FORMULARI FORM ULARIO O Y TABLAS DE LA ASIGNATURA ESTADÍST EST ADÍSTICA ICA APLIC APLICADA ADA A LA EDUCACIÓN EDUCACI ÓN Grado de Educación Social Grado de Pedagogía
Documento d e utilización util ización autori zada zada en las pru ebas ebas prese pr esenciales nciales de la l a UNED UNED por el Equipo Equip o docente do cente de la asign atura atur a (v. (v. 2014) 2014) Arturo Galán González (Coordinador) Ramón Pérez Juste José Luis García Llamas José Quintanal Díaz
ÍNDICE Página I. FORMULARIO Capítulo 5 Capítulo 6 Capítulo 7 Capítulo 8 Capítulo 9 Capítulo 10 Capítulo 11 Capítulo 12
3 4 5 6 11 11 12 14
II. TABLAS Áreas y ordenadas de la curva de distribución normal Distribución t de Student Distribución Ji-cuadrado Coeficiente de correlación tetracórico (r t t )
17 25 26 27
2
FORMULARIO Y TABLAS ESTADÍSTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN I. FORMULARIO Se incorporan a continuación las fórmulas estadísticas recogidas en los capítulos del texto básico de la asignatura.
CAPÍTULO 5 Media aritmética: X =
X =
Suma de todas las puntuaciones Número total de puntuaciones
∑ X
i
N
Desviación Media: D.M. =
Valor absoluto de la suma de las diferencias entre cada puntuación directa y la media Número total de sujetos
D.M. =
∑ ( X − X ) i
N
Desviación típica sesgada: S=
(Suma
de las diferencias entre cada puntuación directa y la media aritmética) 2 ) Número total de sujetos
∑ ( X − X )
2
S=
i
N
Varianza:
( X − X ) S= ∑ 2
2
i
N
3
Desviación típica insesgada:
∑ ( X
i
S=
− X )
2
N − 1
( X − X ) S2 = ∑
2
i
N − 1
Amplitud o recorrido:
A= X imayor − X imenor + 1 Coeficiente de variación:
V=
s X
(100)
Desviación típica y varianza en variables dicotómicas:
s = p.q ; s2 = p.q Asimetría: Índice de Pearson:
As =
X − M 0 s
Curtosis: n
g2 = 1 ⋅ N
4
( X i − X ) ∑ i 1
⋅ f i
=
σ 4
−3
CAPÍTULO 6 Puntuación diferencial: x = X i − X Puntuación típica: z =
X i − X s
=
x s
4
Puntuaciones tipificadas o escalas derivadas:
T = a·z + b; donde b =
(nueva media), a = s (nueva desviación típica) y z = puntuación típica
Cálculo de percentiles: C ⋅ n − f a ( I −1) 100 C m = Linf + ⋅ a1 , donde a es el valor del intervalo. f i
C ⋅ n toma la forma de (D / 10) · n en el caso de los deciles; de (Q / 4) · n en el de los 100
El valor
cuartiles y de (1 / 2) · n en el de la Mediana.
CAPÍTULO 7 CORRELACIONES a) Coeficiente de correlación de Pearson (r)
r xy =
∑ X ·Y − ∑ X ·∑ Y − (∑ X ) ]·[n∑ Y − (∑ Y ) ]
n·
[n∑ X
2
2
∑ x· y ∑ x 2 ·∑ y 2
r xy =
Puntuaciones directas
2
2
Puntuaciones diferenciales
b) Coeficiente de correlación de Spearman (r s ) r s = 1 −
∑ D
6·
(
2
)
n n −1 2
Dónde n nos indica el número de sujetos o de pares de puntuaciones y D es la diferencia de rangos o posiciones que ocupa un mismo sujeto en dos variables distintas.
