Fisica-IV-Regulo-A-Sabrera-Alvarado-ELSABER21.COM.pdf

=o4 p o2 /12c, "c" la veloci dad de la luz en el vació, y "o " la permeabilidad magnética en el vació. 144. Un electrón de carga eléctrica e=-1,60210-19 C, masa m=9,1 10-31 kg realiza oscilacio nes armónicas de amplitud A=0,10 nm y frecuencia angular =6,51014 rad/s. La veloci dad de la luz en el vació es c=3108 m/s, o=410-7 A/m, 1 eV=1,60210-19 J, n=10-9. I) Hallar la potencia media de radiación del electrón. (f=10-15) a) 3,1 fW II)

b) 4,1 fW

c) 5,1 fW

d) 6,1 fW

Hallar la energía de las oscilaciones que realiza el electrón. (m=10-3)

e) 7,1 fW

Ondas electromagnéticas

138 a) 10 meV

b) 12 meV

c) 14 meV

d) 16 meV

e) 18 meV

III) Hallar el tiempo de relajación de las oscilaciones que realiza el electrón al interior de los átomos. (=10-6) a) 0,56 s

b) 0,66 s

c) 0,76 s

d) 0,86 s

e) 0,96 s

138

Cap-03

Ecuaciones de Maxwell

ECUACIONES DE MAXWELL

1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES a) Ecuaciones de Maxwell Las ecuaciones de Maxwell son un con junto de cuatro ecuaciones (originalmen te 20 ecuaciones) que describen por com pleto los fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Fa raday y otros, introduciendo los concep tos de campo y corriente de desplazami ento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el cam po electromagnético b) Historia de las ecuaciones de Maxwell Desde finales del siglo XVIII diversos científicos formularon leyes cuantitativas que relacionaban las interacciones entre los campos eléctricos, los campos magné ticos y las corrientes sobre conductores. Entre estas leyes están la ley de Ampère, la ley de Faraday o la ley de Lenz. Max well lograría unificar todas estas leyes en una descripción coherente del campo elec tromagnético.  Maxwell se dio cuenta de que la conser vación de la carga eléctrica parecía reque rir introducir un término adicional en la ley de Ampère. De hecho, actualmente se considera que uno de los aspectos más importantes del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el término que in

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



trodujo en la ley de Ampère; la derivada temporal de un campo eléctrico, conoci do como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell publicó en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagne tic Field, modificaba la versión de la ley de Ampère con lo que se predecía la exis tencia de ondas electromagnéticas propa gándose, dependiendo del medio material a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identificó la luz como una onda electromagnética, unifi cando así la óptica con el electromagne tismo. Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir de mo delos mecánicos e hidrodinámicos usan do su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday. En 1884, Oliver Heaviside junto con Wi llard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó derivadas par ciales temporales, diferentes a las deriva das totales usadas por Maxwell, en la e cuación (54). Ello provocó que se perdie ra el término v x B que aparecía en la e cuación posterior del trabajo de Maxwell (número 77). En la actualidad, este térmi no se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz. La historia es aún confusa, debido a que el término ecuaciones de Maxwell se usa también para un conjunto de ocho ecua ciones en la publicación de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electro magnetic Field, y esta confusión se debe a que seis de las ocho ecuaciones son es critas como tres ecuaciones para cada eje

Física IV de coordenadas, así se puede uno confun dir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incógnitas. Los dos tipos de ecua ciones son casi equivalentes, a pesar del término eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones. c) Campo electromagnético Un campo electromagnético es un campo físico, de tipo tensorial, producido por a quellos elementos cargados eléctricamen te, que afecta a partículas con carga eléc trica.  Convencionalmente, dado un sistema de referencia, el campo electromagnético se divide en una "parte eléctrica" y en una "parte magnética". Sin embargo, esta dis tinción no puede ser universal sino depen diente del observador. Así un observador en movimiento relativo respecto al siste ma de referencia medirá efectos eléctri cos y magnéticos diferentes, que un ob servador en reposo respecto a dicho siste ma.  Esto ilustra la relatividad de lo que se de nomina "parte eléctrica" y "parte magné tica" del campo electromagnético. Como consecuencia de lo anterior tenemos que ni el "vector" campo eléctrico ni el "vec tor" de inducción magnética se compor tan genuinamente como magnitudes físi cas de tipo vectorial, sino que juntos constituyen un tensor para el que sí exis ten leyes de transformación físicamente esperables. d) Campo físico En física, un campo representa la distri bución espacio-temporal de una magni tud física; es decir, es una propiedad que puede medirse en el entorno de cada pun to de una región del espacio para cada instante del tiempo.

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

139

Matemáticamente, los campos se repre sentan mediante una función definida so bre una cierta región. Gráficamente, se suelen representar mediante líneas o su perficies de igual magnitud. Históricamente fue introducido para ex plicar la acción a distancia de las fuerzas de gravedad, eléctrica y magnética, aun que con el tiempo su significado se ha ex tendido substancialmente, para describir variaciones de temperatura, tensione me cánicas en un cuerpo, propagación de on das, etc.

e) Clasificación de los campos Una clasificación posible atendiendo a la forma matemática de los campos es: 1) Campo escalar Aquel en el que cada punto del espacio lleva asociada una magnitud escalar (cam po de temperaturas de un sólido, campo de presiones atmosféricas...). 2) Campo vectorial Aquel en que cada punto del espacio lle va asociado una magnitud vectorial (cam pos de fuerzas,...). 3) Campo tensorial Aquel en que cada punto del espacio lle va asociado un tensor (campo electromag nético en electrodinámica clásica, campo gravitatorio en teoría de la relatividad general campo de tensiones de un sólido, etc.). 4) Campo espinorial Un campo que generaliza al tipo anterior y que aparece sólo en mecánica cuántica y teoría cuántica de campos. f) Propiedades de campos escalares y vectoriales Dado un campo físico es común definir, según el tipo de campo algunas de las si guientes características de dicho campo: 1) Intensidad

140

Ecuaciones de Maxwell

Que puede definirse localmente dada una región arbitrariamente pequeña, puede de finirse la intensidad del campo, como un escalar formado a partir de las componen tes tensoriales del campo. Cuanto mayor es dicha intensidad mayor el efecto físico o la perturbación que el campo ocasiona en una determinada región. 2) Flujo Que sólo puede definirse sobre una super ficie, por lo que, el flujo de un campo a través de una superficie depende tanto del campo como de la superficie escogi da y por tanto, no es una propiedad in trínseca del campo a diferencia de la in tensidad. g) Operaciones con campos Según el tipo de campo físico pueden de finirse otros campos derivados como ope radores diferenciales sobre las componen tes del campo original, los tipos operacio nes usadas para definir estos otros cam pos derivados, son: 1) Gradiente Definible para un campo escalar cualquie ra, en esta operación, el operador actúa sobre un campo escalar, y el resultado de la operación es un campo vectorial. 2) Divergencia Definible para cualquier campo vectorial, en esta operación, el operador actúa so bre un campo vectorial, y el resultado de la operación es un campo escalar. 3) Rotacional Definible para cualquier campo vectorial, en esta operación, el operador actúa so bre un campo vectorial, y el resultado de la operación es un campo vectorial. h) Acción a distancia La acción a distancia es una característi ca de las descripciones prerrelativistas de los campos de fuerzas de partículas que

interactúan entre sí. Esta propiedad impli ca que para cada instante de tiempo las fuerzas sobre una partícula concreta debi da a otras partículas depende de las posi ciones de esas otras partículas en el mis mo instante, como si la fuerza "se trans mitiera instantáneamente" o existiera una "acción a distancia" por parte de las otras partículas. El principio de localidad es u na propiedad de las teorías físicas donde no puede darse la acción a distancia en ninguna de sus formas. i) Monopolo magnético Un monopolo magnético es una partícula elemental hipotética constituida por un so lo polo magnético. De existir en la natura leza, sería el equivalente a una "carga magnética" en el campo magnético, tal y como ocurre con la carga eléctrica en el caso del campo eléctrico.  La hipótesis clásica es que un campo magnético tiene siempre asociados dos polos magnéticos llamados norte y sur respectivamente, al igual que un imán. Así, si se corta un imán en dos partes, ca da una tendrá a su vez dos polos magné ticos. Por lo tanto, en la teoría clásica no se acepta la existencia de los monopolos magnéticos. Sin embargo, la idea de su descubrimiento está tomando fuerza e in triga a muchos científicos.  La existencia de monopolos magnéticos fue formulada por Paul Dirac en 1931, quien no aceptaba la aparente asimetría que mostraban las ecuaciones de Max well las ecuaciones que rigen todos los fe nómenos electromagnéticos. Al introdu cir en estas ecuaciones la existencia de los monopolos magnéticos éstas mostra rían una simetría en la interacción entre el campo eléctrico y el campo magnético, que da lugar al campo electromagnético.

Física IV 

Si bien ningún experimento ha consegui do demostrar la existencia de un monopo lo magnético, en los últimos años se han publicado experimentos que trabajan en e sa línea. Por ejemplo, se sabe que algu nos sistemas de materia condensada con tienen cuasipartículas que se comporta rían como monopolos magnéticos no ais lados (2008), o se manifiestan fenóme nos con una descripción matemática aná loga a la de los monopolos magnéticos (2014).

j) Dipolo magnético En mecánica clásica, un dipolo magnéti co análogo en muchos aspectos al dipolo eléctrico es una aproximación que se ha ce al campo generado por un circuito cuando la distancia al circuito es mucho mayor a las dimensiones del mismo. El campo magnético terrestre también pue de ser aproximado por un dipolo magné tico, aunque su origen posiblemente sea bastante más complejo. k) Magnetización La magnetización de un objeto es el valor local de su momento angular-magnético por unidad de volumen, usualmente deno tado M, con unidades A/m. Es un campo vectorial, más allá que simplemente un vector (como el momento magnético), porque las diferentes secciones de una ba rra magnética generalmente están magne tizadas con diferentes direcciones y fuer zas. Una buena barra magnética puede te ner un momento magnético de magnitud 0,1 A·m² y de volumen de 1 cm³, o 0,000001 m³; por tal razón el promedio de la magnitud de magnetización es de 100 000 A/m. El acero puede tener una magnetización de alrededor de un millón de A/m.

l)







141

Investigaciones recientes En 1974 los físicos Gerard 't Hooft y Aleksandr Poliakov mostraron indepen dientemente que de la teoría del campo u nificado podía deducirse que los monopo los magnéticos debían existir, y que tie nen una masa muy grande (varios trillo nes de veces mayor que la masa del elec trón) aunque serían más pequeños que un protón. De las teorías del Big Bang se deduce que en los primeros momentos del Uni verso (en los primeros 10-34 segundos) de bieron formarse monopolos magnéticos en grandes cantidades, los cuales se ani quilaron poco después y sólo sobrevivió un cierto número. Un experimento realizado en la Universi dad de Stanford por Blas Cabrera Nava rro, hijo de Nicolás Cabrera y nieto de Blas Cabrera, basado en una bobina su perconductora mantenida cerca del cero absoluto aparentemente logró detectar la pasada fortuita de un monopolo magnéti co el día 14 de febrero de 1982 a la 1:53. Sin embargo, no se ha podido repetir la medición. Esto puede deberse a la bajísi ma probabilidad de encontrar uno por pu ro azar. El 29 de enero de 2014, el profesor Da vid S. Hall del Amherst College Physics y de la Academia Research Fellow Mikko Möttönen de la Universidad Aalto reportan, que han logrado crear, identifi car y fotografiar monopolos magnéticos sintéticos en el laboratorio.

m) Anisotropía 1) Definición La anisotropía (opuesta de isotropía) es la propiedad general de materia según las cualidades como: elasticidad, temperatu ra, conductividad, velocidad de propaga

142



Ecuaciones de Maxwell

ción de la luz, etc., varían según la direc ción en que son examinadas. Algo anisó tropo podrá presentar diferentes caracte risticas según la dirección. La anisotropía de los materiales es más acusada en los sólidos cristalinos, debido a su estructura atómica y molecular regular. En un sentido más general, se habla de a nisotropía cuando se produce cualquier cambio de escala de una figura o un cuer po, como en un gráfico x-y, con factores distintos (o en dependencia de una fun ción) en cada coordenada.

2) Propiedades anisotropas En principio toda propiedad física repre sentable mediante una magnitud tensorial es susceptible de presentar un comporta miento anisotrópico. Entre las propieda des que pueden presentar anisotropía es tán:  Conductividad (térmica, electrónica, ioni ca…)  Constantes elásticas de un sólido defor mable. Crecimiento cristalino  Diltación térmica  Pleocroísmo  Magnetismo 3) Tipos de anisotropía Los tipos de anisotropía que presenta un material están asociados siempre a sub grupos del grupo ortogonal O(3), por lo que cada tipo de anisotropía viene carac terizada por un grupo puntual. Entre los tipos de anisotropía están: * Anisotropías con subgrupos de simetría continuos:  Hemitropía, donde el grupo ortogonal es pecial SO(3) es un grupo de simetría pe ro no las reflexiones espaciales.  Isotropía transversal, donde existe un eje de simetría, por lo que el grupo de sime

tría es O(2), siendo todas las direcciones perpendiculares a dicho eje equivalentes. Este tipo de material es un caso particu lar de material ortótropo. Un material compuesto por fibras longitudinales simé tricas tiene este tipo de isotropía, como es el caso de la madera.  Hemitropía transversal, con el grupo de simetría SO(2), similar al anterior pero más restringida. Un material formado por fibras longitudinales no simétricas (espi rales de colágeno) tiene este tipo de sime tría. * Anisotropías con subgrupos de simetría discretos: > Polihédricas  Tetraédrica  Octaédrica  Icosaédrica > Axiales  Ortótropos  Clinótropos 4) Anisotropía en elasticidad Si bien muchos materiales tecnológica mente importantes, producidos industrial mente como el acero (y otros metales, no estirados en frío), el aluminio, el hormi gón, los ladrillos o el caucho son materia les que se pueden considerar isótropos, muchos otros materiales que ocurren en la naturaleza, como la madera, los tejidos del cuerpo humano (huesos, piel, tejidos colaginosos), son formados por fibras son de hecho anisótropos. Algunos mate riales fabricados industrialmente y cuya estructura interna está formada por fibras alineadas como elementos de fibra de car bono son materiales anisótropos, con pro piedades mecánicas diferentes si se mi den en direcciones alineadas con las fi bras o transversales a ellas. 5) Anisotropía en computación

143

Física IV



En el campo de la computación gráfica, una superficie anisótropa va a cambiar de apariencia a medida que se rota sobre su normal geométrica, como es el caso con el terciopelo. El filtrado anisotrópico es un método pa ra mejorar la calidad de imagen de las tex turas sobre superficies que están muy le jos y en ángulo pronunciado con respecto al punto de vista. Las técnicas más anti guas, tales como el filtrado bilineal y el filtrado trilineal no toman en cuenta el án gulo con que se ve una superficie, lo que puede dar lugar a aliasing o borrosidad de las texturas. Al reducir el detalle en u na dirección más que en la otra, estos e fectos pueden ser reducidos.

2. ECUACIONES DE MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell están formas por las siguientes leyes: a) Ley de Gauss para el campo eléctrico La ecuación matemática que expresa la ley de gauss, puede representarse en su forma integral o diferencial. 1) Forma integral

siendo, "S" el área de la superficie cerra da, "q k " las cargas libres al interior de di cha superficie y "E" la intensidad del campo eléctrico. 2) Forma diferencial La expresión de la ley de Gauss, para una carga eléctrica "q" distribuida en el volu men "V" , limitada por la superficie cerra da "S" , viene dada por:

S oE dS  q S o E dS  V  dV Transformando la integral de superficie en integral de volumen, tenemos:

V  EdV  V  dV V (o E  )dV  0 De aquí, como el diferencial de volumen "dV" es diferente de cero, obtenemos la expresión diferencial de la ley de Gauss:

 0,  E   / o

dS qk S

d

 E

siendo, "" la densidad de carga volumé trica, en la región donde se estudia el campo eléctrico.

<<

Para un campo eléctrico en el vacío, el flujo " E " del vector campo eléctrico, a través de cualquier superficie cerrada "S" , es proporcional a la suma algebrai ca de las cargas eléctricas encerradas por esta superficie>>

E 

S oE dS   k ()qk

3) Deducción de la ley de Gauss dS E R d

q

R

144

Ecuaciones de Maxwell

En la Figura, el flujo eléctrico, de la car ga "q" , a través del diferencial de área "dS" es:

-

dE  oE dS Así, el flujo eléctrico a través de cual quier superficie "S" que encierre a la car ga "q" es: 

0 

0

S

d E   o ( 0

d E 

-

q )dS 4o R 2

S oE dS    d

q S dS q   d 4 0 R 2 4 0

S oE dS  S oE dS  S oE dS    d 1

-

q E   4

Como el ángulo sólido en todo el espa cio, es 4, entonces:

E  q

2

3

Ahora, como el flujo es radial, no existe flujo por las bases del cilindro, y además como en cada punto de la superficie late ral el campo eléctrico E está en la direc ción del vector diferencial de superficie dS , la ecuación anterior se reduce a: oES  

4) ¿Como se aplica la ley de Gauss? La ley de Gauss, permite determinar de manera sencilla, los campos eléctricos creados por cuerpos cargados que presen tan alta simetría, por ejemplo, filamentos, planos, esferas, etc...  Así, para hallar el campo eléctrico creado por un filamento de longitud infinita y densidad de carga longitudinal uniforme " " , procedemos así: E

de carga positiva, representemos las lí neas de fuerza del campo eléctrico. Elegimos como superficie cerrada (super ficie gaussiana) un cilindro de radio "r" y longitud " " que pase por el punto P, don de hallaremos el campo, y que tenga co mo eje el filamento cargado. Aplicamos la ley de Gauss a la superficie del cilindro formada por sus dos bases (S1 y S3) y su superficie lateral (S2), así:

 E(2 r )  

E

 2o r

siendo, "S" el área lateral del cilindro. 5) Flujo de campo eléctrico (E) dS 

dS

S2

E

S3

S r 

P S1

-

l

A partir de la simetría de la distribución

El flujo de campo eléctrico E que pasa a través de una superficie de área "S" , es una cantidad física escalar, se representa mediante " E " , y viene dado por:

145

Física IV  E   o E dS S

 E   o Ecos  dS S

"" es el ángulo formado por el campo eléctrico "E" , con la perpendicu lar a la superficie "dS" , llamado normal. donde,

E

n

E

- 



n

+

El flujo de campo que ingresa a una su perficie "S" es negativo, por que >90º, y el flujo que sale positivo, porque <90º como se muestra en la Figura. El flujo del campo eléctrico a través de u na superficie cerrada "S" , siempre es nu lo, el cual, es resultado del principio de conservación del flujo eléctrico. E S

minan en cargas diferentes. Esta ley pri mordialmente indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la ine xistencia del monopolo magnético. Al en cerrar un dipolo en una superficie cerra da, no sale ni entra flujo magnético por lo tanto, el campo magnético no diverge, no sale de la superficie. Entonces la diver gencia es cero. Matemáticamente esto se expresa así:

 B0 donde B es la densidad de flujo magnéti co, también llamada inducción magnéti ca. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerra dos. El campo no diverge, es decir, la di vergencia de B es nula. La fprma integral de la ley de Gauss para el campo magnético, se expresa así:

S B dS  0 Como en la forma integral del campo e léctrico, esta ecuación sólo funciona si la integral está definida en una superficie ce rrada.

dS

c) Ley de Faraday

E 

S oE dS  0

b) Ley de Gauss para el campo magnético Experimentalmente se llegó al resultado de que los campos magnéticos, a diferen cia de los eléctricos, no comienzan y ter

1) Concepto Esta ley establece que la fuerza electro motriz (f.e.m) " " , inducida en un circui to es igual al valor negativo de la rapidez del flujo magnético a través de área limi tada por el contorno del circuito, es decir, se cumple:

146 

d B dt

Ecuaciones de Maxwell (1)

siendo, " " la f.e.m. medida en voltios. dS B

res de las coordenadas en la superficie "S" . Por lo que, ella no depende del tiem po y la derivada total temporal de B es i gual a la derivada parcial respecto del tiempo de B , esto es, dB/ dt  B/ t . A sí, para circuitos estacionarios la ley de Faraday se expresa como 

C

S

 d

E

 C

d B dS dt S

(2)

esto es, la circulación del campo eléctrico E a través del contorno cerrado C del conductor, es igual a la variación del flu jo del campo magnético B a través de la superfi cie encerrada por dicho contorno. 2) La ley de Faraday para circuitos estacionarios, relación entre la ter cera ley de Maxwell y el potencial vectorial magnético A. Para un circuito estacionario la superficie de integración que usamos para evaluar el flujo a través del circuito estacionario para cualquier instante de tiempo no es u na función dependiente del tiempo. La de pendencia temporal del flujo a través del circuito se debe únicamente a la depen dencia temporal del campo magnético.  Además las coordenadas espaciales para las que B(r, t) en la ecuación del flujo

   B dS es evaluada sobre los valo S

(3)

o, si usamos la ecuación

Ahora, si reemplazamos las expresiones de " " y " B " , estudiadas anteriormen te, la ec.(1), también se puede expresar, así: E d 

d B   dS S t dt



C E d

como, 

C

B ds S t

E d  

(4)

Con la ayuda del teorema de Stokes el la do izquierdo de esta ecuación puede ser transformada a una integral de superficie de la componente normal del rotacional de E sobre una superficie "S" . Es decir, la ec.(3) podría ser expresada como B

S ( x E) dS   S t

dS

(5)

Ahora, la superficie de integración "S" puede ser cualquier superficie que este li mitada por la curva C. Esta libertad para seleccionar la superficie de integración "S" nos permite que la igualdad expresa da por la ec.(3) pueda mantenerse única mente si los dos integrandos que apare cen en las dos integrales de superficie de la ec.(4) sean iguales en todos los puntos. Así, obtenemos la relación  x E  B/ t

(6)

entre el campo eléctrico inducido en un

147

Física IV



punto dado y la razón de cambio tempo ral del campo de inducción magnética en el mismo punto. Esta relación se conoce como la forma di ferencial de la ley de Faraday. Ella es una de las cuatro ecuaciones que correctamen te describen un campo electromagnético dependiente del tiempo. Así, hemos obte nido la tercera ecuación de Maxwell. Las otras dos ecuaciones son las relaciones

 D y  B0





(7)

Estas relaciones válidas para campos está ticos, también, son válidas para campos dependientes del tiempo. La naturaleza nula de la divergencia del vector de inducción magnética B es una consecuencia de la ausencia de monopo los magnéticos. Las líneas de inducción magnética producidas por distribuciones de carga y corriente dependientes del tiempo forman así líneas cerradas. Ellas no tienen fuentes o sumideros, este resul tado expresa la divergencia nula del vec tor de inducción magnética. Notemos que si B tuviese una divergen cia no nula, entonces la ecuación del flujo magnético    B dS , que es la

 x[E 



B  xA

(8)

La utilización de esta ecuación en la for ma diferencial de la ley de Gauss ec.(6), nos da la expresión

(9)

la cual, a su vez nos sugiere que el vector campo E  (B/ t) es derivable de un potencial escalar, expresada como:

E

A   t

(10)

En términos del potencial vectorial A , el flujo magnético a través de un circuito dado es,    ( x A) dS  S

 CA d

(11)

Por lo que, la fem inducida en el circuito estacionario también se expresa como 

d   dt t

Ad

(12)

También, este resultado se sigue de las e cuaciones    E' d , siendo E ' el C

campo eléctrico inducido en los puntos del circuito, dado por la ec.(10):

S

definición del flujo magnético a través del circuito, no tendría un único valor. Las diferentes superficies podrían, enton ces dar diferentes valores para el flujo. La naturaleza nula de la divergencia del vector campo de inducción magnética nos permite expresar ella como el rotacio nal de un potencial vectorial A ,

A ]  0, t



 E d    () d 

pues,

 () d



A d t

 0 . Así, para evaluar la

fem inducida en un circuito estacionario para un campo magnético dependiente del tiempo podemos usar ya sea la ec.(3) o la ec.(12). 3) Aplicaciones La ley de Faraday, sirve como marco teó rico para la construcción, diseño y funcio namiento de los generadores de corriente eléctrica, transformadores, motores y mu

148

Ecuaciones de Maxwell

chos otros dispositivos y artefactos de uso cotidiano. d) LEY DE AMPERE Consideremos una corriente rectilínea in finita "i" como el que se muestra en la Figura, a continuación calculemos la cir culación del campo magnético B creado por esta corriente a lo largo de la trayec toria circular de radio "r" : B

CB  (

P

o I )(2 r) 2 r

 d

De donde nuevamente obtenemos la mis ma expresión anterior, para la circulación de B : (2)

La circulación del campo magnético a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual, a la corriente neta que encierra o enlaza dicha trayectoria. La expresión matemática de esta ley, se escribe así:

P B

d

 d

r l

o I  I 2 )(r d)  o  d 2 r 2 0

Enunciado

De modo que la circulación de B resulta ser: (1) CB   o I

I

 Bd

Luego, de (1) y (2) podemos decir que la circulación del campo magnético es inde pendiente de la trayectoria que se conside re para su cálculo. Así, en general es posi ble demostrar que la ec.(2) se cumple pa ra cualquier forma que tenga el circuito eléctrico, luego lo dicho anteriormente po demos resumirlo en el siguiente enuncia do que viene a ser la ley de Ampere:

B

B



(



CB   o I

l

 Bd

CB 

 Bd

 d

I

CB 

CB 

CB 

 Bd

 o I

rd I2

Ahora, consideremos una trayectoria arbi traria como el mostrado en la Figura, y calculemos nuevamente la circulación del campo magnético B a través de esta tra yectoria:

I3

I1 l

149

Física IV

siendo, I   Ik la suma algebraica de

se anula, no se puede aplicar lo anterior, pero dado que, la divergencia de B se a nula (  B  0 ) y como el rotacional de la divergencia es nulo, entonces, pode mos suponer que existe una función vec torial llamada potencial vectorial A , tal que:

k



las corrientes enlazadas por la trayectoria cerrada " " . Por ejemplo en la Figura, la corriente ne ta enlazada por la trayectoria cerrada " " es:  I1  0  I   I1  I2  I3   I2  0  I 0  3

B  rot A

Nota A veces se acostumbra escribir la ley de Ampere, así: CB 

 Bd

 o  J dS S

siendo

 J dS la corriente neta.

A(r2 ) 

S

3. POTENCIAL VECTORIAL Y ESCALAR

o J(r1) dV1  4 V1 r2  r1

siendo, r1 el vector de posición que locali za un diferencial de volumen dV1 de la distribución de corriente, y r2 el vector de posición del punto P, donde se cal cula el potencial vectorial.

a) Potencial vectorial dV1 j r2-r1 P V1 r1



es decir, podemos obtener la inducción magnética, a partir del potencial vectorial A. La expresión del potencial vectorial A en el vació, generada por una distribu ción de corriente espacial J en puntos del espacio, que no pertenecen a la dis tribución, viene dado por:

r2

0

En el segundo capitulo, se estudio que to do campo eléctrico conservativo, que sa tisface la condición rotE  0 , se obtiene como el gradiente cambiado de signo de una función llamado potencial eléctrico, esto es, E  V . Ahora, como el rota cional de la inducción magnética B no

Notas 1) En general el potencial vectorial no es fá cil de calcular, como en el caso del poten cial eléctrico, por ejemplo, si aplicamos está fórmula al caso de una corriente rec tilínea infinita obtenemos que A   , lo cual no es correcto. 2) Conocer el potencial vectorial magnético en un punto del espacio no tiene utilidad, pues, la inducción del campo magnético se obtiene por derivación. 3) El potencial vectorial se utiliza para calcu lar la inducción magnética, generada por un circuito a grandes distancias de el, y

150

Ecuaciones de Maxwell

en problemas en las que interviene la ra diación electromagnética. b) Campo magnético de un circuito e léctrico distante dl

C

léctrico, este se llama campo de un dipo lo magnético, siendo m el momento mag nético dipolar del circuito. c) Potencial escalar La ley de Ampere en su forma diferen cial en el vació, se expresa, así: rot B(r)  o J(r)

r2-r1 I

P

I

si la densidad de corriente J(r) es nulo, entonces, como B satisface la condición de campo conservativo, este en una re gión dada del espacio, puede expresarse como el gradiente cambiado de signo de cierta función "V" llamada potencial es calar, esto es:

r1 r2 0

La expresión del potencial vectorial A en el punto P situado en el vació, genera do por el circuito pequeño de corriente eléctrica, viene dado por:

B  oV

Ahora, como la div B =0, entonces, en la expresión anterior, tenemos:

 mx r A(r2 )  o 2 2 4 r2

 B  o V  0

siendo, m el momento magnético del cir cuito eléctrico C, que conduce una co rriente "i" , cuya expresión para r1 mu cho menor que r2 , viene dada por: m

B(r2 )  rot A(r2 ) B(r2 ) 

 2V  0

I r1 x dr1 2

Luego, tomando el rotacional al poten cial vectorial A , obtenemos la inducción magnética en el punto P, así:

o m 3(m r2 ) r2 [  ] 4 r23 r25

Como la forma de este campo es pareci da a la del campo eléctrico de un dipolo e

(1)



es decir, el potencial escalar "V" satisfa ce la ecuación de Laplace. En la práctica la solución de muchos problemas de la electrostática, se obtienen de resolver la e cuación de Laplace más sus condiciones de contorno. El potencial escalar magnético se utiliza para obtener el campo magnético, crea dos por circuitos que conducen corriente eléctrica ó capas dobles magnéticas (ca pas de dipolos).

d) Monopolo magnético Un monopolo si tal cosa existiera sería u na nueva clase fundamentalmente diferen te de objeto magnético. Actuaría como un polo norte aislado, no atado a un polo

151

Física IV sur, o viceversa. Los monopolos tendrían "carga magnética" análoga a la carga eléc trica. A pesar de intensas búsquedas sis temáticas a partir de 1931 (como la de 2006), todavía no hay evidencia conclu yente de su existencia. e) Dipolo magnético Se llama “dipolo magnético” el sistema de dos “cargas magnéticas” puntuales de diferentes signos (+q) y (-q), que se en cuentran entre si a una distancia "d" pe queña en comparación con la distancia "r" hasta los puntos considerados del campo. H Hr

H

H

1 m (3cos2   1)1/ 2 3 4 r

siendo "" el ángulo entre el vector de posición r y el vector momento dipolar m. f) Potencial escalar de un circuito pequeño. La inducción magnética B generada por un circuito pequeño a grandes distancia, obtenida en b), podemos expresarla, así: B(r2 )  o grad(

m r2 ) 4 r23

(2)

Comparando (1) con (2), encontramos la expresión para la inducción magnética de un circuito de pequeñas dimensiones (di polo magnético), así:

P r 

0 -q

V

m

Como se observa "V" es independiente de la forma que tenga el circuito conduc tor.

+q

d



El sentido del vector momento magnético dipolar, m  q d , es de sur a norte (de –q a +q). En coordenadas polares planas, en el pun to P las componentes radial "H r " y tan gencial "E " de la intensidad del campo magnético, viene dados por: Hr 



2mcos  y 4 r 3

H 

m r2 4 r23

g) Potencial escalar de un circuito grande de corriente eléctrica P 

r

msen  4 r 3

La magnitud de la intensidad del campo magnético en el punto P del vació, crea do por el dipolo magnético, viene dado por:

I

C I

En la Figura, el potencial escalar "V" en el

152

Ecuaciones de Maxwell

punto P del vació, creado por el circuito grande C que conduce una corriente eléc trica "I" , viene dado por: V(P)  

I 4

siendo, "" el ángulo sólido limitado por la curva C en el punto P. h) La densidad de corriente de des plazamiento La densidad de corriente de desplazami ento J D , se define como la variación tem poral del vector desplazamiento D , esto es:

JD 

D t

ID   JD dS   ( S

  E

La mayoría de los materiales o sustancias no son perfectamente conductores ni total mente dieléctricos, es decir, presentan ambas características, así, para una de pendencia del campo eléctrico E respec to de la frecuencia  ( E  e j t ) la densi dad de corriente total, viene dado por: JT  JC  J D

i) Corriente eléctrica de desplazami ento La corriente de desplazamiento (en ampe rios) a través de una superficie específi ca, se obtiene por integración exactamen te en la misma forma como la corriente de conducción, esto es:

S

f) Razón entre las densidades de conducción y desplazamiento

D ) dS t

La corriente de desplazamiento "i D " pue de interpretarse en términos de movimien to de cargas. Si la carga "Q" se mueve con una rapidez "v" , el campo eléctrico que rodea a "Q" también avanza con ra pidez "v" . Por tanto, aunque "Q" puede cruzar físicamente una superficie S (lo que constituiría una corriente de conduc ción) las líneas de D cambiando a tra vés de S, producen una corriente de des plazamiento.

JT   E 

 ( E) t

JT   E  ˆj  E

Así, la razón de las magnitudes de las densidades de corriente de conducción "J C " y desplazamiento "J D " es:

JC   J D  siendo, "" la conductibilidad, " " la permitividad eléctrica y "" la frecuen cia de oscilación de la onda eléctrica E .

153

Física IV

4. CONDICIONES DE CONTINUIDAD Y CONTORNO PARA H y B. A continuación discutiremos los problemas de magnetóstatica con valores de contorno y continuidad, las cuales añadidas a las condiciones apropiadas aseguran que cualquier solución de las ecuaciones xH  J

(1)

 B0

(2)

B  o H

(3)

son una solución única. Las condiciones de continuidad asumen que su forma más simple quedan estableci das en términos de los vectores campo B y H . Las condiciones de continuidad y/o discon tinuidad se siguen fácilmente de las ecs.(1) y (3). La naturaleza nula de la divergencia del vector de inducción magnética nos conduce a concluir que la componente de B es continua en cualquier superficie S’ en la que la per meabilidad magnética del medio que se sitúa en la región de interés podría cambiar dis continuamente o en cualquier superficie que contiene una distribución de corriente. Así, cuando los vectores del campo de inducción magnética B e intensidad magné tica H , pasan de un medio "1" hacia otro "2" de diferentes propiedades magnéticas, en la superficie de separación S de ambos medios, dichos campos magnéticos satisfacen las si guientes condiciones de continuidad. a) La componente normal de B es continua Esta condición establece que la componente normal del campo de inducción magnética B , al pasar este del medio "1" hacia el "2" , no cambia, esto es: nˆ (B2  B1)  0 o

B1n  B2n

Para demostrar esto, consideremos la pequeña superfi cie cilíndrica S de altura despreciable comparada con el diámetro de sus bases. Aplicando la integral de flu jo, a esta superficie, y teniendo en cuenta que sólo existe flujo por las bases del cilindro de área S , te nemos:

S B dS  0

B2

n2

2

S 1

B1

n1

 B2 nˆ 2S  B1 nˆ 1S

siendo, nˆ 1 y nˆ 2 son las normales dirigidas hacia fuera de las superficies superior e infe rior del cilindro. Como, nˆ 2   nˆ 1 y como cada una de estas normales puede servir como normal a la superficie de separación de los medios, tenemos:

23

Magnetismo (B2  B1) nˆ 2  0 o

B1n  B2n

b) La componente tangencial de H no es continua Esta condición establece que la componente tangencial de la intensidad del campo mag nético H , al pasar este del medio "1" hacia el "2" , cambia, esto es: nˆ 2x (H2  H1)  JS

o en ausencia de distribuciones de corriente superficial, la componente tangencial de la in tensidad magnética no cambia, esto es nˆ 2x (H2  H1)  0,

o

H2t  H1t

Para demostrar esto, consideremos el circuito rectan gular ABCD, con las longitudes de los lados AB y CD igual a  " " y la de los lados AD y BC despre ciables. Luego, aplicando la ley de circulación de Ampere, tenemos:

C H d

H2

2 A

B

C

D 1

H1

I

H2   H1 (  )  JSx

o

H2t  H1t  JSx ˆi

siendo JS la densidad de corriente superficial (corriente de conducción por unidad de lon gitud) y ˆi el vector unitario en la dirección de  . Luego, como la ecuación anterior es válida para cualquier segmento  paralelo a la superficie de separación, esta ecuación puede escribirse así nˆ x (H2  H1)  JS

siendo, nˆ la normal unitaria perpendicular a la superficie de corriente, orientada del pri mer medio hacia el segundo. c) El flujo del campo de inducción magnética B es continuo Para demostrar que en un punto el flujo del campo de inducción magnético es continuo, consideremos un tubo de líneas de campo magnético, de áreas de las S1 y S2, respectiva mente. Ahora, apliquemos el teorema de la divergencia, así:

V  BdV  S B dS  S B dS  (S2 )  (S1) 2

1

(4)

24

Física III Así, el los flujos magnéticos que pasan por la superfi cies de las bases inferior y superior del tubo es el mis mo. Las líneas del flujo magnético nunca terminan, pero eventualmente deben llegar a su punto inicial, formando curvas cerradas. Esta condición de continuidad sólo se aplica al campo de inducción magnética B , más no así a la intensidad del campo magnético H , pues,  H   M , no es nula en todos los puntos. En este caso, la condición de discontinuidad de H , se escribe así:

B2

n2 n’1

S1 n1

Un tubo de líneas del campo magnético

V  HdV  S H dS  S H dS  V VdV 2

1

5) RESUMEN DE LAS ECUACIONES DE MAXWELL Para campos electromagnéticos independientes del tiempo Ley De Gauss para el campo e léctrico E De Gauss para el campo de inducción magnética B De circulación para el cam po eléctrico E De circulación para el cam po de inducción magné tica

Forma integral

Forma diferencial

S E ds  q / o

 E   / o

S B ds  0

 B0

L E d

0

xE  0

 o I

 x B  o J

L B d

S2

(5)

156

Ecuaciones de Maxwell

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En la Fig01, el campo de inducción magnética en la región I es B1 =1,2 xˆ +0,8 yˆ +0,4 zˆ (T). (o=410-7 A/m) I) Hallar la intensidad de campo magnético H 2 en la región II. a) (8,2 xˆ +5,13 yˆ +42 zˆ )10-2 A/m

b) (8,8 xˆ +5,93 yˆ +48 zˆ )10-2 A/m

c) (8,6 xˆ +5,53 yˆ +44 zˆ )10-2 A/m d) (8,4 xˆ +5,73 yˆ +46 zˆ )10-2 A/m e) (8,0 xˆ +5,33 yˆ +40 zˆ )10-2 A/m II)

Hallar el ángulo entre B1 y el eje-z. a) 71,5º

b) 72,5º

c) 73,5º

d) 74,5º

e) 75,5º

c) 13,5º

d) 14,5º

e) 15,5º

III) Hallar el ángulo entre B2 y el eje-z. a) 11,5º

b) 21,5º

02. En la Fig02, en la región I a la izquierda del plano y+z=1 la permeabilidad magnética re lativa es r1=4 y el campo de inducción magnética B1 =2,0 xˆ +1,0 yˆ T, en tanto en la re gión II la permeabilidad magnética relativa es r2=6. I) Hallar el campo de inducción magnética B2 en la región II. II) Hallar la intensidad de campo magnético H 2 en la región II. z

z r1

2

n 2

0 E1

1

1

r1

0

Fig01

y

Fig02

03. En la región I definida por x<0, la permeabilidad relativa es r1=3, y la intensidad de cam po magnético es H1 =4,0 xˆ +3,0 yˆ -6,0 zˆ A/m en tanto en la región II definida por x>0, la permeabilidad relativa es r2=5. I) Hallar el ángulo que forma el campo de inducción magnética B2 con el eje-x. a) 70,31º

b) 71,31º

c) 72,31º

d) 73,31º

e) 74,31º

157

Física IV II)

Hallar la magnitud de la intensidad magnética H 2 en la región II. a) 7,12 A/m

b) 7,32 A/m

c) 7,52 A/m

d) 7,72 A/m

e) 7,92 A/m

04. En la región definida por z<0, la permeabilidad magnética relativa es r1=3 y la intensi dad de campo magnético es H1  (1/o)(0,2 xˆ +0,5 yˆ +1,0 zˆ ) (A/m). Hallar H en la región z>0, si este campo magnético forma con el eje-z un ángulo de 45º. a) (0,1 xˆ +0,6 yˆ +0,34 zˆ )/o (A/m)

b) (0,5 xˆ +0,7 yˆ +0,24 zˆ )/o (A/m)

a) (0,3 xˆ +0,9 yˆ +0,14 zˆ )/o (A/m) d) (0,4 xˆ +0,8 yˆ +0,44 zˆ )/o (A/m) e) (0,2 xˆ +0,5 yˆ +0,54 zˆ )/o (A/m) 05.Una corriente laminar dada por: k =6,5 zˆ A/m, en x=0 separa la región I, x<0, donde la in tensidad de campo magnético es H1 =10 yˆ A/m y la región II, x>0. Hallar la intensidad magnética en la región II, en x=0. a) 13,5 yˆ A/m

b) 14,5 yˆ A/m

c) 15,5 yˆ A/m

d) 16,5 yˆ A/m e) 17,5 yˆ A/m

06. En las regiones I y II definidas por z<0, y z>0, las permeabilidades magnéticas relativas son, r1=1,5, r2=5, y los campos de inducción magnética son, B1 =2,40 xˆ +10,0 zˆ T, B2 =25,75 xˆ -17,7 yˆ +10,0 zˆ T. Hallar la magnitud de la corriente laminar en la superficie de separación de las regiones I y II. a) 3,58106 A/m b) 3,68106 A/m 07. I) II) III)

c) 3,78106 A/m

d) 3,88106 A/m e)3,98106 A/m

En cierta región R del espacio vació, el campo eléctrico es E =Emsen(t-z) yˆ . Hallar el campo eléctrico E en cualquier instante t>0. Hallar el campo de inducción magnética B en cualquier instante t>0. Hallar la intensidad de campo magnético H en cualquier instante t>0.

08. En cierta región R homogénea no conductora la permeabilidad relativa es r=1, y los cam pos eléctrico y magnético, son: E =30 e j(t (4/3)y) zˆ V/m, H =1,0 e j(t (4/3)y)xˆ A/m. I) Hallar la permitividad eléctrica relativa r del medio. a) 13 II)

b) 14

c) 15

d) 16

e) 17

Hallar la frecuencia de las oscilaciones de los campos eléctrico y magnético. a) 1108 rad/s

b) 2108 rad/s

c) 3108 rad/s

d) 4108 rad/s

e) 5108 rad/s

09. La región I, donde la permeabilidad magnética relativa es r1=5, y el campo magnético es H1 = (3,0 xˆ -0,5 yˆ ) (A/m) está al lado izquierdo del plano 6x+4y+3z=12 que incluye el ori gen. En la región II, la permeabilidad magnética relativa es r2=3.

158 I)

Ecuaciones de Maxwell Hallar la magnitud del campo magnético de inducción B en la región II. a) 10,29 A/m

II)

b) 11,29 A/m

c) 12,29 A/m

d) 13,29 A/m

e) 14,29 A/m

Hallar el ángulo que forma B2 con la normal al plano dado. a) 31,32º

b) 32,32º

c) 33,32º

d) 34,32º

e) 35,32º

10. La entrecara entre dos regiones diferentes es normal a uno de los tres ejes cartesianos. Si B1 =o(43,5 xˆ +24,0 zˆ ), y B2 =o(22,0 xˆ +24,0 zˆ ). Hallar la relación tg1/tg2, donde 1 y 2 son los ángulos que forman H1 y H 2 con la superficie de interfase. a) 0,306

b) 0,406

c) 0,506

d) 0,606

e) 0,706

11. Al interior de un cilindro recto la permeabilidad magnética relativa es r1=1000. El espa cio exterior es vació. Si B1 =2,5 ˆ (T) dentro del cilindro, hallar H fuera del cilindro, cer ca a su superficie. (o=410-7 A/m) a) 1 kA/m

b) 2 kA/m

c) 3 kA/m

d) 4 kA/m

e) 5 kA/m

12. En coordenadas esféricas, la región I es rb. Las regiones I y III son espacio vació, en tanto r2=500. Dado que B1 =0,20 rˆ (T), hallar la intensidad de campo magnético H en cada región. 13. Una corriente laminar, k =(8,0/o) yˆ (A/m), en x=0 separa la región I, x<0 y r1=3, de la región II, x>0 y r2=1. Dado H1 =(10,0/o) ( yˆ + zˆ ), hallar la intensidad de campo . H 2 . 14. El plano x=0 contiene una corriente laminar de densidad k que separa la región I, x<0 y r1=2, de la región II, x>0 y r2=7. Dados B1 =6,0 xˆ +4,0 yˆ +10,0 zˆ (T), B2 =6,0 xˆ 50,96 yˆ +8,96 zˆ (T), hallar la densidad de corriente laminar k . 15. Por un solenoide muy largo de sección transversal circular de radio R=5 cm que está arro llado con N=300 vueltas de alambre por centímetro, inicialmente circula una corriente e léctrica de I0=2,4 A. La corriente se reduce linealmente a 0 A en 0,04 s. Hallar: I) La magnitud del campo eléctrico a una distancia de r=4 cm del eje del solenoide. a) 30 o k II)

N C

b) 32 o k

N C

c) 34 o k

N C

d) 36 o k

N C

e) 38 o k

N C

La magnitud del campo eléctrico a una distancia de r=8 cm del eje del solenoide. a) 20 o k

N C

b) 22 o k

N C

c) 24 o k

N C

d) 26 o k

N C

e) 28 o k

N C

159

Física IV III) La magnitud del campo eléctrico a una distancia de r=5 cm del eje del solenoide. a) 45 o k

N C

b) 50 o k

N C

c) 55 o k

N C

d) 60 o k

N C

e) 65 o k

N C

16. El flujo magnético que pasa por cada una de las "N" vueltas de una bobina es " B " , y la corriente eléctrica que circula por la bobina es "I" . I) Demostrar que la inductancia de la bobina es L=NB/I. II) Si la inductancia de la bobina estrechamente arrollada es L=10 mH, la bobina tiene 10 vueltas y la corriente es de I=2 mA, hallar el flujo que atraviesa la bobina. a) 1 Wb

b) 2 Wb

c) 3 Wb

d) 4 Wb

e) 5 Wb

17. El anillo de un superconductor tiene radio R=10 cm y está situado en un campo magnéti co homogéneo, cuya inducción aumenta de B0=0 T a B=2 T. El plano del anillo es perpen dicular a las líneas de inducción del campo magnético. Hallar la intensidad de corriente in ducida que surge en el anillo, si la inductancia de este es L=0,5 H. a) 116 mA

b) 126 mA

c) 136 mA

d) 146 mA

e) 156 mA

18. En la Fig03. la varilla muy delgada de longitud " " formada de un conductor con densi dad de carga lineal uniforme de =410-11 C/m, y un aislante de longitud d=4 cm, gira al rededor del eje que pasa por uno de sus extremos con una frecuencia constante de f=100 s-1. ¿Para qué longitud de la varilla, la intensidad del campo magnético en 0 es H=410-9 A/m? (Sugerencia: Utilizar la función n(x)) a) 25,6 cm

b) 26,6 cm

c) 27,6 cm

d) 28,6 cm

e) 29,6 cm

19. La magnetización de una muestra de hierro es tal que aporta 2 Wb/m2 a una inducción magnética uniforme B . ¿Cuál es el momento magnético de un volumen de 1 cm3 de esta muestra? a) 1,47 Am2

b) 1,50 Am2

c) 1,53 Am2

d) 1,56 Am2

e) 1,59 Am2

20. Una esfera de radio R=10 cm tiene distribuida uniformemente en su volumen una carga Q=800 nC. Las mitades de la esfera giran en sentidos opuestos alrededor de su eje de si metría con velocidades angulares constantes de 1=60 rad/s y 2=40 rad/s. I) Hallar la intensidad del campo magnético en el centro de la esfera. a) 6,0 A/m II)

b) 6,2 A/m

c) 6,4 A/m

d) 6,6 A/m

e) 6,8 A/m

¿Cuál es la diferencia de las cargas de las mitades de la esfera, si estas se distribuyen de forma diferente, tal que, la intensidad del campo magnético en el centro de la esfera es nula? a) 160 nC

b) 170 nC

c) 180 nC

d) 190 nC

e) 200 nC

160

Ecuaciones de Maxwell

21. En la Fig04, la esfera compacta de radio R=20 cm y densidad de carga volumétrica uni forme =810-9 C/m3, se desplaza con una rapidez de v=4106 m/s, en la dirección mos trada. Hallar: (c=3108 m/s, k=1/4o=9109 Nm2/C2) I) La inducción del campo magnético en el punto A, situado a la distancia de r=10 cm del centro de la esfera, para =300. a) 6,1 T II)

b) 6,3 T

c) 6,5 T

d) 6,7 T

e) 6,9 T

La inducción del campo magnético en el punto B, situado a la distancia de r=25 cm del centro de la esfera, para =300. a) 8,18 T

b) 8,38 T

c) 8,58 T

d) 8,78 T

e) 8,98 T

III) ¿Cuántas veces mayor es la inducción magnética en el punto B que en el punto A? a) 1,08

b) 1,28

c) 1,48

d) 1,68

e) 1,88



B



A l



0

v

0

R



d



Fig03

Fig04

22. En la Fig05, por el circuito en forma de elipse de semiejes "a" y "b" , circula una corri ente eléctrica de intensidad "I" . I) Hallar el momento magnético m del circuito de corriente. II) Hallar el potencial escalar A(r) en puntos muy distantes del circuito de corriente. III) Hallar el campo de inducción magnética B(r) en puntos muy distantes del circuito de co rriente. IV) Hallar el campo de inducción magnética B(r) en puntos situados en el plano que con tiene al circuito de corriente. 23. Hallar la densidad de la corriente en función de la distancia "r" hasta el eje de un flujo de electrones simétrico y paralelo a este eje, si la inducción del campo magnético dentro de éste depende de "r" según la ley B  b.r  , siendo "b" y " " constantes positivas. 24. Se tiene una lámina delgada muy grande de densidad de carga superficial uniforme   810-9 C/m2, contenida en el plano XY, que se mueve con una velocidad v  500 ˆi (m/s). Hallar la magnitud de la intensidad del campo magnético, a una distancia d=1 cm de la lá mina: (o=410-7 A/m, =10-6) a) 1 A/m

b) 2 A/m

c) 3 A/m

d) 4 A/m

e) 5 A/m

161

Física IV

25. Demostrar que para frecuencias bajas (longitudes de ondas muy grandes) el campo de ra diación de una antena dipolar es una muy buena aproximación de la radiación de un di polo eléctrico. Hallar: I) La energía media radiada por la antena. II) La resistencia de radiación de la antena. 26. A lo largo de un conductor de cobre rectilíneo de sección circular de radio R=5,0 mm pa sa una corriente de intensidad I=50 A. Hallar la diferencia de potencial entre el eje del conductor y su superficie. La concentración de electrones de conducción en el cobre es de n=0,91023 eS/cm3. (o=410-7 A/m, p=10-12) a) 121 pV

b) 221 pV

c) 321 pV

d) 421 pV

e) 521 pV

27. En la Fig06, la densidad de carga en el espacio distribuida en el elipsoide, viene dada por: =(Q/2a2b)((x2+y2/a2)+z2/b2-1) siendo, Q=810-9 C, a=10 cm y b=20 cm. Hallar la magnitud de la intensidad de campo magnético H en el origen de coordenadas 0, si las cargas giran alrededor del eje-z con una velocidad angular constante de =100 rad/s. (Uti lizar la función ln(x), n=10-9) a) 163 nA/m

b) 263 nA/m

c) 363 nA/m

d) 463 nA/m Z

P n I

-a Y



b 0



b

r

e) 563 nA/m

-a

a

a I

X

Fig05

a

-b



Fig06

28. Un imán permanente tiene forma de un cilindro circular recto de longitud "L" . Si la mag netización M es uniforme y tiene la dirección del eje del cilindro, hallar las densidades de corriente de magnetización, JM y jM . 29. Un elipsoide con sus ejes principales de longitud "2a" , "2a" y "2b" se magnetiza unifor memente en una dirección paralela al eje "2b" . La magnetización del elipsoide es "Mo " . I) Hallar la densidad superficial de la intensidad del polo magnético. II) Hallar: la densidad volumétrica de la intensidad del polo magnético. III) Evaluar la expresión de la densidad superficial, en el punto x=y=z=1 y para b/a=1/2. a) 0,54Mo

b) 0,64Mo

c) 0,74Mo

d) 0,84Mo

e) 0,94Mo

30. Se evidencia por la ecuación  B =0 que sólo cierta clase de campos vectoriales cumple

162

Ecuaciones de Maxwell con el requisito de un campo de inducción magnética físicamente realizable. Compruébe se que: B  (r / r) x g(x, y,z) con g(x, y, z) como una solución de la ecuación de Lapla ce, es un campo magnético adecuado, y hallar la densidad de corriente J que lo produce.

31. Para un medio homogéneo, isotrópico, no magnético, de conductividad g, en el que hay corrientes estacionarias, demuéstrese que B satisface la ecuación vectorial de Laplace:  2B =0. 32. En la Fig07, el vector de inducción del campo magnético de magnitud B=5 T, al pasar por una superficie plana, cambia el ángulo de inclinación hacia la superficie de =60º a =37º. I) ¿En cuánto cambia la magnitud de la inducción del campo magnético? a) 1,24 II)

b) 1,34

c) 1,44

d) 1,54

e) 1,64

¿Cuál es la densidad lineal de la corriente (en A/m) en la superficie de interfase? a) 1, 25o1

b) 2, 25o1

c) 3, 25o1

d) 4, 25o1

e) 5, 25o1

33. En la Fig08, el conductor de longitud l=2 m rota con una velocidad angular de =1200 rev/min en presencia del campo de inducción magnética B  0,10 sen rˆ (T) . Hallar la co rriente que circula por la espira cerrada de resistencia R=100 . (r=20 cm, m=10-3) a) 10,9 mA

b) 11,9 mA

c) 12,9 mA

d) 13,9 mA

e) 14,9 mA

r



l



X

R



Fig07

Fig08

34. En un medio no magnético el campo eléctrico, viene dado por: E =4 sen(2107t-0,8x) zˆ V/m. (k=1/4o=9109 Nm2/C2, c=3108 m/s) I) Hallar permitividad eléctrica relativa (r) del medio no magnético. a) 11,59 II)

b) 12,59

c) 13,59

d) 14,59

e) 15,59

Hallar la impedancia intrínseca () del medio no magnético. a) 95,7 

b) 96,7 

c) 97,7 

d) 98,7 

e) 99,7 

163

Física IV III) Hallar la potencia promedio temporal que porta la onda. a) 81 mW/m2

b) 82 mW/m2

c) 83 mW/m2

d) 84 mW/m2

e) 85 mW/m2

IV) Hallar la potencia total que atraviesa 100 cm2 del plano 2x+y=5. a) 721,5 W

b) 722,5 W

c) 723,5 W

d) 724,5 W

e) 725,5 W

35. Un dieléctrico disipativo tiene una impedancia intrínseca de 20030º  en una frecuen cia particular. Si, en esa frecuencia, la onda plana que se propaga por el dieléctrico tiene como componente de campo magnético H =10 e x cos(t-x/2) yˆ A/m. I) II) III) IV)

Hallar la componente del campo eléctrico E . Hallar la constante de atenuación () del medio. Hallar la profundidad pelicular (). Hallar la polarización de la onda.

36. En un medio sin pérdidas en el que la impedancia intrínseca del medio =60, la permea bilidad relativa r=1, y el campo magnético H =-0,1cos(t-z) xˆ +0,5sen(t-z) yˆ A/m. I) Hallar la permitividad relativa (r) del medio. II) Hallar la frecuencia angular () de la onda electromagnética. III) Hallar la componente eléctrica E de la onda electromagnética. 37. La componente eléctrica de una onda plana uniforme que se propaga en cierto medio, tie ne la forma E = 2 e z sen(108t-z) yˆ V/m. Si el medio se caracteriza por: r=1, r=20 y =3 mhos/m. I) Hallar la constante de atenuación () del medio. II) Hallar el número de onda () de la onda electromagnética. III) Hallar la componente magnética H de la onda electromagnética. 38. La componente eléctrica de una onda plana, E =Eocos(t-z) xˆ incide en un buen conduc tor en z=0. Hallar la densidad de corriente en el conductor. 39. Demostrar que el teorema de Poynting en términos de potencias, se puede expresar en la  1 1 forma:  (E x H) dS =  [  E 2   H 2 ]dV -   E 2dV . S V t V 2 2 40. Demostrar que en cierta región R del espacio sin origen ( J =0, V=0), las ecuaciones de Maxwell pueden reducirse a dos. Identifique estas dos ecuaciones globales. 41. Demostrar que la densidad de carga "V " de un conductor lineal, homogéneo e isotrópi co satisface la ecuación: V/t + (/)V=0. 42. Suponiendo que exista una región del espacio R sin origen, deducir la ecuación de difu sión, 2 E =  E /t.

164

Ecuaciones de Maxwell

43. En cierta región R del espacio, la densidad de corriente es, J = (2y xˆ +xz yˆ +z3 zˆ )sen104t A/m. Hallar la densidad de carga V si V(x, y, 0, t)=0. 44. En cierta región R del espacio sin carga en la que =0, =or y =o, la intensidad de campo magnético es, H =5cos(109t-4y) zˆ A/m. I) Hallar la densidad de corriente de desplazamiento ( Jd ). II) Hallar el vector de desplazamiento ( D ). III) Hallar la permitividad eléctrica relativa (r) del medio. 45. En cierta región R del espacio con =0, =o, y =6,25o la componente magnética de la onda electromagnética es, H =0,6cos xcos108t zˆ A/m. I) Hallar el número de onda () de la onda electromagnética. II) Hallar la componente de campo eléctrica ( E ), de la onda electromagnética. 46. En un medio no magnético, E =50cos(109t - 8x) yˆ + 40sen(109t zˆ V/m. I) Hallar la componente magnética ( H ) de la onda electromagnética. II) Hallar la permitividad eléctrica relativa (r) del medio. 47. Comprobar si los campos siguientes son campos electromagnéticos genuinos, es decir, si satisfacen las ecuaciones de Maxwell. Suponga que existen en regiones sin carga. I) II) B =8(10/)cos(t-2) ˆ A =40sen(t+10x) zˆ III) C = (32cot  ˆ + cos / ˆ ) sen t IV) D = (1/r)sen  sen(t-5r) ˆ 48. Dada la energía electromagnética total W= (1/2)  (E D  H B)dV demuestre con las ecua ciones de Maxwell que: W/t=-  (E x H) dS   E J dV . S

V

49. En el vació, H = (sen  ˆ + 2 cos  ˆ )cos4106t A/m es la componente magnética de una onda electromagnética. I) Hallar la densidad de corriente de desplazamiento ( Jd ). II) Hallar la componente de campo eléctrico ( E ) de la onda electromagnética. 50. Una antena radia en el vació con H = (12sen /r) cos(2108t - z) ˆ mA/m. Hallar la componente de campo eléctrico E en términos de . 51. En cierta región R del espacio, el campo eléctrico en el aire es, E =te- - t ˆ V/m. I) Hallar la componente de inducción magnética B del campo electromagnético. II) Hallar la densidad de corriente J en esta región R del espacio. 52. Deducir una expresión de E en función de H a partir de la expresión de H en función de E para una onda plana uniforme.

Física IV

165

53. En cierta región R en el vació (V=0, J =0), demostrar que, A =(o/4r)(cos  rˆ -sen  ˆ ) ej(t-r/c), satisface la ecuación de ondas 2 A - (2 A /t2)=- J . Hallar el potencial eléc trico V correspondiente. (c=3108 m/s velocidad de la luz en el vació) 54. I) Demostrar que el cociente de las amplitudes de la densidad de corriente de conducción Jc y la densidad de corriente de desplazamiento Jd es Jc/Jd=/ si se aplica un campo E=Emcos t. Suponer =o. II) ¿Cuál es el cociente de dichas amplitudes si el campo aplicado es E=Eme-t/, donde " " es real? 55. Las dimensiones de un capacitor coaxial, son: a=1,2 cm, b=4 cm y l=40 cm. Los paráme tros del material homogéneo que hay dentro del capacitor son =10-11 F/m, =10-5 H/m, y =10-5 S/m. Si la intensidad de campo eléctrico es E = (106/)cos 105t ˆ I) Hallar la densidad de corriente J II) Hallar la corriente eléctrica de conducción total Ic a través del capacitor. III) Hallar la corriente eléctrica de desplazamiento total Id a través del capacitor. IV) Hallar el cociente de la amplitud de Id y de Ic, el factor de calidad del capacitor. 56. Demostrar que la corriente de desplazamiento que circula entre dos cilindros conductores de un capacitor coaxial sin pérdidas es exactamente el mismo que la corriente de conduc ción que circula en el circuito exterior si el voltaje aplicado entre los conductores es Vocos t voltios. 57. Considerar la región R del espacio, definida por IxI, IyI y IzI<1. Sea r=5, r=4 y =0. Si Jd=20cos(1,5108t-bx) yˆ A/m2. I) Hallar el vector desplazamiento D y la intensidad de campo eléctrico E . II) Utilizando la ley de Faraday, hallar el campo de inducción magnética B y la intensidad de campo magnético H . III) Utilizando x H = Jd + J , hallar la densidad de corriente de desplazamiento Jd . IV) Hallar la magnitud del campo de inducción magnética B . 58. Una fuente de voltaje Vosen t está conectada entre dos esferas conductoras concéntricas r=a y r=b, b>a, la región entre ellas está llena de un material de =ro, =o y =0. Ha llar la corriente de desplazamiento total a través del dieléctrico y compararlo con la corri ente de la fuente como se determinó a partir de la capacitancia, y por métodos de análisis de circuitos. 59. En cierta región R del espacio =310-5 H/m, =1,210-10 F/m y =0 en cualquier otro la do. Si la intensidad de campo magnético es H =2 cos(1010t-x) zˆ A/m, utilizando las ecua ciones de Maxwell hallar las expresiones para B , D , E y . 60. Deducir las ecuación de continuidad a partir de las ecuaciones de Maxwell. 61. La intensidad de campo eléctrico en la región R dada por: 0
166

Ecuaciones de Maxwell m en el espacio libre está dado por: E =C sen 12y cos21010t xˆ V/m. Comenzando por la relación x E , utilizar las ecuaciones de Maxwell para encontrar un valor numérico de "a" , sabiendo que "a" es mayor que cero.

62. En la Fig09, la línea de transmisión de placa paralela, tiene dimensiones de b=4 cm, y d=8 mm, y el medio entre las placas se caracteriza por r=1, r=20 y =0. Despreciar los campos fuera del dieléctrico. Dado el campo H =5 cos(109t-z) yˆ A/m, utilizar las ecua ciones de Maxwell: I) Hallar el número de onda "" , si >0. II) Hallar la densidad de corriente de desplazamiento en z=0. III) Hallar la corriente de desplazamiento total que atraviesa la superficie en x=0,5d, 0
E =-V- A /t se transforma en la ley de Faraday, cuando se toma el rotacional. 66. En un medio en ausencia de fuentes en el que J =0 y V=0, suponer un sistema de coorde nadas cartesiano en el que E y H son funciones únicamente de z y t. El medio tiene una permitividad " " y permeabilidad " " . I) Si E =Ex xˆ y H =Hy yˆ , mediante las ecuaciones de Maxwell determinar la ecuación dife rencial parcial de segundo orden que Ex debe satisfacer. II) Probar que Ex=Eocos(t-z) es una solución de la ecuación para un valor dado de "" . 67. En la región, z<0, 1=210-11 F/m, 1=210-6 H/m y 1=410-3 S/m, en la región 2, z>0, 2=1/2, 2=21 y 2=1/4. Se sabe que E1 =(30 xˆ +20 yˆ +10 zˆ )cos109t V/m en P(0, 0, 0). I) Hallar E N1 , E T1 , D N1 , DT1 en P1.

167

Física IV

II) Hallar J N1 , JT1 en P1. III) Hallar E T2 , DT2 , JT2 en P2(0, 0, 0+). IV) Utilizando la ecuación de continuidad demostrar que J N1-JN2=DN2/t- DN1/t, y después determinar D N2 , J N2 y E N2 . 68. En un medio en el que V=0, y la permitividad es una función de la posición, determinar las condiciones sobre la variación de la permitividad tales que: I) La divergencia de la intensidad de campo eléctrico es nula,  E . II) La divergencia de la intensidad de campo eléctrico es nula,  E . 69. En una región donde r=r=1 y =0, los potenciales retardados están dados por V=x(z-ct) V y A =x(z/c-t) zˆ Wb/m, donde c=1/ oo . I) II) I)

Demostrar que  A =-V/t. Hallar los campos B , H , E y el desplazamiento eléctricos D . Probar que estos resultados satisfacen las ecuaciones de Maxwell si J y V=0 son cero.

70. La intensidad de corriente I=80t A está presente en la dirección zˆ sobre el eje z en el es pacio libre dentro del intervalo -0,1 m < z < 0,1 m. I) Hallar la componente Az del potencial vectorial en el punto P(0, 2, 0). II) Trazar una gráfica de A versus t sobre el intervalo de tiempo -0,1 s < t < 0,1 s. 71. Hallar la solución de la ecuación de onda, 2V-2V/t2=-V/, donde "V" es el poten cial escalar, y "V " es una distribución de carga en una región R finita. 72. La intensidad de campo eléctrico de una onda electromagnética en un medio dieléctrico no conductor de permitividad =9o y permeabilidad o es: E (z, t)=5cos(109t-z) yˆ V/m hallar la intensidad de campo magnético H y el valor del número de onda . 73. En la Fig10, el circuito eléctrico está situado en el campo de inducción magnética, dado por: B =3cos[5107t-2y/3] xˆ (T). Hallar la intensidad de corriente eléctrica "I" en el circuito, si la resistencia es de R=15 . z

x

y I

R 0

d 0

B



b

Fig09

y

0,6m

Fig10

R

0,2m

x

168

Ecuaciones de Maxwell

74. En la Fig11, por la espira conductora rectangular estacionaria de ancho a=0,6 m y altura h=0,2 m que está situada cerca de un alambre muy largo circula una corriente "i1 " . Asu mir que i1=I1sen t y que la autoinductancia de la espira rectangular es "L" . Hallar la in tensidad de corriente "i 2 " en la espira. 75. En la Fig11, suponga que la intensidad de corriente en el alambre recto es i1=Io, y que la espira rectangular se aleja a velocidad constante u =uo yˆ . Hallar "i 2 " cuando la espira es tá en la posición indicada. 76. En la Fig12, la espira cuadrada de lados a=10 cm y resistencia R=0,5  gira sobre uno de sus lados en un campo magnético constante B =0,04 yˆ T con frecuencia angular de =100 rad/s. Suponga que la espira está inicialmente en el plano-xy. I) Hallar la corriente inducida "i" , ignorándose la autoinductancia de la espira. II) Hallar la corriente inducida "i" , si la autoinductancia es L=3,5 mH. z

z

R



B I

I1 h

I2

R a

0

y

t

y w

d x

x

Fig11

Fig12

77. En la Fig13, la barra conductora deslizante oscila sobre dos rieles conductores paralelos en un campo magnético que varía senoidalmente: B =5 cos t zˆ (mT). La posición de la barra deslizante está expresada por x=0,35 (1-cos t) m y los rieles terminan en una resis tencia de R=0,2 . Hallar la intensidad de corriente "I" . B

y

A

I 

0







0,2m 



B









a



R

b

h



x 0,7m

Fig13

Fig14

78. En la Fig14, el cilindro hueco de radios interior a=4 cm, exterior b=8 cm, espesor h=2

169

Física IV

cm y resistividad eléctrica =1,6910-8  m, está en un campo magnético en la dirección del eje A, y cuya magnitud, viene dado por: B=kt, siendo "t" el tiempo, y k=3,3810-5 T/s una constante. Hallar la intensidad de la corriente inducida en el cilindro. a) 40 mA

b) 42 mA

c) 44 mA

d) 46 mA

e) 48 mA

79. Hallar la frecuencia a la cual la intensidad de un campo eléctrico con dependencia armó nica con el tiempo causa una densidad de corriente de conducción y una densidad de co rriente de desplazamiento de igual magnitud. I) Cuando el medio es el agua de mar con, r=72 y =4 S/m. II) Cuando el medio es tierra húmeda con, r=2,5 y =10-3 S/m. 80. En los cálculos concernientes al efecto electromagnético de las corrientes en un buen con ductor generalmente se ignora la corriente de desplazamiento, incluso a frecuencias de mi croondas. I) Suponiendo que, r=1 y =5,70107 S/m para el cobre, compare la magnitud de la densi dad de corriente de desplazamiento con la densidad de corriente de conducción a la fre cuencia de f=100 GHz. II) Exprese la ecuación diferencial que rige la intensidad de campo magnético H en un buen conductor libre de fuentes. 81. Una lámina infinita con densidad de corriente J =5 xˆ A/m, contenido en el plano-xy, sepa ra el aire (región, z>0) de un medio con r2=2 (región 2, z<0). Si H1 =30 xˆ +40 yˆ +20 zˆ A/m. I) Hallar la intensidad de campo magnético H 2 en la región 2. II) Hallar el campo de inducción magnética B2 en la región 2. III) Hallar el ángulo "1 " que forma B1 con el eje z. IV) Hallar el ángulo " 2 " que forma B2 con ele eje z. 82. Exprese las condiciones en la frontera que existen en la superficie de separación del espacio libre y un material magnético con permeabilidad infinita (una aproximación) 83. Demostrar por sustitución directa que cualquier función de (t-R  ) diferenciable dos veces es una solución de la ecuación de onda homogénea 2U/R2-2U/t2=0. 84. Exprese las ecuaciones escalares para las componentes del conjunto de las cuatro ecuacio nes de Maxwell. I) En coordenadas cartesianas si los fasores de campo son únicamente funciones de z, y. II) En coordenadas esféricas si los fasores de campo son únicamente funciones de r. 85.La intensidad de campo eléctrico en el aire está dado por: E(z, t)=50 cos(2109t-kz) V/m Expresar las siguientes formas de onda y calcular las abscisas: I) E(t) en función de t en z=100125, donde " " es la longitud de onda.

170

Ecuaciones de Maxwell

II) E(t) en función de t en z=-100125, donde " " es la longitud de onda. III) E(z) en función de z en t=T/4, donde "T" es el periodo de la onda. 86. El campo eléctrico de una onda electromagnética E (z, t)=Eocos[108(t-z/c)+] xˆ V/m es la suma de E1 (z, t)=0,03 sen 108(t-z/c) xˆ V/m y E1 (z, t)=0,04 cos[108(t-z/c)-/3] xˆ V/m. Hallar la amplitud "Eo " y la fase inicial "" del campo eléctrico. 87. La intensidad de campo magnético de una onda electromagnética es H (R, t)=Hocos(tkR) ˆ A/m es la suma de H1 (R, t)=10-4sen(t-kR) ˆ A/m y H 2 (R, t)=210-4cos(tkR+) ˆ A/m. Hallar la amplitud del campo "H " y la fase " " . o

88. Mediante las ecuaciones fasoriales de Maxwell para un medio simple con distribuciones de carga y corriente con dependencia armónica con el tiempo. I) Obtenga la ecuación no homogénea de Helmholtz para E . II) Obtenga la ecuación no homogénea de Helmholtz para H . 89. Un alambre conductor de longitud corta por el que circula una corriente con dependencia armónica en el tiempo es una fuente de ondas electromagnéticas. Suponiendo que fluye una corriente uniforme I(t)=Iocos t en un alambre muy corto d colocado sobre el eje-z. I) Hallar en coordenadas esféricas el potencial vector fasorial retardado A a la distancia R. II) Hallar la intensidad de campo magnético H a partir de A . 90. En un cable coaxial con aire como dieléctrico que tiene un conductor interior de radio "a" y conductor exterior de radio interior "b" existe una onda electromagnética de fre cuencia f=60 MHz. Suponiendo que los conductores son perfectos y que la forma fasorial de la intensidad de campo eléctrico es, E = (Eo/r)e-jkz rˆ V/m, a
Física IV

171

tor recto, muy largo de radio "b" y conductividad "" , por el que circula una corriente continua de intensidad "I" . 95. I) Exprese las ecuaciones de onda que gobiernan los campos E y H en un medio con ductor sin fuentes cuyos parámetros constitutivos son " " , " " y "" . II) Obtenga las e cuaciones de Helmholtz correspondientes para campos con dependencia armónica con el tiempo. 96. Se utiliza un radar Doppler de frecuencia f=1 GHz en tierra para determinar la posición y velocidad de un avión que se aproxima. Suponga que la señal reflejada por el avión a un ángulo de elevación de =15,5º presentó un retardo temporal de t=0,3 ms y un cambio en frecuencia de f=2,64 kHz, hallar la distancia "R" , altura "h" y velocidad "v" del a vión. 97. Obtenga una fórmula general que exprese el fasor E(R) en términos del fasor H(R) para una onda transversal electromagnética y la impedancia intrínseca del medio, siendo R el vector de posición. 98. La intensidad de campo magnético instantáneo de una onda plana uniforme que se propa ga por el aire en dirección del eje +y está dada por: H =410-6cos(107t-koy+/4) A/m. I) Hallar "k o " y la posición donde se anula Hz en t=3 ms. II) Escriba la ecuación de la intensidad de campo eléctrico E instantáneo. 99. La intensidad de campo eléctrico E de una onda plana que se propaga en un medio die léctrico está dada por: E(t,z) =2cos(108t-z/ 3 ) xˆ -sen(108t-z/ 3 ) yˆ V/m. I) Hallar la frecuencia "f " y la longitud de onda " " de la onda. II) Hallar la constante dieléctrica relativa "r " del medio. III) Describa la polarización de la onda plana. IV) Hallar la intensidad de campo magnético H . 100. Demostrar que una onda plana con la siguiente expresión del campo eléctrico instantáneo E (z, t)=E10sen(t-kz) xˆ + E20sen(t-kz+) yˆ tiene polarización elíptica. 101. Una onda plana uniforme de frecuencia f=3 GHz, polarizada en y, se propaga en la direc ción +x en un medio magnético con constante dieléctrica de r=2,5 y tangente de pérdidas de 0,05. I) Hallar la distancia a la cual se reducirá a la mitad la amplitud de la onda viajera. II) Hallar la impedancia intrínseca, la longitud de onda, la velocidad de fase y la velocidad de grupo de la onda en el medio. III) Suponiendo que, E =50sen(6109t+/3) yˆ (V/m) en x=0, escriba la expresión de la inten sidad de campo magnético H instantáneo para todo t y x.

172

CAP.

Efecto Doppler

4

EFECTO DOPPLER

1. EFECTO DOPPLER a) Concepto Se llama efecto Doppler a la variación de la frecuencia de las ondas de sonido o de luz emitidas por una fuente "F" , registra da por un receptor "R" , debida al movi miento relativo de la fuente de ondas y del receptor. Este efecto explica por qué, cuando una fuente de sonido de frecuen cia constante avanza hacia el receptor, el sonido parece más agudo (de mayor fre cuencia), mientras que si la fuente se ale ja parece más grave (de menor frecuen cia). En el caso del espectro visible de la radiación electromagnética, si el objeto se aleja, su luz se desplaza a longitudes de onda más largas, desplazándose hacia el rojo. Si el objeto se acerca, su luz pre senta una longitud de onda más corta, desplazándose hacia el azul. Esta desvia ción hacia el rojo o el azul es muy leve in cluso para velocidades elevadas, como las velocidades relativas entre estrellas o entre galaxias, y el ojo humano puede captarlo, solamente medirlo indirectamen te utilizando instrumentos de precisión como espectrómetros. b) Aplicaciones 1) Se utilizan dispositivos láser por efecto Doppler para medir la velocidad de flui dos, en la investigación de la formación de fenómenos atmosféricos (ciclones, tor bellinos, huracanes, etc..)

2) En la espectroscopia, el efecto Doppler se utiliza en el trazado de los movimien tos estelares, también, para estimar la ma sa de las estrellas o la edad del universo (usando la ley de Hubble). O en el estu dio de la expansión de universo. 3) En el control del transito vehicular, se u tiliza para determinar la velocidad de los vehículos automotores, mediante disposi tivos que utilizan este efecto. 4) En la industria se utiliza en el control de procesos industriales y optimización de la producción en el ramo textil, papelero y de empresas fabricantes de cables, en tre otros. 5) En la medicina, este efecto mediante la técnica de ultrasonidos, se utiliza para la elaboración de radiografías de algunos órganos internos del cuerpo humano. 6) En el transporte aéreo, se utiliza en los ra dares, para determinar la posición de los aviones. 7) Se utiliza en la interpretación de espec tros, así, en el espectro del hidrogeno se encuentra que las líneas espectrales tie nen una estructura fina debida a tres cau sas: la forma elíptica de las órbitas de los electrones, el espín del electrón y el es pín del protón, y el efecto Doppler debi do al movimiento relativo de las partícu las constituyentes del hidrógeno atómico y molecular. c) Efecto Doppler acústico Como la velocidad de la fuente "F" res pecto del receptor "R" , o viceversa es mucho menor que la velocidad de la luz en el vació "c" , el efecto Doppler acústi co se estudia dentro de los límites de la fí sica clásica, los casos que se presentan para la frecuencia de las ondas de sonido registrada por el receptor son: 1) Primer caso El receptor "R" está en reposo respecto

173

Física IV de un medio gaseoso (o líquido), y la fuente "F" se aleja de él con la velocidad v1 a lo largo de la recta que los une, co mo se muestra en la Figura.

f

f0 1  (v1 cos  / v)

La frecuencia registrada por el receptor "f " es menor que la frecuencia de las os cilaciones de la fuente "f 0 " .

Qiqo v v1

Qiqo F

R 0

v1

v

v1T0 

F

R 

Para un tiempo igual al período "To " de sus oscilaciones, la fuente recorrerá una distancia igual a v1T0=v1/f0, siendo "f o " la frecuencia de las oscilaciones de la fuente (grito de Qiqo). En la Figura, la di ferencia de las longitudes de onda cuan do la fuente "F" está en movimiento " " y cuando está en reposo "o " es:

0 

  0  v1T0  (v  v1)T0

v  v1 f0

siendo, "v" la velocidad de fase de la on da en el medio. Así, la frecuencia de la onda registrada por el receptor "R" es:

f

f0 v   1  (v1 / v)

Ahora, si la dirección del vector veloci dad de la fuente v1 forma un ángulo ar bitrario "" con la recta que une a la fuente "F" con el receptor "R" , la expre sión anterior se escribe así:

Si la fuente "F" se acerca con una veloci dad v1 , al receptor "R" en reposo a lo largo de la recta que los une, la frecuen cia de las ondas de sonido, registrada por el receptor, viene dada por:

f

  0  v1T0



v1T0



f0 1  (v1 / v)

La frecuencia registrada por el receptor "f " es mayor que la frecuencia de las os cilaciones de la fuente "f 0 " . Ahora, si la dirección del vector veloci dad de la fuente v1 forma un ángulo ar bitrario "" con la recta que une a la fuente "F" con el receptor "R" , la expre sión anterior se escribe así:

f

f0 1  (v1 cos  / v)

2) Segundo caso El receptor "R" se acerca con una veloci dad v 2 a la fuente "F" en reposo respec to de un medio gaseoso, a lo largo de la recta que los une.

174

Efecto Doppler f

Coco v

v2

F

R 0





En la Figura, la longitud de la onda en el medio es =0=v/f0. Pero la velocidad de propagación de la onda con respecto al re ceptor es v+v2, de modo que la frecuen cia del de sonido registrada por el recep tor "R" es:

La frecuencia "f " registrada por el recep tor es menor que la frecuencia de las osci laciones de la fuente "f 0 " . Si la dirección de la velocidad v 2 del re ceptor forma un ángulo "" con la recta que une al receptor con la fuente, la ex presión anterior se escribe así: f  (1 

Coco v1

La frecuencia "f " registrada por el recep tor es mayor que la frecuencia de las os cilaciones de la fuente "f 0 " . Si la dirección de la velocidad v 2 del re ceptor forma un ángulo "" con la recta que une al receptor con la fuente, la ex presión anterior se escribe así: f  (1 



F

R

Si el receptor "R" se aleja con una ve locidad v 2 de la fuente "F" en reposo respecto de un medio gaseoso, a lo largo de la recta que los une, la frecuencia de las ondas de sonido registrada por el re ceptor "R" , viene dada por:

v

v2

R

La fuente "F" y el receptor "R" se acer can (o alejan) entre si con velocidades v1 y v 2 respecto del medio gaseoso (o flui do), a lo largo de la recta que los une. Aplicando el principio de superposición al primer y segundo caso, se encuentra que la frecuencia registrada por el recep tor "R" es:

1  (v2 / v) f [ ]f 0 1 (v1 / v)

0



R.SABRERA

0

v2

v



F

v2 cos )f 0 v

Tico

v2 cos )f 0 v

3) Tercer caso

v  v2 v f  (1  2 )f 0 0 v



v  v2 v  (1  2 )f 0 0 v



siendo, "v" la velocidad de fase de la on da en el medio. Si los vectores velocidad v1 y v 2 , for man ángulos "1 " y "2 " , con la recta que une al receptor con la fuente, la ex presión anterior, se escribe así:

175

Física IV

Casos particulares 1) Si la fuente "F" y el observador "R" se a lejan el uno del otro,   00, se tiene:

1  (v2 / v)cos 2 f [ ]f 0 1 (v1 / v)cos 1

S y

donde los ángulos "1 " y "2 " pueden a doptar valores entre 0o y 180o. d) Efecto Doppler electromagnético Si la fuente luminosa y el receptor de on das luminosas se desplazan uniformemen te con respecto a un sistema inercial de referencia, la frecuencia observada "f " de la luz está relacionada con la frecuen cia "f o " observada en este sistema estan do inmóviles la fuente emisora y el obser vador, mediante la relación: f  f0



F 0’

[1  (v / c) 2 ] 1/ 2 1  (v / c) cos 

z’

f  f0 [

c  v 1/ 2 ] c v

f  f0

,

F 0’

z

  0

S y S´ y´ R 0

v

x x’

F v

x x’

0’

z z’

S´ y´



x x’

v

z

f  f0 [

c  v 1/ 2 ] cv

f  f0

,

y

0

R

R 0

2) Si la fuente "F" y el observador "R" se a cercan el uno hacia el otro,   1800, se tiene:

siendo, "" el ángulo entre la línea de ob servación y la dirección del movimiento de la fuente con respecto al observador, medido en el sistema de coordenadas rela cionado con el observador, "v" la magni tud de la velocidad del movimiento relati vo de la fuente emisiva, y "c" la veloci dad de la luz en el vació. S

S´ y´

  0

3) Si la fuente "F" y el observador "R" for man un ángulo de   900 ó   1800, se tiene: S y

z’

S´ y´

siendo, "R" el receptor y "F" la fuente de la ondas luminosas, que se traslada con velocidad "v" a lo largo del eje X, y S, S’ los sistemas de coordenadas cartesia nas el primero fijo y el segundo movién dose junto a la fuente.

R

F

0



0’

z z’

v

x x’

176

Efecto Doppler v f  f0 [1  ( )2 ]1/ 2 c

f  f0 <<

,

  0

Efecto Doppler transversal >>

4) Para, =/2 ó =3/2 y v<
[1  (v / c) 2 ] 1/2 f  f0 1  (v / c) cos  siendo, "" el ángulo entre la línea de ob servación y la dirección del movimiento de la fuente con respecto al observador, medido en el sistema de coordenadas re lacionado con el observador, "v" la mag nitud de la velocidad del movimiento re lativo de la fuente emisiva, y "c" la velo cidad de la luz en el vació. S

y S´ y´

0

R 



F 0’

z z’

v

x x’

siendo, "R" el receptor y "F" la fuente de la ondas luminosas, que se traslada con velocidad "v" a lo largo del eje X, y S, S’ los sistemas de coordenadas cartesia nas el primero fijo y el segundo movién dose junto a la fuente. 2. ONDAS DE CHOQUE a) Definición En la mecánica de fluidos, una onda de choque es una onda de presión abrupta producida por un objeto que viaja más rá pido que la velocidad del sonido en di cho medio, que a través de diversos fenó menos produce diferencias de presión ex tremas y aumento de la temperatura (si bien la temperatura de remanso permane ce constante de acuerdo con los modelos más simplificados). La onda de presión se desplaza como una onda de frente por el medio.  Una de sus características es que el au mento de presión en el medio se percibe como explosiones.  También se aplica el término para desig nar a cualquier tipo de propagación ondu latoria, y que transporta, por tanto ener gía a través de un medio continuo o el va cío, de tal manera que su frente de onda comportamiento un cambio abrupto de las propiedades del medio. b) Origen de las ondas de choque En medios compresibles (gases) las per turbaciones en el medio se transmiten co mo ondas de presión a distintas velocida des, por ejemplo, al mover la mano des plazamos aire a la velocidad de la mano, al hablar producimos una onda que se mueve aproximadamente a la velocidad del sonido y un pistón de coche produce una onda de choque que se mueve a velo cidad del pistón, por lo general a una ve

Física IV 





locidad superior a la del sonido. Si la perturbación se produce a una velo cidad menor a la del sonido, la perturba ción es la responsable de que el gas se a dapte a la forma del obstáculo para que, por ejemplo, al mover la mano no se que de un vacío de gas en el lugar que ocupa ba la mano anteriormente. El gas llena los huecos debido a que la perturbación le informa de a dónde tiene que ir.

Pero si la perturbación se mueve más rá pida que la velocidad del sonido (el pis tón del coche, por ejemplo), la materia del medio en las cercanías del origen de la perturbación no puede reaccionar lo su ficientemente rápido como para evadir a la perturbación. El valor de las condicio nes del gas (densidad, presión, tempera tura, velocidad, etc.) cambian casi instan táneamente para adaptarse a la perturba ción. Así se producen ondas de perturba ción con aumento de presión y temperatu ra, llamadas ondas de choque. El vacío que crea el pistón al moverse de una posi ción a otra se llena mediante unos meca nismos distintos a los de movimiento sub sónico, las ondas de Rankine-Hugoniot u ondas de expansión. Fenómenos similares se conocen no sola mente en la mecánica de fluidos, por e jemplo la radiación de Cherenkov, fenó meno mediante el cual una partícula car gada eléctricamente que viaja a una velo cidad menor a la de la luz en el vacío pe

177

ro mayor que en un medio material (por ejemplo la atmósfera) genera por así decirlo ondas de choque de radiación al atravesar dicho medio. c) Tipos Hay dos tipos fundamentales de ondas de choque que en la física son equivalentes y solamente se distinguen en la elección del sistema de referencia: 1) Ondas progresivas en un medio parado Son producidas por perturbaciones súbi tas en un medio, como a través de una ex plosión o un pistón en un motor, tubo de choque, etc. Se mueven a velocidad su persónica y realmente el observador está quieto en el medio y ve pasar la onda en movimiento. 2) Ondas estáticas en un medio fluido Son producidas cuando hay un objeto mo viéndose a velocidad supersónica relativa al medio, es decir, el observador está montado sobre la onda y ve moverse al medio, por ejemplo el viento solar al inci dir contra la tierra o un avión volando a velocidad supersónica. Los ejemplos anteriores vienen a mostrar la forma más sencilla de estudiar dichos fenómenos, pero como ya se ha dicho an teriormente la única diferencia estriba en la elección del sistema de referencia, por ejemplo, la forma más sencilla de estu diar la onda de choque producida por un proyectil matemáticamente es montán donos virtualmente en el proyectil aun que sea físicamente imposible hacerlo. No obstante el estudio se hace fotogra fiando la onda cuando pasa por delante de una cámara colocada a tal efecto. d) Ejemplos 1) Explosiones, como por ejemplo bombas cuyas ondas son las responsables de mo

178

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Efecto Doppler

ver objetos y destruirlos. Para esas ondas de detonación existen modelos matemáti cos empíricos y teóricos exactos. Los aviones supersónicos provocan on das de choque al volar por encima de ré gimen transónico (M>0,8) pues aparecen zonas donde el aire supera la velocidad del sonido localmente, por ejemplo sobre el perfil del ala, aunque el propio avión no viaje a M>1. Los meteoros que ingresan en la atmósfe ra producen ondas de choque. El aumen to de temperatura producido por la onda de choque es la responsable de que se vean los meteoros. En los alrededores del canal del relámpa go hay un aire muy caliente que, con on das de choque, produce el trueno en tor mentas. Es decir que es como una explo sión a lo largo del camino que recorre el relámpago. Debido a las fluctuaciones i rregulares que influyen el camino de las ondas, no solo se oye un golpe sino una serie de más o menos golpes fuertes en u na distancia lejana. En el medio interestelar las ondas de cho que pueden ser provocadas por Superno vas o por nubes de gas y de polvo al ser a travesadas por cuerpos en movimiento. Se pueden observar gracias a los Rayos X. Los límites de la Magnetosfera de la Tie rra son señalados como ondas de choque. En esa frontera las partículas del viento solar son frenadas abruptamente. Como la velocidad media de esas partículas es relativamente más grande que la veloci dad del sonido en este medio se produ cen ondas de choque. En los propulsores de los cohetes pueden aparecer ondas de choque si han sido mal diseñados. Esas ondas pueden causar la destrucción del cohete, por lo que deben ser amortiguadas.

e) Aplicaciones Algunas de las aplicaciones más conoci das que tienen las ondas de choque son: 1) En medicina se usan ondas de choque pa ra destrozar cálculos renales, técnica denominada litotricia La terapia extracor poral con ondas de choque también se u sa cuando hay que curar fracturas que no sanan de otra manera y en la fisioterapia.

2) Actualmente su uso en medicina estética es conocido para el tratamiento de la celu litis y el efecto llamado "piel de naranja", mejorando a su vez notablemente la elas ticidad de la piel y mejora del tono mus cular. Con las ondas de choque se produ ce una hipervascularización de la zona tratada provocando a su vez una descom presión de las células celulíticas hipera trofiadas, favoreciendo una pérdida de circunferencia y centímetros del área. f) Radiación de Cherenkov Es una radiación de tipo electromagnéti co producida por el paso de partículas en un medio a velocidades superiores a las de la luz en dicho medio. La velocidad de la luz depende del medio, y alcanza su valor máximo en el vacío. El valor de la velocidad de la luz en el vacío no puede superarse pero sí en un medio en el que ésta es necesariamente menor. La radia ción Cherenkov es un tipo de onda de choque que produce el brillo azulado ca racterístico de los reactores nucleares. És

179

Física IV te es un fenómeno similar al de la genera ción de una onda de choque cuando se su pera la velocidad del sonido. En ese caso los frentes de onda esféricos se superpo nen y forman uno solo con forma cónica. Debido a que la luz también es una onda, en este caso electromagnética, puede pro ducir los mismos efectos si su velocidad es superada. Y esto, como ya se ha di cho, solo puede ocurrir cuando las partí culas en un medio distinto del vacío, via jan a velocidades superiores a la de los fo tones en dicho medio. g) Velocidad supersónica Una velocidad se dice que es supersónica cuando es mayor que la velocidad del so nido, es decir, mayor que 1,225 km/h al nivel del mar. Muchos aviones de comba te son supersónicos. Las velocidades ma yores a 5 veces la velocidad del sonido son algunas veces llamadas hipersónicas. El disco blanco que se forma es vapor de agua condensándose a consecuencia de la onda de choque. h) Barrera del sonido Se llama así al límite físico que impide que objetos de gran tamaño se desplacen a velocidad supersónica. Cuando un a vión se acerca a la velocidad del sonido, la forma en que el aire fluye alrededor de su superficie cambia y se convierte en un fluido compresible, dando lugar a una re sistencia mayor. i) Explosión sónica Se llama así al componente audible de la onda de choque provocada por un objeto cuando sobrepasa la velocidad Mach 1. Se observa con frecuencia en aviones mi litares, aunque también lo pueden provo car aviones civiles, como el ya retirado de servicio Concorde, capaz de alcanzar



Mach 2,03, o la Lanzadera espacial, que llega a Mach 27. El fenómeno esta relacionado con el efec to Doppler, el cual describe los cambios en la frecuencia percibida por un observa dor cuando éste o la fuente emisora de so nido se encuentra en movimiento. Al leer y comprender este efecto en las ondas so noras, surge la pregunta sobre qué pasará con la frecuencia percibida cuando la ve locidad de la fuente se acerque, viaje y so brepase la velocidad del sonido.

j) Número de Mach Es una medida de la velocidad relativa que se define como el cociente entre la ve locidad de un objeto y la velocidad del so nido en el medio en que se mueve dicho objeto, es decir:

M



v vS

Es un número adimensional típicamente usado para describir la velocidad de los a viones. Mach 1 equivale a la velocidad del sonido, Mach 2 es dos veces la velo cidad del sonido, etc. La utilidad del número de mach reside en que permite expresar la velocidad de un objeto no de forma absoluta en km/h o m/s, sino tomando como referencia la ve locidad del sonido, algo interesante des de el momento en que la velocidad del so nido cambia dependiendo de las condicio nes de la atmósfera. Por ejemplo, cuanto mayor sea la altura sobre el nivel del mar o menor la temperatura de la atmósfera, menor es la velocidad del sonido. De es ta manera, no es necesario saber la veloci dad del sonido para saber si un avión que vuela a una velocidad dada la ha supera do: basta con saber su número de mach.

180 

1) 2) 3) 4)

Efecto Doppler

Normalmente, las velocidades de vuelo se clasifican según su número de Mach en: Subsónico M < 0,7 Transónico 0,7 < M < 1,2 Supersónico 1,2 < M < 5 Hipersónico M>5 Desde el punto de vista de la mecánica de fluidos, la importancia del número de Mach reside en que compara la velocidad del móvil con la velocidad del sonido, la cual coincide con la velocidad máxima de las perturbaciones mecánicas en el flui do.

k) Mach crítico Se llama Mach crítico al número de Mach de vuelo de una aeronave en el que el punto de máxima velocidad local del fluido (aire) que le rodea alcanza la velo cidad del sonido. Esto último equivale a que en dicho punto (el punto de máxima velocidad local del aire) se alcanza un Mach igual a 1. Cabe destacar que la ve locidad del aire a la que nos referimos es la velocidad del aire respecto de la aero nave, no respecto de tierra.  El número de Mach crítico de cualquier aeronave es siempre inferior a 1, ya que en el campo fluido que rodea a la misma siempre hay puntos en los que la veloci dad local es mayor que la velocidad de vuelo. l)

Cono de Mach

 R.SABRERA

Se llama así a la envolvente de las pertur baciones en un medio producidas por un móvil desplazándose a una velocidad su perior a la del sonido. m) Machtmetro Es un instrumento de control de vuelo perteneciente al sistema pitot-estática de una aeronave que indica la relación de la velocidad del avión con respecto al aire "True airspeed" (TAS) en inglés con la velocidad del sonido, que varía con la al titud de vuelo, debido a la temperatura y la densidad del aire. El máchmetro indica la velocidad en forma de fracción deci mal, siendo 1 la velocidad del sonido. El Mach de vuelo es una cantidad adimen sional, por ser únicamente una relación. n) Resistencia aerodinámica Se denomina resistencia aerodinámica, o simplemente resistencia, a la fuerza que experimenta un cuerpo al moverse a tra vés del aire, y en particular a la compo nente de esa fuerza en la dirección de la velocidad relativa del cuerpo respecto del medio. La resistencia es siempre de senti do opuesto al de dicha velocidad, por lo que habitualmente se dice de ella que, de forma análoga a la de fricción, es la fuer za que se opone al avance de un cuerpo a través del aire.  De manera más general, para un cuerpo en movimiento en el seno de un fluido cualquiera, tal componente recibe el nom bre de resistencia fluido dinámica. En el caso del agua, por ejemplo, se denomina resistencia hidrodinámica.

Física IV

181

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Un auto se acerca a una rapidez de v=30 m/s hacia una sirena que emite un sonido de fre cuencia 500 Hz. Hallar la frecuencia captada por el conductor, la rapidez del sonido es de vS=340 m/s a) 144 Hz

b) 244 Hz

c) 344 Hz

d) 444 Hz

e) 544 Hz

02. Una bala disparada por un rifle se desplaza a 1,38 Mach. ¿Qué ángulo forma el frente de la onda de choque con la trayectoria de la bala? a) 46o 20 '19"

b) 46o 22 '19"

c) 46o 24 '19"

d) 46o 26 '19" e) 46o 28 '19"

03. Un avión viaja horizontalmente a 1,2 Mach. En el instante en el que un observador sobre el suelo escucha la onda de choque, ¿Cuál es el ángulo que su línea de visión forma con la horizontal cuando el mira el avión? a) 56o 20'34"

b) 56o 22 '34"

c) 56o 24 '34"

d) 56o 26 '34" e) 56o 28 '34"

04. El cono de ondas de choque que genera un avión supersónico, forma un ángulo de 58 oC con la dirección de su movimiento. La rapidez del sonido a esta altura es de 331 m/s. I) Hallar el número de Mach del avión supersónico en ese instante. a) 1,18 II)

b) 1,22

c) 1,26

d) 1,30

e) 1,34

Hallar la rapidez relativa del avión supersónico, respecto de la atmósfera. a) 375 m/s

b) 380 m/s

c) 385 m/s

d) 390 m/s

e) 395 m/s

III) ¿Cuál sería su número de Mach, si la rapidez del sonido fuese de 344 m/s, y la del avión se mantuviese igual? a) 1,13

b) 1,17

c) 1,31

d) 1,35

e) 1,39

IV) ¿Cuál sería el ángulo del cono de las ondas de choque? a) 61o 53'07"

b) 61o 53' 27"

c) 61o 53' 47"

d) 61o 53' 67" e) 61o 53'87"

05. Un avión Sukhoi-35M que vuela a 3 Mach a una altura de h=20 000 m se encuentra por encima de la cabeza del observador en el tiempo t=0 s. La velocidad del sonido, respecto del aire en reposo es de 335 m/s. I) Hallar la distancia recorrida por el avión, cuando la onda de choque llega al observador. a) 50,57 km

b) 52,57 km

c) 54,57 km

d) 56,57 km

e) 58,57 km

182 Efecto Doppler II) ¿A qué distancia del observador estará el avión cuando dicha onda finalmente se escu che? a) 40 km

b) 45 km

c) 50 km

d) 55 km

e) 60 km

06. Un camión se mueve a 20 m/s paralelo a una autopista. Un auto viaja en la misma direc ción que la del camión a 40 m/s. La bocina del auto suena a 510 Hz, y la corneta del ca mión a 320 Hz. La velocidad del sonido, respecto del aire en reposo es de 343 m/s. (g=10 m/s2) I) ¿Qué frecuencia de la corneta del camión percibe un ocupante del auto, cuando este está detrás del camión? a) 330 Hz II)

b) 332 Hz

c) 334 Hz

d) 336 Hz

e) 338 Hz

¿Qué frecuencia de la bocina del auto percibe un pasajero del tren, cuando este está de trás del auto? a) 453 Hz

b) 463 Hz

c) 473 Hz

d) 483 Hz

v=0

 R.SABRERA

e) 493 Hz

15m/s

A

35m/s

B R

Fig01

Fig02

07. En la Fig01, desde el helicóptero se lanza un soldado paracaidista que porta un transmi sor de radio que emite una señal de 500 Hz. El radar en el avión rastrea la señal del trans misor conforme cae el paracaidista. Si la frecuencia percibida se vuelve constante a 450 Hz, ¿Cuál es la velocidad final del paracaidista?. La velocidad del sonido, respecto del ai re en reposo es de 343 m/s, y suponga que el paracaidista siempre permanece debajo del helicóptero. a) 37,1 m/s

b) 38,1 m/s

c) 39,1 m/s

d) 40,1 m/s

e) 41,1 m/s

08. Un diapasón que vibra a 512 Hz cae desde el reposo y se acelera a 9,80 m/s2. ¿A qué dis tancia debajo del punto donde se suelta el diapasón llegan ondas de 485 Hz de frecuen cia al punto de partida. La velocidad del sonido, respecto del aire en reposo es de 340 m/s. a) 15,6 m

b) 16,0 m

c) 16,4 m

d) 16,8 m

e) 17,2 m

09. Un patrullero con su sirena de 300 Hz se mueve hacia una bodega a 30 m/s, intentando a

Física IV

183

travesar su puerta. La velocidad del sonido, respecto del aire en reposo es de 340 m/s. ¿Qué frecuencia escucha el conductor del patrullero de las ondas de sonido reflejado en la bodega? a) 350 Hz

b) 352 Hz

c) 354 Hz

d) 356 Hz

e) 358 Hz

10. Un camión que viaja a la velocidad "u" tiene una bocina de frecuencia "f o " , el cual, sue na más alto o más bajo de tono dependiendo de si se aproxima o se aleja el tren. I) Demostrar que la diferencia de frecuencia entre la bocina conforme se acerca y se aleja, viene dado por: f=2u.fo/(v2-u2), siendo "v" la velocidad del sonido, respecto del aire en reposo. II) Calcular " f " para u=36 m/s, v=340 m/s, y fo=400 Hz. a) 1/2 Hz

b) 1/3 Hz

c) 1/4 Hz

d) 1/5 Hz

e) 1/6 Hz

11. Un radar emplea microondas de frecuencia f=3109 Hz para determinar la velocidad de los automovilistas que transitan en una carretera. Si el límite de velocidad es de v=54 km/h, ¿Qué corrimiento de frecuencia " f " entre las ondas transmitidas y reflejadas in dica un exceso de velocidad? (velocidad de la luz en el vació c=3108 m/s) a) 110 Hz

b) 120 Hz

c) 130 Hz

d) 140 Hz

e) 150 Hz

12. Una fuente luminosa puntual emite 40 W de energía electromagnética como ondas esfé ricas de una sola frecuencia. Hallar la amplitud media del campo eléctrico a 1,5 m del fo co. (velocidad de la luz en el vació c=3108 m/s) a) 30,66 V/m

b) 32,66 V/m

c) 34,66 V/m

d) 36,66 v/m

e) 38,66 V/m

13. Una alarma de automóvil emite ondas sonoras de frecuencia 520 Hz. Un motociclista se aleja del auto, ¿Con qué rapidez se está moviendo el motociclista, si registra una fre cuencia de 490 Hz. La velocidad del sonido, respecto del aire en reposo es de 340 m/s. a) 18,0 cm

b) 18,4 cm

c) 18,8 cm

d) 19,2 cm

e) 19,6 cm

14. En la Fig02, las cornetas de los camiones A y B tienen una frecuencia de 392 Hz. A es tá estacionario y B se mueve a la derecha (alejándose de A) a 35 m/s. Un receptor está entre los dos trenes y se mueve a la derecha a 15 m/s. La velocidad del sonido, respecto del aire en reposo es de 340 m/s. I) Según el receptor, que frecuencia tiene el silbato A. a) 371 Hz II)

b) 373 Hz

c) 375 Hz

d) 377 Hz

e) 379 Hz

d) 377 Hz

e) 379 Hz

Según el receptor, que frecuencia tiene el silbato B. a) 371 Hz

b) 373 Hz

c) 375 Hz

III) ¿Cuál es la frecuencia del pulso detectado por el receptor?

Efecto Doppler

184 a) 2 Hz

b) 3 Hz

c) 4 Hz

d) 5 Hz

e) 6 Hz o

15. ¿Cuál es la variación de Doppler para una fuente de luz de longitud de onda o=5500 A que se aproxima a un observador con velocidad de v=0,8c? o

o

o

o

o

a) -3467 A

b) 3467 A

c) -3667 A

d) 3667 A

e) -3867 A

16. ¿Con qué velocidad debe alejarse una estrella de la Tierra, para que la variación en la longitud de onda sea del 0,5 %? a) 1,096 km/s

b) 1,296 km/s

c) 1,496 km/s

d) 1,696 km/s

e) 1,896 km/s

17. Un "marca" parado frente a un Banco registra una frecuencia de f1=560 Hz emitida por la sirena de un patrullero que se acerca. Después que pasa el patrullero, la frecuencia re gistrada por el "marca" es f2=480 Hz. Hallar la velocidad del patrullero. (vS= 343 m/s) a) 20,4 m/s

b) 22,4 m/s

c) 24,4 m/s

d) 26,4 m/s

e) 28,4 m/s

18. En la Fig03, por la carretera se acercan al controlador los autos con velocidades de v1= 20 m/s y v2=40 m/s, tocando sus bocinas idénticas. Hallar la razón de las frecuencias f1/f2=?, registradas por el controlador. (velocidad del sonido en el aire vS=343 m/s) a) 0,90

b) 0,92

c) 0,94

d) 0,96

e) 0,98 VF=0

v2

Pi

v1

u

Pi

Fig03

Fig04

19. Una fuente sonora de frecuencia f0=1 kHz se mueve a la velocidad de 30 m/s, alejándose de un observador en reposo. La velocidad del sonido vS=340 m/s. Hallar la longitud de on da efectiva. a) 0,31 m

b) 0,33 m

c) 0,35 m

d) 0,37 m

e) 0,39 m

20. En la Fig04, un deportista se acerca con velocidad de 5 m/s a su entrenador en reposo, quien con un altavoz emite sonidos de frecuencia 516 Hz. ¿En qué porcentaje cambia la frecuencia percibida por el deportista, si duplica su velocidad? (velocidad del sonido v=343 m/s) a) 1,04 %

b) 1,24 %

c) 1,44 %

d) 1,64 %

e) 1,84 %

21. Hallar el número de posibles oscilaciones propias de una columna de aire en un tubo de longitud l=85 cm, cuyas frecuencias son inferiores a fo=1 250 Hz. La velocidad del soni

Física IV I)

do respecto del aire es v=340 m/s. El tubo está cerrado en uno de sus extremos. a) 3

II)

185

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

d) 6

e) 7

El tubo esta abierto en ambos extremos. a) 3

b) 4

c) 5

22. Se tiene una barra de cobre de densidad =8,9 g/cm3, módulo de Young E=130109 Pa, suspendida de su punto medio. I) Hallar el número de oscilaciones longitudinales propias de esta barra en el intervalo de fre cuencias desde 20 kHz hasta 50 kHz. a) 2 II)

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

Hallar las frecuencias permitidas para el intervalo de frecuencias dado.

23. Hallar el factor de amortiguamiento "  " de una onda acústica, si a las distancias r1=10 m y r2=20 m de la fuente acústica isótropa puntual los valores de la intensidad de la onda acústica difieren =4,5 veces. a) 5,0910-3 m-1 b) 5,2910-3 m-1

c) 5,4910-3 m-1

d) 5,6910-3 m-1 e)5,8910-3 m-1

24. En el eje x se encuentra un receptor y una fuente de oscilaciones acústicas de frecuencia fo=2 000 Hz. La fuente emite oscilaciones armónicas a lo largo de este eje con una fre cuencia angular "  " y una amplitud de A=50 cm, ¿Con qué valor de "" el intervalo de frecuencia producido por el receptor inmóvil será f=200 Hz? La velocidad del sonido en el aire es de v=340 m/s. a) 30 rad/s

b) 32 rad/s

c) 34 rad/s

d) 36 rad/s

e) 38 rad/s

25. Hallar la relación entre las frecuencias del tono fundamental de dos cuerdas idénticas después de que una de ellas se estiro un 1=2 % y la otra un 2= 4 % de sus longitudes. a) 1,0

b) 1,2

c) 1,4

d) 1,6

e) 1,8

26. ¿Cuántas veces varía la frecuencia del tono fundamental de una cuerda tensa, si su longi tud disminuye el 35 % y la tensión aumenta el 70 %? a) 1,6 veces

b) 1,8 veces

c) 2,0 veces

d) 2,2 veces

e) 2,4 veces

27. Para determinar la velocidad del sonido en el aire por el método de resonancia acústico se usa un tubo con un émbolo y una membrana acústica que cierra uno de sus extremos. Hallar la velocidad del sonido, si la distancia entre las posiciones sucesivas del émbolo, en los cuales se observa una resonancia, con una frecuencia de f=2 000 Hz es l=8,5 cm a) 320 m/s

b) 330 m/s

c) 340 m/s

d) 350 m/s

e) 360 m/s

186 Efecto Doppler 28. Un observador inmóvil percibe oscilaciones acústicas que parten de dos diapasones, uno de los cuales se aproxima y el otro se aleja con la misma velocidad. El observador percibe las pulsaciones con una frecuencia de f=2,0 Hz. Hallar la velocidad de cada diapasón, si la frecuencia de sus oscilaciones es fo=680 Hz y la velocidad del sonido en el aire es v= 340 m/s. a) 0,1 m/s

b) 0,3 m/s

c) 0,5 m/s

d) 0,7 m/s

e) 0,9 m/s

29. Un pedazo de cartón grueso, cerrado en un extremo, tiene exactamente la longitud ade cuada para que al cortarse en dos pedazos diferentes, el pedazo con el extremo cerrado re suena a 256 Hz y el pedazo con ambos extremos abiertos resuena a 440 Hz. I) ¿Qué longitud tenía el pedazo de cartón original? a) 70,7 cm II)

b) 72,7 cm

c) 74,7 cm

d) 76,7 cm

e) 78,7 cm

¿Qué frecuencia resonante habría sido producida por el cartón original? a) 116,3 Hz

b) 118,3 Hz

c) 120,3 Hz

d) 122,3 Hz

e) 124,3 Hz

30. Una fuente de oscilaciones acústicas de frecuencia fo=1700 Hz y un receptor se encuen tran en un mismo punto. En el instante t=0 la fuente comienza a separarse del receptor con una aceleración constante a=10 m/s2. Considerando la velocidad del sonido v=340 m/s, hallar la frecuencia de las oscilaciones percibidas por el receptor inmóvil al cabo de t=2 s de haberse iniciado el movimiento de la fuente. a) 1,0 kHz

b) 1,2 kHz

c) 1,4 kHz

d) 1,6 kHz

e) 1,8 kHz

31. Una ambulancia y un camión de bomberos acuden con una velocidad de u=80 km/h, desde el Oeste y Este hacia un incendio situado entre ellos, haciendo sonar sus sirenas a una frecuencia de fo=600 Hz Un viento con velocidad de 50 km/h sopla de Este a Oeste. La velocidad del sonido respecto del aire es de v=343 m/s. I) Hallar la frecuencia de la ambulancia, percibida por un tío que apaga el incendio. a) 641,6 Hz II)

b) 643,6 Hz

c) 645,6 Hz

d) 647,6 Hz

e) 649,6 Hz

Hallar la frecuencia del camión, percibida por un tío que apaga el incendio. a) 639,4 Hz

b) 641,4 Hz

c) 643,4 Hz

d) 645,4 Hz

e) 647,4 Hz

III) Hallar la frecuencia del camión, percibida por un ocupante de la ambulancia a) 671,7 Hz b) 673,7 Hz c) 675,7 Hz d) 677,7 Hz e) 679,7 Hz IV) Hallar la frecuencia de la ambulancia, percibida por un ocupante del camión. a) 681 Hz

B) 683 Hz

c) 685 Hz

d) 687 Hz

e) 689 Hz

32. Una fuente acústica de frecuencia propia fo=1,8 kHz se mueve uniformemente en línea recta que dista d=250 m de un observador inmóvil. La velocidad de la fuente constituye

Física IV I)

=0,80 de la velocidad del sonido. Hallar: La frecuencia del sonido, percibida por el observador en el momento, cuando éste se en cuentra frente a frente con la fuente. a) 3 kHz

II)

187

b) 4 kHz

c) 5 kHz

d) 6 kHz

e) 7 kHz

La distancia entre la fuente y el observador en el momento en que la frecuencia percibida por este último es f=fo. a) 0,30 km

b) 0,32 km

c) 0,34 km

d) 0,36 km

e) 0,38 km

33. Una fuente inmóvil emite sonido monocromático. A éste se le acerca un panel con una velocidad de u=33 cm/s. La velocidad de propagación del sonido en el medio es v=330 m/s. ¿Cómo y en qué porcentaje varía la longitud de onda del sonido reflejado en el pa nel? a) 0,2 %

b) 0,4 %

c) 0,6 %

d) 0,8 %

e) 1,0 %

34. Sobre una misma normal a un panel se encuentran una fuente de oscilaciones acústicas de frecuencia fo=1 700 Hz y un receptor. La fuente y el receptor son fijos, y el panel se a leja de la fuente a una velocidad de u=6,0 cm/s. Hallar la frecuencia de las pulsaciones que registrará el receptor. La velocidad del sonido en el aire es de v=340 m/s. a) 0,3 Hz

b) 0,4 Hz

c) 0,5 Hz

d) 0,6 Hz

e) 0,7 Hz

35. Un murciélago que vuela hacia una pared emite un sonido de frecuencia "f o " , recibien do el eco de frecuencia "f1 " después de un " t" . La velocidad del sonido es v=343 m/s. I) Hallar la velocidad con la que se mueve el murciélago. II) Hallar el cambio porcentual que experimenta la frecuencia percibida, si el murcié lago se mueve con una velocidad de 7 m/s a) 2 % II)

b) 3 %

c) 4 %

d) 5 %

e) 6 %

Hallar la distancia a la que se encuentra el murciélago de la pared, para el instante en que recibe el eco.

36. Un observador A situado a rA=5,0 m de un diapasón sonoro percibe la desaparición del sonido =19 s más tarde que el observador B que se encontraba a la distancia rB=50,0 m de dicho diapasón. Considerando que el amortiguamiento de las ondas acústicas en el ai re es despreciable y que la velocidad del sonido v=340 m/s, determinar el factor de amor tiguamiento "" de las oscilaciones del diapasón. a) 0,10 s-1

b) 0,12 s-1

c) 0,14 s-1

d) 0,16 s-1

e) 0,18 s-1

37. La sirena de un camión que se dirige a una estación con una rapidez de u=72 km/h emite un sonido de frecuencia fo=600 Hz. La velocidad del viento en la dirección de la velo cidad del camión es de v=50 km/h. La velocidad del sonido respecto del aire es de vS=

Efecto Doppler

188 I)

340 m/s. Hallar la frecuencia percibida por un pasajero en reposo de la estación. a) 630 Hz

II)

b) 632 Hz

c) 634 Hz

d) 636 Hz

e) 638 Hz

Si la dirección de la velocidad del viento se invierte, hallar el cambio que experimenta la frecuencia percibida por un pasajero de la estación. a) 1,2 Hz

b) 2,2 Hz

c) 3,2 Hz

d) 4,2 Hz

e) 5,2 Hz

38. Una fuente estacionaria de sonido emite una señal de frecuencia f=290 Hz. Hallar la fre cuencia que percibe un observador. (velocidad del sonido vS=343 m/s) I) Que se acerca a la fuente con una rapidez de v=20 m/s. a) 301 Hz II)

b) 303 Hz

c) 305 Hz

d) 307 Hz

e) 309 Hz

d) 277 Hz

e) 279 Hz

Que se aleja de la fuente con una rapidez de v=20 m/s. a) 271 Hz

b) 273 Hz

c) 275 Hz

39. Un automóvil toca la bocina de una frecuencia de f=560 Hz mientras se desplaza con una rapidez de v=15 m/s, primero aproximándose a un oyente estacionario y después alejándo se de él con la misma rapidez. ¿Cuáles son las frecuencias que escucha el oyente? (veloci dad del sonido vS=343 m/s) a) 586 Hz, 537 Hz b) 584 Hz, 531 Hz c) 580 Hz, 539 Hz d) 582 Hz, 535 Hz e) 588 Hz, 533 Hz 40. En un automóvil estacionado una persona hace sonar una bocina a f=400 Hz. ¿Cuál es la frecuencia máxima que escucha el conductor de un vehiculo que pasa junto al primero con una rapidez de v=60 km/h? (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 411 Hz

b) 413 Hz

c) 415 Hz

d) 417 Hz

e) 419 Hz

41. Un tren que avanza a 20 m/s hace sonar un silbato a 300 Hz al pasar junto a un observa dor estacionario. ¿Cuáles son las frecuencias que oye el observador al pasar el tren? (velo cidad del sonido vS=343 m/s) a) 319 Hz, 300 Hz, 283 Hz b) 311 Hz, 308 Hz, 289 Hz c) 315 Hz, 304 Hz, 285 Hz d) 315 Hz, 302 Hz, 281 Hz e) 313 Hz, 306 Hz, 287 Hz 42. Un ciclista que se dirige hacia el norte (N) a vR=6 m/s oye una sirena de fo=600 Hz de una patrulla de policía que se acerca dirigiéndose hacía el sur (S) a vF=15 m/s. ¿Cuál es la frecuencia que escucha el niño? (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 630 Hz

b) 632 Hz

c) 634 Hz

d) 636 Hz

e) 638 Hz

43. Una ambulancia viaja hacia el norte a vF=15 m/s. Su sirena tiene una frecuencia de fo=

Física IV

189

600 Hz en reposo. Un automóvil avanza hacia el sur (S) a vR=20 m/s en dirección a la am bulancia. ¿Qué frecuencias escucha el conductor del automóvil antes y después que su vehiculo pasa junto a la ambulancia? (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 664 Hz, 541 Hz b) 660 Hz, 547 Hz c) 668 Hz, 543 Hz d) 666 Hz, 545 Hz e) 662 Hz, 549 Hz 44. Un camión que avanza a 24 m/s rebasa a un coche que viaja a 10 m/s en la misma direc ción. El camionero hace sonar una bocina de 600 Hz. ¿Qué frecuencia oye el conductor del coche? (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 620 Hz

b) 622 Hz

c) 624 Hz

d) 626 Hz

e) 628 Hz

45. El silbato de un tren de 500 Hz es escuchado por un observador estacionario con una fre cuencia de 475 Hz. ¿Cuál es la rapidez del tren? ¿Se está moviendo hacia el observador o se aleja de él? (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 15,1 m/s

b) 16,1 m/s

c) 17,1 m/s

d) 18,1 m/s

e) 19,1 m/s

46. El silbato de señales de una fábrica textil tiene una frecuencia de 360 Hz. ¿Cuáles son las frecuencias que escucha el conductor de un automóvil que pasa frente a la fábrica a 25 m/s un día en el cual el sonido viaja a 343 m/s? a) 386 Hz, 360 Hz, 334 Hz b) 382 Hz, 364 Hz, 330 Hz c) 380 Hz, 368 Hz, 336 Hz d) 384 Hz, 366 Hz, 332 Hz e) 388 Hz, 362 Hz, 330 Hz 47. El radar de una patrulla policial estacionario emite ondas electromagnéticas de frecuencia "f o " . Las ondas emitidas se reflejan en un coche que se desplaza a la velocidad "u" ale jándose de la patrulla. (c=3108 m/s) I) Hallar "u" en función de "f o " y de la diferencia de frecuencias f=f-fo, entre la recibida (f) por la patrulla y la emitida (f). ( "c" velocidad de la luz en el vació) a) –(f/fo)c II)

b) +(f/fo)c

c) –(f/2fo)c

d) +(f/2fo)c

e) –(f/4fo)c

Hallar la diferencia de frecuencia f para fo=1,5109 Hz, c=3108 m/s y u=50 m/s. a) -450 Hz

b) +450 Hz

c) -500 Hz

d) +500 Hz

e) -550 Hz

48. Una fuente que se mueve con velocidad de 80 m/s, emite un sonido de frecuencia 200 Hz, respecto al aire en reposo, hacia un receptor en reposo. (vS=340 m/s) I) Hallar la frecuencia oída por el receptor en reposo. a) 260 Hz II)

b) 262 Hz

c) 264 Hz

d) 266 Hz

e) 268 Hz

Hallar la longitud de onda del sonido en la zona entre la fuente y el receptor. a) 1,1 m

b) 1,2 m

c) 1,3 m

d) 1,4 m

e) 1,5 m

190 Efecto Doppler 49. Un receptor se mueve con velocidad de 80 m/s hacia una fuente en reposo que emite un sonido de frecuencia 200 Hz. El viento de velocidad 80 m/s sopla del receptor hacia la fuente. (velocidad del sonido vS=340 m/s) I) Hallar la velocidad del sonido desde la fuente al receptor en este sistema. a) 240 m/s II)

b) 250 m/s

c) 260 m/s

d) 270 m/s

e) 280 m/s

Hallar la longitud de onda del sonido en la zona entre la fuente y el receptor. a) 1,1 m

b) 1,2 m

c) 1,3 m

d) 1,4 m

e) 1,5 m

III) Hallar la frecuencia de sonido percibida por el observador. a) 260 Hz

b) 262 Hz

c) 264 Hz

d) 266 Hz

e) 268 Hz

50. Una fuente con velocidad de vF=80 m/s se aleja del receptor en reposo, emitiendo un so nido de frecuencia fo=200 Hz. (velocidad del sonido vS=340 m/s) I) Hallar la frecuencia del sonido que percibe el receptor. a) 160 Hz II)

b) 162 Hz

c) 164 Hz

d) 166 Hz

e) 168 Hz

Hallar la longitud de onda de la onda sonora en la zona entre la fuente y el receptor. a) 2,1 m

b) 2,2 m

c) 2,3 m

d) 2,4 m

e) 2,5 m

51. Un receptor con velocidad de vR=80 m/s respecto al aire en reposo, se acerca de la fuente en reposo, emitiendo un sonido de frecuencia fo=200 Hz. (velocidad sonido vS=340 m/s) I) Hallar la frecuencia de sonido percibida por el receptor. a) 241 Hz II)

b) 243 Hz

c) 245 Hz

d) 247 Hz

e) 249 Hz

Hallar la longitud de onda del onda sonora entre la fuente y el receptor. a) 1,5 m

b) 1,6 m

c) 1,7 m

d) 1,8 m

e) 1,9 m

52. En el problema anterior, en el sistema de referencia en el que el observador está en repo so. (velocidad del sonido vS=340 m/s) I) Hallar la velocidad del viento en este sistema. a) 60 m/s II)

b) 65 m/s

c) 70 m/s

d) 75 m/s

e) 80 m/s

Hallar la velocidad del sonido emitido por la fuente en este sistema, es decir, relativa a es te último. a) 410 m/s

b) 415 m/s

c) 420 m/s

d) 425 m/s

e) 430 m/s

III) Hallar la longitud de onda de la onda sonora en la zona entre la fuente y el receptor. a) 1,5 m

b) 1,6 m

c) 1,7 m

d) 1,8 m

e) 1,9 m

Física IV

191

IV) Hallar la frecuencia de sonido percibida por el receptor. a) 2,27 Hz

b) 2,37 Hz

c) 2,47 Hz

d) 2,57 Hz

e) 2,67 Hz

53. Un receptor con velocidad de vR=80 m/s respecto al aire en reposo, se aleja de la fuente en reposo, emitiendo un sonido de frecuencia fo=200 Hz. Hallar la frecuencia de sonido percibida por el receptor. (velocidad del sonido vS=340 m/s) a) 151 Hz

b) 153 Hz

c) 155 Hz

d) 157 Hz

e) 159 Hz

54. Un avión reactor a una altitud de 5000 m se desplaza con una velocidad de 2,5 Mach. (Su poner que la velocidad del sonido a esta altura sigue siendo 340 m/s) I) Hallar el ángulo que la onda de choque forma con la trayectoria del avión reactor. a) 21,6º II)

b) 22,6º

c) 23,6º

d) 24,6º

e) 25,6º

En donde se encontrará el reactor cuando una persona en el suelo escuche la onda de cho que. a) 11,0 km

b) 11,2 km

c) 11,4 km

d) 11,6 km

e) 11,8 km

55. Una persona se acerca a toda velocidad hacia una fuente sonora de frecuencia 1000 Hz. Estimar la frecuencia del sonido que percibe esta persona. Suponer que esta persona es ca paz de reconocer un cambio en la frecuencia del 3 %. ¿Puede utilizarse esta valoración de la frecuencia para estimar su propia velocidad? a) 1010 Hz

b) 1020 Hz

c) 1030 Hz

d) 1040 Hz

e) 1050 Hz

56. Un dispositivo de radar emite microondas con una frecuencia de 200 GHz, que al reflejar se en un coche que se aleja frontalmente del emisor, la diferencia de frecuencia es de 290 Hz. Hallar la velocidad del coche. (velocidad de la luz en el vació c=3108 m/s) a) 21,15 m/s

b) 21,35 m/s

c) 21,55 m/s

d) 21,75 m/s

e) 21,95 m/s

57. Ondas de frecuencia 625 Hz, producidas por la antena del radar de una estación metereo lógica, se reflejan en las gotas de lluvia de una tormenta situada a 50 km de la estación, y llegando a la estación con una frecuencia de 325 Hz. Suponiendo que el viento sopla en la dirección de la antena, y que el radar únicamente mide la componente radial de la velo cidad, ¿A qué velocidad sopla el viento? (velocidad de la luz en el vació c=3108 m/s) a) 70 m/s

b) 72 m/s

c) 74 m/s

d) 76 m/s

e) 78 m/s

58. El sonar de un barco en reposo que emite pulsos sonoros de fo=40 MHz, se reflejan en un submarino que se encuentra directamente por debajo de él, con un retraso de tiempo de t=80 ms y una frecuencia de f=39,958 MHz. La velocidad del sonido en el agua de mar es de vS=1,54 km/s. I) Hallar la profundidad a la que se encuentra el submarino.

