=0,10 mW. La amortiguación de las oscilaciones en el circuito es muy pequeña. a) 0,01
b) 0,02
c) 0,03
d) 0,04
e) 0,05
261.Un circuito LC tiene un condensador de una capacidad C=1,2 nF y una bobina de induc tancia L=6,0 µH y resistencia R=0,5 Ω. ¿Qué potencia media debe suministrarse al circui to para mantener en éste las oscilaciones armónicas no amortiguadas siendo la amplitud de la tensión en el condensador Vm=10 V? a) 1,0 mJ
b) 1,5 mJ
c) 2,0 mJ
d) 2,5 mJ
e) 3,0 mJ
495 gravedad de las cargas positivas y negati vas se desplazan los unos respecto de los otros. En la molécula (átomo) del dieléc trico surge un momento eléctrico dipolar inducido proporcional a la intensidad E del campo eléctrico.
Física III
PROPIEDADES DIELECTRICOS CAP. 10 1. DIELECTRICOS a) Concepto Son dieléctricos aquellas sustancias que no conducen la corriente eléctrica. A tem peratura no muy altas y en condiciones en que el dieléctrico no este sometido a la ac ción de campos eléctricos muy intensos, en estas sustancias a diferencia de los con ductores, no existen portadores libres de corriente eléctrica. Las moléculas del dieléctrico son eléctri camente neutras y contienen igual núme ro de cargas positivas y negativas. No obs tante, estas moléculas tienen propiedades eléctricas. En primera aproximación las moléculas del dieléctrico se pueden consi derar como dipolos de momento dipolar pe q. . b) Tipos 1) Dieléctrico neutro Se dice que el dieléctrico es neutro, si los electrones de los átomos se encuentran en su molécula situados simétricamente res pecto de los núcleos (H2, O2, CCl4 y o tros). En estas moléculas los centros de grave dad de las cargas positivas y negativas coinciden en ausencia de un campo eléc trico externo y el momento dipolar pe de la molécula es nulo. Si el dieléctrico neutro se halla en un cam po eléctrico externo se produce una defor mación de las envolturas electrónicas de los átomos (moléculas), y los centros de
2) Dieléctrico polar Se llama dieléctrico polar aquel cuyas mo léculas (átomos) tiene electrones situados asimétricamente respecto a sus núcleos (H2O, HCl, NH3,CH3Cl y otros). En estas moléculas los centros de grave dad de las cargas positivas y negativas no coinciden y se encuentran prácticamente a una distancia constante " " unos de o tros. Las moléculas de los dieléctricos polares se asemejan por sus propiedades eléctri cas a los dipolos permanentes o rígidos, los cuales tienen momento dipolar cons tante. c) Carga inducida Si introducimos un cuerpo ya sea conduc tor ó dieléctrico dentro de un campo eléc trico externo, las cargas de este cuerpo ex perimentan una redistribución al interior de ella, al agrupamiento de las cargas de un mismo signo en ciertas zonas ó regio nes del cuerpo es lo que se llama fenóme no de inducción E - + - + - + - + - + - + + - + - +
-
+ + + - + + - +
- -
+ + + - +
+ + +
En este proceso de reagrupamiento de las cargas, la carga neta del cuerpo se mantie ne nula.
496 Dieléctricos d) Cargas libres y ligadas E e , (llamado campo eléctrico externo) ge En las sustancias dieléctricas existen nerado por las cargas libres o ligadas que dos tipos de cargas eléctricas, las llama poseen las placas. das libres y ligadas. Ee
2) Cargas libres Se llaman así a las cargas eléctricas, que no forman parte de las moléculas de las sustancias y de los iones de la red cristali na iónica. Por ejemplo son cargas libres: Las cargas de los portadores de corriente e léctrica en los medios conductores (los e lectrones de conducción en los metales y semiconductores, los huecos de los semi conductores, los iones de los electrólitos y los gases, etc...). Las cargas excedentes suministradas a un cuerpo por los métodos de electrización, que alteran su neutralidad eléctrica.
+
a) Campo eléctrico inducido en un conductor +
Ee
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
Consideremos dos placa planas paralelas cargadas con la misma cantidad de carga pero de signos opuestos, separados una pe queña distancia, tal como se muestra en la Figura, en el espacio entre las placas se es tablece un campo eléctrico homogéneo
-
+ + +
-
+ Ei
+
-
+
-
+
+ -i
2. CAMPO ELECTRICO INDUCIDO
-
+
1) Cargas ligadas Se llaman cargas ligadas a las que forman parte de las moléculas y de los iones en los sólidos cristalinos con red iónica.
-
+i -
Ahora, si introducimos una placa conduc tora muy delgada entre las placas iniciales se produce una redistribución de las car gas, debido a la presencia de E e , así en la Figura, las cargas negativas se agrupan en el lado izquierdo de la placa mientras que las positivas lo hacen en el lado derecho. A su vez este reagrupamiento de cargas (cargas inducidas), generan su propio cam po eléctrico Ein (llamado campo eléctrico inducido). En los conductores este campo eléctrico, es de igual magnitud que el campo eléctri co externo, pero de sentido opuesto, tal que el campo eléctrico resultante al inte rior de la placa conductora se anula, esto es: E Ee Ein 0
Conclusión El campo eléctrico al interior de un con ductor, en presencia de un campo eléctrico externo, es nulo. b) Campo eléctrico inducido en un dieléctrico Consideremos dos placa planas paralelas cargadas con la misma cantidad de carga pero de signos opuestos, separados una pe queña distancia "d" , tal como se muestra
497
Física III en la Figura, en el espacio entre las placas se establece un campo eléctrico homogé neo E e (llamado campo eléctrico externo) generado por las cargas libres o ligadas que poseen las placas. +
Ee
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
Ahora, si introducimos una placa conduc
tora muy delgada entre las placas iniciales se produce una redistribución de las car gas, debido a la presencia de E e , así en la Figura, las cargas negativas se agrupan en el lado izquierdo de la placa, en tanto, las positivas lo hacen en el lado derecho. A su vez este reagrupamiento de cargas (cargas inducidas), generan su propio campo eléc trico Ein (llamado campo eléctrico induci do).
Conclusión El campo eléctrico al interior de un dieléc trico, en presencia de un campo eléctrico externo, no es nulo. 3. SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA, CONSTANTE DIELECTRICA Se vio anteriormente que la magnitud del campo eléctrico al interior del dieléctrico es: 1 (1) E ( i ) o siendo, "" y "i " las densidades superfi ciales de carga libre e inducida, respectiva mente. a) Susceptibilidad eléctrica Es una cantidad física escalar, se represen ta simbólicamente por "" y se define co mo la razón de la densidad superficial de carga inducida "i " a la magnitud del cam po eléctrico resultante E , esto es:
Ee
-
+ + + + +
-
+ Ei
+
-
+
-
+
+ -i
-
(2)
En función de la susceptibilidad eléctrica la ec.(1), se escribe, así:
-
E
-
+i -
i E
Unidad:
(1 / o ) o
(3)
"" se mide C2 / Nm2
En los dieléctricos este campo eléctrico, es
de menor magnitud que el campo eléc trico externo, pero de sentido opuesto, tal que el campo eléctrico resultante al interior de la placa dieléctrica es de menor magnitud que el campo externo, esto es: E Ee Ein 0
b) Constante dieléctrica Es una cantidad física escalar adimensio nal, que se representa por "k" , y se define, así:
k 1
o
(4)
498 Dieléctricos Luego, introduciendo está definición en la 4. TEOREMA DE GAUSS PARA DIEec.(3), el campo eléctrico resultante en el LECTRICOS dieléctrico, resulta ser: a) Desplazamiento dieléctrico Es una cantidad física vectorial, que se re (5) E o k presenta por D , y se utiliza para caracteri zar las propiedades eléctricas de un medio al igual que el campo eléctrico E . Nota Para un medio isótropo homogéneo la A la constante dieléctrica, también, se le magnitud del campo eléctrico E es inver denomina coeficiente dieléctrico o permiti samente proporcional a " " , la relación en vidad eléctrica relativa. tre E y D , viene dado por: c) Capacidad específica de inducción Es una cantidad física escalar, se repre D k o E senta simbólicamente por " " , y se defi ne, así: En general, la constante dieléctrica "k " tiene una dependencia respecto del campo k o (6) eléctrico, esto es: para el vació, k = 1, de modo que: k k(E) o
Conclusión Resumiendo podemos decir que las propie
dades dieléctricas de un material ó medio, quedan completamente determinadas si se conoce cualesquiera de las siguientes can tidades físicas: Susceptibilidad eléctrica "k" , " " , Constante dieléctrica Capacidad específica de inducción " " . Las relaciones que existen entre estas tres cantidades físicas, son:
k 1 o o
b) Teorema de gauss para dieléctricos Consideremos dos placas conductoras pla nas paralelas con cargas de igual magni tud de signos opuestos, luego coloquemos una placa dieléctrica entre las placas y ob servemos que el campo eléctrico resultan te al interior del dieléctrico es: +q -qi
S
k o o o (k 1) o La razón de introducir estas tres cantida
des físicas, responde a la necesidad de ela borar una teoría formal de los dieléctricos.
Ee +qi -q
S
+ -i
E
+i -
i q q i o o oS oS
oS.E q qi
499
Física III siendo, "q" las cargas libres en la superfi cie de las placas, "qi " las cargas induci das en la superficie de la placa dieléctrica, y "S" el área de la superficie de las pla cas. De otro lado, se sabe que el campo eléctri co en función de la constante dieléctrica "k" del medio es:
E
k o
A su vez, esta ecuación utilizando el con
cepto de desplazamiento eléctrico, pode mos escribir, así: o k E
q D.S q .S S
Así, el número de líneas del desplazamien
to eléctrico D , a través de la superficie "S" , es igual, a la carga libre contenida en dicha superficie. D
siendo, "q" la carga libre y D es el núme ro de líneas de desplazamiento por unidad de área. 5. CONTINUIDAD DEL DESPLAZAMI ENTO EN UN MEDIO DIELECTRICO Se tiene dos placas conductores planas con cargas de igual magnitud pero de signos o puestos, entre las placas se encuentran dos sustancias dieléctricas diferentes de cons tantes de inducción "k1 " , "k 2 " el espesor de estas capas dieléctricas son "d1 " y "d 2 " , como se muestra en la Figura + + + +
k1
k2
- -
+
-
+ +
d1
d2
Si "E1 " y "E 2 " son las magnitudes de los n
S q
campos eléctricos en ambos dieléctricos, se tiene que: D1 k1.oE1 y D2 k 2.oE2
(1)
Ahora, para usar el teorema generalizado
Enunciado <<
Las líneas de desplazamiento total que pasan a través de una superficie cerrada, es igual, a la carga libre neta que encierra dicha superficie>> En lenguaje matemático, este enunciado de la generalización del teorema de Gauss, se escribe así:
D dS q S
de Gauss, consideremos como superficie gaussiana, un cilindro pequeño de bases "S" y altura despreciable, cuya superficie lateral sea perpendicular a la superficie lí mite (interfase). Puesto que la carga libre dentro de la superficie es nula y el sentido de D es de izquierda a derecha en cada dieléctrico, entonces:
D dS D1 cos 1dS D2 cos 2dS 0 Ahora, como 1 = , 2 = 0, y si considera
500 Dieléctricos mos que el desplazamiento es constante en perficie que separa ambos dieléctricos, y ambos dieléctricos, entonces la expresión en general hay una variación discontinua anterior queda así: de las direcciones y magnitudes de E y D al atravesar la superficie de separación (in terfase). La Figura, representa una peque D dS D1S D2S 0 ña porción de la superficie límite que se o sea, para dos dieléctricos de constantes dieléc D1 D2 tricas "k1 " y "k 2 " . Consideremos un cilindro pequeño de ba El desplazamiento es, por lo tanto el mis ses "S" y altura despreciable, cuya super mo en cada dieléctrico. ficie lateral es perpendicular a la superfi De otro lado, de las ecs.(1) y (2) deduci cie de interfase. Ahora como no hay carga mos que: libre dentro de este cilindro, la integral de superficie de las líneas de desplazamiento k1E1 k 2E2 a través de toda esta superficie debe ser nu la. La integral de superficie de la compo E1 k1 (3) nente tangencial de D calculada sobre la E2 k 2 superficie lateral del cilindro es nula, pues el área lateral del cilindro es prácticamen Es decir las magnitudes de los campos e te cero, ya que su altura es muy pequeña. léctricos son inversamente proporcionales De otro lado el cálculo de la integral de su a las correspondientes constantes de induc perficie de la componente normal de D re ción dieléctrica. sulta ser: 6. CONDICIONES DE CONTORNO D1 dS D2 dS S.D1 cos 1 S
E2
k1
E2 sen 2
k2 2
La componente normal, D cos , del desplazamiento, es continua a través de la superficie límite
1 E1 cos 1
c
a
(1)
X
E1
S b
S.D2 cos 2
D1 cos 1 D2 cos 2
E2 cos 2 E1 sen 1
S
d
En el caso anterior los vectores E y D , son perpendiculares al plano que separa los dieléctricos. El caso más general es cuando las direcciones de E y D pueden formar un ángulo cualesquiera con la su
Consideremos ahora el contorno cerrado
de perímetro "abcd" . Se puede escoger los lados "bc" y "ad' , tan pequeños, que la integral tomada a lo largo de estos lados se puede considerar despreciable. A lo lar go de los lados "ab" y "cd" de longitudes " " , las integrales son, .E1 sen 1 y .E2 sen 2
501 cido proporcional a la magnitud del cam po eléctrico E :
Física III Por tanto, la integral a lo largo de todo el
perímetro es:
Ed
pe .oE
E1sen 1 E 2sen 2 0
pues se demuestra que la integral curvilí nea del campo eléctrico a lo largo de un contorno cerrado " " es nulo. Por consi guiente: E1 sen 1 E2 sen 2
(2)
La componente tangencial, E sen , del campo eléctrico es continua a tra vés de la superficie límite De otro lado, dividiendo las ecs.(2) y (1),
y considerando que: D1 = k1.0 E1 y D2 = k2.0 E2, obtenemos:
tg 1 k1 tg 2 k 2
(3)
Esta relación es análoga a la ley de Snell
que es válida para la refracción de un ra yo luminoso que pasa a través de una su perficie límite, por lo mismo a éste resul tado se denomina a veces la ley de refrac ción de las líneas de fuerza del campo e léctrico. 7. POLARIZACION DE DIELECTRICOS a) Momento dipolar eléctrico Anteriormente se mencionó que si un die léctrico neutro se halla en un campo eléc trico externo, se produce una deformación de las envolturas electrónicas de los áto mos y los centros de gravedad de las car gas positivas y negativas se desplazan los unos respecto de los otros, como resultado surgiendo en la molécula (átomo) del die léctrico un momento dipolar eléctrico indu
(1)
siendo, " " el coeficiente de polarizabili dad de la molécula (átomo), y "o " la constante dieléctrica. b) Polarización La polarizabilidad de una molécula depen
de solamente de su volumen, " " no de pende de la temperatura. El movimiento térmico de las moléculas de los dieléctricos neutros no influye en la aparición de los momentos dipolares indu cidos. Si un dieléctrico polar, no se encuentra en un campo eléctrico externo, como resulta do del movimiento térmico caótico de las moléculas, los vectores de sus momentos dipolares están orientados caóticamente. Por eso, en cualquier volumen físicamente infinitesimal " V" ( V contiene un nú mero bastante grande de moléculas) la su ma de los momentos dipolares de todas las moléculas es nula. En un dieléctrico neu tro que no se encuentre en un campo eléc trico externo no pueden surgir momentos dipolares inducidos en las moléculas. - + -+ - + + - + + - + + - + + + + + -+ - - + + + -+ - + + - + - + + - + - - + ++ - + -+ + - + - + + - ++ - - + +
Al introducir el dieléctrico en un campo e
léctrico externo se produce la polarización del dieléctrico, que consiste en que en cualquier volumen elemental " V" surge
502 Dieléctricos un momento dipolar total de las moléculas plazamiento de todos los iones positivos distintas de cero. El dieléctrico que se en en la dirección del campo eléctrico E y de cuentra en este estado se dice que está po todos los iones negativos en sentido opues larizado. En dependencia de la estructura to. Recordemos que llamamos iones a las de las moléculas (átomos) del dieléctrico molécula (átomos) que han perdido o gana se distinguen tres tipos de polarización. do uno o más electrones. c) Tipos 1) Polarización dipolar En la polarización dipolar por orientación en los dieléctricos, el campo eléctrico ex terno tiende a orientar los momentos dipo lares de los dipolos permanentes a lo largo de la dirección del campo eléctrico. Esto se ve dificultado por el movimiento térmi co caótico de las moléculas, que tiende a dispersar arbitrariamente los dipolos. Co mo resultado de la acción conjunta del campo y del movimiento térmico aparece una orientación predominante de los mo mentos eléctricos dipolares a lo largo del campo, que crece al aumentar la magnitud del campo eléctrico y al disminuir la tem peratura. 2) Polarización electrónica En la polarización electrónica por deforma ción en los dieléctricos neutros, bajo la ac ción del campo eléctrico externo en las moléculas de los dieléctricos de este tipo surgen momentos dipolares inducidos diri gidos a lo largo del campo. El movimiento térmico de las moléculas no ejerce influen cia sobre la polarización electrónica. En los dieléctricos gaseosos y líquidos, prácti camente al mismo tiempo que la polariza ción dipolar, se produce la electrónica. 3) Polarización iónica Este tipo de polarización se produce en los dieléctricos sólidos que tienen redes crista linas iónicas, por ejemplo el NaCl, CaCl y otros. El campo eléctrico provoca el des
d) Vector de polarización Se llama vector de polarización Pe a la ra zón del momento dipolar eléctrico total, de una muestra pequeña de dieléctrico de volumen " V" , a la magnitud de este vo lumen, es decir:
Pe
1 N pe, i V i 1
(1)
siendo, pe, i el momento dipolar eléctrico de la i-ésima molécula, y "N" el número total de moléculas que hay en el volumen " V" . El vector polarización nos da una medida cuantitativa de la polarización de un die léctrico. El volumen " V" debe ser sufi cientemente pequeño de tal forma que el campo eléctrico a su interior se considere constante, al mismo tiempo el número de moléculas "N" que hay en el volumen " V" debe ser muy grande, tal que nos permita utilizar los métodos estadísticos para la determinación de Pe . 1) Vector de polarización para un dieléctrico neutro Para un dieléctrico neutro homogéneo que se encuentra en un campo eléctrico exter no también homogéneo, el vector de pola rización es: Pe n ope
(2)
siendo, "n o " el número de moléculas en la unidad de volumen, y pe el momento dipo
503 La recta b) no pasa por el origen de coor denadas debido a que en las moléculas po lares se producen generalmente las polari zaciones dipolares y electrónicas, y la sus ceptibilidad dieléctrica consta de dos par tes:
Física III lar de una molécula. Sustituyendo la expre sión de pe , tenemos: Pe n oo E o E
(3)
siendo, n o la susceptibilidad eléctri ca de la sustancia. 2) Vector de polarización para un dieléctrico polar Para un dieléctrico polar homogéneo que se encuentra en un campo eléctrico tam bién homogéneo, el vector polarización es: Pe n o pe
(4)
siendo, pe el valor medio de la compo nente del momento dipolar permanente de la molécula a lo largo del campo eléctrico. e) Fórmula de Debye-Langevin Esta fórmula se utiliza en el caso en que el dieléctrico polar se halle en un campo eléc trico externo débil, y la susceptibilidad die léctrica se calcula a partir de:
n o pc2 3o kT
' "
(6)
donde, ' y " vienen dados por la fórmu la de Debye-Langevin. f) Densidad superficial de cargas de polarización Si el dieléctrico se encuentra en un campo eléctrico homogéneo, la neutralidad eléctri ca de un volumen suyo cualquiera " V" , que contenga un número de moléculas sufi cientemente grande, se asegura por la com pensación mutua de las cargas de signos o puestos de los dipolos adyacentes como a parecen en la Figura. En las capas delga das próximas a las superficies S1 y S2 del dieléctrico, que limitan su volumen, como resultado de la polarización dieléctrica a parecen cargas de polarización superficia les.
(5) S1
siendo, "k" la constante de Bolztman y "T" la temperatura absoluta.
-
o o o o o
o o o o o o o o
o o o o o o o
S2 o o o o o o o
o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o
+ + + E + + +
b a
0
1/T
En la Figura, se muestra la dependencia de
"" respecto de "1/ T" para: a) Las moléculas neutras. b) Las moléculas polares.
Junto a la superficie por la cual entran las
líneas de fuerza del campo eléctrico exter no, aparecen las cargas negativas de los ex tremos de las moléculas de dipolos, y en la superficie opuesta surgen las cargas positi vas. La densidad superficial de las cargas de polarización se representa por "p " y vie ne dado por:
504
Dieléctricos p Pe nˆ
siendo, Pe nˆ la proyección del vector de polarización Pe sobre la normal externa nˆ a la superficie del dieléctrico. e) Densidad volumétrica de cargas de polarización En un campo eléctrico heterogéneo la po larización del dieléctrico tampoco es ho mogénea y el vector de polarización Pe depende de las coordenadas. Por eso, ade más de las cargas de polarización superfi ciales, surgen cargas de polarización volu métrica, distribuidas con la densidad volu métrica, la cual viene dado por:
p div Pe
(8)
siendo, Pe el vector de polarización . Ejemplo: Una varilla delgada dieléctrica de sección transversal "A" se extiende sobre el eje X desde x=0 hasta x=L. La polarización de la varilla es a lo largo de su longitud, y es: px=a.x2+b. Hallar la densidad volumétrica de carga de polarización y la densidad su perficial de carga de polarización en cada extremo. Solución: Representemos la varilla de longitud "L" y las normales a su sección transversal. Y
n
n 0
p div P
(7)
L
X
La densidad volumétrica de carga de pola rización, en la varilla es:
p (
; ; ) (ax 2 b; 0; 0) x y z p
d (ax 2 b) dx
p 2ax La densidad superficial de carga de pola rización en la varilla es: En la base izquierda, evaluando en x = 0 .
p Pe, n P nˆ
p (a02 b; 0; 0) (1; 0; 0) p b
En la base derecha, evaluando en x = L.
p Pe, n P nˆ
p (aL2 b; 0; 0) (1; 0; 0) p aL2 b f) Relación entre los vectores desplazamiento, campo eléctrico y polarización. En un dieléctrico, en el caso general, el campo eléctrico es creado tanto por las car gas libres como por las cargas ligadas. El vector campo eléctrico E caracteriza al campo resultante en el dieléctrico, creado por ambos tipos de cargas, y depende de las propiedades eléctricas de este, es decir, de su permitividad relativa r=/o. Pero la fuente primaria del campo eléctrico en el dieléctrico son las cargas libres. Es decir,
505 mergida en un fluido infinito e isótropo de constante dieléctrica "k" , como muestra la Figura.
Física III el campo de las cargas ligadas surge en el dieléctrico como resultado de la polariza ción de este último, que se encuentra en el campo eléctrico externo creado por el siste ma de cargas libres. A su vez, el flujo del vector campo eléc trico a través de una superficie cerrada ar bitraria "S" en una sustancia es:
P r qi
q
S.G.
oE dS qlibres qligadas S
De otro lado, la suma de las cargas liga
das (qligadas) abarcadas por la superficie ce rrada "S" , viene dado por: q ligadas P dS S
Sustituyendo "qligadas" en la expresión an
terior, tenemos:
S (oE P) dS qlibres general del teorema de Gauss, dada ante riormente, establecemos la relación exis tente entre los vectores D , E y P : (9)
Para un medio homogéneo e isótropo,
Pe oE , así, tenemos que:
Por simetría, el valor del desplazamiento
es constante en todos los puntos de esta su perficie, y su dirección es radial y dirigida hacia fuera. La integral de superficie se reduce enton ces a:
S D cos dS D (4 r
2
)q
Y por tanto, el campo eléctrico "E" es:
D oE oE D o (1 ) E
cargas inducidas "qi " negativas, ubicadas muy próximas a la superficie de la esfera conductora. Ahora, construyamos una superficie de Gauss de forma esférica y radio "r" con céntrica con la esfera cargada. Aplicando el teorema de Gauss en su forma general a esta superficie, se tiene:
S D cos dS q
Si comparamos esta ecuación con la forma
D oE Pe
Como se observa en la Figura, aparecen
(10)
8. CAMPO Y FUERZA ELECTRICA EN DIELECTRICOS Para estudiar el campo y fuerza en un die léctrico consideremos una esfera conducto ra de radio "R" con carga "q" positiva su
D
q K e E k o E 4r 2 E
1 q 4o k.r 2
(1)
De otro lado, aplicando el teorema de
Gauss al campo eléctrico, se obtiene:
506
Dieléctricos o E cos dS (q qi )
F
S
4or 2E (q qi )
1 q qi E 4o r 2
(4)
Y la magnitud de la fuerza sobre la carga
de prueba en el vacío es: (2)
Fo
Igualando (1) con (2), encontramos la car
ga inducida "qi " en la esfera: k 1 qi ( )q k
1 qq ' 4o k.r 2
1 q.q ' 4o r 2
(5)
Conclusión (3)
Conclusión La carga efectiva, q-qi, de la esfera es i gual a la fracción 1/k de su carga libre "q" y en consecuencia, el campo eléctrico en el punto P es 1/k del que existiría en tal punto si no hubiera dieléctrico, es decir:
Comparando las ecs. (4) y (5), concluimos que la fuerza eléctrica en el vacío es "1/ k" veces mayor que la fuerza en el die léctrico, es decir:
F0 FD siendo, F0 y FD las fuerzas entre las car gas "q" y "q'" en el vacío y en el dieléctri co respectivamente.
E0 E D
9. EXPERIMENTO DE J. J THOMPSON
el campo eléctrico en el vacío "Eo " es ma yor que en el dieléctrico "E D " por un fac tor de "1/ k" veces. Ahora si colocamos una carga de prueba "q '" muy pequeña sobre la superficie gaus siana a la distancia "r" del centro de la es fera conductora, entonces la fuerza sobre la carga "q '" son debidas a la cargas "q" y a la carga inducida "qi " alrededor de "q" , y a la carga inducida "q 'i" alrededor de "q '" , si la carga "q '" está distribuida si métricamente, no produce fuerza neta so bre la carga q ' , de modo que el único e fecto que queda es del campo creado por las cargas "q" y "q i " , cuyo valor hemos de ducido. Por lo tanto, usando la ley de Cou lomb la fuerza neta sobre la carga de prue ba q ' , en el dieléctrico es:
a) Objetivo Hallar la razón del valor de la carga a la masa de un electrón "e / m" . b) Instrumentos * Un tubo de vidrio al que se le extrae el ai re, como el mostrado en la Figura.
+
A B C
D
F
E
* Dos conductores llamados el ánodo (A) y el cátodo (C). * Un diafragma metálico (B) que se utiliza como filtro electrónico. * Láminas metálicas cargadas (D y E) que
507 obtenemos la razón de la carga a la masa del electrón, esto es:
Física III sirven para crear un campo eléctrico uni forme vertical entre las láminas. * Una película fluorescente (F), que se utili za para detectar los electrones que pasan a través de las placas D y E. c) Procedimiento Se establece una diferencia de potencial de algunos miles de voltios entre ánodo y el cátodo. Los pocos iones positivos del gas son a celerados hacia el cátodo por el campo e léctrico existente entre el cátodo y el áno do, estos iones golpean el cátodo liberan do electrones de su superficie, los cuales a su vez, son acelerados en sentido opuesto hacia el ánodo, este mecanismo de libera ción de electrones de una superficie metáli ca se llama emisión secundaria. La mayoría de los electrones emitidos en el cátodo son frenados por el ánodo, pero un número limitado pasa a través de una rendija del ánodo y de una segunda rendi ja del diafragma metálico Los electrones que pasan por la rendija no sufrirán desviación de su trayectoria si se ajustan adecuadamente el campo elécrico establecido entre las láminas y el campo magnético generado por un electroimán, perpendicular al plano del papel, lográn dose que las fuerzas eléctrica y magnética sobre el electrón sean iguales en magni tud, esto es:
eE e vB
v
E B
Si anulamos el campo eléctrico, los elec
trones se mueven como efecto del campo magnético en trayectorias circulares, de ra dio igual a:
mv R eB Sustituyendo la expresión de la velocidad
e E m R B2 d) Conclusión Mediante este método, el valor más preci so obtenido para la razón de la carga del e lectrón "e" a su masa "m" es: e C 1,7589 1011 m kg
10.FENOMENOS DE CONTACTO TER MOELECTRICOS Y DE EMISIÓN a) Trabajo de extracción de un electrón. El trabajo de salida "W" realizado por un electrón es la mínima energía que se le de be suministrar al electrón de conducción del metal para que pueda abandone el me tal, viene dado por: W e (V V´)
siendo, V y V´ los valores de los potencia les eléctricos de los puntos ubicados al in terior y exterior del metal, respectivamen te, y " " el potencial químico del gas e lectrónico del metal. El trabajo de extracción depende de la cla se del metal y del estado de su superficie. Para los metales puros es del orden de va rios electrón-voltios. b) Potencial electroquímico Se denomina potencial electroquímico del gas electrónico del metal a la cantidad, Ve eV
siendo, " " el potencial químico del gas, "e" la carga eléctrica del electrón.
508
Dieléctricos
PROBLEMAS RESUELTOS 01. ¿Cuál es la capacitancia de un capacitor de placas paralelas cuadradas de lado l=5,5 cm, separadas por una lámina de parafina de espesor d=1,8 mm, y constante dieléctrica = 2,2? (k=9109 Nm2/C2, p=10-12) a) 30,7 pF
b) 32,7 pF
c) 34,7 pF
d) 36,7 pF
e) 38,7 pF
02. Un capacitor de C=3500 pF con espacio de aire se conecta a una batería de V=22 voltios. Si el espacio entre las placas se llena con una pieza de mica de constante dieléctrica =7, ¿Cuánta carga fluirá desde la batería? (n=10-9, p=10-12) a) 420 nC
b) 440 nC
c) 460 nC
d) 480 nC
e) 500 nC
03. Un capacitor de placas paralelas de área A=4 m2, y distancia de separación d=4 mm, llena con un dieléctrico de constante =3,4, se conecta a una batería de V=100 voltios. Se retira el dieléctrico estando el capacitor conectado a la batería. Hallar el trabajo realizado. a) 106 J
b) 126 J
c) 146 J
d) 166 J
e) 186 J
04. Se tiene un capacitor de placas paralelas cuadradas de lado l=8 cm, separadas por una dis tancia d=1,3 mm. Las cargas sobre las placas son iguales y opuestas y tienen una magni tud de Q=420 C. ¿Qué cantidad de energía está almacenada en el capacitor, si está llena de mica de constante dieléctrica =7? (k=9109 Nm2/C2) a) 281 J
b) 283 J
c) 285 J
d) 287 J
e) 289 J
05. Un desfribilador cardiaco se usa para suministrar una descarga eléctrica a un corazón que está latiendo de manera errática. Se carga un capacitor en este aparato a V=75 kvoltios y almacena una energía de U=1200 J. Hallar su capacitancia. (k=103, =10-6) a) 40,67 F
b) 42,67 F
c) 44,67 F
d) 46,67 F
e) 48,67 F
06. Se conecta un capacitor descargado a una batería de V=34 voltios hasta que se cargue completamente, después de lo cual se desconecta de la batería. Luego se inserta una lámi na de parafina de constante =2,2 entre las placas. Hallar el voltaje entre las placas a) 10,1 V
b) 10,3 V
c) 10,5 V
d) 10,7 V
e) 10,9 V
07. Un capacitor enorme de C=3 F tiene suficiente energía almacenada para calentar una ma sa de m=3,5 kg de agua de calor especifico ce=4186 J/kgoC desde To=22 oC hasta T=95 o C. Hallar la diferencia de potencial entre las placas del capacitor. a) 814 V
b) 824 V
c) 834 V
d) 844 V
e) 854 V
509 08. El campo eléctrico entre las placas de un capacitor separado con papel de constante dieléc trica κ=3,75 es de E=9,21•104 V/m. Las placas están separadas por la distancia de d=1,95 mm, y la carga en cada placa es de Q=0,675 µC. (k=9•109 N•m2/C2, µ=10-6, n=10-9) I) Hallar la capacitancia de este capacitor.
