o = 2 0 .t+ - = 2oc En el triángulo ABC, se cum ple la relación: tp +
T = 2 7 [ ( V /2 = 2 ti ( 2 ,- 3)1/2 g ' 9,81 T = 3,0 s II) L a energía m ecánica total, es igual, a la energía cinética del cuerpo en la posición de equilibrio, esto es: et
= - m v 2 = ( ”)(6,74)(2,06)2 E t = 14,3 J
=>
rad co0 = 20 — y s
Ahora, de la expresión de la aceleración pa ra M .A .S, obtenem os la ecuación de posi ción, así: a = ^© 2 x = -4 0 se n (2 0 .t + 71)
6
x =
1 10
III) Igualando la energía cinética en A a la e nergía potencial gravitatoria en B, obtene m os la am plitud m áxim a, así:
, 7i $0 = -6
se n (2 0 .t+
7C ) 6
Evaluando esta ecuación para x= - 3 /2 0 m, obtenem os el instante (t) pedido, así:
982 Física++ ********************************************************************************************** II) A hora, la m agnitud de la velocidad máxi m a que adquiere el bloque al ser golpeado es:
3 1 ^ = se n (2 0 .t+ ) 20 10 6
fc
20.t + 71 = sen ]( - ^ ) = % 6 2 3 t=
Vn,ax =
m
II) La rapidez para el instante en que x=A/2, teniendo en cuanta que A = l/1 0 m, es:
Vmax = “ 0A
.
A =
v=
^ ^ A
m = 1°
5
s
Con esto, obtenem os la am plitud A del moví m iento oscilatorio de la siguiente ecuación:
« 52,4 ms 60
v = (0o(A ‘ - x
50 =
2-
^
=> 10 15
=
2 3
10 = 15 A m
23 co0A = ( 23 )(2 0 )(i1o )
v=
3 m » l , 7 3 ra s s
III) La energía tota! del oscilador, es igual, a la energía potencial en sus extremos, esto es:
E = 1 k A 2 = 1 meo2 A 2 2
2
III) Evaluando la ecuación de posición en t=T/4 s, obtenem os la fase inicial
0
x = Asen(co0t + (|)0) E = ( 2 )(2)(20)2( i1o )2 - A = A s e n [ ( ^ ) ( ; ) +
-
k = g = -10 = 225,23 m x 0,0444 Mo = ( k )>'2 , l 5 rad m s
se n (2
. x
+
, -l
=>
n
,
2 + (j)0 =
371 ^
Oscilaciones 983 **********************************************************************************************
P .E -
r
V r Pn
®o = ( k - O)2) 1' 2 m t
Así, el periodo de las pequeñas oscilaciones que realiza el m anguito es:
p
2n
T = co. Al liberar el cubo, la fuerza que produce las pequeñas oscilaciones, es la debida al em puje del volum en de líquido desalojado de altura "x ", esto es:
( k / m - t o 2)172 2rc
T =
[ ( 2 0 /0 ,2 2 ))---4 ,42]1/2 * T » 0,7 s
F = p 0g a 2 .x Igualando esta ecuación a la fuerza corres pondiente a un M A S, obtenem os la frecuen cia angular ©o, así:
I) El m anguito no experim enta oscilaciones si su frecuencia angular es nula, esto es:
F = p 0g a 2 x = meo2 x fí> = ( k ) 1 / 2 = ( “
m
P oSa2 x = p a 3 (o2 x /0 o g ,i./2
pa
r ( P ü ) 0 0 ) l1 /2
0,2
) I/2
rad
(2 p o)(0,8) 1=1
* co0 = 2,5
rad
Solución: 99 * I) Representem os al manguito, cuando es ta a una distancia "x" de la posición de equi librio 0.
E n la Fig., la sum a de las fuerza elástica más centrípeta, debe ser igual, a la m asa del man güito por su aceleración de M AS, así: 2
2
meo x - k x = -m co0 x
N ota "k" es la constante elástica sum aria o resultante de las partes del resorte, situadas a la izquierda y derecha del manguito. Solución: 100 • Las fuerzas que actúan sobre la barra son: su peso (mg) y la fuerza elástica (kx), debido a la deform ación del resorte.
Fís¡ca++
984
i* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * :» * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Según la ecuación fundamental del movim i ento de rotación, la suma de los momentos del peso (mg) y fuerza elástica (kx) respecto de 0, debe ser igual al m omento de inercia de la varilla, por su aceleración angular, esto es:
En la Fig., la longitud V de la cuerda, y el seno del ángulo "O” son: f = ( y 2 + £ 2 ¡ 4 ) V2 y sentí =
(y 2 +
- (k jí)(^ ) - (m g )(~ ) = lo a Com o el m omento de inercia de la varilla respecto de su extrem o 0 es: I0= m i2/3 y su a celeración angular: a = a II, entonces:
/ 4)
1/2
L a fuerza resultante que produce las oscila ciones de la bola, son la sum a de las com ponentes verticales de F, esto es: F r = - 2 F sen 6 = - 2 F ( y 2 + £ 2 / 4 ) 1/2
- ( k ¿ + * m g ) x = ( * m ¿ 2)(^ ) Finalm ente, com o la aceleración lineal "a" corresponde a un M .A.S, obtenem os la fre cuencia angular de las pequeñas oscilad o nes de la varilla, así:
Como, y « i / 2 despreciam os y2 frente a £2/4 y teniendo en cuenta que esta fuerza corres ponde a un M A S, obtenem os la frecuencia angular co0 propia, así: 4F fr
- (k i + ^ m g) x = (3 m
A mi
l
-I
3 ((2 0 } (0 ,4 )-f(l/2 )(2 )(l 0 ) 1/2 =[
2
7 - y * ’ » ff l0 y
x)
= 3 ( k i + ( l / 2 ) m g ) J/2
O
= -
(2X0,4) co0 « S ,2 r a d /s
II) A su vez, el periodo de las pequeñas os cilaciones es:
o o = ( 4F, ) 1/2 m£ Luego, el periodo de las pequeñas o scilad o nes que realiza la bola es: _ 2 ti ^ m ¿ i/? T = - = 2 n ( - A- y /2 4F T = x f 0,0^ 1- ] 1/2 10
T = - n - » 0,76 s
4
T * 0,2 s
S N otas 1) El signo (-) de la fuerza resultante FR nos indica que esta dirigida hacia el origen 0, es decir, es una fuerza que produce una dismi nución en y. 2) N o se ha considerado el peso de la bola, porque, no es una fuerza oscilatoria.
Oscilaciones 985 ********************************************************************************************** Solución: 102 • El m omento de inercia del péndulo físi co form ado por la varilla y la esfera, respec to del punto de giro 0 es:
T '« 1,52 s Luego, el cam bio en porcentaje que experi m enta el periodo del péndulo físico es:
I0 = - M £ + - m R ¿ + m (£ + R.y
¡ T - T '| 11,71-1,52] n = ¡--------^ (100) = -------- -— 1-(\ 00) ' T (1,71)
I» = ¿)(5 )(1 )2 +(?)(0,5)(0,1)2 +(0,5)(1 +0,1)2
n * 1 1,1 %
Solución: 103 El ém bolo al experim entar un pequeño
I0 = 2,27 kg.nrí D e otro la distancia del centro de m asa (c.m ) al punto de giro es: d= d= (
«
B
desplazam iento Ax, em pieza a oscilar alrede dor de su posición de equilibrio (P.E), co mo se aprecia en la Fig.
M (£ /2 ) + m (£ + R) M+m l M li M 5 + 0,5
í\
= o,5S45 tn
i
c—>
Po,V„
A w
w
\
A sí, el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo físico es:
i.
0
Po, Vo
.1.
.1 i
l P.E
T = 2 tt[
ir
il/2
/\
(M + m )g d
\
P. V0+AV
2,27
T = 2 tt[
1Vo-AV Pj
1/2
(5 + 0,5)(10)(0,5545)
/\
r
— »| Ax|«—
T = Í7 1 s Cuando se retira la esfera, el m omento de i nercia del péndulo físico es:
El periodo de las pequeñas oscilaciones ar m ónicas realizadas por el émbolo, viene da do por:
I0 = - M ^ = (-)(5X IÚ = - k g .m ¿
T = 27i(—) 1/2 k
C on esto, el periodo de las pequeñas oscila ciones del péndulo físico es:
T = 2 k (J E + ) > / 2 2 P nA
r = 2tc(- l° mg¿/2 T '= 2n[
5 /3
1/2
m , . r(400.10-3)(2 0 .1 0 -2)ll/2 T = 2* [ .......................... - a. ] (2 )(4 .105)(4 0 .10-4 )
ll/2
(5)(10)(1/2)J
* T = 0,01 ti s
©
986
,
Fís¡ca++
®
N ota Consultar el libro de Física-II del mismo autor, para ver la solución com pleta y deta liada de este problema. Solución: 104 • Representem os el semianillo desviado de la vertical un pequeño ángulo "0"
Así, sum ando vectorialm ente esta acelera ción (a) con la de la gravedad (g), obtene mos la aceleración efectiva: gef = g - a = I O - 4 = 6 “ s D e m odo que, el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo es: T = 2?r(— )1/2 = 2 tt( ~ ) 1/2 8ef 6 T = 1,8 s Si anulam os el cam po eléctrico, el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo es:
L a frecuencia propia de las pequeñas oscila ciones arm ónicas que realiza el semianillo, viene dado por:
2 n ~ 2:t 2 R
0
r 10 i i '2 2 tt (2)(0,1)
* fo = 1’13 S_1 « 0
It - T 'I h 8 -1 ,4 ] p = L ^ J ( m ) = ^ _ I _ ! (100) ®
[=1 N ota Consultar el libro de Física-I del mismo autor, para ver la solución com pleta y deta liada de este problema. Solución: 105 • L a aceleración sobre la esferita de ma sas (m), debida a la presencia del campo e léctrico (E) es: ^ F g m
q.E
(0,8.1tT6)(105)
m
20.10”3
a = 4 m /s 2
T = 1,4 s Luego, el cam bio porcentual que experim en ta el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo es:
f — Q 0 — ^ r S -i 1/2
f
T = 27u(—)1/2 = 2 n ( ~ ) 1/2 g 10
* n = 22,2 %
®
Solución: 106 • Representem os !a ecuación de la pos] ción en función del tiempo, sabiendo que el período es T=2 s y la am plitud A=0,35/7t m.
Oscilaciones
987
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Com o la proyección de la velocidad sobre el eje X es, vx = 0,35cos7rt(m/s), entonces la ecuación de m ovim iento de la partícula es:
f = p m g = mco0 A o 2A 4 tt2 A u = —2— = sg ’ gT2
°>35 sen(Tit) / *W(m)X n En la Fig., com o entre t=0 s y t=2,5 s, hay 5 cuartos de periodo, la longitud recorrida por la partícula en este intervalo de tiem po es: x
,
= (íílX O O ) = 0>01„ 2
(10)(1)2 * g w 0,39
¿1= (5 ^ )(5 ) = ^ * 71
©
0,557 m
7t
^
T am bién, en la Fig., la longitud recorrida por la partícula entre t=2,5 s y t=2,8 s es:
N o ta R ecordar que la m agnitud de la acelera ción m áxim a de las pequeñas oscilaciones de la tabla es:
^ 2 = X 2,5 “ x 2,8
a = ci)2 A 0,35 0,35 i 2 = ---------------- sen(7i2,8) 7t
71
Solución: 108 • R epresentem os a la esfera en su estado de equilibrio y fuera de ella.
¿2 = 0,0458 m Luego, la longitud total recorrida por la partí cula durante el tiem po de 2,8 s es: =
£i
4- -
* i = 0,6 m
©
Solución: 107 • R epresentem os las fuerzas que actúan sobre el bloque de m asa "m " para el instan te en que la aceleración de la tabla es m áxi ma. m gj
N'
Para el instante en que el deslizam iento del bloque sobre la tabla es inminente, la fuerza de fricción (f) es igual a la fuerza de inercia (ma), esto es:
D el teorem a de los ejes paralelos, el momen to de inercia de la esfera de radio "R ", res pecto del punto de giro 0 es: 'y In = - m R 2 + m R 2
I0 = - m R 2 u 5
998 Físíca++ ********************************************************************************************** se m iden directam ente. Así, por ejemplo, para un tubo de longitud i = 40 cm, h=40 cm, R=9 mm, x = l,l cm g=9,8 m /s2 y p = 1 000 kg/m 3, el valor que se obtie ne para la presión atm osférica es: Po=0,9684.105 N /m 2, siendo el error reía tivo com etido de: E=4,4 %. T u b o conectado a un recipiente Conectando el extrem o superior del tubo a un recipiente de volum en, logram os au m entar la longitud eficaz del tubo, tal com o se observa en la Fig.
P0 = P g
L=
(h -x X L -x ) x t
if 7lR‘
En estas fórmulas las cantidades "h" y "x" se m iden directam ente. Así, por e jem plo, para un tubo de longitud i = 40 cm, h - 4 0 cm, R=9 mm, x = l 1,7 cm g=9,8 m /s2 y p = 1 000 kg/m 3, el valor que se obtiene para la presión atm osférica es: Po=0,9 9 8 6 6 .105 N /m 2, la longitud eficaz L -4 ,3 3 m , el aum ento de la longitud del tubo A « 1 1 veces, y el error relativo igual a: E = l,4 2 %.
^ C o n c lu s io n e s 1) L a altura "x " del agua que penetra en el tubo aum enta al dism inuir el radio "R" del tubo capilar. Los volúm enes inicial y final del aire a 2) A ñadiendo el recipiente en el extrem o su perior del tubo se dism inuye el error al las presiones P 0 y P son: m edir la presión atmosférica. V0 = n R 2£ + V 3) En la m edición de la longitud "x" no se ha considerado la form ación de un m e V = ttR 2( ¿ - x ) + V nisco, y el ascenso del agua en los tubos capilares, debido a la tensión superficial. La presión P del aire encetrado en el re cipiente es la sum á de la presión atmos 5. P R IN C IP IO F U N D A M E N T A L D E L A férica Po más la presión de la colum na de H ID R O S T A T IC A agua de altura (h-x), esto es: P = P0 + P g (h - x ) Ahora, asum iendo que el aire es un gas ideal, y que el proceso de com presión de isotérm ico (T=cte.), de la ecuación de los gases ideales, tenemos: p 0v 0
=
pv
Sustituyendo .en esta ecuación V0, P, V, obtenem os la expresión para la presión atm osférica y longitud eficaz:
>
<
|P + d P
dzé
1 p
fw
Para obtener la ecuación que expresa el principio fundam ental de la hidrostática,
Oscilaciones 989 ********************************************************************************************** Nj + N j = mg
( 1)
El m om ento de N i respecto del centro de gra vedad de la tabla, es igual, al m om ento de N 2, esto es: N ,(^ +
x
) = N 2( j -
x
)
(2 )
R esolviendo (1) y (2), obtenem os las expre siones de las norm ales y de las fuerzas de fricción en los puntos de contacto de la ta bla con los rodillos, así:
de inercia (-m a ), p o r lo que, la representación de las aceleraciones debi das a estas fuerzas es la m ostrada. En la Fig!, la gravedad efectiva ( g ef) resultante de la sum a vec torial de a y g es: o il/ 2
gef = [1 0 ¿ + 5 M 2 ) (1 0 ) (5 ) c o s l2 0 ° ] ge f=
5 ^ S
XT £-2x XT i +2x N t = ■m g y N2 = ^ , mg 21 2£ f, =
£-2x
r
e+2x
y
T = 2 tt(——) 1/2
D e m odo que, en la horizontal la fuerza resultante que produce las oscilaciones de la tab la es: F = fr 2
f1 = ^ x 1 t
de las oscilaciones es: f - ( Í S ) 1/2 = ( Z M ) i/2 m £ (2)(0,8)(10) ]/2 0,64 -i
Sef
T - 2 * ^ )
* T = 0,79 s
Com o las oscilaciones son arm ónicas sim pies, está fuerza es dei tipo de H ooke F=kx, es decir, la constante elástica del resorte equivalente es, k = 2 p m g /^ , y la frecuencia
* f = 5s
Luego, el periodo de las pequeñas o sc ila d o nes del péndulo es:
®
Solución: 111 • Las fuerzas que actúan sobre la esferita del péndulo son: su peso ( m g ) y la fuerza
®
990 Física++ **********************************************************************************************
está relación no puede despreciarse. ^
l i l L
E
C
S
T
A
T
I
1. C O N C E P T O S F U N D A M E N T A L E S a) H idroaerom ecánica Es u na ram a de la física que estudia las leyes del equilibrio y del m ovim iento de los líquidos y de los gases, así, com o las interacciones de los líquidos y gases en movim iento con los sólidos. b) Hidroaerostática Es u na parte de hidroaerom ecánica que estudia las leyes que rigen ó gobiernan el equilibrio de los líquidos y gases te niendo en cuenta a las fuerzas que ac túan sobre ellas; la hidroaerostática se di vide en hidrostática y aerostática. c ) Hidrostática E studia las propiedades y fenóm enos de los líquidos en equilibrio. d ) Aerostática E studia las propiedades y fenóm enos de los gases en equilibrio. e) F lu id o Se designa con este nom bre a los líqui dos y gases, sean estos, com presibles o incom presibles. f)
L íqu id os Se llam an líquidos los cuerpos que tie nen volum en determ inado pero no elas ticidad de form a (por carecer de módulo de cizallam iento).
g ) Flu id o com presible Es el gas cuya densidad depende de la presión hasta tal punto que en la práctica
h) Fluido incom presible Es el líquido ó gas en el que la relación de dependencia üntre su densidad y pre sión es despreciable. i)
L íq u id o s inm iscibles Se denom ina así, a dos ó m ás líquidos di ferentes, que al unirse entre si, no se m ezclan.
j)
Flu id o perfecto ó ideal Es aquel fluido que no presenta roza m iento interno (viscosidad) y a su v ez es incom presible.
k) Flu id o visco so Es aquel fluido que presenta rozam iento interno. I)
R ozam iento interno Se denom ina así al fenóm eno que causa la aparición de las fuerzas tangenciales que se oponen al desplazam iento de u ñas partes de un líquido ó gas respecto a otras.
m ) Flu id o baro trópico Es aquel fluido cuya densidad depende ú nicam ente de la presión. n) T e n s o r Es cierta clase de entidad algebraica de varias com ponentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz. En la Física, los tensores resultan de la trans form ación de un conjunto de m agnitudes físicas dadas en un sistem a de coordena das ortogonal (S) en otro sistem a ortogo nal (S '). E xisten tensores de diferentes órdenes, así: ♦ L a tem peratura, m asa y otras m agnitudes escalares se representan m ediante tensó res de orden cero.
Hidrostática 991 ********************************************************************************************** •
•
L a velocidad, aceleración y otras m agni • tudes físicas vectoriales, se representan m ediante tensores de prim er orden. L a presión, tensión, m om entos de inercia y otras m agnitudes físicas se representan m ediante tensores de tercer orden e tc ... •
o ) Características de los sólidos, líquidos y gases • > Sólidos Tienen form a y volum en definidos. Son incom presibles. • > Líquidos A doptan la form a del recipiente que lo contiene. Tienen volum en definido. b) Son incom presibles. - L a interacción m olecular es muy intensa, pues, la distancia interm olecular es muy pequeña. L os líquidos ordinarios en general son i sótropos, a excepción de los cristales lí quidos que son anisótropos. > Gases A doptan la form a del recipiente que lo contiene. Tienden a ocupar el m ayor volum en posi ble. Son com presibles.' 2. D E N S ID A D Y P E S O E S P E C IF IC O a) Densidad (p) Es una m agnitud física escalar, que indi ca la cantidad de m asa (m) contenida en u n volum en (V ) de un sólido ó fluido, así, para un cuerpo o sustancia de m asa hom ogénea, la densidad viene dado por: m p=v La densidad es u na propiedad física de la m ateria que describe el grado de com pa cidad de una sustancia.
L a densidad describe cuan unidos están los átom os de un elem ento ó las molécu las de un com puesto. M ientras más uni das están las p anículas individuales de un a sustancia, más densa es la sustancia. L a densidad es una propiedad intensiva de la materia, pues, nos perm ite identifi car distintas sustancias unas de otras. Cada m aterial o sustancia tiene su propia densidad, el cual, depende de la estructu ra interna del material. Las fórm ulas anteriores son válidas para cuerpos o sustancias hom ogéneas que se hallan a tem peratura constante. Densím etro
<
>
Llam ado tam bién hidróm etro, es un ins truniento sencillo cuyo funcionam iento se basa en el principio de A rquím edes, y se utiliza para determ inar la densidad re lativa de los líquidos. Es, en esencia un flotador de vidrio que consiste de un ti lindro con un bulbo lleno de m ercurio en la parte inferior que le perm ite sumer girse parcialm ente flotando verticalm en te. G eneralm ente los hidróm etros confie nen una escala de papel al interior de e líos para que se pueda leer directam ente la densidad relativa en gram os por cen tím etros cúbicos. A sí, el líquido cuya densidad se desea determ inar se vierte en un recipiente alto, m arcando el nivel del líquido sobre la escala el valor de su den sidad relativa ( p r ).
992 Física++ **********************************************************************************************
T ip o s de densím etros A lcoholím etro.- Sirve para m edir el gra do de alcohol en una bebida. L actóm etro.- Sirve para m edir la densi ^ U n i d a d : "y" se m ide en N /m 3. dad relativa de la leche. Sacarím etro.- Sirve para m edir la canti. d) Relación entre densidad y peso es dad de azúcar de una m elaza, la cual, es pecífico un producto líquido espeso derivado de L a relación entre la densidad ( p ) y el pe la caña de azúcar o de la rem olacha azu so específico ( y ) dé un cuerpo ó sustan carera, su aspecto es parecido al de la cia, viene dado por: m iel, aunque un tanto más oscura. Salím etro.- Sirve para m edir la densidad Y“ P 8 relativa de sales. siendo, (g) la aceleración de la gravedad. ^ U n i d a d : "p" se m ide en kg/m 3. • El peso específico ( y ) es (g) veces la den sidad ( p ) del cuerpo ó sustancia. b) Densidad relativa (p r) El peso específico de un cuerpo o sustan Es una cantidad física adim ensional que cia es diferente en cada uno de los plañe mide ó com para la densidad de un cuer tas, en tanto, la densidad es la misma. po ó sustancia A con respecto de otro B, esto es: 3. P R E S IO N (P ) 1) C on cep to de presión
•
Las densidades de sólidos y líquidos se com paran con la densidad del agua a la tem peratura de 4 °C. •
p H2o - 1000 •
m
Las densidades de los gases se com paran con la densidad del aire en condiciones norm ales, cuyo valor es: P = 1,293 kg, m
c ) Peso específico (y) Es una m agnitud física escalar, que mide el peso (W ) que actúa en el volum en (V) de un sólido o fluido, así, para un cuerpo o sustancia de m asa hom ogénea, el peso específico, viene dado por:
L a presión en una pequeña región de una superficie "S" se define com o la razón de la com ponente norm al (FN) de la fuer za (F) al área de dicha región superficial (S), esto es: P = f n = F co _s _6
S
S
siendo, "0" el ángulo que form a el dife rencial de fuerza (dF) con la norm al a la superficie.
Hidrostática •
Si el sistem a de fuerza que actúa sobre la superficie es no uniform e, la presión en cada punto de la superficie es diferente, y se habla de una presión local.
• •
•
•
P or ejem plo, en la Fig., las presiones en las pequeñas regiones T y "2" son dife rentes, pues, las fuerzas Fi y F2 que ac túan en dichas regiones son diferentes. Si el sistem a de fuerzas que actúa sobre la superficie es uniform e, la presión en cada uno de los puntos de dicha super ficie es la misma, y la expresión anterior • se escribe así: p=! f n = F c ° s
S
0
993 *****
L a presión es un^ m agnitud física tenso rial. C uando un cuerpo se encuentra apoyan do totalm ente su peso sobre una superfi cié, su peso se reparte uniform em ente so bre toda la superficie. U na m ism a fuerza puede producir dife rentes presiones si es ejercida sobre dife rentes superficies.
P ,“ 2P2
Fuerzas diferentes pueden producir igua les presiones si son ejercidas sobre super ficies diferentes.
S
siendo, "F" la fuerza resultante que actúa sobre toda la superficie "S".
P i= P 2
•
•
Por ejem plo, en la Fig., las presiones en las pequeñas regiones "1" y "2" son igua les, pues, las fuerzas Fi y F2 que actúan en dichas regiones son iguales. Ahora, si el sistem a de fuerzas uniform e actúa perpendicularm ente a la superficie "S" (0 = 0°), y la expresión anterior se reduce a:
Sobre cada uno de los puntos de la su perficie "S" actúan las fuerzas de presión " F" es la fuerza resultante de la sum a de todas estas fuerzas de presión, la cual ac túa en el centro de m asa del cuerpo.
^ U n id a d :
"P " se mide en N /m 2.
Sistem a de fuerzas uniform e U n sistem a de fuerzas que actúan sobre una superficie se dice que es uniform e, cuando en cada punto d e dicha superficie las fuerzas son iguales en m agnitud y dj
994 Física++ ********************************************************************************************** rección, caso contrario se dice que el sis tem a es no uniform e.
2) Presión de un líquido
b) L a presión en todqs los puntos situados en un m ism o plano horizontal de un líqui do en reposo es el mismo. >
La presión creada por un líquido se llama presión hidrostática, así, la presión crea da por el líquido de densidad "p", en el punto A situada a una profundidad-" h" p o r debajo de su superficie libre, viene dado por: PA = p .g h
ISOBARA
PA =P, Se llam a isóbara a la recta cuyos puntos están a la m ism a presión. c) L a fuerza debida a la presión ejercida por un líquido en reposo sobre las paredes del recipiente que lo contiene es perpen dicular a estas.
siendo, "g" la aceleración de la gravedad. L a presión hidrostática en puntos de la superficie libre del líquido es cero. L a presión creada por un líquido en un punto del m ism o, no depende de su can tidad, sino, sólo depende de la profiindi dad a la que se encuentra dicho punto, respecto de su superficie libre.
3) Propiedades de la presión en un líquido a) L a presión en un punto cualquiera de un líquido es igual en todas las direcciones (principio de Pascal).
d) L a superficie libre de un líquido en repo so es siem pre horizontal. E sto es cierto solo en la superficie de la T ierra a sim ple vista, debido a la acción de la gravedad. Si no hay acciones gravitatorias, la super ficie de un fluido es esférica, y por tanto, no es horizontal.
Hidrostática 995 ********************************************************************************************** e) L a fuerza de la presión en un liquido en reposo se dirige siem pre hacia el interior del líquido, es decir, es una com presión, jam ás una tracción o extensión
•
f)
El aire que rodea a la T ierra está constj tuída en m ayor porcentaje p o r Nitrógeno (78% ) y oxígeno (21%). • L a presión barom étrica se m ide con ba róm etros. b) Presión atm osférica norm al (P0)
L a superficie superior de un líquido en reposo situado en un recipiente abierto Es la presión atm osférica m edida al nivel siem pre es perpendicular a la fuerza resu] el nivel del mar, su valor es: tante que actúa sobre ella. Si la gravedad es la única fuerza, la superficie es hori P0 “ 760 m m H g - 1 atm zontal. Si actúan otras fuerzas adem ás de la gravedad, la superficie libre se ajusta a c) Presión m anom étrica (Pm) ellas. Por ejem plo, si hacem os girar un Es la presión creada por gases encerra vaso conteniendo agua, alrededor de su e dos en recipientes, sin considerar la pre j e de sim etría, adem ás de la fuerza de la sión atmosférica. gravedad, aparece la fuerza centrífuga, y • L a presión m anom étrica se m ide con ma la superficie adopta la form a de un para nóm etros. boloide de revolución, com o se m uestra d) Presión absoluta (Pat>) en la Fig. Es la presión que se tiene cuando se to m a com o nivel de referencia el vació ab soluto, se define así: O Q Fl 1
p
# p ^
p
i
P
1Pab
t
i
4) T ip o s de presión a) Presión atm osférica o barom étrica (Palm) • Es la presión ejercida por la m asa de aire que rodea a la Tierra, com o la superficie de la T ierra no es uniform e, se habla de la presión en un lugar determinado.
= p
1man +
p
atm
5) R ecom endaciones: E n la solución de problem as se deben te ner en cuenta lo siguiente: a) C uando no se conoce la Patm, se asume que Patm = P 0b) Si el problem a no indica que la presión es m anom étrica (Pman) ó atm osférica (P atm ) se asum e que la presión es absoluta (P ab s)
c) A lugares que están a m ayor altura sobre
996 Física++ ********************************************************************************************** el nivel del mar, le corresponden m enor presión atm osférica, y recíprocam ente.
determ inar la presión atm osférica en un lugar de la superficie terrestre.
6) R ango de presiones Las presiones pueden variar entre 10'8 m m H g y 1 0 12 mmHg de presión absoluta en aplicaciones de alto vació, hasta nive les de atm ósferas en prensas y controles hidráulicos. Con fines experim entales se han obtenido presiones del orden de mi llones de atmósferas. 4. M E D IC IO N D E L A P R E S IO N A T M O S F E R IC A 1) Instrum entos para m edir presiones a) M anóm etro Es un dispositivo que está constituido po r un gas encerrado en un recipiente y una colum na de m ercurio de altura (h), com o se m uestra en la Fig.
c ) Piezóm etro Es un dispositivo sencillo, sensible quese utiliza para m edir presiones pequeñas; y está constituido por un tubo de cristal de diám etro pequeño y un recipiente que ge neralm ente se llena con m ercurio (Hg) co mo la Fig.
A sí, según el principio de Pascal, la pre síón en el punto A, es igual, a la presión P en el recipiente, esto es: A sí, en la Fig., los puntos (1) y (2) están a la m ism a presión (m ism o nivel), de mo do que, se cumple:
P = Pa P = Patm+ p g ( h + H )
Pman —Pabs “ Patín —Y h siendo, ( y ) el peso específico del mercu rio (Hg), (Patm) la presión atm osférica y (Pabs) la presión absoluta b) Baróm etro Es un dispositivo constituido por una pro beta, un recipiente ó vaso y un líquido (m ercurio, agua, etc...) que se u tiliza para
siendo, "p" la densidad del m ercurio y "g" la aceleración de la gravedad. 2) Exp erim e n to s para m edir la p re sión atmosférica > Experim ento de To rriceili a) O bjetivo M edir la presión atm osférica
Hidrostática 997 *^******************************************************************************************* Hg
A IRE o
o
T
1 100 c m
«:•
T u b o cerrado p o r uno de sus extrem os Considerem os un tubo de longitud " í" y radio "R " cerrado por uno de sus extre mos, com o se observa en la Fig.
1
1 b) 1) 2) 3) c) 1) 2)
Instrum entos U n a probeta de vidrio. U na vasija o recipiente de vidrio. U na cantidad d e mercurio. P rocedim iento L a probeta se llena c o n m ercurio (Hg) L a probeta se invierte tal que el m ercu rio (Hg) se derrama sobre un recipiente, com o m uestra la Fig.
SV PUJ
. *bi 2R
En la Fig., a m edida que introducim os verticalm ente el tubo por su extrem o a bierto en el recipiente con agua, hasta al canzar una altura "h ", al aire en su inte rior se v a com prim iendo, ascendiendo el agua al interior del tubo una altura "x". L os volúm enes inicial (Vo) y final (V) del aire a las presiones (P0) y (P) son: tcR 2 ¿
d)
C o n clu sió n <<:L a presió n atm osférica es equivalente, a la presión que ejerce una colum na de m ercurio (H g) d e 76 cm de altura*5.
y
V =
tcR 2(
¿ - x)
D e otro lado, la presión del aire encerra do en el tubo es la sum a de la presión at m osférica más la presión de la columna de agua de altura (h-x), esto es: P = P0 + p g ( h - x ) A hora, asum iendo que el aire es un gas ideal, y que el proceso de com presión es isotérm ico (T=cte.), de la ecuación de los gases ideales, tenemos:
P i= P 2 Patm = 76 cm H S
P
«I C
H—H
V0 =
3) E n la Fig., se observa que no todo el mer c.urio baja de la probeta, debido a la pre sió n atm osférica que actú a sobre la super ficie libre del m ercurio. 4) P o r el principio fundam ental de la hidros tática los puntos (1) y (2) se encuentran e n un m ism o líquido (H g), y al m ism o ni v el, p o r lo que:
f '7
P0V0 = P V Sustituyendo en esta ecuación V0, P y V, obtenem os la expresión para la presión atm osférica, así: p g (h -x )(£ -x ) P~ = En esta fórm ula las cantidades " h" y " x"
Física++
988
********************************************************************************************** Ahora, de la ecuación fundam ental del mo vim iento de rotación de un sólido, respecto del punto 0, tenemos: M 0 = I0 a - m g s e n 0 R = (—m R 2)(— ) 5 R Como, 0 —» 0 , entonces se n 9 « 0 , adem ás 0 R = s, y teniendo en cuenta que la acelera ción corresponde a un M .A.S la ecuación anterior, queda así: - g s = (-^ R )(-Q 2s)
En el triángulo rectángulo, tenem os que: mg
ctg 0 =
meo R D e aquí, obtenem os la frecuencia angular y el periodo de las pequeñas oscilaciones, así:
( T - R _ 2z)U / 2
gT
R
Qo= (1 8 ) 1/2 0
T = 2^
7R
1/2 5g
(02
T * (2 n )[
(7X0,4), 1/2 (5X10)
T « 1,49 s
(l2 - 0,22)172 i /2 10
* T «1,96 s
©
II) L a longitud del péndulo simple que tie ne el mismo período que la de la esfera os cilatoria es: 7 R _ (7)(0,4) 5
p 2\l/2
T = 2 ti[—-------------- ]1/2
1) Evaluando la expresión del período, pa ra los datos dados, obtenemos: T = 27C[
4 tc2 R
Solución: 110 • Las fuerzas que actúan sobre la tabla son: su peso (mg), las norm ales (N i), (N2) y las fuerzas de fricción (fí) y (f2).
5
i - 56 cm
Solución: 109 • La bolita del péndulo cónico gira en e quilibrio dinám ico en la trayectoria circular, bajo la acción de su peso (mg), fuerza de i
E n la vertical, la suma de las norm ales (Ni),
nercia (meo2 R), y tensión de la cuerda (T).
(N 2), es igual al peso (mg), esto es:
Hidrostatica
999
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
p - - + z = C2 Pg
en el recipiente que contiene el fluido de densidad "p", tom em os un elem ento de
fluido de espesor "dz", área "S" situada esta ecuación tiene dim ensiones de longi a una profundidad "z" de la superficie li tud, donde C2 es una constante, bre, com o se m uestra en la Fig,. Ahora, com o este elemento de fluido está en e c) Tercera form a M ultiplicando la ecuación a) p o r la densi quilibrio estático, la resultante de las fuer dad, tenem os: zas debida a la presión (hacia arriba), de be ser igual, a su peso (hacia abajo), esto P + p g z = C3 es:
•
esta ecuación tiene dim ensiones de pre sión, donde C3 es una constante. L a diferencia de presión hidrostática en tre dos puntos de un fluido, solo depende de la altura entre ellos.
>
V a so s com unicantes
P S - (P + dP )S = p g S d z dP = - p g d z Integrando está expresión entre los nive les "1" y ”2", tenemos: J^dP = - p g £ d z P2 - P , = p g z i - p g z 2
a) Para un líquido Son recipientes de diversas form as co m unicados entre sí p o r su parte inferior.
P1+ p g z 1 = P 2 + p g z 2 = cte. Así, hem os obtenido la ecuación que ex presa el principio fundam ental de la hi drostática. Ahora, esta ecuación m atem ática, pode m os expresarla de tres formas, así: a) Prim era form a Considerando que los puntos "1" y "2" son dos puntos cualesquiera del fluido, podem os obviar los subíndices, obteni endo: P - + g z = Cj P esta ecuación tiene dim ensiones de la ve locidad al cuadrado, donde Q es una constante. b) Segunda forma D ividiendo la ecuación anterior entre la aceleración de la gravedad, tenemos:
Si por uno de los recipientes se vierte un sólo líquido, la altura que alcanza dicho líquido en todos ellos es la m ism a, es de cir: h
a
-
“ he
b) Para dos líquidos no m iscibles Para dos líquidos no m iscibles 1 y 2 en equilibrio en un tubo en form a de U, sus alturas m edidas a partir de la superficie de separación, son inversam ente propor cionales a sus densidades.
Física++
1000
m ultáneam ente, lo cual, dem uestra que los agujeros están a la m ism a presión.
v !'
T hi _¡_
2
T h2
&•»V . . . . 1
2) Prensa hidráulica > Embolos a la misma altura. • E s u n a m áquina sim ple que se utiliza pa ra m ultiplicar la fuerza (F) que se le co m unica, perm itiendo levantar cargas pe sadas. • Su funcionam iento se basa en el princi p ió de Pascal.
E sta expresión nos perm ite determ inar di rectam ente la densidad relativa de una sustancia, m idiendo las alturas alcanza das p o r cada u na de ellas. 6. P R IN C IP IO S D E L A H ID R O S T A T ICA 1) Principio de Pascal Este principio físico establece que: ^ E l increm ento de presión aplicado a una su perficie de un fluido incom prensible, con tenido en un recipiente indeform able se transm ite por igual en todas las direccio nes y con la m ism a in ten sid ad ^
E stá constituida por dos cilindros de base com ún conteniendo un fluido y dos pisto nes ó ém bolos deslizantes de áreas Aj y A-2Si sobre el pistón de m enor área (A i) a plicam os una fuerza F, entonces, esta fuerza se transm ite a través del líquido y la carga de peso máximo W, ubicado en el pistón de área A2, que podem os elevar es:
2) Embolos a diferentes alturas
E ste principio puede verificarse utilizan d o un recipiente esférico, conteniendo un fluido cerrado en la p arte superior por un em bolo, y tres tapones idénticos. Se ob serva que al deslizarse el em bolo hacia abajo bajo la acción de la fuerza F, los tres tapones abandonan el recipiente si
*2
Hidrostática 1001 ********************************************************************************************** C onsiderem os una prensa hidráulica en la que sus ém bolos estén a diferentes a] turas, tal com o la que se m uestra en la Fig. Com o los puntos A y B están al mismo nivel (pertenecen a una isoterma) las pre siones en dichos puntos es la m isma, esto es:
es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo; está fuerza está aplicada en el centro de gravedad del volum en de la par te sum ergida del cuerpo (centro de flota ción ó presión)>:>,
E=
Yf V S = P pgV s
Pa = P b siendo, "pF" la densidad, " y F" el peso
F W P0 + p g h ,+ •— = P0 + p g h 2 + A, A, h 2 —h , =
F W - ~ pgA ! p g A 2
específico del fluido, "Vs ” el volum en su m ergido del cuerpo, y "g" la aceleración (!)
D e otro lado, para que los ém bolos se en cuentren a la misma altura, el volum en de fluido que debe pasar de u na ram a a la otra debe ser la mism a, esto es, si hi dis m inuye h2 debe„ aum entar, este movim ien . to de m a s a ^ ig n e expresado por la ecua •cfón: ^ A A 2h 2 = ( A , + A 2) h 0
(2)
Finalmente,, las e c s.(l) y (2), nos permi ten determ inar las alturas a las que se en cuentran los ém bolos. 3) Principio de Arquím edés
de la gravedad. Para dem ostrar este principio, considere m os un prism a recto de bases rectangu lares de área "S", altura "H ", m asa "m ", sum ergida totalm ente en un fluido de densidad " p F ", com o m uestra la Fig. lg 8
V
'" i Í
i
"
— ’ t ít i ma En la Fig., la fuerza debida a la presión ejercida por el fluido sobre las caras late rales del prism a se anulan dos a dos, en tanto, las fuerzas de presión sobre las ba ses inferior y superior son: Fr = PjS = pF g (z + H )S ( t ) Fs = PsS = p Fg z S ( i ) L uego, la fuerza total hacia arriba, llama da em puje es:
<<-T"odo cuerpo sum ergido parcialm ente o totalm ente en un fluido experim enta la ac ción de una fuerza dirigida hacia arriba, llam ada em puje (E) que num éricam ente
E = FI - F S E = pF g (z + H )S - pF g z S * E = p F g Vs
1002 Fisica++ *****************^****************************************************************************
•
•
•
Así, hem os probado que la fuerza de em puje (E), tiene su origen en la diferencia de presión entre la bases inferior y supe rior del cuerpo sum ergido en el fluido. El principio de A rquím edes es válido tan to, para líquidos como para gases.
Si ubicam os un cuerpo de base plana co mo un cilindro o paralelepípedo en el fon do de de un recipiente, que contiene un fluido de densidad m enor que la del cuer po. ¿H ay fuerza de em puje, sobre el cuer po?
a) Centro de flotación Se llam a centro de flotación al punto "A" sobre el cual actúan todas las fuer zas que producen el efecto de flotación, y corresponde al centro de gravedad de la parte sum ergida del cuerpo.
estar sum ergido ninguna parte de el en el fluido? b) Peso aparente (W ap)
Es el peso que m arca un dinam óm etro cuando un cuerpo está sum ergido en un fluido, y es igual, al peso del cuerpo en el aire (W ) m enos el em puje (E); es de cir:
Wap = W - E
7 . E Q U IL IB R IO D E U N A V A R IL L A
P A R C IA L M E N T E S U M E R G ID A . En esta sección estudiarem os brío de una varilla hom ogénea tud área de sección "A ", " p s ", sum ergida parcialm ente
el equili de longi densidad en un lí
quido de densidad "pF" ( p s < pF) con u
•
•
Si el cuerpo hom ogéneo está sumergido totalm ente el centro de flotación "A" coincide con el centro de gravedad "B" del cuerpo. Si el cuerpo hom ogéneo está sum ergido parcialm ente, el centro de flotación "A" está situado por debajo del centro de gra vedad "B" del cuerpo. ¿Puede un cuerpo flotar en un fluido, sin
no de sus extrem os unida a una rotula (P), que le perm ite girar en un plano ver tical, se presentan dos casos: a) Rótula fuera del líquido Las fuerzas que actúan sobre la varilla son: su peso (mg), el em puje del líquido (E) y la reacción en la rótula (N). El peso m g = psA ¿ g actúa en el centro de m asa de la varilla, en la posición de abscisa x g - { t / 2 ) sen 0.
Hidrostática 1003 ********************************************************************************************** es nulo, y la condición de equilibrio se dará para 9 = 0°. b) Rótula dentro del líquido En la Fig., el peso 'm g = p FA ¿ g actúa en el centro de la varilla, en la posición de
El em puje E = pFg A ( ¿ - y / c o s 0 ) actúa en el centro de la parte sum ergida de la varilla, en la posición de abscisa igual a x e = (£+ y /c o s 0 )( s e n 0 /2 ) . Ahora, com o la varilla está en equilibrio la resultante de la sum a de los momen tos respecto de la rótula P, debe ser cero, esto es: E xe - m g xg + N (0) = 0
(P F g A ) ( ¿ - 5>
cos0
+
y j ( Sf ) -
cos0
El em puje E = pFg A ( y /c o s 0 ) actúa en el centro de la parte sum ergida de la va rilla, en la posición de abscisa igual a x e = (y /c o s 0 )(s e n 0 /2 )
2
(P sg A ¿)(“ sen0) = 0
Ahora, como la varilla está en equilibrio la resultante de la sum a de mom entos de be ser nula, esto es: E xe - m gxg = 0
Sim plificando, e introduciendo la densi dad relativa, p = ps / pF , obtenem os la e cuación p ara el equilibrio de la varilla:
(1 - P -
¿ i ¿ - - , -)se n 0 2 eos 0
Si: y > t el térm ino entre paréntesis es
senO ( p ! g A cosO)(cos0
)-
1 (p sg A O ( 2 sen 0 ) = O Sim plificando, e introduciendo la densi dad relativa p = p s / pF, obtenem os la e
distinto de cero, por lo que, la posición de equilibrio, se dará para sen0 = 0 es
cuación para el equilibrio de la varilla:
decir 0 = 0 °. La varilla está suspendida verticaim ente fuera del líquido. Si: y < í el térm ino entre paréntesis pue
¿ . A -p )se n 9 = 0 i 2 eos21
de llegar a ser cero, siem pre y cuando co s0 = ( y / ¿ ) ( l / \ / l - p ) < l , lo cual impli ca que, y <
i -
'1 - p . Cuando no se cum
pía está condición el prim er térm ino no
Si: y > - é e l térm ino entre paréntesis es di ferente de cero, por lo que, la posición de equilibrio de la varilla, se dará cuando sen0 = 0 , es decir 0 = 0°. Si: y < i el térm ino entre paréntesis será
1004 Física++ ********************************************************************************************** cero si: cos0 = y l £ - p < 1, y se dará si y < £ ,/p . C uando no se cum ple está con dición el prim er term ino no es nulo y la posición de equilibrio se da para 0 = 0°. Representem os gráficam ente todas ias po sibles posiciones.. de equilibrio, para los dos casos.
en la parte superior e inferior de la cara vertical del dique son, 0 y pgH , y la pre sión m edia es la sem isum a de estas pre siones, esto es: P„ = ° + P g H = ; P g H
P=pgH
De m odo que, la fuerza sobre la cara late ral del dique ejercida por la presión del líquido es: F = PmA = (* p g H X ¿ H ) 8. F U E R Z A H ID R O S T A T IC A EN UN D IQ U E D E R E P R E S A a) Fuerza total L a m agnitud de la5fuerza sobre un dique de u na represa que contiene agua, aumen ta según la profundidad, así, la represen taciórí d e la distribución d e estas fuerzas es:
* F= *pg¿H 2 b) M om ento de la fuerza. El m om ento de la fuerza F sobre el dique tiene un efecto de hacer girar a la cara ia teral, respecto de la base del dique, el va lor de este m omento es: * M = * p g t H3 6 *
c ) C á lcu lo de la altura (x) L a distancia (x) a la que actúa la fuerza resultante F, m edida respecto de la base del dique, obtenem os del teorem a de Va rignon, así: siendo, ( í ) la longitud del dique, (H) la altura del agua en la represa, (F) la fuer Fx = M za total que actúa sobre el dique debida a la presión del agua, y (x) la altura del ( ’ p g f H 2) x = * p g í H 3 punto de aplicación de la fuerza (F), me z o dida respecto del fondo de la represa. H Com o la presión del líquido varia linea] + X = m ente con la profundidad, las presiones
Hidrostática
1005
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
dades relativas del oro, cuarzo y pepita son: 19,3, 2,6 y 6,4 respectivam ente. Ha llar la m asa de la pepita.
PROBLEMAS 01. H allar aproxim adam ente la densidad (en g/cm 3) del alcohol etílico, sabiendo que 63,3 g ocupan un volum en de 80,0 cm3 a) 0,2
b) 0,4 d) 0,8
c) 0,6 e) 1,2
02. H allar el volum en de 40 kg de tetracloru ro de carbono cuya densidad relativa es 1,60. a) 10 lt
a) 201,4 g b) 203,4 g c) 205,4 g d) 207,4 g e) 209,4 g 08. E n el tanque lleno de alcohol, hallar la ra zón de las presiones eii los puntos A y B, siendo A y B puntos medios de las m ita des superior e inferior, respectivam ente. El tanque tiene sección recta uniform e.
b) 15 It c) 20 It e) 30 lt
A
03. H allar el peso (en N) de m edio metro cú bico de alum inio de densidad relativa i
B
d) 25 lt
gual a 2 700 kg/m 3 (S= 10 m/s2) a) 12000
a) 1/2
b) 12500 c) 13000 d) 13500 e) 14000
04. U n bidón tiene capacidad para contener 110 kg de agua o 72,6 kg de gasolina. Ha llar la densidad (en kg/m 3) de la gasolina a) 600
b) 620 d) 660 ,
c) 640
a) 1,21
b) 1,23 d) 1,27
a) 2
b) 4 d )8
a) 2 ,1.105 b ) 2,3.105 c )2 ,5 .1 0 s d) 2 ,7 .105 e) 2,9.105 II. El m ódulo de la fuerza m edia (en N) sobre una de las caras laterales. a) 1,31.105 b) 1,33.105 c) 1,35.105 d) 1,37.105 e) 1,39.105
c) 1,25 e) 1,29
06. H allar la densidad (en g/cm 3) de una bola de acero de diám etro 0,750 cm y m asa 1,765 g.
10. y
*
c) 6 e) 1
07. L a m asa de oro contenida en una pepita de oro y cuarzo es de 138 g. Si las densi
c) 1/4 e) 1/6
09. Un depósito cúbico de 3 m de lado está lleno de agua de densidad p = 1000 kg/ m3 y g=10 m /s2. Hallar: I. El m ódulo de la fuerza (en N) sobre el fondo del depósito.
e )6 g 0
05. U n volum en de aire de 0,7752 m 3 tiene u na m asa de 1 kg. H allar su densidad en kg/m 3.
b) 1/3 d) 1/5
■
Pa
hB } B
•2 PB
1006 Física++ ********************************************************************************************** Los líquidos no m iscibles tienen densi dades p A =800 kg/m 3, p A = 1200 kg/m 3 H allar la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2. (si: hA=10 cm, hB=5 cm, g=10 m /s3) a) 1,0 kP a b) 1,2 kP a c )l,4 k P a . d) 1,6 kPa e) 1,8 kPa
m, a través de una lente circular de diá metro 15 cm. H allar la fuerza que sopor ta la lente. El peso específico relativo del agua de m ar es 1,03. a) 100 kN b) 120 kN c) 140 kN d) 160 kN e) 180 kN
14. ¿Q ué área m ínim a deberá tener un blo que rectangular de hielo de 50 cm de es 11. L a esfera de volum en 4.10' m y densi pesor para que pueda flotar en agua con dad 400 kg/m 3, está sum ergido totalm en una persona encim a de peso 500 N sin te en agua. H allar la tensión en la cuerda que éste se m oje los pies? (P h ie lo = ^00 AB paralela al plano inclinado. (g=10 m /s2) kg/cm 3) a) 0,5 m 2
b ) l,0 m 2 c )l,5 ¡n 2 d) 2,0 m 2 e) 2,5 m 2
15. En la Fig., si yA A> yB> yc , entonces la relación correcta para las presiones en los puntos 1, 2, 3 es:
a)
12.
IO N
b) 1 2 N c)1 4 N d) 16 N e) 18 N
d)
c) 4 cm b) 2 cm 3 6 cm 3 e) 8 mJ
13.
i
YC
1
2
3
1 a ) P A = PB < P c b) P a < P b = P c c) P a > P b > P c d) PA < PB < Pc e) P A = P B = Pc 16. En una prensa hidráulica al pistón más pequeño de diám etro 20 cm se le aplica una fuerza de 10 N cm. ¿Q ué fuerza expe rim enta el pistón mas grande de diámetro 80 cm? a)
El profesor observa la "eterna negrura" del océano a una profundidad de 1 000
YB
Tfl
U na esfera de peso 30 kN se encuentra flotando en agua sumergido hasta la mi tad. H allar el volum en de la esfera. a) 1 cm
YA
160 N b) 320 N c)4 8 0 N d) 640 N e) 800 N
17. Si la fuerza (F) que actúa sobre un disco se m antiene constante y su área (A) se aum enta, la gráfica correspondiente a la presión (P) vs área (A) es:
Hidrostática 1007 ********************************************************************************************** cuentra flotando al interior de un líquido de densidad 1 900 kg/m 3. a) 2,1
b) 2,3
c) 2,5 e) 2,9
d) 2,7
20. U n recipiente de área de base 2 m2 ini cialm ente contiene agua hasta una altura H. Si en la superficie se coloca un bloque de m adera de m asa 800 kg, se observa que el nivel del agua aum enta en un 50% de H. H allar el valor de H.
c)
eriP
18. El bloque de volum en 2.10'3 m 3 y densi dad 300 kg/m 3 está sum ergido totalm ente en agua. H allar la deform ación del resor te de constante elástica k=100 N/m. (g—10 m /s2)
a) 0,2 m
b) 0,4 m c) 0,6 m d) 0,8 m e) 1,0 m
21. H allar la densidad (en g/cm 3) del cuerpo, si el 10% de su volum en está sumergido en el líqui do (1). Las densidades de los líquidos no m iscibles (1) y (2) son:
O)
(2 )
f l p, = 1000 k g /m 3 , p 2 = 3000 k g / m 3 AGUA
a) 2,0
b)
2,2
d) 2,6
a) 10 cm
b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 18 cm
19.
22. Cuando el ascensor baja a rapidez cons tante el em puje que actúa sobre el cuerpo parcialm ente sum ergido es E=20 N. Ha llar la m agnitud del em puje, cuando el sistem a baja con una aceleración de a=5 m /s2. (g =10 m /s2) _ J _____
H allar la densidad (en g/cm 3) del casca rón esférico de radios exterior R=3 m e interior r=2 m respectivam ente, que se en
c) 2,4 e) 2,8
AGUA
1008 Física++ ********************************************************************************************** a) IO N
b) 1 2 N c)1 4 N dj 16 N e) 18 N
23. En la Fig., los pesos de las esferas de i gual volum en son; W¡=1 N, W 2=3 N. H a llar la tensión en la cuerda que une a las esferas en equilibrio. a) 2
b) 4 c)
27.
a) 0,5 N
24.
b) 1,0 N c ) l,5 N d) 2,0 N e) 2,5 N
c) 6 8'e)10
En la prensa hidráulica, las áreas d e los 2 2 ém bolos son, A]=0,1 m y A 2= l m ,¿ Q ué fuerza "F" debe aplicarse al ém bolo m enor, para m antener en reposo al auto m óvil de peso W =30 kN. D esprecie el pe so de los ém bolos? w
L a bola de densidad 0,4.103 kg/m 3 se suelta desde una altura de 3 m sobre la su perficie del agua, ¿Q ué profundidad má xim a (h) alcanza la bola?
3m
a) 1 kN %
E *
=
= h-
d) 4 m
c) 3 kN
«
X a) 1 m
b) 2 kN d) 4 kN e) 5 kN
b) 2 m e) 5 m
c) 3 m
25. Un cuerpo en el aire pesa 30 N y en el a gua 25 N y en un líquido desconocido pesa 20 N. H allar la densidad de dicho líquido. a) 1 g/cm 3 b) 2 g/cm 3 c) 3 g/cm 3 d) 4 g/cm 3e) 5 g/cm 3
28. U na boya cilindrica de m asa 348 kg y á rea de la base 0,5 m 2 flota en posición vertical en agua de m ar de densidad p I.
1,114.103 kg/m 3, g=10 m /s2 . ¿C uánto se hundirá la boya si Q iqo que pesa 557 N se sube a ella? a ) 0 ,lm
b) 0,2 m c) 0,3 m d) 0,4 m e) 0,5 m
II. ¿Cuál es el período del M .A .S, cuando Q iqo se lanza al mar?
26. L a caja cúbica de arista "H" y el cuerpo a) 7i s b) 7t/2 s c) ;t/3s A flotan en un líquido. ¿En qué razón es d) 7r/4 s e) 2 n s tán los volúm enes de la caja y del cuer 29. H allar la presión absoluta del gas, sa po?
Hidrostática 1009 ********************************************************************************************** biendo que el área del ém bolo de peso despreciable es A =0,04 m 2, la presión at m osférica P0- 100 kPa y F= 800 N.
a) 10 kPa b) 12 kPa c) 14 kPa d) 16 kPa e) 18 kPa 32. E n el tubo en form a de "U Mlos líquidos no m iscibles están en equilibrio. H allar la razón entre las presiones hidrostáticas en los puntos A y B. K
2m
(1 )
.(2 )
"i A
B
le
4
lm
a) 150 kP a b) 160 kPa c) 170 kPa d) 180 kP a e) 190 kPa
1
30. H allar la presión absoluta del gas, sabien a) 3/4 b) 4/3 2/3 do que el líquido en el recipiente es agua d) 3/2 e) 4/5 y que la presión atm osférica es P0- 100 33. En el tubo en form a de "U" de ram as ver kPa. (g=10 m /s2) ticaies e igual sección los líquidos (1); (2) y (3) están°en equilibrio. H allar la a] tura "h", si las densidades.son: pt = 3000 k g /m 3 ; p2 --^5000 k g /m 3 p3
= 4000 k g /rh 3
a) 10 kPa b) 15 kPa c )2 0 k P a d) 25 kPa e) 30 kPa 31. H allar la presión hidrostática en el punto "A". L a densidad de los líquidos no mis cibles son: (g=10 m /s2) pT= 800 k g /m 3 y p2 = 1000 k g /m 3
a) 0,2 m
b) 0,4 m c) 0,6 m d) 0,8 m e) 1,0 m
Fís¡ca++
1010
A la profundidad de 60 m se abandona una esfera de corcho de densidad 250 kg/m 3. ¿Q ué tiem po dem ora en salir a la superficie libre de agua? D esprecie toda form a de fricción. (g=10 m /s2) a )0 ,5 s b ) l,0 s d) 2,0 s e) 2,5 s
c) 1,5 s
a) 0,2 m b) 0,4 m c) 0,6 m d) 0,8 m , e) 1,0 m 35. El bloque de m asa "m" y densidad 500 kg/m 3 se abandona sobre el plano incli 39. H allar la presión en el punto A, creado nado. D espreciando to d a form a de fríe por los líquidos no m iscibles de densida ción, hallar la aceleración del bloque, des, p Hg = 1 3 6 0 0 kg/m 3, p aen =880 ( 0 = 3 0 ° ( p —1 000 kg/m 3, g=10 m /s2) kg/m 3, P h 2O= *M 0 kg/m 3, g=10 m /s2.
a) 7,1 kP a b ) 7 ,3 k P a c ) 7 ,5 k P a 36. U n barril de m adera de volum en 4.10'2 d) 7,7 kPa e ) 7 ,9 k P a m 3 flota en agua, quedando tres cuartas partes sum ergidas.¿C uál es la m asa del 40. El iceberg de densidad 910 kg/m 3 flota barril? ( p = 1000 kg/m 3) en el océano de densidad p = l 020 r kg/m 3, con un volum en de 550 m 3. fuera a) 10 kg b) 15 kg c) 20 kg del agua. H allar el volum en total del ice d) 25 kg e) 30 kg berg. 37. U na esfera hueca de radios interior r= 0,08 m y exterior R= 0,1 m flota con la m itad de su volum en fuera del agua. Ha llar aproxim adam ente la densidad de la esfera hueca en kg/m 3. a) 1010
b) 1015 c) 1020 d ) 1025 e ) 1030
38. L a barra hom ogénea de densidad igual a p -5 0 0 kg/m 3 y longitud L= 2+ ,2 m fio ta parcialm ente en agua. H allar x.
a)5 1 0 0 m ^
b )5 2 0 0 m m
c) 5 5 0 0 m
e) 59^ m
Hidrostática 1011 ********************************************************************************************** 41. Al fluido de longitud 20 cm contenido en el tubo en form a de U y sección transver sal A se le desplaza de su posición de e quilibrio y se libera. H allar el período del m ovim iento oscilatorio del fluido. (g=10 m /s2)
a) n s
b ) 2 tt s
d) n/3 s
c ) tt/2 s
a) b) c) d) e)
tud de la fuerza de fricción del líquido so bre la bola es: (g=10 m /s2) Tres veces m ayor que el peso de la bola. Seis veces m ayor que el peso de la bola. T res veces m enor,que el peso de la bola. Seis veces m enor que el peso de la bola. Igual al peso de la bola.
45. La barra de longitud y peso W =20 N está en equilibrio, sum ergida y sostenida por la cuerdas (1) y (2). El em puje del 1¡ quido es E=25 N y la fuerza ascensional que actúa a una distancia de '7 / 4 " del extrem o derecho de la barra es Fa- 1 0 N H allar la razón de las tensiones T 2/Ti=?
e) n/5 s
42. U n tém pano de hielo rectangular de área de la base A=1 m 2, altura H =0,4 m y den sidad p = 900 kg/m 3, flota sum ergido par cialm ente en agua de densidad igual a p 0 = 1000 kg/m 3. ¿Q ué trabajo se debe hacer para hundir por com pleto al tém pa no en el agua? (g=10 m /s2) a) 2 J
b) 4 J d) 8 J
c) 6 J e) 10 J
43. L a base de un hem isferio cerrado de ra dio R=30 cm, descansa en el fondo de un depósito llena de agua de densidad p = 1000 kg/m 3, a una profundidad de h = 40 cm. H allar la fuerza sobre la super ficie lateral del hem isferio debida a la presión del agua, sabiendo que entre las bases del hem isferio y el depósito existe aire a la presión atm osférica de P 0 = 105 N /m 2, g = 1 0 m /s2.
d) 4
e) 5
46. El palillo de m asa hom ogénea M =12 kg está sum ergido hasta la m itad en el agua del vaso cilindrico, la fricción es despre ciable. H allar la fuerza de presión del pa lillo sobre el vaso para ct-37°, g -1 0 m /s2 Ph20 = 1000 kg/m 3.
a) lOOrc N b) 120 tcN c) 140nN d) 1 6 0 n N e) 180 tiN 44. U na bola asciende con velocidad cons tante en un líquido cuya densidad es tres veces m ayor que la de la bola. La m agni
a) 50 N d) 20 N
b) 40 N e) 10 N
c )3 0 N
47. U n cuerpo de m asa m =250 g y densidad
1012 Fís¡ca++ ********************************************************************************************** p = 2 ,5 g/cm 3, se pesa con una balan za I. El lado "a" (en cm) del cubo, sum ergida en cierto líquido, y una “pe a) 14,1 b) 14,3 c) 14,5 sa” de m asa M = 180 g. H allar la densidad d) 14,7 , e) 14,9 (en g/cm 3) del líquido desconocido. (g = 1 0 m /s2) II. L a fuerza sobre la cara inferior del cubo, debida al líquido (2). a) 0,1 b) 0,3 c) 0,5 d) 0,7 e) 0,9 a) 1 0 0 N b) 120 N c )1 4 0 N d) 160 N ' e) 180 N 48. U n cuerpo que tiene un volum en de 17 dm requiere una fuerza de 27,9 N hacia 51. Se libera la bolita de densidad "4p" en el abajo para m antenerlo sum ergido total líquido de densidad "p", tardando en lie m ente en agua de densidad 1000 kg/m 3. gar al fondo del deposito 2 s. (g=10 m /s2) Si para m antenerlo sum ergido en otro lí quido se necesita que la fuerza sea de 16 N, hallar la densidad relativa de este ú¡ tim o líquido.(g-=l 0 m /s2) a) 0,91
b) 0,93 d) 0,97
c) 0,95 e) 0,99
49. ¿En qué razón están los trabajos (W j/W 2) realizados por separado, al sum ergir com I. pletam ente dos cubos de igual tam año y densidades p i-4 0 0 kg/m 3, p2-6 0 0 kg/m 3, respectivam ente, que flotan sumergidos parcialm ente en agua de densidad igual a II. pcñlOOO k/m 3? a) 2,00
b) 2*25 d) 2,75
* c) 2,50 e) 3,00
H allar la altura "H" del depósito. a) 11 m b) 12 m , d )1 4 m e) 15 m
c) 13 m ?)
¿Q ué porcentaje de la aceleración de caí da libre, representa la aceleración de la bolita? a) 5 5 %
' b) 60 % c) 65 % d) 70 % e) 75 %
50. El cubo de lado "a" y peso W =60 N está sum ergido en dos líquidos de densidades 52. E n el recipiente que contiene dos líquj dos no m iscibles de densidades =1 P i = 2 g/cm 3 y p 2 = 8 g/cm3. La tensión g/cm 3 y p 2 = 2 g/cm 3 se encuentra su en la cuerda de longitud " a / 2" es T=40 m ergido el cubo de lado a = I0 cm. Hallar el em puje sobre el cubo. (g=10 m /s2)
N. Hallar: (g = 1 0 m /s2) Pl
V Pl a
2a
a
2a P2
P2
■■
a
Hidrostática 1013 ********************************************************************************************** a) IO N
b) 15 N d) 25 N
c)2 0 N
¿Q ué fuerza debe aplicarse al ém bolo de área A¡, para que los resortes idénticos de constantes elásticas k=120 N /m , co nectados al em bolo A2 (A2=10A i), se de formen una longjtud de x=10 cm?
e) 30 N
53. Las bolas "1" y "2’' del mismo tam año co nectadas por un alam bre de peso despre ciable, tienen densidades relativas 0,6 y 1,2. H allar la densidad (en g/cm 3) del lí quido en la que están sum ergidas las bo las. (densidad del agua p 0 = 1 g/cm 3)
a) 2,0 N b) 2,2 N c) 2,4 N d) 2,6 N e) 2,8 N 57. El tetraedro regular de arista a=40 cm, es ta sum ergida totalm ente en un líquido de densidad p=1000 kg/m 3 con su base pa ralela a la superficie. L a presión atmosfé rica es P 0=105 N /m 2. Hallar: (g=10 m /s2)
Pl
a) 0,5
b) 0,6 d) 0,8
c) 0,7 e) 0,9
54. U n cuerpo flota sum ergido en un deposi to que contiene H20 y Hg, con un 20 % d e su volum en en H 20 y el resto en Hg. H allar el peso específico (en kN /m 3) del cuerpo. (ph^>= l'OOO kg/m 3, pHg= 13 600 kg/m 3, g = 1 0 W s 2) a ) 100,8 b) 110,8 c) 120,8 { í * d) 130,8 e) 140,8 55. La fuerza resultante que ejerce un Iíqui do com prim ido sobre las tres caras latera les de un tetraedro regular de arista a = 10 cm, es de F = 3 .104 N. H allar la pre sión del líquido. (M =106) a) 1 M Pa
b) 2 M Pa c) 3 M Pa d) 4 M Pa e) 5 M Pa
I.
L a fuerza sobre cada una de las caras late rales, debida a la presión atm osférica. a) 2301,4 N b )2 3 0 3 ,4 N c )2 3 0 5 ,4 N d) 2307,4 N e) 2309,4 N
II. L a fuerza sobre cada una de las caras laterales, debida a la presión del líquido. a) 50,3 N b) 51,3 N c) 52,3 N d) 53,3 N e) 54,3 N III. L a razón entre las fuerzas debidas a la presión atm osférica y hidrostática. a) 30
b ) 35 d).45
56.
c )4 0 e) 50
A2 k T íijw y ííí
A, H 20
k
58. El cubo de lado a=20 cm y densidad p = 0 ,l g/cm 3 está sum ergido con la m itad de su volum en en agua de densidad p0= l g/cm 3. Hallar: (g=10 m/s3) I La constante elástica del resorte, si este
1014 Física++ ********************************************************************************************** esta deform ado una longitud de 5 cm. a) 30 N /m b) 35 N /m c) 40 N /m d) 45 N /m e) 50 N /m
61. La bolita de densidad "p " se suelta desde el fondo del deposito que contiene volu m enes iguales de líquidos de densidades Pj = 2 ,6 p y p 2 = ¿ 9 p . H allar: (H=2 m, g=10 m /s2)
P2 H Pl
II. El periodo de las pequeñas oscilaciones que realiza el cubo. a) 0,17 s
b) 0,27 s c) 0,37 s d) 0,47 s e) 0,57 s
J2L
La razón de las aceleraciones en los líqui dos 1 y 2 (ai/a2=?)
a) 1,70 b) 1,72 c) 1,74 59. H allar el período de las pequeñas oscila d) 1,76 e) 1,78 ciones de un péndulo m atem ático de Ion gitud igual a £=40 cm, sum ergido total IL L a razón de las rapideces de la bolita en m ente en un líquido, cuya densidad es ^os Puntos B y A (vB/vA ?) r| = 3 veces m enor que la de la bola del péndulo. D espreciar la resistencia del lí quido. (g=10 m /s2) a) 1,14 s
b) 1,24 s c )l,3 4 s d ) l,4 4 s e ) l,5 4 s
a) 1,00
b) 1,25 d) 1,75
c) 1,50 e) ,00
III. El tiem po que tarda la b olita en llegar a la superficie libre.
a) 0,68 s b) 0,72 s c) 0,76 s 60. La pelota de je b e de ra d io il= 1 0 cm flota d) 0,80 s e) 0,84 s en el agua de form a que su centro se ha lia a la altura de H =9 cm sobre la super 62- D esde la superficie libre de un depósito cúbico que contiene un líquido de densi ficie.¿Q ué trabajo se debe hacer para hun dad " p 0 " y altura H =80 cm, se lanza ver dir la pelota hasta el plano diam etral? ( p 0 = 1000 kg/m 3 , g=10 m /s2)
ticalm ente hacia abajo una pelotita de densidad "p" ( p 0 = l,4 p ). ¿H asta que dis tancia del fondo del deposito llega la pe lotita? (g=10 m /s2) a) 10 cm
a) 0,36 J
c) 0,56 J b) 0,46 J d) 0,66 J e) 0,76 J
b) 15 cm c) 20 cm d) 25 cm e) 30 cm
63. Si el tam año de una pelotita de densidad "p" que se suelta, del fondo de un deposi to que contiene un liquido de densidad "P o" (Po“ l>2p), se
duplica y
la densi
Hidrostática 1015 **********************************************************************************************
I.
dad del liquido se reduce en un 25 %. Ha llar: L a razón de las aceleraciones de la boli ta, después y antes del cam bio experim en tado. a) 1 b) 2 c) 4 d )6 e) 8
II. L a razón de los tiem pos que tarda la boli ta en salir a la superficie libre, después y antes del cam bio experim entado. a) 1
b) 2 d) 4
c) 3 c) 5
" p 2" se sueltan sim ultáneam ente en la superficie libre de un liquido de densidad " P l " contenido en un deposito. H allar la razón de los tiem pos (tj/t2=?) que tardan en llegar al fondo del deposito. (g= 10 m/s2, p ,= 5 /3 p L, p2" 5 /4 p L) a) I d) 0,5
b) 2 ■ e) 0,4
c) 3
67. D em ostrar que el em puje que ejerce un liquido sobre un cuerpo sum ergido en el, es independiente de la form a del cuerpo, solo depende de su volumen.
64. El bloque cúbico de m adera de arista 68. H allar la fuerza necesaria para separar a - 2 0 cm y peso específico p = 0,8 g/cm3 los hem isferios de radio R=5 cm, unidos está sum ergida totalm ente en agua de herm éticam ente, estando el exterior de densidad p 0 = 1 g/cm 3. H allar la tensión los hem isferios a la presión de P0 = 105 en la cuerda. (g= 10 m /s2) N /m 2 y al interior se h a hecho un vacío perfecto.
lL p l P 0(1 a) IO N
b) 1 2 N d) 16 N
c)1 4 N e) li£N
65. U n cuerpo de densidad " p 0"se suelta des
a) IOOtiN b) 150 tiN c) 2 0 0 ttN d ) 2 5 0 jiN e) 300 tiN
de el fondo de un deposito que contiene 69. E n un recipiente co n agua de densidad un líquido de densidad " p L" hasta una al P l= 1 g/cm 3, flota un bloque cúbico de tura de H=40 cm. El volum en del cuerpo hielo de aristas 8=20 cm, y densidad depende directam ente de la altura de lí pH=0,5 g/cm3. ¿Q ué fuerza se necesita a quido a la que se encuentra, siendo su vo plicar verticalm ente hacia abajo, para lumen en el fondo Vo y en la superficie m antener al hielo sum ergido totalm ente? libre 2V 0. H allar la rapidez con la que lie g a el cuerpo a la superficie libre, (g -1 0 a) IO N b )20N c )3 0 N m /s2, pL=2po) d) 40 N e) 50 N a) 1 m /s
b) 2 m /s c) 3 m/s d) 4 m /s e) 5 m/s
66. D os esferas 1 y 2 de densidades " p j ” y
70. Las esferitas del m ism o tam año de densi dades " p , ” y " p 2 ", unidas puntualm en te, se sueltan del fondo del deposito de al tura H =2,8 m. Si a la m itad del recorrido
1016 Física++ ********************************************************************************************** Ja esferita "2" se desprende. ¿C uánto tiem po antes (A) o después (D) del tiem po esperado, llega la esferita "1" a la su perfície libre? (g=10 m /s2) V
H
73. Sobre el ém bolo de área A] =400 cm2 se ubica el bloque de peso W =12 N. ¿Qué fuerza m ínim a debe aplicarse al émbolo de form a cuadrada de área A2=100 cm 2, para evitar que agua salga del deposi to. (h=50 cm, pL= l g/cm 3, g—10 m /s2)
................
.M
© PL
m
>
2
b) D, 21,32 ms a) A, 21,32 ms c) A, 31,32 ms d) D, 31,32 ms e) A, 51,32 ms
a) 50 N b) 52 N c)5 4 N d) 56 N e) 58 N 71. Las m itades de la esfera com pacta flotan en dos líquidos de densidades relativas 74. Indicar las proposiciones verdaderas (V) 0,8 -y 1,2. H allar el peso específico (en o falsas (F): kN /m 3) d e la esfera. La densidad del a I. L os líquidos ordinarios en general son a gua es ppfco = 1000 kg/m 3 y g=10 m /s3. nisótropos. II En condiciones norm ales, la interacción m olecular en gases es mas intensa que en líquidos. III. E n el universo el cuerpo que tiene la ma yor densidad son las llam adas estrellas “enanas” . a) FV V c) 30
a) 10 d) 40
e) 50
b) V FF d) VFV
c )F V F e) FFF
75. Los ém bolos del recipiente de áreas A (= 40 cm2, A2=20 cm2 y pesos despreciables 72. Indicar las proposiciones verdaderas (V) están unidos por el resorte de constante o falsas (F): elástica k=50 N /m y contienen agua de I. El em puje siem pre actúa en sentido o densidad pL= l g/cm 3. H allar la deforma puesto al del peso del cuerpo. ción del resorte. (£ = 10 cm, g=10 m/s2) II. El em puje siem pre actúa en el centro de gravedad del cuerpo sumergido com pleta ininnnmioninTT mente o parcialm ente. III. L a fuerza de presión en un líquido siem pre es una fuerza de extensión. PL a) FVV
b) V FF d) VFV
c) FVF e) VVF
Hidrostática 1017 ********************************************************************************************** **************** a) 1 cm
b) 2 cm
c) 4 cm
d) 6 cm
e) 8 cm
d) V FV
e) VVF
I.
H allar la altura h (en cm) del bloque.
a) 20,7 b) 22,7 c)2 4 ,7 76. Indicar las proposiciones verdaderas (V) d) 26,7 e) 28,7 o falsas (F): II. H allar la densidad’(en g/cm 3) del bloque. I. L a fuerza resultante sobre la superficie li bre de un líquido no siem pre es perpendi a) 0,22 b) 0,26 c) 0,30 cular a ella. d) 0,34 e) 0,38 II L a presión m anom étrica es la creada por gases encerrados en recipientes conside III. Al ubicar el b loque,con su b ase paralelo a la superficie libre, que variación experi rando la presión atm osférica m enta su energía potencial gravitatoria. III. El principio de A rquím edes solo es váfi do para líquidos. a) 1,0 J b) 1,2 J c) 1,4 J d) 1,6 J e) 1,8 J a) FV V b) FFF c)F V F
77. U na pelota com pacta hom ogénea de ra dio R =10 cm y densidad p = 500kg/m 3, flo ta parcialm ente sum ergida en agua de densidad p0 = 1000 kg/m 3. H allar la altu ra sum ergida de la pelota. (g=10 m /s2)
79. L a barra de m asa=10 g, longitud £=20 cm, sección cuadrada de lados a= l cm flota en posición vertical sum ergida par cialm ente en agua de densidad pL= l g/cm 3. H allar la cantidad de calor que se desprende al dar m edia vuelta a la barra situándola en posición horizontal. (g=10 m /s2) 1, y
............. . PL
a) 4 cm
b ) 6 cm • c) 8 cm d) 10 cm e) 12 cm
78.E1 bloque en form a de paralelepípedo re guiar de sección cuadrada de lados a=24 cm esta sum ergida en agua de densidad P l- 1 g/cm 3, una longitud de b=18 cm , (g =10 m /s2)
a) 4,00 mJ b ) 4 ,2 5 m J c) 4,50 mJ d) 4,75 mJ e) 5,00 mJ 80 .
El cubo de arista "a" se encuentra en equi librio, parcialm ente sum ergido en agua
1018 Fis¡ca++ ********************************************************************************************** de densidad po=l g/cm . H allar la densi dad (en g/cm 3) del cubo, para a = 37° y g=10 m/s2. a) 0,31
b) 0,33 d) 0,37
c) 0,35 e) 0,39
83. U n cuerpo tiene com o peso aparente en agua 1 N m enos que cuando está en acei te de densidad P a=0,8 g/cm3. H allar el vo lum en (en cm 3) del cueipo. (g=10 m /s2, densidad agua pL*=l g/cm 3) a) 400
b) 450 d) 550
c) 500 e) 600
81. Se tiene un depósito de base cuadrada de lados a -4 0 cm, que contiene agua de den 84. U n a esfera de cierto m aterial pesa 480 sidad pL- l g/cm 3. A u na profundidad de kN en el aire, 360 k N en agua, 300 kN en h=50 cm se encuentra el tapón de longi una solución acuosa de cierto com pues tud £=20 cm, sección cuadrada de lados to. H allar la densidad (en g/cm 3) de la so b=10 cm. H allar la fuerza del agua sobre lución acuosa. (g=10 m /s2). la cara cuadrada del tapón, cuando este a a) 1,1 b) 1,3 c) 1,5 ingresado totalm ente en el deposito. (g= d) 1,7 e) 1,9 10 m /s2) V
85. Se tiene una pelota de ping pong de radio R=2 cm y densidad m edia p=0,09 g/cm 3. ¿Q ué fuerza se requiere para m antener totalm ente sum ergida la pelota en agua de densidad pL= I g/cm 3. (g=10 m /s2)
a
-f .-y - - ; 1 . h
PL
a) 0,1 N
t
b) 0,2 N d) 0,4 N
c ) 0 ,3 N e) 0,5 N
a) 50,25 N b) 52,25 N c) 54,25 N d) 56,25 N e) 58,25 N
86. L a boya esférica de m adera de diámetro D = l,2 0 m, flota sumergido parcialm ente en agua de densidad pL= l g/cm 3 con h= 82. L a esfera "A" Apta con te m itad de su vo 40 cm de su diám etro fuera de ella. Ha lumen sum ergido en agua de densidad llar la densidad (en g/cm 3) de la boya. P l= 1 g/cm 3. A l unirse la esfera "A" con (g=10 m /s2) la esfera "B” de idéntico tamaño, am bos flotan sum ergidos totalm ente. H allar la densidad de la esfera "B ". (g=10 m/s2)
a) 0,37 á® ) PL
PL
a) 1,1
b) 1,2 d) 1,6
c) 1,4 e) 1,8
b) 0,47 d) 0,67
c) 0,57 e) 0,77
87. U no de los extrem os del resorte de cons tante elástica k=90 N/m, está unido al globo de m asa m=2 g, lleno de gas de he
Hidrostática 1019 ********************************************************************************************** lio de densidad pHe“ 0,18 kg/m hasta un volum en de V=5 m 3. H allar la longitud deform ada del resorte. (pA= l,2 9 kg/m 3, g=10 m /s2)
a) 60 cm
b) 62 cm c) 64 cm d) 66 cm e) 68 cm
88. U n paralelepípedo de base cuadrada de lados a=20 cm, altura H =40 cm, densi dad p=0,25 g/cm 3 se encuentra flotando sum ergido parcialm ente en agua de densi dad pL= l g/cm 3. Tom ando com o nivel de referencia la superficie libre, hallar su e nergía potencial. (g=10 m/s2) a) 4 J
b) d) 7 J
5J
PL~0,25p. H allar el periodo de las peque ñas oscilaciones de la sem iesfera, al sa carse del equilibrio. (g=10 m /s2)
a) 0,45 s b ) 0 ,5 5 s c ) 0 ,6 5 s d) 0,75 s e) 0,85 s 91. L a esferita de radio R y densidad "p" se suelta del fondo del depósito que contie ne un líquido de densidad " P l "' Si a di cha esferita se le practica una cavidad de radio R/2 y se llena con otro m aterial de densidad " p / 2” y se suelta del fondo del deposito, ¿En cuanto cam bia el tiempo que tarda en llegar a la superficie libre? (g=10 m /s2, p = 2pi/3, H =40 cm)
c) 6 J e) 8 J
89. E n el sistem a en equilibrio, los pesos de los bloques son: WA=5 N , W B=10,29 N, el ángulo de inclinación 0=37°. La densi dad del agua pL= l g/cm 3..H allar la arista del bloque cúbico'B . (g=10 m /s2) a )3 1 m s b )3 3 m s c)3 5 m s d) 37 ms e) 39 ms 92. H allar la diferencia de presiones entre un punto A situado a 40 m de profundidad en el mar, y un punto B situado a 4000 sobre el nivel del mar. L'al‘densidad del a) 8,0 cm b) 8,5 cm c) 9,0 cm aire de m ar es pA= l,2 9 kg/m 3, del agua d) 9,5 cm e )1 0 ,0 c m de m ar pM= l,1 2 g/cm 3, g=10 m /s2 y 1 90. L a sem iesfera hom ogénea m aciza de ra atm = l,0 1 3 .1 0 5 N /m 2) dio R =20 cm y densidad "p"se encuentra a ) 4 ,1 3 a tm b ) 4 ,3 3 a tm c ) 4 ,5 3 a tm en equilibrio, sobre el fondo de un depo d) 4,73 atol e) 4,93 atm sito que contiene un liquido de densidad
1020 3 ********************************************************************************************** F Í S Í C
93. El cam ión que lleva un depósito comple tam ente llena de agua de densidad p= l g/cm 3 y herm éticam ente cerrado, se m ué v e con aceleración de a=5 m /s2. H allar la presión en el punto P, si x = l,4 m, y = l,2 m y g=10 m /s2)
+ +
to de base cuadrada de área A =1000 cm . ¿E n qué porcentaje cam bia la presión en el punto P, si se sum erge totalm ente el cu bo de hielo con una fuerza mínima. (H -2 0 cm, g - 1 0 m/á2) Ph í
y|
Pa
a) 16 kP a b )1 7 k P a c)1 8 k P a d) 19 kP a e) 20 kPa
P
a) 0 ,1 % b) 0,2 % c) 0,3 % d) 0,4 % e) 0,5 %
94. El ascensor asciende con una aceleración 97. E l recipiente en form a de cono regular de volum en V =500cm 3, flota sum ergido par de m agnitud a=5 m /s2. L a bolita de peso cialm ente en agua. H allar el volum en (en W =40 N y densidad p=2 g/cm 3 esta su cm 3) de agua que debe verterse en el reci m ergida en agua de densidad pL= l g/cm 3 píente para hundirlo com pletamente. H allar la tensión en la cuerda. (g=10 m /s2)
PL
a) 30 N
b) 35 N d) 45 N
c)4 0 N e) 50 N
95. En la superficie del agua de densidad pL- l g/cm 3, se suelta un cuerpo que des ciende con una aceleración de m agnitud "g /3 ". H allar la densidad (en g/cm 3) del cuerpo. (g=10 m /s2) a) 1,1
c) 1,5 e) 1,9
b) 392
c) 394 e) 398
98. U n globo que pesa W=1 N es llenado con un volum en de V=5 m3 de hidrogeno de densidad pn=0,09 kg/m 3. L a densidad del aire es de p A= l,2 9 kg/m 3. H allar la fuerza ascensional del g lo b o .(g -1 0 m/s2) a) 30 N
b) 1,3 d) 1,7
a) 390 ■ d) 396
b) 40 N c)5 0 N d) 60 N e) 70 N
99. El prism a rectangular de lados a-b = c= 1 0 cm, se halla en un líquido a la presión de 96. El cubo de hielo de arista a=10 cm, densi P=2.105 N /m 2. H allar la suma de las fuer dad pH=0,9 g/cm 3 flota en agua de densi zas sobre las caras laterales del prisma. dad pA~ l g/cm 3, contenida en el deposi (g=10 m /s2)
Hidrostática 1021 ********************************************************************************************** 102.Los cilindros idénticos se sitúan de la m anera indicada. El cilindro inferior está unida a la pared vertical m ediante cables que form an con ella un ella un ángulo de 45°. El cilindro superior está sum ergida a m edias en el agua de densidad Pl= 1 g/cm 3. H allar la densidad (en g/cm 3) de los cilindros. (g=10 m /s2) a) 1000 7 2 N c) 2000-72 N
b) 1500 72 N d) 2500 7 2 N
e )3 0 0 0 7 2 N lOO.La esfera tapa un orifico de radio r=20 cm situado en la pared que divide dos lí quidos con presiones 3P y P. ¿Con qué fuerza se aprieta la esfera contra la pa red? (g=10 m /s2, P=5 kPa)
a) 1/3
b) 2/3 d) 4/5
c) 3/4 e) 3/5
103.E1 recipiente que contiene agua de as ciende p o r el plano inclinado 45°, respec to de la horizontal. (g=10 m /s2)
a) 1,22 kN b) 1,26 kN c) 1,30 kN d) 1,34 kN e) 1,38 kN lO l.H allar la presióif de los cilindros de ma I. ¿Para qué aceleración del recipiente, el sa m=10V3 kg sobre las paredes del ca nivel del agua es horizontal? nal. El cilindro superior está sum ergido a m edias en el agua y el inferior roza la su a) 0 m /s2 b) 1 m /s2 c) 2 m /s2 perficie libre del agua con su parte supe d ) 3 m i s2 e) 4 m is2 rior. (g=10 m /s2) II. ¿Para que aceleración del recipiente el ni vel del agua form a 16° con la horizontal? a) 5,1 m /s2 b) 5,3 m/s2 c) 5,5 m /s2 d) 5,6 m /s2 e) 5,9 m /s2
a) SON b) 100 N c )1 5 0 N d) 200 N e) 250 N
104.Un bloque cúbico de m asa m =500 g, a rista a=10 cm tapa un agujero cuadrado en el fondo de un deposito que contiene una capa de 10 cm de aceite de densidad
1022 Física++ ********************************************************************************************** pA=0,8 g/cm 3, y otra capa de 5 cm de cierto líquido de densidad Pb= 1,2 g/cm 3. H allar la fuerza vertical que actúa sobre el bloque en el agujero. (g=10 m /s2)
fricción entre la superficie y el bloque es Ps~0,25 ¿Para qué valor m ínim o de la fuerza F, el bloque está en equilibrio? (g=10 m /s2) ^ a) 80 N
lOcm
PA
5cm
Pb
I,
a )8 N (4 0 b) 8 N ( t ) c )1 3 N (i) d) 13 (T) e) 14 N (4-) 105.Un orificio circular de radio r=2 cm, si tuado en el fondo del deposito se cierra con un cono regular de altura h=9 cm, radio R=6 cm. El deposito contiene agua de densidad pL= l g/cm3, hasta una altura de H =20 cm. H allar la fuerza m inina que se necesita para levantar el cono. (g=10 m /s2)
d) 95 N
b) 85 N c) 90 N e) 100 N
107.E1 recipiente cerrado que contiene agua de densidad pL= l g/cm 3 hasta una altura de h=40 cm, asciende verticalm ente con una aceleración de a=5 m /s2. H allar la presión en el fondo del recipiente. (g=10 m /s2)
Th 1 a) 4 kPa b) 4 kP a c) 5 kPa d) 6 kP a e) 7 kPa 108.E1 recipiente que contiene agua de as ciende por el plano inclinado 53°, respec to de la horizontal. (g=10 m /s2)
a) 140 N b) 142 N c)1 4 4 N d) 146 N e) 148 N 106 .
¿Para qué aceleración del recipiente, el nivel del agua es paralela al plano incli nado? a) 5 m /s2 b) -5 m /s2 c) 8 m /sa d ) - 8 m /s 2 e) 10 m /s2 Ps
PL
El bloque cúbico de arista a=10 cm y pe so W =40 N, está en equilibrio a una pro fundidad de h=20 cm. El coeficiente de
II. ¿Para que aceleración del recipiente el ni vel del agua form a 16o con la horizontal? a) 1,25 m /s2 b) -1,25 m /s2 c) 3,45 m /s2 d ) -3,45 m /s2 e) 2,54 m /s2
Hidrostática 1023 ********************************************************************************************** 109.La presa de agua de Cuti tiene una altura de h=150 m y un ancho de £=1200 m. La densidad del agua es pL= l g/cm 3. Hallar: (g=10 m /s2)
lio es pHe-0 ,1 8 kg/m 3 y la densidad del ai re pA= l,2 9 kg/m 3. (g=10 m/s2)
a) 617
b) 6 Í9 d) 623
I.
L a fuerza (en nN ) que ejerce el agua so bre la pared de la presa. a) 131
b) 133 d) 137
112.Un cilindro com pacto de altura h=25 cm y densidad "p" flota parcialm ente en a gua de densidad pL=l g/cm 3 (p=0,8pL). Se sum erge en el agua una pequeña altu ra "x " , y se libera. (g=10 m /s2)
c) 135 e) 139
II. El m om ento (en TN .m 2) de la fuerza hi drostática, respecto del fondo de la presa. a) 6,00
b) 6,25 d) 6,75
V v -r,
c) 6,50
a) 30 m b) 35 m c) 40 m d) 45 m e) 50 m *
1,
■ H
P
e) 7,00
III. ¿A qué distancia del fondo de la presa ac tú a la fuerza hidrostática?
c)6 2 1 e) 625
PL
I.
Probar que las oscilaciones que realiza el cilindro son arm ónicas sim ples. II. H allar la frecuencia angular (en rad/s) de las pequeñas oscilaciones del cilindro.
110.De un deposito que contiene agua de a) 7,1 b) 7,3 c) 7,5 densidad pL=l g/cm 3, em erge una burbu d) 7,7 e) 7,9 j a de aire de radio R=10 cm desde una profundidad de h=10 m. H allar la canti III. H allar el periodo de las pequeñas oscila dad de calor desprendido. (g=10 m /s2) ciones del cilindro. a) 413 J b) 416 J c )4 1 9 J d) 422 J e) 425 J 111.Globos de helio que tienen m asas de m =5,0 g cuando están desinflados y con radios de R=20 cm cada uno son utiliza dos por un niño de m asa M =20 kg para levantarse a si m ism o del piso. ¿Cuántos globos se necesitan si la densidad del he
a) 0,81 s b) 0,83 s c) 0,85 d) 0,87 s e) 0,89 s IV. ¿En qué porcentaje aum enta (A ) o dismi nuye (D) la frecuencia, si la altura aumen ta en un 10 %? a) A, 3 ,7 5 % b) D, 3,75 % c) A, 4,65 % d) D, 4,65 % e) A, 7,50 %
1024 Física++ »******************?*************************************************************************** hom ogéneo de longitud t = 60 cm. ¿Con q u é fuerza presiona el palo el fondo del depósito de agua? (g = 10 m /s2)
113.Un globo aerostático se llena con un vo lum en de V=4 m 3 de helio d e densidad pHe=0,18 kg/m 3. La densidad del aire es pA= l,2 9 kg/m 3 ¿Q ué carga puede levan tar el globo? (g=10 m /s2) a) 44,0 N b) 44,2 N c ) 4 4 ,4 N d) 44,6 N e) 44,8 N 114.La rana dentro del hem isferio de radio R=6 cm y peso despreciable, flota a nivel sin hundirse en el agua de m ar de densi dad pL= l,3 5 g/cm 3. H allar la m asa de la rana. (g = !0 m /s2t
d) 619 g
a) 3 0 0 ít N b );3 2 0 7 tN c) 3 4 0 tt N d) 3 6 0 ti N e) 3 8 0 ;t N 117.E1 globo ligero lleno de helio de densi dad pne=0,18 kg/m 3 esta unida m ediante u n a cuerda de longitud £=3 m al piso. Si el globo se desplaza ligeram ente de la po sición de equilibrio y se libera. (g=10 m /s2)
e) 623 g
115.E1 globo aerostático de volum en V=50 m 3 ha sido inflado con gas de helio de densidad pHe~ 0 ,17 kg/m 3. H allar la fuer za de fricción que actúa sobre el bloque de m asa m =100 kg, sabiendo que p s = 0,66, pAire" 1,29 kg/m 3 y.g=10 m /s2.
Pl
I.
Probar que las oscilaciones que realiza el globo son arm ónicas sim ples. II. H allar la frecuencia angular (en rad/s) de las pequeñas oscilaciones del globo. a) 4,51
b) 4,53 d) 4,57
c) 4,55 e) 4,59
III. H allar el periodo de las pequeñas oscila ciones del globo. a) 1,31 s b) 1,35 s c )l,3 9 s d) 1,43 s e) 1,47 s a) 660 N
b) 560 N c) 460 N d) 360 N e) 260 N
l ló .L a bola de radio R=30 cm flota con la m itad de su volum en en agua de densj dad pL= l g/cm 3, unida a un palo pesado
118.Por un orificio situado en la base de un depósito que contiene agua una altura de h=4 m, sale un caudal de 50 lt/min. Ha llar el caudal (en lt/m in) si sobre la super fície libre del agua se aplica una sobre presión de 5 N /cm 2. (Peso específico del
Hidrostática
1025
********************************************************************************************** agua y = 10 000 N /m ) a) 55
b) 60 d) 70
c) 65 e) 75
l! 9 .U n globo se usa para suspender un blo que de alum inio de densidad pA|=2,7 g/cm 3 y volum en V=0,020 m3 en agua de densidad P l= 1 g/cm 3 llenándolo con aire de densidad pA= l,2 9 kg/m 3. (g=10 m /s2)
121.Las esferas (1) y (2) de volúm enes V y 2V y densidades p i= 0,5pL, p]=0,25pL, es tán en equilibrio sum ergidas en agua de densidad P l" 1 g/pm3. L a barra horizontal que une las esferas es de longitud £=60 cm. H allar "x ". (g=10 m /s2, 0 es un eje)
a) 30 cm b) 32 cm c) 34 cm d) 36 cm e) 38 cm
I.
H allar el volum en (en mm3) de aire que se necesita para suspender el bloque de Al con la parte superior del globo en la superficie del agua. a) 30
b) 32 d) 36
c) 34 e) 38
II. Si el bloque de A l presenta una cavidad de volum en V '= 0,0006 m3 en su interior, ¿Q ué porcentaje del volum en del globo esta fuera del agua? (D espreciar la m asa de aire en el globo) a) 4 1 ,6 %
b) 43,6 % c ) 4 5 ,6 % d) 47,6 % e) 49,6 %
120.Del suelo se suelta un globo esférico de m asa m=2 g y radio R=15 cm, lleno de hidrógeno de densidad pH = 0,09 kg/m 3; unida a una cuerda enrollada de longitud i = 30 m y densidad \ - 0,001 kg/m. H a llar la altura alcanzada por el globo, en el equilibrio. (D ensidad del aire p A = 1,293 kg/m 3, g=10 m /s2) a )1 0 m
b) 15 m c)2 0 m d) 25 m e) 30 m
122.Un globo de m asa total m =200 kg, volu m en V =200 m 3 inflado con un gas de den sidad p = 0,29 kg/m 3, se suelta del repo so. ¿Q ué distancia recorrerá el globo en t=2 s, si p ^ g = 1 ,2 9 kg/m 3 y g=10 m /s2? a) 10 m b) 15 m c)2 0 m d) 25 m e) 30 m 123.¿Cuántos m etros cúbicos de helio de den sidad pHe= 0 ,18 kg/m 3 son necesarios pa ra elevar un globo con una carga de peso W =400 N hasta una altura de h=8000 m? El volum en del globo se m antiene cons tante y la densidad del aire viene dado por: p = p0e'*/aoo°, donde la altura " z" está en m etros y po=l,29 kg/m 3 la densidad del aire a nivel del mar. a) 1318 b) 1338 c) 1358 d) 1378 e) 1398 124.Una bola em erge con velocidad constan te de un líquido de densidad 4 veces ma yor que la de la bola. ¿C uántas veces ma yor es la fuerza de fricción (f) sobre la bo la que em erge que el peso de esta (W)? a) 1 vez b) 2 veces c) 3 veces d ) 4 veces e ) 5 veces
Física++
1026
* *********************************************************************************************
V = 110.10”3m 3
SO L U C IO N A R IO
Así, la densidad de la gasolina es: _ m _ » 72,6
Solución: 01 L a densidad del alcohol etílico es: m
P _ V " 110.10-3
63,3 g
P “ V " 80,0 cm 3
P = 0 ,7 9 1 - - r -
*
cm
+ p = 660 k4 .m
©
®
Solución: 05 L a densidad del aire, viene dado por:
Solución: 02 L a densidad del tetracloruro es:
P=
m
l
V
0,7752
P = P rP H 2 0 =(1,60X1000) p = 1600
+ pP = - .1,29 .~ ^ 3 m
kg m
Solución: 06 La densidad de la bola de acero es:
Luego, el volum en pedido es: V=
m p
®
40 1 3 = —- = - - m 1600 40
m P=
(tiD 3 16)
P=
_ ( ti 0,753 / 6)
Com o, 1 m 3 = 103 lt, entonces:
®
* p + V = 25 lt
cm
®
Solución: 03 • El peso de 1/2 m del alum inio es: W = m g = pV g
Solución: 07 • Sea "m" la m asa de la pepita, entonces, "m -138" será la m asa del cuarzo, luego, se cumple: ^PEPITA = ^O R O + ^CUARZO
W = (2 7 0 0 )(|)(1 0 )
* W = 13500N
©
m _ 138
(m - 1 3 8 )
6,4 ~ 19,3
2,6
0,228 m = 45,926 •
Solución: 04 El volum en del bidón, viene dado por: m H2o _ 110 V
=
P h ,o
1000
+ m = 201,43 g
©
Solución: 08 • L a razón de las presiones en los puntos A y B es:
Hidrostática 1027 ********************************************************************************************** Pa = p.g.(H /4)_ PB
AP = (0,8.103)(10)(10.10-2 )
p.g.(3H / 4) *
PA = I PB 3
+ (1,2.103)(10)(5.10” 2) ®
AP = 800 + 600 * AP = 1,4 kPa
Solución: 09 • El m ódulo de la fuerza en el fondo del depósito es: F = yhS = (10 )(3)(9) * F = 2,7.10 N
©
Solución: 11 • D e la representación de las fuerzas, se observa que el em puje E y el peso W están en la vertical, com o E>W , se puede reem plazar por un único vector vertical hacia a rriba.
L a fuerza resultante en la dirección del plano inclinado es cero, p o r lo que: El m ódulo de la fuerza m edia sobre las ca ras laterales del depósito es:
T = (E - W )sen30° T = g V (p LIQ - p ESF)sen30°
F m = P m S = (.PA2— ®>S T = (10 )(4 .10~3)(1000 - 4 0 0 )(^ ) Fm = ( 0+2Y h )S = i ( 1 0 4)(3)(9)
* F = 1,35.10 N
©
Solución: 10 • D el principio fundam ental de la hidrostá tica, hallem os la diferencia de presiones en tre los puntos 2 y 1, así: P2 = P l + P A g h A + P B § h B AP = P2 - P ] = p Ag h A + pBg h B
* T = 12N
®
Solución: 12 • Sea V el volum en de la esfera, entonces el volum en sum ergido es V/2.
1028 Física++ ********************************************************************************************** Com o la esfera está en equilibrio, su peso (W ), es igual al em puje (E), esto es: E=W
=>
V s 0,5m Pero, V= h.S, siendo "S" el área del bloque y "h" su espesor, luego:
PH2o g | = W
0,5 = (0,5)S (1000)(10)^ = 30.103
* S = 1m 2
* V=6m Solución: 13 El m ódulo de la fuerza que soporta el o cular es:
B
Solución: 15 • Según teoría, la presión debida a un lí quido, es directam ente proporciona/ a su pe so específico y a su altura, pero la altura es la m ism a para los tres líquidos luego:
F = PS = y h S ? A > P B> P C F*(YrYH2o X h X ^ D 2) F = (10300)(103)(- 7 il5 2.10~4) 4 * F = 1,82.10 N
©
Solución: 14 • Com o el hom bre está en equilibrio, el em puje del agua (E) m enos el peso del blo que de hielo (W h), es igual, a su peso (500 N ), esto es: »
©
Solución: 16 • Según el principio de Pascal la presión en am bos ém bolos es la m ism a, es decir: _ ft _ r2 P = Ai 10 tc(2 0 )2/ 4
j i (80)2 /4
* F, = 640 N
©
Solución: 17 • A m edida que se aum enta el área del dis co, la presión sobre el m ism o dism inuye de m odo que la gráfica correspondiente es la d). h±
T
E - W H = 500 (PH2o - P H) g V = 500 (1000 - 900)(10)V = 500
Solución: 18 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre el bloque.
Hidrostática 1029 ********************************************************************************************** Com o el bloque está en equilibrio, la fuerza de recuperación (k.x) del resorte alargado, es igual, a la diferencia del em puje del agua (E) y el peso del bloque (W ), esto es:
so del bloque de m adera, esto es: w
k.x = E - W
T
k.x = g V (p Hj0 - P b l o q u e )
H
IOOx = (10)(2.1 (T3>(1000 - 300) * x = 0,14 m = 14 cm
(¿ )
Solución: 19 • Sean V, V s los volúm enes del cascarón y del líquido desalojado, luego, com o el cas carón está en equilibrio, su peso (W ) debe ser igual, ai em puje del líquido (E), esto es:
T£
i
1,5H
y
1 i
;
2
f 2- 3 = w (P2 - P ! ) A = m g P h 2o g ( l , 5 H - H ) A = m g 11=
800
(1000X0,5)(2)
* H = 0,8 m
®
Solución: 21 • Com o el cuerpo está en equilibrio, su pe so (W ), es igual, a la sum a de los empujes Ei, E 2 de los fluidos (1), (2), esto es:
W =E P g V = P L IQ g V s
p V R 3 - r 3) = p L1Q^ R 3 R3 33 p = ; . 3 “ b. p u q => p = ( - 3- - 3 )a 9 o o ) (R - r ) v 3 -2
W = E L+ E 2 p c .g.V = Pi.g.V 1 + p 2.g-V2
* p = 2 700 m' Solución: 20 • El aum ento de la fuerza (F2-F i ) en la ba se del recipiente de área (A), es igual, al pe
p c .V = (1000)(0,1V) + (3000)(0,9V ) pc = 1 0 0 + 2 7 0 0 * pc = 2 800 k g /m 3
@
1030
Física++
* * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Solución: 22 • El módulo del em puje depende del tipo de m ovim iento del ascensor, así, si este se m ueve verticalm ente con aceleración ( a ) , te
W W 3 1 T = — ----- = ------2 2 .
,^-v
* T> 1N
®
E = pLIQ.Vs .( g ± a )
Solución: 24 • P or el principio de conservación de la e ( + ) : cuando el ascensor asciende. nergía m ecánica, la energía potencial inicial ( - ) : cuando el ascensor desciende. del cuerpo se transform a en trabajo para vencer el em puje del agua, es decir, se cum C uando el ascensor baja con rapidez cons je< tante (a= 0), tenemos: W .(h +3) = E.h E = PLIQ-V.g 3W 3p h = 20 = (1000)(V)(10) E -W ( P h 2o “ P ) V = 2.10 3m 3 n= C uando el ascensor baja con aceleración constante "a"; tenemos:
(3)(0,4.103) ----------- y ( 1 -0 ,4 ). 10
* h=2m
(®>
E l = (1000)(2.10_3)(10 ~ 5) Solución: 25 * E1= 1 0 N © • Sean, W ', W " los pesos aparentes del cuerpo en el agua y el líquido, respectivam en Solución: 23 te, entonces, cuando el cuerpo se sum erge en • R epresentem os las fuerzas que actúan so el agua, el em puje es: bre los cuerpos 1 y 2. E = W - W’ E
PH2o-g-V = W - W ’
o
v =W
El cuerpo "1" está en equilibrio, se cum ple: (1)
El cuerpo "2” está en equilibrio, se cum ple: E = W2 - T Igualando (1) con (2), y despejando T:
(1)
P h ?o -8
W!
E = W1 + T
- W1
(2)
A sim ism o, cuando el cuerpo se sum erge en e| |(quido_eI empuj(¡ es; E' = W - W " p.g.V = W - W" W -W " V = •-— - pg
(2)
Hidrostática
1031
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Igualando (1) con (2), y despejando p :
V
( W - W ”) P ~
p=
V,
( W - W ' ) Ph2°
Solución: 27 , • D el principio fundam ental de la hidrostá tica, la presión en 1 es igual a la presión en 2, es decir:
(3 0 -2 0 ) - — -(1000) (3 0 -2 5 )
P l^ P 2
* p = 2 000 m F
Solución: 26 • Sean V, Vi los volúm enes y W, W¡ los pesos de la caja y cuerpo, respectivam ente, entonces, cuando el cuerpo A se encuentra fuera de la caja, tenemos:
oF i = ( 1 0 0 0 ) ( 1 0 ) ( 2 j + 3 ° ^ 0 0
* F = 5 kN
©
Solución: 28 • Representem os las fuerzas que actúan so bre la boya, antes y después del lanzam iento de Qiqo.
rr
? -
' . W = PH,0 -S-h + AA
7H/8
1 w w,
E + Ej =5 W + W¡ p .g (-V + V,) = W + W , 4
( 1)
Asim ism o, cuando el cuerpo A esta al inte rior de la caja, tenemos: E '= W + W j ? p .g .V = W + W, O Igualando (1) con (2), y sim plificando: 3 4
7 V + V ,= -V 8
(2)
El proceso consta de tres pasos: 1) C uando la boya esta sum ergida una altu ra "x", el em puje es igual a su peso: p.g.S.x = W 2) C uando Q iqo se sube a la boya, está se hunde una altura "h", y el em puje, es i gual al peso de la boya más la de Qiqo, es decir:
1032 Física++ ********************************************************************************************** p.g.S.(x + h) = W + W '
* P„ = 170 kPa
©
Teniendo en cuenta (1), tenemos: Solución: 30 • Según el principio fundam ental de la hi drostática, las presiones en los puntos (1) y (2) son iguales, así:
W'
h =
p.g.S 557
h=
P i= P 2
(U14X10)(0,5)
Pgas + P h , o -§^ = po
* h = 0,1 m 3)
C uando Q iqo se lanza al mar, la fuerza re sultante que actúa sobre la boya, es del ti po de H ooke, es decir: F = p.g.S.y = k.y siendo, "y" la altura de la parte sumergí da de la boya y k = p g S la constante e lástica del m ovim iento armónico Luego, el período del M .A.S, es: T = 27t
T= 2n[
m
2
* Pg a s ~ 2 0 k P a
©
Solución: 31 • L a presión en el punto (A), debida a los fluidos es: pa
= P i-g -h i + P 2 -g-h2
PA = (8 0 0 )(1 0 )(^ ) + (1000)(10X18 )
. k
348 ] (1114)(10)(0,5)
* T «
Pg a s = 105 - ( 1 0 3)(10)(8)
* PA = 12 kPa
1/2
s
W
Solución: 29 • Según el principio fundam ental de la hi drostática, la presión en 1 debida al gas es i gual, a la presión en 2, debida a la colum na de H20 , a la fuerza F y a la atm osférica así:
®
Solución: 32 • Según el principio fundam ental de la hi drostática, las presiones en los puntos C y D, son iguales, así: PC = PD Pi g (3) = P2 g (2)
P ,= P 2
Pi = 2 p2 3
P g ~ P h 2o § h + A + p o
A hora, hallem os la razón de las presiones hi drostáticas en A y B.
Pg = (103).(10).(5) + 800 + 1 0 5 g 0,04
PA = Pi-g.(2m) PB
p 2 .g .( l m )
( 1)
Hidrostática 1033 ********************************************************************************************** 2p,
(2 )
P2
PB
Solución: 35 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre el bloque de m asa V .
De (1) y (2), obtenem os la razón de presione *
®
Pa = 4 Pb 3
Solución: 33 • Según el principio fundam ental de la hi drostática, las presiones en los puntos A y B son iguales, es decir:
w
A plicando la segunda^ ley de N ew ton, en la dirección del m ovim iento, tenem os: F r = m.a
Pa = P b P í g (0 ,3 )+ p2 g (h - 0,3) = p3 g h (3000)(0,3) + (5000)(h - 0,3) = (4000)(h)
( E - W )se n 0 = (W /g )a a= ( W
* h = 0,6 m
©
Solución: 34 • El m ódulo de la aceleración " a ”, que experim enta la esfera de densidad " p " , al in terior del líquido es: a=
a =
Fr
_ E- W
m
( W /g )
(P h ,_o - P )
1 1 0 0 0 -2 5 0
o
250 a = 30
N
m
l).g.sen0 *
,PH20 n Q a = ( -1- -l).g .s e n 0 P 1000 1 a =( - 1).(10).( ) 500 2
* a = 5
©
Solución: 36 • Com o el barril está en equilibrio, su pe so (W ), es igual, al em puje del agua (E), esto es:
Luego, de cinem ática hallem os el tiem po que dem ora la esfera en llegar a la superficie, así: j 1 2 d = v 0.t + ^ a .t
60 = 0 + “ (30) t2
* t=2s
m
W =E
Fís¡ca++ 1034***************************************************************************************** Com o la barra está en equilibrio, el momen to resultante respecto de "O", debe ser cero, esto es:
m .g = P n 2o-g-v m = (1000)(-)(4.10"2) 4 * m = 30 kg
( W ) . ( ^ ’( E ) . ( Í ^ - )
©
Solución: 37 • Com o la esfera hueca está en equilibrio su peso (W ), es igual, al em puje del agua (E), esto es:
(pgS¿)(-¿) = (pH2ogSx)(£2 x 2 - 4 £ x + £2 = 0 L as dos raíces de esta ecuación cuadrática son: = 2 (2-J2)
(si)
£ x 2 = ~ (2 + ^2 )
(no)
x
1
* x = 1m p .g .\ 7t(R3 - r 3) = p H 0 .g.\ A r 3) 2 3 p=
(1000X1 /2 )(0 ,l)3
©
Solución: 39 • L os puntos B y C están al m ism o nivel, de m odo que, Pc= pB, luego, la presión total en A es:
(0,1)3 - ( 0 ,0 8 ) 3 P A = P B + P H 20 -g -l1H20
* p « 1 0 2 5 -k| * m
®
Solución: 38 • Las fuerzas que actúan sobre la barra son: su peso (W ), el em puje del agua (E), y la reacción en la rótula (R).
P A = P H g -g '^ H g + P H 20 - g - í l H 20 PA = (PHg + P H ,0 )'g -h Hs0
PA = (1 3 6 0 0 + 1000)(10)(0,05) N * PA = /7 300 -v m
©
Solución: 40 • Sea "V" el volum en del iceberg, enton ces, com o este está en equilibrio, su peso (W ), es igual, al em puje del agua (E), esto es: W =E
Hidrostática 1035 ********************************************************************************************** Solución: 42 • Las fuerzas que actúan sobre el bloque de hielo son: su peso (W ), el em puje (E).
Phielo-g-V = P -g .(V -5 5 1 ) v=
K (P
, (551)
Phielo)
V = -— 102- - (551) ( 1 0 2 5 -9 1 2 ) * V « 5.103m 3
©
Solución: 41 • Para producir las oscilaciones arm ónicas del fluido, desplacem os en la ram a izquierda hacia abajo una pequeña colum na de fluido de longitud (x).
En la Fig., la fuerza externa es nula, y el pe so del tém pano es igual al em puje del agua, esto es: p g A H = p0gA h
A1
•
•
h = ( —)H Po
X
P.E.
X
Así, la altura del tém pano que está por enci m a de la superficie del agua es:
-
ANTES
DESPUES
d = H - h = ( l - --)H
El fluido posee m ovim iento arm ónico sim pie, siendo la fuerza recuperadora F=k.x, el peso de la colum na del fluido de longitud 2x, esto es: F = p.g.(A.2x) = 2 p g x A k Luego, el período del movim iento armónico sim ple, es: T = 2 7 i[ m ]1/2 = 2 7 C [ P A ^ ] 1/2 kJ 2pgA
Com o el tém pano está en equilibrio, la fuer za externa (F) más el peso (W ), es igual, al em puje (E), esto es: F+W = E
T = 2 :r [-^ ]1/2 = 2
tt [ ^
2g
- ' - ~ 2]1/2
(2)(10)J * T = ? ls 5
©
F = (p 0 - p ) g A H De m odo que, la fuerza m edia em pleada pa ra hundir el tém pano una altura (d) es:
1036 Fís¡ca++ ********************************************************************************************** F
m
Fh
_ °± (P 9-P )g AH
2
L uego, el trabajo realizado para hundir el tém pano totalm ente es:
= TipgR2( h - ?R )
F l = (7i)(103) ( 1 0 ) Í 0 , 3 ) 2[0 ,4 - ( 3*)(0,3)]
* Fl = 180 t i N W = Fmd = ‘ í P- “- ^ 2
Po
1( 1000- 900) ’
2
^
gAH*
2
1000
Solución: 44 • L as fuerzas que actúan sobre la bola que asciende son: su peso (W ), el em puje del H quido y la fuerza de fricción (f).
* W =8J Solución: 43 • En la Fig., el em puje (E), es la resultante de la fuerza (F ’) debido a la presión total, que actúa hacia arriba sobre la base, y la fuer za resultante (F) sobre la superficie lateral que actúa hacia abajo, esto es: Com o la bola asciende con velocidad cons tante, el em puje (E), debe ser igual, a la su E = F' - F => F = F' - E m a del peso (W) más la fuerza de fricción (f), esto es: E = W+f f
= E - W = 4W - W * f = 3W
F = (P0 + p g h )A - pgV
F = (P0 +
p g h )(7 iR 2) - p g ( ^ R 3)
F = 7 t R 2P0 + 7 t p g R 2( h - \ )
Luego, la fuerza sobre la superficie lateral del hem isferio, debida a la presión que ejerce el líquido es:
, ©
Solución; 45 • Las fuerzas que actúan sobre la barra son: su peso (W ), el em puje (E) y la fuerza ascensional (Fa).
Hidrostática 1037 ********************************************************************************************** A plicando la segunda condición de equili brío, respecto del punto A, obtenem os la ten sión T2, así: m
J +
m
J =
m í
+
m
J
T , ¿ c o s9 + W ^ cosG = E^-cosB + F, ^ ^cos0 2 2 2 a4 _ 2 ( E - W ) + 3Fa l;
4
A plicando la segunda condición de equili brio, respecto del punto B, obtenem os la ten sión T i, así:
Ahora, aplicando la segunda condición de e quilibrio, respecto de 0, y sustituyendo E, ob tenem os F, así: m
E( t i 1 T, ¿COS0 + W - cos0 = E - cos0 + Ffl ¿cos0 1 2 2 a4 _
2 (E - W ) + Fa
'
4
J =
m
J +
m
{¡
l
i t eos a ) = F ( - sen a ) + F ( - sen a ) 4 2 2 F - 2 M g c tg a = J (12)(10)(^) 4 4 3 * F = 40 N
D ividiendo T 2 entre T¡, y evaluando obtene mos:
®
Solución: 47 • Representem os la balanza de brazos, y el cuerpo sum ergido en el líquido.
T2 _ 2 (E -_ W ) + 3Fa TÍ ” 2 (E - W ) + Fa T2 _ 2 (2 5 -2 0 H ( 3 )( 1 0 )* _ 40 Tx ~
2 ( 2 5 - 2 0 ) + 10
” 20
* T -~ = 2 Ti
®
S olución: 46 A plicando la prim era condición de equili • Com o la barra esta en equilibrio, en la brio al cuerpo de m asa (m). vertí cal el em puje (E) es igual al peso (M g), esto es: T = m g - E = m g - p 0gV E = Mg
-T
,m .
T = m g - p 0g ( - ) P
Representación de las fuerzas que actúan so bre el palillo, sum ergido parcialm ente en a A plicando la segunda condición de equili gua.
1038 Física++ ********************************************************************************************** brio, respecto del punto de giro 0, y utilizan do la ecuación anterior.
P H .O -g -V -ll,9 Pr =
P h , o -8-V
T d = M gd _ 0 03X10f)(17.10~3) -1 1 ,9 ,p ni m g - m g (— ) = M g => o
,m -M N p0 = ( )p m
(103)(10)(17.10-3 ) * p r = 0,93
,2 5 0 -1 8 0 ^ ^ Po Ko = (v 250 - )( /V2»5)
* Po = 0,7
pr ~
Solución: 49 • Según el Prob.(42), la razón de los traba jo s realizados para hundir com pletam ente los cubos de diferentes m ateriales es:
cm
Solución: 4 8 • C uando el cuerpo se sum erge en agua, se tiene:
W, = _(p0 - P i)g A H 2_/2p0 w2
(p 0 - p 2) g A H 2 / 2 p 0 WL ^ í po Z p1)2
W + 27,9 = E W + 27,9 = p H2o-g-V
w (1)
P0 - P 2
W, _ 1 0 0 0 - 4 0 0 2 W7 ~ 1 0 0 0 - 6 0 0 *
W'- = 2,25 W2
Solución: 50 I) Las fuerzas que actúan sobre el cubo son: su peso " W a, la tensión en la cuerda "T ", y las fuerzas de presión en las caras su perior "F!" e inferior "F2 ". C uando el cuerpo se sum erge en el líquido, se tiene: W + 16 + E ’ W + 16 = p.g.V
(2)
Restando (1) m enos (2), obtenem os la densi dad relativa:
'
ll,9 = (pH2o - p )-g -V
Com o el cubo esta en equilibrio, la siima de fuerzas en la vertical es nula, esto es:
n , 9 = p H20a - p r).g.v
F2 = Fj + W + T
Hidrostática
1039
« A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
(Yia + Y 2 ^ ) a 2 ~ Y i ^ a 2 = w + T 3 2 (W + T) a = Yi + y2
Luego, como el m ovim iento es uniform emen te variado, la altura H es:
2 (W + T) (Pi + p 2)g h = 15 m
2(60 + 4 0 ) _
a3 =
( 2 J 0 3 + 8 . 1 0 3)(10)
a « 0,141 m = 14,1 cm
@
II) De otro lado, la fuerza sobre la cara in ferior del cubo ejercida por el líquido (2) es:
II) El porcentaje que representa la acelera ción en el líquido, respecto de la aceleración de caída libre es:
-n = ( a)(io) = ( i - p^)(io o ) g
P
F2 = P .A = (yi a + y2 * ) a 2 * r| = ( l - P-°-)(100) = 7 5 % 4p0 F2 = (P i + | p2 > g a3 F
= ( 2 p , + P2 )(W
2
Solución: 52 • R epresentem os las fuerzas de presión que actúan en las caras superior (Fi) e infe rior (F2) del cubo de lados (a).
+ T)
(P1+ P 2) [(2)(2) + 8](60 + 40)
2+8
Pi 2a
B
* F2 = 1 2 0 N
Tx
H
N ota Las fuerzas de presión en las caras late rales del cubo se anulan dos a dos.
2a Pl
F,
Com o las fuerzas de presión que actúan en Solución: 51 las caras laterales del cubo se anulan dos a I) L a aceleración que adquiere la bolita, , , . . ... . , , , .., , ., , . dos, el em puje es la diferencia de las fuerzas d ebida a la acción de su peso (W ) y em puje r c F2 y F i^esto es: (E) es: a = L* . =
E = (pig2a + p2g x + p 2ga)a2 - ( p 1g 2 a + p 2gx)a2
W -E m
E = P2g a 3 = (2.103)((10)(0,1)3
a = p g V - p 0| V = ( 1 _ P o } pV
p
15 m Po a = a - - x > o) = 2 s 2
* E = 20 N
©
Solución: 53 • Las fuerzas que actúan sobre el sistema de esferas son: sus pesos W i, W2 y los em
1040 Física++ ********************************************************************************************** Solución: 55 • R epresentem os la fuerza resultante so bre el tetraedro, debido a la presión.
pujes del líquido E i, E2.
D
Com o el sistem a esta en equilibrio, la suma de los em pujes W i, W2, es igual, a la suma de los pesos Ei, E 2, estos es: Wj + W2 = Ex + E 2 P lg V + p2 g V = pLg V + pL g V
En el triángulo rectángulo, hallem os la altura correspondiente a la base A BC del tetraedro, así: h 2 = a 2 - a-
p i+ p 2 = 2pL
=>
h = --“ a
Sustituyendo el dato: p1 = 0,6po y p2 = l,2p0, L uego, para hallar la fuerza resultante F, utili zamos la proyección de las áreas de las tres caras laterales del tetraedro sobre su base 0,6po +1,2 p0 = 2 p L ABC, esto es:
obtenem os la densidad del líquido, así:
2
cm
Solución: 54 • Com o el cuerpo esta en equijibrio, su pe so (W ), es igual a la sunlá de los em pujes del agua Eh2o y m ercurio EHg, esto es:
F = PAs = P ( \h )
F = P - ( a ) ( - - 3 a) = a2P 2 2 4 p =
20 80 7 ^ = Yh 20.(- - v ) + Yh8 (1 0 0 v )
(Y H 20 + 4 Y H g )
~
“ (p H 2 0
+ 4 PHg)g
r = ( |) [ 1 0 3 + (4)(13,6.103)](10) N * y = 110,8 k —^ m
_ (4)( /3 .10 )
v'3a2 " C '/3)(l0~ ')2
W = E h 20 + E Hg
Y= “
_4F
\6 N * P = 4.10
D
Solución: 56 • L a fuerza F2 en el ém bolo 2, debida a la acción de la fuerza Fi aplicada en el ém bolo 1, es igual a: f 2 = (“
>3 =
= lOFl
Hidrostática 1041 ********************************************************************************************** quido E, son: F¡ = (P0 + p g h ) A = PoA + p g h A
Fi =
A hora, esta fuerza F2, produce una deform a ción (x) en la longitud de cada uno de los re sortes, de m odo que, en la condición de equi librio, se cumple F2 = k . x + k x
=>
1 0 F ,= 2 k x
4 p 0a 2 +
36 a ) ( - 4
(p fe X
F' = 4 P^ 2 +
a 2)
jW .2
E = pgV =
t^
P ga3
Sustituyendo F ; y E en la expresión inicial, obtenem os F i, así:
(2X120X0,1) Fl = _
1 -'3 _ , -J2 3 ,2 3 Fi = 3 ( "4 Poa + ~ P g a - - 1 2 P S a >
10 ■■
* Fj = 2,4 N
©
Fj_ = - 3-P0a 2 + 2 p g a 3 Solución: 57 1 12 0 18 5 • El em puje (E) que ejerce el líquido so bre el tetraedro, es igual a la diferencia de la I) El prim er térm ino de la ecuación anterior, fuerza de presión Fi sobre la base y la resul es fuerza resultante sobre las tres, caras la tante de la sum a de las tres com ponentes ver- ^era^es eJerc^ a p o r la presión atmosférica, es ticales de la fuerza de presión (3Fj_) sobre las to es: tres caras laterales del tetraedro, esto es: Ip, = ( ^ X i O ’ XO,4)2 » 2309,4 N II) A su vez, ei segundo térm ino es la fuerza debido a la presión del líquido sobre las tres caras laterales, esto es: r L = ( ^ ) ( 1 0 3)(10)(0,4)3 = 50,3 N i <5
III) La razón de la fuerza de presión atmos férica a la fuerza de presión hidrostática es: T} =
FPn • 2309,4 \
Ahora, la fuerza de presión Fi, es la sum a de las presiones atm osférica P0 e hidrostática por el área A de la base, y el em puje del lí
"
50
50,3
Solución: 58 Sum ergiendo el cubo una altura pequeña
1042 Física++ ********************************************************************************************** "x ", a partir de su posición de equilibrio, y liberándolo, obtenem os las pequeñas oscila ciones.
P .E
^ 2 = [p0g V - ( p 0/ tl ) g V ] g PogV Í Representación de las fuerzas que actúan so bre la bola del péndulo.
f
tatí H ,0
' \
Com o el cubo realiza oscilaciones armónicas su aceleración instantánea es a = -c&2.x , y su ecuación de m ovim iento bajo la acción de las fuerzas de em puje " E " y recuperación del resorte "k.x" es: FR = m a
(k.x + p0g a 2.x) = p a 3co2 x De aquí, obtenem os la frecuencia angular y el periodo de las pequeñas oscilaciones: k + P oga y /2 p a-
_
9 - j- r
T —2 tt[
( 0 a .l0 3)(0,2)3_ 40 + (1.10 )(10)(0,2) * T « 0,27 s
= ( 27t)2 = (T^ 1)l t r\£ — ] (n -i)g
1/2
T = 2 * [ ^3)(0’4) ji/2 ( 3 - l) ( 1 0 ) * T = 1,54 s
©
Solución: 60 • L a fuerza necesaria (Fz) para hundir la pelota una pequeña altura (z), a partir de la posición de equilibrio (P.E.), es igual a la del em puje del agua contenida en el volumen som breado, esto es:
P f __ y /2 k + p0g a 2 T
0
T = 2n[
- ( k . x + E ) = -m o )0 x
G>o“ (
^
.1 / 2
©
Solución: 59 • L a frecuencia angular co0 y el periodo de las pequeñas oscilaciones arm ónicas, vienen dados por:
Hidrostática ^043 ********************************************************************************************** C on esta fuerza fz calculando la integral del trabajo, con los lím ites dados, obtenem os el trabajo necesario que se debe hacer, así:
II) Ahora, las rapideces de la bolita en los puntos A y B son: = v o + 2 a ¡H
va
W = } Fzdz o
vA = [0 + (2 )(1 6 )(2 )f2 = 8 m s
W = 1 7 ip g (2 R 2 - H 2)H 2 4
vb
=
va
+ 2 a 2H
W = ( - )(10á)(10)[(2)(0,l)2 - 0 , 0 2j(0 ,0 9 )2 4
v B = [82 + (2>(9)(2)]1/2 = 10 m s
* W « 0,76 J
A sí, la razón de las rapideces en los puntos B y A es:
N ota C onsultar el libro de Física-II del m ism o autor, para ver la solución com pleta y deta liada de este problem a. Solución: 61 I) Com o la densidad de los líquidos es ma yor que la de la pelotita, el em puje es mayor que la del peso de la bolita, por lo que, su a celeración es:
va = vo + ai h
t, =
VA " v 0
1 -0
a¡
16
-u =
= 0,5 s
v B = v » + a 2, tl 2
m
^ P sg y -p g v
= 10 = 1,25 8
III) D e otro lado, los tiem pos de recorrido de la b olita en los líquidos 1 y 2 son:
'
a , 1' m
pV
vA
p
'
t-> =
p
v'BR - V4 VA
1 0 -8
=
2
•• S
9
a2
A sí, la m agnitud de las aceleraciones en cada Luego, el tiem po que tarda la bolita en llegar uno de los líquidos es: a >a superficie libre es:
a1 = A 6p- l X 1 0 ) = 16!? P
S2
a 2 = A 9 P - 1)(10) = 9 ” P S2 Así, la razón de las m agnitudes de las acele raciones en los líquidos 1 y 2 es: au a2
1 6 = 1 ,78 9
t = ti + t 2 = 0,5 + - = 0,72 s 1 2 9 Solución: 62 • Com o la densidad del líquido es mayor que la d e la bolita, el em puje (E) es m ayor que el peso (W ), de m odo que, la m agnitud de su desaceleración es: a _ E _ - W _ p0g V - p g V Ot
pV
1044 Física++ ********************************************************************************************** H = 0 + * ( 8 ) t^
a = ( P° - l) g = ( 1,4P - 1)(10) = 4 'fP P S¿
=> t 2 = 2
H
C on esta desaceleración, la distancia que re
F uego, la razón de los tiem pos de recorrido
corre la bolita al interior del líquido es:
Para *os ^os casos es:
v2 = v 2
2
2ah
H
= 2 veces
H h =
vL v2
22 - O2
2a
(2)(4)
= 0,5 m •
Luego, la distancia hasta la que llega la boli ta, respecto del fondo del depósito es:
Solución: 64 Las fuerzas que actúan sobre el bloque macjera son; su peso (mg), el em puje del
agua (E) y la tensión en la cuerda.
d = H - h = 0,8 - 0,5 = 0,3 m * d = 30cm
E
©
Solución: 63 • Del problem a anterior, cuando las densi dad del líquido es " p 0", la aceleración de la bolita de densidad "p" es: a = ( P o - l ) g = ( 1 ,2 P - l)( 1 0 ) = 2 ^ P P s2 Ahora, cuando la densidad del líquido se re duce en un 25 % , su nueva densidad es 3 /4p0, y cuando el tamajio de la’ bolita se du plica su nueva densidad es p/2, y su nueva a celeración es:
*
%
4
w
Com o el bloque está en equilibrio, la suma del peso (W ) más la tensión (T) es igual al em puje (E), esto es: W +T = E
=>
T = E- W
T = P 0g a 3 - p g a 3 = (p 0 - p ) g a 3 T = (1 - 0,8)(103)(10)(0,2)3 * T = 16 N
.■ = ( 3 / £ - i )g p /2 a = ( ( 2 X 3 /4 X 1 .2 P ) .1)(10) = 8 P S2 Con estas aceleraciones de la bolita, calcule m os el tiem po que tarda en salir a la super ficie libre para cada uno de los casos, así: H = 0 + !(2 )t?
=> t =
H
©
Solución: 67 • Com o el volum en depende linealm ente de la altura (y), entonces esta dependencia del volum en, expresam os así: V (y) = A + B y donde las constantes A y B, obtenem os eva luando la función V(y) en y=0 y y=H, así: V (0) = A + B (0 ) = V0
=>
A = V„
Hidrostática 1045 ********************************************************************************************** V (H ) = V0 + B(H ) = 2V0 =>
B =^° H
am =
C on esto la función que describe el volum en en función de la altura es: v ( y ) = V0( l + ' ) A su vez, la densidad del cuerpo en cual quier instante es: _ m _
m
am=(& P L"l)g 2 Po Finalm ente, de la form ula de m ovim iento va riado, obtenem os la rapidez con la que llega el cuerpo a la superficie libre, así: v2 = v2 + 2a^H
Po 1 + y /H
P ~ V “ V0(l + y /H )
(PL/Po-1 )g+ ( 2 p L / p - l ) g
v 2 = 02 + ( 2 ) ( 3 2 p ? - l) ( 1 0 )( 0 ,4 ) 2 Po * v=4
m
• Recordem os que la aceleración con la que cae un cuerpo de densidad " p" en un lí Ahora, com o el peso del cuerpo (W) es me ñor que el em puje (E) que ejerce el líquido, entonces, la m agnitud de la aceleración del cuerpo es: a —
E -W m
—
p Lg V - p g V pV
a- (P L-l)g=[PL(l+£)“l]g P
Po
H
Evaluando esta ecuación, obtenem os las mag nitudes de las aceleraciones en el fondo del depósito (y=0) y en la superficie libre (y=H), así: «i = ( “L - l ) g Po
y
a 2 = (2 P[j - 1 ) g Po
De m odo que, la aceleración m edia del moví m iento del cuerpo es: a, + a 2 am = - 1 2
quido de densidad "p , " con
p >P l,
viene da
Po r' a = ( l - P,-)g A sí, las m agnitudes de las aceleraciones de las esferas 1 y 2, son:
a , = 0 - PL )(10 ) = 8 ™ 5pL
s2
a 2 = (1- , , P, Ln )(10) = 2 ™ 5 /4pL s“ A hora, com o las esferas recorren la misma altura H de líquido, entonces: H =
1
a, t, =
l
a-, t ‘
1/2
« c ' ) 1 /2 = C )
1046
Física++
= 2 veces
+
©
li Solución: 67 • Para dem ostrar que el em puje que ejerce un liquido sobre un cuerpo es independiente de su forma, y solo depende de su volumen, calculem os el em puje del liquido sobre un cilindro y un cubo sumergidos. 1) Para un cilindro regular sumergido
En la Fig., la fuerza de presión del líquido so bre las caras laterales del cubo se anulan dos a dos, de m odo que, el em puje que ejerce el líquido de densidad "p ^ ” , sobre el cubo de arista (a) es: E ^ -F , E = p Lg (h + a ) A - p Lg h A E = pLg a A = p Lg V c P^l C onclusión Así, para volúm enes iguales del cilindro V s y cubo V e, el em puje (E) es el m ism o, in dependientem ente de la form a de estos cuer pos.
Pl
--------------
f2
E n la Fig., la fuerza de presión del líquido so bre la superficie lateral del cilindro es nula, de m odo que, el em puje que ejerce el líquido de densidad "p L' \ sobre el cilindro de radio
Solución: 68 • R epresentem os la fuerza resultante (F) debido a la presión, sobre uno de los hem isfe ríos.
"R" y altura "H " ,e s: E = F2 - F 1 E = p Lg (h + H ) 'A - p Lg h A E = pLg h A = pLgV s 2)
Para un cubo regular sumergido
En la Fig., para separar los hem isferios, será necesario al m enos aplicar una fuerza de i gual magnitud, pero de sentido opuesto a (F) esto es: F=
P qA
s
=
P07iR2
F = 1057t(5.10-2) 2
l
* F = 250rtN
®
a
A f2
0 N o ta A nteriorm ente se dem ostró, que para cal cular la fuerza debida a la presión, se puede
Hidrostática ********************************************************************************************** 1 0 4 7
utilizar la proyección del área lateral del he m isferio, sobre su base Solución: 69 • El bloque esta en equilibrio, bajo la ac ción de su peso (W ), y del em puje (E) del a gua.
Pi
»2 = C227/3 P3V p L “ 1)(10) = 5 s^¿ El tiem po que tardan las dos esferitas juntas en recorrer el tram o com pleto, con la acelera ción (a 0 es:
a E \7
a2 = (P k -l)g
a
i -
h
H = v0t, + \ a * 2 =>
2,8 = 0 + ( |) ( 1 4 ) t 12
W
t i = (-:-)
Igualando el peso del bloque (W ) al em puje del agua (E), obtenem os la altura (h) de la parte sum ergida del bloque, así: E = W
=>
1/2
pL g a 2.h = pH g a 3
h = (-p S ) a = ( 0,5)(2 0 ) = 1 0cm Pl * Luego, para sum ergir la otra m itad del vo lum en no sum ergido del cubo, será necesario aplicar una fuerza de m agnitud igual a: F = p L g a 2 (a - h) = (103)(10)(0,2)2(0,1) * F = 40 N
El tiem po que tardan las dos esferitas juntas en recorrer la prim era m itad del recorrido es: " = v0t 2 + ^ M : [
=>
U4 = 0 + (^-)(14)t|
® t2 = ( ^ /2
S olución: 70 • L a m agnitud de la aceleración con la que se m ueven las dos esferitas juntas, en la prim era m itad del recorrido es:
La rapidez de las bolitas ju n tas al final de la prim era m itad del recorrido es: v12 = v3 + 2 a , ”
a i = ( - “ L- - l ) g P1 + P2
=>
v 2 = O2 + (2)(14)(1,4)
V, = (39,2)1/2 a = (
^ P l --------2 /3 p L + l / 6 p L A
m s2
A sim ism o, la m agnitud de la aceleración de la esferita (1), luego de desprendida la esferi ta (2) es:
La rapidez de la esferita (1) al final de la se gunda m itad del recorrido es: 2 2 ^ H v 2 = v1 + 2 a 2 -2
1048 Física++ ********************************************************************************************** v 2 = 3 9 ,2 + (2 )(5 )(1 ,4 )
(Pr4 + Pr,2)pH20g-Y v2
= ( 5 3 ,2 ) 1/2
A sí, el tiem po que tarda la esferita (1) en re correr la segunda m itad de la trayectoria es:
- (0,8 + 1,2)*(1000)(10) = y
*
H = ( V , + V 2 )t3
2
2
y =
3
10.103 N mJ
©
Solución: 72 V erdadero, el em puje siem pre actúa en " 2 -)t3 sentido opuesto al empuje. L uego, la diferencia de tiem pos entre el mo II. Falso, el em puje actúa en el centro de fío tación del cuerpo, el cual, coincide con el vim iento sin desprendim iento de la esferita centro de gravedad, si el cuerpo esta su (2) y con el desprendim iento es: m ergido com pletam ente en el liquido. At = - ( t 2 + 13) III. F also, las fuerzas de presión al interior de un líquido siem pre son de com presión * At = - 2 1 ,3 2 ms © Solución: 73. El signo (-) nos indica que la esferita (1) lie • L as presiones en los lados superior e infe ga a la superficie 21,32 ms después de que lo rior del ém bolo pequeño de área A 2, son i hubiera hecho si no se desprendía la esferita guales a la sum a de las presiones creadas por (2 )el agua de altura h y el peso W, esto es: , „
,
3 9 ,2 + . 5 3,2
I.
Solución: 71 • R epresentem os la esfera com pacta su m ergida en dos líquidos diferentes.
W pi = P L S h +
A,
W P2 = PLg (h + a) + - “ Al siendo, (a) el lado del ém bolo cuadrado. D e m odo que, la presión m edia sobre el ém bolo cuadrado de área A2 es: p*=
pi + p2
/u
a,
W
l 2 2 = PLg( h + 2 ) + A ]
Según el principio de Arquím edes, la suma L uego, la fuerza m ínim a necesaria que se de de los em pujes de los líquidos (1) y (2), es i be aplicar al ém bolo pequeño es: gua!, al peso del cuerpo, esto es: E, + E 2 = W V V Pr,lPH20g( 2 ) + Pr,2PH20g( 2 ) =
p = pmA 2 a W p = [ P L g ( h + 2 ) + A i]A 2
Hidroetática
4 1 * 1?
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ^
F = [(103)(10)(0,5 + 0,0 5) + - 12 _ j a o a i O “4) 400.10 * F = 58 N
X =
-4' i- 4 (10J )(10)(10'1)(4 0 .1 0 '“ )(2 0 .10"4) 1 -4
(5 0 )(4 0 -2 0 ).1 0 '
©
* x = t0 ,0 8 m CB) Solución: 74 I- Falso, los líquidos ordinarios en general F ^iN ota R ecordar, que la sobre presión creada por son isótropos. II. F also, la interacción m olecular en los lí la presión atm osférica Po, se dbtribuye en el quidos es mas intensa que en la de los ga líquido por igual en todas las direcciones. ses, p o r ser, la distancia inteim olecular Solución: 76 m ás pequeña. L F ab o , la fuerza resultante sobre la super III. F a b o , en e l universo los cuerpos que tie ficie libre de un líquido siem pre es p er n en la m ayor densidad so n los llamados pend icu lara ella. agujeros negros. II F ab o , la presión m anom étrica es la crea da por gases encerrados en recipientes Solución: 75 sin c o n sid erarla presión atm osférica • Representem os las fuerzas que actúan en III. F a b o , e l principio de A rquím edes es válj e lsiste m a físico. do para líquidos y gases. Aj
PL
Solución: 77 • Las fuerzas que actúan sobre la pelota su m ergida parcialm ente son: su peso (W ) y el em puje (E) del agua.
a2
En la Fig., el peso de la colum na de agua de altura " f y área ”A2", es sostenido por la fuerza de presión atm osférica "P0" que actúa hacia arriba sobre la superficie (A r A 2), esto es: P o ( A i- A 2) = p g M 2 p 0
_
P8^A 2
“
A ' *' A j-A 2
Luego, com o e l ém bolo más grande de área A i está en equilibrio, se cum ple q u e: k.x = P0A { x
_
P l
g
l
En la Fig., la pelota flota en equilibrio, sien do su peso igual a l em puje, esto es: E= W
=>
p 0 gVs = p g V
p 0- U h 2( 3 R - h ) = p - 7 t R 3
A, A 2
k ( A j - A 2)
h 2(3R - h) = 4 (— ) R 3 Po
1050 Física++ *********************************************************************************************** W = E
h 2 ( 3 0 - h) = (4)(1/2)(10)3 h ( 3 0 - h ) = 10 (30 —10) * h = 10 cm
p g V = p LgV s
=> p = »
® Ib .
S olución: 78 • Las fuetzas que actúan sobre el paralele pípedo son: su peso (W ) que actúa en el cen tro de gravedad G, y e l em puje (E) del agua que actúa en el centro de flotación Q.
P= 3 h
,lv
pL a b / 3 — a h
18
= 3 6 8 /3 B
p = 0,26' cm '
III) La distancia del centro de gravedad (G) del bloque a la superficie libre del agua, to m ado com o nivel de referencia, para las dos posiciones inicial y final del bloque son: y = 1,87 cm
y
y = 5,44 cm
D e m odo que, las energías potenciales gravi tetonas, correspondientes a estas dos posicio nes del bloque son: Ep = p g a 2h y EP = (0,26.1(^)a0)(0,24)2( y .10_2)(1,87.10_2) I) C om parando los triángulos rectángulos se m ejantes PNQ y C B A , obtenemos "x" así: x 18' t g a = —= — => 6 24
* 9 x =— 2
E P = 634,78.10~3 J EP = p g a 2hy' ro EP = (0,26.103) ^ 0)(0,24)2(— . 10_2)(5,44.10-2)
Com parando los triángulos rectángulos seme jantes G M B y C B A , obtenem os "h ”, así: E p = 1846,64.10"3 J h /2 24 ctg a = ----------- = — => 9 /2 + 4 18
h 34 —= — 2 3
Luego, la variación de la energía potencial gravitatoria que experim ente el bloque e s :
h = — cm « 22,7 cm ® 3 II) C om o el bloque flote en equilibrio su m eigido parcialm ente, igualando el peso (W ) al em puje (E), obtenem os la densidad del blo • que, así:
AEp = Ep - Ep AEP = 1211,86.10-3 J
®
Solución: 79 R epresentem os la barra en s u posición
H i * estática * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Jrf4 * 3
inicial vertical.
A sí, la eneigía potencial de la barra en su po sición vertical, debida a la fueiza de empuje del agua es: E p ^ P Í g a 2h2
E p = ( ^ ) ( 1 0 3)(10)(0,2)(0,01)2(0 ,l)2 E d = 5.10-3 J . , . _T,. . , , , Igualando e l peso (W ) de la barra a l em puie ® , . u «i,.■ (E) del agua, obtenem os "h ", así:
Así, la energía potencial de la barra en su po . ® . ... , £ . sicion horizontal, debida a la íueiza de em pu je del agua es:
m g = pLg a 2h E P = ^ p L g ¿ a h '2 (10-2)(10) = (103)(10)(0,01)2 h h - 0,1 m
E p = ( i)( 1 0 3)(10)(0,2)(0,01)(0,25.10’ 2)2
R epresentem os la barra en su posición final horizontal.
Ep = 0,25.10-3 J Luego, la cantidad de calor transferida al a gua, sera igual a la variación de esta eneigía potencial, e s to e s :
Igualando e l peso (W ) de la barra al em puje (E) del agua, obtenem os "h ", así:
* Q = - 4 ,7 5 .10-3 J
m g = p L'g a ¿ h (1(T2)(10) = (103)(10)(0,01)(0,2) h h = 0,5.10“2 m A hora, recordemos que la eneigía potencial correspondiente a l em puje de un líquido, vie ne dado p o r 1 e p
= -P
, l8
A
Q = E P - E P = 0,25.10-3 - 5.10~3
x
siendo, " P l " la densidad del líquido, "A" a l área de la sección del cuerpo sum ergido, "x" la altura sum eigida del cueipo.
P^ÍN otas 1) La eneigía potencial gravitatoria no expe rim enta cam bio, puesto que e l centro de gravedad de la barra en sus posiciones vertical y horizontal cae sobre la superfi cié libre d el agua, tom ada com o nivel de referencia. 2) El signo (-) nos indica que la eneigía p er dida p o r la íüeiza de em puje es transferí da al agua en fbima de calor. S olución: 80 * Eas ^ eizas clue actúan sobre e l cubo de densidad p ‘ son: su peso (W% el em puje del
1052 Física++ *********************************************************************************************** agua (E) y la reacción (R). sen (3 -
tg a
; eos (3 4 + tg 2a
4 + tg a
=> d 2 = - (tg a sen a + 2 eos a )
W = p'.g.a3 ; E = p .g .^ a 3.tg a Reem plazando e n ( I ) y s implifícando: p ’.(tg a +1) = p .-.tg a .(tg a + 2) (l)[(3 /4 )3 + 2 (3 /4 )] (3 X 1 + 3 /4 ) Com o el cubo se encuentra en equilibrio, en tonces, e l tonque resultante respecto del eje que pasa p or "O" es cero, así: W .dj = E .d 2
O)
En el triángulo rectángulo O D F: Jí dT = — a cos(45° - a )
* p' = 0,37 cm Solución: 81 • C uando e l tapón ingresa totalm ente en el depósito, el nivel del agua en este sube una altura "x ". V
í
.a
X
d L= —(sen a + eos a ) r
t
En e l triángulo rectángulo O C M :
b PL
x = - h = - ( a 2 + — tg 2a ) 1/2 3 3 4 x = | ( 4 + tg 2 a ) 1/2
Igualando e l volum en de agua que asciende, al volum en del tapón que ingresa, obtenemos e lv a lo r d e " x " ,a s í:
En el triángulo rectángulo O A B : a2 x = b2 ¿ d 2 = xsen((3 + 90 - a ) d 2 = ^ [4 + tg2a ] 112 (eos p eos a + sen |3sen a ) En el triángulo rectángulo O C M :
x = ( - ) 2 < = ( ^ ) 2(2° ) = U 5 c m a 40 A sí, las presiones creadas p o r e l agua en las caras superior e inferior del tap ó n so n :
Hidrostática ****************************************************************************************** Pl = P l S (h + x ) = (103)(10X0,5 + 0,0125) P[ = 5 125 N / m 2 Pb = | p
í
= ( |) ( 1 )
P2 = pLg(h + x + b) = (1 tf)(l 0)(0,5+0,0125+ 0,1) * PB = 1,5 — cm
P2 = 6 125 N /m 2 Con esto, la fuerza debida a la presión del a gua, sobre la cara lateral cuadrada del tapón es: F. ( ] \ ± V 2
- (^
^ 2
* F = 56,25 N
Solución: 83 • C uando el cuerpo se sum erge en agua, su peso W , es igual, a su peso aparente Wap más el em puje E del agua, esto es:
X o,D2
®
W = Wap + E C uando e l cuerpo se sum erge en aceite, su
peso W , es igual, a su peso aparente Wap Solución: 82 más el em puje E ’ del aceite, esto e s : • C uando la esfera "A" flote con la m itad de su volum en sum ergido, su peso W Aes j W = Wap+ F gual al em puje E del agua, esto e s : WA = P L g - J
Igualando estas ecuaciones, obtenemos el vo lum en del cuerpo, así: Wap + PL g V = + Wap + PA B V
O
v = WA
W’ap '„ - W ap „
1
( p L ~ P A) g
(1 —0,8)(10 )(10)
E
o
WB
Cuando las esferas "A" y "B" unidas floten sum ergidas totalm ente, la sum a de sus pesos W Ay W B es igual, a la sum a de los empujes (2E) del agua, esto es: WA + W B = 2 E = p L g2V V WB = pLg 2V - pLg —
V = 5.10-4 m 3 = 5 .1 0 _4.106 cm 3 * V = 500 cm
©
Solución: 84 • A plicando la fórmula de peso aparente, al caso en e l que la esfera es pesada en el a gua, obtenem os su volum en, así: Wap = W - E
=>
pLg V = W - W.ap
(103)(10)V = 480.10 -3 6 0 .1 0 V = 12 m '
1054 Fisica++ ***********************************************************************************************
N uevam ente utilizando la fórmula de peso a La boya esférica flota en equilibrio, bajo la párente, obtenemos la densidad de la sustan acción de su peso (W ) que actúa en su cen tro de gravedad G, y del em puje del agua (E) cia acuosa, así: que actúa en su centro de flotación F. E '= W - WaD ap pc (10)(12) = 48 0 .103 - 3 0 0 . 103 + pc -1 ,5 g / cm 3*. © Solución: 85 • La bola de ping pong esta en equilibrio bajo la acción de su peso (W), em puje del a gua (E), y fuerza extem a (F). * p = 0,57
© cm
Solución: 87 • Las fuerzas que actúan sobre e l globo son: su peso (W), e l em puje del aire (E), el peso del gas de helio (W ft) y la fuerza de re cupetación del resorte (F).
w! En la Fig., la m agnitud de la fuerza, es igual a la diferencia del empuje y el peso, esto es: F = E - W = pLg V - p g V
F = ( p L - p ) g | 7TR-3
F = (1 - 0,09)(103)(10)( í 7t)(2.10“3) 3
* F = 0,3 N
©
Solución: 86 • En la Fig., igualando el peso de la boya a l em puje del agua, obtenemos la densidad de la boya, así: W =E p g ^ R 3 = pL g Í7 l[4 R 3 - h ( 3 R 2 - h 2)]
4p0,63 = (l)[(4)(0,63)-(0,4)((3)(0,62) - 0 , 4 2)]
Com o e l globo está en equilibrio, se cumple que: E = W + WHe+ F pAg V = m g + p Heg V + k x X—
(1,29 - 0,18)(10)(5) - (2,10 -3 )(í 0) ..
90 * x - 0,62 m Solución: 88 * Las fuerzas que actúan sobre el bloque en forma de paralelepípedo son: su peso (W}
Hidrostática a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * # * * ?
que actúa en el centro de gravedad G, y el em puje del agua (E), que actúa en el centro de flotación F.
i
V20
G
h X
N .R
Com o el bloque este en equilibrio, igualando el peso al em puje, obtenem os "x " , así:
Com o el sistem a esta e'n equilibrio, la suma de la com ponente del peso de A y el empuje E debe s e r igual, al peso de B , esto es: WA senO + E = WB PLg V = WB - W AsenO
p g A .H = pLg A x v = a 3 = WB - W AsenO x = (— )H = (— )(40) = 10 cm Pl 1 Ahora, calculem os la energía potencial gravi tatoria y elástica correspondiente a l em puje, así: EP j = m gh = p A H g h Ep,l = (0,25.10 )(0,2) (0,4)(10)(0,1) = 4 J I? E P ,2
1 *
A
= -P lS Ax
Pl S a 3 = 1 0 ,2 9 -( 5 ) (3í 5 ) = 7 ^
10- 4 m 3
( 103) ( 10) * a = 9 cm
©
Solución: 90 • R epresentem os la sem iesfera desviada su diámetro un pequeño ángulo "0", respecto de la horizontal.
2
Ep,2 = (~ )(i0 3)(10)(0,2)2(0,l)2 = 2 J Luego, la energía potencial total del bloque en forma de paralelepípedo e s : EP = 4 J+2 J * EP = 6 J
©
S olución: 89 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre el sistem a m ecánico.
En la Fig. e l centro de m asa (C) de la semi esfera situada a una distancia d=3R/8 de 0, realiza pequeñas oscilaciones alrededor de la posición inicial del centro de m asa (P.E.), describiendo un arco de circunferencia de ra d io 5 R /8 ;a s í, del teorema de los ejes parale-
Física++
1056
lelos el m om ento de inercia de la sem ies fera, respecto de un eje que pasa por (C ) y p eip en d icu laral radio R de lasem iesfera es:
del depósito, la aceleración con la que ascien de es: ai - ( ~ - i ) g B
Ic = I q —m d
ai = (7 e i 7r - l X 1 0 ) = 5 H 2pL /3 s2
2 2 ,3 R 2 Ir = - m R - m ( — ) C 5 8
El tiem po que tanda en llegar la esferita des de e l fondo del depósito hasta la superficie li bre del líquido es:
83 2 Ir = mR c 320 Ahora, aplicando al centro de m asa (C ) la e cuación fundam ental del m ovim iento de rota ción, respecto de su posición de equilibrio, te nem os:
0,4 = ( | x 5 ) t f
=>
t,= 0 ,4 s
M c = Ic d 3 83 - (m g - E ) ( - Rsen 0) = (— - m R 2) ( - y ) o 320 dt d 20 90 g —T + — — sen0 = 0 dt2 83 R Com o, 0
0 entonces, se n 0 « 0 , por lo que
A hora, cuando a la esferita de volum en ini cial V , se le practica una cavidad de radio " R /2 " , los volúm enes de la esferita hueca V i y del relleno V 2son:
la ecuación anterior queda, así: Vj
1
4 + “ ® e -o d t2 83 R t
Esta es la ecuación diferencial que describe las oscilaciones arm ónicas que realiza la se m iesfera m aciza con una frecuencia angular propia 0)o= (30g/83R )1/2 y un periodo igual a:
3
- - r c ( —)3 = - t e R 3 3 2 6
7 4 -» 7 V, = - ( - ttR 3) = - V 8 3 8 V2 = ^ 7 t ( ^ ) ^ l v 2 3 2 8
w i = -7p V wy m i= p V o
83 0,2 i/2 - ) lu 90 10
* T * 0,85 s
-T tR 3
Así, las masas de la esferita hueca, del relie no y m asa total son:
T = — = 27i(— —)1/2 (O, 90 s T = 2n(
=
[E
Solución: 91 C uando se suelta la esferita del fondo
m =
1 pV ,, m 2 =P~ yV 2 = — 2 lo
+m 2 =
D e m odo que, la aceleración con la asciende en este caso la esferita es:
Hitfrostática
a2
pLg V - m g _ , p L - I 5 p /1 6 ^ _ -------------------- y. ie n c — )£ m I5 p /1 6
a 2 = (— — - l ) g - (— —-1)(10) 2 15 p 15 2
* AP = 4,93 atm Solución: 93 • En e l recipiente tomemos una colum na de agua de área de sección transveisal A y longitud
a 2 = 6 m /s 2 y
En este caso e l tiem po que tarda la esferita rellenada en lle g ara la superficie libre es: 0,4 - ( l ) ( 6 ) t ¡
=>
t 2 = 0,365 s
Luego, el cam bio en e l tiem po en que tanda la esferita en lle g ara la superficie libre es: At = 0,4 s - 0,365 s * At » 35 m s
X
P
- 9 .,
Solución: 92 • R epresentem os los puntos A y B sitúa dos a 40 m y 4000 m por debajo y encim a del nivel d el mar.
9
A plicando la segunda ley de N ew ton, a la co lumna de agua de m asa (m), la presión en la sección A , debida a la aceleración es: F -m a
©
,
A X v mvX '
->
P]A = p x A a
Pj = p x a T am bién, la presión en la sección de área A debida a la cantidad de agua que está p o r en cim a de ella es: P2 = P § y
HMOOÜm
"1,
Luego, com o las presiones en todas las direc ciones es la m ism a, la presión total en la sec ción A es: P = P1 + P2
Pl
h=40m
P = p (x a + yg) P = (103)[(1,4)(5) + (1,2)(10)]
La diferencia de presiones entre los puntos A y B , viene dado pon AP = Pa - P b AP = (P0 + pAg H + pM g h ) - P0 AP = (1 ,29)(10)(4.10V (1,12.103)(10)(40) AP = 4,996.105 N / m 2
* P = 19kPa
®
0 N o ta La tapa del recipiente está herm éticam en te cerrado (P = 0) Solución: 94 • Las íiieizas que actúan sobre el cuerpo son: su peso (W), e l em puje del agua (E), y
Físíca++
1058
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
la tensión en la cuerda (T).
altura (x)sum ergida del bloque, así:
Ti
P H § a3 = P A g a 2 x x = (— Pa
= (y ~ )(1 0 ) = 9 cm 1*0
Igualando el volum en del hielo no sum ergido al volum en del líquido que asciende en e l de pósito, obtenem os el niVel de ascenso, así:
W
D e la ecuación de m ovim iento del cuerpo, ob tenemos la tensión en la cuerda así:
a 2 (1) = A y
W T + E -W = — a
T = W(1 + —) - “
=>'
100 = lOOOy
y = 0,1 cm Así, las presiones en el fondo del depósito, antes y después de sum ergir com pletam ente el bloque de hielo son:
W
P i = P L g h i = ( 1 0 3 ) ( 1 0 ) ( 0 ,2 ) = 2 k P a
T = (40)(1 + X ) _ ( I ) ( 4 0 )
p2 = * T = 6 0 - 20 = 40 N © |^ [ Nota R ecordar que el volum en de un cuerpo es: V =m /p, siendo (p) la densidad y (m ) su m asa.
P Lg
h2 =
( 1 0 3 ) ( 1 0 ) ( 0 ,2 0 1 ) = 2 ,0 1 k P a
Luego, e l porcentaje que varía la presión en el fondo del depósito es: P - P q = (-?-----L)100
•
Solución: 95 * • D e la ecuación de m ovim iento del obje to, obtenemos su densidad, así: W s W - E = — — => g 3
W 1 W - p Lg — = - W pg 3
1 - ^ =1 P 3
P=|
=>
* P = 155 - a t cm
pl
= ( |) ( 1 )
©
Solución: 96 • Igualando el peso del cubo de hielo de a rista a=10, al em puje de agua, obtenemos la
, ^ ) C
0
0
+ T) = 0,5 %
)
©
Solución: 97 • Sean, "R ", "r" los radios de la base cir cu lar del cono y de la sección situada en el nivel del agua.
Hicfrostática ******************************************************************************************m Aplicando la sem ejanza de triángulos, obte nem os "r" en función de "R ", así: r R — =— 3x 5x
=>
3_ r = -R 5
*
Solución: 99 • R epresentem os la fiieiza sobre la cara A B C D del prism a, debido a la presión. B
A hora, igualando el peso del cono a l empuje del agua, obtenem os, la relación entre las den sidades del agua p Ly del cono p, así:
1
1
2
2
pg-TTR 5x = p Lg - 7 tr 3x
3 r 5 p R 2 = 3 pLr 2 => p = - - y p L 3R ,3
P= W
3 2
27
pL = m pL
En la Fig., las fiieizas F,, F2 sobre las caras AB E y C D F se anulan entre s i, p o r s e r opues tas y de igual m agnitud. A hora, hallem os e l área de la cara lateral A B C D del prism a:
A = (10.10_2)(10V 2.10"2) Sea "Vx” el volum en de agua que se debe ver t e r e n e l cono para hundirlo com pletam ente, A = V 2.10_2m 2 entonces, el peso del cono más el peso del a gua, debe s e r igual a l em puje, esto es: Luego, la m agnitud de la fiieiza resultante sobre las caras laterales del prism a es: p g V + pL g V x = p Lg V F3 = P A = (2.105)(V 2 .1 0 '2) V * = (l
P ) v = ( l - — )(500) 125 Pl
* F3 = 2000V2 N
i
* V = '3 9 2 c m 3
® •
Solución: 98 • Las fiieizas que actúan sobre el globo son: su peso (W q), peso del hidrogeno (Wn), y em puje del aire (E), siendo la füeiza de as censión igual a:
©
Solución: 100 Sean, "Fj" y "F2” las füeizas resultantes
que actúan en los hem isferios derecho e iz quierdo de la esfera, debido a las presiones r»3P»r y itpfi
Fa = E - W H - W E Fa = P A g V ~ P H g V - W G
Fa = (l,2 9 )(1 0 )(5 )-(0 ,0 9 )(1 0 )(5 )-1 0 * F, = 50 N
©
Com o las presiones "3P" y "P" son consten
1060
Física++
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * *
tes, entonces, la fuerza debida a estas presio nes pueden calcularse sobre el área "A" de la superficie efectiva, así:
F = V 3 m g - ^ - ( F + V 3m g)
Fd = F, - R = 3P A - P A
F = y m g = (y X 1 0 V 3 )0 0 )
= 2 P 7 tr 2 = (2 )(5 .1 0 3)(7t0,22)
B)
* F = 100 N * Fr = 1,26 kN
©
S olución: 101 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bie cada uno de los cilindros.
Representem os los triángulos de fuerzas so bre los cilindros izquierdo y derecho.
E -m g 9
/
/
F
\R
m g-E/2
»
<<0
Con estas fuerzas formemos los triangulo de fuerzas del que actúan sobre e l cilindro iz quierdo y sobre los dos cilindros.
4 S \
R
R /
S olución: 102 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bie los cilindros.
A
V
m F
n
\ N
/ *í<45°
r; N
El triángulo que une los centros de los cilin B =3 E /2-2 m g A = m g -E / 2 dros es sem ejante al triángulo de'fuerzas del cilindro izquierdo, por lo que: D el prim er triángulo de fuerzas, obtenemos la reacción de la pared sobre el cilindro, así: F V 3R => V 3E = F + V 3m g N E -m g R =1 tg 45° = mg - E / 2 El triángulo que une los centros de los cilin dros es sem ejante al triángulo de fuerzas del E N = m g- — cilindro derecho, po r lo que: F -------------m g -E /2
a/3 R R
=>
„ rr ■a/T F = V 3 m g ------- E 2
D el segundo triángulo de fuerzas, obtenemos la densidad de los cilindros, así:
i* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * :
tg 4 5 - = 1 5 ^ ^ 8 =1 m g -E /2 3 1 - E - 2m g = m g — E 2
=>
a=
(10)tg0° cos45° -s e n 4 5 ° tg O fn m
3m g = 2 E
2
3 p V g = 2 p LgV
*
p
=>
= |- ^ 3 cm
p = —Pl
®
Solución: 103 • Representem os las fuerzas que actúan so bre una partícula situada en la superficie li bre del agua, que forma un ángulo " a " con la horizontal.
II) Evaluando la expresión anterior, para a= 160, y 0=45°, obtenem os: a =
(10)_tgl6° cos45° - sen 45° tg 16 a = 5,7
m
Solución: 104 • Calculem os la fiieiza de presión del acei te sobre la cara superior del bloque cúbico, así: P = pAg h = (0,8.103)(10)(0,1) = 800 m Fa = P A = (800)(Q,12) = 8 N
Las ecuaciones de movim iento de la partícu De otro lado, el peso del bloque cúbico es: la de m asa "m " situada en la superficie del W = m g = (0,5)(10) = 5 N agua, en las direcciones de los ejes X e Y son: . Luego, la füeiza que ejerce el agujero del re N s e n a = 'm a cos0 cipiente, hacia arriba sobre e l bloque cúbico es: N c o s a = m (g + ase n 0 ) F = Fa + W = Dividiendo la segunda entre la prim era ecua ción, y despejando la aceleración "a", teñe * F = 1 3 N (T > mos: Í^ N o ta a c o s0 C om o el líquido de densidad p e n o esta tg a = en contacto con la cara inferior del cubo, no g + a sen 0 existe em puje. g tg a a= Solución: 105 cos0 - s e n 0 t g a * Las fuerzas que actúan sobre el cono I) Evaluando la expresión anterior, para son: su peso (W), la fuerza presión del agua sobre su base (F¡), y la fuerza de presión del g=10 m /s2, a=0°, y 0=45°, obtenemos:
Física++ *********************************************************************************************** 1 0 6 2
agua sobre su superficie lateral (F2). F = F1+ W - F 2 =113,1 + 5 0 -1 7 ,1 * F = 146N
®
Solución: 106 ’ • Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: su peso (W), la fuerza de fricción (f), la fuerza de presión del agua (FP), y la fuerza m ínim a (F).
*
De la sem ejanza de triángulos, hallem os y: y 9 —= — 2
=>
y = 3 cm
FP
6
La fríe iza de presión F] del agua que esta por encim a de la base del cono e s : 3 = P A = (103)(10)(0,14X7rO,062) I \= 1 1 3 ,1 N En la Fig.., las presiones del agua en la base Pi y en e l agujero P2, son:
PL
W
La presión en las caras superior e inferior P2 del cubo, y la presión media que actúa so bre la cara lateral izquierda del cubo son: Pj = pLg h = (103XI 0X0,2) = 2 kPa P2 = p Lg (h + a ) = (103)(10)(0,3) = 3 kPa
1*1 = PLgh] = (103)(10)(0,14) = 1,4 kPa ^ ?2 = PL§ h 2 = (103)(10)(0,20) = 2,0 kPa
m
= i i o 2
^
a
2
La presión m edia d e f agua que achia en la superficie lateral del cono es:
Asi, la fuerza de presión sobre la cara lateral d e lc u b o e s :
p_ = ü ± ü = M ± 2 =1>7kPa
■ í> = P A = (2,5.10 )(0 ,1 ) = 25 N
2
2
D e otro lado, e l em puje que ejerce el agua so Así, la fuerza de presión F2, que actúa hacia bre el cubo es: arriba, sobre la superficie efectiva de área i E = pLg V = (103)(10)(0,13) = 10 N gual a A=7t (R ^ r2) e s : F2 = Pm A = (1,7.103) tc(0,062 - 0,022)
Luego, com o e l bloque cúbico esta en equili brío, se cum ple que:
F2 = 17,1 N f = W -E Luego, la fuerza m ínim a con que debe levan tarse e l tapón cónico e s :
p s (F + I> ) = W - E
Hi*ostática ****************************************************************************************** (0,2)(F + 25) = 4 0 - 1 0 4» F = 95 N
©
agua, en las direcciones de los ejes X e Y son: N s e n a - m aco s0
N cosa = m (g -a se n 0 ) Solución: 107 * Considerem os una columna de agua de D ividiendo la segunda entre la prim era ecua m asa (m), altura (h), área de sección (A), y re ción, y despejando la aceleración "a", teñe presentem os las fuerzas que actúan en la d] m os; ÚCOS0 rección del m ovim iento. tg a = g -ase n 0
£ 1 a =
g tg a cosB + s e n 0 tg a
I) Evaluando la expresión anterior, para g=10 m /s2, a-5 3 °, y 0=53°, obtenem os:
mg
Ahora, aplicando la segunda ley de N ew ton, a la colum na de agua de m asa (m), tenem os:
a =
(10) tg 5 3 c cos53° + sen 5 3 °tg 5 3 a = 8 m /s
F -m g = m a P A = m (a + g) = p h A ( a + g)
®
II) Evaluando la expresión anterior, para a=16°, y 0=53°, obtenem os:
P = (103)(0,4)(5 + 10) a= * P2 = 6.10 Pa
B
(1 0 )tg l6 ° cos53° + sen 5 3 ° tg ló
a = 3 ,4 5 m /s^ Solución: 108 ' ® • R epresentem os las fuerzas que actúan so f ^ N o t a bre una partícula situada en la superficie li En am bos com o la aceleración es nega bre del agua, que forma un ángulo " a " con tiva, pues, esta en sentido contrario a la velo la horizontal. cidad. Solución: 109 I) La presión media ejercida p o r e l ag u a so bre la pared de la presa e s : _ P1 + P 2 _ 0 + P i.g h Pm =
Las ecuaciones de m ovim iento de la partícu la de m asa "m ” s itia d a en la superficie del
1064 Física++ *********************************************************************************************** La fuerza ejercida sobre la pared de la pared, debida a esta pres ión m edia del agua e s :
(nE), el peso del helio (n W ^ ) y e l peso del m uchacho (M g)
F = P„,A = i p Lg í h 2
F = ( i)( 1 0 3)(10)(1200)(150)2 F = 135.109 N
©
II) A su vez, e l m om ento de esta fuerza hj drostática, respecto del fondo de la pared, vie ne dado p o r
nW c
W m
n W He
Calculemos e l v a lo rd e cada una de estas firet zas, así:
M = 7 P l8 ^ h 3
o
4 3 n W H e= - 7i R pHeg n
M = (-)(1 0 3)(10)(1200)(150)3 6
nW He = M = 6,75.1012 N .m 2
tt)(0,23)(0,18)(10)n = 60,3n mN
®
III) La distancia m edida desde el fondo de la pared, a la que achia la fuerza hidrostática es: x = - h = (-)(! 50) = 50 m CÉD 3 3
4 3 n E = - n R P a S 11
n E = (j7 i)(0 ,2 3)(1,29)(10) = 432,3n mN
n W G = m g n = (5.10“3)(10)n = 50n mN Solución: 110 • El trabajo realizado po r ef em puje del a Wm = m g = (20)(10) = 2 .105 mN gua sobre la burbuja, íe transform a en calor, esto es: Luego, com o el sistem a m ecánico está en e Q = mg h quilibrio, se cum ple: n E = Wm + n WG + n WHe
Q = ( p L ^ R 3) g h
432,3 n = 2.105 + 5 0 n + 60,3n Q = ( ^ ) ( 0 , l 3)((103)(10)(10)
322n = 200 000
* Q *419J
* n * 621 globos
©
Solución: 111 • Las fuerzas que actúan sobre los "n" globos son: su peso (nmg), el em puje del aire
@
Solución: 112 I) C uando el cilindro flota en equilibrio, su peso (W), es igual, al em puje del agua (E).
Hidrostática * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ]
<0r
yH
P .E
f
7 ,1 ^ s
III) El periodo de las pequeñas oscilaciones arm ónicas que realiza e l cilindro es:
’P PL .
nv W = E = p Lg A y
T = ^ = 2 I I ( - e - - ) 1/2 “o Pl %
Cuando el cilindro se sum erge una pequeña altura (x), a partir d e s u posición de equili brio (P.E) y se libera.
Pl
10
T » 0,89 s
I
IV ) C uando la altura se aum enta un 10 % la nueva altura es h -1 ,1 h, de m odo que la va nació n porcentual de la frecuencia es:
P .E
11 = ( Í ~ ) ( 1 0 0 ) ♦W El cilindro realiza pequeñas oscilaciones, ba jo la acción de la fuerza, creada p o r e l volu m en adicional sum ergido A .x, esto es:
, = {i ^ L z ! )(100) * q » -4 ,6 5 %
©
F = E - W = pLg A (x + y ) - W El signo (-) nos indica que la frecuencia dis minuye.
F = PLg A x + p Lg A y - W - p Lg A x C om o esta fuerza en todo m omento esta dirit gida hacia la posición de equilibrio (P.E), es una fuerza de recuperación, y com o es del ti po de H ooke (F=kx), corresponde a un m oví m iento oscilatorio arm ónicosim ple. II) Igualando la fuerza de recuperación dedu cida, a la fuerza correspondiente a un m ovi m iento arm ónico sim ple, obtenem os la fie cuencia angular, así:
Solución: 113 • Las fuerza que actúan sobre e l globo son el peso del H elio encerrado (W rt), e l empuje del aire (E), y e l peso que puede sostener el globo (W x).
F ~ - PLg A x = - m (0q x PLg A = p A I icDq =>
co0 = ( ^ V P h 10 i/2
®0 = ( - £ t 0,8 pL 0,25
2 Los valores del peso de H elio (W ^ ), empuje del airé (E )so n :
1066 Fís¡ca++ *********************************************************************************************** WH e= P He g V = (0 ,1 8 )(1 0 )(4 )-7 ,2 N
F = (Paire " PHe) 8 V
E = PAg V = (1,29)(10)(4) = 51,6 N
F = (1,29-0,17X 10X 50)
Luego, com o el globo está en equilibrio, el peso que puede sostener es:
F = 560 N
Wx - E —WHe = 5 1 ,6 - 7 ,2 Wx = 44,4 N
C om o, F > í, entonces la fuerza de fricción sobre e l bloque es:
©
* f = 560 N
B
Solución: 114 Solución: 116 • La vaina hem isférica flota en equilibrio, • Las fuerzas que actúan sobre la bola y el bajo la acción del peso de la rana (W ) y del palo son: sus pesos W , W ’ el em puje del a em puje del agua (E). gua E y la reacción (N ) en el fondo del depó sito.
Igualando el peso de la rana (W), al empuje del agua (E), obtenem os la m asa de la rana, así: 2 m g = PL8 - r c R 3 3
*
9
Tom ando mom entos respecto del centro de gravedad (0) del palo, hallem os (N )así: N a = Eb
m = (103) ( ( | ji)(0,063) N —sen 9 = (R + —)s e n 0 E * m = 0,611 kg = 611 g ® S olución: 115 • Prim ero calculem os la fuerza de fricción estática máxima:
N ¿ = (¿ + 2 R ) ( - 7 tR 3 p g )
N = ^ p g R 3( l + ^ ) fs = |is N = m m .g fs = (0 ,66)(100X10) = 660 N D e otro lado, la fuerza ascensipnal sobre el globo, debido a la diferencia de las densida des de los gases e s :
N = (“ J
)(103)(10)(0,3)3(1 + ( 2 )(~ > ) olí * N = 3 6 0 ti N
Hid'ostática ******************************************************************************************M I Solución: 117 I) Las fuerzas que actúan sobre el globo cuando ha sido desplazado de su posición de equilibrio son: e l peso del helio encerrado (W ), e l em puje del aire (E), y la tensión (T) del cable.
fflo = ((i 2 9 ) _ l ) I V 2 0 0,18 3 co,
4,53
©
s
III) El periodo de las pequeñas oscilaciones que realiza e l globo es: T = ~ = 2 7 t((--^ ©o P A -PH e T = 2 tc((
0,18 1 ,2 9 -0 ,1 8
10
T « 1 ,3 9 s La com ponente tangencial F t de la fuerza re sultante (E-W ) es la que produce las peque ñas oscilaciones, esto es: 7t = - ( E - W ) = - ( p A - pHe) g V s e n 0 Com o, el ángulo "0" es m uy pequeño, enton ces sen 0 w 0 , adem ás, la longitud del arco de circunferencia es s = £Q, luego:
g
©
Solución: 118 • H allem os la altura (h) de agua, que crea una presión equivalente a la sobrepresión, a partir de: *4 h _ P _ 5.10H =5 m io H y A hora, com o el área (A ) del orificio se man tiene constante, se cum ple que:
Fr = - ( P A - P H e ) g “ s Com o esta fuerza es del tipo de H ooke (F=ks), las pequeñas oscilaciones que realiza el globo son arm ónicas simples II) Igualando esta fuerza a la fuerza corres pondiente a las oscilaciones arm ónicas sim pies, obtenem os la frecuencia angular, así: V 5 “ ( p A - P H e ) g T S = - mCC,o s V 2 ' ( p A “ P H e )g V S = "PHe V ® os
(»0 - ((— PHe
- o f ) 172 ¿
A =— =— vi => V2g h ]
V 2g h2
50
V?
* Q 2 = 75 — min
V4 + 5 ®
Solución: 119 • Las fuerzas que actúan sobre el sistema m ecánico son: el p eso del globo con aire (W a), e l em puje del agua (E) sobre e l globo, el peso del bloque de A l (W A) y e l empuje del agua sobre el bloque (E ’).
1068
Física++
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
ti
= ( ^ ) ( io o ) = ( ^
x io o )
* r) * 47,6 %
E
S olución: 120 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre el globo esférico en equilibrio. Com o e l sistem a está en equilibrio, se cum pie que: E + E '= Wa¡ + W
a
P l S V + Pl S V = PA igV + p AgV
V
= ( pA1 ~ P l
Pl - P
)V
Wg Wh Wc
a
2,7 103 —103 V = ( - ^ ----------- )(0,02) 103 -1 ,2 9
© V * 0,0340 m 3 = 34 m m 3 II) C uando el bloque de A l presenta una cavi dad, de la condición de equilibrio, obtene m os, e l volum en del globo que esta sum ergí do en e l agua, así: »
En la Fig., e l sistem a globo y cuerda (un sólo cuerpo), se encuentra en equilibrio bajo la ac ción del peso del globo (W q), p eso de la cuer da (W c), peso del gas de hidrógeno (W ^ y empuje del aire (E), esto e s : WG + Wc + WH = E 4 3 4 3 m g + X g h + pH g —ttR = p Ag - n R
P LgV = PALgV ” - P l . g V h = 3 X [47T (pA - P H )R 3 - 3 m ]
v =
(2,7.103)(0,014)-ao3)(0,02) 103
V = 0,0178 m = 17,8 m m 3
h = — L_[(4«)(U9^,009(0,15)3-(3)(2.1(T3)] (3)a n .
* h « 15m D e m odo que, el volum en del globo que esta fuera del agua es: V = 3 4 - 1 7 ,8 = 16,2 m m 3 Luego, la fracción porcentual del volum en del globo que esta fuera del agua es:
S olu ció n : 121 • Las fuerzas que actúan sobre e l sistem a de dos esferas son: los pesos de las esferas (W i), (W 2) y los em pujes de del agua (E,) y
(E2).
Hidrostática * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ,M i& »
(W He) y el em puje del aire (E).
+W ,
E
E2
aE i
/ v i
r-C )
V *< -
W 2
Com o la barra que une las esferas es horizon tal, entonces, se cum ple la segunda condición de equilibrio, esto es: (W1 - E 1) (x ) = (W2 - E 2X ^ - x ) (ftgV -pL gV X x) = (p2g 2 V - p Lg 2 V )(¿-x )
Com o el globo está en equilibrio, el em puje, es igual, a la sum a de los pesos del H elio y carga, esto es: E = m g + WHe
(P l “ ~ P l ) x = 2 (P l - “ P l X ^ - x )
PA g V = m g + pHeg V
2 x = 3£ - 3 x => x = - 5
V =
^
Poe
+ x = (—)(60) = 36 cm ^
v=
-z /8 0 0 0
,
” PHe
_________ 400_________ (l,29)(e_8000/800°) - 0,18
Solución: 122 • A plicando la segunda ley de N ew ton, ba liemos la aceleración del globo, así: a =
( 1,2 9 - 0 ,2 9 ) 0 0 X 2 0 0 )
200
.
* V = 1358 m 3
Solución: 124 • A plicando la segunda ley de N ew ton, se tiene: a = LE. m
a = 10 m /s Luego, la distancia recorrida por el globo du rante el tiem po de 2 s es:
E -f-W
=>
m d = V° t + 2 a t
f
E -W
W ‘
W
f = p g V -p p g V
w
d = 0 + (^)(10)(2)2 * d = 20 m
©
©
Solución: 123 • Las fuerzas que actúan sobre el globo son: el peso de la carga (W ), el peso del helio
4w
=
PogV
Po
=
Po
* — = 3veces W
-D
©
1070 Física++ ***********************************************************************************************
TEORIA CINETICA fc A p Ts fe
1. a)
b)
1)
2)
3)
4)
5)
c)
nes. El sistem a atóm ico más sencillo es el átom o de hidrógeno, que consta de un electrón que se mueve en el cam po cou lom biano de un protón.
© A S E S
d) M olécula Se llama así a la partícula estable más pequeña de una sustancia dada que posee T E O R IA C IN E T IC A D E L O S G A S E S sus propiedades quím icas fundam entales Definición y que está form ado por átom os idénticos Es una parte de la física, que estudia me o diferentes en un todo único por medio de enlaces quím icos, existen dos tipos de diante el uso de técnicas y m étodos esta m oléculas las iónicas y las atómicas. dísticos, la estructura, propiedades, carac terísticas físicas de los gases y los proce 1) M olécula iónica.- Este tipo de m oléculas esta form ado por iones de los elem entos sos físicos que se dan en el. quím icos que integran la m oléculas. Las m oléculas iónicas son eléctricam ente neu Postulados Los principales postulados que utiliza la tras. 2) M olécula atóm ica.- Son las moléculas teoría cinética de los gases, son: Se considera que un gas esta form ado por cuyo estado fundam ental corresponde a los estados norm ales de los átom os neu un conjunto de partículas (átom os o molé tros. Las fuerzas que aseguran la estab] culas) que se m ueven caóticam ente obe lidad de las m oléculas atóm icas son de in deciendo a las leyes de la m ecánica N ew tercam bio y su carácter es específicam en toniana. En el sistem a de partículas, se cum plen te cuántico. El estado norm al de un áto m o es aquel que corresponde a su estado las leyes de conservación de la energía, de equilibrio energético. m om ento lineal y m om ento angular. Cada una de las partículas del sistem a son distinguibles, unas de otras, esto es e) G a s ideal válido en la física clásica. Se llam a así al gas que presenta o reúne Todos los procesos físicos que se llevan a las siguientes características: cabo en el sistem a de partículas, evolu 1) L a fuerza de interacción entre sus molé cionan de un modo continuo. culas, es pequeña (despreciable), debido N o actúan fuerzas apreciables sobre las a las grandes distancias existentes entre m oléculas, excepto durante los choques. ellas. 2) Sus m oléculas son de dim ensiones infí nitam ente pequeñas del orden de 10'8 cm, A to m o por lo que, el volum en que ocupan las Se llam a así la m enor partícula de un e m oléculas respecto del volum en del reci lem ento quím ico que posee sus propie píente que lo contiene es muy pequeño, dades quím icas. El átom o consta de un núcleo cargado positivam ente y de elec es decir, su densidad es m uy pequeña. trones que se m ueven en su cam po cou 3) Sus m oléculas poseen m ovim iento cao tico (al azar), m oviéndose en trayectorias lombiano. L a carga del núcleo es igual en m agnitud a la carga total de los electro rectilíneas.
Teoría cinética de gases
1071
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A **
4) L os choques de las m oléculas entre si y con las paredes del recipiente que lo con tiene, son perfectam ente elásticas, siendo estos choques de corta duración. E jem plo: En condiciones normales (C.N.) el hidrógeno, oxigeno, nitrógeno, etc... se consideran gases ideales. 'o
f)
•
•
./•
G a s real L os gases reales son los que en condicio nes norm ales (C.N.) de tem peratura y pre sión se com portan com o gases ideales, pero si la tem peratura es muy baja o la presión muy alta, las propiedades de los gases reales se desvían en form a consi rabie de los gases ideales.
n =
h) C o n d icio n e s norm ales (C.N.) • Se llama así a los valores correspondien tes a una tem peratura de 0 °C (273 °K) y una presión de 1 atm (760 m mHg) • En general las m ediciones de los volu m enes de los gases se realizan en condi ciones normales.
m •M
siendo, (m) las m asa de la sustancia ex presada en kilogram os, y (M ) la m asa mo lecular o m olar de la sustancia, esta canti dad es igual, a la sum a de los pesos ato m icos de los elem entos que intervienen en la fórm ula m olecular. E jem p lo : 1 mol de H20 es igual a 18 ki logram os, pues, la m asa m olecular del H 20 es 18, luego 9 kg de H 20 será igual a 1/2 moL_ — .
g ) G a s enrarecido Se dice que un gas está enrarecido si su densidad es tan pequeña que el recorrido libre m edio ( X ) de sus m oléculas puede com pararse con las dim ensiones lineales "d" del recipiente que lo contiene. Este estado del gas tam bién se llam a vació.
i)
m entó) o la m olécula (si se trata de un com puesto). U n mol de cualquier gas ideal en C.N. o cupa aproxim adam ente un volum en de 22,4 litros (ó 22,4-10'3 m 3) El núm ero de m oles (n) de un gas ideal viene dado por:
V o lum en m olar (V M) Es una m agnitud física escalar, que se define, com o la razón del volum en (V) del gas al núm ero de m oles contenido en él, esto es:
k) V o lum en específico (v) Es una m agnitud física escalar, que se define, com o el inverso de la densidad ( p ) del cuerpo ó sustancia, es decir:
Mol (m o l-k ilo g ra m o ) El mol es la unidad fundam ental del Sis tem a Internacional de U nidades, que mi de la cantidad de sustancia. E sta definido com o la cantidad de sustan cia de un sistem a que contiene tantas en • tes (partículas) com o átom os hay en 0,012 kg del nucleido carbono 12. L a unidad fundam ental en todo proceso quím ico es el átom o (si se trata de un ele ^
v=
1 P
Para una sustancia hom ogénea el volu m en específico, es igual,» al volum en de dicha sustancia, cuya m asa es igual a la u nidad. U n id ad : (v) se mide en m3/kg
■J072 Física++ ********************************************************************************************* í)
Punto crítico Se dice que una sustancia se encuentra en equilibrio en el punto crítico, cuando desaparece la frontera bien definida entre las fases líquida y gaseosa de la sustan cia. A la tem peratura y presión a las que • esto ocurre se les denom ina tem peratura crítica y presión crítica, y la densidad que alcanza la sustancia se conoce como densidad crítica.
2. L E Y G E N E R A L D E UN G A S ID E A L
es decir, el cociente entre el volum en y la cantidad de gas es constante.
M EJ v, ni
£ l>
e
v2 H2
Por ejem plo, en un gas contenido en un cilindro cerrado por un ém bolo móvil (E), para variar el volum en del gas (V) debem os variar la cantidad de gas (n), tal que, para el estado inicial y final a pre
V , = V2 nl
Jn 2
C oncluim os diciendo que: en las mis mas condiciones de presión y tem peratura, vo lúm enes iguales de cualquier gas, confie nen siempre, el m ism o núm ero de mole culas.
b) N úm ero de A vo g a d ro (N A) E s el núm ero de m oléculas contenidas en 1 mol de cualquier sustancia en estado sólido, líquido o gaseoso, este valor, es igual a 6,02.1023.
a) Ley de A vo g a d ro E stablece la relación entre la cantidad de gas y su volum en, para una tem peratura y presión constantes. L a cantidad de gas se m ide en moles. c) Esto es, el volum en de gas es directam en te proporcional a la cantidad de gas, así: Si aum entam os la cantidad de gas, au m enta el volumen. - Si dism inuim os la cantidad de gas, el vo lum en disminuye. • Tam bién, se puede expresar la ley de A vogadro, así: d) V - = k = cte. . n #
sión constante y tem peratura constantes, se cumple:
La constante de Boltzm an E sta constante de la teoría cinética de gases se representa por "k", y se define com o la constante de los gases (R) por unidad de m olécula, esto es: k = - - - = I,38.10“ 23 Na °K La constante R de los gases ideales Es num éricam ente igual al trabajo (5W ) que realiza un mol de gas ideal al calen tarlo un grado en un proceso de expan sión isobárico (a presión constante), esto es: r
= 5wndT
siendo "dT" la diferencia de tem pera turas. e) Ley general de un gas ideal Para un gas ideal en estado de equilibrio term odinám ico, esta ecuación relaciona las variables presión (P), volum en (V) y tem peratura (T), del m odo siguiente:
Teoría cinética de gases 1073 ******************************************************************************************* PV = n R T siendo, "P" la presión en (N/m2), "V" el volum en en (m 3), "n" el núm ero de mo les, "T" la tem peratura absoluta en (°K) y R = 8,31 J.m ol'1 °K '! la constante uni versal de los gases. P ara una m ism a m asa de gas (n.R) es u n a constante, entonces la ecuación an terior, para dos estados diferentes "1" y "2" del gas, se escribe así: Pi Ví
P2_V2
T,
T->
es decir, cuando se varia la presión y tem peratura del gas, autom áticam ente cam bia su volumen. Com o, V ^ r a / p i y V2 = m /p 2, tam bién, podem os expresar la ley de los gases ideales en función de las densidades, así: _P i.
P iTi
P l^ 2
siendo, p L y p 2 las densidades del gas en los estados 1 y 2, respectivam ente.
P = P A + P, Sustituyendo las expresiones de PA y Pb, obtenidas de la ley de los gases ideales, se tiene: 1 P=
R T m'A
m,
V (m
m b
a
Se debe mencionar,' que la presión crea da po r cada uno de los com ponentes de la m ezcla, es independiente, de las presio nes creadas p o r las otras com ponentes. L a ecuación anterior, para u n a m ezcla de N -com ponentes, se escribe así: mk V kt í M k
p _ R Ty
siendo, (mk) la m asa de la k-ésim a com ponentes y (Mk) m asa m olecular de la késim a com ponentes. L a presión parcial de la k-ésim a compo nentes de la mezcla, es igual, al producto de la presión de la m ezcla p o r la concen tración m olar de dicha com ponente, es decir: pk “ z kp
Ley de Dalton
donde la concentración m olar de la késim a com ponente, viene dada por: k_
mk /M k
Zv =
X ( m k / M k) k=l
L a presión total de una m ezcla de gases ideales a volum en y tem peratura cons tante, es igual, a la sum a de las presiones de cada una de las com ponentes de la mezcla. A sí, la presión de una m ezcla de dos ga ses A y B, viene dado por:
E jem p lo : 6 g de anhídrido carbónico (CO 2) y 5 g de óxido nitroso (N20 ) lie nan un recipiente de volum en 2000 cm 3.¿ Cuál será la presión total en el recipiente a la tem peratura de 127° C ? Solución: D ado que se tiene 2 com ponentes, la presión total de la m ezcla es:
1074 Física++ ********************************************************************************************* _R __ 8 ,3 1 J.m o r]^ k ^ P - RTy V k= ,M k
~ Ñ A * ó,022. 1023m o r '
p = R T m, + m 2
k = l,38.10"23J .°k "1 i
V
M2
M2
„ (8,31.10 )(400) .6.10 P= 44 2.10 -3
5.10 . 44 - ) N
* P = 4,15.10-
m
3. E C U A C IO N F U N D A M E N T A L D E L A T E O R IA C IN E T IC A D E L O S G A S E S
b) Velocidad media aritm ética
•
a) Energía cinética media < E C> La energía cinética m edia del movim ien to de traslación de una m olécula de un gas ideal, viene dado por:
< v> = [ 8 R T ]12 ttM siendo, (R) la constante universal de los gases, (T) la tem peratura absoluta (°k), y (M ) la m asa m olecular o m olar del gas.
1 2 < E c >= ^ m < vc >
< E C >= 3 kT C 2
•
•
•
•
siendo, (vk) la velocidad de la k-ésim a molécula. Se dem uestra que la expresión anterior, en función de los parám etros del gas i deal, viene dada por:
c ) Velocidad cuadrática m edía
siendo, (k) la constante d e Boltzm an, (T) la tem peratura absoluta (°K). A sí, la energía cinética m edia es direc tam ente proporcional a la tem peratura ab soluta y no depende de otra cantidad fí sica. L a tem peratura absoluta es una m edida de la energía cinética m edia del moví • m iento de traslación de las m oléculas del gas ideal. E sta expresión de la energía cinética me dia, no es válido en la región de tempera turas ultrabajas próxim as al cero absolu to. L a constante de Bolztm an, se determina, así:
< v > = [ * £ v 2]1/2 N k -i
siendo, (vk) la velocidad de la k-ésim a m olécula. Se dem uestra que la expresión anterior, en función de los parám etros del gas i deal, viene dada por: 3RT. < v c > = n v - ] 1/2 6 M < vc > = [3kT ] m
Teoría cinética de gases 1075 ********************************************************************************************* siendo, (m) la m asa de una m olécula del gas, (M ) su m asa m olecular, y (T) la tem peratura absoluta, d) Ecua ción fundam ental de la teoría cinética de los gases L a presión ejercida por un gas ideal, so bre las paredes del recipiente que lo con tiene, viene dado por:
siendo, (P) la presión, (V) el volum en del recipiente, y (Ec) la energía cinética total del m ovim iento de traslación de las (N) m oléculas de gas que hay en el recipien te. D em ostración: C onsiderem os el recipiente de áreas de sus bases izquierda y derecha igual a "A".
m ero de estas m oléculas contenidas en el volum en " v xAAt" es: N x = n vx AAt Com o la m itad d e estas m oléculas se m ueven en la dirección negativa del eje (-X ), entonces, la variación de la cantj dad de m om ento lineal total de las mole culas que se dirigen a la pared som brea da es: APX = ”
N xAPx
APX = (* n A v x A t)(2 m 'v x) D e m odo que, la fuerza ejercida por las m oléculas sobre la pared som breada es: Fx = = n A m 'v x x At x A su vez, com o F -P A , entonces la pre sión sobre esta pared es: N = n m 'v x
En la Fig. la variación de la cantidad de m ovim iento que experim enta la m olécula de m asa m ' al chocar elásticam ente con la pared del recipiente es:
(1)
A hora, com o los grados de libertad que tienen las m oléculas para m overse en las direcciones de los ejes X, Y y Z es la mis ma, el cuadrado de la m agnitud de la ve locidad de las m oléculas del gas es: v 2 ~ vx + Vy + V2 = 3 v x
A P x = P x - Pox = m ’ v x - m ' (-■v x )
Apx = 2 m 'v x Ahora, sea " n ” el núm ero de moléculas p o r unidad de volum en, y "vxAt" la dis tancia recorrida po r las m oléculas que se m ueven en la dirección (X) durante el intervalo de tiem po ” At", entonces el nú
Finalm ente, reem plazando (2) en (1), y te niendo en cuenta que n=N /V , siendo "N " el núm ero total de m oléculas, obte nemos: P = ( N ) ( 1m ’v 2) V 3
1076 Física++ *********************************************************************************************
PV=
2 3
(N
1 2
•
7
m 'v )
P V = - E,
(3)
P ara un gas hom ogéneo ( m ^ m ’), las ma sas de todas las m oléculas son iguales, pero sus velocidades (v^, k = l,2,...) son di ferentes, así, la energía cinética de las "N" m oléculas es: V
Ec =
m 'V
2
0 I vk k=l
•
En un gas ideal los choques entre las mo léculas no varían la presión del gas, sien do esta presión igual en todas las paredes del recipiente. Ahora, com parando la ec.(4) con la ecua ción de los gases ideales, obtenem os la expresión para la velocidad cuadrática media, así: - m < v c > 2= m R T 3 , M < v c > = [ 3H
(4)
De otro lado, de la expresión de la v e lo d dad cuadrática m edia, se tiene que:
c
]l / 2 = [ 3 R T ]l /2
M
Com o, k = R/N A, entonces; < v c >=[
< v c > = [¿ Z y tJ m N k=l Z vk = N < v c >2
(5)
m Na
3kT 1/2 -1 m
siendo, (k) la constante de Boltzm an, (m ’) la m asa de una m olécula, y (N a) el núm ero de Avogadro.
k=l
Sustituyendo (4) y (5) en (3), tenemos: P V = - N m ' < vc >2 3 L P V = ^ m < vc >
(6)
siendo, m = N m ’ la m asa total del gas. Así, la ecuación fundam ental para la pre sión del gas es: _
1 ,m , 3 V
i c >
_ 1 7 => P = 3 p < V c >
siendo, p = m /V la densidad del gas. La presión al interior de un gas, se origi na com o resultado de los choques de las m oléculas con las paredes del recipiente que contiene al gas, com unicándoles a es tas su impulso.
4. E Q U IP A R T IC IO N D E L A E N E R G IA • El núm ero de grados de libertad de un cuerpo es el núm ero m ínim o de coorde nadas independientes que se utiliza para establecer com pletam ente su posición en el espacio. • P o r ejem plo, una partícula que se m ueve en línea recta, tiene un grado de libertad; del m ism o m odo, el m ovim iento de un péndulo en un plano vertical tiene dos grados de libertad; y el m ovim iento libre de un sólido tiene seis grados de libertad tres correspondientes al m ovim iento de traslación y tres al de rotación. • En una gran variedad de problem as la m olécula del g as m onoatóm ico puede considerarse com o un punto material, por lo que, se necesita de tres coordena das para establecer su posición.
Teoría cinética de gases 1077 ********************************************************************************************* b ) P A < P B = Pc
a) PA = PB = Pc
PROBLEMAS
d) PA = Pb > Pc < P« < Pr e) Pfl
c) Pa > Pb > Pc
01. R especto de la teoría cinética de los ga 04. R especto de los electrones en los gases, ses, indicar la proposición correcta: indicar la proposición verdadera (V) ó / a ) A la misma tem peratura, las m oléculas falsa (F): L os electrones de los átom os de hidróge de un gas liviano tienen m ayor velocidad i cuadrática m edia que las m oléculas de un no y oxígeno son idénticos, gas pesado. f l l . El electrón del átom o de hidrógeno tiene b) A la m ism a tem peratura, las m oléculas m ayor m asa que la del oxígeno, de un gas liviano tienen m ayor energía tlll. El electrón del átom o de hidrógeno es cinética m edia que las m oléculas de un m ás grande que la del oxígeno. gas pesado. VFF a) FV F b) FFV F e ) A la m ism a tem peratura, las m oléculas d) V V F e) VFV de un gas liviano tienen la m ism a velo cidad cuadrática m edia que las m oléculas . U na m asa de gas de am oniaco ocupa un de un gas liviano. volum en de V i= 10 m3 a la presión Pi =2 d) L a velocidad cuadrática m edia de las mo atm. H allar su volum en a la presión P2 = léculas de un gas depende de la presión 5/3 atm , m anteniendo constante la tempe del gas. ratura. e) Las m oléculas de un gas liviano o de un a) 10 m 3 p ) 12 m 3 c) 14 m 3 gas pesado se quedan en reposo absoluto d )1 6 m y e) 18 m 3 a 0o C. 02. D os gases diferentes, de iguales volum en nes, som etidos a la m ism a presión y tem peratura, poseen,..........................................: -4 a) L a m ism a m asa. t * f b) L a m ism a m asa m olecular. c) El m ism o núm ero de moles. d) L a m ism a velocidad cuadrática media. e) L a m ism a energía cinética media. 03. Se representan tres isóbaras, para tres ga ses diferentes que tienen el m ism o núm e ro de moles. H allar la relación correcta, para las presiones:
06. U na m asa de cloro ocupa un volum en de V! =40 cm 3 a la tem peratura de T x =47° C. H allar su volum en (en cm 3) a la tem peratura de T 2-2 3 ° C, m anteniendo cons tante la presión. b) 33
a) 31
c) 35 e) 39
d) 37
07. U na m asa de oxígeno a la tem peratura Tj y presión P ocupa un volum en V, si a la tem peratura T 2 su volum en es 2V y su presión 3P/2. H allar la razón T2/T i = ?. c)3
b) 2
a) 1 d) 4
e )5
08. ¿A cuántas atm ósferas de presión se de be som eter el volum en V, = 10'3 m 3 de un gas m edido a P i= l atm y Ti=-33° C, para que se com prim a hasta ocupar un volu
1078 Fisica++ ********************************************************************************************* men de V2=0,25.10' m a la tem peratura de T2-2 7 ° C ? a) 1 atm
b) 2 atm d) 4 atm
c) 3 atm e) 5 atm
09. A 0o C y 760 m mHg, 28,0 g de nitrógeno ocupan un volum en de 22,4 It. H allar la masa de 10 lt de nitrógeno a 25° C y 810 mmHg. a) 12,0 g b) 12,2 g c ) 1 2 ,4 g d) 12,6 g e) 12,8 g 10. A 0o C y 1 atm , la densidad del oxígeno es 1,43 g/lt. H allar su densidad a 17° C y 700 mmHg. a) 1,14 g/lt b) 1,24 g/lt c) 1,34 g/lt d) 1,44 g/lt e) 1,54 g/lt
14. C ierta variedad del virus del tabaco tiene u na m asa m olecular igual a 40.106. Ha llar el núm ero de m oléculas de virus con tenidas en 1 cm3 de una solución con 0,1 m g/cm 3 de virus.(N a^6,02. i o23 m o l'1) a) 1,0.1012
b) 1,5.1012
d) 2,5.1012
c) 2,0.1012
e) 3,0.1012
15. H allar la m asa de aire en un aula de 5 m de altura y 200 m 2 de superficie del piso. L a pre-sión del aire es de 750 mmHg y la tem peratura de 17o C, la m asa m olecular del aire es de 29 kg/km ol, R=8,31 J/ mol.K° y 1 m m H g = 133,3 N /m 2 ) a) 1,28.103 kg b) 1,08.103 kg c) 1,48.103 kg d) 1,68.103 kg
e)l,98.103 kg
11. U na botella de acero de capacidad 5.103 17. Trazar la isoterm a de 0,5 g d e hidrógeno cm3 contiene oxígeno en C.N. ¿C uántos a la tem peratura de 0° C. (R -8,31 J/ gram os de oxígeno deben introducirse en m ol.K 0 la botella para elevar la presión hasta 40 atm, perm aneciendo constante la tempe ratura? La m asa m olecular del oxígeno es 32.(R= 8,31 J/mol.°K) a) 258 g b) 268 g c) 278 g d) 288 g e) 298 g 12. H allar la m asa de hidrógeno que en C.N. puede contener un tanque con u na capa cidad correspondiente a 4,0 g de oxígeno en C.N., si las m asas m oleculares del hi drógeno y oxígeno son 2 y 32, respectiva mente. a) 0,10 g b) 0,15 g c) 0,20 g d) 0,25 g e) 0,30 g 13. H allar el volum en que ocuparían 1,216 g del gas S 0 2 a 18° C y 755 m mHg, La masa m ole cular del S 0 2 es 64,07. ( R= 8,31 J/m o l.K °), 1 mmHg - 133,3 N /m 2 ) a)4 1 8 cm 3 b) 438 cm3 c) 458 cm 3 d) 478 cm3 e) 498 cm 3
16. ¿C uántas veces pesará m ás el aire que lie n a un local en invierno (7o C ) que el que
Teoría cinética de gases 1079 ********************************************************************************************* lo llena en verano (37° C)? La presión es la misma. a) 1,1 veces b) 1,3 veces c) 1,5 veces d) 1,7 veces e) 1,9 veces
22. En un recipiente hay 14 g de nitrógeno y 9 g e hidrógeno a la tem peratura de 10° C y a la presión de 106 N /m 2. H allar la ca pacidad (en cm3) ?del recipiente. (R -8,31 J/ mol.°K)
18. ¿Q ué cantidad de m oles habrá en una bo a) 11 150 b) 11 350 c) 11 550 tella de 10 m 3 de capacidad a la presión d) 11 750 e) 11950 de 720 m m H g y a la tem peratura de 17° C ? (1 m m H g = 133,3 N /m 2 , R=8,31 J/ 23. En un recipiente hay una m ezcla de 10 g de anhídrido carbónico ( C 0 2) y 15 g de mol.°K) nitrógeno. H allar la densidad (en kg/m 3) a) 318 m oles b) 398 moles de la m ezcla a 27° C de tem peratura y a c) 358 m oles d) 378 moles 1,5.105 N /m 2 de presión. (R -8 ,3 1 J/ e) 338 moles mol.°K) 19. U n recipiente A de capacidad V (=3 lt es a) 1,8^ b) 1,88 c) 1,91 tá lleno de gas a la presión Pi=2 atm. O d) 1,94 e) 1,97 tro recipiente B, de capacidad V2=4 lt, está lleno de éste m ism o gas a la presión P 2= l atm am bos recipientes están a la m ism a tem peratura, ¿A qué presión se en contrará el gas si los recipientes A y B se unen entre si por m edio de un tubo? a) 3/2 atm b) 5/3 atm c) 7/5 atm d) 9/4 atm e) 10/7 atm
24. E n un recipiente cerrado lleno de aire se inyecta éter dietílico (C2H 5OC2H 5). El ai re se encuentra en C.N. C uando se vola tilizó todo el éter la presión dentro del re cipiente se hizo igual a 1 050 mmHg,¿ Q ué cantidad de éter se inyecto en el re cipiente ? L a capacidad de éste últim o es V=2 lt. ( R - 8,31 J/mol.°K)
20. En un recipiente cerrado hay una canti dad de agua que ocupa la m itad de su ca a) 2,07 g b) 2,27 g c ) 2 ,4 7 g pacidad. H allar la presión (en M N /m 2) d) 2,67 g e) 2,87 g del vapor de e stá'ag u a a la tem peratura de 400° C, sabiendo que a esta tem peratu 25. ¿C uántas partículas hay en 16 g de oxíge no disociado en un 50 % ? (Núm ero de ra total el agua se convierte en vapor. A vogadro N A= 6,02.1023) (R -8 ,3 1 J/ m o l.°K , M -1 0 6 mega) a) 135
b) 145 d) 165
c )1 5 5 e)175
a) 1,52.1023 b) 2,52.1023 c) 3,52.1023 d )4 ,5 2 .1 0 23 e) 5,52.1023
21. E n un recipiente hay 14 g de nitrógeno y 26. H allar la velocidad cuadrática de las mo 9 g e hidrógeno a la tem peratura de 10° léculas de aire a la tem peratura de 17o C, C y a la presión de 106 N /m 2. H allar la considerándolo com o un gas hom ogéneo m asa de una m olécula kilogram o de la cuya m olécula-kilogram o tiene una masa mezcla. ( R - 8,31 J/mol.°K) igual a M -2 9 kg/km ol. R -8 ,3 1 J/mol.°K a) 1,6 g/m ol b) 2,6 g/m ol c) 3,6 g/mol d) 4,6 g/m ol e) 5,6 g/mol
a) 300 m/s b) 350 m/s c) 400 m/s d) 450 m/s e) 500 m/s
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A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
27. H allar la razón entre las velocidades cua 32. ¿C uántas m oléculas de gas diatóm ico o cuparán el volum en V -1 0 cm 3 a la pre dráticas m edias de las m oléculas de helio sión P -4 0 mmHg si la tem peratura es T y de nitrógeno a ¡guales tem peraturas. =27° C? (k -1 ,3 8 .1 0 '23 J/°K ; 1 mmHg a) 2,05 b) 2,25 c) 2,45 =133,3 N /m 2) d) 2,65 e) 2,85 a) 1,39.1019 b) 2 ,3 9 .1019 c) 3,39.1019 d) 4 ,3 9 .1019 28. ¿A qué altura la densidad del aire será i e) 5 ,3 9 .1019 gual a un 50 % de la que tiene al nivel del mar. C onsidérese que la tem peratura 33. H allar el calor específico (en J/kg.°K) del es constante e igual a 0o C?. (M =29 ; oxígeno a volum en constante (V = cte.) R=8,31 J/m o l.°K y g = 1 0 m /s2) (R= 8,31 J/mol.°K) a) 5,02 km b) 5,22 km c) 5,42 km d) 5,62 km e) 5,82 km 29. H allar la .energía del movim iento de rota ción de las m oléculas que hay en 1 kg de nitrógeno a la tem peratura de 7o C. ( R= 8,31 J/m ol.°K ; k=103 ) a) 81 kJ b) 83 kJ c) 85 kJ d) 87 kJ e) 89 kJ 30. L a energía cinética del m ovim iento de traslación de las m oléculas de nitrógeno que se encuentran en una botella de 0,02 m 3 de capacidad es igual a 5.103 J y la ve locidad cuadrática m edia de estas mole culas igual a 2.103/n /s . H atlar la m asa de nitrógeno que hay en la botella. a) 1,0 g
b) 1,5 g c) 2,0 g d) 2,5 g e) 3,0 g
a) 500
b) 550 d) 650
c )6 0 0 e)700
34. H allar el calor específico (en J/kg.°K) del oxígeno a presión constante (P = cte.) (R= 8,31 J/mol.°K) a) 900
b) 910 d) 930
c )9 2 0 e) 940
35. H allar la razón Cp/Cv - ? entre el calor es pecífico a presión constante (cp) y el ca lor específico a volum en constante (cy) para el oxígeno. a) 1,2
b) 1,4 d) 1,8
c) 1,6 e) 2,0
36. Para cierto gas diatóm ico el calor especí fico a presión constante es 3,5 cal/g.°K. H allar la m asa (en g/m ol) de una molécu la-kilogram o de este gas? (1 cal = 4,186 J, R=8,31 J/m ol.°K )
31. L a energía cinética del m ovim iento de traslación de las m oléculas de nitrógeno que se encuentran en una botella de 0,02 a) 1,11 b) 1,33 c) 1,55 m 3 de capacidad es igual a 5.103 J y la d) 1,77 e) 1,99 velocidad cuadrática m edia de estas molé culas igual a 2.103 m/s. H allar la presión 37. H allar el calor específicos (en J/kg.°C) a a la que se encuentra el nitrógeno. (1 atm volum en constante (cv) de un gas diató = 1,013.105 N /m 2) m ico cuya densidad en (C.N.) es 1,43 kg/m 3 ? (R = 8,31 J/m ol.°K , P0 = a) 1,05 atm b) 1,25 atm c) 1,45 atm 1,01.105 N /m 2 ) d) 1,65 atm e) 1,85 atm
Teoría cinética de gases iq si ********************************************************************************************* a) 617
b) 627 d) 647
a) 24,0
c )6 3 7
b) 24,2 d) 24,6!
e) 657
c )2 4 ,4 e) 24,8
38. H allar el calor específico (en J/kg.°C) a 43. De un tanque de volum en 40 lt, que se encuentra a la presión de 20 atm, y tem presión constante (cP) de un gas diatómi peratura de 35° C se extrae oxígeno hasta co cuya densidad en condiciones norma que la tem peratura desciende a 12° C y la les es 1,43 kg/m 3 ?(R= 8,31 J/m ol.°K , P0 presión a 10 atm. H allar la m asa de oxíge = 1,01.105 N /m 2) no extraída del tanque. (R = 8,31 J/mol a) 906 b) 916 c) 926 .°K , 1 atm =T ,013.Í05 N /m 2 ) d) 936 e) 946 a) 407 g b) 427 g c) 447 g 39. H allar el calor específico (en J/kg.°C) del d) 467 g e) 487 g vapor de yodo sabiendo que su grado de disociación es igual al 50 %. L a m asa de 44. U n globo de volum en V=400 cm3 contie ne helio a la presión de P = l,2 .1 0 5 N /m 2. una m olécula-kilogram o de yodo I2 es ¿C uántas m oles de helio hay en el globo, igual a 254 kg/km ol. (R= 8,31 J/mol.°K) si cada átom o de helio tiene una energía a) 131 b) 133 c) 135 cinética m edia de Ec= 3,6.10'22 J? (NA= d) 137 e) 139 6,023.10 Z3 m o l1) 40. U n gram o-m ol de oxígeno a 1 atm y 0o C a) 3,12 b) 3,32 c) 3,52 ocupa un volum en m acroscópico de d) 3,72 e) 3,92 22,415 It. Si se supone que cada m olécu la de oxígeno es una esfera de radio 10'8 45. U na caja cúbica de volum en V =4,5.10'2 m3 se llena con aire a presión atm osférica cm. H allar el volum en que ocupan real de Po=l,01.105 N /m 2 y tem peratura de m ente las m oléculas del oxígeno. (NA = To=20 °C. Si la caja se cierra y se calien 6 ,0 2 3 .1023 m o f1) ta hasta T]=180 °C. ¿Cuál será la fuerza a) 1,0 cm3 b) 1,5 cm 3 c) 2,0 cm 3 neta (en kN ) en cada u n a de sus caras? d) 2,5 cm 3 e)«3 >0 cm 3 a) 19,0 b) 19,2 c )1 9 ,4 41. U n gas ideal de m asa 12 g ocupa un volu d) 19,6 e) 19,8 m en de 12 lt a 27° C y a la presión atm osférica norm al. H allar el porcentaje 46. El Sol tiene una m asa de M = l,9 9 .1 0 30 kg, radio R=6,96.108 m, y la tem peratura en que dism inuye su presión cuando la en su superficie es T=6000 °K. Hallar: tem peratura es de 67° C y el volum en de (k = l,3 » .1 0 ‘23 J/m ol, G = 6,67.10'n N .m 2/ 18 lt. a) 2 0 %
b) 22 % c)2 4 % d) 26 % e) 28 %
42. U n gas ideal de m asa 12 g ocupa un volu m en de 12 lt a 27° C y a la presión atmos férica norm al. H allar la m asa (en g/mol) de un kilogram o-m olecular del gas. (R= 8,31 J/mol.°K, 1 atm =T,013.105 N /m 2)
I.
kg2) La velocidad cuadrática m edia (en m/s) de los átom os de helio en la superficie del Sol. a) 6116 b) 6126 c )6 1 3 6 d) 6146 e) 6156
II. L a velocidad de escape (en km /s de los á
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A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
tom os de helio a) 607,6 b) 617,6 c) 627,6 d) 637,6 e) 647,6 47. En el espacio exterior la densidad de la m ateria es aproxim adam ente de un áto m o por m 3 los átom os son sobre todo de hidrógeno y la tem peratura es de 2,7 °K. (1 u m a= l,66.10'27 kg, k = l,3 8 .1 0 '23 J/mol I. H allar la velocidad m edia (en m /s) de los átom os de hidrógeno. a) 251,5
b) 253,5 d) 257,5
c) 255,5 e) 259,5
II. H allar la presión (en atm) de los átomos de hidrógeno (1 atm = l,0 1 .1 0 5 N /m 2) a) 3,7.10"24 b) 3 ,7 .10"26 c )3 ,7 .1 0 '28 d) 3,7.10 '30 e) 3,7.10'32 48. U na burbuja de aire, de radio r=5 cm, se eleva desde el fondo de un lago de pro fim didad h=20,4 m, que esta a la tem pera tura de T i=7 °C. La tem peratura en la su perficie es de T 2=27 °C. H allar el radio de la burbuja cuando llega a la superfí cíe. (P q- 1,01.105 N /m 2, pL= l g/cm 3, g= 10 m /s2) a) 7,0 cm b) 7,2 cm * c) 7,4 cm d) 7,6 cm e) 7,8 cm 49. Se tiene un gas perfecto en condiciones norm ales (C.N.). Si asum im os que cada m olécula está, po r térm ino m edio, en el centro de un pequeño cubo. Hallar: I. L a arista (en ncm ) del cubo. a) 330
b) 332 d) 336
c) 334 e) 338
II. L a razón entre la arista del cubo y el diá metro de una m olécula D «3.10'8 cm. a) 10
b) 11 d) 13
c) 12 e) 14
50. D urante el tiem po de At =1 s contra la pa red de un recipiente de área A =2 cm2 cho can n= 1023 m oléculas de hidrógeno (H2) de m asa 3,32.10'24 g cada una, form ando un ángulo de 0 = 45° con la norm al a la pared, y m oviéndose con una rapidez de v = l 000 m /s. H allar la presión ejercida sobre la pared, si los choques son perfec tam ente elásticos. a) 1,35 kPa b )2 ,3 5 ; kP a c ) 3 ,3 5 k P a d) 4,35 kPa e) 5,35 kPa 51. El aire contiene un 23,6 % en peso de o xígeno y un 76,4 % en peso de nitróge n o .(l m m H g=133,3 N /m 2, R=8,31 J/mol. °K) I. H allar la densidad (en kg/m 3) del aire a la presión de 750 m m H g y a la tem pera tura de 13 °C. a) 1,00
b) 1,22 d) 1,26
c) 1,24 e) 1,28
II. H allar la presión parcial (en m m H g) crea da p o r el oxígeno. a) 151,6 b) 153,6 c) 155,6 d) 157,6 e) 159,6 52. Se com prim e un gas de volum en 2 It, que está a la presión de 1 atm, y tem peratura de -25° C hasta un volum en de 0,5 lt. Ha llar el núm ero de m oléculas existentes en el gas. (R -8 ,3 1 J/mol,°K, 1 atm= 1,013.105 N /m 2, N A= 6,023.1023 m o l'1) a) 1.1022 b) 2.1022 c) 4.1022 d) 6.1022 e) 8.1022 53. 1 kg de aire que está a la tem peratura de 30° C y a la presión de 1,5 atm se ex pande adiabáticam ente dism inuyendo su presión hasta 1 atm. H allar el grado de expansión de este gas. a) 1,11 b) 1,22 c) 1,33 d) 1,44 e) 1,55
Teoría cinética de gases
1083
*********************************************************************************************
S O L U C IO N A R IO
Luego, p ara las tres isóbaras, tenem os: mc > mB > mA
S o lución: 01 a) L a velocidad cuadrática m edia es: < Vp > —
3 R T 1/2 M
V erdadero, pues, a m enor m asa m olecu lar (M ) gas liviano, le corresponde m a yor velocidad b) L a energía cinética m edia es:
nR nk nR —> — > ?c Pb Pa * P A>PB>PC
s “\ ©
S olu ció n : 04 * La resPu esta a cac*a u n a de las proposi ciones son.
