APLICACIONES APLICACIONES DEL SISTEMA RADIAL RADIAL ARCO.- Es la magnitud o medida de un arco expresado en unidades 1. LONGITUD DE ARCO.lineales (m, cm, km, plg, …)
^
A AB = L= Longitud AB delarco del arco r
: ngulo central en radianes r : Radio de la circun!erencia. θ
o rad
L
r
"e cumple:
B
L= θ . r Lc =2 πr #ota: la ecuaci$n es %&lida si el &ngulo est& expresado en radianes.
2. ÁREA DE UN SECTOR SECT OR CIRCULAR CIRC ULAR A s =
A L
...(1)
2
L A s = 2θ
B
2
…()
#ota: Las !ormulas 1, ' !uncionan cuando
A
r
Ademas: Ac = π r 2
2
r
R
2
Lr A s = …(')
r o rad
θr
0
< θ ≤ 2 πrad
3.r OTRA OTRAS S APLI APLICA CACI CION ONES ES:: A. *uando una una rueda (+isco, arco,…) arco,…) gira o %a rodando rodando sore una una supercie supercie plana, desde B elLpunto A asta el punto B. B
L
+onde:
A
n=
L
L 2 πr
n: #=mero de %ueltas L: Espacio
B. *uando *uando la rueda(+isco, arco,…) gira o %a rodando sore una supercie cur%a, se presentan dos casos:
r r A
B R
R
n=
+onde: 1
θ ( R + r ) 2 πr
n: #=mero de %ueltas θ: ngulo en radianes R: Radio de la supercie cur%a
/ro!. /ro!. "t&nler 0rigon 2&s3ue4 5 *el: (67') 898;1 5 89<9666
n=
θ ( R− r ) 2 πr
*. *uando se tiene ruedas (+iscos, engrana?es,…) unidos mediante una !a?a tangencial o est&n en contacto.
r1
r1
r1
@ig. 61
r' @ig. 6'
r'
r' @ig. 6
n1.r1 n'.r' Entonces se cumple 3ue : θ1.r1 θ'.r' +onde: θ1 n1 : n=mero de radianes del &ngulo de giro n=mero de %ueltas de la rueda de radio r1 θ' n' : n=mero de radianes del &ngulo de giro n=mero de %ueltas de la rueda de radio r' +. *uando se tienen ruedas (+iscos, engrana?es, …) unidos por sus centros. r'
r1
r1 θ'
θ1
r' n1 n'
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO. RAZON TRIGONOMÉTRICA (R.T)
La ra4$n trigonomtrica de un &ngulo agudo en un tri&ngulo rect&ngulo se dene como el cociente 3ue se otiene al di%idir las medidas de las longitudes de dos de los lados del tri&ngulo rect&ngulo con respecto al &ngulo agudo. En el tri&ngulo rect&ngulo tenemos: B * a cateto opuesto al ánguloθ a t e = senθ = t hipotenusa c o >ipotenusa o c p a adyacenteal u cateto ánguloθ b e = cosθ = s t hipotenusa c o a cateto opuestoal ángulo θ a tanθ = = "C>*A>DC A catetoadyacente al ánguloθ b * *ateto adacente a catetoadyacente al ánguloθ b = cotθ = cateto opuesto al ánguloθ a hipotenusa c = secθ = cateto adyacentealángulo θ b cscθ =
hipotenusa c = catetoopuesto al ánguloθ a
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS B
senθ =
a
' *
a b cosθ = c c c /ro!. "t&nler 0rigon 2&s3ue4 5 *el: (67') 898;1 5 89<9666
A
c' a' ' a b b cotθ = a c secθ = b c cscθ = a JEl producto de las ra4ones trigonomtricas recprocas es siempre igual a la unidadK tanθ =
senθ =
senθ . csc θ = 1
cos θ
cos θ . sec θ
=1
tg θ .ctg θ = 1
1
=
csc θ
1 =
1
csc θ
1
sec θ
=
sec θ
tg θ =
1
ctg θ
senθ
cos θ
ctg θ =
1
tg θ
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
"i F 86G M F son complementarios. • "i seno es una R.D, entonces coseno es su (*C 5 R.D) • "i tg es una R.D, entonces ctg es su (*C 5 R.D). • "i sec es una R.D, entonces *sc es su (*C 5 R.D). JDoda ra4$n trigonomtrica de un &ngulo es igual a su co 5 ra4$n trigonomtrica del complemento de dico &ngulo. Si α + β = 90º → R.T(Án!"# α$ = C# % R.T (&n!"# β$ B a b senα = senβ = F c c b a c cosα = cosβ = a c c a b tanα = tanβ = b a b a A * cotα = cotβ = a b c c secα = secβ = a b c c cscα = cscβ = a b •
R. T. DE LOS ÁNGULOS NOTABLES
Dri&ngulos notales
7G k
2