Física III
a) 3,16 nF
b) 3,36 nF
c) 3,56 nF
d) 3,76 nF
e) 3,96 nF
d) 0,261 m2
e) 0,281 m2
II) Hallar el área de la superficie de cada placa. a) 0,201 m2
b) 0,221 m2
c) 0,241 m2
09. Un capacitor de C1=3,5 µF se carga con una batería de V=12,4 voltios y luego se desco necta de la batería. Cuando este capacitor C1 se conecta a un segundo capacitor C2 inicial mente descargado, el voltaje en el primero cae a V ' = 5,9 voltios. Hallar el valor de C2. a) 3,06 µF
b) 3,26 µF
c) 3,46 µF
d) 3,66 µF
e) 3,86 µF
10. Un capacitor de placas paralelas cuadradas de lados l=12 cm separados por la distancia de d=0,10 mm de plástico de constante dieléctrica κ=3,1. Las placas están conectadas a una batería haciendo que adquieran cargas opuestas. Las placas que se atraen entre si, ejercen una presión sobre el dieléctrico de P=40 Pa. Hallar el voltaje de la batería. a) 171 V
b) 173 V
c) 175 V
d) 177 V
e) 179 V
11. La fuente de poder de un láser de nitrógeno tiene un capacitor de C=80 nF con un voltaje máximo de 25 kV. (k=103, µ=10-6, n=10-9) I) Hallar la cantidad de energía que podría almacenar este capacitor. a) 21 J
b) 22 J
c) 23 J
d) 24 J
e) 25 J
II) Hallar la potencia del láser, sabiendo que el 15 % de esta energía eléctrica almacenada se convierte en energía luminosa de un pulso de luz que dura t=4 µs. a) 930 kW
b) 932 kW
c) 934 kW
d) 936 kW
e) 938 kW
12. Un capacitor de placas paralelas está aislado con una de ±Q en cada placa. Si la separa ción de las placas se reduce a la mitad y se inserta un dieléctrico de constante κ=2,5 en vez de aire, ¿En qué porcentaje cambia la energía eléctrica almacenada en el capacitor? a) +80 %
b) -80 %
c) +40 %
d) -40 %
e) +20 %
13. Se construye un capacitor de placas paralelas usando un material dieléctrico de constante κ=3 y resistencia dieléctrica de Emax=2.108 V/m. La capacitancia deseada es de C=0,25 µF y el capacitor debe soportar una diferencia de potencial máxima de Vmax=4000 voltios. Ha llar el área mínima de las placas del capacitor. (k=9•109 N•m2/C2, µ=10-6) a) 0,108 m2
b) 0,128 m2
c) 0,148 m2
d) 0,168 m2
e) 0,188 m2
14. Se tiene un capacitor de placas paralelas de área A=1,75 cm2, distancia de separación en
510 Dieléctricos tre las placas d=0,04 mm. El espacio entre las placas está lleno de teflón de constante κ= 2,1. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12, k=103) I) Hallar la capacitancia de este capacitor. a) 80,3 pF
b) 81,3 pF
c) 83,3 pF
d) 84,3 pF
e) 85,3 pF
II) Hallar el voltaje máximo que se puede aplicar a este capacitor. a) 2,40 kV
b) 2,42 kV
c) 2,44 kV
d) 2,46 kV
e) 2,48 kV
15. Hallar la capacitancia de un capacitor de placas paralelas que usa baquelita como dieléctri co de constante κ=4,9, si cada una de las placas tiene un área de A=5 cm2 y la distancia de separación entre las placas es de d=2 mm. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12) a) 10,8 pF
b) 11,8 pF
c) 12,8 pF
d) 13,8 pF
e) 14,8 pF
16.Un capacitor de placas paralelas está llena de teflón κ1=2,1, conectada a una batería. Se re tira el teflón y el capacitor se llena con Nailon κ2=1, conectada a la misma batería. En que porcentaje ha variado la capacitancia del capacitor. a) 60 %
b) 62 %
c) 64 %
d) 66 %
e) 68 %
17. ¿En que porcentaje debe variar el área de las placas de un capacitor de placas paralelas, tal que, al variar la distancia de separación entre las placas en un 10 %, la energía eléctri ca almacenada se duplique?. En ambos casos el capacitor está conectado a la misma bate ría. (k=9•109 N•m2/C2) a) 100 %
b) 120 %
c) 140 %
d) 160 %
e) 180 %
18. Un capacitor de placas paralelas lleno de aire se conecta a una batería, adquiriendo una carga en cada placa de "± q o " . A continuación se llena el espacio entre las placas con un dieléctrico de constante " κ " , manteniéndose conectado a la batería, aumentando la carga en cada placa en "q" (q=qo/50). Hallar la constante dieléctrica " κ " . (k=9•109 N•m2/C2) a) 1,00
b) 1,02
c) 1,04
d) 1,06
e) 1,08
19. Una lámina de dióxido de titanio de constante κ=173 tiene un área de A=1 cm2 y un espe sor d=0,1 mm. Se evapora aluminio sobre las caras paralelas para formar un capacitor de placas paralelas. (k=9•109 N•m2/C2, µ=10-6, n=10-9) I) Hallar la capacitancia de este capacitor. a) 1,13 nF
b) 1,33 nF
c) 1,53 nF
d) 1,73 nF
e) 1,93 nF
II) Cuando el capacitor se carga con una batería de V=12 voltios, ¿Cuál es la magnitud de la carga entregada a cada placa? a) 15,4 nC
b) 16,4 nC
c) 17,4 nC
d) 18,4 nC
III) Para el inciso II), ¿Cuál es la magnitud de la carga entregada a cada placa?
e) 19,4 nC
511
Física III a) 15,4 nC
b) 16,4 nC
c) 17,4 nC
d) 18,4 nC
e) 19,4 nC
c) 174 µC/m2
d) 184 µC/m2
e) 194µC/m2
c) 173 µC/m2
d) 183 µC/m2
e) 193µC/m2
d) 696 V/m
e) 698 V/m
IV) Hallar la densidad de carga libre. a) 154 µC/m2
b) 164 µC/m2
V) Hallar la densidad de carga inducida. a) 153 µC/m2
b) 163 µC/m2
VI) Hallar la magnitud del campo eléctrico. a) 690 V/m
b) 692 V/m
c) 694 V/m
20. Se desea construir un capacitor que tenga una capacitancia cercana a C=1 nF y un poten cial de perforación en exceso de Vmax=10 kvoltios. Se piensa emplear las paredes de un va so pirex, revestir el interior y exterior con hoja de aluminio (despreciando el efecto de los extremos). El vaso empleado tienen radios interno r=3,6 cm, externo R=3,8 cm y altura h=15 cm. (κ=4,7 aluminio, k=9•109 N•m2/C2, k=103, n=10-9) I) Hallar la capacitancia del capacitor llena de dieléctrico. a) 0,52 nF
b) 0,62 nF
c) 0,72 nF
d) 0,82 nF
e) 0,83 nF
d) 28 kV
e) 29 kV
II) Hallar el potencial de perforación o ruptura. a) 25 kV
b) 26 kV
c) 27 kV
21. La constante dieléctrica de cierta sustancia es k=3,5, εo=8,85•10-12 C2/N2•m2. Hallar: I) La capacidad especifica de inducción "ε " (en pC2/N•m2, p=10-12). a) 31
b) 33
c) 35
d) 37
e) 39
II) La susceptibilidad de dicha sustancia "η" (en pC2/N•m2, p=10-12).
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
e) 28
22. Dos láminas conductoras con cargas opuestas tienen la misma densidad superficial de car ga y están separadas por un dieléctrico de d=5 mm de espesor y constante dieléctrica k=3. La intensidad del campo eléctrico resultante en el dieléctrico es E=106 V/m. I) Hallar el módulo del vector desplazamiento D en el dieléctrico. (en µC/m2, µ=10-6, εo= 8,85•10-12) a) 20,5
b) 22,5
c) 24,5
d) 26,5
e) 28,5
II) Hallar el valor de la densidad superficial de carga (en µC/m2) sobre las láminas conducto ras. a) 20,5
b) 22,5
c) 24,5
d) 26,5
III) Hallar la magnitud del vector polarización (en µC/m2) del dieléctrico.
e) 28,5
512 a) 11,7
Dieléctricos b) 13,7
c) 15,7
d) 17,7
e) 19,7
IV) Hallar el valor de la densidad superficial de carga inducida (en µC/m2) sobre la superficie del dieléctrico a) 11,7
b) 13,7
c) 15,7
d) 17,7
e) 19,7
V) Hallar la magnitud de la componente de la intensidad del campo eléctrico en el dieléctrico (en MV/m, M=106), debido a la carga libre. a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
VI) Hallar la magnitud de la componente de la intensidad del campo eléctrico (en MV/m, M=106) debida a la carga inducida. a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
23. Dos láminas conductoras paralelas separadas una distancia d=5 mm, tienen densidades su perficiales de carga iguales y opuestas de σ=±20 µC/m2. El espacio comprendido entre las láminas está ocupado por dos capas de dieléctrico de espesores d1=2 mm y d2=3 mm, y constantes dieléctricas k1=3, y k2=4, respectivamente, εo=8,85•10-12 C2/N•m2. Hallar: I) La magnitud de la intensidad del campo eléctrico en el primer dieléctrico. a) 759,3 V/m
b) 747,3 V/m
c) 750,3 V/m
d) 753,3 V/m
e) 756,3 V/m
II) La magnitud de la intensidad del campo eléctrico en el segundo dieléctrico. a) 545 V/m
b) 550 V/m
c) 555 V/m
d) 560 V/m
e) 565 V/m
III) La magnitud del vector desplazamiento en el primer dieléctrico. a) 10 nC / m 2
b) 15 nC / m 2
c) 20 nC / m 2
d) 25 nC / m 2
e) 30 nC / m 2
IV) La magnitud del vector desplazamiento en el segundo dieléctrico. a) 10 nC / m 2
b) 15 nC / m 2
c) 20 nC / m 2
d) 25 nC / m 2
e) 30 nC / m 2
24. El modelo de Thompson para el átomo de hidrógeno es una esfera de electricidad positiva con un electrón (una carga puntual) en su centro. La carga positiva total es igual a la carga electrónica "e" . I) Probar que cuando el electrón se encuentra a una distancia "r" del centro de la esfera de carga positiva es atraída hacia el centro con una fuerza de magnitud, dada por F=e2r/4πεoR3, siendo "R " el radio de la esfera de carga positiva. II) ¿Cuál es el momento dipolar inducido de este modelo atómico en un campo exterior de in tensidad E ?. 25. Un campo eléctrico uniforme de intensidad E=2•106 V/m es creado dentro de un gran blo que de una sustancia de constante dieléctrica k=3. Se practica en el bloque una cavidad cuya forma es la de un cilindro de bases perpendiculares al campo. Hallar:
513
Física III I) La intensidad del campo eléctrico dentro de la cavidad. a) 3 MV/m
b) 4 MV/m
c) 5 MV/m
d) 6 MV/m
e) 7 MV/m
II) La densidad superficial de carga inducida (en µC/m2) sobre las superficies de sus bases. a) 31,4
b) 33,4
c) 35,4
d) 37,4
e) 39,4
26. I) ¿Cuál es la constante dieléctrica de un aislante en el cual la densidad de carga induci da es al 80 % de la densidad de carga libre. a) 3,5
b) 4,0
c) 4,5
d) 5,0
e) 5,5
II) ¿Cuál es la constante dieléctrica de un aislante en el cual la densidad de carga inducida es el 20 % de la densidad de carga libre. a) 0,25
b) 0,50
c) 0,75
d) 1,00
e) 1,25
27. Determinado dieléctrico "ficticio " contiene dipolos eléctricos atómicos permanentes de magnitud igual a 3•10-22 C.m. La densidad atómica es de 1026 átomos/m3, si un campo e léctrico de 104 V/m produce una polarización efectiva que corresponde a la alineación de 25 % de los dipolos atómicos en la dirección del campo. Hallar la susceptibilidad e léctrica "η" del dieléctrico en C2/N•m2. a) 5,47•1010
b) 6,47•1010
c) 7,47•1010
d) 8,47•1010
e) 9,47•1010
28. La permitividad eléctrica del diamante es 1,46•10-10 C2/N•m2, εo=8,85•10-12 C2/N2•m2. I) Hallar la constante dieléctrica del diamante. a) 12,49
b) 13,49
c) 14,49
d) 15,49
e) 16,49
d) 137•10-12
e) 139•10-12
II) Hallar la susceptibilidad eléctrica del diamante en C2/N•m2. a) 131•10-12
b) 133•10-12
c) 135•10-12
29. Estímese al alcanzar que diferencia de potencial entre los electrodos planos se enciende u na lámpara de gas, si la energía de ionización de los átomos en el gas es de 3•10-16 J. La longitud media del recorrido de los electrones en el gas es de 1 mm y la distancia entre las placas es de 1 cm. (1 k=103) a) 15,6 kV
b) 16,6 kV
c) 17,6 kV
d) 18,6 kV
e) 19,6 kV
30. Una interfase entre vidrio (k=4) y aire (k=1) no tiene carga libre, pero puede contener cier ta cantidad de carga ligada. El campo eléctrico en un punto P justamente fuera del vidrio es de 20 kV/m y forma un ángulo de 300 con la normal a la superficie. Hallar: I) La magnitud del campo eléctrico en el vidrio, cercano a la superficie de interfase. a) 10 597 V/m
b) 10 697 V/m
c) 10 797 V/m
d) 10 897 V/m
e)10997 V/m
II) La dirección que forma el campo eléctrico en el vidrio con la normal a la superficie.
514
Dieléctricos
a) 60,60
b) 62,60
c) 64,60
d) 66,60
e) 68,60
31. En la Fig.01, el condensador de placas paralelas de área A=6,28 cm2, separadas por una distancia d=(10/9) cm, se llena en partes iguales con dos dieléctricos de constantes k1=2 y k2=3. Hallar la capacidad de este sistema. (p=10-12) a) 1,0 pF
b) 1,2 pF
°
c) 1,4 pF
d) 1,6 pF
e) 1,8 pF
A
k1
d
k2
α
°
E
Fig.01
Fig.02
32. En la Fig.02, la placa de dieléctrico de constante k=2 se ubica en un campo eléctrico ho mogéneo de magnitud E=50 N/C de modo que su normal forma un ángulo α=600 con la dirección del campo eléctrico. Hallar la magnitud del campo eléctrico dentro de la placa a) 44,95 N/C
b) 45,99 N/C
c) 45,03 N/C
d) 45,07 N/C
e) 46,11 N/C
33. En la Fig.03, la esfera dieléctrica de radio R=20 cm se encuentra en un campo eléctrico homogéneo de magnitud E=40 N/C. La constante dieléctrica del material de la esfera es k=2. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto A. a) 60 N/C
b) 10 N/C
c) 50 N/C
d) 70 N/C
e) 30 N/C
34. En la Fig.04, en el sistema mostrado, hallar la diferencia de potencial en cada uno de los dieléctricos "1" y "2" , de constantes dieléctricas k2 =2k1 y r2/r1 = 2. a) 20 V, 40 V
b) 40 V, 20 V
c) 30 V, 60 V
d) 60 V, 30 V 90V + -
E k
R
A•
•C
• k1
l
α r1
Fig.03
r2
Fig.04
k2
e) 25 V, 50 V
515
Física III
35. En la Fig.05, en el campo eléctrico uniforme de magnitud E=30 N/C se introduce una lá mina dieléctrica fina de grosor h=4 cm, área S=100 cm2 y constante dieléctrica k=2. Ha llar la presión sobre la superficie del dieléctrico, sabiendo que α=600. (n=10-9) a) 0,716 nPa
b) 0,726 nPa
c) 0,736 nPa
d) 0,746 nPa
e) 0,756 nPa
-q k1 a +q
α
k2
b
E
Fig.05
Fig.06
36. En la Fig.06, dos esferas concéntricas conductoras de radios a=10 cm y b=20 cm, respecti vamente tienen cargas q=±4•10-10 C. Las mitades del espacio entre las esferas se llenan con dieléctricos de constantes k1=2, k2=3. Hallar la magnitud del campo eléctrico a una distancia c=15 cm del origen común, en el dieléctrico "1" . a) 32 N/C
b) 64 N/C
c) 24 N/C
d) 48 N/C
e) 36 N/C
37. En la Fig.07, en el condensador cilíndrico que se muestra, cada dieléctrico ocupa la mitad del volumen, si k1=2, k2=3, l=1 m, b=2a. Hallar la capacidad del condensador. a) 0,2 nF
b) 0,4 nF
c) 0,6 nF
d) 0,8 nF
e) 1,0 nF
a ∆V0
l
k1 k2
o R.SABRERA
+
-
+
-
+ + +
-
+
-
σ
-σ
o
b
Fig.07
Fig.08
38. En la Fig.08, una batería de 25 voltios carga el condensador de placas planas paralelas de capacidad C=6 µF. La región entre sus placas se llena con un dieléctrico lineal de constan te k=3. Hallar: I) La nueva diferencia de potencial entre las placas del condensador. a) 5,33 V
b) 6,33 V
c) 7,33 V
d) 8,33 V
e) 9,33 V
516 Dieléctricos II) La densidad superficial de carga inducida en la superficie del dieléctrico. a) σ/2
b) σ/3
c) 2σ/3
d) 3σ/4
e) 4σ/5
III) La energía eléctrica antes de insertar el dieléctrico en el condensador. a) 1,075 mJ
b) 1,275 mJ
c) 1,475 mJ
d) 1,675 mJ
e) 1,875 mJ
IV) La energía eléctrica después de insertar el dieléctrico en el condensador. a) 0,225 mJ
b) 0,325 mJ
c) 0,425 mJ
d) 0,525 mJ
e) 0,625 mJ
39. En la Fig.07 el espacio entre las esferas metálicas concéntricas finas se llena con dieléc trico de coeficiente 3. Los radios de las esferas son a=10 cm y b=20 cm y las cargas de las esferas metálicas, interna y externa, son q=+4 µC y q=-4 µC, respectivamente. Hallar las densidades superficiales de cargas de polarizaciones en la esfera de radio "a" . a) 21,2 µC/m2
b) -21,2 µC/m2
c) 21,6 µC/m2
d) -21,6 µC/m2
e) 21,8 µC/m2
Z
-q k1 a
d
k
+q k2
Y b
R.SABRERA
X
Fig.07
Fig.08
40. En la Fig.08, la región entre los discos metálicos paralelos sometidos a potenciales V1=50 voltios, V2=100 voltios separados una distancia d=5 cm esta llena de dieléctrico de cons tante k=2. Hallar la densidad superficial de carga (en nC/m2) en el disco "1" . ( εo = 8,85•10-12 C2/ N•m2) a) 17,7
b) -17,7
c) 15,3
d) -15,3
e) 12,4
41. En un medio dieléctrico de constante k=2 y campo eléctrico uniforme de magnitud E=100 N/C se ubican bolas conductoras de radio R=20 cm, las bolas están distribuidas uniforme mente por el volumen, ¿Hallar aproximadamente la cantidad de bolas por unidad de volu men (bolas/m3)? a) 50
b) 30
c) 10
d) 40
e) 20
42. En la Fig.09, la región entre las placas del condensador esta llena de un dieléctrico de constante k=4, r1=20 mm, r2=40 mm, h=10 mm y α=100. Hallar la capacidad de este con densador. (Utilizar la función ln(x), p=10-12 ) a) 1,0 pF
b) 1,2 pF
c) 1,4 pF
d) 1,6 pF
e) 1,8 pF
517 43. Una carga puntual "q" está en el centro de una esfera de material dieléctrico de constante "k1 " y radio "R " , que a su vez está sumergido en una sustancia dieléctrica infinita, isótro pa, homogénea de coeficiente "k 2 " . Hallar: I) La magnitud de la inducción eléctrica al interior y exterior de la esfera. II) La magnitud del vector polarización. En la superficie de la esfera. III) La carga superficial inducida en la superficie de la esfera.
Física III
44. Se tiene una cáscara esférica dieléctrica de constante k=2 , radio interno a=20 cm y ex terno b=40 cm, y una carga puntual q0=4•10-8 C, infinitamente separada. Hallar el cambio en la energía del sistema, luego de ubicarse la carga "q 0 " en el centro de la cáscara esfé rica dieléctrica. (µ=10-6) a) 9 µJ
b) -9 µJ
c) 5 µJ
d) -5 µJ
e) 3 µJ
45. Una carga puntual q=4•10-6 C está en el centro de una esfera de material dieléctrico de constante k1=3 y radio R=20 cm, que a su vez está sumergido en una sustancia dieléctrica infinita, isótropa, homogénea de constante k2=2. Hallar la carga inducida en la superficie (en µC/m2) de la esfera. a) 1,31
b) 1,33
c) 1,35
d) 1,37
e) 1,39
46. En la Fig.10, se ubica un dieléctrico de constante dieléctrica "k" que varía linealmente entre las placas de un condensador de placas paralelas, de áreas A= 6,28 cm2, distancia de separación d=2 mm y cargadas con ± Q respectivamente. La constante "k" vale k1=2 y k2=4 en los puntos de contacto con las placas del condensador. Hallar la capacidad de este condensador. (Utilizar la función ln(x), p=10-12) a) 1 pF
b) 2 pF
c) 4 pF
d) 6 pF
e) 8 pF
Z
-Q
+Q
0
r1
h
X
k
α
Y
E
°X
°Y
k
r2 x=-d/2
Fig.09
d O
x=+d/2
Fig.10
47. Dos conductores cilíndricos coaxiales cuya diferencia de sus radios es d=b-a= 0,2 mm, se introducen normalmente en un dieléctrico líquido de constante dieléctrica k=2 y densidad de masa ρ =800 kg/m3, dichos cilindros se mantienen a la diferencia de potencial de ∆V=800 V. Hallar la altura a la que se eleva el dieléctrico entre los conductores.
518
Dieléctricos
a) 0,80 cm
b) 0,82 cm
c) 0,84 cm
d) 0,86 cm
e) 0,88 cm
48. En la Fig.11, se coloca una hoja de cuarzo, cuya constante dieléctrica es "k" , en un cam po eléctrico uniforme "E" que forma un ángulo "θ" con las caras superior e inferior, y es paralelo a las caras del frente y posterior. Hallar una expresión para la densidad de carga en cada una de las caras. 49. En la Fig.12, el positrón de masa "m" con carga e>0 ingresa en el condensador plano, lleno de dieléctrico de constante "k" , las armaduras son redes metálicas. La intensidad del campo del condensador vacío es E y la distancia entre las redes "d". La velocidad i nicial "vo " del positrón forma un ángulo " α " con el plano de la primera red, ¿Con qué velocidad el positrón abandona el condensador? m, e θ
E
v
α +
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
E k
k -
u
Fig.11
Fig.12
50. Una carga puntual positiva "Q" establece un campo eléctrico con simetría esférica. Se o rienta un dipolo "p" en la dirección que une una línea de este campo, con su carga ne gativa mas próxima a "Q", si las cargas del dipolo son "Q / 2" y "− Q / 2" y todas las car gas se encuentran sumergidas en un dieléctrico de constante "k" . Hallar la energía poten cial para d<
+
α
+
+
+
+
β
+
a +
E
m, e
b
k -
-
-
-
-
Fig.13
-
•
-
Fig.14
V0
519 52. En la Fig.14, el cable unipolar de corriente directa, tiene una cáscara exterior conectada a tierra de radio interior b=3,0 cm y un conductor central de radio a=0,5 cm. El espacio entre ellos se llena con un dieléctrico homogéneo de constante k1=2,8, resistividad ρ1= 1•1010 Ω.m y una intensidad de ruptura de Emax=107 V/m. (k=103, µ=10-6) I) ¿A qué voltaje (en kV) directo fallará el cable, asumiendo que la ruptura ocurre cuando "E" en cualquier parte llega a 107 V/m?
Física III
a) 81,59
b) 83,59
c) 85,59
d) 87,59
e) 89,59
II) Hallar la intensidad de corriente eléctrica por unidad de longitud (en µA/m) en el cable. a) 31,4
b) 33,4
c) 35,4
d) 37,4
e) 39,4
53. Uno de los terminales de un circuito se conecta a tierra mediante una esfera conductora de radio "a". La mitad de la esfera en contacto con tierra (conductividad " σ3 " constante. La capa de tierra que está en contacto inmediato con la esfera tiene una conductividad ar tificialmente aumentada " σ 2 " . Hallar: I) La resistencia a tierra "R " , del dispositivo de conexión, asumiendo que el radio de la capa cercana a la esfera es "b" . II) La resistencia a tierra "R " , del dispositivo de conexión, asumiendo que el radio de la capa cercana a la esfera es "b" , y b → a . 54. El momento dipolar que adquiere un átomo es directamente proporcional al campo eléc trico externo, p = α E , siendo " α " la polarizibilidad. Si el átomo se introduce en el cam po eléctrico creado por la carga puntual "Q1 ". Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre el átomo. α Q12 a) 2πεo r 5
α Q12 b) 4πεo r 5
α Q12 c) 8πεo r 5
α Q12 d) 2πεo r 3
α Q12 e) 2πεo r 3
55. Un disco dieléctrico delgado circular, de radio "R " y espesor "s", está permanentemente polarizado con un momento dipolar por unidad de volumen P paralelo al eje del disco. Hallar el potencial electrostático en un punto P de sus eje, situado a la distancia z=R. (s<
Ps εo
b) 0,346
Ps εo
c) 0,546
Ps εo
d) 0,746
Ps εo
e) 0,946
Ps εo
56. La permitividad de un medio dieléctrico infinito está dado por: ε(r) = εo (1 + a / r) , donde "r" se mide desde el centro de simetría. Una pequeña esfera conductora de radio "r" y carga "Q" esta centrada en r=0. Hallar: I) El potencial electrostático V(r), en puntos externos a la esfera. II) La densidad volumétrica de cargas de polarización en todos los puntos. III) La carga total de polarización en todo el espacio. IV) La densidad superficial de cargas de polarización en la superficie de interfase. V) La carga total de polarización en la superficie de interfase.
520 Dieléctricos 57. En la Fig.15, el conductor interno de radio "a" del cable coaxial puede deslizarse por la cavidad cilíndrica dieléctrica protectora (caucho) de radios interno "a" y externo "b" (b= 2a), y constante dieléctrica k=2. Hallar la magnitud de la fuerza ejercida sobre el conduc tor interno de radio "a" , sabiendo que la diferencia de potencial es V=200 voltios. (Des preciar los efectos de la fricción, k=9•109 N•m2/C2) a) 1,2 µN
b) 3,2 µN
c) 5,2 µN
d) 7,2 µN
e) 9,2 µN
58. Una esfera dieléctrica de radio R=10 cm y constante dieléctrica k=2 está situado en el va ció. Hallar la energía electrostática del sistema, si la densidad de cargas libres en la esfera dieléctrica, viene dado por: ρ(r)=ρoR/r, siendo ρo=8•10-10 C/m3 y "r" la distancia radial medida desde el centro de la esfera. (1 eV=1,602•10-19 J , k=9•109 N•m2/C2, m=10-3) a) 1,33 peV
b) 2,33 peV
c) 4,33 peV
d) 6,33 peV
e) 8,33 peV
59. Un condensador esférico de radio interno a=2 cm y externo b=4 cm, está llena de un die léctrico de constante dieléctrica k=2,5. La diferencia de potencial entre las placas del con densador es V=100 voltios. Hallar la energía electrostática almacenada en el condensador. (k=9•109 N•m2/C2, n=10-9) a) 51,6 nJ
b) 53,6 nJ
c) 55,6 nJ
d) 57,6 nJ
e) 59,6 nJ
60. En la Fig.16, el extremo inferior del condensador de placas planas paralelas separadas por una distancia d=2 cm, se sumerge verticalmente en kerosene de constante dieléctrica k=2 y densidad de masa ρD=800 kg/m3. Hallar la altura "h" del dieléctrico, cuando las placas se someten a una diferencia de potencial de V=250 voltios. (k=9•109 N•m2/C2, g=10 m/s2, n=10-9) a) 80,3 nm
b) 82,3 nm
c) 84,3 nm
d) 86,3 nm
e) 88,3 nm
V
a
b
k
•
h
•
+
-
+
-
+
-
+
ε
-
ε0
-
+ d
- +
V
R.SABRERA
Fig.15
Fig.16
61. Una esfera conductora aislada de radio R=5 cm. está situada en el aire. ¿Cuál es la magni tud de la fuerza total sobre la mitad de la esfera, correspondiente a la carga máxima que puede soportar la esfera? (k=9•109 N•m2/C2, m=10-3) a) 313 mN
b) 333 mN
c) 353 mN
d) 373 mN
e) 393 mN
521 62. Un cubo de dieléctrico de lado "a" tiene una polarización radial dada por: P = A r , sien do A una constante, y r =x ˆi +y ˆj +z kˆ . El origen de coordenadas está en el centro del cubo.
Física III
Hallar todas las densidades de carga latente, y demuéstrese explícitamente que la carga la tente se anula. 63. El hidrógeno atómico tiene una densidad atómica de n=5,5•1025 átomos/m3 a cierta pre sión y temperatura. Cuando se aplica un campo eléctrico de E=4 kV/m, cada dipolo forma do por un electrón y el núcleo positivo tiene una longitud efectiva de D=7,1•10-19 m. I) Hallar la magnitud del vector polarización P (en pC/m2). a) 6,06
b) 6,26
c) 6,46
d) 6,66
e) 6,86
d) 1,000477
e) 1,000577
II) Hallar la constante dieléctrica "k" del hidrógeno atómico. a) 1,000177
b) 1,000277
c) 1,000377
64. Hallar la constante dieléctrica "k" de un material cuya densidad de flujo eléctrico "D" es cuatro veces mayor su polarización "P" . a) 3/2
b) 4/3
c) 5/4
d) 6/5
e) 7/6
65. Un conductor de cable coaxial tiene radios r=0,8 mm y R=3 mm y un poliestireno dieléc trico de valor κ=2,56. Si P = (2/ρ) ρˆ nC/m2 en el dieléctrico. (εo=8,85•10-12 C2/N2•m2) I) Hallar el flujo eléctrico D en función de "ρ " . II) Hallar el campo eléctrico E en función de "ρ " . III) Hallar la diferencia de potencial "VrR " entre las superficies interna y externa. a) 191,5 V
b) 193,5 V
c) 195,5 V
d) 197,5 V
e) 199,5 V
IV) Hallar la susceptibilidad eléctrica "χe " . a) 1,16
b) 1,26
c) 1,36
d) 1,46
e) 1,56
V) Si hay N=4•1019 moléculas por metro cúbico en el dieléctrico, hallar el momento dipolar de cada molécula.
66. Consideremos un material compuesto elaborado con dos especies que tienen densidades de "N1 " y "N 2 " moléculas/m3, respectivamente. Los materiales se han mezclado unifor memente formando una densidad total de N=N1+N2. La presencia de un campo eléctrico E induce los momentos dipolares moleculares p1 y p 2 dentro de las especies individua les, mezcladas o no. Demostrar que la constante dieléctrica del material compuesto, está dada por: κ=f.κ1+(1-f).κ2, donde "f " es la fracción de dipolos de especie "1" y donde " κ1 " y " κ 2 " son las constantes dieléctricas que las especies no mezcladas tendrían si cada una tuviera una densidad "N" . 67. La superficie x=0 separa dos dieléctricos perfectos. Para x>0, sea κ=κ1=3, mientras que
522
Dieléctricos
κ2=5 donde x<0. Si E1 =80 ˆi -60 ˆj -30 kˆ V/m, hallar: I) La magnitud de la componente normal E N1 del campo eléctrico en el medio "1" . a) 60 V/m
b) 65 V/m
c) 70 V/m
d) 75 V/m
e) 80 V/m
II) La componente tangencial E T1 del campo eléctrico en el medio "1" . b) -60 ˆi -30 kˆ (V/m) c) -30 ˆi +60 kˆ (V/m) a) -30 ˆi -60 kˆ (V/m) d) -60 ˆi +30 kˆ (V/m) e) 30 ˆi -60 kˆ (V/m) III) La magnitud de la componente tangencial E T1 del campo eléctrico en el medio "1" . a) 67,1 V/m
b) 67,3 V/m
c) 67,5 V/m
d) 67,7 V/m
e) 67,9 V/m
d) 104,8 V/m
e) 105,0 V/m
IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico E1 en el medio "1" . a) 104,2 V/m
b) 104,4 V/m
c) 104,6 V/m
V) El ángulo " θ1 " entre el campo E1 y la normal a la superficie. a) 32º
b) 34º
c) 36º
d) 38º
e) 40º
VI) La magnitud de la componente normal D N2 (en nC/m2) del flujo eléctrico en el medio "2" . a) 2,12
b) 2,32
c) 2,52
d) 2,72
e) 2,92
VII) La magnitud de la componente normal DT2 (en nC/m2) de la densidad de flujo eléctrico en el medio "2" . a) 2,17
b) 2,37
c) 2,57
d) 2,77
e) 2,97
VIII) Hallar la densidad de flujo D 2 (en nC/m2) en el medio "2" . a) 2,12 ˆi -2,66 ˆj-1,33 kˆ
b) 2,12 ˆi +2,66 ˆj-1,33 kˆ c) 2,12 ˆi -2,66 ˆj+1,33 kˆ d) -2,12 ˆi +2,66 ˆj-1,33 kˆ e) 2,12 ˆi +2,66 ˆj+1,33 kˆ
IX) La polarización P2 (en nC/m2) en el medio "2" . a) 1,70 ˆi -2,13 ˆj-1,06 kˆ
b) 1,70 ˆi -2,13 ˆj+1,06 kˆ c) 1,70 ˆi +2,13 ˆj-1,06 kˆ d) -1,70 ˆi +2,13 ˆj-1,06 kˆ e) -1,70 ˆi -2,13 ˆj+1,06 kˆ
X) El ángulo " θ2 " entre el campo E 2 y la normal a la superficie. a) 51,5º
b) 52,5º
c) 53,5º
d) 54,5º
e) 55,5º
68. El campo de potencial en una placa de material dieléctrico de constante κ=1,6 está dado por: V=-5000x.
523 I) Hallar la densidad de flujo D , el campo eléctrico E y la polarización P , en el material. II) Evaluar la densidad de carga volumétrica inducida ρ, la densidad de carga superficial in ducida σ , y la densidad de carga libre ρℓ .