3. _ < E rc >= 2- k T
* V FF
Solución: 05 Falso, pues, la energía cinética m edia es . L a tem peratura es constante, T ¡=T 2, lúe independiente de las m asas m oleculares. g0> la ecuación general de los gases ideales, c) Falso, po r a). qued a así: d) F a ls o ,p o r a ) e) Falso, las m oléculas alcanzan el reposo P i ^ = P2 V 2 absoluto a la tem peratura de 0o k. (2 )0 0 ) = ( |) V 2 Solución: 02 L as respuestas a cada una de las propo ^ y -1 2 m 3 GD siciones son: 2a) Falso, pues, los gases tienen el m ism o nú _ , j 1 ^ \ a -c Solución: 06 m ero de m oles y m asas mcrteculares dife rentes, por tonto, diferentes m asas, * C om o’ P ' = la ecuacl6n Seneral de b) Falso, po r a) los gases ideales, queda así: •
c) V erdadero, por a) d) Falso, pues, la velocidad cuadrática m e dia depende de las m asas m oleculares. e) V erdadero, pues, la energía cinética m e dia, depende directam ente de la tem pera tura. Solución: 03 • D e la ley general de los gases ideales, la p endiente (m ) de la isóbara es: V nR m = - - = ..... T P
y
V2 1
40
2 y2
4 7 + 273 = 23 + 273 40 320
296
* V 2 = 3 7 cm 3 Solución: 07 D e la ley general de los gases ideales:
1084 Fís¡ca++ ****************************************************************************************** Solución: 10 • D e la ley general de los gases ideales función de la densidad del gas:
Pl V! = P ^V ,
Ti
T2
PV _ (3P / 2)(2V) Y, “
t
2“
P\ y
"
4 T2 / T! ~ 3
P2.
P iTi
©
760
P2T2
_
700
(1,43X 0+ 2 7 3 ) p 2(17 + 273) Solución: 08 D e la ley general de los gases ideales: W T«
• 700 273 p = ( l,4 3 ) ( ---)(---) K2 760 290
p2v 2 T,
* p 2 a 1,24
\-3 n (1)(10"3) = P2( 0 ,2 5 .H T ) - 3 3 + 273 ~
Solución: 11 • D e la ecuación general de los gas deales, despejem os la m asa del gas.
27 + 273
P2 = ( 3 0 0 )(4) 2 240
m_ M PV P V = — R T = > m = ------M RT
4 P2 = 5atm
* *
A sí, la m asa inicial del oxigeno es:
Solución: 09 D e la ley general de los gases ideales: C uando el gas está en el estado (1):
m rt =
(32)(1,0.1105)(5.10~3) (8,31.10J )(273)
m P, V, = -‘ r x * M 1 *
© lt
( 1)
m 0 = 7,14.10~3kg
C uando el gas está en el estado (2): P2V 2 * — ? r t 2 M
A sim ism o, la m asa final del oxigeno es: (2)
m = >
(3 2 )(4 ,0 4 .106 )(5 .10 -3) (8,31.10 )(273)
D ividiendo (2) entre (1), obtenemos: ,m = 2§5,5.10~3kg P 2 Y_2 _ 1112 ^ 2
Pl Vi
Luego, la m asa de oxigeno introducida es
m iT j
Am = m - m
(810X10) = 1 ^ (2 5 + 273) (760)(22,4) ~ (28X0 + 273) * m 2 = 12,2g
\-3
Am = 285,5 .1 0 '3 - 7,14.10" ®
* Am = 0,278kg
©
Teoría cinética de gases 1085 ********************************************************************************************* Solución: 12 Luego, de la ley de • Sean, m , m ’ las m asas del oxígeno y hi m os la m asa del gas, drógeno, respectivam ente, luego, com o los m __ gases contienen el m ism o núm ero de m oles, PV = - -R T M pues, están en C.N. y tienen el m ism o volu men, entonces: n = m: 2
m =
=> m ' = (—0(4) 32 ' 32 * m ' = 0,25g
los gases ideales, halle así: M PV => m = ------’ RT
(29)(0,9.10 )(5)(200) (8,31.103)(17 + 273)
* m = l,08.103 kg
>£/
^
Solución: 13 • D e la ley general de los gases ideales, el volum en, viene dado por:
Solución: 16 • De la ley de los gases ideales, hallem os el producto de la presión por el volum en, así:
V - ™ RT M P
P V = -m-R T M
1.216.10-3 (8,31.103)(18 + 273) 64,07
* V « 0,458.10-3 m 3
©
Solución: 14 • El núm ero de m oléculas (N), contenidas en 1 cm 3 de virus de tabaco es: N = (^ )N A . 0,1.10-3
rt
N = ^ o / i o 6 )(6’° 2 1 * N = 1,5.10
5 1 O- 4
P V = (—
(755)(133,3)
)(8,31.103)(0 + 273) P V = 567J
H allem os dos puntos de la gráfica, del m odo siguiente. Para: Para:
3 V = 1 mJ V = 567 m3
nP _= 567 c t n xNt /m /—2 P = 1 N /m 2
Ahora, tracem os la gráfica P-V , de tal mo do, que pase por los dos puntos anteriores, y sea cóncava hacia arriba. P(N/m2)
12 m oléculas cm
Solución: 15 • Transform em os la presión de mmHg a N /m 2, así: P = 750m m H g = (750)(133,3 ~ -) m P = 0,9.10 N /nV
Solución: 17 • Sean m, m ’ las m asas del aire en invier no y verano y T, T ’ sus tem peraturas, enton
1086
Física++
*********************************************************************************************
ces com o la presión por el volum en es una constante, se cumple: - R T = n iRT' M M mg _
w
_
V, 4 4 P B = ( v2 ) P 2 = ( 7) ( l ) = 7 atm Luego, la presión
r
m 'g ~ W ' ~ T W _ ( 3 7 + 2 7 ^ _ 310
* P=
W ' " (7 + 273) “ 280 *
W ® - - = ,, l,lveces w W'
P = 9,6.10
7
m = m' pV = p '2 V kg
= 500 2‘
2cm 3
m3
L a presión, hallam os de la ley de los gases ideales, así:
N m
L uego, de la ley de los gases ideales, el nú m ero de km oles es: PV (9,6.1»0 )(10) n = - =- * RT (8,31.103)(17 + 273)
P = P RT M P = ( 500)(8,31.103)(400 + 273) 18 * P = 155.10
+ n = 0,398 km oles
®
atm
Solución: 20 • Las m asas de agua m y m ’ antes y des pues de la evaporación, son iguales, así:
Solución: 18 • Transform em os la presión de m m H g a N /m 2, así: P = 720m m H g = (720)(133,3 N, ) m
10
®
N m
©
Solución: 21 Solución: 19 • Según, la ley de D alton, la presión de la El volum en resultante de la m ezcla de m ezciai viene dado por: los gases A +B es: V = 3 + 4 -7 1 t L a presión del gas A, en la m ezcla es: PA = ( “ ) P i= ( ^ X 2 ) = ® a tm L a presión del gas B, en la m ezcla es:
P = ( ml + m l ) R T Mt M 2 V
( i)
Sea, M la m asa m olecular de la m ezcla, en tonces, de la ley de los gases ideales, se tie n e :. (m r + m 2) R T P= ( 2) M V
Teoría cinética de gases
1037
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Igualando (1) con (2), y despejando M:
P = 1050mmHg = 1,39.10-
m
m }+ m 2
M =
N
M 2 = (4 )(1 2 ) + (l)(16) + (10)(l) = 74
(ni] / M j j + í n ^ / M 2)
j
M =
14 + 9
_ 23
A hora, sea P2 la presión parcial del éter, en tonces, según la ley de Dalton, se cumple
( 1 4 /2 8 ) + ( 9 / 2 ) "" 5 * M = 4,6
kg kmol
®
P = P, + P2 P = P¡ 4
Solución: 22 • * D e la ec.(2), del problem a anterior, el vo lum en del recipiente es: V =
m 2 RT M2 V
m 2 = ( P - P 1) M-2V RT
m, + m 2 R T M
P
m 2 = (1,39.105 - 1,01.105) f74^ 2 -10 ) (8,31.10 )(273)
23.10-3 (8,31.103)(10 + 273) ~
4,6
}
* m 2 = 2 ,4 7 .1 0 ~ 3k g
106
* V = 11,75.10‘ 3m 3
@
* p = l ,9 7 k®m
©
©
Solución: 25 • Sea, " a " el grado de disociación, enton Solución: 23 ces, el núm ero de m oles de oxígeno atómico • D el problem a anterior, la densidad de la es: m ezcla es: m n, = a 1 M /2 ni] + m 2 P P= (nij / M j ) + (m 2 / M 2) R T El núm ero de m oles de oxígeno m olecular es: (10 + 1 5 ) (1,5.10 ) m n2 = (l-o t) P= (10 / 44) + (15 / 28) (8,31.103)(300) M El núm ero total de m oles en el recipiente es:
Solución: 24 • Transform em os las presiones del aire Pi y de la m ezcla (aire+éter) de mmHg a N /m ', así: P¡ = latm = 1,01.10"* N m
n = nj + n 2 n = (1 + a )
m M
Luego, el núm ero total de partículas, que hay en el recipiente es: N = nN A
1088 Fís¡ca++ ********************************************************************************************* liem os la densidad delaire, así: N = ( 1 + 2 X 3 2 )(6’0 2 ' 1023) PV = * N = 4,52.1023 partículas Solución* 26
rn M
_ - R T => p =
m PM —= - V RT
D e otro lado, com o la presión dism inuye se
. L a velocidad cuadrática de las m olécu las de aire, viene dado por:
Sún la altura’ la ecuación ^ dism m uc.on es:
describe está
dP; = -p g
dh
v c = [3 R T f 2 c M
Sustituyendo la densidad ( p ), separando va (3)(8,31.10 )(290) | / 2 vc = [ 29 — 1 vc
riables, e integrando:
= [2 5 .1 0 4]1/2
* vc «500
m
dP
PM
dh
RTÍ
dP _ _ M g P ~
Solución: 27 • L a velocidad cuadrática m edia de las m oléculas de hidrógeno, viene dado por: _ (-3 R T j1/2 'C ,H 2
^H 2
L a velocidad cuadrática m edia de las molé culas de nitrógeno, viene dado por: _ r 3RT
1/2
'c ,N " L , '] m n
Luego, la razón de las velocidades cuadráti cas m edias es: r M n j/ 2 _ r14ll/2 = [-;" -r = [ ; r M h2 2 C,N
W
V
RT
-
jdh
M sh RT
A sí, la presión en función de la altura, viene dado p o r : M gh
P t, = P n e
RT
siendo, P0 la presión al nivel del mar. D e otro lado, la ley general de los gases i deales a tem peratura constante, se escribe as(.
Pt = Ph
V C ,H 2 _
(2) Po
D e (2) en (1), tenemos: M gb
* V -,En- = 2,65 v c.N
Pne
’ RT
Ph Solución: 28 De la ecuación de los gases ideales, ha
0)
Po
Sim plificando, y p o r dato ph / p0 = 1/ 2:
Teoría cinética de gases
10g9
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
_M gh
P=
RT = 2 Tom ando logaritm o a am bos m iem bros y des pejando (h): h =
3V
(3)(0,02)
» < N P = 1,65.10 - - r m
¿n(2)R T Solución: 32 • Transform em os la presión de m m H g a N /m 2, así:
M g“
h =
2 E C = (2)(5.103)
tn (2 )(8 ,3 1.10 )(273) (2 9 )0 0) * h = 5,42km
©
Solución: 29 • L a energía de rotación de las m oléculas de nitrógeno, viene dado por: E r = Yr — R T 2 M
P = 40m m H g = (40)(133,3
) m
N
P = 5,33.10J
m L uego, el núm ero de m oléculas de gas diató m ico es: N _ p v _ C5,331103>0 0J5) " k T " (1,28.10~23)(300)
Er = <^ )(¿ )(8’3 u ° 3)(280) B
* E r = 83,1.10 J
Solución: 30 • L a energía cinética de traslación en fun ción de la velocidad cuadrática m edia es:
N « 1,39.1019 m oléculas Solución: 33 • Com o el gas es diatóm ico, y = 5, luego, su calor específico a volum en constante es: „
_ Y R ”_ (A* ) r( *8’3 U O )) 2M 2 32
Cu — ■
v
_ 1 2 2EC E C = , m v c => m = ¿ Vr
650 kg.°k
m =
©
(2X5.103) 4.106
* m = 2,5.10
3
kg = 2,5g
®
Solución: 34 • Com o el gas es diatóm ico, y = 5, luego, su calor específico a presión constante es: R cp
Solución: 31 • L a presión a que se encuentra el nitróge no, viene dado por:
=
cv
+
m
Cp = ( Y + 1 ) R-. P 2 M
1090 Física++ ********************************************************************************************* 5 ,.,8 ,3 1 .1 0 . cP = ( + 1)( -- ) p v2 32 J 4* Ct> % 910 — p kg.°k
, nft kg * M w 1,99 — kmol ( b) v -/
Solución: 37 ’ * El calor específico a volum en constante viene dado por:
Solución: 35 • Com o el oxígeno es diatóm ico, y = 15, su calor específico a volum en constante es: ^ cv = - 2M
(1)
cv =
•
Y 5 cP _ 7 * Ci 5
R p M ” pT
_ 7 _ p _ ( 5 ) 0 0 1 .10s) Cv ' 2 pT ” (2X1,43X273) ®
de cal/g. k a J/kg. C, así:
* c v « 6 4 7 J /k g .° k
Según teoría, el calor específico a pre
sión constante es: R y ^ P c P = c v + ~ = ( + 1)P v M 2 pT
cP = 1,47.10 J / kg.°k D e la ec.(2) del problem a anterior, el calor es pecifico a P=cte. es;
p
M = (7 + 1 )R 2 cP P
M = ( 5 + 1)(* c3 U 4 ) 2 1,47.10
®
Solución: 38 «
cal r c P = 3 , 5 - 0 = (3,5)(4,186.10 — 0 ) g. k kg. k
=>
W
D e (2) en (1) obtenemos:
Solución: 36 Transform em os el cgjor específico (cp)
c P = ( Y-+ l ) p 2 M
(1)
m MP p = —= - V RT
CP _ T + 2 _ 5 + 2 cv
R
D e otro lado, d e la ley de los gases ideales, la densidad del gas es:
<2>
D ividiendo (2) entre (1), obtenem os:
Y
^^
D e otro lado, su calor específico a volum en constante es: y R CP = < 2 + » M
(C \ k t/
_ .5 2
(1,01.10 ) (1,43(273)
J * c P «906- kg. k
•
/T s (a;
S olución: 39 L a cantidad de calor (Q ) necesaria para
Teoría cinética de gases 1091 ********************************************************************************************* calentar am /(M /2 ) m oléculas-kg de yodo ató mico y ( l - a ) m / M m oléculas-kg de yodo m olecular a presión constante es: Q = a - ^ - C ’p AT + ( l - < x ) í " c í A T M /2 M
S olución: 40 • Com o 1 m ol-gram o de oxígeno en C.N. tiene N A - 6,023.1023 m oléculas, entonces, el volum en que ocupan estas m oléculas es:
(1) V=N
siendo, CP el calor del gas m onoatóm ico, y Cp el calor m olecular del gas diatóm ico. Tam bién, se sabe que la cantidad de calor, viene dado por:
a(
V )
V = (6 ,0 2 3 .ip 23)(^7i)(10-8) D
* V = 2,523cnr Q = — CpAT
( 2)
M P
siendo, CP el calor m olecular de la mezcla. Igualando (1) con (2), y despejando CP: C P = 2aC 'P + ( l - a ) C p
Solución: 41 • D e la ecuación de los gases ideales, para dos estados diferentes, hallem os la presión fi nal, así: P0V0 = PV T0
T
A hora, com o C P = M c P , entonces: (1)(12) = cP = 2acp + ( l- a ) c p
(3)
27 + 273
D e otro lado, del problem a anterior: R c P - (-- +1) '2 M
P(18) 67 + 273
P = 0,76atm Luego, el porcentaje en que dism inuye la pre sión del gas es:
D e esta expresión calculam os Cp y c P 8,3110 Cp = ( z +1)
” ¿54’
ti = ( \ - P )(100) F0 = 81,79 kg. k n = t 1,0 r o ,76)
Cp = ( - + 1) 2
8,3110j 254
= 114,5 kg°k
Sustituyendo en (3), obtenemos: Cp =
(2)(L)(81,79) + ( 1 - * X 1 14,5) Cp
+ q = 24%
Solución: 42 • D e la ecuación de los gases ideales, la m asa kilogram o-m olecular es: M =
= 8 1 ,7 9 + 57,2
+ Cp = 139 J /k g .° k
©
mRT PV
©
M =
(12.10-3 )(8,31.103)(300) (1,013.105)(12.10~3)
1092
Física++
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Igualando las dos últim as ecuaciones, obtene * M - 24 ó
® kmol
« . Solución: 43 • De la ley de los gases ideales, hallem os el núm ero de m oles que inicialm ente hay en el tanque, así:
_ pv _ ^ a o n jo ^ y o . io ' 3) RT ~
(8,31.103)(308)
n —0,0317km oles A sim ism o, el núm ero de m oles que quedan en el tanque, luego de extraer una cierta can tidad de oxígeno es: 5 ' , n , = P V ' = (1 0 )(y )l 330^X 40.10 ) RT'
m os la expresión para el núm ero de moles, así: PV 2Er - = — ^ ^k n = _3PV _ ^ 2ECNA
» =>
3PV k n = ----------2EC R . , (3 )(I,2 .W 5)(4.I0~ ?) _
(2)(3,6.10-22 )(6,023.1023)
+ n = 3,32 m oles
®
Solución: 45 • A plicando la ecuación de los gases idea les para dos e¡jtadoSi obtenem os la presión fl | P o V o .P i V , - " T~
(8,31.103)(285) T 453 P i^ P o ^ ;1 = (^01-10 )(—— )
n ' = 0,0171kmoles D e m odo que, el núm ero de m oles de oxíge no extraídas del tanque es:
Pi = 1,56.10 N /m
An = n - n = 0,0146km oles Luego, la fuerza ejercida por el gas sobre ca ,, , , da una de las caras de la caja es: Luego, la m asa de oxigeno extraída del tanq u ees:
* ‘ m = AnM = (0,0146)(32) * m = 0,467kg
*
F = P ,A = P ,V 2/3 /£ \ ^2)
Solución: 44 D e la ecuación general de los gases idea
les, tenem os: PV = nR T
F = (l,56.105)(4,5.10"2)2/3 *
F = 19,8.103 N
®
Solución: 46 =>
py T = --~ nR
De otro lado, sabem os que la energía cinéti ca m edia de una m olécula, viene dado por:
I) L a velocidad cuadrática m edia de los á tom os de helio, viene dado por: 3 k T i/2 vc - -(------- ) (3)(1,38.10-23 )(6 .103) ^ / 2
Teoría cinética de gases iog3 ********************************************************************************************* Solución: 48 R epresentem os la burbuja en sus posj
®
v c = 61 1 6 m /s
II) L a velocidad de escape de los átom os de helio de la superficie del Sol, viene dado por vesc ~
ciones inicial W ? final <2)' _ j t Po
(2)Vní•. sRT
1/2
R
(2X6,67.1O-11X l,991lO30_ ) 1/2 Vesc
'
6,96.108
J Pl
vesc = 617,6.103 m /s
(1)
(3 )
La presión en la burbuja en las posiciones 1^1 N ota ( 1) y (2) son: R ecordar que la m asa del helio de la at m ósfera es m=4 urna, (unidad de m asa atómi Pi = P0 + P L g h ca), siendo 1 u m a = l,66.10 27 kg N = 1,01.105 + (103)(10)(20,4) = 3,05.105 Solución: 47 m I) D e las expresiones de la energía cinética m edia d e un átom o, obtenem os la velocidad P2 = P0 = 1,OLIO5 N / m 2 media, así: Luego, de la ecuación de los gases ideales, c 3, 1 2 para dos estados, obtenem os el radio de la es Er> - - k T = - m v „ fera en la posición (2), así: (3)(l,38.10-23)(2,7) = (l)(l,66.1< r27) v 2 v m = 259,5
m
P = - n < E c >= - ( - - ) ( m < vr > 2) 3 c 3 V 2 c
4 ^ R 3 = ( P |) ( T2) 4 7ír3 3 Pl T, 3 R
3,05, °
300
1,01.105
280"
* R « 7,4 cm
_ 1N 3kT N P = - - m = -k T 3V m V )(2,7) = 3,7.10’
, m
P = 3,7.10-28 atm
=> v l S ( í x V , P2 T f
©
II) De la ecuación fundam ental de los gases ideales, tenemos:
P * (1)(1,38.10
Í-Y u ft-Y i Tj T2
©
,.3
©
Solución: 49 I) Recordem os que en condiciones norm a les (C.N.) 1 m ol de un gas perfecto contiene 6,02. 1023 m oléculas ocupando un volum en de 22,4 lt=22,4.103 cm3, por lo que, 1 m olé cula ocupa un volum en de:
1094 Física++ ********************************************************************************************* F At = n [m v - ( - m v)] eos 0
v , v 22,4.103 cm 3 , V = (lm oIecula)(-— - - 2J6,02.10 moléculas v
P A At = 2 n m v eos 0
= 22’4 . k >- 20 cm 3 6,02
P =
De m odo que, la longitud de la arista del cu bo en cuyo centro se sitúa una m olécula es:
P =
(2)(10
2nm vcos0 A At
)(3,32.10
7)(10 )(cos45°)
( 2 .1 0 - 4 X Í) ’
a = V1/3 = ( - - - . 1 0 ~ 20) 1/3
6,02
a w 334.10 9 cm
* P = 2,35.10
N
3
(b )
m
©
Solución: 51 II) L a razón entre la arista del cubo y el diá 1) Sea "m" la m asa del aire en gram os, en m etro de una m olécula es: tonces, el núm ero de m oles del aire, es la su -7 m a de los m oles de oxigeno (nO y nitrógeno 3,34.10 il = -í = 11 (n2), esto es: 0 ,3 .10-7 m, mn = nt + n2 = Solución; 50 M , M• Com o los choques de las m oléculas con 0,236m 0,764 m la pared del recipiente son perfectam ente e n = ----------- + ----------lásticos, los ángulos de incidencia y refle 32 28 xión son iguales, com o se observa. n = 34,6.10''3m m oles Luego, de la ecuación d e lo s gases ideales, obtenem os la densidad del aire a la tem pera tura de 13 °C, así: Vfl
PV = nR T P V = 34,6.10_3m R T _ m =
El im pulso total q u e le com unica las (n) mo léculas a la pared, es igual, al cam bio de su cantidad de m ovim iento en la dirección hori zonta! (X), esto es:
P~V
.
P
34,6.10_3R T (750)(133,3)
P=
(34,6.10~3)(8,31)(286)
I = n AP F A t = n ( p - p 0) c o s 9
p = 1,215.103 m
Teoría cinética de gases 1095 ********************************************************************************************* p = 1,215 H m
®
*
— = 1,33 veces vi
(£ )
II) L a presión parcial creada por el oxigeno Solución: 54 m olecular es: • El núm ero de m oléculas de nitrógeno por unidad de volum en es: p1 = ( - n-1 - ) p = ( ^ “- y 2 >(750) nj + n 2 34,6.10 m PN a N = —
RT
©
Pt * 159,6 m m H g
= (1X133,3X6,023^102^)
Solución: 52 • D e la ley de los gases ideales, hallem os el núm ero de moles, asi:
(8,31.103)(283)
N = 3,4.10
_ PQ_V0 _ _(li 013.105)(211 0 ^ )
22 m oléculas nr
~ R T 0 ~ (8,31.103) (-2 5 + 273) n = 0,098.10~3 km oles = 0,098 m oles
L a velocidad m edia con la que se m ueven las m oléculas de nitrógeno es: 8 R T .1/2 < v >—( — )
Luego, el núm ero de m oléculas que hay en el gas es: N = n N a = (0,098)(6,023.1023>
71 M
< v > = (8X8,31.103)(283) 1/2
©
0 0 ( 28)
* N = 5,9.1022 m oléculas
< v > « 462,5 m /s Solución: 53 , \ a) Com o el aire es un gas diatóm ico, y = 5, Luego, el tiem po m edio que transcurre entre de modo que, el exponente adiabático es: dos choques consecutivos es: Cp
Cy + R
x " Cv ~ ,
2
,
< t >=
c v 2
7
x = l + - =1+ - =
y
5
5
Con esto el grado de expansión del gas diatóm ico es:
< t > = ----/2 rc D "N < v >
< t>= -
1 - 10V2",
(- 27i)(3.10“ lu) ¿(3 ,4 .1 0 22)(4 6 2 ,5 )
^ = ( r L)X = ( ‘’- ) V, P, 1
* < t > * 0,16 p s
(&
1096
Física++
T E A iD E ^ T L K ^ i y
C A L C E
1. T E M P E R A T U R A a) C on cep to E s una m agnitud física escalar, mide el grado de movim iento de las m oléculas de un cuerpo (ó sistema); es decir, a mayor tem peratura las m oléculas vibran u osci lan con m ayor intensidad, alrededor de su posición de equilibrio, y a m enor tem peratura con m enor intensidad. L a tem peratura caracteriza el grado de ca lentam iento o enfriam iento (caliente-frío ) de un cuerpo. L a tem peratura de un cuerpo dependerá de la energía cinética de sus moléculas.
diendo de la term om étrica utilizada los term óm etros reciben distintos nom bres y funcionan de m odo diferente. » C) Te rm ó m e tro E s un dispositivo que se utiliza para me dir la tem peratura de un cuerpo, la mayo ría de ellos se basan en el fenóm eno de dilatación de los cuerpos (mercurio). El term óm etro más conocido y utilizado es el de una colum na de m ercurio contenida en un depósito de vidrio, com o el que se m uestra en la Fig. ESCALA TEMPERATURA
•o COLUMNA MERCURIO
d) Esca las de tem peratura L a tem peratura de un cuerpo se puede m edir en diferentes escalas, siendo las escalas más conocidas, las siguientes: * Centígrada * Fahreinheit
F R IO
C A L IE N T E
b) M edición de la tem peratura L a tem peratura de un cuerpo no es una propiedad que pueda m edirse directam en te, si no que para obtenerla se em plean o tras propiedades, ya sea del propio cuer po a medir, o del aparato que se utiliza para tal fin, llamado term óm etro. Este mé todo de m edir la tem peratura es posible, gracias a que se conoce la relación entre la tem peratura y alguna otra propiedad, que puede ser, por ejem plo la dilatación, la resistencia del material, e tc ... D epen
* K elvin * Rankine
L a relación de las escalas que existen en tre ellas, se presenta en el siguiente es quema: °K
100 '
n
°R
373' 672
©
32 273° 492
©
212'
-273' -460'
0°
©
Temperatura y calor 1 097 *************************************************************************
* * *
Para la construcción de una escala de tem peratura, se deben considerar tres puntos de referencia fijos, los cuales se m uestran en la Fig., y son: Punto de ebullición del agua. Punto de congelación del agua. Cero absoluto (0o K) Los puntos 1 y 2 se tom an para una pre sión de 1 atm.
b) Clases 1) Dilatación lineal Es el aum ento o dism inución que experj m entan las longitudes de los cuerpos al aum entar o dism inuir su tem peratura. > L ongitud dilatada La longitud dilatada del cuerpo, viene da da por: í = ¿ 0[l + a ( T - T 0)]
e) Relaciones entre escalas B asados en el esquem a anterior, se puede fácilm ente deducir las relaciones de trans form ación entre las escalas de tem peratu ra, así, tenemos: 1) Centígrada - Kelvin
siendo, ( t 0 , £ ) las longitudes inicial y fi nal, (T0, T) las tem peraturas inicial y final, y ( a ) el coeficiente de dilatación li neal. >
°C =° K - 2 7 3 2) Centígrada - Fahreinheit
V ariación en la longitud L a diferencia entre las longitudes final e inicial del cuerpo, viene dado por: &e = \ e - { o\ = \ í 0a ( T - 7 0)\
°C = —( ° F - 3 2 ) 9
Si, el cuerpo se calienta su longitud final ( £ ) es m ayor que su inicial ( í 0), y si el
3) Centígrada - Rankine
cuerpo se enfría su longitud final ( £ ) es m enor que su inicial ( f 0 ), com o se mués
°C = - ( ° R - 492) 9 4) K elvin - Fahreinheit t
tra en la Fig. e
•
.
m
F R IO
°K = - ( ° F - 3 2 ) + 273 9
te
5) Fahreinheit - Rankine
NORM AL
M i
°F = ° R -4 6 0 C A L IE N T E
2. D IL A T A C IO N a)
^
U n id ad :
( a ) se mide en °C '1.
Definición Se llama así, al aum ento o dism inución 2) Dilatación superficial Es el aum ento o dism inución que experi que experim enta las dim ensiones (tam a m entan las superficies de los cuerpos al ño) de un cuerpo al aum entar o dism inuir aum entar o dism inuir su tem peratura. su tem peratura.
1098
Física El volum en dilatado del cuerpo, viene da do por:
Superficie dilatada El área de la superficie dilatada del cuer po, viene dada por:
V = V0[1 + P ( T - T 0)] i siendo, (V0, V) los volúm enes inicial y final, (T 0, T ) las tem peraturas inicial y fi nal, y ( P ) el coeficiente de dilatación vo
S = S 0[l + y ( T - T 0 )] siendo, (S 0, S) las superficies inicial y fi nal, (T 0, T) las tem peraturas inicial y fi nal, y ( y ) el coeficiente de dilatación
lumétrico.
superficial. > Variación en la superficie La diferencia entre las áreas de la super ficie final e inicial del cuerpo, viene da do por: A S = [S - S 0H
S 0 o : ( T - T 0 )|
Si, el cuerpo se calienta el área de la su perficie final (S) es m ayor que la inicial (S0), y si el cuerpo se enfría el área de su superficie final (S) es m enor que la ini cial (S0), como se m uestra en la Fig.
V ariación en el volum en L a diferencia entre los volúm enes final e inicial del cuerpo, viene dado por: AV = |V - V 0 | = |V 0 P ( T - T 0 )| Si, el cuerpo se calienta su volum en fi nal (V) es m ayor que su inicial (V0), y si el cuerpo se enfría su volum en final (V) es m enor que su inicial (V0), com o se m uestra en la Fig.
To ( T > T 0)
So
C A L IE N T E
NORM AL To
NORM AL
( T < T 0) So — ^
NORM AL
S
F R IO
^ “ U n id ad : ( y ) se m ide en °C'1. 3) Dilatación volum étrica Es el aum ento o dism inución que experi m entan los volúm enes de los cuerpos al aum entar o dism inuir su temperatura. > V olum en dilatado
^ U n id a d :
F R IO
( P ) se m ide en ° C '\
4) Relación entre a, y y p L a relación entre los coeficientes de dila tación lineal ( a ) , superficial ( y ) y volu métrico ( p ) , viene dado por:
y = 2a , P = 3a , P = - y
Temperatura y calor 10gg ************************************************************************* 3. C A L O R a) Calorim etría Es una rama de la física m olecular, que estudia las leyes que gobiernan el m eca nism o del equilibrio térm ico y los fenó m enos involucrados a el.
term odinám ico con el m edio que los ro dea o con otros cuerpos en contacto, es decir, adquieren la m ism a tem peratura. A sí, en la Fig., los cuerpos A y B de tem peraturas TA y T B (T a
b) C a lo r Se llam a calor a la propagación o flujo d) Ley cero de la term odinám ica de la energía entre cuerpos o sustancias Considerem os dos sistem as A y B unidos que se “ponen” en contacto, es decir, el entre sí m ediante un material aislante, y a calor es la energía en m ovim iento. su vez cada uno de ellos en contacto con El calor fluye en form a natural de los un tercer sistem a C, com o se m uestra en cuerpos calientes hacia los fríos, hasta a] la Fig.. En estas condiciones se origina canzar el equilibrio térm ico. una transferencia de energía calorífica en Se puede decir, tam bién, que el calor es tre los sistem as, hasta que alcancen el e una form a de energía, producida por el quilibrio term odinám ico. m ovim iento térm ico de las m oléculas del cuerpo o sustancia. C
A
B ,‘y
í c)
AISLANTE
Equ ilib rio térm ico
A este fenóm eno se conoce con el nom bre de la ley cero de la term odinám ica, cuyo enunciado es:
T a< T b
ANTES T a
T odos los cuerpos de la naturaleza tien den a un estado final llamado equilibrio
<<:Si dos sistem as A y B están en equj librio térm ico con un tercer sistem a C, entonces dichos sistem as se encuen tran en equilibrio térm ico entre s í >> 4. C A N T ID A D D E C A L O R a) C apacidad calorífica (C ) Se define com o la cantidad de calor (Q) que se debe sum inistrar (ó sustraer) a un cuerpo o sustancia para elevar (ó dism i nuir) su tem peratura en un grado centí grado, esto es:
Física
1100
El calor específico del agua en cal/g.°C en su estado sólido, líquido y gaseoso es, 1/2, 1 y 1/2, respectivam ente, todas medi das a presión normal.
c = ——— T -T 0
siendo, (T0, T) las tem peraturas inicial y final, respectivam ente. To
T
^ U n id a d :
(ce) se m ide en cal/g°C.
c ) Relación entre C y c e. La expresión que relaciona la capacidad calorífica (G) con el calor específico (ce), viene dado por: C = m ce
E S T A D O IN IC IA L
•
•
E S T A D O F IN A L
L a capacidad calorífica es una cantidad física escalar, que depende de la com posi ción y estructura interna del cuerpo o sus ta n d a , lo cual, im plica que cada cuerpo o sustancia tiene su propia capacidad calo rífíca. Puede decirse, tam bién, que la capacidad calorífica de un cuerpo o sustancia, es la capacidad que tiene dicho cuerpo de al m acenar energía calorífica.
^ U n id a d :
d ) Cantidad de ca lo r (Q ) Se llam a así, a la cantidad de calor que gana ó pierde un cuerpo o sustancia al po nerse en contacto con otro cuerpo ó sus tancia que se encuentra a diferente tempe ratura, viene dado por: Q = m ce( T - T 0)
•
siendo, (ce) el calor específico, (m ) la ma sa, y (T0, T) las tem peraturas inicial y fi nal, respectivam ente. C uando, T >T 0 el cuerpo gana calor, y cuando T
(C) se m ide en ca|/°C. 9
^ U n id ad : (Q) se m ide en calorías (cal) b) C a lo r específico (c e) Se define com o la cantidad de calor (Q) e) C a lo r latente (L) que se debe sum inistrar (ó sustraer) a la Es la cantidad de calor necesaria que se m asa (m) de un cuerpo o sustancia para debe sum inistrar o sustraer a una unidad elevar (o dism inuir) su tem peratura en un de m asa de una sustancia saturada, para grado centígrado, es decir: que esta cam bie de fase, se expresa así: ce = - ^ m ( T - T 0)
•
siendo, (T 0, T ) las tem peraturas inicial y final, respectivam ente. El calor específico es una cantidad física escalar, que depende de la com posición y estructura interna del cuerpo o sustancia.
m
•
siendo (Q) la cantidad de calor latente. El calor latente (L) es una constante, ca da sustancia o cuerpo tiene su propio ca lor latente, el cual, depende de la estruc tura interna del cuerpo o sustancia.
Temperatura y calor 110-1 ************************************************************************* Experim entalm ente, se ha observado que (L) depende, en general, de la presión a la que se realiza el cam bio de fase. Así, para el agua el calor latente es: solidificación
1) Fusión (T = 0o C)
po o sustancia, conociendo el calor espe cífico de la sustancia patrón (en general agua), está constituido por: U n vaso m etálico (alum inio) U na tapa de m adera (aislante) U n term ómetro. U na varilla de m adera (aislante) V A R IL L A
L =8 0 ^ =335^ g kg
Tm
¡ 3
, 2)
Vaporización
condensación
M U ES TR A
(T = 100° C)
VASO
L = 540— = 2260— g kg f)
L IQ U I D O
Equivalente m ecánico del calor Es el factor de conversión que perm ite transform ar la energía térm ica (caloría) en energía m ecánica (joule), así, tenemos
Funcionam iento => P aso 1 Se llena el vaso con agua (u otro líquido cuyo calor específico se conoce) a la tem peratura del m edio am biente. 1 cal = 4,186 J o 1 J = 0,239 cal => Paso 2 Se calienta la m uestra (cuerpo o sustan Por ejem plo, en la Fig., el trabajo contra cia cuyo calor específico se desea cono la fuerza de fricción, entre los patines y cer) y se m ide su tem peratura. el hielo, se transform a en energía en for m a de calor, derritiéndose parte del hielo => Paso 3 A briendo la tapa del calorím etro se in de la pista de patinaje. • troduce la m uestra en el vaso con agua, y se m ueve cuidadosam ente la m ezcla con la varilla de madera. => Paso 4 Se m ide la tem peratura de la mezcla. => Paso 5 Se utiliza el principio de conservación de la energía, cuya expresión literal, dice:
5. C A L O R IM E T R O a) El calorím etro Es un dispositivo sencillo que perm ite m edir el calor específico (ce) de un cuer
Calor
C alorganado
perdido
calorímetro
m uestra
+ agua
L a form a explícita de está expresión, a dopta la form a siguiente:
1102
F í s i c a
************************************************************************* adoptando nuevas propiedades físicas y perdiendo otras. E n genera], la sustancia puede encontrar se en tres fases, sólido, líquido y gaseo so. * Los cam bios de fase se m uestran en el si guíente esquema.
m Mce,M(TM ~ T ) = m Cce,c(T ~ To) m Lce,L(T - To) los subíndices M, C, L se refieren a mués tra, calorím etro y líquido, respectivam en te; adem ás, T M) tem peratura de la mués tra, (To) tem peratura m edio am biente y (T) tem peratura final de la mezcla.
SUBLIMACION DIRECTA
b) Equivalente en agua de un calorí metro Se llam a así, a la cantidad de agua que absorbe o disipa la m ism a cantidad de ca lor que un calorím etro, experim entando la m ism a variación de tem peratura, esto, es: Q h 2o = Qcalorimetro
•
•
•
De m odo que, el equivalente de la m asa de agua es: m H2o = m Cc e,C
•
•
•
siendo, m c, ce C la m asa y el calor especí fico del calorímetro. G eneralm ente, el equivalente en agua de • un calorím etro se da en gramos.
L a tem peratura a la cual se produce un cam bio de fase depende de la presión, y es una característica que posee cada sus tancia ó cuerpo. Así, a la presión de 1 atm la tem peratura de fusión del hielo es de 0o C, y a otras presiones su tem peratura de fusión adog ta otros valores. T odos los procesos señalados en la Figu ra anterior, poseen las siguientes caracte rísticas com unes: El cam bio de fase se produce a presión y tem peratura constantes, esto es, los proce sos son isotérm icos e isobáricos. P ara un cam bio de fase, se hace necesa rio que se produzca un intercam bio de ca lor (energía). Se produce una variación en el volum en del recipiente que contiene a la sustancia o del cuerpo.
7. C A M B IO D E F A S E
•
Es la transform ación física que experi m enta una sustancia saturada pura al re cibir o entregar cierta cantidad de calor. D urante el cam bio de fase la sustancia ex perim enta un reordenam iento molecular,
a) Sustancia pura Es la sustancia que presenta una com po sición quím ica hom ogénea y que es ca paz de reaccionar, pudiendo su estructura m olecular experim entar cam bios.
1103 f Tem peratura y calor *************************************** **********************************
b) Fase term odinám ica Se denom ina, así, a la configuración mo lecular hom ogénea que presenta una sus tancia pura, en determ inadas condiciones de presión y tem peratura. • L a sustancia puede increm entar su tem pe ratura, sin m odificar la configuración de su estructura molecular.
una tem peratura inferior a 0o C, y recípro cam ente, a una presión inferior igual a 1,01.105 Pa su punto de fusión será su perior a 0o C. e ) Vaporización El cam bio de fase de líquido a gaseoso puede producirse de dos formas: 1) P or evaporización, cuando el cam bio de fase se realiza lentam ente, a cualquier tem peratura. Por ejem plo, la ropa moja da, se seca debido a la evaporización del agua en contacto con el aire. 2) P or ebullición, cuando el cam bio de fase se realiza rápidam ente a una tem peratura específica para cada líquido. El agua en una tetera sólo com ienza a hervir, o sea, únicam ente entra en ebullición, cuando su tem peratura alcanza un valor determ i nado.
c ) Influencia de la presión en la tem peratura de fusión C uando una sustancia sólida se derrite, generalm ente, aum enta de volum en • En las sustancias que presentan este com portam iento se observa que un incremen to en la presión ejercida sobre ellas oca siona un aum ento en su tem peratura de fusión, por tanto, en su tem peratura de so Edificación. • A sí, el plom o que aum enta de volum en al fundirse, tiene su punto de fusión en 327° C a la presión norm al de 1,01.105 ^ Pa. Al som eterlo a una presión m ás ele vada, se funde a una tem peratura más al ta. d) El agua una excepción Son muy pocas las sustancias, entre ellas, que no siguen el com portam iento gene ral, y que dism inuyen de volum en al fun dirse (cuando el hielo se derrite). • Por tanto, el volum en de determ inada ma sa de agua aum enta cuando se transform a en hielo (solidificación). • A ello se debe que una botella llena de agua y colocada en un congelador se rom p a cuando el agua se solidifica. • En estas sustancias, un aum ento de pre sión ocasiona una dism inución de la tem peratura de fusión. • Com o se sabe, el hielo se funde a O ° C ú nicam ente si la presión ejercida sobre él es 1.01.105 Pa. • Si se aum enta ésta presión se derretirá a
Influencia de la presión en la tem peratura de ebullición 0 0 0 0 0 0
°o °o c
<3, 1>100°C
T e= 1 2 0 u C
Supongam os que tenem os un líquido con finado en un recipiente abierto com o el de la Fig., en este caso sobre el líquido actúa el aire a la presión de la atmósfera, si esta presión es m ayor que la presión de vapor saturado del líquido a esa tem pera tura, la evaporación será m uy lenta y se deberá básicam ente, a que siem pre en el incesante choque de las m oléculas, algu ñas de m odo esporádico, alcanzan la ener gía suficiente para pasar al estado gaseo
1104
•
•
•
•
•
•
Fís¡ca
so con la posibilidad de abandonar el re cipiente, especialm ente si hay alguna co rriente de gases que lo arrastre. Si increm entam os la tem peratura del sis tem a, cada vez será m ayor la cantidad de m oléculas que lo abandonen y se irá in crem entando gradualm ente la evapora ción. C uando se alcance una tem peratura, pa ra el cual, el valor de la presión de vapor saturado del líquido en cuestión, sea i gual al valor de la presión atm osférica, la evaporación se producirá en toda la masa del líquido, se dice entonces que el lí quido ha entrado en ebullición. Podem os decir, entonces que el punto de ebullición, es el valor de la tem peratura para el cual la presión de vapor saturado de un líquido cualquiera, alcanza la pre sión a que esta sometido. A sí, el punto de ebullición d e un líquido dependerá de la presión a que está som e tido y será más bajo para bajas presiones y más alto en el caso contrario. Este fenóm eno se utiliza en m uchas apli. ^ caciones, tales com o la olla de presión, las calderas de vapor, las m áquinas refri b) geradoras o la producción de aire líqui. do. Finalm ente, debemos decir, que en un re cipiente abierto a la presión norm al de 1.01.105 P a el agua entra en ebullición a 100° C. En un recipiente cerrado los va pores de agua que se form an al interior de ella pueden alcanzar la presión de 2.105 Pa, a esta presión el agua entra en ebullición a la tem peratura de 120° C.
5. P R O P A G A C IO N D E L C A L O R a) C on d ucció n En un cuerpo o sustancia el calor se pro paga de las zonas calientes hacia las
•
frías, resultado de la transm isión de las e nergías cinéticas de sus m oléculas, en es te tipo de propagación no hay traslado de m ateria. En la Fig. el flujd de calor (H) que pasa a través de la lámina, de área (A), espesor (d), conductividad térm ica (k), y cuyas caras derecha e izquierda están a las tem peraturas T b T 2 (T ,< T 2), respectivam en te, viene dado por: h
=L t
ia
H d
U n id ad : (k) se m ide en W / m .°C C o n ve cció n
E n este tipo de propagación, el calor se transm ite entre las partes desigualm ente calentadas de los gases y líquidos, o en tre gases, líquidos y sólidos. E sta transm isión del calor, se produce com o efecto del desplazam iento del líqui
Temperatura y calor 11 95 *************************************************************************
•
do con respecto a otras partes del mismo, • o con relación a los cuerpos sólidos. Por ejem plo, en los radiadores de calefac ción por agua, la energía del agua calien • te es transm itida hacía las paredes del ra diador por convección. La velocidad con la que se propaga el ca lor en una convección, viene dado por: H = ^ = h A (T2 - Tj) siendo, (h) el coeficiente de convección, (t) el tiem po, (A) el área de la superficie por donde se produce la propagación del calor, y T j, T2 tem peraturas de las caras interna y externa de S.
^
U n id ad : (H) se m ide en vatios (W)
«
Por ejem plo, por radiación llega desde el Sol a la superficie de la T ierra una enor m e cantidad de energía. L a cantidad de energía por unidad de á rea y tiem po (R), que em ite un cuerpo, viene dado por:
siendo, (E) la energía, (t) el tiem po, y (A) el área del cuerpo que radia. Tam bién, la intensidad de radiación se gún Steffan-Boltzm ann, se puede calcu lar a partir de: R = eaT 4 siendo, a - 5 ,6 7 .1 0 6 W / m 2.0^ la cons tante de Steffan-Boltzm ann, (e) la emisi vidad del cuerpo, valor com prendido en tre 0 y 1; y (T) la tem peratura en °K del cuerpo que radia energía.
> T ip o s de convección 1) Convección natural. Es la que se produ ce com o resultado de la diferencia de den sidades en el líquido o gas. 2) Convección forzada. Es la que se produ ^ U n id ad : (R) se m ide en W /m 2. ce cuando el cuerpo o sustancia caliente d ) C u e rp o negro posee m ovim iento. E s un objeto que absorbe toda la luz y e nergía que incide en el. N inguna parte de c) Radiación la radiación es reflejada o pasa a través del cuerpo negro. A pesar de su nombre, RADIACION el cuerpo negro em ite luz y constituye un m odelo físico ideal para el estudio de la radiación electrom agnética. • L a sustancia que m enos refleja la luz (el cuerpo más negro), es una aleación de fósforo y níquel, con fórm ula química N iP. E sta sustancia refleja tan sólo el • Este tipo de transm isión del calor se efec 0,16 % de la luz visible, o sea, 25 veces túa sin necesidad de que los cuerpos es m enos que la pintura negra convenció tén en contacto entre sí, y consiste en la nal. absorción y em isión de energía del cam po electrom agnético.
Física
1106
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PROBLEM AS 01. Para m edir la tem peratura de una persona debem os m antener el term óm etro en su contacto durante cierto tiem po ¿Porqué? 02. Responda a las siguientes preguntas: a) L a tem peratura norm al del cuerpo huma no es de 36°C . Expresar esta tem peratura en la escala K elvin. b) La tem peratura de ebullición del nitróge
a) ¿Cuál será el aum ento de longitud de la placa? b) ¿Cuál será el aum ento de la anchura de la placa? 06. U n líquido de coeficiente de dilatación cúbica pL = 6,9.10's ° C '’ se ubica en un recipiente de alum inio (Al) y alcanza una altura "h". a) H allar el coeficiente'de dilatación cúbica del alum inio. b) Si el conjunto recipiente-líquido se ca lienta, el nivel del líquido:
no líquido es de 78 ° K ¿Cuál es su valor en °C ? c) La tem peratura de un cuerpo se elevó en 52°C ¿Cuál fue la elevación de la tempe ratura en la escala Kelvin?
I) subirá
II) bajará Ijí) quedará fijo
c) ¿Cuál será la dilatación aparente del lí quido? 07. U na esfera de m adera flota sumergida con la m itad de su volum en en agua con tenida en un recipiente, los cuales están a
03. Dos recipientes A y B contienen masas iguales de un m ism o gas a diferentes tem 2 °C de tem peratura. Si sólo se calienta peraturas siendo TA>TB. D ecir si es co rrecto: el agua hasta una tem peratura de 4 °C : a) "El gas en A posee más calor que en el I) El volum en de agua: gas B" a) aum entará b) dism inuirá b) "La energía cinética de las m oléculas del c) quedará estable gas A es m ayor que la energía cinética II) La densidad del agua: del gas B" « a) aum entará b) dism inuirá c) quedará estable 04. Si el coeficiente d é dilatación lineal del plom o es 29.10’6 ° C ‘1 esto significa que una barra de plomo: a) D e un kilóm etro de longitud se dilata 29.10'6 km, cuando su tem peratura au m enta e n .......................................................... b) De un centím etro de longitud, cuando Su tem peratura aum enta en 1 °C , se dilata en........................................................................ 05. U na placa de zinc (ct=25.10'6 °C ‘1) de for m a rectangular, tiene 60 cm de longitud y 40 cm de ancho, a la tem peratura de 20 °C , si se calienta hasta 120 °C .
III)
L a parte sum ergida de la esfera: a) aum entará b) dism inuirá c) quedará estable
08. R especto de las escalas de tem peratura C elsius-Fahrenheit, indicar. ¿C uáles de las siguientes afirm aciones son verdade ras (V) ó falsas (F): a) El cero de am bas escalas corresponden a la tem peratura del m edio am biente. b) Para obtener la tem peratura Fahrenheit es necesario sum ar 32 a la tem peratura Celsius.
Tem peratura y calor
1107
c) U n a división (o sea, 1 grado) en la esca 11. A le cede energía a B. la Celsius tiene la m ism a m agnitud de u III. La tem peratura del equilibrio térm ico es m ayor que la tem peratura inicial de B. n a división en la escala Fahrenheit. d) U na división (o sea, 1 grado) en la esca IV. L a tem peratura alcanzada por A y B está com prendida en tre ,su s tem peraturas ini la de Celsius es igual a 9/5 de una divi cíales. sión en la escala Fahrenheit. e) U na división (o sea, 1 grado) en la esca 12. De conocerse el calor específico de una la Celsius es igual a 5/9 de una división pulga (cp), en el proceso seguido para en la escala Fahrenheit. m edir su tem peratura indique los pasos correctos ó falsos: 09. ¿Cuál de las siguientes gráficas expresa la relación entre los grados Celsius y Fah I. M edim os la la tem peratura (T0) y la m asa renheit?. del agua ( m ^ o ) en el vaso. II. M edim os la m asa (m P) de las 1 000 pul 9) fln gas. III. En el vaso con agua echam os las pulgas. IV M edim os la tem peratura de la m ezcla (T) (agua + pulgas). / " 32 V. Luego, la tem peratura de u n a pulga, se -17,7 halla de: •F*/-V c)
32 y
y
•17,7
T
°c
A i o |VÜ) 16. Com plete la oración siguiente: <<:E1 calor es u na fo/m a de--*~...................... , y la tem peratura es la m agnitud que establece el grado de.................................... de las m oléculas de un cu e rp o ^ a) Potencia , oscilación b) Energía , m ovim iento. c) M ovim iento , calentam iento d) M ovim iento , enfriam iento e) C om en te , calentam iento 11. Si el cuerpo A frió se une con el cuerpo B caliente, indique las afirm aciones ver daderas (V) y falsas (F): I. A y B alcanzan después de un tiem po la m ism a tem peratura.
p
=
cH 2 Q m H20
10001
cp.m p
( T - T 0) + T]
13. Se tienen dos barras del m ism o material de longitudes diferentes, indicar la gráfi ca correcta correspondiente a la longitud (L) vs la tem peratura (T): a)
5 'A
T
c)
C
d)
T
C
Física *************************************************************************
1108
14. En las construcciones de horm igón arma do, se utiliza únicam ente el hierro como arm adura, por: I. Ser el m aterial de construcción más bara to. II. T ener su coeficiente de dilatación muy próxim o al del horm igón armado. III. N o se quiebra fácilmente. IV. N o se oxida ó corrosiona. V. Es el metal más resistente ó duro. Indicar las afirm aciones verdaderas (V) ó falsas (F). a) FFV V V b) FVFFF c) VFVFV d) VV FFV e) VFFVF 15. En un cuarto, si abrim os la puerta de la refrigeradora en pleno funcionamiento: I. La tem peratura del cuarto disminuye. II. La tem peratura del cuarto aumenta. III. La tem peratura del cuarto no cambia. IV. La tem peratura de la refrigeradora au menta. V. La potencia consum ida por la refrigera dora es igual, a la potencia transferida al cuarto, en form a de calor. Indicar las afirm aciones verdaderas (V) ó falsas (F). a) Í^FVVV b) FVFFV . c) VFVFV d) W F F V e) VFFVF 16. Transform ar -2,2° F a grados centígrados a ) -11°
b) -13° d ) -17°
c ) -15° e ) -19°
17. ¿A qué tem peratura la lectura en las esca las centígrada y Fahrenheit, es la m isma? a)-1 0 °C
b) -20° C c) -30° C d ) -40° C e ) -50° C
18. El punto de fusión del plom o es 330° C y su punto de ebullición a presión atmos férica es 1170° C. H allar la razón de la
tem peratura de ebullición a la de fusión en la escala Fahrenheit. a) 1,4 d) 4,4
b) 2,4 ,
c) 3,4 e) 5,4
19. L a longitud de la colum na de mercurio de un term óm etro es 4 cm sum ergido en agua con hielo, y de 24 cm sum ergido en vapor de agua hirviendo a condiciones norm ales, ¿Qué longitud tendrá en una habitación a 2 2 °C ?: a) 8,0 cm b) 8,2 cm c) 8,4 cm d) 8,6 cm e) 8,8 cm 20. Si la lectura de una tem peratura en gra dos Fahrenheit excede en 40 a la tempera tura en grados Celsius. H allar la tempera tura en grados kelvin. a) 253° K b) 263° K c) 273° K d) 283° K e) 293° K 21. U n term óm etro de escala arbitraria tiene com o punto de fusión del hielo -20 y co mo punto de ebullición del agua +180. ¿A qué tem peratura en grados Fahrenheit am bos term óm etros indicarán lo mismo? a) 400° F b) 450° F c) 500° F d) 550° F e) 600° F 22. Si en la escala inti la tem peratura de ebu Ilición del agua es de 80° y la de fusión del hielo es de 0o. H allar la lectura en es ta escala cuando la tem peratura en la es cala kelvin es de 293°. a) 10° I b) 12° I c) 14° I d ) 16°I e ) 1 8 °I 23. Un term óm etro de escala arbitraria tiene com o punto de fusión del hielo -40° y co mo punto de ebullición del agua 160°, ¿A cuántos grados en la escala centígra da corresponde 20° en la escala arbitra
Tem peratura y calor ung :************************************ ria? a)1 0 °C
b) 20° C c) 30° C d) 40° C e) 50° C
24. Con un term óm etro mal calibrado, que in dica +1° y 99° las tem peraturas de conge lación y ebullición del agua, se mide la tem peratura de una sustancia obteniendo se una lectura de 25°. ¿Cuál es la verdade ra tem peratura en grados centígrados de la sustancia? a) 20,5° C b) 22,5° C c) 24,5° C d) 26,5° C e) 28,5° C
°C aum entando su longitud hasta 4,432 m. H allar la tem peratura del horno, si el coeficiente de dilatación lineal de la ba rra es de 1,2.10"* ° C _1a) 33,82° C b) 33,86° C c) 33,90° C. d) 33,94° C e) 33,98° C 29. ¿En cuánto debe elevarse la tem peratura de una barra de latóñ de longitud L0, pa ra que su longitud aum ente en L0/l 000; el coeficiente de dilatación lineal del la tó n e s a= 2 0 .1 0 '6 ° C l?
a )3 0 °C b) 35° C c) 40° C 25. La longitud de un riel de ferrocarril a la d) 45° C e) 50° C tem peratura de -15° C es de 20 000 m. ¿Cuál será su longitud a la tem peratura 30. L a densidad del acero a la tem peratura de 0° C es de 7,8 g/cm 3. H allar su densi de 35 °C ? ( a = 12.10'6 ° C ') a) 20012 m b) 20016 m c) 20020 m c) 20024 m e) 20028 m 26. Siendo la tem peratura am biente de 31 °C se llena un tanque de acero (P A = 3 6 .1 0'6 °C '') a 2 0 °C con gasolina fría ( p G = 956.10"6 °C_1) a 20°C ¿Qué fracción de gasolina se derram a cuando el tanque y la gasolina alcanzan la tem peratura de 31 °C ? a) 1/10 d) 1/80
b) 1/20 c) 1/50 e) 1/100
27. H allar la longitud de una barra a 10°C, si su longitud a 0 ° C es de 50 cm. El coeficiente de dilatación lineal de la ba rra es de 2.10-5 ° C '. a) 50,01 cm b) 50,03 cm c) 50,05 cm d) 50,07 cm e) 50,09 cm 28. Para obtener la tem peratura de un horno, se ubica en el una barra de 4 ,4 14m a 0
dad (en g/cm 3) a 100° C. El coeficiente ti neal del acero es, 12.10'6 ° C ''. a) 7,71
b) 7,73 d) 7,77 e) 7,79
c) 7,75
31. El volum en del depósito de un term óme tro a 0 °C es V 0= 50 cm 3 y la sección transversal del capilar es A 0=5 cm2, si el mercurio llena totalm ente el depósito a 0 °C . H allar la longitud (en mm) de la co lum na de mercurio en el capilar a la tem peratura de T=50 °C . (P M = 1 8 2 .1 0 ‘6 üC ', a v =3.10-6 ° C 1) a) 0,165 b) 0,265 c) 0,465 d) 0,665 e) 0,865 32. A lrededor de un aro de diám etro 1,30 mm que esta a 20° C, se trata de colocar una llanta de acero cuyo diám etro es me ñor que el del aro en 0,50 mm. ¿A qué tem peratura debe calentarse la llanta para que su diám etro sea 0,50 m ayor que el del a r o ? a = 12.10'6 °C‘‘?
Física
1 1 1 0 ¡ i : * * * # * * # * * * * * # # * * # * * * # * * # * * # # * * * # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * # * * * * 1!1 * * * * * * * * * * * * *
a) 72° C
33.
b) d) 84° C
Un frasco de vidrio de volum en 1000 cm3 que esta lleno de mercurio ((3 = 180.10'6 °C"1) am bos a 0°C , se calienta
I.
hasta 100 °C derram ándose 15 cm 3 de mercurio. Hallar: El volum en dilatado de m ercurio. a) 10 cm
a ) 3 ,0 r a d b ) 3 ,2 r a d c ) 3 ,4 ra d d ) 3 ,6 r a d e ) 3 ,8 r a d
76° C c) 80° C e) 88° C
36. C on una regla m etálica de coeficiente de dilatación lineal ’5.10‘4 ° C ', se realiza m ediciones exactas a 10° C. Se efectúa u na m edición a la tem peratura de 30° C, obteniéndose una lectura de 100 cm dila tados. H allar la longitud correcta de la m edida realizada. a) 97 cm b) 98 cm c) 99 cm d) 100 cm e) 101 cm
b) 12 cm c) 14 cm3 d) 16 cm e) 18 cm
37. U na lám ina delgada de latón a 20° C tie ne la m ism a superficie que u n a lamina b) 2 cm3 c) 3 cm3 a) 1 cm delgada de acero a 10° C. ¿A que tem pe d) 4 cm e) 5 cm ratura am bas láminas tendrán la misma superficie?. ( a lat6n = 3 a acero ) III. El coeficiente de dilatación lineal ( a ) del frasco. b) 15° C c) 20° C a) 10° C e) 30 C d) 25° C a) 1 0 p °C -‘ b) 1 2 n ° c - ’ c) M p-C T 1
II.
El volum en dilatado del frasco.
d) 16p°C _1
e) 18p°C -1
tienen dos esferas huecas 38. Se concéntricas de radios R, r, ¿Para que 34. El área de la sección transversal de un razón de sus ra dios (R/r) el volum en tubo a 20° C es de 8,00.10'3 m2. H allar di entre las esferas no v aría al aum entarse cha área (en cm 2) a la tem peratura de la tem peratura del sis_tema. L a relación 170° C. ( a = 12.10'6 0C '‘) de sus coeficientes de dilatación lineal es aR a) 80,19 b) 80,49 . c) 80,59 b) 2 c) 3 d) 80,39 ' e) 80,29 d) 4 e)5 35. L a varilla de cobre de longitud 5 m fijo por un extrem o y apoyado sobre rodillos de 1 cm de diám etro, se calienta desde 20° C a 220° C, produciéndose un giro de los rodillos. ¿C uántos radianes gira el úl tim o rodillo contando a partir del extre mo fijo? a Cu=17.10'6 ° C ‘
^
H allar la altura de m ercurio que debe ser colocado en un tubo de vidrio de 15 cm de altura para que el volum en dentro del tubo sobre el m ercurio sea el mismo a cualquier tem peratura. Los coeficientes de dilatación cúbica del vidrio y m ercu rio son respectivam ente 6.10"5 °C’! y 18.10 5 ° C '\ a) 1 cm
b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm
40. P or un orificio de radio 1 cm de una lá m ina m etálica de coeficiente de dilata-
Temperatura y calor
m i
i * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * » ! ' * * * * * * * * * * * * # * * * * * * * * * * * * * * * * * * # * * »
ción superficial 2 ,0 2 .10'4 C '1, se quiere hacer pasar una esfera de radio 1,02 cm. ¿En cuánto se debe increm entar la tempe ratura de la lám ina metálica, para que pueda pasar la esfera? a) 100° C b) 150° C c )2 0 0 ° C d) 250° C e) 300° C 41. En cuántos °C se debe increm entar la tem peratura de las barras A y B para que sus extrem os se junten. Las barras están em potradas a paredes aislantes del calor y adem ás: a.A-15.10'4 0C '’; cíe- 1.10"3 0C ''
P
t
del metal es 2,31.10' C '\ H allar la dife rencia de tem peraturas T 2-T¡. (T2> T i ). a) 2( C d )8 °C
45. ¿Cuál es la tem peratura más probable cer ca del fondo de un lago con hielo en la superficie? ¿Por qué razón? b) 4CC
a) 2o C
46. En un calorím etro de equivalente en a gua 40 g, que contiene 360 g de agua a 10 °C, se introduce un cuerpo de m asa 100 g a 120 °C. H allar el calor específico (en cal/g.°C) del cuerpo, si la tem peratu ra de equilibrio del sistem a es de 40° C.
3 0 cm
b) 20c C c) 30° C a) 10' C d) 40° C e) 50° C
c) 1,3
b) 1,2 d) 1,4
6cm
c) 6 e) 10° C
d) 8o C
a) 1,1 60cm
c) 6o C b) 4 C e) 10° C *
e) 1,5
47. En un calorím etro de equivalente en a gua 55 g, que contiene 500 g de agua a 0o C, se introduce 0,5 kg de cobre a 200°C. H allar la tem peratura de equili brio. (ce>cu = cal/g °C)
42. H allar las longitudes de dos varillas a la tem peratura am biente. Tal que la diferen cia de sus longitudes, a cualquier tem pe b) 13 C c) 1 5 °C a) 11 C ratura sea de 5 cm, los coeficientes de di d) 17 C e) 19 C latación lineal son* a i= 1 8 .l0 '6 °C'!; a 2= 1 2 .1 0 6 °C*1 48. En un calorím etro de alum inio de 100 g que contiene 259 g de glicerina a 10° C a) 13 cm, 8 cm b) 12 cm, 7 cm se introduce un trozo de hierro de 290 g c) 14 cm, 9 cm d) 15 cm, 10 cm a 190° C, alcanzándose una tem peratura e) 16 cm, 11 cm de equilibrio de 38° C. H allar el calor es pecífico (en J/kg.°C) de la glicerina, (cFe 43.U n alam bre de coeficiente de dilatación =450 J/kg.°C, cA1= 900 J/kg.°C) lineal a y longitud L0 se dobla en form a de circunferencia dejando una abertura, si increm entam os su tem peratura en AT, ¿El anillo cerrará? 44. U n reloj de péndulo m etálico adelanta Ti= 2 s por día a una tem peratura Ti y a trasa t2= 4 s por día a una tem peratura T 2, si el coeficiente de dilatación lineal
a) 2358
b ) 2368 c) 2378 d ) 2388 e) 398
49. En un calorím etro de alum inio de 90 g que contiene 150 g de agua a 11,5 °C, se introduce una sustancia de m asa 220 g a 330 °C, si la tem peratura final, m edida
1112 Física fr************************************************************************ con un term óm etro de vidrio de m asa 17 g es de 33,8 °C. H allar el calor específico (en J/kg.°C) de la sustancia. (cA) - 900 J/kg.°C, cH2o= 4 186 J/kg.°C, cv = 840 J/k g .°C ) a) 217,5
b) 227.5 c) 237,5 d) 247,5 e) 257,5
50. Para elevar la tem peratura de 4,5 kg de cierto metal de 20° C a 40° C, se requie ren 36 kcal. H alle su calor específico (en cal/g.°C) a) 0,1
b) 0,2 d) 0,4
c) 0,3 e) 0,5
51. En el vaso de vidrio que está a 20 C se vierten 200 cm 3 de agua a 50° C. H allar el calor máximo que fluirá hacía el me dio am biente por dicha experiencia. (ce= l cal/g.°C)
generada por 10 golpes sucesivos del martillo. El clavo absorbe todo el calor. (cFe=450 J/kg.°C) a) 6o C
b) 19° C c) 8o C d) 12° C e) 14° C
53. U na bala de plom o de 25 g m oviéndose a 400 m /s atraviesa una delgada pared de hierro em ergiendo de ella con una rapi dez de 250 m/s. Si la bala absorbe el 50% del calor que se' genera. (T F = 327° C, cPb- 130 J/kg.°C). Hallar: I. El aum ento de tem peratura de la bala. a) 181,5° C b) 183,5° C c) 185,5° C d) 187,5°C e) 189,5° C II. Si la tem peratura am biente es de 20° C,¿ Se fundirá alguna parte de la bala? Y si esto sucede. ¿Q ué cantidad se funde? a) 0 g
b) 5 g d) 15 g
20" C
a) 1 kcal
b) 2 kcal * c) 4 kcal d) 6 kcal e) 8 kcal
52.
c) 10 e) 20 g
54. ¿En qué tiem po una cafetera de aluminio de m asa 400 g, potencia 500 W hervirá 0,45 lt de agua que esta a 10° C? los calo res específicos son: Ch2o= 4186 J/kg.°C, cAi-9 0 0 J/kg.°C. a) 1,7 m in b) 2,7 min c) 4,7 min d) 6,7 m in e) 8,7 min 55. H allar la altura de una catarata, sabiendo que la diferencia de tem peraturas entre las aguas de abajo y las de arriba es de 1,0° C.( C alor específico del agua 4 200 J/kg °C y g - l O N / k g ) a)4 0 0 m
La cabeza del m artillo de 0,50 kg golpea el clavo de hierro de 20 g con una rapi dez de 6 m/s, quedando en reposo. H allar el aum ento de la tem peratura del clavo
b )4 1 0 m c) d) 430 m e) 440 m
420
m
56. U na bola de metal de 2 kg que se suelta desde una altura de 60 m, rebota en el pi so elevándose hasta la m itad de su altura inicial. Si la cuarta parte de su energía se
Temperatura y calor
1113
¡ t i * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
transform a en calor disipándose al m edio exterior. H allar el increm ento de su tem peratura. (ce=200 J/kg °C y g=10 m/s2)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
61. En un recipiente de capacidad calorífica despreciable que contiene M gram os de hielo a 0o C se introducen 120 g de agua a) I o C b )2 °C c )3 °C a 60° C fundiéndole todo el hielo. ¿Qué d) 4o C e) 5o C cantidad de hielo había en el recipiente? 57. Para aum entar en 100° C la tem peratura (Lf = 80 cal/g) de 10 kg de un metal se requieren 100 a) 70 g b) 75 g c) 80 g kcal. H allar el porcentaje de calor cedido d) 85 g ( e) 90 g al m edio am biente, sabiendo que: ce=85 62. ¿C uántos gram os de agua a 100° C se de cal/kg °C. be verter en un recipiente de calor espe a) 1 0 % b) 15% c) 20 % cífico despreciable, que contiene 20 g de d) 25 % e) 30 % hielo a -20° C , para obtener agua líquida a 0°C? (L f - 80 cal/g) 58. Sobre un carrito de m asa 7 kg, que se m ueve con una rapidez de 4 m/s, se ubi a)1 0 g b) 12 g c) 14g ca desde arriba un ladrillo de m asa 1 kg. d) 16 g e) 18 g H allar la cantidad de calor producido en 63. ¿C uántos gram os de vapor de agua a el proceso. (1 J = 0,25 cal) 100° C se debe introducir en un recipien a) 1,00 cal b) 1,25 cal c) 1,50 cal te de calor específico despreciable, que d) 1,75 cal e) 2,00 cal contiene 30 g de hielo a 0o C, para obte ner agua líquida a 100° C? 59. ¿C on qué rapidez se debe lanzar un blo (L f = 80 cal/g , L v = 540 cal/g) que de hielo a 0o C, contra una pared, tal que cam bie de fase íntegram ente (agua líquida a 0o C)?. El calor latente de fu sión del agua es 320 kJ/kg.
a)1 0 g
b) 12 g d) 16 g
c) 14g e) 18 g
64. M gram os de hielo a 0o C se introduce en M gram os de agua a 100° C. ¿Cuál se rá la tem peratura final de equilibrio del sistema, si este está aislado con el m edio 60. En la gráfica Q vs T se m uestra el calor exterior? (LF - 80 cal/g) que utiliza un cuerpo de m asa 25 g para derretirse. H allar el calor latente de fu a) 10° C b) 12° C c) 14° C sión (en M J/kg) del cuerpo. d) 16° C e) 18° C a) 600 m/s b) 650 m/s* c) 700 m/s d) 750 m /s e) 800 m/s
65. H allar la tem peratura de equilibrio de la m ezcla de 992 g de hielo a 0o C y 160g de vapor de agua a 100° C. Considere el recipiente térm icam ente aislado. (Lf = 80 c a l/g , L v ~ 540cal/g) a) 10° C b) 15° C c) 20° C d) 25° C e) 30° C
Física *************************************************************************
1114
66. U n bloque de hielo de 716,7 g que está a 0o C contiene una resistencia que recibe de u na fuente eléctrica una potencia de 500 W. ¿En qué tiem po se ftinde total m ente el hielo? (1 cal = 4,186 J, LF= 80 cal/g)
que se solidifica cuando se alcanza la tem peratura del equilibrio. (LF=80 cal/g, ce,H =0,5 cal/g.°C) a) 6,0 g
b) 6,£ g c) 7,0 g d) 7,5 g e) 8,0 g
71. En un calorím etro ideal, se introduce 800 g de hielo a la tem peratura de -20° C y se vierte 800 g de agua a 0o C. H allar la can 67. En una cacerola se echa agua a 10° C y tidad de hielo que queda en el caloríme se pone a calentar sobre un hornillo Des tro cuando se alcanza la tem peratura del pués de 10 m in el agua em pieza a hervir. equilibrio. (Lp=80 cal/g, ce h =0,5 cal/ ¿Q ué tiem po tardará en vaporizarse total g.°C) m ente el agua? (Lv=540 cal/g) a) 70 g b) 80 g c) 90 g a) 40 min b) 45 m in c) 50 min d) 100 g e) 110 g d) 55 m in e) 60 min 72. Las caras exterior e interior de u n a venta 68. El bloque de hielo de m asa m =10 kg está n a de vidrio de área 12 m2 y espesor 1,2 sum ergido parcialm ente en el recipiente cm, están a a las tem peraturas de 23 °C y lleno de agua. ¿Q ué cantidad de agua se 25 °C ,¿Q ué cantidad de calor p asa por la derrama, al derretirse el hielo? ventana en una hora? (K -0 ,2 5 cal/m.s. H IE L O °C ) a) 1 m in b) 2 m in c) 4 min d) 6 min e) 8 min
a) 1,0 M cal b) 1,2 M cal c) 1,4 M cal d) 1,6 M cal e) 1,8 M cal H iO
a) 1 kg
b) 2 kg d) 4 kg
c) 3 kg e) 0 kg
73. L a hielera de espesor 4 cm tiene un área total eficaz de 2 m2,¿Cuántos gram os de hielo se fundirán en un m inuto si las tem peraturas al interior y exterior de la hiele ra son de 5 °C y 25 °C ? (K =2,5.10'5 kcal
69. A 10 kg de un líquido (x) que esta a 50° C, se le agrega 1 kg de hielo a -50° C, ob teniéndose una m ezcla líquida a 30° C. H allar el calor específico de x (en cal/ kg.°C). (L F=80 cal/g, ceiH =0,5 cal/g.°C) a) 600
b) 625 d) 675
/m .s.°C )
c) 650 e) 700
70. En un calorím etro ideal que contiene 40 g de agua a 0o C, se introduce 50 g de hie lo a -30° C. H allar la cantidad de agua
d) 25
e) 30 g
Temperatura y calor 1 115 ************************************************************************* 74. U na pared vertical plana de área 12 m 2 es ta a 90 °C . La tem peratura del aire de coeficiente de convección 1,27.10'3 kcal/ m2.s.°C es de 30 °C . ¿Q ué cantidad de calor se pierde en am bos lados de la pa red durante 1 hora? a) 11 M cal b) 13 M cal c) 15 Mcal d )1 7 M cal e) 19 M cal 75. L a radiación térm ica incide sobre un cuer po con una rapidez de 100 W /m2. Si el cuerpo absorbe el 20% de la radiación in cidente ¿Cuál es su absorbancía? ¿Q ué e nergía se em itirá por este cuerpo en un minuto, si el área de su superficie es 1 m2
tarla en AT = 50 °C? a) 15,0 J b) 15,2 J c ) 1 5 ,4 J e) 15,8 J d) 15,6 J 79. U na esfera de mactera flota en agua conte nida en un recipiente que está a 2 °C. Si sólo se calienta el agua hasta 4 °C. Indi car las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I. El volum en del agua aum enta. II. L a densidad del agua aum enta. III. El volum en sum ergido de la esfera au menta. a) FVF d) V FV
b) FFV e) FVV
c) VVF
y su tem peratura de 727 °C ? ( ct = 5,67.10"8 W /m2.K4) a) 2,1 M J d) 2,7
80. Probar que el coeficiente de dilatación volum étrico "(3” es tres veces el coefi ciente de dilatación lineal " a " c) 2,5 M J
b) 2,3 MJ M J e) 2,9 M J
76. El filam ento de un foco de 25 W está a la tem peratura 1727° C y tiene em isividad 0,3. H allar el área eficaz del filamento. ( a = 5 ,6 7 .1 0 '8 W /m 2.K4) a) 90 p m 2
b) 92 pm 2
d) 96 pm 2
81. L a barra de longitud £=50 cm y m asa m =5 kg, que esta a la tem peratura de To=0 °C puede girar alrededor del eje que pasa por P. Si la barra se calienta hasta T=100 °C, en qué porcentaje varia su momento de inercia? ( a = 17.10'6 ° C '\ g = l 0 nVs2)
c) 94 pm 2
e) 98 p m 2 •
77. ¿Q ué fuerzas se debe de aplicar a los ex trem os de una barra de acero, de área de sección transversal A=10 cm2, para evi tar que se dilate cuando se calienta desde T 0=0 °C hasta T ^30 °C? ( o t= l,0 6 .1 0 '5 °C ''; E = 21,6.1010N /m 2 ; k=103) a)6 1 k N b )6 3 k N c)6 5 k N d) 67 kN e) 69 kN 78. ¿Q ué trabajo puede realizar una barra de acero de longitud i = 1 m, área de sec ción transversal A= 4 cm 2, coeficiente.de dilatación lineal a = 1,25.10‘5 °C '1 y mó dulo d e Y o u n g E -2 .1 0 11 N /m 2, al calen
a) 0 ,3 0 % b) 0,32 % c ) 0 ,3 4 % d) 0,36 % e) 0,38 % 82. Se tiene una esfera de acero sólida de ra dio R=10 cm, m asa 10 kg y coeficiente de dilatación lineal a=12.10"6 °C '1, que gira alrededor de su diám etro con una ve locidad angular de co=20 rad/s. Si la esfe ra aum enta su tem peratura en AT=100 °C. Hallar:
Física
1116
************************************ '************************************
I.
L a variación que experim enta su momen to de inercia (en kg.m 2). a) 90
b) 92 d) 96
c) 94
el agua. (ce= 4187J/kg.°C ) a) 8,17
b) 8,27 d) 8,47
c) 8,37 e) 8,57
e) 98
86. Los lados de las caras d e una placa de co bre m iden 100 cm y su espesor 3 cm. Di chas caras están a las tem peraturas de 0 °C y 100 °C. L a conductividad térm ica a) 19,15 b) 19,25 c) 19,55 del cobre es k=0,92 ca!/s.cm.°C. ¿Qué d) 19,75 e) 19,95 cantidad de calor (én M cal) fluye a tra vés de la placa en condiciones de estado 83. El recipiente m ostrado contiene un blo estable durante 15 min? que de m adera flotando en mercurio. Al aum entar la tem peratura del mercurio. In a) 270 b) 272 c) 274 dicar las proposiciones verdaderas (V ) o d) 276 e) 278 falsas (F): 87. Un cilindro de plom o de diám etro D0- 1 1 cm, coeficiente de dilatación longitudi ■■•i- k nal a - 2 9 ,4 .1 0 '5 °C esta a la tem peratura v ----de To=40 °C. H allar la tem peratura a la que ajustará exactam ente en un agujero "l po de diám etro igual a D =10,996 cm. II. L a velocidad angular (en rad/s) con la que gira la esfera compacta.
I. L a densidad del líquido dism inuye. II. L a altura sum ergida del bloque aum enta. III. El área de la base del bloque de m adera aumenta. a) FFV
b) V FV c) FVF d) VVF * e) 'C'FF
84. Se utiliza un m otor de 0,5 H P para agitar 30 lt de agua. Si se em plea el m otor du rante 30 m in y todo el trabajo se usa en calentar el agua. ¿C uántos grados Ce] sius aum entará la tem peratura el agua? (1 H P -7 4 5 ,7 W, ce=4 187 J/kg.°C) a) 5,14 °C b) 5,24 °C c )5 ,3 4 ° C d) 5,44 °C e) 5,54 °C 85. Con un calentador eléctrico de potencia 350 W se hace hervir 500 g de agua que esta a la tem peratura de 18 °C. H allar el tiem po (en m inutos) que tarda en hervir
a) 23,6 °C b) 24,6 °C c) 25,6 °C d) 26,6 °C e) 27,6 °C 88. U n anillo de acero de coeficiente de dil§ tación lineal cca= 12.10’6 t 1, diám etro in terior D -7 5 m m que está a la tempera tura de 20 °C se calienta para ser introdu cida en un eje de latón de coeficiente de dilatación lineal a L ^ O .l O ’6 ° C 1, diám e tro d=75,05 m m a 20 °C. I. ¿A qué tem peratura debe calentarse el anillo? a) 74,9 °C b) 75,3 °C c )7 5 ,6 ° C d) 75,9 °C e) 76,2 °C II. Si el anillo y el eje se enfrían, a q u é tem peratura coinciden sus diám etros. a) 40,05 °C b) 40,25 °C c) 40,45 °C d ) 40,65 °C e) 40,85 °C 89. U n reloj cuyo péndulo d a una oscilación
Temperatura y calor 1117 *************************************************************************
I.
en 2 s, m arca exactam ente el tiem po a la tem peratura de 25 °C. La varilla del pén dulo es d e acero de coeficiente de dilata ción lineal a = 1 2 .1 0 '6 O C 1. Hallar: L a variación relativa de la longitud de la varilla, cuando se enfría hasta 15 °C. a) 1,2.10'3 b) 1,2.10'4 c) 1,2.10'5 d) 2,4 .1 0 '3 e) 2,4 .10'4
coeficiente de dilatación volum étrico 1,8,10'4 °C‘!. ¿Q ué altura adicional se su m erge el cubo, cuando la tem peratura au m enta desde 270 % h asta 320 °K. a) 0,20 mm b) 0,25 mm c) 0,30 mm d) 0,35 mm e) 0,40 mm 9 3 .
II. ¿C uántos segundos por día adelantará (A ) o retrasará (R) el reloj a 15 °C? a) A, 10,348 s b ) R , 10,348 s c) A, 10,368 s d )R , 10,368 s e) A, 10,398 s 90. U na v arilla delgada de acero de coeficien te de dilatación lineal a= 1 2 .1 0 '6 °C’1 os cila com o un péndulo físico alrededor de un eje h orizontal que pasa por uno de sus extrem os. Si la varilla tiene una longitud de £=60 cm a 20 °C. H allar la variación que experim enta su periodo cuando su tem peratura se eleva hasta 30 °C.
a) 1,48 W b) 1,58 W c ) l,6 8 W d) 1,78 W e) 1,88 W 9 4 .
a ) 7 5 ,0 p s b) 75,4 ps c ) 7 5 ,8 p s d) 76,2 ps e) 76,6 ps 9 1 .
U n alam bre de acero de diám etro D=0,25 m m y c o e fic ie n te 'd e dilatación lineal c x a - 1 2 . 1 0 ' 6 °C, se sujeta a los extrem os de una larga barra de latón de coeficiente de dilatación a L= 20.10'6 °C. La tensión del alam bre a 0 °C es nula. H allar la ten sión cuando ia barra y el alambre están a 20 °C. E l m ódulo de Y oung del acero es Y -2 1 ,6 .1 0 l0N /m 2. a) 1,29 N b) 1,39 N c ) l,4 9 N d) 1,59 N e) 1,69 N
92. U n cubo de alum inio de lados a=20 cm, densidad p Ai“ 2,7 g/cm 3, coeficiente de di lalación lineal a Ai=24.10'6 °C '] flota en m ercurio de densidad png-13,6 g/cm 3,
U na esfera m aciza de cobre ennegrecida de radio R=2 cm, se 'coloca dentro de una cavidad en la que se ha hecho el vació, y cuyas paredes se m antienen a 100 °C. ¿Q ué cantidad de energía ha de suminis trarse por segundo a la esfera para mante ner su tem peratura constante e igual a 127 °C? (ct=5,67.10 8 W /m2.°K4)
U n trozo de metal de coeficiente de dila tación cúbica p= 2.10'4 ° C ' sum ergido en cierto líquido experim enta u n a perdida de peso de 5,3 N a 0 °C y 5,1 N a 100 °C. H allar el coeficiente de dilatación lineal (en p °C '') del líquido. a) 100
b) 200 d) 400
9 5 .
c) 300 e) 500
¿En qué porcentaje varia, el área de la su perfície d e un cilindro m etálico de coefi cíente de dilatación lineal a = 9 .1 0 ’6 °C'1, cuando este se calienta desde 0 °C hasta 100 °C? a) 0 ,1 0 % b) 0,12 % c) 0,14 % d) 0,16 % e) 0,18 %
9 6 .
Para calentar una varilla de alum inio de área de sección recta A=5 m m 2, densidad 2,7 g/cm 3, calor especifico ce=8803 J/kg °K, coeficiente de dilatación lineal cc= 2,3.10"s °K '1, se utilizan 11,176 k j. H allar la variación que experim enta la longitud (en m m ) de la varilla.
Física *************************************************************************
1118
a) 21,04 b) 21,24 c) 21,44 d) 21,64 e) 21,84
con rapidez inicial de v=400 m/s, perfora un disco de m asa m -5 0 g y se atraca en el siguiente, idéntico al primero. Hallar la cantidad de calorf que se desprendió en el prim er disco si en el segundo se des prendió la cantidad de calor Q2=1000 J.
97. U n cubo de vidrio de m asa m=205 g, al sum ergir en un líquido a 20 °C experi m enta un em puje de 1 N, y luego al au m entar la tem peratura a 100 °C experi m enta un empuje de 0,997. El coeficiente a) 1617 J b) 1627 J c) 1637J de dilatación lineal del vidrio es ay = d) 1647 J , 6 ) 1657 1 9.10 6 °K '1. H allar el coeficiente de dilata 101.Un centavo de cobre de m asa 3 g, calor ción cúbica (en p °K '1) del líquido. específico ce=0,39 J/g.°K a 25 0C se su a) 84,3 b) 85,3 c) 86,3 m erge 50 m en la Tierra. Si 60 % de la e d) 87,3 e) 88,3 nergía potencial se em plea en aum entar la energía interna, hallar su tem peratura 98. Con un litro d e agua a 30 °C se prepara final. (g=10 m /s2) té helado. ¿Q ué cantidad de hielo a 0 °C debe agregarse para reducir la tem pera tura del té a 10 °C? (L f=80 cal/g, ce- l cal/g.°C) a) 0,18 kg b) 0,22 kg c) 0,26 kg d) 0,30 kg e) 0,34 kg 99. Indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I. L a tem peratura de un cuerpo es función de la energía cinética prom edio de sus moléculas. II. El calor específico (ce) de «una sustancia se puede expresar en J/kg.°C. III. Todos los cuerpos que se calientan expe rim entan el fenóm eno de dilatación. a) V V F b) VVV c) FFF d) FVF e) FVV 100 .
(1)
(2)
f \
f \
U na bala de m asa m=50 g, m oviéndose
a) 25,71 0C b) 25,73 0C c) 25,75 % d) 25,77 % e) 2 5 ,7 9 % 102.¿Qué cantidad de energía radia el Sol por m inuto? Considere que la radiación del Sol se aproxim a a la de un cuerpo ne gro. L a tem peratura de la superficie del Sol es aproxim adam ente 5 800 °K y su ra dio m edio R=6,95.10* m, c= 5 ,6 7 .1 0 '8 W /m 2.°K'4. b) 2,33.1028 J a) 1,33.1027 J d) 4,33.1028 J c) 3,33.1027 J b) 5,33.1028 J 103.La potencia de radiación de un cuerpo negro es de 34 kW . H allar su tem peratu ra sabiendo que el área de su superficie es 0,6 m 2. (a= 5,67.10‘8 W /m2.°K‘4) a) 991,9 °K b) 993,9 °K c) 995,9 °K d) 997,9 °K e) 999,9 °K 104.Hallar la m agnitud de la ^ c o n sta n te so lar>:>, es decir, la cantidad de energía ra diante que em ite el Sol p o r m inuto a tra vés de una superficie de 1 cm 2, situada perpendicularm ente a sus rayos y a la m ism a distancia que se encuentra la Tie
Temperatura y calor mg ************************************************************************* rra de el. La tem peratura en la superficie del Sol es de 5 800 °K, considere que la radiación del Sol se aproxim a a un cuer * po negro, y que la distancia m edia entre la T ierra y Sol es 1,5.10" m. a) 1 3 7 1 ,4 7 0 W /m2 b) 1 373,470 W /m2 c) 1 375, 470 W /m2 d) 1 377,470 W /m2 e) 1 379,470 W /m2 105.¿Qué cantidad de calor em ite 1 cm2 de la superficie de un cuerpo por segundo, sa biendo que su poder em isivo m onocrom a tico m áxim o de la radiación (e?Jmax co rresponde a la longitud de onda ^=484 nm ? a) 7301,92 J b) 7303,92 J c) 7305,92 J d) 7307,92 J e) 7309,92 J 106.¿En cuánto dism inuirá la m asa del Sol durante un año debido a la radiación que em ite?. La tem peratura de la superficie del Sol es aproxim adam ente T=5800 °K. (R =6,95.108 m, (a= 5,67.10‘8 W /m 2.°K'4)
a) VVF
b) VVV d) FVF
c) FFF e) FVV
109Jndicar la proposición verdadera: a) El calor es una m agnitud física vectorial. b) Es im posible que el calor se propague en el vació. c) L a capacidad calorífica de un cuerpo de pende de su masa. d) Para que dos cuerpos aislados térm ica m ente del m edio am biente alcancen igual tem peratura es necesario que tengan ] gual masa. e) El calor específico de una sustancia se ex presa en J/kg.°C. 110.E1 calorím etro C de resistencia R \ = 60 Q , que contiene una m asa m =480 g de a gua, se conecta a la fuente de energía du rante t=5 min, indicando el am perím etro una intensidad de corriente i = 6 A. ¿En cuánto se eleva la tem peratura del agua, si R 2=30 Q ?
a) 116 Pkg b) 126 Pkg c) 136 Pkg d )1 4 6 P k g e) 156 Pkg 107.Asum iendo que la radiación del Sol se m antiene constante, ¿D espués de qué tiem po (en Taños) su m asa se reduce a la mitad? R=6,95.10s m, M = l,9 7 .1 0 30 kg, T =5800 °K, c=3.108 m/s, cr=5,67.10'8 W/ m 2.°K'4) b) 3,218 a) 1,218 c) 5,218 d) 7,218 e) 9,218 108.Con respecto al calor, indicar las propo siciones verdaderas (V) o falsas (F): I. Es una form a de energía en transito, en tre cuerpos que están a diferentes tempe raturas. II. Puede transferirse en el vació. III. N o se alm acena en ningún cuerpo.
Rz
Ri
a) 12 °C b) 18 °C c) 24 °C d) 30 °C e) 36 VC 111.Indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I. El calor específico es u n a propiedad del cuerpo físico. II. L a capacidad calorífica es una propiedad del que com pone el cuerpo físico. III. U na m ism a sustancia puede tener diferen tes calores específicos.
Física *************************************************************************
1120
a )F F F
b) FV V d) FVF
c)F F V e) VVV
112.¿Qué cantidad de gasolina consum e el m otor de un auto al recorrer 100 km si con su potencia m edia de 15 CV, la ra p i dez m edia que desarrolla es de 30 km/h? El m otor tiene un rendim iento del 22 %, el poder calorífico de la gasolina es 4 ,6 .107 J/kg. (1 CV =736 W) a) 11 kg b) 13 kg c) 15 kg d) 17 kg e) 19 kg
II. L a convección natural se debe a la dife rencia de densidades del líquido o gas. III. En el proceso de convección no hay mo vim ientó relativo del líquido o gas. a) FFF d) FVF
117.Las caras izquierda y derecha del bloque m etálico de espesor, d=5 00 cm, están a las tem peraturas de Ti=65 °C y T2-2 5 °C. H allar la tem peratura a la distancia de x=200 cm de la cara derecha.
113.La m asa total de agua existente en tierra tiene un valor aproxim ado de 1019 tonela das. Suponiendo que la tem peratura de to da esta agua experim enta una dism inu ción de tem peratura de 1 °C. H allar la cantidad de calor (en cal) que se libera. b) 101
a) 101
a) 41 °C
114.¿Cuál de los siguientes procesos no co rresponde a un cam bio de fase propia m ente dicho? a) Fusión b) Sublimación c) E vaporación d) Condensación e) Solidificación 115.E1 coeficiente de dilatación cúbica del H g es P = l,8 2 .1 0 '4 °C 'i. H allar su coefi ciente de com presibilidad (en patm '1) sa hiendo que para que su volum en no varié es necesario aum entar 47 atm la presión externa. a) 3,81
b) 3,83 d) 3,87
Ti
t2
c) 102 e) 102
d) 102
b) FVV c) FFV e) VVF
c) 3,85 e) 3,89
H ó .R especto de la propagación del calor por convección, indicar las proposiciones ver daderas (V) o falsas (F): I. L a convección puede ser natural o forza da.
b) 43 d) 47 °C
c) 45 °C e) 49 °C
118.Respecto de los procesos de cam bio de fase, indicar las proposiciones verdade ras (V) o falsas (F): I. Es im posible que una sustancia sólida pa se a la fase de vapor sin pasar previam en te p o r la fase líquida. II. Para que una sustancia pase de la fase lí quida a la fase de vapor, necesariam ente debe de aum entarse la tem peratura. III. Para que una sustancia pase de la fase lí quida a la fase de sólida, necesariam ente debe dism inuirse la tem peratura. a) V V V ' b) FFF c) FVV e) FFV d) V FV 119.Se tiene una concha esférica muy delga da de radio interno Ro=15 cm, coeficien te de dilatación lineal a = 2 ,2 .1 0 's °C. Ha llar el cam bio porcentual que experim en ta su volum en al aum entar su tem peratu
Tem peratu ra y calor 1121 ************************************* ************************************ ra en 20 °C. a) 1 ,1 3 %
b) 1,33 % c) 1,53 % d) 1,73 % e) 1,93 %
120.La densidad del hielo es p=920 kg/m 3, su conductividad térm ica k=0,92 W/m.°C y su calor de fusión L F=308,5 kJ/kg. Un lago tiene una capa superficial de hielo de espesor d—10 cm cuando la tem peratu ra del aire es de T0=-15° C. H allar la rapi d ez (en pm /s) con qué aum enta el espe sor de la capa de hielo. ( p = 10-6 ) a) 0,37
b) 0,40 d) 0,46
c) 0,43 e) 0,49
121.Se tienen dos esferas de cobre una com pacta y la otra hueca de radios R -1 0 cm, que están a la tem peratura de 30 °C. Si am bas esferas experim entan el mismo cam bio de tem peratura, entonces, respec to del cam bio de sus volúm enes, indicar la proposición correcta. (ct= l,6.10‘5 °C’') a) E s m ayor en la esfera com pacta, si la tem peratura aumenta. b) Es m enor en la esfera com pacta si la tem peratura dism inuye. c) Es m ayor en la esfera hueca, si la tempe ratura aum enta. * d) Es la m ism a en am bas esferas, ya sea la tem peratura aum ente o disminuya. e) Falta inform ación, respecto del espesor de la esfera hueca.
e) En el régim en perm anente, la tem peratu ra en el cuerpo que conduce calor no es u na constante. 123.Un esquiador de m asa m =90 kg descien de con rapidez constante de v=16 m/s, por una pendiente uniform e de hielo que está a la tem peratura de T 0--3 2 ° C. ¿Qué cantidad de hielo p o r segundo se derrite, si toda la energía disponible se em plea en fundir el hielo, cuya calor específico es C h = 2 0 9 3 J/kg.°C, y calor latente de fu sión Lp=335 kJ/kg. a) 20,66 g b) 22,66 g c) 24,66 g d) 26,66 g e) 28,66 g 124.Las caras de la pared de ancho d=40 cm, coeficiente de conductividad k—0,31 cal/ m 2.s.°C, están a las tem peraturas de T¡=20 °C y T 2=20 °C. H allar la cantidad de calor (en cal/m 2.s) que fluye por unidad de tiem po y área.
c) 35
a) 31 d) 37
e) 37
125.Respecto de los procesos de cam bio de fase, indicar las proposiciones verdade ras (V ) o falsas (F): 122.Respecto de la propagación del calor, in I. U na sustancia saturada durante el cambio dicar la proposición correcta. de fase, m antiene constante su presión y a) El calor puede propagarse solo po r con volumen. ducción y radiación. b) El flujo calorífico es un vector cuyo sentí II. Se llam a punto triple A, al v alor que a dopta la tem peratura y presión de satura do es de m enor a m ayor tem peratura. ción, en la que la sustancia se halla en la c) L a propagación del calor por convección fase líquida. sólo d a en los líquidos. III. E n el proceso de sublim ación directa la d) L a propagación de calor por conducción sustancia p asa directam ente de la fase só solo se da en sólidos y líquidos.
1122
Física
lida a la de vapor. a) V VV b) FFF c) FVV d) VFV e) FFV
la mezcla. D espreciar la m asa del calorí m etro. (ccu=0,094 cal/kg.°C, Cpb=0,030 cal/g.°C)
a) 60,3 °C b) 62,3 °C c) 64,3 °C 126.Las caras izquierda y derecha de las lá d) 66,3 °C e) 68,3 °C m inas de cobre y hierro de espesores d |—9 mm, d2=3 mm, están a las tem pera 129.E1 que se sienta más frió cuando se esta parado con lo pies desnudos sobre un pi turas Se T ,= 50 °C y T 2=0 °C. H allar la so de cem ento, que sobre un piso de ma tem peratura de la superficie com ún de dera a la m ism a tem peratura, se debe a: las lám inas. (kClf=385,l W /m.°C, kHe= a) L a m adera irradia el calor y no así el ce 74,4 W/m.°C) mentó. He b) L a m adera irradia el calor y no así el ce ; Cu m entó T , '• T — ** c) N o se puede decir nada por falta de infor T2 mación. d) E l cem ento irradia calor y no así la ma h--------- --------H« . »l dera. di d2 e) E l cem ento es m ejor conductor térm ico, que la madera. a) 31,05 °C b) 31,25 °C c) 31,45 °C d) 31,65 °C e) 31,85 °C 130all calentador de alam bre de tungsteno de diám etro Di=0,5 mm que funciona a 3 127.1ndicar las proposiciones verdaderas (V) kW /m y tem peratura Tj=1500 °C, esta o falsas (F): rodeado por el cilindro de diámetro D2= I. A nivel del mar, en un cam bio, la tem pe 12 cm cuya superficie extem a está a la ratura de la sustancia perm anece constan tem peratura de T2=20 °C. H allar la con te m ientras dure el proceso. ductividad térm ica (en cal/m.s.°C.) del c¡ II. A nivel del mar, en un cam bio de fase, a m ayor m asa involucrada en el proceso, lindro. (I J=0,239 cal) m ayor energía calorífica se consum irá o Di generará. III. En un cam bio de fase a m ayor m asa invo 9? lucrada m ayor será el calor latente de fa T2 Ti £ se, m anteniendo la presión y tem peratura constante. "A b) FFF c) FV V a) VVV d) VFV e) FFV d 2 128.En un calorím etro que contiene m A=100 g de agua a T 2- 2 0 °C, se introduce dos cilindros uno de cobre y otro de plomo am bos de masas 1 kg y tem peratura de Ti=100 °C. H allar la tem peratura final de
a)
0,402 b) 0,422 c) 0,442 d) 0,462 e) 0,482
R especto de la tem peratura a la que hier v e el agua, indicar la proposición corree ta:
1 3 1 .
Temperatura y calor 1123 *******#**********#*******************************************#******,,.*** a) D epende de la velocidad con la que se su m inistra calor. b) D epende de la cantidad de calor que se suministra. c) D epende de la m asa de agua que se ca lienta. d) Siem pre es de 100 °C. e) D epende de la presión atm osférica. 132.EÍ cascarón esférico de cobre de con " ductividad térm ica k=390 W/m.°C, tiene radios interno a -1 0 cm y externo b -2 0 cm, y sus superficies interna y externa es tán a las tem peraturas constantes de Ta= 200° C y Tb-1 0 0 ° C. H allar la tem pera tura de la superficie de radio c= l 5 cm. Tb
a) 131,3 °C b) 133,3 °C c) 135,3 °C d) 137,3 °C e) 139,3 °C 133.Respecto de un cuerpo negro, indicar la proposición correcta: a) A bsorbe totalm ente la luz negra. b) R efleja totalm ente la luz negra. c) A bsorbe totalm ente la luz. d) R efleja totalm ente la luz. e) R efracta totalm ente la luz. 134.Respecto del agua, indicar las proposj ciones verdaderas (V) o falsas (F): I. Si se aum enta la presión exterior aum en ta su tem peratura de ebullición. II. Si se dism inuye la presión exterior dismi nuye su tem peratura de fusión. III. P odría coexistir en sus tres fases en con diciones de equilibrio térm ico. a) VVV b) FFF c) FVV d) V FV e) FFV
135.Un vaso m etálico cilindrico de radio R= 9 cm está lleno de hielo a 0 °C. Este vaso está aislado térm icam ente m ediante. una capa de corcho dq espesor d = l cm. ¿Qué tiem po tardará en fundirse todo el hielo, si la tem peratura del aire es exterior es 25 °C?. A sum ir que solo hay flujo de calor en la superficie lateral del vaso. (k = l,1 9 .l0 '4 cal/cmis.°C, L p-80 cal/g, p= 0,9 g/cm 3) a) 7,17 h b) 7,27 h c ) 7 ,3 7 h d) 7,47 h e) 7,57 h 136.Respecto del calor, indicar la proposi ción incorrecta: a) El calor es capaz de hacer trabajo meca nico. b) A l m ezclar dos líquidos de diferentes tem peraturas existe una transferencia del calor del líquido de m ayor tem peratura al de m enor tem peratura. c) El calor específico del agua es m enor que el del hielo. d) L a capacidad calorífica de un cuerpo o sustancia depende de su masa. e) El calor puede propagarse en el vació. 137.Una cacerola de alum inio de diám etro D =15 cm, coeficiente de conductividad tér m ica k=0,502 cal/cm.°C, espesor de la ba se d=2 mm, llena de agua hierve y cada m inuto se form a 300 g de vapor. H allar la tem peratura del m edio exterior. a) 105,3 °C b) 105,7 °C c) 106,1 °C d) 106,5 °C e) 106,9 °C 138.En el extrem o de un alam bre de hierro de radio R=1 mm, coeficiente de dilata ción lineal a = l,2 .1 0 's °C '1, módulo de Y oung Y=20. 10i0 N /m 2, se suspende un bloque, produciéndole un alargam iento e quivalente al de un aum ento de tem pera tura de 20 °C. H allar el peso del bloque.
1124 Física fe************************************************************************ . a) 148,8 N b) 150,8 N c) 152,8 N I. d) 154,8 N e) 156,8 N
Punto de roció, es la tem peratura a la cual debe enfriarse el aire, m anteniendo la presión constante, a fin que se sature 139.1ndicar las proposiciones verdaderas (V) de vapor de agua. o falsas (F): II. Las m ás altas tem peraturas que pueden I. Las sustancias puras se encuentran en la lograrse, ocurren en las descargas eléctri naturaleza en las fases: sólida, líquida, ga cas. seosa y plasm ática. III. P ara construir una escala de tem peratura II. En la fase sólida, estos se encuentran en se necesitan dos puntos de referencia. form a de cristales. a) V V V b) FFF c)F V V III. En la fase líquida no existen cristales. d) V FF e) FFV IV. E n la fase gaseosa las m oléculas se m ué ven en direcciones definidas. 144.1ndicar cual es el dispositivo que es más a) FVV F b) W V V c) VVVF útil para m edir la hum edad relativa en el d) FFVF e) FFVV laboratorio: a) U na lata brillante, b) U n paño de seda 140.Una bola de vidrio de peso "P ", coefi c) U na v arilla de je b e d) U n hidróm etro ciente de dilatación cúbica "p", al pesar e) U n picnóm etro. se en un líquido a las tem peraturas de "T 0", "T j" y "T 2” , los resultados son: 145.Un cuerpo esférico de diám etro D =2 cm esta a la tem peratura de T=600 °C. Asu "P 0", "P j", "P 2’\ Probar que el coefi m iendo que radia com o un cuerpo negro, ciente de dilatación cúbico del líquido es hallar la energía por unidad de tiem po e P l=(P2-P1)+(P-P o)(T2-T 1)P/(P-P0)(T2-T 1) m itida p o r su superficie. (a= 5 ,6 7 .1 0 '8 141.H allar la tensión del vapor de agua en el W /m2.°K4) aire en un día en la que la tem peratura es a) 41,4 W b) 43,4 W c ) 4 5 ,4 W de 30 °C y la hum edad relativa del 60 %. d) 47,5 W e) 49,5 W L a tensión del vapor saturado a 30 °C es de 31,7 mm. * 146.Una barra cilindrica m etálica de coefi a) 15 mm b) 16 mm c) 17 mm d) 18 mm e) 19 mm 142.Un higróm etro, en un determ inado día en la que la tem peratura del aire es de 20 °C, indica una condensación a 5 °C. Ha llar la hum edad relativa. L a tensión del vapor de agua saturado a 5 °C es de 6,5 m m y a 20 °C de 17,4 mm. a) 3 1 ,4 % b) 33,4 % c) 35,4 % d) 37,4 % e) 39,4 % 143.1ndicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F):
ciente de dilatación lineal a = 9 .1 0 '6 °C 'i, se calienta desde 0 °C hasta 100 °C. Ha llar la variación porcentual del área de su sección transversal. a) 0,01 % b) 0,03 % c) 0,05 % d) Q,07 % e) 0,09 % 147.Una vasija de vidrio se llena parcialm en te con m ercurio y se hace el vacío. A l ca lentar el conjunto, el volum en del vació perm anece constante. ¿Q ué fracción del volum en total ocupaba inicialm ente el m ercurio? ( a v-2 ,5 .1 0 ‘5 0C’', aHg= l,25. 10'4 0C '')
Tem peratura y ca lo r b ) 2/3
a) 1/3 d) 2/5
c) 3/4 e) 1/5
148.¿Cuántos cubitos de hielo de m asa m = 50 g a T |= -6 °C deben de introducirse en un calorím etro de equivalente en agua despreciable, para que los M = l,0 8 kg de agua a T 2=80 °C que se encuentran en el calorím etro, se enfríen hasta los T=25 °C? (ce, L= l cal/g.°C, Ce, h= 1/2 cal/g.°C) a) 9
b) 10 d) 12
c) 11 e) 13
149.Respecto de la superficie que m ejor ra dia el calor, indicar la proposición corree ta: U na superficie negra lisa. U na superficie negra rugosa. U na superficie blanca rugosa. U na superficie blanca lisa. U na superficie am arilla lisa. 150.Un cuerpo de m asa m=3 kg que se mué ve con rapidez de v=4 m /s choca con o tro cuerpo de igual m asa que se encuen tra en reposo. Si el choque es central e i nelástico, hallar la cantidad de calor que se desprende durante el choque. a) 10 J d) 16 J
b) 12 J . c) 14 J ' e) 18 J
151.Un recipiente lleno de un líquido se en cuentra a cierta tem peratura. Si el siste m a se enfría hasta que el líquido sólo cu bre el 95 % de la capacidad del recipien te, hallar está dism inución de la tem pera tu ra.(aR= l0 's ° C \
1125
es 4 cm. H allar su volum en (en cm3) lúe go de aum entar su tem peratura en 500 °C. a) 1131 b) 1133 c) 1135 d) 1137 e) 1139 153.¿Qué gradiente térm ico debe tener una lám ina de alum inio si transm ite 8 cal/s po r cm2?. L a conductividad térm ica del alum inio es de 0,5 cal/s.cm.°C. a) 10 °C/cm b )1 2 ° C /c m c )1 4 ° C /c m d) 16 °C/cm e )1 8 ° C /c m 154.Los lados de un paralelipipedo de fierro m iden a=80 cm, b=50 cm y c=20 cm, a la tem peratura de 10 °C.¿Qué porcentaje au m enta su volum en cuando aum enta su tem peratura en 160 °C? a) 0 ,3 0 % b) 0,35 % c) 0,40 % d) 0,45 % e) 0,50 % 155.Un reloj de péndulo m arca exactam ente la h ora cuando T 0=0 °C, tiene un atraso de 10 s, en 1 día. H allar la tem peratura m edia del día ( a = ll,8 .1 0 '6 ° C !) a) 19,02 °C b) 19,22 °C c) 19,42 °C d) 19,62 °C e) 19,82 °C 156.E1 bloque de m asa m=2 kg desciende h=50 cm en equilibrio, haciendo girar las paletas. H allar el aum ento de tem peratu ra del agua de m asa M =100 g. El reci píente tiene equivalente en agua despre ciable. (1 J=0,239 cal, g=10 m /s2) T gvv? E
a) 105 °C b) 110°C c) 115 °C d) 120 °C e) 125 °C 152.Un envase cilindrico vacio de coeficien te de diltación lineal a = 1 0 '3 °C'i, tiene una altura de 8 cm y el radio de sus tapas
c -
f1
L
3
Or
M
a) 0,020 °C b) 0,024 °C c) 0,028 °C d) 0,032 °C e) 0,036 °C
Física *************************************************************************
1126
SO L U C IO N A R IO Solución: 01 • P ara que la persona y el term óm etro al caneen, la m ism a tem peratura, se necesita que transcurra cierto tiempo.
a)
Solución: 02 L a tem peratura en la escala K elvin es:
Solución: 04 a) El aum ento de la tem peratura es: A T = i ~ Í-° = 2 9 ' 10- 6 « ¿ o * (2 9 .10- 6 )(1) AT = 1°C b) La dilatación en la longitud es: £ ~ £ 0 = i 0 .a.AT
K - C + 2730 ^ - ^ o - ^ a A T = (l)(2 9 .1 0 -6)(l) K = 36° + 2 7 3 ° = 3 0 9 ° b)
L a tem peratura de ebullición es: C = K - 213o
£ - t 0 = 2 9 .1 0 -6 cm Solución: 05 a) El aum ento en la longitud {í) es:
C = 78° - 273° = - 195° A £ = a . l ( T - T 0) c) Sean, K 0 y C 0 las tem peraturas inicia les y K y C las finales, entonces, la eleva ción de tem peratura en K elvin será
M = (2 5 .1 0 'é )(60X120 - 20) Al = 0,15 cm
K - K 0 = (C + 2 7 3 °) - (C 0 + 273°) b) El aum ento en el ancho (A) es, K -K 0= C -C 0 * K - Ko = 52° «
Solución: 03 a) Según teoría, el calor viene dado por: Q = m.c.AT com o se observa Q depende de la varia ción de tem peratura, por tanto, no se pue de afirm ar nada. b) L a energía cinética de las moléculas de un gas ideal, vien e dado por: Ec = 3 kT
C
2
P or tanto, las m oléculas del gas A po seen m ayor energía cinética, pues, su tem peratura es mayor.
AA = a .A .( T - T 0) AA = (25.10 -6 )(40)(120 - 20) AA = 0,lcm Solución: 06 a) E l volum en final del líquido es: V = V0 + V0.pLAT
(1)
El volum en final del recipiente es: V = V0 + V0.pA1.AT
(2)
Pero, (1) es igual a (2), entonces: P A1= P L = 6,9.1Q -5 ° C - ‘ b) Del resultado anterior, el volum en de lí
Temperatura y calor * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1127 * v * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
quido quedará estable, Solución: 10 El aum ento aparente del líquido será m • El calor es una form a de energía, y la lo, pues, el aum ento del volum en del reci tem peratura establece el grado de movim ien píente, es igual, al del líquido. to de las m oléculas, las cuales oscilan alrede dor de su posición de'equilibrio. Solución: 07 V I) El agua al calentarse se dilatará, de m odo Solución: 11 que su volum en aum entará. (a) • Según, la ley cero de la term odinám ica, II) L a densidad volum étrica de un cuerpo los cuerpos A y B alcanzan en el equilibrio viene dado por: térm ico, una tem peratura com ún, la cual es tá com prendida entre las tem peraturas inicia m les de A y B., luego, las respuestas a cada una de las afirm aciones son:
c)
com o la m asa (m) perm anece constante y el volum en (V) aum enta, entonces la den sidad (p) dism inuye. (b) III) Com o la densidad del agua dism inuye y el em puje seguirá siendo igual al peso de la esfera, entonces el volum en sum er gido de la esfera deberá aumentar.
(a)
* VFFV Solución: 12 • Todos los pasos seguidos son correctos pero, en el proceso se considera que el ma terial del vaso no sufre variación de su tem peratura, siendo este un aislante térm ico per fecto.
Solución: 08 • Las respuestas a cada de una de las propo • siciones es: a) Falso, 0° C corresponde a 32° F. b) Falso, para obtener °F se sum a 32 a °C y 1. se le m ultiplica por 9/5. c) Falso, 100 divisiones en °C corresponden a 180 divisiones en °F, luego, 1 división en °C corresponde a 9/5 divisiones en °F. 2. d) V erdadero, por c). e) Falso, por c). 3. * FFFVF
Solución: 13 L a gráfica correcta debe satisfacer las si guientes condiciones: Las pendientes de las rectas, son propor cionales a las longitudes de las barras, así, a m ayor longitud inicial, le corres ponde m ayor pendiente. Las longitudes iniciales (a 0 °C), deben ser diferentes. Las longitudes deben aum entar a m edida que la tem peratura (T) aum enta. Luego, la gráfica que cum ple con estas tres condiciones es la b).
Solución: 09 Solución: 14 • H allem os los puntos de corte de la gráfica °C - °F, con los ejes: • Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: Eje horizontal : °F = 0 => °C = -17,7 + FVFFF ® Eje vertical : °C - 0 => °F = 32 Solución: 15 Luego, la gráfica correcta es la c). • L a energía por unidad de tiem po trans
Física++ ************************************************************************* 1128
ferida al cuarto, en form a de calor, es igual a la energía eléctrica por unidad de tiem po con © 2 I 38 = 3,4 sum ida por la refrigeradora (m áquinas térmi 626 cas), así, dism inuyendo en su tem peratura, y Solución: 19 > el cuarto aum entado en su tem peratura, lúe R epresentem os las tem peraturas en las go, las respuestas a cada una de las afirm a • escalas H g y °C, y apliquem os la proporcio ciones son: nalidad de segmentos. * FVFFV H g (c m )
Solución: 16 • De la transform ación centígrada-Fahren heit, tenemos:
,®C
24-
•to o
C = ^ ( F - 3 2 ° ) = ^ ( - 2 ,2 ° - 3 2 ° )
22
* C = -19° Solución: 17 • A plicando la transform ación centígra da-Fahrenheit, y teniendo en cuenta por dato que F -C , tenem os: 9 C = 5 (F - 32°)
=>
2 4 - 4 “ 1 0 0 -0
9 C = 5 C - 160°
* C = - 40°
•
x - 4 _ 2 2 -0
©
Solución: 18 Para el punto de fusión tenemos:
Solución: 20 • R epresentem os las tem peraturas en las escalas °F y °C, y apliquem os la proporciona lidad de segmentos. °F
F = 9 C + 32 = - (330) + 32 5 5
©
* x = 8,4cm
#C
212
100
F = 626° x+40
P ara el punto de ebullición tenemos: F = ^ (1 1 7 0 )+ 32
32
7 \ “
0
F = 2138° Luego, la razón de las tem peraturas corres pondientes a las de ebullición y fusión es:
(x + 40) - 32 _ x - 0 180
’ “ 100
Temperatura y calor H 29 ************************************************************************* x — 10
x - 0 _ 293 - 273 8 0 - 0 ~ 3 7 3 - 273
L uego, ésta tem peratura en grados K elvín es:
* x*=16°I
K = 273° + 10°
Solución: 23 • R epresentem os las tem peraturas en las es Solución: 21 calas y °C, y apliquem os la proporciona • R epresentem os las tem peraturas en las lidad de segmentos, escalas °E y °F, y apliquem os la proporcio 4N ' °c nalidad de segmentos. * K = 283°
E
®
100
160
F
20 212
180
-4 0
V -32
-20
20 - (-4 0 ) x - 180
160 - (-4 0 ) ' 1 0 0 - 0
_ x - 212
1 8 0 -(-2 0 )“ 2 1 2 -3 2 * x = 5 0 0 °F
* x = 3 0 °C ©
• Solución. 22 • R epresentem os las tem peraturas en las escalas °1 y °K, y apliquem os la proporcio nalidad de segmentos,
80-
©
Solución: 24 • Sea °M la escala del term óm etro mal ca librado y x la lectura correcta en la escala centígrada #M
99
K
x - 0
°C
100
373 25
293
o — f-
A—
273
A plicando proporcionalidad de segmentos:
Física++ *************************************************************************
1130
* f =
2 5 -1 _ x - 0
1
E.
100
99 - 1 ” 100 - 0 Solución: 27 • R epresentem os la barra antes y después de deformarse.
24 _ x 98 ~ 100 * x « 24,5° C
© To=0°
M
Solución: 25 La nueva longitud del ferrocarril es: T= 1 0 °
C
£ = £ G + ¿ 0.a.(T - T0) £ = 20 000+ (20 000)(12.10
)[3 5 -(-1 5 )]
L ueg0, Ia nueva longitud de la barra eS:
£ = 20000+ 12
¿ = ¿ 0 + ¿ 0. a . ( T - T 0)
* ¿ = 20 012 m
¿ = 50 + (5 0 )(2 .10 -5 )(10 - 0)
Solución: 26 • L os volúm enes finales de la gasolina y tanque, son:
¿ = 50 + 0,01
V g = V 0 + V 0.|3g . ( T - T o) vt
=
v0
+
v 0.m
t
-
t0)
O) (2)
* £ = 50,01 m
@
Solución: 28 • Según teoría, la longitud dilatada de la barra es: £ = £Q [1 + a (T - T0)] 4 ,4 3 2 = 4,414[1 + 1,2.10_4( T - 0)] T = 33,98°C
®
Solución: 29 • Según teoría, la variación en la longitud de la barra es: Restando (2 )-(l), obtenem os la fracción de volum en de la gasolina derramada: Vr - VT f = - - „ -T- = (P g - P V0
t )(T
-T „ )
f = (956.10"6 - BÓTO"6) ^ ! - 20)
£-£
q
= A ¿ = ¿ 0.a .(T -T<>)
A T = ^ = - (^ ^ ° ° 0 )a i 0 (2 0 .1 0 -6 ) (¿ 0) AT = 50° C
©
Temperatura y calor 1131 ************************************************************************* •
S olución: 30 P o r dilatación volum étrica, se cumple:
go, de (1) y (2), tenemos: A 0h = V 0(P M - p v )T
V = V0[l + p . ( T - T 0)] h=
C om o, V = m / p, y la m asa no cam bia en tonces, la ecuación anterior se reduce a: h=
U i - f l + p íT - T o ) ] P Po
V0(P m - P
v )T
-6 (50)(182.10-6 - (3)(3).10_o)(50)
* h = '8,7cm Po P= [1 + P(T - T0)]
Solución: 32 • R epresentem os a la llanta y aro antes y después de dilatarse.
7,8 P=
©
[1 + (36.10-6 )(100 - 0)]
* P = 7,7 - ^ - 3cm
• es:
S olución: 31 E l volum en final del depósito de vidrio Vv = V0(l + PV.T)
(1)
El volum en final del m ercurio es: V m = V 0(1 + P m T )
(2)
En la Fig., la longitud final de la llanta es: 271R = 271 R 0[l + a ( T - T0)]
A 0-
A®
D = D 0[l + a ( T - T0)] 1 300,5 = (1 299,5) [1 + 12.10-6 (T - 20)] * T = 84,127°C
a) A N TES
E l volum en d e m ercurio en el capilar, es i g u al, a la diferencia de los volúm enes fina les del m ercurio y depósito de vidrio. Lúe
®
Solución: 33 El volum en de m ercurio dilatado es: VM - V 0 = V o p M( T - T 0) AV m = (1000)(180.10-6) ( 1 0 0 - 0 ) A V M = (1 000)(0,018)
Física++ *************************************************************************
1132
©
A VM= 1 8 cm J
Representación de] frasco y m ercurio antes y después de dilatarse.
El desplazam iento lineal (0 R) que experi m enta el últim o rodillo es igual al incremen to de longitud (s) de la varilla al dilatarse, así: 0 R = ex Lo AT e (0,5.10 2) = 17.10 6 (5)(200) * 0 = 3,4rad
©
Solución: 36 • Al elevarse la tem peratura de 10° a 30° C, la regla se dilata, de m odo que la longi tud correcta (Le) es: b) El volum en del frasco dilatado es: £c = M l + a ( T - T 0) ] AVF = 1 8 - 1 5 = 3 c m
3 ©
l c = 100 [ 1 + ( 5 . 1 0 ' 4 ) ( 3 0 - 10)3
c) El valor de " a " para el frasco, se halla de: AVF = V0.3 a (T -T 0) 3
* £ c =101 cm
®
Solución: 37 • Sea (T) la tem peratura a la cual am bas lám inas tienen la m ism a área, es decir:
a _ (3 )0 0 0 0 X 1 0 0 -0 ) * a = 1.10-5 °C T 1
100 + 1
© A F
• es:
Solución: 34 El área de la sección transversal final A = A 0[l + 2 a (T - T0)]
« la tó n -A0.(T
- 20) = a acero.A 0.(T - 1 0 )
a latón -(T - 20) = * a
.(T - 1 0 )
A = (8.10 ”3 )[1 + (2 )0 2.10 - 6 )(l 70 - 20)]
3 (T - 20) = T - ) 0
* A = 80,29 c m 2
* T = 25° C
©
®
Solución: 35 Solución: 38 • R epresentem os la v arilla de cobre apoya • El volum en de la parte interm edia se da sobre el rodillo m antiene constante, si el increm ento de vo 4 lum en de la esfera y de la esfera hueca tienen el m ism o valor, para el m ism o increm ento de temperatura^ así: '
Tem peratura y ca lo r
3.ctr 4V . Á T = 3 .a R 47V . A T a f.r = a R.R
1133
E xperim entalm ente se dem uestra que el espa ció vacío (orificio), se dilata com o si fuera del m ism o m aterial que la de la lám ina m eta lica. , T0
8.r3 = R 3 *
Tf /
/
R * =2 r
0
G
/ Solución: 39 • Sea A el área de la base del tubo de vi ^ , _ . , , , , • ,-, i i_ . „ • De otra parte, la variación superficial del o d n o . El volum en vacio sobre el m ercurio se . ,. . , , , * A • , . . . , n tic io , es directam ente proporcional al area m antiene constante si el increm ento de volu . . . , , , . , , ^ , , « « j «, /. n ti* inicial y al cam bio de tem peratura (Tp •Tn), m en del m ercurio de altura (h) es igual al in , J K v f u/’ crem ento de volum en del tubo de vidrio de asi‘ altura 15 cm, así: ~~ ^ -A°-A n (b2 - a2) = y .7t.a2.AT (b + a)(b - a) = y.a2.AT
Th
15cm
at
J_Kg
AVpjg
= M 2 ± M X 1’° ^ : 1’0> (1)3(2,02.10- 4 ) * AT = 200° C
Solución: 41 • L a sum a de los aum entos en las longitu des de las barras es 6 cm, esto es:
AVtubo ^
yHg.A.h.AT = Y vl5A .A T
A
h = ( Ty )15 = ( -¿ )15 r Hg i» * h = 5cm
©
oca .L0, a
E
L a
. A
T
+
A L g
+
a
=
6
A . L 0, b - A T
=
6
(15.10‘4)(60) AT + (10 3)(3 0) AT = 6
Solución: 40 6 600 AT = • Sean: 12 9 .1 0 -2 + 3 .1 0 " 2 a = radio del orificio a la tem peratura T0, inicial = 1 cm. © * AT - 50 C b =radio del orificio a la tem peratura Tp, final = 1,02 cm. S olución: 42 y ^coeficiente de dilatación superficial del • R epresentem os las varillas en el instante metal = 2,02.10'4 ° C 1. en la que la diferencia de sus longitudes es
1134 Físi ca++ ¡fc************************************************************************ de 5cm. x ’= 27tR0[l + a.A T] - L 0[l + a.AT] 5cm
x'= 2 tiR 0 - L 0 + í 2 tzR 0 - L 0)a,A T
(D É ( 2)
— = 1 + a.A T > 1 => x > x' x'
. , . . A sí, la longitud final de la abertura es menor P or dato la dtferencta en las longitudes tm ,a (ant0, no c m a r i e | m i||o cíales es 5 cm, esto es: Solución: 44 b -a = 5 ( 1) • R epresentem os el reloj de péndulo en D e otra parte, el aum ento en la longitud de estado norm al, cuando se atrasa y adelante, las dos varillas debe ser la m ism a, así: A D ELAN TA NORM AL A TR A S A uuim
a ba.AT = a 2.b.AT 3a -2 b
iiiiiiiii
(2)
mil)))
Lo
©
Resolviendo (1) y (2), obtenemos:
©
* a = 10 c m ; b = 15 cm ® Ti
© T2
T0
Solución: 43 , , . , S ea L 0 la longitud del péndulo a la tempera • R epresentem os el alam bre antes y des _ , Jr , , , , , , , ,y , J tura norm al T 0, entonces, el p enodo del pén pués de elevarse su tem peratura. dulo es, t
= 2 tc (L 0 /g )
1/2
C uando el péndulo se atrasa 2 s en 24h=86 400 s = D, entonces, en un período de x se gundos se atrasa 2 t/D segundos, siendo ésta cantidad, igual, a la diferencia de períodos, a las tem peraturas T 0 y T b es decir: Sean, x, x ’ las longitudes de la abertura antes y después, d e increm entado la tem peratura, entonces de la Fig., tenemos: A ntes de la dilatación:
L o tl + a ^ - T o ) ] ~
= 2 n ] ~ ° - - 2 ti
D 2t
x = 27iR0 - L 0 D espués de la dilatación: x '= 2 tiR - L
D 4 _4 aT I - a T 0 = - - - + 2 D + D:
( 1)
Temperatura y calor 1135 *********!)<****#**************#*###*#*************>**>**#************>*#***** C uando el péndulo se adelanta 4 s en 24h=86 400 s = D, entonces, en un período de t segundos se adelanta 4 x/D segundos, siendo ésta cantidad, igual, a la diferencia de períodos, a las tem peraturas T2 y T0, es decir:
í -cal * ce = 11,5 g°C
©
Solución: 47 ? • Del principio de conservación de la ener gía, tenem os:
g 4x D
C alor perdido=C alor ganado+C alor gam uestra calorím etro nado H20
= x[-./l + a (T 2 - T0) - 1 ]
T
a T 2 - a To =
8 ^ 16
d"
(500)(0,09)(200 - T ) = (60)(1)(T - 0) +
(2)
q "2
(5 0 0 )(1 )(T - 0)
Restando (2) m enos (1), tenemos: 12 1 a
D
60,5 T = 900
1
12
D'
a.D
12 T-» - T, = 1 (2,31.10-5 °C _1)(86400) * T2 —Tj = 6 °C
* T = 14,87°C
Solución: 48 • Del principio de conservación de la ener gía, tenem os:
©
C alor perdido = Calor ganado + Calor trozo calorím etro ganado hierro alum inio glicerina
Solución: 45 • L a tem peratura m ás probable en el fon do del lago es de 4o C, debido, a que la den sidad del agua es m áxim a a está tem peratura, (fenóm eno conocido com o la anom alía del agua).
(0,290)(450)(190-38) = (0,100)(900)(38-10)+(0,259).ce .(38-10) 7,252 ce = 17 316
Solución: 46 * Del principio de conservación d e la energía, tenemos: C alor perdido=C alor ganado+C alor gam uestra calorím etro nado H 20 (100)(ce )(120 - 40) = (40)(1)(40 - 1 0 ) + (360X1X40 - 1 0 ) 80 ce = (40)(3)
©
*
•
ce “
2 388
gc
©
Solución: 49 El calor perdido p o r la sustancia es: Q l = (0 ,2 2 X ce )(3 3 0 -3 3 ,8 ) Q , = 65,164ce J
El calor ganado por el calorím etro es:
1136 Física++ ************************************************************************* Q = m ce (T - T 0)
Q 2 = (0,09)(900)(33,8 - 1 ],5)
Q = (200)(1)(50 - 20) ‘
Q 2 = 1806,3J
* Q = 6 kcal
Tam bién, el calor ganado por el agua es: Q 3 =(0,15X 4186X 33,8- 11,5) Q 3 = 14002,17J El calor ganado por el term óm etro es: Q 4 = (0,017)(840X 33,8-1 1 ,5 )
©
Solución; 52 • T oda la energía cinética de los 10 golpes del m artillo contra el clavo, se convierte en calor, así, elevándose la tem peratura del cía vo: 10 (* M v 2) = m ceAT
Q 4 = 318,44J Según, el principio de conservación de la e nergía, se cumple:
AT =
Q, = Q 2 + Q 3 + Q 4
5 M v 2 _ (5)(0,5)(6)2 m c e " (0,02)(450) AT = 10° C
©
65,164c e = 1806,3 +14002,17 + 318,44 ca =
Solución: 53 a) Representem os a la bala antes y después de atravesar la pared de hierro.
16126,91 65,164 D
* c e « 247,5 kg.°C
•
Solución: 50 Según teoría, el qplor espftcifico (ce) es: ca =
O
3 6 .103
m (T - T0)
(4500)(40 - 20)
a
ce = 0,4
cal
(d)
g°C
•
Solución: 51 Prim ero, hallem os la m asa de agua, así:
D e la Fig., el 50% de la energía cinética per dida de la bala, se transform a en calor de la m ism a bala, elevándose su tem peratura, así: (0 ,5 0 ) (^ m v 2 - * m v 2) = m c e AT
m = p V = (1)(200) m - 200 g Luego, la cantidad de calor m áxim a transferí do al m edio am biente es:
AT =
V p-v2
(400) - (2 5 0 )‘
4c e
(4)(130)
L uego, el aum ento de la tem peratura es:
Temperatura y calor 1137 ************************************************************************* Según el principio de conservación de la e nergía, la energía potencial en A de una can tidad de agua (m), se transform a en calor (Q) A su vez, la tem peratura final de la bala en B, así: AT = 187,5°C
b) es:
®
EP = Q
T = 1 8 7 ,5 + 20 = 207,5° C Com o la tem peratura de fusión del plom o T f= 327° C, es m ayor que la tem peratura fi nal de la bala, no se funde ninguna parte de la bala. Solución: 54 • El calor total, es igual al calor utilizado para hacer hervir el agua, m ás, el calor gana do por la cafetera, es decir: Q = (0,45)(4186)(100 - 1 0 ) +
.
m.g.h = m .ce.(T2 - T 1) h = (4 200X1) .10 * h = 420 m
(S )
Solución: 56 • -Representemos a la bola en e l instante i nicial, y luego de alcanzar la m itad de la al tura.
(0 ,4 X 9 0 0 X 1 0 0 -1 0 ) Q =201933 J Luego, el tiem po necesario para hacer hervir el agua es: t _ Q _ 201933 J " P ~ 5 0 0 J /s t = (403,86 s)(l m m ) 60 S t t = 6,73 min Solución: 55 • R epresentem os la catarata de agua, sien do las tem peraturas en la parte superior e inferior Ti y T2, respectivam ente.
Según el principio de conservación de la e nergía, las 3/4 partes de la dism inución de la energía potencial de la bola, se transform a en calor, elevando su tem peratura, así: 4 ( E p ,o - E p ) = Q 3 h 4 (m.g.h - m.g. ■ ) = m.ce .AT A T = 3g.h = 3(10)(160) 8 ce
8
(200)
* AT = 3 °C
©
Solución: 57 El calor utilizado para elevar la tem pera
Física++
1138
¡ te * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
tu ra del cuerpo es: Q = - ® (7W v 8(1 + 7) 2
Q '= m .c e .AT Q ’= (10)(85)(100)
+ Q = 1,^5 cal
Q '= 85kcal El porcentaje de calor cedido al m edio am biente es: R =
( - - ~ ') (ioo)
R = (“
100
Solución: 59 • L a energía cinética del bloque de hielo que se transform a íntegram ente en energía ca lorífica, se utiliza para transform ar al hielo en agua líquida, esto es: -1m v 2 = m .LR 2
-)(1 0 0 )
A
IB.
R = 15%
®
v = [(2)(320 000)]
Solución: 58 • R epresentem os al carrito antes y des p u és del im pacto de la carga sobre el.
* v = 800
1/2
m
©
Solución: 60 • R epresentem os el diagram a del proceso de intercam bio de calor.
DESPUES
S egún el principio de conservación de la e nergía, la variación de la energía4cinética (en cal) del carrito, es igual al calor desprendido, así: L a sustancia cam bia de fase a la tem peratura constante de T=80° C, absorbiendo 100 kJ Q = ^ M v ? - ¿ ( m + M )v 2] ( i) de energía calorífica. D e otra parte, de la conservación de la can tid a d de m ovim iento, tenem os: M v 0 = (m + M ) v v=
M (m + M )
D e (2) en (1), obtenemos: mM Q =
2 :v o
8(m + M)
F
m
0,025
* L F = 4 0 0 0 k J /k g
( 2)
vo
_ _Q_ioo
®
Solución: 61 • El hielo se fúnde exactam ente, siendo su tem peratura 0o C; luego, del principio de con servación de la energía, tenemos: Qi = Q2
Temperatura y calor 1139 ************************************************************************* M.Lp = m .ce.AT
Qi + Q.2= Q3
M (80) = ( 1 2 0 )( l ) (60)
m.Lp + m .ce,agua AT2 = M .LC 1 (30X80) + (30)(1)(100) = M (540)
* M = 90 g
©
Luego, de introducir 120 g de agua a 60°, en el recipiente finalm ente quedan 210 g de agua fría a 0o C. Solución: 62 • R epresentem os el diagram a del proceso de intercam bio de calor. Q i
Qi
@
Luego, de sum inistrar 10 g de vapor de agua a 100° C, en el recipiente finalm ente quedan 40 g de agua caliente aT 00° C. Solución: 64 • R epresentem os el diagram a del proceso de intercam bio de calor.
Os
/
-
* M = lO g
200o
\
T°C
100°
o
A plicando el principio de conservación de la energía, tenemos: Qi + Q2 - Q3
m .ce>hielo A T ,
+
m.Lp =
M .C e, agua A T 3
(20)(0,5)(20) + (20)(80) = M (1)(100) + M fc 18 g *
©
A plicando el principio de conservación de la energía, tenem os:
Q l + Q 2 = Q3 M.Lp +M .cei H20 AT2 = M .ce, H20 AT3 L f + c e H20 (T - 0 ) = Ce>H20 ( 1 0 0 -
Luego, se debe verter 18 g de agua a 100° C.
80 + (1) (T) = (1) (100 - T)
Solución: 63 • R epresentem os el diagram a del proceso de intercam bio de calor.
+ T=10°C
Q i
Q
©
^ L a tem peratura de equilibrio es 10° C>:> Solución: 65 • R epresentem os el diagram a del proceso de intercam bio de calor.
3
Q í
T°C
0o
T)
100°
A plicando el principio de conservación de la energía, tenem os:
1140
Física++
********** **************** ********************** ****** *******************
Aplicando el principio de conservación de la energía, tenemos:
Q i, es la cantidad de calor utilizado para ca lentar el agua desde 10° G hasta 100° C, sien do ella igual a:
Qi + Q2 = Q 3 + Q í
m.Lp +m.ce>H20 AT2 = M.LV
Qi = m.ce, H20 T =>
Q , = m (1)(90)
Qi = 90 m
+ M .C e H20 A T 4
(992) (80) + (992) (1) T = (160) (540) + (160) (1) ( 1 0 0 - T )
(1)
Q2, es la cantidad de calor utilizado para va porizar totalm ente el agua, a la tem peratura constante de 100° C, siendo ella igual a:
1 152 T = 23 040 Q 2 = m.Lv T = 20° C
©
"‘"La tem peratura de equilibrio es 20° Cf* S olución: 66 • C alculem os la cantidad de calor necesa ria para fundir íntegram ente el bloque de hie lo:
Q=iti.Lf Q = (716,7) (80) - 5 7 334* cal
(2)
Q 2 = 540 m De otro lado, por proporcionalidad: x
540m
lOmin
90m
* x = 60min
©
Luego, el agua tardará en vaporizarse total m ente en 60 m inutos.
Q = (57 334)(4,186 J) = 240 000 J D e otro lado, la cantidad de calor Q que libe ra la resistencia eléctrica, es igual al produc to de la potencia P, po r el tiem po transcurrí do, esto es: Q = P .t
Solución: 68 • R epresentem os las fuerzas que actúan sobre el trozo de hielo, siendo (V ) el volu men total del hielo, y (V s) el volum en de la parte sumergida. H IE L O
240 000 J = (500 W ) t * t = 480s = 8min
©
Solución: 67 • R epresentem os el diagram a de! proceso de intercam bio de calor.
Temperatura y calor 1141 ******* a***************************************************************** Com o c» irozo de hielo está en equilibrio, su peso (W ), es igual, al em puje (E) del agua, es to es: E = W
Q, + Q2 + Q3 - Q4 135 = ( 1 0 ) 0 ^ X 2 0 )
PH2 0 .g-Vs - PHielo-g-V
* c ex = 0,675
kcai k g °C
( 1)
Pmo-Vs = pHielo-V
Solución: 70 Ahora, considerem os V ’§ el volum en que o • R epresentem os el proceso de la transfe -cu p a el bloque de hielo cuando se derrite, lúe rencia de energías, go, del principio de conservación de la m asa, cuando el bloque de hielo se derrite, teñe q2 mos: Qi ttlHielo _ mAgUa
_
TT _ -
S^\
T7Í
— - 30
C om parando (1) con (2), obtenemos: V ’S= V S , . . . El nivel de agua se m an tier^ inalterable, el agua no se derrama> Solución: 69 • R epresentem os el diagram a del proceso del intercam bio de calor. Q2 Qi
- 30
(Q2) el calor perdido por el agua para solí dificar los (x) g, entonces, por el principio de conservación de la energía, tenemos: Q i- Q2 m H.ce, h.AT = x.cl
q3
0“
A nalizando se deduce que la tem peratura del equilibrio térm ico es de 0o C: Ahora, sea (x) la cantidad de agua que se so lidific¡)i (Q 0 d ca[or ganado por e[ h id o
04.
30
(40X 0,5)(30) = x (80) 50“
Calculem os las cantidades d e calor para cada uno de los procesos, así: Qi = m.ce,H-AT = 25 kcal
x = 7,5 g
®
Estado final del equilibrio térm ico: T em peratura = 0o C M asa de hielo = 47,5 g M asa de agua = 42,5 g
Q 2 = m.CL,F = 80 kcal Q 3 = m.ce, H20 AT - 30 kcal
Solución: 71 * A plicando el principio de conservación de la energía, tenemos:
Q 4 = M .ce, X.AT Luego, aplicando el principio de conserva ción de la energía, tenem os:
Q i = Q2 mH.ce,H-AT = x . cL
Física++ ****
1142
do es:
(800)(0,5)(20) = x (80)
m =
©
x = lOOg
1200 cal 80 cal / g
* m ,= 15 g
®
Solución: 74 • R epresentem os la propagación del calor a través de las caras izquierda y derecha de la ventana.
- 20 C
Q , = calor ganado p o r el hielo Q2 = calor perdido por (x) g de agua x = cantidad de agua que se solidifica Estado final del equilibrio térm ico: T em peratura = 0o C M asa de agua = 700 g \ M asa de hielo = 900 g Solución: 72 • Según teoría, la cantidad de calor trans ferido, viene dado por: Q = K A - 2- ^ L
t
El coeficiente de convección del aire es 1,27.10’3 kcal/m 2.s.°C, entonces, el calor per dido en una cara de la pared es: Q = (1,27.10~3 )(24)(90 - 30)(3600)
Q = (0 ,2 5 )(1 2 )(-2| ^ ^ ( 3 6 0 0 ) Q = (1,27.10-3 )(24)(90 - 30)(3600) * Q = 1,8.10 cal
©
Q = 6583,68kcal
Luego, la cantidad de calor perdido en am Solución: 73 bas caras, será el doble, es decir: • L a cantidad de calor transferida al hie lo, a través de la hielera es: * Q T = 13167,36kcal ® Q = KA— 11 v L Q = (2 ,5 .1 0 -5)(2)^2| ^ ( 6 0 )
Solución: 75 • Según teoría, la absorbancia de un cuer po, viene dado por: a=
Q = 1,2 kcal D e otro lado, para íim dir 1 g de hielo se nece sitan 80 cal, luego, la cantidad de hielo fundí
energíaabsorvida energíaincidente a=
20
1
100
5
Temperatura y calor H43 fc************************************************************************ L a em isividad es, e = l- a =4/5, luego la ener gía em itida por el cuerpo en 1 m in es:
F = (21,6.1010)(10)(10~4 )(1,06.10'5)(30) * F * 6 9 .1 0 3N
E = e a A T 4t E = (A )(5,67.10-8 )(1)(103 ) 4 (60) * E = 2,72.10 J
Solución: 78 j • L a fuerza m áxim a sobre la barra cuando está dilatada es F=S.E. a . A T, y la m ínim a es 0, luego, el trabajo que puede realizar la ba rra, será equivalente al que realice la fuerza media, esto es:
Solución: 76 • Según teoría, la potencia por unidad de área, viene dado por:
W = FmA¿ w = { .sA « | L t ? X A 0
P = eoT 4 A W
= ( S- E y - - ) ( ¿ a A T )
________ 25 _
A =
(0,3)(5,67.10 ~8 )(1727 + 273)‘ W = - S . E i a 2AT2 2
a
W = "(4 .1 0 -4 )(2 .1011)(!)(!,25.10~5) 2 (50); * W = 15,6J 25 W
Solución: 79 Falso, pues, al calentarse el agua a pre sión constante su m asa se m antiene cons tante y su volum en disminuye. II) V erdadero, pues, la densidad del agua au menta. III) Falso, pues, el volum en sum ergido de la esfera dism inuye, dado que, el peso de la esfera de m adera no cam bia, así: I)
A—
- - i 2,72.10
*
* A = 9 ,1 9 .1 0 '5m 2 Solución: 77 • El cam bio en la longitud, debido al cam bio en la tem peratura es:
W = p 0g V s = p 0g V s
Á £ - £ 0 a A 7
Sustituyendo esta expresión en la ley de Hoo ke, obtenemos: F=
EAAI
-Po- = “ S>1 => vs > vs Po
Vs
El volum en sum ergido de la esfera des = E A a AT
pues de calentarse el agua ( Vs ) es m enor que antes (Vs).
(c )
<1144 Física++ ************************************************************************* Solución: 80 • Considerem os un paralelepípedo de la dos £ j , i 2, ¿3 a la tem peratura T.
I p = In + m d P ü
=
12
m í
+m() 4
y " A sí, los m om entos de inercia de la varilla, a las tem peraturas de 0 °C y 100 °C son: y
y /ll
h El volum en del paralelepípedo a la tem pera tu ra T es: V0 - V
IP = 7 m ¿ 2 y P 48 0
Ip = - m f 2 (l + a A T )2 P , 48 0
I P = I P (1 + a A T)2
2 €3
Luego, el cam bio porcentual que experimen El volum en del paralelepípedo a la tem pera ta el m om ento de inercia de la varilla cuando este se calienta es: turaT + A T es: V0 + AV = ( f , + &.£ j )(^ 2 + A ¿2)(¿ 3 + A ¿ 3)
V0 + AV = (£ 1 + a € 1A T )(¿2 + a ¿ 2AT)
,1 = ( Ip- ~ -Ip )(i00) XP r] = [(l + a A T ) 2 -1}(100)
( f 3 + c^ 3AT) il = [(l + 0 7 .1 0 -6 )(100))2 -1 ](1 0 0 ) V 0 + A V ^ f 1¿ 2 ¿ 3 (l + a A T ) 3 * rj = 0,3 4 % V0 + AV = V0[l + 3 a A I + 3 a 2AT2 + a 3AT3 ]
Solución: 82 • Prim ero calculem os el m om ento de iner AV = V0A T [3 a + 3 a 2AT + a 3AT2] cia inicial (lo) de la esfera, respecto de su diá # Luego, de la definición de coeficiente de dila metro: tación volum étrica, obtenemos: I o ^ m R ^ X l O X O . l 2) P = « m A V /v° AT-»0 AT 8 = £\m [ 3 a + 3 a 2AT + a 3AT2] AT-»0
* P ~ 3a Solución: 81 • Del teorem a de los ejes paralelos, caicu lem os el m om ento d e inercia, respecto del e e que pasa por P, así:
I0 = 0,04 kg.m 2 Ahora, cuando la esfera aum enta su tem pera tura en "A T", su radio aum enta a "R ", por lo que, su nuevo m om ento de inercia es: I = 2 m R 2 = 2 m R 2 (1 + a A T)2 5 5 o I = I 0 (l + 2 a A T + a 2 A T 2)
Temperatura y calor 1145 ************************************************************************* D espreciando el térm ino cuadrático doble, obtenem os la variación del m om ento de iner cia, así:
III) Falso, pues, com o la conductividad calo rífica de la m adera es prácticam ente nula, su volum en no cambia.
I = 1q + 2 ct I q AT
Solución: 84 • Com o todo el trabajo se transform a en calor, elevando loa tem peratura del líquido, se tiene: P t = m c P AT
AI = I —I 0 = 2 a l 0 AT AI = (2)(12.10-6 )(0,04)(100) AI = 96.10 6 kg.m
AT=
(0.5X745,7)(30)(60) (30X4187)
m e.
II) Com o el m om ento angular de la esfera, se m antiene constante, se cum ple que:
* AT = 5,34 C L —I q co0 —Ico
©
icrac: 85 ? n e ^ ía entregada por el calentador totalm ente en calor, elevando r a del te, esto es:
2 _2 2 2 m R n ©o = m R co 5ü 5 Ro © o = Ro (1 + otAT) ©
P t = m c e AT co =
©o
20
(1 + a A T)2
[1 + (12.10 -6 )(100)]2
«D= 19,95 rad
©
Solución: 83 I)
t=
Verdadero, pues, p<0= po/(l-fp.A T)< po, es , . . . . . decir la densidad final p 0es m enor que
m c e AT
(0 ,5 X 4187X 100-18)
P
350
* t = 490,4 s w 8,17 m in © Solución: 86 L a cantidad de calor que se propaga por conducción de la cara derecha hacia la iz qu¡erda_ v¡ene dado p o r. •
la inicial p 0 . II)
V erdadero, pues, com o el bloque de m a dera esta en equilibrio, se cumple: W = p 0g V s = p o g Vs
—s = Po < 1 -> V < vs VS
Po
Es decir, el volum en sum ergido final (Vs ) es m ayor que el inicial (V s), por lo que, dado que el volum en de la esfera no cambia, la altura sum ergida aumenta.
Q = k A T - T° t d
************************************************************************* Q = (0,92)(104)(1003 - °)(15)(60) * Q = 2,76.10 8 cal
®
q =
&£ _ ^ a ( T - T 0) £
í
r) = a ( T - T0 ) = (l!2.10_6)(25 - 15)
©
-4
r) = 1,2.10 Solución: 87 • A plicando la fórm ula de dilatación su p érfid a!, y teniendo en cuenta que el área de n ) L a nueva lon«itud del rel°j de Pé0ndul° ? la superficie final, es m enor, que la inicial, te el Period° . cuando se enfíIa hasta 15 C son: nem os:
¿ = <0[l + a ( T - T 0)] T = 27t(7 ) ,/2 = 2t t {^0^ + a ( T ~ T° )]}1' 2
' T = 2 tt( ° ) 1/2[l + a ( T - T 0 ) ] 1/2
T = T 0 [1 + a (T - T0 )]
S - S 0 + YS 0 ( T - T 0)
' 4
ti D 2
= ' n D § + Y - 7 t D ? ( T - T 0) 4 4
1/2
A sí, la variación que experim enta el periodo del reloj d e péndulo es: AT = T - T0 = {[1 + a ( T - T 0) ] 1/2 - 1}T0
Dr2 Ar\ ^ ^ -D 2 - —o 10,9962 - l l 2 T = T 0 + -- , - 4 0 + a ~>' 2aD ¡ (2)(29,4.10 )(1-1 ) * T = 27,6 C
,
^
Solución: 88 • Para que el nuevo diám etro del anillo sea 75,05 mm, la tem peratura a la que debe calentarse es:
- 75,0 = (75,0)(12.10"6 )(T - 20) * T = 75,6 C
AT = —1,2.10-4 s Luego, el tiem po que se adelanta el reloj de péndulo durante 1 día=(3 600)(24) s es: t = (1,2.10-4 )(3 600){24) + t = 10,368 s
AD = D 0 a (T - T0) 75,05
AT = {[1 + (12.10-6 )(15 - 2 5 )]1/2 - 1>(2)
©
©
f ^ l N ota E l signo (-) nos indica que T
Solución: 90 Solución: 89 • L a variación relativa de la longitud de • R epresentem os el péndulo físico de longi la varilla es: tud " l" .
Tem peratura y calo r 114 7 ************************************************************************* lam bre 20 °C, al diferencia en sus longitudes finales es: Af = ¿ L ~ ¿ A = ^ o (“ L - « a ) a t > A hora, debido al estiram iento que experim en ta la longitud del alam bre de acero, la ten sión interna que aparece en el m ism o es: R ecordando que el m om ento de inercia de u na varilla, respecto de un eje que pasa por su extrem o es: Io K l^ j.m .f 2, y utilizando la fór m uía del periodo para un péndulo físico, te nem os:
F= -
= - D 2'Y ( a L - a A)A T 4
^0
F = (7l)(0^510_3)2(21,6.10lo)((20-l^(10_6)(20) ^ * F = 1,69 N
T = 2 n ( - I » . ) = 2„ ( - ? ,j!- Z 3_) i/2 m gd m g ( ¿ / 2) T = 2 jt( 1/2 3g
Solución: 92 • C uando la tem peratura es 270 °K, igua lando el em puje al peso del cubo, obtenem os la altura inicial sum ergida del cubo, así:
Luego, la diferencia de los periodos de la va rilla correspondientes a las tem peraturas fi nal (30 °C) e inicial (20 °C) es: AT = T - T 0 = 2 t t ( 2 ( f 2 - 2 n ( - - - 0-)1/2 3g 3 g
Qy
PHgg^o ^ = PA1 8 ^ 0 x = --AL« o = ¿ ’:;)(2 0 ) = 3,971cm pHg 13,6
AT = 2 ti( 2 £ °-)]/2 [(1 + « AT) 1/2 - 1 ] 3 g '
AT = (2 7 t)« |x °’| ) ) 1/2[a + (12.10-6)a0))1' 2 -1]
PA1
PHg
W 4 AT * 75,4.10“6 s
B
Solución: 91 • R epresentem os el alam bre sujetado en sus extrem os por la barra.
C uando la tem peratura es 320 °K, las nuevas densidades del alum inio y m ercurio, y la nue v a longitud de los lados del cubo son:
P ai -
P ai___ 1 + P a i -AT
«o
2,7 Pa i- . .
C uando se calienta la barra de latón y el a
~
(1 + 7 2 .1 0 '° )(5 0 )
= 2,69 _ 3 cm '
Física++ *************************************************************************
1148
5,1
N, de m odo que:
PHg PHg
13,6 PHs “
P 0g V 0 = 5 ,l
l + PHg-AT = 13,48
(1 + 1 ,8 .1 0 '4 )(50) £ = e 0 (l + VA1A T )
cm ' 1/3
t = (20)[1 + (72.10 ' 6 )(50)]1/3 = 20,024 cm D e otro lado, igualando el em puje al peso del cubo, obtenem os la altura sum ergida fi nal del cubo a la tem peratura de 320 °K, así:
(.- ~ - AT) g t ( l + P - A T ) = 5,l (2) 1 + 3a.A T D ividiendo la e c .(l) entre la ec.(2), obtene m os el coeficiente de dilatación lineal del lí quido, así: P o S Vo [Po /(I + 3 a AT)] g V0 (1 + p AT)
_ 2 + (53)(2.1ÍT4X100) (1 5 3 )0 0 0 )
£ = ( 2’690 )(20,024) = 3,996 cm PHg 13’479
Luego, de (1) y (2), el aum ento en la altura sum ergida al calentarse el cubo y líquido es: Ah = y - x = 3 ,9 9 6 -3 ,9 7 1
* a = 2 .1 0 '4 °C _1 Solución: 95 • Las áreas totales (A0) y (A) del cilindro a las tem peraturas de 0 °C Y 100 °C son: A 0 = 2 7 rR 0 + 2 j r R / 0
* Ah = 0,025 cm = 0,25 mm Solución: 93 • Com o la esfe ra ,se com porta com o un cuerpo negro (e -1 ), la energía por unidad de tiem po sum inistrada a la esfera es: P = e a A (Te4 - Tc4 ) = e o 4n R :2 (Te4 - Tc4) P = (l)(5,67.10_8)(47r)(0,02)2(4004 - 3734) * P = 1,78 W
A = 2 tiR 2 + 2 7 tR ¿ A = 2rc R 2 (1 + a.AT)2 + 2tc R 0Í 0 (1 + a.AT)2 A = A 0(l + a.A T )2 Luego, el cam bio porcentual que experim en ta el área tota de la superficie de cilindro al ser calentado es:
® r| = (A
Solución: 94 • A 0 °C el em puje del líquido, es igual a 5,3 N , de m odo que: P o§V 0 = 5 ,3
5,1
51 + 1 5 3 a A T = 53 + 53f3 AT
PHgg^2y = PAig^ 3 y=
= 5,3
O)
A 100 C, el em puje del líquido, es igual a
-
a A ° ) ( l° ° ) A„
« v " - u/ ' ) Ao r) = [(1 + a.A T)
ii'u 'ji
- 1](100)
Temperatura y calor
************************************ ************************************ 1+P-A T _ E 0
r) = [(1 + 9.10-6 ) 2 -1](1 0 0 )
1 + 3 a.A T ~ E * 1 1 = 0 ,1 8 %
©
Solución: 96 • D e la fórm ula de cantidad de calor, obte nem os (£ 0AT), así:
P = aV í F AT
E
I(l
+ 3 a A T )-l]}
P = ( ¿ ) { ( 0 g97)[d + (3)(9.10-6 )(50) - 1]}
Q = m c e AT = p A f 0c eAT *
L uego, la variación en la longitud que expe rim enta la varilla de alum inio es:
a
= 8,73.10“5 °C “ 1 ®
Solución: 9 8 • El calor perdido por el agua al enfriarse desde 30 °C hasta 10 °C, se utiliza para fusio nar com pletam ente los "m" gram os de hielo, y elevar su tem peratura hasta 10 °C, esto es: M c T AT = m L F + m c H AT
A£= (2,3.10 -5 )(11,178.I03) (2,7.10 3 )(880)(5.10 6 ) *
A¿
= 21,64.10~3 m
@
(1 000)(1)(20) = 80 m + m (1)(10) 9 0 m = 2.104 => m = 2 2 2 ,2 g * m = 0,22 kg
®
Solución: 97 Solución: 9 9 • Com o el peso (W) del cubo de vidrio es • Las respuestas a cada una de las proposi m ayor que el em puje (E) del líquido, este es ciones son: tá sum ergido totalm ente, asi, a 20 °C el em pu I) V erdadero, la tem peratura de un cuerpo 2 je del líquido es: ' o sustancia depende la energía cinética prom edio de sus m oléculas. P ogV 0 = E 0 (1) II) V erdadero, el calor específico de una sus A sim ism o, el em puje del líquido a 100 °C es: tancia puede expresarse en cal/g.°C o J/kg. °C. pgV =E . I i n V etdadero. el fenómeno de dilatación ex perim entan todos los cuerpos cuya tem pe (- - - —) g V . (1 + 3 a.A T ) = E (2) ratura cambia. 1 + p.AT 2 D ividiendo la e c .(l) entre la ec.(2), obtene m os el coeficiente volum étrico del líquido, así:
—F° [Po ~/(l+ P-AT)]g V0(l -i- 3 a A T ) "" E
Solución: 100 Prim er choque bala-disco D el principio de conservación de la cantidad de movim iento: m v = m v'+ m u'
Fís¡ca++ *************************************************************************
1150
v = v’+ u '
(1)
Representación del sistem a de dos discos fi jo s situados verticalm ente y la bala.
m v
2
/Q 2 / m = 4 Q 2 + Q t
Qí = 2 mQ2( v - 2 Q2 m) Q, = 2 . (5ül0~3)(ltf)(4O O -2 .ICP/óCHCr3)
* Qj *=1657 J
©
Solución: 101 • Igualando el 60 % de la energía poten cial gravitatoria, a la energía calorífica, obte nem os la tem peratura, así: 0 ,6 m g h = m c e ( T - T 0 ) D e otro lado, del principio de conservación de la energía: 1 m v 2 = - m v ^ + í u ^ + Q,
2
2
2
1
(0,6)(10)(50)=(Ü,39)(T- 25)
Segundo choque bala-disco Del principio de conservación de la cantidad de m ovim iento:
T = 25,7 °C
*
(2)
©
Solución: 102 • La energía que radia el Sol, viene dado por: E = I A t = a T 4 47iR 2 t
m v '= ( m + m ) u" E = (5,67.10~8)(5,8.103) 4 (4^)(6,95.108) 2 (60) u"= I v'
(3)
2
*
D e otro lado, del principio d e ‘conservación de la energía: ” m v '2 = * (m + m ) u"2 + Q 2
(4)
v
|2 +
Q]
= 2,33.1028 J
®
Solución: 103 • De la fórm ula de potencia radiada, obte nem os la tem peratura del cuerpo, así:
D e (1) en (2), obtenem os la expresión: m v v '= m
E
P = IA = c T 4 A (5)
___
oA
D e (3) en (4), obtenem os la expresión:
* T = 999,8 °K
- m v '2 = - m v' 2 + Q 2 2 4 2 v' = 2 - / q 7
/m
Finalm ente, reem plazando (6) en (5):
(5,67.10“8)(0,6)
(6)
©
Solución: 104 • R epresentem os la superficie (líneas pun teadas) a través del cual pasa la radiación.
T
e m
p e r a t u r a
y
c a l o r
1 1 5 1
************************************************************************* Solución: 106 • De la relación de Einstein entre m ateria y energía, tenem os: T
E =,Am c D e otro lado, de la energía radiada por un cuerpo caliente de form a esférica, se tiene:
A plicando el principio de conservación de la
E - oT ; 4
j iR
t
energía, obtenem os la intensidad de energía Igua|ando estas ecuacioneSj obtenem os la ma a través de la superficie esférica de radio sa de! Sol que se consum e durante 1 año, así: "r", así: Am = * 4 ttR 2 ctT 4 t c
Pn = P I0 4 tiR-o2 = I 4 ttr 2 Am= i
(47r)(6,951(í)2(5,67.1(r8)(580Q4(3,15107) (3.1(f)2
= ( R ) 2 i 0 = ( R ) 2
* Am = 1,36.10 17 kg 6,98.1 0 \ 2 Y (5,67.10 1= ( 1,5.10 * 1 = 1377,470
3x4 )(5,8.10 )
W m
©
Solución: 107 • En el resultado del problem a anterior, despejando "t", y tom ando Am=m/2, teñe mos: .2
Solución: 105 • De las fórmulas de longitud de onda má xim a (A.m) y poder em isivo (a) para un cuer po negro, obtenem os fa energía em itida, así:
me
t= 8j
t=
t g
R
2 r~4 T‘
(1,97.103°)(3 .1 0 8) ' 3x4
(8 ti)(5,67. 10 " 6)(6,95.10 ) (5,8.10") j.
Am
_
*> rj.
e= cT 4 =a( v
t = 2,276.1020 s )4
E = e A t = cr( )4 A t V , E = (5 ,6 7 .1 0 '8)( 2)9-10 3- ) 4 (10- 4 )(1) 4,84.10 " 7 * E = 7307,92 J
* t = 7,218.1012 años
®
Solución: 108 • L as respuestas a cada una de las proposi ciones son: I. V erdadero, el calor es energía en tránsito (m ovim iento), entre cuerpos que están a diferentes tem peraturas. II. V erdadero, el calor puede transferirse en el vació.
1152 Física++ ************************************************************************* III. Verdadero, el calor no se almacena.
•
Solución: 109 La proposición verdadera es la e).
Solución: 110 • L a intensidad de corriente eléctrica que p asa por la resistencia R2 es:
i2 = (
R Ri + R 2
)(i)
Solución: 111 • Las respuestas a cada una de las propo siciones son: I) Falso, el calor específico no es una pro piedad del cuerpo físico. II) Falso, la capacidad calorífica no es una propiedad del m aterial que com pone el cuerpo. III) Falso, una sustancia o cuerpo solo pue de tener un calor’específico. Solución: 112 • El 22 % de la energía de com bustión se utiliza en trabajo para trasladar al auto, esto es:
60 i = ( '-V--)(6 ) = 4 A 2 60 + 30 s -h F
0,22C m = F d = ( P / v ) d
V m =
P.d
(15)(736)(10 )
0,2 C.v
(0,22)(4,6.107 )(30 / 3,6) * m = 13 kg
^ ¡N o ta "C" es el poder calorífico de la gasolina.
Ri
A su vez, el voltaje en los bornes de la resis tencia R2 es: V2 = i 2.R 2 ^ (4)(30)*= 120 V L uego, la energía sum inistrada por el calorí m etro (en cal), se utiliza para elevar la tem pe ratura del agua, esto es:
Solución: 113 • Com o 1 ton=106 g, la cantidad de calor que se libera al dism inuir en 1 °C la tem pera tura de la tierra es: Q = m c e A T = (1024)(1)(1) * Q = 1024 cal
V22 0,24 - - t = m.c„.AT R-i, . 120 ' (0,24)( — -)(5)(60) = (480)(1)AT 60
AT = 17 2 8 / 48 * AT = 3 6 °C
®
©
©
Solución: 114 • El proceso que no corresponde a un cam bio de fase es la evaporación, por lo que, la respuesta es la c). Solución: 115 • Recordem os, que el coeficiente de com presibilidad (cB) es el inverso del módulo de com presibilidad (B), esto es:
Temperatura y calor
1153
*************************************************************************
cB -
1
AV
B
V0 AP
VD |3AT _ (1,82.10_4)(1) Cn —
V0 AP "
Solución: 119 • Los volúm enes de la concha esférica an tes (V0) y después (V) del aum ento de tem peratura, son: í
V0 = 4 tíR 2 A R 0 y
47
V = 4 tiR 2 (1 + a.A T )2 (1 + a.A T )A R 0
* c B = 3,87.10-6 atm “ ' ©
V = V0 (1 + a .A T )3
Solución: 116 • Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: I. V erdadero, existen dos tipos de convec ción la natural y la forzada. II. V erdadero, la convección natural se debe a que la densidad del líquido o gas es no homogénea. III. Falso, en el proceso de convección existe m ovim iento relativo en el líquido o gas. Solución: 117 • Com o el flujo de calor (H) a través del bloque m etálico es constante, y la dirección de propagación es de izquierda a derecha, te nem os que:
V = 4 n R 2 AR
Luego, el cam bio porcentual que experim en ta el volum en de la concha esférica es: V - V n = ( - - - °)(100) vo V 0(l + a.A T )3 - V0
■n = ( - — — v - H =kA (
- °-)(ioo)
6 5 ~ T -) = k A ( T _ 2 5 ) 5 0 0 -2 0 0 200 0 - [(* + (2,2. 10- 5)(20))3 - 1](100)
130 - 2 T '= 3 T - 75 + r\ x 1,33 %
®
* T = 41 °C Solución: 118
•
Solución: 120 Considerem os una capa de hielo de espe
• Las respuestas a cada una de las proposi sor ? area ^A)’ cuyas caras inferior y exte ciones son: rior están a las tem peraturas de 0o C y -15° I.
Falso, una sustancia en fase sólida puede Cpasar directam ente a la fase de vapor, -15"c C m ediante el proceso llam ado sublim ación t directa. H IELO h II. F also, los procesos de cam bio de fase se dh da a tem peratura constante. 0"C III. F also, los procesos de cam bio de fase se d a a tem peratura constante. En la Fig., la cantidad de calor necesaria
1 1 5 4
F Í S Í C 3 + +
*************************************************************************
para que se form e una capa de hielo de masa (dm) contenida en el volum en som breado de espesor (dh) y área (A) es: dQ = dm L F = p A dh L F
(1)
De otro lado, la cantidad de calor transferido al m edio am biente, a través del área A de la capa de hielo de espesor (h), durante el tiem po (dt) es:
AVh = VH - V0 = [(1 + a.A T )3 - 1 ] V0
AV h = (1 + a.A T +
z
T' ) dt
)(3a.A T V 0)
D espreciando los térm inos cuadráticos por ser muy pequeños, tenemos: avh
= 0 + a-AT)AVc
AVp
dQ = H dt = k A (T *
a 2 .AT2
(2)
= 1 + a.A T
AVr
Igualando las e c s.(l) y (2), y despejando ob A nalicem os esta expresión para un aum ento tenem os la rapidez con que aum enta elespe y dism inución de la tem peratura, así: sor de la capa de hielo, así: AVU Si: A T > 0 => - ^ - > 1 => AVH > AVr AVC p A L Fdh = k A ( ^ 2 )d t h u=
dh
k (T 2 - T j )
dt
p L Fh
Si: AT < 0
=>
avh
^ < 1 => AV h < AVC AVC C
Por lo que, la respuesta correcta es la c) u=
< 0 ,9 2 X 0 -(-1 5 )) (920)(308,5.10 3 )(0,1)
* u * 0 ,4 9 .1 0 -6 m s
®
Solución: 121 ' • Los volúm enes finales de la esfera com pacta (Vc) y hueca (V H), luego del cambio de tem peratura son: Vc = V 0 (l + 3 a A T ) V H = 4n R 2 AR = 4jt R 2 A R 0(1 + a.A T )3 VH = V0 (l + a.A T )3 Así, los cam bios que experim entan los volú m enes de las esferas com pacta y hueca son: AVc = Vc - V0 = 3 a.A T V0
Solución: 122 • Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: a) El calor puede propagarse p o r conduc ción, convección o radiación. (F) b) El flujo calorífico no es un vector, su sen tido de circulación es de m ayor a menor tem peratura. (F) c) L a propagación del calor por convección se da en líquidos y gases. (F) d) L a propagación de calor por conducción solo se d a en sólidos y líquidos. (V) e) En el régim en perm anente, la tem peratu ra. Por lo que, la respuesta correcta es la d) Solución: 123 • L a energía cinética del esquiador se trans form a en calor, debido a la fricción de los es quíes con el hielo, aum entando su tem peratu
Temperatura y calor 115S i************************************************************************* ra el hielo hasta 0° C, y luego derritiéndose una parte de el, así:
1
2
2 m v = m Hc H ATH + m HL F D ividiendo am bas lados de esta ecuación por el tiem po, se tiene: (1 /2 ) m v 2 t
,m H, = (
t
mH
) CH
H
(
t
) L F
III.
en la fase sólida, líquida y gaseosa. V erdadero, en el proceso de sublim ación directa la sustancia pasa directam ente de la fase sólida a la gaseosa. P or lo que, la respuesta correcta es la e)
Solución: 126 • Según el principio de conservación de la energía, el flujo de calor en am bos m ateria les es el m ism o, esto es! h
mH _ t
2 ( c HATH + L F ) t
mH _ t
h
Fe
.Ti - T .T -T , K Cu A ( ) = K Fe A ( ) dj d!
(90)(16)2 (2)[(2 093)(0 - (-3 2 )) + 33 5 .103] *
= 28,66.10“3kg ©
Solución: 124 . De la fórm ula de propagación de calor por conducción, obtenem os la cantidad de ca lor por unidad de área y tiem po, así: Q = k A ( T*
A ^ k ( T2- ^ At d *
Cu =
m v2
T->
)t
=u 3 i x 2 o - ; - 2% 0,4
Q =31 At m .s
(385,1)(
50- T T - 0 ^ ) = (74f4)(-1 3 U) * T = 31,65 UC
.D
Solución: 127 • T odas las proposiciones son correctas, por ]o qug5 la reSpUesta es la a), Solución: 128 • L a cantidad de calor perdido p o r los cilin dros, es igual, al calor ganado por el agua del calorím etro, esto es: m CuCCu(Tl - T ) + m PbCpb (T1 - T ) = rn AcA (T - T2) (103 )(0,094)((100 - T) + (103 )(0,030)(100 - T) = (100)(1)(T —20)
Solución: 125 1,24 (100 - T ) = T - 20 • Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: * T * 64,3 C I. Falso, una sustancia saturada durante el cam bio de fase, m antiene constante su Solución: 129 presión y tem peratura. El cem ento es m ejor conductor del ca II. Falso, se llam a punto triple A, al valor i0r que la m adera, pues, su coeficiente de que adopta la tem peratura y presión de sa conductividad es mayor. Por lo que, la m ade turación, en la que la sustancia se halla ra se utiliza com o un aislante del calor. La
©
Física++
1156
*************************************************************************
respuesta correcta es la e).
4?t_k R , R 2 (T, - T 2) H= Solución: 130 R t —R i • D e la expresión del flujo de calor para cuerpos que presentan sim etría cilindrica, ob Ahora, com o el flujo ¿te calor a través del cas tenem os el coeficiente de conductividad tér carón esférico es constante, entonces igualan do el flujo de la superficie de radio "a" hacia m ica (k), así: la "b", al flujo de calor de la superficie "a" H _ Q _ 2 n k A í (TL - T2) hacia la "c", obtenem os la tem peratura "T ", así: t J?n(R2 / R i ) k=
471 k a b (Ta - T^ ) _ 4 k k a c (Ta - T)
( Q /A .t) ¿ n ( R 2 / R , )
b -a
2w(T1 - T 2) k = (3.10J ) ( M 1 2 0 / 0 ,5 ) = 1 7 6 g (2 7 t)(1 5 0 0 -2 0 ) 4 k = 0,422
’
J
c -a
T = Ta - b £ - a Z(Ta - T b) c(b -a)
m.s.° C
cal - ’o, m.s. C
T = 200 - í2 0 - 15 - ° - (200 - 100) (15)(20 - 1 0 )
®
4 T = 133,3 UC Solución: 131 • El agua pura en condiciones normales Solución: 133 (C.N) hierve a la tem peratura de 100 °C. Al • U n cuerpo perfectam ente negro absorbe reducir la presión sobre el agua dism inuye su todo tipo de luz. N o existe luz negra visible, punto de ebullición, y al elevarse la presión el térm ino se u tiliza a veces para identificar a aum enta su punto de ebullición. P or lo que, la luz ultravioleta. P or lo que, la respuesta co la respuesta correcta es la e) rrecta es la c)
Solución: 132 * * • Según teoría, para un cascarón esférico cuya superficie interna de radio (R i) y tem peratura (Ti) esta a m ayor tem peratura que su superficie externa de radio (R2) y tem pera tu ra (T2), el flujo de calor es radial hacia fue ra, y su expresión viene d ad a por:
Solución: 134 • Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: I. V erdadero, si se aum enta la presión exte rior aum enta la tem peratura de ebullición este efecto se utiliza en las ollas de pre sión. II. Falso, si se dism inuye la presión exterior no dism inuye su tem peratura de fusión. III. V erdadero, si podría coexistir en sus tres fases en condiciones de equilibrio térm] co. Solución: 135 L a cantidad de calor “Q ” que se requiere
Temperatura y calor
H 57
para fusionar los “m ” gram os de hielo a 0 °C contenido en el vaso es:
Q = 162.10 cal
Q = m LF = pV LF = p ^ D ?¿L F
Representación de la cacerola, y las tem pe raturas del m edio exterior T2 e interior T i.
Q = % D 2 t?LF
( 1)
D e otro lado, la cantidad de calor que se transfiere durante el proceso de fusión del hielo, del m edio exterior hacia el interior es: 2-k V.h
m
T,
h 2o
JJ-H SSSS^f Ti " e + Q
(?n(D2 / D j) A su vez, esta cantidad de calor se obtiene de Igualando (1) con (2), obtenem os el tiem po la conducción de calor a través de la base, de que se requiere para fusionar totalm ente el bida a la diferencia de tem peraturas entre el agua y el m edio exterior, esto es: hielo, esto es: 2 „
n
2 7 tk ftA T
- p D f C L¥ = --------4 1 F f n (D 2 / D t )
t=
pD ?_LF_fn(D 2 / p 5)
Q = k A ( T 2 “ T |) t = ^ k D 2 ( T2^ T , ) t d 4 d j 100 162.103 = (^)(0,502)(15)2( 2 “ 2 )(60)
8k A T
+ T2 = 106,1 °C t=
©
(0,9)(9) (80) f n (l 0 / 9) (8)(1,19.10-4 )(25) 9
t =s 25,818.103 s * t « 7,17 h Solución: 136 • L a proposición incorrecta es la d), pues, la capacidad calorífica de un cuerpo o sustan cia no depende de su masa.
S olución: 138 • D e la fórm ula de dilatación lineal, y de la ecuación de deform ación longitudinal por esfuerzo, obtenem os el peso del bloque, así: Fi A i = f 0a.A T = - -°0 YA F = a Y r t R 2.AT F = (1 ,2 .1 0 “ 5 ) ( 2 0 . 1 0 '0 ) ( tt (1 0 " 3 ) 2 ) ( 2 0 )
Solución: 137 • L a cantidad de calor necesaria para trans form ar los 300 g de agua líquida en vapor de agua es: Q = m L v = (300)(540)
* F «150,8 N
®
Solución: 139 • Todas las proposiciones son verdaderas, excepto la cuarta, pues el m ovim iento de las
Física++ *************************************************************************
1158
m oléculas de un gas es caótico. Por lo que, la respuesta es la c). Solución: 140 • C uando la esfera se sum erge en el líqui do a las tem peraturas de T0, Ti y T2, respecti vam ente, se tiene:
Igualando estas dos últim as ecuaciones, ope rando y sim plificando, obtenemos: j
_p0 - P . 1
T, -T -) =
P - P 0 =P0LgV 0 A la tem peratura de T], el peso aparente de la esfera, es igual, al em puje del líquido, esto es:
P
( p 2^
POL
r - g V 0 (l + J3.AT) (1 + P l -AT)
P - P 1 = ( P - P 0)
(1 + P.AT) (1 + P l -AT)
P~P -í = (1 + P.AT)(1 + |3l .A T )'1 P -P o ¿ “ V 1 =(< + P-‘i T ) ( l - P I A T ) “ “ Pq
_Po_P 2 (P -P o )(3 -P l)
P o - P l_ - P o + P 2 ( P ~ P 0X P ~ p L)
P + __ P2 ' P' . (P -P o X ^ -T j)
P ~ pi = P i,L gV i P -P , =
=x -
(P -P o X P -P l) ’ 2
) + ( p ~ p 0 )( t 2 "
t 5)
p
(P _ P q)(T 2 "■ T]> Solución: 141 • Según teoría la hum edad relativa, es la razón entre la tensión (Ta) del vapor de agua en el aire y la tensión del v apor de agua en aire saturado (T as) a la m ism a tem peratura, esto es: T h r = ar T„
=>
T 0 ,6 = - a 31,7
* T„ = 19 mm
©
Solución: 142 • Según teoría la hum edad relativa porcen tual del agua, es la razón entre la tensión (Ta) D espreciando el térm ino cuadratico, por ser del vapor de agua en el aire y la tensión del m uy pequeño, tenem os: vapor de agua en aire saturado (T as) a la mis m a tem peratura, esto es: - i = ( P - P l X T , - t 0) P ” *0 hr = (^ )(1 0 0 ) = (^ )(1 0 0 ) T* n '1 7 ,4 ' P o -P i T0 = T 1 * h r = 3 7 ,4 % (P-P„)(P-PL) P "P i = l - P L .A T + (3.A T xP .pL . A r P -P A
®
A la tem peratura T 2, procediendo del mismo m odo, obtenemos: Tn = T-, -
Pg “ P2 __ ( P - P 0X P - P L)
Solución: 143 • Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: I. V erdadero, punto de roció, es la tem pe ratura a la cual debe enfriarse el aire,
Temperatura y calor 1159 ************************************************************************* m anteniendo la presión constante, a fin * r] = 0,09 % que se sature de vapor de agua. II. F also, las más altas tem peraturas que pue den lograrse, ocurren en las colisiones de Solución: 147 partículas de alta energía. * Com o la diferenóia de volúm enes entre III. F also, para construir una escala de tem frasco de vidrio (Vv) y m ercurio (VHg) son p eratura se necesitan tres puntos de refe '§ u a^es antes y después de elevarse la tempe rencja ratura, se cum ple que:
©
P or lo que, la respuesta es la d)
V q.V " ^0,Hg - Vv - VHg
Solución: 144 V 0,v “ %, Hg - V 0iv O + ctv - A T ) * El dispositivo más útil para m edir la hu V0,H8(l + «Hg-AT) m edad relativa en el laboratorio es una lata brillante, con la cual, se mide el punto de a Hg condensación (tem peratura de saturación), y V 0 , v = ( - ) V 0>Hg luego se calcula la hum edad relativa. El hi a. dróm etro y el picnóm etro se usan para m edir el peso específico. El giróm etro y el psicró- Luego, la fracción de volum en que represen m etro se usan para m edir la hum edad reía ta el volum en inicial del m ercurio V0 Hg> fes tiva. L a respuesta es la a). pecto del volum en total (V0, v) es: * R = 21,7 % *1Solución: 145 • L a energía por unidad de tiem po (poten cia), radiada por el cuerpo esférico, viene da do por:
t
= g A T 4, =
7 iD
2c tT ¿
= 7i(0,02) (5,67.10
)(600 + 273)*
*
®
a 41,4 W t
V,o ,H g _ « v _ 2,5.10 - 5 Vo.v * T)
«H g
1,25.10
-4
25
©
125
Solución: 148 • L a cantidad de calor ganado por los "n" cubitos de hielo a -6 °C, debe ser igual, a la cantidad de calor perdido p o r el agua a 80 °C, esto es: n m c e,H (0 “ T1) + n m L F +
Solución: 146 • El aum ento porcentual del área de la sección transversal de la barra cilindrica es:
n m c e,L (T - 0) = M c e L (T2 - T )
n ( 5 0 ) ( * ) ( 0 - ( - 6 ) ) + n (50)(80) + n (5 0 )(l)(2 5 - 0) = (1,08.103)(1)(80 - 25)
, = ( f ) ( 1 0 0 ) = ( S ^ A T)(,00) 150 n + 4 000 n + 1250 n = 59 400 r| = (9.10- 6 )(] 00)(100)
* n = 11 cubitos
(c)
Física++ *************************************************************************
1160
Solución: 149 • Recordem os que el m ejor radiador de e nergía es aquel cuerpo que m ejor absorbe la energía, es decir un cuerpo negro de superfi cié rugosa. L os cuerpos blancos brillantes son m alos absorbedores y pobres radiadores de energía. Por lo que, la respuesta es la b). Solución: 150 • D el principio de conservación de la can tidad de m ovim iento, hallem os la rapidez del conjunto después del choque, así:
AT = -
— • _6 409,5.10 - (0,95)(10.10 ) ( Q * AT = -1 2 5 C
^ t= JN °ta El signo (-) nos indica que la tem peratu ra del sistem a disminuye.
Pautes = Pdespues
Solución: 152 • A plicando la fórm ula de dilatación super ficial a las áreas de las superficies de las ta pas y lateral del recipiente, obtenem os el ra dio (R) y altura (h) final, así:
m.v = (m + m ) u
71R 2 = rcR 2 (1 + 2 a.A T )
u = ( - 3 )(4) = 2 m '3 + 3 s
R = R0(l + 2 a .A T )1/2
2 ;r R h = 27iR 0h 0 (l + 2 a.A T ) Luego, el calor desprendido durante el cho que, será la diferencia de las energías cinéti . , .... , A ., , ,u. M , , , , , ® - Asi, m ultiplicando entre si las dos ultim as e cas antes y después del choque, esto es: . r .4 G ^ J r ^ cuaciones, obtenem os el volum en rinal del re Q = AEC = E C! - E
Q=
1 2
m.v
2
cf
1 ,2 - - (m + m ) u
cipiente vacio: V = ;tR 2 h = tiR 2 h 0(l + 2a.AT)(1 + 2a.A T)1/2
2
V = 7t(4) (8)[1 + (2)(10
)(500)]
Q= -2 (3X4)2 —-2 (6)(2)2
M +í'?vio“3viíon'ii1/2 [1 + (2 )(1 0 -3)(500)]
* Q = 12 J
* V « 1 1 3 7 cm
Solución: 1 5 1 Solución: 1 5 3 . Com o el volum en final del líquido (VL) * D e la fórm ula de propagación de calor es el 95 % del volum en final del recipiente Por conducción para lám inas, obtenem os el (V R), luego de enfriarse am bos, se tiene: gradiente térm ico, asi: VL = 0 ,9 5 V r
Q = k A ( A xJt
Vo O + a L-AT) = 0,95 V0 (1 + a R .AT)
AT
( Q /A .t)
8
1 + a L A T = 0,95 + 0,95 a v .AT
Ax
k
° ’5
Temperatura y calor
AT
°C
Ax
cm
@
'
1161
AT = T ~ 0 = 19,62 °C * T = 19,62 °C i
^ @
Solución: 154 . El aum ento porcentual que experim enta C uando aum enta |a tem peratura aum enta el volum en del paralelipipeo alser calentado |a longitud de la cuerda> aum entando d pcr¡2 viene dado por. do d d rc| 0 j de p¿ n d u |0 (atraso). AV r) = (- -)(100)
Solución: 156
0 V 3ccAT r\ = ( t7 - — )(100) V, n = (3)(10 “5 )(160 - 10)(100) ©
* T| = 0,45 %
Solución: 154 • El periodo correcto del reloj de péndulo a la tem peratura de 0 °C es: T / o \ 1/2 T0 = 2 n ( ) El periodo incorrecto (atraso) del reloj de péndulo a la tem peratura "T" e§: T = 2 t t ( £ ) 1 /2 = 2 n [ í » (1 + a -ATV /2 T = (1 + a.A T )1/2 T0 L a diferencia entre el periodo T y T0 nos pro porciona el atraso que experim enta el reloj de péndulo en cada segundo, esto es: T - T0 = [(1 + a.A T ) - 1] (T ) = 10 0 0 (24)(3600) [(1 + (11,8.10'6).A T )-1 ](1 )=
- 10 (24)(3 600)
• Según el principio de conservación de la energía, la energía potencial gravitatoria per dida por el bloque, se transform a en energía calorífica, aum entando la tem peratura del a gua, esto es: m g h = M c e AT (2)(10)(0,5X 0,239)= (100)(1) AT * AT = 0,024 °C
®
^02
Física++
TECA4C
e) Cero absoluto
D IN A M IC A C A P -l 7 &
1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES a) Sistema term odinám ico Es una región del espacio que se aísla en form a real o im aginaria con la finalidad de estudiar lo que sucede dentro de ella. Los lím ites de un sistem a pueden ser fi f) jo s o variables.
b) Sustancia de trabajo Es el fluido que se utiliza para transfor m ar el calor en trabajo m ecánico; en este fluido se puede alm acenar energía y/o sustraer energía.
El cero absoluto es la tem peratura teóri ca más baja posible. A esta tem peratura el nivel de energía del sistem a es el más bajo posible, por lo que las partículas, se gún la m ecánica clásica, carecen de mo vim iento; no obstante, según la m ecáni ca cuántica, el cero absoluto debe tener una energía residual, .llam ada energía de punto cero, para poder así cum plir el principio de indeterm inación de H eisen berg.
Variables termodinámicas Las variables que tienen relación con el estado interno de un sistema, se llaman variables term odinám icas o coordenadas term odinám icas, y entre ellas las más im portantes en el estudio de la term odiná m ica son: la m asa (m), el volum en (V), la densidad (p), la presión (P), la tempe ratura (T).
g) Estado
c) Medio externo Se llam a m edio externo a todo aquello que no está en el sistem a pero que puede influir en él. Por ejem plo, considerem os una taza con agua, que está siendo calen tada por un m echero. Considerem os un sistem a form ado por Ja taza y el agua, en tonces el m edio está form ado por el me chero, el aire, etc.
d) Foco térmico U n foco térm ico es un sistem a que pue de entregar y/o recibir calor, pero sin cam biar su tem peratura.
Se llam a así a la situación particular en la que se encuentra un sistem a, así, el es tado term odinám ico de un sistem a queda definido, proporcionando tres de sus pro piedades físicas: presión (P), volum en (V), tem peratura (T), llam adas variables term odinám icas. E jem p lo : 01 En la fase líquida, el H 2O no disuelve la grasa a 10°, pero, si lo hace a 60°
Termodinámica 1163 ************************************************************************* h) Estado de agregación En física se observa que, para cualquier cuerpo o estado m aterial, m odificando las condiciones de tem peratura y/o pre sión, pueden obtenerse distintos estados o fases de agregación, denom inados esta dos de agregación de la materia, relacio nadas con las fuerzas de unión de las par tículas (m oléculas, átom os o iones) que constituyen la materia.
Cambio da estado Se denom ina así a la transform ación de una o más propiedades físicas de un sis tem a term odinám ico.
j)
Proceso Se llam a así a la sucesión ininterrum pida de estados, las que se presenta, cada vez que el sistem a es afectado en alguna de sus propiedades físicas. E je m p lo : 02 L a Fig., m uestra un proceso term odiná m ico en equilibrio, pasando la sustancia del estado (1) al estado (2), aum entando su volum en de V i a V 2 y dism inuyendo su presión de Pj a P 2.
Clasificación: C uasi-estaticos: aquellos procesos en los que la evolución entre los estados de e quilibrio inicial y final se produce a tra vés de estados interm edios en los que e xiste equilibrio (proceso ideal). N o estáticos: aquellos procesos en los que la evolución entre los estados de e quilibrio inicial y final se produce a tra vés de estados interm edios en los que no existe equilibrio (proceso real). R eversibles: aquellos procesos para los que existe el proceso inverso que reinte gra al sistem a (y al entorno) al estado ¡ni cial (proceso ideal). N o reversibles: aquellos procesos para los que no existe el proceso inverso que reintegra al sistem a (y al entorno) al esta do inicial (proceso real). C íclico : E s aquel proceso para el cual los estados final e inicial coinciden. k) Ciclo Se denom ina así al proceso cerrado, me diante el cual una sustancia recupera su estado term odinám ico inicial. E je m p lo : 03 L a Fig., m uestra un ciclo term odinám i co, form ado por tres estados y tres proce sos.
Gas perfecto ó ideal Se denom ina así al gas que presenta las siguientes características:
Física++ *************************************************************************
1164
•
•
• • •
La interacción entre sus moléculas, es pe queña (despreciable), debido, a las gran des distancia existentes entre ellas. Sus m oléculas son de dim ensiones infi nitam ente pequeñas del orden de 10‘8 cm. Sus m oléculas poseen m ovim iento cao tico (al azar). Su densidad ( p ) es pequeña. Los choques de las m oléculas entre sí y con las paredes del recipiente que lo con tiene, son perfectam ente elásticas.
Sin em bargo, esta ecuación pierde mu cha exactitud a altas presiones y bajas tem peraturas, y no es capaz de predecir la condensación de gas en líquido. f
o) E quilibrio térmico U n estado en el cual dos coordenadas ter m odinám icas independientes X e Y per m anecen constantes m ientras no se modi fican las condiciones externas se dice que se encuentra en equilibrio térm ico. Si dos sistem as se encuentran en equilj brío térm ico se dice que tienen la misma tem peratura. E ntonces se puede definir la tem peratura com o una propiedad que perm ite determ inar si un sistem a se en cuentra o no en equilibrio térm ico con o tro sistema. El equilibrio térm ico se presenta cuando dos cuerpos con tem peraturas diferentes se ponen en contacto, y el que tiene ma yor tem peratura cede calor al que tiene más baja, hasta que am bos alcanzan la m ism a tem peratura.
m) Contacto térmico Se dice que dos sistem as están en contac to térm ico cuando puede haber transfe rencia de calor de un sistem a a otro. En física, una ecuación de estado es una ecuación constitutiva para sistem as hi drostáticos que describe el estado de a gregación de la m ateria como una reía ción funcional entre la tem peratura, la presión, el volum en, la densidad, la ener gía interna y posiblem ente otras funcio nes de estado asociadas con la materia.
p) E quilibrio termodinámico
n) Ecuaciones de estado Las ecuaciones de estado son útiles para describir las propiedades de los fluidos, m ezclas, sólidos o incluso del interior de las estrellas. Cada sustancia o sistema hidrostático tiene una ecuación de esta do característica dependiente de los nive les de energía m oleculares y sus ener gías relativas, tal com o se deduce de la m ecánica estadística. El uso más im portante de una ecuación de estado es para predecir el estado de gases y líquidos. U na de las ecuaciones de estado más sim ples para este propósi to es la ecuación de estado del gas ideal, que es aproxim able al com portam iento de los gases a bajas presiones y tem pera turas m ayores a la tem peratura crítica.
-
Se dice que un sistem a (gas ideal) se ha lia en equilibrio term odinám ico cuando sus variables m acroscópicas presión (P), volum en (V) y tem peratura (T) perm ane cen constantes. U n sistema, estará, en e quilibrio term odinám ico, si está en equi librio: m ecánico, térm ico y químico. P ara que un sistema, este, en equilibrio term odinám ico, deberá existir equilibrio: M ecánico: L a fuerza resultante extem a sobre el sistema, debe ser nula. T érm ico: Todos los puntos del sistema internos y extem os, deben estar a la mis m a tem peratura, esto es, no debe haber flujo de calor (Q = 0). Q uím ico: El sistem a no debe experim en tar reacciones químicas.
Termodinámica 116S ************************************************************************* 2. ECUACION DE LOS GASES PERFECTOS O IDEALES Para un gas ideal en estado de equilibrio term odinám ico, esta ecuación relaciona las variables presión (P), volum en (V) y tem peratura (T), así:
5) L a energía cinética y potencial entre los nucleones de los átomos. • El valor de la energía interna (U) de un gas, debido a su movim iento térm ico, viene dado por: ’
Lí = —— R.T 2 M
PV = nRT siendo, "P" la presión en N /m 2, "V" el volum en en m 3, "n" el núm ero de moles, " V la tem peratura en (°K) y "R " la constante universal de los gases, cuyo va lor es:
siendo, "m " la m asa del gas, "M " su ma sa m olecular, "T " su tem peratura abso luta en (°K), "R " la constante universal de los gases, y "y" el exponente adiaba tico, cuyo valor depende del tipo de gas, así: y : 3 para gas m onoatóm ico 5 para gas diatómico 7 para gas poliatóm ico
R=8,31 103 J.k m o l'' ° k _1 •
P ara una m ism a m asa de gas, la ecua ción anterior, para dos estados diferentes 1 y 2 del gas, se escribe así: • l y v , _ p2-V2 Ti
T2
3. ENERGIA INTERNA DE UN SISTE MA (U)
1)
2)
3) 4)
L a energía interna de un sistem a es la su m a de las energías de lo¿ movim ientos que existen en el Sistema m ás la energía de interacción entre las partículas que conform an el sistema. P or ejem plo, la energía de un gas de mo léculas monoatóm icas, está formada por: L a energía cinética de los movim ientos térm icos de traslación y rotación de las moléculas. Las energías cinética y potencial de las oscilaciones de los átomos en las m olécu las. L a energía potencial debida a las interac ciones interm oleculares. L a energía de las capas electrónicas de los átomos e iones.
En todo proceso term odinám ico, la varia ción de la energía interna, es índepen diente de los estados intermedios, está variación sólo depende de los estados ini cial y final, esto es: au = u 2-u ,
siendo, U i, U 2 las energías internas ini cial y final, respectivam ente. 4
PRIMERA LEY DE LA TERMODI NAMICA Se basa en el principio de conservación de la energía total (m ecánica-calorífica) y establece que: <<:E n todo proceso term odinám ico la cantidad de calor entregado (o sustraí do) al sistema es igual al trabajo reali zado por (o sobre) el sistema, más la variación de su energía interna5,5.
1166 Fís¡ca++ A*************************************************!*********************** pió de la term odinám ica referido a las transform aciones quím icas y es la ley fundam ental de la term odinám ica.
Q = W + AU
c) Ecuación de M^yer
WH l Q(+) SISTEMA
Es una ecuación m atem ática, que reía ciona las capacidades caloríficas mola res a presión constante (Cp) y volumen constante (Cv), viene dado por:
Q (-)
W (+)i En el diagram a la convención de signos, es: Q (+) el sistem a recibe calor. Q (-) el sistem a pierde calor. W (+) trabajo realizado por el sistema. W (-) trabajo realizado sobre sistema. AU (+) el sistem a se calienta. AU ( - ) el sistem a se enfría. 4S? N ota En la ecuación anterior, todas las m agni tudes físicas (Q, W, AU) deben ser ex presadas en la m ism as unidades (en jo u les o en calorías).
a) Móvil perpetuo de primera espe cie Si llam a m óvil perpetuo de prim era es pecie a una m áquina de acción periódica en la cual un gas, un vapor o cualquier otro agente de transform ación después de cum plir un ciclo vuelve a su estado inicial, AU = 0 y A=Q. Por lo tanto, es im posible construir un m otor de acción periódica capaz de realizar un trabajo m ayor que la energía que reciba del exte rior.
b) Ley de Hess
•
El efecto calorífico de una reacción que transcurre en un sistem a a volum en cons tante o a presión constante no de-pende de los estados intermedios, sólo depende de los estados inicial y final del sistema. L a ley de H ess expresa el primer princi
C p —C v = — R
'
•
M
siendo, (m) la m asa del gas, (M) su ma sa m olecular, y (R) la constante de los gases. Tam bién, está ecuación para los calores específicos m olares, se escribe así: R
Cp - C v = -
siendo, cp, c v los calores específicos a presión y volum en constantes, respecti vam ente.
d) Exponente adiabático (x) Se define com o la razón de la capacidad calorífica a presión constante (Cp) a la capacidad calorífica a volum en constan te (C v), esto es: Cp
Cp
5. PROCESOS TERMODINAMICOS a) Proceso isobárico (Pacte) En este proceso la presión se m antiene constante, y el trabajo realizado por (o sobre) un gas, cuando este experim enta una expansión (o com presión) de su vo lumen, pasando del estado 1 hacia el 2, viene dado por: W = P (V 2 - V 1)
Termodinámica 1167 ************************************************************************* L a cantidad de calor sum inistrada (ó sus traída) durante el proceso es:
siendo, V]s V2 los volúm enes inicial y fi nal. ■:W.
m
AU = U 2 - U , = C V(T2 - T , )
T
•
Este trabajo dependerá de la presión y tem peratura a la que se encuentre el gas, es decir, dependerá de la form a com o el gas llega del estado inicial al final. E n un diagram a P-V , el trabajo (W) es num éricam ente, igual, al área bajo la cur va. 2
I
2
fe
> S V > V í W
M< fS i •< < w_ ! v |
t f j
f i <4 <
V « < «V
V2 v
Vj
< <
u
V
v 2
L a capacidad calorífica, a presión cons tante, viene dado por: CD=
m
xR
M (x -l) siendo (x) el exponente adiabático
Ley de Charles (P=cte) E sta ley establece, que en un gas ideal a presión constante, la razón de su volu m en a su tem peratura es una constante, así para dos estados diferentes 1 y 2, se tiene: % V2 T, Tt
1
n
L a variación de la energía interna, duran te el proceso es:
t
v2
T0
•
h
AV
—-o '
Vi
Q = C P(T2 - T 1)
r 1
C O M P R E S IO N
E X P A N S IO N
C uando, W > 0, el trabajo lo realiza el gas, su volum en aum enta. Cuando, W <0, el trabajo se realiza so bre el gas, su volurpen disntinuye. El trabajo total realizado por (o sobre) el gas en un ciclo, es igual al área encerra da por la curva "P -V".
b) Proceso isócoro (V=cte) En este proceso, el sistem a pasa del esta do "1" hacia el estado "2", sin variar su volum en y por tanto no realiza trabajo, el calor que recibe (o entrega) se invierte en elevar (o dism inuir) su energía inter na. W=0
D iagram a P-V D iagram a P-V IS O B A R A
, r
P
<<<<' «<«
p2
Pi
1SO C O R A
»:»: w ;>;>;> »<<<<<<• > > . > i >> <<<<<<<
W Pl
V!
V2 v
00
\
1
V2
V
1168
Fisica++
************************************ 'k'ifk'k'k'jfk'k'k'k'kJfk'k'k'kjtlt'k'fcklt'k'/ck'k'k'kifk<'ickitit
•
La cantidad de calor sum inistrada (ó sus traída) durante el proceso es:
D iagram a P-V
Q = C v (T2 - T j ) •
L a variación de la energía interna, duran te el proceso, es igual, a la variación de la cantidad de calor: AU = Q
•
L a capacidad calorífica, a volum en cons tante, viene dado por: r
_ m
V
•
R
M (x -l)
siendo (x) el exponente adiabático.
Q= W •
> Ley de Gay-Lusacc (V=cte) E sta ley establece que en un gas ideal a volumen constante, la razón de su pre sión a su tem peratura es una constante, así para dos estados diferentes 1 y 2, se tiene: Tj
> Ley de Boyle-M ariotte (T=cte) E sta ley establece que en un gas ideal a tem peratura constante, el producto de su presión por su volum en es una constan te, así, para dos estados diferentes 1 y 2, se tiene:
T2
c) Proceso isotérm ico (T=cte) En este proceso el sistem a pasa del esta do "1" hacia el estado "2", a tem peratura constante y por tanto la variación de su energía interna es nula, el calor que reci be (o entrega) se transform a en trabajo realizado por (o sobre) el sistema.
Pi V ! = P 2V2
d) Proceso adiabático (Q=0) E n este tipo de proceso el sistem a pasa del estado ” 1" hacia el estado "2", sin recibir ni entregar calor, la variación de su energía interna se utiliza para hacer trabajo.
AU = 0
•
El trabajo (W ) realizado por (o sobre) el gas, es num éricam ente igual al área bajo la curva (área sombreada). El trabajo realizado en el proceso, por o sobre el gas, viene dado por: W = — R .T f n(— ) M V,
La capacidad calorífica del gas, a tempe ratura constante es: CT = co
Ü =Ü
•
L a cantidad de calor entregado (o sustraí do), es igual, al trabajo realizado en el proceso, es decir:
. •
W = -A U
El trabajo realizado por el gas en el pro ceso l- * 2 , es igual, al área sombreada bajo la curva, su valor num érico, se pue de hallar de cualquiera de las siguientes fórmulas:
Termodinámica 1169 ************************************************************************* D iagram a P-V
E jem p lo : Los m otores de com bustión interna (pe tróleo y gasolina), las turbinas de vapor las calderas, las refrigeradoras, etc ..., son m áquinas térrhicas. Representación de una m áquina térm ica
I
W = ^ - ? - (T1- T 2) M x~l
Q c .T c
w
^
I
w
w
1
Qc, T c _ J
í M .R
M .T
X -l
I
Tf
[ i - ( V V2
1)]
x-1
siendo, "m" la m asa del gas, "M" su ma sa m olecular y "x" el exponente adiaba tico.
6 . MAQUINA TERMICA a) Definición Es todo dispositivo m ecánico que trans form a parte de la energía calorífica que recibe en energía m ecánica.
b) Funcionamiento U na m áquina térm ica para su funciona m iento necesita de un foco caliente (en trega energía) a la tem peratura T c y un foco frío (consum e energía) a la tempe ra tu ra T f, siendo T c > T F. U na m áquina térm ica, recibe energía ca lorífica Q c del foco caliente, y parte la transform a en trabajo (W ), y la energía restante la cede al foco frío en form a de calor Qf . Según, el principio de conservación de la energía total, se cum ple que: Qc = W + Qp
I
Q f. T
f
M O TO R
Q f. U R E F R IG E R A D O R
Esto es, el trabajo útil efectuado por una m áquina térm ica, es igual, a la diferen cia de calores (Q c - Qp). E n el caso de una refrigerador, el proce so es inverso, es decir, el calor se trans fiere del foco frío (Q p) al foco caliente (Q c ), para lo cual, las fuerzas externas deben h acer trabajo sobre el sistema.
