st { z € C : \z\ < 2, arg z € (0 ,7r)}. a-Hoo g3 5. Iz ra č u n a ti f ,____ dz, a > 0, k o riste ći a -io o + T + 1
a ) in v erzn e L ap laso v e tra n s fo rm a cije .
b) l v'^T T
dz, gde je L p u ta n ja n a slici.
96
R e š e n je :
1. Parno produženje funkcije / je funkcija F ( x ) = j X € P ’v L i ■ I. J \ x ) ’ x € [—2 , 0| Ta funkcija zadovoljava usiove za razvitak u Purijeov red, a kako je ona parna to se ona razvija u trigonometrijski red po ”kosinusima” (bn = 0). i+ i
/ (cx + 1 —c )d x +
ao = | •/ f ( x ) d x =
/ ( —cx + 1 + c)dx
i-i
= (f:
+ (1 - c)2;)|1_ 1 + ( “ f ■ z 2 + (1 + c)a')|1+C = c-
2 an = | •/ f ( x ) cos
=
0
1 / (cx + 1 — c) cos 1_ I
1+i + / ( —ca: + 1 + c) cos J=f-dx. l [ / (ax + 6) cos a x d x = (ax + 6) / s ln a x — ^ / sin a x d x = ~ (ax + 6) sin a i + cos a i + c, u = ax + b, du = adx, đu = cos a x d x , v = £ sin ax. <*n= [^ F(cx + l - c ) s i n 2|£ + ^ c o s 2p ]| i_ ^ + [ ^ ( - c x + l + c)sin W
cos ^ ] | * + ' = ^
•cos ^ . (i _ cos £ ) = 4 ^ cos
azfc-i = 0 , 02*, = ^ j ( - l ) k sin2 Red je
^ +
nnx 2
sin2
.
Z) LfcV'" sin2 lc coski:x. fe=i
Označimo koeficijente u Purijeovom redu za funkciju F : [—2,2] —* M, sa an i bn, a za funkciju G : [—2 + d, 2 + dj —* R, sa An i B n . Tada je 2+d 2+d 2 Ao = | • / G (x)d x = | • / F ( x — d)dx = \ ■ f F (t)d t = a c , t = x —d,
-2+d
-2 + i
-2
x = t + d, dx = dt. 2+d d n = | ■ / F ( x - d) cos —2+d = cos •an — sin •bn . B n = \-
2 i ■ / F ( t ) c o s [tf (t + d)]dt
—2
2+d / F ( x — d) sin
2 = \ ■ f F (t ) sin^^^t + d)]dt
—2+d = cos
■bn + sin
-2 ■an. °o
Red za funkciju G je
4,a +
OO
(d n cos n=i
+ B n sin ^f2 ) = s£ +
(an ■ n=l
97
[cos 2E*
+ sin
cos
OO + X) (an ■cos
sin ^ fs ] + bn •[ - sin
cos a p + cos
sin 2 f£ ]) =
(x — d) + 6„ •sin zjf (x - d)).
n=l
2 . i) U jednostruko povezanoj o blasti bezvrtložno p olje je i potencijalno. No svako p otencijalno p olje je i bezvrtložno, p a z a a = (P, Q, R ) važi ro t a = 0 :
i
j
k
! P
5
I R
Q
= (x (f(u ) + z) + x y f'(u ) - x ( f ( u ) + y ) - x z f '( u ) ,y ( f ( u ) + x ) + y z f'(u ) y (/ (u ) + z) - x y f'(u ), z (f (u ) + y) + x z f'(u ) - z (/ (u ) + x ) - y z f'(u )) = ( 0 ,0 ,0 ) , t j. (1 - / '( « ) ) • (xz - x y ,x y - yz,zy - zx) = ( 0, 0 , 0) =+ 1 - f ' ( u ) = 0 =+ f ( u ) = u + c. Iz / ( 0 ) = 1 je c = 1, pa je /( n ) = u + 1. D akle, a = yz( 2 x + p + z + l)z + x z (x + 2y + z + 1)/ + x y (x + y + 2z + 1)Ž. P o lje je potencijalno, te m ora p o sto ja ti funkcija U tako da je a = grad U = rdu au a u \ V d x ’ dy 5 dz
fjf = 2xj/z + p2z + yz2 + yz =+ t/ = x 2yz + xy2z + xj/z 2 + xyz + c(y, z), ^
=
x
2z + 2
xj/z
+
xz
2+
xz
=
x 2z + 2 x y z + x z 2 + x z + c ^ (i/ , z)
=>■ c'y ( y , z ) =
0
=+ c(y, z) = c (z ), ^ = x 2y + xi/2 + 2xy z + xy = x 2y + xi/2 + 2xy z + xy + d (z ) =+C*(z) = 0 =3- c (z ) = c. Znaći
U (x , y, z) = x 2yz + xy2z + xy z2 + xyz + c.
ii) K ako je rad 72 = f P d x + Qdy + P d z , a polje je po ten cijaln o sa potenciAB
ja lo m U, gde je dU = P dx + Qdy + Rdz, odnosno podintegralni izraz je to taln i diferencijal funkcije U, to integral (rad) ne zavisi od p u tan je, već od k ra jn jih tačaka, odnosno 72. = U (B ) — U(A) = 198. 3 . x = p c o s tps in 6 , y = p sim p sin fl, z = pcosQ, | J| = p 2 s in 0 , (x 2 + y 2 + z 2)3 = o3 (x 3 + y3 + z 3), p6 = a 3p3 [cos3 ipsin3 8 + sin3
2 2 P(V>®) J % V = f f f dxdydz = f f f p2 sin OdpdOdtp = | f f sin 6 ■a 3 (cos3
f dp[( cos3 tp + sin3 tp) ■ o
+ |] = f a 3.
m = cos 8 ; f sin 8 cos3 8 d 8 = — f m 3dm = —£s|--- + c; / sin3 6 d 8 = / sin 0(1 — cos2 6)d9 = —/ ( ! — m ? ) d m = g9|-~ — cos 8 + c;
98
«
/ sin 4 0đ0 = f ( l = ^ M f d e = \ f ( l - 2 c o s 29 + cos 2 26 ) d 6 = \ { 6 - 2 - \ Sin 2 Q + f 1 ± S f l ž d B ] = | [g _ s in 2 0 + | ( 0 + 2in49)j + c = T — 3 sin 20 + i sin 40 + c; rt = sin ip; f c o s 3 ipdip = f cos
J
4. P osm atrajm o ln z , granu funkcije L n z za k o ju je ln (—3) = l n 3 + i n , a zasek je uzet duž pozitivnog dela realne ose. Ako je \z + 1| < 1 i |—
< 1 , tj. ako je \z + 1| < 1 , važi:
ln S § = l n ( - 3 ) i ^ = ln(—3) + ln(l - ^±1) - ln (l + (z + 1)) = ln (- 3 ) +
E
n—1
^=+-( - 2t i )B- n— E 1
(Z+ l)n = ln3+irr+i: £ [ ( -!)" -£ ] • (* + !) " . n=l
Formule L n = L n z i — L n z 2 i L n (z iz 2) = L n z i + L n z 2 su ta čn e , ali ln = ln z i — ln z 2 i ln(zxz2) = ln zi + ln z 2 ne m o raju važiti. R azlo g je u tom e što grana funkcije n a levoj stran i jed nakosti ne m ora b iti jed n ak a grani funkcije n a desnoj stran i jed nakosti. D a je prethodni razvoj ta č a n možemo proveriti uvrštavanjem jed n e tačke. T ako npr. za z = —1 imamo OO
ln ^ i+ i = ln(- 3 ) = ln 3 + Ž7T+ E
n=l
£ [ ( - 1) " - ^r] ■( - 1 + l ) n, što je tačno
zbog pretpostavke.
w = l n f f § = ln( ! - i+ž)-
w\ — z + 2 . W 2 ~ W 1. W k
: (x —2 )2 + y 2 = 4 — * x =
= > x2 —4 x + 4 + 1 —x2 = 4 = >
2_ i 5
x
= ~ );
( x 2 + y 2 = 1, ( x ~ 2 )2 + y 2 = 4
y = 0 — > y = 0;
2 — i — > ^+7 =
5*
« 4 = 4W3Ws = —W4Wq =
1 + Wq.
w = ln «J 6 = ln|itt61 + iargu> 6; y = 0,a: < 0 — > l n jar| + i n = u + iv, u e [—00 , 00], v = w; x = 0 ,y > 0 — > ln |j/| + i f = u + iv , u G [—00 , 00], v = f;
- 1 + i — -> l n v ^ + 2f i .
O b last G = { z G C : |z| < 2 ,a r g z e ( 0 , 7r)} funkcijom w — f ( z ) preslikava se u oblast { w € C : f < Im tn < 7r}.
99
z
w,
0
2
w3
0 i
W 6
0
Posmatrajmo onu granu funkcije yr za koju je \/T = 1, odnosno V re lt =
5.
\frextl‘2‘ (zasek je uzet duž negativnog dela realne ose). a + io o
a) C r \ F ( z ) m = £
I
a—ioo
eztF (z )d z ,
a + io o
S i m dz’ a~ioo a+ *o o
f
|
|
_.
i k x dz = 27r i £ - 1 ( 7 f e ) | t=i = 2 n i77Tt\t=1 =
\ C ^ T T + r) = e l £ ^ v ? ) - 6 ^rčfj “ 77Tt
J
b) Funkcija f ( z ) = J^ + i “ na tačku granjanja .z = —1. Zasek je uzet duž negativnog dela realne ose, levo od tačke z = —1, kao na slici. Budući da je /
100
analitička unutar date konture, to je J = / f(z )d z = 0. L
Takođe imamo da je J = / f ( z ) d z + AB
f(z )d z +
+ /
f(z )d z + f f(z )d z +
f
DB
EFG
f(z )d z = J + Ii + I 2 + h + h + h -
/
GH
f BC D
f(z )d z
>
HIA
BCD : z = R elt, t € [ v 3o , tt ] ; H IA : z = R eu , t 6 [ r r , — v > o ], dz = R ieltdt; D E : z + 1 = uem , yfz + 1 = f u e i ' = ifu -, G H : z + 1 = ue_7ri, \fz + 1 = \fue~T1 = —i f u ,; z = —u — 1 , dz = —du\ u uzjma vrednosti od R — 1 do r i obrnuto; E F G : z + 1 = r e lt, t £ [—7r , 7r], dz = rie ltdt. a+ioo
/
—*00
^f+Tdz+ / jfc « + T 'Rie!4d*+ <^0
/
R—1
( _d u ) + /
27T—¥>o / ‘^ S r (-* • )+
/
v/fle i t + l
R ieltdt = 0.
|J5|=I /
}
^
R
dt
+y °^ m < JJ ^ ~
- 3 ie p ^
t | ^
e
,
R
7T
R 2
lim f i?—>oo
J
°e —
=t-itai -
~vw
2
„
L + JR=Te
>« lim R—*oo »oo
[
3f < č £ f i Rdt + 27 R = r Rdt +
2
I27T— ¥
+ e ° I77f fee(( if “ “ “ « +e°
ea iim -
R—+oo ~2V r3 ’R) lim I§ = 0 . J) = 0, to je R— *oo
t e [7T, =t- COSt < ^t — 3, t G [^ -,2 ^ —
= arccos j|
lim f = 0.
Slično:
R—*oo
IJ3I < / tejL—J-\rieli\dt = / ž- - y— rdt < f er~ 1f r d t = 2/KeT~ 1f r , —7T V lre’ I -» —7T odakle važi lim J 3 = 0. r-+ 0
Uzimajući da r —♦ 0, Ji —» 00 imamo
J = -2
/
f e~ uu ~ ?d u = ~ ^ T ( l ) = J ie y2 0
101
1 2 .0 4 .1 9 9 8 .
1.
a) Is p ita ti u n ifo rm n u i ap so lu tn u k o v e rg en ciju r e d a
x 2ne " 1 .
b ) R a z v iti u M a k lo re n o v red fu n k ciju f ( x ) = ln (l + x + x 2 + x 3 4- x 4 + x s ). 2.
a) P rim e n o m L ap laso v ih tr a n s fo rm a c ija o d re d iti fu n k c iju y k o ja zad ovoljav a je d n a č in u + 2 y " + y = sin t i d a j e 2/ ^ ( 0) = 0, i = 0 ,1 ,2 ,3 . b ) N a ći fluks v ek to rsk o g p o lja 6 = ( x , y , z - x y ) k ro z s p o lja š n ju s tra n u d ela cilin d ričn e p o v rši (x 2 + y 2) 2 — x 2 — y 2, 0 < z < 1.
3. N aći zap rem in u o b la sti o d ređ en e n e je d n a k o stim a y 2 + z 2 > 2,
x > y 2 +‘ z~2 - 7,
4 . Iz ra č u n a ti in te g ra l
f
x < -3 .
- s i n - ln ~ — Z-dz.
u U Z
Z
cz + 1 5. D a ta j e fu n k c ija f ( z ) = z+ c ’ a ) N a ći sve c £ C ta k o d a / p reslik av a u n u tra š n jo s t je d in ič n o g k ru g a u d o n ju polu rav an. a - fio o
b ) Iz ra č u n a ti z a c = 2, in te g ra l
J
___________
e z \ j l — f ( z ) d z , a > 0, k o ris te ći
a—ioo
i) inverznu L ap laso v u tra n s fo rm a c iju , ii) in te g ra l / e z y/2 - f ( z ) d z , gde j e L p u ta n ja d a ta n a slici. L
102
R e š e n je :
1 . a ) /„ ( x ) = x 2ne~ n3x3, f'n {x) = 2n x 2n~ l e~ n2x2 + x 2ne ~n2j;2(—2n 2x ) = 2n (l - n x 2)x 2n~ 1e~ n2x2, f n {x) = 0 » i = 0 V i = ± ^ j . Punkcije / „ su parne, pa je dovoljno posmatrati x > 0, jer u x = 0 funkcije /„ , očigledno imaju minimum. Kako je x G (0, ^ ) => f^ (x ) > 0, x € ( ^ , oo) => / ' (x) < 0, to za x = ^ pj imamo maksimum, pa je: ! / » ( * ) ! = / » ( * ) < ( - ^ ) 2ne - ^ ' v 'n ' Funkcije / „ su ograničene jer je lim
x —>oo e
= i ( i ) n < = ( lim -|r)n = 0, t = x 2. Dakle, t —*oo e
za svako x € R je |/„(x)| < =r, n e N, pa po Vajerštrasovom kriterijumu konvergira apsolutno i uniformno na celom R. b ) Za |x| < 1, imamo f ( x ) = ln(l + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5) = ln
= E
( - x 6)n- E
n —1
= ln(l — x 6) — ln(l — x)
(-* )" = - E ^ 6n + E
n=l
n=l
n=l
2. a ) Primenom Laplasovih transformacija, imamo C(y""(t)) + 2£ (y " (t)) + £ (y (t)) = £ (s in t), tj. uz oznaku Y (s) = £ (y (t)), (s4Y (s ) - s 3y(0) - s 2t/'(0) - s y " ( 0) - y ' " ( 0) ) + 2 (s 2Y ( s ) - s y ( 0) - 2/'( 0)) + Y (s ) = s 4Y (s ) + 2s 2Y (s ) + Y (s ) =
dobijamo
^ ( s) = (sJ+ij3' = (s5+i)s — (s^+i)3 ■Sada je y(t) = £ H^i^rjp-) — ' jj ^ -) = |(sint — t cost) - |[(t 2 + l)s in t —tco st] = |[(3 — t 2) sint — 3t cost]. t t ^ - 1 ( 7P!H?nT ' 5^+r) = / nsinncos(t — u)du = \ f «[sint + sin(2u — t)]dw =
[
| [sin t^ + f u sin(2u —t)du] = \t2 sint + § •[—u\ cos( 2u —t) + \ ■sin(2u —t)] = j f 2 sint — \t cos t + \ sin t.
j
b ) Ako zatvorimo površ sa ravnima z = 0 i z = l ,p o formuli Ostrogradskog je: F u = f f f div bdxdydz = f f f ( 1 + 1 + 1 )dxdydz = 3 f f f pdpdtpdz = 3 • V V V' 4 0
[
y /C 0 Š
f dip
4
0
1
f pdp f dz = 0
7
12
f \ cos2tpdip = 3.
0
x = pcos
103
J
Za Si : (x 2 + y2)2 < x 2 - y2, z = 0 i S 2 : (x 2 + y 2)2 < x 2 - y 2, z = 1, znajući da je F = f f b ■ndS, kao i da je f f f ( x , y , z)d S = f f f ( x , y, z (x, y)) __________ s s d i / l + p2 + q2dxdy, sledi F = F u - F i - F 2 = Z -ff(x-0 + y 0 + (z -x y )-(-l))d S - ff(x-0+y-0 + (z - xy) ■1)d S = = 3 + f f ( 0 - xy) ■\dxdy- f f ( l - x y ) - ld.xdy = 3 - / / dxdy = D
3
D
D
5 y/COS2ip —/ / 4 pdpdip = 3 — 1 = 2. o o
3. Primetimo da je c : y2 + z2 = 2 cilmdrična površ čija je generatrisa prava paralelna x —osi. Površ p : x = y2 + z2 — 7 je rotacioni paraboloid nastao rotacijom parabole x = y2 — 7 u Oxy ravni oko Oz ose. Kalco je x = —3 fl x = y2 + z 2 - 7 => y2 + z2 = 22, x = - 3 i 2 > y/2, pa je presek cilindra sa ravni x = —3 ” unutar”preseka paraboloida sa tom ravni. D = {(y,z)\2 < y 2 + z2 < 4 }, y = pcosip, z = psintp, |J| = p. -3
V = f f dydz
f
D
y2+z2- 7
4.
ln
2tt
2
dx = / / ( 4 - y2 - z2)dydz = / dtp f p(4 - p2)dp = 27T. D
0
V2
Za |z) < 1 (pa time i |z| = |), tj. |4| < 1 i |— 4| < 1 važi:
= ln ^ ,
E ^ ^ ( - f )"
= M1 + f) - In(l - f) = n£= l
n —1 oo
oo
.
“ iz+i: = nE ^ - • ^ ■ ( i- ( - i) n)^= nE—0 2S^-'FTpM’2z2n+1 = f n’=E0 fe+rz2n+1=l Formula In = ln zi —ln Z2 ne važi uvek, jer se leva i desna strana jednakosti mogu razlikovati za 2lon (Iq £ Z ). T o bi ovde konkretno značilo da se razvoj funkcije ln možda razlikuje od datog za celobrojni umnožak od 2ir. Na nama je da izaberemo onu granu ln funkcije Ln za koju je taj razvoj tačan. Grana višeznačne funkcije je određena zasekom i vrednosti funkcije u nekoj tački (koja ne pripada zaseku). Uzmimo da je zasek Z funkcije ln između njenih tačaka grananja z = —i i z = i, tj. Z = {yi\y £ ( - 1 , 1 ) } , kao i da su zaseci funkcija ln(i + z) i ln(i — z) redom Z x = {yi\y > - 1 } , Z 2 = {yi\y < 1}. OO
Neka je takođe ln 1 = 0. No, tada je ln
104
=
f ■E
,
, v71.
2ii+i'0 2n+1 >Pa Je razvoj
korektan. f ( z \ — — s i n — l n --~t— — JL .
3 '■ '
Z bm z
I^ / (-2 ) =
i-z
z
| -[1 + 3 ^ ! +
( 0 r ( 2 n + l ) ! z 2"+ >
2 -7
š ^!