Física III
69. Dos dieléctricos perfectos tienen constante κ1=2 y κ2=8. La interfase planar entre ellos es la superficie x-y+2z=5. El origen se encuentra en la región 1: Si E1 =100 ˆi +200 ˆj -50 kˆ V/m, hallar el campo eléctrico E 2 en la región 2. a) 125 ˆi +175 ˆj (V/m)
b) 125 ˆi -175 ˆj (V/m) c) -125 ˆi +175 ˆj (V/m) d) -125 ˆi -175 ˆj (V/m) e) 175 ˆi +125 ˆj (V/m)
70. La región definida por x≥0 es un dieléctrico de constante κ1=2 para 0<φ<π/2, en tanto en la región 2 definida por x<0 dicha constante tiene un valor de κ2=5. Si el campo eléctrico en la región 1 es E1 =20 ˆi -10 ˆj+50 kˆ V/m. I) Hallar la densidad D 2 (en nC/m2) de flujo eléctrico en la región "2". a) 0,35 ˆi -0,44 ˆj+2,21 kˆ
b) 0,35 ˆi +0,44 ˆj-2,21 kˆ c) 0,35 ˆi -0,44 ˆj-2,21 kˆ d) 0,35 ˆi +0,44 ˆj+2,21 kˆ e) -0,35 ˆi -0,44 ˆj+2,21 kˆ
II) Hallar la densidad de energía w1 en la región "1" . a) 22,6 nJ/m3
b) 23,6 nJ/m3
c) 24,6 nJ/m3
d) 25,6 nJ/m3
e) 26,6 nJ/m3
d) 58,0 nJ/m3
e) 59,0 nJ/m3
III) Hallar la densidad de energía w2 en la región "2" . a) 55,0 nJ/m3
b) 56,0 nJ/m3
c) 57,0 nJ/m3
71. Dos cuñas de dieléctricos perfectos de constantes κ1=2 para 0<φ<π/2 y κ2=5 para π/2<φ<2π están encerradas por las superficies cilíndricas ρ=4 cm y ρ=9 cm. Si el campo e léctrico en la región 1 es E1 = (2000/ρ) ρˆ V/m. (εo=8,85•10-12 C2/N•m2) I) Hallar el campo eléctrico E 2 en la región 2. II) Hallar la energía electrostática total almacenada en un metro de longitud en la región 1. a) 45,1 µJ
b) 45,4 µJ
c) 45,7 µJ
d) 46,0 µJ
e) 46,3 µJ
III) Hallar la energía electrostática total almacenada en un metro de longitud en la región 2. a) 330 µJ
b) 332 µJ
c) 334 µJ
d) 336 µJ
e) 338 µJ
72. Un capacitor de placas paralelas de área S=0,02 m2 y distancia entre las placas d=1 mm, está lleno de un dieléctrico no uniforme caracterizado por: κ=2+2•106x2, donde "x" es la distancia entre placas está en metros. Hallar la capacitancia "C"de este capacitor. a) 451 pF
b) 453 pF
c) 455 pF
d) 457 pF
e) 459 pF
524
Condensadores
CONDENSADOR ES
CAP. 11
1. CAPACITANCIA DE UN CONDUCTOR AISLADO Anteriormente se encontró que la carga de una esfera conductora de radio "R " , aisla da era proporcional a la diferencia de po tencial, es decir: q = 4πεo R∆V
(1)
q
Así, la capacitancia de la esfera aumenta con su radio "R " : una esfera de radio gran de puede almacenar una gran cantidad de carga sometida a una potencial bajo. Ob servese que la capacitancia sólo depende de las propiedades geométricas del conduc tor, y no así de la carga "Q" o del poten cial "V" .
Unidad: "C" se mide en faradios (F) 2. CONDENSADOR a) Definición Se llama condensador o capacitor al con junto de dos conductores de cargas iguales a +Q y –Q, respectivamente, sometidos a una diferencia de potencial "V" entre e llas, como muestra la Figura.
R
En general se puede demostrar que la car ga de cualquier cuerpo conductor aislado independiente de su forma y tamaño, es di rectamente proporcional a la diferencia de potencial, al cual está sometido dicho cuer po, esto es:
q ∝ ∆V Para que esta ecuación sea una igualdad se introduce una constante de proporcionali dad, llamada capacitancia:
C=
q ∆V
(2)
Para el caso de la esfera, de la ec.(1) se en cuentra que la capacitancia de la esfera conductora es: C = 4πεo R
(3)
-Q
+Q
E • Un condensador es un depósito de almace
namiento de carga eléctrica y energía eléc trica, es decir, es análoga a un depósito de agua, utilizada en los domicilios. • Se dice que un condensador está descarga do cuando la carga neta de cada uno de sus conductores que en adelante llamare mos placas o armaduras, es nula. • Decimos que un condensador está cargado si sus placas o armaduras contienen cargas eléctricas de +Q y –Q, respectivamente. • Se suministra carga a un condensador, co nectando sus placas a las terminales opues tas de una batería. Dado que las placas son conductoras, son también equipotenciales,
525
Física III y la diferencia de potencial "V" de la bate ría aparecerá en las placas, como muestra la Figura.
b) Representación Los condensadores en los circuitos eléctri cos y electrónicos se representan simbóli camente, así:
V C
V
BATERIA
• El campo eléctrico E que se establece en
tre las placas de un condensador cargado, puede ser uniforme (condensador de pla cas paralelas) o no uniforme (condensador de placas cilíndricas o esféricas). Este cam po eléctrico se dirige de la placa con carga (+) hacia la placa con carga (-). • El espacio situado entre las placas de un condensador puede estar vació (aire) o lle no de dieléctrico, sustancia no conductora que permite aumentar la capacidad de un condensador.
¿Qué es el condensador cuántico? Llamado también batería cuántica digital es un dispositivo futurístico, que estaría formado por muchos nanocondensadores ultrafinos empaquetados en un espacio muy pequeño de alrededor de 10 nanóme tros (100 atomos), entre ellas. Cuando los nanocondensadores funcionen a la vez, los efectos cuánticos se harán presentes, au mentando la capacidad de almacenamien to de la energía del sistema, obteniéndose en los procesos de carga y descarga, ener gías muy superiores a las alcanzadas con la actual tecnología del banco de condensa dores.
CAPACIDAD FIJA
CAPACIDAD VARIABLE
En la actualidad se ha logrado la miniatu rización de los condensadores, para su uti lización en los microprocesadores y en la nanotecnología.
c) Características 1) Capacidad (C) La capacidad llamada también capacitan cia de un condensador, se define como la razón de la magnitud de la carga de cual quiera de sus placas, a la diferencia de po tencial entre ellas, esto es: C=
Q V
(4)
• Se debe mencionar, que la carga total de
un condensador, siempre es nulo, en tanto, la carga de un condensador es la carga de cualquiera de sus placas sin signo. • La diferencia de potencial "V" , siempre es positiva, puesto que se mide entre la pla ca cargada con signo (+) y la placa carga da con signo (-). • La capacidad de un condensador depende de sus formas, dimensiones y disposición mutua de los condensadores, así, como de las propiedades dieléctricas del medio que rodea los conductores. Por ejemplo si el medio es isótropo y homogéneo, su capaci dad "C" es directamente proporcional a la permitividad relativa del medio. • Cuando uno de los conductores (placas) se aleja al infinito la diferencia disminuye y tiende a la capacidad del conductor.
526 Condensadores • La capacidad de un condensador depende 4) Polaridad de la permitividad del dieléctrico, así, por Los condensadores electrolíticos y en ge ejemplo, en un condensador una alta per neral los de capacidad superior a 1 µF tie mitividad hace que la misma cantidad de nen polaridad, eso es, que se les debe apli carga eléctrica sea almacenada con un car la tensión prestando atención a sus ter campo eléctrico menor y, por ende, a un minales positivo y negativo. Al contrario potencial menor, llevando a una mayor ca que los inferiores a 1µF, a los que se pue pacitancia del mismo. de aplicar tensión en cualquier sentido, los que tienen polaridad pueden explotar en caso de ser ésta la incorrecta. Nota Recordar que un dieléctrico se convierte en un conductor, cuando es sometido a un campo eléctrico muy intenso mayor que su << campo de ruptura.>> ¿Cuál es la máxima capacitancia obtenida en un banco de condensa dores? La máxima capacitancia obtenida es de 1,2 F, mediante la utilización de 192 ban cos de condensadores, cada uno de ellos formados por 20 condensadores de 300 µ conectados en paralelo. Esta capacitancia es más de mil veces mayor que la capaci tancia de la Tierra que es aproximadamen te 7,1.10-4 F 2) Tensión de trabajo Es la máxima tensión que puede soportar un condensador, esta depende del tipo y grosor del dieléctrico con que esté fabrica do. Si se supera dicha tensión, el condensa dor puede perforarse (quedar cortocircui tado) y/o explotar. En este sentido hay que tener cuidado al elegir un condensador, de forma que nunca trabaje a una tensión su perior a la máxima, pues puede explotar. 3) Tolerancia Al igual que en las resistencias, se refiere al error máximo que puede existir entre la capacidad real del condensador y la capaci dad indicada sobre su cuerpo.
Recordar Que la permitividad es determinada por la habilidad de un material de polarizarse en respuesta a un campo eléctrico aplicado y, de esa forma, anular parcialmente el cam po resultante dentro del material. La permi tividad está directamente relacionada con la susceptibilidad eléctrica. d) Clasificación Los condensadores se clasifican en los de capacidad fija y variable, así: 1) Condensadores fijos Estos se diferencian entre si por el tipo de dieléctrico que utilizan, estos pueden ser de: mica, plástico y cerámica y para los ca pacitores electrolíticos, óxido de aluminio y de tantalio. Hay de diseño tubular, y de varias placas y dieléctrico intercalados. • El diseño de múltiples placas es un dise ño para aumentar el área efectiva de la pla ca. • Entre placa y placa se coloca el aislante y se hace una conexión de placa de de por medio, como si fueran capacitores en para lelo. Condensadores de cerámica Son capacitores en donde las inductancias parásitas y las pérdidas son casi nulas. La constante dieléctrica de estos elementos es muy alta (de 1000 a 10,000 veces la del ai
527 ron capacitores de poliéster metalizado con el fin de reducir las dimensiones físi cas. Ventajas: muy poca perdida y excelen te factor de potencia
Física III re) • Algunos tipos de cerámica permiten una al ta permitividad y se alcanza altos valores de capacitancia en tamaños pequeños pe ro tienen el inconveniente que son muy sensibles a la temperatura y a las variacio nes de voltaje. • Hay otros tipos de cerámica que tienen un valor de permitividad menor, pero que su sensibilidad a la temperatura, voltaje y el tiempo es despreciable. Estos capacitores tienen un tamaño mayor que los otros de cerámica. Se fabrican en valores de frac ciones de picoFaradios hasta nanoFara dios. Condensadores de lámina de plástico • Láminas de plástico y láminas metálicas intercaladas.- Estos tipos de capacitores son generalmente más grandes que los de lámina metalizada, pero tienen una capaci tancia más estable y mejor aislamiento. • Lámina metalizada.- Tiene la lámina metá lica depositada directamente en la lámina de plástico. Estos capacitores tienen la cua lidad de protegerse a si mismos contra so bre voltajes. Cuando esto ocurre aparece un arco de corriente que evapora el metal eliminando el defecto.
Condensadores electrolíticos Estos capacitores pueden tener capacitan cias muy altas a un precio razonablemen te bajo. Tienen el inconveniente de que tienen alta corriente de fuga y un voltaje de ruptura bajo. • Son polarizados y hay que tener cuidado a hora de conectarlos pues pueden esta llar si se conectan con la polaridad in vertida. Se utilizan principalmente en fuentes de alimentación. • Físicamente estos elementos constan de un tubo de aluminio cerrado, en donde es tá el capacitor. Tienen una válvula de segu ridad que se abre en el caso de que el elec trolito entre en ebullición, evitando así el riesgo de explosión. Condensadores de tantalio Son polarizados por lo que hay que tener cuidado a la hora de conectarlo. 2) Condensadores variables
Condensadores de mica Capacitores que consisten de hojas de mi ca y aluminio colocados de manera alter nada y protegidos por un plástico moldea do. Son de costo elevado. Tiene baja co rriente de fuga (corriente que pierden los condensadores y que hacen que este pier da su carga con el tiempo) y alta estabili dad. Su rango de valores va de los 1 pF a 0,1 uF.
Condensadores variables giratorios Muy utilizado para la sintonía de aparatos de radio. La idea de estos es variar con la ayuda de un eje (que mueve las placas del capacitor) el área efectiva de las placas que están frente a frente y de esta manera se varía la capacitancia. Estos capacitores se fabrican con dieléctrico de aire, pero pa ra reducir la separación entre las placas y aumentar la constante dieléctrica se utiliza plástico. Esto hace que el tamaño del capa citor sea menor.
Condensadores de poliéster Sustituyen a los capacitores de papel, so lo que el dieléctrico es el poliéster. Se crea
Condensadores ajustables trimmer Se utiliza para ajustes finos, en rangos de capacitancias muy pequeños. Normalmen
528 Condensadores condensador está desfasado o corrido 90° te éstos, después de haberse hecho el ajus hacia atrás con respecto a la corriente. te, no se vuelven a tocar. Su capacidad Esto se debe a que el capacitor se opone a puede variar entre 3 y 100 picoFaradios. cambios bruscos de tensión. Hay trimmers de presión, disco, tubular, de placas ¿Qué significa estar desfasado o e) Comportamiento corrido? Significa que el valor máximo del voltaje 1) En corriente continúa V aparece φ=90° después que el valor má Al conectar una batería de DC en serie ximo de la corriente I. con el capacitor, circula una corriente de I V los terminales de la fuente hacia las placas del capacitor. φ V
+ -
I
+ C -
• En el diagrama se observa que la curva en R
• El terminal positivo de la fuente saca elec
trones de la placa superior y la carga posi tivamente. El terminal negativo llena de e lectrones la placa inferior y la carga nega tivamente. • Esta situación se mantiene hasta que el flu jo de electrones se detiene (la corriente de ja de circular) comportándose el capacitor como un circuito abierto para la corriente continua. (no permite el paso de corriente) • La corriente que circula por el capacitor varia según el tiempo, desde un valor má ximo hasta un valor de 0 A, instante en que se interrumpe la circulación de corrien te. Esto sucede en un tiempo muy breve y se llama "transitorio". 2) En corriente alterna A diferencia del comportamiento del con densador con la corriente continua, el pa so de la corriente alterna por el condensa dor si ocurre. Otra característica del paso de una corrien te alterna en un condensador es que el vol taje que aparece en los terminales del
línea punteada (intensidad de corriente) o curre siempre antes que la curva en línea continua (voltaje o tensión) en φ=90° o 1/4 del ciclo. Entonces se dice que la ten sión está atrasada con respecto a la corrien te o lo que es lo mismo, que la corriente es tá adelantada a la tensión o voltaje. • Si se multiplican los valores instantáneos de la corriente y el voltaje en un capacitor se obtiene una curva sinusoidal (del doble de la frecuencia de corriente o voltaje), que es la curva de potencia.
(+) (-) • Esta curva tiene una parte positiva y una
parte negativa, esto significa que en un ins tante el capacitor recibe potencia y en otro tiene que entregar potencia, con lo cual se deduce que el capacitor no consume poten cia (caso ideal, se entrega la misma poten cia que el que se recibe)
529 Cuando un capacitor se carga a corriente constante, la tensión entre sus terminales es proporcional al tiempo de carga.
Física III • Al aplicar voltaje alterno a un capacitor,
éste presenta una oposición al paso de la corriente alterna, el valor de esta oposi ción se llama reactancia capacitiva (XC) y se puede calcular con la ley de Ohm: XC =
V 1 = I 2π f C
siendo, "f " la frecuencia, y "C" la capaci dad.
f) Relación de carga tensión y capacidad La corriente por un conductor es un flujo orientado de cargas eléctricas. Si un con densador es conectado a una fuente de co rriente continua, este recibe carga eléctri ca. • El valor de la carga almacenada se obtie ne multiplicando la corriente "I" entrega da por la fuente por el tiempo "t" durante el cual la fuente estuvo conectada al con densador, esto es: Q = It •
De otro lado, experimentalmente se com prueba que la carga almacenada en un capacitor es directamente proporcional a la tensión "V" aplicada entre sus termina les, esto es: Q = CV Igualando estas dos ultimas ecuaciones, obtenemos: Q = It = CV ⇒ V =
•
It C
Si se mantiene el valor de la corriente "I" constante y como el valor de "C" tam bién es constante, la tensión "V" es pro porcional al tiempo.
Conclusión
g) Aplicaciones La mayoría de las veces los capacitores o condensadores se utilizan: 1) Como componentes en los circuitos eléctri cos y electrónicos, por ejemplo en los cir cuitos de las computadoras están presentes los condensadores. 2) En dispositivos de encendido de motores, haciendo la función de baterías de almace namiento de energía. 3) En transmisión de energía eléctrica a gran des distancias, permitiendo el almacenami ento de grandes cantidades de energía y carga. 4) Para filtrar la corriente continua después de haberse rectificado a partir de 220 vol tios de la red, para eliminar transitorios (pi cos en la alimentación), para bloquear el paso de la corriente continua (la alterna la deja "pasar" ) 5) Como adaptor de impedancias, haciéndo los resonar a ciertas frecuencias con otros componentes electrónicos. 6) Como de modulador de AM junto con un diodo. 7) Como flash de las cámaras fotográficas. 8) En los tubos fluorescentes, de alumbrado eléctrico. 9) Es la componente más importante en los desfibradores, que son dispositivos que se utilizan para reanimar o recuperar a perso nas que han sufrido un colapso del cora zón o ataques cardiovasculares. 3. TIPOS DE CONDENSADORES a) Condensador de placas paralelas Este tipo de condensador está formado por dos placas conductoras paralelas planas de áreas "S", cada una de ellas posee cargas q y +q respectivamente y separadas una
530 Condensadores distancia "d" , tal como se muestra en la Figura. +q
+q
•
d
|
•
d
| E
E´
k -q • ∆V´ •
-q ∆V
• La magnitud del campo eléctrico entre las
placas, se asume es homogéneo, y viene dado por: E=
σ Q = εo εoS
• La diferencia de potencial entre las placas
del condensador, viene dado por: ∆V = E.d =
q.d εo .S
siendo, "E" la magnitud del campo eléctri co. • Así, la capacidad del condensador de pla cas planas paralelas, en el vacío es:
C=
εS q = o ∆V d
• En esta ecuación se observa que su capa
cidas es una constante, pues, " εo " , "S" y "d" lo son, se aprecia, también, que la ca pacidad del condensador no depende de la carga ±q de sus placas. • Ahora, si colocamos un dieléctrico de constante "k" entre las placas del conden sador, la magnitud del campo eléctrico ho mogéneo entre las placas es: E=
σ q = kεo kεoS
• La diferencia de potencial entre las placas
de un condensador con dieléctrico, viene dado por:
∆V ' = E '.d =
q.d k εoS
siendo, E' el campo eléctrico. • Luego, la capacidad del condensador con dieléctrico de constante dieléctrica "k" en tre sus placas es: C' =
kε S q = o ∆V ' d
• Como se aprecia, el campo y la diferencia
de potencial entre las placas del condensa dor varían, cuando colocamos un dieléctri co entre ellas. • Dividiendo las ecuaciones correspondien tes a C y C' , miembro a miembro, tene mos que: C´/ C = k > 1 ⇒ C´> C
Conclusión La capacidad del condensador de placas planas paralelas con dieléctrico es mayor que sin dieléctrico. b) Condensador cilíndrico Este tipo de condensador está constituido por dos conductores cilíndricos concéntri cos, de radios "b" y "a" (b>a), y cada uno de los cuales posee la misma cantidad de
531 tricas de radio "a" y "b"(b>a), con cargas de igual magnitud, pero de signos contra rios como se muestra.
Física III carga, pero de signos opuestos, siendo " ℓ " la longitud de los cilindros, como se muestra. l •
•
a
a ∆V b
•
•
q
∆V •
b
•
q
-q
•
-q
• De la ley de Gauss, obtenemos la magni
• De la ley de Gauss, obtenemos la magni
tud del campo eléctrico, para puntos com prendidos entre los cilindros (a < r< b), así:
tud del campo eléctrico, para puntos com prendidos entre las esferas huecas concén tricas (a < r < b), así:
∫ S E • dS = q / εo (E)(2π r ℓ) = q / εo ⇒
E=
∫ S E • dS = q / εo q 2π ε o r ℓ
• A su vez, la diferencia de potencial entre
(E)(4π r 2 ) = q / εo
⇒ E=
los cilindros (placas) es: Vb
∫V
a
b
dV = − ∫ E dr a
∆V = Va − Vb =
q b ℓn ( ) 2π ε o ℓ a
• Luego, la capacidad "C" del condensador
cilíndrico, en el vacío es:
C=
2πεoℓ q = ∆V ℓn(b / a)
Casos: * Si: b>>a, ln(b/a) → ∞, entonces C→0. * Si: b→a, ln(b/a) → 0, entonces C→∞. * Si: b/a=e, ln(b/a)=1, entonces C=2πεoL.
c) Condensador esférico Este tipo de condensador está formado por dos esferas conductoras esféricas concén
q 4π ε o r
2
• A su vez, la diferencia de potencial entre
las esferas huecas (placas) es: Vb
∫V
a
b
dV = − ∫ E dr a
∆V = Va − Vb =
(b − a) q 4π εo a b
• Luego, la capacidad "C" del condensador
cilíndrico, en el vacío, viene dado por: C = 4πεo
a.b (b − a)
Casos: Se presentan dos casos interesantes: * Si: b>>a, la capacidad se reduce C=4πεoa * Si: b→a, la capacidad se hace muy grande
532
Condensadores
Nota Para condensadores con dieléctrico de constante "k" entre sus placas, se reempla za en todas las fórmulas εo por k εo. 4. CONEXION DE CONDENSADORES Existen dos formas de conectar los conden sadores en un circuito, ellas son: a) Conexión en serie. Los condensadores se conectan uno a con tinuación de otro, tal que: 1) La carga en cada una de las placas de los condensadores es la misma, esto es: q1 = q 2 = q
C1
a o
i
C2
b
o
V1
V2 CE
a
o
i
b
o
o
V
3) Estos condensadores, se pueden sustituir por un único condensador, llamado con densador equivalente, llamado así, porque que no cambia el funcionamiento del cir cuito. La capacidad del condensador equi valente, obtenemos, sustituyendo la rela ción V=q/C, en la expresión anterior, así:
C2
C1 +q -q
+q
q q q = 1 + 2 CE C1 C2
-q
1 1 1 = + CE C1 C2
ε
Al conectarse a la fuente de f.e.m " ε " , los condensadores de capacidades C1 y C2, ini cialmente descargados. El borne positivo de la fuente extrae electrones de la placa izquierda del condensador C1, adquirien do esta placa una carga final +q. A su vez el campo eléctrico creado por esta placa a trae electrones de la placa izquierda del condensador C2, hasta que todas las lí neas del campo eléctrico terminen en la placa derecha de C1, adquiriendo esta pla ca una carga igual a –q, y a su vez, adqui riendo las placas izquierda y derecha del condensador C2 las cargas +q y –q, respec tivamente. 2) Del principio de conservación de la ener gía, la suma de los voltajes de los extre mos de cada una de ellas, es igual, al volta je total, al que esta conectado el condensa dor equivalente.
V = V1 + V2
b) Conexión en paralelo Los extremos de cada uno de los conden sadores, se conectan a dos puntos comu nes (nudos), tal que: C1 i1
a
•
o
i
•
b o
i2
C2 a
CE
o
i
b o
V
1) La diferencia de potencial eléctrica entre las placas de cada uno de los condensado res y entre las placas del condensador equi valente es la misma, esto es:
533 Conocidas las capacitancias de los capaci tores C1, C2 y C3, las capacitancias de los capacitores Cx, Cy, Cz, podemos hallar de las relaciones de transformación:
Física III V1 = V2 = V
2) Del principio de conservación de la carga eléctrica, la suma de las cargas de cada u no de los condensadores, es igual, a la car ga del condensador equivalente, esto es: q1 + q 2 = q 3) Estos condensadores se pueden sustituir por un único condensador llamado conden sador equivalente cuya capacidad "CE ", obtenemos, sustituyendo la relación q=CV en la ecuación anterior, así: CE V = C1V1 + C2 V2 CE = C1 + C2
Cx =
C1C2 + C1C3 + C2C3 C1
Cy =
C1C2 + C1C3 + C2C3 C2
Cz =
C1C2 + C1C3 + C2C3 C3
La demostración de estas relaciones de transformación se dan en el prob.(99).
5. CARGA Y DESCARGA DE UN CON DENSADOR
• Ambas formulaciones, se pueden fácilmen
te generalizar a una conexión de "N" con densadores (donde, N= 2, 3, 4...). Nota Para conseguir grandes capacidades eléc tricas, debemos utilizar la conexión en pa ralelo de los condensadores.
• Para estudiar el proceso de carga y descar
ga de un condensador, consideremos el cir cuito eléctrico mostrado, el cual presenta una resistencia "R " y un condensador de capacidad "C", conectados en serie con la fuente de energía de f.e.m "ε " . ε
o
a
c) Transformación delta-estrella
C3 Cx
C2
b Cy
Cz
C1
b
o
C
x
R
• En general el proceso de carga de un con
densador se realiza en forma instantánea, por lo tanto para un instante "t" cuales quiera, cuando la intensidad de corriente que circula por el circuito es "i" , y la car ga existente en ese momento "q", se cum ple que:
Vax =
c
o
i
El arreglo delta (∆) de tres capacitores C1, C2, C3 conectados a los puntos a, b, c, pue den reemplazarse por el arreglo estrella (Y) de tres capacitores Cx, Cy, Cz.
a
+ -
q dq , Vxb = i.R = R C dt
534 Condensadores • De otro lado, de la conservación de la ener siendo, Q = Vab .C la carga final del con gía, se tiene que: densador. • La representación gráfica del proceso de Vab = Vax + Vxb carga de este condensador es: • Sustituyendo las expresiones anteriores,
obtenemos la ecuación diferencial de pri mer orden, que describe el proceso de car ga y descarga de un condensador:
V dq 1 q − ab = 0 + dt R.C R
1 t + ℓn(B) RC
q = Be
(2)
Sumando a esta ecuación, la solución parti cular de la ec.(1), dada por: q=Vab.C=Q, siendo "Q" la carga final de las placas, te nemos la solución completa, así:
q = Be − t /RC + Q
(3)
Evaluando esta ecuación en t=0 s, con q=0 (el condensador esta descargado), obtene mos la constante de integración "B" , así: 0 = B e −0/RC + Q B = −Q • Sustituyendo "B" en la ec.(3), obtenemos
la carga del condensador para todo instan te de tiempo "t" , así: q(t) = Q [1 − e − t/RC ]
q
t=RC
t
• Se observa que la carga del condensador
se aproxima asintóticamente (lentamente) a su valor final y se requiere por lo tanto un tiempo infinito para que el condensa dor alcance este valor final. • De otro lado, para un instante "t" cuales quiera, de la ec.(2) la diferencia entre la carga final "Q" y la carga presente "q" es:
dq 1 dt =− q RC ∫
− t / RC
Q/ε
0
dq 1 q=0 + dt R.C
ℓn(q) = −
Q Q-q
(1)
Primero, hallemos la solución de la ecua ción diferencial homogénea, así:
∫
q(t)
(2)
Q − q = Q e − t / RC
(3)
• Si hacemos esta diferencia igual a "Q / ε "
y despejamos el valor de "t", obtenemos la cantidad t=RC, llamada <
(4)
• El tiempo t=RC, es el tiempo requerido pa
ra que el condensador alcance una carga igual al 63,1 % de su carga final "Q". Re cordar que 1/e=0,369 en porcentaje es 36,9 %, siendo "e" la base de los logarit mos naturales o neperianos. • Ahora, como i=dq/dt, entonces diferen ciando la ec.(2), obtenemos la ecuación de la intensidad de corriente para cualquier instante de tiempo "t", así:
535
Física III i(t) =
Vab − t / RC e R
(5)
• La representación gráfica de la intensidad
de corriente instantánea en función del tiempo es: i(t)
Q = Be −0/RC ⇒ B = Q Así, la carga eléctrica en las placas del condensador para todo instante de tiempo t≥0 es: q(t) = Q.e − t / RC siendo, "Q" la carga inicial.
Vab/R
¿Cómo medir la velocidad de una bala? 0
• La corriente de carga inicial (t = 0) es, por
lo tanto, la misma que si el circuito sólo tu viese la resistencia "R " y se ve de la ec.(5), que la corriente de carga disminuye exponencialmente en la misma forma que aumenta la carga. o
o
a
b
i
o
C
x
R
• Ahora, si retiramos la fuente de energía, y
conectamos en serie el condensador de ca pacidad "C" con la resistencia "R " , la ec.(1) se reduce a: dq 1 q=0 + dt R.C
(6)
Como se vio anteriormente, la solución de esta ecuación diferencial homogénea es: q = Be − t / RC
R
v
t
(7)
Evaluando esta ecuación, en t=0, con q=Q obtenemos la constante "B" , así:
A
B C
x
V
Antes de disparar la bala se carga el con densador de capacidad "C" con una bate ría de tensión "Vo " . La bala rompe el cir cuito en el contacto A, y desconecta la ba tería, por lo que, el condensador empieza a descargarse a través de la resistencia "R " , disminuyendo la carga "Q" y la ten sión "V" del condensador exponencial mente con el tiempo, esto es: V = Voe − t / R C
(1)
Esta descarga prosigue hasta que la bala rompe el contacto B. El tiempo transcurri do es el cociente entre la distancia "x" que separa los dos conductores rotos y la velocidad de la bala, esto es: t=
x v
(2)
Así, de (1) y (2), y registrando la tensión "V" en el instante en que se rompe el con tacto B, obtenemos la velocidad de la ba la.
536 Condensadores b) Densidad de energía en un conden 6. ENERGIA DE UN CONDENSADOR sador a) Energía eléctrica almacenada en un • Si el campo eléctrico E al interior del con condensador densador es uniforme, entonces la densi El proceso de carga de un condensador dad de energía también será uniforme, y consiste en el paso de carga desde el bor será igual a la energía total existente en el ne o armadura (placa) de menor potencial condensador dividido por el volumen del a la de mayor potencial, y por tanto, se re mismo, por ejemplo para un condensador quiere de energía para el traslado de di de placas planas y paralelas de área "S", chas cargas. Sea "q" , la carga de la arma separadas una distancia "d", la densidad dura en cierto instante del proceso de car de energía "w", viene dado por: ga del condensador, entonces la diferencia (1/ 2) Q.Vab de potencial entre las láminas es: w= S.d q Vab = • Pero, Q/S = σ = εo.E y Vab/d = E, con esto C la expresión anterior para la densidad de e nergía, queda, así: y el elemento de trabajo "dW", necesario para transportar el diferencial de carga εo E 2 "dq" es: w= 2 1 dW = Vab .dq = q.dq • Aunque la densidad de energía, se ha dedu C cido para el caso de un campo uniforme, ella vale también para el caso de campos • El trabajo total realizado en el proceso de eléctricos no uniformes. carga, cuando la carga aumenta desde 0 hasta su valor final "Q" es: Unidad: "w" se mide en julios/m3. Q W 1 W = ∫ dW = ∫ q.dq c) Banco de condensadores C0 0 Es un conjunto o arreglo de muchos con densadores conectados en paralelo, a fin de ahí que la energía del condensador es: de obtener la máxima descarga de energía posible. Por ejemplo, en el Laboratorio Na 1 Q2 W= cional de Laurence Livermor, se utiliza un 2 C banco de 10 000 condensadores para alma cenar 60 MJ de energía, descargando esta • Utilizando la relación, C=q/V, en la ecua energía en 1 ms hacia lámparas de destello ción anterior, obtenemos dos expresiones que impulsan un sistema láser. adicionales para la energía: W=
1 1 q V = C V2 2 2
Unidad: "W" se mide en julios (J)
¿Cuál es la máxima energía libera da por un banco de condensado res? La máxima energía liberada es de más de 1 millón de joules en unas cuantas milloné
537
Física III simas de segundo, en este tiempo, la poten cia de salida es de 2,9.1014 W, que equiva le a 80 veces la producción de electricidad de todas las plantas de energía de la Tie rra, en este proceso de descarga de energía se alcanzan temperaturas del orden de 2.109 K. 7. FUERZA ENTRE LAS PLACAS DE UN CONDENSADOR
F
S •
x
+ -
+Q
dW = F.dx
• De otro lado, la densidad de energía, vie
ne dado por: w=
εo E 2 D 2 = 2 2ε o
siendo, " εo " la permitividad eléctrica del vacío, como el volumen comprendido en tre las láminas del condensador de placas planas paralelas es "S.x" , entonces la e nergía "W" en el campo eléctrico es: D2 W= S.x 2εo
ε • •
-Q
(1)
• La variación de la energía cuando "x" se
F R
La fuerza ejercida sobre las placas de un condensador se deben a las cargas opues tas, que poseen las mismas y además si en tre las placas existe un dieléctrico se aña de una fuerza debido al fenómeno conoci do como electrostricción, la cual se origi na como resultado de la acción del campo eléctrico sobre el dieléctrico. • La fuerza eléctrica entre las cargas situa das sobre las láminas es la misma, ya sea el espacio entre ellas este vacío o ocupada por un dieléctrico. • Para calcular la fuerza existente entre las armaduras, carguemos las láminas y desco nectémoslas de la línea, de tal forma que la carga "Q" , sobre cada lámina permanez ca constante. Si tiramos de las láminas con una fuerza "F" aplicadas sobre los sopor tes de las placas, para separarlas una pe queña distancia "dx" , podemos calcular la fuerza "F" , igualando la variación de la e nergía que experimenta el condensador, al trabajo realizado por la fuerza "F" , esto es:
incrementa en "dx" es: D2 dW = S.dx 2εo
(2)
• Igualando (1) con (2), obtenemos:
D2 F.dx = S.dx 2εo • Por lo tanto, la fuerza existente entre las
armaduras es: εo E 2 D2 F= S= S 2εo 2 Finalmente, como: ε0E = σ = Q/S, la fuer za también puede expresarse, así: Q2 F= 2 ε oS Segunda Forma Sea "x" la distancia de separación de las placas del condensador, como se aprecia en la Figura, entonces, la energía del cam
538 Condensadores do de circuito abierto (R=∞ Ω) e ID=0 mA po eléctrico "W" almacenado entre las pla cas es el producto de la densidad de ener La Figura muestra los dos estados del dio gía "w" por el volumen "V" , esto es: do y su símbolo con el que se representa. 1 W = w.V = ( εo E 2 )(Sx) 2
+ID
ID (IC)
F=−
dW d 1 = − ( εo E 2Sx) dx dx 2
Como, E=Q/εoS, la expresión anterior, que da, así: εo E 2S Q2 F=− =− 2 2εoS
VD (IA) ID=0A
El signo (-) nos indica que la fuerza entre las placas es atractiva.
