FORMAS FUNCIONALES DEL MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE
Formas logarítmicas Formas polinòmicas
Hasta el momento se había manejado el supuesto de que los datos se comportaban de una manera tal que al análisis de regresión daba como resultado el establecimiento de una forma ecuacional del tipo lineal o en forma de recta. La relación podía ser pues, directamente proporcional o inversamente proporcional, dependiendo la naturaleza de los datos. Sin embargo, la relación entre variables puede ser no lineal más que propiamente lineal. En este caso, se debe ajustar una forma funcional diferente que resulte apropiada para poder predecir con mayor exactitud a la variable dependiente. A partir de los siguientes apartados, se podrán conocer otras formas funcionales para describir el comportamiento de la relación entre la variable dependiente y la(s) variable(s) independiente(s). FORMAS LOGARÍTMICAS. Estos modelos se denominan log-log, doble log o log-lineales (donde log hace alusión al logaritmo). Se aplican para situaciones donde aparentemente no hay una proporcionalidad entre el valor de la variable x y y. Puede ocurrir que la variable dependiente aumente lentamente en comparación con la variable independiente. Para este caso, una posible forma funcional se conoce como forma funcional semilogarítmica, la cual es:
Para el caso contrario, en el cual la variable dependiente crece demasiado rápido, puede adoptarse la forma funcional exponencial:
El siguiente modelo es conocido como el modelo de regresión exponencial, del cual parten las formas funcionales descritas anteriormente:
Extrayendo el logaritmo natural para ambos lados de la expresión anterior, ésta queda alternativamente como:
También se expresa como:
Donde
y
Ahora, suponiendo que los supuestos del modelo clásico de regresión lineal son cumplidos, los parámetros pueden ser estimados mediante el método de cuadrados ordinarios (MCO), considerando que y , y que demás los valores estimados de α y β son insesgados respecto a los verdaderos valores de α y β, nuestro modelo sigue expresando linealidad entre variables:
Una característica de este modelo es que el coeficiente de la pendiente β₁ mide la elasticidad de y con respecto a x, es decir, el cambio porcentual en y dado un cambio unitario en x. Asimismo, el modelo supone que el coeficiente de elasticidad β₁ permanece constante a través del tiempo, se le denomina también de manera alterna como modelo de elasticidad constante. Se le denomina constante pues, el cambio en por unidad de cambio en permanece igual sin importar el valor que adopte . Otro aspecto que es importante mencionar como característica de este modelo es que a pesar de que los valores estimados de los estimadores α y β son insesgados, al ser estimado como: ̂
( ̂)
Resulta en ser un estimador sesgado. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS. Son empleados para conocer la tasa de crecimiento de ciertas variables y reciben el nombre de modelos semilogarítmicos porque solamente una variable aparece en forma logarítmica (puede ser la variable dependiente o la variable independiente: nótese la disyunción). A este tipo de modelos, en el cual la variable regresada (la variable dependiente) es logarítmica se les denomina log-lin. Por otra parte, hay modelos en los cuales la variable regresada es lineal mientras que los regresores (las variables independientes) son logarítmicos, que son nombrados como modelos linlog. Para el modelo log-lin, el coeficiente de la pendiente mide el cambio proporcional constante o relativo en y para un cambio absoluto dado en el regresor x, o en otras palabras, encontrar el crecimiento (porcentual) en y ante un cambio unitario absoluto en x, es decir:
Si el modelo describe tanto una tasa de crecimiento como una tasa de decrecimiento, se le denominan modelos de crecimiento constante.
Aunque estos modelos se utilizan frecuentemente para estimar el cambio relativo o absoluto de la variable dependiente, su uso rutinario para este fin ha sido cuestionado por los analistas de series de tiempo, argumentando que tales modelos son apropiados sólo si la serie de tiempo es estacionaria. En el modelo lin-log, el interés es encontrar el cambio absoluto en y debido a un cambio porcentual en x. El modelo que puede emplearse con este propósito es:
Llamamos a este modelo un modelo lin-log. Interprétese el coeficiente de β₁ como:
Donde Δ representa un cambio en la variable o valor correspondiente y entonces, Δx/x representa un cambio relativo (un cambio en el log de un número es un cambio relativo). Lo anterior puede ser representado de ésta otra manera: (
)
Cuando se utiliza MCO para estimar regresiones como , se debe multiplicar el valor del coeficiente de la pendiente estimado, β₁ por 0.01 o multiplicarlo por 100.