Efecto Doppler

192 a) 61,6 m II)

b) 62,6 m

c) 63,6 m

d) 64,6 m

e) 65,6 m

Hallar la velocidad de desplazamiento vertical del submarino. a) 0,809 m/s

b) 0,829 m/s

c) 0,849 m/s

d) 0,869 m/s

e) 0,889 m/s

59. Un pequeño aparato de radio de masa m=0,10 kg está unida a una pista de aire por un ex tremo mediante un resorte de constante elástica k=200 N/m. La radio emite un sonido de frecuencia fo=800 Hz. Un observador en el otro extremo de la pista de aire escucha un so nido cuya frecuencia varía entre f1=797 Hz y f2=803 Hz. I) Hallar la energía del sistema vibrante masa-resorte. a) 81,1 mJ II)

b) 81,3 mJ

c) 81,5 mJ

d) 81,7 mJ

e) 81,9 mJ

d) 2,85 cm

e) 2,95 cm

Hallar la amplitud de la vibración del aparato de radio. a) 2,55 cm

b) 2,65 cm

c) 2,75 cm

60. Un foco sonoro de frecuencia "f o " se mueve con velocidad "u f " respecto al aire en repo so hacia un receptor que se mueve con velocidad "u r " respecto al aire en reposo alejándo se del foco. I) Escribir una expresión para la frecuencia recibida f ' . II) Utilizar la aproximación aproximada (1-x)-11+x para demostrar que si tanto "u f " como "u r " son pequeñas en comparación con "v" , la frecuencia recibida es aproximadamente: f '  [1+(uf -ur)/v]fo=(1+urel/v)fo. 61. Dos alumnos con diapasones vibrantes de 440 Hz, pasean alejándose uno del otro con la misma velocidad. ¿Con qué rapidez deberán andar para que cada uno de ellos escuche u na frecuencia de 438 Hz del otro diapasón? a) 75,3 cm/s

b) 76,3 cm/s

c) 77,3 cm/s

d) 78,3 cm/s

e) 79,3 cm/s

62. Un alumno de Química anda a lo largo de un vestíbulo grande portando un diapasón que vibra a 512 Hz. El extremo del vestíbulo está cerrado, de forma que el sonido se refleja en él. El estudiante oye un sonido de 516 Hz procedente de la pared. ¿Con qué rapidez está andando? a) 1,23 m/s

b) 1,33 m/s

c) 1,43 m/s

d) 1,53 m/s

e) 1,63 m/s

63. Un pequeño altavoz que emite un sonido de 1000 Hz está unido a uno de los extremos de una barra de longitud 0,8 m que puede girar libremente por el otro extremo en un plano horizontal con una rapidez angular de 4 rad/s. Deducir una expresión para la frecuencia percibida por un observador estacionario alejado del altavoz rotatorio. a) 1000+941 sen 4t Hz b) 1000+943 sen 4t Hz c) 1000+945 sen 4t Hz d) 1000+947 sen 4t Hz e) 1000+949 sen 4t Hz

Física IV

193

64. Un globo arrastrado por un viento de rapidez 36 km/h emite un sonido de 800 Hz cuando se aproxima a un gran edificio. I) Hallar la frecuencia del sonido percibido por un observador asomado en una ventana de este edificio. a) 820 Hz II)

b) 822 Hz

c) 824 Hz

d) 826 Hz

e) 828 Hz

Hallar la frecuencia del sonido reflejado que escucha un viajero del globo. a) 841 Hz

b) 843 Hz

c) 845 Hz

d) 847 Hz

e) 849 Hz

65. Un coche se aproxima a una pared reflectora. Un observador inmóvil situado detrás del coche escucha un sonido de frecuencia 745 Hz procedente de la bocina del coche y un sonido de frecuencia 863 Hz procedente de la pared. I) Hallar la rapidez del coche. a) 22,9 m/s II)

b) 23,9 m/s

c) 24,9 m/s

d) 25,9 m/s

e) 26,9 m/s

d) 806 Hz

e) 808 Hz

Hallar la frecuencia de la bocina del coche. a) 800 Hz

b) 802 Hz

c) 804 Hz

III) Hallar la frecuencia escuchada por el conductor del coche, procedente de la reflexión del sonido en la pared. a) 920 Hz

b) 922 Hz

c) 924 Hz

d) 926 Hz

e) 928 Hz

66. El conductor de un coche que viaja con rapidez de 100 km/h hacia un acantilado vertical hace sonar brevemente la bocina. Exactamente un segundo después, ella escucha el eco y observa que su frecuencia es de 840 Hz. I) Hallar la frecuencia emitida por la bocina del coche. a) 711 Hz II)

b) 713 Hz

c) 715 Hz

d) 717 Hz

e) 719 Hz

¿A qué distancia se encontraba inicialmente el coche del acantilado? a) 181,8 m

b) 182,8 m

c) 183,8 m

d) 184,8 m

e) 185,8 m

67. Una persona en un vuelo trasatlántico viaja hacia el oeste a la rapidez de 800 km/h. Un Concorde que vuela con rapidez de Mach 1,6 se encuentra a 3 km al norte del primer a vión y su rumbo es también este-oeste. Hallar la distancia entre los dos aviones cuando desde el vuelo trasatlántico se oye el estampido sónico producido por el Concorde. a) 4758 m

b) 4768 m

c) 4778 m

d) 4788 m

e) 4798 m

68. Cuando un planeta está en órbita alrededor de una estrella, está experimenta un movimien to con el mismo periodo de la órbita que el planeta. Por está razón, la luz procedente de la estrella presenta un desplazamiento Doppler también periódico. Así, la longitud de onda e

Efecto Doppler

194

I)

mitida por la luz del Sol cambia, debido al movimiento del Sol alrededor del centro de ma sa del sistema Sol-Jupiter. (G=6,6731011 Nm2kg-2, MS=1,991030 kg, rS-J=7,781011 m, c=2,998108 m/s) Estimar la longitud de onda máxima que tiene la luz de longitud de onda nominal 500nm. a) 500,00178 nm

II)

b) 500,02178 nm d) 500, 06178 nm e) 500,08178 nm

c) 500,04178 nm

Estimar la longitud de onda mínima que tiene la luz de longitud de onda nominal 500nm. a) 499,91882 nm

b) 499,93882 nm d) 499,97882 nm e) 499,97882 nm

c) 499,95882 nm

69. Un estudiante de Ingeniería Química deja caer por el hueco del ascensor de un rascacielos un diapasón que está vibrando a la frecuencia de 440 Hz. Cuando el estudiante oye una frecuencia de 400 Hz. ¿Qué distancia ha recorrido en su caída la diapasón? a) 61 m

b) 63 m

c) 65 m

d) 67 m

e) 69 m

70. Hallar la rapidez de un coche cuya bocina, al pasar al lado de un receptor parado, dismi nuye su frecuencia en un 10 %. a) 17,59 m/s

b) 17,69 m/s

c) 17,79 m/s

d) 17,89 m/s

e) 17,99 m/s

71. Un murciélago que vuela hacia un obstáculo a una rapidez de 12 m/s emite pulsos sono ros breves y de alta frecuencia con una frecuencia de repetición de 80 Hz. Hallar el inter valo de tiempo entre los pulsos de eco oídos por el murciélago. (m=10-3) a) 10,6 ms

b) 11,6 ms

c) 12,6 ms

d) 13,6 ms

e) 14,6 ms

72. Por un tubo de radio R=5 cm fluye agua a la rapidez de va=7 m/s. Una placa de área igual al de la sección transversal del tubo se inserta súbitamente en éste para detener el flujo. La rapidez del sonido en el agua es de vs=1,4 km/s. Hallar la fuerza ejercida sobre la pla ca. (=1000 kg/m3 densidad del agua, k=103) a) 75 kN

b) 76 kN

c) 77 kN

d) 78 kN

e) 79 kN

73. Olas oceánicas con una longitud de onda de =100 m tienen un periodo de T=8 s. Un bo te de motor, con una rapidez de v=9 m/s, se dirige directamente a las olas entrantes. I) Hallar la rapidez de las olas respecto del bote. a) 20,5 m/s II)

b) 21,5 m/s

c) 22,5 m/s

d) 23,5 m/s

e) 24,5 m/s

Hallar la frecuencia con la que golpean las crestas de las olas el frente del bote. a) 211 mHz

b) 213 MHz

c) 215 mHz

d) 217 mHz

e) 219 mHz

Física IV

195

74. En la Fig05, el avión Sukhoi-22OST vuela a una altura de h=12 000 m. En el suelo, se escucha un estampido sónico t=18 s después de que el avión pasa directamente por arri ba. Hallar la rapidez del avión Sukhoi-22OST de 3ra generación. a) 681 m/s

b) 683 m/s

c) 685 m/s

d) 687 m/s

e) 689 m/s

75. En la Fig06, el murciélago vuela hacia la pared emitiendo un pulso de ultrasonido de fre cuencia fs=50 kHz. El eco recibido por el murciélago tiene un corrimiento Doppler de f =800 Hz hacia mayor frecuencia. Hallar la rapidez "u" con la que vuela el murciélago. a) 2,59 m/s

b) 2,69 m/s

c) 2,79 m/s

d) 2,89 m/s

e) 2,99 m/s

76. Un avión emite un tono conforme pasa volando frente a una torre de observación. La fre cuencia que un observador mide cuando el avión se aproxima es el doble de la frecuencia medida cuando el avión se aleja. Hallar la rapidez con la que vuela el avión. (velocidad del sonido v=336 m/s) a) 110 m/s

b) 111 m/s

c) 112 m/s v

e) 114 m/s

u



h

d) 113 m/s

fs

R.SABRERA 

O

Fig05

Fig06

77. El número Mach es la razón de la rapidez de un avión (o cuerpo) a la rapidez del sonido vS=340 m/s. Cuando un avión vuela a Mach 2, ¿Qué ángulo forma la onda de choque con la dirección del vuelo del avión? a) 30º

b) 37º

c) 45º

d) 53º

e) 60º

78. Hallar el ángulo del cono de Mach de un meteoro que viaja a la rapidez de u=15 km/s. (velocidad del sonido v=331 m/s) a) 1,16º

b) 1,26º

c) 1,36º

d) 1,46º

e) 1,56º

79. Una persona que se lanza en clavado desde un alto risco emite una frecuencia constante de fS=440 Hz. Considerando el tiempo de viaje del sonido, hallar la frecuencia que escu chará un observador en lo alto del risco después de 3 s. (g=9,81 m/s2, vS=331 m/s) a) 401 Hz

b) 403 Hz

c) 405 Hz

d) 407 Hz

e) 409 Hz

80. El claxon de un auto toca un tono puro conforme el auto se aproxima a una pared. Un es

Efecto Doppler

196

cucha estacionario detrás del auto escucha una frecuencia promedio de 250 Hz, que pul sa (batimientos) a 12 Hz. Hallar la rapidez "u" del auto. (vS=331 m/s) a) 7,38 m/s

b) 7,48 m/s

c) 7,58 m/s

d) 7,68 m/s

e) 7,78 m/s

81. Dos coches A y B se acercan por una misma pista con velocidades opuestas de vA=90 km/h y vB=60 km/h. Los cláxones de ambos coches emiten tonos de frecuencia fs=524 Hz. (velocidad del sonido vS=331 m/s) I) Hallar la frecuencia de sonido que percibe el conductor del coche A. a) 591,5 Hz II)

b) 592,5 Hz

c) 593,5 Hz

d) 594,5 Hz

e) 595,5 Hz

Hallar la frecuencia de sonido que percibe el conductor del coche B. a) 591,5 Hz

b) 592,5 Hz

c) 593,5 Hz

d) 594,5 Hz

e) 595,5 Hz

82. Resolver el problema anterior, considerando que existe un viento que sopla con una rapi dez de u=40 km/h, en la dirección de movimiento del coche A. I) Hallar la frecuencia de sonido que percibe el conductor del coche A. a) 590 Hz II)

b) 592 Hz

c) 594 Hz

d) 596 Hz

e) 598 Hz

Hallar la frecuencia de sonido que percibe el conductor del coche B. a) 591 Hz

b) 593 Hz

c) 595 Hz

d) 597 Hz

e) 599 Hz

83. Un coche se aproxima a una pared con una rapidez de u=75 km/h. La bocina del coche e mite un sonido de frecuencia fs=420 Hz. Hallar la frecuencia del eco que escuchará el conductor del coche. (velocidad del sonido vs=331 m/s) a) 475,4 Hz

b) 476,4 Hz

c) 477,4 Hz

d) 478,4 Hz

e) 479,4 Hz

84. Suponga que un tren en movimiento lleva una fuente de sonido y también un receptor de sonido de modo que ambos tienen la misma velocidad relativa al aire. Demostrar que, en este caso, el corrimiento Doppler debido al movimiento de la fuente cancela el corrimien to Doppler debido al movimiento del receptor, la frecuencia percibida por el receptor es la misma que la frecuencia generada por la fuente. 85. El claxon de un coche genera un tono de frecuencia fs=440 Hz conforme este se aproxi ma a una estación a una rapidez de u=30 m/s. Un viento sopla a una rapidez de vv=20 m/s en la dirección del movimiento del coche. Hallar la frecuencia que percibirá un obser vador de pie en la estación. (velocidad del sonido vs=331 m/s) a) 481 Hz

b) 483 Hz

c) 485 Hz

d) 487 Hz

e) 489 Hz

86. La bala del fusil de asalto Kalashnikov AK-47 tiene una rapidez de u=674 m/s. Hallar el medio ángulo del cono de Mach generado por esta bala. (velocidad sonido vS=331 m/s)

Física IV a) 25,4º

b) 26,4º

c) 27,4º

197 d) 28,4º

e) 29,4º

87. La rapidez de una bala típica es de u=700 m/s, en tanto, la rapidez de un misil de 3era ge neración es de w=800 m/s. A esta rapidez, hallar el medio ángulo de cono de Mach que produce el misil. (velocidad del sonido vS=331 m/s) a) 21,4º

b) 22,4º

c) 23,4º

d) 24,4º

e) 25,4º

88. Un murciélago en reposo envía ondas sonoras ultrasónicas a fS=50 kHz y las recibe de re greso desde un objeto que se aleja del murciélago a una rapidez de u=30 m/s. Hallar la fre cuencia del sonido reflejado. (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 41 kHz

b) 42 kHz

c) 43 kHz

d) 44 kHz

e) 45 kHz

89. Dos autos están equipados con cláxones de la misma frecuencia única. Cuando uno está en reposo y el otro se mueve hacia el primero a 15 m/s, el conductor en reposo escucha u na frecuencia de pulso de 4,5 Hz. Hallar la frecuencia de que emiten los cláxones, si la temperatura ambiente es de T=20º C. (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 95,4 Hz

b) 96,4 Hz

c) 97,4 Hz

d) 98,4 Hz

e) 99,4 Hz

90. En uno de los experimentos Doppler originales una tuba fue tocada sobre un tren en mo vimiento a una frecuencia de 75 Hz y otra segunda tuba idéntica tocó el mismo tono mien tras estaba en reposo en la estación ferroviaria. ¿Qué frecuencia de pulso se escuchó, si el tren se aproximó a la estación con una rapidez de 12 m/s? (velocidad sonido vS=343 m/s) a) 2,52 Hz

b) 2,62 Hz

c) 2,72 Hz

d) 2,82 Hz

e) 2,92 Hz

198

CAP.

Reflexión

5

REFLEXION REFRACCION

1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES a) Optica La óptica estudia las radiaciones electro magnéticas, emitidas por fuentes lumino sas, capaces de registrar nuestra retina. De acuerdo a la naturaleza de la luz, la óptica se divide en geométrica y física. b) Optica geométrica Estudia los fenómenos luminosos desde el punto de vista corpuscular de la luz. La luz se desplaza en forma rectilínea ori ginando los fenómenos de reflexión y re fracción. c) Optica física Estudia los fenómenos luminosos desde el punto de vista ondulatorio de la luz. Las ondas dan origen a los fenómenos de difracción, interferencia y polarización.

temente elástico como para permitir a la luz una elevada velocidad.  La teoría ondulatoria explica los fenóme nos de reflexión y refracción. * Teoría corpuscular En esta teoría se considera que la luz es un chorro de partículas que se origina en el foco de luz.  Para esta teoría la reflexión no es más que el rebote de las partículas sobre un cuerpo. La refracción se debería a que la componente perpendicular a la superficie de separación de los medios, de la veloci dad de la partícula es mayor en el medio que en el aire. Justo al revés que la teoría ondulatoria. * 



d) Luz Se llama luz a la radiación electromagné tica que el ojo humano puede detectar. La radiación ultravioleta y la infrarroja que no es detectable por el ojo humano. e) Naturaleza dual de la luz Para explicar el comportamiento de la luz, y su interacción con la materia se plantearon dos teorías: * Teoría ondulatoria En esta teoría se considera que la luz es una onda longitudinal, que se propaga en una sustancia llamada éter. El éter llena ba todo el espacio y debía ser lo suficien



Doble comportamiento de la luz En 1873, Maxwell demostró que la luz era una forma de onda electromagnética de alta frecuencia, por lo tanto no requie re de un medio para propagarse. Hertz y otros investigadores mostraron que estas ondas se reflejan, se refractan y muestran todas las características de las ondas. El estudio de otros fenómenos como la ra diación del cuerpo negro, el efecto foto eléctrico y los espectros atómicos puso de manifiesto la impotencia de la teoría ondulatoria para explicarlos. En 1905, ba sándose en la teoría cuántica de Planck Einstein explicó el efecto Fotoeléctrico por medio de corpúsculos de luz que él llamó fotones. Bohr en 1912 explicó el es pectro de emisión del átomo de hidróge no, usando los fotones, y Compton en 1922 el efecto que lleva su nombre apo yándose en la teoría corpuscular de la luz La luz tiene naturaleza dual (doble). En los fenómenos de interferencia, difrac ción, polarización se comporta como on da electromagnética. En los fenómenos de los efectos fotoeléctrico, Compton co mo partícula.

Física IV

ONDA

c

PARTICULA c



Así, surgió una situación de conflicto en torno al comportamiento doble de la luz, como onda electromagnética en los fenó menos de propagación, interferencias y difracción y como corpúsculo en la inter acción con la materia.

f) ¿La luz viaja en línea recta? Aunque hoy sabemos que la materia cur va la luz, el concepto de rayo y su forma de propagarse dio lugar al nacimiento de la óptica.  La idea fundamental sobre la que se cons truye la óptica geométrica es la de que los rayos de luz viajan en línea recta y la demostración más evidente de que viaja en línea recta son las sombras. g) Sistema óptico En óptica geométrica se denomina siste ma óptico a un conjunto de superficies que separan medios con distintos índices de refracción. Estas superficies pueden ser refractantes o espejos. Los sistemas ópticos se clasifican en: * Dióptricos, si están formados solo por su perficies refractantes. * Catóptricos, si lo están solo por espejos. * Catadióptricos, si están formados por es pejos y superficies refractantes.

199

h) Fotometría Es la ciencia que se encarga de la medi da de la luz como el brillo percibido por el ojo humano. Es decir, estudia la capaci dad que tiene la radiación electromagnéti ca de estimular el sistema visual. No de be confundirse con la Radiometría, que se encarga de la medida de la luz en tér minos de potencia absoluta. i) Radiometría Es a ciencia que estudia las mediciones de la radiación electromagnética, para fre cuencias de onda del espectro electromag netico entre 31011 Hz y 31016 Hz La radiometría es importante en astrono mía, radioastronomía y geofísica. En las mediciones de las intensidades de las radiaciones se utilizan detectores que convierten la radiación en calor o señal e léctrica, con termopares o fotodiodos. j) Termopar Es un transductor formado por la unión de dos metales distintos que produce una diferencia de potencial muy pequeña (del orden de milivoltios) que es función de la diferencia de temperatura entre los extre mos. k) Transductor Es un dispositivo que transforma o con vierte un tipo de energía en la entrada (E) en otro tipo de energía en la salida (S). Es un dispositivo que se utiliza amplia mente en la industria, agricultura, robóti ca, aeronáutica, etc… l)

Fotodiodo Es un semiconductor construido en una u nión PN, sensible a la incidencia de la luz visible o infrarroja. Los fotodiodos se comportan como células fotovoltaicas.

200 2. REFLEXIÓN

Reflexión gentes a otro frente de onda), como se ob serva en al Figura.

a) Definición Es el cambio de dirección que experimen ta el rayo de luz (o una onda de sonido) en la superficie de separación de dos me dios (interfase), de tal forma que el fren te de onda regresa al medio en el que fue generada.

Q

Q 

 P

P R.i

N

R.r

i  r

T

SUPERFICE PLANA

Leyenda R.i : R.r : i : R : N :

N

i  r

SUPERFICIE CURVA

rayo incidente rayo reflejado ángulo de incidencia ángulo de reflexión perpendicular (normal) a la su perficie pulida.

b) Leyes de la reflexión 1) El rayo incidente R.i, rayo reflejado R.r y la normal N, se encuentran situados en un mismo plano. 2) El ángulo de incidencia i, es igual, al án gulo de reflexión r, esto es: i  r

c) Deducción Para deducir la ley de la reflexión a partir de la construcción de Huygens, represen temos los frentes de ondas entrantes y salientes a la superficie de reflexión, me diante la utilización de las ondulaciones (esferas cuyos centros están contenidos en un frente de onda, y además son tan

En la Figura, como los triángulos rectán gulos PQ'P' y P'QP son idénticos, pues, tienen la hipotenusa PP' en común, y sus catetos PQ y P'Q' , por lo tanto, los án gulos  y  ' son iguales, esto es:

  ' N R.i Frente de onda

i 

De otro, lado como los rayos incidente (R.i) y reflejado (R.r) son perpendicula res a los frentes de onda incidente y refle jado, respectivamente, entonces, el ángu lo que forma el rayo incidente con la nor mal (N) llamado ángulo incidente (), es igual, al ángulo que forma el rayo refle jado con la normal, llamado ángulo refle jado (  ' ), esto es: i  r

Además, se observa que el rayo inciden te, rayo reflejado y la normal están conte nidos en el mismo plano.

201 perpendicular a la fuente, es decir, el án gulo de incidencia es igual a 90°. Se pue de construir un retrorreflector simple co locando tres espejos ordinarios de forma que todos sean perpendiculares entre si (un reflector esquinero). La imagen que se produce es igual a la imagen produci da por un espejo pero invertida. Tal co mo se observa en la Figura, la combina ción de las diferentes superficies hace que el haz de luz sea reflejado de vuelta a la fuente.

Física IV d) Clasificación La reflexión de la luz puede ser de dos ti pos dependiendo de la naturaleza de la su perficie de separación, a saber: * Especular.- como en un espejo. * Difusa.- cuando no se conserva la ima gen, pero se refleja la energía. 1) Reflexión especular La superficie donde se refleja la luz es perfectamente lisa (espejos, agua en repo so) y todos los rayos reflejados salen en la misma dirección.

R.i

R.r

2) Reflexión difusa En este tipo de reflexión, cuando un haz de luz incide en una superficie áspera o granular es reflejada en todas direcciones debido a las irregularidades microscópi cas de la superficie de separación y por esta razón no se forma ninguna 'imagen'. La forma exacta de la reflexión depende de la estructura de la superficie. R.i

R.r

 R.SABRERA

e) Retrorreflexión La retrorreflexión es la capacidad que tie nen algunas superficies que por su estruc tura pueden reflejar la luz de vuelta ha cia la fuente, sin que importe el ángulo de incidencia original, este comportami ento se puede observar en un espejo, pe ro únicamente cuando éste se encuentra

Si a una superficie se le aplica una peque ña capa de esferas reflectivas es posible obtener una superficie con una capacidad limitada de retrorreflexión. El mismo e fecto se puede obtener si se dota a las su perficies con una estructura similar a pe queñas pirámides (reflexión esquinera). En ambos casos, la estructura interna de la superficie refleja la luz que incide so bre ella y la envía directamente hacia la fuente. Este tipo de superficies se utilizan para crear las señales de tránsito y las pla cas de los automóviles, en este caso parti cular no se desea una retrorreflexión per fecta, pues se quiere que la luz retorne tanto hacia las luces del vehículo que e mite el haz de luz como a los ojos de la persona que lo va conduciendo. f) Reflexión acoplada compleja La luz se refleja exactamente en la direc ción de la fuente de donde proviene de bido a un proceso óptico no lineal. En es

202 Reflexión te tipo de reflexión, no solo se invierte la  Grises dirección de la luz, también se invierte el Cuando el porcentaje de reflexión es del frente de la onda. 50 % en todas las longitudes de onda.  Blancas g) ¿De qué depende la cantidad de El porcentaje de reflexión es del 100 % luz reflejada? en todas las longitudes de onda. La cantidad de luz reflejada por un cuer 2) Cromáticas po depende de: Se llama así, a la reflexión en la que no 1) La naturaleza de la superficie (composi se reflejan por igual todas las longitudes ción, estructura, densidad, color, entre o de onda, hay un predominio de unas so tras características). bre otras dando como resultado una radia 2) La textura de la superficie (plana, rugosa ción cromática. regular irregular, opaca, pulida, etc...) 3) La longitud de onda de la luz, y de si es k) Reflexión de neutrones tá o no polarizada. Materiales que reflejan neutrones, como 4) El ángulo de incidencia de la luz sobre la por ejemplo el Berilio, son utilizados en superficie. reactores nucleares y en armas atómicas. En las ciencias físicas y biológicas, la re h) ¿En que caso la fase de la onda flexión de neutrones es utilizada para de reflejada puede invertirse? terminar la estructura y composición in La fase de la onda reflejada puede inver terna de un material. tirse cuando la superficie de separación es entre un medio dieléctrico y un medio l) Reflexión sísmica conductor, o entre dos medios dieléctri Las ondas sísmicas producidas por terre cos. motos o por otras fuentes tales como ex plosiones, pueden ser reflejadas por ca i) ¿Por qué vemos los objetos? pas dentro de la Tierra. El estudio de las Podemos ver los objetos que nos rodean ondas sísmicas reflejadas en las profundi porque la luz que se refleja en ella llega dades ha dado a los sismólogos la oportu hasta nuestros ojos. nidad de determinar las capas que confor man la estructura de la Tierra. El estudio j) ¿Qué es la reflexión selectiva? de las ondas sísmicas reflejadas de poca Con relación a la calidad de la luz refle profundidad se utiliza en sismología por jada, existen dos tipos adicionales de re reflexión que estudia la corteza de la Tie flexión, ellas son: rra en general, y en particular para encon 1) Acrómatica trar posibles yacimientos de petróleo o Se llama así, a la reflexión en la que se re gas natural. flejan por igual todas las longitudes de onda. Los tres casos típicos de superfi m) Capas antirreflectantes cies reflectoras acromáticas se denomi Son capas hechas de materiales o sustan nan: cias como por ejemplo Nitruro de Silicio,  Negras que absorben gran parte de la radiación Cuando el porcentaje de reflexión es ce de luz incidente; por lo que es utilizada ro. en los componentes de los sistemas ópti

203 es capaz de atravesar la superficie entre ambos medios (interfase) reflejandose completamente. En la Figura, para rayos de luz que inci den con ángulos menores que el ángulo crítico (<c), la luz se refleja y refracta (rayo 1), y para rayos de luz que inciden con ángulos mayores o iguales que el án gulo crítico (c) la luz se refleja total mente (rayos 2, 3 y 4). Este fenómeno solo se produce para án gulos de incidencia superiores a un cier to valor crítico "c " . Para ángulos mayo res la luz deja de atravesar la superficie y es reflejada internamente de manera total La reflexión interna total solamente ocu rre en rayos viajando de un medio de alto índice refractivo hacia medios de menor índice de refracción. La reflexión interna total se utiliza en fi bra óptica para conducir la luz a través de la fibra sin pérdidas de energía. En u na fibra óptica el material interno tiene un índice de refracción más grande que el material que lo rodea. El ángulo de la incidencia de la luz es crítico para la ba se y su revestimiento y se produce una re flexión interna total que preserva la ener gía transportada por la fibra. En aparatos de óptica se prefiere utilizar la reflexión total en lugar de espejos me talizados. Como ejemplo de utilización de la reflexión total en aparatos comunes encontramos el pentaprisma de las cáma ras fotográficas réflex. También, los espejismos son un fenóme no de reflexión interna total.

Física IV cos y en dispositivos optoelectrónicos co mo los detectores de radiación. n) Angulo crítico (c) Es el ángulo de incidencia que produce un ángulo de refracción igual a 90o. Para que exista ángulo límite es indispensable que el rayo luminoso se propague de un medio de mayor índice de refracción a o tro menor, es decir, n2




N 90o

n2 n1

c



n1 sen c  n 2 sen90

o

c  sen 1(

n2 ) n1

o) Reflexión interna total Ni>NR N

 NR

(1) (2) C

(3)

(4) Ni

Se llama reflexión interna total al fenóme no en el que un rayo de luz, al pasar de un medio de índice de refracción "n i " ha cia otro medio de índice de refracción me nor "n R " , se refracta de tal modo que no



3. FIBRA OPTICA a) Definición La fibra óptica es un medio de transmi sión empleado habitualmente en redes de

204 Reflexión datos, consistente en un hilo muy fino de material transparente, vidrio o materiales plásticos, por el que se envían pulsos de luz que contienen la información a trans mitir. b) Origen El confinamiento de la luz por refracción el principio que posibilita la fibra óptica, fue demostrado por Daniel Colladon y Jacques Babinet en París en los comien zos de la década de 1840.  El físico irlandés John Tyndall descubrió que la luz podía viajar dentro del agua, curvándose por reflexión interna, y en 1870 presentó sus estudios ante los miem bros de la Real Sociedad. A partir de este principio se llevaron a cabo una serie de estudios, en los que se demostró el po tencial del cristal como medio eficaz de transmisión a larga distancia. Se desarro llaron una serie de aplicaciones basadas en dicho principio para iluminar corrien tes de agua en fuentes públicas  En 1952, el físico Narinder Singh Kapa ny, apoyándose en los estudios de John Tyndall, realizó experimentos que condu jeron a la invención de la fibra óptica. U no de los primeros usos de la fibra óptica fue emplear un haz de fibras para la trans misión de imágenes, que se usó en el en doscopio. c) Mecanismo de funcionamiento El haz de luz queda completamente confi nado y se propaga por el interior de la fi bra con un ángulo de incidencia en la su perficie interna mayor que el ángulo lí mite para la refracción a su través, cum pliendo la condición de la reflexión total interna. La luz que se propaga por la fi bra proviene de fuentes coherentes y di reccionales como la de un láser o un dio do led.

n2





n1

Los principios básicos de su funcionami ento se basan en las leyes de Snell. La luz se propaga en un medio, el núcleo de la fi bra, reflejándose continuamente sin re fractarse a través de la fibra, debido a que se verifican las condiciones de refle xión interna total. Para ello los índices de refracción del núcleo (n1) y del revestimi ento (n2) deben cumplir determinadas condiciones propagándose la luz, de esta manera, completamente por el interior de la fibra con pérdidas despreciables. El confinamiento de la luz por refracción, el principio que posibilita la fibra óptica, fue demostrado por Daniel Colladon y Jacques Babinet en París en los comien zos de la década de 1840.

d) Aplicaciones Su uso es muy variado: desde comunica ciones digitales y joyas, pasando por sen sores y llegando a usos decorativos, co mo árboles de Navidad, veladores y otros elementos similares. Aplicaciones de la fi bra monomodo: Cables submarinos, ca bles interurbanos, etc. 1) Comunicaciones La fibra óptica se emplea como medio de transmisión en redes de telecomunicacio nes ya que por su flexibilidad los conduc tores ópticos pueden agruparse formando cables. Las fibras usadas en este campo son de plástico o de vidrio y algunas ve ces de los dos tipos. Por la baja atenua

Física IV ción que tienen, las fibras de vidrio son utilizadas en medios interurbanos. 2) Sensores Las fibras ópticas se pueden utilizar co mo sensores para medir: deformación, temperatura, presión, humedad, campos eléctricos y magnéticos, gases, vibracio nes y otros parámetros. Su tamaño pe queño y el hecho de que por ellas no cir cula corriente eléctrica les dan ciertas ven tajas respecto a los sensores eléctricos.  Las fibras ópticas se utilizan como hidró fono para los sismos o aplicaciones de so nar. Se han desarrollado sistemas hidrofó nicos con más de 1000 sensores usando la fibra óptica. Los hidrófonos son usa dos por la industria de petróleo así como las marinas de guerra de algunos países. La compañía alemana Sennheiser desarro lló un micrófono que trabaja con láser y fibras ópticas.  Se han desarrollado sensores de fibra ópti ca para la temperatura y presión de pozos petrolíferos. Estos sensores pueden traba jar a mayores temperaturas que los senso res de semiconductores.  Otro uso de la fibra óptica como sensor es el giróscopo de fibra óptica que usan numerosas aeronaves y el uso en micro sensores del hidrógeno. 3) Iluminación Otro uso que se le da a la fibra óptica es la iluminación de cualquier espacio. En los últimos años las fibras ópticas han em pezado a ser muy utilizadas debido a las ventajas que este tipo de iluminación re presenta:  Ausencia de electricidad y calor: Esto se debe a que la fibra sólo tiene la capaci dad de transmitir los haces de luz, ade más de que la lámpara que ilumina la fi bra no está en contacto directo con la mis





205

ma. Se puede cambiar el color de la ilumina ción sin necesidad de cambiar la lámpa ra: Esto se debe a que la fibra puede transportar el haz de luz de cualquier co lor sin importar el color de la fibra. Por medio de fibras, con una sola lámpa ra se puede hacer una iluminación más amplia: Esto es debido a que con una lám para se puede iluminar varias fibras y co locarlas en diferentes lugares.

4) Otras aplicaciones  Se puede usar como una guía de onda en aplicaciones médicas o industriales en las que es necesario guiar un haz de luz has ta un blanco que no se encuentra en la lí nea de visión.  La fibra óptica se puede emplear como sensor para medir tensiones, temperatura, presión así como otros parámetros.  Es posible usar latiguillos de fibra junto con lentes para fabricar instrumentos de visualización largos y delgados llamados endoscopios. Los endoscopios se usan en medicina para visualizar objetos a través de un agujero pequeño. Los endoscopios industriales se usan para propósitos simi lares, como por ejemplo, para inspeccio nar el interior de turbinas.  Las fibras ópticas se han empleado tam bién para usos decorativos incluyendo ilu minación, árboles de Navidad.  Líneas de abonado  Las fibras ópticas son muy usadas en el campo de la iluminación. Para edificios donde la luz puede ser recogida en la azo tea y ser llevada mediante fibra óptica a cualquier parte del edificio.  Se emplea como componente en la con fección del hormigón translucido inven ción creada por el arquitecto húngaro Ron Losonczi, que consiste en una mez cla de hormigón y fibra óptica formando

206 Reflexión un nuevo material que ofrece la resisten sea necesario regenerar la señal, además, ia del hormigón pero adicionalmente, pre puede extenderse a 150 km, utilizando enta la particularidad de dejar traspasar amplificadores láser. la luz de par en par.  Gran resistencia mecánica, lo que facilita la instalación.  Resistencia al calor, frío y corrosión. e) Ventajas  Una banda de paso muy ancha, lo que  Facilidad para localizar los cortes gracias permite flujos muy elevados (del orden a un proceso basado en la telemetría, lo del GHz). que permite detectar rápidamente el lugar  Pequeño tamaño, por lo tanto ocupa poco donde se hará la reparación de la avería, espacio. simplificando la labor de mantenimiento.  Gran flexibilidad, el radio de curvatura  Factores ambientales. puede ser inferior a 1 cm, lo que facilita la instalación enormemente. f) Desventajas  Gran ligereza, el peso es del orden de al A pesar de las ventajas antes enumeradas gunos gramos por kilómetro, lo que resul la fibra óptica presenta una serie de des ta unas nueve veces menos que el de un ventajas frente a otros medios de transmi cable convencional. sión, siendo las más relevantes las sigui  Inmunidad total a las perturbaciones de entes: origen electromagnético, lo que implica u  La alta fragilidad de las fibras. na calidad de transmisión muy buena, ya  Necesidad de usar transmisores y recepto que la señal es inmune a las tormentas, res más costosos. chisporroteo...  Los empalmes entre fibras son difíciles  Gran seguridad: la intrusión en una fibra de realizar, especialmente en el campo, lo óptica es fácilmente detectable por el de que dificulta las reparaciones en caso de bilitamiento de la energía lumínica en re ruptura del cable. cepción, además, no irradia nada, lo que  No puede transmitir electricidad para ali es particularmente interesante para aplica mentar repetidores intermedios. ciones que requieren alto nivel de confi  La necesidad de efectuar, en muchos ca dencialidad. sos, procesos de conversión eléctrica-óp  No produce interferencias. tica.  Insensibilidad a las señales parásitas, lo  La fibra óptica convencional no puede que es una propiedad principalmente utili transmitir potencias elevadas. zada en los medios industriales fuerte  No existen memorias ópticas. mente perturbados (por ejemplo, en los tú  La fibra óptica no transmite energía eléc neles del metro). Esta propiedad también trica, esto limita su aplicación donde el permite la coexistencia por los mismos terminal de recepción debe ser energiza conductos de cables ópticos no metálicos do desde una línea eléctrica. La energía con los cables de energía eléctrica. debe proveerse por conductores separa  Atenuación muy pequeña independiente dos. de la frecuencia, lo que permite salvar dis  Las moléculas de hidrógeno pueden di tancias importantes sin elementos activos fundirse en las fibras de silicio y producir intermedios. Puede proporcionar comuni cambios en la atenuación. El agua corroe caciones hasta los 70 km. antes de que la superficie del vidrio y resulta ser el me

207 60 cables de 1623 pares de cobre o 4 ca bles coaxiales de 8 tubos, todo ello con u na distancia entre repetidores mucho ma yor.

Física IV 

canismo más importante para el envejeci miento de la fibra óptica. Incipiente normativa internacional sobre algunos aspectos referentes a los paráme tros de los componentes, calidad de la transmisión y pruebas.

g) Componentes Dentro de los componentes que se usan en la fibra óptica caben destacar los sigui entes: los conectores, el tipo de emisor del haz de luz, los conversores de luz, etc…  Transmisor de energía óptica. Lleva un modulador para transformar la señal electrónica entrante a la frecuencia aceptada por la fuente luminosa, la cual convierte la señal electrónica (electrones) en una señal óptica (fotones) que se emi te a través de la fibra óptica.  Detector de energía óptica. Normalmente es un fotodiodo que convi erte la señal óptica recibida en electrones (es necesario también un amplificador pa ra generar la señal)  Su componente es el silicio y se conecta a la fuente luminosa y al detector de ener gía óptica. Dichas conexiones requieren una tecnología compleja. h) Cable de fibra óptica Un cable de fibra óptica está compuesto por un grupo de fibras ópticas por el cual se transmiten señales luminosas. Las fi bras ópticas comparten su espacio con hi laduras de aramida que le confieren la ne cesaria resistencia a la tracción.  Los cables de fibra óptica proporcionan u na alternativa sobre los coaxiales en la in dustria de la electrónica y las telecomuni caciones. Así, un cable con 8 fibras ópti cas tiene un tamaño mucho más pequeño que los utilizados habitualmente, puede soportar las mismas comunicaciones que

i) Velocidad de transmisión En comunicaciones, la velocidad de trans ferencia de información está relacionada con la frecuencia de la señal. Un sistema de transmisión de frecuencias del orden de 1014 Hz transmite información a una velocidad mayor que uno que utilice fre cuencias de radio del orden de 106 Hz.  En sistemas de telecomunicaciones, una sola fibra de vidrio del tamaño de un ca bello humano puede transmitir informa ción de audio ó video equivalente a 32 000 voces hablando simultáneamente. j) Hidrófono Es un transductor de sonido a electrici dad para ser usado en agua o en otro lí quido, de forma análoga al uso de un mi crófono en el aire. Un hidrófono también se puede emplear como emisor, pero no todos los hidrófonos tienen esta capaci dad. 4. DISPERSION a) Dispersión 1) Dispersión en física En física se denomina dispersión al fenó meno de separación de las ondas de dis tinta frecuencia al atravesar un material. Todos los medios materiales son más o menos dispersivos, y la dispersión afecta a todas las ondas; por ejemplo, a las on das sonoras que se desplazan a través de la atmósfera, a las ondas de radio que a traviesan el espacio interestelar o a la luz que atraviesa el agua, el vidrio o el aire.  Se habla de dispersión, en términos gene

208 Reflexión rales, como el estado de un sólido o de b) Arco iris un gas cuando contienen otro cuerpo uni formemente repartido en su masa (equiva 1) Descripción lente a la noción de disolución, que con Un halo, antelia o arco iris es un efecto cierne a los líquidos). óptico en forma de disco alrededor del Sol o la Luna y que presenta un anillo iri discente en su circunferencia exterior. 2) Dispersión de la luz Usualmente se ve en lugares fríos como Cuando un haz de luz blanca procedente Antártida, Alaska, Groenlandia, norte de del sol atraviesa un prisma de cristal, las Escandinavia, zonas boreales de Rusia, distintas radiaciones monocromáticas son Canadá; aunque también puede ocurrir tanto más desviadas por la refracción en cualquier lado, si se dan las condicio cuanto menor es su longitud de onda. De nes atmosféricas adecuadas, como por e esta manera, los rayos rojos son menos jemplo fuera de las áreas polares, en zo desviados que los violáceos y el haz pri nas donde se estén desarrollando tormen mitivo de luz blanca, así ensanchado por tas o haya mal tiempo, o en zonas templa el prisma, se convierte en un espectro e das cuando el aire atmosférico posea lige lectromagnético en el cual las radiaciones ras nubes cristalizadas por el frío (casi coloreadas se hallan expuestas sin solu siempre nubes del tipo cirrus). El halo ción de continuidad, en el orden de su está causado por partículas de hielo en longitud de onda, que es el de los siete co suspensión en la tropósfera que refractan lores ya propuestos por Isaac Newton: la luz generando un espectro de colores violeta, índigo, azul, verde, amarillo, ana alrededor de la Luna o el Sol. ranjado y rojo (Así como, en ambos extre mos del espectro, el ultravioleta y el infra 2) Colores del arco iris rrojo, que no son directamente visibles Se demostró entre 1670 y 1672 que la luz por el ojo humano, pero que impresionan blanca estaba formada por bandas de co las placas fotográficas). Es sabido desde lores que podían separarse por medio de la antigüedad que la luz solar, al pasar un prisma. En el libro Opticks de 1704, por cristales transparentes o joyas de va señaló en un círculo de colores (disco de rias clases, produce brillantes colores. Newton) que la luz, al igual que el arco íris, se compone de siete colores e hizo u na analogía con los siete días de la sema 3) Dispersión en meteorología na y las siete notas musicales. Estos 7 co Desde el punto de vista químico, el aire lores son los siguientes: rojo, naranja, es una dispersión gaseosa de oxígeno en amarillo, verde, cian (celeste o turquesa), nitrógeno. Asimismo, la niebla es una dis azul, violeta. persión del agua en el aire. El arco iris, el  Del mismo modo en como se presenta en halo y los espejismos son fotometeoros, el espectro visible, hay un gradiente conti causados por la dispersión de la luz por nuo de colores, por lo que en realidad no las gotitas de agua o los finísimos crista son solo siete los colores sino miles o al les de hielo que contenga la atmósfera en menos cientos los que podrían percibirse; aquella zona donde se produzcan estos fe aunque estos siete colores permiten su nómenos. mejor comprensión por simplificación

209

Física IV del esquema. El quinto color representa la gama del azul claro, mientras que el sexto color es el azul más oscuro; es por esto que tradicionalmente se llamó índigo o añil al azul oscuro y más antiguamente color turquí. 3) Angulo de desviación d Es el ángulo que forman las direcciones de los rayos ingresante y saliente de una gotita de agua, que son el origen de la for mación del arco iris (descomposición de los colores de la luz blanca), en la Figura, este ángulo en función del ángulo inciden te i, viene dado por:

 R.SABRERA

i A r

 r

B

0

 

P d

C

d    2i  4sen 1(

n aire sen i ) n agua

El ángulo d tiene su valor mínimo cuan do i60º. Para este ángulo de inciden cia, el ángulo de desviación es: d  138o

este es el ángulo de desviación mínima. Para ángulos incidentes ligeramente ma yores o menores que 60º, el ángulo de desviación es aproximadamente el mis mo. Por lo que, la intensidad de luz refle jada por la gotita de agua será máxima. 4) Radio angular máximo El radio angular de máxima intensidad, viene dado por:

2 máx    d,mín

2máx  180o  138o  42o Se debe mencionar que el índice de re fracción del agua varía ligeramente con la longitud de onda. Por lo que, para cada color, la intensidad máxima se percibe con un radio angular ligeramente diferen te de los que corresponden a otras longitu des de onda. c) Espejismo 1) Definición Es una ilusión óptica en la que los obje tos lejanos aparecen reflejados en una su perficie lisa como si se estuviera contem plando una superficie líquida que, en rea lidad, no existe. 2) Mecanismo En los desiertos tropicales, el aire en con tacto con el suelo tórrido se calienta y su densidad varía de tal manera que, contra rio a lo usual, el aire más frío se mantie ne encima del más caliente, el cual es ca lentado por la radiación reflejada por el suelo. Esto crea una densidad desigual en el aire que le otorga varios índices de re fracción. Por lo tanto, un rayo de luz re flejado por un objeto lejano que va hacia abajo, y en la dirección del observador, va experimentando refracciones sucesi vas al atravesar las distintas capas de ai re; su inclinación hacia el suelo es cada vez menor y, tras llegar a la horizontal, el rayo sufre nuevas refracciones, aunque esta vez hacia arriba. Así es como, tras haber descrito una trayectoria curva de convexidad dirigida hacia abajo, llega al ojo del observador, que ve en el suelo (es pejismo inferior) una imagen poco neta

210 Reflexión del objeto. Ahora bien, como otros rayos ticias (alucinaciones) donde las imágenes de procedencia real llegan también direc no son perceptibles con claridad por el o tamente al ojo del observador, éste tiene jo humano, ya que nuestro cerebro sólo la impresión de ver a la vez el objeto (por puede asimilar una imagen a la vez. En ejemplo, una palmera en un desierto) y, conclusión, el cerebro humano sólo pue al pie del mismo, una segunda imagen in de concentrarse en un objeto, por lo que, vertida, como si esta palmera se reflejara cuando se presentan dos formas en una en una superficie líquida inexistente. Por sola imagen, se ocasiona confusión y el tanto, en las horas más calurosas del vera cerebro entra en desorden, con lo cual es no, la imagen del cielo parece venir del te lleva a ver otra visión de lo visto. asfalto de la carretera caliente, a la vez  Las ilusiones ópticas fisiológicamente o que ésta parece mojada o encharcada pa curren durante la conexión del hemisfe ra el observador. rio derecho y el izquierdo del cerebro; gracias a esto tenemos la capacidad de 3) Nauscopia percepción. Es una técnica que tiene la supuesta capa  Algunas ilusiones ópticas son: ilusión de cidad de detectar barcos lejanos, antes de la cuadricula, espejismo, holograma, este entrar dentro del alcance visual, mediante reograma, irradiancia. el estudio de ciertos efectos atmosféricos. Se basaría en una técnica parecida a la empleada por los polinesios para detectar 5. ESPEJOS PLANOS los cientos de islas de la Polinesia (de he cho llegaron a ellas), que usaban junto a) Definición con otras técnicas (estrellas, vientos, nu Es toda superficie plana perfectamente bes) los patrones de interferencia del aire pulida, capaz de reflejar el 95 % ( o más) y del mar causado por las islas y atolones de la luz incidente. Los espejos ordina los vientos y el clima. rios constan de una lámina de vidrio que lleva en el reverso una delgada capa de 4) Ilusión óptica plata (Ag) o aluminio (Al) donde se pro Una ilusión óptica es cualquier ilusión duce la reflexión. del sentido de la vista que nos lleva a per cibir la realidad de varias formas. Estas b) Zonas pueden ser de carácter fisiológico asocia Todo espejo tiene convencionalmente dos a los efectos de una estimulación ex dos zonas bien definidas llamadas zona cesiva en los ojos o el cerebro (brillo, co real y zona virtual. lor, movimiento, etc., como el encandila * Zona real (Z.R) miento tras ver una luz potente) o cogni Es la región donde se encuentra el obje tivo en las que interviene nuestro conoci to, en está región, todas las distancias son miento del mundo (como el Jarrón de Ru positivas. bin en el que percibimos dos caras o un jarrón indistintamente). Las ilusiones cog * Zona virtual (Z.V) nitivas se dividen habitualmente en ilusio Es la región que se encuentra detrás del nes de ambigüedad, ilusiones de distor espejo, en esta región todas las distancias sión, ilusiones paradójicas e ilusiones fic son negativas.

211 sobre él se deposita plata metálica por re ducción del ión plata contenido en una di solución amoniacal de nitrato de plata. Después se cubre esta capa de plata con una capa de pintura protectora.

Física IV Z.R (+)

Z.V (-)

t.i

t.o

o OBJETO

i IMAGEN

c) Objeto Es aquel punto o conjunto de puntos a partir de los cuales se "originan" los ra yos luminosos que van a incidir en el es pejo. d) Imagen Es el punto o conjunto de puntos que se forma mediante la intersección de los ra yos reflejados o de sus prolongaciones. Las imágenes pueden ser "reales" o “vir tuales”. La imagen virtual se forma por la intersección de los rayos reflejados, esta imagen es vista directamente dentro del espejo.

h) Mecanismo de formación de imágenes en un espejo plano Una imagen en un espejo se ve como si el objeto estuviera detrás y no frente a és te ni en la superficie. Es un error frecuen te pensar que la imagen se encuentra en la superficie del espejo.  El sistema óptico del ojo recoge los ra yos que salen divergentes del objeto y los hace converger en la retina.

OBJETO 

e) Distancias Existen dos distancias, la distancia del ob jeto al espejo (o), y la distancia de la ima gen al espejo (i). f) Tamaño Existen dos tamaños, el tamaño del obje to denotado por (t.o), y el tamaño de la imagen denotado por (t.i). g) Fabricación En la antigüedad los espejos planos se ha cían puliendo superficies metálicas, en ge neral de plata. En general los espejos de uso diario son placas de vidrio plateadas. Para construir un espejo se limpia muy bien un vidrio y



IMAGEN

El ojo identifica la posición que ocupa un objeto como el lugar donde convergen las prolongaciones del haz de rayos diver gentes que le llegan. Esas prolongaciones no coinciden con la posición real del obje to. En ese punto se forma la imagen vir tual del objeto. La imagen obtenida en un espejo plano no se puede proyectar sobre una pantalla, colocando una pantalla donde parece es tar la imagen no recogería nada. Es, por lo tanto virtual, una copia del objeto "que parece estar" detrás del espejo.

i) Naturaleza de la imagen en un espejo plano La imagen formada en un espejo plano siempre es:

212

Reflexión Z.R (+)

Z.V (-)

t.i

t.o

o OBJETO

k) Número de imágenes entre dos espejos planos Caso 1: Cuando el ángulo formado por los espe jos es, =90o, se forman tres imágenes.

! Tres !

i IMAGEN

o

i

*

*

* *

Simétrica Porque aparentemente está a la misma distancia del espejo, es decir, la distancia objeto, es igual, a la distancia imagen. Virtual Porque se ve como si estuviera dentro del espejo, no se puede formar sobre una pan talla pero puede ser vista cuando la enfo camos con los ojos. Tamaño Del mismo tamaño que el objeto. Orientación Derecha, porque conserva la misma orien tación que el objeto.

j) Cantidad de luz reflejada en un espejo plano Cuando la luz llega a la superficie de un cuerpo, parte de la luz se refleja y parte entra en el cuerpo donde puede ser absor bida o transmitida, absorbiéndose siem pre una parte de ella mientras lo atravie sa, por ejemplo el vidrio. La cantidad de luz reflejada por un cuer po depende de: 1) La naturaleza de la superficie (composi ción, estructura, densidad, color, entre o tras) 2) La textura de la superficie (plana, rugosa regular, irregular, opaca, pulida, etc.) 3) La longitud de onda de la luz, y de si es tá o no polarizada. 4) El ángulo de incidencia de la luz sobre la superficie.

90

i

0

i

Caso 2: Cuando el ángulo entre los espejos es de =120o, se forman cuatro imágenes. Dos

i 1200

o

i

Experimentalmente, disponemos de una barra bicolor colocados simétricamente con los espejos planos. Si el ángulo que forman los espejos tiene la siguiente for ma:

.n  2

(1)

siendo, "" el ángulo que forman los es pejos (en radianes), y "n" un número en tero y positivo. Entonces se observa que el objeto y las i

213

Física IV mágenes forman un polígono regular de "n" lados, inscrito en una circunferen cia. Por consiguiente el número de imá genes, será: N  n 1

(2)

Reemplazando (1) en (2), (con  en rad) N

2 1 

Para,  medido en grados sexagesimales, se tiene:

3600 N 1 

l)





¿Qué es un espejo perfecto? Un espejo perfecto es un espejo teórico que refleja la luz perfectamente y que no tiene imperfecciones. Los espejos domésticos no son espejos perfectos ya que absorben una parte im portante de la luz que da en ellos. Los espejos dieléctricos, que generalmen te están hechos de sustratos de cristal en los que se depositan una o más capas de material dieléctrico, forman una cobertu ra óptica con propiedades muy cercanas a las de un espejo perfecto. Los mejores espejos de este tipo pueden reflejar más del 99,998% de la luz que incide en ellos, aunque sólo muestran esta propiedad pa ra un intervalo concreto de longitudes de onda.

m) Aplicaciones 1) Helióstato Es un dispositivo que utiliza un espejo

plano accionado por un pequeño reloj, que permite mantener los rayos solares muy intensos reflejados por el espejo en una dirección fija. 2) Periscopio Es un instrumento para la observación desde una posición oculta. En su forma sencilla es un tubo con un juego de espe jos en los extremos, paralelos y en un án gulo de 45º respecto a la línea que los u ne. Esta forma de periscopio, con la adi ción de simples lentes, fue usado para propósitos de observación en la Primera Guerra Mundial. ESPEJO (1)

ESPEJO (2)

Los periscopios más complejos usan pris mas en vez de espejos, y disponen de au mentos, como los usados en los submari nos. 3) Caledeidoscopio Es una aplicación de los espejos angula res. En un cilindro bastante largo se intro ducen dos espejos, que forman entre si un ángulo de 60º Uno de los fondos del

214 Reflexión tubo cilíndrico está constituido por un vi 5) Sextante drio de color, barbas de plumas, etc., cu yas posiciones relativas pueden variar sa cudiendo el instrumento o golpeando lige ramente el tubo. El observador mira los objetos y sus imágenes a través de un a gujero pequeño perforado el otro lado del tubo. Las imágenes, a causa de su sime tría, forman motivos decorativos suscepti bles de interesar a los dibujantes.

Es un dispositivo que se utilizaba para de terminar la latitud de la posición de los barcos en la navegación, midiendo la altu ra del Sol o de las estrellas. Su nombre viene de que inicialmente su limbo se des plazaba hasta la sexta parte del círculo, es decir 60º.

600

4) Espejos triples Se disponen tres espejos planos, perpendi culares entre si, de forma que se constitu yan un triedro trirrectángulo. En una habi tación, dos paredes continuas y el suelo forman un triedro trirrectángulo). E3 3 2 E2 1 E1

Un rayo luminoso que incida en uno de los tres espejos experimenta varias refle xiones, siendo finalmente devuelto, para lelamente a su dirección primitiva, hacia la fuente luminosa. Esta propiedad no de pende de la orientación del triedro con respecto al rayo. Este sistema de espejos se utiliza en las señalizaciones.

6. PRINCIPIOS DE FRESNELHUYGENS Y FERMAT a) Principio de Fresnel-Huygens El principio de Huygens es un método de análisis aplicado a los problemas de pro pagación de ondas. Enunciado Todo punto de un frente de onda inicial puede considerarse como una fuente de ondas esféricas secundarias que se extien den en todas las direcciones con la mis ma velocidad, frecuencia y longitud de onda que el frente de onda del que proce den.  Esta visión de la propagación de las on das ayuda a entender mejor los fenóme nos de difracción, reflexión y la refrac ción de las ondas.  Por ejemplo, si dos cuartos están conecta dos por una puerta abierta y se produce un sonido en una esquina lejana de uno de ellos, una persona en el otro cuarto oi rá el sonido como si se originará en el um

215

Física IV



bral. Por lo que, se refiere al segundo cuarto, el aire que vibra en el umbral es la fuente del sonido. Lo mismo ocurre para la luz al pasar el borde de un obstáculo, pero esto no es fá cilmente observable debido a la corta lon gitud de onda de la luz visible. La interfe rencia de la luz de áreas con distancias variables del frente de onda móvil expli ca los máximos y los mínimos observa bles como franjas de difracción. Ver, por ejemplo, el experimento de la doble rendi ja. Ondulaciones Se llaman así, a las pequeñas esferas utili zadas en la construcción de Huygens, pa ra representar los frentes de ondas nue vos y antiguos, en la propagación de una onda. Por ejemplo, en la Figura, se repre sentan ondulaciones para el caso de la propagación de una onda de radio o de luz plana. Frente nuevo

 Frente antiguo

L  ct

*

siendo, "t" el tiempo que tarda la luz en recorrer la distancia " " , y "c" la veloci dad de la luz en el vació. En un medio de índice de refracción va riable (ncte.), la longitud de la trayecto ria óptica, viene dado por:

L   n(s)ds C

siendo, C la curva de la trayectoria de la luz. 2) Enunciado Un rayo atraviesa un medio desde un pun to A hacia otro B, utilizando un camino que corresponde a la longitud de la trayec toria óptica más corta. Físicamente, el principio de Fermat puede interpretarse como un enunciado de los efectos de in terferencia. 3) Ley de la reflexión Utilizando el principio de Fermat, se de duce la ley de la reflexión.

R.SABRERA

P

ct

n S

b i r

h

b) Principio de Fermat 1) Trayectoria óptica Es la distancia que recorre la luz en un medio de índice de refracción "n" . * En un medio de índice de refracción cons tante (n=cte.), la longitud de la trayecto ria óptica, viene dado por: c L  n  ( )(v t) v

x

B

a-x a

La longitud de la trayectoria óptica que sigue la luz es: L  nSB  n BP L L  n (h  x 2 )1/2  n[b2  (a  x)2 ]1/2

216 Reflexión Según el principio de Fermat, derivamos Leyenda esta expresión e igualamos a cero, así: R.i : rayo incidente R.R : rayo refractado x (a  x) i : ángulo de incidencia n 2 n 2 0 2 1/2 2 1/2 (h  x ) [b  (a  x) ] R : ángulo de refracción N : perpendicular (normal) a la su x (a  x) perficie que divide los medios.  (h 2  x 2 )1/2 [b2  (a  x) 2 ]1/2 b) Leyes de la refracción 1) El rayo incidente R.i, el rayo refractado sen i  sen r R.R y la normal N, están contenidos en un mismo plano. i  r 2) Si los rayos de luz son monocromáticos, se cumple la ecuación conocida como la Así, hemos obtenido la ley de la refle ley de la refracción xión de la luz, a partir del principio de Fermat, el cual, desde el punto de vista de la matemática, no es otra cosa que la a ni sen i  n R sen R plicación del teorema de máximo y mí nimos de un funcional. siendo, "n i " , "n R " los índices de inci dencia y refracción, respectivamente. 7. REFRACCION También, la ley de la refracción puede expresarse del modo siguiente: a) Definición Es el cambio de dirección que experimen ta una onda al pasar de un medio mate ni v  i rial a otro diferente. La refracción de la n R vR luz se produce cuando la luz pasa de un medio de propagación a otro con una den siendo, "n i " , "n R " los índices de refrac sidad óptica diferente, por ejemplo del ai re al vidrio. La refracción del sonido es ción de los medios de incidencia y re la desviación que experimentan las ondas fracción, y "vi " , "vR " las velocidades acústicas cuando pasan de un medio ma del rayo de luz en dichos medios. terial a otro de diferente densidad de ma sa. c) Deducción N

R.i

N

R.i

i

i AIRE

VIDRIO

AGUA

AGUA

R R.R

R R.R

1) Mediante el principio de Huygens Para deducir la ley de la refracción a par tir de la construcción de Huygens, repre sentemos los frentes de ondas entrantes y salientes a la superficie de reflexión, me diante la utilización de las ondulaciones (esferas cuyos centros están contenidos en un frente de onda, y además son tan

217

Física IV gentes a otro frente de onda), como se ob serva en al Figura. R.i

P (c/n)t

Q ct



Q



2) Mediante el principio de Fermat Consideremos que un rayo de luz se des plaza del punto P en el medio 1 a un pun to Q en el medio 2, como se observa en la Figura. d

P

n=1

a

1

r1

n1 1

P

d-x x

R.R

n1

2

n2

r2

2

b Q

En la Figura, los triángulos rectángulos PP'Q y PP'Q' tienen en común la hipo tenusa PP' . En función de la longitud PP' de esta hipotenusa en común, los se nos de los ángulos entre los frentes de on da y la superficie son: sen   sen  ' 

c t PP'

(c / n) t PP'

Dividiendo miembro a miembro estas e cuaciones entre si, tenemos: sen  c  n sen  ' c / n sen   nsen  '

Para un medio de incidencia de índice de refracción n1 diferente del vació (aire), la expresión anterior se expresa, así: n1 sen 1  n 2 sen 2

siendo, 1 y 2 los ángulos de incidencia y refracción, respectivamente.

El tiempo que tarda el rayo de luz en re correr la distancia entre P y Q es:

t

r1 r2  v1 v2

(a 2  x 2 )1/2 (b2  (d  x)2 )1/2 t  c / n1 c / n2 Derivando esta expresión con respecto a x, e igualando a cero, calculemos el valor de x, para el cual, t es mínimo, así: dt n1 d 2  (a  x 2 )1/2  dx c dx n2 d 2 (b  (d  x) 2 )1/2 c dx dt n1 1 2x  ( )[ 2 ] dx c 2 (a  x 2 )1/2 n2 1 2(d  x)(1) ( )[ 2 ] c 2 (b  (d  x) 2 )1/2 dt n1x n 2 (d  x)   0 dx c(a 2  x 2 )1/2 c[b 2  (d  x) 2 ]1/2

218

Reflexión n1x n (d  x)  2 2 2 1/2 (a  x ) [b  (d  x)2 ]1/2 2

n1 sen 1  n 2 sen 2

c) Indice de refracción (n) El índice de refracción de una sustancia homogénea transparente, se define como la razón de la velocidad de la luz en el va cío "c" a la velocidad de la luz "v" en el medio transparente, es decir: n



  



c o  v 

siendo, "o " y " " las longitudes de on da de la luz en el vacío y en el medio res pectivamente. El índice de refracción de un medio ho mogéneo es una medida que determina la reducción de la velocidad de la luz al pro pagarse por un medio. De forma más pre cisa, el índice de refracción es el cambio de la fase por unidad de longitud, esto es, el número de onda en el medio "k" será "n" veces mayor que el número de onda en el vació "n 0 " . El índice de refracción mide la densidad óptica de un medio transparente. El índice de refracción es una magnitud física adimensional mayor que 1. Para cada sustancia concreta el índice de refracción "n" es una función de la longi tud de onda de la componente de la luz, esto es, n =f(). Cuando la luz pasa de un medio de índi ce de refracción n1, a otro medio diferen te de índice n2, su frecuencia no cambia, pero su velocidad y longitud de onda si.

d) Densidad óptica La densidad óptica es una cantidad física

escalar, que mide la absorción de un ele mento óptico por unidad de distancia, pa ra una longitud de onda dada. Así, mien tras más alta es la densidad óptica, más pequeña es la transmitancia. e) Aplicaciones 1) La propiedad refractiva de un material es la propiedad más importante de cualquier sistema óptico que usa refracción. 2) El inverso del índice de refracción, nos indica el grosor de los lentes, según un poder dado, y expresa el poder dispersivo de los prismas. 3) Es usado en la química para determinar la pureza de los químicos y para la rende rización de materiales refractantes en los gráficos tridimensionales en computado ras. 4) Se utiliza para determinar la concentra ción de azucares de una solución, median te la relación que existe entre el angulo de refracción de una solución y la concen tración del componente del disoluto. 5) Se utiliza para identificar materiales sóli dos, como plásticos o cristales, ya que el ángulo de refracción de este tipo de mate riales es distinto y particular para cada ca so. 6) Se utiliza en el diseño y construcción de los artefactos de iluminación pública, las que presentan un refractor (no un simple vidrio), que sirve para distribuir mejor la luz emitida por la lámpara, "ensanchan do" la imagen de luz a lo largo de la ca lle, limitando la iluminación hacia las ventanas de las casas. 7) Nos permite ver hermosos arco iris, cuan do los rayos de luz atraviesan las gotas de agua, situados en la atmósfera. f) Refracción inusual En investigaciones recientes se ha demos trado la existencia de índice de refrac

219 señada podría considerarse como una "molécula", y sus propiedades ser modela das mediante parámetros globales, permi tividad, permeabilidad, índices de refrac ción…exactamente como se hace con las moléculas presentes en la naturaleza. Los metamateriales tienen una gran im portancia en los campos de la óptica y del electromagnetismo. Muchos estudios que se llevan a cabo hoy en día van orien tados al diseño de nuevos materiales capa ces de tener un índice de refracción ajus table, la creación de "superlentes" que mejorarían drásticamente la calidad de las imágenes para el diagnóstico médico y otros usos.

Física IV ción negativo, lo que puede ocurrir si las partes reales, tanto de permitividad ef co mo permeabilidad ef pueden tener valo res negativos. No se espera que esto ocu rra naturalmente con luz visible con al gún material, aunque puede lograrse con metamateriales; materiales creados en la boratorio para dicho propósito. El índice de refracción negativa ofrece la posibili dad de obtener superlentes, dispositivo de invisibilidad y otros fenómenos exóti cos. Aire n1

n2 n(+)

n(-) Metamaterial



Por otra parte, el índice de refracción, en algunos materiales, depende de la frecu encia del rayo incidente. Por esta misma razón, y en ciertos materiales, podemos obtener un índice de refracción negativo no estándar. Por otro lado, como ya se di jo, existen metamateriales que permiten esta propiedad en condiciones estándar o con la luz visible.

g) Metamateriales Se trataría de un material artificial que presenta propiedades electromagnéticas i nusuales, propiedades que proceden de la estructura diseñada y no de su composi ción, es decir, son distintas a las de sus constituyentes. En un sentido más estric to, se considera un metamaterial a aquél que constituye una estructura periódica, cuya dimensión máxima sea menor que la longitud de onda con la que se va ha trabajar. De esta manera, la estructura di



h) Refracción de ondas de radio El fenómeno de la refracción es un fenó meno que se observa en todo tipo de on das. En el caso de las ondas de radio, la refracción es especialmente importante en la ionosfera en la que se producen u na serie continua de refracciones que per miten a las ondas de radio viajar de un punto del planeta a otro. i) Refracción de ondas sísmicas Otro ejemplo de refracción no ligado a ondas electromagnéticas es el de las on das sísmicas. La velocidad de propaga ción de las ondas sísmicas depende de la densidad del medio de propagación y, por lo tanto, de la profundidad y de la composición de la región atravesada por las ondas. Se producen fenómenos de re fracción en los siguientes casos: 1) Refracción entre la transición entre dos capas geológicas, especialmente entre el manto y el núcleo. 2) En el manto, por pequeñas desviaciones de la densidad entre capas ascendentes menos densas y descendentes, más den sas.

220 Reflexión j) ¿Porqué se produce el espejis m) Difusión de la luz Este fenómeno se presenta cuando la luz mo? Los espejismos son producidos por un ca atraviesa un medio diferente del vacío, es so extremo de refracción, denominado re te es el caso de medios gaseosos, ya sean flexión total. gases limpios o con partículas en suspen sión. Según el modelo de Lorentz, al pa k) ¿Por qué el cielo se ve azul? sar una onda luminosa a través del gas, Los rayos solares, al pasar por la atmósfe se producen oscilaciones forzadas en los ra colisionan con las partículas constitu átomos y/o moléculas del mismo, emitién yentes (moléculas, iones, etc...) dando lu dose ondas secundarias. Estas ondas se gar a la emisión de ondas secundarias cundarias portan una parte de la energía (Difusión) que al propagarse en todas las de la onda principal, lo cual contribuye, direcciones, producen nuevas ondas se junto con la absorción, a la atenuación de cundarias. Estas ondas secundarias son la energía de la radiación incidente. Gra de longitudes de ondas pequeñas, o sea, u cias a la difusión de la luz vemos los ob na mezcla de azul y violeta lo que da co jetos cuando una parte de esa luz refleja mo resultado el color azul del cielo. da en todas las direcciones llega a nues tros ojos. l) ¿A qué se deben los colores de  La visualización de partículas suspendi los objetos? das en un cuarto oscuro en el que incide Los colores de los objetos se deben a dos luz por un agujero, la apariencia azul del causas diferentes, que son: cielo despejado, el blanco de las nubes y el rojo del Sol al atardecer son conse 1) Colores por transmisión cuencias de la difusión de la luz. Algunos materiales transparentes absor ben toda la gama de los colores menos u 8. PRISMAS no, que es el que permiten que se transmi ta y de color al material transparente. Por a) Definición ejemplo, un vidrio rojo es rojo porque ab Un prisma es un objeto transparente con sorbe todos los colores menos el rojo. superficies planas y pulidas no paralelas capaz de refractar, reflejar y descompo 2) Colores por reflexión ner la luz en los colores del arco iris. La mayor parte de los materiales pueden Cuando la luz atraviesa un prisma, el ra absorber ciertos colores y reflejan otros. yo de salida ya no es paralelo al rayo inci El color o los colores que reflejan son los dente. Generalmente, estos objetos tienen que percibimos como el color del cuerpo. la forma de un prisma triangular, de ahí Por ejemplo, un cuerpo es amarillo por su nombre. que absorbe todos los colores y sólo se refleja el amarillo. Un cuerpo es blanco b) Mecanismo de reflexión y refraccuando refleja todos los colores y negro ción en un prisma cuando absorbe todos los colores. Los De acuerdo con la ley de la refracción, cuerpos negros se perciben gracias a que cuando la luz pasa del aire al vidrio del se reflejan difusamente parte de la luz de prisma disminuye su velocidad, desvian lo contrario no serían visibles. do su trayectoria y formando un ángulo

221 cuando pasa a través del prisma, a partir de:

Física IV con respecto a la interfase. Como conse cuencia, se refleja o se refracta la luz. El ángulo de incidencia del haz de luz y los índices de refracción del prisma y el aire determinan la cantidad de luz que será re flejada, la cantidad que será refractada o si sucederá exclusivamente alguna de las dos cosas. c) Tipos de prismas 1) Reflectivos Son los que únicamente reflejan la luz, como son más fáciles de elaborar que los espejos, se utilizan en instrumentos ópti cos como los prismáticos, los monocula res y otros. 2) Dispersivos Son usados para descomponer la luz en el espectro del arco iris, porque el índice de refracción depende de la frecuencia; la luz blanca entrando al prisma es una mezcla de diferentes frecuencias y cada una se desvía de manera diferente. La luz azul es disminuida a menor velocidad que la luz roja. 3) Polarizantes Separan cada haz de luz en componentes de variante polarización d) Indice de refracción de un prisma

A N

i´ i

Ri

r

r´ N´

 RR

Para determinar el índice de refracción del prisma de ángulo (A), hacemos inci dir un rayo de luz (Ri) por una de las ca ras, y medimos el ángulo de desviación mínima () que experimenta dicho rayo,

n

sen[(min  A] / 2 sen (A / 2)

siendo, (RR) el rayo refractado i, r los án gulos de incidencia y refracción en la ca ra izquierda y i ' , r ' los ángulos de inci dencia y refracción en la segunda cara. e) Aplicaciones El prisma, tiene gran utilidad en diversas aplicaciones de la física: 1) Permiten medir los índices de refracción de las sustancias y cuerpos. 2) En astronomía se utilizan para analizar la composición de sustancias emisoras de luz. La luz blanca emitida por el Sol tiene un espectro continuo que consta de una mezcla de todos los colores. La luz colo reada emitida por los átomos de un ele mento químico en un tubo de descarga e léctrica, como un tubo de luz de neón, tie ne un espectro discreto diferenciado que consta de unos cuantos colores bien defi nidos. 3) Quizás el segundo uso más conocido de un prisma ocurrió cuando Edwin Hubble midió el corrimiento al rojo del espectro de las galaxias alejándose, lo que demos tró la expansión universal. Los sstrofísi cos usan el espectro en forma similar hoy en día, midiendo la distancia de la estre llas y buscando hoyos negros mediante el corrimiento a rojo de la estrellas colindan tes. 4) En electrónica se utiliza en el diseño y construcción de dispositivos de ilumina ción, en los periscopios modernos se utili zan prismas, etc… 5) Un prisma en unos anteojos puede corre gir desviaciones en el eje visual, como en la diplopía. Los dos lados de los anteojos

222 Reflexión suelen ser paralelos. Pero estos puede ser 9. ECUACIONES DE FRESNEL oblicuos, como en un prisma, para corre gir desviaciones de la imagen. a) Definición 6) Los binoculares usan lentes para conse Las ecuaciones de Fresnel, también cono guir un gran aumento, pero la imagen es cidas como fórmulas de Fresnel, son un invertida en el proceso. Los reflejos de conjunto de relaciones matemáticas que un prisma se utilizan para invertir la ima relacionan las amplitudes de las ondas gen antes de que los lentes la inviertan u reflejadas y refractadas (o transmitidas) na vez más. en función de la amplitud de la onda inci 7) Dos prismas de cristales birrenfringentes dente. (de doble difracción) adheridos por sus bases pueden separar un rayo en dos ra b) Coeficientes de amplitud de yos de polarización opuesta. La polariza reflexión ción es fundamental en los reproductores Supongamos que una onda plana mono de CD, pues permiten que el haz del láser cromática incide sobre un superficie pla en el CD sea reflejado hacia el detector na que separa dos medios isotrópicos. mediante un prisma por el que ha pasado Sin considerar la polarización de la onda, previamente. expresemos resolveremos sus campos E y B en componentes paralelas y perpen diculares al plano de incidencia y trate f) Prisma de reflexión mos estas componentes separadamente.  Caso: 01 R.SABRERA A E perpendicular al plano de incidencia. AIRE 0 Asumamos que E es perpendicular al pla 45 no de incidencia y que B es paralela a e  450 HAZ lla, como se muestra en la Figura. Recor demos que, E=vB, de modo que: n B



C

Tiene como fundamento el fenómeno de reflexión total. El rayo luminoso llega a la cara AB, penetra en el prisma sin des viación (incidencia normal, pero toca a la cara AC con un ángulo de incidencia (i gual a 45o) superior al ángulo límite (c= =42o), siendo reflejado totalmente y sa liendo sin desviación por la cara BC. Al índice de refracción del prisma n=1,5, le corresponde un ángulo límite de c=42o. Se debe mencionar que en muchos textos de óptica, se llama al ángulo A, ángulo de ápice del prisma.

y

kˆ x E  vB

(1)

kˆ E  0

(2)

(i.e. E , B , y el vector unitario de propa gación kˆ forman un sistema de giro dere cho). Nuevamente, haciendo uso de la continuidad de las componentes tangen ciales del campo E , tenemos en el contor no para cualquier tiempo y cualquier pun to: Eoi  Eor  E ot

(3)

donde los cosenos se cancelan. Entende

223

Física IV mos que los vectores campo tales como los mostrados realmente deberían estar definidos en y=0 (i.e. en la superficie), de lo cual, ellas no han sido considerados por la falta de claridad. Además note que aunque E r y E t deben ser normales al plano de incidencia, estamos consideran do que ellas están dirigidas hacia fuera en la superficie cuando E lo hace. Las direcciones de los campos B , entonces, se obtienen de la ec.(1). Er



Ei

 Bi

interfase

ki

i



un

ni nt

x

t Et Bt



B Bi B cos i  r cos r   t cos t (4) i r t

donde los lados izquierdo y derecho son la magnitudes totales de B / paralela a la interfase en los medios incidente y transmitido, respectivamente. La direc ción positiva es aquella en la que aumen ta x, de modo que, las componentes es calares de Bi y Bt , aparecen con signos menos. De las ec. (1) tenemos:

kr Br

r

ponente tangencial de B / requiere que:

kt

Necesitamos considerar otras condicio nes de contorno, para obtener una ecua ción adicional. La presencia de sustancia material que esta eléctricamente polariza da por la onda tiene un efecto importante en la configuración del campo. Así, aun que la componente tangencial de E es continua a través del contorno su compo nente normal no lo es. A su vez, la com ponente normal del producto  E es la misma sobre cada uno de los lados de la interfase. Similarmente, la componente normal de B es continua, como es la componente tangencial de -1 B . Aquí el efecto magnético de los dos medios apare cen vía sus permeabilidades i y r. Así la condición de contorno a usar, será la más simple, particularmente como la apli cada a la reflexión de la superficie de un conductor. Así la continuidad de la com

Bi 

Ei vi

(5)

Br 

Er vr

(6)

Bt 

Et vt

(7)

Puesto que, vi=vr y i=r, ec.(4), puede ser escrita, así:

1 1 (Ei  E r )cos i  E t cos  t (8) i v i t vt Haciendo uso de las ecuaciones siguien tes

Ei  Eoi cos(ki r  i t) Er  Eor cos(k r r  r t  r ) E t  Eot cos(k t r  i t  t )

donde, r, t son las fases constantes re lativo E i , y son introducidos debido a que la posición del origen no es única; y recordando que los cosenos ahí son igua les a uno u otro en y=0, obtenemos:

224

Reflexión n ni (Eoi  E or )cos r  t cos  t i t

(9)

Combinando con la ec.(3), esto nos da,

n ni cos i  t cos t E  t ( or )  i n ni E oi cos i  t cos t i t

Eoi cos i  Eor cos r  Eot cos t (14)

(10)

nt cos t E ot i (11) ( )  nt ni E oi cos i  cos t i t 2

El subíndice  sirve como un indicativo que estamos tratando con el caso en la que E es perpendicular al plano de inci dencia. Estas dos expresiones, que son a firmaciones completamente generales que se aplican a cualquier medio, homo géneo, isotrópico, lineal son dos de las e cuaciones de Fresnel. Mayormente uno trata con dieléctricos para las cuales i ro; consecuentemente, la forma común de estas ecuaciones es simplemente:

r  (

Eor n cos i  n t cos t )  i Eoi n i cos i  n t cos t

E 2n i cos i t   ( ot )  Eoi n i cos i  n t cos t

se sitúa en el plano de incidencia, como se muestra en la Figura. La continuidad de las componentes tangenciales de E en cada uno de los lados de la frontera nos da:

(12)

De la misma manera, como se procedió anteriormente, la continuidad de las com ponentes tangenciales de B / nos da:

1 1 1 Eoi  E or  E ot i v i r vr t vt

Usando el hecho que, i=r y i=r, po demos combinar estas fórmulas para obte ner dos ecuaciones más de Fresnel:

nt n cos i  i cos t E  i r  ( or )  t n ni E oi cos i  t cos t i t

(16)

nt cos i E ot t t ( )  n ni E oi cos i  t cos t i t

(17)

2

Bi interfase

Aquí, r denota el coeficiente de la ampli tud de la reflexión, y t el coeficiente de la amplitud de transmitancia Caso: 02 E paralelo al plano de incidencia. Un par similar de ecuaciones pueden ser derivadas cuando el campo ingresante E

Er

Ei

 (13)

(15)

ki

 i



un

kr

Br

r ni nt t  Bt

x

Et kt

Cuando ambos medios que forman la in terfase son dieléctricos que son esencial mente “no magnéticos”, los coeficientes de amplitud, se escriben, así:

225 después regresaremos para interpretar el significado físico del signo (-) presente. Luego, de expandir los senos y usar la ley de la refracción, esta expresión se re duce a:

Física IV r 

n t cos i  n i cos t n i cos t  n t cos i

(18)

t 

2n i cos i n i cos t  n t cos i

(19)

[r ]i  0  [ r ]i  0 

Una simplificación rotacional adicional puede ser realizada usando la ley de la refracción, con lo que, las ecuaciones de Fresnel para dieléctricos quedan, así:

r  

sen(i  t ) sen(i  t )

(20)

tg(i  t ) tg(i  t )

(21)

2sen t cos i sen(i  t )

(22)

r 

t  

t 

[

Esto se consigue también de las ecs.(12) y (18). En el límite, cuando i tiende a ce ro, cos i y cos t ambos se aproximan a uno, y consecuentemente

[r ]i  0  [ r ]i  0 

2sen t cos i (23) sen(i  r )cos(i  t )

c) Interpretación de las ecuaciones de Fresnel En esta sección examinamos las implica ciones físicas de las ecuaciones de Fres nel. En particular, estamos interesados en determinar las amplitudes en fracción y las densidades de flujo que son reflejadas y refractadas. 1) Coeficientes de amplitud Brevemente examinemos ka forma de los coeficientes de amplitud sobre el rango completo de valores de i. Para una inci dencia aproximadamente normal (i0) las tangentes en la ec.(21) son esencial mente iguales a senos, en este caso

[r ]i  0  [ r ]i  0  [

sen(i  t ) ]  0 sen(i  t ) i

n t cos i  n i cos t ] n t cos i  n i cos t i  0





n t  ni n t  ni

Esta igualdad de los coeficientes de refle xión surge porque el plano de incidencia no esta debidamente especificado cuando t=0. Así, por ejemplo, para una interfase de aire (ni=1) vidrio (nt=1,5) en una in cidencia aproximadamente normal, los coeficientes de amplitud de reflexión son iguales a 0,2. Cuando nt>ni se sigue de la ley de la re fracción que i>t, y r es negativa para todos los valores de i. Al contrario, la ec.(21) nos dice que rII empieza positivo en i=0 y decrece gradualmente hasta i gualarse a cero cuando (t+i)=90º, pues to que tg(/2) es infinito. El valor parti cular del ángulo incidente para la cual, es to ocurre es denotado por P, y es conoci do como el ángulo de polarización. Ob servar que rII0 en P, justo cuando el cambio de fase es de 180º. Cuando i au menta lejos de p, rII llega a ser progresi vamente más negativo, alcanzando -1 en 90º. Para incidencia normal las ecs.(13) y

226 Reflexión (19) nos conduce casi directamente a dente, reflejado y transmitido, respectiva mente son A cos i, A cos r, A cos t. 2n i Por lo mismo, la potencia incidente IiA [t ]i  0  [t  ]i  0  cos i; esto es la energía por unidad de ni  n t tiempo que fluye en el rayo incidente, y esta es por lo tanto, la potencia que llega  En la solución de los problemas propues sobre la superficie A. Similarmente, tos de este capítulo, se demuestra que: IrAcos r es la potencia en el rayo refleja t   ( r )  1 do, y ItAcos t es la potencia que es trans mitido a través de A. Definimos la reflec tancia R como la razón de la potencia re expresión válida para todo i, en tanto: flejada (o flujo) a la potencia incidente, t  r 1 esto es: es verdadero sólo para incidencia normal. d) Reflectancia y transmitancia Consideremos un rayo circular de luz in cidente sobre una superficie como la mos trada en la Figura, tal que existe una man cha iluminada de área A. Recordemos que la potencia por unidad de área que pa sa a través de una superficie en el vació cuya normal es paralela a S , es el vector de Poynting, que está dado por: S  c o E x B 2

Adicionalmente, la densidad de flujo ra diante (W/m2) o irradiancia, esta dado por: I  S  T 

co 2 Eo 2

Esto es, la energía promedio por unidad de tiempo que pasa a través de la unidad de área normal a S (en un medio isotrópi co S es paralelo a k ). En el caso que esta mos tratando, sean Ii, Ir y It las densida des de flujo incidente, reflejado y transmi tido, respectivamente. Las áreas de las secciones transversales de los rayos inci

R

Ir cos r Ir  Ii cos i Ii

De la misma forma, la transmitancia T es definida como la razón de la potencia transmitida a la potencia incidente, esto es:

T

Iot cos t Ioi cos i

2 El cociente Ir/Ii es igual a (vrr E or /2)/

2 (vii E oi /2), y puesto que las ondas inci dente y reflejada están en el mismo me dio, vr=vi, r=i, y

R(

Eor 2 2 ) r Eoi

d) La integral de Fresnel Las integrales de Fresnel, que se denotan como S(x) y C(x), son dos funciones tras cendentales que son empleadas en cam pos que se basan en ecuaciones de ondas, como la óptica. Las mismas se originan al realizar el análisis de fenómenos de di fracción de Fresnel en el campo próximo, y se definen según las siguientes expre

227 división y potenciación a exponentes constantes reales.

Física IV siones integrales: x

S(x)   sen(t 2 )dt



Clotoide o espiral de Cornu

0 x

C(x)   cos(t 2 )dt 0



Las integrales de Fresnel admiten las si guientes expansiones en serie de poten cias que convergen para todo x: 

S(x)   (1)n n 0

x 4n  3 (4n  3)(2n  1)!

x 4n 1 C(x)   (1) (4n  1)(2n)! n0 

 

n

Las integrales de Fresnel S(x) y C(x) son funciones impares de x. Los límites de las funciones S(x) y C(x), cuando x tiende a infinito, son: 



2  sen(t )dt   cos(t )dt  2

0

0

 8



Las gráficas simultáneas paramétricas de S(x) y C(x) es la espiral de Cornu, o clo toide.



Función trascendente Es una función que no satisface una ecua ción polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satis facen dicha ecuación. En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones al gebraicas de suma, resta, multiplicación,

La clotoide, también denominada radioi de de arcos o espiral de Cornú, es una curva tangente al eje de las abscisas en el origen y cuyo radio de curvatura disminu ye de manera inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el radio es infinito. La ecuación de esta cur va, viene dada por:

 s  C2 donde, "" es el radio de curvatura, "s" la longitud de un trozo de arco, y "C" la constante de la espira.

228

Reflexión

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Un hombre de estatura h=1,80 m está parado a d=1,2 m de un espejo plano grande. I) Hallar la altura de su imagen. a) 1,80 m II)

b) 1,82 m

c) 1,84 m

d) 1,86 m

e) 1,88 m

d) 2,30 m

e) 2,40 m

Hallar la distancia entre el hombre y su imagen. a) 2,00 m

b) 2,10 m

c) 2,20 m

02. ¿Cuál es la menor distancia focal que se requiere para que una mujer de estatura h=1,68 m pueda mirar en él su imagen completa? a) 80 cm

b) 82 cm

c) 84 cm

d) 86 cm

e) 88 cm

03. Un espejo plano se aleja de una persona inmóvil con una rapidez de v=30 km/h. ¿Con qué rapidez parece moverse la imagen de esa persona en dirección opuesta? a) 60 km/h

b) 62 km/h

c) 64 km/h

d) 66 km/h

e) 68 km/h

04. En la Fig01, el "lobo" se ubica a 2 m del espejo "1" y a 4 m del espejo "2" . Hallar la dis tancia entre las dos primeras imágenes. a) 10 cm 05. a) b) c) d) e)

b) 12 cm

c) 14 cm

d) 16 cm

e) 18 cm

Respecto de un espejo plano, indicar la proposición verdadera: La zona real está detrás del espejo y la virtual delante. La imagen siempre se forma en la zona virtual. Su radio de curvatura es infinito. Su distancia focal es cero. Más de una alternativa es cierta.

06. La altura de José es 1,7 m y sus ojos están a 10 cm de la parte superior de su cabeza. Ha llar el tamaño del espejo vertical, que debe utilizar José para que pueda verse completa mente. a) 70 cm

b) 75 cm

c) 80 cm

d) 85 cm

e) 90 cm

07. Un espejo plano gira un ángulo de 150. Hallar el ángulo de desviación del rayo reflejado respecto del rayo reflejado inicial. a) 100

b) 150

c) 200

d) 250

e) 300

08. ¿Con qué ángulo debe incidir un rayo luminoso, para que forme ángulos iguales con el es pejo y el rayo reflejado?

Física IV a) 300

b) 370

c) 450

229 d) 530

e) 600

09. En la Fig02, la patinadora de altura "H" se aleja del espejo plano en reposo muy grande, con rapidez de 3 m/s. Respecto a la imagen, indicar las proposiciones verdaderas (V) ó falsas (F). I) Tiene cada vez menor altura. II) Tiene altura "H" , en cualquier posición III) Se aleja del objeto a razón de 6 m/s. a) VFV

b FVF

c) FFV

1

e) VVF

ESPEJO

2

2m

d) FVV v

4m

Fig01

Fig02

10. En la Fig03, los espejos planos E1 y E2 forman entre si un ángulo de 450. Hallar el núme ro de imágenes que se forman. a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

11. Un pingüino se encuentra frente a dos espejos planos perpendiculares entre si ¿Cuántas i mágenes verá el pingüino? a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 9

12. La altura de José es 1,7 m y sus ojos están a 10 cm de la parte superior de su cabeza. ¿A qué altura sobre el piso debe ubicarse un espejo, tal que, José pueda ver su imagen com pleta? a) 70 cm

b) 75 cm

c) 80 cm

d) 85 cm

e) 90 cm

E1 450

 500 E2

Fig03

Fig04

HAZ

230

Reflexión

13. En la Fig04, dos espejos planos forman un ángulo de 500 entre sí. Hallar el ángulo "" que el rayo reflejado forma con el rayo incidente. a) 400

b) 600

c) 800

d) 1000

e) 1200

14. En la Fig05, hallar la altura mínima que debe tener el espejo plano en la pared vertical, para que Popi pueda ver a Pipo íntegramente, siendo H=1,8 m. a) 0,2 m

b) 0,4 m

c) 0,6 m

d) 0,8 m

e) 1,0 m

15. En la Fig06, hallar la altura mínima que debe tener el espejo plano en la pared vertical, para que Qiqo de estatura 1,5 m pueda ver el poste de luz de 6 m de altura íntegramente en el espejo. a) 0,5 m

b) 1,0 m

c) 1,5 m

d) 2,0 m

e) 2,5 m

POPI ESPEJO PIPO

ESPEJO

 R.SABRERA

H

2d d

d

d

Fig05

Fig06

16. Los astronautas del Apolo 11 colocaron un panel reflector muy alto sobre la superficie lu nar. La rapidez de la luz puede encontrarse al medir el tiempo que tarda un haz de láser en viajar desde la Tierra, reflejarse desde el retrorreflector y regresar a nuestro planeta. Si este periodo duró t=2,51 s. La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es D= 3,84108 m, y no ignore los tamaños de la Tierra y de la Luna. Hallar la rapidez media de la luz. (RT=6,37106 m, RL=1,74106 m) a) 291,5 Mm/s

b) 293,5 Mm/s

c) 295,5 Mm/s

d) 297,5 Mm/s e) 299,5 Mm/s

17. Como un resultado de sus observaciones, Poemer concluyó que los eclipses de Io y Júpi ter se retrasaron en 22 minutos durante un periodo de 6 meses cuando la Tierra se movía de un punto en su órbita donde estaba más cerca de Júpiter a un punto diametralmente o puesto donde estaba más lejos de dicho planeta. Empleando 1,50108 km como el radio promedio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, hallar la rapidez de la luz a partir de estos datos. a) 225 Mm/s

b) 226 Mm/s

c) 227 Mm/s

d) 228 Mm/s

e) 229 Mm/s

18. En un experimento para medir la rapidez de la luz usando el aparato de Fizeu, la distancia entre la fuente de luz y el espejo era de 11,45 km y la rueda tenía 720 muescas. El valor

Física IV

231 de "c" experimentalmente determinado fue de 2,99810 m/s. Hallar la rapidez angular mínima de la rueda para este experimento. 8

a) 110 rad/s

b) 111 rad/s

c) 112 rad/s

d) 113 rad/s

e) 114 rad/s

19. Un haz delgado de luz de sodio amarilla, de longitud de onda =589 nm en el vació, está incidiendo desde el aire a una superficie lisa de agua con un ángulo de 1=35,0o. I) Hallar el ángulo de refracción 2, si el índice de refracción del agua es n=1,33. a) 21,5o II)

b) 22,5o

c) 23,5o

d) 24,5o

e) 25,5o

Hallar la longitud de onda de la luz en el agua, el índice de refracción del agua es n=1,33. a) 441 nm

b) 443 nm

c) 445 nm

d) 447 nm

e) 449 nm

20. La longitud de onda de la luz roja de un láser de helio-neón en el aire es de =632,8 nm. I) Hallar la frecuencia de la luz roja de láser. (c=3,0108 m/s, T=1012, M=106, n=10-9) a) 454 THz II)

b) 464 THz

c) 474 THz

d) 484 THz

e) 494 THz

Hallar la longitud de onda en vidrio de índice de refracción de n=1,50. a) 402 nm

b) 412 nm

c) 422 nm

d) 432 nm

e) 442 nm

d) 230 Mm/s

e) 240 Mm/s

III) Hallar la rapidez de la luz roja de láser en el vidrio. a) 200 Mm/s

b) 210 Mm/s

c) 220 Mm/s

21. Un buzo ve al Sol bajo el agua en un ángulo aparente de =45º desde la vertical. Hallar la dirección real del Sol. a) 15,5º

b) 16,5º

c) 17,5º

d) 18,5º

e) 19,5º

22. Un haz de láser incide con un ángulo de =30,0o desde la vertical en una solución de jara be de maíz (n=1,52) en el agua (n=1,33). Si el haz se refracta a =19,24º desde la verti cal. (c=3,0108 m/s) I) Hallar el índice de refracción del jarabe de maíz. a) 1,36 II)

b) 1,40

c) 1,44

d) 1,48

e) 1,52

Suponga que la luz es roja de longitud de onda =632,8 nm. Hallar la longitud de onda " " de la luz. a) 417 nm

b) 437 nm

c) 457 nm

d) 477 nm

e) 497 nm

c) 474 THz

d) 484 THz

e) 494 THz

III) Hallar la frecuencia "f " de la luz. a) 454 THz

b) 464 THz

232

Reflexión

IV) Hallar la rapidez "v" de la luz. a) 158 Mm/s

b) 168 Mm/s

c) 178 Mm/s

d) 188 Mm/s

e) 198 Mm/s

23. Hallar la expresión E=(v2-v3)/(v2-v1), donde v1, v2 y v3 son las rapideces de la luz en el cristal, agua y circona cúbica, respectivamente. (c=3,0108 m/s, n1=1,66, n2=1,33, n3=2,20) a) 1,0

b) 1,5

c) 2,0

d) 2,5

e) 3,0

24. Un rayo luminoso inicialmente en el agua (n=1,33) ingresa a una sustancia transparente con un ángulo de incidencia =37,0o, y el rayo transmitido se refracta a un ángulo de =25,0o. Hallar la rapidez de la luz en la sustancia transparente. (c=3,0108 m/s) a) 119 Mm/s

b) 129 Mm/s

c) 139 Mm/s

d) 149 Mm/s

e) 159 Mm/s

25. Un rayo de luz incide sobre un bloque de vidrio plano (n=1,50) de s=2,00 cm de espesor con un ángulo de =30,0o con la normal. Trazar el haz luminoso a través del vidrio y ha llar los ángulos de refracción en las interfases aire-vidrio y vidrio-aire. a) 17,5º; 28,0o

b) 19,5º; 30,0o

c) 15,5º; 26,0o

d) 16,5º; 27,0o

e) 18,5º; 29,0o

26. Una luz de longitud de onda =436 nm en el aire ingresa a una pecera llena con agua, lue go sale a través de la pared de vidrio óptico del recipiente. I) Hallar la longitud de onda de la luz en el agua (n=1,33) a) 308 nm II)

b) 318 nm

c) 328 nm

d) 338 nm

e) 348 nm

d) 281 nm

e) 291 nm

Hallar la longitud de onda de la luz en el vidrio (n=1,50) a) 251 nm

b) 261 nm

c) 271 nm

27. Un tanque opaco cilíndrico con el extremo superior abierto de diámetro D=3,00 m está completamente lleno con agua. Cuando la puesta del Sol alcanza un ángulo de =28,0o a rriba del horizonte, la luz del Sol deja de iluminar cualquier parte del fondo del tanque. Hallar la profundidad del tanque. a) 3,19 m

b) 3,29 m

c) 3,39 m

d) 3,49 m

e) 3,59 m

28. En la Fig07, el ángulo entre los dos espejos es recto. El haz de luz en el plano vertical P incide sobre el espejo 1 como se indica. (=40,0o, d=1,25 m) I) Hallar la distancia que viaja el haz luminoso reflejado antes de llegar al espejo 2. a) 1,79 m II)

b) 1,84 m

c) 1,89 m

d) 1,94 m

e) 1,99 m

¿En qué dirección viaja el haz de luz después de reflejarse en el espejo 2? a) 30º

b) 35º

c) 40º

d) 45º

e) 50º

Física IV

233 29. En la Fig08, el rayo de luz incidente ingresa por la parte inferior del espejo del lado dere cho, formando un ángulo de =5,00o con la horizontal. Los espejos de alturas a=1,00 m están contenidos en planos paralelos verticales. I) Hallar el número de reflexiones en el espejo izquierdo. a) 4 II)

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

d) 7

e) 8

Hallar el número de reflexiones en el espejo derecho. a) 4

b) 5

c) 6

Espejo

Vidrio 2



Espejo

a P

d

Haz



Vidrio 2

a

Fig07

Fig08

30. En la Fig.09, cuando la luz mostrada pasa a través de un bloque de vidrio de índice de re fracción n=1,50, ésta es corrida lateralmente por una distancia "d" . Hallar el valor de d. (s=2,00 cm, =30,0o, c=3,0108 m/s) a) 3,56 mm

b) 3,66 mm

c) 3,76 mm

d) 3,86 mm

e) 3,96 mm

31. En la Fig09, hallar el tiempo necesario para que la luz atraviese el bloque de vidrio des crito en el problema anterior. (c=3,0108 m/s) a) 106 ps

b) 116 ps

Aire

c) 126 ps

d) 136 ps 



Aire 20o

s

e) 146 ps

Aceite linaza Agua

’

Aire

d

Fig09

Fig10

234

Reflexión

32. En la Fig10, el haz de luz mostrado forma un ángulo de =20,0o con la línea normal N N ' en aceite de linaza de índice de refracción n=1,48. Hallar los ángulos  y  ' . a) 34,4o; 21,4o

b) 34,4o; 25,4o d) 33,4o; 23,4o

c) 31,4o; 24,4o e) 30,4o; 22,4o

33. Dos pulsos de luz se emiten simultáneamente desde una fuente. Ambos pulsos viajan a un detector, pero uno pasa primero a través de 6,20 m de hielo. Hallar la diferencia en el tiempo de la llegada de los pulsos al detector. (c=3,0108 m/s) a) 6,19 ns

b) 6,29 ns

c) 6,39 ns

d) 6,49 ns

e) 6,59 ns

34. Cuando Ud. Mira por la ventana, ¿Qué tiempo se retarda la luz que Ud., ve al tener que a travesar vidrio en lugar de aire? Haga una estimación del orden de magnitud en las bases de los datos que Ud., especifique. ¿Por cuántas longitudes de onda se retrasan? a) 1,0105

b) 1,5105

c) 2,0105

d) 2,5105

e) 3,0105

35. La luz pasa del aire a un cristal de índice de refracción n=1,66, c=3,0108 m/s. I) ¿Qué ángulo de incidencia debe tener la luz si la componente de su velocidad perpendi cular a la interfase permanece constante? a) 55,9º II)

b) 56,9º

c) 57,9º

d) 58,9º

e) 59,9º

¿Puede la componente de la velocidad paralela a la interfase permanecer constante duran te la refracción?

36. En la Fig11, las superficies reflejantes de dos espejos planos se intersecan en un ángulo  (0o<<90º), como se muestra. Sin un rayo luminoso incide en el espejo horizontal, muestre que el rayo emergiendo cruzará el rayo incidente a un ángulo de =180º-2. 37. En la Fig12, hallar el ángulo máximo "" para el que los rayos de luz incidentes sobre el extremo del tubo mostrado están sujetos a reflexión interna total a lo largo de las paredes del tubo. Suponga que el tubo tiene un índice de refracción de n=1,36 y que el medio ex terior es aire. a) 65,2º

b) 66,2º

c) 67,2º

d) 68,2º 2,00m

 



Fig11

Fig12

e) 69,2º

Física IV

235 38. Un rayo de luz ingresa en la atmósfera de un planeta y desciende verticalmente 20,0 km a la superficie. El índice de refracción donde la luz ingresa a la atmósfera es de n=1,000, y aumenta linealmente a la superficie donde tiene un valor de n=1,005, c=3,0108 m/s I) ¿Qué tiempo le toma al rayo recorrer esta trayectoria? a) 60,8 s II)

b) 62,8 s

c) 64,8 s

d) 66,8 s

e) 68,8 s

Compare este con el tiempo que le toma en ausencia de atmósfera. a) 106,6 ns

b) 126,6 ns

c) 146,6 ns

d) 166,6 ns

e) 186,6 ns

39. La distancia de un foco de luz de un espejo plano grande es dos veces la distancia de una persona al espejo plano. La luz desde el foco llega a la persona por dos caminos. Llegan do al espejo con un ángulo de incidencia  y reflejándose del espejo a la persona. Tam bién, llega directamente a la persona sin reflejarse del espejo. La distancia total recorrida por la luz en el primer caso es dos veces la distancia recorrida por la luz en el segundo caso. Hallar el valor de . a) 21,3º

b) 22,3º

c) 23,3º

d) 24,3º

e) 25,3º

40. El ancho y la altura del parabrisas trasero de un auto, son: B=120 cm y H=45 cm. El con ductor va sentado a la distancia de d=2 m de dicho parabrisas. ¿Hallar el ancho b, y la al tura h que debe tener el espejo retrovisor plano, suspendido a la distancia do=0,5 m delan te del conductor, para que éste vea lo mejor posible lo que ocurre en la carretera detrás del auto? a) 6,0 cm; 18,0 cm b) 7,0 cm; 18,5 cm c) 8,0 cm; 19,0 cm d) 6,5 cm; 17,5 cm e) 7,5 cm; 20,0 cm 41. En la Fig13, tres rayos inciden con ángulos de 30o, 45o y 60o sobre la superficie de la se miesfera de vidrio de índice de refracción n= 2 . Hallar los rayos refractados y/o refle jados. N

AIRE

 R.SABRERA

530 AIRE

300 600

VIDRIO

450 

AGUA

Fig13

Fig14

42. En la Fig14, una lámina de vidrio de caras paralelas se encuentra sobre la superficie libre del agua contenida en un recipiente. Hallar el ángulo de refracción "" para un rayo lumi noso proveniente del aire que incide en la cara superior de la lámina con un ángulo

236

Reflexión 0

de 53 , e índice de refracción de nagua=4/3. a) 300

b) 370

c) 450

d) 530

e) 600

43. En la Fig15, para el sistema agua-aire mostrado, hallar la medida del ángulo límite L. a) 400

b) 420

c) 440

d) 460

e) 480

44. En la Fig16, se muestra una lámina de vidrio delgada de caras paralelas, en el aire. Pro bar, que el rayo luminoso incidente y el rayo refractado en el aire son paralelos. HAZ 

AIRE

AIRE

 

L

n

AGUA

Fig15

Fig16

45. En la Fig17 el rayo de luz incide con un ángulo de 450, y sigue la trayectoria mostrada so bre los trozos de vidrio, emergiendo verticalmente. Hallar el índice de refracción "n" . b) 1,3

a) 1,1

c) 1,5

d) 1,7

e) 1,9

46. En la Fig18 el sistema óptico mostrado, ¿Con qué ángulo "" mínimo, debe incidir el ra yo luminoso de luz, para que se refleje total mente sobre la cara AB? (n1=5/4, n2=5/3) a) 300

b) 370 N AIRE

c) 450

d) 530

450

N A

n

AIRE



1

n1

e) 600

2

B

i HAZ

Fig17

Fig18

47. Hallar el índice de refracción de un cristal cúbico, sabiendo que un rayo luminoso incide en una de las caras del cubo con un ángulo de incidencia igual a 450, y emerge coinci diendo con una de las caras del cubo. a) 1,1

b) 1,3

c) 1,5

d) 1,7

e) 1,9

Física IV

237 48. Un foco luminoso se encuentra en el centro de un pozo que contiene un líquido de índice de refracción n=5/4. Si se logra ver la emergencia de luz del foco,¿ A qué profundidad se encuentra el foco, si el diámetro del pozo es 16 m ? Dar como respuesta la altura máxima, tal que el pozo se encuentre totalmente iluminado. a) 1 m

b) 2m

c) 4 m

d) 6 m

e) 8 m

49. En la Fig19, el rayo luminoso incide con un ángulo de 530 respecto de la normal sobre la esfera de vidrio de índice de refracción n= 4/3. Hallar el ángulo "" que forma el rayo emergente respecto del incidente. a) 300

b) 320

c) 340

d) 360

e) 380

50. En la Fig20, sobre la mitad de la esfera de vidrio de radio r= 3,0 cm, e índice de refrac ción n=5/4, incide un haz de rayos paralelos Hallar el radio del círculo brillante que se for ma sobre la pantalla situada a la distancia d=13,0 cm del centro de la esfera. a) 4,0 cm

b) 5,0 cm

c) 5,0 cm

d) 5,5 cm

e) 6,0 cm

PANTALLA

HAZ AIRE n

0



n 

53

0

d

Fig19

Fig20

51. Una moneda está sumergida en el agua a una profundidad H=20 cm si miramos desde arriba y en dirección vertical, ¿A qué profundidad vemos la moneda? a) 13 cm

b) 15 cm

c) 17 cm

d) 19 cm

e) 21 cm

52. En la Fig21 en el sistema óptico mostrado, el plano inclinado es un espejo sumergido en agua, con un ángulo de 530. Hallar el ángulo que forman los rayos reflejados en el agua y en el espejo. a) 400

b) 420

c) 440

d) 460

e) 480

53. Probar que en un sistema de varias láminas transparentes de caras paralelas, el rayo lumi noso incidente y refractado al mismo medio son paralelos. 54. En la Fig22, el rayo luminoso incide sobre la lámina de índice de refracción n=4/3 y espe sor d= 5 /2. Hallar el desplazamiento "x" entre los rayos incidente y emergente, si el án gulo de incidencia en el aire es el doble del ángulo de refracción sobre el material de la lá

238

Reflexión mina. a) 1,10 m

b) 1,15 m

HAZ

c) 1,20 m

d) 1,25 m

e) 1,30 m

AIRE

530

n

300 

AGUA

d

ESPEJO

x

Fig21

Fig22

55. Un buceador se encuentra sumergido en el fondo de un lago. Si la distancia entre los ojos del buceador y la superficie libre del lago es H=1,5 m, hallar el radio "R" del círculo lu minoso que verá sobre él. El índice de refracción del lago es n=5/4. a) 1,0 m

b) 1,5 m

c) 2,0 m

d) 2,5 m

e) 3,0 m

56. En la Fig23, un rayo delgado de ondas de ultrasonido se reflejan desde un tumor de híga do. La rapidez de la onda es 10 % menos en el hígado que en el medio que lo rodea. Ha llar la profundidad del tumor. a) 5,9 cm

b) 6,1 cm

c) 6,3 cm

d) 6,5 cm

e) 6,7 cm

57. En la Fig24, dos espejos planos se intersecan en ángulos rectos. Un rayo láser incide en el espejo 1 en el punto P. ¿Para qué ángulo de incidencia  el rayo incidirá en el punto me dio del espejo 2, después de reflejarse en el espejo 1? (a=11,5 cm, b=28,0 cm) a) 35,4º

b) 36,4º

c) 37,4º

d) 38,4º

12cm

 50

o

e) 39,4º a

P 1

R.SABRERA

b Higado Tumor

2

Fig23

Fig24

58. Un haz de luz tiene una longitud de onda de =650 nm en el vació. (c=2,998108 m/s) I) Hallar la rapidez de esta luz en un líquido de índice de refracción n=1,47. a) 104 Mm/s

b) 204 Mm/s

c) 304 Mm/s

d) 404 Mm/s

e) 504 Mm/s

Física IV II)

239

Hallar la longitud de onda de la luz en el líquido. a) 402 nm

b) 422 nm

c) 442 nm

d) 462 nm

e) 482 nm

59. Luz de frecuencia de f=5,801014 Hz viaja en un bloque de vidrio de índice de refracción n=1,52. (c=3,0108 m/s) I) Hallar la longitud de onda de la luz en el vació. a) 517 nm II)

b) 537 nm

c) 557 nm

d) 577 nm

e) 597 nm

d) 360 nm

e) 380 nm

Hallar la longitud de onda de la luz en el vidrio. a) 300 nm

b) 320 nm

c) 340 nm

60. Un haz de luz viaja a v=1,94108 m/s en el cuarzo. La longitud de onda de la luz en el cuarzo es de =355 nm. (c=3,0108 m/s) I) Hallar el índice de refracción del cuarzo a esta longitud de onda. a) 1,38 II)

b) 1,42

c) 1,46

d) 1,50

e) 1,54

Si esta misma luz viaja a través del aire, ¿Cuál es su longitud de onda? a) 507 nm

b) 527 nm

c) 547 nm

d) 567 nm

e) 587 nm

61. Luz de cierta frecuencia tiene una longitud de onda de =438 nm en el agua (n=1,333). I) ¿Cuál es su longitud de onda en el benceno (n=1,501)? (c=3,0108 m/s) a) 319 nm II)

b) 339 nm

c) 359 nm

d) 379 nm

e) 399 nm

d) 564 nm

e) 584 nm

¿Cuál es la longitud de onda o en el vació? a) 504 nm

b) 524 nm

c) 544 nm

62. Un haz de luz paralelo en el aire forma un ángulo de 47,5º con la superficie de una placa de vidrio de índice de refracción de n=1,66. (c=3,0108 m/s) I) Hallar el ángulo entre la parte reflejada del haz y la superficie del vidrio. a) 20º II)

b) 22º

c) 24º

d) 26º

e) 28º

Hallar el ángulo entre el haz reflejado y la superficie del vidrio. a) 54º

b) 56º

c) 58º

d) 60º

e) 62º

63. Utilizando el láser de pulsos rápidos y circuitos electrónicos cronométrico, usted observa que la luz viaja l=2,50 m dentro de una varilla de plástico en t=11,5 ns. Hallar el índice de refracción "n" del plástico. (c=3,0108 m/s) a) 1,34

b) 1,38

c) 1,42

d) 1,46

e) 1,50

240

Reflexión

64. Luz que viaja en el aire incide sobre la superficie de un bloque de plástico con un ángulo de =62,7º con respecto a la normal y se desvía de manera que forma un ángulo de = 48,1º con la normal en el plástico. Hallar la rapidez de la luz en el plástico. (c=3108 m/s) a) 211 Mm/s

b) 231 Mm/s

c) 251 Mm/s

d) 271 Mm/s

e) 291 Mm/s

65. I) Un tanque que contiene metanol tiene paredes de espesor s=2,50 cm hechas de vidrio de índice de refracción n=1,55. Luz procedente del aire exterior incide en el vidrio con un ángulo de =41,3º con la normal al vidrio. (c=3,0108 m/s) I) Hallar el ángulo que forma la luz con la normal en el metanol. a) 25,8º II)

b) 26,8º

c) 27,8º

d) 28,8º

e) 29,8º

El tanque se vacía y se vuelve a llenar con un líquido desconocido. Si la luz incide al mis mo ángulo que en el inciso I) entra en el líquido del tanque a un ángulo de =20,2º con respecto a la normal. ¿Cuál es el índice de refracción del líquido desconocido? a) 1,71

b) 1,76

c) 1,81

d) 1,86

e) 1,91

66. I) A través de tres bloques paralelos de diferentes espesores e índices de refracción, pasa luz que incide en el primer bloque y finalmente se refracta en el tercero. Demostrar que el bloque de en medio no tiene efecto en la dirección final de la luz. Es decir, demostrar que la dirección de la luz en el tercer bloque es la misma que si la luz pasará directamente del primero al tercero. II) Generalice este resultado a una pila de "N" bloques. ¿Qué es lo que determina la direc ción final de la luz en el último bloque? 67. Una placa de vidrio horizontal de lados paralelos de índice de refracción n=1,52 está en contacto con la superficie del agua en un tanque. Un rayo de luz que llega desde arriba a través del aire forma un ángulo de incidencia de =35º con la normal a la superficie supe rior del vidrio. I) ¿Qué ángulo forma el rayo refractado en el agua con la normal a la superficie? a) 21,5º II)

b) 22,5º

c) 23,5º

d) 24,5º

e) 25,5º

¿Cómo depende este ángulo del índice de refracción del vidrio?

68. En cierto material con índice de refracción "n" , un rayo de luz tiene frecuencia "f " , lon gitud de onda " " y rapidez "v" . I) ¿Cuáles son la frecuencia, longitud de onda y rapidez de esta luz en el vació? II) ¿Cuáles son la frecuencia, longitud de onda y rapidez de esta luz en un medio de índice de refracción n ' ? 69. Demostrar que un rayo de luz reflejado desde un espejo plano gira un ángulo de "2" cuando el espejo gira un ángulo "" en torno a un eje perpendicular al plano de inciden cia.

Física IV

241 70. Una lámina de vidrio de espesor d=3 mm tiene unas rayitas en sus caras superior e infe rior. Hallar el índice de refracción del vidrio si al pasar el enfoque del microscopio de la rayita superior a la inferior hubo que bajar el tubo una distancia l=2 mm. Los ángulos de desviación, respecto del eje de microscopio, de los rayos que llegan al objetivo considé rense pequeños. a) 1,40

b) 1,45

c) 1,50

d) 1,55

e) 1,60

71. Un rayo de luz incide sobre una superficie plana que separa dos hojas de vidrio de índice de refracción n1=1,70 y n2=1,58. El ángulo de incidencia es =62,0o y el rayo se origina en el vidrio con n1. Hallar el ángulo de refracción. a) 71,8º

b) 72,8º

c) 73,8º

d) 74,8º

e) 75,8º

72. En la Fig25, el material "a" es agua (n1=1,33) y el material "b" es un vidrio (n2=1,52). Si el rayo incide con un ángulo de 1=60º respecto de la vertical. Hallar el ángulo 2 con respecto a la vertical que forma el rayo refractado en el vidrio. (=15º) a) 51,2º

b) 52,2º

c) 53,2º

d) 54,2º

e) 54,2º

73. En la Fig26, tres espejos planos se intersecan en ángulos rectos. Un haz de luz láser inci de en el primero de ellos con un ángulo "" con respecto a la normal. I) Demostrar que cuando este rayo se refleja en los otros dos espejos y cruza el rayo origi nal, el ángulo " " entre los dos rayos es: =180º-2. II) ¿Para qué ángulo "" los rayos son perpendiculares cuando se cruzan? a) 30º

b) 37º

c) 45º

d) 53º



1 a b

e) 60º





2

Fig25

Fig26

74. El vértice interior de un cubo está cubierto con espejos que forman un reflector de vérti ce. Un rayo de luz se refleja sucesivamente en cada uno de tres espejos perpendiculares entre sí, demuestre que su dirección final siempre es exactamente la opuesta de su direc ción inicial. 75. Un haz de luz se dirige paralelo a un tubo cilíndrico hueco. Cuando el tubo sólo contiene aire, la luz tarda t=8,72 ns recorrerlo en toda su longitud, pero cuando el tubo se llena de gelatina transparente el recorrido dura t=2,04 ns más. Hallar el índice de refracción de

242

Reflexión 8

la gelatina. (c=3,010 m/s) a) 1,18

b) 1,23

c) 1,28

d) 1,33

e) 1,38

76. Un haz de luz de longitud de onda =490 nm se propaga en aire de un láser a una fotocel da en t1=17,0 ns. Cuando se coloca un bloque de vidrio de espesor s=0,840 m ante el haz de luz, de manera que este incide a lo largo de la normal a las caras paralelas del bloque, la luz tarda t2=21,2 ns en viajar del láser a la fotocelda. Hallar la longitud de onda de la luz en el vidrio. (c=3,0108 m/s) a) 196 nm

b) 296 nm

c) 396 nm

d) 496 nm

e) 596 nm

77. En la Fig.27, un rayo de luz incide desde el aire sobre un bloque sólido transparente de ín dice de refracción n=1,38. Hallar el ángulo de incidencia más grande a para el que ocurri rá la reflexión interna total en la cara vertical (punto A) a) 45,4º

b) 46,4º

c) 47,4º

d) 48,4º

e) 49,4º

78. En la Fig.28, un rayo de luz en el aire incide en el prisma rectangular mostrado. Este rayo consiste en dos longitudes de onda diferentes. Cuando emerge por la cara AB, se ha divi dido en dos rayos diferentes que divergen entre sí =8,50º. Hallar el índice de refracción del material del prisma para cada una de las dos longitudes de onda 1 y 2. a) 1,14; 1,10

b) 1,10; 1,14

c) 1,18; 1,14

d) 1,14; 1,18

e) 1,12; 1,16

a

60o 12o A

Fig27

1 8,5o 2

Fig28

79. Una placa de vidrio de espesor s=2,50 mm, de índice de refracción n=1,40, se coloca en tre una fuente puntual de luz de longitud de onda =540 nm (en el vació) y una pantalla. La distancia de la fuente a la pantalla es d=1,80 cm. ¿Cuántas longitudes de onda hay en tre la fuente y la pantalla? a) 31,2103

b) 32,2103

c) 33,2103

d) 34,2103

e) 35,2103

80. En la Fig29, Pepín alumbra con una linterna, una llave que se encuentra en el fondo de la piscina. ¿A qué distancia "x" de la pared derecha de la piscina se encuentra la llave? a) 4,0 m

b) 4,1 m

c) 4,2 m

d) 4,3 m

e) 4,4 m

Física IV

243 81. En la Fig30, se observa sobre el borde de un vaso con lados verticales, de modo que el borde superior está alineado con el borde opuesto del fondo. El vaso es un cilindro hueco de paredes delgadas, de altura h=16,0 cm, y diámetro D=8,0 cm en sus partes superior e inferior. Mientras se mantiene la vista en la misma posición, un sujeto llena el vaso con un líquido transparente, y entonces se ve una moneda pequeña en el centro del fondo del vaso. Hallar el índice de refracción del líquido. a) 1,68

b) 1,76

c) 1,84

d) 1,92

e) 2,00

1,2m Pepin 1,5m

h

liquido

4,0m

 llave

x

R.SABRERA

Fig29

D

Fig30

82. Un vaso de precipitado con fondo de espejo se llena con un líquido de índice de refrac ción n=1,63. Un haz luminoso incide en la superficie del líquido con un ángulo de = 42,5º con respecto a la normal. ¿A qué ángulo con respecto a la normal saldrá el haz lu minoso del líquido después de bajar a través del líquido reflejarse en el fondo del espejo y regresar a la superficie? a) 41,5º

b) 42,5º

c) 43,5º

d) 44,5º

e) 45,5º

83. Una capa delgada de hielo (n=1,309) flota en la superficie del agua (n=1,333) que hay en una cubeta. Un rayo de luz que sale del fondo de esta viaja hacia arriba a través del agua. I) Hallar el ángulo máximo con respecto a la normal que el rayo puede formar en la interfa se hielo-agua sin dejar de salir el aire arriba del hielo. a) 45,6º II)

b) 46,6º

c) 47,6º

d) 48,6º

e) 49,6º

d) 48,6º

e) 49,6º

Hallar este ángulo una vez que el hielo se ha fundido. a) 45,6º

b) 46,6º

c) 47,6º

84. En la Fig31, un tanque cilíndrico horizontal de diámetro D=2,20 m está lleno de agua hasta la mitad. El espacio sobre el agua se encuentra lleno de un gas presurizado de índi ce de refracción desconocida. Un equipo emisor de luz láser pequeño se mueve a lo largo

244

I)

Reflexión del fondo curvado del agua y lanza un rayo hacia el centro de la superficie del agua. Se observa que cuando el láser recorre una distancia de s=1,09 m o más (medida a lo largo de la superficie curva) desde el punto más bajo del agua, la luz no pasa al gas. Hallar el índice de refracción del gas. a) 1,08

II)

b) 1,12

c) 1,16

d) 1,20

e) 1,24

Hallar el tiempo que tarda el has de luz en viajar del equipo emisor al borde del tanque cuando s>1,09 m. a) 9,58 ns

b) 9,68 ns

c) 9,78 ns

d) 9,88 ns

e) 9,98 ns

III) Hallar el tiempo que tarda el has de luz en viajar del equipo emisor al borde del tanque cuando s<1,09 m. a) 8,58 ns

b) 8,68 ns

c) 8,78 ns

d) 8,88 ns

e) 8,98 ns

85. En la Fig32, un cubo grande de vidrio tiene un reflector metálico en una de sus caras y a gua en una cara adyacente. Un haz de luz incide sobre el reflector, como se muestra en la Figura. Se observa que conforme se incrementa en forma gradual el ángulo del haz de luz si 59,2º no ingresa luz al agua. Hallar la rapidez de la luz en este vidrio. a) 175 Mm/s

b) 181 Mm/s

c) 187 Mm/s

d) 193 Mm/s

Vidrio

Gas

Láser  s

Agua 

Fig31

e) 199 Mm/s

Agua

 Reflector

Fig32

86. En la Fig33, cuando el Sol sale o se oculta y parece estar justo sobre el horizonte, en rea lidad está debajo de éste. La explicación de esta aparente paradoja es que la luz se desvía un poco cuando ingresa a la atmósfera terrestre. Como nuestra percepción se basa en la i dea de que la luz viaja en líneas rectas, la percibimos como si viniera de una posición a parente que forma un ángulo  sobre la posición verdadera del Sol. I) Para simplificar, suponga que la atmósfera tiene densidad uniforme y, por lo tanto, índice de refracción uniforme n, y se extiende a una altura h por encima de la superficie de la Tierra, punto en el cual se desvanece de manera abrupta. Demostrar que el ángulo  está dada por: =sen-1[nR/(r+h)]-sen-1[R/(R+h)], donde R=6378 km es el radio de la Tierra. II) ¿Cómo se compara esto con el radio angular del Sol, que es de aproximadamente un cuar to de grado? (En realidad, los rayos de luz provenientes del Sol se desvían de manera gra

Física IV

245 dual, no abrupta, ya que la densidad y el índice de refracción de la atmósfera cambian po co a poco con la altitud, n=1,0003 para el vació) a) 0,13º

b) 0,23º

c) 0,33º

d) 0,43º

e) 0,53º

87. En la Fig34, Un rayo de luz que viaja con rapidez "c" sale del punto 1 y se refleja al pun to 2. El rayo incide en la superficie reflectante a una distancia horizontal "x" del punto 1. I) Demostrar que el tiempo "t" que se requiere para que la luz viaje de 1 a 2, viene dado por: t=[( y12 +x2)1/2+( y 22 +(l-x)2)1/2]/c. II) Calcular la derivada de "t" con respecto a "x" , e iguálela a cero para demostrar que el tiempo alcanza su valor mínimo cuando 1=2, que es la ley de la reflexión y corresponde a la trayectoria real que sigue la luz. Este es un ejemplo del principio de Fermat del tiem po mínimo. Posición aparente del Sol

h

 R

x 1

2

y1 1 2

R+h

y2

Atmosfera Tierra

Fig33

l

Fig34

88. En la Fig35, un rayo de luz va del punto A, en un medio en el que la rapidez de la luz es "v1 " al punto B en el que la rapidez es "v2 " . El rayo incide en la interfaz a una distancia horizontal "x" a la derecha del punto A. I) Demostrar que el tiempo requerido para que la luz vaya de A a B, viene dado por la expre sión: t = ( h12 +x2)1/2/v1+( h 22 +(l-x2)1/2/v2 II) Calcular la derivada de "t" con respecto a "x" e iguálela a cero para demostrar que este tiempo alcanza su valor mínimo cuando n1sen1=n2sen2. Esta es la ley de Snell y corres ponde a la trayectoria real que toma la luz. Este es otro ejemplo del principio de Fermat del tiempo mínimo. 89. En la Fig36, sobre la superficie de una placa transparente incide luz que viaja por el aire con un ángulo a, las superficies de las placas son planas y paralelas entre sí. I) Demostrar que a= 'a . II) Demostrar que esto se cumple para cualquier número de diferentes placas paralelas. III) Probar que el desplazamiento lateral "d" del haz que sale está dado por la relación sigui ente: d=sen(a- 'b ).t/cos 'b donde "t" es el espesor de la placa. IV) Un rayo de luz incide con ángulo de 66,0o sobre la superficie de una placa de vidrio de es

246

Reflexión pesor s=2,40 cm e índice de refracción n=1,80. El medio a cualquiera de sus lados es ai re. Hallar el desplazamiento entre los rayos incidente y emergente. a) 1,60 cm

b) 1,62 cm

A h1

c) 1,64 cm

d) 1,66 cm

x

e) 1,68 cm

a n

1

v1

t

v2

2

n’

’b

Q b

h2 B

P

n

l

Fig35

’a

d

Fig36

90. Un palo quebrado por su mitad se halla sumergido en una piscina de modo que un obser vador que se encuentra en el borde y que mira a lo largo de la parte del palo que emerge del agua (n=4/3), le parece que éste es recto y que forma el ángulo =60º con la horizon tal. ¿Qué ángulo forman las dos partes del palo? a) 5º

b) 6º

c) 7º

d) 8º

e) 9º

91. En el fondo de un recipiente lleno de agua (n=4/3) hay un espejo plano. Un individuo se inclina sobre el recipiente y observa la imagen de su ojo en el espejo a la distancia de vi sión óptima d=25 cm, siendo la distancia desde el ojo hasta la superficie del agua h=5 cm Hallar la profundidad del recipiente. a) 8 cm

b) 10 cm

c) 12 cm

d) 14 cm

e) 16 cm

92. En la Fig37, la luz que viaja hacia abajo incide sobre una película horizontal de espesor "t" . El rayo incidente se divide en dos rayos, A y B. El rayo A se refleja en la parte supe rior de la película, y el rayo B se refleja en el fondo de la película para luego refractarse de regreso en el material que está encima de la película. Si la película tiene caras parale las, demostrar que los rayos A y B terminan paralelos uno con respecto al otro. 93. En la Fig38, se dirige un haz delgado de luz blanca hacia una placa de vidrio a un ángulo de 20,0o con respecto a la superficie de la lámina. Debido a la dispersión del vidrio, el haz se extiende como se muestra en la Figura. I) Los rayos a y b que se muestran corresponden a los extremos del espectro visible, ¿Cuál corresponde al rojo y cuál al violeta? II) ¿Para qué espesor "d" de la lámina de vidrio el espectro tendrá 1,0 mm de ancho, como se muestra? a) 85 mm

b) 87 mm

c) 89 mm

d) 91 mm

e) 93 mm

Física IV A

R.i

B

20o

n1 t

n2

247 cristal

vació

vació b

Película a

d

n3

1mm

Fig37

Fig38

94. Según una historia, Arquímedes incendio las naves romanas que sitiaban Siracusa al enfo car la luz del Sol con espejos en los barcos. En el caso de que Arquímedes hubiera utili zado espejos planos. ¿Cuántos espejos planos deben reflejar simultáneamente la luz solar en un trozo de tela para incendiarlo? El flujo de energía de la luz del Sol en la superficie terrestre es de 0,10 W/cm2. Supóngase que los espejos reflejan la luz solar sin pérdida de energía. a) 38

b) 39 espejos

c) 40

d) 41

e) 42

95. Si una persona desea fotografiarse a si misma en un espejo plano, ¿A qué distancia debe fijar el foco de la cámara si la persona y ésta se encuentran a 1,2 m del espejo? a) 2,1 m

b) 2,2 m

c) 2,3 m

d) 2,4 m

e) 2,5 m

96. Un espejo cuadrado vertical, orientado hacia el Sol, arroja una mancha rectangular de luz solar sobre el piso de enfrente. Los lados del espejo miden a=0,50, y su parte inferior está en el piso. Si el Sol se encuentra a =50º por encima de la horizontal. Hallar el tamaño de la mancha de luz sobre el piso. a) 0,21 m2

b) 0,22 m2

c) 0,23 m2

d) 0,24 m2

e) 0,25 m2

97. ¿Cuáles son el largo y el ancho mínimos de un espejo que cuelga de una pared de modo que una persona pueda verse de cuerpo entero al estar de pie frente a él? Si se supone que la persona mide h=1,80 m de estatura, ancho a=0,50 m y que la distancia entre sus ojos es de s=0,06 m. a) 90 cm; 31 cm

b) 92 cm; 32 cm d) 96 cm; 34 cm

c) 94 cm; 33 cm e) 98 cm; 35 cm

98. ¿Cuál es la rapidez de la luz en el cristal crown (n=1,52), en cristal ligero (n=1,58), y en cristal de roca denso (n=1,66)? (c=3,00108 m/s) 99. Un láser de helio-neón que produce la luz roja que suele usarse en demostraciones, tiene una longitud de onda de =633 nm en el aire. (c=3,00108 m/s, M=106, T=1012, n=10-9)

248 I)

Reflexión ¿Cuál es la frecuencia de la luz en el aire? a) 470 THz

II)

b) 472 THz

c) 474 THz

d) 476 THz

e) 478 THz

¿Cuál es la longitud de onda de esa luz en el cristal crown? a) 410 nm

b) 412 nm

c) 414 nm

d) 416 nm

e) 418 nm

c) 474 THz

d) 476 THz

e) 478 THz

d) 197 Mm/s

e) 199 Mm/s

III) ¿Cuál es la frecuencia en el cristal? a) 470 THz

b) 472 THz

IV) ¿Cuál es al rapidez de la luz en el cristal? a) 191 Mm/s

b) 193 Mm/s

c) 195 Mm/s

100. Un líquido se vierte en una cubeta en forma de prisma isósceles con ángulo en el vértice " " . El prisma se ilumina con un haz de luz paralelo, de modo que los rayos dentro del lí quido se propagan paralelamente a la base. El ángulo de desviación del haz emergente, respecto de la dirección inicial de propagación es "" . Hallar el índice de refracción del líquido. (=60º, =, c=3,0108 m/s2) a) 1,61

b) 1,65

c) 1,68

d) 1,73

e) 1,77

101. En la Fig39, sobre una lámina plano paralela de vidrio incide , bajo un ángulo , un haz luminoso de ancho "a" , que consta de dos componentes espectrales de longitudes de onda "1 " , " 2 " , y los índices de refracción del vidrio para estas longitudes de onda son "n1 " , "n 2 " , respectivamente. Hallar el espesor mínimo "d" de la lámina para el cual la luz, después de pasar por ella, se propaga en forma de haces independientes constituidos cada uno por una sola componente espectral. a) a 1 2 

d

nv



n

R.SABRERA

r

R

Fig39

Fig40

102. En la Fig.40, un tubo capilar de vidrio se ha llenado de un líquido de índice de refracción "n" menor que el índice de refracción del vidrio "n v " . ¿Para qué relación entre los radios interior "r" y exterior "R" del capilar cualquier rayo que incida sobre la superficie exte rior del tubo penetrará parcialmente el líquido?

