Flu05 Cap13 Prob

FACULTAD DE INGENIERÍA – U N I 5º Semestre - Mecánica de los Fluidos Prof. Ing. Jorge Esbir Yaluff

Capítulo 13

PROBLEMAS

Prob. 13-01 Un codo horizontal de 60º reductor de 300 − 150 mm deja pasar un caudal de agua de 1800 l / min . La presión relativa en la tubería de 300 mm es de 2 bar . Calcular la fuerza a que está sometida la brida. ¿Varía esta fuerza si el flujo va en dirección contraria, manteniéndose la misma presión en la tubería de 300 mm y despreciándose despreciándose las pérdidas? 1 y

ρ = 1000 kg / m 3

v’ 2

300 mm

D1

=

D2

= 150

v 1

mm

= 1800

l / min

=

60°

v’ 1

p1 = 2 bar = 2.105 N / m 2 Q

x

2

0,03 m 3 / s

v 2

PRIMER CASO: flujo de izquierda a derecha (figura, flechas de líneas contínuas). Determinación de la presión en 2 ( y 1 = y 2 ): v 22

p2

= p1 −

v 1

=

v 2

=

p2

=

p2

= 198649

ρ

4Q π D12

4Q π D22

p1 ρ g

+

y 1 +

v 12

=

p2

2 g ρ g

+

y 2

+

v 22

2 g

2

− v 1

2

=

4.0,03 π 0,3 2

=

4.0,03 π 0,15 2

2.10 5 − 1000

=

0,424 m / s

= 1,698

m/s

(1,698 2 − 0,424 2 ) = 2.10 5 − 500 (2,703 ) 2

N / m 2

Mecánica de Fluidos, 5º Semestre, Electromecánica (Flu05-cap13–Prob) Facultad de Ingeniería UNI – Prof. Ing. Jorge Esbir Yaluff

10

→

Según el Teorema de la Cantidad de Movimiento, la resultante F de todas las fuerzas que actúan sobre el fluido, y que le obligan a variar la cantidad de movimiento será: →

F = ρ Q

→

∆ v

Sus componentes son: &

F x = ρ Q (v 2 x − v 1 x ) = 1000 .0,03 (v 2 cos 60 º −v 1 ) = 30 $ 1,698

%

(

F y = ρ Q v 2 y − v 1y

Llamemos equilibrio:

&

) = 1000.0,03 (− v 2 sen 60º−0) = 30 $$ − 1,698 %

→

R ' (R x ' , R y ' ) a

R y ' = F y − p2 A2 sen 60 º = −44,11 − 198649 →

R (R x , R y ) que

sobre la brida, siendo igual a

3 2

# ! "

− 0 ! = −44,11 N

la fuerza que el codo ejerce sobre el fluido. Del diagrama de

5 R x ' = F x − p1 A1 + p2 A2 cos 60 º = 12,75 − 2.10

La fuerza

1 # − 0,424 ! = 12,75 N 2 "

π 0,3 2

4

π 0,15 2

4

3 2

+ 198649

π 0,15 2

= −3084,13

4

1 2

= −12369,21 N

N

buscamos es la que el fluido ejerce sobre el codo, y por tanto →

− R '

.

R x = 12369,21 N R y = 3084,13 N 2 2 R = R x + R y

θ = arc tg

R y R x

= 12747,91 N

(tracción)

= 14º

SEGUNDO CASO: flujo de derecha a izquierda (figura, flechas de líneas de puntos). Llamando →

F ' = ρ Q

→

→

F ' , v ' a →

∆ v ' = ρ Q

los valores correspondientes para este caso, tendremos:

& → → # & → → # & → → # → $$ v 2' − v 1' !! = ρ Q $$ − v 1 + v 2 !! = ρ Q $$ v 2 − v 1 !! = F % " % " % "

Además, las fuerzas debidas a las presiones no varían ni en módulo ni en dirección, en un caso, y en otro, las fuerzas R serán también idénticas. OBSERVACIÓN: esto facilita el cálculo de los anclajes de las tuberías forzadas en las centrales de bombeo, donde las tuberías tienen flujo en sentidos opuestos, cuando se está turbinando y cuando se está bombeando respectivamente.