8. DIODO a) Diodo ideal VD K Catodo
A Anodo
+VD=0V
ID
El diodo es un dispositivo de dos termina les que, en una situación ideal, se compor ta como un interruptor común con la condi ción especial de que solo puede conducir en una dirección. Tiene un estado encendi do, el que en teoría parece ser simplemen te un circuito cerrado entre sus terminales, y un estado apagado, en el que sus caracte risticas terminales son similares a las de un circuito abierto. • Cuando el voltaje tiene valores positivos de VD (VD>0 V) el diodo se encuentra en el estado de circuito cerrado (R=0 Ω) y la corriente que circula a través de este esta limitada por la red en la que este instalado el dispositivo. Para la polaridad opuesta (VD<0 V), el diodo se encuentra en el esta
donde, (IA) significa interruptor abierto, y (IC) interruptor cerrado. • El diodo ideal presenta la propiedad de ser unidireccional, esto es, si se aplica un vol taje con polaridad determinada, el diodo permite el flujo de corriente con resisten cia despreciable y con un voltaje de polari dad opuesta no permitirá el paso de corri ente.
b) Diodo semiconductor El diodo semiconductor es el dispositivo semiconductor más sencillo y se puede en contrar, prácticamente en cualquier circui to electrónico. • Los diodos se fabrican en versiones de sili cio (la más utilizada) y de germanio. • Viendo el símbolo del diodo en el gráfico anterior (A-ánodo, K-cátodo) • Los diodos constan de dos partes, una lla mada N y la otra llamada P, separados por una juntura llamada barrera o unión. • Esta barrera o unión es de 0.3 voltios en el diodo de germanio y de 0.6 voltios aproxi madamente en el diodo de silicio. c) Mecanismo de funcionamiento El semiconductor tipo N tiene electrones libres (exceso de electrones) y el semicon ductor tipo P tiene huecos libres (ausencia
Física III •
•
•
* •
•
o falta de electrones) Cuando una tensión positiva se aplica al lado P y una negativa al lado N, los elec trones en el lado N son empujados al lado P y los electrones fluyen a través del mate rial P más allá de los límites del semicon ductor. De igual manera los huecos en el material P son empujados con una tensión negativa al lado del material N y los huecos fluyen a través del material N. En el caso opuesto, cuando una tensión positiva se aplica al lado N y una negativa al lado P, los electrones en el lado N son empujados al lado N y los huecos del lado P son empujados al lado P. En este caso los electrones en el semiconductor no se mueven y en consecuencia no hay corrien te. El diodo se puede hacer trabajar de 2 ma neras diferentes: Polarización directa Es cuando la corriente que circula por el diodo sigue la ruta de la flecha (la del dio do), o sea del ánodo al cátodo. En este caso la corriente atraviesa el diodo con mucha facilidad comportándose prácti camente como un corto circuito.
* Polarización inversa • Es cuando la corriente en el diodo desea circular en sentido opuesto a la flecha (la flecha del diodo), o sea del cátodo al áno do. • En este caso la corriente no atraviesa el diodo, y se comporta prácticamente como un circuito abierto. Nota El funcionamiento antes mencionado se re fiere al diodo ideal, esto quiere decir que el diodo se toma como un elemento perfec to (como se hace en casi todos los casos), tanto en polarización directa como en pola rización inversa.
539
d) Fotodiodo Es un semiconductor construido con una u nión PN, sensible a la incidencia de la luz visible o infrarroja. Para que su funciona miento sea correcto se polariza inversa mente, con lo que se producirá una cierta circulación de corriente cuando sea excita do por la luz. Debido a su construcción, los fotodiodos se comportan como células fotovoltaicas, es decir, en ausencia de luz exterior generan una tensión muy pequeña con el positivo en el ánodo y el negativo en el cátodo. Esta corriente presente en au sencia de luz recibe el nombre de corrien te de oscuridad. e) Diodo láser Es un dispositivo semiconductor similar a los diodos LED pero que bajo las condicio nes adecuadas emite luz láser. A veces se los denomina diodos láser de inyección, o por sus siglas inglesas LD o ILD. • Cuando un diodo convencional o LED se polariza en directa, los huecos de la zona p se mueven hacia la zona n y los electro nes de la zona n hacia la zona p; ambos desplazamientos de cargas constituyen la corriente que circula por el diodo. Si los e lectrones y huecos están en la misma re gión, pueden recombinarse cayendo el e lectrón al hueco y emitiendo un fotón con la energía correspondiente a la banda pro hibida (véase semiconductor). Esta emi sión espontánea se produce normalmente en los diodos semiconductores, pero sólo es visible en algunos de ellos (como los LEDs), que tienen una disposición cons tructiva especial con el propósito de evitar que la radiación sea reabsorbida por el ma terial circundante, y habitualmente una e nergía de la banda prohibida coincidente con la correspondiente al espectro visible; en otros diodos, la energía se libera princi palmente en forma de calor, radiación in
540 Condensadores cuántica, la emisión inducida o estimulada frarroja o radiación ultravioleta para generar un haz de luz coherente de un f) Diodo LED medio adecuado y con el tamaño, la forma El LED (Diodo Emisor de Luz) es un tipo y la pureza controlados. especial de diodo, que trabaja como un dio do común, pero que al ser atravesado por b) Procesos la corriente eléctrica, emite luz. Los láseres constan de un medio activo ca • Existen diodos LED de varios colores que paz de generar el láser. Hay cuatro proce dependen del material con el cual fueron sos básicos que se producen en la genera construidos. Hay de color rojo, verde, ama ción del láser, denominados bombeo, emi rillo, ámbar, infrarrojo, entre otros. sión espontánea de radiación, emisión esti • Dependiendo de la magnitud de la corrien mulada de radiación y absorción. te, hay recombinación de los portadores 1) Bombeo de carga (electrones y huecos). Hay un ti Se provoca mediante una fuente de radia po de recombinaciones que se llaman re ción como puede ser una lámpara, el paso combinaciones radiantes (aquí la emisión de una corriente eléctrica, o el uso de cual de luz). quier otro tipo de fuente energética que • La emisión de la longitud de onda y por lo provoque una emisión. tanto el color de la luz dependerá del mate 2) Emisión espontánea de radiación rial con que esta hecho el LED. Los electrones que vuelven al estado fun • Debe de escogerse bien la corriente que a damental emiten fotones. Es un proceso a traviesa el LED para obtener una buena in leatorio y la radiación resultante está for tensidad luminosa y evitar que este se pue mada por fotones que se desplazan en dis da dañar. tintas direcciones y con fases distintas ge • El LED tiene un voltaje de operación que nerándose una radiación monocromática va de 1,5 V a 2,2 voltios aproximadamen incoherente. te y la gama de corrientes que debe circu 3) Emisión estimulada de radiación lar por él está entre los 10 y 20 miliampe La emisión estimulada, base de la genera rios (mA) en los diodos de color rojo y de ción de radiación de un láser, se produce entre los 20 y 40 miliamperios (mA) para cuando un átomo en estado excitado reci los otros LEDs. be un estímulo externo que lo lleva a emi • Los diodos LED tienen enormes ventajas tir fotones y así retornar a un estado me sobre las lámparas indicadoras comunes, nos excitado. El estímulo en cuestión pro como su bajo consumo de energía, su man viene de la llegada de un fotón con ener tenimiento casi nulo y con una vida apro gía similar a la diferencia de energía entre ximada de 100,000 horas. los dos estados. Los fotones así emitidos por el átomo estimulado poseen fase, ener 9. LASER gía y dirección similares a las del fotón ex terno que les dio origen. La emisión esti a) Definición mulada descrita es la raíz de muchas de El láser cuyo significado literal es Light las características de la luz láser. No sólo Amplification by Stimulated Emission of produce luz coherente y monocroma, sino Radiation (Amplificación de Luz por Emi que también "amplifica" la emisión de luz, sión Estimulada de Radiación) es un dispo ya que por cada fotón que incide sobre un sitivo que utiliza un efecto de la mecánica
541 Como se estudio anteriormente la energía electrostática de un sistema de "N" con ductores de cargas Q1,…,QN, viene dado por:
Física III átomo excitado se genera otro fotón. 4) Absorción Proceso mediante el cual se absorbe un fo tón. El sistema atómico se excita a un esta do de energía más alto, pasando un elec trón al estado metaestable. Este fenómeno compite con el de la emisión estimulada de radiación. 10.COEFICIENTES DE POTENCIAL Y CAPACIDAD. a) Coeficientes de potencial Dado un sistema de "N" conductores de cargas eléctricas Q1,…,QN, en el vació o en presencia de dieléctricos lineales des provistos de cargas libres, el potencial e léctrico del i-ésimo conductor, resultado de la interacción con los otros conducto res, se expresa así: Vi = ∑ j=1 pij Q j N
siendo, pij los coeficientes de potencial a sí, el coeficiente pij es el potencial del iési mo conductor debido a una carga unidad situada sobre el conductor j-ésimo.
b) Propiedades de los coeficientes de potencial 1) La matriz P formada con los coeficientes de potencial, es una matriz simétrica, pues pij = p ji . 2) Todos los elementos de la matriz de coefi cientes de potencial son positivos, esto es: pij > 0 3) Los elementos de la matriz situados en la diagonal son mayores que los elementos que están fuera de ella, esto es: pii > pij (i, j=1,2…)
c) Energía de un sistema de conductores cargados
W=
1 N ∑ QV 2 j=1 j j
Sustituyendo en esta ecuación, la expre sión del potencial en función de los coefi cientes de potencial, tenemos: W=
1 N N pQ Q ∑ ∑ 2 i =1 j=1 ij i j
Como se observa la energía electrostática es una función cuadrática de las cargas en los diversos conductores.
d) Coeficientes de capacidad Tomando la inversa a la ecuación expre sada en a) en forma matricial, obtenemos la carga eléctrica de cada uno de los "N" conductores, así: Qi = ∑ j=1 cij Vj N
donde, cii se llama coeficiente de capaci dad y cij ( i ≠ j ) es un coeficiente de induc ción.
e) Propiedades de los coeficientes de capacidad 1) La matriz C cuyos elementos son los coe fientes de capacidad cij es simétrica, esto es: cij = c ji . 2) Los elementos de la diagonal de la matriz de coeficientes C son positivos, esto es: cii > 0 . 3) Los coeficientes de inducción son negati vos o nulos: cij ≤ 0 .
542
Condensadores
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. En la Fig.01, en el circuito eléctrico, la diferencia de potencial entre los extremos A y B es de 10 voltios. Hallar la carga acumulada en el condensador de capacidad 6 µF. a) 10 µC
b) 15 µC
c) 20 µC
d) 25 µC
e) 30 µC
02. En la Fig.02, en el circuito eléctrico, hallar la carga acumulada en el condensador de 3 µF, sabiendo que la diferencia de potencial entre los puntos A y B es de 30 voltios. a) 20 µC
b) 30 µC
c) 40 µC
d) 50 µC 2µF
8µF B
A
3µF
A
B
4µF
6µF
3µF
e) 60 µC
Fig.01
Fig.02
03. En la Fig.03, en el circuito eléctrico todos los condensadores tienen capacidad C=6 µF, hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b" . (µ=10-6) a) 6 µF
b) 12 µF
d) 18 µF
d) 24 µF
e) 30 µF
04. En la Fig.04, en el circuito eléctrico todos los condensadores tienen capacidad C=40 µF. Hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b". a) 15 µF
b)º 20 µF
c) 25 µF
d) 30 µF C
a
° C
C
C
C
C
a
C
e) 10 µF
C
°b
b
Fig.03
C
Fig.04
05. En la Fig.05, en el sistema de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b". a) 1 µF
b) 2 µF
c) 3 µF
d) 4 µF
e) 5 µF
543 06. En la Fig.06, en el circuito eléctrico V=300 voltios, C=4•10 F, si se abre el interruptor S1 y se cierra el S2, hallar la carga final de los condensadores de capacidades C y 2C.
Física III
-8
a) 4 µC , 8 µC
b) 8 µC , 4 µC
a 4µF
c) 3 µC , 6 µC
2µF
°
S1
4µF
2µF
S2
•
C
V
2µF
°b
d) 6 µC , 3 µC e) 2 µC , 4µC
2C
•
4µF
2µF
Fig.05
Fig.06
07. En la Fig.07, en el circuito eléctrico Vab=12 voltios. Hallar la energía acumulada en el con densador de 3 µF. (µ=10-6) a) 96 µJ
b) 48 µJ
c) 24 µJ
d) 12 µJ
e) 36 µJ
08. En la Fig.08, en el circuito eléctrico todos los condensadores tienen capacidad C=4 µF. Hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b" . a) 1 µF
b) 2 µF a
°
c) 3 µF
•
a
•
°
2µF •
2µF
°b
d) 4 µF C
C
•
•
C
2µF
e) 5 µF
C
b
°
C
•
3µF
R.SABRERA
Fig.07
C
C
Fig.08
09. En la Fig.09, en el circuito eléctrico, todos los condensadores tienen capacidad C=6 µF. Hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b". a) 10 µF
b) 15 µF
c) 20 µF
d) 25 µF
e) 30 µF
10. En la Fig.10, en el circuito eléctrico, hallar la carga del condensador de capacidad 10 µF. (m=10-3) a) 1 mC
b) 2 mC
c) 3 mC
d) 4 mC
e) 5 mC
11. En la Fig.11, en el sistema de condensadores, C1=4 µF, C2=8 µF, C3=6 µF. Hallar la e nergía acumulada en el condensador "C2 " , si Vab=12 V.
544
Condensadores
a) 248 µJ a
°
b) 124 µJ
c) 576 µJ
d) 362 µJ
• •
°
•
C
C
6µF
12µF
a
C 10µF
600 V
6µF
C C
C
C
°b
e) 450 µJ
°b
•
12µF
Fig.09
6µF
Fig.10
12. En la Fig.12, en el circuito eléctrico. ¿Qué voltaje tiene el condensador de 3 µF si el de 7 µF almacena una carga de 6 µ C? a) 1 V
b) 2 V
c) 3 V
d) 4 V
e) 5 V
V
a
°
• C1
•
•
•
C2
C3
b
°
7µF 4µF
3µF
Fig.11
Fig.12
13. En la Fig.13, en el circuito eléctrico, la capacidad de todos los condensadores es C=6 µ F Hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b" . a) 4 µ F
b) 2 µ F
c) 8 µ F
d) 10 µ F 3F
a
C
C
°
C
•
3F
F
C
C
e) 6 µ F
F
2F
°b
°a °b Fig.13
2F
Fig.14
14. En la Fig.14, en el circuito eléctrico, hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b". a) 2 F
b) 8 F
c) 10 F
d) 4 F
e) 6 F
545 15. En la Fig.15, en el sistema de condensadores, C=3F, hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b" .
Física III
a) 2 F
b) 8 F
c) 4 F
d) 10 F
e) 6 F
16. En la Fig.16, en el sistema de condensadores, hallar la carga del condensador de 3 F. a) 5 C
b) 10 C
c) 15 C
d) 20 C
e) 25 C
10F
a
° C
°b
° °
a 10V b
C
C
1F 8F
7F
3F
10F
Fig.15
Fig.16
17. En la Fig.17, en el sistema de condensadores, hallar la diferencia de potencial en el con densador de 2 µF. a) 18 V
b) 12 V
c) 24 V
d) 36 V
e) 30 V
18. En la Fig.18, el área de las placas del condensador múltiple es A=9 cm2 y la distancia en tre las placas d=6 mm. Hallar aproximadamente la capacidad equivalente de este conden sador. (k=9•109 N•m2/C2) a) 2 pF
b) 4 pF
c) 6 pF
d) 8 pF
e) 10 pF
3µF
2µF
d •
4µF
•
o b
o a
+ 39V
A
Fig.17
Fig.18
19. En la Fig.19, en el sistema de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b". a) 1 µ F
b) 2 µ F
c) 3 µ F
d) 4 µ F
e) 5 µ F
20. En la Fig.20, todos los condensadores, tienen capacidad igual a C=3 µ F. Hallar la capaci dad equivalente entre X e Y, cuando entre A y B se conecta un alambre conductor. a) 1 µ F
b) 2 µ F
c) 3 µ F
d) 4 µ F
e) 5 µ F
546
Condensadores 2µF
a
C
° 4µF
3µF
°b
X
°
B •
•
A
C
C
Y
°
•
•
C C
3µF
Fig.19
Fig.20
21. En la Fig.21, hallar la capacidad "C" de los condensadores, sabiéndose que la capacidad equivalente entre X e Y es 2 µF más que la capacidad equivalente entre Z e Y. a) 1 µ F
b) 2 µ F
c) 3 µ F
d) 4 µ F
e) 5 µ F
22. En la Fig.22, hallar la energía que almacena el circuito eléctrico mostrado. a) 20 µ J
b) 40 µ J Z
C
c) 60 µ J
d) 80 µ J
e) 100 µ J
Y
6µF C
C
20µF
1µF
4µF
5µF
C
X C
Fig.21
5V R.SABRERA
Fig.22
23. En la Fig.23, en el sistema de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre los puntos X e Y. Todos los condensadores están expresados en µF. a) 2 µ F
b) 4 µ F
c) 6 µ F
d) 8 µ F
e) 10 µ F
24. Dos esferas metálicas de radios a=3 cm y b= 6 cm se interconectan con un alambre delga do. Su separación es grande comparada con sus dimensiones. Al sistema se le suministra una carga "Q" y entonces se desconecta el alambre. Hallar la capacidad del sistema. (p=10-12) a) 10 pF
b) 20 pF
c) 30 pF
d) 40 pF
e) 50 pF
25. En la Fig.24, en cada arista del tetraedro se ubica un condensador de capacidad C=12 F hallar la resistencia equivalente entre los vértices A, B del tetraedro. a) 20 F
b) 22 F
c) 24 F
d) 26 F
e) 28 F
26. Se tiene un alambre muy fino de longitud l=1,0 m, radio de la sección transversal r=10 mm y carga eléctrica distribuida uniformemente q=8 µC. Hallar la capacidad de este alam
547
Física III 9
2
2
-12
bre. (k=9•10 N•m /C , p=10 ) a) 12,02 pF
b) 12,04 pF
c) 12,06 pF
d) 12,08 pF
4
°
•
3
3
X
°
•
•
•
2
4
C
Y
°
C
A
E C
3
6 •
•
B
C
4
2
e) 13,02 pF
°
C
C •
12
F
Fig.23
Fig.24
27. En la Fig.25, en el circuito eléctrico que presenta una resistencia R=2•106 Ω, un conden sador de capacidad C=4 µF, una batería ∆V0= 10 V se cierra el interruptor en t=0. Hallar la carga eléctrica en el condensador después de transcurrido un tiempo muy largo. a) 60 µC
b) 50 µC
c) 40 µC
d) 30 µC
e) 20 µC
28. Una batería de 12 V se conecta en serie con una resistencia de R=3•106 Ω y un conden sador de capacidad C=2 µF. Hallar la carga del condensador cuando este es la mitad del valor máximo. (µ=10-6) a) 10 µC
b) 12 µC S •
∆V0
c) 14 µC
d) 16 µC
e) 18 µC
R •
°
C
+ -
B
A
C
Fig.25
•
C
C •
°
C •
C •
C
C •
•
Fig.26
29. Un condensador de capacidad 5 µF se carga a 300 V y luego se descarga a través de una resistencia de R=6•104 Ω. Hallar la carga que queda en el condensador después de 3 s de iniciado el proceso de descarga. (n=10-9) a) 62 nC
b) 64 nC
c) 66 nC
d) 68 nC
e) 70 nC
30. En la Fig.25., en el circuito eléctrico que presenta una resistencia de R=2•106 Ω, un con densador de capacidad C=4 µF, una batería de ∆V0=10 V se cierra el interruptor en t=0. Hallar la potencia suministrada por la batería en el proceso de carga. a) 0,5 mJ
b) 0,4 mJ
c) 0,3 mJ
d) 0,2 mJ
e) 0,1 mJ
548 Condensadores 31. Un condensador cilíndrico de longitud l=1 cm, radios interno a=0,4 cm y externo b=0,8 cm está sometido a la diferencia de potencial de ∆V=100 V. Hallar la energía eléctrica al macenada en dicho condensador. (k=9•109 N•m2/C2 y n=10-9) a) 1 nJ
b) 2 nJ
c) 3 nJ
d) 4 nJ
e) 5 nJ
32. En la Fig.26, en el circuito eléctrico todas los condensadores tienen capacidad C = 9 µF hallar la capacidad equivalente entre A y B. a) 12 µF
b) 18 µF
c) 14 µF
d) 16 µF
e) 10 µF
33. En la Fig.27, hallar la capacidad equivalente entre X e Y, sabiendo que C2=10 µF y que to dos los demás condensadores son de 4 µF. a) 1 µF
b) 2 µF
c) 3 µF
d) 4 µF
e) 5µF
34. En la Fig.28, en el circuito eléctrico hallar la diferencia de potencial entre los puntos "a" y "b" . Las capacidades se expresan en µF. a) 10 V
b) 15 V
c) 20 V
d) 25 V
e) 30 V
30V + -
C4
b
4µF X
•
°
•
C1
•
•
C2
C3
6µF 2µ F
Y
°
a
•
1µF 2µF
C5
Fig.27
Fig.28
35. En la Fig.29, en el circuito eléctrico mostrado, todos los condensadores tienen capacidad igual a C=3 µF. Hallar la carga "q" que almacena el sistema de condensadores. a) 4 µC
b) 8 µC
C
C C
c) 12 µC a + - 8V
°
d) 16 µC
• •
e) 24 µC
•
C
C
C
C C
C
C
C
C
°b Fig.29
C
C
•
Fig.30
36. En la Fig.30, en el sistema mostrado todos los condensadores tienen capacidad igual a
549
Física III
C=10 µF, hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b" . a) 10 µF
b) 15 µF
c) 20 µF
d) 25 µF
e) 30 µF
37. En la Fig.31, se muestra una red de condensadores de un número ilimitado. Si la capaci dad de cada condensador es C=4( 3 +1) µC, hallar la capacidad equivalente entre X e Y. a) 1 µF
b) 2 µF
c) 3 µF
d) 4 µF
e) 5 µF
38. Se desea construir un condensador de placas planas paralelas de capacidad C=1,0 µF, tal que el área de sus placas no sea mayor que 0,30 m2. Hallar la máxima diferencia de poten cial que puede soportar el condensador sin dañarse. (El aire entre las placas de un conden sador puede soportar un campo eléctrico máximo de intensidad 3,0•106 V/m) a) (10/π) V
b) (15/π) V
c) (20/π) V
d) (25/π) V
e) (30/π) V
39. En la Fig.32, hallar la capacidad equivalente entre "a"y "b", todos los condensadores tie nen capacidad de C=1µF. a) 1 µF
b) 2 µF
c) 3 µF
d) 4 µF
e) 5 µF
a
X
°
C
C
C
°
Y
C
°
C
C
C
C C
∞
∞
C
C
C
°
C
Cb
Fig.31
Fig.32
40. En la Fig.33, en el sistema de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre los puntos "a" y "b", todas los condensadores tienen capacidad C=22 µF. a) 10 µF
b) 20 µF
c) 30 µF
d) 40 µF
C
C
C C
C
C
C
•
C
C C
°
C
C b
C
Fig.33
C •
C C C
a
e) 50 µF
°
°a
C C
C
Fig.34
°b
550 Condensadores 41. En la Fig.34, en el sistema de condensadores, hallar la capacidad equivalente entre "a" y "b" , todos los condensadores tienen capacidades iguales a C=16 µF. a) 10 µF
b) 15 µF
c) 20 µF
d) 25 µF
e) 30 µF
42. En la Fig.35, hallar la capacitancia entre las conchas esféricas de radios R=18 cm separa dos una distancia d=10 m (R<
b) 15 pF
c) 20 pF
d) 25 pF
e) 30 pF
43. En la Fig.36, en el sistema de condensadores, la diferencia de potencial entre "a" y "b" es 18,75 V. Hallar el valor de la carga del condensador de 2 µF. a) 5 µC
b) 10 µC
c) 4 µC
d) 12 µC 4µF
R
e) 15 µC
12µF
2µF
R •
•
3µF
d
a
°
4µF
°b
20µF
Fig.35
Fig.36
44. En la Fig.37, las placas cuadradas de lado a=2 cm del condensador forman un ángulo θ=2º entre sí, sabiendo que d=0,5 cm. Hallar la capacidad de este condensador. a) 0,650 pF
b) 0,652 pF
c) 0,654 pF
d) 0,656 pF
e) 0,658 pF
45. En la Fig.38, el cilindro conductor largo de radio R=10 cm está orientado paralelo a un plano conductor infinito, situado a una distancia h=20 cm. Hallar la capacidad (en pF/m) del sistema por unidad de longitud del cilindro. (Sugerencia: Utilizar la función ln(x)). a) 42,0
b) 42,0
c) 42,0
d) 42,0
e) 42,0
R
a θ
PLANO
l
d a
•
h
Fig.37
Fig.38
551 46. En la Fig.39, el condensador de capacidad C=5 µF almacena en cada placa una carga de magnitud q=80 µC . Hallar la f.e.m "ε " en la fuente de energía.
Física III
a) 12 V
b) 18 V
c) 24 V
d) 30 V
e) 36 V
47. ¿Qué tiempo debe transcurrir, en función de la constante de tiempo, para que un conden sador en un circuito RC, se cargue hasta el 99 % de su carga de equilibrio? a) 4,0 RC
b) 4,2 RC
c) 4,4 RC
d) 4,6 RC
e) 4,8 RC
48. En la Fig.40, la diferencia de potencial entre las placas del condensador C (2 F) que tiene una fuga disminuye de V0 a V0/4 en un tiempo de t=2 s. Hallar la resistencia equivalente entre las placas del condensador. (m=10-3) a) 721 m Ω
b) 723 m Ω
c) 725 m Ω
d) 727 m Ω
e) 729 m Ω
C
R +
εC
4Ω 2Ω
o o V0
Fig.39
R.SABRERA
Fig.40
49. A través de una resistencia R=1•106 Ω se descarga un condensador de capacidad C=1 µF que inicialmente tenía una energía almacenada U0= 0,5 J. Hallar la carga inicial del con densador. a) 1 mC
b) 2 mC
c) 3 mC
d) 4 mC
e) 5 mC
50. Una resistencia R=3•106 Ω y un condensador de capacidad C=1 µC se conectan en un circuito de una sola malla con una fuente de ξ =4 V. Después de 1 s de haberse estableci do la conexión. ¿Con qué ritmo se almacena la energía en el condensador? a) 1,1 µ W
b) 1,3 µ W
c) 1,5 µ W
d) 1,7 µ W
e) 1,9 µ W
51. En la Fig.41, el condensador C y la resistencia R=3600 Ω están en serie con una f.e.m de amplitud ξo=165 V y frecuencia f=60 Hz, siendo la amplitud de la corriente Io= 0,032 A. Hallar la capacidad del condensador. (µ=10-6) a) 0,70 µF
b) 0,72 µF
c) 0,74 µF
d) 0,76 µF
e) 0,78 µF
52. En la Fig.42, en el circuito se cierra el interruptor en t=0. Hallar la cantidad de energía que queda almacenada en el condensador cuando está totalmente cargado. (m=10-3) a) 0,1 mJ
b) 0,2 mJ
c) 0,3 mJ
d) 0,4 mJ
e) 0,5 mJ
552
Condensadores R
•
∼•
S
ξ0 cos ωt
+
C
• •
2MΩ
i
10V -
Fig.41
6µF
Fig.42
53. En la Fig.43, las capacidades de los condensadores situados en las aristas del cubo son de C=105 µF . Desprecie las resistencias de los conductores. I) Hallar la capacidad equivalente entre los vértices A y B. a) 120 µF
b) 130 µF
c) 140 µF
d) 150 µF
e) 16 µF
d) 170 µF
e) 180 µF
d) 156 µF
e) 166 µF
II) Hallar la capacidad equivalente entre los vértices A y D. a) 140 µF
b) 150 µF
c) 160 µF
III) Hallar la capacidad equivalente entre los vértices A y E. a) 126 µF
b) 136 µF
c) 146 µF
54. En la Fig.44, se muestra una red de condensadores de un número ilimitado. Si cada con densador tiene valor igual a C=2( 5 +1) µF, hallar la capacidad equivalente entre los pun tos X e Y. a) 1 µF
b) 2 µF
c) 3 µF
d) 4 µF
e) 5 µF
55. Se cargan tres condensadores de capacidades 1µF a tensiones de 100 V, 200 V y 300 V, respectivamente, y luego se conectan en paralelo. ¿Cuál es la tensión resultante? a) 188 V
b) 190 V
•
C
C C
C
•
C
B
C
C
C
Fig.43
X
C
C
C
•
C
°
∞ C
C
C
°
C ∞
Y
•
e) 220 V
•
•
•
d) 210 V
E
C
•
A
c) 200 V
C
D
Fig.44
553
Física III
56. Las placas planas paralelas de un condensador tienen cargas "± q" y área "A" . Demos trar que las placas se atraen con una fuerza de magnitud F=q2/2εoA. 57. En la Fig.45, en el sistema de condensadores, hallar la carga total del sistema. a) 40 µC
b) 45 µC
c) 50 µC
d) 55 µC
e) 60 µC
58. Las placas planas paralelas de un condensador de área A=2 m2, que están separadas en el aire por un distancia de d=5 mm, se conectan a una tensión de 104 V. I) Hallar la capacidad del condensador. (εo=8,85•10-12 C2/N•m2) a) 1,54 nF
b) 2,54 nF
c) 3,54 nF
d) 4,54 nF
e) 5,54 nF
d) 45,4 µC
e) 55,4 µC
d) 4 MV/m
e) 5 MV/m
II) Hallar la magnitud de la carga de cada una de las placas. a) 15,4 µC
b) 25,4 µC
c) 35,4 µC
III) Hallar la magnitud del campo eléctrico entre las placas. a) 1 MV/m
b) 2 MV/m
c) 3 MV/m
59. Tres condensadores de capacidades C1=3 µF, C2=2 µF, C3=4 µF se conectan en serie el primero con los otros dos en paralelo, y se establece una diferencia de potencial de ∆V=1200 V, en los extremos de la conexión. I) Hallar el valor de k=q1/(q3-q2), siendo "q1 " , "q 2 " y "q 3 " la carga de cada uno de los con densadores. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
II) Hallar la diferencia de potencial entre las placas del primer condensador. a) 600 V
b) 650 V
c) 700 V
d) 750 V
e) 800 V
III) ¿Qué porcentaje de la energía eléctrica total, se almacena en el condensador "1" ? a) 60,7 %
b) 62,7 %
c) 64,7 %
d) 66,7 %
e) 68,7 %
60. Tres condensadores idénticos de capacidades C=12 µF cada uno, se conectan en serie, a u na diferencia de potencial de 4 V. ¿Cuál es la carga eléctrica de cada condensador? a) 10 µC
b) 12 µC
c) 14 µC
d) 16 µC
e) 18 µC
61. Dos condensadores de capacidades 3 µF y 6 µF , se cargan por separado a 30 V y 60 V, y luego se conectan en paralelo. I) Hallar la carga eléctrica del sistema de condensadores. a) 300 µC .
b) 350 µC
c) 400 µC
d) 450 µC
e) 500 µC
554 Condensadores II) Hallar la diferencia de potencial en los extremos de la conexión. a) 10 V
b) 20 V
c) 30 V
d) 40 V
e) 50 V
III) Hallar la razón de las cargas eléctricas (q2/q1=?), después de la conexión. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
IV) Hallar la energía total almacenada en los condensadores, antes de la conexión. a) 10,15 mJ
b) 12,15 mJ
c) 14,15 mJ
d) 16,15 mJ
e) 18,15 mJ
V) Hallar la energía total almacenada en los condensadores, después de la conexión. a) 11,25 mJ
b) 13,25 mJ
c) 15,25 mJ
d) 17,25 mJ
e) 19,25 mJ
VI) Hallar el valor de la variación que experimenta la energía almacenada en los condensado res, antes y después de la conexión. a) 0,1 mJ
b) 0,3 mJ
c) 0,5 mJ
d) 0,7 mJ
e) 0,9 mJ
62. En la Fig.46, se muestra dos condensadores en serie, en la que la sección rígida central de longitud "b" se puede desplazar verticalmente. Probar que la capacitancia equivalente de la combinación en serie es independiente de la posición de la sección central y viene dado por: C=εoA/(a-b), siendo "A" el área de la superficie de las placas. 15µF
+ 10V -
48µF
•
b
2µF
a
24µF
9µF
•
•
15µF
9µF R.SABRERA
Fig.45
Fig.46
63. En la Fig.47, entre las placas planas paralelas del condensador se introduce una placa de cobre de espesor "b". La placa de cobre equidista de las placas del condensador. I) Hallar la capacidad del sistema, antes de introducir la placa de cobre. II) Hallar la capacidad del sistema, después de introducir la placa de cobre. 64. En la Fig.48, cuando el interruptor S se mueve hacia la izquierda, las placas del conden sador C1 adquieren una diferencia de potencial de V0. Los condensadores C2 y C3 están inicialmente descargados. A continuación se mueve el interruptor S hacia la derecha. (C1=1 µF, C2=2 µF, C3=3 µF y V0=110 V) I) Hallar la carga inicial que adquiere el condensador C1. a) 100 µC
b) 110 µC
c) 120 µC
d) 130 µC
e) 140 µC
555
Física III II) Hallar la carga eléctrica final que adquiere el condensador C1. a) 10 µC
b) 20 µC
c) 30 µC
d) 40 µC
e) 50 µC
d) 200 µC
e) 250 µC
III) Hallar la carga eléctrica final del sistema de condensadores. a) 50 µC
b) 100 µC
c) 150 µC
IV) Hallar la energía eléctrica final almacenada en el sistema de condensadores. a) 11,3 mJ
b) 13,3 mJ
c) 15,3 mJ
d) 17,3 mJ S
•
d •
° a b a
+ V0 -
°
e) 19,3 mJ
° C2
C1 C3 •
A
Fig.47
Fig.48
65. En la Fig.49, los condensadores C1 (1,0 µF) y C2 (3,0 µF) se cargan al mismo potencial V(100 V) pero con polaridad opuesta de tal manera que los puntos "a" y "c" se encuen tren del mismo lado de las respectivas placas positivas de C1 y C2 y los puntos "b" y "d" están del mismo lado de las placas negativas. A continuación se cierran los interruptores S1 y S2 . I) Hallar la carga eléctrica en el condensador C1. a) 100 µC
b) 200 µC
c) 300 µC
d) 400 µC
e) 500 µC
d) 400 µC
e) 500 µC
d) 60 V
e) 70 V
II) Hallar la carga eléctrica en el condensador C2. a) 100 µC
b) 200 µC
c) 300 µC
III) Hallar la diferencia de potencial entre los puntos e y f. a) 30 V
b) 40 V
c) 50 V
66. Se tiene un condensador esférico que consta de dos esferas huecas concéntricas de radios interno "a" y externo "b", respectivamente. I) Probar que la capacidad del condensador, viene dado por: C=4πεoab/(b-a). II) Probar que para b → ∞ , la capacidad del condensador se reduce a: C=4πεoa. 67. En la Fig.50. el condensador de placas planas paralelas de área "A" , separadas por un distancia "d"se carga hasta una diferencia de potencial "Vo " . Luego, se desconecta de la batería de carga y las placas se separan una distancia "2d" . I) Hallar la nueva diferencia de potencial entre las placas del condensador.