+
2 i
7^ T + - - - ] =
v-' ( 2 -7
f JO
r ) w 2 7 1 + 1 __ 2
2n+l Z
—
i '
/1
1 1
~ 3! ž*
(2 n + l)(2 n + l)!'
oo 1 = 2 7 ri ? io S / ( z ) = 4 n n? 0 ( 2 n + l ) ( 2 n + l ) ! ■
5. a ) Imw = 0 ■!=> w = w ^ 2 = ^ 2 & Czž + z + ćčz + č = č ž z + z + ( c - č)|z |2 + (|c|2 - 1 ) ž + ( 1 - |c|2) ž + č - c = 0 +> (z-ž)(| c| 2 - l ) = 0 « z = r V jcj2 = 1 , jer je |z| = 1 . ć č ž + c+ >
Za z = ž, j^t = 1 , je z 1/2 = ± 1 , pa je w (l) = f ± l = 1 , w ( - l ) = + f+ l = - 1 , odnosno ove tačke se uvek preslikavaju u same sebe, pri datoj transformaciji. Posmatrajmo sada preostale tačke kružnice |z| = 1 . Kako se one moraju preslikati u realnu osu Imin = 0, mora biti |c| = 1 . Za c = ± 1 đobija se da je ui = +|+! = ± 1 , odnosno preslikavanje w je konstantno, pa se kružnica |z| = 1 ne preslikava u pravu Imio = 0. Povezana oblast se preslika u povezanu oblast, pa unutrašnjost kruga ide u jednu od poluravni. Kako je ic(0) = l = + = f = č , sledi Im č < 0, tj. Im c > 0. Dakle, traženi brojevi c e C su takvi da je |c| = 1 i Im c > 0, tj. c = eu , t 6 (0 , 7r). b ) i) c = 2 =+ f ( z ) = ^ 2 2 = , ^ z ) = trajmo granu funkcije
= ez y ^ . Posma-
za koju je zasek uzet duž negativnog dela realne ose,
i \/l = 1- Tada je 1/>(z) =
= \/3;g(z)-
a + io o
C - H F (z ))(t ) = &
f
eztF (z )d z ,
a —ioc a + io o
^ ( ( ^ f ) W = 2^i
£
/
'(^+5dz>
a+zcxD
ip(z)dz = 'J l - 2 m L - 1( - ^ ^ )
/ a —ioo
= 271-i
r (s)
■ t _ 1 /2 e _ 2 t I
lt=i
b ) ii) Funkcija g(z) =
t= 1
= V 3-27 ti
= 2 n i&
r(-i+ D
C~\
jV j+ i) ( z - ( - 2 ) ) “ i +1
e1
2?
ima tačku grananja z = —2 i analitička je unutar
105
date konture, pa je po Košijevoj teoremi J = f g{z)dz — 0. L
Takođe imamo da je J = / g(z)dz + AB
+ / g(z)dz + GH
f
g(z)dz + / g(z)dz +
/
BCD
DE
EFG
g(z)dz = I + ij + h + h + h + h -
/ H IA
B C D : z = R eu , t e [y>o, tt]5 H I A : dz = R ie%tdt\ D £: : z + 2 = u e " , H z + 2 == — —iy/u\ — 2 do r i obrnuto; E F G : z + 2 = rei4, t e [ 7T
a+ioo
f
a —i 00 R—2
/
g(z)dz
r J iž-2
e Rc V R e'* + 2
z = R eu , t e [7r,27r -
, % y /u
'
2 tt- v?o
^
( - J U)+
/
v 'fie " + 2
R ieltdt = 0.
“ / V J F ^ Rdt
~ I/
¥>o
f
/R —2 (V- *2R) ^
VO /+R—2
‘
Kako je ^lim ea
f (f-a rc c o s f)+ f7 i 5( l - e
| — arccos -^) = 0 i ^lim f ^ ^ (1 — e
« ). = 0, tada
je lim I 2 = 0 . R —>co
[
£ € [f ,7r] =+ cosi < - | t + 1, <£>o = arccos jf
t e [
lim h = 0.
Slično:
R—*oo
IJ3 I < / —r - j-Irie^lcfe = / s~ / r ~ rd t < f er~2^/fdt = 2irer ~2^/r, oda—7T V lre‘ I -17 V -ir kle važi lim I 3 = 0. j—»o Uzimajući da r —>0 , Ji —> 00 imamo a-H oo
f
________
00
00
.
0
a—ioo
—
= - 7 # / e~ uu ~ *d u = - ^ T ( i )
ezy / 2 - f ( z ) d z = V 3 [ -2 /
0
/
106
2 4 .0 6 .1 9 9 8 .
1.
a') P o k a z a ti d a j e C = (C, || ||) n o rm ira n p ro s to r (n ad p o lje m re a ln ih b r o je v a ), gde j e || || : C —> E p re slik a v a n je d efin isan o s a ||z|| = \Jx 2 + y 2, z = x + iy. \ 5** Tien ^* b ) I s p ita ti k o n v e rg e n ciju re d a u p ro sto ru C.
1
n—1 P cn
c ) R a z v ija ju ć i fu n k ciju f ( x ) =
u M a k lo re n o v re d , iz ra ču n a ti
v re d n o st in te g ra la f f ( x ) d x sa g re šk o m m a n jo m od 1 ■10 2. I z r a č u n a t i fluks F v e k to ra a = ( x z , x 2y , y 2z), k ro z s p o lja š n o s t S ru b a o b l.asti d a te sa: z < x 2 + y2, ji ) d ire k tn o ;
x 2 + y 2 < 1,
x , y , z > 0,
b ) k o ris te ć i fo rm u lu O stro g rad sk o g .
3. D att je k riv o lin ijsk i in te g ra l /
9<<».
L
XV
a ) A k o su z a d a te ta č k e 4 ( 1 ,1 ) , B ( 7,9 ) i C ( 7 , 1), iz ra ču n a ti v re d n o st to g in te g ra la kad a j e L : i) duž A B , i i ) iz lo m lje n a lin ija ACB\ o r ije n tis a n a od ta č k e A ka ta č k i B b ) Z a k o je v re d n o sti p a ra m e tra a in te g ra l ne zav isi o d k riv e L već sam o od k r a jn jih ta č a k a ? N aći fu n k c iju F ( x , y ) č iji j e to ta ln i d ife re n c ija l je d n a k p o d in teg ra ln o m izrazu . e iz 4. P r e s iik a t i o b la st {z e C : f < R e z < f } fu n k c ijo m f ( z ) = —— .
0
4
sinz
5. A k o a , p € R, ta k o d a 0 < a < n , 0 < |p| < 1, iz ra č u n a ti k o n v e rg e n tan intffigral
k o r is te ć i k o m p lek sn i in te g ra l
I z 2 + 2 z cos a +
dafca n a slici.
107
1
dz, g d e je L k o n tu ra
R e š e r ije :
1.
a) (Vz = x + iy G C) X2 + y2 > 0;
[|z ll = \JX2 + y2 > 0.
||z|| = 0 ' » i 2 + j/2 = 0 ' » i = j/ = 0 'tt-z = 0. ||Az|| = ||A(x + iy)|| = ||Ax + iXy\\ = a/ (Ax)2 + (Ay )2 = \f\2(x 2 + y 2) =
|A|v^+^=|A|-||*||. Iz ||zi + z2||2 =.||(*j. + X 2 ) + j(yi + J/2)[|2 = ( V (z i + X 2)2 + (yi~+ y2)2 )2 = xf + 2x 1x 2 + x| + yf + 2y1y 2 +y| i (||zi|| + H^H)2 = ( V ® v ^ + V ^ T + ^ I )2 = + x§ + y| + 2 V (x f + y 2)(x| + y|) je ||zi + z 2||2 < (||zi|| + [|z2||)2 ++ z i i 2 + yiV 2 < V V i + y i )(x 2 + VŽ) +> V i 2/2 - ^2J/i)2 > 0 , tj. važi ||zi + z2|| < P ill + IIZ2||. Dakle, preslikavanje || ||, dato sa ||z|| = \Jx2 + y2, z = x + iy je norma. OP
b ) Ispitajmo (apsolutnu) konvergenciju reda
a n, a n
=
, „ Ji nJ _ i
,
u prostoru
n=1
C, koristeći Dalamberov kriterijum: ■‘f 1. ll“ nll
n‘^ S o "
lim (1 + i ) •
71
T>.----l O O
e
e
H / "e "-l
o°
.
m -n
=^ 1+
Ien~.l1 i I
lim
n —k
x
e ( n + l ) f i„
>
= 7 < 1 , te red konvergira apsolutno. e
OO
c)
=
1
OO
= ^ E ( - I ) " | i = nE= 0 ^ - i ) " ^ . ' = //(*)<** / = 0 oo
S i( 2-n ,+-l ),! /J x; 2 n d x = E ( - 1 ) " ( 2 n + l ) ( 2 n + l ) ! ’ n=0 0 n=0 oo
Za naizmenični red
( —l ) nbn važiocena |R„| < bn+i, gde je n=0
=
E
fc=n-}-l
(-l)*6fc
ostatak reda. Nađimo n e N tako da je \Rn\ < i n+1 < L - 10 2, tj. da važi bn+i = (2n+3)(2n+3)! + 5 ' 10- 2 . Lako se proverava da je nejednakost tačna već za n = 1 , jer je < \ ■1(T 2, pa je I rs b0 - bi = 1 - jL = 1|. 2. a ) Neka je S = 5 i U 5 2 LJ S 3 U £4 U £ 5, gde su S ,, i = 1 ,2 ,3 redom delovi ravni xOy, xOz, yOz, S 4 deo površi x 2 + y 2 = 1, a Sg je deo površi z = x 2 + y2 (vidi sliku). Označimo sa F s it i = 1, . , , 5 fluks kroz površ S t, a sa rij = (co sa ,, cos 3i, C0S7 ;), i = 1 , , . , 5 redom jedinične vektore normala površi Sj. Izračunajmo sada fluks F kroz traženu površ S : F = J 2 F Si, i= 1
108
Fsi = / / xzdydz + x ‘2ydzdx + y2zdxdy Si
/ f (xz cos cti Si y2zco s'fi)dS. =
+
x 2y a
z = 0 , ni = ( 0, 0 , - 1 ) =+ = - // =+ F Sl = 0. Si y = 0 , n 2 = ( 0 , - 1 , 0) =» -Ps2 = - J J x 2ydS => -F.s, = 0.
■s2
X = 0 , n 3 = ( - 1 , 0 , 0) =+ -Fs 3 = —/ / 2 -zdS => F s 3 = 0 .
s3
a:2 + V 2 = 1 , n 4 =
J ^ ? ( 2x>2ž/>°) = (*>y>o) =>
F Si = f f ( x 2z + x 2y2)d S = f f ( x 2z + x 2(l - x 2))^ Jl +
=
II Z
In -Ž *
= f
I ^sfn™3~ ( -
dxdz sin^dv? = / c o s 2 9=(^+
f
1 - cos2 (p)dip = i / cos2 (pdp+ f cos2 95sin2 ipdp = [|(
* -2 * V + »==)+■>' - j f : 7 ^ ~ i
(Xlx- + s=) -
1f >/4 x 2 + 4y 2 + 1 đxdi/ = / / ps [ l —3cos 2 y>—2 cos2 00
| sin2
+ »'lV' + s=)]
sin2 v?] dpdip =
I^ sin4tp]| * = - f f .
•[—|y>—
10
Sabirajući date vrednosti dobijamo fiuks: F = f . b) F
= / / / divadxdydz = f f f ( £ ( x z ) + J~ (x 2y) + ^x (y2 z)dxdydz = v
I I I( Z+ X2 + y2)dxdydz = V
//(
/
D
0
(2 + x 2 + y2)dz)dxdy = I / / ( x 2 + y2)2dxdy D
= f I d p f r 5dr = f , D = {(x,y )| x 2 + y 2 < l , x , y > 0 }.
3- a ) A B :
y = |x - |, x € [1,7];
109
J
= /
= /
- f g + | ) ( a + 1) + ( x +
a (| x - | ) ) ( a - l)|]d® = / [ ( & - i ) ( a + l ) + ( 4 ^ 1 + f ) | ( a - l)]d * = (| ln 7 + coteM
1
ln 3 )a 2 + ( | ln 3 - | ln 7 )a — ln 6 3 .
A C B = A C U C B , A C : y = l , z e [ l , 7 ] , C B : x = 7 , y € [1,9];
J = / I ^ i s ± n da;+ f il±M)l!LAldy = (o + i)(aa: - lnz)|7 + a=l(71ny +
1
1
11
a 2/)| = ^+a2 + ( ^ + ln | )a — ln 6 3 .
b) Dati integral ne zavisi od putanje ako je podintegralni izraz Pdx + Qdy diferencijal neke funkcije, tj. ako važi § § = § § . Kako je i §§ = , to mora biti a = 0. Nađimo u tom slučaju funkciju F ( x , y ) , takvu da je d F (x , y) = P (x , y)dx + Q(x, y)dy = - \ d x - ±dy, odnosno da je § £ = - £ , = —1. Lako se vidi da je F ( x , y) = —ln \xy\ + c.
z = x + iy, tui = e~ 2,z = e2ye_2“ ; x = f — » rui = e2ye~ 1^ ,y € R; a; = f — > wi = e2ye_12 = —e 2yi,y 6 R; Wi(0 ) = 1 £ w i(G ). U>2 = —tl)i. «3 = 1 + = iJji = 1, ! / € 8 0 + - * w4 = 4 = i F - i+ ^ * = M + iv*
110
«
u2 + v2 = w, v < 0 , (u — | ) 2 + u2 =
v < 0;
X + 1, X <
= i + i F 5 = x * + ( i - x ) * + i ”7+jrziy5 = « + iv, 1
v < 0 , ( u - | ) 2 + (i; + i ) 2 = Uls = 21114■
u < 0;
V* ~
1
x * + ( l - x )3 = U '
2i —
w — e ‘ %W5.
Oblast G = {z € C : j < R ez < funkcijom w = / ( z ) preslikava se u oblast {iu e C : \w —i| > 1 , |in — 1 —i\ < V 2 }. 5. Uzmimo onu granu funkcije z~p = e-p(i“ l*l+»»rg*+2*»f») za koju unutar date konture L važi A rgz = argz + 2kir € (0,27r), tj. arg z 6 ( 0 , 2 rr). U tom slučaju će biti i z = X 6 R + => z-P = e-p(lnl+“ °) = e- P ln* = aj-p, Z = x e i27t, X € R+ => Z-P = e—P(lnx+*2ir) _ g—plnXg—2pjri _ x ~ P e ~ 2pwi ^ z — — e ~ i a => z -p = e-p(lnl+*(if-“ )) = e—pi(ir—a)^ z _ _gta =, z - p _ e-p(ln l+i(jr+a)) _ g-pi( 7r+a)_ z 2 + 2 zcosq + 1 = 0 +> zx/2 = —e± la , q e (0 , 7r) => Z1/2 € in tL . Ođatle, sledi da su z 1/2 polovi prvog reda funkcije / ( z ) =
■ zi+‘£ 'Js ia + i' Pa Je 1 =
/ f(z )d z = 27iri (Res / ( z ) + f e s / ( z ) ) = 2tT7 •( ^ + C o sa 1
+ 2z+2cosa \zssz)
— 27Ti l ( (~eiaL P I ( - n- i° ) - ,l'| — _ 2t_[(_e- i a ) - P _ ( _ eia)-P l = . ,g_[e~pi(ir-«») — Z7TI 2( —1eina + isina / sina11- e / V e / J sma(c e—pi(ir+a)j _ ^ g -p r r i ^ ip a _ g-ip«) = _ ^ _ e-ptri . 2isin p a = 2^ - ^ . Sa druge strane je / = / x 7+ 2x Co3'c.+idx+ / r
/ A
^
^
e2" & + / r ^ * ^ C s a + l » e^
li
đ t+
= / 1 + / 2 + /3 + /4.
2rr
1^ 21 <
=
t 'llle’1*cosa+1
0
/
^*C’*I'
1 1 e2i‘ I- 12 R e “ cos a |- 1 11
2 7 r' f i 't - 2 S | c o s a | - l
+ ”
~
f
K ‘ - ‘2 R \ c o s a \ - l ^ ‘t
= °> j e r 27r 'K2 - 2 R\ Co s a | - l ~
27 rR
1 P, R
OO, — 1 — p < 0 .
2n
2/r
1—2rfcos'a| —r'l =+
2-7T
|r ie '£|dt = / j35
Slično, |/j| < /
74 = 0, jer 2t
t
. al- 7 « ^ 0, r ^ 0, 1 - p > 0.
Dakle, kada r —»0, i? —/ oo, tada je ( l - e - 2pilr) / t i + L l + i = 2" ' e-
0
oo
/
2: pda: x2 + 2x cos a + 1
2717
i+E una2 ,’ tj. J smpa
-P7T, S ln P Q =
1 — e 2plrl
111
sina
sinp7i
sma
2 6 .0 8 .1 9 9 8 .
1.
a ) P o k a z a ti d a j e ( C [ - l , 1], || ||) n o rm ira n p ro s to r (n ad p o lje m re a ln ih b r o je v a ), gde j e || || : C [ - l , l ] — K p re slik av an je d e a n isa n o sa
ll/ll =
max |/(x)|.
x £ [ —l , l j
00
b ) I s p ita ti k o n v e rg e n ciju re d a X] mctg n=l
t) [—1,1], 2.
x
2
*2x
, a > 2 nad:
T 71
ii) R.
X
a) N a ći fu n k c iju / : R -» R , ta k o d a j e p o lje S = (x/ (a:), -
ji
/ /(t)eI _ 'dt, z)
o
solenoid n o. b ) N aći c irk u la c iju p o lja a = (x + y — z , y + z^z), p o k o n tu ri c = OA
U
A B O BO, gde su A (3 ,0 ,0 ), B ( 0 ,1 ,1 ) , a B O deo k riv e z - y = 0, g = X2 + y i , k o ji se n alazi u p rv o m o k ta n tu , k re ć u ć i se u sm e ru o d ta č k e O ka ta č k i A. 3. Iz ra č u n a ti zap rem in u o b la sti d a te sa ( J + y 2 + z 2)2 < a 2(x2 + y2 - z 2), 4 . D a ta je fu n k c ija /(z ) = cos(| •
a > 0.
^).
a) R azviti funkciju / u Loranov red u okolini tačke z = 1. b) P re s lik a ti o b la st {z 6 C : |z - 2| > l,R e z > 1} fu n k c ijo m w = /(z ). 5. Iz ra č u n a ti v re d n o st k o n v erg en tn o g in te g ra la y L
J 0 Z T d^
j
—
0
r
R+i
“ e R \ {° }'
k o ris te ć i k o m p lek sn i in te g ra l / L e
slici.
112
R
*
g1*'* ^ ---- -dz, gde je L k o n tu ra d a ta n a 1
R e še n je :
1 - a)
||/||= m ax \f(x)\ > 0 , jer |/(*)| > 0 (vs(x) > 0 =» m ax
0 < |/(i)| <
max |/(a;)| = 0 ,x e [ - 1 ,1 ] •+> f ( x ) = 0 , x e ae[-l,l]
1 -1 ,1 ) & f = 0. P/|| =
max |(A/)(x)| = max |A/(x)| = max |A||/(x)| = |A| max xG[—1,1] x€[—1,1] x€[—1,1] *€[—1,1] l/(* )l = W \\fl ||/+S ||=
max |(/+ p)(xj| = max |/(x)+p(x)| < m ax (|/(x)| + *€[-1,1] , *€[-1,1] *€[-1,1] Iff(m)l) = |/(xo)| + |fl(xo)|)< max |/(x)| + m ax |5 (x)| = ||/|| + ||p|| (za *e[—i,i] *e[-i,i] neprekidnu funkciju |/(x)| + |g(x)| postoji maksimum u tački xo e [—1,1]). Znači, preslikavanje l| ||je norma. b ) Funkcije /„ ( x ) = a rc tg —*— — , su neparne, te ih stoga razmatramo za x^ + n a X > 0. Iz fn (x ) = ( J (+n°-)Ž+ix? ' sledi đn 2a, x = n ai 2 funkcija f^ ima (lokalni) maksimum. i) Kako je f n(x) > 0, x e [0,1] i n a! 2 £ [0,1], za n > 1, funkcija / „ je rastuća, pa je njena maksimalna vrednost kada je x = 1. Kao što smo rekli /„ je neparna funkcija, pa za x e [—1 , 1] važi |/n(x)| < arctg
= arctg OO
Znajući da je i>„ ~
~
a > 2, sledi konvergencija reda
bn, odn=l
nosno na osnovu Vajerštrasovog kriterijuma i uniformna konvergencija zadatog funkcionalnog reda, nad intervalom [—1 , 1 ]. ii) Neprekidne funkcije /„ su ograničene jer važi lim /„ ( x ) = 0, pa za x e R * —+oo
sledi:
I/»(*)! * aiCt® ( J / 2 Y T ~n* = arCtg Zbog a n
~
= “ »■
oo
a > 2, sledi da red n
OO
a„ konvergira, pa i red ns=l
fn (x ) n=l
uniformno konvergira na R, po Vajerštrasovom kriterijumu.