C) Rendimiento o eficiencia de una máquina térmica (R) E l rendim iento es una cantidad que mi de el trabajo útil que hace una m áquina térm ica, y se define así:
las tem peraturas del foco frío (TF) y ca líente (T c), deben estar en la escala abso luta (°k). El rendim iento térm ico caracteriza el gra do de perfeccionam iento de la transfor-
Física++ *********************************************
1170
m ación de la energía interna en m ecáni ca que tiene lugar en el motor térm ico que funciona de acuerdo con el ciclo que se analiza. E n porcentaje, el rendim iento ( t|) de una m áquina térm ica, se escribe así: Ti(%) = 0 - - % ( i o o )
Ve
7. CICLO DE CARNOT Definición
a)
Se denom ina así al ciclo reversible for mado por dos procesos isotérm icos y o tros dos adiabáticos; dando lugar, a dos procesos de com presión y dos de expan sión. El principio de C am ot establece que to da m áquina térm ica, trabajando entre dos tem peraturas fijas T ((alta) y T 2 (ba ja ), desarrolla una eficiencia m enor que la del ciclo de Cam ot. Es utilizado en m áquinas que usan vapor o una m ezcla de com bustible (con aire o oxigeno)
****** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * *
com bustión interna a gas, para el c • describim os los cuatro procesos que for m an el ciclo de Camot.
Proceso isotérm ico (a-b) Inicialm ente el gas que esta en equili brio en el estado Pi, V i, T i, se expande lentam ente hasta el estado P2, V2> Tj ab sorviendo la energía calorífica Q i. El gas hace trabajo desplazando el pistón hacia la derecha.
Proceso adiabático (b-c) Ponem os el cilindro sobre una base no conductora de calor y perm itim os que el gas se dilate hasta P3, V 3> T 2. La dilata ción es adiabática porque no hay pérdida ni ganancia de calor. El gas efectúa tra bajo elevando el ém bolo y dism inuye su tem peratura desde Ti hasta T 2.
Proceso isotérm ico (c~d) Ponem os el cilindro sobre un depósito de calor (m ás frió) T 2 y com primimos lentam ente el gas hasta P4, V4, T 2. Duran te este proceso se transfiere cierta canti dad de energía calorífica Q2 del gas al de pósito.
Proceso adiabático (d-a) Ponem os al cilindro en un soporte no conductor de calor y com prim im os len tam ente hasta el estado inicial P i, V b T L a com presión es adiabática, se efectúa trabajo sobre el gas elevándose su tempe ratura hasta Tj. P IS T O N
□0
bC1
c) Teorema de Carnot El rendim iento térm ico del ciclo reversi ble de C am ot no depende de la compo sición del agente de transform ación y viene dado por:
b) Descripción completa del ciclo de Carnot Considerem os el pistón de un motor de
Qc
Tc
Termodinámica
1171
‘k ’k'klckltititltitit'it'k'k'kit'k'k'ft'klt'k'k'k'klt'it'k'klck'k'k'k'k'k'k'k'kie'k'k'k'k'kje'k'k'kjc'kif'kle'k'k'k'k'k'k'k'k'k'k'k'k'kjt'k'k'kJt'k •
El rendim iento térm ico del ciclo irrever sible de C am ot (r|C')e s siempre menor que el rendim iento térm ico ( r |c ) del ti
•
cío reversible de C am ot realizado entre las m ism as tem peraturas T I? T 2, esto es: TIC' < r tc
•
El rendim iento térm ico de un ciclo re versible cualquiera no puede ser nunca m ayor que el rendim iento térm ico (ríe)
valor de la entropía (S0) de un sistem a a la tem peratura del cero absoluto. Este principio basado en las investigacio nes experim entales de las propiedades de diversas sustancias a tem peraturas ul trabajas, establece que: en cualquier transform ación isotérm ica que se realice a la tem peratura del cero absoluto la va riación de la entropía es nula, esto es: ASt=0 = 0 ,
del ciclo reversible de Carnot, a las mis m as tem peraturas T ,, T 2.
independientem ente de las variaciones que experim enten los dem ás parám etros del estado.
8. SEGUNDO Y TERCER PRINCIPIO DE LA TERMODINAMICA
9. ENTROPIA
a) Segundo principio
a) Concepto
Basado en el hecho que el calor se pro paga de las regiones de altas tem peratu ras hacia las regiones de bajas tem pera turas, este principio afirm a que: 1) N o existe m áquina térm ica (ideal) en la que todo el calor del foco caliente sea transform ado en trabajo útil, es decir, es im posible construir el móvil perpetuo de segunda especie. 2) El calor no puede propagarse de modo natural de un cuerpo frío hacia un cuer po caliente, salvo que el proceso term o dinám ico sea forzado.
•
•
•
b) Móvil perpetuo de segunda espe cie Se llama así al dispositivo (m otor) cuyo agente de transform ación, recibiera, pa ra efectuar el ciclo, energía en form a de calor de un cuerpo exterior y la cediera después totalm ente en form a de trabajo a otro cuerpo exterior.
•
N o es una m agnitud física, tal com o tem peratura o presión, que se pueden m edir en form a directa, al contrario, la entropía de un sistem a term odinám ico se determi na utilizando m étodos indirectos. Se define com o la propiedad física que perm ite m edir el grado de desorden de un sistem a term odinám ico. Se puede decir, tam bién, que la entropía de un sistem a, es su capacidad de hacer trabajo. La entropía de un sistem a es una propie dad física puntual, es decir, es indepen diente del cam ino que utiliza el sistema para ir de un estado 1 (inicial) hacia otro 2 (final). El cam bio en la entropía que experim en ta un sistem a term odinám ico, cuando pa sa de un estado inicial (1) hacia un esta do final (2), viene dado por: AS = S2 - S , = | "
c) Tercer principio El prim er y segundo principio de la ter m odinám ica no perm iten determ inar el
S = S0 = cte.
1 1 *
El carácter de la variación de la entropía
Física++ *************************************************************************
1172
sirve para determ inar en que sentido se realiza el intercam bio de calor, así, cuan do el cuerpo (ó sustancia) se calienta (A S > 0 ) su entropía aum enta, y cuando se enfría (AS < 0), su entropía disminuye.
un recipiente a una cierta tem peratura y la absorción de una cantidad igual de calor por un recipiente a tem peratura m ás elevada"
e) Enunciado de Keivin
b) Propiedades
N o existe ningún dispositivo que, ope rando por ciclos, absorba calor de una única fuente y lo convierta íntegram ente en trabajo. Es im posible construir una m áquina tér m ica cíclica que transform e calor en tra bajo sin aum entar la energía term odiná m ica del am biente. Debido a esto pode mos concluir que el rendim iento energé tico de una m áquina térm ica cíclica que convierte calor en trabajo siem pre será m enor a la unidad y ésta estará m ás pró xim a a la unidad cuanto mayor sea el ren dim iento energético de la misma. Es de cir, m ientras mayor sea el rendim iento e nergético de una m áquina térm ica, me ñor será el im pacto en el am biente, y vi ceversa.
1) L a entropía de un sistema cerrado que realiza un ciclo reversible de Carnot no varía, esto es: ASrev = 0 , S = cte. 2) L a entropía de un sistem a cerrado que realiza un ciclo irreversible de Carnot au m enta, esto es: AS^ev ^ 0 3) L a entropía de un sistema cerrado, cua lesquiera que sean las transform aciones que ocurran en él, no disminuye, esto es: AS > 0
c) Principio de Nernst Este principio se basa en el desarrollo obtenido por Planck, que supuso que S0 = 0 , es decir, que a la tem peratura de cero absoluto la entropía de un sistema es nulo. L a interpretación física de este principio se realiza en el m arco de la fí sica estadística. L a condición So-0 para T - 0 °K es una consecuencia del carác ter cuántico que tienen los procesos que se dan en un sistem a cualquiera a bajas tem peraturas y solam ente lo cum plen los sistem as cuyo estado, a T=0 °K es de equilibrio estable, así, basándose en este principio se pueden determ inar los valo res absolutos de la entropía de un siste m a en cualquier estado de equilibrio.
d) Enunciado de Clausius "No es posible ningún proceso cuyo úni co resultado sea la extracción de calor de
f)
Demonio de Maxwell El D em onio de M axw ell es el nom bre de una criatura im aginaria ideada en 1867 por el físico escocés Jam es Clerk Max w ell com o parte de un experim ento men tal diseñado para ilustrar la Segunda Ley de la Term odinám ica. E n la prim era for m ulación el dem onio de M axw ell sería u na criatura capaz de actuar a nivel mole cular seleccionando m oléculas calientes y m oléculas frías separándolas. El nom bre "Dem onio" proviene aparentem ente de un juego de cartas solitario cenocido en Gran Bretaña en el que se debían or denar cartas rojas y blancas análogas a m oléculas calientes y frías. El dem onio de M axw ell aparece referenciado tam bien com o Paradoja de M axw ell.
Termodinámica 1173 ************************************************************************* 700 mmHg.
PROBLEM AS
a) 1,20 g/lt b) 1,22 g/lt c) 1,24 g/lt d) 1,26 g/lt e) 1,28 g/lt
01. U na m asa de gas de am oniaco ocupa un volum en de 10 m 3 a la presión de 3 atm. H allar su volum en a la presión de 5/3 atm manteniendo constante la tem pera tura. a) 10m3
b) 12 m 3 c) 14 m 3 d) 16 m3 e) 18 m 3
02. U na m asa de Cloro ocupa un volum en de 30 cm 3 a 47° C. H allar su volum en a 23° C manteniendo constante la presión. a )3 1 c m 3 b) 33 cm 3 c) 35 cm 3 d) 37 cm 3 e) 39 cm 3 03. U na m asa de oxígeno a la tem peratura Ti y presión P ocupa un volum en V, si a la tem peratura T 2 su volum en es 2V y su presión 3P/2. H allar la razón de tem pera turas, T 2/ T j . a) 1
b) 2 d )4
c) 3 e) 5
04. ¿A cuántas atm ósferas de presión se de be som eter 1Q"3 m 3 de un determ inado gas m edido a 1 a tm # -33° C, para que se com prim a hasta ocupar un volum en de 0,25.10"3 m 3 a 27° C? a) 1 atm
b) 2 atm c) 3 atm d) 4 atm e) 5 atm
05. A 0o C y 760 m m Hg, 28,0 g de nitrógeno ocupan un volum en de 22,4 litros. Hallar la m asa de 10 litros de nitrógeno a 25° C y 810 mmHg. a) 12,0 g b)12,2 g c ) 1 2 ,4 g d) 12,6 g e) 12,8 g 06. A 0o C y 1 atm, la densidad del oxígeno es 1,43 g/lt. H allar su densidad a 17o C y
’
3
3
07. U na botella de volum en 5.10 cm contie ne oxígeno en C.N ¿Cuántos gramos de oxígeno deben introducirse en la botella para elevar su presión hasta 40 atm man teniendo c o n sta n te 'la tem peratura? La m asa m olecular del oxígeno es 32. (R= 8,31 J/mol.°K) a) 258 g d) 288 g
b) 268 g c) 278 g e) 298 g
08. H allar la m asa de hidrógeno que en C.N puede contener un tanque con una capa cidad correspondiente a 4,0 g de oxíge no en C.N, si las m asas moleculares del hidrógeno y oxígeno son 2 y 32, respectj vam ente. a) 0,10 g b) 0,15 g c) 0,20 g d) 0,25 g e) 0,30 g 09. H allar el volum en que ocuparían 1,216 g del gas S 0 2 a 18° C y 755 mmHg. L a ma sa m olecular del S 0 2 es 64,07 y R=8,31 J/mol.°K, 1 m m H g-133 N /m 2. a )4 1 9 c m 3 b ) 4 3 9 c m 3 c )4 5 9 cm3 d) 479 cm3 e) 499 cm 3 10. L a m asa m olecular del virus del tabaco es de 40.106. H allar el núm ero de mole culas de virus contenidas en 1 cm 3 de u n a solución con 0,10 mg/cm3 de virus. (N A= 6,02.1023 m ol’1) a) 1.1012 b) 1,5.1012 c )2 ,0 .1 0 12 d )2 ,5 .1 0 u e) 3,0.1012 11. H allar la m asa de aire en un aula de al tura 5 m, área del piso 200 m \ La pre sión del aire es de 750 m mHg, su tem peratura de 17° C, y su m asa m olecular
Física++ *************************************************************************
1174
de 29 kg/kmoí. (I m m H g =133 N /m 2 R=8,31 J/mol.°K) a) 1100 kg b) 1200 kg c) 1300 kg d) 1400 kg e) 1500 kg 12. ¿Cuántas veces pesará más el aire que llena un local en invierno (7o C) que el que lo llena en verano (37° C)?. La pre sión es la misma. b) 1,3
a) 1,1 d) 1,7
c) 1,5 e) 1,9
13. ¿Cuántos kmoles hay en una botella de volum en 10 m 3, que está a la presión de 720 mmHg y tem peratura de 17° C ? (lm m H g=133,3 N /m 2 R=8,31 J/mol.°K) a) 0,318 d) 0,378
b) 0,338 c) 0,358 e) 0,398
14. T razar la isoterm a de 0,5 g de hidrógeno a la tem peratura de 0o C. 15. Dos recipientes A y B de capacidades V¡=3 lt, V2=4 lt están llenas de un mis mo gas a las presiones de Pi=2 atm, P2= l atm, y a la misma tem peratura., ¿A qué presión se encontrará el gas si los re cipientes A y B se unen entre si por me dio de un tubo? a) 3/2 atm b) 5/3 atm c) 7/5atm d) 9/4 atm e) 10/7 atm 16. E n un recipiente cerrado hay una canti dad de agua que ocupa la m itad de su ca pacidad. H allar la presión (en N /m 2) si el recipiente se calienta hasta la tem peratu ra de 400° C.(R=8,31 J/mol.°K y 1 M = 106 m e g a ) a) 135 M P a b) 145 M P a c) 155 M Pa d) 165 M Pa e) 175 M Pa 17. E n un recipiente hay 14 g de nitrógeno y
I.
9 g de hidrógeno a la tem peratura de 10o C y a la presión de 106 N /m 2.Hallar L a m asa de una m olécula-kilogram o de la m ezcla.(R = 8,31 J/mol.°K) a) 1,6 kg/kmoí b) 2,6 kg/kmol c) 3,6 kg/kmol d) 4,6 kg/kmol e) 5,6 kg/kmol
II. L a capacidad del recipiente. b) 11350 cm a) 11150 cm d) 11550 cm d) 11750 cm e) 11950 cm3 18. En un recipiente hay una m ezcla de 10 g de anhídrido carbónico ( C 0 2) y 15 g de nitrógeno. H allar la densidad de la m ez cía (en kg/m 3) a la tem peratura de 27° C y presión de 1,5.105 N /m 2. (R=8,31 J/mol.°K) a) 1,57 d) 1,87
b) 1,67 e) 1,97
c ) l,7 7
19. A un gas ideal de energía interna 100 J se le sum inistra 400 J y se realiza sobre el un trabajo de 200 J. H allar la energía interna final del gas. a) 600 J
b) 650 J d) 750 J e) 800 J
c) 700 J
20. L a energía interna de un gas ideal aumen ta en 630 J, al sum inistrarle 100 cal y ha cer un trabajo sobre el de 210 J. H allar el equivalente m ecánico del calor. a) 4,0 J
b) 4,2 J c ) 4 ,4 J d) 4,6 J e) 4,8 J
21. U n gas ideal recibe 100 cal y hace un tra bajo de 100 J. H allar el aum ento de su e nergía interna. (1 cal=4,186 cal) a) 310,6 J b) 312,6 J c) 314,6 J d) 316,6 J e) 318,6 J
Termodinámica 1175 ************************************************************************* 22.
En el ciclo term odinám ico realizado por un gas ideal. La energía interna en A es 0 J y en B 15 J, recibiendo el gas 45 J de calor en el proceso B a C. Hallar:
b ) P A< P B = Pc a) PA = P B = P C d )P A = PB > P c c) P A> P B> P c e) PA < PB < Pc I.
El trabajo hecho por el gas de A a B. a) 0 J
24.
En el ciclo term odinám ico realizado por un gas ideal. Hallar:
b) 10 J c) 20 J d) 40 J e) 60 J 6 atm
© 500^
( P ) 3 0 0 ,, K |
II. El calor sum inistrado al gas de A a B. a) 0 J
b) 25 J c) 40 J d) 45 J e) 55 J 1 5 0 "K
®
III. L a energía interna del gas en C. a) 15 J
b) 45 J c) 60 J d) 80 J e) 100 J
IV. El trabajo hecho por el gas de C a A. a) 0 J d) 60 J
b) -30 J c) -40 J ' e) -60 J
V. El calor extraído del gas de C a A. a) -15 J d) 60 J
b) 30 J c) -30 J e) -90 J
VI. El trabajo total efectuado por el gas en el ciclo. a) 10 J d)
30 J
b) 20 J c) -20 J e) 60 J
0
I.
V
L a razón de tem peraturas T 2/T 3. a) 0,5
b) 1,0 d) 2,0
c) 1,5 e) 2,5
II. L a diferencia de tem peraturas
3 4
T -T .
a) 50° C b) 100° C c )1 5 0 ° C d) 200° C e) 250° C III. El valor de (T 2 - T j)2/ ^ - T4)2. a) 2
b) 4 d) 12
c) 8 e) 16
IV. El resultado de operar: P[2 /(P2 - P4) . a) 2
23. E n la Fig., se representan tres isóbaras para tres gases diferentes, que tienen el m ism o núm ero de moles. H allar la reía ción correcta de sus presiones.
3 lt
atm b) 4 atm c) 8 atm d) 12 atm e) 16 atm
V. El porcentaje en que cam bia el volumen en el proceso 3 a 4.
Fís¡ca++ ************************************************************************* 1176
a) 1 0 %
b) 20 % c) 30 % d) 40 % e) 50 %
VI. El trabajo total realizado por el gas. a) 500 J b) 600 J c) 700 J d) 800 J e) 900 J 25. U n sistem a pasa del estado X al estado Y siguiendo la trayectoria xay recibien do 100 cal y realizando un trabajo de 40 cal.
26. En cada uno de los siguientes casos, ha llar la variación de la energía interna del sistema. (1 cal=4,186 J) I. U n sistema absorbe 500 cal y realiza 40 J de trabajo. a )2013J b ) 2023 J c) 2033 J d) 2043 J e) 2053 J II. U n sistem a absorbe 300 cal y se le apli ca un trabajo de 419 J. a) 1655 J b) 1665 J c) 1675 J d) 1685 J e) 1695 J III. U n gas pierde 1500 cal a volum en cons tante. a ) -6259 J b) -6269 J c )-6 2 7 9 J d) -6289 J e) -6299 J
I.
Si el sistema a lo largo de la trayectoria xby realiza un trabajo de 10 cal. H allar el calor ganado o perdido. a) 50 cal b) 60 cal c) 70 cal d) 80 cal e) 90 cal
27. En cada una de las siguientes transform a ciones adiabáticas, hallar la variación de la energía interna. I. El trabajo del gas en una expansión adia bática es de 5 J. a) -1 J
II. Si el sistem a recibe 80 cal a lo largo de la trayectoria xcy. H allar el trabajo reali zado por o sobreseí sistema. a) 10 cal b) 20 cal d) 40 cal
II.
c) 30 cal e) 50 cal
b) -2 J d) -4 J
El trabajo sobre el gas en una compre sión adiabática es de 100 J. a)
10 J
b) 25 J d) 75 J
ITT. Si el sistema realiza un trabajo de 30 cal cuando regresa de Y a X a lo largo de la trayectoria curva. H allar el calor ganado o perdido. a) -90 cal b) 90 cal c) -70 cal d) 70 cal e) -50 cal
c) -3 J e) -5 J
c) 50 J e) 100 J
28. U n sistem a recibe 5.104 cal y se expan de a presión constante de 7,2 N /cm 2., y tem peratura constante. H allar el aumen to de su volumen. (1 cal= 4,186 J) a) 2,1 m
IV. Si la energía interna U x=0 y U a=45 cal.
b) 2,3 m 3 c) 2,5 m d) 2,7 m 3 e) 2,9 m3
H allar el calor para el proceso xa. 29. a) 30 cal b) 35 cal c) 40 cal d) 45 cal e) 50 cal
U n gas se expande a presión constante de 2.105 N /m 2 variando su volum en de 3 lt a 30 lt. H allar el trabajo realizado.
Termodinámica ************************************************************************* a) 5100 J b) 5200 J c) 5300 J d) 5400 J e) 5500 J
P (N /m )
4.10
30. Un gas de volum en inicial 3 It, se expan de a presión constante de 2.105 N /m 2,
1 1
cam biando su tem peratura de 27 ° C a
1.10a
227 °C . H allar el trabajo que realiza el gas. a ) 100 J d) 400 J 31.
b ) 200 J c ) 300 J e) 500 J
U n gas ideal realiza el ciclo termodiná mico mostrado. H allar el trabajo realiza do:
4 V ( m J)
I.
En el proceso 1 a 4. a) 0 J
b) 1 J d) 3 J
c) 2 J e) 4 J
II. En el proceso 4 a 3. a) 100 kJ b) 200 kJ c) 300 Kj d) 400 kJ e) 500 kJ III. E n el proceso 3 a 2, a) 0 J
b) 1 J d) 3 J
c) 2 J e)
4J
IV En el proceso 2 a 1. I.
a) -1,0 M J b) -1,2 MJ c ) - l ,4 M J d) -1,6 M J e) -1,8 M J
En el proceso 1 a 2. a) 1,0 M J b) 1,2 MJ c ) l ,4 M J d) 1,6 MJ e) 1,8 MJ
II. En el proceso 2 a 3.
IJI. En el proceso de 3 a 1. b) 1 J d) 3 J IV.
En todo el ciclo. a) -1,0 M J b) -1,2 M J c ) - l,4 M J d) -1,6 MJ e) -1,8 MJ
*
a) 600 kJ b) -600 kJ c) 900 kJ d) -900 kJ e) 500 kJ
a) 0 J
V.
c) 2 J e) 4 J
En todo el ciclo: a) 100 kJ b) 200 kJ c) 300 kJ d) 400 kJ e) 500 kJ
33. E n un recipiente cerrado hay 20 g de ni trógeno y 32 g de oxígeno. H allar la va riación que experim entará la energía in te m a de esta m ezcla de gases al enfriarla en 28° C.(R=8,31 J/mol.°K) a) 981 J*
b) 985 J c) 989 J d) 9393 J e) 997 J
34. 10 g de oxígeno que están a la presión de 3.105 N /m 2 y tem peratura de 10° C, se 32.U n gas ideal realiza el ciclo term odiná calienta a presión constante hasta ocupar m ico mostrado, hallar el trabajo realiza un volum en de 10 lt. Hallar: do. I. L a cantidad de calor que recibió el gas.
Física++ *************************************************************************
1178
a) 7716 J b) 7726 J c) 7736 J d ) 7746 J e) 7756 J II. L a variación de la energía interna del gas. a ) 5512 J b) 5522 J c ) 5532J d) 5542 J e) 5552 J III. El trabajo realizado por el gas. a )2210J b ) 2220 J c )2230J d ) 2240 J e ) 2250 J 35. 2 kmol de anhídrido carbónico se calien tan 50° C a presión constante. Hallar: (R =8,31 J/mol.°K) T. La variación de su energía interna. a) 2481 kJ b) 2484 k j c) 2487 kJ d) 2490 kJ e) 2493 kJ II. El trabajo realizado por el gas. a) 819 J b) 822 J d) 828 J e) 831 J
c) 825 J
III. L a cantidad de calor recibido. a) 3320 kJ b) 3324 kJ c) 3328 kJ d) 3332 kJ e) 3336 kJ 36. A 2 m oles de un gas m onoatóm ico se su ministranlOO cal. Idallar: (R=8,31 J/mol. °K) I. El cam bio de tem peratura si el volumen se m antiene constante. a) 16,0° C b) 16,2° C c )1 6 ,4 ° C d) 16,6° C e) 16,8° C II. El cam bio de tem peratura si la presión se m antiene constante. a) 10, I o C b) 10,3° C c) 10,5° C d) 10,7° C e) 10,9° C 37. El calor específico a volumen constante
del argón es Cy ~ 0,075 kcal/kg.°K. Ha llar la m asa del átomo de argón.(N A= 6,023.1023 m o l'1, 1 cal=4,186 J, R=8,314 J/m ol ,°K) a) 1,6.10"23 g b) 5 ,6 .10*23 c) 4,6.10"23g d) 6 ,6 .10"23 g e) 8,6.10'23 g 38. 10 g de oxígeno se calientan a presión atm osférica constante desde 27° C hasta 127° C. H allar el porcentaje de calor uti lizado para aum entar la energía interna del oxígeno.(R=8,314 J/mol.°K) a) 7 0 ,2 % b) 70,6 % c) 71,0 % d) 71,4 % e) 71,8 % 39. A cierto gas ideal se le sum inistran 500 cal expandiéndose a presión constante. H allar el trabajo efectuado por el gas. (CP=5 cal/mol.°K, Cv=3 cal/mol.°K, 1 cal= 4,186 J) a) 831,2 J b) 832,2 J c) 835,2 J d) 837,2 J e) 839,2 J 40. H allar el rendim iento de una m áquina térm ica que funciona entre dos focos a las tem peraturas de 27 °C y 327 °C , res pectivam ente. a) 4 0 %
b) 45 % c) 50 % d) 55 % e) 60 %
41. U n motor de Carnot tiene un rendim ien to del 25 % cuando funciona entre un fo co caliente y una tem peratura ambiente de 27 °C . H allar la tem peratura del foco caliente. a) 300 °K b) 350 °K c) 400 °K d) 450 °K e) 500 °K 42. Un m otor de Carnot que funciona a las tem peraturas de 0° C y 819° C., recibe del foco caliente 3200 cal por ciclo. Ha
Termodinámica llar la m asa de hielo fundido por ciclo. (L p - 80 cal/g ) a) 20 g d) 35 g
b) 25 g c)3 0 g e) 40 g
43. Un motor de C am ot opera entre 500° K y 3 00° K y realiza un trabajo de 1000 J por ciclo. H allar la cantidad de calor reci bida y el rendim iento del motor. a) 2500 J ; 2/5 b) 2300 J ; 3/4 d) 2000 J ; 3/5 c) 2100 J ; 4/5 e) 2400 J ; 1/2 44. U na refrigeradora ideal que opera según el ciclo de C am ot inverso realiza cada ci cío un trabajo de W =3,7.104 J. Siendo las tem peraturas de los focos frío y ca líente de T f = -10° C y T c= 1 7 ° C, respec tivam ente. Hallar: I. El rendim iento del ciclo. a) 5,3 %
II.
b) 6,3 % c) 7,3 % d) 8,3 % e) 9,3 %
La cantidad de calor que se tom a cuerpo frío cada ciclo.
a ) 4 ,1 4 k g b ) 4 ,3 4 k g c ) 4 ,5 4 k g d ) 4,74 kg e) 4,94 kg 46. U na m uestra de gas ideal se expande al doble de su volum en original de V ,=1,0 m 3 a V 2=2,0 m3 en un proceso cuasiestá tico para el cual P = aV 2, siendo a=5,0 atm /m 6. H allar el trabajo (en M J) realiza do por el gas. (1 atm = l,013 N /m 2) a) 1,18
#
III. L a cantidad de calor que se cede al cuer po caliente cada ciclo. a) 390 kJ b) 392 kJ c) 394 kJ d) 396 kJ e) 398 kJ 45. U na m áquina frigorífica ideal que fúncio na según el ciclo de Carnot inverso trans mite el calor de un refrigerador con agua a 0o C a un hervidor con agua a 100° C. ¿Q ué cantidad de agua habrá que helar en el refrigerador para convertir en va por 1 kg de agua del hervidor? (L F = 335 k J /k g , Lv = 2 260 k J /k g )
b )í,2 8 d) 1,78
c)l,5 8 e) 1,98
47. U n mol de un gas ideal realiza 3000 J de trabajo sobre los alrededores conforme se expande isotérm icam ente hasta una presión final de P 2= l atm y un volum en de V 2=25 lt. Hallar: I. El volum en inicial del gas. a) 7,35 lt b) 7,45 It c) 7,55 lt d) 7,65 lt e) 7,75 lt II. L a tem peratura del gas en °C. a) 30,8
b) 31,8 d) 33,8
del
a) 361 kJ b) 363 kJ c) 365 kJ d) 367 kJ e) 369 kJ
1179
c)3 2 ,8 e) 34,8
48. Se calienta helio a presión constante des de una tem peratura de T ]-2 7 3 °K hasta T 2=373 °K. Si el gas realiza un trabajo de W =20 J, durante el proceso, H allar la m asa de helio. a) 92,2 m g b) 93,2 m g c) 94,2 mg d) 95,2 m g e) 96,2 mg 49. U n mol de un gas ideal se calienta a pre sión constante de m odo que su tem pera tura se triplica. Luego, se calienta el gas a tem peratura constante de m anera que su volum en se triplica. H allar la razón entre el trabajo a tem peratura constante al trabajo a presión constante. c) 0,55
0,53
a) 0,51 d) 0,57
e) 0,59
1180
Fís¡ca++
*************************************************************************
50. Se m uestra el diagram a P-V del proceso lento que experim enta 20 g de helio, en cerrado en un cilindro por un pistón, pa sando del estado 1 (V j =32 lt, P¡ = 4,1 atm ) al estado 2 (V 2 = 9 lt, P2 =15,5 atm ). H allar la m ayor tem peratura alcanzada por el gas. (R=8,31 J/mol.°K, 1 atm = 10 5 N /m 2)
a) 482° K b) 486° K c) 490° K d) 494° K e) 498° K 51. 6,5 g de nitrógeno cuya tem peratura es de 27° C se dilatan hasta ocupar doble volumen, siendo la P=cte, debido al ca lor que perciben del exterior, R=8,31 J/mol.°K. I. H allar el trabajo de expansión. a) 8,1 kJ
II.
b) 8,4 k j c ) 8 ,7 k J d) 9,0 kJ e) 9,3 kj
H allar la variación que experim enta la energía interna del gas. a) 20,2 kJ b) 20,6 k j c ) 2 2 ,4 k j d) 22,8 kJ e) 24,6 kJ
III. L a cantidad de calor suministrado al gas. a) 28,3 kJ b) 28,6 kJ c ) 2 8 ,9 k j d) 29,3 kJ e) 29,6 kJ 52. U n gas diatómico que se encuentra a la tem peratura de 27° C y a la presión de 2.106 N /m 2 se com prim e adiabátícam en te variando su volum en de V , a V ^ V , 12 Hallar: I. L a tem peratura del gas después de com
primido. a) 11 I o C b) 114° C c) 117° C d) 120° C e) 123° C II. La presión del gas *(en M Pa) después de com prim ido. (M =106) a) 5,0
b) 5,3 d) 5,9
c) 5,6 e) 6,2
53. U n globo tiene un volum en de V i=2 m 3 a la tem peratura de T i= 10 °C y a la pre sión de P i= l,l atm. Cuando se calienta hasta T2=150 qC el volum en se expande a V 2=2,3 m 3 y se observa que se escapa el 5 % del gas. I. ¿Q ué cantidad (en m oles) de gas había en el globo a la tem peratura de 10 °C? a) 94,0
b) 94,2 d) 94,6
c) 94,4 e) 94,8
II. ¿C uál es la presión (en atm) del gas en el globo a la tem peratura de 150 °C? a) 1,318 b) 1,338 c) 1,398 d) 1,378 e) 1,398 54. D em ostrar que un mol de cualquier gas ideal en condiciones norm ales (C.N), o cupa un volum en de 22,4 ít. 55. Una cam pana de buzo cilindrica de diá metro D =30 cm y altura H =4 m con el fondo abierto se sum erge a una profundi dad de h '= 2 2 0 m en el océano. L a tempe ratura en la superficie es T¡=25 °C y en fondo T2=5 °C. La densidad del agua de m ar es p=1025 kg/m3. ¿Cuánto subirá el nivel del agua al interior de la campana, cuando se sumerge? a) 3,54 m b) 3,64 m c) 3,74 m d) 3,84 m e) 3,94 m 56. D esde el fondo de un lago, sube una bur buja de gas de diámetro D i, desde la pro
Termodinámica 1181 !******************************************* ***************************** fundidad de h=4,2 m y tem peratura de 5 °C hasta la superficie donde la tem pera tura es de 12 C. H allar la razón D j/D 2 de los diám etros de la burbuja. (p=1025 kg/m 3, g=10 m/s2)
hasta P 2-1 0 0 M Pa de form a isotérm ica y cuasiestática. La densidad del m etal es p=lO g/cm 3 y su coeficiente de compre sibilidad k= 0,67.10'10 P a '1. H allar el tra ajo realizado. (g = Í0 m /s2) a ) -3,14 J b) 3,14 J c) -3,34 J d) 3,34 J e ) -3,54 J
59. U n mol de un gas ideal evoluciona isocg ricam ente desde P!=0,7 M Pa y Ti=300 °K hasta la presión de P2= l atm. A conti i O 1 nuación se calienta a presión constante a) 1,13 b) 1,23 c) 1,33 hasta un volum en V2. Finalm ente se com d) 1,43 e) 1,53 prim e isotérm icam ente hasta su presión inicial, alcanzando el volum en inicial. 57. El ém bolo móvil del cilindro está conec H allar el trabajo realizado en el ciclo. tado al resorte de constante elástica k -2 0 0 0 N /m . El cilindro está lleno con 5 a) -2,48 kJ b) 2,48 kJ c) -2,68 kJ lt de un gas, con el resorte sin estirar a la d) 2,68 kJ e) -2,98 kJ presión de 1,0 atm y tem peratura de 10 °C. El área del ém bolo de peso despre 60. U n gas monoatóm ico realiza el proceso A BC mostrado. Si en el proceso adiaba ciable es A=0,01 m2. H allar: (1 atm= tico AB el trabajo realizado por el gas es 1,013.105 N /m 2) de -720 kJ, hallar el trabajo realizado por el gas en el proceso isotérm ico BC. (tn 2 = 0,7)
I.
L a altura que asciende el émbolo, cuan do la tem peratura sube a 250 °C. a) 61 cm b) 63 cm c) 65 cm d) 67 cm e) 69 cm
II.
L a presión (en atm ) del gas, cuando la tem peratura es de 250 °C. a) 1,13
b) 1,23 d) 1,43
58.
c) 1,33 e) 1,53
L a presión ejercida sobre un m etal de m asa m =100 g se aum enta de P]~0 M Pa
a) 2210 kJ b) 2220 kJ c )2 2 3 0 k J d) 2240 k J e) 2250 kJ 61. U n gas ideal realiza el ciclo A BCD mos trado. H allar: (R -8,31 J/mol.°K) I. H allar el trabajo realizado en el ciclo. a) P 0V 0 b) 2P0V 0 c) 3PoV0 d ) 4 P 0V0 e) 5P0V0
Física++ *************************************************************************
1182
p B
3P„
C
D
A
V 0
V,
3V «
II. El calor neto sum inistrado al sistem a en el ciclo. a ) P 0V Q b ) 2 P 0V 0 c ) 3 P 0Vo d) 4P0V 0 e) 5P0V0 III. El trabajo realizado en el ciclo por un mol a la tem peratura inicial de 0 °C a) 9,07 kJ b) 9,27 kJ c) 9,47 kJ d) 9,67 kJ e) 9,87 kJ
trógeno y 32 g de oxígeno. H allar la va riación que experim entará la energía in te m a de esta m ezcla de gases al enfriar la 28° C. i a) 991,2 J b) 993,2 J c) 995,2 J d) 997,2 J e) 999,2 J 65. 1 litro de helio que está en C.N. se dila ta isotérm icam ente, al recibir calor hasta ocupar un volum en de 2 litros. H allar I. El trabajo hecho por el gas. a) 50 J
b) 55 J d) 65 J
c) 60 J e) 70 J
II. E l calor que recibió. a) 50 J
b) 55 J d) 65 J
c) 60 J e) 70 J
62. Se m uestra el proceso term odinám ico que realiza un gas ideal. Si la presión del 66. 1 kg de aire que está a la tem peratura de gas en el estado (1) es de 1 M Pa, hallar 30° C y a la presión de 1,5 atm se expan el trabajo realizado por el gas en el pro de adiabáticam ente dism inuyendo su pre ceso term odinám ico 1-2-3-4. (M =106) sión hasta 1 atm. Hallar: I. El grado de expansión. a) 1,13 d) 1,73
b) 1,33 e) 1,93
c) 1,53
II. L a tem peratura final. a) 270,3 °K b) 272,3 °K c) 274,3 °K d) 276,3 °K e) 278,3 °K III. El trabajo realizado. a) 2 kJ
b) 4 kJ d) 8 kJ
c) 6 kJ e) 10 kJ
63. H allar la energía del m ovim iento térmi co de las m oléculas de un gas diatóm ico contenido en un recipiente de volum en 2 litros la presión de 1,5.105 N /m 2. a) 600 J
b) 650 J c) 700 J d) 750 J e) 800 J
64. En un recipiente cerrado hay 20 g de ni
a) 21,6 kJ b) 23,6 kJ c ) 2 5 ,6 k J d) 27,6 kJ e) 29,6 kJ 67. U na m áquina de vapor trabaja entre la tem peratura de la caldera de 250 °C y la del condensador de 50 °C y desarrolla una potencia de 8 CV. Sabiendo que su rendim iento es del 30 % respecto del co rrespondiente a una m áquina térm ica i deal que opera entre las m ism as tem pe raturas, hallar la cantidad de calor que se
Termodinámica 1183 *************************************************************************
t
debe com unicar a la caldera en la unidad de tiem po (cal/s). (1 cal = 4,186 J, 1 CV = 735 W) a) 12 217 b) 12 227 c) 12 237 d) 12 247 e) 12 257
68. Se m ezclan adiábatica e isotérm icam ente mH- 1 0 g de hielo a T H= -10 °C con m A= 50 g de agua a T A=30 °C. H allar el esta do final de la m ezcla. (cA=0,24 J./g.°K, cH-0 ,1 2 J/g.°K, LF=330 J/g. a) 51,05 g b) 52,05 g c) 53,05 g d) 54,05 g e) 55,05 g
IV. El calor que debe disipar la resistencia para que la presión del gas sea de P=0,3 M Pa? a) 10,24 k j b )? ll,2 4 kJ c) 12,24 kJ d) 13,24 kJ e) 14,24 kJ 70. Sobre un mol de gas se realiza un ciclo cerrado que consta de dos isócoras y dos isóbaras. Las tem peraturas en los puntos 1 y 3 son T, -3 2 4 ° K y T 3 =400° K. Ha llar el trabajo realizado por el gas duran te el ciclo, sabiéndose que los puntos 2 y 4 pertenecen a una isoterma, y R constan te universal de los gases.
69. El cilindro adiabático con un gas ideal (cv=1,5R) a: P 0= l,0 1 3 .1 0 5 Pa, T 0=300 °K y V0=20 dm3. El pistón de peso des preciable de área A=4 dm2, está unido al resorte de constante elástica k=100 N/m, sin deform ación inicial. Hallar: (R=8,31 J/mol.°K, g=10 m /s2)) b) 2R
a) R d) 4R
c) 3R e) 5R
71. El cilindro que encierra un gas ideal, tie ne un ém bolo móvil de m asa m=8 kg y área A=5 cm 2, el cual, puede deslizarse hacia arriba y abajo m anteniéndose cons tante la presión. Hallar: (g=10 m /s2) I.
El núm ero de m oles del gas encerrado. a) 0,812 b) 0,832 c) 0,852 d) 0,872 e) 0,892
II. La deform ación del resorte, para una pre sión del gas de P=0,3 MPa. a) 0,67 m b) 0,70 m c) 0,73 m d) 0,76 m e) 0,79 m III. L a tem peratura del gas, para una presión de P=0,3 M Pa. a) 1414 °K b) 1424 °K c) 1434°K d) 1444 °K e) 1454 °K
El trabajo, cuando la tem peratura se ele va de 20 °C a 300 °C. a) 465,0 J b) 465,4 J c) 465,8 J d) 466,2 J e) 466,6 J
Física++ *************************************************************************
1184
II. L a presión (en atm) constante a la que se encuen tra el gas encerrado. a) 1,16
b) 1,36 d ) 1,76
c) 1,56 e) 1,96
III. El volum en (en litros) inicial del gas. a) 3,04
b) 3,24 d) 3,64
c )3 ,4 4 e) 3,84
III. El trabajo (en kJ) realizado en el ciclo. a) 20,8
b) 22,8 c) 24,8 e) 28,8 i 74. U n gas ideal de exponente adiabático y= 2, cuya presión y volum en iniciales son: Po y V0, se expande adiabáticam ente, hasta duplicar su volumen. H allar el tra bajo realizado por el gas. d) 26,8
IV. El volum en (en litros) final del gas. a) 5,15
b) 5,35 d) 5,75
a) P0V 0/2 b) Pc.Vo/3 c) P0Vo/4 d) 2P0V0 e) 3P0V0
c) 5,55 e) 5,95
V. El desplazam iento que experim enta el ém bolo. a) 5,02 m b) 5,22 m c ) 5 ,4 2 m d) 5,62 m e) 5,82 m
75. U n mol de un gas ideal realiza el ciclo form ado por los procesos isocórico, ¡so térm ico y isobárico. H allar el calor sumí nistrado (en kJ) al gas en el ciclo. (R= 8,31 J/mol.°K, 1 atm = l,0 1 3 .1 0 5 N /m 2) P (P a )
72.
En el ciclo A BCD form ado por dos pro cesos isobáricos y dos isotérmicos, pro bar que el trabajo en el ciclo, viene dado por: W = P 1(V2-V 1)£n(P 2/P 1).
....B
T b = 2700°K T a = 900"K
1.10
V (m )
0 a) 9,09
b) 9,29 d) 9,69
c) 9,49 e) 9,89
76. U n m otor de explosión consume 250 g de gasolina por hora para una potencia de 1 CV. Los gases se quem an a una tem 73.
U n gas ideal que está en C.N. se expan de desde un volum en de V i-2 5 lt hasta V 2=80 lt, y cuya presión varía según: P=0,5 a .V 2. Hallar: (R -8,31 J/mol.°K) I. El valor de la constante a. (M =lO 6) a) 320 M b) 322 M c) 324 M d ) 326 M e) 328 M II. L a presión (en atm) final del gas. a) 10,23
b) 10,43 c) 10,63 d) 10,83 e) 11,03
peratura de 1 527 °C y se escapan a una tem peratura de 527 °C . Si se sabe que la gasolina produce 11000 cal/g y que 1 CV = 735 W. H allar el rendim iento real y el rendim iento térm ico ¡deal de este motor. a) 21 % , 52 % b) 23 % , 56 % c) 25 % , 50 % d ) 27 %, 54 % e) 29 % , 58%
77. T res m oles de un gas ¡deal experim entan una expansión isotérm ica a 30° C. Si el
Termodinámica
I.
volum en aum enta desde 5 lt hasta 20 lt, hallar: (R= 0,08206 lt.atm/mol.°K) Las presiones inicial y final del gas.
1185
gas ideal ( y - 1,5) encerrados en el cilin dro a P0, T 0 y V0. Con la resistencia eléc trica "R" se calienta lentam ente el gas, hasta alcanzar la ^ a rte superior una pre sión P=3,37P0. Hallar:
a) 14,9 atm, 3,7 a tm b ) 14,1 atm, 3,5 atm c) 14,3 atm, 3,3 atm d) 14,5 atm, 3,9 atm e) 14,1 atm , 3,1 atm II. El trabajo efectuado por el gas sobre sus alrededores. a) 10,5 kJ b) 12,5 kJ c) 14,5 kJ d) 16,5 kJ e) 18,5 kJ 78. U n mol de un gas diatóm ico se expande adiabáticam ente desde un volum en V 0 hasta un volum en 2V 0. H allar la presión final en función de la presión inicial P 0. a) 0,30 P 0 b) 0,32 P0 c ) 0 ,3 4 P 0 d) 0,36 P0 e) 0,38 P0 79. D iez m oles de un gas ideal a 100° C se expanden isotérm icam ente efectuando un trabajo de 400 J sobre sus alrededo res. Si inicialm ente el gas ocupaba un vo lum en de 10 ft. Hallar: (R=8,314 J/mol. °K, 1 atm = l,013.105 Pa) I. El volum en final ocupado por el gas. a) 10,13 lt b) 10,33 lt c) 10,53 lt d) 10,73 lt e) 10,93 lt II. La presión (en atm) final del gas. a) 30,02 b) 30,22 c) 30,42 d) 30,62 e) 30,82 III. Si se puede utilizar com pletam ente los 400 J para elevar la tem peratura de 5 mo les de un gas monoatóm ico ideal a volu m en constante, ¿Q ué aum ento en la tem peratura se producirá? a) 6,01° C b) 6,21° C c )6 ,4 1 ° C d) 6,61° C e) 6,81° C 80. A am bos lados del pistón móvil de peso despreciable hay "n" m oles del mismo
I.
La tem peratura del volum en superior del gas encerrado. a) 1,05T0 b ) l,2 9 T 0 c) 1,49T0 d) 1,69T0 e) 1,89T0
II. L a tem peratura del volum en inferior del gas encerrado. a )5 ,0 7 T o b )5 ,2 7 T 0 c) 5,47T0 d) 5,67T0 e) 5,87T0 III. El trabajo realizado en el volum en supe rior del gas. a)-0,91P0V 0 b)-O,93PoV 0 c)-0,95P0V 0 d)-0,97PoVo e)-O,99P0V o IV. El calor entregado por la resistencia "R " a) 9,1 lP 0Vo b) 9,21P0V 0 c) 9,31P0V0 d) 9,41P0V 0 e )9 ,5 1 P 0V 0 81. Un mol de un gas ideal al expandirse iso térm icam ente realiza un trabajo de W= 3000 J alcanzando una presión final de P=1 atrrí y volum en final de V=25 lt. Ha llar: (1 atm= 1,013. 105 N /m 2, R=8,31 J/ mol.°K) I. El volum en inicial (en litros) del gas. a) 7,05
b) 7,25 d) 7,65
II. L a tem peratura del gas.
c) 7,45 e) 7,85
Física++ *************************************************************************
1186
a) 301,8 °K b) 302,8 °K c) 303,8 °K d) 304,8 °K e) 305,8 °K 82. Respecto de las tem peraturas en las iso term as, isócoras y isóbaras, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): II) P
V
A
realizando un trabajo de W =20 J. H allar la m asa (en mg) de helio (R=8,31 J/mol. °K)
a) 90,27 b> 92,27 c) 94,27 d) 96,27 e) 98,27 85. U n gas que está a la tem peratura de Tfj-300 °K se expande isotérm icam ente a la presión de P=2,5 kPa, aum entando su volum en de V 0= l m 3 a V=3 m 3 y transfiriéndose al gas la energía térm ica de Q =12,5 kJ. Hallar: (R=8,31 J/mol.°K) I. El cam bio en su energía interna.
0
a) 6,5 kJ b) 7,0 kJ c) 7,5 kJ d) 8,0 kJ e) 9,0 kJ
III)
II. L a tem peratura final del gas. a) 700 °K b) 750 °K c )8 0 0 ° K d) 850 °K e) 900 °K I. T a> T b
II. T a
a) FV V
c) T a> T b
b) FFV d) FVF
c) VFV e) VFF
83. U n gas es com prim ido a presión constan te de P=0,8 atm de un volum en inicial de V0=9 lt hasta un volum en final de V=2 lt. En el proceso, el gas pierde una ener gía de Q =400 J. Hallar: (R=8,31 J/mol. °K) I. El trabajo realizado por el gas. a ) -561,3 J b) 561,3 J c ) -567,3 J d) 567,3 J e) 575,3 J II. El cam bio en la energía interna. a) 161,3 J b) 163,3 J c) 165,3 J d) 167,3 J e) 169,3 J 84.
86. El calor perdido por un mol de vapor de agua al enfriarse de 373 °K a 283 °K, se sum inistra a 10 m oles de un gas ideal, ex pandiéndose este a tem peratura constan te de T -2 7 3 °K hasta un volum en final de V =20 lt. H allar el volum en inicial del gas (en lt). (cA= l cal/g.°C, Lp=540 cal/g, R= 8,31 J/mol.°K, 1 cal=4,186 J) a) 2,17
b) 2,27 d) 2,47
c) 2,37 e) 2,57
87. U n gas diatóm ico ideal (% = 1,4) de volu m en inicial V 0=1,5 lt y presión inicial P 0—10 atm experim enta una com presión adiabática, siendo su volum en final V=3 lt y presión final P=4 atm. H allar el traba jo efectuado por el gas. (R = 8,31 J/mol. °K, 1 lt.atm = 101,316 J)
Se calienta helio a presión constante des a )7 2 0 J b) 730 J c)7 4 0 J de la tem peratura inicial de T0=273 °K d) ^50 J e) 760 J hasta la tem peratura final de T=373 °K, co T „ , K ’ 88. L a variación del calor especifico de una
Termodinámica
1187
i'&'kle'kif'ftit'k'ft'k'k'k'k'k'k'k'k-if'k'k'k'k'kltitlt'k'k'kle'k'k'k'k'k'k'k'k'klt'k'ie'kJt'/tjt'k'kJt'k'ft'k'k'k'kie&'kitit'k'klfk'klck'klf'kjt'k sustancia respecto de la tem peratura, vie ne dado por: c=A +B T 2, siendo A y B constantes. H allar la diferencia entre el calor específico m edio en el intervalo de tem peraturas [0o ; 24o] C y el calor espe cífico evaluado en 12° C. a) 12 B
b) 24 B d) 48 B
c) 36 B e) 60 B
89. La m asa del átomo de helio es m= 6,66 .10'27 kg. H allar el calor específico (en cal/g.°K) del gas de helio a volum en constante. (N A= 6,023.1023 m ol'1, 1 cal = 4,186 J, R=8,314 J/mol.°K) a) 0,55 d) 0,70
b) 0,60 c) 0,65 e) 0,75
90. U n gas m onoatómico de volum en V]= 200 cm 3, presión P 2—1 atm y tem peratura T 1=400° K, se une a otro gas m onoatóm i co de volum en V 2=100 cm 3, presión P 2= 4 atm y tem peratura T 2= 600° K. H allar la tem peratura común de estos gases.
H allar el volumen (en litros) del gas. (1 atm = l,0 1 3 .1 0 5 N /m 2, R=8,31 J/mol.°K.) a) 231 d) 237
b) 233 f e) 239
c) 235
93. H allar la presión a las fuerzas de interac ción entre las m oléculas contenidas en un kmol de un gas en condiciones norma les (C.N). L a tem peratura y la presión críticas de este gas son T c=417 °K y P c= 76 atm. (1 a tm = l,0 Í3 .1 0 5 N /m 2, R=8,31 J/mol.°K a) 1,31 kPa b ) l,3 4 k P a c ) l,3 7 k P a d) 1,40 kPa e) 1,43 kPa 94. En un volum en de V=1 m 3 de vapor de a gua saturado que esta a la tem peratura de T=50 °C, hallar: (R=8,31 J/mol.°K) I. L a cantidad de vapor de agua. a) 81,7 g
b) 82,7 g c) 83,7 g d) 84,7 g e) 85,7 g
a) 510,3° K b) 51.2,3° K c) 514,3°K d) 516,3° K e) 518,3° K
II. La densidad (en g/m 3) del vapor de agua saturado. a) 80,7 b) 82,7 c) 84,7 d) 86,7 e) 88,7
91. ¿Q ué tem peratura tendrá una m asa de m =2 g de nitrógeno a la presión de P=2 atm , ocupa un volum en de V =820 cm 3. (1 atm = l,013.105 N /m 2, R=8,31 J/mol. °K) I. Considerar que el gas es ideal.
95. ¿Cuántas veces mayor es la densidad del vapor de agua saturada a la tem peratura de 200 °C que la densidad del vapor de agua saturada a la tem peratura de 100 °C? (1 m m H g= l,316.10‘3 atm)
a) 260 °K b) 270 °K c) 280 °K d) 290 °K e) 300 °K II. C onsiderar que el gas es real. a) 270 °K b) 272 °K c )2 7 4 ° K d) 276 °K e) 378 K 92. 1 kmol de oxígeno a la tem peratura de T=27 °C y a la presión de P=107 N /m 2.
a) 15,1
b) 15,3 d) 15,7
’c ) 15,5 e) 15,9
96. U n gas ideal (x=M) a la presión inicial P0, realiza cinco expansiones adiabáticas consecutivas, duplicando en cada expan sión su volumen. H allar la presión final del gas. a) P 0/ l 6 b) Po/32 c ) P 0/64 d) P q/96 e) P q/128
1188 Física++ ************************************************************************* 97. H allar la cantidad de m oléculas de vapor a) 3624 b) 3627 c) 3630 de agua saturado que hay en un volumen d) 3633 e) 3636 de V=1 m 3 a la tem peratura de T=30 °C. (R=8,31 J/mol.°K, N A=6,023.1023 m ol'1) IV. L a variación d ef la energía interna (en cal) en el proceso C-A. a) 1.101 b) 2.101 c) 3.101 d) 4,101? e) 5.101 a) -4532,4 b) -4534,4 c) -4536,4 98. ¿Q ué cantidad de vapor de agua hay en un volum en de V=1 m 3 de aire a la tem peratura de T -3 0 °C cuando la humedad relativa es del 75 % ? (1 atm = l,013.105 N /m 2, R=8,31 J/mol.°K) a) 20,7 g
b) 21,7 g c) 22,7 g d) 23,7 g e) 24,7 g
99. U n gas ideal diatóm ico con volum en ini cial V 0=25 lt, presión inicial Po=l,5 atm y tem peratura inicial T 0= 300 °K realiza el proceso cíclico ABC, partiendo en A. H allar: (P]=4,5 atm, R = 8,31 J/mol.°K, 1 atm = 1,013.105 N /m 2)
I.
El calor (en cal) sum inistrado o sustraí do en el proceso A-B. a) 4530 d) 4536
d) 4536
e ) -4540,4
V. El trabajo (en cal) realizado por (o so bre) el gas en el proceso C-A. a ) -1809
b) -1811 c ) -1813 d ) -1815 e ) -1817
VI. El trabajo (en cal) realizado en el ciclo. a) 1806 d ) 1815
b) 1809 c) 1812 e) 1818
VII. El rendim iento del ciclo ABC. a) 2 0 ,2 % b) 22,2 % c) 24,2 % d) 26,2 % e) 28,2 % lOO.Los ém bolos electroconductores de área S=8 cm2 ubicados en el tubo de material aislante forman un condensador plano, que contiene aire a la presión de P01,013.105 N /m 2. ¿Como cam biará la dis tancia entre los ém bolos al aplicársele cargas de signos diferentes de valor Q= 2 p C ? El sistem a es buen conductor de calor, no existe fricción, y la constante eléctrica vale k= l/47te = 9.109 N .m 2/C 2.
b) 4532 c) 4534 e) 4538
II. La variación de la energía interna (en cal) en el proceso A-B. a) 4530
d) -4538,4
b) 4532 c )4 5 3 4 e) 4538
III. El calor (en cal) suministrado o sustraí do en el proceso B-C.
P»
233 -Q
a) 1,5 veces b) 2,5 veces c) 3,5 veces d) 4,5 veces e) 5,5 veces
Termodinámica 1189 ************************************************************************* 101.Un mol de un gas monoatóm ico recorre, en el sentido de las agujas del reloj, un ciclo reversible form ado por dos proce sos isobáricos con las presiones P i= l0 0 kPa y P2=300 kPa y dos procesos isocó ricos con los volúm enes V ,= 22 dm3 y V2=26 dm3. H allar el rendim iento del ci cío. a) 8,0 % b) 8,3 % c) 8,6 % d) 8,9 % e) 9,2 % 102.Un gas ideal diatóm ico recorre un ciclo frigorífico reversible form ado por dos procesos adiabáticos y dos isocóricos con V j= l 8 dm3 y V 2=28 dm3. H allar su e ficiencia. a) 16,2 % b) 16,5 % c) 16,8 % d) 17,1 % e) 17,4 % 103.U na m áquina frigorífica ideal que ftm ciona según el ciclo de C am ot inverso realiza cada ciclo un trabajo de W=37 kJ, para lo cual, tom a calor desde un cuerpo a -10 °C y lo cede a otro cuerpo a 17 °C. Hallar: I. El rendim iento del ciclo. a) 0,91 d) 0,97
b) 0,93 t
hasta V 2=50 m 3 y la presión desde P i= 1 atm hasta P2=2 atm .¿Cuántas veces me ñor será el trabajo realizado con este ci cío que para el ciclo de C am ot, cuyas tem peraturas corresponde a las tempera turas m áxim a y m ínim a del ciclo dado, si durante la expansión isotérm ica el vo lumen del gas aum enta dos veces. a) 2,1
b) 2,4 d) 3,0
c) 2,7 e) 3,3
105.Para aum entar la tem peratura de 1 mol de helio en 100 °K a volum en constante se requieren 300 cal. ¿Cuántas calorías se requerirán para aum entar en 100 °K la tem peratura de 1 mol de helio a presión constante? (R=8,31 J/mol.°K) a) 490,4 b) 492,4 c) 494,4 d) 496,4 e) 498,4 106.Se m uestra dos m áquinas refrigeradoras de Carnot con la m ism a eficiencia, co nectadas en serie. Si la refrigeradora Rj extrae del foco frío una potencia de 100 kW, hallar la potencia (en kW ) que con sum e la m áquina refrigeradora R2.
c)0 ,9 5 e) 0,99
II. La cantidad de calor (en kJ) que se toma del cuerpo frío. a) 360,8 b) 362,8 c) 364,8 d) 366,8 e) 368,8 III. L a cantidad de calor (en kJ) que se cede al cuerpo caliente cada ciclo. a) 391,8 b) 393,8 c) 395,8 d) 397,8 e) 399,8 104.Un kilomol de gas ideal realiza un ciclo form ado de dos isócoras y dos isóbaras, cam biando su volum en desde V]=25 m 3
a) 135 d ) 150
b) 140 e) 155
c) 145
107.Una llanta de auto de volum en contiene un volum en V=4.104 cm 3 de aire a la presión de P= 2 atm y tem peratura de T =50 °F. H allar el aum ento en la energía (en cal) del aire en la llanta, al calentarse
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1 1 9 0
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hasta 100 °F. (R=8,31 J/mol.°K, l atm= 1,013,105 N /m 2, 1 cal=4,186 J) a) 460
b) 465 d) 475
c) 470 e) 480
108.Un mol de gas ideal realiza el proceso A-B. H allar la tem peratura del gas, cuan do el volum en es V=30 m 3. (R -8 ,31 J/ mol.°K, 1 atm = l,013.105 N /m 2)
térm icam ente variando su presión desde P ,= 105 N /m 2 hasta P2=0,5.105 N /m 2. Ha llar el cam bio de la entropía (en cal/°K) del hidrógeno. (R=8,31 J/mol. °K) a) 4,0
b^4,5 d) 5,5
c) 5,0 e) 6,0
113.En un recipiente de volumen V=10 £t hay m=0,25 kg de nitrógeno a la tempe ratura de T -2 7 °C. ¿Q ué parte de la pre sión del gas corresponde a la presión de bido a las fuerzas de interacción entre las m oléculas? (R=8,31 J/mol.°K) a) 4 ,1 3 % b) 4,33 % c) 4,53 % d) 4,73 % e) 4,93 %
a) 81,02 °K b) 81,22 °K c) 81,42 °K d) 81,62 °K e) 81,82 °K 109.H allar el cam bio en la entropía (en cal/°C) de 10 g de agua, cuando se le su m inistra calor cam biando su tem peratura desde T 0=27 °C hasta T=93,5 °C. a) 1,0
b) 1,5 d) 2,5
c) 2,0 e) 3,0
110.Un gas ideal m onoatómico realiza el ci cío A BC, form ado por una isóbara, una isócora y una isoterm a. H allar el calor (en kcal) sum inistrado en el ciclo. a) 71,2
b) 72,3 d) 74,3
c) 73,3 e) 75,3
111.13,2 gramos de hidrógeno se expanden isobáricam ente hasta duplicar su volu m en inicial. H allar la variación que ex perim entan la entropía. (R=8,31 J/mol. °K) a) 31,0
112.
b) 31,4 d) 32,2 e) 32,6
c)3 1 ,8
8 gram os de hidrógeno se expanden iso
114.Una m áquina de vapor de potencia P 14,7 kW consume cada hora m =8,l kg de carbón de valor calorífico igual a J= 3,3.107 J/kg. L a tem peratura de la calde ra es de T c-2 0 0 ° C y la del condensador de T f= 58° C. H allar el rendim iento real de la m áquina y el rendim iento de una m áquina térm ica ideal que funciona se gún el ciclo de Carnot entre las mismas tem peraturas. a) 22 % , 30 % b) 24 % , 30 % c) 20 % , 30 % d) 26 % , 30 % e) 28% , 30% 115.H allar la variación que experim enta la entropía (en cal/°K) al transform arse 10 g de hielo a -20° C en vapor a 100° C. (Lr=80 cal/g , L v=540 cal/g, cmELO=0,5 ca l/g .°C , c A g u a = 1 cal/g.°C) a) 15
b) 18 d) 24
c) 21 e) 27
Termodinámica
1191
SO L U C IO N A R IO
Pi.V,1 _ P,.V r 2 -v2 Ti T,
Solución: 01 • Como, T i=T 2, la ecuación de los gases ideales para dos estados, queda así:
(1)(10~3) _ P2 (0,25.10"J )
i- 3 -
- 3 3 + 273 '
27 + 273
Pi-Vi = P2-V2 P2 = ( 3 0 0 )(4) 2 240 (3X10) = ( -)V2 * P2 = 5 atm
®
* V, = 12 n r
Solución: 02 • Como, Pi=P2, la ecuación de los gases ideales para dos estados, queda así:
pi-v i = ” > M
V ,^ V 2 T,
Solución: 05 • D e la ecuación de los gases ideales. Cuando el gas está en el estado "1": Ti
( i)
Cuando el gas está en el estado "2":
T2
40
V,
47+273
23+273
P 2.V2 = ” 2 R.T2 M
(2)
Dividiendo (2) entre (1), obtenem os m2:
40 _ V2 320 ' 296
P 2.V2 = m 2 T 2 p i -v i
* V, = 37 cm 3 Solución: 03 , • De la ecuación de los gases ideales para dos estados:
(810)(10)
m i Ti m 2 (25 + 273)
(760)(22,4) ~ (2 8 )(0 + 273) * m 2 = 12,2g
®
Pi-Vi = P2-V2 Ti
Solución: 06 • D e la ecuación de los gases ideales para dos estados, en función de las densidades:
T,
P.V _ (3 P /2 )(2 V) T,
T-> * T2 / T , = 3
'
©
Solución: 04 » D e la ecuación de los gases ideales para ños estados, tenemos:
Pj.Tj 760
p 2.T2 _
700
(1,43X0 + 273) " p 2 (1 7 + 273)
Física++ *************************************************************************
1192
p2 = (143)(700) ( 273) 2 760 290
©
* p 2 « 1,24 g /lt
Solución: 07 • D e la ecuación de los gases ideales, des pejando la m asa (m): m
P.V =
M
R.T => m =
M.P.V R,T
v=F® T M P
_ 1,216.10~3 (8,31,103)(1 8 + 273) 64,07
(755)(133)
* V as 0,459.10-3 m 3
Así, las masas inicial (m 0) y final (m) del o xígeno son: mn = °
Solución: 09 • De la ecuación de los gases ideales, des pejando el volumen y evaluando:
(32)(1,01.105)(5 .10-3)
©
Solución: 10 • El núm ero de moléculas (N), contenidas en 1 cm 3 de virus de tabaco es:
(8,31.103)(273) N = ( K )N A
M
m 0 = 7,14. ] 0_3kg
m -
A
N —( 0>1"1 0 , )(6,02.1023) 40.106
(32)(4,04.106)(5 .10-3) (8.,31.10 )(273)
* N = 1,5.10
m = 285,5.10-3kg
]2 m oléculas (b^ cm'
Luego, la m asa de oxígeno introducida es: Am = m - m 0
Solución: 11 • De la ecuación de los gases ideales, des pejando la m asa (m) y evaluando:
Am = 285,5.10-3 - 7,14*10-3 * Am = 0,278kg
Solución: 08 • Sean, m, m' las m asas del oxígeno e hi drógeno, respectivam ente, luego, com o los gases contienen el mismo núm ero de moles, pues, están a C.N y tienen el mismo volu men, entonces: n =
m1 m , , 2 N - = - => m '= ( )(4g) 2 32 32 * m '= 0,25g
P .V = m R.T M
©
©
m -
m =
M.P.V R.T
(29)(750)(133)(5)(200) (8,31.103)(17 + 273) * m « 1200 kg
©
Solución: 12 • Sean, m, m' las m asas del aire en invier no y verano y T, T’ sus tem peraturas, en
Termodinámica 1193 ************************************************************************* tonces, como la presión por el volum en es u n a constante, se cum ple que: m M
r .t
sea cóncava hacía arriba,
= m R.T' M
m.g
W
r
m 'g
W'
T
W _ (37 + 273) _ 310 W ’ " (7 + 273) " 280
*
W - - = 1,1 veces
W-
©
Solución: 13 • D e la ecuación de los gases ideales, des pejando el núm ero de m oles (n) y evalúan do: P.V n = — R.T n =
Solución: 15 • El volum en de la m ezcla de los gases A y B, es V —3 + 4 = 7 lt, luego, la presión del gas "A", en la m ezcla es: atm
Pa = ( ^ ) F 1 = (^ X 2 ) =
Tam bién, la presión del gas ”B", en la mez cía es: Vv 4 4 PB = ( ^ ) P 2 = ( 7 ) ( l ) = 7 atm
(720)(133,3)(10) ... (8,31.10 )(17 + 273)
* n = 0,398 km oles
©
Luego, la presión de la m ezcla es: 6
Solución: 14 En la ley general de los ggses: P.V = - R . T M c i a-4 P.V = ( ' - )(8,31.103)(0 + 273) P.V = 567J
P = PA A + PB b = 7 +7
4
* P = 10atm 7
©
Solución: 16 • L as m asas de agua m y m', antes y des pués de ia evaporación son iguales, así: m = m'
H allem os dos puntos de la gráfica, del modo siguiente: Para: V = 1 m3 P = 567 N /m 2 Para: V = 567 m 3 P = 1 N /m 2
p’= 1 g , = 5 0 0 kg. 2 cm 3 m3
Ahora, tracem os la gráfica de P-V , de tal mo do, que pase por los dos puntos anteriores,y
Luego, de la ecuación de los gases ideales, hallam os la presión, así:
P-V = p'.(2V )
Físfca++ *************************************************************************
1194
Solución: 18 • Del problem a anterior, la densidad de la m ezcla es:
P = K R.T M
(m, +*m2)
p = (500)( 8 ,3 l.l0 3)(400 + 273) (18) N
* P = 1,55.10*
P=
©
(10 + 15)
m
M2
©
* p = 1,97 k g /m
•
m l + m 2 R.T Mj
(1,5.10 )
[(10/ 44) + (15 / 28)] (8,31.103 )(300)
Solución: 17 • Según la ley de Dalton, la presión de la m ezcla es: p
P
[(mj /M j) + (m 2 / M 2)] R.T
Solución: 19 Según teoría, la energía interna final es:
( 1)
V
U = U0 + Q - W
Sea, M la m asa m olecular de la m ezcla, en tonces, de la ecuación de los gases ideales, tenemos:
U = 100J + 400J - (-2 0 0 J)
p _ (m ! +_m2)R .T
Solución: 20 • A plicando la prim era ley de la termodi nám ica, tenemos:
M
V
Igualando (1) con (2), obtenem os la m asa
U = 700 J
©
Q = W + AU M =
(m >+ m 2) . t ( m i / M 1) + (m 2 / M 2)] ..
M -
(14 + 9)
lOOcal = - 2 1 0 J + 630J i1 cal. = 4 2- 0 JT 100
_‘ 23
[(14/28) + (9 /2 )]
5
* 1 cal = 4,2 J M = 4,6
^ kmol
® •
II.
V i;
Solución: 21 El increm ento de su energía interna es:
De (2), el volumen del recipiente es: AU = Q - W V =
(ni! + m 2)R .T AU = (1 0 0 )(4 ,1 8 6 J)-1 0 0 J
M
* AU = 318,6J
23.K T 3 (8,31.1Q3)(10 + 273) (
4,6
’
V = 11,75.10
@
lO6 -3
m
3
©
I.
Solución: 22 El trabajo efectuado, es igual, al área ba jo la curva A-B:
Termodinámica
El trabajo total, tam bién, es igual a la suma de los trabajos parciales, así:
W =P AV = (20)(3 -1) W -4 0 J
®
W
II. El calor suministrado al gas de A-B es: Q =
W
119S
= W A - » B + W B -> C + W C -> A
W=
+ U b - U a
W = 10J
Q = 40 J + 15 J - 0 J Q = 55 J
í 40J + 0J - 30J
©
^ 5 N ota Cuando el proceso' del ciclo cerrado, es tá en sentido horario, el trabajo es positi vo, caso contrario negativo.
III. L a energía interna en C es: •
U c = Q - W + UB
Solución: 23 D e la ley general de los gases ideales, la pendiente (m ) de la isóbara es:
U c = 45 J - 0 + 15 J U c = 60 J
©
IV. El trabajo realizado de C a A, es igual, al área bajo la curva C-A: W = área trapecio
V n.R m = - = - -
T
P
Luego, para las tres isóbaras, tenemos: mr > m a > m . n.R
n.R
n.R
Pe > Pb > Pa
W = ( 10 + 2° ) ( l - 3 )
* P a > Pn > Pr W = - 30 J
®
V. El calor sum inistrado de C a A es:
©
Solución: 24 En los puntos 1-2, ley de Charles:
Q = W - U A- U c
V2 = Vj (T^) - (3)(500) 2 1 V 300
Q = -30 J - 0 J - 60 J
Q = - 90 J
Le ,
V2 = 51t
VI. El trabajo total en el ciclo, es igual, al E n los puntos 3-4, ley de Charles: área encerrada por la curva ABCA, así: W = área triángulo ABC
T3 = T 4 A 3) = (1 5 0 )d ) V4 4
w U (2 )(10 )
T3 = 250° K
W = 10 J
E n los puntos 2 - 3, ley de Gay-Lussac:
Fís¡ca++ *************************************************************************
1196
(U y - U x) = 100 - 40
P3 = P2 ( - 3) = (6 )(2 ~°) 3 2 T2 50
(U y - U x) = 60cal P3 = 3 atm
®
1
En la trayectoria xby el calor es: I.
La razón de las tem peraturas es: Q = w + (U y - U x) T,
500°
T,
250°
= 2
II. L a diferencia de tem peraturas es:
Q = 10+ 60 = 70 cal El sistem a recibe calor (Q > 0). II. E n la trayectoria xcy, el trabajo es:
T3 - T4 - 250° - 150° = 100° W = Q - (Uy - U x) III. El valor de la expresión dada es: W = 80 - 6 0 = 2 0 cal (T2 - T ,) 2 5 0 0 °-3 0 0 ° 2 _ 2 = (' - —. - ~ n -- - - A -' y = 4 (T3 - T 4)2 2 5 0 °-1 5 0
el sistem a realiza trabajo (W > 0) III. En la trayectoria yx el calor es:
IV. El resultado de la operación es: Pi2 62 „ - = = 1 2 atm P2 - P 4 6 - 3 V.E1 porcentaje en que cam bia el volumen en el proceso 3 a 4 es:
®
Q = w + (U x - U y) Q = - 3 0 + (-6 0 ) = - 9 0 cal el sistem a libera energía (Q < 0). IV. P ara el proceso x a el calor es: Q = W + Ua - U x
r| = ( 5 ^ 3 )(100) = 40 % Q = 0 + (45 - 0) = 45 cal ® VI. El trabajo total efectuado por el gas es:
el sistem a recibe calor (Q > 0).
W = (P1 - P 4)(V3 - V 4) W = (6 - 3).105(5 - 3).10“3
I.
Solución: 26 L a variación de la energía interna es: AU = Q - W
W = 600 J f^¡ N ota R ecordar que: 1 lt = 10'3 m 3.
AU = (5 0 0 )(4 ,1 8 6 J)- 40J AU = 2 053 J
©
Solución: 25 II. L a variación de la energía interna es: I. En la trayectoria xay, la variación de ener gía interna es: AU = (300)(4,186 J) - ( -4 1 9 J) ( U v - U .) = Q - W
AU = 1674,8 J
©
Termodinámica 1197 ************************************************************************* III.
227+273 V = (3)(- - •--) 27 + 273
L a variación de la energía interna es: AU = (-1500)(4,186) - 0 AU = - 6 279 J
V = 5 lt i
©
Luego, el trabajo que realiza el gas es: I.
S o lución: 27 L a variación de la energía interna es,
W = P . ( V - V 0)
AU = Q - W = 0 - 5 J
W = (2.105)(5 - 3).10-3
AU = - 5 J
©
II. L a variación de la energía interna es: AU = 0 ~ (-1 0 0 J)
W = 4Ó0 J S olución: 31 I. D e 1 a 2, proceso isobárico. W = P.(V2 - Vj)
AU = 100 J
© W = (4.105)(4 - 1)
Solución: 28 • A plicando la prim era ley de la term odi nám ica, tenemos:
W 5= 12.105 J II. D e 2 a 3, proceso isotérmico.
Q = W + AU = P.AV + 0
W = área trapecio AV = ?- = (54 ° ! x 4>186J) P 7,2.104N / m 2 * AV = 2,906 m :
2+4 c W = ( - 2 - ) .1 0 5( l - 4 )
©
W = -9 .1 0 5J m . D e 3 a 1, proceso isocórico.
Solución: 29 E l trabajo exterior en la expansión es:
w
= p . ( \ l - y 3)
W = P .( V - V0)
W = P.(l - 1 )
W = (2.105X 3 0 -3 ) .1 0 “3
W = 0J
* W = 5 400 J
®
IV.
®
En todo el ciclo el trabajo total es: W = área triángulo
Solución: 30 D e la ley de Charles, el volum en final es:
v = v 0U )
W = ^ ( 4 - l) (4 - 2 ) .1 0 5
W = 3.105 J
©
1198 Fis¡ca++ i************************************************************************ T am bién, el trabajo total es la sum a de los trabajos parciales, así:
trabajos parciales, así:
w = W1_>4 + W4_>3 + W3^ 2 + W2^ 1
W - W ]_>2 + W2_ 3 + W3_ 1 W = 0 + 4 .l0 f + 0 - 16.105 W = 1 2 .I0 5J - 9 . I 0 5J + 0J W = -1 2 .1 0 5 J W = 3.105J N ota El signo se toma negativo (-), debido a que el sentido del ciclo es antihorario.
Solución: 32 I. D e 1 a 4, proceso isocórico. W = P.AV = P (0) W =0
©
Solución: 33 • El proceso es isocórico, V=cte, la varia ción de la energía interna es: AU = C v (T2 - T 1)
II. D e 4 a 3, proceso isobárico.
w = P(V3 - V4) AU = W - (1.105) ( 6 “ 2)
m y ,mi + • )RA T 2 Mi M
V ° ‘ . 3 2 -0 2 28 32
W = 4.105J III. D e 3 a 2, proceso isocórico.
„ g. , , l 0 ‘K2Si
* AU = 997,2J
©
W = P A V = P (0)
W =0
@
Solución: 34 • El proceso es isobárico, P=cte. El volum en inicial del oxígeno es:
IV. D e 2 a 1, proceso isobáricp. V, = 5 * 7 ' . 1 M Pj
W = P(V! - V 2) W = (4.105)(2 - 6) W = -1 6 .1 0 5J
10.1CT3 (8,31.103)(283) ,dJ
V . E n todo el ciclo el trabajo es: W = área rectángulo 1-2-3-4. W = (2 - 6 ) (4 -1 ).1 0 5 ^
V> = - 3 2 - " -
3.10-
Vj = 2 ,5 .1 0“3m 3 L a tem peratura final del oxígeno es: V, T 2 = C --)T i V
W = -1 2 .1 0 5 J
t2 = El trabajo total, tam bién, es la suma de los
j ( : 83)
(2.5 .10- )
Termodinámica 1199 ************************************************************************* T 2 = 1132 K I.
AU = ^ (2 )(8 ,3 1 .1 0 3)(50)
L a cantidad de calor recibido por el gas es: Q = C P(T2 - T ¡ )
AU = £ 493 kJ II.
©
El trabajo de expansión del gas es: W = P (V 2 - V 1)
Q = ( 2 + 1) M R (T 2 _ T l)
W = n R(T2 - T ¡ )
Q = ( 5 + l )10' 10 3(8;31.103)x 2 32 (1 1 3 2 -2 8 3 )
W = (2)(8,31.103)(50)
Q = 7 716 J
@
II. La variación de la energía interna es:
©
ÍII. L a cantidad de calor suministrado es: Q = CP(T2 - Tj)
AU = C V(T2 - T])
Q = ( ^ + l) n R ( T 2 - T ,)
v m A U = 1 - R(T2 - T . ) 2M 1
Q = ( b + lX2X8.31.103)(50)
AU = ^ ” °*32
(8>3 l-103)(1 1 3 2 -2 8 3 )
AU = 5 512 J III.
W = 831 kJ
@
El trabajo realizado por el gas es: W = P AV
AQ = n ^ R A T v
©
Solución: 35 • El anhídrido carbónico ( C 0 2) es poliató m ico (y=6). I. L a variación de su energía interna es:
y AU = ' nR
2
S olu ció n : 36 I. Com o el volum en es constante (W =0), en tonces de la prim era ley de la term odinám i ca, tenemos: A Q = W + AU = n C v ATV
W = (3.105)(7,5.10‘ 3) W = 2 250 J
Q = 3 324 kJ
1 0 0 = (2)(- )(1,986)ATV 2 ATV = 16,78° C
©
II. A presión constante se realiza trabajo, de m odo que la prim era ley de la term odinám i ca, queda así:
************************************************************************* AQ = PAV + n C P ATP
r, = (- -Y-- X 1 0 0 ) = ( - L ) ( 1 0 0 ) y +2 5+2
AQ = n R A T p + n ( T + 1)R A T P
* r\ =>71,4%
Solución: 39 • Sustituyendo en la prim era ley de la ter m odinám ica las expresiones de Q y A U , te nemos:
AQ = n ( T + 2 )R A T P
100 = (2)(~2 + 1)(1,986) ATp
Q = W + AU ATP = 10,07° C
©
W = n C P A T - n C v AT
Solución: 37 • D e la relación entre el calor específico (ce) y la capacidad calorífica (C), hallem os la m asa m olecular, así: C = M ce =>
W = (CP - C v )n A T .Cr> —C a W = (-)Q
¿ ) R = M ce
W = ( ^ 3)(500) = 200 cal W = (200)(4,186 J)
( 2 )(8,314) = M (0 ,0 7 5 )(4 ,1 8 6 )
* W = 837,2 J
M = 39,7 g /m o l
Luego, la m asa de cada m olécula del gas de argón es: m =
M Na
3,9,7
g/rríbl
•
©
Solución: 40 El rendim iento term odinám ico es: R = (l-Í)(1 0 0 )
6,023.1023 m oleculas/m ol 27 + 273 * m = 6,6.10~23 g
®
Solución: 38 • El porcentaje que representa la energía interna del gas (A U ), respecto de la energía sum inistrada ( A Q ), viene dado por:
" = ^ X100)
n ( y /2 + l)R A T
R = [1- 327-+W
(100)
R = (~ °)(1 0 0 )
600
* R = 50 %
©
Solución: 41 • Según teoría, el rendim iento del motor, viene dado por: R = 1-
Termodinámica
1201
************************************************************************* en el ciclo de Carnot inverso es: Tr =
Te
27 + 273
l-R
1 - 0 ,2 5
* T c = 400 °K
©
, Tf , 2 7 3 -1 0 n = i- - = iTc 273 + 17 i q = (0,093)(100)
Solución: 42 • El rendim iento de la m áquina es:
T] =
9,3 %
©
TI. L a cantidad de calor ,que se tom a del foco frío cada ciclo es:
R = l _ TL = i _ _ 9 t 273 Tc 819 + 273 R = 0,75
qf
W = Qc - W = — - W
Así, el trabajo para fundir el hielo es: Qf = ( '- O W
W = R.Qc
fi
W = (0,75)(3 200 cal) Q f = i 1-""-0’— 3)(37000) V f V 0,093 A '
W = 2 400 cal
Q F = 3 6 1 kJ
Luego, la m asa de hielo fundido es:
III. L a cantidad de calor que se cede al cuer po caliente cada ciclo es:
2 400 cal m = --------80 cal / g * m = 30 g
©
©
Solución: 43 • E l rendim iento de la m áquina es:
Q c = Q F + W = 361 kJ + 37 kJ Q c = 398 kJ
©
Solución: 45 • El rendim iento de la m áquina frigorífica en el ciclo de Carnot inverso es:
Te R = 1- Ir
R = 1-
_0 + 273
fi = l -
300
Tr
100+273
500 ti = 0,268
Luego, la cantidad de calor recibida es:
Qc = c
W
1000
R
2 /5
* Q c = 2 500 J
L a cantidad de calor que se utiliza en el fo co caliente para vaporizar 1 kg de agua es:
©
Qc =
mLp = (1)(22,6.105) Qc =
Solución: 44 I. E l rendim iento de la m áquina frigorífica
2 260 kJ
A sí, la cantidad de calor que se tom a del fo
1202 Fí«jea++ ************************************************************************* co frío es:
II) D e la ecuación de los gases ideales, obte nem os la tem peratura final, así:
Q f ~ ( 1 - t0 Q c = 1654 kJ
P2 V2 = n R T2 Luego, la cantidad de agua que se debe he lar en el refrigerador es: Q f —m L F * m ' = 4,94 kg
•
T2 * 304,8 °K ©
Solución: 46 Transform ando la constante " a " . c r i atm 1,013.105 N /m 2 a = 5,0 m 1 atm a = 5,065.10
(1,013.105)(25.10“3) = (1)(8,31)T2
S N fi m8
Solución: 48 • Sustituyendo en la expresión del trabajo para un proceso isobárico, la ecuación de los gases ideales, obtenem os la m asa de helio, así: W = P AV = n R AT
W = m R (T , - T , ) M 2 u
De otro lado, el trabajo realizado por el gas en el proceso de expansión, viene dado por:
20 = (™ )(8 ,3 1 )(3 7 3 -2 7 3 )
W = C 2 P d V = | J 2 a V 2dV
* m = 96,2.10~3 g
* Vj
J
i -x y i ■ W = 3 a ( V 3> v^
®
V|
i x x 3 a ( V 23 - V 13)
®
Solución: 49 • L a razón entre el trabajo a presión tem pe ratura constante al trabajo a presión constan te, viene dado por:
W = ( 3 )(5,065.105)(23 - l 3) WT = n R V n ( V 2/V L) * W = 1,18.106 J
@
Solución: 47 I) D e la expresión del trabajo para un pro ceso isotérmico, y de la ecuación de los ga ses ideales, obtenem os el volum en inicial, así: W = n R T2 ¿n(V 2 / V,)
Wp
PA V
n R T j ¿n(V 2 / ■ V 0 = T, ('n(V2 í V,) n R AT
T j O V T j - Í)
q=— = 0,549 (3 -1 )
© W
3000 = ( l .O U .l O ^ S .l O ^ K n ^ S / V ! )
Solución: 50 • E n el diagram a P-V , com o la presión va ría linealm ente según la tem peratura, se tie ne que:
V, = 7,65 ñ
P = AV + B
W = P2 V2 ¿n(V2 /V 1)
®
(1)
Termodinámica 1203 ****** *** ****** *************** ****** A***** *************** ******* ********* donde, las constantes A y B, se hallan eva luando la ecuación anterior en los estados 1 y 2, así: P] = AVj + B y
T^max = -
P2 = AV2 + B T■*max = -
Resolviendo este par de ecuaciones para A y B, se tiene:
4nR A
4m R A
(4)(20,1.105)2 (4)(20)(8,31)(-0,5.108)
* Tmax* 4 8 6 °K
lB,
A _ P2 - ? i _ (15 ,5 -4 ,1 ). 105 V ,- V ,
-
-
,-3
( 9 - 3 2 ) . 10'
®
A = -0 ,5 .1 0 N /m ^ B = P, - AV, = 4,1.105 + (0,5.108)(32.10“3) B = 20,1.105 N / m 2
Nota La parábola se abre hacia abajo, porque nR/A < 0.
Solución: 51 • El proceso es isobárico, P -c te . La tem peratura final del gas es: Vo T2 = ( v 2)T i
Sustituyendo (1) en la ecuación de los gases ideales, se tiene: AV2 + B V = n RT
T2 = ( 2^ -) ( 2 7 + 273) Luego, de com pletar cuadrados esta ecua ción queda así: T2 = 600 K ( V + B )2 = (T + B - ) 2A A 4nR A E sta es la ecuación de una parábola de vérti ce U (-B/2A ; -B2/4nR Á ) que se abre hacia abajo, com o se aprecia en la Fig.
I)
El trabajo realizado por el gas es: W = P (V 2 - V i )
W = ” r ( T 2 - T ,) M
W = 6- 5y °
(8,31.103)(600 ~ 300) W = 8,1.103J
©
II)La variación de la energía interna es: AU = C v (T2 - T 1) Luego, la tem peratura m áxim a que alcanza el gas durante el proceso es:
v m AU = ----- R (T2 - Ti ) 2M 1
Física++
120 4
•k'idelt'kje'k'itie'k'k'k'k'/e'kitlt'k'k'klt'klc'k'k'k'klt'k'k'k'k'k'k'kltlt'k'k'k'k'k'k'kie'kltlckJtJtJtJiie'k'k'k'k'k'kjcie'k'k'k'kit'kit'k'kJe'k
A U = ^ 6,5'^ 0-
©
AU = 20,2.10 J III)
2v P2 2 = ( - -2 ) 5(2.106)
(8,31.103)(600 - 300)
L a cantidad de calor suministrado al gas es: Q = C P (Ta - T 1)
* P 2 = 5 3 .1 0 ó N m
Solución: 53 I) D e la ecuación de los gases ideales, ob tenem os el núm ero de m oles que hab ía en el gas, así:
Q = ( 2 + 1) M R ( T 2 “ Tl)
_p1vi _ ( ii) a o i3 i ° 5)(2) 111 "" R T j
Q = (5 + 1) 6’5- CÍ" (831.1 Ó3) • (600-30Q 2 2
®
Q = 28,3.10 J
•
®
(8,31)(10 + 273)
n j = 94,76 m oles II) D e la ecuación de los gases ideales, obte nem os la presión del gas a 150 °C, así:
Solución: 52 Cálculo del exponente adiabático.
_ n 2 R T 2 _ (0 ,9 5 n 1)R T 2 V,
'7 i\ m wR _ uc p _ C2 + 1> M X= y m C, R 2M
P, =
y
5
2,3
P2 = (l,3 7 5 .1 0 5 -N2) ( - la t ) m 2 1,013.105
y+ 2 _ 5+ 2 _ 7 X=
(0,95)(94,76)(8,31)(150 + 273)
5 P2 = 1,358 atm
9
La tem peratura final del gas es: .V, T2 = ( v r ) x-1Ti V-
t 2= ( • '+
©
Solución: 54 • D e la ecuación de los gases ideales, ob tenem os el volum en que ocupa un m ol de gas ideal en condiciones norm ales, así: PV = nR T
<300)
(1,013.105)V = (1)(8,31)(273) T2 = 395,8 °K = 123 °C © V = 22,395.10-3 m 3 La presión final del gas diatóm ico es: V ~ 22,4 ¿t P2 = ( | 1)XPl
^
N ota >-3 3 R ecordar que: 1 lt=103 c n v ^ lO " m
Termodinámica
1205
************************************************************************* Solución: 55 • R epresentem os a la cam pana cilindrica a nivel del agua y sum ergida en el agua a una profundidad de 220 m.
* h « 3,84m
D.
Solución: 56 • D e la ecuación de los gases ideales, ob tenem os la razón de los diám etros, así: Pl V, _ P2 V2 T,
T>
(P0 + p g h )( 7 tD 3/ 6 ) = P0 ( j i D | / 6)
Í i Los volúm enes inicial (V i) y final (V 2) del aire encerrada en la cam pana cilindrica son: V] = 7i r2 H
y
P2 = P0 +
Pg(h'-h)
Ahora, de la ecuación de los gases ideales para los estados inicial y final del aire ence rrado, obtenem os el nivel del agua, así:
T,
T2
[1,0131o5 + (0,1025105)(4,2)]Djí _ U H aiÓ 5^ 278
“ d2 D,
V2 = Ttr2 (H - h)
La presión final (P2) del aire encerrado en la cam pana, es la sum a de la presión atmosfé rica Po e hidrostática, esto es:
Pl V,
Ti
1,13
285
©
Solución: 57 I) L a altura inicial del volum en de gas en cerrado en el cilindro a la presión atmosféri ca P0 y tem peratura de 20 °C es: V¡ = A h]
=>
5.10' 3 = 10~2 hj
hj = 0,5 m = 50 cm
P2 V2 ' T,
P0 7i r 2 H
[P0 + p g ( h ’- h ) ] 7t r 2( H - h )
Ti
T,
hi
P0H = [P0 + p g ( h '- h ) ] ( H - h ) Ti
T2 (1,013.105)(4) __ 298
La presión en el gas encerrado a la tem pera tura de 250 °C, es la sum a de la presión at m osférica m ás la creada por la deformación del resorte, esto es:
[1,013.105 +(0,1025.105) (2 2 0 - h ) ]( 4 - h) 278 h 2 - 233,88h + 882,65 = 0
Po —Pfi +
k(h2-h,)
P2 A = P0 A + k ( h 2 - h j)
*
Física++ *************************************************************************
1206
P2 A = (1,013.105) ^ 0“2) + (2.103)(h2 - 0,5)
dV = - m k e - k p dP
P2 A = (0 ,0 1 3 + 2 h 2).103 Sustituyendo P2A en la ecuación de los ga ses para los estados inicial ( 1) y final (2) del gas, obtenem os la altura que asciende el ém bolo, así: P , V , _ P 2 V2 _ P 2 A h 2
t2
r,
“
W = eP d V = - m'j >
e ^
dP
P ee — ~kp ;; p2 . ^1 rp2 e- kP dP} w = _ m k t :! P p k
T,
(1,013.10 )(5.lO “J) _ (0,013 + 2 h 2).10 h 2 293
Luego, el trabajo realizado durante la com presión del m etal es:
523
W = - m { - 1-(P2 e "kPi - P 1e_kPl) ~ P k
?>
2 h 2 + 0,013b2 - 0,904 = 0 * h 2 w 0,67 m = 67 cm ( d )
W - m {(P2e-kPj - P je -k ^ ) + ^ (e-kPj - e - kp')} P k
II) E valuando la expresión para la presión P2, obtenemos:
* W = -3 ,3 4 J
P2 = l , 0 1 3 . 1 0 ^ 1 0 > ( ° ^ - 0’5> 10-2
Solución: 59 • R epresentem os el ciclo form ado por los tres procesos isócorico (A-B), isobárico (BC) y isotérm ico (C-A).
©
P¿ = (1 ,351 .10 5 — y ) ( la tm m 2 ' Vl,0 1 3 .1 0 5 N / m 2 '
P2 - 1.3,3 atm
*
©
Solución: 58 • Integrando la expresión del coeficiente de com presibilidad a tem peratura constante, tenemos:
k = ~ V ( 9 P )T
=>
[d A lV =
d * i V = - J 0P k d P =>
V = V, e
- k d p ]T
í n ^ = -k P
-kP _ m _kP = —e P
A plicando la ley de los gases ideales, a los estados A, B y C, obtenemos: V, = R T ' P, ri
, T2 = V! P° = P» T. y R P, RT, ro
Termodinámica 1207 ************************************************************************* Los trabajos en cada uno de los tres proce sos son: Proceso isocórico A-B:
Vc x = > = ( “) VA
W, = 0 pués (VA=VB) Proceso isobarico B-C: W2 = P o (V 2 - V , ) = P0 (
W2 ,(1 2 = R T iv
Com o el gas es monoatóm ico Ot=5/3), en tonces de la ecuación de Poisson, se tiene: 5 /3
rA rB
PB = 32 PA RT,
RT,
O)
De otro lado, de la expresión del trabajo pa ra el proceso adiabático'(A -B ), se tiene: > V + - pbv b
%
x-1
Proceso isotérm ico C-A:
B
16Pa - 2 P b 5 /3 -1
W, = R V n V' = R T , f n P° 3 1 V, 1 P, Luego, el trabajo realizado en todo el ciclo es:
8P a - P
b
= -7 2 0 k = -2 4 0 k
(2)
De (1) en (2), tenemos: 8 PA - 32 PA = -2 4 0 k
w = w, + w 2 + w 3 PA = 1 0 k P a y PB = 3 2 0 k P a W = R T l ( l - P° + ¿ n P°) pi pl W = (8,31)(300)(1- 1 + £n 1 ) 6,9 6,9 * W = -2*68.103 J
©
Solución: 60 • R epresentem os los procesos adiabático (A-B) y isotérm ico (B-C).
Ahora, com o el proceso (B-C) es isotérmico, de la ecuación de los gases ideales, hallem os Vc , así: pb v b
= prc v, vc
(3 2 0 k )(2 ) = (10k)V c Vc = 64 m 3 Luego, el trabajo de expansión del gas en el proceso isotérm ico (B-C) es: WB^ C = n RTBf n ( V ) VB
WB^ c = P BVBí n ( ' ' c ) VB
WB^ c = (3 2 0 k )(2 )¿ n (6 4 /2 ) WB_ c = (3 2 0 k )(2 )(5 )A i(2 )
1208 F»sica++ *************************************************************************
®
En el proceso (2-3), la presión en el estado (3) es:
Solución: 61 I) Com o el trabajo realizado en el ciclo, es num éricam ente igual al área encerrada, en
T
tonces:
P2 _ p 3 _ ~T *
106 _ P3 100 ~ 50
P3 = 0,5.106Pa W - A rea rectán g u lo A BCD W = (3P0 ~ P 0)(3V0 - V 0) W = 4P 0V„
(4) es: la )
II) Como la tem peratura inicial y final es la misma, entonces de la prim era ley de la ter m odinám ica, tenemos:
' P3 v3 _ P4 v 4 T3
T4
(0 5 106)(10)
P (1 2 )
50
60 6
Q = AU + W
= 0 ,5 .1 0 Pa
y Q =
g n e¡ proceso (3-4) la presión en el estado
Com o los procesos son a presión constantes, e ¡ trabaj 0 realizado por (ó sobre el gas) en
n R (T 0 - T0) + W
cada uno de ellos es: Q = W = 4 P0V0
® W1^ 2 = P2( V 2 - V 1)
III) A plicando la ecuación de los gases idea les al estado inicial A, obtenem os el valor del trabajo de un mol en un ciclo, así:
Wj_>2 = (10 )(1 0 -5 ).1 0
= 5 kJ
W2^ 3 = P 2 ( V 3 - V 2) W = 4P0V0 = 4 n R T 0 W2^ 3 = (106)(1 0 -1 0 ).1 0 “3 = 0 kJ
W = (4)(1)(8,31)(2*73) #
W = 9,07.103 J
@
Solución: 62
W3^ 4 = P3(V4 - V 3) W3^ 4 = (0,5.106)(1 2 -1 0 ).1 0 -3 = 1 kJ
• E n el proceso (1-2), la presión en el esta do (2) esP.Vi = P2V2 Tj
T2
a6(10 )(5) _ _P2(10)
50
100 6
P2 = 1 0 P a
, . , , Luego, el trabajo total realizado por (o sobre) el gas es: WT = 5 kJ + 0 kJ +1 kJ * WT = 6 kJ
©
Solución: 63 • P ara un gas diatóm ico, y=5, y la energía interna es:
Termodinámica
12 0 9
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * **
v m
, 2 2 7 x = l + =1+ = y 5 5
y
U = 1 R T = 1PV 2 M 2
Y el grado de expansión es:
U = ^ (1,5.105)(2.10-3 ) * U = 750 J
.Dj
Y2 _ j-Pl y = (^’^)7 V, 1
S olución: 64 • La m ezcla es un gas diatómico, y=5, luego, la variación de su energía interna es:
= 1,33 veces II) L a tem peratura final (T2), hallam os de:
A U = Y ( m ' + ^ ) R .A T 2 M, M2
t2
i-3 a u = 5 2 ° :10- 3 + 3 2 .102
28
32
A
1 7-1 n T2 - ( i 33) 5 .(303 K )
* AU = 997,2 J
I)
Solución: 65 El trabajo realizado por el gas:
T2 = 270,3 °K c)
W =
-V, = ( 'Y + t, ‘v,
©
El trabajo realizado por el gas es:
m
R .T ¿ ln ( V2) M V,
w = ” R . ( T , - T 2) M x -1
.V, W = P .V ¿n ( ¿)
V
W=
1 _8’3 1 1 0 (3 0 3 -2 7 0 ) 2 9 (7 /5 -1 )
W = (l,01.105X 1 0 '3)^ rf(2 /l) W = 70 J
©
II) Com o no hay cam bio en la energía ínter na (T -c te.), la cantidad de calor que recibió es:
W = 2,36.10 J
S olución: 67 • El rendim iento de la m áquina de vapor viene dado por: r
Q - W - 70 J
©
Solución: 66 I) El aire es un gas diatómico, y = 5, lúe go, el exponente adiabático es: Cy + R X=
cv
lB,
= 1- Tf = , _ 50 + 273 Tc 250 + 273 R = 0,382
E ntonces, el calor de la caldera por unidad de tiem po es: = P = (8X735 J /s ) c
R
0,382
Física++ *************************************************************************
1210
Este calor, es el 30 % de la m áquina térm ica ideal, de modo que, el calor que se debe su m inistrar a la caldera es:
Q=
Q
P0 V0
(1,013.105)(20.10-3)
RT0
(8,31)(300)
0,30
II) Cuando el resorte se deform a, la presión del gas encerrado, es la sum a de la presión atm osférica (P 0), más la presión creada por la fuerza de recuperación del resorte, esto es: _ ! k.x
"(0,382X0,30)
* Q = 12 257,26
A.
n = 0,8^2 m oles
Qc
(8X 735/4,186) c a l/s
^
n=
cal
f£
A Solución: 68 • Supongamos que el agua a 30 °C cede to do su calor hasta enfriarse a 0 °C, entonces:
Evaluando esta expresión para P=0,3 M Pa, obtenem os la deform ación del resorte, así:
Q a = m Ac A O A - To)
0,3.106 = 1,013.105 + 10 * 4.10
Q a = (50)(0,24)(30 - 0) = 360 J (1)
x = 0,795 m
De otro lado, el calor necesario para derretir com pletam ente los 10 g de hielo que está a la tem peratura de -10 °C es:
Ik x
.............. T
Q h = niHc H (T0 - Th ) + m HL F
*R
Q h = (10)(0,12)(0 —(-1 0 )) + (10)(330) Qh = 3^12 J
*
(2)
D e (1) y (2) com o Q h> Q a>sólo una parte del hielo se derrite, luego, del principio de con servación de la energía, calculem os esta ma sa (m) de hielo que se derrite, así: mHCH(T0 - T0) + m L F = QA (1 0 )(0,12)(0- (-1 0 )) + m (330) = 360 * m = 1,05 g
©
Solución: 69 I) El núm ero de m oles del gas encerrado en el cilindro a la tem peratura de 27 °C es:
Tn
III) De otro lado de la ecuación de los gases ideales, obtenem os la tem peratura para un es tado diferente del inicial, así: T =
-t. T =
PV _ P A x nR
nR
1 ^ kxw .A P 0 + k .x v (P0 + - ) A x = ( - ? )x A nR
nR
T = (4.10-2)(l,0 13.105) + (104)(0,7 95) (0,812)(8,31) T = 1414 °K
©
Termodinámica IV) Ahora, diferenciando la expresión de la tem peratura, tenemos: dT =
* d(A P 0 x + k x 2) nR
dT =
dQ = dU + P dV = n c v dT + (P0 +
).A dx
2
AP -°
2k
4-
T-
V,
T,
V,
V4
v,
Ta
3 =>
V1
Igualando las dos últimas ecuaciones: 1 2 / 1 3 = 1 ! / T2 =>
T2 = TjT3
t 2 = ;t 1t 3
(2)
Luego, utilizando las e c s.(l) y (2), hallem os el trabajo realizado por el gas, así:
dQ = n c v dT + (A P 0 + k x )d x R(
To
T1 « T2 => V1 = T1 V, V4 _ v4 t 2 .
Sustituyendo esta expresión en la prim era ley de la term odinám ica, obtenem os el calor que debe disipar la resistencia eléctrica (R), así:
3
En el proceso isobárico (2-3):
En el proceso isocórico (1-2):
(A P 0 + 2 k x ) d x nR
dQ = n
1 2 1 1
y
)d x + (A P 0 + k x ) d x
W = (P2 - P 1)(V4 - V 1)
nR W = P2V4 - P 2V1 - P 1V4 + P1V1 dQ = (2,5A P 0 + 4 k x ) d x W = P2V4 - 2 P 1V4 + P 1V1
J y dQ = 2,5 A P0 f°'79 dx + 4 k
0,7 9
x dx W = n RT3 - 2n R T 2 + n RTj
Q = (2,5)C4.10~2)(1,013.105)(0,79) +
W = n RT3 - 2n R ¡Y{T3 + n RTj
(3.104)(0,792)
©
Q = 14,24.10 J
Solución: 70 • A plicando la ecuación de los gases idea les a los estados 2 y 4, se tiene: P2V1 = P 1V4 t2
O) t
W = n R ( T3 -
:'T] ) 2
W = (1)(R )( n/ 4 6 Ó - a/324.)2 + W = 4R
Solución: 71 I) El trabajo realizado en todo el ciclo, por el gas ideal es:
3
W = P (V 2 - V i )
i
T2
W = P (nR T 2 - nRTi) P P
Vj
"vT
W = n R (T 2 - T ] )
T
©
Física++ *************************************************************************
1212
W = (0,20)(8,31)(300 - 20) W = 465 ,3 6 J
4 65 ,3 6 = 0 ,6 .1 0 5)(5 .1 0 "4) x
®
II) L a presión constante a la que se encuen tra el gas encerrado es: p
=
m
g
=
A P = (1,6.10
( 8 ) ( 1 0 )
q 5
5.10"
*
m2
latm < N -,)( ' ' 5 - - ■ '•>' m 2 1,013.105 N / m 2 P = 1,56 atm
©
E.
x = 5,82 m
1
S olución: 72 • A plicando la ecuación de los gases idea les a los estados A y B del proceso isotérmi co A-B, tenem os que: P2 VB = P ,V 1 =>
VB = P| V! *2
A plicando la ecuación de los gases ideales a los estados C y D del proceso isotérm ico CD , tenem os que: p2 Vc = P, V2 =>
Vr =
P ,V 2
III) E l volum en inicial del gas ideal, a la tem peratura de 20 °C es: V, =
nRT,
(0,20)(8,31)(20 + 273) 1, 6 . 10-
© Vj = 3 ,0 4 .10r
m3 = % 0 4 ft
IV) El volum en final del gas ideal, a la tem peratura de 300 °C es: nRT2 V, = -
w = w , + w 2 + w 3+ w 4
(0,20)(8,31)(300 + 273) W = n R T j ¿ n ( ^ B) + P2(Vc - VB) +
1,6 .10' ^
Luego, el trabajo en todo el ciclo, es la suma de los trabajos de cada uno de los cuatro pro cesos, esto es:
= 5 ,9 5 . 10“3 m 3 = 5,95
VA £t
V) L a distancia que se desplaza el émbolo, debido al cam bio de tem peratura es: W = P (V 2 - V,) = P (A h 2 - A h,) W = P A (h 2 - h ,) = P A x
n R T 2 fn ( ) + Pi(V, - V2) 'V r P ,V , W = P, V, in( ^ V l) + P, V2 f ( r -2 - 2) P2 V, PiV2 P2 ( P' V - - PLV' ) - P l ( V2 - V i )
T
e r m
o d i n á m
i c a
1 2 1 3
************************************************************************* S olu ció n : 74 • En un proceso adiabático la relación en tre las presiones y volúm enes iniciales y fina les, viene dado por:
W = -P , V, £n( ?2 + P, V2 £n( 1 1 Pi) * 2 Pi) + P](V2 - V j ) - P , ( V 2 - V , )
p0 v 0y = p v ^ * W ^ C V j-V ^ n f
) P0 V0¿ = P (2 V 0)2
Solución: 73 1) Evaluando la expresión de la presión, para P=1 atm = l,0 1 3 .1 0 s N /m 2 y V=25 li
=>
P = Pq / 4
. , L ueS0' el trabaJ ° real,zado Por el «as en el proceso adiabático e s :,
tros=25.10'3 m 3, obtenem os la constante (a), así:
W =
P V - P 0 V0 l - y
P = 0 ,5 a V 2 W =
-3x2 1,013.10 = 0,5 a (25.10 ' 3)
a = 3,24.10
N m
©
II) Evaluando la expresión de la presión, pa ra V =80 litros=80.10'3 m3, obtenemos: P = (0,5)(3,24.108)(80.10~3) 2 1 atm P = (10,4.105 -N2 )(l n , , r T : r ; 2) m" 1,013.105 N /m " P = 10,23 atm
©
(P0 /4 )(2 V 0) - P 0 V0 1-2
©
* W = 2 P° V°
S olu ció n : 75 • D e la ecuación de los gases ideales apH cado al estado A, obtenem os el volum en V A, así: PA VA = n RT¿ (105)V A = 0 X 8,31)(900) VA = 7 4 ,7 9 .1 0"3 m 3
III) Finalm ente, calculando el trabajo para la presión dada, obtenemos: W = J^ 2 PdV -
(0 ,5 a V 2)d V
W = - « ( V l - V i 3)
v -3 \3
W = (')(3 ,2 4 .1 0 f')[(80.10 3)3 - ( 2 5 . 1 0 " ') ’! W = 26,8.10 J
E n el proceso isobárico C-A, obtenem os la relación entre los volúm enes VA v Vc así: c _=> Tr
VC = TC VA
TA
Física++
1214
l t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
E n el proceso isobárico (A-B), obtenem os la relación de la presiones PA y PB, así: pa
_ pb
Ta
=>
Tb
pb _
t b _
Pa
Ta
^
Luego, el trabajo en el ciclo es la sum a de los trabajos de cada de los tres procesos, es to es: w
=
w, + w2 + w3
El rendim iento ideal de la m áquina es:
r - i - T * = , - 800 Tc 1800 i * R « 0,56 « 56 %
®
Solución: 77 I) De la ecuación de los gases ideales halle m os la presión inicial, así: P0V0 = n R T0
w
= o + pbv a m
^ c ) + p a (V a - v c )
P0(5) = (3)(0,08206)(273 + 30)
Vn
w = PBVA£ n (^ c ) + PA(VA - Vc ) lA
W = (3.10 5)(74,79.10 '3) f n(3) + + (105)(74,79.10-3 - (3)(74,79.10~3)) W = 9,691.10J J
Q
= W ~ 9,69 kJT
Com o el proceso es isotérm ico (T=T0), en tonces de la ecuación de los gases ideales para dos estados, obtenem os la presión final, así: P0VÜ = P V T0
Luego, com o hay cam bio de energía interna (AU=0) durante el ciclo, entonces de la pri m era ley de la term odinám ica, el calor sumí nistrado al gas es: *
P0 = 14,92 atm
®
Solución: 76 • L a potencia producida por los 250 g de gasolina es: 250 P '= (11 000X4,186)(3- - - ^ )
P '= 3 197,64 J /s El rendim iento real de la m áquina es:
T0
(14,92)(5) = P (20) P = 3,73 atm
@
II) El trabajo efectuado por el gas, para un proceso isotérm ico, viene dado por: W = n R V n ( V / V 0) W = (3X8,314)(303)¿n(
20
* W = 10 476,82 J
™ JIS = 0,2298 3197,64 J / s
©
Solución: 78 • H allem os el coeficiente de Poísson (%) teniendo en cuenta que para un gas diató mico (y=5), así: _ C P _ ( y /2 + 1 ) R
R=
)
X~C V~
y /2 R
Termodinámica 1215 ************************************************************************* X =
5+ 2 5
, ,
(3 0 ,6 1)(10) = P (10,13)
= 1 .4
Luego, de fe ecuación de estado para un pro ceso adiabático de un gas ideal, obtenemos la presión final, así:
P = 30,22 atm
®
*
III) Com o el proceso es a volum en constante el trabajo es nulo (W = 0), luego, la prim era ley de la term odinám ica, queda asi:
P° = ( V )x
P
v
AQ = W + AU AQ = n CyATy
V ,0 \1,4 p = (Y ? )xpo = ( ' " )l,4 p t 2V, V
AQ = n y R ATV * P = 0,38 P0
\£ J
S olución: 79 I) El volum en final que ocupa el gas ideal, hallam os de la expresión del trabajo efectúa do por el gas a tem peratura constante, así:
400 = (5)(2 )(8,314)A TV ATV = 6,41 °C
©
® N o ta La variación de tem peraturas en las esca las centígrada y kelvin es la misma.
W = nR T M V )
V
w Solución: 80 • Como el proceso en el volum en supe rior es adiabático, de la relación de presio nes y volúm enes, obtenemos el volumen, así
V = V 0 e nRT 400
V = ( 1 0 )e (í0)(8'3l4)(373) V = W,13 l t *
©
P o V j = P ,V /
=>
v 1 = ( V yv 0 Pl
II) D e la ecuación de los gases ideales, ha liemos la presión inicial, así: Vj = ( P0V0 = n RT0 P0(10) = (10)(0,08206)(373) P0 = 30,61 atm Luego, de la ecuación de los gases ideales para dos estados, obtenem os la presión final, así: PnVn P V Tn
-p0 r' 2/3aV0 = 0 ,4 4 V 0 3,375PC
De modo que, el volum en de la parte infe rior del g as es: V2 = 2 V0 - V, = 2V 0 - 0,44V 0 V2 = 1,56V0 I) Con esto, de la ecuación de los gases idea les, y teniendo en cuenta la condición de e quilibrio P i= P - 2, obtenem os la tem peratura
Física++ ************************************************************************* ****
1216
cial, así:
en el volumen superior del gas, así: Ti =
Pt V,
(3,3 75 P0)(0,44 V0)
nR
nR
p0 v0 T1 = 1 , 4 9 ' u r u = 1,49 T0 ©
II) D el mismo modo, obtenem os la tem pera tura del volum en inferior del gas, así: _ P2 V2 1? = nR
(3,375P0)(1,56V0) -- nR
W = P V /n ( V ) Vn 3000 = (l,0 1 3 .1 0 ')(2 5 .1 0 '3) ^ n ( i2 5 ) *V0 vo V0 = 7,65 ñ II) D e la ecuación de los gases ideales, ob tenem os la tem peratura del gas, así: PV = nR T (1,013.105)(25.10’ 3) = (1)(8,31) T
T2 = 5,27 P° V° = 5,27 T0 © nR
Dj
T = 304,8 III) U tilizando la expresión del trabajo para un proceso adiabático, obtenemos: W, =
Pq Vo - P íV, Y -l
w, =
Solución: 82 • D e la ecuación de los gases ideales para dos estados, aplicando a cada uno de los pro cesos, tenemos:
P0V0 - (3,375 P0)(0,44V 0) 3 /2 -1 Wj = -0 ,9 7 P0V0
I a =£a < Tb Pb
©
IV) El calor entregado, debido al calenta m iento que experim enta la resistencia es:
ta
< Tb
Q = n c v ( T - T 0) + Wj id
Q = n R - ( T - T 0) + Wi y -1
P A
1i VB
Tb
Pa = P b ta
<
tb
Q = n 3 /- 2 : i (5-2 7 To - To) + 0.97P°v o 0
Q = 8 ,5 4 n R T 0 + O,97P0Vo
III)
Q = 9,51P0 V0
Pa
©
S olución: 81 I) D e la expresión del trabajo para un pro ceso isotérmico, obtenem os el volum en ini
VA
V
b
Pb
t b
Pb
T a > Tb 0
VA=VB
Termodinámica 1217 *************************************************************** ********** Luego, la respuesta correcta es la a). Solución: 83 I) El trabajo en un proceso isobárico (P= cte.), viene dado por: W = P ( V - V 0) W = (0,8)(1,0 1 3 .105)(2 - 9).10“3 W = -5 6 7 ,2 8 J
©
II) D e la prim era ley de la term odinám ica, obtenem os el cam bio en la energía interna del gas, así: Q = A U +W - 400 J = AU + (-5 6 7 ,2 8 J) AU « 167,3 J
.
®
Solución: 84 El trabajo en un proceso isobárico (P=
cte.), viene dado por:
na del gas, así: Q = AU + W
=>
12,5 kJ = AU + 5 kJ
AU = 7,5 kJ
©
II) De a ecuación de los gases ideales para dos estados, obtenem os la tem peratura final, así: T0 _ T ^ 300 _ T V ,~ V
1 ” 3
T = 900 °K
©
Solución: 86 • El agua está form ado por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno, por lo que, la m asa de un mol de agua es: m A = 2 + 16 = 18 C uando el vapor de agua se transform a en agua dism inuye inuye su pe a§“ a líquida Iicluida *y dism su tem tem peratura, el calor que pierde en este proceso es: Q = m AL F + m Ac A( T - T o )
W = P ( V - V 0) = P ( ^ T - ” Rp T») Q = (1 8 )(5 4 0 )+ (1 8 )(l)(3 7 3 -2 8 3 ) W=
20 = (
m 4
m
R ( T - T 0) M #
Q = 11340 cal = 47469,24 J
)(8,31)(373 - 273)
+ m = 96,27.10-3 g
®
Solución: 85 I) El trabajo en un proceso isobárico, vie ne dado por: W
P (V - V0) = (2,5.103)(3 - 1 ) W = 5.103 J
Luego, de la prim era ley de la term odinám i ca, obtenem os el cam bio en la energía ínter
Ahora, com o el gas se empande a tem peratu ra constante (A U -0), luego, de la primera ley de la term odinám ica, obtenem os el volu m en inicial del gas, así: Q = AU + W = W Q = nR T ¿n( V )
V
20 47 469,24 = (19)(8,31)(273) tn{ - ) V0 * V0 = 2,47
tt
Fís¡ca++ *************************************************************************
1218
Solución: 87 • Para un proceso adiabático, la relación entre las presiones y volúm enes correspon dientes al estado inicial y final del gas ideal, viene dado por: P = ( V°)* => V
P3
V°Z V*
Luego, el trabajo realizado sobre el gas en el proceso de com presión adiabático es: w
< c > = ^ (A T + | b T 3) ] 0T ’ 1 -> < c >= A + B T 2 3 De otro lado, evaluam os la expresión dada, en T =T/2, así: c = A + B ( T )2 = A + 1 T 2 2 4
v Luego, la diferencia entre el calor específico m edio y el calor específico en T =T/2 es:
JdW = JPdV o
v0
Ac = A + 1 B T 2 - ( A + 1 B T 2) 3 4
w = ] p»v» d v v, ^0 V*
Ac = 1 B T 2 = 1 B (24)2 12
W 1- y
12
)Jv ° * Ac = 48 B
W = P° V()1 (V 1_x-V ¿ ~ x) 1- X
w
= - - - [P0V0 - P 0( ^ ) * V ] X -l V 1 ÍF g V o -P V ) X -l
Solución: 89 • Com o el helio es monoatóm ico (y=3) su m asa m olecular es: M = mN A M = (6 ,6 6 .10_24)(6,023.1023) M = 4 g /m o l
W = ( i 4 1_ ] ) [(10)(l,5)-(4)(3> ] W = 7,5 ft.atm = (7,5)(101,316 J) * W = 759,87 J
©
Solución: 88 • El calor específico m edio para el interva lo de tem peraturas [0; T] es:
Luego, el calor específico del gas de helio a volum en constante es: yR 3 8,314 cv = ■= ( • ) ( • ) V 2 M 2 4 c v = 3,12
J =3 120- J g.°K kg°K
Termodinámica 12ig ************************************************************************* Solución: 90 • D e la ecuación de los gases ideales, el núm ero de m oles de cada uno de los gases, es: P,V,
nL
RTi
27T^R 2 64 Po
(27)(126)2(8,31)2
a=
P2 V2
n? = - L
a=
= 0,1359
(64)(33,6)(1,013.105)
RT2
De otro lado, la energía interna de la m ezcla de gases, es igual, a la sum a de las energías internas de cada una de sus com ponentes, es to es: U = U, + U 2
b = T^ R 8 PC b ,
» 3 ,) . = 0 ,3 8 4 5 .1 0 (8)(3,36)(1,013.10')
Sustituyendo "a" y "b” en la ecuación de Van der V aals para gases reales, obtenem os la tem peratura, así:
7 n R T = ^ n iT1 + 7 n 2T2 (n, + n 2) T = niT, + n 2T2
T =
( P ^ / R l j ) ^ + (P 2V2/R T 2) T 2 (P] V1/R T 1) + (P2V2 / R f 2)
t
=
t 1t 2
[(2) ( i , o m o 5) + ( 2 )2 0,1359 ] • W (0,821 (T6)2
Pi Vi + P 2V2 P iV i^ + P .V .T ,
T =
( P + m2 a ) (V - m b ) = m R T M V M M
[0,8210-3 - ( 2s )(0,384510-3)] = ( 28)(8,31)T
(400)(600)[(1)(200) + (4)(100)]
T « 272 °K
(1)(200)(600) + (4)(100)(400) * T = 514,3 °K .
©
Solución: 91 I) D e la ecuación de los gases ideales, ob tenem os la tem peratura, así: PV = ™ RT M (2)(1,013.105) = (2/28)(8,31)T T » 280 °K
©
I) Prim ero, calculem os las constantes "a" y "b" presentes en la ecuación de V an der W aals, así:
Solución: 92 • Prim ero, calculem os las constantes "a" y "b" presentes en la ecuación de V an der W aals, así: 27TpR 2
a = - -64-Pr
(27)054) (8,31)
= 0,1364
(64)(50)(1,013.105)
T rR
8154)(8,31)
8PC
(8)(50)(1,0 13.105)
= 3,158.10
-5
Sustituyendo "a" y "b" en la ecuación de V an der V aals para gases reales, obtenem os el volumen, así: ( P + n 2 ^ 2) ( V - n b ) = n R T
<1220 Fisica++ ************************************************************************* dad del vapor de agua saturado, así: [107 + (103)2( 0^ 3264) ] [ V - (103)(3,158.10”5)] P= = (103)(8,31)(27+273)
m
PM
(92,5)(133,3)(18)
V
RT
(8,31)(50 + 273)
10V3 -2,8088V 2 + 0,13 6 4 V - 4,307510“5 = O U na de las raíces, de esta ecuación cúbica, que satisface las condiciones dadas es: V = 0,231 m 3 = 231 tX © Solución: 93 • L a presión debida a las fuerzas de inter acción entre las moléculas, viene dado por: P= n
2 a
p = 82,7 % m ^
Recordar: L a equivalencia: l.m m H g=133,3 N /m 2
Solución: 95 • L a razón de las densidades del vapor de agua saturado a 200 °C y 100 °C es: P200 _ P200 M / R T _ P20o P100M / R T P,100 P100
2 27TpR 2
n = n 2c . V2 64 Pc V
15,3 atm
q =
(760)(1,316 .10"3)atm P= n
2 27T¿
P2
_27T ¿P 2
* q = 15,3
®
64 Pr n 2 T 2 ~ 64 Pr T 2 p ,= ( 27 64
417 2 (I,0 1 3 .I0 5)2 273
(76)(1,013.105)
* P = 1,31.10J
Solución: 96 • U tilizando ia relación entre las presio nes y volúm enes para los estados inicial y fi nal de un proceso adiabático, tenemos:
N m 2.
©
Solución: 94 I) Evaluando la ecuación de los gases idea les para una presión de P=92,5 mmHg, obte nem os la m asa del vapor de agua saturado, así: PV = m RT M
Para la prim era expansión adiabática: P1 = p o (
¿ v0
) z = Po ( ' ) x
¿
Para la segunda expansión adiabática:
P2:=Pl ( Y, )* = P0 ( l )2x 2 1 2V, 2
(9,25)(133,3) = ( m )(8,31)(50 + 273) 18 m = 82,7 g
®
II) Evaluando la ecuación de los gases idea les, para P -9 2 ,5 m mHg, obtenemos la densi
Para la quinta expansión adiabática: P5 = P 4 ( V4- )* = P0 ( V X 5 2V4 ° 2
Termodinámica 122i ************************************************************************* P5 = P o ( V 5X7/5)
0,5)(1,013.10s)(2 ,5 .1 0 '3) = n (8 ,3 1)(300) n = 1,524 moles
E
* P5 = P0 /128
Solución: 97 • Evaluando la ecuación de los gases ideales para P =3l ,8 m mHg, obtenem os el nú mero de m oles, así: PV = nR T
Ahora, calculem os el exponente adiabático, el volum en en C, y la tem peratura en B, así: , 2 . 2 7 X = l+ =1+ * y , 5 5 PB VB = PC VC => -(4,5)(25) = (1,5) Vc
(3 l,8)(l 33,3)(10-6) = n88,31)(30 + 273)
Vc = 75 £t
n = 1,684.1(T6 moles Luego, el núm ero de m oléculas contenida en 1 cm 3 de vapor de agua saturado es: N = n N A = (1,684.1-5 )(6,02 3 .1023) N = 1.1018 m oléculas © Solución: 98 • La presión de vapor de agua que hay en el aire es: P=H rPS, siendo Hr la hum edad re lativa y PS la presión del vapor de agua satu rado, luego, sustituyendo esta presión en la ecuación de los gases ideales, obtenem os la m asa de vapor de agua^saturado, así: m =
m =
PVM
H r Ps V M
RT
RT
V(ft) * Proceso isocórico A-B: W = P (V B - V A) = 0 , Q=n
(0,75)(31,8)(133,3)(1)(18)
(VA= V B)
R (T b - T a ) X -l
Q = (l,524)((78/’^
i ) (9 0 0 - 3 0 0 )
(8,31)(30 + 273) * m = 22,7 g
Q = 18 996,67 J
©
Solución: 99 I) A plicando la ecuación de los gases idea les al estado inicial, obtenem os el número de moles, así:
* Proceso B-C: Com o la tem peratura es constante T A=Tc, entonces, AU=0, luego:
q p q Vq -
n RT(
= W = ( Pb X C)(V c -
v b)
Física++ ************************************************************************* w
1222
Q = W = (4,5^-1,5)(l,013.105)(7 5 -2 5 ).1 0 “3
T| =
-recibido Q = W = 15195J n = * Proceso isobárico C-A:
7 597,5 ... i--- = 0,222 18996,67 + 15195
W = PC (VA - V C)
ti = 22,2 %
W = (l,5)(l,013.10s)(2 5 -7 5 )(1 0 “3)
Solución: 100 • R epresentem os al condensador antes y después de la com presión del aire.
W = - 7 597,5 J
A N TES
DESPUES
Q = n XR,(T a - T c ) X -l Q = (1,524) ■? y
^ (300 - 900)
T h
I-:!-:':!:-'!:::-:;
+0 T
Po
X
Po+P
J l.
Q = - 2 6 595,3 J
Q
AU = Q - W = - 2 6 595,3 - ( - 7 597,5) AU = - 1 8 997,8 J Luego, el trabajo en todo el ciclo, será la su ma de los trabajos de cada uno de los proce sos, esto es:
La m agnitud del cam po eléctrico uniforme entre las placas del condensador es: E = eo
W = W AB + WBC + WCA W = 0 + 15 195 - 7 597,5 = 7 597,5 J Tam bién, el trabajo es num éricam ente igual, al área encerrada por el ciclo, esto es:
e 0S
Así, el diferencial de fuerza eléctrica, debi do a este cam po eléctrico, sobre ün diferen cial de área de una de las placas es: dF = E dQ =
e„S
W = A rea del triángulo ABC w
= * ( pb -
p a XV c
-
va)
W = 2 (4,5 “ 1,5)(1,013.105) ( 7 5 - 25)(10-3) W = 7 597,5 J El rendim iento del ciclo form ado por los tres procesos es:
Q dQ
D e m odo que, la fuerza total entre las placas cargadas del condensador y la presión eléc trica entre ellas, son: F
1
Q
Jd F = - c |Q d Q o 0
F= 92_ y P = F= -92__. 2enS
S
2e„S
Te rm o d in á m ica *********************************************************************1223 *”**"* Luego, en la ecuación de los gases ideales, considerando T= cte., se tiene:
Pc Vc = (300.1(n(26.10-3)
p , v , = p 2v 2 P0S h = (P0 + P ) S x
Tn =
R
8,31
pDv D
(ioo.io*)( 26 .io-3)
R
8,31
= 312,9 °K
)2
h = 0 + p )= ,+
h - ] + (2tí)(9- 109) (2 .10“6)2 x"
(8.10"4) 2(1.013.105) * Proceso isocórico A-B: *
x
* 4,5 veces
D
S olución: 101 • P ara un gas diatóm ico y=3, de m odo que el exponente adiabático (x) y las capaci dades caloríficas, son:
V
x -1
= (1 )(
Q = C V(TB - T A) = 2 R (T B - T A)
Q = ( X8,31)(794,2 - 264,7) = 6 600,2 J * P roceso isobárico B-C:
, 2 . 2 5 X = l+ =1+- = . y 3 3
Cv = n R
W = 0 J , pues V A=V B
W = PB (VC - V B)
R ; = 3R 5 /3 -1 2
W = (300.103)(26 - 2 2 ).10"3 = 1 200 J Q - C P (Tc - TB) = ^ R (Tc - TB)
Cp = n * R = ( l ) ( 5 / 3 R ) = 5 R P x -1 5 /3 -r 2 A hora, de la ecuación de los gases ideales, calculem os las tem peraturas en los estados A, B, C y D, así: PAVA R
Tn =
(100.103)(22.10-3) - = 264,7 °K 8,31
PBVB
(3 00.103)(22.10-3)
R
8,31
= 794,2 °K
Q = (")(8 ,3 1 )(9 3 8 ,6 - 794,2) = 2 999,9 J •
Proceso isobárico C-D: W = 0 J , pues VC=V D Q = C vR (T d - T c ) = - R ( T
d
-T c)
Q = ( -)(8 ,3 1 )(3 1 2 ,9 -9 3 8 ,6) = - 7 799,3 J
Física++
1224
*************************************************************************
* Proceso isobárico D-A: W = Pa (V a - V b) W = (100.103)(22 - 26). 10”3 = -4 0 0 J Luego, el rendim iento en el proceso cíclico form ado por dos isocóras y dos isóbaras es: V2 v (üm3)
W
fi = (
X I00)
Ventregado
* Proceso adiabático C-D: Q= 0J
, 2 0 0 -4 0 0 6 600,2 + 2 999,9
W = -A U = - C v (T d - Tc ) .B .
p = 8,3 %
W = ^ n R ( T c - T D) S olución: 102 * P ara un gas diatóm ico y=5, de modo que el exponente adiabático (%) y las capaci dades caloríficas, son: 2 X = l+
y
2 =1+
R
Cv = n
5
7 =
* Proceso isocórico D-A:
W = 0J Q = C v (TA - T D) = 2 n R ( T A - T D)
5
D
<
- =n( - )= nR X" 1 7 /5 -1 2
A hora, la eficiencia de una m áquina refríge radora, viene dado por: W fi =
n 7 /5 R 7 Cp —n —n —n K. P x -1 ,7 /5 -1 * 2 * Proceso adiabático A-B:
Q a b s o r v id o
Ta - T b + Tc - T d fi = T a “ Tb
Q=0S fi -
(T a - T
W = -A U = - n C v (TB - T A) W = - n ^ R ( T B - T A) * Proceso isocórico B-C: W = 0J Q - C v (Tc - T b ) - ^ n R ( T c - T b )
d) -( T b - T Ta - T d
c)
t1 = ] - ( T b _ T c )
'
T* - T n
A hora, aplicando la relación entre los volú m enes y tem peraturas a los estados A-B y CD para un proceso adiabático, tenemos:
Ta Va _1 = TrB Vn VB
Termodinámica 1225 ************************************************************************* T d V ^ T c V c *-1
Q j = 397,8 k J
Restando los m iem bros izquierdo y derecho de estas ecuaciones, tenemos: ( T A - T D) v r ' = ( T B - T c ) V |
-i
S olu ció n : 104 f • El trabajo realizado en el ciclo ABCD, es num éricam ente igual, al área encerrada por el ciclo, esto es:
( T B .- T c ) = ( V A )X -1 Ta - T d '
®
W = (P 2 ~ P¿)(V2 - V j)
V
Finalm ente, sustituyendo está ecuación en la expresión para (r|), obtenemos:
W = (2 - 1)(1,013.105)(50 - 25) W = 2 5 ,3 2 .1 0 5 J
Va P (a tm )
Vt P2
B
C
A
D
n = i - ( I 8 )7/5- 1 = 0,162 28 * q = 16,2 %
©
V (m 3
S olución: 103 1) El rendim iento del refrigerador, viene da do por: TI =
T{ - T> ( - V l 2 )0 0 0 ) = ( 1 - 1 1 ) 0 0 0 ) T,
1
Ahora, de la ecuación de los gases ideales, obtenem os las tem peraturas en los estados A, B, C y D, así: PAVA = n R Ta
17 + 273
Ta = 304,8 °K
q = 0,93 % II) L a cantidad de calor que se tom a del cuerpo frió en cada ciclo es: q
2 = (!" -? )
V2
q
V2
(1,013.10 )(2 5 ) = (10 )(8,31)T a
n = [i - ( -10r+27^)]tioo) 1
V,
W
=
¿ ~ ° 0 9 3 )(3 7 .1 0 3) 0.093
Q 2 = 3 60,8 kJ
©
III) L a cantidad de calor que se tom a del cuerpo frió en cada ciclo es:
pa
Tlaa
_
^r B
304,8
Tb
Tb = 609,5 °K
VQ
V,c
Tr,
Tr
25
_ 50
609,5 “ Tr
Tc = 1 219 °K d
Qj = Q 2 + W = 360,8 k j + 37 k j
=. =>
T
Tr
1
_- >
1219
T,D
Física++ *************************************************************************
1226
Td = 609,5 °K
Q = Cv A T = n
A sí, las tem peraturas de las isotermas del ciclo de C am ot son T ,= l 219 °K y T z=304,8 °K, com o se m uestra en la Fig.
R -A T
x -i (s o o x ^ is ó j^ o x -^ S a o o ) x -i X = 0,662 +1 = 1,662 U tilizando la fórm ula,de cantidad de calor a presión constante, obtenemos: vR Q = CP A = n —— AT
x -i
Luego, el trabajo realizado en el ciclo de C am ot, obtenem os de la expresión del rendi m iento, así: ,
T2
W"
T,
Qi
n=i- A =
Q . f l r 1f,6 g 62W - 1 f W Q = 2 086,287
* Q = 498,4 cal
W ”= Q x(1 - T ?) = n R T l £n( V l) (1 - T ?) 'V, Ti
,
W "= 5265,8 k j Luego, la razón entre el trabajo correspon diente al ciclo de C am ot (W” ) y el trabajo (W ) del ciclo dado es:
J ©
S olución: 106 • La eficiencia térm ica de cada una de las m áquinas refrigeradoras es:
W "= (103X 8,31X 1219)ín(2X l -
■1; 2
,
361
W,
Tl
Qi
1 1 225
U * W2
(i)
(2)
Como, rji= r|2, entonces, igualando las ecua ciones ( 1) y (2), tenemos:
_ W " _ 5_265,8 X ~ W “ 2 532,5 * x = 2,079 * 2,1
4,186
©
Solución: 105 • Cuando el helio se calienta a volumen constante, de la fórm ula de cantidad de calor (Q ), obtenem os el exponente adiabático, así:
Tl _ = 36i 1225 T,
=> T 2 = (352)(192) i v a / T, = 665 °K
Sustituyendo Ti en las e c .(l), obtenem os las eficiencias de las máquinas:
Termodinámica 1227 ************************************************************************* De la ecuación d e los gases ideales, obtene mos el núm ero de moles, así:
q, = q 2 = 0 ,4 5 7 Ahora, aplicando la prim era ley de la termo dinám ica a la m áquina ( 1), y teniendo en cuenta la e c .(l), se tiene:
P V = ,n R T (2)(1,0 13.105)(4.104)(10-6) = n(8,31)(283)
Q j = W j+ 1 0 0
n = 3,446 moles Luego, com o el aire e s diatómico (x= M ) el cambio en la energía interna que experim en ta el aire de la llanta es:
Q 1 = 0,457 Qj + 100
Qj = 184,16
AU = C v (T2 - T 1) = n R (T2 - T , ) X -l AU = [(3,446)- 8,- - ] ( 3 10,78 - 283) 1 ,4 -1 AU = (1 988,8 J ) ( - - - — - ) 4,186 J * AU = 475 cal T am bién, aplicando la prim era ley de la ter m odinám ica a la m áquina (2), y teniendo en cuenta la ec.(2), se tiene:
•
©
S olución: 108 Considerem os un estado cualesquiera pa
ra 20
Q 2 - Qr+- w 2 «
w,
2 = 184,16+ W2 0,457 2 * W2 * 155 kW
^
Solución: 107 Transform ando las tem peraturas inicial y final de °F a °C, tenemos: T0 = ^ (50.32) + 273 = 283 °C T = h(K)0 - 32) + 273 = 310,8 °K
De la Fig., obtenem os la gráfica de la pre s*ón en función del volumen, así: P -1 5 = V - 2 0 3 0 -1 5
4 0 -2 0
=>
3y 4
De otro lado, de la ecuación de los gases ideales, obtenem os la presión, así:
Física++ ************************************************************************* 1228
PV = nR T
=>
P = - RT V
( 2)
Igualando (1) con (2), obtenem os la expre sión para la tem peratura, así: T =
estados B y A , así: VA = V b Ta Tr
(3)(30X 4nR
Solución: 111 • D e la ecuación de los gases ideales, ob tenem os la razón de las tem peraturas en los , =>
TB.= 2 Y o = 9 tXA. V vo
(4)(1)(8,31)
* T = 81,22 ÜK
{B j
S olución: 109 • El cam bio en Ja entropía que experim en ta el agua, viene dado por:
De otro lado, el núm ero de m oles (n), el ex ponente adiabático (x), y la capacidad calo rífica a presión constante (Cp) son: n=
m M
=
13,2 2
, . . = 6,6 m oles
•2 dQ A S = J, T
, 2 2 7 x = l + *1 + - = y 5 5
t , m c 0dT AS = L12 ..... JT) X
CP = n - R = n ( 7 - - ) R = 7 n R P x-\ k7 / 5 - V 2
93,5 + 273 AS = m c J n ( ^ 2) = (10)(l)¿n( 'Ti 27 + 273 * AS = 2
cal
©
Luego, el cam bio en la entropía que experi m enta el hidrógeno a tem peratura constante es: rB dQ AS = J A X
S olución: 110 , • El trabajo en el ciclo ABC, formado por una isóbara, isócora y isoterma es:
•Tu C DdT A S = L b - p- — = C P ^ n (---)
w = w A^ B + w B^ c + w c ^ A
AS = ( ’ )(6,6)(8,31)£n(2) = 133,06 / 2 K.
W = PA(VB - V A) + 0 + PA VA^ ( Y A ) vc W = (105)(2 0 - 1 0 ) + (105) ( 1 0 ) ^ n ( ^ )
ta
* AS =31,8
cal
©
°K Solución: 112 • A plicando la ecuación de los gases idea les a los estados A y B, tenemos:
W = 10.105 - 6,93.105 = 3,068.105 J PAVA = P BVB * W = 73,3.103 cal
©
=>
V° = ?A = 2 V/
Termodinámica 1229 ******************************************** ***************************** P (N /m 2)
_
.A
Pi
(0,25.1 0 3 )2 (27)(126)2 (8,31)2
¡ " (28)2 (10~2 )2 (64)(33,6)(1,013.105) P = 1,083.105 N / m 2
P2 j V(m3) v2
Vi
Com o el proceso es isotérm ico (T=cte.), en tonces, AU=0 y dQ =dW =PdV, por lo que, el cam bio en la entropía del gas es:
Ahora, e la ecuación d e los gases reales, ob tenem os la presión total del gas, así: (P + n 2 + ) ( V - n b ) = n R T .
A S = 1f aBdQ-p *
0 2 5 i o3 (3,845.10-5)] = ( ’ )(8,31)(100) ¿O
rB P d V _ ¡B n R d C
Ja
j
Ja
y P + 1,0834.105 = 23,043.105
AS = ” R í n ( y - ) = (® )(8,31)fa(2)
P = 21,96.105 N / m 2
AS = 2 3 / - = 5 , 5 - - al K K
Luego, la fracción que representa la presión (P,) debida a las fuerzas de interacción mo lécular a la presión (P) del gas es:
©
Solución: 113 • Prim ero calculam os las constantes " a" y "b" presentes en la ecuación de los gases reales, así: • 72/ 0 p,x2 (27)(126)z(8,31)¿
a = 27T¿ R 2 = 64PC
b=
-Q jjjg
~ (64x33,6x1,013.1o5)
(126^ 31> --.3,845.1o-5 8PC
(8)(33,6)(1,013.10 )
x = ( r>i)(100) = ( 1,0 8 3 -19-5 )(100) P 21.96.10 x = 4,93 % 3 l) N ota L a presión crítica (Pc) y tem peratura crítica (T c), se h an obtenido de tablas. Solución: 114 • El rendim iento real de la m áquina térmi ca, viene dada por:
Ahora, calculem os la presión correspondien te a las fuerzas de interacción m olecular, así:
jn ^ a
_ _ m2 _ 27T ¿R 2
i _ M2 V2 _ M2 V2
64 Pc
fii =
W
Pt
Qc
mJ
(14,7.103)(3,6.103) fii =
(8,1X3,3. (O7)
1230 Fís¡ca++ ************************************************************************* ri! = 0 ,1 9 8 «
20 %
AS
AS Tr
,
3=
m c e¿ n ( J ) l 2
El rendim iento de la m áquina térm ica ideal, que funciona según el ciclo de C am ot es:
3= (1 0 > < lK n (^ )
58 + 273
T1i = 1- - - = 1- - - —
12
Tc
t
!2 =
200 + 273
0 ,3 0 = 3 0 %
©
Solución: 115 • La variación que experim enta la entro pía al elevarse la tem peratura del hielo de T¡ = -2 0 ° C a T 2= 0 o C es:
1
1
T,
cal AS3 2 o¿ = 3 ,1 ’ K L a variación que experim enta la entropía al transform arse el agua en vapor de agua, a la tem peratura de T 3= 100° C es: AS, =
As4
1
AQ
m LF
T ”
T,
= Q?XS«) =
cal
373
°K
AS] = m c el n ( - ) 273 AS] = (10)(0,5)^n(253)
Luego, la variación total que experim enta la entropía es:
2
3
AS = AS] + A S + A S + A S
cal AS,1 = 0,38 ’ oK
A S = 0 ,3 8 + 2 ,9 3 + 3,12 + 1 4 ,4 8
L a variación que experim enta la entropía al transform arse el hielo en agua, a la tem pera tura constante de T 2 = 0o C e s :. AS2 = AQ = m 1^ T
AS, =
(10X80) 273
T
2
= 2,93
4
cal °K
L a variación que experim enta la entropía al elevarse la tem peratura del agua desde T 20 o C hasta T 3= 100° C es:
* AS » 21
cal °K
0
Campo eléctrico 1231 **********************************************************************************************
C A M PC ELECTRIC© 1. INTRODUCCION • L a electrostática es una parte del electro m agnétism o que estudia los fenóm enos re lacionados con las cargas eléctricas estáti cas. L os principales descubrim ientos y acontecim ientos, relacionados al desarro lio de este campo fascinante de la ciencia m oderna son: • El filósofo griego Tales de M ileto (640546 A.C) observó que cuando se frotaba el ám bar, atraía objetos pequeños, tales co m o plum as o pajitas.
En 1720 el inglés Stefhen G ray descubrió la conducción eléctrica, es decir, la atrae ción y la repulsión eléctrica puede trans ferirse de un cuerpo a otro si am bos se co nectan m ediante determ inadas sustancias. C harles Francois D u Fay (1698-1739), su girió la existencia de dos tipos de electri cidad. En 1745, Pieter van M isschenbroek y Ew ald G eorg von K leist desarrollaron la B otella de Leyden, uno de los primeros condensadores eléctricos. En 1747, el científico norteam ericano Benjam in Franklin, propuso un modelo en el cual por prim era vez se postula el principio de conservación de la carga. To do cuerpo tiene una cantidad de electrici dad "normal". Introdujo el concepto de carga positiva (+) y negativa (-).
NEGATIVO
© • © 0
O
POSITIVO
© En el siglo XVI, el físico inglés W illiam G ilbert (1540-1602) estudio sistem ática m ente los efectos eléctricos y m agnéticos, dem ostró que m uchas sustancias diferen tes del ám bar adquieren una propiedad a tractiva cuando se frotan, introdujo los tér m inos de fuerza eléctrica y polo m agnétj co. Tam bién, sostuvo que la Tierra es un gran im án con polos en el N orte y Sur. L a palabra eléctrico procede del griego e lectrón, que significa ám bar, y la palabra m agnético procede de M agnesia país don de se halló la m agnetita. E n 1672 O tto von G uericke creó la prime ra m áquina capaz de producir una desear ga eléctrica.
Un tiem po después se encontró que son e lectrones los que se transfieren en el pro ceso de frotam iento. Cuando el vidrio se frota con seda, se transfieren electrones desde el vidrio hacia la seda, dejando al vidrio positivo y a la seda negativa. Y cuando el ám bar se frota con el cuero se transfieren electrones desde el cuero ha cia el ámbar. Joseph Priestley (1733-1804), realizando varios experim entos dem ostró que no exis te ninguna electricidad en la superficie interior de una vasija m etálica hueca a par tir de éste resultado dedujo que la fuerza entre dos cargas varía proporcionalm ente
1232.
Física++
al inverso del cuadrado de la distancia en tre ellas.
L os resultados de Priestley fueron confir m ados experim entalm ente, por Charles Coulom b (1736-1806), m ediante la utiliza ción de una balanza de torsión, creación suya. En la recta final del siglo, A lessandro Vol ta desarrolla la prim era pila de corriente continua, la pila de Volta. A principios siglo X IX H ans Christian 0 rsted planteó la hipótesis de que los fe nóm enos m agnéticos y eléctricos están re lacionados entre si. Esta relación fue de m ostrada por Ampere entre 1822 y 1826 En 1821 M ichael Faraday descubrió la in ducción electrom agnética y el concepto de líneas de campo lo que le permitió crear el prim er m otor eléctrico; hechos por los cuales es considerado el fundador del electrom agnetism o. Tam bién, consi guió dem ostrar que la carga eléctrica en un conductor se acum ula en la superficie exterior de éste, independientem ente de lo que haya en su interior. En 1823 W illiam Sturgeon desarrolló el prim er electroimán, perfeccionado años después por Joseph H enry. En 1827 Ohm formuló la ley que recibe su nombre, en la que relacionaba tensión, corriente y resis tencia. En 1833 H einrich Lenz form ula la Ley de Lenz, por la cual las corrientes inducidas
serán de un sentido tal que se opongan a la variación del flujo m agnético que las produjo. E n 1835, M orse crea el telégrafo com o aplicación de la teoría electrom agné tica.E n 1841, H erm ann von H elm holtz dem ostró que la electricidad era una ener gía y que com o tal, cum plía la ley de con servación. E n 1859, Julius Plücker descu bre los rayos catódicos. E n 1864 Jam es Clerk M axw ell establece las llam adas E cuaciones de M axw ell que dem ostraron y detallaron la relación m ate ática entre cam pos eléctricos y r¿agnéti eos, los cuales, según dem ostró, tenían la m ism a naturaleza que la luz: naturaleza de onda; a las cuales se denom inó ondas e lectrom agnéticas. En 1876, apoyándose en los descu^rim ien tos sobre com unicación inalám brica de A lexandr Stepánovich Popov, Gugjielm o M arconi desarrolla la radio. En 1879 Joseph John Thom pson descubre el electrón al observar que los rayos cWó dicos están formados por partículas de car ga negativa. A dem ás determ inó la reía ción carga-m asa de estas partículas. Dos aflos después Thom as A lva Edison inven tó la bom billa y tras otros dos años descu brió el efecto term oiónica o efecto Edj son. E se m ism o año John Tíopkinson pu blicó el principio de los m otores sincró nicos. En 1887 H einrich R udolf H ertz descubre el efecto fotoeléctrico, gracias a su estu dio de la propagación de las ondas y en la profim dización de la naturaleza electro m agnética’de la luz. H acia ese m ism o año O liver H eaviside reescribe las ecuaciones de M axw ell en form a vectorial. E n 1888 X ikola T esla crea el prim er ge nerador de corriente alterna y posterior m ente un motor que funcionaba con ella, los cuales fueron m ostrados en la Expo
Campo eléctrico 1233 *********************************************************************************************** sición U niversal de Chicago de 1893. En los años posteriores T esla desarrolló otros inventos, com o un generador de corriente de alta frecuencia o la bobina Tesla. Tam bién en la corriente alterna centró sus investigaciones Charles Proteus Steinm etz, las cuales ayudaron a que ésta se im pusiese sobre la corriente continua. • A principios del siglo XX, Robert An drew s M illikan m idió la carga del elec trón y H endrik A ntoon Lorentz, ju n to con su pupilo Pieter Zeem an, ganó el Premio N obel de Física en 1902 por su investiga ción sobre la influencia del m agnetism o en la radiación, originando la radiación e lectrom agnética. » En 1905 las im plicaciones y ciertas con tradicciones teóricas del electrom agnetis mo condujeron a A lbert Einstein a la pu blicación de la teoría de la relatividad es pecial, en 1905. A su vez la reform ula ción relativista del electrom agnetism o clá sico, llevo a la form ulación de la electrodj nám ica clásica. Y más tarde con la consi deración de los efectos cuánticos se for m uló la electrodinám ica cuántica. • En otra publicación de 1905, Einstein pu so en juego los pilares del electrom agne tism o clásico. Su teoría del efecto foto eléctrico (por el cual ganó un prem io No bel de física en 1921) proponía que la luz podría existir en cantidades en form a de partículas discretas, que más tarde serían llamadas fotones. L a teoría de Einstein del efecto fotoeléctrico extendió la forma d e ver la solución de la catástrofe ultra Violeta, presentada por M ax Planck en 1900 E n su trabajo, Planck m ostró que los elem entos calientes em iten radiación electrom agnética en paquetes discretos que coñduce a una energía to tal fin ita emi tida cóm o radiación d ex u erp o negro. Am b o s resultados estaban en contraposición
directa con el punto de vista clásico de la luz com o una onda continúa. Las teorías de Planck y Einstein fueron las que die ron origen a la m ecánica cuántica, la cual, al ser formulada«en 1925, requirió la in vención de una teoría cuántica del electro m agnetism o. A esta teoría, co m putada en la década de los 1940, se le conoce como electrodinám ica cuántica (o de sus siglas del inglés, QED) y1es una las teorías más exactas que la física conoce. • En resum en toda la historia del desarro lio de los descubrim ientos de electricidad y m agnetism o, se reducen a tres propieda des o principios im portantes de la carga: 1 )L a carga eléctrica se conserva. 2) L a carga eléctrica está cuantizada. 3) L a fuerza entre dos cargas puntuales va ria inversam ente proporcional al cuadra do de la distancia entre ellas. 2. IN T E R A C C IO N E S a) C oncepto Son las que gobiernan todos los tipos de movim iento que existen en el U niverso, en la naturaleza existen cuatro tipos de in teracciones. b )Tip o s 1) Interacción gravitatoria Fue la prim era interacción estudiada por el hom bre, y la m ejor y más estudiada, el m ovim iento de los planetas está gobem a do por esta interacción, la cual, es percep tibie en la escala m acroscópica. 2) Interacción electrostática Es la interacción que m ayor valor prácfí co tiene dada sus am plias aplicaciones téc nicas. E sta interacción es la que por ejem pío existe entre partículas tales como elec trones, protones, etc.. Es perceptible en la escala m icroscópica.
Física++ 3) Interacción nuclear o fuerte Esta interacción se da al interior de los núcleos de los átom os, es decir, entre los nucleones (protones, neutrones), esta in teracción no se conoce com pletam ente, es de corto alcance. D entro de los núcleos a tóm icos esta fuerza es muy significativa en los procesos que se presentan en la transform ación de los núcleos radiactivos. Tam bién desem peñan un papel importan te en las teorías de fisión y fusión nuclea res. 4) Interacción débil E sta interacción se da entre partículas fun dam entales tales com o piones, cationes, kaones, neutrinos, mesones, bariones, lep tones, etc...El estudio de esta interacción está en pleno desarrollo. L a interacción débil declina con m ucha rapidez al aum en tar la distancia, por lo que es perceptible sólo en la escala m icroscópica. c) Intensidades relativas de las inter acciones D e acuerdo a su intensidad las interaccio nes se clasifican en un orden descenden te, de la siguiente forma: 1) Interacción fuerte * 1 2) Interacción electrom agnética « 10'2 3) Interacción débil w 10' 5 4) Interacción gravitacional « 10'38 S
N ota Se llam a partícula fundam ental, a las partículas que no tienen estructura inter na propia, es decir, no están constituí das po r otras partículas.
m os y estas por neutrones, protones y elec trones. L a palabra átom o se deriva del griego átom os (que significa indivisible), lo cual no es una denom inación apropiada, pues, existen otras partículas elem entales (ines tables) que forman parte del átomo.
A TO M O
En la naturaleza existen 92 tipos de áto mos, van desde el más ligero el hidróge no (Z = l) hasta el más pesado el uranio (Z=92). El átom o más com plejo que se encuentra en la naturaleza, es el uranio. E xisten átom os más pesados, elaborados artificialm ente por el hom bre, ellas van desde el neptunio Z -9 3 hasta el rutherfordio Z=104 y hafhio Z=105. Las cargas de las partículas elementales electrón y protón, sólo se diferencian por sus signos, en la siguiente tabla, presenta m os sus m asas y sus cargas. P a rtíc u la
M asa (kg)
C a rg a (C)
electrón
9,1.10'31
-e
proton
1,6.10 27
+e
neutrón
1,6 .1 0 27
0
3. E S T R U C T U R A A T O M IC A • Todo cuerpo o sustancia (sólido, líquido, gaseoso) está constituido de moléculas, las que a su vez, están form adas por ato
L a m asa del protón es aproxim adam ente igual a la del neutrón y estos a la vez son 1 840 veces la m asa del electrón.
Campo eléctrico
1235
A********************************************************************************************* • En el m odelo atóm ico de B hor los electro nes giran alrededor del núcleo, describien do órbitas ya sea circulares ó elípticas; en la actualidad se cree que éste m odelo no es del todo correcto, pero sirve para fines didácticos.
•
•
Se dice que un cuerpo, es eléctricam ente neutro, cuando tiene el m ism o núm ero de cargas positivas y negativas. D os cuerpos con carga eléctrica del mis mo signo se repelen y dos cuerpos con carga eléctrica de signos contrarios se atraen.
^
U n id ad : "q" se m ide en coulom b (C)
O
•
• •
•
El tam año del diám etro de las órbitas de los átomos, están en el orden de (2 a 3) x l 0 '8 cm. El tam año del diám etro del núcleo atómi co está en el orden de 10'12 cm. Entre los protones y electrones se esta blecen fuerzas de origen o naturaleza e léctrica. Las fuerzas entre las partículas (núcleo nes) que constituyen el núcleo atómico se llam an "fuerzas nucleares".
b) Principio de co n se rva ció n de la carga eléctrica E ste principio fundam ental de la física, establece que la carga no se crea ni des truye, sólo se transfiere de un cuerpo ha cía otro. E jem p lo : 01 D os esferas m etálicas idénticas con car gas q i= 6 0 u C y q2=-40jaC se unen y se
•
separan. H allar las cargas eléctricas fina les de cada una de las esferas Solución: P or el principio de conservación de la carga eléctrica, am bas esferas adquieren la m ism a carga eléctrica, esto es:
qi + q2 =
6 0 p + ( - 4 0 ¡j.)
2
4. C A R G A E L E C T R IC A (q)
2
* q = 10pC a) C on cep tos • E s una propiedad fundam ental de la ma teria, del m ism o modo que la masa. • Es una m agnitud física escalar, que ca racteriza el estado de electrización de un cuerpo. • E xisten dos tipos de carga eléctrica, lia m adas positiva (+) y negativa (-). U na partícula es positiva cuando tiene defi ciencia de electrones, y negativa si tiene exceso de electrones. • L a carga total de un cuerpo es la sum a algebraica de sus cargas positivas y ne gativas.
c ) Principio de cuantización de la carga eléctrica. El valor de la carga eléctrica "q" de un cuerpo, es igual, a un núm ero entero "n" de veces el valor de la carga del electrón "e".
e
2e
3e
q = ne
4e
Física++ Ejem plo: 02 ¿C uántos electrones tiene una partícula de carga eléctrica q= 8,0. 10"17C? Solución: El núm ero de electrones, viene dado por -17
^
1=1 Nota En el cálculo del m ódulo de la fuerza eléctrica, no se copsideran los signos de las cargas " q j" y " q 2"-
q 8,0.10 n =- = e 1,6.10-19
Ejem plo: 03 H allar el módulo de la fuerza eléctrica entre dos particulas.de cargas eléctricas, q i=2 n C , q2= -3 n C separados por una
* n = 500 electrones 5. F U E R Z A E L E C T R IC A <<:E1 módulo de la fuerza de eléctrica en tre dos partículas, es directam ente pro porcional al producto de sus cargas eléc tricas qi, q2, e inversam ente proporcio nal al cuadrado de la distancia "d ” que
•
distancia de d= 3 cm. Solución: El m ódulo de la fuerza eléctrica es: F = ( 9 .1 0 > ) V i° 7 )% í£ ! ) (3.10 )
los separa>:> qi 0 - 4
Unidad: "F" se mide en new ton (N)
+ F = 60 N q2 -W -)
^ C o m o las cargas son de signos opuestos, la fuerza es de atra cc ió n ^ . C O N D U C T O R E S Y A IS L A D O R E S Los m ateriales y sustancias, teniendo en cuenta sus propiedades y características eléctricas, se clasifican en conductores y aisladores. a) C onducto res Se denom inan así a los m ateriales o sus ta n d a s que perm iten el paso o la transmi sión de corriente eléctrica a través de e líos, la m ayoría de los m etales son bue nos conductores. L a existencia de elec trones "libres" en un conductor es lo que hace posible el establecim iento de co rriente eléctrica en el mismo. 6
F— © ■ qi
q2
siendo: k=9.109 N .m 2/C 2, la constante de proporcionalidad eléctrica. Las fuerzas que actúan sobre las partícu las son de igual m ódulo, pero de direc ciones opuestas Las fuerzas que actúan sobre las partícu las, están dirigidas a lo largo de la recta que une sus centros, a éste tipo de fuer zas se les denom ina centrales. Si qi y q2 tienen el m ism o signo la fuer za entre las cargas es de repulsión.Si qi y q2 tienen signos diferentes la fuer za entre las cargas es de atracción».
Ejemplo: 04 L a plata, cobre, agua, etc...son conduc tores. b) Aisladores Se llam a así a los m ateriales o sustancias
Campo eléctrico 1237 ********************************************************************************************** que no perm iten el paso de corriente e léctrica a través de ellos. L os dieléctri eos son aisladores. En un dieléctrico no existen electrones o portadores "libres” en suficiente cantidad que le perm itan la transm isión de corriente eléctrica.
Un campo eléctrico se dice que es unifor me, si en la región donde existe, su mó dulo y dirección se m antienen constan tes. .E,
E jem plo: 05 El vidrio, plástico, m adera, etc...,son ais ladores. 7. C A M P O E L É C T R IC O (É ) a) C oncepto • D ecim os que en una región del espacio, existe un cam po eléctrico, cuando, en cualquier punto de está región ubicamos una carga eléctrica q 0 (carga de prueba), y observam os que esta experim enta una fuerza de origen eléctrico.
e2
•
•
L os cam pos electrostáticos son creados p or cargas eléctricas que están en estado de reposo, respecto de un Sistem a de Re ferencia Inercial (S.I.R) L os cam pos eléctricos se representan grá ficam enté m ediante las llam adas líneas de fuerza del campo eléctrico.
b) Intensidad de cam po eléctrico Es una cantidad física vectorial que se u tiliza para caracterizar la fuerza que ejer ce un cam po eléctrico sobre u n a partícu la de prueba de carga eléctrica " q 0" muy pequeña, en un punto del espacio, donde existe dicho campo eléctrico, vie ne dado por:
E s a través del cam po eléctrico que una partícula c a r|a d a ejerce acción sobre o tra, no existiendo entre ellas contacto ai guno. T oda partícula o cuerpo cargado, crea en el espacio que lo circunda, un campo eléctrico de alcance ¡limitado, que decae rápidam ente, esto es, se asum e que en el infinito este cam po se anula. El campo eléctrico, es una m agnitud fisi ca vectorial resultado de la existencia de la carga eléctrica, así, com o el campo gravitatorio, es resultado de la existencia de la m asa, am bas son propiedades intrín secas de la materia.
Si q0 es positiva, F y É están en la mis m a dirección. Si q0 es negativa, F y I están en direc ciones opuestas. L a partícula de prueba de carga " q 0 ", de
Físlca++ *****************************************************************************************
•
be ser m uy pequeña, para que no altere o distorsione la intensidad del campo eléc trico (externo), en el punto donde se en cuentra dicha partícula. Para representar gráficam ente los cam pos electrostáticas, en una región del es pació, se utilizan las llamadas líneas de fuerza del cam po electrostático.
c ) Líneas de fuerza del cam po eléctrico Son líneas im aginarias, que perm iten re presentar gráficam ente un cam po eléctri co, y presentan las siguientes caracteris ticas: 1) El vector cam po eléctrico, en un punto P del espacio, es siem pre tangente a la lí nea de fuerza que pasa por dicho punto.
2) Las líneas de fuerza se originan en las cargas positivas (fuente) y term inan en las cargas negativas/sum ideros)
4) Las líneas de fuerza son continuas, no form an trayectorias cerradas y no se cru zan entre sí, debido a la unidireccional! dad del cam po electrostático, es decir, la dirección de la intensidad del cam po e lectrostático en un punto del espacio es única. 5) La densidad de líneas de fuerza en una región, es proporcional a la m agnitud del cam po eléctrico en dicha región. d ) Principio de su pe rpo sició n de ca m p o s eléctricos
<52
El cam po eléctrico en el punto P, creado por el sistem a de N cargas puntuales qi, q2,..., qN> situados a las distancias di, d2, ...,dN del punto P, es igual, a la suma vectorial de los cam pos eléctricos crea dos por cada de estas cargas puntuales, esto es: E — Ei + E-> + ... + E»
3) L a cantidad de líneas de fuerzas que se originan o term inan en una carga es pro porcional al valor de dicha carga.
E jem p lo : 07 H allar el módulo del cam po eléctrico re sultante en el punto P, creado por las cargas elé'ctricas puntuales, q i-4 .1 0 ' 12 C, q2= 8.10’12 C. ______Ei
41
€>•
2cm
P
3cm
42 €>
Solución: Los cam pos eléctricos creados por qi y
c Campo eléctrico 1239 ********************************************************************************************** q2 en P, tienen direcciones opuestas, por lo que, el cam po eléctrico resultante es:
( 2 .i( r ¿y
( 3 .ic n )
N * E = 9 0 - 8 0 = 10 — (-» ) C 8
É = k a i ( z | ) + ...+ k 5 N ( z M í i Ir r J •
. C ALC U LO DE CAM POS E L E C T R IC O S Com o los campos eléctricos se sum an vec torialm ente, para hallar la resultante de la sum a de los cam pos eléctricos creados por un sistem a de "N" cargas eléctricas puntuales q , qn, pueden utilizarse dos m étodos, los cuales son:
a) M étodo de las com ponentes
siendo, "k" la constante de proporciona lidad. 1*1 N otas 1) En la sum a para determ inar el cam po e léctrico resultante, se utilizan los signos de las cargas eléctricas q,. 2) R ecordar que los cam pos eléctricos se su m an v^ctorialm ente y no escalarmente, pues, son cantidades físicas que tienen m odulo y dirección. 3) L a ventaja de este m étodo consiste en que se obtienen a la vez, el m odulo y di rección del cam po eléctrico resultante. b) M étodo del polígono * \ r2\
/ r, A . /
qi
P '" " -
TN"E
guir es el siguiente: 1) Se elige el origen 0 del sistem a de coor denadas X Y Z, en el punto donde se quie re determ inar la intensidad del campo eléctrico resultante É . 2) Se representan y expresan en el sistem a de coordenadas XYZ los vectores de posición fl v ..,fNde cada una de las N cargas qi,...qN. 3) A plicando el principio de superposición de cam pos eléctricos, se determ ina el cam po eléctrico resultante, así: É = É 1 + ... + E N
n
En este método el procedim iento a se guir es el siguiente: 1) U tilizando los signos de las cargas eléc tricas puntuales q¡, se representan gráfi cam ente los vectores de cam pos eléctri eos E j, creados por cada una d ^ e s ta s
Física++
*1X49***************************************************************************************** 2) Los vectores representados anteriorm en te se ubican uno a continuación del otro, eligiendo arbitrariam ente el primer, se gundo,..,n-ésim o vector. 3) Se traza el vector de cam po eléctrico re sultante, em pezando en el prim er vector y term inando en el últim o vector 4) U tilizando la fórm ula de Pitágoras, ley de senos, ley de cosenos, etc.., se deter m ina el m ódulo del cam po eléctrico re
E =
XsenG 27te„d
c ) Plano infinito »p
sultante E . La m agnitud del campo eléctrico creado por un plano infinito con densidad super ficial de carga " a " , en un punto P del va cío, viene dado por:
9. C A M P O S E L E C T R IC O S C R E A D O S POR CUER POS CARGADOS a) Filam ento infinito
2 e,
T
JX
d)
A n illo delgado
La m agnitud del campo eléctrico en el vació, creado por el filam ento de longi tud infinita, densidad de carga lineal u niform e ” X”, en el punto P situado a una distancia "d” , viene dado por E=
A
La m agnitud del campo eléctrico creado por un anillo delgado de radio "R ", con densidad de carga lineal "X" en un pun to P, situado sobre la línea que pasa por el centro del anillo y perpendicular a e lia, a una distancia "d" del plano que contiene al anillo es:
2ne.nd
b) Filam ento finito p i -.
E =
JX
Rd 2 e 0 ( d 2 + R 3) i/2
U2 L a m agnitud del campo eléctrico en el vació, creado por el filam ento cargado de longitud " t" en el punto P situado a u na distancia "d", viene dado por:
e)
D isco delgado L a m agnitud del cam po eléctrico creado por un disco con densidad de carga su perficial y radio "R ", en un punto
Campo eléctrico 1241 ********************************************************************************************** P, situado en la perpendicular levantada desde el centro del disco a la distancia "d" del m ism o es:
por una esfera hueca, con densidad de carga superficial uniform e " a " , y radio "R ". D entro de la esfera^hueca (r < R) E=0 F uera de la esfera hueca (r > R) E =
aR ‘ ¿ y
E = ------[1— , . —
f)
Planos paralelos delgados L a m agnitud del cam po eléctrico creado p o r dos planos paralelos m uy delgados e infinitos, con densidades de carga super ficial "a " y " - o " (cam po del condensa dor).
h) Esfera com pacta L a m agnitud del campo eléctrico creado por una esfera com pacta, con densidad de carga volum étrica uniform e "p" y ra dio "R".
A
D entro de la esfera com pacta (r < R) *
Puntos ubicados en la zona B. E=— «o
*
E =^ 3s0
.
Fuera de la esfera com pacta (r > R)
Puntos ubicados en las zonas A y C. E =
E =0 g)
pR
3
3 e 0r*
Esfera hueca 10. a)
LEY DE GAUSS Flujo de cam po eléctrico P ara un cam po eléctrico uniform e E , el flujo del cam po eléctrico O e a través de una superficie plana abierta de área "S" que se encuentra en el vació, viene dado por:
L a m agnitud del cam po eléctrico creado
1) L a norm al a la superficie, se define c q mo la perpendicular a la cara externa de la superficie. 2) El flujo del car^po eléctrico a través de una superficie cerrada, siem pre es nulo.
siendo, " e 0 " la perm itividad eléctrica en el vació, "N " la perpendicular a la super fjcie llam ada norm al, "0" el ángulo en
b) D ensidad de líneas del cam po .eléctrico L a densidad de lípeas (<|)) del cam po e léctrico uniform e, se define com o el nú m ero de líneas del campo eléctrico, que pasan por cada unidad de superficie, es to es:
tre la norm al N y el cam po eléctrico E , y E co s0 es la com ponente del campo e léctrico perpendicular a la superficie. U tilizando el producto escalar, la ecua ción anterior, tam bién, puede expresar se, asi: O e = e0E « á j •
El flujo del cam po eléctrico a través de una superficie es una cantidad física es calar positiva o negativa.
c ) N úm ero de líneas de cam po eléctrico El núm ero de líneas del cam po eléctrico uniform e que pasan a través de una su perficie plana abierta, viene dado por el m odulo del flujo del cam po eléctrico, es ío es: N = |
<1>e ( - )
<£ e ( + )
El flujo de cam po eléctrico es positivo si las líneas del campo eléctrico salen de la superficie, en el caso que ingresen a la superficie el flujo es negativo. Casos particulares
d ) Ley de gauss El enunciado literal de esta ley, que nos perm ite calcular el campo eléctrico en un punto dado es la siguiente:
1) Para, 0 = 0o , el flujo del cam po eléctrico a través de la superficie es máximo: ^max ® 2) Para, 0 =90°, el flujo del cam po eléctri co es nulo:
N otas
<<:En el vació, el flujo del cam po eléctri co í>E, a través de una superficie cerrada de área "S", es igual, a la sum a algebrai ca de las cargas eléctricas libres "q k"
Campo eléctrico 1243 ********************************************************************************************** (k=T,2,...) encerradas por dicha superfí «» cíe
•
P or ejemplo, el flujo del cam po eléctrico a través de una superficie cerrada de for m a arbitraria, que encierra las cargas eléctrica puntuales q x=2 nC, q i^ -4 nC y q3=6 nC es: <Í>E = 2 n C - 4 n C + 6 n C <1>E = 4nC
11.C A M P O E L E C T R IC O Y C A R G A D E UN C O N D U C TO R D os son las conclusiones m ás importan tes, sobre el com portam iento del campo eléctrico en un conductor. 1)> E l campo eléctrico al interior de un con ductor cargado que se encuentra en un cam po eléctrico externo es nulo. La car g a libre en el conductor se encuentra to talm ente en su superficie.
gún átom o o m olécula, y las cargas liga das (o aparentes) que son electrones o protones que pertenecen a los átomos o m oléculas. 12. E N E R G IA D E L C A M P O E L E C T R I C O Y DE UN C O N D U C TO R a) D ensidad de energía eléctrica L a densidad de eijergía electrostática en un punto del vació, se define como la e nergía eléctrica por unidad de volumen, esto es:
siendo, "W " la energía del cam po eléc trico, y "V " el volum en que encierra di cha energía. b) Energía del ca m p o eléctrico El cam po eléctrico tiene una energía que se distribuye por todo el volum en del espacio donde existe este campo, así, la energía de un cam po eléctrico uniform e "É" contenido en un volum en ” V '\ vie ne dado por: W = w V = i e 0E 2 V 2 0
2) El cam po eléctrico en la superficie de un conductor con densidad de carga super ficial "o" es perpendicular a este, y su m agnitud es E = a / e0.
c) Energía eléctrica de un co n d u cto r L a energía eléctrica de un conductor, es igual, al trabajo que se debe hacer para sum inistrar carga eléctrica a su superfí cié y volum en, esto es:
E
fs cpa d S + ^ Jv i p p d V
J
É = |
3) T odo cuerpo posee dos tipos de cargas eléctricas, las llam adas cargas libres que son electrones que no pertenecen a nin
siendo, "S" el área de la superficie que li m ita o encierra el volum en "V" del con ductor, "a" la densidad de cargas libres situada en la superficie "S", y "p" la den sidad de caigas volum étricas.
1244
F ísica+ + **********************************************************************************************
PROBLEM AS 01.
a) b)
U n estudiante realiza un experim ento pa ra m edir la carga eléctrica de 4 cuerpos. c) Sus resultados son: d) q, = 2,4.10' 19 C q3 = 8,8.10‘19 C
q2= 11,2.10 19 C q4= 8,0.10 C
Indicar con si (s) ó no (n) las m ediciones com patibles con la teoría, (carga del electrón e = l , 6 J 0 ' l9 C)
e)
El electroscopio es un dispositivo que se utiliza............................................................... Para saber si un cuerpo está cargado Para saber el tipo de carga que tiene un cuerpo. P ara m edir el cam po eléctrico. P ara m edir cuantitativam ente la diferen cia de voltaje. P ara m edir el núm ero de electrones que posee un cuerpo.
05. U na esfera conductora cargada positiva m ente se conecta a tierra m ediante un ca ble m etálico.
a) nsns b) snsn c) ssnn d) svvs e) nssn 02. Indicar la (s) proposición (es) verdadera (s) ó falsa (s): I. U na carga eléctrica ” q" se dice que está cuantizada, porque siem pre es posible de m edir.su carga II. U n a carga eléctrica " q ” se dice que está cuantizada, porque en la naturaleza se presenta, siem pre de signo positivo ó ne gativo. III. U na carga eléctrica "q" se dice que está cuantizada, porque siem pre puede ser ex presada com o un m últiplo entero de la carga del electrón. a) FFV
b) VVF d) FVF
c) VFV e) FVV
03. ¿C uál de los siguientes cuerpos está más cargado?
a)
I b) II d) Iguales
c) III e) Descargados
04. Com plete la oración siguiente:
Indique la (s) proposición (es) verdadera (s) ó falsa (s): I. L a tierra pierde protones. II. L a tierra pierde electrones. III. La tierra gana electrones. a) FVF
b) VVF c) FFV d) VFV e) VFF
06. Indicar la proposición falsa: a) U n cuerpo neutro tiene el m ism o número de cargas positivas y negativas. b) L a carga fundam ental que existe en la na turaleza es la del electrón. c) Los dieléctricos poseen m uchos electro nes libres. d) D os cargas eléctricas que se atraen, nece sariam ente am bas son de signos opues tos. e) El átom o más com plejo que existe en for m a natural es el Uranio. 07. En el proceso siguiente indicar la res puesta correcta. Al frotar una barra de vi
Campo eléctrico 1245 ********************************************************************************************** drio con seda, inicialm ente descargadas: a) Se transfieren electrones de la seda hacía el vidrio. b) Se transfieren protones del vidrio hacia Ja seda. c) Se transfieren protones de la seda hacía el vidrio. d) Se transfieren electrones del vidrio hacía la seda. e) N o se transfieren ningún tipo de cargas entre la seda y el vidrio.
la otra, para que su fuerza de repulsión sea la m isma? a) 2 veces b ) 4 veces c) 8 veces d) 12 veces e) 16 veces * 12. Las esferitas cargadas eléctricam ente, tie nen 60 g de m asa y están en equilibrio. H allar el valo r de " q ” .
08. E n el proceso siguiente indicar la res puesta correcta. Al frotar una barra de ám bar con cuero, inicialm ente descarga das: a) 1 pC b) 2 pC c) 3 pC a) Se transfieren electrones del cuero hacía d) 4 pC e) 5 pC el ámbar. b) Se transfieren protones del ám bar hacia 13. Las partículas de cargas qi = q2 =10'3 C, el cuero. están separadas 2 cm. H allar el módulo c) Se transfieren protones del cuero hacía za sobre una partícula de carga el ámbar. bicada prim ero en A y luego d) Se transfieren electrones del ámbí h a ¿ C U el cuero. lm lm e) No se transfieren ningún tipo de entre la seda y el vidrio. qi
09. Dos esferas m etálicas idénticas cargadas con 60 pC y -40 pC se ponen en contac to y luego se separan 10 cm. H allar el m ódulo de la fuerza eléctrica. a) 50 N
b) 60 N d) 80 N
c)7 0 N e) 90 N
10. D os cargas eléctricas se atraen con una fuerza de 1 N. ¿A cuántas veces m ayor distancia se las debe separar para que su atracción sea de 10'4 N?
B
a) 0 N ; 1 N b ) l N ; 0 N c ) 2 N ; l N d) 1 N ; 2 N e) 2 N ; 3 N 15.
L as esferitas tienen cargas positivas: Qi - 3 0 p C , Q2=100 p C y Q3=160 p C . H a llar el m ódulo de la fuerza eléctrica resul tante sobre Q2. Q ,@ 3m
a) 10 veces b) 50 veces c) 100 veces d) 150 veces e) 200 veces 11. Si se cuadruplica la distancia entre dos cargas eléctricas. ¿C uántas veces m ayor debe hacerse a una de ellas sin que varíe
q2
A
q3
90°
q 2@
:
6m c) 5 N
b) 3 N
a) 1 N d) 7 N
e)9 N
1218
Fís¡ca++
14. Dos esferillas m etálicas idénticas de car gas "q" y "3q" se repelen con una fuerza de 9 N, si las esferillas se ponen en con tacto y luego se ubican en sus posiciones originales. ¿Con qué fuerza se repelen? a) IO N
b) 1 2 N d) 16 N
c )l4 N e) 18 N
16. L a esfera A de p e s o l5 N y carga q=10 p C , está en equilibrio. H allar la carga e léctrica de la esfera B, si las tensiones en las cuerdas ( 1) y (2) son ¡guales.
R=10 cm. H allar el valor de "q". a) 1 pC
b) 2 pC
c) 3 pC e) 5 pC
d) 4 pC
19. E n los vértices dfe un triángulo equiláte ro de lado "a", se ubican cargas "-q".¿ Q ué carga se debe ubicar en el centro del triángulo a fin que el sistem a este en equilibrio? a) 0,18 q b) 0,38q c)0 ,5 8 q d) 0,78q e) 0,98q 20. L a barra hom ogénea está en equilibrio. Las cargas eléctricas de las esferitas de pesos 5 N son q = ± 2 0 uC . H allar el peso de la barra.
-q a) -3 jí C
b) 3 p C c) -5 pC d )5 p C e)9 p C
17. En los vértices opuestos de un cuadrado se fijan esferitas de cargas "q" y en los otros vértices se ubican esferitas de car gas "-Q". H allar la razón Q /q, tal que, las cargas "-Q" estén en equilibrio está tico. , * a) 2,0
b) 2,2 d) 2,6
c) 2,4 e) 2,8
La esferilla de m asa m =90g y carga e léctrica "q" esta en equilibrio. L a otra esferilla de carga "3q" se encuentra fijo, el radio del casquete dieléctrico y liso es
Jo,3m +q
a) 50 N d) 80 N
b) 60 N c)7 0 N e) 90 N
21. La distancia de separación de las esferi tas de pesos 20 N y cargas eléctricas q= ± 1Q'5 C, es d = 0 ,l m. H allar la suma de las tensiones en las cuerdas ( 1) y (2).
a)
120 N b) 150 N d) 210 N
c )1 8 0 N e) 240 N
Campo eléctrico 1247 ********************************************************************************************** 22. Las cargas eléctricas de las esferitas de pesos 10 N es q = ± 2 0 p C . H allar la ra zón de las te n sio n es en las cuerdas (2) y (DI,
O)
T
(2)
a) 1.10' 19 C b) 2 .1 0 'iy C c) 3.10 d) 4 .1 0 i9 C e )5 .1 0 ‘19C
0 ,3 m
B1 b ) 2,0
a) 1,5
c) 2,5 e) 3,5
d) 3,0
25. Se deja caer una gotita de aceite de m asa 6 .10'17 kg, entre dos placas paralelas que producen un cam po uniform e de magni tud E=3.103 N /C. La gotita por fricción con el aire se carga y se encuentra en e quilibrio estático. H allar la carga de la gotita. (g = 10 m /s2)
23. Las esferitas tie n e n cargas eléctricas qi= 3 pC , q2= -2 pC y q 3 ~ -4 nC , y el lado del cuadrado es 3 cm . H allar el m ódulo de la fuerza resu ltan te sobre q2.
•19
c
26. H allar la razón entre las m agnitudes de la fuerza eléctrica y gravitatoria (FE /Fg) entre dos protones en una m olécula de hi. drógeno, si la separación entre ellas es y-u m. (mp= l,6 7 .1 0• >' -2 7 de 7,4.10' kg, q= 1,6.10')',199 C, C G= 6,67.10'“ N .m 2/ k r 2 y k = 9.109 N .m 2/ C 2) a) 1,20.1036 b) 1,22.10 c) 1,24.1036 d) 1,26.1036 e) 1,26.1036 27. T res cargas idénticas Q =4.10' 5 C se en cuentran en los vértices de un triángulo
3cm
rectángulo de catetos 7 3 ra, 2 m. H allar la m agnitud de la fuerza que actúa sobre la carga situada en el vértice del ángulo recto, (k = 9.109 N .m 2/C 2) c) 80 N e) 100 N
a) 60 N d) 90 N
a) 32 N
b) 34 N d) 38 N
24. Las esferitas A y B de m asas m=90 g, y cargas iguales en m agnitud están en equi librio. H a lla r la m agnitud d e las cargas de las esferitas. (k= 9.109 N .m 2/C 2, g=10 m /s2)
A ©
T 4c m
b
O
c) 36 N e) 40 N
28. Un electrón de carga q = -l,6 .1 0 ' 19 C y de m asa m =9,1.10‘3' kg se m ueve en una tra yectoria circular de radio R =2 pm , aire dedor de un protón de carga q = l,6 .10'19 C. H allar la rapidez con la que se mueve el electrón, (k -9 .1 0 9 N .m 2/C 2) b) 1,123.104 m/s a) 1, 12L 104 m/s c) 1,125.104 m/s d) 1,127.104 m/s e) 1,129.10“ m/s
1
c) 3.10 C b) 2.10'7 C a) 1.10'7 C d) 4.1 0 C e) 5.10 C
29. Con un electroscopio descargado se efec túan las siguientes acciones sucesivas: I. Se le acerca un cuerpo cargado negativa
m
i
Física++ *****************************************************************************************
m ente (sin tocarlo). II. Sin retirar el cuerpo, se conecta el elec troscopio a tierra por unos m omentos, desconectándolo luego. III. Se retira el cuerpo cargado negativam en te. AI final de este proceso, el electroscopio queda: a) Cargado negativam ente. b) D escargado. c) Cargado positivam ente. d) N o se puede predecir el resultado. e) El tipo de carga depende del m aterial del que está hecho el electroscopio. 3 0 .
form em ente sobre ellas. IV. Sólo es válido para cargas puntuales. V. L a fuerza de interacción entre dos cargas es m enor en el vació que en un dieléctri co. a) FV V V F b) V FV FV c) VVFFV d) FFV V F e) FV FV F Indicar las proposiciones verdaderas (V) ó falsas (F): I. El trabajo realizado para trasladar una carga "q0" de una superficie equipoten cial hacia otra diferente es nulo. II. El trabajo realizado para trasladar una 3 2 .
carga -J2 de un punto hacia otro, de una Las esferitas de igual tam año tienen car m ism a superficie equipotencial, no sien] gas eléctricas "-q" y "3q" respectivam en pre es nulo. te. D espreciando las fuerzas de fricción. III. En un conductor, las líneas de fuerza del H allar el peso del bloque "W ", tal que el cam po eléctrico, siem pre son perpendicu sistem a se encuentre en equilibrio ( q lares a las superficies equipotenciales. 10 p C , k = 9 .I0 9 N .m 2/C 2) IV. L a superficie de un conductor siem pre 0 ,3 m — *| es u n a superficie equipotencial. V. El cam po eléctrico al interior de todo conductor es nulo. a) F F V W b) V V FFV c) FV FV F d) V FFV V e) VFV FV 3 3 .
a) 24 N
b) 48 N d) 36 N
c)1 2 N e) 60 N
R especto de la ley de Coulomb, indicar las proposiciones verdaderas (V) ó fa] sas (F): I. Es válida para todo tipo de cuerpos, inde pendientem ente de su form a y tamaño. II. Se cum ple en cualquier medio, ya sea en el vacío u otro diferente. III. Las cargas eléctricas de los cuerpos que interactúan deben estar distribuidas uni 3 1 .
L a carga eléctrica de las placas de un condensador plano son Q = ± 4 p C y la dis tancia entre ellas d=5 mm, dos partícu las de m asas iguales y cargas qi=-6 p C y q2=+2 p C se ubican en las placas del con densador y se liberan. H allar la razón de las distancias recorridas (di /d 2) por cada una de las partículas cuando se cruzan. a) 1
*
b) 2 d) 4
3 4 .
c) 3 e) 5
E n el sistem a en equilibrio las esferitas son de peso despreciable y tienen cargas eléctricas Q=±2 pC . H allar el peso de la barra hom ogénea AB.
Campo eléctrico 1249 ********************************************************************************************** + 5.10'6 C. H allar la velocidad lineal (en m /s) con la que gira la partícula, (k = 9.109 N .m 2/ C2) a) 1.103
a) 20 N
b) 40 N d) 60 N
c)8 0 N e) 10 N
35. E n el sistem a en equilibrio las barras son de peso despreciable, y las esferas de i gual peso y carga (q =150 p C ), pueden m overse a lo largo de las barras m ostra das (é=50 cm). H allar la tensión en la cuerda horizontal AB.
a) 360 N b) 540 N c )1 2 0 N d) 470 N , e) 2513 N 36. H allar las cargas positivas iguales que deben ubicarse en el centro de la T ierra de radio R = 6 ,37.106 m y en una persona que pesa W =500 N, para que ésta parez ca no tener peso en la superficie terrestre (g=10 m/s2 y k = 9.109 N .m 2/ C2) a) 1501 C b) 1204 C c) 2500 C d) 1980 C e) 1640 C 37. U na partícula de m asa m =4.10‘9 kg y car g a q=-4.10'8 C gira en trayectoria circu lar de radio R=5 cm alrededor de otra partícula m uy pesada fija de carga Q=
b) 2.103 c) 3.103 d) 4.10 e) 5.103
38. D os esferitas de ¡gual m asa cuelgan de hilos paralelos, muy próxim as entre sí pe ro sin contacto. Si de pronto se cargan eléctricam ente una con +q culom bios y la otra con +2q culom bios, ¿Q ué suce de? a) Las esferitas se separan, la de m ayor car ga sube m ás arriba. b) Las esferitas se separan y suben a la mis m a altura. c) L as esferitas se separan la de m enor car ga sube m ás arriba. d) Las esferitas se separan, la de m ayor car g a se desplaza m ás hacia su lado. e) Las esferitas se separan pero ya no se puede predecir más. 39. D os esferitas de m asas "m" y "2m" cuel gan de hilos paralelos, m uy próxim os entre sí pero sin contacto. D e pronto se cargan eléctricam ente una con -q culom bios y la otra con -2q culom bios, ¿Qué sucede? a) Las esferitas se separan, la de m ayor ma sa sube más arriba. b) Las esferitas se separan y suben a la mis m a altura. c) Las esferitas se separan la de m enor ma sa sube más arriba. d) Las esferitas se acercan, la de m ayor ma sa sube m ás arriba. e) Las esferitas se acercan, la de m enor m a sa sube más arriba. 40. L a carga positiva qA=5.10'9 C y m asa m =2 .10'6 kg está suspendida de un resor te de constante eléctrica k = 10'3 N/m, a 4 cm debajo de qA hay otra carga negativa
Física++
oro
qB= 4.10'9 C. H allar la deform ación en la longitud del resorte (g=10 m /s2)
43. H allar la m agnitud de la fuerza d e ínter acción eléctrica entre los filam entos me tálicos muy finos de longitudes a=10 cm y 2a=20 cm, y densidades de carga 1] neal uniform es X =f2.10"5 C/m. (k= 9.109 N .m 2/C 2, usar log(x)) t
n-x
a) 13,25 cm b) 31,28 cm c) 25,36 cm d) 64,24 cm e) 45,21 cm 2a
41. Se lanza una partícula de carga "q" y ma sa "m" en una trayectoria perpendicular y dirigida hacia el centro O de la línea que une dos partículas de cargas "Q" y m asas " m 0" (m 0» m ) separadas u n ad is tancia d=4V 2 . ¿A qué distancia de O la fuerza sobre "q" es máxima? a) 1 m
b) 2 m d) 4 m
a) 4,0 N
b) 4,2 N c ) 4 ,4 N d) 4,6 N e) 4,8 N
44. En el tubo horizontal de longitud i =25 cm se halla una bola con carga de Q= + 6 p C , y en sus extrem os esferitas fijas de cargas qi = + 9 p C , q2= + 4 p C . H allar la posición de equilibrio de la bola.
c) 3 m
e) 5 m
42. El anillo de radio R=30 cm, m asa m=4 g y densidad lineal de carga uniform e X= 4.10‘8 C/m, esta en equilibrio en un pía no horizontal, en la presencia de la esfe rita cargada que se halla a «na distancia d=40 cm del centro del anillo. H allar la carga eléctrica de la esferita. (k=9.109 N .m 2/ C2, p= 1 0 '-)
ÍXO.
Q h —
O
x ~ ? —
H q
2
< -K l t
a) 10 cm b ) 1 2 cm c)1 4 c m d) 16 cm e) 18 cm 45.
H allar la m agnitud de la fuerza eléctrica ejercida por un alambre muy fino de for m a sem icircular de radio R=40 cm y den sidad de carga lineal uniform e X=2 .10'7 C/m, sobre una carga puntual q=6 p C , ubicada en su centro de curvatura, (k = 9.109 N .m 2/ C2)
a) 1 8 ,0 p C
b) 1 8 ,2 p C
d) 1 8 ,6 p C
c) 18,4pC
e) 1 8,8pC
Campo eléctrico 1251 ********************************************************************************************** a) 12 mN b )2 4 m N c)3 6 m N d) 54 m N e) 60 mN
tancia de separación "d". (k=9.109N ,m 2/ C 2)
46. U n cubo de arista a=3 cm tiene una car ga q=2 pC, en cada uno de sus vértices. H allar la m agnitud de la fuerza eléctrica resultante en cualquiera de uno de sus vértices. (k= 9.109N .m 2/C 2) a) 131,2 N b) 131,4 N c ) 1 3 1 ,6 N d) 131,8 N e) 132,0 N 47. D os bolas de igual carga y con m asas de m=T80 g, se suspenden de un mismo punto por m edio de hilos de longitud i =20 cm, separándose y form ando entre los hilos un ángulo recto. H allar el valor de la carga de las bolas. (g=10 m /s2 , k= 9.109 N .m 2/C) a) 1 pC
b) 2 pC d) 4 pC
a) 0,1 cm b) 0,2 cm c) 0,3 cm d) 0,4 cm e) 0,5 cm 50. L a esferita cargada de m asa m=5 g gira en un plano horizontal suspendido de un hilo dentro de un ascensor que sube con aceleración de a=2 m /s2. El radio de giro de la trayectoria es R=2 cm y su veloci dad angular (o=20 rad/s. H allar "q" si: oc=45°, g =10 m /s2 ,k = 9 .1 0 9N .m 2/C 2.
c) 3 pC e) 5 pC
48. Siete cargas idénticas q = +4 pC están u nidas m ediante iguales hilos elásticos D espués de dejar las cargas libres, las longitudes de los hilos son de £= 30 cm. H allar la tensión de cada hilo, (k = 9.109 N .m 2 /C 2, e = l,6 0 2 .1 0 '19 C) a) 29,2 nC b ) 2 9 ,4 n C c) 29,6 nC d) 29,8 nC e ) 3 0 ,2 n C 51. En el eje de un anillo de alam bre muy fi no de radio R =30 cm y carga Q =+3.10' 10 C distribuida uniform em ente, se ubica un electrón a una distancia "x" de su
a) 2,20 N b) 2,22 N c ) 2 ,2 4 N d) 2,26 N e) 2,28 N 49. Las cargas iguales a q=+2.10' 10 C están unidas por ligas de longitud norm al t= 10 cm, constante de elasticidad k=900 N /m y sabiendo que d « £ . H allar la dis
centro ( x « R ) . H allar el período de las pequeñas .oscilaciones del electrón. (e= L 6 .1 0 19 C, me= 9 ,1 .1 0 31 kg, k= 9.109 N. m 2/C 2 y p = 10'6) a) 1,3 ps
b) 1,5 ps c) 1,7 ps d) 1,9 ps e) 2,1 ps
52. Tres esferitas idénticas de m asas m=360
:**************************************************************************************** g y cargas ”q" están suspendidas de un m ism o punto m ediante hilos de longitu des £ = 2 cm, form ando una pirám ide cu ya base es un triángulo equilátero de la dos igual a a=V 3 cm. H allar la carga e léctrica de cada esferita. (k -9 .1 0 9 N .m 2 ÍC2 , n= 1 0 '9) a) 500 nC b) 400 nC c) 300 nC d) 200 nC e) 100 nC 53. En el centro de un anillo de alam bre fino de radio R=3 cm, y carga eléctrica q= +2.10' 8 C se encuentra otra carga Q + 8 .I0 ’5 C (siendo Q » q ) . H allar la fuer za con la que el anillo se ensancha. a) (2/7t) N b) (4/tc) N c) (6/ji) N d ) ( 8/7t) N e) (10/tc) N 54. L a m agnitud del campo eléctrico unifor m e entre dos lám inas planas, paralelas con cargas iguales y opuestas, separadas una distancia de 3,6 cm, es de 4,55 N/C. Se abandona un electrón sobre la lám ina cargada negativam ente. H allar la rapidez con la que llega el electrón a la lámina positiva (nv= 9,1.10'31 kg, e= l,6 .1 0 ‘19 C, k = 9.10 N .m /C ) a) 2 0 .104 m /s , *b) 2 2 .10“ m/s c) 24.10“ m/s d) 26.10“ m/s e) 28.10“ m/s
eléctrico de m agnitud E -5 0 0 N /C. Ha llar el ángulo que form a la cuerda con la vertical. (g=10 m /s2) a) 30
b) 37c c) 45° d) 53° ’ e) 60
56. Se tienen dos cargas eléctricas puntuales qi= 2.10' 12 C y q2= -4. 10’12 C separadas por u n a distancia d- 6 cm. H allar la mag nitud del campo eléctrico en el punto me dio de la línea que une am bas cargas e léctricas. (k=9.109 N .m 2/C 2) a) 20 N /C b) 30 N /C c) 40 N /C d) 50 N /C e) 60 N /C 57. En los vértices del cuadrado de lado a=3 cm, se encuentran tres cargas eléctricas de m agnitudes iguales a q=2 jiC. H allar la m agnitud del cam po eléctrico en el vértice P. (k = 9.109 N .m 2/C 2)
a) 20 N /C b) 30 N /C c) 40 N/C d) 50 N /C e) 60 N /C 58. E n la Fig.03, se ubican tres cargas elec tricas en los vértices A, B y D, ¿Para qué valo r de "q" el cam po eléctrico resultan te en C es vertical?
55. ............ * - ’ •••• i® \
Ei
E :
m, q
L a esferita de m asa m =4 g y carga elec trica q=6.10’5 C está suspendida de la cuerda y se encuentra dentro de) campo
-O ;
3cm?
" O
-
Campo eléctrico 1253 ********************************************************************************************** a) 1,07 jaC b ) 2 ,0 7 |iC c ) 3 ,0 7 p C d) 4,07 pC e) 5,07 pC
(E=10 N/C, g=10 m /s2)
59. El péndulo de m asa m =12 mg y carga e léctrica q=6 pC, está dentro de un con densador. Si el ángulo que form a el pén dulo con la vertical es 0=45°, hallar la m agnitud del campo eléctrico. (k=9.109 ■ N .m 2/C 2, g=10 m/s2) d) 80 N
+ + + + + + + +
63. En dos vértices del triángulo equilátero se fijan dos cargas de +1.10^ C y +2.10'4 C, ¿Para qué valor de la carga "Q ", el cam po eléctrico resultante E en el barí centro es horizontal? ( p = 10‘6) 2. ÍO^C
a) 10 N /C b) 20 N /C c ) 3 0 N /C d) 40 N /C e) 50 N/C 60. ¿Q ué valor debe tener la carga de una partícula, para que la m agnitud del cam po eléctrico creado por ella a una distan cia de d=10 cm sea de E=18 N /C? (k= 9.109 N .m 2/C 2, p = 1 0 '12)
/
b) 20 pC c) 30 pC d) 40 pC e) 50 pC •
61. U n electrón de carga e = -l,6 0 2 .1 0 '19 C y m asa m e=9,1.10'31 kg es acelerado a par tir del reposo, por un campo eléctrico u niform e de m agnitud E=5,0.105 N/C. Ha llar la m agnitud de la aceleración adquirí d a (en m /s2) por el electrón. (T = 1012) a) 8,0T
b) 8,2T d) 8,6T
c) 8,4T
E
*
4 .......................... b I . I O^ C
a) 10 pC
e) 90 N
Q
a) 100 pC b) 200 pC c )3 0 0 pC d) 400 pC e) 500 (J.C 64. En los vértices de un cuadrado se ubican cuatro cargas puntuales de m agnitud Q; 2Q: 3Q y 4Q. Si, la carga "Q" crea en el centro del cuadrado un campo eléctrico de m agnitud 25 V2 N /C. H allar la magni tu d del cam po eléctrico resultante en el centro del cuadrado.
e) 8,8T
62. En la posición "A" se abandona un blo que de m -1 kg de m asa y carga q=2 C, el cual se m ueve sobre la superficie cilín drica, lisa y no conductora, de radio R=1 m. H allar la m áxim a fuerza de reacción que ejerce la superficie sobre el bloque.
a) 100 N /C b) 200 N /C c) 300 N /C d) 400 N /C e) 500 N /C 65. H allar la m agnitud del cam po eléctrico resultante en el punto "O", sabiendo que Q=125.10"10 C y Á O - 5 cm. (k=9.109 N /m 2/C 2)
Física++ 68. H allar el v alor de la carga que se debe u bicar en la posición "B" para que la mag nitud del cam po eléctrico en el punto "C” sea horizontal, sabiendo que la car ga en la posición "A" es de m agnitud QA=64pC . (k = 9.109 N .m 2/C 2, p = 1 0 '6) C
E
a) 72 kN /C b) 24 kN /C c) 48 kN/C d) 12 kN /C e) 36 kN/C 66.
En el triángulo rectángulo, hallar la mag iud del cam po eléctrico en el punto me io M de la hipotenusa. (q=2.10' 10 C, k= 9 .109 N .m 2/C 2 , 3 c m )
53 A
B
a) 15 p C
b) 2 0 p C
d) 32 p C
c)2 7 p C
e) 45 p C
q® . 69. .M
El hexágono es regular de lado a=3 cm, hallar la m agnitud del cam po eléctrico en el centro del hexágono, (q -4 .1 0 ' 12 C, k = 9.109 N .m 2/C2)
90 +2q
- 2q
a) 2 kN /C b) 4 kN /C c) 6 kN/C d) 8 kN /C e) 10 kN /C -q
+2q ® ' 67. En los vértices del triángulo rectángulo se ubican dos cargas eléctricas de magni tudes Q ,= - 1 2 5 .lV C y Qa-+ 2 7 .1 0 +S C, separados por una distancia d=0,4 m. Ha llar la m agnitud del campo eléctrico re sultante en el vértice "A ". (k=9.109 N. m 2/C 2)
+q
-q
a) 120 N /C b) 480 N /C c )7 2 0 N /C d) 240 N /C e) 360 N /C
C hO ,
0,4m
Qi Q a) 12 kN /C b) 24 kN/C c) 36 kN /C d) 48 kN /C e) 60 kN/C
¿C on qué aceleración debe desplazarse el m óvil, para que la esfera de m asa m= 0,1 kg y carga q=-20pC se encuentre en
Campo eléctrico 1255 ********************************************************************************************** equilibrio respecto del carro. (0=45°, E= 30 kN /C, g= l 0 m /s2) a) 1 m /s2 b) 2 m /s2 c) 3 m /s2 d) 4 m /s2 e) 5 m /s2 71. U n péndulo de longitud ¿= 50 cm, m asa m =40 g y carga eléctrica q=2.10'4 C se m ueve en un plano vertical con veloci dad angular constante o =4 rad/s dentro de un cam po eléctrico hom ogéneo vertí al hacia abajo de m agnitud E=3.103 N/C. H allar la diferencia entre las tensiones m áim a y m ínim a de la cuerda del péndu lo. (g=10 m /s2) a) 1 N
b) 2 N d) 4 N
c) 3 N e) 5 N
72. C uando un núcleo de U ranio se desinte gra em itiendo, una partícula alfa (o sea un núcleo de H elio, Z=2), el núcleo re sultante es el Torio (Z=90). Suponiendo que la partícula alfa está inicialm ente en reposo a una distancia de r=8,5.10' 15 m del centro del núcleo de U ranio. ¿Calcu lar la aceleración inicial de la partícula? (k=9.109 N .m 2/C 2, e= l,6 0 2 .1 0 '19 C, m P= 1,672.1 O*31 kg) a) 5,6.1028 m /s2 , b) 6,6.1028 m /s2 c) 7,6.1028 m /s2 d) 8,6.1028 m /s2 e) 9,6.1028 m /s2 73. E n la F ig.13, un electrón de m =9,1.10'31 kg y carga e = -l,6 .1 0 ' 19 C con velocidad horizontal inicial v0= 107 m /s ingresa en un cam po eléctrico vertical de 105 N/C creado por dos lám inas horizontales cargadas.
O p-
I.
¿C uál es su posición vertical a la salida de la región donde se encuentra el cam po? a ) 2 1 ,8 c m b ),2 3 ,8 cm c) 25,8 cm d) 27,8 cm e) 29,8 cm
II. ¿C on qué rapidez (en m/s) sale de la mis m a región? a) 80.106 bj) 8 2 .106 c) 84.106 d) 86.10 e) 88.1-06 III. ¿Cuál es la posición vertical del impac to sobre la pantalla fluorescente F? a) 1,1 m
b) 1,3 m c) 1,5 m d) 1,7 m e) 1,9 m
74. Sobre una línea recta horizontal se en cuentran un electrón de carga "-e" y un protón de carga "e" a una distancia r= 3.10'5 m ¿C uál será el valor de un campe eléctrico uniform e horizontal que m ar tendrá el conjunto en equilibrio? (k= 9.109 N .m 2/C 2, e = l,6 .1 0 '19C) a) 1,0 N /C b) 1,2 N /C c) 1,4 N /C d) 1,6 N /C e) 1,8 N/C 75. U n electrón de m asa m =9,1.10'31 kg y carga e= -l,6 0 2 .1 0 '19 C es acelerado a partir del reposo, p o r un cam po eléctri co uniform e de m agnitud E=5,0.105 N /C. Hallar: I. L a m agnitud de la aceleración (en m /s2) que adquiere el electrón. a) 8,0 .1016 b) 8,2 .1016 c) 8,4.1016 , d) 8,6 .10i6 e) 8,8. 1016 II. El tiem po que tarda el electrón en alean zar una velocidad igual al 10% de la velocidad de la luz.
i::;í
a) 1,4.10"10 s c) 5,4.10 10 s
b) 3,4.10 10 s d) 7,4.10' 10 s e) 9 ,4 .10' 10 s
5 cm
ío c tn
k****************************************************************************************
76.
H allar la dirección form ada por el cam a) 210 kN /C b) 220 kN/C c)230 kN/C po eléctrico resultante en el punto A con d) 240 kN /C e) 250 kN /C respecto a la fuerza eléctrica resultante en B . (si q « Q ) 80. En los vértices de un cuadrado se ubican cuatro cargas puntuales de m agnitud Q; 2Q: 3Q y 4Q . Si, la m agnitud del campo eléctrico en el centro del cuadrado, crea
t/
t
77.
! V
do po r la carga "Q" es E =25V 2 N/C.
f
Q
®
f
-Q
U n electrón penetra en el campo " E" con velocidad inicial v 0 horizontal. Ha llar la ecuación que describe su trayecto ria. Y .E X
Vo
> r
78. Se m uestran cargas cascarones (+Q) y cargas sólidas (-q), determ inar cualitati vam ente la intensidad de campo eléctri co en los puntos "A "y "B" para cada caso.
H allar la m agnitud dél cam po resultante en el centro del cuadrado. a) 20 N /C b) 40 N /C c) 60 N/C d) 80 N /C e) 100 N /C 81. D e las placas del condensador se liberan dos partículas de cargas - q l5 q2 y masas m i=m 2. H allar las distancias recorridas por las partículas T y "2", para el ins tante en que se cruzan. (q2= 3qi, d=12 cm)
A a) 2 cm, 10 cm c) 4 cm, 8 cm e)
b) 3 cm, 9 cm d) 10 cm, 2 cm 9 cm, 3 cm
79. H allar la m agnitud del campo eléctrico en el punto C, si: q¡ =5 .'3.10'9 C, q2 = 2.10'9 C y a=3 cm. (k=10‘3) A
B
3.... El péndulo de m asa"m ", carga eléctrica "q" y longitud"/?", se utiliza para medir a\
q2
/a
las m agnitudes de cam pos eléctricos ho m ogéneos por com paración. Cuando el sistem a se ubica en cam pos de magnj
Campo eléctrico 1257 ********************************************************************************************** tudes E |= 8 0 N /C y E 2 el hilo de seda for m a con la vertical ángulos de 45° y 37°, respectivam ente. H allar la m agnitud del campo E2. a) 10 N /C b) 20 N /C c) 40 N/C d) 60 N/C e) 80 N/C 83. En un sistem a de coordenadas rectangu lares X Y una carga de 2 5 .10’9 C se ubica en el origen y otra carga de -25.10 '9 C en el punto (6 ; 0) m. H allar la m agnitud dei cam po eléctrico en el punto (0; 3) m.
a) 21,2 N /C b) 23,2 N /C c) 25,2 N /C d) 27,2 N /C . e) 29,2 N /C
86. Las dos esferitas de pesos despreciables y cargas q=±10'7 C están al interior de un cam po eléctrico, suspendidas de hilos H allar "E ", para a =53°. (k=9.109 N .m 2 /C 2) E +q A y
a) 10,0 kN /C c) 10,4 kN /C
% ■ 2$cm
b) 10,2 kN/C d) 10,6 kN/C e) 10,8 kN/C
84. L a esferita de m asa "m ” y carga "q", se suelta desde la posición m ostrada. H allar la m agnitud de la velocidad con la que im pacta en la otra placa. C onsidérese la gravedad "g".
10‘7 C y q2=10'7 C. H allar la tensión del hilo que sostiene a la esferita de carga " q 2 (k=9.109 N .m 2/C 2)
a) 30 m N b )4 0 m N c) 50 mN d) 60 mN e) 70 mN
87. L a esferita de m asa m = l g y carga q=(7/3). 10'8 C , se encuentra suspendida de un hilo aislante y perpendicular al cam po eléctrico uniform e. H allar la magni tud del cam po eléctrico. (k=9.109 N .m 2/ C2, M =106)
a) 214 mN/C c) 234 m N /C
b )2 2 4 m N /C d) 244 mN/C e) 254 mN/C
88. Las esferitas de m asas "m j" y "m2" con cargas "+q!"y "+q2" respectivam ente, es tán unidas por un hilo que pasa a través de una polea. El conjunto está en un cam po electrostático vertical y uniform e, si se desprecia la interacción entre las car gas, hallar la aceleración de las esferi.
12*8
Física++
tas.
e \
e
1 m, q © mi
nu
89. H allar la m agnitud del cam po eléctrico "E" m ínim o, para que el sistem a este en equilibrio, la esfera y el bloque tienen i gual peso, W =40N y carga q = 2 0 p C , el
b) 37°
a) 30 d) 92.
coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie horizontal es 0,75.
c) 45 e) 60
53
E n los vértices del triángulo equilátero, d e lado a=3 m, se ubican tres cargas posi tivas. H allar el valor de " n ” , sabiendo que la m agnitud del cam po eléctrico re sultante en el baricentro es Eo=60O N /C y q=+10'8 C. (k=9.109 N .m 2/C2) nq ©
/ a) 1.10* N /C b )2 .1 0 6 N /C c )3 .1 0 6 N/C d) 4.106 N /C e) 5.106 N /C 90. U n electrón de carga q = -l,6 .1 0 ' 19 C y m a sa m = 9,1.10’31 kg se larfza verticalm ente hacía arriba con rapidez inicial v0- 4 m/s dentro de un cam po eléctrico vertical ha cia arriba de m agnitud E= 5.10'n N/C. H allar el tiem po que dem ora en regresar al punto de partida. a) 6,0 s
b) 6,2 s d) 6,6 s
1E 0
q© a) 17
b) 19 d)
93.
