Formulario de integrales c
2001-2005 Salvador Blasco Llopis Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licencia Creative Commons Atribuci´ on 2.1 Espa˜ na. S´ eptima revisi´ on: Febrero Sexta revisi´ on: Julio Quinta revisi´ on: Mayo Cuarta revisi´ on: Mayo Tercera revisi´ on: Marzo
1.
Integrales indefinidas
1.1.
Funciones racionales e irracionales
1.1.1.
(1) (2) (3) (4) (5)
Z
(7)
(ax + b)n dx =
1 (ax + b)n+1 + C, a(n + 1)
Z
n 6= 1
dx 1 = ln |ax + b| + C ax + b a Z dx 1 x +C = ln x(ax + b) a ax + b Z 1 1 dx =− · +C 2 (1 + x) 1 + x Z 1 2 1 1 xdx =− · − · +C (1 + bx)3 2b (1 + bx)2 2b 1 + bx
1.1.2.
(6)
Contienen ax + b
Contienen
√
ax + b
Z
√ 2(3bx − 2a)(a + bx)3/2 +C x a + bxdx = 15b2 √ Z x 2(bx − 2a) a + bx √ dx = +C 3b2 a + bx 1
2005 2003 2002 2001 2001
(8)
(9)
√ √ √1 ln √a+bx−√a + C, a>0 dx a a+bx+ q a √ = x a + bx √2 arctan a+bx + C, a < 0 −a −a Z √ Z √ a + bx dx √ +C dx = 2 a + bx + a x x a + bx Z
1.1.3.
(10) (11)
Z
Z
1.1.4. Z
Contienen x2 ± a2 dx 1 x = arctan + C, a2 + x2 a a (x2
a>0
xdx 1 =√ +C 2 3/2 2 ±a ) x ± a2
Contienen a2 − x2 ,
x
xp 2 x a2 arc sen + C, a − x2 + 2 2 a Z a + x dx 1 + C = 1 arctanh x (13) = ln 2 2 a −x 2a a − x a a Z dx x (14) = √ +C 2 2 3/2 2 (a − x ) a a2 − x2 (12)
1.1.5.
(15)
(a2 − x2 )3/2 dx =
Contienen
Z p
x2 ± a2 dx
√
x2 ± a 2
= =
(16)
Z
Z
x
p
a>0
x2 ± a2 dx =
p 1 p 2 x a ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C = 2 ( √ 1 a2 2 2 (+) 2 x√a + x + 2 arcsenhx + C 2 1 2 − x2 + a arccoshx + C x a (−) 2 2 1 2 (x ± a2 )3/2 + C 3
p
1 2 x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C 5 5 Z √ 2 p 2 x −a a (18) dx = x2 − a2 − a · arc cos +C x |x| Z dx x √ (19) = a · arcsenh + C a x2 + a 2 Z p dx x √ (20) = ln x + x2 − a2 + C = arccosh + C, 2 2 a x −a Z 1 a dx √ (21) = arc cos + C, (a > 0) 2 2 a |x| x x −a (17)
x3
2
(a > 0)
√ dx x2 ± a 2 √ (22) +C =∓ 2 2 2 a2 x x x ±a Z p xdx = x2 ± a 2 + C (23) 2 2 x ±a Z √ 2 (a2 + x2 )3/2 x ± a2 (24) dx = ∓ +C 4 x 3a2 x3 Z a2 x x2 xp 2 √ x − a2 − arccosh + C (25) dx = 2 2 2 2 a x −a Z
1.1.6.
(26)
Contienen
Z p Z
√
a2 − x2 dx =
p
a2 ± x2 1 p 2 a2 x x a − x2 − arc sen + C, 2 2 a
(a > 0)
1 a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C 3 Z p p x a2 x arc sen + C, a > 0 (28) x2 a2 − x2 dx = (2x2 − a2 ) a2 − x2 + 8 8 a √ Z √ 2 a + a2 ± x2 p a ± x2 (29) dx = a2 ± x2 − a ln +C x x √ Z − a2 − x2 dx √ = +C (30) a2 x x2 a 2 − x 2 Z dx x √ (31) = arc sen + C, a > 0 2 2 a a −x √ Z dx 1 a + a2 − x2 √ (32) = − ln +C a x x a2 − x2 Z p x √ (33) dx = ± a2 ± x2 + C a2 ± x2 Z x2 x a2 xp 2 √ (34) a ± x2 ∓ arc sen + C, a > 0 dx = ± 2 2 2 2 a a ±x Z p dx x √ (35) = ln x + a2 + x2 + C = arcsenh + C, a > 0 2 2 a a +x (27)
1.1.7.
x
Contienen ax2 + bx + c
√ 2ax+b−√ b2 −4ac √ 1 ln = b2 −4ac 2ax+b+ b2 −4ac Z 2ax+b 2 dx = √b2 −4ac arctanh √b2 −4ac + C, b2 > 4ac (36) = ax2 + bx + c √ 2 arctan √2ax+b + C, b2 < 4ac 2 4ac−b2 4ac−b 2 + C, b2 = 4ac − 2ax+b 3
Z
(37)
Z
(38)
1.1.8.