2.
a) OA : x € [0 ,3 ],ji = 0 , z = 0;
A B : x = -Z t + 3 ,y = t ,z = t, t € [0,1]; z = z, z € [0 , 1].
p (A ,B ) : § 5 § =
= f 5 § ( = *)>
BO : x = V z - z 2 (x > 0), y = z,
Za a = (P, Q, R ) = (z + y + z, y + z, z), imamo da je cirkulacija: _ 3 i C = f P dx + Qdy + Rdz = C {O A )+ C {A B ) +C {B O ) = J xd x + f [ ( - 3 t + 3 + Jc 0 ... ■ 0 t - t ) - ( - 3 ) + (t + t ) - l + t - l } d t + J [ ( V z ~
z 2 +
z
-
z
)
^
^
+ (z + z ) - l+ z - l ]d z = 0 .
b) Polje a je solenoidno ako je div a = 0, tj. x f ( x ) + f ( x ) —J f (t)ex td t + 1 0, odakle primenom Laplasovih transformacija, sa F ( s ) = C ( f ( x ) ) , dobijamo: C (x f'(x ) ) + £ ( / ( * ) ) - C ( J f ( t )e x-'d t) + C( 1) = 0,
m y + F(s) - F ( s) jJj + 7 = 0, . - F ( s ) - s F '(s ) + F (s ) - F ( a ) ^ ! + $ = 0, -(sF(s) -
F>(s) + j ^ F ( s ) - j t = 0. Rešenje ove linearne diferencijalne jednačine je: F (s )
1 2s(s — 1)
s —1
, 1 \ + c (l + - — T) = c s —1
Znajući iz teoreme o egzistenciji Laplasove transformacije da ^hm^ F (s )
0,
dobijamo da je c = 0 , odnosno da je
3. Primetimo najpre da se data oblast može dobiti rotacijom lemniskate (y* + z2)2 = a2(y2 - z 2) oko z —ose. Uvodenjem sfernih koordinata, sa: z = p cos 0; |J\ = p2 sin 0, dobijamo (x 2 + y 2 + z 2)2 = a2(x2 + y2 - z2), p4 = a 2p2[sin2 8 - cos2 8], p = a V sin2 9 —cos2 8 = a\j1 — 2cos 2 8 = a f —cos 29,
COS20 < 0 +> 8 € [ f ,
u [x> -t I-
Oblast V je simetrična u odnosu na sve tri koordinatne ravni, pa posmatramo njen deo Vj iz prvog oktanta:
114
2 flV 1—2 COS2
V = 8Fi = 8 / / / dxdydz = 8 / /
0f
V
■Mm
2cos 2
T
0
/
0
%
p2 sin OdpdOdip = 8 - f •f i a 3( l —
5
sin 9d6 = ~ a 3 •/ ( 1 —2cos 2 0)§ sin OdO = 4 / a 3 - (_^™ =)(3a + 2 s m a +
sin4a)|
1f
= ^ ^ a3.
/ ( I - 2 cos2 0) i sin 0d0 = j ( - ^ ) ( \ J V ^ ( ^ č o š & ) ^ ) 3(- \ /2 sin 0)d 0 =
—75 / ( - / l — m 2)3dm = — / cos4 a d a = — = “ 175 (8« + 2 sin 2 a + | sin 4 a ) + c;
/ |(3 + 4 c o s 2 a + c o s 4 a )d a =
0 G [| , f ] =+ m = \/2 cos 0 6 [0 , 1], a = arcsinm => m = sin a; cos4 a = ( 1±™32a)2 = j ( l + 2 cos 2a + |( 1 + co s 4 a )). 4 . a) f ( z ) = co s(f + f / f ) = cos f cos f^ f
1 sin Z l l
2 h m z —1
— TL 2
f2, i,-1)" ( E l ± \ l n _ 1 (2 n )! i z - l l
b ) / (^) = cos f (1 + w\ = z — 1 ; w2 =
e i(x + iy )
J
sin f sin f / f = fp cos
y ~ .{ - J - T . ( ? J ± \ 2 n + l
2 „ _ o (2 n + l)!V * -l)
)■ e iw4 _j_ e —iW4 w3 = 1 + w2; w4 = f w3; w = cosw4 = -------- - --------
,
e ~ i( x + iy )
i
w (x+iy) = -------------—------------ = —[e“ e y+ e ,x e y] = c o s x c h y —is ia x s h y ,
115
x £ ( f ) f )i v G
u>(f + iy) = ^ ( c h j / - is h y ), y e R; to = u + iv, ch 2 y - sh2 j/ = 1 =» . u2_________ V2 _ 1 . Cl • (v/2/ 2)2 (\/2/ 2)2 ’ m (|
+ i y ) = u + iv = ^ ch y - i| sh y , y € R =+■ c 2 :
~ j f /W = !• 2
Krive c\ i C2 se ne seku. Pokažimo da je H = {w = u + iv € C : < l ' ( + f /V “ (757iP >
IW
~
u > °> P °slednja oblast k° j a se dobij a -
w(x + iy) = u + iv, u — co szch i/, v-= - s i n a s h j / , x e (| , \ ), y e R; x g ( 1 , 2 ) => c o s i e (\/2/ 2, v/ 3/ 2) , sinx e ( 1 / 2 , \/2/ 2), a odatle sin 2 x sh2 y ^
cos2 x ch 3 y
-
(\/2/ 2)2 >
cos2 x c h 2 y _ (%/3/2)2
sin2 x s h 2 K <
(J/2)i
( V 2 / 2 ) 2 ch2 y
( i/2/2)2 sh 3 j< _
(T 2/ 2)2
(V W ~ (V 3 / 2 )2 ch2 j j _ (T 3 / 2 )2
„ t,2 .
\
oh2 . _
CI1 27 811 V
i l/ ^ / s h / j/ _ (t/ 2 )2
^2
^
’
fa2 y = 1 , "
cos a ch j/ > 0 . e“12 5. Funkcija /(z) = —— — - je regularna unutar date konture, pa je I = f f ( z )d z = 0. Takođe je l
R
6 1
-f
/
=
£
k—1
^
=
fe t
g n ii
1
e a i(R + iy )
t
„ 25TX _ 1 d a :+ •[ e 2 ir(K + iy ) _ J ! ° 'y +
, . g tw (x + i) e 2 w (x + i) _
eai(i+re“ )
e 2,(i+ re“ )—
^ r ieitd t+ f
r dy + f
n
rie"
-d x +
J 1
'dt.
ff(z) = e2,rz - 1, ff'(z) = 27re2,rz; g(z) = 0 z = k i,k € Z, g ’(ki) = 2w ^ 0 , te su z = fci nule prvog reda funkcije g, odnosno polovi prvog reda za funkciju /, pa je Res f ( z ) = 71 • e a 2 ' 27re2wl
r —+0
2 f +0 “ |e-n y eaHi|
N < / -
||e2,r-Re2,ryi|— 1| sledi lim 1 2 = 0. q
2 4 2 tt
I I
lim i
r —»0
1
P~a.y
i\dy = fr
C
p2 rrR .
i
'
4e“ ’
-
1
1 —e~°
>2 ttR _ /
, ođakle
R —*oo
Sada iz prethodnog sledi da, kada r —>0, R —* 00, važi
00 ga*x 0 B~a * eaix i ® e~~a^ i 0 - / J K m * ' + ° + £ 1 3 S T T * - 4? + { S C I « ! - J 00
0=(1- e_0)(
„aii
:
j
0
e - ’ry»
eiryi — e~ ,ryi, ,
“4? ~I+/ e_aV• 2 •(--- 2i--- ^ d2/’
116
M|«-»
n n -a\/°r ° = <1- e ife o
oo f sin ax
cosax
i
1 .1 4+ 2 f e
Vdy
1 i
: ay ctg vydy
aydy
/I -a s °r sinaa: , ( 1 - e a) j - — — r dx > t e - r OO f sin ax
J
i
+
o
°'
\
. 1 1 1 . A l , a ^ 3 I ^ = r ^ ( 4 ? h + 2^(e “ - l ) ) = 4 ^ h 2 ,
1
1 4 e°
117
2a'
1 6 .0 9 .1 9 9 8 .
1. Is p ita ti k o n v e rg e n ciju re d a
OO
-j- 1 o —1 - z— sin " x, i n a ć i n je g o v u sum u.
71— 1
2 . Iz ra č u n a ti fiuks v e k to ra a = (~ , j , j ) kroz s p o lja š n ju s tra n u d e la elip -
= 1 , 0 < c < 6 < o, x ,y ,z > 0, k o ji iz n je g a is e c a ju
soid a rav n i z = §, z =
6x — v3ar/ = 0, 6x — a y = 0.
3 . U ko lik o te lo zau zim a o b la st V = { ( x ,y ,z ) :
•+ ^ j l +
< l ,x ,y , z > 0},
iz ra ču n a ti n jeg o v u m asu m = f f f pdxdydz, gd e j e p = p ( x , y , z ) n jeg o va v g u stin a u ta č k i (x , y , z ), ako j e te lo hom og eno (p = 1). 2
4.
,
2
a) N a ći fu n k ciju ip,
5
----- — )
z - 3i
5. A ko je p e ( - 1 ,1 ) \ {0 }, iz ra ču n a ti v re d n o st k o n v erg en tn o g in te g ra la
/
cospx dx, chx
koristeći kompleksni integral f
-dz, gde je L kontura d ata na slici.
118
R e š e n je :
1 . Posmatrajmo red X)
Tada je
n= 1
1
R
lim sup
lim ( i ( i + i))5 ^ = r
= 1.
Dakle, |i| < L 43- |sinx| < 1 4t> x £ R \ {% + kn : k 6 Z }. °o
oo
Za t — ± 1 , imamo X)
= ± X)
a to Je divergentan red
| / 0.
jer je lim ^
*
n —>oo
00 1* 00 Iz X) 1T = / ( X ) n=l
1*
0 n=l
= —ln(I — u ), |n| < 1, sledi da za
n
oo
oo
0 važi E
oo
oo
= | E (1 + ^)*2" - 1 = I E ^2” - 1 + s E
n=l
-----1
------
---- 1
£(*2)n =
35P F - ^ ln(! - ^2). Pa je : OO
H“ 1
n=l
1 sin x 1 xx == - ------ r— 2 cosJ o;
. 2 n —1
- — sin 2n
ln|cosa;| sm x
x € R \ : k € Z } i S(kir) = 0, fc £ Z. 2 . Označimo sa 5 deo elipsoida kroz čiju spoljašujost treba naći fluks vektora x2 €: ^ «i : z =
y2
z2 - 1.
02 : z = f , /?i : 6x — -v/Šaj/ = 0, (3% : bx — ay = 0 .
ei = e n a i :
( ^
e^ = e n « 2 : ( ^
+ ( ^ +
( ^
D = priOy(S) = { ( x >^) :
= 1’ = ! ’ z =f+ (^ p
> J > /^ b )3 + ( ^ 3 < X>
0 < 7 t x < V < 3 X>Lako se vidi da je jedinični vektor normale na elipsoid e : ^ -I J va2 ’ b2 ' c 2>'
\Jf*+(£+£ F ~ / / “ ' s
■dS. - ( ?r + pr + ? ) / / s v?+ w + ?
119
Ako uvedemo uopštene polarne koordinate, imamo da je x = ap cos ip, y = bp sin ip, J = abp, kao i PrzOj,(el) : P =
PTxOy(e2) ■ P =
= c(? r + F + ^ ) /
/ j r ’f - d p d p — a & c ( s ? + F
+ ^ ) ^ | „ ( — \ / l — p 2 )|
•fe Hž.
PrxOy(A) : b a p co sip -s/3a b p sm ip = 0 => tp = f , prl 0 y(/32) :
= o6c(4f + ^ + ^ ) f j ('/2 - 1 ).
3 . x = ap cos6 ip sin8 8, y = bpsin6 y>sin6 0, z = cpcos 6 0; dx/dp d x / d p dx/80 J = dy/ dp d y / d p dyjd6 d z / d p d z / d p dzjd d a cos6 p sin6 0 —6ap coss p sin p sin6 8 6ap cos6 p sin® 9 cos 8 6bp sin6 p sin5 9 cos 8 b sin6 p sin6 8 6bp sin5 p cos p sin6 8 —6cp cos5 8 sin 8 c cos6 6 0 cos p sin 8 —sin p sin 8 cos tp cos 9 sin p cos 9 : afec-62 p2-cos5 'p sin5 y>-(sins 9)2 cos5 9 sin p sin 9 cos y>sind —sin 9 cos 0 0 = —36abcp2 sin5 tp cos5 p sin11 8 cos5 8.
p=i.
120
7r/2?r/2 l
m = / / / dxdydz = f J J \J\dpdtpd0 = f f f 36abcp2 sin6
0
= < p " (t)(^ £ )2 + < S (t)&
f. Funkcija / ( z , y) = o (x, y) + iu(x, j/) je harmonijska, pa sledi: d 2u d 2u _ ćte2 + 9 j/2 ^ r ' ( t ) [ ( ^ ) 2 + £ ] + t f ( t ) [ 3 £ + |] = 0 +>■ tip"(t) + 2
§* = i / (S
= - ( ^ r 2- 4 f =
=+ ^ = / ( ^ d j / + C(x) =
j i H ^ + c ^ ) = i / (^ f+ ^ rfp + c(s) = i f ( TT ^ y r - i / p r ) d p + c ( x ) =
J T ^ + c (x ) = - 5 ^ ;j + c ( * ) . f
/ (T ^ p d p =
m = p, dm = dp, dn = j p ^ r p dp, n = -
J
dy = ~ dx ^ X ' ( —(xi+ya)'J ) ' 2jt = _ (( _ 2t)(i2+y5j* ' 2® + c '(x )) =+ c'(x ) = 0 =+ c(x) = c. / ( x ,y ) = (--if - j - 1 ) + i ( - j i f j r + c) = = E $s - 1 + ic = ^ 7 - 1 + ic =
7 — 1 + ic. b ) / ( * ) = sin f i ( l + t^ = ). Wi = z — 3i; w6 = l + ws ;
io2 = žul;
103 = ==;
io4 = iw 3 = ellr^2W3 \ w$ = 3104;
,, e™8 — e~ iwa W7 = e m' 2w6-, w6 = ^ wt , w = siniog = ------- —------- 0 2i
w(x + i f ) = £ir^-^c J/:i sin x + i e*/2~f — co sx = ch f sin x + ish f co sx, x e R; u; = u + iu => u = ch f sin x , n = sh | cos x => cht , + ^ , = 1. to(x + ij/) = ch j/sin x + is h j/c o s x = « + w , x e R , j / > |;
121
> sin2 x + co s 2 a; =
y > § =>chy > c h | , fshy > s h f =>
1,
tj. oblast G = {z 6 C : \z - 4i| < 1 } je funkcijom w preslikana u oblast
{w = u + i » e C : y r +
> !}•
- 1 >;
'
5. Označimo sa / ( z ) = f g j . Kako je p(z) = chz = *-4^— — 0 •» z — 7ri nule
2fci+7ri, fc e Z i ff'(z) = shz, g ' i ^ - n i ) = ( - l ) fci ^ 0, to su z = 2^
prvog reda funkcije g. Iz e**3^ * * * = e- 2 ^ 1™ # 0, sledi da su z = 24+1 rri, polovi prvog reda funkcije / . Dakle, jedini singularitet funkcije / , unutar putanje Z je z = | 7 ri, pa je I = f f{z )d z = 2m Res / ( z ) = 27ri •( ^ ) £
2=7rt/2
lz= iri/ 2
= 2'Ke~pwl 2.
Takođe je ^ ~
4 5 2 Ik —
Jfc=l
(f f
-RD
ip i , č i n ;d x +
|T2|< / i e - ^ e ^ « ! / 0r
j! +p(R+iy) . f c h (iZ + iy )* ^ V +
«
/
»
.ip (-a + *V ) c h ( x + 7 T t ) / c h f-iJ+ tv )1
W
1—e~
lea ei» l - k - s e - i »||
o
122
a odatle i lim I 2 = 0 . R~* 00
|/4| < / |e-P*'e-v « | /L
V 1'|-|eB e - i
n u
1
0
— =tt, pa je i lim I4 = 0. C H-^OO
Sada iz prethodnog sledi da, kada r -+ 0, iŽ —> oo, važi 7 &
+
0+ 7 $ ^ d z + 0 = 2. e- W 2.
—oo
oo
oo No, zbog ch(x + 7ri) - —ch x , imamo (1 + e_p7r) / —OO 00
Odatle je 2 / ^ d x =
OO
tj.
123
/ ^ § fd x =
= 27re-p7r/ 2.
1 7 .1 0 .1 9 9 8 .
1. a) R a z v iti fu n k ciju f ( x ) = a x, x e [0,2*-] (o > 0 ,o ^ 1) u F u rije o v red po: i) ko sin u sim a, ii) sin u sim a. “ 1 . “ ( - l ) " ! 3" - 1 b ) Is p ita ti ap so lu tn u k o n v e rg e n ciju red o v a X) ^1+7 1 2 .^ ----- ■ D a li d rugi re d uslovn o k o n v erg ira? 2. N a ći c irk u la c iju v e k to ra a = (x — y — z + 2 ,y — x ,x + z — 1) p o k r iv o j c k o ja se d o b ija p resek o m površi x 2 + y 2 = 2 —z, x 2 + y 2 = 2 y, o rije n tisa n u od ta č k e A (l, 1,0) ka ta č k i B ( 0 ,2 , —2). i) d ire k tn o , ii) p o m o ću fo rm u le S to k sa . 3. A ko te lo zau zim a o b la st
_2 V
-
3
„,2
„
+
_4
h
.,4
_2
+
2
+ b
*Ž 0 },
a,b > 0, iz ra ču n a ti m asu to g t e la m = / / / pdxdydz, gd e j e p — p(x, y, z) v n jeg o v a g u stin a u ta č k i ( x ,y ,z ), ako se z n a d a j e te lo h o m og en o , t j. da j e p = 1. 4. D a ta je o b la st G = {z € C :
< \z - 1| < 1}. N a ći }(G ) gd e je
,, „ 3z2 —6z + 4 /(Z) = 2z —2 ’ 5. Iz ra č u n a ti v re d n o st k o n v erg en tn o g in te g ra la OO
cosx da:, n 6 N. + a:2)"+1
124
R e š e n je :
1 . a ) i) Funkcija f ( x ) da bl se razvila u red po kosinusima mora se parno produžiti na interval [—27r, 27t], pa je Furijeov red, nad tim intervalom za nju: oo / i f + E a».cos«p gde je / = 27t, ac = j J f( x ) d x i an = f J f ( x ) cos ^ d z , n=l o o n
G '
2ir
1
x
|2
'
2 ir
,
,2 n
Dakle,’ aa = -ir Jf axdx = -f frl^n -a L ° 0 ,0“ o ■
an = -tt Jf ax cos n 0 o
= -jt “ li*1, na ’
tt
^ nV 4+ln^(lnaC 0S f X + f SiR f K)|0 =
r
h = J a x cos bxdx = ^
dx =
cos 6x +
- 1 ) . » 6 N.
/ a 1 sin 6xdx =
cos 6x +
sin bx
=» /i = p ^ r j( ln o c o s 6 a ; + 6sin6x).
\^h)
(u = cosfra:, dv = a^ctr, du = —bsm bxdx, v = p = sin bx, dq — axdx, dp = bcosbxdx, q = j+^.)
/2 = / a x sin
= | (ln a /i — ax cos bx) = fe2H ^ 2o (ln a s in 6a: — 6 co s 6a;).
J a2" — 1 ^ 4 1 n a y% ( - l ) " a ^ - l )
41na
na:
--------------- s---- COS —
n=l
n 2 4- 4 ln2 a
2
ii) U ovom slučaju nam treba neparno produženje na interval [—27r,27r], pa OO
dobijamo da je tada Furijeov ređ po sinusima:
V) 6n sin
, gde je bn =
n=l
l
2 f f ( x ) sin o
n G N.
6'"n = iS S ax s m r f d x =
x
|27r
£ T O ? a(lnQsin f g ~ f cos gžc)Iq = jr^ f a
- ( - l ) 7^ 2* ), n > —■ ——— —— ^— (1 — ( —l.)no27r) sin it — J n 2 + 4 ln2 a V V 7 2
1
_ n - ( l + i ) _ g —( l + i ) L « n _ g - ( l + i ) ( l n n + 2fcirt) _ g - ln n - 2 k i r i e ~ i l n « e 2fcir
= ^ -^ (co sln n - isin ln n ), k e Z.
OO OO 2fcw Red apsolutno divergira jer je J2 Ijprrl = U | ~ -(c o s ln n — isinlnn )] oo
n=l
= e2^ nE= 1 b keZ-
125
n=l
|(-I)n<3n *1 _ y
y
2—j I n=2
ln n
1 zbog
■t—4 I n n ’ n=2
° inn.
1
n
n
sledi da
apsolutno ne konvergira (uporedni kriterijum).
(-i)"(i3)n _= (( -- I1 H n»n’ = (—I H 3" - 1 _ LiHlifH H --II)H = e p l == - M1 c(oc so s ^ + i s i n ^ ) inn
—
i llnn n
tillnnnn
tl i n n
iill nn nn^^
2
2
im)\. ^ (s in ^ -ic o s ^ 2r Kompleksni red V zn, zn = x n + iy n konvergira ako i samo ako realni redovi oo oo _ oo oo _ ]T y n konvergiraju i tada je i ]T] z n = Y j x n + * Y 2M* Stoga I > xnn ii X>>
n=l
E
^
n=2
=
E
n=l
^ (s in ^ -ic o s ^ )=
n=2
g
n=l
T ^ s in ^ -i g
n—2
n=2
i^ c o s ^
= £ -J + dl l y - j E Kako ovi redovi konvergiraju (Lajbnicov kriterijum) fc= 1 nt *=1 n konvergira (uslovno) i zadati red.