23
c) 21 e) 25
H allar la intensidad del cam po eléctrico (en kN /C ) en el punto P de la circunfe rencia. Si: a=30 cm, q=8.10'8 C, 0=150°.
c) 6,4 s e) 6,8 s
91. El ascensor sube con aceleración cons tante de a= 6 m /s2, la esferita tiene m asa de m =40 g y carga de q= 6.10'4 C, la m agnitud del campo eléctrico hom ogé neo es E =800 N /C. H allar el valor del án guio "0". (k=9.109 N .m 2/C 2, g = 1 0 m /s2)
--Ó-
a) 29,1
a
;
b) 29,3 d) 29,7
c) 29,5 e) 29,9
Campo eléctrico 1259 ********************************************************************************************** 94. En los vértices del trapecio se ubican car gas iguales a q=1.10'9 C. H allar la magni tud del cam po eléctrico (en N /C ) en el punto m edio de la base m ayor del trape ció. (a= l m, k=9.109N .m 2/ C2) A
ga superficial uniform e o = 2.10‘7 C/m2, si la esferilla de m asa m =16,956 g y car ga q=2.10 5 C se halla en equilibrio. Ha llar el ángulo "0". a) 30°
B
...... a/
\a
a) 9V3
b) 4-V3 d) 3 V2
95.
b) 37° d) 53°
c) 5 >/2
e) 4 V2
c) 45° e) 60°
97. Los anillos muy finos idénticos de ra dios R=10 cm y densidades de cargas fi neales uniform es A .=4.10'10 C/m , se ha Han en planos perpendiculares entre si. H allar la m agnitud del campo eléctrico en el punto P situado a la distancia d=10 cm de los centros de los anillos. (k= 9.109 N .m 2/ C 2)
En los extrem os de u n diám etro de 12 cm de longitud que pertenece a la base de un cono de altura 8 cm se ubican car gas eléctricas puntuales de 4 .10'12 C ca da una. H allar la m agnitud del cam po e léctrico resultante en el vértice del cono. (k=9.109 N .m 2/C 2) *p A¡ \
a) 12 tt N /C b) 2 4 ttN /C c)3 6 rcN /C d) 4 8 ttN /C e) 7 2 71N /C
.'a: \
/ / 9 a) 12 N /C d)
|h
\ *\
....... ............;;-j® 9 b) 24 N /C c) 3 6 N/C 48 N /C e) 72 N/C
98. lín electrón penetra en un condensador de placas planas paralelam ente a sus pía cas y a una distancia de 4 cm de la placa positiva, ¿Q ué tiem po tarda el electrón en llegar a una de las placas? L a magni tud del cam po eléctrico uniform e entre las placas es E=500 N /C , m e= 9.10'29 g, e= -l,6 .1 0 ‘19 C. D esprecie la gravedad. a) 20 ns
El plano es infinito y de densidad de car
b) 25 ns c) 30 ns d) 35 ns e) 40 ns
99. Se m uestra una esfera m etálica "A" de carga q=-8.10‘4 C y una esfera "B" de caucho. Si las dos esferas tienen la mis m a m asa m -5 0 g, hallar la aceleración "amin" para la cual las dos esferas están
Fís»ca++ en contacto inm inente. (E -5 0 0 N/C) i
d
i
102.U na esfera conductora aislada de radio R - 5 cm está situada en el aire. ¿C uál es la fuerza total que tiende a separar las mi tades de la esfera, cuando la carga eléc trica de la esfera os la m áxim a posible? (k=9.109 N /m 2/C 2, m =10'3) a )2 1 3 m N b )3 1 3 m N c) 413 mN d) 513 mN e) 613 mN
lOO.Sobre el anillo fino de radio R=1 cm, es tá distribuida uniform em ente una carga q=-4 pC , y en su centro se encuentra una carga puntual q -+ 4 pC. H allar la m agni tud del vector de la intensidad del cam po eléctrico en un punto del eje del am lio, distante x=100 cm ( x » R y k= 9.109 N .m 2/C 2),
103.U na esfera conductora aislada de radio R =10 cm, situada en el aire, es cargada hasta una carga eléctrica de Q =10‘l° C. (k=9.109 N .m 2/C 2) I) H allar la energía utilizada para cargar la esfera. (p = 10‘15) a) 300 pJ b )3 5 0 pJ c)4 0 0 p J d) 450 p j e) 500 pf II) H allar la presión eléctrica (en nN /m 2) so bre la esfera conductora. (n = 10‘9) a) 31,8
b) 33,8 d) 37,8
c)3 5 ,8 e) 39,8
104.Probar que el flujo del cam po eléctrico creado por el anillo de radio "R" y densi dad de carga lineal uniform e "A.", a tra vés de la esfera de radio "r" es nulo. Los centros del anillo y esfera coinci den. a) 5,0 N /C b) 5,2 N /C c) 5,4 N /C d) 5,6 N /C e) 5,8 N /C lO l.U n electrón de carga e = -l,6 .1 0 ' 19 C, ma sa m e=9,1.10~31 kg, estando a la distan cia z=90 cm de un plano horizontal con densidad de carga superficial uniform e de a = 4 .1 0 '9 C/m 2 se le sum inistra una velocidad inicial de v 0= 107 m /s paralela al plano. H allar la distancia que recorre el electrón paralelam ente al plano antes de retom ar al mismo. a) 1 m
b) 2 m d) 4 m
c) 3 m e) 5 m
105.A1 electrón de carga e = -l,6 .1 0 ' 19 C, ma sa m e= 9,1.10'3! kg, estando a una distan cia z= 90 cm del plano con densidad su perfícial de carga uniform e <7= 4 . 10'9 C/m2 se le sum inistra una velocidad ini cial Vo =107 m /s paralela al plano. H allar la distancia que recorre paralelam ente al plano antes de regresar al mismo.
Campo eléctrico
1261
* * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
me,-e O— v V0
a)
—
*Z
11,68 pC b) 13,68 pC c) 15,68 pC d) 17,68 pC e) 19,68 pC
II. Si la expresión $lelcam po eléctrico es É = E 0 ( i + j + k) (N/C).
+CT
a) 13 pC
ix a) 2,13 m b) 2,33 m c) 2,53 m d) 2,73 m e) 2,93 m 106D em ostrar que el cam po eléctrico creado por un hilo cargado de longitud finita, en el caso lím ite se transform a en el cam po eléctrico de una carga puntual.
b) 33 pC c) 53 pC d) 73 pC e) 93 pC
109A1 cascarón esférico de ra dio R =10 cm y densidad superficial de carga a =2 . 10'9 C/m 2 se le h a quitado un trozo circular de radio a=0,01 cm ( a « R ) . H allar la m agnitud del campo eléctrico en el cen tro de la abertura. (k=9.109 N .m 2/C 2)
107 A lo largo del eje Z entre -1 m < z <+1 m se distribuye un a densidad de carga U neal uniform e >.=8.10' 10 C/m. H allar el campo eléctrico E e n el punto ( 1, 0, 0) en coordenadas cartesianas. (k=9.109 N. m2/ C2) a) 10,2 i N /C
b) 10,4 í N /C
c) 10,6 í N /C
d) 10,8 i N /C
a) 36 ti N /C b) 24 tt N /C c) 1 2 tí N/C d) 72:: N /C e) 1 8tt N /C
e) 11,0 i N /C 108EI campo eléctrico É pasa a través de la pirám ide m ostrada. H allar el flujo del campo eléctrico a través de la cara ABC. (k=9.109 N /m 2/C 2, a=50 cm E0=16 N/C)
llO H allar la m agnitud del cam po eléctrico en el centro del cubo de lado "a", cinco caras del cual están cargadas uniform e m ente con una densidad de carga superfi cial "a" y la sexta cara descargada.
iZ
E B ,
/
a=0
----- ►-/— a f
0
a
\
V a)a/2 s0
b) a / 5 e 0
d)a/3e0 I)
Si la expresión del cam po eléctrico es E = E J (N/C).
c)a/4e0
e) c t / 6 e 0
i , fi3
Física++ carga ó no. Por tanto la respuesta correcta es la a).
SO L U C IO N A R IO Solución: 01 • Según eí principio de cuantización de la carga eléctrica, se cum ple: q = n.e
(n = 1, 2, 3,...)
Solución: 05 • D ado que la tierra tiene un exceso de e lectrones, estos se transfieren hacía la esfe ra, en una cantidad, tal que la esfera quede descargada. *
siendo "e" la carga del electrón. Para q¡
n=
2,4.10 1,6.10
Para q2
n=
-1 9 -19
11 , 2 .1 0
3
2
(no)
Solución: 06 • L as respuestas a cada una de las afirma ciones son:
-1 9
=7
*
(si)
1,6 .10“19 Para q3
Para q4
n =
n -
8, 8.10
-1 9
1,6,10
-!9
8 , 0 .10
1, 6.10
=—
V V FV V
•
Solución: 07 La respuesta correcta es la d).
•
Solución: 08 L a respuesta correcta es la a).
( no)
-1 9 -1 9
=5
(si)
Luego, las cargas que cum plen con el princi pió de cuantización, son q2 y q4Solución: 02 • El principio de cuantización de la carga eléctrica, asegura, qUe toda carga eléctrica es un m últiplo entero de veces la carga del electrón, la cual viene, a ser la carga funda mental de la naturaleza. Por tanto, la res p uesta es: FFV
Solución: 09 • <<;C uando dos cuerpos esféricos de igual radio d e curvatura son puestos en contacto, las cargas eléctricas se reparten equitativa m e n te ^ Así, tenem os los siguientes pasos: I) Las esferitas están separadas. Qi
, qb = -2e , qc = 4e
P or tanto, el cuerpo que tiene m ayor carga eléctrica es la III). Solución: 04 • El electroscopio es un instrum ento que se utiliza pasa establecer si un cuerpo posee
q2 ■O
O II)
L as esferitas se ponen en contacto.
Solución: 03 • L a carga de cada uno de los cuerpos es:
qa= 0
FVF
C3 III) Las esferitas se vuelven a separar.
q
q
L a carga eléctrica que adquiere cada una de las esferitas es:
Campo eléctrico 1263 ********************************************************************************************** Q,+Q2
6 0 + (-4 0 )
qi
q¡ = 16 q = 10 pC = 10~5 C
*
L uego, la fuerza de interacción eléctrica en tre las esferitas es: F=k
(q)(q)
.E .
q ^ ló q j
Solución: 12 • Representem os las fuerzas que actúan so bre las esferita de carga (q). A de fuerzas
F = 9.10
9
(10 5)(10~5) ( lo ^1)2
*
F = 90 N
Le .
Solución: 10 • Sean q b q2 las cargas y (d) la distancia inicial entre ellas, entonces de la ley de Cou lomb, tenem os: * C uando ia fuerza es de 1 N: l=k *
qi-qz
( 2)
i 0-4 = k ^ D ividiendo (2) entre (1), obtenemos:
*
=>
tg 3 7 ° = — mg 3 ,( q ) ( 2 q ) -m g = k — 4 (2x)
( 1)
C uando la fuerza es de 10' N:
ÍO4 = 2L . d2
En el triángulo de fuerzas, se cum ple que:
En la Fig., x=(50) sen 37°=30 cm, de modo que 2x = 60 cm, luego: - (60.10~3)(10) = (9.109) — 2q , , 4 (60.10 ) q2 = 9.10 12
x 2 = 104d 2
* x = lOOd
©
q = 3 pC
©
Solución: 11 • Sean qj, q2 las cargas iniciales, q1? q2 las cargas finales y (d) la distancia inicial entre ellas, entonces com o la fuerza entre las partí culas se m antiene constante, se cumple:
Solución: 13 C uando q3 es ubicada en A, tenem os: A qi
q3
lm
lm q2 B
w F=k
^
= k q ' q2 (4 áy
qi
2m
q2
lm
q3
i3fii
Física++ Solución: 15 • R epresentem os las fuerzas eléctricas so bre la partícula de carga Q2.
F = F| - F2
F=( 9.10
Q i® F=0 C uando q3 es ubicada en B, tenemos: © Qi
F = F[ + F2
r -9 .io 9[(1Q~3)(,1Q-7) i <10"3^°~7>i 32
l2
®
F = lN
Solución: 14 • Com o las esferitas son idénticas, luego de ponerse en contacto y separarse adquie ren la m ism a carga eléctrica (q ’). 3q
q
q'
El m ódulo de la fuerza eléctrica Fj2 es:
Fl2 = ( 9,10^ ( ^ X ' o o . i o í )
q
CX> £4> :: Por el principio de conservación de la carga eléctrica, la carga total (Q) se m antiene cons tante, es decir:
F12 = 3 N El m ódulo d e la fuerza eléctrica F32 es:
F - 1; b32 - k
Q2
,2
Q = 3 q + £ = q ’ + q’ F32 = (9 .1 0 2) (160-10- X100 10~-) q' = 2 q De otro lado, com o la fuerza eléctrica antes del contacto es 9 N, entonces: 9=
k
»
>
d2
=> k ¿ = 3 d2
Luego, el m ódulo de la fuerza eléctrica entre las esferillas, después del contacto es: F ^ k (2q )p q) = (4)(3)
*
F = 12 N
F32 = 4 N Luego, el m ódulo d e la fuerza eléctrica re sultante es: F = V32 + 42 *
F =5N
©
Solución: 16 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre la esfera A y con ellas form em os el trian guio de fuerzas.
Campo eléctrico 1265 «A******************************************************************************************** A - FUERZAS
El m odulo de la fuerza F2 resultante de la sum a de las fuerzas de m ódulo F es: F2 - 4 l ? = V 2 k ^ a Luego, com o la carga eléctrica (Q) situada en el vértice A está en equilibrio, se cumple: Fi-F2
En el triángulo de fuerzas, tenem os que: T= 5F
; F = 3 W - 45 N
D e la ley de Coulom b, hallem os el valor de la carga eléctrica ubicada en B, así:
k Q l = V 2k5f 2a 2 a2 *
4 5 = (9 .i0 y *
1Q-10> (0,1)2
qB = 5 n C
Q /q = 2V2
®
Solución: 17 • R epresentem os las fuerzas que actúan sobre la esferilla de la izquierda.
@
El m ódulo de la fuerza eléctrica F, de inter acción entre las cargas eléctricas (Q) es:
Por ser el triángulo isósceles, se cumple:
Física++ ***************************************************************************************** 2
3q‘
= mg
( 2 R c o s 3 0 ° )2
Luego, como la carga eléctrica (-q) situada en el vértice A está en equilibrio, se cumple: F, 4 “= Fl ,2 i
2
(9.109)
3q = (90.10"3)(10) [(2)(10-1) (V 3 /2 )]2
3 k Q^ qf = V 3 k \ a a
q 2 = 10-12
S olución: 19 • U biquem os una carga eléctrica positiva (Q ) en el centroide del triángulo equilátero y representem os las fuerzas eléctricas.
©
n & Q=y q
*
* q = 1pC
Solución: 20 • Representem os las fuerzas que actúan so bre la carga (+q) y la barra.
-q +q
W 5N
El módulo de la fuerza de interacción eléc trica entre las esferitas cargadas es: F=k
m = ? h = ( 2 )[a 2 - ^ ] 1/2 3 3 4 V3 a m = — a = —= 3 V3 D e m odo que, los m ód ulos de las fuerzas e léctricas Fj y F2 son:
F = (9.109) ^
F22 = F 2 + F 2 + 2 F F c o s 6 0 ° = 3 F 2 .2
í0 "><220-10"6> (0,3)
F = 40 N Com o la esferita de carga eléctrica (-q), está en equilibrio, se cumple: T +W = F
F, -- kk . Q U , 'q --3 k3 k Q2 q ( a /V 3 )L a*
qi-qz
=>
T + 5 = 40
T = 35 N Luego, com o la barra de hom ogénea de peso W, está en equilibrio, se cumple: W = 2 T = (2)(35)
F2 = V 3 k ^ * W = 70 N
©
Campo eléctrico 1267 a********************************************************************************************* Solución: 21 • El m ódulo de la fuerza de interacción e léctrica entre las esferitas cargadas es:
El m ódulo de la fuerza de interacción eléctri ca entre las esferitas cargadas, situadas en A y B es: F -k S i d2 F
= (9 i o , ) ( 2 ^ X 2 a ^ ) (0.3)2 F = 40 N
Com o la esferita cargada situada en A está en equilibrio, se cumple:
F=k+ i d2
Tj + F = T2 + W
= (9. 10’ ) < H ? M Í ) ( í o - 1) 2
f
Tj + 4 0 = T 2 + 1 0
F = 90 N
T2 - T 2 = 3 0 N
Com o la esferita de carga eléctrica (+q), esta .... . , v en equilibrio, se cumple:
(1)
^ i r - * j o ™ Com o la esferita cargada situada en B esta en equilibrio, se cumple:
Tj = F + W = 90 + 20
t2
Tj = 110 N
=
f
+
w
T2 = 40+ 10
L uego, com o la esferita de carga eléctrica ( q) está en equilibrio, se cumple:
T2 = 50N
(2)
De (1) y (2), obtenem os las tensiones:
T2 + W = F •
*
T2 + 20 N = 90 N * T2 = 70 N
©
Solución: 22 • R epresentem os las fuerzas que actúan sobre las cargas ubicadas en A y B.
T j= 2 0 N y T 2 = 5 0 N ©
Solución: 23 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre la carga q2, y con ellas form em os el trián guio de fuerzas.
t2 i"l ■ t
2
a
W
w
O 93 Los m ódulos de las fuerzas F¡ y F2 son:
Física++ q <
0
P J ? ÍX ^ !) =«, N 1
(3 .1 0
)
F 2 = ( 9 .l o 9 ) í ^ ^ x ^ ! > 2 (3.10)
=60N
Lu e g o , el m ódu lo de la fuerza eléctrica
re
sultante sobre la ca rga q2 es: E n la F ig ., p o r c o n d ic ió n de e q u ilib rio , las m agnitu d es de la fuerza eléctrica y peso son iguales, esto es:
F = [8 0 2 + 6 0 2J1/2 *
F =100 N
©
qE = m g
S olución: 2 4
_ (6 .1 0 ~ 17)(1 0 )
• Representemos las cargas de signos o puestos, situadas en la vertical.
q ~ *
(3.3 O3) q = 2 .1 0 19C
®
S o lu c ió n : 2 6 •
L a m a g n itu d de la fuerza eléctrica de re
p u lsió n , entre los protones es:
E n la Fig., sea " q " la m a g n itu d de la carga de cada una de las esferitas, entonces, com o la esferita B , esta en é q u ilib rio , se cu m p le : _2 k ?
Fe = (9 .1 09) ( 1 ,6 J 0 19)2 (0 ,7 4 .10~10) 2 Fe
= mg
=4,21.10"S N
(1 )
L a m a g n itu d de la fuerza de atracción g ra v i tatoria entre los protones es:
(9.109)
= (9 0 .1 0 “ 3)(1 0 ) (4 .1 0 - 2 ) 2
m; Fr. = G
q 2 = (4 .1 0 “ 2) 2(1 0 “ ÍO) *
q = 4 . 1 0 “ 7C
Fg = (6 ,6 7 .1 Q - l 1) ! 1^
! 0 27 ) 2
(0 ,7 4 .1 0
)2
Solución: 25 •
L a representación d e las fuerzas q u e ac
tu a n sobre la gotita de aceite es:
F g = 3 ,3 9 .1 0 “ 44N F in a lm e n te , d iv id ie n d o ( 1 ) entre (2 ):
(2)
Campo eléctrico 1269 ********************************************************************************************** *
— = 1,24.1036 veces Fg
© k e /R
Solución: 27 • R epresentem os las fuerzas eléctricas so bre la carga eléctrica situada en el vértice recto.
En la Fig., la m agnitud de la fuerza centrípe ta es la fuerza eléctrica protón-electrón, esto es: e2 v2 k— = m R R2 v = [ke /m R ]
1/2
En la Fig., las m agnitudes de las fuerzas eléctricas F, y F2 son:
r(9.109)(l,6.1Q -19)2 1;2 V =
(9,].10-31)(2.10-6)
F, = k - 5 L = i k Q 2 (V 3)2 3
* v = 1,125.10 F2 = k - 5 T = i k Q 2 (2 )2 4 Luego, la m agnitud de la fuerza resultante, sobre la carga situada en el vértice recto es: F = [F12 ^ F 22]1/2 *
4m
©
Solución: 29 • Los resultados de la experiencia realiza da, son: I. Al acercar el cuerpo A cargado negativa m ente, por inducción, las cargas negati vas del cuerpo neutro B pasan hacia C.
F = ( - + — ) 1/2k Q 2 9 16 F = — kQ 2
12
F = ( |) ( 9 .1 0 9)(4.10“5)2 * F = 36 N
©
Solución: 28 • R epresentem os la fuerza que actúa sobre el electrón.
II. C uando el electroscopio se conecta a tie
Física++
*UZ9***************************************************************************************** rra, sus cargas positivas pasan hacia la tierra, que com o se sabe tiene un exceso de cargas negativas.
pues, no existe fricción en el piso y las po leas. Luego, aplicando la prim era condición de e quilibrio al nudo, tenemos: E F y =o W = 2F sen53° = (2 )(3 0 )(^) B
* W = 48 N
Solución: 31 • L as respuestas a cada Una de las afirma ciones son: III. Finalm ente, cuando se desconecta de tie rra y retira el cuerpo cargado A, el elec troscopio queda cargado negativam ente. Por tanto, la respuesta es la a). Solución: 30 • R epresentem os las fuerzas que actúan, en el punto de unión de las cuerdas:
La m agnitud de la fuerza de interacción eléc trica entre las esferillas es: F=k
qi-q2
* FVVVF Solución: 32 a) Falso, pues el trabajo es W= q0 (AV), siendo A W O , la diferencia de potencial entre las superficies. b) Falso, pues, los dos puntos que pertene cen a la m ism a superficie están a) mismo potencial y AV=0. c) V erdadero, pues, las líneas de fuerza del campo eléctrico son perpendiculares a la superficie del conductor, saliendo o in gresando a el. d) V erdadero, pues, todos los puntos de la superficie de un conductor están al mis m o potencial. e) V erdadero, pues, la carga en un conduc to r se sitúa en su superficie. Solución: 33 • R epresentem os las partículas en el instan te en que se liberan +Q
F - (P109) aoio^)(3Q-io-6) (0,3)2 F = 30 N E
Aquí, la tensión en las cuerdas (1) y (2) es i gual a la fuerza de interacción eléctrica,
r^;
Á -Q
C
a m
p o
1271
e l é c t r i c o
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
L a carga negativa (-qO se m ueve hacia a rriba, con una aceleración igual a:
a, =
q jE
(1)
m
Aplicando la segunda condición de equili. brío a la barra, respecto del punto A, teñe mos: Z
m
=0
(F)(2€) = (W )(Í)
L a distancia recorrida en el tiem po de en cuentro "t" es:
Q2 2kz
=w
(2)
ái = - a j . t 2
1
a
2 1
L a carga positiva (+q2) se mueve hacia a bajo con una aceleración igual a:
W = (2)(9.109) (2 ' ' ° ( 3 .1 0 ) * W =80N
a-, =
m
L a distancia recorrida en el tiempo de en cuentro "t" es: 1 d 2 = —a 2t ‘ (4) 2 D ividiendo (2) entre (4); y teniendo en cuen ta (1) y (3): di _ a i _ 9i d2
a2
©
q 2E
di _ 6 f*c 2 pC
92
* 211 = 3
.
S olución: 35 • H allem os prim ero la m agnitud de la fuer 2a de repulsión entre las esferas cargadas, F=k
91-92
F = (9.10^)(1-5-l r 4 X1f ' 10" ) (0.5) F = 810 N
0)
©
d2
S olución: 34 • R epresentem os las fuerzas que actúan en el sistema.
A continuación de la Fig., aplicando la pri m era condición de equilibrio, hallam os el pe so de la esfera cargada, así:
FcosóO0 50° = W senóO0 se W = 270 a/3 N
( 2)
*wz?***************************************************************************************** Finalm ente, aplicando la segunda condición de equilibrio al sistem a "barra+esfera", halla m os la tensión en la cuerda, así:
V m’ 4 ..... F c= F e
S Mo = °
f
T.(2 L sen 60°) = F L sen 60° + W L eos 60° T = 405 N + (135 V3 N)(V3 / 3) .B
* T = 540 N
Solución: 36 Representem os las fuerzas que actúan so
En la Fig., la fuerza centrípeta, es la fuerza eléctrica sobre la carga (q), esto es: F„ = F „ => R
R2
v = [k i Q r mR
v ^ i o 2/ 4' 10^ 5-10' ^ ’' 2 (4 .1 0 '9)(5.10~2) * v = 3.10 m /s
Para que la persona no parezca tener peso, la ^ ,, . , , . fuerza eléctrica sobre ella, debe ser igual, a su peso, esto es:
©
Solución: 38 • R epresentem os a las esferas en sus posi ~ . ciones iniciales y finales,
Fe = r 9g _2 R
2 = m§
q = [m g R
/k ]
+q
1/2
A N TES
.
r(500)(6,37.l06)2 i/2
q=[ * q = 1501,423 C
1
©
Solución: 37 • Representem os las fuerzas que actúan so bre la partícula de m asa "m ”
+2q DESPUES
Com o las esferitas tienen la m ism a m asa y cargas del m ism o signo se separan form ando ángulos iguales con la vertical, así, la res puesta correcta es la b). Solución: 39 • R epresentem os a las esferas en sus posi ciones iniciales y finales.
Campo eléctrico 1273 ********************************************************************************************** W = (2.10_6)(10) = 2.10-5 N Luego, aplicando a la esferita de carga qA, la prim era condición desequilibrio, se tiene £F
<
m
=> k.x = F + W
ó
2m x =
A N TES
(11,25 + 2).10
-5
10“3
Com o las esferitas tienen m asas diferentes y cargas del m ism o signo se separan formando ángulos diferentes con la vertical, así, en la Fig., la fuerza de repulsión eléctrica entre las cargas es F, entonces: Para la m asa "m ": F tg a = — mg
F
+ x = 0,1325 m
©
Solución: 41 • R epresentem os la partícula de m asa "m" y carga eléctrica "q". ..O
F => a = tg-1(— ) mg
Q
2/2 m, qGjf*-®
Para la m asa "2m ": tg 0 =
=0
PO
=>
2mg
2mg
Luego, como a m ayor ángulo le corresponde m ayor tangente, el ángulo " a " es m ayor que el ángulo "0 ". Por tanto, la respuesta correcta es la c).
■ -Ó Q En la Fig., la m agnitud de la fuerza eléctrica resultante sobre la carga "q" es: F = 2k
cos0 (x + 8 )
Solución: 40 ' • L a m agnitud de la fuerza de interacción eléctrica entre las cargas qA y qB> es: F=k
1
a
4
b
F = 2 k q .Q
5 rry (x + 8 )
D erivando esta expresión respecto de "x", e igualando a cero, obtenemos:
F = (9.109) (5' l r 9 ) ( 4 210~9) (4.10 )
- = b b § 7 í ( 8 - 2x2) = ° dx (x + 8)
F = 11,25.10-SN
8 - 2x 2 = 0
De otro lado, el peso de la esferita de carga eléctrica qA es:
* x = 2m
W = mg
B
Solución: 42 Tom em os dos diferenciales de carga
Física++ "dq", sim étricos respecto del centro del ani
©
* Q = 1,84.10-6C
lio.
•
S olució n : 4 3 f T om em os un diferencial de carga "dq"
de longitud "dy" en el filam ento vertical car gado negativam ente. dq dq En la Fig., la fuerza eléctrica debido a los dos diferenciales de carga "dq", sobre la es
dy
2a
Ta L
ferita de carga "Q", esta dirigida vertical m ente hacia abajo, y su m agnitud es: dFR = 2 dF eos 0 dF¿ = 2 k
O dq d ?v 4 2— ^— - T J J (d + R ) (d + R )
L uego, la m agnitud de la fuerza eléctrica re sultante sobre la esferita cargada es:
En la Fig., la m agnitud de la fuerza eléctrica sobre el diferencial de carga "dq", debido al cam po eléctrico creado por el filam ento hori zontal cargado es: dF = Edq
Fu = (d + R )
)(k d y )
dF = (
o
2ne0y ^ y 2 + a2 =k (4.10-2 )2
, 6.10’6* 4 Ara
(5.10-2 )2 5
2a
dy
2íieo a y J y 2 + a 2 Com o el anillo está en equilibrio, por la ter cera ley de N ew ton esta fuerza eléctrica, de be ser igual al peso del anillo, esto es:
2a
F= 2ne0
a
y
27tA,QRd 47iK0(d ? - R 2) ' 2 = m g 47is0m g (d 2 + R 2)3/2
F = -(2 )(9 .1 0 y)(2.10"5)2log(
+ F = 1,25 N
1 + V5 2(1+ V2) ®
2^kR d
Q=
(4.10~3)(10)[(4.10~1)2 + (3 .1 0 ~ ')2]3/2 (2 tc)(9.1 09)(4.10“8)(3.10-1)(4.10-1)
H N ota El signo m enos nos indica que la fuerza de interacción eléctrica es de atracción.
Campo eléctrico 1275 ********************************************************************************************** S olución: 44 • R epresentem os las fuerzas eléctricas que actúan sobre la carga Q. Fi
Fl
qi
Q
1X1
q1
Q<1
ferenciales d e carga "dq", ubicados simétri cam ente es: d l^ = q d E R = q (2 d E c o s 0 ) jt : /oí ^-^00 dF^ = q ( 2 k — 2— cosO) R
^ = M a% cos0d 0 * R „J ji/2
L a carga Q se encuentra en equilibrio, lúe go, se cum ple que:
Fr = ^ ^ ( s e n 0 ) ] 0 2kX q
Fi = F 2 Fr
k
q iQ - - k S g (L -x ) x
Fd =
=
R
(2)(9.10y)(2.10~7)(6.10~6) (4 .1 0 -')
ü L = (t - i ) 2 q2 x
x=
^
=> - = i + V í 7 ^ 7 x
L=
25)
* f ^ = 5 4 . 1 0 _3N
®
S olu ció n : 46 • En la Fig., la expresión vectorial de cada u n a de las fuerzas representadas es:
* x = 10 cm S olución: 45 • R epresentem os los c a m p o s‘eléctricos^en el centro 0 del anillo, creados por dos dife renciales de cargas "dq", tom ados sim étrica
fA = k 2
¿
(Í + 3)
2 ^ = k \(i) a
m ente en el anillo. Fc = k — p - r ( i + j + k) C 3V3a3
En la Fig., la m agnitud de la fuerza eléctrica sobre la carga puntual "q", debido a los di (
Pero en la Fig., d = 2 L s e n 0 , luego: Fn=k
(i+ k )
2-J 2 &'
2
2
Fk =
2
FE = k 3 T (j) , F „ = k \ ( k ) a a
F°
(j + k)
SV 2a2
1
(1)
]6 n e 0\ } sen20
A hora, del A de fuerzas, se tiene que: tg 0 = -F^ mg
Luego, la fuerza resultante y su m agnitud so bre la carga ubicada en el vértice F son:
(2 )
D e (1) en (2), y despejando "q2": q = 167te0m g L tg 0 sen 0
F = FA + FB 4- Fc + FD + FE + FG + %
Por dato, 0 = ^/4, por tanto: q = (87ts0L2m g)1/2
? = i : (,+7 ? +^
)(i+5+fc)
r (2 )(4 .10-2 )(180.10-3 )(10)nl / 2 q = L-------------------T TT o -------------------J
F=
V3q2 n
4jie„a2
1
9.10
1 ,
V2 + 3 ^ 3
V 3(9.10>X 4. 1 0 ^ ) 9.10 * F = 131,6 N
* q = 4 qC
1 + 1 ) V2 3V3
©
S olu ció n : 48 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre un a de las caras eléctricas.
©
S olución: 47 • Las fuerzas que actúan sobre las bolas, son: sus pesos (W ), la fuerza eléctrica (F e), y la tensión de los hilos (T), com o m uestra la Fig.
La m agnitud de la fuerza eléctrica es:
Fe =
i q 4 tisa d 2
En la Fig., para que la carga "6" se en cuentre en equilibrio, la sum a de las com po nentes verticales de las tensiones de los hj los, deberá ser igual, a la sum a de las compo nentes verticales de las fuerzas eléctricas, esto es:
C
a m
p o
1277
e l é c t r i c o
1c********************************************************************************************* 2TY - %
L a m agnitud de la fuerza eléctrica, y la de form ación que experim entan los hilos son:
+ F 2 ,Y + F 3,Y + F 4,Y
F 5,Y + F 7,Y
ponentes verticales de las fuerzas eléctricas ejercidas sobre la carga "6". Reem plazando la form a de éstas com ponen tes, se tiene: 1 V3 1 V3 + -+ — +— ] 2Tcos30° = —- y [0 4 h 3 2 2 47ieX 6
1
F* =
donde, Ty son las com ponentes verticales de las tensiones en los hilos y F¡ Y son las com
q2 d2
(2)
Ax = [L 2 + ( d / 2 ) 2]1/2 - L
(3 )
siendo, "L " la longitud norm al de los hilos y "d" la distancia de separación de las esferi tas cargadas. D e otro lado, de la Fig., se tiene que:
(d/2)
sentí =
(4)
L2 + ( d /2 ) 2 T=— [—+ ——■] Stie^L 4 3 t
Luego, reem plazando (2), (3), (4) en (1), y o perando se tiene:
_ (4.1Q-6)2(9.109) 9 | 73 (2 )(3 .1 0 "')2
4
j
3
4 t: s 0
* T = 2,26 N
1
q; = k d { l d:
[1 + (d / 2L)
2il/2
D Com o d « L , entonces ( d / 2 L ) 2 -+ 0, así, u
S olución: 49 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre las cargas.
sando la aproxim ación, (1 + z )n » 1 + n z en la ecuación anterior, obtenem os la distancia ”dM: q2 47te„d
kd3 8L
d = [8q2L2 /k4TO0]1/5 d = [(8)(9.10y)(2.10_1° )2(10", )2 /9 .1 0 / ] -1 5 U /5
d = [2 .10” ] E n la Fig., po r condición de equilibrio, la fuerza de interacción eléctrica (FE) entre las cargas "q", debe ser igual, a la com ponente vertical de la fuerza de recuperación de H ooke, es decir: FE = 2 T Y = 2k Ax sen 0
0)
* d = 0,2 cm S olu ció n : 50 • A plicando en las direcciones de los ejes X e Y la ecuación fundam ental del m ovi m iento de traslación y rotación, respectiva m ente, tenem os: £ F Y = m.a
Física++ T eo sa - mg = m a T c o s a = m (a + g)
(1)
Fc = m a c T s e n a - F E = m v 2 /R Representación de las fuerzas que actúan so bre la esferita que rota.
A sí, en la Fig., esta fuerza está dirigida en to do m om ento hacia el centro del anillo, y su m agnitud es: F=
1
e.Qx
4 tts 0 ( x 2 + R 2) 3/2
)t
A hora, com o x « R , entonces despreciando x frente a R, tenem os: c = ----e-Q F -^-rX 4 t i 80R
Reem plazando la expresión de la fuerza eléc trica (Fe), y velocidad lineal v = o R , teñe mos: T s e n a = k ^ y + m ® 2 .R
(2 )
R¿
k es d e, tip0 de Hookei F =k_x> asI;
Es(a
la carga se m ueve alrededor del centro del anillo con M .A.S, cuyo período viene dado por:
D ividiendo (2) entre (1), obtenemos: tg a =
k ( q 2 / R 2) + m.co2.R m (a + g)
T = 2n^jm c / k Reem plazando la expresión de k: m. T = 2 j i [e .Q /4 x s 0R
q = {47t80R 2m [(a + g )tg a - ( d2.R]}1/2 q = {^ § - ( 5 . 1 0 _3)[(2 + 10 ) a ) - ( 20)2(°,02)]}1/2
1/2
T = 27t[47t80m eR 3 /e.Q]
9.1 0 ?
+ q = 2,98.10_8C S olución: 51 • R epresentem os la fuerza eléctrica ejercí da por el anillo sobre electrón de carga -e, y m asa "m " :
T = 2n[
(9,1.10~31)(3 .1 Q 1)3
ii / 2
(9.109)(l,6.10_l9)(3.10*10) * T = 1,5 ps S olución: 52 Representem os las fuerzas eléctricas que
Cam po eléctrico 12 7 9 ********************************************************************************************** actúan sobre la esferita 1. *
q = 2.10_7C
@
S olu ció n : 53 * Considerem os up elem ento del anillo de longitud AL=2 R.Aq, que contiene una car ga Aq, com o m uestra la Fig.
A sí, la m agnitud de la fuerza eléctrica re sultante es: R 2 = F2 + F 2 - 2 (F)(F) eos 120° R 2 = 2 F 2 + 2 F 2cos60° D ado que Q » q , entonces se puede obviar en el anillo la interacción coulom biana so bre si m ism a debida a su carga. L a carga "Q" ejerce sobre éste elem ento de carga, una fuerza igual a:
R 2 = 2 F 2(1 + ~ ) = 3 F 2 2 R = V 3F = V 3 k \ a
AF =
t/
1
Q-Aq
4n&n R 2
(1)
A su vez, la m agnitud del elem ento de carga Aq, viene dado por: a /V 3
mg
A0 Aq = q — n
Del triángulo d e fuerzas, tenemos que: V3F V3 q2 c t g a = -------= — k ^ mg mg a
(1)
De otro lado, de la Fig., tenem os que la ctg a es: c tg a =
a
(2) a2
Igualando (1) y (2), obtenem os "q", así:
(2)
A hora, de la prim era condición de equilibrio la sum a de las com ponentes verticales de la tensión en los extrem os del elem ento de car ga, debe ser igual a AF, es decir: AF = 2 T sen A0 AF * 2T (A0)
(3)
pues, s e n x * x p a ra x « 0 R eem plazando (1), (2) en (3), obtenem os la
1280
Física++ trón a la placa positiva es:
fuerza con que se ensancha el anillo: ^ - 4 q M 4
tts „
R
z
T=
v = v Q+ a.t
= 2 T A0 71
v = 0 + (8 .f0 n )(3.10~7)
q.Q 87i2e„R 2
T =
* v = 24.104 — s
(9.109)(2 .10~s )(8 .10~5) 2 7 t( 3 .1 0 " 2 ) 2
* T = (—) N
D,
©
Solución: 55 • Con las fuerzas que actúan sobre la car ga, form em os el triángulo de fuerzas.
7t
A de fuerzas
Solución; 54 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre el electrón.
En el triángulo de fuerzas, tenem os que: tg 0 = En la Fig., la m agnitud de la aceleración con la que se m ueve el electrón es: a=
eE
(1,6.10_19)(4,55)
m
(9 ,U 0 " 31)
tg 0 =
q.E mg
(6.10~3)(5-102) _ 3 (4.10-3 )(10)
4
®
= 37 a = 8.10 m /s El tiem po que tarda el electrón en llegar a la p laca positiva es: 1 2 d = v ,t + - a .t 0 2
Solución: 56 • R epresentem os los cam pos creados por cada una de las cargas, en el punto medio. q2
q» s -
■e e2
3,6.10-2 = 0 + —(8.10n ) t 2 2 t = 3.10-7s L uego, la rapidez con la que llega el elec
1
6cm
E n la Fig., la m agnitud del cam po eléctrico resultante en el punto m edio 0 es:
E = Ej + E 2
Campo eléctrico
E = (9.109) _2 ‘10 , 27 + (9 .1 0 9) 4,10 ^ (3.10"2)2 (3.10-2 )2 E = 20 + 40 N * E = 60 —
©
1281
* R = 60
N
Solución: 58 , • R epresentem os los cam pos creados por las cargas en el punto C.
Solución: 57 • L a m agnitud del cam po eléctrico en P, creado por las cargas ubicadas en los vérti ces B y C, es el doble del creado por la car g a situada en A, así: "O
En la Fig., para que el cam po resultante en C, sea vertical, deberá cum plirse que:
Q '"
E r = E aCos 37° 6 . 10' = k(4.10-2 )2 (5.10“2)2 5
-9'
* q = 3,07.10-6 C A hora, utilizando el m étodo del polígono, tracem os el cam po eléctrico resultante R :
^ L a carga "q" es negativa55 Solución: 59 • R epresentem os las fuerzas que actúan so re la esferita del péndulo. A de fuerzas
D e la Fig., la m agnitud del campo eléctrico resultante en el punto P es: R = [(E /2 ) 2 + (V 2 E )2]
1/2
Del triángulo de fuerzas, tenem os que: (6.10~6)E tg 0 = — => 1 = mg (12.10"6)(10) R = ( 2 )(9, 0 9) ^ ¿ 2a (3.10 )
* E = 20 N /C
Fís¡ca++
*Wl§2*n *i * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Solución: 60 • L a m agnitud del campo eléctrico, crea do por la partícula de carga "q" a una dis
Resolviendo (1) y (2), obtenem os la m áxim a fuerza de reacción: N = 3 (m g + q.E)
tancia "d", viene dado por: N = (3 )[(l)6 0 ) + (2)(10)j 0 ,1'
* N = 90 newtons B
* q = 20.10-12 C
Solución: 61 • L a m agnitud de la aceleración que ad quiere el electrón es: a =
eE
(1,602.10 " 19)(50)
m.
(9,1.10"3i)
* a = 8,8.1012 m / s 2
EM a = EM b 1
llO ^ C
©
Solución: 62 • D ado que sobre el bloque sólo actúan fuerzas conservativas, su energía m ecánica se conservará en el tiem po, es decir:
m g R + q .E R = - m v
Solución: 63 • R epresentem os los cam pos eléctricos creados por cada una de las cargas.
En la Fig., para que el cam po eléctrico resul tante en el baricentro, sea horizontal, no de be haber com ponente vertical, es decir, debe rá cum plirse que: l E y =0
7
(1) E ,s e n 3 0 0 + E ,s e n 3 0 ° = E :
aB
- 1 (k % ¿ )+ (k
qE
i
Q + 1 A Q -= 4 .1 0 * Q = 3.10~4C
mg
D e otra parte, de la ecuación fundam ental de la dinám ica circular en la posición ”B", se tiene: Fc = m a c N - m g - q .E = m — R
)(r) = k
(2)
2.10
-4
-4
©
Solución: 64 • Las cargas equidistan del centro, por tan to la m agnitud de cam po eléctrico, será direc tam ente proporcional a la m agnitud de cada carga. Sea, E=25 4 l N /C , la m agnitud del cam po generado por "Q ” .
Campo eléctrico 1283 A*********************************************************:************************************ L a m agnitud de cada uno de estos cam pos e léctricos es: E ’= k-
(1)
A sí, en la Fig., el cam po eléctrico resultante está en la dirección horizontal y su m agnitud es: E = 2 E 'c o s3 7 °
(2)
A hora, representem os el campo resultante, en el centro del cuadrado. e
^ 2 ( 9 . i o 9125;1°2 ‘°X t )
(5.10
)
5
+ E = 72.10 N /C
©
S o lu ció n : 66 • R epresentem os los cam pos eléctricos en el centro de la hipotenusa, creados por cada una de las cargas eléctricas. En la Fig., la m agnitud del cam po eléctrico resultante es: E '= 2 E V 2 E ’= (2)(2 5V 2)(V 2)
* E '= 100
N C
©
S olución: 65 • R epresentem os los cam pos eléctricos en el punto 0, generados por cada una de las cargas eléctricas (Q), así:
En la Fig., los cam pos debidos a las cargas ubicadas en los vértices A y B se cancelan entre sí, de m odo que el campo resultante, es igual, al cam po creado por la carga ubicada en C, esto es: E = E, 2q
E=k
=>
E
( L /V 2 y E=
4kq
ir
(4)(9.109)(2.10~1Q) (3.10-2 )2
* E = 8.10 N /C
Física++
1284
Solución: 67 • Representem os los cam pos eléctricos en A, creados po r las cargas Qi y Q2.
1) D e la geom etría elem ental se deduce un triángulo A BC de lados: 7d, I5 d y 20d, respectivam ente. 2) Es fácil deducir que la carga en ”B ", que cum pla con la cohdición debe ser de sig no negativo. E n la Fig., la suma de las com ponentes de los cam pos eléctricos en la dirección del eje Y es cero, esto es: S E .= 0
Las m agnitudes de cada uno de estos cam pos eléctricos en el punto A son:
E Asen37° = E B= Rsen53
Qi E 1 = 9.109 l ^ ; , 4 1 25.10
5
^ C
27 Qb = - Q 64
E 2 = 9 .1 0 5 2 ^ ° ; = 2 7 ^ 910 C L uego, la m agnitud del cam po eléctrico re sultante en el punto A es: E 2 = E 2 + E 2 + 2 E 1E 2cos 127° E = [(4 5 )2 + (2 7 )2 - 2 ( 4 5 ) (2 7 )(j)]1/2
* E = 3,6 kN / C*
k ^(20d) 7 < f > = k ^(15d)2 e 5'
a
* Qb -
27 = 7 7 ( 6 4 liC) 64 “ 27 pC
©
S olu ció n : 69 • R epresentem os los cam pos eléctricos en el centro del hexágono, creados por cada un a de las cargas.
©
Solución: 68 • R epresentem os los cam pos eléctricos en C, creados por cada una de las cargas.
Las m agnitudes de los cam pos eléctricos pro ducidos por las cargas ±q y ±2q, son: Ei = k -L
(1)
E-, = k
(2)
2a^
Campo eléctrico 1285 ********************************************************************************************** A hora, los cam pos eléctricos de las cargas ubicadas en vértices opuestos del hexágono están en la m ism a dirección y sentido, por tanto, su resultante es 3 E 1? com o m uestra la Fig., anterior.
En la dirección del eje X, aplicando la ecua ción fundam ental de la dinám ica, tenemos: l F x =m a i (T se n 0 -F ) = ma
3E,
T sen 0 = F + m a
(2)
D ividiendo (2) entre (1), obtenem os la m ag nitud de la aceleración, así: L uego, de la Fig. y de la e c .(l) el cam po e léctrico resultante, está en la dirección ho rizontal hacia la derecha, y su m agnitud es:
tg 0 =
qE + m a mg qE
a=g E ^ E ^ E j
0 (2 0 .1 0_ 6 )(3 0 .1 0 3) a = (1 0 )(t g 4 5 ° ) - ¿ ^ ---------------}
E = 6EI = 6 k 4 r * a = 4 m /s"
* E = 240
N
Solución: 71 1) L a tensión es m áxim a cuando el cuerpo pasa por la posición más baja de su tra yectoria circular y la tensión es m ínim a en el punto más alto de la misma.
D
S olución: 70 • R epresentem os las fuerzas jque actúan so bre la esfera de carga ’*q".
qE
mg
I 1 mm
*,
o TmAi
A
' A
qE
E n la dirección del eje Y, la esfera no posee movim iento, de m odo que: £Fy=» T cosO = mg
(O
2)
....
A hora, aplicando la ecuación fúndamen tal de la dinám ica circular a los puntos "A" y "B ", obtenem os dos ecuaciones para Tmaxy T mjn, así:
Física++ ***************************************************************************************** T n a x - q .E - m g = mco L
(1)
Tmin + q E + m g = meo'
(2)
Igualando (1) con (2), obtenem os la diferen cia de las tensiones m áxim a y mínima:
I. En la vertical, la m agnitud de la acelera ción que adquiere el electrón es:
e E _ (1 ,6 .1 0 _19)(105) ? Tí me 9,1.10 a = 1,75.1016 m / s 2
Tmax - q-E - m § = Tmin + 9 E + mg Tmax -T nin = 2 (m g + q.E) Tm« - T mm = 2[(40.10-3)(10) + (2.10-4 )(3.103] * Tmax ~ Fnin = 2 N
®
Solución: 72 • L a carga de la partícula alfa es q=2e y su m asa ma=2m p (mP m asa del protón), y la carga del núcleo de Torio es Q=90e. De mo do que, la aceleración que adquiere la partí cula alfa, com o resultado de su interacción e léctrica con el Torio es: F _ q Q /4 7 ts 0r4
a=
El tiem po que tarda el electrón en atravesar la región entre las láminas es t =
^ 107
= 5 .1 0 -s
En la vertical la posición del electrón al a bandonar la región entre las láminas es: y' = -^ (1,75.1016)(5.10-9 )2
y = 0 ,2 1 8 m
®
II. L a m agnitud de la com ponente vertical de la velocidad es: -v-9-
v y = (l,7 5 .1 0 16)(5.10"y) v v = 8 ,7 5 .1 0 7 —
9 0 e4 47te0m oC
(90)(9.109)(1,602.10~19)2
Así, la m agnitud de la velocidad con la que abandona el electrón las láminas es:
(2)(1,672.10-27 )(8,5.10-15 )2
v = ( v 2 + V 2 )1/2
a =
* a = 8,6.1028 m / s 2
®
Solución: 73 • R epresentem os la trayectoria que desen be el electrón.
v = ( l2 + 8 ,7 5 2) i/2 .107
• v w 8,8.107 — s
©
III. El tiem po que tarda en llegar el electrón a la pantalla es:
ó-a t=
10.10,-2
= 10
s
10' S cm
lO cm
Luego, en la vertical la posición del impacto
Campo eléctrico 1287 ********************************************************************************************** del electrón con la pantalla es: t = 3,4.10-10 s
.B
y = 0,218 + (8,75.107 )(10-8) - ~ ( \ 0)(10-8)2
®
y = 1,093 m
Solución: 74 • Para que el electrón se m antenga en equi librio, el cam po externo debe tener la direc ción m ostrada.
Solución: 76 f • R epresentem os las resultantes de los cam pos eléctricos en A, y la de las fuerzas eléctricas en B.
E
L/
fr
keVr2 Fj
Así, en la Fig., la fuerza del cam po externo É , sobre el electrón, debe ser igual al de la fuerza ejercida por el protón: 2 eE = k - y
rq * r F. 2" TL
©
Solución: 75 I) L a m agnitud de la aceleración que ad quiere el electrón es: eE
FI = 4F2 Luego, la resultante del cam po eléctrico (E r) en A, tiene la m ism a dirección y senti do opuesto al de la resultante de la fuerza eléctrica (FR) en B, es decir form an un ángu lo de 180° entre sí, el campo generado por "q" se desprecia, por ser dem asiado peque ño com parado con E. Solución: 77 • Para el instante de tiem po "t", las coor denadas de posición del electrón, son:
(1,602.10_19)(5,0.10 5) -3 1
a = 8,8.1016 m / s 2
(0,10)(3.10 ) 8,8.10
16
x = v„t
©
II) El tiem po que tarda el electrón en alean zar el 10% de la velocidad de la luz es: 0,10c
-Q
m„
9,1.10
t=
®
Fi = k-^- y F2 = k - % i2 4£2
* E = 1,6 N /C
a =
P
Q
En la Fig., las fuerzas eléctricas generadas por Q y -Q, son F¡ y F2, respectivam ente, y sus m agnitudes son:
E = (9.10y)(l,6.10_19)/9 .1 0 ~ 10
a=
®
1 2 y = —a t =
2
O)
1 eE 2 r
2m.
(2)
Luego, elim inando entre (1) y (2) el tiempo, obtenem os la ecuación de la trayectoria que describe el electrón:
Fí8 ica++
* y =-
eE
=rx 2 m ev 0
2
S olución: 79 • R epresentem os los cam pos eléctricos en el punto C.
<<;E sta ecuación corresponde a una parábola abierta hacia abajo55 Solución: 78 Prim er caso:
Sabem os que las líneas de fuerza salen de la carga positiva e ingresan a las cargas negad vas, pero, com o en éste caso en el interior del cascarón no hay cargas negativas, luego, interiorm ente no se form an líneas de fuerza. L a m agnitud de cam po eléctrico (E) es direc tam ente proporcional al núm ero de líneas de fuerza, com o no se form an líneas de fuerza en el interior del cascarón la m agnitud de cam po eléctrico en cualquier punto interior será cero, esto es:
En la Fig., las m agnitudes de los cam pos e léctricos É j y É 2 , son: E, = k
9i
0)
92 a 2 /3
(2)
L uego, cam po el eléctrico resultante en el punto C, está en la dirección vertical hacia a bajo, y su m agnitud es: E = 2E j c o s 3 0 ° + E 2
En = 0 • Segundo caso: ' AI ubicar una carga negativa (-q) en el inte rior del cascarón, se form an líneas de fuerza que salen del cascarón (+Q) e ingresan a la carga negativa (-q).
E = k -% V 3 + k
92
a 2/3 E = —r (V 3qj + 3 q 2)
E =
9.10
h/3(5V 3.10~9) + 3(2.10-9 )]
(3.10T2) 2
E=(I ^ X15+6)10"9 Esto quiere decir que en el interior del cas carón si existe cam po eléctrico, luego: EB > 0
* E = 21.10 N /C
©
S olu ció n : 80 Las cargas equidistan del centro, por tan
Campo eléctrico 1289 ********************************************************************************************** to la intensidad de cam po eléctrico, será di. rectam ente proporcional a la m agnitud de ca da carga. Sea, E -2 5 2 N /C, la m agnitud del cam po generado por "Q".
2
_ J 2 _ 1 92 E 2 2 2 2 m
D ividiendo estas distancias, obtenem os, la relación entre las distáncias " d ," y ” d 2": d] _ q ( E t 2 / 2 m _ qi d2
q2 E t2 /2 m
q2
Finalm ente, com o la sum a de las distancias "dj" y " d 2” es "d", entonces d, = A hora, representem os el cam po resultante, en el centro del cuadrado. E’
d-, =
9i
-d = ( 9] + 9 2
9i + 3 q
92
-d = ( - + 4 _ )(l2 )
9 i+ 9 2
9i+ 3 q i
* d, = 3 cm y d 2 = 9 cm S olució n : 82 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre el péndulo, cuando E=Ei. A DE FU ER ZA S
En la Fig., la m agnitud del campo eléctrico resultante en el punto 0 es: E ’ = (2 E )(V 2 ) = (2)(25V 2)(V 2) q .E i
{E)
* E = 100 N /C
Solución: 81 • Las m agnitudes de las aceleraciones con las que se m ueven las partículas de cargas
En el triángulo de fuerzas, tenem os que:
(-qi) y (+q2)
R epresentem os las fuerzas que actúan sobre el péndulo cuando E=E2.
son:
ai =
q ,E m
q2 E
y a2 = —
m
L as distancias recorridas por las partículas hasta el instante (t) de encuentro, son:
W = qE,
A DE FU ER ZA S
(1)
Física++
1290
* V fli* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
En el triángulo de fuerzas, tenem os que: qE/m
tg 3 7 ° = 2 l i w
(2)
Sustituyendo (1) en (2), obtenem os la mag nitud del cam po eléctrico E 2, así:
i4 = nq Ej r *
=>
En la Fig., la m agnitud de la aceleración e fectiva (aef) es:
e 2 - ( 4f) (8 ° )
E 2 = 6 0 N /C
recorrido carga
©
Solución: 83 • En la Fig., las magnitudes de estos cam pos, y el coseno del ángulo a , vienen dados por: i: = n25< — N , E-) P = 5 — y eos a = — ^ Ei C 2 C 5 Y
*ef
= [ ( ^ ) ? + g 2] ,/2 m
Ahora, com o cos0 = qE /m aef , entonces la distancia recorrida por la esfera es: i=
_ m a efd co s0
qE
Luego, la expresión de la velocidad con la que llega el electrón a la placa es:
E,
v 2 = 2 a ef/ = 2
* v= { 6.......
^-q
f
^ [ ( ^ + g2] } qE m
En la m ayoría de los problem as de electros tática se desprecia "g".
Luego, la m agnitud del campo eléctrico re sultante en el punto P es: E = [E 2 + E l - 2 E , E 2 c o s a J l/2 Reem plazando las expresiones de E], E2 eos a , y evaluando obtenem os: * E « 2 3 , 2 N /C
^ qE
B
Solución: 84 • Sobre la esfera actúan la fuerza eléctrica y gravitatoria, produciendo en la carga una aceleración horizontal (q.E/m) y una vertical (g), respectivam ente.
Solución: 85 • Las fuerzas que actúan sobre la esfera "+q2" son: la fuerza eléctrica ejercida por la carga "qi" (F E) y la tensión del hilo (T), co mo m uestra la Fig.
Campo eléctrico 1291 ********************************************************************************************** En la dirección del eje X, aplicando la pri m era condición de equilibrio, tenem os:
-7
E = (9.109) ( 10 0,25^
I F X=0 N * E = 10 800 — C
T c o sí 6o = Fe cos37° T = F,
cos37° sen74°
, = k-
q jq 2 2 d ¿ sen37°
T = (9, o « ) i Z Z O T O (2)(5.10 ) (3 /5 ) * T = 0,07 N
Solución: 87 • Las fuerzas que actúan sobre la esfera son: su peso (m g), la fuerza del cam po eléc trico (qE), y la tensión del hilo (T), com o m uestra la Fig.
©
Solución: 86 • Las fuerzas que actúan sobre la carga +q son: la tensión del hilo (T), la fuerza del cam po eléctrico (qE), y la fuerza ejercida por la carga -q (FE).
mg
30
mg
Del triángulo rectángulo, obtenem os la mag nitud del cam po eléctrico, así: q E = m g c o s6 0 ° E = l_ _ m g _ l (10-3)(10) 2 q
2 (7 /3 ).1 0 '
* E = 0,214.10*
C on estas fuerzas form em os él triángulo de fuerzas.
C
Solución: 88 • R epresentem os las fuerzas q u e actúan so bre cada una de las esferitas.
di En el triángulo rectángulo, tenem os que: c tg a =
qE
mi g
nug
q iE
k q 2/d 2 E = k -y c tg a
E n la vertical, aplicando a las esferitas de m asas "m j", "m 2" la ecuación fundam ental de la dinám ica, tenemos:
F's 'ca++ Z Fy = ma m ]g + q1E - T = m 1a
(1)
T - m 2g - q 2E = m 2a
(2)
Sum ando (1) + (2), obtenem os la m agnitud de la aceleración con la que se m ueven las esferitas: ( m 1 - m 2)g + (qj - q 2)E = (n^ + m 2) a
* a=
1 3 0 -(0 ,7 5 )(4 0 )
E=
(20.10 "6)
©
* E = 5.106— C
S olu ció n : 90 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre la carga "q", cuando sube y baja, respect] vamente.
(ruj - m 2)g + (q1 - q 2)E m] + m 2
S o lución: 89 • En la vertical, aplicando la prim era con dición de equilibrio a la esfera cargada posi tivam ente, tenemos: SFy=0 2 T = W + F¿ = W + k \
a (-)
E n la Fig., cuando la carga sube la velocidad y la aceleración están en sentidos opuestos, y cuando baja, tienen el m ism o sentido, la m agnitud de esta aceleración es: m g - q.E m
9 (20.10-6)2
Sustituyendo en la ecuación de posición, la aceleración ” a" y teniendo en cuenta que cuando el cuerpo llega al piso y~0, obtene mos el tiem po, así:
(0,2 y T = 130 N
'v mg
a= T = 40 + 9.10
■ (+ )’
mg
•
w 1 2 y = v0. t - - a . t
qE
+q
UN 0=v , , - I ( í ^ ) t 2 2 m
w
N
t _ 2 m .v 0 E n la horizontal, aplicando al bloque de pe so W, la prim era condición de equilibrio, te nemos:
=> E =
t_
(2)(9,1.1Q-31)(4) (9,1.10^31)(10) - (1,6.10“19)(5 .10 ' 11)
EFx=o T = q.E + pW
m g - q.E
T -p W
* t = 6,6 s
©
Campo eléctrico 1293 ********************************************************************************************** Solución: 91 1) Realizam os el diagram a de cuerpo libre de la esferita respecto de un observador ubicado en el piso del ascensor, sistem a de referencia no inercial.
En la Fig., en la vertical la m agnitud del cam po eléctrico en el baricentro es: E 0 = Ej - 2 E c o s 60
E0 = Bl -E E „ = (k ^ )-(k -i) r r E0 = k i(n -1 )
600 = 9.10 2)
Para nuestro observador la esferita esta rá en reposo relativo, esto es: a
9 10~8 2 (n _ 1 ) (V3)
n = 21
©
l f =0 Luego, del triángulo de fuerzas, obtenem os el valor del ángulo "0", así: tg 0 = — ^ — => 0 = a rc tg [— — — ] m (a + g) m (a + g)
0 = arctg [
•
Solución: 93 E n la Fig., sean É +,É_ los campos eléc
tricos generados por las cargas +q , -q en el punto P respectivam ente, entonces las mag nitudes de estos cam pos eléctricos son: E+ =k
(6.10~4)(800)
2 a (l + cos0)
(40.10"3)(6 + 1 0 ) E_ = k * 0 = 37° *
®
q 2 a 2( l - c o s 0 )
(1)
(2)
Solución: 92 • R epresentem os los cam pos eléctricos creados po r cada una de las cargas en el bari centro. nq
Luego, com o É + y É _ form an ángulo recto, entonces la m agnitud del cam po eléctrico re sultante es:
Física++
m i ri. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * • * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * r 2 ,r2 E2 = E l +E E
E 2 = k 2+ r [ 4 a ¿ ( l+ c o s 0 ) 2
r
= ( 9 . io 9- 4
íl 1 x
(l-c o s 0 )' * E R =9V 3
E = ^ - k -T cscO J l c s c 2 0 - 1 2 a2 V E = -— k + (2 ),/( 2 )( 4 )- 1 2 a E = VTí k —
h V a2 + h 2
D e otro lado, las m agnitudes de los cam pos eléctricos en el vértice P del cono, creados por cada una de las cargas es:
8 . 10’
9.10 * E = 29,9 k N /C
N
S olució n : 95 • En la Fig., en el triángulo rectángulo, te nem os que: cosa =
E = V Í4 (9 .1 0 9)
V 3)
1
-2
©
E=k a2 + h2
S olución: 94 • Representem os los cam pos eléctricos, creados por cada una de las cargas en el pun to m edio de la base m ayor del trapecio.
En la Fig., los cam pos creados por las car gas ubicadas en los vértices C y D se anulan entre sí, de m odo que el cam po resultante, será la sum a de las com ponentes verticales de los cam pos generados por las cargas ubi cadas en los vértices A, B, es decir:
Er
Luego, la m agnitud del cam po eléctrico re sultante en el vértice P, es: • ^
er
= 2 E co sa
-2k 2 x 3 /2
(a 4 + h ¿ )
Er = 2 E se n 6 0 ü ER = ( 2 ) ( k 4 ) ( % a 2
E r = (2 )(9 .1 0 )
4 .1 0
-1 2
[(6.10-2 )2 + (8 .1 0 _2)2]3/2
Campo eléctrico 1295 ********************************************************************************************** * E r = 7 2 N /C
©
Solución: 96 • Representem os las fuerzas que actúan so bre la esferilla, y con estas fuerzas forme mos el triángulo de fuerzas.
En la Fig., cada anillo crea en el punto P un campo eléctrico de m agnitud "E ", y per pendiculares entre sí, de modo que el campo eléctrico resultante en dicho punto, es: i Er = V 2E
A de fuerzas
Ep = 2 s0( R 2 + d - ) V2 •JlX K 2 Ed = R 2£0(2 R 2)?-' Ep =
Ep =
tg 0 =
4 e0R
( ti)(9.109)(4.1Q~10) ( 10. 10 -2)
Del triángulo rectángulo de fuerzas, obtene mos el valor del ángulo, así: tg 0 =
X
* ER = 3 6 n ^
qa
©
2e0m g
(2 n )(9 .109 )(2 .10~5)(2 .10~7)
•
S olución: 98 C uando la carga de la partícula es negati
va la fuerza eléctrica y el campo É que actúa
(16,956.10 3)(10)
sobre ella son opuestos, com o se aprecia en la Fig. * 0 « tg _l(—) = 53° 3 é
®
S o lu c ió n : 9 7 • R epresentem os los cam pos eléctricos creados por cada uno de los anillos.
iY -
-r
i
\Tcm
„
V
X
i.
1
• 4
+
+
En la dirección del eje Y, el electrón se mué ve hacia abajo, por lo que, su aceleración es: a=-
eE m.
(1)
En la vertical, de la ecuación de posición del electrón, obtenem os el tiem po (t), así:
129R
Física++ 1
y = v0.t+ —a.t
7
* amin = 4 ~2
S
o t = [2 y /a ]
1/2
(2)
Finalm ente de (1) en (2), obtenem os el tiem po que tarda ef electrón en llegar a la placa positiva:
S olu ció n : 100 , > R epresentem os los cam pos eléctricos creados p o r el anillo y la carga puntual en el punto P.
E P
t= [ - 2 m .y /e .E ] I/2 . r ( 2 ) ( 9 .1 0 ~ 3 ') ( - 4 . 1 0 ~ 2 ) i1/2 ____ _io. J 1_ L
Ea
(500X1,6.10“ )
* t = 30.10-9 s
©
Solución: 99 Representem os las fuerzas que actúan so bre las esferas "A" y "B".
D e la Fig., y del principio de superposición de cam pos, la m agnitud del cam po eléctrico resultante en P, es igual, a la diferencia de los cam pos creados por la carga puntual (Ep) y anillo (E A), es decir: E = Ep - E , qx E = k -4 r-k 2x3/2 x (x + R )
A plicando a las esferas m etálicas "A" y "B" la ecuación fundam ental de la dinámica, te nemos: Z
E = k q [ —1 - 3 — 1 x - x '[ l + ( R / x ) 2]3/2
F x = m -a
Com o, (R / x) « 1 , entonces, utilizando la a q .E - T s e n 0 = m,amin
(1)
T sen e^ m -a^
(2)
D e (2) y (1), elim inando la tensión de la cuerda (T), obtenem os la aceleración míni ma, así: q .E - .m a m¡n = m a min qE a m:„ — 2m
(8.10“4)(5.102) (2X 50.10-3)
proxim ación ((1 + x )n « 1 + n .x , se tiene:
E = k q { - l - A [ l - § ( - ) 2]} x x 2 x
E =k .q [- \- i +| ^ ] x x 2 x E=
3qR 8 T O n X 4
Campo eléctrico 1297 ********************************************************************************************** E=
Solución: 102 • La densidad de carga superficial unifor m e m áxim a de la esfera, correspondiente a su cam po eléctrico m áxim o es: »
(3)(9.109)(4 .10~6)(10~4) ( 2) ( 1)4
* E = 5,4 — C
P
©
^ max
Solución: 101 • En la dirección del eje Z, el electrón se m ueve bajo la acción de la fuerza eléctrica e jercida por el plano, por lo que su acelera ción es: F7 eE az = — = — m m a, =
e ( a / 2 e 0)
ec
m
2s„m
__ g max
_>
max
o
del prob.(94), obtenem os la fuerza m áxim a que tien d e a separar las m itades de la esfera conductora, así:
r*\rt\f
2 71 ^ IT tn
■ “*
2
2e,
(5.10~2)2(3.106)2
F *max
(8)(9.109)
1 2 z = z 0 + v 0Z.t + - a zt
* Fmax*313.1
1/2
N otas R ecordar que en un conductor la carga libre, se sitúa en su superficie. En el aire la m agnitud del campo eléc trico m áxim o es aproxim adam ente de 3.106 N /C (resultado experim ental)
1/2
y = |1 6 s 0m z v 0 / e a
y
(4 )(9 ,l.i0 -31)(9.1 0 -')(1 6 .1 0 '0) i ;2
i
. „o.
. . . io., . . „- 9 ,
(9.109)(l,6.1(T 19)(4.10~y) * y = 2,13 m
<»>
Solución: 103 I) L a energía utilizada, es el trabajo que se hace para sum inistrar a la esfera la carga "Q ", este trabajo es:
y = y 0 + v oyt y = 0 + v 0 [4 s0m z /e a ]
max
Luego, sustituyendo ” o,max" en el resultado
Ahora, de la ecuación de posición, obtene m os el tiem po que em plea el electrón en lie gar al plano, así:
Luego, en la dirección del eje Y la posición del electrón para el instante en que im pacta con el plano es:
p
©
j
Q Q W = J V d q = } (k ^ - )d q o o K
w = —
2R
(q 2) |Q = —~ —
'o
8tcs.R
Físíca++
*W3§-***************************************************************************************** m ueve bajo la acción de la fuerza eléctrica ejercida por el plano, por lo que su acelera ción es:
(9.10 )(] 0 - 1 0 x)2
w =
( 2 )( 0 , 1)
+ W = 45 0 .10-12 J
a, =
®
II) U tilizando el resultado del prob.(94), la presión eléctrica sobre la esfera es: p
Fz
ti a
2R2/ 2
.2
2\2
( Q /4 ttR )
2s x2
P=
m
_ e ( a / 2 e 0) ea az — ~ ~z m 2£0m
1 2 z = z 0 + V 0z.t + - a zt
2 e„ (9 .]0 9)(10-10)2
32ti s 0R
* P = 35,8.10
z = 0 + (0)(t) + i ( ~ ) t 2 2 2e0m
(87i)(0,l)' _9 N m
^
m
Ahora, de la ecuación de posición, obtene mos el tiem po que em plea el electrón en llegar al plano, así:
A
P=
eE
t = [4 s 0m z / e c ] 1/2
©
Nota "A" es el área de la base de la m itad de la esfera, y "Fz" es la fuerza eléctrica
Luego, en la dirección del eje Y la posición del electrón para el instante en que im pacta con e ¡ p |ano es-
que tiende a separar las m itades de di cha esfera.
y ~ yo +
v oy-t
y = 0 + vo [460m z /e o ] Solución: 104 • Com o la esfera de radio "r* no encierra ninguna carga, el flujo total, a través de su superficie es nulo, esto es:
y = I ló £ 0m z v 0 / e o
y
1/2
1/2
(4)(9.1.10-31)(9.10-1)(16.101°) 1/2
l
. _o...
io.
o.
(9.109)(l,6.10"l9)(4 .1 0 '9) * y = 2,13 m
j
©
Solución: 106 • El cam po eléctrico creado por un h ilo de longitud finita " f \ a una distancia "d" del mismo, viene dado por: Solución: 105 En la dirección del eje Z, el electrón se
E=
X
{i 11)
2 ra 0 J d 2 + (¿ /2 ):
Campo eléctrico 1299 ********************************************************************************************** En esta ecuación, reem plazando X = q / £, y tom ando lím ite para i - » 0 , se tiene: 1
E =
É = V 2(9.109)(8 .1 0 '10) í : N * E = IO,2i
©
*™od J d 2 + ( £ / 2 ) 7 E=
-Lim 47te ^ d * E=
1 2 + (¿ /2 )2
q 47ts0 d 2
S olución: 108 I) Com o el flujo total a través de la super ficie cerrada (4 caras de la pirám ide) es nu lo, y no existe flujo por las caras A O C y BOC, entonces: O AOC + í^ABC >4nr —0
Solución: 107 • Representem os los vectores de posición del punto y la carga eléctrica.
O ABC = -
^ABC = -S 0 (E 0
1 ■,* —a¿j)
^ABC = (^ )(1 6 )(0 ,5 )2
O abc = 1 7 ,6 8 .10-12 C
En la Fig., el campo eléctrico en (1, 0, 0), creado por el diferencial de carga dq, es: dE = k
dq
(r - £ )
r-fl3 dE = k
^ d z 3, /2 , . (í-z k ) ( z '+ l )
+1 É = kM i
_l(z + 1 )
_j(z +1) +1
dz É = 2kX i J 0 (z 2 + l)3/2
II) D e igual forma, el flujo total a través de la superficie- de la pirám ide es nulo, por lo que: ^BOC + ®A0B + ^AOC + ^ABC = 0
É = 2 k ^ i ( z /V z 2 +1) Eo É • ( - A i ) + e 0 É • ( - A j) É = V2 kX Í
+ s 0 É * ( - A k ) = - 0 ABC
m v
Física++ *******a*********************************************************************************
s 0 E 0 A [(i + j + k) • (i + j + k)] = <í>ABC
E=
oR v e0(R + z)2
^
C P - ^ 4 - r ] 2e0 yj z 2 + a 2
E„ dLX
.38, ( Y > (16)<°’5>
abc=
E = 27t(9.109)(2.10-9) ^
abc
= 5 3 ,0 5 .1 0-12 C
© * E = 3Ó7t
S olución: 109 • R epresentem os los cam pos eléctricos en un punto del eje, generados por la esfera com pleta de radio "R", y po r el disco (aber tura) de radio "a".
N
©
S olu ció n : 110 • R epresentem os en el centro del cubo, el cam po eléctrico creado por la cara sombrea da.
Q = 4 jc / 6 ,
E ♦
o=0
R ecordem os que las m agnitudes del campo eléctrico en el punto í \ creados por la esfe ra y el disco de radio "a" son:
e
Er = eo(R + z) En =
28
,
En la Fig., la m agnitud del campo eléctrico resultante, es igual, al creado p o r la cara del cubo opuesto al de la cara no cargada, pues, el cam po creado por las otras caras se anu lan dos a dos, así:
Z V ? + a2
Luego, del principio de superposición de cam pos, y evaluando en z -0 , obtenem os la m agnitud del cam po eléctrico resultante en el centro de la abertura, así: E = Ec - E n
= -5 -(^ ) 47te0 6
pues, el ángulo sólido total, alrededor del punto P es. 4 ti, y el ángulo sólido que sub tiende una cara del cubo es la sexta parte de éste ángulo total. Luego, la m agnitud del cam po eléctrico re sultante en el centro del cubo es:
* E=
6e,
©
Potencial eléctrico
1301
★ A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
J O *
P O T E N C IA L
y¡jyj
ELECTRIC©
1. E N E R G IA P O T E N C IA L E L E C T R I C A (E P) L a energía potencial de una carga "q0", en un punto P del campo eléctrico exter no E , es el trabajo realizado para traer a
2. P O T E N C IA L E L E C T R IC O a) C on cep to El potencial eléctrico en un punto P de un cam po electrostático externo, se defi ne com o la razón de la energía potencial E P de una carga de prueba "q0" en dicho punto, al valor de su carga, esto es:
•
d icha carga desde el infinito h asta el pun to P, venciendo la oposición de éste cam po eléctrico, esto es:
•
•
A sí, la energía potencial de interacción eléctrica entre dos pargas q*0 y Q, separa dos por una distancia "d", viene dado por:
El potencial de un cam po electrostático es una característica energética del cam po electrostático, esto es, m ide la ca p a d dad que tiene el cam po electrostático en hacer trabajo para trasladar las cargas e léctricas de un punto del cam po hacia o tro. El potencial en un punto P de un campo electrostático es num éricam ente igual al trabajo por unidad d e carg a que efec túan las fuerzas electrostáticas, al trasla dar una carga positiva " q 0 " desde el punto P hasta el infinito. E ste trabajo es num éricam ente igual al trabajo por uní dad de carga que realizan las fuerzas ex tem as contra las fuerzas del cam po elec trostático, trasladando una carga positiva " q 0 " desde el infinito hasta el punto P.
b) Potencial de una carga puntual p
• •
^
siendo, k= 9.109 N .m 2/C 2 la constante de proporcionalidad. L a energía potencial eléctrica es una m agnitud física escalar. L a energía potencial de interacción en tre las cargas "Q" y "q0" puede ser positi v a (+) o negativa (-), dependerá del sig no que tengan ellas. U n id ad : "E P" se m ide en joules (J)
Q
d .-•••"
El potencial eléctrico en el punto P, crea do por la carga "Q ” situado a una distan cia "d", viene dado por:
13 o2 Fisica++ **********************************************************************************************
•
El potencial eléctrico es una m agnitud fí sica escalar positiva o negativa, esto es, cargas negativas crean potenciales nega tivos y cargas positivas crean potencia Ies positivos.
c) Principio de su pe rpo sición de po tenciales Según este principio, el potencial eléctri co creado por un sistema de cargas pun tuales, po r ejem plo tres cargas q2, q3 en un punto P, donde no se encuentre ninguna de estas cargas, es la sum a alge braica de los potenciales creados por ca da una de estas cargas, esto es:
N ota En el cálculo de la energía potencial, po tencial eléctrico y trabajo se consideran los signos de las qargas eléctricas e) Potencial de Tierra El potencial de la T ierra considerada co mo una esfera cargada negativam ente es cero, pues su radio es num éricam ente m ucho m ayor que su carga eléctrica. Por lo que, frecuentem ente en la práctica en lugar de tom ar el potencial en el infinito, se tom a el potencial respecto de la Tie rra. A dem ás, lo que se m ide y tiene im portancia es ia diferencia de potencial en tre dos puntos del campo electrostático, y no los valores absolutos de los poten cíales de estos puntos. f)
siendo, d b d2, d3 las distancias de las car gas al punto P.
En la sum a de los potenciales se conside ran los signos de las cargas.
a = e 0 E r = 2 7 .1(T6 C / m 2 •
^
U n id ad : "V" se m ide en voltios (V)
d) Tra b a jo para trasladar una carga El trabajo para trasladar una carga eléc trica "q", de A hacia B, en presencia del campo eléctrico E , viene dado:
w A^ B = q (vB - v A) siendo VA, Ve los potenciales eléctricos en los puntos A y B, respectivam ente.
R igidez dieléctrica Se llam a rigidez dieléctrica de una sus rancia a la intensidad m áxim a del campo eléctrico que puede soportar dicha sus tancia sin perder sus propiedades aislan tes (rotura). P or ejem plo, la rigidez die léctrica del aire a la presión atm osférica es de E r= 3.106 N /C, por lo que, la carga m áxim a por unidad de superficie que puede tener un conductor situado en el aire es:
U n dieléctrico es una sustancia que no tiene o tiene pocos electrones libres ca paces de m overse bajo la acción de un cam po eléctrico externo. Los dieléctri eos son im portantes por que refuerzan la intensidad dei campo electrostático, por lo que, se utilizan en los condensadores.
g ) Definición de 1 voltio El potencial en un punto P del cam po se rá 1 voltio si para traer una carga de prueba de q0= l C desde el infinito al
Potencial eléctrico 1303 ********************************************************************************************** punto venciendo las fuerzas del campo, es necesario realizar un trabajo d e 1 J, es decir:
W
1c
i)
-» b ~
e p ,a
- E
p ,b
w A^ B = q o ív A - v B) J L uego, concluim os que la diferencia de potencial entre los puntos A y B, es:
1V = "
h) Reparto de carga entre co n d u cto res C uando un conductor cargado (A) se po ne en contacto con otro descargado (B), la carga eléctrica inicial del conductor cargado (A) se reparte entre am bos cuer pos, este proceso de transferencia de car g a se da en intervalos de tiem po muy pe queños y finaliza cuando am bos cuerpos alcanzan el mismo potencial. D ebe men cionarse, que no es posible precisar exac tam ente que carga ha pasado de un cuer po hacia otro.
a
V ab = Ya - V
b
Para una carga puntual "q0" positiva, se cumple: 1) Si, VA> V B, el trabajo realizado es posit[ vo, pues, la carga eléctrica " q 0 " se des plaza en la dirección del campo electros tático externo. 2) Si, VA> V B, el trabajo realizado es nega tivo, pues, la carga eléctrica " q 0 ” se des plaza en dirección contraria al campo e lectrostático externo.
Diferencia de potencial entre dos puntos del cam po
B
!■: •••*•......0 — ►............ * --------- q0 — F —
B
L a diferencia de pótencial entre dos pun tos A y B del campo electrostático, se de fine com o la razón del trabajo realizado por un agente externo para trasladar una carga "q0" desde A hasta B, al valor de su carga, venciendo la presencia de un cam po electrostático extem o E , es decir
•
w
• Pero, se vio anteriorm ente, que el traba jo para llevar una carga "qo" desde A ha cia B, es igual, a la diferencia de sus e nergías potenciales entre estos puntos, es decir:
El trabajo realizado por el agente exter no en un cam po electrostático, es inde pendiente de la trayectoria, este trabajo sólo depende de los puntos inicial (A) y fm al (B), es decir: L
b
=
w
4
b
=
w
4
b
Se debe decir, que a la diferencia de po tencial, tam bién, se acostum bra llamarlo tensión o voltaje.
j) Superficies equipotenciales Es una superficie im aginaria formada por puntos de igual potencial, que pre
1304 Física++ **********************************************************************************************
sentan las siguientes características: O Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales, en to dos sus puntos.
"X" y longitud "i" en un punto P del va cío es:
A U2
v= 2) El trabajo realizado, al trasladar una car g a eléctrica entre dos puntos A y B perte necientes a una m ism a superficie equipo tencial, es nulo. 3) A lrededor de un sistem a de cargas eléc tricas se pueden trazar un conjunto infini to de superficies equipotenciales. 4) U n cam po eléctrico se puede representar m ediante las líneas de fuerza o las super ficies equipotenciales.
k) Relación entre campo y diferencia de potencial La relación entre la m agnitud de un cam po eléctrico uniform e y la diferencia de potencial entre dos puntos A y B del mis m o, separados por u na distancia "d", vie ne dado por:
* 27te„
d
= Va - Vb d
siendo, el potencial en el punto A m ayor que el potencial en el punto B.
2d
b) A nillo delgado p*
El potencial eléctrico creado p o r un ani lio delgado de radio "R ", con densidad d e carga lineal "X" en un punto P, sitúa do sobre la línea que pasa por el centro del anillo y perpendicular a ella, a una distancia ”d ” del plano que contiene al a nillo es: XR
V= e
(J2 ------ *|
2e0( d 2 + R 2)í/2
c) Plano infinito
3. POTENCIALES ELECTROSTATI COS CREADOS POR CUERPOS CARGADOS a) Filamento finito El potencial eléctrico creado por un hilo con densidad de carga lineal uniform e
El potencial eléctrico creado p o r el pía
Potencial eléctrico 1305 ********************************************************************************************** no infinito de densidad de carga superfi cial uniforme"CT" en el punto P, situado a una distancia "d" es: V— d)
v = cR
£~r
f)
Esfera com pacta El potencial eléctrico creado por una es fera com pacta, con densidad de carga vo lum étrica uniform e "p", y radio "R ".
*
D entro d e la esfera com pacta (r < R)
®- d 2e0
D isco delgado p? dj
El potencial eléctrico creado por un dis co con densidad de carga superficial "o" y radio "R ", en un punto P, situado en la perpendicular levantada desde el centro del disco a la distancia nd" del mismo es: V = — [a/ ? + R 2 - d ] e) Esfera hueca El potencial eléctrico creado por u na es fera hueca, con densidad de carga super fíciai uniform e "
*
V = --^ -(3 R 2 - r 2) 6e0 *
Fuera de la esfera com pacta (r > R) v=e*i 3e0r
4. C O N D E N S A D O R E S a) Definición Se llam a condensador al conjunto de dos conductores de cargas ¡guales en valor pero de signos opuestos, y som etidos a u na diferencia de potencial AV, entre e lias.
D entro d e la esfera hueca (r < R)
v =— Fuera de la esfera hueca (r > R)
b) Representación E n los circuitos eléctricos y electrónicos,
1304 Física++ ********************************************************************************************** sentan las siguientes características: 1) Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales, en to dos sus puntos.
en un punto P del va
"X" y longitud cío es:
A 112
112
V= 2) El trabajo realizado, al trasladar una car ga eléctrica entre dos puntos A y B perte necientes a una m ism a superficie equipo tencial, es nulo. 3) A lrededor de un sistem a de cargas eléc tricas se pueden trazar un conjunto infini to de superficies equipotenciales. 4) Un cam po eléctrico se puede representar m ediante las líneas de fuerza o las super ficies equipotenciales. k) Relación entre ca m p o y diferencia de potencial L a relación entre la m agnitud de un cam po eléctrico uniform e y la diferencia de potencial entre dos ju n to s A y B del mis mo, separados por una distancia "d", vie ne dado por:
- £n[ 2 TIE,.
= Va - Vb d
siendo, el potencial en el punto A mayor que el potencial en el punto B. 3.
+ 2d]
b) A n illo delgado p*
El potencial eléctrico creado por un arn lio delgado de radio "R ", con densidad de carga lineal "X" en un punto P, sitúa do sobre la línea que pasa por el centro del anillo y perpendicular a ella, a una distancia "d" del plano que contiene al a nillo es: XR
V= e
¡(£/2)2 + d 2
2e0(d 2 + R 2),/2 c) Plano infinito
P O T E N C IA L E S E L E C T R O S T A T I CO S CREADOS POR CUERPOS CARGADOS
a) Filam ento finito El potencial eléctrico creado por un hilo con densidad de carga lineal uniform e
El potencial eléctrico creado por el pía
P o te n c ia l e lé c tric o 13q5 *******************A************************************************************************** no infinito de densidad de carga superfi cial uniform e "a" en el punto P, situado a una distancia "d" es: v =d)
V=
Esfera com pacta El potencial eléctrico creado por una es fera com pacta, con densidad de carga vo lum étrica uniform e "p", y radio "R ".
*
D entro de la esfera com pacta (r < R)
D isco delgado
V = - - (3 R 2 - r 2) 6e„ *
V = --[V d 2 + R2 -d ] e)
*
Esfera hueca El potencial eléctrico creado po r una es fera hueca, con densidad de carga super ficial uniform e " a " , y rad ie "R ".
e„r
f) a d 2 s„
El potencial eléctrico creado por un dis co con densidad de carga superficial "a" y radio "R ", en un punto P, situado en la perpendicular levantada desde el centro del disco a la distancia ”d" del mismo es:
aR ‘
Fuera de la esfera com pacta (r > R) v
4. a)
= p- r 3 3e0r
CONDENSADORES Definición Se llam a condensador al conjunto de dos conductores de cargas iguales en valor pero de signos opuestos, y som etidos a u n a diferencia de potencial AV, entre e lias.
D entro de la esfera hueca (r < R) V =^
*
Fuera de la esfera hueca (r > R)
b) R e p re s e n ta c ió n E n los circuitos eléctricos y electrónicos,
1306 Física++ ********************************************************************************************** un condensador se representa, así:
H
H
CAPACIDAD FIJA
c)
CAPACIDAD V A R IA B L E
Capacidad ( C ) ' La capacidad de un condensador se defí ne com o la razón de la m agnitud de la carga "q” de cualquiera de sus placas, a la diferencia de potencial "AV" entre e lias, es decir: C=
• •
AV
L a carga neta de un condensador, siem pre es nula. L a capacidad de un condensador depen de de sus form as geom étricas, dimensio nes y disposición m utua de los conducto res (placas).
siendo, e0 = 8,85.1(T12C 2 /N .m 2 . Se observa que la capacidad es constan te, pues, "e0" , ”S” y "d" lo son, también la capacidad del condensador no depen de de su carga eléétrica. L a diferencia de potencial entre las pía cas del condensador, viene dado por: AV = E.d sien d o ,"E " el cam po eléctrico. 2) C o n d e n sa d o r cilindrico E ste tipo de condensador está constituí do por dos conductores cilindricos con céntricos, de radios ”b" y "a" (b>a), y cada uno de los cuales posee la misma cantidad de carga, pero de signos opues tos, siendo " F la longitud de los cilin dros, com o sé muestra.
^ U n i d a d : "C" se m ide en faradios (F) d) T ip o s de condensadores 1 )C o n d e n s a d o r de placas paralelas
La capacidad (C) del condensador cilíndrí co, en el vacío es: C = - q -= — AV ¿ n (b /a ) 3) C o n d e n sa d o r esférico E stá constituido de dos placas conducto ras paralelas planas de área "S", cada una de ellas y cargas -q, + q respectiva mente, separadas una distancia "d"; su capacidad viene dado por:
c=
e„S
s
-q
P o te n c ia l e lé c tr ic o
1307
********************************************************************************************** Este tipo de condensador está formado po r dos esferas conductoras esféricas con céntricas de radio a y b (b>a), con cargas de igual m agnitud, pero de signos contra rios com o se m uestra en la Fig. L a capacidad (C) del condensador esféri co en el vacío, viene dado por:
qi = q2 = q3 = q C,
i .
—
C2
C3
II—
II
v2
v3
Vi
C,
o
_L
L a sum a de los voltajes de los extremos de cada una de ellas, es igual, al voltaje total, al que esta conectado el condensa dor equivalente.
@ N otas 1) P ara condensadores con dieléctrico de constante " k" entre sus placas, se reem ' plaza en todas las fórm ulas s 0 po r k e0. 2) Se utilizan los dieléctricos en los conden sadores, para aum entar su capacidad. e) A plicaciones La m ayoría de las veces los capacitores o condensadores se utilizan: 1) Com o com ponentes en los circuitos eléc tríeos y electrónicos, por ejem plo en los circuitos de las com putadoras están pre sentes los condensadores. 2) En dispositivos de encendido de moto res, haciendo la función de baterías de a] m acenam iento de energía. • 3) En transm isión de energía eléctrica a grandes distancias, perm itiendo el alm a cenam iento de grandes cantidades de e nergía y carga. Com o flash de las cám aras fotográficas. En los tubos fluorescentes, de alum bra do eléctrico.
i .
v = v3+ v 2 + v 3 Estos condensadores, se pueden sustituir por un único condensador, llam ado con densador equivalente (Ce), cuya capaci dad, viene dado por: +
2)
1 C2
+
1 C3
C on exió n en paralelo Los extrem os de cada uno de los conden sadores, se conectan a dos puntos comu nes A, B, tal que: C,
— II— C2 M .1
13
C3
-IIf) C o n exió n de condensadores Ce
1) C on exión en serie. Los condensadores se conectan uno a continuación de otro, tal que: • L a carga en cada una de las placas de los condensadores es la misma.
-II-
L a diferencia de potencial de los extre m os de cada uno de ellos es la misma.
■1308 Física++ **********************************************************************************************
Vi = V2 = V3 = V
•
La sum a de las cargas de cada uno de e líos, es igual, a la carga del condensador equivalente, es decir:
qi + q2 + Q3 = q •
E stos condensadores se pueden sustituir por un único condensador llam ado con densador equivalente (Ce), cuya capaci dad, viene dado por: Ce = Ci + C2 + c 3
•
A m bas form ulaciones, se pueden fácil m ente generalizar a una conexión de "N" condensadores (siendo, N =2, 3,
• Se observa que la carga del condensador se aproxim a asintóticam ente a su valor fí nal y se requiere por lo tanto un tiem po infinito para que el condensador alcance este valor final. • D e otro lado, para un instante t>0 cuales quiera, la diferencia entre la carga final "Q" y la carga presente "q" es: Q - q = Q e 't/RC
g )C a rg a y descarga de un co n d en sa dor • P ara estudiar el proceso de carga y desear ga de un condensador, considerem os el circuito eléctrico m ostrado, el cual presen ta una resistencia "R " y un condensador
• Si hacem os esta diferencia igual a " Q /e " y despejam os el v alor del tiem po "t" en contram os que: t = R.C • E sto es, el producto "R .C ", es igual al tiem po necesario para que la carga del condensador aum ente hasta u n a fracción 1/e = 1/2,71 = 0,369 de su valo r final, a és te tiem po se denom ina “constante de tiem po” del circuito eléctrico. • Ahora, com o i = d q /d t, entonces diferen
• La carga en las placas del condensador en todo instante t>0, viene dado por:
ciando la ec.(2), obtenem os la ecuación de la intensidad de corriente para cual quier instante "t",
q (t) = Q [ l - e - ,/RC] siendo, Q = Vab.C la carga final del con densador. • L a representación gráfica del proceso de carga de este condensador es:
i(t) = ^ * e " t/RC R • L a representación gráfica de la intensidad de corriente instantánea en función del tiem po es:
Potencial eléctrico
1309
b) D ensidad de energía en un c o n d e nsa d o r • La densidad de energía en un condensa dor, es la energía alm acenada entre las placas del condensador dividido p o r el volum en entre las placas, esto es:
• L a corriente de carga inicial (t = 0) es, por lo tanto, la m ism a que si el circuito sólo tuviese la resistencia " R " y se ve de la ec.(5), que la co m en te de carga dism i nuye exponencialm ente en la m ism a for m a que aum enta la carga. • A hora, si se desconecta el condensador de la línea y se conecta los bornes entre si a través de una resistencia "R ", se dem ues tra que la carga que queda sobre cada lá m ina del condensador al cabo de un tiem po "t" es: q (t) = Q .e-t/RC
siendo, " E " la intensidad del cam po eléc trico. ^ U n i d a d : "w " se m ide en ju lio s/m 3. h) Fue rza entre las placas de un co n d en sa d o r L a fuerza de interacción eléctrica entre las placas de un condensador de cargas "Q " y áreas de las superfcies de las pía cas "S .'\ viene dado por: Q2 F= —— 2£0S
siendo, "Q " la carga inicial. 5. D IE L E C T R IC O S g) Energía eléctrica alm acenada en un condensador. L a energía eléctricá alm acenada en un condensador, viene dado por: 1
2
w = - C V2 2
siendo, "C " su capacidad y "V " la dife
•
r e n d a de potencial de sus com ponentes (placas). E n la ecuación anterior utilizando la re lación, C = q/V , obtenem os dos expresio nes adicionales para la energia:
a) C on cep to • Son dieléctricos aquellas sustancias que no conducen la corriente eléctrica. A tem peratura no m uy altas y en condiciones en que el dieléctrico no este som etido a la acción de cam pos eléctricos muy inten sos, en estas sustancias a diferencia de los conductores, no existen portadores li bres de corriente eléctrica. • Las m oléculas del dieléctrico son eléctri cam ente neutras y contienen igual núme ro de cargas positivas y negativas. N o obstante, estas m oléculas tienen propieda des eléctricas. En prim era aproxim ación las m oléculas del dieléctrico se pueden considerar como dipolos de m om ento di polar pe = q . l .
1310
Física++ interior de ella, al agrupam iento de las cargas de un mismo signo en ciertas zo ñas ó regiones del cuerpo es lo que se lia m a fenóm eno de inducción.
b) T ip o s 1) Dieléctrico neutro • Se dice que el dieléctrico es neutro, si los electrones de los átomos se encuentran en su m olécula situados sim étricam ente respecto de los núcleos (H 2, 0 2, CCl4 y otros). • E n estas m oléculas los centros de grave dad de las cargas positivas y negativas coinciden en ausencia de un cam po eléc trico externo y el m omento dipolar pe de •
la m olécula es nulo. Si el dieléctrico neutro se halla en un campo eléctrico externo se produce una deform ación de las envolturas electróni cas de los átom os (m oléculas), y los cen tros de gravedad de las cargas positivas y negativas se desplazan los unos respecto de los otros. E n la m olécula (átom o) del dieléctrico surge un m om ento eléctrico dipolar inducido proporcional a la intensi dad E del campo eléctrico.
2) Dieléctrico polar • Se llama dieléctrico polar aquel cuyas m oléculas (átom os) tiene electrones sitúa dos asim étricam ente respecto a sus nú cíeos (H20 , HCl, N H 3,CH 2Cl y otros). • E n estas m oléculas los centros de grave dad de las cargas positivas y negativas no coinciden y se encuentran práctica m ente a una distancia constante unos de otros. • Las m oléculas de los dieléctricos polares se asem ejan por sus propiedades eléctri cas a los dipolos perm anentes o rígidos, los cuales tienen m om ento dipolar cons tante. c ) C arga inducida Si introducim os un cuerpo ya sea con ductor ó dieléctrico dentro de un campo eléctrico externo, las cargas de este cuer po experim entan una redistribución al
1
E
•
E n este proceso de reagrupam iento de las cargas, la carga neta del cuerpo se m antiene nula.
d) C a rg a s libres y ligadas En las sustancias dieléctricas existen dos tipos de cargas eléctricas, las llam adas li bres y ligadas. 1 )C a rg a s ligadas Se llam an cargas ligadas a las que forman parte de las m oléculas y de los iones en los sólidos cristalinos con red iónica. 2) C a rg a s libres Se llam an así a las cargas eléctricas, que no form an parte de las m oléculas de las sustancias y de los iones de la red crista lina iónica. P or ejem plo son cargas libres: • Las cargas de los portadores de corriente eléctrica en los m edios conductores (los electrones de conducción en los m etales y sem iconductores, los huecos de los semi conductores, los iones de lo s electrólitos y los gases, etc...). • Las cargas excedentes sum inistradas a un cuerpo por los m étodos de electrización, que alteran su neutralidad eléctrica. 6. C A M P O E L E C T R IC O IN D U C ID O a )C a m p o eléctrico ind u cid o en un con d u cto r
Potencial eléctrico -13^ ********************************************************************************************** • C onsiderem os dos placa planas paralelas cargadas con la m ism a cantidad de carga pero de signos opuestos, separados una pe quena distancia, tal com o se m uestra en la Fig., en el espacio entre las placas se esta blece un campo eléctrico hom ogéneo É e, (llam ado cam po eléctrico externo) genera do por las cargas libres o ligadas que po seen las placas. Ee —
+ 1 E¡ I
b )C a m p o eléctrico ind u cid o en un dieléctrico Considerem os dos placa planas paralelas cargadas con la m ism a cantidad de carga pero de signos opuestos, separados una pequeña distancia "d", tal como se mués tra en la Fig., en el espacio entre las pía cas se establece un cam po eléctrico ho m ogéneo É e (llamado cam po eléctrico ex tem o) generado por las cargas libres o li gadas que poseen las placas. • Ahora, si introducim os una placa conduc tora m uy delgada entre las placas inicia les, se produce una redistribución de las cargas, debido a la presencia de É e , así
+
- —
+(T -CT¡
+ +o¡ -0
• Ahora, si introducim os una placa conduc to ra muy delgada entre las placas inicia les, se produce una redistribución de las cargas, debido a la presencia de E e, así
i ^ l C onclusión El cam po eléctrico al interior de un con ductor, en presencia de un campo eléctri co externo, es nulo.
i Ei 1 +n
E = Ée- Ein=0
E e
+
campo eléctrico E* (llam ado campo eléc trico inducido). • En los conductores este cam po eléctrico, es de igual m agnitud que el cam po eléc trico externo, pero de sentido opuesto, tal que el campo eléctrico resultante al inte rior de la placa conductora se anula, esto es:
trico inducido).
h
en la Fig, las cargas negativas se agrupan en el lado izquierdo de la placa m ientras que las positivas lo hacen en el lado dere cho. A su vez este reagrupam iento de car gas (cargas inducidas), generan su propio
en la Fig., las cargas negativas se agrupan en el lado izquierdo de la placa m ientras que las positivas lo hacen en el lado dere cho. A su vez este reagrupam iento de car gas (cargas inducidas), generan su propio campo eléctrico E in (llam ado cam po eléc
-
+0 -Oi
+0¡ -0
• En los dieléctricos este cam po eléctrico, es de m enor m agnitud que el campo eléc trico externo, pero de sentido opuesto, tal que el cam po eléctrico resultante al inte rior de la placa dieléctrica es de menor m agnitud que el campo externo, esto es: E = E e - E in
0
1312
Fís¡ca++
« i* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
PROBLEMAS 01 El potencial eléctrico a una cierta distan cia de una carga puntual es de 1 600 vol tios y la m agnitud del campo eléctrico es 800 N /C, ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? a) 1 m
b) 2 m d) 4 m
c) 3 m e) 5 m
dos puntos "x" e "y", si se sabe que para trasladar una carga de (5/3).10~9 C desde "y" hasta "x", es preciso efectuar un trg bajo de 1,2.10 J. ^ J Qk y ? 2 ky c) ky ’
d) 7 6 kV
*
e) 7 8 kV
05. H allar la relación Qi /Q 2, si: V VVG=3 /10, A B = 8 cm, A C = 1 2 cm BM = 3 cm (M, N , P son puntos medios). A’
02 H allar el trabajo que se debe hacer sobre una partícula de carga q= (2/3).l 0'9 C pa ra trasladarla del punto "D" al punto "B" si q, = -2.10'9C, q2—4,10"9C. ( p = 10'6 )
\ p
N
Oí
c-3cm
\
a) 1/2 \d=4cm
^ a=l 5cni ® "*'••• \ qi 5 b=3cm‘x •• '■(Q a) 0,1 p J b) 0,2 p J c) 0,3 p i d) 0,4 p J e) 0,5 p J K K 03. En los vértices del hexágono regular de lado a - 2 cm, se ubican cargas eléctricas, siendo q=2.10"6 C .'H allar el potencial e léctrico en el punto "P". “ ^3q _ a M-’""
_ q/2 ‘W
/' 2q ( ^ X r *D';;:- a V3q a
d) 1/5
n q/2
a) 3,0 kV b) 3,2 kV c ) 3 ,4 k V d) 3,6 kV e) 3,8 kV 04. H allar la diferencia de potencial entre
1/4
e) 1/6
a) 7,0 mJ b) 7,2 m J c ) 7 ,4 m J d) 7,6 mJ e) 7,8 m J 07' En el centr0 de una esfera hueca m etá'! ca se ,ublca una car« a eléc,rica 150.10 C, que genera un potencial eléc trico en su superficie de 3.103 voltios. H allar el radio de la esfera. a) 35 cm
b) 40 cm c) 45 cm d) 50 cm e) 55 cm
08* Ó
c)
06. ¿Q ué trabajo en Joules se requiere para transportar una carga qo= 5.10 '8 C, desde un punto que está a 50 cm de una carga Q=2 pC, hasta un punto que dista de ella lO cm ?
\ ';&P
2a
b) 1/3
Qi
E ^ \\ \ ^ > S r \ w Q 'd \
"37u
Potencial eléctrico
1313
L a m agnitud dei cam po eléctrico unifor m e entre las placas m etálicas paralelas v a*
es E = 40V I. 102 N / C
y A C =3 cm. Ha
llar la diferencia de potencial entre los puntos N y M ( V n m ) . a) 180 V
b) 150 V c )1 1 0 V d) 140 V e) 160 V
09. Se tienen tres cargas eléctricas =2 pC q 2 = -8 pC y q3. H allar la carga " q3" , tal que, el potencial en "A" sea cero. A
\.a=10cm
•b
6cm
qi
^ ... <12
©
•
• v b
*4 j
a) -4 J
b) + 4 J c) -8 J d) +8 J e) -2 J
13. En los vértices d e un triángulo equiláte ro de 6 cm de lado se colocan cargas pun tuaies d e +2.10'8 C; -4.10'8 C y +6.10'8 C. H allar el potencial eléctrico en el barí centro de este triángulo. a)6 V 3 k V b )4 V 3 k V c )2 V 3 k V d )3 V 2 k V e )4 V 2 k V
A a=10cm /
a
qa
14. H allar el trabajo que se tiene, que hacer para transportar la carga q0-+ 2 .1 0 '2 C, desde "P" hasta "Q" en presencia de la carga Q =+8.10'9 C, a través de la circun ferencia de radio R=1 m.
a) +8 \xC b) -8 \xC c) +4 pC d) -4 fxC e) +2 pC 10. H allar el trabajo que realiza un campo eléctrico al desplazar un electrón entre dos puntos cuya diferencia de potencial es de 5 voltios, (e = 1,6.1o19 C) a )2 .ÍO '19J b) 4.10 '19 J c) 5 .1 0 '19 J e) 8.10'19 J d) 3.10 19'J 11. D os cargas eléctricas de 2 nC C y 8 nC están separadas por una distancia de 3 m; hallar el valor del potencial eléctrico resultante en un punto sobre la línea rec ta que los une, sabiendo que en dicho punto la m agnitud del cam po eléctrico re sultante es nulo. a) 50 V
b) 52 V d} 56 V
c)5 4 V
•■f qo ®.tf
a) 0 J
i R; . O c) 2 J
b) 1 J d) 3 J
e) 4 J
15. U n electrón de carga e= -l,6 .1 0 ‘ C y m asa m e= 9 ,1 .1 0 31 kg con rapidez inicial vo=107 m/s es acelerado a través de una diferencia de potencial de 12 000 V. H g Llar la rapidez final (en m/s) del !Se$ ¡ Ófb 7 b) 6 ,2 .107 c) 6,4.107 d) 6,6.107 e) 6,8.107
e) 58 V
12. L a carga q = -l,5 C se traslada del punto "a" al punto "b" haciéndose un trabajo sobre ella de 6 J. H allar la diferencia de potencial entre los puntos "a" y "b".
16. H allar el núm ero de electrones que debe perder una esfera conductora de 20 cm de radio para que su potencial eléctrico sea de 36 V. (e = -1,6.10‘19 C, G = 109)
<1314 Fisica++ ********************************************************************************************** a) 1 G
b) 2 G d) 4 G
c) 3 G e) 5 G
17. Se tienen 3 esferitas con cargas de 100 C, -80 C y 120 C fijas en los vértices de un triángulo equilátero. Si se ponen en contacto y luego se regresan a los vérti ces ¿En qué porcentaje varía el potencial eléctrico en el baricentro? a) 0 %
b) 5 % d) 15 %
c) 10 % e) 20 %
18. H allar la energía potencial eléctrica de interacción de una distribución de cuatro cargas puntuales idénticas q=2 (iC, sitúa das en los vértices y baricentro de un
pone en contacto con otra esfera hasta el equilibrio eléctrico y luego se separa, re pitiéndose el proceso con las esferas res tantes. H allar el núm ero de esferas; si después del últim o contacto la carga de la esfera inicial es de 200 (iC. a) 1
b) 3 d )7
22. H allar el trabajo para trasladar una de las cargas q = 4 p C al punto "P" incentro del triángulo equilátero A BC de lado a= 3cm. A
triángulo equilátero de lados i = 3V3 cm. (k = 9.109 N .m 2/C 2) a) 5,60 J
b) 5,62 J c) 5,64 J d) 5,66 J e) 5,68 J
19. Entre las placas planas paralelas horizon tales de un condensador, separadas una distancia d -2 ,4 mm, y cuya diferencia de potencial entre ellas es de A V -40, hay una partícula en equilibrio de carga q=-4,8.10"ls C. H allar la m asa de la partícula. (g=10 m /s2, f=10,15) #
a) 2 fkg b) 4 fkg c) 6 fkg d) 8 fkg e) 10 fkg 20. En los vértices de un hexágono regular de lados a=3 m se ubican seis cargas i. guales Q -+ 2.10"5 C, hallar el trabajo ne cesario para trasladar una carga qo= -10'3 C desde el infinito hasta el centro del he xágono. a) -120 J b) -240 J c) -180 J d) -360 J e) -480 J 21. Se tienen "n+1" esferas conductoras del m ism o radio e inicialm ente una sola tie ne carga y ésta es q=12,8 mC. Si ésta se
c) 5 e)9
a/
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a) 5 J
C
b) 7 J d) 9 J
c) 3 J e) 1J
23. Se tienen 3 cargas puntuales positivas de (5 0 /3 ).10'9 C cada una colocada en cada vértice de un triángulo equilátero de 20 cm de lado, si las cargas se acercan hasta ocupar los vértices de un triángulo equi látero de 10 cm de lado, concéntrico con el anterior. H allar el trabajo realizado. ( k -9 .1 0 9 N .m 2/C 2) a) 25,5 J b) 1 2 ,5 /iJ c ) 3 7 ,5 ^ J d) 44,5 f i i e )5 6 ,5 /H 24. U na esferita de 1 g de m asa y carga 10’8 C se desplaza del punto A, de potencial 600 V, al punto B, de potencial 0 V. Ha llar la rapidez (en cm /s) de la esferita en el punto A, si en el punto B es de 20 cm/s. a) 20,8 b) 22,8 c) 24,8 d) 26,8 e) 28,8
Potencial eléctrico 1315 ********************************************************************************************** 25. U na pom pa de jabón de m asa m= 0,01 g y carga q=2,5.10~9 C está en equilibrio en el campo de un condensador plano ho rizontal, cuya distancia entre sus placas es d=5 cm. H allar la diferencia de poten cial entre las láminas del condensador. (g=10 m/s2) a) 1 kV d) 4 kV
b) 2 kV e) 5 kV
nito h asta el punto situado a la distancia de 1 cm de la superficie de una esfera de radio igual a 1 cm con una densidad su
c) 3 kV
26. H allar el potencial en el punto P, que se halla a la distancia de r=10 cm del cen tro de la esfera cargada de R=1 cm de ra dio. R esolver el problem a cuando se co noce: I. L a densidad superficial de carga que es igual a 10'11 C/cm 2. (e0 = 8,85.10'12) II. El potencial de la esfera, que es de 300 voltios. a) 11,1 V, 20 V b) 11,3 V, 30 V c) 11,5 V, 25 V d) 1 1 ,7 V ,2 0 V e) 11,9 V, 35V 27. El bloque de 50 g de m asa y carga q=-50 pC se abandona en la posición "A" den tro de un cam po eléctrico hom ogéneo de m agnitud E=6 kV /m . Si no existe fric ción, hallar la rapidez del bloque cuando pasa por "B", adem ás R=2 m y g=10 m /s2.
a) 1,11 pJ b) 1,13 pJ c) 1,15 p j d) 1,17 pJ e) 1,19 pJ 29. D os gotas esféricas de m ercurio de ra dios 3 cm y 3/37 cm tienen cargas eléctri cas iguales a qi=(40/3).10'9 C y q2 = 2 0 .10'9 C. H allar el potencial eléctrico de la gota esférica resultante que se ob tiene al unir las dos gotas. a) 7,1 kV b ) 7,3 kV c) 7,5 kV d) 7,7 kV e) 7,9 kV 30. H allar el trabajo necesario para suminis trarle carga eléctrica uniform e a una esfe ra de radio R=10 cm, y esta adquiera una densidad de carga volum étrica uniform e igual a p o=2.10‘8 C /m 3. (k=9.109 N .m 2/ C2 y p = 10‘12) a) 379 pJ b) 254 p j c)1 6 5 p J d) 423 pJ e) 521 pJ 31. C argas eléctricas d e 1 C cad a u n a se ubi can en los vértices de un triángulo equi latero de 10 cm de lado. H allar la ener gía potencial eléctrica de cada una de las cargas. (T = 1012)
a) 2 m /s b) 4 m /s d ) 8 m /s e) 10 m/s
c) 6 m/s
28. ¿Q ué trabajo se realiza al trasladar una carga puntual de 2.10’8 C desde el infi
a) 0,10 TJ b) 0,12 TJ c) 0,14 TJ d) 0,16 TJ e) 0,18 TJ 32. L a distancia entre las láminas paralelas planas es de d=2 cm y su diferencia de
Física++
1318
************************* ** ** *** *** ** * * *** ** *** ** ** *1
potencial d e V =120 voltios. ¿Q ué rapi. d ez adquiere (en M m /s) un electrón bajo la acción del cam po al recorrer, según u n a línea d e fuerza, la distancia d e 3 mm? (e = -l,6 .1 0 '19 C, me - 9.1.10'31 kg) -Q
r
T
I
d
V
+Q C a) 2,50
b) 2,52 d) 2,56
c) 2,54 e) 2,58
33. U n conductor cilindrico m uy largo d e ra d io "RA" está rodeado por un cilindro coaxial hueco de radio "R b". L o s cilín dros poseen densidades de carga lineal uniform es iguales a "X", y "-X " respec tívam ente. H allar aproxim adam ente la di ferencia de potencial entre los cilindros A y B, sabiendo que: R B =2RA, y X= 4 .1 0 '10 C/m . (Sugerencia: usar ln(x)). a) 1 V
b) 2 V d) 4 V
c) 3 V
a) 8,60 m J b) 8,62 mJ c / 8 ,6 4 m J d) 8,66 m J e) 8,68 mJ 36. En cad a vértice de un hexágono regular de lado 30 cm contenida en un plano ho rizontal existe u n a carga Q = -3,5.10'6 C. H allar el trabajo para transportar vertical m ente una carga de q=2,4.10’6 C. desde el centro del polígono hasta un punto d= 40 cm por encim a del plano. a) 0,2 J
b) 0,4 J d) 0,8 J
c) 0,6 J e) 1,0 J
37. D esde que altura "H 0" debe soltarse el carrito de m asa "m " y carga eléctrica "+q", en presencia del cam po eléctrico "E " hom ogéneo, para que p ueda dar una vuelta com pleta sobre el rizo liso y no conductor de radio R =20 cm. (g=10 m /s2)
e) 5 V
34. D entro de un cam po eléctrico uniform e d e m agnitud E=5.105 N /C dirigido hori zontalm en te hacia la derecha, gira con v elocidad angular constante co=6 rad/s en un plano vertical describiendo una tra yectoria circular, una esferita de m asa m=0,5 kg y carga eléctrica q -6 ,6 3 pC , unida a un hilo de longitud £=0,5. H allar la tensión m áxim a en el hilo de seda. (g= 10 m /s2) a) IO N
des de carga lineal uniform es X = 2 p O m . H allar la energía potencial de ¡nterac ción eléctrica del filam ento cuyo extre m o se ubica en el centro del anillo. (Su gerencia: U tilizar ik función log(x))
b) 15 N c)2 0 N d) 25 N e) 30 N
35. Un filam ento de longitud a=10 cm se ha lia sobre el eje de sim etría de un anillo de radio R=10 cm, am bos tienen densida
a) 10 cm
b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm
38. Se m uestra tres cuerpos esféricos de ra dios a=10 cm, b=15 cm, y c=30 cm, con cargas Q A=4 p C, Q B= 10 p C y Qc=6 p C. El cascarón de radio "c" y la esfera de
Potencial eléctrico
1317
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
radio "b" son concéntricos y aislados. H allar la carga final del cascarón "c", luego de haberse puesto en contactocon la esfera de radio "a".
El sem ianillo tiene u n rad ío R = 30 cm y una densidad de carga lineal uniform e X = 2.10’10 C/m . H allar la densidad de ener gía eléctrica (en nJ/m 3) en el punto O. (k=9.1G9 N .m 2 /C 2, n= 10'9) a) Í / tí
O a) 1 n C
b ) 2 /ji d ) 4 /n
b )2 p C d) 6p.C
c) 4 p C e) 8 p C
c) 3M e ) 5 /n
42. La placa triangular m uy delgada n a densidad de carga superficial m e a ~ 4.10 '10 C/m 2 y a = 50 cm. el potencial eléctrico en el vértice
tien e u unifor H allar "B".
Se libera una partícula de m asa m= 28,27.10'9 kg y carga q=-2.10'6 C y están do a una distancia d=24 cm de un plano horizontal muy grande con densidad de carga superficial uniform e <7 = - 3 .1 0 '8 C /m 2. D espués de qué tiem po la partícu la en llegar al plano. a) 1 ms
b) 2 ms d) 4 ms
c) 3 ms e) 5 ms
a) 3,11 V b ) 3,13 V c ) 3 ,1 5 V d) 3,17 V e) 3,19 V
40. Se disponen en form a alternada un infini to núm ero de cargas positivas y negati vas q = ±2pC sobre una línea recta. L a
43. Los anillos idénticos de alam bre muy delgados de radios R =15 cm, tienen car gas eléctricas iguales a q = ± 5 0 pC. H a
separación entre las carcas adyacentes es la m ism a e igual a d -0 ,3 mm. H allar la energía potencial de la carga eléctrica ubicada en P. (k = 9.109 N .m 2/C 2) 00 00
llar la diferencia d e potencial entre sus centros, siendo la distancia entre ellos i
—
P
gual a d = V3 R . (k = 9 .109 N .m 2/C 2)
—
© O O O G O Q O © h r* a) -122 J
b) -144 J c ) -166 J d) -188 J e) -199 J
41. c )3 V d) 4 V
e )5 V
44. ¿Q ué trabajo contra las fuerzas eléctri cas se necesita realizar para dism inuir a
Física++
1318
* * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
la m itad el radio de una esfera cargada, el radio inicial de la esfera es R= 9 cm y su carga Q=+2.1(T7C? (m =10‘3) a) 1 mJ
b) 2 m j d) 4 m J
c) 3 mJ e) 5 mJ
45. Un electrón, al recorrer la distancia de 5,3 mm entre las lám inas de un condensa dor plano, adquiere la rapidez de 108 cm/s. H allar la diferencia de potencial en tre las lám inas del condensador. (e= 1,6.10'19 C, nv= 9,1.10'31 kg) a) 2,0 V
b) 2,2 V c) 2,4 V d) 2,6 V e) 2,8 V
46. Se tiene dos esferas huecas conductoras concéntricas de radios R A- 2 0 cm, RB40 cm, con cargas QA= 9.10'10 C Q b 8 .1 0'10 C, respectivam ente. H allar el po te n d a l en el punto P, a una distancia r = 30 cm del centro, (k = 9.109 N .m 2/C 2) Qb
a) 45 V
b) 20 V d) 40 V
c )3 5 V e) 25 V
47. L a esfera com pacta de radio R=10 cm posee una densidad de carga volum étri ca uniform e p =8.10'9 C/m 3. H allar el po te n d a l en el punto P, ubicado a una dis tancia d - 5 cm del centro de la esfera.
a) 1,32 V b) 2,32 V d) 4,32 V
c ) 3 ,3 2 V e) 5,32 V
48. ¿Q ué trabajo m ínim o contra las fuerzas del cam pó eléctrico se necesita realizar para reunir una gota de m ercurio de ra dio R=3 cm y carga Q = +4 p C a partir de N =64 gotas con cargas iguales? a) 1,55 J b) 2,25 J d) 4,15 J
c ) 3 ,7 5 J e) 5,45 J
49. El potencial de una concha esférica con ductora de radio R=10 cm centrado en el origen, viene dado por: í V0
, r
V( r) " l v 0 ( R/ r ) , r > R
H allar la energía alm acenada por el cam po eléctrico. (Vo=30O V k = 9.109 N .m 2/ C 2) a) 0,1 pJ b) 0,2 |iJ c) 0,3 pJ d) 0,4 pJ e) 0,5 pJ 50. Se tiene un alam bre muy delgado de Ion gitud infinita con densidad de carga li neal unifor-m e Á,=8.10'10 C/m. H allar la diferencia de potencial entre los puntos A y B situados a las distancia de a=20 cm y b=10 cm del alam bre. (Usar: k 9.109 N .m V c2 , ln(x)) a) 9,98 V b) -9,98 V c) 4,99 V c) -4,99 V d) 2,49 V 51. E n el circuito eléctrico, la diferencia de potencial en los extrem os A y B es de 10 V. Hallar, la carga acum ulada en el con densador de capacidad 6 pF. 8 |j F
Potencial eléctrico ^^9 ********************************************************************************************** a) 10 pC b) 15 pC c) 20 pC d) 25 pC e) 30 pC 52. En el circuito eléctrico, la diferencia de potencial entre A y B es de 30 V. H allar la carga en el capacitor de 3 pF. 2 uF
sv 3^F
b) 40 p J
a) 20 p J d) 80 p J
4
ji F
a) 20 pC b) 30 pC c )4 0 p C d) 50 pC e) 60 pC 53. En el circuito eléctrico todos los conden sadores tienen capacidad C - 6 pF, hallar la capacidad equivalente entre A y B. (p = 1 0 '6)
e)
c) 6 0 p J 100 p J
56. E n el circuito eléctrico V =300 voltios C = 4.10'8 F, si se abre el interruptor S] y se cierra el S2, hallar la carga final de los condensadores de capacidades C y 2C.
v -
a) 4 p C ; 8 p C b) 8 pC ; 4 pC c) 3 pC ; 6 pC d) 6 pC ; 3 pC e) 2 pC , 4pC a) 6 pF
b) 12 pF d )1 8 p F d) 24 pF e) 30 pF
54. En el circuito eléctrico los fcondensado res tienen capacidad C=40 pF. H allar la capacidad equivalente entre A y B.
57. En el circuito eléctrico V ab= 12 voltios H allar la energía acum ulada en el con densador de 3 pF. (p =10‘6) A o-
2uF
r
Z I2fiF
2uF
i a) 96 pJ a) 15 pF b) 20 pF c) 25 pF d) 30 pF e) 10 pF 55.En
el circuito
eléctrico m ostrado,
hallar la energía eléctrica alm acenada.
d) 12 p j
b) 48 pJ c) 24 pJ e) 36 pJ
58. En el circuito eléctrico, hallar la capaci ^
e9u^v a*ente entre A y B, C
2 pF.
Física++
1320
o
dad equivalente entre A y B, todos los condensadores son de IpF.
i [ » " | j-"l - —|
a) 1 pF d )4 p F
BO-
a )lp F d )4 p F
b) 2 p F e )5 p F
c) 3 p F
b) 2 p F » e) 5 p F
c) 3 pF
62. En el sistem a de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre A y B, si 0 = 3 jaF .
59. E n el circuito eléctrico, hallar la capaci dad equivalente entre A y B.
. I
1F
3F
5F
|
° - H h |H h ~ H h H
2F
2F
n
h - |—I H - ° a ) 1 pF d) 4 pF
a) 1F
b )3 F d) 7 F
c) 5 F e) 9 F
b) 2 pF c) 3 pF e ) 5 pF
63. En el sistem a de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre A y B.
60. En el sistem a de condensadores, hallar la carga del condensador de 10 pF. 12fiF
6 \¿ F
II-
6O0V
a) 2 F a) 1 mC
b ) 2 mC c) 3 mC d) 4 mC e) 5 mC
61.
b) 4 F d) 8 F
12jí F
c) 6 F e) 10 F
64. En el sistem a de condensadores, hallar la diferencia de potencial en el condensa dor de 2 pF. 3uF
Z Z 4 jiF
2nF
T
-d « 39V
En el circuito eléctrico, hallar la capaci
a) 12 V
b) 14 V c) 16 V d) 18 V e) 20 V
Potencial eléctrico 1321 ********************************************************************************************** 65. L a capacidad entre dos placas continúas del capacitor m últiple es de 0,5 p F . Ha llar la capacidad total del capacitor for m ado por siete placas de áreas A y sepa ración "d".
H
H
I 4hf :± : 3nF
3?
A -a
b) 2 V
a) 1 V
c) 3 V
d) 4 V 69. a) 1 pF
b) 2 pF d) 4 pF
66.
c) 3 pF
En el sistem a de condensadores, hallar la carga del sistema.
I
czz
zzc
lh
II-
LJ
K T 1 24uF _L y2^F_L
a b
L ,
a) 4 p F
15wF
a) 10 pC
zzc
48 uF
iov7
b) 2 p F d) lO p F
9uF
b) 20 pC
d) 40 pC 67.
En el circuito eléctrico, la capacidad de todos los condensadores es C= 6 p F . Ha llar la capacidad equivalente entre a y b.
e) 5 pF
15 nF
e) 5 V
c) 30 pC
70.
e) 50 pC
c )8 p F e) 6 p F
E n el circuito eléctrico, hallar la c a p a d dad equivalente entre "a" y " b " .
E n el sistem a de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre a y b.
a) 2 F
'
b) 8 F d) 4 F
a) 1 pF
b) 2 pF d) 4 pF
c) 3 pF e) 5 pF
68. En el circuito eléctrico. ¿Q ué voltaje tie ne el condensador de 3 pF si el de 7 pF alm acena u na carga de 6 p C?
71.
c)1 0 F e) 6 F
rn LJ
1322
Física++
«•lt*******************************************************************************************
En el circuito eléctrico, C -3 F , hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b". a) 2 F
b) 8 F d) 10 F
c)4 F e) 6 F
72. En el sistem a de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b"
a) 1 p F d )4 p F
75. D os esferas m etálicas de radios a=3 cm y b - 6 cm se interconectan con un alam bre delgado. Su separación es grande com parada con sus dim ensiones. AI siste m a se le sum inistra u n a carga "Q" y en tonces se desconecta el alam bre. H allar la capacidad del sistema. a) 10 p F
a )lp F
b )2 p F d )4 p F
c)3 p F e)5 p F
b) 2 p F c) 3 p F e)5 p F
b) 20 pF c)3 0 p F d) 40 pF e) 50 pF
76. E n el sistem a de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre los pun tos X e Y. Todos los condensadores es tán expresados en pF. 4
73. Todos los condensadores, tienen capaci dad igual a C - 3 p F . H allar la capacidad equivalente entre X e Y, cuando entre A y B se conecta un alam bre conductor, c
U -
Hh
¿
Hh
12
a)2 p F -) a) 1 p F
b) 2 p F d )4 p F
c) 3 p F e)5 p F
74. H allar la capacidad "C" de los condensa dores, sabiéndose que la capacidad equi valente entre X e Y es 2 pF más que la capacidad equivalente entre Z e Y.
3
*
b )4 p F d) 8 p F
c)6 p F e) lO p F
77. En cada arista del tetraedro se ubica un condensador de capacidad C=12 F, ha llar la resistencia equivalente entre los vértices A, B del tetraedro.
a) 20 F d) 26 F
b) 22 F c) 24 F e) 28 F
Potencial eléctrico
1323
i*********************************************************************************************
78. Se tiene un alam bre m uy fino de longi tu d ¿= 1 ,0 m , radio de la sección trans versal r=10 m m y carga eléctrica distri buida uniform em ente q=8 pC . H allar la capacidad de este alam bre, (k = 9.109 N .m 2/C 2, p=10‘12)
82. En el circuito eléctrico (Prob.79) que pre senta una resistencia R=2.106 O, un con densador de capacidad C=4 pF, una bate ría AV0= 10 V se cierra el interruptor en t=0 s. H allar la podenca sum inistrada por la batería en el proceso de carga.
a) 12,02 pF b) 12,04 pF c) 12,06 pF d) 12,08 pF e) 13,02 pF
a) 0,5 m j b) 0,4 mJ c) 0,3 mJ d) 0,2 m í e) 0,1 mJ
79. En el circuito eléctrico que presenta una resistencia R=2.106 Q , un condensador de capacidad C - 4 pF, una batería AV0= 10 V se cierra el interruptor en t=0 s, Ha llar la carga eléctrica en el condensador después de transcurrido un tiem po muy largo.
83. Un condensador cilindrico dé longitud £=1 cm, radios interno a=0,4 cm y exter no b=0,8 cm está som etido a la diferen cia de potencial de AV=100 V. H allar la energía eléctrica alm acenada en dicho condensador. (k=9.109 N .m 2/C 2)
S .
-» AVq
a) I n J
R
»— Vtt— i
y
b) 2 nJ d) 4 nJ
84. En el circuito eléctrico todas los conden sadores tienen capacidad C=9 pF hallar la capacidad equivalente entre A y B. A
a) 60 pC
}>) 50 pC c) 40 pC d) 30 pC e) 20 pC
80. U na batería de 12 V se conecta en serie con una resistencia R=3.106 Q y un con densador de capacidad C=2 pF. H allar la carga del condensador cuando este es la m itad del valor m áxim o. (p=10‘6) a) 10 pC
b) 12 pC c) 14 pC d) 16 pC e) 18 pC
c) 3 nJ e) 5 nJ
H
T
a) 12 pF d) 85.
B
b) 18 pF c)1 4 p F 16 pF e) 10 pF
H allar la capacitancia equivalente entre X e Y, sabiendo que C 2=10 pF y que to dos los dem ás capacitores son de 4 pF. c4
81. U n condensador de capacidad 5 pF se carga a 300 V y luego se descarga a tra vés de una resistencia R=6.104 O . H allar la carga que queda en el condensador después de 3 s de iniciado el proceso de descarga. (n=10'9)
H
c,
H
Cj
c3
- l l Cs
a) 62 nC
b )6 4 n C c)6 6 n C d) 68 nC e) 70 nC
a) 1 pF
b) 2 pF d) 4 pF
c) 3 pF e) 5pF
Física++
1324
* *********************************************************************************************
86.
E n el circuito eléctrico m ostrado, todos los condensadores tienen capacidad i gual a C=3 pF. H allar la carga "q" que alm acena el sistem a de condensadores.
1,0 pF, tal que el área de sus placas no sea m ayor que 0,30 m 2. H allar la máxi m a diferencia de potencial que puede so portar el condensador sin dañarse. (El aire entre las p la ta s de un condensador puede soportar un cam po eléctrico máxi m o de 3 ,0 .106 V/m) a) (10/7t) V b) (1 5/ ti) V c) (20/ ti) V d) (25/ ti) V ; e) (3 O/ti) V
a) 4 pC
b) 8 pC d) 16 pC
87.
c) 12 pC e) 24 pC
90. En el sistem a d e ' condensadores C=22 pF, hallar la capacidad equivalente entre los puntos "a" y "b". C
En el circuito eléctrico hállese la diferen cia de potencial entre los puntos "a" y " b " . Las capacidades se expresan en pF. 30V
a) 10 pF b) 20 pF c)3 0 p . d) 40 pF e) 50 pF a) 10 V
b) 15 V c) 20 V 25 V e) 30 V
91. En el sistem a de condensadores C=16 pF, hallar la capacidad equivalente entre a y b. 88. En la red de condensadores de un núme c ro ilim itado, la capacidad de cada con d)
densador es C = 4(V3 +1) p F , hallar la capacidad equivalente entre X e Y.
c -Ib
M
Í T Hb
o -H h v c
C
a) 1 pF d)
b) 2 pF 4 pF
C
c) 3 pF e) 5 pF
89. Se desea construir un condensador de placas planas paralelas de capacidad C=
a) 10 pF
b) 15 pF c) 20 pF d) 25 pF e) 30 pF
P
o t e n c i a l
e l é c t r i c o
1 3 2 5
********************************************************************************************** d arse la carga " q 0" del punto D h acia B
210 J
SOLUCIONARIO Solución: 01 Com o el cam po eléctrico es uniform e, el
•
Solución: 03 * R epresentem os las distancias de las car §as eléctricas puntuales al punto P.
potencial eléctrico, viene dado por: v
id
i/2
V _ 1600 E ”
\
Y
800
2q0
....... .......2 a .................., J ; ? P 8
\
/ 8 O „ q«
_
Solución: 02
^3q
• Prim ero calculem os las energías potencia les en los puntos D y B de la carga que se ^ n la Fig., el potencial eléctrico en el punto traslada (q ) asíes i§u a*’ a *a sum a de los potenciales creados p o r cada una de las cinco cargas, e
^
E p ,D = k q o ( q ' + L
a
e p,d = o j
v =4k r
E p B = M o . ( q i + qf ) c d
/3 a
:
(4)(9-lo5)S o j
* V
®
= 3’6kV
Solución: 04 E
= (9109)(2 i o_9')('~ 2.10 P,B ' 3 3 ,0 . 1 0 - 2
^ 4.10 4 ,0 . 1 0 - 2
• Según teoría, la diferencia de potencial entre "x" e "y", viene dado por:
E p , B = 2 -1 0 " 7 j
V XY = W >^ -X
9o
L uego, el trabajo que se debe hacer para trasladar la carga " q 0" del punto D a B es: V yy — ■ w
_ p
W D-»B "
_ p
(5 /3 ).1 0
b P,D
(V i
7
* W d _»b = 2.10
J
1,2.10-5 J ■»
* V YY = 7 ,2 .k V
v íy
El trabajo del cam po eléctrico al trasla
C ®
XY •
Solución: 05 Sustituyendo las expresiones de los po
1326 F ísica+ + ********************************************************************************************** tenciaies eléctricos VA y VG en el dato, teñe mos: V,
3
Vr
10
S olu ció n : 07 • R epresentem os la esfera hueca metálica de radio R.
1 0 k ( QJ + ^ ? ) = 3 k ( Ql + Q ^ ) AB AC BG CG
q í í 3 - 10) = q , ( 1 0 V1 k2 8 2 12
Según teoría, el potencial de la esfera hueca m etálica en puntos de su superficie es: V =k? R
Q, • = Q 2 1 4 V 2 12
Qi Q2
R = k Q = (9.i0y
S olución; 06 • R epresentem os la carga que se traslada " q 0" del punto A hacia el punto B. ■<3^53 qo bH
EpA
WA_ B = k Q .q ( ’ - i ) b a WA^ B = (9 .1 0 9 )(2.10- 6 )(5.10-8) ' 1 % .I 0 -2
3.10
* R = 45 cm
©
Solución: 08 • E n la Fig., los puntos M y P están al mis mo potencial, pues, pertenecen a u n a misma superficie equipotencial, adem ás, como N es tá a m ayor potencial, entonces: VN M = E .d
En la Fig., el trabajo que se debe hacer, para trasladar la carga " q 0 " de A hacia B es: WA - * B - E p , B
50-l039)
V
50.10
* WA_ B = 7,2 mJ
V nm = (4 0 J3 .1 0 2) ( 3 ^ | . 1 0 - 2) * VNM = 1 8 0 voltios
®
Solución: 09 • El potencial en el punto A, es igual, a la sum a de los potenciales creados p o r las car g a s q t, q 2 y q 3, es decir: VA = k ( ql + ^ + 5 i ) a b a ' É n la F ig., a=10 cm y b= dato V A- 0, luego:
8
cm , adem ás por
P
o t e n c i a l
e l é c t r i c o
1 3 2 7
**********************************************************************************************
vp = kq‘ +k- q2 O = ( 9 .,0 ’ X 2 ' 1 0 ' V
x
8 ' 1(r<' + q 3 ) 0,08 0 ,1 0
0 ,1 0
(3 -x )
Vp = 9.109 [,2 q i0- 9 + 8' 12° 5 ]
2 + - 8 + q-3 = 0
10
8
10
* Vp = 54 voltios * q3 =
+8
pC
©
©
Solución: 10 • El trabajo que realiza el campo eléctrico, para desplazar al electrón es: W = e.AV
Solución: 12 Según teoría, el trabajo realizado contra las fuerzas del cam po eléctrico, es igual, a la diferencia de las energías potencial final me nos la inicial, es decir: W a - > b ~ E P , b ~ E P,a
W = (1,6.10~ 1 9 )(5) * W = 8.10"!9J
©
A hora, com o la relación entre la energía po tencial y potencial eléctrica, es V= q.EP, en tonces:
Solución: 11 • R epresentem os los cam pos eléctricos creados por qi y q 2 en el punto "P", punto en el cual, el campo eléctrico resultante es nu lo. e2
Wa_ b = q (V b - V a )
vb- v a = - 6J b
e,
a
-1 ,5 C
* Vba = - 4 voltios iq 2
A
E n la Fig., de la condición que el cam po e léctrico resultante (ER), en el punto "P" es nulo obtenem os " x ’\ así:
©
P^i Nota El signo (-) nos indica que el punto " a ” está a m ayor potencial que el "b". Solución: 13 • R epresentem os las distancias de cargas e léctricas ubicadas en los vértices del triángu lo, al baricentro.
ER = k - i - k ^ R x2 (3 -x )
0=k
2.10 -9
8.10 -9
x2
(3 -x )2
x=
1 ,0
f 6cm
i i^
\6 c m
m
L uego, el potencial eléctrico en el punto P es:
q2 C Í
6cm
............-t® q3
1328
F í s i c a + +
********************************************************************************************** En la Fig., el potencial en el baricentro 0, es igual, a la sum a de los potenciales creados por cada una de las cargas, así: V=k
51
d
+ k q i + k q-3 d d
Solución: 16 • La carga positiva que crea el potencial de 18 V, es igual, a la sum a de las cargas de los electrones perdidos por la esfera conduc tora, así: > RV q=
v = ,(q i+ q 2 + %) d
(2 0 .1 0 :^ (3 6 )
9 109
* V=
6
3 kV
9.10
4
V = (- ) ( 2 - 4 + 6).10' 2 ,3.10
^
Luego, el núm ero de electrones perdidos (n) según el principio de cuantización de la car g a eléctrica es:
®
Solución: 14 • Todos los puntos que están en la circun ferencia están al m ism o potencial (V q- V p) por lo que el trabajo es nulo, esto es:
n=
q e
=
8 .1 0
-1 0
1 ,6 . 1 0 ' 19
* n = 5.I09 electrones
©
Wp_»Q = qo(^Q - Vp)
* WP_ Q = 0
Solución: 17 • El potencial eléctrico en el baricentro an tes del contacto de las cargas es:
®
Solución: 15 • Según el principio de conservación de la energía, la variación de la energía cinética, es igual, a la variación de la energía poten cial del electrón, esto e^:
k V = “ (q 1 + q 2 + q3) d El potencial eléctrico en el baricentro des pués del contacto de las cargas es:
V’- —(qj + q2 +q3)
AEC = AEP 1 2
2
m ev -
1 2
2 m ev 0
d
qi .íR
.w = eAV
/ ' dj • v = [ 2 eA V + v ^ m. ( 1 2 . 1 0 4)
+
7 2
9,1.10 + v = 6 ,57.10
\a \
•'d - <ÍX \ <¡2
v = ( 2 )( 1 ,6 . 1 0 - - )
qi p
r/ 2
ANTES
a/
dj
d ©■•:.........v 4» q‘ 2
■■•o q’j
DESPUES
Ahora, según el principio de conservación de la carga, la carga total no varía, es decir: 7m
@
qI+q2+q3= q¡+q2+q3
P
o t e n c i a l
e l é c t r i c o
I 3 2 g
********************************************************************************************** D e modo que, los potenciales eléctricos an tes (V), y después (V') del contacto, son i guales, esto es:
m g = qE
Representación de las fuerzas que actúan so bre la partícula de carga "q".
© W
V=V
(!)
i
+Q[ <
T Solución: 18 • Para m ayor facilidad seleccionam os las energías potenciales que resultan sem ejan tes O bservem os que en total debem os hacer 6 com binaciones de dos en dos.
d
1
-Q
De otra parte, la relación entre el campo eléctrico uniform e (E) y el potencial (V) es: E=
V
(2)
Sustituyendo (2) en (1), obtenem os la masa de la partícula, así: m=
qV gd
Tam bién, se observa que existen 3 pares de carga cuya separación entre ellas es "a" y 3
40 ,4,8.10-'® . m = ( ..........- - ) ( .............. . ) 10 2,4.10
pares de cargas cuya separación es "V3a". Luego, la energía potencial del sistem a de cuatro cargas puntuales es:
Ep = 3 k ^ + 3 k ^ a a '/3
* m=
•
8 .1 0
15kg
Solución: 20 R epresentem os las cargas eléctricas "Q"
situadas en los vértices del hexágono y la carga " q 0" que se traslada. Ep =
( 3 + ' ;3) w
p
( 9 .1 0 V 0 0,05
* E P = 5,68 J
v
' ®
Solución: 19 • En la Fig., la partícula está en equilibrio b a j o la acción de su peso (m g) y la fuerza e léctrica (qE), esto es:
•■©Q
Q0-
,N ..
3
- 6, 2
a’-;/..
Q©
0
a
©Q
a\ Q©-
•0 Q
El trabajo para traer a la carga qo desde el
1 3 3 0
F í s i c a + +
********************************************************************************************** infinito hasta el centro del hexágono 0 es i gual, a la diferencia de sus energías potencia les, es decir: -
Com o,
E P ,0 “
Resolviendo (1) y (2) para
qi - q 2 - 2 i
E P ,«
= 0 , entonces E Ptc = 0 , luego, el
Procediendo del m ism o m odo para el resto de las esferas, obtenem os:
trabajo, será igual, a la energía potencial de la carga qo en el punto O, esto es: w r®-»o
y q2:
q/2
qs =
q
2.
2
3 -1
= qov0 q /4
q /2
4 -2 > 4 -1
W ^ o = q 0 (6 k v ) a \ -5
= ( - l o - ^ K ó x q .i o ’ x - ' y
)]
q
/2
n + l-2
9n+l “ * w,W- » 0 = -3 6 0 J Solución: 21 • R epresentem os las esferas (1) y (2) antes y después del contacto entre si. q
q= 0
qi
Evaluando para los datos del problem a, ob tenem os el núm ero de esferas (n + 1 ), así: -3
2 0 0 .1 0
-
=
1 2 ;8 f í 2 (d + ih
q2 2 ( n + 1 ,_ l
as 6 4
=
2 6
* n + 1= 7 ANTES
DESPUES
' Sean qb q 2 las cargas de las esferas "1" y " 2 ", después del contacto, entonces por el principio de conservación de la carga, se cum ple que:
Solución: 22 « E l trabajo para trasladar la carga del vér tice "A" al incentro "O" del triángulo, es i gual, a la diferencia de las energías potencia les de la carga en los puntos O y A, es decir: A
qi + q 2 = q
( 1)
Tam bién, com o las esferas T y "2 ” al poner se en contacto llegan al equilibrio eléctrico, sus potenciales son iguales, esto es:
V, = v 2
Id ••••
i
.A
¥'M "
q
\
:® q
.........
c
B k q- U k q^ R R
(2) W A -» 0 “
E P ,0 “ E
PA
P
o t e n c i a l
e l é c t r i c o
1331
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
WA ^
Solución: 24 • R epresentem os a la esfera d e m asa ”m" y las posiciones A y B.
= 2 k q 2 ( ‘ ) - 2 k q 2( 1) d a
0
En la Fig., la distancia de las cargas al barí centro
0
VA
es, d= V3a / 3, de nodo que: WA ^
0
V8
va
B
= 2 k q 2(-T ~ - ') 3 a /3 a
WA- » 0 -_ 2 k. q ví 34
En la Fig., para los puntos A y B, del prin cipio de conservación de la energía, se tie ne:
ni)
E ca +
w.A - » 0
e PíA
=
e c B + e pb
3.10 - 2 *
WA ^
= 7,027 J
0
B
Solución: 23 • Representem os los triángulos equiláteros de lados a y b, respectivam ente.
siendo Ec , E P las energías cinética y poten cial de la esfera, respectivam ente. L a expresión explícita d e la ecuación ante rior, se escribe así:
/
a / '*
\ \
P
b /
v A = [v jj + 2mq (VB - V m
'
qo-
vA =
W —E PjF —E p j
W - 3k q - 3 k q
W = 3 k q 2( ' - 1) b a
* W = 37,5 p j
+
(2 ~ 3
* vA =
^ < ° “ 6 0 0 ) ] ! /2
04
1 )
0 ,2 '
©
cm 2 2 ,8
©
Solución: 25 • En la Fig., la pom pa de ja b ó n está en e quilibrio bajo la acción de su peso (mg) y la fuerza del campo eléctrico uniform e (qE), por lo que:
T
W - (3)(9.109X 5-°-10"9) 2( ” 2
[4 .1 0 2
■*o-. ■Oq
El trabajo realizad o res igual, a la diferencia de las energías potenciales final e inicial del sistem a, esto es:
A 3
A ) ] 1 /2
\b
•o
a
m v A +qV A = - m v B +qV B
2
q o.
V
i
-Q C
T
1 3 3 2
F í s i c a + +
********************************************************************************************** m g = qE = q
V v = (
V =
V =
R r
10 - 2 )V0 = ( - n_r )(300) 10
m gd * V = 30 voltios
Solución: 27 • El bloque se m ueve bajo la acción de dos cam pos uniform es el eléctrico y el gravitato rio perpendiculares entre sí:
(10_5)(10)(5.10_2) 2,5 .10“9 * V = 2 kV
(jD
®
Solución: 26 1) Según teoría, el potencial creado por la esfera, a una distancia r (r>R), viene dado por:
v =
Q 4 t is „ r
( 1)
De otra parte, la densidad de carga superfi ficial de la esfera es: o =
Q 4 tiR :
(2) EM a = EM b
E lim inando la carga "Q", entre (1) y (2), ob tenem os el potencial en puntos de la esfera, así: V=
V =
A plicando el principio de conservación de la energía a los puntos A y B, obtenem os la ra pidez en el punto B, así:
ctR-
s„r
Ep,A = E p 3 + E c 3 1 2 m g R = q.E.R + - m v (50.10“3)(10)(2) = (—5 0 .10~6)( 6 .10 3 )(2)
(io -7)(io ;4)_
+ ^ (5 0 .1 0 -3 )v 2
(8 ,8 5 .1 0“ 12)(1 0 -1 )
V = 11,3 voltios
* v = 4A -171-
II) En éste caso, com o se conoce el poten cial de la esfera, que lo denom inarem os V 0, entonces de la e c .(l), la carga de la esfera es: Q = 4 ttsoR V 0
(3)
Luego, sustituyendo (3) en (1), obtenem os la expresión del potencial para puntos fuera de la esfera:
Solución: 28 • El trabajo para traer la carga desde el infi nito hasta el punto "A", es igual, a la dife rencias de sus energías potenciales eléctri cas en los puntos A y infinito, respectiva m ente, esto es: W.oo->a - E p /,
E P.oo
P
o t e n c i a l
1333
e l é c t r i c o
********************************************************************************************** R = 4 cm qo
L uego, el potencial eléctrico de la gota es férica resultante es: , V=k
R -9
V - (9 A 0 ^ m ^ \ 0 4.10
©
* V = 7,5 kV
W ^ A = ( 2 . 1 ÍT 0)
( 1 0 _l 3 )0 °_4) _ (8,85.10 )(2 .10 )
+ Wco^ A = l,1 3 .1 0 '12I ®
Solución: 30 • R epresentem os u n a esfera de radio " r” y carga eléctrica "q", rodeado por un cascarón esférico de espesor "dr". dq
Solución: 29 • R epresentem os las gotas de m ercurio an tes y después de su unión.
q
ANTES
DESPUES
L a carga eléctrica de la gota ésférica resul tante es:
El trabajo necesario, es igual, a la energía po tencial eléctrica que adquiere la esfera, esto es:
q = Qi + q2
W = U = JdU
q - Ó
^ C
siendo " q" el trabajo realizado p ara traer un diferencial de carga "dq" desde el infinito,
Igualando el volum en de la gota esférica re sultante a la sum a de los volúm enes de las gotas, obtenem os su radio, así:
en presencia de la esfera de radio " r" y car ga "q " , y distribuirlo en el cascarón esférico
V = V] + v 2
W = JV (r)d q
^ t i R 3 = ^TtR? + 4 j iR 2 3 3 1 3 \3 il/3
R = [3 + ( 37 ) ]
de radio "r" y espesor 11 dr” , así:
W= ík p o r
4 7 i r 2dr
Física++ 1334 ********************************************************************************************** ***** da a esta fuerza es: W , J k (4 /3 ^ r — p 0 4 ítr 2dr a= W=
16
^ - k J /d r J3 oJ
eV =— md >
d’
T
£
( 4 tie 0 )
■■5 eE W =
O)
*Q
_ 16tt2p | R 5 W= 1 5
F m
(16tc2)(9 .10 9 )(2 .10 ' 8 ) 2 (10 - 1
1
)5
15
* W « 379.10-12J
®
Solución: 31 • R epresentem os las cargas eléctricas pun tuales, situadas en los vértices del triángulo equilátero.
De otra parte, el electrón recorre la distancia d’, según la línea del cam po de fuerza del cam po eléctrico, con una aceleración de m agnitud: a= 2
(3)
d’
(A) Igualando (2) con (3), obtenem os la rapidez que adquiere el electrón: \t
v = [ 2eV ) P m
■Oq (C)
q O (B)
d
(2 X l,6 d 0 -^ )(1 2 0 ) 9 ,U 0 -
La energía potencial de cada lina de las car gas es la misma, así, la energía potencial de la carga situada en (A) es:
31
3
1 /2
20
* v = 2,52.10 m /s
ÍB.
Solución: 33 • R epresentem os los cilindros concéntri eos A y B, de radios RA, RB.
En = k q_ + k q
E p = (2 )(9 .1 0 9) ( ^ _ 1)
* E p = 1,8.10 J
E £»\
Solución: 32 • Com o la fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón es, F = e E = e ( V /d ) , entonces, la aceleración que adquiere el electrón debí
Com o el cam po eléctrico es radial, el gra diente del potencial eléctrico en coordina
P
o t e n c i a l
e l é c t r i c o
1 3 3 5
********************************************************************************************** das cilindricas, se reduce a: E= -
gef = FR /m
dV
( 1)
dr
ge f = [ g 2 + ( q E /m ) 2 ]1 /2
D e otro lado, utilizando el teorem a de Gauss se encuentra que la m agnitud del cam po e léctrico, para puntos ubicados entre los cilin dros A y B es: E=
( 2)
De (2) en (1), e integrando para RA
v i» Sef v ab = 7„ 2 n eV0 «
©
* 12
m
( 1)
2) L a tensión en el hilo será m áxim a, cuan do la esferita pasa por la posición más baja respecto del "cam po efectivo", por consiguiente la tensión "T" y el peso e fectivo son colineales. 3) D e la ecuación fundam ental de la dinámi ca circular, tenem os:
circular E F r = m ac T - mgef = m.co2.L
(2)
D e (1) en (2), obtenem os la m agnitud de la tensión en la cuerda, así: T = m .gef +m.co2.L T = (0,5)(12) + (0,5)(6) 2 (0,5) 1) D e la ecuación fundam ental de la diná m ica lineal, hallem os la gravedad efecti v a (gef).
* T = 15 N
•
®
S olución: 35 Tom em os un diferencial de carga eléctri
1336
Fís¡ca++
********************************************************************************************** ca "dq" en el filamento.
E P 0 = -1 ,5 1 2 J Representación de los puntos inicial (0) y fi nal (A ) de la trayectoria de la carga q0. ..... ?-••••••.© O
0 0
a/
A t'"'
■ 4
En la Fig., la energía potencial del diferen cial de carga "dq", debido al potencial "V"
" ¥ " 7
o b
dE p = V d q A. R T2 b0 , v + r
\a
a\
creado por el anillo es:
dE P = (
/
f
Q
/ a
4
q
E PA = k q .Q ( 6 ) c )(Ady)
E PiA= (9 .1 0 9 )(2,4.10“ 6 )(-3 ,5 .1 0 -6)(o65)
2
E p , a = -0 ,9 0 7 2 J F
= ^ R f
Íy
2eo
./y 2 + R 2
p
E
P
=
:
R
0
l o g ( y +
/ y 2
+
R
L uego, el trabajo realizado por un agente externo, para trasladar la carga " q 0" desde 2 ) ]
o
0 hasta A es: w o -> a
E P = v R | ° g ( l+ 2e0
2)
W 0 ^ A = - 0 ,9 0 7 2 J - (-1 ,5 1 2 0 J )
•
E P = (2tt)(9.1 0 9 )(2.10 “6 ) 2
* W 0 ^ A = -0 ,6 0 4 8 J ©
. ( 1 0 - 1 ) lo g (i+ :'2 ) + Ep = 8 , 6 6 .10- 3 J
= E PiA “ E p . o
®
Solución: 36 • Prim ero, calculem os las energías poten cíales en los puntos 0 y A, de la carga " q 0 " que se traslada, así: E p 0 = k q .Q ( 6 ) a E p o = (9 .109 )(2 ,4 .10-6 )(—3,5.10 -6)(-63)
Solución: 37 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre el carrito en el punto más alto del rizo.
P
o t e n c i a l
e l é c t r i c o
1 3 3 7
********************************************************************************************** 1) Para que el carrito pueda dar una vuelta com pleta con la m ínim a energía m ecáni ca, la reacción norm al en la parte más alta del rizo, punto "B", debe tender a ce ro (N -* 0 ). 2) A hora, aplicando la ecuación fundamen tal de la dinám ica circular en el punto "B", tenemos: Fc = m a c
mg + q.E = m R v | = (m g + q E )
m
(O
3) De otro lado, com o los cam pos "g" y "E" son conservativos, aplicam os el princi pío de conservación de la energía en los puntos A y B, así: EM A = e c a + Ep,A -
!) A nalizam os el caso general, cuando los cuerpos están separados a una distancia finita "d". Si cerram os el circuito median te la llave "S", se establece un flujo de cargas eléctricas (convencionalm ente po sitivas) de m ayor a m enor potencial. El flujo de cargas cesa cuando los potencia les de los puntos 1 y 2 se hacen iguales, es decir: Vi = V2
k QA + k (Q b + Qc = k Qc + k Q b
em b
e c ,b
a
(d + c)
+ E P3
9_a
_ _ (Q b
a ( d + a) O + ( m g + q .E )H 0 =
1
.+ Qc_)
c (d + c)
c
(1)
7
mvB +
(2)
(m g + q.E)(2R)
2)
A nalizando la ec.(l). Si la distancia "d" es m uy grande (d entonces: (a+d)= (d+c), luego se deduce que:
Sustituyendo (1) en (2), obtenem os la altura desde la cual debe soltarse el carrito, así:
Q A.= (Q b + Q c ) a c
(m g + q.E)(H 0 - 2R ) = 1 (m g + q.E) R
* FT0 =
c
R = 50 cm
Para nuestro caso particular, los cuerpos es tán en contacto, entonces, tomando: d = 0 en ( 1 ) , tenemos:
Qa _ (Q b + Qc)
□ l ) N ota H 0 es independiente de ”g" y "E". Solución: 38 • Representem os los cuerpos esféricos, co nectando el cuerpo con C.
(2)
(3)
Ahora, p o r principio de conservación de la carga eléctrica, se tiene: Q
in ic ia l
= Q fín a l
1338
F í s í c a + +
********************************************************************************************** L uego, el tiem po que tarda la p artícula en He gar al plano es:
Qa + Q b + Qc - Qa + Q b + Qc
Qc = Q a + Q c _ Qa
v = v 0 + a.t
(4)
f°
Resolviendo (3) y (4), obtenem os la carga fi nal del cascarón esférico C, así:
t = V = [ 4 7 l 8 om Z ]l / 2 a 7rqc
■ _ c 2 (Q A + Q c ) - a 2 Q B -a
-O
(28.27.l_0-fX 24.10-2)
-
i/ 2
(7t)(9.10 9 )(2.10-G)(3.10 - 8 ■ = (30)2( 4 |j + 6 n ) - ( 1 0 ) 2 (10n) (10 2 + 3 0 2)
* t*
®
♦ Q g —8 pC
Solución: 39 • R epresentem os la partícula de m asa "m" y carga "q", situada a una distancia "z" del
2 .1 0
~3s
Solución: 40 • De la Fig., del enunciado del problem a, el potencial eléctrico en el punto "P ", crea do por las cargas situadas a la derecha e iz q u ierd ad el punto "P" es:
pía no horizontal cargado. V p= 1 (^ + q _ q + q p 47te, d 2d 3d 4d +
1
47t£, Vo = Com o la m agnitud del campo, eléctrico, crea do por el plano en puntos externo a el es: E = a / 2 e 0 , la m agnitud de la aceleración que adquiere la partícula de carga eléctrica "-q" es: q.E qa a= = m 2 s 0m A hora, com o la partícula inicia su movim ien to del reposo, la rapidez con la que llega al plano es: v 2 = vq +
2
az
v = [ q a z / e 0m ]
1/2
2
■ q 2d
(_ 4
47t80
vP= P
( _ V - q - q + q - .. .) d 2d 3d 4d
d
3d
1
4d
+ 1- 1+...)
27is0 d
2
3
4
U sando la conocida relación m atem ática, del desarrollo en serie de potencias: 2
3
X X ¿ n (l + x ) = x - ^ + 3 - ...,para L a expresión del potencial
Vp = - - .
q
0
< x <
1
V P ,se reduce a:
- en( 2)
27t8,d
Luego, la energía potencial de la carga eléc trica positiva "q" situada en el punto ”P" es:
P
o t e n c i a l
1i39
e l é c t r i c o
i*********************************************************************************************
Sustituyendo "dE", e integrando sobre la m | tad del sem ianillo, obtenem os el cam po eléc trico resultante, asi:
E P - q.Vp
n/2
Ep = - 27ts„d , q 2 B ín ( 2 )
J s e n 0 d0
EP = 2 ne„R o"-
(2X9.109X 2 .] 0 ;6) 2 P
3.10 -
X
Ep =
4
* Ep = -1 6 6 J
0
,
/-v,'7t/2
0-cose) n
27te„R
©
Solución: 41 • Tom em os en el anillo dos diferenciales de longitudes de arco d¿ = R d0 de cargas ’*dq", a am bos lados del origen com o mués
Eo = R 2 7 ts.R
LueS0>,a densidad de energía eléctrica en el punto 0 es: 1
W E=
tra la Fig.
c 2
WE = 87c“e 0 R ‘ _ ( 9 .1 0 9 )(2.10 " 1 0 ) 2 W £“
(2tc)(3.10 - ' )
* w £ = ( 2 ).10-9
n Las m agnitudes de los cam pos eléctricos en 0 creados po r los diferenciales de carga eléc trica dq = ^R d 0 , situadas sim étricam ente res pecto del eje Y son: dE =
1
2
J3
m
Solución: 42 • D ividam os la placa triangular en franjas una de las cuales representam os.
dq
47rs 0 R 2
dE =
1
XáO
47ts„ R Ahora, com o las com ponentes horizontales de estos cam pos eléctricos se anulan entre si, la m agnitud del campo eléctrico resultan te en el punto 0 es: dE R = 2 d E sen 0
£ n ]a R g _ e]
f i|a m e n t 0
som breado, crea en
el vértice "B ", un diferencial de potencial, igual a:
1340
F í s i c a + +
**********************************************************************************************
dv = A X en[-x2 + y2 + y] 47l£„
X
(1)
X
D e otra parte, la relación entre la densidad de carga lineal "X", y superficial " a " , viene dado por:
(2)
X = a d£ = a dx
T am bién, en la Fig., se observa que la ecua ción del lado del triángulo es: y= x
2 X
27l£0 V=
V = k - + k _• l/ 9 + R (d + R )
V _ = k -q + k - ? R (d + R )
(3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1), integrando y m ultiplicando por ”2 ”, debido a que la mitad inferior de la placa, crea un potencial igual a la m itad superior, obtenemos:
o
En la Fig., el potencial eléctrico en el centro de cada uno de los anillos, es igual, a la su m a de su propio potencial, más, el potencial del otro anillo, así, los potenciales eléctricos en los centros de ios aViílIos cargados posítí vam ente y negativam ente son:
2 + X
X.
Luego, la diferencia de potencial eléctrica entre los centros de estos anillos es: AV = V. - V_ AV = 2 k
2k
R
,• -q T ,-;, (d + R )
q
AV = 2 k q- { l - 1 R [1 + ( d /R ) ]
- f ln ( ,:2 + l) fdx 2rs0 í
AV = 2k q [1 R
V= aa £n( 2 +])
1 2
]=
q471 e„R
271 s .
(9.10 9 X 5.10-11)
.
V = (2X9.109 )(4.10" 1 °,)(5.10" 1 U n ( :2 + 1)
15.10' * AV = 3 voltios
* V = 3,17 voltios
©
(2 /
Solución: 43 • Representem os los anillos idénticos con tenidos en planos paralelos entre si.
S olución: 44 • El trabajo para dism inuir el radio de la es fera cargada a la m itad, es igual, a la varia ción de su energía eléctrica, esto es: W = AE = E - E 0
W =
W =
Q" 8tcs0 ( R /2 )
Q2
87t£0R
_ (9.109X 2.10“7)2
8 ti£0R ~
(2X 9.10-2 )
P
o t e n c i a l
1341
e l é c t r i c o
********************************************************************************************** *
W = 2.10"3J
E =-
^
Solución: 45 • L a m agnitud de la aceleración que ad quiere el electrón en la dirección vertical es: a=
1
v¿
2
d
dV (1 )
dr
v=o^ jl t i
(1)
T
T
V
i
+Q.
q = -e Tam bién, de la ecuación fundam ental de la dinám ica, la m agnitud de la aceleración del electrón, debida a la fuerza eléctrica es:
A hora, utilizando el teorem a d e Gauss, cal culem os las intensidades de cam po eléctri co, para las distintas posiciones que adopta el punto "P ", obteniéndose: £ =
q.E
( 2)
m
Igualando (1) con (2), obtenem os la expre sión del cam po eléctrico: t-,
mv
(3)
2 qd
A sí, la diferencia de potencial entre las lámi ñas del condensador es: V = E.d =
para r < RA
0
E = k Qf
para R a < r < R b
E = k Qa + Q b
para r > R b
Integrando la e c .(l), para " r ,r desde el infíni to, donde el potencial eléctrico se asume que es nulo, h asta la posición de "P ", y utilizan do las expresiones de E, se tiene 1) P ara "P" fuera de la esfera B (r > R B)
mv ~2q
VP - V „ = - f k (-Q- ^ ^ d r '
y _ (9,L10"' J)(10b) 2 2 (1 , 6 , 1 0
-19)
* V = 2,8 voltios
©
Solución: 46 * Com o el cam po eléctrico es radial, la ex presión del gradiente del potencial en coor denadas esféricas, se reduce a:
VP= -k(QA+ QBX—,) r'
Vp = k (Q a + Q b ) 2) Para "P" sobre la esfera B , (r=Re)
1 3 4 2
F í s i c a + +
********************************************************************************************** E=VB = k (Q A + Q ti) Rb
(1)
dr
Según teoría, la intensidad de cam po eléctri co, creado por la esfera cargada, viene dado por:
3) Para "P" entre las esferas A y B.
V p - V B = - j k Q A dr' rd r
Pr , para 3s 0 E=
v P = v B - k ( - Qrf )
pR
r
(2) -2-, para r > R
3 s .r
Q a + k QB + k QA r Rb Rb
R,
Sustituyendo (2) en (1), e integrando para "r" desde el infinito hasta el punto P, obte nem os el potencial eléctrico, así:
Vpr = k Q « + k Q a r Ra
Vp = (9 .1 0 9 ) [ 8 ' 1 0 % P 4.10
dV
JdV = - j E d r ' CO
9Á° ~ 3.10
Vp = 45 voltios
V -= - p R T 3e„ i r
2 d r’’2
P ír'd r’ 3 e, =•0 RJ
Q) V=-
® N o ta Las líneas punteadas, son superficies gaussianas (S.G). Solución: 47 * • R epresentem os un punto al interior de la esfera, a la distancia "d” de su centro.
P- - { R V l / r ') ] * + ( r ' 2 / 2 ) ] rB } •?s0
3e
{R3( - ¿ + - ) + ^ ( r 2 - R 2)} R oo 2
V = -P_ ÍR 2 _ 1_r 2 + ] R 2 J 3e„ 2 2
I?» V ,
P -ÍÓ R 2 ^ 2) , 2371^ 2 6 ( 4 m 0)
6s0
y - ^ J t X S . l O '^ ^ X l O
^ ) 2
6 * V = 1,32 voltios Com o el cam po eléctrico es radial, la expre sión del gradiente del potencial en coordena das esféricas, se reduce a:
S olución: 48 . R u s e n t e m o s a las (N ) gotitas antes y después de unirse en una sola gota.
P
o t e n c i a l
e l é c t r i c o
1 3 4 3
********************************************************************************************** H ,0
03
20
0° 0°0 0 0 ?o
,
.................... , , La carga eléctrica q y el radio a de cada . n J gotita, son iguales a:
N ota El trabajo que se hace, es para vencer las fuerzas de interacción eléctrica re pulsiva colulom biana.
Solución: 49 • El cam po eléctrico, es igual a m enos el gradiente del potencial eléctrico, así, en coor ® . denadas esféricas, tenem os: E = -V V
q= Q N
y a = N “1/3R O
r
E= Así, la energía eléctrica inicial del sistem a de "N" gotitas, es igual, a la sum a de las e nergías eléctricas de cada una de las gotitas, esto es: E0 = N (
1 47 te,.
q ) a
2 0 R /r , r > R Luego, la energía eléctrica alm acenada por el cam po eléctrico en todo el espacio es: WE = | í s ¿
E „=
-1- [ N - 2 / 3 Q 2 /R ] 8718.
0 E 2dV
V
WE = £°- J 02dV 2 r< R
De otra parte, la energía final del sistema, es la energía de la gota de radio ”R": E =
1
Q2
+ -?- J(V 0 R / r 2)2dV 1
r>R
251 Jt®
We = ^ 7 ' Í Í ( V 0 ^ ) 2 r 2 se n 0 d r d 0 d<}>
87te^ R
O OR
Luego, el trabajo m ínim o que se debe hacer para reunir las "N " gotitas, y form ar la gota de radio "R" y carga "Q ” es:
dr n W - e V 2 R 2 2n Jd<|> Jse n 0 d 0 J o o
W = AE = E - E We = 2 ^£ 0 V 2 R W=
N ' ;,
1
w ^ (3 .0 0 _ ¿ (1 O
87t8„ R w _ (9.10 9 )(4.10 (2)(3.10
^ = O55_1o. 6j
(2X9.10 ) 6 ) 2 (1
_
64
2/,
* WE = 0,5 pJ
®
)
* W = 2,25 J
®
Solución: 50 Com o el cam po eléctrico creado por el a
1 3 4 4
F í s i c a + +
********************************************************************************************** lambre es radial, el gradiente del potencial e léctrico tom ado en coordenadas esféricas, se reduce a: dV
E=-
dr" 2
nF
A .
L os condensadores de capacidad 2jiF y 8 pF están conectados en paralelo, p o r consiguien te, las cargas acum uladas serán "q" y "4q",
ÍE -j- B
a
respectivam ente.
b
10 uF
A*----------- H------------*B
D espejando el potencial eléctrico, e integran do, obtenem os la diferencia de potencial en tre los puntos A y B, así:
b
VA
5q = (10V)(10 pF) ai
f dV = - f — VB
En los extrem os (A-B) del condensador equi valente, se cumple: Q = VC
vA a | dV = - J E dr VB
5q
b2 m
dr «r
VA - VB = ~(2)(9.10 9 )(8.10- 1 0 ) í n ( 2° )
+ q-
20
pC
©
Solución: 52 • Para dos ó m ás condensadores conecta dos en paralelo, las cargas acum uladas en sus placas, son directam ente proporcionales a sus capacidades. 2nF
* VAR = -9 ,9 8 V
H h q
Solución: 51 Los condensadores de capacidad 3p.F y 6 |iF están en serie, por lo que, alm acenan igual, cantidad de carga "q" que su conden
Hh
•
sador equivalente. 8 uF
II----------
3 |iF
2q
4 jiF
cuando dos (o m ás) condensadores están co nectados en serie, todos los condensadores en serie alm acenan, igual, cantidad de carga independientem ente de sus capacidades.
P
o t e n c i a l
1345
e l é c t r i c o
********************************************************************************************** 2
A o-
nF
A -------------| l ------------ *B 3q
5C/3
Luego, en los extrem os (A-B) del condensa dor equivalente, se cumple:
5C/8
.1
Q = VC
-fc = (5 (4 0 q F )
3q “ (30 V)(2 pF)
* Ce = 25 pF
* 3q = 60 pC Solución: 53 • Los extrem os de los cuatro condensado res, están conectados a los puntos com unes (A-B), por lo que, están en paralelo.
^os extrem os (A-B) del condensador de 6 pF están al m i s m 0 potencial, por lo que, dicho condensador está desactivado, por lo mismo, podem os retirarlo sin alterar el funciona m iento del sistem a de condensadores.
20|iF
k
Luego, la capacidad equivalente del sistem a es: CP = C + C + C + C Ce = 4C = (4 )(6 p ) D
Solución: 54 • Reduciendo el sistem a inicial de conden sadores, tenemos:
©
m : 55 R educiendo el circuito, observam os que
©
cc
* Ce = 24 pF
1
N
5uF
í 1
4 |iF
5V
1346
F í s i c a + +
Luego, com o los condensadores están en pa ralelo, su capacidad equivalente es:
q ’+ 2 q '= V.C
C e = 4 pF + 0,8 pF = 4,8 pF
q “ 3 V C = ( 3)(300)(4' 10' 8)
Finalm ente, la energía alm acenada en el cir cuito eléctrico es:
q ’= 4 .1 0 "6C q "=
.ir
i
w = ' c e V 2 = '( 4 ,8 p F ) ( 5 V J 2
2 c
2 3
V.C = ( 2 )(300)(4.10~8) 3 .
2
®
q " = 8 .Í0 " 6C * W = 60 p j
•
Solución: 56 Sean q’, q” las cargas de los condensa
dores "1", "2", cuando S¡ está abierto y S 2 ce rrado, entonces :
•
Solución: 57 Reduciendo el sistem a inicial de conden
sadores.
S.
T
~
21 1)
l . 2
T -2C "
Cuando S 2 está abierto y S, cerrado, el condensador "1 ", adquiere una carga i gual a: q = V.C
2)
O)
C uando S2, está cerrado y Sj abierto, los extrem os de los condensadores "1 " y "2 " están a la m ism a diferencia de potencial, por lo mismo, se cumple: q' = q" C
2C
( 2)
Adem ás, por conservación de la carga: q'+ q"= q De (1) y (2) en (3), tenem os la relación:
En la Fig., la diferencia de potencial en los extrem os del condensador de 3 p F es: VBc = ( 6 * 3 X 1 2 ) =
8
V
Luego, la energía alm acenada en dicho condensador es: (3) E =
2
CV» c =
2
(3 f)(8 )‘
P o te n c ia l e lé c tric o
1347
***** **********************************************************************************************
®
* E = 96 pJ
Solución: 58 • Reduciendo el sistem a inicial de conden sadores, de la siguiente manera.
T c
C
I
C
T\ I-A
U niendo los extrem os com unes de los con densadores, se obtiene el siguiente sistem a de condensadores: 1F
2F
<
PA RA LELO 3C
-II-
-II-
5F
5F
La capacidad equivalente entre a y b es: I SER IE
C . = 2 F + 5F D
* Ce = 7 F
Solución: 60 • Reduciendo el sistem a de condensadores inicial, tenem os:
1
A
.1
600 V
* Ce = (5 /2 )(2 ) = 5 pF © Solución: 59 • Identifiquem os puntos (nudos) que están al m ism o potencial, así:
6uF .
I 1 2 nF
1 SER IE
6|iF
6 nF'
P A R A L EL O A
12^ F
T
1348
F í s i c a + +
********************************************************************************************** SER IE
12nF
” T l 2 nF
600 V
* Ce = 2 p F
(£ )
Solución: 62 • Identifiquem os lo¿ puntos (nudos) que es tán al m ism o potencial, así:
12 jiF
E n la Fig., la diferencia de potencial entre los puntos x e y es: V^
67
=
20 0
V
Luego, la carga en el condensador de 10 pF será igual a:
En la Fig., los tres condensadores que se ubican en el triángulo de vértices e-e-e, se a nulan, de m odo que el sistem a inicial de condensadores, queda así:
Q = (10 pF)(200 V) 2C
* Q = 2 mC
®
Solución: 61 • El sistem a de condensadores inicial tam bién, se puede representar, así:
2C
HI----------I h Luego, la capacidad equivalente entre A y B es: 1
1
C . ~ 2C * C. =C
1
2C
©
Solución: 63 • Identifiquem os los puntos (nudos) que están al m ism o potencial, así:
2C
QA
QA
C==
2C
¿B
“
C
CZZ
ÓB
2C ZI
En la Fig., los tres condensadores de la ma lia 1 , se anulan, pues sus extrem os están al m ism o potencial, de m odo que el sistem a i nicial de condensadores queda así:
P
o t e n c i a l
e l é c t r i c o
1 3 4 g
**********************************************tr*********************************************** p F , y conectados en paralelo, de m odo que,
3F
la capacidad equivalente del sistem a es:
Hh
Hf-
Ce = (6 )(0 ,5 n F ) = 3 n F ©
2F
Hh 1F
Luego, la capacidad equivalente entre A y B es:
Solución: 66 • R educiendo el sistem a inicial de conden sadores, tenemos:
© * Ce = 3 F + 2 F + 1 F = 6 F
Solución: 64 • La capacidad equivalente del sistem a de tres condensadores en serie es: l C„
i l i — + + 2 3 4
Q = (5 p F )(1 0 V )
6+4 + 3
12
12
13
Luego, la carga del condensador equivalen te es: Q = Ce.V = ( ^ n F ) ( 3 9 V ) Q = 36 pC
*
Q = 50 pC
Solución: 67 • Los extrem os del condensador de 4pF de la derecha, están al m ism o potencial, de m odo que, este condensador se anula, así, el sistem a de condensadores inicial, se reduce a: 4|iF
2 nF
Ahora, com o los condensadores, están en se rie, cada uno de ellos posee la m ism a carga que la del condensador equivalente, luego la diferencia de potencial en el condensador de 2 pF es: v „ Q _ 36 pC C
2 pF
* V = 18 V Solución: 65 • El sistem a se puede considerar como un conjunto de seis condensadores de placas paralelas, cada una de ellas de capacidad 0,5
E
4jiF
4^F
H h > SERIE
bo—| |2^F
4 |i F
1350
F í s i c a + +
********************************************************************************************** D e la Fig., la capacidad equivalente entre los puntos "a" y "b", es igual a: ♦ C Q—C
©
Solución: 70 • Identifiquem os los puntos (nudos) q u e / están al m ism o potencial, así: 3F
4nF
1
C
1
1
=
+
4
2
4
+
4
* Ce = 1 pF
©
Solución: 68 • Com o los condensadores están conecta dos en serie, cada uno de ellos alm acena una carga de 6 pC luego, e) voltaje del conden sador de 3 pF es: v _ Q = " C + V=
6
|iC
3F
Hh Hh 2F 1F
L uego, la capacidad equivalente entre ”a ” y "b" es: O. = 3 F + 2 F + 1 F
3pF
2
En la Fig., los tres condensadores de la ma lia I, se anulan, pues sus extrem os están al m ism o potencial, de m odo que el sistem a i nicial de condensadores queda, así:
voltios
® * C» =
Solución: 69 • Identifiquem os los puntos (nudos) que están al m ism o potencial, así:
L
.
6
F
©
Solución: 71 • R educiendo el sistem a inicial de conden sadores. tenem os: PARALELO
:c
:
a
:c
1"
a b
1
n i
P
o t e n c i a l
e l é c t r i c o
1351
A********************************************************************************************* Solución: 73 • Al conectar un alam bre conductor entre A y B se establece un corto circuito, es decir el condensador "C" entre A y B no alma cena carga (no funciona). E ntonces el circuí to equivalente es:
S E R IE
iI Z 2 C Hh
c
En la Fig., la capacidad equivalente entre "a" y "b" es: 1
C„
=
1
M
-II-
1
C + 2C -II-
1 = 3 Ce
C
=> c = (2)(3)
2C
e
©
(3)
M c
x * Ce = 2 F
®
Solución: 72 • Reduciendo el sistem a inicial de conden sadores, tenemos:
© x o—
2C/3
H h
Siguiendo los pasos 1, 2 y 3 obtenem os la ca pacidad equivalente: * C e = 5 pF
Solución: 74 • R educiendo el sistem a inicial de conden sadores, tenemos:
6 jíF
H h
b o-
-II6 j íF
En la Fig., la capacidad equivalente entre los puntos "a" y "b" es: * C = 3 pF
©
©
1 3 5 2
F í s i c a + +
********************************************************************************************** Por dato, la capacidad equivalente entre los puntos X e Y es: C Xy - C ZY + 2 pF
(3)
D e (1) y (2) en (3), obtenem os el valor de la capacidad del condensador C, así: 2C = E n la Fig., los condensadores están en para lelo, luego la capacidad equivalente entre X e Y es: C
C
C + 2pF 5 -
©
* C = 5 pF
Solución: 75 • R epresentem os las esferas conectadas por el alambre.
C XY = - + C + XY 2 2 C XY = 2C
( 1)
P ara calcular la capacidad equivalente enttre los puntos Z e Y, el sistem a inicial de con densadores representém oslo, así: Al sum inistrar una carga "Q" al sistem a, es ta se distribuye en las dos esferas por medio del alam bre, es decir:
Q = qi +q2
O)
siendo q (, q 2 las cargas de las esferas. A dem ás el flujo de cargas term ina cuando los potenciales, se igualen, esto es: C ZY = Cr+ - C =
C
(2)
v,=v2 =>
k * = k
q -2
_
( 2)
a
3C/2
D e (2) en (1), obtenem os las cargas eléctri cas " q j" y " q 2": a
^
b
4i= a + ,b Q y q2= a + .b Q A hora, según teoría, la capacidad del siste ma, viene dado por:
P
o t e n c i a l
13S3
e l é c t r i c o
a?*****************************************************************************************,***
Luego, com o, V =V i=V 2 la expresión ante rior queda, así: C=
Q k [ a /( a + b ) Q ] /a
* Ce =
1
6
pF
©
= 47t e n (a + b )
C =
k /(a + b)
C=
do "puente", retiram os el condensador de 2 pF. Del paso 3, obtenem os la capacidad e quivalente del sistem a de condensadores, asi:
(3 + 6 ).10
0 -2
Solución: 79 • La carga eléctrica en el condensador, en cada instante, viene dado por:
9.10 q = q 0 ( l - e - t/RC) * C = 10.10"12F Solución: 76 • R educim os el circuito inicial, siguiendo los pasos 1, 2, 3, así:
Tom ando un tiem po muy largo, obtenem os la carga eléctrica final: q = fím q 0 ( l - e ~ t/RC) t— q = q 0 = C.AV0 q = ( 4 .K r 6 )(10) * q = 40 pC
©
Solución: 77 • O rdenam os el circuito para observar me jo r el arreglo puente E-F.
Ya que el producto en cruz, es igual, los pun tos E y F se cortocircuitan.
En el paso 2, identificam os el efecto llama
1 3 5 4
F í s ¡ c a + +
********************************************************************************************** r=
x2 + d2
(4)
Sustituyendo (3) y (4) en (2), tenem os: b
\
j
v = - q- +íf T i x --Así, la capacidad equivalente del sistem a de condensadores es: * R = 2 C = 24F
4TOo ^ - / / 2 '/ x 2 + d 2
V=
©
Solución: 78 • R epresentem os un diferencial de alam bre de longitud "dx".
v=
q ■ fín (x H r> /? + d 2] : ^ 4m J
5 4 m 0í
- £ /2 + -J(£ /2 ) + d
Factorizando en el num erador y denom ina dor ( i 1 2 ), y tom ando, d=r, obtenem os la si guíente expresión para el potencial eléctrico en el alambre:
V
XL
dq
2 -i 1 / 2 V = - J í n ( 1 + [ 1 + (2 r/< ) ] 4 ke 0£ - l + [l + ( 2 r / f )2 ] 1 / 2
t A hora com o, r « £ , entonces utilizando la a Según teoría, la capacidad del alam bre, vie ne dado por: C=
0
V„
)
proxim ación
(1
+ x )n
v ;,
, 1
+Í/2
f
4718o - íj/ 2
dq
■h
4 n s0£
2(r /£ )
(2)
E n la Fig., dado que la carga "q" se distribu ye uniform em ente en el alam bre, el diferen cial de carga "dq" es:
Va = - q- 7 t o [ ( - )2] 4 m 0£ r Así, el potencial eléctrico en el alam bre es: V. =
dq = ( p d x
+ n .x , la expresión
' ' 2 ( r ‘ r ,] <« V 4nsJ - I + l + 2 ( r/f)
siendo, V a el potencial en el alambre. D e otra parte, el potencial eléctrico creado po r el alam bre en el punto P es: V=
» 1
anterior, queda así:
(3)
Y la distancia de este diferencial de carga, al punto "P" es:
/ £n( ) 2 n zA r
(5)
Finalm ente, sustituyendo (5) en (1), obtene m os la expresión para la capacidad del alam
P
o t e n c i a l
1355
e l é c t r i c o
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
bre:
Solución: 82 • L a carga eléctrica en función del tiempo, viene dado por:
C = . 2™ J ¿ n (¿ /r) C=
1.0
q(t) - q 0 » (l-e “t/R C)
(2)(9.10 9 ) ín ( l /1 0 -2 )
D e m odo que la corriente eléctrica en el cir cuito, en todo instante "t" es:
* C = 12,06.10-12F
©
Solución: 80 • El valor m áxim o de la carga del conden sador, se h alla en t—»oc, así:
¡(t) =
xlq(t) dt
i ( t ) = q-° e "t/RC R.C
q = f im q 0 ( l - e ' t/RC) t—► «> i(t ) = AV R
q = q 0 = V.C
,/R -c
q 0 = (12)(2.10~6) = 24.10-6C
Luego, la energía en los bornes de la batería, asum iendo que se m antiene constante es:
Luego, la m itad de la carga final del conden sador es:
U = / ( 4 V 0 ) i(t)d t
* q = ^ q o = 1 2 .1 0 '6C
©
0
u = ] A V ¿ e _t/R ,c o R
Solución: 81 • L a constante de tiem po del circuito eléc trico, viene dado por:
U = - A V 02 C (e
- t / R . c J 00 0
«
t ='R.C
U = AVq C = (10)¿(4.10-6 )
t = ( 6 . 1 0 4 )(5 . 1 0 ~6)
* U = 0,4.10 - 3 J
t = 0,3 s
Solución: 83 * Sabem os que la m agnitud del cam po e léctrico es:
L uego, la cantidad de carga que queda en el condensador, después de 3 s es:
E=
q (t) = q 0 e” t/RC
q 27ts0r i
D e m odo que, la diferencia de potencial en tre los cilindros es:
q (t) = V 0 .Ce_t/R'C q(3) = (3.10 2 )(5.10-6) e " 3 /0
3
V 2 - Vj = - J E • d f * q (3 )= 6,8.10"8 C
B
1 3 5 6
F í s i c a + +
**********************************************************************************************
AV = J
q
= -q
av
2
dr
27te„f r
tt 8 r.£
fn(b) a
E»dr = -E dr
C
2C
2C
C
Luego, la capacidad del condensador cilín drico es: C=
2n z0£ Av
¿ n (b /a )
En la Fig., com o los condensadores están en paralelo, su capacidad equivalente es: * Ce = 12 fiF
A sí, la energía eléctrica alm acenada en el condensador es: E = ^ C (A V ) 2
@
Solución: 85 • Identifiquem os los p untos (nudos) que es tán al m ism o potencial, y representando el circuito equivalente.
c4 E ^ - ^ - A V 4 ^ n (b /a )
2
E= (io-2)(io2)2 (4)£n(2X 9.109)
— II—
H -iH -ih
Cx
Cj
—
b
c3
II— Cí
* E = 4 .10_9J Solución: 84 • U niendo los puntos de igual potencial e léctrico X, Y, Z, se tiene: A
Q
B
Q
En la Fig., si aplicam os una diferencia de po
P
o t e n c i a l
1357
e l é c t r i c o
********************************************************************************************** tencial V entre X e Y tenem os que V a- V b, ya que las caídas de voltaje por la ram a Ci C 5 , es igual, al de la ram a C 4 -C 3 (conexión tipo "W heatstone") por lo que V a -Vb= 0, en tonces C 2 queda anulada. P or tanto, la red equivalente, queda así:
© + rT 8 V 3q
^C
I Z 3 C /2
/2
L_r
I
+
t ! 8V
4q-r 2C/3
Siguiendo los pasos 2 y 3 deducim os que la capacidad equivalente del sistem a de con densadores es: O perando con los capacitores en serie de ca da rama, se tiene: C el = 2
y
Ce = ( | ( 3 n F ) =
2
^F
Luego, la carga alm acenada en el sistem a de condensadores es:
C e2 = 2 f¿F
q = Ce.V = (2pF)(8 V) * q = 16pC
®
Solución: 87 • Reduciendo el circuito inicial, tenem os: Luego, la capacidad equivalente del sistem a de capacitares es: r * C e = C el + C e2 “ 2 bl F + 2 P F
* Ce = 4 n F
®
Solución: 8 6 • R educim os el sistem a inicial de conden sadores, así:
®
30V
1358
F í s i c a + +
********************************************************************************************** com o los condensadores (C/2) y (C+Ce) es tán en serie, entonces:
30V
C =
2
(C /2 ).(C + C e ) ( C /2 ) + (C + C e )
-Ce + C e.(C + C e) = f (c + c e) 2 C 2 + 2 C.Ce - C 2 = 0
Resolviendo esta ecuación cuadrática, para Ce, obtenem os;
c. = ( 3_1)c En la Fig., la caída de potencial, es igual, en cada uno de los condensadores de 4 pF, entonces la diferencia de potencial entre "a" y "b " f es igual a 15 voltios.
•
Solución: 8 8 Sea ''C g" la capacidad equivalente entre
los puntos X e Y; si a la red ilim itada le qui tam os tres condensadores su valor no se alte ra, entonces tenem os el siguiente circuito e quivalente:
( 3- U Ce = ^- - -J 4 ( . 3 + l ) p F * C =4pF Solución: 89 • L a capacidad del condensador de placas planas paralelas, que cum pla las condiciones dadas en d v a d o e¡¡;
^
^
A
max
'° d.
= z.
A max
c
Y’ CORTAMOS
T
X ,c. °— II
Ce
1
X’
C/2
Luego, la m áxim a diferencia de potencial e léctrico, que p ueda soportar el condensador es:
F \“
AVmax *y
,°— I
max
Y'
E n la Fig., la capacidad equivalente e n ti; los puntos X Y e X ’Y ’ son iguales, luegc,
_
AV max
E maxd max
4irc P
A
o~m ax^m ax
" ' AnC
= J 3 . 1 0 6)(0,3) (47t)(9.109)(10-6 )
Potencial eléctrico
1359
********************************************************************************************** * AV„
,2 5 . , . = ( ) voltios
®
71
Solución: 90 • D ado la sim etría que presenta el circuito, podem os desconectar los conductores en el punto "p", no alterándose dicho circuito, así:
C ee = 2u 0 C = (Vn2 0 )(22pF A H- )7 * C = 40 pF
©
Solución: 91 • Identifiquem os los puntos (nudos) de i gual potencial, así:
C 3C/2
Se ha desconectado el circuito inicial, en el punto "p", gracias a la sim etría que presenta este, luego reduciendo tenemos:
3C/8
3C/2
Luego, en la Fig., com o los condensadores 3C/2 y 3C/8, están en paralelo, la capacidad equivalente entre los puntos "a" y "b" es:
Ce = ’„5 C = ( 1„5)(16HF) * Ce = 30 pF
©
1 3 6 0
F í s ¡ c a + +
**********************************************************************************************
CCRRIENTE _^ < L t ELECTRICA 1. IN T R O D U C C IO N a) Electrodinám ica Es la parte fundam ental de la teoría de la electricidad que estudia los fenóm enos y los procesos relacionados con el moví miento de las cargas eléctricas o de los cuerpos m acroscópicos cargados. El con cepto más im portante de la electrodiná m ica es el de co m e n te eléctrica.
ción. e) C o rriente transitoria Este tipo de corriente, se origina como resultado de un reagrupam iento de las cargas al interior de un conductor (efec to de inducción), es de corta duración o m om entánea. f)
C orriente uniform e Se dice que una corriente es uniforme cuando en todos los puntos donde exis te, su intensidad y dirección es la misma, caso contrario se dice que es no unifor me.
b) Corriente eléctrica Se llama así a todo movim iento ordena do de partículas (o cuerpos) cargados e léctricam ente. c ) Corriente de con d ucció n Es la corriente eléctrica que surge en los medios conductores com o resultado del movim iento ordenado de las cargas li bres, bajo la acción de un cam po eléctri co, creado en estos medios. E jem plo: 1) La corriente en los m etales y semicon ductores com o resultado del m ovim ien to ordenado de los electrones “libres” , es corriente de conducción. 2) L a corriente en los electrolitos, que con siste en el desplazam iento ordenado de los iones de signo contrario. d ) Corriente de convección Es el m ovim iento ordenado, en el espa ció de cuerpos m acroscópicos cargados. E jem plo: La corriente debida al m ovim iento de la T ierra que tiene exceso de carga negad va, por su órbita, es corriente de convec
N O U NIFORM E
Ejem plos de corrientes uniform e y no u niform e son la corriente continua (DC) y la corriente alterna (AC), respectivam en te. g ) C a rg a s libres Son las cargas de las partículas (electro nes) que no form an parte de un átomo ó m olécula. h) Iones Son átomos o grupos de átomos con ex ceso ó carencia d e cierta cantidad de e lectrones en com paración con los áto mos ó m oléculas neutras. Se podría de cir, tam bién, que son átom os que de al gún modo, han ganado o perdido electro nes de valencia, debido a algún proceso o fenóm eno físico.
C
o r r i e n t e
1361
e l é c t r i c a
********************************************************************************************** 1)
Ión positivo Es aquel átom o que ha perdido uno ó m ás electrones. 2) Ión negativo Es aquel átom o que h a ganado uno ó más electrones. i)
Portadores libres Son partículas libres que poseen carga, y cuyo m ovim iento ordenado, crean o pro ducen corriente eléctrica, así, los porta dores libres: 1) En un conductor m etálico o sem iconduc tor son los electrones de conducción (electrones libres) 2) En un electrolito (conductor líquido) son los iones positivos y negativos. 3) En los gases, son los iones y electrones de signos contrarios. 2. C O R R IE N T E E L E C T R IC A a) Intensidad de corriente eléctrica
L a intensidad de corriente eléctrica, se representa por "i", y se define como la cantidad de carga que pasa a través de la sección transversal de un conductor por unidad de tiem po, es decir: i = ^ = e.n.v.S t siendo, "q ” la carga total que pasa a tra vés de la sección transversal de área "S" durante el tiem po " t" , "e" la carga de cada portador (electrón) ” N" el número de cargas por unidad de volum en, ”v" la velocidad m edia de los portadores.
•
La intensidad de corriente es una canti dad física escalar.
^
U n id ad : "i" se m ide en am perios (A)
b)
Definición de am perio -— P T
i=l A
EE>
y ~
lm i= lA EE>
El am perio es la intensidad de corriente constante que pasando por dos conduc tores paralelos rectilíneos, de longitud infinita y sección transversal circular de área despreciable, situados a 1 m de dis tancia uno de otro en el vacío, produce entre am bos una fuerza igual a 2 . 1 0 '7, por cada m etro de longitud. c j Sen tido co n ve ncio n al de la corriente eléctrica Por convención, el sentido de la corrien te eléctrica se considera aquella que está en la dirección del m ovim iento de las cargas positivas, esto es, los electrones en un conductor se m ueven en sentido opuesto al de la corriente eléctrica, tal co mo se muestra.
d ) C o n d ic io n e s para que exista corriente eléctrica Las condiciones necesarias y suficientes para que surja y exista corriente eléctrica en un m edio conductor, son: 1) Q ue en el m edio dado exista portadores de cargas libres, es decir, partículas car
1362
F í s i c a + +
********************************************************************************************** gadas que puedan desplazarse por el me dio ordenadam ente. 2) Q ue en el m edio dado exista un campo e léctrico externo estacionario, cuya ener g ía se utilice en trasladar ordenam ente las cargas eléctricas, la energía del cam po eléctrico debe sum inistrarse continua m ente m ediante un generador, batería, pí la, etc... 3) El m edio conductor (alam bre) debe for m ar un a trayectoria cerrada, es decir, el circuito debe estar cerrado.
•
• 3. T IP O S D E C O R R IE N T E E L E C T R I CA a) Corriente continúa 1) Definición
en la conexión d e redes eléctricas de d| ferente frecuencia. L a corriente continua es em pleada en in finidad de aplicaciones y aparatos d e pe queño voltaje alim entados con baterías (generalm ente recargables) que suminis tran directam ente corriente continua, o bien con corriente alterna com o es el ca so, por ejemplo, de los ordenadores, sien do entonces necesario previam ente real] zar la conversión, de la corriente alterna de alim entación en corriente continua. T am bién se está extendiendo el uso de generadores de corriente continua me diante células solares buscando un me ñor im pacto m edioam biental del uso de la energía solar frente a las soluciones convencionales (com bustible fósil y ener gía nuclear)
BORNE+
PILA BORNE-
•
•
•
D enom inada tam bién corriente directa (DC direct current), es aquella corriente eléctrica cuya intensidad y sentido no v a rían en el tiem po; • Este tipo de corriente se obtiene some tiendo los extrem os de un conductor o circuito, a una diferencia de potencial, sin cam biar su polaridad. En u n circuito, la corriente continua cir cula externam ente del borne positivo (+) hacia el borne (-) del generador de ener gía. E jem plo: La corriente producida por una pila (ge nerador), es continua.
2) Utilidad Se utiliza en la transm isión de energía eléctrica a través de cables subm arinos y
b) C orriente alterna 1) Definición Se llam a corriente alterna (A C altem current) a la corriente eléctrica en la que la m agnitud y sentido varían cíclicam en te. La form a de onda de la corriente al tem a m ás com únm ente utilizada es la de un a onda sinusoidal, con lo que se consi gue una transm isión más eficiente de la energía. Sin em bargo, en ciertas aplica ciones se utilizan otras form as de onda periódicas, tales com o la triangular o la cuadrada. • Este tipo d e corriente se obtiene cuando se cambia la dirección del cam po eléctri co, al interior de un conductor ó circuito, cada óierto intervalo de tiem po llamado periodo. C
t i
i
d
C
o r r i e n t e
e l é c t r i c a
1 3 6 3
**********************************************************************************************
•
El cam bio en la dirección del cam po e léctrico, obtenem os intercam biando la polaridad de los bornes del generador de energía eléctrica, com o se m uestra en la Fig-
2) Corriente alterna frente a continua • L a corriente alterna se utiliza am pliam en te debido a su facilidad de transform a ción, cualidad de la que carece la corrien te continua. • L a energía eléctrica viene dada por el producto de la tensión, la intensidad y el tiempo. D ado que la sección de los con ductores de las líneas de transporte de energía eléctrica depende de la intensi dad, podem os, m ediante un transform a dor, elevar el voltaje hasta altos valores (alta tensión). Con esto la misma energía puede ser distribuida a grandes distan cias con bajas intensidades de corriente y, por tanto, con bajas pérdidas por cau sa del efecto Joule. • U na vez en el punto de utilización o en sus cercanías, el voltaje puede ser de nue vo reducido para su uso industrial o do m éstico de form a cóm oda y segura.
c ) Corriente periódica A diferencia de la corriente continua que posee siem pre el m ism o valor, esto es, un flujo de cargas constantes a lo largo del tiem po, en una corriente periódica el flujo de cargas tom a una serie de valores distintos que se repiten con el tiempo.
•
•
a)
b)
c)
d)
Si las cargas se desplazan siem pre en la m ism a dirección se dice que la corriente es pulsatoria y en caso contrario alterna. E n la Fig., de la derecha pueden obser varse algunos ejem plos de ondas de dis tintas corrientes periódicas. L os tipos a y b son corrientes alternas, en tanto c y d son corrientes pulsatorias.
4. D E N S ID A D D E C O R R IE N T E a) D ensidad de corriente uniform e s\
J=cte.
E l vector densidad de corriente eléctrica se representa por ( J ), para u n a corriente uniform e, su m agnitud se define com o la razón de la intensidad de co m en te "i" que atraviesa perpendicularm ente la sec ción transversal de un conductor, al área de dicha sección, esto es:
•
El vector densidad de corriente eléctrica, está dirigido en sentido contrario al del
1 3 6 4
F í s i c a + +
**********************************************************************************************
• •
movim iento de los electrones portadores de la corriente eléctrica. La densidad de corriente es una cantidad física vectorial. L a expresión vectorial de la densidad de corriente de conducción eléctrica es J = n.e.v
•
U na relación útil, que se deduce a partir del principio de conservación de la car ga eléctrica, válida para un conductor o circuito de corriente continua y unifor m e es: J] = S 2 J2
Sj
es decir, las densidades de corriente en dos secciones transversales diferentes del conductor, son inversam ente propor cionales a las áreas de estas secciones. b) Densidad de corriente de un me dio continuo Si tenem os una región del espacio con u na densidad de carga, no necesariam en te uniform e, en la que el movim iento de cargas se puede representar por un cam po vectorial de velocidades, para esa dis tribución de cargas en m ovim iento teñe mos: 7 = pV
siendo, "p" la densidad de carga en un punto y "v" la velocidad de las cargas en ese punto.
^ U n i d a d : "J" se m ide en A /m 2. 5. R E S IS T E N C IA E L E C T R IC A a) Definición ' Es la resistencia u oposición que presen ta un conductor al paso de la corriente e léctrica (electrones) a través de el, este impedim ento se debe a la presencia de los átom os de las redes cristalinas que dificultan el transito de los electrones a través del cuerpo o sustancia conducto ra. • T am bién resistencia eléctrica se define como la propiedad de un cuerpo o sus tancia de transform ar energía eléctrica en otro tipo d e energía d e forma irreversi ble, generalm ente calor. • E sta definición es válida para la corrien tes continua y alterna cuando se trate de elem entos resistivos puros, esto es, sin com ponente inductiva ni capacitiva. De existir estos com ponentes reactivos, la oposición presentada a la circulación de corriente recibe el nom bre de impedan cia. b) Características L a m ayoría de los m étales son buenos conductores, por lo tanto, poseen una pe queña resistencia, siendo el oro y la pía ta los que presentan la m enor resisten cia, y el cobre el más utilizado en la transm isión de energía eléctrica. • En los m étales, la resistencia aum enta con el aum ento de la tem peratura. • El carbón de piedra presenta una gran re sistencia, por lo que se utiliza frecuente m ente en los circuitos eléctricos • E ntre los m etales que ofrecen m ayor re sistencia al paso de la co m en te eléctrica se encuentra el alam bre nicrom o (NiCr), com puesto por una aleación de 80% de níquel (Ni) y 20% de crom o (Cr).
C
o r r i e n t e
e l é c t r i c a
1365
********************************************************************************************** c ) Representación En los circuitos eléctricos y electrónicos, las resistencias fijas o variables, simbóU cam ente se representan, así: •
RESISTENCIAS FIJAS
• RESISTENCIAS VARIABLES
d ) Resistencia ideal U na resistencia ideal es un elem ento pa sivo que disipa energía en form a de ca lor según la ley de Joule. Tam bién esta blece una relación de proporcionalidad entre la intensidad de corriente que la a traviesa y la tensión m edible entre sus extrem os, relación conocida com o Ley de Ohm:
siendo, "p", la resistividad eléctrica del conductor (alambre). ¿Por qué, la form a de la sección transver sal de los alam bres de conducción eléctri ca, siem pre es circular?
V (t) = R i(t) siendo ”i(t)" la corriente eléctrica que a traviesa la resistencia de valor "R" y "V (t)" es la diferencia de potencial que se origina. En general, una resistencia real podrá tener diferente com portam ien to en función del tipo de corriente que circule por ella.
c9=’ U n id ad : "R " se m ide en O hm ios (O ) f)
e) C á lcu lo de la resistencia de un co n d u cto r
4
•
El conductor (alam bre) es el encargado de unir eléctricam ente cada uno de los com ponentes de un circuito. Dado que
tiene resistencia óhmica, puede ser consi derado com o otro com ponente más con características sim ilares a las de la resis tencia eléctrica. G eneralm ente su ^alo r es muy pequeño y por ello se suele despreciar, esto es, se considera que su resistencia es nula (con ductor ideal), pero habrá casos partícula res en los que se deberá tener en cuenta su resistencia (conductor real). La resistencia de un conductor depende de la longitud del m ism o del área de su sección transversal "S", del tipo de m aterial y de la tem peratura. Si conside ram os la tem peratura constante (20 °C), la resistencia viene dada por:
•
Influencia de la tem peratura L a variación de la tem peratura produce una variación en la resistencia. En la m a yoría de los m etales aum enta su resisten cia al aum entar la tem peratura, por el contrario, en otros elem entos, com o el carbono o el germ anio la resistencia dis minuye. Com o ya se com entó, en algunos mate ríales la resistencia llega a desaparecer cuando la tem peratura baja lo suficien te. En este caso se habla de supercon ductores. E xperim entalm ente se com prueba que para tem peraturas no m uy elevadas, la re
1366
F í s i c a + +
sistencia ”R " m edida a la tem peratura ” T ", viene dada por: R = R o[l + a ( T - T 0)] siendo, " R 0" la resistencia de referencia
•
•
m edida a la tem peratura T 0=20 °C, y " a ” el coeficiente de tem peratura. Sin em bargo, teóricam ente toda la resis tencia que ofrecen los m etales al paso de la corriente eléctrica debe desaparecer a una tem peratura de 0 °K (cero grado Kelvin), o "cero absoluto", equivalente a - 273,16 °C (grados Celsius), punto del term óm etro donde se supone aparece la superconductividad o "resistencia cero" en los m ateriales conductores. E n el caso de los m etales la resistencia es directam ente proporcional a la tem pe ratura; sin em bargo, en los sem iconduc tores, como el silicio (Si) y el germanio (Ge), por ejem plo, ocurre todo lo contra rio, pues en esos elem entos la resistencia y la tem peratura se com portan de form a inversam ente proporcional, es decir, si una sube la otra baja su valor y vicever sa. 0
0
g ) Utilidad de las resistencias 1) E n los circuitos eléctricos y electrónicos las resistencias se utilizan para controlar o m odular el voltaje y corriente en cier tas ram as del circuito eléctrico o electro nico. 2) Se utilizan en m uchos aparatos o equi pos tales com o planchas, calentadores o estufas eléctricas utilizadas para calentar el am biente de las habitaciones en invier no, los calentadores de agua, las secado ras de ropa, las secadoras para el pelo y la m ayoría de los aparatos eléctricos cu ya función principal es generar calor.
h) C ó d ig o de colores P ara caracterizar una resistencia hacen falta tres valores: resistencia eléctrica, di sipación m áxim a y precisión o toleran cía. E stos valores 1 se indican norm alm en te en el encapsulado dependiendo del fi po de éste; para el tipo de encapsulado axial, dichos valores van rotulados con un código de franjas de colores. • Estos valores se indican con un conjun to de rayas de colores sobre el cuerpo del elem ento. Son tres, cuatro o cinco ra yas; dejando la raya de tolerancia (ñor m alm ente plateada o dorada) a la dere cha, se leen de izquierda a derecha. La últim a raya indica la tolerancia (precj sión). D e las restantes, la últim a es el m ultiplicador y las otras las cifras. • El valor de la resistencia eléctrica se ob tiene leyendo las cifras com o un núm ero de una, dos o tres cifras; se multiplica por el m ultiplicador y se obtiene el resu] tado en O hm ios (fí). El coeficiente de tem peratura únicam ente se aplica en re sistencias de alta precisión (tolerancia m enor del 1 %). Lectura del valo r de una resisten cia
- O
n
D
^
En una resistencia que consta de 4 líneas de colores, se tom an las tres prim eras y se dejan aparte la tolerancia que es pía teada o dorada, así: 1) V em os el valor que le corresponde al color de la prim era línea, según la tabla de códigos del Apéndice. 2) V em os el valor que le corresponde al co lor de la segunda línea, según la tabla de códigos del Apéndice.
C
o r r i e n t e
1367
e l é c t r i c a
********************************************************************************************** 3) U nim os los núm eros obtenidos anterior mente, y lo multiplicam os por el valor correspondiente al color de la tercera li nea. 4) Al resultado obtenido, se le agrega el va lor correspondiente a la cuarta línea, el de la tolerancia. E jem p lo : Para una resistencia con los colores verde, am arillo, rojo y dorado. 1) Registram os el valor de la prim era línea (verde): 5 2) Registram os el valor de la segunda línea (amarillo): 4 3) Registram os el valor de la tercera línea (rojo): x 1 0 0 4) U nim os los valores de las prim eras dos líneas y m ultiplicam os por el valor de la tercera línea, así: (54)(100). 5) Finalm ente, com o el valor de tolerancia para el dorado es el 5 % del valor obteni do, entonces el valor para R, debe estar com prendido en: R = 5 400 ± 270 Q 6. T E O R IA D E L A C O N D U C T IB IL I D A D E L E C T R IC A a) Resistividad eléctrica (p) L a resistividad de un m aterial es una can tidad física escalar, que definim os com o el inverso de la conductibilidad eléctrica ( ct), esto es: 1
P=
•
•
a
L a resistividad de los m etales aum enta al aum entar la tem peratura al contrario de los sem iconductores en donde este va lor decrece. El aum ento de la resistividad con la tem peratura, se debe a que los electrones li bres al estar som etidos a una m ayor tem
peratura, estos experim entan una mayor cantidad de choques m oviéndose con un m enor recorrido libre m edio < X > , por lo tanto, com o p oc 1 / < k > , entonces p •
•
•
^
aum enta. L a resistividad de un material, puede ex perim entar variaciones en presencia de cam pos electrom agnéticos. L a resistividad de ciertos sem iconducto res (selenio), puede dism inuir, en presen cia de la luz, debido al efecto fo toeléc trico interno, que consiste en el aum ento de los electrones de conducción en el sem iconductor. L a introducción de im purezas (átom os extraños) en la red cristalina del material (sem iconductor), puede m odificar la re sistividad de este. U n id a d : "p" se m ide en ohm ios.m etro (ílm )
b) C on d uctib ilid ad eléctrica L a conductibilidad eléctrica de un con ductor, se representa p o r " a " , y se defí ne com o la razón de la densidad de co rriente " J" que atraviesa su sección trans versal, a la intensidad de cam po eléctri co presente en el m ism o, es decir: c =— E • •
^
ó
J = aÉ
L a conductibilidad es una m agnitud fí sica escalar. El concepto de conductibilidad de un conductor se utiliza para describir la fa cilidad con que un conductor deja pa-sar la corriente eléctrica a través de él. U n id ad : " a " se m ide en siem ens/m etro (S/ m).
1368
F í s i c a + +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
c ) Densidad electrónica (n ) El núm ero de electrones de conducción que hay en la unidad de volum en de un metal m onovalente (z = l) es:
•
tencial entre los puntos A y B. L a representación gráfica del voltaje (V) en función de la intensidad de corriente (i), obtenidos experim entalm ente es:
n = N ,.z .p A siendo, N A= 6,0225.1023 m ol ' 1 el núm ero de A vogadro, "A” la m asa atóm ica del metal y "p" su densidad. El orden de m agnitud de "n" es de ( 1 0 28 a 1 0 29) por m '3. d) Ley de W ied e m a n n -Fra n z P ara todos los m etales, la relación errtre los coeficientes de conductibilidad térm i ca "K " y eléctrica "o" es directam ente proporcional a la tem peratura absoluta "T", esto es:
<7
•
•
e
siendo, "k" la constante de Bolztm an, y "e" la carga del electrón. 7. L E Y D E O H N l ' T R IC A
P O T E N C IA E L E C
a) Ley de O h m 1) Concepto E stablece que la razón de la diferencia de potencial "AV" entre dos puntos A, B cualesquiera de un conductor m etálico a la intensidad de corriente eléctrica "i" que pasa por el mismo, es una constante, llam ada resistencia "R " esto es: AV - = R = cte i siendo, AV = VA-VB, la diferencia de po
•
L os conductores que satisfacen la ley de O H M se denom inan conductores ohmi eos y se caracterizan p o r poseer una re sistencia constante, las que no dependen de la tensión aplicada. L a ley de O hm es una de las tres leyes fundam entales del estudio de la elecr
2) A n a lo g ía hidráulica En la ciencia, para producir un efecto de be existir una causa y com o consecuen cia, para producir un efecto la causa de be vencer la oposición presente. En elec tricidad esta regla se dem uestra; la fuer
C
o r r i e n t e
1369
e l é c t r i c a
**********************************************************************************************
•
za electrom otriz es la causa, la corriente eléctrica es el efecto y la oposición es la resistencia. L a relación entre voltaje, co rriente y resistencia se com para por ana logia con un circuito eléctrico y uno hi dráulico. En hidráulica se verifica una ley sim ilar a la ley de Ohm, que puede facilitar su com prensión. Si tenem os un fluido den tro de un tubo, la diferencia de presiones entre sus extrem os equivale a la diferen cia de potencial o tensión, el caudal a tra vés del conducto, equivale a la intensi dad de la corriente eléctrica y la sum a de obstáculos que im piden la corriente del ñuido, equivale a la resistencia eléctrica.
b) Potencia eléctrica (P ) 1) C on cep to Para entender qué es la potencia eléctri ca es necesario conocer prim eram ente el concepto de “energía” , que no es más que la capacidad que tiene un m ecanis mo o dispositivo eléctrico cualquiera pa ra realizar un trabajo. • C uando conectam os un equipo o consu m idor eléctrico a un circuito alim entado por una fuente de fuerza electrom otriz (F.E.M ), com o puede ser una batería, ía energía eléctrica que sum inistra fluye por el conductor, perm itiendo que, por e jem plo, una bom billa de alumbrado, transform e esa energía en luz y calor, o un m otor pueda m over una m aquinaria. • D e acuerdo con la definición de la físi ca “ la energía ni se crea ni se destruye, se transform a” . En el caso de la energía e léctrica esa transform ación se m anifiesta en la obtención de luz, calor, frío, movi m iento (en un motor), o en otro trabajo útil que realice cualquier dispositivo co nectado a un circuito eléctrico cerrado.
2) Potencia en corriente continua Cuando se trata de corriente continua (D C ) la potencia eléctrica desarrollada en un cierto instante por un dispositivo (resistencia, condensador, o bobina in ductora) de dos term inales es el produc to de la diferencia de potencial entre di chos term inales y la intensidad de co rriente que pasa a través del dispositivo, esto es: P = Vi
•
I
siendo, "i" el valor instantáneo de la in tensidad de corriente y "V " el valor ins tantáneo del voltaje. Igual definición se aplica cuando se con sideran valores prom edio para i, V y V.