FORMAS POLINOMICAS En estadística, regresión polinómica es una forma de regresión lineal en el que la relación entre la variable independiente x y la variable dependiente Y se modela como un polinomio de orden n. Regresión polinómica se ajusta a una relación no lineal entre el valor de x y la media condicional correspondiente de y, denotado E, Aunque regresión polinómica se ajusta a un modelo no lineal a los datos, como un problema de estimación estadística es lineal, en el sentido de que la función de regresión E es lineal en los parámetros desconocidos que se estiman a partir de los datos. Por esta razón, regresión polinómica se considera que es un caso especial de regresión lineal múltiple. Algunas veces cuando la relación entre las variables dependientes e independientes es no lineal, es útil incluir términos polinomiales para ayudar a explicar la variación de nuestra variable dependiente. Las regresiones polinomiales se pueden ajustar la variable independiente con varios términos
Que, derivando respecto a cada uno de los coeficientes nos da el planteamiento un sistema de ecuaciones de la siguiente forma:
x
y'
1
3
1.2
2
xy
3
2
x
2
y
3
xy
x
x
4
1
9
3
1
1
3.89 4.08
1.44
11.56
4.896
1.728
2.0736
1.5
5
7.5
2.25
25
11.25
3.375
5.0625
2
2
4
4
4
8
8
16
3
4.1
12.3
9
16.81
36.9
27
81
3.7
5
18.5
13.69
25
68.45
50.653
187.4161
4
7
28
16
49
112
64
256
4.5
6.5
29.25
20.25
42.25
131.625
91.125
410.0625
Σ 20.9 Σ 36 Σ 106.63 Σ 67.63 Σ 182.62 Σ 376.121 Σ 246.881 Σ 958.6147
Usando una Matriz para calcular valores de los coeficientes
Usando el método de Eliminación de Gauss-Jordan
La ecuación final que modela el sistema es
Las inversas de las funciones exponenciales se llaman funciones logarítmicas. Como la notación f1 se utiliza para denotar una función inversa, entonces se utiliza otra notación para este tipo de inversas. Si f(x) = bx, en lugar de usar la notación f-1(x), se escribe logb (x) para la inversa de la función con base b. Leemos la notación logb(x) como el “logaritmo de x con base b”, y llamamos a la expresión logb(x) un logaritmo. El objetivo de regresión polinómica es modelar una relación no lineal entre las variables independientes y dependientes. Esto es similar a la meta de la no paramétrica de regresión, que tiene como objetivo captar las relaciones de regresión no lineal. Por lo tanto, la regresión no paramétrica se acerca como alisado puede ser alternativas útiles a la regresión polinómica. Algunos de estos métodos hacen uso de una forma localizada de regresión polinómica clásica. Una ventaja de regresión polinómica tradicional es que el marco inferencial de regresión múltiple se puede utilizar. Aunque regresión polinómica es técnicamente un caso especial de regresión lineal múltiple, la interpretación de un modelo de regresión polinómica ajustada requiere una perspectiva algo diferente, a veces resulta complejo es difícil interpretar los coeficientes individuales en un ajuste de regresión polinómica, ya que los monomios subyacentes pueden ser altamente correlacionados.
Bibliografía:
GUJARATI, D. N. (1997). Econometría (Tercera ed.). Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Interamericana.
MADDALA, G. (1992). Introduction to Econometrics (Segunda ed.). Nueva York, Estados Unidos de América: Macmillan.
http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/Business-stat/statdata/Forecasts.htmhttp://centrodeartigos.com/articulos-noticiasconsejos/article_135336.html