2. i) Ako površ cilindra S 1 : x 2 + y 2 = 2y napišemo u obliku x 2 + (y - 1)“ = 1, zgodno je uzeti da je x = cos t, y = 1 + sint, a iz jednačine površi paraboloida S2 : x 2 + y2 — 2 - z i 2 = - 2 sint, pa je jednačina krive c u parametarskom obliku x = cost, y = 1 + sint, z = —2 sint, t e [o,27r], Sada možemo izračunati traženu cirkulaciju: C = f ( x - y - z + 2)dz + (y - x)dy + {x + 2: - l)dz = / ( - sint + 3 c o s t + C ®
2tt
4
sin t cos t —sin2 t—3 cos2
2ir
2tt
2tt
= — f sin tdt-j-3 f cos tdt-\-2 f sin 2tdt—f (2 cos t-f-
2tt
l)d t = — f (cos 2t + 2)dt = —47T. o Primetimo da je kriva c orijentisana u smeru rasta parametra t jer tačku A dobijamo za vrednost parametra t = 0, a tačku B kada je vređnost parametra t1 = -2 ii) Uslovi za primenu Stoksove formule su zadovoljeni, te je cos a cos/3 C0S7 d_ JL JL d S = —2 f f cos BdS = —4 f f d x dy dz I = SI x —y —z + 2 y —x x + z — 1 dxdy = —4p(D ) = - 47r, gde smo sa S obeležili deo ravni 2y + z = 2 u kojoj
126
«
leži presečna kriva površi Si i S 2, n 0 = (0 , te ravni, a D = {(a;, y, 0) : x 2 + y2 < 2y }.
je jedinični vektor normale
3. x = arcosifi, y = br sim/j, J = a 6r. D = {( x ,y ) : f r + |r < f r + ^ , x , y > 0 }. +
= h + h _ ___ 2
1 l-c o a 4 y
=
\/cos4 ^ ,+ sin 4
-y/l—2 c o s 2 v s i n 2
^ / l —f s in 2 2
J 3 + C O S 4(p *
Ako označimo sa Vj = {(m, j/, 2:) : f i + £r < f , f r + f r < f r + j£ , a:,J/,z > 0 } deo oblasti V, a sa m i odgovarajuću masu, tada je f 2/v/3+cos4
m = 4m i = 4 J J J dxdydz
= 4 f f c(fj- + |?)dxdy = 4 /
J
0
0
Vi
D
f
i
cr2 •
f
abrdrdip = a b c j {i+c^ 4v)id>p = abc[J j— g ^ o o
dtp + / (3+cf f 4sp)idy.]. 4
Nađimo primitivnu funkciju F(
J f(ifi)dp = 16 / (3
\ T+i?dž = / (?i+ 2)2 dt = / ( j i ^ + 5*(t*335*)ctt
= / F + 2rft+ K _ tIT 2 + / F T 2^ ) = ~ 2 (J+ 2 ) + hf i f l + ( J j )2 7 5 * - ~ 2jfr+ 2j + arctg
Tako je
+ fc.
F(
_ 2(t$'U+2) + ^ arctS ^ &2,
. “
2 ( t i ^ + 2) +
^
arCtS
+ fcl’
^ e [°’ f ) = f
+ ^3 ’
^ e [ f ’ f]
Funkcija F mora biti neprekidna, pa uzimamo da je F ( f ) =
lim F(
lim F (^ ) , tj. k2 = 2) p § + fci = - ^ f + * 3 , odakle>jje v -*f+ 2(tg?2vM-2) + ^4^ arclg 4. fc,
F(v>) =
- 2f t ^ + 2) + ¥ a r c t g ^ + ^ + A : , + k) — ( —2(# d + S j +
Sada imamo da je m = abc[(-K^ [f ( - ž j t f e j + ¥
arcfcg
4 . a) Kako je / ( z ) =
+ fc) -
V> e [0, 4 ) ¥> = f »» 6 [ f , f] argtg ^ 5 + * ) l +
+ *)] =
= f (z ~ 1) + f j z r , to se zadatak svodi na
127
to da oblast {z € C :' -^= < |z| < 1 } preslikamo pomoću funkcije w = §z + 5 3 z\ = r = l< & ž = eu ,t G [0,27r), f ( e u ) = \eil + \e a = | (cos t + i sin i) +
+ 1 „;„2 ^ |(cost — isin t) = 2 cost + is in t = u + iv, cos221 + sin2 t = l= + \
I2 I = T = 7S ^
2 = 7 š e't’ t e [°’ 27r) ’
= 1.
= l ^ e“ + 2^ e _ “ =
^ ( e lt + e_lt) = %/3cost =+ u = \/3cost 6 [—\/3, \/3], v = 0 . z = r e u , f € [0, 2ir ),^ - < r < 1 , / ( r e ‘*) = f r e ’* + ^ e - ’* = | r(co st + isin t) + ^ (c o s t — isin i) = (| r + ^ ) c o s t + i(| r — ^ ) sinf = u + iu.
Primetimo najpre da su funkcije
2
Znači, tražena slika je unutrašnjost elipse ~- + ^ = 1 bez tačaka duži sa realne ose u £ [—\/Š, \/3], v = 0 .
5.
Posmatrajmo funkciju f ( z ) =
= ( , i . + ' - + - , p T i kompleksni integral I = / f(z )d z , gde je L kontura sa slike. No tada
/ = 2iriRes f ( z ) = ^
lim. - £ [ ( z - i ) n+1/ ( z ) 1 =
Primenimo Lajbnicovu formulu:
£ 7 [u (z ) ■v(z)\ =
lim- - £ [ e 1' ( * + * r (B+1)][T) ( ? ) fc=o K
,
= u) za u(z) = etz, u(z) = (z + i)_ in+1i. Kako je
= in- fce « i ^
= ( - l ) fc(n + l)(n + 2) ■••(n + k)(z +
i ) - ( n+fc+i), to za z = i imamo da je ( ” ) (n + l)(n + 2) •••(n + i=)(2i ) - ( n+fc+1) = te2wJ n+f ^ . -)U, ■
128
^ ) i n- fce_ 1( - l ) fc
r _ 27TŽ V" n!
2tt
fof*)!
ie 2 r* + * + ^ (n —/c)!fc!
r(2n)! , 2(2n—1)! ,
_
2tt f2n n\ 22ri+1en ! !•0!n !
, '
2^-^n+l)? l ! ( n —1)!
, ***
, '
(2w)11 n !0 ! J
, 2nnh
+ TrPTmT + - + o^TJj i + p ^ r r dx + f (1+Jeti e^t^ + [R ieu dt.
Takođeje: J = / —R
0
\ j (l+ £ £ ) n + lm e * d t\
< j ^
^
lR ie -ld t =
j ^ f ^ R d t
ir 7r iRe'* I W = V r ^ dt ~ [H + f f n -, a odatle i ^lirn^ / pqr^?ftpT T R ieildt = 0 . oo
/
TT (2 n)\ 2(2n — 1)! “ e22n+1n ! 1 n!0 ! + (n - l ) !l ! +
rd,X ■
(1 + x 2)n+1
129
2nn! + 0 !n !J
<
2 8 .1 1 .1 9 9 8 ,
1.
I s p ita ti u n ifo rm n u i ta č k a s tu k o n v e rg e n ciju re d a
OO
2
^ ^( X n +l _ x 2n_1 ) .
2. N a ći ra d TZ p o lja a =
__
7,( 1,1 ,1 ), po iz lo m lje n o j lin iji c = A B U
1*1+ \y \ + 1*1
B C U C D , gde su .4 (0 ,0 ,1 ), B (1 ,0 ,0 ), C ( 0 , 0 ,- 1 ) , J 5 ( 0 ,l ,0 ) , o rije n tis a n o j od ta č k e A ka ta č k i B ; a ) d ire k tn o ,
b ) p rim en o m fo rm u le S to k sa .
3. Iz ra č u n a ti p ov ršin u i zap rem in u t e la d ato g sa
x + y + Z > 1, x + y + z < 2, y > x, y < 2x, x ,y ,z > 0. 4 . F u n k cijo m tu = —
z —l
p re slik a ti o b la st
G = { z £ C : \/3Re z < Im z, —\/3Rez < Im z, I m z < - } . 5. Iz ra č u n a ti v red n o st ko n verg en tn o g in te g ra la
00 (x 2 + 1
l)s in a a : -d x , x 3 + a 2x
130
a € S.
R ešen je:
1 . Dati funkcionalni red je definisan za svako x G R. Parcijalrie sume reda
su S n(x) =
1
X 2n~3
fc=l
(a:“ +1 — x 2k- ' ) = x% — x + x i —
1
X 2n+ x — x
1
+ i t _ x i + ... + x 3^+r —
1
— ^ŽTT+T —X.
!
1 — x, 0,
x > 0 x = 0 .
—1 — x ,
x < 0
Neka je [a, 6] proizvoljan zatvoren interval koji sadrži koordinatni početak. Kako je svaki član niza S „(x) neprekidna funkcija, a funkcija S (x ) kao granična vrednost tog niza ima prekid za x = 0, to red ne konvergira uniformno na takvom intervalu. Posmatrajmo slučaj kada interval [a, 6] ne sadrži tačku x = 0. Kako su parcijalne sume reda neparne funkcije, dovoljno je ispitati uniformnu konvergenciju reda za x > 0. Uzmimo sada da je 0 < a < 6, tj. da je [a, 6] proizvoljan zatvoren interval sa pozitivnog dela x —ose. Tada imamo
Odatle je
|ii„(x)[ =
2 ; 2n + l
— 1 <
6 2" + 1
— 1,
1 <
X > "+ 1 — 1 , X > 1
{
|R„(x)| = |S(x)-S„(x)| = | l - x - x 5 ^ + x | = jx=^FT —1| =
x
1 — 12- t l , x < 1 <
b
1 —x 2"+1 < 1 —a 2-1*-1, a < x < l
Kakoje max jil„(x)| —> 0, n —> oo to red uniformno konvergiia na intervalu x € [ a ,6]
[a, 6] C R+. Na osnovu svega rečenog možemo zaključiti da red konvergira uniformno na svakom zatvorenom intervalu koji ne sadrži tačku 0 .
2 . Označimo sa TLi, i = 1 ,2 ,3 ,4 rad vektorskog polja a po orijentisanim dužima A B , B C , C D , D A , respektivno (vidi sliku). Tada je 1Z = f r-r——r .
; |(dx + dy + dz) = TL\ + TZ2 + 7£3.
C
1 AB-, y = 0, z = 1 - x, x G [0,1] => 7^i = /
~ ^ (dx + 0 + ( - d x)) = 0,
0 B C : y = 0, z = x - 1, x e [0,1] =+ 712 = f
(dx + 0 + dx) = - 2 ,
1
C D : x = 0, z = y - 1, y € [0,1] =+ 7Č3 = / TL = 0 + ( - 2) + 2 = 0 .
131
1} (0 + dy + dy) = 2.
b ) Zatvaranjem date krive orijentisanom duži D A , iz formule Stoksa imamo n =
II
II
ro ta - riodS —71$.
rot a ■riid S +
D A : x = 0, z = 1 - y, y e [0,1] =* TZ4 = f
(0 + dy + ( ~ dy)) - 0.
S\ = A A B D : x + y + z - 1 = 0, ni = ^ ( 1 , 1 , 1 ) = (cosai,cosy 3i,c o s 7 i), COS71 > 0 ; S2 = A B C D : x + y - z - l = 0, ri2 = ^ ( 1 , 1 , - 1 ) = (c o s a 2,cos/32,cos72), COS72 < 0 . Jedinične vektore normale ni i n 2 smo izabrali tako da su usmereni na tu stranu sa koje gledano dobijena kontura se obilazi u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu. ro ta •fi 1
rot a •n 2 = v'3'' ( x + y - * ) i
1/ \/3
l/V š
d /d x
d /0 y
l/\ /3 d /d z
x+y+z
x+y+z
x+y+z
1 /V š d /d x
l/vš
— 1/\/3
d /d y
d /d z
1
1
1
1
1
1
x+y—z x+y-z x+y~ 1 1 ij 1 (i+y— ( x + y^ ) + ( 7 5 )(—
7č = 0 + 0 — 0 = 0.
132
= 0,
— J,
(x+y-z)'J
-1
(x+y—z)2 ) = 0 ,
(x+y-z) ' )
3. Uvedimo oznake a : x + y + z — 1, 0 : x + y + z = 2, 7 : y = x, S : y = 2a:;
{^4} = a n 7 n a:Oj/, { S } = 0 n 7 n a;ćh/, { 0 } = /? n 5 n xOy, {D } = a n 5 n xOy, {E } = p n z , { F } = a n z.
Odredimo koordinate posmatranih tačak a- temena poliedra A B C D E F čiju zapreminu i površinu tražimo. M b f.O ) , B { 1 ,1 ,0 ) , C ( l | ,0 ), D ( i , | ,0 ) , jB ( 0 ,0 ,2 ) , F ( 0 , 0 , 1 ) .
1 /3
Pabcd =
f
d x f dy + f
0
x
{ 2/3
+ (2x — X 2 ) \
d x f dy —f
2 /3 X ,1 /3
0
(X —X2)
2 /3
2z
1 /2
dx f dy — f x
l - x
dx f
dy X
1 /3
l/ 2 _ 1 1 /3 — 4-
Izračunavaćemo površine odgovarajućih površi y = y (x , z ), formulom P =
JJ
\ J l + p 2 + q 2d x d z ,
gde je a projekcija tražene površi na ravan xO z, a p =
q=
o-i = pr*0 z( A B E F ) = A 'B 'E F , y = x , P x = f f J l + l 2 + 0 2dxdz =
VŽPa 'B'EF = VŽ(PoB'E - PoA'F) = \ / 2 (-jr - + r ) = | i / 2 0-2 = prx0z( D C E F ) = D 'C 'E F , y = 2a:, P2 = f f y/l + 22 + 0 2dxdz =
,133
V š P d 'c
e f
= V š { P o c 'e
— P o d 'f ) = V 5 ( V r - V r ) = f / 5 -
(73 = pr x0 z (A D F ) = A’D 'F , y = l - x - % P 3 = f f
+ ( - l ) 2 + (~ 1 )2
(T3
da:c(2 = VŽP a 'D'F = VŽ&
^
= *f.
<74 = pr xQz(B C E ) = B 'C 'E , y = 2 - x - z , P 4 = f f y /l + ( - l ) 2 + ( - l ) 2 <74
d id z = VŽPb 'C’e = VŠ12^
= #
P = P a b c d + P \ + P 2 + -P3 +
=
| + f
n/ 2
+ | i/ 5 +
^
=
^ [3 +
9 a/2 + 6\/5 + 5\/3]. 2/3 2x V = f f (2 — x - y)dxdy — f f (1 — x - y)dxdy = / dx f (2 — x — y)dy + o bc
0
oad
x
1 2-1 1/3 2x 1/2 1-1 / dx f (2 - x - y)dy - f dx f (1 - x - y)dy - f dx f (1 - x — y)dy = 2/3 x 0 I 1/3 x 2/3 2 |2i 1 2—x 2 i2—1 1/I 2 |2x f ( 2 y - x y - ^ - ) \ d x + f dx f ( 2 y - x y - \ ) \ d x - f (y -x y -^ -)\ d x 0
'x
1/2
2 /3
2 |l-x
/ (y —x y —\)\
1/3
x
x
0
x
2/3 1 1/3 dx = / ( 2i —|x 2)do:+ / (2 —4 x + 2 x 2)d x — / ( x —|x 2) d x -
1 0 2/3 0 J/ 2 ,2/3 |1 , il/3 / ( | - 2x + 2x 2)dx = (x 2 - | x 3)|o + ( 2x - 2x 2 + f x 3) |2/3 + (-% - + |x3)|o +
( _ i2x x -r + x 2 - 3x 2 x 3,l ^
1 1 /2
4 - w = T=i = 1 + w \ = z — i, ; P ■ y =
f.9 :
y
= 36X
z = * + iy-
i«2 = = ,
w3 = W2,
= -l/3 x ,
r : y = VŠx;
w4 = iw3 = el%w3,
w = l + w 4.
{ A } = p n r = > A ( 4 , l ) , { B } = p n q ^ B ( - V / , l ) , { 0 } = q n r; A\ = w\(A), B\ = Wl(B ), C\ = w\(O), A \ ( \ ) , B \ ( - V / , \), C\(0, - 1); P >-> P i, Q >-» qu r i-> r\; p\ : y = |, q\ : y = - i / 3 x - 1, r\ : y = V 5 x - 1. Tačke A\,B\,C\ G k = {z G C : \z\ = 1 } su fiksne tačke inverzije W2 - Kako se pri inverziji tačka 00 preslika u 0 to Pi |-> P 2 = k (A \ ,B \ ,0 ), q\ 1-7 q2 = k(C\, B\, O), r\ »-►r 2 = k (A \ ,C \ ,0 ). Tačka O pripada unutrašnjosti trougla A B C , odnosno odgovarajućim poluravnima određenim pravaiua p\, q\, n , a njena sfika, tačka 00, pripada spoljašnjosti svake od kružnica p 2, q2, r 2, tj. in t(A A B C ) —» ex tp 2 fl extq 2 D ext r 2. Nađimo slike pravih p\, q\, r\, pri inverziji w2: w2 = = — —A - = *x , +x 2+ i - ,y v , = u* + iv => y — z vj \ x —i y x 2+ y 2 2
134
v ’
= —
y - I =► x = 3 « ’ w
^
P 2 : -“2 + (« - I )2 = 1 ;
» = T V S x - 1 = , ^ = i “ = S => * = 5 ^ x = u •(x 2 + 1/2) => u 2 + u2 = +\/3u — u => q2 : ( u + ^ ) 2 + (u + | ) 2 = 1 ,
£(0,1),
M ( - & -
,
r 2 : (u - ^ ) 2 + (u + | ) 2 = 1 ;
i), A T ( ^ , - i ) .
Sada se lako vidi u šta se dalje preslikava data oblast, pri simetriji u;3 u odnosu na realnu osu, rotaciji w4 za ugao § i translaciji za 1 , jer se pri tim transformacijama podudarnosti jedinične kružnice p2, <22>r 2 preslikavaju u jedinične kružnice redom sa centrima: L r ( 0 ,- 1 ) , M r(—^ , § ) , ^ ( ^ , 1 ) ; £ 2( 1 , 0), M2( - | , —- ^ ) , Af2( - 1 , ^ ) ;
£ 3 (2 , 0 ), M3 ( l , - ^ ) , AČ3 ( 1 , ^ ) . u;(G) = { Z e C :
| z - 2| > l , | z - i + ^ | > l , | z - i - ^ | > l ) .
5. Vršićemo diskusiju vrednosti integrala
J(a)
=
j
(x 2 + l)s in a x ~~*q — —— — —— — + a 2x
Q
u zavisnosti od reainog parametra o.
135
Jasno da je J (a ) = 0, za a = 0. Funkcija J (a ) je neparna, tj. za a < 0 imamo J ( a ) = —J ( —a). Dakle, dovoljno je posmatrati J ( a ) za a > 0. Posmatrajmo kompleksni integral I = / f(z )d z , f (z) = % p + f r r . gde je £
1
l
kontura sa slike.
Ako je a € M+ \{ 1} , tada funkcija / imapolove prvog reda u z = 0 i z = ± ai. Unutar konture L se nalazi jedino singularitet z = ai, te je stoga: I = 2m zRes f ( z ) = 2iri zlim —a i —*ai
= 2?ri zIim (*3^ + a r ~ = Ž7ri (*~ - 2^ — —ta i ° ^
'
J = / 1 + / 2 + /3 + / 4 = 7 < Š g £ d * + /
T& dv+S ^ 0 f d X
7r
-R
^
r
, -.N^aiRe'V5
+ / % £ .( * & + .» ) |/4| <
’ ||fi2e2i*’ |+l|.|e-“, " ,ia ^ ei “R “ ’ *’ |m . - . t o u . . _ f ( f i 2 + l ) e - “ R ,ia v D J . . |fiei 'e|.|!fi2e2i'e)—a a| l“ i e 1“ ^ — i * f i ( f i 2 - a 2 )
JJ
— fi 4 1 f ~ fi2—a2 J
-aH sin
vdtp.
Uvodeći smenu t = ir — ip imamo da je / e aRs'n,fdtp = — f e odnosno f e~aRsln,fidip = 0
/ e-afisinVd¥,+ 0
ltdt,
ir/2
*/2
j e - aR3inlfidip = 2 / e~ aRainvdtp. x/2
o
Ako iskoristimo i da je sin > ~
0 , f e ~ aRi vdv = 2 ^ - ( - ^ e - “« ^ ) | J = * # & ( ! - « - “* ).
