“CINEMATICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RIGIDO”
UNIDAD N° 5
“UNIDAD N° 5”
-CINEMATICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RIGIDO- -INTRODUCCIO- -DESARROLLO- 5.1.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO: ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO, MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO Y CAÍDA LIBRE DE CUERPOS. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta y uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula. Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor. Además la velocidad instantánea y media de este movimiento coincidirán. La distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad (rapidez) por el tiempo transcurrido. Esta operación también puede ser utilizada si la trayectoria del cuerpo no es rectilínea, pero con la condición de que la rapidez sea constante. Durante un movimiento rectilíneo uniforme también puede presentarse que la velocidad sea negativa. Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos, el positivo podría ser cuando se mueve hacia la derecha y el negativo cuando se mueve hacia la izquierda. El MRU se caracteriza por: Movimiento que se realiza en una sola dirección. Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0) Sabemos que la velocidad v0 es e s constante, esto es, no existe aceleración.
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la posición x en el instante t viene dada por: donde
es la posición inicial.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como Movimiento rectilíneo uniformemente variado o Movimiento Unidimensional con Aceleración Constante, es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante. Esto implica que para cualquier instante de tiempo, la aceleración del móvil tiene el mismo valor. Un caso de este tipo de movimiento es el de caída libre, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la de la gravedad. También puede definirse el movimiento MRUA como el seguido por una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante. El movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales: 1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes. 2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo. 3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo. El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemática, respectivamente, son:
La velocidad v para un instante t dado es:
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siendo v0, la velocidad inicial. Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:
donde x0, es la posición inicial. Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez lineal del movil.
DERIVACIÓN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO.
Para el cálculo de la velocidad en función del tiempo:
Integrando esta ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos:
integrando la ecuación:
sacando valores constantes de la integral:
resolviendo la integral:
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donde: v0, es la constante de integración, corresponde a la velocidad del móvil para t = 0. En el caso de que el móvil esté en reposo para t = 0, entonces v0 = 0. Para el cálculo del espacio en función del tiempo, se toma la ecuación de la velocidad en función del tiempo y la definición de velocidad:
esto es:
despejando términos:
integrando la ecuación:
descomponiendo la integral:
sacando valores constantes de la integral:
resolviendo la integral:
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donde x0, es la constante de integración, que, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, corresponde a la posición del móvil respecto del centro de coordenadas para t = 0 . En el caso de que el móvil esté en el centro de coordenadas para t=0, es x0 = 0. CUERPOS EN CAÍDA LIBRE En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea debida sólo a la gravedad es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una pluma, ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad g. Cuando la caída libre tiene lugar en el seno de un fluido como el aire, hay que considerar las fuerzas viscosas que actúan sobre el cuerpo. Aunque técnicamente la caída ya no es libre, desarrollaremos en adelante las ecuaciones incluyendo el término aerodinámico excepto en los casos en los que no proceda.
Tiro vertical El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) (aproximadamente porque la aceleración aumenta cuando el objeto disminuye en altura, en la mayoría de los casos la variación es despreciable). La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:
donde: ay, vy,
son la aceleración y la velocidad verticales. Fr , es la fuerza de rozamiento fluidodinámica (que es creciente con la velocidad). Si se desprecia en una primera aproximación la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan pequeñas velocidades la solución de la ecuación diferencial para las velocidades y la altura vienen dada por:
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donde v0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de caída.
5.2.- MOVIMIENTO CURVILÍNEO: MOVIMIENTO PARABOLICO, OSCILATORIO Y CIRCULAR. MOVIMIENTO PARABÓLICO
El movimiento parabólico se puede analizar como la composición de dos movimientos rectilíneos distintos: uno horizontal (según el eje x) de velocidad constante y otro vertical (según eje y) uniformemente acelerado, con la aceleración gravitatoria; la composición de ambos da como resultado una trayectoria parabólica. Para el análisis descomponemos en los dos tipos de movimiento mencionados; entonces, las componentes según x e y de la velocidad inicial darán:
El desplazamiento horizontal está dado por la ley del movimiento uniforme, por tanto sus ecuaciones serán (si es x0 = 0):
En tanto que el movimiento según el eje y será rectilíneo uniformemente acelerado, siendo sus ecuaciones:
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Si se reemplaza y opera para eliminar el tiempo, con las ecuaciones que dan las posiciones x e y, se obtiene la ecuación de la trayectoria en el plano xy,
que tiene la forma general
La altura máxima en la trayectoria parabólica se producirá en H, cuando la componente vertical de la velocidad vy sea cero (máximo de la parábola). El alcance horizontal x ocurrirá cuando el cuerpo retorne al suelo, en y = 0 (donde la parábola corta al eje x). VELOCIDAD ANGULAR
La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo gir ado por una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega ω. Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s).
Figura: (a) Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje de rotación. (b) El vector velocidad angular obedece a la regla de la mano derecha.
El módulo de la velocidad angular media o rapidez angular media se define como la variación de la posición angular sobre el intervalo de tiempo.
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de modo que su valor instantáneo queda definido por:
En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2 radianes, tenemos:
donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo). Si v es la velocidad de un punto y r es su distancia al eje de rotación (radio), el periodo también se puede obtener a partir de la velocidad:
de modo que
ACELERACIÓN ANGULAR
Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa. Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial. Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o , ya que el radián es adimensional.
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Figura: Aceleración angular. En el caso general, cuando el eje de rotación no manteniendo una dirección constante en el espacio, la aceleración angular no tiene la dirección del eje de rotación.
Definimos el vector aceleración angular, y lo representamos por
de modo que
siendo
el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del eje de rotación. Si denominamos por ˆe, el vector unitario asociado a dicho eje, de modo que sea , podemos escribir
resultando que, en general, el vector
no está localizado sobre el eje de rotación.
En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio (movimiento plano), entonces será y el vector aceleración angular estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es,
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de modo que el módulo de la aceleración angular, es la derivada de la celeridad angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su dirección es la de cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, o si disminuye. En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio, será , aunque |ˆe| = 1, ya que el vector unitario del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que ˆ e es un versor, su derivada será un vector perpendicular a ˆ e, esto es, al eje instantáneo de rotación. Así pues, en el caso más general, la aceleración angular forma
se expresará en la
Siendo
la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definido por ˆ e) en el espacio. En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes: una componente longitudinal (i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo módulo es , y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es Así pues, en general, El vector no tendrá la misma dirección que el vector El vector aceleración angular no tendrá la dirección del eje de rotación. La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su +orientación fija en el espacio, esto es, en el movimiento plano.
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