—
m
—
0 d h :----------£ •
Cuando el dispositivo es una resistencia de valor "R ", utilizando la ley de Ohm en la expresión anterior, se encuentra que la potencia eléctrica desarrollada por la resistencia es:
R siendo, "V" el voltaje instantáneo en los extrem ds de la resistencia "R" ^
U n id ad : "P" se m ide en vatios (W)
3 3 N otas 1) E sta ecuación es válida para la mayoría de los conductores metálicos. 2) N o se cum ple en los sem iconductores.
1 3 7 0
F í s i c a + +
********************************************************************************************** prende en el electrodo es directam ente proporcional a la carga eléctrica "Q" que pasa por el electrolito,
8. C O R R IE N T E E L E C T R IC A EN L IQ U ID O S a) Características 1) Los líquidos son conductores de la co rriente eléctrica (electrólisis, conducto res de segunda clase) si bajo la acción de un cam po eléctrico extem o, puede efec tuarse en ellos el movim iento ordenado de los iones. 2) El m ovim iento ordenado de los iones en los líquidos conductores se produce en el cam po eléctrico creado por los electro dos, o sea conductores unidos a los po los de una fuente de energía eléctrica.
m = k.Q = k.i.t si a través de éste se hace pasar durante el tiem po "t" corriente eléctrica conti nua de intensidad "i". El coeficiente de proporcionalidad "k" se llam a equivalen te electroquím ico de la sustancia. Este coeficiente es num éricam ente igual a la m asa de la sustancia desprendida y de pende de la naturaleza de la sustancia. c ) S e g un d a ley de Faraday Los equivalentes electroquím icos de los elem entos son directam ente proporciona les a sus equivalentes químicos: k = C.kx donde "C" es cierta constante universal que vale para todos los elem entos, y "k x" es el equivalente químico:
3) El electrodo positivo recibe el nom bre de ánodo, y el negativo el de cátodo. Los iones positivos cationes (iones de los me tales y de hidrógeno) se m ueven hacia el cátodo, y los iones negativos aniones (iones de los radicales ácidos y del hi dróxilo) se m ueven hacia el ánodo. 4) L a corriente eléctrica en los electrólitos v a acom pañada del fenóm eno de electro lisis, el cual consiste en el desprendí m iento en los electrodos de las partes com ponentes de las sustancias disueltas o de otras, resultantes de reacciones se cundarias en los electrodos. b) Prim era ley de Faraday L a m asa "m" de sustancia que se des
•
siendo, "A" la m asa atóm ica del elemen to (en kg/m ol) y "z" su valencia. D e m odo que, la segunda ley de Fara day, queda así:
siendo, F =10 ’3 /C la constante de Fara day ó núm ero de Faraday. d) Ley unificada de Faraday E sta ley cuya expresión m atem ática es,
C
o r r i e n t e
e l é c t r i c a
1 3 7 1
********************************************************************************************** m = 1AQ F z perm ite establecer el sentido físico de "F ", porque precisam ente cuando, m = A/z, el núm ero de Faraday F=Q. L a can tidad de sustancia igual a 1 /z recibe el nom bre de equivalente-gram o. Cuando z = l, el equivalente-gram o de la sustan cia es ¡gual a un m ol. L a constante de Fa raday es num éricam ente igual a ala car ga eléctrica que hay que hacer pasar por el electrodo para que se desprenda en és te un equivalente-gram o de sustancia. 9. C IR C U IT O S E L E C T R IC O S a) Definición Se llam a circuito eléctrico a la conexión entre si, de varios dispositivos eléctricos tales com o baterías, resistencias, conden sadores, bobinas m ediante conductores (alam bres), que pueden presentar diferen tes formas o m odos de conexión y que se utilizan para de generar, transportar, m odificar señales eléctricas o producir e nergía eléctrica. b) Clasificación - P or el tipo de señal, se clasifican en cir cuitos de corriente continua (D C ) y co rriente alterna (CA). P or el tipo de régim en, los circuitos se clasifican en periódicos, transitorios o perm anentes. P or el tipo de com ponentes, se clasifican en circuitos eléctricos, (resistencias, con densadores, bobinas y m ixtos) o circuí tos electrónicos (digitales, analógicos y m ixtos) - Por su configuración, pueden estar en se ríe, paralelo o mixtos. c ) Elem entos de un circuito
1) N udo Es un punto de un circuito eléctrico en el cual se unen dos o más conductores, por ejem plo, en el circuito eléctrico A y B son nudos. 2) Malla U na m alla en un circuito eléctrico es una trayectoria cerrada, por ejem plo, en el circuito, tenem os dos m allas indepen dientes I y II. 3) D isp o sitivo s Son aparatos eléctrico o m ecánicos que se utilizan en un circuito eléctrico, como por ejem plo: generadores d e fuerza elec trom otriz (fem), resistencias, interrupto res, focos, bobinas inductoras, conden sadores, etc... 4) C onecto res Son los alam bres utilizados en el circuí to, para unir los diferentes dispositivos, tales como: baterías, resistencias, bobi ñas inductoras, condensadores, etc...en general, en la solución de problem as de circuitos se desprecia la resistencia de los alam bres, p o r ser m uy pequeña. 5) Ram a Conjunto de todos los elem entos de un circuito com prendidos entre dos nudos consecutivos. P or ejem plo, en el circuito eléctrico tenem os las ram as A (R i)B y A (R 2)B. Por una ram a sólo puede circu lar u n a corriente eléctrica.
< 13 7 2
F f s i c a + +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
d) D ispositivos eléctricos Los dispositivos que generalm ente están presentes en un circuito eléctrico de co rriente continua, com o el m ostrado en la Fig., son: 1) G eneradores de fem Pueden ser pilas, baterías, dinam os, etc., que se utilizan para sum inistrar o sus traer energía del circuito eléctrico, pre sentan polaridad, el signo (+) nos indica que el extrem o izquierdo del dispositivo esta a m ayor potencial que el derecho, tienen resistencia interna "r", y se repre sentan con el sím bolo
Se dice que un dispositivo, por ejem plo, en el circuito la resisten cia"R 2", está en cortocircuito cuando la tensión en la mis m a es cero y la corriente a través de el es desconocida. Esto se obtiene uniendo los extrem os de la resistencia m ediante un alambre. f) C ircuito abierto
2) Resistencias Se utiliza para controlar o m odular la ten sión y corriente en ciertas ram as de un circuito eléctrico, se representan sim bóíi cam ente con una "R " las resistencias externas y con una "r" las resistencias internas, es decir, las que pertenecen a las fuentes de energía. 3) Interruptor Se utilizan para perm itir (interruptor ce rrado) o evitar (interruptor abierto) que la corriente eléctrica circula por una ma lia de un circuito eléctrico,* se represen tan sim bólicam ente con una "S".
Se dice que un dispositivo, com o por ejem plo, en el circuito, la resistencia " R j" , esta abierto cuando la corriente e
•
léctrica a través de el es nulo, y la ten sión es desconocida. G eneralm ente, un circuito abierto es ge nerado por una m ala conexión del dispo sitivo, o porque se h a quem ado dicho dis positivo, lo cual, ocurre cuando disipa excesiva potencia.
g) Ecu a ció n de un circuito
4) Foco Es un dispositivo eléctrico que se utiliza para generar luz, sim bólicam ente se re presenta con una "F".
e,
—
H
r
.
5- 4—
e) C o rto circu ito r ^
I—
----------- 1
Riíf1 C O R T O I
M M - J -------R2
A plicando el principio de conservación de la energía al circuito de la Fig., que presenta un generador de f.e.m "e" de resistencia interna "r", una resistencia externa "R ", conectados en serie, teñe mos:
C
o r r i e n t e
1373
e l é c t r i c a
********************************************************************************************** Ni N2 V ab = Z i - R k + Z (± )E k k=l k=I
i.V,b = i2.r + i2.R el term ino de la izquierda es la energía por unidad de tiem po entregado po r el generador, los dos térm inos de la dere cha son las energías consum idas por las resistencias interna y externa. D espejando la intensidad de corriente en la ecuación anterior, obtenem os la ecua ción del circuito,
N i - núm ero total de resistencias inter ñas y externas entre " a" y " b " . N 2 = núm ero total de generadores de f.e.m entre "a" y "b". Para escoger el signo en la sum a de las f.e.m de los generadores, se adopta la si guíente convención. o
1
r+R
H|+------ &
e (+)
i
10. D IF E R E N C IA D E P O T E N C IA L E L E C T R IC A a) Diferencia de potencial entre dos p un tos de un circuito eléctrico Considerem os una parte de un circuito tal com o el m ostrado en la Fig. R,
s— m
R2
- -i|+
+| k
m
b)
Diferencia de potencial entre los b o rn es de un generador Considerem os el circuito eléctrico mos trado en la Fig., que presenta un genera dor de f.e.m V de resistencia interna "r" y una resistencia externa " R " .
- fr
i
asum im os arbitrariam ente que la corrien te va de "a" hacia "b", gor tanto, el po tencial en el punfo "a" es m ayor que en el punto "b" (Va > V b), pues la corriente eléctrica v a de m ayor a m enor potencial, luego, aplicando el principio de conser vación de la energía, se tiene: i.Va - í 2 .(Rj + R 2 + Tj + r2) + i.st - i . s 2 ->-Vb = 0 A sí, la diferencia de potencial entre los puntos "a" y "b" es: V ab = í - ( R j + R 2 + rl + r 2 ) + e 2 ~ £ 1
L a generalización del resultado, se escri be así:
m -----------R
Si despreciam os la resistencia de los con ductores, entonces la intensidad de cp m e n te en el circuito eléctrico es: s I_ R+r Y la diferencia de potencial entre los bor nes "a" y "b" del generador es: Vab = s - i . r Reem plazando la intensidad de corriente
1 3 7 4
F í s ¡ c a + +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
D e otro lado, com o las resistencias "R i"
tenemos:
y " R 2" están en paralelo, sus extremos
Vab = £ - ( )S ab r+R
están al m ism o voltaje, esto es: *1
Vab = £ ( ) ab 1 + r/R En general la resistencia interna es muy pequeña com parada con la resistencia ex tem a, esto es r « R , de m odo que, r/R —> 0 , po r tanto, la diferencia de potencial entre los bornes del generador es:
Esto es la pérdida de energía en la resis tencia interna del generador fuerza elec trom otriz es muy pequeña. N ota Se llam an bornes a los puntos de diferen te polaridad de un generador (pila, bate ría, etc..) donde se conectan los conduc tores (alambres) c)
D iviso r de corriente Ri % -
resistencias "R j" y " R 2 " en función de la corriente total "i", así:
Dos o más resistencias conectadas en pa ralelo forman un divisor de intensidad de corriente, es decir, dividen la corrien te total que ingresa, en corrientes parcia les que circulan por cada una de las resis tencias. Por ejemplo, para el circuito eléctrico de la Fig. la corriente "i" que ingresa al nu do A, es igual, a la sum a de las corrien tes "i]” y " i2” que salen de el, esto es: i] + 12 = i
R2 . -- - 1 , R1 +R2
perim étrica y " R 2" la resistencia shunt (en paralelo). d ) D iviso r de tensión Dos o más resistencias conectadas en se rie form an un divisor de tensión, esto es, una tensión total "V" entre dos puntos A y B puede ser divida en tensiones más pequeñas, conectando "N " resistencias en serie entre los puntos A y B, siendo la tensión en la i-ésim a resistencia, igual a: R
■- - y R , + ... + R .
Ri
B
R2
- m - -•— w v -
P or ejem plo, sea "V" la tensión en la ra m a A C del circuito, entonces la intensi dad de corriente "í" es: 1=
(1)
Ri.. Ri + R 2
El divisor de corriente, se utiliza para au m entar la escala de un am perím etro, sien do "R j" la resistencia de la bobina am
Vj = IR , =
Ri
(2 )
Resolviendo (1) y (2), obtenem os las co rrientes "ij" e " i2 ", que circulan por las
ti = v ab*s
R-l = l2 ^ - 2
V R] + R-
C
o r r i e n t e
e l é c t r i c a
1 3 7 5
a********************************************************************************************,, Por lo que, las tensiones en las resisten cias "R j" y " R 2" situadas entre A -B y
tencia equivalente (Re), cuyo valor, vie ne dado por:
B-C, respectivam ente, son: R e —Rj + R 2 + R 3 V, = iR j =
V, = iR o = •
- - 1 - v R j+ R 2
RRj + R 2
b)
V
C o n exió n en paralelo L os extrem os de cada una de las resisten cias, se conectan a dos puntos com unes (nudos), tal que: R,
El divisor de tensiones, se utiliza para au m entar la escala de un voltímetro, siendo "R j" la resistencia de la bobina voltimé
— W h—
Rz
m r
trica y ” R 2" la resistencia de am pliación de escala.
-AVAr R3
11.C O N E X IO N D E R E S IS T E N C IA S E L E C T R IC A S E xisten dos form as de conectar las resis tencías en un circuito, ellas son: a) C on exión en serie. Las resistencias se conectan una a conti nuación de otra, tal que: Ri
— V,
V2
1) L a diferencia de potencial en cada una de ellas es la misma. v L = V2 = V3 = V
Rz
;—
Re
-m -
£
v3
2) Las corrientes que pasan p o r cada de u na ellas en general son diferentes, salvo, que el valor de las resistencias sean igua les.
Re
-WAr
La corriente que pasa por cada una de e 0 lias es la misma. 2) L a sum a de los voltajes de los extremos de cada un a de ellas, es igual, al voltaje total, al que esta conectado la resistencia equivalente. V = V, + V, + V, 3) Estas resistencias, se pueden reem plazar p o r una única resistencia, llam ada resis
¡1
+ i2
+ ¡3
= i
3) E stas resistencias se pueden reem plazar po r una única resistencia llam ada resis tencia equivalente (Re), cuyo valor es: 1
_
1
1
1
R 1
R 2
R3
Para un sistem a de "N" (N =2, 3, 4 ,...) re sistencias, sus resistencias equivalentes para una conexión en serie (Rs) ó en pa ralelo (RP) son:
1376
F í s i c a + +
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C onexión estrella (Y) R s = Z k -iR t • c)
Tran sform a ción delta-estrella L a transform ación de una conexión de tres resistencias R 1? R 2 R 3 en delta, en u na conexión de tres resistencias R , , R 2, R3
en estrella, viene dado por: C onexión delta (A)
Conexión delta (A)
C onexión estrella (Y)
Kj -
R 1 .R 2 + R I.R 3 + R 2 .R 3 -- - -
■ _ R | R 2 + R I;R 3 1 R 2-R 3 2
D
•
R | -R 2 + R l-R 3 + R 2 R 3
3
R 1
k .3 = - - .......... -
R1 R 2 R [+ R2 + R3 R
_
R ’ =
—-
e) C o n ex ió n puente
* R] + R 2 + R 3 R 2 R 3
R] + R 2 + R 3 • d)
Tra n sfo rm a ció n estrella-delta L a transform ación de u na conexión de tres resistencias R ]? R 2 R 3 en estrella, en una conexión de tres resistencias Rj, R2 , R3., en delta, viene dado por
A la conexión m ostrada en la Fig., se le llam a conexión en puente, debido a que las resistencias R¡ y R 4 están unidas con las resistencias R 2 y R 5 m ediante la re sistencia R 3 , que hace la función de puen te.
Corriente eléctrica
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•
•
P ara hallar la resistencia equivalente de esta conexión puente, se sustituyen las resistencias Ri, R 2 y R 3 que forman una configuración delta por su configuración equivalente estrella, o las resistencias R¡ R 3 y R4 que forman una configuración estrella por su configuración equivalente delta. E n am bos casos se consigue trans form ar el conjunto en una asociación m ixta de cálculo sencillo. O tro método consiste en aplicar una fem (E) a la asociación y obtener su resisten cia equivalente com o relación de dicha fem y la corriente total dem andada (E/I).
i - i , —i2- i 3 = 0 •
L a prim era ley de K irchoff, es una conse cuencia de la aplicación del principio de conservación d é la carga eléctrica, así, la carga que ingresa al nudo "O ", es igual, a la carga que sale de dicho nudo.
b) S e g un d a ley de Kirchoff. En cualquier m alía cerrada elegida arb¡ trariam ente de un circuito eléctrico bifur cado, la sum a "alg eb raica" de los pro ductos de las intensidades de las corrien tes " ik " p o r las resistencias " R k " de las partes correspondientes de esta malla, es igual, a la sum a algebraica de las f.e.m ( 8 k) aplicadas a la misma.
12. L A S L E Y E S D E K IR C H O F F a) Prim era ley de Kirchoff
N
R,
• R3 •
L a sum a "algebraica" de las intensida des de corriente eléctrica «que ingresan y salen de un nudo de un circuito, es igual, a cero, esto es: Z (± )ik =o
k=l siendo, "N " el núm ero de conductores que convergen en el nudo "O", " ik " la k
•
-ésim a intensidad de corriente en dicho nudo. P or convención, se consideran positivas las intensidades de corrientes que ingre san al nudo, y negativas, las que salen del m ism o, por ejem plo, para las corrien te que convergen al nudo O, tenemos:
M
¿ ( ± ) . ik .Rk = ¿ (± )-e k k=l k=i
•
siendo, "N" el núm ero de partes en que la m alla se divide en los nudos. Para aplicar la segunda ley de K irchoff se elige arbitrariam ente un sentido de re corrido de la m alla (en el sentido horario ó antihorario). Las corrientes que están en el sentido del recorrido son positivas, y las de sentido opuesto negativas. Las f.e.m (ek) de las fuentes de energía eléc trica se consideran positivas si crean co rrientes dirigidas en el m ism o sentido que el del recorrido. L a segunda ley de K irchoff, es una con secuencia, de la aplicación del principio de conservación de la energía.
13. E F E C T O D E J O U L E -L E N Z a) Efecto Jo u le -L e n z 1) C o ncepto E ste efecto consiste en la elevación de la tem peratura (calentam iento) de un con ductor por el cual circula corriente eléc
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F í s i c a + +
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trica, el calor que produce el calenta m iento* proviene de parte de la energía cinética pérdida por los electrones en los chgques que experim entan con las mole culas de la red cristalina del material. 2) C a usa s del efecto Los sólidos tienen generalm ente una es tructura cristalina, ocupando los átomos o m oléculas los vértices de las celdas u nitarias, y a veces tam bién el centro de la celda o de sus caras. Cuando el cristal es sometido a una diferencia de poten cial, los electrones son impulsados por el cam po eléctrico a través del sólido de biendo en su recorrido atravesar la intrin cada red de átomos que lo forma. En su camino, los electrones chocan con estos átomos perdiendo parte de su energía ci nética, que es cedida en form a de calor. 3) C a lo r disipado en una resistencia
0 r& rLa cantidad de calor (Q) en calorías des prendida por la corriente en la resisten cia (R) es proporcional a la intensidad de la corriente (i), a la tensión (V) y al tiem po (t) de paso de la corriente, esto es: ,2
Q = 0,24 i 2 R t = 0,24 V t R 4) A plicaciones E n este efecto se basa el fúncionam ien to de diferentes electrodom ésticos com o los hornos, las tostadoras y las calefac
ciones eléctricas, y algunos aparatos em pleados industrialm ente com o soldado ras, etc., en los que el efecto útil busca do es, precisam ente, el calor que despren de el conductor por el paso de la corrien te. Sin em bargo, en la mayoría de las aplica ciones es un efecto indeseado y la razón por la que los aparatos eléctricos y elec trónicos necesitan un ventilador que di sipe el calor generado y evite el calenta m iento excesivo de los diferentes dispo sitivos. 5) El teorem a de su pe rpo sició n de tensiones E ste teorem a establece que:
¡C uidado! Sabe U d., que valor de intensidad de co rriente es peligroso para el hom bre, aquí le dam os algunos datos: 1=2,2 A inten sidad m ortal, 1=0,22 A Intensidad peli grosa, 1=0,0088 A intensidad tolerable.
b) Método de Maxwell E ste m étodo consiste en asignar arbitra riam ente el sentido de circulación de la intensidad de corriente eléctrica en cada una de las m allas, que form an el circuito en estudio.
Corriente eléctrica
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Ri
i
0
S R iC ^
(I)
pequeña. R epresentación: En los circuitos eléctricos se representa con una G.
~[
(!I)
" R3 Así, para el circuito mostrado, asigna m os arbitrariam ente el sentido horario para las corriente i¡, i2 que circulan por las m allas I y II, luego aplicando la se gunda ley de K irchoff a las m alla I y II, tenemos: En la m alla I, la corriente "ij" pasa por las resistencias R | y r 1; m ientras que por la resistencia R 2 pasa la corriente neta (ij - ¡2), de m odo que: ii.( r i+ R i) + ( i i - i 2 ).R 2
= £ 1
i,.(r 1 + R 1 + R 2 ) - i 2 .R 2 = s {
(1)
En la m alla II, la corriente " i 2" pasa por las resistencias r 2 y R 3 , m ientras que por la resistencia R2, pasa la corriente neta (i 2 - ii), de modo que: (i 2 - i 1 ).R 2 + i 2 .(r2 + R 3 ) = : - e 2 —Í¡-R 2 1 "
^ -2
C onexión: Se conecta abriendo el circuito, es decir, debe estar en serie con los otros dispositi vos eléctricos. El galvanóm etro no pre senta bornes positivo y negativo, es de cir, no tiene polaridad.
^ 5 ) = —^ 2
d ) Voltím etro Es un dispositivo que perm ite m edir la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de un circuito eléctrico, po see una resistencia interna m uy grande. R epresentación: En los circuitos eléctricos se representa con u n a V.
L a solución de las ecs. (1) y (2), nos con duce a la obtención de los valores de las corrientes eléctricas. Si en la solución de las ecs. la corriente obtenida sale negativo, significa que el sentido verdadero de la circulación de d | cha corriente en la m alla, es opuesta al considerado inicialm ente. C) El galvanóm etro. Es un dispositivo que perm ite m edir o detectar intensidades de corriente y dife rencias de potenciales de corrientes con tinuas, posee una resistencia interna muy
C onexión: Se conecta en paralelo con los otros dis positivos eléctricos del circuito. Presenta bornes positivo y negativo, su conexión depende de la disposición d e los bornes de los generadores de f.e.m.
1 3 8 0
F í s ¡ c a + +
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a) 80
PROBLEM AS 01. Por un alam bre de cobre de densidad p= 9,0 g/cm 3 , que tiene un electrón de con ducción por átom o y diám etro de su sec ción transversal D=0,1 cm, pasa una co rriente eléctrica de intensidad i=50A. Ha llar la velocidad m edia (en m m /s) de los electrones de conducción. (A=63,54, e = -1 ,6 0 2 .Í 0 '19C) a) 4,60
b) 4,62 d) 4,66
c) 4,64
b) 8,3 % c) 8,5 % d) 8,7 % e) 8,9 %
03. U n haz estacionario de partículas alfa (q= 2 e) que viaja con energía cinética constante de Ec~20 M eV transporta una corriente de intensidad i=0,25.10'6 A. Si el haz se lanza perpendicularm ente a una superficie plana,¿C uántas partículas alfa inciden sobre la superficie durante el tiem po t=3,0 s?
c) 84 e)
86
88
05. L a densidad del alum inio es de p = 2,7 g/cm 3 y su m asa atóm ica de M =27 g/ m ol; cada átom o tiene tres electrones de conducción. Por un alam bre de aluminio de área transversal S=1 mm 2 de fluye u na corriente de intensidad i=10 ' 3 A, ha llar la velocidad m édia (en pcm /s) de los electrones. ( e --l,6 0 2 .1 0 ‘19 C, p.=10'6, N a= ó,023.1023) a) 3,41
b) 3,43 d) 3,47
e) 4,68
02. U na unidad calefactor de potencia P= 500 W, se diseña para que opere con una línea de V = 1 15 voltios. ¿C uál es el por centaje en que decae el calor cedido cuando el voltaje de la línea dism inuye a V=110 voltios? Supóngase que no ocu rren cam bios en la resistencia. a) 8 ,1 %
b) 82 d)
c) 3,45 e) 3,49
06. U n calentador de inm ersión de 350 W o pera en una línea de 120 V, y se utiliza para elevar la tem peratura de 250 cm 3 de agua desde 27° C hasta el punto de ebu Ilición. ¿E n qué tiem po (en m in) hierve esta cantidad de agua? ( p = 1 0 0 0 kg/m 3, ce=4,186 Jkg.°C) a) 3,62 d) 3,68
b) 3,64 c) 3,66 e) 3,70
07. Todas la resistencias son iguales a R= 30 O , h allar la resistencia equivalente entre a y b para este sistem a de resisten cias.
a) 2 ,1 .10 12 b) 2,3.10 12 c )2 ,5 .1 0 12 d) 2 ,7 .10 12 e) 2,9.10 12 04. Un haz estacionario de partículas alfa (q=2e, e = l,6 .1 0 ' 19 C) que viaja con ener gía cinética constante de E c=20 M eV transporta u na corriente de intensidad ¡= 0,25.10'6 A. H allar el núm ero de partícu las alfa, en un instante dado, en £ = 2 0 cm de longitud del haz.
a) 10 Q
b) 12 Q c) 14 Q d) 16 Q e) 18 Q
08. La resistencia de un alam bre de hierro es 5,9 veces la de un alam bre de cobre de las m ism as dim ensiones,¿C uál debe ser el diám etro (en cm) de un alam bre de
Corriente eléctrica
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hierro para que tenga la m ism a resisten cia que un alam bre de cobre de 0 , 1 2 cm de diám etro si am bos tienen la m ism a longitud? a) 0,291
b) 0,293 c) 0,295 d) 0,297 e) 0,299
09. ¿A qué tem peratura se duplicaría la resis tencia de un conductor de cobre con res pecto a su valor a 0o C, la dilatación li neal del cobre es, a = 39 0 .10'5 °C '1? a) 256,0 °C b) 256,2 °C c) 256,4 °C e) 256,6 °C e) 256,8 °C 10. En cierta región del espacio hay 2.10 8 partículas doblem ente ionizadas (carga positiva) por centím etro cúbico que se m ueven hacía el norte con rapidez de v= 10 7 cm /s. H allar la m agnitud de la den sidad de co m en te J . a) 6,0 A/m 2 b) 6,2 A/m 2 c) 6,4 A /m 2 d) 6 , 6 A /m 2 e) 6 , 8 A/m 2 11. En el circuito eléctrico todas las resisten \g ia s son iguales a R=16 Q. H allar la re sistencia equivalente entre M y N . R
intensidad de corriente eléctrica (en mA) total a través del conductor. (m = 1 0 '3) a) 7,51
b) 7,53 c) 7,55 c) 7,57 t e) 7,59
13. D os pilas A y B de f.e.m ei =1,53 V y e2 =1,45 V y resistencias internas ^ = 0,05 Cl y r2=0,15 Q están conectadas entre sí, positivo a positivo^ y negativo a negad vo. H allar la rapidez con que disipa ca lor la pila B. a) 12 m W b) 18 m W c) 24 mW c) 36 m W e) 48 mW 14. L a densidad de corriente, viene dado pon J = 100cos2yk, H allar la corriente total que atraviesa el plano x = 0 definido pór -tc/4 ti/4< y < 7i / 4 m y -0,01< z <0,01 m. a) 1,0 A
b) 2,0 A c ) 3 ,0 A d) 4,0 A e) 5,0 A
15. Se tiene un alam bre de alum inio AW G # 20 (diám etro 1,6256 m m ) y resistencia R=16,7 Q p o r cada 305 m de longitud. H allar la conductividad (en M S/m ) de es te tipo de alam bre. (M =106) a) 5,78
b) 8,78 d) 7,78
d) 16 O
e) 18 O
12. En un conductor cilindrico com pacto de radio R=2 mm, la densidad de corriente eléctrica varía según la distancia radial, es decir: J(r)=10 3 e'400T (A/m 2). H allar la
c) 67,8 e) 4,78
El conductor de form a cúbica de lados a = l mm, tiene una conductividad que va ría linealm ente a lo largo del eje X, así, en x=0, <7 j = 2 ,2 .1 0 7 Q - 1 .m - 1 y en x = l mm,
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F í s i c a + +
* * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
sistencia (en
ji O )
a) 22,0
de este conductor.
b) 22,2 d)
2 2 ,6
c) 22,4 e)
2 2 ,8
21. L a corriente eléctrica que pasa p o r la re sistencia R es el 25 % de la total, la resis tencia interna del am perím etro es r = 0,06 £2. H allar el valor de R.
17. Se requiere transm itir cierta cantidad de energía desde una estación generadora hasta un punto distante. H allar la reía ción entre las pérdidas térm icas por efec to Joule para voltajes de 40 000 V y 5000 V, suponiendo que se utiliza la mis m a línea en am bos casos. a) 16 veces b) 32 veces c) 24 veces d) 48 veces e) 64 veces 18. Por un alam bre conductor rectilíneo cir cula una corriente de intensidad i=5 A. H allar la cantidad de carga eléctrica que pasa por dicho alam bre en t=5 min. a) 1,1 kC b) 1,2 kC c ) l,3 k C d) 1,4 kC e) 1,5 kC 19. H allar la potencia eléctrica disipada por el circuito eléctrico. iü
in
’
ir
i M
—m Q a) 0 ,0 1 Q b) 0,02 O c) 0,03 O d) 0,04 O e) 0,05 O 22. H allar la resistencia eléctrica de un alam bre de plom o de longitud i = 1 0 0 m, á rea de la sección transversal A =44 m m 2 y resistividad eléctrica p = 2,2.10‘ 7 O.m. a) 0,5 O
b) 1,0 O c) 1,5 O d) 2,0 O e) 2,5 O
23. ¿C uántas espiras de hilo de nicrom io de 1 m m de diám etro y resistividad p = 1 0 ' 6 Q m se debe arrolar sobre un cilindro de porcelana de 2,5 cm de radio para obte ner un hornillo de 40 Q de resistencia?
|
1
Q
a)
b ) 150
10 0
d) 250
a) 100 W b) 150 W c)2 0 0 W d) 250 W e) 300 W 20. P or un alam bre conductor rectilíneo cir cula una corriente eléctrica de intensidad i=0,4 A. H allar el núm ero de electrones que pasan por la sección transversal del alam bre en un tiem po de t=80 s. (e = 1,6.10' 19 C) a) 2 .1 0 i9
R m ___
b ) 2.1020 c) 4 .1 0 19 d ) 4.1020 e) 8.1019
c)
20 0
e) 300
24. Sobre un hornillo de p otencia 0,5 kW hay una tetera con 1 litro de agua a la tem peratura de 16 °C. El agua hierve a los 20 m in de conectarse al hornillo. Ha llar la cantidad de calor perdido. ( ce= l cal/g.°C , 1 cal = 4,186 J , k=10 3 , p = 10 0 0
kg/m 3)
a) 240 k j b) 242 kJ c) 244 kJ d) 246 kJ e) 248 kJ 25. L a resistencia d e una bobina de cobre a la tem peratura d e 14 °C es de 1 0 Q , des pués d e pasar la corriente eléctrica su re
Corriente eléctrica
1383
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sistencia es de 1 2 ,2 0 , el coeficiente de resistividad de tem peratura del cobre es de 4,15.10° ° C '. H allar la tem peratura alcanzada por la bobina. a) 61 °C
b) 63 °C c) 65 °C d) 67 °C e) 69 °C
26. Para calentar 4,5 litros de agua desde la tem peratura de 25 °C hasta la de ebulli ción, un calentador consum e 0,5 kW h de energía eléctrica. H allar el rendim iento del calentador.
caída de potencial en sus bornes, si la re sistencia de la pila es 1 0 veces m enor que la resistencia externa? a) 9 1 %
b ) 93 % c) 95 % d) 97 % e) 99 %
31. En la F ig.06, la resistencia de la tetera eléctrica de rendim iento 85 % es de 20 O . ¿En qué tiempo, hervirá 2,2 litros de agua cuya tem peratura inicial es de 16 °C, después de haberse conectado la te tera a un voltaje de 110 V?
a) 78,1 % b) 78,3 % c) 78,5 % d) 78,7 % e) 78,9 % 27. U n calentador de agua está form ada por cinco resistencias de 350 í) cada una, co nectadas en paralelo. H allar la resisten cia del calentador. a) 5 0 0
b) 55 O c )6 0 O d) 65 O e) 70 O
28. U n tetera eléctrica tiene dos resistencias "R j" y "R 2", al conectar la prim era re sistencia, el agua de la tetera hierve en 15 min, al conectar el segundo, el agua hierve en 30 min. ¿En qué tiem po herví rá el agua de la tetera si se co nectan am bas resistencias en ¿ferie?
p
tm 2 R
a) 30 m in b) 15 m in c) 25 min d) 45 m in e) 20 min 32. H allar la resistencia (en m fi) de un alam bre de hierro de resistividad p = 8,7.10 ’ 8 Q .m , densidad de m asa volum étrica o = 7,9 .10 3 kg/m 3, diám etro de la sección transversal D=1 cm, y m asa m = l kg. (g= 1 0 m /s2) a) 1,781
a) 30 m in b) 15 m in c) 25 min d) 45 m in e) 20 min 29. El alam bre de una bobina es de cobre de resistividad p =1,7.1 0 ' 8 0 .m , densidad de m asa a = 8 ,6 . 1 0 3 kg/m 3 resistencia R=10,8 O y peso W = 34,l N .¿C uántos m etros de alam bre están arrollados en la bobina? (g = 1 0 m /s2) b) 502 m c) 504 m d) 506 m e) 508 m
30. ¿Q ué parte de la f.e.m de una p ila crea la
b)
d) 1,787
1,783 c) 1,785 e) 1,789
33. Por una resistencia externa de R = l,l Q , conectada en serie con una p ila de fuer za electro-m otriz s = 6 V, recorre una co rriente eléctrica de intensidad i=3 A. H a llar la caída de potencial en el interior de la pila. a) 2,1 V
a) 500 m
P
b)
d) 2,7 V
2,3 V c ) 2 ,5 V e) 2,9 V
34. U na pila ideal de fuerza electrom otriz 8 = 6 V proporciona una intensidad de
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F í s ¡ c a + +
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corriente m áxim a de i=3 A. H allar la can tidad de calor m áxim a disipada po r una resistencia exterior durante t~ I min. a) 1,02 kJ b) 1,04 k j c ) l,0 6 k J d) 1,08 kJ e) 1,10 kJ 35. Se tiene dos conductores cilindricos, u no de cobre y el otro de alum inio de la m ism a longitud y resistencia, resistivida des pCu= l,7 .lO ' 8 Q .m , p A¡ = 2,53.10 "8 Í2 .m , y densidades d e m asa volum étrica c C u = 8 , 6 . 1 0 3 kg/m 3, a Ai = 2 , 6 . 1 0 3 kg/ m 3, respectivam ente. ¿C uántas veces más pesado es el conductor de cobre que el de alum inio? a) 2,20
b) 2,22 d) 2,26 .
c) 2,24 e) 2,28
36. U na pila de f.e.m e =2 V y resistencia in tem a r= 0,4 Q, un reóstato y un amperí metro se conectan en serie. El amperi m etro indica una intensidad de corriente de i= l A. H allar el rendim iento de la pi la. a) 6 0 % b) 65 % c) 70 % d) 75 % e) 80 % 37. En un laboratorio ubicad 9 a una distan cia de 1 0 0 m del generador de corriente, se conecta un aparato de calefacción que consum e 10 A.¿ En cuánto dism inuye la tensión en los bornes de la lám para eléctrica que arde en este laboratorio ?. El área de la sección transversal de los conductores de cobre es de 5 m m 2 y su resistividad 1,7.10 ’ 8 Qm. a) 3,4 V
b) d) 2,4 V
6 ,8
V c ) l,7 V e) 4,8 V
38. La resistencia del hilo de tungsteno (vo¡ framio) de una lám para eléctrica a la tem peratura de 20° C es igual a 35, 8 Q . ¿C uál será la tem peratura deJ hilo de la
lám para, sí al conectarla en un circuito de 120 V de tensión por el hilo circula una corriente de 0,33 A? El coeficiente de resistividad de tem peratura del tungs teño es 4 ,6 .1 0 3 °C. a) 2 190 °C b) 2 192 °C c ) 2 194°C d) 2 196 °C e) 2 198 °C 39. ¿C om o hay que conectar dos pilas igua les de 2 V de f.e.m y resistencias inter ñas r=0,3 O , a una resistencia exterior R= 0,2 Q , para obtener la m ayor intensi dad de corriente por la resistencia "R " ? H allar la intensidad de esta corriente. ( P = paralelo , S = s e rie ) a) P , 5,5 A b) S , 5,5 A c ) P ,5 ,0 A d) S , 5,0 A e) P , 6,0 A 40. L a intensidad de corriente eléctrica "i" de un conductor varía con el tiem po "t” según la ecuación ¡(t)=4 + 2.t, donde "i" se expresa en am perios y "t" en según dos. ¿Q ué cantidad de carga p asa por la sección transversal del conductor duran te el intervalo de tiem po 2 s < t < 6 s? a) 12 C
b) 24 C d) 48 C
c) 36 C e) 60 C
41. De una batería de f.e.m e =500 V se transm ite energía a una distancia de 2,5 km . L a potencia consum ida es de P=100 kW . H allar la pérdida m ínim a de poten cia en la red, si el diám etro de los alam bres de cobre de resistividad p = 1,7.10 ' 8 fi.m , es D -1 ,5 cm. a) 35 kW b) 25 kW c)1 0 k W d) 45 kW e) 50 kW 42. U n reóstato de alam bre de hierro de resis tencia 120 Q a 0 °C y resistividad de tem peratura 6.10 '3 °C '1, un m iliam perím e tro de resistencia 2 0 Q y un generador
Corriente eléctrica 1385 ********************************************************************************************** de corriente de resistencia despreciable están conectados en serie. El miliam perí m etro indica una corriente de 22 mA. ¿Q ué indicará el m iliam perím etro, si el reóstato se calienta a 50 °C? a) 17,1 m A b) 17,3 mA c )1 7 ,5 m A d) 17,7 mA e )1 7 ,9 m A 43. D e un generador de 110 V de f.e.m se transm ite energía a una distancia de 2,5 km. L a potencia consum ida es de 10 kW y la potencia perdida en los alam bres no es m ayor del 1 %. H allar el área (en cm2 ) de la sección de los alam bres de cobre de resistividad p = 1,7.10‘8 Q .m . a) 70,9
b) 71,9 d) 73,9
c) 72,9 e) 74,9
44. Se tiene un riel de acero de longitud i = 6 km , área de sección transversal S = 30 cm 2 y resistividad p = 1.10'7 Q .m . Ha llar la resistencia (en m Q ) eléctrica de éste riel de acero. a) 100
b) 150 d) 250
c) 200 e) 300
45. Un alambre de longitud "i" y sección transversal circular» de radio "r" tiene u na resistencia "R ". H allar la nueva resis tencia si se triplica la longitud del alam bre y se dism inuye el radio a r/3. a) 7 R
b) 14 R c) 21 R d) 27 R e) 8 R
46. P or un alam bre de nicrom o de longitud f = l ,0 m, área de sección transversal S=1,0 m m 2 circula una corriente de inten sidad i = 4 A, cuando entre sus extrem os se aplica una diferencia de potencial de V =2,0 voltios. H allar su conductividad eléctrica (en Q _1.m_ l)
a) 1,0.10° b) 2,0.10° c) 3,0.10° d) 4,0.106 e) 5 ,0 .106 47. U n alam bre de alum inio de longitud y sección transversal circular de radio "r" tiene una resistencia R = 4 0 Q . H allar la resistencia del alam bre si se duplican su longitud y radio. a) 10 Q
b) 20 Q c) 30 Q d) 40 Q e) 5 0 Í 1
48. U n tostador eléctrico opera en una línea de 220 V, con una intensidad de corrien te de 5 A. H allar la resistencia del ele m entó calefactor y la energía consum ida durante un intervalo de tiem po de 20 s de operación. a) 44 D ,2 ,2 .1 0 4 J b) 42 Q , 2,0.104 J c) 46 Q , 2 ,4 .104 J d) 40 Q , 2,8.104 J e) 48 Q ,2 ,6 .1 0 4 J 49. U n tubo de longitud l = 1 m, y área de sección transversal A =2 cm 2 contiene una solución de densidad iónica p = 1016 iones/cm 3 som etida a la diferencia de po tencial de 2 V circulando una corriente de i= l A por ella. H allar la velocidad me dia (en m/s) de los iones. a) 1,125
b) 2,125 c) 3,125 d) 4,125 e) 5,125
50. P or un alam bre de cobre de resistividad p = 1,7.10'8 Q .m , longitud í = 5 m, área de sección transversal A=0,1 cm 2 circula una corriente de intensidad i =2 A. Ha llar la diferencia de potencial entre los extrem os del alam bre. (m = 10'3) a) 11 mV b) 13 mV c)1 5 m V d) 17 mV e) 19 mV 51. H alle el núm ero de resistencias de R= 160 Q que son necesarias conectar en paralelo para que circule una corriente
1 3 8 6
F i s i c a + +
********************************************************************************************** eléctrica de intensidad i =5 A por una lí nea de V =100 voltios. a) 2
b) 4 d) 8
c) 6 e) 10
52. Se tiene una barra de alum inio de longi tud l = l m y sección cuadrada de lado a =5 mm. ¿Q ué diám etro tiene la sección transversal de una barra de cobre de 1 m de longitud e igual resistencia que la ba rra de alum inio? ( p ^ = 2 ,8.10° Q .m , pCu = 1,7.10 '8 í l m ) a) 4,0 m m b) 4,2 m m c) 4,4 mm d) 4,6 mm e) 4,8 mm 53. U na bobina se conecta a una fuente de tensión V =20 voltios, desprendiendo Q/t =800 cal/s de calor. H allar la resistencia de la bobina. (I cal=4,186 J) a) 0,12 Q b) 0,14 Q c ) 0 ,1 6 Q d) 0,18 0 e) 0,20 O 54. H allar la intensidad de la corriente eléc trica en un tubo de descarga de hidróge no en el cual pasa 5,0 .1019 electrones en cada segundo a través de su sección transversal. a) 2 A
b )4 A d) 8 A
" e) 10 A
c) 6 A
te de 0,25.10’ A. H allar la diferencia de potencial necesaria para acelerar a cada partícula alfa desde el reposo hasta la e nergía de 20 M eV. a) 10 M V b )2 0 M V c) 30 M V d) 40 M V e) 50 M V 57. H allar la resistencia de un alam bre de co bre (Cu), de resistividad p = 1,7.10' 8 Q .m , longitud / = 5 m y radio de su sec ción transversal circular R = 0,1 cm. (m= 10° ) a)21mQ b )2 3 m O c)2 5 m Q d) 27 m £ l e) 29 m Q 58. L a banda de un generador electrostático tiene ancho a=50 cm, longitud y. viaja a v=30 m/s. L a banda transportad carga a la esfera con una corriente de in tensidad i = 1,0.1o*4 A. H allar la densi dad de carga superficial (en pC /m 2) en la banda, ( p = 10° ) a) 6,61
b) 6,63 c)6 ,6 5 d) 6,67 e) 6,69
59. En el circuito eléctrico la llave pasa de la posición "a” a la posición "b" ¿En cuánto cam bia la lectura en el am perím e tro ideal "A" ?
55. Por un alam bre de cobre (Cu) de densi dad p = 9 ,0 g/cm 3, diám etro de sección transversal D = 0,1 cm, y un electrón de conducción por átom o, pasa una corrien te de intensidad i = 50 A. H allar la densi dad de corriente (en M A /m 2, M =106) a) 63,1
b) 63,3 d) 63,7
c)6 3 ,5 e) 63,9
56. Un haz estacionario de partículas alfa (q = 2e) que viaja con energía cinética cons tante de 20 M eV transporta una corrien
a) 0,1 A b) 0,3 A c) 0,5 A d) 0,7 A e) 0,9 A 60. En cada arista del tetraedro se ubica una resistencia R =120 Q , hallar la diferen cia de potencial entre los vértices A, B
Corriente eléctrica del tetraedro, sabiendo que la intensidad de corriente que ingresa es i=0,2 A.
1387
a) 1 A
b) 2 A e) 4 A
C) 3 A e) 5 A
63. E n el circuito eléctrico, hallar la corrien te que p asa p o r lq ram a "bd". 3n 10V £
20 í
a) 10 V
t
2V 20 J M ___
m m
c) 12 V
b) 11 V d) 13 V
£
e) 14 V
m ---------60
61. En el circuito eléctrico, R¡=12 Q, R2=6 O , R3=4 O , R4=22 O , fU -5 Q , R¿=20 O, R 7=8 Q , la batería está form ada por tres pilas de resistencias internas r ^ l / 3 O , ca da una de ellas. H allar la corriente eléc trica en la batería. 3V 3V 3V 1/3 0
a) 0,62 A .
b) 0,64 A c) 0,66 A 0,68 A e) 0,70 A
64. L a diferencia de potencial entre los ter m ínales de una batería es de 8,5 V cuan do por ella pasa una corriente de 3 A des de el borne negativo al positivo. Cuando la corriente es de 2 A en sentido contra rio, la diferencia de potencial se hace i gual a 11 V. H allar la f.e.m (e) de la batg ría. a) 10 V d) 16 V
c) 3 A
b) 2 A
a) 1 A d) 4 A
e) 5 A
b) 12 V c) 14 V e) 18 V
65. En el circuito eléctrico mostrado, hallar la diferencia de potencial entre los pun tos "a" y "b".
62. E n el circuito eléctrico, hallar la corrien te que pasa p o r el conductor "ab".
a) 1 V
b) 2 V d) 4 V
c) 3 V e) 5 V
66. U na pila se conecta a una resistencia de
1 3 8 8
F i s i c a + +
********************************************************************************************** 4 Í2 luego se reem plaza esta resistencia por una de 9 0 disipando am bas resisten cia la m ism a potencia. H allar la resisten cia interna de la pila. a) 2 0
b) 4 0 d) 8 0
c)
60
e) 1 0 0
67. En el circuito eléctrico, s=5 V, r=2 O, R,=5 O y R 2 = 4 O. Si R A- 0,1 O. H allar el error porcentual com etido al m edir la corriente, sin considerar la resistencia in tem a. Suponer que el voltím etro no esta conectado.
E n el circuito eléctrico, hallar la diferen cia de potencial entre los puntos "a" y "b", sabiendo que: £j=6 V, e2=5 V, e3 = 4 V, R¡ =100 Q, R2=50 Q. > a) 3 V b) -3 V c) 9 V d) -9V e) 6 V 70. E n el circuito eléctrico, hallar la diferen cia de potencial eñtre los puntos c y d. Sabiendo que: Si=4 V, e2 =1 V , R] = R 2 = 10 f í y R 3=5 Q. ei E2
d
a) 1,5 V b) -1,5 V d) -3,0 V e) 2,5 V a) 0, 1 1 % b) 0,31 % c) 0,51 % d) 0,71 % e) 0,91 % 68. Dos alam bres A y B, de 40 m de longi tud y 0,10 m2 de sección transversal, se conectan en serie. Entre los extrem os del alam bre com puesto se aplica un poten cial de 60 V. La$ resisteñcias de los a lam bres son de 40 Q y 20 Q respectiva m ente. H allar la m agnitud de los campos eléctricos en los alam bres A y B.
c) 3,0 V
71. En el sistem a dq resistencias, hallar la di ferencia de potencial eléctrica entre los puntos "a" y "b", todas las resistencias son iguales a R = 4 0 0 Q , y la intensidad de corriente que ingresa es i= 0 ,l A
R
a) 1/2 V/m, 1 V /m b) 1 V/m, 2 V/m c) 1 V/m, 1/2 V /m d) 2 V/m, 1 V/m e) 2 V/m, 2 V/m a) 20 V
b) 22 V d) 26 V
wr Ri
c) 24 V e) 28 V
72. En el sistem a de resistencias, hallar la di ferencia de potencial entre a y b, todas las resistencias son iguales a R = 1 5 0 Q , y la intensidad de corriente i=50 mA.
Corriente eléctrica I3gg ********************************************************************************************** indica una corriente de 3 A y R j=4 Q , R 2=2 Q , R3=4 Cl. H allar las intensida des de corriente eléctrica que pasan por las resistencias R2 y R3. i R3 R] i= 3 A o _ W A _
Rz
a)l e) 5 V
d) 4 V
73. En el circuito eléctrico, hallar la corrien te eléctrica que pasa por las resistencias R 2 y R 3 (Ri=5 Q, R2=12 Q , R3=6 Q , V =27 voltios) R2
a) 1 A, 2 A b) 2 A, 1 A c) 2 A, 3 A d) 3 A, 2 A e) 1 A, 3 A 74. L a corriente eléctrica qu e'p asa por la pi la de fuerza electrom otriz 1,6 V y resis tencia interna 0,5 Q es 2,4 A. H allar el rendim iento de la pila.
+ e, r
a) 2 0 %
7 5 .
b) 25 % c) 30 % d) 35 % e) 40 %
En el circuito eléctrico el am perím etro
a) 2,0 A, 1,0 A b) 1,0 A, 2,0 A c) 1,5 A, 1,5 A d) 2,5 A, 0,5 A e) 0,5 A, 2,5A 76. P or la p ila de fuerza electrom otriz 2 V y resistencia interna 0,5 Q pasa una co rriente eléctrica de intensidad 0,25 A. H allar la caída de potencial en el interior de la pila y el valor de la resistencia ex terior.
a) 0,125 V ; 7,5 O b) 0,112 V; 2,5 Q c) 0,145 V ; 4,5 O d) 0,132 V; 3,5 O e) 0,165 V; 6,5 Q 77. Considerando muy grande la resistencia del voltím etro, se halla la resistencia "R" del reóstato según la lectura del am perím etro y el voltím etro. H allar el error relativo de la resistencia "R ", si la resis tencia real del voltím etro es Rv=1000 O y R=100 Q .
1390 Física++ ********************************************************************************************** a) l %
b) 5 % d) 1 5 %
en el am perím etro ideal.
c) 10 % e) 2 0 %
78. H allar la resistencia interna de un genera dor, si la potencia desprendida en el cir cuito exterior es la m ism a para dos valo res de la resistencia externa Ri=5 Q y R2=0,2 Q , conectados por separado al ge nerador. a) 1 O
b) 2 Q d) 4 n
80V
a) 1 A
c) 3 Q
b) 2 A 4 A e) 5 A
d)
e) 5 Q
79. Se tiene dos pilas de f.e.m Sj = s 2 = 2 V y resistencia internas ri= I Q , r2—1,5 Q y una resistencia externa R = l,4 Q . Ha llar la intensidad de la corriente en las pi las "1" y "2". Ei, n 4 -
82.
L a lám para funciona con un voltaje de V =120 voltios y una p otencia de P=40 W, ¿Q ué resistencia "R" hay que conec tar en serie con la lám para, para que su funcionam iento sea norm al cuando la red tiene un voltaje de 220 V?
± 0 .
M
100V
120V w w --------R
a) 0,6 A, 0,4 A b) 0,4 A, 0,6 A c) 0,3 A, 0,7 A d) 0,7 A, 0,3 A e) 0,6 A, 1 A
c) 3 A
a) 200 Q b) 250 Q c) 300 Q d) 350 Q e) 400 O
83. Al galvanóm etro de resistencia 36 Q se le coloca en paralelo una resistencia de 4 Q . H allar que parte de la corriente total 80. La pila se co n e c ta d o r separado a una re atraviesa el aparato de m edición. sistencia R ¡= 2 Q y luego a otra resisten R cia R2=0,5 Q , disipándose en am bos ca A*** sos la potencia de 2,4 W. H allar la f.e.m de la pila y su resistencia interna. M
R2
0
a) 1/2
lR Ri '
a ) 3 ,4 V ,lf i b) 1,7 V , 1 Q c) 6,8 V , 2 Q d) 4,8 V , 3 O e) 2,4 V , 2 Q 8 1 .
En el circuito eléctrico, hallar la lectura
b) 1/5 d) 1/4
c) 1/10 e) 2/3
84. ¿A qué será igual la potencia disipada en un acum ulador d e 6 V, cuya resistencia interna es 0,02 Q al cortocircuitarse? a) 1500 W b) 1600 W c) 1 7 00W d) 1800 W e) 1900 W
Corriente eléctrica 1391 ********************************************************************************************** 85. El valor eficaz de la corriente que pasa 4
por la resistencia "R ” es ief=5 V2 A, y la f.e.m del generador: e = 2 0 se n (2 7 tf.t).
]Q _h Í _ _ mw— l 8V L- W + l h“
H allar el valor de la resistencia.
30
( J
a) 1 a
b) 2 Q d) 4 Q
a) -4 V , 20 W b) -4 V , 40 W c) 4 V , 2 0 W d) 2 V , 10 W e) 4 V , 10 W
ÉR
^
10V
c) 3 Q
89. En el circuito eléctrico, halle la lectura que indica el am perím etro ideal "A ".
e) 5 O
86. E n el circuito eléctrico, hallar la lectura del am perím etro ideal. 60
80
100
b) 2 A
a) 1 A d) 4 A
a) 11A
b) 22 A d) 44 A
c) 33 A e) 55 A
87. En el circuito eléctrico, el valor de cada resistencia es R=10 Q . H allar la poten cia disipada en el circuito eléctrico.
c) 3 A e) 5 A
90. U n voltím etro conectado a los bornes de una pila indica 10 V, cuando se unen di chos bornes por un alam bre de resisten cia 6 O, el voltím etro indica 8 V, supo niendo despreciable la corriente por el voltím etro. H allar la resistencia interna de la pila.
R *
a) 1,1 n
b) 1,2 Q c) 1,3 Q d) 1,4 Q e) 1,5 Q
91. En el circuito eléctrico el valor de cada resistencia es, R = 7 Q . H allar la resisten cia equivalente entre "a" y "b". R
MK— a) 10 W b) 20 W c) 30 W d) 40 W e) 50 W 88. E n el circuito eléctrico, hallar la diferen cia de potencial entre "a" y "b" y la po tencia consum ida.
1 |
iiii
ud
R
Ai**
R
1 -
Allí
'------ m —
-m -
t
I*
1392 Física++ ********************************************************************************************** a) 1 Q d) 15 f i
b) 5 f i e )2 0 n
c) 10 f i
cia disipada por la resistencia equivalen te. 7 ,5 0
92.
En el circuito eléctrico, hallar la diferen cia de potencial entre los puntos "a" y "b" (V a - V b ). 20 O
et = 1 ° V
-+\ F
r a
!8 n
a) 100 W b) 150 W c) 200 W d) 250 W e) 300 W
b i —m —— ------ 1 22 O
a) 52 V
93.
E2
96.
=60 V
b) -52 V c) 54 V d) -54 V e) 56 V
En el voltím etro V de resistencia 9000 f i indica 117 voltios y el am perím etro A de resistencia 0,015 f i indica 0,13 A. H allar el valor de la resistencia "R ".
En el circuito eléctrico, el valor de cada resistencia es R - 2 Q , hallar la resisten cia equivalente entre a y b. a
R
R
~wr ?R
R?
-® -í
R
a) 1.103 f i b) 2.103 f i c) 3.103 f i d )4 .1 0 3 f i e) 5.103 f i 97. En el circuito eléctrico las f.e.m de las pilas son iguales a ej = e2 =2 V, sus re R R D sistencias internas son r¡= l f i , r2= l,5 f i a) 1 n b) 2 Q c) 3 f i y la resistencia externa R -0 ,5 f i . H allar d) 4 f i , e) 5‘ f i la diferencia de potencial en los bornes 94. En el circuito eléctrico, Vab=12 voltios, de las pilas '1" y "2". i=2 A. H allar el valor de la resistencia s i= 2V 82=2V "R ". + i.+i.20 60 5------ MM-------1 — m— 1 i ¡R 0.5 0
a) 10 O d)
b) 12 f i c) 14 f i 16 f i e) 18 f i
95. En el circuito eléctrico, hallar la poten
a) 2/3 V , 0 V c) 3/2 V , 1 V e)
b) 0 V , 2/3 V d) 1 V , 3/2 V 2V ,2V
98. En el circuito eléctrico, la f.e.m de la ba tería es e= 2 0 V, conectado y desconecta
Corriente eléctrica
1393
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
do el reóstato R i, el am perím etro indica intensidades de corriente de 5 A y 8 A respectivam ente. H allar las resistencias R i, R2 de los reóstatos.
tencia interna del am perím etro es despre ciable. H allar la intensidad de corriente que indica el am perímetro.
H |l ^ :Ri
Rz a) 2,0 O , 3,0 Q b) 2,5 Q , 3,0 O c) 1,5 0 , 2 , 5 n d) 1,0 0 , 2 , 0 0 e) 3,0 O , 1,0 O 99.
C ada una de las resistencias puede disi p ar un m áxim o de potencia de 18 vatios. H allar la m áxim a potencia que puede di sipar el conjunto de resistencias.
a) 0,1 A
b) 0,2 A c ) 0 ,3 A d) 0,4 A e) 0,5 A
102. E n el circuito eléctrico, R 3= l 5 0 , y las intensidades de corriente que circulan por el am perím etro y la resistencia R 2 = 20 Q son: i=0,8 A y i2=0,3 A, respectiva mente. H allar el valor de la resistencia Ri Ri
JM .
JffvL R2
a)
18 W d)
b) 27 W c) 36 W 54 W e) 72 W
a) 30 Q d) 60 n
r3 b) 40 Q c) 50 Q e) 70 Q
100. En el circuito eléctrico m ostrado, hallar la resistencia equivalente entre a y b. 103La batería de f.e.m e= 120 V y el am perí m etro que indica una corriente de intensi dad i=2 A son de resistencia desprecia ble, adem ás R3= 2 0 Q , R4=25Q y la caí da de potencial en la resistencia R] es de 40 V. H allar el valor de la resistencia R 2. e =120 V
lO lL a tensión en los bornes de la pila es 2,1 V; Ri=5 O , R2=6 O , R3=3 O , la resis
13 9 4 Física++ **********************************************************************************************
a) 20 Q d) 50 Q
b) 30 Q e) 60 n
c) 40 Q
104La f.e.m de la batería de resistencia inter n a despreciable es, s =100 V , las resisten cias externas R ] = R 3 = 4 0 Q , R 2= 8 0 Q y R d = 3 4 Q . H allar el voltaje y la intensi dad de corriente en la resistencia R 2. e
b) 3 Q c)5 fi d) 7 Q e) 9 Q
a) 1 f i
107La batería de f.e.m e= 1 0 V y resistencia r = l f i , tiene un rendim iento d e rj = 0,8. H allar la intensidad de corriente que indi ca el am perím etro y el voltaje en la resis tencia R 2, si los voltajes en la resisten cias Ri y R4 son de A V y 2 V, respectiva mente. e =10 V r=lfi
c) 20 V ; 0,3 A d) 12 V ; 0,4 A e) 18 V; 0,3 A 105La f.e.m de la batería de resistencia des preciable es s= 1 0 0 V, R ^IO O Q , R2 = 200 Q y R 3=300 Q . H allar la tensión en el voltím etro de resistencia R=2000 Q. e
a) 10 V
b) 20 V d) 60 V
a) 8 A ; 4 V c) 2 A ; 2 V
b )1 0 A ;3 V d) 4 A ; 6 V e) 1 A ; 4 V
108E1 voltím etro de resistencia Rv=1000 Q indica un voltaje de 100 V, y los valores de las resistencia externas son: R¡ = R2 = R3= 200 Q. H allar la f.e.m de la batería, cuya resistencia interna se desprecia. 6
c) 40 V e) 80 V
106En el circuito eléctrico, hallar la resisten cia equivalente entre "a" y "b". 5a
a) 110 V b) 130 V c) 150 V d) 170 V e) 190 V 109En el circuito eléctrico, h allar la resisten cia equivalente entre "a" y "b". a) 3/2
Q
b) 5/2 n c) 7/2 n d) 5/3 D e) 7/3 O
Corriente eléctrica 1395 ********************************************************************************************** a) 1 O
b) 2 Q d) 4 O
c) 3 Q e) 5 f i
113En el circuito eléctrico, hallar la poten cia entregada (ó'consum ida) por la bate ría de fuerza electrom otriz e =5 V. llO E n la Fig.46, Ej = 1 V, e2 = 2 V, R3 = 1500 Q , Ra =500 Q y la caída de poten cial en la resistencia R2, es igual a 1 V. H allar la intensidad de corriente en el mi 1i am perím etro. (D esprecie las resisten cias internas de las pilas) a) -25 W
b) 25 W c) -50 W d) 50 W e) 100 W
114E1 condensador de capacidad C=5 pF a] m acena en cada placa cargas de valor q 80 pC. H allar la f.e.m en la fuente de e nergía. a) 1 mA
b) 2 mA c) 3 mA d) 4 m A e) 5 mA
U lD o s pilas de f.e.m Si=3 V y s 2= l,5 V y resistencias internas rj= 0,2 Q, r2=0,3 Q, se conectan en oposición, m ediante un a lam bre conductor de resistencia R - l O. H allar la intensidad de co m en te en el cir cuito. a) 1 A b) 2 A c) 3 A d) 4 A e) 5 A 112En el circuito eléctrico, hallar la resisten cia equivalente entre "a" y "b". 4CI
a) 12 V
b) 18 V c) 24 V d) 30 V e) 36 V
115En el circuito eléctrico, h allar la carga a cum ulada en cada placa del condensador de capacidad 0 6 pF.
4Q 60V t
a) 50 pC
b) 60 pC d) 80 pC
c) 70 pC
e) 90 pC
1396 Fís»ca++ **********************************************************************************************
* v m = 4,66.1(T3m /s
SOLUCIONARIO ,, . . , Solución: 01 . . . . • . • L a densidad de co m en te (J) en todo el alam bre es la m ism a (hom ogeneidad del m a terial), y es igual a:
c , .A „
Solución: 02 « L a resistencia del calefactor, y el calor , cedido son: ’ V 2 (115)2 R = p = ^
J = i-= A TtR2
R = 2 6 ,4 5 0
J= .
_5 0 _ _ „ (tc)(0,05. 10-2 )2
2
El núm ero de electrones de conducción por unidad de volum en es: Zp n = —- — A
W] = . r , . . ; 1 = 5 0 0 t J ’ Para, V = 1 10 voltios, el calor cedido es: (110) W2 = - - - - - t = 4 5 7 ,4 6 t J (26,45)
siendo, " N A " N ro. de A vogadro, "z" Nro. de electrones de conducción por átomo, "A ” Nro. de m asa atóm ica y p m asa por umdad de volum en.i.
^
.
. |5 0 0 t - 4 5 7 ,4 6 t 5 = !------------------------(100) 5001
n = 8,53.1022eleCtr° neS cm J n = 8,53.1028eIeCtr° neS m L uego, la velocidad m edia d e los electro-nes de conducción es: -
* 6 - 8,5 %
• ne
Solución: 03 La carga eléctrica de la partícula alfa, vie Po r' q = 2 e = (2)(1,6.10' 19 C) q = 3,2.10
ne
6 y j jq 7 Vm
,a var¡ac¡ón de| ca|o r ced¡do en % es. . ['W, - W2L 5 = j------------ (100) W, Wi 1
-n (6,023.1023)(1)(9) 63,54
(1)
V2 W =P.t = — t (2) R Para, V = 1 15 voltios, el calor cedido es:
J = 6,37.10 A /m 2
n
(5 )
(8,53.1028 )(1,602.10~19)
C
En el tiem po de t=3 s la carga total de las partículas alfa es: Q = i.t
Corriente eléctrica 1397 ********************************************************************************************** Q = (0,25.10 6 A)(3 s)
n = ín 0
Q = 0,75.10 6 C n = (0,5)(172) Luego, el núm ero de partículas alfa que in ciden sobre la superficie es:
n =
Q q
=
0,75.10 C --ÍQ3,2.10 C
* n = 2,3 .1012
•
Qv
* n = 0,06.10 3
Solución: 05 • El núm ero de electrones de conducción por unidad de volum en fes: n = NAZp A
Solución: 04 L a carga eléctrica de la partícula alfa es:
siendo, N A : N ro. de A vogadro, z : Nro. de e lectrones de conducción p o r átom o, A : Nro. de m asa atóm ica y p m asa p o r unidad de vo lumen.
q = 2e = (2)(1,602.1G-19) q = 3,2.10_I9C L a velocidad se determ ina a partir de la e nergía cinética, así: TJ
1
n =
v0 = [2 E c ,0 /m )
3.1.:o Vf) = 4,54.1o'
•
~
L a velocidad m edia de deriva de los elec trones de conducción es: 1/2
J
vm
m v
Luego, el núm ero de partículas alfa po r uní dad de longitud es: i nn = —• qv0 nn =
(0 ,2 5 . io ; 6) 09 (3,2.10_iy )(4,54.1019)
n 0 = 172,08
27
n = l,80.1023eleCtr°,n-eS cm
/2
(2)(2 0 .106)(1,6 .10-19). 1
(6L023.1023)(3)(2,7)
2
E C ,0 =
'
D
partículas alfa m
Luego, en una longitud de 20 cm, el núm ero de partículas alfa existentes es:
_ m
A neA
(|0_3) ................ (1,807.1023)(1,602.10"9)(10"2)
* v m = 3 ,4 7 .1 0
-6 cm
Solución: 06 • Según el principio de conservación de la energía, se cum ple que: Energía eléctrica consum ida
Calor absorvido •= <
para hervir el agua
1398 Física++ **********************************************************************************************
P.t = m .ce .AT siendo, "P " potencia, "t" tiempo, "m" m asa "ce" calor específico y "AT" variación de tem peratura (T -T0). A hora, com o, m = p .V , y despejando "t" : t=
t =
p V c e ( T - T 0)
(10J )(2,5.10-4 )(4186X100 - 27) 350 Luego, la resistencia equivalente es: * t w 218,27s * 3,64min
Solución: 07 • G racias a la ^ im e tría que presenta el sis tem a de resistencias, si desconectam os los conductores en el punto "O ", las corrientes que pasan a través d e las diagonales del cua drado no se alteran, quedando el circuito ini cial, com o el que se m uestra en la Fig.
1 _ R
1
~ 2 R /3
_1 8 R /3
R e = - R = ( - )(30) e 15 15 * R = 160 Solución: 08 • En prim er lugar, se tiene dos alambres de las m ism as dim ensiones, uno de hierro y otro de cobre, entonces sus resistencias ini cíales, son:
i R
R 0f = P F e '7
í 1)
R oCu - PC u A
(2 )
■w R
Reduciendo este circuito, se tiene:
®
D ividiendo (1) entre (2), tenem os:
R
=59 " R 0 Cu
PCu
Ahora, se trata de dos alam bres de igual re sistencia y longitud, uno de hierro (Fe) y o tro de cobre (Cu), entonces: Rpe - R Cu
Corriente eléctrica
1399
*********************************************************************************************41 PFe
7lD
2
D 2 = P-Fe d 2 => PCu
Ttd
Solución: 11 • Identifiquem os los vértices del cubo que están al m ism o potencial, así:
2
D = .5,9(0,12)
* D = 0,29 lcm
®
Solución: 09 • L a resistencia en función de la tem pera tura, viene dado por: R = R 0[l + a . ( T - T 0)] 2 R 0 = R 0[1 + 390.10_5T] T=
1 390.10
-5
* T = 256,4 °C
©
Solución: 10 D ado que las partículas están doblem en te ionizadas, la densidad de carga volum étri ca, viene dado por: p = n.2 .e
En la Fig., por sim etría, todos los puntos del Plano "abcd" rayado se encuentran al m ism o potencial, y no existe corriente p o r los lados "ab" y "cd ", por tanto dos resistencias se anu lan. L a resistencia equivalente de las re sistencias q u e se encuentran debajo del pía no "abcd" es:
p = (2,0 .1014X2)(l,6. 10' 19) R '= 3 R p = 6,4.10" 5 C, m
P or tanto, la resistencia equivalente total es:
siendo "n" el núm ero de partículas por uní dad de volum en. Luego, la densidad de co rriente debido a las partículas doblem ente ¡o nizadas es:
R = R '+ R '= 3R + - R
R o = - R = (-)0 6 )
J = p.v J = (6 ,4 .1 0 '5C / m 3)(l,0.105m /s )
* J = 6,4 A, m
©
* R e = 12 fi Solución: 12 • L a corriente eléctrica total a través del conductor, viene dado por:
1400 Fís¡ca++ **********************************************************************************************
Solución: 14 • L a corriente total que pasa a través del plano x= 0, viene dado por:
i = J J .d s = J jd s s s 2 tc 0 ,0 0 2
i = J J)«dS s
i= J J 103e “400rrdrd<¡> o o 2ti
0 ,0 1
0,002
i=
i = 103 J d(J> J r e - 400rdr o o
JC/4
J
J ( 100c o s 2y ít)* (d y d z lc )
- O .O l- n /4 0 ,0 1
-4 0 0 r i! 0,002
i = 100 J d z - 0 ,0 1
jt/4
J c o s 2y d y -JC /4 7 t/4
* i = 7,51.10
A
©
¡ = (100X z) ] ° q q!
se n 2 y ) - k /4
Solución: 13 • En la Fig., aplicando la ley de Ohm, cal culem os la corriente eléctrica, asi:
i = (100X0,02X1) * i= 2 A
Z (± )e r
i = JV2 > n i
8| - e ? rj+ r2
;' 53 W ? 0,05 + 0,15
®
Solución: 15 • El área de la sección transversal del alam bre es: A = tcR 2
0.4 A
A = tc[0,8128.10"3/2 ] 2 A = 2,08.10-6 m 2 Luego, la conductividad de este tipo de alam bre es: 305 a = — = RA (16,7)(2,0810~6 )
* Luego, la rapidez con que se disipa calor en la p ila B es: P = i2.r2 P = (0,4)2(0,15) * P = 0,024 W
©
g
= 35,2.106 -Sm
Solución: 16 • R epresentem os una franja de espesor dx longitud "a" de sección transversal de área dS = a dx situada a una distancia " x" del ori gen 0.
Corriente eléctrica
1401
A********************************************************************************************* J=
=a E
dS
=>
di = a E a dx
í¿di = aE Jot(^ ~ ° ])x + a^ dx (O ^ a E t^ -^ -V + a ^ ] l
i = a 2E ( ó 1 + g 2) / 2 Com o el campo eléctrico entre las caras su perior e inferior del cubo es constante, la di ferencia de potencial entre estas caras es: V = Ea
Finalm ente, sustituyendo (1) y (2) en la ley de Ohm, obtenem os la resistencia del con ductor cúbico, así:
(1)
Ahora, com o la conductividad eléctrica va ría linealm ente según "x ", planteam os su ex presión en la forma:
R= V = 2 i a(cT! +
ct(0)
.
^ _
(10_3)(2,2 + 6,8). 10 7
a(x ) = A x + B A plicando las condiciones de contorno, ha liemos las constantes A y B, así: 1) En: x = 0 , tenem os que:
(2)
* R = 22,2 p a
®
Solución: 17 • R epresentem os la estación de genera ción eléctrica.
= A (0 ) + B - CTj
2) En: x = a , tenem os que:
. -r'‘*T
TI
a (a ) = A (a ) + B = a 2 Resolviendo este par de ecuaciones para A y B, obtenemos: A
y B = a, a
Así, la expresión de la conductividad eléctri ca es: CT(X) = (CT2 - ( 7 1) - + CTj
a
C on esta conductividad, calculem os la inten sidad de corriente total que pasa por el con ductor cúbico, así:
L a energía térm ica perdida en una línea por efecto Joule (calor), viene dado por: AUp = i RAt AUp =
(AV) At R
A sum iendo que el intervalo de tiem po y la lí nea de transm isión es la m ism a para ambas tensiones, se obtiene la siguiente relación:
1402 Física++ ********************************************************************************************** AUPi
AV|
ÁUP,
a v 22
A U'p, t
^ 40000 2
AUp2
5000
+ n = 2 .1020
fe)
Solución: 21 • E n la Fig., la resistencia R y el amperí m etro están en paralelo, por lo que, están al m ism o potencial V mn, esto es:
AUfri = 64 veces AUP,
^M N -
Solución: 18 <* La cantidad de carga eléctrica que pasa por el alam bre, viene dado por:
Ír -R = Ía ( 0 .0 6 )
iR = (0>06)(“ ) R
(1)
D e la prim era ley de K irchoff, tenemos: U
(2)
+ 'r = 1
q = it De (1) en (2), obtenem os la resistencia "R"
q = (5X5X60)
iA + (0 ,0 6 )(‘A) = i * q = 1,5.103 C
K.
©
- R _ = ¡A _ 1 R + 0,06 i 4
Solución: 19 " D ado que las dos resistencias conectadas en serie y la resistencia inferior están en cor tocircuito, por ellas no circula corriente eléc trica, de m odo que la resistencia equivalente es: R e =1 Q Luego, la potencia eléctrica disipada por el circuito es: V'
4R = R + 0,06
Solución: 22 • L a resistencia del alam bre de plom o, vie ne dado por: P R =R
10‘
B
* R = 0,02 Q
A
i/)i = (2,2.10_?)( --- - -,-)
44.10
1 * R = 0,5Q
* P = 100 w
®
Solución: 20 , * El num ero de electrones que pasan por la sección transversal de! alam bre, en el tiem po t=80 s es:
Solución: 23 Represeritemos el arrollam iento sobre el cilindro de porcelana. K n - espiras
Corriente eléctrica 1403 ********************************************************************************************** La longitud de cada espira alrededor del ci lindro es 2 ttR, entonces, la longitud total del alam bre enrollado será, 27tRn, siendo "n" el núm ero de espiras, luego: R = p. 40
£
27t.R.n = p .— -rt.r
Solución: 26 • L a energía entreg’ada al calentador, vie ne dado por: E e = (0 ,5 k -)(3 ,6 .1 0 3s) s.
6 (2)(2,5;1< + ).„ (0,5.10"3) 2 * n = 200 espiras
D
* T = 67 C
E e = 1800 kJ ©
Solución: 24 • L a cantidad de calor en joules para ha cer hervir el agua es:
La energía utilizada para hacer hervir el a gua, viene dado por: E u = m .c e. ( T - T 0) E y = (4,5. J 03)(1)(100 —25)
Q = m.ce.(T - T0) E y = 337,5 kcal = 1412,775 kJ Q = (103)(1)(1)(10 0 - 1 6 )
Luego, el rendim iento del calentador es:
Q = 84kcal = 351,624kJ R = í u )(io o ) L a energía entregada por el hornillo es: E = P .t = (0,5 k J/s)(2 0 )(6 0 s) E = 600 kJ Luego, la energía pérdida al hacer hervir el agua es: * E p = 6 0 0 k J - 351,624 kJ * E
= 248.103J
©
R = ( 14, 2’7 7 5 k J )(100) K 1800 k J A 2 * R = 78,5 %
Solución: 27 • Com o las cinco resistencias están conec tadas en paralelo, la resistencia del calenta dor es: 1 _ _1
Solución: 25 • A plicando dilatación térm ica de una re sistencia, tenemos:
©
_1
1
1
1
R " 350 + 350 + 350 + 350 + 350 _1 _
5
R “ 350 R = R 0[l + a . ( T - T 0)] ♦ R = 70 Q
©
12,2 = 10 [1 + (4,15.10-3 )(T - 1 4 )] 220 T = — + 14 4,15
Solución: 28 • L a energía (Q ) y el voltaje utilizado pa ra hacer hervir el agua cuando se conectan
1404 Física++ ********************************************************************************************** por separado las resistencias "R j", " R 2", y en serie, es la m ism a, de m odo que: V2 V2 Q = ( D )(I5) = C - )(30) Rj R2 R
=2Rj
2
Solución: 30 • L a fracción que corresponde a la caída de potencial en los bornes de la pila, respec to de la f.e.m (e), viene dado por; f _ e - y = 1_ [ r / ( R + r ) ] s ^
Luego, cuando se conectan en serie las resis tencias, el tiem po que tardará en hervir el a gua de la tetera es: V2
V2
Q = (r
Ri + R 2
R
8 V=
S R
10.r
10
R+r
lÓ.r + r
11
Luego, el porcentaje que corresponde a la caída de potencial en los bornes es:
)(i5) * r\ = (|"j)(100) = 91 % ® Solución: 31
* t = 45 min
D
Solución: 29 • D el peso del alam bre, hallam os el área de la sección transversal del alam bre, así:
• El 85 % de la energía entregada por la te tera eléctrica, se utiliza para h acer hervir el agua, de m odo que: 0,85.
V2 K.
.t = p.V.ce. ( T - T 0)
W = p.g.V = p.g. ^ .D 2./ ^ ) i =(1 C^)(2,2.10”3)(4,l 861 0*)(100-16) 34,1 = (8,6.103)(10)(^.D 2)./ t= tc d 2 _ 3,41.10 4'
8 ,6
i
Sustituyendo, en la expresión de la resisten cia del alam bre, tenemos: R = p.
10,8 = (1,7.10
{ 7t.D / 4
) (3,41.10"3 /8 ,6 i)
)(34,f 1q4 ,2 _ (10,8)(34,1) (1,7)(8,6)
(10 )(2,2)(4,186)(84)(20) (0,85)(110 )2 * t = 1500 s = 25 m in
©
Solución: 32 • Prim ero hallem os la longitud "í" del a lambre, así: m = (j.V = a .S i
G.S Luego, la resistencia del alam bre de hierro es: 0 m
Corriente eléctrica
1405
**********************************************************************************************
R = (8,7.10
1 ).(7,9.103)(7t.l0_4 / 4 )2 * 1,785 m fi
©
Solución: 36 • El rendim iento de la pila, en porcentaje, viene dado por: Ti = ( e ^ - r )(100) 8
Solución: 33 • L a caída de potencial en el interior de la pila es:
T1 = [ 2 “ ® (0’4)- ] .(100)
V = e - i.R = 6 - (3)(1,1)
* n = so %
* V = 2,7 voltios
®
Solución: 34 . L a cantidad de calor m áxim a disipada por la resistencia externa es: Q = P.t = i.V.t = (3)(6)(60)
2>A1
^Ctl _
SAJ '
Pcu
V = a 0 X l,7 .1 0 "8) . ^ ^ (5.10~6) * V = 6,8 voltios
®
Solución: 38 • El valor de la resistencia cuando por el pasa una corriente de 0,33 A es:
£
PCu-n a Cu
21
D
Solución: 35 • Com o las resistencias de los conductores es la m ism a, entonces: _
Solución: 37 • L a longitud total del alam bre es "21", de m odo que la dism inución de la tensión en 1qs b om es de la lfa]para es.
V = i.R = i.p.
* Q = 1,08.10 J
t
©
a R-> =
PaJ
L uego, la razón de los pesos de los conduc tores es:
V i
=
120
= 363,6 f i
0,33
Ahora, hallem os el valor de la resistencia a una tem peratura de 0° C, así:
w cu_ = m c l!-g = _°Cu_-Xcu
W aj
rn ^ .g
R-i = Rq[1 + a,E i]
a ^ .V ^
35,8 = R 0[l + (4,6.10_3)(20)]
W,Cu _ Or„ .Sr u Cu-‘ 3Cu
w Al
ctai -Sai ^
W& _ (8,6.10 )(1,7.10
Rq= )
WA1 " (2,6.103)(2,53.10-8 ) * Wc^ = 2,22 veces Waí
®
1,092
= 32,8 f i
Luego, la tem peratura a la cual el valor de la resistencia del alam bre es 363,6 f i es: R 2 = R q[1 + a -T2]
1406 Física+T **********************************************************************************************
D
363,6 = 32,S[1 + 4;6.10~3T2]
* Q = 48 C
* T2 = 2 I9 2 C
Solución: 41 • R epresentem os la batería conectada a la resistencia R ’.
k jy
Solución: 39 « R epresentem os los circuitos eléctricos, cuando las pilas se conectan en serie y en pa ralelo:
2,5 km ________
P = l00k
8M
Paralelo
Serie
e, r
e, r —I
Prim ero, calculem os la resistencia de los a lam bres de cobre, así:
— H— s, r
“ tl-VHT
R = p.
GTi VWV--
R
Las corrientes que circulan por "R ", para
21 S
R = (1 ,7 .1 0 -)
21
= p.
-t /4
7t.D
(2)(2’5-120 ) 71.(1,5.10 ) / 4
las conexiones en serie y paralelo, son: R = 0,48 Q 2.8
y h
2r + 1
0,5.r+ R
Com o se observa, para la conexión en serie, p asa una m ayor intensidad de corriente por "R ", de m odo que: (2X2)
.
©
Solución: 40 • L a intensidad de com ente eléctrica, que p asa por el conductor, viene dado por: dQ
=>
dt
•_ e _ 500 1_ R '+ R " R '+ 0 ,¿ Com o la p otencia consum ida en la resisten cia R‘ es 100 kW , entonces:
"(2)(C ,3) + 0,2 * i = 5,0 A
De otro lado, la intensidad de corriente que circula en el circuito es:
Q 6 Jd Q = Ji.d t 0 2
P = Í2.R' ] O5 = (
500- )2.R’ R '+ 0 ,4 8
R ’= 1 ,3 7 Q Luego, la potencia pérdida Pp en la red (a lam bres) es: Pp = i 2.R
Q = j ( 4 + 2 .t)d t 2
=>
Q = (4,t + 12)]
Q = (2 4 + 3 6 ) - ( 8 + 4)
P =( 500 )2.(0,48) p 1,37 + 0,48
Corriente eléctrica 140/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * **K*A***jr&&M>tx* K£*K* * PP = 35.10 W
®
10ü
PD = P - P r.=
104
99
Solución: 42 • R epresentem os el reóstato, el m iliam pe rím etro y el generador conectados en serie.
f 10"
r
w
99
L uego, la corriente eléctrica que circula por el circuito, y el área de la sección trar:sve:> j ! de los conductores son: i = P = (1 0 * /9 9 , £
110
e. r D ESPU ES
Pp = i 2.R = i2.p.
P
L a resistencia del alam bre a la tem peratura de 50 °C es: £
f
S
= ( 9 1 ^ 0 . 7 . 1 0 - ) (2X2f ° 3)
R-i = P-oH + a -^i] R ^ n O f l + íó.lO ^X SO )] R j = 156 C
A hora, com o antes y después la resistencia está conectada a la m ism a íuente, entonces: £ = i.(R 0 + r) = it.(R 1 + r )
* S « 71 0 m m 2
Solución: 44 L a resistencia del riel de acere, viene da 0 ^ o r' R =p
C
= ( l , 0 . i 0 - 7 )(
s (2 I_
2 ) ( 1 2 0
+
2 0
(156 +
2 0
)
Solución: 43 • L a potencia total consum ida en el circui to eléctrico, es el 100 % , de m odo que:
* R = 200 m il
_ p
sistenciaes: (3¿
= 27o
7i ( r / 3) :
-w 99
Tam bién, la potencia pérdida en la red es:
rcr R
99 ” 100
10
©
Solución: 45 • C uando la longitud se triplica y el radio se dism inuye a la tercera parte, la nueva re
R != p
P=
6 .10' ,, 3 0 .1 0 '“’
)
* i'= 17,5 mA
10
®
* R '= 2 7 R
n;
Solución: 46 '• D e la ley de Ohm, la resistencia dei aiam bre de nicrom io es:
1408 Física++ ********************************************************************************************** V
R=
i
=
2 4
vm =
= 0,5 Q
Luego, com o la conductividad " o ” del alam bre, es el inverso de la resistividad "p", en tonces: 1 i a = - = p R.S
(1022)(1,¿ .10~I9)(2 .10~4)
* v m = 3,125
(0,5)(1,0.10-6 ) * a = 2,0. 106Q ~1.m~1 &
VA
:
2V 7t.(2 .r)
R ’= 1 R = —(40) 2 2
VAB = i.R = i p í ¡ A B
(2)(5)(1,7.10~8) Y ab -
Solución: 48 • D e la ley de Ohm, la resistencia del ele m entó calefactor es: R=
V i
=
220 - = 44 Q 5
Luego, la energía consum ida por el tostador durante 20 s de operación es: E = V i t = (220X5)(20) * E = 2,2.10' ,
vb
En la Fig., A y B son los extrem os del alam bre, puestos a potenciales VA y VB. Luego, según la ley de Ohm, la diferencia de poten cial en los extrem os del alam bre, es:
1 -?Í 27i.r
* R '= 20 Q
©
&
Solución: 47 • Cuando se duplican la longitud y el ra dio del alam bre su nueva resistencia es: R '= p.
m
Solución: 50 • R epresentem os el trozo de alambre y la corriente eléctrica, asi:
1,0
a =
Vm
n.e.A
©
Solución: 49 • L a velocidad m edia de los iones, viene dado por:
0,1.10-4 m
* VAB= 1 7 .1 0 -3V Solución: 51 • Sea "n" el núm ero de resistencias nece sarias, entonces, la resistencia equivalente, es:
Corriente eléctrica 1409 ******************************************************************************************** ^
1 160
R,
1 _ n 160 ~ 160
"
R .=
160
. _ (5,0.1
Luego, aplicando la ley de Ohm, obtenem os el núm ero de resistencia, así: _ V K. e i
—>
160 n
=
D
* i= 8A
Solución: 55 • La densidad de corriente a través del a lam bre de cobre, viene dado por:
100 5 D
* n=
Solución: 52 • C om o las barras de cobre y aluminio tie nen la misma resistencia, entonces:
J= 1 A J=
1,
tc.R
50 (;t)(0,05.10_2)2
Al Cu _
* J = 63,7.10* * m
c Al
^
PcuA ‘ ~ P a l .
A Cu
(1,7.10~8)(
\ ti.D
A A1
- ) = (2,8.10"8)(- 1 , ) /4 V 25.10
D=
.170.10 '
-6
,
Solución: 56 • D ado que la velocidad inicial de las partí culas alfa, es nula, su energía cinética inicial es igual a a su energía potencial, esto es: Ec,o = e.V
1/ 2
2,8.rt
(20.10 )(e) = e.V * D » 4,4.10~3 m
©
Solución: 53 • L a cantidad de calor por unidad de tiem po (en J/s), disipado por calentam iento de la resistencia es: O
V
r
=>
(800X 4,186)=
20 ”
* V = 20.10 voltios
Solución: 57 • L a resistencia del alam bre de cobre, vie ne dado por: R =p
£
=p
©
Solución: 54 • D el principio de cuantización de la car ga eléctrica, la intensidad de corriente es:
R = (1,7.10
i
^
P 7t.R 2
A
* R as 0,12 Q
B
)
? 7t.(0,001)2
* R = 27.10"3n
D
14io Física++ ********************************************************************************************** Solución: SS • Según teoría, la densidad de carga super fícial, viene dado por:
b=
(a)(£7t)
cr =
1,10
í '.R
6= (4i'Xl)+(3i'X2) 6 = 10i’ '=> i’= 0,6A
a = q = Ü A ai a =
I
(2)
Luego, el cam bio de lectura en el am períme tro es: A i= j-i’
a.v -4
Ai = 1,5 A - 0 , 6 A
(0,5)(30) * Ai = 0,9 A
* cr = 6,67.10
©
-6 C m
Solución: 59 • R epresentem os a la llave en las posicio nes "a" y "b", respectivam ente. 1) Llave en la posición " a " .
Solución: 60 • O rdenam os el circuito para observar me jo r el arreglo puente: R
ia :2Q
20 6
Y a que el producto en cruz, es igual, los pun tos C y D se cortocircuitan.
V t
A nalizando el circuito en la posición "a", a plicam os la segunda \py de Kft-choff a la ma lia izquierda. 8 = £ i.R
=>
6 = 2 i (1) + i (2)
6 —4 i
=>
Í = 1,5 A
(1) Reduciendo:
A nalizando el circuito en la posición "b", a plicam os la segunda ley de K irchoff a la ma lia izquierda. 2 ) Llave en [aposición "b".
1Q
J
p
Así, la resistencia equivalente del sistema 2Q;
+ 6V jf
6n e
2
2
Corriente eléctrica Luego, la diferencia de potencial entre los puntos A y B es:
1411
1 _
1
1 _ 1
1
1
" R< + R* “ 5 + 20 " 4
^ a b = ¡ R e = (0,2)(60) *
= 12 voltios
Solución: 61 • El voltaje total en la batería es igual a la sum a de los voltajes de las tres pilas, es de cir V=9 voltios y su resistencia interna total ¡gual a r,= (3 )(l/3 )= l O.
R oJ = 4 Q L as resistencias y R7 están en serie, su re sistencia equivalente es: R .„ = 4 Q + 8 Q = 1 2 Q Las resistencias y Re4 están en paralelo, luego, la resistencia equivalente total es:
3V 3V 3V 1 Q
Luego, de la Fig., obtenem os la intensidad de corriente en la batería, así: Las resistencias R h R2 y R3 están en parale lo, su resistencia equivalente es: 1
1
R el
R¡ * R 2
]
1
Ral
12
1 R3
1=
V
9
ri + R e
1+ 8
* Í = 1A
©
Solución: 62 • En el circuito eléctrico, escogem os arbi trariam ente los sentidos de las corrientes:
R e l= 2 Q Las resistencias R*, y R4 están en serie, su re sistencia equivalente es: R e2 = R el + R 4
R e2 = 2 Q + 2 2 Q = 2 4 Q Las resistencias R5 y R« están en paralelo, su resistencia equivalente es:
Luego, en la Fig., utilizando el m étodo m atri ciab se tiene:
1412 Física++ ********************************************************************************************** 1 0 -1 5 25 + 15
-10Í
-5
14
. 40
14
! 15
- 10,
-1 0
14'
15
-io
1 -1 0
14
h
:
-7 0 + 4 0 0
-1 0 '
E n la Fig., utilizando el m étodo m atricial, calculem os i¡: ! 8 2 h =
330
= -
2 1 0 -1 0 0
110
i¡ = 3 A D el m ism o m odo calculam os la intensidad de corriente i2 15 i? =
1 0 -1 5
'1 5
-5
10
25 + 15!
¡-1 0
40!
15
-Í0 Í’
!- 1 0
! 15 -1 0
14
~~
0
-1
5
-2
0
- 2
9
i 7
0
-1
, 0
5
-2
1 -1
-2
9
. _ 8(45 - 4) - 0(18 - 0) - 1 ( - 4 - 0) 11 “
7 (45 —4) —0 (0 —2) - 1 (0 + 5) • 166 A i,= A 1 141
-Í0 14 ¡
Del m ism o m odo, calculem os i2:
6 0 0 - 5 0 _ 550 210-100
i
,7
8
-1 ,
|0
2
-2
1
9
.
110
. i, = 5 A
-1 0 i
El sentido correcto de i2 es el que aparece en la Fig. L uego, la intensidad de corriente neta que pasa p or el conductor "ab" es: «
u =
0
" -1
0
5
- 2i
-1
-2
9 i
7 (1 8 —0) —8(0 - 2) - 1 ( 0 + 2) 7(45 - 4) - 0(0 - 2 ) - 1 ( 0 + 5)
- ii - 5 A “ 3 A
iab =
■ ¡2 = 7 0 AA 2 141
* iab - 2 A. Solución: 63 • Establezcam os el sentido de las corrien tes eléctricas en las m allas del circuito.
L uego, la intensidad de corriente neta que pasa por "bd" es: ! bd
40
30
___ íov
.
~h~h
_ 166 _ 70 _ 96
lbd “ 141
20 J M ___ 20
__W A _
ín
141 ~ 141
* ibd= ( 3 2 /4 7 )A S olución: 64 L a diferencia de potencial entre dos pun
"W 60
Corriente eléctrica 1413 ********************************************************************************************** tos "a" y "b" de la ram a de un circuito, vie ne dado por: (±)V a - l R n¡ + I ( ± ) 6 m + ( T Vb) = 0 siendo "n" y ”m" el núm ero de resistencias y baterías en la ram a, respectivam ente. Para, i =3 A y Vab = 8,5 V, se tiene:
Solución: 65 • A plicando la segunda ley de K irchoff, a las m allas (I) y (II), tenemos:
*±-3V
lili
r¡ hF -
I ¡ J.Rk=I(±)EL
Vb - i r 1 + s - V a = 0
k
e - 3 r , = 8,5
(1)
A la m alla (I):
Para, i =2 A y Vah=l 1 V, se tiene: r¡ JWL
L
l i 1+ 3 ( i1+ i 2) = 8 V
-o +
4 i,+ 3 i2 = 8
(1)
A la m alla "2": 3(¡i + i2) + ( 2 + 4 ) i2 = - 3
va - e ~ i2rj - Vb = 0 e + 2r¡ =11
3i] + 9 i2 = - 3
(2)
R estandodo (2) m enos (1), obtenem os la re sistencia interna " r j d a d e 2,5 = 5r¡
Resolviendo (1) y (2), obtenem os las intensi s de corrientes \ l , i 2 , así: ij= 3 A
r, = 2 .5 /5 = 0,5 0
(2)
y i2 = ~ 3 A
(3)
Sustituyendo " r^ e n (1), obtenem os la fuerza
Así, la intensidad de corriente eléctrica que pasa por ]a ram a a_b es:
electrom otriz ( e), así: >at* - ¡i + *2 - 3 -
c = 8,5 + 3 r¡ = 8,5 + (3)(0,5) * 8 = 10 voltios
iab= 5 / 4 A
(£ )
51 N otas ir;™ : •> . , • . • , 1) L a intensidad de corriente siem pre va de m ayor a m enor potencial. 3) e se tom a (+) si la corriente pasa del bor ne (-) hacia el positivo en la batería, ca so contrario se tom a (-).
Luego, la diferencia de potencial eléctrico entre los puntos a y b es: _
.
_
,5,
V ab “ Íab-R ab “ ( ^ ) ( 3 )
* Vab = 5 voltios
( e)
1414 Física++ ********************************************************************************************** Solución: 66 • Las intensidades de corriente, cuando la pila esta conectada en serie a las resistencias de 4 Q y 9 0 son: ii =
r+4
y
'2
E r = ( D- RnA - ) 0 00%) Rj + R 2 + r E . = (-—0,1< )(100%) r 5+4+2
=:
r+9 * E r = 0,9 %
Luego, com o las potencias disipadas por las resistencias <^e 4 O y 9 Q es la mism a, enton ces: ( S J 2( 4 ) = ( V ( 9 ) r+ 4 r+ 9
+ r= 6Q
•
©
S olución: 67 • Las intensidades de corriente que circu lan por el am perím etro ideal (RA=0), y de re sistencia interna R A * O son:
V R
60 V
= -
.
=>
60 Q
,
]= 1A
A sí, ios voltajes en cada uno de los alambres VA = i.R A = (1X40) = 40 V VB = i.R B = 0 X 2 0 ) = 20 V
Luego, la m agnitud de los cam pos eléctricos en los alam bres A y B son:
i= Rj + R 2 + r
Solución: 68 • L a intensidad de corriente eléctrica, que circula por los alam bres es: j =
2 r + 18 = 3 r + 12
©
Rj + R 2 + R a + r
VA
Ea=
40 V
V
40 m
m
A ñ :r <
E
= yg = 20V = 1 V B
:r2
De otro lado, el error porcentual está dado por la expresión:
£-q
40 m
©
2 m
Solución: 69 • A signem os arbitrariam ente el sentido de la corriente eléctrica en las m allas del circuí to, así: Ci
E r = ( - ~ - X 1 0 0 ”/. )
1
Reem plazando las expresiones de las inten sidades de corriente i, i ’ tenem os:
R i+ R j+ r '
R, + R 2+ R A + r
6/ ( R ! + R 2 + R A + r )
E2
&
Ei
Ir ,
Ri
E n las m allas del circuito eléctrico aplica
Corriente eléctrica 1415 ********************************************************************************************** m os la segunda ley Kirchoff:
A plicando el segundo teorem a de Kirchoff: * A la m alla (I): + R 2(il ~ ’2) = 8S
siendo "in " la corriente eléctrica en la enési 10i1+ 1 0 ( i ] - i 2) = 4
m a malla. * En la m alla "abca".
2 0 i1 - 1 0i2 = 4
i2R 2 = - e 1 + e 2 + e 3
* A la m alla (II):
i2(50) = - 6 + 5 + 4
R 3i2 + R 2(i2 - ¡i) = ^2 5 i2 + 10(Í2 —ij) = 1
i-> = -- A = 60 mA 2 50
- 10Ít + 15Í2 = 1
* E n la m alla "aca" : ¡¡Rj =
e2
=>
0)
ijflOO) = 5
R esolviendo (1) y (2) para i] y i2: ■ = -7- A A ; i' , = 3- A A v¡
ij = 0,05 A = 50 mA Para hallar V ,b, partim os de "a" a "b" pasando po r la batería
(2)
20
2
10
y
llegam os
Lueg0> |a diferencia de p0te„ cial entre los
” ej",
en el sen
puntos "c"
y
"d" es:
tido de la corriente " i2 " ,a s í: + Vd - i 2R 3 - V c = 0 Va - e i - i 2.R2 ^ v b = 0 Vc - v d = -(5 X 3 /1 0 ) Va - 6 - (50)(60.10-3) - Vb = 0 * Vcd = -1 ,5 V
B
* Vab - 6 + 3 = 9 voltios ^ f= \ N ota ' Com o la corriente eléctrica, siem pre va de m ayor a m enor potencial, V a es (+) y Vb es (-). Solución: 70 • Escogem os arbitrariam ente en sentido antihorario, la circulación de las corrientes en cada una de las mallas.
Ri ;
G? (I)
R j
0 (II)
® N ota P ara cualquiera de las trayectorias, se ob tiene el m ism o resultado. Solución: 71 • R epresentem os el circuito inicial, consti tuido de resistencias iguales: R
1416 Física++ ********************************************************************************************** Com o el circuito eléctrico presenta sim etría, podem os desconectar los conductores en el punto "p", no alterándose el funcionam iento del circuito, así:
Luego, la diferencia de potencial entre los puntos "a" y "b" es: Vab = i R e = (0,l)(220) * Vah = 22 voltios
^
S olu ció n : 72 • Identifiquem os los puntos (nudos) de i gual potencial, así:
Se ha desconectado el circuito inicial, en el punto "p", gracias a la sim etría que presenta este, luego reduciendo tenemos: 2R/3 t i vr
/
2R
8R/7
rfn
Rs
a
------ u u ------2R/3
2R/3
22R/7 2R/3
•11R/20
2R3
Así, la resistencia equivalente del sistem a de resistencias es: .11 R e = ( 20)(400) = 2 2 0 Q
Luego, en la Fig., com o las resistencias de 2R/3 y 8R/3, están en paralelo, la resisten cia equivalente entre los puntos "a" y "b" es-
R .=
(2 R /3 )(8 R /3 ) 2 R /3 + 8 R /3
Corriente eléctrica 1417 ********************************************************************************************** Re = R = ( )(150) = 80 0 e 15 15
R = ( Vl1 )(100) e
Luego, la diferencia de potencial entre los puntos "a" y "b" es: Vab = iR e =(0,05)(80) * Vab = 4 voltios
R = (E 1r)(ioo) R
1,6-(0 ,5 )(2 ,4 )
1,6
®
S olución: 73 • L a resistencia equivalente de las resisten cias R 2 y R 3 conectadas en paralelo es:
B
* R - 25 %
R ,= (12)(6) = 4 Q
Solución: 75 • Las resistencias R2 y R3 están al m ism o potencial, de m odo que:
12 + 6
i2.R2 = Í3.R 3
Las resistencias R ’ y R i, están conectadas en serie, así, la resistencia equivalente del cir cuito eléctrico es:
Í2 = ( 4 /2 ) i3 = 2 i 3 D e otro lado, de la prim era ley de K irchoff
Re = 4 + 5= 9 0
¡2 + i3 = i
La intensidad de corriente eléctrica que pasa por la batería es: i = V / R e = 2 7 /9 = 3 A Las intensidades de corriente eléctrica que pasan por las resistencias R 2 y R 3 son:
Í3 = 1 A y
2 i3 + i3 = 3
í2 = 2 A
©
Solución: 76 • L a caída de potencial al interior de la pila es: V = i.r= (0 ,2 5 )(0 ,5 )
R3 . . u = ■ * ■■ \ 2 R2+R3
V = 0,125 voltios Luego, el valor de la resistencia externa es:
1 =( 2
!3 =
)(3) = 1 A
s = i.(R + r)
T2 + 6 W
R_2 i = ( J 2 J(3 ) = 2A R t + Ra '12 + 6 * i 2 = 1 A, i3 = 2 A
®
S olución: 74 • El rendim iento de la pila es la razón entre el voltaje útil y la fuerza electrom otriz ( s ) de la pila, esto es:
2 = (0,25)(R + 0,5)
==> R = 8 - 0 ,5
* R = 7,5 n
®
Solución: 77 • Com o ”R" y " R v" están conectados en pa ralelo, su resistencia equivalente es:
e
^ R V.R =
RV.R
Rv + R
R v(l + R / R v)
1418 Física++ ********************************************************************************************** Para, Rv muy grande respecto de R, (R/Rv »0), así, la resistencia equivalente es:
Solución: 79 • R epresentem os las corrientes eléctricas en el circuito inicial:
R' R>Rv =R e R v(l + R / R v)
Ei, r,
Luego, el error relativo en porcentaje come tido al determ inar el valor de "RJ' es: 62, r2
m ----------
n = (R - - Re-)(ioo)
R
Re
L a resistencia equivalente de las pilas es: R - R r R /( R v + R ) _ A .r2 _ (1X3/2) _ 3
R V.R /(R V + R ) e rj = ( R )(100) = ( —° ° )(100) R„ 1000 7 * TI = 1 0 % Solución: 78 • Com o las potencias disipadas en las re sistencias "R ¡" y " R 2", conectadas po r se
r¡ + r2
1 + 3 /2
5
Com o las pilas tiene la m ism a f.e.m, sustj tuim os las dos pilas p o r una sola, y sus re sistencias internas p o r su resistencia equiva lente, así: Gi,re +1.-
O
parado a la fuente es la m isma, se cumple: P1 = P2
A sí, la corriente total que pasa p o r el circuí to eléctrico es:
í] *R 1 “ Í2'R 2 s 2.R i
c2.R^
1=
(R , + r)2 ' ( R 2 + r ) 2 ^ 2 + r _ J./-R-2 \ l / 2 _
= + (-o R, + r R r=
= ± x = ±0,2
R 2 + x.R
r, =
0 ,2 -(0 ,2 X 5 )
0l2 ± (0 ,2 )(5 )= U 2
-
0,2 - 1
r, + r
- 0,8
-
=_m
= 1A
11 )i = ( - 3/ L x i ) = 0,6A r, + r> 1 + 3 /2
- 0 ,8
0,2 - 1
3 /5 + 7 /5
Luego, las corrientes eléctricas que pasan po r las pilas, son: *i = (
± x —1
re + R
1 )(1) = 0,4 A 4 + 3 /2 '
* ¡! = 0,6 A , i2 = 0,4 A ®
1,2
* r= in
®
S olución: 80 Las intensidades de corrientes eléctricas
Corriente eléctrica 141d ********************************************************************************************** que circulan po r las resistencias R] y R2, son: P )1 /2 = ( 2,54 ) 1 /2 = U 3 A R 2,54 1/2 R
.
i=
P
40 W
V
120 V
- =
1 A
= - A
3
L uego, la resistencia a conectarse en serie con la lám para es: R = VMP = 100V
0,5
i
Luego, com o las resistencias R ls R 2, se cp nectan a la m ism a batería, se cumple:
1 /3 A
* R = 300Q
©
(R i + r ) j 1 = (R 2 + r ) i 2 = e r_
Solución: 83 * R epresentem os las corrientes que ingre san al nudo M, así:
*2 ^ 2 *2 —*1
R
(1,13X 2)- (2,25)(0,5)
-W r
2 ,2 5 -1 ,1 3 r« lfi Finalm ente, la fuerza electrom otriz (f.e.m) de la batería es: s = (2 + 1)(1,13)« 3,4 V ®
M
En la Fig., las resistencias de 4 O y 36 Q , están al m ism o potencial, por tanto: 4 i2 = 36ij
->
¡2=9.1!
* s = 3 ,4 V, r = l f i Solución: 81 • L a corriente eléctrica, es igual, a la sum a algebraica de las f.e.m ( e m),*dividí do entre
Luego, de la prim era ley de K irchoff, en el nudo M, se tiene: ii + i 2 = i
=>
ij + 9.ij = i
M i
10
la sum a aritm ética de las resistencias ( R n ), esto es: Z (± )E m ¡=
..
m.
n
80 + 40 - 20 - 30 _ 70 ^ 2 + y + 5 + f + _3 ' “ 14 * i= 5A
©
Solución: 84 • C ortocircuitar un acum ulador consiste en unir sus bornes con un conductor sin re sistencia, esto es:
IX i=
1
E
Solución: 82 • Según teoría, la co m en te que circula a través de la lám para es:
1420 F í s i c a * * ********************************************************************************************** L uego, la potencia disipada po r la resisten cia del acum ulador es: P=
8.ÍJ + 4.(ÍL- i 2) = 220 3.ij —i2 = 55
V2
(1)
A la m alla II:
R
4.(i2 - Í Q + 4.Í2 = 0 P=
(36)(100) 0,02
2.i2 = ¡i
2
(2)
D e (2) en (1): * P = 1800W
®
6.i2 - i 2 = 55
S olución: 85 • Según teoría, el valor eficaz de una co rriente de intensidad variable es: •
®
Solución: 87 • H allem os la resistencia equivalente de las cinco resistencias ubicadas en la parte su perior del circuito, así:
_ ^ 2"¡
>ef -
* u = 11A
2 lo
¡o = '-;2'ief = '.''2 (5 i2)
R
—
se anula I
m —
i0 = 10 A Com o la am plitud m áxim a de la f.e.m (s0), es 20, entonces el valor de la resistencia es:
.
60
(A 2Q
c — m — |
— m ,—
L -m — l
„
R/2
« —
1
A plicando la segunda ley de Kirchoff. A la m alla I:
R/2 h m — °
a R*"R h »— 1m — »
L uego, el circuito eléctrico reducido, queda así:
io n
f 4íl(T> -m — 4n
|— m —
©
Solución: 86 • Com o las resistencias de 8 O y 10 O están en cortocircuito, el circuito eléctrico equiva lente es:
220 V +
R ------R
10
* R = 20
1 %
R
R - E(l = 20 L
R —
r
io n -m —
•ion +r30 V
De m odo que, la potencia disipada en el cir cuito eléctrico es:
Corriente eléctrica 1421 ************************************************************************* 72 R
-i/\2 30^ 30 b
* P = 30 W
á>
©
S olución: 88 • Representem os el sentido de la corriente eléctrica en la malla: 2Q
A plicando la segunda ley de KirchofF. A la m alla I: 2.it + 2.(ij —i3) = 90
o -^W -W r—
0
2.ij - i3 = 45
8V 3Q
0)
A la m alla II:
10V
La intensidad de corriente eléctrica que cir cula por la m alla es:
6.i2 + 3 . (i2 + i3) = 90 3 .i 2 + i3 = 30
(2)
A la m alla III:
¡ = V = 10 = 2 A R 2+3
2-(¡3- Íi) + 3.(i3. + ¡2) = 0 Em pezando en ”b" (-) y pasando por la resis tencia de 2 Q llegam os a "a" (+), así:
2 .i5 ~ 3.i2 = 5 .I3
- V b + ( 2 ) ( 2 ) - 8 + Va ^ 0
Restando (1) m enos (2), y utilizando la ec.(3), obtenem os la intensidad i3 , así:
(3 )
Va - V b = 4 V 2.i, - 3 . i 2 - 2 .í3 = 15 E m pezando en "b" (-) y pasando por la resis tencia de 3 Q llegam os a "a" (+), así:
5 .Í3 - 2 .Í-, = 1 5
- Vb + 10 - (3)(2) - 8 + Va = 0
♦ i, = 5 A
Va - V b = 4 V
S olu ció n : 90 • R epresentem os el circuito eléctrico ini cial, así:
Finalm ente, la potencia consum ida en el cir cuito eléctrico es: P=
i e
= (2)(10)
©
R;
'D P = 20 W
©
S olución: 89 • R epresentem os el circuito eléctrico equi valente* así:
El voltaje en los bornes de la pila, para R » r (r / R *¡ 0) es:
■1422 Fisica++ ********************************************************************************************** s —i.r = 10
1+ r / R
= 10
=>
8- (
=>
s « 10V
R+r
).r = 10
a
R /2
r/2
h
o
VMr
Üti
O
o
R *= R
h
Hh
o
Luego, el circuito eléctrico reducido, queda así: R,=R
El circuito eléctrico, cuando se conecta los bornes de la p ila con un alam bre es:
i=0 6, r
6Q
• R/2
L a intensidad de corriente que circula por el alam bre es: . V 8 4,
i=
=
R
6
=
3
A
ISRJ2
■5R/7
D e otro lado, el voltaje en los bornes de la p ila es: s - i.r = 8
=>
* r=
10 - ( 4 ).r = 8 3
4
A sí, la resistencia equivalente entre "a" y "b" es:
= 1,50
* R e = (-*)(7) = 5Í2
S olución: 91 , * • H allem os la resistencia equivalente de las cinco resistencias ubicadas en la parte supe rior del circuito, así:
*
Solución: 92 E n el circuito eléctrico, la intensidad de corriente eléctrica es: 20
R
se anula I
-m R
R
—
c
hzT HIT
n
si -ío v
m
^
la
R
m — R
R iUt
m -M i— 22 n Ei =60 V mRi
K L »UT
h
®
I(± K i =
£ R n
6 0 -1 0 20 + 22 + 8
Corriente eléctrica 1423 ********************************************************************************************** i
50 50
V.ab
1=
:x 20
L uego, partiendo en "a", y pasando por la batería de 50 V, la diferencia de potencial en tre "a" y "b" es:
:6R /R + 6
8R + 12 R + 6
Va - ( 8 ) ( l ) + 6 0 - V b = 0 * Vab = - 5 2 V
®
\2
2=
(8R + 12)/(R + 6) Solución: 93 • U tilizando la sim etría que presenta el cir cuito, representem os los nudos que están al mismo potencial, así: R m»
2 T
uu
R f
R
T
R nm v
/
* R = 12Q
®
Solución: 95 • En el circuito inicial, reem placem os las resistencias de 5 Q y 10 O, conectadas en pa ralelo, por su resistencia equivalente. 7 ,5 0
R
p R
RÉ
1
3
R
^ R
rM n
R
-W n
A hora apliquem os la transform ación estre lia-delta a las resistencias de 6 Q , 6 O y 7 O , así:
R
~W r R
-é -
R R/2
R/4
R/4
= (6)(6) + (6)(7) + ( 6 )( 7 ) = 120 q
R
R
1
7
7
R/2
-m — m — m — m -
(6)(6) + (6)(7) + ( 6 ) ( 7 ) = 2 0 n 2
3R/2
-m * R e = (^ )(2 ) = 3Q
6 7,SÜ
©
Solución: 94 • Sustituyendo las resistencias R y 6 O , conectadas en paralelo por su equivalente, y aplicando la ley de Ohm, se tiene:
1424 Física++ ********************************************************************************************** R
(6)(6) + (6)(7) + (6)(7) = 2 0 n
Luego, de la ley de Ohm, el valor de la resis tencia "R" es:
6 „ V 117 R = tiR 0,117 * R = 10 Q
Así, la resistencia equivalente es R*-10 Q , luego, la potencia disipada, es:
®
S olu ció n : 97 • Para hallar el sentido de la corriente e léctrica, se escoge la batería de m ayor volta je , así: bi=2V e2=2V hi+i.-
p _ v 2 _ 5° 2 Re 10 0,5 0
* P = 250W S
L a intensidad de corriente eléctrica es:
N ota Se dice que una resistencia está en cor tocircuito, cuando por el no pasa corrien te eléctrica.
S olución: 96 • R epresentem os las corrientes eléctricas, que pasan por el voltím etro (#v ) y el ampe rím etro ( i R).
._ " i=
£m E „Rn 2+2
4 4 = • •A 0,5 + 3+ 1,5 3
Luego, la diferencia de potencial en los bor nes de las pilas "1" y "2" son: V1 = El - i . r ] = 2 - ( ^ ) ( l ) = ^ V
•iv r 'r M■ O -» A plicando la prim era ley de Kirchoff, en el nudo M , tenemos: Id + 1 v = 1 lu +
117 9000
= 0,13
i R = 0,117A
V2 = 82 - i . r 2 = 2 - ( 3 )(l,5) = 0 V
*V ,= V y V2 = 0 V ® 1 3 2 Solución: 98 • De la ley de Ohm, los valores de las re sistencias de los reóstatos, son: R , = 6 = 20 = 2,5 f í
Corriente eléctrica 1425 ********************************************************************************************** £ —i.R-2
R1 =
2 0 -(5 )(2 ,5 )
= 1 ,5 0 ©
*
R j = 1,5 Q , R 2 = 2,5 0
Solución: 99 • Para hallar la intensidad de corriente que pasa entre a y b, escogem os la resisten cia de la derecha, así: j _ r^inax -il / 2 R J i - 1 '8]1' 2 = 3 A 2 A hora, reduciendo el circuito eléctrico íní cial, tenemos: Wl
8
0— a
2 ÍÍ
b
Wfc
0
Wi-------- ® t
h
i
Luego, la potencia m áxim a que pueda disi par el sistem a de resistencias es: P = i2.R5 = (3)2.(3) * P = 27 W
B
S olución: 100 • H aciendo la transform ación estrella- del ta, a las resistencias de 1 O , tenemos: _ (1 )0 )+ 0 )0 )+ 0 )0 ) = 3Q 1
1
R, =
0 )0 )+ 0 )0 )+ 0 )0 ) = 30 1 ( 1) 0 ) +
R
a
=
0) 0) + 0) 0) = 3 0 1
D e m odo que, la resistencia equivalente del sistem a es:
* R e = (3)(1’5 ) = l f i 3 + 1,5
®
Solución: 101 • A plicando la segunda ley de Kirchoff. A l a m alla I: 5.¡! + 6 (i, —i2) = 2,1 11 .ij - 6.i2 = 2,1 A la m alla II: 6 (i 2 —ij) + 3 .¡2 —0
(1)
Física++
1426
**********************************************************************************************
(2)
Solución: 103 • R epresentem os en el circuito eléctrico, la intensidad de corriente "i".
2,IV
e=iao v
D e (2) en (1):
L a caída de potencial en la resistencia R4, es: V4 = i.R 4 = (2)(25) = 50 V
,3 . ( l l ) ( 2 i2) - 6.i2 = 2,l
El voltaje en los extrem os de las resisten cias R 2 y R3, es:
1 l.í2 - 4.i2 = 1,4 * i2 = 052 A
®
Solución: 102 • L a diferencia de potencial en los extre mos de las resistencias R ,, R2, R3 es: V = i2-R2 = (0,3)(20)
V=
e-
V í-V4
V = 1 2 0 - 4 0 - 50 = 30 V Y la intensidad de corriente que circula por la resistencia R 3, es: V 30 3 „ i3 — — —- A 3 R 3 20 2
V = 6 voltios
Luego, el valor de la resistencia R 2, es: L a intensidad de corriente que pasa por la re sistencia R 3 es: V 6 i3 = = = 0.4 A 3 R 3 15
r
2= v 2i —i3
= 30 2-3/2
* R 2 = 60 0
Luego, el valor de la resistencia Ri es: V Ri =
®
Solución: 104 • R epresentem os en el circuito eléctrico, la intensidad de corriente "i".
i " (i2 + i 3)
R. =
0 ,8 - ( 0 ,3 + 0,4) *
R j = 60 O
0,1
R3
®
Corriente eléctrica 1427 ********************************************************************************************** 5Q
H allem os la resistencia equivalente de las resistencias R¡, R 2, R 3 , conectadas en para lelo. 1 „ 1 R e ~ 40
1 40
1 _ 5 80 ~ 80
R e = 80 = 1 6 0 e 5
_ ( 8)(8)
Así, la intensidad de corriente que circula por el circuito es: 1=
K a
e
—
(4)(4)
1 =4+2=60
r
8+8
4+4
s
100 -= - - •= 2 A R e + R 4 16 + 34
L uego, el voltaje y la intensidad de corrien te en la resistencia R 2 es: V2 = i.R e = (2)(16) = 3 2 V l-> —
V,
32
R2
80
R„
' 3 i,6 ' U S 3+ 6 9
= 0,4 A sn -W r
* V2 = 32 V ; i, = 0,4 A ® Solución: 107 • Según teoría, el rendim iento de la pila, viene dado por: 0,8
=
>1,
s - i.r
1 0 - i.f l)
£
10
S E R IE l
2Q boLuego, la resistencia equivalente entre "a" y "b" es: * Ra = 5+ 2= 7 0
i =2 A
D
Luego, el voltaje en la resistencia R2, será, el voltaje en los bornes de la batería, m meenos el voltaje en las resistencias R] y R4, así:
Solución: 105 En el circuito eléctrico inicial, se obser v a que las resistencias R 2 y R 3 están en se rie, po r lo que sustituyendo por su resisten cia equivalente, tenemos:
V2 = 8 - 4 - 2 = 2V
8
* i = 2A;V2 = 2V
©
Solución: 106 • U tilizando el arreglo puente en un lado el circuito total, observe que la resistencia de 6 Q , puede cortocircuitarse, esto es:
Física++
1428
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A **** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
R e = 200 + 300 = 5 0 0 Q 8
R1 _ (1000)(400) _ 2000 (2000X500) = 4 0 ( )n 6
e " 1000 + 400 "
7
2000+500 e =100V 200
n -+ V >
L uego, com o el voltaje es directam ente pro porcional a la resistencia, el voltaje que indi ca el voltím etro es:
Com o la caída de potencial en el voltím etro es, 100 V, entonces: _ , 100 = (
2 0 0 0 /7 2 0 0 0 /7 + 200
V = (- - 400 )(100) - 400 400 + 100 . 5 r
* V = 80 voltios
•
* e = ©
S olución: 108 R educiendo el circuito eléctrico inicial: 8
R„ = 200 + 2 0 0 = 4 0 0 0
m
R ’f~ 2000/7 Q
340 2
= 170V
x )e
© ^
Solución: 109 • En la Fig., los extrem os de las cuatro resistencias, están conectadas a los puntos a=c y b, por lo que, están en paralelo, de mo do que la resistencia equivalente es:
Corriente eléctrica 142g ********************************************************************************************** 1
1 1 1 1 — + + + 3 9 6 18
Re
En la Fig., la intensidad de corriente que cir cula por el circuito eléctrico es:
1 _ 6 + 2 + 3 + 1 __ 12 R
~
18
. E m( ± ) £ m 1= S n Rn
~ 18
* Re = Q e 2
3 ,0 -1 ,5
®
Solución: 110 • E lijam os arbitrariam ente el sentido de las corrientes en las m allas (I) y (II).
.i 81 é -
:R
a
H >R , p
(i)
(I I )
m R
-* .8 2
* i = 1A
4n
En la Fig., aplicando la segunda ley de K ir choff, a las m allas (I) y (II), tenemos: (1)
(i, + i2) R] + (500 + 1500) i2 = 2 (2) De (1) en (2), obtenem os la intensidad de co rriente que registra el am perím etro, así:
8n
2000¿2 = 2 * ¡2 = 0,001 A
©
Solución: 111 • R epresentem os al circuito eléctrico, en la cual, las pilas estén conectadas en oposi ción.
©
Solución: 112 • Por sim etría, por las resistencias de 9 O, no circula corriente eléctrica, por lo que, des conectam os el centro del circuito inicial, quedando así: 4n
r
l + (i1 + i2) R i = l
_ 1,5
ljo + 0,2 + 0,3 ~ 1,5
4Q
1430
Física++
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* P = -5 0 W
©
®
N ota El signo (-) nos indica q u e la batería consum e energía, es decir, está en un proce so de carga eléctrica. 6 + 12
Solución: 114 • R epresentem os el sentido de las corrien te eléctrica en la m alla derecha, así:
18
* Re =4Q
®
S olución: 113 • A signando arbitrariam ente los sentidos de las corrientes eléctricas, el circuito eléctri co equivalente, queda así: 35V
—
Hl±“ 1 I
-q
20
:4 0
□
m —
20
Prim ero hallem os la diferencial de potencial (d.d.p) en las placas del condensador.
------
A plicando la segunda ley de Kirchoff. A la m alla I: =>
ij
N
i
ii
60
6 ij = 3 5 - 5
£
15V
— n *—
( a —
+q
5A
VPN = -q- = 80 ^ = 16 voltios C 5 pF Ahora, apliquem os la ley de O hm a la resis tencia de 4 Q: j - .L VpM R
_
16 V 4Q
=4A
A la m alla II: 2 i2 = 1 5 - 5
=>
i2 = 5 A
A sí, la corriente neta que pasa po r la batería de f.e.m 5 V es: i = ii + i 2 i = 5 + 5 = 10 A Luego, com o la corriente neta en la batería, pasa del borne (+) hacia el (-), la potencia que consum e la batería es: P = -i.e = - ( 1 0)(5)
En la m alla de la derecha apliquem os la se gunda ley de Kirchoff: s = i.R e = (4)(2 + 4) + e = 24 V
©
Magnetismo 143i i********************************************************************************************* imán del m ism o m odo que las líneas me ridianas rodean la T ierra pasando a tra v és de dos puntos en los extrem os opues tos de la esfera. A estos puntos se deno m ino los polos dfel imán.
M A G N E T IS M O
POLO
1. M A G N E T IS M O a) Historia • H ace 2 000 años en G recia, se sabía que ciertas piedras traídas de M agnesia (m ag netitas), atraían trocitos de hierro. El pri m er que estudio el fenóm eno del magne tosm o fue T ales de M ileto, filósofo grie go que vivió entre los años 625 a.n.e. y 545 a.n.e. • Los prim eros conocim ientos y experi m entos de m agnetism o proceden del com portam iento de los im anes naturales. • E n China, la prim era referencia a este fe nóm eno se encuentra en un m anuscrito del siglo IV a.n.e titulado Libro d el amo d el valle del diablo «La m agnetita atrae al hierro hacia sí o es atraída por é s t e » • El científico Shen K ua (1031-1095) es cribió sobre la brújula de aguja m agnéti ca y m ejoró la precisión en la navega ción em pleando el concepto astronóm i co del norte absoluto. A texander N eck ham fue el prim er europeo en conseguir desarrollar esta técnica, en 1187. • Polos del m ism o nom bre de dos imanes se repelen entre sí y polos de nom bres distintos se atraen.
*
N O R T E M A G N E T IC O TERRESTRE
•
• ■
■
■
■ •
•
E n 1 269 Pierre de M aricourt observa el alineam iento de una aguja en un imán es férico, m arcando las direcciones que se ñalaba la aguja. Estas líneas rodeaban el
E n 1 600 W illiam G ilbert descubrió el porqué una brújula se orienta, según, los polos m agnéticos terrestres.
•
E n 1 750, Jhon M ichell estudia la atrae ción y repulsión de los polos m agnéti eos, para lo cual, utiliza una balanza de torsión, estableciendo que la fuerza en tre los polos son de igual intensidad y va rían inversam ente con el cuadrado de la distancia entre ellas. L a ley de la fuerza existente entre dos po los m agnéticos es parecida a la que exis te entre dos cargas eléctricas. Es im posible aislar un sólo polo m agné tico. El conocim iento del m agnetism o se man tuvo lim itado a los im anes, hasta que en 1820, H ans C hristian 0 rs te d profesor de la U niversidad de Copenhage, descubrió
1432 Física++ ********************************************************************************************** que un hilo conductor sobre el que circu laba u na corriente ejercía una perturba ción m agnética a su alrededor, que llega ba a poder m over una aguja m agnética si tuada en ese entorno.
•
•
•
•
•
M uchos otros experim entos siguieron, con A ndré-M arie Am pére, Cari Fríe drich Gauss, M ichael Faraday y otros que encontraron vínculos entre el mag netism o y la electricidad. Jam es Clerk M axw ell sintetizó y explicó estas observaciones en sus ecuaciones de M axw ell. U nificó la electricidad, el m agnetism o y la electricidad en un solo cam po, el electrom agnetism o. H asta el presente no se ha dem ostrado experim entalm ente la existencia de car gas magnéticas positivas y negativas en los imanes que actúen de acuerdo a la ley de las fuerzas de Coulom b, com o ori gen del campo m agnético, exactam ente igual como las cargas eléctricas son la fuente de los cam pos eléctricos. En 1905, Einstein uso estas leyes para com probar su teoría de la relatividad es pecial, en el proceso mostró que la elec tricidad y el m agnetism o estaban funda m entalm ente vinculadas. El Electrom agnetism o continuó desarro liándose en el siglo XX, siendo incorpo rada en las teorías mas fundam entales com o la Teoría de cam po de gauge, elec trodinám ica cuántica, teoría electrodébil y finalm ente en el modelo estándar. R esum en
1) Corrientes paralelas se atraen o rechazan entre sí. 2) Las corrientes eléctricas son la fuente de todos los fenóm enos m agnéticos. b) A p licacio n es ' El m agnetism o esta presenta en casi to das las actividades que desarrolla el hom bre, sus aplicaciones han creado riqueza generando m ayor bienestar. 1) A gricultura.- M ediante la nanotecnolo gía se utiliza para generar sem illas con m ejores y m ayores características, mejo rando la productividad en el campo. 2) Salud.- Se utiliza en el tratam iento del cáncer, m ediante el m odelo m urino, que consiste en aplicar tecnología de nano partículas m agnéticas, para el reforza m iento de las células dendríticas afín de m ejorar la vascularización tum oral. 3) T ransporte.- L evitación m agnética de los trenes de pasajeros y carga, esta tec nología basada en la creación por super conductores de cam pos m agnéticos muy intensos, perm iten elim inar la fricción. A lcanzando los trenes grandes velocida des de alrededor de 400 a 500 km/h. 4) Inform ática.- Perm iten el alm acenam ien to de inform ación en los discos (CD, D V D, V CD , etc..), cintas m agnéticas, dispositivos de alm acenam iento rápido (D ataTraveler), cintas m agnéticas, burbu ja s m agnéticas, etc... 5) M otores.- E stos dispositivos eléctricos presentes en todas las m aquinas que transform an energía eléctrica en mecáni ca son de gran utilidad en la v id a diaria, tales com o licuadoras, lavadoras, aspira doras, taladradoras autom óviles eléctri eos, dispositivos de encendido, etc... 6) B iología.- Se utiliza en la orientación es pacial, de crecim iento y m ovim iento, me diante la utilización de los m agnetoso m as, los cuales, son estructuras que se
M agnetism o encuentran en m uchos seres vivos capa ces de orientarse según el cam po magné tico terrestre. Los m agnetososom as están formados por magnetita (Fe307) o greigi ta (Fe3S4), y m iden 50 nm de largo. 2. C A M P O M A G N E T IC O
•
Las características de las direcciones y sentidos de los vectores B y E , son coro pletam ente diferentes, pues:
1)
É siem pre está en la dirección radial r.
2) B es perpendicular al plano formado por r y " iA £ " . * D irección y sentido para B .
a)
C on cep to
’
i. Ai
R EG IO N DONDE EXISTE B
D ecim os que en cualquier región del es pació, existe un campo m agnético, cuan do, en cualquier punto de está reguión una carga eléctrica " q 0” (carga de prue ba) que se desplaza con una velocidad "v", experim enta una fuerza de origen m agnético F. En general, un cam po m agnético es crea do por un imán o una corriente eléctrica (cargas en m ovim iento) Para representar gráficam ente un campo m agnético, se utilizan las llam adas lí neas de fuerza m agnética, cuyas caracte rísticas, son sem ejantes a las líneas de fuerza que se utilizó para representar el cam po eléctrico. Las líneas de fuerza del campo m agnéti co son líneas cerradas, en un imán salen del polo norte e ingresan al polo sur. L a m agnitud del campo m agnético, es di rectam ente proporcional a la intensidad de corriente que lo crea. El cam po m agnético dism inuye inversa m ente al cuadrado de la distancia V ' al igual, que el campo eléctrico, en la ley de Coulomb.
i. Ai C onvención para representar la direc ción de los cam pos magnéticos; ®
0
Ingresa al papel
Sale del papel
'U n id a d : "B" se m ide en teslas (T) E jem p lo : L a corriente eléctrica en un alam bre rec tilíneo, crea un campo m agnético, cuyas líneas de fuerza form an circunferencias concéntricas, con centro en el alambre.
b ) Ley de Bio t-Sa vart-Lap la ce E sta ley nos perm ite establecer la mag nitud y sentido del vector de inducción m agnética B en un punto P cualquiera del cam po m agnético creado en el vació
1434 Física++ ********************************************************************************************** viene dado por:
por un conductor C que conduce una co rriente eléctrica de intensidad "i"
B = Ü L_! 4 ti d2 N'
I2
3 -
B=?
IMAN
siendo, " p 0" la constante de proporcio
Así, el vector inducción m agnética en el punto P es: • 4n
c
f
siendo, id
nalidad llam ada perm eabilidad magnéti ca en el vacío Las cargas m agnéticas ubicadas en los polos de un imán son iguales en m agni tud pero de signos contrarios.
b) A la m bre rectilíneo infinito L a m agnitud del cam po m agnético en un punto P, ubicado a una distancia "r" de un conductor muy largo, que conduce u n a corriente eléctrica "i" viene dado por: © b
_ tL
B=— 4n siendo, d f un diferencial del conductor, y "0" el ángulo que forman r y á i , res pectivam ente, com o se observa en la Fig. 3. C A M P O S M A G N E T IC O S G E N E R A DOS POR CUER POS Q U E CONDU C E N C O R R IE N T E S E L E C T R IC A S a) Imán La m agnitud del cam po magnético crea do por la carga m agnética ”q", ubiada en un polo del imán, a una distancia " d " ,
B=— — 2 7t d Las líneas de fuerza form an circunferen cias concéntricas, con centro en el con ductor. El sentido de B , se encuentra utilizando la regla de la m ano derecha. c) Ala m bre rectilíneo finito L a m agnitud del cam po m agnético en un punto P, ubicado a una distancia "r" de un conductor de longitud ’T \ que con duce una corriente eléctrica "i” viene da do por:
Magnetismo 1435 ********************************************************************************************** centro de curvatura de un conductor en form a de arco de circunferencia, que con duce una corriente de intensidad "i”, vie ne dado por:
® B
d!
h r~
...
\
c
B = — — (sen a + sen (3) 4 tí d d)
Esp ira circu lar de radio R La m agnitud del cam po m agnético en un punto P, ubicado en el eje que pasa por el centro de la espira que conduce una corriente eléctrica " i " , a una distancia "d” del m ism o, viene dado por:
r
4n R f)
Solenoide de N espiras circulares La m agnitud del cam po m agnético en un punto P, ubicado en el eje de sim etría que pasa por el centro de las espiras del solenoide de longitud "£", y que condu ce una corriente de intensidad "i", viene dado por: B=—
2
fí =
•
•
•
(eos 0 2 - eos 0 ,) e
1
2
í -r 2 2 ( d 2 + R 2)3' 2
En am bos casos, las líneas*de fuerza del cam po m agnético form an elipses, que ro deán al conductor. De la regla de la mano derecha, deduci m os que B , en el punto P, está en la di rección del eje de simetría. L a m agnitud del cam po m agnético en el centro "0" de la espira, obtenem os to mando d=0, así:
I5Ü Casos particulares: 1) El valor m áxim o de la inducción magné tica, corresponde al punto m edio del eje del solenoide, y viene dado por: HpNi max
i
z
r
V4R 2 + r 2 R e)
A rc o de espira circular de radio R La m agnitud del cam po m agnético en el
P ara un solenoide muy largo, cuya longi tud "£" es mucho m ayor que el radio "R " de sus espiras, se presentan tres ca sos:
1436 Física++ ********************************************************************************************** espiras del toroide, se encuentra entera m ente en su volum en.
2) L a m agnitud del campo m agnético en el centro del solenoide es: B=
HqN
í
i
siendo, " n" el núm ero de espiras por uni dad de longitud. 3) L a m agnitud del campo m agnético, en un punto situado en cualquiera de los dos extrem os del solenoide, y sobre su e je, viene dado por: i.N
B = pc
2 i
•
L a dirección de B coincide con la tan
•
gente a la circunferencia de radio "r", en todos sus puntos. El sentido d e B , dependerá del sentido
= p 0m
•
m o Bmin = p 0Ni/27tR1.
l ;Ponl
•
4) L a m agnitud del cam po m agnético, al in terior del solenoide, en un punto situado sobre su eje, y m uy alejado de sus extre m os, viene dado por: B=
K, N i c
i.N
Rj < r < R 2
L a m agnitud de la inducción m agnética en puntos situados en la línea del eje (cir cunferencia m edia de radio R m) del toroi de, viene dada por:
m = 271 Rm = ^ ° n 1
= p 0 ni
g ) To ro id e de N espiras c irc u la re s L a m agnitud de! campo m agnético, en un punto P, ubicado en una circunferen cia de radio "r", al interior del toroide, que conduce una corriente de intensidad "i", viene dado por: •
B= — 2K
de circulación de la corriente eléctrica, en el toroide. L a m agnitud del cam po m agnético en el interior del toroide dism inuye desde Bmax = hasta su valor míni
siendo, Rm=(R i+ R2) el radio medio, y " n ” el núm ero de espiras p o r unidad de longitud de la línea m edia del toroide. •
Cuando, R m -> co y "d" y "n " son cons tantes, el toroide se transform a en un solenoide de longitud infinita y su carn po m agnético es uniforme.
h ) C ilin d ro com pacto recto de longi tud infinita y radio R.
< bY
El cam po magnético creado por la co rriente eléctrica que circula por las "N"
1) Para puntos dentro del cilindro ( r la m agnitud del cam po m agnético, v dado por:
Magnetismo 1437 ********************************************************************************************** 2n R 2 2) Para puntos fuera del cilindro (r>R), la m agitud del cam po m agnético, viene da o por:
cha, con el dedo pulgar en el sentido de la corriente eléctrica. 2) Se gira la mano, el sentido con el que gi ra los nudos de los dedos, es el del cam po m agnético. ’ 5. F U E R Z A M A G N E T IC A
2n r 4. IN T E N S ID A D M A G N É T IC A (H )
a) Sob re una carga en m ovim iento L a fuerza m agnética sobre una carga puntual "q", que esta m oviéndose en u
Se denom ina intensidad m agnética H , la característica vectorial del cam po magné
na región donde existe un campo magné tico, es directam ente proporcional a la m agnitud de su carga y al producto vec torial de su vector velocidad v por el vector campo m agnético B , esto es:
co B , que para un m edio hom ogéneo isó ropo, se relaciona con B , así
F= qv x B
(1)
Po • H en un punto del espacio, es indepen diente de las características magnéticas del m edio que vienen dadas por la per m eabilidad m agnética u0. •
•
L a diferencia entre H y B e s que el pri m ero describe que tan intenso es el cam po m agnético en una región dada, en tan to el segundo es la cantidad de líneas del cam po m agnético por unidad de área pre sentes en esa m ism a región.
A esta fuerza se le denom ina fuerza de Lorentz. L a fuerza de Lorentz es siem pre perpen dicular a la velocidad de traslación de la partícula cargada y le com unica a esta una aceleración norm al, produciendo u n a variación en la dirección de su velo cidad más no en su módulo. %A v
Regla de la m ano derecha Se utiliza para hallar el sentido y la di rección del campo m agnético, consiste de los siguientes pasos: •
L a fuerza de Lorentz no realiza trabajo y la energía cinética de la partícula car gada no varia, al m overse en el campo m agnético.
•
Si v y B , forman un ángulo "0" entre sí entonces, la m agnitud de la fuerza mag nética sobre la carga "q" es: F = q v.B sen 0
I) Se tom a el conductor con la m ano dere
(2)
1438 Física++ **********************************************************************************************
• • •
Para, 0= tc/2, obtenem os un valor máxi mo de la fuerza. Para, 0=0°, no existe fuerza m agnética sobre la carga "q". Ahora, si la partícula de m asa "m " y car ga "q" se encuentra a la vez dentro de un cam po eléctrico y m agnético (campo electrom agnético), entonces la fuerza so bre la partícula es: F = qÉ + q v x B
(3)
A esta fuerza se le denom ina fuerza ge neralizada de Lorentz. b) C o n d u c to r rectilíneo.
•
^
en el diseño, construcción y funciona m iento de los m otores eléctricos. L a dirección de la fuerza m agnética se encuentra utilizando la regla de la mano derecha. N ota Se debe m encionar que la intensidad de corriente "i" que circula por el conduc to r rectilíneo, tam bién, crea su propio cam po m agnético B 0, que es diferente del cam po m agnético extem o B .
c) Entre dos co n d ucto re s rectilíneos
n f1
d
d
i2|1 F F
La fuerza que ejerce el campo m agnético externo B sobre el conductor rectilíneo de longitud " t" , que conduce una co rriente eléctrica de intensidad "i", viene dado por: .
i
F - ii x B
1 í
n
h\ 1
F
ATRACCION
REPULSION
L a m agnitud de la fuerza de interacción m agnética entre dos alam bres paralelos rectilíneos de longitudes " f , separados por una distancia "d", que conducen co rrientes eléctricas "ij", "¿2", viene dado por:
esta fuerza es perpendicular al plano for mado por el campo m agnético B y el conductor rectilíneo A su vez, la m agnitud de la fuerza m ag nética que experim enta el conductor rec tilíneo es:
F = l^o h k l 2n d L a fuerza será atractiva si las corrientes "i]", "i2" circulan en el m ism o sentido, caso contrario repulsivo.
F - ífB se n G
•
siendo "0" el ángulo form ado por B y el sentido de circulación de la corriente e léctrica. E ste tipo de fuerza m agnética se utiliza
6. T O R Q U E Y M O M E N T O D IP O L A R M A G N E T IC O a) T o rq u e m agnético C uando un circuito eléctrico que condu ce corriente eléctrica de intensidad "i” ,
M agnetism o 14 3 9 ********************************************************************************************** se encuentra en un campo magnético ex
define como el producto de la intensidad de corriente eléctrica "i" por el área "S" del circuito eléctrico, esto es:
tem o "B ", este experim enta un torque respecto de un eje fijo 0 0 ', cuya expre sión viene dada por:
?____ M = iS
x= iSx B siendo, S=a.b el área del circuito rectan guiar de lados "a" y "b". X X
\ t
& F’ \
X ]X X
Xi
x X
•
X B D X X
X
,x
X
\
X
X
X
0
t
•
1
....... J........ •
T eniendo en cuenta esta definición, la ex presión para el torque m agnético, puede escribirse así:
Este torque m agnético es perpendicular
= M
x
B
El sentido de M es el de avance de un tornillo derecho que gira en el mismo sentido que da la regla de la m ano dere cha.
c ) M ovim iento de una carga en ca m p o m agnético constante
un
al plano form ado por S y B
C uando la partícula de m asa ''m f' y car ga "q", se mueve con velocidad “v” per pendicular a las líneas del cam po magné •
A su vez, la m agnitud del torque magné tico que experim enta el circuito eléctrico en presencia del cam po m agnético B es: x = íSBsenG siendo, "0" el ángulo variable que for m an en cierto instante el campo m agnéti co B y la perpendicular N al plano que contiene al circuito.
b) M om ento dipolar m agnético Es una cantidad física vectorial, que se
•
tico B , la fuerza en este caso hace variar solam ente la dirección de la velocidad, más no su m agnitud, esta fuerza estará dirigida hacia el origen del radio de cur vaíura (fuerza centrípeta), de modo que la partícula describirá una trayectoria cir cular, ya esta fuerza es constante tanto en m agnitud com o en dirección. D e otro lado, de la segunda ley de N ew ton se tiene que la m asa por la acelera ción centrípeta, debe ser igual, a la fuer za m agnética sobre la partícula de carga "q" :
1440 Física++ ********************************************************************************************** Fc = m — = q.v.B r
( 1)
siendo, "r" el radio de la trayectoria cir cular que describe la partícula. De la e c .(l), despejando la velocidad tenemos: v=
q.B.r m
d) Representación gráfica A hora, representem os la gráfica del mo vim iento de una partícula de carga nega tiva y positiva, que se m ueve en un pía no que es perpendicular a las líneas del vector campo m agnético B. L a partícula ingresa perpendicularm ente al campo m agnético, con una velocidad v .
(2)
Com o, v = co.r, entonces considerando es to en la ec.(2), obtenem os la frecuencia del m ovim iento de la partícula. co =
q.B m
(3)
Para hallar el vector frecuencia angular co, considerem os que la aceleración li neal se expresa en función de la frecuen cia angular y de la velocidad lineal co mo: a = co x v (4)
B entra al papel co sale del papel, el sentido del recorrido de la partícula es antihoraria.
Por otra parte, de la segunda ley de New ton, se tiene: F = m .a q (v x B ) = fn (Ó x v) Esta expresión se puede escribir también así: [m co + q.B] x v = 0 Com o v * 0 , entonces la expresión entre corchetes debe ser nula, esto es:
S = -ÍB m
(5)
se observa que la dirección de la frecuen cia angular co es opuesta a la del campo magnético B .
B entra al papel y co entra al papel, el sentido del recorrido de la partícula es horaria. 7. E N E R G ÍA Y D E N S ID A D D E E N E R G IA M A G N E T IC A a) Energía m agnética (W M) P ara un conductor (circuito eléctrico) con coeficiente de autoinductancia "L" la energía del cam po m agnético B , es unm éricam ente igual al trabajo que se debe hacer para vencer la f.e.m ( £ ) de autoinducción y establecer la intensidad de corriente "i” , es decir:
Magnetismo 1441 **********************************************************************************************
w,M = !
2
l .í 2
en esta fórm ula "i" es el valor final de la intensidad de corriente que circula en el circuito eléctrico. La energía m agnética en una región del espacio de volum en "V", donde existe un cam po m agnético, viene dado por: WiM
=í
W
M .dV
L a energía del cam po m agnético en un m edio isótropo no ferrom agnético crea do por "N" contornos de corrientes de ¡n tensidades il9 ¡2,...,Ín ©s: ,
IN
wM
M kf i k.if z k,r=i
siendo "M k(¡" el; coeficiente de induc ción m utua de los contornos k, £, y M kk = L k el coeficiente de autoinduc ción del contorno "k".
siendo " w M” la densidad de energía del cam po m agnético B , y "dV" un diferen cial de volum en. E jem plo: L a energía m agnética de un solenoide de longitud área de sección transversal ” S", de "N" vueltas que conduce una co rriente de intensidad "i" es: Wm = ^ „
hN 2¡2S / í
siendo, "p" la perm eabilidad m agnética relativa del medio.
9. L A S L E Y E S D E K IR C H O F F a) C ircu ito m agnético Se llam a circuito m agnético el conjunto de cuerpos o zonas del espacio en que se ha concentrado el campo m agnético. Los circuitos m agnéticos son u n a parte im prescindible de las m áquinas eléctricas y m uchos dispositivos eléctricos. b) Ley de O h m para circu ito s m agné ticos L a expresión m atem ática de esta ley, vie ne dada por:
b) D ensidad de energía m agnética L a densidad de #energía*de un campo m agnético B es la energía contenida en la unidad de volum en del campo magné tico, es decir: wM =
dW,M dV
siendo, dW M y dV los diferenciales de e n ergía m agnética y volum en respectiva m ente. L a densidad de energía de un campo m agnético en un m edio isótropo y no fe rrom agnético es: WM =
1 B -»2" = Í B . H = V n H 2 2 p 0p 2 2
O siendo,
=
el flujo m agnético, constan
te a lo largo de cada zona del circuito; = ¡ N , la fuerza m agnetom otriz: N el núm ero de espiras de la corriente magne tizante "i", y " R m' \ la resistencia mag nética o reluctancia total del circuito. c ) Reluctancia (R mi) L a reluctancia de la parte del circuito de longitud " í" , y de área de la sección transversal constante "S" es:
1442
Física++
**********************************************************************************************
siendo, "|i" la perm eabilidad relativa de la parte dada del circuito, y ”p 0” la per
f)
C a m p o m agnético terrestre En prim era aproxim ación, el cam po mag nético terrestre coincide con el cam po ex terior de una esfera im antada uniform e m ente. En la Fig., se observa que la i m antación interna de la esfera form a un ángulo de 15° con el eje de rotación te rrestre, los polos geográficos norte y sur se denotan con N q y 'S G. L a línea puntea da indica el plano del ecuador magnéti co, y las letras N M y SM designan los po los m agnéticos norte y sur, respectiva mente. O bsérvese que las líneas del cam po m agnético salen de la superficie por todo el hem isferio sur m agnético e ingre san por el hem isferio norte.
•
El cam po m agnético fuera de la tierra, puede crearse m ediante una pequeña ba rra im antada ubicada en el centro de la tierra con sus polos norte y sur orienta dos hacia los polos m agnéticos sur y ñor te terrestre. El cam po m agnético dentro de la tierra es diferente del campo m agnético creado por la barra im antada situado en su cen tro. Inclinación m agnética.- Se llam a así al ángulo que form a el cam po m agnético te rrestre con la horizontal. D eclinación m agnética.- Se llam a así al ángulo que form a la com ponente hori zontal del campo m agnético terrestre con la verdadera dirección norte-sur.
m eabilidad del vació. d) Prim era ley de Kirchoff Para los circuitos m agnéticos derivados (bifurcados), la sum a algebraica de los flujos m agnéticos en las ramas del circuí to que concurren en un nudo, es igual a cero, esto es: 1 ^ = 0 .
•
siendo, "n" el núm ero de ram as o secto res que concurren en un nudo, com o se observa esta ley es análoga a la ley de K irchoff para circuitos eléctricos. El flujo m agnético se considera positivo, si las líneas de inducción confluyen en el nudo. Si estas líneas salen del nudo, el flujo m agnético 3>m se considera negad vo.
e) S e gunda ley de Kirchoff En cualquier contorno cerrado elegido ar bitrariam ente de un circuito magnético bifurcado, la sum a algebraica de los pro ductos de los flujos m agnéticos por las reluctancias Rm¡ de los correspon dientes sectores del circuito, es igual a la sum a algebraica de las fuerzas m agneto m otrices , aplicadas a este contorno, esto es:
siendo, "k" el núm ero de sectores del cir cuito m agnético, que com ponen el con torno cerrado, Om¡ y £mj se consideran m agnitudes positivas, si el sentido de las líneas coinciden con el sentido, arbitra riam ente elegido, de recorrido del contor no.
•
Magnetismo
1443
* *********************************************************************************************
PROBLEMAS 01. La Tierra posee un campo m agnético, donde el polo norte geográfico "coinci de" con el polo sur m agnético, por tanto: a) El polo N de una brújula se orienta hacia el polo sur m agnético terrestre. b) El polo S de una brújula se orienta hacia el polo norte geográfico. c) La aguja de la brújula se orienta arbitra riam ente en cualquier dirección. d) La fuerza de la gravedad en los polos es grande debido a la fuerza m agnética te rrestre e) El cam po m agnético terrestre es muy pe queño y no puede afectar a una aguja m agnética. a) FFV V V b) V V FFF c) FVFVF d) FFV V F e) FVFV V 02. En los vértices de un triángulo equiláte ro de lado 10 cm se ubican dos cargas m agnéticas: qi =2, l . M A .m y q2=3,5 M A.m . H allar el m ódulo del campo mag nético resultante en el tercer vértice. a) 41 T d) 47 T
b) 43 T . c) 45 T ' e) 49 T
03. Cada polo del im án recto de longitud 48 cm tiene una carga m agnética de 625 A.m. H allar el m ódulo del campo magné tico en el punto "P ". Considere: tg 74° = 24/7.
a) 1,0 mT b )3 ,2 m T c)l,4 m T d) 1,6 mT e) 1,8 mT
04. L a esferita de peso 4 N y carga m agnéti ca Sur de valor 0,6 A.m, unida al hilo es tá en equilibrio en presencia del campo m agnético uniform e B . H allar "B"
d) 4 T
e) 5 T
05. El imán de peso 20 N unido por uno de sus polos a una cuerda está en equilibrio en un campo m agnético uniform e de mó dulo B=5 T. H allar la carga m agnética "q” de cada polo. '///{//A B
E
a) 1 A .m b) 2 A.m c) 3 A.m . d)4A.m e) 5 A.m 06. El imán de peso 24 N, de cargas magnéti cas q=3 A .m está unida a una cuerda po r uno de sus polos m agnéticos, y está en equilibrio en un campo m agnético u niform e de módulo B=4 T, hallar el va lor de "0".
1444
Física++
* *********************************************************************************************
b) 37
a) 30 d) 53°
c) 45 e) 60c
07. Ei im án de peso 10 N, y carga m agnética en cada polo de 2 A.m, está en un campo m agnético uniform e externo de módulo B - 2 T. Si el imán está atado exactam en te en sus polos, hallar la razón de las tensiones en ios hilos T 2/T i .
(1) y (2) separados por 6 cm, conducen corrientes eléctricas "2i" y "3i". ¿A qué distancia del conductor (1) el módulo del cam po m agnético es nulo? 2i
6cm
(l)
b) 6
a) 3
a)10cm b)12cm c)14cm d) 16 cm e) 18 cm
(2)
(l)
d) 1/3
c) 9
b) 1 T d) 3 T
i i. Por el conductor de longitud semiinfmi ta circula una corriente de intensidad 0,5 A. H allar el m ódulo del campo magnéti co en el punto "P".
e) 1/6
08. Dos conductores rectos muy largos per pendiculares entre si, conducen corrien tes eléctricas "i". H allar el módulo del campo m agnético en un punto, situado a la m ism a distancia de los condoctores. a) 0 T
c) 2 T e) 4 T
A 37"
09. Las espiras circulafes concéntricas de ra dios " R jV 'lV (R-i =2R 2) conducen co m e n tes " i f , =2i2). H allar el módu lo del cam po m agnético en el centro co m ún " O 1.
a) 1 jiT
c) 2 T e) 4 T
Í0 . Los conductores rectilíneos muy largos
i
b) 2 |iT c) 3 jit e)5 u T
12. P or el conductor en form a de L que esta en un campo m agnético uniform e de mó dulo 2 T, circula una corriente de intensi dad 1 A, además: PQ =30 cm y QR=4 cm, hallar el m ódulo de la fuerza total so bre el conductor. P •
a) 0 T
Xl
(* —4cm — * | d) 4¿iT
4
d) 3 T
(2)
®B
1
M a g n e tis m o a) 1 N
b) 2 N d)
6
N
e) 8 N
c) 4 N *
x
*
x
x b*
13. U na partícula de m asa despreciable y car ga "q" ingresa horizontalm ente con rapi dez de 2 0 0 m /s a un campo electrom ag nétíco, describiendo una trayectoria rec ta, siendo B=50 mT. H alle el m ódulo del campo eléctrico hom ogéneo.
a) 1 T
19.
a) 10 N /C b) 12 N /C c) 14 N /C d) 16 N /C e) 18 N /C 14. Un electrón m oviéndose horizontalm en te de izquierda a derecha ingresa a un cam po m agnético y experim enta una des viación vertical hacia abajo. H allar la di rección del cam po m agnético. b)
a)
d) < -
¿C uál de los diagram as representa mejor el campo m agnético alrededor de un a lam bre conductor, en el cual los electro nes están m oviéndose en las direcciones m ostradas? b) a) -i ___( B
c)
iB fa íW á
e) t
15. H allar el m ódulo del cam po m agnético en el centro de una espira circular de ra dio R=2 cm, por el cual circula una co rriente eléctrica de intensidad i=0,5 A. ( p o=47t.l0-7) a) 271 p T
b) 3tt p T d) 5rt p T e)
671
X B
c) 4n pT pT
e)
•
16. H allar el módulo Bel cam po m agnético en un punto P, ubicado a u na distancia d=4 cm de un alam bre recto muy largo que conduce una corriente eléctrica de in tensidad i=600 mA. ( p 0 = 47 T. 10"7, micro
18.
=p=10-6) a) 1 pT
b) 2 T c) 3 T 4T e) 5 T
d)
N o existe cam po magnético.
Se m uestra tres conductores rectilíneos m uy largos que conducen corrientes de intensidades ii= i 2 =(6/7)i3, ¿En qué pun to entre AC el campo m agnético es nu lo, si A B=BC=5 cm?
B
A
•©
¡1
¡2 5cm
17. El alam bre rectilíneo de longitud i - 1 m, m asa m -5 gram os, conduce una co rriente eléctrica de intensidad i=0,05 A y está en equilibrio. H allar el módulo del campo m agnético. (g = 1 0 m /s2)
C
©•
b) 2 pT c) 3 pT d) 4 pT e) 5 pT
¡3
Scm
H a ) l , 0 cm d) 20.
b ) l ,5 c m c ) 2 ,0 cm 2,5 cm e) 3,0 cm
Indicar las proposiciones verdaderas (V)
1446 Física++ ********************************************************************************************** I.
ó falsas (F): Ei campo m agnético debido a un conduc tor muy largo por el que circula una co rriente dism inuye proporcionalm ente al cuadrado de la distancia del conductor.
II. Las líneas de B nunca divergen desde un punto del espacio. III. El campo m agnético debido a un elemen to de corriente dism inuye proporcional mente al cuadrado de la distancia a este elemento. a) FVV
b) FVF d) VFV
a) 1/3
b) 1/6 d) 6
c) 1/9 e)9
23. Las espiras idénticas de radios 30cm se encuentran en plaftos que forman 60° en tre sí, y sus centros coinciden. H allar el m ódulo del cam po m agnético resultante en el centro común 0. (i = V J A)
c) VVF e) FFV
21. L as espiras idénticas de radios 5 cm se encuentran en planos m utuam ente per pendiculares, y sus centros coinciden. H allar el m ódulo del campo m agnético resultante en el centro com ún 0 de las espiras. (i=V 2 A)
a) 1 P0T
b) 2 p 0T d) 4 p 0T
c) 3 p.0T
e )5 p 0T
24. L a partícula de carga " q 0 ", m asa "m" in gresa con rapidez "v 0" a una región don de existe un campo m agnético uniforme " B " . ¿Cuál será su rapidez de salida?
d ) 4 0 p oT
d ) 5 0 p oT
22. Las espiras de radios "3a'' y "a" son pa ralelas. ¿Para qué razón "ij / i 2 ", el cam po m agnético en el punto P es nulo?
d) v0/2
e) V0/4
25. El cam po m agnético de la T ierra en el E cuador es horizontal, apunta hacia el N orte y su m agnitud es aproxim adam en te de 1,0.10 4 W b/m 2. H allar el módulo de la fuerza sobre una línea de transmi sión de longitud 100 m que conduce una corriente de 0,7 A de O riente a Poniente. a) 1 m N b) 3 mN c) 5 mN d) 7 m N e) 9 mN
M a g n e tism o 1447 ********************************************************************************************** 27. Los tres alam bres m uy largos y paralelos "A ", "B" y "C" conducen corrientes e léctricas. H allar el m ódulo de la fuerza que actúa sobre 25 m del alam bre "C".
lado 2 m.
( p 0 = 471.10 7 , n=10y)
X
X
X
X
X
x
X
N
y
/L y BVx X
f
X
X
a) 1 N
3cm
a) 10 nN b) 20 nN c) 30 nN d) 40 nN e) 50 nN 26. Dos partículas idénticas ingresan a un cam po m agnético B uniform e con velo cidades v 5y v 2 = 2 v j, perpendiculares a
I.
B, respectivam ente. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas (V) ó falsas (F). L a partícula de velocidad Vj describe u na circunferencia de m ayor radio que la de velocidad v 2 .
II. A m bas partículas dem oran el mismo tiem po en com pletar una revolución. III. L a partícula de rrtayor velocidad v 2 rea liza una revolución com pleta en la m itad de tiem po que le tom a a la de m enor ve locidad Vj. a) FVF
b) VVF c) VFV d) V FF e) FFV
28. Por el circuito m ostrado circula una co m e n te de intensidad i- 2 A, y se encuen tra en un cam po m agnético uniform e de m ódulo B = l,5 T perpendicular al plano del circuito. H allar el módulo de la fuer za sobre el trozo L M N del circuito, si LM N forman un triángulo equilátero de
X
X
X
X
X
X
X
1
X
\ x /
X
X
b) 2 N d) 6 N
5cm
\
X
MX \
X
X
0,4A 0,5A 0,2A
X
X
c) 4 N e) 8 N
29. Un protón de m asa m= 1,6.10'27 kg y car ga eléctrica q = l,6 .IO ’19 C se mueve en u na trayectoria circular, dentro de un cam po m agnético uniform e de m ódulo B=2 T. H allar el período de su movimiento. (n-10"9) a ) 1 5 ,7 n s b ) 3 1 ,4 n s c) 62,8 ns d) 26,4 ns e) 13,2 ns 30. U n electrón de m asa m = 9,1.10'31 kg, car ga eléctrica q = -l,6 .1 0 '19 C, ingresa con rapidez v=16.106 m/s perpendicularm en te a un cam po m agnético uniform e de m ódulo B=1 T. H allar el radio "R" de la trayectoria circular que describe el elec trón. (p = 1 0 ‘6) a) 9,1 p m b )9 ,3 p m c) 9,5 d) 9,7 p m e) 9,9 p m
pm
31. U n electrón de m asa m =9,1.10'31 kg y carga eléctrica q = -l,6 .1 0 '19 C, gira en tra yectoria circular de radio R - 6 cm, bajo la acción de un cam po m agnético unifor m e de m ódulo B= 2 T. H allar la energía cinética del electrón.. (n=10'9) a) 0,2 nJ
b) 0,4 nJ c) 0,6 n j d) 0,8 nJ e) 1,0 nJ
32. U na carga puntual q=2.10'8 C se mueve
1448 Física++ ********************************************************************************************** con velocidad v = 800i m/s dentro de un
tica. g=10m /s2 ; p=10"12
campo m agnético uniform e de m ódulo B =2 T, contenido en el plano YZ forman do 45° con el eje Y. H allar el m ódulo de la fuerza m agnética sobre la carga "q".
a) 1 pN
( m-=
36.
io "6)
a) 30 p N b) 32 p N c) 34 p N d) 36 p N e) 38 p N 33.
L a partícula de caíg a +q y peso despre ciable se m ueve sin desviarse entre los a lam bres paralelos muy largos que condu cen corrientes eléctricas de intensidades i2= 2i,. H allar la razón de las distancias b/a.
Se m uestran las trayectoria de tres parti cuias, respecto del signo de sus cargas; indicar las proposiciones verdaderas ó falsas. X
X
X
/
X
A C U Í..-X
X
a b
X
* C d - V ?x X
X
X
X
X
a) 1/2
X
x *»
x
x
37.
X
b) VVF e) VFF
c) FVF
Un deuterón de m asa m =3,2.10'27 kg y carga eléctrica q= V,6.10'I9*C acelera del reposo debido a una diferencia de poten cial de AV =225 V, e ingresa perpendicu larm ente a un cam po m agnético de mó dulo B=0,5 T. H allar el radio de la tra yectoria circular que describe el deute rón. a) 1 m m b) 2 m m c) 4 mm d) 6 mm e) 8 mm
35.
b) 1/3 d) 3
I. L a carga de la partícula A es positiva. II. La carga de la partícula B es negativa. Til. La partícula C está descargada. a) V V V d) FFV
- O — v q
B
B ° - ¿ ..................
34.
b) 2 pN c) 4 pN d) ó pN e) 8 pN
Un ión de carga q = 5.10'i9 C ingresa con rapidez de v=107 m/s a un campo magné tico uniform e de m ódulo B=2 T, forman do un ángulo de 0 = 37° con dicho cam po. H allar el m ódulo de la fuerza magné
Dos electrones ingresan perpendicular m ente a un campo m agnético uniform e de m agnitud B - 2 T, con energías cinéti cas Ec,i =64 p.J y Ec ,2 = 16 u J. H allar la razón de los radios (R i/R 2) de las trayec torias circulares que describen los elec trones. C arga e= -l,6 .1 0 ‘19 C, m asa m= 9,1.10'3! kg a) 1/2
b) 2 d) 3
38.
c) 2 e)4
c) 1/3 e) 4
Las espiras idénticas de radios 25 cm es tán en planos m utuam ente perpendicula res, y sus centros coinciden. H allar el m ódulo del cam po m agnético resultante en el centro com ún 0. (i =V 3 A)
M agnetism o 1449 ********************************************************************************************** a) 1P 0T
b ) 2 p 0T
d ) 6 p 0T
c) 4 p 0T
e ) 8 p 0T
b) 2B d) 4B
b) 4 p 0T d ) 8 p 0T
39. R especto del campo magnético B crea do por una corriente circular. ¿En cuánto aum enta el módulo del cam po m agnéti co, si el radio de la espira se duplica y la intensidad de corriente se sextuplica? a) B
a) 2 p 0T
c) 3B e) 5B
43. H allar el m ódulo del cam po m agnético en el centro com ún de infinitas espiras de radios R, 2R, 4R, 8R,...que conducen corrientes eléctricas en el m ism o sentido de intensidades 0,8 A, y que están en un m ism o plano. (R=20 cm) a ) l p 0T
40. Por el alam bre muy largo circula una co rriente de intensidad i=3 A. H allar el mó dulo del cam po m agnético en 0.
c ) 6 p 0T
e ) 1 0 p oT
b ) 2 p 0T d ) 4 p 0T
c) 3 p 0T
e) 5 p 0T
44. L os alam bres paralelos muy largos que conducen corrientes eléctricas están si tuados en los vértices de un cuadrado de lado 20-\/2 cm. H allar el m ódulo del cam po m agnético en el centro 0, si: i=V 2 A y p = 10'6, p 0 = 4tc . 10 '7.
/ R =25cm
\60u/ i® -
oV a ) l p 0T
b ) 2 p 0T d) 4 p 0T
41.
c) 3 p 0T
e ) 5 p 0T
Las intensidades de corriente eléctrica por los alam bres paralelos (1) y (2) es ¡i=i2= 6 mA. H allar el módulo del cam po m agnético resultante en C. (n=109)
•®3i
a) 1 p T
b) 2 p T d )6 p T
c) 4 p T
e)8 p T
50 c m
©:
©
37
p 0 = 471.10
-7
C
a) 1 nT
b) 2 nT d) 4 nT
c) 3 nT e) 5 nT
42. H allar el m ódulo del campo m agnético en el centro com ún de 20 espiras de ra dios R, R/2, R /3,...que conducen corrien tes eléctricas en el m ism o sentido de intensidades 0,02 A, y que están en un m ism o plano. (R -21 cm)
45. L os alam bres paralelos muy largos con ducen corrientes eléctricas de intensida des i=0,2A, y están situados en los vérti ces del triángulo equilátero de lado a= 10 3cm . H allar la m asa por unidad de longitud del alambre situado en C, si es te esta en equilibrio. s@-
¡® '
1450 Fís¡ca++ **********************************************************************************************
0,5 cm.
a) 1 pg/m b) 2 pg/m c) 4 pg/m d) 6 pg/m e) 8 pg/m
i
46. En el sistem a de tres alam bres paralelos m uy largos que conducen corrientes eléc tricas, ¿C uántas veces m ayor se hace la fuerza m agnética sobre el alam bre C, si intercam biam os las posiciones de los alam bres A y B? a
a) 11 A/m b) 13 A /m c) 15 A/m d) 17 A /m e) 19 A /m
7
1
50.
J
B
a
a) 3/5
b) 5/3 d) 5/4
47.
ó a
a
c) 4/5 e) 5/6
L a corriente de intensidad i =20 A, que circula por el anillo de alam bre de resis tividad p = l,7 .1 0 '8Q.m y área de sec ción transversal S = lm m 2 crea en el cen tro del anillo una excitación m agnética H =200 A/m. H allar la diferencia de po tencial en los extrem os del alam bre que form a el anillo. (m =10‘3)
Si a una partícula de carga - q se le sum i nistra en el centro de la sem icircunferen cia una velocidad v , ¿En qué dirección actúa la fuerza m agnética sobre dicha partícula ? V *?
a) ->■
b)
48.
c) T a) 347: mV b ) l? 7 :m V c )5 l7 :m V d) 68 tt mV e) 4571 mV
e) ® •
U na m uestra de hierro está en un campo m agnético de excitación H=10 O e y in ducción B = l,4 T. H allar la perm eabili dad m agnética "ja" de la m uestra de hie
51.
rro .(p o=47r.l0"7 H/m , 3 Oe =1/4tt 103 A/m) a) 1340 H /m b) 1360 H/m c) 1380 H/m d) 1400 H /m e) 1420 H/m 49.
Los alam bres m uy largos que encuentran en planos perpendiculares entre sí condu cen corrientes eléctricas de intensidades í¡= 120ti mA, ¡2=907: m A . H allar la ex citación m agnética en el punto P, si d=
Por el arrollam iento de una bobina de longitud m uy grande y constituida de un alam bre de diám etro D=G,8 m m circula una corriente de intensidad i= l A. H allar el m ódulo de la excitación m agnética al interior de la bobina. a) 1 250 A /m b) 1 350 A/m c) 1 150 A /m d) 1 050 A/m e) 1 450 A/m
52.
El m ódulo del cam po m agnético al inte rior (sobre su eje) de un solenoide de N -4 0 0 espiras circulares, que conducen
Magnetismo
1451
***************************************************************************************¿4£¿¿££ una corriente de intensidad i = 0,5 A, es B = 8 ti. 10'4 T. H allar la longitud del solé
a) l mA (< -) b) 1 mA (-» ) c) 2 mA (< -) d) 2 mA (-» ) e) 3 m A (-» )
noide. ( p 0 = 47T.10-7 H/m) a) 5 cm
53.
b) 10 cm c) 15 cm d) 20 cm e) 25 cm
Por dos alam bres rectos paralelos, muy largos, separados una distancia d=0,4 m m , circulan corrientes eléctricas en sen tidos opuestos de intensidades igual a i= 6 A. H allar el m ódulo del cam po magné tico en un punto ubicado en la recta que une am bos alam bres, a la distancia a= 0,2 mm del prim ero y b=0,6 mm del se gundo. ( p 0 = 4tí.10'7 H/m, m =10 3)
56.
cula p o r la b o b in a .,^ = 4 n .l0 -7 H/m. a) 1,1 A
57.
a) 1 m T b) 2 m T c) 3 mT d) 4 mT e) 5 mT 54.
P or una bobina rectangular de N =500 vueltas, y lados a=5 cm, b=10 cm, circu la una corriente de intensidad i= l A. Ha llar el torque m áxim o de rotación sobre la bobina, en presencia de un campo m agnético uniform e de m ódulo B=2 T.
58.
X
X
X
b) 3ji pT c) 4n pT d) 5 ti pT e) 6 ti pT
U na carga puntual q=20 q C se mueve cia de un cam po magnético hom ogéneo de m ódulo B=0,5 T, paralelo al plano XY, form ando 37° con el eje X. H allar el m ódulo de la fuerza m agnética sobre la carga. (m =10’3)
9
X
Por una circunferencia de radio R -2 0 cm g ira una carga eléctrica q=6.10‘5 C, con una frecuencia de f= 1 5 '1 rev/s. H a llar el m ódulo del campo m agnético en el centro de la circunferencia. (ju0=4tc. 10'7 H /m ; p=10'12)
con velocidad v = 5 0 0 j (m /s) en presen
55. Si la varilla de longitud i =60 cm, peso W = 2 4 0 p N que está suspendida por un
X
b) 1,3 A c) 1,5 A d) 1,7 A e) 1,9 A
a) 271 pT
a) 1 N .m b) 2 N .m c) 3 N ,m d) 4 N .m e ) 5 N .m
par de resortes, se introduce en el cam po m agnético uniform e de m ódulo B=0,4 T, se duplica la deform ación del resorte. H allar la intensidad y sentido de la co rriente "i" que circula por la varilla.
En el centro de una bobina circular de N =40 espiras, diám etro D=32 cm y sec ción transversal despreciable, el m ódu lo del cam po m agnético es B =3.10'4 T. H allar la intensidad de corriente que cir
a) 1 mN d) 4 mN 59.
b) 2 m N c) 3 mN e) 5 mN
U n alam bre recto que conduce una co rrie n te 'd e intensidad i=5 A en la direc ción +Y, es paralelo al eje Y en x = 3 m, z=-4 m. H allar el m ódulo del campo m agnético en el origen de coordenadas (H 0 = 4 7t. 10 '7 H /m ; n=lO"9) a) 0,1 pT b) 0,2 pT c ) 0 ,3 p T d) 0,4 pT e) 0,5 pT
1452 Física++ ********************************************************************************************** 60. El alam bre horizontal muy largo AB con duce una corriente de intensidad i = 5 0 A. E! alam bre CD de m asa por unidad de longitud X = 5 .1 0'3 kg/m , puede mo verse hacia arriba y hacia abajo m ientras hace contacto eléctrico en los puntos CD. H allar la altura "h ", para la cual, el alambre CD está en equilibrio. (g=10 m/s2) i i i
c
D h
A
i
B
a ) 0 ,5 c m b ) l ,0 c m c ) l,5 c m d) 2,0 cm e) 2,5 cm 61. En el centro de una espira conductora, cuyos extrem os están a una diferencia de potencial V =2 voltios, la excitación m ag nética es "H ". Si al aplicar una diferen cia de potencial V ' a una espira de radio dos veces m ayor del m ism o conductor, la excitación m agnética en el centro es "H ". H allar la diferencia de potencial ( V '- V ) . a) 1 V
b) 2 V d) 6 V
c) 4 V e) 8 V
62. Un electrón de m asa m e= 9,1.10‘31 kg, carga eléctrica e = -l,6 .1 0 '19 C, acelerado por una diferencia de potencial de AV= 300 voltios, se desplaza paralelam ente a un conductor rectilíneo y m uy largo a la distancia d= 4 mm del mismo. H allar el m ódulo de la fuerza que actúa sobre el e lectrón, si por el alam bre circula una co rriente d e intensidad i = 5 A. (f= l 0 '15)
ducen a cierta velocidad v perpendicu larm ente a un campo magnético unifor m e B . H allar la razón del período de la partícula "a " (T2) a la del protón (Ti). a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 8
64. H allar el m ódulo de la fuerza centrípeta que actúa sobre un electrón de carga e=1,6.10 19 C, m asa m=9,1.10"31 kg que se m ueve en una órbita circular de radio R =0,4.10 '10 m con velocidad angular co= 2.1 0 15 rad/s. (n=10‘9) a ) ll,6 n N b ) 1 2 ,6 n N c ) 1 3 ,6 n N d) 14,6 nN e) 15,6 nN 65. Se tiene un solenoide en cuyo interior la excitación m agnética es H =300 Oe, la in tensidad de corriente i = 6 A, y el alam bre de su arrollam iento un diám etro D=1 mm. ¿C uántas capas forman el arrolla m iento del solenoide, si las espiras se a rrollan una a continuación de otra? (El diám etro del solenoide es m ucho menor que su longitud, 1 Oe =1 03/4 tc A/m) a) 1 capa b ) 2 capas c ) 3 capas d ) 4 capas e ) 5 capas 66. L a espira de radio R=20 cm que conduce una corriente de i 1=4 A y el alambre recto muy largo que conduce una corrien te de Í2=4 ti A están en un m ism o plano. H allar el m ódulo del campo magnético en el centro de la espira. /
¡i R / • •" z / V i /
■'
a) 0 ,lfN b) 0,2 fN c) 0,4 fN d) 0,6 fN e) 0,8 fN 63. Un protón y una partícula " a " se intro
a ) l p 0T
b) 2 p 0T
d ) 4 p üT
c ) 3 p 0T
e ) 5 p 0T
Magnetismo
14S3
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
67. L a espira de radio R=25 cm que condu ce una corriente de ii=2 A y el alambre recto m uy largo que conduce una co rriente de i2=3 ti A están en planos per pendiculares entre si. H allar el módulo del cam po m agnético en el centro de la espira. (d=50 cm)
a ) l p 0T
b) 2 p 0T
d )4 p 0T
lan por los alam bres rectos paralelos muy largos. (a=10 V3 cm) a) 2 p 0T (—») b) 2 p 0T (< -) c) 4 p.0 T (—>) d ) 4 MoT (< -) e) 5 p 0T (< -) 70. L a espira de radio R=10 cm y el alambre de longitud m uy grande se hallan en un m ism o plano, y conducen corrientes de intensidades ¡ ^ 0 ,2 'A y i2=0,27i A. En el punto de contacto P la espira y el alam bre están aislados. H allar el m ódulo del cam po m agnético en el centro 0 de la es pira.
c ) 3 p 0T
e ) 5 p 0T
68. H allar el m ódulo del campo magnético resultante en el punto P, debido a las co rrientes eléctricas que circulan por los a lam bres paralelos rectos muy largos, si: d=10 cm y i = 2,4 n A. a ) l p 0T
b ) 2 p 0T
d) 4 p 0T
a) 1 0 p oT
b ) 1 5 p 0T
d) 25 p 0T
c ) 2 0 p oT
e ) 3 0 p oT
c ) 3 p 0T
e) 5 p 0T
71. U n electrón de energía cinética Ec~ 4,55.10 '19 J, ingresa perpendicularm ente a una región del espacio de ancho a= 0,15 cm, donde hay un cam po m agnético uniform e de m ódulo B=2,275m T. H allar el ángulo de salida "0" si: m =9,1.10'31 kg.y e = -l,6 .1 0 '19 C. B
69. ®
¡3
A
X
X
X
•x
X
X
X
*X
X
X
X
X
X
X
X
m,e<
®
. n.
®
H allar el cam po m agnético en el punto P, creado por las corrientes eléctricas de intensidades ii= i2=i3=0,6 n A, que circu
b) 37
a) 30 d) 53°
c) 45 e) 60°
1454 Física++ ********************************************************************************************** 72. Por la espira circular de radio R=10 cm, doblada por uno de sus diám etros en án guio recto, circula una corriente de inten sidad i = 1 A. H allar el módulo del cam po m agnético en el punto O.
*P
a) 10 nT
a) 2 ,0 p oT
b) 2 ,4 p 0T
d) 3,2 p 0 T
c ) 2 ,8 p 0 T
e) 3,4 p 0T
b) 15 nT c) 20 nT d) 25 nT e) 30 nT
76. El toroide se enrolla uniform em ente con "N " vueltas de alam bre por los que circu la una corriente "i” . El radio interior del toroide es "a" y el exterior "b". H allar la relación "a / b" tal que la m agnitud de la excitación m agnética H en el toroide no varié en más de un 20 %.
73. L a excitación m agnética al interior de un solenoide de longitud t = 2 0 cm y diáme tro D=5 cm, es uniform e y su m agnitud es H =12,6 Oe. H allar la diferencia de po tencial en los extrem os del arrollam iento del solenoide, si éste es un alam bre de cobre de diám etro d=0,5 mm y resistivi dad p = 1,7.10'8 Q .m . d) 3/2 a) 2,70 V b) 2,72 V c) 2,74 V d) 2,76 V e) 2,78 V •
74. ¿C uántos am perios-vuelta se necesitan para que en el interior de un solenoide de diámetro muy pequeño y longitud t 30 cm, la densidad volum étrica de ener gía del cam po m agnético sea de 1,75 J/m 3? a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500 75. H allar la m agnitud del cam po magnético en el punto P, ubicado a una distancia d = \/3 R c m del centro de la espira circu lar de radio R=7t cm, por el cual circula una corriente eléctrica de intensidad i= 8 m A ( p o=4-rc.l0'7 , n = 1 0 9)
e) 3/4
77. Se tiene un conductor cilindrico com pac to de radio R=20 cm, que conduce una corriente de intensidad i=4 A, distribuí da uniform em ente sobre su sección. Ha llar la m agnitud del campo magnético en un punto ubicado a una distancia r=10 cm del eje del cilindro. a) 1 p T
b) 2 p T ' d) 4 p T
c) 3 pT
e) 5 pT
78. L a espira rectangular de lados a=40 cm, b - 5 0 cm, conduce una corriente de inten sidad i = 5 A, y se halla en un campo m agnético, dado por: B = 2 ( 3 /5 i + 4 /5 j) T. H allar la m agnitud del torque m agnétj co sobre la espira, alrededor del eje Z.
Magnetismo 1455 ********************************************************************************************** de aire t7, = 1 cm, el núm ero de espiras del arrollam iento del toroide N =1000 y la intensidad de corriente i = 20A, la in ducción del cam po m agnético en el entre hierro es B |= 1 ,6 ’T. H allar la permeabiH dad m agnética relativa del núcleo de hie rro. a) 430 d) 436 a ) l,0 N .m b) 1,2 N .m c ) l,4 N .m d) 1,6 N .m e) 1,8 N.m
83.
79. Un alambre recto de longitud f = 4 m , que conduce una corriente de intensidad i = 10 A, en la dirección j , se encuentra dentro del cam po m agnético B = 0,05i (T). H allar la fuerza m agnética sobre el alambre. a) 2 k N
d) 31,6
b ) -2 k N c) 0,2 k N d) -0,2 k N e) 4 k N
Por dos alam bres, rectilíneos y paralelos, separados por una distancia d=IO cm cir culan corrientes en el m ism o sentido y de intensidades i] = 2 0 A y i2 =30 A. Ha
c) 85 pJ
a) 4 9 ,0 % b) 49,2 % c ) 4 9 ,4 % d) 49,6 % e) 49,8 % 82.
La longitud del núcleo de hierro de un to roide es i-, = 2,5 m, y lavdel entffehierro i
b) 2 d) 4
85.
Si una espira circular de radio " R " , que conduce una intensidad de corriente "i", dism inuye su radio a la m itad, ¿En qué porcent^e_ varía la excitaciórr m agnética en un patito de su eje, situado a una dis tancia " R ” de su centro?
c )3 1 ,4
H allar la razón entre la longitud "£" de una bobina y su diám etro " D" para que
a) 1
81.
b) 31,2 e) 31,8
la excitación m agnética en el centro la bobina pueda hallarse utilizando la m uía de la excitación m agnética de solenoide infinito. El error tolerado debe ser m ayor del 5 %.
llar el trabajo por unidad de longitud, que hay que hacer, para separar a los a lam bres hasta la distancia de 20 cm. a) 81 pJ b) 83 pJ d ) 87 p j e) 89 p j
c) 434
Por un alam bre recto muy delgado AB, circula una corriente de intensidad i = 20 A. H allar la excitación m agnética (en A/m) en un punto C situado en la perpen dicular al punto m edio del alam bre a una distancia d=5 cm. El alam bre AB desde C se ve con un ángulo de 60°. a) 31,0
84. 80.
b) 432 e) 438
de fór un no
c) 3 e) 5
Por dos alam bres largos, rectilíneos y pa ralelos, separados por una distancia "d", circulan corrientes de igual m agnitud y sentido. Si para separar estos alam bres a una distancia dos veces m ayor se hace un trabajo por unidad de longitud de W= 2,22pJ/m . H allar la intensidad de corrien te " i" . (p o=47i,10'7 H/m) a) 1 A
b) 2 A d) 4 A
c) 3 A e) 5 A
86. U r^qleetrón de carga e = -l,6 .1 0 ''9 C, y
1456 Fisica++ ********************************************************************************************** m asa m =9,1.10' kg se introduce con ve iocidad v=4.107 m/s, perpendicularm en te a las líneas de fuerza de un campo m agnético de m agnitud B =10'3 T. H allar la m agnitud de la aceleración centrípeta del electrón. (P = 10l5)
cuadrado. a) 32 A/m b) 34 A /m c) 36 A/m d) 38 A7m e) 40 A /m
87. L a excitación m agnética en el centro de una espira circular de radio R = 1 1 cm es H=0,8 O e. H allar la excitación magnéti ca en el eje de la espira a la distancia d=10 cm de su plano. (p o=47t.l0'7 H/m); 1 O e=103/47t A/m)
91. U n condensador dé capacidad C=10 p F se carga periódicam ente de una batería que produce una diferencia de potencial de AV = 120 voltios y se descarga a tra vés de un solenoide? de longitud í = 10 cm con N =200 espiras. El valor m edio de la excitación m agnética en el interior del solenoide es H =3,02 Oe. ¿Cuántas veces por segundo se produce la conmu tación del condensador? (1 O e=1000/4n A /m ; ¿ » D )
a )2 5 ,0 A /m b) 25,2 A /m c) 25,4 A/m d) 25,6 A /m e) 25,8 A/m
a) 50 s'1 b) 10 s"1 c) 80 s'1 d) 100 s"1 e) 500 s '1
a) 1 Pm /s2 b) 2 Pm /s2 c) 3 Pm/s2 d) 4 Pm/s2 e) 5 Pm /s2
88. Se tiene un solenoide de longitud £ = 2 0 cm y sección transversal de diámetro D=5 cm. ¿Q ué error en porcentaje se co m ete al determ inar la excitación magné tica en el centro del solenoide conside rándolo infinitam ente largo? a) 1 % d) 4 %
b) 2 % e)
c) 3 % 5%
89. Elnúcleo de hierro de un toroide tiene perm eabilidad m agnética p = 800, longi tud í 2 = 1 m, área de su sección trans versal A=25 cm2 m y la longitud del en trehierro £x = 1 cm, si el flujo magnético creado es O = 1,4.105 Mx. H allar la can tidad de am perio-vueltas del toroide. (1 M x = 10~8 W b ; (p o-4 7 t.l0 -7 H/m) a) 5011
92. U na partícula " a " cuyo m om ento de la cantidad de movim iento es M = l,3 3 .1 0 ’22 kg.m 2/s se introduce perpendicularm ente a la dirección de un cam po m agnético u niform e de m ag-nitud B = 2,5.10'2 T. Ha llar la energía cinética de la partícula " a " . (e = l,6 .1 0 '19C ; mp=l,6.10~27 kg ; 1 e V = l,6 .1 0 'i9 J ) a) 500 eV b )5 1 0 eV c) 520 eV d) 530 eV e) 540 eV 93. En el circuito cerrado form ado por dos sem icircunferencias de radios a=10 cm y b=20 cm, circula corriente eléctrica de intensidad i = 2 A. H allar el cam po mag nético en el punto P.
b) 5013 c) 5015 d) 5017 e) 5019
90. P or un cuadrado form ado con un alam bre de longitud £ - lm , circula una co rriente de intensidad i = 10 A. H allar la excitación m agnética en el centro del
a) 9,40 p T
b) 9,42 p T
d) 9,46 pT
c) 9,44 pT
e) 9,48 pT
Magnetismo 1457 ********************************************************************************************** * BR = 49 T
SOLUCIONARIO a) b) c) d) e)
Solución: 01 Verdadero. Verdadero. Falso Falso, la fuerza de gravedad no depende del campo m agnético terrestre. Falso, los navegantes usan la brújula, de bido a la orientación que produce el cam po m agnético terrestre.
Solución: 03 • R epresentem os los cam pos m agnéticos en P, creados por los polos separados una distancia de (5 i /6) =40 cm.
Solución: 02 • R epresentem os los cam pos m agnéticos creados po r las cargas m agnéticas Q i, Q2 en el tercer vértice del triángulo. L os m ódulos de los cam pos m agnéticos Bj
Qi
y B 2, de cada uno de los polos es: B i = B 2 = k A = 10"7 ^ ? ^ d2 (0,25) B, = B2 = 1 mT
Los m ódulos de los cam pos m agnéticos Sj y S 2 en el tercer vértice son:
Luego, del m étodo del paralelogram o, el mó dulo del cam po m agnético resultante en el punto "P " es: Bp = B f + B 2 + 2 B¡ .B2 eos 74°
B' = k ^
= I0 " 7 7 ¿ T ^ = 2 1 T (1 0 -y
b £ = 1
1 +
2 (1 )(1 )(U )
* Bp = 1,6 m T
B2 = k 3 | = 10-7 ^ = 35T d (1 0 -1)2 Luego, del m étodo del paralelogram o, el mo dulo del cam po m agnético resultante en el tercer vértice es:
+
®
Solución: 04 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre la carga m agnética (q).
B | = B2 + B ¡ + 2Bj .B2 eos 60° F=qE
B r = (21)2 + (3 5 )2 + 2 (2 1 )(3 5 )(i) w
1458 Física++ ********************************************************************************************** En el triángulo de fuerzas form ado por el pe so (W ), la tensión (T) y la fuerza m agnética, se cumple: o F tg 37u= — 6 W 3
3 q.B => - = i — 4 W
M ^f MJ W ( i sen 0) = F (2 £ cosO)
0,6.B
4~
Solución: 06 • A plicando la segunda condición de equ] librio respecto del punto "A ", tenem os:
=>
4
B=
( 3 ) 0
0 )
( 6)
* B =5T
tg 0 =
2F (O
W
©
Solución: 05 • Representem os las fuerzas que actúan so bre la barra imantada. F
D e otro lado, el m ódulo de la fuerza magnéti ca es: F = q.B w F = (3 )(4) = 12 N En la vertical, com o la barra im antada está en equilibrio, se cum ple que: F+T=W +F T = W = 20 N . De otro lado, tom ando m om entos respecto del punto A, tenemos:
F (2a) = W (a)
(2)
De (2) en (1), obtenem os el ángulo, así: tg 9 = m
=> 0 = * " ( , ) 24 N = 45
©
Solución: 07 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre la barra im antada. D .C .L (im án ) t
2
W F = — = 10 N 2 Luego, el m ódulo de la fuerza m agnética es: F = q.B
=> 10 - (q)(5 )
* q = 2 A.m
W = 10N
En la vertical, com o la barra im antada está en equilibrio, se cum ple que:
Magnetismo 14Sg ********************************************************************************************** Tj + T 2 = 10 N
(O
B2 está saliendo, de m odo que, que el módu lo del cam po m agnético total es:
De otro lado, aplicando m om entos respecto del punto A, tenemos: M *+
m
£ =
m
B = B ,- B 2 b
J
= Ho ! _ P o i 27t r 27c r
W (a) + F (2a) = T2 (2a)
* B=0
10 + 2 F = 2 T2
(2)
El módulo de la fuerza m agnética es:
Solución: 09 • Las espiras de corriente crean su propio cam po m agnético por separado así:
F = q.B = (2)(2) F = 4N
(3 )
De (3), (2) y (1), obtenemos: T2 = 9 N y T, = 1 N T->
©
T,
•
Solución: 08 Representem os los cam pos m agnéticos
En la Fig., com o Bj y B2 están en direc ciones opuestas, el m ódulo del cam po mag nético total en el centro de las espiras es: B = B, - B
B ¡, B2 en el punto P, creados por las co rrientes eléctricas (1) y (2).
P
JZ_ 2 R2
B = ifo (A Í3 ----- Í3_) 2 2 R7 R ,
©
* B=0
Las direcciones de estos cam pos m agnéticos son opuestas, pero sus m ódulos son iguales, esto es: Bi — B t — ¡¿o i 271 r En la Fig., B, está ingresando al papel y
Solución: 10 R epresentem os los cam pos magnéticos. 3i
2i B2
Bi
1460 Física++ ********************************************************************************************** En la Fig., para que el módulo del campo m agnético en P sea nulo, Bt y B 2 deben ser iguales en módulo, pero de direcciones o puestas, es decir: 'V
B, = B-> p 0 (2 i) ^ p 0 (3 i) 2 ít (x)
Q
27r(x + 6)
R
Así, el m ódulo de la fuerza m agnética sobre este alam bre equivalente es: x
x+ 6 F = i L E B sen 90°
* x = 12 cm
F = (1)(0,5)(2)(1) Solución: 11 • R epresentem os el cam po m agnético en el punto P, creado por la corriente eléctrica, saliendo del papel.
Í®
* F=1N
®
Solución: 13 • R epresentem os las fuerzas eléctrica PE y m agnética FM, sobre la carga (+q)
b
XL 4m Luego, de la ley de Biqt-Savart^ tenemos: B = i^ _ !_ (eos 37° + eos 0o ) 471 R b
= (4!U 0 ^ ) ( 5 0 ) 4 ti (3) * B = 3 pT
En la Fig., com o la partícula no se desvía de su trayectoria, la fuerza eléctrica "F E" se e
4
quilibra con la fuerza m agnética "F m ", esto
5
es: = fm
© q E = qvB sen90°
Solución: 12 • R epresentem os la fuerza m agnética (F ), sobre el alam bre equivalente de longitud (L e) situado entre P y R, que reem plaza al a lam bre en form a de L.
E = (200)(50.10-3 )(1)
* E = 10 — C
®
Magnetismo 1461 ********************************************************************************************** Solución: 14 • Representem os los vectores velocidad, fuerza m agnética y cam po magnético.
B=
(0,005)(10) (0,05)(1)
* B = 1T
©
electrón
Solución: 18 • Representación en el punto P, de los cam pos m agnéticas, creados por cada una de las corrientes eléctricas. ' U tilizando la regla de la mano derecha, B debe ser perpendicular al plano form ado por v y F , y estar saliendo de el, a)
c
B •
0¡3
¡2
L f l ,
Solución: 15 • Ei módulo del cam po m agnético, en el centro de la espira, viene dado por:
En la Fig., para que el campo m agnético re sultante (B ) en el punto P, sea nulo, debe cum plirse que:
2 R B= (
471.10- 7 , ,5.10’ -)( 2.10"2
* B = 5 7i . l O-6 T
B = —Bi + B-> —B-; = 0 B 2 = Bj + B
©
Solución: 16 • La m agnitud del cam po m agnético en el punto P, viene dado por: B= — — 2 tc d B=
47C.10-7 600.10-3 271
5cm
Po 2n ( 5 - x )
Po h_ + .Po 2n x 27t ( 1 0 - x)
7 i, = -Í- + (5 -x ) x 6 (1 0 -x ) 1
1
7
(5 -x )
x
6 ( 1 0 - x)
6 (10 - x )(2x - 5) = 7 (5 - x)
4.10-2 x 2 - 2 3 x + 60 = 0
* B = 3.10-6 T
© X] = 20
Solución: 17 • Com o el alam bre está en equilibrio, el módulo de la fuerza m agnética, es igual, a su peso, esto es: U .B = m.g
( no )
;
x2 = 3
* x = 3 cm
( s i) ©
Solución: 19 • D ado que el sentido de la corriente eléc trica es opuesto al del m ovim iento de los e
F ísica+ +
1462
********************************************************************************************** lectrones, el diagram a correcto es la c).
I.
Solución: 20 El m ódulo del cam po magnético creado por un conductor m uy largo que condu ce una corriente "i", a una distancia "r" de el, viene dado por: B=
= ^ -L 2 R
Luego, el m ódulo del campo m agnético re sultante (Br ) en O eé: B r = [B2 + B 2 ] i/2
Mo i
Br = V 2 B = ' ( V 2 ) ( ^ A ) R 2 0,05
2n r
com o se aprecia es inversam ente propor cional a la distancia "r". (F) II. Las líneas del cam po magnético nunca divergen, desde un punto cualesquiera del espacio. (V) III. Según la ley de B iot-Savart, un elemento de circuito de longitud " A f a través del cual circula una corriente "i", a una dis tancia "r" de el, crea un cam po magnéti co de módulo: AB
b
* BR - 2 0 p oT
B.
Solución: 22 • Representem os en el punto P, los cam pos m agnéticos, creados por cada una de las corrientes eléctricas.
p 0 i A(? senB4 tx
com o se aprecia, el campo magnético dism inuye inversam ente proporcional mente, según el cuadrado de "r". (V) Así, la respuesta correcta la a). #
Solución: 21 • R epresentem os en 0 los cam pos magné ticos de igual m ódulo, creados por cada una de las corrientes.
En la Fig., para que el m ódulo del campo m agnético resultante (B) en P, sea nulo, de be cum plirse que: B = B, -B . = 0 B-> —Bi
Mo
i2 (3 a)‘
2 [(3a)" + a " ]
J. & Mo 2i3/2 2 [a¿ + (3 a ) ¿ ]
* í = 9 '2
Los m ódulos de cada uno de estos campos m agnéticos son:
©
Solución: 23 • R epresentem os los cam pos m agnéticos de igual m ódulo, creados p o r cada una de las corrientes.
Magnetismo 1463 ********************************************************************************************** 2
m — = q(. v B sen 90° R 0 B R
m Com o, q0, B, R y m son_constantes, también "v" será constante, luego la rapidez de salj da será igual a "v0". Los m ódulos de cada uno de estos campos m agnéticos son: B = Mo_ _L 2
Solución: 25 • El m ódulo de la fuerza ejercida sobre la línea de transm isión es:
R
F = i í B sen 0
Luego, de la ley de coseno, el m ódulo del cam po m agnético resultante en el punto 0 es:
F = (0,7)(100)(l,0.1CT4)(sen 90°)
Br = [B2 + B2 - 2 B2 eos !20°]1/2
*
B r = [2 B 2 + 2 B2 sen 30°]l/2 I. B r = 7 3 B = (V 3)(Ho ^ 2 0,30^ B r = 5 hc T
©
F = 7 .1 0
N
Solución: 26 U na partícula som etida a un cam po mag nético uniform e "B ", describe una tra yectoria circular, de radio igual a: R=
m.v 7
Solución: 24 • R epresentem os a le carga eléctrica (q0) ingresando perpendicularm ente al campo magnético,
-3
b
Luego, com o v 2 = 2v¡ la partícula de ve locidad V2 describe una circunferencia de m ayor radio. (F) II. El tiem po que dem ora una partícula en dar una vuelta com pleta, viene a ser el período, cuya expresión es: T=
2tt m eB
En la Fig., la fuerza centrípeta es la fuerza m agnética ejercida po r B sobre la carga q0, así: F C
=
Com o las partículas tienen la m ism a car ga e igual m asa, entonces tienen el mis mo periodo. (V) III. Por II), las partículas tienen el m ism o pe ríodo. (F) La respuesta correcta es la a).
1464
Fisica++
a * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Solución: 27 • Representem os las fuerzas magnéticas que actúan sobre la corriente eléctrica C.
A
B
f* = 2 F v FR = 2,F sen 30°
C Fa c
1 0 A
30A
fuerza resultante sobre el tram o LM N es:
..........
F bc
F^ = (2)(¡ £ B sen 6) sen30°
20A Fr = (2)(2)(2)(l.5)(sen 9 0 °) ( | )
3cm . 5cm En la Fig., el m ódulo de la fuerza neta que actúa sobre la corriente C es: F = Fbc - Fac f = Po_ iB.ic c 2%
d BC
Solución: 29 • En la Fig., la fuerza m agnética (F M) so bre el protón, es la fuerza centrípeta (Fc), esto es:
iA.ic £ 2:t
FM = Fc
d AC
2
f
= 2 |0 -I [ ( W
) .Í M 5
q v B s e n 90° = m — R
) M 8
* F = 40.10-9 N
®
<<:La dirección de "F" es horizontal hacia la derecha55
(2 n .R /T ) q.B = m ------------R XV X _ X X X
X .*x
«
Solución: 28 • R epresentem os las fuerzas m agnéticas que actúan sobre los trozos AC y CB.
e, m
X
/
X.* X
X I X fm
X
¡
" ,
X*»
X
f
B
X
X -X
i
R
X X
X
X
X «X
X \ X
X
X X/
X
X
X
X X
T =
( 271) 0 , 6 . 1 Q ~ 2 7 ) ( 1, 6 . 1 0 ~ , 9 ) ( 2 )
* T = 31,4.10"9
En la Fig., las com ponentes horizontales (FH) de F se anulan entre sí, de m odo que la
s
®
Solución: 30 • R epresentem os el movim iento circular del electrón en presencia del cam po magné tico.
Magnetismo 1465 ********************************************************************************************** XX
X XX X 5 -W . X X.--- X )j X■•« x/ X X
X B X
X^M X X
x:i x
x 0 . x x Ri
*xí
X
X
X
XX X/
XXX
v=
q.B.R m
Luego, la energía cinética del electrón en todo instante es: f 1 2 E r = —m.v c 2
X X q 2 .B2.R 2 Er =
En la Fig., la fuerza centrípeta es la fuerza m agnética, esto es: Fm = Fc
2m
(1,6.1CTl9)2(2 )2( 6 .K r 2)2 Er- =
(2)(9,1.10-31) q.v.B.sen 90° = m — R *
Ec
= 0,2.1(T 9 J
®
R = m .v/q.B
R =
(9 ,l.l0 ~ 3') ( l,6 .l0 6) (1,6.10-!9)(1)
Solución: 32 • L a fuerza m agnética sobre la carga eléc trica, viene dado por: FM = q v x B
+
R = 9 , L I O '6 m
Solución: 31 • R epresentem os el m ovim iento circular del electrón en presencia del cam po m agné tico. x x
x x .
x : x x :
X
FM = 1 6 .1 0 '6( V 2 k - x / 2 j)
x *
^ :.q (w _ rv B X.-'' X IX ' X X
X
X
x
¡2 R Fm = (2 .1 0 - s )(800 i ) x ( 2 ^ j + 2 ^ - k )
x
x
"' -X
X
X
X
r Mx
x
x
x
R
x:
X
X
X
/ X
X
X
plicando la segunda ley de N ew ton para mo vim iento circular, tenemos:
Luego, el m ódulo de la fuerza m agnética so bre la carga "q" es: * FU = 3 2 .10-6 N
q v B sen 90° = m — R
®
Solución: 33 De la regla de la mano derecha, deduci
1466
Física++
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
mos que la respuesta es la e). Solución: 34 • R epresentem os el m ovim iento circular del electrón en presencia del cam po magné tico. X
X
X
X
Solución: 35 • La m agnitud de la fuerza m agnética so bre el ión es: F = q.v.B.sen 0 F = (4 ,8 .1 0“ 19 )(107 )(2)(sen 37° )
XX
+ F = 5,8.10“ 12 N
•
©
Solución: 37 R epresentem os los cam pos m agnéticos
B j, B 2y las fuerzas m agnéticas Fj, F2 so bre la partícula de carga +q. La energía potencial eléctrica del deuterón, se transform a totalm ente en su energía cine tica, esto es:
4
rV
-
®
-
F2 | © B ;
1 7 q.AV = - m.v 2
v = [2 q.A V /m ]
1/2
0)
Ahora, de la segunda ley de N ew ton para m ovim iento circular, tenemos:
Para que la partícula no se desvíe, los mó dulos de las fuerzas m agnéticas Fj, F2 deben ser iguales, esto es: F1 = F2
Fm = Fc
qvB , = qvB 2 Po 1 l = Po Í2 a 2n a
q v B sen 90° = m — R
2 tz
q.B.R
( 2)
m
© a
i.
De (1) y (2), obtenem os el radio, así:
B „
Solución: 36 • La razón >de las energías cinéticas de los electrones, viene dado por:
q
, 1 „ (2 )(3 ,2 .1 0 -27)(22 5)l l / 2
R = f e )[ * R = 6.H T 3 m
E c>1 _ e2B2R 2 /2 m
1
Ec
®
Ri _ R7
.2
R2
~~ e 2B2R 2 /2 m ” R 2
sc,iy/2 _ ( 64 Py/2 JC,2
1 6
p '
Magnetismo 1467 ********************************************************************************************** *
* AB = 2 (— —) = 2 B ® v2 R
^ = 2 R,
Solución: 38 • R epresentem os en 0 los cam pos m agnéti eos de igual m ódulo, creados por cada una de las corrientes.
Solución: 40 • L os corrientes qué circulan p o r los alam bres rectos no contribuyen al cam po mag nético resultante en 0, luego, p o r proporcio nalidad el cam po m agnético creado por la corrientre en form a dq arco de circunferen cia, será la sexta parte del creado p o r una co rriente circular, esto es: B r = I ( H o _L) = ! ( P o J L j R 6 2 R 6 2 0,25 * BR = l p 0 T
L os m ódulos de cada uno de estos campos m agnéticos es: •
B = Po * 2 R
®
Solución: 41 R epresentem os los cam pos m agnéticos
Bj y B 2 en el vértice C, creados por las corrientes eléctricas ii y i2.
Luego, el m ódulo del cam po m agnético re sultante (BR) en 0 es: BR = [B¿ +
br
= V3
b
b
¿ + B¿]
1/2
= (7 3 )(-^ 0 ^ 2 0,25
* Br = 6 h0 T
®
Solución: 39 • Sean (i) la intensidad de corriente y (R) el radio de la espira, entonces el módulo del cam po m agnético inicial es:
Los m ódulos de los cam pos m agnéticos Bj B 2 son: = 3nT 2n
2n d. 2 R B2 Cuando, se sextuplica la intensidad de co rriente y duplica el radio, el aum ento en el módulo del cam po m agnético es;
Po *2 2n d->
=
0,4
4 ti. 10~7 6.10~3 2n
Luego, el m ódulo del cam po m agnético re sultante BR en 0 es:
Po AB = 2 2R
P o J_ 2 R
= 4nT
0,3
Br = [3¿ + 42X,]1 / 2
1468 Física++ ********************************************************************************************** progresión geom étrica, viene dado por:
+ Bo = 5 nT
©
Solución: 42 • El m ódulo del campo magnético resuj tante en el centro com ún 0, es la sum a de los cam pos m agnéticos creados por cada una de las corrientes circulares, esto es: B d = B i + Bo + B-i + ...
P0 ' 2 R /2
_ Po i 2 R
+
Po 1 2 R /3
—
+
...
S=— 1- r f siendo, (a) el prim er térm ino de la pro gresión, y (r) la razón. Solución: 44 • R epresentem os los cam pos m agnéticos en el centro 0 del cuadrado, siendo B, 2B, 3B y 4B los cam pos m agnéticos creados por las corrientes eléctricas i, 2i, 3i y 4i, respec tivamente.
BR = — — (1 + 2 + 3 + ...) R 2 RV Br =
Po i n (n +1) 2 R
2
^ 0 ^ (2 0 X 2 1 ) R *
2
0,21
2
br
= 10Po T
Solución: 43 • El m ódulo del campo m agnético resultan te en el centro com ún 0, es la sum a de los cam pos m agnéticos creados por cada una de las corrientes circulares, esto es:^
Sum ando vectorialm ente los cam pos magné ticos que están en la m ism a diagonal de Ion gitud d=40 cm, tenem os: Br
B r = B¡ + B 2 + B 2 + ... g K
= i k _ L + P o J _ + Ho J _ + 2 R 2 2R 2 4R
B r = — — (1 + - + -^7 + ~ + ...) R 2 R 2 2 2
2
0 ,2
Luego, el módulo del cam po m agnético re sultante en 0 es: B r = [(2B)2 + (2B )2] 1/2
-) 1- (1 /2 )
* BR = 4 p 0 T
(o
Br =
B = ( 2 V 2 ) ( - ; 10 7 / j 2n
Nota L a sum a de los infinitos térm inos de una
* BR = 4.10-6 T
0,20'
©
Magnetismo 1469 ********************************************************************************************** Solución: 45 • Las fuerzas que actúan sobre el alambre situado en C son: su peso (mg) y las fuerzas de interacción magnética (F).
de intercam biar las posiciones de los alam bres Ay B son: 2 1
2n 2 a
2 tu a
F asü o í l í + M o 2 i^ ¿ = 2
2n 2 a
2 tt a
271 2 a
Luego, las veces que'aum enta la fuerza mag nética sobre el alam bre C es: F2 _ p 0 5i l / 4 n a Com o el alam bre C esta en equilibrio, con las fuerzas m encionadas, form em os el trian guio de fuerzas.
F]
p 0 4 i2 j74Tra K, 5 * — =— F, 4
D
Solución: 47 • R epresentem os el campo m agnético re sultante, y la fuerza m agnética sobre la par tícula, en el instante en que se le sum inistra la velocidad.
Luego, de la ley del coseno, la m asa por u nidad de longitud es: (m g )2 = F2 + F2 - 2 F F eos 120° Com o se aprecia, la fuerza m agnética ( F ) so bre la partícula es vertical hacia abajo.
m g = V3 F = \ /3 — í 2n a m
= (V 3)(
4 tt. 10~ 2 ti
*
—
=
0 ,2 ' -)■ (10)(0,lV 3)
8 .10
-9 k g
@
Solución: 48 • Transform em os la excitación m agnética "H" de Qe a A/m, así: H = (10 O e)(
(1 /47t).10 A /m lO e
m H = 796 A /m
Solución: 46 • Los m ódulos de las fuerzas m agnéticas sobre el alam bre C, antes (F j) y después (F2)
F uego, la perm eabilidad m agnética "p" de la m uestra de hierro es:
1470 Física++ **********************************************************************************************
. t
B = p 0p H
. 27ia
V = t R = t p — = i p -------
s
1 ,4
s
= ( 4 tU 0 “ 7 ) ( p ) ( 7 9 6 )
* p = 1399,6 H /m
®
S olución: 49 • Representem os las excitaciones magnéti cas en el punto 0, creados por las corrientes eléctricas ij, i2.
‘fr
V =
(7r)(20) (1,7.10 ) (10_6)(200) * V = 347: m V
Solución: 51 • R epresentem os a la bobina form ada por espiras circulares.
H2
..... "fRñ
, , . (271.Í/2H) 7x i .p V = io .*— - = íS S.H
lcrn
H,
Los m ódulos d e estas excitaciones m agnéti cas son: 1 1207T.10 Hr = — . / 2n 0 ,5 .1 0 'H, =
1 9071.10
El m ódulo de la excitación m agnética al interior de la bobina, viene dado por:
=12 — m
-3
N v u e lta s
N H = i.n = i.(— ) V
A m
2 tt 0,5.10"
H = i.— = ~ N.D D
Luego, el m ódulo de la excitación m agnéti ca resultante H es: H = H = [92 + 122] 1/2 B
+ H = 13 A /m
S olución: 50 • Prim ero calculem os el radio de la espira, a partir de: H = —— => 2a
a =
10 000
x-3 0,8.10"
+ H = 1 250 A /m
®
Solución: 52 • El m ódulo del campo m agnético al inte rior del solenoide, en puntos ubicados sobre su eje, viene dado por: B = p 0.(N /£ ).i
2.H
Luego, la diferencia de potencial en los ex trem os del alam bre que form a el anillo es:
1
í =
(4 tl 10“7)(4.102)(0,5) - 4 8 t i. 1 0
Magnetismo 1471 A********************************************************************************************* * £ = 0,1 m
p = N iA = N ia b
{B)
Solución: 53 • Representem os los cam pos m agnéticos en el punto P, creados por las intensidades de corriente que circulan por los alambres (l)y (2 ).
De otro lado, la expresión vectorial del tor que, viene dado por: f = pxB De m odo que, el m ódulo del torque magné tico sobre la bobina es:
i x = p B sen 0 s= N i a b B sen 0
(2)
(i)
B2 d /2
En la Fig., el m ódulo del campo m agnético resultante en el punto P es:
El torque m áxim o se obtiene para 0 = 90°, así: Una* ^ N i a b B W
= (5O0)(1)(O,O5)(0,1X2)
B — B 2 ~ Bj * Po*
P o ‘
2 ;t(d /2 )
2 íi(3 d /2 )
B=
B=
2[_l0 í
C 2 )(4 tt. 1 (T 7 ) ( 6 )
= 5 N.m
T,
®
Solución: 55 • R epresentem os las fuerzas que actúan so bre la varilla horizontal, cuando no hay cam po m agnético.