Física IV

249 103. La rapidez de la luz en el diamante es de v=1,2410 m/s. ¿Cuál es el índice de refracción del diamante? 8

a) 2,22

b) 2,27

c) 2,32

d) 2,37

e) 2,42

104. ¿Por qué factor cambia la rapidez de la luz cuando pasa de aceite de castor al alcohol etí lico? a) 1,04

b) 1,09

c) 1,14

d) 1,19

e) 1,24

105. Un rayo de luz se aproxima a la superficie de un estanque de agua (n=1,33) en reposo a un ángulo de incidencia de =40º. Hallar el ángulo de refracción. a) 25o

b) 26o

c) 27o

d) 28o

e) 29o

106. La rapidez del sonido en el aire es de vS=340 m/s, y en el agua va=1500 m/s. Si una onda sonora en el aire se aproxima a una superficie de agua a un ángulo de incidencia de = 10º. Hallar el ángulo de refracción. a) 30o

b) 35o

c) 40o

d) 45o

e) 50o

107. Se debe elaborar una gráfica de ángulo de incidencia contra ángulo de refracción para ra yos de luz incidentes sobre una superficie de agua. ¿Cuál es el ángulo de refracción má ximo? a) 41o

b) 43o

c) 45o

d) 47o

e) 49o

108. Un navegante en un barco observa la posición del Sol con su sextante y mide que el Sol está a 39,000o de la vertical. Tomando en cuenta la refracción de la luz solar en el aire, ¿Cuál es la verdadera posición angular del Sol? Asumir que la Tierra es plana y que la at mósfera es una placa plana transparente de densidad uniforme con índice de refracción de n=1,0003. a) 30,010º

b) 30,014º

c) 30,018º

d) 30,022º

e) 30,026o

109. En la Fig41, un pez está en una piscina a la profundidad de H=2,0 m. Hallar la profundi dad aparente a la que se encuentra el pez, cuando se observa desde fuera del agua (n= 1,33), directamente por encima del pez. a) 1,2 m

b) 1,3 m

c) 1,4 m

d) 1,5 m

e) 1,6 m

110. En la Fig42, una moneda está incrustada en un sujetador de plástico de índice de refrac ción n=1,58. Si la moneda está en el centro de un bloque de plástico de espesor s=10 cm. Hallar la profundidad aparente cuando se observa directamente. a) 3,0 cm

b) 3,2 cm

c) 3,4 cm

d) 3,6 cm

e) 3,8 cm

111. Una luz blanca incide sobre un material desconocido a un ángulo de 30,0o. Si la longitud

250

Reflexión de onda azul se refracta un ángulo de 19,9º y la longitud de onda roja a un ángulo de 20,2º. ¿De qué tipo de material se trata? a) alcohol etílico b) cristal crown

c) aceite de castor d) cuarzo fundido e) agua

Aire

Aire

H

Plástico

s

Agua

Fig41

Fig42

112. En una pecera (n=1,62) llena de agua (n=1,33), un rayo de luz incide en su superficie inte rior a un ángulo de =30,0o. Luego se propaga a través del vidrio y emerge al aire. ¿Con qué ángulo con respecto a la perpendicular emerge el rayo de la pecera? a) 41,7º

b) 42,7º

c) 43,7º

d) 44,7º

e) 45,7º

113. Una luz de de longitud de onda =550 nm en el aire choca contra una superficie de un material claro. La luz incide a =45º con respecto a la normal; el rayo se refracta en el ma terial a =28º con respecto a la normal. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz en el mate rial? a) 305 nm

b) 325 nm

c) 345 nm

d) 365 nm

e) 385 nm

114. Los expertos en rayos láser son capaces ahora de reproducir pulsos de luz en aire tan cor tos como de t=10-15 s=1 fs. Estos pulsos se hacen de distintos colores de luz. Supóngase que uno de estos pulsos incide normalmente sobre una placa de cristal crown de espesor s=1,00 mm. La dispersión en el vidrio puede provocar una dispersión apreciable de un pulso corto. El índice de refracción de la luz azul es na=1,530 y el de la luz roja es de nr= 1,510. ¿Qué tanto más rápido llega la parte roja del pulso al otro lado del vidrio en com paración con la parte azul? (f=10-15, c=3,00108 m/s) a) 36,7 fs

b) 46,7 fs

c) 56,7 fs

d) 66,7 fs

e) 76,7 fs

115. Si el índice de refracción del diamante es n=2,42, ¿Cuál es el ángulo crítico para refle xión interna total? (Este ángulo relativamente pequeño facilita la reflexión interna total, haciendo más brillante el diamante)

Física IV a) 21,4º

b) 22,4º

c) 23,4º

251 d) 24,4º

e) 25,4º

116. Una fibra óptica está hecha de un hilo delgado de fibra de vidrio de índice de refracción n=1,50. Si un rayo de luz debe quedar atrapado al interior de esta fibra, ¿Cuál es el mayor ángulo que puede formar con la superficie de la fibra? a) 41,8º

b) 42,8º

c) 43,8º

d) 44,8º

e) 45,8º

117. I) Un medio transparente de índice de refracción "n1 " se adjunta a un medio transparen te de índice de refracción "n 2 " . Suponiendo que n1>n2 demostrar que el ángulo crítico pa ra reflexión interna total de un rayo que intenta emerger del primer medio, viene dado por sen crit=n2/n1. II) Una capa de keroseno (n2=1,20) flota sobre una superficie de agua. En este caso, ¿Cuál es el ángulo crítico para reflexión interna total de un rayo que intenta salir del agua? a) 60,5º

b) 61,5º

c) 62,5º

d) 63,5º

e) 64,5º

118. Para determinar el índice de refracción de un líquido, una experimentadora envía un rayo de luz a través del líquido desde abajo y mide el ángulo crítico para reflexión interna total en la superficie superior. Encuentra que el ángulo es de 56º. ¿Cuál es el índice de refrac ción? a) 1,1

b) 1,2

c) 1,3

d) 1,4

e) 1,5

119. I) ¿Cuál es el ángulo crítico para que un rayo de luz se refleje internamente dentro de una placa de vidrio crown (n=1,52)? a) 41,1º II)

b) 42,1º

c) 43,1º

d) 44,1º

e) 45,1º

d) 64º

e) 65º

¿Y si la placa está sumergida en agua (n=1,33)? a) 61º

b) 62º

c) 63º

120. En el fondo de un recipiente lleno de agua hasta la altura "h" se encuentra una fuente pun tual de luz S. Sobre la superficie del agua flota un disco redondo, de modo que el centro del disco se halla sobre la fuente de luz. ¿Qué radio mínimo debe tener el disco para que ni un solo rayo de luz salga a través de la superficie del agua de índice de refracción "n" ? a) Rh/ n 2  1

b) Rh/ n 2  1

c) Rh/ n 2  1

d) Rh/ n 2  1

e) Rh/n

121. Un recipiente rectangular de vidrio está lleno de un líquido e iluminado desde abajo por u na lámpara, situada debajo del recipiente cerca de su fondo. ¿Qué índice de refracción mí nimo debe tener el líquido para que sea imposible ver la lámpara a través de las paredes la terales? a) 1,23

b) 1,29

c) 1,35

d) 1,41

e) 1,47

252

Reflexión

122. I) A partir de la fórmula de la ley de refracción, considérese la reflexión interna total en un interfaz con un material que no sea aire. Si se hace un tubo liviano recubriendo un ci lindro de vidrio corona con cristal de roca ligero, ¿Cuál es el ángulo crítico para que den tro del vidrio corona haya completamente reflexión interna total? (Este tipo de recubrimi ento evita problemas de ralladuras en la superficie exterior). a) 35,3º II)

b) 36,3º

c) 37,3º

d) 38,3º

e) 39,3º

¿Hay ángulos para los cuáles la luz en el vidrio corona se refracte hacia el cristal de roca y aún así se refleje internamente por completo en el cristal de roca? a) 41,1º

b) 42,1º

c) 43,1º

d) 44,1º

e) 45,1º

123. Un espejismo es originado por una delgada capa de aire caliente por arriba del suelo, y su aparición se debe a la reflexión interna total. Cuando un observador mira desde lejos, ve una superficie reflejante sobre el suelo (cuya apariencia es como una superficie de agua), proveniente de rayos con un ángulo de reflexión de 89,4º o más. Si el aire más frió tiene un índice de refracción n=1,00026, ¿Cuál es el índice de refracción de la delgada capa de aire caliente? a) 1,00011

b) 1,00021

c) 1,00031

d) 1,00041

e) 1,00051

124. Cuando luz no polarizada incide sobre el zafiro a un ángulo de 60,5º, la luz reflejada está polarizada completamente. Hallar el índice de refracción del zafiro. a) 1,57

b) 1,62

c) 1,67

d) 1,72

e) 1,77

125. ¿Para qué ángulo por encima del horizonte está el Sol cuando su luz, reflejada en una pis cina en calma, está polarizada linealmente? a) 35,9º

b) 36,9º

c) 37,9º

d) 38,9º

e) 39,9º

126. El ángulo crítico para la reflexión interna total en la circonia cúbica (en el aire) es 27,0o. ¿Cuál es el ángulo de polarización para reflexión desde la circonia cúbica? a) 65,6º

b) 66,6º

c) 67,6º

d) 68,6º

e) 69,6º

127. Un rayo de luz choca contra una placa de vidrio de ventana de índice de refracción n= 1,5, y de espesor s=2,00 mm, con un ángulo de incidencia de =50º. ¿Cuál es el desplaza miento transversal entre el rayo transmitido y la extrapolación del rayo incidente? a) 0,57 mm

b) 0,67 mm

c) 0,77 mm

d) 0,87 mm

e) 0,97 mm

128. En la Fig43, una fuente puntual de luz está situada arriba de una gruesa placa de vidrio de índice de refracción "n" . La distancia de la fuente a la superficie superior de la placa es " " , y el espesor de ésta es "d" . Un rayo de luz proveniente de la fuente puede experi mentar una reflexión simple en la superficie superior, una reflexión en la superior inferior o varias reflexiones alternadas en ambas superficie. Así, cada rayo se separa en varios ra

Física IV

253 yos, originando varias imágenes. En términos de " " y "d" , ¿Cómo puede encontrarse la distancia a las imágenes primera, segunda y tercera debajo de la superficie superior de la placa? Si el ángulo de incidencia del rayo es pequeño. 129. En la Fig44, una luz polarizada en el plano de incidencia choca contra el agua desde el ai re. No hay rayo reflejado. Hallar el ángulo de incidencia. a) 51,1º

b) 52,1º

c) 53,1º

d) 54,1º

e) 55,1º

* l



E a

d

* *



Agua

R.SABRERA

* Fig43

Fig44

130. Un observador mira un pez que se encuentra en el punto diametralmente opuesto a él en un acuario esférico de radio "R" . Lleno con agua de índice de refracción "n" . Hallar el desplazamiento de la imagen del pez mismo. a) R/2

b) R/4

c) 2R/3

d) R

e) 3R/4

131. Debido a la refracción en una placa de vidrio, un objeto visto a través de una ventana nor mal parece estar más cerca de lo que está realmente. I) Considérense los rayos que chocan contra el vidrio a un ángulo de incidencia pequeño (ca si normal). Demostrar que si un objeto está a una distancia " " de una ventana, la imagen está a una distancia que es más corta que por una cantidad, l= (1-1/n)s donde "n" es el índice de refracción y "s" es el grosor del vidrio. II) ¿Qué cambio en distancia produce esta fórmula si la placa es de vidrio normal con s=2,0 mm y n=1,50? a) 0,43 mm

b) 0,49 mm

c) 0,55 mm

d) 0,61 mm

e) 0,67 mm

III) ¿Qué cambio en distancia produce esta fórmula si la placa es de vidrio grueso con s=8,0 mm y n=1,50? a) 2,43 mm

b) 2,49 mm

c) 2,55 mm

d) 2,61 mm

e) 2,67 mm

254

Reflexión

132. En la Fig45, dos espejos planos de igual ancho L=5 cm, colocados formando un ángulo =12º entre ellos, constituyen un guía de luz. La distancia entre los bordes de la derecha de los espejos es d=2 cm. Los bordes izquierdos se apoyan sobre la superficie cilíndrica sensible a la luz de un fotorreceptor. ¿Bajo qué ángulo máximo máx con el eje del guía de luz puede incidir un rayo luminoso para llegar al fotorreceptor? a) 30º

b) 32º

c) 34º

d) 36º

e) 38º

133. En la Fig46, hay dos semiesferas concéntricas de vidrio de distintos índices de refrac ción. Construir la trayectoria del rayo AB, si la relación entre los radios es igual a la rela ción entre los índices de refracción. A

L

B 0

 d

Fig45

Fig46

134. Una capa de aceite, de índice e refracción n ' , flota en la superficie del agua. Un rayo de luz que viene de abajo intenta pasar del agua al aceite y de ahí al aire que está más arriba. ¿Cuál es el máximo ángulo de incidencia del rayo en la superficie agua-aceite que permi te el último escape de rayo hacia el aire? La respuesta ¿depende de n ' ? a) 45,8º

b) 46,8º

c) 47,8º

d) 48,8º

e) 49,8º

135. Una gaviota está en la superficie (tranquila) del mar. Un tiburón nada hacia la gaviota a profundidad constante de 5,0 m. ¿Cuán cerca puede llegar el tiburón (distancia medida horizontalmente) antes de que la gaviota pueda verlo? a) 5,1 m

b) 5,3 m

c) 5,5 m

d) 5,7 m

e) 5,9 m

136. En la Fig47, dos espejos planos están dispuestos a un ángulo de =145º entre sí. Un rayo de luz incide en uno de los espejos a un ángulo de incidencia de =60º, se refleja y luego choca contra el otro espejo. Hallar el ángulo de reflexión en el segundo espejo. a) 81º

b) 82º

c) 83º

d) 84º

e) 85º

137. En la Fig48, se quiere conocer la profundidad de una piscina llena de agua (n=1,33), mi diendo el ancho x=5,50 m, y luego observando que el borde inferior de la piscina apenas es visible a un ángulo de =13º sobre la horizontal. Hallar la profundidad de la piscina.

Física IV a) 4,5 m

b) 4,7 m

255

c) 4,9 m

d) 5,1 m

e) 5,3 m

13o

h 

Agua



5,5m

Fig47

Fig48

138. Un rayo de luz choca contra una placa de vidrio de una ventana de índice de refracción n=1,5 a un ángulo de incidencia de =50º. I) Hallar el ángulo de refracción. a) 31º II)

b) 33º

c) 35º

d) 37º

e) 39º

¿A qué ángulo emerge el rayo de luz del otro lado de la ventana de vidrio? a) 46º

b) 48º

c) 50º

d) 52º

e) 54º

139. La esquina inferior de una piscina está a h=2,0 m bajo la superficie del agua (n=1,33). Si un rayo de luz se propaga hacia arriba desde esta esquina y llega a la superficie del agua a un ángulo de =40º con la vertical. I) ¿Cuál es el ángulo que forma el rayo con la vertical cuando sale del agua? a) 51º II)

b) 53º

c) 55º

d) 57º

e) 59º

Si un intercepta este rayo, ¿A qué profundidad parece estar la esquina de la piscina? a) 82 cm

b) 92 cm

c) 102 cm

d) 112 cm

e) 122 cm

140. Los rayos solares, pasando a través de un pequeño orificio entre el follaje de la cima de un árbol alto, proyectan en la Tierra una sombra en forma de elipse. Los ejes mayor y me nor de la elipse son, a=12 cm y b=10 cm, respectivamente. Las dimensiones angulares del disco solar =1/108 rad. Hallar la altura "H" del árbol. a) 7,0 m

b) 7,5 m

c) 8,0 m

d) 8,5 m

e) 9,0 m

141. La mitad inferior de un vaso de precipitado de profundidad h=20,0 cm contiene agua (n=1,33), y la mitad superior contiene aceite (n=1,48). Si este vaso de precipitado se ob serva desde arriba, ¿A qué distancia por debajo de la superficie superior del aceite parece estar el fondo del vaso?

256

Reflexión a) 7,1 cm

b) 7,3 cm

c) 7,5 cm

d) 7,7 cm

e) 7,9 cm

142. Las paredes de un acuario lleno con agua (n=1,33) son de vidrio de índice de refracción n=1,5. Si un rayo choca contra el vidrio desde el interior con un ángulo de incidencia de =45º, ¿Cuál es el ángulo al que sale a la superficie? a) 64º

b) 66º

c) 68º

d) 70º

e) 72º

143. La profundidad de una piscina es de H=2,0 m. Para iluminarla de noche, se instala en el fondo una lámpara eléctrica a prueba de agua (n=1,33). Cuando se mira hacia debajo de la piscina, se observa que esta luz produce un círculo iluminado en la superficie, aunque el resto de la superficie permanece oscura, ¿Cuál es el radio de este círculo iluminado? a) 2,1 m

b) 2,3 m

c) 2,5 m

d) 2,7 m

e) 2,9 m

144. Un espejo plano se coloca paralelamente a una pared, a una distancia " " de ésta. La luz provocada por una fuente puntual, sujetada en la pared, cae sobre el espejo y, refleján dose, forma en la pared una imagen. ¿Con qué rapidez se moverá la imagen por la pared, si aproximamos el espejo a ésta con rapidez "v" . a) v/2

b) v/3

c) v/4

d) v

e) 0

145. Un espejo plano gira con una rapidez angular constante. El número de rotaciones por se gundo es n=0,5. ¿Con qué rapidez se desplazará una imagen por una pantalla esférica de radio R=10 m, si el espejo se encuentra en el centro de curvatura de la pantalla? a) 61,8 m/s

b) 62,8 m/s

c) 63,8 m/s

d) 64,8 m/s

e) 65,8 m/s

146. Una placa gruesa está hecha de un material transparente, cuyo índice de refracción cam bia en la cara superior donde es n1 hasta n2 en la cara inferior. El rayo ingresa en la placa bajo un ángulo . ¿Bajo qué ángulo el rayo saldrá de la placa? a) /2

b) /2

c) /4

d) 

e) 2

147. Para luz de longitud de onda =589 nm, hallar el ángulo crítico para los siguientes mate riales rodeados de aire. (n=10-9) I) Diamante de índice de refracción n=2,419 a) 20,4º II)

b) 21,4º

c) 22,4º

d) 23,4º

e) 24,4º

d) 38,0o

e) 39,0o

d) 48,8º

e) 49,8º

Cristal de índice de refracción n=1,660 a) 35,0o

b) 36,0o

c) 37,0o

III) Hielo de índice de refracción n=1,309 a) 45,8º

b) 46,8º

c) 47,8º

Física IV

257 148. Un chofer de camión cuyos ojos están a h=2,00 m por encima de la carretera caliente, mi ra hacia delante. El índice de refracción del aire frió es nf=1,0003. El chofer percibe un charco de agua adelante sobre la carretera, donde su línea de visión forma un ángulo de =1,20º bajo la horizontal. Hallar el índice de refracción del aire caliente sobre la superfi cie de la carretera. a) 1,00008

b) 1,00012

c) 1,00016

d) 1,00020

e) 1,00024

149. Una fibra de vidrio de índice de refracción n=1,50 está sumergida en agua de índice de re fracción n=1,33. Hallar el ángulo crítico para que la luz permanezca al interior de la fibra óptica. a) 60,4º

b) 61,4º

c) 62,4º

d) 63,4º

e) 65,4º

150. Un gran cubo de lucita (n=1,59) tiene una pequeña burbuja de aire (un defecto en el pro ceso de fundido) debajo de una superficie. Cuando una pequeña moneda (de diámetro D= 1,90 cm, se coloca directamente sobre la burbuja en el exterior del cubo, la burbuja no puede verse mirando hacia dentro del cubo a ningún ángulo. Si embargo, cuando una mo neda un poco menor de diámetro D' =1,75 cm, se pone directamente sobre la burbuja, és ta puede verse mirando hacia abajo dentro del cubo. ¿Cuál es el intervalo de posibles pro fundidades de la burbuja de aire debajo de la superficie? a) 1,02 cm
b) 11,7º

c) 12,7º

d) 13,7º

e) 14,7º

¿En qué medio debe viajar el sonido para experimentar reflexión interna total? a) agua

b) concreto

c) aceite

d) vidrio

e) aire

III) Una pared de concreto es un espejo muy eficiente para el sonido. Dé evidencias a favor o en contra de este enunciado. 152. La línea de costa de un lago corre de este a oeste. Un nadador está en problemas a 20,0 m de la costa y a 26,0 m del salvavidas, cuya estación está a 16,0 m hacia dentro de la línea de costa. El salvavidas toma una cantidad despreciable de tiempo en acelerar. Puede co rrer a 7,00 m/s y nadar a 1,40 m/s. Para alcanzar al nadador tan rápido como sea posible, ¿En qué dirección debe comenzar a correr? a) 52,8º E-S

b) 52,8º N-E

c) 54,8º O-S

d) 54,8º E-N

e) 56,8º O-N

258

Reflexión

153. Un delgado haz de luz está incidiendo desde el aire sobre una superficie de vidrio de índi ce de refracción n=1,50. Hallar el ángulo de incidencia para el cual el ángulo correspon diente de refracción es la mitad del ángulo de incidencia. a) 75,5º

b) 76,5º

c) 77,5º

d) 78,5º

e) 79,5º

154. I) Considere una interfase horizontal entre el aire de arriba y el vidrio de abajo con un ín dice de refracción n=1,55. Dibuje un rayo de luz incidente desde el aire con un ángulo de incidencia de 30,0o. Hallar los ángulos de los rayos reflejado y refractado y mostrarlos en el diagrama. II) Suponga ahora que el rayo de luz está incidiendo desde el vidrio con un ángulo de inci dencia de 30,0o. Hallar los ángulos de los rayos reflejado y refractado y muestre los tres rayos en un nuevo diagrama. III) Para los rayos incidentes desde el aire en una superficie de aire-vidrio, hallar y tabular los ángulos de reflexión y refracción para todos los ángulos de incidencia a intervalos de 10,0o desde 0,0o a 90,0o. IV) Hacer lo mismo para los rayos de luz que viajan hacia la interfase a lo largo del vidrio. 155. Las leyes de la refracción y reflexión son las mismas para el sonido y para la luz. La rapi dez del sonido en el aire es de 340 m/s, y la del sonido en el agua es de 1510 m/s. Si una onda sonora se aproxima a una superficie plana de agua con un ángulo de incidencia de 12,0o. Hallar el ángulo de refracción. a) 65,4o

b) 66,4o

c) 67,4o

d) 68,4o

e) 69,4o

156. Átomos de sodio frió (cerca del cero absoluto) están en un estado llamado condensación de Bose-Einstein y pueden reducir la rapidez de la luz de su valor normalmente alto a la rapidez que alcanza un automóvil en una ciudad. La rapidez de la luz en este medio se re gistró en v=61,15 km/h. I) Hallar el índice de refracción de éste medio. a) 1,16107 II)

b) 1,36107

c) 1,56107

d) 1,76107

e) 1,96107

Hallar el ángulo crítico para la reflexión interna total si la condensación está rodeada por el vació. a) 1,2610-6 g

b) 2,2610-6 g

c) 3,2610-6 g

d) 4,2610-6 g

e) 5,2610-6 g

157. Un haz delgado de luz blanca está incidiendo a =25,0o sobre una placa de cristal de d= 5,00 cm de espesor. Los índices de refracción del vidrio para longitudes de onda de 1= 400 nm y 2=700 nm son n1=1,689 y n2=1,642, respectivamente. Hallar el ancho del haz visible que emerge de la placa. a) 0,3 mm

b) 0,4 mm

c) 0,5 mm

d) 0,6 mm

e) 0,7 mm

158. Un excursionista parado sobre un pico de una montaña cerca del momento en que se po ne el Sol observa un arco iris causado por gotas de agua en el aire a 8,00 km de distancia.

Física IV

259 El valle está a 2,00 km debajo del pico de la montana y es completamente plano. ¿Qué fracción del arco circular completo del arco iris es visible para el excursionista? a) 60,2 %

b) 62,2 %

c) 64,2 %

d) 66,2 %

e) 68,2 %

159. Un pez está a una profundidad "H" debajo del agua de índice de refracción n=4/3. Mos trar que cuando el pez es visto a un ángulo de refracción "" , la profundidad "h" aparen te a la que se encuentra el pez es: h=3Hcos/(7+9 cos2)1/2. 160. En la Fig49, un haz láser incide en un extremo de una placa de material de índice de refracción n=1,48. Hallar el número de reflexiones internas del haz antes de que salga del extremo opuesto de la placa. a) 76

b) 78

c) 80

d) 82

e) 84

161. En la Fig50, el haz delgado mostrado incide sobre la superficie 2 en un ángulo crítico. Hallar el ángulo de incidencia 1. a) 25,5o

b) 26,5o

c) 27,5o

d) 28,5o

e) 29,5o

1 1

42cm

60o

2 50o

n=1,48

3,1mm

42o

 R.SABRERA

2

Fig49

Fig50

162. Un poste de longitud l=4,00 m está puesto verticalmente en un lago de profundidad h= 2,00 m. Hallar la longitud de la sombra del poste sobre el fondo del lago cuando el Sol es tá a =40,0o por encima de la horizontal. (n=1,33 para el agua del lago) a) 3,49 m

b) 3,59 m

c) 3,69 m

d) 3,79 m

e) 3,89 m

163. En la Fig51, un rayo de luz de longitud de onda =589 nm está incidiendo con un ángu lo "" sobre la superficie superior de una placa de poliestireno (n=1,49). I) Hallar el máximo valor de "" para el que el rayo refractado experimenta reflexión inter na total en la cara vertical izquierda del bloque. a) 30º II)

b) 37º

c) 45º

d) 60º

e) Todos

Hallar el máximo valor de "" para el que el rayo refractado experimenta reflexión inter na total en la cara vertical izquierda del bloque sumergido en agua (n=1,33).

260

Reflexión a) 26,3º

II)

b) 28,3º

c) 30,3º

d) 32,3º

e) 34,3º

Hallar el máximo valor de "" para el que el rayo refractado experimenta reflexión inter na total en la cara vertical izquierda del bloque sumergido en bisulfuro de carbón (n=1,49). a) 30º

b) 45º

c) 53º

d) 60º

e) 

164. En la Fig52, el diámetro de la base de un vaso es D=4,00 cm. Cuando el ojo de Pepe está en la posición mostrada, éste ve el borde del fondo del vaso vacío. Cuando el vaso se lle na con agua (n=1,33), Pepe ve el centro de su fondo. Hallar la altura "h" del vaso. a) 2,16 cm

b) 2,26 cm 

c) 2,36 cm

d) 2,46 cm

e) 2,56 cm

Aire =

h

Pepe D

Fig51

Fig52

165. Un rayo de luz pasa del aire al agua. Para éste ángulo de desviación =I1-2I es de 10,0o, ¿Cuál debe ser el ángulo de incidencia? a) 32,5º

b) 33,5º

c) 34,5º

d) 35,5º

e) 36,5º

166. En la Fig53, un material de índice de refracción "n" , en forma de cuarto de círculo de radio "R" está rodeado del vació. Un rayo de luz paralelo a la base del material incide desde la izquierda a una distancia "L" sobre la base y emerge del material con un ángulo "" . I) Hallar una expresión para el ángulo "" en términos de R, L y n. II) Evaluar la expresión obtenida en I), para: R=20 cm, L=10 cm, y n=1,5. a) 12,9º

b) 13,9º

c) 14,9º

d) 15,9º

e) 16,9º

167. En la Fig54, un cilindro transparente de radio R=2,00 m tiene una superficie plateada so bre su mitad derecha. Un rayo luminoso que viaja en el aire incide (R.i) en el lado izquier do del cilindro. El rayo luminoso incidente y el rayo luminoso saliente (R.s) son paralelos, y d=2,00 m. Hallar el índice de refracción del material. a) 1,69

b) 1,75

c) 1,81

d) 1,87

e) 1,93

Física IV

261 Espejo

R.i R.i

L

d



C R

n

R.s

R

Fig53

Fig54

168. En la Fig55, un rayo de luz que está viajando en aire incide sobre una cara de un prisma rectangular de índice de refracción n=1,50, y después el rayo sigue la trayectoria mostra da. Si =60,0o y la base del prisma es acabado espejo. Hallar el ángulo que forma el rayo saliente con la normal a la cara recta del prisma. a) 7,16º

b) 7,36º

c) 7,56º

d) 7,76º

e) 7,96º

169. En la Fig.56, un rayo de luz ingresa en el bloque rectangular de plástico en un ángulo 1=45,0o y emerge con un ángulo 2=76,0o. (c=3,00108 m/s) I) Hallar el índice de refracción del plástico. a) 1,14 II)

b) 1,20

c) 1,26

d) 1,32

e) 1,38

Si el rayo de luz ingresa en el plástico en un punto L=50,0 cm desde el borde inferior, ¿Qué tiempo le toma al rayo viajar a través del plástico? a) 3,00 ns

b) 3,20 ns R.s

R.i

c) 3,40 ns

d) 3,60 ns

e) 3,80 ns



1

n

L n 

90o-

Fig55

2

Fig56

170. Supóngase una esfera luminosa de radio "R1 " (tal como el Sol) está rodeada de una at mósfera uniforme de radio "R 2 " y índice de refracción "n" . Cuando la esfera es vista desde una ubicación muy lejos en el vació, hallar el radio aparente de la esfera. Tener en cuenta, que se presentan dos casos I) R2>nR1 y II) R2
262

Reflexión

171. En la Fig57, una fibra óptica de índice de refracción "n" y diámetro "D" está rodeada de aire. Es enviada luz al interior de la fibra a lo largo de su eje como se muestra. I) Hallar el radio externo "R" más pequeño permitido para una curva en la fibra sin que se escape la luz? (=10-6) a) d/(n-1)

b) nd/(n-1)

c) d/(n+1)

d) nd/(n+1)

e) (n-1)d/n

II)

¿Porqué? el resultado de la parte I) predice un comportamiento razonable para "d" aproxi mándose a cero. III) Evaluar R asumiendo que el diámetro de la es 100 m y su índice de refracción es n= 1,40. a) 310 m

b) 320 m

c) 330 m

d) 340 m

e) 350 m

172. En la Fig58, muestra una vista superior de un cuadrado cerrado. Las superficies internas son espejos planos. Un rayo de luz ingresa por un agujero pequeño en el centro de uno de los espejos. I) ¿Con qué ángulo  debe ingresar el rayo si ella sale a través del agujero después de ser re flejada una vez en cada uno de los otros espejos? II) ¿Existen otros valores de  para los cuales el rayo puede salir después de múltiples refle xiones? Si esto es cierto, trace una de las trayectorias que describen los rayos.

d R





R.SABRERA

Fig57

Fig58

173. Un rayo de luz ingresa a la atmósfera de un planeta y desciende verticalmente a la super ficie a una distancia "h" por debajo. El índice de refracción donde la luz ingresa a la at mósfera es 1,000, y ella disminuye linealmente con la distancia hasta tener el valor "n" en la superficie del planeta. I) ¿Después de qué intervalo de tiempo la luz recorre esta trayectoria? II) Establecer como este tiempo de recorrido se compara con el intervalo de tiempo requerido en la ausencia de atmósfera. 174. Fabricantes usan un instrumento muy conocido en la que un rayo de láser de helio-neón se refleja en un plano horizontal desde un espejo plano pequeño montado sobre un eje ro tante vertical. La luz es suficientemente brillante y la rapidez de rotación es suficiente

Física IV

I)

263 mente alta que la luz reflejada aparece como una línea horizontal, sin que esta caiga sobre la pared. Asumir que el espejo esta en el centro de un elevador de granos circular de radio 3,00 m. El espejo gira con una rapidez angular de 35 rad/s. Hallar la rapidez de la sombra de la luz de láser sobre la pared curvada. a) 205 m/s

b) 210 m/s

c) 215 m/s

d) 220 m/s

e) 225 m/s

II)

Ahora, asumir que el espejo esta girando a una distancia perpendicular de 3,00 m desde un punto O sobre una pared plana, vertical, muy grande. Cuando la sombra de la luz de lá ser sobre la pared está a una distancia x desde el punto O, ¿Cuál es su rapidez? III) ¿Cuál es el valor mínimo para la rapidez? ¿Qué valor de x corresponde a esto? a) 205 m/s

b) 210 m/s

c) 215 m/s

d) 220 m/s

e) 225 m/s

IV) ¿Cuál es la rapidez máxima de la sombra en la pared plana? V) ¿Después de qué intervalo de tiempo la sombra cambia desde su rapidez máxima a su ra pidez mínima? a) 20,4 ms

b) 21,4 ms

c) 22,4 ms

d) 23,4 ms

e) 24,4, ms

175. Cuando un electrón se mueve a través de un medio con una velocidad mayor que la de la luz en ese medio, se irradian ondas electromagnéticas (el efecto Cherenkov). ¿Qué veloci dad debe tener un electrón en un líquido de índice de refracción n=1,54 para que irradie? a) 175 Mm/s

b) 180 Mm/s

c) 185 Mm/s

d) 190 Mm/s

e) 195 Mm/s

176. Un haz de láser viaja a lo largo de un eje de una sección rectilínea de tubería de longitud l=1,61 km. El tubo contiene aire a presión y temperaturas normales, pero también puede evacuarse. ¿En qué caso será mayor el tiempo de viaje del haz, y por cuánto? a) 1,556 ns

b) 2,56 ns

c) 3,56 ns

d) 4,56 ns

e) 5,56 ns

177. En la Fig59, cuando el tanque rectangular de metal se llena hasta el tope con un líquido desconocido, un observador con los ojos al nivel de la parte superior del tanque puede ver precisamente la esquina E del tanque. Hallar el índice de refracción del líquido. a) 1,25

b) 1,31

c) 1,37

d) 1,43

e) 1,49

178. En la Fig60, unas olas de mar que se mueven a una velocidad de v=4,0 m/s se están apro ximando a una playa formando un ángulo de =30º con la normal. Supóngase que la pro fundidad del agua cambia abruptamente y que la velocidad de la ola disminuye a v' = 3,0 m/s. Cerca de la playa, ¿Cuál es el ángulo  entre la dirección del movimiento de la ola y la normal? (Suponga la misma ley de la refracción que para la luz) Explique por qué la mayoría de las olas llegan en forma normal a la orilla, aun cuando a grandes distancias se aproximan con una variedad de ángulos.

264

Reflexión a) 21º

b) 22º

c) 23º

d) 24º

e) 25º

Orilla 

85cm 30o

1,14m

Fig59

Fig60

179. En la Fig61, dos espejos perpendiculares forman los lados de una vasija llena de agua. Un rayo de luz incide desde arriba, normal a la superficie del agua. I) Demostrar que el rayo emergente es paralelo al rayo incidente. Supóngase que existen dos reflexiones en las superficies de los espejos. II) Repita el análisis para el caso de una incidencia oblicua, estando el rayo en el plano de la Figura. 180. En la Fig62, muestra (vista desde arriba) que Luis B está caminando directamente hacia el centro de un espejo vertical M ¿Qué tan cerca del espejo estará Luis cuando Zara sea capaz de verlo? (d=3,0 m, c=3,00108 m/s) a) 1,3 m

b) 1,4 m

c) 1,5 m

d) 1,6 m d

Rayo incidente

e) 1,7 m d

E d

Agua

S Zara Luis

Fig61

B

Fig62

181. En la Fig.63, la luz de láser penetra en un bloque de vidrio en A y emerge en B. El bloque de vidrio tiene longitud l=54,7 cm y un índice de refracción n=1,63. El ángulo de inciden cia es =24,0o. Hallar el tiempo necesario para que la luz atraviese el bloque. a) 3,07 ns

b) 3,27 ns

c) 3,47 ns

d) 3,67 ns

e) 3,87 ns

182. En la Fig64, está Ud. parado en un extremo de una pista larga en un aeropuerto. Un gra diente de temperatura vertical en el aire da por resultado que el índice de refracción del

Física IV

265 aire sobre la pista varía con la altura de acuerdo con n=no(1+ay), donde no es el índice de refracción en la superficie de la pista y a=1,510-6 m-1. Sus ojos están a una altura h=1,7 m sobre la pista. ¿Más allá de qué distancia horizontal "d" no puede ver la pista? a) 1300 m

b) 1350 m

c) 1400 m

d) 1450 m

e) 1500 m

L



y



n A h 90o

B 0

Fig63

d

Fig64

183. Una capa de agua (n1=1,33) de espesor s1=20 mm flota sobre una capa de tetracloruro de carbono (n2=1,46) de espesor s2=41 mm. Hallar la distancia a la que parece estar el fondo del tanque, visto con una incidencia casi normal. a) 41,2 mm

b) 42,2 mm

c) 43,2 mm

d) 44,2 mm

e) 45,2 mm

184. Utilizando el principio de Fermat, demostrar que el rayo incidente (R.i), rayo reflejado (R.r) y la normal (N) están en un mismo plano. 185. Un material transparente es atravesado por muones (masa=106 MeV/c2) y piones neutros (masa=135 MeV/c2), cada uno con una cantidad de movimiento (ímpetu) de p=145 MeV/c. Hallar el intervalo del índice de refracción del material de modo que sólo los muo nes emitan radiación Cherenkov. a) [1,12; 1,25]

b) [1,18; 1,31]

c) [1,24; 1,37]

d) [1,30; 1,43]

e) [1,36; 1,49]

186. El extremo de una vara es arrastrado a través del agua (n=1,33) a una velocidad "v" que es mayor que la velocidad "u" de las ondas de agua. Aplicando la construcción de Huy gens a las ondas de agua, demostrar que se crea un frente de onda cónico y que su semi ángulo " " , viene dado por: =sen-1(u/v). Esto resulta familiar cuando la onda de la proa de un vehículo espacial o la onda de choque causado por un objeto cruza el aire a una ve locidad mayor que la del sonido. 187. Un buceador en un lago mira hacia arriba a 27º de la vertical para ver un salvavidas anu lar que flota en la superficie. A través del centro del salvavidas puede verse la punta de u na chimenea que se sabe tiene una altura de h=98 m. ¿Qué tan lejos del salvavidas está la base de la chimenea? a) 71 m

b) 72 m

c) 73 m

d) 74 m

e) 75 m

188. Un objeto pequeño está a 10 cm enfrente de un espejo plano. Si usted está de pie detrás

266

Reflexión del objeto, a 30 cm del espejo, y mira la imagen del objeto, ¿A qué distancia debe usted enfocar sus ojos? a) 30 cm

b) 35 cm

c) 40 cm

d) 45 cm

e) 50 cm

189. En la Fig65, un rayo de luz que incide sobre la superficie de una lámina de vidrio de es pesor "t" emerge por la cara opuesta paralelo a su dirección inicial pero desplazado late ralmente como se muestra. I) Demuestre que, para ángulos de incidencia  pequeños, este desplazamiento puede expre sarse como, x=t (n-1)/n, donde "n" es el índice de refracción y "" está en radianes. II) Calcule el desplazamiento para un ángulo de incidencia de =10º a través de una placa de vidrio refractario de índice de refracción n=1,52 y de espesor t=1,0 cm. a) 0,3 mm

b) 0,4 mm

c) 0,5 mm

d) 0,6 mm

e) 0,7 mm

190. En la Fig66, se muestra un pequeño foco suspendido a d=250 cm sobre la superficie del agua en una piscina. El agua (n=1,33) tiene una profundidad de p=200 cm y el fondo de la piscina es un gran espejo. ¿Dónde está la imagen del foco cuando se le ve desde una in cidencia casi normal? a) 331 cm

b) 336 cm

c) 341 cm

d) 346 cm

e) 351 cm



250cm n

t

200cm 

x

Espejo

Fig65

Fig66

191. Usted está de pie frente a un espejo plano, contemplando su imagen. Cuando se dirige ha cia el espejo con una velocidad "v" , ¿Con qué velocidad se mueve su imagen hacia us ted? I) Calcule esta rapidez en su propio marco de referencia. a) v/2 II)

b) v/4

c) v

d) 2v

e) 3/2v

Calcule esta rapidez en el marco de referencia del salón en que el espejo está en reposo. a) v/2

b) v/4

c) v

d) 2v

e) 3v

192. Un objeto puntual está a 10 cm de un espejo plano mientras que el ojo de un observador (diámetro de la pupila=5,0 mm) está a 24 cm. Si se supone que tanto el ojo como el punto

Física IV

267 estén en la misma línea perpendicular a la superficie, hallar el área del espejo empleado para observar la reflexión del punto. a) 3,0 mm2

b) 3,2 mm2

c) 3,4 mm2

d) 3,6 mm2

e) 3,8 mm2

193. En la Fig67, se coloca una fuente puntual de luz S a una distancia "d" enfrente de una pantalla A. ¿Cómo cambia la intensidad en el centro de la pantalla cuando se coloca un es pejo M a una distancia "d" detrás de la fuente. a) 1,11

b) 1,21

c) 1,31

d) 1,41

e) 1,51

194. En la Fig68, una fibra óptica especifica consta de un núcleo de vidrio sin graduar (índice de refracción n1) rodeado por una cubierta (índice de refracción n2
b) 22,2º M

c) 23,2º

d) 24,2º

A

e) 25,2º

n2

S 



d

d

n1

 R.SABRERA

Fig67

Fig68

195. Dos materiales A y B, tienen índices de refracción de nA=1,667 y nB=1,586, respectiva mente. I) Hallar el ángulo crítico de la reflexión interna total en una interfase entre los dos materia les. a) 70,07º II)

b) 71,07º

c) 72,07º

d) 73,07º

e) 74,07º

¿En qué dirección debe propagarse un rayo incidente si ha de reflejarse totalmente?

196. Un pez está a 1,8 m bajo la superficie de un lago tranquilo. ¿A qué ángulo sobre la hori zontal debe mirar para ver la luz de una pequeña fogata campestre que arde al borde del a gua (n=1,33) a una distancia de 92 m?

268

Reflexión a) 41º

b) 42º

c) 43º

d) 44º

e) 45º

197. Una fuente puntual de luz está a h=82,0 cm bajo la superficie de un volumen de agua (n= 1,33). Hallar el diámetro máximo del círculo en la superficie por el cual pueda emerger la luz del agua. a) 1,81 m

b) 1,83 m

c) 1,85 m

d) 1,87 m

e) 1,89 m

198. Una fuente puntual de luz está situada a una distancia "h" bajo la superficie de un gran la go profundo. I) Demuestre que la fracción "f " de la energía lumínica que escapa directamente de la su perficie del agua es independiente de "h" y se determina mediante: f=[1-(1-1/n2)1/2]/2, donde "n" es el índice de refracción del agua. (Nota: Se han despreciado la absorción dentro del agua y la reflexión en la superficie, excepto donde es total) II) Calcule esta fracción numéricamente. a) 0,12

b) 0,14

c) 0,16

d) 0,18

e) 0,20

199. La longitud de onda de la luz de sodio amarilla en el aire es de =589 nm. I) Hallar la frecuencia de esta luz de sodio. a) 509 THz II)

b) 519 THz

c) 529 THz

d) 539 THz

e) 549 THz

Hallar la longitud de onda en vidrio de índice de refracción n=1,53. a) 355 nm

b) 365 nm

c) 375 nm

d) 385 nm

e) 395 nm

III) Utilizando I) y II), hallar la velocidad de la luz en este vidrio. a) 156 Mm/s

b) 166 Mm/s

c) 176 Mm/s

d) 186 Mm/s

e) 196 Mm/s

200. En una fibra óptica, viajan rayos diferentes en caminos diferentes a lo largo de la fibra, dando lugar a tiempos de viaje diferentes. Esto causa que un pulso de luz se disperse al viajar a lo largo de la fibra, dando lugar a la pérdida de información. El tiempo de retraso debe minimizarse al diseñarse la fibra. Considérese un rayo que viaja a una distancia "L" a lo largo del eje de la fibra y otro que se refleja, con un ángulo crítico conforme viajan hacia el mismo destino que el primero. I) Demuestre que la diferencia " t" en los tiempos de llegada se determina según t= (Ln1/n2c)(n1-n2), donde n1 es el índice de refracción del núcleo y n2 es el índice de refrac ción de la cubierta. II) Calcule t para la fibra del problema 194. 201. Una luz de longitud de onda =612 nm en el vació viaja la distancia d=1,57 pm en un me dio de índice de refracción n=1,51. I) Hallar la longitud de onda de la luz en el medio. a) 405 nm

b) 425 nm

c) 445 nm

d) 465 nm

e) 485 nm

Física IV II)

269

Hallar la longitud del camino óptico. a) 2,17 pm

b) 2,37 pm

c) 2,57 pm

d) 2,77 pm

e) 2,97 pm

202. En la Fig69, un rayo de luz en el material 1 es incidente sobre la interfase con un ángulo de 1=30º. La extensión de la refracción de la luz en el material 2 depende, en parte del índice de refracción n2 del material 2, donde se muestra el ángulo de refracción 2 versus n2 para un rango de posibles valores de n2. La escala del eje vertical está definida en 2a=20,0o y 2b=40,0o. I) ¿Cuál es el índice de refracción del material 1? a) 1,46 II)

b) 1,52

c) 1,58

d) 1,64

e) 1,70

Si el ángulo incidente se cambia a 1=60º y el material tiene n2=2,4, entonces, cuál es el ángulo 2? a) 30º

b) 32º

c) 34º

d) 36º

e) 38º

203. En la Fig70, un rayo de luz en el material de fondo incide con un ángulo 1 en la frontera con agua, y algo de la luz se refracta hacia el interior del agua. Hay dos selecciones de ma terial de fondo. Para cada una, el ángulo de refracción 2 versus el ángulo incidente 1 es la mostrada. La escala del eje horizontal es dada en 1x=90º. Sin calculo determinar si el índice de refracción de material 1 o 2 es mayor o menor que el índice de refracción del a gua (n=1,33), ¿Cuál es el índice de refracción del material 1 y 2? 1

2

Agua

1

2 90o

2 2b

1

2

45o 2a 1,3

1,5

1,7

Fig69

1,9

n2

0o

1x

1

Fig70

204. En la Fig71, a través de la cuña de ángulo pequeño " " en el vértice e índice de refrac ción "n" pasa un rayo de luz que incide con un ángulo pequeño "" . Hallar aproxima damente el ángulo de desviación, para =20, n=1,68 y =30.

270

Reflexión a) 1,160

b) 1,260

c) 1,360

d) 1,460

e) 1,560

205. En la Fig72, sobre el prisma de índice de refracción n=1,6 y ángulo =50, incide luz o

I)

amarilla de longitud de onda =5 800 A . Hallar: (n0=1) Hallar el ángulo de desviación  del haz incidente. a) 2,00

b) 2,50

c) 3,00

d) 3,50

e) 4,00

o

II)

La longitud de onda (en A ) de la luz al interior del prisma. a) 3610

b) 3615

c) 3620

d) 3625

N





n

e) 3630

 



n0

n

R.SABRERA

Fig71

Fig72

206. En la Fig73, el prisma de índice de refracción n=1,7 se sumerge en un líquido. Hallar el valor máximo del índice de refracción n0 del líquido, para el cual, se produce reflexión total interna. a) 1,1

b) 1,2

c) 1,3

d) 1,4

e) 1,5

207. En la Fig74 rayo de luz incide perpendicularmente por la cara AB del prisma de ángulo de refracción 450, y se refracta por la cara AC con un ángulo de 600. Hallar: I. El índice de refracción del prisma. a) 1,12 II.

b) 1,22

c) 1,32

d) 1,42

e) 1,52

d) 100 49´

e) 100 59´

El ángulo de desviación mínima. a) 100 19´

b) 100 29´

c) 100 39´

A

45o R.i

no

45o

no=1

n

45o

Fig73

B

n

Fig74

60o R.r C

Física IV

271 208. Hallar el índice de refracción de un prisma de ángulo de refracción 50 que genera una desviación mínima de un rayo de luz de 350. 0

a) 1,51

b) 1,53

c) 1,55

d) 1,57

e) 1,59

209. Sobre la cara de un prisma incide un rayo de luz con un ángulo igual al del ángulo del prisma A=600. Hallar: I. El ángulo de desviación mínima (min). a) 300 II.

b) 370

c) 450

d) 530

e) 600

d) 1,63

e) 1,73

El índice de refracción del prisma. a) 1,33

b) 1,43

c) 1,53

210. Un haz delgado de luz blanca está incidiendo sobre un bloque de vidrio de cuarzo a un án gulo de =30,0o. Los índices de refracción de la luz violeta de v=400 nm es nv=1,470, en tanto, de la luz roja de r=700 nm es nr=1,458. Hallar el ancho angular del haz de luz que incide en el cuarzo. a) 0,111º

b) 0,131º

c) 0,151º

d) 0,171º

e) 0,191º

211. Un rayo de luz incide en el punto medio de una cara de un prisma de vidrio de ángulos i guales (n=1,50) a un ángulo de incidencia de =30,0o. Trace la trayectoria del rayo lumi noso a través del vidrio. I) Hallar el ángulo de refracción en la primera cara del prisma. a) 15,5º II)

b) 16,5º

c) 17,5º

d) 18,5º

e) 19,5º

Hallar el ángulo de incidencia en la segunda cara del prisma. a) 40,5º

b) 41,5º

c) 42,5º

d) 43,5º

e) 44,5º

III) Hallar el ángulo de refracción en la segunda cara del prisma. a) 75,1º

b) 76,1º

c) 77,1º

d) 78,1º

e) 79,1º

212. Un prisma que tiene un ángulo de ápice de 50,0o está hecho de circona cúbica, con n= 2,20. Hallar el ángulo de desviación mínima. a) 85,8º

b) 86,8º

c) 87,8º

d) 88,8º

e) 89,8º

213. Una luz de longitud de onda =700 nm incide sobre la cara de un prisma de vidrio de cuarzo (n=1,458) a un ángulo de =75,0o (respecto de la normal a la superficie). El ángu lo del ápice del prisma es de =60,0o. I) Hallar el ángulo de refracción en esta primera superficie. a) 41,5º

b) 42,5º

c) 43,5º

d) 44,5º

e) 45,5º

272 II)

Reflexión Hallar el ángulo de incidencia en la segunda superficie. a) 15,5º

b) 16,5º

c) 17,5º

d) 18,5º

e) 19,5º

d) 28,6º

e) 29,6º

d) 43,6º

e) 44,6º

III) Hallar el ángulo de refracción en la segunda superficie. a) 25,6º

b) 26,6º

c) 27,6º

IV) Hallar el ángulo entre los rayos incidente y saliente. a) 40,6º

b) 41,6º

c) 42,6º

214. En la Fig75, el índice de refracción para la luz violeta en cristal de sílice es de nv=1,66 y para la luz roja nr=1,62. Hallar el ángulo de dispersión angular de la luz visible que pasa por un prisma de ápice igual a =60,0o si el ángulo de incidencia es de =50,0o. a) 3,81º

b) 4,21º

c) 4,61º

d) 5,01º

e) 5,41º

215. En la Fig.76, un prisma de vidrio triangular con un ángulo de ápice de " " tiene un índice de refracción de "n" . I) Hallar el ángulo de incidencia más pequeño 1 para el cual un rayo luminoso puede emer ger del otro lado. II) Hallar el ángulo de incidencia más pequeño 1 para el cual un rayo luminoso puede emer ger del otro lado, si =60,0o, y n=1,50. a) 1>25,9º

b) 1>26,9º

c) 1>27,9º

d) 1>28,9º

A

Desviación de la luz amarilla

Luz visible

Medida de dispersión

e) 1>29,9o



R N V A V

Fig75

1

B C n

Fig76

216. Muestre que si el ángulo de ápice  de un prisma es muy pequeño, un valor aproximado para el ángulo de desviación mínima está por: mín=(n-1). 217. Un dispositivo experimental incluye un prisma hecho de cloruro de sodio. El ángulo de desviación mínima para luz de longitud de onda de =589 nm es de =10,0o. Hallar el án gulo de ápice necesario del prisma. a) 15,1º

b) 16,1º

c) 17,1º

d) 18,1º

e) 19,1º

Física IV

273 218. Un prisma triangular de vidrio con un ángulo de ápice de =60,0 tiene un índice de re fracción de n=1,50. I) Muestre que si este ángulo de incidencia en la primera superficie es 1=48,6º, la luz pasa rá simétricamente a través del prisma. II) Hallar el ángulo de desviación mínima "mín " para 1=48,6º. o

a) 35,2º

b) 36,2º

c) 37,2º

d) 38,2º

e) 39,2º

III) Hallar el ángulo de desviación si el ángulo de incidencia sobre la primera superficie es de 1=45,6º. a) 35,3º

b) 36,3º

c) 37,3º

d) 38,3º

e) 39,3º

IV) Hallar el ángulo de desviación si el ángulo de incidencia sobre la primera superficie es de 1=51,6º. a) 35,3º

b) 36,3º

c) 37,3º

d) 38,3º

e) 39,3º

219. Cuando la luz está incidiendo normalmente sobre la interfase entre dos medios ópticos transparentes, la intensidad de la luz reflejada está dada por: S1' =[(n2-n1)/(n2+n1)]2S1. En esta ecuación S1 representa la magnitud promedio del vector de Poynting en la luz inciden te (la intensidad incidente), S1' es la intensidad reflejada, y n1, n2 son los índice de refrac ción de los dos medios. I) ¿Qué fracción de la luz incidente es reflejada para luz de =589 nm incidiendo normal mente sobre la interfase entre aire y vidrio óptico? a) 0,0326

b) 0,0426

c) 0,0526

d) 0,0626

e) 0,0726

II)

En el inciso I) es importante si la luz está en el aire o en vidrio cuando incide en la inter fase. III) La condensación de Bose-Einstein tiene un índice de refracción de n=1,76107. Hallar el porcentaje de luz reflejada para luz que cae perpendicularmente sobre esta superficie. ¿A qué se parecería la condensación? a) 82 %

b) 84 %

c) 86 %

d) 88 %

e) 100 %

220. Un cubo de vidrio se coloca sobre un periódico; el cual, descansa sobre una mesa. Una persona lee todas las palabras que el cubo cubre, a través de un lado vertical. Hallar el ín dice de refracción máximo posible del vidrio. a) 1,23

b) 1,29

c) 1,35

d) 1,41

e) 1,47

221. En la Fig77, se muestra una técnica para medir el ángulo de un prisma. Un haz paralelo de luz está dirigido en un ángulo de tal modo que el haz se refleja desde lados opuestos. Muestre que la separación angular de los dos haces está dado por: B=2A.

274

Reflexión

222. En la Fig78, se muestra el método de A. H. Pfund para medir el índice de refracción del vidrio. Una cara de una placa de espesor "t" está pintada de blanco, y un pequeño hoyo raspado en una superficie aclarada en el punto P sirve como una fuente de rayos divergen tes cuando la placa se ilumina desde abajo. El rayo PB B' incide en la superficie clara en un ángulo crítico y es reflejado totalmente, tal como los rayos PC C' . Tales rayos como PA A ' emergen de la superficie aclarada. Sobre la superficie pintada aparece un círculo oscuro de diámetro "d" , rodeado por una región iluminada, o halo. I) Deduzca una fórmula para "n" en función de las cantidades medidas "d" y "t" . II) ¿Cuál es el diámetro del círculo oscuro si n=1,52 para una losa de espesor t=0,600? a) 21 mm

b) 23 mm

c) 25 mm

d) 27 mm

e) 29 mm

III) Si se usará luz blanca, el ángulo crítico depende del color causado por la dispersión. ¿Es tá el extremo interior del halo blanco matizado con luz roja o con luz violeta? Explique.

r

i

C B

A

Superficie aclarada

A

t

B C’ B’

P

Superficie pintada

d

Fig77

Fig78

223. En la Fig79, un rayo de luz atraviesa simétricamente un prisma que tiene un ángulo de ápice " " , y un índice de refracción "n" . I) Demostrar que el ángulo de desviación " " , viene dado por: =2sen-1[n sen(/2)]- . II) Si el índice de refracción para la luz roja es nr=1,48 y para la luz azul na=1,52, ¿Cuál es la separación angular de la luz visible en el caso de un prisma de ángulo de ápice = 60,0o? a) 307o

b) 3,27o

c) 3,47o

d) 3,67o

e) 3,87o

224. En la Fig80, un rayo de luz incide perpendicularmente a la cara mayor de un prisma, cu ya sección es un triángulo rectángulo isósceles. ¿Cuál es la velocidad de la luz en este pris ma si justamente llega a producirse en él reflexión interna total? (c=3,8108 m/s, M=106) a) 202 Mm/s

b) 212 Mm/s

c) 222 Mm/s

d) 232 Mm/s

e) 242 Mm/s

225. Un prisma de 45o-45o-90o está sumergido en agua. Un rayo de luz incide en dirección nor mal sobre una de sus caras más cortas. ¿Cuál es el índice de refracción mínimo que debe tener el prisma si este rayo debe reflejarse totalmente dentro del vidrio en la cara larga del prisma?

Física IV a) 1,64

b) 1,70

275

c) 1,76

d) 1,82

e) 1,88

 45o Rayo incidente

 n

n

45o

Fig79

Fig80

226. En la Fig81, a lo largo de la cara AB de un prisma de vidrio de índice de refracción n= 1,52, incide luz, como se muestra. Hallar el valor más grande que puede tener el ángulo " " sin que se refracte ninguna luz hacia fuera del prisma por la cara AC si el prisma es tá inmerso en agua de índice de refracción n=1,33. a) 25,7º

b) 26,7º

c) 27,8º

d) 28,7º

e) 29,7º

227. En la Fig82, el prisma que se ilustra tiene un índice de refracción de n=1,66, y los án gulos A son de 25,0o. Dos rayos de luz "m" y "n" ingresan paralelos al prisma. ¿Cuál es el ángulo entre los rayos de salida? a) 35,1o

b) 36,1o

c) 37,1o

A

 R.SABRERA

d) 38,1o

e) 39,1o

A m n

Rayo incidente

n

 C

B

A

Fig81

Fig82

228. En la Fig83, sobre la cara corta de un prisma de 30º-60º-90º incide luz con una direc ción normal. Se coloca una gota de líquido en la hipotenusa del prisma. Si el índice de re fracción del prisma es de n=1,62, hallar el índice máximo que puede tener el líquido sin que la luz deje de reflejarse en su totalidad. a) 1,22

b) 1,28

c) 1,34

d) 1,40

e) 1,46

276

Reflexión

229. En la Fig84, uno de los ángulos del prisma de vidrio (n=1,58) es de =90º. Si un rayo de luz ingresa en el prisma con un ángulo de incidencia de =70º. Hallar el ángulo "  " con el que sale el rayo de luz. a) 45º

b) 53º

c) 60º

e) 

d) 75º

Gota agua 30o

60o

70o  n

Fig83

Fig84

230. En la Fig85, un prisma de cristal de roca tiene un ángulo agudo de =30,0o. Un rayo de luz blanca incide perpendicularmente sobre una cara de este prisma. I) Hallar el ángulo de salida del rayo de luz roja de r=660 nm es nr=1,650. a) 53,6º II)

b) 54,6º

c) 55,6º

d) 56,6º

e) 57,6º

Hallar el rayo de salida del rayo de luz verde de V=550 nm es nV=1,660. a) 53,1º

b) 54,1º

c) 55,1º

d) 56,1º

e) 57,1º

III) Hallar el rayo de salida del rayo de luz violeta de v=400 nm es nv=1,690. a) 53,7º

b) 54,7º

c) 55,7º

d) 56,7º

e) 57,7º

231. En la Fig86, un prisma de vidrio de índice de refracción n=1,50 tiene ángulos de 45,0o45,0o-90,0o. Un rayo de luz incide en una de las caras cortas a un ángulo "" . ¿Cuál es el valor máximo de "" para el que el rayo de luz experimenta reflexión interna total en la cara mas grande? a) 4,19o

b) 4,39o

c) 4,59o

30o

d) 4,79o

e) 4,99o



 R.SABRERA

rojo verde violeta

n 45o

45o B

Fig85

Fig86

Física IV

277 232. En la Fig87, un prisma de cristal de roca de índice de refracción n=1,66, tiene tres ángu los iguales de 60º. ¿Con qué ángulo "" debe ingresar el rayo, de modo que se refracte si métricamente? a) 55º

b) 56º

c) 57º

d) 58º

e) 59º

233. En la Fig88, un prisma de vidrio tiene dos ángulos de 45º y uno de 90º. Para determinar el índice de refracción del vidrio en este prisma, un experimentador dirige un haz de luz perpendicularmente hacia una cara del prisma y mide el ángulo al que sale el rayo en el la do lejano. Si este ángulo es de 72,0o, ¿Cuál es el índice de refracción? a) 1,28

b) 1,34

c) 1,40

d) 1,46

e) 1,52

45o

60o

72o 

n

60o

60o

Fig87

45o

Fig88

234. Un haz luminoso atraviesa un prisma que tiene un ángulo de refracción "" y un índice de refracción "n" . Sea " " el ángulo de desviación del rayo. I) Mostrar que cuando el recorrido del haz a través del prisma es simétrico el ángulo de des viación " " es mínimo. II) Mostrar que la relación entre los ángulos  y , viene dado por: sen[(+)/2]=nsen(/2). 235. Para cierto prisma de vidrio (n=1,5) el ángulo de desviación mínima de un rayo es igual al ángulo refringente del prisma. Hallar este ángulo. a) 81o

b) 82o

c) 83o

d) 84o

e) 85o

236. Determinar los límites entre los cuales puede oscilar el ángulo de desviación de un rayo al pasar por un prisma de vidrió (n=1,5), cuyo ángulo de refracción es =60º. a) [35º; 55º]

b) [39º; 57º]

c) [36º; 59º]

d) [37º; 58º]

e) [38º; 56º]

237. Un prisma triangular que tiene un ángulo de refracción de 60º presenta el ángulo de 37o de la desviación mínima en el aire. ¿Cuál es el ángulo de la desviación mínima de este prisma en el agua (n=1,33)? a) 5,66º

b) 6,66º

c) 7,66º

d) 8,66º

e) 9,66º

238. Un haz luminoso que tiene dos componentes monocromáticos, atraviesa un prisma trian gular, cuyo ángulo refringente es =60º. Determinar el ángulo  entre ambas componen

278

Reflexión tes del haz después que pasan por el prisma, si los índices de refracción para ellas son iguales a n1=1,515 y n2=1,520 y el prisma se orienta para dar el ángulo de la desviación mínima. a) 0,26º

b) 0,32º

c) 0,38º

d) 0,44º

e) 0,50º

239. Un rayo de luz blanca incide sobre la superficie lateral de un prisma triangular isósceles formando un ángulo tal, que el rayo rojo emerge de él perpendicularmente a la segunda ca ra del prisma. I) Hallar la desviación del rayo de luz roja de índice de refracción nr=1,37, con respecto a la dirección inicial del rayo de luz. a) 30,64º II)

b) 31,64º

c) 32,64º

d) 33,64º

e) 34,64º

Hallar la desviación del rayo de luz violeta de índice de refracción nv=1,42, con respecto a la dirección inicial del rayo de luz. a) 41,02º

b) 42,02º

c) 43,02º

d) 44,02º

e) 45,02º

240. Un rayo monocromático ingresa en un prisma triangular rectangular isósceles (n=1,50) por una de las caras correspondientes a un cateto, experimenta la reflexión total en la cara hipotenusa y emerge por la cara correspondiente al otro cateto. ¿Cuántas veces es el ángu lo de refracción del rayo saliente, respecto al ángulo de incidencia mínimo que permite aún que ocurra la reflexión interna total? a) 15,8 veces

b) 16,8 veces

c) 17,8 veces

d) 18,8 veces

e) 19,8 veces

241. Sobre una cara de un prisma equilátero de vidrio de índice de refracción n=1,54, incide luz con un ángulo de =45º. Hallar el ángulo con el que sale la luz por la cara opuesta. a) 55,23º

b) 56,23º

c) 57,23º

d) 58,23º

e) 59,23º

242. En la Fig89, ¿Para qué valores del índice de refracción de un prisma rectangular es posi ble la trayectoria del rayo representado? La sección transversal del prisma es un triángulo isósceles; el rayo incide normalmente en la cara AB. a) 1,28

b) 1,34

c) 1,40

d) 1,46

e) 1,52

243. En la Fig90, una cuña de vidrio rectangular fue puesta en el agua (n2=1,33). El índice de refracción del vidrio es n1=1,5. ¿Para qué valores del ángulo " " el rayo de luz, incidien do normalmente en la cara AB, alcanza totalmente la cara AC? a) 61,46º

b) 62,46º

c) 63,46º

d) 64,46º

e) 65,46º

244. La sección de un prisma de vidrio tiene la forma de un triángulo equilátero. Un rayo inci de perpendicularmente sobre una de la caras del prisma. Hallar el ángulo "" entre los ra yos incidente y refractado por el prisma. El índice de refracción del vidrio es n=1,5. a) 30º b) 60º c) 90º d) 120º e) 150º

Física IV A

279 A

 B n1

n2 Agua C

B

Fig89

Fig90

245. La sección de un prisma de vidrio tiene la forma de un triángulo isósceles. Una de sus ca ras está cubierta de plata. Un rayo incide perpendicularmente en la cara no cubierta de pla ta y después de dos reflexiones, éste sale por la base del prisma, perpendicularmente a és ta. Hallar los ángulos del prisma. a) (70º; 40º; 70º) d) (68º; 44º; 68º)

b) (72º; 36º; 72º)

c) (74º; 32º; 74º) e) (66º; 48º; 66º)

246. Un rayo incide en la cara del prisma y sale de él por una cara adyacente, después de la re fracción. ¿Cuál es el máximo valor admisible del ángulo de refracción " " del prisma, si el prisma es de vidrio de índice de refracción n=1,5? a) 81,62º

b) 82,62º

c) 83,62º

d) 84,62º

e) 85,62º

247. Un rayo luminoso ingresa en un prisma de vidrio con un ángulo " " y sale del prisma al aire con un ángulo "" ; al pasar por el prisma, experimenta un desplazamiento de la direc ción inicial en un ángulo "  " . I) Hallar el ángulo de refracción "" del prisma. a) -+ II)

b) +-

c) ++

d) --

e) -+

Hallar una expresión para el índice de refracción "n" del prisma, en función de , , y .

248. En la Fig91, un prisma de vidrio (n=1,57) de ancho de la base 2a=5 cm, con pequeños ángulos de refringencia " " se introduce en un haz de rayos paralelos que inciden perpen dicularmente sobre su base. Hallar el ángulo de refracción " " si en medio de una panta lla, situada a la distancia L=100 cm del prisma, se forma una franja oscura de anchura 2d=1 cm. a) 2,0o

b) 2,5º

c) 3,0o

d) 3,5º

e) 4,0o

249. En la Fig92, se muestra la trayectoria simétrica de un rayo en un prisma isósceles con ángulo en el vértice =30º (dentro del prisma el rayo se propaga paralelamente a la base). Hallar el ángulo  de desviación del rayo. El índice de refracción del prisma es n=2,0.

280

Reflexión a) 31,35º

b) 32,35º

c) 33,35º

d) 34,35º

e) 35,35º







n



Fig91

Fig92

250. Un líquido se vierte en una cubeta en forma de prisma isósceles con ángulo en el vértice =35o. El prisma se ilumina con un haz de luz paralelo, de modo que, la trayectoria de los rayos dentro del líquido es paralela a la base. El ángulo de desviación del haz emergen te, respecto del haz incidente es =38o. Hallar el índice de refracción "n" del líquido. a) 1,74

b) 1,80

c) 1,86

d) 1,92

e) 1,98

251. En la Fig93, sobre una de las caras de una cuña de vidrio incide perpendicularmente un rayo de luz delgado. El índice de refracción del vidrio es n=1,41 y el ángulo en el vértice =10º.¿Cuántas manchas brillantes se verán en la pantalla (P) colocada detrás de la cuña? a) uno

b) dos

c) tres

d) cuatro

e) cinco

P 



 

Fig93

Fig94

252. En la Fig94, dos prismas rectangulares iguales, de ángulos en el vértice " " , e índices de refracción algo distintos. Los prismas se acoplan uno a otro como se muestra. Cuando este sistema se ilumina con un haz de luz paralelo que incide perpendicularmente sobre la cara delantera, resulta que el haz de luz emergente se desvía de la dirección de propaga ción un ángulo "" . ¿En cuánto se diferencian entre sí los índices de refracción de los prismas? Los ángulos "" y " " son pequeños.

Física IV a) /

b) /

c) 1+/

281 e) /2

d) 1+/

253. En la Fig95, se muestra la trayectoria de un rayo en un prisma isósceles, que antes y des pués del prisma se propaga paralelamente a la base de éste. Demostrar que para cualquier índice de refracción del prisma n>1, en el punto A se produce la reflexión total. 254. En la Fig96, se muestra la trayectoria de un rayo con un prisma isósceles con ángulo en el vértice recto. ¿Con qué ángulos de incidencia " " emergerá del prisma el rayo después de experimentar dos veces la reflexión total en las caras AB y BC? El índice de refrac ción del prisma es n=2. a) 31,2º

b) 32,2º

c) 33,2º

d) 34,2º

e) 35,2º

B

 R.SABRERA

A

A

Fig95



C

Fig96

255. En la Fig97, para invertir la imagen se utiliza frecuentemente el prisma de Dove, que con siste en un prisma isósceles rectangular truncado. Determinar la longitud mínima de la ba se del prisma con lo cual un haz luminoso que llene por completo la cara lateral pasará to talmente a través del prisma. La altura del prisma es h=2,1 cm. El índice de refracción del vidrio es n=1,41. a) 8 cm

b) 9 cm

c) 10 cm

d) 11 cm

e) 12 cm

256. En la Fig98, para medir el índice de refracción "n" de un prisma de vidrio con ángulo en el vértice =30º se utilizo el esquema que se muestra. El prisma se pone delante de una lente convergente de modo que la cara AB sea perpendicular al eje óptico de la lente. En el plano focal de la lente se coloca una pantalla, sobre la cual, cuando la cara AC se ilumi na con luz difusa, se observan dos regiones: una iluminada y otra no iluminada. El seg mento que en el esquema une los límites entre las regiones (punto D) con el centro de la lente resulta que forma un ángulo de 30º con el eje óptico de la lente. Hallar el índice de refracción "n" del prisma. a) 1,14

b) 1,24

c) 1,34

d) 1,44

e) 1,54

257. En un prisma isósceles rectangular de vidrio la base AC y la cara lateral BC son lisas y la cara AB mate. El prisma descansa con su base sobre un periódico. El observador que mi

282

Reflexión rá a través de la cara lisa BC ve una parte k=0,895 (de la superficie) del texto que hay debajo de la base AC. ¿Cuál es el índice de refracción del vidrio? a) 1,36

b) 1,42

c) 1,48

d) 1,54 A

90o

e) 1,60 P

L

 30o h

B

C

Fig97

Fig98

258. En el espectro de emisión de un láser de argón las rayas más intensas son las que tienen las longitudes de onda 1=488 nm y 2=515 nm. ¿Con qué ángulos de refringencia " " del prisma, interpuesto en la trayectoria de los rayos, emergerá de él un haz que contenga la componente 2 y no contenga la componente 1? Sobre la primera cara del prisma los rayos inciden normalmente. La dependencia entre el índice de refracción del prisma y la longitud de onda tiene la forma n=1+a/2, donde a=2,3810-9 cm2. a) (30º; 31,48º)

b) (31º; 32,48º) d) (28º; 29,48º)

c) (29º; 30,48º) e) (32º; 33,48º)

259. En la Fig99, un haz de rayos paralelos incide sobre una esfera de vidrio. Los rayos, des pués de refractarse dos veces en el límite vidrio-aire emergen de la esfera siguiendo direc ciones que forman con la dirección inicial un ángulo "" que no supera 90º. Hallar el ín dice de refracción de la esfera de vidrio. a) 1,17

b) 1,23

c) 1,29

d) 1,35

e) 1,41

 R.SABRERA

h

Aire

 Agua Espejo

Fig99

Fig100

Física IV

283 260. En la Fig100, en el fondo de un recipiente lleno de agua (n=4/3) hay un espejo plano. Un individuo se inclina sobre el recipiente y ve la imagen de su ojo en el espejo a la distancia de visión óptima d=25 cm, siendo la distancia desde el ojo a hasta la superficie del agua h=5 cm. Hallar la profundidad del recipiente. a) 8,5 cm

b) 9,0 cm

c) 9,5 cm

d) 10,0 cm

e) 10,5 cm

261. En la Fig101, la pintura altamente reflejante que se utiliza en las señalizaciones en las ca rreteras contiene pequeñas esferas de vidrio que invierten la dirección de propagación de los rayos de luz, regresándolos hacia la fuente de luz. La inversión de la dirección ocurre sólo una vez para aquellos rayos de luz, que inciden sobre tales esferas a una distancia es pecífica del eje, distancia que depende del índice de refracción del vidrio. Demostrar que sí la inversión de la dirección de un rayo fuera del eje no ocurre en absoluto, entonces el índice de refracción del vidrio debe estar en el intervalo 1
b) 26,7 cm

c) 27,7 cm

d) 28,7 cm

e) 29,7 cm

a) C

b)

B

a

D

Fig101

b

F

A

Fig102

263. Un cohete de señal explota a una altura de h=200 m por encima de un barco que se encu entra en la superficie de un lago en reposo. La explosión envía ondas sonoras en todas las direcciones. Como la rapidez del sonido en el agua v=1500 m/s es mayor que la rapidez del sonido en el aire u=340 m/s, una onda sonora puede experimentar reflexión interna to tal en una superficie de agua si colisiona con un ángulo de incidencia suficientemente grande. ¿A qué distancia mínima del barco experimenta reflexión interna total una onda sonora proveniente de la explosión? a) 45,5 m

b) 46,5 m

c) 47,5 m

d) 48,5 m

e) 49,5 m

264. En la Fig103, la luz emitida por la fuente F por dos vías llega a la pantalla pasando a tra

284

Reflexión vés de los prismas rectangulares de vidrio A y B, de índices de refracción "n" . El largo de cada uno de los prismas es " " . La velocidad de la luz en el aire es "c" . ¿En qué tiem po más rápido recorrerá la luz por la vía inferior, si el prisma B es puesto en movimiento hacia la pantalla con velocidad "v" ? a) nvl/c2

b) n(n+1)vl/c2

c) n(n-1)vl/c2

d) n2vl/c2

e) (n-1)vl/c2

265. En la Fig104, muestra luz que se refleja desde dos superficies reflejantes perpendiculares A y B. Hallar el ángulo entre el rayo entrante (i) y el rayo saliente ( r ' ). a) 100º

b) 120º

c) 140º

d) 160º

e) 180º

A

A

i 

F

l

r

r

B

B v

Fig103

Fig104

266. En la Fig105, un rayo de luz blanca incide a un ángulo de =50º sobre una ventana co mún de vidrio (se muestra la sección transversal). Para los tipos de vidrio el índice de re fracción varía para los rangos de luz visible desde na=1,524 en el extremo azul del espec tro a nr=1,509 en el extremo rojo, Las dos caras de la ventana son paralelas. I) Hallar la dispersión angular de los colores en el rayo cuando la luz ingresa a la ventana. a) 0,13º II)

b) 0,33º

c) 0,53º

d) 0,73º

e) 0,93º

Hallar la dispersión angular de los colores en el rayo de luz, cuando ella emerge de la ca ra opuesta. a) 0o

b) 0,23º

c) 0,43º

d) 0,63º

e) 0,83º

267. En la Fig106, luz ingresa en un prisma triangular de ángulo de ápice =90º en el punto P con un ángulo incidente "" , y entonces una parte de ella se refracta en el punto Q con un ángulo de refracción de 90º. I) Hallar el índice de refracción "n" del prisma en función de "" . a) 1  sen 2 II)

b) 1  sen 2

c) 1  sen 

d) 1  sen 

e) sen2

¿Cuál, numéricamente, es el máximo valor que el índice de refracción puede tener? Ha ciendo que la luz emerja en Q, y aumentando suavemente el ángulo incidente.

Física IV a) 1,29

b) 1,35

285

c) 1,41

d) 1,47

e) 1,53

 n=1



n

Fig105

Fig106

268. Demostrar que la intensidad transmitida a través de una placa de vidrio de índice de refracción "n" para luz de incidencia normal, viene dada por: IT=Io[4n/(n+1)2]2. 269. Un rayo de luz comienza en el punto x=-2m, y=2 m. incide sobre un espejo situado en el plano xz en un cierto punto xy se refleja pasando por el punto x=2 m, y=6 m. I) Hallar el valor de "x" que hace que sea mínima la distancia total recorrida por el rayo. a) -1,0 m II)

c) -2,0 m

d) +2,0 m

e) -1,5 m

d) 28,6º

e) 29,6º

d) 28,6º

e) 29,6º

¿Cuál es el ángulo de incidencia sobre el plano reflector? a) 25,6º

III)

b) +1,0 m

b) 26,6º

c) 27,6º

¿Cuál es el ángulo de reflexión sobre el plano reflector? a) 25,6º

b) 26,6º

c) 27,6º

270. La ecuación, d=+21-4sen-1[(naire/nagua) sen 1] nos da la relación existente entre el án gulo de desviación d de un rayo de luz incidente sobre una gota esférica de agua en fun ción del ángulo de incidencia 1 y del índice de refracción del agua. I) Suponer que naire=1 y derivar d respecto de 1. II) Hacer dd/d1=0 y demostrar que el ángulo de incidencia im correspondiente a la desvia ción mínima, viene dado por: cos m=[(n2-1)/3]1/2, y hallar im para el agua, de índice de refracción 1,33. a) 55,6º

b) 56,6º

c) 57,6º

d) 58,6º

e) 59,6º

271. Supóngase que la lluvia cae verticalmente desde una nube en reposo situada a h=10 000 m por encima de un confuso corredor de maratón que marcha en círculo con velocidad constante de v=4 m/s. La lluvia tiene una velocidad límite de v =9 m/s. I) ¿Cuál es el ángulo que parece formar la lluvia con la vertical desde el punto de vista del corredor? l

286

Reflexión a) 21º

II)

b) 22º

c) 23º

d) 24º

e) 25º

¿Cual es la distancia aparente recorrida de la nube observado por el corredor? a) 4,15 km

b) 4,25 km

c) 4,35 km

d) 4,45 km

e) 4,55 km

III) Una estrella situada en el eje de la órbita terrestre parece tener una órbita circular de diá metro angular de 41,2 segundos de arco. ¿Cómo se relaciona éste ángulo con la velocidad de la Tierra (vT) en su órbita y con la velocidad de los fotones (c) procedentes de esta es trella distante? a) sen-1(vT/c)

b) cos-1(vT/c)

c) tg-1(vT/c)

d) 2sen-1(vT/c)

e) 2sen-1(vT/c)

IV) ¿Cuál es el velocidad de la luz determinada a partir de los datos del apartado III). a) 2,19108 m/s

b) 2,39108 m/s

c) 2,59108 m/s d) 2,79108 m/s

e) 2,99108 m/s

272. Dado que el índice de refracción para la luz roja en agua es nr=1,3318 y para la luz azul es na=1,3435, hallar la separación angular de estos colores en el arco iris primario. a) 1,07o

b) 1,27o

c) 1,47o

d) 1,67o

e) 1,87o

273. Un rayo de luz incide normalmente sobre una lámina de vidrio de índice de refracción n= 1,5. Se produce reflexión en ambas superficies de la lámina. ¿Qué porcentaje aproximado de energía de la luz incidente es transmitida por la lámina? a) 91,2 %

b) 92,2 %

c) 93,2 %

d) 94,2 %

e) 95,2 %

274. Calcular la diferencia de tiempo que necesitan dos pulsos de luz para recorrer 15 km en u na fibra óptica de índice de refracción n1=1,492, radio del material interno r=50 m, e ín dice del material de revestimiento de n2=1,489. Asumir que un pulso ingresa con inciden cia normal y el segundo con el máximo ángulo de incidencia. (=10-6, k=103) a) 0,15 s

b) 0,35 s

c) 0,55 s

d) 0,75 s

e) 0,95 s

275. I) Utilizar el resultado obtenido en el problema 268 para calcular la relación entre la in tensidad transmitida y la intensidad incidente sobre N láminas de vidrio paralelas si la luz incide normalmente a la superficie de las láminas. a) [2n/(n+1)2]N II)

b) [4n/(n+1)2]N

c) [n/(n+1)2]N

d) [2n/(n+1)2]2N

e) [4n/(n+1)2]2N

Calcular esta relación para tres láminas de vidrio en las que n=1,5. a) 0,703

b) 0,723

c) 0,743

d) 0,763

e) 0,783

III) Tomando n=1,5, ¿Cuántas láminas de vidrio serán necesarias para reducir en un 10 por ciento la intensidad de la radiación incidente?

Física IV a) 25

b) 26

c) 27

287 d) 28

e) 29

276. En las ecuaciones de Fresnel, reescribir los coeficientes de amplitud de reflexión en fun ción solamente de i y t, es decir, independiente de los índices de refracción ni y nt. 277. I) Deducir los coeficientes de amplitud de reflexión (rII y r), y evaluar sus valores numéricos en la interfase aire-vidrio, ni=1,0, nt=1,5. a) 0,1 II)

b) 0,2

c) 0,3

d) 0,4

e) 0,5

Deducir los coeficientes de amplitud de transmisión (tII y t), y evaluar sus valores numéricos en la interfase aire-vidrio, ni=1,0, nt=1,5. a) 0,5

b) 0,6

c) 0,7

d) 0,8

e) 0,9

278. Expresar los coeficientes de amplitud de reflexión en función de i y nti=nt/ni. 279. Hallar el coeficiente de la amplitud de reflexión perpendicular (r) de una luz que incide a 30º sobre una superficie de separación aire-vidrio, nti=1,50. a) -0,12 II)

b) +0,12

c) -0,24

d) +0,24

e) -0,36

Hallar el coeficiente de la amplitud de reflexión paralelo (rII) de una luz que incide a 30º sobre una superficie de separación aire-vidrio, nti=1,50. a) 0,159

b) 0,259

c) 0,359

d) 0,459

e) 0,559

280. Hallar el valor del coeficiente de amplitud de transmisión (t) de una luz que incide a 30º sobre una superficie de separación aire-vidrio, nti=1,50, y demostrar que t+(-r)=1 en es te caso. a) 0,359

b) 0,459

c) 0,559

d) 0,659

e) 0,759

281.Un haz de luz natural incide sobre una superficie de separación aire-vidrio (nti=1,5) con un ángulo de incidencia de i=70o. ¿Qué porcentaje de la irradiancia incidente se refleja en la superficie de separación? a) 15 %

b) 16 %

c) 17 %

d) 18 %

e) 19 %

282. Una haz de luz linealmente polarizada cuyo campo E es normal al plano de incidencia in cide en el aire a i=45º sobre una superficie de separación aire-vidrio. El índice de refrac ción del vidrio es nt=1,5, y del aire ni=1,0. I) Hallar el coeficiente de amplitud de reflexión (r). a) -0,3034 II)

b) -0,3234

c) -0,3434

Hallar el coeficiente de amplitud de transmisión (t)

d) -0,3634

e) -0,3834

288

Reflexión a) 0,6166

b) 0,6366

c) 0,6566

d) 0,6766

e) 0,6966

283. Demostrar que los coeficientes de amplitud de transmisión, pueden ser formuladas de o tro modo, sin que dependa explícitamente de ni o de nt, así: t=2sent cos i/sen(i+t) y tII=2sent cos i/sen(i+t) cos(i-t). 284. Un rayo de luz en el aire golpea la superficie de una pieza suave de plástico que tiene un índice de refracción de n=1,55 a un ángulo de i=20,0o con la normal. La luz incidente tie ne componentes del campo E paralelo y perpendicular al plano de incidencia de amplitu des de 10,0 V/m y 20 V/m, respectivamente. Determinar las correspondientes magnitudes de las amplitudes del campo reflejado [Eor]II y [Eor] (en V/m). a) 1,78; 4,50

b) 1,58; 4,80

c) 1,88; 4,70

d) 1,98; 4,70

e) 1,68; 4,60

285. Un rayo láser es incidente sobre la interfase entre aire y algún dieléctrico de índice de re fracción "n" . Para pequeños valores de i mostrar que t=i/n. Utilizar esto y la ecuación r=-sen(i-t)/sen(i+t) para establecer que para una incidencia casi-normal, se tiene que [-r]i0=(n-1)/(n+1). 286. Luz incide en aire perpendicularmente sobre una lámina de vidrio crown de índice de re fracción n=1,522. I) Hallar la reflectancia.(R). a) 0,033 II)

b) 0,043

c) 0,053

d) 0,063

e) 0,073

c) 0,0757

d) 0,0857

e) 0,0957

Hallar la tramitancia (T). a) 0,0557

b) 0,0657

287. Un rayo de luz cuasi-monocromático de irradiancia 500 W/m2 incide en aire perpendicu larmente sobre una superficie de un tanque de agua (na=1,33). Hallar la irradiancia trans mitida. a) 450 W/m2

b) 460 W/m2

c) 470 W/m2

d) 480 W/m2

e) 490 W/m2

288. Luz cuasi-monocromática de irradiancia 400 W/m2 incide normalmente sobre la cornea (nc=1,376) del ojo humano. Si la persona está sumergida bajo el agua (na=1,33). Hallar la irradiancia transmitida al interior de la cornea. a) 380 W/m2

b) 385 W/m2

c) 390 W/m2

d) 395 W/m2

e) 400 W/m2

289. I) Hallar la razón de las amplitudes de los coeficientes de reflexión de una interfase aireagua (na= 4/3) con aquella correspondiente a una interfase aire-vidrio crown (ng=3/2), am bas a una incidencia casi-normal. a) 7/10 II)

b) 10/7

c) 5/9

d) 9/5

e) 5/7

¿Cuál es la correspondiente razón de las irradiancias reflejada a incidente, para la interna

Física IV

289

se aire-agua? a) 0,02 II)

b) 0,03

c) 0,04

d) 0,05

e0 0,06

¿Cuál es la correspondiente razón de las irradiancias reflejada a incidente, para la interfa se aire-vidrio crown? a) 0,02

b) 0,03

c) 0,04

d) 0,05

e0 0,06

290. Utilizando la ecuación r=-sen(i-t)/sen(i+t), y la expansión en serie de potencias de la función seno establecer que para una incidencia casi-normal podemos obtener una mejor aproximación que la obtenida en el problema 285, por esta otra, dada por la siguiente rela ción: [-r]i0= (n-1)/(n+1)(1+ i2 /n). 291. Mostrar que para una incidencia casi-normal la ecuación, [-r]i0= (n-1)/(n+1)(1+ i2 /n) es una buena aproximación . [Sugerencia: Use los resultados del problema anterior, la e cuación rII= tg(i-t)/tg(i+t), y la expansión en serie de potencias de las funciones seno y coseno] 292. Verificar que, t+(-r)=1 para todo i, primero de las condiciones de contorno y luego de las ecuaciones de Fresnel. 293. Verificar que, t+(-r)=1 para i=30º en una interfase de aire-vidrio crown (na=1,52). 294. Un bloque de vidrio que tiene un índice de refracción de nv=1,55 es cubierta con una ca pa de agua de índice de refracción de na=1,33. Para luz que viaja en el vidrio, ¿Cuál es el ángulo crítico en la interfase? a) 55,1º

b) 56,1º

c) 57,1º

d) 58,1º

e) 59,1º

295. Usando un bloque de un material desconocido, transparente, se encuentra que un rayo de luz al interior del material es reflejado internamente totalmente en la interfase bloque-aire para un ángulo de 48º. ¿Cuál es su índice de refracción? a) 125

b) 1,30

c) 1,35

d) 1,40

e) 1,45

296. Derivar una expresión para la velocidad de una onda transitoria en el caso de reflexión in terna . Escribir en términos de "vi " y "i " . a) vi sen i

b) vi cos i

c) vi tg i

d) vi ctg i

e) vi csc i

297. Luz que tiene una longitud de onda de o=600 nm en el vació, se propaga en un bloque de vidrio (nv=1,50), incide a 45º sobre una interfase de vidrio-aire. Y es entonces refleja do internamente totalmente. Determinar la distancia en el aire para la cual la amplitud de la onda transitoria decae a un valor de 1/e de su valor máximo en la interfase. a) 1,710-7 m

b) 2,710-7 m

c) 3,710-7 m

d) 4,710-7 m

e) 5,710-7 m

290

Reflexión

298. Utilizando la ley de la refracción, probar que la ecuación vectorial de la refracción, tiene la forma: nt kˆ t -ni kˆ i = (nt cos t - nt cos i) uˆ n . 299. Utilizando la ecuación rII=(Eor/Eoi)II = [(nt/t)cosi- (ni/i)cost]/[(ni/i)cosi + (nt/t)cost] mostrar que para dos medios dieléctricos en general, se cumple que: tg P=[t(ti-it)/ i(tt-ii)]1/2. 300. Haciendo uso de las definiciones de los ángulos azimutal, mostrar que: R=R IIcos2t+ Rsen2t. y T=TIIcos2t+Tsen2t. 301. Demostrar que, TII=sen2i sen2t/[sen2(i+t)cos2(i-t)] y T=sen2i sen2t/[sen2(i+t)] 302. Utilizando los resultados del prob.(301), probar que: RII+TII=1 y R+T=1. 303. Haciendo uso de la expresión I(y)=Ioe-y para un medio absorbente, definimos una canti dad llamada la transmitancia unitaria T1. Para incidencia normal T=It/Ii, y así, cuando y=1, T1I(1)/Io. Si el espesor total de las láminas en el problema es "d" y si ellas ahora tie nen una transmitancia por unidad de longitud de T1, mostrar que: T1= (1-R)2N(T1)d. 304. Mostrar que para incidencia normal sobre el contorno entre dos dieléctricos, cuando nt1 1, R0, y T1. Asimismo, probar que cuando nt11, RII0, R0, TII1, y T1 para todo t. Así, cuando los dos medios adoptan índice de refracción más similares, me nos y menos energía es transportada en la onda reflejada. Por lo mismo, es obvio que cuando nt1=1 no existe interfase y no hay reflexión. 305. Derivar las expresiones para, r= cos i- ( n 2ti -sen2i)1/2/[cos i +( n 2ti -sen2i)1/2], y rII= n 2ti cos i- ( n 2ti -sen2i)1/2/[ n 2ti cos i +( n 2ti -sen2i)1/2], a partir de las ecuaciones generales para r y rII.

306. Mostrar que cuando i>c para una interfase en un dieléctrico rII y r son complejos y r r* = r R * =1. 307. Una onda, linealmente polarizada en el plano de incidencia, incide sobre la interfase entre dos medios dieléctricos. Si ni>nt y i= 'P , no existe onda reflejada, es decir, r ' ('P ) =0, Usando las técnicas de Stokes, muestre que t (P )t ' ('P )  1, r (P )  0 , y t=P. 308. Haciendo uso de las ecuaciones de Fresnel, mostrar que t (P )t ' ('P )  1, como en el pro blema anterior. 309. Trazar la curva de i versus t para una frontera aire-vidrio donde nV=1,5. Discutir la for ma que adopta la curva.

291

Espejos y Lentes

CAP-6

ESPEJOS Y LENTES

2) Radio de curvatura (R) Es el radio de la esfera de la cual forma parte el espejo. 3) Vértice (V) Es el centro geométrico del espejo. 4) Eje principal (X’, X) Es la recta que pasa por el centro de cur vatura y el vértice.

1. ESPEJOS ESFERICOS a) Definición Se llama así a toda superficie en forma de casquete esférico cuya superficie in terna o externa es reflectante. b) Tipos 1) Cóncavo Se llama así al espejo esférico, cuya su perficie reflectante es la interna.

5) Foco (F) Es aquel punto situado en el eje princi pal entre el vértice y el centro de curvatu ra. El foco se caracteriza porque por el pasa los rayos reflejados o sus prolonga ciones, provenientes de rayos incidentes al espejo paralelos al eje principal. Z.R (+)

M

Z.V (-)

f

Z.R (+)

Z.V (-)

C X’





C F





V

F

X

R V

N

2) Convexo Se llama así al espejo esférico, cuya su perficie reflectante es la externa.

6) Distancia focal (f) Es la distancia que existe entre el foco y el vértice del espejo, cumpliéndose que dicha distancia sea igual a la mitad del radio de curvatura. f=R/2.

Z.V (-)

Z.R (+)

V



F



C

c) Elementos 1) Centro de curvatura (C) Es el centro geométrico de la esfera de la cual forma parte el casquete.

7) Abertura (MN) Es aquel segmento ó cuerda que une los puntos extremos del espejo, cuando la a bertura es muy grande se produce el fe nómeno de "aberración" esférico, el cual consiste en la formación de una imagen borrosa de tal manera que el foco deja de ser un punto para convertirse en una man cha. Para observar una imagen nítida se e xige que el ángulo central correspondien te al arco MN sea menor que 200.

292 d) Formación de imágenes

Física IV Segundo caso: El objeto situado en C.

1) Rayos principales Para la formación de imágenes en espe jos esféricos, se toman en cuenta tres ra yos luminosos como los principales, re sultando indispensables dos de ellos. * Un rayo luminoso que incide paralela mente al eje principal se refleja pasando el o su prolongación por el foco. * Un rayo luminoso incidente que pasa el o su prolongación por el foco se refleja paralelamente al eje principal. * Un rayo luminoso incidente que pasa el o su prolongación por el centro de curva tura se refleja sobre si misma.

Z.R (+)

Z.V (-) O F

C 



i

Imagen: Real, invertida y de igual tamaño. Tercer caso: El objeto entre C y F.

2) Espejo convexo

Z.R (+)

Z.V (-)

Z.V (-)

Z.R(+)

O

1

O

V





C

2 V

F

C

Imagen: Virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto.

V

F

i

Imagen: Real, invertida y mas grande. Cuarto caso: Objeto en el foco F.

3) Espejo cóncavo

Primer caso: El objeto más allá de C

Z.R (+)

Z.V (-) O

Z.V (-)

Z.R (+) O 3

C





F

V





C

F i 2

Imagen: No hay imagen. Imagen: Real, invertida y de menor tamaño

Quinto caso: Objeto situado entre F y V

293

Espejos y Lentes Convención de signos Z.R (+)

Z.V (-) i

O 

C



F

V

Convexo

Cóncavo

o (+) siempre

(+) siempre

I (- ) siempre

(+) I. real (- ) I. virtual

f (- ) siempre

(+) I. virtual

A(+) I. derecha

A(-) I. invertida

Imagen: Virtual, derecha y más grande que el objeto. e) Ecuación de espejos Es una ecuación que relaciona la distan cia focal (f), con las distancias objeto (o) e imagen (i), del modo siguiente: 1 2 1 1    f R o i

siendo, (R) el radio de curvatura. f) Aumento (A) Es una ecuación que relaciona los tama ños del objeto (t.o) e imagen (t.i), del mo do siguiente: A

* * *

t.i i  t.o o

Si: A>1 el tamaño imagen es mayor que el tamaño objeto. Si A<1 el tamaño i magen es menor que el tamaño objeto. Si: A es positivo la imagen es derecha y si A es negativo la imagen es invertida. Las posiciones objeto (o) e imagen (i) se toman con sus signos. La distancia imagen (i) puede ser positi vo ó negativo, en la fórmula, se toma (i) con signo.

g) Aplicaciones 1) Los espejos esféricos convexos se utili zan como retrovisores en los automóvi les, en las esquinas de las calles de poca visibilidad, como dispositivos de vigilan cia en los centros comerciales, en los sa lones de belleza y en los cuartos de baño para hacernos el aseo personal, en las ventanas de las edificaciones modernas, etc…. 2) En los hospitales, el dentista, el otorrino laringólogo, el cirujano etc. utilizan espe jos esféricos cóncavos que tienden a con centrar los rayos luminosos en el lugar que desean observar en detalle. 3) Los espejos cóncavos se utilizan en la parte pulida de los faros de los automóvi les. 4) Se utilizan como dispositivos de control muy sensibles, en las naves espaciales.

294 2. LENTES

Física IV 2) Lentes divergentes Son lentes cuya parte central es más del a) Definición gada que sus extremos, haciendo diver Es toda sustancia transparente limitada gir a los rayos refractados en la lente pro por dos superficies, de las cuales por lo venientes de rayos incidentes paralelos. menos una de ellas debe ser esférica. Los rayos refractados divergentes y sus prolongaciones, son concurrentes en un b) Tipos de lentes punto del plano focal. Lente bicóncava 1) Lentes convergentes Son lentes cuya parte central es más an cha que sus extremos, haciendo concu rrir a los rayos refractados provenientes de rayos incidentes paralelos en un pun to del plano focal. Lente biconvexa PLANO FOCAL

Lente plano cóncava

 Lente plano convexa

R.SABRERA

Lente menisco divergente

Lente menisco convergente c) Elementos Z.R (+)

Z.V (-) R2 X

o

o

C2

F0

f o

o

o

F1

C1

R1

X’

295 encuentra en dos zonas denominadas: Zona real Es la zona en la cual no se encuentra el objeto. Zona virtual Es la zona en la cual se encuentra el ob jeto. En la zona real las distancias son positi vas (+) y en la zona virtual las distancias son negativas (-).

Espejos y Lentes 1) Centro óptico (C) Es el centro geométrico de la lente. Este punto se caracteriza porque todo rayo lu minoso que pasa por el no sufre ninguna desviación 2) Centro de curvatura (C1, C2) Son los centros geométricos de las super ficies esféricas que limitan la lente. 3) Radio de curvatura (R1, R2) Son los radios de las superficies esféricas que limitan la lente. Se denomina "R1" al radio de la esfera que está frente al objeto y "R2" al radio de la esfera que no está frente al objeto. 4) Eje principal (X', X) Es aquella recta que pasa por los centros de curvatura y el centro óptico. 5) Foco objeto (F0) Es el foco de la lente que se encuentra en la región donde está el objeto. 6) Foco imagen (Fi) Es el foco de la lente que se encuentra en la región donde no está el objeto. 7) Foco principal (F) Es aquel punto situado en el eje princi pal por el cual van a pasar los rayos re fractados o sus prolongaciones de éstos, provenientes de rayos incidentes a la len te paralelos al eje principal. El foco prin cipal puede ser el foco objeto o el foco i magen. 8) Distancia focal (f) Es la distancia entre el foco principal y el centro óptico de la lente. 9) Zonas Toda lente divide el espacio en el cual se

c) Aberración Se llaman aberraciones a las desviacio nes (imperfecciones) de las imágenes rea les de una imagen ideal predicha por la teoría simple. Estas deformaciones que presentan las imágenes son producidas en gran medida por los defectos en la con figuración y forma de los lentes. Las lentes pueden producir diversas for mas de aberraciones, tales como: 1) Aberración esférica Ocurre cuando la luz que atraviesa el len te a diferentes distancia del eje óptico se enfoca en diferentes puntos. 2) Astigmatismo Es una aberración que ocurre para obje tos no localizados sobre el eje óptico de la lente. 3) Aberración de coma Ocurre cuando la luz que pasa a través del lente del eje óp tico y la luz que pasa a través de la lente cerca del foco del lente, se enfocan en di ferentes partes del plano focal. 4) Aberración cromática, Ocurre cuando los rayos luminosos pasan cerca de los extremos de la lente, en el cual la imagen que se forma es coloreada como resultado que la luz se dispersa o se descompone en sus colores componen tes. d) Rayos principales

296

Física IV Para la formación de imágenes en una lente se tomarán en cuenta tres rayos lu minosos considerados como principales 1) de los cuales resultan indispensables sóla mente dos el tercero se utiliza para com probación. 1) Un rayo luminoso que partiendo del ob 2) jeto incide en la lente paralelamente al e je principal, se refracta para luego pasar el o su prolongación por el foco princi 3) pal.

F o

o

La imagen en una lente se forma utilizan do tres rayos, los cuales son: Un rayo luminoso que partiendo del obje to incide en la lente paralelamente al eje principal, se refracta para luego pasar el o su prolongación por el foco principal. Un rayo luminoso que partiendo del obje to, pasa por el centro óptico sin desviar se. Un rayo luminoso que partiendo del obje to, pasa por el foco objeto, y se refracta el o su prolongación paralelo al eje prin cipal.

e) Formación de imágenes 1) Lentes divergentes En este caso el foco principal es el foco objeto F0

2) Un rayo luminoso que parte del objeto, pasa por el centro óptico sin desviarse.

1

O

i o

o

o

F0

C

o

Fi 2

o

o

C

Z.V (-)

Z.R (+)

Imagen: Virtual, derecha, y de menor tamaño 3) Un rayo luminoso que parte del objeto, pasa por el centro óptico sin desviarse.

2) Lentes convergentes En este caso el foco principal es el foco imagen Fi. Primer caso: El objeto más allá de C2. Z.V (-)

o

o

Z.R (+)

1 2 Fi

3 o

0

e) Formación de imágenes

C2

o

F0

o

C

o

i

C1 o

297 Quinto caso: El objeto situado entre el foco F0 y el centro óptico.

Espejos y Lentes Imagen : Real, invertida y de menor tamaño Segundo caso: El objeto en C2. Z.V. ( - )

Z.R (+)

Z.V (-)

Z.R. (+) o

o

i F1 o C2

o

F0

o

F0

F1

o

o

C

o

C1

o

o

i

Imagen: Virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto. Imagen: Real, invertida y de igual tamaño Tercer caso: El objeto entre C2 y F

Z.V (-)

f) Ecuación de lentes Es una ecuación que relaciona la distan cia focal (f), con las distancias objeto (o) e imagen (i), del modo siguiente:

Z.R (+)

1 1 1   f o i

o o

o

o

o

F1

F0

C2

o

g) Ecuación del fabricante lentes

C1 i

n0 R1

Imagen: Real, invertida y de mayor tamaño que el objeto.



n C1

R2

R.SABRERA

Cuarto caso: El objeto situado en el foco. Z.V (-)

Z.R (+)

o o

C2

o

F0

o

o

F1

o

C1

S2

C2

S1

Es una ecuación que relaciona la distan cia focal (f), con los índice de refracción de la lente (n), medio (n0) y los radios de curvatura (R1), (R2) de las superficies (1) y (2) de la lente, del modo siguiente: 1 n  n0 1 1 ( )(  ) f n0 R1 R2

Imagen: No se forma imagen.

El índice de refracción del aire es n0=1.

298 Física IV en contacto, puede sustituirse por una so h) Aumento (A) Es una ecuación que relaciona los tama la lente de distancia focal (f), dada por: ños del objeto (t.o) e imagen (t.i), del mo 1 1 1 do siguiente:   f

A

t. i i  t. o o

f1

f2

Segundo caso f2

f1

Si: A>1 el tamaño imagen es mayor que el tamaño objeto, y si A<1 el tamaño i magen es menor que el tamaño objeto. i) Potencia de una lente Se llama potencia de una lente a la inver sa de la distancia focal (f), esto es: P

Dos lentes de distancias focales f1, f2 que tienen el mismo eje principal, y cuyos centros están separados una distancia (d) puede sustituirse por una sola lente de dis tancia focal (f), dada por:

1 f

La potencia de una lente mide su capaci dad para enfocar los rayos paralelos a u na distancia corta de la misma. Cuanto más corta es la distancia focal, mayor es la potencia. La potencia de una lente puede ser positi va o negativa, así, la potencia de una len te convexa es positiva y la potencia de u na lente cóncava es negativa.

 Unidad: La potencia (P) de una lente se -1

mide en dioptrías=m .  Lentes equivalentes Primer caso f1

d

1 1 1 d    f f1 f 2 f1 f 2 Convención de signos o (+) siempre i

(+) I. real

(-) I. virtual

f

(+) I. convergente

(-) I. divergente

A (+) I. derecha f2

o = objeto f = foco

(-) I. invertida i = imagen A = aumento

j) Aplicaciones

Dos lentes de distancias focales f1, f2 que tienen el mismo eje principal, y que están

1) El ojo humano Es el órgano de la visión, está formado por los elementos protectores (párpados, cejas, etc.) y por el “globo ocular” que es tá constituido por membranas que encie

299 nuye la distancia focal y, por lo tanto, la amplificación aumenta, pero también au mentan las aberraciones (distorsiones) es féricas, por lo cual siempre debe restrin girse el campo.

Espejos y Lentes *

*

*

*

rran medios transparentes que son las “lentes” naturales del hombre. Retina Es la membrana mas interna del ojo y se la reconoce como una prolongación del nervio óptico, esta formada por fibras ner viosas que la hacen sensible a la luz. Las terminaciones nerviosas de la retina son los “conos” y “bastoncillos” que, junto con la púrpura retiniana, reciben y trans miten al nervio óptico la sensación lumi nosa que este lleva al cerebro Cornea Es una membrana transparente, de espe sor variable y con un índice de refracción de 1,376. Cristalino Es una verdadera lente convergente con un índice de refracción de 1,4085 y la ca pacidad de cambiar de forma según los estímulos exteriores que recibe. Iris Actúa como diafragma regulando la canti dad de luz que penetra en el ojo.

2) La lupa

3) El microscopio









Es una sencilla lente convergente bicon vexa o plana convexa, usualmente mon tada sobre una armadura que permite sos tenerla en la mano o en un pie especial. Comúnmente se utiliza para examinar de talles de objetos, para leer impresos con caracteres de letra muy pequeños, etc. La imagen lograda con una lupa es vir tual, mayor y de igual sentido que el ob jeto observado. En la lupa simple, dismi

Es un instrumento óptico formado básica mente por dos lentes convergentes: el o cular y el objetivo. El objetivo tiene dis tancia focal pequeña y esta ubicada proxi mo al objeto que se observa. El ocular tiene mayor distancia focal y es ta ubicado al lado del ojo del observador. Las dos lentes están ubicadas de forma que sus ejes coincidan. La imagen que se obtiene con un micros copio es virtual, mayor y de sentido con trario al objeto observado. En la actualidad existen muy diversos ti pos de microscopios, cada uno de ellos con distintas tecnologías de avanzada y que incluyen las últimas mejoras que, día a día, los científicos van descubriendo.

4) El anteojo de Galileo Este fue el primer instrumento para reali zar observaciones a distancia. En forma similar al microscopio, también consta de dos lentes pero, en este caso, una es diver gente (el ocular) y la otra es convergente (el objetivo). La imagen que se obtiene, es virtual.  El vocablo “anteojos”, acepta varios sig nificados, que van desde los que se utili zan delante del ojo humano, hasta los co

300

Física IV munes “largavistas”. Sin embargo, todos original) está proyectado en la pantalla ellos tienen por finalidad contribuir de u (que es la hoja de papel). na u otra manera a mejorar la calidad de la visión que el ser humano puede tener sobre el mundo que lo rodea, ya sea por corrección de las imágenes, por aproxi mación de ellas o por amplificación.

5) El telescopio 

Es un instrumento óptico empleado para observar objetos muy grandes que se en cuentran a muy lejanas distancias como por ejemplo estrellas, cometas, planetas, entre otros. La primera persona que des cubrió este instrumento por casualidad fue el fabricante de gafas Hans Lipeer shey un cierto día cuando sostenía en ca da una de sus manos una lente y al mirar por ellas pudo observar a gran distancia el gallo de la catedral muy cercano a él, entonces él montó las lentes en un tubo con la finalidad de conservar la distan cias relativas de las lentes. De esta for ma inventó uno de los instrumentos ópti cos de más ayuda para la humanidad y para el campo científico para descubrir los fabulosos misterios del Universo. 6) La fotocopiadora La mayoría de las veces usamos una foto copiadora, para hacer una copia exacta de una página. Una máquina fotocopia dora básicamente implica colocar un ori ginal sobre el vidrio, bajo el cual hay len tes, y bajo la lente hay otro papel en el que se hará la copia. El objeto (que es el

Bajo la mayoría de circunstancias, la má quina fotocopiadora estará implicada en la situación del caso 3. Esto es cuando el objeto está a 2F, y la imagen formada de be tener el mismo tamaño, real e inverti do, esto usualmente no nos preocupa por que podemos voltear la hoja para volver la a la posición correcta.

7) La cámara fotográfica

Una cámara fotográfica o cámara de fo tos es un dispositivo utilizado para tomar o capturar imágenes y almacenarlas en un medio de material sensible a la luz ba sándose en el principio de la cámara os cura, con la cual se consigue proyectar una imagen captada por un pequeño agu jero sobre una superficie, de tal forma que el tamaño de la imagen queda reduci do y aumentada su nitidez Las cámaras actuales pueden ser sensi bles al espectro visible o a otras porcio nes del espectro electromagnético y su u so principal es capturar el campo visual.

Espejos y Lentes 5. FOTOMETRIA 

a) Conceptos fundamentales 1) Visión La visión es un sentido que consiste en la habilidad de detectar la luz y de interpre tarla (ver). La visión es propia de los ani males teniendo éstos un sistema dedicado a ella llamado sistema visual. La visión artificial extiende la visión a las máqui nas.  La primera parte del sistema visual se en carga de formar la imagen óptica del estí mulo visual en la retina (sistema óptico). Esta es la función que cumplen la córnea y el cristalino del ojo.  Las células de la retina forman el sistema sensorial del ojo. Las primeras en interve nir son los fotorreceptores, los cuales cap turan la luz que incide sobre ellos Sus dos tipos son los conos y los bastones. O tras células de la retina se encargan de transformar dicha luz en impulsos electro químicos y en transportarlos hasta el ner vio óptico. Desde allí, se proyectan a im portantes regiones como el núcleo geni culado lateral y la corteza visual del cere bro.  En el cerebro comienza el proceso de re construir las distancias, colores, movimi entos y formas de los objetos que nos ro dean. Existen tres tipos de visión: * Visión fotópica Es la visión que tiene lugar con buenas condiciones de iluminación (a plena luz del día). Esta visión posibilita la correcta interpretación del color por el ojo. Está basada en la respuesta de los conos, uno de los dos tipos de fotorreceptores de la retina (conos y bastones). Los conos son mucho menos sensibles a la luz que los bastones, por lo que sólo se activan cuando los niveles de iluminación son su

*

*

301

ficientemente elevados. Existen tres tipos de conos: azules, ver des y rojos. Cada uno de ellos posee un fotopigmento con una curva característi ca de absorción respecto de la longitud de onda. Este hecho constituye el punto de partida fisiológico para la percepción del color. Visión escotópica Es aquella percep ción visual que se pro duce con niveles muy bajos de ilumina ción. La agudeza visual es baja y la recep ción de luz es principalmente con los bas tones de la retina, que son sensibles al co lor azul del espectro (y por ende, ciego al rojo). No es posible una discriminación del color en este tipo de visión: es una visión monocromática. Otra característica de la visión escotópi ca es que, como los bastones se encuen tran en la periferia de la retina (a unos 6º de la fóvea), es una percepción visual pe riférica. Visión mesópica La visión mesópica es una visión interme dia (intermedia entre la fotópica y la esco tópica) que se da en situaciones de ilumi nación, que sin llegar a la oscuridad total, tampoco llegan a ser la luz de un día a pleno sol. Se trata, principalmente, del ti po de visión empleado en condiciones de luz artificial, donde tanto conos como bastones entran en juego.

2) Colorimetría La colorimetría es la ciencia que estudia la medida de los colores y que desarrolla métodos para la cuantificación del color, o sea para la obtención de valores numé ricos del color. 3) Fotómetro Un fotómetro es un dispositivo sencillo relativamente barato para los análisis por

302

Física IV perceptivamente será indistinguible del fondo.

absorción, posee fácil mantenimiento y resistencia que pueden no tener espectro fotómetros más sofisticados. Además, cuando en el análisis no se necesita una pureza espectral elevada (y frecuentemen te es así), el fotómetro proporciona medi das tan precisas como las obténidas con instrumentos más complejos. 4) Brillo El lustre o brillo es una propiedad física que describe la manera en que la luz in teractúa con la superficie de una roca, cristal o mineral y se refleja en ella. De pende de varios factores, tales como el ín dice de refracción del mineral, la perfec ción en el pulido de las caras del cristal, la absorción que el mineral tiene de cada color del espectro visible. El brillo es el resultado de la reflexión y la refracción de la luz en la en la superfi cie de un mineral Existen tres tipos de brillos; metálico, no metálico y mate. 5) Contraste El contraste se define como la diferencia relativa en intensidad entre un punto de u na imagen y sus alrededores. Un ejemplo simple es el contraste entre un objeto de brillo constante sobre un fon do de un brillo constante. Si ambas super ficies tienen el mismo brillo, el contraste será nulo, y el objeto tanto física como

6) Luz negra Luz negra es el nombre común que se da a las lámparas que emiten radiación elec tromagnética ultravioleta cercana, con u na componente residual muy pequeña de luz visible. Las lámparas de luz negra son hechas generalmente del mismo mo do que las lámparas fluorescentes conven cionales, excepto que utilizan un único fósforo, y en lugar del cristal transparente exterior emplean un cristal oscuro conoci do como cristal de Wood, que bloquea la mayor parte de "luz visible" sobre los 400 nanómetros. 7) Fenómenos luminosos Los fenómenos naturales que emiten luz, consisten en: * Fosforescencia Propiedad que presentan algunos cuerpos especialmente el fósforo de continuar e mitiendo luz por un cierto tiempo luego de haber sido iluminados. Actualmente e xisten sustancias que adquieren perma nentemente esa propiedad al ser someti das a ciertas radiaciones y se usan en re lojes luminosos, placas de luz, carteles, pintura de indicadores en las carreteras, etc. * Fluorescencia Propiedad de ciertas sustancias de emitir luz por breve tiempo, al ser sometidas a ciertas descargas o radiaciones. Estos e fectos se utilizan con gases como el fluor o el neón en los tubos fluorescentes o lu minosos comerciales; y también en las pantallas de TV y monitores de computa dor. * Bioluminiscencia Propiedad que presentan algunos organis mos vivos de emitir luz; lo que realizan

303 que emerge de una superficie por unidad de área también se le denomina emitan cia luminosa.

Espejos y Lentes debido a reacciones químicas que ocu rren en sus células y que cumple funcio nes de reconocimiento, defensa y atrac ción sexual. Ocurre en las luciérnagas, al gunos hongos, bacterias y algas (que dan fenómenos luminosos en el mar) y ciertos peces de los abismos marinos. b) Flujo luminoso El flujo luminoso se representa con el símbolo (), y se define como la poten cia (W) emitida en forma de radiación luminosa a la que el ojo humano es sensi ble. Así, cuando hablamos de 25 W o 60 W nos referimos sólo a la potencia consu mida por el foco de la cual solo una parte se convierte en luz visible, a la cual llama mos flujo luminoso. Empíricamente se de muestra que a una radiación de 555 nm de 1 W de potencia emitida por un cuer po negro le corresponden 683 lumen. A la relación entre watts y lúmenes se le llama equivalente luminoso de la energía y equivale a: 1 watt-luz a 555 nm = 683 lm

 Unidad: El flujo luminoso () se mide en lumen (lm). c) La iluminancia La iluminancia (E) es la cantidad de flu jo luminoso que incide sobre una super ficie por unidad de área, viene dado por: E



 A

siendo, "" el flujo luminoso, y " A" el área de la superficie donde se mide la ilu minancia. Tanto la iluminancia como el nivel de i luminación se pueden medir con un apa rato llamado fotómetro. A la iluminancia

LUX

A d



Por ejemplo, si colocamos la linterna cer ca de la pantalla, observamos un circulo pequeño fuertemente iluminada, y si lo u bicamos lejos de la pantalla observare mos un circulo mas grande pero débil mente iluminado.

Unidad: La iluminancia (E) se mide en Lux (lx) d) La intensidad luminosa La intensidad luminosa se define como la cantidad de flujo luminoso () que emite una fuente por unidad de ángulo sólido () en una dirección dada, esto es: I

  2 1



A1

A2

Como, 1=2, entonces I1=I2. La intensidad luminosa se puede definir a partir de la magnitud radiométrica de la

304

Física IV intensidad radiante sin más que ponderar g) La luminancia cada longitud de onda por la curva de sen La luminancia se define como la densi sibilidad del ojo. dad angular y superficial de flujo lumino so que incide, atraviesa o emerge de una superficie siguiendo una dirección deter  Unidad: La intensidad luminosa (I) se minada. Alternativamente, también se mide en candelas (cd). puede definir como la densidad superfi cial de intensidad luminosa en una direc e) La cantidad de luz ción dada, esto es: La cantidad de luz o energía luminosa se denota como (Q), y se utiliza para deter I minar el flujo luminoso que es capaz de L A cos  dar un flash fotográfico o para comparar diferentes lámparas según la luz que emi siendo, " I" la intensidad luminosa, " A" ten durante un cierto periodo de tiempo. área de la superficie, y "" ángulo entre Si el flujo luminoso () se mantiene la normal a la superficie y la dirección constante en un periodo de tiempo (t), en considerada. tonces, la cantidad de luz, viene dado por: h) Ley inversa de los cuadrados Esta ley establece que la iluminancia (E) Q  .t es igual, a la intensidad luminosa (I) divi dido entre el cuadrado de la distancia (r) a la fuente luminosa, esto es:  Unidad: La cantidad de luz (Q) se mide en lumen por segundo (lms) I E 2 r

f) La irradiancia La irradiancia es la magnitud utilizada pa ra describir la potencia incidente por uni dad de superficie de todo tipo de radia ción electromagnética. En unidades del sistema internacional se mide en W/m2.  En electromagnetismo se define la irra diancia como el valor de la intensidad e nergética promedio de una onda electro magnética en un punto dado y se calcula como el valor promedio del vector de Poynting.  La irradiancia sirve de base para la defi nición de magnitudes físicas similares, entre las que la radiancia (energía emiti da por unidad de superficie y por unidad de ángulo sólido) es la más utilizada.

 Unidad: La irradiancia se mide en W/m2

r2

A1

A2

r1

Ahora, como la intensidad luminosa que pasa por las superficies de áreas " A1" , " A 2 " situados a las distancias " r1 " , " r2 " es el mismo, entonces de la ecua ción anterior, obtenemos: E1 r22  E 2 r12 

Cuando el rayo de luz no incide perpen dicularmente a la superficie iluminada, se

305 centaje de eficiencia. Por ejemplo, un fo co corriente suele emitir un 85% de la e nergía eléctrica gastada en forma de calor y otras radiaciones, y un 15% efectiva mente en iluminación visible, por lo que, es muy ineficiente. El rendimiento de algunas fuentes de luz son: Foco corriente 15 % Lámpara halógena 20 % Fluorescente 70 %

Espejos y Lentes utilizan las componentes horizontal (EH) y vertical (EV) de la iluminación, así: EH 

I cos  r2

y EV 

I sen  r2

Como, r=h.cos , entonces las expresio nes, quedan así: EH 

I cos3  h2

y EV 

-

I cos 2  sen  h2

* 

N



h1 h2

R.SABRERA

A1  A2

Como la intensidad luminosa (I) es el mis mo para las superficies de áreas " A1 " , " A 2 " , tenemos que: E1, H E 2, H

h 22

 2 h1

siendo, " h1" , " h 2 " las alturas a la que se encuentran las superficies, respecto de la fuente luminosa (foco). i) Rendimiento luminoso Llamado también eficiencia se represen ta con el símbolo (), y se define como el flujo luminoso () por unidad de po tencia suministrada (PS) por la fuente de luz (foco), esto es: 

 PS

Se entiende este valor en términos de por

Lampara halógena Es una variante de la lámpara incandes cente, en la que el vidrio se sustituye por un compuesto de cuarzo, que soporta mu cho mejor el calor (lo que permite lámpa ras de tamaño mucho menor, para po tencias altas) y el filamento y los gases se encuentran en equilibrio químico, mejo rando el rendimiento del filamento y au mentando su vida útil.

 Unidad: La unidad del rendimiento es el lumen/vatio (lm/W) j) Aplicaciones de fotometría En espectrometría de llama se consigue que los átomos emitan pocas lineas por que la temperatura que se alcanza con la llama es pequeña. Solo se consigue que pocos átomos pasen del nivel fundamen tal a niveles activados. No se puede usar para analisis cualitativo, se emplea para a nalisis cuantitativo. Se emplea para deter minar la concentracion de sodio, potasio, calcio en materiales biológicos (suero san guineo). Podemos preguntarnos por la precisión, exactitud, sensibilidad, selecti vidad o versatilidad del método.

306

Física IV

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Un objeto de 10 cm de altura está situado a 180 cm de un espejo convexo esférico de ra dio de curvatura 90 cm. Hallar el tamaño de la imagen. a) 0,5 cm

b) 1,0 cm

c) 1,5 cm

d) 2,0 cm

e) 2,5 cm

02. Un objeto frente a un espejo esférico genera una imagen virtual de tamaño doble si la dis tancia entre el objeto y la imagen es 30 cm. ¿A qué distancia del espejo se encuentra el ob jeto? a) 2 cm

b) 4 cm

c) 6 cm

d) 8 cm

e) 10 cm

03. ¿Cuál es el radio de curvatura de un espejo de afeitar que aumenta al doble el tamaño de un rostro situado a 30 cm del espejo? a) 60 cm

b) 80 cm

c) 100 cm

d) 120 cm

e) 140 cm

04. Con un espejo cóncavo se obtiene una imagen invertida tres veces el tamaño del objeto, si la distancia objeto-imagen es de 28 cm. Hallar el radio de curvatura del espejo. a) 21 cm

b) 23 cm

c) 25 cm

d) 27 cm

e) 29 cm

05. Un espejo esférico cóncavo de 20 cm de radio se utiliza para proyectar la imagen de un cuerpo sobre una pantalla situado a 110 cm. I) Hallar la distancia objeto. a) 3 cm II)

b) 5 cm

c) 7 cm

d) 9 cm

e) 11 cm

Describir la imagen. a) Real, derecha y de mayor tamaño. b) Real, derecha y de menor tamaño. c) Real, invertida y de mayor tamaño. d) Real, derecha y de igual tamaño. e) Real, invertida y de menor tamaño

06. Dos objetos se encuentran frente a un espejo cóncavo de 60 cm de radio de curvatura, el primero se encuentra 10 cm delante del foco y el segundo 10 cm detrás del foco. Hallar la distancia entre las imágenes de los objetos. a) 120 cm

b) 140 cm

c) 160 cm

d) 180 cm

e) 200 cm

07. Una cámara oscura se utiliza para formar la imagen de un objeto de 2 m de alto, el cual se sitúa a 10 m delante de la cámara. Si la distancia desde el pequeño orificio, de entrada de luz a la cámara, hasta el plano donde se forma la imagen es, 0,1 m.¿Cuál será la altura de la imagen? a) 1cm

b) 2 cm

c) 3 cm

d) 4 cm

e) 5 cm

307 08. Un objeto de 20 mm se encuentra a 40 cm de una lente cuya distancia focal es 80 cm. Hallar la distancia y el tamaño de la imagen.

Espejos y Lentes

a) 40 cm ; 80 cm

b) 80 cm ; 40 cm c) 30 cm ; 60 cm d) 60 cm; 30 cm e) 50 cm ; 25 cm

09. A 4 cm de una lente convergente de 10 cm de distancia focal, se ubica un objeto lumino so de 12 cm de tamaño. Hallar el tamaño de la imagen. a) 14 cm

b) 16 cm

c) 18 cm

d) 20 cm

e) 22 cm

10. La imagen formada por una lente conver gente es virtual, derecha y tres veces mayor que el objeto. La distancia focal de la lente es de 120 mm. I) Hallar la distancia objeto. a) 60 mm II)

b) 70 mm

c) 80 mm

d) 90 mm

e) 100 mm

c) 360 mm

d) 480 mm

e) 600 mm

Hallar la distancia imagen. a) 120 mm

b) 240 mm

11. Resolver el problema anterior considerando que la imagen es real. I) Hallar la distancia objeto. a) 50 mm II)

b) 100 mm

c) 150 mm

d) 200 mm

e) 250 mm

c) 400 mm

d) 500 mm

e) 600 mm

Hallar la distancia imagen. a) 200 mm

b) 300 mm

12. Se tiene una lente biconvexa de vidrio de índice de refracción 1,5. El radio de curvatura anterior de la lente es 15 cm y el de la superficie posterior es -30 cm (aire, n0=1) I) Hallar la distancia focal (f) a) 10 cm II)

b) 20 cm

c) 30 cm

d) 40 cm

e) 50 cm

c) 3 m-1

d) 4 m-1

e) 5103 m-1

Hallar el poder dióptrico de la lente. a) 1 m-1

b) 2 m-1

13. Un objeto de 10 mm se ubica a 0,1 m de una lente divergente de distancia focal igual a 0,2 m. I) Trazando rayos obtenga la imagen y describálo. II) Hallar la distancia imagen. a) 5/3 cm

b) 10/3 cm

c) 20/3 cm

d) 7/12 cm

e) 4/3 cm

c) 6 mm

d) 8 mm

e) 10 mm

III) Hallar el tamaño dela imagen. a) 2 mm

b) 4 mm

308 Física IV 14. Se tiene una lente plano-convexa de vidrio (n=1,5) de radio de curvatura 0,4 m. Si un ob jeto se ubica a 2 m de la lente (aire n0=1) I) Hallar la distancia imagen. a) 1,1 m II)

b) 1,3 m

c) 1,5 m

d) 1,7 m

e) 1,9 m

Si el objeto y la lente se sumergen en agua (n=4/3). Hallar la distancia imagen a) 5,1m

b) 5,3 m

c) 5,5 m

d) 5,7 m

e) 5,9 m

15. Se construye una lente bicóncava de aire y se sumerge en agua (n=4/3). Los radios de curvatura son iguales a -4 cm y +4 cm. Hallar la distancia focal de la le te de aire en agua. a) 2 cm

b) 4 cm

c) 6 cm

d) 8 cm

e) 10 cm

16. El radio de las dos superficies de una lente biconvexa es de 28,0 cm. Si la distancia focal es de 26,2 cm. ¿Cuál es el índice de refracción de la lente? (n0=1) a) 1,51

b) 1,53

c) 1,55

d) 1,57

e) 1,59

17. Una lente plano-convexa de distancia focal 18 cm, se construye de cuarzo de índice de re fracción 1,54. ¿Cuál debe ser el radio de la lente? (aire n0=1) a) 5,72

b) 6,72

c) 7,72

d) 8,72

e) 9,72

18. Un objeto está ubicado a 100 cm de una pantalla. ¿A qué distancia del objeto debe colo carse una lente convergente de distancia focal f=16 cm para que en la pantalla se pueda ver una imagen nítida del objeto? a) 20 cm y 80 cm

b) 60 cm y 40 cm c) 70 cm y 30 cm d) 65 cm y 35 cm e) 55 cm y 45 cm

19. En la Fig01, la lente convergente tiene índice de refracción n=1,5. Si x=30 cm y y=60 cm. Hallar la distancia focal (f) de la lente. a) 10 cm

b) 20 cm

c) 30 cm

d) 40 cm

e) 50 cm

AIRE

y

n

0



x

 R.SABRERA

Fig01

 530

Fig02

20. Hallar el índice de refracción de un cristal cúbico, sabiendo que un rayo luminoso incide

309 en una de las caras del cubo con un ángulo de incidencia igual a 45 , y emerge coincidien do con una de las caras del cubo.