11

Prob. 13-02 Un codo horizontal de 45º reductor de 200 a 100 mm deja pasar un caudal de agua de 3000 l / min . La presión a la salida es la atmosférica y la pérdida de carga es despreciable. Calcular la fuerza a que está sometido el codo.

p1 = p2

v 1

=

v 2

=

1 y

v 1

x

2 45°

D1 = 200 mm D2 = 100 mm 3 Q = 3000 l /min = 0,05 m /s = 1000 kg/ m3

v 2

( v 22 − v 12 ) + ρ 2

4Q π D12

=

4.0,05 π 0,2 2

= 1,59

=

4.0,05 π 0,12

=

4Q π D22

m/s

6,37 m / s

p1

( 6,37 2 − 1,59 2 ) 2 = 0 + 1000 = 18998 N / m

p1

= 18998

2

N / m 2 →

Según el Teorema de la Cantidad de Movimiento, la resultante F de todas las fuerzas que actúan sobre el fluido, y que le obligan a variar la cantidad de movimiento será: →

F = ρ Q

→

∆ v

Sus componentes son: & $ %

$ F x = ρ Q (v 2 x − v 1 x ) = 1000 .0,05 (v 2 cos 45 º −v 1 ) = 50 6,37

(

F y = ρ Q v 2 y − v 1y

# 2 − 1,59 ! = 145,5 N ! 2 "

&

) = 1000.0,05 (− v 2 sen 45º−0) = 50 $$ − 6,37 %

2 2

# ! "

− 0 ! = −225,08

N

F x = p1 A1 + R x ' F y = R y ' R x ' = F x − p1 A1

= 145,5 − 18998

π 0,2 2

4

= −451,33

N

R y ' = F y = −225,08 N R x = 451,33 N R y = 225,08 N


12

2 2 R = R x + R y

θ = arc tg

R y

=

504,34 N

=

26,5º

R x

Prob. 13-03 Calcular la velocidad de un chorro de agua, cuyo caudal es 45000 l / h , al chocar contra una placa fija perpendicular ejerciendo una fuerza de 100 N .

F x = ρ Q (v 1 x − v 2 x ) = 1000

v 1

=

F x

12,5

=

100 12,5

=

45 (v − v cos 90º ) = 12,5 (v 1 − 0 ) 3600 1 2

8m/s

Prob. 13-04 Se dirige un chorro de agua a una placa uniforme, plana y rectangular, cuya masa es de 5 kg . La misma se encuentra suspendida por medio de una bisagra en su borde horizontal superior. Calcular la presión p1 que se requiere en la tubería aguas arriba de la tobera para mantener el equilibrio con la placa inclinada 30º respecto a la vertical, considerando fluido ideal y luego fluido real ( C V = 0,97 ). R y

x

R x

L = 200 mm h = 130 mm y

F

mg

F

D2 = 0,5 D1 = 20 mm

mg

Aplicamos sumatoria de momentos respecto a un punto (bisagra): F

h cos α

F =

=

m g

L sen α

2

5.9,81.0,2 m g L sen α cos α = sen 30º cos 30 º = 16,34 N 2h 2.0,13

Aplicando el Teorema del Impulso:

→

F = ρ Q

→

∆ v

, π D22 ) π D22 2 F = ρ * c 2t ' c 2t cos α = ρ c cos α 4 2t '( +* 4 Mecánica de Fluidos, 5º Semestre, Electromecánica (Flu05-cap13–Prob) Facultad de Ingeniería UNI – Prof. Ing. Jorge Esbir Yaluff

13

c 22t

=

4 F

=

ρ π D 22 cos α

4.16,34 = 60,06 1000 .π .0,020 2 . cos 30º

c 2t = 7,75 m / s

Considerando un fluido ideal que se desplaza por las tuberías, despreciando inicialmente las pérdidas: p1