371d * B = 4.10-3 T
®
Nota El cam po m agnético resultante, tiene di rección vertical h^icia abajo, pues, B2 es m ayor que B]. Solución: 54 • R epresentem os a la espira rectangular en presencia del campo magnético. *n
k, L xa
ik.x
mg' El peso de varilla, es igual, a la sum a de las fuerzas de recuperación de los resortes, 2k.x = mg
k>
(1)
B
>X
X
X
X
X
k .2 x ^ ¡>
El m om ento m agnético ( p ) es perpendicular al plano de la bobina, su m ódulo, viene dado por:
5 ik .2 x X
X
X
X
rr X
X
ó.
mg *
*F m
X
•1472 Física++ ********************************************************************************************** El peso de la varilla más la fuerza m agnéti ca, es igual, a la sum a de las fuerzas de recu peración de los resortes, esto es: 4k .x = m g + ii.B
(2)
D e (1) en (2), obtenem os la intensidad de co rriente, así: En la Fig., la fuerza m agnética sobre la car
2 m g = m g + ii.B
ga "q", debido al campó m agnético B , viene
-5
mg
24.10 _________________
IB
(6.10_ l)(4.10“ l )
dado por: F = qvxB
* i = l m A (•*-) Fm = (20.10-6)(500j)x[(0,5X y)i + (0 ,5 x |)j] Solución: 56 • El m ódulo del cam po m agnético en el centro de la bobina circular es:
F ij = (1 0 - 2) [ 0 ,4 ( j x i) + 0 ,3 (jx j)] IX, = -4.1CT3 k (N )
B = Ü 2 .Ü Í 2 R
* Fij = 4 mN
-7
3.10-4 = 471,10 2
40.i 16.10 - 2
* i = 3,9 A
©
(5 )
Solución: 59 • R epresentem os al alam bre recto en el sis tem a de coordenadas cartesianas.
Solución: 57 • El m ódulo del cam po m agnético en el centro de la circunferencia es: c = P q N.i _ p 0 N .(q.f) 2
R
2
R
(4 tt.10~7) (1)(6.10~5)(1/15)
20.10 - 2 12
* B = 47t.l0“ T
©
Solución: 58 • Representem os a la carga en m ovim iento en el sistem a de coordenadas rectangulares XYZ.
En la Fig., el m ódulo del campo m agnético en 0, creado por la corriente (i), viene dado por:
c
li0 i (47t.10~7)(5) 2n r
(27t)(5)
* B = 0 ,2 .1 0 '6 T
®
Magnetismo 1473 ********************************************************************************************** •
Solución: 60 R epresentem os las fuerzas que actúan so
bre el trozo de alam bre CD. ^ ^
V =4V Luego, la variación de la diferencia de po tencial en los extrem os de la espira es:
_ .
AV = V V = 4V - V AV = 3 V = (3X2)
c „ I D B ® lm g
* AV = 6 voltios Com o el alam bre está en equilibrio, la fuer za m agnética, es igual al peso del trozo de a lambre CD, esto es: Fm = m g
=> =>
'27t.h
®
Solución: 62 • Representem os el campo m agnético B en la posición de la partícula cargada.
¡.B.i = m.g
TJ
h = ’® O m, e
h=
(47t.l0“7)(50)2 (2 tt)(5. 10
)(10)
* h = 0,01 cm
B
El m ódulo del cam po m agnético, creado por la corriente eléctrica, en la posición del elec trón es: D _ p 0 i __ (47t.l0~7)(5)
Solución: 61 • R epresentem os a la espira circular con ductora.
2 jtd
(2n)(4.10-3 )
B = 2,5.10 4 T A su vez, del principio de conservación de la energía, el m ódulo de la velocidad que ad quiere el electrón es: L a excitación m agnética en el centro de la espira, son iguales, cuando sus extrem os es tán som etidos a la diferencia de potencial V y V ’, así: H ’= H
2 '2 r ~ 2 r V' p.(47t.r / A )
=> ~ - 2 — R’" R = 2
- m e.v2 = eA V 2 e
me '
_ r (2 )ft6 .1 Q -19)(300)1, /2 v -
L
. . .
.-31
9,1.10
V p.(27t.r / A)
v = 10,27.106 — s
J
Física++
1474
Luego, el m ódulo de la fuerza m agnética so bre el electrón es:
capa es, e n = — D
F = e.v.B F = (1 ,6 .1 0 ' i9)(I0,27.106)(2 ,5 .1 0 '4) * F = 0 ,4 1. 10“ ' 5 N
De otro lado, el núm ero d e vueltas que for man el solenoide, hallam os de la excitación m agnética al interior del solenoide, así:
©
Solución: 63 • Recordem os que el periodo del movimi ento circular, que describe una partícula de carga "q" y m asa ''m ", en presencia de un
H =
i.N
Luego, la razón del periodo de la partícula " a " (T2), a la del protón (T\) es:
N =
tU
(2)
Luego, el núm ero de capas que form an el a rrollam iento es: _ N _ t U / i _ H.D i lD
n
27i.m ~ ÍB ~
=>
~T
cam po m agnético uniform e B es: T =
0)
m
i
(300X103/4 rt)(l0 —3)
D
* m = 3,98 « 4 capas
T2 _ 2n (4m )/2e.B T¡
27im /e.B
T,
Solución: 66 • R epresentem os los cam pos m agnéticos en el centro de la espira, creados por las co m en tes eléctricas ii, i2.
H Nota La m asa de la partícula " a " , es cuatro veces la m asa del pfotón, y %u carga dos veces la carga del protón. Solución: 64 • El m ódulo de la fuerza centrípeta, viene dado por:
El m ódulo del cam po m agnético resultante es la diferencia de B] y B2, esto es:
Fc = m .o 2.R
B» = Bi —B2
Fc = (9,1.10-3I)(2 .l0 l6)2(0,4.10- '° ) R
2 R
2 2R
* Fc = 14,56.10-9 N Bp = Solución: 65 • Sea " f la longitud del solenoide, enton ces el núm ero de espiras contenidas en una
*B
Mq (4) 4R r
(4X 0,2) = 5 h0 T
©
Magnetismo 1475 «A******************************************************************************************** Solución: 67 • R epresentem os los cam pos magnéticos en el centro de la espira, creados por las co rrientes eléctricas i¡, i2.
* BR = 2 5 p 0T
D]
Solución: 69 • Representem os los cam pos m agnéticos en el punto P, creados por las corrientes eléc tricas ¡i, i2, ¡3 . ® b \ »
•1
Los m ódulos de los cam pos m agnéticos B¡,
.
,X b3
B 2 son: b2
Po (2)
B
,= ^ = = 4 p 0T 2 R (2 )(0 ,25)
En la Fig., hallem os la altura (h) del triángu lo equilátero, así:
Po O?*) Bt = — = = 3 p 0T 271 d (270(0,5) Luego, el m ódulo del cam po m agnético re sultante en el centro de la espira es:
h = [ a 2 - | ) 2] 1' 2 = f a A hora, com o los cam pos m agnéticos B¡ y B 2 se cancelan por ser iguales en m ódulo,
B r = [(3 h 0)2 +(4(R0)2] !/2 E
* BR = 5 p 0 T
el m ódulo del campo m agnético resultante en P es: Br = B 3 = ^ 2 R 3 2 tc h
Solución: 68 • Com o las corrientes eléctricas circulan todas en el m ism o sentido, el m ódulo del campo m agnético resultante en P es la sum a de ios cam pos m agnéticos creados por cada una de estas corrientes eléctricas, esto es:
B R
* Br = 2 p 0 T
B r = B 1 + B-> + B t + B¿ * B R
= H o i + Pci_L + H o _ L + H o _ L 271 d 2rc2d 2 tt 3d 27t4d
B
_ R
^0
' , 12 + 6 + 4 + 3 _ 25pci
2nd
12 ^ ( 2 5 p 0 )(2,47t)
R
( 2 4 tt)(0,1)
24;td
Po ' = 0 f 6n y fin a V37tO,lV3
©
Solución: 70 Com o los cam pos m agnéticos creados
por la espira B] y el alam bre recto infinito B 2 ingresan al papel, el m ódulo del campo m ag nético resultante es: B = B 1 + B-> P _ P o 'l j PoU 2R 27tR
1476 Física++ ********************************************************************************************** de curvatura de la trayectoria. R =
(2 m .Ec )
12
e.B
L uego, en el triángulo som breado, el valor del ángulo de salida es: a.e.B sen tí = — 1/ 2 R (2 m .£ c ) D = (p o)(0,2) ( ( p o)(0 ,2 tt) ( 2)(0,1)
(2 tü )(0, 1)
* B = 2 p 0T
sen tí =
[(2)(9, LIO-31 )(4 ,55.10-19)]112
®
sen 0 = 0 ,6 = — 5
Solución: 71 • R epresentem os las trayectoria que descri be el electrón, bajo la acción de la fuerza magnética.
x’" 'x .. x
^ ; v - ‘x’R x
or
= 3T
Solución: 72 • R epresentem os los cam pos m agnéticos en el centro O, creados por las corrientes que circulan por cada una de las m itades de la espira circular.
, gt X X X
m,e©_ : x
(0,15.10~2)(1,6.10~19)(2 ,275. KT3)
x
X X X X
L a fuerza centrípeta sobre el electrón es la fuerza m agnética, esto'es: Fm = Fc
=> v=
e.v.B = m v / R e.B.R m
(0
D e otro lado, la energía cinética del electrón es: 1 E c = — m.v
Por proporcionalidad, los m ódulos de estos cam pos m agnéticos son la m itad del módulo del cam po m agnético, creado por una co rriente eléctrica de intensidad "i" que circu la por una espira circular de radio "R" esto es: b
(2) Igualando (1) con (2), encontram os el radio
= ^ ± = ^ M = 2, o T 4 R 4 0,1 0
Luego, el m ódulo del campo magnético re sultante en 0 es:
Magnetismo 1477 ********************************************************************************************** B r = K2 Eo)~ + (2 F o)2] 1/2 * b r = 2 V 2 p0 T .
©
Solución - 73 R epresentem os al solenoide de "N "
vueltas, por el cual, circula una corriente e léctrica de intensidad "i".
* V = 2,72 voltios
®
Solución: 74 * F a densidad volum étrica de energía, al in terior del solenoide, viene dado por: H B p 2 W = — —= — H
i.N = [
(2)(0,3) O»75) l/2 471.10
-7
* i.N = 500 A - vuelta Cüy El núm ero de vueltas existentes alrededor del solenoide es:
C 200 N = — = ------ = 400 vueltas d 0,5 D e otro lado, la excitación m agnética unifor me al interior del solenoide, viene dado por:
Solución: 75 • L a m agnitud del campo m agnético, en el punto P, viene dado por: i . R7 B = Po 2x3/ 2 2 (á2 + R 2)
0 4 ti.10 ' 7 i B —---------------2 8R
H = 'N i
4tc
0,2
i = 0 ,5 A
B=
A su vez, la longitud del arrollam iento de a lambre de cobre es:
4 tt.10~7
8.10~3
2
(8X7t.l O"2)
* B = 20.10-9 T
©
' = N.ti.D = (400)(7r.0,05) i ' - 2071 m Luego, la diferencia de potencial en los ex trem os del arrollam iento es: V = i.R = i.p
Solución: 76 • Sean, Ha, Hb las excitaciones del campo m agnético para r=a y r=b, entonces, el error rdat¡VOj a| im erjor d d toro¡de es;
V
E. = H,
7t . d2 / 4
V = (0 ,5 )(1 ,7 .1 0 -8 )
20 ti
20
N i/2 7 ia -N i/2 7 tb
7t.(5.10“4)2 / 4
100
N i/2 7 ta
1478 Físíca++ ********************************************************************************************** I _ b- a _ |
a
5 “
b
b
~
m = 1 i A.m
Luego, el torque m agnético sobre la espira, respecto del eje Z es: ’
a 4 —= — b 5
*
2
Solución: 77 • Representem os al alam bre recto en el sis tem a de coordenadas cartesianas, así:
í = m x B = (l i) x 2 (“ ■!+■“ ]) -T
= j6( /■ i X l 'V ) + -8( ,] X j \)
!eie t = - k N.m 5 A su vez, la m agnitud del torque m agnético es: * t = l,6 N .m ©
De la ley de Ampere, la circulación del cam po m agnético po r la circunferencia de radio "r" , es igual, a la corriente neta que pasa por el área som breada, esto es:
Solución: 79 • La fuerza m agnética sobre el alam bre, rectílíneo es F=i Ix B F = (1 0 )(4 j) x (0,05 i)
B » d l = n 0\' F = 2 (j x i) B ( 2 n r) = p 0 i ( — - y )
* F = -2 k N
7t R .
Solución: 80 • L a fuerza necesaria para trasladar al a lam bre (2) de (A) hacia (B), es igual, en mag nitud a la fuerza m agnética sobre la mism a, esto es:
B=^ -— 271 R 2 B=
(47t. 10-7 )(4)(10.10-2) ,- 2 \ 2
(2 tü)(20.10
®
)
Solución: 78 • Prim ero, hallem os la expresión del mo m entó magnético: m = iA i = iA i = ia b i
í
i j
c (1)
FIJO m = (5)(40.10~2 )(50.10- 2 ) i
'2 ..
J
©
1 O s
H
O
II
K>
D5
>
\
__¡i
A lOcm
(2) 20cm
Magnetismo 1479 ********************************************************************************************** F=
=
CS:
,
2jt.x
H=
l
i.R
i
p „ i ,i2.í 2 ( r ’ + r ’ )>'* 25' 2.R ’ - —5----------------------------------La excitación m agnética creada por la co Luego, el trabajo por unidad de longitud rea
d ie n te q ue circula por la espira de radio R/2
lizado para llevar al alam bre (2) de A hacia B es:
es:
W
1
f -
i
t
— = - | F • dr = - |F d x íe fc jJ le J
W
1 ° f
II( l i.(R /2 )2 H ’= — 2 [ (R /2 ) ¿ + R 2]3/2
Luego, la variación en porcentaje que expe rim enta la excitación m agnética es:
p 0¡].H Í
H
y = 7 J ~ y y " dx 1
1
l
0,1
*
-
H
v0,l
W = 83.1(T< ÍJ
H '
^ = ( ü _ n . Xioo)
x
2%
i 53/2.R
5
®
* 1 1 = 4 9 ,4 %
j N ota
©
Solución: 82
B, es el campo m agnético creado por la corriente i, en la posición del alam bre . (2). ,
*
La
m agnética en el núcleo de « « reh ierro (B¡), es la m ism a, esto es:
hierr0 (B¿
'I
en la rendij a de O B, = B2 = — S
Solución: 81 R epresentem os la corriente eléctrica que circuía por la espira, y a la excitación m agné tica creada por ella.
Bi =
p 0 i.N. + £2 / ^ 2
♦H
p 0i.N /B , 2,5 p2 =
(4 ti. 10-7 )(20)(1000) / 1,6 - 0,01 / 1 * p 2 * 438
L a excitación m agnética creada por la co rriente que circula p o r la espira de radio R,
®
1480 Física++ **********************************************************************************************
Solución: 83 • L a m agnitud de la excitación m agnética en el punto C, creado por la corriente "i", viene dado por H =
47t d
(sen a + sen 0)
D e otro lado, la m agnitud de la excitación al interior de una bobina de longitud infinita, por el cual, circula una intensidad de corrien te "i" es: H2 Luego, el error porcentual, com etido al útil] zar la fórm ula de la bobina de longitud infi nita es: H2 -H , ó=
C #H
;d h M
5
i.N -iN i/y R 2 + (l/2 ) 2
100
i.N
* H = 31,8 — m
£ 20
2 \¡R 2 + ( £ ! 2 ) 2
3 6l ( 4 .R 2 + £2) = 400 £2
W
3 6 1 D 2 = 3 9 £2 Solución: 84 • R epresentem os la bobina de longitud fi nita " f , radio "R"y "N" vueltas.
4 . A D 39
©
* 1 , 3 D
eje P :
i L a m agnitud de la excitación m agnética en el centro P de la bobina, po r el cual circula una intensidad de corriente "i” es: lN
H ,=
2
Solución: 85 • La fuerza necesaria para trasladar al a lam bre (2) de (A) hacia (B), es igual, en mag nitud a la fuerza m agnética sobre la misma, esto es:
(cos0| - co s0 2)
£/2 2
= 3 ,0 4
~í!1
_( J
1 ,/r2 + ( i 7 2 ) 2
r
-)]
2 + (£/2)2 _(«>
i.N i
H, =
2^
R
2+
( t
f: (2)
F IJO
/2 y
Til
!-: B
Magnetismo 1431 ********************************************************************************************** rM - r C
2n.x
V
F=
e v B sen PCr = m — R
271.x
Luego, el trabajo por unidad de longitud rea lizado para llevar al alam bre (2) de A hacia B es: — = - f F«dr - í
t
i
í F dx
i
R=
J
=1 f M M d x
i
i J
X
ar =
e.v.B R
m .v/e.B
9,1.10
Xi
i n(2 )
^
i = (16,014)1/2 * ¡« 4 A
X
2.R
®
Solución: 86 • R epresentem os el movim iento circular del electrón en presencia del campo m agnéti co. X
Solución: 87 • La excitación m agnética en el centro de la espira circular, viene dado por: H=
.
s
)
271
X
-31
45 + a c —7.10
IV ! .¡2 2 2 tt
2 , 2 2 . 10"6 = t-47Ll°
X
m
(1,6.10_19)(4 .I0 7)(10"3)
w _ p 0ii.i2 , £n (x )] *2 t 2n W
e.B
A sí, la aceleración centrípeta del electrón en su m ovim iento circular uniform e es:
ac = ^
m.v
( 0 ,8 ) ( ^ ) = 4 tc (2 )(0 ,1 1) .
44
X X
Luego, la excitación m agnética en el punto ubicado a una distancia 10 cm del centro de la espira es: H= — 2x3/ 2 2 ( R / + d ¿)
(44/7t)(0,ll ) 2 A plicando al electrón la segunda ley de N ew ton para m ovim iento circular, se tiene:
(2)(0,112 + 0,102)3/2
1482 Física++ ********************************************************************************************** * H « 25,8 A / m
* r)« 3 %
Solución: 88 • R epresentem os al solenoide de longitud finita y diám etro ”D ".
©
Solución: 89 El flujo m agnético en el núcleo del toroi de, viene dado por: p 0.A.i.N
q> =
(V H !> + (V M 2 > 1,4.10
5
_8 .10
La m agnitud de la excitación m agnética en el centro de este solenoide, viene dado por:
(47t.l0"7)(2 5 .1 0 '4) i.N = ------- ----------- -— ------(10 /1 )+ (1/800)
iN = ( 9 ) 0 4 ) 104 871
H]=
i.N
(eos a - eos 0)
( 1)
En la Fig., los cosenos de los ángulos "0" y ”a " son: H2
cosa =
* i.N = 5013 A - vuelta ( b ) Solución: 90 • R epresentem os la excitación m agnética creada en 0, p o r la corriente que circula por un lado del cuadrado.
[ ( D /2 ) 2 + ( f / 2 ) 2] 1/2 H
~í!2
cosü =
[ (D /2 ) - + ( í / 2 )-]
1/2
••■ 'ai e ''-
0 = 45°
!d
Sustituyendo en la e c .(l), tenemos:
n
H, = i.N rVd 2 + í 2
( 2)
Luego, el error en porcentaje com etido, al considerar al solenoide tener longitud infini ta es:
n = ( ' ^ i r ^ 1)(i00)
i.N
La m agnitud de esta excitación m agnética, viene dado por: H=
(sen a + sen 0) 4 tí d
H = — -— (sen 45° + sen 4 5 °) 4n d H=
V 2i 47t d
20 T1=0+ 20"
0 0 00) Así, la excitación m agnética resultante en el centro 0 del cuadrado es:
Magnetismo 1483 ********************************************************************************************** ***< ^2i HR = 4 H * Ttd
=> H
= R
(V2)(10)
D e otro lado, el m om ento de la cantidad de m ovim iento, viene dado por:
( tt)(0 ,2 5 /2 )
2
M = R,.p =
* H r = 36 A /m
•
qa .B
Solución: 91 L a m agnitud de la excitación m agnética
p = q a .B.M
al interior de un solenoide, cuya longitud es m ucho m ayor que su diám etro, viene dado por: íi.N n v\ ,, . Ip H H= — => i = — ( 1) t N
Luego, la energía cinética de la partícula "a » es; _ n2 Er = 2mr
D e otro lado, la intensidad de corriente en el condensador es:
_ qa B M _ (2.e) B.M Er = 2 (4 m 0) 2m ,
. _ q _ C.AV t
( 2)
t
(2)(1,6.10
)(2 ,5 .1 0 ) (1 ,3 3 .1 0
)
(2)(4)(1,6.10-27)
Igualando (1) con (2); y despejando " l / t " , obtenem os la frecuencia: 1
Er =
Ec = (0,83.10~16 J)(
l.H
1 eV L 6 .1 0 "19 J
©
t " N.C.AV
* E c = 519,5 eV « 520 eV
1 _ (10.10_¿)(3,02)(1000 / 47t)
1^1 Nota Las partículas " a " , son núcleos de he lio, constituido de 2 protones y 2 neutro nes.
t
(200)(10.10-6 )(l 20) 1 _ 3,02.104 * t
9071
* -= 1 0 0 s '1 t
®
Solución: 92 • L a fiierza centrípeta sobre la partícula " a ”, es la fuerza m agnética, esto es:
Solución: 93 • R epresentem os dos diferenciales de fila m entó en las sem icircunferencias de radios "a" y "b". i
= Fc
q a .B.v = m a , R R = q a -B
A plicando la ley de B iot-Savart hallem os la
Física++ 1484 ********************************************************************************************** m agnitud del cam po m agnético creado porla corriente en form a de sem icircunferencia de radio "b", así: dB, =
„
(4tc.10-7)(2),
B P = ---------¡
p 0 i d f senG 4 ti
, . __2 )
“
20.10
* BP = 9 ,4 2 .1 0-6 T
Po » 4 b
o eE = m co r
<<: ® perpendicular a la hoja5-* A plicando la ley de Biot-Savart, hallem os el campo m agnético creado por la corriente en form a de sem icircunferencia de radio
d B - ,= - ^ V
f ¿C
= j; < v > d
1 m orR 2 AV = — 2 e
a
47La~ o
_ mo)2 r E = ---------
AV = V r - V 0 = íR E d r
a v
= ti
=>
A sí, la diferencia de potencial entre el borde del cilindro y su eje es:
p 0 i d f sen0
En la Fig., 0=90° e integrando para í
AV =
(9,1.10~31)((9 3 8 .106)2 (0 ,02)2 (2)(1,6.10~19)
B , = Po 1 4%
AV * 1000 voltios
II) L a diferencia de potencial entre un pun to situado a la distancia r=R/2, y el eje de sim etría del cilindro es:
Finalm ente, com o B | y B 2 están en la mis m a dirección, el campo en el punto P es:
AV = - A V = (—XI 000) r 4 4
Bp = Bj + B 2
AVr = 250 voltios u„ i .1
(S
Solución: 94 I) La fuerza centrípeta ;sobre el electrón, a u na distancia "r" del eje, es la fuerza eléctri ca, debido al cam po eléctrico radial, esto es:
dB, = - Í ^ V J d f o 4nh~ o •
|
1
BP = (27i.lb"7)(10 + 5)
j
o
10 . 10"
.
h2
En la Fig., 0=90° e integrando para í = rcb
dB 2 =
1
i
Inducción electromagnética 1485 ********************************************************************************************** tico que atraviesan la superficie de área "S".
IN D U C C IO N
p s¡j jS flt
E L E C TR O . A U 6 N E T IC 4
1)
C asos p a rtic u la re s: B perpendicular a la superficie (0 = 0o) O = BS
1. IN T R O D U C C IÓ N •
•
<<:Flujo magnético máximo>;>
En el siglo X IX , M ichael Faraday y Jo seph H enry, dem uestran que un campo m agnético variable produce un cam po e léctrico no conservativo. En el siglo XIX, M axw ell dem uestra que un cam po eléctrico variable produce un cam po m agnético, es decir, se descubre una depem ndencia entre cam pos eléctri eos y m agnéticos variables.
O
©
2. F L U J O M A G N E T IC O 2)
B paralelo a la superficie (0 = 90°) <í> = 0 <<:Flujo magnético nulo>:>
tico uniform e, a través de una superficie "S", por ejem plo, la superficie de una espira, viene dado por:
3)
El flujo magnético a través de una super ficie cerrada es nulo. Esto es una conse cuencia de la conservación del flujo mag nético.
^
U n id a d : "O " se mide en W eber(W b)
3.
E L F E N O M E N O D E IN D U C C IO N E L E C T R O M A G N E T IC A
a)
Fuerza electrom otriz (s) El valor de la fuerza electrom otriz de un generador, se define com o trabajo (W) por unidad de carga (q), es decir:
0 B = B S cos0
siendo, "B" la m agnitud del cam po mag nético, "S" el área de la superficie y "0"
•
el ángulo entre B y la norm al "N " a la superficie que contiene a la espira. El cálculo del flujo magnético, nos da el núm ero total de líneas de cam po magné
W 8 = ----
q
1486
F»sica++
El generador, es un dispositivo (pila, ba tería, etc...) en el cual puede producirse una transform ación reversible(*} entre e nergía eléctrica y otra form a de energía. @5 N ota Se dice que un proceso físico es irreversi ble cuando este no regresa a su estado inicial. E jem plo: 01 La batería que acciona el motor de arran que de un automóvil es un generador de fuerza electrom otriz (f.e.m ), pués, se cum ple el siguiente proceso. energía interna energía eléctrica batería >=£> motor energía eléctrica motor c>
E jem p lo : 02 En la Fig., el circuito cuadrado de lado lm , sale de un campo magnético de mag nitud 1 T , a velocidad constante de 2 m/s H allar la variación del flujo m agné tico, después de un tiem po de 0,25 s. X
X
X
X
X
X
X
*b xj V,
X
X
x:
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.fr—
i
Solución: • En un tiem po de 0,25 el circuito recorre una distancia de 0,5 m, de m odo que la va riación del flujo m agnético es: A 3 >
energía interna batería
b) Inducción electrom agnética En todo circuito cerrado, sobre el cual ac túa un campo m agnético de intensidad variable, se produce una corriente eléctri ca, que se denom ina corriente inducida.
X
=
d > -
A
=
( l ) [ ( l ) ( l / 2 ) - ( l ) ( l ) ]
*
= - 0 ,5 Wb
<<:E1 signo (-) nos indica que el flujo m agnético dism in u y e^ E jem p lo : 03
c) Form as de variación del flujo m agnético. Existen dos formas de obtener una varia ción del flujo m agnético, así: 1) El flujo puede variar debido a la defor m ación ó al desplazam iento del contor no del conductor a través de un campo m agnético externo uniform e y constante B.
El conductor de form a rectangular se m ueve con velocidad constante v , hacia la derecha en cierto instante parte de el se encuentra en un cam po m agnético B , de m odo que el flujo m agnético a través de el es:
Inducción electromagnética 1487 **********************************************************************************************
lación del cam po m agnético, y "co" su frecuencia angular.
Y la f.e.m (£ ) inducida asociada a la va riación de este flujo m agnético es: £ = - — (B.f.x) = - B i . v dt La corriente establecida por % inducida en el conductor cerrado de resistencia "R " es: . I B.f.v i= R R La fuerza que ejerce el agente externo so bre el conductor es: B2f 2v R El trabajo por unidad de tiem po (poten cial), realizado por el agente externo que tira del conductor es: dW dt
B 2i V = p - R.v = ----------’ R
E ste resultado explica la producción de energía térm ica en el conductor, debida al principio de conservación de la ener gía. 2) El flujo m agnético puede variar, com o re sultado de la variación de la inducción del campo magnético B , con respecto al tiem po, esto im plica una dependencia tem poral de B , es decir:
Luego, el flujo m agnético que pasa a tra vés de la espira de área "S" es:
Com o se aprecia sados en 90°, pues:
4. L E Y D E F A R A D A Y a) C o n cep to Esta ley establece que la fuerza electro m otriz (f.e.m ), inducida en un circuito es igual al valor negativo de la rapidez del flujo magnético a través de área limitada por el contorno del circuí to, es decir, se cumple: s = -•
B = B0 sen(o.t) siendo "Bo" la am plitud inicial de osci
y "B" están desfa
- cos(co.t) = sen(co.t - 90°)
B = B (t) Ejem plo: 04 L a espira circular, se encuentra en un cam po m agnético de tipo sinusoidal:
= -ELS.w eos co.t
dt
A
t-t„
siendo, "s" la f.e.m. m edida en voltios, <í>, <£0 los flujos de cam po m agnético en los instantes de tiem po t y to, respectiva mente.
1488 Física++ ********************************************************************************************** b) f.e.m inducida en una bobina ro tatoria de "N " espiras L a fuerza electrom otriz (f.e.m ) inducida en una bobina rotatoria formada por ”N" espiras, viene dado por:
E jem p lo : 05 Se tiene un imán acercándose con velocj dad constante a una espira fija.
s = N B S co sen 0
siendo, "B" el cam po m agnético, "S" el área de la superficie de las espiras, "co" la velocidad angular de rotación de la bo bina, "0" el ángulo entre la perpendicu lar a B y la superficie de las espiras.
La fuerza electrom otriz (f.e.m ) m áxima inducida en la bobina de N espiras, se ob tiene tom ando 0 = 90°, en la ecuación anterior, obteniéndose:
Smax - N.B.A.CO
c ) Regla de lenz El enunciado literal de esta regla física que interpreta el significado del signo m enos (-) en la ecuación m atem ática que expresa la ley de Faraday es: c
circula en sentido antihorario. E jem p lo : 06 Se tiene un im án alejándose a velocidad constante de una espira fija.
P ara el observador, la corriente inducida circula en sentido horario. d ) A plicacio nes L a ley de Faraday, sirve com o m arco teó rico para la construcción, diseño y fun cionam iento de los generadores de co rriente eléctrica, transform adores, moto res y m uchos otros dispositivos y artefac tos de uso cotidiano. 5. E L T R A N S F O R M A D O R 1) Definición E s un dispositivo eléctrico que se utiliza para transform ar la corriente y voltaje altem os en corriente y voltaje continuos. Así, los transform adores se utilizan en el transporte de energía eléctrica a grandes distancias, lo cual, se realiza con altos voltajes y corrientes eléctricas pequeñas,
Inducción electrom agnética 1489 ********************************************************************************************** obteniéndose un alto rendim iento, apro xim adam ente de 90 a 99 % , con esto, e vitándose grandes perdidas de energía eléctrica.
2 ) Representación En los circuitos eléctricos y electrónicos los transform adores se representan sim bélicam ente, así:
a través del arrollam iento secundario in duciendo en el una fem alterna. A sí, la potencia eléctrica es transm itida de un a rrollam iento hacia el otro a través del flu jo del núcleo, el cual debe ser de hierro, afín de reforzar el flujo m agnético indu cido. C uando el circuito secundario (II) está a bierto, el flujo del núcleo es producido ú nicam ente por la Corriente del primario ( ¡ li
3) C om ponentes U n transform ador está constituido de dos arrollam ientos de hilo conductor el prim ero de N i vueltas llamado primario y el segundo de N 2 vueltas llamado se cundario am bas arrolladas alrededor de un núcleo de hierro form ado por placas delgadas de hierro, aisladas entre si. El a rrollam iento prim ario está conectada a u n a fuente de corriente (ij) y voltaje (Vi) altem os, y el secundario está conectado a un circuito que presenta una resisten cia (R) y un rectificador que transform a la corriente y voltaje alterno en corriente (i2) y voltaje ( y 2y continuos, com o se a precia en la Figura.
(II)
(I) NUCLEO
4) Funcionam iento La corriente eléctrica alterna que circula por el arrollam iento prim ario crea en el núcleo de hierro un cam po m agnético al tem o. L a m ayor parte de este flujo pasa
3) Voltaje de salida En un transform ador ideal el flujo mag nético en el primario es igual del secun dario, de donde se obtiene el voltaje en el circuito (II), llamado voltaje de salida: ;> c^l z i-z n
|I n 2 L R i vT 2
)V, N,
cu a n d o se cierra el circuito secundario (II) tanto la corriente del prim ario (it) co m o la del secundario (i2) crean flujos en el núcleo. Por la ley de Lenz, la corrien te del secundario tiende a debilitar el flu jo del núcleo, y por tanto a dism inuir la fuerza contraelectrom otriz en el prima rio. P ero en ausencia de perdidas de flu jo , esta fuerza contra-electrom otriz debe ser igual al voltaje en los bornes del pri m ario (I). Así, la corriente eléctrica en el prim ario au-m enta hasta que el flujo del núcleo se restablece en su valor inicial, sin carga.
Si el número de vueltas del arrollamien to secundario (N2) es mayor al del prima rio (N i), el transform ador es un elevador de voltaje. Si el núm ero de vueltas del arrollamien to secundario (N2) es m enor al del prima rio (N i), el transform ador es un reductor de voltaje.
1490 Física++ ********************************************************************************************** •
La potencia sum inistrada al primario, es igual, a la potencia consum ida en el secundario, es decir:
do de la frecuencia de variación del cam •
V i = v 2 .i2
4) Corriente de salida En un transform ador ideal se asum e que no hay pérdidas de energía eléctrica, por lo que, igualando las potencias eléctricas en el prim ario y secundario, se obtiene la intensidad de corriente en el secunda rio, así:
•
po m agnético B . En los núcleos de los transform adores se reduce la pérdida de energía debido a la corriente de Foucault, dividiendo el con ductor en láminas finas, paralelas entre sí y perpendiculares a B , y aisladas en tre si m ediante un pegamento. Las perdidas de calor en el núcleo por histéresis, se reducen'al m ínimo utilizan do láminas de hierro que tenga un ciclo de histéresis estrecho.
6. A U T O IN D U C C IO N E IN D U C C IÓ N M U T U A M A G N E T IC A
5) A plicaciones • Se utiliza en el transporte de energía e léctrica, a grandes distancias, lográndose reducir la pérdida de energía por efecto Joule (calentam iento del conductor). • Se utiliza am pliam ente en todos los apa ratos eléctricos (radios, televisores, equi pos de sonido,...), pues, la mayoría de ellos utilizan voltajes e intensidades de corrientes pequeños y continuos, trans formando el voltaje alterno dom éstico de 220 V en voltajes continuos» de 1,5 V, 3,0 V, 4,5 V, 6,0 V, etc... e) Corrientes de Foucault Se denom inan corrientes de Foucault, turbulentas o parásitas a las corrientes in ducidas que surgen en los conductores m acizos, com o por ejem plo en los nú cíeos de hierro de los transform adores de corriente y voltaje. • Estas corrientes inducidas se forman al interior y en la superficie del conductor (lám inas de hierro) • La cantidad de calor desprendida por u nidad de tiem po debida a esta com ente es directam ente proporcional al cuadra
a) A u to in du cció n Es un fenóm eno físico, que consiste en la creación de una f.e.m de inducción en un circuito debida a la variación de su corriente, es decir, esta corriente crea un cam po m agnético variable, en consecuen cia un flujo m agnético variA ble propio
( 1)
s " O a " se denom ina flujo de autoinduc ción del contorno.
•
Si el contorno se halla en un m edio no ferrom agnético, el flujo de autoinduc ción es proporcional a la intensidad de corriente "i" del contorno:
Inducción electromagnética 1491 ********************************************************************************************** O a = L .¡
(2)
es: L
•
la cantidad física "L" se denom ina el coeficiente de autoinductancia o la induc tancia del contomo. En concordancia con la ley de inducción electrom agnética, en el circuito mostra do, se induce una f.e.m (£ ), dado por:
esta ecuación es válida cuando la forma del circuito se m antiene constante, es de cir, L= cte. El signo (-) indica que " y se opone a la variación de la corriente, así: 1) Si la intensidad de corriente aumenta, " di / dt" es positiva y " y se opone a di cho aum ento de la corriente. 2) Si la intensidad de corriente disminuye, " d i /d t" es negativa y " y actúa en el •
mismo sentido que la corriente. De modo que " y siem pre actúa en un
sentido que se opone a la variación de la intensidad de corriente. • Se debe m encionar que la inductancia de un circuito no está circunscrita a un pun to particular de el, sino qug es una pro piedad que presenta'todo circuito. • El valor de la autoinductancia "L" de un circuito, dependerá esencialm ente: 1) De la forma geom étrica del circuito. 2) D e sus dim ensiones, es decir, su tamaño. 3) D e la perm eabilidad m agnética relativa del m edio en la que se encuentra el cir cuito m agnético. b) C ircu ito eléctrico R -L P ara el circuito eléctrico mostrado que presenta una resistencia "R ", una bobi na de autoinductancia "L" y una f.e.m constante, la variación de la intensi dad de corriente en el cierre y ruptura
i(t) = i0e_R l/L + ' ~ ( l - e -R ,t/L ) siendo, " i0 " la intensidad de corriente en el instante inicial, es decir en t = 0. Tie m p o de relajamiento Se define com o tiem po de relajam iento de un circuito eléctrico R-L a la canti dad: L
este tiem po no es otra cosa que el tiem po necesario para que la corriente de caiga a "1/e", o aproxim adam ente al 63 % de su valor inicial " i 0", al cerrar la llave "S". A continuación para este pro ceso estudiem os los procesos de cierre y ruptura.
Proceso de cierre E ste proceso se obtiene poniendo la lia ve "S" en la posición "1", tal que, ia=0 luego la intensidad de corriente que se establece en el circuito, en cualquier ins tante es:
1492
Física++
********************************************************************************************** i(t) = i e "R t/L + — (1 - e _ R í/L ) 0 R
triz (fem ) de inducción. Por ejem plo en la Fig., al variar la cp rriente "ij" en la bobina ”1" en la bobina "2" se induce una corriente y una f.e.m de inducción m utuá "£2"> dada por: ^2=-
d<3>21 dt
siendo, "^>2 1 " ^ UJ ° m agnético creado por la corriente "ij" de la bobina "1", com o se aprecia en la Fig., "i" tiende asintóticam ente al valor "¿,/R " a medida que pasa el tiempo, está rapidez depende rá de " t c ". Pro ceso de ruptura Este proceso se obtiene poniendo la lia ve "S" en la posición "2", luego de ha ber estado en "1", tal que ^ = 0 , y la in tensidad de corriente en el circuito en cualquier instante " t " es: ‘(t) - i0e_R t/L com o se observa en la Fig,, está intensi dad de corriente decae exponencialm en te desde su valor inicial " i0" hasta cero, la rapidez de éste decaim iento depende rá de " t c c) Inducción mutua
que pasa a través del área transversal de la bobina "2". E videntem ente, el flujo "<í>2 i" es directa m ente proporcional a la corriente ”i 1", esto es: í >2i = M 2ii3 siendo, " M 2i " el coeficiente de induc ción m utua de las bobinas ’l" y "2", res pectivam ente, el valor de " M 2i " depen derá de: La form a geom étrica de los conductores o circuitos. La form a com o se coloquen los conduc tores, unos respectos de otros. L a perm eabilidad m agnética relativa del m edio en que se hallen los conductores. D el m ism o modo, el flujo magnético creado por la corriente " i 2" de la bobina "2", que pasa por la sección transversal de la bobina "1" es: <*>12 = M 12Í2 siendo " M 1 2 "
E) fenómeno de inducción m utua se pre senta en dos o m ás conductores, cerca nos entre sí, que conducen corrientes cu yas intensidades cam bian en el tiempo, creando en ellos una fuerza electromo
coeficiente de induc
ción m utua de las bobinas "1" y ”2". Si el m edio es no ferrom agnético se cum pie que, los coeficientes de inducción m utua entre las bobinas es la misma, es to es: M 12 = M 2 1
Inducción electromagnética 1493 **********************************************************************************************
PR O B L E M A S 01. ¿C uál de las siguientes proposiciones describe correctam ente al fenóm eno de la inducción electrom agnética? a) U na barra de hierro se im anta en un cam p o m agnético. b) U n a variación de la intensidad de un cam po eléctrico generará un campo mag n ético. c) U n cam bio de flujo m agnético a través d e u n a espira de un alam bre genera una co rriente eléctrica en ella. d) L as cargas eléctricas de un cuerpo se re distribuyen, si este cuerpo es introduci d o en un cam po eléctrico. e) L os R ayos-X pueden liberar electrones de u na superficie metálica. 02. R especto a un transform ador, indicar la proposición correcta: a) C am bia alto voltaje de corriente contí n u a en bajo voltaje de corriente alterna. b) Es un dispositivo que sólo m odifica ten siones. c) Posee un núcleo de hierro que le permite reducir los efectos inductivos. d) Perm ite reducir bajo voltaje de corriente alterna en alto voltaje de corriente conti nua. e) C am bia alto ó bajo voltaje de corriente alterna en bajo ó alto voltaje de corriente continua. 03. L a siguiente ley: “La corriente eléctrica inducida circula en un sentido, tal que, crea un campo m agnético, que siempre se opone al cam bio del flujo magnético externo” , fue enunciada por a) Faraday b) Am pere c) Henry d) Lenz e) M axwell 04. R especto del proceso de com o generar
corriente inducida en una espira de co bre; indicar las proposiciones verdade ras (V) ó falsas (F): I. A través de la espira hacem os pasar un a lam bre que conduce una corriente de in tensidad constante. II. Soltam os un imán, tal que pase a través de la espira fija. III. U bicam os una esfera cargada en reposo en el centro de la espira fija. a) FVF
b) VFV d) V V F e) FFV
c) VFF
05. U na espira se desplaza con velocidad constante, perpendicularm ente a un cam po m agnético uniform e hom ogéneo. Res pecto del flujo m agnético que atraviesa la espira, indicar las proposiciones verda deras (V) ó falsas (F): I. D epende del área de la espira. II. N o depende de la velocidad. III. D epende directam ente del tiempo. a) FV F d) VVF
b) VFV e) FFV
c) VFF
06. Se desea generar corriente en una espira m oviéndola en el campo magnético te rrestre; los posibles m ovim ientos son a) O scilaciones lo largo de la dirección del campo magnético terrestre B , con la es pira perpendicular a él. b) O scilaciones en la dirección de B , con el plano de la espira paralela a B . c) Rotación de la espira sobre un diámetro de ella, siendo éste paralelo a B. d) Rotación de la espira sobre un diámetro de ella, siendo éste perpendicular a B . e) N.A. 07. U na bobina de 300 espiras y área de 100 cm2 gira en un campo m agnético de 0,5 W b/m2 a 1800 rev/m in. H allar el valor m áxim o de la fuerza electrom otriz gene
1494 Fís¡ca++ ********************************************************************************************** rada, a) 5 0 tcV b) óOrcV c) 7 0 ttV d) 80;t V e) 907tV
la corriente eléctrica inducida en el cir cuito de la derecha.
08. El imán se m ueve horizontalm ente con velocidad constante hacia la espira fija. Luego, se puede proponer correctam ente que: H orario H. A ntihorario III. N o hay corriente b) FVF
a) VFV
I. El flujo dism inuye con el tiempo. II. El sentido de la corriente en la espira, es tá equivocado. III. N o se cum ple la ley de inducción de Fa raday. a) FVF
12. A l cerrar la llave S en el circuito de la iz quierda. Indicar las proposiciones verda deras (V) ó falsas (F), respecto del sentí do de la corriente inducida en el circuito de la derecha. R
b) V FV c) VVF d) FFV e) VFF
09. U na espira de área 500 cm 2 y resistencia R = l0 Q se acerca hacia un imán aum en tando el flujo m agnético a razón de 0,2 W b/s. H allar la corriente inducida en la espira. (m = l 0 '3) # • a)1 0 m A b)l5mA c) 20 mA d) 25 m A e) 30 mA 10. El aparato que cam bia el voltaje de una corriente eléctrica alterna de alto voltaje a bajo voltaje y viceversa es: I. U n motor. 11. U n generador. III. U n transform ador. a) FFV d) VFF 11.
c) FFV e) FFF
d) VFF
I. H orario II. A ntihorario III. N o hay corriente a) VFV
b) FVF d) V FF
c) FFV e) FFF
13. El circuito rectangular, se m ueve con ve locidad "v", alejándose del alam bre. Res pecto del sentido de la co m en te induci da en el circuito, indicar las proposicio nes falsas (F) o verdaderas (V).
b) FVF c) VFV e) VVF
Al abrir la llave S en el circuito izquier do. Indicar las proposiciones verdaderas (V) ó falsas (F), respecto del sentido de
L H orario
II. A ntihorario m N o hay corr¡ente
Inducción electromagnética 1495 ********************************************************************************************** a) V FV
b) FVF d) VFF
c) FFV e) FFF
14. Por un solenoide de excitación m agnéti ca 4.103 A/m y longitud de 1 m, circula una corriente eléctrica de intensidad 4 A. H allar la f.e.m (e) inducida en el solé noide si se coloca en un campo cuyo flu jo m agnético varia 6 pW b/m 2 en cada se gundo. a) 1 mV b) 2 mV c) 4 mV d) 6 mV e) 8 mV 15. R especto del circuito eléctrico mostrado. Indicar que proposiciones son verdade ras (V) ó falsas (F):
17. U na espira de área A=100 cm2 se ubica perpendicularm ente a un cam po m agnéti co uniform e de m ódulo B=1 T, y se gira un ángulo de 180° alrededor de su diáme tro en A t= 0 ,l s. H allar el valor medio de la f.e.m (e) inducida en la espira. a) 1 V d) 4 V
b) 2 V , e) 5 V
c) 3 V
18. El plano que contiene a la espira cuadra da de lado 5 cm form a 37° con la direc ción del cam po m agnético Uniforme de m agnitud 1 T. H allar el flujo magnético a través de la espira. (m =10'3)
a) 1 mW b b) 2 m W b c) 3 mW b d) 4 mW b e) 5 mW b I.
Si la bobina se m antiene en reposo, por el foco, no circula corriente eléctrica. II. Si la bobina se acerca rápidam ente al i mán, por el foco circulará una corriente eléctrica. III. Si el im án se m antiene dentro de la bobi na, por el foco, continuará circulando co rriente eléctrica. a) V FF b) FVF c) FFV d) V V F e) VFV 16. L a sección transversal de una bobina de 200 vueltas y radio 0,10 m se coloca per pendicularm ente a un cam po m agnético uniform e de 0,2 T. H allar la f.e.m (e) in ducida en la bobina si en 0,1 s se duplj ca el campo magnético. a)
tiV
d) 4 tcV
b) 271V e) 5 tcV
c) 3 ttV
19. El conductor rectilíneo de longitud L=1 m se desplaza con rapidez v = l 5 m/s per pendicularm ente al campo magnético u niform e de módulo 0,2 T. H allar el valor de la f.e.m inducida en el conductor.
a) I V
'b)2V d) 4 V
c) 3 V e) 5 V
20. L a barra delgada de lm de longitud gira en un campo m agnético de m ódulo 1 T, alrededor de un eje que pasa por uno de
1496 Física++ **********************************************************************************************
a través de la corona de radios interno p l m y externo R=2 m es de m agnitud B=1 T. H allar el flujo m agnético.
sus extrem os y es paralelo al campo mag nético. H allar el flujo de inducción mag nética (O ) que atraviesa la barra en cada vuelta.
\B X
X
X
X
X
(? )—
L
:x
X
X
"'x
X
B .
X
eje X
a) n Wb
b ) 2 7t W b c)3?rWb d) 4 W b e) 5 n Wb
21. Por el alam bre muy largo circula una co rriente de intensidad i =2 A. H allar el flu jo m agnético (
a) rtWb b) 27tWb c)37tW b d)4rcW b e) 5 7iWb 24. El cam po m agnético uniform e perpendi cular a la cara A BCD es de m agnitud B =0,2 T. H allar el flujo m agnético a tra vés de la cara CDEF.
r\ “1 1
a) 0 W b
a) 0,1 W b b) 0,2 W b c ) 0 ,4 W b d) 0,6 W b e) 0,8 Wb
b) 1 W b c) 2 Wb d) 3 W b e) 4 Wb 0
22. H allar el flujo m agnético neto que pasa a través del área del cuadrado de lado a= l m, sabiendo que B=1 T. X
X
xBx x
|■
x
:•
x
;•
25. H allar el flujo del campo m agnético u niform e de m agnitud B = 0,5 T, a través de la superficie indicada.
X X X X X X • • i X * B* : x • » • x
\
Im
T a/ 2
X
X X X
lm
a) 1//2 Wb b) 1/4 W b c) 2 Wb d) 4 W b e) 1 Wb 26. El cam po m agnético uniform e que pasa
lm
a) 0,1 W b b) 0,2 W b c ) 0 ,3 W b d) 0,4 Wb e) 0,5 Wb
a/ 2
23.
lm
♦
l X
x B x / \x y'
H allar la razón de los flujos m agnéticos 0 2 / O, a través de las superficies 1 y 2
Inducción electromagnética 1497 ********************************************************************************************** lcm •• • • • lcm:* * * * :• • • •
a) 10 pV 2cm •
•
•
a2
b) 2 d) 3/4
c) 4 e) 4/3
27. U n alam bre de longitud ¿= 5 0 cm, per pendicular a un cam po m agnético unifor m e de m ódulo B=4 T, se m ueve con rapi dez v =50 cm /s form ando un ángulo de 0=37° con el campo m agnético. H allar la f.e.m ( e ) inducida en el alambre. a) 0,1 V
b) 0,2 V c) 0,4 V d) 0,6 V e) 0,8 V
28. Un imán m oviéndose con rapidez de 2 cm/s sobre el eje de una bobina de 100 espiras se aleja 10 cm, cam biando el flu jo a través de la bobina de 300 Wb a 280 Wb. H allar el valor de la f.e.m ( e ) indu cida en la bobina. a) 300 V
c) 20 pV
e) 30 pV
•
A, a) 1/2
b) 15 pV
d) 25 pV
b) 350 V c) 400 V d) 450 V e) 500 V
29. H allar el flujo m agnético que atraviesa el núcleo de un solenoide de longitud ¿ = 50 cm, diám etro de sección transver sal circular D=10 cm y N =400 espiras, por el cual, circula una corriente de inten sidad i = 10 A. (p o=47T.10-7)
31. El núcleo de un transform ador es normal m ente lam inado para: a) Facilitar la instalación. b) E vitar la corrosión. c) Q ue dure más tiem po el transform ador d) R educir las corrientes de Foucault. e) Facilitar el paso de la corriente. 32. ¿C uántas espiras deberá tener el secunda rio de un transform ador, cuyo primario tiene 300 espiras, para que el potencial de 220 voltios dism inuya a 110 voltios? a) 100
b) 150 d) 250
c) 200 e) 300
33. Por un transform ador elevador de volta je de 10 kW , en su lado prim ario circu lan 10 A. H allar el voltaje, y la corriente en el secundario del transform ador, si la relación entre el núm ero de vueltas del arrollam iento prim ario y secundario es, N , / N 2= l/4 . a) 4 kV ; 2,5A b) 3 kV ; 2,0 A c) 1 kV ; 1,0 A d) 2 kV ; 1,5 A e) 5kV ; 3,0 A 34. En los dos transform adores, hallar la co rriente que circula por la resistencia de R=33 Q. Si: 4N 2 / N ,= 5 N 4 / N 3=3 y s = 220V Ni N2
N3 N4
a) 2 n 2 pW b b) 4ti2 pW b c) 6tt2 pW b d) 8n2 pW b e) 9 tt2 pW b 30. U n avión vuela con rapidez de v=360 km /h form ando un ángulo de 0 = 37° con un cam po m agnético de m agnitud B = 10'8 T. H allar la diferencia de poten cial entre las puntas de las alas, cuya Ion gitud es de ¿ = 25 m. (p= 10‘6)
a) 1 A
b) 2 A d) 4 A
c) 3 A e) 5 A
35. El disco de cobre de 20 cm de radio gi ra perpendicularm ente a las líneas de un
1498
Física++
********************************************************************************************** cam po m agnético de 1 T a razón de 50 rev/s.¿Q ué corriente fluye a través de la resistencia de n Q , conectada entre el centro y el borde del disco?
I.
po, que pasa perpendicularm ente por u n a espira de área 0,2 m 2 y resistencia R =10 Q. Para, 2
II. L a potencia disipada en la espira. a) 10 m W b) 12 m W c)14mW d) 16 m W e) 18 m W a) 0,5 A
36.
b) 1,0 A c)l,5A d) 2,0 A e) 2,5 A
39.
Un solenoide de longitud 80ti cm y sec ción transversal de área 6 cm 2 tiene 500 vueltas de alam bre por las cuales circula una corriente de 2 A, la perm eabilidad re lativa del núcleo de hierro es 700. H allar el flujo m agnético dentro del núcleo de hierro. ( j i 0 = 4 n . 1 0 '7) a)2 1 0 p W b
b ) 230 p W b
d) 270 p W b
c )2 5 0 p W b
e )2 9 0 p W b
Si en un transform ador el núm ero de vueltas del secundario (N 2 ) es m ayor que el del prim ario (N i), entonces: I. Se tiene un elevador. # II. El voltaje de entrada es m ayor que el de salida. III. L a corriente de salida es m ayor que el de entrada.
a) 1 71 W b b) 2 n W b c) 3 n Wb d )4 7 iW b e ) 5 7 t Wb
37.
a) V FF
H allar el flujo m agnético a través de la superficie sem iesférica de rad io R=10 cm, el m ódulo del cam po m agnético es B=0,5 T.
40.
Por el alam bre recto m uy largo circula u na corriente eléctrica de intensidad i=2 A. H allar el flujo m agnético (Í>B) a tra vés de la superficie lateral del cilindro de radio R = 10 cm y longitud ^= 2 0 cm. i
b) V FV c) FVF d) VVF e) FFV
a) 0 W b
41.
L a gráfica representa la variación del mó dulo del cam po m agnético versus el tiem
b) 1 W b c) 2 Wb d) 3 W b e) 4 W b
H allar el flujo del campo m agnético u niform e de m ódulo B = 1 ,7 5 T , a través de la superficie indicada, si a=10 cm.
Inducción electromagnética I4gg ********************************************************************************************** 45. A través de la bobina de 300 vueltas y á rea de la sección transversal 0,05 m 2 pa sa perpendicularm ente un cam po m agné tico, cuyo m ódulo en función del tiempo viene dado por la'gráfíca. H allar la f.e.m inducida en la bobina. a
a) 5 m W b b) 10 mW b c) 15 mW b d) 20 m W b e) 25 mW b 42. A través de una espira circular pasa per pendicularm ente un cam po m agnético u niform e. Si el radio de la espira aum enta en 20 %. ¿En qué porcentaje aum enta el flujo m agnético a través de la espira? a) 40 %
b) 42 % c) 44 % d) 46 % e) 48 %
43. H allar el flujo del campo m agnético uni form e de m ódulo B = l,7 S T, a través de la superficie indicada, si a=10 cm.
a) 20 V
b) -20 V c)10V d) -10 V e) 30 V
46. P or un toroide de N =360 espiras, radios interior y exterior r=16 cm y R=20 cm, circula una corriente de intensidad i = 25 A, adem ás en el núcleo existe una sustan cia ferrom agnética de perm eabilidad m agnética igual a p=2000. H allar el flu jo m agnético (en mW b) al interior del to roide. (p o-4 7 t.l0 '? H/m, m =10'3) a) 0,2 ti
b) 0,47t d)0,Ü7u
a
a) 1 m W b b) 2 mW b c) 3 mW b d) 4 mW b e) 5 mW b
c) 0,671 e )l,0 7 t
47. H allar el flujo m agnético (en |iW b) que atraviesa el núcleo de un solenoide de longitud l = 5 0 cm, diám etro de sección transversal circular D -1 0 cm y N -4 0 0 espiras, p o r el cual, adem ás circula una corriente de intensidad i = 10 A. (p 0= 4tt.1 O'7 H /m )
44. A través de 20 espiras circulares de ra dios a, 2a, 3a,...,contenidas en un mismo a ) 2 jt2 b)47t2 c )6 ti2 plano sin superponerse, pasa perpendicu d) 8 íc2 e) 9 tü2 larm ente un cam po m agnético uniform e de m ódulo B =0,6 T. H allar el flujo mag 48. El flujo m agnético al interior de un toroi nético total. (a=2 cm) de de N =360 espiras, radios interior y ex terior de r= 16 cm y R -2 0 cm, por el que a) 1,16 W b b) 2,16 W b c ) 3 ,1 6 W b circula una corriente de intensidad i=25 d) 4,16 W b e) 5,16 Wb A, es <í> = 0,87t mW b. H allar la perm ea
1500 Física++ **********************************************************************************************
bilidad m agnética "p " de la sustancia fe rrom agnética que form a el núcleo del to roide. (p 0= 471.10'7 H/m, m=10~3) a) 500
b) 1 500 c) 1 000 d) 2 000 e) 2 500
49. H allar el flujo m agnético (d>), del eampo m agnético uniform e B -2 ,5 k (T), a tra vés de una espira cuadrada de área A=2 m 2, el plano que contiene a la espira for m a un ángulo de 0 = 37° con el eje Z. a) 1 Wb
b) 2 W b c) 3 Wb d) 4 W b e) 5 Wb
50. El alam bre recto que conduce una co rriente de intensidad i=6,25 A, está en la dirección del eje Z. H allar el flujo m ag nético que pasa a través deí plano definí do en coordenadas cilindricas por: 4>=tt/4 0,01 < r <0 , 05 m y 0 < z < 2 m .
52. Por una bobina de longitud t = 20 cm, diám etro D=3 cm y núm ero de espiras N =400, circula una corriente de intensidad i=2 A. H allar el flujo (en pW b) que pasa a través de la sedción transversal de la bobina. (p,0= 4ti.10'7 H /m ; p=10~6) a) 3,51
b) 3,53 d) 3,57
c)3 ,5 5 e) 3,59
53. U n espira cuadrada de área A=16 cm2 gi ra en un cam po m agnético a la velocidad de vueltas por segundo. El eje de giro se halla en el plano de la espira y es perpen dicular a las líneas de fuerza del campo m agnético. L a excitación m agnética es H =7,96.104 A/m. H allar el valor m áxim o del flujo m agnético (en pW b). (|í 0~4 ti. 10"7 H /m ; m icro p = 1 0 '5) a) 140
b) 150 d) 170
c) 160 e) 180
54. L a inducción m agnética que pasa través de la espira perpendicularm ente al plano que lo contiene, varía de acuerdo con la relación: í>B~ 6t2+ 7 t+ l, donde "t" esta dado en segundos. H allar la fem (e) indu cida (en mW b) en la espira de área A=10 cm2, para t=2 s. (m =10'3)
a) 1pW b
b) 2pW b c) 3pW b d) 4pW b e )5 p W b
51. U na espira circular de radio a=10 cm y resistencia R=5 Q , situado en el plano XY, con su centro en el origen de coor denadas, está dentro de un cam po magné tico dado por: B = 2 sen(100t) k (T). Ha llar la intensidad de corriente en la espi ra para t=2 s. a) 1,16 A b) 1,18 A c) 1,14 A d) 1,12 A e) 1,10 A
R b) 33
a) 31 d) 37
c) 35 e) 39
55. U n a barra de cobre de longitud i - 40 cm se m ueve perpendicularm ente a un cam po m agnético de m agnitud B=0,5 T con velocidad de m agnitud v=20 cm/s.
Inducción electromagnética
150-1
********************************************************************************************** H allar la fem inducida en la barra, (m -
a) 350
a) 10 mT b) 20 m T c)30mT d) 40 m T e) 50 mT 56. El flujo m agnético que pasa a través del área de una espira es: $ = 3 .t2-7.t. H allar la fuerza electrom otriz inducida en la es pira en el instante de tiem po t = 2 s. a) 1 V
b) 2 V d) 4 V
c) 3 V e) 5 V
a) 1 V
b) 2 V d) 4 V
c) 3 V e) 5 V
58. H allar el coeficiente de autoinducción de un solenoide de N =100 espiras, longi tud l = 5 cm y área de sección transver sal A=5 cm 2. (p o= 47t.l0'7 H/m, p=10‘6) a) 1Otc p H
b) 2Ü7t p H
d) 40n p H
c) 3071 p H
e>507t p H
59. En un instante dado, por una bobina de N =20 espiras, y coeficiente de autoinduc ción L~15 H, circula una corriente de in tensidad i - 4 A. H allar el flujo, m agnéti co que pasa a través del área de la bobi na. b) 2 W b c) 3 W b d) 4 W b e) 5 W b
60. ¿C uántas espiras tiene una bobina de in ductancia L -0 ,0 0 1 H, si a la intensidad de corriente i= l A, el flujo m agnético a través de la bobina es 0 = 2 0 0 M x? (1 M x=10‘8 W b)
c) 450 e) 550
61. En un cam po m agnético uniform e de m agnitud B = 5 0 0 Gs, g ira una varilla de longitud £=■ 1 m a una velocidad angu lar constante © =20 rad/s. El eje de giro pasa por el extrem o de la varilla y es pa ralelo a las líneas del cam po m agnético, H allar la fem ( e ) de inducción en los ex trem os de la varilla. (1 G s=10'4 T) a) 0,1 V
57. El flujo m agnético a través de un circuí to constituido por dos espiras que condu cen una corriente de intensidad i=2 A es B =0,4 Wb. H allar la fem autoinducida en el circuito, si la corriente se duplica en 0,2 s.
a) 1 W b
b) 400 d) 500
10 3)
b) 0,2 V c) 0,3 V d) 0,4 V e) 0,5 V
62. ¿C uántas espiras de un conductor tiene el arrollam iento en una sola capa de una bobina, cuya inductancia es L= 0,001 H? El diám etro de la bobina es D =4 cm, el diám etro del conductor es d=0,6 mm. Las espiras se tocan unas a otras. (p 0= 47t.l O'7 H /m ) a) 360
b) 370 d) 380
c )3 8 0 e) 400
v 63. El alam bre d e longitud £=20 cm se m ué ve con velocidad v=4 m /s en la direc ción de la corriente de intensidad i=2 A. H allar la m agnitud de la fem (en pV ) en los extrem os de la varilla. (p 0= 4tt.10'7 H /m ; a=4 c m ; 0=37°)
a) 2,51
b) 2,53 d) 2,57
c)2 ,5 5 e) 2,59
64. U na resistencia R =104 Q y un condensa dor se conectan en serie y súbitam ente se les aplica un potencial de V =10 vol
1502 Física++ ********************************************************************************************** tios. Si el potencial a través del conden sador aum enta a 5 V en 1 ps. H allar la capacidad del condensador (en pF). ( p 10-12, pico) a) 140
b) 142 d) 146
c) 144 e) 148
65. En un cam po m agnético uniform e de m agnitud B - 0,8 T, g ira uniform em ente una espira cuadrada de área A -1 5 0 cm 2 a una velocidad angular co = 15 rad/s. El eje de giro se halla en el plano de la espi ra form ando un ángulo 0=30° con la di rección deí cam po m agnético. H allar la fem (e) m áxim a inducida en la espira. a) 0,15 V b) 0,18 V c ) 0 ,0 9 V d) 0,27 V e) 0,36 V 66. Se tiene un solenoide con núcleo de hie rro de perm eabilidad m agnética p=3581, de longitud í = 50 cm, sección transver sal de área A =10 cm2 y núm ero de espi ras N =1000. H allar la inductancia de es te solenoide, si por el arrollam iento del m ism o circula una corriente de intensi dad i= l A. a) 1,0 H
b) 3,0 H . c) 5,0 H d) 7,0 H ' e) 9,0 H
67. La densidad de energía asociada a deter m inada onda electrom agnética de una so la frecuencia es w -1 0 7 J/m 3. H allar la am plitud del cam po m agnético (en nW b/ m 2). (nano n= 10'9) a) 350
b) 352 d) 356
c) 354
a) 620
b) 6,22 c) 6,24 d) 6,26 e) 6,28
II. Si se reduce la co rriente a través del so lenoide de 10 A a cero en 0,1 s, determ j nar la fem prom edio (en m V) durante es te tiempo. a) 62,0
b) 62,2 c) 62,4 d) 62,6 ■ e) 62,8
69. U na bobina de resistencia R =60 Q y in ductancia L=30 H se conecta a una bate ría de fem e= 5 0 V a través de un inte rruptor. ¿E n qué tiem po la corriente en la bobina alcanza la cuarta parte de su va lor de equilibrio? a) 0,10 s
b) 0,12 s c)0,14s d) 0,16 s e ) 0 ,1 8 s
70. Se tiene un circuito R-L, indicar qué frac ción de la corriente eléctrica se alcanza después de transcurrido 4 constantes de tiempo. a) 0,90 s
b) 0,92 s c ) 0 ,9 4 s d) 0,96 s e) 0,98 s
71. L a barra de cobre se m ueve sobre unas vías conductoras con una velocidad "v" paralela a un alam bre recto, largo, que transporta una corriente "i” . H allar la fem "s" inducida en la barra, sabiendo que: v=5 m/s, i= l A, a = l cm y b=20 cm.
jj!
I I
b
e) 358
68. U n solenoide largo'de longitud £=50 cm tiene N =500 vueltas de alam bre y sec ción transversal de áfea A=10 cm2. 1. H allar su inductancia (en pH).
a) 1 p V b) 2 p V c) 3 p V d) 4 p V e) 5 p V
Inducción electromagnética
1503
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
SO L U C IO N A R IO Solución: 01 E xisten dos formas de producir corriente inducida en un conductor: 1) Q ue el flujo m agnético que atraviesa una espira en reposo, varíe en el tiempo. 2) Q ue el conductor (espira), se m ueva en un cam po m agnético uniform e ó que las dim ensiones de la espira varíen. La respuesta correcta es la c).
III.
en la espira. Dado que la esfera está en reposo respec to de la espira, ella no crea cam po m ag nético.
•
Solución: 02 Según teoría, la respuesta correcta es la e). Solución: 03 E sta ley fue enunciada por vez prim era por Lenz. Solución: 04 Las líneas del cam po m agnético creada por la corriente (i) no pasa a través del área A de la espira, pues, son circunfe rencias concéntricas.
P or tanto, la respuesta correcta es la a). Solución: OS El flujo m agnético que atraviesa una es pira depende del área de la m isma. II. El flujo magnético que atraviesa la espi ra depende de la velocidad con la que se m ueve esta. III. N o depende del tiempo. D e m odo que la respuesta correcta es la d) I.
a)
Solución: 06 L a corriente inducida neta producida en la espira es nula.
W
II. El flujo m agnético creado por el im án en movim iento varía en el tiem po, de m odo que se origina una corriente inducida
A
b) Com o no existe flujo m agnético a través de la espira, no se produce corriente in ducida en ella. c) Dado que no existe flujo a través de la espira, no se produce corriente inducida
1504
Física++
**********************************************************************************************
en ella. •
Solución: 09 La f.e.m inducida en la espira es: A Wb s = ------- = 0 , 2 -----A t’ s
Luego, la corriente eléctrica inducida es: 0 ,2 Wb / s d) Dado que el flujo m agnético que atravie za la espira varia, entonces, se produce corriente inducida en la espira. Por tanto, la respuesta correcta es la d).
10 Q
* i = 20 mA
©
Solución: 10 • El aparato que cam bia el voltaje de una corriente eléctrica de alta a baja y de baja a alta, es un transform ador. (C)
Solución: 07 • El valor m áxim o de la f.e.m inducida, viene dado por: s m ax = N e m ax = 271
BA
O
Solución: 11 • La corriente inducida (i¡) en el circuito de la derecha debe tener sentido antihora rio, para que el flujo a través de las espiras, debido al cam po m agnético B¡ creado por es ta corriente, refuerce al flujo del campo mag nético externo B, que esta dism inuyendo, co mo se aprecia en la Fig.
NB A f
e max=27r (300)(0,5)(10~2)(30) * Em1x = 90 n voltios
©
Solución: 08 a) A m edida que el imán se acerca a la espi ra, la intensidad del campo m agnético aum enta, de m odo que el flujo a través de la m ism a aum enta en el tiem po. (F) b) De la ley de Lenz, el sentido de la co rriente inducida, es opuesta al que apare ce en la Fig. (V) c) El flujo a través de la espira varia, de mo do que la ley de Faraday se cum ple. (F)
Solución: 12 • La corriente inducida (i¡) en el circuito de la derecha debe tener sentido horario, pa ra que el flujo a través de este circuito, debí do al cam po m agnético B, creado por esta co rriente, se oponga al aum ento del flujo del campo m agnético externo B, que esta salien do del papel, com o se aprecia en la Fig.
Inducción electromagnética 1S05 ********************************************************************************************** s _ ( j -io Kj)
( 6 ,
0
* e,= 6 mV
©
S o lu c ió n : 15 S o lu c ió n : 13
• D ado que el flujo m agnético que atravie sa el circuito rectangular dism inuye, a m edi da que ésta se aleja de la corriente eléctrica i, la corriente inducida (i¡) en la m ism a, debe tener sentido horario, tal que el flujo debido al campo magnético inducido (B,), creado p o r esta corriente, se oponga a la dism inu ción del flujo m agnético externo, creado por B.
i
• L as respuestas a cada una de las afirm a ciones son: * VVF S o lu c ió n : 16
• L a f.e.m (e) inducida en la bobina, (sin considerar el signo), viene dado por: e = N
Ad> At
= N (
s = N (ir R 2) ( <*) / T \ ® B ( li * B¡
0 - O > O) t-t0
2B
0
- B 0,
t _ Ío . V ~cT
6 = (200X7! 0,102x ~ j )
S o lu c ió n : 14
• L a intensidad m agnética en el eje del so lenoide, viene dado por: H ,=
i_N .
S o lu c ió n : 17
i
A sí, el núm ero de vueltas del solenoide es: N =
H £
( 1)
De otra parte, la f.e.m (s) inducida en el solé noide es: e = -N ( ^ - ) At
* £ = 4 71 voltios
( 2)
• L a f.e.m (e) inducida en la espira, viene dado por Ja ley de Faraday: A
O - <í>o £= ------------ o t-t0
BA cosG ~ BA c o s 0 r t-L
c o sü - eos 0,, £ = - B A (----------------- 2-) t tr\
D e (1) en (2), obtenem os la fem, así: e = H Í ( A®B) i At
-l 8 = -(l)(1 0 0 .1 0 -4) W
(
^ ^ 0 ,0 1 -0
1
1506 Física++ A********************************************************************************************* * e=2V
®
S o lu c ió n : 18
= B.S = B.t i í 2 O = ( l)(7 ü )(l2 )
• El flujo m agnético que pasa a través de la espira cuadrada es: d> = B.A.cosG O = (l)(25.10-4) ^ )
+
®
S o lu c ió n : 19
• R epresentem os el área rectangular barrí da por la barra durante un tiem po (t), pasan do de la posición (1) a la (2) }•— • X
x — X
^
X
X
B ¡ X
X
X
X
j X
X
X
X
: x
x
x
x
e ;
( 1)
_v
*
d ) = 7 iW b
@
S o l u c i ó n : 21 • D ado que la superficie lateral del cono esta form ado por circunferencias con centro en la línea infinita y las líneas del campo m agnético son circunferencias alrededor de esta línea, entonces debido a que am bas cir cunferencias coinciden, el flujo m agnético a través de la superficie lateral del cono es nu lo, a).
S o l u c i ó n : 22 • El flujo neto que pasa a través de la su perfície del cuadrado, es igual, al flujo del cam po (x) m enos el flujo del cam po (•), es to es:
( 2)
= B .(a2 - ~ ) - B ( ~ ) El m ódulo de la fuerza electrom otriz (f.e.m) inducida, viene dado pof: * ^ n = ¿ B -a 2 = í i )(1)í3)2
_ Ad> _ A (B i.x ) At
At 0> = - W b n 2
Ax e = B i .( — ) = B i.v At
S o l u c i ó n : 23 • El flujo m agnético que pasa a través del área de la corona es:
e = (0 ,2 )(l)(1 5 ) *
e=
3 V
®
© d> = B.A = B.tt.(R 2 - r 2)
S o lu c ió n : 2 0
• El flujo de inducción m agnética, que pa sa a través del área que barre la barra en ca da vuelta es:
d> = (l)(7T)(22 - l 2)
d> = 3 tt W b
©
in d u c c ió n e le c tr o m a g n é tic a
1507
********************************************************************************************** S o lu c ió n : 2 4
• El flujo m agnético que pasa por la cara CD EF es la m ism a que pasa por la cara A BC D , de m odo que:
s = ~ N ---------- - = -N .v .d//y
e = -(ioo)(o;o2).
ora
0 = B . A = (O,2)(2)(2) * 0 = 0,8 W b S o lu c ió n :
d ™a
°4 ®
25
* S o lu c ió n :
. El flujo del cam po m agnético uniform e a través del área indicada es:
g=
400 V
©
29
* El fluj ° m agnético a través del núcleo del solenoide, viene dado por: ,N.
0
0
= B.A = B.2 (a 2 - - ^ 7ra2)
= (o , 5 )( 2 )[i2 - ( i ) ( 7t)(i)2]
* < D * 0 ,2 W b
©
° = (4ti. 1 0' 7) < y ^ ) ( i ° ) ( y i o-2 )
* 0 = 8ti2.1O”6 W b
^
S o lu c ió n : 3 0
S o lu c ió n : 26
• El flujo m agnético, es el núm ero de lí neas que pasan por un área dada, así:
• L a diferencia de potencial entre las pun tas de las alas del avión es:
8 = B.f.v.sen 0
0!
16
@
4
e = (10~8)(2 5 )(1 0 0 )(|)
S o lu c ió n : 27
• El valor de la f.e.m inducida en el alam bre, viene dado por:
S o lu c ió n : 31
e = vi.B .sen 0
• El núcleo de un transform ador es lámina do para reducir o dism inuir los efectos de las co m en tes de Foucault, la respuesta co rrecta es la d).
e = (0,5)(0,5)(4)(|) *
e
= 0 ,6 V
* 8 = 15.10-6 V
® S o lu c ió n : 3 2
• Según teoría, el núm ero de espiras que S o lu c ió n : 2 8 debe • El valor de la f.e.m inducida en la bobitener el secundario es: na de 100 espiras, viene dado por: N 2 = N i (V j /V ,)
1508 Fís¡ca++ **********************************************************************************************
N 2 = 150 espiras S o lu c ió n : 3 3
• La potencia disipada en el prim ario y se cundario, es la mism a, de m odo que, el vol taje del prim ario es: y
V4 = 99 voltios
®
Luego, la corriente que circula en la resisten cia "R" es: , ■ = _ V l=
—
1
33
P iO kW 1 “ i, “ 10 A
R
* i= 3A
©
S o lu c ió n : 3 5
Vj = 1 kV L uego, el voltaje en el arrollam iento secun dario es:
• L a diferencia de potencial entre el centro del disco y su borde es: V = - ü> B r 2 2
V2 = ( ^ ) V , = (4)(l kV) Nj
C om o, (ü=2ttf, y i=V /R, entonces la corrien te a través de la resistencia es:
+ V2 = 4 kV Y la corriente en el arrollam iento secundario es:
i=
n f B r2 R
. _ 0t)(5Q )(l)(0,2¿ )
>2 = ( N- 1 ) ¡i = (1 )0 0 A) * i2 = 2,5 A S o lu c ió n : 3 4
n * i= 2A
® .
®
S o lu c ió n : 3 6
• El voltaje de salida en el arrollam iento N 2 del prim er transform ador es:
• El flujo m agnético a través del solenoi de, viene dado por:
V2 = ( t t ~) e = ( t ) (220) N] 4
Í> = ^ ÍN A t
V2 = 1 6 5 voltios El voltaje en el arrollam iento N 3 del según d o transform ador, es la m ism a que la de] a rrollam iento N 2 del prim er transform ador, luego, el voltaje en el arrollam iento N 4 del segundo transform ador es: V4 = f e v , = Á ( l 65) N-j 5
O
s
(4 ,.1 0 - 7)(700)
q-<
.80;t.l0 * d> = 210.1(T 6 Wb
©
S o lu c ió n : 3 7
• Las respuestas a cada una de las afirm a ciones es: « VFF
Inducción electromagnética 1509 ******************************************* A ***************************A ********************** S o lu c ió n : 3 8
I.
La f.e.m inducida en la espira es: e = - ( ^ — ^ )(0 ,2 ) = 0 , 4 V ®
I I.
L a potencia disipada en la espira es: 0,4^
P= R
10
A, = a
P = 16.10-3 W
7ia‘
A sí, el área por donde pasa el cam po magné tico B , es igual, al área del cuadrado menos dos veces el área A i, esto es:
S o lu c ió n : 3 9
• Por conservación del flujo, el flujo m ag nético que pasa a través de la superficie se m iesférica y su base, es la mism a, por lo tan to:
A = a -2 A A = a2 -2 (a 2
ira 2)
A = (—- l ) a 2 » 0 ,5 7 a 2 2
0>B = (0,5)(7t)(0,l) * €>b = 5 7i.l O-3 Wb
4
©
L uego, el flujo m agnético a través de la su perficie indicada es: <í>B = B A = (l,7 5 )(0 ,5 7 )(0 ,ir
S o lu c ió n : 4 0
• D ado que la superficie lateral del cilin dro tiene com o eje al alam bre recto, y las lí neas del cam po m agnético son circunferen cias concéntricas alrededor de este alambre, estas líneas no pasan a través de la superfi cié del cilindro, por lo que, la respuesta es la a).
*
«10.1CT3 Wb
®
S o lu c ió n : 42
El porcentaje en que aum enta el flujo c,i' ° ' a l.au,,:f ' :,J r ' c c r 20 % eI radio de la espira, viene dado por: s-Xioo)
^
(B a ( U R ¿ W
LINEAS
B ttR
S o lu c ió n : 41
• E n la Fig., el área Ai es igual al área del cuadrado m enos el área de la cuarta parte del círculo de radio (a), esto es:
)(100)
=
1 ,4 4 -1 -)(1 0 0 )
* n = 44 %
©
1510 Física++ ********************************************************************************************** S o lu c ió n : 43
• El área por donde pasa el campo magné tico, es igual, al área de la cuarta parte de cír culo de radio (a) m enos el área del triángulo isósceles, esto es: A = - 7 ta 2 - - a 2 « 0 ,2 9 a 2 4 2 L uego, el flujo m agnético a través de la su perficie indicada es: d>B = B A = (345.10-3 )(0,29)(0,2)2 * O b = 4 .1 0 " 3 W b
e = —(300)(0,05)(tg 127°) * e= 20V
®
f F ^ N o ta El flujo del cam po m agnético a través de la bobina dism inuye, pues, el módulo del cam po m agnético dism inuye con el tiempo. Solución: 46 • L a m agnitud del flujo del cam po m agné tico al interior del toroide, viene dado por:
® = p 0p.N.i.A
S o lu c ió n : 4 4
£
• El flujo m agnético que pasa a través de las superficies de las 20 espiras es: Og =
p 0p N .i
ji.( ( R
- r )/2 )2
2it ((R + r ) /2 )
+ 0 2 T ••• T ^20
tpB = B n a 2 + B 7i(2a)2 + . . . + B ji(2 0 a )2
( 4 ti. 10~7 )(2 .103)(360)(25)(2.10"2 )2
36.10“2
(DB = 7 ta 2 B ( l2 + 22 + ...+ 202)
* 0> = 0 ,8 jU O " 3 W b
®
6
^ * <&B = 2,16 Wt> g
®
N ota P ara h allar la longitud del toroide, se ha utilizado el radio m edio rm.
N o ta
La sum a de los cuadrados de los (n) pri m eros núm eros naturales, viene dado por:
Solución: 47 • El flujo m agnético a través del núcleo del solenoide, viene dado por:
n (n + l)(2n +1)
N ® = P 0( y ) i . A
6 S o lu c ió n : 45
• L a fuerza electrom otriz inducida en la bobina de 300 espiras es: A<1>
, T . AB
0 = (471.10 "7X— )(10)(—.10 2) 0,5 4 * cD = 8 ti2 .1 0 _6 W b
®
Inducción electromagnética 1511 A********************************************************************************************* ***< 2 0.05
S o lu c ió n : 48
• L a m agnitud del cam po m agnético al in terior del toroide, viene dado por: d> =
® = f i
f (^ iW d rd z W 2n r
0 0,01
• 0 ,0 5 ,
p 0p.N.i.A
2
'f i - d r í d z
271 0 01 r
0=
p 0p N .i n . ( ( R - r ) / 2 ) '
o
0,05
2“ entr>lo.oi {2)lo
2 tt ((R + r ) /2 )
i—70 8tc lo " 3 = ( 4 n A ° ~ ‘ Xli)(360X 2SX O,02r -2 36.10 * p = 2 000
®
S o lu c ió n : 4 9
0 =
(2)(4 tc.10"7 X 6,25)
0,05
2n
0,01
* 0 = 4.10-6 W b S o lu c ió n : 51
• R epresentem os a la espira cuadrada y al cam po m agnético.
• R epresentem os la espira circular de ra dio "a" y la intensidad de corriente.
El flujo m agnético, a través del área de la es pira es: En la Fig., el flujo m agnético a través del á rea de la espira cuadrada es:
0 = B *S d> = (2 sen lOO.t k ) * (rc.10 2 k)
© Ahora, la fuerza electrom otriz f.e.m induci da en la espira es:
S o lu c ió n : 5 0
• E l flujo m agnético a través del área del plano, viene dado por:
d<í> e = --------= - 2 n eos 1 0 0 1 dt
0 = ( f j B • dS
Luego, la intensidad de corriente eléctrica en el instante t = 2 s es:
S
1 512 FÍSÍCS++ ***************************************************A****************************************** S o lu c ió n : 5 5
i = — = -0 ,4 re eos lOO.t R
• L a barra de cobre en un diferencial de tiem po "dt” , recorre una distancia "x", co m o m uestra la Fig.:
i = - 0 ,4 n eos 200 B
* i « 1,18 A S o lu c ió n : 52
• El flujo m agnético a través de la sec ción transversal de la bobina, viene dado por:
X
X
X
X
X
A; X
X
X
X
X
X
X
0 = 1 V N -A ¿ -4
0
=
(4 ti. 10 "7 )(2)(400)(97t. 1 0 ^ / 4 ) i-2
20.10'
* 0 = 3,55.10-6 Wb
©
Luego, aplicando la ley de Faraday, y tenien do en cuenta que el cam po m agnético es uni form e, tenemos: 8=
d
d(B .A )
dt
dt
S o lu c ió n : 53
• El valor del flujo m agnético máximo, viene dado por:
dt
dt
8 = B i.v ^max ~ PoH.A -4
£ = (0 ,5)(0,4)(0,2) = 0,04 T * s = 40.10”3 T
D
*
• P or la ley de Faraday, la fem inducida en la espira es: dd^o dt
S o lu c ió n : 5 6
• L a m agnitud de la fuerza electrom otriz inducida, viene dado por:
e = —— (6 t 2 + 7 t + 1) A dt 8 = - ( 1 2 1 + 7).10
Fmj N o t a En la expresión de la ley de Faraday, no se ha considerado el signo, dado que nos piden la m agnitud de "e".
d<í>D d ._ 2 e = — 2. = - ( 3 . r - 7 . t ) dt d
-3
8 = -[(12)(2) + 73.10 * e = - 3 L 1 0 -3 V
-3
E = (6-t - 7) ] í=2 = (6)(2) - 7
©
* 8 = 5 voltios
©
Inducción electromagnética S o lu c ió n : 57
_3
• Prim ero calculem os el coeficiente de au toinducción, así: l = N;0 = ( 2 X M ) =
_
N
( 2 0 0 . 1 0 ~ 8 )
10
* N = ^00 espiras o j
4
®
h
S o l u c i ó n : 61
Luego, la fem autoinducida en el circuito e léctrico es:
• T om em os en la varilla un diferencial de longitud "dr", y representem os el área de la superficie barrida por este.
e = L . — = (0 ,4 ).— At 0,2 * £ = 4 voltios
®
S o lu c ió n : 5 8
• El coeficiente de autoinducción del solé noide, viene dado por: L=
N .O B
N.B.A
_ N .(p 0i.N ./í ) A _ (i0N A L=
El área de la superficie que barre el diferen cial de varilla "dr", durante el diferencial de tiem po "dt" es: dA = d r d f = d rv d t = drcordt
L =
( 4 tl 10 - 7 ) ( 1 0 0 ) 2 ( 5 .1 0 ” 4 ) 5 .1 0 - 2
* L = 4 0 j c .l 0 ~ 6 H
®
Ahora, com o el campo m agnético es constan te, entonces el valor de la fuerza electromo triz inducida en los extrem os del diferencial de varilla es: ds =
S o lu c ió n : 59
• El flujo m agnético a través del área de la bobina, viene dado por:
*
20
O = 3 Wb
BdA
dt
dt
ds = co B r dr Integrando está expresión para "r" entre 0 y i , obtenem os la fem inducida en los extre m os de la varilla
g = L i = (15)(4) N
d(P
©
fe
Jo
S o lu c ió n : 60
rR de = coB j rd r
Jo
L a inductancia de la bobina, viene dado s = I ( D B f 2 = (^ )(2 0 )(5 0 0 .1 0 “4)(1):
por: N.O L
=
*
s
=
0 ,5
v o ltio s
E
1514 Física++ ********************************************************************************************** S o lu c ió n : 62
• El núm ero de vueltas contenida en la longitud del solenoide es: N = d
En la Fig., sólo hay cam bio de flujo m agnéti co en el m ovim iento de la com ponente hori zontal de la varilla, así: dd> =, B.dS
£ = N.d
=>
d O = b o l y dx 2 tt
Reem plazando en la expresión de la induc tancia del solenoide, obtenem os el núm ero de vueltas, así:
A IV •-y 8, + ef ' dx 2rt
L =
( L =
=
f n ( x ) ] * +f'
P 0N 2( tt.D - /4 ) N.d N =
0 = i V y fn fl + ^ 2 tc a
4.L.d
)
Luego, la m agnitud de la fuerza electrom o triz inducida en los extrem os de la v arilla es:
p 0 7 r .D 2
(4)(0,001)(0,6.l0~3)
N =
i a
HqN -.A
6 = d o = i v ( d y ) f n (, + f ™ s 0 ) dt 2 tt d t a
( 4 r t.l0 '7)(7t.(4.!0_2)2) * N « 380 vueltas
dt S o lu c ió n : 63
• R epresentem os las com ponentes de la varilla, en las direcciones horizontal y vertí cal, luego de un intervalo de tiem po "At". (J)
c
27t dt
a
(4 n .l0 ~ 7)(2)(4) f n [ | | (2 0 )(co s3 7 °) ¿n
4
* e « 2,57.1
®
(2 )
r
S o lu c ió n : 64
• R epresentem os a la fuente, al condensa dor y a la resistencia conectados en serie. R
C
dS
b dx
Las com ponentes horizontal y vertical de la varilla, son:
£x = í eos 0
: £y = £ sen 0
(? -& r 10V La diferencia de potencial en los extrem os del condensador es:
Inducción electromagnética 1515 ********************************************************************************************** v, ■ = — = -
c
V iendo en la gráfica B=f(H) (texto de teo ría) encontram os que:
f ¡(t) dt
c J
n = - ^ = 358! H 8 -v e _ t / R -c
Vr
dt
Luego, la inductancia del solenoide es: i N2 L = FoP.'— A
Vc = s ( l - e ~ t/R 'C)
_4 .
C = ----------------------R í n(s / 8 - Vc )
L=
(4 tc. 10~7 )(3 5 81 )(103)2 (10 .10-4 ) 50.10-2
10
C
-6
* L = 9 ,0 H
©
10" r n(l 0 / 5) S o lu c ió n : 6 7
* C « 144.10-12 pF
©
S o lu c ió n : 65
• R epresentem os a ta espira en presencia del campo m agnético.
• Según teoría, en el vacío, la densidad de energía electrom agnética, es igual, a la suma de las energías eléctrica y m agnética, esto es: W = WE + W M
w
= - s „ E 2 + — b; 2p0
Com o, E 0 = c B q y e0p 0 = 1 / c entonces:
w = U 0c 2
La m agnitud de la fem m áxim a inducida en la espira, viene dado por:
2
£max = N.B.A.ú) sen 0
B0 =
2
2 p 0W
lu
-.1 / 2
l + s 0p 0r
s max = (1)(0,8)(150.10-4 )(15)(sen30°)
B * sr S o lu c ió n :
= 0,09 V
66
• L a m agnitud de la excitación m agnética en el solenoide, viene dado por: h
= ^
= (0,1)(1000) = 2 o q A 50.10
-2
[.(2X4jt.1Q-7X10~7) ] i/2 1+ 1
©
m
* B . = 3 5 4 .1 0
-9
Wb
©
m S o lu c ió n :
68
• Según teoría, la autoinductancia del so lenoide, viene dado por:
1516 Física++ **********************************************************************************************
intensidad de corriente de equilibrio es: L = n0n i.A ¡(t -> co) -
(2)
R
L = ( 4 x l 0 - 7) ( | y ) 2(0,5)(10.l0~4)
Luego, de ( I) y (2) ei tiem po para el cual, la corriente alcanza la cuarta parte de la co rriente de equilibrio es:
L = 628,3.10-6 H De otro lado, la fem inducida en el solenoi de, viene dado por: £ = —L —- = —L (—- —^-) At t - t /
— (1 - e ~ R I/R ) = - (—) R 4 R Rt/L = 4
^
_L f
3
(4/3)
R
30 , / 4 x t - — Cn(-) 60 3
£ = (-6 2 8 ,3 .1 0 "6) ( - ^ ® ^ ) 0 .1 -0 ' * s = 6 2 ,8 3 ,1 0 '3 V
e
©
* t « 0,144 s
Solución: 69 Representem os la bobina de resistencia "R ", inductancia "L" y la batería V conec tados en serie.
©
Solución: 70 L a intensidad de corriente eléctrica, en el circuito R-L, para cualquier instante de tiem po, viene dado por: i(t) = i0( l - e - R t/L ) i(t) = i0 (1 - e
L a constante de tiem po del circuito, viene dado por.
te cuando transcurren cuatro constantes de tiem po ” t 0 " es:
L 30 t n = — = — = 0,5 s 0 R 60
• ¡(4 t0 )
C uando se conecta la batería, la intensidad de corriente que circula por el circuito, en el instante de tiem po ”t" , viene dado por:
i(t) = ~ ( l - e - R,/L)
siendo to = L/R, la constante de tiem po y í0 la corriente de equilibrio, a la cual, se llega después de un tiem po muy largo. Lueg0? ]a fracción de |a corriente perm anen
= l-e
-4 t„ /t„
¡(4t0)
e4 - 1
o
e
(1)
K
Así, para un tiem po muy grande (t-»oc), la
>(4t0)
= 0,98 s
Inducción electromagnética 1517 ********************************************************************************************** Solución: 71 • R epresentem os a la varilla en sus posi ciones inicial y final, luego de haber reco rrido una distancia "dx".
Po
s=
2n
8=
ü¿
2n
[ £ n (y ) í
W
) a
e = 4 i L l O ^ (1 )(5 )ín ( 2 0 } 2 71
y dy t=í>
©
* £ = 3.10"6 v dx
Consideram os un diferencial de la barra "dy", que avanza un diferencial de longitud horizontal "dz"; entonces el campo a una
Solución: 72 • R epresentem os la trayectoria circular que describe un electrón, y las fuerzas eléctrica y m agnética que actúan sobre el.
distancia "y", debido a la corriente "i" es: B = P o J_ 271 y este valor es uniform e para un desplazam ien to "dx" horizontal. Luego, la fem inducida en el diferencial de barra de longitud " d y " es: d£ = B(y) — U dt d£ =
Po
En la Fig., la suma vectorial de las fuerzas eléctrica y m agnética sobre el electrón, debe ser igual a la fuerza centrípeta, esto es:
i dy.dx
271 y
d£ -
dt
2 e E - e v B = meo r
v dy
mco2r E = ---------+ o r B
2 tt y pues, v=dx/dt, es la velocidad horizontal de la barra. Luego, integrando la expresión anterior so bre toda la barra, para y entre "a" y "b", se tiene:
E =
( 9 ,l.r 0 -31)(40)2(0,l) 1, 6.10
-1 9
E « 0,91.10
+ (4 0 )(0 ,1 )(1 0 '!0)
+ 0,4.10
-9
1518 ' Física++ ********************************************************************************************** E je m p lo : 02
O ndas en un resorte, ondas en una cuer da, ondas en un cilindro con gas, e tc .,. O N D A S RESORTE
K JM M TO 1. O N D A S a) Definición Se llam a así a la perturbación que experi m enta alguna propiedad de un medio, por ejem plo, puede ser la densidad, la presión, el cam po eléctrico o m agnético, e tc ..., y que se transm ite m ediante las vi braciones de las m oléculas del medio, transportando energía más no materia. El m edio perturbado puede ser de natu raleza diversa como aire, agua, gas, un trozo de metal, e tc ...
CUERDA
O n d a s electrom agnéticas Se llaman así a las perturbaciones del cam po electrom agnético que se propa gan en un m edio m aterial o en el vacío. OND AS DE RADIO
FUENTE
: PERTURBACION
E je m p lo : 03
O ndas de radio, televisión, rayos X , ra yos gam m a, luz, etc...
CUBETA
Fuentes de ondas Son los cuerpos que actuando en un me dio provocan la perturbación.
>
E j e m p l o : 01
En la Fig., la piedrita, es la fuente de on das y el agua el m edio de propagación. b) Clasificación de las ondas 1) S e g ú n el m edio de propagación >
O n d a s m ecánicas Se llam an así a las perturbaciones m eca nicas (deform aciones) que se propagan en un m edio elástico.
O n d a s gravitacionales Las ondas gravitacionales son perturba ciones que alteran la geom etría misma del espacio-tiem po y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técni cam ente no podem os afirm ar que se des placen por ningún espacio, sino que en sí mismas’ son alteraciones del espaciotiempo.
2) S e g ú n su m o d o de propagación >
O n d a s longitudinales U na onda elástica es longitudinal cuando las partículas del m edio de propaga
Ondas 1519 A ***************************************: ************************* ******* ción oscilan en la misma dirección en la que se propaga la onda.
onda son planos y paralelos. >
ONDA
i \ )
P
n
l
vjí*
J
................)
J
i;:; V
ONDA (
' )
-
( i - i ... ■)
E jem plo: 04 Las ondas producidas en un cilindro de lleno gas son longitudinales.
O n d a s tridimensionales Son aquellas ondas que se propagan en dos direcciones.»Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una su perficie, por ello, se denom inan también ondas superficiales. Por ejem plo las on das que se producen en una superficie líquida en rep o so 'al ser im pactada por una piedrita son ondas bidim ensionales. O n d a s tridim ensionales Son aquellas ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridim ensio nales se llam an tam bién ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas las direcciones. Por ejem plo, el sonido y las ondas electrom agnéticas son tridim ensio nales.
O n d a s transversales U na onda elástica es transversal cuando las partículas del m edio de propagación oscilan perpendicularm ente a la direc ción en la que se propaga la onda. CUERDA TENSA
4) S e gún su periodicidad > O n d a s periódicas CUERDA PERTURBADA
E jem plo: 05 Las ondas producidas por el movimiento hacia arriba y abajo de ia mano, son on das transversales
L a perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejem pío una onda senoidal es periódica. >
O n d a s no periódicas
3) Se gún el frente de onda O n d a s unidim ensionales Son aquellas ondas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, com o por ejem plo las ondas en los resor tes o en las cuerdas. Si la onda se propa ga en una dirección única, sus frentes de
L a perturbación que las origina se da ais ladam ente o, en el caso de que se repita,
Física++ ********************************************************************* A sí, la am plitud del desplazam iento en la posición P, resultante de la superposi ción de las ondas T ' que viaja a la dere ch a y "2" que viaja a la izquierda es:
las perturbaciones sucesivas tienen carac terísticas diferentes. Las ondas aisladas se denom inan tam bién pulsos. c ) Pulso de onda
1
y = yi - y2 P u lso d e o n d a
E sto es consecuencia de que la ecuación d e onda es lineal, y p o r tanto, si existen dos o más soluciones, cualquier com bina ción lineal de ellas es tam bién solución. Se llam a así a la onda generada en un m edio por un im pulso o vibración única. Por ejem plo, sacudiendo una vez el extre mo de una cuerda horizontal, generam os un pulso que se propaga a lo largo de la cuerda, com o se observa en la Fig., otro ejemplo, el sonido de un disparo es un pulso de onda sonora. d) T re n de ondas Se llama así al conjunto de pulsos con tinuos, producidos por una serie de im pulsos o vibraciones continuas, que se propagan en un medio o el vació. P or e jem plo, sacudiendo varias veces el extre mo izquierdo de una cuerda, producim os un tren de ondas transversales. 9
e) Principio de superposición Este principio establece que: el desplaza miento ondulatorio en cualquier punto del m edio, es igual, a la sum a algebraica de los desplazam ientos en ese mismo punto de tpdas las ondas presentes.
f)
M edio lineal E s aquel medio, en el que las magnitu des que caracterizan la acción externa que actúa sobre el m edio y el cam bio de estado que este produce están relaciona das directam ente. P or ejem plo, un medio elástico que cum ple la ley de H ooke es li neal según sus propiedades mecánicas.
g ) M edio hom ogéneo Es aquel medio, cuyas propiedades físi cas no varían de un punto a otro. Por e jem plo, la densidad del m edio es la mis m a en todos los puntos. h) M edio isótropo Es aquel medio, cuyas propiedades físi cas son la misma en todas las díreccio nes, caso contrario se dice que el medio es anisótropo. Por ejem plo, los esfuerzos al interior de una barra son diferentes respecto de las direcciones consideradas. i)
O n d a viajera Se llam an así, a las ondas que se despla zan librem ente p o r el medio, y se descri ben m ediante una función que depende de la distancia a la fuente de ondas y del tiempo, esto es; f=f(x, t). P o r ejemplo, las ondas transversales o longitudinales generadas en una cuerda muy larga, son ondas viajeras, pues, se propagan a lo lar go de la longitud de la cuerda.
Ondas 2.
j)
O n d a plana U na onda se dice que es plana si sus fren tes de onda forman un conjunto de pía nos paralelos entre si, por ejem plo, las ondas del tipo sinusoidal que se propa gan en un m edio no absorbente son pía ñas.
ONDAS SENOIDALES
a) Definición Son aquellas ondas que tienen com o per fil una sinusoide» por lo mismo, se dice que son armónicas. Recordem os que to da función arm ónica es periódica. Por e jem plo, las ondas electrom agnéticas que se propagan en el vació o en un medio m aterial son senoidales. b) Ecu a ció n matemática de una onda senoidal
k) C oherencia Dos ó más ondas se dicen que son cohe rentes cuando son generadas por fuentes (focos) que oscilan con la m ism a ffe cuencia m anteniendo un defasaje cons tante, caso contrario se dice que son in coherentes. ¿)
Solitón Se llama así, a la onda solitaria que se propaga sin deform arse en un m edio no lineal. Por ejem plo, este tipo de ondas son observadas en el movim iento de las aguas en un canal o río.
La ecuación de una onda senoidal plana (arm ónica), que se propaga en un medio no absorbente que describe el comporta m iento de la onda en su propagación por el medio, viene dado por:
«
t
m ) O n d a sísm ica Son un tipo de onda elástica consistentes en la propagación de perturbaciones tem porales del campo de esfuerzos que gene ran pequeños m ovim ientos en un medio. Las ondas sísm icas pueden ser genera das por m ovim ientos telúricos naturales, o artificialm ente m ediante explosiones nucleares, debajo de la superficie terres tre. L a ciencia que se ocupa del estudio de este tipo de ondas y de los fenóm enos relacionados a ella, es la sism ología, el cual, tiene com o objetivo predecir los te rrem otos, evitando cuantiosos daños.
y = A sen (•— t ± — x + (p0) 1
•
A
siendo, (A ) su am plitud, (T) su período, (A,) la longitud de onda, (v) velocidad de propagación, ((p0) la fase inicia! de la on da, (co) la frecuencia cíclica, (y) posición en la vertical de un punto oscilante del m edio por donde se propaga la onda. El signo (+) es para una onda que se pro paga hacía la izquierda.
F ís ic a s ********************************************************************* •
Las expresiones que relacionan, la velo cidad de propagación (v), la longitud de onda (X ), la frecuencia (f) y el período, viene dada por: j
El signo (-) es para una onda que se pro paga hacía la derecha.
c ) Elem entos de una onda senoidal 1) Fase de la onda (
2)
277 t ±
y
x + cp0 )
Longitud de onda (X) Es la distancia recorrida (X ) por la onda plana en un tiem po igual al período (T), es decir:
, w v = — = X f =5 X — 2 ti T d ) O n d a hom ogénea U na onda es hom ogénea si la función de onda (y) es constante, sobre el frente de onda; esto es, si la am plitud de la onda es constante. e) O n d a s m onocrom áticas Se dice que un conjunto de ondas son monocrom áticas, si estas tienen la mis m a frecuencia, esto es:
X= v T f,= f2= ...= f„ 3) Frecuencia cíclica (co) La frecuencia cíclica de una onda plana del tipo senoidal, es la rapidez con la que se cubre una fase com pleta (27t), es decir: co =
4)
2n T
2 tt
27t
T
vT
5) Am plitud (A ) Es la m áxima distancia alcanzada por las partículas que oscilan, respecto de su po sición de equilibrio, cuando la onda pasa por ellas. 6) Relaciones entre
v
,
Frentes de onda Se llama así a la superficie en la cual la fase de una onda (cp) es constante.
•
Para una onda plana los frentes de onda son superficies planas para los cuales
•
N úm ero de onda (k) Es el núm ero de longitudes de onda (X ) contenidas en una fase de 2 ti, esto es: k =
f)
t
,© ,
x, f
k • r = cte. Para una onda esférica los frentes de on da son esferas siendo r = cte.
g ) Fonó n Se llam a así, al modo cuantizado de vi bración que se da en las redes cristalinas com o la red atóm ica de un sólido. Los fonones juegan un papel muy importante en m uchas de las propiedades físicas de los sólidos, tales com o la conductividad térm ica y eléctrica. En particular, las propiedades de los fonones de longitud de onda larga dan lugar al sonido en los sólidos. 3. O N D A S E S T A C IO N A R IA S a) Definición
Ondas c * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * '* '
Se llam a así a la onda que perm anece fl jo en el espacio, es decir, no se propaga en el medio. Este tipo de onda resulta de la superposición de dos ondas senoida les que se propagan una al encuentro de la otra y que tienen la misma frecuencia y am plitud; y en caso de ser transversa les igual polarización. Tam bién, surgen las ondas estacionarias, cuando el m edio se desplaza en sentido opuesto al de la onda, con velocidad igual, al de la velo cidad de propagación de la onda.
senkx = 1 =>
k x = (2n - 1 ) — (n = l. 2, 3 ,...) 2
•
Los valores nulos "y ", llamados nodos, obtenem os, cuando x=£, además: se n k f-0 =>
k í = n ;t ’ (n = l, 2, 3 ,...)
U tilizando, k=2jt/X, f=v/X con v=(T/p) velocidad de propagación, obtenem os las expresiones para la longitud de onda (A.) y la frecuencia (f)> así:
b) M odelo de onda estacionaria Colocando el extrem o izquierdo de una cuerda de longitud "O." a un vibrador, y el extrem o derecho fijando al punto 0, com o se aprecia en la Fig., obtenemos ondas estacionarias transversales, que se propagan a lo largo de la cuerda.
( n - l , 2, 3 ....) n f „ = ^ ( 1 )1' 2. ( n = l ,2 , 3 .. .) 2f n
e=£>
• Para obtener la onda estacionaria, super ponem os la onda incidente que sale del vibrador (yO con la onda.que se refleja en el extrem o derecho (y2 ), estas ondas se llaman com ponentes de la onda esta cionaria, así: y = yi + y2
•
siendo, " T " la tensión en la cuerda, " p " la m asa por unidad de longitud, y las on das que se propagan en la cuerda trans versales. Com o "A." y " f " dependen del número entero "n " , la longitud de onda y la fre cuencia solo pueden adoptar ciertos valo res discretos, por lo que se dice, que es tán cuantizados. Se llaman valores fundam entales de la longitud de onda "X” y de la frecuencia " f ", a los valores correspondiente a n= 1, esto es:
y2 = A se n (k x + cot) + A s e n ( k x - w t ) y = 2 A sen kxcoscot com o se aprecia su amplitud m áxim a es el doble de la de las ondas com ponentes. Los valores m áximos y mínimos de la am plitud "y ", llam ados crestas y valles, obtenem os cuando:
X =2l ■1
=t
=> 2
Fís¡ca++
1524
As*************************************************** ******************* esto es, la longitud de cuerda contiene la mitad de una longitud de onda. Para, n=2, evaluando la expresión de la longitud de onda, tenemos: k’ 'y
2£ —
=>
h -~ l ~2~2
a=2
esto es, la longitud de la cuerda contiene dos m edias longitudes de onda, hay tres nodos, dos crestas y dos valles. Para, n=3, evaluando la expresión de la longitud de onda, tenemos:
•
en las ondas estacionarias no se produce propagación neta de energía. Superponiendo dos ondas planas cohe rentes móviles, obtenem os una onda pía na estacionaria, t
c ) Resonancia Se llam a así, al fenóm eno en el que un sistem a capaz de oscilar (cuerda) se so m ete a una serie de impulsos con una fre cuencia igual a una de las frecuencias naturales fn (n = l,2,3..) de oscilación del sistem a, alcanzando su am plitud grandes valores. 4. V E L O C ID A D D E P R O P A G A C IO N D E U N A O N D A M E C A N IC A a) Velocidad del so n id o L a velocidad de las ondas sonoras en lí quidos y gases, viene dado por:
21
v=( V * P
n=3
siendo, (K) el módulo de compresibili lidad del líquido ó gas, y ( p ) la densidad •
esto es, la longitud de la cuerda contiene tres m edias longitudes de onda, hay cua tro nodos, tres crestas y tres valles. Se llam an arm ónicos a todos los valores posibles que pueden adoptar para n = l, 2, 3 ,... las frecuencias de oscilación (f) de la onda estacionaria. L a cuantización de los valores que pre sentan las frecuencias y longitudes de on da de la onda estacionaria, es resultado de las condiciones de frontera impuestas en los extrem os de la cuerda. Al contrario que en las ondas viajeras,
del m edio no perturbado. L a velocidad de propagación de la onda en el gas, tam bién, puede obtenerse a par tir de: v = ( ^ ) ’' 2 p siendo, ( x ) el coeficiente adiabático, (P) la presión del gas y ( p ) su densidad.
b) Velocidad en un m edio isótropo sólido L a velocidad de las ondas transversales en un m edio isótropo, por ejem plo, las ondas transversales que se propagan en un sólido que ha experim entado una de form ación por cizalla, viene dado por:
Ondas a
.1.1
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * '* "
V= ( V p siendo, (G) el módulo de rigidez del me dio de propagación, y ( p ) su densidad. c) Velocidad de las ondas longitudi nales en una varilla La velocidad de propagación de las on das longitudinales en una varilla de mó dulo de Young (E) y densidad ( p ) , viene dado por: v = (E) p d) Velocidad de las ondas transversa les en una cuerda La velocidad de propagación de las on das transversales en una cuerda de densi dad de m asa longitudinal (p) o densidad de m asa volum étrica (p), viene dado por v = ( ! ) '" = ( " ) '" P P siendo, (T) la tensión en la cuerda, (
Se llam an ondas sonoras o acústicas a las ondas elásticas longitudinales de po ca intensidad, es decir, a las perturbado nes m ecánicas débiles que se propagan
en un m edio elástico, que puede ser un gas, un líquido o un sólido. b) Clasificación Las ondas sonoraá según su frecuencia, se dividen en cuatro grupos: G rupo Infrasonido
Frecuencia (Hz) f < 16
Sonido audible
16 < f < 2.104
U ltrasonido
2.104< f < 109
H ipersonido
f > 109
C) Velocidad de propagación
Es una m agnitud vectorial, mide la rapi dez con la que se propaga la perturba ción, así, la rapidez del sonido en el aire es de aproxim adam ente 343 m/s, a la tem peratura am biente de 22 °C. d) M ecanism o de propagación Las variaciones de presión, hum edad o tem peratura del medio, producen el des plazam iento de las m oléculas que lo for man. C ada m olécula transm ite la vibra ción a la de su vecina, provocando un m ovim iento en cadena. E stos movim ien tos coordinados de m illones de m olécu las producen las denom inadas ondas so ñoras, que producen en el oído hum ano una sensación descrita com o sonido. e) Características 1) Intensidad Se llam a así a la energía por unidad de á rea y tiempo que pasa perpendicularm en te por una superficie, generada por una fuente de sonido de potencia "P” situada a una distancia "d" del receptor, el valor de la intensidad viene dado por:
i m
Física++ r* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
son debidos a frecuencias altas. Así, el sonido más grave de una guitarra corres ponde a una frecuencia de 82,4 Hz y el m ás agudo a 698,5 hertz. 4) Tim b re El tim bre es la cualidad del sonido que perm ite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrum entos, aun cuando posean igual tono e'intensidad. D ebido a esta m ism a cualidad es posible recono cer a una persona por su voz, que resulta característica de cada individuo. El oído hum ano puede percibir intensida des sonoras com prendidas en el interva lo de 10'12 W/m2 a 1 W /m2.
2 ) Nivel de referencia de intensidad Es una cantidad física escalar que mide la intensidad de un sonido "I", respecto de la intensidad de referencia "10", vie ne dado por:
donde, "P" es el nivel de referencia de la intensidad ” I0 ", cuyo valor es igual a 10'12 W/m2. El nivel de referencia de ¡n tensidad, correspondiente a la m ínim a in tensidad que puede percibir el oído hu mano es P=0. 3 ) To n o
El tono es la cualidad del sonido median te la cual el oído le asigna un lugar en la escala m usical, perm itiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La m agnitud física que está asociada al tono es la frecuencia. Los sonidos perci. bidos com o graves corresponden a fre cuencias bajas, m ientras que los agudos
5) Duración Es la cualidad que determ ina el tiempo de vibración del m edio elástico, así, teñe mos, sonidos cortos, largos, e tc ... f)
A u d ició n Se llam a así, al proceso en el que una on da de sonido propagándose por un me dio que puede ser un gas, un líquido o un sólido llega a nuestro oído, produ cien d o vibraciones en la m em brana auditiva, y provocando reacciones del nervio audi tivo. N uestro sistema nervioso provoca reacciones auditivas sólo para ffecuen cias com prendidas entre 16 H z y 20 kHz
g ) A cú stica Es la ciencia que trata de los métodos y técnicas de generación, recepción y pro pagación del sonido. Entre los campos que constituyen la acústica está el dise ño de instrumentos acústicos, incluyen do las siguientes ramas: * E lectroacústica.- Se ocupa de los méto dos de producción y registro del sonido m ediante medios eléctricos, tales como m icrófono, altoparlantes, am plificadores ecualizadores, m ezcladores, e tc ... * A cústica arquitectónica.- T rata del dise fío y construcción de salas y edificios y del com portam iento de las ondas sono
Ondas
******************************************************************** it *
*
*
*
*
ras en am bientes cerrados. A cústica m usical.- T rata de la produc ción de m úsica m ediante los instrum en tos m usicales y utilizando técnicas de tratam iento del sonido. A cústica física.- A naliza los fenómenos del sonido m ediante modelos físicos y matem áticos. Bioacústica,- T rata del estudio de la audi ción animal, por ejem plo, de m urcióla gos, perros, delfines, e tc ... A cústica fonética.- Estudia las caracte risticas acústicas del habla y sus aplica ciones. M acroacústica.- Estudia los sonidos ex trem adam ente intensos, producidos por explosiones nucleares, turborreactores, e tc ...
h) Densidad de energía Se define com o la energía por unidad de volum en, que transporta la onda de soni do, viene dado por: W
1
= —P 2
2
CO
A
A
2
siendo, "p" la densidad del medio, "co" la frecuencia cíclica, y "A" la amplitud m áxim a de la onda< i)
Flujo de energía Se define com o la energía por unidad de tiem po, que pasa perpendicularm ente por una superficie de área "S", viene da do por: O = w vS siendo, ”w " la densidad de energía, y " v" la velocidad de propagación.
j)
Potencia Se define com o la rapidez m edia con que transporta la onda la energía por u_nidad de tiempo, esto es:
2
P = - p v o r SA'
siendo, "p" la densidad del medio, ” v"la velocidad de prdpagación, "co" la fre cuencia cíclica, "S" el área de la superfi cié por donde pasa la energía, y "A " la am plitud de la onda. 5 5 N otas 1) Com o toda onda elástica, los fenómenos ondulatorios que experim entan las ondas de sonido son: reflexión, refracción, di fracción, difusión, interferencia, además experim entan el efecto Doppler. 2) L a velocidad de propagación del sonido dependen de la tem peratura y de la pre sión del m edio de propagación. 3) En los líquidos la velocidad de propaga ción de las ondas de sonido, se atenúan debido a la viscosidad. 6. O N D A S E L E C T R O M A G N E T IC A S a) Definición Se llam an ondas electrom agnéticas a las perturbaciones del cam po eléctrico y m agnético que se propagan en un medio m aterial o en el vacío. b) ¿ C ó m o se generan las ondas elec trom agnéticas? Las ondas electrom agnéticas en general son producidas por partículas cargadas en movim iento acelerado. P or ejemplo, las ondas de radio frecuencia, son gene radas por osciladores electrónicos, me diante corrientes eléctricas alternas. c ) Características 1) Las ondas electrom agnéticas están for m adas por ondas del tipo sinusoidal, una correspondiente al vector del cam po eléc trico ( É ) , y la otra al vector del campo m agnético (B ), perpendiculares entre sí,
1528
Física++
i%7¡********************************************************************** y am bas transversales a la dirección de propagación de la onda, com o se aprecia en ta Fig.
electrom agnética en el vacío, viene dado por: c = Á,.f = 3.108 m /s siendo, "A.” su longitud de onda y "f" su frecuencia, respectivam ente. La velocidad de la luz en el vacío depen de de la perm itividad eléctrica en el va cío (e 0), y de la perm eabilidad magnéti ca en el vacío ( p 0 )» asi' :
2) Los campos eléctrico y magnético que forman la onda oscilan en fase, esto es, cuando uno de ellos es mínimo el otro tam bién, es mínimo. 3) En una onda electrom agnética plana, las magnitudes de los campos eléctrico y magnético, están relacionados por: E = c B
c = [eo M
' | / 2 = 3 .1 0 8 -
s
La velocidad de propagación de una on da electrom agnética en un m edio mate rial diferente del vacío, viene dado por: y- Xf Como, la frecuencia de la onda electro m agnética no cam bia (f0- f ) , entonces:
4) Las ondas electrom agnéticas transportan energía, más no materia. - A > v fX
l
X0 > X 0
=>
esto es, cuando la onda electrom agnética pasa del vació al m edio m aterial su longi tud de onda disminuye.
5)
Las ondas electrom agnéticas transportan energía y poseen cantidad de movim ien to, así, en la Fig., se observa que la ener gía y cantidad de m ovim iento de la onda electrom agnética, producen la rotación de la placa muy sensible y delgada. 6 ) Las ondas electrom agnéticas pueden ex perim entar los fenóm enos de reflexión, refracción, interferencia, difracción y po larización. d ) Velocidad de propagación La rapidez de propagación de una onda
e) D ensidad de energía (w ) Se define com o la energía por unidad de volum en del campo electrom agnético (w=E/V ), así, para un m edio isótropo li neal, es la suma de las densidades de e nergía, correspondientes a los cam pos e léctrico E y magnético H , esto es: w - wE + wH Wi
^ E 2+M 2
H2
2
siendo 6 y M a perm itividad relativa y perm eabilidad relativa del medio.
Ondas *************************************************** *:**. ***************V? Como, E =cB , la expresión anterior tam bién, puede expresarse, así: w = s e 0E 2 = p p 0H 2
La presión de radiación sobre la superfi cié de un m e d io perfectam ente absorben te o perfect?jm ente reflectora, viene dado por: Pr =
w = %/s s 0p p 0E H = - ^ ^ E H G siendo, "c" la velocidad de la luz en el vació. f)
V e cto r de Poynting (P) Se llam a así, al vector densidad de flujo de energía de la onda electrom agnética. Ahora, com o la velocidad de transporte de la energía electrom agnética por la on da m onocrom ática es igual a la veloci dad de fase de dicha onda v=c/
, en
tonces el vector de Poynting es: p = wv = w
ExH
V
EH
P = i£ ^ ( E x H )
°
P = ExH la m agnitud del vgctor de'P oynting nos mide la energía que transporta la onda en la unidad de tiem po a través de una superficie situada perpendicularm ente a la dirección de propagación de la onda.
= 2 e s 0 E 2 cos0
? jw c o s 0
siendo, "w " la densidad de energía elec tromargnética, "E " la m agnitud del cam po eléctrico incidente o reflejado, "0" el ángulo que forman las ondas incidente y reflejada con la norm al (N).
7. E S P E C T R O D E L A R A D IA C IO N E L E C T R O M A G N E T IC A a) Definición Se denom ina espectro de la radiación e lectrom agnética, al conjunto de diferen tes frecuencias y longitudes de onda que presentan las ondas electrom agnéticas, m atem áticam ente este conjunto de fre cuencias ó longitudes de onda se repre sentan así: [ f ] = (flt ...,fn)
ó
[ X ] = ( X l5... ,X n )
b) Clasificación E l espectro electrom agnético, se clasifi ca en: 1) O ndas de radio-frecuencia E ste tipo de ondas incluyen la radiación de las líneas eléctricas, ondas de radio de A M y FM y las de TV.
g ) Presión de radiación
2 ) M icro-ondas Se utilizan frecuentem ente en las ondas de radar, com unicaciones, análisis de la estructura atóm ica y molecular.
i
m
Física++ ********************************************************************* La exposición a las micro-ondas es peli grosa cuando se producen densidades e leyadas de radiación, com o ocurre en los máseres. Pueden provocar quem a duras, cataratas, daños en el sistema nervioso y esterilidad
A la región de las micro-ondas se le lia m a tam bién U H F (ultra high frecuency) frecuencias ultra altas. Las m icroondas pueden ser generadas de varias formas, generalm ente divididas en dos categorías: dispositivos de estado só lido y dispositivos basados en tubos ,de vacío. 3) Espectro infrarrojo Estas ondas son producidas por cuerpos calientes y moléculas.
■Ejemplo: El motor de ug avión genera ondas in fra rro ja s/ Los rayos infrarrojos se utilizan para ab tener im ágenes de objetos lejanos ocul tos por la brum a atm osférica, que disper sa la luz visible pero no la radiación in frarroja. H ay dispositivos infrarrojos que perm iten ver objetos en la oscuridad. L a teledetección m ediante fotografía in frarroja aérea y orbital se em plea para ob servar las condiciones de la cosecha y el daño por insectos y enferm edades en grandes zonas agrícolas, así com o para localizar depósitos minerales. 4) Luz o espectro visible
L a luz producida por átomos y m olécu las com o resultado del movim iento inter no de sus com ponentes, principalm ente los electrones de las capas ató micas. 5) Ravos ultravioletas Son producidas por átomos y m oléculas en descargas eléctricas. P or ejem plo, el sol es una fuente rica de radiación ultra violeta, la que hace posible el bronceado .de la piel. • G ran parte de la vitam ina D que las per sonas y los animales necesitan para man .tenerse sanos se produce cuando la piel es irradiada por rayos ultravioleta. • L a atm ósfera terrestre protege a los orga nism os vivos de la radiación ultravioleta del Sol. Si toda la radiación ultravioleta procedente del Sol llegará a la superficie de la T ierra, acabaría probablem ente con la m ayor parte de la vida en el planeta. 6) Ravos - X Los rayos-X son producidos por los elec trones más fuertem ente ligados, que a bandonan el átomo, tam bién se produce rayos-X por efecto de la radiación de fre nado. D ebem os m encionar que una canti dad inapropiada de radiación X destruye los tejidos sanos.
C uando se irradia el cuerpo hum ano con rayos-X, los huesos (form ado por ele m entos de m asa atóm ica m ayor que los tejidos circundantes) absorben la radia ción con m ayor eficacia, por lo que pro ducen sombras más oscuras sobre una placa fotográfica, perm itiendo hacer el diagnostico de posibles fracturas o lesio
Ondas ******************************************************** *************1*^1?* nes de los huesos. Ravos-X duros.- Se llam an así a los de m enor longitud de onda, que están más próxim os a lá zona de rayos gamma. • Ravos-X blandos.- Se llaman así a los ra yos-X formados por una m ezcla de mu chas longitudes de onda diferentes entre si. 7) Ravos gamma Estas ondas son de origen nuclear y son producidas por m uchas sustancias radio activas, cuando son absorbidas por orga nism os vivos producen efectos graves. Se utilizan con m ucha frecuencia en la investigación astronóm ica. • D ada su alta energía pueden causar gra ve daño al núcleo de las células, por lo que son usados para esterilizar equipos m édicos y preservar los alim entos, m a tando los virus y bacterias. • Los detectores de rayos gam m a se utiH zan para revisar (escanear) las m ercan cías en los contenedores que ingresan a los puertos y aeropuertos vía m arítim a o área. •
8. L U Z O E S P E C T R O V IS IB L E a) Definición Se llam a luz a la fadiación visible del es pectro electrom agnético que podem os captar con nuestros ojos, las frecuencias de estas ondas electrom agnéticas están entre 4.10 14 H z y 8.1014 H z, en tanto sus longitudes de ondas están entre 7,8.10 '7 m y 3,8.10‘7 m. b) C o m p o sició n de la luz La luz blanca se com pone de los diferen tes colores del arco iris: violeta, azul, verde, amarillo, naranja y rojo. E n reali dad existen tres colores prim arios: rojo, verde y azul, que al m ezclarse en dife rentes proporciones dan lugar a todos
los dem ás colores. Si se m ezclan en las m ism as cantidades producen luz blanca. c ) ¿ C ó m o se produce la luz? L a luz es producida por átom os y molé culas com o resultado del movim iento in tem o de sus com ponentes, principalm en te los electrones de las capas atómicas. Es decir, los electrones en los átomos, pasan de una órbita hacia otra, em itien do u absorbiendo cierta cantidad de foto nes (luz). d ) Características Las principales características de la luz son: 1) Se propaga a partir de la fuente emisora en todas las direcciones posibles y en for m a de ondas perpendiculares a la direc ción de propagación. D istintas longitu des de onda proporcionan a nuestros o jo s diferentes sensaciones de color. La luz se propaga, sin detenerse, a través de la atm ósfera y aún en ausencia de ella. 2) E n una sustancia de com posición unifor me, la luz viaja en línea recta, en tanto, no haya un obstáculo que los desvié. La propagación en línea recta se puede apre ciar en los rayos de Sol, cuando atravie zan una atm ósfera turbia, por ejem plo so bre niebla. O tro ejem plo, es la form ación de sombras, siendo esta, una silueta oscu ra con la form a del objeto. 3) L a luz se desplaza en el vació con una ra pidez de c=3.108 m/s. En el aire se mué ve ligeram ente con una m enor rapidez, y m ás lentam ente en sustancias m ás den sas com o el agua o el vidrio. 4) L a luz está com puesta por paquetes de e nergía llamados fotones, que originan cam bios quím icos y reacciones eléctri cas en los organism os vivos. Cuanto más intensa es la luz, más fotones con tiene.
Física**
15 ^**** ** ****** **** *************************** *** ***********************
e) Rayo de luz Se llam a rayo de luz a la línea recta que representa sim bólicam ente la dirección de propagación de la luz. d ) E spectro visible Se llam a espectro visible al conjunto de valores que adoptan las frecuencias y longitudes de onda de la luz. • Los colores que perciben el ojo humano dependen de la frecuencia (ó longitud de onda) de la onda electrom agnética. • La sensibilidad del ojo tam bién depende de la longitud de onda de la luz; está sen sibilidad es m áxim a para longitudes de onda de 5,6.10'7 m. • La visión es el resultado de señales trans m itidas al cerebro por dos elem entos pre sentes en una m em brana llam ada retina, la cual, se encuentra en el fondo del ojo; estos elem entos son los conos y baston cillos.
La visión debida a los conos se llama fotópica y la debida a los bastoncillos se llam a escotópica. L a ciencia que estudia el espectro visi ble y sus características es la óptica. 5. F E N O M E N O S O N D U L A T O R IO S DE LA LUZ a) Reflexión de la luz Es el cam bio de 'dirección que experi m entan los rayos luminosos cuando en cuentran una superficie pulida. L a onda después de la reflexión se propaga en el m ism o m edio sin cam biar sus parame tros. U n ejem plo de onda reflejada es el eco.
SUPERFICE PLANA
Color
XA0\ (m)
v 10'4, (Hz)
violeta
3,90 - 4,55
7,69 - 6,59
azul
4,55 -.4,92
£ 5 9 - 6 ,1 0
verde
4,92 - 5,77
6 ,1 0 -5 ,2 0
amarillo
5,77 - 5,97
5,20 - 5,03
naranja
5,97 - 6,22
5,03 - 4,82
rojo
6,22 - 7,80
4 ,8 2 -3 ,8 4
Los conos son activos a la luz intensa, y sensibles a los colores, mientras los bas toncillos nos perm iten ver con poca luz (oscuridad), y son insensibles a los colo res.
SUPERFICIE CURVA
Leyenda rayo incidente R.i R.r rayo reflejado ángulo de incidencia ángulo de reflexión perpendicular (norm al) a la super N fície pulida. Leyes de la reflexión 1) El rayo incidente, rayo reflejado y la ñor mal, se encuentran en un mismo plano. 2) El ángulo de incidencia es igual al ángu lo de reflexión, esto es:
b) Refracción de la luz E s el cam bio de dirección que experi m enta una onda al pasar de un medio m aterial a otro diferente. Sólo se produ
Ondas ************************************************************* ********Wt ce la refracción si la onda incide oblicua m ente sobre la superficie de separación de los dos m edios y si éstos tienen indi ces de refracción distintos. L a refracción se origina en el cam bio de velocidad que experim enta la onda. Ejem plos m uy co m uñes de la refracción son la ruptura a párente que se ve en un lápiz al introdu cirio en agua o los arcos iris.
>
Indice de refracción (n ) El índice de refracción de una sustancia transparente se define com o la razón de la velocidad de la luz en el vacío "c" a la velocidad de la h z "v" en el medio transparente, es decir: _ c _ Xf. v'
X
siendo,”^ 0" y "X" las longitudes de on da de Ja luz en el vacío y en el m edio transparente, respectivam ente. El índice de refracción m ide la densidad óptica de un m edio transparente. El índice de refracción es una m agnitud física adim ensional mayor que 1. TABLA
Leyenda R.i : rayo incidente R.R: rayo refractado 0i : ángulo de incidencia ángulo de refracción hr N perpendicular (norm al) a la super ficie que divide los medios. Leyes de la refracción 1) El rayo incidente, el rayo refractado y la normal, se encuentran en el m ism o pía no. 2) Si el rayo es m onocrom ático, se cumple la ecuación conocida com o la ley de Snell, dada por: n¡ sen
= n R sen
n¡ = índice de refracción del medio incidente nR = índice de refracción del medio refractante.
Sustancia A gua (25° C)
Indice de refracción 1,33
A lcohol (20° C)
1,36
V idrio "crown"
1,52
H ielo
1,31
Aire
1,00029
Cuarzo D iam ante
1,51 2,417
M edio transparente, traslucido y opaco •• T ransparente.- Son aquellos m edios que al pasar la luz a través de ellos no se alte ran. La transparencia es una propiedad óptica de la materia, que tiene diversos grados y propiedades, ejemplo de me dios transparentes son el agua pura, el alcohol, el aire, el vidrio, los gases, etc
m
Fís¡ca++
a
h * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
•
T ranslúcido.- Son aquellos m edios que dejando pasar luz no perm iten precisar la form a de los objetos a través de ellos. Ejem plos de m edios translúcidos son el papel vegetal, la seda, el cristal escarcha do, etc... O paco.- Son aquellos m edios que no per m iten el paso de la luz a través de ellos. En la práctica no existen m edios opacos absolutos. Ejem plos de m edios opacos son el petróleo, el carbón, la m adera, la m ayoría de los m etales y cerám icas, etc..
c ) Difusión • Este fenóm eno llamado tam bién disper sión, consiste en que la luz al encontrar o pasar por un obstáculo, este se convier te en fuente de nuevas ondas. • El fenóm eno de difusión está intimam en te relacionada con la de difracción. • Por ejem plo, cuando un rayo de luz, pe netra por un agujero en una habitación a oscuras, este puede ser visto por un ob servador que no está situado en su trayec toria en form a de un tubo brillante en el cual se distinguen las partículas de pol vo suspendidas en la atmósfera. * ONDAS
X
D IF U N D ID A S
X
•
son debidas a la difusión que experim en ta la luz. L a difusión de los gases es producida por las oscilaciones que experim entan los átom os y/o m oléculas del gas, al pa sar u n a onda lum inosa a través del gas. Estas partículas com ienzan a em itir on das secundarias en todas direcciones.
d ) ¿P o rq u e el cielo se ve celeste? Los rayos solares, al pasar p o r la atm ós fera dan lugar a la em isión d e ondas se cundarias (D ifusión) en todas direccio nes. E stas ondas secundarias, que son e m itidas por las m oléculas d e la atm ós fera, se difunden en todas direcciones produciendo nuevas ondas. E stas ondas secundarias son de longítu des de ondas pequeñas, o sea, u n a m ez cía de azul y violeta lo que da com o re sultado el azul celeste. e) Difracción de la luz Se denom ina así a las desviaciones en sus trayectorias que sufren las ondas de luz, cuando pasan por el borde de la aber tura de una pantalla, o colisionan con un objeto, que puede ser un alam bre o dis co, com o m uestra la Fig. • P ara que la difracción sea observable la longitud de onda debe ser m enor que el tam año de la abertura.
ONDAS PLANAS
En la Figura, se aprecia que las ondas planas incidentes al pasar por el agujero (obstáculo), dan lugar a la aparición de varias ondas difundidas, que se propa gan en diferentes direcciones. Este fenómeno y otros, como la aparien cia azul del cielo despejado, el blanco de las nubes y el rojo del Sol al atardecer
ONDAS PLANAS
ONDAS D IF R A C T A D A S
La difracción es un fenóm eno caracteris tico de la naturaleza ondulatoria de la luz.
Ondas * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A ' * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * V e * * * * * * * * * * * * a Vm Í Í Í Í c
•
L a difracción no es posible observar a sim ple vista, pues lá mayoría de los obje tos o aberturas son mucho mayores que la longitud de onda de la luz, cuya mag nitud es del orden dfe 5. líf7 m.
d ) Interferencia • Se denom ina interferencia a la superposi ción sim ultánea en una región del espa cío de dos ondas. • Se pueden generar de varías formas la in terferencia ondulatoria, así, cuando una onda se superpone a su onda reflejada se genera una onda estacionaría. • O tra form a de interferencia se encuentra en el m ovim iento ondulatorio confinado a una región del espacio de una cuerda fí j a por sus extrem os, un líquido en un ca nal, una onda electrom agnética en una cavidad m etálica, etc.... La interferencia en estos casos da como resultado ondas estacionarias.
Se produce la interferencia constructiva cuando las am plitudes (A i, A 2) de las on das que interfieren se suman, dando co m o resultado una 'onda de mayor ampli tud (A i +A 2) com o m uestra la Fig.
Se produce la interferencia destructiva cuando las am plitudes (A i, A2) de las on das qüe interfieren se restan, dando co m o resultado una onda de m enor ampli
tud (A]-A 2) com o m uestra la Fig. A,
f)
Polarización d é la luz En la Fig., el rayo de luz ingresa al papel y É es perpendicular al mismo. A la luz cuyo vector de cam po eléctrico E oscila en una dirección predom inante se le denom ina luz parcialm ente polarí zada, la cual se considera estar formada por luz natural y luz linealm ente polarí zada, que se propagan en una misma di rección. E
Se denom ina polarízacióri de la luz a la separación de la luz linealm ente polarí zada de la luz natural o parcialm ente po larizada. Esto se consigue haciendo uSo de dispositivos especiales llamados pola rizadores. E n la luz natural el vector cam po eléctri co É oscila en todas las direcciones en form a rápida y desordenada en el plano perpendicular al rayo de luz. A la luz cuyo vector de cam po eléctrico E oscila en una dirección predom inante se llam a luz parcialm ente polariza da, la cual se considera estar form ada por luz natural y luz linealm ente polarizada, que se propagan en una misma dirección.
Fís¡ca++ ********************************************************************* ♦
El funcionam iento de los polarizadores se basa en la polarización de la luz al re flejarse y refractarse en la superficie de separación (¡nterfase) de dos m edios die léctricos diferentes o en los fenómenos de birrefringencia.
g ) Birrefringencia
y la segunda de dos rendijas "S j" y "S 2 ", una fuente de luz m onocrom ática
•
(de una sola frecuencia o longitud de on da) coherente, y una pantalla (F) tal co m o se observa en la Fig. Las ondas de luz al pasar por "S" se dj fractan, a su vez, estas ondas al incidir sobre las rendijas "S¡" y " S 2", produ cen la interferencia, las cuales se obser van en la pantalla "F" com o franjas obs curas e ilum inadas, las franjas oscuras se asocian a la interferencia destructiva, y las franjas ilum inadas a la interferencia constructiva.
Se denom ina birrefringencia o doble re fracción a! fenóm eno en la cual el rayo que incide sobre una superficie de cristal se desdobla en dos rayos refractados, co mo m uestra la Fig., para el cristal de es pato de Islandia.
10. E F E C T O D O P P L E R 1) V elo cidad de g ru p o (v g) • El pulso de la Fig., no es arm ónica, pues su am plitud no es constante. • L a velocidad de grupo es la velocidad con la que se desplaza un pulso.
h) Experim ento de Y o u n g Con está experiencia Thom as Y oung en 1 802, dem ostró por vez prim era el fenó meno de la interferencia de ondas lumi nosas, para lo cual utilizó com o fuente lum inosa la luz solar.
Para un m edio no dispersivo ni absorven te la velocidad de fase coincide con la de grupo. P ara un m edio dispersivo, la velocidad de propagación depende de la longitud de onda (frecuencia), y la velocidad de grupo, vfene dada por: M ediante el experim ento de Y oung se dem uestra, tam bién, el com portamiento ondulatorio que posee la luz. Los dispositivos utilizados en el experi mentó, consisten básicam ente de dos lá minas la prim era de una sola rendija "S"
v„ = v + k
dv dk
siendo, (v) la velocidad de propagación de la onda sinusoidal, (k) el núm ero de onda.
Ondas 1.5.3.7. ************************************************************************* •
Las ondas de am plitud modulada (pul sos) se utilizan para transm itir señales e lectrom agnéticas.
>
Si el receptor (R) se aleja con velocidad ” v" a la fuente (F) en reposo, a lo largo de la línea que los une.
2) Efecto D oppler a) C on cep to E ste efecto consiste en el cam bio de las frecuencias (f) y longitudes (A.) de onda registradas por el receptor (R), respecto de las frecuencias (fo) y longitudes de onda (A,0) em itidas por la fuente (F), y se deben al movim iento relativo entre la fuente (F) y el receptor (R). Este efecto es válido para todos los tipos de onda, y son m ás notorios en el caso de la ondas m ecánicas y electrom agnéticas.
f = (1 —— ) f 0 vs >
Si la velocidad "v" del receptor (R) for m a un ángulo "0" con el radio vector r que va del receptor, (R) a la fuente (F) en reposo. f = (l + — c o s0 )fo vs
>
Si la fuente (F) se aproxim a con veloci dad "v" al receptor (R) en reposo, a lo largo de la línea que los une. f =
1- v / v s
Si la fuente (F) se aleja con velocidad "v" del receptor (R) en reposo, a lo lar go de la línea que los une. f.
P or ejemplo, cuando el helicóptero (fuen te) se acerca al sujeto (receptor) a gran velocidad, el tono del sonido generado por las paletas es m ás fuerte, que cuando se aleja del sujeto. b) Efecto D oppler del son id o Com o se vio anteriorm ente el efecto Do ppler es generada por el m ovim iento reía tivo entre fuente (F) y receptor (R), así, la frecuencia registrada por el receptor para los siguientes casos particulares, que se presentan son: > Si el receptor (R) se aproxim a con velo cidad "v" a la fuente (F) en reposo, a lo largo de la línea que los une. f = (1 + — )f0 vs
f = >
1+ v /v s
SÍ la velocidad "v" de la fuente (F) for m a un ángulo "0 ” con el radio vector r que une el receptor (R) en reposo, con la fuente (F) f.
f =
l + ( v / v s )co s0
En todos los casos, "vs " es la velocidad del sonido. C)
Efecto D o ppler de la luz Si la fuente lum inosa y el receptor de on das lum inosas se desplazan uniforme m ente con respecto a un sistem a inercial de referencia, la frecuencia observada (f) de la luz está relacionada con la frecuen
1534 Físioa+ + ********** **************************************** *********************** cia (f0) observada en este sistema están do inmóviles la fuente em isora y el ob servador, m ediante la relación: f = fr
f < f0 , X > X0> >
[ 1 - ( v / c ) 2] 1/2 1+
( v /c )
Si la fuente (F) y el observador (R) se a cercan el uno hacia el otro, 0 = 180°, se tiene: ’
C O S0
siendo, ( 0 ) el ángulo entre la línea de ob servación y la dirección del movimiento de la fuente con respecto al observador, m edido en el sistem a de coordenadas re lacionado con el observador, (v) la m ag nitud de la velocidad del movim iento re lativo de la fuente em isiva, y (c) la velo cidad de la luz en el vació.
f > Í q . X < Xq >
Si la fuente (F) y el observador (R) for m an un ángulo de 0 =90° ó 9 = 180°, se tiene:
siendo,(R) el receptor y (F) la fuente de la ondas lum inosas, que se traslada con velocidad (v) a lo largo del eje X, y S, S’ los sistem as de coordenadas cartesianas el prim ero fijo y el segundo moviéndose ju n to a la fuente. • b) C a so s particulares > Si la fuente (F) y el observador (R) se a lejan el uno del otro, 0 = 0°, se tiene: f < fg , X > Xq <<: E fecto transversal D o p p ler>:> Para, 0=7c/2 ó 0=3rt/2 y v « c , se tiene que f=fo, X = X0, y no se observa el e fecto Doppler. >
c+ v
]1/2
Para, eos 0 = - [ 1 - (1 - ¡i2)]U2 y v « c no se observa el efecto D oppler, siendo la razón (p = v/c).
Ondas ******************************************************************** * m
PROBLEM AS 01. U na onda se propaga con rapidez de v=3.108 m/s, y tiene un período igual a T = 10'14 s. H allar su longitud de onda. a) 1 pm
b) 2 pm d) 4 pm
c) 3 pm
e) 5 pm
d) 4 H z
07. Las ondas superficiales producidas por el balanceo de un,bote en un lago tienen una longitud de onda de 5 m y tardan 20 s en llegar a la orilla distante 50 m. H a llar el período de oscilación de las on das. a) 1 s
02. U na onda m ecánica de longitud de onda 5 cm, recorre 100 cm en 5 s. H allar su frecuencia. a) 1 H z
a )1 0 m s b) 20 ms c)3 0 m s d) 40 ms e) 50 ms
b) 2 H z c) 3 Hz e) 5 H z
b) 2 s d) 4 s
c) 3 s e) 5 s
08. Los dos pulsos de onda generados en u na cuerda tensa se m ueven en sentidos contrarios. H allar el tiem po que tardan en pasar uno sobre el otro. 2 c m /s
03. P or la posición de Pepe pasan 21 crestas en 40 s, de unas olas superficiales de a gua cuya distancia entre un valle y una cresta adyacentes es 2 m. H allar la rapi dez de propagación de las olas.
2 c m /s
.... ^ 2cm ^*
a) 1 s a) 1 m/s b) 2 m /s c) 3 m/s d) 4 m /s e) 5 m/s 04. L a distancia entre la prim era y la cuarta cresta de una onda es 15 cm. H allar su longitud de onda. . a) 1 cm
b) 3 cm d) 7 cm
d) 4 s
6cm
1
4cm
b) 2 s e) 5 s
1
c) 3 s
09. La onda se m ueve hacia la derecha. ¿En qué direcciones se m ueven las partículas A y B?
c) 5 cm e) 9 cm
05. El oído hum ano percibe sonidos cuyas frecuencias están entre 20 H z y 20000 H z. H allar la m enor longitud de onda co rrespondiente a estas frecuencias, la rapi dez del sonido es vs =340 m/s. a) 11 mm b) 13 mm c) 15 mm d) 17 mm e) 19 mm 06. U na onda que se propaga con una rapi dez de 400 cm/s. ¿En qué tiem po recorre rá una distancia de 12 cm ? ( m = l0 '3)
a) A (< ~ ); B (-> ) b) A ( - > ) ; B(<~) c )A (T ) ; B ( I ) d ) A ( l) ;A ( t) ) A ( - > ) ; B (->)
10. E n la Fig., las ondas "1", "2" y "3" se pro pagan hacia la derecha. H allar la reía ción: (3.,/ X 2) + (X.j/ X2)
154?
F ís ic a s
************************************************************************* a) x=+A b) x=-A c) x=+A /2 d) x=- A/2 e) x = 0 III. ¿Cuántas ondas com pletas han pasado por el punto A en un tiem po de 6 s? a) 10 ’
b) 12
c) 14
d) 16
d) 6
e) 8
11. En la Fig., se m uestra el movim iento de una onda m ecánica. H allar su rapidez de propagación.
e) 18
13. El periodo de un' movim iento ondula torio es de 0,04 s .y su rapidez de pro pagación de 300 m/s. H allar la diferen cia de fase entre las oscilaciones de dos puntos que están a las distancias de 10 m y 16 m de la posición de equilibrio, res pectivam ente. c) n
b) n/A
a) tc/2 d) 2 n
e) 3 7t
í 14Í/La longitud de onda de un m ovim iento ondulatorio es 1 m. H allar la diferencia de fase entre las oscilaciones de dos pun tos, que se hallan en un m ism o rayo y a la distancia de 2 m. a) 0,1 m/s b) 0,2 m /s c) 0,3 m/s d) 0,4 m /s e) 0,5 m/s
a)
ti/2
c) 7t
b) -jt/4 d )2 7 t
e )4 rt
12. En la Fig., la onda de frecuencia 2 H z se 15. En la Fig., cuando la onda p asa por el propaga en una cuerda. • punto A, este sube. H allar la dirección de propagación de la onda.
I.
¿En qué tiem po el punto A realiza una oscilación com pleta? a) 0,1 s
I.
b) 0,2 s c) 0,3 s d) 0,4 s e) 0,5 s
¿D onde se encuentra el punto A luego de un tiem po de 0,375 s?
e) (<-») 16. U n rayo de luz pasa del aire (n = l) al agua (n~4/3) con un ángulo de inciden cia igual a 53°. H allar el ángulo de re fracción.
Ondas
1.5.41 . A ************************************************************************
b)
a) 30
37°
d) 53
c) 45° e)
60°
17. L a rapidez de la luz en el diam ante es de 125000 km/s. H allar el índice de refrac ción del diamante. a) 2,0
b) 2,2 d) 2,6
22. R especto del sonido, indicar las proposj ciones verdadera (s) o falsa (s): I. El sonido se propaga en el vacío. II. La velocidad del sonido es m ayor en los sólidos que en los gases. III. El oído humano percibe intensidades de sonido m ayores que 2 W/m2.
c) 2,4 a) V FV
e) 2,8
d) V V F 18. ¿Q ué tiem po tarda en atravesar un rayo de luz, una placa de vidrio de espesor 12 mm e índice de refracción n = l,5 ?(pico : p = i o -12)
a) 50 ps
' b) 60 ps c) 70 ps d) 80 ps e) 90 ps
19. R especto de las ondas, com plete corree tam ente la siguiente oración: Ondas m onocrom áticas, son aquellas on das que tiene la......................... -— frecuen cia y ......................... longitudes de onda. 20. U n rayo de luz incide sobre un medio transparente, de índice de refracción n= 4/3, form ando un ángulo "0". H allar el valor de "0" si el rayo reflejado es per pendicular al rayo refractado.
23. R especto del espectro electrom agnético, indicar las proposiciones verdadera (s) ó falsa (s): I. Los rayos gam m a son ondas de tipo Ion gitudinal. II. Las ondas de radio frecuencia, son las que tienen la m ayor longitud de onda. III. El espectro infrarrojo es producido por la liberación de electrones en los átomos a) VFV
b) FVF c) FFV d) V V F e) VFF
24. R especto de las ondas electrom agnéticas indicar las proposiciones verdadera (s) ó falsa (s): I. Siempre son longitudinales. II. En el vació, siem pre viajan a la veloci. dad de la luz "c". III. Solo se propagan en un m edio m aterial a) VFV d) V V F
a) 30c
b) 37°
c) 45
b) FVF c)F F V ’ e) V FF
b) FVF c) FFV e) VFF
25. R especto de las ondas electrom agnéticas indicar las proposiciones verdadera (s) ó falsa (s): 21. Un rayo de luz incide sobre un cuerpo I. La luz puede refractarse p ero no polari transparente, cuyo índice de refracción zarse. es, "n" form ando un ángulo "0". H allar II. El sonido puede polarizarse pero no re la relación entre "n" y "0” . fractarse. a) tg 0=n b) ctg 0=n c) sen 0=n III. L a luz puede polarizarse, difractarse y refractarse. d) sec 0=n e) esc 0=n d) 53c
e) 60c
Rsica++ ************************************************************************* a) VFV
b) FVF c) FFV d) VVF e) VFF
26. Respecto de las ondas sonoras, indicar las proposiciones verdadera (s) ó falsa (s): I. Pueden experim entar reflexión, refrac ción y difracción. II. Pueden experim entar reflexión, refrac ción e interferencia. III. Pueden experim entar refracción, refle xión y polarización.
31. P epe situado a una distancia "d" de una fuente sonora recibe una intensidad de 0,5 W/m2. ¿Qué intensidad (en W /m2) recibirá, si se sitúa a una distancia "2d" de la fuente? a) 1/2
b) 1/4 d) 4
Í32j ¿Cuántas personas 'deben gritar a razón C x de 60 db cada una, para producir un ni vel de intensidad de 80 db? a) 60
a) VFV
b) FVF c)F F V d) V V F e) VFF
27. En el punto m edio de la recta que une a dos fuentes sonoras idénticas separadas por una distancia de 100 m, el nivel de intensidad es de 80 db. H allar la poten cia de cada fuente.
b) 70 d) 90
33 ¿Cuántos sapos deben situarse en una cir cunferencia de radio 1 m, p ara que, al croar el nivel de intensidad en el centro sea de 20 db, cada sapo produce 10 db? a) 10
b) 12
a)1 0 0 m b) 200 m c)3 0 0 m d) 400 m e) 500 m 29. El nivel de intensidad em itido por 100 grillos es de 120 db. H allar el nivel de in tensidad de cada grillo. b) 70 db c) 80 db d) 90 db e) 100 db
30. L a potencia de una sirena es de 0,64tt W. ¿A qué distancia de la sirena el nivel de intensidad será de 100 db? a) 2 m d) 8 m
b) 4 m e) 10 m
c) 14 e) 18
c) n W
28. ¿Tico a que distancia m ínim a de una si rena de potencia 647T.10'8 W, debe si tuarse para no escuchar el ruido emitido por la sirena?
a) 50 db
c) 80 e) 100
d) 16 a) tc/2 W b) tc/4 W d) 2 tt W e) 4 ttW
c) 1/8 e) 8
c) 6 m
34 La diferencia de los niveles de intensi dad em itidas por dos sirenas es de 60 db. H allar la razón de sus intensidades. a) 102 d) 108
c) 106 b) 104 e) 101
35, P epa situado a 1 m de una fuente sonora recibe un nivel de intensidad de 40 db. ¿A qué distancia m ínim a de la fuente, de be ubicarse Pepa, para que no escuche el sonido em itido por la fuente? a) 60 m b) 70 m c) 80 m d) 90 m e ) 100 m 36 H allar la intensidad (en W /cm2) de un so nido 3 decibelios más alto que otro de in tensidad 10 p. W /cm2. a) lOp
b) 20p d )4 0 p
c) 30p e )5 0 p
37. Las intensidades de dos ondas sonoras
Ondas ******************************************************************** son: L=100 pW /cm 3 y I2=10 pW /cm 2 H allar la diferencia de sus niveles de in tensidad. a) 4 db d)
b) 10 db
6 db c) 8 db e) 12 db
38. H allar la frecuencia de una onda electro o m agnética de longitud de onda 10 A. (peta ; P = 1015) a) 100 pH z b) 200 pH z c) 300 pH z d) 400 pH z e) 500 pHz 39. U n rayo luminoso pasa del aire a un me dio reffingente "x", con un ángulo de in cidencia 53°, y de refracción 37°. H allar la rapidez de propagación en el medio "x".
a) XA > Xy > XR b) XA < X y < XR c) XA = XV ~ XR d) XA > XR > Xy e) Xy > XR > XA 43. U n auto se acerca a una rapidez de v=30 m/s hacia una sirena que em ite un soni do de frecuencia 500 Hz. H allar la fre cuencia captada por el conductor, la rapi dez del sonido es de vs=340 m/s a) 144 H z b) 244 H z c) 344 Hz d) 444 H z e) 544 Hz 44. U n subm arino que va sum ergiéndose u niform em ente em ite im pulsos sonoros de duración T 0 =101T/99. La duración del im pulso reflejado del fondo que se percibe es "T". L a rapidez del sonido en el agua es 1400 m/s. ¿Con qué rapidez "v" va sum ergiéndose el submarino?
a) 1,25.108 m/s b) 2 ,2 5 .108 m/s c) 3,25.1Ü8 m/s d) 4 ,25.108m/s e) 5,25.10s m/s 40. U na sirena genera un sonido de frecuen cia 1700 Hz y rapidez de propagación 340 m/s. H allar la longitud de onda del sonido. a) 10 cm
b) 15 cm * c) 20 cm d) 25 cm * e) 30 cm
41. L a dispersión de la luz blanca en un pris m a es originada por: a) La doble refracción de la luz. ' b) L a polarización de la luz. c) L a interferencia que experim enta la luz al pasar a través del prisma. d) L a variación de la frecuencia de la luz al pasar del aire hacia el prisma. e) L a correspondencia univoca entre color e índice de refracción. 42.
a) 10 m /s b) 12 m/s c) 14 m/s d) 16 m /s e) 18 m/s 45. Respecto de las ondas electrom agnéticas m arque las proposiciones (V) ó (F) I. Los cam pos eléctrico y magnético que form an la onda de luz no oscilan en fase. II. N o se p/opagan en el vacío. III. Están form adas por ondas del tipo senoi dal.
R especto de las longitudes de onda del ^ espectro visible: azul (A.a ), verde (A-v), ro jo ( X r ) ; indicar la relación correcta.
a) VFV
b) FVF d) V V F
c) FFV e) VFF
R especto del sonido, indicar las proposi ciones verdaderas (V) o falsas (F).
Fís¡ca++ **««******************* ************************************************** 1544
I.
El oído humano puede percibir sonidos de intensidad 10'5 W /cm3. [I. Tim bre es la diferencia de sonidos produ cidos por dos fuentes diferentes de inten sidad de tono diferentes. JII. A un sonido de alta frecuencia le corres ponde un tono bajo. a) V FV
b) FVF c) FFF d) V V F e) V FF
47. R especto del espectro visible, indicar las proposiciones verdaderas (V ) ó falsas (F)La m ayor longitud de onda corresponde al color violeta, íf. La m enor frecuencia corresponde al co lor rojo. TIL El color naranja tiene m ayor longitud de onda que el color azul. I.
a) V FV
b) FVF c) FVV d) V V F e) VFF
48. Respecto de los rayos-X, indicar las pro posiciones verdaderas (V ) o falsas (F). I. Tienen mayor longitud de onda que las ondas de radio. II. Son producidos por la expulsión de elec trones de un átom o y por el efecto de ra díacíón de frenado' III. Son altam ente energéticos. a) VFV
b) FVF d) VVF
c) FVV e) VFF
49. R especto de una onda electrom agnética, indicar las proposiciones (V ) ó (F). I.
L a m agnitud de E es "c" (velocidad de
la luz) veces la m agnitud de B . II. Siem pre puede polarizarse. III. Su velocidad de propagación depende del m edio en la que se propaga. a) VFV
b) FV F d) VVF
c) FV V e) VVV
50. R especto del sonido, indicar las proposi ciones verdaderas (V) ó falsas (F). I. Son ondas electrom agnéticas. II. Su intensidad depende directam ente de la potencia del generador del sonido. III. El nivel de referencia ”J3" correspon diente a una intensidad de 10’11 W/m2, es 10 db. a) V FV d) V V F
b) FV F c )F V V e) VFF
51. R especto del espectro electrom agnético indicar las proposiciones (V) ó (F). I. Se llam a así al conjunto de oscilaciones que realizan las ondas. II. Las m ayor longitud de onda correspon de a las ondas de radio. III. Las m enor longitud de onda correspon de a los rayos gamma. a) V FV
b) FVF d) V V F
c) FVV e) VFF
52. R especto de las ondas, indicar las propo siciones verdaderas (V) o falsas (F). I. O ndas m onocrom áticas, son aquellas que tienen la m ism a frecuencia y diferen tes longitudes de onda. II. Cuando una onda pasa de un m edio a otro varía su longitud de onda, más no su frecuencia. III. D os ondas son coherentes cuando son ge neradas por fuentes que oscilan con la m ism a frecuencia. a) V FV b) FVF c) FVV •d) V V F e) VVV 53. Si la razón de las longitudes de onda de dos ondas electrom agnéticas es H¡A2=4, entonces la razón de sus frecuencias fi/f2 es: a) 1/2
b) 1/3 d) 1/6
c) 1/4 e) 1/8
0 n d aS 1 *5*1? ******************************************************************** 54. U n recluta observa el estallido de una bomba y después de un tiem po "t" escu cha la explosión. ¿A qué distancia del re cluta se produjo la explosión? Las ve locidades de la luz y del sonido son: "c"
pagan en una cuerda. Hallar: 1. La diferencia de fase de estas ondas en el punto x=5 cm, en t=2 s. b) 4 rad) . c) 5 rad e) 7 rad
a) 3 rad d) 6 rad
y "v". a)
c.v c-
b)
V
c.v
-t
c)
C + V ,x C - V
d)
1
c.v
e)
II. El valor de "x" más cercano al origen, para el cual, la diferencia de fase de las ondas es ±n en t=2.s.
_ C + V
c.v
1
a ) 3 ,1 7 c m b) 3,37 cm c) 3,57 cm d) 3,77 cm e) 3,97 cm
c-V
55. H allar la rapidez de propagación (en m/s ) del sonido en el acero, si: E =21,6.1010 N /m 2 y p = 7,7.103 kg/m 3. a) 1296
b) 2296 d) 4296
c) 3296 e) 529(
56.La rapidez del sonido en el k S densidad de m asa p=800 kg/fc2 1330 m/s. H allar su coeficiente presión (B) en m2/N. a) 1,1.10
b) d) 7,1.10'10
&
3,1,10'' c) 5,1.10' e) 9,1.10 10
57.¿C uántas veces mayor es la rapidez de propagación del sonido en verano (+27 °C) que en invierno (*33 °C)? •
b)% l2
a) 1,12 d) 4,12
c) 3,12 e) 5,12
58. La ecuación m atem ática de una onda que se propaga a lo largo del eje X, vie
60. Dos ondas de am plitudes A ]=A 2=4 cm, se y diferencia de fase de 90°, se propa gan en la misma dirección a lo largo de una_ c uerda estirada. H allar la am plitud . ^dg p laS n d a resultante de la superposición k ' f § |S
b) d) 5,7 cm
a) 20 N
b) 25 N d) 35 N
c)3 0 N e) 40 N
62. El bloque de m asa M=3 kg , está suspen dida m ediante el alam bre de m asa m=5 g y longitud £=1,5 m. En cierto planeta, un pulso tarda t=4 ms en recorrer el alam bre. H allar la aceleración de la gravedad (en m /s2) en dicho planeta.
r2 •
5 (-> ) b) 5 (< -) c) 3 (->) d )3 (< -) e) 7 (<-)
59. Las ondas sinusoidales y¡=2 sen(20x30t) (cm), y2=2 sen(25x-40t) (cm) se pro
c) 5,5 cm
ondas se propagan en una cuerda ten sada de longitud t=5 m y m asa m=60 g con una velocidad de v=50 m/s. H allar la tensión en la cuerda.
ne dado por: y(x, t)= 5 .e-(x+5t)2, donde "x " esta en metros, "t" en segundos. Ha llar la velocidad (en m/s) y la dirección de propagación de la onda. a)
5,3 cm e) 5,9 cm
M a) 1,16
b) 1,36 d) 1,76
c) 1,56 e) 1,96
Física++ ********************************************************************* 63. La velocidad con la que se propagan las ondas en una cuerda que experim enta u na tensión de T =6 N es de v=20 m/s. ¿Pa ra qué tensión en la cuerda, las ondas se propagan con una velocidad de u=30 m/s? a) 12,0 N b) 12,5 N c ) 1 3 ,0 N d) 13,5 N e ) 1 4 ,0 N 64. El periodo de un péndulo sim ple forma do por una bola de m asa M, y una cuer da de m asa m (M =100m ) es T=0,4 s. Ha llar la velocidad (en m/s) con la que se propagan las ondas transversales en la cuerda. (g=10 m /s2) a) 10/ tt
b) 15/31 d) 25/ ti
c) 20/jc e) 30/ti
65. Se tiene una alam bre de acero de tensión de rotura o r=2,7.109 Pa y densidad volu m étrica p=7,86.103 kg/m 3. ¿Con qué ve locidad (en m/s) m áxim a puede propagar se un pulso de onda transversal en este alambre? a) 580
b) 582 d) 586
c) 584 e) 588
66. H allar la velocidad (en m /s) de propaga ción del sonido en el aire a la tem peratu ra de T=-20 °C. (R=8,31 J/mol.°K) a) 313
b) 316 d) 322
c) 319 e) 325
67. ¿Qué tiem po transcurrirá desde que co m ienza el movim iento hasta que el pun to que vibra arm ónicam ente de acuerdo a x=7 sen(0,57t.t) (cm) recorra la distan cia entre la posición de equilibrio y la de elongación máxima? a) 1/2 s
b) 1 s d) 2 s
c) 3/2 s e) 5/2 s
68. La densidad de un gas diatómico a la pre
sión de P=760 mmHg es p = l,2 9 .1 0 '3 g/ cm 3. H allar la velocidad de propagación (en m /s) del sonido en este gas. a) 329
, b) 332 d ) 338 e ) 341
c) 335
69. La ecuación m atem ática de una onda es: y=0,5 sen(37t.x+27t.t), donde "x ” esta en m etros y "t" en segundos. H allar la dis tancia que recorre la onda en t=6 s. a) 1 m
b) 2 m d) 4 m
c) 3 m e) 5 m
70. El tiem po que tarda un pulso en recorrer una cuerda de m asa m =0,2 kg, sometida a la tensión T =10 N es de 0,5 s. H allar Ja m asa por unidad de longitud de la cuer da. a) 10 g/m b) 12 g/m c) 14 g/m d) 1 6 g/m e) 18 g/m 71. U n alam bre de acero y otro de cobre de longitudes £i=30 m, £2=30 m, y densida des P i = 7 , 8 6 g/cm 3, p2=8,92 g/cm'5, se une por sus extremos, y se estiran hasta una tensión de 150 N. ¿Q ué tiempo tarda una onda transversal en pasar a través de todo el alam bre? a) 0,309 s b) 0,329 s c) 0,349 s d) 0,369 s e) 0,389 s 72. La ecuación de una onda, viene dado por y=2 sen(k.x-Cú.t), siendo k=2 m '1,
b) 7t/4 m c) 7t m e) 3n¡2 m
II. L a frecuencia de la onda. a) 2/3n s‘l b) 372 ti s'1 c) 2rc/3 s_l d) 3tt/2 s'1 e) ti/ 2 s'1
Ondas
**************************************************************** AAJcít*1*5^ TU. La velocidad de propagación.
da a través de la cuerda.
a) 1,0 m/s b) 1,5 m/s c) 2,0 m/s d) 2,5 m/s e) 3,0 m/s
a) 21,1 W b) 21,4 W c ) 2 1 ,7 W d) 22,0 W e) 22,3 W
73.
Se generan ondas en una cuerda sometí 76. U n sonido se propaga generando ondas da a tensión constante. ¿En qué factor au de presión de amplitud 8.10'6 N /m 2. La m enta o dism inuye la potencia, si? velocidad de propagación del sonido en el aire de densidad 1,29 kg/m 3 es de 345 I. La longitud de la cuerda se duplica y la frecuencia angular perm anece constante. m /s y la am plitud del desplazam iento 7,15.10‘n m. H allar la frecuencia de vi b) 1/3 c) 1/4 a) 1/2 bración de la onda de sonido. d )2 e)3 a) 300 s"1 b) 350 s '1 c) 400 II. Si la am plitud se duplica y la frecuencia d) 450 s '1 e) 500 s '1 angular se reduce a la mitad. 77. U na cuerda de piano de acero de 80 cm a) 0,5 b) 1,0 c) 1,5 de longitud y m asa de 10 g, se tensa me d) 2,0 e) 2,5 diante una fuerza de 500 N. I. ¿Cuál es la velocidad de las ondas trans 74. Se transm iten ondas de am plitud A=5 versales en la cuerda? cm a lo largo de una cuerda de densidad de m asa lineal p=40 g/m. Si la m áxima potencia entregada por la fuente es P= 300 W y la tensión en la cuerda es de T= 100 N. H allar la frecuencia de vibración (en rad/s) más alta de la fuente. a) 328
b) 342 d) 400
c) 346
a) 100 m /s b) 150 m/s c) 200 m/s d) 250 m /s e) 300 m/s II.
P ara reducir la velocidad de la onda a la m itad sin m odificar la tensión, ¿Q ué ma sa de alam bre de cobre habrá que enro llar alrededor del hilo de acero?
e) 404 a) 10 g
75. La ecuación de una onda «inusoidal es: y=0,15 sen(0,8.x-5b.t) (m) donde "x" es tá en metros y "t" en segundos. Si la ma sa por unidad de longitud de la cuerda por donde se propaga la onda es p=12 g/m, hallar: I. La longitud de onda. a ) l,0 7 im b ) l,5 7 tm c)2 ,0 7 tm e) 3,07t m d) 2,5n m II. L a frecuencia de vibración de la onda. a) 10/7t s"1 b) 15/ ti s '1 c) 20/ti s '1 d) 25/ ti s '1 e) 30/ ti s-1 III. L a potencia m edia transm itida por la on
b) 20 g d) 40 g
c) 30 g e) 50 g
78. Cierta cuerda de violín tiene 50 cm de largo entre sus extrem os fijos y su m asa es de 2 g. La cuerda genera la nota “L a” (440 Hz) cuando se pulsa con los dedos, ¿A qué distancia del extrem o fijo, debe ubicarse el dedo para tocar un “D o” (528 Hz)? a) 8,1 cm b) 8,3 cm c) 8,5 cm d) 8,7 cm e) 8,9 cm 79. La cuerda de densidad lineal de m asa p =0,2 g/cm es tensada con un peso de 98 N como se m uestra. Sabiendo que la dife
Fís¡ca++ ****************************************************************** da un pulso de onda transversal en pasar por la cuerda. (g=10 m/s2)
rencia en longitudes de onda del 1er ar mónico y 7mo arm ónico es de 24 m. Pa ra el caso en que la onda vibre en su 5to arm ónico, hallar: t
a) 0,30 s
b) 0,32 s c) 0,34 s d) 0,36 s f e) 0,38 s
82. Se tiene un resorte de longitud nomal densidad de m asa longitudinal ’’p",
V IB R A D O R
y constante elástica ” k". Probar que las on^as longitudinales se propagan en el resorte con una veloci dad, dada por: v=(k.£/p)1/2. II. Para un resorte de m asa m =400 g, longi tud normal £=2 m, y constante elástica k = l 00 N /m , hallar la velocidad. I.
I. La longitud de onda. a) 5,2 m
c) 5,4 m b) 5,8 m d) 5,6 m e) 5,0 m
II, La frecuencia de vibración de la onda. a) 12,7 s '1 b) 32,1 s '1 c ) 1 2 , 3 s ‘ d) 12,5 s'1 e) 12,9 s'1 80. La velocidad de propagación de una on da es de 330 m/s, y su frecuencia es de 1000 H z, hallar: I. La diferencia de fase para dos posicio nes de una m ism a partícula que se pre sentan en intervalos de tiempos separa dos 5.10-4 s a) 7t/2 rad b) rc/4 rad c) d) 271 rad e) n/J rad
ti
rad
9
II. L a diferencia de fase en un determ inado instante entre dos partículas que distan entre si 2,75 cm a) 7i/2 rad b) ti/3 rad c) n rad d) 2 k/3 rad e) jt/6 rad III. L a distancia que existe entre dos puntos que se encuentran desfasados 120°. a )llc m
b) 13 cm c)1 5 c m d) 17 cm e) 19 cm
81. U na cuerda de m asa m =40 g y longitud £=36 cm está suspendida verticalm ente de un extremo. H allar el tiempo que lar
a) 31,0 m /s b) 31,2 m /s c) 31,4 m/s d) 31,6 m/s e) 31,8 m/s 83. Se suelta una piedra en un pozo, y se escucha el golpe con el fondo 10 s des pués. L a velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. Hallar: (g=10 m/s2) I. L a altura del pozo. a) 391,5 m b) 393,5 m c) 395,5 m d) 397,5 m e) 399,5 m II. El tiem po que tarda el sonido producido por el golpe en llegar a la superficie. a) 1,15 s b) 1,25 s c) 1,35 s d) 1,45 s e) 1,55 s III. El error en porcentaje que se com ete al m edir la altura, si no se considera el tíem po correspondiente al sonido. a) 2 3 ,7 % b) 24,7 % c) 25,7 % 4 ) 2 7 ,7 % e) 28,7 % 84. L a velocidad del sonido en el aluminio cuya densidad es p=2,7 g/cm 3 es v=5100 m/s. H allar el módulo de Y oung del alu minio (en G N /m 2, G=109) a) 70,2 d) 76,2
b) 72,2 c) 74,2 e) 78,2
Ondas
******************************************************************** *^M^?* 85. L a cuerda de longitud "i" vibra con la frecuencia de su 3er armónico, cuando el platillo contiene M=1 kg, si se recubre la cuerda con un m aterial de tal modo que I. se duplica su densidad lineal de m a sa, ¿Q ué m asa "m " hay que agregar en el platillo para que su frecuencia de o s d lación en el 4to armónico sea ¡gual a su II. frecuencia de oscilación anterior?
frecuencia de f=103 H z, velocidad de propagación v=345 m/s, y un nivel de in tensidad de 3=130 db. Hallar: L a am plitud de las pndas de presión. a) 91,3 Pa b) 92,3 P a c) 93,3 Pa d) 94,3 P a e) 95,3 Pa L a am plitud de desplazam iento de la on da (en pm ) a) 31,7
b) 32,7 d) 34,7
a) 110 g b) 115 g c) d) 125 g e) 130 g
120
g
86. Por una barra de hierro de densidad p= 7,9 g/cm 3, diámetro D=1 cm, módulo de Y oung E =19,6.1010 N /m 2, pasan ondas longitudinales, producidas por un vibra dor situado en su extrem o derecho. La am plitud de las vibraciones es A=0,05 mm y su frecuencia f=20 Hz. Hallar: I. La ecuación de la onda longitudinal, a) 0,05 sen(0,025.X;121,7 t)*(mm) a) 0,05 sen(0,021.x-123,7 t) (mm) a) 0,05 sen(0,025.x-125,71) (mm) a) 0,05 sen(0,021 .x-129,71) (mm) a) 0,05 sen(0,027.x-127,7 t) (mm) II. L a densidad de energía (en J/m 3). a) 0,156
b) 0,116 c) 0,136 d) 0,176 e) 0,186
88. La ecuación de una vibración no amorri guada, viene dada por: x=4 sen(6007t.t) (cm). H allar la elongación de un punto que se encuentra a 75 cm de distancia del centro de vibración, al cabo de 0,01 s de iniciado este. L a velocidad de propa gación de la vibración es de 300 m/s. a) 1 cm
a) 61
b) 63 d) 67
b) 2 cm d) 4 cm
c) 3 cm e) 5 cm
89. H allar la elongación de un punto, que se encuentra a la distancia d=X/12 del cen tro de vibración, para el instante en que t=T/6. L a am plitud de la vibración es A =0,05 m. a ) l,0 c m
b) 1,5 cm c ) 2 ,0 c m d) 2,5 cm e) 3,0 cm
90. L a elongación de un punto que se en cuentra a 4 cm de distancia del centro de vibración en el instante en que t=T/6 es igual a la m itad de la amplitud. H allar la longitud de onda. a) 40 cm
III. El flujo de energía (en mJ/s, m =10'3)
c) 33,7 e) 35,7
b) 42 cm c) 44 cm d) 46 cm e) 48 cm
c) 65 e) 69
87. U n a onda de sonido se propaga en el ai re de densidad p = I,2 9 kg/m 3, con una
91. Por una cuerda de m asa m =200 g, longi tud £=80 cm, som etida a una tensión de T =0,9 N , pasan ondas transversales con una frecuencia de f=4 Hz. H allar la longi
1550 Físíca++ ************************************************************************* tud de onda. a )l,0 m
b) 1,5 ra c ) 2 ,0 m d) 2,5 m e) 3,0 m
92. La cuerda de m asa m =200 g, longitud t= 1 m, sostiene al bloque de m asa M=4 kg. (g=10 m /s2)
a) 0,111 Pa b) 0,131 Pa c) 0,151 Pa d) 0,171 P a e) 0,191 P a 95. U na onda sonora pn el aire tiene una am plitud de desplazam iento de £0= 5,5 pm, y una am plitud de presión de Po=0,84 Pa. ¿Cuál es la longitud de onda? (vs= 343 m/s, p = l,2 9 kg/m3) a) 5,01 m b) 5,21 m c) 5,41 m d) 5,61 m ' e) 5 ,8 1 m
M
I
¿Q ué tiem po (en ms) tarda un pulso de onda transversal en pasar a lo largo de la cuerda. a) 61,8
b) 63,8 d) 67,8
c)6 5 ,8 e) 69,8
96. Al explotar una granada a una altura de h=100 m sobre la cabeza de un soldado parado sobre el suelo, este percibe una intensidad de sonido de 1=7.10’2 W /m2 durante un tiem po de t=0,2 s. Hallar: I. L a energía sonora total de la explosión. a) 500 ti J b) 520 ti J c) 540 ti J d) 560 ti J e) 580 ti J
II. Probar que para M » m , el tiem po que tarda la onda en pasar a través de la cuer da es: t = ^/m f/M g.
II. El nivel de la intensidad del sonido.
93. Los extrem os de un alam bre de aluminio de densidad p= 2,7 g/cm 3, módulo de Young E=7.1010 N /m 2 e^tán a una ten síón cero a la tem peratura de 22 °C. La tensión aum enta al dism inuir la tem pera tura reduciéndose su longitud. H allar la deform ación unitaria que experim enta el alam bre, cuando pasa una onda transver sal con velocidad de propagación de v = !0 0 m/s.
97. Probar que la diferencia de niveles de in tensidad (3i y p 2 de una fuente sonora se relaciona con la razón entre sus distan cías d ( y di desde los receptores median te: p i-p 2=20 logi0(d2/di),
a) 380p
c) 384p
b) 382p d) 386p
e) 388p
94. H allar la amplitud de presión de una on da de sonido de frecuencia f=2 kH z en el aire de densidad p = l,2 9 kg/m3, si la am plitud de desplazam iento es ^o=20 nm, y la velocidad del sonido vs-3 4 3 m/s.
a) 100,5 db b) 102,5 db c) 104,5 db d) 106,5 db e) 108,5 db
98. L a intensidad de una onda sonora a una distancia fija de un altavoz que vibra a la frecuencia fi= l kH z es I, =0,6 W /m2. I. H allar la intensidad (en W /m 2) si Ja fre cuenci^ aum enta a f2=2,5 kH z m antenién dose constante la am plitud del desplaza miento. a) 3,00
b) 3,25 d) 475
c) 3,50 e) 4,00
II. H allar la intensidad si la frecuencia se re duce a f2=0,5 kH z y la am plitud de des
*********************************** plazam iento se duplica. a) 0,3
b) 0,6 d) 1,2
c) 0,9 e) 1,5
99. U n altavoz se ubica entre dos observado res separados por una distancia de 110 m en la línea que los une. Si los observa dores registran niveles de intensidad de (3,=60 db y (32=80 db. H allar la diferen cia de las distancias de los observadores al altavoz. a) 75 m
b) 80 m c) 85 m d) 90 m e) 95 m
100.Una cuerda vibra de acuerdo a la ecua ción: y=14 sen(rt.x/3).cos(207t.t), donde " x" e " y” están en centím etros y " t" en I.
segundos. Hallar: La am plitud de las ondas com ponentes. a) 1 cm
b) 3 cm c) 5 cm d) 7 cm e) 9 cm
II. L a velocidad de propagación (en cm/s) de las ondas com ponentes. a) 20
b) 30 d) 50
c) 40 e) 60 •
lO lU n a onda esférica em itida en el agua por una fuente puntual, viene dada por la e cuación: y(r, t)= (25/r).sen(l,25.r-l870.t) donde, "y" está en pascales, "r" en me
I.
tros, y "t" en segundos. La densidad del agua es p = l g/cm3. Hallar: La am plitud de presión m áxim a (en Pa) a 4 m de la fuente. a) 17,08 b) 17,28 c) 17,48 d) 17,68 e) 17,88
II. El nivel de la intensidad del sonido. a) 141,6 db b) 143,6 db c) 145,6 db d) 147,6 db e) 149,6 db
************************************ 102 ¿Cuál es la variación de D oppler para una fuente de luz de longitud de onda o Á,o=5500 A que se aproxim a a un obser vador con velocidad de v=0,8c? a) -3467 A
b) 3467 A
d) 3667 A
c ) -3667 A
e) -3867 A
103 ¿Con qué velocidad (en km/s) debe ale ja rse una estrella de la Tierra, para que la variación en la longitud de onda sea del 0,5 % ? a) 1,096
b) 1,296 c) 1,496 d) 1,696 e) 1,896
104.Un "m arca" parado frente a un Banco registra una frecuencia de f,=560 Hz e m itida por la sirena de un patrullero que se acerca. D espués que pasa el patrulle ro, la frecuencia registrada por el “mar ca” es f2=480 Hz. H allar la velocidad (en m/s) del patrullero. ^3 = 3 4 3 m/s) a) 20,4
b) 22,4 c) 24,4 d) 26,4 e) 28,4
105.Por una carretera se acercan a un contro lador dos autos con velocidades de vi= 20 m/s y v2=40 m/s, tocando sus bocinas idénticas. H allar la razón de las frecuen cias fi/f2=?, registradas por el controla dor. (velocidad del sonido vs=343 m/s) a) 0,90
b) 0,92 c) 0,94 d) 0,96 e) 0,98
106.Una fuente sonora de frecuencia f0= l kH z se m ueve a la velocidad de 30 m/s, alejándose de un observador en reposo. L a velocidad del sonido vs=340 m/s. Ha llar la longitud de onda efectiva. a) 0,31 m b) 0,33 m c) 0,35 m d) 0,37 m e) 0,39 m
Física++
155 % *********************************************************************
SO L U C IO N A R IO S o lu c ió n : 01
La longitud de onda, viene dado por: X = v.T
\X J
S o lu c ió n : 0 5 * • Las longitudes de onda correspondien tes a las frecuencias dadas son:
i v 340 A, = — = ---------- = 17m m 1 f, 20 000
X = (3.108)(I0~ 14) * X = 3 pm
d 15 * A = —= — = 5cm 3 3
©
v 340 X-, = — = = I7 m
S o lu c ió n : 02
• La rapidez con la que se propaga la on da m ecánica es:
* 17 mm < A < 17 m S o lu c ió n : 0 6
v _ d = 100 _ 2 q cm t 5 s
El tiem po em pleado por la onda es:
Luego, la frecuencia de la onda es:
t = —= = 3.10-2 s v 400
“Á“ T * f = 4 Hz
®
La longitud de onda de las ondas es:
S o lu c ió n : 0 7
• La rapidez de propagación de las ondas de superficie es:
A = 2.d = (2)(2) = 4m #
t
L a frecuencia de las ondas de agua es: . f
s
_ A _ _5_ ' v “ 2,5
Luego, la rapidez de propagación es: v = A.f = (4)(0,5)
20
Luego, el periodo de oscilación es:
Nro. ondas 20 A . IT ---------------- = — = 0.5 Hz Tiempo 40
* v=2— s
©
* t = 30 ms
S o lu c ió n : 03
•
©
* T = 2s
®
S o lu c ió n : 0 8
©
• Recordando el tiem po de encuentro, el tiem po que tardan en pasar totalm ente un pulso sobre el otro es:
S o lu c ió n : 04
• Entre la primera y cuarta cresta, hay tres longitudes de onda, por tanto:
t=
d
2+6+ 4
v, + v~i
2+ 2
Ondas
I s ' k j e ' k ' k ' k ' k ' i t & j t ' k J t ' k ' k i e ' k i k ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' k I e ' k ' k ' i t ' k I t ' k ' k i t i f k i e ' k ' k ' k ' k ' k ' i t ' k ' k ' k ' k ' k i k ' k ' k ' k ' k ' i f i k i t ' k ' k ' k ' k ' k ' k ' k.1.55.3. S o l u c i ó n : 11
* t = 3s
©
• g )N o ta
• El prim er valle de la onda ha recorrido 12 cm en 0,6 s, de modo que la rapidez de pro pagación de la onda es:
"d" es la distancia total de separación. _ d _ 0,12 S o lu c ió n : 09
V ” t “ 0,6
• Representem os la onda en dos instantes de tiempo diferentes, asi:
* v = 0„ 2 — s S o l u c i ó n : 12
I. El tiem po que el punto A realiza una os cilación com pleta, corresponde al perío do del movim iento ondulatorio, es decir Posición inicial Posición final
©
Com o se aprecia la partícula "A " sube, y la partícula "B" baja. ^ ¡N o ta Recordem os que las ondas no transpor tan m ateria, por lo que, las partículas no poseen movim iento horizontal. S o lu c ió n : 10
• En la Fig, la longitud de c^da cuadradito es 1 u, así, las longitudes de onda son: X] = 4 u , X2 = 2 u . /l3 = 1 Luego, la sum a de las razones de las longitu des de onda es:
t = 7 = í =0,5s
®
II.E l punto A luego de transcurrido 3/4 del periodo, se encuentra en la cresta de la onda. HI.E1 núm ero de ondas que han pasado por el punto A, durante el tiem po de 6 s es: N = — = — = 12 ondas ® T 0,5 S o lu c ió n : 13
• La diferencia de fase entre dos puntos di ferentes que oscilan, viene dado por: Cp2 —cpt = 2 Tt h
z li x
Como: X = v.T, entonces la diferencia de fa ses es: X, X, * —L + —L = 6 X2 X3
cp2 -(p i = 2n
tp2 - (p, = 271 5 u N o ta
R ecuerde que tres nodos consecutivos form an una longitud de onda (X).
i 2 ~ Cf v.T 1 6 -1 0
(300)(0,04)
*
©
Física++
lili ********************************************************************* <<:Los puntos oscilan en fases opuestas S o lu c ió n : 14
• La diferencia de fase entre dos puntos di ferentes que oscilan, viene dado por: cp 2 -
tp , =
S o lu c ió n : 17
• El índice de refracción del diam ante, vie ne dado por: _ c _ 300 000 k m /s v
125 000 k m /s
2n
©
* n = 2,4 S o lu c ió n : 18
*
íp 2 -
tp | =
2 tt — = 4n ( £ )
• R epresentem os los rayos de luz incidien do sobre la lám ina de vidrio.
<<:Los puntos oscilan en fa s e ^ S o lu c ió n : 15
• R epresentem os la onda en dos instantes de tiem po diferentes, así: V
Posición inicial Posición final
©
La velocidad de la luz en el vidrio es v=c/n luego,el tiem po que tarda en recorrer la luz la distancia "d" es: d _
L a partícula " A ” sube, luego, la onda se propaga a la izquierda •
S o lu c ió n : 16
'
Aplicando la ley de Snell, tenemos:
v
d
md
c /n
c
( l,5 )(1 2 .l(r3) t = ------------ 5------ = 6 0 .1 0 3.10 * t = 60 ps
n, sen0j = n R s e n 0 D
,,
s
®
S o lu c ió n : 19
(1) sen 53° = (^ - )s e n 0 R
• O ndas monocrom áticas, son aquellas on das que tiene la m ism as frecuencias y las mismas longitudes de onda. S o lu c ió n : 2 0
sen 0 d = R 5
• Com o los ángulos de incidencia (0¡) y reflexión (0r) son iguales, y su sum a es 90°, entonces, se cum ple que:
Ondas
.1.5.55. *************************************************** ******************Wí[,í?,* Representación del rayo reflejado en la su perficie de separación. HAZ
S o lu c ió n : 23
•
Las respuestas a cada una de las afirma ciones son: FVF
•
Las respuestas a cada una de las afirm a ciones son: FVF.
•
Las respuestas a cada una de las afirma ciones son: FFV
•
Las respuestas a cada una de las afirm a ciones son: VVF
¡N
S o lu c ió n : 2 4 AIRE
«
S o lu c ió n : 2 5
Sustituyendo "0 ," en la expresión de la ley de Snell, obtenemos:
S o lu c ió n : 2 6
njsenGj = n r se n 0 r (l)sen(90° - 0 r) = (—)s e n 0 r
tgQr = ~ => er = tg- ' ( | ) * e r = 37°
©
S o lu c ió n : 2 7
• La intensidad en el punto m edio de la recta que une las dos fuentes sonoras, viene dado por:
I = Io 1010 = 10- ,2 .1 0 10 = 10~4
W m
S o l u c i ó n : 21
• Representem os el rayo reflejado en la superficie de separación.
Luego, la potencia de cada fuente es: , P = 4ti d2. -
P = (47r)(50)2( - 1 0 ' 4)
* P = -W 2 A plicando la ley de Snell, tenemos:
S o lu c ió n : 2 8
• Recordem os que la intensidad mínima que puede percibir el oído hum ano es de 10~12 W/m2, de modo que:
n¡sen0¡ = n R s e n (9 O -0 j) (l)s e n 0 = n co s0 * tg 0 = n
©
®
1=
4 tt d2
S o lu c ió n : 2 2
•
Las respuestas a cada una de las afirma ciones son: FVF
10_ i2 = 64 tlW _ => 471 d 2
d2 = 1 6 1 0 4
Fís¡ca++
1 S56
i i i * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
D
* d = 400 m S o lu c ió n . 2 9
• La relación entre la intensidad de sonido (I) y el nivel de intensidad de sonido (P), viene dado por:
S o lu c ió n : 32
• El núm ero de personas (N) m ultiplicado por la intensidad de cada persona, es igual, a la intensidad de las N personas, es decir: 1 60
N l o.1010 = I o 1010
1= I0 10p/1°
N .106 ¡= 108
Así, el núm ero de grillos multiplicado por la intensidad de cada grillo, es igual, a la inten sidad de los 100 grillos.
* N = 100 personas
C^)
S o lu c ió n : 3 3
• El núm ero de sapos (N) m ultiplicado por la intensidad de cada sapo, es igual, a la intensidad de los N sapos, es decir:
120
100 I0 1010 - I0 10 10 JL
10
10 ' ° = 1010
20
N Io.10>° = I0 1010 * p = 100 db
© N.10 = 10
S o lu c ió n : 3 0
• La intensidad de sonido producido por la sirena, viene dado por:
=> 471 d‘
i
P
i 1 0'° = ------ Aná*
* N = 10 sapos
©
S o lu c ió n : 3 4
• La razón de las intensidades de los soni dos em itidos por las sirenas es: J3, /10
I, _ I0 10 47t d" d2 = 1 6
h
P = 4;t (2d)2 I = 4tt d2 (1/2)
p ,/io
60 P.-P* — = 10 10 = 1 0 ’0 h
* i-= 1 0 6 h
S o lu c ió n : 31
• Como la potencia de la fuente es indepen diente de la posición que ocupe Pepe, se cumple: ^
I0 10
©
S o lu c ió n : 3 5
• Recordem os que la potencia de la fuente sonora, viene dado por:
Ondas Representem os a Pepa, en su posición ini cial (A) y final (B), respectivam ente.
1.5.5 7 . S o lu c ió n : 3 7
• L a diferencia de los niveles de intensi dad de las ondas sonoras, viene dado por:
p,-P2 =i°iogia(r-)-ioiog10(L) P , - P 2 = 101og10( V ^ )
P, - P 2 =10.1og10(-1^ ) Luego, com o la potencia de la fuente sono ra, es independiente de la posición que ocu pe Pepa, tenemos: 2r
1
0_
40
r>10
/i- n \2 i , nio
P = 47t.d .I0. 10 10 = 4tl(1) .lo,10
* Pl - P 2 = 10 db S o lu c ió n : 38
• La rapidez de propagación de una onda electrom agnética en el vacío es:
d2 = 104
c=X. f
* d = 100 m
© 3.108 = (10)(10“ ll}) f
^ ¡N o ta f - 3 .0 0 .1015 Hz
El nivel de intensidad (p) correspon diente a la intensidad m ínim a (I= 10'12) es cero.
©
* f = 300 PHz P ^ lN o ta
S o lu c ió n : 3 6
• La diferencia de los niveles de intensi dad de los sonidos, vi^ne dado'por:
Recordem os que: 1 A = 10
-1 0
m
S o lu c ió n : 3 9
P i - p 2 = l0 log10( - p ) - 10 logl0(^ -) *0 *0
• A plicando la ley de Snell a los medios aire-x, tenemos: n r sen0¡ = n R .sen 0 R
P ,- P 2 = '0 lo g io ( “ ) l2l l o 3 * 1 0 1 o g IO( - 4 *2 I, = I 2.103,1° * ( 1 0 h )(2)
* 1] = 2 0 p
W
cm
c c — sen 0, = — sen 0R vi
VR
4 /5
3 /5
3.10
vR
* v R = 2 ,2 5 .1 0
F ís ic a s
1558 S o lu c ió n : 4 0
• La velocidad de propagación del sonido en el aire, viene dado por: v = Á,.f 340 = 1700 A. * k = 0,20 m = 20 cm S o lu c ió n : 41
• A cada color del espectro visible de la luz, le corresponde un índice de refracción propio, por lo que, la respuesta es la e) S o lu c ió n * 4 2
*a
. La relación correcta para las longitudes de onda de los colores azul, verde y rojo es la b).
*a
diferencia de distancias reco
rridas Por el sonido * el subm ari"°¡8ual. a la ! ™ a2 . 2 .“ ' “ recorndas por el ec0 y el subm arino, esto es: d = c.T0 - v.T0 = c.T + v.T
S o lu c ió n : 4 3
• Representem os al auto y a la sirena que em ite el sonido.
c(T 0 - T ) = v (T 0 + T )
v =
T0 - T Tn+T
v = ( 1 0 1 /9 9 )T -T (1 0 1 /9 9 ) T + T
Según, el efecto D oppler para sonidos, la fre cuencia captada por el conductor es:
* v = — (1400) = 14 — © 100 s S o lu c ió n : 4 5
f l = (vs + v) f
Las respuestas a cada una de las afirma ciones son: FFV
vs
f = g ^ 3 0 )
S o lu c ió n : 46
Las respuestas a cada una de las afirma ciones son: FFF
340 * f = 544 Hz
© S o lu c ió n : 4 7
S o lu c ió n : 44
• R epresentem os al subm arino en tres po siciones diferentes.
Las respuestas a cada una de las afirma ciones son: FVV
Ondas ******************************************************************** * \^ ^ ^ * S o lu c ió n : 4 8
•
d
Las respuestas a cada una de las afirm a ciones son: FV V
ts - t L = t
S o lu c ió n : 4 9
»
»
*
Las respuesta a cada una de las afirm aciones son: VVV
d^
^
= > ---------= t v c t
C' V
®
c_ v ~
S o lu c ió n : 5 5
S o lu c ió n : 5 0
*
Las respuestas a cada una de las afirm a ciones son: FVV
un
La rapidez de propagación del sonido en material, viene dado por: v = [ E / p ] 1/2
S o l u c i ó n : 51
Las respuestas a cada una de las afirm a ciones son: FVV
v = [21,6.10
* v = 5296 —
S o lu c ió n : 5 2
•
Las respuestas a cada una de las afirma ciones son: FV V
S o lu c ió n : 5 6
• L a rapidez de propagación del sonido en una sustancia, viene dado por:
S o lu c ió n : 5 3
• Todas las ondas electrom agnéticas, se propagan a la velocidad de la luz (c), así:
v _ r_J_i 1/2 p.B-
c _ A, ij c
A2.f2
1330 = [1 / 800.B]1/ 2
* L =k =I f2 A, 4 S o lu c ió n * 5 4
/7 ,7 .1 0 ]
'
© ^
* B = 7 ,l.lO - 10^ N
*
„ ' i , , * Representem os la distancia a la cual se , , , ., produce la explosión.
©
S o lu c ió n : 57
• La razón de las rapideces del sonido en . . . . „. verano (vj) a invierno (v2) es: v, _ [x-R-T] /M ] ]/2 v2
[x-R.T2 /M ] i/2
_v l =
v2
= r 3 0 Q -|1 /2
T2
240
+ — = 1,12 veces v2 En la Fig. el sonido y la luz recorren la mis m a distancia " d " , la diferencia de sus tiem pos recorridos es " t" , esto es:
®
S o lu c ió n : 58
•
Según teoría, del argumento de la fun
Física++
1115* . A ****************************************************************** ción de onda, 9
y (x ; t) = ( 4 ) [ 2 s e n ( k x - v t)c o s(—)] 4
= (x -t v t) = (x + 5 t)
r
este se desplaza con una velocidad de 5 m/s, hacia la izquierda.
I) L a diferencia de fase de las ondas en cualquier instante es:
p2 -
9
9
D e m odo que, la aVnplitud de la onda resul tante es A =4 -¡2 cm.
S o lu c ió n : 5 9
(p2 -
®
y (x ; t) = 4% /2sen(kx - v t)
] = 2 5 x - 4 0 t - 2 0 x + 3 0t
, = 5x - lO t = (5)(5) - (10)(2) 9 2
-
9
1^1 N o t a
Se ha utilizado la relación trigonométrj ca: . s e n a + sen B =
2
’ a +B a - B se n e o s------2
2
i = 5 rad S o lu c ió n : 61
II) Com o la diferencia de fase en t=2 s de be ser ± 7i, tenemos:
• La velocidad de propagación de una on da en una cuerda tensada, viene dado por:
9 2 - 9 i = 5 x - ( 1 0 ) ( 2 ) = ± 7i v= 20 ±
( - ) ' / 2 = ( —
p
tc
m
),/2
x = --------5
De aquí, las dos soluciones para " x " son:
m v 2 _ (0,06)(50)2
T =
t
X ! = 4 ,6 3 c m (no) y x 2 = 3 ,3 7 c m (si) * x = 3,37 cm S o lu c ió n : 6 0
• C onsiderem os que las ondas cuya dife rencia de fase es tt/2 s£ propagan hacia la de recha, así:
5
+ T = 30 N
©
S o lu c ió n : 62
• Com o la fuerza que tensiona la cuerda es el peso del bloque T=M g, entonces de la fórm ula de velocidad de propagación en una cuerda, tenemos: t
y i(x ;t) = 4 s e n ( k x - v t ) v
( T f /m ) 1 / 2
y 2(x ; t) = 4 se n (k x - v t + —) La resultante de la superposición de estos dos m ovim ientos ondulatorios es: y ( x - A ) ^ y l( x ; X ) + y 2{ x - t )
y (x ; t) = 4 [senfx - v t) + sen (k x + —)
Mg t
g =
mi => g = — =■ M t2 (5X1,5)
(3.103)(4 0 .1 0 '3): * g = 1 ,5 6 ^
©
Ondas
.5.6.1. ******************************************************************** *1w%V* S o lu c ió n : 6 3
• Com o ia densidad de m asa longitudinal perm aneces constante, de la fórm ula de ve locidad de propagación de una onda en una cuerda, tenemos: T,
2
= -
2
'
2
JL
o a 2
202
^ => A
Ahora, com o la tensión de rotura es a r=F/A, entonces, F = a r.A, luego la velocidad de pro pagación de la onda en la cuerda tensada es:
3 (r
v = (1)1/2 = ( E lA ) i / 2 p ; pA
* T2 = 13,5 N S o lu c ió n : 64
v = (^ > 7 ,8 6 .103
• De la fórm ula del periodo de un péndulo sim ple T=27t.(£/g)1/2, obtenem os la longitud, de la cuerda, así: ^ “ ~~2 g T 2 4n
Igualando estas ecuaciones, y teniendo en cuenta que la fuerza que tensa a la cuerda es el peso del bloque F=M g, obtenem os la velo cidad de propagación de la onde, así:
• L a velocidad de propagación del sonido en un gas (aire), viene dado por: •
siendo, "x" el coeficiente adiabático, "P" la presión, y "p" la densidad volumétrica. D e la ecuación de los gases ideales, P/p= R.T/M , de modo que la ecuación anterior, puede tam bién expresarse, así:
Ahora, com o el aire es un gas diatóm ico y= 5, de m odo que el exponente adiabático es:
v = g I ( M )1/2 = [( M ) 0 0 ) ](100)1/2
1 1 1 1 7 X = 1+ - = 1+ t = 7 y 5 5
2tc * v=
20 m 7t
v = ( ^ ) l/2 p
v= ( ^ I ) " 2 M
mv 7 Lr g T 2 - — 47t" M
m
D
* v = 586 — s S o lu c ió n : 6 6
D e la fórm ula de velocidad de propagación de una onda v=(F.£/m)l/2 en una cuerda ten sada, obtenem os la longitud de la cuerda, así: -> m v"
2n
p =Ap
©
S
S o lu c ió n : 65
• De la expresión de la densidad volumé trica de m asa (p), hallem os la densidad de m asa longitudinal (p), así:
Luego, evaluando la expresión de la veloci dad de propagación, obtenemos: v
= [ O ^ X 8 131: I 0 ^ ( 2 5 3 ) ]I/2 29 * v = 319m/s
©
Física++
m i
Solución: 67 • Com parando la ecuación de teoría con la ecuación dada, obtenem os la am plitud "A" y el periodo " T " , así:
Luego, la distancia que recorre la onda en t=6 s es:
2 tc x = A sen (— t) = 7sen(0,57tt)
* d= 4m
d = v t = ( -) (6 )
Solución: 70 * D e la fórm ula de velocidad de propaga ción de una onda en úna cuerda tensada, ob tenem os la densidad :de m asa longitudinal, así:
A = 7 cm y T = — = 4 s 0,5
V= Í = ( I Í ) t m m
0 ,2 '
m
l ~ T t2 * n =
Luego, el tiem po que tarda el punto en reco rrer la distancia m áxim a (A ) es: T , t = — = 1s 4
DJ
Solución: 68 • L a velocidad de propagación del sonido en un gas, viene dado por:
B.
S olución: 69 • Com parando la ecuación de teoría con la ecuación dada, obtenem os la am plitud "A", la velocidad de propagación "v ", el número de onda "k ", así: y = A s e n k (x + v t) = 0,5sen37t(x + —t)
0,016
-kg s. m
(d ;
Solución: 71 • Recordem os que la velocidad de propa gación de una onda en una cuerda tensada, viene dado por:
m
v * r ¿ V 2 B í ( v s ) a . o r a - i o 5) 1í/2 p 1,29 * v = 3 3 2 m /s
( i o x o ,5 r
pA ¿
V = ( ~
pA
) 1 /2
A sí, el tiem po que tarda la onda en pasar a través del alam bre de acero es:
t >= ^ = ( £ r )1' 2 f ' = ( ñ í F - ) l,2 í i ( 7 ^ 1 0 ^ 0 0 ^ i/2 1
(4)(150)
J
t t = 0,192 s A = 0,5 cm ;
v = —— y 3 s
k = 3 n m~l
De igual modo, el tiem po que tarda la onda
Ondas ********************** ***********************************************ViTf* en pasar a través del alam bre de cobre es: i v2
P2 A T
1 /2
p2 7tD^
Pf
p 'v to 2 A 2 12
4T
P¡
pvco2A 2/ 2
= (
(8,92.103)7t(10-3)2 1/2 2
nicial es:
(4X150)
m /2 l _ 1 mit
2
II) C uando la am plitud (A) se duplica y la frecuencia angular (co), se reduce a la mitad, la razón de la potencia final a la inicial es:
t 2 = 0,137 s Luego, el tiem po que tarda la onda en pasar a través de todo el alam bre es: t = 0,192 s + 0,137 s * t = 0,329 s
I)
®
Pf
p v (c o /2 )2 (2 A )2
P¡
pvcd2 A 2
= 1
S olución: 74 • L a velocidad con la que se propaga la on da en la cuerda es:
S o lución: 72 L a longitud de onda, viene dado por:
V = ( ! ) ■ '> = ( ü » ) l / 2
2n 2n X = — • = — = ti m k 2
v = 50 m / s
II) La frecuencia de la onda sinusoidal es:
p
0,04
Luego, de la expresión de la rapidez m edia con la que transm ite la onda la energía, a través de la cuerda, tenemos:
f»iL =JLr i 2?t
2ít
III) L a velocidad de propagación es:
P = —pvco2 A 2 2 300 = (^-)(0,04)(50)co2 (0,05)2
v = Xf = (X K ^ ) =
di
so lu c ió n : 73 • Recordem os que la rapidez m edia con la que transm ite la onda la energía a través de la cuerda, viene dado por: P - ip v © 2A2 2 siendo, "p" la m asa por unidad de longitud, "v" la velocidad de propagación, la frecuencia angular, y "A" la amplitud. I) Cuando la longitud (£) de la cuerda se du plica y la frecuencia angular (co) perm anece constante, la razón de la potencia final a la i
a
co
=
346
rad
©
S olu ció n : 75 • Com parando la ecuación de teoría con la ecuación dada, obtenem os la am plitud (A) el núm ero de onda (k), la velocidad de propa gación (v), así: y = A s e n k ( x - v t ) = 0 ,1 5 se n 0 ,8 (x -6 2 ,5 t) A = 0,15 m ; k = 0 , 8 m '] m v = 62,5 — s
y
03
. rad = 50 — s
1564 Fís¡ca++ ************************************************************************* I)
L a longitud de onda, viene dado por: 2n
T
2k
A = — = — = 2,5 n m k 0,8
Pl = - T
vf
II) L a frecuencia de la onda, viene dado por f _ _ío_ __ 50 _ 25 2ji
2rc
de m asa de la cuerda es:
|
n
=
500 t
= 0,05
1002
kg m
Pero: p i= (m+x)/£, siendo (x) la m asa au m entada de cobre, de m odo que: x = p¡ ^ - m = (0,05) (0,8) - 0,01
III) La potencia m edia transm itida por la on da a través de la cuerda es:
Lueg0_ b m asa d e| alam bre de cobre se re que q debe aum entar es:
1 ? ? P = —p v o r A
* m = 0,03 kg
P = (~ )(0 ,012)(62,5)(50) (0,15)
• R epresentem os los pulsos correspondien tes a las notas "La" y "Do” .
©
S o lu c ió n : 7 8
P = 21,1 W ‘Do,!
“La” S o lu c ió n : 76
• D e la fórm ula de la am plitud m edia de la onda de presión, obtenem os la frecuencia del sonido en el aire, así: P0 = v p 0to x 0 = 27tVpof x 0 1 8.10"6 = (2 ti)(1, 29)(345) f (7,15.10-11) * f = 400 s_1 „
L a velocidad de propagación de la onda de pende de ía tensión en la cuerda y d e la den sidad lineal de m asa, por consiguiente en am bos casos la velocidad es la misma, es decir:
© v, = v,
S o lu c ió n : 77
I) L a densidad lineal de m asa de la cuerda, viene dado por:
—> Aj .fj —A■2.12 o .f-
(l)(4 4 0 )= (2 x )(5 2 8 ) * x » 0,417 m
m 0,01 kg P = y = - ^ y = 0,0125 “ Luego, la velocidad de propagación de las ondas transversales es:
®
Luego, el dedo se debe poner a 8,3 cm del extrem o fij’o. S o lu c ió n : 7 9
T , /2
_ 5 0 0 _ 1/2
p
0,0125
=
200
—
II) L a nueva velocidad de propagación es, V!=100 m/s, luego la nueva densidad lineal
• La velocidad de propagación de las ondas en la cuerda es: v = ( X ) i / 2 = ( _ ? 8 _) 1/2 = 7 0 m p 0 ,0 2 s
O ndas * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
D e otro lado, las longitudes de onda del 1er y 7 mo arm ónico son: i í 1
h
-J -i 1
A(p = k ( x 2 - x j) = (“
2i
= 24 m = >
7
)Ax
Aíp = ( - ^ ) ( 2 , 7 5 . 1 ( T 2) 0,33
7
Por dato sabem os que: A rk 7=24 m, de modo que: 2t?
rirft A t k f t Tf t Tt f Vr
ácp = — rad
y 6
6
(—)(2£) = 24 m 7
©
III) D e la expresión anterior, obtenem os la distancia entre los puntos, así:
l = 14 m I) Luego, la longitud de onda del 5to armó nico es: 21 2 ^5 = T
, * A(p = k A x
z27Tn . 4 tt 2 tc = (— )Ax => — = Ax X 3 0,33
Ax = 0,11 m
= Í 5 )(14 m )
X5 = 5,6 m
a
®
S o lu c ió n : 81
II) Luego, la frecuencia (f) de la onda me cánica es:
• C onsiderem os un punto P cualquiera de la cuerda, a una distancia "z" del extremo superior.
f5 = — = — =12,5Hz 5,6 X5
trZ S o lu c ió n : 8 0
•P
• Em pecem os calculando la longitud de onda, así: X= I = ^ f 1000
0,3 3 m .
fi -n
I) Con esto, la diferencia para un punto da do en dos instantes diferentes es:
Acp = q>2 -
L a tensión a una distancia "z", es la creada por el peso de la cuerda que se encuentra de bajo de P, esto es: T = pzg
Acp = 0 ( t2 - tj) = (27tf)At D e m odo que, la velocidad de propagación de la onda en el punto P es:
Acp = (2tt)(1 000)(5.10-4 ) Acp =
ti
rad
©
II) A sim ism o, la diferencia de fase entre dos puntos diferentes en un instante dado es: Acp = cp2 —
v ^ U ' M z g ) 1' 2 p Sustituyendo, v=dz/dt, e integrando sobre to da la cuerda, obtenem os el tiem po que tarda la onda en p asar por la cuerda, así:
Física++ ************************************************************************* Solución: 83 I) El tiem po que tarda la piedra en llegar al fondo del pozo es:
— = ( z g ),/2 ^
1/2
(2Ví)|o= Vi
El tiem po que tarda el sonido producido por el golpe de la piedra con el fondo del pozo, en llegar a la superficie es:
¿ 1/2 _ 0 .0,3 6 1/2 t = 2 (—) - 2. ( -) g 10 * t = 0,38 s
©
H H ‘2 ~ vs ~ 340
Solución: 82 I) Prim ero hallem os la relación entre la constante de Y oung (E) y la constante elás
p or dato, sabem os que el tiem po total es 10 s? ¿e m odo que:
tica (k), y entre la densidad de m asa volumé trica (p) y lineal (p), así:
(— )1 2 + — = 10 5 340
E _ PM _ F i M U M A
í A
H 2 - 2 9 9 2 0 H + 11560000 = 0 Las raíces de esta ecuación cuadrática son:
_ m _ m p P _ V “ Á 7_ A Sustituyendo " E ” y ”p " en la fórmula de ve locidad de propagación de las ondas longitu dinales en una varilla, obtenemos: r' . „, A v = (—) 1/2 = (--------- )1/2 P H /A v = (£1)1/2 F
H j = 391,5 m (si) H 2 = 29528,5 m H = 391,5 m
y
(no) @
II)E1 tiem po que tarda el sonido en llegar a la superficie es: H 391,5 11ffl t2 = — = — — = 1,151 s v § / 2 vs 340
II) Evaluando la expresión obtenida, para m =0,4 kg, l~ 2 m y k=100 N/m, obtenemos:
III) Si no se tom a en cuenta el tiem po que tarda el sonido en llegar a la superficie, la al tura del pozo es:
v = (— )1/2 = ( Í ) 1/2¿ ro. l t m
H ' = L t 2 =(i-X 10X 10)2 = 5 0 0 m 1 1
v = (— )1/ 2(2) = 31,6 — ® s
De modo que, el error porcentual que se co m ete al no considerar considí el tiem po correspon diente al sonido es:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
, ¿Hl , 15 0 0 - 3 9 1 , 5 1 ^ * J—— (100) = J-------------- — (100) H, 391,5
®
4 = 2 7 ,7 %
Solución: 84 De la expresión de la velocidad de pro pagación del sonido en el alum inio, obtene mos el coeficiente de Young, así: v - ( V P
* E = 70,2.10
N m
y
.