√
ax2 + bx + c
ax2 + bx + cdx =
2ax + b p 2 4ac − b2 ax + bx + c + 4a 8a
a 0 + a 1 x + . . . + a n xn √ dx ax2 + bx + c
Z
(42)
b2 < 4ac
2ax + b dx = + (ax2 + bx + c)n −(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1 Z 2a(2n − 3) dx + , n 6= 0, 1, b2 < 4ac −(b2 − 4ac)(n − 1) (ax2 + bx + c)n−1 Contienen
Z
dx +C ax2 + bx + c
x · dx bx + 2c = 2 + n + bx + c) (b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1 Z b(2n − 3) dx + 2 , n 6= 0, 1, 2 (b − 4ac)(n − 1) (ax + bx + c)n−1
Z p
(41)
Z
(ax2
Z
(39)
(40)
x 1 b dx = ln ax2 + bx + c − 2 ax + bx + c 2a 2a
√
Z
√
ax2
Ver §3.5, p´ ag. 11: m´etodo alem´ an
√ p dx 1 = √ ln 2ax + b + a ax2 + bx + c + C = a ax2 + bx + c 1 √ √2ax+b ∆ < 0, a > 0; a arcsenh 4ac−b2 + C, 1 √ ln |2ax + b| + C, ∆ = 0, a > 0; , ∆ = b2 − 4ac a √1 + C, ∆ > 0, a < 0; arc sen √2ax+b − −a b2 −4ac
√ Z x dx ax2 + bx + c b √ √ (43) − dx = 2 2 a 2a ax + bx + c ax + bx + c √√ 2 Z −1 √ ln 2 c ax +bx+c+bx+2c + C, c > 0 dx x c √ = (44) bx+2c x ax2 + bx + c √1 arc sen √ + C, c<0 2 Z
−c
1.2.
(45) (46)
|x| b −4ac
Funciones trigonom´ etricas
1.2.1. Z
Z
dx + bx + c
Contienen sen ax 1 ax dx = ln tan +C sen ax a 2
sen2 axdx =
1 ax − cos ax · sen ax x sen 2ax · +C = − +C 2 a 2 4a
4
(47)
Z
Z
senn−1 ax · cos ax n − 1 sen axdx = − + a·n n n
Z
senn−2 axdx,
1 cos(a + b)x 1 cos(a − b)x − + C, 2 a+b 2 a−b Z Z 1 n (49) xn sen axdx = − xn cos ax + xn−1 cos axdx a a Z ∞ X (ax)2ν−1 sen ax (50) dx = x (2ν − 1) · (2ν − 1)! ν=0 Z ax π dx 1 (51) +C = tan ∓ 1 ± sen ax a 2 4 (48)
1.2.2. Z
sen ax sen bxdx = −
n 6= 0, −1; a2 6= b2
Contienen cos ax
1 ax + cos ax · sen ax · +C 2 a Z ax π dx 1 (53) = ln tan − +C cos ax a 2 4 Z ∞ X cos ax (ax)2ν (54) dx = ln |ax| + (−1)ν +C x (2ν) · (2ν)! ν=1 Z Z cosn−1 ax · sen ax n − 1 n (55) cos axdx = cosn−2 axdx+C, n 6= 0, −1; + a·n n Z 1 sen(a − b)x 1 sen(a + b)x (56) cos ax cos bxdx = − + + C, a2 6= b2 2 a−b 2 a+b Z Z 1 n (57) xn cos axdx = xn sen ax − xn−1 sen axdx + C, n 6= −1 a a Z 1 ax dx (58) = ± tan +C 1 ± cos ax a 2
(52)
1.2.3.