556
Condensadores
a) V0
b) 2V0
c) 3V0
d) 4V0
e) 5V0
II) Hallar la energía eléctrica inicial "E o " almacenada en el condensador. εo A Vo2 b) d
εo A Vo2 a) 2d
εod Vo2 c) 2A
εo A Vo2 d) 4d
εod Vo2 e) A
III) Hallar la energía eléctrica final "E" almacenada en el condensador. a) E0
b) 2E0
c) 3E0
d) 4E0
e) 5E0
IV) Hallar el trabajo que se hizo para separar a las placas del condensador. a) E0
b) 2E0 e a
° •
c) 3E0
°°
+
f
°
° S° 2
A
b
•
e) E0/3
S1
+ C1 d
d) E0/2
C2
• S •
•
+ V0 -
d
•
c
Fig.49
Fig.50
68. Se tiene una esfera metálica de diámetro D=10 cm, y potencial eléctrico de V=8 000 vol tios. Hallar la densidad de energía (en 10-3 J/m3) en la superficie de la esfera. ( εo = 8,85•10-12 C2/N•m2) a) 1,66
b) 3,66
c) 5,66
d) 7,66
e) 9,66
69. En la Fig.51, el condensador cilíndrico está formado por dos cilindros huecos de longitud l=10 cm, radios interno a=4 cm, externo b=8 cm, y de cargas eléctricas q=±4 pC, respec tivamente. (k=9•109 N•m2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico a una distancia de r=6 cm del eje común. a) 10 V/m
b) 12 V/m
c) 14 V/m
d) 16 V/m
e) 18 V/m
II) Hallar la diferencia de potencial entre los cilindros externo e interno. a) -0,1 V
b) 0,1 V
c) -0,5 V
d) 0,5 V
e) -0,9 V
d) 8 pF
e) 10 pF
III) Hallar la capacidad del condensador cilíndrico. a) 2 pF
b) 4 pF
c) 6 pF
IV) Hallar la variación que experimenta la energía eléctrica almacenada en el condensa dor, al duplicarse la diferencia de potencial entre los cilindros.
557
Física III a) E0
b) 2E0
c) 3E0
d) 4E0
e) 5E0
V) Si se duplican los radios de los cilindros interno y externo, manteniendo constante la car ga almacenada, ¿Cómo cambia la energía almacenada?
°
-q +q
A
b a
k1
k2
a
a
l
Fig.51
°
d
Fig.52
70. En la Fig.51, en el condensador de placas cilíndricas de radios interno "a" y externo "b" y longitud " ℓ " , probar que la mitad de la energía eléctrica se encuentra almacenada en un cascarón cilíndrico de radios interno "a" y externo "r" , dado por: r= ab . 71. En la Fig.52, el espacio entre las placas del condensador plano se llena con dos dieléctri cos de constantes "k1 " y "k 2 " . I) Probar que la capacidad equivalente, está dada por: C=(εoA/d)((k1+k2)/2) II) Comprobar esta fórmula para todos los posibles casos límite. 72. En la Fig.53, el condensador de placas planas paralelas de área "A" , separados por una distancia "d", está llena con dos dieléctricos de constantes k1=8, k2=2. ¿Qué ancho "x" debe tener el dieléctrico de constante "k1 ",tal que, al reemplazar los dos dieléctricos con un solo dieléctrico de constante k3=4, no varié la capacidad del condensador? (a=6 cm) a) 1,0 cm
b) 1,5 cm
°
d) 2,5 cm
°
a
k2
k1
x
c) 2,0 cm
° Fig.53
a
k(x)
d
0
x
e) 3,0 cm
d
dx
° Fig.54
73. Las placas de un condensador plano paralelo, se aproximan con una rapidez de u=1 mm/s manteniéndose paralelas. ¿Con qué rapidez aumenta (A) o disminuye (D) la capacidad del condensador (en fF/s), en el instante en que la distancia entre las placas es d=5 mm. Los lados de las placas rectangulares son: a=1 cm, b=2 cm. (εo=8,85•10-12 C2/N•m2, f=10-15)
558 a) A, 60,8
Condensadores b) D, 60,8
c) A, 70,8
d) D, 70,8
e) A, 80,8
74. En la Fig.54, las placas planas paralelas del condensador son cuadrados de lados a=4 cm, y están separadas por una distancia de d=2 mm. El espacio entre las placas del conden sador, se llena con un dieléctrico cuya constante depende linealmente de la distancia "x" , siendo su valor en los extremos izquierdo y derecho de k1=2 y k2=6, respectivamente. (εo=8,85•10-12 C2/N•m2 ) I) Hallar la constante dieléctrica "k" a la distancia de x=a/4. a) 2,0
b) 2,5
c) 3,0
d) 3,5
e) 4,0
II) Hallar aproximadamente la capacidad del condensador. (p=10-12) a) 20 pF
b) 22 pF
c) 24 pF
d) 26 pF
e) 28 pF
d) 4,5
e) 5,0
III) Hallar el valor medio de la constante "k" del dieléctrico. a) 3,0
b) 3,5
c) 4,0
75. En la Fig.55, las placas planas paralelas del condensador de área A=0,12 m2, separadas por una distancia de d=1,2 cm, se conectan a una batería hasta una diferencia de potencial de 120 V y después se desconectan. Entre las dos placas se ubica, de manera simétrica un material dieléctrico de espesor b=0,4 cm y constante dieléctrica k=4,8. I) Hallar la capacidad del condensador antes de introducir el dieléctrico. a) 48,5 pF
b) 58,5 pF
c) 68,5 pF
d) 78,5 pF
e) 88,5 pF
II) Hallar la capacidad del condensador después de introducir el dieléctrico. a) 100,2 pF
b) 110,2 pF
c) 120,2 pF
d) 130,2 pF
e) 140,2 pF
III) Hallar la carga libre "q" antes y después de introducir el dieléctrico. a) 10,6 nC
b) 20,6 nC
c) 30,6 nC
d) 40,6 nC
e) 50,6 nC
IV) Hallar el campo eléctrico en el espacio intermedio entre las placas y el dieléctrico. a) 10 kV/m
b) 20 kV/m
c) 30 kV/m
d) 40 kV/m
e) 50 kV/m
d) 4,1 kV/m
e)5,1 kV/m
V) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el dieléctrico. a) 1,1 kV/m
b) 2,1 kV/m
c) 3,1 kV/m
VI) Al colocar el dieléctrico en su posición ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las dos placas? a) 80,3 V
b) 82,3 V
c) 84,3 V
d) 86,3 V
VII)Hallar el trabajo externo realizado al introducir el dieléctrico entre las placas.
e) 88,3 V
559
Física III a) 138 nJ
b) 148 nJ
c) 158 nJ
d) 168 nJ
e) 178 nJ
76. En la Fig.56, se muestra un dieléctrico de espesor "b" y constante dieléctrica "k" colo cado dentro del condensador de placas paralelas, de área "A" y separadas por una dis tancia "d" . Cuando todavía no se ha introducido el dieléctrico al condensador se le aplica una diferencia de potencial "Vo " . A continuación se desconecta la batería y se introduce el dieléctrico. Suponiendo que: A=100 cm2, d=1 cm, b=0,5 cm, k=7 y V0=100 V. I) ¿Cuál es la energía que se almacena en los espacios con aire? a) 150,8 nJ
b) 151,8 nJ
c) 152,8 nJ
d) 153,8 nJ
e) 154,8 nJ
d) 23,1 nJ
e) 24,1 nJ
II) ¿Cuál es la energía que se almacena en el dieléctrico? a) 20,1 nJ
b) 21,1 nJ
c) 22,1 nJ
°•
° •
b
k
d
d
•
b
•
° Fig.55
k
R.SABRERA
°
Fig.56
77. Entre las placas de un condensador de placas paralelas planas, separadas una distancia "d", se introduce un dieléctrico de espesor "b" (b
b) 2/k
c) k
d) 2k
e) 3k
79. En la Fig.57, el condensador que consta de dos placas paralelas muy cerca una de otra tienen en el aire una capacidad de C=1 000 pF. La carga eléctrica sobre cada placa es de Q=1 C. (εo=8,85•10-12 C2/N•m2) I) Hallar la diferencia de potencial entre las placas del condensador. a) 1 GV
b) 2 GV
c) 3 GV
d) 4 GV
e) 5 GV
II) Asumiendo que la carga se mantiene constante, hallar la diferencia de potencial entre las placas, si la separación entre las mismas se duplica. a) 1 GV
b) 2 GV
c) 3 GV
d) 4 GV
e) 5 GV
560 Condensadores III) ¿Qué trabajo es necesario realizar para duplicar la separación entre las mismas? a) 0,5 GJ
b) 1,0 GJ
c) 1,5 GJ
d) 2,0 GJ
e) 2,5 GJ
80. En la Fig.58, se desea construir un condensador intercalando una hoja de papel de 0,004 cm de espesor entre las hojas de estaño. El papel tiene una constante dieléctrica relativa de 2,8 y conducirá la electricidad si esta en un campo eléctrico de intensidad 3•106 V/m. Esto es, la tensión de ruptura del papel es 3 MV/m. (εo=8,85•10-12 C2/N•m2) I) Hallar el área de las placas que se necesita para que un condensador de este tipo tenga una capacidad de 0,3 µF. a) 0,18 m2
b) 0,28 m2
c) 0,38 m2
d) 0,48 m2
e) 0,58 m2
II) ¿Cuál es el potencial máximo que se puede aplicar si el campo eléctrico en el papel no de be exceder la mitad de la tensión de ruptura? a) 40 V
b) 45 V
° • +Q •
c) 50 V
d) 55 V
°
A
Sn
d
e) 60 V A
•
d
+Q -Q
-Q
PAPEL
° Fig.57
°
Fig.58
81. En la Fig.59, la capacidad del condensador de radio R=2 cm puede variar entre 50 pF y 950 pF girando el dial de 00 a 1800. Con el dial en 1800, se conecta el condensador a una batería de 400 V. Una vez cargado, el condensador se desconecta de la batería y se lleva el dial a 00. I) Hallar el valor de la carga eléctrica en cada una de las placas del condensador. a) 340 nC
b) 350 nC
c) 360 nC
d) 370 nC
e) 380 nC
II) Hallar la diferencia de potencial en el condensador cuando el dial marca 00. a) 5,6 kV
b) 6,6 kV
c) 7,6 kV
d) 8,6 kV
e) 9,6 kV
III) Hallar la energía eléctrica almacenada en el condensador en esta posición. a) 1,0, mJ
b) 1,4 mJ
c) 1,8 mJ
d) 2,2 mJ
e) 2,6 mJ
IV) Hallar el trabajo realizado al hacer girar completamente el dial del condensador. a) 1,37 mJ
b) 1,67 mJ
c) 1,97 mJ
d) 2,27 mJ
e) 2,57 mJ
561 82. Dos condensadores de capacidades iguales a "C" están conectados en paralelo, cargados a una tensión "V" y después de aislados de la fuente de tensión, se introduce un dieléc trico de constante "k" en uno de los condensadores de modo que llena completamente el espacio entre las placas. Hallar: I) La tensión V2, en los condensadores en función de C, V1 y k. II) La cantidad de carga eléctrica verdadera que pasa de un condensador al otro.
Física III
83. Dos condensadores de aire idénticos se conectan en serie, y la combinación se mantiene a una diferencia de potencial constante de 50 voltios. Si una hoja de dieléctrico, de constan te dieléctrica 10 y espesor igual a un décimo de la separación de aire entre las placas, se introduce entre éstas en uno de los condensadores, calcúlese el voltaje de placa a placa en este condensador. a) 21,8 V
b) 23,8 V
c) 25,8 V
d) 27,8 V
e) 29,8 V
84. Dos cáscaras conductoras esféricas, concéntricas de radios "R1 " y "R 2 " , se mantienen a potenciales "V1 " y "V2 " , respectivamente, La región entre las cáscaras se llena con un me dio dieléctrico. Demuéstrese por cálculo directo que la energía almacenada en el dieléctri co es C.(V2-V1)2/2, siendo "C" la capacidad del sistema. 85. En la Fig.60, se tiene un cable coaxial de longitud l=10 cm, el conductor externo es de ra dio b=4 cm. (k=9•109 N•m2/C2) I) Hallar el radio a=? del conductor interno, tal que, para una diferencia de potencial de V=50 voltios entre los conductores, el campo eléctrico en su superficie sea mínimo. a) 1,07 cm
b) 1,27 cm
c) 1,47 cm
d) 1,67 cm
e) 1,87 cm
II) Hallar la magnitud del campo eléctrico mínimo en la superficie interna del cable. a) 30 kN/C
b) 32 kN/C
c) 34 kN/C
d) 36 kN/C
e) 38 kN/C
d) 5,6 pF
e) 5,8 pF
III) Hallar la capacidad eléctrica del cable coaxial. a) 5,0 pF
b) 5,2 pF
c) 5,4 pF
IV) Hallar la carga eléctrica en cada uno de las superficies del cable. a) 250 pC
b) 260 pC 00
c) 270 pC
d) 280 pC
e) 290 pC
DIAL
a
°
0
270
1800
Fig.59
0
90
b l
Fig.60
562 Condensadores 86. Se tiene un disco conductor delgado de radio "R " , con densidad de carga superficial no u niforme, dado por: σ=σo(1-r2/R2), siendo "r" la distancia radial medida desde el centro del disco, y " σo " una constante. Hallar la capacidad de este disco. a) πεo R / 2
b) πεo R
c) 3 πεo R / 2
d) 3 πεo R
e) 2πεo R
87. En la Fig.61, a las placas del condensador plano paralelo se suministra la carga eléctrica Q=6 µC. El área de las placas de forma cuadrada es A=4 cm2 y la distancia de separación entre ellas es d=0,5 cm. (k=9•109 N•m2/C2) I) ¿Qué trabajo se debe hacer para aumentar la distancia entre las placas en d=0,5 cm? a) 21,4 J
b) 22,4 J
c) 23,4 J
d) 24,4 J
e) 25,4 J
II) ¿Qué trabajo se debe hacer para desplazar las placas a la distancia x=0,1 cm la una respec to de la otra? La distancia entre las placas permanece invariable. a) 1,14 J
b) 1,34 J
c) 1,54
d) 1,74 J
e) 1,94 J
88. En la Fig.62, hallar la presión eléctrica sobre la superficie interior de un condensador esfé rico, cargado hasta una diferencia de potencial de V=40 voltios. El radio exterior del con densador es R=4 cm y el interior r=2 cm. (k=9•109 N•m2/C2) a) 70,7 µPa
b) 72,7 µPa
c) 74,7 µPa
d
e) 78,7 µPa
•
A •
d) 76,7 µPa
+ -
+Q
r
ε • •
-Q
Q
-Q
o oV
R •
R R.SABRERA
Fig.61
Fig.62
89. Una cáscara esférica, descargada, conductora de masa m=9 mg flota con una cuarta parte de su volumen sumergido en un dieléctrico líquido de constante dieléctrica k=82. ¿A qué potencial debe ponerse la esfera para que flote con la mitad de su volumen sumergido en el dieléctrico? (k=9•109 N•m2/C2, g=10 m/s2, m=10-3) a) 203 V
b) 223 V
c) 243 V
d) 263 V
e) 283 V
90. En la Fig.63, en la rama AB, la f.e.m de la fuente es ξ=10 V, las capacitancia de los capa citores son C1=1,0 µF, C2=2,0 µF y la diferencia de potencial VA-VB=5,0 V. Hallar la razón V1/V2=? de las tensiones en los capacitores. a) 1,0
b) 1,5
c) 2,0
d) 2,5
e) 3,0
563 91. En la Fig.64, en el circuito eléctrico, formado por los capacitores C1=2 µF, C2=4 µF, y dos fuentes de energía de f.e.m ξ1=90 V y ξ2=60 V. I) Hallar la carga eléctrica de cada capacitor del circuito.
Física III
a) 10 µC
b) 20 µC
c) 30 µC
d) 40 µC
e) 50 µC
d) 2,5
e) 3,0
II) Hallar la razón de los voltajes V1/V2=? en los capacitores. a) 1,0
b) 1,5
c) 2,0
C1 C1
ξ
C2
A
B
ξ1
ξ2
C2
Fig.63
Fig.64
92. Un capacitor de C1=2 µF se carga a una diferencia de potencial de V=12 voltios y a conti nuación se desconecta de la batería. (µ=10-6) I) Hallar la carga de las placas del capacitor C1 después de desconectado de la batería. a) 12 µC
b) 14 µC
c) 16 µC
d) 18 µC
e) 20 µC
II) Cuando se conecta un segundo capacitor "C2 " inicialmente descargado, en paralelo a C1, la diferencia de potencial disminuye hasta V ' = 4 voltios. ¿Cuál es la capacitancia de C2? a) 2 µF
b) 4 µF
c) 6 µF
d) 8 µF
e) 10 µF
93. A un capacitor de capacitancia C1=1,0 µF, cargado hasta la tensión de V=110 voltios, se le conecto en paralelo a los bornes de un sistema formado por dos capacitores de capaci tancias C1=2,0 µF, C3=3 µF, no cargados y conectados en serie. Hallar la carga eléctrica que circula en este caso por los conductores (alambres) de empalme. a) 10 µC
b) 20 µC
c) 40 µC
d) 60 µC
e) 80 µC
94. El potencial para un campo eléctrico en un dieléctrico uniforme de constante "k" , viene dado por: V=V(r) siendo "r" la distancia medida desde un punto 0 (origen). Hallar el po tencial eléctrico, para ρ=ρo(a/r2), tomando el potencial de referencia nulo. ρo a 2 a) ℓn(r) k εo
− ρo a 2 b) ℓn(r) k εo
ρ a c) o ℓn(r) k εo
− ρo a d) ℓn(r) k εo
ρo a 3 e) ℓn(r) k εo
564 Condensadores 95. En la Fig.65, en el circuito eléctrico constituido por los capacitores C1, C2, C3, C4 y la fuente de energía de f.e.m "ξ " . I) Hallar la diferencia de potencial entre los puntos A y B. II) Evaluar la diferencia de potencial obtenida en I), para: C1=2 µF, C2=4 µF, C3=6 µF, C4=8 µF y ξ=84 V. a) 1 V
b) 2 V
c) 4 V
d) 6 V
e) 8 V
III) ¿En qué condición la diferencia de potencial entre los puntos A y B es nula?
96. En la Fig.66, en el circuito eléctrico las capacitancias de cada uno de los capacitores es de 40 µF. Hallar la capacitancia equivalente entre los puntos A y B. a) 40 µF
b) 50 µF C1
A
C2
•
C3
B
c) 60 µF
C3
C2
•
C4
e) 80 µF
C1
A
C4
ξ
d) 70 µF
C5
C6
B
Fig.65
Fig.66
97. En la Fig.67, en el circuito eléctrico constituido por los capacitores de C1=2 µF, C2=4 µF, y las fuentes de energía de ξ=60 V, se cierra el interruptor S. I) Hallar el cambio que experimenta la carga del capacitor C2. a) 100 µC
b) 120 µC
c) 140 µC
d) 160 µC
e) 180 µC
II) Hallar la carga en el capacitor C1, luego de cerrar el interruptor S. a) 60 µC
b) 70 µC
c) 80 µC
d) 90 µC
e) 100 µC
98. En la Fig.68, en el circuito constituido por los capacitores C1=6 µF, C2=3 µF y ∆V=20 V. El capacitor C1 se carga primero cerrando el interruptor S1. Este interruptor se abre des pués, y el capacitor cargado se conecta al capacitor descargado al cerrar S2. I) Hallar la carga inicial almacenada en el capacitor C1. a) 100 µC
b) 110 µC
c) 120 µC
d) 130 µC
e) 140 µC
d) 90 µC
e) 100 µC
II) Hallar la carga final almacenada en el capacitor C1. a) 60 µC
b) 70 µC
c) 80 µC
565
Física III III) Hallar la carga final almacenada en el capacitor C2. a) 30 µC
b) 40 µC S
c) 50 µC
d) 60 µC
∆V
C1
e) 70 µC
C1 •
ξ
ξ
C2
S1
Fig.67
C2
•
S2
•
Fig.68
99. En la Fig.69, demostrar que en un transformación delta " ∆ " estrella "Y" , las relaciones de transformaciones para las capacitancias, vienen dadas por: C1= (CxCy+CyCz+CzCx)/Cx, C2= (CxCy+CyCz+CzCx)/Cy, C3= (CxCy+CyCz+CzCx)/Cz. q1 a
q2
Cz
a q1
b
b q2 C2
C1
Cy
Cx C3
c
c
Fig.69 100.En la Fig.70, en el circuito eléctrico constituido por los capacitores C1= 1µF, C2=2 µF, C3=3 µF, hallar la resistencia equivalente entre los puntos A y B. a) 7/3 µF
b) 9/5 µF
c) 11/7 µF
C2
C1
A
d) 13/9 µF C2
C1 C3
A
B
C3
C5
V C4
C1
C2
Fig.70
B
C7
C6
Fig.71
e) 15/11 µF
566 Condensadores 101.En la Fig.71, en el circuito eléctrico: C1=72 µF, C2=27 µF, C3=18 µF, C4=28 µF, C5=6 µF, C6=72 µF, C7=21 µF, y la diferencia de potencial entre A y B es V=36 voltios. I) Hallar la capacitancia del capacitor equivalente situado entre A y B. a) 10 µF
b) 12 µF
c) 14 µF
d) 16 µF
e) 18 µF
d) 860 µC
e) 880 µC
II) Hallar la carga almacenada en todo el circuito eléctrico. a) 800 µC
b) 820 µC
c) 840 µC
102.En la Fig.23, dos medios dieléctricos con permitividades constantes ε1=3εo y ε2=2εo es tán separados por una superficie plana. No hay carga libre en la superficie de separación. Una carga puntual de q=5 nC se sumerge en el medio caracterizado por ε1 a una distancia "d" de la superficie de separación. Por comodidad, consideramos que el plano YZ que pasa por el origen es la superficie de separación, y situamos a "q" sobre el eje X en x=-d. Si: r = [(x + d)2 + y 2 + z 2 ] 1/2 y r´= [(y − d) 2 + y 2 + z 2 ] 1/2 I) Probar que el potencial V1= (1/4πε0)[(q/r) + (q´/r´)] satisface la ecuación de Laplace en to dos los puntos del medio "1" , excepto en la posición de "q". II) Probar que el potencial V2=(1/4πεo)[(q”/r) satisface la ecuación de Laplace en todos los puntos del medio "2" . III) Hallar la razón (q”/q´=?) de las cargas puntuales q” y q´. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5 Z
a
ε1
ε2
•
k2 k1
q
0•
θ
E0
•
Eje polar
Fig.23
Fig.24
103.En la Fig.24, el cilindro dieléctrico muy largo de radio a=10 cm y constante dieléctrica k1=2 se ubica en un medio dieléctrico de constante k2=3, donde existe campo eléctrico u niforme de magnitud E0=100 N/C. El eje del cilindro se orienta normalmente en la direc ción de E o . El cilindro no contiene cargas libres. Hallar: I) La magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas: r=5 cm, θ=600. a) 80 N/C
b) 90 N/C
c) 100 N/C
d) 110 N/C
e) 120 N/C
II) La magnitud del campo eléctrico en el punto de coordenadas: r=12 cm, θ=600. a) 101,62 N/C
b) 103,62 N/C
c) 105,62 N/C
d) 107,62 N/C
e) 109,62 N/C
567 104.En la Fig.74, se muestra seis esferas conductoras concéntricas A, B, C, D, E y F, de ra dios R, 2R, 3R, 4R, 5R y 6R, respectivamente. Las esferas B y C están conectadas median te un alambre conductor, del mismo modo que las esferas D y E. Determinar la capacitan cia equivalente de este sistema, para R=20 cm. (k=9•109 N•m2/C2, n=109)
Física III
a) 0,124 nF
b) 0,224 nF
c) 0,324 nF
d) 0,424 nF
e) 0,524 nF
105.En la Fig.75, se muestra un capacitor de aire variable que se usa en circuitos de sintoniza ción está hecha de "N" placas semicirculares, cada una de radio "R " y separadas por una distancia "d" una de otra. Un segundo conjunto de placas idéntico, que tiene libertad para girar, se intercala con sus placas a la mitad entre aquellas del primer juego. El segundo conjunto puede rotar como unidad. Determinar la capacitancia como una función del ángu lo de rotación "θ" , donde θ=0 corresponde a la máxima capacitancia.
d
A B
θ
C D E
R
F R.SABRERA
Fig.74
Fig.75
106.Considerando a la Tierra y una capa de nubes d=800 m sobre la superficie terrestre como las "placas" de un capacitor, calcule la capacitancia si la capa de nubes tiene un área de A=1,00 km2. Suponga que el aire entre la nube y el suelo es puro y seco. Suponga que la carga acumulada en la nube y el suelo hasta un campo eléctrico uniforme con una magni tud de E=3,00•106 N/C a través del espacio entre ellos hace que el aire se rompa y conduz ca electricidad como un relámpago, ¿Cuál es la máxima carga que puede soportar la nu be? (k=9•109 N•m2/C2) a) 22,6 C
b) 23,6 C
c) 24,6 C
d) 25,6 C
e) 26,6 C
107.Un capacitor esférico de capacitancia C=20,0 µF está compuesto de dos esferas metáli cas, una con radio dos veces mayor que la otra. Si la región entre las esferas es el vació, determinar el volumen (en m3) de la región. (k=9•109 N•m2/C2) a) 2,13•1016
b) 2,33•1016
c) 2,53•1016
d) 2,73•1016
e) 2,93•1016
568 Condensadores 108.Dos esferas conductoras con diámetros de D1=0,400 m y D2=1,00 m están separadas por una distancia que es grande comparada con los diámetros. Las esferas están conectadas por medio de un alambre delgado y se cargan hasta Q=7 µC. (k=9•109 N•m2/C2) I) Hallar el valor de la diferencia de las cargas eléctricas de las esferas. a) 1,0 µC
b) 1,5 µC
c) 2,0 µC
d) 2,5 µC
e) 3,0 µC
II) ¿Cuál es el potencial del sistema de esferas cuando el potencial de referencia se toma co mo V=0 en r=∞? a) 70 kV
b) 75 kV
c) 80 kV
d) 85 kV
e) 90 kV
109.Un cable coaxial de longitud l=50,0 m tiene un conductor interior con un diámetro de D1=2,58 mm que conduce una carga de Q=8,10 µC. El conductor circundante tiene un diámetro interior de D2=7,27 mm y una carga de Q=-8,10 µC. (k=9.109 N•m2/C2, n=10-9) I) Hallar la capacitancia de este cable coaxial. a) 2,28 nF
b) 2,38 nF
c) 2,48 nF
d) 2,58 nF
e) 2,68 nF
II) Hallar la diferencia de potencial entre los dos conductores. Asumiendo que la región entre los conductores es aire. a) 3,02 kV
b) 3,22 kV
c) 3,42 kV
d) 3,62 kV
e) 3,82 kV
110.Un capacitor esférico lleno de aire se construye con un cascarón interior y uno exterior de radios R1=7 cm y R2=14 cm, respectivamente. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12, k=103) I) Hallar la capacitancia del dispositivo. a) 12,6 pF
b) 13,6 pF
c) 14,6 pF
d) 15,6 pF
e) 17,6 pF
II) ¿Qué diferencia de potencial entre las esferas resulta en una carga de Q=4 µC sobre el ca pacitor? a) 216 kV
b) 226 kV
c) 236 kV
d) 246 kV
e) 256 kV
111.Determinar la capacitancia de la Tierra de radio medio R=6,37•106 m. (Sugerencia: el conductor exterior del "capacitor esférico" puede considerarse como una esfera conducto ra en el infinito donde V tiende a 0. (k=9•109 N•m2/C2, µ=10-6) a) 708 µF
b) 728 µF
c) 748 µF
d) 768 µF
e) 788 µF
112.Dos capacitares C1=5 µF y C2=12 µF están conectados en paralelo, y la combinación re sultante está conectada a una batería de ∆V=9 voltios. I) Hallar la capacitancia equivalente del de la combinación. a) 13 µF
b) 14 µF
c) 15 µF
II) Hallar la diferencia de potencial de cada capacitor. a) 5 V b) 6 V c) 7 V
d) 16 µF
e) 17 µF
d) 8 V
e) 9 V
569
Física III III) Hallar la diferencia de las cargas Q2 - Q1=? de las placas de los capacitores a) 61 µC
b) 63 µC
c) 65 µC
d) 67 µC
e) 69 µC
113.Dos capacitares cuando están conectados en paralelo su capacitancia equivalente es CP=9 pF, y cuando están conectados en serie su capacitancia es CS=2 pF. Hallar la capacitancia C1 y C2 de cada capacitor. (p=10-12) a) 6 pF ; 3 pF
b) 4 pF ; 5 pF
c) 7 pF ; 2 pF
d) 1 pF ; 8 pF
e) 9 pF ; 0 pF
114.En la Fig.76, se muestra la conexión de cuatro capacitares: C1=15 µF, C2=3 µF, C3=6 µF C4=20 µF. Hallar: I) La capacitancia equivalente entre los puntos A y B. a) 5,16 µF
b) 5,36 µF
c) 5,56 µF
d) 5,76 µF
e) 5,96 µF
II) El valor de la expresión k=Q3.Q4/Q1.Q2, donde Q1, Q2, Q3, Q4 son las cargas eléctricas en cada uno de los capacitores, para ∆V=15 voltios. a) 8,0
b) 8,2
c) 8,4
d) 8,6
e) 8,8
115.En la Fig.77, el circuito eléctrico se componen de dos placas metálicas idénticas conecta das mediante resortes metálicos idénticos a una batería de 100 V. Con el interruptor abier to las placas están descargadas, se encuentran separadas por una distancia d=8 mm y tie nen una capacitancia C=2 µF. Cuando se cierra el interruptor, la distancia entre las placas disminuye en un factor de 0,5. I) Hallar la carga que adquiere cada placa del capacitor. a) 300 µC
b) 350 µC
c) 400 µC
d) 450 µC
e) 500 µC
d) 2,5 kN/m
e) 3,0kN/m
II) Hallar la constante elástica "k" de cada resorte. a) 1,0 kN/m
b) 1,5 kN/m C1
c) 2,0 kN/m
d
C2
k
C4
A
C3
Fig.76
k
B
S
∆V
Fig.77
116.En la Fig.78, encuentre la capacitancia equivalente entre los puntos A y B para el grupo de capacitores mostrados, si: C1=5 µF, C2=10 µF, y C3=2 µF.