Espejos y Lentes

0

a) 1,1

b) 1,3

c) 1,5

d) 1,7

e) 1,9

21. Un foco luminoso se encuentra en el centro de un pozo que contiene un líquido de índice de refracción n=5/4. Si se logra ver la emergencia de luz del foco,¿ A qué profundidad se encuentra el foco, si el diámetro del pozo es 16 m ? Dar como respuesta la altura máxima, tal que el pozo se encuentre totalmente iluminado. a) 1 m

b) 2m

c) 4 m

d) 6 m

e) 8 m

22. En la Fig02, el rayo luminoso incide con un ángulo de 530 respecto de la normal sobre la es fera de vidrio de índice de refracción n= 4/3. Hallar el ángulo "" que forma el rayo e mergente respecto del incidente. a) 300

b) 320

c) 340

d) 360

e) 380

23. En la Fig03, sobre la mitad de la esfera de vidrio de radio r=3,0 cm, e índice de refrac ción n=5/4, incide un haz de rayos paralelos Hallar el radio del círculo brillante que se for ma sobre la pantalla situada a la distancia d=13,0 cm del centro de la esfera. a) 4,0 cm

b) 5,0 cm

c) 5,0 cm

d) 5,5 cm

e) 6,0 cm

PANTALLA

HAZ

(1)

n (2)

d

Fig03

Fig04

24. Un buceador se encuentra sumergido en el fondo de un lago. Si la distancia entre los ojos del buceador y la superficie li bre del lago es H=1,5 m, hallar el radio " R" del círculo luminoso que verá sobre él. El índice de refracción del lago es n=5/4. a) 1,0 m

b) 1,5 m

c) 2,0 m

d) 2,5 m

e) 3,0 m

25. En la Fig04, el siguiente sistema óptico, hallar geométricamente el foco principal y la tra yectoria que seguirá el rayo luminoso (1). 26. En la Fig05, la lente de material sintético de índice de refracción n=1,5, está sumergido en un líquido transparente de índice de refracción n0=2,0. Hallar la distancia focal de la lente, x=40 cm, ¿La lente es convergente ó divergente?

310

Física IV a) -1.0 m

b) -1,2 m

c) -1,4 m

d) -1,6 cm

e) -1,8 m

27. En la Fig06, el sistema óptico mostrado, determinar geométricamente el foco principal y la trayectoria que seguirá el rayo luminoso (1). LIQUIDO (1)

x

n

n0

(2)

Fig05

Fig06

28. ¿A qué distancia de una lente divergente de distancia focal f=60 cm, debe ubicarse un ob jeto de tamaño t.o=10 cm, para que la imagen sea derecha y de tamaño t.i=2 cm? a) 120 cm

b) 240 cm

c) 320 cm

d) 360 cm

e) 160 cm

29. La distancia focal de una lente divergente de índice de refracción n=1,5 cuando está ro deado de aire es f1=3 cm. Hallar la distancia focal (en cm), cuando la lente se sumerge en un medio de índice de refracción n2=1,7?. a) 12,00

b) 12,25

c) 12,50

d) 12,75

e) 13,00

30. Ubicando un objeto a 80 cm de una lente convergente se obtiene una imagen real de 15 cm de longitud y colocando a 50 cm, se obtiene otra imagen real de 30 cm. Hallar la dis tancia focal de la lente. a) 10 cm

b) 15 cm

c) 20 cm

d) 25 cm

e) 30 cm

31. Un objeto situado a la distancia de o=1 m de una lente de vidrio plano cóncava de índice de refracción n=1,5 da una imagen real i=40 cm. Hallar el radio de curvatura (en cm) de la lente. a) 14,09

b) 14,29

c) 14,49

d) 16,29

e) 18,29

32. Una lente delgada convergente forma una imagen real de un objeto axial en un punto a 24 cm al lado opuesto de la lente Cuando la distancia del objeto se reduce a 2/3 de su valor inicial, la distancia de la imagen aumenta a 27 cm. Hallar: I) La distancia focal (en cm) de la lente. a) 19,04 II)

b) 19,24

c) 19,44

d) 19,64

e) 19,84

El radio de curvatura (en cm), si la lente es bicóncava de índice de refracción 1,6.

311

Espejos y Lentes a) 23,17 33. I) II) III)

c) 23,57

d) 23,77

e) 23,97

Respecto de las lentes, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): El microscopio es un instrumento forma do por una lente convergente y otra divergente. Para corregir la presbicia se utiliza una lente plano-convexa. La aberración cromática transversal se presenta, cuando la lente tiene diferentes distan cias focales para distintas longitudes de onda. a) FVF

34. I) II) III)

b) 23,37

b) VVF

c) VFV

d) VFF

e) FFV

Respecto de las lentes, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): En una lente divergente la imagen siempre es virtual. En una lente el foco principal siempre es el foco objeto. El astigmatismo es una aberración que ocurre para objetos localizados sobre el eje óptico de la lente. a) FVF

b) VVF

c) VFV

d) VFF

e) FFV

35. Respecto de la luz, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I) En los fenómenos de interferencia, difracción y polarización la luz se comporta como par tícula. II) Siempre viaja en línea recta a la velocidad de 3108 m/s, en todo medio. III) La velocidad con la que viaja la luz en el agua es menor que en el aire. a) FVF

b) VVF

c) VFV

d) VFF

e) FFV

36. Respecto de la Optica, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I) La Optica Física, estudia los fenómenos luminosos, asumiendo que la naturaleza de la luz es corpuscular. II) Un sistema óptico se llama dióptrico, si están formados sólo por superficies refractantes (lentes) III) Un sistema óptico se llama cataóptrico si están formados sólo por superficies reflectantes (espejos). a) FVF

b) VVF

c) VFV

d) VFF

e) FVV

37. Respecto de un prisma, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas: I) El ángulo de desviación del rayo de luz incidente, depende del ángulo de abertura del pris ma. II) En la dispersión de la luz, el ángulo de desviación mínima del amarillo es mayor que la del azul III) Si el ángulo de desviación mínima es 300 y el ángulo de abertura 600, el ángulo de inci dencia es 300. a) FVF

b) VVF

c) VFV

d) VFF

e) FFV

38. Respecto de las lentes, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F):

312 Física IV I) La lupa es un dispositivo constituido por una lente bicóncava. II) Para corregir la miopía se utilizan las lentes menisco convergente. III) La distancia focal equivalente de dos lentes en contacto de distancias focales f y 2f es 3f/2. a) FVF

b) VVF

c) VFV

d) VFF

e) FFV

39. Respecto de la fotometría, indicar las proposiciones verdaderas o falsas: I) El flujo luminoso en todo el espacio debido a una fuente de luz puntual de 10 candelas es 40 lumen. II) La luminancia (L) en el Sistema Internacional se mide en candela/segundo. III) La fuente de luz doméstica que tiene mayor rendimiento es la lámpara halógena. a) FVF

b) VVF

c) VFV

d) VFF

e) FFV

40. Respecto de los espejos, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I) El aumento de un espejo esférico, siempre es mayor que la unidad. II) El número de imágenes de un objeto situado entre dos espejos que forman un ángulo de 400 entre si es 9. III) Al situar un objeto entre dos espejos planos paralelos, el número total de imágenes forma das es cuatro. a) FVF

b) VVF

c) VFV

d) VFF

e) FFF

41. Un espejo plano se desplaza paralelamente, respecto de un objeto una distancia de 4 cm. Hallar la distancia que se desplaza la imagen. a) 1 cm

b) 2 cm

c) 4 cm

d) 6 cm

e) 8 cm

42. Un espejo cóncavo tiene un radio de R =10 cm. La base del espejo tiene un radio de r=8 cm. I) Hallar la aberración esférica del espejo. a) 3,0 cm II)

b) 3,2 cm

c) 3,4 cm

d) 3,6 cm

e) 3,8 cm

Hallar la fracción que representa la aberración, respecto de la distancia focal. a) 0,60

b) 0,62

c) 0,64

d) 0,66

e) 0,68

43. Una semiesfera compacta de plástico de radio R=10 cm e índice de refracción n=1,5 se u tiliza como lente. Hallar la distancia focal de esta lente, si el rayo de luz incide perpendi cularmente por el lado plano. a) 10 cm

b) 20 cm

c) 30 cm

d) 40 cm

e) 50 cm

44. Se utiliza una lupa de f=3 cm. El centro óptico del ojo se hace coincidir con el foco de la lupa y se examina con ella un objeto de 0,3 mm de altura. Hallar el aumento si la distan cia mínima de visión es 34 cm.

313

Espejos y Lentes a) 6,0

b) 6,5

c) 7,0

d) 7,5

e) 8,0

45. Cuando un objeto que está a 60 cm de un espejo cóncavo se acerca a este 10 cm, la distan cia entre el objeto y su imagen se hace cinco veces y medio mayor. Hallar la distancia fo cal (en cm). a) 36,0

b) 37,5

c) 40,0

d) 42,5

e) 32,0

46. Un anciano que sufre de presbicia puede leer colocando el periódico a 45 cm de los ojos. Hallar la potencia (en dioptrías) de la lente que le permita al anciano leer a la distancia de 20 cm. a) 2,17

b) 2,37

c) 2,57

d) 2,77

e) 2,97

47. Una varilla transparente de índice de refracción 1,5, tiene un extremo plano y el otro en forma de semiesfera convexa de radio 12 cm. Se ubica un pingüino sobre el eje de la vari lla a 10 cm del extremo semiesférico. I) Hallar la distancia de la primera imagen. a) 25,1 cm II)

b) 25,3 cm

c) 25,5 cm

d) 25,7 cm

e) 25,9 cm

d) 43,6 cm

e) 43,8 cm

c) 6,4 cm

d) 6,6 cm

e) 6,8 cm

c) 1,51

d) 1,71

e) 1,91

Hallar la distancia de la segunda imagen. a) 43,0 cm

b) 43,2 cm

c) 43,4 cm

III) Hallar la distancia entre la imagen final y el pingüino. a) 6,0 cm

b) 6,2 cm

IV) Hallar el aumento total. a) 1,11

b) 1,31

48. En la Fig07, La superficie esférica refractora de radio 7,5 cm separa dos medios de índi ces de refracción n1=1,33 y n2=1,8. I) Hallar la distancia de la imagen (en cm), si el objeto (O) se ubica en el infinito. a) 28,12 II)

b) 28,32

c) 28,52

d) 28,72

e) 28,92

Hallar la distancia de la imagen (en cm), si el objeto (O) se ubica a 2,5 m del vértice V a) 31,19

b) 31,39

c) 31,59

d) 31,79

e) 31,99

III) Hallar la distancia de la imagen (en cm), si el objeto se ubica a 12 cm del vértice V. a) 37,17

b) 37,37

c) 37,57

d) 37,77

e) 37,97

d) 21,62

e) 21,82

IV) Hallar la distancia focal objeto (en cm). a) 21,02

b) 21,22

c) 21,42

314 Física IV 49. La superficie esférica refractora de radio 7,5 cm separa dos medios de índices de refrac ción n1=1,33 y n2=1,8. I) Hallar la distancia de la imagen (en cm), si el objeto (O) se ubica en el infinito. a) 21,02 II)

b) 21,22

c) 21,42

d) 21,62

e) 21,82

Hallar la distancia de la imagen (en cm), si el objeto (O) se ubica a 2,5 m del vértice V a) 23,18

b) 23,38

c) 23,58

d) 23,78

e) 23,98

III) Hallar la distancia de la imagen (en cm), si el objeto se ubica a 12 cm del vértice V. a) 15,03

b) 15,23

c) 15,43

d) 15,63

e) 15,83

d) 28,72

e) 28,92

IV) Hallar la distancia focal objeto (en cm). a) 28,12

b) 28,32

c) 28,52

o

O O

C

V n1

o

R

C

V

n2



n1

R

n2

R.SABRERA

Fig07

Fig08

50. Demostrar la fórmula para espejos esféricos: (1/o)+(1/i) = 1/f, siendo "o" , " i" , " f " las distancias objeto, imagen y focal respectivamente. 51. Demostrar la fórmula de aumento, para espejos esféricos: A=-i/o, siendo " o" , " i" las dis tancias objeto e imagen, respectivamente. 52. Probar que todos los rayos paralelos al eje de un espejo parabólico pasan por el foco des pués de la reflexión, independientemente de sus distancias al eje. 53. Si " x 1 " y " x 2 " son las distancias del objeto y de su imagen, medidas desde el foco de un espejo esférico, probar que la ecuación: 1/o+1/i=1/f se transforma en la ecuación de New ton: x1x2=f2. 54. Probar la fórmula para superficies refringentes esféricas: n1/o+n2/i=(n2-n1)/r, siendo " n 1 " , " n 2 " los índices de los medios de incidencia y refracción, y " r" el radio de la su perficie de interfase. 55. Demostrar que la fórmula de aumento, para superficies esféricas refringentes es: A= (n1/n2)(i/o), siendo " o" , " i" las distancias objeto e imagen, y " n 1 " , " n 2 " los índices de los medios de incidencia y refracción, respectivamente.

315 56. ¿Qué distancia focal tendrá una gotita de agua de radio 2 mm e índice de refracción 4/3?

Espejos y Lentes

a) 1 mm

b) 2 mm

c) 3 mm

d) 4 mm

e) 5 mm

57. Una lente biconvexa delgada de índice de refracción 1,5 tiene una distancia focal de 50 cm en el aire, y 250 cuando está sumergida en un líquido. Hallar el índice de refracción del líquido. a) 1,16

b) 1,26

c) 1,36

d) 1,46

e) 1,56

58. Se tiene una lente plana convexa de distancia focal 30 cm e índice de refracción 1,5. I) Hallar el radio de curvatura de la cara curva. a) 12 cm II)

b) 13 cm

c) 14 cm

d) 15 cm

e) 16 cm

Hallar la distancia focal, si la lente se sumergue en bisulfuro de carbono de índice de re fracción 1,68. a) 100 cm

b) 120 cm

c) 140 cm

d) 160 cm

e) 180 cm

59. En la Fig09, el objeto se sitúa a la distancia de 500 cm de la lente biconvexa de distancia focal +40 cm. La distancia focal de la lente bicóncava es -10 cm. I) Hallar el aumento de la lente biconvexa. a) 0,081 II)

b) 0,083

c) 0,085

d) 0,087

e) 0,089

d) 0,56

e) 0,58

d) 0,047

e) 0,049

Hallar el aumento de la lente bicóncava. a) 0,50

b) 0,52

c) 0,54

III) Hallar el aumento total del sistema óptico. a) 0,041

b) 0,043

c) 0,045

IV) Hallar la distancia (en cm) de la imagen final, respecto de la lente divergente. a) 4,51

b) 4,53

O

c) 4,55

d) 4,57

e) 4,59

O

C 2R 500cm

35cm

Fig09

Fig10

60. En la Fig10, un objeto pequeño se ubica frente a la esfera sólida de vidrio de radio R=10

316

Física IV cm e índice de refracción n=1,5, cuya mitad está plateado. Hallar la posición final de la imagen. a) 10 cm

b) 15 cm

c) 20 cm

d) 25 cm

e) 30 cm

61. En la Fig11, el pez se encuentra a la distancia de d=7 cm del centro de la pecera de radio R=14 cm, que contiene agua de índice n=4/3. I) Hallar la distancia de la imagen, respecto del observador. a) 4 cm II)

b) 5 cm

c) 6 cm

d) 7 cm

e) 8 cm

d) 0,66

e) 0,68

Hallar el aumento que experimenta el tamaño del pez. a) 0,60

b) 0,62

c) 0,64

62. En la Fig12, la esfera de vidrio con índice de refracción " n" y radio " r" tiene una araña situada a la distancia " r / n" del centro C. Hallar la distancia (en cm) entre las imágenes observadas desde A y B, para n= 1,8 y r=12 cm. a) 13,0

b) 13,3

c) 13,6

d) 13,9

e) 14,2 n

n

C

A R

B R

d

r/n

Fig11

Fig12

63. En la Fig13, una superficie plana es iluminada por una fuente de luz puntual de intensi dad constante I=80 cd en todas las direcciones, situada a la altura de h=2 m. I) Hallar la iluminación horizontal para =300. a) 11 lx II)

b) 12 lx

c) 13 lx

d) 14 lx

e) 15 lx

Hallar la iluminación vertical para =300. a) 6,0 lx

b) 6,5 lx

c) 7,0 lx

d) 7,5 lx

e) 8,0 lx

III) Hallar la iluminación total para =300. a) 12 lx

b) 13 lx

c) 14 lx

d) 15 lx

e) 16 lx

64. En la Fig14, se tiene un proyector situado en el techo de área A=0,04 m2 que ilumina con una intensidad de I=100 cd en cualquier dirección una de área A ' =0,5 m2. La mesa puede considerarse una superficie especular de factor de reflexión n=0,8. I) Hallar la luminancia de la fuente (en cd/m2)

317

Espejos y Lentes a) 14 317 II)

b) 14 337

c) 14 357

d) 14 377

e) 14 397

d) 330

e) 340

Hallar la luminancia de la mesa (en cd/m2) a) 300

b) 310

c) 320

=100

A

=300





 R.SABRERA



A´

Fig13

Fig14

65. Una superficie circular de radio R=3 m está iluminada por una bombilla de intensidad constante I=50 cd en todas las di recciones, situada a la altura de h=2 m sobre el centro de la plataforma. Hallar: I) La iluminación máxima (en lux) a) 10,5 II)

b) 11,0

c) 11,5

d) 12,0

e) 12,5

c) 2,73

d) 3,03

e) 3,33

La iluminación mínima (en lux). a) 2,13

b) 2,43

66. Hallar el flujo luminoso (en lumen) de una fuente de luz de longitud de onda = 555 nm y potencia P=4 W. a) 2 712

b) 2 722

c) 2 732

d) 2 742

e) 2 752

67. ¿A qué altura sobre el centro del piso cuadrado de área A=25 m2 de una habitación, debe rá situarse un foco de luz, para que la iluminación en los rincones sea la mayor posible? a) 1,5 m

b) 2,0 m

c) 2,5 m

d) 3,0 m

e) 3,5 m

68. En tres vértices de un tetraedro regular de lado a=2 m se ubican fuentes de luz de intensi dad constante I=40 6 cd. Hallar la iluminación total en el cuarto vértice. a) 40 lx

b) 45 lx

c) 50 lx

d) 55 lx

e) 60 lx

69. En la Fig15, ¿Qué fracción representa la iluminación del foco de intensidad constante, en el punto P, respecto de la iluminación máxi ma? a) 21/50

b) 27/125

c) 31/100

d) 25/30

e) 34/150

70. En la Fig16, hallar el flujo luminoso (en lm) en la cara ABCD del cubo de lados a=1 m,

318

Física IV debido a la fuente luminosa esférica de intensidad constante I=100 cd. a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

B

C =?

A



D a

3m

a

P

a

4m

Fig15

Fig16

71. Sobre el centro de una mesa redonda de diámetro D=2 m a una altura de h0=1 m, está sus pendida una lámpara de intensidad I=100 cd. Hallar la variación porcentual que experi menta la iluminación en los bordes de la mesa, cuando la lámpara se eleva a una altura de h=2 m. a) 41,4 %

b) 43,4 %

c) 45,4 %

d) 47,4 %

e) 49,4 %

72. Hallar la iluminación (en klx) de la superficie de la Tierra producida por los rayos solares que inciden sobre ella normalmente. La luminancia del Sol es B=1,2109 nt. Radio del Sol RS=6,95108 m. Distancia media Sol-Tierra d=1,51011 m. a) 40

b) 50

c) 60

d) 70

e) 80

73. El filamento espiral de un foco eléctrico de intensidad I=100 cd se encuentra dentro de un globo esférico de diámetro D= 10 cm. I) Hallar el flujo luminoso (en klm) que emite el foco. a) 1,06 II)

b) 1,26

c) 1,46

d) 1,66

e) 1,86

d) 40

e) 50

d) 13,7

e) 14,7

Hallar la emitancia luminosa (en klm/m2) del foco. a) 10

b) 20

c) 30

III) Hallar la luminancia (en kcd/m2) del foco. a) 10,7

b) 11,7

c) 12,7

74. El filamento en espiral de una lámpara eléctrica de intensidad luminosa I=100 cd se en cuentra dentro de un globo de diámetro D=10 cm. El 10 % del flujo emitido por el fila mento incide sobre una pantalla. El coeficiente de reflexión de la luz en la superficie de pantalla de área A=0,25 m2 es =0,8. I) Hallar la iluminancia (en lx) de la pantalla. a) 500

b) 503

c) 506

d) 509

e) 512

319

Espejos y Lentes II)

2

Hallar la emitancia luminosa (en lm/m ) de la pantalla. a) 400

b) 402

c) 404

d) 406

e) 408

d) 126

e) 128

III. Hallar la luminancia (en cd/m2) de la pantalla. a) 120

b) 122

c) 124

75. En la Fig17, hallar el flujo luminoso a través de la superficie cuadrada de lados 2a=1 m, debido al foco de luz de intensidad constante I=90 cd, en todas las direcciones. a) 40 lm

b) 45 lm

c) 50 lm

d) 55 lm

e) 60 lm

76. ¿Qué intensidad debe tener un foco que situado a la distancia de d1=90 cm de una panta lla, produzca la misma iluminación que un foco de intensidad I2=32 cd, situado a la dis tancia de d2=60 cm, de dicha pantalla? a) 70 cm

b) 72 cm

c) 74 cm

d) 76 cm

e) 78 cm

77. En la Fig18, dos lámparas de intensidades I1=5 cd y I2=20 cd están separadas una distan cia de d=150 cm. ¿A qué distancia de la primera lámpara, en un punto situado entre las lámparas, la iluminación es la misma? a) 40 cm

b) 45 cm

c) 50 cm

d) 55 cm

e) 60 cm

a

2a

(1)

d

(2)

2a

Fig17

Fig18

78. La eficiencia luminosa de una lámpara de potencia 40 W y voltaje 110 V es de 11 lm/W. ¿A qué distancia la iluminación máxima es de 5 lx? a)

3 m

b)

2 m

c)

7 m

d)

5 m

e)

6 m

79. Un cuerpo negro de área de superficie A=250 cm2, se mantiene a la temperatura cons tante de T=1000 0K. Hallar la potencia (en kW) de radiación del cuerpo. a) 1,40

b) 1,42

c) 1,44

d) 1,46

e) 1,48

80. La luz de un foco de 100 W incide sobre un espejo de área A=5 cm2. Si el foco está situa do a d=2 m, sobre el centro del espejo, hallar la presión de radiación (en Pa) asumiendo que la luz incide normalmente sobre el espejo. a) 606

b) 626

c) 646

d) 666

e) 686

320 Física IV 81. Un objeto de altura 60 cm se encuentra a 1 m de una fuente y a 3 m de una pantalla. Hallar la altura de la sombra proyectada en una pantalla situada a 4 m de la fuente. a) 2,1 m

b) 2,2 m

c) 2,3 m

d) 2,4 m

e) 2,5 m

82. ¿A qué distancia al frente de una fuente puntual de luz se debe colocar un plato de diáme tro D=80 mm para que proyecte una sombra de diámetro d=400 mm a una distancia de a=2 m de la fuente de luz? a) 30 cm

b) 35 cm

c) 40 cm

d) 45 cm

e) 50 cm

83. Una fuente luminosa puntual está colocada a 15 cm de una regla de 6 cm dispuesta en po sición vertical. Hallar la longitud de la sombra que proyecta la regla en una pared que está a 40 cm de ésta. a) 20 cm

b) 21 cm

c) 22 cm

d) 23 cm

e) 24 cm

84. La luz de una fuente luminosa de diámetro 40 mm pasa a través de un pequeño orificio hecho en la parte superior de una caja de cartón de altura 60 mm, colocado a 2 m de la fuente. Hallar el diámetro de la imagen que se forma en el fondo de la caja. a) 1,0 mm

b) 1,2 mm

c) 1,4 mm

d) 1,6 mm

e) 1,8 mm

85. Una lámpara está cubierta con una caja al cual se le ha recortado una estrecha ranura de longitud 20 mm para que la luz pueda pasar a través de ella. Un objeto de 30 mm de altu ra se interpone frente a la luz que sale de la ranura, a una distancia de 500 mm. Hallar la longitud de la umbra y de la penumbra que se formaría en una pantalla colocada a 1,50 m de la ranura. a) 50 mm ; 130 mm

b) 40 mm ; 120 mm d) 45 mm ; 135 mm

c) 60 mm ; 150 mm e) 55 mm ; 145 mm

86. Hallar el ángulo sólido subtendido en el centro de una esfera de diámetro D=3,2 m por un área de A=0,5 m2 localizada sobre su superficie. a) 0,155 str

b) 0,155 str

c) 0,155 str

d) 0,155 str

e) 0,155 str

87. Un ángulo sólido de =0,08 str está subtendido en el centro de una esfera de diámetro D=9 cm por una superficie de área A situada en la esfera. Hallar dicha área. a) 618 m2

b) 628 m2

c) 638 m2

d) 648 m2

e) 658 m2

88. Una lámina de metal rectangular de lados a=8,5 cm y b=11 cm está iluminada por una fuente de luz colocada a una altura de h=1,3 m directamente por encima de la lámina. I) ¿Cuál es el flujo luminoso que incide en la lámina si la fuente tiene una intensidad de I=200 cd? a) 1,11 lm

b) 1,21 lm

c) 1,31 lm

d) 1,41 lm

e) 1,51 lm

321

Espejos y Lentes II)

¿Cuál es el flujo luminoso total emitido por la fuente de luz? a) 2510 lm

b) 2520 lm

c) 2530 lm

d) 2540 lm

e) 2550 lm

89. Una fuente monocromática de luz verde-amarilla de longitud de onda =555 nm, poten cia P=40 W ilumina una superficie de área A=0,5 m2 desde una distancia de d=1 m. I) ¿Cuántos lúmenes inciden sobre la superficie mencionada? a) 27 100 lm II)

b) 27 200 lm

c) 27 300 lm

d) 27 400 lm

e) 27 500 lm

d) 54 400 cd

e) 54 500 cd

Hallar la intensidad luminosa de la fuente. a) 54 100 cd

b) 54 200 cd

c) 54 300 cd

90. Hallar la iluminación que produce una fuente de intensidad luminosa I=200 cd, situado a la distancia d=4 m de una superficie. a) 11,5 lx

b) 12,0 lx

c) 12,5 lx

d) 13,0 lx

e) 13,5 lx

91. La iluminación sobre una superficie situada a la distancia de d=2 m de una lámpara es de E=100 lx. Hallar la intensidad de la fuente. a) 300 cd

b) 350 cd

c) 400 cd

d) 450 cd

e) 500 cd

92. Sobre una mesa rectangular de ancho a=1 m y largo b=2 m que está a la distancia de d=4 m de una lámpara, el flujo luminoso es de F=40 lm. Hallar la iluminación sobre la mesa. a) 16 lx

b) 18 lx

c) 20 lx

d) 22 lx

e) 24 lx

93. En el problema anterior, ¿A qué distancia de la mesa deberá ubicarse la lámpara, para que la iluminación sobre la mesa se duplique? a) 2,53 m

b) 2,63 m

c) 2,73 m

d) 2,83 m

e) 2,93 m

94. Una fuente puntual de luz se encuentra en el centro de una esfera hueca de diámetro D= 70 mm, que presenta en su superficie un orificio circular, que subtiende un ángulo sólido de =0,12 str. Hallar el diámetro de este orificio. a) 13,1 mm

b) 13,3 mm

c) 13,5 mm

d) 13,7 mm

e) 13,9 mm

95. Una luz de longitud de onda =550 nm en el aire, pasa a través de una placa de vidrio con una rapidez v=2108 m/s. Hallar la longitud de onda al interior de la placa. a) 361 nm

b) 363 nm

c) 365 nm

d) 367 nm

e) 369 nm

96. Se desea comparar una fuente luminosa estándar de 30 cd con una lámpara de intensidad desconocida utilizando un fotómetro de mancha de aceite. Las dos fuentes luminosas se colocan a 1 m de distancia y la mancha de aceite se desplaza hacia la luz estándar. Cuan do la mancha de aceite está a 25 cm de la fuente luminosa estándar, la iluminación es i

322

Física IV gual en ambos lados. Hallar la intensidad desconocida. a) 250 cg

b) 260 cd

c) 270 cd

d) 280 cd

e) 290 cd

97. ¿Donde se deberá colocar la mancha de aceite en el problema anterior, para que la ilumi nación procedente de la fuente luminosa desconocida (D) sea exactamente el doble de la iluminación procedente de la fuente estándar (S)? a) a 32 cm de D b) a 32 de S

c) a 34 cm de D

d) a 34 cm de S

e) a 36 cm D

98. La iluminación sobre una superficie es de 30 lx cuando esta se encuentra a 3 m de la fuente luminosa. ¿A qué distancia recibirá dicha superficie una iluminación de 20 lx? a) 500 m

b) 550 m

c) 600 m

d) 650 m

e) 700 m

99. Una lámpara suspendida h=9 m sobre una calle produce una iluminación de E=35 lx so bre un punto situado exactamente debajo de la misma. Hallar la intensidad luminosa de lámpara. a) 2910 cd

b) 2920 cd

c) 2930 cd

d) 2940 cd

e) 2950 cd

100. Una fuente monocromática de luz verde-amarilla (555 nm) de potencia P=60 W ilumina una superficie de área A=0,6 m2 desde una distancia de d=1 m. I) Hallar el ángulo sólido limitado por la superficie y la fuente. a) 0,3 str II)

b) 0,4 str

c) 0,5 str

d) 0,6 str

e) 0,7 str

d) 68 kcd

e) 69 kcd

Hallar la intensidad luminosa de la fuente. a) 65 kcd

b) 66 kcd

c) 67 kcd

101.¿A qué distancia "d1 " de una pared una lámpara de I1=35 cd producirá la misma ilumina ción que una lámpara de I2=80 cd colocado a d2=4 m de la pared? a) 2,61 m

b) 2,63 m

c) 2,65 m

d) 2,67 m

e) 2,69 m

102. ¿Qué distancia deberá bajarse una lámpara, respecto de un objeto situado a 80 cm por de bajo de ella, para duplicarse la iluminación? a) 21,4 cm

b) 22,4 cm

c) 23,4 cm

d) 24,4 cm

e) 25,4 cm

103.Hallar la luminancia que una fuente luminosa de I=74 cd produce sobre una superficie de área A=140 cm2 si la normal a dicha superficie forma un ángulo de =38º con el flujo lu minoso. a) 6,5 kcd

b) 6,6 kcd

c) 6,7 kcd

d) 6,8 kcd

e) 6,9 kcd

104.La cubierta de una mesa circular se encuentra sobre h=4 m por debajo y d=3 m a la iz quierda de una lámpara que emite F=1800 lm.

323

Espejos y Lentes I)

Hallar la iluminación que incide sobre la mesa. a) 4,18 lx

II)

b) 4,28 lx

c) 4,38 lx

d) 4,48 lx

e) 4,58 lx

Hallar el área de la superficie de la mesa si inciden sobre ella 3 lm de flujo. a) 0,615 m2

b) 0,625 m2

c) 0,635 m2

d) 0,645 m2

e) 0,655 m2

105. ¿Para qué ángulo "" entre el flujo y una recta normal a una superficie hará que la ilu minación sobre dicha superficie se reduzca a la mitad manteniéndose la distancia a la fuente fija? a) 30º

b) 37º

c) 45º

d) 53º

e) 60º

106. Toda la luz procedente de un reflector se capta y enfoca sobre una pantalla de área A= 0,30 m2. ¿Cuál deberá ser la intensidad luminosa del reflector para producir una ilumina ción de E=500 lx? a) 130 cd

b) 135 cd

c) 140 cd

d) 145 cd

e) 150 cd

107. Una lámpara de intensidad I=300 cd está suspendida h=5 m sobre el borde izquierdo de una mesa. Hallar la iluminación que recibe un pequeño pedazo de papel colocado a una distancia horizontal de d=2,5 m del borde de la mesa. a) 8,58 lx

b) 8,68 lx

c) 8,78 lx

d) 8,88 lx

e) 8,98 lx

108. Una radiodifusora transmite a una frecuencia de fd=1150 kHz; un haz de luz roja tiene u na frecuencia de fr=4,71014 Hz, y un rayo ultravioleta tiene una frecuencia de fu=2,41016 Hz. I) Expresar las relaciones de longitudes de onda. a) lu<r<d II)

b) ld<r<u

c) lr<u<d

d) lu<d<r

c) Er
d) Eu
e) ld<u<r

Expresar la relación de energías. a) Eu
b) Ed
e) Ed
III) Hallar la longitud de onda de cada una de estas tres señales. 109. Una fuente luminosa A desconocida colocada a 80 cm de una pantalla produce la misma iluminación que una fuente luminosa estándar de 30 cd colocado en el punto B situado a 30 cm de la pantalla. Hallar la intensidad luminosa de la fuente de luz desconocida. a) 211 cd

b) 213 cd

c) 215 cd

d) 217 cd

e) 219 cd

110. La iluminación que una fuente luminosa produce sobre una superficie colocado 3,40 m debajo de ella es de 20 lx. I) Hallar la intensidad de la fuente luminosa.

324

Física IV a) 231 cd

II)

b) 233 cd

c) 235 cd

d) 237 cd

e) 239 cd

¿A qué distancia debajo de la fuente luminosa se duplicará la iluminación? a) 2,0 m

b) 2,2 m

c) 2,4 m

d) 2,6 m

e) 2,8 m

III) ¿Indicar si el flujo luminoso se duplica a esta distancia? 111. La iluminación de una fuente isotrópica es EA en un punto A localizado sobre una tabla que se encuentra 30 cm debajo de la fuente. ¿A qué distancia horizontal de A sobre la cu bierta de la mesa se reducirá la iluminación a la mitad? a) 20 cm

b) 21 cm

c) 22 cm

d) 23 cm

e) 24 cm

112.La iluminancia de la luz solar directa sobre la Tierra es de aproximadamente 105 lm/m2. I) Hallar el flujo luminoso. a) 11028 lm II)

b) 31028 lm

c) 51028 lm

d) 71028 lm

e) 91028 lm

d) 61027 cd

e) 81027 cd

Hallar la intensidad luminosa del Sol. a) 11027 cd

b) 21027 cd

c) 41027 cd

113. La eficiencia luminosa de una bombilla es la razón entre el flujo luminoso y la entrada de potencia eléctrica. I) Hallar la eficiencia luminosa de una bombilla de 100 W y 1700 lm. a) 15 lm/W II)

b) 16 lm/W

c) 17 lm/W

d) 18 lm/W

e) 19 lm/W

¿Cuántas lámparas fluorescentes de 40 W y 60 lm/W se necesitan para obtener una ilumi nancia de 250 lm/m2 en el suelo de una fábrica de área (25 m)x(30 m)? Suponga que las que las luces están 10 m por encima del suelo y que la mitad de su flujo llega al suelo. a) 150

b) 152

c) 154

d) 156

e) 158

114. Una lámpara de altura t.o=3 cm se coloca a o=20 cm frente a un espejo cóncavo de radio de curvatura de R=15 cm. I) Indicar la naturaleza de la imagen. II) Hallar la ubicación de la imagen (i). a) 10 cm

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 13 cm

e) 14 cm

c) 1,80 cm

d) -1,85 cm

e) -1,90 cm

III) Hallar el tamaño de la imagen (t.i). a) -1,65 cm

b) 1,70 cm

115. Un objeto de altura t.o=6 cm se coloca a o=15 cm de un espejo esférico cóncavo de dis tancia focal f=20 cm. I) Indicar la naturaleza de la imagen.

325

Espejos y Lentes II)

Hallar la ubicación de la imagen (i). a) +60 cm

b) -60 cm

c) +65 cm

d) -65 cm

e) +70 cm

c) -24 cm

d) +24 cm

e) -26 cm

III) Hallar el tamaño de la imagen (t.i). a) -22 cm

b) +22 cm

116. Un lápiz de longitud l=8 cm se coloca a o=10 cm de un espejo divergente de radio R=30 cm. I) Indicar la naturaleza de la imagen. II) Hallar la ubicación de la imagen (i). a) -5 cm

b) +5 cm

c) -6 cm

d) +6 cm

e) -7 cm

c) +4,4 cm

d) +4,6 cm

e) +4,8 cm

III) Hallar el tamaño de la imagen (t.i). a) +4,0 cm

b) +4,2 cm

117. Un objeto de altura t.o=5 cm se ubica a medio camino entre el punto focal (F) y el centro de curvatura (C) de un espejo esférico convexo de radio R=30 cm. I) Indicar la naturaleza de la imagen. II) Hallar la ubicación de la imagen (i). a) +11,64 cm

b) -11,64 cm

c) +13,64 cm

d) -13,64 cm

e) -15,64 cm

c) -2,27 cm

d) +2,27 cm

e) -2,47 cm

III) Hallar el tamaño de imagen (t.i). a) -2,07 cm

b) +2,07 cm

118. Un objeto de altura t.o=5 cm se coloca a medio camino entre el punto focal y el centro de curvatura de un espejo esférico cóncavo de radio R=30 cm. I) Hallar la ubicación de la imagen (i). a) +41 cm II)

b) -41 cm

c) +43 cm

d) -43 cm

e) +45 cm

d) +2,0

e) -2,5

Hallar la amplificación de la imagen (A). a) -1,5

b) +1,5

c) -2,0

119. Una fuente luminosa de altura t.o=4 cm se coloca afrente a un espejo esférico cóncavo de radio R=40 cm, a la distancia de o=40 cm. I) Indicar la naturaleza de la imagen. II) Hallar la ubicación de la imagen (i). a) -35 cm

b) +35 cm

III) Hallar el tamaño de la imagen (t.i).

c) -40 cm

d) +40 cm

e) -45 cm

326

Física IV a) -3 cm

b) +3 cm

c) -4 cm

d) +4 cm

e) -5 cm

120. ¿A qué distancia de un espejo esférico cóncavo de radio R=30 cm se debe colocar un ob jeto para que se forme una imagen invertida amplificada a i=60 cm del espejo? a) 16 cm

b) 18 cm

c) 20 cm

d) 22 cm

e) 24 cm

121. ¿Cuáles son la naturaleza, el tamaño (t.i) y la ubicación (i) de la imagen que se forma, cuando un objeto de altura t.o=6 cm se coloca a o=15 cm de un espejo esférico cóncavo de distancia focal f=20 cm? a) +24 cm, -60 cm b) -24 cm, -60 cm c) -20 cm, -50 cm d) +20 cm, -50 cm e) +20 cm, +60 cm 122. Una imagen no invertida tiene una amplificación de A=+0,6. ¿El espejo que la forma es divergente (D) o convergente (C)? ¿Cuál es la posición del objeto si la posición de la ima gen es i=-12 cm? a) C, 12 cm

b) D, 12 cm

c) C, 15 cm

d) D, 15 cm

e) C, 20 cm

123. Un objeto está colocado a o=50 cm de un espejo convergente de radio R=40 cm. Hallar la posición de la imagen (i), y la amplificación (A). a) +33,33 cm, -0,66 b) -33,33 cm, +0,66 d) -36,33 cm, +0,76 e) +30,33 cm, -0,56

c) +36,33 cm, -0,76

124. Hallar la distancia focal de un espejo divergente si la imagen de un objeto situado a o= 200 mm de su superficie parece estar a una distancia de o' =120 mm, detrás del espejo. a) -20 cm

b) -25 cm

c) -30 cm

d) -35 cm

e) -40 cm

125. Un objeto de longitud l=6 cm se coloca a o=9 cm de la superficie de una esfera de plata de diámetro D=4,0 cm. I) Hallar la posición de la imagen (i). a) -0,70 cm II)

b) -0,75 cm

c) -0,80 cm

d) -0,85 cm

e) -0,90 cm

d) -0,2

e) +0,3

Hallar la amplificación de la imagen (i). a) +0,1

b) -0,1

c) +0,2

126. Un objeto de altura t.o=80 mm se coloca a o=40 mm frente a un espejo divergente de ra dio R=-600 mm. Hallar la naturaleza, la ubicación de la imagen (i) y el tamaño de la ima gen (t.i). a) -170,43 cm, +33,3 mm b) -171,43 cm, +34,3 mm c) -172,43 cm, +35,3 mm d) -168,43 cm, +31,3 mm e) -169,43 cm, +32,3 mm

327 127. Un objeto de altura t.o=10 cm se coloca a o=20 cm de un espejo esférico. Si se forma una imagen no invertida de altura t.i=5 cm. Hallar la distancia focal (f) del espejo.

Espejos y Lentes

a) +15 cm

b) -15 cm

c) -20 cm

d) +20 cm

e) -20 cm

128. Hallar la amplificación de un objeto que está colocado a o=10 cm de un espejo, cuya ima gen no está invertida y parece estar ubicado a i=40 cm detrás del espejo. ¿El espejo es di vergente (D) o convergente (C)? a) -3 (C)

b) +3 (C)

c) -3 (D)

d) +3 (D)

e) -4 (D)

129. Una esfera de navidad tiene una superficie plateada y su diámetro es de D=7,62 cm. ¿Cuál es la amplificación de un objeto colocado a o=15,24 cm de la superficie de ese a dorno? a) -0,11

b) +0,11

c) -0,22

d) +0,22

e) -0,33

130. I) ¿Qué tipo de espejo se necesita para formar una imagen en una pantalla colocada a i=2 m de distancia cuando un objeto se coloca a o=12 cm frente al espejo, y hallar la distan cia focal (f)? (C=convergente, D=divergente) a) C, 11,3 cm II)

b) D, 11,3 cm

c) C, 12,3 cm

d) D, 12,3 cm

e) C, 13,3 cm

d) +16,7

e) -17,7

Hallar la amplificación (A) de este espejo. a) -15,7

b) +15,7

c) -16,7

131. Un espejo cóncavo para afeitarse tiene una distancia focal de f=520 mm. ¿A qué distan cia de él se debe colocar un objeto para que la imagen no aparezca invertida y tenga el do ble de su tamaño real? a) 230 mm

b) 240 mm

c) 250 mm

d) 260 mm

e) 270 mm

132. Si se desea una amplificación de A=+3, ¿A qué distancia del espejo del problema ante rior, deberá colocarse el rostro que ha de afeitarse? a) 340,7 mm

b) 342,7 mm

c) 344,7 mm

d) 346,7 mm

e) 348,7 mm

133. Un objeto se coloca a o=12 cm de la superficie de un espejo esférico. Si se forma una i magen no invertida de un tercio del tamaño del objeto. ¿Cuál es el radio del espejo? ¿El espejo es convergente (C) o divergente (D)? a) 10 cm, (C)

b) 10 cm, (D)

c) 12 cm, (C)

d) 12 cm, (D)

e) 14 cm, (C)

134. Un espejo esférico cóncavo de radio R=30 cm forma una imagen invertida sobre una pa red a o=90 cm de distancia. Hallar la amplificación (A) del espejo. a) -3

b) +3

c) -4

d) +4

e) -5

135. La imagen de un objeto se sitúa a i=-15 cm de un espejo divergente de distancia focal f=-

328

Física IV 20 cm. Hallar la amplificación (A) del espejo. a) -0,25

b) +0,25

c) -0,45

d) +0,45

e) -0,75

136. Un objeto se encuentra a o=200 mm del vértice de un espejo esférico convexo de radio R=400 mm. Hallar la amplificación (A) del espejo. a) -0,4

b) +0,4

c) -0,5

d) +0,5

e) -0,6

137. ¿A qué distancia de un espejo esférico convexo de radio R=-60 cm, debe colocarse un ob jeto, para que su imagen tenga un tercio del tamaño del objeto? a) +40 cm

b) -40 cm

c) +50 cm

d) -50 cm

e) +60 cm

138. ¿Cuál debe ser el radio de curvatura de un espejo convexo para que produzca una imagen que corresponde a la cuarta parte de la longitud de un objeto, situado a o=101,6 cm? a) -65,7 cm

b) +65,7 cm

c) -67,7 cm

d)+ 67,7 cm

e) -69,7 cm

139. Un objeto se coloca a o=400 mm del vértice de un espejo convexo de distancia focal f=500 mm. Hallar la amplificación (A) de este espejo. a) -0,356

b) +0,356

c) -0,456

d) +0,456

e) +0,556

140. Con un espejo esférico se forma una imagen real a i=18 cm de la superficie. La imagen tiene el doble de tamaño que el objeto. Hallar la ubicación del objeto (o) y la distancia fo cal (f) del espejo. a) 6 cm, 7 cm

b) 7 cm, 6 cm

c) 9 cm, 6 cm

d) 8 cm, 7 cm

e) 9 cm, 5 cm

141. Un espejo colocado a o=2 m de un objeto produce una imagen no invertida alargada tres veces. ¿El espejo es divergente (D) o convergente (C)? ¿Cuál es el radio del espejo? a) D, -5 cm

b) C, +5 cm

c) D, -6 cm

d) C, +6 cm

e) D, -7 cm

142. I) La amplificación de un espejo es de A=-0,333. ¿Dónde se ha colocado el objeto si su imagen se forma sobre una cartulina a i=540 m del espejo? a) 1,42 m II)

b) 1,52 m

c) 1,62 m

d) 1,72 m

e) 1,82 m

d) +405 mm

e) -505 mm

Hallar la distancia focal (f) de este espejo. a) -305 mm

b) +305 mm

c) -405 mm

143. ¿Cuál debe ser el radio de curvatura de un espejo cóncavo para que produzca una imagen de la cuarta parte del tamaño de un objeto colocado a o=50 cm del espejo? a) -10 cm

b) +10 cm

c) -15 cm

d) +15 cm

e) +20 cm

144. Un espejo esférico para afeitarse produce una amplificación de A=+2,5 cuando se coloca

329

Espejos y Lentes un objeto a o=15 cm de su superficie. Hallar la distancia focal del espejo. a) -20 cm

b) +20 cm

c) -25 cm

d) +25 cm

e) -30 cm

145. Un objeto se ubica a la distancia de o=40 cm frente a un espejo esférico cóncavo de radio de curvatura R=20 cm. I) Hallar la posición de la imagen (i). a) -12,3 cm II)

b) +12,3 cm

c) -13,3 cm

d) +13,3 cm

e) -14,3 cm

Hallar el aumento (A) de la imagen, y describir la naturaleza de la imagen. a) -0,23

b) +0,23

c) -0,33

d) +0,33

e) -0,43

146. En una intersección de pasillos de un hospital se coloca un espejo convexo alto en una pared para ayudar a que la gente evite choques. El espejo tiene un radio de curvatura de R=0,55 m. I) Hallar la posición de la imagen de un paciente que está a o=10 m del espejo. a) -25,7 cm II)

b) +25,7 cm

c) -26,7 cm

d) +26,7 cm

e) -27,7 cm

Hallar el aumento (A) de la imagen, y describir la naturaleza de la imagen. a) -0,0167

b) +0,0167

c) -0,0267

d) +0,0267

e) -0,0367

147. Una gran iglesia tiene un nicho en una pared. En la planta de piso éste parece como una hendidura semicircular de radio R=2,5 m. Un devoto se para en la línea central del nicho, a o=2 m de su punto más profundo, y hace una oración en voz baja. ¿De donde se con centra el sonido después de que se ha reflejado en la pared de atrás del nicho? a) -3,13 m

b) +3,13 m

c) -3,23 m

d) +3,23 m

e) +3,33 m

148. Un objeto se ubica a la distancia de o=30 cm frente a un espejo convexo esférico de radio R=40 cm. I) Hallar la posición de la imagen (i). a) -10 cm II)

b) +10 cm

c) -12 cm

d) +12 cm

e) -14 cm

Hallar el aumento (A) de la imagen, y describa la naturaleza de la imagen. a) +0,3

b) -0,3

c) +0,4

d) -0,4

e) +0,5

149. La altura de una imagen real formada por un espejo cóncavo es cuatro veces mayor que la altura del objeto cuando éste se encuentra a o=30 cm frente a un espejo. I) Hallar el radio de curvatura del espejo. a) 60 cm II)

b) 65 cm

c) 70 cm

d) 75 cm

Trazando rayos principales, construya la imagen de este espejo.

e) 80 cm

330 Física IV 150. Se utiliza un espejo para formar, sobre una pantalla localizada a o=5 m del objeto, una imagen cinco veces el tamaño del objeto. I) ¿Qué tipo de espejo se ha utilizado? a) esférico cóncavo b) esférico convexo d) parabólico convexo e) plano II)

c) parabólico cóncavo

¿Dónde debe colocarse el espejo en relación con el objeto? a) 1,05 m

b) 1,10 m

c) 1,15 m

d) 1,20

e) 12,5 m

151. En la Fig19, la placa rectangular de lados a=10 cm, b=20 cm se coloca de modo que su borde derecho está a o=40 cm de un espejo esférico cóncavo de radio R=20 cm. I) Trazar la imagen formada por este espejo, utilizando rayos principales. II) Hallar el área de la imagen. a) 3,26 cm2

b) 3,36 cm2

c) 3,46 cm2

d) 3,56 cm2

e) 3,66 cm2

152. En la Fig20, el lente y el espejo tienen longitudes focales de f1=+80 cm y f2=-50 cm, res pectivamente. Un objeto está colocado a o=1 m a la izquierda del lente. Localice la ima gen final, que se forma por la luz cuando ha atravesado al lente dos veces. Establezca si la imagen está derecha o invertida, y determine el aumento (A) total del sistema. a) -0,7

b) +0,7

c) -0,8

d) +0,8

e) -0,6 lente

espejo

espejo

O

b a

C 

V

V

40cm

1m

Fig19

1m

Fig20

153. Una aficionada a los carros deportivos pule las superficies interior y exterior de un tapón de rueda que es una sección de una esfera. Cuando observa desde un lado del tapón, ve u na imagen de su rostro a i=10 cm atrás del tapón. I) ¿A qué distancia está su cara del tapón? a) 12 cm II)

b) 13 cm

c) 14 cm

d) 15 cm

e) 16 cm

d) 64 cm

e) 66 cm

¿Cuál es el radio de curvatura del tapón? a) 58 cm

b) 60 cm

c) 62 cm

154. Un objeto está o=15 cm de la superficie de un adorno esférico y reflejante de árbol de na

331

Espejos y Lentes I)

vidad de diámetro D=6 cm. Hallar la posición de la imagen (i). a) -1,16 cm

II)

b) +1,16 cm

c) -1,26 cm

d) +1,26 cm

e) -1,36 cm

Hallar el aumento (A), que experimenta el tamaño del objeto. a) -0,1

b) +0,1

c) -0,2

d) +0,2

e) -0,3

155. Una pelota se deja caer desde el reposo a la distancia de o=3 m directamente sobre el vér tice de un espejo cóncavo de radio R=1 m que se encuentra en un plano horizontal. I) Describa el movimiento de la imagen de la pelota en el espejo. (g=9,8 m/s2) II) ¿En qué momento la pelota y su imagen coinciden? a) 0,546 s

b) 0,639 s

c) 0,428 s

d) 0,782 s

e) 0,846 s

156. Suponga que la intensidad de la luz del Sol es I=1 kW/m2 en una posición particular. Un espejo cóncavo altamente reflejante está apuntando hacia el Sol para producir una poten cia de al menos 350 W en la imagen. (k=103) I) Hallar el radio requerido Ra del área de la cara circular del espejo. a) 31,4 cm II)

b) 33,4 cm

c) 35,4 cm

d) 37,4 cm

e) 39,4 cm

Ahora suponga que la intensidad de la luz al menos es de 120 kW/m2 en la imagen. a) 3,05 cm

b) 3,25 cm

c) 3,45 cm

d) 3,65 cm

e) 3,85 cm

III) Hallar la razón entre Ra y el radio de curvatura R del espejo. El disco del Sol subtiende un ángulo de =0,533º en la Tierra. a) 0,0155

b) 0,0255

c) 0,0355

d) 0,0455

e) 0,0555

157. El disco del Sol subtiende un ángulo de =0,533º en la tierra. ¿Cuáles son la posición y el diámetro de la imagen solar formada por un espejo esférico cóncavo de radio de curvatu ra R=3 m? a) 1,30 m, -1,20 cm b) 1,30 m, +1,20 cm c) 1,50 m, -1,40 cm d) 1,50 m, +1,40 cm e) 1,70 m, -1,60 cm 158. En la Fig21, la ilusión de una fresa flotando consiste de dos espejos parabólicos, cada u no con una longitud focal de f=750 cm, colocados frente a frente de modo que sus cen tros estén separados por d=7,5 cm. Si una fresa se coloca en el espejo inferior, se forma una imagen de la fresa en la pequeña abertura en el centro del espejo superior. Muestre que la imagen final se forma en está posición y describa sus características. (Nota: Un e fecto muy impresionante es hacer brillar el haz de una linterna sobre estas imágenes. In cluso a un ángulo natural, el haz de luz entrante aparentemente se refleja en las imágenes, ¿Entiende usted por qué?

332 Física IV 159. En el fanal de un automóvil, una lámpara colocada frente a un espejo esférico cóncavo genera un haz de luz paralelo. Si la distancia entre la lámpara y el espejo es d=4,0 cm. ¿Cuál debe ser el radio de curvatura del espejo? a) 5 cm

b) 6 cm

c) 7 cm

d) 8 cm

e) 9 cm

160. Una lámpara está colocada a una distancia de o=15 cm de un espejo convexo de radio de curvatura R=40 cm. I) Se debe trazar un diagrama que muestre la lámpara, el espejo y la imagen. Dibújense tres de los rayos principales II) ¿Dónde se encuentra la imagen de la lámpara? a) -8,37 cm

b) +8,37 cm

c) -8,57 cm

d) +8,57 cm

e) -8,77 cm

161. ¿A qué distancia de un espejo cóncavo de radio "R" debe colocarse un objeto si la ima gen debe estar en la misma posición que el objeto? a) R/2

b) 3R/2

c) 3R/4

d) 2R

e) 2R/3

162. Un espejo cóncavo tiene un radio de curvatura "R" . Si se desea formar una imagen real. I) ¿En qué intervalo de distancias con respecto al espejo debe colocarse el objeto? a) R/2 II)

b) 3R/2

c) 3R/4

d) 2R

e) 2R/3

Si se desea formar una imagen virtual, ¿En qué intervalo de distancias debe colocarse el objeto? a) R/2

b) 3R/2

c) 3R/4

d) 2R

e) 2R/3

163. Una vela está colocado a o=15 cm de distancia frente a un espejo cóncavo de radio R=40 cm. I) ¿Dónde está la imagen de la vela? a) -60 cm II)

b) +60 cm

c) -62 cm

d) +62 cm

e) -64 cm

Se debe trazar un diagrama que muestre la vela, el espejo y la imagen. Dibújense tres de los rayos principales.

164. Un dulce está a o=15 cm de una esfera reflejante (navideña) de radio R=6 cm. I) Hallar la distancia focal (f). a) -2,0 cm II)

b) +2,0 cm

c) -2,5 cm

d) +2,5 cm

e) -3,0 cm

c) -2,5 cm

d) +2,5 cm

e) -3,0 cm

Hallar la posición de la imagen. a) -2,0 cm

b) +2,0 cm

165. Un espejo cóncavo refleja una imagen de la Luna a 6 cm del espejo. Si se coloca una moneda a 8 cm del mismo espejo. Hallar la posición de la imagen.

333

Espejos y Lentes a) 20 cm

b) 22 cm

c) 24 cm

d) 26 cm

e) 28 cm

166. La distancia focal de un espejo convexo es f=-25 cm. Hallar la distancia al objeto, si la i magen se encuentra a 10 cm detrás del espejo. a) 16,07 cm

b) 16,27 cm

c) 16,47 cm

d) 16,67 cm

e) 16,87 cm

167. Una cuchara sopera es un espejo esférico por ambos lados. Al mirar uno de los lados de la cuchara, una mujer ve una imagen de su ojo a 7 cm de la cuchara, sobre el lado cerca no. Si cambiar de posición, voltea la cuchara. Ahora la imagen de su ojo está 2 cm de la cuchara. I) ¿A qué distancia de la cuchara está el ojo de la mujer? a) 5,0 cm I)

b) 5,2 cm

c) 5,4 cm

d) 5,6 cm

e) 5,8 cm

d) 6,6 cm

e) 6,8 cm

Hallar el radio de curvatura de la cuchara. a) 6,0 cm

b) 6,2 cm

c) 6,4 cm

168. Un espejo de mano debe mostrar una imagen (virtual) de un rostro amplificado 1,5 veces cuando se sostiene a 20 cm de distancia de la cara. I) ¿Cuál debe ser el radio de curvatura de un espejo esférico para el mismo efecto? a) -120 cm II)

b) +120 cm

c) -130 cm

d) +130 cm

e) -140 cm

El espejo, ¿debe ser cóncavo o convexo?

169. La superficie de una perilla de latón pulido tiene un radio de curvatura de R=4,5 cm si es ta perilla se sostiene a 15 cm del rostro. I) ¿Dónde se encuentra la imagen? a) -1,56 cm II)

b) -1,66 cm

c) -1,76 cm

d) -1,86 cm

e) -1,96 cm

¿Porqué factor difiere el tamaño de la imagen del tamaño del rostro? (Sugerencia: Con ba se en los triángulos, se observa que está amplificación es igual a la magnitud de la razón de la imagen a las distancias al objeto). a) 7,1 veces

b) 7,3 veces

c) 7,5 veces

d) 7,7 veces

e) 7,9 veces

170. Un espejo cóncavo de radio de curvatura R1=30 cm está enfrente de un segundo espejo cóncavo, de radio de curvatura R2=24 cm. La distancia entre los espejos es de d=80 cm, y sus ejes coinciden. Entre ambos espejos hay una lámpara suspendida, a D=20 cm del pri mer espejo. I) ¿Dónde forma el primer espejo una imagen de la lámpara? a) 50 cm II)

b) 55 cm

c) 60 cm

d) 65 cm

¿Dónde forma el segundo espejo una imagen de la lámpara?

e) 70 cm

334

Física IV a) 20 cm

b) 25 cm

c) 30 cm

d) 35 cm

e) 40 cm

171. Un espejo cóncavo de radio de curvatura R=60 cm está enfrente de un espejo convexo del mismo radio de curvatura. La distancia entre los espejos es de d=50 cm, y sus ejes coinciden. Entre ambos hay una vela, a una distancia de D=10 cm del espejo convexo. Se tienen rayos de luz que primero se reflejan en el espejo cóncavo y luego en el espejo con vexo. ¿Dónde forman estos rayos una imagen? a) -20 cm

b) -21 cm

c) -22 cm

d) -23 cm

e) -24 cm

172. Un espejo esférico cóncavo tiene un radio de curvatura de R=34 cm. I) Hallar la distancia focal (f). a) 14 cm II)

b) 15 cm

c) 16 cm

d) 17 cm

e) 18 cm

Si se sumerge el espejo en agua de índice de refracción n=1,33, cuál es su distancia focal. a) 14 cm

b) 15 cm

c) 16 cm

d) 17 cm

e) 18 cm

173. Se coloca un objeto de altura h=0,6 cm a o=1,65 cm a la izquierda del vértice de un espe jo esférico cóncavo de radio de curvatura R=22 cm. I) Dibuje un diagrama de rayos principales para mostrar la formación de la imagen. II) Hallar la posición, el tamaño, la orientación y la naturaleza de la imagen. 174. El diámetro de Marte es de D=6794 km y su distancia mínima con respecto a la Tierra es de d=5,58107 km. Con Marte a esta distancia, determine el diámetro de la imagen del pla neta que forma un espejo esférico y cóncavo de un telescopio con una distancia focal de f=1,75 m. a) 0,213 mm

b) 0,233 mm

c) 0,253 mm

d) 0,273 mm

e) 0,293 mm

175. Un objeto está a o=24 cm del centro de un adorno esférico de vidrio plateado de árbol de Navidad de diámetro D=6 cm. Hallar la posición y el aumento de su imagen. a) +1,40 cm; 0,0667 d) -1,60; 0,0467

b) -1,40 cm; 0,0667 c) +1,60 cm; 0,0467 e) -1,20 cm; 0,0227

176. Se coloca una moneda junto al lado convexo de una delgada coraza esférica de vidrio de radio de curvatura R=18 cm. Se forma una imagen de h ' =1,5 cm de alto de la moneda, i=6 cm detrás de la coraza de vidrio. I) ¿Dónde está ubicada la moneda? a) +17 cm II)

b) -17 cm

c) +18 cm

d) -18 cm

e) +19 cm

Determine el tamaño, la orientación y la naturaleza (real o virtual) de la imagen.

177. Un sujeto sostiene un tazón de ensalada esférico a o=90 cm frente a su cara, con el fondo del tazón hacia usted. El tazón es de metal pulido de radio de curvatura R=35 cm.

335

Espejos y Lentes I)

¿Dónde se localiza la imagen de su nariz de longitud l=2 cm? a) -14,25 cm

II)

b) +14,25 cm

c) -14,65 cm

d) +14,65 cm

e) -14,45 cm

¿Cuáles son el tamaño, la orientación y la naturaleza (real o virtual) de la imagen?

178. I) Demuestre que la ecuación, o-1+i-1=f-1, se puede escribir como i=o.f/(o-f) y que, por lo tanto, el aumento lateral, dado por la ecuación A=yi/yo=-i/o, se puede expresar como A=f/(f-o). II) Use estas fórmulas para i y A para graficar i en función de o para el caso en que f>0 (un es pejo cóncavo). III) ¿Para qué valores de o es i positiva, de manera que la imagen sea real? IV) ¿Para qué valores de o es i negativa, de modo que la imagen sea virtual? V) ¿Para está la imagen si el objeto se halla inmediatamente por dentro del punto focal (o li geramente menor que f). VI) ¿Dónde está la imagen si el objeto se halla en el infinito? VII) ¿Dónde está la imagen si el objeto se halla junto al espejo (o=0)? VIII)Grafique A en función de o con respecto al caso de un espejo cóncavo. IX) ¿Para qué valores de o la imagen es derecha y más grande que el objeto? X) ¿Para qué valores de o la imagen es invertida? XI) ¿Para qué valores de o la imagen más pequeña que el objeto? XII) ¿Qué le ocurre al tamaño de la imagen cuando el objeto se coloca en el punto focal? 179. Con base a las formulas o-1+i-1=f-1, y A=yi/yo=-i/o, obtenidas anteriormente, grafique i en función de o, y A en función de o, cuando f<0 (espejo convexo), de modo que f=-IfI. I) ¿Para qué valores de o es i positiva? II) ¿Para qué valores de o es i negativa? III) ¿Dónde está la imagen si el objeto está en el infinito? IV) ¿Dónde está la imagen si el objeto se halla junto al espejo (o=0)? V) ¿Para qué valores de o la imagen es derecha 180. Un dentista utiliza un espejo curvo para inspeccionar la dentadura en el maxilar superior de la boca de sus pacientes. Suponga que el dentista quiere que se forme una imagen de recha con un aumento de A=2, cuando el espejo está a o=1,25 de una pieza dental. (Re suelva este problema como si el objeto y la imagen estuvieran a lo largo de una recta). I) ¿Qué tipo de espejo (cóncavo o convexo) se necesita? II) Utilice un diagrama de rayos para responder sin efectuar ningún cálculo. III) ¿Cuáles deben ser la distancia focal y el radio de curvatura de este espejo? IV) Dibuje un diagrama de rayos principales para comprobar su respuesta al inciso II). 181. Un espejo esférico cóncavo para afeitarse tiene un radio de curvatura de R=32 cm. I) Hallar el aumento del rostro de una persona cuando está a 12 cm a la izquierda del vértice del espejo. a) -3

b) +3

c) -4

d) +4

e) -5

336 Física IV II) ¿La imagen es real o virtual? III) Dibuje un diagrama de rayos principales para mostrar la formación de la imagen? 182. Demostrar que un espejo convexo no puede formar una imagen real de un objeto real, sea cualquiera la distancia a que éste, demostrando que "i" es siempre negativo para "o" posi tivo. 183. Un dentista necesita un pequeño espejo que le produzca una imagen derecha con una am plificación de A=5,5 cuando éste situado a o=2,1 cm de un diente. I) Hallar el radio de curvatura "R" del espejo esférico. a) +5,13 cm II)

b) -5,13 cm

c) +5,33 cm

d) -5,33 cm

e) +5,53 cm

El espejo deberá ser cóncavo ó convexo.

184. En la Fig21, en los almacenes se utilizan espejos convexos para conseguir margen de ob servación y vigilancia con un espejo de tamaño razonable. El espejo mostrado permite a una vendedora, situada a d=5 m del mismo, inspeccionar el local entero. Tiene un radio de curvatura de R=1,2 m. I) Si la cliente está a o=10 m del espejo, ¿A qué distancia de la superficie del espejo está su imagen? a) -54,6 cm

b) +54,6 cm

c) -56,6 cm

d) +56,6 cm

e) -58,6 cm

II) ¿La imagen esta delante o detrás del espejo? III) Si la cliente mide yo=2 m, ¿Qué altura tendrá su imagen? a) 10,3 cm

b) 11,3 cm

c) 12,3 cm

d) 13,3 cm

e) 14,3 cm r=5m

espejo

2m

Fig21

Fig22

185. En la Fig22, luz de rayos paralelos procedente de un objeto lejano incide en el gran espe jo mostrado (r=5 m) y se refleja en un espejo pequeño que está a d=2 m del grande y que en realidad es esférico y no plano como se observa. La luz se enfoca en el vértice del espe jo grande. I) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo pequeño? a) -1,13 m

b) +1,13 m

c) -1,33 m

d) +1,33 m

e) -1,53 m

337

Espejos y Lentes II)

¿El espejo es cóncavo ó convexo?

186. Un telescopio utiliza un espejo cóncavo esférico de radio de curvatura R=8 m. La Luna tiene un diámetro de D=3,5106 m y dista d=3,8108 m de la Tierra. I) Hallar la posición de la imagen de la Luna que formará este espejo. a) -3 m II)

b) +3 m

c) -4 m

d) +4 m

e) -5 m

Hallar el diámetro de la imagen de la Luna que formará este espejo. a) 3,08 cm

b) 3,28 cm

c) 3,48 cm

d) 3,68 cm

e) 3,88 cm

187. Un objeto situado a o=100 cm de un espejo cóncavo forma una imagen real a i=75 cm de éste. Este espejo se reemplaza por un espejo convexo con su cara convexa mirando al objeto. El espejo se mueve de forma que la imagen está a i ' =35 cm por detrás del espejo. I) Hallar distancia que se desplaza el espejo, respecto del objeto fijo. a) 2,51 m II)

b) 2,61 m

c) 2,71 m

d) 2,81 m

e) 2,91 m

¿Se habrá acercado o alejado del objeto?

188. Un espejo cóncavo tiene un radio de curvatura de R=6 cm. Dibujar rayos paralelos al eje a 0,5 cm, 1 cm, 2 cm y 4 cm por encima del eje y hallarlos puntos en que los rayos refleja dos cortan el eje. (Utilizar un compás para dibujar el espejo y un transportador para hallar el ángulo de reflexión de cada rayo. I) ¿Cuál es la dispersión x de los puntos en donde estos rayos cortan al eje x? II) ¿En qué porcentaje podría reducirse está dispersión si se bloquease el borde del espejo de modo que los rayos paralelos que disten más de 2 cm no puedan incidir sobre él? 189. Un espejo esférico cóncavo de radio R=20 cm se utiliza para proyectar una imagen de una vela sobre un muro situado a i=110 cm. I) ¿Dónde deberá colocarse la vela? a) 10 cm II)

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 13 cm

e) 14 cm

¿Cómo se verá la imagen?

190. Una vela de altura ho=2,54 cm se coloca a o=7,62 cm enfrente de un espejo esférico cón cavo de radio de curvatura R=30,48 cm. Describir la imagen resultante. 191. Una estufa solar, en realidad un espejo cóncavo que apunta al Sol, enfoca los rayos sola res a i=18,8 cm enfrente del espejo. ¿Cuál es el radio de curvatura de la superficie esféri ca de la que se hizo el espejo? a) -35,6 cm

b) +35,6 cm

c) -37,6 cm

d) +37,6 cm

e) -39,6 cm

192. ¿A qué distancia de un espejo cóncavo de radio de curvatura R=24,0 cm debe colocarse n objeto si su imagen debe estar en el infinito?

338

Física IV a) 10 cm

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 13 cm

e) 14 cm

193. Cuando usted camina hacia un espejo cóncavo, nota que la imagen se voltea a una distan cia de 0,50 cm. ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo? a) -0,50 cm

b) +0,50 cm

c) -1,00 cm

d) +1,00 cm

e) -1,50 cm

194. Una pequeña vela está a o=35 cm de un espejo cóncavo que tiene un radio de curvatura de R=24 cm. I) Hallar la distancia focal (f) del espejo. a) 10 cm II)

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 13 cm

e) 14 cm

d) +18,26 cm

e) -14,26 cm

Hallar la posición (i) de la imagen de la vela. a) -16,26 cm

b) +16,26 cm

c) -18,26 cm

III) Describir la naturaleza de la imagen. 195. Un espejo esférico cóncavo de radio IRI tiene su centro en C. Un objeto real derecho de altura IRI/6 está localizado a la distancia 1,5IRI del vértice del espejo. Trazando rayos principales obtener la imagen que forma el espejo, y describir su naturaleza. 196. Hallar el aumento (A) y la posición (i) de la imagen del problema anterior. a) +1/2; -3IRI/4 b) -1/2; +3IRI/4

c) +1/2; -3IRI/2

d) -1/2; +3IRI/2

e) -1/4; -2IRI/3

197. Una persona se mira en una brillante esfera de arbolito de Navidad, que tiene un diámetro de D=9,2 cm. Si su cara está a o=25,0 cm de la superficie frontal de la esfera. I) ¿Dónde está su imagen? II) ¿Es real o virtual la imagen? III) ¿Está derecha o invertida la imagen? 198. Un espejo en un parque de diversiones muestra una imagen derecha de cualquier persona que está de pie a 1,7 m enfrente de él. Si la imagen es tres veces la altura de la persona, ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo? a) -4,8 m

b) +4,8 m

c) -5,1 m

d) +5,1 m

e) -5,4 m

199. Un dentista quiere un pequeño espejo que, cuando éste a 2,00 cm de una pieza dental, produzca, una imagen derecha 4,0x. ¿Qué tipo de espejo debe usar y cuál debe ser su ra dio de curvatura? (Ccóncavo, Pconvexo) a) C, 5,11 cm

b) P, 5,11 cm

c) C, 5,33 cm

d) P, 5,33 cm

e) C, 5,55 cm

200. Una fuente puntual de intensidad de luz Io=100 cd, se encuentra a la distancia o=20,0 cm del vértice de un espejo cóncavo, cuya distancia focal es de f=25,0 cm. Hallar la intensi dad de la luz en el haz, reflejado, si el coeficiente de reflexión del espejo es =0,80.

339

Espejos y Lentes a) 1,0 kcd

b) 1,5 kcd

c) 2,0 kcd

d) 2,5 kcd

e) 3,0 kcd

201. I) Algunos espejos retrovisores producen imágenes de los automóviles que vienen detrás, las cuales son más pequeñas de la que serían si el espejo fuera plano. ¿Los espejos son cóncavos o convexos? II) ¿Cuál es el radio de curvatura de un espejo si los automóviles a 1,80 m de distancia se ven como si tuvieran 0,33 de su tamaño normal? a) -1,58 m

b) +1,58 m

c) -1,78 m

d) +1,78 m

e) -1,98 m

202. Un objeto de yo=3,0 mm de altura se coloca a o=20,0 cm de un espejo convexo de R=-20 cm de radio de curvatura. I) Demostrar mediante trazados de rayos, que la imagen es virtual, y estimar la distancia de la imagen. a) -6,67 cm

b) +6,67 cm

c) -6,87 cm

d) +6,87 cm

e) -6,47 cm

II)

Demostrar que la distancia de la imagen (negativa) se puede calcular a partir de la ecua ción o-1+i-1=f-1, considerando una distancia focal de f=-10,0 cm. III) Calcule el tamaño de la imagen con la ecuación A=-yi/yo. a) 1,0 mm

b) -1,0 mm

c) -2,0 mm

d) +2,0 mm

e) -3,0 mm

203. Una persona está de pie a 3,0 m de un espejo convexo de seguridad en una tienda. Usted estima que la altura de la imagen es la mitad de su altura real. Estimar el radio de curvatu ra (R) del espejo. a) -5,0 m

b) +5,0 m

c) -6,0 m

d) +6,0 m

e) -7,0 m

204. La imagen de un árbol distante es virtual y muy pequeña cuando se ve en un espejo curvo. La imagen parece estar a 14,0 cm detrás del espejo. I) ¿Qué tipo de espejo es? II) Hallar el radio de curvatura del espejo. a) -24 cm

b) +24 cm

c) -26 cm

d) +26 cm

e) -28 cm

205. Utilizando las técnicas del diagrama de rayos y la ecuación de espejos, demostrar que la magnitud de la amplificación de un espejo cóncavo es menor que 1 si el objeto está más a llá del centro de curvatura C (o>R), y es mayor que 1 si el objeto está dentro de C (o
340

Física IV Hallar la distancia focal (f) de este espejo. a) -3,5 m

b) +3,5 m

c) -3,7 m

d) +3,7 m

e) -3,9 m

209. I) ¿Dónde se debe colocar un objeto, enfrente de un espejo cóncavo, de manera que éste produzca una imagen en la misma posición que el objeto? II) ¿La imagen es real o virtual? III) ¿La imagen es invertida o derecha? IV) ¿Cuál es la amplificación de la imagen? 210. Un objeto de yo=4,5 cm de alto se coloca a o=26 cm enfrente de un espejo esférico. Se de sea producir una imagen virtual derecha de yi=3,5 cm de alto. I) ¿Qué tipo de espejo se debe usar? II) ¿Dónde se ubica la imagen? III) ¿Cuál es la distancia focal del espejo? IV) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo? 211. Un espejo de afeitar o de maquillaje se diseña para amplificar el rostro en un factor de A=1,35 cuando el rostro se coloca a o=20,0 cm enfrente de él. I) ¿Qué tipo de espejo es? II) Describa el tipo de imagen de su rostro que forma? III) Calcule el radio de curvatura requerido para el espejo. 212. Un espejo cóncavo tiene distancia focal "f " . Cuando un objeto se coloca a una distancia o>f de este espejo, se forma una imagen real con amplificación "A" . I) Demuestre que la expresión para el aumento, viene dado por: A=f/(f-o). II) Bosqueje el aumento A en función de la distancia objeto (o) en el intervalo f
341 ¿A qué distancia de la pared debería colocarse este espejo de manera que en la pared se forme una imagen real del objeto?

Espejos y Lentes

I)

a) 0,51r II)

b) 0,61r

c) 0,71r

d) 0,81r

e) 0,91r

d) +0,42

e) -0,52

¿Cuál es la amplificación de la imagen? a) -0,32

b) +0,32

c) -0,42

216. Un objeto pequeño y delgado (como un pequeño trozo de alambre), con longitud " " , se coloca a lo largo del eje de un espejo esférico (perpendicular a la superficie del vidrio). Demuestre que su imagen tiene una longitud '  A2 , de manera que la amplificación longitudinal es iguala a –A2, donde "A" es la amplificación "lateral" normal, A=-i/o. 217. Un punto luminoso se mueve por el eje de un espejo esférico cóncavo, aproximándose a este. ¿Para qué distancia máxima del punto al espejo, la distancia, entre el punto y su ima gen en el espejo, será igual a 3/4R, donde "R" es el radio de curvatura del espejo? a) 3R/4

b) R/4

c) 5R/4

d) 3R/2

e) 4R/3

218. ¿Cuál es el radio "R" de un espejo cóncavo que se encuentra a una distancia a=2 m de la cara de un hombre que ve en el espejo su imagen vez y media mayor que en un espejo pla no situado a la misma distancia de la cara del hombre? a) 4,0 m

b) 4,5 m

c) 5,0 m

d) 5,5 m

e) 6,0 m

219. En la Fig23, valiéndose de un espejo esférico se ha obtenido la imagen A1B1 del objeto AB. I) Hallar, por construcción, la posición del espejo y de su foco. II) ¿El espejo es cóncavo o convexo? 220. En la Fig24, con un espejo esférico se ha obtenido la imagen A1B1 del objeto AB. Hallar por construcción, la posición del espejo y de su foco. A

A

A1 B1 B

B1

B A1

Fig23

Fig24

221. En la Fig25, la imagen S1 de una fuente puntual S ha sido obtenida con un espejo esféri co cóncavo cuyo centro de curvatura se halla en el punto O. Las distancias SO=l y SS1=L se conocen.

342 Física IV I) Hallar la distancia focal (f) del espejo. a) L(L-l)/(L-2l) II)

b) l (L-l)/(2l-L) c) L(L-l)/(L+2l)

d) l (2L-l)/(L-l) e) l(L-l)/(2l+L)

Establecer para qué relación entre l y L tiene solución este problema. a) l/2
b) l/3
c) 2l/3
d) l
e) l/3
222. En la Fig26, dibuje nuevamente esta figura en una hoja de papel grande y trace cuidado samente los rayos reflejados, usando la ley de la reflexión. ¿Se forma un foco puntual? Ex pliqué.

S

S1

O





C



l L

Fig25

Fig26

223. Un espejo cóncavo para afeitarse de radio de curvatura R=35 cm, está colocado de modo que la imagen de la cara de un hombre sea A=2,7 veces el tamaño de su cara. ¿A qué dis tancia de la cara del hombre está el espejo? a)10 cm

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 13 cm

e) 14 cm

224. I) Un punto luminoso se mueve con una velocidad "vo " hacia un espejo esférico, a lo lar go de su eje. Demuestre que la velocidad a la que se mueve la imagen de este objeto pun tual, viene dado por: vi=-[r/(2o-r)]2vo, donde "r" es el radio de curvatura del espejo. II) Suponga que el espejo es cóncavo con r=15 cm y que vo=5,0 cm/s. Calcule la velocidad de la imagen (en cm/s) si el objeto está muy alejado del punto focal (o=75 cm). a) -5,410-2

b) -5,810-2

c) -6,210-2

d) -6,610-2

e) -5,410-2

III) Calcule la velocidad (en m/s) de la imagen, si está cerca del punto focal (o=7,7 cm). a) -62

b) -66

c) -70

d) -74

e) -78

IV) Calcule la velocidad de la imagen (en cm/s), si está muy cerca del espejo (o=0,15 cm). a) -4,0

b) -4,4

c) –4,8

d) -5,2

e) -5,6

225. Un objeto lineal corto de longitud "L" se encuentra en el eje de un espejo esférico a una distancia "o" del espejo. I) Demuestre que su imagen tendrá una longitud L' =L([f/(o-f)]2.

343 Demuestre que la amplificación longitudinal A ' = ( L' /L) es igual a A , donde "A" es la amplificación lateral.

Espejos y Lentes

II)

2

226. Para obtener un haz de luz dirigido, en un proyector se utiliza como reflector un espejo es férico cóncavo de diámetro D=20 cm y distancia focal f=1 m. Hallar la distancia menor "a" a la que se debe ubicar la fuente puntual de luz para que los rayos reflejados en el es pejo formen sobre una pared una mancha brillante de diámetro d=40 cm. La distancia des de el espejo hasta la pared es L=12 m. a) 90,3 cm

b) 92,3 cm

c) 94,3 cm

d) 96,3 cm

e) 98,3 cm

227. En el foco del espejo esférico de un proyector está situada una fuente de luz en forma de disco de radio r=1 cm. Hallar el diámetro de la mancha iluminada sobre una pared que se encuentra a la distancia L=5 m del proyector, si la distancia focal del espejo esférico es f=4 m y el diámetro del espejo, D=1 m. a) 1,5 m

b) 2,0 m

c) 2,5 m

d) 3,0 m

e) 3,5 m

228. Un espejo esférico cóncavo da una imagen real tres veces mayor que el objeto. Determi nar la distancia focal del espejo, si la distancia entre el objeto y su imagen es l=20 cm. a) 5,5 cm

b) 6,0 cm

c) 6,5 cm

d) 7,0 cm

e) 7,5 cm

229. Dos espejos esféricos cóncavos iguales están colocados uno frente a otro a una distancia i gual a cuatro distancias focales. En el foco de uno de los espejos se encuentra una fuente de luz. Hallar las posiciones de las imágenes de la fuente, para "n" un número entero. a) (n-1)f/n

b) (n+1)f/n

c) (2n-1)f/2n

d) (2n+1)f/2n

e) (2n-1)f/n

230. Dos espejos esféricos cóncavos iguales de distancia focales "f " están colocados uno fren te a otro de modo que sus focos principales coinciden. Un punto luminoso S se encuentra en el eje común a la distancia "a" del primer espejo. Hallar la distancia de la imagen al se gundo espejo, después de reflejarse los rayos en ambos espejos. a) f-a

b) f+a

c) 2f-a

d) 2f+a

e) f+2a

231. Unos rayos convergentes inciden sobre un espejo esférico cóncavo de radio de curvatura R=60 cm, de modo que sus prolongaciones se cortan en el punto S del eje del sistema, a la distancia a=15 cm detrás del espejo. ¿A qué distancia del espejo se encontrarán estos rayos después de reflejarse? ¿Será real (R) o virtual (V) su punto de intersección? a) 10 cm, (R)

b) 10 cm, (V)

c) 12 cm, (R)

d) 12 cm, (V)

e) 14 cm, (R)

232. Unos rayos convergentes inciden sobre un espejo esférico convexo de radio de curvatura R=60 cm, de modo que sus prolongaciones se cortan en el punto S del eje del sistema, a la distancia a=15 cm detrás del espejo. ¿A qué distancia del espejo se encontrarán estos rayos después de reflejarse? ¿Será real (R) o virtual (V) su punto de intersección? a) 25 cm, (R)

b) 25 cm, (V)

c) 30 cm, (R)

d) 30 cm, (V)

e) 35 cm, (R)

344 Física IV 233. Un observador mira un espejo esférico cóncavo y ve en él la imagen directa (derecha) de su ojo. La dimensión angular de esta imagen es =1,8 veces mayor que la de la imagen que se obtendría en un espejo plano situado a la misma distancia a=24 cm. Hallar el radio de curvatura "R" del espejo. a) 50 cm

b) 52 cm

c) 54 cm

d) 56 cm

e) 58 cm

234. La distancia entre un objeto y su imagen real creada por un espejo esférico es l1=4 cm. Una imagen exactamente igual del mismo objeto se obtiene por medio de una lente con vergente de igual distancia focal que el espejo. La distancia entre el objeto y su imagen, en este caso es, l2=10 cm. Hallar el radio de curvatura "R" del espejo. a) 4,0 cm

b) 4,2 cm

c) 4,4 cm

d) 4,6 cm

e) 4,8 cm

235. En la Fig27, utilizando un sistema de espejos concéntricos, sobre una pantalla se obtiene la imagen del Sol. ¿Cuál debe ser la distancia focal de una lente delgada para poder obte ner con ella una imagen del Sol del mismo tamaño que la anterior? Los radios de curvatu ra de los espejos son R1=12 cm y R2=30 cm. a) 10 cm

b) 12 cm

c) 14 cm

d) 16 cm

e) 18 cm

236. En la Fig28, utilizando un sistema de espejos concéntricos, sobre una pantalla se ha ob tenido sobre una placa fotográfica una imagen de la Luna. ¿Cuál debe ser la distancia fo cal de una lente delgada para poder obtener con ella una imagen de la Luna del mismo ta maño que la anterior? Los radios de curvatura de los espejos son R1=4 cm y R2=2,86 cm. a) -4 cm

b) +4 cm

c) -5 cm

d) +5 cm

e) -6 cm

E2 E1

R1

R1

0

0 R2 E2

R2

E1

Fig27

Fig28

237. En el fondo de un recipiente cilíndrico de diámetro D=5 cm y altura H=50 cm se encuen tra un espejo esférico cóncavo de radio de curvatura R=80 cm. El recipiente está lleno con agua de índice de refracción n=1,33, hasta la mitad. Hallar la posición del foco. a) 36,08 cm

b) 36,28 cm

c) 36,48 cm

d) 36,68 cm

e) 36,88 cm

238. La superficie plana de una lente plano-cóncava de distancia focal "f " está recubierta de u na capa reflectora. A la distancia "a" de la lente, por el lado de la superficie cóncava se

345 encuentra una fuente puntual de luz. Hallar la posición de la imagen de la fuente. ¿Puede obtenerse en este sistema una imagen real?

Espejos y Lentes

a) af/(2a+f), si

b) af/(2a+f), no

c) af/(2a-f), si

d) af/(2a-f), no

e) af/(a+f), si

239. La luz de una fuente puntual situada en el eje óptico, a la izquierda de una lente, más ha llá de su foco, después de pasar por la lente se refleja en un espejo esférico cóncavo de ra dio de curvatura "R" y, después de pasar otra vez a través de la lente, da una imagen. I) ¿En qué puntos del eje óptico habría que colocar el espejo para que la imagen coincidiera con el objeto mismo? II) ¿Cómo se desplazará la imagen si el espejo se desplaza a lo largo del eje óptico entre es tos puntos? 240. Detrás de una lente convergente delgada de distancia focal f1=15 cm se encuentra un es pejo esférico convexo de distancia focal fo=5 cm. El sistema da una imagen directa (dere cha) del objeto con aumento A=1 independiente de su alejamiento de la lente. Hallar la distancia entre la lente y el espejo, si éste se halla entre la lente y su foco. a) 4 cm

b) 5 cm

c) 6 cm

d) 7 cm

e) 8 cm

241. Detrás de una lente divergente de distancia focal f1=5 cm, a la distancia l=7 cm, está colo cado un espejo esférico cóncavo. El sistema da una imagen del objeto con aumento A=1 independiente de su alejamiento de la lente. Hallar la distancia focal del espejo. a) 4 cm

b) 5 cm

c) 6 cm

d) 7 cm

e) 8 cm

242. Detrás de una lente convergente delgada está colocado a cierta distancia un espejo esféri co cóncavo. El sistema da una imagen del objeto, que se encuentra a la distancia a=10 cm delante de la lente, con aumento A=1. El espejo se puede desplazar y obtener de nuevo u na imagen del objeto con el mismo aumento, sin que el desplazamiento del espejo depen da de su radio de curvatura. En nuestro caso este desplazamiento es l=9 cm. Hallar la dis tancia focal de la lente, si el espejo se encuentra durante todo el tiempo más allá del foco de ella. a) 4 cm

b) 5 cm

c) 6 cm

d) 7 cm

e) 8 cm

243. A cierta distancia detrás de una lente divergente delgada de distancia focal f=10 cm, se en cuentra un espejo esférico cóncavo. El sistema da una imagen directa (derecha) del objeto con aumento A=1. Después el espejo se aleja de la lente una distancia l=2 cm y en estas condiciones se obtiene de nuevo una imagen del objeto con aumento A=1. Hallar la dis tancia entre el objeto y la lente. a) 40 cm

b) 45 cm

c) 50 cm

d) 55 cm

e) 60 cm

244. En contacto directo con un espejo esférico cóncavo se pone una lente convergente peque ña que tapa la parte central de la superficie reflectora del espejo. El sistema da dos imáge nes reales para una misma posición del objeto delante del espejo: una imagen se obtiene a

346

Física IV la distancia b1=50 cm y la otra, a la distancia b2=10 cm del espejo. Hallar la distancia fo cal de la lente. a) 15 cm

b) 20 cm

c) 25 cm

d) 30 cm

e) 35 cm

245. El radio de curvatura de un espejo esférico cóncavo es R=60 cm. ¿Qué distancia focal de be tener la lente delgada que hay que poner en contacto directo con el espejo para que el sistema de una imagen virtual derecha del objeto con un aumento de A=1? a) -50 cm

b) +50 cm

c) -60 cm

d) +60 cm

e) -70 cm

246. Un espejo esférico de distancia focal "f " da una imagen invertida de un objeto que se en cuentra de él a la distancia "o" . En contacto directo con el espejo se pone una lente delga da. Este sistema, sin que varíe la distancia al objeto, da su imagen derecha con el mismo aumento. Hallar la distancia focal de la lente. a) of/(f-o)

b) of/(o-f)

c) 2of/(f-o)

d) 2of/(o-f)

e) of/(f+o)

247. Un objeto plano se encuentra a la distancia o=60 cm delante de un espejo esférico conve xo con el cual está en contacto directo una lente convergente delgada de distancia focal f= 20 cm. El plano del objeto es perpendicular al eje óptico del sistema. Resulta que el plano del objeto coincide con el plano de la imagen formada después de pasar la luz a través de la lente, de reflejarse y pasar la segunda vez por la lente. Hallar el radio de curvatura del espejo convexo. a) -25 cm

b) +25 cm

c) -30 cm

d) +30 cm

e) -35 cm

248. Un espejo esférico descansa sobre una superficie horizontal. En estas condiciones la ima gen de una estrella en el cenit, creada por este espejo, se encuentra a la distancia del mis mo. El espejo se llena hasta los bordes de un líquido, después de lo cual la imagen de la estrella resulta encontrarse a la distancia 0,7a del espejo. El diámetro del espejo es mucho menor que su radio de curvatura. Hallar el índice de refracción "n" del líquido. a) 1,23

b) 1,33

c) 1,43

d) 1,53

e) 1,63

249. De un vidrio con índice de refracción n=1,5, se hace una lente de distancia focal f=-10 cm. Después una de las caras de la lente se cubre con una capa delgada, semitransparente de plata. Con esta lente se obtienen al mismo tiempo dos imágenes iguales del objeto, siendo las dimensiones de éstas independientes del lado de la lente que se dirija al objeto. Hallar los radios R1, R2 de curvatura de las superficies de la lente. a) +4 cm, +20 cm b) -4 cm, +20 cm c) +4 cm, -20 cm d) -4 cm. -20 cm e) +6 cm, -18 cm 250. Una de las superficies de una lente delgada está plateada. A la distancia a=34 cm de la lente se encuentra, en el eje de ésta, una fuente puntual de luz. La lente da un haz de ra yos paralelos, independientemente de cual sea el lado de la misma dirigido hacia la fuen te. Hallar la distancia focal de la lente (antes de ser plateada).

347

Espejos y Lentes a) -32 cm

b) +32 cm

c) -34 cm

d) +34 cm

e) -36 cm

251. I) En la Fig29, determinar mediante la construcción el recorrido del rayo después de la reflexión en los espejos cóncavo y convexo, donde F es el foco O O' , el eje óptico.

O’

 F

O

O



O’

F

Fig29 II)

En la Fig30, determinar la posición del espejo y de su foco para los casos mostrados, donde P y P ' son los puntos conjugados. P

 P’

O’

O

P’  O

O’

P

Fig30 252. I) Determinar la distancia focal de un espejo cóncavo, cuando la distancia entre el objeto y la imagen es l=15 cm la ampliación transversal es =-2,0. a) +10 cm II)

b) -10 cm

c) +12 cm

d) -12 cm

e) +14 cm

Determinar la distancia focal de un espejo cóncavo, si, en una posición del objeto la am pliación transversal es 1=-0,50, y en otra posición, desplazada con respecto a la primera a la distancia l=5,0 cm, la ampliación transversal es 2=-0,25. a) -2,0 cm

b) +2,0 cm

c) -2,5 cm

d) +2,5 cm

e) -3,0 cm

253. Con ayuda del principio de Fermat deducir las leyes de la reflexión y refracción de la luz en la superficie plana entre dos medios. 254. Con la ayuda del principio de Fermat deducir la fórmula de la refracción de los rayos pa raxiales en una superficie esférica de radio R, que separa dos medios cuyos índices de re fracción son n y n ' . 255. En la Fig31, un haz luminoso paralelo incide desde el vació sobre la superficie que limi ta una zona, cuyo índice de refracción es n. Hallar la forma de esta superficie, o sea, la e cuación x(r), con la cual el haz se enfoca en el punto F, distante f del vértice O.¿Cuál pue

348

Física IV de ser el radio máximo de la sección del haz para que éste sea enfocado?

256. Una placa de cristal de índice de refracción nc=1,66 descansa en el fondo de un tanque de acuario. La placa tiene s=8,0 cm de espesor (dimensión vertical) y está cubierta de agua de índice de refracción na=1,33 a una profundidad de h=12,0 cm. Hallar el espesor apa rente de la placa cuando se observa desde arriba del agua. Suponga incidencia casi nor mal. a) 4,52 cm

b) 4,62 cm

c) 4,72 cm

d) 4,82 cm

e) 4,92 cm

257.Un bloque cúbico de hielo de lados a=50,0 cm se pone al nivel del piso sobre una mota de polvo. Hallar la posición de la imagen de la mota respecto de la superficie superior del cubo de hielo, si el índice de refracción del hielo es n=1,309. a) 35,2 cm

b) 36,2 cm

c) 37,2 cm

d) 38,2 cm

e) 39,2 cm

258. Un modelo simple del ojo humano ignora su lente por completo. La mayor parte de lo que el ojo hace con la luz ocurre en la córnea transparente. Suponga que su superficie exterior tiene un radio de curvatura de radio R=6,00 mm, y suponga que el globo del ojo sólo con tiene un fluido con índice de refracción de n=1,40. Demostrar que un objeto muy distante será imaginado sobre la retina, s=21,0 mm atrás de la córnea. Describa la imagen. 259. Una esfera de vidrio de índice de refracción n=1,50 de radio R=15 cm tiene una diminuta burbuja de aire ubicada a d=5,00 cm arriba de su centro. La esfera se ve observando a ba jo sobre el radio extendido que contiene a la burbuja. ¿Cuál es la profundidad aparente de la burbuja debajo de la superficie de la esfera? a) 8,17 cm

b) 8,37 cm

c) 8,57 cm

d) 8,77 cm

e) 8,97 cm

260. Sobre la superficie de una esfera transparente de composición desconocida se observa que se forma una imagen del Sol. ¿Cuál es el índice de refracción del material de la esfe ra? a) 1,80

b) 1,90

c) 2,00

d) 2,10

e) 2,20

261. El extremo de una varilla larga de vidrio de índice de refracción n=1,50 se forma en una superficie convexa de radio R=6,00 cm. Un objeto se coloca en el aire a lo largo del eje de la varilla. I) Hallar la posición de la imagen correspondiente a la distancia de d=2,0 cm. a) 41 cm II)

b) 42 cm

c) 43 cm

d) 44 cm

e) 45 cm

Hallar la posición de la imagen correspondiente a la distancia de d=10,0 cm. a) -90 cm

b) -92 cm

c) -94 cm

d) -96 cm

e) -98 cm

III) Hallar la posición de la imagen correspondiente a la distancia de d=3,00 cm. a) -3 cm

b) -4 cm

c) -5 cm

d) -6 cm

e) -7 cm

349 262. Un pequeño pez nada a v=2,00 cm/s hacia la pared frontal de un acuario rectangular. Ha llar la rapidez aparente del pez medida por un observador que mira desde afuera de la pa red frontal del tanque? El índice de refracción para el agua es n=1,33, aire n ' =1,0.

Espejos y Lentes

a) 1,10 cm/s

b) 1,20 cm/s

c) 1,30 cm/s

d) 1,40 cm/s

e) 1,50 cm/s

263. Un pequeño pez nada en una pecera esférica de plástico de índice de refracción n=1,33. Si el pez se encuentra a d=10,0 cm de la pared de la pecera de radio R=15,0 cm. ¿Dónde aparece éste para un observador que se encuentra afuera de la pecera? a) -7 cm

b) +7 cm

c) -8 cm

d) +8 cm

e) -9 cm

264. Una partícula de tierra está incrustada a d=3,50 cm bajo la superficie de una plancha de hielo de índice de refracción n=1,309. Hallar la profundidad aparente vista a una inciden cia normal. a) 2,07 cm

b) 2,27 cm

c) 2,47 cm

d) 2,67 cm

e) 2,87 cm

265. Un tanque cuyo fondo es un espejo se llena con agua a una profundidad de h=20,0 cm. Un pez pequeño flota inmóvil a o=7,0 cm bajo la superficie del agua. I) Hallar la profundidad aparente del pez visto a una incidencia normal. a) 5,06 cm II)

b) 5,26 cm

c) 5,46 cm

d) 5,66 cm

e) 5,86 cm

Hallar la profundidad aparente de la imagen del pez vista a una incidencia normal. a) 22,8 cm

b) 23,8 cm

c) 24,8 cm

d) 25,8 cm

e) 26,8 cm

266. Un pequeño pez tropical se halla en el centro de una pecera esférica de diámetro D=28,0 cm llena de agua. I) Hallar la profundidad aparente y el aumento del pez para un observador situado afuera de la pecera. Desprecie el efecto de las paredes delgadas de la pecera. a) 13,0 cm; 1,23 d) 12,0 cm; 1,13 II)

b) 15,0 cm; 1,43 e) 16,0 cm; 1,53

c) 14,0 cm; 1,33

Una amiga aconsejo a la dueña de la pecera mantener está lejos de la luz solar directa pa ra no cegar al pez, el cual podría llegar nadando al punto focal de los rayos paralelos pro venientes del Sol. ¿El punto focal está efectivamente adentro de la pecera?

267. El extremo izquierdo de una larga varilla de vidrio de diámetro D=6,00 cm tiene una su perficie hemisférica convexa de radio R=3,00 cm. El índice de refracción del vidrio es n=1,60. Hallar la posición de la imagen de un objeto colocado en aire sobre el eje de la va rilla a las distancia de d=12,0 cm. a) 11,7 cm

b) 12,7 cm

c) 13,7 cm

d) 14,7 cm

e) 15,7 cm

268. El extremo izquierdo de una larga varilla de vidrio (n=1,45) diámetro D=6,00 cm tiene u

350

Física IV na superficie hemisférica convexa de de radio R=3,00 cm. Un objeto situado a la izqui erda de la varilla en el eje de ésta formará una imagen en un punto que se halla a d=1,20 m en el interior de la varilla. ¿Qué tan lejos del extremo izquierdo de la varilla debe estar colocado el objeto para formar la imagen? a) 35,5 cm

b) 36,5 cm

c) 37,5 cm

d) 38,5 cm

e) 39,5 cm

269. El extremo izquierdo de una larga varilla de vidrio de diámetro D=8,00 cm. De índice de refracción n=1,60 se esmerila y pule para formar una superficie hemisférica convexa de radio R=4,00 cm. Un objeto en forma de flecha, de altura h=1,50 mm y en ángulo recto al eje de la varilla, está situado sobre el eje a d=24,0 cm a la izquierda del vértice de la su perficie convexa. Hallar la posición y la altura de la imagen de la flecha formada por los rayos paraxiales que inciden en la superficie convexa. ¿La imagen es derecha o invertida? a) 14,2 cm; 0,518 mm b) 14,6 cm; 0,558 mm c) 14,4 cm; 0,538 mm d) 14,0 cm; 0,598 mm e) 14,8 cm; 0,578 mm 270. Se sumerge en un líquido la varilla del problema 268. Un objeto situado a d=14,0 cm del vértice del extremo izquierdo de la varilla y sobre su eje forma una imagen en un punto que se halla a s=9,00 cm del vértice en el interior del líquido. ¿Cuál es el índice de refrac ción del líquido? a) 3,14

b) 3,24

c) 3,34

d) 3,44

e) 3,54

271. Una hoja de papel escrita se protege con una lámina gruesa de vidrio de espesor s=2 cm y índice de refracción n=1,5. ¿A qué distancia por debajo de la parte superior de la lámina se verá el escrito cuando se mire directamente por encima? a) -1,13 cm

b) +1,13 cm

c) -1,33 cm

d) +1,33 cm

e) -1,53 cm

272. Un pez está a d=10 cm de la superficie delantera de una pecera de radio R=20 cm. I) ¿Dónde parece estar el pez para alguien del exterior que ve mirándolo de frente a la pece ra? a) -8,34 cm II)

b) +8,34 cm

c) -8,54 cm

d) +8,54 cm

e) -8,74 cm

¿Dónde parecerá estar el pez cuando se encuentra a d=30 cm de la superficie delantera de la pecera? a) -35,9 cm

b) +35,9 cm

c) -37,9 cm

d) +37,9 cm

e) -32,9 cm

273. Una varilla de vidrio de radio R=3,5 cm muy larga tiene uno de sus extremos en forma de superficie hemisférica convexa de radio R ' =7,2 e índice de refracción n=1,5. I) Hallar la distancia imagen y decir si es real (R) o virtual (V), para un objeto situado en el aire a la distancia de o=35 cm de la superficie refringente. a) 33,7 cm; (R) b) 33,7 cm; (V)

c) 36,7 cm; (R)

d) 36,7 cm; (V) e) 39,6; cm; (R)

351 Hallar la distancia imagen y decir si es real o virtual, para un objeto situado en el aire a la distancia de o=6,5 cm de la superficie refringente.

Espejos y Lentes

II)

a) 15,8 cm; (R) b) 15,8 cm; (V)

c) 17,8 cm; (R)

d) 17,8 cm; (V) e) 13,8; cm; (R)

III) Hallar la distancia imagen y decir si es real o virtual, para un objeto situado en el aire muy lejos de la superficie refringente. a) 21,6 cm; (R) b) 21,6 cm; (V)

c) 23,6 cm; (R)

d) 23,6 cm; (V) e) 25,6; cm; (R)

274. Una varilla de vidrio de longitud l=96 cm, índice de refracción n=1,6 tiene sus extremos tallados en forma de superficies esféricas convexas de radios R1=8 cm y R2=16 cm. Un punto objeto está fuera de la varilla sobre su eje a o=26 cm del extremo de radio R 1. I) Hallar la distancia imagen (i) debida a la refracción en la primera superficie. a) 62 cm; (R) II)

b) 62 cm, (V)

c) 64 cm, (R)

d) 64 cm, (V)

e) 66 cm, (R)

Hallar la distancia imagen final, respecto de la superficie de radio R1, debida a la refrac ción en ambas superficies. a) 14 cm

b) 15 cm

c) 16 cm

d) 17 cm

e) 18 cm

III) Indicar, si la imagen final es real (R) o virtual (V). 275. Se tiene una varilla de vidrio de índice de refracción n=1,50 rodeada de aire de índice n ' =1,0 con el extremo izquierdo adherido a un hemisferio convexo de radio R=2 cm. Hallar la distancia imagen (i) de un objeto que se ubica a o=6 cm a la izquierda del vértice del hemisferio. (R=real, V=virtual) a) 16 cm, (R)

b) 16, (V)

c) 18 cm, (R)

d) 18 cm, (V)

e) 20 cm, (R)

276. Si la varilla del problema anterior, se sumerge en agua de índice de refracción n=1,33, hallar la nueva ubicación de la imagen del objeto. (R=real, V=virtual) a) 10,98 cm, (R)

b) 10,98 cm, (V) d) 12,98, (V)

e) 12,98, (R) e) 14,98, (R)

277. En la Fig31, una fuente puntual S se sitúa a o=30 cm del vértice del hemisferio de radio R=10 cm, que forma parte del bloque de vidrio de índice de refracción n=1,5. Hallar la u bicación de la imagen, respecto del observador A. a) 10 cm

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 13 cm

e) 14 cm

278. En la Fig32, la superficie hemisférica de radio de R=5 cm, separa el aire (n=1,0) que está a la izquierda del vidrio ( n ' =1,5) que está a la derecha. I) Hallar la distancia focal objeto (fo). a) 10 cm

b) 11 cm

c) 12 cm

d) 13 cm

e) 14 cm

352 Física IV II) Hallar la distancia focal imagen (fi). a) 12 cm

b) 13 cm

c) 14 cm

d) 15 cm

e) 16 cm

n1

o

 O

R



V

Fo

C n1

V n2

n2

fo

Fig31

Fig32

279. En la Fig33, hallar el radio de curvatura del extremo derecho de la varilla (n=1,46) que esta sumergida en alcohol etílico (n=1,36), si el haz de rayos debe llegar a un foco a 100 cm del vértice V. a) -6,45 cm

b) +6,45 cm

c) -6,65 cm

d) +6,65 cm

e) -6,85 cm

280. En la Fig34, la superficie de separación convexa separa dos medios de índices de refrac ción n1=1, y n2=2. Una fuente puntual axial en el aire a una distancia de o=40 cm del vér tice V tiene su imagen en el segundo medio a i=80 cm del vértice. Hallar el radio de cur vatura R de la superficie de separación. a) -18 cm

b) +18 cm

c) -20 cm

d) +20 cm

e) -22 cm Aire

n2 Fi

n1

i

o

V

 O

V n1



C R

I

n2

100cm

Fig33

Fig34

281. Una esfera de vidrio al borosilicato (n=1,5) de radio R=4 cm está rodeada de alcohol etíli co (n=1,36). Una mosca está sumergida en el alcohol a d=6 cm del centro de la esfera. Hallar la ubicación de la imagen de la mosca y describir su imagen. a) -2,13 cm

b) +2,13 cm

c) -2,33 cm

d) +2,33 cm

e) -2,43 cm

282. Se tiene una lente de contacto de plástico de índice de refracción n=1,50, radio de curva tura exterior R1=2,0 cm e interior R2=+2,5 cm. Hallar la longitud focal de la lente.

353

Espejos y Lentes a) 18 cm

b) 20 cm

c) 22 cm

d) 24 cm

e) 26 cm

283. Los radios de curvatura de las caras izquierda y derecha de una lente biconvexa de índice de refracción n=1,44 son: R1=12,0 cm, y R2=18,0 cm. I) Hallar la distancia focal (f) de la lente. a) 16,0 cm II)

b) 16,2 cm

c) 16,4 cm

d) 16,6 cm

e) 16,8 cm

Hallar la distancia focal (f) de la lente, si se intercambian los radios de curvatura de las dos caras. a) 16,0 cm

b) 16,2 cm

c) 16,4 cm

d) 16,6 cm

e) 16,8 cm

284. Un objeto se coloca a o=40,0 cm al frente de una lente convergente de distancia f=20,0 cm. Hallar la posición de la imagen, y describir la imagen. a) -40,0 cm

b) +40,0 cm

c) -40,4 cm

d) +40,4 cm

e) -40,8 cm

285. Un objeto se coloca al frente de una lente convergente de distancia focal f=20,0 cm. Ha llar la ubicación de la imagen, y describir la imagen, cuando el objeto se coloca a las dis tancia de o=26,0 cm, y o=24,0 cm. 286. Un objeto colocado a o=32,0 cm frente de una lente forma una imagen sobre una pantalla ubicada a d=8,0 cm detrás de éste. I) Hallar la distancia focal (f) de la lente. a) -6,2 cm II)

b) +6,2 cm

c) -6,4 cm

d) +6,4 cm

e) -6,6 cm

Hallar el aumento que experimenta el tamaño de la imagen. a) -0,15

b) +0,15

c) -0,25

d) +0,25

e) -0,35

III) Indicar si la lente es convergente o divergente. 287. El tamaño de la imagen de una moneda de 10 céntimos de sol es el doble del diámetro de la moneda de 5 soles, y está a o=2,84 cm de la lente. Hallar la distancia focal (f) de la len te. a) -2,64 cm

b) +2,64 cm

c) -2,84 cm

d) +2,84 cm

e) -3,04 cm

288. Un lente de aumento es un lente convergente de distancia focal f=15,0 cm. ¿A qué distan cia de la estampilla postal se debe mantener este lente para obtener un aumento de A=+2,0? a) -6,5 cm

b) +6,5 cm

c) -7,5 cm

d) +7,5 cm

e) -8,5 cm

289. Una diapositiva fotográfica se coloca enfrente de un lente convergente de distancia focal f=2,44 cm. El lente forma una imagen de la diapositiva a i=12,9 cm de la misma.

354 Física IV I) ¿A qué distancia está el lente de la diapositiva si la imagen es real? a) 3,27 cm; 9,63 cm b) 3,47 cm; 9,03 cm c) 3,07 cm; 9,23 cm d) 3,67 cm; 9,43 cm e) 3,87 cm; 9,83 cm II)

¿A qué distancia está el lente de la diapositiva si la imagen es virtual? a) 2,12 cm

b) 2,32 cm

c) 2,52 cm

d) 2,72 cm

e) 2,92 cm

290. Una persona observa una estatuilla con una lupa de joyero, la cual, consta de un lente con vergente de distancia focal f=12,5 cm. La lupa forma una imagen virtual a i=30,0 cm del lente. I) Hallar el aumento (A) del lente, e indicar si la imagen es derecha (D) o invertida (I). a) 3,20 (D) II)

b) 3,20 (I)

c) 3,40 (D)

d) 3,40 (I)

e) 3,60 (D)

Construya un diagrama de rayos principales para este arreglo.

291. Un objeto tiene un espesor "do" de modo que éste extiende la distancia del objeto de a o+do. Demostrar que el espesor "do" de su imagen está dado por (i2/o2)do. Así que el au mento longitudinal es di/do=-A2, donde "A" es el aumento lateral. 292. El lente en un proyector de diapositivas es un lente delgado. Una diapositiva de altura h= 24,0 mm es proyectado de modo que su imagen llena toda la pantalla de altura H=1,80 m. La distancia de la diapositiva a la pantalla es de o=3,00 m. I) Hallar la distancia focal (f) del lente del proyector. a) 31 mm II)

b) 33 mm

c) 35 mm

d) 37 mm

e) 39 mm

¿A qué distancia de la diapositiva debería colocarse el lente del proyector para formar una imagen en la pantalla? a) 31,5 mm

b) 33,5 mm

c) 35,5 mm

d) 37,5 mm

e) 39,5 mm

293. Un objeto se ubica a o=20,0 cm a la izquierda de un lente divergente de distancia focal f=-32,0 cm. I) Hallar la ubicación de la imagen. a) -12,3 cm II)

b) +12,3 cm

c) -12,6 cm

d) +12,6 cm

e) -13,4 cm

Hallar el aumento que experimenta el tamaño de la imagen. a) 0,60

b) 0,62

c) 0,64

d) 0,66

e) 0,68

III) Construya un diagrama de rayos principales para este arreglo. 294. La Fig35, muestra un delgado lente convergente de vidrio (n=1,50) de radios de curvatu ra R1=15,0 cm, y R2=-12,0 cm. A la izquierda del lente está un cubo con un área de cara de S=1,00 cm2. La base del cubo está sobre el eje del lente, y la cara derecha se encuentra

325

Física IV

CAP-7

ma frecuencia y diferencia de fase =0o, es mayor a las amplitudes A1, A2 de cada una de las ondas.

INTER FERENCIA

y1  A1sen(k x   t) y2  A2sen(k x   t  )

1. INTERFERENCIA DE ONDAS



a) Definición

Para que en un punto P del medio de pro pagación de las ondas ocurra interferen cia constructiva, la diferencia de las tra yectorias (r2-r1) para las dos fuentes debe ser un múltiplo entero de la longitud de onda (), esto es: r2  r1  m , (m=0, 1, 2,…)

donde, r1, r2 son las distancias de las fuen tes S1 y S2 al punto P, domde ocurre la in terfrerencia. Se llama interferencia de dos o más on das a la superposición de las ondas, dan do como resultado una onda de mayor, menor o amplitud nula. El efecto de inter ferencia puede ser observado en cual quier tipo de ondas, como luz, radio, soni do, ondas en la superficie del agua, etc…

2) Interferencia destructiva A1

A1-A2

b) Tipos de interferencia Existen dos tipos de interferencia, ellas son: 1) Interferencia constructiva A1

-A2

A1+A2

A2

La amplitud (A) de la onda resultante de la superposición de dos ondas de la mis



La amplitud (A) de la onda resultante de la superposición de dos ondas de la mis ma frecuencia y diferencia de fase = 180o, es menor a las amplitudes A1, A2 de cada una de las ondas. Para que en un punto P del medio de pro pagación de las ondas ocurra interferen cia destructiva, la diferencia de las trayec torias (r2-r1) para las dos fuentes debe ser un múltiplo de medias longitudes de on da (), esto es:

326

Interferencia 1 r2  r1  (m  )  , (m=0, 1, 2,…) 2





donde, r1, r2 son las distancias de las fuen tes S1 y S2 al punto P, domde ocurre la in terfrerencia. Para que se cumplan las ecuaciones ante riores, las ondas emitidas por las dos fuentes S1, S2 deben tener la misma longi tud de onda y siempre deben estar en fa se. Esta condición es fácil de satisfacer para las ondas sonoras, pero en el caso de las ondas luminosas no hay forma prácti ca de lograr una relación de fase constan te (coherencia) con dos fuentes independi entes. La característica distintiva de la luz de lá ser es que la emisión de luz de muchos á tomos está sincronizada en cuanto a fre cuencia y fase. Por lo tanto, los cambios de fase aleatorios ocurren con frecuencia mucho menor, y la luz de láser es bastan te más coherente que la luz ordinaria.

c) Patrón de interferencia

Se llama así al conjunto de franjas o cir culos brillantes (para interferencia cons tructiva) y oscuras (para interferencia des tructiva), que se producen en un proceso de interferencia de ondas. d) Generación de interferencias Se pueden generar de varias formas la in

1)

2)

3)

4)

terferencia ondulatoria, tanto, para ondas mecánicas u electromagneticas, así: Cuando una onda mecánica se superpone a su onda reflejada se genera una onda es tacionaria. Superposición de dos o más ondas mecá nicas de interferencia, que se propagan en una cuerda fijas por sus extremos. Superposición de dos ó más ondas que se propagan en un líquido a lo largo de un canal. Propagación de dos o más ondas electro magnéticas confinadas en una cavidad metálica, etc....La interferencia en estos casos da como resultado ondas estaciona rias.

e) Aplicaciones de las interferencias Algunas de las aplicaciones tecnológicas de la interferencia, son: 1) Se utiliza en la elaboración de la hologra fía digital. 2) Se utiliza en la construcción de escáner láser para generar imágenes tridimensio nales (3D), de objetos, materiales, zonas de examen, etc… 3) Se utiliza en el análisis de la composición de minerales a usarse en la industria. 4) Se utiliza en la búsqueda satelital de de pósitos y reservas de minerales en el sub suelo terrestre. 5) En medicina se utiliza mediante disposi tivos diseñados para el examen y revisión de ciertas zonas del cuerpo humano. 6) En transporte aéreo se utiliza en la locali zación y direccionamiento en la aerona vegación. 7) En astrofísica, se utiliza en la detección de cuerpos celestes, y el estudio sus pro piedades y composición de su atmósfera. 8) En la industria se utiliza para la codifi cación de los productos industriales, me diante el uso del patrón de interferencia.

Física IV f) Batimiento El batimiento es un fenómeno acústico que se genera al interferirse entre sí dos ondas sinusoidales con frecuencias ligera mente distintas.  Si las frecuencias de las ondas son muy cercanas (batimiento lento), se oye un tré molo (fluctuación periódica en la intensi dad del sonido), mientras que si la frecu encia del batimiento se encuentra dentro del registro audible (batimiento rápido) se percibe un nuevo sonido de esa misma frecuencia, y baja intensidad.  Un ejemplo familiar de batimiento es el que se produce al pulsar dos cuerdas de guitarra de frecuencias parecidas, efecto utilizado habitualmente para afinarlas.





327

La interferencia electromagnética es la perturbación que ocurre en cualquier cir cuito, componente o sistema electrónico causada por una fuente de radiación elec tromagnética externa o interna. Esta perturbación puede interrumpir, de gradar o limitar el rendimiento de ese sis tema. La fuente de la interferencia puede ser cualquier objeto, ya sea artificial o na tural, que posea corrientes eléctricas que varíen rápidamente, como un circuito e léctrico, el Sol o las auroras boreales. También, se conoce como EMI por sus si glas en inglés (ElectroMagnetic Interfe rence) o RFI (Radio Frequency Interferen ce).

b) Clasificación de las EMI g) Frecuencia de batimiento Si se da el caso de que la frecuencia de ambas ondas no es igual (f1, f2) , pero si son valores muy cercanos entre sí, la on da resultante es una onda modulada en amplitud por la llamada "frecuencia de batido" cuyo valor corresponde a: f bat  f  f1  f 2

la frecuencia de esta onda modulada co rresponde a la media de las frecuencias que interfieren. h) Tremolo La palabra trémolo que significa "trému lo, tembloroso") es un término musical que describe la fluctuación o variación periódica en la intensidad (volumen o am plitud) de un sonido, mientras que la altu ra o frecuencia se mantiene constante. 2. INTERFERENCIA DE ONDAS ELECTROMAGNETICAS a) Definición

1) Según el tipo de la señal emitida * Intencionadas Se refiere a interferencias causadas por señales emitidas intencionadamente, con el propósito expreso de producir una dis función en la víctima, es decir, una inter ferencia (como ocurre en la denominada guerra electrónica). * No intencionadas  Se incluyen por un lado aquellas causa das por señales emitidas con otra inten ción (generalmente, sistemas de telecomu nicaciones) y que accidentalmente, dan lugar a un efecto no deseado en un terce ro.  Y por otro aquellas emitidas no intencio nadamente (equipos electrónicos en su funcionamiento normal, sistemas de con mutación, descargas electrostáticas, equi pos médicos, motores de inducción, etc). 2) Según el mecanismo que acopla la fuente y la víctima de la interferencia. * Interferencias radiadas Cuando la señal se propaga de fuente a

328

*

Interferencia

víctima mediante radiación electromagné tica. Interferencias conducidas Cuando se propaga a través de una cone xión común a ambos (por ejemplo, la red eléctrica).

c) Guerra electrónica La guerra electrónica consiste en una acti vidad tecnológica y electrónica con el fin de determinar, explotar, reducir o impe dir el uso hostil de todos los espectros de energía, por parte del adversario y a la vez conservar la utilización de dicho es pectro en beneficio propio.  La utilización militar de equipos electró nicos alcanza a todos los niveles y moda lidades de combate. Los equipos de co municaciones permiten el control en tiem po real de todos los escalones de las fuer zas de combate y facilita al jefe de las mismas los datos necesarios para evaluar la situación. Las redes de radar facilitan una alerta previa de un ataque aéreo ene migo, y los sistemas electrónicos de direc ción de tiro ayudan a la defensa antia érea. Estas redes electrónicas pueden guiar a los aviones de interceptación con tra la fuerza atacante. Estos mismos avio nes cuentan con un sofisticado conjunto de equipos para la detección de blancos, navegación y guiado de las armas hasta el objetivo. Sin embargo, como la totali dad de estos sistemas dependen en gran medida del espectro electromagnético en lo relativo a inteligencia y operatividad, las fuerzas oponentes pueden utilizar o tros dispositivos electromagnéticos para reducir su utilización óptima e incluso servirse de nuestro sistema. d) Como evitar la interferencia Existen muchas formas de reducir la EMI; un posible resumen de las mismas

1)

2)

3)

4)

5)

6)

sería: Está universalmente aceptado que es más rápido y menos costoso intentar prevenir la posibilidad de interferencias al comien zo de la fase de diseño, en lugar de bus car cómo solucionarlas cuando aparez can. Durante el proceso de diseño, la pri mera solución, la menos compleja y cos tosa, suele ser recolocar los componentes del mismo, buscando conexiones más cortas, de menor impedancia y un mejor diseño de la masa del circuito. Este paso no siempre es posible, bien por su complejidad, bien trabajamos con un diseño ya realizado (por ejemplo, compra do), que no se puede cambiar. En ese ca so, lo más sencillo suele ser añadir nue vos componentes (filtros, condensadores de desacoplo, cuentas de ferrita, transfor madores de aislamiento, fibras ópticas) con la esperanza de que se resuelva así el problema. También se puede reducir la velocidad de trabajo en algunos sistemas electrónicos. Esto puede exigir una reprogramación. Otra opción, sencilla pero costosa, puede ser blindar los dispositivos a proteger, o bien cambiarlos de sitio, y colocarlos don de no den problemas (algunos lo compa ran a esconder un monstruo en el sóta no). Otra posibilidad puede ser cambiar los componentes problemáticos por otros más resistentes. Activarlos a un voltaje cero (cuando es CA).

e) Contaminación electromagnética El concepto de contaminación electro magnética, también conocida como elec tropolución, se refiere a la presunta exis tencia de una exposición excesiva a las radiaciones de espectro electromagnético (o campos electromagnéticos) generadas

329

Física IV 





por equipos electrónicos u otros elemen tos producto de la actividad humana. Se emplea el término "contaminación" puesto que se sospecha que ciertos cam pos electromagnéticos podrían ser, para las especies vivas, un factor de perturba ción, pudiendo afectar a su salud o hábi tos reproductivos. Estas cuestiones son objeto de polémica social y mediática, y también de intenso estudio académico, sin que hasta la fecha haya sido probada científicamente la existencia de efectos adversos. Algunos campos electromagnéticos a in tensidades muy elevadas pueden presen tar efectos nocivos comprobados, funda mentalmente por el efecto térmico que pueden causar (como por ejemplo el cam po electromagnético en el interior de un horno microondas). Un aspecto polémico refiere a los hipoté ticos efectos nocivos que podrían produ cir, a largo plazo, las emisiones de radia ción electromagnética. Algunos casos puntuales de supuestos aumentos en la probabilidad de cáncer en personas que viven en zonas cercanas a torres de alta tensión, como así también la reciente preocupación sobre el uso de la telefonía celular, y de la antenas de celulares y o WiMAX han contribuido a despertar cierto grado de "alarma social".

f) Desplazamiento de frecuencia En ingeniería de radio, un desplazamien to de frecuencia es un ligero cambio in tencional de la emisión de radio frecuen cia (RF), para reducir la interferencia con otros transmisores. a) Interferencia de dos ondas Consideremos dos ondas planas polariza das linealmente de la misma frecuencia, y diferentes números de onda, dadas por:

E1(r, t)  E01sen(k1 r   t  1) E2 (r, t)  E02sen(k 2 r   t  1) Entonces, la ecuación de la onda resultan te en el punto P es: E  E1  E 2

b) Irradiancia La irradiancia que mide la potencia inci dente por unidad de superficie de todo ti po de radiación electromagnética, y que se calcula como el valor promedio del vector de Poynting, obviando un término constante, podemos escribir, así: I  E2  E E  I  (E1  E2 ) (E1  E 2 ) 

I  E12  E22  2E1 E2  I  E12    E22    2E1 E2 

I  I1  I2  2I12 I1, I2 son las irradiancias debido a la fuen tes 1 y 2, en tanto el tercer termino I12 se llama la irradiancia debido a la interferen cia. Es debido a este ultimo termino que I difiere de la simple suma de las irradian cias de las ondas componentes, esto es I1+I2. c) Irradiancia de interferencia Se demuestra que la irradiancia debido a la interferencia puede expresarse, así: I12  2  E1 E2  E01 E02 sen 

donde la diferencia de fase , viene dado

330

Interferencia

por:   (k1 r)  (k1 r)  1  2

d) Regla para obtener la irradiancia * Si las ondas que se superponen son cohe rentes, para obtener la irradiancia los campos eléctricos se sumaran y luego ele varan al cuadrado. * Si las ondas son incoherentes, los cam pos eléctricos serán elevados al cuadrado y luego estas componentes de las irradian cias se sumaran.



Ejemplo: 01 Asumiendo que los campos eléctricos de la Figura son paralelos, hallar una expre sión para I en términos de I1, I2 y  Solución: 01 Como las ondas componentes son cohe rentes, entonces la irradiancia resultante es: I  I1  I2  I12 I  I1  I2  E01 E02sen 

De otro lado, las irradiancias de las fuen tes 1 y 2, son: 1 2 I1  E12  E01  E01  2I1 2 1 2 I2  E 22  E02  E02  2I2 2

Con esto, la expresión inicial para la irra diancia resultante, queda así:

I  I1  I2  2 I1 I2 sen  Ejemplo: 02 Para las ondas del ejemplo anterior, deter minar las condiciones para los cuales I a

dopta valores máximos y mínimos. Solución: 02  Recordemos que la irradiancia resultante en términos de I1, I2 y  es:

I  I1  I2  2 I1 I2 sen  I es máximo para sen =1 esto es =/2, 5/2,……

Imax  I1  I2  2 I1 I2 I es mínimo para sen =1 esto es =-/2, -5/2,……

Imin  I1  I2  2 I1 I2 3. EXPERIMENTOS DE INTERFERENCIA

 R.SABRERA

a) Interferencia en dos ranuras 1) Objetivo Investigar la naturaleza corpuscular u on dulatoria de la luz. 2) Importancia Basado en el patrón de interferencias, se demuestra que la naturaleza de la luz es ondulatoria en los fenómenos de interfe rencia. 3) Analogía El experimento de Young, también pue de llevarse a cabo utilizando protones neutrones, electrones, obteniéndose patro nes de interferencia análogos al de la luz. 4) Condiciones para la interferencia * Las ondas generadas por las rendijas de ben ser coherentes. * Las ondas que salen de las rendijas deben tener la misma frecuencia.

331

Física IV *

Las ondas de interferencia deben estar po larizadas linealmente. La distancia entre las rendijas deben ser aproximadamente 1000 veces la longitud de onda utilizada. El ancho de las rendijas deben ser algo más pequeñas que la longitud de onda de luz empleada, permitiendo utilizar las on das como fuentes puntuales esféricas.