(59) (60) (61) (62) (63)
Z
Z
Z
Z
Z
cos2 axdx =
Contienen tan ax o cot ax
1 tan axdx = − ln cos ax + C a tan2 xdx = tan x − x + C tann−1 ax tan axdx = − a(n − 1) n
cot axdx =
Z
1 ln sen ax + C a
cotn axdx = −
cotn−1 ax − a(n − 1)
tann−2 axdx,
Z
n 6= 1, 0;
cotn−2 axdx + C,
5
n 6= 1, 0;
1.2.4.
(64) (65) (66) (67) (68)
Z
Z
(70) (71)
1h ax ax ax ax i ln cos − ln cos +C + sen − sen a 2 2 2 2
sec2 axdx =
1 tan ax + C a
secn xdx =
Z
cscn axdx = −
Z
Z
Z
Z
1.2.6.
(72)
sec axdx =
Z
1.2.5.
(69)
Contienen sec ax o csc ax
Z
Z
1 tan ax · secn−2 ax 1 n − 2 1 n−2 ax · dx + C, + a n−1 a n − 1 sec
1 csc2 axdx = − cot ax + C a
1 cot ax · cscn−2 1 n − 2 + · a n−1 a n−1
Z
cscn−2 ax·dx+C,
n 6= 1;
Varias funciones
sec x · tan ax · dx = sec x + C csc x · cot x · dx = − csc x + C m
n
cos x · sen x · dx =
(
cosm−1 x·senn+1 x m+n cosm+1 x·senn−1 x m+n
+ +
m−1 m+n n−1 m+n
funciones trigonom´ etricas inversas x x p arc sen dx = x · arc sen + a2 − x2 + C, a a
R cosm−2 x · senn x · dx R cosm x · senn−2 x · dx
a > 0;
x x p arc cos dx = x · arc cos − a2 − x2 + C, a > 0; a a Z x x 1 x2 (74) arctan dx = x · arctan − a ln 1 + 2 + C, a > 0; a a a a Z x 1 x a (75) arccot dx = x · arccot + ln(a2 + x2 ) + C a a a 2 Z (76) x · arc cos xdx = x · arc cos x + arc sen x + C (73)
n 6= 1;
6
1.3.
(77) (78) (79) (80) (81)
Funciones exponenciales y/o logar´ıtmicas Z
Z
xn eax dx =
xn eax n − a a
Z
xn−1 eax dx
Z
eax sen bx · dx =
eax (a sen bx − b cos bx) +C a2 + b 2
eax cos bx · dx =
eax (b sen bx + a cos bx) +C a2 + b 2
Z
loga xdx = x loga x −
Z
Z
x ln(a + benx ) dx = − +C a + benx a an x + C, ln a
∀a > 0;
2x2 ln x − x2 +C 4 Z 1 n n+1 ln ax (83) x ln ax · dx = x − +C n + 1 (n + 1)2 (82)
x ln xdx =
(84) Z Z xn+1 m n m m xn (ln ax)m−1 dx, x (ln ax) dx = (ln ax) − n+1 n+1 Z (85) ln axdx = x ln ax − x + C, x > 0; Z
∞ X eax (ax)i dx = ln |x| + +C x i · i! i=1 Z ax Z 1 1 e dx + C (87) eax ln x · dx = eax ln |x| − a a x Z ∞ X dx lni x (88) = ln | ln x| + + C, x > 0; ln x i · i! i=1 Z dx = ln | ln x| + C, x > 0; (89) x ln x Z 1 lnn x dx = lnn+1 x, n 6= −1, x > 0; (90) x x+1
(86)
7
n, m 6= −1, x > 0;
1.4.
(91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99)
Funciones hiperb´ olicas Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(100) (101)
Z
Z
1.4.1.
senh axdx =
1 cosh ax + C a
senh2 xdx =
1 1 senh 2x − x + C 4 2
cosh axdx =
1 senh ax + C a
cosh2 xdx =
1 1 senh 2x + x + C 4 2
tanh axdx =
1 ln | cosh ax| + C a
coth axdx =
1 ln | senh ax| + C a
sechxdx = arctan(senh x) + C sech2 xdx = tanh x + C 1 cosh x + 1 x +C cschxdx = ln tanh = − ln 2 2 cosh x − 1 senh x · tanh x · dx = −sechx + C cschx · coth x · dx = −cschx + C funciones hiperb´ olicas inversas
Z
x x p arcsenh dx = x arcsenh − a2 + x2 + C, a > 0 a a ( √ Z x x arccosh xa − x2 − a2 + C, arccosh xa > 0, a > 0; √ (103) arccosh dx = a x arccosh xa + x2 − a2 + C, arccosh xa < 0, a > 0; Z x x 1 (104) arctanh dx = x arctanh + a ln(a2 − x2 ) + C a a 2 Z x 1 x (105) arccoth dx = x arccoth + a ln(x2 − a2 ) + C a a 2 r Z x x x2 (106) arcsenh dx = x arcsech − a arc sen 1 − 2 + C a a a r Z x x x2 (107) arcsech dx = x arccsch + a arccosh 1 + 2 + C a a a (102)
8
2.