c) Coeficiente de Contingencia (C) C =
χ 2 n + χ 2
Dónde
χ = 2
G
c
∑∑ g =1 c =1
( f o − f e )2 f e
A su vez f e =
f f · f c f t
5
d) Coeficiente de correlación biserial-puntual (r bp ) r bp =
X p − X t st
p
⋅
r bp =
q
X p − X q
⋅ p·q
st
e) El coeficiente PHI ( φ ) B ⋅ C − A ⋅ D
φ =
( A + B )( A + C )(C + D )( B + D )
f) El coeficiente de correlación tetracórico (r t ) B ⋅ C
r t =
A ⋅ D
En el numerador figura el producto cruzado de la diagonal donde coinciden los mismos signos, mientras que en el denominador figura el cruce en que no coinciden los valores, es decir, son distintos. Existe otro procedimiento directo, si bien exige disponer de una calculadora que incorpore las funciones trigonométricas, en este caso el coseno, mediante a siguiente fórmula: 180 A ⋅ D B ⋅ C + A ⋅ D El valor así obtenido es el coeficiente de correlación.
r t = cos
g) Coeficiente de correlación biserial (r b ) r b =
X p − X t p st
⋅
r b =
y
X p − X q st
⋅
p·q y
CAPÍTULO 8
(Los elementos sombreados corresponden a contenidos no obligatorios) FIABILIDAD Y VALIDEZ a) Fiabilidad como estabilidad y equivalencia r xy =
∑ X ·Y − ∑ X ·∑ Y [n∑ X − (∑ X ) ][n∑Y − (∑Y ) ] n· 2
2
2
2
Puntuaciones directas
Correlación de Pearson entre las dos aplicaciones sucesivas (estabilidad) o bien entre la aplicación de la prueba y su equivalente. 6
b) Fiabilidad como consistencia interna b.1.Procedimiento de Spearman-Brown R xx =
2·r xx 1 + r xx
r xx se calcula mediante el coeficiente de
correlación de Pearson entre las mitades, así llamamos X 1 a las puntuaciones de los ítems impares (1ª mitad) y X 2 a la suma de los ítems pares (2ª mitad).
∑ X X − ∑ X ∑ X [n∑ X − (∑ X ) ]·[n∑ X − (∑ X ) ] n
Siendo: r xx =
1
2 1
2
1
2
1
2
2 2
2
2
b.2.Procedimiento de Rulon sd 2
r xx = 1 −
st 2
Para llegar a determinar el valor del coeficiente de fiabilidad debemos calcular previamente tanto la varianza de las diferencias como la total. b.3.Procedimiento de Guttman s12a + s22a r xx = 21 − 2 st
Debemos calcular la varianza total y los valores de las varianzas de las mitades (impares/pares).
(∑ X )
2
s = 2 1a
∑ X
2 1
−
n −1
n
b.4.Procedimiento de Kuder-Richardson ne st 2 − ∑ p·q · r xx = 2 st ne − 1
Para ítems dicotómicos, dónde n e se refiere al número de elementos de que consta la prueba. Además p es la proporción de sujetos que aciertan y q = 1 - p; esta operación se debe realizar con cada uno de los ítems, pues el valor que necesitamos es la suma de p·q de todos los elementos.
7
b.5.Procedimiento alfa de Cronbach
∑
si2 n 1 − 2 α = n − 1 st
Donde: n: número de elementos o ítems de la prueba; si2 : varianza de cada uno de los ítems y st 2 : varianza de las puntuaciones totales de la prueba
c) Algunas cuestiones relacionadas con la fiabilidad c.1. Fiabilidad y longitud R xx =
nr xx
1 + (n − 1)r xx )
R xx será la fiabilidad alcanzada y n es el número de veces que la prueba se alarga o se acorta, esto es, el cociente entre el número de elementos de va a tener la prueba y los que tenía la prueba original: N =
Número de elementos finales Número de elemento iniciales
De la fórmula anterior despejamos n y nos queda: n=
R xx (1 − r xx ) r xx (1 − R xx )
c.2. Intervalo para la puntuación verdadera
El intervalo se expresa: X v = X A ± zα / 2 ·σ med Donde el error típico de medida es: σ med = s x · 1 − r xx c.3. Límites para la puntuación verdadera de un sujeto
El intervalo se expresa: X v = X A ± zα / 2 ·σ med c.4. Comparación de las puntuaciones de dos sujetos en la misma prueba R.C . =
X B − X C
σ dif .med
Donde el error típico de la diferencia de medida se calcula de la siguiente forma: σ dif .med . = s x · 1 − r xx · 2
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d) Validez predictiva de las pruebas: r xy =
∑ X ·Y − ∑ X ·∑ Y [n∑ X − (∑ X ) ][n∑Y − (∑Y ) ] n· 2
2
2
2
Correlación de Pearson entre las puntuaciones en la prueba (X) y en el criterio (Y).