*

*

5) Máximos de interferencia Los máximos de interferencia entre las on das que salen de las rendijas ocurren siempre que: P

Las ondas que llegan a P están en fase e interfieren constructivamente, si y sólo si

r1  r2  mo (m=0, 1, 2,…) Así, los máximos de interferencia ocurri rán siempre que:  ym 

6) Distancia de separación entre franjas La distancia de separación entre franjas que alternan, esto es, la distancia entre máximos y mínimos consecutivos en el patrón de interferencia, viene dado por:

r2

S

a

y 

y

S2 

r1

Po

s o a

Demostración: Los máximos m-ésimo y (m+1)-ésimo es tán situados en:

S1 s

ms o ym  a

donde, (s) es la distancia de las rendijas S1 y S2 a la pantalla P, (a) la distancia en tre las rendijas paralelas entre si, o la lon gitud de onda de la luz en el aire,  un án gulo pequeño, y m=0, 1, 2,… Demostración: En la Figura, la diferencia de longitud de trayectoria óptica, teniendo en cuenta que  es pequeño es:

S1P  S2P  S1A  r1  r2 r1  r2  a sen   a tg  r1  r2  a

s m o a

y s

ym 

s m o s(m  1) o y ym1  a a

Por lo que, la diferencia entre estos máxi mos es: y  ym1  ym y 

s(m  1) o s m o  a a

 y 

s o a

7) Patrón de interferencia En este caso el patrón de interferencia que se forma en la pantalla P, esta consti tuido de franjas brillantes y claras, para lalelas e igualmente separadas entre sí. * Franjas brillantes

332

Interferencia

Las franjas brillantes que se forman en la pantalla P (interferencia constructiva) se presentan en ángulos , para el cual, se cumple que:

Aplicando la ley de coseno, calculemos la amplitud de la onda resultante en el punto P, así:

E2P  E2  E2  2E2 cos(  )

a sen   m o

E2P  E2  E2  2E2 cos

con, m=0, 1, 2, 3,… *

E2P  2E2 (1  cos )

Franjas oscuras Las franjas oscuras que se forman en la pantalla P (interferencia destructiva) se presentan en ángulos , para el cual, se cumple que:

 E 2P  2E 2[1  2cos 2 ( )  1] 2

 EP  2E cos( / 2)

1 a sen   (m  ) o 2

con, m=0, 1, 2, 3,…, en ambos casos o es la longitud de onda de la luz en el aire. 8) Amplitud de la onda resultante de la inter ferencia La amplitud de la onda resultante de la su perposición de dos ondas de amplitudes iguales a E, que oscilan en planos que for man un ángulo , viene dado por:

* * *

Casos particulares Cuando las dos ondas están en fase =0 y EP=2E. Cuando las dos ondas están medio ciclo fuera de fase, = rad, y EP=0. Así, la superposición de dos ondas sinu soidales de la misma frecuencia y ampli tud pero con una diferencia de fase, gene ran una onda resultante de la misma fre cuencia y amplitud comprendida en el in tervalo:

0  EP  2E

EP  2E cos( / 2)



Demostración: Mediante la técnica de fasores, represen temos las ondas E1 y E2 que provienen de las fuentes S1 y S2. P

EP R t

9) Intensidad de interferencia Recordemos que la intensidad viene dada por la magnitud media del vector de Poynting Smed, así, para el caso de una on da sinusoidal con amplitud de campo EP, la intensidad de interferencia en el punto P es:

E - 

I  Smed

E 2P 1 o 2   EP 2oc 2 o

E

E2=Ecos t E1=Ecos(t+)

1 I  ocE 2P 2

333

Física IV Sustituyendo la expresión para Ep, obtene mos: I  2ocE 2 cos 2 

 2



La intensidad máxima Io, que se presenta en los puntos donde la diferencia de fase es nula (=0), es: Io  2ocE 2



Obsérvese que la intensidad máxima Io es el cuádruple (no el doble) de la intensi dad (1/2)ocE2 de cada una de las fuentes Al sustituir la expresión Io en la ecuación para I, encontramos una nueva forma de expresar la intensidad, así: I  Io cos 2

 2

El valor medio de esta ecuación = (1/2)Io=ocE2, es el doble de la intensidad de cada fuente individual, es decir, la sali da de la energía de las dos fuentes no es alterada por los efectos de la interferen cia. 10) Diferencia de fase Como la diferencia de fase  es propor cional a la diferencia de trayectoria de las dos fuentes S1, S2 al punto P, se cumple que:  r2  r1  2  



de refracción (n), las longitudes de onda y el número de onda, deben expresarse, así:

b) Interferencia en películas delgadas 1) Descripción Las interferencias tienen lugar cuando la luz incidente en una lámina delgada es re flejada por las superficies superior e infe rior. Al llegar a la primera superficie de separación parte de la luz se refleja (A) y parte se refracta. La parte que se refracta llegará a la segunda superficie de separa ción donde, de nuevo, parte se refleja y parte se refracta. La parte que se refleja vuelve a la primera superficie de separa ción y se transmitirá al medio inicial (B). Ri i

(A )

(B )

n1



donde, k=2/ es el número de onda. Si el material en el espacio entre las fuen tes y P es diferente del aire, y tiene índice

k  n ko

y

11) Conclusión Aunque el experimento de las dos ranu ras se realiza con luz visible, las ecuacio nes obtenidas, son válidas para cualquier tipo de onda, siempre y cuando la onda resultante de las dos fuentes coherentes se detecte en un punto que éste muy aleja do en comparación a la distancia s.

R.SABRERA

2 (r2  r1)  k (r2  r1) 

o n

n2

Si el espesor de la lámina es muy peque ño la distancia entre A y B puede ser muy pequeña, del orden de la longitud de

334

Interferencia

onda, así que al final será como tener dos rendijas (experimento de Young), y esto dará lugar a figuras de interferencia. Un ejemplo de esto son los colores que apare cen en una pompa de jabón. Cuando la luz incidente es luz monocromática, las Figuras de interferencia aparecerán como bandas claras y oscuras. Las bandas cla ras corresponden a las regiones en las que tiene lugar la interferencia construc tiva entre las ondas reflejadas, mientras que las bandas oscuras tienen lugar cuan do la interferencia es destructiva. 2) Ejemplos El tipo de interferencia que tiene lugar cuando la luz se refleja en una lámina del gada depende de la longitud de onda y del ángulo de incidencia de la luz, el espe sor de la lámina, los índices de refracción del material a cada uno de los lados de la lámina, y el índice de refracción de la lá mina. Ejemplos concretos son las pom pas de jabón, y las láminas finas de acei te.  Las láminas delgadas también se encuen tran en la naturaleza. Muchos animales tienen una capa de tejido detrás de la reti na, el denominado Tapetum lucidum, que incrementa la luz recibida y mejora la vi sión nocturna de algunos animales. 3) Patrón de interferencia Para el caso de una fuente no puntual que emite luz blanca, el patrón de interferen cia esta constituida de una serie de fran jas brillantes de diferentes colores uno junto a otro. Las variaciones en el espe sor de la película afectarán el color de la luz que se refleje con más intensidad. 4) Interferencia constructiva y destructiva  Desplazamiento relativo de fase nulo Si la luz de longitud de onda " " en la

película, incide casi perpendicularmente a la película de espesor "t" ; si ninguna o si ambas ondas reflejadas en las dos su perficies no tienen un desplazamiento de fase relativo, la condición para que se produzca interferencia constructiva y des tructiva, respectivamente, son: 2t  m  (m  0, 1, 2...)

1 2t  (m  )  (m  0, 1, 2...) 2 

Desplazamiento relativo de fase de me dio ciclo Si una de las dos ondas tiene un desplaza miento de fase de medio ciclo por refle xión, la condición para que se produzca interferencia constructiva y destructiva, respectivamente, son: 1 2t  (m  )  (m  0, 1, 2...) 2 2t  m  (m  0, 1, 2...)

5) Amplitud de la onda reflejada Supongamos que una onda de luz de am plitud de campo eléctrico Ei viaja en un material de índice de refracción ni. La on da incide en dirección normal en la inter faz con otro material de índice nt. La am plitud de la onda reflejada en la interfaz es proporcional a la amplitud Ei de la on da incidente, y viene dada por:

Er 

ni  n t Ei ni  n t

Se encuentra que las amplitudes inciden te y reflejada, tienen el mismo signo si ni>nt, y signo contrario si ni
335

Física IV 







de las láminas en interferencia, son: Las láminas delgadas se utilizan de for ma comercial en recubrimientos antire flectantes, espejos, y filtros ópticos. Se utiliza en la elaboración de nuevos ma teriales que presentan alta pureza y que poseen nuevas propiedades ópticas y eléc tricas ausentes en la naturaleza. Se utiliza en la elaboración de los dispo sitivos de almacenamiento de energía so lar (celdas solares) por conversión fototér mica o fotovoltaica. Se utiliza en la fabricación de dispositi vos optoelectrónicos, válvulas ópticas pa ra su posterior uso en telecomunicaciones

nf es el índice de refracción de la sustan cia encerrada en la cuña, o la longitud de onda de la luz en el aire. Para la iluminación próxima a la normal, (it0), cos t1, la expresión anterior se reduce a: (m

1 ) o  2n f d m 2

2) Posición de la m-ésima franja La posición en la horizontal de la m-ési ma franja, medida desde el extremo izqui erdo de la cuña, viene dado por: xm 

b) Interferencia en una cuña

(m  1/ 2) f 2

donde, f es la longitud de onda de la luz en la sustancia encerrada por la cuña.

lente

S

 separador de haz n 

d

x

x  x m1  x m 

f 2

donde,  es el ángulo de la cuña.

nf n

1) Condición para los máximos de irradian cia Los máximos de irradiancia ocurren cuan do las dos perturbaciones salen de la cu ña en fase, esto es, cuando: niñez

  2 m 

3) Distancia de separación entre franjas La distancia de separación entre las fran jas que forman el patrón de interferencia viene dado por:

4 n f dm   o

donde, dm es la máxima distancia de sepa ración en el extremo derecho de la cuña,

4) Espesor de la película en m-ésima franja El espesor de la película en el máximo de la franja m-ésima, viene dado por:

1  d m  (m  ) o 2 2n f 5) Patrón de interferencia El patrón de interferencia es una serie de franjas (bandas) rectas brillantes y oscu ras que se alternan, y que corren parale las al vértice de la cuña.

336

Interferencia

c) Interferencia en una lente sobre un plano óptico. 1) Descripción Cuando una superficie curva de vidrio se pone en contacto con una superficie pla na de vidrio, como la mostrada en la Figu ra, se observa una serie de anillos concén tricos cuando se ilumina desde arriba con luz blanca o con luz monocromática. A estos se les llama anillos de Newton y se deben a la interferencia entre las ondas re flejadas por las superficies superior e in ferior de la muy delgada capa de aire en tre las dos piezas de vidrio.

rad, se generan los máximos, que vienen dados por: 1 (m  ) o  2n f d m 2



donde, o es la longitud de onda de la luz en el aire, nf el índice de refracción de la sustancia que llena el espacio entre las su perficies, dm la distancia entre las superfi cies para la m-ésima franja. Cuando la diferencia de fase de los dos rayos reflejados en las superficies supe rior (lente) e inferior (lámina) es de = (2m+1) rad, se generan los mínimos, que vienen dados por: m o  2n f d m

4) Radios de las franjas  El radio de las franjas brillantes (para in terferencia constructiva), medidos desde el centro común del patrón de interferen cia, viene dado por:

S



R-d

1  x m  [(m  ) o R]1/2 2 nf

R 

d

El radio de las franjas oscuras (para in terferencia destructiva), medidos desde el centro común del patrón de interferen cia, viene dado por:

o 1/2 R] nf

2) Patrón de interferencia El patrón de interferencia para luz mono cromática está constituida de franjas cir culares concéntricas brillantes (para inter ferencia constructiva), y oscuras (para interferencia destructiva).

Como se observa a medida que el orden m aumenta, el radio de las franjas aumen ta.

3) Condición de máximos y mínimos  Cuando la diferencia de fase de los dos rayos reflejados en las superficies supe rior (lente) e inferior (lámina) es de =

5) Condición para generar las franjas De la ecuación se deduce que para poder observar los anillos de Newton, es necesa rio que el radio de la superficie curva sea

x m  [m

337

Física IV muy grande, o mejor dicho, que dicha su perficie sea casi plana, puesto que la lon gitud de onda de la luz visible es del or den de los nanómetros. De ahí que el fe nómeno pueda apreciarse juntando dos placas planas transparentes, y presionan do una sobre la otra con una punta; de e sa manera si la placa sobre la que se ejer ce la presión es delgada se deformará ad quiriendo la ligera curvatura necesaria y suficiente para poder ver los anillos de Newton.

gulo suficientemente pequeño. e) Espejo de Lloyd o S y a E S1 s

d) Biprisma de Fresnel o

 S  

d

R s

1) Descripción Doble prisma con poco ángulo de refrac ción, elaborado en una única pieza de vi drio. Colocado en un fino haz de luz, re fracta las dos mitades llevándolas a sobre ponerse generando franjas de interferen cia. 2) Distancia de separación entre franjas La distancia de separación entre dos fran jas continuas, ya sean, entre franjas bri llantes o franjas oscuras, viene dado por:

y 

(R  d) o 2R (n  1) 

donde, R y d son las distancia del bipris ma a la fuente S y a la pantalla,  un án



Es un dispositivo separador de frentes de onda, que se utilizan para generar franjas de interferencia, así, en la Figura una por ción de onda luminosa viaja directamente hacia la pantalla, en tanto, que la otra on da luminosa llega a la pantalla luego de reflejarse sobre una superficie lisa. El haz reflejado parece venir de una fuen te puntual virtual S1, por lo que, se pue de aplicar los criterios de interferencia en dos ranuras paralelas. La diferencia cru cial es que el haz reflejado experimenta un desplazamiento de fase de 180º en la superficie de separación. La intensidad de irradiancia en un punto P de la pantalla, viene dado por:

I(y)  4Iosen 2

a y  os

donde, "Io" es la intensidad de irradiancia máxima, "y" la distancia del punto P en la pantalla al eje de simetría del espejo. f) Espejo doble de Fresnel Esta formado por dos superficies reflec tantes especulares que forman entre sí un pequeño ángulo " " . Diferentes partes de la onda primaria

338

Interferencia

proveniente de la fuente S se reflejan en los dos espejos sobreponiéndose después e interfiriendo en la región enfrente de o. Se puede considerar que estas ondas son originadas en las dos fuentes virtua les mostradas en la Figura. o S

De esta forma se obtiene lo que se deno mina la figura de interferencia que permi tirá medir pequeñas variaciones en cada uno de los caminos seguidos por los ha ces. Este interferómetro fue usado por Mi chelson junto con Edward Morley para tratar de probar la existencia del éter, en el famoso experimento de Michelson y Morley.

Po

Espejo

r2  2

S2 a

d

R

r1

50cm

A



B

R.SABRERA

S1

La distancia de separación entre dos fran jas continuas, ya sean, entre franjas bri llantes o franjas oscuras, viene dado por:

y 

(R  d) o 2R 

donde, "R" y "d" son las distancias del punto de unión de los espejos, a la fuente S y a la pantalla, respectivamente, " " el ángulo que forman entre sí los espejos. 4. INTERFEROMETROS a) Interferómetro de Michelson 1) Descripción Es un interferómetro que permite medir distancias con una precisión muy alta. Su funcionamiento se basa en la división de un haz coherente de luz en dos haces pa ra que recorran caminos diferentes y lue go converjan a nuevamente en un punto.



Fuente

Espejo A la bomba de vacio

2) Configuración En un principio, la luz es dividida por u na superficie semiespejada (o divisor de haz) en dos haces. El primero es refleja do y se proyecta hasta el espejo (arriba), del cual vuelve, atraviesa la superficie se miespejada y llega al detector. El segun do rayo atraviesa el divisor de haz, se re fleja en el espejo (derecha) luego es refle jado en el semiespejo hacia abajo y llega al detector.  El espacio entre el semiespejo y cada uno de los espejos se denomina brazo del in terferómetro. Usualmente uno de estos brazos permanecerá inalterado durante un experimento, mientras que en el otro se colocarán las muestras a estudiar.  Hasta el observador llegan dos haces, que poseen una diferencia de fase dependien do fundamentalmente de la diferencia de camino óptico entre ambos rayos. Esta di ferencia de camino óptico puede depen

339

Física IV



der de la posición de los espejos o de la colocación de diferentes materiales en ca da uno de los brazos del interferómetro. Esta diferencia de camino hará que am bas ondas puedan sumarse constructiva mente o destructivamente, dependiendo de si la diferencia es un número entero de longitudes de onda (0, 1, 2,...) o un núme mero entero más un medio (0,5; 1,5; 2,5; etc.) respectivamente. En general se emplean lentes para ensan char el haz y que sea fácilmente detecta ble por un fotodiodo o proyectando la i magen en una pantalla. De esta forma el observador ve una serie de anillos, y al desplazar uno de los espejos notará que estos anillos comienzan a moverse. En es ta forma se puede explicar la conserva ción de la energía, ya que la intensidad se distribuirá en regiones oscuras y regiones luminosas, sin alterar la cantidad total de energía.

3) Aplicaciones Generalmente cuando se monta un interfe rometro de Michelson se observa una Fi gura de interferencia inicial, de la que no se puede determinar cuál es la diferencia de camino, porque si se observa una su ma constructiva sólo se puede inferir que la diferencia es múltiplo de la longitud de onda. Por esto el interferómetro se usa pa ra medir pequeños desplazamientos; una vez que se tiene una figura de interferen cia inicial, al cambiar la posición de uno de los espejos se verá que las franjas de interferencia se mueven. Si tomamos un punto de referencia, por cada franja que lo atraviese habremos movido el espejo u na distancia equivalente a una longitud de onda (menor al micrómetro.)  Hacia fines del siglo XIX, este interferó metro se utilizaba con fuentes luminosas de descarga en gases, con un filtro y una

pequeña rendija. En particular, para el ex perimento de Michelson y Morley, se uti lizó la luz proveniente de alguna estrella. Actualmente en cualquier laboratorio de enseñanza básico se puede montar uno de estos interferómetros utilizando un lá ser. b) Interferómetro de Fabry-Perot 1) Descripción En óptica, un interferómetro de Fabry-Pé rot, o Etalon está, normalmente, constitui do por una placa con dos superficies re flectantes, o dos espejos paralelos alta mente reflectantes (técnicamente, el pri mero es un etalon y el posterior es un in terferómetro, pero la terminología se usa, con frecuencia, de manera indistinta). Cuando se determina su espectro de trans misión en función de la longitud de onda se verifica que existen picos de gran transmisión que corresponden a la reso nancia del etalon. Se nombró en recono cimiento a Charles Fabry y Alfred Perot. "Etalon" proviene del francés étalon, que significa "cálculo de medida" o "están dar". d  

pantalla



El efecto de resonancia de un interferó metro de Fabry-Pérot es idéntico al que se usa en un filtro dicroico. Los filtros di croicos son colecciones secuenciales muy delgadas de interferómetros de FabryPérot y están así caracterizados y diseña

340



Interferencia

dos usando las mismas reglas matemáti cas. Los etalones se usan con bastante frecuen cia en telecomunicaciones, láseres y es pectroscopia de control y medida de lon gitudes de onda. Los recientes avances en las técnicas de fabricación han per mitido la creación de interferómetros de Fabry-Pérot extremadamente precisos.

2) Aplicaciones  La aplicación común más importante es su uso como filtro dicroico, en el que una serie de capa de etalones se depositan so bre una superficie óptica mediante técni cas de deposición de vapor. Estos filtros ópticos tienen, usualmente, una capaci dad reflectante exacta y pasan más ban das que los filtros de absorción. Por el propio diseño del filtro funcionan más fríos que los filtros de absorción puesto que pueden reflejar longitudes de onda no deseadas. Los filtros dicroicos se usan ampliamente en equipos ópticos tales co mo fuentes de luz, cámaras y equipos as tronómicos.  Empleo en redes de telecomunicaciones para el multiplexado de longitudes de on da en equipos add-drop multiplexers con bancos de etalones sintonizados de dia mante o sílice fundida. Estos bancos son pequeños cubos iridiscentes de aproxima damente 2 mm de tamaño en un lado, montados en pequeños estantes mecaniza dos con alta precisión. Los materiales se eligen para mantener estables las distan cias espejo a espejo y guardar la estabili dad de las frecuencias usadas en las trans misiones, incluso cuando varia la tempe ratura. Se prefiere el diamante porque pre senta una mejor conducción del calor y un menor coeficiente de dilatación. Des de el año 2005, algunos equipos de co municaciones comenzaron a usar etalo

nes de estado sólido que son de fibra ópti ca. Esto elimina la mayoría de las dificul tades de montaje, alineamiento y enfria miento de los equipos. 3) Espectro de frecuencias El espectro de frecuencia se caracteriza por la distribución de amplitudes para ca da frecuencia de un fenómeno ondulato rio (sonoro, luminoso o electromagnéti co) que sea superposición de ondas de va rias frecuencias. También se llama espec tro de frecuencia al gráfico de intensidad frente a frecuencia de una onda particu lar.  El espectro de frecuencias o descomposi ción espectral de frecuencias puede apli carse a cualquier concepto asociado con frecuencia o movimientos ondulatorios como son los colores, las notas musica les, las ondas electromagnéticas de radio o TV e incluso la rotación regular de la tierra. 4) Materia oscura En astrofísica y cosmología física, se de nomina materia oscura a un tipo de mate ria que corresponde al 27% de la mate ria-energía del universo, y que no es ener gía oscura, materia bariónica (materia or dinaria) ni neutrinos. Su nombre hace re ferencia a que no emite ningún tipo de ra diación electromagnética (como la luz). De hecho, no interactúa en ninguna for ma con la radiación electromagnética, siendo completamente transparente en to do el espectro electromagnético. Su exis tencia se puede deducir a partir de sus e fectos gravitacionales en la materia visi ble, tales como las estrellas o las gala xias, así como en las anisotropías del fon do cósmico de microondas presente en el universo.

Física IV

341

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. El valor medio temporal de cualquier función f(t) tomado sobre un intervalo T esta dada por: =(1/T) 

tT

t

f (t ')dt ' , donde t ' es justamente una variable muda. Si T=2/ es

el periodo de una función armónica, mostrar que, =1/2, = 1/2 y =0 cuando T= y cuando T>>. 02. Dos ondas en una cuerda están descritas por las funciones de onda y1=3,0 cos(4,0x-1,6t) y y2=4,0 sen(5,0x-2,0t) donde "y" y "x" están en centímetros y "t" en segundos. Hallar la superposición de las ondas y1+y2 en los puntos (I) x=1,00 m, t=1,00 s (II) x=1,00 m, t= 0,500 s, y (III) x=0,500 m, t=0. 03. En la Fig01, los pulsos A y B se mueven en direcciones opuestas a lo largo de una cuer da tensa con una rapidez de v=2,00 cm/s. La amplitud de A es el doble de la de B. Trace una gráfica de la forma de la cuerda en los instantes t=1,0 s, 1,5 s, 2,0 s, 2,5 s y 3,0 s. 04. En la Fig02, el alambre horizontal de longitud l=5 m y masa m=0,732 kg sostiene los postes idénticos de pesos W=235 N. Sopla un fuerte viento, la cual, provoca que el alam bre vibre en su séptimo sobretono. (velocidad del sonido vS=344 m/s, =57º) I) Hallar la frecuencia de vibración del alambre. a) 15,3 Hz II)

b) 16,3 Hz

c) 17,3 Hz

d) 18,3 Hz

e) 19,3 Hz

Hallar la longitud de onda del sonido que produce este alambre. a) 15,8 m

b) 16,8 m

c) 17,8 m

d) 18,8 m

e) 19,8 m

l

v v

A

B

g 

2cm







2cm

Fig01

Fig02

05. Dos pulsos de ondas que se desplazan en la misma dirección, vienen dadas por: y1=5/(3x4t)2+2 y y2=-5/(3x+4t-6)2+2. I) ¿En qué dirección se desplaza cada pulso de onda?

342 II)

Interferencia ¿En que tiempo se cancelan los dos pulsos en todas partes? a) 0,25 s

b) 0,50 s

c) 0,75 s

d) 1,00 s

e) 1,25 s

d) 1,6 m

e) 1,8 m

III) ¿En qué puntos se cancelan siempre los dos pulsos? a) 1,0 m

b) 1,2 m

c) 1,4 m

06. Dos ondas se desplazan en la misma dirección a lo largo de una cuerda estirada. Las on das están 90º fuera de fase. Cada onda tiene una amplitud de 4,0 cm. Hallar la amplitud de la onda resultante a) 5,06 cm

b) 5,26 cm

c) 5,46 cm

d) 5,66 cm

e) 5,86 cm

07. Dos ondas viajeras senoidales están descritas por las funciones de onda, siguientes: y1= 5,00 sen[(4,0x-1200t)] (m) y2=5 sen[(4,0x-1200t-0,250)] (m), x, y1 y y2 están en me tros y "t" en segundos . I) Hallar la amplitud de la onda resultante. a) 9,04 m II)

b) 9,24 m

c) 9,44 m

d) 9,64 m

e) 9,84 m

d) 630 Hz

e) 650 Hz

Hallar la frecuencia de la onda resultante. a) 600 Hz

b) 610 Hz

c) 620 Hz

08. Dos ondas senoidales idénticas con longitudes de onda de 3,00 m se desplazan en la mis ma dirección a una rapidez de 2,00 m/s. La segunda onda se origina desde el mismo pun to que el primero, pero en un tiempo posterior. Hallar el mínimo intervalo posible entre los momentos de inicio de las dos ondas si la amplitud de la onda resultante es la misma que la de cada una de las dos ondas iniciales. a) 0,1 s

b) 0,2 s

c) 0,3 s

d) 0,4 s

e) 0,5 s

09. Una serie de pulsos, cada una uno de amplitud 0,150 m, es enviado por una cuerda que es tá atada a un poste en un extremo. Los pulsos se reflejan en el poste y regresan a lo largo de la cuerda sin perdida de amplitud. Hallar el desplazamiento neto en un punto de la cuerda donde pulsos se están cruzando. I) Si la cuerda está rígidamente atada al poste. a) 0 m II)

b) 0,1 m

c) 0,2 m

d) 0,3 m

e) 0,4 m

Si el extremo en el que ocurre la reflexión está libre para deslizarse. a) 0,1 m

b) 0,2 m

c) 0,3 m

d) 0,4 m

e) 0,5 m

10. Dos altavoces se colocan en una pared a 2,00 m uno del otro. Un escucha está de pie a 3,00 m de la pared directamente frente a uno de los altavoces. Un solo oscilador excita los dos altavoces a una frecuencia de 300 Hz. (velocidad del sonido vS=343 m/s)

Física IV I)

Hallar la diferencia de fase entre las dos ondas cuando llegan al observador. a) 3,13 rad

II)

343

b) 3,23 rad

c) 3,33 rad

d) 3,43 rad

e) 3,53 rad

¿Cuál es la frecuencia más cercana a 300 Hz a la que el oscilador puede ajustarse de mo do que el observador escuche un sonido mínimo? a) 253 Hz

b) 263 Hz

c) 273 Hz

d) 283 Hz

e) 293 Hz

11. En la Fig03, los altavoces excitados por un mismo oscilador de frecuencia f=200 Hz, están separados por la distancia d=4,00 m entre sí. El hombre camina directamente hacia el altavoz más bajo en dirección perpendicular al poste. (velocidad del sonido vS=330 m/s) I) ¿Cuántas veces escuchará un mínimo en intensidad de sonido? a) uno II)

b) dos

c) tres

d) cuatro

e) cinco

d) 9,68 m

e) 9,88 m

¿A qué distancia estará él del poste en estos momentos? a) 9,08 m

b) 9,28 m

c) 9,48 m

12. Dos ondas senoidales en una cuerda están definidas por las funciones y1=2,0 sen(20,0x32,0t)] (cm) y y2=2,0 sen(25,0x-40,0t) (cm), donde x, y1, y2 están en metros y "t" en se gundos. I) Hallar la diferencia de fase entre estas dos ondas en el punto x=5,0 cm en t=2,0 s. a) 150º II)

b) 152º

c) 154º

d) 156º

e) 158º

Hallar el valor de "x" positivo más cercano al origen para el cual las dos fases difieren en  en el instante t=2,0 s. a) 554 m

b) 564 m

c) 574 m

d) 584 m

e) 594 m

y



f

P

R.SABRERA

D

d 

L

Fig03

A

f

9m 10m

x

Fig04

13. En la Fig04, los altavoces idénticos colocados a 10,0 m uno de otro son excitados por el mismo oscilador con una frecuencia de f=21,5 Hz. (velocidad del sonido vS=344 m/s)

344 I) II)

Interferencia Explique por qué un receptor en el punto A registra un mínimo en intensidad de sonido desde los dos altavoces. Si el receptor se mueve en el plano de los altavoces, ¿Qué trayectoria debe tomar para qué la intensidad continué en un mínimo? Esto es, determine la relación entre "x" e "y" (las coordenadas del receptor) que hace que el receptor registre un mínimo en intensidad de so nido.

14. Las cadenas que sujetan el columpio de un niño miden 2,0 m de largo. ¿A qué frecuencia debe empujar su hermano mayor para que el niño se columpie con la máxima amplitud? (g=9,8 m/s2) a) 0,312 Hz

b) 0,332 Hz

c) 0,352 Hz

d) 0,372 Hz

e) 0,392 Hz

15. Se forman vibraciones de onda estacionaria en una copa de cristal con cuatro nodos y cua tro antinodos igualmente separados alrededor de la circunferencia de 20 cm de su borde. Si ondas transversales se mueven alrededor del vaso a 900 m/s. ¿Con qué frecuencia ten dría qué producir una armónica alta un cantante de ópera para romper la copa con una vi bración resonante? a) 7,0 kHz

b) 7,5 kHz

c) 8,0 kHz

d) 8,5 kHz

e) 9,0 kHz

16. La longitud total de un flautín es de l=32 cm. La columna de aire resonante vibra en un tu bo abierto en ambos extremos. I) Hallar la frecuencia de la nota más baja que puede ejecutar un flautín, suponiendo que la rapidez del sonido en el aire es de vS=340 m/s. a) 511 Hz II)

b) 521 Hz

c) 531 Hz

d) 541 Hz

e) 551 Hz

Abrir agujeros en el costado efectivamente acorta la longitud de la columna resonante. Si la nota más alta que puede ejecutar un flautín es de f=4000 Hz, hallar la distancia entre antinodos adyacentes para este modo de vibración. a) 41,5 mm

b) 42,5 mm

c) 43,5 mm

d) 44,5 mm

e) 45,5 mm

17. En ciertos registros del teclado de un piano, más de una cuerda se afina a la misma nota para obtener intensidad extra. Por ejemplo, la nota a 110 Hz tiene dos cuerdas a esta fre cuencia. Si una cuerda resbala de su tracción normal de 600 N a 540 N, ¿Qué frecuencia de pulso se escucha cuando el martillo golpea las dos cuerdas simultáneamente? a) 5,04 bat/s

b) 5,24 bat/s

c) 5,44 bat/s

d) 5,64 bat/s

e) 5,84 bat/s

18. Al tratar de afinar la nota Do a 523 Hz, una afinadora de piano escucha dos batimientos por segundo entre un oscilador de referencia y la cuerda. I) ¿Cuáles son las posibles frecuencias de la cuerda? a) 521 Hz o 525 Hz b) 522 Hz o 524 Hz c) 520 Hz o 526 Hz d) 520 Hz o 524 Hz e) 521 Hz o 523 Hz

Física IV

II)

345 Cuando la afinadora aprieta ligeramente la cuerda, escucha tres batimientos por segundo, ¿Cuál es ahora la frecuencia de la cuerda? a) 520 Hz

b) 522 Hz

c) 524 Hz

d) 526 Hz

e) 528 Hz

III) ¿En qué porcentaje es que ahora la afinadora de pianos debe cambiar la tensión de la cuer da para afinarla? a) 1,14 %

b) 1,24 %

c) 1,34 %

d) 1,44 %

e) 1,54 %

19. Un estudiante sostiene un diapasón oscilando a 256 Hz. El camina hacia una pared a una rapidez constante de 1,33 m/s. I) ¿Qué frecuencia de batimientos observa entre el diapasón y su eco? a) 1,59 Hz II)

b) 1,69 Hz

c) 1,79 Hz

d) 1,89 Hz

e) 1,99 Hz

¿Con qué rapidez debe alejarse de la pared para observar una frecuencia de batimiento de 5,0 Hz? a) 3,18 m/s

b) 3,28 m/s

c) 3,38 m/s

d) 3,48 m/s

e) 3,58 m/s

20. La funciones de onda de dos ondas son: y1(x, t)=5,0 sen(2,0x-10t) y y2(x, t)=10 cos(2,0x10t) donde y1, y2 y x están en metros y t en segundos. I) Demostrar que la onda resultante de la superposición de estas ondas es senoidal. II) Hallar la amplitud y la fase de esta onda senoidal. 21. En la Fig05, se muestra las dimensiones de un pulso de onda en una cuerda en el instan te t=0. La rapidez de la onda es de v=40 cm/s. I) Si el punto O es un extremo fijo, dibuje la onda total en el instante t=15 ms, 20 ms, 25 ms, 35 ms, 40 ms y 45 ms. II) Repita el inciso I) para el caso que O es un extremo libre.

v 

v

O 

O

4mm

1cm

4mm

Fig05

1cm

Fig06

22. En la Fig06, se muestra las dimensiones de un pulso de ondulatorio en una cuerda en el instante t=0. La rapidez de la onda es de v=5,0 m/s.

346 I) II)

Interferencia Si el punto O es un extremo fijo, dibuje la onda total en los instantes t=1,0 ms, 2,0 ms, 3,0 ms, 4,0 ms, 5,0 ms, 6,0 ms y 7,0 ms. Repita el inciso I) para el caso en que el punto O es un extremo libre.

23. En la Fig07, se muestran dos pulsos ondulatorios triangulares que viajan uno hacia el o tro por una cuerda estirada. Los pulsos son idénticos y viajan a v=2,0 cm/s. Los bordes delanteros de los pulsos están separados 1,0 cm en t=0. Dibuje la forma de la cuerda en el instante t=0,25 s, t=0,50 s, t=0,75 s, t=1,00 s y t=1,25 s. 24. Suponga que el pulso que viaja hacia la izquierda en el problema anterior está debajo del nivel de la cuerda sin estirar y no por encima. Trace los mismos dibujos que realizó para ese ejercicio.

v

v v

v

1cm 1cm

Fig07

Fig08

25. En la Fig08, dos pulsos se desplazan en sentidos opuestos a 1,0 cm/s en una cuerda tensa da. Cada cuadro representa 2,0 cm. Dibuje la forma de la cuerda al final de t=6,0 s, t=7,0 s y t=8,0 s. 26. En la Fig09, se muestra dos pulsos ondulatorios rectangulares en una cuerda estirada, que viajan uno hacia el otro. Su rapidez es de 1,00 mm/s. Los bordes delanteros de los pulsos están separados 8,00 mm en el instante t=0 s. Dibuje la forma de la cuerda en t=4,0 s, t= 6,0 s y t=10,0 s.

3mm

v

v

v A

v 4mm 4mm

Fig09

Fig10

Física IV

347 27. En la Fig10, las ondas viajeras que se mueven por una cuerda son idénticas excepto que sus velocidades son opuestas. Obedecen la ecuación y(x, t)=Asen(kxt), donde el signo mas-menos del argumento depende de la dirección en que viaja la onda. I) Demuestre que la cuerda que vibra está descrita por la ecuación yneta(x, t)=2Asenkxcost. II) Demuestre que la cuerda nunca se mueve en los lugares en que x=n/2, donde "n" es un número entero no negativo. 28. En la Fig11, los altavoces A y B separados 2 m entre si, son alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas senoidales en fase. Ambos altavoces emiten ondas sonoras que vaijan directamente del altavoz a Q. I) Hallar la frecuencia más bajaron la que habrá interferencia constructiva en el punto Q. a) 170 Hz II)

b) 172 Hz

c) 174 Hz

d) 176 Hz

e) 178 Hz

Hallar la frecuencia más baja con la que habrá interferencia destructiva en el punto Q. a) 80 Hz

b) 82 Hz

c) 84 Hz

d) 86 Hz

e) 88 Hz

29. En la Fig12, los altavoces A y B separados 2 m entre sí, son alimentados por el mismo amplificador. La frecuencia de las ondas sonoras producidas por los altavoces es de 206 Hz. El punto P esta a una distancia "x" a la derecha de A. Ambos altavoces emiten on das sonoras que viajan directamente del altavoz a P. I) ¿Para qué valores de "x" habrá interferencia destructiva en P? a) 0,50 m, 1,48 m II)

b) 0,52 m, 1,46 m c) 0,58 m, 1,42 m d) 0,54 m, 1,40 m e) 0,56 m, 1,44 m

¿Para qué valores de "x" habrá interferencia constructiva en P? a) 1,02 m, 1,65 m

b) 1,00 m, 1,67 m c) 1,08 m, 1,61 m d) 1,04 m, 1,69 m e) 1,06 m, 1,63 m

III) Los efectos de interferencia como los de los incisos I y II) casi nunca son un factor al escuchar los equipos estereo caseros ¿Por qué no? 30. Dos altavoces, A y B, son alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas senoi dales en fase, B esta a 12 a la derecha de A. La frecuencia de las ondas emitidas por los altavoces es de 688 Hz. Si un sujeto se para en el punto medio de la línea recta entre A y B, y este es un punto de interferencia constructiva. ¿Qué distancia deberá moverse hacia el altavoz B, para estar en un punto de interferencia destructiva? a) 11,0 cm

b) 11,5 cm

c) 12,0 cm

d) 12,5 cm

e) 13,0 cm

31. Dos altavoces, A y B, son alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas senoida les en fase. La frecuencia de las ondas emitidas por los altavoces es de 172 Hz. Un sujeto se encuentra a 8 m de A, en la línea recta que une los altavoces. ¿Qué tan cerca puede estar de B en un punto de interferencia destructiva?

348

Interferencia a) 0,8 m

b) 0,9 m

c) 1,0 m

d) 1,1 m

e) 1,2 m

32. Dos altavoces, A y B, so alimentados por el mismo amplificador y emiten ondas senoida les en fase. La frecuencia de las ondas emitidas por los altavoces es de 860 Hz. El punto B está 12 m de A y a 13,4 m de B. ¿La interferencia en P es destructiva o constructiva? Sustente su respuesta. 33. En la Fig.60, la barra uniforme de peso W=165 N está sostenida horizontalmente por dos alambres idénticos A y B de masas m=5 g y longitudes l=75 cm. Un cubo pequeño de plo mo de peso w=185 N está colocado a 3/4 del camino de A a B. Si ambos alambres son pulsados simultáneamente en el centro, ¿Cuál es la frecuencia de los pulsos que se produ cirán cuando cada uno de los alambres vibre en su frecuencia fundamental? a) 25,3 Hz

b) 26,3 Hz

c) 27,3 Hz

d) 28,3 Hz

e) 29,3 Hz

B

A

Q

P





A

g

B w

x 2m

1m

W

Fig11

Fig12

34. Una persona toca una flauta pequeña de longitud l=10,75 cm abierta en un extremo y ce rrada en el otro, cerca de una cuerda tensa que tiene una frecuencia fundamental de f o= 600 Hz. Si la rapidez del sonido es vS=344 m/s, ¿Con cuáles armónicos de la flauta reso nará la cuerda? En cada caso, ¿Cuál armónico de la cuerda está en resonancia? 35. Dos guitarristas intentan tocar la misma nota con longitud de onda de 6,5 cm al mismo tiempo, pero uno de los instrumentos está ligeramente desafinado y, en vez de ello, toca una nota cuya longitud de onda es de 6,52 cm. ¿Cuál es la frecuencia del pulso que estos músicos escuchan cuando tocan juntos? a) 13 Hz

b) 14 Hz

c) 15 Hz

d) 16 Hz

e) 18 Hz

36. Dos tubos de órgano, abiertos por un lado pero cerrados por el otro, miden cada uno 1,14 m de largo. Uno se alargó por 2 cm. Hallar la frecuencia del pulso que producen cuando tocan juntos en su frecuencia fundamental. a) 1,1 Hz

b) 1,3 Hz

c) 1,5 Hz

d) 1,7 Hz

e) 1,9 Hz

37. El sonido de una trompeta radia uniformemente en todas direcciones en aire a 20 oC. A

Física IV

I)

349 una distancia de 5 m de la trompeta, el nivel de intensidad de sonido es de 52 dB, La fre cuencia es de 587 Hz. (vS=344 m/s, =1,2 kg/m3 a 20 oC, Io=10-12 W/m2) Hallar la amplitud de presión a está distancia. a) 10,4 mPa

II)

b) 11,4 mPa

c) 12,4 mPa

d) 13,4 mPa

e) 14,4 mPa

c) 7,49 nm

d) 8,49 nm

e) 9,49 nm

Hallar la amplitud de desplazamiento. a) 5,49 nm

b) 6,49 nm

III) ¿A qué distancia el nivel de intensidad de sonido es de 30 dB? a) 61 m

b) 62 m

c) 63 m

d) 64 m

e) 65 m

38. Una soprano y un bajo están cantando a dueto. Mientras la soprano canta un la sostenido a 932 Hz, el bajo canta un la sostenido, pero tres octavas más abajo. En esta sala de con ciertos, la densidad del aire es de 1,2 kg/m3 y su módulo de volumen es de 1,42105 Pa. Para que sus notas tengan el mismo nivel de intensidad de sonido. I) ¿Cuál debe ser la razón entre las amplitudes de presión del bajo y de la soprano? a) 0,25 II)

b) 0,50

c) 0,75

d) 1,00

e) 1,25

¿Cuál debe ser la razón entre las amplitudes de desplazamiento del bajo y de la soprano? a) 6,5

b) 7,0

c) 7,5

d) 8,0

e) 8,5

III) ¿Qué amplitud de desplazamiento produce la soprano para cantar su la sostenido a 72dB? a) 45,3 nm

b) 46,3 nm

c) 47,3 nm

d) 48,3 nm

e) 49,3 nm

39. En la Fig13, los altavoces idénticos situados en A y B, separados 2 m son alimentados por el mismo amplificador, y producen ondas sonoras de frecuencia 784 Hz. El micrófo no (M) pequeño se aleja del punto B sobre la línea BC. (vS=344 m/s) I) ¿A qué distancia máxima de B habrá interferencia destructiva? a) 8,11 m II)

b) 8,41 m

c) 8,71 m

d) 9,01 m

e) 9,31 m

¿A qué distancia mínima de B habrá interferencia constructiva? a) 0,16 m

b) 0,26 m

c) 0,36 m

d) 0,46 m

e) 0,56 m

III) Si la frecuencia es lo bastante baja, no habrá posiciones sobre la línea BC en las que haya interferencia destructiva, ¿Qué tan baja deberá ser la frecuencia para que esto suceda? a) 80 Hz

b) 82 Hz

c) 84 Hz

d) 86 Hz

e) 88 Hz

40. En la Fig14, dos altavoces, A y B, radian sonido uniformemente en todas direcciones en aire a 20 oC. La salida de potencia acústica de A es de 800 W y la de B 60 W. Ambos altavoces vibran en fase a una frecuencia de 172 Hz. (vS=344 m/s, =10-6)

350 I)

Interferencia Hallar la diferencia de fase de las dos señales en el punto C sobre la línea que une A a B, a 3 m de B y 4 m de A. a) 45º

II)

b) 90º

c) 120º

d) 150º

e) 180º

Hallar la intensidad de sonido (en W/m2) en C, debidos al altavoz A si B se apaga. a) 3,58

b) 3,68

c) 3,78

d) 3,88

e) 3,98

III) Hallar la intensidad de sonido (en nW/m2) en C, debidos al altavoz B si A se apaga. a) 511

b) 521

c) 531

d) 541

e) 551

IV) Hallar el nivel de intensidad de sonido en el punto C debidos al altavoz A si B se apaga. a) 65 dB

b) 66 dB

c) 67 dB

d) 68 dB

e) 69 dB

V) Hallar el nivel de intensidad de sonido en el punto C debidos al altavoz B si A se apaga. a) 55,2 dB

b) 56,2 dB

c) 57,2 dB

d) 58,2 dB

e) 59,2 dB

VI) Hallar la intensidad de sonido (en W/m2) en C, con los altavoces A y B encendidos. a) 1,18

b) 1,28

c) 1,38

d) 1,48

e) 1,58

VII) Hallar el nivel de intensidad de sonido en C, con los altavoces A y B encendidos. a) 60 dB

b) 61 dB

c) 62 dB

d) 63 dB

e) 64 dB

A



2m

A

B

C 

R.SABRERA

M 

C 4m

B

3m

x

Fig13

Fig14

41. Dos olas oceánicas con 1=100 m, f1=0,125 Hz y 2=90 m, f2=0,132 Hz, llegan simultá neamente a un dique. Hallar la frecuencia de batimiento de estas olas. a) 5 mHz

b) 6 mHz

c) 7 mHz

d) 8 mHz

e) 9 mHz

42. En un instante de tiempo, dos ondas transversales de ecuaciones: y1=0,020cos(4,0x) y y2=0,030cos(4,0x) viajan en la misma dirección a lo largo de una cuerda estirada, donde "y" y "x" están en metros.

Física IV I) II)

351

Indicar si estas ondas están en fase o fuera de fase. Hallar la amplitud de la onda resultante. a) 3 cm

b) 4 cm

c) 5 cm

d) 6 cm

e) 7 cm

d) 1,7 m

e) 1,8 m

III) Hallar la longitud de onda de la onda resultante. a) 1,3 m

b) 1,4 m

c) 1,6 m

43. En un instante de tiempo, dos ondas transversales viajan en la misma dirección a lo largo de una cuerda estirada. Las formas instantáneas de las ondas están dadas por las ecuacio nes: y1=0,030cos(4,0x) y y2=0,030sen(4,0x), donde "x" y "y" están en metros. I) Hallar la diferencia de fase entre estas ondas. a) 30º

b) 45º

c) 53º

d) 60º

e) 90º

d) 4,6 cm

e) 4,8 cm

III) Hallar la amplitud de la onda resultante. a) 4,0 cm II)

b) 4,2 cm

c) 4,4 cm

Hallar la posición "x" más cercana al origen donde la onda resultante tiene una cresta. a) 10 cm

b) 15 cm

c) 20 cm

d) 25 cm

e) 30 cm

44. Tres ondas de amplitudes A1=0,30 m, A2=0,50 m y A3=0,80 m viajan en la misma direc ción. I) Hallar la amplitud mayor de la onda resultante que podría ocurrir. a) 1,3 m II)

b) 1,4 m

c) 1,5 m

d) 1,6 m

e) 1,7 m

Hallar la amplitud menor de la onda resultante que podría ocurrir. a) 0 m

b) 0,1 m

c) 0,2 m

d) 0,4 m

e) 0,5 m

45. Las ecuaciones de dos ondas armónicas son: y1=Acos(4x-5t) y y2=2Acos(4x-5t-) donde A=6,0 m, "x" está en metros y "t" en segundos. I) Hallar la amplitud de la onda resultante. a) 4,0 m II)

b) 4,5 m

c) 5,0 m

d) 5,5 m

e) 6,0 m

d) 1,67 m

e) 1,77 m

d) 0,786 Hz

e) 0,796 Hz

Hallar la longitud de onda de la onda resultante. a) 1,37 m

b) 1,47 m

c) 1,57 m

III) Hallar la frecuencia de la onda resultante. a) 0,756 Hz

b) 0,766 Hz

c) 0,776 Hz

IV) Hallar el desplazamiento neto en x=1,0 m y t=1,0 s.

352

Interferencia a) -3,0 m

b) 3,0 m

c) -3,2 m

d) 3,2 m

e) -3,4 m

46. En un punto del espacio las ecuaciones de dos ondas son, y1=Acos(1t) y y2=Acos(2t) donde 1=145 rad/s y 2=152 rad/s. ¿Cuántos batimientos se escuchan por segundo, cuando las ondas se superponen? a) 1,11 Hz

b) 1,21 Hz

c) 1,31 Hz

d) 1,41 Hz

e) 1,51 Hz

47. Dos ondas de ecuaciones: y1=Acos(5x-6t) y y2=Acos(6x-7t) se superponen y una instanta nea de la onda resultante muestra una oscilación de longitud de onda corta que gradual mente varía en amplitud sobre una longitud más grande. I) Hallar la longitud de onda corta. a) 1,14 m II)

b) 1,24 m

c) 1,34 m

d) 1,44 m

e) 1,54 m

Hallar la distancia entre los puntos donde la amplitud de oscilación de longitud de onda corta tiende a cero. a) 6,08 m

b) 6,18 m

c) 6,28 m

d) 6,38 m

e) 6,48 m

48. Una perturbación periódica se repite cada 2,0 m a lo largo de una cuerda (por ejemplo, una serie de pulsos). Si se quiere describir esta perturbación mediante la suma de ondas armónicas, ¿Cuáles son las únicas longitudes de onda que pueden necesitarse? 49. Las ecuaciones de onda de dos ondas que se propagan en una cuerda son: y1= 0,030cos(6,0x-18t+1,5) y y2=0,030cos(6,0x-18t-2,3) donde "x" y "y" se miden en me tros y "t" en segundos. I) Hallar la amplitud de la resultante de la superposición de estas ondas. a) 1,54 cm II)

b) 1,64 cm

c) 1,74 cm

d) 1,84 cm

e) 1,94 cm

Hallar el desplazamiento "y" de la cuerda para x=0 y t=0. a) -1,59 cm

b) +1,59 cm

c) -1,79 cm

d) +1,79 cm

e) -1,99 cm

50. Considere la función de onda y=3,0cos(5,0x-8,0t)+4,0sen(5,0x-8,00t), que es una super posición de dos funciones de onda expresadas en algunas unidades adecuadas. Demuestre que esta función de onda puede escribirse en la forma y=Acos(5,0x-8,0t+). I) Hallar la amplitud de la onda resultante de la superposición. a) 3 u II)

b) 4 u

c) 5 u

d) 6 u

e) 7 u

Hallar la fase inicial de la onda resultante de la superposición. a) -37º

b) +37º

c) -53º

d) +53º

e) -60º

51. Un alambre delgado de longitud l=1 m vibra en una superposición del modo fundamental

Física IV

I) II)

353 y el segundo armónico. La función de onda es y=0,0060senxcos400t-0,0040sen3x cos1200t donde "x" y "y" se miden en metros y "t" en segundos. Hallar el desplazamiento en x=0,50 m como función del tiempo. Grafique este desplazamiento como función del tiempo para el intervalo 0 st0,0050 s.

52. Un guitarrista afina su instrumento perfectamente con la ayuda de un diapasón. Si el gui tarrista suena simultáneamente el diapasón y una cuerda en su guitarra, percibe batimien tos a una frecuencia de 4,0 por segundo. El diapasón tiene una frecuencia de 204 Hz. ¿Qué incremento (o disminución) fraccional de la tensión en la cuerda de guitarra se re quiere para afinar la guitarra con el diapasón? A partir de la información disponible, ¿pue de decir si se requiere un aumento o una disminución de la tensión? 53. Una cuerda vibratoria de mandolín de longitud l=0,34 m, vibra en un modo con cinco nodos (incluidos los nodos en los extremos) y cuatro antinodos. I) ¿Cuál sobretono es éste? a) segundo II)

b) tercero

c) cuarto

d) quinto

e) sexto

c) 15 cm

d) 17 cm

e) 19 cm

¿Cuál es la longitud de onda? a) 11 cm

b) 13 cm

54. Un alambre de telégrafo de cobre se estira firmemente entre dos postes de teléfono separa dos d=50 m. La tensión en el alambre es de T=500 N y la masa por unidad de longitud es de =2,010-2 kg/m. I) ¿Cuál es la frecuencia del modo fundamental? a) 1,38 Hz II)

b) 1,48 Hz

c) 1,58 Hz

d) 1,68 Hz

e) 1,78 Hz

d) 3,46 Hz

e) 3,56 Hz

¿Cuál es la frecuencia del primer sobretono? a) 3,16 Hz

b) 3,26 Hz

c) 3,36 Hz

55. Las cuatro cuerdas de un violín tienen la misma longitud y la misma tensión, pero diferen tes densidades de masa longitudinal, de modo que, al vibrar su modos fundamentales de vibración son, f1=196 Hz, f2=294 Hz, f3=440 Hz y f4=659 Hz. ¿Cuáles deben ser las razo nes de las densidades de las cuerdas? 56. Un auto se remolcará con una soga de longitud l=3,0 m, densidad de masa longitudinal  =0,080 kg/m, y sometida a la tensión de T=2,2 kN. Hallar la frecuencia fundamental pro pia para una onda estacionaria sobre está soga, en el modo fundamental. a) 25 Hz

b) 26 Hz

c) 27 Hz

d) 28 Hz

e) 29 Hz

57. Una cuerda fija en ambos extremos tiene una frecuencia resonante de f1=660 Hz y f2=440 Hz, pero no tiene frecuencias resonantes en ningún punto intermedio. I) Identifique a qué sobretonos corresponden estas frecuencias

354 II)

Interferencia Deduzca la frecuencia fundamental de esta cuerda.

58. Dos ondas transversales se describen por y1=Acos(x-3t) y y2=A cos(x+3t) donde A=5,0 m, "x" está en metros y "t" está en segundos. I) Hallar la amplitud máxima de la superposición de estas ondas en x=0,25 m. a) 7,07 m II)

b) 7,17 m

c) 7,27 m

d) 7,37 m

e) 7,47 m

d) 66,6 m/s

e) 67,6 m/s

d) 626 m/s2

e) 628 m/s2

Hallar la rapidez transversal máxima en este punto. a) 63,6 m/s

b) 64,6 m/s

c) 65,6 m/s

III) Hallar la aceleración transversal máxima en este punto. a) 620 m/s2

b) 622 m/s2

c) 624 m/s2

59. Varios pulsos de amplitud A=3,0 cm se envían por una cuerda que se une a un poste en el extremo lejano. Los pulsos se reflejan en el poste y mantienen su amplitud original. En los lugares donde se cruzan los pulsos hacia delante y reflejado. I) ¿Cuál es la amplitud resultante si la cuerda está fija en el poste? a) 0,0 cm II)

b) 0,5 cm

c) 1,0 cm

d) 1,5 cm

e) 2,0 cm

¿Cuál es si la cuerda tiene libertad para deslizarse hacia arriba y abajo en el poste? a) 2,0 cm

b) 2,0 cm

c) 4,0 cm

d) 5,0 cm

e) 6,0 cm

60. Se pulsa una cuerda de guitarra de longitud l=65 cm, fija en sus extremos, hacia arriba cerca del centro. La rapidez de la onda en la cuerda es de v=70 m/s. I) ¿Qué tiempo tardo el pulso creado en llegar a los extremos de la cuerda, y regresar al cen tro? a) 9,1 ms

b) 9,3 ms

c) 9,5 ms

d) 9,7 ms

e) 9,9 ms

II) ¿Cuándo regresa el pulso, el desplazamiento es hacia arriba o hacia abajo? III) ¿Cuántas veces por segundo vibra la cuerda arriba y abajo? a) 50 Hz

b) 51 Hz

c) 52 Hz

d) 53 Hz

e) 54 Hz

61. Una persona puede escuchar frecuencias de hasta f=20 kHz ¿Cuántos sobretonos de un "la" bajo (f=27,5 Hz) puede escuchar el oído humano? a) 720

b) 722

c) 724

d) 726

e) 728

62. Una cuerda de masa m=15 g, longitud de l=10 m y fija en sus extremos, está sometida a una tensión de T=40 N. Hallar las primeras cinco frecuencias propias de la cuerda. 63. El modo fundamental de la cuerda sol de un mandolín tiene una frecuencia de f=196 Hz. La longitud de la cuerda es de l=0,34 m y densidad de masa longitudinal =4,010-3

Física IV

355

kg/m. Hallar la tensión de la cuerda. a) 70 N

b) 71 N

c) 72 N

d) 73 N

e) 74 N

64. Una onda luminosa de longitud de onda =5,010-7 m, golpea un espejo perpendicular mente. La reflexión de la onda por el espejo forma una onda estacionaria con un nodo en el espejo. ¿A qué distancia del espejo está el antinodo más cercano, y cuál el nodo más cercano? 65. Una ola sobre la superficie del mar, con una longitud de onda de =3,0 m y un periodo de T=4,4 s golpea un dique orientado perpendicularmente a su trayectoria. La reflexión de la ola por el dique produce una onda estacionaria. Para tal onda, hay un antinodo en el dique. ¿Qué tan lejos del dique habrá nodos? 66. La cuerda "re" de un violín vibra en su modo fundamental con una frecuencia de f=294 Hz y una amplitud de A=2,0 mm. I) Hallar la rapidez máxima del punto medio de la cuerda. a) 3,1 m/s II)

b) 3,3 m/s

c) 3,5 m/s

d) 3,7 m/s

e) 3,9 m/s

Hallar la magnitud de la aceleración del punto medio de la cuerda. a) 6,0103 m/s2

b) 6,2103 m/s2

c)b 6,4103 m/s2

d) 6,6103 m/s2 e) 6,8103 m/s2

67. La cuerda "do" central de un piano vibra a la frecuencia de f=261,6 Hz, cuando se hace vibrar en su modo fundamental. Un afinador de piano encuentra que, en un piano que tie ne una tensión de T=900 N en esta cuerda, la frecuencia de vibración es muy baja plana) por f=15,0 Hz. ¿Cuánto debe aumentar la tensión de la cuerda para lograr la frecuencia correcta? a) 111 Hz

b) 113 Hz

c) 115 Hz

d) 117 Hz

e) 119 Hz

68. I) ¿Cuáles son aproximadamente las intensidades de los primeros dos sobretonos de un violín comparadas con las intensidades de la fundamental? a) 0,60 ; 0,28 II)

b) 0,62 ; 0,26

c) 0,64 ; 0,20

d) 0,68 ; 0,22

e) 0,66 ; 0,24

¿Cuántos decibeles menos tienen el primer y segundo sobretono comparados con el modo fundamental? a) -1 dB, -9 dB

b) -2 dB, -7 dB

c) -5 dB, -8 dB

d) -3 dB, -6 dB e) -4 dB, -5 dB

69. Un afinador de pianos escucha un pulso cada 2,0 s al tratar de ajustar dos cuerdas, una de las cuales está sonando a 370 Hz, ¿Qué tan lejos en frecuencia está la otra cuerda? a) 0,30 Hz

b) 0,40 Hz

c) 0,50 Hz

d) 0,60 Hz

e) 0,70 Hz

70. I) ¿Cuál es la frecuencia de pulso si se tocan juntos el "do" central (262 Hz) y el "do"

356

Interferencia sostenido(277 Hz). a) 13 Hz

II)

b) 14 Hz

c) 15 Hz

d) 16 Hz

e) 17 Hz

¿Cuál es si cada una se toca a dos octavos menos (que cada frecuencia se reduzca en un factor de 4)? a) 3,55 kHz

b) 3,65 kHz

c) 3,75 kHz

d) 3,85 kHz

e) 3,95 kHz

71. Una cuerda de guitarra produce 4 pulsos/s cuando suena con un diapasón de 350 Hz y 9 pulsos/s cuando suena con un diapasón de 355 Hz. Hallar la frecuencia vibratoria de la cuerda. a) 316 Hz

b) 326 Hz

c) 336 Hz

d) 346 Hz

e) 356 Hz

72. En la Fig15, las dos fuentes de sonido están una frente a la otra y emiten sonidos de igual amplitud e igual frecuencia (294 Hz) pero están 180º fuera de fase. Para que distancia de separación mínima de los dos altavoces. (velocidad del sonido vS=343 m/s) I) Habrá algún punto en el que ocurra interferencia constructiva. a) 61 cm II)

b) 63 cm

c) 65 cm

d) 67 cm

e) 69 cm

Habrá algún punto (distancia mínima) en el que ocurra interferencia destructiva. a) 0 cm

b) 5 cm

c) 10 cm

d) 15 cm

e) 20 cm

A

A

S1 M 

3m

d

S2 B

B

3,2m

Fig15

Fig16

73. ¿Cuántos pulsos se escucharán si dos flautas idénticas de 0,66 m de longitud, tocan cada uno el "do" central (262 Hz), pero uno está a 5,0 oC y el otro a 25 oC? a) 9,0 Hz

b) 9,2 Hz

c) 9,4 Hz

d) 9,6 Hz

e) 9,8 Hz

74. En la Fig16, los altavoces separados por 3,0 m emiten sonidos de frecuencia 494 Hz en fase. Se coloca un micrófono a 3,20 m de distancia en el punto medio M, registrándose un máximo de intensidad. I) ¿Qué tan lejos debe moverse el micrófono hacia arriba para encontrar el primer mínimo de intensidad?

Física IV a) 40 cm II)

b) 42 cm

c) 44 cm

357 d) 46 cm

e) 48 cm

Suponga que los altavoces se vuelven a conectar de manera que los sonidos de 494 Hz que emiten queden exactamente fuera de fase. ¿En qué posiciones están ahora el máximo y mínimo de intensidad? a) 0; 42 cm

b) 42 cm; 0

c) 0; 46 cm

d) 46 cm, 0

e) 48 cm, 0

75. Dos cuerdas de piano están vibrando supuestamente a 220 Hz, pero un afinador oye tres pulsos cada 2,0 s, cuando las cuerdas se tocan juntas. I) Si una está vibrando a 220 Hz, ¿Cuál debe ser la frecuencia de la otra (si hay una sola res puesta) a) 221,5 Hz ó 218,5 Hz b) 222,5 Hz ó 219,5 Hz c) 225,5 Hz ó 216,5 Hz d) 224,5 Hz ó 217,5 Hz e) 223,5 Hz ó 215,5 Hz II)

¿En qué porcentaje debe aumentarse o disminuirse la tensión para que queden afinadas? a) 1,1 %

b) 1,2 %

c) 1,3 %

d) 1,4 %

e) 1,5 %

76. Una fuente emite sonidos de longitudes de onda de 1=2,64 m y 2=2,72 m en el aire. La temperatura del medio ambiente es de T=20 oC. (velocidad del sonido vS=343 m/s) I) ¿Cuántos pulsos por segundo se escucharán? a) 5,0 Hz II)

b) 5,2 Hz

c) 5,4 Hz

d) 5,6 Hz

e) 5,8 Hz

¿Qué tan separadas en el espacio están las regiones de intensidad máxima? a) 60 m

b) 61 m

c) 62 m

d) 63 m

e) 64 m

77. Un amplificador estéreo tiene 150 W de salida a 1000 Hz. La potencia de salida disminu ye en 10 dB a 15 kHz. ¿Cuál es la potencia de salida en vatios a 15 kHz? a) 13 W

b) 14 W

c) 15 W

d) 16 W

e) 17 W

78. El nivel de sonido a r=12 m de distancia de un parlante situado al aire libre es de =100 dB. ¿Cuál es la potencia de salida acústica del parlante, suponiendo que irradia igualmen te en todas las direcciones? (Io=10-12 W/m2) a) 15,1 W

b) 16,1 W

c) 17,1 W

d) 18,1 W

e) 19,1 W

79. En sistemas de audio y comunicaciones, la ganancia "" en decibelios se define como, =10 log10(PS/PE), donde "PS " y "PE " son las potencias de salida y entrada, respectiva mente. Un amplificador estéreo produce 100 W de potencia para una entrada de 1,0 mW. ¿Cuál es su ganancia en decibelios? (m=10-3) a) 40 dB

b) 45 dB

c) 50 dB

d) 55 dB

e) 60 dB

358

Interferencia

80. Dos tubos idénticos, cada uno cerrado en un extremo, tienen una frecuencia fundamental de 349 Hz a 25 oC. La temperatura del aire se incrementa a 30 oC en un tubo. Si los dos tubos suenan juntos ahora, ¿Cuál es la frecuencia de los pulsos resultantes? a) 1,5 Hz

b) 2,0 Hz

c) 2,5 Hz

d) 3,0 Hz

e) 3,5 Hz

81. Cada cuerda de un violín está afinada a una frecuencia 1(1/2) veces la de su vecina. Si las cuatro cuerdas de igual longitud están bajo la misma tensión, ¿Cuál debe ser la masa por unidad de longitud de cada cuerda con respecto a la de la cuerda más baja? 82. El diámetro "D" de un tubo afecta el nodo en el extremo abierto de un tubo. La correc ción del extremo puede aproximarse al agregar D/3 a la longitud efectiva del tubo. Para un tubo cerrado de longitud 0,60 m y diámetro 3,0 cm, ¿Cuáles son los primeros cuatro ar mónicos, tomado en cuenta la corrección del extremo? 83. Una persona oye un tono puro en el rango de 500 Hz a 1000 Hz proveniente de dos fuen tes. El sonido es más intenso en puntos equidistantes de las dos fuentes. Para determinar exactamente cuál es la frecuencia, la persona se mueve alrededor y encuentra que el nivel del sonido es mínimo en un punto 0,31 m más alejado de una fuente que de la otra, ¿Cuál es la frecuencia del sonido? (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 520 Hz

b) 530 Hz

c) 540 Hz

d) 550 Hz

e) 560 Hz

84. Dos tubos de órgano abiertos que suenan juntos producen una frecuencia de pulso de 8,0 Hz. El más corto tiene una longitud de 2,4 m, ¿Cuánto mide el tubo más largo? (veloci dad del sonido vS=343 m/s) a) 2,3 m

b) 2,4 m

c) 2,5 m

d) 2,6 m

e) 2,7 m

85. Si la velocidad del flujo de sangre en la aorta es normalmente de 0,32 m/s aproximada mente, ¿Qué frecuencia de pulso esperaría Ud. Si se dirigen ondas de ultrasonido de 5,5 MHz a o largo del flujo y reflejadas por los glóbulos rojos?. Suponga que las ondas via jan con una rapidez de 1,54103 m/s. (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 2,1 kHz

b) 2,2 kHz

c) 2,3 kHz

d) 2,4 kHz

e) 2,5 kHz

86. Un diapasón se pone en vibración sobre el tubo vertical abierto lleno con agua. Se permi te que el nivel del agua caiga lentamente, de modo que el aire en el tubo arriba del nivel del agua se oye entonces resonar con el diapasón cuando la distancia de la abertura del tu bo al nivel del agua es de 0,125 m y de nuevo a 0,395 m. ¿Cuál es la frecuencia del diapa són? (velocidad del sonido vS=343 m/s) a) 630 Hz

b) 635 Hz

c) 640 Hz

d) 645 Hz

e) 650 Hz

87. Dos ondas armónicas que se mueven por una cuerda en la misma dirección y sentido tie nen la misma frecuencia de 100 Hz, una longitud de onda de 2 cm y una amplitud de 0,02 m.

Física IV I)

Hallar la amplitud de la onda resultante si las dos ondas difieren en fase en /6. a) 3,56 cm

II)

359

b) 3,66 cm

c) 3,76 cm

d) 3,86 cm

e) 3,96 cm

Hallar la amplitud de la onda resultante si las dos ondas difieren en fase en /3. a) 3,16 cm

b) 3,26 cm

c) 3,36 cm

d) 3,46 cm

e) 3,56 cm

88. Dos ondas de la misma frecuencia, longitud de onda y amplitud A=0,05 m, se desplazan en la misma dirección y sentido. Si su diferencia de fase es de /2, hallar la amplitud de la onda resultante. a) 7,07 m

b) 7,17 m

c) 7,27 m

d) 7,37 m

e) 7,47 m

89. Dos fuentes sonoras que oscilan en fase con la misma amplitud "A" , están separadas en el espacio por una distancia de /3. ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante de las dos fuentes en un punto situado en la línea que une las fuentes, admitiendo que el punto no es tá entre las fuentes? a) Ao

b) 2Ao

c) 4Ao

d) Ao/2

e) Ao/4

90. Dos fuentes sonoras oscilan con una frecuencia de f=100 Hz. En un punto situado a a=5,0 m de una de ellas a b=5,85 m de la otra, la amplitud del sonido procedente de cada fuente separadamente es "A" . I) ¿Cuál es la diferencia de fase de las ondas sonoras procedentes de ambas fuentes en di cho punto? a) 30º II)

b) 37º

c) 45º

d) 60º

e) 90º

¿Cuál es la amplitud de la onda resultante en dicho punto? a) 1,12A

b) 1,22A

c) 1,32A

d) 1,42A

e) 152A

91. Dos parlantes separados por una cierta distancia emiten sonidos de una misma frecuen cia. En un punto determinado P la intensidad debida a cada parlante separadamente es "Io " . La distancia desde P a uno de los parlantes es /2 mayor que la de P al otro. I) Hallar la intensidad en P si los parlantes son coherentes y están en fase. a) 0 II)

b) Io

c) 2Io

d) Io/2

e) Io/4

Hallar la intensidad en P si los parlantes son incoherentes. a) Io

b) 2Io

c) 4Io

d) Io/2

e) Io/4

III) Hallar la intensidad en P si los parlantes son coherentes y tienen una diferencia de fase de  rad. a) Io

b) 2Io

c) 4Io

d) Io/2

e) Io/4

360

Interferencia

92. Resolver el problema anterior para el punto P ' en el cual la distancia al parlante más a lejado es " " mayor que la distancia al más cercano. Admitir de nuevo que la intensidad en el punto P ' es "Io " debido a cada parlante separadamente. I) Hallar la intensidad en P si los parlantes son coherentes y están en fase. a) Io II)

b) 2Io

c) 4Io

d) Io/2

e) Io/4

Hallar la intensidad en P si los parlantes son incoherentes. a) Io

b) 2Io

c) 4Io

d) Io/2

e) Io/4

III) Hallar la intensidad en P si los parlantes son coherentes y tienen una diferencia de fase de  rad. a) 0

b) Io

c) 2Io

d) Io/2

e) Io/4

93. Dos parlantes separados cierta distancia emiten ondas sonoras de la misma frecuencia, pero están desfasados en 90º. Sean "r1 " , "r2 " las distancias de un punto determinado a los parlantes 1 y 2, respectivamente. I) Hallar el menor valor de r2-r1 para el cuál el sonido en ese punto sea máximo. II) Hallar el menor valor de r2-r1 para el cual el sonido en ese punto sea mínimo. 94. Demostrar que si la separación entre dos fuentes de sonido que irradian coherentemente en fase es inferior a media longitud de onda, no se observará interferencia totalmente des tructiva en ninguna dirección. 95. Una onda transversal de frecuencia f=40 Hz se propaga por una cuerda. Dos puntos sepa rados entre sí d=5 cm están desfasados en /6. I) Hallar la longitud de onda " " de la onda. a) 60 cm II)

b) 62 cm

c) 64 cm

d) 66 cm

e) 68 cm

Hallar la diferencia de fase entre dos desplazamientos en un punto determinado para ins tantes separados en t=5 ms entre sí. a) 1,16 rad

b) 1,26 rad

c) 1,36 rad

d) 1,46 rad

e) 1,56 rad

d) 23 m/s

e) 24 m/s

III) Hallar la velocidad "v" de propagación de la onda. a) 20 m/s

b) 21 m/s

c) 22 m/s

96. Se supone que el cerebro determina la dirección de una fuente de sonido porque es capaz de apreciar la diferencia de fase entre las ondas sonoras que chocan contra los tímpanos auditivos. Una fuente sonora distante emite un sonido de frecuencia f=680 Hz. Si nuestro rostro está frontalmente dirigido hacia la fuente sonora, no apreciaremos diferencia de fa se. Estimar la diferencia de fase entre los sonidos recibidos por cada oído si ahora gira mos 90º respecto a la posición frontal.

Física IV a) 0,5 rad

b) 0,6 rad

c) 0,7 rad

361 d) 0,8 rad

e) 0,9 rad

97. Dos fuentes sonoras A y B ubicadas en xA=0, yA=0 y xB=0, yB=2,4 m, emiten coherente mente en fase. Una observadora situada en x=40 m, y=0 m observa que al caminar en di rección y positiva o negativa alejándose de y=0, la intensidad del sonido disminuye. I) Hallar la frecuencia más baja que explican esta observación. a) 4706 Hz II)

b) 4726 Hz

c) 4746 Hz

d) 4766 Hz

e) 4786 Hz

Hallar la frecuencia más alta que explican esta observación. a) 9412 Hz

b) 9432 Hz

c) 9452 Hz

d) 9472 Hz

e) 9492 Hz

98. En el problema anterior, suponiendo que la observadora localiza un punto de intensidad máxima en x=40 m, y=0 m. ¿Cuál es la frecuencia más alta y más baja congruente con es ta observación? I) Hallar la frecuencia más baja que explican esta observación. a) 2303 Hz II)

b) 2323 Hz

c) 2343 Hz

d) 2363 Hz

e) 2383 Hz

Hallar la frecuencia más alta que explican esta observación. a) 7009 Hz

b) 7029 Hz

c) 7049 Hz

d) 7069 Hz

e) 7089 Hz

99. Se superponen en agua dos ondas armónicas de igual amplitud "A" pero distinta frecuen cia "" , número de onda "k" y velocidad "v" . La ecuación de la onda resultante y(x, t)= A[cos(k1x-1t)+ cos(k2x-2t)], donde 1k1=v1 (velocidad de la primera onda), y 2k2= v2 (velocidad de la segunda onda). Demostrar que y(x, t) puede expresarse en la forma y(x, t)=2Acos[(k/2)x-(/2)t] cos(kmx-mt)] donde km=(k1+k2)/2, y m=(1+2)/2, k= k1k2, =1-2. El factor 2Acos[(k/2)x-(/2)t] es la denominada portadora de la onda. 100. En la Fig.66, dos focos puntuales en fase están separados una distancia "d" . Se detecta un patrón de interferencia a lo largo de una recta paralela a la que une los focos y situada a una distancia "D" . I) Demostrar que la diferencia de trayectos desde los dos focos al mismo punto de la línea si tuado a un ángulo de "" , viene dado aproximadamente por: s=d sen. (Asumir que las líneas procedentes de las fuentes a P son aproximadamente paralelas. II) Demostrar que la distancia "ym " desde el punto correspondiente al máximo central hasta el máximo de interferencia "m" viene dada aproximadamente por ym=m(D/d). 101. Dos focos sonoros que emiten en fase con una frecuencia de 480 Hz interfieren de tal modo que los máximos se oyen bajo ángulos de 0o y 23o medidos a partir de una línea per pendicular a la que une los dos focos. I) Hallar la distancia de separación entre ambos focos a) 1,51 m

b) 1,61 m

c) 1,71 m

d) 1,81 m

e) 1,91 m

362 II)

Interferencia Hallar cualquier otro ángulo bajo el cuál se percibe una intensidad máxima. a) 51,5º

b) 52,5º

c) 53,5º

d) 54,5º

e) 55,5º

102. Se accionan en fase dos parlantes situado en el eje-y en y=1 m, mediante un amplifi cador de audiofrecuencia de 600 Hz. Un observador empieza a andar en y=0 a lo largo de una línea paralela al eje-y a una distancia "D" muy grande de éste. I) ¿Para qué ángulo "" escuchará por primera vez un mínimo de intensidad sonora? a) 8,14º II)

b) 8,34º

c) 8,54º

d) 8,74º

e) 8,94º

¿Para qué ángulo escuchará el primer máximo (después de =0o)? a) 16,1º

b) 16,3º

c) 16,5º

d) 16,7º

e) 16,9º

III) ¿Cuántos máximos podrá escuchar posiblemente si se mantiene andando en la misma di rección? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

103. Dos focos sonoros, accionados en fase por el mismo amplificador, están sobre el eje-y se parados una distancia d=2 m. En un punto situado a una distancia muy grande del eje-y se oye la primera interferencia constructiva a un ángulo 1=0,140 rad respecto al eje-x y el siguiente se escucha a 2=0,283 rad. I) ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras procedentes de los focos? a) 25,9 cm II)

b) 26,9 cm

c) 27,9 cm

d) 28,9 cm

e) 29,9 cm

c) 1,24 kHz

d) 1,26 kHz

e) 1,28 kHz

¿Cuál es la frecuencia de los focos? a) 1,20 kHz

b) 1,22 kHz

III) Hallar el mayor ángulo, para el cuál, se escuchará interferencia constructiva. a) 77,18º

b) 77,38º

c) 77,58º

d) 77,58º

e) 77,98º

IV) ¿Cuál es el ángulo menor para el cual se cancelaría completamente las ondas sonoras? a) 2º

b) 3º

c) 4º

d) 5º

e) 6º

104. Los dos focos sonoros del problema anterior, funcionan ahora con un desfase de 90º, pero con la misma frecuencia del problema anterior. I) Hallar el menor ángulo, para el cuál, se escuchará interferencia constructiva. a) 7,01º

b) 7,21º

c) 7,41º

d) 7,61º

e) 7,81º

II) Hallar el mayor ángulo, para el cuál, se escuchará interferencia destructiva. a) 37,0o

b) 37,2o

c) 37,4o

d) 37,6o

e) 37,8o

Física IV

363 105. Un rayo láser muy fino incide con un ángulo de 58º sobre un espejo horizontal. El rayo re flejado golpea una pared sobre una mancha 5,0 m lejos del punto de incidencia donde el rayo presiona el espejo. ¿Qué tan lejos horizontalmente está la pared del punto de inciden cia? a) 4,0 m

b) 4,2 m

c) 4,4 m

d) 4,6 m

e) 4,8 m

106. La amplitud de la superposición de dos ondas transversales idénticas, que se desplazan en la misma dirección a lo largo de una cuerda tensa es 1,65 veces la amplitud de las ondas que se superponen. Hallar la diferencia de fase entre las ondas que se superponen. a) 65,8º

b) 66,8º

c) 67,8º

d) 68,8º

e) 69,8º

107. Hallar la amplitud de la onda resultante de la superposición de dos ondas sinusoidales de la misma frecuencia, de amplitudes A1=3,20 cm, A2=4,29 cm, diferencia de fase =/2, y que viajan en la misma dirección. a) 5,17 cm

b) 5,27 cm

c) 5,37 cm

d) 5,47 cm

e) 5,57 cm

108. En la Fig.17, considere dos fuentes puntuales S1 y S2, las cuales emiten ondas de la mis ma frecuencia y amplitud. Las ondas se inician con la misma fase, y esta relación de fase en las fuentes se mantiene en el tiempo. Considere puntos P en los cuales r1 sea casi igual a r2. I) Demostrar que la superposición de estas dos ondas produc una onda cuya amplitud "ym " varía con la posición P aproximadamente de acuerdo con: ym=(2A/r)cosk/2(r1-r2) donde r=(r1+r2)/2. II) Demostrar luego que la cancelación total ocurre cuando r1-r2=(n+1/2) siendo "n" cual quier número entero, y que el refuerzo total ocurre cuando r1-r2=n. El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia en distancia desde dos puntos fijos es constante es una hi pérbola, siendo los puntos fijos los focos. De aquí que cada valor de "n" produzca una lí nea hiperbólica de interferencia destructiva. En los puntos en que r1 y r2 no son aproxi madamente iguales (como cerca de las fuentes), las amplitudes de las ondas de S1 y S2 difieren y las cancelaciones son solamente parciales. (Esta es la base del sistema de nave gación OMEGA.) 109. En la Fig18, una fuente S y un detector D de ondas de alta frecuencia están a una distan cia "d" en el suelo. Se detecta que la onda dirigida desde S está en fase en D con la onda que parte de S, que se refleja por una capa horizontal situada a una altitud "H" . Los ra yos incidente y reflejado forman el mismo ángulo con la capa reflectora. Cuando la capa se eleva a una distancia "h" , no se detecta ninguna señal en D. Despreciando la absor ción de la atmósfera halle la relación entre "d" , "h" , "H" y la longitud de onda " " de las ondas. 110. En el problema anterior, suponga que d=230 km y H=510 km. Las ondas son ondas de radio de frecuencia f=13,0 MHz. En el detector D la intensidad de la señal combinada varía desde un máximo hasta cero y regresa de nuevo a un máximo seis veces en 1 minu

364

Interferencia to. ¿Con qué velocidad vertical se está moviendo la capa reflectora? (La capa se mueve lentamente, de modo que la distancia vertical desplazada en 1 minuto es pequeña en com paración con H y d). a) 1,18 m/s

b) 1,28 m/s

c) 1,38 m/s

d) 1,48 m/s

e) 1,58 m/s

h

S1

P

r1

H

r2 S2

S

d

Fig17

D

Fig18

111. En la Fig19, una onda sonora de longitud de onda =42 cm ingresa en el tubo en F ¿Cuál debe ser el radio "r" más pequeño para que se escuche un mínimo en el detector D? a) 18,0 cm

b) 18,2 cm

c) 18,4 cm

d) 18,6 cm

e) 18,8 cm

112. En la Fig20, las bocinas del sistema estéreo están separadas una distancia d=2,12 m. su ponga que la amplitud que parte de cada bocina es la misma en la posición de un oyente O que esta a s=3,75 m directamente enfrente de una de las bocinas. I) ¿Para qué frecuencias en el intervalo audible (20 Hz a 20 000 Hz) existirá una señal mí nima? II) ¿Para qué frecuencias es máximo el sonido? (velocidad del sonido v=343 m/s) A

d r

F

D



O

B s

R.SABRERA

Fig19

Fig20

113. Una fuente esférica de sonido está situada en P1 cerca de una pared reflejante AB, y en el punto P2 está colocado un micrófono. La frecuencia de la fuente de sonido es variable. Hallar las dos frecuencias más bajas para las cuales la intensidad del sonido observada en P2 será un máximo. No existe cambio de fase con la reflexión; el ángulo de incidencia es

Física IV

365

igual al ángulo de reflexión. a) 64,4 Hz, 128,8 Hz b) 62,2 Hz, 124,4 Hz c) 63,3 Hz, 126,6 Hz d) 61,4 Hz, 122,8 Hz e) 65,1 Hz, 130,2 Hz 114. Dos fuentes de sonido están separadas por una distancia de d=5,0 m. ambas emiten soni dos de la misma amplitud y frecuencia f=300 Hz, pero están 180º fuera de fase. ¿A qué distancia del centro de la línea que une las fuentes, será la intensidad del sonido máximo? (velocidad del sonido v=343 m/s) a) 25,2 cm

b) 26,2 cm

c) 27,2 cm

d) 28,2 cm

e) 29,2 cm

115. Un gran reflector parabólico que tiene una abertura circular de radio R=0,5 m se usa para enfocar el sonido. Si la energía se emite desde el foco hasta el oído de un detective que es cucha a través de un tubo de diámetro D=1,0 cm con una eficiencia del 12%, ¿A qué dis tancia puede captarse, de modo que se entienda, una conversación, en tono de susurro? (suponga que el nivel de un susurro es de 20 dB a 1,0 m de la fuente, considerada como puntual, y que el umbral de audición del oído humano es de 0 dB.) a) 326 m

b) 336 m

c) 346 m

d) 356 m

e) 366 m

116. Se tiene una cuerda de piano de acero de longitud l=1,4 m, densidad de masa =7,8 g/cm3 y módulo de Young E=220 MPa. La tensión en la cuerda produce una deformación de 1,0 %. Hallar la frecuencia de resonancia más baja de la cuerda. a) 4 Hz

b) 5 Hz

c) 5 Hz

d) 6 Hz

e) 7 Hz

117. ¿Cuáles son las tres frecuencias más bajas de las ondas estacionarias en un alambre de longitud l=9,88 m, masa m=0,107 kg, y que esta estirada bajo la acción de una tensión de T=236 N? 118. En la Fig21, un extremo de una cuerda de 120 cm se mantiene fijo. El otro extremo está unido a un anillo sin peso que puede deslizarse a lo largo de una barra sin fricción. Hallar las tres longitudes de onda más grandes posibles de ondas estacionarias en la cuerda y trazar las ondas estacionarias correspondientes. 119. Una cuerda de longitud l=75,6 cm está estirada entre soportes fijos, tiene frecuencias de resonancia de f1=420 Hz y f2=315 Hz, y ninguna otra entre estas dos. I) Hallar la frecuencia de resonancia más baja de esta cuerda. a) 100 Hz II)

b) 105 Hz

c) 110 Hz

d) 115 Hz

e) 120 Hz

Hallar la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. a) 151 m/s

b) 153 m/s

c) 155 m/s

d) 157 m/s

e) 159 m/s

120. En un experimento de ondas estacionarias, una cuerda de longitud l=92,4 cm, y masa m= 44,2 g se une al vástago de un diapasón eléctrico que vibra en dirección perpendicular ala longitud de la cuerda con una frecuencia de f=60 Hz. ¿A qué tensión debe someterse la

366

Interferencia cuerda (en el otro extremo tiene conectadas a ella pesas) para que vibre con cuatro rizos? a) 35,7 N

b) 36,7 N

c) 37,7 N

d) 38,7 N

e) 39,7 N

121. En la Fig22, se muestra un interferómetro acústico, usado para demostrar la interferencia de las ondas de sonido. S es una fuente de sonido (por ejemplo una bocina), y D es un de tector de sonido, como lo es el oído o un micrófono. La trayectoria SAD es fija. El inter ferómetro contiene aire, y se halla que la intensidad del sonido tiene un valor mínimo de 10 W/cm2 en una posición B y sube continuamente hasta un valor de máximo de 90 W/cm2 en una segunda posición a 1,65 cm de la primera. I) Hallar la frecuencia del sonido emitido por la fuente. a) 5157 Hz II)

b) 5167 Hz

c) 5177 Hz

d) 5187 Hz

e) 5197 Hz

Hallar las amplitudes relativas de las ondas que llegan al detector por cada una de las posi ciones de B. a) 1,5

b) 2,0

c) 2,5

d) 3,0

e) 3,5

III) ¿Por qué estas ondas tienen amplitudes diferentes, considerando que se originan en la mis ma fuente? S

A

B

=0

D

Fig21

Fig22

122. Cuando una fuente sonora y un sujeto se encuentran, casi a la misma altura entonces, en la dirección del viento el sonido se escucha mejor que en sentido contrario. Explicar este fenómeno. 123. Un radar funciona en régimen de impulsos. La frecuencia de repetición de los impulsos es f=1700 Hz, la duración de impulso es =0,8 s. hallar el alcance máximo y mínimo de detección, donde se encuentra el objetivo detectado por este radar. a) 120 m, 90 km

b) 130 m, 95 km c) 100 m, 80 km d) 110 m, 85 km e) 140 m, 110 km

124. Un dipolo de longitud l=0,5 m, se sumerge en un recipiente con kerosén de constante die léctrica k=2. Hallar la longitud de una onda electromagnética en el vació irradiada por el dipolo, luego de sacarse del recipiente. a) 1,11

b) 1,21

c) 1,31

d) 1,41

e) 1,51

Física IV

367 125. Demostrar que en la adición de dos oscilaciones armónicas la energía media respecto de la oscilación resultante es igual a la suma de las energías de cada una de ellas, si ambas oscilaciones: I) Tienen las mismas direcciones, son incoherentes y todos los valores de diferencia de fase son igualmente probables. II) Son mutuamente perpendiculares, tienen la misma frecuencia y una diferencia de fases arbitrarias. 126. Hallar la amplitud de la oscilación que resulta de la superposición de las tres oscilaciones de igual dirección: 1=a cos t, 2=2a sen t, 3=1,5a cos(t+/3). a) 1,59a

b) 1,69a

c) 1,79a

d) 1,89a

e) 1,99a

127. Cierta oscilación es la resultante de la adición de "N" oscilaciones coherentes de una mis ma dirección, que tienen el aspecto siguiente: k=acos[t+k(-1)], donde "k" es el núme ro de oscilación (k=1,2,…,N), " " , la diferencia de fase entre k-ésima y (k-1)-ésima os cilaciones. Hallar la amplitud de la oscilación resultante. 128. En la Fig23, el sistema se compone de dos emisores puntuales coherentes 1, y 2, que se sitúan en cierto plano de modo que sus momentos dipolares sean perpendiculares a este plano. La distancia entre los emisores es "d" , la longitud de onda de la radiación " " . Teniendo en cuenta que las oscilaciones del emisor 2 se retrasan de fase en " " (<) de las del emisor 1. I) Hallar los ángulos "" en los cuales la intensidad de la radiación es la máxima. II) Hallar las condiciones con las cuales la intensidad de la radiación es máxima en la direc ción =, y mínima, en la contraria. 129. En la Fig24, en el experimento de Lloid una onda luminosa que sale directamente de una fuente S (una rendija estrecha) interfiere con una onda reflejada del espejo E. Como resul tado se forma en la pantalla P un sistema de bandas de interferencia. La distancia entre la fuente y la pantalla l=100 cm. En cierta posición de la fuente el ancho de la banda de in terferencia en la pantalla resulta ser x=0,25 mm, y una vez que se desplazó la fuente del plano del espejo en h=0,60 mm, éste disminuyo =,5 veces. Hallar la longitud de onda de la luz. a) 0,3 m

b) 0,4 m

c) 0,5 m

d) 0,6 m

P

P

1 

 R.SABRERA

2

Fig23

e) 0,7 m

S E

Fig24

368

Interferencia

130. Un sistema radiante fijo está compuesto por una cadena lineal de vibradores paralelos dis tantes "d" , con la particularidad de que la fase de las oscilaciones de los vibradores varía linealmente a lo largo de la cadena. Determinar la dependencia del tiempo de la diferencia de fases " " entre los vibradores sucesivos, la que proporciona que el máximo principal de radiación del sistema vaya a realizar un "reconocimiento" circular del terreno con la velocidad angular constante "" . 131. Dos ondas luminosas coherentes planas, el ángulo entre las direcciones de propagación de las cuales <<1, inciden casi normalmente sobre una pantalla. Las amplitudes de las on das son iguales. Mostrar que la distancia entre los máximos sucesivos en la pantalla es x= /, donde " " es la longitud de onda. 132. Un haz láser colimado (o=632,8 nm) incide normalmente sobre un biprisma de Fresnel. I) Probar que la separación " y" es independiente de la localización de o, aunque en el ex perimento de Young ésta aumenta con la distancia a la fuente. II) Hallar " y" cuando n=1,52 y =1º 30’. a) 21 m

b) 23 m

c) 25 m

d) 27 m

e) 29 m

133. La Fig25, muestra un esquema de interferencia con dos espejos de Fresnel. El ángulo en tre los espejos es =12’, las distancia desde la línea de intersección de los espejos hasta la rendija estrecha S y la pantalla P son r=10,0 cm y b=130 cm, respectivamente. La longi tud de onda de la luz es =0,55 m. I) Hallar el ancho de la banda de interferencia en la pantalla y el número de máximos posi bles. a) 1,1 mm II)

b) 1,3 mm

c) 1,5 mm

d) 1,7 mm

e) 1,9 mm

Hallar la desviación del cuadro de interferencia en la pantalla en el caso de desplaza miento de la rendija en l=1,0 mm por el arco de radio "r" con centro en el punto O. a) 11 mm

b) 13 mm

c) 15 mm

d) 17 mm

e) 19 mm

III) ¿Con qué ancho máximo de la rendija máx las bandas de interferencia en la pantalla se ob servarán todavía suficientemente nítidas? a) 40 m

b) 42 m

c) 44 m

d) 46 m

e) 48 m

134. En la Fig26, una onda luminosa plana con =0,70 m incide normalmente sobre la base de un biprisma de vidrio (n=1,52), cuyo ángulo de refracción =5,0o. Detrás del bipris ma se encuentra una placa de vidrio plano-paralela, y el espacio entre éstos se llena con benceno ( n ' =1,50). Hallar el ancho de la banda de interferencia en la pantalla P situada después de este sistema. a) 0,1 mm

b) 0,2 mm

c) 0,3 mm

d) 0,4 mm

e) 0,5 mm

Física IV

369

S 

P P

n’

r

S’ S”

n

b



Fig25

Fig26

135. A una lente delgada de diámetro D=5,0 cm y distancia focal f=25,0 cm se le cortó por el diámetro en dos mitades y con esto se separó una capa de espesor a=1,00 mm. Luego am bas mitades se unieron hasta contactarse y en el plano focal de la bilente (lente doble) ob tenida de tal modo se estableció una rendija estrecha, que emite luz monocromática cuya longitud de onda =0,60 m. A la distancia b=50 cm detrás de la bilente se instala una pantalla. I) Hallar el ancho de la banda de interferencia en la pantalla y el número de máximos posi bles. a) 0,10 mm II)

b) 0,15 mm

c) 0,20 mm

d) 0,25 mm

e) 0,30 mm

Hallar el ancho máximo de la rendija máx, con el cual las bandas de interferencia en la pantalla todavía se verán suficientemente nítidas. a) 35,5 m

b) 36,5 m

c) 37,5 m

d) 38,5 m

e) 39,5 m

136. Las distancias desde los biprismas de Fresnel hasta una rendija estrecha y una pantalla son a=25 cm y b=100 cm, respectivamente. El biprisma es de vidrio y tiene un ángulo de refracción = 20' . Hallar la longitud de onda de la luz, si el ancho de la banda de interfe rencia en la pantalla es x=0,55 mm. a) 0,54 m

b) 0,64 m

c) 0,74 m

d) 0,84 m

e) 0,94 m

137. Hallar el ángulo entre las superficies reflectantes de un espejo doble de Fresnel cuando la fuente está a 1 m de la intersección de los espejos, la pantalla o está a 2 m de esa inter sección, o=500 nm y la separación entre franjas es de 1 mm. a) 5,510-4 rad

b) 6,510-4 rad

c) 7,510-4 rad

d) 8,510-4 rad

e) 9,510-4 rad

138. Una onda luminosa monocromática plana incide normalmente sobre un diafragma que tiene dos rendijas estrechas, distantes d=2,5 mm. En la pantalla situada a l=100 cm de de trás del diafragma se forma un sistema de bandas de interferencia. ¿A qué distancia y ha cia qué lado se desplazarán estas bandas, sin una de las rendijas se cierra con una placa de cristal de grosor h=10 m?

370

Interferencia a) 1 mm

b) 2 mm

c) 3 mm

d) 4 mm

e) 5 mm

139. En la superficie de un cristal se encuentra una película de agua. Sobre ésta bajo un ángulo =30º a la normal incide la luz de longitud de onda =0,68 m. hallar la velocidad con la cual disminuye el grosor de la película (debido a la evaporación), si la intensidad de la luz reflejada varía de modo que el intervalo de tiempo entre los máximos sucesivos de re flexión t=15 minutos. a) 1,18 m/h

b) 1,38 m/h

c) 1,58 m/h

d) 1,78 m/h

e) 1,98 m/h

140. En el experimento de Young, utilizando el esquema de la onda plana verifique que las dos ondas que llegan al punto P (pantalla) cerca al eje central tienen una diferencia de fa se de =koay/s. 141. Deducir una expresión para la separación " y" entre el par de franjas que alternan, esto es, la distancia entre máximos y mínimos consecutivos en el experimento de Young. 142. Hallar la resultante de la superposición de las ondas paralelas E1  E01sen(t  1) y E 2  E02sen(t  1) donde =120, E01=6, E02=8, 1=0, 2=/2. Trazar cada función y la resultante. 143. Supongamos que empezamos el análisis para hallar E=E1+E2 con dos funciones coseno E1=E01cos(t+1) y E2=E02cos(t+2). Para hacer las cosas un tanto menos complicadas consideremos E01=E02 y 1=0. Sumemos las dos ondas algebraicamente y hagamos uso de la identidad trigonométrica conocida cos +cos=2cos(+)/2cos(-)/2 para mostrar que E=Eocos(t+), donde Eo=2E01cos/2 y =2/2. Ahora mostrar que estos mismos 2 2 resultados se obtienen de las ecuaciones E 02 = E 01 + E 02 +2 E01E02 cos(2-1) y tg =(E01 sen1+E02sen2)/ =(E01 cos1+E02cos2) 144. Mostrar que cuando las ondas están en fase, el cuadrado de la amplitud resultante tienen un máximo igual a (E01+E02)2, y cuando ellas están fuera de fase tienen un mínimo igual a (E01-E02)2. 145. Mostrar que la longitud de la trayectoria óptica, definida como la suma de los productos de los diferentes índices multiplicado por el espesor del medio que atraviesa la luz, es de cir, inixi, es equivalente a la longitud de la trayectoria en el vació que podría tomar el mismo tiempo de recorrido para este rayo de luz. 146. Un haz cuasi-cromático de longitud de onda "o " ilumina el experimento de Young, dan do origen a una figura de franjas que tiene una separación de 5,6 mm entre bandas oscu ras consecutivas. Si la distancia entre el plano que contiene las aberturas, a y el plano de observación, o, es de 10 m y si las dos fuentes S1 y S2 están separadas 1,0 mm. Hallar la longitud de onda de la luz.

Física IV a) 500 nm

b) 520 nm

c) 540 nm

371 d) 560 nm

e) 580 nm

147. Sobre una película delgada de índice de refracción n=1,33 incide un flujo paralelo de luz blanca. El ángulo de incidencia 1=52º. ¿Qué espesor de la película asegura la luz especu larmente reflejada más intensamente matizada de amarillo de longitud de onda =0,60 m? a) 0,14(1+2k) m

b) 0,34(1+2k) m c) 0,54(1+2k) m d) 0,74(1+2k) m e) 0,94(1+2k) m

148. Hallar el grosor mínimo de una película delgada (n=1,33) con el cual la luz de longitud de onda de =0,64 m experimenta la reflexión máxima, y la longitud de onda de  ' =0,40 m no se refleja en absoluto. El ángulo de incidencia de la luz es de =30º. (=10-6) a) 0,55 m

b) 0,65 m

c) 0,75 m

d) 0,85 m

e) 0,95 m

149. Para disminuir las pérdidas de luz debido a la reflexión en una superficie de vidrio, la últi ma se cubre de una capa delgada de una sustancia, cuyo índice de refracción n ' = n , donde n es el índice de refracción del vidrio. En este caso las amplitudes de las oscilacio nes luminosas, reflejadas desde ambas superficies de esta capa, serán idénticas. ¿Con qué grosor de esta capa el poder reflector del vidrio en la dirección de la normal será igual a cero para la luz con una longitud de onda ? 150. Sobre una película delgada de una sustancia de índice de refracción n=1,5, incide la luz monocromática difusa con =0,60 m. Hallar el grosor de la película, si la distancia angu lar entre los máximos sucesivos observados en la luz reflejada bajo ángulos a la normal cercanos a =45º es iguala a =3,0o. a) 13,2 m

b) 14,2 m

c) 15,2 m

d) 16,2 m

e) 17,2 m

151. En la Fig27, se muestra el esquema de un interferómetro que sirve para medir índices de refracción de sustancias transparentes. Aquí S es una ranura estrecha, iluminada con luz monocromática de longitud de onda =589 nm, 1 y 2 son dos tubos idénticos que con tienen aire, la longitud de cada uno de los cuales es l=10 cm, y D es el diafragma con dos rendijas. Cuando en el tubo 1 se cambio el aire por el amoniaco, el cuadro de interferen cia en la pantalla P se desplazó hacia arriba en N=17 bandas. El índice de refracción del aire es n=1,000277. Hallar el índice de refracción n '  ? del amoniaco. a)1,000177

b) 1,000277

c) 1,000377

d) 1,000477

e) 1,000577

152. En la Fig28, a través de un agujero en la pantalla P pasa luz monocromática y reflejando se desde una placa plano-paralela delgada L de vidrio forma en la pantalla un sistema de bandas de interferencia de iguala inclinación. El grosor de las placas es "b" , la distancia entre ésta y la pantalla es " " , los radios de los anillos oscuros i y k son ri y rk. Conside rando que ri,k<
372

Interferencia P 1

D

L

P

S

S



 2

l

Fig27

Fig28

153. Una onda monocromática plana de longitud de onda " " incide sobre la superficie de u na cuña de vidrio, el ángulo entre cuyas caras <<1. El plano de incidencia es perpendicu lar a la arista de la cuña; el ángulo de incidencia 1. Determinar la distancia entre los má ximos sucesivos de las bandas de interferencia en la pantalla dispuesta perpendicularmen te a la luz reflejada. 154. Responder a las siguientes preguntas: I) ¿Cuántas longitudes de onda de luz o=500 nm estarán contenidas en una longitud de l=1 m en el vació. a) 180104 II)

b) 190104

c) 200104

d) 210104

e) 220104

¿Cuántas ondas estarán contenidas en dicha longitud, cuando una placa de vidrio de espe sor s=5 cm (n=1,5) es insertada en la trayectoria? a) 185104

b) 195104

c) 205104

d) 215104

e) 225104

III) Determine la OPD (diferencia en la trayectoria óptica) entre los dos casos anteriores. a) 1,0 cm

b) 1,5 cm

c) 2,0 cm

d) 2,5 cm

e) 3,0 cm

IV) Verificar que  /o corresponde a la diferencia entre las soluciones anteriores I) y II). 155. En la Fig29, determinar la diferencia en la trayectoria óptica para las ondas A y B, am bas tienen en el vació longitudes de onda de =500 nm., el tanque de vidrio (n=1,52) está lleno con agua (n=1,33). Si las ondas empiezan fuera de fase y todos los números mos trados son exactos, hallar su diferencia de fase relativa al final de la línea. a) 2,82 mm

b) 3,82 mm

c) 4,82 mm

d) 5,82 mm

e) 6,82 mm

2 2  E02  2E01E02 cos(2  1) , tg=(E01sen1 156. Usando las ecuaciones siguientes, E02  E01 + E02sen2)/(E01cos1+ E02cos1), E=E0sen(t+), mostrar que la resultante de la super posición de las dos ondas E1=E01sen[t-k(x+x)] y E2=E01sen(t-kx) viene dado por: E=2E01cos(kx/2)sen[t-k(x+x/2)].

Física IV

373 157. Sumar directamente las dos ondas en el problema anterior para hallar la ecuación dada por: E=2E01cos(kx/2)sen[t-k(x+x/2)]. 158. Usar la representación compleja para hallar la resultante E  E1  E 2 donde E1  E0 cos(kx+t) y E 2  E0 cos(kx-t). Describa la onda resultante. 159. Considere las funciones E1=3cost y E2=4sent. Primero probar que E2= 4cos(t-/2). Entonces, usando fasores y de la Figura, mostrar que E3=E1+E2=5cos(t-); determinar la fase "" . Discutir los valores de E3 para los casos en que E1=0 o E2=0 Explicar. 0,5cm 10cm

planos antinodales

0,5cm

Inicial

Pelicula plata

/2

A B Final 100cm

espejo

Fig29

Fig30

160. El campo eléctrico de una onda plana electromagnética estacionaria está dada por: E(x, t)=2E senkx cost. Derivar una expresión para B(x, t). (Se le aconseja a Ud., revisar la teoría) Hacer un bosquejo de la onda estacionaria. 161. En la Fig30, considerando el experimento de Wieners para luz monocromática de longi tud de onda 550 nm, si la película plana está inclinada 1,0o respecto de la superficie reflec tante, determinar el número de bandas brillantes por centímetro que aparecen en ella. a) 104106 cm-1 b) 124106 cm-1

c) 144106 cm-1

d) 164106 cm-1 e) 184106 cm-1

162.En la Fig31, el espejo doble de Fresnel consiste de dos superficies reflectantes especula res que forman entre sí un pequeño ángulo. Demostrar que la separación entre franjas de interferencia, viene dada por: y=(R+d)o/2R, donde o la longitud de la onda de luz. 163. En la Fig32, en el biprisma de Fresnel que se utiliza para separar frentes de onda, demos trar que la separación entre franjas de interferencia, viene dada por: y=(R+d)o/2R(n1), donde n es el índice del biprisma, y o la longitud de la onda de luz (1º). 164. Microondas de frecuencia f=1010 Hz inciden directamente sobre un metal reflector. Des preciando el índice de refracción del aire, determinar el espaciamiento entre nodos suce sivos en el patrón de ondas estacionarias resultante. a) 1,0 cm

b) 2,0 cm

c) 2,5 cm

d) 3,0 cm

e) 3,5 cm

374

Interferencia Escudo

o

S

 S

d



o

R







R.SABRERA

Fig31

R

d s

Fig32

165. Una onda estacionaria está dada por E=100 sen(2/3)x cos5t. Determinar dos ondas que pueden ser superpuestas para generar esta onda. 166. Imagine que golpeamos dos diapasones, uno con una frecuencia de f1=340 Hz, el otro con f2=342 Hz. ¿Qué frecuencia escucharemos? a) 1,0 Hz

b) 1,5 Hz

c) 2,0 Hz

d) 2,5 Hz

e) 3,0 Hz

167. Una luz de longitud de onda =0,55 m de una fuente puntual alejada incide normalmen te sobre la superficie de una cuña de vidrio. En la luz reflejada se observa un sistema de bandas de interferencia, la distancia entre los máximos sucesivos de los cuales en la super ficie de la cuña x=0,21 mm. I) Hallar el ángulo entre las caras de la cuña. a) 1 min II)

b) 2 min

c) 3 min

d) 4 min

e) 5 min

Hallar el grado de monocromatización de la luz (/), si la desaparición de las bandas de interferencia se observa a la distancia l1,5 cm desde el vértice de la cuña. a) 0,014

b) 0,034

c) 0,054

d) 0,074

e) 0,0094

168. Una lente plano-convexa roza con su superficie convexa una placa de vidrio. El radio de curvatura de la superficie convexa de la lente es "R" la longitud de onda luminosa, " " . Determinar en la zona donde r<
b)  r/2R

c) R/4r

d)  r/4R

e)  r/R

169.Una lente de vidrio plano-convexa con el radio de curvatura R=40 cm roza con su super ficie convexa una placa de vidrio. En este caso en la luz reflejada el radio de cierto anillo r=2,5 mm. Observando dicho anillo, alejamos cuidadosamente la lente de la placa en h= 5,0 m. ¿Cuál llego a ser el radio de este anillo? a) 1,0 mm

b) 1,5 mm

c) 2,0 mm

d) 2,5 mm

e) 3,0 mm

Física IV

375 170. En el vértice de la superficie esférica de una lente plano-convexa de vidrio se tiene una parte plana esmerilada de radio ro=3,0 mm, que roza con una placa de vidrio. El radio de curvatura de la superficie convexa de la lente es R=150 cm. Hallar el radio del sexto ani llo claro cuando se observa en la luz reflejada de una longitud de onda =655 nm. a) 3,0 mm

b) 3,2 mm

c) 3,4 mm

d) 3,6 mm

e) 3,8 mm

171. Una lente plano-convexa de vidrio, de radio de curvatura de la superficie esférica de R= 12,5 cm, se aprieta contra una placa de vidrio. Los diámetros del décimo y decimoquinto anillos oscuros de Newton en la luz reflejada son iguales a d1=1,00 mm y d2=1,50 mm. Hallar la longitud de la onda luminosa. a) 0,1 m

b) 0,3 m

c) 0,5 m

d) 0,7 m

e) 0,9 m

172. Dos lentes delgadas plano-convexas de vidrio se rozan con sus superficies esféricas. Ha llar el poder óptico de este sistema, si en la luz reflejada de longitud de onda =0,60 m el diámetro del quinto anillo claro es d=1,50 mm. (Ddioptría) a) 2,0 D

b) 2,2 D

c) 2,4 D

d) 2,6 D

e) 2,8 D

173. Dos lentes simétricas delgadas de vidrio que se rozan, una biconvexa y otra bicóncava, forman un sistema, cuyo poder óptico es =0,50 dp. En la luz de longitud de onda = 0,61 m, reflejada de este sistema, se observan los anillos de Newton. I) Hallar el radio del décimo anillo oscuro. a) 3,09 mm II)

b) 3,29 mm

c) 3,49 mm

d) 3,69 mm

e) 3,89 mm

¿Cómo variara el radio de este anillo, si el espacio entre las lentes se llena de agua? a) 3,03 mm

b) 3,23 mm

c) 3,43 mm

d) 3,63 mm

e) 3,83 mm

174. La superficie esférica de una lente plano-convexa roza con una placa de vidrio. El espa cio entre la lente y la placa se llena con bisulfuro de carbono. Los índices de refracción de la lente, el bisulfuro de carbono y la placa son iguales a n1=1,50, n2=1,63 y n3=1,70, res pectivamente. El radio de curvatura de la superficie esférica de la lente R=100 cm. Hallar el radio del quinto anillo oscuro de Newton en la luz reflejada que tiene una longitud de onda de =0,50 m. a) 1,17 mm

b) 1,37 mm

c) 1,47 mm

d) 1,57 mm

e) 1,97 mm

175. Dos rendijas separadas por una distancia de d=1 mm se iluminan con luz roja de longitud de onda =6,510-7 m. Las franjas de interferencia se observan sobre una pantalla coloca da a D=1 m de las rendijas. I) Hallar la distancia entre dos franjas brillantes y entre dos franjas oscuras. a) 0,35 mm II)

b) 0,45 mm

c) 0,55 mm

d) 0,65 mm

Hallar la distancia de la tercera franja oscura, a partir de la franja central.

e) 0,75 mm

376

Interferencia a) 1,325 mm

b) 1,425 mm

c) 1,525 mm

d) 1,625 mm

e) 1,725 mm

III) Hallar la distancia de la quinta franja brillante, a partir de la franja central. a) 3,25 mm

b) 3,35 mm

c) 3,45 mm

d) 3,55 mm

e) 3,65 mm

176. Mediante un biprisma de Fresnel se producen franjas de interferencia sobre una pantalla distancia D=0,8 m de la fuente, usando luz de longitud de onda de =6,010-7 m. Hallar la distancia entre las dos imágenes producidas por el biprisma si N=21 franjas cubren una distancia de d=2,4 mm sobre la pantalla. a) 3 mm

b) 4 mm

c) 5 mm

d) 6 mm

e) 7 mm

177. I) Demostrar que si se coloca una fuente S a una distancia "d" de un biprisma de Fresnel de índice de refracción "n" y ángulo " " muy pequeño, la distancia entre las dos imáge nes es: a=2(n-1)d, donde " " se expresa en radianes. II) Hallar la distancia de separación entre las dos imágenes para, n=1,5, un ángulo de =2º, d=5 cm. a) 1,15 mm

b) 1,35 mm

c) 1,55 mm

d) 1,75 mm

e) 1,95 mm

III) Hallar el espaciamiento de las franjas producidas por una fuente de luz verde de longitud de onda =5,010-7 m colocada a d=5 cm del biprisma que tiene un índice de n=1,5 y un ángulo de =2º. La pantalla esta a R=1 m del biprisma. a) 0,2 mm

b) 0,3 mm

c) 0,4 mm

d) 0,5 mm

e) 0,6 mm

178. En el espejo de Lloyd, la rendija que actúa como fuente S1 y su imagen virtual S2 yacen en un plano situado 20 cm detrás del borde izquierdo del espejo. El espejo tiene 30 cm de longitud y la pantalla se coloca en el borde derecho. Hallar la distancia desde este borde al primer máximo luminoso, si la distancia perpendicular desde S1 al espejo es 2 mm y si =7,210-7 m. a) 0,01 mm

b) 0,03 mm

c) 0,05 mm

d) 0,07 mm

e) 0,09 mm

179. En el espejo de Lloyd, descrito en el problema anterior, demostrar que la expresión para la irradiancia (I) en la pantalla o, viene dado por: I(y)=4Iosen2(ay/s), donde (y) es la distancia del eje del espejo a las franjas, y Io es la irradiancia en el centro de la pantalla. 180. En la Fig33, una técnica para observar un diagrama de interferencia producido por dos rendijas es iluminarlas con rayos de luz paralelos, colocar una lente convergente detrás del plano de las rendijas y observar el diagrama de interferencia sobre la pantalla coloca da en el plano focal de la lente. Demostrar que la posición de las franjas brillantes con res pecto a la franja central está dada por: y=n(f)/a y la de las franjas oscuras corresponde a y= (2n+1)(f/2a), donde n es un número entero.

Física IV

377 181. En la Fig34, la luz de la fuente puntual cuasi-mono cromática incide sobre la lámina transparente delgada. Demostrar que la diferencia de fase entre los dos rayos de luz releja dos es: =4d( n f2 -n2sen2i)1/2/n donde nf, n son los índices de refracción de la lámina y medio, respectivamente.

S

P  a

i

A

t B 

Ei

D C

E1r E2r



n

nf P

d

f

Fig33

Fig34

182. Estudiar la distribución angular de la intensidad I() para I) tres fuentes, y II) para cinco fuentes idénticas de ondas igualmente separadas la distancia a lo largo de una recta. Con sidere que la distancia de separación entre las fuentes es a=/2. 183. Dos pedazos rectangulares de vidrio se disponen uno sobre otro, con una tira de papel co locada entre ellos en uno de los bordes de modo que se forme una delgada cuña de aire. Las placas se iluminan con un haz de luz de sodio de longitud de onda =5,910-7 m a in cidencia normal. Se forman diez franjas de interferencia por centímetro de longitud de la cuña. Hallar el ángulo de la cuña. a) 1,9510-4 rad

b) 2,9510-4 rad d) 4,9510-4 rad

c) 3,9510-4 rad e) 5,9510-4 rad

184. Dos hojas de placas de vidrio plano de 25 cm de largo están apartadas en un extremo por un separador de 1/4 mm de espesor formando así una película de aire delgada en forma de cuña. ¿Cuántas franjas por centímetro se observarán bajo la iluminación normal con luz roja de un láser de rubí de longitud de onda o=694,3 nm? a) 20,8

b) 22,8

c) 24,8

d) 26,8

e) 28,8

185. Dos fuentes puntuales S1 y S2 que emiten ondas de radio de 3 m, en fase, están separadas una distancia de 3 m. La distancia de la línea que une las fuentes a la pantalla es de 4,5 m ¿A qué distancia de la perpendicular en el punto medio de S1S2 se encontrará un mínimo de irradiancia? a) 2,15 m

b) 2,25 m

c) 2,35 m

d) 2,45 m

e) 2,55 m

186. En la Fig35, se tiene una película transparente delgada en forma de cuña de índice de re

378

Interferencia

fracción "n f " , los índice de refracción de las láminas es "n" . I) Hallar el espesor "d" en cualquier punto de la película en forma de cuña. II) Hallar la diferencia de fase " " para la cual ocurren los máximos de irradiancia. III) Hallar las distancias "x" de las franjas respecto del vértice de la cuña. IV) Hallar la distancia de separación " x" entre las franjas en el patrón de interferencia. 187. En la Fig36, un pedazo cuadrado de película de celofán de índice de refracción nf=1,5 tie ne una sección en forma de cuna, de modo que su espesor en dos lados opuestos es "a1 " y "a 2 " . Si se ilumina con luz homocromática de longitud de onda o=6,010-7 m a in cidencia normal, aparecen 10 franjas por reflexión sobre la película. Hallar la diferencia a2-a1. a) 1 m

b) 2 m lente

c) 3 m

d) 4 m

e) 5m

S

 separador de haz

a1

película

a2

n 

d

nf n

x

Fig35

Fig36

188. Sobre una película de espesor 10-6 m y de índice de refracción de 1,4 incide perpendicu larmente luz de longitud de onda de 5,010-7 m. Parte de la luz penetra la película y se re fleja en la segunda cara. I) ¿Cuántas ondas están contenidas en la película a lo largo del camino de la luz desde el punto de incidencia hasta el punto de emergencia? a) 3,6 II)

b) 4,6

c) 5,6

d) 6,6

e) 7,6

¿Cuál es el defasaje entre estas ondas cuando abandonan la película y cuando entran a la misma? a) 0,1

b) 0,2

c) 0,3

d) 0,4

e) 0,5

III) ¿Cuántas ondas están contenidas en la película a lo largo del camino de la luz desde el punto de incidencia hasta el punto de emergencia, si el ángulo de incidencia es de 30º? a) 4,0

b) 4,5

c) 5,0

d) 5,5

e) 6,0

IV) ¿Cuál es el defasaje entre estas ondas cuando abandonan la película y cuando entran a la

Física IV

379

misma? a) 0,3

b) 0,4

c) 0,5

d) 0,6

e) 0,7

189. Dos placas de vidrio que tienen una longitud de 5 cm se colocan en contacto por un extre mo y se separan en el otro con una hoja delgada de papel, formando de este modo un pris ma de aire. Cuando el prisma se ilumina con luz de longitud de onda 5,910-7 m a inciden cia normal, se observan 42 franjas oscuras. Hallar el espesor de la hoja de papel. a) 10,4 m

b) 11,4 m

c) 12,4 m

d) 13,4 m

e) 14,4 m

190. Una película delgada que tiene un espesor de 100 nm y un índice de refracción de 1,5 se ilumina con luz monocromática de longitud de onda 565,69 nm. Hallar el mínimo ángulo de incidencia para el cual hay un máximo de interferencia constructiva. (n=10-9) a) 26º

b) 28º

c) 30º

d) 32º

e) 34º

191. Demostrar que si "R" es el radio del lado convexo de una lente plano-convexa de las que se usan para producir anillos de Newton, los radios de los anillos brillantes están dados por xm=[(m+1/2)oR/nf]1/2 y los radios de los anillos oscuros por xm=(moR/nf)1/2, donde m es un entero positivo, o la longitud de onda de la luz incidente, y nf el índice de refrac ción de la cuña circular. 192. Dada la relación de dispersión =ak2, calcular ambas la velocidad de grupo y la veloci dad de fase, y establecer una relación entre ellas. 193. Usando la relación 1/vg=d/d, probar que: 1/vg=1/v- (/v2)(dv/d), donde "vg " la velocidad de grupo, "v" la velocidad de propagación, y " " la frecuencia. 194.En el caso de ondas de luz, mostrar que: 1/vg=n/c+(/c)dn/d, donde "vg " es la velocidad de grupo, " " la frecuencia, y "n" el índice de refracción del medio. 195. La velocidad de propagación de una onda de superficie en un líquido de profundidad mu cho mayor que  esta dada por: v=[g/2+2/]1/2, donde g es la aceleración de la gra vedad,  es la longitud de onda,  es la densidad,  es la tensión en la superficie. Calcular la velocidad de grupo de un pulso en el límite de longitudes de onda largas (estas son lla madas ondas de gravedad). a) v/2

b) v/3

c) v/4

d) v

e) 2v

196. Mostrar que la velocidad de grupo puede ser escrita como: vg=v-dv/d, donde " " es la longitud de onda, y "v" la velocidad de propagación de la onda. 197. Mostrar que la velocidad de grupo puede ser escrita como: vg=c/[n+(dn/d)], "c" es la velocidad de la luz en el vació, "" la frecuencia angular, y "n" el índice de refracción del medio.

380

Interferencia

198. Teniendo en cuenta el resultado del problema anterior probar que: ng=n()+(dn()/d) 199. Determinar la velocidad de grupo de ondas cuando la velocidad de fase varía inversamen te con la longitud de onda. a) v/2

b) v/3

c) v/4

d) v

e) 2v

200. Mostrar que la velocidad de grupo puede ser escrita como: vg=c/n+(c/n2)(dn/d), donde "c" es la velocidad de la luz en el vació, " " la longitud de onda, y "n" el índice de re fracción. 201. Para una onda que se propaga en una estructura periódica para la cual (k)=2osen(kl/2), determinar ambas la velocidad de grupo y la velocidad de fase. Escribir la primera como una función de seno. 202. Un gas ionizado o plasma es un medio dispersivo para ondas electromagnéticas (OE). Da do que la ecuación de dispersión es 2= 2p +c2k2, donde "p " es una constante llamada frecuencia de plasma, determinar expresiones para ambas la velocidad de grupo y veloci dad de fase y mostrar que, v vg=c2. 2 203. Usando la ecuación de dispersión, n2()=1+(N q e2 /ome)j(fj/( oj -2)), mostrar que la ve

locidad de grupo esta dada por: vg=c/[1+N q e2 /ome2] para ondas electromagnéticas de al ta frecuencia (por ejemplo, rayos-X). Teniendo en cuenta que fj son los factores de peso, jfj=1. ¿Cuál es la velocidad de fase?. Mostrar que vvgc2. 204. Analíticamente determinar la resultante cuando las dos funciones E1=2Eocost y E2= (Eo/2)sen2t son superpuestas. Trazar E1, E2 y E=E1+E2. Es la resultante periódica; si es así, ¿Cual es su periodo en términos de ? 205.La superficie esférica de una lente plano-convexa roza con una placa de vidrio. El espacio entre la lente y la placa se llena con bisulfuro de carbono. Los índice de refracción de la lente, el bisulfuro de carbono y la placa son iguales a n1=1,50, n2=1,63 y n3=1,70, res pectivamente. El radio de curvatura de la superficie esférica de la lente R=100 cm. Hallar el radio del quinto anillo oscuro de Newton en la luz reflejada que tiene =0,50 m. a) 1,09 mm

b) 1,13 mm

c) 1,17 mm

d) 1,21 mm

e) 1,25 mm

206.En un interferómetro de rayos se utiliza la línea anaranjada del mercurio compuesta de dos componentes de longitudes de ondas 1=576,97 nm y 2=579,03 nm. ¿Cuál es el or den mínimo de interferencia con el cual la nitidez del cuadro de interferencia es la peor? a) 136

b) 138

c) 140

d) 142

e) 144

207.En el interferómetro de Michelson se utilizo la línea amarilla del sodio compuesta por dos

Física IV

381 componentes de longitudes de onda 1=589,0 nm y 2=589,6 nm. El desplazamiento progresivo de uno de los espejos provoca la desaparición periódica del patrón de interfe rencia (¿Por qué?). Hallar el desplazamiento del espejo entre las dos apariciones sucesi vas del cuadro de interferencia más nítido. a) 0,209 mm

b) 0,229 mm

c) 0,249 mm

d) 0,269 mm

e) 0,289 mm

208.En la Fig37, al iluminar el patrón de Fabri-Perot con luz monocromática divergente de longitud de onda " " , en el plano focal de la lente surge un patrón de interferencia, es decir, un sistema de anillos concéntricos. El grosor del patrón es igual a "d" . I) Determinar cómo depende del orden de interferencia la disposición de los anillos. II) Determinar como depende del orden de interferencia el ancho angular de las bandas inter ferenciales.



d

S

R.SABRERA



M4 M3

M



d M4 M3

pantalla

M1

Fig37

Fig38

209.En la Fig38, un etalón consta de dos espejos ubicados a una distancia fija entre si por me dio de un soporte rígido. La distancia entre ambos espejos puede servir como un patrón de longitud. Para medir la distancia en términos de longitudes de onda de la luz, el etalón se instala en un interferómetro de Michelson, sustituyendo el espejo M2. Para empezar las distancia MM1 y MM3 se hacen exactamente iguales, luego el espejo M1 se mueve lenta mente hacia fuera, produciendo una secuencia de máximos y mínimos de interferencia hasta que las distancias MM1 y MM4 se hacen exactamente iguales. Supóngase que una persona opera un interferómetro de Michelson con luz de kriptón de longitud de onda =605,780 nm y que se cuentan 36 484,8 máximos de interferencia mientras el espejo M1 se desplaza desde su posición inicial hasta su posición final. Hasta seis cifras signifi cativas, ¿Cuál es la longitud del etalón? a) 11,05008 mm

b) 11,05028 mm d) 11,05068 mm e) 11,05088 mm

c) 11,05048 mm

210. I) Determinar para el patrón de Fabry-Perot, cuyo grosor es d=2,5 cm, el orden máximo de interferencia de la luz con una longitud de onda =0,50 m. a) 1,0105

b) 1,1105

c) 1,2105

d) 1,3105

e) 1,4105

382 II)

Interferencia Determinar para el patrón de Fabry-Perot, cuyo grosor es d=2,5 cm, la zona de dispersión , es decir, el intervalo espectral de longitudes de onda para el cual no se registra toda vía la superposición con otros órdenes de interferencia, si la observación se realiza cerca de =0,50 m. (p=10-12) a) 1,0 pm

b) 2,0 pm

c) 3,0 pm

d) 4,0 pm

e) 5,0 pm

211.Un transmisor de ondas cortas funciona con la frecuencia f=30 MHz. El receptor se halla a la distancia L=2000 km del transmisor. Las ondas hertzianas llegan al receptor refleja das en la capas ionosféricas que se encuentran a las alturas h1=100 km y h2=300 km. Hallar la ley de las variaciones de la intensidad de la señal si el receptor se desplaza a lo largo de la recta que lo une con el transmisor. La traslación es pequeña comparada con L. a) 172,6 m

b) 174,6 m

c) 176,6 m

d) 178,6 m

e) 180,6 m

212.Un receptor de señales de radio para observar la aparición de un satélite artificial de la Tierra detrás del horizonte, está situado en la orilla de un lago a la altura H=3 m de la su perficie del agua. A medida que el satélite se eleva sobre el horizonte se observan varia ciones periódicas de la intensidad de la señal recibida. Hallar la frecuencia de la señal de radio del satélite si los máximos de intensidad se manifiestan cuando los ángulos de eleva ción del satélite sobre el horizonte son: 1=3º y 2=6º. La superficie del lago considérese como un espejo reflector ideal. (c=3108 m/s, M=106) a) 915 MHz

b) 935 MHz

c) 955 MHz

d) 975 MHz

e) 995 MHz

213.Calcule el grosor mínimo necesario para un recubrimiento antirreflector (n=1,38) aplicado a una lente de vidrio con la finalidad de eliminar reflexiones de longitudes de onda 1= 450 nm (azul), y 2=720 nm (rojo) para luz a incidencia normal. a) 81,5 nm; 130,4 nm b) 83,5 nm; 132,4 nm c) 85,5 nm; 134,4 nm d) 87,5 nm; 136,4 nm e) 89,5 nm; 138,4 nm 214.La luz de un láser tiene una longitud de onda de =632 nm. Dos rayos de esta fuente si guen trayectorias de diferente longitud. I) Hallar la diferencia mínima requerida en las trayectorias para generar una interferencia constructiva. a) 612 nm II)

b) 622 nm

c) 632 nm

d) 642 nm

e) 652 nm

Hallar la diferencia mínima requerida en las trayectorias para generar una interferencia destructiva. a) 316 nm

b) 326 nm

c) 336 nm

d) 346 nm

e) 356 nm

215. En el problema anterior hallar la diferencia necesaria en la longitud de las trayectorias pa ra dar lugar a los casos inmediatamente subsiguientes de interferencia constructiva y des tructiva I) Hallar la diferencia mínima requerida en las trayectorias para generar una in

Física IV

383

terferencia constructiva. a) 1234 nm II)

b) 1244 nm

c) 1254 nm

d) 1264 nm

e) 1274 nm

Hallar la diferencia mínima requerida en las trayectorias para generar una interferencia destructiva. a) 928 nm

b) 938 nm

c) 948 nm

d) 958 nm

e) 968 nm

216. Dos rendijas paralelas separadas por una distancia de a=0,2 mm están iluminadas por luz monocromática. En una pantalla colocada a s=1 m de las rendijas, existe una separación de y1=2,5 mm entre la primera franja clara y la franja central. Hallar la longitud de onda de la luz. a) 480 nm

b) 490 nm

c) 500 nm

d) 510 nm

e) 520 nm

217. La luz monocromática procedente de una llama de sodio ilumina dos rendijas separadas entre sí por una distancia de a=1,0 mm. Una pantalla de observación se encuentra a s=1,0 m de las rendijas y la distancia entre la franja central y la franja clara más próxima es de y=0,589 mm. Hallar la frecuencia de la luz incidente. (c=3108 m/s, T=1012) a) 509 THz

b) 519 THz

c) 529 THz

d) 539 THz

e) 549 THz

218. Dos rendijas separadas por una distancia de a=0,05 mm están iluminadas con luz verde de longitud de onda =520 nm. Un patrón de interferencia se forma en una pantalla de ob servación colocada a s=2 m de distancia. I) Hallar la distancia entre el centro de la pantalla y la primera franja clara. a) 20,2 mm II)

b) 20,4 mm

c) 20,6 mm

d) 20,8 mm

e) 21,0 mm

Hallar la distancia de la tercera franja oscura al centro de la pantalla. a) 52,0 mm

b) 52,2 mm

c) 52,4 mm

d) 52,6 mm

e) 52,8 mm

219. En la situación del problema anterior, ¿Cuál es la distancia de separación de las dos fran jas claras de primer orden localizadas a cada lado de la franja central? a) 40,6 mm

b) 41,6 mm

c) 42,6 mm

d) 43,6 mm

e) 44,6 mm

220. En el experimento de Young se utiliza luz monocromática de longitud de onda =500 nm La distancia de separación entre las rendijas es de a=1,20 mm y la pantalla está situada a la distancia de s=5,00 m. Hallar la distancia de separación entre las franjas. a) 2,08 mm

b) 2,18 mm

c) 2,28 mm

d) 2,38 mm

e) 2,48 mm

221. En el experimento de Young se observa que la segunda franja oscura aparece a una distan cia de 2,5 cm de la franja central. Suponga que la separación entre las rendijas es de a=60 m y que la pantalla está a s=2,0 m de distancia. Hallar la longitud de onda " " de la luz incidente.