Iz prethodnog sledi da je lim / 4 = 0. R—+oo
_
, ? ( r 2e2iv,+ l ) e “irg* "
h = i j { j e
r ^
T
d p - > i j £ d < p = - % r - > o,
t ^
/! + /. = / * § * ! £ ? ( - * > + /
Ji
2
/Ž
oo
2
.
r
r
—> 2i f r
=
= 2 iJ (a ), r ^ 0, R -> oo.
0
_ 02
Iz prethodnog sledi da za r —» 0, R —> oo, imamo 2 iJ (a ) + 0 —f f = - n i —p - . Dakle, za a > 0, a ^ 1 je T. .
7T ,
136
a? — 1 ,
Ako je a = 1, tađa je f ( z ) = Tačka z = 0 je pol prvog reda funkcije f . Unutar konture L funkcija f je regularna, pa je I = 0. Takođe je i / I = h+ h + h + h = f ~ {-d x )+ f R
rie ilpdcp+f
7r
d x + f ^ ^ -R ie + d p . 0
r
tt
7T
7r/2
\h\ < f \e~aR3inveiaRcosv|■ \i\dip = f e~ aRsinl^dp = 2 / e~ aRainvd
0
0
0
w
2 / e~ Ri * d p = 2 ( - ^ e - « ^ ) a = f ( l - e - « ) . 0 10 Odatle sledi lim J 4 = 0. R —+00
0
I2
.
' —i / e lra'vdp —» —i 7r, r —» 0 . 7T iž
OO
h + h = f
dx -* 2i f
r
0
= 2 i J ( l ) , r —+ 0, /i —» 00.
Tako se dobija
J(D -f Kao što smo rekli J ( a ) je neparna funkcija, te za a e R _ \ { —1 } je
J(a ) = - J ( - « ) = - ^ ( l + ^ i ) . Analogno, J ( —1) = —J ( l ) = —f .
133
0 8 . 0 2 .1 9 9 9 .
1.
Is p ita ti o b la st k o n v e rg e n cije i n aći sum u re d a
(x 2 — 16)n 2. O zn ačim o sa C = J P (x , y, z )dx + Q (x, y, z)dy + R (x , y, z )d z c irk u la c iju vek-
L to r a a — (P ,Q ,R ) = (1 - f + “ , f + p r . - f f ) duž p u ta n je L . a) P o k a z a ti d a c ir k u la c ija ne zavisi o d p u ta n je L i n a ć i fu n k ciju U (x,y,z) ta k o d a je p o d in teg ra ln i izraz n je n to ta ln i d ife re n c ija l. b ) Iz ra č u n a ti C, ako je L duž A B o rije n tis a n a od ta č k e A ( 1 ,1 ,1 ) ka ta č k i B ( 3 ,2 ,2 ) (d ire k tn o n e k o ris te ći a )). 3.
Z a hom og eno te lo (g u stin e g = 1) m ase m — J J J gdxdydz, k o je zau zim a
V
o b la st
iz ra ču n a ti p rv u k o o rd in a tu njeg ovog te ž iš ta :
V
v 4 . Iz ra č u n a ti in te g ra l
J sin2” ipdip,
o
V
n 6 N.
5. F u n k cijo m w = sin(|z), p re slik a ti o b la st G = {z
6 C : 1 < R e z < 2, ^ < Imz < 2}.
138
*
R e š e n je : 1. Red je defLnisan z a i ^ ± 4 . Za takvo x uvodimo smenu xil_16 = f, pa OO 2 oo dobijamo ređ E — - / 4p- t n = E an.tn ■ 71=3 I
71=3
,
rt2 -1 9 9 9
1999 = 1, sledi da red konvergira za |f| < 1 . +oo 2 OO 0 Za t = ± 1 , dobijam o redove E ~ „+ 3" . E (—l ) n a^ r| — , k o ji d ivergiraju, Iz
Iim_
lirn^ |i°^| =
n=3
n=3
je r im o p šti član ne teži nuli. D akle, red konvergira za x e (—00, —v T f) U ( - vT 5 , vT 5 ) U ( v T 7 , + oo), i u ovoj o blasti tražim o sumu reda.
S (t) = E
= E ( " ~ 3)fn - 1990 E n=4
71=3 00
n=3 00
00
&
= f t ( t ) - 199052(t). .
S i(t) = t 4 E (n - 3 )t n—4 = t 4 E (tn- 3)' = t4 ( E *n~3)' = *4( A ) ' = n ^ T . n=4
n=4
n=4
V
^(t) = £ «E= 3£ ^ = £ nE= 3/0 ^n+2^ = £ 0/nE= 3 «n+2^ = £ ■0/ ~ F
K s4 0
;
=
+ s3 + s2 + s + l + JTJ ) d s = - ^ - ( V + T + T + T + ^ + l nlt _ 1|)-
5 (t) =
+ 1990[+ + | + 3 + 5) + ^ + p- ln(l - t)], |t| < 1, t =
2 . a ) Ako je C = J ( P d x + Qdy + Rdz), znajući da je || = 4 , + 1 = § § , = f f , ff = = | f , sledi da postoji funkcija U (x ,y ,z ), tako da je dU = P dx + Qdy + Rdz, pa cirkulacija ne zavisi od putanje L. Uzimajući da je (xo, yo, zo) = ( 1, 1, 1) imamo x
y
z
U (x ,y ,z ) =■ / P (t,y 0,z 0)d t+ f Q (x ,t,z 0)d t+ f R (x ,y ,t)d z = xo
yo
zo
fd t+ f ( x + ž ) d t - }& d t = Z - l - § + ?
1
=*
1
1
C = 17(3, 2, 2) — t / ( l , l , l ) = 5 . b ) Jednafiina prave kroz tačke A i B je:
= t, tj. x = 2t + 1,
1/ = f + 1 , z = t + 1 , t e [0, 1]. C = / (P d x + Qdy + Rdz) = / [ ( 1 - j + j + 1 ) - 2 + ( t k T + j ? + i p ) 'l _ ^ T ' l ] * AB
0
3. x = apcos 4 (psin4 61, 3/ = bpsin4
139
a cos4 tp sin4 8 b sin4 'p sin4 8 c cos4 6
—Aap cos3
J =
= —16abcp2 sin3
m = f f f |J\dpd(pdd = v 1
16abcp2 sin3
f f f o o o
7r/2
tt/2
16a b c j p 2dp f sin3
0
0
0
7r/2 7t/2 1
f f 16a2bcp3 sin3 cp cos7 y>sin11 6 cos3 OdpdtpdO =
x0 = ^ f f f xgdxdydz = — f V 0
0 0
tt /2
tt/ 2
90 abc
•16a2bc f p3dp f cos7
1440a- \ f u7( l —u 2)du f su ( l —s2)ds = 360a f (u7 —u 9)du f (s 11 —s 13) o o o o
3a 28*
7r/2 7r/2 1
yo = ~ f f f ygdxdydz = ^ f f f 16ab2cp3 sin7
1
^
tt/2
tt/2
•16ab2c f p3dp Jf sin7
1 4 4 0 6 f u7( l —u2)du f s 11 (1 —s2)ds = 360b f ( u 7 —u9)du f (s11 —s 13)ds = ^g. o o o o 7r/2 7T/2 1
f f 16abc2p3 sin3
z0 = ^ f f f zqdxdydz = ~ / V
o
1
^
o
o
7r/2
n /2
■lGabc2 f p3dp f sin3
1440c •| f t7( 1 - t2)dt f s7( 1 - s2)3ds = 360c f ( t 3 - t5)du f (s 7 - 3s 9 + 3S11 0
s13)ds ■
0
0
0
28'
4 . Za z = elv, je dz = ielvd
^
) } 2n^ Z =
... + C^ r]d z =
/ i [ z 2n- (21n) Z2" - 1 i + . . . + ( - 1 )fc( 2fc" ) Z2n- fc^ +
/ [ z 2" - 1 - ( 2xn)z 2n- 3 + ... + ( - l ) fc( 2fcn) z 2n- 2fc- 1 + ... +
140
z - 2n - l
]dz - ^ ^ ^ t r t R e s f z 2"
( T ) * 2" - 3 + ... + ( - 1 )fc( 2n) ž 2n- 2fc- 1 + ... +
2 - 2n - l
•1 = ( - 1 )" ISr •( - l ) n (2n) = (2n —1 )H o _ (2" - D - .-5-3-1 _ 2n
■4-2
11
=> w = sinttii = »*(*+*«) —*"■*(*+*«) = ch y sin x + i sh y cos x =
(=1*0
5. tDl u + iv.
w (x+ i f ) = c h f sin a:+ jsh | co sa: = w+it;, x € ( f , f ) =*> u = ch f sin x > 0 , u__ . v = sh ~ co sx > 0 = l. ch-.2 2 tt I s h 2 t n ( z + i f ) = c h f s in x + is h f3 cosa: = u + iv , x G ( f , f ) = n = sh ff cosa: > 0 =+ sh5"f = 1 .
w(f + *y) = v- ^
c ht / s i nf + i s h t / c o s f = u + it>, y
shy > ° ^ w ~ ( W
=
e (f,f )
: ch f sina: > 0,
=* u = § ch y > 0
1.
w (f + * y ) = c ht / s i nf + i s h j / c o s f = u + iv, y n => -v. _ a ------ _ cj-j2 y _ gh2 y _ i u— = iis =>n. h t / ^> 0
e ( f ,f )
_ X v l ch t/ > 0 ,
Unutrašnjost pravougaonika A B C D (obiast G) se preslikala u unutrašnjost pravougaonika A iiJjC jD i = tcj(G ). Pokažimo da se w\(G) dalje preslikava u unutrašnjost krivolinijskog pravougaonika A 2B 2C 2D 2 (vidi sliku). y > f =^cht/ > c h f , s h t / > s h f =» 3 ^ - +
+ g.h.2jc o s 2 x >
sin 2 a: + cos2 x = 1 ; y < f (0 < y) =» chy < c h f , s h t / ^ s h f ^ g ^ + ^ ■2 2 3 shH 1 < sin2 x + cos2 a = 1 ; x > f (x < f ) =* sin x > f , c o s x < #
^ 3
=> ^ 7 -
ch\ t f f x + 3
(iP
-
3h^ ° f J > c h 2 t / - Sh2 t/ = l; x < f (x > 0) =?> sin x < ^ , c o s x > f =+ sh3 y cos2 1
—
_ „u2 ..
_i_2 _
— < ch t/ - sh j/ = 1 .
-D ~j£\
C \B
141
(W
- jrp =
~ ”
0 1 .0 3 .1 9 9 9 .
1. N a ći trig o n o m e trijsk i red o b lik a
č>n sin Tp, k o ji k o n v e rg ira ka fun kn=l
c iji f ( x ) = c h i , x £ [7T, 2rr]. 2. Iz ra č u n a ti fluks v e k to ra a = (z" — yn, x n — z n, y n — x n) (n € N) kroz s p o lja š n ju s tra n u p o lu sfere x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z > 0 (R > 0). 3. A k o j e a ,b ,c ,h ,k > 0, iz ra ču n a ti zap rem in u t e la v = { ( x ,y ,z ) € R 3 : (| + { )2 + ^ < | -
4.
gde je c k o n tu ra s a slik e, iz ra ču n a ti
K o r is te ć i in te g ra l f
dx.
k o n v e rg e n ta n in te g ra l J 5.
* > 0, y > 0, z > 0}.
A k o je a € (0,7r), n a ći o b la st d efin isan o sti i a n a litič k o p ro d u ž e n je fu n kc ije z a d a te red om oo
ia
n=l
a za tim n jim e p re slik ati o b la st: G = { z E C : Im.z > 0, \z — 2| < 1}.
142
R e š e n je :
i
0
ch x, ,
n < x < 2 ir -7T < x < 7T
—ch(—x),
—2 7 T < X < —7 T
OO
u Furijeov
l
, gde je 6„ = | / f(x) sin ^ d x , n € N, n—1 0 koji konvergira funkciji /( x ) = chx, x e [77,2 7 r). red, dobijamo red oblika:
bn sin
/ sin Tp chxdx = sin ~ s h x —| / sh x c o s = sin ™ s h x - |( c o s chx+ f / ch x sin dx) =+ / s m ^ c h x d x = ^ ^ ^ s i n f f g h a j - n c o s f f ch x ). 2ir
2ir
bn = £ / c h x s i n ^ d x = £ / c h x s in fp đ x T
0
7
i2 7 r
= ^ i+ n ^ (2 sin fp s h x —n cos “ chx) = T(i+nž)(—w cos 7r n c h 2 tt —^ s in 2^1 s h 7r + n cos ™ c h 7 r). = Tr(l+4 fc2 ) ( ~ fccll27r + f c (-1)* c h 7r), fe2fc-i = ^ 4 f + 4 F 7 ( ( 2 f c - l ) c h 2 7 T+ 2 (—l ) fcsh7r). OO
Trigonometrijski red je
(-fe ch 2 ir + k ( - l ) k ch7r) sin kx
£)
k—1
y(2-4fc+4ta) ((2fc ~ X) ch 2n + 2( - l ) * sh7r) sin ^ s .
+ £
k—1 2 . Zatvorimo polusferu sa delom xOy ravni, tj. sa D = {( x , y, 0) e R 3 : x 2 + y2 < R 2} . Na taj način dobijamo oblast V . Označimo sa 5 + spoljašnjost polusfere S (k je jedan od vektora normale na 5 ), a sa S i+ stranu od D čiji je vektor normale —k. Po formuli Gaus-Ostrogradskog, ako sa F označimo fluks kroz iS+, a sa F i fluks kroz S i+ , imamo
v z = 0, ni = (co sa, cos/3, cos^) = ( 0 , 0 , —1) =>• F\ = f f (zn —yn)d y d z+ (xn —zn)d zd x+ (y n —x n)dxdy = / / ((zn —yn) c o s a + <5i + (x n —zn)cos(3 + (yn —x n)c o s 7 )dS = f f (yn —x n) ( —l)d S = / f (x n —yn)dxdy = Si D
f dtp f pn+ 1(cosn p — sin" p)dp = •— ^ ( / cos" pd
—7T
—7T
0
Kako je
7T 7T f f cosn tpdtp = 2 / cosn tpdtp = 2( / cosn
—7T
0
0
143
—7T
7T
J
+ / cosn
/ cosn(§ + ^d'ift) = 2( f cosn tpdip + / ( —sinip)ndip) = 2 ( / cosn o
o
o
+ (—l ) n
o
"2 / sinn
0
7T
0
7T
7T
/ sin71 <£>dy> = / sin" <£
0
— 7T
(1 + (—l ) n) / sinn
= (1 + (—1)n ) ( f sinn cpdcp + / sinn cpdip) = (1 + (-* l)n)
o
2.
o
f
f f f + / sinn( :| + ip)dip) = (1 + ( —1 )n) ( / sin" ^>cfyj + / cosn ifidi)))
( / sin" o
0
7T
o
o
o
= (1 + (—1 ) " ) ( / sinn (^dt^ + / cosn <£>d
o
to je Fi = w
( 1 - ( - 1)’l) ( / cosn^ - / s i n n ¥>d¥>) = ^ ^ ( 1 —( —! ) " ) ( / cosn ipdtp—
f s in "(f — ip)(-dtp)) = 7 = ^ (1 - ( - ! ) " ) ( / cosn ipd
F
=
JJI(~(zn-yn)+~(xn-zn)+^(yn-xn))dxdydz-0^JJJodxdydz=0.
3 .« = f + ^ n = f-f,n > = t ^
x ~ ak+bhU + ak+bhV' V ~ ak+bhU ~ ak+bhV’ 2 = CU,‘
d x /d u d y /d u d z /d u
J = |^|
d x /d v d y /d v d z /d v
dx/d w dy/dw dz/dw
abh ak-j-bh abk ak+bh
0
akh ak+bh bkh ak-+bh
0
q
o c
ab2kh2-+a2bk2h „
~ ------ (afc+bhP----C
abckh ak+bh
( f + f )2 + f T < f — % <=$• u 2 + w2 < v (unutrašnjost obrtnog (oko v -o se) paraboloida u Ouvw ravni) X ~ ak+bhU + ak+bhV °
V>
fcU’
V ~ ak+bhU ak+bhV > 0 ■++ V < f u , Z = CW +> W > 0.
+ = / / / dxdydz = / / / |J|d«JudW = f ^ J . A
144
Projektujmo presek površi u2+ w2 = v sa ravni v — f u na uOw ravan u 2 + w2 = gu, u = rcosa, m = rsina(> 0), r2 = fr c o sa => r = f cosa a € [0, f , r 6 [0, f cosa]. Uveli smo dakle nove koordinate a , r, v umesto u, v, w čiji je Jakobijan r dok je v 6 (r2, f r cos 7r/2
f c o sq
Y co sa
0 £ ]| 0k CQSada = / cos4 a - ^ cos4 a )đ a = ^ / |[1 + 2 co s 2a + i ( l + o 0 co s4a)]d a = ^ ■[|a + ± sin 2a + i sin 4a ]|0/2 = ^ • . t/
7rabcta^4 hk ~ ~ Š 4 ^ h ’ ak + bh'
4. Birajmo onu granu funkcije 'i/z za koju je s/re '1 = f / r e ' i . Izaberimo i onu granu ln ž funkcije Ln z za koju unutar konture c važi da je 0 < arg z < 2rr. Tada je f i = f / l e ^
=
= e**, lni = ln|i| + t •f = t § ,
l n ( - i ) = ln |- tj + i • = i= f. Singulariteti funkcije / ( z ) = - f r ^ r = (z ^ (°+ i) su z = ± t (polovi prvog reda). I = f f ( z ) d z = 27rt(R es/(z) + Re_s./(z)) = 27ri • ([(z - f ) ^ j |-(°+i)]U=i + (
*
+
=
2 7 ri(4 4 i + 4 #
)
=
^(5 + V3t). Takođe je + f
^
K
I = f ^ d x +
R ie«dt + / ^
/
+
/ f ' dx
f rie^dt = I 1 + I2 + I3 + I4 .
2tt \h\ < / «
i
0
0
— 2-t ^ V ^ ~ a'Ž+(2ir7 ~ 2 7 T =>• Jim li R— +oo |j4 |< 2 tt
= 0.
„ 2?r Ja r ^ lim h = 0 r 3
Dakle, kada r -» 0, R
r—► O
oo, uz oznake A = /
145
B -
f -^ jd x ,
imamo ( \ a + nV Ž B ) + { ~ A
+ 7vB)i = ^
+
7T2 v / 3 ,
odakle je A = 5.
Geometrijski red konvergira unutar centralnog jedinićnog kruga, tj, za
|f=s£| < 1. K a k o j e l - e ia = e ^ ( e “ ^ - e ^ ) = - e ^ •2i sin f = - ^ s i n f e ^ ■ e*? = —2 s m ^ e iSi^ , to je |1 - eia | = 2 s i n f (a € ( 0 , tt)). Dakle, oblast definisanosti reda je krug \z — e*a ] < 2 sin f . Suma —. — piOL piot pioc — ] /J(V * )/ = 1 _l =3— g ^e*_01 = -------£ 1 _ eta—_ i ^ + eia 1 - 2 = - ! + «----— 1T ’ x 1—eia 00/ < a \ n . . o * reda f ) Je analifcičko produženje funkcije dennisane tim redom, sa oblasti {z e C : \z - e*“ |< 2 s i n f } na C \ {1 }. Q!
ia+'K
W = / ( z ) = —1 + 2 s i n - •e~ *~ •—
146
1
j-.
1 7 .0 6 .2 0 0 0 .
1 . I s p ita ti un ifo rm nu k o n v erg en ciju re d a J2 n4_ 2„ j+3.3+ i n ad c e lim R , a n=2
z a tim n aći lim
T —oo
_______ 1_______ n4 —2n2 + x 3 + 1
)dx.
2. A k o j e S s p o lja š n ja s tr a n a ru b a o b ia sti V = {(x ,y ,z ) : 2x < x 2 + y2 < 1, 0 < z < 5 —x —y } iz ra ču n a ti
//
(2x + yz)dydz + x z d x d z + xydxdy.
3.
a ) O d re d iti p a ra m e tre m i n ta k o da
I = j (y z + m y)dx + (xz + n x )d y + m x y d z C
ne zavisi od p u ta n je in te g ra c ije . b ) Z a m = 2, n = 1 iz ra ču n a ti v re d n o st in te g ra la I p o k r iv o j c k o ja s e d o b ija p resek o m p o v rši 2x2 + y 2 = 1 — z i 2x2 + y 2 = z o d ta č k e MO, |) ta č k e B ( 0, |). 4 . N a ći a n a litič k u fu n k c iju w = u (x ,y ) + iv (x , y), x ,y > 0, a k o se z n a d a j e u(x, y) = ip(x 2 + y2) , ¥>(1) = v>'(l) = 1 i /(1) = 1 + 1, a z a tim j e n a p isa ti u o b lik u w = f ( z ) , gd e j e z = x + iy. 5. P rim e n o m ra ču n a o s ta tk a iz ra ču n a ti
/
cos” t c o s 2 tdt
i
/ c o s ^ tssin i 2 tdt.