570
Condensadores
a) 6,04 µF
b) 6,24 µF
c) 6,44 µF
d) 6,64 µF
e) 6,84 µF
117.En la Fig.79, para la red de capacitores mostrados, si la diferencia de potencial entre los puntos A y B es de 60 voltios, ¿Cuál es la carga eléctrica almacenada en C3? a) 83,0 µC
b) 83,2 µC
c) 83,4 µC
d) 83,6 µC
e) 83,8 µC
118.En la Fig.06, hallar la capacitancia equivalente entre los puntos A y B en la combinación de capacitores mostrado, sabiendo que: C1=4 µF, C2=7 µF, C3=5 µF y C4=6 µF. a) 12,1 µF
b) 12,3 µF C1
A
c) 12,5 µF
d) 12,7 µF
e) 12,9 µF
C1
C1
C3
C2
A C2
B
C2
C3 C2
C2
C4 R.SABRERA
B
Fig.78
Fig.79
119.Un conjunto de capacitores idénticos se conectan primero en serie y luego en paralelo. La capacitancia combinada en paralelo es 100 veces mayor que la correspondiente a la cone xión en serie., ¿Cuántos capacitores forman el conjunto? a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
120. Dos capacitores, C1=25 µF y C2=5 µF, están conectados en paralelo y cargados con un suministro de potencia de ∆V=100 V. (m=10-3) I) Dibuje un diagrama de circuito y calcule la energía total almacenada en los dos capacito res. a) 100 mJ
b) 150 mJ
c) 200 mJ
d) 250 mJ
e) 300 mJ
II) ¿Qué diferencia de potencial se requerirá a través de los mismos dos capacitores conecta dos en serie de modo que la combinación almacene la misma energía que en la parte I). Dibuje un diagrama de circuito de está configuración. a) 260 V
b) 262 V
c) 264 V
d) 266 V
e) 268 V
121.Un campo eléctrico uniforme de magnitud E=3 000 V/m existe dentro de cierta región, ¿Qué volumen de espacio contiene una energía igual a W=1,0•10-7 J. (k=9•109 N•m2/C2)
571
Física III a) 2513 cm3
b) 2523 cm3
c) 2533 cm3
d) 2543 cm3
e) 2553cm3
122.Cierto nubarrón tiene una diferencia de potencial de ∆V=1,0•108 voltios, respecto de un árbol. Si durante una tormenta eléctrica una carga de Q=50 C se transfieren a través de esta diferencia de potencial y 1,0 % de la energía la absorbe el árbol, ¿Cuánta agua (savia en el árbol) inicialmente a 30 oC puede hervir? El agua tiene un calor especifico de ce=4,186 J/kg•oC, un punto de ebullición de 100 oC y un calor de evaporación de LV= 2,26•106 J/kg. a) 9,19 kg
b) 9,39 kg
c) 9,59 kg
d) 9,79 kg
e) 9,99 kg
123.I)¿Cuánta carga eléctrica se puede colocar en un capacitor con aire entre las placas antes de que pierda la resistencia, si el área de cada una de las placas es de A=5,0 cm2. a) 13,0 nC
b) 13,3 nC
c) 13,6 nC
d) 13,9 nC
e) 14,2 nC
II) Encuentre la máxima carga eléctrica si se usa poliestireno en lugar de aire entre las pla cas. a) 270 nC
b) 272 nC
c) 274 nC
d) 276 nC
e) 278 nC
124.En el supermercado se venden rollos de papel aluminio, plástico para envolver y papel encerado. Describe un capacitor hecho con materiales de supermercado. Hacer una estima ción del orden de magnitud para su capacitancia y su voltaje de ruptura. a) 1 µF; 100 V
b) 1 mF; 10 V
c) 1 kF; 1 kV
d) 1 nF; 10 kV
e) 1 F; 1 V
125.Un capacitor que tiene aire entre sus placas se conecta a una diferencia de potencial de ∆V=12 V y almacena una carga eléctrica de Q=48 µC. Entonces se desconecta de la fuen te de energía mientras aún esta cargado. I) Hallar la capacitancia de este capacitor. a) 2 µF
b) 3 µF
c) 4 µF
d) 5 µF
e) 6 µF
II) Hallar la capcitancia, luego de insertar teflón entre las placas del capacitor. a) 8,0 µF
b) 8,2 µF
c) 8,4 µF
d) 8,6 µF
e) 8,8 µF
III) Hallar la diferencia de potencial entre las placas del capacitor. a) 5,11 V
b) 5,31 V
c) 5,51 V
d) 5,71 V
e) 5,91 V
c) 44 µC
d) 46 µC
e) 48 µC
IV) Hallar la carga eléctrica del capacitor. a) 40 µC
b) 42 µC
126.En la Fig.80, se muestra como se construye un capacitor comercial. Este capacitor parti cular se enrolla a partir de dos tiras de aluminio separadas por dos tiras de papel cubierto de parafina. Cada tira de lámina y de papel mide a=7 cm de ancho. La lámina tiene un es pesor de s=0,004 mm; el papel tiene un espesor de p=0,025 mm y una constante dieléc
572 Condensadores trica de κ=3,7. ¿Qué longitud deben tener las tiras si se desea una capacitancia de C=9,5•10-8 F? (k=9•109 N•m2/C2, κ=3,7) a) 1,04 m
b) 1,14 m
c) 1,24 m
d) 1,34 m
e) 1,44 m
127.En la Fig.81, el cascarón esférico conductor tiene radios interno "a" y externo "c" . El es pacio entre las dos superficies de llena con un dieléctrico, cuya constante dieléctrica es: " κ1 " para a ≤ r ≤ b y " κ 2 " para b ≤ r ≤ c. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12) I) Hallar una expresión para la capacitancia de este sistema. II) Evaluar la capacitancia obtenida, para: a=10 cm, b=20 cm, c=14 cm, κ1=2, y κ2=3. a) 12 pF
b) 22 pF
c) 32 pF
d) 42 pF
e) 52 pF
Hoja de metal c b -Q
+Q a κ1 κ2
Papel
Fig.80
Fig.81
128.Un capacitor de placas planas paralelas en aire tiene una separación de placas de d=1,5 cm y un área de placas de A=25 cm2. Las placas están cargadas a una diferencia de poten cial de ∆V=250 V y se encuentran desconectadas de la fuente. Después se sumerge el ca pacitor en agua destilada. (k=9•109 N•m2/C2, κ=80) I) Hallar la carga eléctrica en las placas del capacito antes y después de la inmersión. a) 360 pC
b) 362 pC
c) 364 pC
d) 366 pC
e) 368 pC
d) 116 pF
e) 118 pF
II) Hallar la capacitancia del capacitor después de la inmersión. a) 110 pF
b) 112 pF
c) 114 pF
III) Hallar la diferencia de potencial entre las placas del capacitor después de la inmersión. a) 3,12 V
b) 3,32 V
c) 3,52 V
d) 3,72 V
e) 3,92 V
IV) Hallar el cambio que experimenta la energía eléctrica almacenada en el capacitor. a) 41,5 nJ
b) 42,5 nJ
c) 43,5 nJ
d) 44,5 nJ
e) 45,5 nJ
129.Una oblea de dióxido de titanio (κ=173) tiene un área de A=1 cm2 y un espesor de d=0,1 mm. Se evapora aluminio sobre las caras paralelas para formar un capacitor de placas pa
573
Física III 9
2
2
ralelas. (k=9•10 N•m /C ) I) Hallar la capacitancia de este capacitor. a) 1,13 nF
b) 1,33 nF
c) 1,53 nF
d) 1,73 nF
e) 1,93 nF
II) Cuando el capacitor se carga con una batería de 12 V, ¿Cuál es la magnitud de la carga en tregada a cada placa? a) 15,4 nC
b) 16,4 nC
c) 17,4 nC
d) 18,4 nC
e) 19,4 nC
III) Para la situación de la parte II), ¿Cuál es la densidad de carga superficial libre? a) 180 µ
C m2
b) 182 µ
C m2
c) 184 µ
C m2
d) 186 µ
C m2
e) 188 µ
C m2
IV) Para la situación de la parte II), ¿Cuál es la densidad de carga superficial inducida? a) 181 µ
C m2
b) 183 µ
C m2
c) 185 µ
C m2
d) 187 µ
C m2
e) 189 µ
C m2
V) ¿Cuál es la magnitud E del campo eléctrico? a) 690 V/m
b) 692 V/m
c) 694 V/m
d) 696 V/m
e) 698 V/m
130.Un pequeño objeto rígido porta cargas positiva y negativa de Q=±3,5 nC. Esta orientado de modo que la carga positiva esta en el punto (-1,20 mm; 1,10 mm) y la carga negativa está en el punto (1,40 mm; -1,30 mm). I) Hallar la magnitud del momento de dipolo eléctrico del objeto, si este se coloca en un campo eléctrico, E = (7 800 ˆi − 4 900 ˆj) N/C. (p=10-12, n=10-9, µ=10-6) a) 12,4 pm.C
b) 22,4 pm.C
c) 32,4 pm.C
d) 42,4 pm.C
e) 52,4 pm.C
II) Hallar el momento de torsión que actúa sobre el objeto. a) -11 nN.m kˆ
b) +11 nN.m kˆ
c) -21 nN.m kˆ
d) +21 nN.m kˆ e) 31 N.m kˆ
III) Hallar la energía potencial del objeto en esta orientación. a) 110 nJ
b) 112 nJ
c) 114 nJ
d) 116 nJ
e) 118 nJ
IV) Si la orientación del objeto puede cambiar, encuentre la diferencia entre sus energías po tenciales máxima y mínima. a) 220 nJ
b) 222 nJ
c) 224 nJ
d) 226 nJ
e) 228 nJ
131.Con su famosa relación E=m.c2, Einstein dijo que la energía está asociada a la masa. Cal cule el radio de un electrón, suponiendo que su carga está distribuida de manera uniforme sobre la superficie de una esfera de radio "R " y que la masa-energía del electrón es igual a la energía total almacenada en el campo eléctrico diferente de cero que resulta entre R y
574 Condensadores el infinito. El campo eléctrico cerca del electrón debe ser descrito por la electrodinámica cuántica en lugar de la electrodinámica clásica que aquí se estudia. (e=-1,6•10-19 C, m= 9,1•10-31 kg, k=9•109 N•m2/C2, c=3•108 m/s, f=10-15) a) 1,4 fm
b) 3,4 fm
c) 5,4 fm
d) 7,4 fm
e) 9,4 fm
132.Un detector de radiación conocido como contador Geiger-Muller se compone de un cilin dro conductor hueco y cerrado con un alambre delgado a lo largo de su eje. Suponga que el diámetro interno del cilindro es de D=2,5 cm y que el alambre a lo largo del eje tiene un diámetro d=0,2 mm. Si la resistencia dieléctrica del gas entre el alambre central y el ci lindro es de 1,2•106 V/m, calcule el voltaje máximo que puede aplicarse entre el alambre y el cilindro antes de que la ruptura dieléctrica ocurra en el gas. a) 571 V
b) 573 V
c) 575 V
d) 577 V
e) 579 V
133.Un pequeño objeto con momento de dipolo eléctrico p se coloca en un campo eléctrico no uniforme E =E(x) ˆi . Es decir, el campo está en la dirección del eje-x y su magnitud depende de la coordenada "x" . Sea "θ" la representación del ángulo entre el momento de dipolo y la dirección del eje-x. (k=9•109 N•m2/C2, M=106) I) Demostrar que la fuerza resultante sobre el dipolo eléctrico es: F = p (dE / dx)cos θ ˆi . II) Considere el campo creado por un globo esférico centrado en el origen. El globo tiene un radio de R=15 cm y porta una carga de q=2 µC. Evalué dE/dx en el punto (16 cm; 0). a) -8,48 MN/m.C b) +8,48 MN/m.C c) -8,78 MN/m.C d) +8,78 MN/m.C e) -8,82 MN/m.C III) Suponga que una gota de agua en este punto tiene un momento de dipolo inducido igual a p = 6,3iˆ nC•m. Encuentre la fuerza sobre ella. a) -53,3 ˆi m•N
b) +53,3 ˆi m•N d) +53,3 ˆi m•N
c) -55,3 ˆi m•N e) -57,3 ˆi m•N
134.En la Fig.82, cada capacitor en la combinación mostrada tiene un voltaje de ruptura de 15 V, C1=C2=20 µF, C3=10 µF, C4=C5=20 µF, ¿Cuál es el voltaje de ruptura de la combi nación? a) 20,5 V
b) 22,5 V
c) 24,5 V
d) 26,5 V
e) 28,5 V
135.En la Fig.83, para el sistema de capacitores mostrado, C1=3 µF, C2=6 µF, C3=2 µF, C4=4 µF y ∆V=90 voltios, hallar: I) La capacitancia equivalente del sistema de cuatro capacitores. a) 3,13 µF
b) 3,33 µF
c) 3,53 µF
d) 3,73 µF
e) 3,93 µF
II) El valor de la expresión: K= (V1+V2)/(V3-V4) siendo V1, V2, V3 y V4 los voltajes en cada uno de los cuatro capacitores.
575
Física III a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
III) El valor de la expresión S= (Q1+Q3)/(Q2-Q4), siendo Q1, Q2, Q3 y Q4 las cargas de las placas de cada uno de los cuatro capacitores. a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
IV) La energía eléctrica almacenada en el sistema de cuatro capacitores. a) 13,09 mJ
b) 13,29 mJ
c) 13,49 mJ
d) 13,69 mJ
e) 13,89 mJ
V) ¿Qué porcentaje de la energía total representa la energía almacenada en el capacitor C1? a) 25 %
b) 30 %
c) 35 %
e) 45 %
C1
C2
C3
C4
C4
C1 C3
A
d) 40 %
C2
B
C5
∆V
Fig.82
Fig.83
136.Se tiene dos alambres paralelos muy largos de cargas opuestas, de radios de sección "d" , cuyos ejes están separados por una distancia "D" . Suponiendo que la carga se distribuye uniformemente sobre la superficie de cada alambre. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12) I) Hallar la capacitancia por unidad de longitud de este par de alambres. II) Evaluar la capacitancia por unidad de longitud, para: d=1 cm, D=10 cm. a) 12,6 pF/m
b) 22,6 pF/m
c) 32,6 pF/m
d) 42,6 pF/m
e) 52,6 pF/m
137.Un capacitor de placas paralelas de C=2 nF está cargado a una diferencia de potencial ini cial de ∆Vo=100 V y luego se aísla. El material entre las placas es mica de constante die léctrica κ=5. (k=9•109 N•m2/C2, n=10-9, µ=10-6) I) ¿Qué trabajo se requiere para retirar la mica de las placas del capacitor? a) 30 µJ
b) 35 µJ
c) 40 µJ
d) 45 µJ
e) 50 µJ
II) ¿Cuál es la diferencia de potencial del capacitor después de retirado la mica? a) 300 V
b) 350 V
c) 400 V
d) 450 V
e) 500 V
138.Se construye un capacitor de placas paralelas usando un material dieléctrico cuya cons tante dieléctrica es κ=3 y cuya resistencia dieléctrica es Emax=2.108 V/m. La capacitancia
576 Condensadores deseada es igual a C=0,250 µF, y el capacitor debe soportar una diferencia de potencial máxima de ∆Vmax=4 000 V. Hallar el área mínima de las placas del capacitor. a) 1 800 cm2
b) 1 820 cm2
c) 1 840 cm2
d) 1 860 cm2
e) 1880 cm2
139.Cuando cierto capacitor de placas paralelas lleno de aire se conecta a una batería, adquie re una carga (en cada placa) de "q o " . Mientras se mantiene la conexión con la batería, se inserta una lámina dieléctrica y se llena la región entre las placas. Esto origina una acumu lación de una carga adicional "q" en cada placa. ¿Cuál es la constante dieléctrica de la lá mina? a) 1-q/qo
b) 1+q/qo
c) 1-qo/q
d) 1+qo/q
e) q/qo-1
140.En la Fig.84, se muestra un capacitor de placas paralelas de área "A" separados por una distancia "d", y lleno de tres dieléctricos diferentes de constantes " κ1 " , " κ 2 " , " κ3 " . I) Hallar una expresión para la capacitancia de este capacitor, asumiendo que l>>d. II) Evaluar la capacitancia para: A=1 cm2, d=2 mm, κ1=4,9, κ2=5,6 y κ3=2,1. a) 1,16 pF
b) 1,36 pF
c) 1,56 pF
d) 1,76 pF
e) 1,96 pF
141.En la Fig.85, la placa conductora de espesor "d" y área "A" se introduce en el espacio en tre las placas del capacitor de placas paralelas separadas por una distancia "s" y de área superficial "A" . La placa no necesariamente está a la mitad entre las placas del capacitor. Hallar la capacitancia de este sistema. a) εoA/(s-2d)
b) εoA/(s+2d)
c) εoA/(2s-d)
d) εoA/(s+d) A
l κ2 d
e) εoA/(s-d)
κ1
d/2 s
d
κ3 l/2
Fig.84
Fig.85
142.En la Fig.86, las esferas tienen radios "a" y "b" y sus centros están a una distancia "d". I) Hallar una expresión aproximada para la capacitancia de este sistema, asumiendo que "d" es mayor que "a" y "b". (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12) II) Evaluar la capacitancia obtenida para: a=20 cm, b=10 cm y d=40 cm. a) 11,1 pF
b) 31,1 pF
c) 51,1 pF
d) 71,1 pF
e) 91,1 pF
143.En la Fig.87, las placas cuadradas del capacitor tienen lados " ℓ " y están separadas una
577 distancia "d" . Un material de constante dieléctrica " κ " se inserta una distancia "x" den tro del capacitor. Hallar: (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12, µ=10-6, m=10-3) I) La capacitancia equivalente de este dispositivo para: l=10 cm, x=4 cm, d=8 mm, κ=5.
Física III
a) 28,7 pF
b) 38,7 pF
c) 48,7 pF
d) 58,7 pF
e) 68,7 pF
II) La energía almacenada en el capacitor para: l=10 cm, x=4 cm, d=8 mm, κ=5, ∆V=1000 V a) 14,37 µJ
b) 34,37 µJ
c) 54,37 µJ
d) 74,37 µJ
e) 94,37 µJ
III) El vector fuerza ejercida sobre el dieléctrico, suponiendo una diferencia de potencial cons tante " ∆V" , desprecie la fricción por ser muy pequeña. IV) Evaluar la magnitud de la fuerza, para: l=5 cm, ∆V=2 000 voltios, d=2 mm, y κ=4,5. a) 1,55 mN
b) 3,55 mN
c) 5,55 mN
d) 7,55 mN
e) 9,55 mN
l
a
b
•
k
•
d d
l ∆V
x R.SABRERA
Fig.86
Fig.87
144.En la Fig.87, las placas cuadradas del capacitor tienen lados " ℓ " y están separadas una distancia "d" (d>>l). Las placas tienen cargas +Qo y –Qo. Un bloque de metal tiene un ancho " ℓ " , un largo " ℓ " y un espesor ligeramente menor a "d". Este se inserta una distan cia "x" en el capacitor. Las cargas sobre las placas no son perturbadas conforme el blo que se desliza. En una situación estática, un metal previene que un campo eléctrico lo pe netre. El metal puede ser considerado como un dieléctrico perfecto, con κ→∞. I) Hallar la energía almacenada en función de la distancia "x" . II) Hallar la dirección y magnitud de la fuerza que actúa sobre el bloque metálico. III) El área de la cara frontal del bloque que ingresa en primer lugar es, en esencia, igual a l.d. Considerando que la fuerza sobre el bloque actúa sobre esta cara, encuentre el esfuerzo (fuerza por área) sobre ella. IV) Para comparación, exprese la densidad de energía en el campo eléctrico entre las placas del capacitor en términos de "Qo " , " ℓ " , "d" y " εo " . 145.Cuando se considera el suministro de energía para un automóvil, la energía por unidad de masa de la fuente de energía es un parámetro importante. Utilizando los siguientes da tos compare la energía por unidad de masa (J/kg) para la gasolina, baterías de plomo-áci do y capacitores. (para la gasolina: 126 000 Btu/gal, ρ=670 kg/m3, Batería plomo ácido: 12 V, 100 A.h, m=16 kg, capacitor: ∆Vmax=12 V, C=0,1 F, M=0,1 kg)
578
Condensadores
146.Un capacitor aislado de capacitancia desconocida se ha cargado hasta una diferencia de potencial de ∆Vo=100 V. Cuando el capacitor cargado se conecta después en paralelo a un capacitor de C=10 µF descargado, el voltaje a través de la combinación es igual a ∆V=30 V. Hallar la capacitancia desconocida. (µ=10-6) a) 3,29 µF
b) 4,29 µF
c) 5,29 µF
d) 6,29 µF
e) 7,29 µF
147.Cierto circuito electrónico necesita un capacitor con 1,2 pF de capacitancia y un poten cial de ruptura de 1 000 voltios. Si se tiene una alimentación de capacitores de 6 pF, cada uno con un potencial de ruptura de 200 voltios, ¿Cómo se puede satisfacer este requerimi ento del circuito? (µ=10-6) a) 1,0 µF
b) 1,2 µF
c) 1,4 µF
d) 1,6 µF
e) µF
148.Es posible obtener grandes diferencias de potencial cargando primero un grupo de capaci tores conectados en paralelo y activando después un arreglo de interruptores que en efecto desconecten los capacitores de la fuente de carga y unos de otros, y que los reconecte en un arreglo en serie. ¿Cuál es la diferencia de potencial máxima que puede obtenerse de es ta manera utilizando diez capacitores cada uno de 500 µF y una fuente de carga de 800 V? a) 5 kV
b) 6 kV
c) 7 kV
d) 8 kV
e) 9 kV
149.Un capacitor de placas paralelas con separación de placas "d" y constante dieléctrica " κ " se introduce entre las placas mientras la batería permanece conectada a éstas. I) Demostrar que la proporción entre la energía almacenada después de que el dieléctrico se introduce y la energía almacenada en el capacitor vació es W/Wo=κ. Proporcione una ex plicación física para este aumento en la energía almacenada. II) ¿Qué sucede con la carga en el capacitor? 150.En la Fig.88, el capacitor de placas paralelas con placas de área "A" y distancia de sepa ración entre las placas "d" tiene la región entre estas llena con dos materiales dieléctricos. Suponga que d>>l y que d>>b. I) Hallar la capacitancia de este capacitor, para: κ1=4, κ2=3, W=20 cm, l=25 cm, d=8 mm. a) 190,7 pF
b) 192,7 pF
c) 194,7 pF
d) 196,7 pF
e) 198,7 pF
II) Demostrar que cuando κ1=κ2=4κ, el resultado se reduce al de un capacitor que contiene un solo dieléctrico, de capacitancia C=κεoA/d, y evaluar. a) 221 pF
b) 223 pF
c) 225 pF
d) 227 pF
e) 229 pF
151.En la Fig.89, en la combinación de capacitores se aplica una diferencia de potencial ∆V, y C1 se ajusta de modo que el voltímetro entre los puntos "b" y "d" lea cero. Este balance ocurre cuando C1=4 µF. Si C3=9 µF y C4=12 µF, hallar el valor de C2. a) 1 µF
b) 2 µF
c) 3 µF
d) 4 µF
e) 5 µF
579
Física III
152.Los capacitores C1=6 µF y C2=2 µF están cargados como una combinación en paralelo conectada a una batería de 250 voltios. Los capacitores se desconectan de la batería entre si. Luego se conectan la placa positiva a la placa negativa y la placa negativa a la placa positiva. Hallar la carga resultante en cada capacitor. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5 •a
C1
C4
d
∆V
κ1
d
b
V
κ2
C3 b
C2 •
l
Fig.88
c
Fig.89
153.El conductor interior de un cable coaxial tiene un radio de a=0,8 mm y el radio interior del conductor exterior es igual a b=3 mm. El espacio entre los conductores se llena con po lietileno, de constante dieléctrica κ=2,3 y una resistencia dieléctrica de Emax=18•106 V/m, ¿Cuál es la diferencia de potencial máxima que este cable puede soportar? a) 15 kV
b) 16 kV
c) 17 kV
d) 18 kV
e) 19 kV
154.Se tiene un cable coaxial de cobre de radios interno "a" , externo "b" y longitud " ℓ " . I) Demostrar que para un radio "b" fijo, la máxima capacidad de diferencia de potencial se alcanza cuando el radio del conductor interno es a=b/e. II) Hallar el valor de "a" para b=10 cm, y "e" la base de los logaritmos naturales. a) 3,08 cm
b) 3,28 cm
c) 3,48 cm
d) 3,68 cm
e) 3,98 cm
155.En la Fig.90, se tienen dos capacitores C1=8 µF y C2=4 µF cargados a la misma diferen cia de potencial inicial ∆Vo=60 V. Pero con polaridad opuesta. Los capacitores cargados se separan de la batería y sus placas se conectan como se indica. Los interruptores S1 y S2 se cierran después. Hallar: (m=10-3) I) La diferencia de potencial final entre "a" y "b" después de cerrarse los interruptores. a) 10 V
b) 15 V
c) 20 V
d) 25 V
e) 30 V
II) La energía total almacenada en los capacitores antes de cerrarse los interruptores. a) 21,6 mJ
b) 23,6 mJ
c) 25,6 mJ
d) 27,6 mJ
e) 29,6 mJ
III) La energía total almacenada en los capacitores después de cerrarse los interruptores.
580
Condensadores
a) 2,0 mJ
b) 2,2 mJ
c) 2,4 mJ
d) 2,6 mJ
e) 2,8 mJ
IV) El cambio porcentual que experimenta la energía almacenada en los capacitores, cuando se cierran los interruptores S1 y S2. a) 88,08 %
b) 88,28 %
c) 88,48 %
d) 88,68 %
e) 88,88 %
156.En la Fig.91, hallar la capacitancia equivalente entre los puntos "a" y "b" , para la confi guración de capacitores: C1=4 µF, C2=2 µF, C3=8 µF, C4=2 µF y C5=4 µF. (µ=10-6) a) 2,0 µF
b) 2,5 µF
c) 3,0 µF
Q1, C1
a
a
d) 3,5 µF
e) 4,0 µF
C1
b S1
C2
S2
C3
C5
C4
Q2, C2
b
R.SABRERA
Fig.90
Fig.91
157.En la Fig.92, el capacitor de placas paralelas vertical está lleno hasta la mitad con un die léctrico de constante dieléctrica κ=2. Cuando este capacitor se pone horizontalmente, ¿Qué fracción de éste debe llenarse con el mismo dieléctrico, de modo que los dos capaci tores tengan igual capacitancia? a) 1/3
b) 2/3
c) 3/4
d) ½
e) 4/5
+Q -Q
κ
κ
Fig.92
k
a b
Fig.93
158.En la Fig.93, la placa "a" del capacitor de placas paralelas lleno de aire está conectada al resorte de constante elástica k=200 N/m y la placa "b"está fija. Ambas descansan sobre la parte superior de una mesa. Si las placas "a" y "b" de áreas A=4 cm2 tienen cargas Q=+8
581 nC y Q=-8 nC, respectivamente. Hallar la deformación que experimenta la longitud del re sorte. (k=9•109 N•m2/C2, µ=10-6, n=10-9)
Física III
a) 41,2 µm
b) 43,2 µm
c) 45,2 µm
d) 47,2 µm
e) 49,2 µm
159.Se tiene un capacitor de C=4,6 µF, inicialmente descargado, se conecta en serie con un resistor de R=7,5 kΩ y una fuente de f.e.m de ξ=125 V y resistencia interna despreciable. Instantes después que el circuito se cierra, hallar: I) La caída de tensión a través del capacitor. II) La caída de tensión en el resistor. III) La carga eléctrica en las placas del capacitor. IV) Luego, de transcurrido mucho tiempo de cerrado el circuito, hallar los incisos a) y d). 160.Un capacitor se carga a una diferencia de potencial de ∆V=12 V y luego se conecta a un voltímetro de resistencia interna r=3,4 MΩ. Después de un tiempo de t=4 s, el voltímetro da una lectura de 3 V. (M=106, n=10-9) I) Hallar la capacitancia. a) 449 nF
b) 549 nF
c) 649 nF
d) 749 nF
e) 849 nF
c) 2,49 s
d) 2,69 s
e) 2,89 s
II) La constante de tiempo del circuito. a) 2,09 s
b) 2,29 s
161.Un capacitor de C=12,4 µF se conecta a través de un resistor de R=0,895 MΩ a una dife rencia de potencial constante de ∆V=60 voltios. Hallar: I) El valor de la expresión k=q(10)q(20)/q(5)q(100) siendo "q" la carga en las placas del ca pacitor en los instantes de tiempo de 5 s, 10 s, 20 s y 100 s, respectivamente. a) 1,17
b) 1,37
c) 1,57
d) 1,77
e) 1,97
II) El valor de la expresión E=i(5)+i(100)/[i(10)+i(20)], siendo "i" la intensidad de corriente en el circuito en los instantes de tiempo de 5 s, 10 s, 20 s y 100 s, respectivamente. a) 1,06
b) 1,26
c) 1,46
d) 1,66
e) 1,86
162.En la Fig.94, en el circuito eléctrico los dos capacitores de C1=15 µF, C2=20 µF, están cargados inicialmente a ∆V =45 voltios, los valores de las resistencias son: R1=30 Ω, y R2 =50 Ω, respectivamente. (m=10-3) I) ¿Después de transcurrido qué tiempo de cerrado la llave S el potencial a través de cada capacitor se reducirá a 10 voltios? a) 3,21 ms
b) 4,21 ms
c) 5,21 ms
d) 6,21 ms
e) 7,21 ms
II) Para el instante en el que la diferencia de potencial en el capacitor es 10 voltios, ¿Cuál es el valor de la intensidad de corriente? a) 100 mA
b) 125 mA
c) 150 mA
d) 175 mA
e) 200 mA
582 Condensadores 163.En la Fig.95, en el circuito eléctrico los capacitores C1=10 pF, C2=20 pF, C3=15 pF ini cialmente tiene una carga de magnitud Qo=3,5 nC en sus placas. El valor de la resistencia es R=25 Ω. Después de cerrado el circuito, ¿Cuál será la intensidad de corriente eléctrica en el circuito, para el instante en que los capacitores hayan perdido el 80 % de su energía al macenada inicialmente. a) 10,6 A
b) 11,6 A
c) 12,6 A
d) 13,6 A
S
C1
•
C1
C2
e) 14,6 A
S •
C2
R2
R1
R
C3
Fig.94
Fig.95
164.Un resistor y un capacitor se conectan en serie con una fuente de f.e.m. La constante de tiempo para el circuito es τ=0,870 s. I) Se añade en serie un segundo capacitor, idéntico al primero, ¿Cuál es la nueva constante de tiempo para este circuito? a) 0,415 s
b) 0,435 s
c) 0,455 s
d) 0,475 s
e) 0,495 s
II) En el circuito original, un segundo capacitor, idéntico al primero, se conecta en paralelo con el primer capacitor, ¿Cuál es la nueva constante de tiempo para este nuevo circuito? a) 1,14 s
b) 1,34 s
c) 1,54 s
d) 1,74 s
e) 1,94 s
III) ¿En que porcentaje cambia la constante de tiempo, cuando se pasa de la conexión en serie a la conexión en paralelo de los capacitores idénticos? a) 100 %
b) 150 %
c) 200 %
d) 250 %
e) 300 %
165.Están conectados en serie una fuente de f.e.m con ξ=120 voltios, un resistor con R=80 Ω y un capacitor con C=4 µF. A medida que el capacitor se carga, cuando la corriente en el resistor es de I=0,9 A, ¿Cuál es la magnitud de la carga en cada placa del capacitor? a) 190 µC
b) 192 µC
c) 194 µC
d) 196 µC
e) 198 µC
166.Un capacitor de C=1,5 µF se carga a través de un resistor de R=12 Ω mediante una bate ría de ξ=10 voltios, ¿Cuál será la corriente cuando el capacitor adquiere 1/4 de su carga máxima? ¿Será la intensidad de la corriente 1/4 de la corriente máxima? (m=10-3) a) 600 mA
b) 625 mA
c) 650 mA
d) 675 mA
e) 700 mA
583 167. Se carga un capacitor de C=12 µF a un potencial de ∆V=50 voltios, y luego se descarga a través de un resistor de R=175 Ω, ¿Cuánto tiempo se requiere para que el capacitor pierda I) La mitad de su carga final. (m=10-3)
Física III
a) 1,06 ms
b) 1,26 ms
c) 1,46 ms
d) 1,66 ms
e) 1,86 ms
c) 0,748 s
d) 0,768 ms
e) 0,788 ms
II) La mitad de su energía almacenada. a) 0,708 ms
b) 0,728 ms
168.En la Fig.96, en el circuito todos los capacitores están descargados al inicio, la batería no tiene resistencia interna y el amperímetro es ideal. Calcular la lectura del amperímetro. I) Inmediatamente después de haberse cerrado la llave S. a) 0,917 A
b) 0,937 A
c) 0,957 A
d) 0,977 A
e) 0,997 A
d) 0,666 A
e) 0,686 A
II) Después de mucho tiempo de cerrado la llave S. a) 0,606 A
b) 0,626 A
c) 0,646 A
R1 S
R2 C1
100V S
C2 R3
•
1
R4
C3
C
•2
ξ
R5
A R3
Fig.94
R R.SABRERA
Fig.97
169.En la Fig.97, en el circuito C=5,9 µF, ξ=28 voltios y la f.e.m tiene una resistencia despre ciable. Inicialmente, el capacitor está descargado y el interruptor S está en la posición 1. Luego, el interruptor se mueve a la posición 2, por lo que, el capacitor comienza a cargar se. (m=10-3, µ=10-6) I) ¿Cuál será la carga del capacitor después de mucho tiempo que el interruptor se movió a la posición 2? a) 105 µC
b) 125 µC
c) 145 µC
d) 165 µC
e) 185 µC
II) Después de haber movido el interruptor a la posición 2 durante 3 ms se mide la carga en el capacitor y resulta ser de 110 µC, ¿Cuál es el valor de la resistencia R? a) 403 Ω
b) 423 Ω
c) 443 Ω
d) 463 Ω
e) 483 Ω
III) ¿Cuánto tiempo después de haber movido el interruptor a la posición 2, la carga en el ca pacitor será igual al 99 % del valor final calculado en I).