+

ρ g

U 12

2 g

c 22t

=

2 g

De la Ecuación de Continuidad: p1

=

ρ g

c 22t

−

U 12

2 g 2 g

15 ρ c 22t p1 = 32 p1

=

c 22t

=

A2 A1

c 2t =

1 c 4 2t

15 c 22t 15 c 22t = 2 g 32 g 16 2 g 32 g −

c 22t

U 1

=

15.1000.7,75 2 = 32

=

28154 N / m 2

28,154 kN / m 2

=

Ahora consideraremos un fluido real, atendiendo las pérdidas, sabiendo que: c 2 15 ρ c 22 p1 = 32 C V 2 p1

=

15.1000.7,75 2 = 32.0,97 2

=

= C V c 2t

29923 N / m 2

29,922 kN / m 2 F x

Prob. 13-05 Determinar el efecto del impacto de un chorro horizontal de fluido que golpea a una superficie curva y se desvía un ángulo θ , calculando la fuerza que el fluido ejerce sobre la superficie y el ángulo entre sus componentes.

F y

F

c 1 !

c 2

Debido a la viscosidad, la velocidad del chorro disminuirá conforme vaya pasando por la superficie. Llamando k a la razón de la velocidad de salida c 2 a la velocidad de entrada c 1 : c 2

=

k c 1

c 1 x = c 1 c 1y

=

0

c 2 x = c 2 cos θ c 2 y

= −c 2

sen θ

La fuerza que el fluido ejerce sobre la superficie curva será: F x = ρ Q ∆c x = ρ Q (c 1 − c 2 cos θ ) = ρ Q c 1 (1 − k cos θ )


14

F y

= ρ Q ∆c y = ρ Q

F =

2 F x

(1 − k cos θ )2 + (k sen θ )2

2

+ F y = ρ Q c 1

F = ρ Q c 1 1 + k 2 tg α =

(0 + c 2 sen θ ) = ρ Q c 1 k sen θ

F y

=

F x

= ρ Q c 1

1 + k 2 − 2 k cos θ

− 2 k cos θ

k sen θ

1 − k cos θ

Prob. 13-06 Se descarga agua con un caudal Q = 0,014 m3 / s en un plano horizontal, que a la salida se desvía un ángulo θ = 60º , por medio de una paleta curva de superficie áspera que se encuentra fija. La salida del chorro de agua es a través de una tobera con diámetro de salida d = 25 mm . A la salida de la paleta curva, el chorro golpea una placa plana fija, normal a la llegada del chorro y en el mismo plano horizontal. La fuerza ejercida por el chorro de agua sobre la placa plana es de 350 N . Calcule la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre la paleta curva considerando C C = 1 para la tobera.

x

R X c 1

y R

R Y c 2

!

F

Como el coeficiente de contracción C C = 1 , entonces la velocidad de salida de la tobera será igual a la velocidad en la vena contracta c 1 . F = ρ Q c 2

c 2

=

Q

c 1

=

= A1 c 1

F

=

ρ Q

4Q π d 2

=

350 1000.0,014 4.0,014 π .0,0252

=

=

25 m / s

28,5 m / s

R x = ρ Q [c 1 − c 2 cos (180º −θ )] = 1000.0,014 [28,5 − 25. cos 120º ] = 574 N R y

[

= ρ Q − c 2

R = 5742 α = arc tg

sen (180º −θ )] = 1000 .0,014 [− 25.sen 120º ] = −303 N

+ 303

R y R x

=

2

=

649 N & − 303 # ! = −27,8º % 574 "

arc tg $

Es decir, la fuerza resultante sobre la paleta curva está dirigida de derecha a izquierda y en dirección vertical hacia arriba.