384

Interferencia a) 0,3 m

b) 0,4 m

c) 0,5 m

d) 0,6 m

e) 0,7 m

222. Se dirigen microondas de longitud de onda de o=2,0 cm provenientes de un radio trans misor hacia dos estrechas ranuras paralelas en una placa de aluminio, separadas por una distancia de a=5,0 cm. ¿A qué ángulos a cierta distancia de la placa se encuentran los má ximos en el patrón de interferencia, y cual es el ángulo mayor? a) 50,1º

b) 51,1º

c) 52,1º

d) 53,1º

e) 54,1º

223. Dos ranuras estrechas separadas por una distancia de a=0,12 mm están iluminadas con luz de longitud de onda o=589 nm proveniente de una lámpara de sodio. I) ¿Cuál es la posición angular del máximo de primer orden en el patrón de interferencia? a) 15,8’ II)

b) 16,8’

c) 17,8’

d) 19,8’

e) 20,8’

Si la luz es interceptada por una película fotográfica colocada a s=2,0 m de las ranuras, ¿Cuál es la distancia sobre la película entre éste máximo y el máximo central. a) 8,22 mm

b) 8,62 mm

c) 9,02 mm

d) 9,42 mm

e) 9,82 mm

III) Si las dos ranuras, la película y la fuente son sumergidas en agua de índice de refracción n=1,33, ¿Cuál es ahora la distancia entre el máximo central y el primer máximo lateral? a) 6,58 mm

b) 6,98 mm

c) 7,38 mm

d) 7,78 mm

e) 8,18 mm

224. Una luz láser de longitud de onda de o=633 nm incide sobre dos ranuras estrechas sepa radas por una distancia de a=0,15 mm. Sobre una pantalla situada a s=4,0 m de las ranu ras, ¿Cuán lejos se encuentran las franjas de interferencia? a) 13,9 mm

b) 14,9 mm

c) 15,9 mm

d) 16,9 mm

e) 17,9 mm

225. En el experimento de Young se utiliza luz verde de longitud de onda de o=546 nm. La pantalla está situada a s=1,50 m de distancia, y la distancia entre las ranuras es de a=0,22 mm. Hallar la distancia entre el máximo central y el primer mínimo. a) 1,56 mm

b) 1,66 mm

c) 1,76 mm

d) 1,86 mm

e) 1,96 mm

226. Dos antenas de radio separadas por /2 transmiten ondas electromagnéticas de la misma frecuencia y fases. Hallar la posición angular del primer mínimo de interferencia. a) 0º

b) 1º

c) 2º

d) 3º

e) 4º

227. Dos ranuras estrechas separadas por a=0,10 mm, están iluminadas con luz de longitud de onda de o=633 nm, sobre una pantalla situada a s=1,2 m de distancia. Hallar la intensi dad, con respecto al máximo, en un punto que está a 1,5 cm del máximo central. a) 0,914

b) 0,934

c) 0,954

d) 0,974

e) 0,994

Física IV

385 228. Una pieza de aluminio con dos ranuras estrechas se ilumina con luz roja de longitud de onda de o=694,3 nm, produciendo bandas brillantes separadas por la misma distancia de d=1,40 cm, La distancia de la pantalla a las ranuras es de s=3,0 m. Hallar la distancia en tre las ranuras. a) 129 m

b) 139 m

c) 149 m

d) 159 m

e) 169 m

229. Para el mapeo más detallado del cielo, los radioastrónomos usan radiotelescopios coloca dos en distintos continentes, con separaciones (en línea recta) de varios miles de kilóme tros. Supóngase que dos de estos telescopios están por la distancia este-oeste de 5000 km, y que están conectados a un simple radiorreceptor sintonizado a una longitud de onda de 21 cm. Si una fuente está situada simétricamente por arriba de estos radiotelescopios, las ondas de radio que llegan al receptor están en fase, y el receptor registra intensidad máxi ma. ¿Qué desplazamiento angular hacia el oeste de la fuente respecto a esta ubicación re sulta, de nuevo, en intensidad máxima? a) 1,210-8 rad

b) 2,210-8 rad

c) 3,210-8 rad

d) 4,210-8 rad

e) 5,210-8 rad

230. Las dos antenas de un radiotelescopio interferométrico separadas por una distancia de 1,0 km, envían sus señales hacia un receptor común sintonizado a una frecuencia de 2300 MHz. Un receptor detecta un máximo (interferencia constructiva) si la onda enviada por una fuente de radio en el cielo llega a las dos ondas con la misma fase. ¿Qué posibles po siciones angulares de la fuente de radio dan por resultado este máximo? Identifíquese la posición angular con respecto a la línea vertical levantada en el punto medio entre las ante nas. Considérese que las antenas son semejantes a fuentes puntuales. 231. Una luz de longitud de onda de o=694,3 nm emitida por un láser de rubí incide sobre dos estrechas ranuras paralelas cortando una placa metálica delgada. La distancia entre las ranuras es de a=0,11 mm, y la distancia de la pantalla a las ranuras es de s=1,5 m. Ha llar la intensidad, con respecto al máximo central, en un punto sobre la pantalla a y=1,2 cm a un lado del máximo central. a) 0,35Imáx

b) 0,40Imáx

c) 0,45Imáx

d) 0,50Imáx

e) 0,55Imáx

232. En el experimento de Young, la intensidad en el pico del máximo central es Imáx. Si la se paración entre las ranuras es 12 veces la longitud de onda de la luz utilizada. I) Hallar la intensidad relativa en una posición angular a 1,0o del pico del máximo central. a) 0,326 II)

b) 0,426

c) 0,526

d) 0,626

e) 0,726

Hallar la intensidad relativa en una posición angular a 2,0o del pico del máximo central. a) 0,034

b) 0,044

c) 0,054

d) 0,064

e) 0,074

III) Hallar la intensidad relativa en una posición angular a 3,0o del pico del máximo central. a) 0,154

b) 0,254

c) 0,354

d) 0,454

e) 0,554

386

Interferencia

233. En el experimento de Young, la intensidad en el pico del máximo central es Imáx. Hallar la intensidad cuando la diferencia en trayectoria a un punto sobre la pantalla es /3. a) 1/2

b) 1/3

c) 1/4

d) 2/3

e) 3/4

234. En la Fig39, en el experimento de Young, la separación entre las ranuras es de a=0,2 mm la distancia a la pantalla es de s=3,00 m y se usa longitud de onda de o=633 nm. Si una lámina delgada de poliestireno (n=1,49) se coloca sobre la ranura inferior, todo el patrón de interferencia se desplaza 4,0 mm hacia abajo sobre la pantalla (P). Hallar el espesor de la lámina de poliestireno. a) 0,34 m

b) 0,44 m

c) 0,54 m

d) 0,64 m

e) 0,74 m

P S1 a S2

r 0 O







s

Fig39

Fig40

235. En la Fig40, una luz de longitud de onda " " incide oblicuamente sobre un par de ranu ras estrechas separadas por una distancia "a" . El ángulo de incidencia de la luz sobre las ranuras es "" . I) Demostrar que la luz difractada que emerge a un ángulo "" interfiere constructivamente si: Id sen-d senI=0, , 2,…, y destructivamente si: Id sen-d senI=/2, 3/2, 5/2,…, II) Demostrar que para <<1, la separación angular entre los máximos y mínimos de interfe rencia es independiente del ángulo "" . 236. Una onda sonora de frecuencia =1,0 kHz incide normalmente sobre dos ventanas estre chas separadas por una distancia de a=2,0 m. Si una escucha está de pie a s=5,0 m de la ventana en la línea central. ¿Cuan lejos debe moverse lateralmente para situarse en el pri mer mínimo de interferencia? Considérese que la velocidad del sonido es de v=340 m/s. a) 41 cm

b) 43 cm

c) 45 cm

d) 47 cm

e) 49 cm

237. En la Fig41, un dispositivo llamado espejo de Lloyd produce una interferencia entre un rayo que llega directamente a una pantalla vertical y un rayo que llega a la pantalla des pués de reflejarse horizontalmente en un espejo. Demostrar que en términos de las distan cias "z" , "zo " , " " , la condición para interferencia constructiva es: [l2+(z+zo)2]1/2[l2+(z+zo)2]1/2=/2, 3/2, 5/2,…y para interferencia destructiva es : [l2+(z+zo)2]1/2-

Física IV

387 [l +(z+zo) ] =0, , 2, 3,…. Obsérvese que en este cálculo es necesario tomar en cuen ta la inversión, o cambio de fase, de la onda durante la reflexión. 2

2 1/2

238. En la Fig42, en la primera aplicación de los métodos interferométricos en radioastrono mía, unos astrónomos australianos observaron la interferencia entre una onda de radio que llegaba a su antena en una trayectoria directa desde el Sol y en una trayectoria que im plica la reflexión sobre la superficie del mar. Suponiendo que las ondas de radio tienen u na frecuencia de =6,0.107 Hz y que el radiorreceptor está a una altura de h=25 m sobre el nivel del mar, ¿Cuál es el menor ángulo de la fuente por arriba del horizonte con el que se obtiene interferencia destructiva de las ondas en el receptor? a) 5,1º

b) 5,4º

c) 5,7º

d) 6,0o

e) 6,3º

P S 

z

zo E

Fig41

Fig42

239. Dos faros de radio transmiten ondas de las mismas fases y frecuencias. Los transmisores están en el eje x, en xo. Demostrar que la interferencia es constructiva en los puntos so bre el plano-xy que satisfacen la condición: [(x+xo)2+y2]1/2-[(x-xo)2+y2]1/2=m, donde m=0,1 2, 3…Demostrar que para un valor dado de "m" diferente de cero, esta ecuación es una hipérbola. (Para demostrar esto, se pueden utilizar métodos gráficos para trazar la curva o aplicar conocimientos de geometría analítica.) 240. Dos fuentes coherentes separadas por una distancia de d=5 m, emiten ondas radio de lon gitud de onda de =6,0 m. I) ¿A qué distancia de A situado entre A y B la interferencia es constructiva? a) 2,3 m II)

b) 2,4 m

c) 2,5 m

d) 2,6 m

e) 2,7 m

¿A qué distancia mínima de A situado entra A y B la interferencia es destructiva? a) 0,5 m

b) 1,0 m

c) 1,5 m

d) 2,0

e) 2,5 m

241. En la Fig43, las antenas de radio A y B irradian en fase. Se puede variar la frecuencia y, por lo tanto, la longitud de onda de las ondas emitidas. I) Hallar la longitud de onda más larga para la que existe interferencia destructiva en el pun to Q. a) 200 m

b) 210 m

c) 230 m

d) 240 m

e) 250 m

388 II)

Interferencia Hallar la longitud de onda más larga para la que existe interferencia constructiva en el punto Q. a) 100 m

b) 110 m

c) 120 m

d) 130 m

e) 140 m

242. En la Fig44, una estación transmisora de radio opera a una frecuencia de f=1,20 MHz y tiene dos antenas idénticas que irradian en fase. ¿Para qué valores de "x" ocurrirá inter ferencia constructiva en el punto P, y cuál es la distancia mínima de x? (c=3108 m/s) a) 60 cm

b) 65 cm

c) 70 cm

d) 75 cm

e) 80 cm

x

Q

B

A 120m

A

40m

B

P 9m

Fig43

Fig44

243. Dos fuentes coherentes de luz se ajustan para que emitan luz monocromática de cualquier longitud de onda visible. Las fuentes separadas por la distancia de d=2,04 m están ali neadas con un observador, de modo que una fuente está 2,04 m más lejos del observa dor que la otra. I) ¿Para qué longitudes de onda visibles (de 400 nm a 700 nm) el observador verá la luz más brillante debido a la interferencia constructiva? II) ¿Cómo se verían afectadas sus respuestas, si las dos fuentes no estuvieran alineadas con el observador, pero mantuvieran un arreglo tal que una de ellas estuviera 2,04 m más le jos del observador que la otra? III) ¿Para qué longitudes de ondas de luz visible habría interferencia destructiva en la ubica ción del observador? 244. En la Fig45, los parlantes emiten ondas sonoras idénticas con longitudes de onda de = 2,0 m en fase una con la otra, un observador está ubicado en P. I) En la ubicación del observador, ¿Cuál es la diferencia en la trayectoria de las ondas que salen de los parlantes? (c=3108 m/s) a) 1,0 m II)

b) 1,5 m

c) 2,0 m

d) 2,5 m

e) 3,0 m

En la ubicación del observador, ¿Las ondas sonoras interfieren constructivamente o des tructivamente, o de alguna forma intermedia entre constructiva y destructiva?

Física IV

389 245. En la Fig46, las antenas de radio situadas en A y B separadas por una distancia de d= 200 m, irradian en fase ondas de radio de longitud de onda =5,80 MHz. Se desplaza un receptor de radio desde B a lo largo de la línea BC. ¿A qué distancia máxima de B habrá interferencia destructiva? a) 211 m

b) 213 m

c) 215 m

d) 217 m

e) 219 m

Soy Sordo

v 8m

A

6m

Fig45

d

B

C

Fig46

246. En el experimento de Young se utiliza luz generado por átomos de helio excitados (= 502 nm). La distancia de la pantalla a las rendijas es de s=1,20 m, y el centro de la vigési ma franja (sin contar la franja brillante central) está a y20=10,6 mm del centro de la franja central brillante. Hallar la distancia de separación "a" de las rendijas. a) 1,14 mm

b) 1,34 mm

c) 1,54 mm

d) 1,74 mm

e) 1,94 mm

247. Dos ranuras separadas por una distancia de a=0,450 mm ubicadas a s=75,0 cm de una pantalla, se iluminan con luz coherente de longitud de onda =500 nm. Hallar la distancia entre la segunda y la tercera línea oscura del patrón de interferencia sobre la pantalla. a) 0,75 mm

b) 0,79 mm

c) 0,83 mm

d) 0,87 mm

e) 0,91 mm

248. Se iluminan dos ranuras con luz coherente de longitud de onda =450 nm. Sobre una pan talla situada a la distancia de s=1,80 m, la distancia de separación de las franjas oscuras es de y=4,20 mm. Hallar la distancia de separación "a" entre las ranuras. a) 191 m

b) 193 m

c) 195 m

d) 197 m

e)199 m

249. Luz coherente de una lámpara de vapor de sodio pasando a través de un filtro que blo quea todo excepto la luz de una sola longitud de onda, incide sobre dos ranuras separadas por una distancia de a=0,460 mm. En la pantalla situada a la distancia de s=2,20 m, la distancia entre las franjas brillantes adyacentes es de y=2,82 mm. Hallar la longitud de onda " " de la luz incidente. a) 560 nm

b) 570 nm

c) 580 nm

d) 590 nm

e) 600 nm

250. Luz coherente de longitud de onda =400 nm pasa a través de dos ranuras separadas por

390

I)

Interferencia a=0,2 mm, y se observa el patrón de interferencia en una pantalla situada a s=4,0 m de las ranuras. Hallar el ancho (en mm) del máximo central de interferencia. a) 4 mm

II)

b) 5 mm

c) 6 mm

d) 7 mm

e) 8 mm

d) 7 mm

e) 8 mm

Hallar el ancho de la franja brillante de primer orden. a) 4 mm

b) 5 mm

c) 6 mm

251. Dos ranuras muy angostas separadas por una distancia de a=1,80 m, que están situadas a s=35,0 cm de una pantalla, se iluminan con luz coherente de longitud de onda =550 nm. Hallar la distancia entre la primera y la segunda línea oscura del patrón de interferen cia. (c=3108 m/s) a) 11,8 cm

b) 12,2 cm

c) 12,6 cm

d) 13,0 cm

e) 13,4 cm

252. Luz coherente de longitudes de onda 1=660 nm (rojo) y 2=470 nm (azul), pasa a través de ranuras separadas por una distancia de a=0,30 mm, y se observa el patrón de interfe rencia en una pantalla situada a la distancia de s=5,0 m de las ranuras. Hallar la distancia entre las franjas brillantes de primer orden para las dos longitudes de onda. a) 3,17 mm

b) 3,37 mm

c) 3,57 mm

d) 3,77 mm

e) 3,97 mm

253. Por dos ranuras muy angostas pasa luz coherente de longitud de onda =600 nm, y se observa el patrón de interferencia en una pantalla situada a la distancia de s=3,0 m de las ranuras. La franja brillante de primer orden está a y1=4,84 mm del centro de la franja brillante central. ¿Para qué longitud de onda de la luz se observará la franja oscura de pri mer en ese mismo punto de la pantalla. a) 1000 nm

b) 1100 nm

c) 1200 nm

d) 1300 nm

e) 1400 nm

254. Luz coherente de frecuencia f=6,321014 Hz pasa a través de dos ranuras finas e incide en una pantalla situada a s=85,0 cm de las ranuras. Se observa que la tercera franja brillante se presenta a y3=3,11 cm a cada lado de la franja brillante central. (c=3108 m/s) I) Hallar la distancia de separación entre las ranuras. a) 35,9 m II)

b) 36,9 m

c) 37,9 m

d) 38,9 m

e) 39,9 m

¿A qué distancia de la franja brillante central se presentará la tercera franja oscura? a) 2,00 cm

b) 2,20 cm

c) 2,40 cm

d) 2,60 cm

e) 2,80 cm

255. Dos ranuras paralelas delgadas separadas por a=0,0116 mm son iluminadas por un rayo láser de longitud de onda =585 nm. I) Hallar el número total de franjas brillantes, incluyendo la franja central y las que están a ambos lados de ésta, que aparecen en la pantalla distante.

Física IV a) 35 franjas II)

b) 36 franjas

391

c) 37 franjas

d) 38 franjas

e) 39 franjas

¿Cuál es el valor máximo que puede tener el número entero "m" ? a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 19

III) ¿A qué ángulo con respecto a la dirección inicial del rayo se presentará la franja más dis tante de la franja brillante central? a) 71,3º

b) 72,3º

c) 73,3º

d) 74,3º

e) 75,3º

256. Una estación de radio de FM de frecuencia f=107,9 MHz, que utiliza dos antenas idénti cas situadas a la misma elevación y separadas por una distancia de d=12 m, irradian en fa se. El patrón de radiación resultante tiene una intensidad máxima a lo largo de una línea horizontal perpendicular a la línea que une las antenas y en el punto medio entre ellas. Su ponga que la intensidad se observa a distancias desde las antenas que son mucho mayores de 12 m. (c=3108 m/s) I) ¿Para qué ángulos (medidos desde la línea de máxima intensidad) se encuentra el máxi mo de intensidad? II) ¿Para qué ángulos la intensidad es nula? 257. En la Fig47, dos antenas de radio separadas por d=300 m, transmiten simultáneamente señales idénticas a la misma longitud de onda. Un radio en un auto que viaja hacia el nor te percibe las señales. (x=1000 m, y=400 m, c=3108 m/s) I) Si el auto está en la posición del segundo máximo, ¿Cuál es la longitud de onda de las se ñales? a) 53,7 m II)

b) 54,7 m

c) 55,7 m

d) 56,7 m

e) 57,7 m

¿Qué distancia debe recorrer el auto para percibir el segundo mínimo? a) 120 m

b) 122 m

c) 124 m

d) 126 m

e) 128 m

v y

A1 d

B a

A

 x

A2



b

R.SABRERA

Fig47

Fig48

258. En la Fig48, un almacén a la orilla del rió tiene dos puertas abiertas. Sus paredes están fo rradas con material absorbente del sonido. Un bote sobre el rió suena su bocina. Para la

392

Interferencia persona A el sonido es intenso y claro. Para la persona B el sonido apenas es audible. La longitud de onda principal de las ondas sonoras es de =3,0 mm. Suponga que la persona B está en la posición del primer mínimo y determine la distancia entre las puertas de cen tro a centro. a) 10,5 m

b) 10,9 m

c) 11,3 m

d) 11,7 m

e) 12,1 m

259. Los dos parlantes de una caja acústica están separados por d=35,0 cm. Un oscilador senci llo hace que los parlantes vibre en fase a una frecuencia de f=2,0 kHz. (velocidad sonido vS=340 m/s) I) ¿Para qué ángulos, medidos desde el bisector perpendicular de la línea que une a los par lantes, un observador distante escuchará la máxima intensidad de sonido? II) ¿Para qué ángulos, medidos desde el bisector perpendicular de la línea que une a los par lantes, un observador distante escuchará la mínima intensidad de sonido. 260. Luz con longitud de onda de =442 nm pasa por un sistema de doble rendija separadas por una distancia de a=0,40 mm. ¿A qué distancia debe colocarse la pantalla de modo que las franjas oscuras aparezcan directamente opuestas a ambas rendijas, con sólo una franja entre ellas? a) 33,2 cm

b) 34,2 cm

c) 35,2 cm

d) 36,2 cm

e) 37,2 cm

261. Un haz de luz pasando por dos rendijas separadas por una distancia de a=0,320 mm, pro duce en la pantalla un patrón de interferencia. Hallar el número de máximos observados en el intervalo angular de -30,0o<<30,0o. a) 641 franjas

b) 643 franjas

c) 645 franjas

d) 647 franjas

e) 649 franjas

262. En la Fig49, por el sistema de rendijas en la que a=0,12 mm y s=1,20 m pasa luz mono cromática de longitud de onda =500 nm. I) Hallar la diferencia de fase entre los dos frentes de onda que llegan al punto P, cuando = 0,5º. a) 12,4 rad II)

b) 12,8 rad

c) 13,2 rad

d) 13,6 rad

e) 14,0 rad

Hallar la diferencia de fase entre los dos frentes de onda que llegan al punto P, cuando y=0,5 mm. a) 5,68 rad

b) 5,98 rad

c) 6,28 rad

d) 6,58 rad

e) 6,88 rad

III) ¿Para qué valor de "" la diferencia de fase es de =0,333 rad? a) (1,2710-2)o

b) (2,2710-2)o

c) (3,2710-2)o

d) (4,2710-2)o

e) (5,2710-2)o

IV) ¿Para qué valor de "" la diferencia de trayectoria es de /4? a) (1,9710-2)o

b) (2,9710-2)o

c) (3,9710-2)o

d) (4,9710-2)o

e) (5,9710-2)o

Física IV

393 263. En la Fig49, en el arreglo de doble rendija, a=0,150 mm, s=140 cm, =643 nm, y y= 1,80 cm. (c=3108 m/s) I) ¿Cuál es la diferencia de trayectoria para los rayos que provienen de las dos rendijas lle gen a P? a) 1,13 m II)

b) 1,33 m

c) 1,53 m

d) 1,73 m

e) 1,93 m

Exprese está diferencia de trayectoria en términos de " " . a) 1,0

b) 2,0

c) 3,0

d) 4,0

e) 5,0

III) ¿El punto P corresponde a un máximo, un mínimo o una condición intermedia?



P S1

r 

a

l

S2



s

S1

Fig49

M d

 S2

Fig50

264. En la Fig50, los parlantes separados por una distancia de d=5 cm, se ponen en fase con u na señal sinusoidal de frecuencia f=10 kHz. Se sitúa un pequeño micrófono a una distan cia de l=1 m, pudiéndose mover este perpendicularmente al citado eje. (velocidad sonido vS=343 m/s) I) ¿Dónde percibirá el micrófono el primer mínimo debido a la interferencia entre los par lantes? a) 30,5 cm II)

b) 32,5 cm

c) 34,5 cm

d) 36,5 cm

e) 38,5 cm

¿Dónde percibirá el micrófono el primer máximo debido a la interferencia entre los par lantes? a) 90,3 cm

b) 92,3 cm

c) 94,3 cm

d) 96,3 cm

e) 98,3 cm

265. Dos rendijas estrechas separadas por una distancia de a=1 mm se iluminan con luz de lon gitud de onda =600 nm y se observa el diagrama de interferencia en una pantalla situada a s=2 m. Hallar el número de franjas brillantes por centímetro que aparecen en la pantalla a) 8,13 cm-1

b) 8,33 cm-1

c) 8,53 cm-1

d) 8,73 cm-1

e) 8,93 cm-1

266. En un sistema de dos rendijas se utiliza luz de longitud de onda de =589 nm, y se obser

394

Interferencia van en una pantalla situada a s=3 m, 28 franjas brillantes por centímetro. Hallar la distan cia de separación entre las rendijas. a) 415 mm

b) 435 mm

c) 455 mm

d) 475 mm

e) 495 mm

267. Sobre dos rendijas incide perpendicularmente luz de láser de helio-neón de longitud de on da de =633 nm. En una pantalla situada a la distancia de s=12 m, el primer máximo de interferencia se encuentra a 82 cm del máximo central. I) Hallar la distancia de separación de las rendijas. a) 9,0 m II)

b) 9,26 m

c) 9,46 m

d) 9,66 m

e) 9,86 m

d) 28

e) 29

Hallar el número de máximos que se observan. a) 25

b) 26

c) 27

268. Dos rendijas estrechas están separadas una distancia "d" . Su diagrama de interferencia se observa en una pantalla situada a la distancia " " . I) Hallar el espaciado " y" de los máximos sobre la pantalla para luz de longitud de onda de =500 nm, l=1 m y d=1 cm. a) 46,0 m

b) 48,0 m

c) 50,0 m

d) 52,0 m

e) 54,0 m

II) ¿Es de esperar que se observe en la pantalla la interferencia de la luz en este caso? III) ¿A qué distancia deberán situarse las rendijas para que los máximos se encuentren separa dos 1 mm para esta longitud de onda y distancia de la pantalla? a) 0,3 mm

b) 0,4 mm

c) 0,5 mm

d) 0,6 mm

e) 0,8 mm

269. Luz blanca incide con un ángulo de =30º, respecto de la normal al plano que contiene a dos rendijas separadas por a=2,5 m. ¿Hallar la mayor longitud de onda luz visible que da un máximo de interferencia brillante en la luz transmitida en la dirección normal al pla no. (=10-6, c=3108 m/s) a) 1230 nm

b) 1240 nm

c) 1250 nm

d) 1260 nm

e) 1270 nm

270. Sobre una rendija larga y estrecha incide luz de longitud de onda =600 nm. Hallar el án gulo del primer mínimo de difracción si la anchura de la rendija es a=0,1 mm. a) 1º 18’

b) 1º 38’

c) 1º 58’

d) 1º 78’

e) 1º 98’

271. Sobre una rendija metálica larga y estrecha de a=5 cm de ancho, incide microondas pla nas. El primer mínimo de difracción se observa a =37º. Hallar la longitud de onda de las microondas. a) 3,01 cm

b) 3,21 cm

c) 3,31 cm

d) 3,41 cm

e) 3,51 cm

Física IV

395 272. Para medir la distancia a la Luna es frecuente utilizar pulsos cortos de láser. Esto se hace midiendo el tiempo que tarda en llegarnos el pulso reflejado en la Luna. Se envía un pul so desde la Tierra, el cual se expande de forma que llena la abertura de 6 pulgadas del diá metro del telescopio. I) Considerando que lo único que dispersa el haz es la difracción, ¿Cuál deberá ser la dimen sión del haz cuando llegué a la luna, cuya distancia a la Tierra es de 382 000 km? a) 1519 m II)

b) 1 529 m

c) 1 539 m

d) 1 549 m

e) 1 559 m

El pulso se refleja en un espejo dejado, por los astronautas del Apolo 11. Si el diámetro del espejo es de 20 pulgadas, ¿Cuál será la dimensión del rayo cuando vuelva a la Tierra? a) 451 m

b) 453 m

c) 455 m

d) 457 m

e) 459 m

III) ¿Qué fracción de la potencia del haz llegará a la Tierra después de reflejarse en la Luna? a) 1,110-7

b) 3,110-7

c) 5,110-7

d) 7,110-7

e) 9,110-7

IV) ¿Si el rayo se vuelve a focalizar y se devuelve al telescopio de 6 pulgadas de diámetro, ¿Qué fracción de la energía del haz original será recogido? Despreciar los efectos de ab sorción del haz en la atmósfera. a) 1,2110-14

b) 1,2110-14

c) 1,2110-14

d) 1,2110-14

e) 1,2110-14

273. Luz monocromática verde, de longitud de onda =554 nm, ilumina dos rendijas angostas separads por una distancia de a=7,7 m. Hallar la desviación angular de la franja brillan te de tercer orden, m=3. a) 10,5º

b) 11,5º

c) 12,5º

d) 13,5º

e) 14,5º

274. En un experimento de la rendija doble para demostrar la interferencia de la luz, la distan cia inicial de la pantalla a las rendijas es "s" . Si se duplica la distancia de separación "a" de las dos rendijas angostas. ¿A qué distancia de las rendijas debe colocarse la pantalla, para que la distancia entre las franjas no cambie? La longitud de la onda de la luz no cam bia. a) s

b) 2s

c) 3s

d) s/2

e) s/3

275. Sobre dos rendijas angostas separadas por a=1,2 mm, incide luz azul verdosa de longitud de onda =512 nm. La distancia de la pantalla a las rendijas es s=5,4 m. Hallar la distan cia de separación entre las franjas brillantes continuas en la pantalla. a) 2,1 mm

b) 2,3 mm

c) 2,5 mm

d) 2,7 mm

e) 2,9 mm

276. Hallar la separación de las rendijas en un arreglo de rendija doble que produciría franjas brillantes de interferencia con 1,00 % de separación angular. Supóngase una longitud de onda de =592 nm.

396

Interferencia a) 31,9 m

b) 33,9 m

c) 35,9 m

d) 37,9 m

e) 39,9 m

277. Una instalación de rendija doble produce franjas de interferencia de luz de sodio (=589 nm) que están separadas por 0,23º. ¿Para qué longitud de onda la separación angular se ría un 10 % mayor?. Supóngase que el ángulo "" es pequeño? a) 610 nm

b) 620 nm

c) 630 nm

d) 640 nm

e) 650 nm

278. Una rendija doble produce franjas de interferencia de luz de sodio (=589 nm) que están separadas por 0,20º. ¿Cuál es la separación angular de las franjas cuando todo el arreglo está sumergida en agua (n=1,33)? a) 0,15º

b) 0,25º

c) 0,35º

d) 0,45º

e) 0,55º

279. En un experimento de rendija doble la distancia entre las rendijas es de a=5,22 mm y las rendijas están a s=1,36 m de la pantalla. Sobre la pantalla pueden verse dos patrones de in terferencia, correspondientes a las longitudes de onda de luz de 1= 480 nm, y 2=612 nm. Hallar la separación sobre la pantalla entre las franjas de interferencia de tercer orden de los dos patrones. a) 103 m

b) 123 m

c) 143 m

d) 163 m

e) 183 m

280. En un experimento de interferencia en una cubeta de ondas grande, las fuentes vibrantes están situadas a a=120 mm entre sí. La distancia entre los máximos a una distancia de s= 2,0 m es de y=180 mm. Si la velocidad de las ondas es de v=25 cm/s. Hallar la frecuen cia de los vibradores. a) 21 Hz

b) 22 Hz

c) 23 Hz

d) 24 Hz

e) 25 Hz

281. Si la distancia entre los mínimos primero y décimo de un patrón de rendija doble es de 18 mm y las rendijas están separadas por a=0,15 mm con la pantalla a s=50 cm de las rendi jas. Hallar la longitud de onda de la luz empleada. (c=3108 m/s) a) 0,2 m

b) 0,4 m

c) 0,6 m

d) 0,8 m

e) 1,0 m

282. Se usa una hoja delgada de mica (n=1,58) para cubrir una rendija de un arreglo de rendija doble. El punto central en la pantalla está ocupado por lo que era la séptima franja brillan te. La longitud de onda de la luz utilizada es =550 nm. Hallar el espesor de la mica. a) 3,64 m

b) 4,64 m

c) 5,64 m

d) 6,64 m

e) 7,64 m

283. Dos fuentes puntuales de radio coherentes separadas por 2,0 m están radiando en fase con =0,50 m. ¿Cuántos máximos mostrará un detector que se mueva en una trayectoria circular alrededor de las dos fuentes en un plano que las contenga? (c=3108 m/s) a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

Física IV

397 284. En el frente de una sala de conferencia, un haz coherente de luz monocromática de un lá ser de helio-neón (=632,8 nm) ilumina una rendija doble. Desde allí viaja una distancia de 20,0 m hasta un espejo situado en la parte posterior de la sala, y regresa la misma distancia hasta la pantalla. I) ¿Cuál debe ser la distancia entre las dos rendijas con objeto de la distancia entre los máxi mos de interferencia sea de 10,0 cm? a) 213 m II)

b) 233 m

c) 253 m

d) 273 m

e) 293 m

Diga lo que vería si el conferencista deslizase una hoja delgada de celofán sobre una de las rendijas. El camino a través del celofán contiene 2,5 más ondas que un camino a tra vés del aire del mismo espesor geométrico.

285.Cuando se fotografió el espectro del Sol se observó que la raya amarilla (=589 nm) en los espectros de los bordes izquierdo y derecho del disco solar estaba desplazado = 0,008 nm. Hallar la velocidad lineal del movimiento de rotación del disco. (c=3108 m/s) a) 2017 m/s

b) 2037 m/s

c) 2057 m/s

d) 2077 m/s

e) 2097 m/s

286. Cada una de las rendijas de un arreglo de doble rendija se cubren con placas de vidrio del gadas de índice de refracción n1=1,4 y n2=1,7 respectivamente. El punto en la pantalla donde se encontraba el máximo central antes de que se interpusieran las placas de vidrio están ahora ocupado por lo que antes era la franja brillantes m=5. Suponiendo =480 nm, y que las placas tienen el mismo espesor "t" , hallar el valor de "t" . a) 5 m

b) 6 m

c) 7 m

d) 8 m

e) 9 m

287. Luz de sodio (=589 nm) incide sobre una rendija doble de separación a=2,0 mm. La dis tancia entre las rendijas y la pantalla es s=40 mm. Hallar el error en fracción que se come te al usar la ecuación, a sen=m, (m=0,1,2…) para ubicar la décima franja brillante en la pantalla. a) -1,110-4

b) +1,110-4

c) -3,110-4

d) +3,110-4

e) -5,110-4

288. La longitud de coherencia de un tren de ondas es la distancia dentro de la cual la constan te de fase es la misma. (c=3108 m/s) I) Si un átomo individual emite luz coherente durante 110-8 s. Hallar la longitud coherente del tren de ondas. a) 2,0 m II)

b) 2,5 m

c) 3,0 m

d) 3,5 m

e) 4,0 m

Supóngase que este tren de ondas se divide en dos partes por medio de un espejo parcial mente reflejante y más tarde se reúne después de que un haz viaja 5 m y el otro 10 m. ¿Producirán las ondas franjas de interferencia observables por el ojo humano?

289. La intensidad en la pantalla en un cierto punto en un patrón de interferencia de doble ren dija es 64,0 % del valor máximo. (n=10-9)

398 I)

Interferencia ¿Qué diferencia de fase mínima (en radianes) entre las fuentes produce este resultado? a) 1,09 rad

II)

b) 1,29 rad

c) 1,49 rad

d) 1,69 rad

e) 1,89 rad

Hallar la diferencia en la longitud de la trayectoria para luz de =486 nm. a) 95,8 nm

b) 96,8 nm

c) 97,8 nm

d) 98,8 nm

e) 99,8 nm

290. En la Fig51, considere s=120 cm y a=0,250 cm. Las rendijas se iluminan con luz cohe rente de =600 nm. Hallar la distancia "y" sobre el máximo central para el que la intensi dad promedio (Ipr) sobre la pantalla es 75,0 % del máximo (Imáx). (=10-6) a) 40 m

b) 42 m

c) 44 m

d) 46 m

e) 48 m

P S1

y

r 

a S2

s

d

Fig51

Fig52

291. En la Fig52, un haz de luz de =580 nm atraviesa dos placas de vidrio muy cercanas una de otra. ¿Para qué valor mínimo diferente de cero de la separación de las placas "d" la luz que se transmite es brillante? a) 250 nm

b) 260 nm

c) 270 nm

d) 280 nm

e) 290 nm

292. Dos rendijas están separadas a=0,180 mm. Un patrón de interferencia se forma sobre una pantalla a s=80,0 cm por la luz de =656,3 nm. Hallar la fracción de la intensidad máxi ma a y=0,60 cm sobre el máximo central. a) 0,908

b) 0,928

c) 0,948

d) 0,968

e) 0,988

293. Dos rendijas paralelas estrechas que están separadas por a=0,850 mm son iluminadas por luz de =600 nm, y la pantalla de visión está a s=2,80 m de estas rendijas. I) Hallar la diferencia de fase entre las dos ondas que interfieren en una pantalla en un pun to a y=2,50 mm de la franja brillante central. a) 7,55 rad II)

b) 7,65 rad

c) 7,75 rad

d) 7,85 rad

e) 7,95 rad

Hallar la relación de intensidad en este punto a la intensidad en el centro de la franja bri llante.

Física IV a) 0,413

b) 0,433

c) 0,453

399 d) 0,473

e) 0,493

294. Luz coherente monocromática de amplitud "Eo " y frecuencia angular "" pasa por tres rendijas paralelas separadas cada una por una distancia "d" de su vecina. I) Demostrar que la intensidad promedio en el tiempo como una función del ángulo "" es: I()=Imáx[1+2cos(2dsen/)]2. II) Determinar la relación de las intensidades del máximo primario y el máximo secundario. a) 7,0

b) 7,5

c) 8,0

d) 8,5

e) 9,0

295. Dos ondas coherentes se describen mediante las expresiones E1=Eosen(2x1/-2ft+/6), E2=Eosen(2x2/-2ft+/8). Determinar la relación entre "x1 " y "x 2 " que produce inter ferencia constructiva cuando las ondas se superponen. 296. Dibuje un diagrama de fasores para ilustrar la resultante de los campos: E1=E01sent y E2=E02sen(t+), donde E02=1,50E01 y /6/3. Utilice el dibujo y la ley de los cose nos para demostrar que , para dos ondas coherentes la intensidad resultante puede escribir se en la forma IR=I1+I2+2 I1I2 cos. 297. En un patrón de interferencia de dos ranuras, la intensidad en el pico del máximo central es "Io " . I) En cierto punto del patrón en el que la diferencia de fase entre las ondas desde las dos ra nuras es de 60º. ¿Cuál es la intensidad? a) 0,55Io II)

b) 0,65Io

c) 0,75Io

d) 0,85Io

e) 0,95Io

¿Cuál es la diferencia de las longitudes de las trayectorias para luz de 480 nm procedente de las dos ranuras en un punto en el que el ángulo de fase es de 60º? a) 50 nm

b) 60 nm

c) 70 nm

d) 80 nm

e) 90 nm

298. Fuentes coherentes A y B emiten ondas electromagnéticas con longitud de onda de =2 cm. El punto P se halla a rA=4,86 m de A y a rB=5,24 m de B, ¿Cuál es la diferencia de fa se en P entre estas dos ondas? a) 111 rad

b) 113 rad

c) 115 rad

d) 117 rad

e) 119 rad

299. Luz coherente con longitud de onda de =500 nm pasa a través de ranuras angostas sepa radas por una distancia de d=0,34 mm. A una distancia grande de las ranuras, en com paración con su separación, ¿Cuál es la diferencia de fase (en radianes) de la luz proce dente de las dos ranuras a un ángulo de 23º con respecto a la línea central? a) 1650 rad

b) 1660 rad

c) 1670 rad

d) 1680 rad

e) 1690 rad

300. Dos ranuras separadas a=0,260 mm se colocan a s=0,7 m de una pantalla y las ilumina con luz coherente de longitud de onda de =660 nm. La intensidad en el centro del máxi

400 I)

Interferencia mo central (=0o) es Io. Hallar la distancia sobre la pantalla desde el centro del máximo central al primer mínimo. a) 0,809 mm

II)

b) 0,829 mm

c) 0,849 mm

d) 0,869 mm

e) 0,889 mm

Hallar la distancia sobre la pantalla desde el centro del máximo central al punto donde la intensidad ha disminuido a Io/2. a) 0,404 mm

b) 0,424 mm

c) 0,444 mm

d) 0,464 mm

e) 0,484 mm

301. Demostrar que la ecuación I=Iocos2[(d/)sen] proporciona direcciones de intensidad igual a cero que concuerdan con la ecuación dsen = (m+1/2), (m=0,1, 2, 3,…) 302. Se tienen dos antenas separadas por una distancia de d=9 m que irradian en fase a f=120 MHz, La antena B está a 9 m a la derecha de la antena A. Un receptor colocado a 150 m de ambas antenas mide una intensidad de Io. El receptor se mueve de modo que está a 1,8 más cerca de una antena que la otra. I) Hallar la diferencia de fase entre las dos ondas de radio producidas por esta diferencia en las trayectorias. a) 4,12 rad II)

b) 4,32 rad

c) 4,52 rad

d) 4,72 rad

e) 4,92 rad

En términos de Io, hallar la intensidad medida por el receptor en su nueva posición. a) 0,404Io

b) 0,424Io

c) 0,444Io

d) 0,464Io

e) 0,484Io

303. Demostrar que el ancho angular completo a medio máximo del pico central en un patrón de interferencia de doble rendija está dado por: =/2a si <
b) 1,5 rad

c) 2,0 rad

d) 2,5 rad

e) 3,0 rad

Hallar la intensidad en P, expresada como fracción de la intensidad máxima Io sobre la pantalla. a) 3Io/4

b) Io/2

c) Io/3

d) 2Io/3

e) Io/4

305. Suponga que una rendija de un aparato de doble rendija es más ancha que la otra, de mo do que la intensidad de la luz que pasa a través de ella es dos veces mayor. Hallar la inten sidad I como función de la posición "" sobre la pantalla para luz coherente. 306. I) Considere tres fuentes de luz coherente igualmente espaciadas y de igual intensidad (a gregando una tercera rendija a las dos rendijas de la Fig.00). Use el método de fasores pa ra obtener la intensidad como función de la diferencia de fase " " dada en la ecuación  = (2d/)sen.

Física IV II)

401

Determinar las posiciones de los máximos y mínimos.

307. Una burbuja de jabón (n=1,33) está flotando en el aire. El espesor de la pared de la burbuja es s=115 nm. Hallar la longitud de onda de la luz que se refleja con más fuerza. a) 612 nm

b) 622 nm

c) 632 nm

d) 642 nm

e) 6652 nm

308. Una película de aceite (n=1,45) que flota sobre el agua es iluminada por luz blanca que in cide normalmente. El espesor de la película es de s=280 nm. I) Hallar el color dominante observado en la luz reflejada. a) violeta II)

b) azul

c) verde

d) amarillo

e) rojo

Hallar el color dominante en la luz transmitida. Explique su razonamiento. a) violeta

b) azul

c) verde

d) amarillo

e) rojo

309. Una delgada película de aceite (n=1,25) cubre una superficie húmeda y lisa. Cuando se observa en dirección perpendicular a la superficie, la película aparece predominantemente roja (=640 nm) y no hay color azul (=512 nm). Hallar el espesor de la película. a) 512 nm

b) 532 nm

c) 552 nm

d) 572 nm

e) 592 nm

310. Un método para hacer invisible a un avión al radar es cubrirlo con un polímero antirrefle jante. Si las ondas de radar tienen una longitud de onda de =3,0 cm y el índice de refrac ción del polímero es n=1,50. ¿Qué espesor debe tener la capa de polímero? a) 2 mm

b) 3 mm

c) 4 mm

d) 5 mm

e) 6 mm

311. Un material de índice de refracción n=1,30 se usa para cubrir una pieza de vidrio (n= 1,50). Hallar el espesor mínimo de está película para minimizar la reflexión de la luz de longitud de onda =500 nm. a) 90,2 nm

b) 92,2 nm

c) 94,2 nm

d) 96,2 nm

e) 98,2 nm

312. Una película de MgF2 (n=1,38) de espesor s=1,010-5 cm se usa para cubrir una lente de cámara. ¿Todas las longitudes de onda en el espectro visible se intensifican en la luz refle jada? 313. Los astrónomos observan la cromosfera del Sol con un filtro que pasa la línea espectral de la luz roja del hidrógeno de longitud de onda =656,3 nm, denominada línea H. El fil tro consiste en un dieléctrico transparente de espesor "d" mantenido entre dos placas de vidrio parcialmente aluminizadas. El filtro se mantiene a temperatura constante. I) Hallar el valor mínimo de "d" que produzca la máxima transmisión de luz perpendicular H, si el dieléctrico tiene un índice de refracción de n=1,378. a) 218 nm

b) 238 nm

c) 258 nm

d) 278 nm

e) 298 nm

402

Interferencia

II)

Suponga que la temperatura del filtro aumenta por encima de su valor normal y que su ín dice de refracción no cambia en forma significativa, ¿Qué le ocurre a la longitud de onda transmitida? III) ¿Qué longitudes de onda cerca de la región visible también pasarán por el dieléctrico? Una de las placas de vidrio está pintada de rojo para absorber esta luz. a) 308 nm

b) 328 nm

c) 348 nm

d) 368 nm

e) 388 nm

314. En un aparato de anillos de Newton, se introduce un líquido en el espacio de aire entre las lentes y la placa. El diámetro del décimo anillo cambia de D 1=1,50 cm a D2=1,31 cm. Ha llar el índice de refracción del líquido. a) 1,23

b) 1,27

c) 1,31

d) 1,35

e) 1,39

315. En la Fig53, una cuña de aire se forma entre dos placas de vidrio separadas en un borde por un alambre muy delgado. Cuando el borde se ilumina desde arriba con luz de =600 nm, se observan 30 franjas oscuras. Hallar el radio del alambre. a) 415 m

b) 435 m

c) 455 m

d) 475 m

e) 495 m

316. En la Fig54, una gota de aceite flota (n=1,22) flota sobre agua (n=1,33). Cuando se ob serva luz de =650 nm, reflejada desde arriba del modo indicado. Hallar el espesor de la gota en el punto donde se observa la segunda franja roja, contando desde el borde de la gota. a) 513 nm

b) 533 nm

c) 553 nm

d) 573 nm

e) 593 nm

317. ¿Cuál es la película más delgada de un recubrimiento de n=1,42 sobre vidrio (n=1,52) con la cual, puede haber interferencia destructiva de la componente roja (=650 nm) de un haz incidente de luz blanca en aire por reflexión? (n=10-9) a) 114 nm

alambre

b) 134 nm

aire

Fig53

c) 154 nm

d) 174 nm

e) 194 nm

 R.SABRERA

Fig54

318. Cuando se observa una obra de arte que se halla tras un vidrio, es frecuente que le afecta la luz que se refleja en la parte anterior del vidrio (lo que llama resplandor) y que dificulta apreciar la obra claramente. Una solución es recubrir la superficie exterior del vidrio con

Física IV I)

una película que anule parte del resplandor. Si el vidrio tiene un índice de refracción de 1,62 y se utiliza TiO 2 (el cual tiene un índice de refracción de 2,62) como recubrimiento, ¿Cuál es el espesor mínimo de la película que cancelará la luz con longitud de onda de 505 nm? a) 90,4 nm

II)

403

b) 92,4 nm

c) 94,4 nm

d) 96,4 nm

e) 98,4 nm

Si este recubrimiento es demasiado delgado para usarse, ¿Qué otros espesores también funcionarán? Hallar el valor de, k=[(t4-t2)/(t3-t2)]1/2, donde t2, t3 y t4 son los otros tres espe sores más delgados. a)

2

b)

3

c)

5

d)

2 /2

e)

3 /2

319. Se colocan dos piezas rectangulares de vidrio plano uno sobre el otro y ambas en una me sa. Se coloca una tira delgada de papel entre ellas, en la orilla, de manera que se forma u na cuña de aire muy delgada. Se iluminan las placas de vidrio con luz de una lámpara de vapor de mercurio de =546 nm, que incide normalmente. Se forma un patrón de interfe rencia con 15 franjas por centímetro. Hallar el ángulo de la cuña. a) 1,004'

b) 1,204'

c) 1,404'

d) 1,604'

e) 1,804'

320. Una placa de vidrio de 9,00 cm de largo se pone en contacto con una segunda placa que forma un pequeño ángulo por medio de una tira de metal de 0,080 mm de espesor situada en un extremo. El espacio entre las placas está lleno de aire. El vidrio es iluminado desde arriba con luz de longitud de onda de 656 nm en el aire. Hallar el número de franjas de in terferencia que se observan por centímetro en la luz reflejada. a) 25,1

b) 26,1

c) 27,1

d) 28,1

e) 29,1

321. Una película uniforme de TiO2, con espesor de s=1036 nm e índice de refracción n=2,62, se esparce uniformemente sobre una superficie de vidrio "crow" de índice de refracción n ' =1,52. Luz con longitud de onda de =520 nm procedente del aire incide en dirección normal sobre la película. Se desea incrementar el espesor de esta película de manera que la luz reflejada se cancele. I) ¿Cuál es el espesor mínimo de TiO2 que debe agregarse de manera que la luz reflejada se cancele como se espera? a) 51,6 nm II)

b) 53,6 nm

c) 55,6 nm

d) 57,6 nm

e) 59,6 nm

Después de hacer el ajuste del inciso I), ¿Cuál es la diferencia de trayectorias entre la luz que se refleja en la parte superior de la película y la luz que se cancela después de viajar a través de la película? a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

322. Sobre la superficie del vidrio (n=1,52) de una ventana de un automóvil se coloca una pelí cula plástica de índice de refracción de n ' =1,85 para incrementar la reflectividad y man

404 I)

Interferencia tener más fresco el interior del vehiculo. ¿Cuál es el espesor mínimo que se requiere si la luz de =550 nm se refleja en ambos la dos de la película para interferir constructivamente? a) 70,3 nm

II)

b) 72,3 nm

c) 74,3 nm

d) 76,3 nm

e) 78,3 nm

Es difícil fabricar e instalar recubrimientos tan delgados como el del inciso I), ¿Cuál es el espesor siguiente más grueso para el que también hay interferencia constructiva? a) 203 nm

b) 223 nm

c) 243 nm

d) 263 nm

e) 283 nm

323. Las paredes de una burbuja de jabón tienen aproximadamente el mismo índice de refrac ción que el del agua corriente, n=1,33. Al interior y exterior de la burbuja hay aire. I) ¿Qué longitud de onda (en el aire) de luz visible se refleja con mayor intensidad en un punto localizado sobre una burbuja donde la pare de ésta mide 290 nm de espesor? a) 171 nm II)

b) 220 nm

c) 308 nm

d) 514 nm

e) 1543 nm

c) verde

d) amarillo

e) rojo

¿A qué color corresponde esto? a) violeta

b) azul

324. Luz procedente del aire con longitud de onda de =648 nm incide perpendicularmente so bre una película de espesor t=8,76 m e índice de refracción de n=1,35. Parte de la luz se refleja en la primera superficie de la película y otra parte entra a la película y se refleja en la segunda superficie, donde la película está de nuevo en contacto con el aire. I) ¿Cuántas ondas están contenidas a lo largo de la trayectoria de esta segunda parte de la luz en su desplazamiento completo a través de la película? a) 33,5 II)

b) 34,5

c) 34,5

d) 35,5

e) 36,5

¿Cuál es la diferencia de fase entre estas dos partes de la luz cuando salen de la película? a) 0o

b) 45º

c) 90º

d) 120º

e) 180º

325. ¿Cuál es la película de jabón más delgada (excluya el caso de espesor igual a cero) que a parece negra cuando se ilumina con luz de longitud de onda de =480 nm? El índice de refracción de la película es de n=1,33, y en ambos lados de ella hay aire. a) 180,5 nm

b) 182,5 nm

c) 184,5 nm

d) 186,5 nm

e) 188,5 nm

326. Luz solar incide perpendicularmente en la pared de una burbuja de jabón de espesor d= 400 nm, índice de refracción n=1,35, y que flota en el aire. ¿Qué colores observados en la luz reflejada mejorarán fuertemente? a) violeta

b) azul

c) verde

d) amarillo

e) rojo

327. Una película delgada de índice de refracción n=1,38 se utiliza para recubrir una lente de índice de refracción n ' =1,50.

Física IV

I)

405 ¿Cuál es la película más delgada que refleja altamente luz ultravioleta de longitud de onda de =350 nm? a) 107 nm

II)

b) 127 nm

c) 147 nm

d) 167 nm

e) 187 nm

¿Cuál es la película más delgada que minimiza la reflexión de luz de longitud de onda de =700 nm? a) 107 nm

b) 127 nm

c) 147 nm

d) 167 nm

e) 187 nm

328. Dos placas planas de vidrio están en contacto en un borde y un cabello humano se usa co mo separador en el otro borde. Una luz verde de longitud de onda de 546 nm incide nor malmente desde arriba, y aparecen 76 franjas oscuras a través de la placa. Hallar el espe sor (diámetro) del cabello. a) 20,5 m

b) 22,5 m

c) 24,5 m

d) 26,5 m

e) 28,5 m

329. Una lente apoyada sobre una lámina genera los anillos de Newton, en la que su vigésimo quinto anillo oscuro cae fuera del borde de la lente cuando se usa luz de longitud de onda de =590 nm; el radio de ese anillo mide R=6,0 cm. ¿Cuál es el radio de curvatura de la superficie convexa de la lente plano-convexa? a) 240 m

b) 242 m

c) 244 m

d) 246 m

e) 248 m

330. En un experimento con anillos de Newton se usa luz de longitud de onda de =546 nm. Cuando el espacio de aire entre la lente plano-convexa y la placa de vidrio plana se llena con líquido, el radio del quinto anillo oscuro se reduce desde 2,0 cm hasta 1,5 cm. Hallar el índice de refracción del líquido. a) 1,60

b) 1,66

c) 1,72

d) 1,78

e) 1,84

d

totalmente plateado

parcialmente plateado

Fig55

Fig56

331. Para maximizar la luz que penetra en una celda solar de silicio se usa un recubrimiento. Si los índices de refracción del silicio y el recubrimiento son 3,5 y 1,6, respectivamente. Hallar el grosor mínimo del recubrimiento que puede usarse para luz de =500 nm. a) 70 nm

b) 72 nm

c) 74 nm

d) 76 nm

e) 78 nm

332. En la Fig55, el tubo de un láser tiene un espejo en cada extremo. Una onda electromagné

406

I) II)

Interferencia tica estacionaria llena el espacio entre estos espejos. Esta onda debe satisfacer la condi ción en la frontera de que su campo eléctrico se nulo todo el tiempo en la posición de los espejos. Demostrar que la distancia "d" entre los espejos y la longitud de onda " " de la onda de ben estar relacionados por: d = (m+1)/2, m=0, 1, 2,… Un láser de He-Ne con d=30,0 cm opera a =633 nm. ¿Cuál es el valor de "m" ? ¿Cuán tos mínimos y cuántos máximos tiene la onda estacionaria entre los espejos?

333. En la Fig56, dos placas planas paralelas de vidrio están separadas por separadores delga dos que dejan una separación de ancho igual a "d" entre las placas. Si una luz de longi tud de onda " " incide normalmente sobre las placas. ¿Cuál es la condición para interfe rencia constructiva entre los rayos reflejados por la superficie inferior de la placa de arri ba y la superficie superior de la placa de abajo? 334. Considérese la luz transmitida por una película delgada. Para una onda de luz con una di rección de propagación perpendicular a la superficie de la película, ¿Cuál es la condición para interferencia constructiva entre la onda dirigida y la onda que se refleja una vez que la superficie inferior y una vez por la superficie superior? ¿Es de esperar que esta condi ción para interferencia constructiva en transmisión coincida con la condición para interfe rencia destructiva en reflexión? 335. Una marea negra espesa de aceite de índice de refracción 1,25 flota en agua. Cuando un haz de luz blanca incide verticalmente en está película, los únicos colores que se ven me jorados en el haz reflejado son el rojo (a una longitud de onda de 675 nm en el aire) y el violeta (a 450 nm). Con base en esta información, dedúzcase el espesor de la mancha de aceite. a) 500 nm

b) 520 nm

c) 540 nm

d) 560 nm

e) 580 nm

336. Una capa de aceite de espesor 200 nm flota en la parte superior de una capa de agua de es pesor 400 nm que reposa sobre un espejo metálico plano. El índice de refracción del a ceite es 1,24 y el del agua 1,33. Un haz de luz blanca incide normalmente en estas capas. ¿Cuál debe ser la longitud de onda del haz si la luz reflejada por la superficie superior del aceite interfiere destructivamente con la luz reflejada por el espejo? a) 3120 nm

b) 3320 nm

c) 3520 nm

d) 3720 nm

e) 3920 nm

337. Una lente con una superficie plana y una superficie convexa reposa sobre una placa plana de vidrio. Un rayo de luz que incide normalmente sobre la lente es reflejado parcialmente por la superficie curva de la lente y reflejado parcialmente por la superficie plana del vi drio. La interferencia entre estos rayos reflejados es constructiva o destructiva, dependien do de la altura de la separación de aire entre la lente y la placa. La interferencia origina el patrón de los anillos de Newton. I) ¿Por qué es oscuro el centro del patrón de interferencia? II) Demostrar que el radio del m-ésimo anillo oscuro esta dado por: r=(mR-m22/4)1/2, don

Física IV

407 de " " es la longitud de onda de la luz, y "R" es el radio de curvatura de la superficie convexa de la lente. III) ¿Cuál es el radio del primer anillo oscuro si, =500 nm y R=3,0 m? a) 1,0 mm

b) 1,2 mm

c) 1,4 mm

d) 1,6 mm

e) 1,8 mm

338. Sobre una película de agua de espesor s=10-4 m e índice de refracción n=1,33, incide per pendicularmente luz de longitud de onda de =500 nm. I) Hallar la longitud de onda de la luz en el agua. a) 316 nm II)

b) 336 nm

c) 356 nm

d) 376 nm

e) 396 nm

¿Cuántas longitudes de onda están contenidas en la distancia "2s" ? a) 4,32

b) 5,32

c) 6,32

d) 7,32

e) 8,32

III) ¿Cuál es la diferencia de fase entre la onda reflejada en la parte superior de la película y la reflejada en la interfase del fondo agua-aire, después de que ha recorrido esta distan cia? a) 0,1 rad

b) 0,2 rad

c) 0,3 rad

d) 0,4 rad

e) 0,5 rad

339. Se prepara una película de aire en forma de cuña colocando un trocito de papel entre los bordes de dos láminas de vidrio planas. Una luz de longitud de onda de =700 nm incide perpendicularmente sobre las láminas de vidrio y se observan bandas de interferencia por reflexión. I) La primera banda próxima al punto de contacto de las láminas, ¿es oscura o brillante? ¿Por qué? II) Existen cinco bandas oscuras por centímetro. ¿Cuál es el ángulo de la cuña? a) 0,2'

b) 0,4'

c) 0,6'

d) 0,8'

e) 1,0'

340. Se utiliza luz de =600 nm para iluminar perpendicularmente dos placas de vidrio de lon gitud l=22 cm que están en contacto por un extremo y separadas por el otro mediante un hilo de diámetro D=0,025 mm. ¿Cuántas franjas aparecerán a lo largo de la longitud de las placas? a) 160

b) 162

c) 164

d) 166

e) 168

341. Una película delgada de índice de refracción n=1,5 está rodeada por aire. Se ilumina per pendicularmente con luz blanca y se observa por reflexión. El análisis de la luz reflejada resultante muestra que las únicas longitudes de onda que se han perdido cerca de la parte visible del espectro son las de 1=360 nm, 2=540 nm y 3=602 nm. I) Hallar el espesor de la película. a) 600 nm

b) 620 nm

c) 640 nm

d) 660 nm

e) 680 nm

408

Interferencia

II)

¿Qué longitudes de onda visible son las más brillantes en el diagrama de interferencia re flejado? III) Si está película está depositada sobre vidrio cuyo índice de refracción es n=1,6, ¿Qué lon gitudes de onda del espectro visible se perderán en la luz reflejada? 342. Una película de aceite (n=1,45) que flota sobre agua (no=1,33), es iluminada perpendicu larmente con luz blanca, predominando en la luz reflejada las longitudes de onda de 1= 700 nm y 2=500 nm. Hallar el espesor de la película de aceite. a) 603 nm

b) 623 nm

c) 643 nm

d) 663 nm

e) 683 nm

343. Deseamos recubrir una placa de plana de vidrio (n=1,50) con un metal transparente (n= 1,25) de tal modo que no refleje luz de =620 nm de longitud de onda (en el vació) que incide normalmente. ¿Qué espesor mínimo tendría el recubrimiento? a) 104 nm

b) 124 nm

c) 144 nm

d) 164 nm

e) 184 nm

344. Una película delgada de aire de espesor t=410 nm, e índice de refracción n=1,50 es ilumi nada por luz blanca normal a su superficie. ¿Qué longitudes de onda dentro del espectro visible, se intensificarían en el haz reflejado? 345. Un barco de transporte de combustible averiado vierte keroseno (n=1,20), creando una gran mancha sobre el agua (no=1,33). I) Si Usted mirase directamente abajo desde un aeroplano sobre una región de la mancha donde su espesor es t=460 nm, ¿Para qué longitudes de onda de luz visible sería máxima la reflexión? II) Si Usted estuviese buscando directamente debajo de esta misma región de la mancha, ¿En qué longitudes de onda de luz visible sería máxima la intensidad transmitida? 346. En la joyería de fantasía, a menudo se recubren los diamantes de imitación (hechos de vidrio de n=1,5) con monóxido de silicio (n=2,0) para hacerlos más reflejantes. ¿Qué es pesor deberá tener el recubrimiento para obtener la mayor reflexión con luz de =560 nm, que incida normalmente? a) 60 nm

b) 65 nm

c) 70 nm

d) 75 nm

e) 80 nm

347. En la Fig57, si la longitud de onda de la luz incidente es =572 nm, los rayos A y B es tán fuera de fase por 1,50. Hallar el espesor "d" de la película. a) 215 nm

b) 235 nm

c) 255 nm

d) 275 nm

e) 295 nm

348. En la Fig58, una gota de aceite de n=1,20 flota sobre una superficie de agua de n=1,33, y se observa desde arriba mediante luz reflejada. I) ¿Corresponderán las regiones más exteriores (las más delgadas) a una región brillante o u na región oscura? II) ¿Cuán gruesa es la película de aceite cuando se observa la tercera región azul desde el ex terior de la gota?

Física IV a) 514 nm

b) 534 nm

c) 554 nm

409 d) 574 nm

e) 594 nm

III) ¿Por qué desaparecen gradualmente los colores conforme el espesor del aceite se hace mayor? A B

Luz incidente

 R.SABRERA

n1=1,00

Aceite

n2=1,33

Agua

n3=1,26

Fig57

Fig58

349. Luz de =585 nm de longitud de onda incide normalmente sobre una película jabonosa delgada de n=1,33 suspendida en el aire. Si la película tiene un espesor de d=0,0021 mm, determinar si aparece brillante u oscura cuando se observa desde un punto cercano a la fuente de luz. 350. Una onda plana de luz monocromática incide normalmente sobre una película de aceite delgada uniforme de n=1,32, que cubre una placa de vidrio de n=1,50. La longitud de on da de la fuente puede variarse de modo continuo. Se observa una interferencia comple tamente destructiva de la luz reflejada en las longitudes de onda de 1=485 nm y 2=679 nm y en ninguna longitud de onda entre ellas. Hallar el espesor de la película de aceite. a) 603 nm

b) 623 nm

c) 643 nm

d) 663 nm

e) 683 nm

351. La luz blanca reflejada con incidencia perpendicular desde una película de jabón de n= 1,33, tiene en el espectro visible, un máximo de interferencia en 1=600 nm y un mínimo en 2=450 nm, y ningún mínimo entre ellas. Hallar el espesor de la película, asumiendo que es uniforme. a) 318 nm

b) 338 nm

c) 358 nm

d) 378 nm

e) 398 nm

352. Dos trozos de vidrio plano se unen de modo tal que el espacio de aire entre ellos forma u na cuña muy delgada. Luz de =480 nm de longitud de onda choca con la superficie supe rior perpendicularmente y se refleja desde la superficie superior del vidrio de arriba y la superficie superior del vidrio de abajo, produciendo una serie de franjas de interferencia. ¿Qué tanto más gruesa es la cuña de aire de la franja decimosexta que de la sexta? a) 2,0 m

b) 2,2 m

c) 2,4 m

d) 2,6 m

e) 2,8 m

353. Una lámina de vidrio de n=1,40 se recubre con una película de n ' =1,55 de modo que se

410 I)

Interferencia transmita con preferencia luz verde de =525 nm. ¿Qué espesor mínimo debe tener la película, para conseguir este resultado? a) 109 nm

b) 129 nm

c) 149 nm

d) 169 nm

e) 189 nm

II) ¿Por qué otras partes del espectro visible no se transmiten preferentemente también? III) ¿Se reducirá de forma notable la transmisión de alguno de los colores? 354. Una película de acetona de n=1,25 esta recubriendo una placa gruesa de vidrio de n ' = 1,50. Normalmente a la película de inciden ondas planas de luz de diversas longitudes de onda. Cuando se ve la onda reflejada se observa que ocurre una interferencia completa mente destructiva a 1=600 nm y una interferencia constructiva a 2=700 nm. Hallar el espesor "d" de la película de acetona. a) 900 nm

b) 920 nm

c) 940 nm

d) 960 nm

e) 980 nm

355. En la Fig59, una fuente ancha de luz de =680 nm ilumina normalmente a dos placas de vidrio de longitud l=120 mm que se tocan en un extremo y están separadas por un alam bre de diámetro D=0,048 mm en el otro extremo. ¿Cuántas franjas brillantes aparecerán en la distancia de d=120 mm? a) 141

b) 142

c) 143

d) 144

e) 145

356. En la Fig60, un trozo de vidrio perfectamente plano de n=1,5 que está situado sobre un trozo perfectamente plano de plástico negro de n ' =1,2, se tocan en A. Desde arriba inci de luz de =600 nm de longitud de onda. En el diagrama se muestra la posición de las franjas oscuras en la luz reflejada. I) ¿De qué espesor es el espacio entre el vidrio y el plástico en B? a) 2100 nm II)

b) 2300 nm

c) 2500 nm

d) 2700 nm

e) 2900 nm

En la región entre el vidrio y el plástico pasa agua de n=1,33, ¿Cuántas franjas oscuras se ven cuando el agua ha desplazado todo el aire? (Lo derecho y el igual espaciamiento de las franjas es una prueba exacta de la calidad plana o planicidad del vidrio) a) 5

b) 6

c) 7

Luz incidente

d) 8

e) 9 n=1,5

A

n=1,2 (a)

D B

A

l (b)

Fig59

Fig60

Física IV

411 357. Luz de =630 nm de longitud de onda incide normalmente sobre una película delgada en forma de cuña con un índice de refracción de n=1,50. Existen diez franjas brillantes y nueve franjas oscuras a lo largo de la película. ¿En cuánto cambia el espesor de la pelícu la a lo largo de su longitud? a) 1,09 m

b) 1,29 m

c) 1,49 m

d) 1,69 m

e) 1,89 m

358. En una cuña de aire formada por dos placas planas de vidrio, colocadas entre sí a lo largo de un borde, existen 4001 líneas oscuras observadas cuando se ven mediante luz monocro mática reflejada. Cuando el aire entre las placas es evacuado, sólo se observan 4000 de ta les líneas. Hallar el índice de refracción del aire a partir de estos datos. a) 1,00000

b) 1,00025

c) 1,00045

d) 1,00065

e) 1,00085

359. En un experimento de anillos de Newton, el radio de curvatura de la lente es de R=5,0 m y su diámetro es de D=20 mm. I) ¿Cuántos anillos se generan? a) 30 II)

b) 32

c) 34

d) 36

e) 38

¿Cuántos anillos se verían si el arreglo se encontrará inmerso en agua de n=1,33? Supón gase que la longitud de onda es de =589 nm. a) 41

b) 43

c) 45

d) 47

e) 49

360. El diámetro del décimo anillo brillante en un aparato de anillos de Newton cambia de D1=1,42 cm a D2=1,27 cm al introducir un líquido entre la lente y la placa. Hallar el índi ce de refracción del líquido. a) 1,15

b) 1,25

c) 1,35

d) 1,45

e) 1,55

361. Se usa un aparato de anillos de Newton para determinar el radio de curvatura de una len te. Se miden los radios de los anillos brillantes n-ésimo y (n+20)-ésimo y se encuentra que son Rn=0,162 cm y Rn+20=0,368 cm, respectivamente, para la luz de longitud de onda de =546 nm. Hallar el radio de curvatura de la superficie inferior de la lente. a) 0,8 m

b) 0,9 m

c) 1,0 m

d) 1,1 m

e) 1,2 m

362. En un experimento de anillos de Newton I) Demostrar que la diferencia en los radios en tre anillos contiguos (máximos) está dado por: r=rm+1-rm(1/2)(R/m)1/2, suponiendo que m>>1. II) Demostrar que el área entre anillos contiguos (máximos) está dado por: A= R, suponiendo que m>>1. Nótese que está área es independiente de "m" . 363. Las lentes se recubren a menudo con películas delgadas de sustancias transparentes como el MgF2 (n=1,38) para reducir el reflejo de la superficie de vidrio. Suponga que la refle xión es nula para luz de =550 nm de longitud de onda a una incidencia normal. Hallar el porcentaje en el que disminuye la reflexión mediante el recubrimiento a  ' =450 nm.

412

Interferencia a) 80 %

b) 82 %

c) 84 %

d) 86 %

e) 88 %

364. En la Fig61, un barco que se aproxima a puerto está transmitiendo con una longitud de onda de =3,43 m desde su antena ubicada a h=23 m sobre el nivel del mar la antena de la estación receptora se encuentra a H=160 m sobre el nivel del mar. Hallar la distancia horizontal "D" entre el barco y la estación receptora al perderse momentáneamente el con tacto por radio por primera vez? a) 2110 m

b) 2120 m

c) 2130 m

d) 2140 m

e) 2150 m

Espejo

50cm

H



h 

Fuente

Espejo



A la bomba de vacio

D

Fig61

Fig62

365. En la Fig62, una cámara hermética de longitud 50cm con ventanas de vidrio está situada en un brazo de un interferómetro de Michelson. Se usa luz de longitud de onda =500 nm. Se evacua el aire lentamente de la cámara usando una bomba de vació. Mientras que se está retirando el aire, se observa que pasan 60 franjas por la visual. Hallar el índice de refracción del aire a la presión atmosférica. a) 1,00010

b) 1,00020

c) 1,00030

d) 1,00040

e) 1,00050

366. En la Fig63, se utiliza luz de longitud de onda de =550,5 nm para calibrar un interferó metro de Michelson, y el espejo M1 se desplaza 0,180 mm. ¿Cuántas franjas oscuras se cuentan? a) 650

b) 652

c) 654

d) 656

e) 658

367. En la Fig64, el espejo M1 se desplaza una distancia l. Durante dicho desplazamiento se cuentan 250 franjas invertidas (formación de franjas oscuras o brillantes sucesivas). Se emplea luz de longitud de onda de =632,8 nm. Hallar el desplazamiento l. a) 31,6 m

b) 33,6 m

c) 35,6 m

d) 37,6 m

e) 39,6 m

368. Un haz de luz monocromática se envía hacia un interferómetro de Michelson. El espejo móvil se desplaza 0,382 mm, lo que origina que el patrón de interferómetro se reproduzca a sí mismo 1700 veces. Hallar la longitud y el color de la luz.

Física IV a) 441 nm, rojo d) 447 nm, amarillo

413

b) 443 nm, verde c) 445 nm, violeta e) 449 nm, azul

Espejo ajustable Imagen de M2

M1 M2

L2

L1 Fuente



Espejo móvil

M2

P

M

Divisor del haz

M2

Fuente



L2

Fig63

M

Divisor del haz

Espejo fijo M1 P L1

Fig64

369. Un poste de un interferómetro de Michelson contiene un cilindro al vació de largo "L" que tiene una placa de vidrio en cada borde. Se filtra lentamente un gas hacia el interior del cilindro hasta que se alcanza una presión de 1,00 atm. Si pasan "N" franjas brillantes sobre la pantalla cuando se usa luz de longitud de onda " " . Hallar el índice de refrac ción "n" del gas. 370. Un poste de un interferómetro de Michelson contiene un cilindro al vació de largo 3,00 cm y que tiene una placa de vidrio en cada borde. Se filtra lentamente un gas hacia el inte rior del cilindro hasta que se alcanza una presión de 1,00 atm. Si pasan 35 franjas brillan tes sobre la pantalla cuando se utiliza luz de longitud de onda de 633 nm. Hallar el índice de refracción del gas. a) 1,00017

b) 1,00027

c) 1,00037

d) 1,00047

e) 1,00057

371. En la Fig64, ¿A qué distancia se debe desplazar el espejo M2 del interferómetro de Mi chelson de modo que 1800 franjas de luz láser de He/Ne (=633 nm) crucen una línea en el campo de visión? a) 510 m

b) 530 m

c) 550 m

d) 570 m

e) 590 m

372. En la Fig64, en el interferómetro de Michelson, un espejo se desplaza 0,450 m, y se cuen tan 1422 franjas de interferencia. Hallar la longitud de onda de la luz utilizada. a) 613 nm

b) 633 nm

c) 653 nm

d) 673 nm

e) 693 nm

373. En el Fig64, en el interferómetro de Michelson se utiliza luz de longitud de onda de 546 nm. Cuando uno de los espejos se desplaza, se cuentan 930 franjas de interferencia. ¿Qué

414

Interferencia distancia se movió el espejo? a) 217 m

b) 237 m

c) 257 m

d) 277 m

e) 297 m

374. En la Fig65, el interferómetro de Fabri-Perot constan de dos espejos paralelos semiplatea dos. Un rayo de luz que penetra en el espacio entre los espejos puede pasar directamente o reflejarse una ó varias veces por cada espejo. Demostrar que la condición para interfe rencia constructiva de la luz emergente (a gran distancia del espejo) es: 2dcos=0, , 2,…, donde "d" es la distancia entre los espejos, " " es la longitud de onda de la luz y "" es el ángulo de incidencia de la luz. 375. En la Fig63, el interferómetro de la Oficina Internacional de Pesos y medidas puede con tar 19000 franjas brillantes (máximos) por segundo. Para alcanzar esta razón de conteo, ¿Cuál debe ser la velocidad de movimiento del espejo que se desplaza (espejo M1) Supón gase que el interferómetro opera con luz de kriptón de longitud de onda de =605,8 nm. a) 516 mm/s

b) 536 mm/s

c) 556 mm/s

d) 576 mm/s

e) 596 mm/s

376. Se cuentan 792 franjas con un medidor de luz cuando el espejo M en el interferómetro de Michelson se mueve 0,233 mm. Hallar la longitud de onda de la luz. a) 558 nm

b) 568 nm

c) 578 nm

d) 588 nm

e) 598 nm

377. Una película delgada con n=1,42 para luz de longitud de onda =589 nm está situada en un brazo de un interferómetro de Michelson. Si se presenta un corrimiento de 7,0 franjas, ¿Cuál es el espesor de la película? a) 4,1 m

b) 4,3 m

c) 4,5 m

d) 4,7 m

e) 4,9 m

378. En la Fig63, escriba una expresión para la intensidad observada en el interferómetro de Michelson en función de la posición del espejo móvil. Hallar la posición del espejo para el punto en que d1=d2. a) 2Iocos(2x/)

b) 4Iocos(2x/) 2 d) 4Iocos (2x/) e) 2Iocos(x/)

c) 2Iocos2(2x/)

379. En la Fig66, un aparato de anillos de Newton se compone de una lente de vidrio planoconvexa de radio de curvatura "R" que descansa sobre una lámina de vidrio plana. La pe lícula delgada que hay entre ambas es aire de espesor variable. I) Demostrar que en el caso de un espesor "d" la condición para un anillo brillante de inter ferencia (constructiva) es: d=(m+1/2)(/2), m=0,1,2,3,… II) Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de lados r, R-d, e hipotenusa R, demostrar que para d<
Física IV

415 rán si el aparato se ilumina con luz amarilla de sodio (=590 nm) y se observa por refle xión? a) 60

b) 62

c) 64

d) 66

e) 68

d) 1,22 m

e) 1,26 m

V) ¿Cuál será el diámetro de la sexta franja brillante? a) 1,10 m

b) 1,14 m

c) 1,18 m

VI) Si el vidrio utilizado en el aparato tiene un índice de refracción n=1,5 y se coloca agua (na=1,33) entre los trozos de vidrio, ¿Qué variaciones tendrán lugar en las franjas brillan tes? 

R2-r2

R

d r

Fig65

Fig66

380. Una lente plano-convexa de radio de curvatura R=2,0 m descansa sobre una placa de vi drio óptimamente plana. El sistema se ilumina por arriba con luz monocromática de longi tud de onda =520 nm. Los índices de refracción de la lente y la placa son n=1,6. Hallar los radios de la primera y segunda franja brillante de la luz reflejada. a) 701 m, 1850 m b) 761 m, 1050 m c) 721 m, 1250 m d) 741 m, 1650 m e) 781 m, 1450 m 381. En el problema anterior, suponer que antes de colocar la lente sobre la placa, se deposita sobre está una película de aceite de índice de refracción n=1,82. ¿Cuáles serán entonces los radios de la primera y segunda franja brillante de la luz reflejada? a) 535 m, 926 m b) 575 m, 986 m c) 515 m, 946 m d) 595 m, 906 m e) 555 m, 966 m 382. Un radiotransmisor A operando a la frecuencia de f=60 MHz está a d=10 mde otro trans misor similar B que está a 180º fuera de fase con el transmisor A. ¿A qué distancia se de be mover un observador del transmisor A hacia el transmisor B a lo largo de la línea que une A y B para alcanzar el punto más cercano donde los dos haces están en fase? a) 1,21 m

b) 1,23 m

c) 1,25 m

d) 1,27 m

e) 1,29 m

383. Ciertos astrónomos observan en el mar una fuente de radio de frecuencia f=60 MHz tanto

416

Interferencia directamente como por reflexión. Si la antena receptora se encuentra h=20 m sobre el ni vel del mar. ¿Cuál es el ángulo de la fuente de radio sobre la horizontal? a) 3,18º

b) 3,28º

c) 3,38º

d) 3,48º

e) 3,58º

384. La condición para interferencia constructiva por reflexión en una película delgada en aire, según se vio en teoría, supone una incidencia casi normal. Demostrar que si la luz incide sobre la película a un ángulo diferente de cero "1 " (respecto a la normal), entonces la condición para interferencia constructiva es 2nd cos2=(m+1/2), donde "2 " es el ángu lo de refracción. 385.En la Fig67, una lente convergente de diámetro D=5 cm y distancia focal f=50 cm se corta por su diámetro en dos mitades y éstas se separan una distancia d=5 mm. Una fuen te puntual de luz S se coloca a la distancia a=1 m de la lente. ¿A qué distancia de la lente se podrá observar la figura de interferencia? La rendija entre las dos mitades de la lente está cerrada. a) 118 cm

b) 122 cm

c) 126 cm

d) 130 cm

e) 134 cm

386.En la Fig68, dos fuentes puntuales de luz monocromática S1 y S2 se encuentran a la dis tancia " " una de otra. A la distancia H=8 m de la fuente S1 se observa la interferencia. La fuente S2 se va alejando de la S1. El oscurecimiento en el punto A se observa por pri mera vez cuando la distancia entre las fuentes es l1=2 mm. Por segunda vez se produce el oscurecimiento cuando la distancia es l2. Hallar esta distancia si x<<1. a) 3,06 mm b) 3,26 mm c) 3,46 mm d) 3,66 mm e) 3,86 mm S1

D/2

l

S2

S



d D/2

a

Fig67



H

R.SABRERA

A

Fig68

387.Las ondas de una estación de radio pueden llegar a un receptor doméstico por dos vías. Una es la trayectoria en línea recta del transmisor a la casa, a una distancia de 30 km. La segunda trayectoria es por reflexión en la ionosfera (una capa de moléculas de aire ioni zadas en la parte superior de la atmósfera). Suponga que esta reflexión ocurre en un punto a la mitad entre el receptor y el transmisor. La longitud de onda transmitida por la estación de radio es de 350 m. Hallar la altura mínima de la capa ionosférica que produce

Física IV

417 interferencia destructiva entre los haces directo y reflejado. (Suponga que no hay cambios de fase en la reflexión) a) 1,22 km

b) 1,62 km

c) 2,02 km

d) 2,42 km

e) 2,82 km

388.Mediciones hechas de la distribución de intensidad en el patrón de interferencia de Young. En un valor particular de "y" se encuentra que I/Imáx=0,810 cuando se usa luz de =600 nm. Hallar la longitud de onda de la luz que usaría si la intensidad relativa en la misma posición se reduce a 64 %. a) 401 nm

b) 421 nm

c) 441 nm

d) 461 nm

e) 481 nm

389.En un experimento de interferencia de Young las dos rendijas están separadas por a= 0,150 mm y la luz incidente incluye luz de longitudes de onda de 1=540 nm y 2=450 nm. Los patrones de interferencia que se traslapan se forman sobre una pantalla a d=1,40 m de las rendijas. Hallar la distancia mínima desde el centro de la pantalla al punto donde una línea brillante de la luz de 1 coincide con una línea brillante de 2. a) 21,2 mm

b) 22,2 mm

c) 23,2 mm

d) 24,2 mm

e) 25,2 mm

390.Una cuña de aire se forma entre dos placas de vidrio en contacto a lo largo de un borde y ligeramente separadas en el borde opuesto. Cuando las placas se iluminan con luz mono cromática desde arriba, la luz reflejada tiene 85 franjas oscuras. Hallar el número de fran jas oscuras que aparecerían si en lugar de aire se pusiera agua (n=1,33). a) 111

b) 113

c) 115

d) 117

e) 119

391.Nuestro análisis de las técnicas para determinar las interferencias constructiva y destruc tiva por reflexión de una película delgada en aire está limitada a rayos que inciden en la película casi normal. Suponga que un rayo está incidiendo a un ángulo de 30º (respecto a la normal) sobre una película que tiene un índice de refracción de 1,38. Hallar el espesor mínimo para la interferencia constructiva si la luz es de sodio con una longitud de onda de =590 nm. a)105 nm

b) 110 nm

c) 115 nm

d) 120 nm

e) 125 nm

392.I) Los dos lados de una película uniforme que tiene un índice de refracción "n" y espe sor "d" están en contacto con el aire. Para incidencia en dirección normal de la luz, se ob serva una intensidad mínima en la luz reflejada en 2 y se observa una intensidad máxi ma en 1, donde 1>2. Si no hay mínimos de intensidad observados entre 1 y 2, mues tre que el entero "m" en las ecuaciones, 2nd = (m+1/2)n y 2nd = m, (m=0,1,2,…) está dado por m=1/2(1-2). II) Determinar el espesor de la película si n=1,40, 1=500 nm y 2=370 nm. a) 260 nm

b) 262 nm

c) 264 nm

d) 266 nm

e) 268 nm

393.Use la suma de fasores para encontrar la amplitud resultante y la constante de fase cuan

418

Interferencia do se combinan las siguientes tres funciones armónicas: E1=sen(t+/6), E2= 3,0 sen(t+ 7/2), E3=6,0 sen(t+4/3).

394.Una lente plano-convexo tiene un índice de refracción "n" . El lado curvo de la lente tiene un radio de curvatura "R" y descansa sobre una superficie plana de vidrio de igual índice de refracción. Con una película de índice "n p " entre ellos. Los lentes están ilumi nados desde arriba por luz de longitud de onda " " . Demostrar que los anillos oscuros de Newton tienen radios dados aproximadamente por r=(mR/np)1/2, donde "m" es un ente ro y "r" es mucho menor que "R" . 395.Una película de jabón (n=1,33) está contenida dentro de un marco rectangular de alam bre. El marco se sostiene verticalmente, de modo que la película se desagua hacia abajo y se vuelve más gruesa en el fondo que en la parte superior, donde el grosor en esencia es cero. La película se ve con luz blanca con incidencia cercana a la normal, y la primera banda de interferencia violeta (=420 nm) se observa a 3,0 cm del borde superior de la pe lícula. I) Localice la primera banda de interferencia roja (=680 nm). a) 406 nm II)

b) 426 nm

c) 446 nm

d) 466 nm

e) 486 nm

Hallar el espesor de la película en las posiciones de las bandas violeta y roja. a) 70,9 nm, 148 nm b) 76,9 nm, 108 nm c) 72,9 nm, 188 nm d) 74,9 nm, 168 nm e) 78,9 nm, 128 nm

III) Hallar el ángulo de cuña de la película. a) 2,03 rad

b) 2,23 rad

c) 2,43 rad

d) 2,63 rad

e) 2,83 rad

396.La rendija 1 de una doble rendija es más ancha que la rendija 2, de modo que la luz que sale de la rendija 1 tiene una amplitud 3,00 veces la de la luz de la rendija 2. Demostrar que en este caso la ecuación I=Imáxcos2(/2) adopta la forma I=(4Imáx/9)(1+3cos2/2). 397.En la Fig69, se producen efectos de interferencia en un punto P en una pantalla como re sultado de los rayos directos de una fuente de =500 nm y de los rayos reflejados del espe jo. Si la fuente está a L=100 m a la izquierda de la pantalla y h=1,00 cm arriba del es pejo, hallar la distancia "y" a la primera banda oscura arriba del espejo. a) 2,10 cm

b) 2,20 cm

c) 2,30 cm

d) 2,40 cm

e) 2,50 cm

398.En la Fig70, se muestra un transmisor y un receptor de ondas de radio separadas por u na distancia "d" y localizado a una distancia "h" sobre el suelo. El receptor puede recibir señales tanto directas del transmisor como indirectas reflejadas en el suelo. Suponga que el suelo está al mismo nivel entre las dos torres, y que ocurre un corrimiento de fase de 180º en la reflexión. I) Hallar las longitudes de onda más largas que interfieren en forma constructiva.

Física IV II)

419

Hallar las longitudes de onda más largas que interfieren en forma destructiva. Pantalla P

d

h

Fuente

y



 0

T

Espejo

R

Fig69

Fig70

399.En la Fig71, considere el arreglo de doble rendija, donde la separación de las rendijas es "a" y la distancia rendija-pantalla es "L" . Una hoja de plástico transparente de índice de refracción "n" y espesor "d" se coloca sobre la rendija superior. Como resultado, el máxi mo central del patrón de interferencia se mueve hacia arriba una distancia y ' , hallar y ' . a) nLd/a

b) (n-1)Ld/a

c) nLa/d

d) (n-1)La/d

e) nLda/2a

400.En la Fig72, en un experimento de anillos de Newton, una lente de vidrio plano-conve xa (n=1,52) de D=10 cm de diámetro se pone sobre una placa plana. Cuando la luz de = 650 nm incide en dirección normal, se observan 55 anillos brillantes, con el último anillo justo en el borde de la lente. I) Hallar el radio de curvatura de la superficie convexa de la lente. a) 70,0 m II)

b) 70,2 m

c) 70,4 m

d) 70,6 m

e) 70,8 m

c) 133 m

d) 134 m

e) 135 m

Hallar la longitud focal de la lente. a) 130 m

b) 131 m L P

S1

y’

r 

a S2



O 1

2

R

d

r

r

Fig71

P

Fig72

401.En un experimento de doble rendija de Young donde se usa luz de longitud de onda " " ,

420

Interferencia una pieza de plexiglás de índice de refracción 'n" cubre una de las rejillas. Si el punto central en la pantalla es un lugar oscuro en lugar de uno brillante. Hallar el espesor mí nimo del plexiglás. a) /(n-1)

b) /2(n-1)

c) /(n+1)

d) /2(n+1)

e) 2/(n-1)

402.Una tira plana de vidrio se mantiene fija y horizontal arriba del extremo plano superior de una barra vertical de metal de longitud l=10,0 cm, y su extremo inferior rígidamente fijo. La película delgada de aire entre la barra y el vidrio se observa brillante por la luz re flejada cuando se ilumina con luz de longitud de onda =500 nm. Conforme la temperatu ra se incrementa lentamente en T=25º, la película cambia de brillante a oscuro y de re greso a brillante 200 veces. Hallar el coeficiente de expansión lineal de este metal. a) 20  oC-1

b) 22  oC-1

c) 24  oC-1

d) 26  oC-1

e) 28  oC-1

403.Un barco descarga sobre el océano aceite de volumen V=1 m3, índice de refracción n= 1,25, formando una película uniforme delgada. Si la película produce un máximo de pri mer orden en luz de longitud de onda de =500 nm que incide de manera normal sobre el aceite. Hallar el área de la superficie que cubre la película de aceite. El índice de refrac ción del agua de mar es de na=1,34. a) 3,0 km2

b) 3,5 km2

c) 4,0 km2

d) 4,5 km2

e) 5,0 km2

404.En la Fig73, un pedazo de material transparente de índice de refracción "n" se corta en forma de cuna. El ángulo de la cuna es pequeño, e incide luz monocromática de longitud de onda " " en dirección normal desde arriba. Si la altura de la cuna es "h" y el ancho " " , demostrar que las franjas brillantes ocurren en las posiciones x = (m+1/2)l/2nh y que las franjas oscuras ocurren en las posiciones x = ml/2nh, donde m=0,1,2,3… y "x" se mide como indica la Figura. C1

R h

C2 r

l x

Fig73

Fig74

405.En la Fig74, una lente plano-convexa de radio de curvatura r=4,00 m se coloca sobre u na superficie reflejante cóncava de radio de curvatura R=12,0 m. Hallar el radio del anillo

Física IV

421 brillante 100-ésimo, si la luz de =500 nm incide en dirección normal a la superficie pla na de la lente. a) 1,53 cm

b) 1,63 cm

c) 1,73 cm

d) 1,83 cm

e) 1,93 cm

406.Dos ondas coherentes, provienen de fuentes situadas en diferentes ubicaciones, movién dose a lo largo del eje x. Sus funciones de onda son: E1=(860 V/m)sen[(2x1/650 nm)2(462 THz)t+/6] y E2=(860 V/m)sen[(2x2/650 nm)-2(462 THz)t+/8]. Determinar la relación entre x1 y x2 que produce interferencia constructiva cuando las dos ondas son superpuestas. 407.La cantidad  en la ecuación =r2-r1=d sen es llamada la diferencia de trayectoria. Su tamaño en comparación a la longitud de onda controla el carácter de la interferencia entre dos rayos en el vació controlando la diferencia de fase entre los rayos. La cantidad análo ga nt en las ecuaciones 2nt=(m+1/2) y 2nt=m, con (m=0,1,2,3…) es llamada la longi tud de la trayectoria óptica correspondiente a la distancia geométrica "t" . La longitud de la trayectoria óptica es proporcional a "n" porque un índice mayor de refracción acorta la longitud de onda, así, más ciclos de una onda implica una distancia geométrica particular. I) Asumiendo que una mezcla de jarabe de maíz con agua es preparada en un tanque con su índice de refracción "n" aumentando uniformemente desde 1,33 en y=20,0 cm hasta el máximo 1,90 en y=0. Escribir el índice de refracción n(y) como una función de y. II) Calcular la longitud de la trayectoria óptica correspondiente a la altura de h=20 cm del tanque, a partir de n(y)dy. III) Asumiendo que un rayo estrecho de luz es dirigida hacia la mezcla con su dirección origi nal entre horizontal y verticalmente hacia arriba. Cualitativamente escribir su trayectoria. 408.En la Fig75, luz monocromática de longitud de onda =620 nm pasa a través de una rendija muy estrecha S y entonces llega a una pantalla en la que están dos rendijas para lelas, S1 y S2. La rendija S1 está directamente en la línea con S y a una distancia de L= 1,20 m lejos de S, en tanto S2 está ubicada a una distancia "d" al otro lado. La luz es de tectada en el punto P sobre una segunda pantalla, equidistante de S1 y S2. Cuando una de las dos rendijas es abierta, iguales intensidades de luz es medida en el punto P. Cuando ambas rendijas están abiertas, la intensidad es tres veces mayor. Hallar el valor mínimo posible para la distancia de separación "d" de las rendijas. a) 0,418 mm

b) 0,438 mm

c) 0,458 mm

d) 0,478 mm

e) 0,498 mm

409.En la Fig76, una lente plano-cóncava de índice de refracción n=1,50 está situada sobre u na placa de vidrio plana . La superficie curvada de radio de curvatura R=8,00 m, está so bre el fondo. La lente es iluminada desde arriba con luz de sodio de longitud de onda = 589 nm, y una serie de anillos concéntricos brillantes y oscuros es observada por refle xión. El patrón de interferencia tiene una mancha oscura en el centro, rodeado por 50 ani llos oscuros, la más grande de las cuales está en el borde externo de la lente. I) Hallar el espesor de la capa de aire en el centro del patrón de interferencia. a) 12,7 m

b) 13,7 m

c) 14,7 m

d) 15,7 m

e) 16,7 m

422 II)

Interferencia Hallar el radio del anillo oscuro más externo. a) 13,3 mm

b) 14,3 mm

c) 15,3 mm

d) 16,3 mm

e) 17,3 mm

d) -16,0 m

e) +18,0 m

III) Hallar la posición de la distancia focal de la lente. a) +14,0 m

b) -14,0 m

c) +16,0 m

S1

S

P

d S2 L

Fig75

Fig76

410.El radio de curvatura de la superficie convexa de una lente plano-convexa es de R=95,2 cm. Se coloca el lado convexo hacia abajo sobre una placa de vidrio perfectamente plana que se ilumina desde arriba con luz roja de longitud de onda =580 nm. Hallar el diáme tro del segundo anillo brillante en el patrón de interferencia. a) 1,52 mm

b) 1,62 mm

c) 1,72 mm

d) 1,82 mm

e) 1,92 mm

411.Los anillos se observan cuando una lente plano-convexa se coloca sobre una superficie plana de vidrio. Para una lente en particular de índice de refracción n=1,50 y una placa de vidrio de índice n=1,80, el diámetro del tercer anillo brillante es de D 3=0,850 mm. Si aho ra se llena con agua (n=1,33) el espacio entre la lente y la placa. Hallar el nuevo diámetro del anillo. a) 1,17 mm

b) 1,27 mm

c) 1,37 mm

d) 1,47 mm

e) 1,57 mm

412.Se ilumina dos ranuras delgadas con luz coherente monocromática procedente del aire y se producen los primeros mínimos de interferencia en 35,20º a cualquier lado del punto brillante central. Se sumerge estas ranuras en un líquido transparente y se ilumina con la misma luz. Ahora, se encuentra que los primeros mínimos se presentan en 19,46º. Ha llar el índice de refracción del líquido. a) 1,61

b) 1,65

c) 1,69

d) 1,73

e) 1,77

413.Una lámina muy delgada de latón contiene dos ranuras paralelas. Cuando sobre ellas bri lla rayo láser con incidencia normal y a temperatura ambiente de To=20,0 oC, las primeras franjas oscuras de interferencia se presentan en 32,5º desde la dirección original del ra yo láser cuando se ve desde cierta distancia. Si ahora esta lámina se calienta lentamente a

Física IV

423 T=135 C. ¿En cuantos minutos cambian su posición estas franjas oscuras?¿Se acercan o se separan? o

a) 5,04'

b) 5,04'

c) 5,44'

d) 5,44'

e) 5,84'

414.Dos parlantes, separados por una distancia de d=2,50 m son alimentados por el mismo oscilador de audio de modo que cada uno produce un sonido que consiste en dos frecuen cias distintas f1=0,900 kHz, y f2=1,200 kHz. La rapidez del sonido en la habitación es de v=344 m/s. Hallar todos los ángulos con respecto a la línea central habitual frente a (lejos de) los parlantes con los que ambas frecuencias interfieren constructivamente. 415.Una cara redonda de un tubo cilíndrico y sólido de plástico de 3,25 m está cubierta con un recubrimiento delgado negro que bloquea la luz por completo. La cara opuesta está cu bierta por un recubrimiento fluorescente que brilla cuando lo toca la luz. En el centro de la cara negra se hacen dos ranuras paralelas, rectas y delgadas, separadas por 0,225 mm. Cuando a través de estas ranuras pasa luz láser de longitud de onda =632,8 nm y perpen dicular a la cara negra, se encuentra que la franja brillante central en la cara opuesta es de 5,82 mm de ancho medida entre las bandas oscuras que la limitan a cada lado. Hallar el índice de refracción del plástico. a) 1,42

b) 1,47

c) 1,52

d) 1,57

e) 1,62

416.Una película delgada uniforme de índice de refracción n=1,40 cubre una placa de vidrio de índice n=1,55. Esta película tiene el espesor apropiado para cancelar luz que incide normalmente de longitud de onda =525 nm y que llega a la película desde el aire, pero es algo mayor que el espesor mínimo para lograr esta cancelación. Con el paso del tiem po, la película se desgasta a razón constante de 4,20 nm por año. Hallar el número míni mo de años que deben transcurrir antes de que la luz reflejada de esa longitud de onda sea más intensa en vez de cancelarse. a) 21,4 años

b) 21,7 años

c) 22,0 años

d) 22,3 años

e) 22,6 años

417.Considere un experimento de interferencia de dos ranuras de diferente ancho. Según se mide en una pantalla distante, las amplitudes de las ondas procedentes de la primera y se gunda ranura son E y 2E, respectivamente. I) Demostrar que la intensidad en cualquier punto en el patrón de interferencia es I=Io(5/9+ 4/9 cos), donde "" es la diferencia de fase entre las dos ondas medidas en un punto par ticular en la pantalla, e "Io " es la intensidad máxima en el patrón. II) Grafique I contra , ¿Cuál es el valor mínimo de la intensidad, y para que valores de  o curre? 418.Se coloca una película delgada uniforme de índice de refracción n=1,750 sobre una lámi na de vidrio de índice de refracción n=1,50. A temperatura ambiente To=20 oC, la pelícu la tiene espesor apenas suficiente para que la luz de longitud de onda =582,4 nm que se refleja en la parte superior del vidrio. Después de colocar el vidrio en un horno y calentar

424

Interferencia o

lo lentamente hasta T=170 C, se encuentra que la película cancela la luz reflejada de lon gitud de onda =585,5 nm. Hallar el coeficiente de expansión lineal de la película. a) 56 oC-1

b) 60 oC-1

c) 64 oC-1

d) 68 oC-1

e) 72 oC-1

419.Se hace pasar luz roja de longitud de onda =700 nm a través de un aparato con dos ranuras. Al mismo tiempo por el aparato pasa luz visible monocromática de otra longitud de onda. Como resultado la mayor parte del patrón que aparece en la pantalla es una mez cla de dos colores, sin embargo, el centro de la tercera franja brillante (m=3) de la luz roja aparece como un rojo puro, sin nada del otro color. ¿Cuáles son las posibles longitudes de onda del segundo tipo de luz visible? ¿Se necesita saber la separación de las ranuras para responder esta pregunta? ¿Por qué? 420.Después de que un rayo láser pasa a través de dos ranuras delgadas paralelas, las prime ras franjas completamente oscuras se presentan a 15,0o con respecto a la dirección origi nal del rayo, como se observan en una pantalla alejada de las ranuras. I) ¿Cuál es la razón de la distancia entre las ranuras con respecto a la longitud de onda de la luz que ilumina? a) 1,73 II)

b) 1,78

c) 1,83

d) 1,88

e) 1,93

¿Cuál es el ángulo más pequeño con respecto a la distancia original del rayo láser con el que la intensidad de la luz es 1/10 de la intensidad máxima sobre la pantalla? a) 10º

b) 11º

c) 12º

d) 13º

e) 14º

421.El índice de refracción de una varilla de vidrio es n=1,48 a To=20,0 oC, y varía en forma lineal con la temperatura, con un coeficiente de 2,5010-5 oC-1. El coeficiente de expan sión lineal del vidrio es 5,0010-6 oC-1. A To=20,0 oC la longitud de la varilla es de lo= 3,00 cm. Un interferómetro de Michelson tiene esta varilla en un brazo, y está se calienta de manera que su temperatura aumenta a razón de 5,00 oC/min. La fuente de luz tiene u na longitud de onda de =589 nm, y la varilla esta inicialmente a To=20 oC. ¿Cuántas franjas cruzan el campo visual cada minuto? a) 11 franj/min

b) 12 franj/min

c) 13 franj/min

d) 14 franj/min e) 15 franj/min

422.Sobre una capa de aire, ubicada entre las superficies de dos placas de vidrio plana, inci de luz de longitud de onda =450 nm, la incidencia es normal. I) ¿Qué grosor mínimo, debe tener la capa de aire, si el vidrio debe aparecer brillante? a) 113 nm II)

b) 133 nm

c) 153 nm

d) 173 nm

e) 193 nm

¿Qué grosor mínimo debe tener la capa de aire, si el vidrio debe aparecer oscuro? a) 205 nm

b) 225 nm

c) 245 nm

d) 265 nm

e) 285 nm

423.Se coloca una fuente S de luz monocromática y un detector D en aire a una distancia "h"

Física IV

425 sobre una hoja plana de vidrio en posición horizontal, y se separan una distancia hori zontal "x" . Las ondas que llegan a D directamente desde S interfieren con las que se re flejan en el vidrio. La distancia "x" es pequeña comparada con "h" , por lo que, la refle xión sucede cerca de la incidencia normal. I) Demostrar que la condición para la interferencia constructiva es (x2+4h2)1/2-x = (m+1/2) II) Demostrar que la condición para la interferencia destructiva es (x2+4h2)1/2-x = (m). III) Sea, h=24 cm y x=14 cm, ¿Cuál es la longitud de onda más larga para la que habrá inter ferencia constructiva? a) 70 cm

b) 72 cm

c) 74 cm

d) 76 cm

e) 78 cm

424.Un total de 31 anillos de Newton brillantes y 31 oscuros (sin contar la mancha oscura en el centro ) se observan cuando luz de =560 nm incide de manera normal sobre una lente plano-convexa que reposa sobre una superficie plana de vidrio. ¿Por cuánto varía el gro sor en el centro con respecto a los bordes? a) 8,08 m

b) 8,28 m

c) 8,48 m

d) 8,68 m

e) 8,88 m

425.En la Fig77, es posible construir un espejo enormemente reflectante para una longitud de onda particular, a incidencia normal, empleando dos capas delgadas de materiales transparentes con índice de refracción n1 y n2 (1n2). I) ¿Cuál debe ser el grosor mínimo d2 en términos de la longitud de onda incidente , para maximizar la reflexión? a) /n2 II)

b) /2n2

c) /4n2

d) 2/n2

e) 4/n2

¿Cuál debe ser el grosor mínimo d1 en términos de la longitud de onda incidente , para maximizar la reflexión? a) /n1

b) /2n1 d1

c) /4n1

d) 2/n1

e) 4/n1

d2

  

n1

n2

n

 R.SABRERA

Fig77

Fig78

426.En la Fig78, se muestra una rejilla de reflexión que constan de una placa de metal en la que se ha cortado un gran número de surcos paralelos bastante próximos entre sí.

426

Interferencia

Demostrar que si una luz de longitud de onda " " incide oblicuamente sobre esta rejilla a un ángulo "" , la luz devuelta por la rejilla a un ángulo "" interfiere constructivamente si, dsen   dsen  =0, , 2,… II) ¿Para qué ángulo de incidencia "" la dirección de la luz emergente se traslapa con la di rección de la luz incidente? III) ¿Para qué ángulo "" la rejilla de reflexión proporciona interferencia constructiva con luz blanca que consta de una mezcla de muchas longitudes de onda? I)

427.Una rejilla tiene 5000 líneas por centímetro, ¿Cuáles son las posiciones angulares de los máximos principales producidos por esta rejilla cuando se ilumina con luz de longitud de onda =650 nm? a) 18,0o, 42,5º, 75,2º b) 15,0o, 43,5º, 76,2º c) 16,0o, 43,5º, 79,2º d) 17,0o, 44,5º, 77,2º e) 19,0o, 40,5º, 77,2º 428.Luz de sodio con longitudes de onda de 1=588,99 nm y 2=589,59 nm incide sobre una rejilla que tiene 5500 línea por centímetro. A 3,0 centímetros de la rejilla se coloca una pantalla. I) ¿Cuál es la distancia entre las dos líneas espectrales en el espectro de primer orden sobre la pantalla? a) 1,0 mm II)

b) 1,5 mm

c) 2,0 mm

d) 2,5 mm

e) 3,0 mm

¿Cuál es la distancia entre las dos líneas espectrales en el espectro de segundo orden so bre la pantalla? a) 2,0 mm

b) 2,2 mm

c) 2,4 mm

d) 2,6 mm

e) 2,8 mm

429.Una buena rejilla hecha de una aleación de dos partes de cobre y una de estaño (specu lum) tiene 5900 líneas por centímetro. Si la rejilla se ilumina con luz blanca, cuyas longi tudes de onda varían desde 400 nm hasta 700 nm, produce un espectro que varía sobre un intervalo de ángulos. I) ¿Desde que ángulo hasta qué ángulo se extiende el espectro de primer orden? II) ¿Desde que ángulo hasta qué ángulo se extiende el espectro de segundo orden? III) ¿Desde que ángulo hasta qué ángulo se extiende el espectro de tercer orden? IV) ¿El espectro de tercer orden está completo? 430.Seis ranuras idénticas, separadas por la misma distancia, se iluminan con luz de longitud de onda de =633 nm, ¿Cuál es el ancho angular del máximo central si la separación en tre las ranuras es d=0,25 mm? a) 6,810-4 rad

b) 7,210-4 rad

c) 7,610-4 rad

d) 8,010-4 rad

e) 8,410-4 rad

431.Una rejilla tiene 40 000 líneas equidistantes sobre un ancho de 8,0 cm. Iluminadas con un haz de luz monocromática. ¿Cuál es el ancho angular del máximo central cuando se usa luz de longitud de onda =550 nm?

Física IV a) 1,3810-5 rad b) 2,3810-5 rad

c) 3,3810-5 rad

427 d) 4,3810-5 rad e) 5,3810-5 rad

432.Una cortina delgada de trama fina consta de hilos verticales y horizontales de algodón que forman una red con una disposición regular de huecos cuadrados. Cuando a través de una cortina un físico mira hacia la luz roja (=670 nm) posterior de un automóvil, se da cuenta de que la luz aparece como una disposición vertical de varias imágenes (una dispo sición de máximos principales). La separación angular entre imágenes adyacentes es 2,010-3 radianes. Con base en esta información, dedúzcase la separación vertical entre los hilos de la cortina. a) 0,14 mm

b) 0,24 mm

c) 0,34 mm

d) 0,44 mm

e) 0,54 mm

433.Tres ranuras equidistantes idénticas están iluminadas con luz monocromática. La separa ción entre las ranuras central y superior es "d" ; la distancia entre las ranuras superior e in ferior es "2d" . Utilice diagramas de fasores para calcular la intensidad sobre una pantalla distante cuando la diferencia de la fase entre las ranuras central y superior es 0, /4, /3, /2, 2/3, 3/4 y . Elaborar una gráfica de intensidad contra ángulo. 434.Una lente de cuarzo de índice de refracción de n=1,61 será recubierta con una capa del gada de fluoruro de carbono con un índice de refracción de n ' =1,38 para reducir la refle xión. I) ¿Cuál debe ser el grosor de la capa a fin de obtener interferencia destructiva para la refle xión perpendicular de luz de longitud de onda=550 nm en el aire? a) 95,6 nm II)

b) 96,6 nm

c) 97,6 nm

d) 98,6 nm

e) 99,6 nm

Su elección del grosor de la película, ¿permite interferencia constructiva para la reflexión de luz de alguna otra longitud de onda en el espectro visible? (En caso afirmativo, se debe hacer una mejor elección)

435.Cuando el ojo humano observa el punto más próximo en una burbuja esférica de jabón (donde los rayos de luz que llegan al ojo son perpendiculares a la superficie de la burbu ja), observa luz roja fuertemente reflejada, de una longitud de onda igual a =650 nm. ¿Qué puede concluirse sobre el grosor de la pared de la burbuja de jabón? El índice de re fracción del agua jabonosa es n=1,35. a) 100 nm

b) 110 nm

c) 120 nm

d) 130 nm

e) 140 nm

436.Cuando un haz de luz monocromática incide sobre dos ranuras estrechas separadas por una distancia de 0,15 mm, el ángulo entre el haz central y el tercer máximo lateral en el patrón de interferencia es de 0,52º. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz? a) 414 nm

b) 424 nm

c) 434 nm

d) 444 nm

e) 454 nm

437.La línea roja en el espectro del hidrógeno tiene una longitud de onda de R=656,3 nm; la luz violeta en este espectro tiene una longitud de onda de V=434,2 nm. Si la luz de hi

428

Interferencia drógeno cae sobre una rejilla que tiene 6 000 ranuras por centímetro, ¿Cuál es la separa ción angular (en grados) de estas dos líneas espectrales según se observan en el espectro de primer orden? a) 21,2º; 13,1º

b) 23,2º; 14,1º

c) 22,2º; 11,1º

d) 25,2º; 12,1º

e) 23,2º; 15,1º

438.Un vehículo se aproxima en la noche desde una gran distancia. Como sólo se percibe u na sola fuente, al principio se cree que es una motocicleta. Pero a medida que el vehículo se acerca, es posible distinguir dos faros. Si la separación de los faros es de 1,3 m y la pu pila del ojo de un observador mide 7,0 mm de diámetro, ¿A qué distancia está el vehículo cuando los faros se vuelven distinguibles? Supóngase =580 nm y condiciones perfectas. a) 10 km

b) 11 km

c) 12 km

d) 13 km

e) 14 km

439.Dos radiofaros emiten ondas de frecuencia f=2,0105 Hz. Los faros están ubicados so bre una línea norte-sur, separados por una distancia de 3,0 km. El faro del sur emite on das 1/4 de ciclo después que el faro del norte. ¿Cuáles son las direcciones angulares para interferencia constructiva y los ángulos respecto a la línea este-oeste? Supóngase que la distancia entre los faros es mucho mayor que 3 km. a) 12,5º; 45,6º d) 11,5º; 49,6º

b) 10,5º; 47,6º e) 14,5º; 48,6º

c) 13,5º; 46,6º

440.El haz de un láser de rubí, con luz de longitud de onda =693 nm, está dirigido hacia u na ranura de 0,050 nm de ancho en una lámina de aluminio. Una pantalla situada a 2,5 m de la ranura intercepta la luz difractada. I) ¿Qué tan lejos de la línea central en esta pantalla se halla el mínimo de primer orden? a) 3,1 cm II)

b) 3,3 cm

c) 3,5 cm

d) 3,7 cm

e) 3,9 cm

¿Qué tan lejos de la línea central en esta pantalla se halla el mínimo de segundo orden? a) 6,1 cm

b) 6,3 cm

c) 6,5 cm

d) 6,7 cm

e) 6,9 cm

441.Se comenta que una cámara fotográfica en un satélite espía puede leer la matrícula de un automóvil en tierra. I) Si la altitud del satélite es h=160 km, ¿aproximadamente que resolución angular requiere la cámara para realizar lo anterior?. Considere que la lectura requiere de una resolución li neal aproximadamente r=5,0 cm. (n=10-9) a) 113 nrad II)

b) 213 nrad

c) 313 nrad

d) 413 nrad

e) 513 nrad

Para lograr la resolución angular, ¿cuál debe ser el diámetro de la abertura de la cámara? Supóngase que la longitud de la onda de la luz es =5,0 cm. a) 2,15 m

b) 2,25 m

c) 2,35 m

d) 2,45 m

e) 2,55 m

442.Una antena de microondas usada para retransmitir señales de comunicación tiene forma

Física IV I)

de un disco circular de diámetro D=1,5 m. La antena emite ondas de =4,0 cm. ¿Cuál es el ancho del máximo central del haz de esta antena a 30 km de distancia? a) 1,91 km

II)

429

b) 1,93 km

c) 1,95 km

d) 1,97 km

e) 1,99 km

La potencia emitida por la antena es P=1,5 kW. ¿Cuál es el flujo de energía directamente frente a la antena? a) 817 W/m2

b) 827 W/m2

c) 837 W/m2

d) 847 W/m2

e) 857 W/m2

III) ¿Cuál es el flujo de energía a 30 km de distancia? Supóngase que la potencia está distri buida uniformemente sobre el ancho del haz central. a) 502 W/m2

b) 522 W/m2

c) 542 W/m2

d) 562 W/m2

e) 582 W/m2

443.Una rendija larga, estrecha y horizontal está situada a 1 mm por encima de un espejo si tuado en el plano horizontal. El diagrama de interferencia producido por la rendija y su i magen se ven en una pantalla situada a una distancia de 1 m de la rendija. La longitud de onda de la luz es =600 nm. I) Hallar la distancia del espejo al primer máximo. a) 11 cm II)

b) 13 cm

c) 15 cm

d) 17 cm

e) 19 cm

¿Cuántas franjas oscuras por centímetro se ven en la pantalla? a) 31,3 franjas/cm b) 32,3 franjas cm d) 34,3 franjas/cm e) 35,3 franjas/cm

c) 33,3 franjas/cm

444.Un radio telescopio se situado al borde de un lago, recoge la luz procedente de una gala xia que se empieza a elevar en el horizonte. Si la altura de la antena es de h=20 m sobre la superficie del lago. La longitud de onda de las ondas irradiadas que se reciben en el te lescopio es de =20 cm. ¿Con qué ángulo sobre el horizonte estará el primer máximo en el patrón de interferencia procedente de la luz de la galaxia citada? a) 0,186º

b) 0,286º

c) 0,386º

d) 0,486º

e) 0,586º

445.¿Cuál es la abertura necesaria (en milímetros) en unos prismáticos de opera (binoculares) para que un observador pueda distinguir las pestañas de una soprano (separadas entre sí 0,5 mm) situada a una distancia de 25 m? Suponer que la longitud de onda efectiva de la luz es de =550 nm. a) 31,6 mm

b) 32,6 mm

c) 33,6 mm

d) 34,6 mm

e) 35,6 mm

446.El diámetro de la abertura del radiotelescopio de Arecibo, Puerto Rico, es de D=300 m. ¿Cuál es el poder de resolución del telescopio cuando se sintoniza para detectar microon das de longitud de =3,2 cm? a) 0,13 mrad

b) 0,23 mrad

c) 0,33 mrad

d) 0,43 mrad

e) 0,53 mrad

430

Interferencia

447.Un interferómetro de Fabry-Perot consta de dos espejos semi plateados paralelos, separa dos entre si una pequeña distancia "a" . Demostrar que cuando la luz incide sobre el inter ferómetro con un ángulo de incidencia "" , la luz transmitida tendrá una intensidad máxi ma cuando a = (m/2) cos. 448.Una lámina de mica de d=1,2 m de espesor se encuentra suspendida en el aire. En el espectro de luz reflejada en la lámina se encuentran ventanas del espectro visible a 421 nm, 474 nm, 542 nm y 633 nm. Hallar el índice de refracción de la mica. a) 1,42

b) 1,46

c) 1,50

d) 1,54

e) 1,58

449.Sobre una película jabonosa (n=1,33) incide luz blanca formando un ángulo de 45º. ¿Qué espesor debe tener la película para que los rayos reflejados tengan coloración amarilla (=610-5 cm)? a) 0,13 m

b) 0,33 m

c) 0,53 m

d) 0,73 m

e) 0,93 m

450.¿Qué diferencia de potencial fue aplicada entre los electrodos de un tubo de descarga de helio si al observar a lo largo de un haz de partículas " " la desviación de Doppler máxi o

o

ma "  " de la raya del helio (=4 922 A ) resultó que era igual a 8 A . a) 2007 V

b) 2027 V

c) 2047 V

d) 2067 V

e) 2087 V

431 explicar, los procesos, fenómenos o efec tos físicos, tales como la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico, etc, por que estos se basan en certezas, en tanto, la Física Moderna en probabilida des.

Física moderna

FISICA MODERNA

CAP-8

1. FISICA MODERNA a) Definición Es una rama de la física que estudia los procesos e interacciones que se produ cen a escala atómica, los comportamien tos de las partículas que forman la ma teria y las fuerzas que las rigen. b) Origen En el siglo diecinueve la física estaba conformada por ciertas disciplinas llama das " clásicas" , tales como: mecánica, ca lor, sonido, óptica y electromagnetismo, con ninguna o poca relación entre ellas.  La física moderna comienza a principios siglo XX, cuando la llamada Física Clási ca no pudo explicar la fenomenología de la radiación del cuerpo negro, y es Max Planck, quien introduciendo el nuevo concepto de " cuanto" de energía, logra explicar el mecanismo de la radiación del cuerpo negro, dando lugar, al naci miento de una nueva rama de la física llamada Física Moderna o Fisica Cuánti ca, la cual, estudia las manifestaciones que se producen en los átomos, los com prtamientos de las partículas que forman la materia y las fuerzas que las rigen.  e

h  





 

 

 e

La teoría de la Física Clásica no pudo

c) Misión La misión de la Física Moderna, es com prender la relación que existe entre las fuerzas que rigen la naturaleza: la grave dad, el electromagnetismo, la energía nu clear fuerte y la nuclear débil. Entender y lograr una teoría de unificación, para a sí poder comprender el universo y sus partículas. d) Acontecimientos Los principales acontecimientos que die ron lugar al desarrollo y la formación de la teoría de la Física Moderna son:  En 1911 se descubre la Superconductivi dad, propiedad de algunos metales que pierden su resistencia eléctrica a tempe raturas cercanas al cero absoluto, dando paso al desarrollo de nuevos materiales.  Tal como Einstein propuso la dualidad onda-partícula de la luz, en 1927 se prue ba que la materia también puede compor tarse como partícula y como onda. La e cuación de Schrödinger, que describe la naturaleza de onda de la materia, es una de las piedras angulares de la Mecánica Cuántica.  En el ámbito de la astronomía se confir ma la expansión del universo. Hasta el primer cuarto del siglo XX, se pensaba que el universo era estático, pero en 1929 Edwin Hubble demuestra que las galaxias se están alejando unas de otras, lo que significa que el universo se expan de. Así también se propone la teoría del Big Bang, que señala que el universo se inició a partir de un evento único, en con

432 Física-IV traposición a la idea que siempre ha esta comunicaciones utilizadas en los viajes do ahí. Se descubren los quasares y los al espacio, los telescopios de última ge pulsares y se formula la existencia de los neración utilizadas en la investigación es agujeros negros, objetos con una densi telar, el Internet, los dispositivos que se dad tan alta que ni la luz escapa a la a utilizan en las investigaciones de la físi tracción del agujero negro. ca de partículas de altas energías, etc… Canal t

Canal s

q

q´

q

t W+ W

q´

b g



b

t b

Las nuevas teorías de la década de los 60 comienzan a predecir la existencia de partículas elementales de las que está for mada la materia. Del nivel atómico se pa sa al subatómico, los protones y neutro nes están compuestos por “quarks”, una de las familias de partículas, cuyo último integrante, <>, fue descubierto en el año 1995.

e) Aplicaciones Algunas de las aplicaciones tecnológicas basadas o fundamentadas en la teoría de la Física Moderna, son:

C40

La invención del televisor, los rayos-X, el radar, la fibra óptica, el computador, los nuevos materiales que se utilizan en la nanoelectrónica, los equipos de reso nancia magnética y nuclear, que se utili zan en la medicina, los dispositivos de

f) Disciplinas Algunas de las disciplinas que forman la teoría de la Física Moderna son: la Mecá nica Cuántica, la Electrodinámica Cuán tica, la Astrofísica, la Física Nuclear, la Física Atómica, la Física de Partículas de Altas Energías, la Mecánica Estadísti ca, etc…. g) Futuro de la Física Moderna Muchas de las leyes y teorías de la Fí sica Clásica desarrollada en el siglo XIX fue puesto en duda y al final fue reempla zado durante el siglo XX, por las nuevas teorías desarrolladas por investigaciones complejas dentro del marco de la Física e Moderna, por lo que, es muy posible que la Física Moderna de hoy, sea mañana la Física Clásica.También, debemos men cionar que la Física Clásica, seguirá utili zándose para explicar y predecir fenóme nos a escala terrestre (macroscópica) y del Sistema Solar. 2. RADIACION DEL CUERPO NEGRO a) Radiación Se llama así a la emisión de energía o partículas que, a diferencia de la convec ción, no necesita ser transportada por ningún fluido, razón por la cual, el me dio de propagación de la energía se da a través del vacío o de un medio diferente del vació. b) Cuerpo negro

433 (en forma de luz) cuando uno de sus elec trones pierde energía, pasando a un orbi tal de menor energía. También, un áto mo puede absorber radiación cuando u no de sus electrones gana energía, pasan do a un orbital de mayor energía. El mo vimiento de los átomos en un objeto pro duce choques o vibraciones que estimu lan la emisión y absorción de radiación. Un aumento en la temperatura de un ob jeto representa un aumento de la energía cinética de movimiento de sus átomos.