584 a) 10,58 ms
Condensadores b) 12,58 ms
c) 14,58 ms
d) 16,58 ms
e) 18,58 ms
170.En la Fig.97, el capacitor de C=15 µF se conecta con el resistor de R=980 Ω y una fuente de f.e.m de ξ=18 V y resistencia interna despreciable. Inicialmente el capacitor está des cargado y el interruptor S se encuentra en la posición 1. Luego, el interruptor se mueve a la posición 2, por lo que el capacitor comienza a descargarse. Después de que el interrup tor ha estado en la posición 2 durante 10 ms, el interruptor se lleva de nuevo a la posición 1, iniciándose el proceso de descarga. (m=10-3) I) Hallar la carga en el capacitor justo antes de que el interruptor se lleve de la posición 2 a la posición 1. a) 133 µC
b) 233 µC
c) 333 µC
d) 433 µC
e) 533 µC
II) Hallar la caída de voltaje VC a través del capacitor para el instante descrito en I). a) 8,07 V
b) 8,27 V
c) 8,47 V
d) 8,67 V
e) 8,87 V
III) Hallar la caída de voltaje VR a través del resistor para el instante descrito en I). a) 9,13 V
b) 9,33 V
c) 9,53 V
d) 9,73 V
e) 9,93 V
IV) Hallar la caída de voltaje VR a través del resistor justo después de que el interruptor se lle ve de la posición 2 a la 1. a) 8,07 V
b) 8,27 V
c) 8,47 V
d) 8,67 V
e) 8,87 V
V) Hallar la caída de voltaje VR a través del resistor justo después de que el interruptor se lle ve de la posición 2 a la 1. a) 8,07 V
b) 8,27 V
c) 8,47 V
d) 8,67 V
e) 8,87 V
VI) Hallar la carga en el capacitor 10 ms después de haber llevado el interruptor de la posi ción 2 de regreso a la 1. a) 61,4 µC
b) 63,4 µC
c) 65,4 µC
d) 67,4 µC
e) 69,4 µC
171.En la Fig.98, el capacitor de C=4 µF está inicialmente descargado. El interruptor se cie rra en t=0. Sabiendo que: R1=8 Ω, R2=6 Ω, R3=3 Ω, y ξ=42 V. Inmediatamente después de cerrado el interruptor S. I) ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de la resistencia de 8 Ω? a) 4,0 A
b) 4,2 A
c) 4,4 A
d) 4,6 A
e) 4,8 A
II) ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de la resistencia de 6 Ω? a) 1,0 A
b) 2,0 A
c) 3,0 A
d) 4,0 A
III) ¿Cuál es la intensidad de corriente a través de la resistencia de 3 Ω?
e) 5,0 A
585
Física III a) 1,0 A
b) 2,0 A
c) 3,0 A
d) 4,0 A
e) 5,0 A
c) 62 µC
d) 72 µC
e) 82 µC
IV) ¿Cuál es la carga final del capacitor? a) 42 µC
b) 52 µC
172.En la Fig.99, en el circuito eléctrico, Va=18 V, R1=3 Ω, R2=6 Ω C1=6 µF, C2=3 µF. I) ¿Cuál es el potencial del punto m respecto de n cuando el interruptor S está abierto? a) 15 V
b) 16 V
c) 17 V
d) 18 V
e) 19 V
II) ¿Cuál punto el m o n está a mayor potencial eléctrico? III) ¿Cuál es el potencial del punto n con respecto a tierra cuando el interruptor S cerrado? a) 4,0 V
b) 4,5 V
c) 5,0 V
d) 5,5 V
e) 6,0 V
IV) ¿Cuánto cambia la carga en cada capacitor cuando S está cerrado? a) 30 µC
b) 32 µC
c) 34 µC
d) 36 µC
e) 38 µC
a R1
R1 ξ
R2
m
R3
C1
S •
C2
C
Fig.98
n R2
Fig.99
173.Un capacitor de C=2,36 µF inicialmente descargado se conecta en serie con un resistor de R=4,26 Ω y una fuente de f.e.m de ξ=120 V y resistencia interna despreciable. I) ¿Cuál es la tasa a la que disipa la energía eléctrica el resistor? Inmediatamente después de realizado la conexión. a) 3320 W
b) 3340 V
c) 3360 W
d) 3380 W
e) 3400 W
II) ¿Cuál es la tasa a la que la energía eléctrica almacenada en el capacitor se incrementa? In mediatamente después de realizado la conexión. a) 0
b) 100 W
c) 500 W
d) 1000 W
e) 1200 W
III) ¿Cuál es la tasa a la que disipa la energía eléctrica el resistor? Para el instante en que la carga en el capacitor es la mitad de su carga final. a) 815,1 W
b) 825,1 W
c) 835,1 W
d) 845,1 W
e) 855,1 W
586 Condensadores III) ¿Cuál es la tasa a la que la energía eléctrica almacenada en el capacitor se incrementa? Para el instante en que la carga en el capacitor es la mitad de su carga final. a) 815,4 W
b) 825,4 W
c) 835,4 W
d) 845,4 W
e) 855,4 W
174.Un capacitor que inicialmente está descargado se conecta en serie con un resistor y una fuente de f.e.m de ξ=110 V y resistencia interna despreciable. Inmediatamente después de cerrado el circuito la intensidad de corriente es I=6,5•10-5 A. La constante de tiempo para el circuito es de τ=6,2 s. (M=106, µ=10-6) I) Hallar el valor de la resistencia del resistor. a) 1,7 MΩ
b) 3,7 MΩ
c) 5,7 MΩ
d) 7,7 MΩ
e) 9,7 MΩ
d) 7,6 µF
e) 9,6 µF
II) Hallar el valor de la capacitancia del capacitor. a) 1,6 µF
b) 3,6 µF
c) 5,6 µF
175.Un resistor de R=850 Ω está conectado a las placas de un capacitor cargado con capaci tancia C=4,62 µF. Justo antes de hacer la conexión, la carga en el capacitor es de Q=8,1 mC. (m=10-3) I) ¿Cuál es la energía almacenada inicialmente en el capacitor? a) 7,1 J
b) 7,3 J
c) 7,5 J
d) 7,7 J
e) 7,9 J
II) ¿Cuál es la potencia eléctrica disipada en el resistor justo después de hacer la conexión? a) 3616 W
b) 3636 W
c) 3656 W
d) 3676 W
e) 3696 W
III) ¿Cuánta energía eléctrica se disipa en el resistor en el instante en que la energía almacena da en el capacitor ha disminuido a la mitad del valor calculado en I). a) 1808 W
b) 1828 W
c) 1848 W
d) 1868 W
e) 1888 W
176.Un capacitor de placas paralelas tiene placas circulares de radio R=8 cm y distancia de se paración d=1,2 mm. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12, n=10-9) I) Hallar la capacitancia de este capacitor. a) 118 pF
b) 128 pF
c) 148 pF
d) 158 pF
e) 168 pF
II) ¿Qué carga aparecerá en las placas si se aplica una diferencia de potencial de ∆V=100 V? a) 10,8 nC
b) 12,8 nC
c) 14,8 nC
d) 16,8 nC
e) 18,8 nC
177.La placa y el cátodo de un diodo de tubo al vació tienen la forma de dos cilindros concén tricos, siendo el cátodo el cilindro central. El diámetro del cátodo es de d=1,6 mm y el de la placa es de D=18,4 mm, teniendo ambos elementos una longitud de l=2,4 cm. Hallar la capacitancia del diodo. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12) a) 0,15 pC
b) 0,35 pC
c) 0,55 pC
d) 0,75 pC
e) 0,95 pC
587 178.Dos láminas de hoja de aluminio tienen una separación de d=1,20 mm, una capacitancia de C=9 pF, y están cargadas a ξ=13 V. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12) I) Calcular el área de la placa del capacitor.
Física III
a) 10,2 cm2
b) 11,2 cm2
c) 12,2 cm2
d) 13,2 cm2
e) 14,2 cm2
II) La separación disminuye ahora en 0,10 mm manteniéndose la carga constante. Determi nar la nueva capacitancia. a) 9,0 pF
b) 9,2 pF
c) 9,4 pF
d) 9,6 pF
e) 9,8 pF
d) +1,3 V
e) -1,5 V
III) ¿En cuanto cambia la diferencia de potencial? a) -1,1 V
b) +1,1 V
c) -1,3 V
179.Las placas de un capacitor esférico tienen radios interno a=38 mm y externo b=40 mm. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12) I) Calcular la capacitancia de este capacitor esférico. a) 54,4 pF
b) 64,4 pF
c) 74,4 pF
d) 84,4 pF
e) 94,4 pF
II) ¿Cuál debe ser el área de la placa de un capacitor de placas paralelas con la misma distan cia de separación entre placas y la misma capacitancia? a) 191 cm2
b) 193 cm2
c) 195 cm2
d) 197 cm2
e) 199 cm2
180.Demostrar que la capacitancia de un capacitor esférico de radios interno "a" y externo "b" para (b − a) → 0 se aproxima a la de un capacitor de placas paralelas con d=b-a. 181.¿Cuántos capacitores de carga q=1,0 µF cada una, deben conectarse en paralelo para al macenar una carga de Q=1 C con un potencial de ∆V=110 V entre los capacitores? a) 9010
b) 9030
c) 9050
d) 9070
e) 9090
182.En la Fig.100, un capacitor de placas paralelas con "espaciadores" (E) de plástico para mantener a las placas alienadas va a diseñarse para operar, con una capacitancia constan te, en un medio de temperatura fluctuante. I) Demostrar que la rapidez de cambio de la capacitancia "C" con la temperatura "T" está dada por: dC/dT=C[(1/A)dA/dT- (1/x)dx/dT], siendo "A" el área de la placa y "x" la se paración entre las placas. II) Si las placas son de aluminio, ¿Cuál debe ser el coeficiente de dilatación térmica lineal de los espaciadores a fin de que la capacitancia no varíe con la temperatura? (No considere el efecto que los espaciadores tienen sobre la capacitancia). a) 36µ oC-1
b) 46µ oC-1
c) 56µ oC-1
d) 66µ oC-1
e) 76µ oC-1
183.En la Fig.101, se muestra dos capacitores idénticos de capacitancia "C" en un circuito con dos diodos (ideales) D. Una batería de 100 V se conecta a las terminales de entrada. I) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las terminales de salida? Cuando la batería se co
588 Condensadores necta a la terminal "a" positiva. II) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las terminales de salida? Cuando la batería se co necta a la terminal "b" positiva. x
C
D
a
A
Entrada
C
D
Salida
E
b R.SABRERA
Fig.100
Fig.101
184.Demostrar que la capacitancia de un capacitor cilíndrico de radios interno "a" y externo "b" para (b − a) → 0 se aproxima a la de un capacitor de placas paralelas con d=b-a. 185.Un capacitor de placas paralelas en aire tiene un área de A=42 cm2 y una distancia de se paración de d=1,3 mm se carga a una diferencia de potencial de ∆V=625 V. (k=9•109 N•m2/C2, k=103, µ=10-6, n=10-9, p=10-12) I) Hallar la capacitancia de este capacitor. a) 20,6 pF
b) 22,6 pF
c) 24,6 pF
d) 26,6 pF
e) 28,6 pF
d) 17,9 nC
e) 19,9 nC
d) 5,79 µJ
e) 5,99 µJ
II) Hallar la magnitud de la carga en cada placa. a) 11,9 nC
b) 13,9 nC
c) 15,9 nC
III) Hallar la energía eléctrica almacenada en el capacitor. a) 5,19 µJ
b) 5,39 µJ
c) 5,59 µJ
IV) Hallar la magnitud de la intensidad de campo eléctrico entre las placas. a) 481 kV/m
b) 483 kV/m
c) 485 kV/m
d) 487 kV/m
e) 489 kV/m
d) 1,62 J/m3
e) 1,82 J/m3
V) Hallar la densidad de energía eléctrica entre las placas. a) 1,02 J/m3
b) 1,22 J/m3
c) 1,42 J/m3
186.En la Fig.102, en el circuito eléctrico la batería suministra una f.e.m de ξ=12 V, y los capa citores son: C1=1 µF, C2=2 µF, C3=3 µF y C4=4 µF. I) Hallar el valor de la expresión: M = (Q1+Q4)/(Q2-Q3), siendo "Q1 " , "Q 2 " , "Q3 " y "Q 4 " las cargas de los capacitores, cuando el interruptor S1 se cierra y el S2 esta abierto. a) 3,17
b) 3,37
c) 3,57
d) 3,77
e) 3,97
589
Física III
II) Hallar el valor de la expresión: M= (Q1+Q4)/(Q2-Q3), siendo "Q1 " , "Q 2 " , "Q3 " y "Q 4 " las cargas de los capacitores, cuando los interruptores S1 y S2 se cierran. a) 3,0
b) 3,2
c) 3,4
d) 3,6
e) 3,8
187.En la Fig.103, cada uno de los capacitores sin carga tiene una capacitancia de C=25 µF. Cuando se cierra el interruptor S se establece una diferencia de potencial de ∆V=4200 V. ¿Cuánta carga pasa entonces por el medidor A? (m=10-3) a) 315 mC
b) 335 mC C1
c) 355 mC
d) 375 mC
e) 395 mC
C3 S
•
A
S2 4200V
C2
C
C
C
C4 •
ξ
S1
Fig.102
Fig.103
188.Un banco de 2100 capacitores de capacitancia C=5 µF conectados en paralelo se utiliza para almacenar energía eléctrica. ¿Cuánto cuesta cargar este banco a 55 kV, suponiendo u na tarifa de 3 $/kW•h? a) 11,23 $
b) 12,23 $
c) 13,23 $
d) 14,23 $
e) 15,23 $
189.Un capacitor se carga hasta que su energía almacenada es de 4 J, y luego se retira la bate ría de carga. Entonces se conecta en paralelo un segundo capacitor descargado. I) ¿Cuál es la energía total almacenada en el campo eléctrico, si la carga se distribuye igual mente en las placas del capacitor? a) 1,0 J
b) 1,5 J
c) 2,0 J
d) 2,5 J
e) 3,0 J
II) ¿A dónde se fue el exceso de carga eléctrica?
190.I) Calcule la densidad de energía del campo eléctrico a una distancia "r" de un electrón (suponga que es una partícula) en reposo.(k=9•109 N•m2/C2, e=-1,6•10-19 C, m=9,11•10-31 kg, c=3.108 m/s, f=10-15) II) Ahora, suponga que el electrón no es un punto sino una esfera de radio "R " , sobre su su perficie está distribuida uniformemente la carga de electrones. Determine la energía aso ciada con el campo eléctrico externo en el vació del electrón en función de "R " . III) Si ahora asociamos a esta energía con la masa del electrón, podemos, usando Eo=m.c2, calcular un valor para "R " . IV) Evalué este radio numéricamente; a menudo se le llama el "radio clásico del electrón" .
590 a) 1,4 fm
Condensadores b) 2,4 fm
c) 3,4 fm
d) 4,4 fm
e) 5,4 fm
191.I) Demostrar que las placas de un capacitor de placas paralelas se atraen entre sí con una fuerza de magnitud: F=q2/2εoA, siendo "q" la carga de las placas, y "A" su área. II) Demuestre que la fuerza por unidad de área (el esfuerzo electrostático) que actúa sobre ca da placa del capacitor está dada por: σ=F/A= (1/2)εoE2, siendo "E" la magnitud del cam po eléctrico en el espacio entre las placas. 192.A una burbuja de jabón de radio Ro=2 cm se le suministra lentamente una carga "q". A causa de la repulsión mutua de las cargas superficiales, el radio aumenta ligeramente has ta R=2,02 cm. La presión de aire dentro de la burbuja desciende, a causa de la expansión, a P(Vo/V), siendo P=1,013•105 Pa la presión atmosférica, y "Vo " , "V" los volúmenes i nicial y final. Hallar el valor de la carga eléctrica "q" . (k=9•109 N•m2/C2, µ=10-6) a) 1,18 µC
b) 2,18 µC
c) 3,18 µC
d) 4,18 µC
e) 5,18 µC
193.El potencial de una esfera conductora aislada de radio "R " , a las distancias r1=5 cm y r2=10 cm de su superficie son, V1=300 V y V2=210 V, respectivamente. Hallar la capaci tancia de esta esfera conductora. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12) a) 1,4 pF
b) 3,4 pF
c) 5,4 pF
d) 7,4 pF
e) 9,4 pF
194.Una esferita conductora de diámetro D=2 cm que posee un potencial de V=90 kV se une mediante un conductor con la tierra. ¿Qué cantidad de energía se desprenderá de la esferi ta conductora? (k=9•109 N•m2/C2, M=106, k=103, m=10-3) a) 2,5 mJ
b) 3,0 mJ
c) 3,5 mJ
d) 4,0 mJ
e) 4,5 mJ
195.En la Fig.104, al capacitor de placas paralelas de área A=115 cm2, distancia de separación d=1,24 cm se aplica una diferencia de potencial de Vo=85 V. Entonces, se desconecta la batería, y se ubica entre las placas una lámina dieléctrica de espesor b=0,78 cm, y constan te dieléctrica κ=2,5. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12, k=103) I) Hallar la capacitancia inicial "Co ", antes de insertar la lámina dieléctrica. a) 5,2 pF
b) 6,2 pF
c) 7,2 pF
d) 8,2 pF
e) 9,2 pF
d) 677 pC
e) 697 pC
II) Hallar la carga libre que surge en las placas del capacitor. a) 617 pC
b) 637 pC
c) 657 pC
III) Hallar la magnitud del campo eléctrico "E o " en los espacios de aire entre las placas. a) 6,05 kV/m
b) 6,25 kV/m
c) 6,45 kV/m
d) 6,65 kV/m
e) 6,85 kV/m
IV) Hallar la magnitud del campo eléctrico en la lámina dieléctrica. a) 2,14 kV/m
b) 2,34 kV/m
c) 2,54 kV/m
d) 2,74 kV/m
e) 2,94 kV/m
591 V) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas del capacitor, luego de haber introduci do la lámina dieléctrica?
Física III
a) 51,9 V
b) 52,9 V
c) 53,9 V
d) 54,9 V
e) 55,9 V
VI) ¿Cuál es la capacitancia en presencia de la lámina dieléctrica? a) 11,2 pF
b) 12,2 pF
c) 13,2 pF
d) 14,2 pF
e) 15,2 pF
VII) De la energía almacenada total, que porcentaje se almacena en los espacios de aire. a) 79,5 %
b) 74,5 %
c) 69,5 %
d) 64,5 %
e) 59,5 %
VIII) De la energía almacenada total, que porcentaje se almacena en la lámina dieléctrica. a) 20,5 %
b) 25,5 %
c) 30,5 %
d) 35,5 %
e) 40,5 %
IX) Hallar el valor de la carga eléctrica q ' inducida en la superficie de la lámina dieléctrica. a) 218 pC
b) 318 pC
c) 418 pC
d) 518 pC
e) 618 pC
196.En la Fig.105, dos capacitores idénticos de Co=2 µF, se conectan en serie a la batería de ∆V=90 V. Luego, se llena uno de los capacitores con un dieléctrico de constante κ=2,5. Hallar el valor de la expresión k = (q1 + q1' ) / (q '2 − q 2 ) , siendo q1, q2 las cargas antes de in troducir el dieléctrico, y q1' , q '2 después de introducir el dieléctrico. a) 5,06
b) 5,26
c) 5,46
d) 5,66
e) 5,86
m
A
d
Co Co
b
k
BATERIA n
Fig.104
R.SABRERA
Fig.105
197.I) Hallar la energía que se requiere para suministrar a un capacitor de C=20 pF una car ga eléctrica de Qo=5 µC. (m=10-3, p=10-12) a) 605 mJ
b) 610 mJ
c) 615 J
d) 620 mJ
e) 625 mJ
II) Hallar la energía que se debe suministrar al capacitor para aumentar su carga eléctrica a Q=10 µC. a) 1815 mJ
b) 1835 mJ
c) 1855 mJ
d) 1875 mJ
e) 1895 mJ
592
Condensadores
198.Los capacitores de película delgada de alta constante dieléctrica, son muy adecuados en aplicaciones de memoria digital; por ejemplo, cuando se usa titanato de bario y estroncio (BaSrTi2O6) como material dieléctrico de espesor d=50 nm, se puede alcanzar una capaci tancia por unidad de área de CA=90 µF/cm2, ¿Cuál es la constante dieléctrica de este mate rial? (k=9•109 N•m2/C2) a) 5000
b) 5050
c) 5100
d) 5150
e) 5200
199.Dentro de ciertos límites, la diferencia entre las constantes dieléctricas del aire y el vació es proporcional a la presión del aire, es decir, κ-1∝P. Supóngase que un capacitor de pla as paralelas se mantiene a una diferencia de potencial constante, mediante una batería, ¿Cuál será el cambio porcentual de la cantidad de carga en las placas, al aumentar la pre sión del aire entre ellas desde 1,0 atm hasta 3,0 atm?. a) 0,11 %
b) 0,21 %
c) 0,31 %
d) 0,41 %
e) 0,51 %
200.La membrana del axón de una célula nerviosa es una delgada capa cilíndrica de radio r= 10-5 m, longitud L=0,1 m y espesor d=10-8 m. la membrana tiene una carga positiva sobre uno de sus lados y una carga negativa sobre el otro y actúa como un condensador de pla cas paralelas de área A=2πrL y separación "d" . Su constante dieléctrica es aproximada mente κ=3. (k=9•109 N•m2/C2, n=10-9, M=106) I) Hallar la capacitancia de la membrana. Si la diferencia de potencial a través de la membra na es ∆V=70 mV. a) 12,7 nF
b) 13,7 nF
c) 14,7 nF
d) 15,7 nF
e) 16,7 nF
d) 4,17 nC
e) ,517 nC
II) Hallar la carga sobre cada lado de la membrana. a) 1,17 nC
b) 2,17 nC
c) 3,17 nC
III) Hallar la magnitud del campo eléctrico a través de la membrana. a) 4 MV/m
b) 5 MV/m
c) 6 MV/m
d) 7 MV/m
e) 8 MV/m
201.La carga de dos capacitores uno de C1=100 pF y otro de C2=400 pF es de ∆V=2,0 kV. Están desconectados de la fuente de voltaje y conectados entre sí en paralelo uniendo sus lados positivos y negativos. (k=103, m=10-3, p=10-12) I) Hallar la diferencia de potencial resultante en cada uno de los capacitores. a) 1,0 kV
b) 1,5 kV
c) 2,0 kV
d) 2,5 kV
e) 3,0 kV
d) 3 mJ
e) 4 mJ
II) Hallar la energía perdida al realizar las conexiones. a) 0 mJ
b) 1 mJ
c) 2 mJ
202.Diseñar un circuito de capacitores que tenga una capacitancia de C=2 µF y una tensión de ruptura de ∆Vmax=400 V utilizando todos los capacitores de 2 µF que se necesiten, sa biendo que todos ellos poseen una tensión de ruptura de 100 V.
593
Física III
203.Los radios de las armaduras de un condensador esférico son a=10 cm y b=20 cm. El espa cio comprendido entre las armaduras se llena con un dieléctrico homogéneo de constante κ=2,5 y resistividad ρ=108 Ω.m. Inicialmente el condensador está descargado. En el mo mento t=0 s se le suministro a la armadura interna la carga de qo=4 µC. Hallar: (µ=10-6, m=10-3, εo=8,85•10-12 C2/N•m2) I) La carga en el condensador en el instante de t=0,001 s. a) 2,15 µC
b) 2,25 µC
c) 2,35 µC
d) 2,45 µC
e) 2,55 µC
II) La cantidad de calor que se disipa debido a la fuga de la carga. a) 140 mJ
b) 142 mJ
c) 144 mJ
d) 146 mJ
e) 148 mJ
204.Un capacitor de C1=1,2 µF se carga a ∆V=30 V. Después de la carga, se desconecta de la fuente de voltaje y se conecta a otro capacitor C2 descargado. El voltaje final es de 10 V. I) Hallar la capacitancia del segundo capacitor. (µ=10-6) a) 2,0 µF
b) 2,2 µF
c) 2,4 µF
d) 2,6 µF
e) 2,8 µF
d) 360 µJ
e) 380 µJ
II) ¿Cuánta energía se perdió al realizar la segunda conexión? a) 300 µJ
b) 320 µJ
c) 340 µJ
205.A las armaduras de un condensador de capacidad C=2 µF se les suministraron cargas de qo=1 mC de signos diferentes. Luego, se cerraron las armaduras a través de la resistencia de R=5 MΩ. (m=10-3) I) Hallar la carga que pasa por esta resistencia en el transcurso del tiempo de τ=2 s. a) 0,18 mC
b) 0,38 mC
c) 0,58 mC
d) 0,78 mC
e) 0,98 mC
II) Hallar la cantidad de calor que se disipa en la resistencia durante este mismo tiempo. a) 80 mJ
b) 82 mJ
c) 84 mJ
d) 86 mJ
e) 88 mJ
206.En la Fig.106, la capacidad de cada capacitor es de C=2 µF y la resistencia de R=4 MΩ. Uno de los capacitadores se cargó hasta la tensión de Vo=100 V y luego, en el momento t=0 se cerró la llave S. (m=10-3, µ=10-6, M=106) I) Hallar la intensidad de corriente "I" en el circuito en el instante t=0,1 s. a) 20,94 µA
b) 22,94 µA
c) 24,94 µA
d) 26,94 µA
e) 28,94 µA
II) Hallar la cantidad de calor disipado, conociendo la dependencia I(t). a) 1 mJ
b) 2 mJ
c) 3 mJ
d) 4 mJ
e) 5 mJ
207.En la Fig.107, el condensador cilíndrico, conectado a una fuente de tensión constante Vo= 80 V, se apoya con sus bordes en la superficie del agua de densidad ρ=1000 kg/m3. La dis tancia d=0,4 cm entre las armaduras del condensador es mucho menor que su radio
594 Condensadores medio. Hallar la altura "h" a la que se establece el nivel del agua entre las armaduras del condensador. Despreciar los fenómenos capilares. (k=9•109 N•m2/C2, κ=81, g=9,8 m/s2) a) 0,18 µm
b) 0,38 µm
c) 0,58 µm
d) 0,78 µm
e) 0,98 µm
R
d C
g
κ
C
h S
•
Fig.106
Fig.107
208.Un capacitor de placas paralelas de área A=500 cm2 se carga con una diferencia de po tencial de V=200 V y después se desconecta de la fuente de voltaje. Cuando las placas se separan x=0,4 cm, el voltaje entre ellas se incrementa en ∆V=100 V. (n=10-9, µ=10-6) I) Hallar la carga "Q" depositada en la placa positiva del capacitor. a) 11,1 nC
b) 31,1 nC
c) 51,1 nC
d) 71,1 nC
e) 91,1 nC
II) Hallar la variación de la energía eléctrica almacenada en el capacitor. a) 153 nJ
b) 353 nJ
c) 553 nJ
d) 753 nJ
e) 953 nJ
209.En la Fig.108, tres capacitores C1=2 µF, C2= 4 µF y C3=6 µF, inicialmente conectados en paralelo se cargan con una fuente de 200 V. A continuación se desconectan de la fuente y se conectan de nuevo las placas positivas con las negativas como se muestra. I) Hallar el valor de la expresión: M = (2V1+V2)/(2V2-V3), siendo V1, V2, V3 los voltajes en cada uno de los capacitores, cuando S1 y S2 están cerrados, pero S3 abierto. a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
II) Hallar el valor de la expresión: K= (q2+q3)/(q1+q2), siendo q1, q2 y q3 los valores de las car gas finales de cada uno de los capacitores, después de cerrar S3. a) 1,13
b) 1,33
c) 1,53
d) 1,73
e) 1,93
III) Hallar el valor de la expresión: P= V2' / (V1' + V2' + V3' ) , siendo V1' , V2' , V3' los voltajes en cada uno de los capacitores, después de cerrar S3. a) 71
b) 73
c) 75
d) 77
e) 79
210.En la Fig.109, en el sistema de capacitores, C1=1 µF, C2=2 µF, C3=3 µF, C4=4 µF, C5=5 µF, y la diferencia de potencial entre A y B es ∆V=100 V. Hallar la carga total en el siste ma de capacitores.
595
Física III a) 291 µC
b) 491 µC •
c) 691 µC
S3
d) 891 µC
C1 Q1
•
S1
Q2
B
C3
C3
C2 •
C2
C1 A
e) 191 µC
C5
C4
S2 Q 3
Fig.108
Fig.109
211.I) Estimar la energía eléctrica almacenada en la atmósfera si el campo eléctrico terrestre se extiende hacia arriba hasta 1 000 m con una magnitud media de 200 V/m. Radio medio de la Tierra RT=6370 km. (Indicación: Considerar la atmósfera como una capa rectangular de área igual a la superficie terrestre, k=9•109 N•m2/C2, k=103, µ=10-6, G=109) a) 90,3 GJ
b) 92,3 GJ
c) 94,3 GJ
d) 96,3 GJ
e) 98,3 GJ
II) Hallar la cantidad de energía eléctrica almacenada en un conductor esférico aislado de ra dio R=10 cm y cargado a ∆V=2 kV. a) 20,2 µJ
b) 22,2 µJ
c) 24,2 µJ
d) 26,2 µJ
e) 28,2 µJ
212.Se quiere construir un capacitor de placas paralelas separadas por aire capaz de almace nar W=100 kJ de energía. (k=9•109 N•m2/C2) I) ¿Qué volumen mínimo (en 103 m3) debe existir entre las placas del capacitor? a) 1,51
b) 2,51
c) 3,51
d) 4,51
e) 5,51
II) Si disponemos de un dieléctrico que pueda resistir Emax=3.108 V/m y su constante dieléc trica es κ=5, ¿Qué volumen (en 10-2 m3) de este dieléctrico situado entre las placas del ca pacitor se necesitará para almacenar 100 kJ de energía? a) 1,02
b) 2,01
c) 3,02
d) 4,02
e) 5,02
213.Dos condensadores de placas paralelas tienen la misma separación e igual área superfi cial. La capacitancia de cada uno de ellos inicialmente 10 µF. Insertando un dieléctrico en el espacio completo de uno de los capacitores, éste incrementa su capacitancia a 35 µF. Los capacitores de 35 µF y 10 µF se conectan en paralelo y se cargan con una diferencia de potencial de 100 V. la fuente de voltaje se desconecta a continuación. (m=10-3) I) ¿Cuál es la energía almacenada en este sistema de capacitores? a) 205 mJ
b) 215 mJ
c) 225 mJ
d) 235 mJ
e) 245 mJ
II) ¿Cuáles es la razón de las cargas Q1,/Q2, de las placas de cada uno de los capacitores?