Integrales definidas
(108)
Z Z
∞
xn e−qx dx =
0 ∞
n! q n+1
,
n > −1, q > 0;
Γ[(m + 1)/2] , a>0 2a(m+1)/2 0 n! , Si m impar : m = 2n + 1 = 2an+1 r 1 · 3 · . . . · (2n − 1) π = , Si m par : m = 2n 2n+1 a2n+1 r Z √ 2 2 1 π (110) x2 e−ax dx = − e−a + erf( a) 3 2a 4 a 0
(109)
(111) Z ∞
2
xm e−ax dx =
xn e−ax dx =
t
(112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122)
Z
n!e−at an+1
1 + at +
a 2 t2 a n tn +...+ 2! n!
,
n = 0, 1, . . . , a > 0;
Z n − 1 ∞ n−2 −ax2 x e dx = x e dx 2a 0 0 r Z ∞ 1 π −ax2 e dx = 2 a 0 Z ∞ 2 1 xe−ax dx = 2a 0 Z x dx 1 = ln 1 − x 1 − x 0 Z x x dx = 2 (1 − x) 1 − x 0 Z x dx 1 = ln(1 + x) 0 1 + x Z x 1 + x 1 dx = (1 + ) ln − x 1 − x 1 − x 0 Z x (1 − )x 1 1 + x dx = − ln 2 1−x 1−x 0 (1 − x) Z x 2 (1 + )2 x (1 + x) 2 dx = 2(1 + ) ln(1 − x) + x + 2 1−x 0 (1 − x) Z x 1 ΘB − x dx = ln , ΘB 6= 1 ΘB − 1 ΘB (1 − x) 0 (1 − x)(ΘB − x) Z x −2 2 dx = + , b2 = 4ac 2 + bx + c ax 2ax + b b 0 ∞
n −ax2
(123) 9
1 dx q x−p , = ln · 2 a(p − q) p x−q 0 ax + bx + c Z x a + bx bx ag − bc (124) dx = + ln(c + gx) c + gx g g2 0 Z
3.
x
M´ etodos de integraci´ on
3.1.
Integraci´ on por partes: Z
3.2.
b2 > 4ac; p, q son las ra´ıces;
u · dv = u · v −
Z
v · du
Integraci´ on por sustituci´ on:
si x = g(t) es un funci´ on que admite derivada cont´ınua no nula y funci´ on inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f (g(t))g 0 (t) se tiene que: Z f (x)dx = F (h(x)) + C
3.3.
Integraci´ on de funciones racionales:
R F (x) Queremos hallar Q(x) dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientes reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la divisi´ on para obtener R F (x) R R R(x) dx = C(x)dx + dx. La primera integral es inmediata. Para la Q(x) Q(x) segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera: Q(x) = a0 (x − a)p . . . (x − a)q [(x − c)2 + d2 ]r . . . [(x − e)2 + f 2 ]s y es u ´nica. En tal caso, el integrando del segundo t´ermino se puede descomponer como sigue: Ap Bq R(x) A1 A2 B1 B2 Q(x) = (x−a)p + (x−a)p−1 + . . . + x−a + . . . + (x−b)q + (x−b)q−1 + . . . + x−b + H1 x+K1 Hs x+Ks Mr x+Nr + . . . + (x−c) 2 +d2 + . . . + ((x−e)2 +f 2 )s + . . . + (x−e)2 +f 2 . Todas las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando se obtienen integrales del siguiente tipo: R dx 1. x−a = ln |x − a| + C R dx 1 2. (x−a)p = (1−p)(x−a)p−1 + C R M x+N M M c+N 2 2 3. arctan x−c (x−c)2 +d2 dx = 2 ln |(x − c) + d | + d d +C R R M x+N M x+N dx 4. [(x−c) ⇒ Llamemos Ir = [(x−c) 2 +d2 ]r dx 2 +d2 ]r dx y Jr = [(x−c)2 +d2 ]r dx operando se obtiene M1 x+N1 ((x−c)2 +d2 )r−1
Ir =
M 2(1−r)
Jr =
1 d2 Jr−1
·
1 ((x−c)2 +d2 )r−1
+
+ (M c + N ) · Jr
x−c d2 2(1−r)((x−c)2 +d2 )r−1
10
−
1 d2 2(1−r) Jr
−1
3.4. Z
M´ etodo de Hermite
Si Q(x) = (x − a)m . . . (x − b)n · (x − c)2 + d2 . . . (x − e)2 + f 2 entonces
R(x) U (x) dx = p−1 q−1 + Q(x) (x − a)m−1 . . . (x − b)n−1 . . . [(x − c)2 + d2 ] . . . [(x − e)2 + f 2 ] Z Z Z Z dx Cx + D Ex + F dx +... +L + dx + . . . + dx K x−a x−b (x − c)2 + d2 (x − e)2 + f 2
donde U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las constantes se determinan derivando la expresi´ on e identificando coeficientes.