7G k
2
'k
6G
3
<6G k
2
+
2
<9G6H
1
1G
9G 7k
2
1
;G
2
;'G
2
7
5 GI' 'k
k
1G
2
10 9GI' k
'k
2
3 9G
9G
G k
16k
''G6H
k
97G 9k
k
CUADRO DE RES'EN DE LAS R. T. DE LOS ÁNGULOS NOTA)LES
/ro!. "t&nler 0rigon 2&s3ue4 5 *el: (67') 898;1 5 89<9666
1
*º S n
30º 1
2
2
T
1
C
1
2
3-º
3º
,º
-*º
/º
/2º
º
3
4
7
24
2
7 2
6
2
5
5
25
25
10
1
4
3
24
7
2
5
5
25
25
10
3
4
7
24
1
4
3
24
7
7
4
3
24
7
3
4
7
24
5
5
25
25
5 2
4
3
24
7
7
2 3
5
5
25
25
3
3
4
7
3
2
2
C# 1
,0º
3 2 3
3
3
3
3
3
S
2
C1
2
2 3
'
3
'
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO EN POSISION NORMAL . SISTEA DE COORDENADAS RECTANGULARES 86G
*uando dos rectas orientadas se cortan perpendicularmente, di%iden al plano en cuatro partes iguales, cada una de las cuales se llaman O cuadrante. 00*
000* JCK N o NH O o OH CN, CO CNH, COH
2
6
2
−
4
4
9
2
4
+
10
+
2−
3
2+
3
2+
3
2−
3
1
9
7
2
6−
6+
2
2
5 2
6+ 2 6− 2 2 24 7 2.. Án!"#1 !5675n5"1: "on a3uellos &ngulos en posici$n normal cuo lado nal pertenece a algunos de los semie?es del sistema de coordenadas rectangulares. El las guras siguientes se muestran algunos cuadrantales ( su medida en el sistema sexagesimal)
76G
El con?unto de &ngulos cuadrantales se puede representar de la siguiente manera:
N 02*
OH : Crigen : E?e de las ascisas : E?e de las ordenadas : /ositi%as : #egati%os
F
6
-1;6G
En el sistema sexagesimal : /or extensi$n:
{ … .−180 º ,− 90 º , 0 º , 90 º , 180 º , 270 º , … . }
/or { / =! ( 90 º ) " ! ∈ # }
2. ANGULO EN POSICI4N NORAL "e denomina de esta manera a a3uellos &ngulos trigonomtricos cuo lado inicial pertenece al semie?e positi%o de ascisas su %rtice coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares (su lado nal se encuentra en cual3uier parte del plano8. En la gura ad?unta son &ngulos 3ue est&n en ∝, θ , β posici$n normal (tamin se dice 3ue est&n en posici$n can$nica). O
7
6
2
2
2
4
10
0* C
NH
7
−
-º
N
comprensi$n:
En el sistema radical: /or extensi$n: π π … ., − πrad, − rad, 0 rad , rad,πrad,….
{
2
2
/or
comprensi$n:
{
( )
/ = !
π 2
}
rad , ! ∈ #
3. RA8ONES TRIGONOTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICI4N NORAL : "ea ∝ 3ue esta en posicion #CRQAL si p(x,) es un punto 3ue pertenecea su lado nal entonces las ra4ones trigonometricas de ∝ se dene de la /(xP ) siguiente manera : ordenada de $ y = cos ∝= radio %ector r O
/ro!. "t&nler 0rigon 2&s3ue4 5 *el: (67') 898;1 5 89<9666
N
}
cos ∝=
R.D. ( ∝ ) [ ∝+ n (360 º ) ] R.D. ( ∝ ) R.D.
abscisa de $ = radio%ector r
ordenada de $ y = tan ∝= abscisa de $ ctg ∝=
csc ∝=
radio %ector r = abscisa de $
radio %ector r = ordenadade $
3.. Sin#1 6 7i#n#;<7i51:
"51
[∝
+
R.D. ' .2 π ]
3.3. R5#n1 T7i#n#;<7i51 D Án!"#1 N5i@#1 : En este punto %amos a comparar las ra4ones trigonomtricas de - ∝ . /ara esto gracamos dicos &ngulos en un mismo planoP en la gura ad?unta se a considerado 3ue ∝ ∈ 0 * por lo tanto (- ∝ ) ∈ 02 *. "aemos 3ue:
abscisade $ = ordenadade $ y
sec ∝=
75#n1
JDodas las seoritas toman ca!K
(xP )
Sn ∝ 1 ∝ C#1 ∝ 1 ∝ T ∝ ∝
0*
00*
000* 5
02* 5
5
5
5
5
3.2. Án!"#1 #7;in5"1 "aemos 3ue los &ngulos coterminales tienen los mismos elementos 3ue su di!erencia es un n=mero entero de %ueltas. "i dicos &ngulos est&n en posici$n normal ( θ %er gura). "e cumple la ∝ O siguiente propiedad:
r α 0
N
>"51 75#n1 7i#n#;<7i51 6 6#1 # ;51 &n!"#1 #7;in5"1 1#n 71?i@5;n i!5"1. sin ∝
sin θ
sec ∝ sec θ
tan ∝
tan θ cos ∝
cos
θ
&tg ∝
θ
ctg
&sc ∝
csc
θ