d.1. Algunos coeficientes relacionados con la validez d.1.1. Coeficiente de determinación
Se representa por “d” y su valor consiste en elevar al cuadrado el coeficiente de validez: 2 2 d = r xy = 0,88
d.1.2. Coeficiente de alienación
Se representa por “k” y se obtiene mediante: k = 1 − r xy2 d.1.3. Coeficiente de valor predictivo
Se representa mediante “E” y se obtiene: E = 1 − k = 1 − 1 − r xy2
d.2. Validez y longitud de una prueba R xy =
r xy
1 − r xx n
+ r xx
Donde R xy se trata de la nueva validez, r xy es la validez original, r xx es el valor inicial del coeficiente de fiabilidad y n es el cociente entre el número de elementos finales y los elementos iniciales. 1 − r xx
De la ecuación anterior despejamos n: n =
r xy2 2 R xy
− r xx
d.3. Predicción de puntuaciones a) En puntuaciones directas: Y ' = r xy
s y s x
( X − X ) + Y
b) En puntuaciones diferenciales: y ' = r xy
i
s y s x
x
c) En puntuaciones típicas: z y' = r xy z x
9
Error típico de estimación: σ est = s y 1 − (r xy )
2
Intervalos de confianza: a) Puntuaciones directas: Y '± zα / 2 ·σ est
ESTUDIO DE LOS ELEMENTOS O ÍTEMS DE UNA PRUEBA a. Índice de dificultad (I.D.) I . D. =
A n
Donde A nos indica el número de sujetos que aciertan el ítem y n el número de sujetos que lo intentan. Para elementos de varias alternativas de respuesta la fórmula que debemos aplicar es la siguiente: E A − na − 1 I . D. = n Donde A es el número de aciertos, E el número de errores y n a el número de alternativas de respuesta del ítem.
b. Índice de homogeneidad (I.H.) I . H . =
r AB ·s A − s B s A + s B − 2·r AB ·s A ·s B 2
2
Donde r AB es la correlación entre el ítem y el total, s A la desviación típica de las puntuaciones en la prueba, s B la desviación típica en el ítem que se calcula s B = p·q .
c. Índice de validez (I.V.) Para seleccionar el coeficiente de correlación más adecuado habrá que tener en cuenta las condiciones de los datos, tanto las referidas a los elementos como al criterio. Pueden usarse los coeficientes biserial-puntual (dicotómicos), el biserial, el tetracórico o el Phi. r bp =
X p − X t st
·
p q
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CAPÍTULO 9 Prueba de Ji cu adrado (χ 2) de bondad de ajuste al modelo normal: 2
χ
=
∑
( f o − f c )2 f e
CAPÍTULO 10 Normas cronológicas: C.I. = EM / EC;
C.I. = (EM / EC) x 100
Cuantiles: C ⋅ n − f a ( I −1) 100 C m = Linf + ⋅ a1 f i
C El valor ⋅ n toma la forma de (D / 10) x n en el caso de los deciles; de (Q / 4) x n en el de los 100 cuartiles y de (1 / 2) x n en el de la Mediana. Normas típicas:
z=
X i − X s
=
x s
Puntuaciones típicas normalizadas:
T = 50 + 10 z S = 50 + 20 z Estaninos: 5 + 2z Pentas: 3 + z
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MUESTREO Tamaño de muestra infinita: n =
Tamaño de una muestra finita:
2 z ⋅ p ⋅ q
E 2
2 ( z ⋅ p ⋅ q ⋅ N ) n= 2 E ( N − 1) + ( z 2 ⋅ p ⋅ q )
Error muestral para muestras infinitas: E =
Error muestral para muestras finitas : E =
( z
2
⋅ p ⋅ q ) n
( z 2 ⋅ p ⋅ q )⋅ ( N − n ) ( N − 1) ⋅ n
Intervalo de confidencial: IC = puntuación ± EM , donde EM es el error muestral.