6 . Funkciju ^ ) = (z _ 1) 3(z + 1) ra z v iti u L o ra n o v re d p o s te p e n im a od z — 1.
147
R e š e n je :
1.
]T n4_ 2n} +1+xa konvergira uniformno nad celim K, po Vajerštrasovom
n~2
kriterijumu, jer za svako x g l i sve n € N \{1} važi n4_ 2nž+ i+:c:a < (na lip -, a oo oo red J2 -(na-lipf konvergira jer se ponaša kao konvergentan red J2 ^r-
n—2 T
T Š 2ol n? 2
oo / = lim E i
—> 0 0 n —-O
(s n r r arctg \
n? 2 { 00
\ .rr ) |0 = E
/
~ j!™ , n? 2 { l + t ^ F dX ^
,
« — O i —+OO
_
00
ip r r arctg - £ r r = E .
/o
„ = 0
OO
-
-
=
£
2
f
V
____1____ =
^
m (m + 2)
^1™ , [ ( x
-
2L l i m
V"
2 k— ,u m >oc. ^
m= 1
3)
f *K1™0 0 7 7S1 =.1 K s r - s A a )
n ( m - f 2)
+ (5 - 5) + ( I ~ s) + (5 - e ) + •••+ (fc=T “ fc+l)
+ ( l - k h ) ) = f j.1™, (x+ 5 ~
- £+2) = x-
Posmatrani funkcionalni redovi i po x i po T uniformno konvergiraju, a postoji i lim arctg -przi = f , pa smo smeli izvršiti razmenu graničnih procesa. T —>oo
OO
Jasno je da red J2
'T
arctg -pfrzi uniformno konvergira po Vajerštrasovom
71=2
kriterijumu, jer za sve T e R važi l^ rri arctg
| < f nf _ t , za svako n € N,
OO
a red f f n* - i konvergira. 71=2
2. Površ S je zatvorena, po delovima glatka, P = 2x + yz, Q = xz, R = xy imaju neprekidne izvode u VU»S, te posle primene formule Gausa-Ostrogradskog dobijamo I = f f ( 2 x + yz)dzdy + xzdxdz + xydxdy = f f f ( § ^ ( 2 x + yz) + -§z(xz) + s v a (xy))dxdydz = f f f (2 + 0 + Q)dxdydz = 2 f f f dxdydz 2 f f ( 5 —x —y)dxdy. dz D v v x = p cos
T
1 = 2 [ f dp f
1
f
f
1
dpp( 5 —p( cos ^p+ sin
2 cos
\
148
0
3 / d(p
1 f
dpp(5 —p(cos(p+sincp)} = 2[f d(p((^ —^(cos(p+sin(p))-~ (10 cos2
2 cos ip
3*
§ tr
5?r
52
:<2 jl
2 T . | cos3
u ( B ) —ti(A), gde je A (x\ ,y i, zj) početna, a B (x 2 ,y 2, 22) krajnja tačka putanje integracije. Potreban uslov za diferencijabilnost funkcije u jeste da je P y = Qz = fjj/, R x = P z, tj. za P = y z + m y , Q = x z + n x , R = m xy imamo: z + m = z + n , x = m x, my = y, tj. m = n = 1. b) c : 2x2+ y 2 = 1 —z ,2 x 2+ j/2 = z => 1 — z = z , 2 x 2 + y 2 = z =+ z = | ,2 x 2 + y2 =
|=+c:z= | , ^ 5 +
=
1 =>
c
: z =
f ,x
f
=
c o s
=
^ sin p ,
v £ [v’i . vči]; ^ ( 0 . ^ . 5 ). tj- x — 0 ,y = ^ , z = I =+ V3! = f ; B ( 0 , - ^ , f ) , tj. x = 0 , y = - ^ , z = | =+ V2 — - f ■ —rr/2
I = J (y z + y )d x + (x z + x)dy + xydz = c
f t
[ ( ^ s i n < /> + 4 - sin )(-§ sin)
/2 - k /2
+ (jc o s p + ^ c o s p )^ c o s p + ~ ^ c o s p s in p -0 ]d p =
/
(cos 2
7r/2
= 373
—tt/2 / cos 2tpdip = 0 . 7r/2
4. Za t = x 2 + y2, dobijamo = '(*) ■2x = 2xip'(t), 0 2 •ip'(t) + 2x •ip"(t)2x = 2ip'(t) + 4x 2
'( i ) ,0
= g j(§ f) =
= 2V'( i ) + 4 y V ( t ) .
Punkcija u (x, y) je harmonijska u G, pa važi: d 2u dx2
d2u _ dy2
<+ 4 (x 2 + y2)ip"(t) + 4 p '(t) = 0 •o- t(p"(t) + (t) = (p'(t). ^
= -*
=> j/>(t) = c it- 1 ,
149
1 = <^'(1) = V '(l) = c i •1 1 =+ c i = C2 = 1 =» <£(*) = l n t + 1,
u (x ,y ) = ln(a:2 + y2) + 1 . = 2/i ^ d p =
t ^ =* v = 2 arctgp + c(x) = 2 arctg “ + c(a ) (p = % = - f i =» s ^ f =
dp = ±dy).
+ y ( * ) ) =+ ^ ( * ) = ° =+ « ( * ) = c-
/ ( z ) = (ln(z 2 + j/2) + 1 ) + i (2 arctg | + c), / ( l ) = u (l, 0) + i v ( l , 0) = 1 + i =+ (ln (l 2 + 02) + 1 ) + i( 2 a r c tg j + c) = l + i = > c = l , / ( z ) = (ln(x 2 + y2) + 1 ) + i( 2 arctg | + 1 ). Ako uzimamo da je argz e [0 ,27r), funkcija / se može pisati u obliku , , . _ f 21n|z| + 1 + i(2 a rg z + 1), J ( z ) — ^ 21n|z[ + 1 + l ( 2 a r g z — 47r + 1),
5.
Posmatraćemo integral 27r
2ir
Rez>0,lmz>0 Re z > 0 , I mz < 0
2tt
1 = f e2ti c.os6 tdt = / cos6 1 cos 2tdt + i f cos61 sin 2tdt,
0
0
odnosno uvodeći smene z = e tl, cost =
2 0
sint =
2
dt = j f , integral
15z-1 + 20z + 15z3 + 6z“ + z 7 je jedini singularitet z = 0 (pol petog reda), je Rrffii/(z) = 15.
+ $
gde je c jedinična kružnica u kompleksnoj ravni sa centrom u koordinatnom početku, pozitivno orijentisana. Za funkciju / ( z ) = £ £ £ = + 2+6+ ot i 5z»+20z°+i5z*+ 6F + i = z - 5 + 6z-3
2ir
pa je / cos6 1 cos 2tdt =
•27riR es/(z) =
Dakle,
2=0
2-k
f cos61 siri 2tdt = 0. o
6.
/ (2 ) — (z / ip ' 2 + z - l
E ^ ( 2 - l)"-2. za I Za |z - 1| > 2 (*> |-
— (z / l)a ■ 2
_1__ _ 1+*
n=0
< 1, tj. |z - 1| < 2. < 1) je
o°
oo
(_ 2)"(z —l ) - "-3 / ( 2) = (iz rp ■j h ■i+ f? f = 1 5 ^ E ( - 7 = r ) n = 7 E 1=0 f
n=u
150
i
0 2 .0 9 .2 0 0 0 .
1.
I s p ita ti o b la st k o n v erg en cije i n aći su m u re d a
N a ći sum u re d a JZ 2. Iz ra č u n a ti
/
(x + 1)dx + (y — 1)dy + (z — xy — 1)dz,
g d e j e c p o zitiv n o o rije n tisa n a k riv a k o ja s e d o b ija u p re se k u p o v rši x 2 + y 2 — 1 —z i 2x + 2y —z —1 = 0, d ire k tn o i p rim e n o m fo rm u le S to k s a . 3. Iz ra č u n a ti zap rem in u o b la sti V = { ( x ,y ,z )
6 ® 3 : z < 4 — y /x 2 + y2, x 2 + y2 > 2a:, x 2 + y2 < 4a:, z > 0}.
4 . F u n k c jjo m /W
=
(e ( ^ + l + f i ) ) 2 + j ’
p re slik a ti o b la st G = {z € € : —1 < Rez < 0 ,0 < Imz < £ } .
5. Iz ra č u n a ti in te g ra l J i(cosz + zfcei)dz, z a k = 1 i k = 2, g d e je c k o n tu ra : C
a ) c = {z £ Č : |z| = 1},
--
b ) c = {z
p o z itiv n o o rije n tisa n a .
151
6 C : |z —2| = 1},
R e š e n je :
1 . Ako uvedemo smenu 2 (x + 1) = f, imamo OO
-
OO
-
| = 1 , sledi da red konvergira za |t| < 1 , odnosno za
Iz p — lim 1; - - ;
|2(x + 1 ) | < 1 # i € ( —|, —J ) . Za x = —|, tj. t = —1 i x = — tj. t = 1 , red ne konvergira jer mu opšti član ne teži nuli kada n teži beskonačnosti. OO
OO
OO
CO
t
t
OO
= £ *" - £ s*n = r=t - E f s ^ d s = T ^ - / £ 3 - 1
E (i -
n= 1
n=l
n=l 0
n=l
ds =JŽt+f 7=lds= Ih+ M 1 - *) = 0
Za x = —| imamo £
0 n=l
+ ln(-2x - 1). + l n ( - 2 ( - | ) - 1) = 1 - ln2.
n=l
2. x 2+ž/2 = 1 —z, 2 x + 2 y —z = 1 <+ z = 2x + 2y — 1, x 2 + y2 = l - 2 x - 2 y + l < + z = 2x + 2y — 1, (x + l )2 + ( y + l )2 = 4, tj. x = —1 + 2 cost, y = —1 + 2 sinf, z = —5 + 4 co sf + 4sin f, dx = —2 sin tdt, dy = 2 cos tdt, dz = ( —4 sin t + 4cost)df. / = / (2 co sf(—2sin f) + (—2 + 2 sin t)2 co st + (—5 + 4 c o s t + 4sin f — 1 + —7r 7T
7T
2 s in t+ 2 c o s t—4 s in tc o s t—1 )(—4 sin t+ 4 co st))d f = 28 / sintdt—32 / costd t+ — 7T 7T
7T
— 7T
7T
24 / (cos2 <—sin2 t)(ft-l-16 / sin2 1costdi —16 / cos2 tsintdt = 0 —3 2 8 ^ * 1 ^ 4 II
o
o 1 2
- l
d_ dx X + 1
e TTy
Si
e 1
**
1
2
t-H
i - n \ s
ts l
1 6 š p
dS = | f f ( —2 x + 2 y )d S = - 2 f f ( x -
xy-l
y)dxdy = —2 f d p f ^ —l + p c o s i p + l —p sm tp ^ p d p ^ ^ -Č fsiiu p + co sip )^ = 0 , —t r O " '~* gde je D = {(x , y)|(x + l )2 + (y + l )2 < 4 }.
152
7r/2
V
3. 4coa^
4 —p
f f f dxdydz = V 7r/ 2
2 cos (fi
/
0
(2P2
—7t/2
tt/ 2
~f
cos3 ) =
f dtp —jr/2
4cos
pdp f d z = f dip
/
—
=
f
(4 -p )p d p =
2 cos
=
7r/2 / (2 4 COS2 (p —7t/2
*/2 /
( 12(1 + cos 2)— ^
- i r /2
(1 - sin2 ip) cos )fl[ = 12tt - 221.
f( z)
— 2z, tt/2 =
’ i
ie 2* + 2+ 5 i —1
e2 z + ii+ ,r i- 1 *
+ 2 H- 7tz, 1V3 — eWj, 104 = w3 — 1 , -lo = — .
tv
5 . /jfe(z) = i( c o s 2 + z * e r ) = i ( E
n= 0
L(2$ T z2n + z * £
n= 0
/ fk {z)d z, imamo C
a) 7(1) = 27riR es/(z) = 4-7ri, 1(2) = 27riR es/(z) = 37ri; b) / ( l ) = / ( 2) = 0 , jer je funkcija unutar konture regularna.
153
r
1
1
~2
- A ir
pa za /(fc) =
2 1 .0 6 .2 0 0 2 .
I ko lo k v iju m
©
1 } O d re d iti o b la st k o n v erg en cije i n a ći sum u s(x ) re d a 2
„ T T r " . Iz ra ču n a ti
n—l n -r i
E
(fc-D2
k= 1
2. I s p ita ti a p so lu tn u i u n iform nu k o n v e rg e n ciju re d a 52 n^(.x " ~ x 2" ) n a
n=5
in te rv a lu [—1,2]. 3. D a to je v e k to rsk o p o lje F = (P ,Q ,R ). A ko su p a rc ija ln i izvodi drugog re d a fu n k c ija P, Q, R n ep rek id n i iz ra ču n a ti V •(V x F ) . 4 . Iz ra č u n a ti I = J(2 x y - x 2)dx + (x + y 2 )dy, gde j e c d ire k tn o o rije n tis a n
C
ru b o b la sti D = { ( x ,y ) e M2 : y 2 < x ,y > x ) , d ire k tn o i p rim e n o m G rin o v e form u le. 5. Iz ra č u n a ti z ap rem in u A V t e la V = { ( x , y , z ) e R 3 : 2x < x 2 + y 2 < 1, - y / x 2 + y 2 < z < 4 - x 2 - y2,y > 0}.
I I ko lo k v iju m 678910
6. I s p ita ti d a li j e fu n k c ija f ( z ) =
a n a litičk a .
7. Is p ita ti v rs te s in g u la rite ta fu n k c ije f ( z ) = —
, a z a tim iz ra ču n a ti
/ £ ^ i d z < 8 d e je c = {z € C : |z| =■!}• C
8 . F u n k cijo m w = ( j © © )4 p re slik a ti o b la st G = {z e C : R e z < 0, 0 < Im z < 7r}. 9. R a z v iti u F u rije o v red fu n k ciju f ( x ) = z 2 sin x , x € [—tt, ir]. 10. R e š iti s is te m in te g ra ln ih je d n a č in a t
x(t) = 2 -
t
J (t-u )x (u )d u -i J
t
y(u)du,
154
y(t) =
1- J
t
x (u )d u -
J (t-u )y (u )d u .
R e š e n je : Iz p = lim |- - n-1 = lim j f j f r = lim v -R rs = 1 , sledi da red konver-
1.
n —*oo
n —>oo “ w+ l
n —»oo vn + -l/
gira za |x| < 1, tj. x € (—1 ,1 ). Z a i = ± 1 , dobijamo red X X ± l ) n~ - koji ne konvergira jer mu opšti član ne teži nuli. Dakle, oblast konvergencije je ( —1 , 1 ). x
I V x
n —1
e
OU
(n - 1 + ^ ) 1 " = X2 X) (n - l)a;n~2 +
( - 1 , 0 ) U (0 ,1 ) =» a { x ) =
n= 1 oo
r n + l — -.2
X2 E ( X " - 1)' + 1 £
n + lJ
x
/ i ndt = x2( E x n- ! ) ' + 1 / 5 ) «
n=l 0
=
0 n=l
-!-iln (l-x ).
x 2 ( i h Y + i / r=T'* = 2:2 - i r i p + 1 ( ~ x - lnd - * ))
0
tr(0) = 0 . °o .
-l) E ( f2cfcfc fc = l
2
oo
„
_ V* na — i V ' n 3 / 1 \n — 2 "+ i(n + l) ~ 2 n + 1 V2 i n=0 v
(j ) ! R F
-1 —-f ln (l —|)] = ln 2.
2 . Neka je / „ ( x) = ^ r (x n + x ~ 2n), n e N. Tada za 5 „ (x ) = x n + x -2 n , imamo g'n (x ) = n x n_1 — 2n x -2n_1 = n x - 2n - 1(x 3n — 2) = 0 ++ x = 3( / 2. Ako x e [|, 3-\/2), tada je g /(x ) < 0, tj. gn je opadajuća funkcija. Ako x e ( 3-\/2,2], tada je g’n (x) > 0, tj. ^ r(2 n + 2 -2 n ) < +^r((|)n + (| )_2n) +*■ maksimum je u x = |, pa je fn (x ) < / n ( i ) = M i k r + ( I ) " 2" ) = £ ( £ + 4 n) = an . a„ ~ ^ 4 n = ( 4 ) n < (| )n = 6n, n > 5. Red ćn konvergira, pa po uporednom kriterijumu konvergira i red "52 an , a tada po Vajerštrasovom kriterijumu red J J /„ (x ) konvergira apsolutno i uniformno na [|, 2].
3. K a k o j e V - F = ! £ + § 2 + § S = P s + Q a + JR * i V x F = ( R i, - Q J ,P ;IR c, Qx — Py), a parcijalni izvodi drugog reda funkcija P, Q i fl su neprekidni (pa je Pyx = Rxy, Qxz = Qxx, Pzy — i yz), to važi V •(V X F )
= =
(Pj, - Qx)x + (P2 - -Rx)y + (Qx - Py)z Ryx Qzx + P«y Rxy + Qxz Pyz
=
0.
4 . I = J ( 2 x y —x 2)dx + (x + y2)dy = J ( 2 x y —x 2)dx + (x + y2)d y + J ( 2 x y c
Cj
C2
x 2)dx + (x + i/2)d t/= / [ ( 2x - x 2 —x 2) -1 + ( x + (x2)2) ' 2x ]d x + J[(2 y 2 - y - ( y 2)2)o 1
155
2y + (y2 + y2) •i]dy = Zadovoljeni su uslovi Grinove formule, pa imamo I = f P d x 4- Qdy = f f (Qx - Py)dxdy c
D
1 >/x = / / ( 1 — 2x)dxdy = f dx / (1 — 2x)dy D
0
l = f ( l — 2a :)(y x — x 2)dx o
x2
= / ( x i — 2a;i — x 2 + 2x3)dx = — .
5. D = {( x , j , 0 ) e l 3 : 2x < X1 + y 2 < 1, P > 0 }. AV 4
=
—x2—y2
f f f dxdydz v
=
ffd xd y f dz = f f dxdy(4 —x 2— D - \ / x 2+!/2 Đ tt/2
i/2 + v /z 2 + y2) = / d(fi 7r/3 7T
1
2 COS
/
(4 - p2 +
0 7r/2
p)pđt> + / dip f ( 4 - p 2+ p ) p d p = f d/.p
(2P2 + ^ 2- ^ ) r os^ H : / 2 ( v + / ( 8 cos2 p + 1 cos3
|p3 - i P 4) l o =
ir/3
4cos 4 ip)d
25y/3
=
, 35 x
T ----- 16 + -ŽT-
6 . Funkcija / ( z ) nije definisana u 0, a van nje se može napisati u obliku ui = f ( z ) = L j- — ž = x — yi = u (x, y) + in(x, y), gde je z = x + iy. Funkcija je analitička u tački zg € D C C ako postoji okolina tačke zq u kojoj je / diferencijabilna. Funkcija je analitička na skupu D ako je analitička u svakoj tački tog skupa. Potreban i dovoljan uslov da je / diferencijabilna u tački zq jeste da važe Koši-Rimanovi uslovi: U*x =
U y,
XLy —
V xj
tj. za datu funkciju je u x = 1 ^ vy = —1 , uv = 0 = —vx , odnosno / nije analitička ni u jednoj tački iz C. 7.
Kako je sinx = 0 4+ z = kir,k 6 Z, (sinz)'|z=^
156
= cosz\2=k-n ^ 0,
(sinz ima nule prvog reda), to su singulariteti funkcije f ( z ) = = -£2^ - , polovi prvog reda z = kn, k G Z \ { 0 } i pol drugog reda z = 0 (nisu prividni singulariteti jer je cos kir / 0 ). Unutar koriture c su singulariteti 0 i | podintegralne funkcije g(z) = p a je / g(z)dz = 2iri(R esg(z)+ R esg(z)) = 27ri/limo(z2^ ^ ) ' + U m ( z - i ) I ^
27ri(lim (si° * coSz - ZX2z - l ?-2 J sinz cos z +
= ^ ((j + ^
8 . tfl = ( f ^ ) 4 = ( | ^ i ) 4 = (l + ^ r ) 4. = ez, W2 = t C i - l , tl»3 = j j j , Wi = 2 - W 3 ,
W5 =
1174
y) =
1 ) = 2iri ctg
+ 1,
w = (w&) A.