"aemos 3ue todos los &ngulos coterminales con ∝ se representan as: 4 $ ∝ ∝ n (<6G) , n ∈ m (' π ) , m ∈ 4. Entonces se cumple 3ue:
− α
r
sin ∝
a)
y P r
cos ∝
=¿
r
y +e igual manera se deduce: − y ) sin(- ∝ ) P cos(- ∝ ) r − y P tan (- ∝ ) r *omparando (a) () se deduce:
P
tan
∝
"in (- ∝ ) - sin ∝ P , ∝ ) cos ∝ tan (- ∝ ) −tan &tg (- ∝ ) −&tg
/ro!. "t&nler 0rigon 2&s3ue4 5 *el: (67') 898;1 5 89<9666
cos(∝ ∝
P
P
x
sec (- ∝ ) sec ∝ (- ∝ ) −&sc ∝
P
&sc
3.*. R5#n1 T7i#n#;<7i51 D Án!"#1 N#5B"1. Oa se estudio las ra4ones trigonomtricas de angulos notales (6S , 7S , <6S) pero como se puede %er todos ellos son angulos , aora se consideraran otros angulos 3ue est&n relacionados con a3uellos. a) /or e?emplo, calcular: sen 16S, cos 16S, tg16S. ) *alcular : sen ''S , cos ''S , tg ''S c) *alcular : sen 66S , cos 66S , tg 66S *. CIRCUNERENCIA TRIGONOTRICA "e denomina de esta manera a a3uella circun!erencia cuo centro coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares cuo radio tiene como longitud la unidad. "us elementos son:
B
/(x, ) 1
AH
C
A x
BH C(C,C) : origen A(1,C) : origen de arcos B(C,1) : origen de complementos AH(-1,C) : origen de suplementos BH(C,-1) : sin nomre especial /: extremo del arco A/ Ecuaci$n de la circun!erencia trigonomtrica: 2 + 2 =
Dener en cuenta 3ue si giramos en sentido antiorario los &ngulos (arcos) son positi%os negati%os en caso contrario.
Y
+
T C +
−
A'
A +
X '
0
Y ' B'−
X
−
T '
EF 6 "#1 Sn#1.- +i&metro BHB 3ue contiene al origen de los complementos. EF 6 "#1 C#1n#1.-+i&metro AHA 3ue contiene al origen del *.D. EF 6 "#1 T5nn1.-Dangente geomtrico 3ue pasa por el origen del *.D.: AD EF 6 "51 C#5nn1.-Dangente geomtrico 3ue pasa por el origen de los complementos. EF 6 "51 S5n1.-Recta 3ue contiene al e?e de los *osenos: AHN. EF 6 "51 C#15n1.-Recta 3ue contiene al e?e de los "enos: BHO Estos e?es, as como las rectas contenidas en estos e?es, son positi%os de i43uierda a dereca de aa?o acia arria.
REPRESENTACI4N LINEAL DE LAS RA8ONES TRIGONOTRICAS
. LNEAS TRIGONOTRICAS "on representaciones gr&cas de las R.D. en un crculo trigonomtrico. En un *.D. se consideran seis e?es trigonomtricos.
<
B +
/ro!. "t&nler 0rigon 2&s3ue4 5 *el: (67') 898;1 5 89<9666
R
COSECANTE.- /arte del e?e de las ordenadas, comprendida entre el e?e del crculo su intersecci$n con la Dangente tra4ada del extremo del arco: OS.
0
T B '
Dracemos, como e?emplo, la representaci$n lineal en el tercer cuadrante:
B
Y X
A 0
'
X
α
S '
B
P Y ' B '
S '
R
X
X '
T
Y
S
P
Senα = − MP A '
α
Cosα = −OM α
Tg α = AT
M
Cotg α = BR Secα = −OS Co sec α = −O
Y '
SENO.- /erpendicular tra4ada del extremo del arco al e?e de las ascisas: P. COSENO.- +istancia comprendida entre el centro del arco el pie del "eno: O. TANGENTE./arte de la Dangente geomtrica, comprendida entre el origen del arco la intersecci$n con la prolongaci$n del radio 3ue pasa por el extremo del arco: AT COTANGENTE.Dangente del arco complementario: )R
,. R5#n1 7i#n#;<7i51 &n!"#1 !5675n5"1 6S 86S 1;6S '96S
SECANTE.- /arte del e?e de las ascisas, comprendida entre el centro del crculo su intersecci$n con la Dangente tra4ada en el extremo de arco: OS.
9
/ro!. "t&nler 0rigon 2&s3ue4 5 *el: (67') 898;1 5 89<9666
'k
π
(7k 1)
π 2
('k 1)
π
(7k )
π 2
6 <6S ('k ')
π
"e n *o s Dg
6
1
6
-1
6
c
1
6
-1
6
1
csc
6
∄
6
∄
6
*tg
∄
6
∄
6
∄
"e
1
∄
-1
∄
1
;
∄
1
∄
-1
∄
“DE TU ESFUERSO DE HOY DEPENDE TU FUTURO”
/ro!. "t&nler 0rigon 2&s3ue4 5 *el: (67') 898;1 5 89<9666