CAPÍTULO 11 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS a) De la media aritmética INTERVALO DE CONFIANZA: Intervalo confidencial de la media: IC = X ± EM donde: EM es el ERROR MUESTRAL: En el caso de muestras pequeñas y grandes, EM = t ( ) ⋅ σ x α
2
O como alternativa sólo en caso de muestras grandes EM = Z ( ) ⋅ σ x , donde α
2
ERROR TÍPICO DE LA MEDIA ( σ x ): Error típico de una distribución muestral de medias (si en el cálculo de s se utilizó la s insesgada): s σ x = N Error típico de una distribución muestral de medias (si en el cálculo de s se utilizó la s sesgada): s σ x = N − 1
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b) De una proporción Simplemente se sustituye la s por p ⋅ q ; σ x =
p·q N
o σ x =
p·q N − 1
c) Estimación de la puntuación verdadera en una prueba Error típico de medida: σ s = st ⋅ 1 − r xx Intervalo de confianza en torno a la puntuación de un sujeto: IC = Xi ± EM
d) Intervalo de confianza de la puntuación estimada en la regresión lineal simple Error típico de estimación: 2 σest = s y (1 − r xy ) Intervalo de confianza en torno a la puntuación estimada en el criterio: IC = Y' ± EM
e) Estimación del parámetro correlación de Pearson: Error típico del coeficiente de correlación de Pearson: muestras grandes:
=
σr
1 N − 1
Error típico del coeficiente de correlación de Pearson: muestras pequeñas: 1 − r 2 σr = N − 1
Intervalo de confianza en torno a r de Pearson, donde EM es igual a error muestral:
IC = r ± EM Error muestral (EM) en torno al r de Pearson:
EM = z (α )⋅σ r 2
f) Estimación del parámetro diferencia de medias: Intervalo de confianza a partir de diferencia de medias: IC = ( X 1 − X 2 ) ± EM , donde EM = Z ( ) ⋅ σ ( X − X ) σ
2
1
2
13
Y donde σ ( X 1 − X 2 ) para muestras grandes e independientes es: σ 12
σ 22
σ ( x1 − x ) = + 2 N 1 − 1 N 2 − 1
Y para muestras pequeñas o grandes e independientes: σ ( X 1 − X 2 ) =
N 1 ⋅ σ 12 + N ⋅ σ 22 N 1 + N 2 − 2
⋅
1 N 1
+
1 N 2
g) Estimación del parámetro diferencia de proporciones: Error típico de diferencia de proporciones: σ ( p1 − p 2 ) = p ⋅ q ⋅
1
+
1
N N
CAPÍTULO 12 Fórmula para el contraste de medias para diseños de dos grupos independientes (estadístico t) en el caso de muestras grandes y pequeñas: | X - X | -0 t= 1 2 ;t = σ X1-X 2
X1 − X 2 − 0 N1s12 + N 2 s22 1 1 + N N 2 N N + − 2 2 1 1
Fórmula para el contraste de medias para diseños de dos grupos independientes (estadístico Z), sólo válido para muestras grandes: z=
| X1 - X2 | -0 σ X1-X 2
donde σ X1-X2 =
2 S 2 S12 + N1 − 1 N 2 − 1
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Fórmula general para el contraste de medias para diseños de dos grupos correlacionados: t=
| X1 − X 2 | −0 σ X1- X2
donde: σ X1-X2
2 S 1 S 2 S 12 S 2 = + − 2r − − N 1 N 1 2 1 Ν1 − 1 Ν1 − 1
TAMAÑO DEL EFECTO Tamaño del efecto d de Cohen para diseños de dos grupos independientes d =
X 1 − X 2
σ combinada
,
donde la σ combinada es: σc
=
2 (N1 s12 ) + (N 2 s 2)
N1 + N 2
15
II. TABLAS
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0,450 0,250
25
26
Valores estimados de r t correspondientes a los valores del cociente BC/AD
27