Slika oblasti G = { z € C : R ez < 0, 0 < Im z < 7r } je oblast C\ ( { 0 } U {in 6 C : argin - 0 }). 9. Iz f ( —x ) = ( —a;)2 sin(—x) = —z 2 sinx = —f ( x ) sledi: an = 0 , n € No; 7T
7T
6n = ^ f x 2 sinx •sinnxdx = ~ / a:2 • | (cos(n - l ) x — cos(n + l)x)da; = 0 0 7T
7T
J / x 2 cos(n —l)xda;—~ / x 2 cos(n+l)x
157
sin(n —l ) x 4 - v-2^v2 c o s (n c o s (n + l)a :-
sin(n+
i)^)[ = S
^
w
- n eN \W;
>i|H
7T
7T
7T
7T
bi = ^ / x 2 sin2 xdx = ± f x 2( 1 — cos 2x)dx = f ( f x 2dx — j x 2 cos 2xdx) = 0 0 0 0 (g 7r3 — (^ -s in 2z + ||cos 2z — ^ -sin 2z)| ) = 2 t^- 3 . DaMe, Purijeov red funkcije / je 3 , — sm x —
F (x ) =
(n — l ) 2(n + l )2
sin nx,
i važi f ( x ) = F ( x ) , x € [—vr, 7r]. 10. Prvo ćemo primeniti Laplasovu transformaciju na zadate jednačine što će nam dati C { x } = 2 £ { 1 } — C {t * x ] — 4 £ { 1 * y} C {y } = C { 1 } - C { l * x } - C { t * y } , tj£ { x } = 2£ { 1 } - C { t } ■C { x } - 4 £ { 1 } •C { y } C {y } = jC{1 } - £ { 1 } •£ { z } - C {t } ■C {y }. Ako označimo C { x } = X i C { y } = Y , dobili smo X = 2- s sz
- 4-Y , s
Vidimo da dobijeni sistem možemo zapisati u obliku (s 2 + \ )X + 4 s Y = 2a,
s X + (s 2 + 1 ) Y = s.
Rešenje ovog sistema je V -
y
23
1
(S + 1 ) 2
8 + 1
a (s + l )2
1 s+ 1
n
1
(S + 1 ) 2 ’
1 (s + l ) 2 '
Primenom inverzne Laplasove transformacije ćemo dobiti
x = 2e -1 — 2fe_t = 2e_ t (l — t), ,
y = e_ t —te_t = e_ t( l — t).
158
0 7 .0 2 .2 0 0 3 .
I ko lo k v iju m 1.
O d re d iti o b la st k o n v e rg e n cije i n aći sum u ste p e u o g re d a
n+2 n ----—x
T+\,4X4 n a
2. Is p ita ti u n ifo rm n u k o n v e rg e n ciju re d a n=l
3 . Iz ra č u n a ti zap rem in u t e la V = { ( x ,y ,z ) £ l J : l < z ,
x2 + y2 + z2 < i} .
4. P rim e n o m fo rm u le G a u s-O stro g ra d sk o g iz ra ču n a ti
J J xdydz + ydzdx + zdxdy, s+ gde j e S + o n a s tr a n a p o v rši S = { ( x ,y ,z ) 6 R 3 : x 2 + y 2 + z 2 — 4, 1 < z } za k o ju j e ugao izm eđ u v e k to ra n o rm ale i z —o s e o šta r. 5. D a to j e p o lje v e k to ra
5 = ( 2i + yz + l)i + (xz —2 y)J + (2z + xy)k. P o k a z a ti d a je p o lje 2 p o te n c ija ln o u S 3 i n a ći n je g o v p o te n c ija l. Iz ra č u n a ti rad p o lja 2 o d ta č k e + (0 ,0 ,0 ) do £ ( 1 ,2 ,3 ) .
I I k o lo k v iju m
6. R a z v iti u L o ran o v re d p o s te p e n im a od z , fu n k c iju f(z ) -
n 7. Iz ra č u n a ti J
)
e* ~ Z+ 1
z * ( z - l j e * - 1 '78910
, gd e je c p o z itiv n o o rije n tis a n p rav o u g ao n ik s a
C
te m e n im a 2 —i, 2 + i, —3 + i, —3 — i. 8. P re s lik a ti o b la st G = {z € C : |z - §7r| > fu n k cijo m
w= e
§7T, |z
- 3 tt| < 3 tt,
\z
-
§ i|
< § },
2 3t —z
9. F u n k ciju f(x) = x + 1, x € [0,1] ra z v iti u n e p o tp u n i F u rije o v re d p o ko sinu sim a. 10. Za p o č e tn e uslove x(0) = 3, y(0) = —5, re š iti s is te m x = —7x + y,
159
y' = - 2 x - 5y.
R e š e n je :
1.
Kako je p = J
H
lim
lim 1 (~ Z % r " 1 =
n —>oo V - l ; ^
n —*o o a n + ’
lim
n —*oo
(n + 2 )(n + l) n+ 3
= 00 ’
to red konvergira za svako x € R. Označimo njegovu sumu sa s(x). s(x) = e ( - i ) n2£ ^ n = E ( - i ) n(i ^ in + £ )s n = - x E ( - i )
,n - l_
J+
2 E ( - l ) n^ n = -X E &(-*)"*■+ 2 ( - l + E đr(-^)n) = - ® e - + 2c - i - 2. m=0
n=l
n=0
Kako su funkcije /„(a:) = 1+^4xi parne, ispitajmo ih samo za x > 0.
2.
/;( * ) = / ; ( * ) = o « x = o v r = i , x g (o , i ) =+ / ; ( * ) > o , * e ( i , oo) => fn ( x ) < 0 , pa imamo da je tačka x — ± i tačka lokalnog maksimuma, dok je x — 0 tačka lokalnog minimuma. Punkcije /„ (n € N) su ograničene, jer su neprekidne i lim X+pijr = °i Pa z a i = ln one dostižu maksimum,’ tj. J
1 |/n(x)| < / n (
n
)
l + « 4(^ )4
1 2n5 ’
2^ ' sledi da funkcionalni red E /n (x ) konvergira
Iz konvergencije reda E n=l
n=l
uniformno i apsolutno na R. D = p r x0y(V ) = { ( x , y , 0) e R 3 m2 -f-1/2 < 3 }. Zapremina oblasti V je
3.
A V = f f f dxdydz v y / 4 —x 2 —y 2
f
= // (
dz)dxdy
__ 1___________
D
= / / (-^4 - x 2 - 1/2 - l)dxdy D =
/
d
p( \/4 — P2 -
l)d p
= 2ir [ - 1 ( V 4 ^ 7 ) 3 - | P 21 | f
_ 57T “
3 *
4. Neka je V = {( x ,y , z) € R 3 : 1 < z, x 2 + y2 + z 2 < 4 } oblast između površi 5 i površi 5 i = {( x ,y , z) e M3 : z = 1, x 2 + y 2 + z 2 < 4 }. Neka je 5 j + ona strana površi 5 i čiji je vektor normale —k. Iz teoreme Gaus-Ostrogradskog, koristeći rezultat prethodnog zadatka, imamo / / xdydz + ydzdx + zdxdy — f f f ( £ ( x ) + §r(y) + -§^(z))dxdydz- f f xdydz + S+
S i+
V
160
ydzdx + zdxdy = 3 •^ — / / xdydz + ydzdx + zdxdy. S\+ f f xdydz + ydzdx + zdxdy = f f ( x - 0 + y - 0 + z- ( - 1 ))d S = f f 1 ■( - l ) d x d y = Si +
S i+
2 tk
-s/ 3
,
d
r ~ \i
— f dip f pdp = —2%*--%'■■= —37r. o o Dakle, f f xdydz + ydzdx + zdxdy = 5n — (—3n) = 8 tt. s+ i
5.
d_ dx
Kako je V x a = rot a =
2x + yz + 1
k"\ d_ \
3 8_ dy xz — 2y
(x - x ,y -
dz
2 z + xy
y, z — z) = 0, to je polje a bezvrtložno. Oblast IR3 je jednostruko povezana, pa je svako bezvrtložno polje u K3 i potencijalno. Polje a = (P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z )) je potencijalno, ako postoji skalarna funkcija u = u (x, y, z) (potencijal polja a) tako je grad u = (|^, \) = a. Tada je i
x
X
y
u ( x ,y , z ) — f P (t,0 ,0 ) d t -f o o
z
z
x
f Q ( x ,t}0)dt + o
/ R (x ,y ,t)d t o
=
f ( —2t)dt + f ( 2 t + xy)dt = x 2 + x — y2 + z 2 + xyz + c. o o Rad je jednak 7Z = f du = u (B ) — u(A) = ti(l, 2 , 3 ) — -u(0,0 ,0 ) = 13. A
6-
m
=
=
oo
MĆi -£ ) =
oo , xn oo ? E ( i + + + * n = E ( e) ( i + m
.
oo
- n=Q E (~l)n^ n) =
.n
o < |z| < l.
= $ ( i - + r - e -* ) = £ ( 1 E ( i ) n -
*
#r(- n=0 E
n=0
E ( - l ) n ii^ n) = E
n=0
n=0
ez ~n~5 +
E ( - e ) ^ z n- 4, |z| > 1. n=07 7. Kako je sinz = 0 +> z = kn, k e Z, (sinz)'|z=fc,r = cosz\z=k-K 7^ 0 , (sinz ima nule prvog reda), to su singulariteti funkcije f ( z ) =
-3+i
7{z~-T)sin!> P °lovi Prv°S reda z = 1 i z = kn, k e Z \ { 0 } , i pol drugog reda 2 = 0. Unutar konture c su singulariteti 0 i 1 .
-3-i
1
R e s /(z ) = lim [(2 — 1) •- (z—1) sinz
sin 1 *
R e s /( 2) = l i m [ 22 - ^
161
2+i 0 1 2i
f ( 2 t + 1 )dt
= lim
1
z —>0 ( z - 1) *
lim z —»0 2 cos z sin z
— c o s z —( 2z —1) c o s z + z ( z —1) s in z 2 sin z cos z
— s in z —z ( z —l ) c o s z sin2 z
((z — 1 ) sinz — 2
c o sž)
=
— 1,
pa je I = 27ri(Res f ( z ) + Res f ( z ) ) = 2 rr - — s*n 1 + z=1 w z=o sin l 8 . w = e ^ ^ = e^ ( - i+ 3 ii) . “1= W 2 = 3 i w i , W 3 = W 2 — 1,
M4=7T2HJ3,
w = eWi.
Slika date oblasti je oblast {ui e C : jiu! > 1, argw e (| 7r, 7r)}.
9. Da bismo dobili razvoj po kosinusima, produžimo parno funkciju f ( x ) nad intervalom [—1,1], funkcijom } i ( x ) = {
I
x LL’
X + 1 ,
X_G,
X £ [
*L
-L,UJ
. Tada je
6n = 0, n € N, a 0 = 2 f ( x + l ) d x = 2 ( ^ + a;)|
o
10
= 3,
l a i an = 2 / ( x + 1) cosmrxdx = 2((x + 1 ) jT. sinn 7rx |0 — ^ / sin nirxdx) = o o smnrr + ^ cosn 7rx|g) = - ^ ( c o s n r r - 1 ) = ^ ( ( - l ) n - 1 ).
162
Furijeov red za / i (x) je o
00
n
OO
q
F{X) = 2 + E
.
COSn7r:E = 2 ~ g '( 2ifc — l ) 27r2
cos(2A: — l ) 7ra;,
a z a i e [0, 1] važi / ( x ) = / j ( x ) = ^(a:). 10. Prvo na obe jednačine primenjujemo Laplasovu transformaciju C { x ' } = —7 C { x } + C { y } ,
C {y '} = - 2 C { x } - 5 £ { t/} .
Odatle uz oznake X = C { x } i Y = £{•(/} imamo s X - 3 = - 7 X + F,
s F + 5 = - 2X - 5Y,
tj. (s + 7 )X — Y = 3,
2 X + (s + 5)K = - 5 .
s+ 7 -1 3 -1 — s + 12s + 37, D\ = = 3s + 10, 2 s+ 5 —5 s + 5 s+ 7 3 D2 = = —5s — 41, to je rešenje dobijenog sistema linearnih 2 -5 jednačina „ s+ 6 0 1 x - D lD ' (s + 6)2 + l (s + 6)2 + l ’ Kako je D =
e D
6+ 6 ( s + . 6)a + l
11
1
(s + 6)2 + l
Primenom inverzne Laplasove transformacije na ove izraze dobijamo rešenje x = £ -1 { X } = 3e- 6 t cosf — 8e-6 t sint, = £
{ Y } = —5e 6i cost — l l e 6i sint.
163
2 8 .0 6 .2 0 0 3 .
I ko lo k v iju m
(t) I s p ita ti o b la s t k o n v e rg e n cije i n a ći su m u s(x ) re d a
'x —
1
2. I s p ita ti k o n v e rg e n ciju re d a T ' arcsin —------ n a R. n=2 X2 + n 3 3 . Iz ra č u n a ti zap rem in u A V te la V = {{x , y, z) £ K3 : x 2 + y 2 < (z - l ) 2, x 2 + y 2 + z 2 - 2 z < l , z > 1}. 4 . Iz ra č u n a ti p ov ršin u p o b la sti D = { ( s , y ,0) 6 R3 :
(x3
, y > 0}.
5. D a t a je fu n k c ija u (x, y, z) = xy + x z + yz. N a ći p o te n c ija ln o v e k to rsk o p o ije a č iji j e p o te n c ija l u. Iz ra č u n a ti fliiks p o lja 3 p o p o v rši S = { ( x , y ,z ) 6 R 3 : x 2 + y 2 = z2, 0 < z < 1}.
I I k o lo k v iju m
6. F u n k ciju f ( x ) = sin x, x € [0, |] ra z v iti u n e p o tp u n i F u rije o v red po ” k o sin u sim a” . 7. F u n k c ijo m w =
2z
^ p re slik a ti o b la st
G = {zec-,
0
8. R a z v iti fu n k c iju f ( z ) = z — 1 i z. Iz ra č u n a ti
f
— “ir u L o ra n o v re d p o s te p e n im a od f( z ) d z , r > 0, r ^ 1.
M=r 9. I s p ita ti d a li j e fu n k c ija w = 10.
a n a litič k a u C \ {2 }.
R e š it i s is te m in te g ra ln ih je d n a č in a
t o
164
R e š e n je : 1. Primetimo najpre da red nije definisan z a r = 1 . Uvedimo smenu — t. Tada dobijamo red
‘+ 2 n 2n2+2n n+1
antn , an — n=0
=
3
3n2+ 2 n - 3
Iz lim lim ------- »"+1 Ji™ ( S + i ' i^ + iS + f ) = K sIedi da n_oo 1 n-~io ^n+1(>„+13)<;1+1>- 3 red konvergira za |t| < 1 , odnosno za |— jj^j| < 1 O x < 0 .
2
oo Za x = 0, tj. t = 1 dobijamo red
2”
koji divergira, jer mu opšti
n=0
član teži beskonačnosti (ne teži nuli) kada n teži beskonačnosti. Dakle, red konvergira z a i € ( —oo, 0), i u ovoj oblasti tražimo sumu reda s(x). OO
Nađimo sumu a{t), t
e
2
oo
(—1 ,1 ) reda X) 2” ,f+ ”~ 3 t” , odnosno n=0
oo
ritn i 3 J 2
; ^ j ) t n. Redovi 2 n=0
OO
f / E
n=l
imaju istu oblast definisanosti ( —1 ,1 ),
n=0
pa za t / 0 imamo: *(*) = 2t
(2n — n=0
oo
OO
E
n=0
_ , ,
2t
=
OO
n=l
u”du = l t ( j Q ) - ! f ^ d u = j j ^
t
OO
E ( * n) ' - f E
OO
Jundu = 2t(Yl
n=0 0
n=l
*” ) ' -
+ f ln (l - t).
0 n=0
ln -— j , za x 6 (—00, —1) U ( —1 ,0 )
Dakl«, imamo da je s(x) = i s (—1 ) = ao = —3.
2. FVinkcije f n(x) = arcsin ^ “ 3-, x € R su neparne, te je stoga dovoljno posmatrati ih za x > 0 . Neprekidne funkcije f n su ograničene jer važi lim f n (x) = 0. X—>00
Za n > 2 je 2x < x 2 + 1 < x 2 + n3, rencijabilne i f'n(x) =
< 1, pa su funkcije f n , n > 2 difeKako je
> 0,
to u tački x = v?/2 funkcije / „ , n > 2 , imaju (iokalni) maksimum. Dakle,
2• ^ |/n(*)| < fn ( n 3/2) = arcsin ^ ^ 2 ^ 3 = arcsin ^372 =
a: £ R, n > 2.
OO
Red X) an, an ~ ' ^ 5 konvergira, te po Vajerštrasovom kriterijumu red n=l
00
J)) / n(ar) konvergira uniformno i apsolutno na R.
n=2
’r' '
3 . V = { ( x , i/ , z ) € R 3 : x 2+ y 2 < (z —l ) 2, x 2+ y 2+ ( z —l )2 < (s/2)2, z > 1 }.
165
Presek gornjeg dela (jer razmatramo z > 1 ) konusne površi x 2 + y 2 = {z —l ) 2, sa centrom u (0 , 0 , 1 ), sa sferom x 2 + y2 + (z — l )2 = (\/2)2, istog centra je zbog x 2 + y 2 = ( z ,— l ) 2, x 2 + y2 + (z — l )2 = ( / 2)2, (z - l )2 + ( z - l )2 = 2, z = 0 , z = 1 , kružnica x 2 + y 2 = 1 ‘, z = 1 , pa je D = prx0y(V ) = { ( x ,y , 0) £ K 3 : x 2 + y2 = 1 }. Zato uvođenjem cilindričnih koordinata imamo 1 + \J 2 —x 2—y2
A V = f f f dxdydz = / / ( 27T
dz)dxdy = f J ( y / 2 - x 2 - y2 - * J x 2 + y2)
/
1
____________
dxdy = / d
0
0
Nađimo zapreminu i na drugi način korišćenjem uopštenih sfernih koordinata x = p cos(psinQ, y = psin
~4
2
J
ir
3
A V = f f f dxdydz — f dcpj d6 f p2 sinQdp = 2n •(— cos0)|q • % | 0 v o o o f (% /2-l).
=
x = pcosip, y = psinip, \J\ = p; x > 0 , y > 0 =+
4.
(x 3 + j/3)2 = x 2 + y2 =+ p = p(p) = (sin3
+ cos3 y>)_ i .
Oblast D je simetrična (simetrija x i y) u odnosu na simetralu prvog kvadranta, odnosno crtano u polarnom koordinatnom sistemu na polupravu
_ 1 ? _________ 1_________ 2
J
(sin
vj+ cos
¥?) (1 —sin
]d
Uvodeći smenu sintp = /
sm y + c o s
/
tp
In
,3 /J, sin . ^ -fcosv / ------d
0
cos p =
, d
, dobijamo
+ c. Takođe je
= / l + S S ^ P ^ = / T T ^ = arctg(sin
Sada dobijamo P — J 2 + ^ in(V2 + 1).
166
5. Da bi funkcija u = u(x, y, z) = xy + xz + yz bila potencijal polja a mora d a je a = gradu = § j) = 2 + a: + x + y).
(§|,§j|,
(/
F = f f a-ndS s S : f ( x , y, z) = x 2 + y2 - z2 = 0, 2 € [0 , 1] grad / = 2 ( x , y , - z ) , n = (cosa,cos/?,cos 7 ) =
z,
=
j_ xT+y.7-zfc ■y/i2+y3+z2 Ako uzmemo da onu stranu površi S kao na slici imamo da mora biti 0 > cos^ = ± ~ r =f£r r ? , pa ugao 7 koji l/Xx+yx+X3 zaklapa n sa pozitivnim delom z —ose mora biti tup, te zbog z > 0 uzimamo znak + , tj.
F = // v ^
3- & W y + z ) + y ( x + * ) - z ( x + y ) ) ds = f f Vx2+^ x^
f f ~ r r h dxdy = f f V c T D V x +y D'
r
sinK ■
x = pcos(p, y = psimp;
6.
f p 2 sin 2vdp = | •o = o. O
= J —ir
dS = ^ /l + (f§ )2 + (§f y*dxdy = V2dxdy\
V2dxdy =
z = V 'i2 + y2,
D = {(x , ?/,0) e R 3 : x 2 + J/2 < 1}
J
Vršeći parno produženje funkcije / ( x ) = sin x, x 6 [0, jj], na interval 2r 2
[ - f , f ] , imamo da je
i>n = 0 , a0 = ^
f sin.xdx = £ ,
3. 32 2 an = V n I sin x co s2nxdx = / ( / |[sin(2n + l) x + sin(l — 2n)x]dx ' 0 0 = z I—2n+ 1 cos( 2*t + l )1 — i _ 2n cos(l — 2n)x]|* = —[ 2n+l + 1- 2tJ — ir l-4n s ' Razvoj funkcije / po koslnusima je: ^ + Y an co s2n x = - + - Y ' z---- — ;C o s 2 n x . 2 *-• f j r + 1 - 4 n2
7.