15

Prob. 13-07 La salida de una tubería, de diámetro d , se encuentra al mismo nivel que la parte superior de un tanque que mide de alto h y posee un diámetro D . Algunas mediciones con Tubo de Pitot indican que la velocidad media a la salida de la tubería es U . Si el tanque está colocado sobre una báscula y se descarga agua verticalmente hacia abajo dentro del tanque, demuestre que: a) El porcentaje de error en el pesaje debido a la fuerza dinámica del chorro, ε % , si las lecturas de la escala se toman cuando el agua tiene h1 de profundidad al principio y h2 al final, estará dado por: ε %

=

U U 2 H h2

U 1

h1

100 U d 2

, U 2 + 2 g (h − h ) − U 2 + 2 g (h − h ) ) 2 1 ' ( g D (h2 − h1 ) *+ 2

b) Calcule

ε % ,

si

d = 0,2 m; h

=

3 m; D = 1,25 m; U = 2,7 m / s ; h1 = 0,3 m; h2

=

2,8 m

Nivel de agua

h1

h2

Peso del agua

W 1

W 2

Velocidad de impacto

U 1

U 2

Fuerza de impacto

F 1

F 2

Lectura de la báscula

T 1

T 2

La báscula debería indicar solamente el peso ( W i ) del agua pero debido al impulso ( F i ) del agua que cae, de la altura libre h − hi , la báscula indica ( T i ) la suma de ambos.

a) AL INICIO: W 1

=

m1 g = ρ V 1 g = ρ g h1

π D 2

4 U 12

Ec. Bernoulli e/ la salida de la tubería y el nivel de agua: U 1

=

U 2

2 g

=

U 2

2 g

+ h − h1

(h − h1)

+ 2 g

U 1

U π d 2

F 1

= ρ Q

T 1

= W 1 + F 1 = ρ g h1

= ρ

4 π D 2

4

U 2

+ 2 g

+ ρ

(h − h1 )

U π d 2

4

U 2

π (h − h1) = ρ ,*g h1 D2 +

+ 2 g

4+


U 2

(h − h1) U d 2 )'

+ 2 g

(

16

AL FINAL: W 2

=

π D 2

m 2 g = ρ V 2 g = ρ g h2

4 U 22

Ec. Bernoulli e/ la salida de la tubería y el nivel de agua: U 2 F 2

T 2

U 2

=

= ρ Q

=

W 2

+

U 2

+

= ρ

F 2

U π d 2

4

= ρ g h2

π , g h2 D 2

4 *+

W = ρ g h2

U 2

π D 2

+ 2 g

+ ρ

4

(h − h2 )

U π d 2

U 2

4

π D 2

4

U 2

+

4 *+

T − W = ρ U d 2

π ,

4 *+

ε % = 100 ρ U d 2

h2

+

U 2

π ,

4 *+

(h − h2 ) U d 2 − g h1 D2 −

π D 2

4

= ρ g

π D 2

4

2

U

2

(h − h2 ) U d

+ 2 g

(

)

+ 2 g h − h2 −

U 2

T = T 2 − T 1

U 2

U 2

+

+

Real:

2 g (h − h2 ) U d 2 )' (

W = W 2

− W 1

(h − h1 ) U d 2 )'

+ 2 g

(

(h2 − h1)

ε % = 100

T − W W

− g h1 D

(

+ 2 g h − h1

U 2 + 2 g (h − h2 ) − U 2

2

−

2

U

(h − h1) U d ' − ρ g

+ 2 g

(

π D 2

4

(h2 − h1)

) )' (

(h − h1) )'

+ 2 g

2)

4 2

( ρ g π D (h2 − h1 )

100 U d 2

, U 2 + 2 g (h − h ) − U 2 + 2 g (h − h ) ) 2 1 ' ( g D (h2 − h1 ) *+ 2

b) Valor numérico de = 2,8 m . ε % =

π

2 g (h − h2 ) = ρ ,*g h2 D 2 4+

+ 2 g

− ρ g h1

π T − W = ρ ,g h2 D 2

+

Registrado:

Porcentaje de Error:

ε % =

=

2 g (h − h2 )

Peso indicado por la báscula: T = ρ

2 g

U 2 + h − h2 2 g

ε % ,

si

d = 0,2 m , h

=

3 m , D = 1,25 m , U = 2,7 m / s , h1 = 0,3 m ,

100.2,7.0,22 , 2,7 2 + 2.9,81(3 − 2,8 ) − 2,7 2 + 2.9,81(3 − 0,3 )) = −1,244% 2 '( 9,81.1,25 (2,8 − 0,3 ) *+


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Flu05 Cap13 Prob

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