2t
= ------
1
3
y
* m = 125 g Solución: 86 I) Em pecem os calculando la velocidad de propagación de la onda, así:
X-, =
2£
* 7,9.103 ’
Conocido la velocidad, obtenem os la longi tud de onda (V), núm ero (k) y frecuencia an guiar ( a ) , así: ^ _ v _ 4 9 8 ^ _ 249 , m 20
2tc 2n „ rad k = — = ------- = 0,025 — X 249,1 m co = 27tf = (2 tt)(20) = 125,7
------
2
19 ,6 .1 Q l0 , /2
v = 4981 m / s
f
p2 = 2 p
3
2
m = ¿ ) M = .(¿ )(1 0 0 0 g) O O
®
Las longitudes de onda, para el tercer y cuar to arm ónico son:
X1
4
p
Solución: 85 • Las densidades lineales de m asa, para el tercer y cuarto arm ónico son: Pi = p
9 M _ 4 (M + m )
E i/2
E = p v 2 = (2,7.103)(5,1.103) 2
rad
4
•
Las velocidades de propagación de la onda, para el tercer y cuarto armónico son:
v2 = (T 2 / (l2)1 /2 = [(M + m ) g /2 n ]
De m odo que, la ecuación longitudinal que se propaga hacia la derecha es: y = A s e n (k x - a t )
v ^ f V n O ' ^ t M g / n ) 1' 2 1/2
Com o am bas ondas tienen, igual frecuencia, entonces:
y = 0 ,0 5 s e n ( 0 ,0 2 5 x - 125,71) mm do n de,"x " esta en metros y "t" en segundos II) L a densidad de energía (energía por uni dad de volumen), viene dado por:
f = Y l = Y l. 1 2*2 w = —p a A 2
^M g / p ^ V(M + m) g /(2p) (2 ¿ /3 )
{ i! 2)
A Y * *
w = (^ )(7 ,9 .1 0 3)((40Tt)2(5.10"5)2
Física++ ******************************************************************* w = 0,156 rrr III) El flujo de energía (energía por unidad de tiem po) a través de la sección transversal '
(S) de la barra, viene dado por: n o cp s w v S = w v - D
^ £ ^ . ^ 1 = 0 ,0 2 ^ cm v 3.10‘ , , ., , , ue§°> a e ongacion e Pun 0 I 116 se e0 n u n a a la I distancia / í d—- 7C nm en el ai instan cuentra 75 cm te t=0,01 s es: y = A s e n ( c o t- k x ) y = 4sen[(6007c)(0í'0 l) - (0 ,02 tt)(75)]
O = (0,156)((4981)(~)(10^2)2 * y = 4 cm O = 61.10-3 J /s
S o lu c ió n : 8 9
• L a elongación de un punto en cualquier en cualquier instante dado es:
S o lu c ió n : 8 7
I) D e la fórm ula de nivel de intensidad de sonido, obtenem os la intensidad (I), así: 3 = lÜ log10( i )
=>
, .. . 27t . y = A sen(cot - k x ) = A sen (— t -------x) T
130 = 101og10(-p-) y * 0 , 0 5 s e n ( ^ ~ - = 0 ,0 5 s e n í- ^ ) 1 6 A, 12 3 6
I = 1 0 13.I0 = (1 0 13)(10“ 12) = 1 0 ^ m Conocido la intensidad (I), obtenemos la am plitud de presión de la onda, a partir de:
* y = 0,025 m = 2,5 cm © S o lu c ió n : 9 0
• La elongación de un punto que vibra, vie ne dado por:
P0 = ( 2 v p l )1/2 = [(2)(345)(1,29)(10)]1/ 2 «
P0 = 94,3 Pa
y = A sen (o t - k x ) = A s e n (^ -t - ^
II) D e otro lado, la am plitud del desplaza m iento (A), obtenem os de la expresión: P0 = 2 ;tp v f A
A ,2 7 t T — = A se n í 2 T 6
271
4) - >
X
7t
3
8tt
X
7i
= — 6
l - I - i - I X ~ 3 6 ~ 6
94,3 = (2 tc)(1, 29)(345)(10 ) A A = 33,7.10-6 m
x)
©
©
* X = 4 8 cm
E
S o lu c ió n : 91 S o lu c ió n :
88
• E n la ecuación dada, la frecuencia angu lar es ©=60071 rad/s, de m odo que, el núme ro de onda es:
D e la expresión de la velocidad de pro pagación de una onda transversal en una cuerda tensada, obtenem os la longitud de on da, así:
0ndaS
1569
*********** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * **
v = (l y ' 2 p
=>
=
t
hv2
=
h(U
2 (— + z ) l/2 | ‘ = V g (t ) | l m
)2
X = ( < T )l / 2 = [ ( 0 , 8 ) T O ]l / 2
m f2
(0,02)(4)2
U = l , 5 m
2f2
@
7 4 2 Ó Ó
10' Solución: 92 • Tom em os un punto cualquiera P, situado a la distancia "z " del extrem o inferior de la cuerda.
- 7
4 Ó 0 Ó
V20Ó
t = 69,8.10-3 s II) Para el caso M » m , utilizamos la aproxi m ación (l+ x )n» l+ n x , para x « l , así: t = 2 (i y / 2[V M (l + m /M ),/2 - V M ,
trZ P
£
t = 2 ( V 2 ( - ) 1,2(l + ~ l ) S m 2 M
. . r t = ( - ^ ) 1/2 Mg
Mg’ L a tensión en el punto P, creado por el peso del trozo de cuerda que esta por debajo de P, y por el peso del bloque es: T = Mg + pzg
S olu ció n : 93 • D e la expresión de la velocidad de propa gación, obtenem os el esfuerzo (T/A), así: .
«
D e m odo que, la velocidad de propagación de la onda en el punto P es: v _ (T ) i/2 - ( M g + P z g y /2
Sustituyendo, v=dz/dt, separando variables e integrando, obtenem os el tiem po, así:
v = ( - ) ,/2 = (— )1/2 p m v2 =
T£ pAi
=>
-
T
->
= pv*
A
Sustituyendo (T/A ) en la definición del mó dulo de Young, obtenem os la deformación unitaria longitudinal, así: ^ I -p E A
£ = V ¡ ( - - ) 1/2 dt p dz ( M /p + z)
1/2
pv2
(2 ,7 .1 0 3)(100)2
E
7.1010
* £ = 3 8 6 .10“6
Fís¡ca++ ******** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** *
S o lu c ió n : 9 4
• La am plitud de presión de una onda de sonido, viene dado por:
(3 = 101og10(7.1010) = 10[loglo(7) + 101og10(10) (3 = 10[log10(7) +10]
P0 = 2 7 ip v f £ (
[3 = 108,5 db
©
P0 = (27t)(l,29)(343)(2.10J )(20.10"9) S o lu c ió n : 9 7
* P0 = 0,111 P a
®
• Recordem os que la intensidad de una fuente sonora, viene dado por:
S o lu c ió n : 95
• En la expresión de la am plitud de pre sión, sustituyendo f=vmin/Amjn, obtenem os la longitud de onda mínima, así: P0 - 2 i t p v minf $ o « 2 * p ( - ^ ) $ o ^min = (271)0,29)(143)2(5,5.10-^)
^min -
P0
I= P /4 7 id 2
De m odo que, la diferencia de los niveles de intensidades de la fuente, correspondientes a las distancias di y d2 es: p1- p 2 = io io g i0( L ) - i o i o g 10( L ) l0 *0
0,84 * A m in= 5 ,8 1 m
®
P1- P 2 - 1 0 [log10( ^ i ) - l o g 10( ^
í
S o lu c ió n : 96
I) D e la expresión de la intensidad de soni do, obtenem os la potencia, así: P
P
I = _ = -----A 4ti d2
=>
(P /4 jtd 5 )/I 0
7
P = 4 ;td I
p , - P 2 = 1 0 [lo g 10( Í ) 2]
Luego, la energía sonora total correspondien te a la explosión es: E = P t = 47td2 I t
P , - P 2 = 2 0 log10A ) di S o lu c ió n : 98
E = (4tc)(1 00)2 (7.10”2 )(0 ,20)
I) Recordem os que la intensidad de una on da sonora en el aire, viene dado por:
E = 560rc J
'
II) El nivel del sonido que escucha es sóida do es:
I=27T 2 P v f 2 ^
D e m odo que, la razón de las intensidades de sonido a las frecuencias f¡ y f 2 es:
_2
P = 101og10(-!~) = 10logio( ^ 1012 ) 10
I.
=-
c2
Y 2 ,5 “
Ondas
.1.5.71 .
I2 = 3,75 W / m 2
y = 2 A s e n k .x c o s 0 .t
II) En este caso, la razón de las intensida des, cuando se reduce la frecuencia a 0,5 kH z y se duplica la am plitud del desplaza m iento es:
Com parando esta ecuación con la ecuación dada,
1_ h
2 c2 fh ¡
y = I4 se n (—x)cos(207it) obtenem os la am plitud ( A ) , el núm ero de on da (k), la frecuencia angular (co), y la veloci dad de propagación (v), así:
(0,5)2 ( 4 ^ )
\2 = I j = 0 ,6 W / m 2 A = 7 cm , k = S o lu c ió n : 99
• Según el Prob,(97), la diferencia de los niveles de intensidad es: P2 - P 1 = 2 0 1 o g l0A ) d->
rad 0 = 2071----s
v - 03 - ^ 71 - 60 Cm k 7i /3 s S o lu c ió n ; 101
lOd£
A hora, com o la distancia de separación es 110 m, entonces: d]
3 cm
,
I) D e la ecuación dada, obtenem os la am plitud del desplazam iento (£,0), la velocidad angular (0 ) y la velocidad de propagación (v), así:
8 0 - 6 0 = 201o g 10(-d-) d2 - 1 = 10 => d 5 d2
n rad
0
r
= — = 6 ,2 5 m , k = l , 2 5 — 4 m
rad 0 = 187 0 — s
y
w 1870 , Any. m v = — = ------ = 1496 — k 1,25 s
+ d 2 = 2 d 2 + d2 = 110 Con esto, la am plitud de presión m áxim a es:
d 2 = 10 m y dj = 100 m P0 = p v 0 ^ o = (103)(1496)(1870)(6,25) Por lo que, la diferencia de las distancias es: * d¡ - d 2 = 90 m
* P0 = 17,48.109 Pa
D
S o lu c ió n : 1 0 0
• Recordem os que una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos on das una incidente y otra reflejada, así: y = A sen(k.x + 0 .t) + A s e n ( k .x - o .t)
©
II) La intensidad de la onda de sonido en el agua, viene dado por: 17,48.10
1= 2 7 tp r2
(2)(1 496)(103 )(4 )2
Fís¡ca++
m i ********************************************************************* D e modo que, el nivel de la intensidad de so nido es:
(l ^ y /2 = 1+ M = a 1+ v / c
p = io io g 10( T ) = io io g 10( - ^ L ) 10 P = 10 [logl o (365) +
oC -1 v= (
log1 0(1012)]
©
S o lu c ió n : 102
• La variación de D oppler de la longitud de onda (X), cuando la fuente de luz se acer ca al observador, viene dado por:
)c = (
1,005 - 1
•)(3.10 )
1,0052 + f
a 2+ l
+ v « l ,4 9 6 .1 0 3 — s
P = 10[log1o(365) + 121og10(10)] P = 145,6 db
100
^
S o lu c ió n : 1 0 4
C uando el patrullero (fuente) se acerca al “m arca” (receptor), la frecuencia registra da por este, viene dado por:
M ARCA
¡Ü Ü PIIIÜ Ü
1 + v /c
A* = [(7 - ^ ) - I R 1 + v /c AX = [(— — )1/2 -1 ](5 5 0 0 ) '1 + 0 , 8 ' * AX = -3 6 6 7 A
©
fi =
l-v /v s
=>
f0 = 56 0 (1 --------) 0 343
C uando el patrullero (fuente) se aleja del “m arca” (receptor), la frecuencia registrada por este, viene dado por:
S o lu c ió n : 103
• Recordem os que h longitud de onda re gistrada por el observador, cuando la fuente se aleja de el es:
¡ü ü P iiiü ü
MARCA
1- v / c D e m odo que, la variación porcentual que experim enta la longitud de onda es:
( lz A o )íl00) = 0j5
f2 = l7+ v- /Vv s
=>
f« = 48° ^ 1 + ^343 )
Igualando las ecuaciones anteriores, obtene mos la velocidad de propagación, así:
Ondas ****************************************************************** ^ 56 104
56 343
v = 48 H
v = 8 =>
48 343
l + v /v s
104 m
®
10^' 1 + 3 0 /3 4 0
f = 919H z
(343)(8)
v=
343 * v = 26,4
f.o____
f =
v
D e m odo que, la longitud de onda efectiva correspondiente a esta frecuencia es:
f
S o lu c ió n : 105
• L a razón de las frecuencias registrada por el controlador de tráfico, cuando los au tos se acercan a él, viene dado por:
919
* X = 0,37 m
®
S o lu c ió n : 1 0 7
• L a bobina se com porta com o un dipolo m agnético, de m omento magnético: p. = N i (71 R 2) n D e modo que, la energía que alm acena la bobina es:
_ v o -y v s) f2
V tf-V v s ) U] = p » B = p B cosij)
A
= 3~
f2
v
2^vS =
l-V j/vs
VS ~ v 2
vs -Vi
U! = 71 N i R 2 coscj)
f] _ 3 4 3 - 4 0
A sí, el torque eléctrico sobre la bobina es:
f2 ~ 343 - 20 t
f * * — = 0,94 f2
©
= --------= tí N i R 2 B sen
5
Pero, este torque magnético V se equilibra con el torque del peso "m g", esto es:
S o lu c ió n : 1 0 6
• L a frecuencia registrada por el observa dor, cuando la fuente sonora se aleja, viene dado por:
mg (R cos
tc
N iR B
¡ÜÜBUUU!!!!
tg
(0, 5)(10) (3 ,14)(10)(1)(0,1)(0,5) *
©
Fís¡ca++ *************************************************************************
1574
CDTICA 1. C O N C E P T O S F U N D A M E N T A L E S a) Optica La óptica es el estudio de las radiaciones electrom agnéticas, em itidas por fuentes luminosas, capaces de registrar nuestra retina. De otro lado, de acuerdo a la natu raleza de la luz, la óptica se divide en geom étrica y física. b) O ptica geom étrica Com prende el estudio de los fenómenos luminosos desde el punto de vista cor puscular de la luz. L a luz se desplaza en form a rectilínea originando los fenóme nos de reflexión y refracción. c ) O ptica física Com prende el estudio de los fenómenos luminosos desde el punto de vista ondú latorio de la luz. Las ondas dan origen a los fenóm enos de difracción, interfieren cia y polarización. • d ) Luz Se da el nom bre de luz a la radiación e lectrom agnética que el ojo humano pue de detectar. La radiación ultravioleta y la infrarroja no es detectable por el ojo humano. e) Naturaleza dual de la luz Para explicar el com portam iento de la luz, y su interacción con la m ateria se plantearon dos teorías: * T eoría ondulatoria.- En 1678 Huygens elaboró la teoría ondulatoria de la luz se gún la cual la luz era una onda longitudi nal que utiliza com o m edio de propaga
ción una sustancia que llam o éter. El é ter lo llenaba todo y debía ser lo suficien tem ente elástico com o para perm itir a la luz una elevada velocidad. La teoría ondulatoria explica fácilm ente la reflexión. Para explicar la refracción supuso que la velocidad en el vidrio era m enor que en el aire. En aquella época la com probación <^e este dato era imposi ble. T am bién pudo explicar la doble re fracción en el espato de Islandia, con la aparición de una onda ordinaria y d e o tra extraordinaria debido a la existencia en el cristal de dos medios vibratorios. Pero está teoría es incapaz de explicar la propagación rectilínea y la polarización al atravesar dos cristales de espato de Is landia. Teoría corpuscular.- Fue N ew ton, quien elaboró la teoría corpuscular de la luz se gún la cual la luz era un chorro de partí culas que se originaba en el foco de luz. P ara la teoría corpuscular la reflexión so es más que el rebote de las partículas so bre un cuerpo. L a refracción se debería a que la com ponente perpendicular a la su perfície de separación de los medios, de la velocidad de la partícula es mayor en el m edio que en el aire. Justo al revés que la teoría ondulatoria. L a explicación de la doble refracción es m ás artificial; los corpúsculos tendrían form a de prism a, dos de cuyas caras in teraccionarían con el espato y las otras no. La difracción se debería a la atrae ción ejercida sobre el corpúsculo por el cuerpo. P ara explicar los anillos en la difracción N ew ton sostuvo que al llegar la luz a la separación entre dos m edios, se reflejará o transm itirá dependiendo del espesor del medio. Los colores son debidos al distinto tam año de los corpúsculos.
Optica
1575
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * A * * * * * * *
•
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•
•
A finales del siglo XIX se sabía ya que la velocidad de la luz en el agua era me ñor que la velocidad de la luz en el aire contrariam ente a las hipótesis de la teo ría corpuscular de N ew ton, se dem ostró experim entalm ente que el éter no existe. En 1873, M axwell dem ostró que la luz era una form a de onda electrom agnética de alta frecuencia, por lo tanto no requie re de un m edio para propagarse. H ertz y otros investigadores m ostraron que estas ondas se reflejan, se refractan y mués tran las características de las ondas. El estudio de otros fenóm enos como la radiación del cuerpo negro, el efecto fo toeléctrico y los espectros atóm icos puso de m anifiesto la im potencia de la teoría ondulatoria para explicarlos. En 1905, basándose en la teoría cuántica de Planck, Einstein explicó el efecto Foto eléctrico por m edio de corpúsculos de luz que él llam ó fotones. B ohr en 1912 explicó el espectro de em isión del átomo de hidrógeno, utilizando los fotones, y Com pton en 1922 el efecto que lleva su nom bre apoyándose en la teoría corpus cular de la luz. L a luz tiene naturaleza dual (doble). En los fenómenos d e interferencia, difrac ción, polarización se com porta com o on da electrom agnética. En los fenóm enos de los efectos fotoeléctrico, Com pton co mo partícula.
/~ \
ONDA / * \
P A R T IC U L A
•
•
f)
•
•
Así, surgió una situación de conflicto en torno al com portam iento doble de la luz, com o onda electrom agnética en los fenó m enos de propagación, interferencias y difracción y com o corpúsculo en la inter acción con la materia. N o hay por qué aferrarse a la idea de in com patibilidad entre las ondas y los cor púsculos, se trata ,de dos aspectos dife rentes de la m ism a cuestión que no solo no se excluyen sino que se com plem en tan, en conclusión la luz se com porta co mo partícula en algunos fenóm enos, y co mo onda en otros. ¿ La luz viaja en línea recta? A unque hoy sabemos que la m ateria cur va la luz, el concepto de rayo y su forma de propagarse dio lugar al nacim iento de la óptica. L a idea fundam ental sobre la que se construye la óptica geom étrica es la de que los rayos de luz viajan en línea recta y la dem ostración más evidente de que viaja en línea recta son las sombras. E n el cam ino que sigue la luz se pueden interponer obstáculos pero tam bién agu je ro s (un lugar por donde puede colar se). Son los bordes de los agujeros y de los obstáculos los que dan lugar a los fe nóm enos de difracción y difusión.
g ) Sistem a óptico En óptica geom étrica se denom ina siste m a óptico a un conjunto de superficies que separan m edios con distintos índices de refracción. • E stas superficies pueden ser refractantes o espejos, pero no tienen por qué ser de revolución ni presentar ningún tipo de a lineación. Con frecuencia nos encontra m os con sistemas form ados por superfi cies esféricas, con sus centros de curvatu ra situados sobre una m ism a recta llama
1576 Fisica++ *************************************************************************
* * *
da eje d el sistem a o eje óptico. A estos sistem as se les denom ina sistem as ópti eos centrados, aunque con frecuencia se om ite este últim o adjetivo al referirse a e líos. Los sistem as ópticos se clasifican en: D ióptricos, si están form ados solo por superficies refractantes. C atóotricos. si lo están solo por espejos. Catadióptricos. si están form ados por es pejos y superficies refractantes.
h) Fotom etría Es la ciencia que se encarga de la m edi da de la luz com o el brillo percibido por el ojo hum ano. Es decir, estudia la capa cidad que tiene la radiación electrom ag nética de estim ular el sistem a visual. No debe confundirse con la Radiom etría, que se encarga de la m edida de la luz en térm inos de potencia absoluta. i)
*
j)
Radiometría Es la ciencia que se ocupa del estudio de la m edida de la radiación electrom agné tica. Su cam po abarca todas las longitu des de onda del espectro electrom agnéti co (frecuencias entre 3 * 1 0 n y 3 * 1 0 16 Hz o longitudes de onda cjp entre 0,01 y 1000 pm), al contrario que la fotom etría que solo se ocupa de la parte visible del espectro, la que puede percibir el ojo hu mano. L a radiom etría es im portante en astrono mía, especialm ente en la radioastrono m ía y en geofísica. L a m edida cuantita tiva de la intensidad de la radiación se hace por m edio de diferentes tipos de de tectores que convierten parte de la radia ción en calor o en una señal eléctrica, con term opares o fotodiodos. Espectrofotom etría Es el m étodo de análisis óptico más usa
•
•
do en las investigaciones biológicas. El espectrofotóm etro es un instrum ento que perm ite com parar la radiación absorbida o transm itida por una solución que con tiene u n a cantidad desconocida de solu to, y una que contiene una cantidad cono cida de la m ism a sustancia. Todas las sustancias pueden absorber e nergía radiante, aun el vidrio que parece ser com pletam ente transparente absorbe longitud de ondas que pertenecen al es pectro visible; el agua absorbe fuerte m ente en la región del infrarrojo. L a absorción de las radiaciones ultravio leta, visibles e infrarrojas depende de la estructura de las m oléculas, y es caracte rística para cada sustancia química.
k) A n g u lo límite (L ) N
Es el ángulo de incidencia que produce un ángulo de refracción igual a 90°. Para que exista ángulo lím ite es indispensable que el rayo luminoso se propague de un m edio de m ayor índice de refracción a otro menor. nj sen L = n2 sen 90° t = — n2 sen L ni t)
Reflexión total Este fenóm eno se produce cuándo el án guio de incidencia es m ayor que el ángu lo límite. Cuando 0 > L, se produce la re flexión interna.
Optica 1577 ************************************************************************* Si, 0 > L, entonces el rayo de luz no atra vieza ía superficie que divide los medios transparentes. N I»1 " 'y
/i
N
A plicación de la reflexión total es la fi_ bra óptica, que es una fibra de vidrio, larga y fina en la que la luz en su interior choca con las paredes en un ángulo supe rior al crítico de m anera que la energía se transm ite sin apenas perdida. Tam bién los espejism os son un fenóm eno de reflexión total. 2. P R ISM A Ó P T IC O a) Definición U n prism a es un objeto transparente con superficies planas y pulidas no paralelas capaz de refractar, reflejar y descompo ner la luz en los colores del arco iris. Cuando la luz atraviesa un prism a, el ra yo de salida y a no es paralelo al rayo in cidente. G eneralm ente, estos objetos tie nen la form a de un prism a triangular, de ahí su nombre. b) M ecanism o de reflexión y refrac ción en un prisma D e acuerdo con la ley de Snell, cuando la luz pasa del aire al vidrio del prism a dism inuye su velocidad, desviando su trayectoria y form ando un ángulo con respecto a la interfase. Com o consecuen cia, se refleja o se refracta la luz. El án guio de incidencia del haz de luz y los in dices de refracción del prism a y el aire determ inan la cantidad de luz que será
reflejada, la cantidad que será refractada o si sucederá exclusivam ente alguna de las dos cosas. c) Tip o s de prism as * R eflectivos.- Son los que únicam ente re flejan la luz, com o son más fáciles de ela borar que los espejos, se utilizan en ins trunientos ópticos com o los prismáticos, los m onoculares y otros. D ispersivos.- Son usados para descom po ner la luz en el espectro del arco iris, por que el índice de refracción depende de la frecuencia; la luz blanca entrando al prism a es u n a m ezcla de diferentes fre cuencias y cada una se desvía de m anera diferente. L a luz azul es dism inuida a m enor velocidad que la luz roja. P olarizantes.- Separan cada haz de luz en com ponentes de variante polarización d ) Aplicaciones El prism a, tiene gran utilidad en diversas aplicaciones de la física, perm iten m edir los índices de refracción de las sustan cias y cuerpos, en astronom ía se utilizan para analizar la com posición de sustan cias em isoras de luz, en electrónica se utiliza en el diseño y construcción de dis positivos de ilum inación, en los perisco pios m odernos se utilizan prism as, e tc ... e) Indice de refracción de un prism a
Para determ inar el índice de refracción del prism a de ángulo (A), hacem os incj dir un rayo de luz (R¡) por una de las
1578
Fisica++
************************************ ************************************ caras, y m edimos el ángulo de desvia ción m ínim a (8) que experim enta dicho rayo, cuando pasa a través del prism a, a p artir de:
*
n _ sen((5n,¡n + A ) /2 ) sen ( A /2 )
*
siendo, (Rr ) el rayo refractado i, r los án gulos de incidencia y refracción en la ca ra izquierda y i ’, r ' los ángulos de inci dencia y refracción en la segunda cara. f)
dos zonas bien definidas llamadas zona real y zona virtual. Zona real (Z.R) Es la región donde se encuentra el obje to, en está región,* todas las distancias son positivas. Zona virtual (Z.V) Es la región que se encuentra detrás del espejo, en esta región, todas las distan cias son negativas. 1
Prism a de reflexión A
c ) Objeto E s aquel punto o conjunto de puntos a partir de los cuales se "originan" los ra Tiene com o fundam ento el fenóm eno de reflexión total. El rayo luminoso llega a la cara A B, penetra en el prism a sin des viación (incidencia normal, pero toca a la cara A C con un ángulo de incidencia (igual a 45°) superior al ángulo límite (L=42°), siendo refTejado totalm ente y saliendo sin desviación por la cara BC. A l índice de refracción del prism a n= 1,5, le corresponde un ángulo límite i gual, a L=42°. 3. E S P E J O S a) Definición Se denom ina espejo a toda superficie per fectam ente pulida, que pueden ser pía ñas o curvas, en la cual se produce sola m ente reflexión regular. b) Zonas Todo espejo tiene convencionalm ente
yos luminosos que van a incidir en el es pejo. d ) Imagen Es el punto o conjunto de puntos que se form a m ediante la intersección de los ra yos reflejados o de sus prolongaciones. Las im ágenes pueden ser "reales” o “vir tuales” . L a imagen virtual se form a por la intersección de los rayos reflejados, esta im agen es vista directam ente dentro del espejo. e) Distancias Existen dos distancias, la distancia del objeto al espejo (o), y la distancia de la im agen al espejo (i). f)
Ta m a ñ o E xisten dos tam años, el tam año del obje to denotado por (t.o), y el tam año de la im agen denotado por (t.¡).
Optica 4.
ESPEJO PLANO
a) Definición Es toda superficie plana perfectam ente pulida, capaz de reflejar el 95 % ( o más) de la luz incidente. Los espejos ordina rios constan de una lám ina de vidrio que lleva en el reverso una delgada capa de p lata (Ag) o aluminio (Al) donde se pro duce la reflexión. b) ¿ C ó m o se hacen? En la antigüedad los espejos planos se hacían puliendo superficies m etálicas, en general de plata. En general los espejos de uso diario son placas de vidrio plateadas. Para cons truir un espejo se lim pia muy bien un vi drio y sobre él se deposita plata m etálica por reducción del ión plata contenido en una disolución am oniacal de nitrato de plata. D espués se cubre esta capa de pía ta con una capa de pintura protectora. c ) M ecanism o de form ación de im á genes en un espejo piano U na im agen en un espejo se ve com o si el objeto estuviera detrás y no frente a és te ni en la superficip. Es un'error frecuen te pensar que la im agen se encuentra en la superficie del espejo. • El sistem a óptico del ojo recoge los ra yos que salen divergentes del objeto y los hace converger en la retina.
.
•
IM AGEN
El ojo identifica la posición que ocupa
un objeto com o el lugar donde conver gen las prolongaciones del h az de rayos divergentes que le llegan. E sas prolonga ciones no coinciden con ¡a posición real del objeto. En ese punto se form a la ima gen virtual del objeto. L a im agen obtenida en un espejo plano no se puede proyectar sobre una panta lia, colocando una pantalla donde parece estar la im agen no recogería nada. Es, por lo tanto virtual, una copia del objeto "que parece estar" detrás del espejo.
d ) ¿ C ó m o es la imagen en un espejo plano? L a im agen form ada en un espejo plano siem pre es:
*
*
* *
O B JE TO
1579
Sim étrica, porque aparentem ente está a la m ism a distancia del espejo, es decir, la distancia objeto (o), es igual, a la dis ta n d a im agen (i). V irtual, porque se ve com o si estuviera dentro del espejo, no se puede form ar so bre una pantalla pero puede ser vista cuando la enfocam os con los ojos. Del m ism o tam año que el objeto. Derecha* porque conserva la m ism a o rientación que el objeto.
e) ¿D e qué depende la cantidad de luz reflejada? C uando la luz llega a la superficie de un cuerpo, parte de la luz se refleja y parte entra en el cuerpo donde puede ser absor bida o transm itida, absorbiéndose siem
1580 Física++ *************************************************************************
1)
2) 3) 4)
f)
pre una parte de ella m ientras lo atravie sa, por ejem plo el vidrio. La cantidad de luz reflejada por un cuer po depende de: L a naturaleza de la superficie (com posi ción, estructura, densidad, color, entre o tras) L a textura de la superficie (plana, rugosa regular, irregular, opaca, pulida, etc.) L a longitud de onda de la luz, y de si es tá o no polarizada. El ángulo de incidencia de la luz sobre la superficie. N úm ero de im ágenes entre dos espejos planos Caso I : Cuando el ángulo form ado por los espejos es, 0 = 9 0 °, se forman tres i mágenes
Experim entalm ente, disponem os de una barra bicolor colocados sim étricam ente con los espejos planos. Si el ángulo que form an los espejos tiene la siguiente for ma: ).n = 2
(O
siendo, "0 " el ángulo que forman los es pejos (en radianes), y "n" un núm ero en tero y positivo. E ntonces se observa que el objeto y las imágenes forman un polígono regular de "n" lados, inscrito en una circunferen cia. Por consiguiente el núm ero de imá genes, será: N = n- 1
( 2)
Reem plazando (1) en (2), (con 0 en rad)
N = — —
90
Para, "0" m edido en grados sexagésima les, se tiene:
N =
Caso 2: Cuando el ángulo entre los espe jo s es de 0 = 120°, se forman cuatro imá genes.
360
-l
g ) ¿ Q u é es un espejo perfecto? U n espejo perfecto es un espejo teórico que refleja la luz perfectam ente y que no tiene imperfecciones. • Los espejos dom ésticos no son espejos perfectos ya que absorben una parte im portante de la luz que da en ellos. • Los espejos dieléctricos, que general m ente están hechos de sustratos de cris tal en los que se depositan una o más ca pas de m aterial dieléctrico, form an una cobertura óptica con propiedades muy cercanas a las de un espejo perfecto. Los m ejores espejos de este tipo pueden refle
Optica
1581
************************************
ja r m ás del 99,998% de la luz que incide en ellos, aunque sólo muestran esta pro piedad para un intervalo concreto de Ion gitudes de onda. h) Aplicaciones 1) H elióstato.- Es un dispositivo que utiliza un espejo plano accionado por un peque ño reloj, que perm ite m antener los rayos solares muy intensos reflejados por el es pejo en una dirección fija. 2) Periscopio.- Es un instrum ento para la observación desde una posición oculta. En su form a sencilla es un tubo con un ju e g o de espejos en los extremos, parale los y en un ángulo de 45° respecto a la l| nea que los une. E sta form a de perisco pió, con la adición de simples lentes, fue usado para propósitos de observación en la Prim era G uerra M undial.
im ágenes a través de un agujero peque ño perforado el otro lado del tubo. Las i m ágenes, a causa de su sim etría, forman m otivos decorativos susceptibles de inte r e s a ra los dibujantes.
4) Espejos triples.- Se disponen tres espe jo s planos, perpendiculares entre si, de form a que se constituyan un triedro tri rrectángulo. En una habitación, dos pare des continuas y el suelo form an un trie dro trirrectángulo). E3
mas en v e z de espejos, y disponen de au m entos, com o los usados en los submari nos. 3) C aledeidoscopio.- E s una aplicación de los espejos angulares. En un cilindro bas tante largo se introducen dos espejos, que forman entre si un ángulo de 60° Uno de los fondos del tubo cilindrico es tá constituido por un vidrio de color, bar bas de plum as, etc., cuyas posiciones relativas pueden variar sacudiendo el ins trum ento o golpeando ligeramente el tu bo. El observador m ira los objetos y sus
U n rayo luminoso que incida en uno de los tres espejos sufre varias reflexiones, siendo finalm ente devuelto, paralelam en te a su dirección primitiva, hacia la fuen te luminosa. Esta propiedad no depende de la orientación del triedro con respecto al rayo. Este sistem a de espejos se utiliza en las señalizaciones. 5) Sextante.- Es un dispositivo que se uti lizaba para determ inar la latitud de la po sición de los barcos en la navegación, mi diendo la altura del Sol o de las estrellas. Su nom bre viene de que inicialm ente su limbo se desplazaba hasta la sexta parte del círculo, es decir 60°.
1582 5.
Fis¡ca++ ******************************** Es aquel punto situado en el eje princi pal entre el vértice y el centro de curvatu ra. El foco se caracteriza porque por el pasa los rayos reflejados o sus prolonga ciones, provenientes de rayos incidentes al espejo paralelos al eje principal.
E S P E J O S E S F E R IC O S
a) Definición Se llam a así a toda superficie en forma de casquete esférico cuya superficie in tem a o externa es reflectante. b ) Tip o s 1) C ó n ca vo Se llam a así al espejo esférico, cuya su perficie reflectante es la interna.
•
2)
c) •
C on vexo Se llam a así al espejo esférico, cuya su perficie reflectante es la externa.
(C )
Es el centro geom étrico de la esfera de la cual forma parte el casquete. •
R a d io d e c u r v a tu r a
(R )
Es el radio de la esfera de la cual forma parte el espejo. •
V é r tic e (V )
•
E j e p r i n c i p a l (X % X )
Es el centro geom étrico del espejo. Es la recta que pasa por el centro de cur vatura y el vértice. •
F o c o (F )
Es la distancia que existe entre el foco y el vértice del espejo, cum pliéndose que dicha distancia sea igual a la m itad del radio de curvatura. f=R /2. •
A b e rtu ra
(M N )
Es aquel segm ento ó cuerda que une los puntos extrem os del espejo, cuando la a bertura es muy grande se produce el fe nóm eno de "aberración" esférico, el cual consiste en la form ación de una imagen borrosa de tal m anera que el foco dej a de ser un punto para convertirse en una m ancha. Para observar una imagen níti da se exige que el ángulo central corres pondiente al arco M N sea menor que
Elem entos C e n tr o d e c u r v a tu r a
D is ta n c ia fo c a l (f)
2 0 °.
d ) Form ación de im ágenes 1) Rayos principales P ara la form ación de im ágenes en espe jo s esféricos, se tom an en cuenta tres ra yos luminosos como los principales, re sultando indispensables dos de ellos y son los siguientes: • U n rayo luminoso que incide paralela m ente al eje principal se refleja pasando el o su prolongación por el foco.
Optica 1583 ************************************************************************* *
*
U n rayo luminoso incidente que pasa el o su prolongación por el foco se refleja paralelam ente al eje principal. U n rayo luminoso incidente que pasa el o su prolongación por el centro de curva tura se refleja sobre si misma.
Imagen: Real, invertida y de igual tamaño. T ercer caso: El objeto entre C y F.
2) E sp ejo convexo
Imagen: Real, invertida y m as grande. C uarto caso: O bjeto en el foco F. Imagen: Virtual, derecha y de menor tam año que el objeto. 3) Esp ejo cón cavo Prim er caso: El objeto más allá de C Z .R (+)
Z .V (-)
Imagen: N o hay imagen. Q uinto caso: Objeto situado entre F y V
Imagen: Real, invertida y de menor tam año Segundo caso: El objeto situado en C. Z .R (+)
Z .V (-)
Imagen: Virtual, derecha y m ás grande que el objeto. e) Ecua ció n de espejos Es una ecuación que relaciona la distan
1584 Fís¡ca++ ************************************************************************* cia focal (f), con las distancias objeto (o) e imagen (i), del modo siguiente: l
2
f
R ” o+ i
l l
siendo, (R) el radio de curvatura. f)
A u m e n to (A ) Es una ecuación que relaciona los tam a ños del objeto (t.o) e im agen (t.i), así:
ventanas de las edificaciones modernas, e tc .... 2) En los hospitales, el dentista, el otorrino laringólogo, el cirujano etc. utilizan espe jo s esféricos cóndavos que tienden a con centrar los rayos luminosos en el lugar que desean observar en detalle. 3) Los espejos cóncavos se utilizan en la parte pulida de los faros de los automóvi Ies. 4) Se utilizan com o dispositivos de control m uy sensibles, en las naves espaciales. 6. L E N T E S
t.o
* *
o
Si: A>1 el tam año imagen es mayor que el tam año objeto, y si A<1 el tam año i m agen es m enor que el tam año objeto. Si: A es positivo la im agen es derecha y si A es negativo la imagen es invertida. Las posiciones objeto (o) e im agen (i) se tom an con sus signos. C o n ve n ció n de signos C onvexo
C óncavo
o (+) siem pre
(+) siem pre
I ( - ) siempre
(+)*I. real
a) Definición Es toda sustancia transparente limitada por dos superficies, de las cuales por lo m enos una de ellas debe ser esférica. b) T ip o s de lentes 1) Lentes convergentes Son lentes cuya parte central es más an cha que sus extrem os, haciendo concu rrir a los rayos refractados provenientes de rayos incidentes paralelos en un pun to del plano focal. L ente biconvexa
( - ) I. virtual f ( - ) siempre
(+) I. virtual
A (+) I. derecha
A (-) I. invertida
g ) Aplicaciones l) Los espejos esféricos convexos se utili zan com o retrovisores en los automóvi les, en las esquinas de las calles de poca visibilidad, como dispositivos de vigilan cia en los centros com erciales, en los sa Iones de belleza y en los cuartos de baño para hacernos el aseo personal, en las
Lente plano convexa
Optica
1585
************************************ ************************************ Lente menisco convergente
2) Lentes divergentes Son lentes cuya parte central es más del gada que sus extrem os, haciendo diver gir a los rayos refractados en la lente pro venientes de rayos incidentes paralelos. Los rayos refractados divergentes y sus prolongaciones, son concurrentes en un punto del plano focal. Lente bicóncava
c) Elem entos
.
C e n tr o ó p tic o (C )
Es el centro geom étrico de la lente. Este punto se caracteriza porque todo rayo lu minoso que pasa por el no sufre ninguna desviación •
C e n tr o d e c u r v a tu r a
( Q , C 2)
Son los centros geom étricos de las super fícies esféricas que limitan la lente. •
R a d i o d e c u r v a t u r a ( R j , R 2)
Son los radios de las superficies esféri cas que limitan la lente. Se denom ina " R |” al radio de la esfera que está frente al objeto y "R2" al radio de la esfera que no está frente al objeto. •
E j e p r i n c i p a l ( X ', X )
Es aquella recta que pasa por los centros de curvatura y el centro óptico. •
F o c o o b j e t o ( F 0)
Es el foco de la lente que se encuentra en la región donde está el objeto. •
F o c o im a g e n
(F ¡)
Es el foco de la lente que se encuentra en la región donde no está el objeto. •
F o co p rin c ip a l (F )
1
Es aquel punto situado en el eje prinri pal por el cual van a pasar los rayos re fractados o sus prolongaciones de éstos, provenientes de rayos incidentes a la len te paralelos al eje principal. El foco prin cipal puede ser el foco objeto o el foco i magen. •
D i s t a n c i a f o c a l ( f)
Es la distancia entre el foco principal y
1586
*
*
*
*
*
*
Fisica++
el centro óptico de la lente. Z o nas T oda lente divide el espacio en el cual se encuentra en dos zonas denominadas: Zona real - Es la zona en la cual no se en cuentra el objeto. Zona virtual.- Es la zona en la cual se en cuentra el objeto. En la zona real las distancias son positi vas (+) y en la zona virtual las distancias son negativas (-). A b erra ció n Se llaman aberraciones a las d esviado nes (im perfecciones) de las imágenes rea les de una imagen ideal predicha por la teoría sim ple. E stas deform aciones que presentan las im ágenes son producidas en gran m edida por los defectos en la configuración y form a de los lentes. Las lentes pueden producir diversas for m as de aberraciones, tales como: Aberración esférica ocurre cuando la luz que atraviesa el lente a diferentes dis tancia del eje óptico se enfoca en diferen tes puntos. A stigm atism o es una aberración que ocu rre para objetos no localizados sobre el eje óptico de la lente. a A berración de com a ocurre cuando la luz que pasa a través del lente del eje óp tico y la luz que pasa a través de la lente cerca del foco del lente, se enfocan en di ferentes partes del plano focal. A berración crom ática, ocurre cuando los rayos luminosos pasan cerca de los extre mos de la lente, en el cual la im agen que se form a es coloreada com o resultado que la luz se dispersa o se descompone en sus colores com ponentes.
d ) Rayos principales Para ía form ación de im ágenes en una lente se tom arán en cuenta tres rayos lu
minosos considerados com o principales de los cuales resultan indispensables só lam ente dos el tercero se utiliza para com probación. 1) Un rayo luminoso^que partiendo del ob jeto incide en la lente paralelam ente al eje principal, se refracta para luego pa sar el o su prolongación por el foco prin cipal.
2) U n rayo luminoso que parte del objeto, pasa por el centro óptico sin desviarse.
3) U n rayo luminoso que parte del objeto, pasa por el centro óptico sin desviarse.
e) Form a ció n de im ágenes La im a§en en una lente se form a utiliza2 1x65 ray ° s>l° s cuales son.
Optica 1587 ************************************************************************* 1) U n rayo luminoso que partiendo del ob je to incide en la lente paralelam ente al eje principal, se refracta para luego pa sar el o su prolongación por el foco prin cipal. 2) U n rayo lum inoso que partiendo del ob jeto , pasa por el centro óptico sin des viarse. 3) Un rayo luminoso que partiendo del obje to, pasa por el foco objeto, y se refracta el o su prolongación paralelo al eje prin cipal. f) >
Form ación de im ágenes Lentes divergentes En este caso el foco principal es el foco objeto F0
Segundo caso: El objeto en C2. Z.V. ( - )
Imagen: Real, invertida y de igual tam año T ercer caso: El objeto entre C2 y F
Imagen: Imagen: Virtual, derecha, y de menor tam año «
>
Lentes convergentes En este caso el foco principal es el foco im agen F¡. Prim er caso: El objeto más allá de C2.
Z.R. (+)
Real, invertida y de mayor tam año que el objeto.
C uarto caso: El objeto situado en el foco. z .v (-)
z.R (+)
Imagen: N o se form a imagen.
Imagen : Real, invertida y de menor tam año
Q uinto caso: E l objeto situado entre el _foco Fo y el centro óptico.
1588 Física++ ************************************************************************* ños del objeto (t.o) e imagen (t.i), del rao do siguiente: A = — * t.o Si: A>1 el tam año im agen es mayor que el tam año objeto, y si A<1 el tam año i m agen es m enor que el tam año objeto. Imagen: Virtual, derecha y de mayor tam año que el objeto.
j)
g ) Ecua ción de lentes Es una ecuación que relaciona la distan cia focal (f), con las distancias objeto (o) e im agen (i), del modo siguiente:
o
h) Ecuación del fabricante lentes
El índice de refracción del aíre es n0 1. i) A um ento (A ) Es una ecuación que relaciona los tam a
i
f
La potencia de una lente m ide su capaci dad para enfocar los rayos paralelos a u na distancia corta de la misma. Cuanto m ás corta es la distancia focal, m ayor es la potencia. L a potencia de una lente puede ser posíti v a o negativa, así, la potencia de una len te convexa es positiva y la potencia de u na lente cóncava es negativa.
i
Es una ecuación que relaciona la distan cia focal (f), con los índice de refracción de la lente (n), m edio (n0) y los radios de curvatura (R[), (R2) de las superficies (1) y (2) de la lente, del modo siguiente:
=
p
1-1 1 f
Potencia de una lente Se llam a potencia de una lente a la inver sa de la distancia focal (f), esto es:
^
U n id a d : L a potencia (P) de una lente se m ide en dioptrías=m ’1.
>
Lentes equivalentes P rim er caso
p os ientes de distancias focales f], f2 que tienen el m ism o eje principal, y que están en
Puede sustituirse por
Optica 1589 ************************************************************************* una sola lente de distancia focal (f), dada por:
i - i
*
i
f ~ f |+ A Segundo caso f,
h
*
*
D os lentes de distancias focales fi, f2 que tienen el mismo eje principal, y cu yos centros están separados una distan cia (d) puede sustituirse por una sola len te de distancia focal (f), dada por: 1 - 1 1 f " f , + f2
*
R etina.- Es la m em brana mas interna del ojo y se la reconoce com o una prolonga ción del nervio óptico, esta form ada por fibras nerviosas que la hacen sensible a la luz. Las term inaciones nerviosas de la retina son los “conos” y “bastoncillos” que, ju n to con la púrpura retiniana, r e d ben y transm iten al nervio óptico la sen sación lum inosa que este lleva al cerebro C ornea- Es una m em brana transparente, de espesor variable y con un índice de re fracción de 1,376. C ristalino.- Es una verdadera lente con vergente con un índice de refracción de 1,4085 y la capacidad de cam biar de for m a según los estím ulos exteriores que re cibe. Iris.- A ctúa com o diafragm a regulando la cantidad de luz que penetra en el ojo.
>
La lupa
•
Es una sencilla lente convergente bicon vexa o plana convexa, usualm ente mon tada sobre una arm adura que perm ite sos tenerla en la m ano o en un pie especial. Com únm ente se utiliza para exam inar de talles de objetos, para leer im presos con caracteres de letra m uy pequeños, etc. L a im agen lograda con una lupa es vir tual, m ayor y de igual sentido que el ob je to observado. En la lupa sim ple, dism i nuye la distancia focal y, por lo tanto, la am plificación aum enta, pero también au m entan las aberraciones (distorsiones) es féricas, por lo cual siem pre debe restrin girse el campo.
d f ,.f 2
C o n ve n c ió n de sign os 0
(+) siempre (+) I. real
( -) l. virtual
f
(+) I. convergente
(-) I. divergente
A
(+) I. derecha
(-) I. invertida
o = objeto f = foco
i = imagen A = aum ento
k) A plicaciones > El ojo hum ano Es el órgano de la visión, está formado por los elem entos protectores (párpados, cejas, etc.), y por el “globo ocular” que está constituido por m em branas que en cierran m edios transparentes que son las “ lentes” naturales del hombre.
1590
Fisica++
************************************* >
*** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** *
M icroscopio
sobre el m undo que lo rodea, ya sea por corrección de las im ágenes, por aproxi m ación de ellas o por am plificación. >
•
•
•
Es un instrum ento óptico formado bási cam ente por dos lentes convergentes: el ocular y el objetivo. El objetivo tiene dis tancia focal pequeña y esta ubicada pro xim o al objeto que se observa. El ocular tiene m ayor distancia focal y esta ubicado al lado del ojo del observa dor. Las dos lentes están ubicadas de for m a que sus ejes coincidan. L a imagen que se obtiene con un micros copio es virtual, m ayor y de sentido con trario al objeto observado. En la actualidad existen muy diversos tipos de m icroscopios, cada uno de ellos con distintas tecnologías de avanzada y que incluyen las últim as m ejoras que, día a día, los científicos van descubrien do.
•
El anteojo de Galileo Este fue el prim er instrum ento para reali zar observaciones a distancia. En forma sim ilar al m icroscopio, tam bién consta de dos lentes pero, en este caso, una es divergente (el ocular) y la otra es conver gente (el objetivo). La imagen que se ob tiene, es virtual. El vocablo “anteojos” , acepta varios sig nificados, que van desde los que se utili zan delante del ojo hum ano, hasta los co m uñes “largavistas” . Sin em bargo, todos ellos tienen por finalidad contribuir de u na u otra m anera a m ejorar la calidad de la visión que el ser hum ano puede tener
’
Es un instrum ento óptico em pleado para observar objetos m uy grandes que se en cuentran a muy lejanas distancias com o po r ejemplo estrellas, com etas, planetas, entre otros. L a prim era persona que des cubrió este instrum ento por casualidad fue el fabricante de gafas H ans Lipeer shey un cierto día cuando sostenía en ca da una de sus m anos una lente y al mirar por ellas pudo observar a gran distancia el gallo de la catedral muy cercano a él, entonces él m ontó las lentes en un tubo con la finalidad de conservar la distan cias relativas de las lentes. De esta for m a inventó uno de los instrum entos ópti eos de más ayuda para la hum anidad y para el cam po científico para descubrir los fabulosos m isterios del U niverso.
•
>
Te le sco p io
>
Fotocopiadora
L a mayoría de las veces usam os una foto copiadora, para hacer una copia exacta de una página. U na m áquina fotocopia
Optica
1591
************************************ ************************************
•
>
dora básicam ente im plica colocar un orí ginal sobre el vidrio, bajo el cual hay len tes, y bajo la lente hay otro papel en el que se hará la copia. El objeto (que es el original) está proyectado en la pantalla (que es la hoja de papel). Bajo la mayoría de circunstancias, la má quina fotocopiadora estará im plicada en la situación del caso 3. Esto es cuando el objeto está a 2F, y la im agen form ada de be tener el m ism o tam año, real e invertí do, esto usualm ente no nos preocupa por que podem os voltear la hoja para volver la a la posición correcta.
•
•
Cám ara fotográfica
• U na cám ara fotográfica o cám ara de fo to s es un dispositivo utilizado para to mar o capturar im ágenes y alm acenarlas en un m edio de m aterial sensible a la luz basándose en el principio de la cámara oscura, con la cual se consigue proyectar una imagen captada por un pequeño agu je ro sobre una superficie, de tal forma que el tam año de la imagen queda reduci do y aum entada su nitidez Las cám aras actuales pueden ser sensj bles al espectro visible o a otras porcio nes del espectro electrom agnético y su u so principal es capturar el cam po visual. 7, F O T O M E T R IA a) C o n c e p to s fundam entales > Visión L a visión es un sentido que consiste en la habilidad de detectar la luz y de inter pretarla (ver). L a visión es propia de los
•
•
anim ales teniendo éstos un sistem a dedi cado a ella llam ado sistem a visual. La visión artificial extiende la visión a las m áquinas. L a prim era parte del sistem a visual se en carga de form ar la im agen óptica del estí m ulo visual en la retina (sistem a óptico). E sta es la función que cum plen la córnea y el cristalino del ojo. Las células de la retina forman el siste m a sensorial del ojo. Las prim eras en in tervenir son los fotorreceptores, los cua les capturan la luz que incide sobre ellos Sus dos tipos son los conos y los basto nes. O tras células de la retina se encar gan de transform ar dicha luz en impul sos electroquím icos y en transportarlos hasta el nervio óptico. D esde allí, se pro yectan a im portantes regiones com o el núcleo geniculado lateral y la corteza vj sual del cerebro. En el cerebro ‘c om ienza el proceso de re construir las distancias, colores, movi m ientos y formas de los objetos que nos rodean. E xisten tres tipos de visión: V isión fotópica.- Es la visión que tiene lugar con buenas condiciones de ilum ina ción (a plena luz del día). Esta visión po sibilita la correcta interpretación del co lor por el ojo. E stá basada en la respuesta de los conos, uno de los dos tipos de fotorreceptores de la retina (conos y bastones). Los co nos son m ucho m enos sensibles a la luz que los bastones, por lo que sólo se acti van cuando los niveles de ilum inación son suficientem ente elevados. Existen tres tipos de conos: azules, ver des y rojos. Cada uno de ellos posee un fotopigm ento con una curva característi ca de absorción respecto de la longitud de onda. E ste hecho constituye el punto de partida fisiológico para la percepción del color.
1592 Física++ *************************************************************************
*
>
>
V isión escotópica.- Es aquella percep ción visual que se produce con niveles muy bajos de ilum inación. L a agudeza visual es baja y la recepción de luz es principalm ente con los bastones de ia re tina, que son sensibles al color azul del espectro (y por ende, ciego al rojo). No es posible una discrim inación del color en este tipo de visión: es una visión mo nocrom ática. O tra característica de la visión escotópi ca es que, com o los bastones se encuen tran en la periferia de la retina (a unos 6o de la fóvea), es una percepción visual pe riférica. V isión m esópica.- L a visión m esópica es una visión interm edia (interm edia en tre la fotópica y la escotópica) que se da en situaciones de ilum inación, que sin llegar a la oscuridad total, tam poco lie gan a ser la luz de un día a pleno sol. Se trata, principalm ente, del tipo de visión em pleado en condiciones de luz artifí cial, donde tanto conos com o bastones entran enjuego. Colorim etría La colorim etría es la ciencia que estudia la m edida de los colores y que desarrolla métodos para la cuantificación del color, o sea para la obtención de valores numé ricos del color. Fotóm etro Un fotóm etro es un dispositivo sencillo relativam ente barato para los análisis por absorción, posee fácil m antenim ien to y resistencia que pueden no tener es pectrofotóm etros más sofisticados. Ade más, cuando en el análisis no se necesita una pureza espectral elevada (y frecuen tem ente es así), el fotóm etro proporcio na m edidas tan precisas com o las obténi das con instrum entos.m ás com plejos.
>
Brillo El lustre o brillo es una propiedad física que describe la m anera en que la luz in teractúa con la superficie de una roca, cristal o m ineral y se refleja en ella. De pende de varios factores, tales com o el índice de refracción del mineral, la per fección en el pulido de las caras del cris tal, la absorción que el m ineral tiene de cada color del espectro visible. El brillo es el resultado de la reflexión y la refracción de la luz en la en la superfi cié de un mineral Existen tres tipos de brillos; m etálico, no m etálico y mate.
>
Contraste El contraste se define com o la diferencia relativa en intensidad entre un punto de una im agen y sus alrededores. U n ejem plo sim ple es el contraste entre un objeto de brillo constante sobre un fondo de un brillo constante. Si ambas superficies tienen el m ism o brillo, el con traste será nulo, y el objeto tanto física com o perceptivam ente será indistinguj ble del fondo.
>
L u z negra Luz negra es el nom bre común que se da a las lám paras que em iten radiación elec trom agnética ultravioleta cercana, con u na com ponente residual muy pequeña de luz visible. Las lámparas de luz negra son hechas generalm ente del mismo mo do que las lám paras fluorescentes con vencionales, excepto que utilizan un únj co fósforo, y en lugar del cristal transpa rente exterior em plean un cristal oscuro conocido com o cristal de W ood, que blo quea la m ayor parte de "luz visible" so bre los 400 nanóm etros.
^
Fe n ó m e n o s lu m ino so s Los fenóm enos naturales que emiten luz,
Optica 1593 *********************************** ************************************ *
*
*
consisten en: Fosforecencia - Propiedad que presentan algunos cuerpos-especialm ente el fósfo ro-de continuar em itiendo luz por un cierto tiem po luego de haber sido ilumi nados. A ctualm ente existen sustancias que adquieren perm anentem ente esa pro piedad al ser som etidas a ciertas ra d ia d o nes y se usan en relojes lum inosos, pía cas de luz, carteles, pintura de indicado res en las carreteras, etc. Fluorescencia - Propiedad de ciertas sus tancias de em itir luz por breve tiem po, al ser som etidas a ciertas descargas o radia ciones. E stos efectos se utilizan con ga ses com o el flúor o el neón en los tubos fluorescentes o lum inosos com erciales; y tam bién en las pantallas de TV y m oni tores de com putador. Biolum inescencia- Propiedad que presen tan algunos organism os vivos de em itir luz; lo que realizan debido a reacciones quím icas que ocurren en sus células y que cum ple funciones de reconocim ien to, defensa y atracción sexual. O curre en las luciérnagas, algunos hongos, bacte rias y algas (que dan fenóm enos lumino sos en el mar) y ciertos peces de los abis m os m arinos. '
b) Flu jo lum inoso El flujo lum inoso se representa con el sím bolo (<£), y se define como la poten cia (W) em itida en form a de radiación lum inosa a la que el ojo hum ano es sensj ble. Así, cuando hablam os de 25 W o 60 W nos referim os sólo a la potencia con sum ida por el foco de la cual solo una parte se convierte en luz visible, a la cual llam am os flujo lum inoso. Em pírica m ente se dem uestra que a una radiación de 555 nm de 1 W de potencia em itida por un cuerpo negro le corresponden 683 lumen.
A la relación entre w atts y lúm enes se le llam a equivalente lum inoso de la ener gía y equivale a: 1 w att-luz a 555 nm = 683 lm ^
U n id ad : El flujo lum inoso (O ) se mide en lum en (lm).
c ) La iium inancia L a iium inancia (E) es la cantidad de flu jo lum inoso que incide sobre una super ficie por unidad de área, viene dado por:
•
•
siendo, "<í>" el flujo lum inoso, y "A" el área de la superficie donde se mide la ilu m inancia. Tanto la iium inancia com o el nivel de i lum inación se pueden m edir con un apa rato llam ado fotóm etro. A la iium inancia que em erge de una superficie por unidad de área tam bién se le denom ina emitan cia luminosa.
Por ejem plo, si colocam os la linterna cer ca de la pantalla, observam os un circulo pequeño fuertem ente ilum inada, y si lo u bicam os lejos de la pantalla observare m os un circulo mas grande pero débil m ente iluminado.
^ U n i d a d : La iium inancia (E) se m ide en Lux (Ix)
1594 Física++ ************************************************************************* d ) La intensidad lum inosa L a intensidad lum inosa se define como la cantidad de flujo lum inoso () que e mite una fuente por unidad de ángulo só lido (O ) en una dirección dada, esto es:
I=— Q
f> La irradiancia L a irradiancia es la m agnitud utilizada para describir la potencia incidente por u nidad de superficie de todo tipo de radia ción electrom agnética. En unidades de] sistem a internacional se m ide en W /m2. En electrom agnetism o se define la irra diancia com o el valor de la intensidad e nergética prom edio de una onda electro m agnética en un punto dado y se calcula com o el valor prom edio del vector de Poynting. L a irradiancia sirve de base para la defi nición de m agnitudes físicas similares, entre las que la radiancia (energía emití da por unidad de superficie y p o r unidad de ángulo sólido) es la más utilizada.
Com o, <Í>|=0 2 ? entonces Ii=I2. U n id a d :
La intensidad lum inosa se puede definir a partir de la m agnitud radiom étrica de la intensidad radiante sin más que ponde rar cada longitud de onda por la curva de sensibilidad del ojo. ^
U n id a d :
La intensidad lum inosa (T) se m ide en candelas (cd).
e) La cantidad de luz * La cantidad de luz o energía lum inosa se denota com o (Q), y se utiliza para deter m inar el flujo lum inoso que es capaz de dar un flash fotográfico o para com parar diferentes lám paras según la luz que emi ten durante un cierto periodo de tiempo. Si el flujo lum inoso (O ) se m antiene constante en un periodo de tiem po (t), en tonces, la cantidad de luz, viene dado por: Q = O.t ^
U n id a d :
La cantidad de luz (Q) se mide en lumen por segundo (Im.s)
L a irradiancia se m ide en W /m2
g ) La lum inancia La lum inancia se define com o la densi dad angular y superficial de flujo lumino so que incide, atraviesa o em erge de una superficie siguiendo una dirección deter minada. Tam bién, se define com o la den sidad superficial de intensidad luminosa en una dirección dada, esto es:
AcosO
:
siendo, "I" la intensidad lum inosa, "A" área de la superficie, y " 0" ángulo entre la norm al a la superficie y la dirección considerada. h) Ley inversa de los cuadrados E sta ley establece que la ilum inancia (E) es igual, a la intensidad lum inosa (I) divi dido entre el cuadrado de la distancia (r) a la fuente lum inosa, esto es:
Optica
15g5
~j,H
¡i
: 2,H
hf
siendo, "h ,", "h 2f" las alturas a la que se encuentran las superficies, respecto de la fuente lum inosa (foco). Ahora, com o la intensidad lum inosa que pasa por las superficies de áreas "A ^ ', "A 2"
R endim iento lum inoso Llam ado tam bién eficiencia se represen ta con el sím bolo On), y se define com o el flujo lum inoso (
situados a las distancias "r¡",
" r2" es el m ism o, entonces de la ecua ción anterior, obtenemos: II E, C uando el rayo dícularm ente a se utilizan las (E h) y vertical así:
o n =
de luz no incide perpen la superficie ilum inada, com ponentes horizontal (Ev) de la ilum inación,
IcosG e h = — t~ y
_ v =
IsenG o
Com o, r=h.cos G, entonces las expresio nes anteriores, quedan así: "i IcosJ G eh
=
h*
*
9 Icos 0 s e n 0 Y E v = --------- ^-------h‘
*
Com o la intensidad lum inosa (I) es el m ism o para las superficies de áreas " A j" , "A 2", tenem os que:
Se entiende este valor en térm inos de porcentaje de eficiencia. Por ejemplo, un foco corriente suele em itir un 85% de la energía eléctrica gastada en form a de ca lor y otras radiaciones, y un 15% efecti vam ente en ilum inación visible, por lo que, es muy ineficiente. El rendim iento de algunas fuentes de luz son: Foco corriente 15% Lám para halógena 20 % Fluorescente 70 % Lam para halógena.-Es una variante de la lám para incandescente, en la que el vi drio se sustituye p o r un com puesto de cuarzo, que soporta m ucho m ejor el ca lor (lo que perm ite lám paras de tam año m ucho m enor, para potencias altas) y el filam ento y los gases se encuentran en e quilibrio quím ico, m ejorando el rendim i ento del filam ento y aum entando su vida útil. U n id ad : L a unidad del rendim iento es el lum en/vatio (Im/W )
Física++
1596
* * * * * * * * * * * * * * * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * ** * ** ** * ** * ** * **
H allar el ángulo de desviación del rayo reflejado respecto del rayo reflejado mi cial.
PR O B L E M A S 01. Coco de altura 1,5 m se ubica a 50 cm de un espejo plano. H allar la distancia de Coco a su imagen, y la altura de su i magen. a) 100 cm ; 1,5 m b) 50 cm ; 1,5 m c) 100 cm ; 1,0 m d) 50 cm ; 2,0 m e) 25 cm ; 1,5 m
a) 10°
$15° d) 25°
06. ¿Con qué ángulo debe incidir un rayo lu ruinoso, para que form e ángulos iguales con el espejo y el rayo reflejado? a) 30°
b )3 7 ° d) 53°
02. El "lobo" se ubica a 2 m del espejo "1" y a 4 m del espejo "2". H allar la distancia entre las dos prim eras imágenes.
©
©
c) 20° e) 30°
c)4 5 ° e) 60°
07. L a patinadora de altura "H " se aleja del espejo plano en reposo m uy grande, con rapidez de 3 m/s. R especto a la imagen, indicar las proposiciones verdaderas (V) ó falsas (F).
a ) 1 0 cm b ) 1 2 cm c)1 4 c m d) 16 cm e) 18 cm 03. Respecto de un espejo plano, indicar la proposición verdadera: a) L a zona real está detrás del espejo y la virtual delante. , * b) L a im agen siem pre se form a en la zona virtual. c) Su radio de curvatura es infinito. d) Su distancia focal es cero. e) M ás de una alternativa es cierta.
I. T iene cada vez m enor altura. II. T iene altura " H ” , en cualquier posición III. Se aleja del objeto a razón de 6 m/s. a)
08.
V FV b FV F c) FFV d) FV V e) V V F
Los espejos planos Ei y E 2 form an entre si un ángulo de 45ú. H allar el núm ero de im ágenes que se forman.
04. La altura de José es 1,7 m y sus ojos es tán a 10 cm de ia parte superior de su ca beza. H allar el tam año del espejo verti cal, que debe utilizar José para que pue da verse com pletamente. a) 70 cm b) 75 cm c) 80 cm d) 85 cm e) 90 cm 05. U n espejo plano gira un ángulo de 15°.
d) 7
e) 9
Optica 1597 *************** **************************************************** ****** 09. U n pingüino se encuentra frente a dos es pejos planos perpendiculares entre si ¿Cuántas im ágenes verá el pingüino? b )3
a)l
c)5
espejo plano en la pared vertical, para que Q iqo de estatura 1,5 m pueda ver el poste de luz de 6 m de altura íntegramen te en el espejo.
e) 9
d) 7
ESPEJO
10. L a altura de José es 1,7 m y sus ojos es tán a 10 cm de la parte superior de su ca beza. ¿A qué altura sobre el piso debe u bicarse un espejo, tal que, José pueda ver su imagen com pleta? a) 70 cm b) 75 cm c) 80 cm d) 85 cm e) 90 cm 11. D os espejos planos forman un ángulo de 50° entre sí. H allar el ángulo "0" que el rayo reflejado form a con el rayo inciden te.
\<------ 2da) 0,5 m
b ) l,0 m c ) l,5 m d) 2,0 m e) 2,5 m
14. U n objeto de 10 cm de altura está sitúa do a 180 cm de un espejo convexo esféri co de radio de curvatura 90 cm. H allar el tam año de la imagen. a) 0,5 cm b) 1,0 cm c) 1,5 cm d) 2,0 cm e) 2,5 cm
I1A7.
a) 40°
b) 60° d) 100°
c) 80° e) 120°
15. U n objeto frente a un espejo esférico ge ñera una imagen virtual de tam año doble si la distancia entre el objeto y la imagen es 30 cm. ¿A qué distancia del espejo se encuentra el objeto? a) 2 cm
12. H allar la altura m ínim a que debe tener el espejo plano en Ja pared1 vertical, para que Popi pueda ver a Pipo íntegramente, siendo H = l,8 m.
b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e ) 1 0 cm
16. ¿Cuál es el radio de curvatura de un es pejo de afeitar que aum enta al doble el tam año de un rostro situado a 30 cm del espejo? a) 60 cm b )8 0 cm c ) 1 0 0 cm d )1 2 0 cm e )1 4 0 c m
a) 0,2 m
b) 0,4 m c) 0,6 m d) 0,8 m e) 1,0 m
13 . H allar la altura m ínim a que debe tener el
17. Con uñ espejo cóncavo se obtiene una i m agen invertida tres veces el tam año del objeto, si la distancia objeto-im agen es de 28 cm. H allar el radio de curvatura del espejo. a) 21 cm b) 23 cm c) 25 cm d) 27 cm e) 29 cm
Física++
1598
’k ' k i t ' k i t l t i f ' k i t ' k ' k ' f t ' k ' k j e J e ' k ' k ' k ' k ' k ' k i e ' k ' k ' k l t ' k ' k ' i e ' k ' k ' k l t l t ' k ' f e ' k ' k ' k ' k J e ' k ' k ' k i e ' k i e l t ' k ' k ' k j f i e l t ' k i i ' k i f l c I t j e ' k i t ' k ' i t & l t ' k ' f t l f ' k ' k
18. U n espejo esférico cóncavo de 20 cm de radio se utiliza para proyectar la imagen de un cuerpo sobre una pantalla situado a l l O cm. I. H allar la distancia objeto. a) 3 cm d) 9 cm II. a) b) c) d) e)
b) 5 cm c) 7 cm e) 11 cm
D escribir la imagen. Real, derecha y de m ayor tamaño. Real, derecha y de menor tamaño. Real, invertida y de m ayor tamaño. Real, derecha y de igual tamaño. Real, invertida y de m enor tam año
19. Dos objetos se encuentran frente a un es pejo cóncavo de 60 cm de radio de curva tura, el prim ero se encuentra 10 cm de lante del foco y el segundo 10 cm detrás del foco. H allar la distancia entre las imá genes de los objetos. a )1 2 0 c m b )1 4 0 cm c)1 6 0 c m d )1 8 0 cm e) 200 cm 20. U na cám ara oscura se utiliza para form ar la im agen de un objeto de 2 m de alto, el cual se sitúa a 10 m delante de la cám a ra. Si la distancia desde el pequeño orifi ció, de entrada de luz a la pám ara, hasta el plano donde se 'fo rm a la imagen es, 0,1 m.¿Cuál será la altura de la imagen? a) 1cm
b) 2 cm d) 4 cm
c) 3 cm e) 5 cm
21. U n objeto de 20 m m se encuentra a 40 cm de una lente cuya distancia focal es 80 cm. H allar la distancia y el tam año de la imagen.
cm de distancia focal, se ubica un objeto lum inoso de 12 cm de tam año. H allar el tam año de la imagen. a)1 4 c m
b )1 6 cm c)1 8 c m d ) 2 0 cm* e) 22 cm
23. La im agen form ada por una lente conver gente es virtual, derecha y tres veces ma yor que el objeto. La distancia focal de la lente es de 120 trim. Hallar: I. L a distancia objeto. a) 60 mm b) 70 m m c) 80 mm d) 90 mm e )1 0 0 m m II. La distancia imagen. a)1 2 0 m m b) 240 m m c) 360 mm d) 480 mm e) 600 mm 24. Resolver el problem a anterior conside rando que la im agen es real. Hallar: I. La distancia objeto. a) 50 mm b) 100 mm c) 150 mm d) 200 mm e) 250 mm II. L a distancia imagen. a) 200 m m b) 300 mm c) 400 mm d) 500 mm e) 600 mm 25. Se tiene una lente biconvexa de vidrio de índice de refracción 1,5. El radio de curvatura anterior de la lente es 15 cm y el de la superficie posterior es -30 cm Hallar: (aire, no=l) I. L a distancia focal (f) a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm II. El poder dióptrico de la lente.
a) 40 cm ; 80 cm b) 80 cm ; 40 cm c) 30 cm ; 60 cm d) 60 cm; 30 cm e) 50 cm ; 25 cm 22. A 4 cm de una lente convergente de 10
a) 1 m' d) 4 m
b) 2 m ' c) 3 m ‘ e) 5.10á m ‘
26. Se tiene una lente plano-convexa de vi drio (n = l,5 ) de radio de curvatura 0,4 m.
Optica ************************************************************************* 1 5 9 9
I.
Si un objeto se ubica a 2 m de la lente (aire n0= l) H allar la distancia imagen. a) 1,1 m b) 1,3 m c) 1,5 m d) 1,7 m e) 1,9 m
II. Si el objeto y la lente se sumergen en a gua (n=4/3). H allar la distancia imagen a) 5 ,lm
b) 5,3 m c) 5,5 m d) 5,7 m e ) 5 ,9 m
27. U n objeto de 10 m m se ubica a 0,1 m de una lente divergente de distancia focal igual a -0,2 m. I. T razando rayos obtenga la im agen y des críbalo. II. H allar la distancia imagen.
el radio de la lente? (aire n0= l) a) 5,72
b) 6,72 d) 8,72
c) 7,72 e) 9,72
31. Un objeto está ubicado a 100 cm de una pantalla. ¿A qué distancia del objeto de be colocarse una lente convergente de distancia focal f= !6 cm para que en la pantalla se pueda ver una im agen nítida del objeto? a) 20 cm y 80 cm ; b) 60 cm y 40 cm c) 70 cm y 30 cm d) 65 cm y 35 cm e) 55 cm y 45 cm 32. L a lente convergente tiene índice de re fracción n = l,5 . Si x=30 cm y y=60 cm. H allar la distancia focal (f) de la lente
a) 5/3 cm b) 10/3 cm c) 20/3 cm d ) 7 /1 2 c m e ) 4 /3 c m III. H allar el tam año déla imagen. a) 2 mm
b) 4 mm c) 6 mm d) 8 mm e) 10 mm
28. Se construye una lente bicóncava de aire y se sum erge en agua (n=4/3). Los ra dios de curvatura son iguales a -4 cm y +4 cm. H allar la distancia focal de la len 0 te de aire en agua. a) 2 cm
b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm
29. El radio de las dos superficies de una len te biconvexa es de 28,0 cm. Si la distan cia focal es de 26,2 cm. ¿Cuál es el indi ce de refracción de la lente? (n0= l) a) 1,51 d)
a ) 1 0 cm b ) 2 0 cm c)3 0 c m d) 40 cm e) 50 cm 33. Tres rayos inciden con ángulos de 30°, 4 5 ° y 6 0 ° sobre la superficie de la semi esfera de vidrio de índice de refracción n= V 2. H allar los rayos refractados y/o reflejados. AI RE
b) 1,53 c) 1,55 1,57 e) 1,59
30. U n a lente plano-convexa de distancia fo cal 18 cm, se construye de cuarzo de in dice de refracción 1,54. ¿Cuál debe ser
34. U na lám ina de vidrio de caras paralelas se encuentra sobre la superficie libre del
1600 Física++ ************************************************************************* rayo de luz incide perpendicularm ente y se refracta finalm ente paralelo a la cara A B. Índice de refracción del prisma, n=5/4
agua contenida en un recipiente. H allar el ángulo de refracción " 0" para un rayo luminoso proveniente del aire que incide en la cara superior de la lámina con un ángulo de 53°, e índice de refracción de n „ 11B=4/3.
AIRE
b) 37 :
a) 30 d) 53°
a) 30
c) 45 d) 53
e) 60
35. Para el sistem a agua-aire mostrado, ha llar la m edida del ángulo lím ite L.
38. El rayo de luz incide con un ángulo de 45°, y sigue la trayectoria m ostrada so bre los trozos de vidrio, em ergiendo ver ticalm ente. H allar el índice de refracción "n".
a) V Ü
b) V Ü d) V h7
d) 46°
c) 45 e) 60c
c) V Í 5 e) VÜ9
e) 48
36. Se m uestra una lám ina de vidrio delgada de caras paralelas, en el aire. Probar, que el rayo luminoso incidente y el rayo re fractado en el aire son paralelos.
39. U n rayo luminoso incide perpendicular m ente sobre un prism a isósceles de vi drio ¿Cuál es la trayectoria que sigue, si el ángulo crítico vidrio-aire es igual a: a) L=40c
HAZ
b) L=45c
HA Z
c) L =50c 40. 37. En el sistem a óptico mostrado, hallar la m edida del ángulo "0", sabiendo que el
En el sistem a óptico mostrado, ¿Con qué ángulo "0" mínimo, debe incidir el rayo lum inoso de luz, para que se refleje tota] m ente sobre la cara AB?
Optica 1601 jg'k'k'k'k&'kIt'k'k'k&lf'k'k'k'k'kIt'k'k'k'k'it'k'k'kJt'k'k'kit'k'kItit'k'klc'k'k&ieJt'kjeJe'kjt'kjejf'kJeie'k'k'feie'k'k'kitjfit'kie'kjt'kjfk'k a) 30°
b) 32° d) 36°
a) 30°
b) 37° d) 53°
c) 45° e) 60°
41. H allar el índice de refracción de un cris tal cúbico, sabiendo que un rayo lumi noso incide en una de las caras del cubo con un ángulo de incidencia igual a 45°, y em erge coincidiendo con una de las caras del cubo. a) V Ü
b) V Í 3 d) V Ü
e) VÜ9
H) 2m d) 6 m
44. Sobre la m itad de la esfera de vidrio de radio r= 3,0 crrl, e índice de refracción n=5/4, incide un haz de rayos paralelos H allar el radio del círculo brillante que se form a sobre la pantalla situada a la distancia d = l 3,0 cm del centro de la esfe ra. PA N TALLA
c) VÜ5
42. U n foco luminoso se encuentra en el cen tro de un pozo que contiene un líquido de índice de refracción n=5/4. Si se lo gra ver la em ergencia de luz del foco,¿ A qué profundidad se encuentra el foco, si el diámetro del pozo es 16 m ? D ar co mo respuesta la altura m áxima, tal que el pozo se encuentre totalm ente iluminado. a) 1 m
c) 34° e) 38°
c) 4 m e) 8 m
43. El rayo luminoso incide con un ángulo de 53° respecto de la norm al sobre la es fera de vidrio de índice de refracción n 4/3. H allar el ángulo "0" que form a el rayo em ergente respecto del incidente.
a) 4,0 cm b) 5,0 cm c) 5,0 cm d) 5,5 cm e) 6,0 cm 45. U na m oneda está sum ergida en el agua a una profundidad H =20 cm si miramos desde arriba y en dirección vertical, ¿A qué profundidad vem os la m oneda? a) 13 cm b )1 5 cm c)1 7 c m d) 19 cm e) 21 cm 46. En el sistem a óptico mostrado, el plano inclinado es un espejo sum ergido en a gua, con un ángulo de 53°. H allar el án guio que forman los rayos reflejados en el agua y en el espejo.
1602 F»sica++ ************************************************************************* 47.
Probar que en un sistem a dé varias lámi ñas transparentes de caras paralelas, el rayo luminoso incidente y refractado al m ism o m edio son paralelos.
48.
El rayo luminoso incide sobre la lámina de índice de refracción n -4 /3 y espesor
51. La lente de m aterial sintético de índice de refracción n = l,5 , está sum ergido en un líquido transparente de índice de re fracción no=2,0. H allar la distancia focal de la lente, x -4 0 crp, ¿La lente es conver gente ó divergente?
d = \¡5 /2 . H allar el desplazam iento "x" entre los rayos incidente y em ergente, si el ángulo de incidencia en el aire es el doble del ángulo de refracción sobre el m aterial de la lámina.
a ) - 1.0 m b ) -l,2 m c ) - l ,4 m d ) - l , 6 cm e )-l,8 m
/
a) 1,10 m
49.
E n el sistem a óptico m ostrado, determi nar geom étricam ente el foco principal y la trayectoria que seguirá el rayo lumino so ( 1).
53.
¿A qué distancia de una lente divergente de distancia focal f=60 cm, debe ubicar se un objeto de tam año t.o =10 cm, para que la im agen sea derecha y de tam año t.i=2 cm?
b ) l ,1 5 m c ) l,20 m d) 1,25 m e) 1,30 m
U n buceador se encuentra sumergido en el fondo de un lago. Si la distancia entre los ojos del buceador y la superficie Ii bre del lago es H = l,5 m, hallar el radio "R " del círculo luminoso que verá sobre él. El índice de refracción del lago es n=5/4. * a) 1,0 m
50.
52.
b) 1,5 m c) 2,0 m d) 2,5 m e ) 3 ,0 m
En el siguiente sistem a óptico, hallar geom étricam ente el foco principal y la trayectoria que seguirá el rayo luminoso
a) 120 cm b) 240 cm c) 320 cm d )3 6 0 cm e )l6 0 c m
( 1).
54.
L a distancia focal de una lente divergen te de índice de refracción n = l,5 cuando está rodeado de aire es f]=3 cm. Hallar la distancia focal (en cm ), cuando la len te se sum erge en un m edio de índice de refracción n2= l,7 ? .
0ptÍCa ****************************************** a) 12,00
55.
U bicando un objeto a 80 cm de una lente convergente se obtiene una imagen real de 15 cm de longitud y colocando a 50 cm, se obtiene otra imagen real de 30 cm. H allar la distancia focal de la lente. a ) 1 0 cm
56.
b) 12,25 c) 12,50 d) 12,75 e) 13,00
b )1 5 cm c) 20 cm d) 25 cm e) 30 cm
U n objeto situado a la distancia de o=l m de una lente de vidrio plano cóncava de índice de refracción n = l,5 da una ima gen real i=40 cm. H allar el radio de cur vatura (en cm) de la lente. a) 14,09 b) 14,29 c) 14,49 d) 16,29 e) 18,29
57. U na leñte delgada convergente form a u na im agen real de un objeto axial en un punto a 24 cm al lado opuesto de la lente Cuando la distancia del objeto se reduce a 2/3 de su valor inicial, la distancia de la im agen aum enta a 27 cm. Hallar: I. La distancia focal (en cm ) de la lente. a) 19,04
distancias focales para distintas longitu des de onda. a) FVF d) VFF
R especto de las lentes, indicar las propo siciones verdaderas (V) o falsas (F): I. En una lente divergente la im agen siem pre es virtual. II. En una lente el foco'principal siem pre es el foco objeto. III. El astigm atism o es una aberración que o curre para objetos localizados sobre el eje óptico de la lente. a) FVF d) V FF
b) 23,37 c) 23,57 d) 23,77 e) 23,97
Respecto de las lentes, indicar las propo siciones verdaderas (V) o falsas (F): I. El m icroscopio es un instrum ento forma do por una lente convergente y otra di vergente. II. P ara corregir la presbicia se utiliza una lente plano-convexa. III. L a aberración crom ática transversal se presenta, cuando la lente tiene diferentes
58.
b) VVF c) VFV e) FFV
Respecto de la luz, indicar las proposi ciones verdaderas (V) o falsas (F): I. En los fenóm enos de interferencia, di fracción y polarización la luz se compor ta com o partícula. II. Siempre v iaja en línea recta a la velocj dad de 3.108 m/s. III. L a velocidad con la que viaja la luz en el agua es m enor que en el aire. 60.
a) FV F d) V FF
«
a) 23,17
b) VVF c) VFV t e) FFV
59.
b) 19,24 c) 19,44 d) 19,64 e) 19,84
II. El radio de curvatura (en cm), si la lente es bicóncava de índice de refracción 1,6 .
1603
b) V V F c )V F V e) FFV
R especto de la Optica, indicar las propo siciones verdaderas (V) o falsas (F): I. L a O ptica Física, estudia los fenóm enos luminosos, asum iendo que la naturaleza de la luz es corpuscular. II. U n sistem a óptico se llam a dióptrico, si están formados sólo por superficies re fractantes (lentes) III. U n sistem a óptico se llama cataóptrico si están formados sólo por superficies re flectantes (espejos). 61.
a) FVF
b) V V F d) V FF
c) VFV e) FVV
1604 Fís¡ca++ ************************************************************************* 62. R especto de un prism a, indicar las propo siciones verdaderas (V) o falsas: I. El ángulo de desviación del rayo de luz incidente, depende del ángulo de abertu ra del prisma. II. En la dispersión de la luz, el ángulo de desviación m ínim a del am arillo es ma yor que la del azul III. Si el ángulo de desviación mínima es 30° y el ángulo de abertura 60°, el ángu lo de incidencia es 30°. a) FV F
b) VVF d) V FF
c) VFV
tuado entre dos espejos que forman 40° entre si es 9. III. Al situar un objeto entre dos espejos pía nos paralelos, el núm ero total de ímáge nes form adas es ouatro. a) FVF
66. U n espejo plano se'desplaza paralelam en te, respecto de un objeto una distancia de 4 cm. H allar la distancia que se des plaza la imagen. a) 1 cm
b) VVF d) V FF
c) VFV
b) 2 cm c) 4 cm d) 6 cm e) 8 cm
67. Un espejo cóncavo tiene un radio de R = 10 cm. La base del espejo tiene un ra dio de r=8 cm. Hallar: I. L a aberración esférica de) espejo. a) 3,0 cm b) 3,2 cm c) 3,4 cm d ) 3 ,6 c m e) 3,8 cm II. L a fracción que representa la aberración, respecto de la distancia focal.
e) FFV a) 0,60
64. R especto de la fotometría, indicar las proposiciones verdaderas o falsas: I. El flujo luminoso en todo él espacio de bido a una fuente de luz puntual de 10 candelas es 40tt lumen. II. La lum inancia (L) en el Sistema Interna cional se mide en candela/segundo. III. La fuente de luz dom éstica que tiene ma yor rendim iento es la lám para halógena. a) FV F
b) VVF d) V FF
c) VFV e) FFF
e) FFV
63. R especto de las lentes, indicar las propo siciones verdaderas (V) o falsas (F): I. L a lupa es un dispositivo constituido por una lente bicóncava. II. Para corregir la m iopía se utilizan las lentes m enisco convergente. III. La distancia focal equivalente de dos len tes en contacto de distancias focales f y 2f es 3f/2. a) FV F
b) VVF d) VFF
c) VFV e) FFV
65. Respecto de los espejos, indicar las pro posiciones verdaderas (V) o falsas (F): I. El aum ento de un espejo esférico, siem pre es m ayor que la unidad. II. El núm ero de imágenes de un objeto si
b) 0,62 d) 0,66
c )0 ,6 4 e) 0,68
68. U na sem iesfera com pacta de plástico de radio R=10 cm e índice de refracción n= 1,5 se utiliza com o lente. H allar la distan cia focal de esta lente, si el rayo de luz incide perpendicularm ente por el lado plano. a) 10 cm • b) 20 cm c) 30 cm d) 40 cm e) 50 cm 70. Cuando un objeto que está a 60 cm de un espejo cóncavo se acerca a este 10 cm, la distancia entre el objeto y su im a gen se hace cinco veces y m edio mayor. H allar la distancia focal (en cm).
Optica 1605 ************************************ *********************************** a) 36,0
b) 37,5 d) 42,5
7,5 cm separa dos medios de índices de refracción n i= l,3 3 y n2= l , 8. Hallar:
c) 40,0 e) 32,0
69. Se utiliza una lupa de f=3 cm. El centro óptico del ojo se hace coincidir con el fo co de la lupa y se exam ina con ella un objeto de 0,3 m m de altura. H allar el au m entó si la distancia m ínim a de visión es 34 cm. a) 6,0 b) 6,5 c) 7,0 d) 7,5 e) 8,0 71. U n anciano que sufre de presbicia puede leer colocando el periódico a 45 cm de los ojos. H allar la potencia (en dioptrías) de la lente que le perm ita al anciano leer a la distancia de 20 cm. a) 2,17
b) 2,37 d) 2,77
objeto (O) se ubica en el infinito. a) 28,12 b) 28,32 c) 28,52 d) 28,72 e) 28,92 II. L a distancia de la im agen (en cm), si el objeto (O) se ubica a 2,5 m del vértice V a) 31,19 b) 31,39 c) 31,59 d) 31,79 e) 31,99
c) 2,57 e) 2,97
72. U n a varilla transparente de índice de re fracción 1,5, tiene un extrem o plano y el otro, e n form a de sem iesfera convexa de radio 12 cm. Se ubica un pingüino sobre el eje de la varilla a 10 cm del extremo sem iesférico. Hallar: I. L a distancia de la prim era imagen.
III. L a distancia de la imagen (en cm), si el objeto se ubica a 12 cm del vértice V. a) 37,17 b) 37,37 c) 37,57 d) 37,77 e) 37,97 IV. L a distancia focal objeto (en cm). a) 21,02 b) 21,22 d) 21,62 e) 21,82
a ) 2 5 ,l c m b ) 2 5 ,3 c m t c )2 5 ,5 c m d) 25,7 cm ' e) 25,9 cm
c) 21,42
74.
La superficie esférica refractora de radio 7,5 cm separa dos m edios de índices de refracción n i= l,3 3 y n2- l , 8. Hallar:
I.
L a distancia de la im agen (en cm), si el objeto (O) se ubica en el infinito.
II. L a distancia de la segunda imagen. a) 43,0 cm b) 43,2 cm c) 43,4 cm d ) 4 3 ,6 c m e )4 3 ,8 c m III. L a distancia entre la imagen final y el pingüino. a) 6,0 cm b) 6,2 cm c) 6,4 cm d) 6,6 cm e) 6,8 cm rv . H allar el aum ento total. a) 1,11 d) 1,71
b) 1,31
c) 1,51 e) 1,91
73. La superficie esférica refractora de radio
a) 21,02 b) 21,22 c) 21,42 d) 21,62 e) 21,82
1606 Física++ •k'k'k'k&Ick'k'k'k'k'ifit'k'klt'kjt'k'k'kitjtif'kit'k'kJt'k'kieie'k'k'k'k’k'k'k'kltjt'kJeleis'k'k'kie'k'k'k'kltitJe'k'kit'k'k'k'k'/cIt'k'k'kjtjt'ft
II. L a distancia de la im agen (en cm ), si el objeto (O) se ubica a 2,5 m del vértice V
los índices de los m edios de incidencia y refracción, respectivam ente.
a) 23,18 b) 23,38 c) 23,58 d) 23,78 e) 23,98
81. ¿Q ué distancia focal tendrá una gotita de agua de radio 2 ‘mrn e índice de refrac ción 4/3?
III. La distancia de la imagen (en cm ), si el objeto se ubica a 12 cm del vértice V. a) 15,03 b) 15,23 c) 15,43 d) 15,63 e) 15,83 IV. La distancia focal objeto (en cm). a) 28,12 b) 28,32 c) 28,52 d) 28,72 e) 28,92 75. D em ostrar la fórm ula para espejos esféri eos: (l/o )+ (l/i) = 1/f, siendo "o", "i", "f" las distancias objeto, imagen y focal respectivam ente. 76. D em ostrar la fórm ula de aum ento, para espejos esféricos: A=-i/o, siendo"o", "i" las distancias objeto e imagen, respecti vam ente. 77. Probar que todos los rayos paralelos al e je de un espejo parabólico pasan por el foco después de la reflexión, indepen dientem ente de sus distancias al eje.
a) 1 mm
82. U na lente biconvexa delgada de índice de refracción 1,5 tiene una distancia fo cal de 50 cm en el aire, y 250 cuando es tá sum ergida en un líquido. H allar el ín dice de refracción del líquido. a) 1,16
b) 1,26 d) 1,46
c) 1,36 e) 1,56
83. Se tiene una lente plana convexa de dis tancia focal 30 cm e índice de refracción 1,5. Hallar: I. El radio de curvatura de la cara curva. a)1 2 c m b) 13 cm d) 15 cm e) 16 cm
c)1 4 c m
II, L a distancia focal, si la lente se sumer gue en bisulfuro de carbono de índice de refracción 1,68. a) 100 cm b )I2 0 c m c )1 4 0 c m d )1 6 0 cm e)1 8 0 c m
78. Si " x ," y " x 2" son las distancias del ob jeto y de su imagen, medidas desde el fo co de un espejo esférico, probar que la ecuación: l/o + l /i= l/f se transform a en la ecuación de N ewton: x 1»x2=f2.
b) 2 mm c) 3 mm d) 4 mm e) 5 mm
84. El objeto se sitúa a la distancia de 500 cm de la lente biconvexa de distancia fo cal +40 cm. La distancia focal de la lente bicóncava es -10 cm. Hallar:
79. Probar la fórm ula para superficies refrin gentes esféricas: n |/o+ n2/i=(n2-n 1)/r, sien do " n ¡" , " n 2" los índices de los medios de incidencia y refracción, y "r" el radio de la superficie de interfase. 80. Dem ostrar que la fórm ula de aumento, para superficies esféricas refringentes es: A =(ni/n2)(i/o), siendo"o", "i" las dis tancias objeto e imagen, y " n ^ ’, " n 2"
H I.
H
El aum ento de la lente biconvexa.
Optica
1607
************************************
a) 0,081 b) 0,083 c) 0,085 d) 0,087 e) 0,089 II. El aum ento de la lente bicóncava. a) 0,50 d) 0,56
b) 0,52 e) 0,58
c) 0,54
a) 4 cm
II. El aum ento que experim enta el tam año del pez. ’ a) 0,60
c) 0,045
IV. L a distancia (en cm) de la imagen final, respecto de la lente divergente. a) 4,51
b) 4,53 d) 4,57
b) 0,62 d) 0,66
III. El aum ento total del sistem a óptico. a) 0,041 b) 0,043 d) 0,047 e) 0,049
b) 5 cm c) 6 cm d) 7 cm e) 8 cm
c) 0,64 e) 0,68
87. L a esfera de vidrio con índice de refrac ción "n" y radio "r" tiene una araña si tuada a la distancia " r /n " del centro C. H allar la distancia (en cm) entre las imá genes observadas desde A y B, para n= 1,8 y r=12 cm
c) 4,55 e) 4,59
85. U n objeto pequeño se ubica frente a la esfera sólida de vidrio de radio R=10 cm e índice de refracción n = l,5 , cuya mitad está plateado. H allar la posición final de la imagen. a) 13,0
b) 13,3 d) 13,9
i
a )1 0 c m b) 15 cm c)2 0 c m d) 25 cm • e) 30 cm
c) 13,6 e) 14,2
88. A través de la cuña de ángulo pequeño " a " en el vértice e índice de refracción "n" pasa un rayo de luz que incide con un ángulo pequeño "0". H allar aproxim a dam ente el ángulo de desviación, para a= 2 °, n = l,68 y 0=3°.
86. El pez se encuentra a la distancia de d=7 cm del centro de la pecera de radio R -1 4 cm, que contiene agua de índice n=4/3. Hallar:
I.
L a distancia de la imagen, respecto del observador.
89. Sobre el prism a de índice de refracción n = l,6 y ángulo a= 5 °, incide luz am an lia o de longitud de onda X=5 800 A . Ha llar: (no=l)
1608
Fisica++
•k'kleltlfjgjcJt'ií'k&'k'k'k'kit'ititJe'kitjejt'it'ick'k'k-k'k'k-kidtltit ************************************ I.
El índice de refracción del prisma. a) 1,12
b) 1,22 d) 1,42
c) 1,32 e) 1,52
i II. E l ángulo de desviación mínima.
L.
El ángulo de desviación 5 del haz inri dente. a) 2,0°
b) 2,5° d) 3,5°
c) 3,0° e) 4,0°
o II. L a longitud de onda (en A ) de la luz al interior del prisma. a ) 3610
b ) 3615 c ) 3620 d) 3625 e) 3630
90. El prism a de índice de refracción n = l,7 se sumerge en un líquido. H allar el valor m áxim o del índice de refracción n0 del lí quido, para el cual, se produce reflexión total interna.
a) 10° 19' b) 10° 2 9 ' c )1 0 °3 9 ’ d) 10° 4 9 ' e) 10° 59' 92. H allar el índice de refracción de un pris m a de ángulo de refracción 50° que gene ra una desviación m ínim a de un rayo de luz de 35°. a) 1,51 d)
b) 1,53 1,57 e) 1,59
c) 1,55
93. Sobre la cara de un prism a incide un ra yo de luz con un ángulo igual al del án guio del prism a A=60°. Hallar: I. El ángulo de desviación m ínim a (Ómin). a) 30° d)
b) 37° 53° e) 60°
c )4 5 °
II. El índice de refracción del prisma. 4 5 ^
a) 1,33 d)
n
n0
b) 1,2 d) 1,4
c) 1,3 e) 1,5
91. El rayo de luz incide perpendicularm en te por la cara AB del prism a de ángulo de refracción 45°, y se refracta por la ca ra AC con un ángulo de 60°. Hallar: A
c) 1,53
94. U n prism a tiene un índice de refracción de 1,5 y un ángulo de 60°. Hallar: I. L a desviación de un rayo que incide con un ángulo de 40°.
y a) 1,1
b) 1,43 1,63 e) 1,73
a) 3 8 °0 7 '5 6 ” b )3 8 ° 2 7 '5 6 ” c) 3 8 °4 7 '5 6 ” d) 3 8 °6 7 '5 6 ” e) 3 8 °8 7 '5 6 ” II. El ángulo de desviación mínima. a) 37° 1 0 1 1 ” b) 37° 10'21” c) 37° 10'31” d ) 3 7 ° 1 0 '4 1 ” e) 37° 10 51” III. El ángulo de incidencia correspondiente al ángulo de desviación mínima. a) 55° 21 '1 7 ”
b) 55° 2 1 '3 7 ”
Optica ************************************ c) 55° 2 1 '57” d) 55° 21 '77” e) 55° 2 1 '9 7 ” 95. Se ubica un prism a de ángulo refringen te 58°, sim étricam ente con respecto a un haz de luz m onocrom ática incidente, des viéndose este un ángulo de 55°, al pasar por el prisma. H allar el índice de refrac ción del prisma.
1609 a) 11 lx
íl. La ilum inación vertical para 0=30°. a) 6,0 lx
III.
b) 2,15 d) 2,45
b) 6,5 lx c) 7,0 lx d) 7,5 lx e) 8,0 lx
La ilum inación total para 0=30°. a) 12 lx
a) 2,00
b) 12 Ix c) 13 lx d) 14 Ix e) 15 lx
c) 2,30
b) 13 lx c) 14 lx d) 15 lx e) 16 lx
e) 2,60 99.
96. ¿Bajo qué ángulo m áxim o puede incidir un rayo de luz monocrom ático sobre la cara de un prism a de ángulo 45° e índice de refracción 1,6, sin que se produzca la reflexión total al em erger?
I.
a) 10° 0 8 '2 7 ” b) 10° 1 8 '2 7 ” c) 10° 2 8 ' 27” d) 10° 3 8 '2 7 ” e) 10° 4 8 ' 27”
U na superficie circular de radio R=3 m está ilum inada por una bom billa de inten sidad constante 1=50 cd en todas las di recciones, situada a la altura de h=2 m sobre el centro de la plataform a, Hallar: L a ilum inación m áxim a (en lux) a) 10,5
b) 11,0 d) Í2,0
c) 11.5 e) 12,5
II. La ilum inación m ínim a (en lux). 97. Un haz de luz para rasando a lo largo de la cara lateral de un prism a triangular isósceles de índice 1,6. Si los rayos re fractados experim entan reflexión total en la segunda cara lateral, ¿Qué ángulo límite tiene el prism a? a) 77° 2 0 ' 52” b) 77° 2 1 '5 2 ” c) 77° 2 2 '5 2 ” ' d) 77° 2 3 '5 2 ” e) 77° 2 4 '5 2 ”
a) 2,13
b) 2,43 d) 3,03
c) 2,73 e) 3,33
100.Se tiene un proyector situado en el te cho de área A=0,04 tr f que ilumina con una intensidad de 1=100 cd en cualquier dirección una de área A =0,5 m2. L a me sa puede considerarse una superficie es pecular de factor de reflexión n=0,8. Ha llar:
98. U na superficie plana es ilum inada por u na fuente de luz puntual de intensidad constante 1=80 cd en todas las direccio nes, situada a la altura de h=2 m. Hallar:
_ _ b ___________ I.
L a ilum inación horizontal para 0=30°.
I.
La lum inancia de la fuente (en cd/m2) a) 1 4 3 1 7 b) 1 4 3 3 7 c) 14 357 d) 14 377 e) 14 397
1610 Física++ *************************************************************************
II. La lum inancia de la m esa (en cd/m 2) a) 300
b) 310 d) 330
c) 320
do a la fuente lum inosa esférica de inten sidad constante 1=100 cd.
e) 340
101.H allar el flujo luminoso (en lum en) de u na fuente de luz de longitud de onda X= 555 nm y potencia P=4 W. a) 2 712
a )l,5 m
b ) 2 ,0 m c) 2,5 m d) 3,0 m e) 3,5 m
103.En tres vértices de un tetraedro regular de lado a=2 m se ubican fuentes de luz de intensidad constante 1=40 Vó cd. Ha llar la ilum inación total en el cuarto vérfi ce. a) 40 lx
D a
..••'a
b) 2 722 c) 2 732 d ) 2 742 e ) 2 752
102.¿A qué altura sobre el centro del piso cuadrado de área A=25 m2 de una habita ción, deberá situarse un foco de luz, para que la ilum inación en los rincones sea la m ayor posible?
b) 45 Ix c) 50 lx d) 55 lx e) 60 lx
104.¿Q ué fracción representa la iluminación del foco de intensidad constante, en el punto P, respecto de la ilum inación m áxi ma.
a) 10tt
. b) 15ti d) 25 ti e) 30n
XI a) 21/50 d)
4m
vp
b) 27/125 c) 31/100 25/30 e) 34/150
lOS.Hallar el flujo luminoso (en lm) en la ca ra A BCD del cubo de lados a = l m, debí.
c) 20tc
106.Sobre el centro de una m esa redonda de diám etro D =2 m a una altura de h0= l m, está suspendida una lámpara de intensi dad 1=100 cd. H allar la variación porcen tual que experim enta la ilum inación en los bordes de la mesa, cuando la lámpara se eleva a una altura de h=2 m. a) 4 1 ,4 % b) 43,4 % c) 45,4 % d) 47,4 % e) 49,4 % 107.H allar la ilum inación (en klx) de la su perficie de la T ierra producida por los ra yos solares que inciden sobre ella ñor m alm ente. La lum inancia del Sol es B= 1,2.109 nt. Radio del Sol Rs=6 ,9 5 .1ÜS m. D istancia m edia Sol-Tierra d = l,5 .1 0 n m. b) 50
a) 40 d) 70
3m
.»c
B..s........... i ©=?
c) 60 e)
80
I08.E1 filam ento espiral de un foco eléctrico de intensidad 1=100 cd se encuentra den tro de un globo esférico de diámetro D= 10 dm. Hallar: I. El flujo luminoso (en klm) que em ite el foco. a) 1,06
b) 1,26 d) 1,66 e) 1,86
c) 1,46
II. La em itancia luminosa (en klm/m2) del foco.
Optica 1611 ************************************ ************************************ a) 10
b) 20 d)
40
c) 30 e) 50
III. La lum inancia (en kcd/m 2) del foco. a) 10,7 d)
b) 11,7 c) 12,7 13,7 e) 14,7
111.¿Q ué intensidad debe tener un foco que situado a la distancia de d]=90 cm de u na pantalla, produzca la m ism a ilumina ción que un foco de intensidad I2—32 cd, situado a la distancia de d2=60 cm, de di cha pantalla? a) 70 cm
109.E1 filamento en espiral de una lám para e léctrica de intensidad luminosa 1=100 cd se encuentra dentro de un globo de diá metro D =10 cm. El 10 % del flujo emití do por el filam ento incide sobre una pan talla. El coeficiente de reflexión de la luz en la superficie de pantalla de área A=0,25 m2 es p=0,8. Hallar: I. L a ilum inancía (en lx) de la pantalla. a) 500
b) 503 c) 506 d) 509 e) 512
II. L a em itancia lum inosa (en lm/m2) de la pantalla. a) 400 d)
b) 402 c )4 0 4 406 e) 408
III. L a lum inancia (en cd/m 2) de la pantalla. a) 120
b) 122 d)
126
112.Dos lám paras de'intensidades I]=5 cd y I2=20 cd están separadas una distancia de d=150 cm. ¿A qué distancia de la pri m era lám para, en un punto situado entre las lám paras, la ilum inación es la misma.
(1) a) 40 cm
«
H O .H allar el flujo luminoso a través de la superficie cuadrada de lados 2a= l m, de bido al foco de luz de intensidad constan te 1=90 cd, en todas las direcciones.
d
(2)
b) 45 cm c) 50 cm d )5 5 cm e)6 0 c m
113. L a eficiencia lum inosa de una lámpara de potencia 40 W y voltaje 110 V es de 11 lm/W. ¿A qué distancia la ilumina ción m áxim a es de 5 lx? b) \¡2 m
a) V3 m
d) y¡5 m
c) 124 e) 128
b) 72 cm c) 74 cm d) 76 cm e) 78 cm
c) V7 m
e) Vó m
114. Un cuerpo negro de área de superficie A =250 cm 2, se m antiene a la tem peratu ra constante de T=1000 °K. H allar la po tencia (en kW ) de radiación del cuerpo. a) 1,40
b) 1,42 c) 1,44 d) 1,46 e) 1,48
115.La luz de un foco de 100 W incide so bre urt espejo de área A=5 cm 2. Si el fo co está situado a d=2 m, sobre el centro del espejo, hallar la presión de radiación (en pP a) asum iendo que la luz incide norm alm ente sobre el espejo. a) 407T Im b) 45 tt lm c) 50rc Im d) 5571 lm e) 60n lm
a) 606
b) 626 d) 666
c) 646 e) 686
Fís¡ca++
1612
**************A*A******************************************************** S o lu c ió n : 0 5
SO L U C IO N A R IO S o l u c i ó n : 01
R epresentem os el objeto y su imagen.
• Representem os los rayos incidentes (R.i) y reflejado (R.r), antes y después del giro del espejo, siendo " 0 " el ángulo incidente. 1
ESPEJO
50 cm
50 c m
La distancia de Coco a su im agen es 100 cm y el tam año de su imagen es 1,5 cm S o lu c ió n : 02
• Las dos prim eras imágenes se forman a 2 m a la izquierda del espejo "1" y a 4 m a la derecha del espejo ”2", de modo que, la dis tancia entre ellas es de 12 cm.
P.i, P .f = posición inicial y final del espejo N .i, N .f = N orm ales antes y después del giro En la Fig., el ángulo " a " es 0-15°, de mo do que el ángulo entre los rayos reflejados antes (R.r), y después (R.r)f del giro del espe jo es:
p =(0+15°)- a P= (9+15°)-(e-15°)
S o lu c ió n : 0 3
* P = 30°
• En un espejo plano el radio de curvatura es infinito, por tanto, c).
©
S o lu c ió n : 0 6 S o lu c ió n : 0 4
• R epresentem os a José, el espejo y su imagen, respectivam ente. • Z.R
z .v
i Ja Fig., los triángulos A BC y ADE son se ajantes, de modo que: h _ d 17Ó _ 2 d
• Sean "0", los ángulos formados por el rayo incidente (R.i) con el espejo y el rayo reflejado, entonces, el R.r form a con el espe jo tam bién un ángulo "0 ".
=>
* h = 85 cm
Así, en la Fig., la suma de los ángulos de- be ser 180°, de m odo que: * 0 = 60' S o lu c ió n : 07
(F) L a altura se m antiene constante.
©
Optica 1613 ************************************************************************* (V) La altura en todo m omento es H. (V )L a im agen se aleja del espejo hacia la izquierda a una rapidez de 3 m/s, y del objeto a una rapidez de 6 m/s. ^
En la Fig., los triángulos OAB y NM B son sem ejantes, de m odo que: y _ H- a d “ » 2 d~~
Solución: 08 • El ángulo en radianes entre los espejos es 0 = 7T/ 4 , luego, el núm ero de imágenes form adas es: N =—
1 7 0 -1 0
* y = 80 cm
©
pg j N o ta
71 / 4 * N= 7
H -a
y =- 9
D
S o lu c ió n : 0 9
• Representem os al espejo, al pingüino y a sus imágenes.
1) Ve tres im ágenes. • 2) Dos im ágenes resultan de las reflexiones de los rayos en cada uno de los espejos. 3) La tercera im agen resulta cuando el rayo de luz se refleja sobre am bos espejos. S o lu c ió n : 10
• R epresentem os al espejo, a José y a su i m agen, respectivam ente.
El valor de "y" es independiente de la distancia "d" S o l u c i ó n : 11
• En todo espejo plano se cum ple que el ángulo de incidencia, es igual, al ángulo de reflexión:
En el triángulo ABC, la suma de los ángulos interiores es igual a 180°. 50° + (90° - a ) + (90 - P) = 180 a + p = 50°
( 1)
En el triángulo ACD, "0" es ángulo exte rior: 0 = 2 ( a + P) (2) D e ( I ) en (2), obtenem os el ángulo "O":
* 0 = 100°
®
S o lu c ió n : 12
• Sea "x" la altura m ínim a del espejo, pa ra la cual, Popi puede ver íntegram ente a Pi po.
F ís ic a + +
'/e-k'k'klt'k'k'k'k'klt'kjt'k'k'klt'kltlt'k'klf'k'k'k'k'ie'k'k'k'kltJe'k'kik'ie'k'k'k'k'kit'k'k'kie'k'k'ie'k'k'k'k-kltlt'itjt'k'k'k'k<Je'itje'kJt'k'k
y fo 1
N ••••••
MT h 1
El rayo luminoso (2) pasará a los ojos de Po pi, si Ja estatura d e P ipo tiene un 1im ite "h". En la Fig., los triángulos A BC y ED C son se m ejantes, de modo que:
* A plicando la ecuación de espejos:
i-i 1 — =— 3d 2d
7 ~ o
=> h = 1,2 m
i
_L-_L i
Los triángulos AFC y A M N son sem ejan tes, de modo que:
-4 5 _ 180
i
i = - 3 6 cm x h „ — = — => * x = 0, 8 m 2d 3d
<<:Como, i es (-), la im agen es virtual' * A plicando la ecuación del aumento:
S o l u c i ó n : 13
• En todo espejo plano la imagen y el ob je to tienen igual tam año y se encuentran e quidistantes con respecto al espejo.
A= —
=>
t .o
o
t.i 10
* t.i = 2 c m
....... * x .....
T
En la Fig., los triángulos AM N y A BC son sem ejantes, de m odo que: x _ 6 d “ 4d x = 1,5 m
180 ®
<<:Como, t.i es (+), la im agen es derecha>:> S o lu c ió n : 15
-3 d -
*
~
>m
l -2 d
-(-3 6 )
©
S o lu c ió n : 14
• Representem os el objeto, el espejo y la i m agen virtual.
• El único espejo esférico, que genera una im agen de mayor tam año que el objeto (A>1) es el espejo cóncavo.
Optica * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1615 V e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
O i= 2o
( 1)
Por dato, la distancia entre el objeto e ima gen es 30 cm, esto es: o + i = 30 cm
(2)
De (1) en (2), obtenem os la distancia objeto "o":
*
o = 10cm
©
Por dato, com o la im agen es invertida A(-), de modo que: A = —- = - 3 0
S o lu c ió n : 16
=> i = 3 o
(1)
• Representem os el objeto y su imagen. De otro lado, en la Fig., tenem os que: 1 - o = 28 cm
(2)
De (1) en (2), obtenem os la distancia objeto "o", así: o = 14 cm (3) Sustituyendo "o " en la ecuación de espejos, obtenem os "R ", así: El espejo cóncavo, es el único espejo esféri co, que dá un aum ento m ayor que la unidad (A>1), así: A. d . 2 o
i
J_ R ~ 30
* R = í2 0 c m
-6 0 ©
S o lu c ió n : 17
•
R ~ 14
42 ®
S o lu c ió n : 18
i = - 2 o = - 6 0 cm
f _ o
i
* R = 21cm
*
I - I I =>
I => A-_L J_ R ~ o
Representem os el objeto (o) y su imagen
• R epresentem os el espejo esférico cónca vo, el objeto y la pantalla. PANTALLA
1616 Física++ ************************************************************************* Aplicando la ecuación de espejos, tenemos
I-I i = J__I _L f
o
i
10
o
S o l u c i ó n : 21
• Representem os la cám ara, e! objeto y su imagen.
110
o = 1 1 cm
A = i i = d l » = . 10 © o
11
<<:La imagen es real, invertida y de mayor tamaño** S o lu c ió n : 19
• Representem os el espejo, los objetos y las imágenes.
En la Fig., por sem ejanza de triángulos: h _ 2 0,1
10
+ h = 0, 0 2 m S o lu c ió n : 21
• De la ecuación de lentes, calculem os la posición de la imagen, así:
I-I I - J _ I f " o Aplicando la ecuación de espejos, hallem os las distancias de las imágenes. * Para el prim er objeto: — = — + — => i, = +120 cm ( 1) 30 40 i, 1
i-> = - 6 0 cm
(2)
Luego, la distancia entre las im ágenes es: d = 120 + 60 *
d = 180cm
" =>
80 ” 40
i
i = - 80 cm
80 Luego, el aum ento (A) que experim enta la imagen es: A = — = — t.o o
* Para el segundo objeto: — = — + — => 30 20 i2
i
O í)
ti
-8 0 cm
20 mm
40 cm
* t.i = - 4 0 cm
©
1^1 Conclusiones 1) Com o i es (-) la imagen es virtual. 2) Com o t.i es (-) la imagen es invertida.
Optica 1617 ************************************************************************* S o lu c ió n : 22
• De la ecuación de lentes, calculem os la posición de la imagen.
D e la ecuación de aum ento, hallem os la re lación entre las distancias imagen-objeto:
i-I 1 => _L-i I f
o
i
10
i=
20 3
4
Imagen: V irtual, derecha y de mayor tam año que el objeto.
i
cm
-i A = — = 4 => i = - 4 o o
(I)
De la ecuación de lentes, hallem os la distan cia objeto (o):
Z.V (-)
i - I f
o
i i
10 =>
120
De la ecuación de aum ento, calculem os el ta maño de la imagen:
o
4o
o = 90 mm
4o
Luego, la distancia a la que se form a la ima gen es: * ¡ = - 4 (90) = -3 6 0 mm ( ¿ )
A= — = — t .o
ti
-(-2 0 /3 )
12 ” *
[5] N ota El signo (-) nos indica que la imagen es virtual.
o
4
t.i = 20 cm
®
S o lu c ió n : 2 4
• El objeto ubicado entre C2 y F de una lente convergente, produce una imagen vir tual, invertida, y de mayor tamaño.
Z.R (+)
Z . V (-)
S o lu c ió n : 23
• Este caso ocurre sólo cuando el objeto se encuentra entre el foco (F) y el centro óp tico (C).
D e la ecuación de aumento, hallem os la re lación entre las distancias objeto-imagen: A = — = -4 o
=>
i = 4o
1618 Fís¡ca++ ************************************************************************* D e la ecuación de lentes, hallem os la distan cia objeto (o):
_L-I _L 120 ” o 1
5
120
4o
=>
4o
I = M f 0,4
D e la ecuación de lentes, calculem os la dis tancia imagen: ’
©
I-I I
o = 150 mm
f
Luego, la distancia a la que se form a la ima gen es: i = (4 X I50) * i = 600 m m
©
=> f = 0 ,8m
o
ü = i 1,6 i
II.
=>
i ->
_L-I I 0,8 " 2
i
(« 1 ,3 m
©
<<:Com o i es (+) la imagen es real>:> D e la ecuación del fabricante de lentes, calculem os la distancia focal.
S o lu c ió n : 25
• D e la ecuación del fabricante de lentes, calculem os la distancia focal, así:
f
v
1
— = (n - 1)(—-------- ) f a R, r2
3,2
1 - = 0,05 f
=>
f = 2 0 cm
I - I f o
f = 3,2 m
=>
_L_i I 3, 2 " 2 ÍM . j , 3 m
¡
©
<<:Com o i es (-) la im agen es v irtu a l^ S o lu c ió n : 2 7
©
S o lu c ió n : 2 6
I.
i i
z ! 2 = > => 6 ,4 i
p = - = — - -2 f 20.10
-1
- 0,4 '
B
Luego, el poder dióptrico'de la lente es:
* P = 5m
=>
00
De la ecuación de lentes, calculem os la dis tancia imagen:
- = ( 1 , 5 - ! ) ( — - ( — )) f v 15 -3 0 1 3 _ = (0,5) (— ) f 30
4 /3
D e la ecuación del fabricante de lentes, calculem os la distancia focal.
I.
R epresentem os la lente divergente, el ob je to y su imagen.
Optica 1619 ************************************************************************* <<:L a im agen es virtual, derecha y de m enor tam año55 f II. D e la ecuación de lentes, calculem os la posición de la imagen:
_ L __L 1
n0
a
R¡
R /
- L =(— )(J-- L) 2 6 ,2
l
28
-2 8
- 0 ,2 “ 0,1 + i -3 _ 1
=>
1=
0,2
_ i - = (n -l)(— ) 26,2 m
0 ,2 " i n -1 =
20
i
3
©
cm
III. De la ecuación de aum ento, calculem os el tam año de la imagen:
12
* n * 1,53 S o lu c ió n : 3 0
• De la ecuación del fabricante de lentes, calculem os el radio "x", así:
A= — = — to o t i = d = M ¿3)
.14 26,2
1
^
2
0,1
n- n
f = ( n,o
1 -) (R. *4
1 -) R2
3
*
t i
=
8
m
D
m
S o lu c ió n : 2 8
• D e la ecuación del fabricante de lentes, calculem os la distancia focal:
18
= (
~
1,54 - 1 . A .)( 00 1
(0.54) ( i )
* x = 9,72 cm f
n0
I = (l z i í 3 f 4 /3
4
R2
) -x
©
S o lu c ió n : 31
• R epresentem os la lente convergente, el objeto y su im agen formada.
_l _ i -4 4
I = - l (_ !) = + ! f 4 2 8 * f = + 8cm
( d)
• D e la ecuación del fabricante de lentes, calculem os el índice de refracción " n " de la lente:
En la Fig., aplicando la ecuación lentes, teñe mos:
1620 Física++ ************************************************************************* f J__¿ 16 x
o
i 1 100- x
x 2 - 1 0 0 x + 1 600 = 0
®
* X| = 20 cm y x2 = 80 cm f^Ü Conclusión Existe dos posibilidades, en cada caso la imagen tendrá tam año diferente.
S o lu c ió n : 3 4
• Representem os la trayectoria del rayo de luz en el vidrio > agua.
S o lu c ió n : 3 2
• Im aginariam ente ubiquemos el objeto a la izquierda de la lente convergente, y apli quem os la ecuación del fabricante de lentes, para hallar la distancia focal:
t
n„
- = f
1
R,
Ro
1)-( - -------— ) 30 -6 0
Para el aire-vidrio, aplicando la ley de Sneil, tenemos: n aire sen 53° = n aguas e n a
*
(1)
f = +40 cm Para el vidrio-agua, aplicando la ley de
X o m o f es (+) la lente es convergente?>
Snell, tenemos:
nvidriosena =
S o lu c ió n : 33
• Calculem os el ángulo lím ite (último ra yo refractado):
(2)
agua 1sen
Igualando (1) con (2), obtenem os el valor del ángulo "0 ", así:
^vidrio s e n 0 = n a i r e s e n 9 O °
naire sen 53° = n aguasen 0 ( > / 2 ) s e n 0 = (1)(1)
0 X —) = (—)s e n 0
5
sen0 = —
2
=>
3
=>
se n 0 = -
5
0 = 45°
Si, 0 > 4 5 ° el rayo experim enta reflexión in tem a. Si, e < 4 5 ° el rayo experim enta refracción
* 0 = 37°
D
S o lu c ió n : 3 5
Aplicando la ley de Snell, obtenem os el ángu,0 |¡m¡te (L)_ as(.
Optica 1621 *************************************************************************
naguase n L = n aire sen 90°
nsen(90° - 0 ) = n aire sen 90°
4 3 - s e n L = (1)(1) => sen L = — 3 4
— COS0 = ( l ) ( l ) = >
COS 0 = 1
4
5 D
= 37°
* L = 48° S o lu c ió n : 3 8
S o lu c ió n : 3 6
• A plicando la ley de Snell, cuando el rayo de luz pasa del aire al vidrio:
• A plicando la ley de Snell, para la refrac ción aire-vidrio:
nairesena=nsen<
n aire sen 4 5 0 = n vidr¡0 s e n a
( 1)
A plicando la ley de Snell, cuando el rayo de luz pasa del vidrio al aire:
(1)
Aplicando la ley de Snell, para la refracción vidrio-vidrio:
HAZ
n vjdriosen(90° - a ) = n ^ e n O
(2)
(2) Igualando las ecuaciones (1) y (2), obtene mos: n aires e n a = n airese n P
Aplicando la ley de Snell, para la refracción . vidrio-aire:
(3)
n, sen 0 = n a¡r^sen90°
a = P 9
"Los rayos luminosos incidente y em ergente son paralelos*5-
Igualando las ecs.(2) y (3), tenemos: ncos0 = l
(4)
S o lu c ió n : 37
Representem os la trayectoria que descri be el rayo de luz incidente.
Sumando los cuadrados de las e c s.(l) y (4), obtenem os el índice (n), asi: 2
2
2
3
n (sen a + eos a ) = — * n=
©
S o lu c ió n : 3 9
A plicando la ley de Snell, cuando el rayo de luz pasa del vidrio al aire, así:
I) el ángulo crítico, se produce la reflexión in tem a.
Si
Física++
1622
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
n 2 se n L = n airesen90°
L < 45 l
^■senL = (1)(1)
= > . se n L = ^
L = 37 Por consiguiente, la reflexión total se produ ce cuando el ángulo de incidencia "0” es ma yor que el ángulo lírpite "L". II) Si el ángulo de incidencia es igual al án guio crítico, entonces el ángulo de retrae ción es igual a 90°.
0 > 37° S olución: 41 • R epresentem os la trayectoria que descrj be el rayo incidente.
III) Si el ángulo de incidencia es m enor que el ángulo crítico, entonces el rayo de luz e m erge del vidrio-aire, alejándose de la ñor mal.
A plicando la ley de Snell, a la refracción ai re-cristal: n airesen45° = n se n 0 S olución: 40 • D eterm inem os previam ente el ángulo lí m ite, para el cuál el rajra luminoso em erge tangencialm ente a la cara AB.
•J2 nsen0 = — 2
(1)
A plicando |a ley de Snell> a la refracción cristal-aire: psen(90° - 0 ) =
sen 90°
ncos0 = l
(2)
Sumando los cuadrados de las e c s.(l) y (2), obtenem os el índice (n), así: A plicando la ley de Snell, a la refracción m e dio 2-aire:
n 2 (sen20 + eos2 0) = ^ +1
Optica 1623 *************************************************************************
®
A plicando la ley de Snell, a la refracción ai re-vidrio:
S o lu c ió n : 42
n airesen53° = n s e n a
• Representem os el rayo de luz que sale del foco y se refracta sobre la interfase.
4 4 ( ! ) ( - ) = ( - ) sen a
a
37° y
=>
3 sena=-
({>= 16°
A plicando la ley de Snell, a la refracción vi drio-aire: n s e n a = n airesen(3 El últim o rayo luminoso que se refracta es a quel que su ángulo de incidencia es (L). Así, aplicando la ley de Snell, a la refracción lí quido-aire: n se n L = n airesen90° 5 —senL = (l)(l) 4
=>
(~ )(~ ) = (l)s e n p (1 = 53°
y
=>
senp = ^
\j/ = 16°
Luego, del triángulo ABC, deducim os que:
4 sen L = — 5
0 = <)>+ y * 0 = 32°
®
L = 53° S o lu c ió n : 4 4
En el triángulo rectángulo ABC, el cateto BC B C es el radio radío m áxim o del ppozo, o z a enl entonces R=8 m, luego la altura m áxim a (H) es: H = R ctg L = (8)(3 / 4) * R = 6m
•
D ebido al ángulo crítico "L ", de la semi
esf e m s 5 i0 em ergen los rayos que inciden so
bre la superficie interna con un ángulo me ñor o igual al ángulo límite.
©
S o lu c ió n : 4 3
• R epresentem os la trayectoria que descri be el rayo de luz incidente.
A plicando la ley de Snell, a la refracción vi drio-aire, obtenem os el ángulo límite, así: n sen L = n a;r. sen 90°
1624 Física++ ************************************************************************* 5 —se n L = (1)(1) 4
=>
4 senL= — 5
L = 53° De otro lado, de la Figura, encontram os que: a = 5 cm
y
b = 8 cm
Luego, el radio del círculo brillante es: * R = 6 cm S olución: 45 • Representem os la trayectoria que descri be el rayo de luz que em erge de la moneda.
¿Y qué sucede si m iram os la m oneda no verticalm ente, sino de un lado? En este caso veremos la m oneda no solamen te m ás arriba, sino tam bién desplazada. S olución: 46 • R epresentem os la trayectoria que descri be el rayo de luz que incide en el agua.
O B JE TO
A plicando la ley de Snell, a la refracción a gua-aire: .
A plicando la ley de Snell, obtenem os el án guio de refracción "0", así:
9
n a g u a s e n a = n a ir e s e n P
Com o "a " y "(3” son pequeños podem os ha
n airesen53° = n aguasen 0 (O (^ ) = (“ )se n 0
=>
senG = -^
cer las siguientes aproxim aciones: x x s e n a = tgct = — y s e n ( 3 = t g p = — H h Sustituyendo estas expresiones en la ecua ción inicial, obtenemos: ( f e = ( ') £ ) 3 H h
=>
h = 15 cm
lfe )(2 0 ) 4
0 = 37° En el AAOB, la suma de los ángulos inte riores debe ser igual a 1800, esto es: 30° + (90° + 37°) + (90° - p) = 180° P = 67° En el AACB, el triángulo exterior en el vér tice "B" es:
O ptica 1625 ************************************************************************* 2j3 = x + 90
•
Finalm ente, sustituyendo "(3", obtenem os el
Solución: 48 R epresentem os Ja trayectoria que descrj
be el rayo incidente,
valor del ángulo "x ", así: (2X 67) = x + 90° * x = 44°
®
Solución: 47 • R epresentem os la refracción que experi m enta el rayo de luz incidente, en cada una de las láminas de vidrio.
l \ \
^ , , . . . . . , D e la Figura, deducim os que los triángulos A B D y A C D son iguales. A plicando la ley de Snell, a la refracción que experim enta el rayo de luz en A.
ni
i c t i X i '-..
n aire s e n 20 = n sen l «2
fa N ^*
( I)2 se n 0 c o s9 = n s e n 0 é
\
K
n3
cos0 = — 2
■«4
Luego, en el triángulo ABD, obtenemos: A plicando la ley de Snell, a las diversas re fracciones que experim enta el rayo inciden te, tenemos;
x = d tg 0 = d
[ l - c o s 2 0] l/2 COS0
n s e n a = pj senctj* n jse n ctj = n 2 s e n a 2 n 2 s e n a 2 = n 3s e n a 3 n 3s e n a 3 = n s e n a 4 A plicando la propiedad transitiva a estas cua tro ecuaciones, obtenem os que: n sen a = n sen a 4 a =a4 <<:El rayo incidente es paralelo al rayo em ergente5"*
x = V n
n 2f 2 = ( ^ ) [ 4 - ( í ) 2r 4 /3 3 * x = 1,25 m
Solución: 49 • Representem os los rayos que forman el círculo de lu¿.
1626 F ísica+ + ************************************************************************* El últim o rayo luminoso que se refracta es aquel cuyo ángulo de incidencia es "L ". A plicando la ley de Snell, a la refracción líqui do-aire, tenemos: n sen L = n a¡re sen 90°
n sen L = (l)(l)
=>
sen L =
Luego, el radio del círculo ilum inado es: R = H tg L = H
R =
SenL sen L
H
1,5
yin2 - 1
\j ( 5 i 4 y - 1
+ R = 2m
Sean, no índice de refracción del m edio que rodea a la lente, y R t radio de la superficie de la lente, frente al objeto. U bicando el ob je to a la izquierda de la lente, tenem os que: Ri
y
R , = - 4 0 cm
Sustituyendo estos valores en la fórm ula del fabricante de lentes, obtenemos: ®
Solución: 50 • L a lente convergente, hace concurrir a los rayos refractados provenientes de rayos incidentes paralelos en un punto del plano focal. Todo rayo luminoso que pasa por el centro óptico (C), no experim enta desvia ción.
1 _ n ~ n0 / 1 f n0 R,
L) R2
7f “ ( ílT2 ^ x ”oo " 4- 4ñ0 ) f = - 1 6 0 cm <<;Com o f es (-) la lente es divergente** Solución: 52 • L a lente divergente, hace divergentes a los rayos refractados en la lente provenien tes de rayos paralelos. La prolongación de los rayos refractados, son concurrentes en un punto del plano focal.
El foco principal se encuentra en la intersec ción del plano focal y el eje principal (hori zontal). Solución: 51 • Representem os la lente sintética sumergí da en un líquido transparente.
O p tic a 1627 ************************************************************************* Todo rayo luminoso que pasa por el centro óptico (C), no experim enta desviación. El foco principal (F) se encuentra en la ínter sección del plano focal y el eje principal (ho rizontal), com o m uestra la Figura. Solución: 53 • D e la ecuación de aum ento para lentes, tenemos: A = — = -~ t.o o
=>
f2 = .n2(nz_n!) f i = ^ 7 ) ( l , 5 - l ) 2
I i
-6 0
o
A =— = - — t.o o
60
o
o
t.o = - ( - ) ( ! 5) = - ( ~ ) ( 3 0 ) i i
1
o
* o = 240 cm
E scribiendo la ecuación de lentes, para los casos, en el que el objeto se sitúa a 80 cm y 50 cm, tenemos: I_ J_ f " 80
Solución: 54 A plicando la ecuación del fabricante de lentes: I = n ~ no ( 1 f nG R {
1 i i=
L) R2 f ~ 50
Cuando la lente está ^sumergida en el m edio de índice nj.
=>
1_
1
i’
5i/ 4
] i = ______ f
50 (3 )
8 0 -f
Igualando (2) y (3), obtenem os la distancia focal (f) de la lente, así: 80f 80 —f
I "( R,
* f = 20 cm
( n '* - n ,/n l ( n - n 2) / n 2
é (# L > 5 50 - f ‘
100.2 f = 8 0 - f
D ividiendo estas dos últim as ecuaciones, ob tenemos:
l/f2
(2)
8 0 -T
R 2}
C uando la lente está sum ergida en el m edio de índice n2.
1/f j
I-I_ _ L i ~ f 80
80 f
5 ( R,
( 1)
i'= ( 5 /4 ) i
-o / 5
5__4
®
Solución: 55 • De la expresión del aum ento (A) de una lente, obtenem os la relación entre las distan cias im ágenes, así:
i = - ( — )o = — o 10 5
1 ___ ]_
=
(1 )(1 ,5 -1 ,7 )
* f2 -,1 2 ,7 5 cm
Sustituyendo "i" en la ecuación de lentes, o b ten em o s la distancia objeto, así: I - I f o
n 1(n - n 2)
•
©
Solución: 56 Representem os la lente plano cóncava,
F ísica+ +
1628
************************************************************************* rodeada de aire (n =l).
432 _ 1 6 f = 648 _ 2 7 f * f = 19,64 cm
®
II) D e la ecuación del fabricante de lentes, obtenem os el radio de curvatura de la lente bicóncava, así: Z. VIRTUAL
Z. REAL
U bicando el objeto a la izquierda de la lente, tenem os que: R l = oc
y
R2 = R = ?
Sustituyendo estos valores en la fórm ula del fabricante de lentes, obtenem os el radio de curvatura de la lente, así: 1 | 1 _ n - n 0 ^ 1____ 1_ o
i
n0
R,
- + — = (—— 1 0,4 1
R2
I ^ f
_ l L = (l^ Z Í)(J — - ) 19,64 1 -R R — — -(0 ,6 )(-) 19,64 R
* R = 0,1429 m = 14,29 cm
1 1 1 —+ — = — => o 24 f 1 2 o /3
1 1 + — = - => 27 f
24f o = --------24- f ,3 W 27f , o = (—)(---------) 2 2 7 -f
Igualando las dos últim as ecuaciones, obte nem os la distancia focal (f), así:
24f
24 - f
2
27 - f '
n0
Com o la lente es divergente, f=-19,64 cm, y -R i=R 2=R, tenemos:
)(- + -) oo R
Solución: 57 I) A plicando la ecuación del fabricante de lentes, a los casos en que el objeto se sitúa a las distancias o y 2o/3, respectivam ente, te nemos:
J — L) A R, R /
e z jíl x
* R » 23,57 cm
©
®
N ota Ri es negativo porque está en la zona virtual y R2 es positiva porque esta en la zo na real. Solución: 58 Falso, el m icroscopio es un instrumento form ado por dos lentes convergentes II) Falso, la presbicia es una deficiencia de la vista que consiste en que no se puede ver los objetos cercanos. Se corrige utili zando una lente plano-cóncavo. III) V erdadero, la aberración cromática transversal se presenta cuando la lente I)
O p tic a 1629 ************************************************************************* tiene diferentes distancias focales para distintas longitudes de onda. Solución: 59 V erdadero, en una lente divergente la i m agen siem pre es virtual. II. Falso, en una lente el foco principal pue de ser el foco objeto o imagen. III. F also, el astigm atism o es una aberración que ocurre para objetos localizados so bre el eje óptico de la lente. I.
Solución: 60 Falso, en los fenóm enos de interferencia difracción y polarización la luz se com porta com o onda. II. F also, no siem pre viaja en línea recta y su velocidad depende del m edio donde viaja, en el vació su valor es c=3.108 m/s III. V erdadero, la velocidad con la que viaja la luz en el agua es m enor que en el aire, pues, a mayor índice de refracción me ñor velocidad. (n=c/v) I.
Solución: 61 I. F also, la O ptica Física, estudia los fenó m enos luminosos, asum iendo que la na turaleza de la luz es ondulatoria. II. V erdadero, un sistema óptico se llama dióptrico, si estáir form ados sólo por su perfícies refractantes (lentes) III. V erdadero, un sistem a óptico se llam a ca taóptrico si están form ados sólo por su perfícies reflectantes (espejos). a) FV F
b) V V F d) V FF
c) VFV e) FFV
Solución: 62 V erdadero, el ángulo de desviación del rayo de luz incidente, depende del ángu lo de abertura del prisma. II. Falso, en Ja dispersión de Ja luz, el ángu lo de desviación m ínim a del am arillo es m enor que la del azul I.
III. Falso, si el ángulo de desviación mínima es 30° y el ángulo de abertura 60°, el án guio de incidencia es 45°. Solución: 63 ' Falso, la lupa es un dispositivo constituí do por una lente biconvexa o plano-con vexa. II. V erdadero, la miopía es una deficiencia de la vista que conáiste en que no se pue de ver los objetos lejanos. Se corrige uti fizando una lente m enisco convergente. III. F also, la distancia focal equivalente de dos lentes en contacto de distancias foca l e s f y 2 f e s 2f/3. I.
Solución: 64 V erdadero. El flujo luminoso en todo el espacio es: 3>=Lí2=(10)(47t)=407u Im. II. Falso, la lum inancia en el S.I. se mide en candela/m etro2. III. Falso, la fuente de luz doméstica que tie ne m ayor rendim iento es el fluorescente. I.
Solución: 65 Falso, el aum ento de un espejo esférico, puede ser mayor o m enor que la unidad. II. Falso, el núm ero de im ágenes de un obje to situado entre dos espejos que forman 40° entre si es n=(360/40)-l=8. III. Falso, al situar un objeto entre dos espe jo s planos paralelos, se form an infinitas imágenes. I.
Solución: 66 • R epresentem os las posiciones del objeto e im agen antes y después del desplazam ien to del espejo plano hacia la izquierda una distancia x.
1630 F ísica+ + ************************************************************************* r\ = 0,64 Solución: 68 • Representem os la trayectoria que descn be el rayo de luz, que incide perpendicular m ente al lado plano de la lente. De la Fig., la distancia que se desplaza la i m agen es: d = (o + x ) - i'= (o + x) - (o - x) d * 2 x = (2)(4) + d = 8 cm
©
Solución: 67 * La aberración esférica de un espejo es férico, se define com o la diferencia entre la distancia focal (f) para un rayo ( 1) cercano al eje del espejo, y la distancia focal ( f ) pa ra un rayo (2) cercano al borde, esto es:
E n la prim era refracción el rayo de luz no se desvía, en tanto, en la segunda refracción, a pilcam os la ecuación de lentes para superfi cíes esféricas: n
nc
o
i
n -n n AR
Evaluando esta expresión para o=co (el obje to se encuentra en el infinito), y n0= l (aire), obtenem os la distancia imagen, así:
15
1 _
1 ,5 -1
=>
i = 20 cm
® + i ~ 0X10) Luego, la distancia focal, m edida con respec to al centro de curvatura C de la semiesfera es: * f = R + i = 30 cm ©
2R
Af =
= 3,2 cm
Solución: 69 • A plicando la ecuación de espejos, a los II) La fracción que representa la aberración, casos en que las distancias objeto son 60 cm y 50 cm, respectivam ente, tenem os: respecto de la distancia focal es: (2 X 1 0 )
Af n=
Af R /2
1 5
60
1 1 _ f- - = — —> i f
. 60 f j —-------60- f
O p tic a 1631 ************************************************************************* l l l — +- = 50 i f
=>
i=
Recordem os que el aum ento de una Jupa, vie ne dado por:
50f 50- f
A _ 5 _ 24 f ” 8
©
* A
D e otro lado, por dato sabemos que la distan cia final entre el objeto e imagen, es 5/2 de la distancia inicial, esto es: o '- i '- - ( o - i )
=>
Solución: 71 • L a presbicia del anciano se corrige con una lente plano-cóncavo, así, de la ecuación de lentes, para una distancia im agen o distan cia del punto próxim o de i=-0,45 m, y distan cia objeto dada para una lectura normal de 0=0,20 m, obtenem os el inverso de la distan cia focal (f):
5i - 2 i'= 200
f
Sustituyendo en esta última ecuación las dis tancias imágenes iniciales (i) y final (i'), ob tenemos:
o
i
1
1
0,20
-0 ,4 5
0 , 4 5 - 0 ,2 0 (0,20X 0,45)
„ „ _r = 2 ,7 7 m
5J 0 L _ 2 J £ L = 200 60- f 50- f
Luego, la potencia que debe tener la lente que le perm ita leer norm alm ente al anciano es:
2 f 2 - 1 5 5 f + 3 000 = 0
* P = - = 2 ,7 7 m -i f
Las dos raíces de esta ecuación cuadrática son: f t = 3 7 ,5 c m
(si) y f2 = 4 0 ,0 c m * f = 37,5 cm
(no)
®
Solución: 70 • Representem os la lupa (lente convergen te) y el objeto e im agen formada.
H
©
N ota R ecuérdese que 1 dioptría—1 m '1.
Solución: 72 • Representem os Ja varilla transparente y el pingüino, situado a 10 cm del extrem o de recho. (n i= l aire, n2~ 1,5 varilla)
I) L a distancia de la prim era imagen, forma da por la superficie sem iesférica, obtenemos
1632 F ísica+ + ************************************************************************* de la ecuación para refringencia, así: n 1 , n2 o i 3 10
1,5
+ ----
‘’5 - '
i
n2 ~ nl R -
180
a
i = (1,5) (24)(' 0) (1 0 -2 4 )
12
cm = -2 5 ,7 cm
7 ^ E l signo (-) nos indica que la imagen está a la derecha del vértice V** II) L a prim era im agen es objeto para la re fracción en la superficie plana izquierda, por lo que, la nueva distancia objeto es: 180 460 o = i + ^ = ------+ 40 = ------cm 7 7 Aplicando la ecuación de refringencia esféri ca, para la refracción varilla-aire, obtenemos la distancia de la segunda imagen, así:
£2 + 2 i = n l ~ n 2 i'
o'
D el m ism o modo, el aum ento en la segunda refracción es: , = Ü 2 L = (3 ^ )(4 M nj o1 1 65,7
Luego, el aum ento total que experim enta el tam año de la im agen del pingüino es: A t = A 1A2 =1,71
Solución: 73 • Recordem os que la ecuación de refrin gencia en una superficie esférica, viene da do por: nl nn 22 __ n-> n 2 -- niT-11 ( 1) o i siendo, " n j ", "n 2 " los índices de refracción donde se encuentran el objeto y el m edio re fractado, respectivam ente, y "r" el radio de la superficie esférica. I) E valuando la ecuación (1), para el objeto situado en el infinito (o=oo), obtenemos: 1,33
R
co 1,5
®
1,8 _ 1 ,8 -1 ,3 3 i
7,5
1 _ 1 -1 ,5
4 6 0 /7
P ,8)(7,5)
r"
1 ,8 -1 ,3 3 í=
cm = -4 3 ,8 cm 21
<<:E1 signo (-) nos indica que la im agen esta a la derecha del extrem o izquierdo** III) De la Fig., la distancia entre el objeto y la im agen final es:
i = +28,72 cm
D
<<:E1 signo (+) nos indica que la im agen es real, y se sitúa en el foco im agen (fj) a la derecha del vértice V**
d = 1 0 - 3 ,8 = 6,2 cm IV) Según teoría, el aum ento de la prim era refracción es:
A] = a i = ( ^ n-i o
3 /2
Z
)=1>71 10
II) Evaluando la e c .(l), para o=250 cm, ob tenem os la distancia imagen, así:
O p tic a *************************************
1.33
1633 ************************************ 0 ,3 3 X 7 ^ ) _
1,8 _ 1 ,8 -1 ,3 3
250
i ”
(1,8X7,5X250) ( 0 ,4 7 ) ( 2 5 0 ) - (7,5 )0 ,3 3 ) i = +31,39 cm
<5>
1 ,8 -1 ,3 3
7,5
<<:E1 signo (+) nos indica que la imagen es real y se sitúa en el foco imagen, a la iz quierda del vértice V>:>
®
^ E l signo (+) nos indica que la im agen es real, y se sitúa a la derecha del vértice V>:> III) Evaluando la e c .(l), para o=12 cm, obte nem os la distancia imagen, así: 1.33
1,8 _ 1 ,8 -1 ,3 3
~12~
i
_ '
7,5
II) Evaluando la e c .(l), para n i= l,8 y n2= 1.33, o=250 cm y r=-7,5 cm (por estar sitúa do en la zona virtual), obtenem os la distan cia imagen, así:
(1,8)(7,5)(12) (0 ,4 7 )(1 2 )-(7 ,5 )(1 ,3 3 )
M'
i = -3 7 ,3 7 cm
®
<<:E1 signo (-) nos indica que la im agen es vir tual, y se sitúa a la izquierda del vértice V** IV) Según teoría, la distancia focal objeto se obtiene evaluando la e c .(l), para i=cc, así: 1.33
1,8 _ 1 ,8 -1 ,3 3 +
7,5*
f0 = +21,22 cm
®
^ E l signo (+) nos indica que el foco objeto (f0) se sitúa a la derecha del vértice V**
1,8
1,33
250
i
~
_ 1 ,3 3 -1 ,8 - 7 ,5
.
(1,33)(7,5)(250)
1
(0,47)(250) - (7,5)(1,8) i = +23,98 cm
©
<<:E1 signo (+) nos indica que la imagen es real, y se sitúa a la izquierda del vértice V>;> III) Evaluando la e c .(l), para ^ = 1 ,8 y n2= 1.33, o=12 cm y r=-7,5 cm (por estar sitúa do en la zona virtual), obtenem os la distan cia imagen, así: U 1,33 _ 1 ,3 3 -1 ,8
Solución: 74 I) Com o los rayos em ergen del m edio don de se encuentra el objeto (O), renom bram os n i= l,8 y n2- l,3 3 , luego, evaluando la ecua ción (1) del prob.(73), para o=oo y r=-7,5 cm obtenem os la distancia imagen, así: L8 qo
1,33 _ 1 ,3 3 -1 ,8 i
- 7 ,5
12 .^
i
~
- 7 ,5
(1,33)(7,5X12) (0 ,4 7 )(1 2 )- ( 7 , 5)(1,8) i = -1 5 ,2 3 cm
<<:E1 signo (-) nos indica que la im agen es virtual, y se sitúa a la derecha del vértice V
1634 Física+ + ************************************************************************* IV) Evaluando la e c .(l), para n i= l,8 y n2= 1,33, i=w y r=-7,5 cm (por estar situado en la zona virtual), obtenem os la distancia fo cal objeto (f0), así: 1,8
1,33
(1,8X7,5)
1 1 2 => - + - = o i r
1 ,3 3 -1 ,8 Así, queda dem ostrada la fórm ula para espe jos.
- 7 ,5 L =
Sustituyendo estas expresiones en la ec .(l), obtenemos;
= +28,72 cm
1 ,8 -1 ,3 3
<-íEl signo (+) nos indica que el foco objeto (F0) se sitúa a la izquierda del vértice V>5>
Solución: 76 • Considerem os un objeto situado frente a un espejo esférico cóncavo.
Solución: 75 • Considerem os un espejo esférico cónca vo, com o el mostrado en la Fig., y un rayo in cidente que corta al principal en P, y des pués de reflejarse en A corta al eje en Q.
Com o los triángulos rectángulos V A B y Vab son sem ejantes, y dado que la imagen esta invertida, tenemos: A -a b AB tg 0 i = — = — i o En los triángulos P A £ y CAQ, se cum ple las relaciones: p =
0j
+ $
y
a = Gj- + p
D e estas dos ecuaciones elim inando el ángu lo incidente"0¡", obtenemos: a +
0)
Ahora, asum iendo que la abertura del espejo cóncavo es pequeña, tal que a , p y 4» son muy pequem os, de modo que, podem os uti lizar las siguientes aproxim aciones: a « tg a = v ,
i
<|>«tg
o
p *tg P = ~
r
Ahora, recordem os que el aum ento de un es pejo esférico se define com o el cociente en tre el tam año de la imagen (ab) y objeto (AB), de m odo que: ab -i * A = ------= — AB o Solución: 77 • E n el triángulo rectángulo A B P, se cum pie: P = 20 D e otro lado, para ángulos de incidencia muy pequeños, en los triángulos rectángulos A BC y A BP, podem os hacer las siguientes a proximaciones:
O p tic a 1635 ************************************************************************* 0 ® tg 0 = r
y
X, = O - f
p « tg J 3 = ~ x
x2 = i - f Considerem os un espejo cóncavo de centro de curvatura C, y hagamos incidir un rayo paralelo al eje.
=>
=>
O = X] + f
i = x2 + f
♦
Sustituyendo " o " y " i" en la ecuación de es pejos, obtenem os la fórm ula de N ew ton, así: 1 +1=1 o i f f (X]
+f +
=o ,
f = o+i
x 2 + f ) = (xj
+
f)(x 2
+
f)
f xj + f x 2 + 2 f 2 = x¡ • x 2 + x 5f + x2f + f 2 + X j • x 2 •= f 2
Sustituyendo estas aproxim aciones en la e cuación inicial, obtenemos: h h —= 2 — x r
=>
r x =— 2
S olución: 79 • C onsiderem os una superficie esférica cóncava refringente, como el mostrado en la Fig., y un rayo incidente que corta al eje principal en P, y después de refractarse en A su prolongación corta al eje en Q.
Luego, el punto P es el foco objeto del espe jo , y (x) la distancia focal. S o lución: 78 • Considerem os un espejo esférico cónca vo, com o el mostrado en la Fig., en el que el objeto está situado a la izquierda del centro de curvatura C del espejo. Z.R (+)
Z .V (-)
En los triángulos rectángulos A BP, ABQ, ABC, y teniendo en cuenta ángulos de ¡nci dencia (0,) y refracción (0r) m uy pequeños, tenem os que: (j> a t g
a * t g a =
P « tg (3 = De la Fig., obtenem os las distancias objeto (o) y im agen (i) en función de X] y x2, así:
h -i
-r
A su vez, en los triángulos APC y AQC, se cum plen las relaciones:
1636 F ís¡ca+ + *************************************************************************
e¡ = 4>+|3 => e¿ = 3 0 r + a = p =>
0r = p - a
A plicando la ley de Snell en el punto de re fracción V, tenemos: n] se n 0 1 = n 2 se n 0 r i
Sustituyendo " 0 ^ y "0r" en la ley de Snell a
sen 0r
plicado al punto de refracción A, y conside rando las expresiones iniciales, obtenemos:
sen 0,
njsenO j = n 2 se n 0 r nj sen(P —<|>) = n 2 sen(p - a ) n¡ {P-
ÜL n2
E n los triángulos rectángulos AVB y aVb, para pequeños ángulos de incidencia y re fracción, podem os hacer las siguientes apro ximaciones: AB
=>
AB = otgG j « osenQ,
n 1(J .- n 2 a = (n 1- n 2)p h h h — ” 2 — = (nj - n 2) — o -i j -r n, n? n -> -n , * —'- + —¿- = —=----- L o i r Así, queda dem ostrada la fórm ula para la re fracción en superficies esféricas. I&¡ N ota Los signos de la distancia im agen (i) y radio (r) son negativos, por que están sitúa dos en la zona virtual. a
9
Solución: 80 • Considerem os una superficie esférica cóncava reffingente, com o el mostrado en la Fig., y un objeto situado a la izquierda del centro C.
( 1)
(2) ab tg 0 r = — i
=>
ab = itg 0 r a ise n 0 r
Sustituyendo (1) y (2) en la definición del aum ento del tam año de un objeto, obtene mos: ab is e n 0 r A = AB o sen 9: * A =
n, i n2 o
A sí, hem os dem ostrado la fórm ula del au m entó para superficies refringentes esféri cas. S o lución: 81 • R epresentem os la gotita de agua rodea da de aire de índice de refracción n i= l, y considerem os el objeto a la izquierda.
Z.R.(+)
Evaluando la ecuación del fabricante de leo tes, para R t=+2 mm, R 2=-2 mm, obtenemos
O p tic a 1637 ************************************************************************* la distancia focal, así: n i-n , f
(
)( r
i
Rí 5
I = (i / 5 z l x I _ ± ) = (I x 2 ) f 1 2 -2 3 2 f = +3 mm
©
I) E valuando la fórm ula del fabricante de lentes, para f=+30 cm; R2=oo, obtenem os el radio de la superficie curva, así:
( ^ 1
L -L ) Ri R2
± = (^ 30 1
( 1)
Evaluando la e c .(l) para el caso en que la lente este en aire n i= l, tenemos:
1 = 50
lx-
jjj
Evaluando la fórm ula del fabricante de
lentes, para n i= l,6 8 y R 2=c0, obtenem os la distancia focal de la lente, así:
r Evaluando la e c .(l), para el caso en que la lente este sum ergida en el m edio líquido de índice de refracción n,=n, tenemos: — = ( l i í — Ü .)(J-------L ) 250 n R, R2
50
1,5 - n
250
0,5n
->
0 ,ln = 1,5 - n
* n = 1,36
©
1
U 5 -W 8 1,68
± _ 1 15
f - -1 4 0 cm
co
©
El signo (-) nos indica que el foco de la lente se ubica a la izquierda del vértice V55 Solución: 84 • A plicando la ecuación de lentes, obtene mos la distancia de la im agen para la lente convergente: 1
Solución: 83 • Representem os la lente plana convexo, con el objeto a la derecha de la lente.
n-> - n i . , 1 L)( t — = " ) ( R, R-
f
(3)
Dividiendo la ec.(3) entre la ec.(4), obtene mos el índice "n", así:
©
30 R = — = +15 cm 2
( 2)
X ^ ) R, R-
)(I _ I ) R co
500
1 _J_
(40X500)
i ~ 40
5 0 0 -4 0
i = +43,48 cm
Fís¡ca++ 1638 ************************************************************************* D e modo que, el aum ento producido por la lente convergente es: i
43,48
o
500
J_
1,5 _ 1 ,5 -1
2R
w
i ~
R
Ai = — = -------— = -0 ,0 8 7
. 1,5 i = — = 00 O
<<:E1 signo (-) nos indica que la prim era imagen es invertida2*3*
La prim era im agen se form a en el infinito a la izquierda del vértice A de la esfera.
1
II) Com o la prim era imagen es objeto para la lente divergente, la distancia objeto es: o '= 4 3 ,48-35=8,48 cm, luego, de la ecuación de lentes, obtenem os la segunda distancia i m agen, así: 1
1
8,48
1
=>
i= -
(10)(8t48) 10 + 8,48
i' ” - 1 0 i'= -4 ,5 9 cm
D e m odo que, el aum ento producido por la lente divergente es: A, = 2
io’
= -
(-4 ,5 9 ) 8,48
© = +0,54
^ E I signo (+) nos indica que la segunda im agen es derecha2’5’ III) El aum ento total generado por el siste m a óptico es:
E sta im agen form ada en el infinito es el obje to para la reflexión en el espejo de vértice B, así, la distancia a la que se form a la segunda im agen es: 1 1 2 —+- = — co i R
E sta segunda im agen situada a la distancia de R/2 del vértice B, y 3R/2 del vértice A es objeto de la segunda refracción en la superfi cié curva izquierda, así: n 2 , n¡ _ nt - n 2 o
A = Ai A 2 = (-0 ,0 8 7 )(0 ,5 4 ) A = -0 ,0 4 7
®
R => i = + — 2
i
3 /2 3 R /2
r 1
1 -3 /2
i
-R
.+ - =
* i = -2 R
©
IV) L a segunda imagen se forma a la dere cha de la lente divergente a una distancia de 4,59 cm.
L a ¡magen es virtual, y se form a a la derecha del vértice A , a la distancia de 20 cm.
S olución: 85 • D e la ecuación de refringencia para su perfícies esféricas, obtenem os la distancia de la prim era imagen, así:
Solución: 86 I) Evaluando la ecuación de refracción pa ra superficies esféricas, con o=R/2, r=-R, ni =1 y n2=4/3, obtenemos:
n i t n 2 _ n 2 - n,
n2 , ni _ n i ~ n 2 o i r
o
i
r
********* **************************************************************** 4 /3
1
1 -4 /3
RV2
i
-R
3R
(3)(!4) ((n - l ) / n ) r
©
i = - 6 cm
1
n -1
El signo (-) nos indica que la im agen es vir tual, y se form a a la derecha del observador. II) De otro lado, el aum ento que experim en ta el tam año del objeto es:
n2 o
4 /3
1- n
i”
-r (2 n -l)
P (n - l)r =
2 n -l
(n -l)r )r
El signo (-) nos indica que la im agen es vir tual, y com o (n -l/2 n -l)< l la segunda ima gen se form a entre C y B.
7
A = 0,64
1
©
La imagen es derecha y de m enor tamaño. Solución: 87 I) L a distancia del objeto a la superficie curva izquierda es o= r+ r/n= (n+ l).r/n, luego, de la ecuación de refracción para superficies esférica, obtenem os la distancia imagen, así: ÜL + Ü2 _ o i
ül
r
1 1- n +- = ((n + l ) / n ) r i' -r
Luego, la distancia entre la prim era imagen I' y segunda imagen I” es: d = (n - l) r + (n - I)r/(2 n - 1) d _ 2 n (n —1)r = (2 )(¡,8 X 1 ,8 -1 )(I2 ) 2n - 1
(2 )(1 ,8 )- 1
* d = 12,29 cm 1
n -1
i'
r
(n + l)r
(n + l)r
i'= - ( n + l)r El signo (-) nos indica que la imagen es vir tual, y com o n > l, entonces Ja prim era ima gen se form a a la derecha de B. II) L a distancia del objeto a la superficie curva derecha es: o= r-r/n= (n-l).r/n, luego de la ecuación de refracción para superficies es férica, obtenem os la distancia imagen, así: tt]
n2
n117^ - n .
o
i
r
®
Solución: 88 • Representem os el rayo incidente (R.i) y el rayo refractado (R.r), los ángulos de inci dencia y refracción, respectivam ente.
1640 Física++ ****************** ********* ******** ************************************ Aplicando la ley de Snell a los puntos A y B, para "0 " , "r", "i" y " r 'M muy pequeños, tenemos: (l)s e n 0 = n s e n r
=> 0 = n r
(1)
n se n i = (l)s e n r’
=> i = r'
(2)
n sen a = n 0 s e n (a + 8) (l,6)(sen5°) = (l)sen(5° + 8 ) 5 -3 °
D e otro lado, en el triángulo ABC, se cum pie que: i+ r = a (3) En la Fig., la prim era (8 0 y segunda (52) des viación que experim enta el rayo incidente es: 8¡ = 0 - r y S2 = r '- i
II) D eduzcam os una expresión p ara la fre cuencia en función del índice de refracción, así: n - -
= —
(4)
Finalm ente, sustituyendo (1), (2) y (3) en (4) obtenemos: 8 = 0 + n ( a - —) - — - ( a - —) n n n 5 = (n - l ) a = (1,68 - 1)(2°) * 5 « 1 ,3 6 °
=>
f = —
v A hora, com o la frecuencia de la luz no cam bia al pasar del aire (n0) al vidrio (n), teñe m os que:
D e m odo que, la desviación total que experi m enta el rayo refractado (R.r), respecto del rayo incidente (R.i) es: S = Oj + 52 = 9 + r '- r - i
©
*.0 n 0 a. = ( ^ 0 n
Xn
= (-¡7X 5800 Á) 1,6
X = 3 625 A
©
Solución: 90 • R epresentem os las dos reflexiones tota les que ocurren al interior del prisma.
©
Solución: 89 • Representem os la trayectoria que des cribe el rayo de luz incidente. N.
a \
*
n«
S 'a i
a y -\A
X 1
E n la Fig., la reflexión interna total ocurre si el ángulo crítico es: a c = a = 45°. D e otro la
n.
I) A plicando la ley de Snell, a la refracción vidrio-aire, obtenem os el ángulo de desvia ción, así:
do, el ángulo de incidencia m áxim o (ángulo crítico) se produce cuando el ángulo de re fracción es 90°, luego, de la ley de Snell, ob tenem os el índice de refracción del líquido
O p tic a 1641 ************************************************************************* (nL), así:
viene dado por: n Lsen90° = n s e n a c
n _ sen((5m in + A )/2 ) se n (A /2 )
n L (1) = (1,7)(sen 45°) * n L = 1,202
®
sen((35° + 5 0 ° )/2 ) s e n (5 0 °/2 )
Solución: 91 • El rayo que incide perpendicularm ente en la cara AB del prism a sin cam biar de di rección incide sobre la cara A C, como se m uestra en la Fig. A
+ n = 1,59
©
Solución: 93 • Representem os el rayo incidente y re fractado en el prism a de ángulo refringente 60°.
I) A plicando la ley de Snell, en el punto de refracción P, obtenem os el índice de refrac ción del prisma, así:
I) El ángulo de desviación mínima, viene da do por:
n sen 45° = (1) sen 60°
6 m in= 2 i - A = ( 2 )( 6 0 ° )- 6 0 °
n = 1,22
.
®
II) D e la fórm ula de índice de refracción de un prism a, obtenem os el ángulo de desvia ción m ínim a (5min), así: n _ sen((5m in + A )/2 )
5m m = 6 0 °
®
II) El Índice de refracción del prism a, viene dado por: n _ sen((5tnin+ A ) / 2 se n (A /2 )
se n (A /2 ) sen((60° + 6 0 ° )/2 ) se n (6 0 °/2 )
l 2 2 - sen^ Smin + 4 5 ° ) /2 > s e n (4 5 ° /2 )
n = 1,73 * 5 min= 1 0 ° 3 9 ,6 '
•
©
Solución: 92 EJ índice de refracción de un prisma,
©
Solución: 94 • A plicando la ley de Snell en el punto A obtenem os el ángulo de refracción (r), así:
1642 F isica+ + ************************************************************************* sen i = n s e n r 8min = 3 7 ° 1 0 '5 1 ” r = sen- '( — sen 40°) = 25° 2 2'26" 1,5 En el triángulo ABC, la sum a de los ángulos de refracción (r) y (¡’) es 60°, de modo que:
©
III) El ángulo de incidencia que le corres ponde a este ángujo de desviación mínimo es: ¡ = f e „ + A ) = fe lO -5 1 " + 6 0 ° )
i = 60° - 25° 22’26" = 34° 3 7 '3 3 " Í = 55° 21*37"
®
S o lución: 95 • R epresentem os los rayos incidente y re fractado, y los ángulos incidente y refracta do. C
A plicando la ley de Snell en el punto B, ob tenem os el ángulo de refracción (r'), asi: n se n i'= se n r’ r'= sen- l (l,5 sen 3 4 °3 7 '3 3 ") En el triángulo ABC, la suma de los ángulos internos debe ser 180°, de m odo que:
r'= 58° 27'56" Luego, de la Figura, el ángulo de desviación que experim enta el rayo de luz es:
2a + 180° - 2
=>
6 = 8, + S2 = (i - r) 4 ( r '- i')
A plicando la ley de Snell en el punto A, ob tenem os el ángulo de incidencia, así:
8 = i + r '- A = 40° + 58° 27’ 5 6 " - 60°
se n 0 = nsen<|> = n s e n a
8 = 38° 27'56"
0 = sen -1( n s e n a )
®
H) Evaluando la fórm ula para el índice de refracción de un prism a, obtenem os el ángu lo de desviación mínima, así:
Sustituyendo esta expresión en el ángulo de desviación que experim enta el rayo inciden te, obtenem os el índice de refracción, así: 8 = 8 , + 8 2 = (0 - a ) + (0 - a )
n ^ sen((5min+ a ) /2 ) se n (A /2 ) 1 5 - sen((5m¡n + 6 0 ° ) /2 ) se n (6 0 °/2 )
8 = 20 - 2a
=
2s e n - '( n s e n a )
_ sen((S + 2a)/2) sen a
-
2a
O p tic a ***********************************
1643
n _ se n (((5 8 ° + (2 )(5 5 ° ))/2 ) * 0 = 10° 08 2 7 ”
se n (5 5 ° /2 ) + n = 2,15
©
S olución: 96 • R epresentem os los rayos incidentes y refractado y los ángulos de incidencia y re fracción en am bas caras del prisma.
©
S olu ció n : 97 • Representem os jos rayos incidentes y refractado y los ángulos de incidencia y re fracción en am bas caras del prisma.
En el triángulo A BC, se cum ple la relación:
=>
(1)
=>
<|) = sen(—) n
Sustituyendo "<()" en la ec.(l)«y despejando el ángulo de refracción "
<|>= 2 a - cp
A plicando la ley de Snell en el punto A, ob tenem os el ángulo de refracción "(p", así: sen90° = nsentp =>
A plicando en el punto B la ley de Snell, ob tenemos: nsen<|> = sen 90°
=>
tp = s e n - l (—) n
A plicando la ley de Snell en el punto B, y te niendo en cuanta las expresiones para "<()" y "q>", obtenem os el ángulo del prism a "2 a ", así: n sen
cp = 2 a - s e n “ , (—)
n
Finalm ente, aplicando la ley de Snell en el punto A, obtenem os el ángulo de incidencia "9", así: sen0 = nsen(p = n s e n ( 2 a - s e n _1(—)) n 0 = sen- , [ n s e n ( 2 a - s e n - , (~ ))] n
2 a = 2 se n ‘" 1(—) = (2)sen~ 5(” ) n 1,6 * 2 a = 7 7 ° 2 l '5 2 H
S olución: 98 I) La ilum inancia horizontal, viene dado por I eos3 0 Eh=^
0 = sen- l [l,6sen(45° - sen-1(-^-))] 1,6
®
^
(80)(cos3 30) =
E H = 12,99 Ix
? ©
1644 F ísica+ + ************************************************************************* II) L a ¡lum inancia vertical, viene dado por:
Ev =
Icos QsenQ _
Ev =
Luego, la ¡luminancia en el borde, obtene mos de la expresión:
h2
F = -^min
Icos3 e
(50)(cos3 56,31°)
t h 2
(8 0 )(c o s 2 3 0 o )(s e n 3 0 o )
E min = 21,3 lx E v = 7,5 lx
III) A su vez, la ílum inancia total, viene da do por:
Solución: 100 I) L a lum inancia de la fuente de luz, viene ^ ^
E = (E 2 + E 2V)1/2
® E = [12,992 + 7,52] 1/2 = 15 lx Solución: 99 • Representem os el foco y el circulo de radio R=2 m por debajo de el.
I
100
A sen a
0,04 sen 10°
L = 14397
H)Como la m esa no es superficie reflec tante perfecta la luminancia, viene dado por: L=
r) I
(0,8)(100)
A'sen(3
0 ,5sen30°
cd L = 320 — j
I) La ilum inancia m áxim a del foco es en el centro del circulo, esto es: lc o s30 (50)(cos3 0o) ------ Emcv = -----^— = -— h2 2
II) Com o la ilum inancia m ínim a es en el borde del círculo, prim ero hallam os el ángu lo "0” , así:
®
©
Solución: 101 • Com o 1 W de potencia radiante lumino sa de longitud de onda 555 nm equivale a 683 lm, entonces 4 W equivale a 2 732 lm. Solución: 102 * , R epresentem os el foco y el piso de la sala cuadrada de lado 5 m.
h le\
O p tic a * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
En la Fig., la expresión del coseno del ángu lo "0" es: cosO =
h
V ir + 2 5 /2 Sustituyendo eos 0 en la expresión de la ilu minación en un rincón (vértice) de la sala, tenemos: Icos 0
Ih (h 2 + 2 5 /2 ) 3/2
D erivando esta expresión respecto de "h ", e igualando a cero, obtenem os el valor de "h" para el cual, la ilum inación es m áxima, así:
b= V 3
1645
*
37* " ,^
- ( - ) 2f 2 = — a 2 J 3
A
h = [ a ^ a ) 2]> '2 = ^ a
c o se = - = — a 3 Luego, la ilum inación total en el punto P, de bido a los tres focos es: Et = 3 E = 3
IcosO
(3)(40V 6)(V 6/3) ^ = i [(h3 + — r 3 /2 dh 2 * E t = 60 lx
- h ( h 2 + — )“5 /2 (2h) 2 2 — = dh
.h 2 + 2 5 / 2 - 3 h 2 r ]=° (h" + 2 5 /2 )
©
o 25 5 2 h = — ■=> h = — = 2,5 m 2
2
Solución: 103 • • Representem os los tres focos, situados en tres vértices del tetraedro regular.
S o m ció n : 104 • L a ilum inación m áxim a se obtiene, cuando el punto P esta por debajo del foco (0=0°), esto es: E
=
- U
I
A su vez, la ilum inación en el punto P, viene ja d o por: IcosO 1(3/5) L = -----r— = ——r--1 = 3 1/125 Luego, la fracción que representa la ilumina ción en el punto P, respecto de la ilumina ción m áxim a es: 31/125 1/9
En el triángulo rectángulo, hallem os el cate to "b", la altura "h" y el coseno del ángulo "0", así:
* T) =
27 125
©
1646 F ísica+ + ************************************************************************* S olución: 105 • El ángulo sólido limitado por la cara A B C D del cubo, es igual, a 1/3 del ángulo sólido subtendido por el vértice del cubo, lo que, a su vez, es 1/8 del ángulo sólido total (4tt) que rodea al foco, de m odo que:
Sustituyendo, eos© = h /( h 2 + R 2)1/2, la ex presión anterior, queda así: hl (h 2 + R 2) 3/2 E valuando esta expresión para ho=l m y h=2 m , obtenemos:
4
o
O
....................... ;.,C
/7 j
I E„ = 0 (l2 + í2)3/2
\
®=?
i
0 \¡ y ~
23/2
21
21
(22 + 12)3/2
53/2
E = aj
1
Luego, el cam bio porcentual que experim en ta la ilum inación en el borde del círculo es:
.....r
AF
Luego, el flujo luminoso que pasa por la ca ra A BCD es: ' •
t1 = (— X ioo)
4 =(
I / 2 3/2 —2 1/53/2
3/1
X100)
>5/ 2
*
* q = 49,4 %
@
Solución: 107 • D e la expresión de lum iniscencia, obte nem os la intensidad lum inosa del Sol, así: B=
I
=>
I = 7TRcB
nR¡ Luego, la'ilum inación de la superficie de la T ierra, debido a los rayos solares es: Recordem os que la ilum inación de una fuen te de intensidad "I", a la distancia "d", viene dado por:
E=
Icos©
Icos3 ©
i _ ; t R |B d2
E=
d2
ít( 6 , 9 5 . 1Q8)2 ( 1, 2 . 109) ( 1, 5 . 1o11) 2
F ís ic a m o d e r n a
f ís ic a
A4CEECNA 1. F IS IC A M O D E R N A a) Definición Es una ram a de la física que estudia los procesos e interacciones que se produ cen a escala atómica, los com portam ien to s de las partículas que form an la ma teria y las fuerzas que las rigen. b) O rigen En el siglo diecinueve la física estaba conform ada por ciertas disciplinas llama das "clásicas", tales como: m ecánica, c§ lor, sonido, óptica y electrom agnetism o, con ninguna o poca relación entre ellas. • L a física m oderna com ienza a principios siglo XX, cuando la llam ada Física C lási ca no pudo explicar la fenom enología de la radiación del cuerpo negro, y es M ax Planck, quien introduciendo el nuevo concepto de "cuanto" de energía, logra explicar el m ecanism o de la radiación del cuerpo negro^ dando lugar, al naci m iento de u na nueva rama de la física llam ada F ísica M oderna o F ísica Cuánti ca, la cual, estudia las m anifestaciones que se producen en los átom os, los com prtam ientos de las partículas que forman la m ateria y las fuerzas que las rigen.
© © © © © © © © ©e L a teoría de la Física C lásica no pudo
1M7
explicar, los procesos, fenóm enos o efec tos físicos, tales com o la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, etc, por que estos se basan en certezas, en tanto, la F ísica Pvíodema en probabilida des. c ) Misión L a m isión de la Física M oderna, es com prender la relación que existe entre las tuerzas que rigen la naturaleza: la grave dad, el electrom agnetism o, la energía nu clear fuerte y la nuclear débil. Entender y lograr una teoría de unificación, para a sí poder com prender el universo y sus partículas. d ) Acontecim ientos L os principales acontecim ientos que d¡§ ron lugar al desarrollo y la form ación de la teoría de la F ísica M oderna son: • En 1911 se descubre la Superconduetívi dad, propiedad de algunos m etales que pierden su resistencia eléctrica a tem pe raturas cercanas al cero absoluto, dando paso al desarrollo de nuevos materiales, • Tal com o Einstein propuso la dualidad onda^partícula de la luz, en 1927 se prug ba que la m ateria tam bién puede com por tarse com o partícula y com o onda. L a e cuación de Schródinger, que describe la naturaleza de onda de la m ateria, es una de las piedras angulares de la M ecánica Cuántica. • En el ám bito de la astronom ía se confir m a la expansión del universo. Flasta el prim er cuarto del siglo XX, se pensaba que el universo era estático, pero en 1929 Edw in H ubble dem uestra que las galaxias se están alejando unas de otras, lo que significa que el universo se expan de. Así tam bién se propone la teoría del B íg Bang, que señala que el universo se inició a partir de un evento único, en con
1648 F ísica+ + ********************************************************************************************** traposición a la idea que siem pre ha esta do ahí. Se descubren los quasares y los pulsares y se form ula la existencia de los agujeros negros, objetos con una densi dad tan alta que ni la luz escapa a la a tracción del agujero negro. Canal s
•
Canal t
Las nuevas teorías de la década de los 60 com ienzan a predecir la existencia de partículas elem entales de las que está for m ada la m ateria. D el nivel atóm ico se pa sa al subatóm ico, los protones y neutro nes están com puestos por “quarks” , una de las familias de partículas, cuyo último integrante, <
e) Aplicaciones A lgunas de las aplicaciones tecnológicas basadas o fundam entadas en la teoría de la Física M oderna,9 son: •
com unicaciones utilizadas en los viajes al espacio, los telescopios de últim a ge neración utilizadas en la investigación es telar, el Internet, los dispositivos que se utilizan en las investigaciones de la físi ca de partículas de altas energías, e tc ... f)
D isciplinas A lgunas de las disciplinas que form an la teoría de la F ísica M oderna son: la M eca nica C uántica, la E lectrodinám ica Cuán tica, la A strofísica, la Física N uclear, la Física A tóm ica, la Física de Partículas de A ltas Energías, la M ecánica Estadístj ca, e tc ....
g) Futuro de la Física M oderna M uchas de las leyes y teorías de la Fí sica C lásica desarrollada en el siglo XIX fue puesto en duda y al final fue reempla zado durante el siglo XX, por las nuevas teorías desarrolladas p o r investigaciones com plejas dentro del m arco de la Física M oderna, por lo que, es m uy posible gue la Física M oderna de hoy, sea m añana la Física Clásica. Tam bién, debemos m encionar que la Física Clásica, seguirá utilizándose para explicar y predecir fe nóm enos a escala terrestre (macroscópi ca) y del Sistem a Solar. 2. R A D IA C IO N D E L C U E R P O N E G R O
La invención del televisor, los rayos-X, el radar, la fibra óptica, el com putador, los nuevos m ateriales que se utilizan en la nanoelectrónica, los equipos de reso nancia m agnética y nuclear, que se utili zan en la m edicina, los dispositivos de
a) Radiación Se llam a así a la em isión de energía o partículas que, a diferencia de la convec ción, no necesita ser transportada por ningún fluido, razón por la cual, el me dio de propagación de la energía se da través del vacío o de un m edio diferente del vació. b) C u e rp o negro Se llam a así al cuerpo u objeto teórico o ideal que absorbe to d a la luz y toda la e
F ísic a m o d e r n a i e 4g *********************************************************************************************** nergía radiante que incide sobre él. N ada de la radiación incidente se refleja o pa sa a través del cuerpo negro. A pesar de su nombre, el cuerpo negro em ite luz y constituye un modelo ideal físico para el estudio de la em isión de radiación e lectrom agnética. L a luz em itida por un cuerpo negro se llam a radiación de cuer po negro. E n la naturaleza no existen cuerpos negros perfectos, pero resulta su m ám ente útil para los astrónomos, dado que este concepto puede ser aplicado al estudio de la em isión de luz por parte de las estrellas.
tal de m enor energía. Tam bién, un áto m o puede absorber radiación cuando u no de sus electrones gana energía, pasan do a un orbital de m ayor energía. El mo vim iento de los átom os en un objeto pro duce choques o vibraciones que estimu lan la em isión y absorción de radiación. U n aum ento en la tem peratura de un ob je to representa un,aum ento de la energía cinética de m ovim iento de sus átomos. e) M odelo de cuerpo negro
c ) El cue rp o m ás negro. L a sustancia que m enos refleja la luz (en otras palabras, la sustancia más negra) es una aleación de fósforo y níquel, con fórm ula quím ica NiP. Esta sustancia ñie producida, en principio, por investigado res hindúes y estadounidenses en 1980, pero perfeccionada (fabricada más oscu ra) en 1990. E sta sustancia refleja tan só lo el 0,16 % de la luz visible; es decir, 25 veces m enos que la pintura negra con vencional. • En el año 2008 fue publicado un artículo con resultados experim entales acerca de un material creado con nanotubos de Car bono que es el más absorbente creado por el hombre, con una reflectancia de 0,045 %. d ) ¿ P o r qué radian los cuerpos? Todo cuerpo em ite energía en form a de ondas electrom agnéticas, siendo esta ra diación, que se em ite incluso en el vacío tanto más intensa cuando más elevada es la tem peratura del cuerpo. Los cuerpos radian, por que están form ados por áto mos, los cuales, pueden em itir radiación (en form a de luz) cuando uno de sus elec trones pierde energía, pasando a un orbj
Es una cavidad cuyas paredes están a u na cierta tem peratura. L os átomos que com ponen las paredes em iten radiación electrom agnética y al m ism o tiem po ab sorben la radiación em itida por otros áto m os de las paredes. Cuando la radiación encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los átom os de las pare des, la cantidad de energía que emiten los átom os en la unidad de tiempo es i gual a la que absorben. En consecuencia, la densidad de energía del campo electro m agnético existente en la cavidad es constante.
•
A cada frecuencia corresponde una den
1650
F ísica+ +
***********************************************************************************************
•
f)
sidad de energía (energía por unidad de volum en) que depende solam ente de la tem peratura de las paredes y es indepen diente del material del que están hechas. Si se abre un pequeño agujero en el r e d píente, parte de la radiación se escapa y se puede analizar. El agujero se ve muy brillante cuando el cuerpo está a alta tem peratura, y se ve com pletam ente negro a bajas tem peraturas. La explicación por M ax Planck del m ecanism o que hace que los átom os radiantes produzca la dis tribución de energía observada, dio lu gar al nacim iento de la M ecánica Cuán tica. Catástrofe ultravioleta Cuando un cuerpo es calentado em ite ra diación electrom agnética en un amplio rango de frecuencias. A fines del siglo XIX fue posible m edir la radiación de un cuerpo negro con m ucha precisión. La in tensidad de esta radiación puede ser cal culada utilizando las leyes del electro magnetism o. El problem a de principios del siglo X X consistía en que si bien el espectro teórico y los resultados experi mentales coincidían para bajas frecuen cias (infrarrojo), estos diferían radical mente a altas frecuencias. Este problem a era conocido con el nom bre de K
x La línea puntuada corresponde al mode lo clásico de la intensidad de radiación
•
en función de la longitud de onda. Q uien logró explicar este fenóm eno fue M ax Planck, en 1900, que debió para e lio sacrificar los conceptos básicos de la concepción ondulatoria de la radiación e lectrom agnética. Para resolver la catás trofe era necesario aceptar que la radia ción no es em itida de m anera continua si no en cuantos d,e energía discreta, a los que llam am os fotones. L a energía de es tos cuantos E = hu es proporcional a su frecuencia (v) y a la llam ada constante de Planck, h=6,6.10‘34 J.s, una de las constantes fundam entales de la Física M oderna. Cuando la frecuencia de la ra diación es baja el efecto de la discretiza ción se vuelve despreciable debido al mi núsculo valor de la constante de Planck, y es perfectam ente posible pensar el sis tem a com o continuo, tal com o lo hace el electrom agnetism o clásico. Sin em bargo a frecuencias altas el efecto se vuelve no table.
g ) Postulados de Max Planck L os postulados que planteo M ax Planck en el año 1900, y que le perm itieron ex plicar el m ecanism o de radiación del cuerpo negro son: 1) L a radiación dentro de la cavidad está en equilibrio con los átom os de las paredes que se com portan com o osciladores ar m ónicos de frecuencia dada "v" . 2) C ada oscilador puede absorber o emitir energía de la radiación en una cantidad proporcional a "v". C uando un oscila dor absorbe o em ite radiación electro m agnética, su energía aum enta o dismi nuye en una cantidad hv . Es decir, la e nergía de los osciladores está cuantiza da, por lo que los osciladores solo pue den tener energías iguales a: 0, hv, 2hv, 3 h v ,...
F ís ic a m o d e r n a
1g51
**********************************************************************************************
h) Ley de Kirchoff R e = | a v r* dv o
dWrad
j)
Esta ley establece que: la energía radia d a en la unidad de tiem po y unidad de á rea de la superficie del cuerpo para fre cuencias entre ( v ) y ( v + d v ), es igual, a la energía absorbida en la unidad de tiem po y área, esto es:
•
dWrad = d W abs • rv dv = a v ~ p(v, T)
Ley de Steffan-Boltzm ann Establece que la em itancia energética del cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su tem peratura abso luta, esto es:
siendo, a = 5,67.10'8 W/m2.°K la cons tante de Steffan-Boltzm ann, y (T) la tem peratura absoluta (°K). E sta ley se deduce a partir de los méto dos de la term odinám ica para la radia ción en equilibrio en una cavidad cerra da. Para un cuerpo real la ley de SteffanBoltzm ann, se expresa así: Re = o k T 4, 0 < k < 1 siendo, ( R J un núm ero fraccionario. L a representación gráfica de la depen dencia de la em isividad del cuerpo negro
La razón del poder em isivo del cuerpo a su poder absorbente no depende de la na turaleza del cuerpo y es igual a la emi * * sividad del cuerpo negro (rv) para los
r* (r* ) respecto de la frecuencia v (ó X ) para varios valores constantes de la tem peratura, hallada experim entalm ente es:
m ism os valores de la tem peratura y fre cuencia. i)
Función de Kirchoff Se llam a así, a la dependencia que pre senta (r*) respecto a ( v ) y (T), esto es: r* = f ( v , T ) = ^ p(v, T)
•
D e la ley de K irchoff se sigue que la emi tancia energética de un cuerpo, es decir, la energía em itida por unidad de área y tiem po es:
•
En la región de las frecuencias peque
1652
F ísica+ +
**********************************************************************************************
ñas, r,
v T , y en las frecuencias gran 3
des, rv « v J e x p f - a s v / T ] , siendo as un factor constante. El cuerpo negro casi no radia en las re giones de frecuencias muy pequeñas y muy grandes.
A m edida que aum enta la tem peratura del cuerpo, el m áxim o de rv se desplaza hacia el lado de las frecuencias mayores, de acuerdo con la ley: = b ,T
color de la radiación cuando varía la tem peratura de la fuente em isora, y ayuda a entender cómo varían los colores aparen tes de los cuerpos negros, así: 1) L os objetos con una mayor tem peratura em iten la m ayoría de su radiación en Ion gitudes de onda más cortas; por lo tanto aparecerán ser m ás azules. 1) Los objetos con m enor tem peratura emi ten la mayoría de su radiación en longi tudes de onda más largas; por lo tanto a parecerán ser m ás rojos. • A dem ás, en cualquiera de las longitudes de onda, el objeto más caliente irradia m ás (es más lum inoso) que el de m enor tem peratura. • L a ley de W ien se utiliza para determ i nar las tem peraturas de las estrellas a par tir de los análisis de su radiación. Puede utilizarse tam bién para representar las va nacio n es de tem peraturas en diferentes regiones de la superficie de un objeto, lo que constituye una term ografla. 0
siendo, (u m) la frecuencia correspondien
Desplazam iento de W ien A m edida que aum enta la tem peratura del cuerpo, el m áxim o de r¿ se desplaza
*
hacia el lado de las longitudes de onda m enores, según la relación:
te al m áxim o de rv para la tem peratura (T), y (bs) un factor constante. k) Ley de Wien
•
• A:
Cuerpo caliente B: Cuerpo frió
siendo, b= 2,9.10'3 m.°K la constante de Wien. Del m ism o m odo, a m edida que descien de la tem peratura de los cuerpos calien tes, en su espacio predom ina cada vez con más intensidad la radiación de las ondas largas. L os valores Xm y o m no se relacionan me diante la fórm ula X.=c/u, pues, los máxi m os de rv y r^ están en distintas partes
L a ley de W ien explica cómo cam bia el
del espectro.
F ís ic a moderna 1653 ********************************************************************************************** m ) Fórm ula de W ien Todos los intentos de fundam entar teóri
cualquier sistem a puede variar continua mente, es decir, puede adquirir cuales quiera valores próxim os, es decir:
cam ente la función de K irchoff rv = f(v ,T ) en la física clásica hallada experi m entalm ente y representada anteriormen te fueron inútiles. Así, a partir de meto dos de la term odinám ica W ien obtuvo la siguiente fórmula: * 3 V U = v cp (-)
siendo, cp(o/T) una función desconocida dependiente de u/T. n) Fórm ula de R ayleigh-Jean Rayleigh y Jean basándose en las leyes de la electrodinám ica y la física estadís tica clásica sobre la equiparación de la e nergía según los grados de libertad del sistem a en equilibrio obtuvieron la fór muía:
•
siendo, (k) la constante de Bolztm ann. E stá fórm ula se ajusta a los datos expe rim entales únicam ente para pequeñas fre cuencias. * Se deduce una conclusión absurda, se gún la cual, para cualquier tem peratura, la em itancia energética del cuerpo negro
•
•
, A_ E(V)
•
2n v 2
•
de K irchoff rv está relacionada con uno de los principios fundam entales de la fí sica clásica, según el cual la energía de
h v eb v /k T
L a fórm ula de Planck para el poder emj sivo del cuerpo negro, viene dado por:
R* y la densidad volum étrica de la ener gía de radiación en equilibrio son infíni tam ente grandes, a este resultado absur do se le conoce con el nom bre de <
siendo, h= 6,625.10'34 J.s la constante de Planck (cuanto elem ental de acción) En correspondencia con esto, la absor ción y radiación de energía p o r las partí culas del cuerpo em isor (átom os, mole culas o iones) que intercam bian energía con los osciladores de energía, se debe e fectuar de form a discontinua, a porcio nes. L a energía m edia de un oscilador de ra diación, viene dado por:
*
h v
E sta fórm ula concuerda con los resulta dos experim entales de m edición de la distribución de la energía en el espectro del cuerpo negro a distintas tem peratu ras. El valor num érico de la constante de
1654
F ís¡ca+ +
**********************************************************************************************
Planck se puede calcular conociendo los valores de la constante d e B oltzm an "k" la constante de Steffan-Boltzm an "
p) A plicaciones A lgunas de las aplicaciones de la radia ción del cuerpo negro, son: 1) En astronom ía, las estrellas se estudian en m uchas ocasiones com o cuerpos ne gros, aunque esta es una aproxim ación muy m ala para el estudio de sus fotosfe ras. 2) L a radiación cósm ica de fondo de micro ondas proveniente del Big B ang se com porta com o un cuerpo negro casi ideal. 3) L a radiación de H aw king es la radiación de cuerpo negro em itida por agujeros ne gros. 4) M ediante las cám aras term ográficas se m ide la tem peratura de los cuerpos y sustancias a grandes distancias. 5) Perm ite verificar el estado de funciona miento de los dispositivos, m ecánicos, e léctricos, electrónicos, eUf... 6) Se utilizan en el control de los procesos de fabricación antes y después de la la m inación de las células fotovoltaicas. 7) Se utilizan en la detección, prevención y control de los incendios. 8) Se utiliza en el control de la calidad en la fabricación de dispositivos eléctricos, electrónicos, etc.,. q ) N anotubos En quím ica, se denom inan nanotubos a estructuras tubulares cuyo diám etro es del orden del nanóm etro (10'9 m). Exis ten nanotubos de m uchos m ateriales, ta les com o silicio o nitruro de boro pero,
•
r)
generalm ente, el térm ino se aplica a los nanotubos d e carbono. L os nanotubos de carbono son una for m a alotrópica del carbono, com o el dia mante, el grafitd o los fulerenos. Su es tructura puede considerarse procedente de una lám ina de grafito enrolladas so bre sí misma. D ependiendo del grado de enrollam iento, y la m anera com o se con form a la lám ina original, el resultado puede llevar a nanotubos de distinto diá metro y geom etría interna. N anotecnología L a nanotecnología es un cam po de las ciencias aplicadas dedicado al control y m anipulación de la m ateria a una escala m enor que un m icróm etro, es decir, a m vel de átom os y m oléculas (nanom ateria les). Lo m ás habitual es que tal manipu lación se produzca en un rango de entre uno y cien nanóm etros. Para hacerse una idea de lo pequeño que puede ser un na nobot, más o m enos un nanobot de 50 nm tiene el tam año de 5 capas de molécu las o átom os (depende de qué esté hecho el nanobot).
3. R E L A T IV ID A D a) Principio de relatividad Es un principio general sobre la forma que debe tom ar una teoría física. Usual m ente los principios de relatividad esta blecen equivalencias entre observadores, de acuerdo con principios de sim etría o invariancia entre situaciones físicam ente equivalentes, D e acuerdo con estos prin cipios una determ inada descripción de un fenóm eno podría ser incorrecta si no respeta el principio de relatividad básico que define la teoría (así la teoría de la gravitación de N ew ton era incom patible con el principio de relatividad que defi
F ís ic a m o d e rn a 1655 ********************************************************************************************** nía la T eoría de la Relatividad Especial, razón que lleyó a Einstein a form ular u na nueva teoría de la gravitación com o parte de la relatividad general). b) Relatividad Especial L a teoría especial de la relatividad, tam bién llam ada teoría de la relatividad res tringida, es una teoría física publicada en 1905 por A lbert Einstein. Surge de la observación de que la velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los siste m as de referencia inerciales y de sacar to das las consecuencias del principio de re latividad, según el cual cualquier expe riencia hecha en un sistem a de referen cia inercial se desarrollará de m anera i déntica en cualquier otro sistem a iner cial. • L a teoría especial de la relatividad esta bleció nuevas ecuaciones que perm itían pasar de un sistem a de referencia iner cial a otro. Las ecuaciones correspon dientes conducen a fenóm enos que cho can con el sentido común, siendo uno de los más asom brosos y más fam osos la lia m ada paradoja de los gemelos. c) Relatividad General En los años posteriores a lá aparición de su teoría de la relatividad especial, Eins tein com plem entó en sucesivos aspectos el alcance de este modelo. Finalm ente, en 1916 publicó un artículo en el que a nalizaba el fenóm eno de la gravitación no como una fuerza, al estilo new tonia no, sino como un cam po que se curvaba en el continuo espacio-tiem po, así com o la no uniform idad de los m ovim ientos acelerados. E ste m arco teórico se conoce globalm ente com o teoría de la relativi dad general. d) M ecánica clásica y relativista Las teorías de la relatividad de Einstein
supusieron una revolución, aunque no u na ruptura con la física clásica. De he cho, partieron de un intento de aplicar las leyes de la m ecánica a la óptica y al e lectrom agnetism d. En consecuencia, no contradicen los postulados de la física clásica, sino que engloban a esta discipli na com o una particularización de los fe nóm enos generales, sim plificada y adap tada a la escala terrestre. e) Validación experimental A lgunos de los prim eros avales experj m entales de las hipótesis relativistas fue ron espectaculares: la descripción com p leta de la órbita de M ercurio, que se ha b ía resistido a la física clásica durante si glos, y la dem ostración de por qué las es trellas som etidas a un cam po g rav itad o nal intenso em iten luz más próxim a a la región del rojo que a la del violeta en el espectro electrom agnético. f) Sim ultaneidad Se refiere al hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dos acón tecim ientos o eventos en diferente lugar puedan haberse realizado al mismo tiem po. Así, si dos observadores, en el mis fflo lugar (espacio), presencian un fenó meno, podrían decir sim ultáneam ente que se realizó en el m ism o tiem po. Los dos indicarían el m ism o tiem po del even to. Pero si. los dos presencian ese evento en lugares diferentes, espacios diferen tes, al m ism o tiempo, ninguno de ellos podría afirm ar que se realizó sim ultánea m ente. • g ) Postulados de la teoría especial de la relatividad El desarrollo de la teoría especial de la relatividad se basa en dos postulados principales que son: 1) El prim er postulado es una generaliza
1656
Física+ +
**********************************************************************************************
2)
ción del principio m ecánico de la relativi dad de G alileo a todos los procesos físi eos, su enunciado es: <<:E n cualesquiera sistem as de referen cias inerciales todos los fenóm enos físi eos en igualdad de condiciones, transcu rren igualm ente, es decir, las leyes físi cas son independientes (invariantes) res pecto del sistem a de referencia inercial que se elija; las ecuaciones que expre san estas leyes tienen la m ism a form a en todos los sistem as de referencia inercia les** El segundo postulado establece que la velocidad de la luz "c"es un invariante, la velocidad de la luz en el vació no de pende del m ovim iento del foco lumino so. E sta velocidad es la m ism a en todas las direcciones y en todos los sistemas de referencia inerciales y es una de las constantes físicas más importantes. Las experiencias dem uestran que la veloci dad de la luz en el vació "c" es la veloci dad lím ite (m áxim a) que existe en la na turaleza.
h) Relaciones de transform ación pa ra la velocidad
das S y S ’, en el que S ' se desplaza en la dirección del eje X, respecto de S con u n a velocidad ü , vienen dados por: vv =
vy =
v, =
dx
Vv - u
dt
l - u v v /c '
dy
vy V l - ( u / c )
dt
l - u v x /c"
dz
v
dt i)
2 n/ 1 - ( u / c y
1 - u vx / c
C on tracció n de la longitud
Y*
X’
r
r
L a longitud de un objeto se define como la distancia entre sus extrem os. N o obs tante, si el objeto cuya longitud se mide se encuentra en movim iento relativo con respecto a un observador, las posiciones de sus dos extrem os deben ser medidas sim ultáneam ente. C onsiderem os una varilla en reposo reía tivo a 0 ’ y paralela al eje O’X ’. D esignan do sus dos extrem os por "a" y "b", su longitud m edida por 0 ’ es: = Xk - x.
La relaciones de transform aciones de Lo rentz para las velocidades del móvil A, m edidos por dos observadores que se en cuentran en los sistem as de de coordena
( 1)
L a sim ultaneidad no es necesaria para 0 ’ ya que él ve la barra en reposo. Sin em bargo el observador 0, que ve la barra en m ovim iento debe m edir las coordenadas x a y x b de los extrem os al mismo tiem po "t", obteniendo:
F ís ic a m o d e r n a 1g57 ********************************************************************************************** = X k - X,
(2)
A plicando en la e c .(l) la transform ación
valos At y At , utilizam os las transfor m aciones de Lorentz para los tiem pos t y t ’, obteniendo:
de Lorentz para las coordenadas x, x , te nemos: U = í
X u — X,
tb + U X
ta +ux
/cz
tu =
7 l-(u /c )2
V '- ( u / c ) 2
Xu “ X , =
l- (u /c ) “
Restando estas expresiones, se tiene:
de donde se obtiene la relación para las longitudes m edidas por los observadores 0, 0 ’:
tL -tl tu - U
=
yj\-
(U /C)'
t =>/ i - ( u / c r i
At =
At i-(u /c y
D ado que el factor, [1 —( u / c ) 2 ] 1/2 es m enor que la unidad, entonces i < i es to el observador 0, quien ve a la varilla en m ovim iento, m ide una longitud me ñor que el observador 0 ’, que ve a la vari lia en reposo. j)
Dilatación dei tiem po U n intervalo de tiem po se define como el tiem po que transcurre entre dos even to s m edidos po r un observador. U n even to es una ocurrencia específica que su cede en un punto particular del espacio y el tiempo. , * C onsiderem os dos eventos que ocurren en el m ism o lugar x ’ con respecto a un observador 0 ’. El intervalo de tiem po en tre estos eventos es: At' = t b - 4 P ara un observador 0 con respecto a quien 0 ’ se está m oviendo con velocidad constante u en la dirección positiva del eje X, el intervalo de tiem po es:
siendo, At el intervalo de tiem po medí do por el observador 0 ’ en reposo con respecto al punto en el cual tienen lugar los eventos, y At es el intervalo de tiem po m edido p o r el observador 0. D ado que el factor 1/[1- (u/c)2],/2 es ma yor que la unidad, la ecuación anterior nos indica que At es m ayor que At . Por lo tanto, los procesos o eventos parecen tom ar m ás tiem po cuando el cuerpo está en reposo relativo al observador. k) Variación de la m asa con la ve lo cidad Para que el principio de conservación de la cantidad de m ovim iento de una partí cula, se cum pla respecto de cualquier ob servador, es necesario redefinir la m asa de una partícula, así, si la partícula se m ueve a velocidades próxim as a la de la luz ( v w c ) su m asa debe variar según la relación: m, 7 l-(v /c )2
At = t b - t a siendo, "m 0" la m asa en reposo de la par P ara encontrar la relación entre los inter
tícula.
F ísica+ +
1658
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Está definición de la m asa relativista es general, pues, para el caso de la mecáni ca clásica o new toniana v « c , entonces, ( v /c ) 2 « 0 y m = m 0 . t)
Ahora, en general, el cam bio de la ener gía total (E) de una partícula (ó cuerpo) en dE v a asociada de un cam bio en su m asa relativista (m) en u n a cantidad da d a por: '
La cantidad de m ovim iento o m o mento lineal La cantidad de m ovim iento ( p ) de un cuerpo de m asa en reposo (m o ), se expre sa teniendo en cuenta la variación de su m asa con la velocidad, así:
dm = -^-dE c P or lo tanto, entre (E) y (m ) existe una re lación dada p o r :' E = me
m„ u
= mu
P= V l-(u /c ):
siendo, "ü" la velocidad con la que se m ueve el sistem a de referencia S ’ respec to del sistem a de referencia S. m ) La se gun d a ley de Newton en la relatividad L a expresión clásica de la segunda ley de N ew ton establece que la fuerza total que actúa sobre una partícula (ó cuerpo) es igual a la rapidez con que cam bia su cantidad de m ovim iento. Para introducir los efectos relativistas, debem os tener en cuenta que la m asa cam bia con la veloci dad. A sí, la generalización de la segunda ley de N ew ton, es: F = dp = d dt
m 0c
=
m oa
dt * J \ - ( u / c ) 2 F = ^ -(m ú ) dt
n) Relación entre masa y energía L a energía total de una partícula en re poso o de un sistem a de partículas (por e jem plo, un núcleo atómico, un átomo, una m olécula o un cuerpo) es: En = m n c 2
siendo "v" la velocidad con la que se desplaza la partícula. « o ) Relación entre cantidad de m o v i m iento y energía D ado que la cantidad de m ovim iento se conserva, más no la velocidad, la ener gía de una partícula (ó cuerpo) debe ex presarse en función de su cantidad de m ovim iento y no de su velocidad. Así, de la ecuación de la m asa relativista (m), tenem os: m =
nv V i-(V /c );
M ultiplicando am bos m iem bros de esta e cuación por c4 [1- (v/c)2], tenemos: 2 4
m e
2 2 2
- m v c
2
=m 0c
4
U tilizando las relaciones para la energía y cantidad de m ovim iento, obtenem os la relación la energía y la cantidad de movi m iento, así: E2 = (p c )2 + E 2 p) Expresión de la aceleración relati vista
F ís ic a m o d e r n a
f@59
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
La aceleración de un a partícula que se m ueve con una velocidad v , bajo la ac ción de una fuerza F , viene dada por: i v - _ = — [F — r ( F « v ) ] m dt
ten id a anteriorm ente, tenem os: „ 17 . dv _ d m , dW = (m — + v — ) • v dt dt dt
dv
P or lo tanto, a diferencia de la m ecánica clásica, en la m ecánica relativista la ace leración de una partícula, en general no coincide en dirección con la fuerza que la ocasiona. Si la fuerza F es perpendicular a la velo cidad v de la partícula, se tiene: á =—= [1 - ( v / c ) 2 ] l/2 m m Si la fuerza F es paralela a la velocidad v de la partícula, se tiene: í » Í p - ( ^ ]= ± [ l- ( ^ ] 3 « m L a aceleración que la fuerza longitudinal com unica a la partícula es ( l- v 2/c2)’' ve ces m enor que la que le im prim iría una fuerza transversal de la m ism a magn] tud. E sto se debe a que la fuerza transver sal sólo hace variar la dirección de la ve locidad mas no así su m ódulo ni la m asa relativista de la partícula, m ientras que la fuerza longitudinal hace variar el módulo de la velocidad y la m asa de la partícula. q) El trabajo elemental de una fuerza relativista. El trabajo elem ental de una fuerza relatj vista F que actúa sobre una partícula oca sionándole un desplazam iento pequeño d r , viene dado por: dW = F • d r = F • v d t Sustituyendo la expresión de la fuerza ob
dW - m v d v + v 2dm dW = {c2 - v 2 ) dm + v2 dm dW = 'c 2 dm 4. L A T E O R IA D E L O S F O T O N E S a) C o n ce p to E n física m oderna, el fotón es la partícu la elem ental responsable de las manifes taciones cuánticas del fenóm eno electro m agnético. Es la partícula portadora de todas las form as de radiación electrom ag nética, incluyendo a los rayos gam ma, los rayos X , la luz ultravioleta, la luz vi sible, la luz infrarroja, las m icroondas, y las ondas de radio. b) O rigen L a id ea de la luz com o partícula retom ó con el concepto m oderno de fotón, que fue desarrollado gradualm ente entre los años 1905 y 1917 p o r A lbert Einstein a poyándose en trabajos anteriores de Planck, en los cuales se introdujo el con cepto de cuanto. Con el m odelo de fotón podían explicarse observaciones experi m entales que no encajaban con el mode lo ondulatorio clásico de la luz. E n partí cular, explicaba cóm o la energía de la luz dependía de la frecuencia (dependen cia observada en el efecto fotoeléctrico) y la capacidad de la m ateria y la radia ción electrom agnética para perm anecer en equilibrio térm ico. c) Propiedades 1) C om o todos los cuantos, el fotón presen ta tanto propiedades corpusculares com o
1660
Física+ +
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2)
3)
5)
6) 7)
ondulatorias ("dualidad onda-corpúscu lo”). Se com porta como una onda en fe nóm enos com o la refracción que tiene lugar en una lente, o en la cancelación por interferencia destructiva de ondas re flejadas; sin em bargo, se com porta como una partícula cuando interacciona con la materia. Para la luz visible, la energía portada por un fotón es de alrededor de 4 .10'19julios esta energía es suficiente para excitar un ojo y dar lugar a la visión. Los fotones tienen cantidad de moví m iento o m om ento lineal, y polarización O bedecen las leyes de la m ecánica cuán tica, lo que significa que a m enudo estas propiedades no tienen un valor bien defi nido para un fotón dado. En su lugar se habla de las probabilidades de que ten ga una cierta polarización, posición, o cantidad de m ovim iento. El fotón no tiene masa, tam poco posee carga eléctrica y no se desintegra espon táneam ente en el vacío. Los fotones viajan a la velocidad de la luz en el vació c= 3 .108 m/s. Cuando un fotón interactúa con una par tícula fundam ental, lo hace cediéndole todo o nada de so energía.
d) M asa relativista Se llam a así a la energía del fotón expre sada en unidades de masa, viene dada por: h F, m= =— AC
c
siendo, "A” la longitud de onda asociada al fotón, "E" su energía, y "h" la cons tante de Planck. e) Energía de un fotón La energía ” E" de un fotón depende ex elusivam ente de la frecuencia "f" de la
radiación, y viene dada por:
siendo, h=6,626.10~34 J.s la constante de Planck, c=3.108 m /s la velocidad de la luz en el vació y "A" la longitud de on da de la radiación electrom agnética. f)
Cantidad de m ovim iento La cantidad de m ovim iento o m omento lineal de un fotón, viene dado por: _ E hv _ h c
c
A
siendo, "E" la energía, "v" la frecuen cia, "k" la longitud de onda y "c" la ve locidad de la luz en el vació. g ) Intensidad fotónica Para un h az m onocrom ático, la intensi dad fotónica, es decir, la energía por uni dad de área y tiem po que incide sobre u na superficie, viene dado por: [ _
N JE
A. t
_ N h f _ N _hc A.t
A.t.A
siendo "A ” el área de la superficie, "t" el tiem po, "E " la energía de un fotón, y "N" el núm ero total de fotones inciden tes. h) E m isió n Los fotones se em iten en m uchos proce sos naturales, por ejem plo, cuando se a celera una partícula con carga eléctrica, durante una transición m olecular, atómi ca o nuclear a un nivel de energía más bajo, o cuando se aniquila una partícula con su antipartícula. E xisten dos tipos de emisión: 1) E m isión espontánea.- Se llam a así, al proceso m ediante el cual un átomo, una
F ís ic a m o d e rn a 1661 ********************************************************************************************** m olécula o un núcleo, en un estado exci tado, pasa a un estado de energía más ba jo. Com o se cum ple el principio de con servación de la energía, el resultado es la em isión de un fotón. A sí, si el átom o se encuentra en un esta do excitado caracterizado por la energía E 2, puede <
hu
/WV\a Ei ANTES
DESPUES
2 ) E m isión estim ulada.- U tilizada en la ge neración de radiación de Ún láser, se pro duce cuando un átom o en estado excita do recibe un estím ulo externo que lo lie va a em itir fotones y así retornar a un es tado m enos excitado. El estím ulo en cuestión proviene de la llegada de un fo tón con energía sim ilar a la diferencia de energía entre los dos estados. Los foto nes así em itidos por el átom o estim ulado poseen fase, energía y dirección sim ila res a las del fotón externo que les dio orí gen. L a em isión estim ulada descrita es la raíz de m uchas de las características de la luz láser. N o sólo produce luz coheren te y m onocrom a, sino que tam bién ”am
plifica" la em isión de luz, ya que por ca da fotón que incide sobre un átom o exc[ tado se genera otro fotón.
ho. » hu
© c.
hu hu
hu
A b so rc ió n Proceso m ediante el cual se absorbe un fotón. El sistem a atóm ico se excita a un estado de energía más alto, pasando un electrón al estado m etaestable. E ste fenó m eno com pite con el de la em isión esti m ulada de radiación. A sí, la intensidad de haz de fotones se reduce al pasar a tra vés de un material, debido a que algunos fotones son absorbidos o desviados de la dirección de avance, siendo la causa el e fecto fotoeléctrico, efecto Com pton y la producción de pares. La reducción en in tensidad del haz de fotones, viene dado por: I = l0 e - ^ siendo, " I0" la intensidad de los fotones que incide sobre el m aterial absorbente, y "p" el coeficiente de absorción lineal, el cual depende del material absorbente. j) Aplicaciones 1) El láser es una de las aplicaciones más im portantes, por sus diversos usos en m uchas de las actividades del hombre. 2) El tubo fotom ültiplicador clásico se basa en el efecto fotoeléctrico; un fotón que incide sobre una lám ina de metal arranca un electrón, que inicia a su vez una ava lancha de electrones. 3) Los circuitos integrados CC D utilizan un efecto sim ilar en sem iconductores;
1662 F ís¡ca+ + **********************************************************************************************
4)
5)
6)
7)
8)
un fotón incidente genera una carga de tectable en un condensador m icroscópi co. Los detectores com o los contadores Gei. ger utilizan la capacidad de los fotones para ionizar m oléculas de gas, lo que da lugar a un cam bio detectable en su con ductividad. En el diseño y construcción de lám paras fluorescentes, utilizando m oléculas de gas con diferentes niveles de energía e lectrónica y ajustando la energía típica con la cual un electrón choca con las mo léculas de gas en el interior de la lám pa ra. En el diseño y construcción de los m i croscopios fotónicos, utilizados para me d ir las distancias interm oleculares. En aplicaciones sofisticadas de comuni cación óptica com o por ejem plo en crip tografía cuántica. En el estudio del funcionam iento de las com ponentes fotónicas de algunas com putadores cuánticas de última genera ción.
Fotosíntesis L a fotosíntesis, cuyo significado es u nión de la luz, es la responsable de la m ayor parte de la vida actual en la Tie rra. Proceso medihnte el cual las plantas, algas y algunas bacterias captan y utili zan la energía de la luz para transform ar la m ateria inorgánica de su m edio exter no en m ateria orgánica que utilizarán pa ra su crecim iento y desarrollo. - ’
m ) Fotolisis Se llam a así a la ruptura de enlaces quí m icos por causa de la energía radiante. Tam bién, podem os decir que la fotolisis es la disociación de m oléculas orgánicas com plejas por efecto de la luz. E s el pro ceso en el que se basa la fotosíntesis. n) C onstantes num éricas A lgunas de las constantes m ás utilizadas que facilitan el cálculo y obtención de las cantidades físicas, son: = 4,136.10'15 eV.s
he 1 eV 1 eV 0 1 A
= 12,4 keV.A = 10'3 keV = 1 ,6 0 2 .1 0 19 J lt
5.
h
E o O
k) Fotónica Es la ciencia que se ocupa de la genera ción, control y detección
i)
E F E C T O F O T O E L E C T R IC O
a) C o n cep to Se denom ina así al desprendim iento de e lectrones de una superficie metálica cuando sobre ella incide luz ultravioleta, com o se observa en la Fig. b) Características • L a frecuencia "f", la intensidad "1" de la luz, el voltaje de retardo "V" y el ma terial del em isor pueden variar. / • Si los electrones tienen suficiente ener gía, pueden vencer el potencial ^lé retar
F ísic a m o d e r n a 1gg3 ******************************************************************************************** do "V" y llegar al colector, y ser m edi dos com o corriente "i" por el am perím e tro "A".
dad de la luz. 4) Para un m ism o m aterial del em isor el voltaje de frenado varía linealm ente con la frecuencia según la relación: e Vs = h f - O = h f - h f u siendo, "h .f" la energía de los fotones de luz, y "O " la función trabajo, la cual varia de un material, a otro.