10 = 1 + e i z _ i •
Wl = 2 z,
W2 — eWl,
103=102 — 1,
t 04 = J j ,
10 = 1 + 104-
Slika date oblasti je oblast {io e C : |w| < 1, argto € ( 7r, 2 tt) } .
167
11 ~ :
i ■{ \ Z - /j
W2
4i " X
wl
Fiii
z
3K
-4 \ ‘ V:;-'
T
1t T
0
i
■
,.
t
0
ln .2
V
ln 4
;
W
W4
■- ■- \ _ _
J 1
-2 \ -l
■ *.
r /
1 z
1?
f
1 P
i
1 (“ I “
-
+
?r
&
J
(
-5 '
4 -
/
0
’ V -
i
_ -
1
2
_
1
- 2z~2 — z 1 — E zn , za |z| < 1 , dok je za |z| > 1 : n=0
oo
oo
/ W = - i - J r + i r V = - ^ - i + i E ( | ) n = - 2 ^ 2 - ^ 1+ E + 2
n=0
- n —1
n=0
Kako je za 0 < |z — 1| < 1:
1 _
T — (-i)'
= (-i+ p = ij)‘ = - (
e
7i= 0
(-ir (^ -ir )' =
e
n=l
(-lr + M z -ir - 1=
E (-l)n(n + l)(z - l)n>to Je
n=0
m __
=
oo
oo
E ( - i ) n(” + 1)(* - i )n_1 -
E ( - i ) n(rc + 1 )(* - 1)"
n=0
oo
n=0
+
oo
E ( - l ) n(n + 1) ( * - l )” - 1 - E (—l ) n(n + l ) ( z - l ) n = J T I + E ( - l ) n+1(n +
n=l
2)(z - 1 )" - E ( - l ) n(n + 1 )(* - l ) n = IZI + E ( - l ) n+ 1( 2n + 3)(z - 1)" . 71=0
n=0
Za |z —■1| > 1 je: *
OO
= H ) ' = ( - t r J= u )' = oo
•i + i H
= -(H
E o( - i r ( H r y
=
oo
- ( E ( - l ) n(^ - l ) - n_1)' = E ( - l ) n(n + 1 )(* - l ) - n" 2, Pa je n=0
oo
n=0
oo
oo
/ ( + > = E ( - i ) n(n + i ) ( ^ - i r n- 3 - E ( - i r ( n + i ) ( ^ - i r n- 2 = E ( - i r n=0
n=0
168
n=G
(n + l) (z — l ) - " -3
E H
) >
+ i)(,-i)-
= E ( - l ) n(n + l)
n —1
oo
n=0
(* ~ l ) — 3 - E ( - 1 )n+1(n + 2)(z - l ) - " - 3 n=0
V
'
=
oo
— + E
(-i)n
(2n + 3) (z - l ) - " - 3. 1 >
t
> 0 =>
f { z )d z = 27ri Res /(z ) = 27ri •( —1)
J \z \= r
r > 1 =>
f
—2 7 TI.
z_0
f( z ) d z = 27ri(R es/(z) + R e s /(z )) = 2m ( —1 + 1) = 0.
|z|=r
Z_
Z“
9 . Zapišimo funkciju w = f ( z ) u obliku tu = u (x ,y ) + iv (x ,y ), gde je z = x + iy: x — 2 — iy
x — iy •2 + ij/ 3u _ a f n _ ^x 3 x ( ( j:--? )1r y * ' dv _ d ( 2y - 2 x y \ _ Hy d y i ( x - 2 y + y ’i )
x-2-iy
xr>‘2 _ - 2Orr x -_y»i2 * 2y - 2xy + «■; (x - 2)2 + y2 ( x - 2)2 + y2 '
(2 g - 2 ) ( ( a - 2 ) + y ) - 2 ( a : - 2 ) ( x - 2 x - » ) _ 2 4 x - x f ^ t + + 2 g i ^ 4 ( ( x —2 )2+ y 2) 3 ( ( x —2 ) J -ry J )'J 1 ( 2 ~ 2 x ) ( ( x - ‘2 )2 + y i ) - 2y ( 2y - 2 x y ) _ p 5 x 3- 8 x - x 3 - ; ) 2+ xm 3 + 4 * (( x —2 )a+ v a) a * ( ( x - 2 ) i +y'-i ) :2 '
Koši-Rimanova jednaćina analitička u C.
= |^ nije zadovoljena u C, pa funkcija nije
1 0 . Prvo ćemo primeniti Laplasovu transformaciju na zadate jednačine što će nam dati £ { 2;} = 3 £ { 1 } — C {t * x } — £ { 1 * y },
C {y } = C { t } — £ { 1 * x } ,
*j£ { x } = 3 £ { 1 } - C { t ) •C { x } - £ { 1 } •£ { y } ,
£ { y } = C { t } - £ { 1 } •£ { x } .
Ako označimo C { x } = X i C { y } = Y , dobili smo X = 3s
\ x --Y , 3a s■Z
Y = \qZ- - X . Sz S~
Vidimo da dobijeni sistem možemo zapisati u obliku (s 2 + 1 )X + s Y = 3s,
s X + s 2Y = 1.
Rešenje ovog sistema je
1
sđ
1
= 3 ---------- 3 , s s6
„y
„ 1—+ 1 = _2. s2 s4
Primenom inverzne Laplasove transformacije ćemo dobiti * = £' ‘ w ,_
- 3£ ‘ , { ; } - £ - ‘ { ? } = 3
{ V } - - 2£ - > { + } +
169
* 2 ’
_ - 2* +
2 4 .0 9 .2 0 0 3 .
I ko lo k v iju m
T) O d re d iti o b la st k o n v erg en cije i n a ći sum u s(x ) re d a
1
E
; (x - !)"•
2. I s p ita ti n a R ap so lu tn u i u n ifo rm n u k o n v e rg e n ciju re d a OO
n—1
3 . Iz ra č u n a ti zap rem in u te ia V = {(x,y ,z) e R 3 : x 2 + y2 < z, x 2 + y2 + z2 < 2}. 4. Iz ra č u n a ti /
+ 3x 2 z )dx + ( x ^ - ~ i + 3V2 z)dy + (x 3 + y 3 )dz; •' ■
C
•
gde j e c = { ( x ,y ,z ) € R 3 : x 2 + y 2 = z, x 2 + y 2 + z = 2 } p o zitiv n o o r ije n tis a n a k riv a gled ano sa p o zitiv n o g d e la z —o se. 5. A k o j e ip d ife re n c ija b iln o sk alarn o p o lje i F d ife re n c ija b iln o v e k to rsk o p o lje , p o k azati d a je V X (
I I k o lo k v iju m
f 1 o< x < 1 f(x ) = < ’ , “ ~ „ I U3 I n 3) ^ * ko sinu sim a.
6. F u n k ciju
ra z v iti u n e p o tp u n i F u rije o v re d po /
7. R a z v iti u L o ran o v red p o s te p e n im a o d z + i, fu n k c ije f ( z ) = g(z) = (2 + 2)6*.
i
8. A ko je a € R \ {0 }, iz ra ču n a ti in te g ra l 2 it
9. F u n k cijo m w = tg z p re slik a ti o b la st G — {z € C : —^ < R e z <
Im z < 0 }.
- 2 ^ y ^ -1 - /\^ X
0 170
i
<
*
v / vi
0 1
R e š e n je :
1.
Uvedimo smenu x 2 - 1 = t. Tada je J 2 n^ n-2 (x 2 - l ) n = J 2 antn, n 2 —n —2
(n-2)(n+l)
Iz lim l+ ^ rl = lim
1 ( ^ _____ 3 ' n —2
aJ1
n —>oo (> » -i)(„ + 2)
n —>oo
n + l/‘
. g _ j s]e(]j rj a re(j konvereira
n —,00 n ~ n ~ *
za |t| < 1, tj. |x2 - 1| < 1 •£> 0 < x 2 < 2 •*=> x € ( —\/2, v/2) \ { 0 } . Za a: = i-i/2 , tj. t — 1 dobijamo red X) kao konvergentan red J2 /r Za x = 0, tj. t = —1 dobijamo red jumu konvergira jer je an =
^ koji konvergira, jer se ponaša 'n^-m-2 koji P ° Lajbnicovom kriteri-
= ^_~2)\n+1) -> 0 i ^
= $ ± E = g > 1.
Dakle, oblast konvergencije je [—\/2, \/2], i u ovoj oblasti tražimo sumu OO
OQ
X
X
reda 5(2;). Primetimo najpre da je Y2 nx ” = f n=l n—1 0 x / = ~ ln(l —x ), |x| < 1. caj
OO
= f Y2 tn~l dt = 0 n=l
OO
OO
a(t) = E antn = i ( E s M " ~ E KTT*") = | ( E £**+2 n=3 n=3 n=3 *= 1 Z=1 OO oo W 2 £ ¥ k - f ( g \t l —t — l t 2 - I t 2)) = 1 (_*» ln (l - 1 ) - 1 ( - ln (l \t2 - l t 3)) =
~ E 1) -
1
f**"1) =
-
ln (l - t) + 1 + i t + l t 2), t ^ 0 .
s(^) = K 1" ^
3 In(2 - x 2) + |x4 - l x 2 + |), x G [—\/2,
\ {± 1 } i
s ( l) = s ( - l ) = 0. 2. Kako su funkcije f n (x) = xe ,l‘‘x2 neparne, dovoljno ih je razm atrati za x > 0. Za x > 0, f n (x) — x e ~nix\ je f ' ( x ) = e-n4x2( l — 2n 4x 2), odnosno za x = funkcija / ima (lokalni) maksimum, jer f ' ( x ) > 0 , x £ (0, + 75) i / ' ( x ) < 0, x > ^ . Kako je red J 2 an, gde je an =
konvergentan, iz
nejednakosti |/n(x)| = |x|e-n4x2 < an , x e K, po Vajerštrasovom kriterijumu x e n x konvergira apsolutno i uniformno nad celim K.
funkcionalni red n=l
3. x 2 + !/2 = z A x 2 + i/2 + z2 = 2 t t t t i 2 + j i J = z A z + J 2 = 2 + xJ + y 2 = z A z 2 + z - 2 = 0 # x 2 + !/2 = z A z = l . D = prx 0y(V) = {(x , y, 0) e R3 : x 2 + y2 < 1}.
171
A V = f f f dxdydz v \12— —.i/2 = // (
f
D
x 2+ y 2
dz)dxdy
= f f ( 1/2 - x 2 - y 2 - (x 2 + y2))dxdy D
2ir
1
,_______
= f d tpf (y/2~—p* — p2)pdp = L [-1(V ž = 1(872-7).
io
4. c = { ( 2 , j/, z) G R 3 : x 2 + y 2 = z , x 2 + y 2 + z = 2 } = { ( x , y , z ) £ R 3 : x 2 + y 2 = z , 2 = 1 } = {(x ,?/ ,z ) e R 3 : z 2 4- ?/2 = 1, 2 = 1 } = {(c o s t,s in t, 1) £ R 3 : t £ [0, 2 tt]} .
2tt
f ( - ^ 4 y . t + 3 x 2z ) d x +
(-rfp - +
3 y 2 z )d y
+
(2 3 +
?/3 ) đ
2
c
=
/
+
0
3cos2 t •l ) ( - s i n t ) + ( eos^T+sin2! + 3sin2 t •l)c o s t + (cos3 t + sin3 t) •0]dt = 27T
/ [sin2 1 — 3 cos2 1 sin t + cos2 1 + 3 sin2 1 cos t]dt = 2 tt. 0
5.
Za F = (P, Q, R) imamo
V x f p F ) = Vx(tpP,
p
Q )~
§ ^ ( p P ) ) = ( p y R + p R y - p z Q - p Q z , p z P +
6. Za razvoj po "kosinusima” , posmatramo parno produženje funkcije f ( x ) , na interval [—2,2]:
{ 0, —2 < 2 < —1 fl(x) =
-1 < 2 < 1
1,
Za funkciju f i je bn = 0, n £ N, dok0,je
2
2
.
1< 2 < 2
1
Qo = | / f i ( x ) d x = f f ( x ) d x = f dx = 1,
-
2
0
2
0
2
1
2
an = 5 / / i ( x ) cos ~ x d x = / f ( x ) cos + rxd x = / cos ^ 2 ^2 + / O cos +pxdx ■ -2
_
2_ s i n ^ , pa je a 2fc = 0 i a2fc_i = p f c Z i ^ ( - l ) fc
nir
172
, fc £ N, te je
traženi Furijeov red °o
f ( * ) = 52 +’ E
7. / ( * ) =
(2 * - 1) tt
2
= 1
(2k — 1 ) 7T
( —1)^—1 cos
_ i ___ 2
( z—
1
mn= i -t e )E mn= 1-
2
= 1
z-(-i —2 i+ z - f i
1
z-f-i —2 i l - ^ t i
£(*)-(£+1
e
E ( - 5 ) n*n+1(2 + i)n_1, za |^ i | < l, t j. |z + t| <2.
n—0 Za |z + i| > 2 ( « |^j| < 1) je ff-A _
i _______ 2
•1' >
(z—i)(z+i)
= 1-
_
i ____2______ 1
E 2n+1i" (z + i)-
_
z+i —2i+z+i
i
2
1
1
_
z+i z+i 1—-3+,
i
2
<• 2 i \n
(2+j)4 Z_< Vz+i >
'
71=0
n—2
n=0
Funkcija 3 je regulaina, pa je za sve z e C g(z) = (z + i + 2 — i)e~lez+1 = e_ , [(z + i)e^+, + (2 — i)ez+I] = e_ , [(z + OO
i) E
OO
£ ( * + i)n + (2 - i) E
(2 - *) E 00
e_i E
n=0
o
n=0
f lA jr (* + i)n+1] =
E
n=0 v
£ ( * + i ) " +1 + (2 - i) +
+ ^ j j K * + i)n+1 + e -* (2 - 0 =
n=0
00
T^f+ijf C2 + i)n+1 + e_ i(2 — i) = e - i (2 — i) + e~' E
n= 1
r _
Z7T
J
Z7r
r s in (t-fo i) j . __ r sin t cos a i+ c o s t sin a i c o s (t+ o ij a J cos t cos a i —sin t sin aia
0
_
OO
£ ( * + i)n] = e_<[ E
_
0
r z 2(c o s a » + tB H ia i)—( c o s a i—i a i n a i ) 1 ,
J z:; (cos ai+i sinai)+(cos ai—i sin ai) jz
_
c
f J
C
r - ( z 2 - e z‘L) ,
J z+s^+e^®) c
“ ^ ( s + O"-
x*—\
•
j •cos ai+ j * ± I co3 Qj _
* * + -l
2*
*
2 *t
•
■ a in o i 3in a i iz
------i r P T ■ 1*1 =
1
"II
_ H
Kako su zfc = ( —l ) fciea, k = 0 ,1 polovi prvog reda funkcije / ( z ) = to je Res / ( z ) = lim
z= zk
z — zk
2_
iz
i* ,
= lim ž “~iz* = - 1 , z —z k
zzk
2a
R e s /(z ) = lim ■ = 1. z=o,,v ’ s-*o 1 Za a > 0 je 0 6 int c, z* e ext c, A: = 0, 1, pa je I = 27ri Res / ( z ) = 27ri. z=0
Za a < 0 je 0,Zfc e in tc, k = 0, 1 , pa je I = 27ri(R es/(z) + Res / ( z ) + z=0
z= zo
Res / ( z ) ) = —27ri. 2=Zl
9 . 7« = tg z = j j j f = -is irs + 1r = H ^ if+ r - !*)• i(iJif+T Wx = 2z,
U)2 = iwl = e^’iiii,
tc3 = eW2,
ti)6 = 2ti)5, ti)7 = ti)6 — 1, ti) = iti)7-
173
io4 = u)3 + 1,
w5 = +
Slika date oblasti je oblast {w e C : |w| < 1, argtu £ (n, 2ir)}.
174
Dpdat^ik I T ab lice L aplasovih tran sform a cija
/ (* }
F { s h
/(*)
1
shaž
a s2 —a2
ch ać
s s2 —a2
ew sin at
a (s —6)2 + a2
ebt cos a£
s —b (s —6)2 + a2
£ sin a£
2as (s2 + a2)2
tcosat
s2 —a2 (s2 + a2)2
eMsh at
a (s - 6)2 - a2
ebt ch a£
s —6 (s —b)2 —a2
1 8
n ! tn ^
t"
'
n
€
N
i
s >/+i
i e at s —
a
a H a (t) s
n ! tn e“ *
/ (s —
\n + t 0 )* + *
a s in a t s2 +
_____ > r »
C
/Y
a s
s cos ot s2 + a 2
Dodatak II N ek e o sn o v n e n ared b e sa zn ačen jem p rog ra m a M athem atica
shift-enter ctrl-shift-enter alt-, alt-. Q uit (E xit)
vrsi se izračunavanje cele tekuće ćelije vrsi se izračunavanje označenog izraza zaustavljanje računanja prekid računanja kraj rada kernela
n! n! A ’bsfa;] M y /x S q rt[x ] E x p [x] ex in x Log[x] •ogQx L o g fa , x\ Sin[a;] ™' sina; cos X Cos[a; T a n [x tg x arcsin x A rc S in [x ] arccos x A rcC o s * arctga; A rcT an *
N [izraz] N [iz ra z ,n ] E x p a n d [izraz] E x p a n d A ll [izraz] F a c t o r [izraz] T o g e t h e r [izraz] A p a r t [izraz] C a n c e l [izraz] S im p lify [iz ra z ]
približna vrednost izraza približna vrednost izraza sa n cifara izvršavaju se sva m noženja i stepenovanja u brojiocu i z r a z -a izvršavaju se sva m noženja i stepenovanja i brojiocu i imeniocu iz r a z a faktorizacija i z r a z -a svodenje iz ra z -a na zajednički im enilac rastavljanje iz ra z -a na zbir term ova sa ” prostim im eniocim a” skraćivanje i z r a z -a ”n ajp ro stiji”oblik i z r a z -a dobijen algebarskim transform acijam a
Re[z] Im jz ] C o n ju g a te [z ] A rg [z A b s[z
R ez Im z z arg z
1*1
T ra n sp o se [;4 ) Inverse[.A] D et[A ] M in o rs[A , k]
A 1' A- i det A m atrica čiji su elementi minori m atrice A reda k An karakteristični koreni m atrice A karakteristični vektori m atrice A množenje skalara a i vektora v množenje skalara a i m atrice A m noženje vektora i m atrica rešenje sistem a lin. jedn. A - x — b pojednostavljeni oblik m atrice A dobijen lin. komb. vektora vrsta
M a t r i x P o w e r [A, n] E ig e n v a lu e s [A\ Eigenvectors[.<4] a v a A v.v, v .A , A .v, A .A L in e a r S o lv e [A , 6] R o w R ed u ce[v 4]
P a r a m e t r ic P l o t { { f x , f y }, { t, t \, t i }] P a r a m e t r ic P l o t [ { / x , f y ), {t, t i , A s p e c t R a t i o — > A u t o m a t ic ] P lo t3 D [/ , {a:, a , 6 }, {y , c, d}] P lo t[/ , { x , a , 6}] P lo tj/ , {x , a , b }, i z r a z — > v r e d ] g = P lo t[ / , { x , a , b}] Sh o w [s] S h o w fg x ,...,g „ ]
grafik krive x — f x (t), y — f v (t), t £ [ti, ta] crtan je par. zad. krive sa ratzmerom k o ja očuvava pravilan oblik krive trodim . grafik funkcije f ( x , y ) grafik funkcije f ( x ) , x 6 [a, 6] grafik f-je / dok i z r a z uzim a vrednost v r e d dođeljivanje grafika f-je / sim bolu g prikaz grafika dodeljenog sim bolu g prikaz više grafika zajedno
Lim it[/,x—> xo] Lim it[/,x—> xo,Direction—> —1] Lim it[/,x—> xo,Direction—> +l]
D [/ ,x] D [ / ,x i ,...,x „ ] D [ / ,{ x ,n } ] Dt[/| D t[/ ,x ]
lim
x—»xo+0
/
lim / x~-»xq—0
SLL d"f ~~5n7 ----------------------------------------------tot. diferencijal d f to t. diferencijal f-je / po prom. x
Integrate[/, x] Integrate[/, { x , a, 6}] Integrate]/, {x , a , i)}, {y, c, d}\
S e r \ e s [iz r a z , { x , x o , n}] N o rm al[red ]
lim /
X — *XQ
f f{x)dx la f(x)dx Jj f( x>)dxdy, D = {(xfy) : x € [a,b],y € [c,d]} D
razvoj u stepeni red i z r a z - a, po x , u okolini xo, sa n ajv iše n članova deo razvoja bez ostatka