3.5.
Integraci´ on de funciones irracionales algebraicas Integrales del tipo
Z
R x,
ax + b cx + d
1 m n 1
,...,
ax + b cx + d
! s m n s
dx | a, b, c, d ∈ R; ni , mi ∈ Z; ni 6= 0
y c y d no se anulan simult´ aneamente. Se transforma en integral racional mediante el cambio ax+b = tm siendo m el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de las cx+d ni . √ R Integrales del tipo R x, ax2 + bx + c dx se consideran los siguientes casos: √ √ 1. a > 0 → ax2 + bx + c = ± a · x + t √ √ 2. c < 0 → ax2 + bx + c = ± c + x · t √ 3. a, c < 0 → ax2 + bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices del polinomio. √ R R dx = Q(x) · ax2 + bx + c + K √ax2dx M´etodo Alem´ an: √axP2 (x) +bx+c +bx+c Donde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientes se obtienen derivando la expresi´ on e identificando t´erminos. R m Series bin´ omicas: x (a + bxn )p dx | a, b ∈ R; m, n, p ∈ Q. Estas integrales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios indicados. 1. p ∈ Z → x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m. 2.
3.
m+1 n m+1 n
∈ Z → a + bxn = tq siendo q el denominador de p.
+p∈ Z→
a+bxn xn
= tq siendo q el denominador de p.
En cualquier otro caso se puede expresar como funci´ on elemental.
3.6.
Integraci´ on de funciones trascendentes
Si R(u) es una funci´ on racional y u = f (x) es una funci´ on que admite funci´ on inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f (x)) se reduce a una integral racional mediante el cambio f (x) = t00 .
11
3.7.
Integraci´ on de funciones trigonom´ etricas
R Integraci´ on de R(sen x, cos x)dx: en general se hace el cambio tan x2 = t 2dt 1−t2 2t con lo que sen x = 1+t 2 , cos x = 1+t2 , dx = 1+t2 . En elgunos casos se pueden intentar otros cambios: 1. Si R(sen x, cos x) = −R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t
2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t
3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t R Integrales del tipo Im,n = senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientes formas: 1. Im,n = 2. Im,n = 3. Im,n =
senm+1 x·cosn−1 x m+1 m+1
sen
n−1
x·cos m+n
x
+
n−1 m+1 Im+2,n−2 ,
+
n−1 m+n Im,n−2 ,
m−1 x·cosn+1 x − sen m+1
4. Im,n = − sen
m−1
x·cosn+1 x m+n
5. Im,n = − sen
x·cos n+1
m+1
6. Im,n =
4. 4.1.
m+1
sen
n+1
n+1
x·cos m+1
x
x
+
+ +
m−1 m+n Im−2,n ,
+
m+n−2 n+1 Im,n+2 ,
m 6= −1 m + n 6= 0 n 6= −1
m+n−2 m+1 Im+2,n+2 ,
m 6= −1
Ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones diferenciales lineales y + p(x)y = q(x) =⇒ y = e 0
τ y + y = p(t) =⇒ y = e
5.1.
m + n 6= 0
m−1 n+1 Im+2,n+2 ,
0
5.
m 6= −1
R − (x)dx
−t/τ
Z
q(x)e
R
p(x)dx
+C
Z t 1 p(t)et/τ dt + y0 τ 0
Soluci´ on num´ erica de ecuaciones diferenciales M´ etodo de Runge-Kutta de cuarto orden 1 y 0 = f (x, y) → yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h 6 k1 = f (xi , yi ) k2 = f (xi + h/2, yi + k1 h/2) k3 = f (xi + h/2, yi + k2 h/2) k4 = f (xi + h, yi + k3 h)
12