•
L os electrones llegarán al colector, si y sólo si, su energía cinética es m ayor o i gual que la energía potencial eléctrica que deben vencer cuando van del em isor hacia el colector, esto es: —m e v 2 > eV 2 e
E c - energía cinética de los electrones 5) C ada m aterial presenta una frecuencia um bral " f u", por debajo de la cual no
si la energía cinética de los electrones es m enor que "e.V ", entonces, estos regre sarán al em isor, y no podrán ser m edidos com o corriente eléctrica "i".
hay em isión de electrones, esto sucede por m ás grande que sea la intensidad de la luz incidente. 6) U n electrón em itido absorbe to d a la ener gía de un sólo fotón.
c ) Resultados experim entales 1) L a corriente eléctrica em pieza a circular casi instantáneam ente, aún para el caso de luz de muy baja intensidad, el tiem po que dem ora en aparecer la corriente no depende de la intensidad de la luz. 2) C uando la frecuencia "f" y la intensidad "I" de la luz se m antienen fijos, la co rriente dism inuye cuando el potencial de retardo aum enta y se aproxim a a cero pa ra cierto voltaje de frenado (V), siendo este últim o independiente de la frecuen cia. 3) C uando la frecuencia y el potencial de re tardo se m antienen fijos, la co m en te es directam ente proporcional a la intensi
7) D ado que, l / 2 m ev 2 > e.Vs , la ecuación anterior, tam bién se acostum bra escribir, así: ~ m ev 2 = h f - < I > = h f - h f u d ) Fun ció n trabajo Se llam a así a la energía necesaria para extraer del átom o a los electrones m enos estrecham ente ligados a el. • A sí, los fotones de luz con frecuencias m enores que la frecuencia um bral no po seen suficiente energía, com o para poder liberar a los electrones m enos estrecha m ente ligados, independientem ente de que tan grande sea la intensidad de la
1664
F ísica+ +
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•
luz. Finalm ente, m ientras más intensa es la luz, m ayor es la densidad de fotones, tal que el núm ero de electrones em itidos tam bién será mayor.
e) Clases Existen tres clases de efecto fotoeléctri co, los cuales son: 1) Fotoionización.- Se llama así al efecto fotoeléctrico en los gases, el cual, consis te en la ionización de los átom os y mole culas del gas debida a la acción de la luz 2) E fecto fotoeléctrico externo.- Llamado tam bién fotoem isión,.consiste en la emi sión de electrones por una sustancia (só lida o líquida) som etida a la acción de la luz. L os electrones que se desprenden de la sustancia se llama fotoelectrones, y la corriente eléctrica producida por estos e lectrones se llam a corriente fotoeléctri ca. 3) E fecto fotoeléctrico interno.- Se llam a así a la redistribución de los electrones según los estados de energía, que se da en los sem iconductores y dieléctricos só lidos y líquidos, debido a la acción de la luz. E ste fenóm eno se m anifiesta en el cam bio de la concentración de portado res de carga en #el medio, produciéndose la fotoconductibilidad o el efecto foto eléctrico de barrera. f)
Aplicaciones El efecto fotoeléctrico se aprovecha en num erosos cam pos de la ciencia y la téc nica. Los dispositivos llam ados fotodio dos y fotom ultiplicadores que se basan en este principio, intervienen en proce sos com o el control de productos indus tríales, las transm isiones por fax, los tu bos de televisión o los am plificadores de im ágenes. Entre las más conocidas apli caciones de este efecto cabe citar, las cé
lulas fotoeléctricas usadas para la detec ción de presencia y los equipos fotovol taicos de los paneles de energía solar. Paneles solares,- L a energía solar puede convertirse directam ente en electricidad por m edio de dispositivos fotovoltaicos basados en el efecto fotoeléctrico. Al in cidir la luz solar sobre series de estos dis positivos agrupadas en baterías solares, em iten electrones libres susceptibles de generar, m ediante’las técnicas modernas, una energía eléctrica de más de un kilo vatio. 6. E F E C T O C O M P T O N a) C o n cep to Se llam a así a la variación de las longitu des de onda de los rayos-X al ser difundí dos por una sustancia que contiene áto m os ligeros. El efecto Com pton, se expli ca a partir de la teoría corpuscular de la luz. b) O rigen E ste fenóm eno, observado en 1923 por el físico A rthur H olly Com pton (18921962) en el curso de investigaciones rea lizadas sobre la difusión de los rayos X, sólo puede explicarse a partir de los prin cipios de la m ecánica cuántica. Así, si se considera qué la radiación electrom agné tica está constituida por cuantos de ener g ía llam ados fotones, en su interacción con la m ateria puede absorberse parte de estos fotones. En tal caso, la energía glo bal de la radiación dism inuiría, y tam bién .su frecuencia, con lo que aum enta ría la longitud de onda. c ) V ariación de la longitud de onda
F ís ic a m o d e rn a
1005
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(1) dirección inicial de la radiación. (2) dirección final de la radiación.
D e otro lado, de la ley de conservación del im pulso, tenemos:
El cam bio en la longitud de onda que ex perim enta la radiación m onocrom ática inicial, de longitud de onda "A", viene dado por:
p=mv+p0 O aplicando la ley de coseno en el trián guio, tenem os: t hv i h v ’ -> h2 W (m v) = ( ) + ( ) -2
A
AA = A’-A = 2 Ac sen2 — siendo, A' la longitud de onda de la radia ción difundida bajo el ángulo "0 ", res pecto de la dirección inicial de la radia ción, y Ac- 2 ,4 3 .1 0 12 m una constante llam ada la longitud de onda de Com pton para el electrón.
A dem ás, la m asa del electrón (e), depen de de la velocidad que adquiere, esto es:
(3)
Vl-(v/c)3 C om binando las ec s.(l), (2) y (3), obte nem os, la relación para el cam bio en la longitud de onda, así: 2
2
®
m 0c ( v - v ') = 2 h v v 'se n —
Com o, u=c/A, entonces la relación ante rior, queda, así: 2h
AA —A —A
tru c
29 sen — 2
D e aquí, que la longitud de onda de Com pton es:
(1)
siendo, u=c/A y u ’=c/A' las frecuencias de la radiación incidente y difundida, ntoC2 la energía en reposo del electrón, m e2 las energía del electrón después del choque.
m,
ni =
d) Fundam ento teórico El efecto Com pton es el resultado del choque elástico de un fotón de rayos-X con un electrón libre o casi libre, transm i tiéndole el fotón al electrón parte de su e nergía y parte de su im pulso en concor dancia con las leyes de conservación de la energía y del impulso. Asum iendo que el electrón se encuentra en reposo, la e cuación de conservación de la energía se escribe, así: 'y * o h v + m 0#c = h v ’+ m c
-COS0 ( 2 )
m 0c e)
Energía cinética dei electrón L a energía cinética del electrón rechaza do por el fotón es: E c - m e 2 - m 0c2 = h (v - v')
hu
e
'm r ® v=0
Ec = h v v ' ( A - i ) = X v - ^ ) v v AA
7.e hX
/
Ep = hv
AA A + AA
= hv
2a sen ( 0/ 2) J + 2 a s e n 2( 0 / 2 )
1666 F ísica+ + *******************************************A************************************************** siendo, a=Lc/X. una constante, y (ho) la e nergía del fotón incidente. L a energía cinética del electrón es máxi mo para 0=180°, esto es: 2ah v E r , max = --------c l + 2a f)
Im portancia L a explicación que del efecto Com pton proporciona la m ecánica cuántica ofrece una de las pruebas experim entales más convincentes de la validez de sus postu lados teóricos. E ste fenóm eno proporcio na una ilustración determ inante de las propiedades de onda y partícula de la ra diación electrom agnética.
g ) Efecto C o m p to n inverso Tam bién puede ocurrir un E fecto Com p ton inverso. E s decir que fotones dism i nuyan su longitud de onda al chocar con electrones. Pero para que esto suceda, es necesario que los electrones viajen a ve locidades cercanas a la velocidad de la luz, y que los fotones tengan altas ener gías. • L a principal diferencia entre los dos fe nóm enos, es que durante el E fecto Com p ton "convencional", los fo to n es entregan energía a los electrones, y durante el in verso sucede lo contrario. • E ste efecto puede ser una de las explica ciones de la em isión de rayos X en super novas, quasars y otros objetos astroflsi eos de alta energía. h) Aplicaciones 1) El efecto Com pton perm ite m edir la in tensidad de los rayos gam ma, lo que re sulta de gran utilidad en física de partícu las. 2) O tra consecuencia práctica del efecto Com pton, esta vez negativa, es que pro
i) 1)
2)
3)
4)
voca en las radiografías un ensombrecí m iento de la im agen debido a la degrada ción de los rayos X y a la em isión de e lectrones parásitos. * C o n clu sio n e s Al colisionar el fotón con un electrón que este fuertem ente ligado al átomo, le transm ite su energía e im pulso al átomo com o un todo. Para átom os muy pesados se encuentra que X » X \ debido a que la energía transm itida por el fotón al átomo es m uy pequeña. L os fotones sólo pueden ser absorbidos p o r los electrones ligados más no por los electrones libres. L a absorción de un fo tón p o r un electrón libre es imposible, pues, de ser posible violaría las leyes de conservación d e la energía y el impulso. E n el efecto fotoeléctrico solam ente he m os considerado que el fotón tiene una e nergía E = h f. A hora bien, un, fotón tam bién tiene un m om ento lineal p=E/c. E n el caso del efecto fotoeléctrico, no se aplica la ley de conservación del momen to lineal p o r que el electrón esta ligado a un átomo, a una m olécula o a un sólido, la energía y el m om ento absorbidos es tán com partidos por el electrón y el áto m o, la m olécula o el sólido con los que está ligado.
7. R A Y O S -X a) Definición Son las ondas electrom agnéticas, cuyas frecuencias van desde 3 .1 0 17 Hz hasta 5.1019 H z, y sus longitudes de onda van desde 6 .1 0 '12 m hasta 10'9 m. Cuanto m enor es la longitud de onda " X" de los rayos-X , m ayor es su energía y poder de penetración. b) Clasificación
F ís ic a m o d e r n a •
•
R avos-X duros.- Se llam an así a los de m enor longitud de onda, que están más próxim os a la zona de rayos gamma. R avos-X blandos.- Se llam an así a los ra yos-X form ados p or una m ezcla de mu chas longitudes de onda diferentes entre si.
c ) P roducción • Tanto la luz visible com o los rayos-X se producen a raíz d e las transiciones de los electrones atóm icos de una órbita a otra. L a luz visible corresponde a transiciones de electrones exteriores y los rayos-X a transiciones de electrones interiores. 1) Ravos-X por frenado Este tipo de radiación tiene un espectro continuo, y la em iten los electrones fre nados. El frenado de los electrones se produce cuando estos no pueden superar cierto valor crítico (de potencial retarda dor), que depende de la sustancia que los frena, com o se observa en la Fig. E=hf p=h/X
F o tó n em itido
e ,e c tró n
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O .,*•**"
/
© Z e
*'0-0 Po
.
líúcleo
•
L os rayos-X se producen siem pre que se bom bardea un objeto m aterial con elec trones de alta velocidad. G ran parte de la energía de los electrones se pierde en for m a de calor, el resto produce rayos-X al provocar cam bios en los átom os del blan co com o resultado del impacto. 2) Ravos-X característico E ste tipo de radiación tiene espectro de rayas, y posee características propias de cada sustancia, que no cam bia cuando e
1667
lia form a un com puesto quím ico. E sta ra diación se origina en los procesos que se dan en las capas electrónicas de los áto mos, en la Fig., se m uestra un tubo de ra yos-X característico.
V B C R
: ; : :
V oltaje de aceleración («10 kV) B lanco (m aterial) Cátodo R ayos-X em itidos
d) Propiedades • L os rayos-X em itidos no pueden tener u n a energía m ayor que la energía cinética de los electrones que los producen. • L a radiación em itida no es m onocrom a tica, pues, está form ada por una am plia gam a de longitudes de onda. • El espectro d e energía es continuo y dis creto, y no dependen de la naturaleza del blanco. • L a absorción de rayos-X p o r una sustan cia depende de su densidad y m asa ató m ica. Cuanto m enor sea la m asa atóm ica del m aterial, más transparente será a los ray o s-X de una longitud de onda deter m inada. e) E sp ectro de ra yo s-X C uando los electrones que inciden sobre un m aterial, tienen alta energía estos pue den expulsar a los electrones más estre chám ente ligados al núcleo del átom o, a sí, los electrones que se encuentran en niveles d e energía superiores realizarán transiciones al estado inferior vacante, e
1668 F ísica+ + ********************************************************************************************** •
m itiendo una radiación en éste proceso. Por ejem plo, si los electrones expulsa dos pertenecen a la capa K (n = l) los elec trones ubicados en estados con energía superiores caen a la capa K, producién do una serie de líneas que, en notación de rayos-X, se denom inan líneas Ka, Kp, K y ,...
f) •
•
A plicaciones en la salud Cuando se irradia el cuerpo hum ano con rayos-X, los huesos (form ado por ele m entos de m asa atóm ica m ayor que los tejidos circundantes) absorben la radia ción con m ayor eficacia, por lo que pro ducen som bras más oscuras sobre una placa fotográfica, perm itiendo hacer el diagnostico de posibles fracturas o lesio nes de los huesos. En la actualidad se utiliza radiación de neutrones para algunos tipos de radiogra fía, y los resultados son así los inversos. Los objetos que producen sombras oscu ras en una im agen de rayos-X aparecen casi siem pre claros en una radiografía de neutrones.
ro de cinc. Si se sustituye la película fo tográfica por uno de estos m ateriales fluorescentes, puede observarse directa m ente la estructura interna de objetos o pacos. E sta técnica se conoce com o fluo roscopía. h) Ionización O tra característica im portante de los ra yos-X es su poder de ionización, que de pende de su longitud de onda. L a ca p ad dad de ionización de los rayos-X mono crom áticos es directam ente proporcional a su energía. E sta propiedad proporciona un m étodo para m edir la energía de los rayos-X. El contador G eiger m ide la e nergía de los rayos-X a partir de la ioni zación que producen. i)
Difracción Los rayos-X pueden difractarse al atrave sar un cristal, o ser dispersados por él, ya que el cristal esta form ado por redes de átom os regulares que actúan com o re des de difracción muy finas. Los diagra mas de interferencia resultantes pueden fotografiarse y analizarse para determi nar la longitud de onda de los rayos-X in cidentes o la distancia entre los átomos del cristal, según cual de los datos se des conozca.
8. O N D A S D E B R O G L IE •
Se debe m encionar que un exceso de ra yos-X produce daños en tejidos y orga nism os vivos, com o resultado de los pro cesos quím icos que inducen, es por esta razón que los ray o s-X se utilizan en el tratam iento del cáncer.
g ) Fluorescencia Los rayos-X tam bién producen flúores cencia en determ inados m ateriales, co mo el platinocianuro de bario o el sulfu
a) O n d a s de materia de Lo uis de Bro glie Los trabajos de A lbert Einstein sobre el efecto fotoeléctrico dem ostraron que las ondas electrom agnéticas están form adas por partículas elem entales llam adas foto nes. En sentido inverso, el físico Louis D e Broglie predijo en 1924 que los elec trones que form an parte del átomo, tie nen tam bién un com portam iento ondula torio. L a verificación experim ental de la
F ís ic a m o d e r n a 166g ********************************************************************************************** dualidad de partícula y onda de los elec trones, que se realizo años después, cul m ino o estableció una de los conceptos más im portantes de la física cuántica:
trón para suponer que esta últim a partícu la podría poseer relaciones de energíafrecuencia y longitud de onda-m om ento lineal análogas a la prim era, y expresa das como:
^ T o d o lo que existe es, al mismo tiem po, onda y m ateria3’"’ b) Materia y ondas Las controversias sobre la naturaleza de la luz que habían centrado los debates científicos durante más de dos siglos se resolvieron en 1905 cuando A lbert Eins ten, en su interpretación del efecto fotoe léctrico, logro conciliar las dos hipótesis m anejadas y, hasta entonces, considera das incom patibles: 1) L a ondulatoria, según la cual la radia ción lum inosa es sim plem ente una pertur bación que se desplaza en el espacio. 2) L a corpuscular, que sostenía que la luz está form ada por corpúsculos m ateriales capaces de interaccionar con la materia. • Einstein concluyó que la luz y, por exten sión, las ondas electrom agnéticas son a la vez corpúsculo y onda, ya que están form adas por partículas sin m asa y sin carga, llam adas fotones, cjue se propa gan en el espacio como un movim iento ondulatorio, intercam biando energía con el entorno. • En un estudio especulativo, que no res pondía a ninguna realidad observada que hubiera de explicarse, L ouis de Broglie (1892-1987) elucubró con la posibilidad de que, al igual que los fotones, tam bién los electrones tuvieran esa m ism a duaü dad de onda y corpúsculo. c ) O n d a s de De Broglie En un trabajo publicado en 1924, Louis D e B roglie partía de una com paración entre las propiedades del fotón y el elec
E = h v = ftco ,
hf- f p = - n = 7ik K
siendo ñ un v ecto r1unitario que está en la dirección y sentido del vector de onda •
k. Partiendo de las hipótesis relativistas, se podría establecer u n a equivalencia entre energía y el m om ento lineal del electrón considerado com o onda y com o partícu la m aterial, de lo que se deduciría que:
mC2
E = Tico = —¡ =
=
- m
c
2
,
Vl-(v/c)2 mv l-(v/c)2 d) Longitud de onda de De Broglie D e la com paración de las magnitudes del com portam iento del electrón entendí do com o onda y com o partícula, se obtie ne un valor para la longitud de onda que tendría el movim iento ondulatorio aso ciado al electrón que viene dado por:
i =— h y A P
p-mv
siendo "v ” la velocidad de la partícula y "m ” su 'm asa. E sta m agnitud, llam ada longitud de onda de D e Broglie, aumen ta al dism inuir la velocidad, y a la inver sa. Si se aplica al postulado del m odelo ató m ico de B ohr, que sostiene que las órbi tas de los electrones en los átom os sólo pueden tener ciertos radios cuantificados
F ísica+ +
1670 se deduce que: m rv = ~
•
= nñ
<==>
(n = l,
2, 3 , . . . )
27i r
= n A ,,
Según esta fórm ula, las órbitas perm ití das (estacionarias) en el m odelo de B ohr serían aquellas cuyo radio fiiera igual a un núm ero entero de longitudes de onda de De Broglie. Al igual que para detectar un com porta m iento ondulatorio en la luz era preciso m anejar dim ensiones del orden de su Ion gitud de onda (por ejem plo, rejillas que provocaran patrones de difracción a mo do de interferencias lum inosas), para ob servar los efectos de las ondas asociadas a la m ateria se han de usar partículas de m asa pequeñísim a y que se desplacen a baja velocidad, por ejem plo, los propios electrones. En estas partículas sería posi ble obtener valores de la longitud de on da de D e B rogüe del orden de algunas décim as de nanóm etro.
Ilustración gráfica de la regla de cuanti ficación de B ohr y la longitud de onda de D e B roglie para el electrón. e) Validación experim ental La prim era evidencia experim ental de la existencia de las ondas de m ateria que había predicho De Broglie llegó en 1927, cuando Clinton D avisson (18811958) y Lester G erm er (1896-1971) y
•
f)
G eorge T hom son (1892-1975), en traba jo s independientes, determ inaron el va lor de la longitud de onda de De Broglie según las predicciones de esta teoría. En esencia, los 'experim entos realizados se basaban en la hipótesis de que si los electrones pudieran com portarse com o ondas, un haz de estas partículas que in cidiera sobre un cristal debería producir diagram as de difracción análogos a los observados para los rayos X. Cuando se obtuvieron patrones de difracción para los electrones, se dem ostró que estas par tículas, al igual que los fotones, se maní fiestan tanto a través de sus propiedades corpusculares (m ateria) com o ondulato rías (onda). L a hipótesis de la dualidad corpúsculo-onda de la m ateria se exten dió en años posteriores a todos los tipos de partículas elem entales y sus agrega dos (núcleos y átom os). Antim ateria E xisten partículas y antipartículas. Estas últim as (por ejemplo, antiprotones y anti electrones, tam bién llam ados positrones) son idénticas a sus contrapartidas de ma teria, con la salvedad de que poseen car ga de signo opuesto. Estos corpúsculos com ponen hipotéticam ente átom os de an tim ateria que, no obstante, no se obser van en la naturaleza porque las antipartí culas reaccionan espontáneam ente con sus partículas correspondientes en una reacción de aniquilación total.
g ) A p licació n de la dualidad o n d aco rp ú sc u lo L a dualidad onda-corpúsculó se usa en el m icroscopio de electrones, donde la pequeña longitud de onda asociada al e lectrón puede ser usada para ver objetos m ucho m enores que los observados usan do luz visible.
F ís ic a m o d e r n a 1571 ********************************************************************************************** 9. E L E L E C T R O N a) C on cep to Es una partícula subatóm ica o partícula elemental de tipo fermiónico. En un áto m o los electrones rodean el núcleo, com puesto únicam ente de protones y neutro nes. • L os electrones tienen una m asa pequeña respecto al protón, y su m ovim iento ge ñera corriente eléctrica en la m ayoría de los metales. E stas partículas desem peñan un papel prim ordial en la quím ica ya que definen las atracciones con otros átomos b) El descubrim iento del electrón El electrón, la prim era partícula subató m ica descubierta mas o m enos en la últi m a década del siglo XIX, fue detectado en los rayos catódicos, que se habían ob servado com o ráfagas, destellos e imáge nes sobre pantallas o en el interior de tu bos de gases. c ) Características 1) El electrón tiene una carga eléctrica ne gativa de -1 ,6 .1 0 -19 C y una m asa de 9 ,LIO -31 kg, que es aproxim adam ente u ñas 1 800 veces m enor que la m asa del protón. ' 2) El electrón tiene un spin 1/2, lo que im plica que es un fermión, es decir, que se le puede aplicar la estadística de FermiDirac. 3) A unque la m ayoría de los electrones se encuentran form ando parte de los áto m os (electrones ligados), los hay que se desplazan independientem ente por la ma teria o juntos form ando un haz de elec trones en el vacío (electrones libres). En algunos superconductores los electrones se m ueven en pareja. 4) L os electrones y los positrones pueden aniquilarse m utuam ente produciendo un
5)
6)
7)
8)
fotón. D e m anera inversa, un fotón de a] ta energía puede transform arse en un e lectrón y un positrón. U n electrón suele representarse com o un punto, es decir,’ sin extensión espacial. Sin em bargo, en la vecindad de un elec trón pueden m edirse cam bios de su m asa y carga. H ay una constante física llam ada radio clásico del electrón, cuyo valor es igual a 2,8179.10_i5 m. Es preciso decir que es te radió se deduce asum iendo que se co noce la carga del electrón dentro de la e lectrodinám ica clásica, y no de la meca nica cuántica. Se estim a que el núm ero de electrones e xistentes en el universo conocido es de al m enos 1079. E ste núm ero asciende a un a densidad m edia de alrededor de un e lectrón por m etro cúbico de espacio. L a antipartícula del electrón el positrón, tiene la m ism a cantidad de carga eléctri ca que el electrón pero positiva. El spin y la m asa son iguales en el electrón y el positrón. C uando un electrón y un posi trón colisionan, se produce una aniquj lación mutua, originándose dos fotones de rayos gam m a con una energía de 0,5 M eV cada uno.
d) Im portancia Los electrones desem peñan un rol im por tante en la teoría del electrom agnetism o, la cual, es adecuada desde un punto de vista clásico, aplicable a sistem as ma croscópicos. '
Clasificación El electrón es un tipo de partícula subató
•1672 F ísica+ + **********************************************************************************************
•
•
•
•
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m ica denom inada leptón, que se cree que es una de las partículas fundamen tales (es decir, que no puede ser dividida en constituyentes más pequeños) de a cuerdo con el m odelo estándar de partí culas. Com o para cualquier partícula subatómi ca, la m ecánica cuántica predice un com portam iento ondulatorio de los electro nes en ciertos casos, el más fam oso de los cuales es el experim ento de Young de la doble rendija en el que se pueden hacer interferir ondas de electrones. Esta propiedad se denom ina dualidad onda corpúsculo. Electrón de conversión.- Se llam a así a los electrones que se originan en el efec to fotoeléctrico interno, es decir, en la e m isión de electrones de las capas inter ñas del átomo, debido a la acción de la radiación gam m a em itido por los nú cíeos. Electrón de conducción.- Se llam a así, a los electrones que hacen posible la con ducción de la corriente eléctrica en un conductor, sem iconductor, etc...E sto s e lectrones surgen debido a que los electro nes de valencia del metal son generales, es decir, no pertenecen a un átom o deter m inado. En la aproxim ación clásica, es tos electrones d e conducción se conside ran com o un gas electrónico, cuyas partí culas tiene tres grados de libertad. Electrón dispersor.- Se llam a así, a los e lectrones que h a adquirido cierta veloci dad al chocar con el fotón en el efecto Com pton. E lectrón de valencia.- Se llam a así, a los electrones que form an los sub-grupos "s" y "p" de las capas de núm ero "n" m ayor para un átom o dado. E stos electro nes determ inan las propiedades quím icas y ópticas de los átomos.
•
E lectrón óptico.- Se llam an así, a los e lectrones de las capas más externas (las de enlace más débil) de los átomos, de las m oléculas o de los iones, que en pre sencia de luz visible, realizan o sc ila d o nes forzadas.
f) A plicacio nes 1) L a corriente eléctrica que sum inistra e nergía a nuestros hogares está originada p o r electrones en m ovim iento. 2) El tubo de rayos catódicos de un televj sor se b asa en un haz de electrones en el vacío desviado m ediante cam pos magné ticos que im pacta en una pantalla flúores cente. 3) L os sem iconductores utilizados en dispo sítívos tales com o los transistores. 4) L os haces de electrones se utilizan en soldaduras. 5) El m icroscopio electrónico, que utiliza haces de electrones en lugar de fotones, perm ite am pliar hasta 500 000 veces los objetos. 6) L os efectos cuánticos del electrón son la base del m icroscopio de efecto túnel, que perm ite estudiar la m ateria a escala atómica. g ) Los rayos catódicos El estudio de las descargas eléctricas en gases adquirió a finales del siglo X IX u n a im portancia insospechada cuando ayu dó a establecer una relación entre la hipó tesis atóm ica d e la m ateria y los princi pios del electrom agnetism o. Se descu brió qué al aplicar una diferencia de po tencial de varios m iles de voltios entre dos electrodos de un tubo de descarga re lleno de un gas enrarecido se producían destellos lum inosos que se propagaban a m odo de rayos entre los electrodos del dispositivo. E stas radiaciones se llama ron rayos catódicos porque siem pre via
F ís ic a m o d e r n a 1673 ********************************************************************************************** jan desde el electrodo negativo (cátodo) al positivo (ánodo).
•
h) El experim ento de J .J . Th o m p s o n 1) O bjetivo H allar la razón del valor de la carga a la m asa de un electrón "e/m ".
•
2) Instrum entos * U n tubo de vidrio al que se le extrae el aire, com o el mostrado en la Fig.
L a m ayoría de los electrones em itidos en el cátodo son frenados por el ánodo, pe ro un núm ero lim itado pasa a través de u na rendija del ánodo y de una segunda rendija del diafragm a metálico. Los electrones que pasan por la rendija no su frirá» desviación de su trayectoria si se ajustan adecuadam ente el cam po e léctrico establecido entre las láminas y el cam po m ag n étito generado por un e lectroimán, perpendicular al plano del pa peí, lográndose que las fuerzas eléctrica y m agnética sobre el electrón sean igua les en m agnitud, esto es: e.E = e.v.B - >
• * * *
*
Dos conductores llam ados el ánodo (A) y el cátodo (C). Un diafragm a m etálico (B) que se utiliza com o filtro electrónico. Lám inas m etálicas cargadas (D y E) que sirven para crear un cam po eléctrico uní form e vertical entre las láminas. U na película fluorescente (F), que se uti liza para detectar los electrones que pa san a través de las placas G> y E.
3) Procedim iento * Se establece una diferencia de potencial de algunos m iles de voltios entre ánodo y el cátodo. * Los pocos iones positivos del gas son a celerados hacia el cátodo por el cam po e léctrico existente entre el cátodo y el áno do, estos iones golpean el cátodo liberan do electrones de su superficie, los cuales a su vez, son acelerados en sentido o puesto hacia el ánodo, este m ecanism o de liberación de electrones de una super ficie m etálica se llama em isión secunda
g v= — B
Si anulam os el cam po eléctrico, los elec trones se m ueven com o efecto del cam po m agnético en trayectorias circulares, de radio igual a:
e.B •
Sustituyendo la expresión de la veloci dad, obtenem os la razón de la carga a la m asa del electrón, esto es: e _ m
•
E R.B2
J J . T hom son determ inó el siguiente va lor de la razón entre la carga (e) y la ma sa (m) del electrón: — = 1,758796.1011 C.kg-i m
i)
El experim ento de Millikan
1) O bjetivo E ncontrar el valor de la carga fúndamen tal de la materia.
1674
F ísica+ +
**********************************************************************************************
la ecuación inicial, obteniendo,
2) instrum entos
4 ^ m.a = ^7i.r ( p - p ’)-6rc.r|.r.v 1 E,
...................................1 ~ i
Puesto que la g ita después de recorrer cierta distancia cae a velocidad constan te, entonces a=0, luego de la ecuación an terior, obtenem os el radio de la gota,
3
*>
11+
v * *
+ ~+i
Dos placas conductoras cargadas opues tam ente (1). U n pulverizador o atom izador (2). A ceite (3) U na cám ara para aislar el experim ento a realizar (4) U na lente o m icroscopio (5). 3) Fundam ento teórico En la presencia del campo eléctrico la e cuación de m ovim iento de la gota de a ceite, de carga "q", que cae entre las pía cas es: m.a = W - E - 6 7 t.r |.r .v -I ^
(1)
Siendo, "E" el em puje debido a la sus tancia en la que se encuentra la gota de a ceite, " W ” el peso de la gota de aceite "v" la velocidad constante con la que cae la gota, eí coeficiente de ffic
Luego, (3) en (2), obtenem os la carga de la gota de aceite, dado que E, v, p, p ' son cantidades conocidas (obtenidas ex perim entalm ente). 4) Resultados > Se encontró que toda partícula tiene una carga que es m últiplo entero de la carga fundam ental (electrón), no existe partícu la que tenga una carga m enor que la del electrón, esto es la carga eléctrica está cuantizada, es decir: q = n.e >
gota, pues, esta tiene una carga "q". L a gota de aceite inicialm ente cae con una velocidad " v " , pero luego se detie ne, por lo tanto, a=v=0, entonces la ecua ción anterior, en form a explícita, se escri be, así: q.E = ^-7T.r3( p - p’)
(2)
siendo, p, p ' las densidades de la gota y del m edio en la cual cae la gota. D e otro lado, para hallar el radio de la gota "r", anulam os el campo eléctrico en
'
Se encontró que la m agnitud de la carga del electrón es: e = 1,602.K T 19 C
ción, y "F e " la fuerza eléctrica sobre la •
(n =± 1, ±2, ±3,...)
j)
El protón y el neutrón Joseph John Thom son investigó también en la década de 1910, las propiedades de los llam ados rayos canales o positivos, que se producían en tubos de descarga en la región del ánodo y se precipitaban hacia el cátodo a grandes velocidades. E stos rayos se veían afectados p o r cam pos eléctricos y m agnéticos interpuestos en su trayectoria, lo que dem ostraba que estaban com puestos por partículas con m asa y provistas de una carga eléctrica positiva. H acia 1920, estas partículas fue
F ísic a m o d e r n a
1375
**********************************************************************************************
•
•
ron identificadas por E m est Rutherford al bom bardear nitrógeno con partículas alfa (núcleos de helio). R utherford les a signó el nom bre de protones. El descubrim iento del neutrón, la tercera partícula constituyente de los átom os, hu bo de esperar hasta 1932, cuando el físi co Jam es Chadw ick (1891-1974) obser vó las peculiaridades del com portam ien to de los átom os del berilio al ser bom bardeados por partículas alfa. Este bom bardeo provocaba la em isión por los áto m os de una radiación com puesta por par tículas de m asa aproxim adam ente igual a la del protón y carga eléctrica nula, ya que no era desviada por los cam pos eléc tricos. L a constatación de la existencia de elec trones, protones y neutrones com o partí culas constituyentes de los átom os de los elem entos conocidos abrió nuevos hori zontes a la interpretación sobre la condi ción de la m ateria y la energía, y auspi ció un extraordinario desarrollo de la físi ca, la quím ica y la tecnología.
k) Hipótesis atómica A unque los antecedentes de la hipótesis atóm ica de la com posición «de la materia se rem ontan a la antigua G recia, el pri m er enfoque m oderno de esta teoría se debe a John Dalton, quien la sustentó en cuatro principios: los elem entos quími eos están form ados por conjuntos de par tículas idénticas llamadas átom os; el áto mo de un elem ento tiene un peso distin to a los de otros elem entos; los átomos son indivisibles, y no pueden ser creados ni destruidos. A lgunas de estas ideas han quedado desfasadas (los átom os no son indivisibles y pueden destruirse y crear se), si bien el principio de la naturaleza a tóm ica de la m ateria se m antiene vigente en los modelos teóricos actuales.
10. E L P R IN C IP IO O E IN C E R T ID U M B R E D E H E IS E N B E R G a) C on cep to Según el principio de ¡ncertidumbre, cier tos pares de variables físicas, com o la po sición y el m omento (m asa por veloci dad) de una partícula, no pueden calcu larse sim ultáneam ente con la precisión que se quiera. Así, ,si repetim os el cálcu lo de la posición y el m om ento de una partícula cuántica determ inada (por ejem pío, un electrón), nos encontram os con que dichos cálculos fluctúan en to m o a valores m edios. Estas fluctuaciones refle jan , pues, nuestra ¡ncertidum bre en la de term inación de la posición y el momen to. Según el principio de ¡ncertidumbre, el producto de esas incertidum bres en los cálculos no puede reducirse a cero. Si el electrón obedeciese las leyes de la m ecánica new toniana, las incertidum bres podrían reducirse a cero y la posi ción y el m om ento del electrón podrían determ inarse con to d a precisión. Pero la m ecánica cuántica, a diferencia de la new toniana, sólo nos perm ite conocer u n a distribución de la probabilidad de e sos cálculos, es decir, es intrínsecamente estadística. • En resum en, puede decirse que el princi pió de incertidum bre postula que en la m ecánica cuántica es im posible conocer exactam ente, en un instante dado, los va lores de dos variables canónicas conju gadas (posición-im pulso, energía-tiempo ..., etc.) de form a que una m edición pre cisa de una de ellas im plica una total in determ inación en el valor de la otra. b) La relación de incertidum bre para la posición y m om ento U n análisis m ecánico cuántico demues tra que para todo tipo de experimento, las incertidum bres en la posición Ax, y
1676 F ísica+ + ********************************************************************************************** m om ento Apx, están siem pre relaciona do por, ApxAx > h/47t
•
está relación válida, tanto teórica com o experim entalm ente, nos proporciona los lím ites para la determ inación de la posi ción y el momento. La relaciones de incertidum bre imponen en la m ecánica cuántica determ inadas lim itaciones a la posibilidad de describir el m ovim iento de una partícula por aígu n a trayectoria. c ) La relación de incertidum bre para la energía y tiem po U n análisis m ecánico cuántico demues tra que para todo tipo de experim ento, las incertidum bres en la energía AE, y tiem po At, están siem pre relacionada por, AEAt > h / 4 tc D e m odo que la energía de un cuerpo puede determ inarse con toda exactitud (AE=0), solam ente si la m edida se efec tú a durante un intervalo de tiem po infini to (At=
•
lo cual es falso, el principio de incerti dum bre nos dice que no podem os medir sim ultáneam ente y con infinita precisión un par de m agnitudes conjugadas. Es decir, nada Impide que m idam os con precisión infinita la posición de una par tícula, pero al hacerlo tenem os infinita incertidum bre sobre su momento. Por e jem plo, podem os hacer un m ontaje co mo el del experim ento de Y oung y justo a la salida de las rendijas colocam os una pantalla fosforescente de m odo que al im pactar la partícula se m arca su posi ción con un puntito. Esto se puede ha cer, pero hem os perdido toda la inform a ción relativa a la velocidad de dicha par tícula. El principio de incertidum bre tiene una im portante consecuencia en sistem as co mo el de átom os excitados, que en pro m edio, duran un intervalo de tiem po finí to , llam ado tiem po de vida m edio " t ". P uesto que el tiem po de vida m edio limi ta la duración del tiem po, es necesario e fectuar la m edida d e la energía de) siste m a antes de su decaim iento.
e) El p rincipio de com plem entariedad E ste principio establece que es imposi ble observar en un m ism o experim ento y al m ism o tiem po los aspectos de onda y de partícula de la m ateria. Los aspectos ondulatorios y corpusculares de la mate ría se com plem entan m utuam ente, pues to que am bas descripciones son necesa rías para entender com pletam ente las pro piedades de la materia, aunque ambos as pectos no sean observados sim ultánea mente. 11. E L A T O M O a) Ato m o
F ís ic a m o d e rn a 167 *********************************************************************************************** •
Es la unidad más pequeña de un elemen to quím ico que m antiene su identidad o sus propiedades y que no es posible divi d ir m ediante procesos químicos. El concepto de átom o com o bloque bási co e indivisible que com pone la m ateria del universo ya fue postulado por la es cuela atom ista en la A ntigua Grecia. Sin em bargo, su existencia no quedó demos trada hasta el siglo XIX. Con el desarro lio de la física nuclear en el siglo XX se com probó que el átom o puede subdivi dirse en partículas más pequeñas. b) Estructura atóm ica L a teoría aceptada hoy es que el átomo se com pone de un núcleo de carga posítí va form ado por protones y neutrones, en conjunto conocidos como nucleón, aire dedor del cual se encuentra una nube de electrones de carga negativa,
•
•
•
t
c ) El núcleo atóm ico El núcleo del átom o se encuentra form a do por nucleones, los cuales pueden ser de dos clases: •
•
♦
Protones: Partícula de carga eléctrica po sitiva igual a una carga elem ental, y ] ,67262.10-27 kg y una m asa 1837 veces m ayor que la del electrón
N eutrones: Partículas carentes de carga eléctrica y una m asa un poco m ayor que la del protón (1,67493.10”27 kg). El núcleo más sencillo es el del hidróge no, form ado únicam ente por un protón. El núcleo del siguiente elem ento en la ta bla periódica, el helio, se encuentra for m ado por dos protones y dos neutrones. N úm ero atóm ico: la cantidad de pro tones contenidas en el núcleo del átomo, se representa con la letra Z y se escribe en la parte inferior izquierda del sím bolo quím ico. Es el que distingue a un ele m entó quím ico de otro. Según lo descri to anteriorm ente, el núm ero atóm ico del hidrógeno es 1 (iH ), y el del helio, 2 GHe). N úm ero m ásico: E s Ja cantidad total de nucleones que contiene un átomo, se re presenta con la letra A y se escribe en la parte superior izquierda del sím bolo quí mico. Para los ejem plos dados anterior mente, el núm ero m ásico del hidrógeno es 1('H ), y el del helio, 4 (4He). Isótopos: Se llam an así, a los átomos que tienen el m ism o núm ero atóm ico, pe ro diferente núm ero másico. Por ejem pío, existen tres isótopos naturales del hi drógeno, el protio ('H ), el deuterio (2H) y el tritio (JH). Todos poseen las mismas propiedades quím icas del hidrógeno, y pueden ser diferenciados únicam ente por ciertas propiedades físicas. Isótonos: Se llaman así, a los átomos que tienen el mismo núm ero de neutro nes, estos están relacionados con la es tructura nuclear Isóbaros: Se llam a así, a los átom os que tienen el m ism o núm ero másico. D ebido a que los protones tienen cargas positivas se deberían repeler entre sí, sin em bargo, el núcleo del átom o m antiene su cohesión debido a la existencia de o
1678 F ísica+ + *********************************************************************************************** tra fuerza de m ayor m agnitud, aunque de m enor alcance conocida com o la interac ción nuclear fuerte. d) Interacciones eléctricas entre pro tones y electrones A ntes del experim ento de Rutherford la com unidad científica aceptaba el modelo atóm ico de Thom son, situación que va rió después de la experiencia de Ruther ford. Los m odelos posteriores se basan en u na estructura de los átom os con una m asa central cargada positivam ente ro deada de una nube de carga negativa. • Este tipo de estructura del átom o llevó a Rutherford a proponer su m odelo en que los electrones se m overían alrededor del núcleo en órbitas. E ste m odelo tiene una dificultad proveniente del hecho de que una partícula cargada acelerada, com o se ría necesario para m antenerse en órbita, radiaría radiación electrom agnética, per diendo energía. Las leyes de N ew ton, ju n to con las ecuaciones de M axw ell del electrom agnetism o aplicadas al átomo de Rutherford llevan a que en un tiem po del orden de 10 " 10s, toda la energía del átom o se habría radiado, con la consi guíente caída der los electrones sobre el núcleo. e) N ube electrónica
•v-oy:*:
A lrededor del núcleo se encuentran los e lectrones que son partículas elementales de carga negativa igual a u na carga ele m ental y con una m asa de 9,1 0 .1 0 '31 kg
•
•
•
f)
•
L a cantidad de electrones de un átomo en su estado basal es igual a la cantidad de protones que contiene en el núcleo, es decir, al núm ero atóm ico, por lo que un átom o en estas condiciones tiene una carga eléctrica n eta igual a 0. A diferencia de los nucleones, un átomo puede perder o adquirir algunos de sus e lectrones sin m odificar su identidad quí m ica, transform ándose en un ión, una partícula con carga neta diferente de ce ro. El concepto de que los electrones se en cuentran en órbitas satelitales alrededor del núcleo se ha abandonado en favor de la concepción de u n a nube de electrones deslocalizados o difusos en el espacio, el cual representa m ejor el com portam iento de los electrones descrito por la mecáni ca cuántica únicam ente com o funciones d e densidad de probabilidad de encon trar un electrón en una región finita de espacio alrededor del núcleo. D im ensiones atóm icas L a m ayor parte de la m asa de un átomo se concentra en el núcleo, form ado por los protones y los neutrones, am bos co nocidos com o nucleones, los cuales son 1836 y 1838 veces más pesados que el e lectrón respectivam ente. El tam año o volum en exacto de un áto mo es difícil de calcular, ya que las nu bes de electrones no cuentan con bordes definidos, pero puede estim arse razona blem ente en 1,0 5 8 6 .1 0 '10 m, el doble del radio de B ohr para el átom o de hidróge no. Si esto se com para con el tam año de un protón, que es la única partícula que com pone el núcleo del hidrógeno, que es aproxim adam ente 1.10"15 se ve que el nú cleo de un átomo es cerca de 100,000 ve ces m enor que el átomo m ism o, y sin em bargo, concentra prácticam ente el 100%
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tes realizados hacia finales del siglo XIX dejó claro que el átom o no era una partí cula sólida de m ateria que no pudiera ser dividida en partes más pequeñas. En 1895, el científico W ilhelm Conrad Roentgen anunció el descubrim iento de los rayos X, que pueden atravesar lámi ñas finas de plomo. En 1897, el físico J. J. T hom son desqubrió el electrón, una partícula con una m asa muy inferior al de cualquier átomo. Y, en 1896, el físico A ntoine H enri Becquerel com probó que determ inadas sustancias, com o las sales de uranio, generaban rayos penetrantes de origen m isterioso. El m atrim onio de científicos franceses form ado por M arie y Pierre Curie aportó u n a contribución adicional a la com prensión de esas sus tancias "radiactivas" (véase radio). Co mo resultado de las investigaciones del físico británico Ernest R utherford y sus coetáneos, se dem ostró que el uranio y algunos otros elem entos pesados, como el torio o el radio, em iten tres clases dife rentes de radiación, inicialm ente denomi nadas rayos alfa (a), beta (b) y gam m a (g). Las dos prim eras, que según se averi guó están form adas por partículas eléctri cam ente cargadas, se denom inan actual m ente partículas alfa y beta. Posterior m ente se com probó que las partículas al fa son núcleos de helio (ver más abajo) y las partículas beta son electrones. Estaba claro que el átomo se com ponía de par tes más pequeñas. L os rayos gam m a fue ron finalm ente identificados com o ondas electrom agnéticas, sim ilares a los rayos X pero con m enor longitud de onda.
de su masa. Para efectos de com paración, si un áto mo tuviese el tam año de un estadio, el núcleo sería del tam año de una canica co locada en el centro, y los electrones, co mo partículas de polvo agitadas por el viento alrededor de los asientos.
g ) Ta b la periódica A m ediados del siglo XIX, varios Quími eos se dieron cuenta de que las similitu des en las propiedades quím icas de dife rentes elem entos suponían una regulari dad que podía ilustrarse ordenando los elem entos de form a tabular o periódica. El quím ico ruso Dmitri M endeléiev pro puso una tabla de elem entos llam ada ta b la periódica, en la que los elem entos es tán ordenados en filas y colum nas de for m a que los elem entos con propiedades quím icas sim ilares queden agrupados. Según este orden, a cada elem ento se le asigna un núm ero (núm ero atóm ico) de acuerdo con su posición en la tabla, que v a desde el 1 para el hidrógeno hasta el 92 para el uranio, que tiene el átomo más pesado de todos los elem entos que e xisten de form a natural en nuestro plañe ta. Com o en la época de M endeléiev no se conocían todos los elem entos, se deja ron espacios en blanco en la tabla perió dica correspondientes a elem entos que faltaban. Las posteriores investigaciones facilitadas por el orden que los elemen tos conocidos ocupaban en la tabla, lie varón al descubrim iento de los elemen tos restantes. L os elem entos con mayor núm ero atómico tienen m asas atómicas m ayores, y la m asa atóm ica de cada isó topo se aproxim a a un núm ero entero, de acuerdo con la hipótesis de Prout. h) Radioactividad U na serie de descubrim ientos importan
i)
Radiactividad artificial L os experim entos llevados a cabo por los físicos Frédéric e Irene Joliot-C urie a principios de la década de 1930 dem os traron que los átom os estables de un ele
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F ísica+ +
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m entó pueden hacerse artificialm ente ra diactivos bom bardeándolos adecuada m ente con partículas nucleares o rayos. Estos isótopos radiactivos (radioisóto pos) se producen com o resultado de una reacción o transform ación nuclear. En di chas reacciones, los algo más de 270 isó topos que se encuentran en la naturaleza sirven com o objetivo de proyectiles nu cleares. El desarrollo de "rompeátom os", o aceleradores, que proporcionan una e nergía elevada para lanzar estas partícu las-proyectil h a perm itido observar mi les de reacciones nucleares. j)
Líneas espectrales
U no de los grandes éxitos de la física teórica fue la explicación de las líneas es pectrales características de num erosos e lementos. Los átom os excitados por ener gía sum inistrad^ por uná fuente externa em iten luz de frecuencias bien definidas. Si, por ejem plo, se m antiene gas hidróge no a baja presión en un tubo de vidrio y se hace pasar una corriente eléctrica a través de él, desprende luz visible de co lor rojizo. El exam en cuidadoso de esa luz m ediante un espectroscopio m uestra un espectro de líneas, una serie de líneas de luz separadas po r intervalos regula res. Cada línea es la ¡magen de la ranura del espectroscopio que se form a en un color determ inado. C ada línea tiene una longitud de onda definida y una determi nada energía asociada. L a teoría de Bohr perm ite a los físicos calcular esas longi
tudes de onda de form a sencilla. Se supo ne que los electrones pueden m overse en órbitas estables dentro del átomo. Mien tras un electrón perm anece en una órbita a distancia constante del núcleo, el áto mo no irradia energía. Cuando el átomo es excitado, el electrón salta a una órbita de m ayor energía, a más distancia del nú cleo. Cuando vuelve a caer a una órbita m ás cercana al núcleo, em ite una canti dad discreta de energía que corresponde a luz de una determ inada longitud de on da. El electrón puede volver a su órbita original en varios pasos interm edios, o cupando órbitas que no estén com pleta m ente llenas. Cada línea observada repre senta una determ inada transición electro nica entre órbitas de m ayor y menor ener gía. En m uchos de los elem entos más pesa dos, cuando un átom o está tan excitado que resultan afectados los electrones in tem os cercanos al núcleo, se em ite radia ción penetrante (rayos X). Estas transí ciones electrónicas im plican cantidades de energía m uy grandes. 12. F IS IO N Y F U S IO N N U C L E A R a) Fisión nuclear 1) Definición L a fisión nuclear consiste en la división del núcleo de un átom o pesado en otros elem entos más ligeros, de form a que en esta reacción se libera gran cantidad de e nergía. 2) Características • Los subproductos de la fisión nuclear son neutrones libres, fotones (genera] m ente rayos gam m a) y otros fragmentos del núcleo com o partículas alfa (núcleos de helio) y beta (electrones y positrones de alta energía).
F ís ic a m o d e r n a
1681
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•
L a fisión de núcleos pesados es un proce so exotérm ico lo que supone que se libe ran cantidades sustanciales de energía. El proceso genera m ucha más energía que la liberada en las reacciones quím i cas; la energía se em ite, tanto en forma de radiación gam m a com o de energía ci nética de los fragm entos de la fusión, que calentarán a la m ateria que se en cuentre alrededor del espacio donde se produzca la fisión. Cuando este proceso de fisión nuclear se puede controlar, la energía se libera len lam ente y es transform ada en energía e léctrica en un reactor nuclear de fisión, com o los utilizados en la actualidad en m uchas partes del m undo, entre ellas en España.
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L os núcleos atóm icos lanzados como productos de la fisión pueden ser varios elem entos quím icos. Los elem entos que se producen son resultado del azar, pero estadísticam ente el resultado más proba ble es encontrar núcleos con la m itad de protones y neutrones del átom o fisiona do original. Los productos de la fisión son general m ente altam ente radiactivos: no son isó topos estables; estos isótopos entonces decaen, m ediante cadenas de desintegra ción.
3) Fisión inducida L a fisión se puede inducir por varios mé todos, incluyendo el bom bardeo del nú cleo de un átom o fisionable con otra par
tícula de la energía correcta; la otra par tícula es generalm ente un neutrón libre. Este neutrón libre es absorbido por el nú cleo, haciéndole inestable. El núcleo inestable entonces se partirá en dos o más pedazos: los productos de la fisión que incluyen dos núcleos más pequeños, hasta siete neutrones libres (con una m edia de ,dos y m edio por reac ción), y algunos fotones. M uy rara vez, un núcleo fisionable expe rim entará la fisión nuclear espontánea sin un neutrón entrante. Inducir la fisión es más fácil en los ele m entos cuanto más pesado sean. L a fi sión en cualquier elem ento más pesado que el hierro produce energía, y la fisión en cualquier elemento más liviano que el hierro requiere energía. Lo contrario tam bién es verdad en las reacciones de fu sión nuclear- la fusión de los elementos más livianos que el hierro produce ener gía y la fusión de los elem entos más pe sados que el hierro requiere energía. L os elem entos m ás frecuentem ente usa dos para producir la fisión nuclear son el uranio y el plutonio. El uranio es el ele m entó natural más pesado; el plutonio experim enta desintegraciones espontá neas y tiene un período lim itado. Así pues, aunque otros elem entos pueden ser utilizados, estos tienen la m ejor com bina ción de abundancia y facilidad de fisión.
4) Reacciones en cadena U na reacción en cadena ocurre com o sj gue: un acontecim iento de la fisión em pieza lanzando 2 o más neutrones como subproductos. Estos neutrones se esca pan en direcciones al azar y golpean o tros núcleos, incitando a estos núcleos para experim entar la fisión. Puesto que cada acontecim iento de la fisión lanza 2 o m ás neutrones, y estos neutrones indu
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cen otras fisiones, el proceso se constru ye rápidam ente y causa la reacción en ca dena. El núm ero de los neutrones que se escapan de una cantidad de uranio depen de de su área superficial. Solam ente los m ateriales risibles son capaces de soste ner una reacción en cadena sin una fúen te externa de neutrones.
el berilio y el carbono. F ueron Enrico Ferm i y Leó Szilárd quienes propusieron prim ero el uso de grafito (una form a de carbono) com o m oderador para una reac ción en cadena. Él deuterio es el mejor tecnológicam ente (introducido en el a g ua pesada), sin em bargo el grafito es m ucho más económico.
5) Masa crítica Es la m ínim a cantidad de m aterial reque rida para que el material experim ente u na reacción nuclear en cadena. La m asa crítica de un elem ento fisionable depen de de su densidad y de su form a física (barra larga, cubo, esfera, etc.). Puesto que los neutrones de la fisión se emiten en direcciones al azar, para maximizar las ocasiones de una reacción en cadena, los neutrones deberán viajar tan lejos co mo sea posible y de esa form a maximi zar las posibilidades de que cada neu trón choque con otro núcleo. A sí, una es fera es la m ejor form a y la peor es pro bablem ente una hoja aplanada, puesto que la m ayoría de los neutrones volarían de la superficie de la hoja y no chocarían con otros núcleos.
7) R esiduo radiactivo Son residuos q u e , contienen elementos quím icos radiactivos que no tienen un propósito práctico. Es frecuentem ente el subproducto de un proceso nuclear, co mo la fisión nuclear. E l residuo también puede generarse durante el procesamien to de com bustible para los reactores o arm as nucleares o en las aplicaciones mé dicas com o la radioterapia o la m edicina nuclear.
*
6) M oderador Se llam as así, a las sustancias que se uti lizan para dism inuir la energía cinética de los neutrones, obteniéndose neutro nes térm icos. L as características de un buen m oderador son: peso atómico bajo y baja o nula tendencia a absorber los neutrones.Los m oderadores posibles son entonces el hidrógeno, helio, litio, beri lio, boro y carbono. El litio y el boro ab sorben los neutrones fácilm ente, así que se excluyen. El helio es difícil de utilizar porque es un gas y no form a ningún com puesto. L a opción de m oderadores esta ría entonces entre el hidrógeno, deuterio,
8) C o m b u stib le nuclear Se denom ina así a todo m aterial que sea capaz de ser adaptado para poder ser uti lizado en la generación de energía nu clear. • El térm ino com bustible nuclear puede re ferirse tanto al m aterial (flsil o fusiona ble) p o r sí m ism o com o al conjunto ela borado y utilizado finalm ente, es decir, los haces o m anojos de com bustible, com puestos por barras que contienen el m aterial físil en su interior, aquellas con figuraciones que incluyen el combusti ble ju n to con el m oderador o cualquier otra. • El proceso más utilizado y conocido es la fisión nuclear. El com bustible nuclear más com ún, está form ado p o r elementos fisibles com o el U ranio o el Plutonio, ge nerando reacciones en cadena controla das dentro de los reactores nucleares que se encuentran en las centrales nucleares.
F ís ic a m o d e r n a 1683 *********************************************************************************************** L os isótopos utilizados más habitualm en te en la fisión son el 235U y el 239Pu. 9) Central nuclear Es una instalación industrial em pleada para la generación de energía eléctrica a partir de energía nuclear, que se caracte riza por el em pleo de m ateriales fisiona bles que m ediante reaccione nucleares proporcionan calor. E ste calor es em plea do por un ciclo term odinám ico conven cional para m over un alternador y produ cir energía eléctrica. • G ran parte de las centrales nucleares e xistentes en la actualidad se basan en reactores de fisión, utilizando com o com bustible uranio com puesto de entre un 3,5% y un 4,5% de U -235 y el resto de U -238 (Este isótopo es el conocido ura ñ io enriquecido). L a reacción nuclear en cadena genera la energía controlada se produce cuando un núcleo de Uranio235 se divide en dos o más núcleos por la colisión de un neutrón. D e este modo, los neutrones liberados colisionan de nuevo form ando una reacción en cadena. • En las centrales nucleares por fisión, el calor desprendido de las reacciones gene ra vapor de agua, el cual, at pasar por un sistem a de turbinas, genera la electrici dad que puede ser trasladada a la red e léctrica. b) Fusión nuclear 1) Definición Es el proceso m ediante el cual dos nú cíeos atóm icos se unen para form ar uno de m ayor m asa atóm ica. N o debe confún dirse con el accidente de las centrales un cleares denom inado "fusión del núcleo", que hace referencia a la parte más "ínter na" (núcleo) del reactor nuclear cuando ésta se fúnde (se derrite) com o resultado
de la falta de un adecuado control y refri geración.
n + 1 4 ,lM e V
2) Características • E l nuevo núcleo tiene u n a m asa inferior a la sum a de las masas de los dos nú cíeos que se han fusionado para form ar lo. E sta diferencia de m asa es liberada en form a de energía. L a energía que se li bera varía en función de los núcleos que se unen y del producto de la reacción. La cantidad de energía liberada corresponde a la fórm ula E=m.c2, siendo "m " la dife rencia de m asa observada en el sistema antes y después de la fusión y "c" es la velocidad de la luz (299 792 458 m/s). • Los núcleos atóm icos tienden a repeler se debido a que están cargados positiva mente, de form a que cuanto más cerca es tén m ás intensa es la fuerza repulsiva. • Existen fuerzas nucleares atractivas que son extrem adam ente intensas a distan cias muy pequeñas. Esto hace que la fu sión solo pueda darse en condiciones de tem peratura y presión muy elevadas que perm itan com pensar la fuerza de repul sión. L a tem peratura elevada hace que aum ente la agitación térm ica de los nú cíeos y esto los puede llevar a fusionar se, debido al efecto túnel. Para que esto ocurra son necesarias tem peraturas del orden de m illones de kelvins. El mismo efecto se puede producir si la presión so bre los núcleos es muy grande, obligan dolos a estar m uy próximos.
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F ísica+ +
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•
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•
L as necesidades m ínim as para producir la fusión se llam an Criterios de Lawson, y son criterios de densidad iónica y tiem po mínimo de confinam iento necesario. L a reacción de fusión más sencilla (esto es, la que requiere m enos energía) es la del deuterio y el tritio form ando helio. L a fusión nuclear es el proceso que se produce en las estrellas y que hace que brillen. Tam bién es uno de los procesos de la bom ba de hidrógeno. Al contrario que la fisión nuclear, no se ha logrado u tilizar la fusión nuclear com o m edio ren table de obtener energía (o sea, la ener gía aplicada al proceso es m ayor que la obtenida por la fusión), aunque hay nu m erosas investigaciones en esa dirección
3) Ventajas La fusión nuclear es un recurso energé tico potencial a gran escala, que puede ser muy útil para cubrir el esperado au m entó de dem anda de energía a nivel mundial, en el próxim o siglo. Cuenta con grandes ventajas respecto a otros ti pos de recursos: • Los com bustibles primarios son baratos, abundantes, no radioactivos y repartidos geográficam ente d§ m anerá uniform e (el agua de los lagos y los océanos contiene hidrógeno pesado suficiente para millo nes de años, al ritm o actual de consum o de energía). • Sistem a intrínsecam ente seguro: el reac tor sólo contiene el com bustible para los diez segundos siguientes de operación. A dem ás el m edio am biente no sufre nin guna agresión: no hay contam inación at m osférica que provoque la "lluvia ácida" o el "efecto invernadero". • La radiactividad de la estructura del reac tor, producida por los neutrones emití dos en las reacciones de fusión, puede ser m inim izada escogiendo cuidadosa
m ente los m ateriales, de baja activación. Por tanto, no es preciso alm acenar los e lem entos del reactor durante centenares y m illares de años. 4) Estado actual de la fusión nuclear A ctualm ente se h a producido energía de fusión nuclear en dos m áquinas distin tas, el JET (Joint European Torus) de la Unión Europea en O xfordshire, y eí T FT R (Toroidal Fusión Therm onuclear Reactor) en Princeton. Los dos son dis positivos de fusión por confinam iento m agnético. • Se ha conseguido sólo en estas m áquinas porque son las únicas que han inyectado tritio a un plasm a de deuterio. El resto de m áquinas funciona con plasm as de só lo deuterio o sólo hidrógeno para inves tigar en el com portam iento del plasm a a altas tem peraturas, pero sin producir fu siones. • Se ha dem ostrado la viabilidad científica de la producción de energía m ediante fu sión nuclear. El siguiente paso es cons truir un reactor que dem uestre la viabili dad tecnológica para producir energía e léctrica a partir de la de fusión. Este reac to r será ITER (International Therm onu clear Experim ental R eactor), actualm en te en fase de diseño. P ara el diseño y construcción de este gran reactor se han asociado las diferentes com unidades de fusión (Rusia, Unión Europea, Japón y U SA ) ya que el esfuerzo tecnológico y e conóm ico no puede ser afrontado por un solo país. 5) El futuro de la fusión nuclear L a investigación en fusión ha entrado en una fase en la cual la producción experi m ental de una potencia de fusión del or den de un gigavatio es un objetivo reali zable. Para progresar en la investigación
F í s i c a
m
o d e r n a
1 3 8 5
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•
y desarro llo de reactores com erciales es
central térm ica, para refrigerar el circu í
im portante c u b rir esta etapa.
to, y se em plazan en zonas sísm icam ente
L a enverga du ra y el coste de este experi
estables para e vita r accidentes. Poseen
m e ntó serán sim ilares a los de cu a lq u ie r
grandes m edidas de seguridad. N o em i
instalación co n una potencia de un gig a
ten gases que dañen la atm ósfera pero
v a tio ; el ca lendario para el estudio, cons
p ro ducen residuos ra d iactivos que duran
tru c ció n y e xp lotación será sim ila r al de
decenas de m iles de años, y que deben
si
ser alm acenados para su poste rior uso en
g uíen te g e neració n, es una experiencia
reactores avanzados y así re d u c ir su tiem
p ilo to para E u ro p a y sus socios en el
p o de v id a a unos cuantos cientos de a
ca m p o de la fusión p o r con fina m iento
ños.
c u a lq u ie r
m eg a proyecto .
1TER ,
la
m agnético. •
E l espíritu co m u n ita rio alcanzado p o r es
3) Aplicaciones
ta in ve stiga ció n en E u ro p a desde hace
•
G e n e ra ció n n u cle a r:
va ria s décadas, se ha tra nsm itido al resto
P ro d u cció n de ca lo r para la generación
de! planeta con la esperanza de poder
de energía eléctrica.
contar en el p ró x im o sig lo con la fusión
P ro d u c c ió n de calor para uso dom éstico
te rm o n u cle a r co m o fuente de energía ne
e industrial.
cesaría para la h u m anidad.
P ro d u c c ió n de h id ró g e n o m ediante elec tró lisis de alta tem peratura
c) Reactor nuclear
•
1) Definición
D esalación Pro pulsión n u cle a r:
E s u n d isp o s itivo en donde se pro d u ce
M a rítim a
una rea cción n u clear controlada. Se pue
C oh etes de p ro p u lsió n térm ica nuclear
de u tiliz a r para la obte nción de energía
(p ropuesta)
en las denom inadas centrales nucleares,
C oh etes de p ro p u lsió n n u clear pulsada (p ropuesta)
la p ro d u cció n de m ateriales fisionables, co m o el p lu to n io , para ser usados en ar
•
T ra n s m u ta c ió n de elem entos: P ro d u cció n de p lu to n io , u tiliz a d o para la
m a m e nto n u cle a r, la p ro p u lsió n de bu ques o de satélites artificiales o la investí
fabrica ció n de co m b u stib le de otros reac
g a ció n . U n a central nuclear puede tener
tores o de arm am ento nuclear.
v a rio s reactores. A ctu a lm e n te solo pro
C re a c ió n de diversos isótopos radiacti
duce n energía de form a com ercial los
v o s co m o el am ericio u tiliza d o en los de
reactores nucleares de fisió n , aunque e
tectores de h u m o o el co b a lto -6 0 y otros
xisten reactores nucleares de fu sión expe
que se u tiliza n en los tratam ientos m édi
rim entales.
eos •
2) Potencia de un reactor
A p lic á c io n e s en in v e stig a c ió n : S u uso co m o fuentes de neutrones y de
L a potencia de u n reactor de fisió n pue
positrones (p . ej. para su uso de análisis
de va ria r desde u nos pocos k W térm icos
m ediante a ctiva ció n neu trónica o para el
a unos 4 5 0 0 M W
datado p o r el m étodo de p o ta s io -a rg ó n ).
térm icos (1 5 0 0 M W
"e lé ctric o s"). D e b e n ser instalados en zo ñas cercanas al agua, c o m o cu alq uier
D e s a rro llo de te cn o lo g ía nuclear.
1 6 8 6
F í s ¡ c a + +
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13. M O D ELO A TO M IC O DE BHOR
cleo. E l electrom agnetism o clásico prede
1)
se de form a c irc u la r e m itiría energía por
cía que u na partícula cargada m o v ié n d o
Descripción E s u n m o d e lo cu an tizado del átom o que
•
lo que los electrones deberían colapsar
B o h r p ropuso en 1913 para e x plicar có
sobre el nú cleo fen breves instantes de
m o los electrones pueden tener órbitas
tie m p o . Para superar este p ro b le m a B o h r
estables alrededor del núcleo. Este m ode
supuso que los electrones solamente se
lo planetario es un m o d e lo fu n cio n a l que
p o d ían m o v e r en órbitas específicas, ca
n o representa el átom o (o b je to fís ic o ) en
da una de las cuales caracterizada p o r su
sí sino que e x p lica su funcionam iento
n iv e l energético. C a d a órbita puede en
p o r m e d io de ecuaciones.
tonces identificarse m ediante u n núm ero
N ie ls B o h r se basó en el átom o de h id ró
entero ”n " que to m a valores desde 1 en
geno para re a liza r el m o d e lo que lleva
adelante. Este n ú m e ro " n " recibe el nom
su n o m b re . B o h r intentaba re a liza r un m o d e lo atóm ico capaz de e x p lica r la es
bre de N ú m e ro C u á n tic o P rin cip a l. •
g u ia r de cada electrón estaba cuantizado
em isión y absorción discretos que se ob
y sólo p o d ía va ria r en fracciones enteras
servan en los gases. D e s c rib ió el átom o
de la constante de P la n ck . D e acuerdo al
de h id ró g e n o co n u n p ro tón en el nú
n ú m e ro
cle o, y g ira n d o a su alrededor u n elec
distancias a las cuales se hallab a del nú
tró n. E l m o d e lo a tóm ico de B o h r partía
cleo cada una de las órbitas perm itidas
conceptualm ente del m o d e lo atóm ico de R u th e rfo rd y
de las incipientes ideas
cuántico p rin c ip a l ca lcu ló las
en el átom o de h id róg eno. •
sobre cu a n tiza ció n que habían su rgido u
•
B o h r supuso además que el m o m e n to an
tab ilid a d de la m ateria y los espectros de
Estos n ive le s en u n p rin c ip io estaban cía sificados p o r letras que em pezaban en la
nos años antes co n las investigaciones
" K " y term inaba n en la " Q " . Posterior
de M a x P la n c k y A lb e rt E instein.
m ente los niveles electrónicos se ordena
D e b id o a su s im p lic id a d el m o d e lo de
ro n p o r núm eros. C a d a órbita tiene elec
B o h r es to d a vía u tiliza d o frecuentem en
trones co n distintos niveles de energía
te co m o u na s im p lifica c ió n de la estruc
o bte nid a que después se tiene que libe
tura de la m ateria. '
ra r y p o r esa ra zó n el electrón v a saltan
n=3
d o de u n a órbita a otra hasta lle g a r a una
n=2
que tenga el espacio y n iv e l adecuado, depe ndiendo de la energía que posea, pa
n=l
ra liberarse sin p ro b le m a y de n u e vo v o l v e r a su ó rb ita de o rig en. S in em bargo
í ((?)))
n o e x p lica b a el espectro de estructura fí n a qu e p o d ría ser e x p lica d o algunos a ños m ás tarde gracias al m o d e lo atóm ico de Som m e rfe ld . •
•
El
desarro llo
del m o d e lo
a tóm ico
de
E n este m o d e lo los electrones g ira n en
B o h r ju n to co n la dua lid a d ond a-co rpús
órbitas circulares alrededor del nú cle o , o
c u lo p e rm itiría a E r w i n S c h ró d in g e r des
cu p a n d o la órbita de m e n o r energía posi
c u b rir la ecu ación fu ndam ental d e la m e
ble, o la órbita m ás cercana po sib le al n ú
F í s i c a
m
o d e r n a
1 6 8 7
***********************************************************************************************
cánica cuántica.
2) Postulados de Bohr E n 1913 N ie ls B o h r, desarro lló su céle bre m o d e lo a tóm ico de acuerdo a cuatro •
•
•
B asándose en la constante de P la n ck E = h u co n sig u ió cuan tizar las órbitas obser v a n d o las líneas del espectro.
3) El radio, la energía y la velocidad
postulados fundam entales:
A d e m á s del m om ento an g u la r cuantiza
L o s electrones orb ita n el átom o en n iv e
do, resultado del postulado de B h o r de
les discretos y cuantizados de energía, es
que la órbita del electrón sólo puede es
de c ir, no todas las órbitas están p e rm ití
tar form ad a p o r u n n ú m ero entero de Ion
das, tan sólo u n n ú m e ro fin ito de éstas.
gitudes de onda de B ro g lie , se deduce
L o s electrones pueden saltar de u n n iv e l
que el ra d io de la órbita, la energía del e
ele ctrónico a otro sin pasar p o r estados
lectrón
interm edios.
cuantizadas, siendo sus expresiones las
y
su v e lo c id a d tam bién
están
E l salto de u n electrón de u n n iv e l cuán
siguientes:
tic o a otro im p lic a la e m is ió n o absor c ió n de u n ú n ic o cuanto de lu z (fo tó n )
n
cu y a energía corresponde a la diferencia
= nV 7
¿
o 1
a
h2 2i
4ti k m e
2
de energía entre ambas órbitas. •
L a s órbitas p erm itidas tienen valores dis cretos o cuantizados del m om ento angu la r o rbita l "L" de acuerdo con la siguien
Z 2 E?
L = nh = n — 27T
2 n 2k 2e 4m
E' = ^
E° = ~—
te ecuación:
„0
ZV[
^
0 _ 27t k e 2
siendo, n = l ,2 , 3 ,. ..
el n ú m e ro cuántico
p rin c ip a l, y r° , E ° , v° el rad io , la ener donde n = l ,2 , 3 ,. .. es el n ú m ero cuántico a ngular o n ú m e ro cuán tico p rin c ip a l. •
L a cuarta hipótesis asum e #que el v a lo r m ín im o de n es 1. E s te v a lo r correspon
g ía y la v e lo c id a d del electrón correspon diente a su estado fundam ental ( n = l ) , y cuyos valores son:
de a u n m ín im o ra d io de la órbita del e le ctrón de 0 .0 5 2 9 nm . A esta distancia
r° = 0 ,5 2 9 Á ,
se le den o m in a ra d io de B o h r. U n elec
E ° - 13,5 8 e V , = c/137
tró n en este n iv e l fundam ental no puede descender a n ive le s inferiores em itiend o energía. •
Se puede dem ostrar que este co n ju n to de hipótesis corresponde a la hipótesis de qu e los electrones estables orbita ndo un
L o s valores de 0,5 2 9 A y 13,58 e V se a p ro x im a n m u ch o a los valores experi m entales obtenidos para el radio y la e ne rgía de io n iza ció n del átom o de hidró geno.
átom o están descritos p o r funciones de on d a estacionarias. U n m o d e lo atóm ico
4) Emisión de radiación
es u na representación que describe las
N ie ls B h o r propuso que un átom o emite
partes que tiene u n átom o y c o m o están
ra d ia ció n únicam ente cuando el electrón
dispuestas para fo rm a r u n todo.
inicialm e nte en u na de las órbitas esta
1 6 8 8
F í s i c a + +
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bles perm itidas donde E = E u , cam bie a o
trón, puede suponerse que la energía de
tra órbita p e rm itida con energía m e n o r
¡os electrones de los átom os polielectró
dad p o r E - E v . L a energía del fotón em i
nicos, tam bién está cuantizada, y en con secuencia la energía total del átom o.
tido será entonces igual a la diferencia entre las energías del electrón en las dos
•
L a teoría de P la n c k de la rad iación del cu erpo negro, tam bién, h abía pre dicho
órbitas perm itidas. A s í la lo n gitu d de on
que la energía de los átom os sólo podía
da del fotón e m itido , viene dado por:
tener ciertos valores, es d e c ir, esta cuan Ey = h v = h
tizada.
^ = Eu- Ev A,
•
L a co m p ro b a ció n de que los estados de energía interna de u n átom o están cuant] zadas se logro en los experim entos reali zados p o r F ra n c k y H e rtz.
S ustituyendo los valores de las energías orbitales dadas para E n , obtenem os: 1_____ 1
l _ 27t2k 2e4m Z 2
h3c
nj
n; }
14. EX P E R IM E N TO DE FR A N C K Y H ER TZ a) Objetivo P ro b a r la cu an tificación de los niveles de energía de los electrones en los áto m os. El
{ = k
r
„ z2 ( A - 4 ) n;
nu
experim ento
c o n firm ó
el
m odelo
cuán tico del átom o de B o h r dem ostran d o que los átom os solam ente p o d ían ab sorber cantidades específicas de energía
siendo, R TO^27r2ke2) 2(m c z)/ (h c )3
, o -1 R « = l , 0 9 737.10
A
(cu a n to s). P o r ello, este experim ento es uno de los experim entos fundam entales de la física cuántica.
5) Principio de correspondencia Este p rin c ip io establece que: para nú m e ros cuánticos grandes las* deducciones y ¡os resultados de la
m ecánica cuántica
deben pasar a ser resultados clásicos. E n general, el p rin c ip io de correspondencia
---------------w — I
exige que entre cu alq uier teoría que sea desarrollo de la clásica y la teoría clásica in icia l exista una re lació n regu lar, es de c ir, que en determ inados casos lím ite la n u eva teoría se transform e en la antigua.
b) Procedimiento E n el dispositivo u tiliza d o p o r F ra n c k y H e r tz , los electrones son em itidos térm i
6) Estados de energía atómicos E l m o d e lo de B h o r predice que la ener g ía total de un electrón en un átom o está cuantizada, aunque el m odelo de B h o r es v á lid o para un átom o de u n solo elec
cam ente a una energía baja desde el cáto do C y son acelerados h acia al ánodo A p o r u n potencial V ap lica d o entre los e lectrodos. A lg u n o s de los electrones pa san a través de los agujeros en A y vía
1690
F í s i c a + +
* **********************************************************************************************
ratura) cuando alcanzó la re jilla . P o r lo tanto, u na co lisió n entre un átom o del
•
Para c u a lq u ie r sistema físic o
en el cual
las coordenadas son funciones periódi
m e rc u rio y un electrón libre p o d ía ser i
cas del tiem po existe una co n d ició n cuán
nelástica en ese punto : es decir, la ener
tica para cada coordenada. Estas condi
g ía cinética de u n electrón lib re se pod ía
ciones cuánticas son:
'
f
co n v e rtir en energía potencial excitando el n iv e l de energía de u n electrón de un
Pedq = n eh
átom o de m e rcu rio . C o n la pérdid a de to da su energía cinética, el electrón libre
siendo " q " una de las coordenadas, " p e"
n o puede superar el potencial negativo leve en el electrodo a tierra, y la corrien te eléctrica cae fuertemente. •
A l aum entar el vo lta je , los electrones par ticip an en una co lisió n inelástica, pier den su e V 4 .9 , pero después continúan
el im p u lso asociado con esa co o r denada, " n e"
u n n ú m ero cuán tico que to m a
valores enteros y
sig n ifica que la
in teg ració n se tom a sobre un period o de la coordenada " q " .
siendo acelerados. D e este m o d o , la co rriente m e dida sube otra v e z al aum entar el potencial de aceleración a partir de 4 .9
V . A los 9.8 V , la situación cam bia
otra v e z . A l l í , cada electrón ahora tiene energía suficiente para p a rticipar en dos colisione s ¡nelásticas, excitando dos áto
A lg u n o s ejem plos de aplicación de la re g la de cu a n tiza ció n de S o m m e rfe ld -W il son, son:
Ejemplo: 01 A l m o v im ie n to de una p artícula sobre u n a circu n fe re n cia en u n ca m p o central,
m os de m e rcu rio , para después quedarse
Lí
sin energía cinética. E llo e x p lica las caí das de corriente observadas. E n los inter va lo s de 4.9 v o ltio s este proceso se repe tirá pues los electrones experim entarán u na co lisió n inelástica adicional. 0
e) R E G L A DE C U A N TIZ A C IO N DE SO M EM R FELD
(ji L d0 = nh
E n 1916 S o m e m rfe ld y W ils o n , con la in tención de esclarecer el m isterio existen te entre la relación de cu an tización de
C o m o el m om ento an g u la r es constante, entonces:
B h o r del im p u lso an g u la r de u n electrón que se m u e ve en una órbita c irc u la r y la
L (| d 0 = L27i = n h
cu a n tiza ció n de P la n c k de la energía to tal de u n electrón, que rea liza un m o v í
Li = —h h = n fia 2 tc
m iento a rm ó n ic o sim ple, enunciaron un con ju nto de reglas para la cuan tización de cu a lq u ie r sistema físico en el que sus
^ C o n d ic ió n de cu a n tiza ció n para el m o
coordenadas fueran funciones periódicas
m entó a n g ular L , enunciada p o r N ie ls
del tiem po, estas reglas son:
B h o r^
F í s i c a
m
o d e r n a
1 6 9 1
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Ejemplo: 02 A l m o v im ie n to a rm ó n ic o sim p le de un
_ nheo , . ' E = ------------= n h r = nfteo
271
cuerpo de masa " m " , u n id a a un resorte de constante elástica " k " ,
^ C o n d ic ió n de cu a n tiza ció n para la ener g ía, enunciada p o r P la n ck y E in ste in >:>
kx k
__
Ejemplo: 03
,____
'm n r i m r m -
A l m o v im ie n to
X O f-
de una p artícu la de m a
sa " m " con fina da a una caja u nidim e n x
1
sional de l o n g i t u d S o b r e
d x
,
m — — = -k .x d t2
la partícu
la n o actúa n in g u n a fu e rza externa sólo
( 1)
cu an do ch oca contra las paredes y se re fleja elásticam ente. C on sid e ra n d o que la
L a solución general de esta ecu ación di
p artícu la in ic ia su m o v im ie n to en la pa
ferencial de segundo orden, vie n e dado
red izq u ie rd a , tenem os:
por: x = A sen co.t
(2 )
siendo, " A " la a m plitu d, " oj" la frecuen cia angular. D e otro lado, la energía total del sistema
0
oscilatorio es:
E = — k . A 2 = — m .o)2 . A 2
2
( | p d x = |) ( + m v ) d x + j ^ ( - m v ) d x
(3 )
2
X
Ira v t = nh D e la e c .(2 ), obtenem os " d x " y la canti dad de m o v im ie n to " p " , así:
nh p=m v = 2
d x = coA cosco.tdt
A s u m ie n d o que la partícula es no relati
dx p = m — = m coAcosco.t dt S ustituyendo
estas
expresiones
vista, su energía es:
en
la
e c . ( l ) , y u tiliza n d o la e c .(3 ), tenem os: pdx =
i
m © 2A 2 eos2 co.tdt = n h
c 1 2 P E = — m v = -—
- n
2
2m
8m t
<<:C o n d ic ió n de cuan tización p ara la ener gía , enunciada p o r B h o r ^
2Ecj> eos2 co.tdt = n h H a c ie n d o ca m b io de varia b le , cot=9 para O<0<2rc, obtenem os:
2 n e2n
15. C R E A C IO N Y A N IQ UILA CIO N DE PARES a) Aniquilación de pares Se lla m a así al proceso en el que u n fo
eo s2 0 d 0 = — 7t = n h
tón de alta energía pierde toda su ener
F
í s i c a
m
o d e r n a
1 6 8 9
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
hasta que se alcanzan 9.8 v o ltio s (exacta
ja n hacia la p la ca P. L a energía cinética
m ente 4 .9 + 4 .9 v o ltio s ).
con la que estos abandonan la placa A es suficiente, co m o para ve n ce r el pequeño potencial
de
frenam iento
V,
•
E n 9.8 v o ltio s se observa u na caída re
•
E sta serie de caídas en la corriente para
aplicado
entre P y A . L o s átom os del gas o va p o r
pentina sim ila r.
p o r investigar se encuentran dentro del
increm entos
tu b o a una pre sión baja. E l experim ento
v o ltio s con tin ua rá visib le m e n te hasta p o
consiste en m e d ir la corriente de electro
te n d a le s de p o r lo m enos 100 vo ltio s.
nes que alcanzan P co m o una función del vo ltaje acelerador V .
de
aproxim adam ente
4.9
d) Interpretación de los resultados F ra n c k y Flertz p o d ía n e x p lic a r su experi m entó en té rm in o s de c o lis ió n elástica y
c) Resultados
•
C o m o resultado de esta experiencia, nos
c o lis ió n inelástica de los electrones. Pa
es p o sib le representar la e v o lu c ió n de la
ra potenciales bajos, los electrones acele
d ife ren cia de p otencial que resulta de un
rados a d q u irie ro n solam ente una canri
c o n v e rtid o r
(dis
dad baja de energía cinética. C u a n d o se
puesto a la salida del á n o d o ) co n respec
encontraron co n los átom os del m ercu
de
co rriente-tensión
to a la d ifere n cia de potencial de extrae
rio en el tubo , p a rticiparo n en colisiones
c ió n de los electrones (desde el cátodo).
pura m en te elásticas. E sto se debe a la
Para diferencias de potencial bajas-hasta
p re d ic ció n de la m ecánica cuántica que
4 ,9
u n átom o no puede absorber n in g u n a e
V - l a corriente a través del tu b o au
m enta constantem ente co n el aum ento
ne rgía hasta que la energía de la co lisió n
de la diferen cia potencial. C o n el v o ltaje
exceda el v a lo r re q u e rid o para excitar un
m ás alto aum enta el cam po eléctrico en
electrón que esté enlazado a tal átom o a u n estado de una energía m ás alta.
el tubo y los electrones fueron em puja dos co n m ás fu erza hacia la re jilla de ace
•
C o n las colisiones pura m en te elásticas, la cantidad total de energía cinética en el
leración.
sistem a sigue siendo ig u a l. Puesto que los electrones son unas m il veces m enos m asivos que los átom os m ás ligeros, es to sig n ifica que la m a y o ría de los electro nes m a n tu vie ro n su energía cinética. L o s potenciales m ás altos s irv ie ro n para con d u c ir m ás electrones a la re jilla al ánodo y para aum entar la corriente observada, hasta que el potencial de aceleración al can zó 4.9 vo ltio s. • V en v o ltio s y I en m iliam perio s
L a energía de e xcita ció n electrónica más baja que u n átom o del m e rc u rio puede te ner requiere
•
A los 4 ,9 v o ltio s la corriente cae repenti
•
L a corriente aum enta constantem ente de
nam ente, casi de n u e v o a cero. n u e v o si el vo lta je se sigue aum entando,
4,9
electronvo ltio s
(e V ).
C u a n d o el potencial de aceleración alean zó 4.9 v o ltio s , cada electrón libre poseyó exactam ente 4 .9 e V de e nerg ía cinética (so b re su energía en reposo a esa tem pe
1 6 9 0
F í s ¡ c a + +
***********************************************************************************************
ratura) cuando a lcanzó la re jilla . P o r lo
Para cu alq u ier sistema físico en el cual
tanto, u na co lisió n entre un átom o del
las coordenadas son funciones periódi
m e rcu rio y u n electrón libre p o d ía ser i
cas del tiem po existe u na co n d ició n cuán
nelástica en ese pu nto : es decir, la ener
tica para cada coordenada. Estas condj
g ía ciné tica de u n electrón libre se pod ía
ciones cuántica^ son:
c o n v e rtir en energía potencial excitando el n iv e l de energía de u n electrón de un
P ed q = n eh
átom o de m e rcu rio . C o n la pérdid a de to da su energía cinética, el electrón libre n o puede superar el potencial negativo leve en el electrodo a tierra, y la corrien te eléctrica cae fuertem ente. •
A l aum entar el vo lta je , los electrones par ticip an en una co lis ió n inelástica, pier den su e V 4 .9 , pero después continúan
siendo " q " una de las coordenadas, " p e" el im p u lso asociado con esa coor denada, " n e”
u n n ú m ero cuán tico que to ma
valores
enteros y
cji sig n ifica que la
in teg ració n se to m a sobre u n period o de la coordenada " q " .
siendo acelerados. D e este m o d o , la co rriente m e dida sube otra v e z al aum entar el p otencia l de aceleración a p a rtir de 4 .9
V . A los 9.8 V , la situación cam bia
A lg u n o s ejem plos de aplicación de la re g ía de cu a n tiza ció n de S o m m e rfe ld -W il so n ,s o n :
otra v e z . A l l í , cada electrón ahora tiene
Ejemplo: 01
energía suficiente para p a rticipar en dos
A l m o v im ie n to de una p artícula sobre u
colisione s inelásticas, excitando dos áto
na circun ferencia en u n ca m p o central,
m os de m e rcu rio , para después quedarse sin energía cinética. E llo e x p lica las caí das de corriente observadas. E n los inter va lo s de 4.9 v o ltio s este proceso se repe tirá pues los electrones experim entarán una co lisió n inelástica adicional. *
e) R E G L A DE C U A N TIZ A C IO N DE SO M EM R FELD
(| L d 9 = nh
E n 1916 S o m e m rfe ld y W ils o n , con la in tención de esclarecer el m isterio existen te entre la re lació n de cu an tizacíón de
C o m o el m om ento an g u la r es constante, entonces:
B h o r del im p u lso angular de u n electrón que se m u e ve en una órbita c ircu la r y la
L (j> d 0 = L 2 7 t = n h
cu a n tiza ció n de P la n c k de la energía to tal de u n electrón, que rea liza un m o v i m ie n to a rm ón ico sim ple, e nu n ciaron un con ju nto de reglas para la cuan tización de cu a lq u ie r sistema físico en el que sus
^ C o n d ic ió n de cu a n tiza ció n para el m o
coordenadas fueran funciones periódicas
m entó a n g u lar L , enunciada p o r N ie ls
del tie m po, estas reglas son:
B h o r>>
F í s i c a
m
o d e r n a
1 6 9 1
***********************************************************************************************
Ejemplo: 02
_ nheo . E = ----------- = n h r = nñco
A l m o v im ie n to a rm ó n ic o sim ple de un
2n
cuerpo de masa " m " , unida a un resorte de constante elástica " k " ,
^ C o n d ic ió n de cu an tización para la ener gía, enunciada p o r P la n ck y E in s te in ^
kx **-------'"ÓOOÚÚÚÚÍXJ- i m
:
Ejemplo: 03 I
A l m o v im ie n to
X
de u na p artícu la de m a
sa " m " confinada a una ca ja u nidim e n
o f-
sionai de lo n g itu d ' d x m — - = -k .x d t2
Sobre la partícu
la no actúa n in g u na fu e rza externa sólo
( 1)
cuando choca contra las paredes y se re fle ja elásticam ente. C on sid e ra n d o que la
L a solu ció n general de esta ecu ación di
partícu la in ic ia su m o v im ie n to en la pa
ferencial de segundo orden, vie n e dado
re d izq u ie rd a , tenem os:
por: x = A se n co .t
(2 )
siendo, " A " la a m p litu d , "co" la ffecuen cia angular.
m©—í
D e otro lado, la energía total del sistema oscila torio es: 2 A2
2
cjip d x = | ^ ( + m v ) d x + J ^ ( - m v ) d x
(3)
E ¡ = - k . A 2 = - m . c ü z .A
2
2 m v í = nh D e la e c .(2 ), obtenem os " d x " y la canti dad de m o v im ie n to " p " , así:
nh p - m v =
d x = co A co sco .td t
A s u m ie n d o que la partícula es no relati
dx . p = m — = m coAcosco.t K dt Sustituyendo
estas
expresiones
21
vista, su energía es:
en
„
la
1
E = — mv
e c . ( l ) , y u tiliza n d o la e c .(3 ), tenem os:
2
P2 2m
= —— = n
2
h2 8m t
^ C o n d ic ió n de cu a n tiza ció n para la ener
(| p d x = (| meo2 A 2 eos2 co.tdt = n h
g ía, enunciada p o r B h o r ^ 2 E ( ^ eos2 co.td t = n h
15.
H a c ie n d o ca m b io de varia b le , cot=0 para 0 < 9 < 2 t i , obtenem os:
2n (2n
—
I
2 z2 nE , eos 0 d 0 = — tc = n h
a)
C R E A C IO N Y A N IQ U ILA C IO N DE PARES Aniquilación de pares Se lla m a así al proceso en el que un fo tó n de alta energía pierde toda su ener
1 6 9 2
F í s l c a + +
A * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
um bral"0 , necesaria para que u n fotón
g ía ( h u ) en una co lisió n con u n núcleo creando u n electrón y un positrón (lla m a
crea el p a r es 2 m oc2= l , 0 2 M e V , la cual,
do p a r), y sum inistrándoles energía cine
corresponde a una lo n gitu d de onda de
o
tica.
0 ,0 1 2 A . S i la jo n g itu d de onda es m e ñ o r que está, corresp ondiendo a una ener
b) Ecuación de balance
g ía m a y o r que el v a lo r u m b ra l, el fotón crea el par co n energía cinética y co n e
E+=m+c2©
E -h u m
nergía en reposo.
E.=m.c2 © - ''* 'P ^
M. - Q
Q
e =u c
núcleo
''''"'AP
A N TES
DESPUES
3)
E l proceso de creación de pares es un proceso de alta energía, los fotones perte
2+ k
necen a las regiones de r a y o s -X cortos o rayos y en el espectro electrom agnético. 4)
L o s resultados experim entales dem ues tra n que la absorción de fotones en su in
E n la p ro d u cció n de pares la energía que
te ra cció n co n la m ateria ocu rre p rin cip a ]
to m a el retroceso del nú cleo es desprecia
m ente m ediante el proceso fotoeléctrico
ble debido a que es m u y m a siv o y p o r lo
para energías altas, p o r el efecto C o m p
tanto, el balance de la energía relativista
ton para energías m e d ia , y m ediante pro
total en el proceso es, h v = E_ + E +
d u cc ió n de pares para energías altas. 5)
en la naturaleza p o r fotones de los rayos cósm icos y en el lab oratorio p o r fotones
h v = ( m 0 c2 + K _ ) + ( m Gc2 + K + ) h v = K _ + K + + 2 m 0c2 siendo, E _ , E + las energías relativistas totales y K ., K + las energías cinéticas del electrón y positrón, respectivam ente. •
E l positrón se p ro duce con una energía
6)
T a m b ié n , se pueden p ro d u c ir otros pares de partículas tales co m o el protón y anti p ro tón si el fotón in ic ia l tiene la energía suficiente.
d) ¿Com o se forma un positronio? E n el proceso de p ro d u cció n de pares se
tró n debido a que la interacción de C o u
crean los positrones, los cuales al pasar a
lo m b del para co n el núcleo cargado po
través de la m ateria pierde n energía en
sitivam ente p ro duce una aceleración en
sucesivas colisiones, hasta que se co m b ]
el positrón y u na desaceleración en el e
nan c o n u n electrón para fo rm a r un siste
lectrón.
m a lig a d o lla m ad o positronio. E l átom o
E n el proceso se cu m p le n los p rin c ip io de con se rvación de la energía relativista total, la con se rva ción del im pu lso, y la
2)
de fren ado provenientes de los acelerado res de partículas.
cinética ligeram ente m a y o r a la del elec
c) Características 1)
L o s pares electrón-positró n se producen
positronio es de v id a corta decayendo en fotones a los 1 0 10 segundos de su form a ció n .
e) Aniquilación de pares
con se rvación de la carga.
E s u n proceso inverso al de la creación
D e la ecuación de balance, se observa
de pares, en el que, u n electrón y posi
que la energía m ín im a llam ada <<:energía
tró n inicialm e nte en reposo y cerca uno
F í s i c a
m
o d e r n a
1 6 9 3
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de otro, se unen y se aniquilan . L a mate
f)
proceso de p ro d u cció n de pares y de la
ria desaparece generándose energía ra
existencia del positrón fue obtenida p o r
diante. D a d o que, el im p u lso in icia l del
A n d e rs o n en 1933 m ientras investigaba
sistema es nu lo , y el im p u lso debe con
la ra d ia ció n cósm ica, el cual, consiste en
servarse en el proceso, n o es posible te
u n flu jo de fotones de gran energía y par
n e r u n solo fotón y a que un solo fotón no
tículas cargadas que in cid e n sobre la tie
puede tener im p u lso nulo.
rra provenientes de fuentes extraterres tres.
Ecuación de balance P a ra que se conserve la energía y el m o
h) Importancia
m e ntó lineal, deben producirse al m enos
E l descu brim ien to del proceso de pro
dos fotones. A
diferencia de la pro du c
d u cc ió n de pares e x p lico el origen de u
c ió n de pares, la a n iq u ila c ió n puede pro
na discrepancia entre la teoría de atenúa
ducirse en el espacio va c ió , siendo las e
c ió n de los r a y o s -X y las m edidas de los
cu a ció n de con servación de la energía y
coeficientes de atenuación para los ra
el m om ento lineal,
y o s -X de 2,6 M e V . C o m o originalm ente la teoría no in c lu ía la p ro d u cció n de pa
2 m 0c2 + siendo,
K + + K_ = h V] + h v 2
res, la atenuación predicha^era m u y pe queña. P ero, la co n trib u ció n m ás im p o r
K., K+ las energías cinéticas del
tante del descubrim iento de A n d e rs o n ra
electrón y positrón, 2 m 0c2 la sum a de sus
dica en la co n firm a c ió n y v a lid a ció n de
energías en reposo, y h u í, h u 2, las ener
la teoría relativista
gías de los fotones creados.
huí Et =m+c2=mllc2+K+
©
m ecá n ico -cu á n tico
del electrón de D ira c .
jr
i)
Energía del electrón L a teoría de D ira c conduce a la predic c ió n de que los valores p erm itidos de la
-
energía relativista total E para u n elec
\
hu2
o
tró n libre , viene dado por:
E=m .c2s'm (,c2+ K E = ± [ c 2p 2 + ( m 0c2 ) 2 ] 1/2 A N TES •
DESPUES
A su v e z , la ecu a ción correspondiente a la con se rvación de la cantidad de m o
siendo, " m 0 " la m asa en reposo del ,elec tró n, " p " la cantidad de m o v im ie n to , y " c " la v e lo c id a d de la lu z en el va ció .
m entó lineal es,
t h -
h m . v . + m _ v _ = — ki + — k->
+ +
2n
Nivel positivo más alto
2n
siendo, k el ve cto r de pro pagación, cu yo m ó d u lo es k=27t/A.
-Nivel positivo más bajo
+ m nc
02 __
-Nivel negativo más alto
g) Evidencia experimental L a p rim e ra e vide ncia experim ental del
Nivel negativo más alto
1 6 9 4
F í s i c a + +
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Esta teoría establece que los niveles de e
tal se usó para toda p artícu la subatóm ica
nergía discretos del electrón libre , están
c o m o los protones y neutrones, los elec
com p re ndidos en el siguiente intervalo,
trones y otros tipos de partículas exóti cas que sólo pueden encontrarse en los
E + > m 0c 2
y
E _ < - m 0c2
rayos cósm icos o’ en los grandes acelera dores de partículas, c o m o los piones o
E l diagram a de niveles de energía para
los m uones. S in e m bargo, a p a rtir de los
un electrón libre sugiere la posibilidad
años 1970 quedó cla ro que los protones
de e xcita r un electrón que se encuentra
y neutrones son partículas com puestas
en u n n iv e l de energía negativa m ediante
de otras partículas m ás sim ples. A c tu a l
la absorción de u n fotón. D a d o que to
m ente el n o m b re p artícu la elem ental se
dos Jos nive le s de energía negativa se
usa para las partículas, que hasta donde
consideran totalm ente ocupados, el elec
se sabe, no están form adas p o r partículas
tró n deberá ser excitado a uno de los ni veles de energía positiva desocupados, siendo la energía m ín im a que se requiere
m ás sim ples en interacción.
1) Bosones S o n partículas que no cu m p le n el princi
para este proceso h u = 2 m 0c2, y el resulta
p ió de ex clu sió n de P a u li, p o r lo que dos
do de este proceso es la p ro d u cció n de
partículas pueden o cu p a r el m is m o esta
u n electrón en un n iv e l de energía positi
d o cuántico . A tem peraturas m u y bajas
v a m ás u n aguje ro en u n n iv e l de energía
tienden a ocu pa r el n iv e l energético m ás
negativa.
bajo, o cu pa ndo todas las partículas el
16. P A R TIC U LA S E L E M E N TA L E S
m is m o estado cuántico . E n 1924, Satyen
a) Física de partículas
la ro n un m o d e lo de estadística, conocida
dra N a th B o se y A lb e rt E in s te in postu
•
E s la ram a de la física que estudia los
ahora c o m o estadística de B o se -E in s te in
com ponentes elem entales de la m ateria y
para m o lécu las a tem peraturas m u y cer
las interacciones entre ellos.
canas al cero absoluto; ésta m is m a esta
La s partículas fundam entales se s u b d iv i
dística resulta que puede aplicarse tam
den en bosones (partículas*de espín ente
b ié n a este tip o de partículas.
ro co m o p o r eje m plo 0, 1, 2 ...), que son
•
las responsables de tra n sm itir las fuerzas fundam entales de la naturaleza, y ferm io nes (p a rtícu la s de espín sem ientero co •
S eg ún el m o d e lo estándar, los bosones son cuatro: el fotón , el b osón W , el bp són Z y el g lu ó n .
•
L a s teorías m atem áticas que estudian los
m o p o r ejem plo 1/2 ó 3/2).
fenóm enos de éstas partículas son en el
Se con oce a esta ram a tam bién co m o fí
caso de la interacción fuerte, de los g lu o
sica de altas energías debido a que m u
nes, lat c ro m o d in á m ic a cuántica y en el
chas de las partículas se las puede ve r so
caso de la interacción electrodébil, de fo
lo en grandes colisiones pro vocadas en
tones y bosones W y Z , la electrodinám i
los aceleradores de partículas.
ca cuántica.
2) Fermiones b) Partícula elemental La s partículas elem entales son los cons tituyentes elem entales de la m ateria. O r i gin a lm e nte el té rm in o p artícula elem en
L o s ferm iones son partículas con espín, o m o m e n to an g u la r intrínseco, fracciona rio y que sí están sujetos al p rin c ip io de
F ís ic a
1695
m o d e rn a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
•
e x clu sió n de P a u li, o sea que dos partícu
p ío , es usual h ablar de protones y neutro
las no pueden estar en u n m is m o estado
nes
cuán tico al m is m o m om ento. Su distribu
cuando h o y sabemos que no son "ele
ció n está regida p o r la estadística de F e r
m entales" en sentido estricto dado que
m i-D ira c , de ahí su nom bre.
tienen e s tru c tu ra b a qu e el m o d e lo están
com o
partículas
elem entales
aún
L o s ferm iones son básicam ente p artícu
dar an a liza a estas partículas en térm inos
las de m ateria, pero a d iferen cia de los
de constituyentes aún m ás elementales
bosones, no todos los ferm iones son par
lla m ad os quarks que no pueden encon
tículas elem entales. E l caso m ás claro es
trarse libres en la naturaleza.
el de los protones y neutrones; éstas par tículas son ferm iones pero están com
•
d) Partículas compuestas
puestos de quarks que, en nuestro n iv e l
L o s físicos de partículas d e n o m in a n co
actual de co n o cim iento s, si se conside
m o hadrones a las partículas que se com
otras m as elem entales. L o s ha
ran co m o elementales.
p on en de
L o s ferm iones se d iv id e n en dos grupos:
drones están com puestos de quarks, de
los quarks y los leptones. E sta diferencia
antiquarks y de g luones. L a carga eléctri
se a p lica d e b ido a que los leptones pue
ca de los hadrones es u n n ú m e ro entero
den e x istir aislados, a diferencia de los
p o r lo que la sum a de la carga de los
quarks que se encuentran siem pre en pre
quarks que los com pon en debe ser u n en
sencia de otros quarks. L o s grupos de
tero.
quarks n o pueden tener carga de co lo r
•
L a interacción fuerte es la que p re d o m i
d e b ido a que los gluones qu e los unen
na en los hadrones, aunque tam bién se
poseen carga de co lo r.
m anifiesta la interacción electrom agné tica y la dé b il. La s partículas co n carga
c) Partícula sub-átomica
•
los quarks y los gluones al tener carga
las com puestas c o m o los hadrones y los
de c o lo r están confinados a perm anecer
m esones están form ados p o r constituyen
u n id o s en u na pa rtícu la co n carga de co
tes m ás sim ples llam ados ^quarks y anti
lo r neutra.
quarks y
L o s hadrones se s u b d ivid e n en dos cía
"n u b e s "' de gluones que los
m antienen u nidos.
ses de partículas, los bariones y los m eso
L a lista de partículas subatóm icas que ac
nes.
tualm ente se conocen consta de centena
•
de c o lo r interactúan m ediante gluones;
L o s neutrones, protones y otras partícu
1) Bariones
res de estas partículas, situación que sor
L o s bariones son partículas que contie
p re n d ió a los físicos, hasta que fu ero n ca
nen tres quarks, algu nos glu ones y algu
paces de com p re n d e r que m uchas de e
nos antiquarks. L o s bariones más con ocj
nucleones, es d e c ir los pro to
sas partículas realm ente no eran elem en
dos son los
tales sino com puestas de elem entos más
nes y neutrones, adem ás de otras partícu
sim ples lla m ados quarks y leptones que
las m ás m asivas conocidas co m o hipero
interaccionan entre ellos m ediante el in
nes. D e n tro de los bariones existe una
tercam bio de bosones.
intensa interacción entre los quarks a tra
E l té rm in o p artícu la elem ental se sigue u
vés de los gluones, que transporta la in
sando para cu a lq u ie r p artícu la que esté
teracción fuerte. C o m o los gluones tie
p o r debajo del n iv e l atóm ico. P o r ejem
nen carga de co lo r, en los bariones las
1 6 9 6
F í s ¡ c a + +
***********************************************************************************************
partículas que lo contienen ca m bian rápi
tro fuerzas fundam entales. S o n partícu
dam ente de carga de co lo r, pero el con
las de espín 1/2, p o r lo que son ferm io
ju n to del ba rió n perm anece co n carga de
nes. F o rm a n , ju n to a los leptones, la ma
c o lo r neutra.
teria v is ib le .
*
L o s bariones son tam bién ferm iones p o r lo que el v a lo r de su espín es 1/2, 3/2....... C o m o todas las partículas, los bariones tienen su p a rtícu la de antim ateria llam a da a ntibarió n que se form an co n la u nión
2) Descubrimiento F u e descubierto en la serie de experim en tos realizados para estudiar la dispersión e le c tró n -p ro tó n , p o r los físicos T a y lo r -
de tres antiquarks. S in contar co n los nu
K e n d a ll-F rie d m a n
cleones, la m a y o ría de bariones son ines
partículas lineal ( S L A C ) .
tables.
en el acelerador de
3) Tipos
2) Mesones
H a y seis tipos distintos de quarks que
L o s m esones son partículas conform adas p o r un qu a rk, u n antiquark y la partícula que las une, el g lu ó n . T o d o s los m esones
los físicos de partículas han denom inad o de la siguiente m anera: q u a rk arriba, aba j o , encantado, extraño, cim a y fondo.
son inestables; pese a ello pueden encon trarse aislados d eb ido a que las cargas de c o lo r del q u a rk y del antiquark son o puestas, obteniendo u n m esón co n carga de c o lo r neutra. L o s mesones son ade m ás bosones y a qu e la sum a de los espi nes, de sus q u a rk -a n tiq u a rk m ás la contri b u c ió n del m o v im ie n to de estas partícu las, es un n ú m e ro entero. Se conoce tam b ié n que el m esón posee interacciones
Se m uestra la estructura de u n q u a rk en
fuertes, débiles y electrom agnéticas.
u n pro tón, dos q ua rk arriba y un quark
En
abajo.
este g ru p o se in c lu y e el p ió n , el
kaó n, la J/\|/, y m yc h a s otfas. Puede que existan ta m bié n m esones exóticos aun
4) Carga
que n o existe e vid e n cia experim ental de
L a carga eléctrica de los quarks es -1/2 o
ellos.
+2/3
de la carga elem ental. P o r esto
siem pre las partículas com puestas (b a rio
e) Quark 1) Definición
nes y m esones) tienen una carga entera. E x p e rim e n ta lm e n te (p o r eje m p lo en el
L o s quarks, ju n to co n los leptones, son
experim ento de la gota de aceite de M i
los constituyentes fundam entales de la
llik a n ) n o hay
m ateria y las partículas m ás pequeñas
fraccionarias de partículas aisladas. L a
que el h o m b re h a logrado identificar. V a
tercera parte de la carga en los hadrones
rias especies de quarks se co m b in a n de
es d e b ido a la presencia de los quarks.
m anera específica para fo rm a r partículas tales c o m o protones y
neutrones.
in fo rm a ció n de cargas
A ctu a lm e n te se desconoce p o r qué la su m a de las cargas de los quarks en u n p ro
L o s quarks son las únicas partículas fún
tón se corresponde exactam ente a la del
dam entales que interactúan co n las cua
electrón, u n leptón, con sig n o opuesto.
F ís ic a
m o d e rn a
1697
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5) Masa
d o r de H a d ro n e s ( L H C en in g lé s ), un a
A u n q u e si bie n se habla de la masa de
celerador de partículas que se espera en
los quarks en el m is m o sentido que la
tre en fu n cionam iento para la prim a ve ra del 2 0 0 9 , en el C E R N .
m asa de cu a lq u ie r otra partícula, la no c ió n de masa para u n quark es c o m p lica
•
E l g ra v itó n es el h ip o té tic o bosón para la
da p o r el hecho que los quarks no pue
interacción g ra vita to ria que ha sido pro
den encontrarse solos en la naturaleza.
puesto en las teorías de la g raveda d cuán
C o m o resultado, la n o c ió n de la m asa de
tica. N o suele fo rm a r parte del m odelo
u n q u a rk es una co n stru cció n teórica que
estándar d eb ido a que no se ha encontra
tiene sentido sólo cuando se especifica e
do experim entalm ente. Se te o riza que in
xactam ente que se usará para definirla.
teraccionaria con leptones y quarks y que no tend ría masa.
f) Gluones
h) Cuasipartículas
E s el bosón p orta dor de la interacción nu
L a s ecuaciones de cam po de la física de
cle a r fuerte, una de las cuatro fuerzas
la m ateria condensada son m u y sim ilares
fundam entales. N o posee masa ni carga
a las de la física de partículas. P o r eso,
eléctrica, pero sí carga de co lo r, p o r lo
m u ch a de la teoría de la física de partícu
que además de tra n sm itir la inter acción
las se puede aplicar a la física de la mate
fuerte tam bién la experim enta.
ria condensada, asignando a cada cam po
L a teoría que postula la existencia de los
o e xcita ció n de la m is m a un m odelo que
glu one s y describe su d in á m ica se llam a cro m o d in á m ic a
cuántica.
El
nom bre
in c lu y e "cuasipartículas". Se in clu ye n : •
L o s fonones, m odos v ib ra to rio s en u na
•
L o s excitones, que son la superposición
•
L o s plasm ones, co n ju n to de excitaciones
•
L o s positrones son la m e zcla de u n fotón
•
L o s polarones, que son cuasipartículas
g lu o n qu e s ig n ifica "peg am ento", se de be a que estas partículas son las que "u
estructura cristalina.
ne n " los quarks dentro de los nucleones.
g) Partículas hipotéticas E n tre las p rincip ales partículas postula das teóricam ente y qu e aup n o han sido con firm ad as su existencia p o r n in g ú n ex pe rim e nto hasta e l 20 0 8 , se encuentran: •
de u n electrón y u n hueco. coherentes de un plasm a. y otra de las cuasipartículas de ésta lista. cargadas en m o v im ie n to que están rodea
E l b osón de H ig g s es la ú nica partícula del m o d e lo estándar no observada. E n la fo rm u la c ió n del m o d e lo electro d é b il, la
das de iones en u n m aterial. •
tes de los espines de los electrones en un
p artícu la que p o d ría e x p lica r la diferen
m aterial.
cia de masas de los bosones W y Z y el fotón ; se postula que para p o d e r ro m p e r
L o s m agnones son excitaciones coheren
i)
Teorías en ta física de partículas
espontáneam ente la sim etría de u n cam p o de Y a n g -M i lls se necesita u n a partí
1) Teoría de cuerdas
de
E s u n m o d e lo fundam ental de la física
H ig g s . E sta p a rtícu la en u n ca m p o de
que básicam ente afirm a que todas las
H ig g s daría las respuestas a esta interro
partículas son en realidad expresiones de
gante. L o s cie ntíficos esperan descubrir
u n objeto básico u n id im e n sio n a l extendí
al bosón de H ig g s en el G ra n C o lis io n a
d o lla m a d o "cu erd a" o "fila m e n to ".
cu la , ahora c o n o cid a co m o bosón
1 6 9 8
F í s ¡ c a + +
***********************************************************************************************
D e acuerdo co n esta propuesta, u n elec
L a crítica p rin c ip a l de que es objeto la
tró n no es u n "p u n to " sin estructura inter
T e o r ía de supercuerdas es de que sea,
na y de dim e nsión cero, sino una cuerda
fundam entalm ente, im p o s ib le de falsar,
m in ú scu la que v ib ra en un espacio -tiem
d eb ido a su naturaleza intrínseca: tiene
p o de más de cuatro dim ensiones. U n
la suficiente fle x ib ilid a d m atem ática co
punto n o puede hacer nada m ás que m o
m o para que sus parám etros se puedan
verse en u n espacio trid im ensio nal. D e
m o ld e a r para encajar con cu a lq u ie r tipo
acuerdo con esta teoría a n iv e l "m icro s
de rea lid ad observada.
c ó p ic o " se p e rcib iría que el electrón no
E l filó so fo de de la cie n cia M a rio B u n
es en rea lidad u n pu nto , sino u na cuerda en fo rm a de la zo . U n a cuerda puede ha
ge h a m anifestado 'recientemente: •
L a consistencia, la sofisticación y la be
cer algo además de m overse, puede o s d
lle za nunca son suficientes en la investí
la r de diferentes m aneras. S i oscila de
g ación científica.
cierta m anera, entonces, m acro scópica
•
L a T e o r ía de cuerdas es sospechosa (de
m ente ve ríam os u n electrón; pero si osci
p seu d o ciencia). Parece científica porque
la de otra m anera, entonces veríam os un
abo rda un p ro b le m a abierto qu e es a la
fotón, o un qu a rk, o cu a lq u ie r otra partí
v e z im po rtante y d ifíc il, el de construir
cu la del m o d e lo estándar. E sta teoría,
u na teoría cuántica de la g ra v ita ció n . Pe
a m p liada co n otras c o m o la de las super
ro la teoría postula que el espacio físico
cuerdas o la T e o r ía M pretenden alejarse
tiene seis o siete dim ensiones, en lugar
de la co n ce p ció n del p u nto -partícula.
de tres, sim plem ente para asegurarse con sistencia m atem ática. Puesto que estas di
2) Teoría de supercuerdas
extra so n
inobservables, y
E s u n esquem a teórico elaborado con la
puesto que la teoría se ha resistido a la
inte nción de e x p lica r todas las partículas
co n firm a c ió n experim ental durante más
y fuerzas fundam entales de la naturaleza
de tres décadas, parece ciencia ficció n , o
en una sola teoría qu e m odela las partícu
al m enos, ciencia fallida.
las y cam pos físicos co m o vibracion es
•
m ensiones
•
L a física de partículas está inflada con
de delgadas cuerdas supersim étricas que
sofisticadas teorías m atem áticas que pos
se m u e v e n en un espacio -tiem po de más
tu la n la existencia de entidades extrañas
de 4 dim ensiones.
que n o interactúan de form a apreciable,
U n a de las ju stificacio n es manifestadas
o para nada en absoluto, co n la materia
p o r los teóricos de las supercuerdas es
ord in a ria , y co m o consecuencia, quedan
que el esquem a es una de las m ejores teo
a sa lv o al ser indetectables. Puesto que
rías candidatas para fo rm u la r u na teoría
estas teorías se encuentran en discrepan
cuántica de la gravedad. L a teoría de las
c ia co n el co n ju n to de la F ís ic a , y v io la n
supercuerdas se basa enteram ente en la
el req uerim ie nto de falsacio nism o , pue
teoría supersim étrica de cuerdas porque,
den calificarse de pseudocientíficas, in
a diferen cia de la teoría de cuerdas bosó
clu s o aunque lle ve n p u lu la n d o u n cuarto
nica , esta es la ve rs ió n de la teoría de
de sig lo y se sigan p u b lica n d o en las re
cuerdas que, m ediante la supersim etría,
vistas científicas m ás prestigiosas.
in co rp o ra a los ferm iones.
3) ¿La teoría de supercuerdas una pseudociencia?
4) Falsacionismo E l falsacio nism o , refiitacionism o o prin
1699
F ís ic a m o d e r n a
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tam bién se encontraba en el m is m o esta
c ip io de falsabilidad es u na corriente e p iste m o ló g ica fundada p o r el filósofo
do a m ediados del sig lo X I X ; h abía teo
austríaco
Popper,
rías separadas para el m ag netism o y la e
constatar una te oría s ig n ifica intentar re
le ctricid ad y , aunque eran con ocidas p o r
futarla m ediante u n contraejem plo. Si no
estar relacionadas, la re la ció n exacta no
es p osible refutarla, d ich a teoría queda
se cla rific ó hasta que Jam es C le r k M a x
K a rl
Popper.
Para
corrob ora d a , p u d ie n d o ser aceptada pro
w e ll p u b lic ó sus ecuaciones en su traba
v isio nalm e nte ,
verificada.
j o de 1864, U n a T e o r ía D in á m ic a del
D e n tro del falsacionism o m e to d o ló g ico ,
C a m p o E le ctro m a g n é tico . W itte n había
pero
nunca
se pueden dife re n cia r el falsacionism o
su g erido que u na fó rm u la general de la
in g enu o in ic ia l de P o p p e r y el falsario
te o r ía -M
n ism o sofisticado de la o bra tardía de Po
desarrollo de u n n u e v o lenguaje materna
p p e r y la m e to d o lo g ía de los program as
tico. A lg u n o s científicos han cuestiona
de inve stig a c ió n de Im re Lakatos.
do los éxitos tangibles de la T e o r ía -M
probable m en te re q u e riría del
dado su estado in co m p le to y su p o d e r li
5) Teoría M
m ita d o de p re d ic ció n in clu so después de
L la m a d a tam bié n T e o r ía -U , es la pro p o
años de intensas investigaciones.
sició n de u na “ T e o r ía u n ive rsa l” que urn fiqu e las c in c o teorías de las S upercuer
6) Teoría del To do E s una teoría hipotética de la F ís ic a T e ó
das. Basada en los trabajos de varios
•
científicos teóricos, su g irió la existencia
rica que e x p lica y conecta en u na sola
de las S upercuerdas en u na conferencia
todos los fenóm enos físicos conocidos.
en la U S C en 1995, usando a la T e o r ía -
In icia lm e n te , el té rm in o fue usado co n u
M
para e x p lica r un n ú m e ro de du alida
na co n n o ta ció n iró n ica para referir a v a
des pre viam ente observadas, p ro p o rc io
rias teorías sobregeneralizadas. Después
nando el punto de partida para una nue
el té rm in o se p o p u la rizó en la F ís ic a
v a in ve stiga ció n de la teoría de las cuer
C u á n tic a al de s crib ir u na teoría que po
das lla m ad a segunda re v o lu c ió n de su
dría u n ific a r o e x p lica r a través de un
percuerdas.
m o d e lo sim ple de teorías de todas las in
•
teracciones fundam entales de la natura
A co m ie n zo s de los años 1990, se dem os
leza.
tró que las varias teorías de las S uper cuerdas estaban relacionadas p o r dualida
•
♦
H u b o num erosas teorías del to do p ro p u
des, que p e rm itían a los físicos relacio
estas p o r físicos teóricos en el sig lo pasa
nar la de scrip ció n de u n objeto en una
do, pero hasta ahora n in g u n a ha sido ca
teoría de Supe rcu e rda para eventualm en
p a z de "apro bar" una prue ba experim en
te de s crib ir un objeto diferente de otra
tal, han tenido trem endas dificultades pa
teoría. Estas relaciones im p lic a n que ca
ra que sus teorías tengan resultados expe
da u na de las teorías de Supercuerdas es
rim entales estables. E l p rim e r p ro b le m a
u n diferente aspecto de una sola teoría,
en p ro d u c ir una teoría del todo es que
propuesta p o r W itte n , y lla m ad a “ T e o
las teorías aceptadas, c o m o la m ecánica
ría -M ”
cuántica y la re la tivid a d general, son ra
L a T e o r ía -M no está com pleta; sin em
dicalm en te diferentes en las descripcio
ba rg o , puede aplicarse a m uchas situ a d o
nes del u n ive rso : las form as sencillas de
nes.
co m binarlas co n d u ce n rápidam ente a la
La
teoría
del
electrom agnetism o
1700
F í s i c a + +
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"re n o rm a liza c ió n " del pro b le m a , en don
gu nos errares y om isio nes de la anterior
de la teoría no nos da resultados finitos
teoría. S in e m bargo de las ecuaciones se desprendía el decaim iento del protón.
para datos cuantitativos experim entales. Fin a lm e n te , u n n ú m e ro de físicos no es
•
•
E s to lle v ó a algunos fam osos experim en
pera qu e la teoría del todo sea descubier
tos para detectar ’este efecto: pero co m o
ta.
el tie m p o de v id a de u n p ro tó n es m u y
O tro s térm inos, n o del todo sinónim os,
largo , en el orden de 1031 años, no es po
em pleados para referirse al m is m o con
sible ob se rva r la p artícula el tiem po sufi
cepto son teoría u nificada, g ra n teoría
cíente c o m o para presenciar la descom
u n ifica d a , teoría de cam pos u n ifica d a y
p o sició n . E n ree m plazo de esto, quizás
teoría del cam po unificado.
el efecto p o d ría ser o b s ervado si se exa
7) Teoría de Gran Unificación
tentos de m e d ic ió n co n o cid o s se realiza
m iin a n suficientes protones. A lg u n o s in E s una teoría que u n ific a tres de las cua
ro n en piscinas subterráneas (p a ra prote
tro fuerzas fundam entales en la naturale
g er el experim ento de ra d ia cio n e s) de
za: la fuerza n u clear dé b il, fuerza nu
grandes dim ensiones, en las que el decaí
clear fuerte y la fu erza electrom agnética.
m ien to del p ro tó n sería v isu a liza d o co
L a fuerza de g ra ve da d no es considerada
m o un destello en u na serie de fotosen
en las teoría de G ra n U n ific a c ió n , pero
sores.
si en una eventual T e o r ía del T o d o ( T O E ) , que consideraría las cuatro interaccio •
•
8) Superfuerza Se lla m a así a la supuesta fu erza que reu
nes fundam entales. Com o
ejem plos
exitosos
c ió n ",
se encuentran
de
"u n ifica
n iría a las cuatro fuerzas fundam entales
la dem ostración,
(g ra v e d a d , electrom agnetism o, fu erza nu
p o r parte de N e w to n , de que la fuerza
cle ar fuerte y fuerza n u cle a r d é b il), se
que m antiene a los planetas g ira n d o en
con sid era co n altísim as pro babilidades
to m o al sol y la fu erza que nos m antiene
q u e en el m o m e n to in ic ia l del b ig bang
pegados a la superficie de la T ie r r a es la
lo que había era una superfuerza, arúes'
m ism a . T a m b ié n M a x w e ll 4levó a cabo
0
de crearse el espacio -tiem po, al generar
la u n ific a c ió n de los cam pos eléctricos y
se y diferenciarse el espacio y el tiem po,
m agnéticos, que hasta antes de su gran
en instantes, la superfuerza se fue d iv i
teoría, eran considerados fenóm enos se
d iendo en las cuatro fuerzas elem entales
parados y diferentes.
actualm ente existentes en el u n ive rso co
S teven W e in b e rg y A b d u s S a la m elabo
no cid o .
raron en 1 9 6 7 -1 9 6 8 , una teoría relativis ta del cam po cuántico , que pe rm itía ex presar las interacciones electrom agnéti cas y débiles de una m anera unificadas (la inte racción ele c tro d é b il), y que predi jo hechos que lu e g o fu ero n co m p ra b a dos experim entalm ente. Posteriorm ente, H o w a rd
G e o rg i
y
S h e ld o m
G la s h o w
d esarrollaron una n u e v a teoría, que apor taba nuevas características y corregía al
9) Teoría del Big Bang E n c o s m o lo g ía física, la teoría del B ig B a n g o teoría de la gran e x p lo sió n es un m o d e lo cie n tífic o que trata de e x p lica r el orig e n del U n iv e rs o y su d esarro llo pos te rio r a p a rtir de una sin g u la rid a d espa c io -te m p o ra l. Té cn ica m e n te , se trata del concepto de expansión del U n iv e rs o des de u na sin g u la rid a d p rim ig e n ia , donde la
F ís ic a
m o d e rn a
1701
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
e x pansión de éste se deduce de una co
datos dig ita l se transform a en una señal
le c ció n de solucio nes de las ecuaciones
an a ló g ica p e rm itiendo la escucha de los
de la re la tivid a d general, llam ados m ode
a rc h iv o s m usicales. Inm ediatam ente des
los de F rie d m a n n - L e m a itre -R o b e rts o n -
pués la te cn o lo g ía desarrollada se usa en
W a lk e r. E l té rm in o " B ig B a n g " se u tiliza
el ca m p o del alrrfacenam iento m asivo de
tanto para referirse específicam ente al
datos.
m o m e n to en el que se in ic ió la expan sió n observable del U n iv e rs o (cu a n tifica
c) Procesos
da en la le y de H u b b le ), co m o en un sen
L o s láseres constan de un m e d io activo
tid o m ás general para referirse al paradig
capa z de generar el láser. H a y cuatro pro
m a c o s m o ló g ic o que e x p lica el o rig e n y
cesos básicos que.se p ro d u ce n en la ge neración
la e v o lu c ió n del m ism o .
del láser,
denom inados b o m
beo, em isión espontánea de rad iación , e
17. LA SER
m is ió n estim ulada de radiación y absor ció n.
a) Definición Un
láser
cuyo
sig nificado
literal
es
1)
Se p ro vo ca m ediante una fuente de radia
(L ig h t A m p lific a tio n b y Stim ulated E m i
c ió n c o m o puede ser una lám para, el pa
ssion o f R adia tio n, A m p lif ic a c ió n de L u z
so de u na corriente eléctrica, o el uso de
p o r E m is ió n E stim u la d a de R a dia c ió n )
cu a lq u ie r otro tip o de fuente energética
es u n dispositivo que u tiliza u n e fecto de
la
m e cá n ica
cuántica,
la
em isión
in d u cid a o estim ulada, para generar un
Bom beo
que p ro vo q u e una em isión. 2)
E m is ió n espontánea de radiación L o s electrones que v u e lv e n al estado fun
h a z de lu z coherente de un m e d io adecúa
dam ental em iten fotones. E s un proceso
do y co n el tam año, la form a y la pureza
aleatorio y la rad iación resultante está
controlados.
form ada p o r fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distin
b) Origen
tas generándose una rad iación m onocro
E n el año 1960 T o w n e s y A r th u r L e o
m ática incoherente.
n a rd S c h a w lo w inve n ta n y patentan el láser. D o s años después, R o b e rt H a ll in
3)
E m is ió n estim ulada de radiación
ve nta el láser sem icond u ctor. E n 1969 el
L a em isión estim ulada, base de la genera
láser p o r p rim e ra v e z se u tiliz a en las sol
ció n de rad iación de u n láser, se produce
daduras de los elem entos de chapa en la
cuando u n átom o en estado excitado reci
fa brica ció n de ve h íc u lo s.
be un estím ulo externo que lo lle va a e
E l año de 1980, u n g ru p o de físicos regis
m itir fotones y así reto m a r a u n estado
tran la p rim e ra e m is ió n láser en el rango
m enos excitado. E l estím ulo en cuestión
de los rayos X . C in c o años después se co
pro vien e de la llegada de u n fotón co n e
m ie n za a co m e rc ia liza r el disco com pac
nergía sim ila r a la diferen cia de energía
to, donde u n haz láser de baja potencia "le e " los datos co d ificado s en fo rm a de pequeños o rificio s (p u n to s y rayas) so bre u n disco ó p tico co n u na cara refíec tante. P oste riorm ente esa secuencia de
entre los dos estados. L o s fotones así e m itid o s p o r el átom o estim ulado poseen fase, energía y dire c ció n sim ilares a las del fotón externo que les dio origen. L a em isión estim ulada descrita es la ra íz de m uchas de las características de la lu z lá
-1 7 0 2
F í s i c a + +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
4)
ser. N o sólo produce lu z coherente y m o
flejar haces láser de pocos vatios de po
n o cro m a , sino que tam bién "a m p lifica "
tencia sobre la lu n a y su lu z era todavía
la em isión de lu z , y a que p o r cada fotón
lo suficientem ente b rilla n te para verla
que in cid e sobre u n átom o excitado se
desde la tierra. U n o de los prim ero s ha
genera otro fotón.
ces láser que se disparó con tra la luna en
A b s o rc ió n
1962 sólo lle gó a dispersarse cuatro k ilo
Proceso m ediante el cual se absorbe un
m etros sobre la superficie lunar. ¡N o es
fotón. E l sistema atóm ico se excita a un
tá m a l si se considera que se había des
estado de energía m ás alto, pasando un electrón al estado metaestable. Este fenó
pla za d o cuatrocientos m il kilóm etros! 3)
L a lu z láser es coherente. E sto significa
m eno com p ite co n el de la em isión estí
que todas las ondas lum inosas proceden
m u la d a de radiación.
tes de u n láser se acoplan ordenadam en te entre sí. U n a lu z corriente, co m o la
d) Características 1)
procedente de u na b o m b illa , genera on
L a lu z láser es intensa. N o obstante, sólo
das lum inosas que co m ie n za n en diferen
ciertos láseres son potentes. A u n q u e lo
tes m em entos y se desplazan en d ire ccio
parezca, no se trata de una contradic
nes diversas. A lg o parecido a lo que ocu
ció n. L a intensidad es una m e dida de la
rre cuan do se arroja u n puñad o de piedre
potencia p o r u nid a d de superficie, e in
citas en u n lago. L o ú n ic o que se crean
cluso los láseres que em iten sólo algu
son pequeñas salpicaduras y algunas on
nos m iliva tio s son capaces de p ro d u cir
dula cio nes. A h o r a bien, si se arrojan las
una elevada intensidad en un rayo de un
m ism as piedrecitas una a una con una
m ilím e tro de diám etro. E n realidad, su in
frecuencia exactam ente re g u la r y ju sto
tensidad puede ser igual a la de la lu z del
en el m is m o sitio, puede generarse u na o .
sol. C u a lq u ie r lám para o rdin aria em i te
la en el agua de m a y o r m a g n itu d . A s í ac
una cantidad de lu z m u y superio r a la de
túa un láser, y esta pro pie dad especial
u n pequeño láser, pero esparcida por
puede tener diversas utilidades. D ic h o
toda la sala. A lg u n o s láseres pueden pro
de otro m o d o , u na b o m b illa o un foco
d u c ir m uchos m iles de vatios continua
son co m o escopetas de cartuchos, m ien
m ente; otros son capaces de p ro d u c ir bi
tras que u n láser e q u iva le a u na ametra
llones de vatios en u n im p u lso cuya dura ció n es tan sólo la m il m illo n é s im a parte de u n segundo. 2)
L o s haces láser son estrechos y no se dis
lladora. 4)
L o s láseres p ro du cen lu z de un solo co lor, o para d e cirlo técnicam ente, su lu z es m o nocrom ática. L a lu z c o m ú n contie
persan co m o los dem ás haces de lu z . E s
ne todos los colores de la lu z v isib le (es
ta cu a lid a d se d e n o m in a direccio nalidad.
de c ir, el espectro), que com binad os se
Se sabe que n i la lu z de u n potente foco
con vierten en bla nco. L o s haces de lu z
lo g ra desplazarse m u y lejos: si se enfoca
láser han sido pro ducidos en todos los
h a cia el firm a m e nto , su ra y o parece des
colores del arco iris (si bien el m ás co
vanecerse de inm ediato. E l h a z de lu z co
m ú n es el ro jo ), y tam bién en m uchos
m ie n za a esparcirse en el m em ento en
tipos de lu z in v is ib le ; pero u n láser deter
que sale del fo co , hasta alcanzar tal gra
m in a d o sólo puede e m itir ú n ica y exclu
do de dispersión que lle ga a perder su u
sivam ente u n solo color. E x is te n láseres
tilid a d . S in em bargo, se han lo g ra d o re
*»
F í s i c a
m
o d e r n a
1 7 0 3
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
sivam ente un solo co lo r. E xiste n láseres
leta y se u tiliza en la fabrica ció n de semi.
sintonizables que pueden ser ajustados
conductores y en la ciru g ía o c u la r L a sik .
para p ro d u c ir diversos colores, pero in
•
cluso éstos n o pueden e m itir m ás que un
L á s e r n e o d im i o -Y A G , un láser de alto pod er que opera co n lu z infrarroja; se uti
co lo r ú n ico en u n m em ento dado. D e te r
liz a para cortar, soldar y m arca r metales
m inados láseres, pueden em itir varias fre
y otros m ateriales.
cuencias m onocrom áticas al m is m o tiem po, pero no u n espectro con tin uo que contenga todos los colores de la lu z v i si ble co m o pueda h acerlo una b o m billa. A dem ás, existen num erosos láseres que pro yectan lu z in v is ib le , co m o la infrarro j a y la ultravioleta.
e) Aplicaciones E n m uchas aplicaciones, los beneficios
•
físicas co m o la coherencia, la alta m ono
lu z infra rro ja , es absorbido de m anera ex
cro m a ticid a d y la capacidad de alcanzar
p lo s iv a p o r tejidos im pregnados de hu
potencias extrem adam ente altas. A
mo
m edad en secciones de m enos de un m ili
do de e je m plo, u n h a z láser altam ente co
m e tro de espesor. G eneralm ente opera
herente puede ser enfocado p o r debajo
en m o d o pulsante y pasa a través de dis
de su lím ite de d ifra cc ió n que, a lo n g itu
p o sitiv o s q u irú rg ico s de fib ra óptica. Se
des de onda visib le s, corresponde sola
u tiliz a para q uitar m anchas de los dien
m ente a unos pocos nanóm etros. C u a n d o
tes, v a p o riz a r tum ores cancerígenos y
u n p u n to , éste recibe una enorm e densi
deshacer cá lcu lo s renales y vesiculares. •
Lá s e r de Z a firo dop ado co n T ita n io , es
dad de energía. Esta pro pie dad perm ite
un láser in fra rro jo fácilm ente sintoniza
al láser graba r g ig ^b yte s d t in fo rm a ció n
b le que se u tiliz a en espectroscopia.
en las m icroscóp icas cavidades de un
•
dop ado con h o lm io , 2090
n m , u n láser de alto p o d e r que opera con
se enfoca u n h a z de láser potente sobre
•
Lá s e r Y A G
de los láseres se deben a sus propiedades
•
Lá s e r de fibra dopada con erb io , u n tipo
D V D o C D . T a m b ié n perm ite a u n láser
de láser form ad o de una fib ra óptica es
de m edia o baja p oten cia alcanzar inten
pecialm ente fabricada, que se u tiliz a co
sidades m u y altas y usarlo para cortar,
mo
qu e m a r o in clu so su b lim a r m ateriales.
ópticas.
E l ra yo láser se em plea en el proceso de
•
a m p lific a d o r para com unicacion es
Lá s e r de colorante, form ados p o r u n co
fa b rica ció n de grabar o m arca r metales,
lorante. orgán ico operan en el U V - V I S
plásticos y v id rio .
de m o d o p u lsa do, usados en espectrosco
D io d o s láser, usados en punteros láser,
p ia p o r su fácil sin to n iza ció n y su bajo
im presoras láser, y reproductores de C D ,
precio.
D V D , B lu -R a y , H D - D V D ; •
L á s e r de d ió x id o de carbono , usado en la
•
L á s e r E x c im e r, que pro duce lu z u ltra vio
indu stria para corte y soldado
•1 7 0 4
F í s i c a + +
***********************************************************************************************
a ) 2 .1 0 13
PROBLEMAS 01. H a lla r la lon gitud de onda de un fotón de 2 ,0
b ) 4.1013
d ) 8 .1 0 13
keV.
c ) 6 . 1 0 13
e ) 1 0 14
07. H a lla r la longitud de onda de de B ro g lie para una b illa de b,05 k g que v ia ja a 20 m/s.
a ) 6,0 A
b ) 6,2 A
d ) 6,6 A
c ) 6 ,4 A
e) 6,8 A
a) 1,6.1o*24 A
b ) 2 ,6 .10'24 A
c)
d ) 6 ,6 .1 0 ‘24A
4 ,6 .1 0 '24 A
02. H a lla r la frecuencia de un fotón de 2,0 k e V . (h .c = 1 2 ,4 k e .V . A )
08. H a lla r la lon gitud de onda de de B ro g lie
a ) 1 ,8 .1 0 17 H z
b ) 2 ,8 .1 0 17 H z
c)
d ) 4 ,8 .1017 H z
3 ,8 .1 0 17 H z
e ) 8 ,6.10’24 A
para un neutrón “ té rm ico ” de 0 ,0 2 e V . a) 1 A
e ) 5 ,8 .1017 H z
d) 6 A
03. H a lla r la cantidad de m o v im ie n to (en M e V / c ) de un fotón de 14 M e V . a ) 10
b ) 12
c) 4 A e) 8 A
09. H a lla r la energía (e n M e V ) de un protón de lo n gitu d de onda de 0,8 fin
c ) 14
d ) 16
b) 2 A
(1 fm =
10'5 A )
e) 18 a ) 1812
04. L u e g o de un choque sim ple, que lo deja
b ) 1712 d ) 1512
c ) 1612 e) 1412
en reposo, un electrón de 1 M e V pro du ce un fotón. H a lla r la lo n gitu d de onda
10. H a lla r la energía m ín im a (e n e V ) que de be tener un fotón u tiliza d o para observar
del fotón. ( p = 1 0 12)
o un objeto, c u y o tam año es de 2,0 A .
a )l,2 p m
b ) 2 ,2 p m
d ) 4,2 p m
c )3 ,2 p m
e) 5,2 p m
a ) 1,2.103
b ) 2 ,2 .103
d ) 6 ,2 .1 0 3
i
c )4 ,2 .1 0 3
e ) 8 ,2 .103
05. Si la m á xim a lon gitu d de onda de un fo tón necesaria para separar una m olécu la
O diatómica es de 3000 A . H a lla r la ener gía de enlace de la m olécula.
11. L a s energías cinéticas de los fotoelectro nes son de 4 ,8 .1 0 '19 J cu an do la lu z que incide sobre la superficie tiene una longi
o tud de onda de 2 500 A . H a lla r el poten
a ) 1,13 e V d)
b ) 2,1 3 e V 4 ,13 e V
c )3 ,1 3 e V e ) 5,13 e V
06. Sobre una su p e rficie d e 5 c m 2 de área in
cia l de frenado para esta lu z. (1 e V = 1,6.10*19. J )
a) I V
cide norm alm ente lu z m o no cro m ática de
b) 2 V d) 4 V
c) 3 V
e) 5 V
o 200 0 A de lo n gitu d de onda. Si la inten sidad de la lu z es de 16.10"2 W /m 2. H a
12. H a lla r la lo n gitu d de onda u m b ra l para el
o
lla r el n ú m e ro de fotones p o r segundo
m aterial del p ro b le m a anterior. (1 A =
que incid e sobre la superficie.
10'10 m )
1705
F ís ic a m o d e r n a
***********************************************************************************************
a ) 1327 A
b ) 2327 A
d ) 6327
A
c ) 4327 A
e ) 8327
a) 1133
A
13. L a lon gitu d de onda u m b ra l para u n m a o terial es de 5 00 0 A . H a lla r su función
A
b ) 2133
d ) 4133 A
A
c ) 3133
a
e ) 5133 A
19. H a lla r la energía de los electrones más rápidos em itidos al ilu m in a r una superfj
o cié de litio co n lu z de 5 000 A , la fun
trabajo. (1 A = 1 0 '10 m )
ció n trabajo del litio es de 2,13 e V . a ) 1,48 e V
b ) 2,48 e V
d ) 4 ,48 e V
c ) 3,48 e V
e) 5,48 e V
a) 0,15 e V
b )0 ,2 5 e V
d ) 0,45 e Y
14. P a ra el m aterial del p ro blem a anterior. H a lla r el potencial de frenado para foto
O nes de
X = 3500A.
a ) 1,06 V
o 20. H a lla r en A , la lo n gitu d de onda m ás cor ta de la serie de B a lm e r. a ) 1646 A
b ) 2,06 V
d ) 4 ,0 6 V
15. C u a n d o u n m aterial se ilu m in a co n lu z o de 3 0 0 0 A , la m á x im a energía de los e lectrones em itidos es de 1,2 e V . H a lla r la
c ) 3,93 e V
e ) 5,93 e V
16. ¿ C u á l es la tasa de em isión de electro
e ) 5646 A
nea de la serie de Paschen para el h id ró geno. a) 10939 A
b ) 12939 A
d ) 16939 A
b ) 2,93 e V
d ) 4 ,93 e V
c ) 3646 A
21. H a lla r la lo n gitu d de onda de la tercera li
fu n ció n trabajo del m aterial. a ) 1,93 e V
b ) 2646 A
d ) 4646 A
c )3 ,0 6 V
e) 5,06 V
c ) 0,35 e V
e ) 0,55 e V
c ) 14939 A
e ) 18939 A
22. H a lla r la m ín im a lon gitu d de onda del fo tón en la serie de transiciones co n n = 4 (serie de B ra c k e tt)
nes p o r m 2 y segundo en el p ro b le m a an te rio r, si la lu z tiene una intensidad de 3
a) 1,459.104
W / m 2 y su e ficie n cia es del'SO % ?
c)
a ) 1 ,2 8 .1 0 18 d)
b ) 2 ,2 8 .1018
4 ,2 8 .1 0 18
A
b ) 2 ,4 5 9 .104
3 ,4 5 9 .1 0 “ A
A
d ) 4 ,4 5 9 .1 04 A
c ) 3 ,2 8 .1 0 18
e) 5 ,2 8 .1 0 18
e) 5 ,4 5 9 .1 0 4 A
17. H a lla r la m á x im a energía cinética de los
23. L a m ín im a lo n gitu d de onda en la serie o
es em itidos p o r una superficie, cu y a Ion
de B a lm e r para el h id róg eno es 3646 A .
o gitud de onda um bral es 6 000 A cuando o
H a lla r la constante de R y d b e rg a partir de este valor.
o
se ilu m in a co n lu z de 4 0 0 0 a ?
a) 1,097.10"3 A -1 a ) 1,03 e V d)
b ) 2,03 e V 4 ,03 e V
o '1
c ) 3,03 e V e ) 5,03 e V
c )3 ,0 9 7 .1 0 ‘3 A
o b )2 ,0 9 7 .1 0 '3 A "1 d ) 4 ,0 9 7 .1 0'3
o A"1
O 18. H a lla r la m á x im a lo n gitu d de onda de la
e)
5 ,0 9 7 .10'3 A ~ l
lu z ca p a z de p ro vo ca r em isión de electro nes en un m a te ria l, cu y a fu n ció n de tra bajo es de 3 ,0 e V .
24. H a lla r el v a lo r de " m " en la serie que da lug ar a la línea del espectro del hidróge
1 7 0 6
F í s i c a + +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
igu al a la del electrón.
no con 1 0 26 A . (O b s e rv a r que ésta es la
I I. E x is te n sólo cuando v ia ja n a la rap ide z
línea de L y m a n ).
de la lu z " c " . a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
III. L a m asa de u n fotón en reposo es nula.
f
e) 5 a) F V V
25. C a lc u la r: ke2 en e V . A . (k = 1 0 9) a ) 10,4 e V . A
b ) 12,4 e V . A
d )1 6 ,4 e V .A
c )1 4 ,4 e V .A
de un fotón, in d ica r las proposiciones
ra órbita de B h o r para el hidrógeno. b ) 0,2 2 9 A
d ) 0 ,4 2 9 A
c )V F V e) F F V
31. R especto de la cantidad de m o vim ie n to
e )1 8 ,4 e V .A
26. H a lla r en angstrom s el radio de la prim e
a ) 0 ,1 2 9 A
b) F V F d) V V F
c ) 0,3 2 9 A
verdaderas o falsas ( F ) : I.
D e p e n d e directam ente de la energía del fotón.
II.
S i la lon gitu d de onda del fotón dism in u ye a la m ita d, su cantidad de m o vim ie n to
e) 0,5 2 9 A
aum enta al doble. 27. H a lla r la ra zó n de la lo n gitu d de onda
III. L a cantidad de m o v im ie n to de los foto
C o m p to n de u n electrón respecto del ra
nes esta cuantizada.
d io de la p rim e ra órbita de B h o r para el a) F V V
h idrógeno.
b) F V F d) V V F
a ) 2 1,8
b j 22,8 d ) 24,8
c) V F V e) V V V
c ) 23,8
32. R especto del efecto fotoeléctrico,..in di
e ) 25,8
car las proposiciones verdaderas ( V ) o
28. H a lla r el radio de la segunda órbita para el litio doblem ente ionizado. a ) 0,105 A
b ) 0,205 A
falsas ( F ) : I.
E s la em isión de electrones de una placa m etálica, sobre el cu al incide radiación
c ) 0,305 A
de luz. d ) 0,405 A
. e ) 0,505 A
II. E s la dispersión de electrones.
29. Respecto de la ra d iación
III. E s la e m is ió n de ondas de infra rro jo de un cu erpo caliente.
in d ica r las proposiciones verdaderas ( V ) o falsas ( F ): I.
To do
a) F V V
cuerpo caliente em ite un espectro
de radiación discreto. II.
E l espectro de radiación no depende del
son ondas electrom agnéticas.
d) V V F
c) V F F e) F F V
ca r las proposiciones verdaderas ( V ) o
I I I . La s ondas creadas p o r cuerpos calientes
b) F V F
VVF
33. R especto del efecto fotoeléctrico, indi
m aterial del cu erp o em isor.
a) F V V
b) F V F d)
falsas ( F ) : I.
U n electrón em itido puede absorber la e
II.
L a em isión de los electrones no depende
nergía de m ás de u n fotón de lu z.
c) V F V e) F F V
directam ente de la intensidad de la luz.
30. R especto de los fotones, in d ica r las pro I.
III. S i la lu z incidente t ie n e frecuencia m e
posiciones verdaderas ( V ) o falsas ( F ) :
ñ o r que la de u m bral no hay em isión de
Son partículas fundam entales de masa
electrones.
F ís ic a
1707
m o d e rn a
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
c) V F V
b) F V F
a) F V V d) V V F
38 . R especto de los rayos X , in d ic a r las pro posiciones verdaderas ( V ) o falsas ( F ) :
e) F F V I.
34 . R especto del ra y o L A S E R , in d ica r las proposiciones verdaderas ( V )
o falsas
I I.
(F ):
I.
E n el v a c ió v ia ja n a la ra p id e z de 6 .1 0 s m/s.
,
Se pro ducen por efecto de la radiación de frenado de los electrones.
Son ondas que solo v ia ja n en un m edio
III. S iem pre son ondas longitudinales.
diferente del va ció . II.
ción.
c) V F V
b) F V F
a) F V V
S o n ondas elásticas de poca intensidad.
e) F F V
d) V V F
I I I . E x p e rim e n ta n el fenóm eno de la difrac
3 9 . R especto de los rayos X , in d ic a r las pro I.
e) F F V
d) V V F
posiciones verdaderas ( V ) o falsas ( F ) :
c) V F V
b) F V F
á) F V V
L a energía m ín im a de un fotón de rayos g am m a es m e n o r que la energía m ín im a
3 5 . R especto del rayo L A S E R , in d ic a r las proposiciones verdaderas ( V )
o falsas
de u n fotón de rayos X . II.
(F ):
Pueden experim entar e1 fenóm eno de la d ifra cc ió n .
I.
S o n ondas m onocrom áticas.
II.
Son ondas coherentes.
I I I . S iem pre se propagan en u n m e d io dife rente del va ció .
I I I . S o n ondas electrom agnéticas de longitu
c) V F V
b) F V F d)
3 6.
e) F F V
d) V V F
a) F V V
VVV
c) V F V
b) F V F
a) F V V
des de onda m enores que las de ondas de radio.
40. Según el m o d e lo estándar, los bosones son:
e) F F V
R especto de la p ro ducción del ra y o L A S E R , in d ica r las proposiciones verdade ras ( V ) o falsas ( F ) :
a)
T re s , el p ió n , ele electrón, el bosón M .
b)
T re s , el m esón p + , el kaón, el positrón.
c) C u a tro , el fotón, el bosón W , el bosón Z y el g luón.
I.
Se p ro du ce n p o r co lisió n de electrones
II.
Se p ro du cen por la em isión de electro nes de un cu e rpo caliente.
II I . Se pro ducen p o r la Interacción de un fo
d) C u a tro , el fotón, el bosón M , el bosón P y el pión.
e)
C u a tro , el protón, el positrón, el m esón k+, el neutrino.
tón co n un átom o excitado. a) F V V d) 37.
c) V F V
b) F V F VVF
e) F F V
41. a) b)
U n if ic a las fuerzas gravitatoria, electro
c)
U n if ic a las fuerzas gravitatoria, nuclear
m agnética y nuclear.
posiciones verdaderas ( V ) o falsas ( F ) : I.
Se refractan
II Interfieren
III.
U n ific a d a s fuerzas nu clear, débil y elec trom agnética.
R especto de los fenóm enos que pueden experim e nta r los ra y o s -X , in d ica r las pro
R especto de la teoría de G ra n U n ific a ció n, in d ica r la p ro posición verdadera:
y débil.
Se difractan
a) a)
FVV
b) F V F
d) V V V
c) V F V
e ) F FV
FVF
b) V F F d)
FVV
c) F F V e) F F F
1708 Física++ *********************************************************************************************** h .c
1 2 ,4 .1 0
e V .A
S O L U C I O N A R I O X
3 .1 0 3 A
S o lu c ió n : 01 •
* E = 4,13 e V
L a lo n g itu d de onda, vie n e dado por:
S o lu c ió n : 0 6 ^ _ h.c __ 12,4 k e V .A E
~
C a lc u le m o s la energía de cada fotón:
2 ,0 k e V h c E = B
X ~ 6 ,2 A S o lu c ió n : 02 •
(6 ,6 3 .1 0 ' 34 J.s )(3 .1 0 a m / s )
L a frecuencia de la ra d ia ció n , vie n e da
2 .1 0 -7 m
do por: ^ _ c _
X *
E = 9 ,9 5 .10'19 J
3 .I0 8 m /s 6 ,2 .1 0
-10
m
f = 4 ,8 4 .1017 H z
D e otra parte, el flu jo total de energía es. ®
I . A = (1 6 .10-2 - ^ - X ó . l O -4 m 2 ) m
S o lu c ió n : 03 •
L a cantidad de m o v im ie n to , vie n e dado
I . A = 8.10” 5 J/ s
por: L u e g o , el n ú m e ro de fotones p o r segundo
E P = -
que in cid e n sobre la superficie es: N _ I .A
M eV. *
p * 14
t ~
©
S o lu c ió n : 04 •
L a lo n gitu d de onda del fotón, vie n e da
E
N
8 .1 0-5 J/ s
t
9 ,8 5 .1 0 '19 J/ fo tó n
do por: * ^
h.c _ 1 2 ,4 .1 0 3 e V . A ~
E
“
N = 8 > l i l o l 3 fotones t
B
s
106 e V S o lu c ió n : 0 7 L a lo n gitu d de onda de de B ro g lie es:
X - 1 2 ,4 .1 0 ^3 A *
X = 1,24 p m
®
S o lu c ió n : 0 5 •
S u energía m á x im a de enlace es:
X=
h m v
6,63.10~34 J.s (0,05 kg)(20 m / s )
F í s i c a
m
o d e r n a
1 7 0 9
***********************************************************************************************
tón, vie n e dado por: X = 6 ,6 3 .1 0 -24 A
®
h.c F
=
Solución: OS •
L a lo n gitu d de onda de de B ro g lie es: 1 2 ,4 .1 0
Lmin ~
x = *
e V .A
o 2 ,0
P
A
o D e otra parte,
Ec = p
/ 2 m 0 , luego:
h
*
h.c
©
Solución: 11
X = ^ 2 m 0E c
E m jn = ,6 ,2 .1 0 3 e V
•
^ 2 ( m 0c2 ) E c
L a energía potencial de frenado, es i
gu al
a la energía cinética de los electrones,
es decir: 1 2 ,4 .1 0 3 e V . A
x=
e.V s = E c
=>
Vs = -
Ec
^ 2 (9 4 0 .1 0 ^ " 3 V )(0 ,0 2 e V )
1
*
X = 2 ,0 2 A
1 eV
V s = 2 ( 4 , 8 . 1 < r 19
Q y
Solución: 09 •
*
Vs = 3 V
©
L a expresión relativista para la energía,
Solución: 12
vie n e dado po r: • E -
yj(p .c )2 + E p
( 1)
D o n d e , " p .c " , vie n e dado por: h.c
L a lo n gitud de onda u m b ra l " X u " , se
h a lla de la expresión siguiente:
e.V s = h . f - h . f u
=>
.
p .c.
X
h.c X,. = u h .c / X -e .V s
=>
1240 M e V .f m p.c = --------------------=-------0 ,8 fin
1 2 ,4 .1 0
e V .A
K =
p.c = 1 550 M e V
(1 2 ,4 .1 0
e V .A / 2 5 0 0 A ) - 3 e V
Sustituyendo en ( 1 ) , obtenem os la energía: *
X.. * 6 3 2 7 A
E = V (1 5 5 0 )2 + (9 3 8 )2
©
Solución: 13 *
E = 1 811 ,7 M e V
®
Solución: 10
L a en e rg ía m ín im a que debe te n e r el fo
L a fu n ció n trabajo, vie n e dado por:
— X„
17 10
F ís ic a + +
***********************************************************************************************
N a> = (4 ! l 3 6 . l 0 - 1 5 e V . s ) ( ^ ^ ) 5 .1 0 " 7 m
3 J / m 2.s
A .t
= (
6 ,5 7 .1 0 19 J/electrones
■ )(r )
2
B *
B
0 = 2 ,4 8 e V
.
A .t
Solución: 14 •
^ - = 2 ,2 8 .4 0 l8eleC,r° neS
E l potencial de frenado ( V s) , se halla
m 2.s
P ^ lN o t a
de la siguiente expresión:
L a tasa se define c o m o el nú m e ro de par tículas ( N ) que atraviesan u na superficie
e V s' = h . f - < D
=>
Vs = - ( — - O ) e X
de área ( A ) p o r u nid a d de tiem po (t).
Solución: 17 V s = i ( 1 M i 0 ^ A _ 2 j4 8 eV )
•
L a m á x im a energía cinética de los foto
electrones em itidos es: 6
3 500 A
V s = — (3 ,5 4 e V - 2 ,4 8 e V )
*
®
V s = 1,06 V
TEr
= h .f - h .fu
c
Uí- Uf
“
1 2 ,4 .103 e V . A
C Solución: 15 •
hC
hC
----------------a,
1 2 ,4 .1 0 3 e V .A
o
o
4 000 A
6 000 A
L a fu n ció n tra ba jo ( O ) , se halla de la si
guíente expresión:
Er = h .f -0
c
E c = 3,10 e V - 2 ,0 7 e V
=>
0 = —
X
*
- Ec
E c = 1,03 e V
©
Solución: 18 1 2 ,4 .1 03 e V . A , „ w 0 = — -------------------------------1,2 e V
o
•
L a m á x im a lo n gitu d de onda es:
*
_ h .c
3 000 A ' O = 4,1 e V - 1 , 2 e V * 0 = 2 ,9 3 e V
X„ =
(?
* X„
E n el p ro ble m a anterior la energía de
cada fotón es, 4,1 e V = 6 ,5 7 .1 0 '19 J, ahora, si
e m isión es:
= 4 133 A
D
Solución: 19
cada fotón em ite u n electrón, y sabiendo que la e ficie ncia es e = l/ 2 , entonces la tasa de
e V .A
3 ,0 e V
Solución: 16 •
1 2 ,4 .1 0
•
L a energía de los electrones m ás rápi
dos, viene dado por: h.c
Er = c X
O
F ís ic a m o d e r n a
1711
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
^ Ec
1 2 ,4 .1 0 e V . A w ----------------------------------2,13 e V
*
5 000 A E c = 2 ,4 8 e V - 2 , 1 3 e V E c = 0 ,3 5 e V
L a m ín im a lon gitud de onda en la serie
de B rackett, correspondiente a la transición ©
m -c o a n = 4 es:
Solución: 20 •
©
Solución: 22 •
*
A * 1 0 939 A
— í—
= ( 1 , 0 9 7 .I ( T 3 A - ' x - V - A ) 4~ co'
L a lon gitu d de onda en la serie de B a l
m e r, viene dado por: * + = (1 .0 9 7 .1 0 -3 A - ' x A — L ) A 2 m
©
Solución: 23 •
con , m = 3 , 4, 5,...
Á min = 1 .459.104 A
L a m ín im a lon gitu d de onda en la serie
de B a lm e r, se obtiene para m=co.
L a m á x im a lon gitu d de onda corresponde a, m =3.
— !—
= (1 ,0 9 7 .1 0 -3
A " ')(---) 4 9
rA,njn _ = R (G 2
0co )
R=—
í -----
= min
3 646 A
^max = 6 563 A L a m ín im a lon gitu d de onda corresponde a,
*
R = K 0 9 7 .1 0 -3 A _1 ©
m -c o .
Solución: 24 ~
Xm¡„
= (1 ,0 9 7 .1 0-3 A - l ) ( ~ - ■— ) 4 co
L a serie de L y m a n , viene dado por:
- = (i,097.i
A™,„ 'min = 3 646 A
©
Solución: 21 •
1”
1 026 A
m = [1 - [1/(1.0 97.10~3X I 0 2 6 ) ] ] ' 1/2
L a lo n gitu d de onda en la serie de Pas
ch e n, vie n e dado por:
I
*
= (1 ,0 9 7 .1 0 -3 Á - ‘X - A —
X
rrr
L )
3¿ m
L a lo n gitu d de onda para la tercera línea se obtiene para m - 6.
— = (1,097.10“3 A ' ’X - - — ) X 9 36
m * 3
©
Solución: 25 L a transform ación se rea liza así: k.e2 = k.e.e
k.e2 = (9 .1 09 Ü ^ - X I , 6 0 2 .1 0 ~ 19 C ) e
c
1 7 12
F ís ic a + +
***********************************************************************************************
R0 k.e2 = ( 1 4 ,4 0 .1 0 “ I0 m ) ( - ^ ) e
*
c
*
k.e2 = 1 4 ,4 e V . A
®
Solución: 28
© •
Solución: 26
Í2 L » 2 1 ,8
E l ra d io de las órbitas del átom o de hi
drógeno, vie n e dado po r;
E l radio de la órbita del h id róg eno es: nz R
R? = R? =
IV 4 ;t2k m e2
R, =
(h .c y
2
(0 ,5 2 9 A )
47t2(m .c 2)(k .e 2) *
R 2 ~ 0 ,7 0 5 A
©
(1 2 ,4 k e V . A ) '
R 4 n (511 k e V )(1 4 ,4 e V . A )
Solución: 29 L a s respuestas a cada una jte! las propos¡ ciones son: F V V
*
E
R j = 0 ,5 2 9 A
Solución: 30 L a s respuestas a cada una de las proposi
Solución: 27 •
ciones son: F V V
L a lo n gitu d de la onda de C o m p to n , vie
Solución: 31
ne dado por:
L a s respuestas a cada u na de las proposi
-
he
12,4 k .e V .A
m e2
511 k .e V «
Xc = 0 ,0 2 4 3 A E l radio de la p rim e ra órbita para el hidróge no, vie n e dado por:
Solución: 32 L a s respuestas a cada una de las proposi ciones son: V F F
Solución: 33 L a s respuestas a cada una de las proposi
h‘ R ?
ciones son: V V V
= 0 ,5 2 9 A
=
ciones son:
FVV
47t2k m e2 L u e g o , la ra zó n entre el radio de la p rim e ra órbita del h id róg e no y la lon gitud de onda de C o m p to n es:
Solución: 34 L a s respuestas a cada u na de las proposi ciones son:
FFV
Solución: 35 0 ,5 2 9 A
X
c
0 ,0 2 4 3 A
L a s respuestas a cada u na de las propos] ciones son:
VVV
F ís ic a
m o d e rn a
Solución: 36 •
L a s respuestas a cada una de las proposi ciones son: F F V
•
L a s respuestas a cada una de las proposi
Solución: 37 ciones son:
VVV
IV IíiX
P lílIlC k
EL PAIÍRE DE LA MECANICA CUANTICA
Solución: 38 •
L a s respuestas a cada una de las proposi
M a x P la n c k (1 8 5 8 -P Í4 7 ) fue el descubridor
ciones son:
de la F ís ic a C u á n tica , generando la m ayo r
FVF
re v o lu ció n de los fundam entos de la F ísica •
Solución: 39
desde los tiem pos de N e w to n .
L a s respuestas a cada una de las proposi
N a c ió en K ie l (A le m a n ia ) el 23 de abril de
ciones son:
FVF
1858. F u e el sexto h ijo de E m m a P a tzig y Ju lius W ilh e lm P lan ck. E n la ciudad de M u
•
Solución: 40
n ich , re cib ió su educació n básica en el Insti
E n la teoría del m odelo estándar, cuatro
tuto M a x im ilia n o , donde fue a lu m n o destaca
son los bosones: el fotón, el bosón W , el
do. A la edad de 17 años in ic io sus estudios
bosón Z y el g lu ó n ., p o r lo que, la res
de F ís ic a en la U n iv e rs id a d de M u n ic h . A la
puesta es la C ) .
edad de 21 en M u n ic h presentó su tesis doc toral sobre el segundo p rin c ip io de la term o
Solución: 41 •
En
(T G U ),
la
T e o r ía
din á m ica en Ju lio de 1879. de
G ra n
U n ific a c ió n
tres son las fuerzas unificadas, la e
lectrom agnética, la n u clear y la débil. F u e rz a electrom agnética.- S o n las que se dan entre las partículas cargadas, tales com o los electrones, protones, son de corto alean ce y de a m p lia a p lica ció n tecnológica. E s perceptible en la escala m icroscópica.
E n 1880 fue n o m brado profesor lector de la u niversidad de M u n ic h . Después de cinco años de enseñanza en M u n ic h obtuvo la pía za de profesor asociado en la u n iversidad de su ciu dad natal, K ie l. E n
1889 in ic io sus
actividades académ icas en la u n iversidad de B e rlín . E n el año 1900, a la edad de 42 años ex p lica la distribución de la rad iación elec
F u e rz a n u cle a r o fuerte.- Se da al in te rio r de
trom agnética del cuerpo negro y su estruc
los núcleos de los átom os, entre los núcleo
tura cuántica obteniendo el p re m io N o b e l de
nes (protones y neutrones), este tipo de in
Física en 1918. E n tre las distinciones obte
teracción no se ha te rm inado de estudiar. A l
nidas destacan su n o m bram ien to co m o F e
in te rio r de los núcleos esta fu erza es m u y
llo w de la R o y a l S o cie ty en 1926 y la m eda
sig n ifica tiva en los procesos que se presen
lia C o p le y concedida p o r la m is m a institu
tan en la tra nsform a ción de los núcleos ra
ció n en 1929. . M a x P la n ck fijó su ú ltim a re
diactivos, y en los procesos de fusión y
sidencia en G o tin g a donde finalm ente falle
fisió n nucleares.
ció el 3 de octubre de 1947 a la edad de 89
F u e rz a d é b il.- Se da entre partículas funda
años.
m entales tales co m o piones, cationes, kao nes, neutrinos, m esones. N o se conoce c om pletam ente este tipo de interacción.
1 7 1 4
F í s i c a + +
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1.
R e la cio n e s entre fu n cio n e s de 6/2 y 6 .
TR IG O N O M E TR IA
Basándose en la F ig u ra m ostrada, podem os d e fin ir las siguientes relaciones:
.2 ^
1
91
’ 1
sen — 0 = — ( l - c o s 0 ) 2 2
eos — 0 = - ( l + c o s 0 ) 2 2 R e la cio n e s entre fu n c io n e s de 36 y 6. sen 30 = 3se n 0 - 4sen30 eos 30 = 4 cós3 0 - 3 eos 0 S u m a y diferen cia de fu n cio n e s
s e n a ± sen 0 = 2 s e n ^ ( a ± 0 ) c o s ^ - ( a í 0 )
x c tg 0 = — , y
a)
r sec0 = — , x
r csc 0 = — y
Identidades trigonométricas tg 0 = ^ ^ , co s0
sen2O + cos2 0 = l
sec2 0 = l + t g 20 ,
esc2 0 = 1 + ctg 20
eos a + eos 0 = 2 eos— ( a + 0 ) eos— ( a - 0 )
2
2
eos a - eos 0 = - 2 sen ^ - ( a + 0 ) sen ^ ( a - 0 )
P ro d u c to de d o s fu n cio n e s sen a sen 0 = ~ [ c o s ( a - 0 ) - c o s (a + 0 )]
S u m a y diferencia d e d o s á n g u lo s s e n (a ± 0 ) = sen a eos 0 ± eos a sen 0 c o s (a ± 0 ) = eos a eos 0 + eos a eos 0
tg (a ± e ) = A 2 A M i
l + tgatge
eos a eos 0 = — [c o s (a - 0 ) + c o s (a + 0 )]
s e n a c o s O = — [s e n (a - 0 ) + s e n (a + 0 )]
id e n tid a d e s fundam en tales
e > e _ e- ie c t g ( a ± e ) = 5 ti í í í s M c tg a ± c tg 0 R e la c io n e s entre fu n cio n e s d e 26 y 6 .
e ¡e + e. COS0 =
sen b = 2i
'
'
2
. e±10 = c o s 0 + is e n 0 R e la cio n e s entre fu n cio n e s re c ip ro ca s
sen 20 = 2 s e n 0 c o s 0 co s 2 0 = eos2 0 - sen20
sen-1a = cos_! V i - a 2 = tg -1
¡ a V l~ a 2
tg 2 9 =
2tgQ , c tg 2 0 = ^ ¿ ^ 1 — tg 0
2 c tg 0
eos ' ! a = sen ’V l" - a 2 = tg
_! Vi- a
2
F ís ic a + +
tg
a = sen
a
-i
•= cos
17 1 5
-1 a2 = b 2 + c2 - 2 b c c o s a
VT+ a
4~\+ a" b2 = a2 + c 2 - 2accos0
F u n c io n e s h ip e rb ó lica s
senh x =
e
- e
-X
e
cosh x =
2 tg h x =
e
-e
d) Teorema de la tangente E n cu a lq u ie r triá n g u lo , la diferencia de
ex + e‘
ctgh x =
e +e "
c 2 = a 2 + tí2 - 2 a b c o s j3
+ e
dos lados cualesquiera es a su sum a com o
e" - e "
la tangente de la m ita d de la diferen cia de los ángulos opuestos es a la tangente de la
R e c íp ro c a d é las fu n c io n e s h ip e rb ó lica s
m ita d de su sum a, esto es:
senh-1 x = f n ( x + V T + x 2 )
c o s h -1 x = £n(x
, , ~i
tgh
a -b
t g [(a -9 )/ 2 ]
a+ b
t g [ ( a + 0 )/ 2 ]
+\/x 2 - 1 )
1.,1 + x x = - £ n ( - -------) 2 1- x
e) Relaciones en los triángulo rectán gulos E n el triá n g u lo rectángulo A B C , se c u m píen las siguientes relaciones:
ctg h 1x = - ^ n ( ^ ) 2 x -1
b) Teorema del seno L o s lados de u n triá n g u lo son p ro p o rc io nales a los senos de los ángulos opuestos, esto es: a sena
sen 0
senJ3
•
b
=am
•
h2 = m n
•
a2 = b 2 + c 2
c
= an
*
c h = bc/a
b2 _ m c2
n
R e la cio n e s entre fu n c io n e s d e 46 y 6 sen 40 = 4 s e n 0 c o s 0 - 8sen20 c o s 0
c) Teorema del coseno E n todo triá n g u lo , el cuadrado de u n lado
eos 4 0 = 8 eos4 0 - 8 eos2 0
es igu al a la sum a de los cuadrados de los otros dos lados, m enos el dob le producto de éstos p o r el coseno del áng u lo com p re n d id o entre ellos, esto es:
tg 4 0 =
4 t g 0 -4 t g 0 l - 6 t g 20 + tg 40
.
A p é n d ic e
17 16 f)
Fórm ulas para la su m a de los núm eros naturales
h) Progresiones 1) Progresión aritmética Si " a " es el p rim e r té rm in o de una pro
1 ) S u m a de los " n " prim e ro s núm eros natu
gresión aritm ética, " k " el ú ltim o , ” d " la
rales. c
diferen cia co m ú n ,, " n " el n ú m e ro de tér
_ n (n + 0 11
m in o s y
2
" S " la sum a de térm inos, se
cu m p le : 2 ) Sum a
de
los
"n "
prim ero s
núm ero s k = a + (n -l)d ,
pares naturales.
S = ^ -( a + k )
Sn - n ( n + 1 ) S = -^ -[2 a + ( n - l ) d ] 3 ) S u m a de los " n " p rim e ro s núm eros im pares naturales.
2) Progresión geom étrica
S »= n 2
S i " a " es el p rim e r té rm in o de una pro gresión g eom étrica, " k " el ú ltim o , " r ”
4 ) S u m a de los cuadrados de los " n " prim e
la ra zó n co m ú n , " n " el n ú m e ro de térm i
ros núm eros naturales.
nos y " S " la sum a de los " n " térm inos, en estas con dicio nes se cu m p le :
n ( n + l ) ( 2 n + 1) S„ =
k = ar
5 ) S u m a de los cubos de los " n " prim eros
n-l
kr - a S =
S= a
(rn - D (r-D
r -l
núm eros naturales. S i, " n " es in fin ito y r n 2( n + l ) :
< 1 , entonces, la
sum a de los infin itos térm ino s de la pro
S. =
gresión es:
g ) Prom edios 1) Media aritmética (M a)
S
1 -r
L a m edia aritm ética de " n " cantidades a i, a2,. .. ,a n, vie n e dado po r:
•
g)
Ecua ció n cuadrática La s dos raíces de una ecuación cuadráti
a , + a 2 + ... + an n
ca del tip o : a x 2 + b x + c = 0 , vienen da dos por:
2) Media geom étrica (M g) L a m e d ia geom étrica de " n " cantidades
x =
- b + [b
3)
a n]
l /n
Media arm ónica (M h) L a m e d ia a rm ó n ica de " n " cantidades a i, a2,...,a n , vie n e dado por:
S i:
b 2 - 4 a c > 0 , las raíces son reales y
diferentes. S i:
b 2 - 4 a c = 0 , las raíces son iguales
y reales. S i:
Mu =
b
- 4 a c < 0 , las raíces son co m p le
ja s y diferentes.
l / a t + l / a 2 + ... + l / a n
1/2
2a
a i, a2,...,a n , viene dado por: M g = [a !.a 2
-4 a c ]
F is ic a + +
i)
171 7
> Ortocentro
Logaritmo
E s el p unto de intersección de las tres al
1) Definición
turas
E l lo g a ritm o de u n n ú m e ro " N " , es el exponente " x " al que hay e levar otro nú m e ro den o m ina d o base " b " , para obte ner d ich o n ú m e ro , esto es: bx = N
=>
x = lo g b N
Se lee " x " es el logaritm o del n ú m ero " N " en la base " b " .
2) Operaciones •
io g b M N = lo g b M + lo g b N
( P - a )(p -
b )(p - c ) ] 1/2
a
•
lo g b — = lo g b M - l o g b N N
•
lo g b M p = p lo g b M
•
l o g V Ñ x ^ — lo g b N x
2.
K =~ [P
M
G E O M E TR IA
= ~ [ P ( P - a )(p - b ) ( p - c ) ] 1/2
b
K = — [ p ( p - a) ( p - b ) ( p - c ) ! 1' 2 e
> Incentro
a) Triángulos
E s el pu nto de intersección de las tres bi
> Baricentro
sectrices,- correspondientes a sus tres án
E s el p u nto de intersección de las tres
gulos.
m edianas, en el se encuentra el centro
c
de g ravedad del triá n g u lo .
G
Ba
[ b c p ( p - a ) j 1/2 b+ c
m 1 = i [ 2 b 2 + 2 c 2 - a 2] 1' 2
m b = 4 [ 2 a 2 + 2 c 2 - b 2] 1' 2
m c = —[ 2 a 2 + 2 b 2 - c 2] 1/2 c 2
B p = - ? - [ a c p ( p - b ) ] ,/2 M a+ c B a = — — - j - [ a b p ( p - c ) ] 1/2 a+ b
1718
A p é n d ic e
Circunferencia L o n g itu d circunferencia
C =
R a d io circunferencia
R =
R C
2 ji TtR n 0
L o n g itu d de arco
180°
Círculo A re a total círcu lo
«2
A = rc R
=
L o n g itu d de arco
S = R0
L o n g itu d de circu n fe re n cia :
C = 2 tü R
L o n g itu d de cuerda
Í - 2 V R 2"
D is ta n c ia de cuerda
h = R -d
n D"
A n g u lo central en radianes
Cubo A re a
A = 6 a 2 - 2 4 r2
V o lu m e n
V = a3 = 8 r 3
D ia g o n a l
d = V3 a
L a d o del cubo
a
R a d io de la esfera inscrita
r
Esfera A re a total de u na esfera A re a de zona A re a de luna V o lu m e n de u na esfera
V o lu m e n sector esférico
V o lu m e n segm ento esférico de una sola base V o lu m e n segm ento esférico de dos bases
Física++
♦a**»**»*»**»»»«♦«*»»»****♦****»»**»** * i< M»—
1719
»«*»♦»»♦»♦***»»•■»*»»<»»♦♦»*»* * ■* ■*»«•»»
Tetraedro A re a
A = V 3 a 2 = 2 4 ^ 3 r2
V o lu m e n
V = V 2 a 3 /2 = 8 V 3 r3
R a d io de la esfera inscrita
Tro n co de cono r+
R a d io de la base m e d ia
R
A r e a lateral
rm “ 2 A l = rc(r + R )g
A r e a total
A =
7t(r+ R )g + 7t(r2 + R 2)
V o lu m e n
V =
*7th(r2 + r R + R 2)
G e n e ra triz del cono
Cilindro A r e a lateral
A
A r e a total
A = 2 7 tR h + 7 tR 2
V o lu m e n
V =
l
= 2 7 tR h
tc R
2h
Tonel V o lu m e n
*
V = - 7 c h (r 2 + 2 R 2 )
R a d io m e n o r
r
R a d io m a y o r
R
A lt u r a
h
Toroide A re a
A = 4 ttrR
V o lu m e n
V = 47tr2R
R a d io m e n o r
r
R a d io m a y o r
R
>'
hl
A p é n d ic e
1720 »»**!> «» W
* * * * » * * > !>* * * » « » * « » » * » * • ■ ■«* » * * » * • I* * * * * » * * * » * * * * » * !»*»!*» * * » * » * * * » * » * * * * » * * » « ■ * * * *«
Paralelepípedo V o lu m e n
V = abe
S u p e rficie total
A = 2 (a b + b c + c a )
D ia g o n a l
d = Va 2 + b 2 + c 2
R a d io m a y o r
R
Pirámide o cono V o lu m e n
V = -S h 3
A r e a lateral
A = - pa
A r e a de la base
S
A ltu ra
h
P e rím e tro de la base
P
2
Paralelogramo A re a
A = ah = absen0
A n g u lo entre los lados A ltu ra
Polígono regular de n lados A r e a del p o líg o n o
:
4 1 2 180° A = — n a c t g ---------4 n
A re a sector
:
Ao = — R S = — R
A r e a segm ento
:
A
P e rím e tro del p o líg o n o
:
p = 2 n R sen — n
A r e a p o líg o n o circu n scrito
:
A = nR
s
2
seg
~
2
t
r 2
te -
0
(0 - s e n 9)
F ís ic a + +
1721
Trapecio (B + b )h A re a
A =
A re a
A = pm h
A re a
A = — ( B + b + b ')
H
altura
6
J
Triángulo A re a
A = 3^3 r3
a, = r
= 2^1
3. a)
G E O M E TR IA A N A L ITIC A P LAN A Distancia entre dos puntos L a distancia entre dos puntos P i, P 2 de coordenadas rectangulares (x ¡; y i ) , ( x 2; y 2), viene dado po r: d = [ ( x 2 - x 1) 2 + ( y 2 - y 1) 2] 1/2
L a distancia entre dos puntos P i. P~
Aa coordenadas polares (r ¡ ; 0 ] ) , (r 2; 0 2) , vie n e dado
po r: d = [ r 2 + r| +
b)
2r¡ r2 c o s (0 1 - 0 2) ]
1/2
Formas que adoptan las ecuaciones de una recta 1)
Ax +
B y + C = 0’
(fo rm a general
) )
2)
y - y i = m ( x - x 1)
(fo rm a punto pendiente
3)
y = mx + b
(fo rm a pendiente intersección )
4)
V
y = i
(fo rm a intersecciones
a
b
c) Pendiente de una recta L a pendiente de la recta que pasa p o r los puntos
Pi(xi; yi) y P2(x2; y2), Viene m = y ? “ y !. x-, - x ,
dado por:
)
A p é n d ic e
172 2
d)
Coordenadas del punto medio L a s coordenadas del punto m e d io del segm ento de recta P i ( x i; y () y P 2(x 2; y 2) , viene dado por:
x = X| +X2 Am 2
y
y
m
= > /' + y 2
2
e) Angulo entre dos rectas E l á n g u lo entre dos rectas
de pendientes
m i y m 2, viene dado por:
tge=
m' m2 l + m 1m 2
f) Area de un triángulo E l área de u n triá n g u lo cuyas coordenadas rectangulares de sus vértices son:
A(xi; y O , B (x2; y 2) , C(x3; y 3) , vie n e
dado por:
A =
1 ( x ! y 2 - x 2y i + x 2y 3 - x 3y 2 + x 3y ! - x 1y 3)
S i las coordenadas polares de los vértices del triá n g u lo son: A O i;© ]), B(r2 ;9 2) y C(r3 ;0 3) , entonces el área de di ch o triá n g u lo es:
A = ^ [r, r2 se n (0 2 - 0 [ ) + r2 r3 se n (0 3 - 0 2) + r1r3 se n (0 1 - 0 3)]
a)
C O N IC A S Circulo L a ecuación de un c irc u lo de centro en (h ; k ) y ra d io "R " , vie n e dado p o r: (x - h )2 + (y - k )2 = R 2
•
S i el centro se u b ica en el o rig en, la ecu ación ante rio r, que da así:
x2+ y2 = R 2
F ís ¡c a + + •
L a ecuación p o la r de un círc u lo co n el origen sobre la circu n fe re ncia y su centro en el punto C es: r = 2 C c o s (0 -a )
•
S i el orig e n no está sobre la circun ferencia, el radio es " a" y el centro está en el punto b, a, en este caso la ecuación es: a2 = r2 + b 2 - 2 r b c o s (9 -a )
b)
Elipse L a ecu ación de u na elipse co n centro en (h ; k ) y se m ie je s m a y o r " a " y m e n o r " b " es:
(x-h)2 a •
(y-k)2 u2 b
S i el centro se encuentra en el orig e n de coordenadas 0, la ecu a ción se con vierte en:
a2 •
b2
L a ecu a ción p o la r cuando el polo está en el centro de la elipse es:
r2 =
c)
a V a 2 sen20 + b 2 cos2 0
Hipérbola L a ecu a ción de una h ipé rbo la de centro (h ; k ) y de ejes paralelos a los ejes de coordenadas X , Y y de eje transverso h o rizo n ta l es: (x -_ h )2 _ ( y - k ) 2 a2
b2
S i el centro está en el orig e n de coordenadas 0, la e c u a ció n se reduce a:
xV a2
2 =i b2
siendo " a " el sem ieje transverso y co n ju g a d o (v e rtic a l).
" b " el sem ieje
1723
A p é n d ic e
1724
L a ecuación p o la r que tiene el centro en el p o lo es: a2 b2 r2 = a 2 sen20 - b 2 cos2 0
d) Hipérbola equilátera E s aquella h ip é rbola que tiene p o r centro el orig e n y p o r asíntotas los ejes de coordenadas, su ecuación es: xy = C siendo " C " u na constante.
e) Parábola L a ecuación de una parábola con vértice en V ( h ; k ) y fo co en F (h + p ; k ) es:
( y - k ) 2 = 4 p (x -h ) Si el vértice está en e l o rig en, la ecuación anterior se reduce a: ¡y 2 = 4px L a ecuación p o la r cuando el fo co está
en el polo y
" p " es e l sem ilado recto es:
r=
P
1-COS0 M
S i el vértice está e'n el polo y " p " tiene el m is m o sig nifica do anterior, la ecuación es: 2pcos0 r = sen20
f)
Relaciones entre las coordenadas polares y rectangulares x = rc o sG
r = -'x 2 + y 2 ,
y = rseni
= t g 1( y ) , x
sen0 = 7 =1^
■■2
x + y
g) Angulo sólido A n g u lo sólido es el espacio co m p re n d id o al in te rio r de u na circu n ferencia có n ica (v é rti
F ís ic a + +
1725
c e ), co m o m uestra la F ig ., los ángulos sólidos se representan sim bólicam ente m ediante " O " . E l v a lo r del á n g u lo sólido en todo el espacio es
4n.
E n el S .I. (S iste m a In te rn a cio n a l) los ángulos se m id e n en estereorradián, y para obtener su v a lo r se tra za una superficie esférica de ra d io a rb itrario " R " co n centro en el vértice O , (c o m o se m uestra en la F ig .); y se aplica la relación:
i
n =4 R2 siendo " S " el área del casquete esférico interceptado p o r el áng u lo sólido. C u a n d o el ángu lo sólido es pequeño en lu g a r de "S " se debe considerar u n diferencial de superficie de área " d S " , de m o d o que la ecu ación anterior, queda así: dQ = 4 R2 E n algunos casos la superficie " d S " no es perpendi c u la r a O P y ella form a u n á n g u lo " 0 " co n la norm al a " d S " , co m o m uestra la F ig ., en éste caso el á n g u lo sólido, vie n e dado por:
dQ =
d S co sG R2
4.
E C U A C IO N E S D E M A X W ELL EN EL V A C IO (S.I.) Para campos electromagnéticos ________________ independientes del tiempo Ley
Forma integral
Forma diferencial
4 sÉ * d s -q / s 0
V • E = p/e0
D e G auss para el ca m p o e léctrico E D e G a u ss para el cam po de in d u cció n m agnética B
B • ds = 0
V •B = 0
E •di
V xÉ = 0
D e c irc u la ció n para el cam p o eléctrico E
=0
D e c irc u la ció n para el cam po tica
de
in d u c c ió n
m agné
< £ § • < ! £ = p 0i
V x B = [i0J
1726
A p é n d ic e
Para campos electromagnéticos dependientes del tiempo Ley
Forma integral
9
Forma diferencial
D e G a u ss para el cam po eléctrico É
V * É = p/s0
< £ E » d s = q/e0
D e G auss para el cam po de ind u cció n m agnética
V •B = 0
B*ds = 0
B De
circu la ció n
para
el
cam po eléctrico É
De
c irc u la c ió n
cf É * d ¿ = —
para
V xÉ = 0
(f B * d s dt «
el
ca m p o de in d u c c ió n m a g
(| l B • d i = p 0¡ + e0p 0 — < £ § • ds
nética
V x B = p 0J
A N G U L O P LAN O m inuto
segundo
I
60
3 600
1 m inuto
1 ,6 6 7 .10'2
1
60
2,909.10'*
4 ,6 3 0 .10'5
1 segundo
2,778.10'*
1,667.10 2
1
4 ,8 4 8 .1 0 '6
7 ,7 1 6 .1 0 '7
57,30
3 438
2 ,0 6 3 .1 0 5
1
0 ,1 5 9 2
360
2 ,1 6 .1 0 4
1,29 6 .1 0 6
6,283
1
Unidad
. grado
1 grado
1 radián
'
1 revolución
radian
revolución
1,745.10 '2 i 2 ,7 7 8 ,10’3
LO N G ITU D Unidad
A
mm
cm
m etro
km.
1 Angstrom
1
10'7
10'8 ,
IQ-'O
1 m ilím etro
107
1
101
10‘3
10‘6
1 centím etro
108
10
1
10'2
10'5
1 m etro
10*°
103
102
1
10'3
1 kilóm etro
1013
106
105
103
1
10'13
F 1 s ic a + +
1727
> *»* * •* •* * * ** ** • * * * •• * * * * * • •
AREA U n id a d
mm2
cm 2
m2
km 2
1 mm2
1
lO'2
10'6
’io 12
1 cm 2
102
1
lO-4
1Q-10
1 m2
106
104
1
10‘5
1 km 2
1012
lO10
106
'1
V E LO C ID A D U n id a d
cm/s
m/s
km ./h
1 cm/s
1
0,01
3 ,6 .1 0 '2
1 m/s
100
1
3,6
27,78
0,2778
1
1 km ./h
M ASA U n id a d
g
kg
Ib
u .m .a
1
10~3
2 ,2 .10‘3
0 ,6 0 2 .1 024
103
1
2,204
0 ,6 0 2 .lO 30
453 ,6
0,4536
1
.
0 ,2 7 3 .1027
1,661.10 '24
1,661.10 '27
3 ,6 6 .10"27
1 g ra m o 1 k ilo g ra m o 1 lib r a 1 u .m .a
*
1
FU E R Z A U n id a d
Ib
pdl
kg
N
d in a
1 lib r a
1
32,1 7
0,4536
4,4 4 8
4 ,4 4 8 .105
3 ,1 0 8 .1 0 '2
1
1.41.10'2
0,1383
1,38 3 .1 0 4
2,205
70,93
1
9,80665
9 ,8 .105
0,2248
7,233
0,102
1
105
2 ,2 4 8 .1 0 '5
7 2 ,3 2 .1 0 '6
1 ,0 2 .10-6
10‘5
1
1 poundal 1 k ilo g ra m o 1 n e w to n 1 d in a
A p é n d ic e
1 728
PRESION . U n id a d
a tm
d in a / c m 2
n e w to n / m 2
mm Hg
p ascal
1 a tm ó s fe ra
1
1,013.106
0,101
760
1,013.105
1 d in a / c m 2
9 ,8 6 9 .Í 0 ‘7
1
0,1
7 ,5 0 1 .1 0 2
0,1
1 n e w to n /m 2
9 ,8 6 9 .10‘6
10
1
0,7501
1
1 m m ttg
1,316.10‘3
1,333.103
1,333.10 2
1
133,3
1 p a sca l
9 ,8 6 9 .1 0 6
10
1
7,501 -1Q"3
1
EN ER G IA , T R A B A J O , C A L O R U n id a d
e rg io
jo u le
c a lo ría
k W .h
eV
1 e rg io
1
10'7
2 .3 8 9 .1 0 '8
2 ,7 7 7 .10'14
6 ,2 4 2 .1 0 n
1 jo u le
107
1
0,2 3 9
2 ,7 7 7 .10‘7
6 ,2 4 2 .1 0 18
1 c a lo ría
4 ,1 8 6 .1 07
4 ,1 8 6
1
1,163.10 6
2 ,6 1 3 .1 0 19
1 k W .h
3 ,6 0 0 .1 0 13
3,6 0 0 .1 0 6
8 ,5 9 8 .105
1
2 ,2 4 7 .1 025
1 eV
1,602.10 12
1,602.10"19
3 ,8 2 8 .1 0 ‘20
4 ,4 5 0 .10'26
i
VO LU M EN mm3
cm 3
m3
km 3
1 mm2
1
ío-3
10'9
1018
10'6'
1 cm 2
103
1
10'6
1015
10°
1 m3
106
1
10'9
103
1 km 2
109 10]8
101S
109
1
1012
1 litro
106
103
10'3
10'12
1
U n id a d
litro
DENSIDAD U n id a d
lb/pie3
u tm / m 3
62,5
102,06
0 ,3 6 .10'4
6 ,2 5 .1 0 '2
0,1 0 2
2 ,7 6 8 .104
1
1 728
2 ,8 2 5 .1 0 3
16.10 '3
16
5 ,7 9 .10"4
1
1,6345
9 ,7 9 8 .1 0 '3
9,798
0 ,3 5 4 .10"3
0,612
1
g/cm 3
kg/m 3
1 g/cm 3
1
103
1 kg/m 3
10'3
1
1 lb / p u lg 3
27,68
1 lb/p ie3 1 u tm / m 3
lb / p u lg 3 3 6 ,2 .10'3 ■
F ís ic a + +
1729
TIEM PO año
dia
h
min
seg
1 año
1
365,2
8 ,7 6 6 .1 0 '3
5 ,2 5 9 .1 05'
3 ,1 5 6 .1 0 7
1 dia
2/738.10"3
1
24
1 440
8 ,6 4 0 .1 0 “
1 hora
1,141.1o-4
4 ,1 6 7 .1 o 2
1
60
3 600
1 minuto
1,901.10 6
6 ,9 4 4 .1 0"4
1 ,6 6 7 .1 0 '2
1
60
1 segundo
3,169.10'®
U 5 7 .1 0 " 5
2 ,7 7 8 .10"4
1,667.10"2
1
Unidad
P O TE N C IA cal/s
kW
W
hp
1 cal/s
1
4 ,1 8 6 .1 0 3
4,1 8 6
5 ,6 .1 0 '3
1 kW
238,9
1
1 000
1,34
1W
0,2389
0,001
1
1 ,3 4 .1 0 3
1 hp
178,2
7 4 6 .1 0"3
746
1
Unidad
CARGA abcoulom b
A.h
coulom b
statcoulom b
1
2,778.10'3
10
2,998.101U
.360
1
3600
1,079.101J
0,1
2,778.10"4
1
2,^98.109
3,336.1o"11
9,266.10*'4
3,336.10'1U
1 abcoulom b 1 am pere-hora 1 coulom b 1 statcoulom b
'
C O R R IE N TE
1 abam pere 1 am pere 1 statam pere
abam pere
am pere
statam pere
1
10
2 ,9 9 8 .10IU
0,1
1
2 ,9 9 8 .1 0 9
3,336.10 "“
3,336.10 "lé
1
:
1730
A p é n d ic e
FU E R Z A E L E C TR O M O TR IZ voltio
statvoltio
10'8
3 ,3 3 6 .1 0 '"
106
1
3,336'.10'J
2 ,9 9 8 .101U
299,8
1
ohmio
statohm io
10'y
1,113.1o'21
10y
1
1,113.10 13
8,987.10'°
8 ,9 8 7 .1 0 "
1
1 abvoitio
.
abvoitio 1 voltio 1 statvoltio
R E S IS TE N C IA 1 abohm io abohm io 1 ohm io 1 statohm io
C A P A C ITA N C IA abfaradio
faradio
m icrofaradio
statfaradio
1
10y
10"
8 ,987.10 '°
1 faradio
10'y
1
10e
8 ,9 8 7 .1 0 "
1 m icrofaradio
10"'5
10'e
1
8 ,9 8 7 .103
1 ,1 1 3 .10"21
1 .1 1 3 .1 0 '15
1 ,1 1 3 .10"6
1
1 abfaradio
1 statfaradio
P R O P IED A D ES DE A L G U N O S LIQUIDOS Denstdad L íq u id o
C a lo r
específico
C oe ficie n te de tensión
en kg/m 3 J/kg.°C
cal/g.°C
superficial (N / m )
880
1 720
0,41
0,03
Agua
1 000
4 190
LO
0,073
G lic e rin a
1 200
2 430
0,58
0,0 6 4
A c e ite de ricin o
900
1 800
0,43
0,035
Kerosene
800
2 140
0,051
0,03
M e rc u rio
13 600
138
0,033
0,5
790
2510
0,6
0,02
B enzol
A lc o h o l
1731
F ís ic a + +
P R O P IED A D ES DE A L G U N O S SO LID O S S ó lid o
D e n s id a d
Te m p e ra tu ra
en kg/m 3
de fusión
°C
C a lo r
específico
C a lo r de
C oeficiente
J/ k g ° C
cal/g .DC
flisión
dilatación
J/kg
térm ica
2 600
659
896
0,214
3 .2 2 .105
2,3 .1 0 °
H ie rro
7 900
1 530
500
0,1 1 9
2 ,7 2 .105
1,2.10-5
La tó n
8 400
900
386
0,0 9 2
•-
l,9 .1 0 "5
H ie lo
900
0
2 100
0,5
3 ,3 5 .105
-
C o b re
8 600
1 100
395
0,094
1,76.105
1,6.10°
Estaño
7 200
232
230
0,055
5 ,8 6 .1 04
Platino
21 40 0
1 770
117
0,028
1,13 .1 0 5
0 ,8 9 .1 0 °
C o rc h o
200
-
2 050
0,49
P lo m o
11 300
327
126
0,030
2 ,2 6 .1 04
2 ,9 .1 0 °
Plata
10 500
960
234
0,056
8 ,8 0 .104
1,9.10°
Acero-”-
7 700
1 300
460
0,11
Z in c
7 000
420
391
0,093
-
1,06.10° 1,17.10 5
P R O P IED A D ES E L A S T IC A S DE A L G U N O S SO LID O S Resistencia a la
M ó d u lo de
rotura en N / m 2
Y o u n g en N / m 2
1,1.10"
6 ,9 .1 0 l(>
H ie rro
2 ,94.10"
1 9 ,6 .10lu
C o b re
2,45.10*
l l , 8 . 1 0 lfl
P lo m o
0 ,2 .1 0 s
1 ,5 7 .1 0 '"
Plata
2,9.10"
7 ,4 .1 0 ’u
7 ,85.10"
2 1 ,6 .1 0 lu
Sustancia A lu m in io
A c e ro
o
A lu m in io
2 ,9 .1 0 °
1732
A p é n d ic e
PERM ITIVIDAD R E L A TIV A (k) DE A L G U N O S D IE LE C TR IC O S C e ra
7,800
M a d e ra
Agua
81
A lc o h o l, e tílico (0 o C )
K erosene
2
Petróleo
2,1
A ce ite
5
A g u a (destilada, 0o C )
88,0
Parafina
2
A g u a (destilada, 20° C )
, 80,0
M ic a
6
A ir e (1 atm )
. 1,00059
V id r io
5 -1 0
A ir e (1 0 0 atm )
1,0548
N iló n
3,5
C 0 2 (1 atm )
1,000985
Caucho
2 -3 , 5
Porcelana
6
A z u f re
4,0
E b o n ita
2;6
2 ,5 -8 f
28,4
C O N D U C TIV ID A D TE R M IC A DE A L G U N O S SO LID O S (X
en W / m .° C )
A lu m in io
210
F ie ltro
0,046
H ie rro
58,7
C u a rz o fu n d id o
1,37
C o b re
390
A re n a seca
0,325
C o rc h o
0,050
Plata
460
E b o n ita
0,1 7 4
RESISTIVID AD DE A L G U N O S M A TE R IA L E S (p en n .m ) A lu m in io
'
2,83*1 O*8
G e rm a n io (p u r o )
0,45
C o b re
1,6 9 .1 0 '8
G e rm a n io (5 .1 0 ’6 % de A s ) 0,011
O ro
2 ,4 4 .10‘8
S ilic io (p u ro )
640,0
H ie rro (0 o C )
8 ,8 5 .1 0 '8
S ilic io (1 0 ‘4 % de A s )
0,003
N íq u e l
7 ,2 4 .10'8
S o lu c ió n de N a C l
0,044
Plata (0 o C )
1,47.10 8
Am bar
5 ,0 .1014
M e rc u rio
9 5 ,8 .1 0 8
V id r io
102°-1014
T u n g s te n o
5,51.10'*
E b o n ita
1012-1 0 16
Constatan (C u 6 0 )
4 4 ,0 .10’8
M ic a
1 0 n -1 0 ls
N ic ro m o
100.10'8
M a d e ra
10*-10n
F ís ic a + +
17 3 3
C O N D U C TIV ID A D E L E C TR IC A DE A L G U N O S M A TE R IA LE S ( a en S / m )
i G e rm a n io (p u r o )
2 ,2 2
C o b re
5 ,8 1 .107
G e rm a n io (5 .1 0 '6 % A s )
90,9
O ro
4 ,0 9 .1 0 7
S ilic io (p u r o )
1,5 6 .1 0 '3
H ie rr o (0 o C )
1,53.107
S ilic io (10"“ % de A s )
' 3 ,3 3 .1 0 2
N íq u e l
6 ,8 0 .107
S o lu c ió n de N a C l
' 25
Plata (0 o C )
6 ,1 4 .1 0 7
Am bar
2 ,0 .1 0 '15
Tu n g s te n o
1 ,8 2 .107
V id r io
10'2° -1 0 '14
E b o n ita
1 0 !2-1 0 16
o
M e rc u rio
o.
3 ,5 4 .107
00
\ A lu m in io
■
Constatan (C u 6 0 )
2 ,0 4 .106
M ic a
1 0 -" -1 0 -ls
N>ic ro m o
1.00.106
M a d e ra
Í O 'M O ' 11
S U S C E P TIB IL ID A D E L E C TR IC A (Xe) DE A L G U N O S M A TE R IA LE S M ic a
5
H id ró g e n o
5 ,0 .1 0'4
P orcelana
6
H e lio
0 ,6 .1 0 4
V id r io
8
N itró g e n o
5 ,5 .10'4
B a q u e lita
4 ,7 .
O x íg e n o
5 ,0 .1 0"4
A c e ite
1,1
A rg ó n
5 ,2 .1 0‘4
T re m e n tin a
1,2
O x id o de carbono
9 j2 .1 0 '4
B e n ce n o
1,84
A ir e
5 ,4 .1 0 '4
A lc o h o l (e tílic o )
24
V a p o r de agua
7 ,0 .1 0 3
Agua
78
A i r e (1 0 0 atm )
5 ,5 .10'2
M O M E N TO S D IP O LA R ES D E A L G U N A S M O L E C U L A S (m .C) HCl
3 ,4 3 .lO '30
HBr
2 ,6 0 .1 (r30
HI
1 ,2 6 .1 0 30
CO
0 ,4 0 .lO '30
H 20
6 ,2 0 .1 0 '30
H 2S
5 ,3 0 .1 Ü '30
S02
5 ,3 0 .1 0 30
NH3
5 ,0 0 .1 0 '30
C 2H 5O H
1,2 6 .1 0 '30
■
1734
A p é n d ic e
S U S C E P TIB IL ID A D M A G N E TIC A fem) DE A L G U N O S M A TE R IA LE S H id ró g e n o (1 a tm )
-2 ,1 .1 0 '9
O x íg e n o (1 atm )
2 ,1 .1 0 6
N itró g e n o 91 a tm )
-5 ,0 .1 0"9
M a g n e sio
1 ,2 .1 0 '5
S o d io
2 ,4 .1 0 '6
A lu m in io
2 ,3 .1 0 '5
C o b re
-1 ,0 .1 0 '5
Tu n g s te n o
6 ,8 .1 0 '5
B is m u to
-1 ,7 .1 0 '5
T ita n io
7 ,1 .1 0 '5
D ia m a n te
-2 ,2 .10'5
Platino
3 ,0 .1 0-4
M e rc u r io
-3 ,2 .1 0 '5
G d C l3
2 ,8 .1 0 '3
M OVILIDAD DE L O S IO N ES EN L O S E L E C T R O L IT O S (m 2/V.s) N O '3
6 ,4 .1 0 8
H+
3 ,2 6 .1 0 7
c r
6 ,8 .1 0 8
Ag+
5 ,6 .10'8
K+
6 ,7 0 .1 0 8
Código de colores para las resistencias
Huno— C olores
I a Cifra *
2a Cifra
M ultiplicador Tolerancia
N e g ra
0
0
M a rró n
1
x lO
+1 %
2
x 102
+2 %
R o jo
2
N a ra n ja
3
3
x 103
A m a r illo
4
4
x 104
V e rd e
5
5
x 103
A zul
6
6
x 10b
V io le ta
7
7
x 10'
8
x 108
G ris B la n c o
8 9
■
9
í0 .5 %
“
x 10y
O ro
x 10'1
±5%
Plata
x 10"2
í 10%
S in co lo r
♦20%
1735
F ís ic a + +
C O N S T A N T E S FISICAS U N IV ER SA LE S M a g n itu d
S ím b o lo
V a lo r
1 u.m .a
1 ,6 6 0 5 6 5 5 (8 6 ).10‘27 k g
0 1. U n id a d m asa atóm ica
E
1 ,6 0 2 1 8 9 2 (4 6 ). 10 '19 C
e/me
1 ,7 5 8 8 0 4 7 (4 9 ).1 0 '11 C/kg
04. L o n g itu d on d a C o m p to n (n )
XCa = h / ( m n c)
1 ,3 1 9 5 9 0 9 (2 2 ). 10"15 m
0 5. L o n g itu d on d a C o m p to n (p )
^ c ,P = h /( m P c)
1 ,3 2 1 4 0 9 9 (2 2 ). 10‘ 15m
0 6. L o n g itu d onda C o m p to n (e )
Xc
2 ,4 2 6 3 0 8 9 (4 0 ). 10‘ l2 m
p B = eh/2m
9 ,2 7 4 0 7 8 (3 6 ). 10"24 J/ T
02. C a rg a elem ental 0 3. C a rg a especifica electrón
07. M a g n e tó n de B h o r 0 8. M a g n e tó n N u c le a r
= eh/2m p
5 ,0 5 0 8 2 4 (2 0 ).10"27 J/ T 1 ,4 1 0 6 1 7 (5 5 ).10"26 J/ T
0 9. M o m e n to m a g nético protón
9 ,2 8 4 8 3 2 (3 6 ). 10‘24 J/ T
10. M o m e n to m a g n é tico electrón
Pe
11. M a s a en reposo del neutrón
mn
1 ,6 7 4 9 5 4 3 (8 6 ).10"27 k g
12. M a sa en reposo del protón
mD
1 ,6 7 2 6 4 8 5 (8 6 ). 10 '27 k g
me
0 ,9 1 0 9 5 3 4 (4 7 ). 10"30 k g
V 0- R T 0/P0
0 ,0 2 2 4 1 3 8 3 (7 0 ) m 3/mol
K=R/N a
1 ,3 8 0 6 6 2 (4 4 ).10’23 J/ K
13. M a s a en reposo del electrón 14. V o lu m e n de 1 m o l gas perfecto 15. C onstante de B o ltzm a n 16. Constante universal gases
R
8 ,3 1 4 4 1 (2 6 ) J/ m o l.K
17. C onstante de g ravitación
G
6 ,6 7 2 (4 1 ).10"11 N . m 2/kg3
18. C onstante de P lan ck
h
6 ,6 2 6 6 1 7 6 (3 6 ).10"34 J/ H z
19. C onstante de rad iación p rim e ra 20.C onsta n te de S te fa n -B o ltzm a n 2 1. C onstante de estructura fina
Cj
3 ,7 4 1 8 3 2 (2 0 ).10"16 W .m 2
a = 7i2k 4 /60h3c2
5 ,6 7 0 3 (7 1 ).10‘8 W / m 2.K 4
a = ji0ce2 / 2h
0 ,0 0 7 2 9 7 3 5 0 6 (6 0 )
2 2. Constante de F a ra d a y 2 3. Constante eléctrica
= 2 ti h e2
E0
F = N Ae
9 ,6 4 8 4 5 6 (2 7 ).104 C /m o l
=
8 ,8 5 4 1 8 7 8 2 (7 ).10’ 12 F/m
1 / ( H 0 C2 )
2 4. R a d io de B h o r
a0 = a / (4 7 iR a5)
0 ,5 2 9 1 7 7 0 6 (4 4 ). 10"10 m
2 5. R a d io clá sico del electrón
r0 = M 0e2 /4mne
2 ,8 1 7 9 3 8 0 (7 0 ). 10 15 m
2 6. V e lo c id a d de la lu z en el va ció
C
2 9 9 7 9 2 4 5 8 (1 ,2 ) m/s
2 7. A c e le ra c ió n de caída libre
g
9 ,8 0 6 6 5 m/s2
n a
6 ,0 2 2 0 4 5 (3 1 ).1023 m o l 1
2 8. N ú m e ro de A v o g a d r o 2 9. E n e rg ía en reposo neutrón
m nc2
9 3 9 ,5 7 3 1 (2 7 ) M e V
3 0. E n e rg ía en reposo protón
m pc
2
9 3 8 ,2 7 9 6 (2 7 ) M e V
3 1. E n e rg ía en reposo electrón
m ec2
0 ,5 1 1 0 0 3 4 (1 4 ) M e V
1736
A p é n d ic e
R ESUM EN D E FO R M U LA S D E L E L E C TR O M A G N E TIS M O (S.l.) N o m b re
L e y de C o u lo m b
D iscre ta (s )
F = k—
(^on tinu a (s )
F = k | p , ( i V l J ^ í 12d V :2
^2 *12
V , r l2
F u e rz a sobre u na carga
F = q E
en el ca m p o eléctrico É
Intensidad del ca m p o eléctrico
N /r — ? ) q É = k^ k 3k k=i | r — rk |
F lu jo de ca m p o eléctrico
<Í>E
T ra b a jo para m o v e r u na carga
W = q
P otencia l de ca m p o E
V = k k=!
É = k J— — —yp d V VI r - r ’ I
= J É • dS
E • dr
C*k r -r u
,J,
y D ife re n c ia de p otencial
k f,
V =
B
A V = V B - V A = - J É • dr A
C a p a cid a d eléctrica
_q_
C =
AV C a p a cid a d condensador p la n o
s S C = - 2— d
D e n s id a d de corriente
J = nqv
C o rrie n te eléctrica de desplazam iento
D e n s id a d
de energía de E
D e n s id a d de energía d e B
E n e rg ía del c a m p o eléctrico
*d = Js J d * d S = Js ( “^ ) •
1 2 1- w E = — eE = — D * E
1-
-
12
w M = — B * H = — pH
WE
1 f 2 = — s 0I E d V ^
v
P ,dV r - r l
F ís ic a + +
E n erg ía del cam p o m ag n é tic o B L e y de O h m para circu ito s eléctricos
WB =
jy H 2 dV
AV = iR
L e y de O h m para circuitos m agnéticos P ote n cia de la corriente eléctrica
P := i .A V
L e y de Jo u le - L e n tz
Q = i 2 .R .t
F lu jo del ca m p o m agnético
0>B
F u e rz a entre dos corrientes paralelas
F =
dS'
“ is 1^0
Uh
2it
f2
f ü-r x u , L e y de A m p e re -L a p la c e
In d u c c ió n del ca m p o m agnético
-d i
^ id
An ^ h
r2
_
P oA
B
471 r de una corriente rectilínea In d u c c ió n del ca m p o m a g n é tico
B = p 0i n
de u n solenoide L e y de A m p e re
F = i
F u e rz a de L o re n tz generalizada
0
üT x B
di
F = q É + qvxB d$B -— dt
L e y de in d u c c ió n electrom agnética
c,E =
R e la c ió n entre cam pos alternativos
4 e = P o £o
d í> F
eléctrico y m a g né tico In d u c ta n cia
R e lu cta n c ia de u n c ircu ito m ag nético
R eacta ncia
L = A V L /(d i / d t)
Rm = L— — V o J iS
R Lc = ® * L ------------to.C
Ap é n d ice
1738
■mi •
BIBLIOTECA 1)
L. Landau - E. Lifsbitl •F b fn r & r n m i/;' T c m í b v
2)
A. F. Saveliev
Física General, T e o r ía , T o m o I I y I I I , E d . M I R , M o s c ú .
3)
Piórishkin - R ódina
Física 1-2-3-4, T e o r ía , E d . M I R , M o s c ú .
4)
Frish - Tim oreva
Física General, T o m o II, T e o r ía , E d . M I R , M o s c ú -1 9 8 3 .
5)
O. Y. Savchenko
Problem as de F ísica G eneral , E d . M I R , M o s c ú -1 9 8 9 .
6)
I. M . Saraeva
Problem as Seleccionados de la F ísica Elem ental, E d .
E l i iClE R , í* ío s c ú -1 9 8 0
M I R , M o s c ú - 1986.
7)
V. V olkenshtein
Problem as de F ísica G eneral, E d . M ir , M o s c ú - 1976.
8)
S. Kosel
Problem as de F ísica General, E d . M I R , M o s c ú - 1975.
9)
I. E. Irodov
Problem as de F ísica General, Ed. M I R , M o s c ú -1 9 7 5 .
10) Tarazov - Tarazova
P reguntas y P roblem as de Física, E d . M ir , M o s c ú .
11) R. S ab reraA .
Problem as Selectos de F ísica-lII, E d . G lo w - 1 992
12) 13) 14) 15) 16) 17)
500 P roblem as de Electrostática, E d . G lo w - 1999 850 P roblem as Resueltos de F ísica III, E d . G lo w - 2000. L ibro de problem as de F ísica III, E d .G lo w - 20 0 9 . P equeñas oscilaciones eléctricas, T e o r ía , E d . G lo w , 2009. E lectrom agnetism o, T e o r ía y P ro b le m a s, E d . G lo w -2 0 0 9 . Libro de problem as de E lectrom agnetism o, E . G lo w -2 0 0 9 .
R. R. R. R. R. R.
Sabrera Sabrera Sabrera Sabrera Sabrera Sabrera
A. A. A. A. A. A.
18) R. Sabrera A^
F ísica General. T eo ría y Problem as, E d . V & H , 1996.
W . Pérez T. 19) R. Sabrera A.
Física++, Teoría y Problem as, E d . V & H , T o m o s I y II.
W . Pérez T. 20) R. Sabrera A. W . Pérez T.
F ís ic a - I I I , T e o r ía y P ro blem as, E d . V & H , L im a -1 9 9 6 .
S e g u n d a E d ic ió n
Física ++ es un libro im prescindible para los estudiantes que postulan a carreras de ciencias, ingeniería y medicina, así como, para los docentes de la especialidad de Física. Revoluciona con m uchas novedades en los problem as resueltos que no se reflejan en los textos tradicionales: problem as que van evolucionando en el nivel de dificultad con el fin de facilitar el aprendizaje. Adem ás, el esquem a teórico y práctico de los diferentes capítulos que presenta, se desarrolla totalm ente en el Sistem a Internacional de Unidades. Utiliza el m oderno m étodo de enseñanza EOU-VE (educación vivencial estructurada), basado en la interacción dinámica e ntre el profesor y estudiante, asi com o la m otivación constante a! estudio de las ciencias básicas m ediante la com unicación en todas sus formas. La presente obra consta de dos tomos. Ei prim er tom o ha sido pensado para que el estudiante desarrolle en forma didáctica los tem as de: análisis dim ensional, análisis vectorial, cinem ática, estática, dinámica, trabajo, potencia, energía, cantidad de movimiento, choques, dinámica del sólido y gravitación universal. Ei segundo tom o contiene los siguientes capítulos: estática de fluidos, cinética de gases, calor y tem peratura, term odinám ica, electricidad, m agnetism o, ondas, fotom etría, óptica y física moderna. Finalm ente cabe señalar que el presente libro se ajusta a los prospectos más exigentes de los exám enes de adm isión de las universidades nacionales y privadas.