Física moderna Se llama así al cuerpo u objeto teórico o ideal que absorbe toda la luz y toda la e nergía radiante que incide sobre él. Nada de la radiación incidente se refleja o pa sa a través del cuerpo negro. A pesar de su nombre, el cuerpo negro emite luz y constituye un modelo ideal físico para el estudio de la emisión de radiación e lectromagnética. La luz emitida por un cuerpo negro se llama radiación de cuer po negro. En la naturaleza no existen cuerpos negros perfectos, pero resulta su mamente útil para los astrónomos, dado que este concepto puede ser aplicado al estudio de la emisión de luz por parte de las estrellas. c) El cuerpo más negro. La sustancia que menos refleja la luz (en otras palabras, la sustancia más negra) es una aleación de fósforo y níquel, con fór mula química NiP. Esta sustancia fue producida, en principio, por investigado res hindúes y estadounidenses en 1980, pero perfeccionada (fabricada más oscu ra) en 1990. Esta sustancia refleja tan só lo el 0,16 % de la luz visible; es decir, 25 veces menos que la pintura negra con vencional.  En el año 2008 fue publicado un artículo con resultados experimentales acerca de un material creado con nanotubos de Car bono que es el más absorbente creado por el hombre, con una reflectancia de 0,045 %. d) ¿Por qué radian los cuerpos? Todo cuerpo emite energía en forma de ondas electromagnéticas, siendo esta ra diación, que se emite incluso en el vacío tanto más intensa cuando más elevada es la temperatura del cuerpo. Los cuerpos radian, por que están formados por áto mos, los cuales, pueden emitir radiación

e) Modelo de cuerpo negro

LUZ

Es una cavidad cuyas paredes están a u na cierta temperatura. Los átomos que componen las paredes emiten radiación electromagnética y al mismo tiempo ab sorben la radiación emitida por otros áto mos de las paredes. Cuando la radiación encerrada dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los átomos de las pare des, la cantidad de energía que emiten los átomos en la unidad de tiempo es i gual a la que absorben. En consecuencia, la densidad de energía del campo electro magnético existente en la cavidad es constante. I(f)

T3

T2

T3 >T2 >T1

T1 f

434 Física-IV  A cada frecuencia corresponde una den La línea puntuada corresponde al mode sidad de energía (energía por unidad de lo clásico de la intensidad de radiación volumen) que depende solamente de la en función de la longitud de onda. temperatura de las paredes y es indepen  Quien logró explicar este fenómeno fue diente del material del que están hechas. Max Planck, en 1900, que debió para e  Si se abre un pequeño agujero en el reci llo sacrificar los conceptos básicos de la piente, parte de la radiación se escapa y concepción ondulatoria de la radiación e se puede analizar. El agujero se ve muy lectromagnética. Para resolver la catás brillante cuando el cuerpo está a alta tem trofe era necesario aceptar que la radia peratura, y se ve completamente negro a ción no es emitida de manera continua si bajas temperaturas. La explicación por no en cuantos de energía discreta, a los Max Planck del mecanismo que hace que llamamos fotones. La energía de es que los átomos radiantes produzca la dis tos cuantos E=h es proporcional a su tribución de energía observada, dio lu frecuencia () y a la llamada constante gar al nacimiento de la Mecánica Cuán de Planck, h=6,610-34 Js, una de las tica. constantes fundamentales de la Física Moderna. Cuando la frecuencia de la ra f) Catástrofe ultravioleta diación es baja el efecto de la discretiza Cuando un cuerpo es calentado emite ra ción se vuelve despreciable debido al mi diación electromagnética en un amplio núsculo valor de la constante de Planck, rango de frecuencias. A fines del siglo y es perfectamente posible pensar el sis XIX fue posible medir la radiación de tema como continuo, tal como lo hace el un cuerpo negro con mucha precisión. electromagnetismo clásico. Sin embargo La intensidad de esta radiación puede a frecuencias altas el efecto se vuelve no ser calculada utilizando las leyes del elec table. tromagnetismo. El problema de princi pios del siglo XX consistía en que si g) Postulados de Max Planck bien el espectro teórico y los resultados Los postulados que planteo Max Planck experimentales coincidían para bajas fre en el año 1900, y que le permitieron ex cuencias (infrarrojo), estos diferían radi plicar el mecanismo de radiación del calmente a altas frecuencias. Este proble cuerpo negro, son: << ma era conocido con el nombre de la 1) La radiación dentro de la cavidad está en catástrofe ultravioleta>>, ya que la predic equilibrio con los átomos de las paredes ción teórica diverge al infinito en este lí que se comportan como osciladores ar mite. mónicos de frecuencia dada "" . 2) Cada oscilador puede absorber o emitir e I()  nergía de la radiación en una cantidad R.SABRERA proporcional a "" . Cuando un oscila dor absorbe o emite radiación electro magnética, su energía aumenta o dismi nuye en una cantidad h . Es decir, la e nergía de los osciladores está cuantiza da, por lo que los osciladores solo pue 

435 la energía emitida por unidad de área y tiempo es:

Física moderna den tener energías iguales a: 0, h, 2h, 3h,…



h) Ley de Kirchoff

Re 



a  r* d

0

dWrad dWabs

dA dA

j) Ley de Steffan-Boltzmann Establece que la emitancia energética del cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura abso luta, esto es:

R*e   T 4 Esta ley establece que: la energía radia da en la unidad de tiempo y unidad de á rea de la superficie del cuerpo para fre cuencias entre (  ) y (   d ), es igual, a la energía absorbida en la unidad de tiempo y área, esto es:



dWrad  dWabs 

r d  a 

c (, T) 4

r c  r*  (, T) a 4

La razón del poder emisivo del cuerpo a su poder absorbente no depende de la na turaleza del cuerpo y es igual a la emi sividad del cuerpo negro ( r* ) para los mismos valores de la temperatura y fre cuencia.

siendo,   5,6710-8 W/m2K la cons tante de Steffan-Boltzmann, y (T) la tem peratura absoluta (K). Esta ley se deduce a partir de los méto dos de la termodinámica para la radia ción en equilibrio en una cavidad cerra da. Para un cuerpo real la ley de SteffanBoltzmann, se expresa así:

R e   k T4 , 0 < k < 1 siendo, (Re) un número fraccionario. La representación gráfica de la depen dencia de la emisividad del cuerpo negro r* ( r* ) respecto de la frecuencia  (ó  ) para varios valores constantes de la temperatura, hallada experimentalmente es: r*

T3

i) Función de Kirchoff Se llama así, a la dependencia que pre senta ( r* ) respecto a (  ) y (T), esto es: r*  f (, T)  

T2

c (, T) 4

De la ley de Kirchoff se sigue que la emi tancia energética de un cuerpo, es decir

T1

0

m1

m2

m3



436 Física-IV  En la región de las frecuencias peque La ley de Wien explica cómo cambia el color de la radiación cuando varía la tem ñas, r*   2 T , y en las frecuencias gran peratura de la fuente emisora, y ayuda a des, r*  3 exp[aS  / T] , siendo aS un entender cómo varían los colores aparen factor constante. tes de los cuerpos negros, así:  El cuerpo negro casi no radia en las re 1) Los objetos con una mayor temperatura giones de frecuencias muy pequeñas y emiten la mayoría de su radiación en lon muy grandes. gitudes de onda más cortas; por lo tanto aparecerán ser más azules. r* 2) Los objetos con menor temperatura emi T1 ten la mayoría de su radiación en longi tudes de onda más largas; por lo tanto a T2 parecerán ser más rojos.  Además, en cualquiera de las longitudes de onda, el objeto más caliente irradia T3 más (es más luminoso) que el de menor temperatura.  La ley de Wien se utiliza para determi nar las temperaturas de las estrellas a par 0 m1 m2 m3  tir de los análisis de su radiación. Puede utilizarse también para representar las va  A medida que aumenta la temperatura riaciones de temperaturas en diferentes del cuerpo, el máximo de r* se desplaza regiones de la superficie de un objeto, lo hacia el lado de las frecuencias mayores, que constituye una termografía. de acuerdo con la ley: l) Desplazamiento de Wien A medida que aumenta la temperatura m  b1 T del cuerpo, el máximo de r* se desplaza siendo, (m) la frecuencia correspondien hacia el lado de las longitudes de onda * menores, según la relación: te al máximo de r para la temperatura (T), y (bS) un factor constante. b m  T k) Ley de Wien I() A



B

AZUL

ROJO



A:Cuerpo caliente B: Cuerpo frió



siendo, b=2,910-3 m.0K la constante de Wien. Del mismo modo, a medida que descien de la temperatura de los cuerpos calien tes, en su espacio predomina cada vez con más intensidad la radiación de las ondas largas. Los valores m y m no se relacionan me diante la fórmula =c/, pues, los máxi mos de r* y r* están en distintas partes

437 los principios fundamentales de la física clásica, según el cual la energía de cual quier sistema puede variar continuamen te, es decir, puede adquirir cualesquiera valores próximos, es decir:

Física moderna del espectro. m) Fórmula de Wien Todos los intentos de fundamentar teóri camente la función de Kirchoff r*  f (,T) en la física clásica hallada experi mentalmente y representada anteriormen te fueron inútiles. Así, a partir de méto dos de la termodinámica Wien obtuvo la siguiente fórmula:  r*  3 ( ) T

siendo, (/T) una función desconocida dependiente de /T. n) Fórmula de Rayleigh-Jean Rayleigh y Jean basándose en las leyes de la electrodinámica y la física estadís tica clásica sobre la equipartición de la e nergía según los grados de libertad del sistema en equilibrio obtuvieron la fór mula:

r*







2  2 c

2

<<

La energía de radiación térmica, es una cantidad física continua>>

o) Fórmula de Planck Según la teoría cuántica de Planck, la e nergía de un oscilador de radiación de frecuencia propia () puede adquirir só lo determinados valores discretos (cuan tificados), que se diferencian en un nú mero entero de porciones elementales, llamados cuantos de energía, esto es:

o  h 



kT

siendo, (k) la constante de Bolztmann. Está fórmula se ajusta a los datos expe rimentales únicamente para pequeñas fre cuencias. Se deduce una conclusión absurda, se gún la cual, para cualquier temperatura, la emitancia energética del cuerpo negro R*e y la densidad volumétrica de la ener gía de radiación en equilibrio son infini tamente grandes, a este resultado absur do se le conoce con el nombre de <>. La causa de estas dificultades surgidas al determinar la expresión de la función de Kirchoff r* está relacionada con uno de



siendo, h=6,62510-34 J.s la constante de Planck (cuanto elemental de acción) En correspondencia con esto, la absor ción y radiación de energía por las partí culas del cuerpo emisor (átomos, molé culas o iones) que intercambian energía con los osciladores de energía, se debe e fectuar de forma discontinua, a porcio nes. La energía media de un oscilador de ra diación, viene dado por:  ( ) 



eh  / k T  1

La fórmula de Planck para el poder emi sivo del cuerpo negro, viene dado por: r 



h

2  2

h

c2

eh  / k T  1

Esta fórmula concuerda con los resulta dos experimentales de medición de la distribución de la energía en el espectro

438 Física-IV del cuerpo negro a distintas temperatu estructuras tubulares cuyo diámetro es ras. del orden del nanómetro (10-9 m). Exis  El valor numérico de la constante de ten nanotubos de muchos materiales, ta Planck se puede calcular conociendo los les como silicio o nitruro de boro pero, valores de la constante de Boltzman " k" generalmente, el término se aplica a los la constante de Steffan-Boltzman "" y nanotubos de carbono. la velocidad de la luz en el vacío " c" , a  Los nanotubos de carbono son una for partir de la expresión: ma alotrópica del carbono, como el dia mante, el grafito o los fulerenos. Su es 5 4 tructura puede considerarse procedente 2 k 1 / 3 h [ ] de una lámina de grafito enrolladas so 15  c2 bre sí misma. Dependiendo del grado de enrollamiento, y la manera como se con p) Aplicaciones forma la lámina original, el resultado Algunas de las aplicaciones de la radia puede llevar a nanotubos de distinto diá ción del cuerpo negro, son: metro y geometría interna. 1) En astronomía, las estrellas se estudian en muchas ocasiones como cuerpos ne r) Nanotecnología gros, aunque esta es una aproximación La nanotecnología es un campo de las muy mala para el estudio de sus fotosfe ciencias aplicadas dedicado al control y ras. manipulación de la materia a una escala 2) La radiación cósmica de fondo de micro menor que un micrómetro, es decir, a ni ondas proveniente del Big Bang se com vel de átomos y moléculas (nanomateria porta como un cuerpo negro casi ideal. les). Lo más habitual es que tal manipu 3) La radiación de Hawking es la radiación lación se produzca en un rango de entre de cuerpo negro emitida por agujeros ne uno y cien nanómetros. Para hacerse una gros. idea de lo pequeño que puede ser un na 4) Mediante las cámaras termográficas se nobot, más o menos un nanobot de 50 mide la temperatura de los cuerpos y nm tiene el tamaño de 5 capas de molécu sustancias a grandes distancias. las o átomos (depende de qué esté hecho 5) Permite verificar el estado de funciona el nanobot). miento de los dispositivos, mecánicos, e léctricos, electrónicos, etc… 3. RELATIVIDAD 6) Se utilizan en el control de los procesos de fabricación antes y después de la la a) Principio de relatividad minación de las células fotovoltaicas. Es un principio general sobre la forma 7) Se utilizan en la detección, prevención y que debe tomar una teoría física. Usual control de los incendios. mente los principios de relatividad esta 8) Se utiliza en el control de la calidad en la blecen equivalencias entre observadores, fabricación de dispositivos eléctricos, de acuerdo con principios de simetría o electrónicos, etc… invariancia entre situaciones físicamente equivalentes. De acuerdo con estos prin q) Nanotubos cipios una determinada descripción de En química, se denominan nanotubos a un fenómeno podría ser incorrecta si no

439 globalmente como teoría de la relativi dad general.

Física moderna respeta el principio de relatividad básico que define la teoría (así la teoría de la gravitación de Newton era incompatible con el principio de relatividad que defi nía la Teoría de la Relatividad Especial, razón que llevó a Einstein a formular u na nueva teoría de la gravitación como parte de la relatividad general). b) Relatividad Especial La teoría especial de la relatividad, tam bién llamada teoría de la relatividad res tringida, es una teoría física publicada en 1905 por Albert Einstein. Surge de la observación de que la velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los siste mas de referencia inerciales y de sacar to das las consecuencias del principio de re latividad, según el cual cualquier expe riencia hecha en un sistema de referen cia inercial se desarrollará de manera i déntica en cualquier otro sistema iner cial.  La teoría especial de la relatividad esta bleció nuevas ecuaciones que permitían pasar de un sistema de referencia iner cial a otro. Las ecuaciones correspon dientes conducen a fenómenos que cho can con el sentido común, siendo uno de los más asombrosos y más famosos la lla mada paradoja de los gemelos. c) Relatividad General En los años posteriores a la aparición de su teoría de la relatividad especial, Eins tein complementó en sucesivos aspectos el alcance de este modelo. Finalmente, en 1916 publicó un artículo en el que a nalizaba el fenómeno de la gravitación no como una fuerza, al estilo newtonia no, sino como un campo que se curvaba en el continuo espacio-tiempo, así como la no uniformidad de los movimientos acelerados. Este marco teórico se conoce

d) Mecánica clásica y relativista Las teorías de la relatividad de Einstein supusieron una revolución, aunque no u na ruptura con la física clásica. De he cho, partieron de un intento de aplicar las leyes de la mecánica a la óptica y al e lectromagnetismo. En consecuencia, no contradicen los postulados de la física clásica, sino que engloban a esta discipli na como una particularización de los fe nómenos generales, simplificada y adap tada a la escala terrestre. e) Validación experimental Algunos de los primeros avales experi mentales de las hipótesis relativistas fue ron espectaculares: la descripción com pleta de la órbita de Mercurio, que se ha bía resistido a la física clásica durante si glos, y la demostración de por qué las es trellas sometidas a un campo gravitacio nal intenso emiten luz más próxima a la región del rojo que a la del violeta en el espectro electromagnético. f) Simultaneidad Se refiere al hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dos acon tecimientos o eventos en diferente lugar puedan haberse realizado al mismo tiem po. Así, si dos observadores, en el mis mo lugar (espacio), presencian un fenó meno, podrían decir simultáneamente que se realizó en el mismo tiempo. Los dos indicarían el mismo tiempo del even to. Pero si los dos presencian ese evento en lugares diferentes, espacios diferen tes, al mismo tiempo, ninguno de ellos podría afirmar que se realizó simultánea mente.

440 Física-IV La relaciones de transformaciones de Lo g) Postulados de la teoría especial rentz para las velocidades del móvil A, de la relatividad El desarrollo de la teoría especial de la medidos por dos observadores que se en relatividad se basa en dos postulados cuentran en los sistemas de de coordena principales que son: das S y S’, en el que S´ se desplaza en la 1) El primer postulado es una generaliza dirección del eje X, respecto de S con u  ción del principio mecánico de la relativi na velocidad u , vienen dados por: dad de Galileo a todos los procesos físi dx ' vx  u cos, su enunciado es: v'x   << En cualesquiera sistemas de referen dt ' 1  u v x / c2 cias inerciales todos los fenómenos físi cos en igualdad de condiciones, transcu 2 dy' v y 1  (u / c) ' rren igualmente, es decir, las leyes físi vy   dt ' 1  u v x / c2 cas son independientes (invariantes) res pecto del sistema de referencia inercial que se elija; las ecuaciones que expre dz ' vz 1  (u / c) 2 ' vz   san estas leyes tienen la misma forma en dt ' 1  u v x / c2 todos los sistemas de referencia inercia les>> i) Contracción de la longitud 2) El segundo postulado establece que la velocidad de la luz " c" es un invariante, S S’ la velocidad de la luz en el vació no de Y Y’ pende del movimiento del foco lumino so. Esta velocidad es la misma en todas X las direcciones y en todos los sistemas 0 0’ a X’ b de referencia inerciales y es una de las Z’ Z constantes físicas más importantes. Las experiencias demuestran que la veloci La longitud de un objeto se define como dad de la luz en el vació " c" es la veloci la distancia entre sus extremos. No obs dad límite (máxima) que existe en la na tante, si el objeto cuya longitud se mide turaleza. se encuentra en movimiento relativo con respecto a un observador, las posiciones h) Relaciones de transformación pade sus dos extremos deben ser medidas ra la velocidad simultáneamente. Consideremos una varilla en reposo rela S S’ Y tivo a 0’ y paralela al eje 0’X’. Designan do sus dos extremos por " a" y " b" , su Y’ A longitud medida por 0’ es: r 0

0’ u

Z

r

'

r

’ X

Z’

X’

 x 'b  x 'a

(1)

La simultaneidad no es necesaria para 0’ ya que él ve la barra en reposo. Sin em bargo el observador 0, que ve la barra en

441

Física moderna movimiento debe medir las coordenadas x a y x b de los extremos al mismo tiempo " t" , obteniendo:

 xb  xa

t  t b  t a

Para encontrar la relación entre los inter valos t y t ' , utilizamos las transfor maciones de Lorentz para los tiempos t y t’, obteniendo:

(2)

Aplicando en la ec.(1) la transformación de Lorentz para las coordenadas x, x ' , te nemos: '

 x 'b  x 'a 

ta 

xb  xa 1  (u / c) 2

1  (u / c)

tb  ta 

'

t 

Dado que el factor, [1-(u/c)2]1/2 es menor que la unidad, entonces l
t '  t 'b  t a' Para un observador 0 con respecto a quien 0’ se está moviendo con velocidad  constante u en la dirección positiva del eje X, el intervalo de tiempo es:

2

; tb 

t 'b  u x ' / c2 1  (u / c) 2

Restando estas expresiones, se tiene:

de donde se obtiene la relación para las longitudes medidas por los observadores 0, 0’:  1  (u / c)2

t 'a  u x ' / c2



t 'b  t a' 1  (u / c)2 t

'

 R.SABRERA

1  (u / c) 2

siendo, t el intervalo de tiempo medi do por el observador 0’ en reposo con respecto al punto en el cual tienen lugar los eventos, y t ' es el intervalo de tiem po medido por el observador 0. Dado que el factor 1/[1- (u/c)2]1/2 es ma yor que la unidad, la ecuación anterior nos indica que t es mayor que t ' . Por lo tanto, los procesos o eventos pare cen tomar más tiempo cuando el cuerpo está en reposo relativo al observador.

k) Variación de la masa con la velocidad Para que el principio de conservación de la cantidad de movimiento de una partí cula, se cumpla respecto de cualquier ob servador, es necesario redefinir la masa de una partícula, así, si la partícula se mueve a velocidades próximas a la de la luz ( v  c ) su masa debe variar según la relación:

442

Física-IV n) Relación entre masa y energía mo La energía total de una partícula en re m poso o de un sistema de partículas (por e 1  (v / c) 2 jemplo, un núcleo atómico, un átomo, una molécula o un cuerpo) es: siendo, " mo " la masa en reposo de la par tícula. E o  mo c 2 Está definición de la masa relativista es general, pues, para el caso de la mecáni Ahora, en general, el cambio de la ener ca clásica o newtoniana v<
l)

La cantidad de movimiento o momento lineal La cantidad de movimiento ( p ) de un cuerpo de masa en reposo (m0), se expre sa teniendo en cuenta la variación de su masa con la velocidad, así:

p

mo u 1  (u / c)

2

 mu

 siendo, " u" la velocidad con la que se mueve el sistema de referencia S’ respec to del sistema de referencia S. m) La segunda ley de Newton en la relatividad La expresión clásica de la segunda ley de Newton establece que la fuerza total que actúa sobre una partícula (ó cuerpo) es igual a la rapidez con que cambia su cantidad de movimiento. Para introducir los efectos relativistas, debemos tener en cuenta que la masa cambia con la veloci dad. Así, la generalización de la segunda ley de Newton, es:

F

mo u dp d  [ ] dt dt 1  (u / c)2 d F  (m u) dt

masa relativista (m) en una cantidad da da por: 1 dm  2 dE c Por lo tanto, entre (E) y (m) existe una re lación dada por: E  mc  2

m0 c 2 1  (v / c) 2

siendo " v" la velocidad con la que se desplaza la partícula. o) Relación entre cantidad de movimiento y energía Dado que la cantidad de movimiento se conserva, más no la velocidad, la ener gía de una partícula (ó cuerpo) debe ex presarse en función de su cantidad de movimiento y no de su velocidad. Así, de la ecuación de la masa relativista (m), tenemos: m

mo 1  (v / c) 2

Multiplicando ambos miembros de esta e cuación por c4 [1- (v/c)2], tenemos:

m2c4  m2v2c2  mo2 c4 Utilizando las relaciones para la energía

443 q) El trabajo elemental de una fuerza relativista. El trabajo elemental de una fuerza relati vista F que actúa sobre una partícula oca sionándole un desplazamiento pequeño dr , viene dado por:

Física moderna y cantidad de movimiento, obtenemos la relación la energía y la cantidad de movi miento, así:

E2  (p c)2  Eo2 p) Expresión de la aceleración relativista La aceleración de una partícula que se mueve con una velocidad v , bajo la ac  ción de una fuerza F , viene dada por: dv 1 v  [F  2 (F v)] dt m c 

Por lo tanto, a diferencia de la mecánica clásica, en la mecánica relativista la ace leración de una partícula, en general no coincide en dirección con la fuerza que la ocasiona.   Si la fuerza F es perpendicular a la velo  cidad v de la partícula, se tiene: a 

F F  [1  (v / c)2 ]1/ 2 m m0

 Si la fuerza F es paralela a la velocidad  v de la partícula, se tiene: a

F v F v [1  ( )2 ]  [1  ( )2 ]3/ 2 m c mo c

La aceleración que la fuerza longitudinal comunica a la partícula es (1-v2/c2)-1 ve ces menor que la que le imprimiría una fuerza transversal de la misma magni tud. Esto se debe a que la fuerza transver sal sólo hace variar la dirección de la ve locidad mas no así su módulo ni la masa relativista de la partícula, mientras que la fuerza longitudinal hace variar el módulo de la velocidad y la masa de la partícula.

dW  F dr  F vdt

Sustituyendo la expresión de la fuerza ob tenida anteriormente, tenemos: dW  (m

dv dm v ) vdt dt dt

dW  m vdv  v2 dm dW  (c2  v2 )dm  v2 dm dW  c2 dm 4. LA TEORIA DE LOS FOTONES a) Concepto En física moderna, el fotón es la partícu la elemental responsable de las manifes taciones cuánticas del fenómeno electro magnético. Es la partícula portadora de todas las formas de radiación electromag nética, incluyendo a los rayos gamma, los rayos X, la luz ultravioleta, la luz vi sible, la luz infrarroja, las microondas, y las ondas de radio. b) Origen La idea de la luz como partícula retornó con el concepto moderno de fotón, que fue desarrollado gradualmente entre los años 1905 y 1917 por Albert Einstein a poyándose en trabajos anteriores de Planck, en los cuales se introdujo el con cepto de cuanto. Con el modelo de fotón podían explicarse observaciones experi

444 Física-IV mentales que no encajaban con el mode sada en unidades de masa, viene dada lo ondulatorio clásico de la luz. En parti por: h E cular, explicaba cómo la energía de la m  2 luz dependía de la frecuencia (dependen c c cia observada en el efecto fotoeléctrico) y la capacidad de la materia y la radia siendo, "" la longitud de onda asociada ción electromagnética para permanecer al fotón, " E" su energía, y " h" la cons en equilibrio térmico. tante de Planck. c) Propiedades 1) Como todos los cuantos, el fotón presen ta tanto propiedades corpusculares como ondulatorias ("dualidad onda-corpúscu lo"). Se comporta como una onda en fe nómenos como la refracción que tiene lu gar en una lente, o en la cancelación por interferencia destructiva de ondas refleja das; sin embargo, se comporta como una partícula cuando interacciona con la ma teria. 2) Para la luz visible, la energía portada por un fotón es de alrededor de 410-19 julios esta energía es suficiente para excitar un ojo y dar lugar a la visión. 3) Los fotones tienen cantidad de movimi ento o momento lineal, y polarización Obedecen las leyes de la mecánica cuán tica, lo que significa que a menudo estas propiedades no tienen un valor bien defi nido para un fotón dado. En su lugar se habla de las probabilidades de que tenga una cierta polarización, posición, o canti dad de movimiento. 5) El fotón no tiene masa, tampoco posee carga eléctrica y no se desintegra espon táneamente en el vacío. 6) Los fotones viajan a la velocidad de la luz en el vació c=3108 m/s. 7) Cuando un fotón interactúa con una par tícula fundamental, lo hace cediéndole todo o nada de su energía. d) Masa relativista Se llama así a la energía del fotón expre

e) Energía de un fotón La energía " E" de un fotón depende ex clusivamente de la frecuencia " f " de la radiación, y viene dada por: E  h 

hc 

siendo, h=6,62610-34 J.s la constante de Planck, c=3108 m/s la velocidad de la luz en el vació y "" la longitud de on da de la radiación electromagnética. f) Cantidad de movimiento La cantidad de movimiento o momento lineal de un fotón, viene dado por: p

E h h   c c 

siendo, " E" la energía, "" la frecuen cia, "" la longitud de onda y "c" la ve locidad de la luz en el vació. g) Intensidad fotónica Para un haz monocromático, la intensi dad fotónica, es decir, la energía por uni dad de área y tiempo que incide sobre u na superficie, viene dado por:

I

NE Nhf Nhc   A. t A.t A.t.

siendo " A" el área de la superficie, " t" el tiempo, " E" la energía de un fotón, y

445 en estado excitado recibe un estímulo ex terno que lo lleva a emitir fotones y así retornar a un estado menos excitado. El estímulo en cuestión proviene de la llega da de un fotón con energía similar a la di ferencia de energía entre los dos estados. Los fotones así emitidos por el átomo es timulado poseen fase, energía y direc ción similares a las del fotón externo que les dio origen. La emisión estimulada descrita es la raíz de muchas de las carac terísticas de la luz láser. No sólo produce luz coherente y monocroma, sino que también "amplifica" la emisión de luz, ya que por cada fotón que incide sobre un átomo excitado se genera otro fotón.

Física moderna " N" el número total de fotones inciden tes. h) Emisión Los fotones se emiten en muchos proce sos naturales, por ejemplo, cuando se a celera una partícula con carga eléctrica, durante una transición molecular, atómi ca o nuclear a un nivel de energía más bajo, o cuando se aniquila una partícula con su antipartícula. Existen dos tipos de emisión: 1) Emisión espontánea Se llama así, al proceso mediante el cual un átomo, una molécula o un núcleo, en un estado excitado, pasa a un estado de e nergía más bajo. Como se cumple el prin cipio de conservación de la energía, el re sultado es la emisión de un fotón. Así, si el átomo se encuentra en un esta do excitado caracterizado por la energía E2, puede <> espontáneamente al estado fundamental, caracterizado por la energía E1, tras un periodo de tiempo muy breve, que dependerá de lo proba ble que sea el tránsito. En este proceso se emite la diferencia de energías entre los dos estados en forma de fotón. El fo tón tendrá una frecuencia "" y una energía " h" , es decir: E2-E1=h, donde " h" es la llamada constante de Planck. La fase del fotón, en la emisión espon tánea, es aleatoria al igual que la direc ción de propagación de este. E2

A E2 h

E1

E1 ANTES

DESPUES

2) Emisión estimulada Utilizada en la generación de radiación de un láser, se produce cuando un átomo

h h

h

A

h

A

A

h h h

i) Absorción Proceso mediante el cual se absorbe un fotón. El sistema atómico se excita a un estado de energía más alto, pasando un electrón al estado metaestable. Este fenó meno compite con el de la emisión esti mulada de radiación. Así, la intensidad de haz de fotones se reduce al pasar a tra vés de un material, debido a que algunos fotones son absorbidos o desviados de la dirección de avance, siendo la causa el e fecto fotoeléctrico, efecto Compton y la producción de pares. La reducción en in tensidad del haz de fotones, viene dado por:

I  Io e   x siendo, " I o " la intensidad de los fotones que incide sobre el material absorbente,

446 Física-IV y "" el coeficiente de absorción lineal, rrojo cercano, pero que también se ex tiende a otras porciones del espectro que el cual depende del material absorbente. incluyen al ultravioleta, infrarrojo de on da larga e infrarrojo lejano, en donde ac j) Aplicaciones tualmente se están desarrollando de mo 1) El láser es una de las aplicaciones más do activo los láser de cascada cuántica. importantes, por sus diversos usos en  Las aplicaciones potenciales de la fotóni muchas de las actividades del hombre. ca son virtualmente ilimitadas e incluyen 2) El tubo fotomultiplicador clásico se basa síntesis química, diagnóstico médico, co en el efecto fotoeléctrico; un fotón que municación de datos on-chip, defensa incide sobre una lámina de metal arranca con armas láser y obtención de energía un electrón, que inicia a su vez una ava mediante fusión, entre otras aplicaciones lancha de electrones. interesantes. 3) Los circuitos integrados CCD utilizan un efecto similar en semiconductores; un l) Fotosíntesis fotón incidente genera una carga de La fotosíntesis, cuyo significado es u tectable en un condensador microscópi nión de la luz, es la responsable de la co. mayor parte de la vida actual en la Tie 4) Los detectores como los contadores Gei rra. Proceso mediante el cual las plantas, ger utilizan la capacidad de los fotones algas y algunas bacterias captan y utili para ionizar moléculas de gas, lo que da zan la energía de la luz para transformar lugar a un cambio detectable en su con la materia inorgánica de su medio exter ductividad. no en materia orgánica que utilizarán pa 5) En el diseño y construcción de lámparas ra su crecimiento y desarrollo. fluorescentes, utilizando moléculas de gas con diferentes niveles de energía e m) Fotolisis lectrónica y ajustando la energía típica Se llama así a la ruptura de enlaces quí con la cual un electrón choca con las mo micos por causa de la energía radiante. léculas de gas en el interior de la lámpa También, podemos decir que la fotólisis ra. es la disociación de moléculas orgánicas 6) En el diseño y construcción de los mi complejas por efecto de la luz. Es el pro croscopios fotónicos, utilizados para me ceso en el que se basa la fotosíntesis. dir las distancias intermoleculares. 7) En aplicaciones sofisticadas de comuni n) Constantes numéricas cación óptica como por ejemplo en crip Algunas de las constantes más utilizadas tografía cuántica. que facilitan el cálculo y obtención de 8) En el estudio del funcionamiento de las las cantidades físicas, son: componentes fotónicas de algunas com putadores cuánticas de última genera -15 h = 4,136 10 eVs ción. o hc = 12,4 keV A k) Fotónica 1 eV = 10-3 keV Es la ciencia que se ocupa de la genera 1 eV = 1,60210-19 J o ción, control y detección de fotones, en A 1 = 10-10 m particular en el espectro visible e infra

447 La corriente eléctrica empieza a circular casi instantáneamente, aún para el caso de luz de muy baja intensidad, el tiempo que demora en aparecer la corriente no depende de la intensidad de la luz. Cuando la frecuencia " f " y la intensidad " I" de la luz se mantienen fijos, la co rriente disminuye cuando el potencial de retardo aumenta y se aproxima a cero pa ra cierto voltaje de frenado (V), siendo este último independiente de la frecuen cia. Cuando la frecuencia y el potencial de re tardo se mantienen fijos, la corriente es directamente proporcional a la intensi dad de la luz. Para un mismo material del emisor el voltaje de frenado varía linealmente con la frecuencia según la relación:

Física moderna 5. EFECTO FOTOELECTRICO a) Concepto Se denomina así al desprendimiento de e lectrones de una superficie metálica cuando sobre ella incide luz ultravioleta, como se observa en la Fig. b) Características  La frecuencia " f " , la intensidad " I" de la luz, el voltaje de retardo " V" y el ma terial del emisor pueden variar.  Si los electrones tienen suficiente ener gía, pueden vencer el potencial de retar do " V" y llegar al colector, y ser medi dos como corriente " i" por el amperíme tro " A" .

1)

2)

3)

4)

LUZ

e VS  h f    h f  h f u emisor V

colector

I

A

siendo, " h.f " la energía de los fotones de luz, y "" la función trabajo, la cual varia de un material a otro.



+ -



Los electrones llegarán al colector, si y sólo si, su energía cinética es mayor o i gual que la energía potencial eléctrica que deben vencer cuando van del emisor hacia el colector, esto es: 1 me v 2  e V 2

si la energía cinética de los electrones es menor que "e.V" , entonces, estos regre sarán al emisor, y no podrán ser medidos como corriente eléctrica "I" . c) Resultados experimentales



EC

R.SABRERA

 fu

tg =h

f

EC = energía cinética de los electrones 5) Cada material presenta una frecuencia umbral " f u " , por debajo de la cual no hay emisión de electrones, esto sucede por más grande que sea la intensidad de la luz incidente. 6) Un electrón emitido absorbe toda la ener gía de un sólo fotón.

448 Física-IV 2 acción de la luz. Este fenómeno se ma 7) Dado que, (1/2)mev eVS, la ecuación nifiesta en el cambio de la concentración anterior, también se acostumbra escribir, de portadores de carga en el medio, pro así: duciéndose la fotoconductibilidad o el 1 efecto fotoeléctrico de barrera. me v 2  h f    h f  h f u 2 f) Aplicaciones d) Función trabajo El efecto fotoeléctrico se aprovecha en Se llama así a la energía necesaria para numerosos campos de la ciencia y la téc extraer del átomo a los electrones menos nica. Los dispositivos llamados fotodio estrechamente ligados a el. dos y fotomultiplicadores que se basan  Así, los fotones de luz con frecuencias en este principio, intervienen en proce menores que la frecuencia umbral no po sos como el control de productos indus seen suficiente energía, como para poder triales, las transmisiones por fax, los tu liberar a los electrones menos estrecha bos de televisión o los amplificadores de mente ligados, independientemente de imágenes. Entre las más conocidas apli que tan grande sea la intensidad de la luz caciones de este efecto cabe citar, las cé  Finalmente, mientras más intensa es la lulas fotoeléctricas usadas para la detec luz, mayor es la densidad de fotones, tal ción de presencia y los equipos fotovol que el número de electrones emitidos taicos de los paneles de energía solar. también será mayor. Paneles solares La energía solar puede convertirse direc e) Clases tamente en electricidad por medio de dis Existen tres clases de efecto fotoeléctri positivos fotovoltaicos basados en el e co, los cuales son: fecto fotoeléctrico. Al incidir la luz solar 1) Fotoionización sobre series de estos dispositivos agrupa Se llama así al efecto fotoeléctrico en los das en baterías solares, emiten electrones gases, el cual, consiste en la ionización libres susceptibles de generar, mediante de los átomos y moléculas del gas debi las técnicas modernas, una energía eléc da a la acción de la luz trica de más de un kilovatio. 2) Efecto fotoeléctrico externo Llamado también fotoemisión, consiste 6. EFECTO COMPTON en la emisión de electrones por una sus tancia (sólida o líquida) sometida a la ac a) Concepto ción de la luz. Los electrones que se des Se llama así a la variación de las longitu prenden de la sustancia se llama fotoeléc des de onda de los rayos-X al ser difundi trones, y la corriente eléctrica producida dos por una sustancia que contiene áto por estos electrones se llama corriente mos ligeros. El efecto Compton, se expli fotoeléctrica. ca a partir de la teoría corpuscular de la 3) Efecto fotoeléctrico interno luz. Se llama así a la redistribución de los e lectrones según los estados de energía, b) Origen que se da en los semiconductores y die Este fenómeno, observado en 1923 por léctricos sólidos y líquidos, debido a la el físico Arthur Holly Compton (1892-

449 la energía y del impulso. Asumiendo que el electrón se encuentra en reposo, la e cuación de conservación de la energía se escribe, así:

Física moderna 1962) en el curso de investigaciones rea lizadas sobre la difusión de los rayos X, sólo puede explicarse a partir de los prin cipios de la mecánica cuántica. Así, si se considera que la radiación electromagné tica está constituida por cuantos de ener gía llamados fotones, en su interacción con la materia puede absorberse parte de estos fotones. En tal caso, la energía glo bal de la radiación disminuiría, y tam bién su frecuencia, con lo que aumenta ría la longitud de onda.

h   moc2  h  ' mc2

siendo, =c/ y ´=c/´ las frecuencias de la radiación incidente y difundida, moc2 la energía en reposo del electrón, mc2 las energía del electrón después del choque.

c) Variación de la longitud de onda (1)

e h



(1)

e

 

v=0

(2)

mv

h´ ñ

(1) dirección inicial de la radiación. (2) dirección final de la radiación. El cambio en la longitud de onda que ex perimenta la radiación monocromática inicial, de longitud de onda " " , viene dado por:    ´  2  C sen 2 2

siendo, ´ la longitud de onda de la radia ción difundida bajo el ángulo "  " , res pecto de la dirección inicial de la radia ción, y C=2,4310-12 m una constante llamada la longitud de onda de Compton para el electrón. d) Fundamento teórico El efecto Compton es el resultado del choque elástico de un fotón de rayos-X con un electrón libre o casi libre, transmi tiéndole el fotón al electrón parte de su e nergía y parte de su impulso en concor dancia con las leyes de conservación de

De otro lado, de la ley de conservación del impulso, tenemos:

p  m v  po O aplicando la ley de coseno en el trián gulo, tenemos: h  2 h  ' 2 h 2  ' (m v)  ( )  ( )  2 2 cos  (2) c c c 2

Además, la masa del electrón (e), depen de de la velocidad que adquiere, esto es:

m

mo 1  (v / c)

(3)

2

Combinando las ecs.(1), (2) y (3), obte nemos, la relación para el cambio en la longitud de onda, así: moc2 (   ')  2h v  'sen 2

 2

Como, =c/, entonces la relación ante rior, queda, así:

450

Física-IV

   '  

2h  sen 2 moc 2

De aquí, que la longitud de onda de Compton es:

C 

h mo c

e) Energía cinética del electrón La energía cinética del electrón rechaza do por el fotón es:

EC  mc2  moc2  h (   ') EC  h  '(

EC  h 



1 1 hc  ) ( ' ) '   '

2a sen 2 ( / 2)   h    1  2a sen 2 ( / 2)

siendo, a=C/ una constante, y (h) la e nergía del fotón incidente. La energía cinética del electrón es máxi mo para =1800, esto es: EC , max 

2a h  1  2a

f) Importancia La explicación que del efecto Compton proporciona la mecánica cuántica ofrece una de las pruebas experimentales más convincentes de la validez de sus postu lados teóricos. Este fenómeno proporcio na una ilustración determinante de las propiedades de onda y partícula de la ra diación electromagnética. g) Efecto Compton inverso También puede ocurrir un Efecto Comp ton inverso. Es decir que fotones dismi nuyan su longitud de onda al chocar con



electrones. Pero para que esto suceda, es necesario que los electrones viajen a ve locidades cercanas a la velocidad de la luz, y que los fotones tengan altas ener gías. La principal diferencia entre los dos fe nómenos, es que durante el Efecto Comp ton "convencional", los fotones entregan energía a los electrones, y durante el in verso sucede lo contrario. Este efecto puede ser una de las explica ciones de la emisión de rayos X en super novas, quasars y otros objetos astrofísi cos de alta energía.

h) Aplicaciones 1) El efecto Compton permite medir la in tensidad de los rayos gamma, lo que re sulta de gran utilidad en física de partícu las. 2) Otra consecuencia práctica del efecto Compton, esta vez negativa, es que pro voca en las radiografías un ensombreci miento de la imagen debido a la degrada ción de los rayos X y a la emisión de e lectrones parásitos. i) Conclusiones 1) Al colisionar el fotón con un electrón que este fuertemente ligado al átomo, le transmite su energía e impulso al átomo como un todo. Para átomos muy pesados se encuentra que   ´ , debido a que la energía transmitida por el fotón al átomo es muy pequeña. 2) Los fotones sólo pueden ser absorbidos por los electrones ligados más no por los electrones libres. La absorción de un fo tón por un electrón libre es imposible, pues, de ser posible violaría las leyes de conservación de la energía y el impulso. 3) En el efecto fotoeléctrico solamente he mos considerado que el fotón tiene una e nergía E=hf . Ahora bien, un fotón tam

451 dor), que depende de la sustancia que los frena, como se observa en la Figura.

Física moderna bién tiene un momento lineal p=E/c. 4) En el caso del efecto fotoeléctrico, no se aplica la ley de conservación del momen to lineal por que el electrón esta ligado a un átomo, a una molécula o a un sólido, la energía y el momento absorbidos es tán compartidos por el electrón y el áto mo, la molécula o el sólido con los que está ligado.

E=hf p=h/

b) Clasificación  Rayos-X duros. Se llaman así a los de menor longitud de onda, que están más próximos a la zona de rayos gamma.  Rayos-X blandos Se llaman así a los rayos-X formados por una mezcla de muchas longitudes de onda diferentes entre si. c) Producción  Tanto la luz visible como los rayos-X se producen a raíz de las transiciones de los electrones atómicos de una órbita a otra. La luz visible corresponde a transiciones de electrones exteriores y los rayos-X a transiciones de electrones interiores. 1) Rayos-X por frenado Este tipo de radiación tiene un espectro continuo, y la emiten los electrones fre nados. El frenado de los electrones se produce cuando estos no pueden superar cierto valor crítico (de potencial retarda

EC,0 p0

Fotón emitido Ze Núcleo

EC p

7. RAYOS-X a) Definición Son las ondas electromagnéticas, cuyas frecuencias van desde 31017 Hz hasta 51019 Hz, y sus longitudes de onda van desde 610-12 m hasta 10-9 m. Cuanto me nor es la longitud de onda "" de los ra yos-X, mayor es su energía y poder de penetración.

electrón



Los rayos-X se producen siempre que se bombardea un objeto material con elec trones de alta velocidad. Gran parte de la energía de los electrones se pierde en for ma de calor, el resto produce rayos-X al provocar cambios en los átomos del blan co como resultado del impacto. 2) Rayos-X característico Este tipo de radiación tiene espectro de rayas, y posee características propias de cada sustancia, que no cambia cuando e lla forma un compuesto químico. Esta ra diación se origina en los procesos que se dan en las capas electrónicas de los áto mos, en la Figura, se muestra un tubo de rayos-X característico. -

V

+

R C

V B C R

: : : :

e

B

Voltaje de aceleración (10 kV) Blanco (material) Cátodo Rayos-X emitidos

d) Propiedades  Los rayos-X emitidos no pueden tener u

452 Física-IV na energía mayor que la energía cinética fía, y los resultados son así los inversos. de los electrones que los producen. Los objetos que producen sombras oscu  La radiación emitida no es monocromá ras en una imagen de rayos-X aparecen tica, pues, está formada por una amplia casi siempre claros en una radiografía de gama de longitudes de onda. neutrones.  El espectro de energía es continuo y dis creto, y no dependen de la naturaleza del blanco.  La absorción de rayos-X por una sustan cia depende de su densidad y masa ató mica. Cuanto menor sea la masa atómica del material, más transparente será a los rayos–X de una longitud de onda deter  Se debe mencionar que un exceso de ra minada. yos-X produce daños en tejidos y orga nismos vivos, como resultado de los pro cesos químicos que inducen, es por esta e) Espectro de rayos-X Cuando los electrones que inciden sobre razón que los rayos–X se utilizan en el un material, tienen alta energía estos pue tratamiento del cáncer. den expulsar a los electrones más estre chamente ligados al núcleo del átomo, a g) Fluorescencia sí, los electrones que se encuentran en Los rayos-X también producen fluores niveles de energía superiores realizarán cencia en determinados materiales, co transiciones al estado inferior vacante, e mo el platinocianuro de bario o el sulfu mitiendo una radiación en éste proceso. ro de cinc. Si se sustituye la película fo  Por ejemplo, si los electrones expulsa tográfica por uno de estos materiales dos pertenecen a la capa K(n=1) los elec fluorescentes, puede observarse directa trones ubicados en estados con energía mente la estructura interna de objetos o superiores caen a la capa K, producién pacos. Esta técnica se conoce como fluo do una serie de líneas que, en notación roscopía. de rayos-X, se denominan líneas K, K, h) Ionización K,... Otra característica importante de los ra yos-X es su poder de ionización, que de f) Aplicaciones en la salud pende de su longitud de onda. La capaci  Cuando se irradia el cuerpo humano con dad de ionización de los rayos-X mono rayos-X, los huesos (formado por ele cromáticos es directamente proporcional mentos de masa atómica mayor que los a su energía. Esta propiedad proporciona tejidos circundantes) absorben la radia un método para medir la energía de los ción con mayor eficacia, por lo que pro rayos-X. El contador Geiger mide la e ducen sombras más oscuras sobre una nergía de los rayos-X a partir de la ioni placa fotográfica, permitiendo hacer el zación que producen. diagnostico de posibles fracturas o lesio nes de los huesos. i) Difracción  En la actualidad se utiliza radiación de Los rayos-X pueden difractarse al atrave neutrones para algunos tipos de radiogra

453 bación que se desplaza en el espacio. 2) La corpuscular, que sostenía que la luz está formada por corpúsculos materiales capaces de interaccionar con la materia.  Einstein concluyó que la luz y, por exten sión, las ondas electromagnéticas son a la vez corpúsculo y onda, ya que están formadas por partículas sin masa y sin carga, llamadas fotones, que se propa gan en el espacio como un movimiento ondulatorio, intercambiando energía con el entorno.  En un estudio especulativo, que no res pondía a ninguna realidad observada que hubiera de explicarse, Louis de Broglie (1892-1987) elucubró con la posibilidad de que, al igual que los fotones, también los electrones tuvieran esa misma duali dad de onda y corpúsculo.

Física moderna sar un cristal, o ser dispersados por él, ya que el cristal esta formado por redes de átomos regulares que actúan como re des de difracción muy finas. Los diagra mas de interferencia resultantes pueden fotografiarse y analizarse para determi nar la longitud de onda de los rayos-X in cidentes o la distancia entre los átomos del cristal, según cual de los datos se des conozca. 8. ONDAS DE BROGLIE a) Ondas de materia de Louis de Bro glie Los trabajos de Albert Einstein sobre el efecto fotoeléctrico demostraron que las ondas electromagnéticas están formadas por partículas elementales llamadas foto nes. En sentido inverso, el físico Louis De Broglie predijo en 1924 que los elec trones que forman parte del átomo, tie nen también un comportamiento ondula torio. La verificación experimental de la dualidad de partícula y onda de los elec trones, que se realizo años después, cul mino o estableció una de los conceptos más importantes de la física cuántica:

c) Ondas de De Broglie En un trabajo publicado en 1924, Louis De Broglie partía de una comparación entre las propiedades del fotón y el elec trón para suponer que esta última partícu la podría poseer relaciones de energíafrecuencia y longitud de onda-momento lineal análogas a la primera, y expresa das como:

<<

Todo lo que existe es, al mismo tiempo, onda y materia>> b) Materia y ondas Las controversias sobre la naturaleza de la luz que habían centrado los debates científicos durante más de dos siglos se resolvieron en 1905 cuando Albert Eins ten, en su interpretación del efecto fotoe léctrico, logro conciliar las dos hipótesis manejadas y, hasta entonces, considera das incompatibles: 1) La ondulatoria, según la cual la radia ción luminosa es simplemente una pertur

E  h   ,



  h p  n  k 

siendo n un vector unitario que está en la dirección y sentido del vector de onda k. Partiendo de las hipótesis relativistas, se podría establecer una equivalencia entre energía y el momento lineal del electrón considerado como onda y como partícu la material, de lo que se deduciría que: E  

m c2 1  (v / c)2

 m c2 ,

454

Física-IV p k

mv 1  (v / c)2

d) Longitud de onda de De Broglie De la comparación de las magnitudes del comportamiento del electrón entendi do como onda y como partícula, se obtie ne un valor para la longitud de onda que tendría el movimiento ondulatorio aso ciado al electrón que viene dado por: 

h p





y p  mv

siendo " v" la velocidad de la partícula y " m" su masa. Esta magnitud, llamada longitud de onda de De Broglie, aumen ta al disminuir la velocidad, y a la inver sa. Si se aplica al postulado del modelo ató mico de Bohr, que sostiene que las órbi tas de los electrones en los átomos sólo pueden tener ciertos radios cuantificados se deduce que: mr v 

baja velocidad, por ejemplo, los propios electrones. En estas partículas sería posi ble obtener valores de la longitud de on da de De Broglie del orden de algunas décimas de nanómetro.

hr  n  2 r  n  ,  (n=1, 2, 3,…)

Según esta fórmula, las órbitas permiti das (estacionarias) en el modelo de Bohr serían aquellas cuyo radio fuera igual a un número entero de longitudes de onda de De Broglie. Al igual que para detectar un comporta miento ondulatorio en la luz era preciso manejar dimensiones del orden de su lon gitud de onda (por ejemplo, rejillas que provocaran patrones de difracción a mo do de interferencias luminosas), para ob servar los efectos de las ondas asociadas a la materia se han de usar partículas de masa pequeñísima y que se desplacen a

Ilustración gráfica de la regla de cuanti ficación de Bohr y la longitud de onda de De Broglie para el electrón. e) Validación experimental La primera evidencia experimental de la existencia de las ondas de materia que había predicho De Broglie llegó en 1927, cuando Clinton Davisson (18811958) y Lester Germer (1896-1971) y George Thomson (1892-1975), en traba jos independientes, determinaron el va lor de la longitud de onda de De Broglie según las predicciones de esta teoría.  En esencia, los experimentos realizados se basaban en la hipótesis de que si los electrones pudieran comportarse como ondas, un haz de estas partículas que in cidiera sobre un cristal debería producir diagramas de difracción análogos a los observados para los rayos X. Cuando se obtuvieron patrones de difracción para los electrones, se demostró que estas par tículas, al igual que los fotones, se mani fiestan tanto a través de sus propiedades corpusculares (materia) como ondulato rias (onda). La hipótesis de la dualidad corpúsculo-onda de la materia se exten dió en años posteriores a todos los tipos

455 ma década del siglo XIX, fue detectado en los rayos catódicos, que se habían ob servado como ráfagas, destellos e imáge nes sobre pantallas o en el interior de tu bos de gases.

Física moderna de partículas elementales y sus agrega dos (núcleos y átomos). f) Antimateria Existen partículas y antipartículas. Estas últimas (por ejemplo, antiprotones y anti electrones, también llamados positrones) son idénticas a sus contrapartidas de ma teria, con la salvedad de que poseen car ga de signo opuesto. Estos corpúsculos componen hipotéticamente átomos de an timateria que, no obstante, no se obser van en la naturaleza porque las antipartí culas reaccionan espontáneamente con sus partículas correspondientes en una reacción de aniquilación total. g) Aplicación de la dualidad ondacorpúsculo La dualidad onda-corpúsculo se usa en el microscopio de electrones, donde la pequeña longitud de onda asociada al e lectrón puede ser usada para ver objetos mucho menores que los observados usan do luz visible. 9. EL ELECTRON a) Concepto Es una partícula subatómica o partícula elemental de tipo fermiónico. En un áto mo los electrones rodean el núcleo, com puesto únicamente de protones y neutro nes.  Los electrones tienen una masa pequeña respecto al protón, y su movimiento ge nera corriente eléctrica en la mayoría de los metales. Estas partículas desempeñan un papel primordial en la química ya que definen las atracciones con otros átomos b) El descubrimiento del electrón El electrón, la primera partícula subató mica descubierta mas o menos en la últi

c) Características 1) El electrón tiene una carga eléctrica ne gativa de −1,610−19 C y una masa de 9,110−31 kg, que es aproximadamente u nas 1 800 veces menor que la masa del protón. 2) El electrón tiene un spin 1/2, lo que im plica que es un fermión, es decir, que se le puede aplicar la estadística de FermiDirac. 3) Aunque la mayoría de los electrones se encuentran formando parte de los áto mos (electrones ligados), los hay que se desplazan independientemente por la ma teria o juntos formando un haz de elec trones en el vacío (electrones libres). En algunos superconductores los electrones se mueven en pareja. 4) Los electrones y los positrones pueden aniquilarse mutuamente produciendo un fotón. De manera inversa, un fotón de al ta energía puede transformarse en un e lectrón y un positrón. 5) Un electrón suele representarse como un punto, es decir, sin extensión espacial. Sin embargo, en la vecindad de un elec trón pueden medirse cambios de su masa y carga. 6) Hay una constante física llamada radio clásico del electrón, cuyo valor es igual a 2,817910−15 m. Es preciso decir que es te radio se deduce asumiendo que se co noce la carga del electrón dentro de la e lectrodinámica clásica, y no de la mecá nica cuántica. 7) Se estima que el número de electrones e xistentes en el universo conocido es de al menos 1079. Este número asciende a

456 Física-IV una densidad media de alrededor de un e decir, en la e misión de electrones de las lectrón por metro cúbico de espacio. capas internas del átomo, debido a la ac 8) La antipartícula del electrón el positrón, ción de la radiación gamma emitido por tiene la misma cantidad de carga eléctri los núcleos. ca que el electrón pero positiva. El spin  Electrón de conducción y la masa son iguales en el electrón y el Se llama así, a los electrones que hacen positrón. Cuando un electrón y un posi posible la conducción de la corriente e trón colisionan, se produce una aniqui léctrica en un conductor, semiconductor, lación mutua, originándose dos fotones etc…Estos electrones surgen debido a de rayos gamma con una energía de 0,5 que los electrones de valencia del metal MeV cada uno. son generales, es decir, no pertenecen a un átomo determinado. En la aproxima ción clásica, estos electrones de conduc ción se consideran como un gas electróni co, cuyas partículas tiene tres grados de libertad.  Electrón dispersor Se llama así, a los electrones que ha ad d) Importancia quirido cierta velocidad al chocar con el Los electrones desempeñan un rol impor fotón en el efecto Compton. tante en la teoría del electromagnetismo,  Electrón de valencia la cual, es adecuada desde un punto de Se llama así, a los electrones que forman vista clásico, aplicable a sistemas ma los sub-grupos " s" y " p" de las capas de croscópicos. número " n" mayor para un átomo dado. Estos electrones determinan las propieda e) Clasificación des químicas y ópticas de los átomos. El electrón es un tipo de partícula subató  Electrón óptico mica denominada leptón, que se cree Se llaman así, a los electrones de las ca que es una de las partículas fundamen pas más externas (las de enlace más dé tales (es decir, que no puede ser dividida bil) de los átomos, de las moléculas o de en constituyentes más pequeños) de a los iones, que en presencia de luz visi cuerdo con el modelo estándar de partí ble, realizan oscilaciones forzadas. culas.  Como para cualquier partícula subatómi f) Aplicaciones ca, la mecánica cuántica predice un com 1) La corriente eléctrica que suministra e portamiento ondulatorio de los electro nergía a nuestros hogares está originada nes en ciertos casos, el más famoso de por electrones en movimiento. los cuales es el experimento de Young 2) El tubo de rayos catódicos de un televi de la doble rendija en el que se pueden sor se basa en un haz de electrones en el hacer interferir ondas de electrones. Esta vacío desviado mediante campos magné propiedad se denomina dualidad onda ticos que impacta en una pantalla fluores corpúsculo. cente.  Electrón de conversión 3) Los semiconductores utilizados en dispo Se llama así a los electrones que se origi sitivos tales como los transistores. nan en el efecto fotoeléctrico interno, es

457 Dos conductores llamados el ánodo (A) y el cátodo (C). Un diafragma metálico (B) que se utiliza como filtro electrónico. Láminas metálicas cargadas (D y E) que sirven para crear un campo eléctrico uni forme vertical entre las láminas. Una película fluorescente (F), que se uti liza para detectar los electrones que pa san a través de las placas D y E.

Física moderna 4) Los haces de electrones se utilizan en soldaduras. 5) El microscopio electrónico, que utiliza haces de electrones en lugar de fotones, permite ampliar hasta 500 000 veces los objetos. 6) Los efectos cuánticos del electrón son la base del microscopio de efecto túnel, que permite estudiar la materia a escala atómica.

*

g) Los rayos catódicos El estudio de las descargas eléctricas en gases adquirió a finales del siglo XIX u na importancia insospechada cuando ayu dó a establecer una relación entre la hipó tesis atómica de la materia y los princi pios del electromagnetismo. Se descu brió que al aplicar una diferencia de po tencial de varios miles de voltios entre dos electrodos de un tubo de descarga re lleno de un gas enrarecido se producían destellos luminosos que se propagaban a modo de rayos entre los electrodos del dispositivo. Estas radiaciones se llama ron rayos catódicos porque siempre via jan desde el electrodo negativo (cátodo) al positivo (ánodo).

3) Procedimiento  Se establece una diferencia de potencial de algunos miles de voltios entre ánodo y el cátodo.  Los pocos iones positivos del gas son a celerados hacia el cátodo por el campo e léctrico existente entre el cátodo y el áno do, estos iones golpean el cátodo liberan do electrones de su superficie, los cuales a su vez, son acelerados en sentido o puesto hacia el ánodo, este mecanismo de liberación de electrones de una super ficie metálica se llama emisión secunda ria.  La mayoría de los electrones emitidos en el cátodo son frenados por el ánodo, pe ro un número limitado pasa a través de u na rendija del ánodo y de una segunda rendija del diafragma metálico.  Los electrones que pasan por la rendija no sufrirán desviación de su trayectoria si se ajustan adecuadamente el campo e léctrico establecido entre las láminas y el campo magnético generado por un e lectroimán, perpendicular al plano del pa pel, lográndose que las fuerzas eléctrica y magnética sobre el electrón sean igua les en magnitud, esto es:

h) El experimento de J.J. Thompson 1) Objetivo Hallar la razón del valor de la carga a la masa de un electrón "e / m" . 2) Instrumentos * Un tubo de vidrio al que se le extrae el aire, como el mostrado en la Fig.

+

A B C

D

* *

*

eE  e v B  v 

F

E



E B

Si anulamos el campo eléctrico, los elec

458 Física-IV trones se mueven como efecto del cam 3) Fundamento teórico po magnético en trayectorias circulares, En la presencia del campo eléctrico la e de radio igual a: cuación de movimiento de la gota de a ceite, de carga " q" , que cae entre las pla m.v cas es: R e.B m.a  W  E  6..r.v  FE (1)  Sustituyendo la expresión de la veloci dad, obtenemos la razón de la carga a la siendo, " E" el empuje debido a la sus masa del electrón, esto es: tancia en la que se encuentra la gota de a ceite, " W" el peso de la gota de aceite e E " v" la velocidad constante con la que  2 m R.B cae la gota, "" el coeficiente de fric ción, y " FE " la fuerza eléctrica sobre la  J.J. Thomson determinó el siguiente va gota, pues, esta tiene una carga "q". lor de la razón entre la carga (e) y la ma  La gota de aceite inicialmente cae con sa (m) del electrón: una velocidad " v" , pero luego se detie ne, por lo tanto, a=v=0, entonces la ecua e 11 1  1,758796 10 C kg ción anterior, en forma explícita, se escri m be, así: i) El experimento de Millikan

q. E 

1) Objetivo Encontrar el valor de la carga fundamen tal de la materia.



2) Instrumentos

R.SABRERA

2 1 -

-

-

-

-

5 W

1 +

-

+

+

+

+

(2)

siendo, , ´ las densidades de la gota y del medio en la cual cae la gota. De otro lado, para hallar el radio de la gota " r" , anulamos el campo eléctrico en la ecuación inicial, obteniendo, 4 m. a  . r 3 (  ')  6.. r. v 3

-

3

E

4 3 . r (  ' ) 3

+

Dos placas conductoras cargadas opues tamente (1). Un pulverizador o atomizador (2). Aceite (3) Una cámara para aislar el experimento a realizar (4) Una lente o microscopio (5).

Puesto que la gota después de recorrer cierta distancia cae a velocidad constan te, entonces a=0, luego de la ecuación an terior, obtenemos el radio de la gota,

r [

9v 1/ 2 ] 2 (  ´)

(3)

Luego, (3) en (2), obtenemos la carga de la gota de aceite, dado que E, v, , ´ son cantidades conocidas (obtenidas ex perimentalmente).

Física moderna 4) Resultados  Se encontró que toda partícula tiene una carga que es múltiplo entero de la carga fundamental (electrón), no existe partícu la que tenga una carga menor que la del electrón, esto es la carga eléctrica está cuantizada, es decir: q = n.e

(n = 1, 2, 3,...)

 Se encontró que la magnitud de la carga del electrón es:

e  1,602 1019 C j) El protón y el neutrón Joseph John Thomson investigó también en la década de 1910, las propiedades de los llamados rayos canales o positivos, que se producían en tubos de descarga en la región del ánodo y se precipitaban hacia el cátodo a grandes velocidades. Estos rayos se veían afectados por cam pos eléctricos y magnéticos interpuestos en su trayectoria, lo que demostraba que estaban compuestos por partículas con masa y provistas de una carga eléctrica positiva. Hacia 1920, estas partículas fue ron identificadas por Ernest Rutherford al bombardear nitrógeno con partículas alfa (núcleos de helio). Rutherford les a signó el nombre de protones.  El descubrimiento del neutrón, la tercera partícula constituyente de los átomos, hu bo de esperar hasta 1932, cuando el físi co James Chadwick (1891-1974) obser vó las peculiaridades del comportamien to de los átomos del berilio al ser bom bardeados por partículas alfa. Este bom bardeo provocaba la emisión por los áto mos de una radiación compuesta por par tículas de masa aproximadamente igual a la del protón y carga eléctrica nula, ya que no era desviada por los campos eléc



459

tricos. La constatación de la existencia de elec trones, protones y neutrones como partí culas constituyentes de los átomos de los elementos conocidos abrió nuevos hori zontes a la interpretación sobre la condi ción de la materia y la energía, y auspi ció un extraordinario desarrollo de la físi ca, la química y la tecnología.

k) Hipótesis atómica Aunque los antecedentes de la hipótesis atómica de la composición de la materia se remontan a la antigua Grecia, el pri mer enfoque moderno de esta teoría se debe a John Dalton, quien la sustentó en cuatro principios: los elementos quími cos están formados por conjuntos de par tículas idénticas llamadas átomos; el áto mo de un elemento tiene un peso distin to a los de otros elementos; los átomos son indivisibles, y no pueden ser creados ni destruidos. Algunas de estas ideas han quedado desfasadas (los átomos no son indivisibles y pueden destruirse y crear se), si bien el principio de la naturaleza a tómica de la materia se mantiene vigente en los modelos teóricos actuales. 10. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG a) Concepto Según el principio de incertidumbre, cier tos pares de variables físicas, como la po sición y el momento (masa por veloci dad) de una partícula, no pueden calcu larse simultáneamente con la precisión que se quiera. Así, si repetimos el cálcu lo de la posición y el momento de una partícula cuántica determinada (por ejem plo, un electrón), nos encontramos con que dichos cálculos fluctúan en torno a valores medíos. Estas fluctuaciones refle

460 Física-IV jan, pues, nuestra incertidumbre en la de na trayectoria. terminación de la posición y el momen to. Según el principio de incertidumbre, c) La relación de incertidumbre para el producto de esas incertidumbres en la energía y tiempo los cálculos no puede reducirse a cero. Un analisis mecánico cuántico demues Si el electrón obedeciese las leyes de la tra que para todo tipo de experimento, mecánica newtoniana, las incertidum las incertidumbres en la energía E, y bres podrían reducirse a cero y la posi tiempo t, están siempre relacionada ción y el momento del electrón podrían por, determinarse con toda precisión. Pero la mecánica cuántica, a diferencia de la E t  h / 4 newtoniana, sólo nos permite conocer u na distribución de la probabilidad de e De modo que la energía de un cuerpo sos cálculos, es decir, es intrínsecamente puede determinarse con toda exactitud estadística. (E=0), solamente si la medida se efec  En resumen, puede decirse que el princi túa durante un intervalo de tiempo infini pio de incertidumbre postula que en la to (t=). mecánica cuántica es imposible conocer exactamente, en un instante dado, los va d) Consecuencias lores de dos variables canónicas conju  Este principio supone un cambio básico gadas (posición-impulso, energía-tiempo en nuestra forma de estudiar la naturale …, etc.) de forma que una medición pre za, ya que se pasa de un conocimiento cisa de una de ellas implica una total in basado en la certidumbre a un conoci determinación en el valor de la otra. miento basado sólo en probabilidades y en la imposibilidad teórica de superar un b) La relación de incertidumbre para cierto nivel de error. la posición y momento  Un error muy común es decir que el prin Un análisis mecánico cuántico demues cipio de incertidumbre impide conocer tra que para todo tipo de experimento, con infinita precisión la posición de una las incertidumbres en la posición x, y partícula o su cantidad de movimiento, momento px, están siempre relaciona lo cual es falso, el principio de incerti do por, dumbre nos dice que no podemos medir simultáneamente y con infinita precisión px x  h / 4 un par de magnitudes conjugadas.  Es decir, nada impide que midamos con precisión infinita la posición de una par está relación válida, tanto teórica como tícula, pero al hacerlo tenemos infinita experimentalmente, nos proporciona los incertidumbre sobre su momento. Por e límites para la determinación de la posi jemplo, podemos hacer un montaje co ción y el momento. mo el del experimento de Young y justo La relaciones de incertidumbre imponen a la salida de las rendijas colocamos una en la mecánica cuántica determinadas pantalla fosforescente de modo que al limitaciones a la posibilidad de describir impactar la partícula se marca su posi el movimiento de una partícula por algu

461 El concepto de átomo como bloque bási co e indivisible que compone la materia del universo ya fue postulado por la es cuela atomista en la Antigua Grecia. Sin embargo, su existencia no quedó demos trada hasta el siglo XIX. Con el desarro llo de la física nuclear en el siglo XX se comprobó que el átomo puede subdivi dirse en partículas más pequeñas.

Física moderna

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ción con un puntito. Esto se puede ha cer, pero hemos perdido toda la informa ción relativa a la velocidad de dicha par tícula. El principio de incertidumbre tiene una importante consecuencia en sistemas co mo el de átomos excitados, que en pro medio, duran un intervalo de tiempo fini to, llamado tiempo de vida medio " " . Puesto que el tiempo de vida medio limi ta la duración del tiempo, es necesario e fectuar la medida de la energía del siste ma antes de su decaimiento.

e) El principio de complementariedad Este principio establece que es imposi ble observar en un mismo experimento y al mismo tiempo los aspectos de onda y de partícula de la materia. Los aspectos ondulatorios y corpusculares de la mate ria se complementan mutuamente, pues to que ambas descripciones son necesa rias para entender completamente las pro piedades de la materia, aunque ambos as pectos no sean observados simultánea mente.

b) Estructura atómica La teoría aceptada hoy es que el átomo se compone de un núcleo de carga positi va formado por protones y neutrones, en conjunto conocidos como nucleón, alre dedor del cual se encuentra una nube de electrones de carga negativa. c) El núcleo atómico El núcleo del átomo se encuentra forma do por nucleones, los cuales pueden ser de dos clases:

11. EL ATOMO a) Atomo

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

Es la unidad más pequeña de un elemen to químico que mantiene su identidad o sus propiedades y que no es posible divi dir mediante procesos químicos.

Protones Partícula de carga eléctrica positiva igual a una carga elemental, y 1,6726210–27 kg y una masa 1837 veces mayor que la del electrón Neutrones Partículas carentes de carga eléctrica y una masa un poco mayor que la del protón (1,6749310–27 kg). El núcleo más sencillo es el del hidróge no, formado únicamente por un protón. El núcleo del siguiente elemento en la ta bla periódica, el helio, se encuentra for mado por dos protones y dos neutrones.

462 Física-IV  Número atómico d) Interacciones eléctricas entre pro Es la cantidad de protones contenidas en tones y electrones el núcleo del átomo, se representa con la Antes del experimento de Rutherford la letra Z y se escribe en la parte inferior comunidad científica aceptaba el modelo izquierda del símbolo químico. Es el que atómico de Thomson, situación que va distingue a un elemento químico de otro. rió después de la experiencia de Ruther Según lo descrito anteriormente, el núme ford. Los modelos posteriores se basan ro atómico del hidrógeno es 1 (1H), y el en una estructura de los átomos con una del helio, 2 (2He). masa central cargada positivamente ro deada de una nube de carga negativa.  Número másico  Este tipo de estructura del átomo llevó a Es la cantidad total de nucleones que Rutherford a proponer su modelo en que contiene un átomo, se representa con la los electrones se moverían alrededor del letra A y se escribe en la parte superior núcleo en órbitas. Este modelo tiene una izquierda del símbolo químico. Para los dificultad proveniente del hecho de que ejemplos dados anteriormente, el núme una partícula cargada acelerada, como se ro másico del hidrógeno es 1(1H), y el ría necesario para mantenerse en órbita, del helio, 4(4He). radiaría radiación electromagnética, per diendo energía. Las leyes de Newton,  Isótopos junto con la ecuaciones de Maxwell del Se llaman así, a los átomos que tienen el electromagnetismo aplicadas al átomo de mismo número atómico, pero diferente Rutherford llevan a que en un tiempo del número másico. Por ejemplo, existen orden de 10−10s, toda la energía del áto tres isótopos naturales del hidrógeno, el mo se habría radiado, con la consiguien protio (1H), el deuterio (2H) y el tritio te caída de los electrones sobre el nú (3H). Todos poseen las mismas propieda cleo. des químicas del hidrógeno, y pueden ser diferenciados únicamente por ciertas propiedades físicas. 



e) Nube electrónica

Isótonos Se llaman así, a los átomos que tienen el mismo número de neutrones, estos están relacionados con la estructura nuclear. Isóbaros Se llama así, a los átomos que tienen el mismo número másico. Debido a que los protones tienen cargas positivas se deberían repeler entre sí, sin embargo, el núcleo del átomo mantiene su cohesión debido a la existencia de o tra fuerza de mayor magnitud, aunque de menor alcance conocida como la in teracción nuclear fuerte.

o o o



Alrededor del núcleo se encuentran los e lectrones que son partículas elementales de carga negativa igual a una carga ele mental y con una masa de 9,10.10–31 kg La cantidad de electrones de un átomo en su estado basal es igual a la cantidad de protones que contiene en el núcleo, es

463 núcleo sería del tamaño de una canica co locada en el centro, y los electrones, co mo partículas de polvo agitadas por el viento alrededor de los asientos.

Física moderna

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decir, al número atómico, por lo que un átomo en estas condiciones tiene una carga eléctrica neta igual a 0. A diferencia de los nucleones, un átomo puede perder o adquirir algunos de sus e lectrones sin modificar su identidad quí mica, transformándose en un ión, una partícula con carga neta diferente de ce ro. El concepto de que los electrones se en cuentran en órbitas satelitales alrededor del núcleo se ha abandonado en favor de la concepción de una nube de electrones deslocalizados o difusos en el espacio, el cual representa mejor el comportamiento de los electrones descrito por la mecáni ca cuántica únicamente como funciones de densidad de probabilidad de encon trar un electrón en una región finita de espacio alrededor del núcleo.

f) Dimensiones atómicas La mayor parte de la masa de un átomo se concentra en el núcleo, formado por los protones y los neutrones, ambos co nocidos como nucleones, los cuales son 1836 y 1838 veces más pesados que el e lectrón respectivamente.  El tamaño o volumen exacto de un áto mo es difícil de calcular, ya que las nu bes de electrones no cuentan con bordes definidos, pero puede estimarse razona blemente en 1,058610–10 m, el doble del radio de Bohr para el átomo de hidróge no. Si esto se compara con el tamaño de un protón, que es la única partícula que compone el núcleo del hidrógeno, que es aproximadamente 110–15 se ve que el nú cleo de un átomo es cerca de 100,000 ve ces menor que el átomo mismo, y sin em bargo, concentra prácticamente el 100% de su masa.  Para efectos de comparación, si un áto mo tuviese el tamaño de un estadio, el

g) Tabla periódica A mediados del siglo XIX, varios Quími cos se dieron cuenta de que las similitu des en las propiedades químicas de dife rentes elementos suponían una regulari dad que podía ilustrarse ordenando los elementos de forma tabular o periódica. El químico ruso Dmitri Mendeléiev pro puso una tabla de elementos llamada ta bla periódica, en la que los elementos es tán ordenados en filas y columnas de for ma que los elementos con propiedades químicas similares queden agrupados. Según este orden, a cada elemento se le asigna un número (número atómico) de acuerdo con su posición en la tabla, que va desde el 1 para el hidrógeno hasta el 92 para el uranio, que tiene el átomo más pesado de todos los elementos que e xisten de forma natural en nuestro plane ta. Como en la época de Mendeléiev no se conocían todos los elementos, se deja ron espacios en blanco en la tabla perió dica correspondientes a elementos que faltaban. Las posteriores investigaciones facilitadas por el orden que los elemen tos conocidos ocupaban en la tabla, lle varon al descubrimiento de los elemen tos restantes. Los elementos con mayor número atómico tienen masas atómicas mayores, y la masa atómica de cada isó topo se aproxima a un número entero, de acuerdo con la hipótesis de Prout. h) Radioactividad Una serie de descubrimientos importan tes realizados hacia finales del siglo XIX dejó claro que el átomo no era una partí cula sólida de materia que no pudiera ser

464 Física-IV dividida en partes más pequeñas. En Estos isótopos radiactivos (radioisóto 1895, el científico Wilhelm Conrad pos) se producen como resultado de una Roentgen anunció el descubrimiento de reacción o transformación nuclear. En di los rayos X, que pueden atravesar lámi chas reacciones, los algo más de 270 isó nas finas de plomo. En 1897, el físico J. topos que se encuentran en la naturaleza J. Thomson descubrió el electrón, una sirven como objetivo de proyectiles nu partícula con una masa muy inferior al cleares. El desarrollo de "rompeátomos", de cualquier átomo. Y, en 1896, el físico o aceleradores, que proporcionan una e Antoine Henri Becquerel comprobó que nergía elevada para lanzar estas partícu determinadas sustancias, como las sales las-proyectil ha permitido observar mi de uranio, generaban rayos penetrantes les de reacciones nucleares. de origen misterioso. El matrimonio de científicos franceses formado por Marie j) Líneas espectrales y Pierre Curie aportó una contribución o adicional a la comprensión de esas sus  o  tancias "radiactivas" (véase radio). Co mo resultado de las investigaciones del físico británico Ernest Rutherford y sus coetáneos, se demostró que el uranio y algunos otros elementos pesados, como el torio o el radio, emiten tres clases dife Uno de los grandes éxitos de la física rentes de radiación, inicialmente denomi teórica fue la explicación de las líneas es nadas rayos alfa (a), beta (b) y gamma pectrales características de numerosos e (g). Las dos primeras, que según se averi lementos. Los átomos excitados por ener guó están formadas por partículas eléctri gía suministrada por una fuente externa camente cargadas, se denominan actual emiten luz de frecuencias bien definidas. mente partículas alfa y beta. Posterior Si, por ejemplo, se mantiene gas hidróge mente se comprobó que las partículas al no a baja presión en un tubo de vidrio y fa son núcleos de helio (ver más abajo) y se hace pasar una corriente eléctrica a las partículas beta son electrones. Estaba través de él, desprende luz visible de co claro que el átomo se componía de par lor rojizo. El examen cuidadoso de esa tes más pequeñas. Los rayos gamma fue luz mediante un espectroscopio muestra ron finalmente identificados como ondas un espectro de líneas, una serie de líneas electromagnéticas, similares a los rayos de luz separadas por intervalos regula X pero con menor longitud de onda. res. Cada línea es la imagen de la ranura del espectroscopio que se forma en un i) Radiactividad artificial color determinado. Cada línea tiene una Los experimentos llevados a cabo por longitud de onda definida y una determi los físicos Frédéric e Irène Joliot-Curie a nada energía asociada. La teoría de Bohr principios de la década de 1930 demos permite a los físicos calcular esas longi traron que los átomos estables de un ele tudes de onda de forma sencilla. Se supo mento pueden hacerse artificialmente ra ne que los electrones pueden moverse en diactivos bombardeándolos adecuada órbitas estables dentro del átomo. Mien mente con partículas nucleares o rayos.

465 ran cantidades sustanciales de energía. El proceso genera mucha más energía que la liberada en las reacciones quími cas; la energía se emite, tanto en forma de radiación gamma como de energía ci nética de los fragmentos de la fusión, que calentarán a la materia que se en cuentre alrededor del espacio donde se produzca la fisión. Cuando este proceso de fisión nuclear se puede controlar, la energía se libera len tamente y es transformada en energía e léctrica en un reactor nuclear de fisión, como los utilizados en la actualidad en muchas partes del mundo, entre ellas en Francia.

Física moderna tras un electrón permanece en una órbita a distancia constante del núcleo, el áto mo no irradia energía. Cuando el átomo es excitado, el electrón salta a una órbita de mayor energía, a más distancia del nú cleo. Cuando vuelve a caer a una órbita más cercana al núcleo, emite una canti dad discreta de energía que corresponde a luz de una determinada longitud de on da. El electrón puede volver a su órbita original en varios pasos intermedios, o cupando órbitas que no estén completa mente llenas. Cada línea observada repre senta una determinada transición electró nica entre órbitas de mayor y menor ener gía. En muchos de los elementos más pesa dos, cuando un átomo está tan excitado que resultan afectados los electrones in ternos cercanos al núcleo, se emite radia ción penetrante (rayos X). Estas transi ciones electrónicas implican cantidades de energía muy grandes. 12. FISION Y FUSION NUCLEAR

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a) Fisión nuclear 1) Definición La fisión nuclear consiste en la división del núcleo de un átomo pesado en otros elementos más ligeros, de forma que en esta reacción se libera gran cantidad de e nergía. 2) Características  Los subproductos de la fisión nuclear son neutrones libres, fotones (general mente rayos gamma) y otros fragmentos del núcleo como partículas alfa (núcleos de helio) y beta (electrones y positrones de alta energía).  La fisión de núcleos pesados es un proce so exotérmico lo que supone que se libe

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Los núcleos atómicos lanzados como productos de la fisión pueden ser varios elementos químicos. Los elementos que se producen son resultado del azar, pero estadísticamente el resultado más proba ble es encontrar núcleos con la mitad de protones y neutrones del átomo fisiona do original. Los productos de la fisión son general mente altamente radiactivos: no son isó topos estables; estos isótopos entonces decaen, mediante cadenas de desintegra ción.

3) Fisión inducida La fisión se puede inducir por varios mé todos, incluyendo el bombardeo del nú cleo de un átomo fisionable con otra par tícula de la energía correcta; la otra par tícula es generalmente un neutrón libre.

466 Física-IV Este neutrón libre es absorbido por el nú dena. El número de los neutrones que se cleo, haciéndole inestable. escapan de una cantidad de uranio depen El núcleo inestable entonces se partirá en de de su área superficial. Solamente los dos o más pedazos: los productos de la materiales fisibles son capaces de soste fisión que incluyen dos núcleos más ner una reacción en cadena sin una fuen pequeños, hasta siete neutrones libres te externa de neutrones. (con una media de dos y medio por reac ción), y algunos fotones. 5) Masa crítica  Muy rara vez, un núcleo fisionable expe Es la mínima cantidad de material reque rimentará la fisión nuclear espontánea rida para que el material experimente u sin un neutrón entrante. na reacción nuclear en cadena. La masa  Inducir la fisión es más fácil en los ele crítica de un elemento fisionable depen mentos cuanto más pesado sean. La fi de de su densidad y de su forma física sión en cualquier elemento más pesado (barra larga, cubo, esfera, etc.). Puesto que el hierro produce energía, y la fisión que los neutrones de la fisión se emiten en cualquier elemento más liviano que el en direcciones al azar, para maximizar hierro requiere energía. Lo contrario tam las ocasiones de una reacción en cadena, bién es verdad en las reacciones de fu los neutrones deberán viajar tan lejos co sión nuclear- la fusión de los elementos mo sea posible y de esa forma maximi más livianos que el hierro produce ener zar las posibilidades de que cada neu gía y la fusión de los elementos más pe trón choque con otro núcleo. Así, una es sados que el hierro requiere energía. fera es la mejor forma y la peor es pro  Los elementos más frecuentemente usa bablemente una hoja aplanada, puesto dos para producir la fisión nuclear son el que la mayoría de los neutrones volarían uranio y el plutonio. El uranio es el ele de la superficie de la hoja y no chocarían mento natural más pesado; el plutonio con otros núcleos. experimenta desintegraciones espontá neas y tiene un período limitado. Así 6) Moderador pues, aunque otros elementos pueden ser Se llamas así, a las sustancias que se uti utilizados, estos tienen la mejor combina lizan para disminuir la energía cinética ción de abundancia y facilidad de fisión. de los neutrones, obteniéndose neutro nes térmicos. Las características de un buen moderador son: peso atómico bajo 4) Reacciones en cadena Una reacción en cadena ocurre como si y baja o nula tendencia a absorber los gue: un acontecimiento de la fisión em neutrones.Los moderadores posibles son pieza lanzando 2 o más neutrones como entonces el hidrógeno, helio, litio, beri subproductos. Estos neutrones se esca lio, boro y carbono. El litio y el boro ab pan en direcciones al azar y golpean o sorben los neutrones fácilmente, así que tros núcleos, incitando a estos núcleos se excluyen. El helio es difícil de utilizar para experimentar la fisión. Puesto que porque es un gas y no forma ningún com cada acontecimiento de la fisión lanza 2 puesto. La opción de moderadores esta o más neutrones, y estos neutrones indu ría entonces entre el hidrógeno, deuterio, cen otras fisiones, el proceso se constru el berilio y el carbono. Fueron Enrico ye rápidamente y causa la reacción en ca Fermi y Leó Szilárd quienes propusieron

Física moderna primero el uso de grafito (una forma de carbono) como moderador para una reac ción en cadena. El deuterio es el mejor tecnológicamente (introducido en el a gua pesada), sin embargo el grafito es mucho más económico. 7) Residuo radiactivo Son residuos que contienen elementos químicos radiactivos que no tienen un propósito práctico. Es frecuentemente el subproducto de un proceso nuclear, co mo la fisión nuclear. El residuo también puede generarse durante el procesamien to de combustible para los reactores o armas nucleares o en las aplicaciones mé dicas como la radioterapia o la medicina nuclear. 8) Combustible nuclear Se denomina así a todo material que sea capaz de ser adaptado para poder ser uti lizado en la generación de energía nu clear.  El término combustible nuclear puede re ferirse tanto al material (físil o fusiona ble) por sí mismo como al conjunto ela borado y utilizado finalmente, es decir, los haces o manojos de combustible, compuestos por barras que contienen el material físil en su interior, aquellas con figuraciones que incluyen el combusti ble junto con el moderador o cualquier otra.  El proceso más utilizado y conocido es la fisión nuclear. El combustible nuclear más común, está formado por elementos fisibles como el Uranio o el Plutonio, ge nerando reacciones en cadena controla das dentro de los reactores nucleares que se encuentran en las centrales nucleares. Los isótopos utilizados más habitualmen te en la fisión son el 235U y el 239Pu.

467

9) Central nuclear Es una instalación industrial empleada para la generación de energía eléctrica a partir de energía nuclear, que se caracte riza por el empleo de materiales fisiona bles que mediante reaccione nucleares proporcionan calor. Este calor es emplea do por un ciclo termodinámico conven cional para mover un alternador y produ cir energía eléctrica.  Gran parte de las centrales nucleares e xistentes en la actualidad se basan en reactores de fisión, utilizando como com bustible uranio compuesto de entre un 3,5% y un 4,5% de U-235 y el resto de U-238 (Este isótopo es el conocido ura nio enriquecido). La reacción nuclear en cadena genera la energía controlada se produce cuando un núcleo de Uranio235 se divide en dos o más núcleos por la colisión de un neutrón. De este modo, los neutrones liberados colisionan de nuevo formando una reacción en cadena.  En las centrales nucleares por fisión, el calor desprendido de las reacciones gene ra vapor de agua, el cual, al pasar por un sistema de turbinas, genera la electrici dad que puede ser trasladada a la red e léctrica. b) Fusión nuclear 1) Definición Es el proceso mediante el cual dos nú cleos atómicos se unen para formar uno de mayor masa atómica. No debe confun dirse con el accidente de las centrales un cleares denominado "fusión del núcleo", que hace referencia a la parte más "inter na" (núcleo) del reactor nuclear cuando ésta se funde (se derrite) como resultado de la falta de un adecuado control y refri geración.

468

Física-IV 2

3

H

H



 4

H+3,5MeV

n+14,1MeV

2) Características  El nuevo núcleo tiene una masa inferior a la suma de las masas de los dos nú cleos que se han fusionado para formar lo. Esta diferencia de masa es liberada en forma de energía. La energía que se li bera varía en función de los núcleos que se unen y del producto de la reacción. La cantidad de energía liberada corresponde a la fórmula E=m.c2, siendo " m" la dife rencia de masa observada en el sistema antes y después de la fusión y "c" es la velocidad de la luz (299 792 458 m/s).  Los núcleos atómicos tienden a repeler se debido a que están cargados positiva mente, de forma que cuanto más cerca estén más intensa es la fuerza repulsiva.  Existen fuerzas nucleares atractivas que son extremadamente intensas a distan cias muy pequeñas. Esto hace que la fu sión solo pueda darse en condiciones de temperatura y presión muy elevadas que permitan compensar la fuerza de repul sión. La temperatura elevada hace que aumente la agitación térmica de los nú cleos y esto los puede llevar a fusionar se, debido al efecto túnel. Para que esto ocurra son necesarias temperaturas del orden de millones de kelvins. El mismo efecto se puede producir si la presión so bre los núcleos es muy grande, obligan dolos a estar muy próximos.  Las necesidades mínimas para producir la fusión se llaman Criterios de Lawson,

y son criterios de densidad iónica y tiem po mínimo de confinamiento necesario. La reacción de fusión más sencilla (esto es, la que requiere menos energía) es la del deuterio y el tritio formando helio. La fusión nuclear es el proceso que se produce en las estrellas y que hace que brillen. También es uno de los procesos de la bomba de hidrógeno. Al contrario que la fisión nuclear, no se ha logrado u tilizar la fusión nuclear como medio ren table de obtener energía (o sea, la ener gía aplicada al proceso es mayor que la obtenida por la fusión), aunque hay nu merosas investigaciones en esa dirección

3) Ventajas La fusión nuclear es un recurso energé tico potencial a gran escala, que puede ser muy útil para cubrir el esperado au mento de demanda de energía a nivel mundial, en el próximo siglo. Cuenta con grandes ventajas respecto a otros ti pos de recursos:  Los combustibles primarios son baratos, abundantes, no radioactivos y repartidos geográficamente de manera uniforme (el agua de los lagos y los océanos contiene hidrógeno pesado suficiente para millo nes de años, al ritmo actual de consumo de energía).  Sistema intrínsecamente seguro: el reac tor sólo contiene el combustible para los diez segundos siguientes de operación. Además el medio ambiente no sufre nin guna agresión: no hay contaminación at mosférica que provoque la "lluvia ácida" o el "efecto invernadero".  La radiactividad de la estructura del reac tor, producida por los neutrones emiti dos en las reacciones de fusión, puede ser minimizada escogiendo cuidadosa mente los materiales, de baja activación. Por tanto, no es preciso almacenar los e

469 La envergadura y el coste de este experi mento serán similares a los de cualquier instalación con una potencia de un giga vatio; el calendario para el estudio, cons trucción y explotación será similar al de cualquier megaproyecto. ITER, la si guiente generación, es una experiencia piloto para Europa y sus socios en el campo de la fusión por confinamiento magnético. El espíritu comunitario alcanzado por es ta investigación en Europa desde hace varias décadas, se ha transmitido al resto del planeta con la esperanza de poder contar en el próximo siglo con la fusión termonuclear como fuente de energía ne cesaria para la humanidad.

Física moderna lementos del reactor durante centenares y millares de años. 4) Estado actual de la fusión nuclear Actualmente se ha producido energía de fusión nuclear en dos máquinas distin tas, el JET (Joint European Torus) de la Unión Europea en Oxfordshire, y el TFTR (Toroidal Fusion Thermonuclear Reactor) en Princeton. Los dos son dis positivos de fusión por confinamiento magnético.  Se ha conseguido sólo en estas máquinas porque son las únicas que han inyectado tritio a un plasma de deuterio. El resto de máquinas funciona con plasmas de só lo deuterio o sólo hidrógeno para inves tigar en el comportamiento del plasma a altas temperaturas, pero sin producir fu siones.  Se ha demostrado la viabilidad científica de la producción de energía mediante fu sión nuclear. El siguiente paso es cons truir un reactor que demuestre la viabili dad tecnológica para producir energía e léctrica a partir de la de fusión. Este reac tor será ITER (International Thermonu clear Experimental Reactor), actualmen te en fase de diseño. Para el diseño y construcción de este gran reactor se han asociado las diferentes comunidades de fusión (Rusia, Unión Europea, Japón y USA) ya que el esfuerzo tecnológico y e conómico no puede ser afrontado por un solo país. 5) El futuro de la fusión nuclear La investigación en fusión ha entrado en una fase en la cual la producción experi mental de una potencia de fusión del or den de un gigavatio es un objetivo reali zable. Para progresar en la investigación y desarrollo de reactores comerciales es importante cubrir esta etapa.





c) Reactor nuclear 1) Definición Es un dispositivo en donde se produce una reacción nuclear controlada. Se pue de utilizar para la obtención de energía en las denominadas centrales nucleares, la producción de materiales fisionables, como el plutonio, para ser usados en ar mamento nuclear, la propulsión de bu ques o de satélites artificiales o la investi gación. Una central nuclear puede tener varios reactores. Actualmente solo pro ducen energía de forma comercial los reactores nucleares de fisión, aunque e xisten reactores nucleares de fusión expe rimentales. 2) Potencia de un reactor La potencia de un reactor de fisión pue de variar desde unos pocos kW térmicos a unos 4500 MW térmicos (1500 MW "eléctricos"). Deben ser instalados en zo nas cercanas al agua, como cualquier central térmica, para refrigerar el circui to, y se emplazan en zonas sísmicamente

470 Física-IV estables para evitar accidentes. Poseen Es un modelo cuantizado del átomo que grandes medidas de seguridad. No emi Bohr propuso en 1913 para explicar có ten gases que dañen la atmósfera pero mo los electrones pueden tener órbitas producen residuos radiactivos que duran estables alrededor del núcleo. Este mode decenas de miles de años, y que deben lo planetario es un modelo funcional que ser almacenados para su posterior uso en no representa el átomo (objeto físico) en reactores avanzados y así reducir su tiem sí sino que explica su funcionamiento po de vida a unos cuantos cientos de a por medio de ecuaciones. ños.  Niels Bohr se basó en el átomo de hidró geno para realizar el modelo que lleva su 3) Aplicaciones nombre. Bohr intentaba realizar un mode  Generación nuclear: lo atómico capaz de explicar la estabili - Producción de calor para la generación dad de la materia y los espectros de emi de energía eléctrica. sión y absorción discretos que se obser - Producción de calor para uso doméstico van en los gases. Describió el átomo de e industrial. hidrógeno con un protón en el núcleo, y girando a su alrededor un electrón. El - Producción de hidrógeno mediante elec modelo atómico de Bohr partía concep trólisis de alta temperatura tualmente del modelo atómico de Ruther - Desalación ford y de las incipientes ideas sobre cuan  Propulsión nuclear: tización que habían surgido unos años - Marítima antes con las investigaciones de Max - Cohetes de propulsión térmica nuclear Planck y Albert Einstein. (propuesta)  Debido a su simplicidad el modelo de - Cohetes de propulsión nuclear pulsada Bohr es todavía utilizado frecuentemen (propuesta) te como una simplificación de la estruc  Transmutación de elementos: tura de la materia. - Producción de plutonio, utilizado para la fabricación de combustible de otros reac n=3 tores o de armamento nuclear. n=2 - Creación de diversos isótopos radiacti n=1 vos como el americio utilizado en los de N tectores de humo o el cobalto-60 y otros + que se utilizan en los tratamientos médi  cos e  Aplicaciones en investigación: - Su uso como fuentes de neutrones y de E=h positrones (p. ej. para su uso de análisis  En este modelo los electrones giran en mediante activación neutrónica o para el órbitas circulares alrededor del núcleo, o datado por el método de potasio-argón). cupando la órbita de menor energía posi - Desarrollo de tecnología nuclear. ble, o la órbita más cercana posible al nú cleo. El electromagnetismo clásico prede 13. MODELO ATOMICO DE BHOR cía que una partícula cargada moviéndo 1) Descripción se de forma circular emitiría energía por

471 bre modelo atómico de acuerdo a cuatro postulados fundamentales: Los electrones orbitan el átomo en nive les discretos y cuantizados de energía, es decir, no todas las órbitas están permiti das, tan sólo un número finito de éstas. Los electrones pueden saltar de un nivel electrónico a otro sin pasar por estados intermedios. El salto de un electrón de un nivel cuánti co a otro implica la emisión o absorción de un único cuanto de luz (fotón) cuya energía corresponde a la diferencia de e nergía entre ambas órbitas. Las órbitas permitidas tienen valores dis cretos o cuantizados del momento angu lar orbital " L" de acuerdo con la siguien te ecuación:

Física moderna







lo que los electrones deberían colapsar sobre el núcleo en breves instantes de tiempo. Para superar este problema Bohr supuso que los electrones solamente se podían mover en órbitas específicas, ca da una de las cuales caracterizada por su nivel energético. Cada órbita puede en tonces identificarse mediante un número entero "n" que toma valores desde 1 en adelante. Este número "n" recibe el nom bre de Número Cuántico Principal. Bohr supuso además que el momento an gular de cada electrón estaba cuantizado y sólo podía variar en fracciones enteras de la constante de Planck. De acuerdo al número cuántico principal calculó las dis tancias a las cuales se hallaba del núcleo cada una de las órbitas permitidas en el á tomo de hidrógeno. Estos niveles en un principio estaban cla sificados por letras que empezaban en la "K" y terminaban en la "Q". Posterior mente los niveles electrónicos se ordena ron por números. Cada órbita tiene elec trones con distintos niveles de energía obtenida que después se tiene que libe rar y por esa razón el electrón va saltan do de una órbita a otra hasta llegar a una que tenga el espacio y nivel adecuado, dependiendo de la energía que posea, pa ra liberarse sin problema y de nuevo vol ver a su órbita de origen. Sin embargo no explicaba el espectro de estructura fi na que podría ser explicado algunos a ños más tarde gracias al modelo atómico de Sommerfeld. El desarrollo del modelo atómico de Bohr junto con la dualidad onda-corpús culo permitiría a Erwin Schrödinger des cubrir la ecuación fundamental de la me cánica cuántica.

2) Postulados de Bohr En 1913 Niels Bohr, desarrolló su céle









Ln n







h 2

donde n=1,2,3,… es el número cuántico angular o número cuántico principal. La cuarta hipótesis asume que el valor mínimo de n es 1. Este valor correspon de a un mínimo radio de la órbita del e lectrón de 0.0529 nm. A esta distancia se le denomina radio de Bohr. Un elec trón en este nivel fundamental no puede descender a niveles inferiores emitiendo energía. Se puede demostrar que este conjunto de hipótesis corresponde a la hipótesis de que los electrones estables orbitando un átomo están descritos por funciones de onda estacionarias. Un modelo atómico es una representación que describe las partes que tiene un átomo y como están dispuestas para formar un todo. Basándose en la constante de Planck E= h consiguió cuantizar las órbitas obser vando las líneas del espectro.

472 Física-IV dad por E=Ev. La energía del fotón emi 3) El radio, la energía y la velocidad Además del momento angular cuantiza tido será entonces igual a la diferencia do, resultado del postulado de Bhor de entre las energías del electrón en las dos que la orbita del electrón sólo puede es órbitas permitidas. Así la longitud de on tar formada por un número entero de lon da del fotón emitido, viene dado por: gitudes de onda de Broglie, se deduce c que el radio de la órbita, la energía del e E  h   h  Eu  Ev lectrón y su velocidad también están  cuantizadas, siendo sus expresiones las 1 1 siguientes: o  (E u  E v )  hc n 2 r1o h2 o , r1  rn  Sustituyendo los valores de las energías Z 4 2 k m e 2 orbitales dadas para En, obtenemos: Eo  

Z2 E1o n2

,

Z v1o , vn  n

E1o 

v1o

2 2 k 2 e 4 m h2

1 2 2 k 2 e 4 m Z2 1 1  (  )  h3c n 2v n 2u

2 ke2  h

siendo, n=1,2,3,… el número cuántico principal, y r1o , E1o , v1o el radio, la ener gía y la velocidad del electrón correspon diente a su estado fundamental (n=1), y cuyos valores son:

1 1 1  R  Z2 ( 2  2 )  nv nu

siendo, R=22ke2)2(mc2)/(hc)3 -3

o 1

R=1,0973710 A

Los valores de 0,529 A y 13,58 eV se a proximan mucho a los valores experi mentales obtenidos para el radio y la e nergía de ionización del átomo de hidró geno.

5) Principio de correspondencia Este principio establece que: para núme ros cuánticos grandes las deducciones y los resultados de la mecánica cuántica deben pasar a ser resultados clásicos. En general, el principio de correspondencia exige que entre cualquier teoría que sea desarrollo de la clásica y la teoría clásica inicial exista una relación regular, es de cir, que en determinados casos límite la nueva teoría se transforme en la antigua.

4) Emisión de radiación Niels Bhor propuso que un átomo emite radiación únicamente cuando el electrón inicialmente en una de las órbitas esta bles permitidas donde E=Eu, cambie a o tra órbita permitida con energía menor

6) Estados de energía atómicos El modelo de Bhor predice que la ener gía total de un electrón en un átomo está cuantizada, aunque el modelo de Bhor es válido para un átomo de un solo elec trón, puede suponerse que la energía de

o

r1o  0, 529 A ,

E1o  13, 58 eV ,

v1o  c /137 o

473 san a través de los agujeros en A y via jan hacia la placa P. La energía cinética con la que estos abandonan la placa A es suficiente, como para vencer el pequeño potencial de frenamiento V, aplicado entre P y A. Los átomos del gas o vapor por investigar se encuentran dentro del tubo a una presión baja. El experimento consiste en medir la corriente de electro nes que alcanzan P como una función del voltaje acelerador V.

Física moderna





los electrones de los átomos polielectró nicos, también está cuantizada, y en con secuencia la energía total del átomo. La teoría de Planck de la radiación del cuerpo negro, también, había predicho que la energía de los átomos sólo podía tener ciertos valores, es decir, esta cuan tizada. La comprobación de que los estados de energía interna de un átomo están cuanti zadas se logro en los experimentos reali zados por Franck y Hertz.

14. EXPERIMENTO DE FRANCK Y HERTZ a) Objetivo Probar la cuantificación de los niveles de energía de los electrones en los áto mos. El experimento confirmó el modelo cuántico del átomo de Bohr demostran do que los átomos solamente podían ab sorber cantidades específicas de energía (cuantos). Por ello, este experimento es uno de los experimentos fundamentales de la física cuántica. C

A

P

c) Resultados Como resultado de esta experiencia, nos es posible representar la evolución de la diferencia de potencial que resulta de un convertidor de corriente-tensión (dis puesto a la salida del ánodo) con respec to a la diferencia de potencial de extrac ción de los electrones (desde el cátodo).  Para diferencias de potencial bajas-hasta 4,9 V-la corriente a través del tubo au menta constantemente con el aumento de la diferencia potencial. Con el voltaje más alto aumenta el campo eléctrico en el tubo y los electrones fueron empuja dos con más fuerza hacia la rejilla de ace leración.

I

I

+ -

V

300 oo oo o o

+

200

 R.SABRERA

oo o o o

100

o o

b) Procedimiento En el dispositivo utilizado por Franck y Hertz, los electrones son emitidos térmi camente a una energía baja desde el cáto do C y son acelerados hacia al ánodo A por un potencial V aplicado entre los e lectrodos. Algunos de los electrones pa

o o o o 5

o o

o o oo o

o

o o o o

V 10

15

V en voltios y I en miliamperios  

A los 4,9 voltios la corriente cae repenti namente, casi de nuevo a cero. La corriente aumenta constantemente de

474 Física-IV nuevo si el voltaje se sigue aumentando, (sobre su energía en reposo a esa tempe hasta que se alcanzan 98 voltios (exacta ratura) cuando alcanzó la rejilla. Por lo mente 49+49 voltios). tanto, una colisión entre un átomo del  En 9.8 voltios se observa una caída re mercurio y un electrón libre podía ser i pentina similar. nelástica en ese punto: es decir, la ener  Esta serie de caídas en la corriente para gía cinética de un electrón libre se podía incrementos de aproximadamente 49 convertir en energía potencial excitando voltios continuará visiblemente hasta po el nivel de energía de un electrón de un tenciales de por lo menos 100 voltios. átomo de mercurio. Con la pérdida de to da su energía cinética, el electrón libre no puede superar el potencial negativo d) Interpretación de los resultados Franck y Hertz podían explicar su experi leve en el electrodo a tierra, y la corrien mento en términos de colisión elástica y te eléctrica cae fuertemente. colisión inelástica de los electrones. Pa  Al aumentar el voltaje, los electrones par ra potenciales bajos, los electrones acele ticipan en una colisión inelástica, pier rados adquirieron solamente una canti den su eV 49, pero después continúan dad baja de energía cinética. Cuando se siendo acelerados. De este modo, la co encontraron con los átomos del mercu rriente medida sube otra vez al aumentar rio en el tubo, participaron en colisiones el potencial de aceleración a partir de puramente elásticas. Esto se debe a la 49 V. A los 98 V, la situación cambia predicción de la mecánica cuántica que otra vez. Allí, cada electrón ahora tiene e un átomo no puede absorber ninguna e nergía suficiente para participar en dos nergía hasta que la energía de la colisión colisiones inelásticas, excitando dos áto exceda el valor requerido para excitar un mos de mercurio, para después quedarse electrón que esté enlazado a tal átomo a sin energía cinética. Ello explica las caí un estado de una energía más alta. das de corriente observadas. En los inter  Con las colisiones puramente elásticas, valos de 49 voltios este proceso se repe la cantidad total de energía cinética en el tirá pues los electrones experimentarán sistema sigue siendo igual. Puesto que una colisión inelástica adicional. los electrones son unas mil veces menos masivos que los átomos más ligeros, es e) REGLA DE CUANTIZACION DE to significa que la mayoría de los electro SOMEMRFELD nes mantuvieron su energía cinética. Los En 1916 Somemrfeld y Wilson, con la in potenciales más altos sirvieron para con tención de esclarecer el misterio existen ducir más electrones a la rejilla al ánodo te entre la relación de cuantización de y para aumentar la corriente observada, Bhor del impulso angular de un electrón hasta que el potencial de aceleración al que se mueve en una órbita circular y la canzó 49 voltios. cuantización de Planck de la energía to  La energía de excitación electrónica más tal de un electrón, que realiza un movi baja que un átomo del mercurio puede te miento armónico simple, enunciaron un ner requiere 4,9 electronvoltios (eV). conjunto de reglas para la cuantización Cuando el potencial de aceleración alcan de cualquier sistema físico en el que sus zó 49 voltios, cada electrón libre poseyó coordenadas fueran funciones periódicas exactamente 49 eV de energía cinética del tiempo, estas reglas son:

475

Física moderna 

Para cualquier sistema físico en el cual las coordenadas son funciones periódi cas del tiempo existe una condición cuán tica para cada coordenada. Estas condi ciones cuánticas son:



Ejemplo: 02 Al movimiento armónico simple de un cuerpo de masa " m" , unida a un resorte de constante elástica " k" , kx

pe dq  n e h

k

m 0

siendo " q" una de las coordenadas, " p e " el impulso asociado con esa coor denada, " n e " un número cuántico que toma valores enteros y



significa que

la integración se toma sobre un periodo de la coordenada " q" . Algunos ejemplos de aplicación de la re gla de cuantización de Sommerfeld-Wil son, son: Ejemplo: 01 Al movimiento de una partícula sobre u na circunferencia en un campo central,

m

d2x dt 2

X x

  k.x

(1)

La solución general de esta ecuación di ferencial de segundo orden, viene dado por:

x  Asen .t

(2)

siendo, " A" la amplitud, "" la frecuen cia angular. De otro lado, la energía total del sistema oscilatorio es:

L v 0



m

d

L d  nh

Como el momento angular es constante, entonces: L  d  L 2  n h hh L n 2 <<

Condición de cuantización para el mo mento angular L, enunciada por Niels Bhor>>

E

1 1 k.A 2  m.2 .A 2 2 2

(3)

De la ec.(2), obtenemos " dx" y la canti dad de movimiento " p" , así: dx   Acos .t dt

pm

dx  m A cos .t dt

Sustituyendo estas expresiones en la ec.(1), y utilizando la ec.(3), tenemos:

 pdx   m  A 2

2

cos2 .t dt  n h

2 E  cos2 .t dt  n h

Haciendo cambio de variable, t= para

476 02, obtenemos:

Física-IV 15. CREACION Y ANIQUILACION DE PARES

2 2  2E 2 cos  d     nh  0  E

nh  nhf  n  2

<<

Condición de cuantización para la ener gía, enunciada por Planck y Einstein>> Ejemplo: 03 Al movimiento de una partícula de ma sa " m" confinada a una caja unidimen sional de longitud "" . Sobre la partícu la no actúa ninguna fuerza externa sólo cuando choca contra las paredes y se re fleja elásticamente. Considerando que la partícula inicia su movimiento en la pa red izquierda, tenemos:

m

a) Aniquilación de pares Se llama así al proceso en el que un fo tón de alta energía pierde toda su ener gía (h) en una colisión con un núcleo creando un electrón y un positrón (llama do par), y suministrándoles energía ciné tica. b) Ecuación de balance p+ 2

E+=m+c + E=h

l

X

0

<<

Condición de cuantización para la ener gía, enunciada por Bhor>>

p-

ANTES

DESPUES

h   K   K   2mo c2

nh 2

2 1 p2 2 2 h E  mv  n 2 2m 8m 2

núcleo

h   (mo c2  K  )  (mo c2  K  )

2m v  n h

Asumiendo que la partícula es no relati vista, su energía es:

E=Moc2+K

h   E  E

0

 p dx   ( mv) dx   (mv) dx

p  mv 

Mo

p-

En la producción de pares la energía que toma el retroceso del núcleo es desprecia ble debido a que es muy masivo y por lo tanto, el balance de la energía relativista total en el proceso es,

v

0

E-=m-c2 -



siendo, E  , E  las energías relativistas totales y K-, K+ las energías cinéticas del electrón y positrón, respectivamente. El positrón se produce con una energía cinética ligeramente mayor a la del elec trón debido a que la interacción de Cou lomb del para con el núcleo cargado po sitivamente produce una aceleración en el positrón y una desaceleración en el e lectrón.

477 positronio es de vida corta decayendo en fotones a los 10-10 segundos de su forma ción.

Física moderna c) Características 1) En el proceso se cumplen los principio de conservación de la energía relativista total, la conservación del impulso, y la conservación de la carga. 2) De la ecuación de balance, se observa que la energía mínima llamada <>, necesaria para que un fotón crea el par es 2moc2=1,02 MeV, la cual, corresponde a una longitud de onda de o

3)

4)

5)

6)

0,012 A . Si la longitud de onda es me nor que está, correspondiendo a una ener gía mayor que el valor umbral, el fotón crea el par con energía cinética y con e nergía en reposo. El proceso de creación de pares es un proceso de alta energía, los fotones perte necen a las regiones de rayos-X cortos o rayos  en el espectro electromagnético. Los resultados experimentales demues tran que la absorción de fotones en su in teracción con la materia ocurre principal mente mediante el proceso fotoeléctrico para energías altas, por el efecto Comp ton para energías media, y mediante pro ducción de pares para energías altas. Los pares electrón-positrón se producen en la naturaleza por fotones de los rayos cósmicos y en el laboratorio por fotones de frenado provenientes de los acelerado res de partículas. También, se pueden producir otros pares de partículas tales como el protón y anti protón si el fotón inicial tiene la energía suficiente.

d) ¿Como se forma un positronio? En el proceso de producción de pares se crean los positrones, los cuales al pasar a través de la materia pierden energía en sucesivas colisiones, hasta que se combi nan con un electrón para formar un siste ma ligado llamado positronio. El átomo

e) Aniquilación de pares Es un proceso inverso al de la creación de pares, en el que, un electrón y posi trón inicialmente en reposo y cerca uno de otro, se unen y se aniquilan. La mate ria desaparece generándose energía ra diante. Dado que, el impulso inicial del sistema es nulo, y el impulso debe con servarse en el proceso, no es posible te ner un solo fotón ya que un solo fotón no puede tener impulso nulo. f) Ecuación de balance Para que se conserve la energía y el mo mento lineal, deben producirse al menos dos fotones. A diferencia de la produc ción de pares, la aniquilación puede pro ducirse en el espacio vació, siendo las e cuación de conservación de la energía y el momento lineal,

2mo c2  K   K   h 1  h 2 siendo, K-, K+ las energías cinéticas del electrón y positrón, 2moc2 la suma de sus energías en reposo, y h1, h2, las ener gías de los fotones creados. h1 E+=m+c2=moc2+K+ + 2 E-=m-c =moc2+K-

ANTES 

h2

DESPUES

A su vez, la ecuación correspondiente a la conservación de la cantidad de mo mento lineal es,

478

Física-IV m v  m v 

h h k1  k2 2 2

siendo, k el vector de propagación, cuyo módulo es k=2/. g) Evidencia experimental La primera evidencia experimental del proceso de producción de pares y de la existencia del positrón fue obtenida por Anderson en 1933 mientras investigaba la radiación cósmica, el cual, consiste en un flujo de fotones de gran energía y par tículas cargadas que inciden sobre la tie rra provenientes de fuentes extraterres tres. h) Importancia El descubrimiento del proceso de pro ducción de pares explico el origen de u na discrepancia entre la teoría de atenua ción de los rayos-X y las medidas de los coeficientes de atenuación para los ra yos-X de 2,6 MeV. Como originalmente la teoría no incluía la producción de pa res, la atenuación predicha era muy pe queña. Pero, la contribución más impor tante del descubrimiento de Anderson ra dica en la confirmación y validación de la teoría relativista mecánico-cuántico del electrón de Dirac. i) Energía del electrón La teoría de Dirac conduce a la predic ción de que los valores permitidos de la energía relativista total E para un elec trón libre, viene dado por:

E  [c2 p2  (mo c2 )2 ]1/ 2 siendo, " m o " la masa en reposo del elec trón, " p" la cantidad de movimiento, y " c" la velocidad de la luz en el vació.

Nivel positivo más alto

+moc2 0

Nivel positivo más bajo

-moc2

Nivel negativo más alto

Nivel negativo más alto

Esta teoría establece que los niveles de e nergía discretos del electrón libre, estan comprendidos en el siguiente intervalo,

E   m o c 2 y E    mo c 2 El diagrama de niveles de energía para un electrón libre sugiere la posibilidad de excitar un electrón que se encuentra en un nivel de energía negativa mediante la absorción de un fotón. Dado que to dos los niveles de energía negativa se consideran totalmente ocupados, el elec trón deberá ser excitado a uno de los ni veles de energía positiva desocupados, siendo la energía mínima que se requiere para este proceso h=2moc2, y el resulta do de este proceso es la producción de un electrón en un nivel de energía positi va más un agujero en un nivel de energía negativa. 16. PARTICULAS ELEMENTALES a) Física de partículas Es la rama de la física que estudia los componentes elementales de la materia y las interacciones entre ellos.  Las partículas fundamentales se subdivi den en bosones (partículas de espín ente ro como por ejemplo 0, 1, 2...), que son las responsables de transmitir las fuerzas fundamentales de la naturaleza, y fermio

Física moderna 

nes (partículas de espín semientero co mo por ejemplo 1/2 ó 3/2). Se conoce a esta rama también como fí sica de altas energías debido a que mu chas de las partículas se las puede ver so lo en grandes colisiones provocadas en los aceleradores de partículas.

b) Partícula elemental Las partículas elementales son los cons tituyentes elementales de la materia. Ori ginalmente el término partícula elemen tal se usó para toda partícula subatómica como los protones y neutrones, los elec trones y otros tipos de partículas exóti cas que sólo pueden encontrarse en los rayos cósmicos o en los grandes acelera dores de partículas, como los piones o los muones. Sin embargo, a partir de los años 1970 quedó claro que los protones y neutrones son partículas compuestas de otras partículas más simples. Actual mente el nombre partícula elemental se usa para las partículas, que hasta donde se sabe, no están formadas por partículas más simples en interacción. 1) Bosones Son partículas que no cumplen el princi pio de exclusión de Pauli, por lo que dos partículas pueden ocupar el mismo esta do cuántico. A temperaturas muy bajas tienden a ocupar el nivel energético más bajo, ocupando todas las partículas el mismo estado cuántico. En 1924, Satyen dra Nath Bose y Albert Einstein postu laron un modelo de estadística, conocida ahora como estadística de Bose-Einstein para moléculas a temperaturas muy cer canas al cero absoluto; ésta misma esta dística resulta que puede aplicarse tam bién a este tipo de partículas.  Según el modelo estándar, los bosones son cuatro: el fotón, el bosón W, el bo

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479

són Z y el gluón. Las teorías matemáticas que estudian los fenómenos de éstas partículas son en el caso de la interacción fuerte, de los gluo nes, la cromodinámica cuántica y en el caso de la interacción electrodébil, de fo tones y bosones W y Z, la electrodinámi ca cuántica.

2) Fermiones Los fermiones son partículas con espín, o momento angular intrínseco, fracciona rio y que sí están sujetos al principio de exclusión de Pauli, o sea que dos partícu las no pueden estar en un mismo estado cuántico al mismo momento. Su distribu ción está regida por la estadística de Fer mi-Dirac, de ahí su nombre.  Los fermiones son básicamente partícu las de materia, pero a diferencia de los bosones, no todos los fermiones son par tículas elementales. El caso más claro es el de los protones y neutrones; éstas par tículas son fermiones pero están com puestos de quarks que, en nuestro nivel actual de conocimientos, si se conside ran como elementales.  Los fermiones se dividen en dos grupos: los quarks y los leptones. Esta diferencia se aplica debido a que los leptones pue den existir aislados, a diferencia de los quarks que se encuentran siempre en pre sencia de otros quarks. Los grupos de quarks no pueden tener carga de color debido a que los gluones que los unen poseen carga de color. c) Partícula sub-átomica Los neutrones, protones y otras partícu las compuestas como los hadrones y los mesones están formados por constituyen tes más simples llamados quarks y anti quarks y "nubes" de gluones que los mantienen unidos.

480 Física-IV  La lista de partículas subatómicas que ac nes. tualmente se conocen consta de centena res de estas partículas, situación que sor 1) Bariones prendió a los físicos, hasta que fueron ca Los bariones son partículas que contie paces de comprender que muchas de e nen tres quarks, algunos gluones y algu sas partículas realmente no eran elemen nos antiquarks. Los bariones más conoci tales sino compuestas de elementos más dos son los nucleones, es decir los proto simples llamados quarks y leptones que nes y neutrones, además de otras partícu interaccionan entre ellos mediante el in las más masivas conocidas como hipero tercambio de bosones. nes. Dentro de los bariones existe una  El término partícula elemental se sigue u intensa interacción entre los quarks a tra sando para cualquier partícula que esté vés de los gluones, que transporta la in por debajo del nivel atómico. Por ejem teracción fuerte. Como los gluones tie plo, es usual hablar de protones y neutro nen carga de color, en los bariones las nes como partículas elementales aún partículas que lo contienen cambian rápi cuando hoy sabemos que no son "ele damente de carga de color, pero el con mentales" en sentido estricto dado que junto del barión permanece con carga de tienen estructura ya que el modelo están color neutra. dar analiza a estas partículas en términos Los bariones son también fermiones por de constituyentes aún más elementales lo que el valor de su espín es 1/2, 3/2,... . llamados quarks que no pueden encon Como todas las partículas, los bariones trarse libres en la naturaleza. tienen su partícula de antimateria llama da antibarión que se forman con la unión de tres antiquarks. Sin contar con los nu d) Partículas compuestas Los físicos de partículas denominan co cleones, la mayoría de bariones son ines mo hadrones a las partículas que se com tables. ponen de otras mas elementales. Los ha drones están compuestos de quarks, de 2) Mesones antiquarks y de gluones. La carga eléctri Los mesones son partículas conformadas ca de los hadrones es un número entero por un quark, un antiquark y la partícula por lo que la suma de la carga de los que las une, el gluón. Todos los mesones quarks que los componen debe ser un en son inestables; pese a ello pueden encon tero. trarse aislados debido a que las cargas de  La interacción fuerte es la que predomi color del quark y del antiquark son o na en los hadrones, aunque también se puestas, obteniendo un mesón con carga manifiesta la interacción electromagné de color neutra. Los mesones son ade tica y la débil. Las partículas con carga más bosones ya que la suma de los espi de color interactúan mediante gluones; nes, de sus quark-antiquark más la contri los quarks y los gluones al tener carga de bución del movimiento de estas partícu color están confinados a permanecer las, es un número entero. Se conoce tam unidos en una partícula con carga de co bién que el mesón posee interacciones lor neutra. fuertes, débiles y electromagnéticas. Los hadrones se subdividen en dos cla En este grupo se incluye el pión, el kaón, ses de partículas, los bariones y los meso la J/ψ, y muchas otras. Puede que

481 un protón, dos quark arriba y un quark abajo.

Física moderna existan también mesones exóticos aun que no existe evidencia experimental de ellos. e) Quark 1) Definición Los quarks, junto con los leptones, son los constituyentes fundamentales de la materia y las partículas más pequeñas que el hombre ha logrado identificar. Va rias especies de quarks se combinan de manera específica para formar partículas tales como protones y neutrones. Los quarks son las únicas partículas fun damentales que interactúan con las cua tro fuerzas fundamentales. Son partícu las de espín 1/2, por lo que son fermio nes. Forman, junto a los leptones, la ma teria visible. 2) Descubrimiento Fue descubierto en la serie de experimen tos realizados para estudiar la dispersión electrón-protón, por los físicos TaylorKendall-Friedman en el acelerador de partículas lineal (SLAC). 3) Tipos Hay seis tipos distintos de quarks que los físicos de partículas han denominado de la siguiente manera: quark arriba, aba jo, encantado, extraño, cima y fondo.

U

U

D

Se muestra la estructura de un quark en

4) Carga La carga eléctrica de los quarks es -1/2 o +2/3 de la carga elemental. Por esto siempre las partículas compuestas (bario nes y mesones) tienen una carga entera. Experimentalmente (por ejemplo en el experimento de la gota de aceite de Mi llikan) no hay información de cargas fraccionarias de partículas aisladas. La tercera parte de la carga en los hadrones es debido a la presencia de los quarks. Actualmente se desconoce por qué la su ma de las cargas de los quarks en un pro tón se corresponde exactamente a la del electrón, un leptón, con signo opuesto. 5) Masa Aunque si bien se habla de la masa de los quarks en el mismo sentido que la masa de cualquier otra partícula, la no ción de masa para un quark es complica da por el hecho que los quarks no pue den encontrarse solos en la naturaleza. Como resultado, la noción de la masa de un quark es una construcción teórica que tiene sentido sólo cuando se especifica e xactamente que se usará para definirla. f) Gluones Es el bosón portador de la interacción nu clear fuerte, una de las cuatro fuerzas fundamentales. No posee masa ni carga eléctrica, pero sí carga de color, por lo que además de transmitir la inter acción fuerte también la experimenta. La teoría que postula la existencia de los gluones y describe su dinámica se llama cromodinámica cuántica. El nombre gluon que significa "pegamento", se de be a que estas partículas son las que "u nen" los quarks dentro de los nucleones.

482 Física-IV  Los plasmones, conjunto de excitaciones g) Partículas hipotéticas Entre las principales partículas postula coherentes de un plasma. das teóricamente y que aun no han sido  Los positrones son la mezcla de un fotón confirmadas su existencia por ningún ex y otra de las cuasipartículas de ésta lista. perimento hasta el 2008, se encuentran:  Los polarones, que son cuasipartículas  El bosón de Higgs es la única partícula cargadas en movimiento que están rodea del modelo estándar no observada. En la das de iones en un material. formulación del modelo electro débil, la  Los magnones son excitaciones coheren partícula que podría explicar la diferen tes de los espines de los electrones en un cia de masas de los bosones W y Z y el material. fotón; se postula que para poder romper espontáneamente la simetría de un cam i) Teorías en la física de partículas po de Yang-Mills se necesita una partí 1) Teoría de cuerdas cula, ahora conocida como bosón de Es un modelo fundamental de la física Higgs. Esta partícula en un campo de que básicamente afirma que todas las Higgs daría las respuestas a esta interro partículas son en realidad expresiones de gante. Los científicos esperan descubrir un objeto básico unidimensional extendi al bosón de Higgs en el Gran Colisiona do llamado "cuerda" o "filamento". dor de Hadrones (LHC en inglés), un a De acuerdo con esta propuesta, un elec celerador de partículas que se espera en trón no es un "punto" sin estructura inter tre en funcionamiento para la primavera na y de dimensión cero, sino una cuerda del 2009, en el CERN. minúscula que vibra en un espacio-tiem  El gravitón es el hipotético bosón para la po de más de cuatro dimensiones. Un interacción gravitatoria que ha sido pro punto no puede hacer nada más que mo puesto en las teorías de la gravedad cuán verse en un espacio tridimensional. De tica. No suele formar parte del modelo acuerdo con esta teoría a nivel "micros estándar debido a que no se ha encontra cópico" se percibiría que el electrón no do experimentalmente. Se teoriza que in es en realidad un punto, sino una cuerda teraccionaria con leptones y quarks y en forma de lazo. Una cuerda puede ha que no tendría masa. cer algo además de moverse, puede osci lar de diferentes maneras. Si oscila de h) Cuasipartículas cierta manera, entonces, macroscópica Las ecuaciones de campo de la física de mente veríamos un electrón; pero si osci la materia condensada son muy similares la de otra manera, entonces veríamos un a las de la física de partículas. Por eso, fotón, o un quark, o cualquier otra partí mucha de la teoría de la física de partícu cula del modelo estándar. Esta teoría, las se puede aplicar a la física de la mate ampliada con otras como la de las super ria condensada, asignando a cada campo cuerdas o la Teoría M pretenden alejarse o excitación de la misma un modelo que de la concepción del punto-partícula. incluye "cuasipartículas". Se incluyen:  Los fonones, modos vibratorios en una 2) Teoría de supercuerdas estructura cristalina. Es un esquema teórico elaborado con la  Los excitones, que son la superposición intención de explicar todas las partículas de un electrón y un hueco.

483 confirmación experimental durante más de tres décadas, parece ciencia ficción, o al menos, ciencia fallida. La física de partículas está inflada con sofisticadas teorías matemáticas que pos tulan la existencia de entidades extrañas que no interactúan de forma apreciable, o para nada en absoluto, con la materia ordinaria, y como consecuencia, quedan a salvo al ser indetectables. Puesto que estas teorías se encuentran en discrepan cia con el conjunto de la Física, y violan el requerimiento de falsacionismo, pue den calificarse de pseudocientíficas, in cluso aunque lleven pululando un cuarto de siglo y se sigan publicando en las re vistas científicas más prestigiosas.

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y fuerzas fundamentales de la naturaleza en una sola teoría que modela las partícu las y campos físicos como vibraciones de delgadas cuerdas supersimétricas que se mueven en un espacio-tiempo de más de 4 dimensiones. Una de las justificaciones manifestadas por los teóricos de las supercuerdas es que el esquema es una de las mejores teo rías candidatas para formular una teoría cuántica de la gravedad. La teoría de las supercuerdas se basa enteramente en la teoría supersimétrica de cuerdas porque, a diferencia de la teoría de cuerdas bosó nica, esta es la versión de la teoría de cuerdas que, mediante la supersimetría, incorpora a los fermiones.

3) ¿La teoría de supercuerdas una pseudociencia? La crítica principal de que es objeto la Teoría de supercuerdas es de que sea, fundamentalmente, imposible de falsar, debido a su naturaleza intrínseca: tiene la suficiente flexibilidad matemática co mo para que sus parámetros se puedan moldear para encajar con cualquier tipo de realidad observada. El filósofo de de la ciencia Mario Bun ge ha manifestado recientemente:  La consistencia, la sofisticación y la be lleza nunca son suficientes en la investi gación científica.  La Teoría de cuerdas es sospechosa (de pseudociencia). Parece científica porque aborda un problema abierto que es a la vez importante y difícil, el de construir una teoría cuántica de la gravitación. Pe ro la teoría postula que el espacio físico tiene seis o siete dimensiones, en lugar de tres, simplemente para asegurarse con sistencia matemática. Puesto que estas di mensiones extra son inobservables, y puesto que la teoría se ha resistido a la

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4) Falsacionismo El falsacionismo, refutacionismo o prin cipio de falsabilidad es una corriente e pistemológica fundada por el filósofo austríaco Karl Popper. Para Popper, constatar una teoría significa intentar re futarla mediante un contraejemplo. Si no es posible refutarla, dicha teoría queda corroborada, pudiendo ser aceptada pro visionalmente, pero nunca verificada. Dentro del falsacionismo metodológico, se pueden diferenciar el falsacionismo ingenuo inicial de Popper y el falsacio nismo sofisticado de la obra tardía de Po pper y la metodología de los programas de investigación de Imre Lakatos. 5) Teoría M Llamada también Teoría-U, es la propo sición de una “Teoría universal” que uni fique las cinco teorías de las Supercuer das. Basada en los trabajos de varios científicos teóricos, sugirió la existencia de las Supercuerdas en una conferencia en la USC en 1995, usando a la TeoríaM para explicar un número de dualida

484 Física-IV des previamente observadas, proporcio rias teorías sobregeneralizadas. Después nando el punto de partida para una nue el término se popularizó en la Física va investigación de la teoría de las cuer Cuántica al describir una teoría que po das llamada segunda revolución de su dría unificar o explicar a través de un percuerdas. modelo simple de teorías de todas las in  A comienzos de los años 1990, se demos teracciones fundamentales de la natura tró que las varias teorías de las Super leza. cuerdas estaban relacionadas por dualida  Hubo numerosas teorías del todo propu des, que permitían a los físicos relacio estas por físicos teóricos en el siglo pasa nar la descripción de un objeto en una do, pero hasta ahora ninguna ha sido ca teoría de Supercuerda para eventualmen paz de "aprobar" una prueba experimen te describir un objeto diferente de otra tal, han tenido tremendas dificultades pa teoría. Estas relaciones implican que ca ra que sus teorías tengan resultados expe da una de las teorías de Supercuerdas es rimentales estables. El primer problema un diferente aspecto de una sola teoría, en producir una teoría del todo es que las propuesta por Witten, y llamada “Teo teorías aceptadas, como la mecánica ría-M” cuántica y la relatividad general, son ra  La Teoría-M no está completa; sin em dicalmente diferentes en las descripcio bargo, puede aplicarse a muchas situacio nes del universo: las formas sencillas de nes. La teoría del electromagnetismo combinarlas conducen rápidamente a la también se encontraba en el mismo esta "renormalización" del problema, en don do a mediados del siglo XIX; había teo de la teoría no nos da resultados finitos rías separadas para el magnetismo y la e para datos cuantitativos experimentales. lectricidad y, aunque eran conocidas por Finalmente, un número de físicos no es estar relacionadas, la relación exacta no pera que la teoría del todo sea descubier se clarificó hasta que James Clerk Max ta. well publicó sus ecuaciones en su traba  Otros términos, no del todo sinónimos, jo de 1864, Una Teoría Dinámica del empleados para referirse al mismo con Campo Electromagnético. Witten había cepto son teoría unificada, gran teoría sugerido que una fórmula general de la unificada , teoría de campos unificada y teoría-M probablemente requeriría del teoría del campo unificado. desarrollo de un nuevo lenguaje matemá tico. Algunos científicos han cuestiona 7) Teoría de Gran Unificación do los éxitos tangibles de la Teoría-M Es una teoría que unifica tres de las cua dado su estado incompleto y su poder li tro fuerzas fundamentales en la naturale mitado de predicción incluso después de za: la fuerza nuclear débil, fuerza nu años de intensas investigaciones. clear fuerte y la fuerza electromagnética. La fuerza de gravedad no es considerada en las teoría de Gran Unificación, pero 6) Teoría del Todo Es una teoría hipotética de la Física Teó si en una eventual Teoría del Todo (TOE rica que explica y conecta en una sola ), que consideraría las cuatro interaccio todos los fenómenos físicos conocidos. nes fundamentales. Inicialmente, el término fue usado con u  Como ejemplos exitosos de "unifica na connotación irónica para referir a va ción", se encuentran la demostración,

485 clear fuerte y fuerza nuclear débil), se considera con altísimas probabilidades que en el momento inicial del big bang lo que había era una superfuerza, antes de crearse el espacio-tiempo, al generar se y diferenciarse el espacio y el tiempo, en instantes, la superfuerza se fue divi diendo en las cuatro fuerzas elementales actualmente existentes en el universo co nocido.

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por parte de Newton, de que la fuerza que mantiene a los planetas girando en torno al sol y la fuerza que nos mantiene pegados a la superficie de la Tierra es la misma. También Maxwell llevó a cabo la unificación de los campos eléctricos y magnéticos, que hasta antes de su gran teoría, eran considerados fenómenos se parados y diferentes. Steven Weinberg y Abdus Salam elabo raron en 1967-1968, una teoría relativis ta del campo cuántico, que permitía ex presar las interacciones electromagnéti cas y débiles de una manera unificadas (la interacción electrodébil), y que predi jo hechos que luego fueron comproba dos experimentalmente. Posteriormente, Howard Georgi y Sheldom Glashow desarrollaron una nueva teoría, que apor taba nuevas características y corregía al gunos errores y omisiones de la anterior teoría. Sin embargo de las ecuaciones se desprendía el decaimiento del protón. Esto llevó a algunos famosos experimen tos para detectar este efecto: pero como el tiempo de vida de un protón es muy largo, en el orden de 1031 años, no es po sible observar la partícula el tiempo sufi ciente como para presenciar la descom posición. En reemplazo de esto, quizás el efecto podría ser observado si se exa minan suficientes protones. Algunos in tentos de medición conocidos se realiza ron en piscinas subterráneas (para prote ger el experimento de radiaciones) de grandes dimensiones, en las que el decai miento del protón sería visualizado co mo un destello en una serie de fotosen sores.

8) Superfuerza Se llama así a la supuesta fuerza que reu niría a las cuatro fuerzas fundamentales (gravedad, electromagnetismo, fuerza nu

9) Teoría del Big Bang En cosmología física, la teoría del Big Bang o teoría de la gran explosión es un modelo científico que trata de explicar el origen del Universo y su desarrollo pos terior a partir de una singularidad espa cio-temporal. Técnicamente, se trata del concepto de expansión del Universo des de una singularidad primigenia, donde la expansión de éste se deduce de una co lección de soluciones de las ecuaciones de la relatividad general, llamados mode los de Friedmann- Lemaître-RobertsonWalker. El término "Big Bang" se utiliza tanto para referirse específicamente al momento en el que se inició la expan sión observable del Universo (cuantifica da en la ley de Hubble), como en un sen tido más general para referirse al paradig ma cosmológico que explica el origen y la evolución del mismo. 17. LASER a) Definición Un láser cuyo significado literal es (Light Amplification by Stimulated Emi ssion of Radiation, Amplificación de Luz por Emisión Estimulada de Radia ción) es un dispositivo que utiliza un e fecto de la mecánica cuántica, la emisión inducida o estimulada, para generar un haz de luz coherente de un medio adecua

486 Física-IV do y con el tamaño, la forma y la pureza aleatorio y la radiación resultante está controlados. formada por fotones que se desplazan en distintas direcciones y con fases distin tas generándose una radiación monocro b) Origen En el año 1960 Townes y Arthur Leo mática incoherente. nard Schawlow inventan y patentan el 3) Emisión estimulada de radiación láser. Dos años después, Robert Hall in La emisión estimulada, base de la genera venta el láser semiconductor. En 1969 el ción de radiación de un láser, se produce láser por primera vez se utiliza en las sol cuando un átomo en estado excitado reci daduras de los elementos de chapa en la be un estímulo externo que lo lleva a e fabricación de vehículos. mitir fotones y así retornar a un estado El año de 1980, un grupo de físicos regis menos excitado. El estímulo en cuestión tran la primera emisión láser en el rango proviene de la llegada de un fotón con e de los rayos X. Cinco años después se co nergía similar a la diferencia de energía mienza a comercializar el disco compac entre los dos estados. Los fotones así e to, donde un haz láser de baja potencia mitidos por el átomo estimulado poseen "lee" los datos codificados en forma de fase, energía y dirección similares a las pequeños orificios (puntos y rayas) so del fotón externo que les dio origen. La bre un disco óptico con una cara reflec emisión estimulada descrita es la raíz de tante. Posteriormente esa secuencia de muchas de las características de la luz lá datos digital se transforma en una señal ser. No sólo produce luz coherente y mo analógica permitiendo la escucha de los nocroma, sino que también "amplifica" archivos musicales. Inmediatamente des la emisión de luz, ya que por cada fotón pués la tecnología desarrollada se usa en que incide sobre un átomo excitado se el campo del almacenamiento masivo de genera otro fotón. datos. 4) Absorción Proceso mediante el cual se absorbe un fotón. El sistema atómico se excita a un c) Procesos Los láseres constan de un medio activo estado de energía más alto, pasando un capaz de generar el láser. Hay cuatro pro electrón al estado metaestable. Este fenó cesos básicos que se producen en la ge meno compite con el de la emisión esti neración del láser, denominados bom mulada de radiación. beo, emisión espontánea de radiación, e misión estimulada de radiación y absor d) Características ción. 1) La luz láser es intensa. No obstante, sólo 1) Bombeo ciertos láseres son potentes. Aunque lo Se provoca mediante una fuente de radia parezca, no se trata de una contradic ción como puede ser una lámpara, el pa ción. La intensidad es una medida de la so de una corriente eléctrica, o el uso de potencia por unidad de superficie, e in cualquier otro tipo de fuente energética cluso los láseres que emiten sólo algu que provoque una emisión. nos milivatios son capaces de producir 2) Emisión espontánea de radiación una elevada intensidad en un rayo de un Los electrones que vuelven al estado fun milímetro de diámetro. En realidad, su in damental emiten fotones. Es un proceso tensidad puede ser igual a la de la luz del

487 la en el agua de mayor magnitud. Así ac túa un láser, y esta propiedad especial puede tener diversas utilidades. Dicho de otro modo, una bombilla o un foco son como escopetas de cartuchos, mientras que un láser equivale a una ametrallado ra. 4) Los láseres producen luz de un solo co lor, o para decirlo técnicamente, su luz es monocromática. La luz común contie ne todos los colores de la luz visible (es decir, el espectro), que combinados se convierten en blanco. Los haces de luz láser han sido producidos en todos los colores del arco iris (si bien el más co mún es el rojo), y también en muchos tipos de luz invisible; pero un láser deter minado sólo puede emitir única y exclu sivamente un solo color. Existen láseres sintonizables que pueden ser ajustados para producir diversos colores, pero in cluso éstos no pueden emitir más que un color único en un memento dado. Deter minados láseres, pueden emitir varias fre cuencias monocromáticas al mismo tiem po, pero no un espectro continuo que contenga todos los colores de la luz visi ble como pueda hacerlo una bombilla. A demás, existen numerosos láseres que proyectan luz invisible, como la infrarro ja y la ultravioleta.

Física moderna sol. Cualquier lámpara ordinaria emite u na cantidad de luz muy superior a la de un pequeño láser, pero esparcida por to da la sala. Algunos láseres pueden produ cir muchos miles de vatios continuamen te; otros son capaces de producir billo nes de vatios en un impulso cuya dura ción es tan sólo la mil millonésima parte de un segundo. 2) Los haces láser son estrechos y no se dis persan como los demás haces de luz. Es ta cualidad se denomina direccionalidad. Se sabe que ni la luz de un potente foco logra desplazarse muy lejos: si se enfoca hacia el firmamento, su rayo parece des vanecerse de inmediato. El haz de luz co mienza a esparcirse en el memento en que sale del foco, hasta alcanzar tal gra do de dispersión que llega a perder su u tilidad. Sin embargo, se han logrado re flejar haces láser de pocos vatios de po tencia sobre la luna y su luz era todavía lo suficientemente brillante para verla desde la tierra. Uno de los primeros ha ces láser que se disparó contra la luna en 1962 sólo lleg6 a dispersarse cuatro kiló metros sobre la superficie lunar. ¡No es tá mal si se considera que se había des plazado cuatrocientos mil kilómetros! 3) La luz láser es coherente. Esto significa que todas las ondas luminosas proceden tes de un láser se acoplan ordenadamen te entre sí. Una luz corriente, como la procedente de una bombilla, genera on das luminosas que comienzan en diferen tes mementos y se desplazan en direccio nes diversas. Algo parecido a lo que ocu rre cuando se arroja un puñado de piedre citas en un lago. Lo único que se crean son pequeñas salpicaduras y algunas on dulaciones. Ahora bien, si se arrojan las mismas piedrecitas una a una con una frecuencia exactamente regular y justo en el mismo sitio, puede generarse una o

e) Aplicaciones En muchas aplicaciones, los beneficios de los láseres se deben a sus propiedades físicas como la coherencia, la alta mono cromaticidad y la capacidad de alcanzar potencias extremadamente altas. A mo do de ejemplo, un haz láser altamente co herente puede ser enfocado por debajo de su límite de difracción que, a longitu des de onda visibles, corresponde sola mente a unos pocos nanómetros. Cuando se enfoca un haz de láser potente sobre

488 Física-IV un punto, éste recibe una enorme densi  Láser de Zafiro dopado con Titanio, es dad de energía. Esta propiedad permite un láser infrarrojo fácilmente sintoniza al láser grabar gigabytes de información ble que se utiliza en espectroscopia. en las microscópicas cavidades de un  Láser de fibra dopada con erbio, un tipo DVD o CD. También permite a un láser de láser formado de una fibra óptica es de media o baja potencia alcanzar inten pecialmente fabricada, que se utiliza co sidades muy altas y usarlo para cortar, mo amplificador para comunicaciones quemar o incluso sublimar materiales. ópticas.  El rayo láser se emplea en el proceso de  Láser de colorante, formados por un co fabricación de grabar o marcar metales, lorante orgánico operan en el UV-VIS plásticos y vidrio. de modo pulsado, usados en espectrosco  Diodos láser, usados en punteros láser, pia por su fácil sintonización y su bajo impresoras láser, y reproductores de CD, precio. DVD, Blu-Ray, HD-DVD;  Láser de dióxido de carbono, usado en la industria para corte y soldado  Láser Excimer, que produce luz ultravio leta y se utiliza en la fabricación de semi conductores y en la cirugía ocular Lasik.  Láser neodimio-YAG, un láser de alto poder que opera con luz infrarroja; se uti liza para cortar, soldar y marcar metales y otros materiales.

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Láser YAG dopado con holmio, 2090 nm, un láser de alto poder que opera con luz infrarroja, es absorbido de manera ex plosiva por tejidos impregnados de hu medad en secciones de menos de un milí metro de espesor. Generalmente opera en modo pulsante y pasa a través de dis positivos quirúrgicos de fibra óptica. Se utiliza para quitar manchas de los dien tes, vaporizar tumores cancerígenos y deshacer cálculos renales y vesiculares.

489

Física moderna

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Hallar la longitud de onda de un fotón de 2,0 keV. o

o

a) 6,0 A

o

b) 6,2 A

o

c) 6,4 A

o

d) 6,6 A

e) 6,8 A

o

02. Hallar la frecuencia de un fotón de 2,0 keV. (h.c=12,4 ke.V A ) a) 1,81017 Hz

b) 2,81017 Hz

c) 3,81017 Hz

d) 4,81017 Hz

e) 5,81017 Hz

03. Hallar la cantidad de movimiento (en MeV/c) de un fotón de 14 MeV. a) 10

b) 12

c) 14

d) 16

e) 18

04. Luego de un choque simple, que lo deja en reposo, un electrón de 1 MeV produ ce un fotón. Hallar la longitud de onda del fotón. (p=10-12) a) 1,2 pm

b) 2,2 pm

c) 3,2 pm

d) 4,2 pm

e) 5,2 pm

05. Si la máxima longitud de onda de un fotón necesaria para separar una molécula diatómi o

ca es de 3000 A . Hallar la energía de enlace de la molécula. a) 1,13 eV

b) 2,13 eV

c) 3,13 eV

d) 4,13 eV

e) 5,13 eV

06. Sobre una superficie de 5 cm2 de área incide normalmente luz monocromática de 2000 o

-2

2

A de longitud de onda. Si la intensidad de la luz es de 1610 W/m . Hallar el número

de fotones por segundo que incide sobre la superficie. a) 21013

c) 61013

b) 41013

d) 81013

e) 1014

07. Hallar la longitud de onda de de Broglie para una billa de 0,05 kg que viaja a 20 m/s. o

a) 1,610-24 A

o

b) 2,610-24 A

o

c) 4,610-24 A

o

d) 6,610-24 A

o

e) 8,610-24 A

08. Hallar la longitud de onda de de Broglie para un neutrón “térmico” de 0,02 eV. o

a) 1 A

o

b) 2 A

o

c) 4 A

o

d) 6 A

o

e) 8 A o

09. Hallar la energía (en MeV) de un protón de longitud de onda de 0,8 fm (1 fm= 10-5 A ) a) 1812

b) 1712

c) 1612

d) 1512

e) 1412

490 Física-IV 10. Hallar la energía mínima (en eV) que debe tener un fotón utilizado para observar un ob o

jeto, cuyo tamaño es de 2,0 A . a) 1,2103

b) 2,2103

c) 4,2103

d) 6,2103

e) 8,2103

11. Las energías cinéticas de los fotoelectrones son de 4,810-19 J cuando la luz que incide o

sobre la superficie tiene una longitud de onda de 2 500 A . Hallar el potencial de frenado para esta luz. (1 eV= 1,610-19 J) a) 1 V

b) 2 V

c) 3 V

d) 4 V

e) 5 V o

12. Hallar la longitud de onda umbral para el material del problema anterior. (1 A = 10-10 m) o

a) 1327 A

o

b) 2327 A

o

o

c) 4327 A

d) 6327 A

o

e) 8327 A

o

13. La longitud de onda umbral para un material es de 5 000 A . Hallar su función trabajo. o

(1 A =10-10 m) a) 1,48 eV

b) 2,48 eV

c) 3,48 eV

d) 4,48 eV

e) 5,48 eV

14. Para el material del problema anterior. Hallar el potencial de frenado para fotones de o

  3500A . a) 1,06 V

b) 2,06 V

c) 3,06 V

d) 4,06 V

e) 5,06 V

o

15. Cuando un material se ilumina con luz de 3 000 A , la máxima energía de los electrones emitidos es de 1,2 eV. Hallar la función trabajo del material. a) 1,93 eV

b) 2,93 eV

c) 3,93 eV

d) 4,93 eV

e) 5,93 eV

16. ¿Cuál es la tasa de emisión de electrones por m2 y segundo en el problema anterior, si la luz tiene una intensidad de 3 W/m2 y su eficiencia es del 50 %? a) 1,281018

b) 2,281018

c) 3,281018

d) 4,281018

e) 5,281018

17. Hallar la máxima energía cinética de los eS emitidos por una superficie, cuya longitud de o

o

onda umbral es 6 000 A cuando se ilumina con luz de 4000 A ? a) 1,03 eV

b) 2,03 eV

c) 3,03 eV

d) 4,03 eV

e) 5,03 eV

18. Hallar la máxima longitud de onda de la luz capaz de provocar emisión de electrones en un material, cuya función de trabajo es de 3,0 eV. o

a) 1133 A

o

b) 2133 A

o

c) 3133 A

o

d) 4133 A

o

e) 5133 A

491 19. Hallar la energía de los electrones más rápidos emitidos al iluminar una superficie de

Física moderna

o

litio con luz de 5 000 A , la función trabajo del litio es de 2,13 eV. a) 0,15 eV

b) 0,25 eV

c) 0,35 eV

d) 0,45 eV

e) 0,55 eV

o

20. Hallar en A , la longitud de onda más corta de la serie de Balmer. o

o

a) 1646 A

o

b) 2646 A

o

c) 3646 A

o

d) 4646 A

e) 5646 A

21. Hallar la longitud de onda de la tercera línea de la serie de Paschen para el hidrógeno. o

o

a) 10939 A

o

b) 12939 A

o

c) 14939 A

o

d) 16939 A

e) 18939 A

22. Hallar la mínima longitud de onda del fotón en la serie de transiciones con n=4 (serie de Brackett) o

o

o

a) 1,459104 A b) 2,459104 A

o

c) 3,459104 A

d) 4,459104 A

o

e)5,459.104 A o

23. La mínima longitud de onda en la serie de Balmer para el hidrógeno es 3646 A . Hallar la constante de Rydberg a partir de este valor. -3

o 1

-3

a) 1,09710 A

o 1

-3

b) 2,09710 A o 1

o 1

c) 3,09710 A o 1

d) 4,09710-3 A

e) 5,09710-3 A

24. Hallar el valor de " m" en la serie que da lugar a la línea del espectro del hidrógeno con 1 o

026 A . (Observar que ésta es la línea de Lyman). a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

o

25. Calcular: ke2 en eV A . (k=109) o

a) 10,4 eV A

o

b) 12,4 eV A

o

c) 14,4 eV A

o

d) 16,4 eV A

o

e) 18,4 eV A

26. Hallar en angstroms el radio de la primera órbita de Bhor para el hidrógeno. o

a) 0,129 A

o

b) 0,229 A

o

c) 0,329 A

o

d) 0,429 A

o

e) 0,529 A

27. Hallar la razón de la longitud de onda Compton de un electrón respecto del radio de la primera órbita de Bhor para el hidrógeno. a) 21,8

b) 22,8

c) 23,8

d) 24,8

e) 25,8

28. Hallar el radio de la segunda órbita para el litio doblemente ionizado. o

a) 0,105 A

o

b) 0,205 A

o

c) 0,305 A

o

d) 0,405 A

o

e) 0,505 A

492 29. I) II) III)

Física-IV Respecto de la radiación de un cuerpo escoger las proposiciones verdaderas V o falsas F: Todo cuerpo caliente emite un espectro de radiación discreto. El espectro de radiación no depende del material del cuerpo emisor. Las ondas creadas por cuerpos calientes son ondas electromagnéticas. a) FVV

30. I) II) III)

b) FVF

c) VFV

d) VVF

e) FFV

Respecto de los fotones, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): Son partículas fundamentales de masa igual a la del electrón. Existen sólo cuando viajan a la rapidez de la luz " c" . La masa de un fotón en reposo es nula. a) FVV

b) FVF

c) VFV

d) VVF

e) FFV

31. Respecto de la cantidad de movimiento de un fotón, indicar las proposiciones verdade ras (V) o falsas (F): I) Depende directamente de la energía del fotón. II) Si la longitud de onda del fotón disminuye a la mitad, su cantidad de movimiento au menta al doble. III) La cantidad de movimiento de los fotones esta cuantizada. a) FVV 32. I) II) III)

d) VVF

e) VVV

b) FVF

c) VFF

d) VVF

e) FFV

Respecto del efecto fotoeléctrico, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): Un electrón emitido puede absorber la energía de más de un fotón de luz. La emisión de los electrones no depende directamente de la intensidad de la luz. Si la luz incidente tiene frecuencia menor que la de umbral no hay emisión de electro nes. a) FVV

34. I) II) III)

c) VFV

Respecto del efecto fotoeléctrico, indi car las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): Es la emisión de electrones de una placa metálica, sobre el cual incide radiación de luz. Es la dispersión de electrones. Es la emisión de ondas de infrarrojo de un cuerpo caliente. a) FVV

33. I) II) III)

b) FVF

b) FVF

c) VFV

d) VVF

e) FFV

Respecto del rayo LASER, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): Son ondas que solo viajan en un medio diferente del vació. Son ondas elásticas de poca intensidad. Experimentan el fenómeno de la difracción. a) FVV

b) FVF

c) VFV

d) VVF

e) FFV

35. Respecto del rayo LASER, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I) Son ondas monocromáticas.

493

Física moderna

II) Son ondas coherentes. III) Son ondas electromagnéticas de longitudes de onda menores que las de ondas de radio. a) FVV

b) FVF

c) VFV

d) VVV

e) FFV

36. Respecto de la producción del rayo LASER, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I) Se producen por colisión de electrones II) Se producen por la emisión de electrones de un cuerpo caliente. III) Se producen por la interacción de un fotón con un átomo excitado. a) FVV

b) FVF

c) VFV

d) VVF

e) FFV

37. Respecto de los fenómenos que pueden experimentar los rayos-X, indicar las proposi ciones verdaderas (V) o falsas (F): I) Se refractan II) Interfieren III) Se difractan a) FVV 38. I) II) III)

b) FVF

c) VFV

d) VVV

e) FFV

Respecto de los rayos X, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): En el vació viajan a la rapidez de 6108 m/s. Se producen por efecto de la radiación de frenado de los electrones. Siempre son ondas longitudinales. a) FVV

b) FVF

c) VFV

d) VVF

e) FFV

39. Respecto de los rayos X, indicar las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F): I) La energía mínima de un fotón de rayos gamma es menor que la energía mínima de un fotón de rayos X. II) Pueden experimentar el fenómeno de la difracción. III) Siempre se propagan en un medio diferente del vació. a) FVV

b) FVF

c) VFV

d) VVF

e) FFV

40. a) b) c) d) e)

Según el módelo estandar, los bosones, son: Tres, el pión, el electrón, el bosón M. Tres, el mesón +, el kaón, el positrón. Cuatro, el fotón, el bosón W, el bosón Z Cuatro, el fotón, el bosón M, el bosón P Cuatro, el protón, el positrón, el mesón k+,

41. a) b) c)

Respecto de la teoría de Gran Unificación, indicar la proposición verdadera: Unifica las fuerzas nuclear, débil y electromagnética. Unifica las fuerzas gravitatoria, electromagnética y nuclear. Unifica las fuerzas gravitatoria, nuclear y débil. a) FVF

b) VFF

c) FFV

el gluón. el pión. el neutrino.

d) FVV

e) FFF

494

Física-IV

SOLUCIONARIO 

E

Solución: 01 La longitud de onda, viene dado por: 

E B

Solución: 02  La frecuencia de la radiación, viene da do por: c 3 108 m s 1 f   6,2 1010 m  f  4,84 10

17

E

MeV c



  12,4 10

2 107 m

)(5 104 m2 )

N I.A  t E N 8 105 J s 1  t 9,85 1019 J fotón 1 



N fotones  8,12 1013 t s

D

Solución: 07 La longitud de onda de de Broglie es:

A  A

Solución: 05 Su energía máxima de enlace es:

m

2

Luego, el número de fotones por segundo que inciden sobre la superficie es:

C

o

W

I.A  8 105 J s1

o

   1,24 pm



(6,63 1034 J s)(3 108 m s 1)

I.A  (16 102

h c 12,4 10 eV A  E 106 eV 3

hc 

De otra parte, el flujo total de energía es:

Solución: 04  La longitud de onda del fotón, viene dado por: 3

D

E = 9,9510-19 J

D

Hz

Solución: 03  La cantidad de movimiento, viene da do por: E p c  p  14

h.c 12,4 10 eV A  o  3 3 10 A

Solución: 06 Calculemos la energía de cada fotón:

o

  6, 2 A

o

 E = 4,13 eV

o

h c 12,4 keV A   E 2,0 keV

3



h mv

6,63 1034 J s (0,05 kg)(20 m s 1)

495

Física moderna    6,63 10



24

o

Solución: 10  La energía mínima que debe tener el fotón, viene dado por:

D

A

Solución: 08 La longitud de onda de de Broglie es:



h p

o

E min 

12,4 103 eV A

De otra parte, EC  p / 2mo , luego:



 E min  6,2 10 eV 3

h.c

Solución: 11  La energía potencial de frenado, es i gual a la energía cinética de los electrones, es decir: 1 e.VS  EC  VS  EC e

12,4 103 eV A 2(940 106 eV)(0,02 eV) 

   2,02 A

B

Solución: 09  La expresión relativista para la ener gía, viene dado por: E  (p.c)2  E02

pc 

1 1 eV VS  (4,8 1019 J)( ) e 1,6 1019 J  VS  3 V

Solución: 12  La longitud de onda umbral "  u " , se halla de la expresión siguiente:

h.c 

eVS  h f  h f u 

1240 MeV fm 0,8 fm

 u 

p.c  1 550 MeV

Sustituyendo en (1), obtenemos la energía: E  (1550)  (938) 2

 E  1 811,7 MeV

C

(1)

Donde, " p.c " , viene dado por: p.c 

D

2(m0c2 ) EC o



o

2,0 A

2

h  2m0EC

h.c  max

E min 

2

A

u 

eVS 

hc hc   u

h.c h.c /   e.VS o

3

12,4 10 eV A o

o

(12,4 10 eV A/ 2500 A)  3 eV 3

o

  u  6 327 A

D

496 

Física-IV Solución: 13 La función trabajo, viene dado por:

c u

  h.f u  h

  (4,136 10

15

eV s)(

3 108 m s 1 5 107 m

   2, 48 eV

Solución: 16  En el problema anterior la energía de cada fotón es, 4,1 eV= 6,5710-19 J, ahora, si cada fotón emite un electrón, y sabiendo que la eficiencia es e=1/2, entonces la tasa de emisión es:

)

N I  ( ) (e) A.t E

B

N 3 J m  2 s 1 1 ( )( )  19  1 A.t 2 6,57 10 J electrones

Solución: 14  El potencial de frenado (VS), se halla de la siguiente expresión: e VS  h f   

VS 

1 hc (  ) e 

B

N electrones   2,28 1018 A.t m2 s

 Nota La tasa se define como el número de par tículas (N) que atraviesan una superficie de área (A) por unidad de tiempo (t).

o

1 12,4 103 eV A VS  (  2,48 eV) o e 3 500 A

VS 

Solución: 17  La máxima energía cinética de los foto electrones emitidos es:

1 (3,54 eV  2, 48 eV) e  VS  1,06 V

A

EC  h f  h f u 

Solución: 15  La función trabajo (), se halla de la siguiente expresión: EC  h f     

EC 

3

hc hc   u

o

o

3

12,4 10 eV A 12,4 10 eV A  o o 4 000 A 6 000 A

EC  3,10 eV  2,07 eV

hc  EC 

 EC  1,03 eV

A

o



12,4 103 eV A o

 1,2 eV



3 000 A

u 

  4,1eV  1, 2 eV    2,93 eV

Solución: 18 La máxima longitud de onda es: h.c  o

B

12,4 103 eV A u  3,0 eV

497

Física moderna o

  u  4 133 A

D

Solución: 21  La longitud de onda en la serie de Pas chen, viene dado por:

Solución: 19  La energía de los electrones más rápi dos, viene dado por: EC 

o 1  (1,097 103 A 

o

EC 

o

o 1  (1,097 103 A 

 2,13 eV

5 000 A

C

Solución: 20  La longitud de onda en la serie de Bal mer, viene dado por:

)(

 max

o

 (1,097 103 A

1 2

2



1

1 m2

1 1 )(  ) 4 9

1

o

A

1

1

)(

4

2

4



1 2

)

1

R

R( 4  min

1 22

1 1  (1,097 103 A 1)(  ) 4 



1



2

)

4



o

3 646 A

 R  1,097 10

o

C

A

Solución: 23  La mínima longitud de onda en la se rie de Balmer, se obtiene para m=.

La mínima longitud de onda corresponde a, m=.

o

o

  min  1,459 10 A

 min

  min  3 646 A

1 1 )(  ) 9 36

)

o

 min

)

1

 (1,097 103 A

 max  6 563 A

1

m2

Solución: 22  La mínima longitud de onda en la se rie de Brackett, correspondiente a la transi ción m= a n=4 es:

 min

con, m=3, 4, 5,... La máxima longitud de onda corresponde a, m=3. 1

3

1

o

 EC  0,35 eV

1



2

   10 939 A

EC  2,48 eV  2,13 eV

o 1  (1,097 103 A 

)(

La longitud de onda para la tercera línea se obtiene para m= 6.

h.c  

12,4 103 eV A

1

1

3

o

A

1

A

Solución: 24 La serie de Lyman, viene dado por:

498

Física-IV o

o

1 o

 (1,097 103 A

hc

12,4 k eV A C   511 k eV mc2

1 1 )( 2  2) 1 m

1

1 026 A

o

C  0,0243 A

m  [1  [1/ (1,097 103 )(1026)]]1/2  m3



C

Solución: 25 La transformación se realiza así:

k e2  k ee k e  (9 10 2

9

N m2 C

2

)(1,602 1019 C) e

k e2  (14,40 1010 m)(

o

2



h2 4 2 k m e 2

n 2 R10 Rn  Z

(h c)2 42 (mc2 )(k e2 )

o

22 (0,529 A) R2  3

(12,4 keV A) 2

o

o

 R 2  0,705 A

4  (511 keV)(14,4 eV A) 2

0  R1

o

 0,529 A

A

Solución: 28  El radio de las órbitas del átomo de hi drógeno, viene dado por:

o

R10 

 0,529 A

R10   21,8 C

C

Solución: 26 El radio de la órbita del hidrógeno es:

R10

42 k m e 2

o

R10 0,529 A  o C 0,0243 A

Nm )e C

 k e  14,4 eV A





h2

Luego, la razón entre el radio de la primera órbita del hidrógeno y la longitud de onda de Compton es:

J

A

R10

R10

o

o



El radio de la primera órbita para el hidróge no, viene dado por:

E

Solución: 27  La longitud de la onda de Compton, viene dado por:

D



Solución: 29 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: FVV



Solución: 30 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: FVV

499  En la Teoría de Gran Unificación TGU, tres son las fuerzas unificadas, la electromag nética, la nuclear y la débil. Fuerza electromagnética Son las que se dan entre las partículas carga das, tales como los electrones, protones, son de corto alcance y de amplia aplicación tec nológica. Es perceptible en la escala micros cópica. Fuerza nuclear o fuerte Se da al interior de los núcleos de los áto mos, entre los nucleones (protones y neutro nes), este tipo de interacción no se ha termi nado de estudiar. Al interior de los núcleos esta fuerza es muy significativa en los proce sos que se presentan en la transformación de los núcleos radiactivos, y en los procesos de fusión y fisión nucleares. Fuerza débil Se da entre partículas fundamentales tales co mo piones, cationes, kaones, neutrinos, me sones. No se conoce completamente este ti po de interacción.

Física moderna 

Solución: 31 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: VVV



Solución: 32 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: VFF



Solución: 33 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: FVV



Solución: 34 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: FFV



Solución: 35 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: VVV



Solución: 36 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: FFV



Solución: 37 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: VVV



Solución: 38 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: FVF



Solución: 39 Las respuestas a cada una de las proposi ciones son: FVF



Solución: 40 En la teoría del modelo estándar, cuatro son los bosones: el fotón, el bosón W, el bosón Z y el gluón., por lo que, la res puesta es la C). Solución: 41

R.U.B

942

A

APENDICE 1. TRIGONOMETRIA Basandose en la Figura. mostrada, pode mos definir las siguientes relaciones:

Relaciones entre funciones de 2 y . sen 2

2 tg , ctg 2 1 tg 2

tg 2 r

ctg

y , r

cos

x , y

sec

y

X

x , r

tg

r , x

csc

y x

sec

2

1 tg

,

csc

r y

cos 2

2

) sen cos )

tg(

ctg(

cos cos

1 ctg

cos 2

1 2

1 (1 cos ) 2

sen3

3sen

4sen 3

cos3

4cos3

3cos

sen

1 2sen ( 2

1 )cos ( 2

)

cos

cos

1 2cos ( 2

1 )cos ( 2

)

1 2sen ( 2

1 )sen ( 2

)

2

cos sen

cos

cos cos

tg tg ) 1 tg tg )

1 (1 cos ) 2

sen

cos cos(

1 2

1

Suma y diferencia de dos ángulos sen(

sen 2

Suma y diferencia de funciones

sen 2 , sen cos 2

ctg 2 1 2ctg

Relaciones entre funciones de 3 y .

a) Identidades trigonométricas

tg

sen 2

Relaciones entre funciones de /2 y .

x

0

sen

cos2

cos2

Y

2sen cos

ctg ctg 1 ctg ctg

Producto de dos funciones sen sen

1 [cos( 2

) cos(

)]

cos cos

1 [cos( 2

) cos(

)]

R.U.B 1 [sen( 2

sen cos

) sen(

943

a sen

)]

b sen

Identidades fundamentales ei

sen

e

i

e 2i i

cos

C

ei

cos

,

e 2

i

1

cos a tg 1a

cos

1

sen

1

sen

isen

1 a2

1 a a

1

1 a

2

a

tg

1

tg

1

1 a2 a

cos

1

1

2

1 a2

1 a

A

senh x tgh x

ex ex

e 2

x

e e

x

,

x

,

ex

cosh x ctgh x

ex ex

e 2 e e

2

x

x x

Recíproca de funciones hiperbólicas senh 1 x

n(x

1 x2 )

cosh 1 x

n(x

x 2 1)

tgh 1x

1 1 x n( ) 2 1 x

ctgh 1 x

1 x 1 n( ) 2 x 1

b) Teorema del seno Los lados de un triángulo son proporcio nales a los senos de los ángulos opuestos, esto es:

B

c

c) Teorema del coseno En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo com prendido entre ellos, esto es:

Funciones hiperbólicas ex

a

b

Relaciones de funciones recíprocas sen 1a

c sen

a2

b2

c2

2bccos

b2

a2

c2

2a ccos

c2

a2

b2

2a bcos

d) Teorema de la tangente En cualquier triángulo, la diferencia de dos lados cualesquiera es a su suma co mo la tangente de la mitad de la diferen cia de los ángulos opuestos es a la tangen te de la mitad de su suma, esto es:

a b a b

tg[( tg[(

) / 2] ) / 2]

e) Relaciones en los triángulo rectángulos En el triángulo rectángulo ABC, se cum plen las siguientes relaciones: A

c

B

b

h n

m a

C

944

R.U.B

b2

am

c2

an

h2

mn

h

bc/a

cos4

2

2

b2

m n

tg 4

a

b

c

2

c2

sen 4

4sen cos 8cos4

8sen 2 cos 8cos2

4tg 4tg3 1 6tg 2 tg 4

Relaciones entre funciones 4 y . 2. CALCULO a) Desarrollo de series de potencias 1) Desarrollo binomial

(x

y)n

xn

n (n 1) n x 2!

n xn 1 y

2

y2

n (n 1)(n 2 n x 3!

3 3

y ... yn , n Z

2) Desarrollo de Taylor  f (x)

f (a) (x a)f ' (a)

(x a) 2 f "(a) 2!

 f (x

h)

f (x) h f (x)

h2 f "(x) 2!

f (x

h)

f (h) x f ' (h)

x2 f "(h) 2!

'

(x a)3 (x a) n (n) f "'(a) ... n f ( (a) ... 3! n!

h3 f "'(x) ... 3! x3 f '"(h) ... 3!

 Si, f (x) es una función con derivadas de todos los órdenes en el intervalo a tonces existe un valor de "x" con a x b , tal que se cumple: f (b)

f (a

f (x)

f (a) (b a)f '(a)

h)

h2 f "(a) 2!

f (a) h f '(a)

f (a) (x a)f '(a)

de donde, R n

f (n) (a

(b a) 2 (b a) n 1 (n f "(a) ... f 2! (n 1)! h3 f '"(a) ... 3!

(a)

b , en

(b a) n (n) f (a) n!

h n 1 (n 1) hn f (a) f (a h) (n 1)! n! para, b a h , 0 1

(x a)2 (x a)n 1 (n f "(a) ... f 2! (n 1)!

(x a)) (x a) n , 0 n!

1)

x

1

1)

(a) R n

R.U.B

945

3) Serie de Mclaurin f (x)

x2 f "(0) 2!

f (0) x f '(0)

de donde, R n

f n (a

x3 xn 1 n f '"(0) ... x 3! (n 1)!

(x a)) , 0 n!

1

Rn

1

4) Exponenciales

1 e 1 1! a

x

e

x

1 1 2! 3!

1 1 ... 4! 5! (x log e a) 2 2!

1 x log e a

(lx og ea)3 3!

(x a) 2 2!

a

e [1 (x a)

e

(x a)3 3!

x2 2!

x x 1!

x

(x log e a) 4 4! (x a) 4 4!

x3 3!

x4 4!

x5 5!

...

...

... ]

5) Logarítmicas log e x

x 1 x

log e x

(x 1)

log e x

2[

log e (1 x)

x 1 x 1 x

1 x 12 ( ) 2 x

1 (x 1) 2 2

1 2 x 2

x) log e a

1 3 x 3

1 x loge 1 x loge x

2[x

log e a

x3 3 x a a

2[

2[

(x

1 ) 2

(2

x

1 x 15 ( ) ... ] 5 x 1

(x

0)

1 4 x 4

( 1

1 (x 1)3 3

1 x 13 ( ) 3 x 1

log e (n 1) log e (n 1)

loge3 (a

1 x 13 ( ) ... 3 x

1 n

2a

x5 5

1 5 x ... 5

1 3n 3

x x

1 (x 1) 4 ... 4

1 5n 5

1 x 3 ( ) 3 2a x

(x a)3 3a 3

x 0)

... ]

x 2n 1 ... ...] 2n 1

(x a) 2 2a 2

)

1 x 5 ( ) ... ] 5 2a x

(a

( 1

...

(0

0 , -a< x < )

x 1) x

2a )

946

R.U.B 6) Trigonométricas x3 2!

x5 5!

x7 7!

...

(

x

x2 cos x 1 2!

x4 4!

x6 6!

...

(

x R)

x3 3

2 x5 15

17 x 7 315

sen x

tg x

x

x

ctg x

1 x

x2 45

x 3

x2 sec x 1 2

csc x

1 x

1

sen x

x 6

1

cos x 1

tg x tg 1x

2

tg 1 x

2

1

ctg x log e cos x

2

7 3 x 360

31 5 x 15120

(x

2 x

61 6 x 720

1.3 5 x 2.4.5

x3 2.3

x3 3

x5 5

1 x

1 3x 2 1 x

x x2 2

x3 3 x4 12

277 8 x ... E n x 2n ... 8064 2 / 4 y En los números de Euler) ( x2

x7 7

127 x7 604800 ( x2

1 5x 5

1 7 x7

1 5x 2

x6 45

2

1 7 x7

x7 7

...

2(22n 1 1) Bn x 2n (2n)!

...

(x

2

(x

2

1, 0 cos 1 x

(x

2

1)

1,

2

(x > 1)

...

1

y Bn los números de Bernoulli)

1.3.5 7 x ... ) 2.4.6.7

...

x5 5

...

1.3.5 7 x .... 2.4.6.7

1.3 5 x 2.4.5

1 3x 2

22n (22n 1) Bn 2n 1 ... x ... (2n)! 2 / 4 y Bn los números de Bernoulli) ( x2

x7 22n Bn 2n 1 ... x ... 4725 (2n)! 2 ( x2 y Bn los números de Bernoulli)

5 4 x 24

x3 2.3

x

2 x5 945

62 x 9 2835

R)

(x < -1)

...

(x

2

17 x 8 ... 2520

(x

2

1) 2

/4)

sen 1x

2 )

)

947

R.U.B log e tg x

log le x

esen x

1 x

ecos x

e(1

e

tg x

x3 3

x2 2! x3 2! x2 2!

1 x

7 x4 90

3x 4 4!

62 x 6 2835

8x 5 5!

3x 6 6!

4 x4 4!

31x 6 6!

... )

3x 3 3!

9 x4 4!

37 x 5 5!

... 56 x 7 7!

(x

2

2

/4)

(x

2

2

/4)

...

...

7) Hiperbólicas e hiperbólicas recíprocas x

x3 3!

x5 5!

x7 7!

x 2n 1 ... (2n 1)!

( x

)

cosh x 1

x2 2!

x4 4!

x6 6!

...

x 2n (2n)!

( x

)

senh x

tgh x

1 3 x 3

x

ctgh x

1 x

x3 45

x 3

1 2 sec h x 1 x 2!

csc h x

senh 1 x

1 x

cosh 1 x

1

tgh x

5 4 x 4!

1 3 x 2.3 [ n(2x)

x

x3 3

17 7 x 315

2 x5 945

7 x3 360

x 6

x

2 5 x 15

x5 5

62 9 ( 1) n 1 22n (22n 1) x ... Bn x 2n 2835 (2n)!

x7 ( 1) n 1 22n ... Bn x 2n 4725 (2n)! 61 6 x 6

1 2.2 x 2

x7 7

...

(0

1835 8 ( 1) n x ... E n x 2n 8! 2n!

31x 5 2( 1) n (22n ... 15120 (2n)!

1.3 5 x 2.4.5

1

1

1)

Bn x 2n

1

x

( x

1

...

(0

1.3.5 ] 2.4.6.6 x 6

x 2n 1 ... ... 2n 1

)

/ 2)

x

1.3.5 7 1.3.5(2n 1) x ... ( 1)n x 2n 2.4.6.7 2.4.6...2n (2n 1) 1.3 2.4.4 x 4

..

)

1

(x > 1)

( x

1)

R.U.B

948

b) Diferenciales y derivadas 1) Diferenciales d ax

d

u v

a dx

d(u

v)

vdu u dv v2

d xn

ex dx

dea x

dex

x 1 dx

dloge x

du

dv

d uv

u dv

vdu

n x n 1 dx

d xy

y x y 1 dx

a ea x dx

da x

a x loge a dx x x (1 loge x)dx

dloga x

x 1 loga edx

d xx

d cos x

sen x dx

d tg x sec2 dx

tg x sec x dx

x y loge x dy

2) Derivadas dsen x

cos x dx

dctg x

csc2 x dx

dsec x

d vers x

sen x dx

dsen 1 x

d tg 1 x

1 x 2 dx

d csc 1 x

x

d cosh x

1

x2

a dx

senh x dx

dsec h x

sec h x tgh x dx

d csc x

1 x 2 dx

ctg x csc x dx

d cos 1 x

d ctg 1 x

1 x 2 dx

d vers 1x

2x

x 2 dx

1 x 2 dx

dsec 1 x

x

dsenh x

cosh x dx

d tgh x sech 2x dx

dctgh x

d csch x

csch x ctgh x dx

d senh 1x

1 x 2 dx

d ctgh 1x

d cosh 1 x

x 2 1dx

d tgh 1x

dsec h 1x

x 1 x 2 dx

d csc h 1x

x x 2 1dx

1) Integrales indefinidas

(y)dx u dv

a f (x)dx

ax

uv

(y) dy , siendo y' dy / dx y' vdu

(u u

a f (x)dx

v)dx

dv dx dx

u dx uv

v

x 2 1dx

csch 2 x dx

c) Integrales

a dx

1

vdx du dx dx

x 2 1dx x 2 1dx

R.U.B

xn 1 , (n n 1

n

x dx dx x

f '(x)dx f (x)

1)

ba x a log b

b dx

a x log a dx

dx a2 x2

a2

x

a2

dx x' a bx

dx a bx

2

1 a cos 1 ( ) a x

2

1

a

1 log(a b

tg (

x2

2b(a

x dx (a b x) 2

1 [log(a b2

dx x (a b x) dx x 2 (a b x)

a

b x 1/ 2 ) a

dx a2

x a2

x2

(a

n

b x)

b x)

a ] a bx

1 a bx log a x b a bx log x a2

(a b x) n (n 1) b

x2

a x

)

1 , (

n 1)

1 b(a

1 [a b2

x dx (a b x)3

b x)

b x a log(a

1 1 [ b2 a b x

dx x (a b x) 2

dx c2 x 2

a2 )

1 a log( a

b x) dx

x dx a bx

2

x2

log(x

dx (a bx)2

1

1 ax

a2

x2

1 x ctg 1( ) a a

1 x ctg 1( ) a a

dx

b x)

dx (a bx)3

a

f[(x)dx]

x

1 1 x tg ( ) o a a

2

dx

x x sen 1 ( ) o cos 1 ( ) a a

dx

x log x

dx

1 1 x 1 a x tg ( ) o log a a 2a a x

x2

x x2

log x dx

ax

dx

f (x) , [df (x) 1 ax e a

ea x dx

ex

ax

log f (x) , [df (x) f '(x)dx]

f[(x)dx 2 f (x)

log x o log( x)

e x dx

949

1 tg c

1 a (a 1x

c

b x)

b x)] a

2(a

b x) 2

]

1 a bx log 2 a a

R.U.B

dx c x2

1 c x log 2c c x

2

dx bx)(c dx)

(a

x a

dx a bx

x dx x

a

1 a d bc

2

a 2 )3

dx x2 x 2 dx

(a

a

b x dx

a

bx

2 3

x2

x )

x

a2

2

a2 x2 dx x2

a2

1 (a 2 3

x2

x

x2 x

x2

(a 2

a2 sen 2 1

1x

a x a

a2

bx

a2 ) a 2 )3

a2

x2

x x 2 )3

a2 a2

x2 a2

x2

x 2 )5

a2 x2 a 2x

x 2 dx x 2 )3

x2

1 (a 2 5

x 2 )3 dx

dx

(a 2

dx x a bx

x2 a2 a 2x

a2

x2

x (a 2

sen

x2

dx

x 2 )3

2

a 2 )3

x dx a2

a

1

x2 x2

2

x

a2

bx

1 (x 2 3

dx

)

bx)3

log(x

a 2 )3 dx

(x 2 a 2 )5

a2 x

x 2 a 2

2 a

x dx

1 a log( a

a

2 (a 3b

2(2a bx) a 3b 2

x (x 2

1 (x 2 5

2

dx

dx

a ) a

1

x 2 dx 2

bx bx

a2 x2

x dx 2

a

x

a2

a 2 )3 dx

x a2

bx)3

2

x dx a bx

1 a log( a a

x2

c

x

x (x 2

a2

c dx ) a bx

15b 2

dx (x 2

log(

1 x c log 2c x c

2

x

2 a bx b

dx x a bx

2

dx

2(2a 3bx) (a

bx dx

950

x a2

x2

sen

1

x a

R.U.B dx 2ax x 2

cos 1 (

dx a 2bx cx

a

x a

)

1 sen c

2

951

1 x 1/ 2 ( ) dx 1 x 1

cx b b

2

sen x dx

sen 1x

cos x

ac

cos x dx

sen x

tg x dx

log cos x

ctg x dx

logsen x

sec x dx

log tg(

csc x dx

1 log tg x 2

sen 2 x dx

sen 3x dx

1 cos x (sen 2 x 3

x sen dx a

a cos

sen(a

b x)dx

dx sen x

log tg

dx cos2 x

tg x

dx 1 cos x 2

xsen x dx

tg

2)

x a b x)

x 2

x 2

x2 4

xsen 2x 4

cos 2x 8

sen x dx

3x 8

sen 2x 4

sen 4x 32

cos 4 x dx

3x 8

sen 2x 4

sen 4x 32

tg 4 x dx

1 3 tg x 3

tg x

4

ctg 4 x dx

1 3 ctg x 3

x

ctg x

x

4

1 x 2

1 sen x cos x 2

b x)dx

dx cos x

log tg(

tg(

dx 1 cos x

ctg

2

x sen x dx 2

x cos x dx

1 sen(a b

4

x ) 2

x 2

x3 6 x2 4

b x)

x ) 2

4

dx 1 sen x

1 x 2

x a

a sen

cos(a

2

x ) 2

1 cos x sen x 2

cos 2 x dx x cos dx a

1 cos(a b

1 x2

x2 ( 4

1 ) 8

xsen2x 4

x cos 2x 4 cos 2x 8

1 2 tg x log cos x 2 1 2 ctg 3x dx ctg c logsen x 2 tg 3x dx

sen x cos x dx

1 sen 2 x 2

R.U.B 1 1 ( sen 4x 8 4

sen 2 x cos 2 x dx

sen m 1x m 1

sen m x cos x dx sen 2 x dx cos x

sen x

dx sen x cos x

log tg x

dx sen x cos x

dx sen 2 x

x ) 2

4

cos x dx sen 2 x

x ) 2

4

ctg x

ctg 2 x dx

ctg x

sec x

csc x

dx sen x cos 2 x log tg(

1 cos x

2ctg 2x

tg 2 x dx

x

tg x

ctg x

x 2sen x dx

2x sen x (x 2

2)cos x

x cos x dx

cos x

x 2 cos x dx

2x cos x

(x 2

2)sen x

sen 1x dx

xsen 1x

cos 1 x dx

x cos 1 x

ctg 1x dx

x tg 1x

csc 1x dx

x csc 1 x log(x

cos

1

ctg

1

x dx a

x cos

x dx a

x ctg

x log x dx

x sen x

1

x a

x2 log x 2

x a

a2 a log(a 2 2

x2 4

sen x

tg 1x dx

1 log(1 x 2 ) 2

x 2 1) x2 x2)

tg

1

1

x a

2

x sen x

1 x2 1 log(1 x 2 ) 2

xsec 1 x log(x x sen

1

x tg

1

x dx a

log x dx

x cos x

x tg 1x

sec 1 x dx sen

x 2

tg x

csc 2 x dx

1 x2

log tg

dx sen x cos 2 x 2

sec 2 x dx

x

cos x m 1

sen x cos m x dx

sen x dx cos2 x

log tg(

1 sen x

2

x)

952 m 1

x log x

x log x dx

x a

a2

x a

x2

a log(a 2 2

x

x3 log x 3

x3 9

x 2 1)

x2 )

R.U.B p 1

x p log(ax)dx

x log(ax) p 1

(log x)n dx x

1 n 1

dx x (log x) n

1 (n 1)(log x) n

sen log x dx

1 x sen log x 2

e x dx

(log x)n

p 1

x (p 1) 2

(log x) 2 dx

dx x log x

1

1

1 x cos log x 2

ex

e dx

dx 1 ex

ex log 1 ex

ax

e sen px dx

log x m 1

cos log x dx

1 x sen log x 2

x

dx

ax

a em x e

ax

dx

dx be

]

1 x cos log x 2

mx

1 a tg 1(em x ) b m ab ea x (a cos px psen px) a 2 p2

cos px dx

senh x

tgh x dx

log cosh x

ctgh x dx

logsenh x

csc h x dx

x log tgh( ) 2

x cosh x senh x

(m 1)2

ea x (a x 1) a2

cosh x dx

x senh x dx

1

x

e

cosh x

2 tg 1(e x )

2x

log(log x)

senh x dx

sec h x dx

2 x log x

xm 1[

xe

ea x (a sen px pcos px) a 2 p2

x (lo x) 2

x m log x dx

e

1 ax e a

ax

953

x cosh x dx

x senh x cosh x

2) Integrales definidas 1

x

n 1

e

x

dx

(n)

0

0

0

dx (1 x) x p

x p 1 dx 1 x 0

cscp ,

sen p

,

dx xm

1 , m 1

(p < 1)

dx (1 x) x p 0

(0 < p <1)

x m 1 dx 1 xn 0

(m > 1)

ctg p ,

n sen (m / n)

(p < 1)

,

(0 < m < n)

R.U.B dx (1 x) x 0

a dx a x2 0 2

/2

sen x dx

2

0

/ 2,

sen mx dx x

si m

/ 2, si m;0

0

sen kx sen mx dx

0, (k

m, k, m Z)

0

sen x cos mx dx x

tg x dx x

m

1

/ 4, m

1

/ 2, m 2 1

2

cos kx cos mx dx

0, (k

m, k, m Z)

0

2

2

sen mx dx 0

sen mx dx 0 m

/ 2e

cos mx dx 1 x2

0

sen(x 2 )dx

0

0 /2

cos 1 a

dx 1 a cos x

0

e

ax

x2

dx

0 2n

x e

ax 2

dx

n

x e

1 2 2

0 2

,

ax

(n 1) / a n 1, (n

dx

n!/ a n 1,

(m 0)

(a < 1)

1 a

dx

0

xe

1 a

2

2

sen 2 x dx 2 x2 0

, (m 0)

/ 2e m ,

cos(x 2 )dx

0

0, 0

0

(n 1/ 2) , n > -1 (n / 2 1)

2

0

0

cos x dx x

0

cos n x dx

si m 0

0,

si a

,

2

/2

(n 1/ 2) , n > -1 (n / 2 1)

n

0

954

0

sen x dx x

0

dx 1 a cos x

e

a2x2

dx

0

1 2

x2 e

x2

dx

0

1.3.5...(2n 1) a 2n 1 a n

e 0

cos x dx x

( x2 a2 / x2 )

2 1 a

2

(n Z )

2

,

(a2 < 1)

(a > 0)

2a

4 dx

1)

e

2a

2

955

R.U.B nx

e

1 2n n

x dx

0

e

ax

cos mx dx

0

e

a

m

2

e

e b 2a

cos bx dx

0

e

, (a > 0)

/ 4a 2

(log1/ x)

dx

(log x)n dx

,(a > 0)

2

( 1) n n!

0

(log1/ x)

2

0

1/ 2

dx

0

1

1 n

(log1/ x) dx

n!

3 4

x log(1 x)dx

0

0

1 0 1

1

6

1 x dx log( ) 1 x x

1

2

4

x log(1/ x) dx 0

1 x

1

(x p

0

1

dx [log(1/ x)]1/ 2 0

0 /2

log 2

0

log(a

2

x q )dx log x

log 2

log(

p 1 ), (p 1 0) q 1

2

4

0 /2

log cos x dx

2

0

bcos x)dx

2

sen x logsen x dx

/2

logsen x dx

8

/2

2

2

2

ex 1 log( x )dx e 1

0

x logsen x dx

12

log x dx

0

(n 1) , (m+1>0) (m 1)n 1

n

2

log x dx 1 x2

0

1 n

log x dx 1 x

0

2

log x dx 1 x

0

1

1 4

x log(1 x)dx

0

m , (a > 0) a m2

sen mx dx

1 1/ 2

0

n

1

1

1

ax

dx

0 2

a2x2

x

0

a 2

nx

log(

a

a2 2

log 2

log tg x dx 0

b2

), (a

b)

0

log 2 1

R.U.B f) Progresiones

d) Fórmulas para la suma de los números naturales 1) Suma de los "n" primeros números natu rales. n (n 1) Sn 2

2) Suma de los "n" primeros números pa res naturales. Sn

n (n 1)

3) Suma de los "n" primeros números im pares naturales. Sn n 2 4) Suma de los cuadrados de los "n" prime ros números naturales. n (n 1)(2 n 1) 6

Sn

5) Suma de los cubos de los "n" primeros números naturales.

Sn

n 2 (n 1)2 4

e) Promedios 1) Media aritmética (Ma) La media aritmética de "n" cantidades a1, a2,…,an, viene dado por: Ma

a1 a 2

... a n n

2) Media geométrica (Mg) La media geométrica de "n" cantidades a1, a2,…,an, viene dado por: Mg

[a1.a 2 .....a n ] 1/ n

3) Media armónica (Mh) La media armónica de "n" cantidades a1, a2,…,an, viene dado por: Mh

n 1/ a1 1/ a 2 ... 1/ a n

956

1) Progresión aritmética Si "a" es el primer término de una pro gresión aritmética, "k" el último, "d" la diferencia común, "n" el número de tér minos y "S" la suma de términos, se cumple: n (a k) k a (n 1)d , S 2 S

n [2a 2

(n 1)d]

2) Progresión geométrica Si "a" es el primer término de una pro gresión geométrica, "k" el último, "r" la razón común, "n" el número de térmi nos y "S" la suma de los "n" términos, en estas condiciones se cumple:

k

ar

n 1

kr a (r n 1) , S a r 1 (r 1)

, S

Si, "n" es infinito y r2<1, entonces, la suma de los infinitos términos de la pro gresión es: S

a 1 r

g) Ecuación cuadrática Las dos raíces de una ecuación cuadráti ca del tipo: a x 2 b x c 0 , vienen da dos por: x

b [b 2 4a c] 1/ 2 2a

Si: b2 4a c 0 , las raíces son reales y diferentes. Si: b2 4a c 0 , las raíces son iguales y reales. Si: b2 4a c 0 , las raíces son comple jas y diferentes.

R.U.B También, se cumplen las siguientes rela ciones: x1

b a

x2

y

x1 x 2

957

c a

ma

1 [2 b 2 2

2c 2

a 2 ] 1/ 2

mb

1 [2a 2 2

2c 2

b 2 ] 1/ 2

mc

1 [2a 2 2

2 b2

c 2 ] 1/ 2

h) Logaritmo 1) Definición El logaritmo de un número "N" , es el exponente "x" al que hay elevar otro nú mero denominado base "b" , para obte ner dicho número, esto es: bx

N

x

 Ortocentro Es el punto de intersección de las tres al turas C

log b N

Se lee "x" es el logaritmo del número "N" en la base "b" .

b

ha

2) Operaciones

hb

hc

log b M N log b M log b N M log b log b M log b N N logb Mp plogb M 1 log x Nx log b N x

A

3. GEOMETRIA

B

c

ha

2 [p (p a)(p b)(p c)] 1/ 2 a

hb

2 [p (p a)(p b)(p c)] 1/ 2 b

hc

2 [p (p a)(p b)(p c)] 1/ 2 c

a) Triángulos 1) Puntos notables de un triángulo  Baricentro Es el punto de intersección de las tres medianas, en el se encuentra el centro de gravedad del triángulo.

a

 Incentro Es el punto de intersección de las tres bi sectrices, correspondientes a sus tres án gulos C

C b

b

mb

ma

B

a

mc c

a

B A

A

B

B

B

c

2 b c

[bc p(p a)] 1/ 2

B

958

R.U.B Circunferencia Longitud circunferencia Radio circunferencia Longitud de arco

: : :

C

R 

2 R C 2 R no

R



0 R

180o

Círculo D2 4

2

Area total círculo

:

A

Longitud de arco Longitud de circunferencia

:

S R C 2 R

Longitud de cuerda Distancia de cuerda Angulo central en radianes

: : :

2 R2 h R d

Cubo Area

:

A

6 a2

Volumen

:

V

a3

Diagonal

:

d

Lado del cubo

:

a

Radio de la esfera inscrita

:

r

Esfera Area total de una esfera Area de zona

: :

A 4 R2 D2 A Z 2 R h1

Area de luna

:

AL

Volumen de una esfera

:

V

Volumen sector esférico

:

VS

:

Volumen segmento esférico :

VS1

R

R

 0

d2

de dos bases

VS2

S

R

24 r 2 8 r3 d

3a

a a a

h1

2 R2

4 R3 3 2 R 2 h1 3 6

h3 (3r32

h2 h3

h32 )

r3 r2 R

de una sola base Volumen segmento esférico :

h

d

6

h 2 (3r32

3r22

h 22 )

959

R.U.B Tetraedro Area

:

A

3 a2

Volumen

:

V

2 a3 / 2 8 3 r3

Radio de la esfera inscrita

:

r

24 3 r 2 a

a a a a

a

Tronco de cono r

R

Radio de la base media

:

rm

Area lateral

:

AL

Area total

:

A

Volumen

:

V

Generatriz del cono

:

g

Area lateral

:

AL

Area total

:

A

2 Rh

Volumen

:

V

R2 h

r

2 (r

(r

R) g

(r 2

R) g

1 h (r 2 3

R2 )

h

rm

r R R2) R

Cilindro 2 Rh

R2

h

R

Tonel Volumen

:

V

Radio menor

:

r

Radio mayor

:

R

Altura

:

h

:

A

1 h (r 2 3

2R2) R

h

r

Toroide Area

4 rR r

Volumen Radio menor Radio mayor

: : :

V r R

4 r 2R

R

g

960

R.U.B Paralelepípedo Volumen

:

V

a bc

Superficie total

:

A

2 (a b

Diagonal

:

d

a2

Radio mayor

:

R

bc

b2

c a)

c2

d

c b

a

Pirámide o cono Volumen

:

V

1 Sh 3

Area lateral

:

A

1 pa 2

Area de la base

:

S

Altura

:

h

Perímetro de la base

:

p

Area

:

A

Angulo entre los lados

:

Altura

:

a h R p

Paralelogramo ah

a b sen

b

h

h

a

Polígono regular de n lados 1 2 180o n a ctg 4 n

Area del polígono

:

A

Area sector

:

AS

Area segmento

:

ASEG

Perímetro del polígono

:

p

2 n R sen

Area polígono circunscrito

:

A

n R 2 tg

1 RS 2

1 2 R 2

1 2 R ( 2 n

n

sen )

a

R 0

961

R.U.B Trapecio Area

:

Area

:

Area

:

H

:

(B b) h A 2 A pm h h A (B b b ') 6 altura

:

A

b

h

pm

B

Triángulo Area

a3 3

3 3 r3 3

r

r a3

2 3r

4. GEOMETRIA ANALITICA PLANA a) Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos P1, P2 de coordenadas rectangulares (x1; y1), (x2; y2), viene dado por:

d

[( x 2

x1)2

( y2

y1)2 ] 1 / 2

La distancia entre dos puntos P1, P2 de coordenadas polares (r1; por:

d

[r12

r22

2 r1 r2 cos(

1

2 )]

1 ),

(r2;

2 ),

viene dado

1/ 2

b) Formas que adoptan las ecuaciones de una recta 1) 2) 3) 4)

Ax By C 0 y y1 m ( x x1 ) y mx b x y 1 a b

(forma general ) (forma punto pendiente ) (forma pendiente intersección ) (forma intersecciones

c) Pendiente de una recta La pendiente de la recta que pasa por los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2), viene dado por: m

y2 x2

y1 x1

)

Y

P2

P1

X 0

962

R.U.B d) Coordenadas del punto medio Las coordenadas del punto medio del segmento de recta P1(x1; y1) y P2(x2; y2), viene dado por:

Y

P2 Pm

xm

x1

x2 2

y

y1

ym

y2 2

P1

X 0

Y

e) Angulo entre dos rectas El ángulo entre dos rectas S1, S2 de pendientes m1 y m2, viene dado por:

L2

L1

m1 m2 1 m1 m2

tg

X 0

e) Area de un triángulo El área de un triángulo cuyas coordenadas rectangulares de sus vértices son: A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), viene dado por: A

1 ( x1 y 2 2

x 2 y1

x 2 y3

x3y2

x 3 y1

x1y3 )

Area

Si las coordenadas polares de los vértices del triángulo son: A(r1 ; 1) , B(r2 ; 2 ) y C(r3 ; 3 ) , entonces el área de di cho triángulo es: A

1 [r1 r2 sen ( 2

2

1)

r2 r3 sen (

3

2)

B

r1 r3 sen (

1

C

A

3 )]

CONICAS a) Circulo La ecuación de un circulo de centro en (h ; k) y radio " R" , viene dado por:

( x h)2

( y k )2

Y

R2 (h; k)

Si el centro se ubica en el origen, la ecuación ante rior, queda así:

x2

y2

R2

X

963

R.U.B La ecuación polar de un círculo con el origen sobre la circunferencia y su centro en el punto C es: r

2 C cos(

Y

)

Si el origen no está sobre la circunferencia, el radio es " a" y el centro está en el punto b, a, en este caso la ecuación es:

a2

r2

b2

2 r b cos(

X R

0

)

Y

b) Elipse La ecuación de una elipse con centro en (h; k) y se miejes mayor " a" y menor " b" es:

a (h; k)

(x

h)

2

(y k)

2

a

b

2

2

1

b

X 0

Si el centro se encuentra en el origen de coordenadas 0, la ecuación se convierte en: x2

y2

a2

b2

Y

1 a

La ecuación polar cuando el polo está en el centro de la elipse es:

r

X b

0

a 2 b2

2

a 2 sen 2

b2 cos2

c) Hipérbola La ecuación de una hipérbola de centro (h; k) y de ejes paralelos a los ejes de coordenadas X, Y y de eje transverso horizontal es: h )2

(x a

( y k )2

2

b

2

y2

a2

b2

1

(h; k)

1

Si el centro está en el origen de coordenadas 0, la e cuación se reduce a: x2

Y

X

0

964

R.U.B siendo " a" el semieje transverso y " b" el semieje conjugado (vertical). La ecuación polar que tiene el centro en el polo es: Y

2 2

r2

a b a 2 sen 2

b2 cos2

d) Hipérbola equilátera Es aquella hipérbola que tiene por centro el origen y por asíntotas los ejes de coordenadas, su ecuación es: xy C

X

siendo "C" una constante. Y

e) Parábola La ecuación de una parábola con vértice en V(h; k) y foco en F(h+p; k) es:

( y k)

2

F

4p (x h) V

Si el vértice está en el origen, la ecuación anterior se reduce a:

y2

X

0

4p x

Y

La ecuación polar cuando el foco está en el polo y " p" es el semilado recto es: r

p 1 cos

F X

V

Si el vértice está en el polo y " p" tiene el mismo significado anterior, la ecuación es:

r

2 p cos sen

Y

2

f) Relaciones entre las coordenadas polares y rectangulares x

r cos

y

r

r sen

X

x

0

r

x2

y2 ,

y

y tg 1 ( ) , x

sen

y x2

y2

,

cos

x x2

y2

965

R.U.B

g) Angulo sólido Angulo sólido es el espacio comprendido al interior de una circunferencia cónica (vérti ce), como muestra la Figura., los ángulos sólidos se representan simbólicamente mediante " " . El valor del ángulo sólido en todo el espacio es 4 . En el S.I. (Sistema Internacional) los ángulos se miden en estereorradián, y para obtener su valor se traza una superficie esférica de radio arbitrario "R" con centro en el vértice O, (como se muestra en la Figura.); y se aplica la relación:

S R2

S

siendo "S" el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido. Cuando el ángulo sólido es pequeño en lugar de "S" se debe considerar un diferencial de superficie de área "dS" , de modo que la ecuación anterior, queda así:

d

R 0

dS R2

P

En algunos casos la superficie "dS" no es perpen dicular a OP y ella forma un ángulo " " con la nor mal a "dS" , como muestra la Figura, en éste caso el ángulo sólido, viene dado por:

d

d dS

dScos R2

0

5. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES a) Transformación de coordenadas Sean x, y, z las coordenadas de un punto P en el sistema cartesiano (S), y x 1, x2, x3 las coordenadas de dicho punto en un sistema de coordenadas ortogonales (0), si existe una transformación biunívoca entre los sistemas (S) y (0), entonces, la terna (x, y, z) podemos expresarlo en función de la terna (x1, x2, x3), así: x

x(x1 , x 2 , x 3 ) ,

y

y(x1 , x 2 , x 3 ) ,

z

z(x1 , x 2 , x 3 )

o viceversa, la terna (x1, x2, x3) en función de la terna (x, y, z), así: x1

x1 (x, y, z) ,

x2

x 2 (x, y, z),

x3

x 3 (x, y, z)

966

R.U.B b) Coordenada curvilínea ortogonal En la Figura, las superficies x1=c1, x2=c2, x3=c3 siendo c1, c2, c3 constantes se llaman superficies coordenadas; la intersección de cada par de estas superficies definen las líneas coordenadas L3, L2, L 3. Cuando estas líneas de coordenadas se cortan en ángulo recto se dice que el sistema de coordenadas (0) es ortogonal.

L3

Z

u1=c1 u2=c2

L1

P u3=c3

L2

0 Y X

c) Vectores unitarios Los vectores unitarios que se utilizan como vectores base para definir el sistema de coor denadas ortogonales (0), y que son tangentes a las líneas de coordenadas L1, L2, L 3, vie nen dados por: r / xi r / xi

eˆ i

r / xi con (i=1, 2, 3) hi

donde, r x ˆi y ˆj z kˆ o r r(x1 , x 2 , x 3 ) es el vector de posición del punto P en los sistemas de coordenadas (S) y (0), respectivamente, y h i con (i=1, 2, 3) los coeficientes métricos o coeficientes de Lamé, cuyas expresiones, vienen dados por: hi

[(

x 2 ) xi

(

y 2 ) xi

(

z 2 1/ 2 con (i=1, 2, 3) ) ] xi

el sentido del vector unitario eˆ i , con (i=1,2 ,3) es el de crecimiento de xi. Como x i es un vector normal en el punto P a la superficie x i ci , el vector unitario en esta dirección y sentido, viene dado por: eˆ *i

xi xi

con (i=1, 2, 3)

En conclusión, en cada punto de un sistema de coordenadas curvilíneas se pueden definir dos sistemas de vectores unitarios eˆ i tangentes a las líneas de coordenadas Li, con (i=1,2, 3) y eˆ *i perpendiculares a las superficies de coordenadas xi=ci con (i=1, 2, 3). Ambos sis temas de vectores unitarios coincidirán solo en el caso en que el sistema de coordenadas sea ortogonal, y tendrán la misma función que la de los vectores unitarios cartesianos ˆi , ˆj , kˆ , con la diferencia que los vectores unitarios ( eˆ o eˆ * ) pueden cambiar de dirección y i i sentido de un punto a otro. d) Elementos de línea, superficie y volumen Como, r / x i h i eˆ i (i=1, 2, 3), el diferencial del vector de posición r en el sistema de coordenadas ortogonal (0), viene dado por:

967

R.U.B r dx1 x1

dr

h1 dx1 eˆ1

dr

r dx 2 x2 h 2 dx 2 eˆ 2

r dx 3 x3

L3 h3dx3e3

h 3 dx 3 eˆ 3

h1dx1e1 P

y el cuadrado del elemento de longitud es:

ds

2

dr dr

h12 dx12

h 22 dx 22

h32 dx32

L2 h2dx2e2

L1

En la Figura., como los vectores unitarios eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 son mutuamente perpendiculares entre si; los elementos de superficie dA1 (formado por L2, L3), dA2 (formado por L1, L3), y dA3 (formado por L1, L2), vienen dados:

(h 2 dx 2 eˆ 2 ) x (h3 dx3 eˆ 3 )

h 2 h3 eˆ 2 x eˆ 3 dx 2 dx3

h 2 h3 dx 2 dx3

dA2

(h3 dx3 eˆ 3 ) x (h1dx1 eˆ1 )

h3 h1 eˆ 3 x eˆ1 dx3 dx1

h3 h1 dx3dx1

dA3

(h1dx1eˆ1 ) x (h 2 dx 2 eˆ 2 )

h1h 2 eˆ1 x eˆ 2 dx1 dx 2

h1h 2 dx1dx 2

dA1

En la Figura, el elemento de volumen en el sistema de coordenadas ortogonal, viene dado por el triple producto escalar, esto es:

dV

(h1dx1 eˆ1) (h 2 dx 2eˆ 2 ) x (h3 dx3 eˆ 3 )

h1h 2h3 dx1 dx 2 dx 3

e) El gradiente, la divergencia, el rotacional y la laplaciana. Sean: un campo escalar y A un campo vectorial, entonces las expresiones de los opera dores gradiente, divergencia, rotacional y Laplaciana, en un sistema de coordenadas curvi línea ortogonal, vienen dados por: 3 1 i 1h i

grad

div A

A

xi

eˆ i

1 eˆ1 h1 x1

1 [ (h h A ) h1h 2h 3 x1 2 3 1

rot A

xA

1 h1 h 2 h 3

x2

1 eˆ 2 h2 x2 (h 3h1A 2 )

1 eˆ 3 h3 x3

x3

h1 eˆ1

h 2 eˆ 2

h 3 eˆ 3

x1

x2

x3

h1 A1

h 2 A2

h 3 A3

(h1h 2A3 )]

968

R.U.B h h 1 [ ( 2 3 ) h1h 2 h 3 x1 h1 x1

2

x2

(

h 3 h1 ) h2 x2

x3

(

h1 h 2 )] h3 x3

1) Coordenadas rectangulares En este sistema de coordenadas: x1=x, x2=y, x3=z, los coeficientes métricos son: h1=1, h2=1, h3=1, y a su vez, los operadores diferenciales, vienen dados por:

grad

ˆi

x

rot A

xA

y

ˆj

z Ay

A ( z y

z

kˆ ,

div A

Ay Az ˆ )j ( x x

A ( x z

) ˆi

Ax x

A

2

2

2

x2

y2

z2

Ay

Az z

y Ax ˆ )k y

2

ds2

dx 2 dy2 dz2 ;

dV

dx dydz

Las superficies coordenadas son: tres planos mutuamente perpendiculares. 2) Coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas: x1 , x2 , x 3 z , están relacionados con las coorde cos , y sen , z=z, los coeficientes métricos son: h1=1, nadas cartesianas por: x h2 , h 3 1 , y las expresiones de los operadores diferenciales, son:

divA

rot A

xA

(

1 A3

F( )

1

A A2 ) eˆ1 z

1

2

2

1

eˆ1

grad

F( )

eˆ 2

(

A3

A1 z

)

dF( ) 1 d ( ) d d

1

) eˆ 2

(

2

2

1

( A2 ) 2

2

d 2 F( ) d

eˆ 3

A3 z

1 A2

( A1)

(

z

2

z2

1 dF( ) d

1 A1

) eˆ 3

969

R.U.B

ds2

2

d

2

2

d

dz2

Las superficies coordenadas son: z=cte. planos. 3) Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas: x1

dV

;

d d dz

cte. , cilindros concéntricos;

r , x2

, x3

cte. , planos; y

, están relacionados con las coordena-

das cartesianas por: x r sen cos , y r sen sen , z r cos , los coeficientes métri cos son: h1=1, h 2 r , h 3 1 , y las expresiones de los operadores diferenciales son: grad

divA

rot A

1 [ r sen

r

1 (r 2A1) 2 r r

A

A2

(sen A3 ) 2

1 r2 r 2

F(r)

(r

2

r

F(r)

ds2

eˆ 2

1 rsen

1 1 [ r sen

]eˆ1

)

1 r

eˆ1

1

(sen A 2 ) A1 r

1 d2 (r F(r)) r dr 2

dV

r 2d

2

eˆ 3

)

d 2 F(r) dr 2

r 2sen 2 d

A3

1 rsen

(r A3 )]eˆ 2

(sen

r 2 sen

dr 2

1 r sen

1 [ (rA 2 ) r r

1 r 2 sen 2

A1

]eˆ 3

2 2

2 dF(r) r dr

2

r 2sen dr d d

Las superficies coordenadas son: r cte. , esferas concéntricos; planos.

cte. , conos; y

=cte.

970

R.U.B

APENDICE

B

1. FACTORES DE CONVERSION Angulo plano minuto segundo

grado

radían

revolución

1 grado

1

60

3 600

1 745 10-2 2,778 10-3

1 minuto

1,667 10-2

1

60

2,909 10-4 4,630 10-5

1 segundo

2,778 10-4 1,667 10-2

1

4,848 10-6 7,716 10-7

1 radían 1 revolución

57,30

3 438

2,063 105

1

0,1592

360

2,16 104

1,296 106

6,283

1

1 esfera = 4

Angstrom

Angulo sólido esterorradianes = 12,57 esterorradianes Longitud metro pulgada

milla-T

1,09 10-10

6,2 10-14

10-10

1010

1

39,37

3,28

1,09

0,621 10-3

1 pulgada

2,54 108

0,0254

1

0,083

0,0278

1,578 10-5

1 pie

30,48 108

0,3048

12

1

0,3333

1,894 10-4

1 yarda

91,44 108

0,9144

36

3

1

5,68 10-4

1 milla-T

6,21 106

6,21 10-4

63360

5280

1760

1

1 milla-N

1852 1010

1852

72912

6076

2025,3

1,15

1 vara

5,292 1010

5,0292

198

16,5

5,5

3,125 10-3

1 legua

4,828 1013

4828,032

190080

15840

5280

3

1 año luz

9,45 1025

9,45 1015

372 1015

31 1015

10,33 1015

5,87 1012

1 parsec

30,84 1025

30,84 1015

1212 1015

101 1015

33,67 1015

19,15 1012

1 braza

1,83 1010

1,8288

72

6

2

1,135 10-3

201,16 1010

201,168

7920

660

220

0,125

1 metro

1 estadio

39,36 10-

-10

yarda

1

1Angstrom

10

pie 3,28 10

971

R.U.B

mm

2

cm

Area m2

km2

plg2

pie2

1 mm2

1

10-2

10-6

10-12

15,5

1,076 10-5

1 cm2

102

1

10-4

10-10

0,155

1,076 10-3

1 m2

106

104

1

10-6

1550

10,76

1 km2

1012

1010

106

1

155 10-5

10,76 106

1 plg2

645,2

6,452

6,452 10-4

6,45 10-10

1

6,9 10-3

1 pie2

9,29 104

929

9,29 10-2

9,29 10-8

144

1

1 yarda2

0,836 106

0,836 104

0,8361

0,836 10-6

1296

9

1 milla2

2,15 1012

2,59 1010

2,59 106

2,59

4,01 109

27,87 106

1010

108

104

10-2

1,55 107

10,76 104

2

1 hectárea 1 acre

4046,8 106 4046,8 104

4046,86

4046,8 10-6

6,27 106

43560

1 vara2

25,29 106

25,29 104

25,2928

25,29 10-6

3,92 104

272,15

1 legua2

23,31 1012

23,31 1010

23,31 106

23,31

3,6 1011

25 108

3

3

Volumen m3

km3

litro

pie3

10-9

10-18

10-6

3,531 10-8

1

10-6

10-15

10-3

3,531 10-5

109

106

1

10-9

103

35,31

1 km3

1018

1015

109

1

1012

35,31 109

1 litro

106

103

10-3

10-12

1

3,531 10-2

1 galón

3,785 106

3,785 103

3,785 10-3 3,785 10-12

3,785

133,67 10-3

1 pie3

2,832 107

2,832 104

2,832 10-2 2,832 10-11

28,321

1

1 plg3

16,39 103

16,39

1 cuarto

0,946 106

1 pinta

mm

cm

1 mm3

1

10-3

1 cm3

103

1 m3

1,639 10-5 1,639 10-14 1,639 10-2

5,787 10-4

0,946 103

0,946 10-3 0,946 10-12

0,946

33,417 10-3

0,473 106

0,473 103

0,473 10-3 0,473 10-12

0,473

16,708 10-3

1 onza

2,365 106

2,365 103

2,365 10-4 2,365 10-13

0,2365

8,35 10-3

1 barril

0,159 109

0,159 106

0,159 103

5,614

0,159

0,159 10-9

972

R.U.B

año

Tiempo día hora

minuto

segundo

1 año

1

365,2

8,766 10-3

5,259 105

3,156 107

1 día

2,738 10-3

1

24

1 440

8,640 104

1 hora

1,141 10-4

4,167 10-2

1

60

3 600

1 minuto

1,901 10-6

6,944 10-4

1,667 10-2

1

60

1 segundo

3,169 10-8

1,157 10-5

2,778 10-4

1,667 10-2

1

Masa g

kg

lb

onza

tonelada

1g

1

10-3

2,205 10-3

35,27 10-3

9,8 10-7

1 kg

103

1

2,205

35,27

9,8 10-4

1 lb

453,6

0,4536

1

16

4,46 10-4

1 onza

28,35

2,835 10-2

0,0625

1

2,79 10-5

1 tonelada

1 016 103

1 016

2 240

35 840

1

1 ton. métr

106

103

2 204,6

35 274

0,98

1 slug

14,59 103

14,59

32,17

514,8

1,43 10-2

1 arroba

11,34 103

11,34

25

400

1,11 10-2

1 quintal

45,36 103

45,36

100

1 600

4,45 10-2

1 utm

9,8 103

9,8

21,60

345,6

9,6 10-3

1 uma

1,66 10-24

1,66 10-27

3,66 10-27

5,857 10-26

1,63 10-30

1 cuarto

254,01 103

254,01

560

8 960

0,249

1 dracma

1,772

1,77 10-3

3,9 10-3

6,25 10-2

1,736 10-3

973

R.U.B Velocidad m/s km/h

mm/s

cm/s

pie/s

milla/h

1 cm/s

10

1

0,01

3,6 10-2

3,281 10-2

2,237 10-2

1 m/s

1000

100

1

3,6

3,281

2,237

1 km/h

277,8

27,78

0,2778

1

0,9113

0,6214

1 pie/s

304,8

30,48

0,3048

1,097

1

0,6818

1 milla/h

447,0

44,70

0,4470

1,609

1,467

1

1 nudo

514,4

51,44

0,5144

1,852

1,688

1,151

mm/s

2

cm/s

2

Aceleración m/s2 km/h2

pie/s2

plg/s2

1 cm/s2

10

1

0,01

129,6

3,281 10-2

1 m/s2

1000

100

1

3,6

3,281

39,37

1 km/h2

277,8

27,78

0,2778

1

0,9113

3,04 10-3

pie/s2

304,8

30,48

0,3048

3,95 103

1

12

plg/s2

25,4

2,54

25,4 10-3

329,18

83,3 10-3

1

lbf

pdl

1 pdl

3,108 10-2

1

1 lbf

1

1 kgf 1N 1 dyn

Fuerza kgf

N

dyn

ozf

1,41 10-2

0,1383

1,383 104

0,497

32,17

0,4536

4,448

4,448 105

16

2,205

70,93

1

9,80665

9,8 105

35,26

0,2248

7,233

0,102

1

105

3,597

1,02 10-6

10-5

1

3,597 10-5

2,248 10-6 72,32 10-6

1 tf

2000

64340

907,2

8896,6

8896,6 105

3,20 104

1 tf m

2204,6

70921

1000

9806,6

9806,6 105

3,53 104

1 arroba

25

804,25

11,34

111,20

111,20 105

4

1 quintal

100

3217

45,36

444,80

444,80 105

1600

1 ozf

62,49 10-3

2,011

28,36 10-3 0,278014 0,278014 105

1

974

R.U.B

2

lbf/pie 1 atm

pdl/pie

Presión kgf/m2 Pa

2

dyn/cm2

2,116 103 68,06 103 1,033 104 1,013 105 1,013 106

bar

Torr

1,013

760

1 lbf/pie2

1

32,17

4,8825

47,881

478,81

4,13 10-6

0,359

1 lbf/plg2

144

4632,48

703,08

6894,8

68948

5,95 10-4

51,69

1 pdl/pie2

31 10-3

1

0,152

1,49

14,9

0,13 10-6

0,011

1 kgf/m2

0,2048

6,59

1

9,806

98,06

0,85 10-6

0,073

1 Pa

2,089 10-2

0,672

0,102

1

10

10-5

7,5 10-3

1 bar

24,2 104

7,79 106

1,02 104

105

106

1

8,69 104

1 Torr

2,785

89,60

13,6

133,3

1333

0,12 10-4

1

Energía kgf m joule

lbf pie

pdl pie

1 Btu

778

2,502 103

107,55

1055

1,055 1010 2,93 10-4 6,59 1021

1 lbf pie

1

32,17

0,13825

1,356

1,356 107 0,38 10-6 0,85 1019

1

4,3 10-3

1 pdl pie 3,11 10-2

ergio

1kWh

1 eV

4,21 10-2 4,214 105 1,17 10-8 2,63 10-17

1 cal

3,087

99,308

0,427

4,186

4,186 107 1,17 10-6 2,62 1019

1 kgf m

7,233

232,5

1

9,806

9,806 107 2,72 10-6 6,12 1019

1 joule

0,7376

23,729

0,102

1

107

1 hp h

1,98 106

63,7 106

0,27 106

2,68 106

2,68 1013

0,746

1,67 1025

1 kWh

2.65 106

85,41 106

0,37 106

3,6 106

3,6 1013

1

2,25 1025

1 eV

1,18 10-19

38 10-19

0,16 10-19 1,6 10-19

1,6 10-12

4,4 10-26

1

Potencia kgf m/s vatio

lbf pie/s

pdl pie/s

1 Btu/h

0,216

0,695

2,99 10-2

1 lbf pie/s

1

32,17

1 pdl pie/s 3,108 10-2

0,28 10-6 6,20 1018

ergio/s

hp

cal/s

0,293

0,293 107

3,93 10-4

7 10-2

0,138

1,356

1,356 107

1,82 10-3

0,324

1

4,3 10-3

4,21 10-2

4,21 105

5,65 .10-5

10-2

1 kgf m/s

7,2329

232,68

1

9,806

9,806 107

0,013

2,343

1 vatio

0,7376

23,729

0,102

1

107

1,34 10-3

0,239

1 hp

550

17693

76,07

746

746 107

1

178,16

1 kW

737,6

2,373 104

101,97

103

1010

1,341

239

1 Btu/s

778

25,028 103

107,58

1055

1,055 1010

1,414

252

975

R.U.B Densidad de masa kg/m3 lb/pulg3

g/cm3

lb/pie3

utm/m3

1 g/cm3

1

103

36,2 10-3

62,5

102,06

1 kg/m3

10-3

1

0,36 10-4

6,25 10-2

0,102

1 lb/pulg3

27,68

2,768 104

1

1 728

2,825 103

1 lb/pie3

16 10-3

16

5,79 10-4

1

1,6345

1 utm/m3

9,798 10-3

9,798

0,354 10-3

0,612

1

Carga eléctrica abcoulomb Ah

coulomb

statcoulomb

1

2,778 10-3

10

2,998 1010

1 ampere-hora

360

1

3600

1,079 1013

1 coulomb

0,1

2,778 10-4

1

2,998 109

3,336 10-11

9,266 10-14

3,336 10-10

1

1 abcoulomb

1 statcoulomb

Corriente eléctrica abampere ampere 1 abampere 1 ampere 1 statampere

statampere

1

10

2,998 1010

0,1

1

2,998 109

3,336 10-11

3,336 10-16

1

Fuerza electromotriz 1 abvoltio voltio

statvoltio

abvoltio

1

10-8

3,336 10-11

1 voltio

106

1

3,336 10-3

2,998 1010

299,8

1

1 statvoltio

976

R.U.B

Resistencia eléctrica 1 abohmio ohmio

statohmio

abohmio

1

10-9

1,113 10-21

1 ohmio

109

1

1,113 10-12

8,987 1020

8,987 1011

1

1 statohmio

Capacitancia abfaradio faradio

microfaradio

statfaradio

1

109

1015

8,987 1020

1 faradio

10-9

1

106

8,987 1011

1 microfaradio

10-15

10-6

1

8,987 105

1,113 10-21

1,113 10-12

1,113 10-6

1

1 abfaradio

1 statfaradio

2. VALORES DE ALGUNAS PROPIEDADES FISICAS PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS Densidad Calor específico Coeficiente de Líquido

en kg/m3

tensión J/kg 0C

cal/g 0C

880

1 720

0,41

0,03

Agua

1 000

4 190

1,0

0,073

Glicerina

1 200

2 430

0,58

0,064

Aceite de ricino

900

1 800

0,43

0,035

Kerosene

800

2 140

0,051

0,03

Mercurio

13 600

138

0,033

0,5

Alcohol

790

2510

0,6

0,02

Benzol

superficial (N/m)

977

R.U.B

PROPIEDADES DE ALGUNOS SOLIDOS Densidad Temperatura Calor específico Calor de Sólido

en kg/m3

de fusión 0C

J/kg 0C

cal/g 0C

Coeficiente

fusión

dilatación

J/kg

térmica

Aluminio

2 600

659

896

0,214

3.22 105

2,3 10-5

Hierro

7 900

1 530

500

0,119

2,72 105

1,2 10-5

Latón

8 400

900

386

0,092

-

1,9 10-5

Hielo

900

0

2 100

0,5

3,35 105

-

Cobre

8 600

1 100

395

0,094

1,76 105

1,6 10-5

Estaño

7 200

232

230

0,055

5,86 104

2,7 10-5

Platino

21 400

1 770

117

0,028

1,13 105

0,89 10-5

Corcho

200

-

2 050

0,49

-

-

Plomo

11 300

327

126

0,030

2,26 104

2,9 10-5

Plata

10 500

960

234

0,056

8,80 104

1,9 10-5

Acero

7 700

1 300

460

0,11

-

1,06 10-5

Zinc

7 000

420

391

0,093

1,17 105

2,9 10-5

PROPIEDADES ELASTICAS DE ALGUNOS SOLIDOS Resistencia a la Módulo de Sustancia

rotura en N/m2 Young en N/m2

Aluminio

1,1 108

6,9 1010

Hierro

2,94 108

19,6 1010

Cobre

2,45 108

11,8 1010

Plomo

0,2 108

1,57 1010

Plata

2,9 108

7,4 1010

Acero

7,85 108

21,6 1010

978

R.U.B PERMITIVIDAD RELATIVA (k) DE ALGUNOS DIELECTRICOS Cera

7,800

Madera

2,5-8

Agua

81

Alcohol, etílico (00 C)

28,4

Kerosene

2

Petróleo

2,1

Aceite

5

Agua (destilada, 00 C)

88,0

Parafina

2

Agua (destilada, 200 C)

80,0

Mica

6

Aire (1 atm)

1,00059

Vidrio

5-10

Aire (100 atm)

1,0548

Nilón

3,5

CO2 (1 atm)

1,000985

Caucho

2-3, 5

Porcelana

6

Azufre

4,0

Ebonita

2,6

CONDUCTIVIDAD TERMICA DE ALGUNOS SOLIDOS ( en W/m oC) Aluminio

210

Fieltro

0,046

Hierro

58,7

Cuarzo fundido

1,37

Cobre

390

Arena seca

0,325

Corcho

0,050

Plata

460

Ebonita

0,174

RESISTIVIDAD DE ALGUNOS MATERIALES (

en

m)

Aluminio

2,83 10-8

Germanio (puro)

Cobre

1,69 10-8

Germanio (5.10-6 % de As) 0,011

Oro

2,44 10-8

Silicio (puro)

640,0

Hierro (00 C)

8,85 10-8

Silicio (10-4 % de As)

0,003

Niquel

7,24 10-8

Solución de NaCl

0,044

Plata (00 C)

1,47 10-8

Ambar

5,0 1014

Mercurio

95,8 10-8

Vidrio

1020-1014

Tungsteno

5,51 10-8

Ebonita

1012-1016

Constatan (Cu60)

44,0 10-8

Mica

1011-1015

Nicromo

100 10-8

Madera

108-1011

0,45

979

R.U.B

CONDUCTIVIDAD ELECTRICA DE ALGUNOS MATERIALES ( en S/m ) Aluminio

3,54 107

Germanio (puro)

2,22

Cobre

5,81 107

Germanio (5.10-6 % As)

90,9

Oro

4,09 107

Silicio (puro)

1,56 10-3

Hierro (00 C)

1,53 107

Silicio (10-4 % de As)

3,33 10-2

Níquel

6,80 107

Solución de NaCl

25

Plata (00 C)

6,14 107

Ambar

2,0 10-15

Tungsteno

1,82 107

Vidrio

10-20-10-14

Mercurio

1,82 106

Ebonita

10-12-10-16

Constatan (Cu60)

2,04 106

Mica

10-11-10-15

Nicromo

1,00 106

Madera

10-8-10-11

SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA ( e) DE ALGUNOS MATERIALES Mica

5

Hidrógeno

5,0 10-4

Porcelana

6

Helio

0,6 10-4

Vidrio

8

Nitrógeno

5,5 10-4

Baquelita

4,7

Oxígeno

5,0 10-4

Aceite

1,1

Argón

5,2 10-4

Trementina

1,2

Oxido de carbono

9,2 10-4

Benceno

1,84

Aire

5,4 10-4

Alcohol (etílico)

24

Vapor de agua

7,0 10-3

Agua

78

Aire (100 atm)

5,5 10-2

MOMENTOS DIPOLARES DE ALGUNAS MOLECULAS (m C) HCl

3,43 10-30

HBr

2,60 10-30

HI

1,26 10-30

CO

0,40 10-30

H2O

6,20 10-30

H2S

5,30 10-30

SO2

5,30 10-30

NH3

5,00 10-30

C2H5OH

1,26 10-30

980

R.U.B

SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA (

m)

DE ALGUNOS MATERIALES

Hidrógeno (1 atm) -2,1 10-9

Oxígeno (1 atm)

2,1 10-6

Nitrógeno 91 atm) -5,0 10-9

Magnesio

1,2 10-5

Sodio

2,4 10-6

Aluminio

2,3 10-5

Cobre

-1,0 10-5

Tungsteno

6,8 10-5

Bismuto

-1,7 10-5

Titanio

7,1 10-5

Diamante

-2,2 10-5

Platino

3,0 10-4

Mercurio

-3,2 10-5

GdCl3

2,8 10-3

MOVILIDAD DE LOS IONES EN LOS ELECTROLITOS (m2/V s) NO-3

6,4 10-8

H+

3,26 10-7

Cl-

6,8 10-8

Ag+

5,6 10-8

K+

6,70 10-8

PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL (S.I.) Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo 101

deca

da

10-1

deci

d

102

hecto

h

10-2

centi

c

103

kilo

k

10-3

mili

m

106

mega

M

10-6

micro

109

giga

G

10-9

nano

n

1012

tera

T

10-12

pico

p

1015

peta

P

10-15

femto

f

1018

exa

E

10-18

atto

a

981

R.U.B 3. FORMULAS E IDENTIDADES DEL ANALISIS VECTORIAL ( ) ( ) 1) 2) 3)

(f

5)

( f)

7)

xf

9)

8)

x f

10)

x

0

(f h)g (f g)h

12)

/ nˆ

nˆ

(nˆ )B

14)

x xf

B / nˆ

r

19)

(r / r3 )

21)

F( )

23)

x A( ) S

S

f

0

16)

r/r

18) 2

(1/ r) 0, si r

( F/

V

ds

gdV

V

31)

x(f x g) f

g g

f

32)

(f g) (f

)g (g

)f

(g

(g

30)

)f dV )f

(f

)g

f x xg gx xf

33) (e x f ) (g x h) (e g)(f h) (e h)(f g) 34) (e x f ) x (g x h) [e (f x h)]g [e (f x g)]h 35) 36) 37)

L

Mdx

V

V

Ndy

[

2

[

2

(

S

)( 2

N x

(

M )dx dy y

)]dV

]dV

S

S

(

(

) ds ) ds

xg xf

2

r

3

(1 / r)

r / r3

A( ) ( A /

28)

f

xf

r'

'r

24) (A )B( )

)

xg

xf

22)

dV f

xf

r

26)

V

g)

20)

f dV

V

f (g ds)

0

)

x( A /

f ds

S

2

f

17)

29)

(f x g) g

f

0

xr

27)

6)

g

f

15)

25)

x (f

f

11) f x g x h 13)

4)

g)

C

S L

f d

(A

d

V S

ds x

r r

r' r'

) )( B /

x f ds

S

ds x f

r'

x f dV

)

982

R.U.B 4. RESUMEN DE FORMULAS DE LA MECANICA DE FLUIDOS 1) Posición instantánea en un péndulo de resorte

x(t)

2) Velocidad instantánea en un péndulo de resorte

v

dx dt

3) Aceleración instantánea en un péndulo de resorte

a

dv dt

4) Frecuencia angular en un péndulo de resorte

o

Asen(

ot

o)

o Acos( o t

o)

2 o Asen( o t

o)

k ( )1/2 m 1 f

m 2 ( )1/ 2 k

5) Periodo en un péndulo de resorte

T

6) Condiciones iniciales en un péndulo de resorte

A [x o2

(

vo

)2 ] 1/2 , tg

o

7) Energía cinética en un péndulo de resorte

EC

1 m 2

8) Energía potencial en un péndulo de resorte

EP

1 2 kx 2

9) Energía mecánica en un péndulo de resorte

EM

1 m 2

10) Constante equivalente para conexión en serie

ke

k1 k 2 k1 k 2

11) Constante equivalente para conexión en paralelo

ke

k1

2 2 o (A

x2)

1 m 2

2 2 ox

2 2 oA

k2

12) Posición angular instantánea en péndulo gravedad

o sen( o t

)

13) Velocidad angular instant. en péndulo gravedad

o o cos( o t

)

2 o o sen( o t

14) Aceleración angular instant. en péndulo gravedad 1 f

)

2 ( )1/2 g

15) Periodo y frecuencia en péndulo de gravedad

T

16) Energía potencial en un péndulo de gravedad

EP ( )

17) Energía cinética en un péndulo de gravedad

EC

1 m g (1 2

18) Energía mecánica en un péndulo de gravedad

EM

1 mg 2

1 mg 2

2 2

)

o

oxo

vo

983

R.U.B 19) Periodo y frecuencia en un péndulo físico

T

1 f

2 (

Io 1/2 ) mg d

r 4G 2

20) Coeficiente de torsión en péndulo de torsión 21) Periodo y frecuencia en un péndulo de torsión

T

1 f

I 2 ( )1/2

22) Periodo y frecuencia en un péndulo cicloidal

T

1 f

2 (

23) Periodo de pequeñas oscilaciones en un campo

T

2 [

4 a 1/2 ) g

m 2

2

(d V(r) / dr )r0

I 2 ( )1/2

( )1/2 y T I

24) Frecuencia angular y periodo péndulo de Pohl 2 1

25) Frecuencias en un péndulo doble de gravedad

g 2) ,

(2 m

M

26) Velocidad de un proyectil en un péndulo balística

u

27) Periodos en un péndulo reversible

T1

2 (

T2

2 (

2 2

En

30) Posición en un MAA (sobreamortiguado)

x(t) e

t

(Ae

31) Posición en un MAA (críticamente amortiguado)

x(t) e

t

(A Bt)

32) Posición en un MAA

x(t) Ae

34) Decremento logarítmico en un MAA

(y)

E

(y) 1 ) 2

(n

2

t

t

Be

sen( t

2 2 o

n

g

I2 1/2 ) mg h 2

29) Energía del nivel n-ésimo partícula, en un OAC

T

2)

I1 1/2 ) , mg h1

ˆ H

33) Periodo en un MAA (infraamortiguado)

(2

2g h

m

28) Ecuación de un oscilador armónico cuántico

(infraamortiguado)

] 1/2

A(t) A(t T)

t

)

o)

4 m 2

4mk b2 T

984

R.U.B 1

NT

35) Tiempo de relajación en un MAA 36) Relación entre " " y " " en un MAA

o

)2 (

[1 ( o

2 1 e

Q

38) Cambio en el tiempo de la energía en un MAA

dE dt

b v2

Pm

Fo2 2 m2 (

40) Amplitud de las oscilaciones en un MAAF

(

2 o

2 2 )1/2

b2

X

2

2 1/2

46) Relación entre X, Z y R

tg

E

2 o

k / )2

m

k/ b

15) Deformación unitaria longitudinal

F/A / 1 E

2

k/

X R

14) Ley de Hooke en deformación lineal

]

)

m

F A

4

2 1/2

2

45) Reactancia en un oscilador mecánico

a

)

fo

Z [(m

47) Esfuerzo en elasticidad

)

2 o

44) Impedancia en un oscilador mecánico

17) Coeficiente de elasticidad longitudinal

2 2

2 2

Amax

E

2

2 o

2 o

(

16) Modulo de Young

2

b

[( o

42) Frecuencia de las oscilaciones propias en un MAAF 43) Amplitud de resonancia en un MAAF

2 T

fo

A

41) Frecuencia de resonancia en un MAAF

2

2 1 e

37) Factor de calidad en un MAA

39) Potencia media en un MAAF

)2 ]1/2

b2 ]1/2

2

985

R.U.B 47) Deformación unitaria longitudinal por calor

T o

48) Esfuerzo longitudinal por calor

F A

49) Densidad de energía potencial

EP V

w

E T 2

2E

50) Esfuerzo volumétrico

V

F A

51) Deformación unitaria volumétrico

V

V V

52) Modulo de compresibilidad

P

P V/V

V

B

V

53) Coeficiente de compresibilidad

1 B

54) Relación entre "E" y "B"

B

55) Esfuerzo de cizalladura

V V P E 3 (1 2 ) F A

T

56) Deformación por cizalladura

D

57) Modulo de cizalladura

G

s

F/A s/

D/D /

D

58) Coeficiente de Poisson G

E (1 2

60) Densidad de energía potencial en cizalladura

w

EP V

61) Momento polar de inercia de una barra cilíndrica

IP

59) Relación entre G, E y

62) Esfuerzo de cortante de torsión

32

Mr IP

T

)

1

2 T

2G (D 4

d4 )

R.U.B 63) Modulo de elasticidad en cortante

986

G M G IP

64) Angulo de torsión relativo

65) Momento de torsión de una barra cilíndrica 66) Densidad de energía potencial por torsión

67) Esfuerzo tangencial en un cascarón cilíndrico

M

w

T

70) Momento en una flexión de una barra cilíndrica 71) Ley general de Hooke

M 2r 2 2G I2P

EP V Pr h

Pr 2h

68) Esfuerzo longitudinal en un cascarón cilíndrico 69) Esfuerzo tangencial por presión en una esfera

G R4 2

T

Pr 2h

M

E I R P

ij

h

72) Densidad media de una sustancia o cuerpo

m V

72) Densidad local o puntual

dm dV

73) Densidad aparente de una sustancia o cuerpo

a

ma Va

74) Densidad real de una sustancia o cuerpo

r

mr Vr

75) Densidad relativa de A especto de AB

r

A B

76) Peso especifico medio de una sustancia o cuerpo

W V

77) Peso especifico local o puntual de una sustancia

dW dV

Cijk

maire Vaire

k

mr Vr

987

R.U.B 78) Relación entre densidad y peso especifico

g

79) Presión de fuerza en un diferencial de área

P

dFN dS

80) Presión de fuerza en una superficie

P

FN S

81) Presión hidrostática en un líquido

PA

82) Presión atmosférica en función de la altura "h"

P

83) Presión manométrica

Pman

Pab

Patm

84) Presión del vació

Pvac

Patm

Pab

85) Presión atmosférica en un manómetro

Pman

Pabs

Patm

86) Presión absoluta en un manómetro truncado

Pabs

87) Presión atmosférica en un cerrado parcialmente

Po

88) Presión atmosférica en un tubo en un recipiente

Po

g

89) Fuerza atmosférica sobre una superficie SG

F

PoSG

90) Principio fundamental de la hidrostática

P1

91) Prensa hidráulica con émbolos a la misma altura

W

(

92) Empuje hidrostático en un fluido

E

F

93) Centro de flotación de un cuerpo sumergido 94) Altura del metacentro de un cuerpo sumergido

Poe

h/

h

mg h

g (h

96) Fuerza sobre un dique de una represa

F

x)( x

(h

g z1

x)

x)(L x) x

P2

g z2

A2 )F A1 VS

Ix yA I m min VS

Wap

98) Altura a la que actúa la fuerza en el dique

Fcos S gh

95) Peso aparente de un cuerpo sumergido en un fluido

97) Momento de fuerza sobre un dique de una represa

dFcos dS

F

d

W E

1 g H2 2 1 M g H3 6 H x 3

g VS

cte.

988

R.U.B 2

99) Forma que adopta la superficie de un líquido en rotación

y

(

100) Aceleración horizontal de un móvil con un manómetro

a

(

101) Aceleración vertical de un ascensor con un manómetro

a'

2g

)z

2g z h 2z 2

102) Velocidad angular de rotación con un manómetro 103) Aceleración de un ascensor con la maquina de Atwood

2g

gz

(m2

a

) x2

m1)(g a ') m1 m 2

104) Coeficiente de tensión superficial

dW dA

F

105) Coeficiente de tensión superficial (Método Tate)

m ' m'

106) Coeficiente de tensión superficial (Método de Yong)

F 2(2 R)

107) Coeficiente de tensión superficial (Método burbuja)

gR ( 2

108) Coeficiente de tensión superficial (Método jeringa)

2 L ro 4 ( ) t R

mh m

h)

109) Presión complementaria en una gota de líquido

P

P P'

2 R

110) Presión complementaria en una burbuja con gas

P

P P'

4 R

111) Fórmula de Laplace para la presión complementaria

P

(

112) Relación para la composición de burbujas de jabón

1 RA

1 RB

113) Diferencia de presión entre dos burbujas conectadas

P

4 (

114) Relación de Young

SV

SL

LV cos

LV (cos

1)

115) Ecuación de Young-Dupre

S

1 R1

1 R2

1 ) R2 1 RC 1 ) R1

989

R.U.B

2 cos gr

116) Altura de ascenso o descenso de un líquido en un capilar h 117) Presión complementaria de vapor saturado de un líquido

Pm

P 1

118) Caudal de un fluido a través de un tubo

Q

119) Flujo másico de un fluido a través de una tubería

F

120) Fuerza de sustentación sobre un cuerpo en movimiento

L

1 2 v AC 2

121) Ecuación de continuidad para un fluido incompresible

Q

A1v1

122) Teorema de Bernoulli para un flujo de fluido

Av

vA

Q

A 2v2

v2 2g

P g

h

cte.

123) Presión al interior de un fluido en reposo

P2

P0

124) Velocidad de salida de un fluido por un orificio

v

2g h

125) Velocidad de un fluido en el tubo de Venturi

v2

(

126) Caudal de un fluido en el tubo de Venturi

Q

A1 A 2 (

2g h 1/2 ) A12 A 22

127) Velocidad de un gas en el tubo de Pitot

v (

2

h

128) Velocidad de un fluido en el tubo de Prandtl

vo

[

129) Velocidad experimental de un fluido en un tubo

vo

Cv[2g (

130) Tiempo de vaciado de un depósito abierto

A12 2H 1/2 t [( 2 1) ] g A2

131) Esfuerzo cortante en una capa de fluido

dF dA

gh

2g h 1/2 ) A1 A12 A 22

og

2g (

)1/2

m

)

]1/2

1)]1/2

dv dx

132) Coeficiente de viscosidad cinemática

133) Medida del coeficiente de viscosidad dinámica

2g (

f )R

S

9d

2

t

990

R.U.B R t /m h

oe

134) Velocidad angular de un disco rotante en un gas 135) Momento de un fluido entre dos cilindros coaxiales

2

M

136) Ley de Poiseulli para un fluido viscoso

P

4

R12 R 22 ( 2 R 22 R12

8

Q R4

137) Velocidad de descenso de un fluido en un capilar

v

g R2 sen 8

138) Rapidez de paso de la masa de un gas por un capilar

dm dt

M R4 (P 2 16 R T

139) Tiempo de descarga de un fluido viscoso por un capilar

tm

n(2) C

140) Ley de Stokes para un cuerpo que cae en un fluido

f

6

141) Velocidad instantánea de un cuerpo que cae en un fluido v(t) 142) Velocidad límite de un cuerpo que cae en un fluido

v

143) Número de Reynolds

Re

144) Número de Arquímedes

Ar

145) Número de Knudsen

kn

146) Número de Mach

Ma

1)

147) Número de Weber

NW

148) Número de Strouhal

St

149) Número de Grashoff

Gr

Po2 )

n(2) t C

Rv k t/m

v (1 e 2g (

f )R

S

)

2

9

Dv

g L2 f (

f) 2

kB T L

2

2

L

v vS v2 L L v

g (TS

Tf ) L3C 2

991

R.U.B 150) Número de Froude

Fr

151) Número de Eckert

EC

152) Número de Euler

Eu

153) Número de Peclet

Pe

154) Número de Prandtl

Pr

155) Número de Rossby

Ro

v ( / )L v2 cP T

P(0) P(1) v2 / 2 Lv D

R eSc

Cp

v

k

v fL 4V S

156) Recorrido libre medio de las reflexiones ondas 157) Frecuencia de oscilac. de un fluido en tubo abierto

o

(

158) Frecuencia de oscilac. de un fluido en tubo semiabierto

o

(

2g

) 1/ 2

Po 1/2 ) H

2g

159) Presión al interior de una burbuja de un fluido ebullición

P

Po

gh

160) Número de moles de una sustancia o gas

n

m M

161) Volumen molar de una sustancia o gas

VM

162) Volumen específico de una sustancia o gas

v

163) Ley de Avogadro para un gas

V n

k

164) La constante de Boltzman en gases

k

R NA

165) Velocidad de difusión y efusión de un gas

v

(

166) Ley general de un gas ideal para un estado

PV

Pe

V n

1 cte.

1,38 10

3R T 1/ 2 ) M nRT

23

J K

992

R.U.B 167) Ley de un gas ideal para dos estados

P1 1 T1

P2 2 T2

168) Ley de Dalton

P

169) Presión parcial de la k-ésima componente de la mezcla

Pk

zk P

170) Concentración molar de la k-ésima componente

zk

N

PA

PB

mk / M k (m k / M k ) k 1

171) Energía cinética media del movimiento de traslación

EC

172) Velocidad media de las moléculas de un gas

v

173) Velocidad cuadrática media de las moléculas de un gas

vC

3 kT 2

(

8RT 1/2 ) M (

3R T 1/2 ) M

2 E 3 C

174) Ecuación fundamental de la teoría cinética gases

PV

175) Interpretación molecular de la temperatura de un gas

1 m ' vC 2

176) Difusión de dos gases en una pared porosa

2

v1,c

(

v2,c

177) Fórmula del efecto Knudsen

P1 P2

T1 T2

178) Ecuación de transformación adiabática de un gas

PV

cte.

179) Medida del exponente adiabático de un gas 180) Presión en la bomba de vació en el n-ésimo ciclo 181) Porcentaje de variación de la pre sión en el depósito

3 kT 2

M2 1/2 ) M1

4m Vo r 4 PoT 2 V n Pn ( ) Po V Vo V n [1 ( ) ](100) V Vo

182) Capacidad calorífica a volumen constante

CV

183) Capacidad calorífica a presión constante

CP

2 (1

nR

2

)n R

993

R.U.B 184) Capacidad calorífica especifica molar de un gas V=cte.

cV

CV n

185) Capacidad calorífica especifica molar de un gasa P=cte.

cP

CP n

186) Inercia térmica de un material de conductividad "k"

I (k c v )1/2

2

(

m 3/2 2 ) v e 2 kT

f (v)

4 N(

188) Número de moléculas según la distrib.. de Maxwell

dN

f (v)dv

189) Velocidad más probable según la distr. De Maxwell

vP

(

191) Velocidad cuadrática media del movimiento molecular

v (

8k T 1/2 ) 1,6 P V m

3kT 1/ 2 ) m

193) Flujo molecular a través de una superficie de área "A"

N At

194) Flujo total de incidencia molecular en una pared

N(

196) Velocidad media de fuga de las moléculas por un agujero

1N v 4 V

197) Presión instantánea molecular sobre la pared

P(t)

198) Presión atmosférica según la altura sobre el nivel del mar P 199) Concentración molecular según la altura 200) Equipartición de la energía según los grados de libertad

kT 1/2 ) 2 m

m g z/k T mg z/kT

n(z) n oe

201) Recorrido libre medio de las moléculas en un gas

N v 4V

1 v A t 4 V

Po e

Poe

EC

kT 2 1

2 d 2n v

202) Frecuencia de colisiones entre moléculas en un gas

z

203) Número medio de colisiones de las moléculas en un gas

f

mv 2 2kT

2 k T 1/ 2 ) m

(

vc

1) R

2

187) Función de distribución de velocidades de Maxwell

190) Velocidad aritmética media del movimiento molecular

R

2 d2 n v 1 n 4 v

v

v

994

R.U.B 204) Relaciones de presiones para dos estados del gas 205) Ley de Fick en la difusión de un gas

P1 P2

1

J n t

207) Ecuación diferencial del proceso de difusión

n t

2

D

n x2

D

m e 2 Dt

n(x, t)

x

210) Cuadrado medio del desplazamiento

x2 D

n

2

209) Desplazamiento medio de la partícula browniana

211) Para partículas de forma esférica de radio "r"

n x

D

206) Ecuación diferencial para la concentración molecular

208) Concentración molecular instantánea en el gas

2

0 2D t RT 6 r NA

C2

212) Fluctuación cuadrática media de una medida

x 2 /4 D t

(C

Vm (Vm )I

213) factor de compresibilidad para un gas real

z

214) Ecuación de Wan der Waals

(P a

n2

C )2

P Vm RT )(V nb)

n RT

27R 2Tcr2 y b 64Pcr

RTcr 8Pcr

V2

215) Coeficientes de ajuste en la ecuación de Wan der Waals

a

216) Humedad relativa del aire en porcentaje

Hr

217) Ecuación de una escala de temperatura a P=cte.

T

A

B

218) Ecuación de una escala de temperatura a V=cte.

T

AP

B

219) Transformación de escala centígrada-Kelvin

o

C K 273

220) Transformación de escalar centígrada-Fahreinheit

o

C

5 o ( F 32) 9

221) Transformación de escala centígrada-Rankine

o

C

5 o ( R 9

(

P )(100 %) Ps

492)

995

R.U.B 222) Transformación de escala Kelvin-Fahreinheit

K

5 o ( F 32) 273 9

223) Transformación de escala Fahreinheit-Rankine

o

o

224) Cambio de la resistencia eléctrica con la temperatura

R

F

225) Longitud final en dilatación lineal

R 460

R o (1 AT BT2 ) o [1

(T To )]

226) Cambio en la longitud en dilatación lineal

o

im

227) Coeficiente de dilatación lineal 228) Area de la superficie final en dilatación superficial 229) Cambio en el área en dilatación superficial

T

A

232) Cambio en el volumen en dilatación volumétrica

A o [1

A

T

V

0

S/S T (T To )]

0

V/V T

,

3

T

2

234) Relaciones entre los coeficientes " " , " " y " " 235) Esfuerzo térmico en los extremos de una barra

F A

236) Calor especifico de una sustancia o cuerpo

ce

Q m (T To )

237) Capacidad calorífica de una sustancia o cuerpo

C

Q T To

238) Relación entre calor especifico y capacidad calorífica C 239) Cantidad de calor suministrada o sustraída

Q

Ao (T To )

V Vo im

233) Coeficiente de dilatación volumétrica

(T To )]

Vo [1

V

E

(T To )

/ T

A Ao im

230) Coeficiente de dilatación superficial 231) Volumen final en dilatación volumétrica

0

o

Vo (T To )

,

3 2

T

m ce m ce (T To )

240) Principio de conservación de energía en un calorímetro Calor ganado = Calor perdido 241) Equivalente en agua de un calorímetro de masa mC

mH20

242) Calor latente de una sustancia

L

Q m

mC ce,C

996

R.U.B 243) Equivalente mecánico del calor

1cal 4,186J o 1 J 0,239cal

k ce

244) Difusividad térmica 2

245) Ecuación general de la conducción del calor

qG k

T

1 T t

246) Ley de Fourier en la conducción del calor

H

247) Medida de la conductividad térmica

k

V LVd (TA TB ) A t

248) Resistencia térmica en asilamiento térmico

R

d k

249) Flujo de calor estacionario en una pared compuesta

H

Q A

250) Temperatura en una placa sin fuente de calor

T(x)

251) Rapidez con que pasa el calor por la pared sin fuente

dQ dt

252) Temperatura en un tubo cilíndrico sin fuente de calor

T(r)

253) Rapidez con que pasa el calor en un tubo cilíndrico

k T

T RT (

T2 d

T1 T2 d / kA

)x

T1

T1 T2 R

T2 T1 n(r / a) T1 n(b / a)

dQ / dt

254) Temperatura en un cascarón esférico sin fuente de calor T(r)

T1 T2 n(b / a) / 2 k (T1 T2 )ab (b a)r

255) Rapidez con que pasa el calor en un cascarón esférico

dQ dt

256) Flujo de calor en un proceso de convección

H

dQ Adt

257) Intensidad de energía en radiación

R

E A.t

258) Intensidad de radiación según Steffan-Boltzmann

R

e T4

259) Densidad volumétrica de energía de radiación

T1

T2b T1a b a

T1 T2 (b a) / 4 k ab

( , T)

h (T2

dw d

T1)

997

R.U.B 260) Densidad de energía por unidad de área y tiempo

dW

261) Poder emisivo de radiación según ( ) y ( )

r

262) Relación entre r y r

r

263) Relación Re y r y r

Re

c ( , T) d 4 dW , r d c r 2

dW d

r d

r d

0

0

264) Poder absorbente en radiación

a

dWabs dWinc

265) Ley de Kirchoff para emisión y absorción

r a

r*

266) Función de Kirchoff en radiación

r*

267) Emitancia energía según la ley de Kirchoff

Re

1

c ( , T) 4 c ( , T) 4

f ( , T)

a r* d 0

268) Relación entre R*e y ( , T) en radiación

R *e

269) Desplazamiento de r*,max según la temperatura 270) Desplazamiento de Wien 271) Fórmula de Wien 272) Fórmula de Rayleigh-Jean

b1 T

m

b T

*

o

274) Energía media de un oscilador de radiación

( )

r

3

( ,T)d 0

( ) T 2

2

kT

c2

273) Fórmula de Planck para las energías

275) Fórmula de Planck par un cuerpo negro

c 4

m

r*

r

c 4

h

h eh

/k T 2

2 c2

1 h

eh

/k T

1

998

R.U.B 276) Fórmula para el cálculo de la constante de Planck

2 5k 4 1/3 h [ ] 15 c2

277) Relación de P y V para un proceso poli trópico

PVn

278) Energía interna de un gas ideal

U

279) Variación de la energía interna de un gas ideal

C, (n m RT 2M

U

U2

H

281) Trabajo realizado por (o sobre) el gas ideal

W

282) Primera ley de la termodinámica

Q

W

U

283) Calor en una expansión cuasiestática de un gas

Q

H2

H1

284) Ecuación de Meyer

CP

286) Efecto térmico de una transformación

E

287) Trabajo en un proceso isobárico

W1

288) Cantidad de calor en un proceso isobárico

Q

V2 V1

CV

CP CV

cP cV

Q

W*

2

P (V2

C P (T2

CP

291) Ley de Charles

V1 T1

V2 T2

292) Cantidad de calor en un proceso isocorico

Q

CV (T2

CV

295) Ley de Gay-Lussac

P1 T1

Q

U2

U1

V1 )

T1 ) C V (T2

R 1

Q

R 1 P2 T2

H

R

290) Capacidad calorífica molar a presión constante

294) Capacidad calorífica molar a volumen constante

n T21

P.dV

U

U

2

U PV

289) Cambio de la energía interna proceso isobárico

293) Cambio de la energía interna proceso isocorico

nRT

2

U1

280) Entalpía o calor total de un gas ideal

285) Exponente adiabático de un gas

)

T1 )

T1 )

999

R.U.B m V RT ln( 2 ) M V1

296) Trabajo en un proceso isotérmico

W

297) Cantidad de calor en un proceso isotérmico

Q

298) Capacidad calorífica a temperatura constante

CT

299) Ley de Boyle-Mariotte

P1 V1

300) Trabajo en un proceso adiabático

W

W

P2 V2

P1.V1 T (1 2 ) 1 T1

301) Cambio de la energía interna en proceso adiabático W 302) Ecuación de proceso adiabático

P1 P2

(

U

303) Cambio de la energía interna proceso politrópico 304) Cantidad de calor en un proceso politrópico

U

Q

T1 T2

ó

C V (T2 C(T2

H

305) Cambio de la entalpía en un proceso politrópico

V2 ) V1

CP (T2

T1 )

R (n ) ( 1)(n 1)

307) Exponente politrópico de un gas ideal

n

C CP C CV

308) Ecuación de proceso politrópico

P1 (T1)n/(1

309) Trabajo en un proceso politrópico

W

n)

P2 (T2 )n/(1

m R T1 P [1 ( 2 )(n Mn 1 P1 1

C

QF QC

W QC

312) Rendimiento del ciclo de Otto

1

313) Rendimiento del ciclo Diesel

1

314) Rendimiento del ciclo de Trinkler-Sabathe

1

1

T1 )

C

311) Rendimiento de una máquina térmica

V2 ) V1

T1 )

306) Capacidad calorífica en un proceso politrópico

310) Rendimiento térmico en el ciclo de Carnot

(

1

1)/n

]

TF TC

QF QC

1

n)

1

TF TC

1 1

1 1

(

1) 1

1

[(

1)

(

1)]

1000 0

R.U.B 1

315) Rendimiento en los ciclos de turbina de gas

316) Ciclo de combustión a volumen constante 317) Conservación de la energía en refrigeradores

1 1/

(

1

(

QC

1)

QF

1) (

1)/

W

QF

318) Coeficiente de rendimiento en refrigeradores

QF

W

QC

QF

TF

319) El refrigerador de Carnot 320) Coeficiente de performance en una bomba de calor

TC

TF

QC W

QF W W 2

dQ T

S S2 S1

321) Cambio de la entropía de un sistema (gas)

1

322) Calor reducido en una transformación isotérmica

Q*

323) Energía libre de un sistema termodinámico

F

324) Efecto Joule-Thompson que experimenta un gas

(

U TS

T ) p H 2

325) Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio

Q T

y

1 V [T ( ) P CP T v

t2

2

2

y

x2

n

n

326) Principio de superposición de ondas

y A

i

Ai

i 1

i 1

327) Ecuación de una onda sinusoidal

y(x, t)

A sen (

328) Representación compleja de una onda

y(x, t)

A i(k x

(

329) Fase de una onda sinusoidal 330) Vector de onda de una onda sinusoidal 331) Frecuencia cíclica de una onda sinusoidal

k

2

2 2 T

V]

x

2

2 t T

uˆ 2 f

2 t T

x t

0)

o)

o)

1001 0

R.U.B 332) Relaciones entre v, T, ,

y

v

f

T

y(x, t) t

333) Velocidad de una partícula en una onda senoidal

vy

334) Velocidad máxima de la partícula

v y,max

335) Aceleración de una partícula en una onda senoidal

ay

336) Densidad de energía en movimiento ondulatorio

w

E V

337) Potencia media en el movimiento ondulatorio

Pm

1 v 2

2

339) Relación entre las amplitudes de las ondas de P y D Po=

A cos(k x

A

Pm S

338) Intensidad de energía en el movimiento ondulatorio I

2

Asen(k x 1 2

2

A2

2

SA 2

1 v 2

ov

2

A2

A

340) Velocidad ondas transversales en una barra

G v ( )1/2

341) Velocidad ondas longitudinales en una barra

v

E ( )1/2

342) Velocidad de las ondas transversales en una cuerda v

T ( )1/2

( )1/2

343) Velocidad de las ondas en un resorte deformado

v

K ( )1/2

(

344) Velocidad de las ondas superficiales en líquido

v [(

345) Ecuación de una onda estacionaria en una cuerda

y

346) Longitud de una onda estacionaria en una cuerda

g 2

t)

kL

2 T

)1/2

) tg h

2 h

]1/2

2Asen kx cos t n

2 , (n=1, 2, 3,…) n n T 1/2 ( ) , (n=1, 2, 3…) 2

347) Frecuencia de una onda estacionaria en una cuerda

fn

348) Ecuación diferencial de una onda esférica

1 2 y (r ) r r2 r

349) Ecuación de presión de una onda esférica

P Po

1 f (r r

1 2y v2 r 2 v t)

0

t)

1002 0

R.U.B 350) Velocidad de propagación de onda esférica

)1/2

v ( o

351) Ecuación de presión de una onda esférica armónica P

Po

(Po/r) sen(k r

352) Densidad de energía de una onda esférica

w

Po / 2v2 or 2

353) Flujo de energía a través de una superficie esférica

Pm

354) Intensidad de energía de una onda esférica

I

Po / 2v

355) Velocidad de propagación del sonido en un sólido

v

E ( )1/2

356) Velocidad de propagación del sonido en un líquido v

B ( )1/2

2 Po2 /

v

358) Velocidad del sonido en función de la temperatura

vS

359) Intensidad del sonido

I

360) Intensidad del sonido en un medio isótropo

I

1 v 2

361) Intensidad del sonido en función de la amplitud

I

Po2 2 v

363) Densidad de energía de una onda sonora

ov 2

R T 1/ 2 ) M

357) Velocidad de propagación del sonido en un gas

362) Nivel de referencia de intensidad de sonido

or

t)

(

vo

T

P 4 r2 2

A2

10 log10 (

I

1 2

w

2

I ) I0

A2

w vS

364) Flujo de energía de una onda sonora 365) Relación de E y B para una onda electromagnética

E

c B (c=3 108 m/s)

366) Velocidad de propagación de una O.E. en el vació

c

.f

367) Velocidad de propagación de una O.E. en medio

v

f

368) Velocidad de la luz en el vació

c

(

o

3 108

o)

1/2

m s

3 108

m s

1003 0

R.U.B 369) Ecuación para el campo eléctrico en el vació

2

370) Ecuación para la intensidad de campo magnético

2

2

E

1 c2

2

H

1 c2

E t

371) Densidad de energía electromagnética en vació

w

372) Energía del campo electromagnético en el vació

W

373) Vector de Poynting

P ExH

374) Presión de radiación electromagnética

Pr

oE

375) Presión media de radiación electromagnética

Pr, m

1 2

376) Momento dipolar en la radiación electromagnética

pe

oE

0

H t

0

2

oH

oE

V

2

dV

2

V

oH

2

dV

2

cos2

2 o Eo

posen t 2

377) Campo eléctrico en la radiación electromagnética

o

E(t)

4 r3

(po x r) x r sen(k r

t)

(po x r) sen(k r

t)

2

378) Campo magnético en la radiación electromagnética H(t)

379) Intensidad de energía en la radiación electromagnét. I

4 c r3

4 2 po sen 2 2 2

o

32 380) Potencia media de emisión del dipolo magnético 381) Potencia instantánea de radiación de un dipolo

382) Potencia de emisión de una carga puntual "q"

383) Potencia media de las oscilaciones armónicas

384) Intensidad de energía radiada por la carga "q"

P

Pm

I

12 c

W

2 p2

1 4

3c3

o

2q 2a 2 3c2

1 4

o

1 4

o

q 2 4Ao2 3c3

q 2 a 2 sen 2 16

385) Energía de las oscilaciones de un electrón

4 2 po

o

Pm

P

cr

2 3

c

1 m 2 e

or 2

2

A o2

R.U.B 386) Amplitud de las oscilaciones del electrón

A

388) Potencia de una antena radio emisora

389) Resistencia de radiación de la antena 390) Momento dipolar magnético 391) Intensidad de energía de dipolo magnético

12 e

Io2 P 12 R m

393) Potencia instantánea de radiación de un dipolo

394) Potencia media de radiación de un e en un átomo

P

oc

m o sen 4 2

oc

6 2

r

4 oc

5

2 m2

1 4

3c5

o

(e / 2me )2 L2 12 oc5

4

r

396) Ley de refracción de la luz en una superficie

n i sen

397) Indice de refracción de una sustancia

n

398) Ecuación para los índices de refracción

ni nR

n R sen

i

c v

C

o

sen 2

12

i

o

t

mo2

Pm

399) Angulo crítico para la reflexión

2 3

3

6

Pm

395) Ley de reflexión de la luz en una superficie

2 2 zo 2 oc

mo2

I

3 oc me 2 2

2 2 zo

32 392) Potencia media de emisión del dipolo eléctrico

t

A oe 1

387) Tiempo de relajación de las oscilaciones amortig.

1004 0

R

o

vi vR sen 1 (

nR ) ni

400) Indice de refracción de un prisma

n

sen[( min A) / 2] sen (A / 2)

401) Frecuencia en el efecto Doppler acústico

f

f0 1 (v1 cos / v)

402) Frecuencia en el efecto Doppler electromagnético

f

f0

[1 (v / c) 2 ] 1/2 1 (v / c) cos

(

zo

)2

1005 R.U.B 0 CONSTANTES FISICAS UNIVERSALES Magnitud Símbolo Valor 01. Unidad masa atómica 1 u.m.a 1,6605655(86) 10-27 kg 02. Carga elemental e 1,6021892(46) 10-19 C 03. Carga especifica electrón e/me 1,7588047(49) 10-11 C/kg 04. Longitud onda Compton (n) 1,3195909(22) 10-15 m C, n=h/(mnc) 05. Longitud onda Compton (p) 1,3214099(22) 10-15 m C, p=h/(mpc) 06. Longitud onda Compton (e) 2,4263089(40) 10-12 m C, e=h/(mec) 07. Magnetón de Bhor 9,274078(36) 10-24 J/T B=eh/2m 08. Magnetón Nuclear 5,050824(20) 10-27 J/T n=eh/2mp 09. Momento magnético protón 1,410617(55) 10-26 J/T p 10. Momento magnético electrón 9,284832(36) 10-24 J/T e 11. Masa en reposo del neutrón mn 1,6749543(86) 10-27 kg 12. Masa en reposo del protón mp 1,6726485(86) 10-27 kg 13. Masa en reposo del electrón me 0,9109534(47) 10-30 kg 14. Volumen de 1 mol gas perfecto Vo=RTo/Po 0,02241383(70) m3/mol 15. Constante de Boltzman K=R/NA 1,380662(44) 10-23 J/K 16. Constante universal gases R 8,31441(26) J/mol K 17. Constante de gravitación G 6,672(41) 10-11 N m2/kg2 18. Constante de Planck 6,6266176(36) 10-34 J/Hz 19. Constante de radiación primera 3,741832(20) 10-16 W m2 c1=2 hc2 20. Constante de radiación segunda c2=hc/k 0,01438786(45) m K 21. Constante de Stefan-Boltzman 5,6703(71) 10-8 W/m2 K4 = 2k4/60h3c2 22. Constante de estructura fina 0,0072973506(60) = oce2/2h 23. Constante de Faraday F=NAe 9,648456(27) 104 C/mol 2 24. Constante eléctrica 8,85418782(7) 10-12 F/m o=1/( oc ) 25. Radio de Bhor 0,52917706(44) 10-10 m ao= /(4 R ) 26. Radio clásico del electrón 2,8179380(70) 10-15 m Ro= oe2/4 me 27. Velocidad de la luz en el vació c 299792458(1,2) m/s 28. Aceleración de caída libre g 9,80665 m/s2 29. Número de Avogadro NA 6,022045(31) 1023 mol-1 30. Energía en reposo neutrón mnc2 939,5731(27) MeV 2 31. Energía en reposo protón Mpc 938,2796(27) MeV 2 32. Energía en reposo electrón Mec 0,5110034(14) MeV 33. Constante magnética 12,5663706144 H/m o 7 -1 34. Constante de Rydberg R = o2 mec3e4/8h3 1,097373177(83) 10 m 35. Cuanto de flujo magnético 2,0678506(54) 10-15 Wb o=h/2e

R.U.B