596
Condensadores
a) 1,5
b) 2,0
c) 2,5
d) 3,0
e) 3,5
III) Se extrae el dieléctrico del capacitor, ¿Cuál es la razón de las nuevas cargas q1/q2 en las placas de los capacitores? a) 1,0
b) 1,5
c) 2,0
d) 2,5
e) 3,0
IV) ¿Cuál es la energía final almacenada en el sistema de capacitores? a) 506 mJ
b) 526 mJ
c) 546 mJ
d) 566 mJ
e) 586 mJ
214.Un capacitor de placas paralelas posee un dieléctrico variable. Sea "A" el área de las pla cas e "yo " su separación. La constante dieléctrica viene dada en función de "y" por la ex presión: κ=1+3(y/yo). La placa del fondo se encuentra en y=0 y la superior en y=yo. I) Hallar la capacitancia del capacitor. II) Hallar la densidad de carga inducida sobre las superficies del dieléctrico. III) Hallar la densidad de carga volumétrica inducida "ρ(y)" dentro del dieléctrico. III) Para el dieléctrico "y" demostrar que la carga ligada inducida total, incluyendo la que e xiste sobre las superficies, es cero. 215.En la Fig.110, un capacitor de placas paralelas de área "A" y separación "d" se carga hasta una diferencia de potencial "V" y luego se separa de la fuente de carga. Se inserta entonces como se muestra una lámina dieléctrica de constante κ=2, espesor "d" y área "A / 2". Supóngase que "σ1 " y "σ 2 " son las densidades de carga en la superficie conduc tor-dieléctrico y conductor-aire, respectivamente. I) ¿Por qué debe tener el campo eléctrico el mismo valor en el interior del dieléctrico que en el espacio libre entre las placas? II) Demostrar que la relación entre las densidades de carga superficiales es σ1=2σ2. III) Demostrar que la nueva capacidad es 3εoA/2d y que la nueva diferencia de potencial es 2V/3. A
2b
a d
σ1
σ2 κ
l b
Fig.110
2a R.SABRERA
Fig.111
216.En la Fig.111, el capacitor cilíndrico se compone de un hilo largo de radio "a" y longi tud " ℓ " con una carga "+ Q" y una corteza cilíndrica exterior de radio "b" , longitud " ℓ " y carga "− Q" .
597
Física III I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en un punto cualquiera del espacio. II) Hallar la densidad de energía eléctrica en un punto cualquiera del espacio. III) Hallar la energía eléctrica del capacitor por integración de E2, sobre el cascarón. IV) Hallar la energía eléctrica del capacitor a partir de W=C.V2/2.
217.Se tiene un capacitor de placas paralelas de área A=10 cm2, llena de dieléctrico de cons tante κ=3, cuya distancia de separación inicial es d=0,2 mm. Cuando las placas son some tidas a una diferencial de potencial de V=8 kV, el dieléctrico se comprime una distancia muy pequeña ∆x. La máxima intensidad de campo que puede soportar el dieléctrico es Emax=40 kV/m, y su módulo de Young es E=5•106 N/m2. (k=103, n=10-9) I) Hallar la longitud que se comprime el dieléctrico. a) 700 nm
b) 750 nm
c) 800 nm
d) 850 nm
e) 900 nm
d) 7,77 kV
e) 7,97 kV
II) Hallar el voltaje máximo que soporta el dieléctrico. 7,17 kV
b) 737 kV
c) 7,57 kV
III) De la energía almacenada en el dieléctrico, que porcentaje corresponde a la energía mecá nica de deformación. a) 61,7 %
b) 63,7 %
c) 65,7 %
d) 67,7 %
e) 69,7 %
218.Dos capacitores idénticos de placas paralelas de C=10 µF reciben cargas iguales de Q1= Q2=100 µC cada uno y luego se separan de la fuente de carga. Mediante un cable se conec tan sus placas positivas y mediante otro sus placas negativas. Luego, se inserta un dieléc trico de constante κ=3,2, se inserta entre las placas de uno de los capacitores llenándolo completamente. (m=10-3) I) Hallar la energía almacenada inicial en el sistema de capacitores. a) 1,0 mJ
b) 1,5 mJ
c) 2,0 mJ
d) 2,5 mJ
e) 3,0 mJ
II) Hallar la razón Q'2 / Q1' de las cargas en las placas, luego de introducido el dieléctrico. a) 3,0
b) 3,2
c) 3,4
d) 3,6
e) 3,8
III) Hallar la energía almacenada final en el sistema de capacitores. a) 0,416 mJ
b) 0,436 mJ
c) 0,456 mJ
d) 0,476 mJ
e) 0,496 mJ
219.Dos capacitores idénticos, de placas paralelas y capacitancia C=4 µF cada uno, se conec tan en serie a través de una batería de ξ=24 V. Luego, se inserta un dieléctrico de constan te κ=4,2 entre las placas de uno de los capacitores, mientras la batería está todavía conec tada. (µ=10-6) I) Hallar la carga en las placas de cada capacitor, antes de insertar el dieléctrico. a) 40 µC
b) 42 µC
c) 44 µC
d) 46 µC
e) 48 µC
598 Condensadores II) Hallar la energía total almacenada en los capacitores. a) 570 µJ
b) 572 µJ
c) 574 µJ
d) 576 µJ
e) 578 µJ
III) Hallar la carga en cada uno de los capacitores, luego de insertar el dieléctrico. a) 71,5 µC
b) 73,5 µC
c) 75,5 µC
d) 77,5 µC
e) 79,5 µC
IV) Hallar la razón de los voltajes V2' / V1' de los capacitores, luego de insertado el dieléctrico. a) 3,8
b) 4,2
c) 4,6
d) 5,0
e) 5,4
V) Hallar la energía total almacenada en el sistema, luego de insertado el dieléctrico. a) 910 µJ
b) 920 µJ
c) 930 µJ
d) 940 µJ
e) 950 µJ
220.Una esfera conductora radio "a" posee una carga libre "Q" . La esfera está rodeada por u na capa dieléctrica esférica concéntrica sin carga, de radio interior "a" y externa "b" y constante dieléctrica " κ " . El sistema está alejado de otros objetos. I) Determinar el campo eléctrico en cualquier punto del espacio. II) ¿Cuál es el espacio de la esfera conductora relativa a V=0 en el infinito. III) Determinar la energía electrostática total del sistema. 221.Un capacitor de placas paralelas cuyas placas tienen un área de A=1,0 m2 y la separación es de d=0,5 cm tiene una palca de vidrio de igual área y espesor situada entre las placas. El vidrio tiene una constante dieléctrica de κ=5. El capacitor se carga hasta una diferencia de potencial de V=12 voltios luego se separa de su fuente de carga, ¿Cuánto trabajo se ne cesita hacer para retirar la placa de vidrio del interior del capacitor? (µ=10-6) a) 2,15 µJ
b) 2,35 µJ
c) 2,55 µJ
d) 2,75 µJ
e) 2,95 µJ
222.La suma de los voltaje de dos capacitores C1=0,4 µF, C2=1,2 µF, conectados en serie es 80 voltios. En tanto, el voltaje del capacitor equivalente de la conexión en paralelo es 20 V. Hallar los voltajes de los capacitores, cuando están conectados en serie. a) 80 V, 0 V
b) 70 V, 10 V
c) 30 V, 50 V
d) 20 V, 60 V e) 10 V, 70V
223.En la Fig.112, el sensor para medir el nivel de líquidos está formado por un capacitor ci líndrico de longitud l=50 cm. El conductor interno tiene radio a=1,0 mm, y el cascarón conductor externo tiene radio b=4,0 mm. Si se utiliza el sensor para detectar el nivel de ni trógeno líquido de constante dieléctrica κ=1,433. (p=10-12) I) ¿Cuál es su capacitancia cuando está vació? a) 10 pF
b) 15 pF
c) 20 pF
d) 25 pF
e) 30 pF
d) 33,6 pF
e) 38,6 pF
II) ¿Cuál es su capacitancia cuando está lleno de dieléctrico? a) 18,6 pF
b) 23,6 pF
c) 28,6 pF
599 224.En la Fig.113, la esfera metálica de radio a=20 cm está rodeada por un cascarón dieléctri co concéntrico de radio interior a=20 cm y radio exterior R=30 cm. Este conjunto está ro deado por un cascarón delgado, metálico y concéntrico, de radio b=40 cm. La constante dieléctrica del cascarón es κ=5, ¿Cuál es la capacitancia de este sistema? (p=10-12)
Física III
a) 91,2 pF
b) 93,2 pF b
c) 95,2 pF
d) 97,2 pF
a
b
e) 99,2 pF
R
l Nivel del líquido
κ
a
Fig.112
Fig.113
225.En la Fig.114, los capacitores de C1=6 µF y C2=2 µF, se cargan inicialmente a 24 V co nectando cada uno, durante unos instantes a una batería de 24 V. A continuación se retira la batería y los capacitores cargados se conectan en serie, como se muestra. I) Hallar la razón Q1' / Q'2 de las cargas finales de las placas de los capacitores. a) 1,0
b) 1,5
c) 2,0
d) 2,5
e) 3,0
II) Hallar la razón V2' / V1' de las diferencias de potenciales en las placas de los capacitores. a) 1,0
b) 1,5
c) 2,0
d) 2,5
e) 3,0 •A
C2
C1
C3 C1
C2
•B
Fig.114
R.SABRERA
Fig.115
226.En la Fig.115, los capacitores de C1=2 µF, C2=5 µF y C3=7 µF, se cargan a 36 V, conec tando cada uno, durante unos instantes, a una batería de 36 V. A continuación se quita la batería y los capacitores con carga se conectan formando un circuito cerrado en serie, co mo se muestra.
600
Condensadores
I) Hallar M = de los capacitores. (Q3'
− Q1' ) / (Q3'
a) 1,09
− Q'2 )
b) 1,29
donde Q1' , Q'2 , Q3' son los valores de las cargas finales c) 1,49
d) 1,69
e) 1,89
d) 46,1 V
e) 48,1 V
II) Hallar la diferencia de potencial entre los puntos B y A. a) 40,1 V
b) 42,1 V
c) 44,1 V
227.La diferencia de potencial entre dos conductores, largos y rectos de una línea de dos a lambres de radio R=4 mm separadas por una distancia de x=60 cm es V=100 voltios Ha llar la magnitud de la fuerza por unidad de longitud entre los alambres.(k=9•109 N•m2/C2) a) 1,2 nN
b) 3,2 nN
c) 5,2 nN
d) 7,2 nN
e) 9,2 nN
228.En la Fig.116, la esfera conductora de radio a=10 cm que está cubierta con una capa die léctrica de constante k=3 y espesor d=5 cm, es concéntrica con la esfera hueca conductora de radio b=20 cm, conectada a tierra. (k=9•109 N•m2/C2, m=10-3, p=10-12) I) Hallar la capacitancia de la esfera interna de radio "a" . a) 30 pF
b) 35 pF
c) 40 pF
d) 45 pF
e) 50 pF
II) ¿Aproximadamente en qué porcentaje varia la capacitancia de la esfera interna, si el an cho del dieléctrico es d=10 cm? a) 60,7 %
b) 62,7 %
c) 64,7 %
d) 66,7 %
e) 68,7 %
229.En la Fig.117, el capacitor cilíndrico tiene un conductor interno de radio a=10 cm y una capa externa conductora coaxial de radio b=20 cm. La región entre los conductores se lle na con dos cascarones cilíndricos de dieléctricos, uno constante κ1=2 para a
b) 133,5
c) 153,5
d) 173,5
e) 193,5
2 b
1 R.SABRERA
a d
r
a b
•
P
Fig.116
c
Fig.117
230.En la Fig.118, la esfera hueca de latón con carga Q=2 µC flota sumergida hasta la mitad en el gran lago de aceite de constante dieléctrica κ=3. ¿Qué fracción de esta carga eléctri
601
Física III 9
2
2
ca estará en el hemisferio superior? (k=9•10 N•m /C ) a) 1/2
b) 2/3
c) 1/4
d) 3/4
e) 4/5
231.En la Fig.119, el centro de la esfera conductora descargada y aislada de radio "R " está en el punto medio de la recta que une las cargas puntuales iguales a "Q" , separadas por u na distancia "2d" (R<
b) 24R3/d3
c) 22R5/d5
d) 24R5/d5
e) 20R4/d4
q=0 R
Q Q
Q
κ 2d
Fig.118
Fig.119
232.En la Fig.120, en el circuito eléctrico mostrado, formado por el capacitor de placas para lelas rectangulares de lados "a", "b", la resistencia "R " , el miliamperímetro "A" , y la fuente de energía alterna "ξ " , hallar la constante dieléctrica " κ " que llena el capacitor. 233.En la Fig.121, en el circuito eléctrico se muestra la característica idealizada de voltiosamperios del diodo "D" , cuando la llave S se cierra. El capacitor "C" inicialmente no es tá cargado. La f.e.m de la fuente es "ξ " , y su resistencia interna es despreciable. ¿Qué cantidad de calor se desprenderá en la resistencia "R " , durante la carga del capacitor? S ξ •
C
V
•
D
•
ξ
I
R
A
0
Vo V
C
Fig.120
Fig.121
234.Hallar la capacitancia de un sistema formado por una bola metálica de radio "a" y de un plano conductor ilimitado situado a la distancia "d" del centro de la bola, si d>>a.
602
Condensadores
a) πεoa
b) 2πεoa
c) 3πεoa
d) 4πεoa
e) 8πεoa
235.Se tiene una envoltura esférica con una carga uniforme q=8 nC, en cuyo centro se sitúa la carga puntual qo=q/40. Hallar el trabajo realizado por las fuerzas eléctricas en la expan sión de la envoltura, si su radio aumento desde R1=10 cm hasta R2=11R1/10. (k=9•109 N•m2/C2, n=10-9) a) 200 nJ
b) 225 nJ
c) 250 nJ
d) 275 nJ
e) 300 nJ
236.En la Fig.122, el capacitor plano se sitúa horizontalmente de modo que sus placas se encuentran sobre y por debajo de la superficie de un líquido de constante dieléctrica " κ " y densidad de masa "ρ " . I) ¿A qué altura "h" asciende el líquido en el capacitor después de suministrar a sus placas una densidad de carga superficial "σ " . II) Evaluar "h" para el caso en el que el líquido es agua: κ=81, ρ=1000 kg/m3, σ=8 µC/m2, g=9,8 m/s2, k=9•109 N•m2/C2. a) 0,165 mm
b) 0,265 mm
c) 0,365 mm
d) 0,465 mm
e) 0,565 mm
237.En un capacitor cilíndrico se introduce una capa dieléctrica cilíndrica de constante dieléc trica " κ " que llena el espacio entre las placas. El radio medio de estas últimas es "a", y su distancia "d" (d<
b) 9 V
c) 10 V
d) 11 V
e) 12 V
m
C1
C1
A
aire κ
liquido
ξ
C2
C2
n
B
Fig.122
Fig.123
239.Una esfera conductora aislada de radio R=10 cm, situada en el aire, tiene una carga eléc trica Q=10-10 C. (k=9•109 N•m2/C2, p=10-12, n=10-9) I) Hallar la energía utilizada para cargar la esfera. a) 410 pJ
b) 430 pJ
c) 450 pJ
d) 470 pJ
e) 490 pJ
603 II) Hallar la densidad de energía (en nJ/m ) en un punto P, situado a la distancia de d=1,1R del centro de la esfera conductora.
Física III 3
a) 20,5
b) 22,5
c) 24,5
d) 26,5
e) 28,5
III) Hallar la presión electrostática ejercida sobre la superficie de la esfera. a) 31,8 nPa
b) 33,8 nPa
c) 35,8 nPa
d) 37,8 nPa
e) 39,8 nPa
240.En la Fig.124,la esfera conductora de radio R=10 cm flota sumergida a la mitad en un medio dieléctrico líquido de constante k1=2 .La región por encima del líquido es un gas de constante k2=3. La carga libre total sobre la esfera es Q=2 nC. (k=9•109 N•m2/C2) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico radial que sea inverso del cuadrado que satisfaga todas las condiciones en la frontera, a una distancia de r=12 cm del centro de la esfera. a) 50 N/C
b) 55 N/C
c) 60 N/C
d) 65 N/C
e) 70 N/C
II) Hallar la densidad superficial de carga libre (en nC/m2) en el hemisferio superior. a) 10,7
b) 12,7
c) 14,7
d) 16,7
e) 18,7
III) Hallar la carga libre sobre la superficie de la esfera conductora. a) 1 nC
b) 2 nC
R
c) 3 nC
d) 4 nC |
ε1
e) 5 nC
k E0
a 0 ε2
Fig.124
Fig.125
241.En la Fig.125, en el medio dieléctrico infinito de constante dieléctrica k=2 que presenta u na cavidad esférica de radio a=2 cm, existe un campo eléctrico uniforme de magnitud i gual a E0=500 N/C. I) Hallar el potencial eléctrico al interior de la cavidad en el punto de coordenadas: r=1 cm, θ = 600, siendo "θ" el ángulo polar formado con la dirección del campo E o . a) -2 V
b) 2 V
c) -3 V
d) 3 V
e) -4 V
II) Hallar el potencial eléctrico fuera de la cavidad, en el punto de coordenadas: r= 3 cm, θ = 600, siendo "θ" el ángulo polar formado con la dirección del campo E o . a) -5,9 V
b) 5,9 V
c) -6,9 V
d) 6,9 V
e) -7,9 V
III) Hallar la magnitud del campo eléctrico al interior de la cavidad, en el punto de coordena das: r=1 cm, θ = 600.
603 rodean la Tierra pasando a través de dos puntos en los extremos opuestos de la esfe ra. A estos puntos se denomino los polos del imán.
Física III
MAGNETISMO CAP. 11
POLO LINEAS
1. MAGNETISMO a) Historia • Hace 2 000 años en Grecia, se sabía que ciertas piedras traídas de Magnesia (mag netitas), atraían trocitos de hierro. El pri mer que estudio el fenómeno del magnetis mo fue Tales de Mileto, filósofo griego que vivió entre los años 625 a.n.e. y 545 a.n.e. • Los primeros conocimientos y experimen tos de magnetismo proceden del comporta miento de los imanes naturales. • En China, la primera referencia a este fenó meno se encuentra en un manuscrito del si glo IV a.n.e titulado Libro del amo del va lle del diablo <
S S
N
N
• En 1 269 Pierre de Maricourt observa el a
lineamiento de una aguja en un imán esfé rico, marcando las direcciones que señala ba la aguja. Estas líneas rodeaban el imán del mismo modo que las líneas meridianas
A
POLO • En 1 600 William Gilbert descubrió el por
qué una brújula se orienta, según, los po los magnéticos terrestres.
SUR MAGNETICO TERRESTRE
N
S
NORTE MAGNETICO TERRESTRE
• En 1 750, Jhon Michell estudia la atrac
ción y repulsión de los polos magnéticos para lo cual, utiliza una balanza de torsión estableciendo que la fuerza entre los polos son de igual intensidad y varían inversa mente con el cuadrado de la distancia en tre ellas. • La ley de la fuerza existente entre dos po los magnéticos es parecida a la que existe entre dos cargas eléctricas. • Es imposible aislar un sólo polo magnéti co. • El conocimiento del magnetismo se man tuvo limitado a los imanes, hasta que en 1820, Hans Christian Ørsted profesor de la Universidad de Copenhage, descubrió que un hilo conductor sobre el que circula
604 Magnetismo ba una corriente ejercía una perturbación 2) Las corrientes eléctricas son la fuente de todos los fenómenos magnéticos. magnética a su alrededor, que llegaba a po der mover una aguja magnética situada en ese entorno. b) Aplicaciones I
S N • Muchos otros experimentos siguieron, con
•
•
•
•
André-Marie Ampére, Carl Friedrich Gauss, Michael Faraday y otros que encon traron vínculos entre el magnetismo y la e lectricidad. James Clerk Maxwell sintetizó y explicó estas observaciones en sus ecuaciones de Maxwell. Unificó la electricidad, el mag netismo y la electricidad en un solo campo el electromagnetismo. Hasta el presente no se ha demostrado ex perimentalmente la existencia de cargas magnéticas positivas y negativas en los i manes que actúen de acuerdo a la ley de las fuerzas de Coulomb, como origen del campo magnético, exactamente igual co mo las cargas eléctricas son la fuente de los campos eléctricos. En 1905, Einstein uso estas leyes para comprobar su teoría de la relatividad espe cial, en el proceso mostró que la electrici dad y el magnetismo estaban fundamental mente vinculadas. El electromagnetismo continuó desarro llándose en el siglo XX, siendo incorpora da en las teorías mas fundamentales como la Teoría de campo de gauge, electrodiná mica cuántica, teoría electrodébil y final mente en el modelo estándar.
Resumen 1) Corrientes paralelas se atraen o rechazan entre sí.
El magnetismo esta presenta en casi todas las actividades que desarrolla el hombre, sus aplicaciones han creado riqueza gene rando mayor bienestar. 1) Agricultura.- Mediante la nanotecnología se utiliza para generar semillas con mejo res y mayores características, mejorando la productividad en el campo. 2) Salud.- Se utiliza en el tratamiento del cán cer, mediante el modelo murino, que con siste en aplicar tecnología de nanopartícu las magnéticas, para el reforzamiento de las células dendríticas afín de mejorar la vascularización tumoral. 3) Transporte.- Levitación magnética de los trenes de pasajeros y carga, esta tecnolo gía basada en la creación por superconduc tores de campos magnéticos muy intensos, permiten eliminar la fricción. Alcanzando los trenes grandes velocidades de alrede dor de 400 a 500 km/h. 4) Informática.- Permiten el almacena miento de información en los discos (CD, DVD, VCD, etc..), cintas magnéticas, dispositi vos de almacenamiento rápido (DataTra veler), cintas magnéticas, burbujas magné ticas, etc... 5) Motores.- Estos dispositivos eléctricos pre sentes en todas las maquinas que transfor man energía eléctrica en mecánica son de gran utilidad en la vida diaria, tales como licuadoras, lavadoras, aspiradoras, taladra doras automóviles eléctricos, dispositivos de encendido, etc... 6) Biología.- Se utiliza en la orientación espa cial, de crecimiento y movimiento, me diante la utilización de los magnetosomas, los cuales, son estructuras que se encuen tran en muchos seres vivos capaces de ori entarse según el campo magnético terres
605
Física III tre. Los magnetosomas están formados por magnetita (Fe307) o greigita (Fe3S4), y miden 50 nm de largo. c) Espectros magnéticos • Se llama así a la imagen formada por las li maduras de hierro espolvoreada en cartu lina, en presencia de un campo magnético creado por un imán. Las limaduras de hie rro comportándose como pequeñas brúju las se orientan a lo largo de las líneas del campo magnético. • El espectro magnético de un imán permite no sólo distinguir con claridad los polos magnéticos, sino que además proporciona una representación de la influencia magné tica del imán en el espacio que le rodea. Así una pareja de imanes enfrentados por sus polos de igual tipo dará lugar a un es pectro magnético diferente al que se obtie ne cuando se colocan de modo que sean los polos opuestos los más próximos. Esta imagen física de la influencia de los ima nes sobre el espacio que les rodea hace po sible una aproximación relativamente di recta a la idea de campo magnético. 2. CAMPO MAGNETICO a) Concepto Es una entidad física, que se utiliza para explicar las formas como se manifiestan las corrientes eléctricas en la región R en la que se encuentran, y las interacciones mutuas que se establecen entre las corrien tes eléctricas, y las partículas y cuerpos cargados en movimiento. b) Detección Para determinar que en cierta región R del espacio existe un campo magnético, se considera en dicha región una carga de prueba "q o " que se desplaza con veloci dad "v" ; si dicha carga experimenta una fuerza F de origen magnético, decimos
que existe un campo magnético. R
v F
q0
c) Fuente En general, un campo magnético es crea do por un imán o una corriente eléctrica (partículas cargadas en movimiento). Se debe mencionar que en el caso del imán los circuitos de corriente se establecen al interior del imán (corrientes atómicas). d) Representación Para representar simbólicamente un cam po magnético, se utilizan las llamadas lí neas de fuerza magnética, (líneas imagina rias) cuyas características, son semejantes a las líneas de fuerza que se utilizó para re presentar el campo eléctrico. Las líneas de fuerza del campo magnético siempre son líneas cerradas, en un imán salen del polo norte e ingresan al polo sur, e internamen te se dirigen del polo sur al polo norte, co mo se aprecia en la Figura.
L
N
S
e) Características • La magnitud del campo magnético, es di rectamente proporcional a la intensidad de corriente que lo crea. • El campo magnético B disminuye inversa mente al cuadrado de la distancia "r" al i
606 Magnetismo cer la magnitud y dirección del vector de gual, que el campo eléctrico, en la ley de Coulomb. Esto implica que los campos inducción magnética B en un punto P del magnéticos son muy intensos cerca de las vacio, por un conductor C que conduce fuentes (corrientes), y prácticamente nulos una corriente eléctrica de intensidad "I" . lejanos de ellas. Así, el vector inducción magnética en el • El campo magnético depende de las pro punto P es: piedades magnéticas de la región R en las que se encuentran las corrientes eléctricas. µ I dℓ x r B= o ∫ • Las características de las direcciones y sen 4π C r 3 tidos de los vectores B y E , son completa mente diferentes, pues: siendo, Id ℓ un diferencial de circuito de 1) E siempre está en la dirección radial r. corriente, r el vector trazado del diferen 2) B es perpendicular al plano formado cial de conductor al punto P, y µ o =4π•10-7 por r y "I ∆ ℓ ". A/m una constante de proporcionalidad, * Dirección y sentido para B . llamada permeabilidad magnética del va I∆ℓ B r
θ
θ
r B
I∆ℓ
cío (aire), la cual, nos proporciona las ca racterísticas o propiedades magnéticas del vació. • A su vez, la magnitud del campo magnéti co, creado por la corriente eléctrica en el punto P es:
B=
• Convención para representar la dirección
de los campos magnéticos;
Ingresa al papel
µ o I sen θ dℓ 4π C∫ r 2
siendo, dℓ un diferencial del conductor, y "θ" el ángulo que forman r y d ℓ , respec tivamente, como se observa en la Figura.
Sale del papel
Unidad: "B" se mide en teslas (T)
C
P i r
f) Cálculo del campo magnético θ
C
P I
dl
MEDIO
r θ
dl
La ley de Biot-Savart, nos permite estable
• Si los conductores con corriente o los cuer
pos cargados en movimiento (corrientes de convección) no se hallan en el vació, sino en una sustancia o medio cualquiera (cuerpo magnético), esta sustancia se mag
607 La magnitud del campo magnético creado por la carga magnética "q", ubicada en un polo del imán, a una distancia "d", viene dado por:
Física III netiza y la inducción magnética y la induc ción magnética del campo resultante, vie ne dado por: B = Bo + Bm siendo, Bo la inducción magnética del campo externo (magnetizante o magnetiza dor), creado por la corrientes de conduc ción "I" o de convección (corrientes ma croscópicas), y Bm la inducción del cam po creado por el cuerpo magnetizado es decir por las corrientes moleculares de la sustancia o medio. • En los casos en que el cuerpo magnético homogéneo e isótropo llena totalmente el espacio del campo magnético, o parte del mismo, de modo que las líneas de induc ción del campo magnetizador no pasan a través de la superficie del cuerpo magné tico, el campo magnético resultante en el punto P, viene dado por:
B=
µo q 4π d 2
siendo, "µ o " una constante de proporcio nalidad llamada permeabilidad magnética en el vacío, cuyo valor numérico es: µ o = 4πi10−7 A / M • Las cargas magnéticas ubicadas en los po
los de un imán son iguales en magnitud pe ro de signos contrarios.
b) Alambre rectilíneo infinito La magnitud del campo magnético en un punto P, ubicado a una distancia "r" de un conductor muy largo, que conduce una co rriente eléctrica "I" viene dado por:
B = µ Bo
•
siendo, "µ " la permeabilidad magnética re lativa del cuerpo magnético, la cual, es u na cantidad adimensional, y se define co mo la razón de las magnitudes de las in ducciones magnéticas medidas en el cuer po magnético y en el vació, respectivamen te.
3. CAMPOS MAGNETICOS CREADOS POR CUERPOS QUE CONDUCEN CORRIENTE ELECTRICA a) Imán N P
•
q
IMAN
B=? d
B
d
∞
∞
I
B=
µo I 2π d
• Las líneas de fuerza forman circunferen
cias concéntricas, con centro en el conduc tor. • El sentido de B , se halla utilizando la re gla de la mano derecha.
c) Alambre rectilíneo finito La magnitud del campo magnético en un punto P, ubicado a una distancia "r" de un conductor de longitud " ℓ " , que conduce u na corriente eléctrica "I" , viene dado por:
608
Magnetismo µo IR2 B= 2 (d 2 + R 2 )3/ 2
B
•
α β
• En ambos casos, las líneas de fuerza del
d
I
B=
µo I (sen α + sen β) 4π d
d) Espira rectangular
campo magnético forman elipses, que ro dean al conductor. • De la regla de la mano derecha, deduci mos que B , en el punto P, está en la direc ción del eje de simetría. • La magnitud del campo magnético en el centro "0" de la espira, obtenemos toman do d = 0, así:
I
B=
B
I
0•
b I
I
f) Arco de espira circular de radio R
a
B
La magnitud del campo magnético en el centro 0, de una espira rectangular de la dos "a" , "b" , generada por la corriente e léctrica "I" que circula por el, viene dado por: B=
µo I 2 R
µo 8I(a + b ) 4π ab 2
2 1/2
e) Espira circular de radio R
R θ
I
La magnitud del campo magnético en el centro de curvatura de un conductor en for ma de arco de circunferencia, que conduce una corriente de intensidad "I" , viene dado por: B=
B d I
µo I θ 4π R
g) Solenoide de N espiras circulares R
0
R
I
La magnitud del campo magnético en un punto P, ubicado en el eje que pasa por el centro de la espira que conduce una co rriente eléctrica "I" , a una distancia "d" del mismo, viene dado por:
l R •
P
θ2 θ1
La magnitud del campo magnético en un punto P, ubicado en el eje de simetría que
609 radio "r" , al interior del toroide, que con duce una corriente de intensidad "I" , vie ne dado por:
Física III pasa por el centro de las espiras del sole noide de longitud " ℓ " , y que conduce una corriente de intensidad "I" , viene dado por: µ IN B= o (cos θ2 − cos θ1 ) 2 ℓ
B=
µo I N , R1 < r < R 2 2π r
Casos particulares: Rm
1) El valor máximo de la inducción magné tica, corresponde al punto medio del eje del solenoide, y viene dado por: Bmax =
µo N I 4R + ℓ 2
R1 I
µo N I = µo n I ℓ
siendo, "n" el número de espiras por uni dad de longitud. 3) La magnitud del campo magnético, en un punto situado en cualquiera de los dos ex tremos del solenoide, y sobre su eje, viene dado por:
B = µo
0
I
2
Para un solenoide muy largo, cuya longi tud " ℓ " es mucho mayor que el radio "R " de sus espiras, se presentan tres casos: 2) La magnitud del campo magnético en el centro del solenoide es: B=
R2
IN 1 = µ nI 2ℓ 2 o
4) La magnitud del campo magnético, al in terior del solenoide, en un punto situado sobre su eje, y muy alejado de sus extre mos, viene dado por: µ NI B= o = µo n I ℓ
h) Toroide de N espiras circulares La magnitud del campo magnético, en un punto P, ubicado en una circunferencia de
• El campo magnético creado por la co
rriente eléctrica que circula por las "N" es piras del toroide, se encuentra enteramen te en su volumen. • La dirección de B coincide con la tan gente a la circunferencia de radio "r" , en todos sus puntos. • El sentido de B , dependerá del sentido de circulación de la corriente eléctrica, en el toroide. La magnitud del campo magnético en el in terior del toroide disminuye desde Bmax= µoNI/2πR2 hasta su valor mínimo Bmin= µoNI/2πR1. • La magnitud de la inducción magnética en puntos situados en la línea del eje (circun ferencia media de radio Rm) del toroide, viene dada por:
Bm =
µo N I = µo n I 2π R m
siendo, Rm=(R1+ R2) el radio medio, y "n" el número de espiras por unidad de longi tud de la línea media del toroide. • Cuando, Rm→∞ y "d" y "n" son cons
tantes, el toroide se transforma en un sole noide de longitud infinita y su campo mag
610 nético es uniforme.
Magnetismo
i) Cilindro compacto recto de longitud infinita y radio R.
B=
µo I 4π
∫ C
dℓ x r r3
(1)
De otra parte, sabemos que se cumple que: R
I
Id ℓ = (JS) d ℓ = J Sdℓ B
Id ℓ = n q v dV
(2)
B •
1) Para puntos dentro del cilindro ( r
B=
µ Ir B= o 2 2π R 2) Para puntos fuera del cilindro (r>R), la magnitud del campo magnético, viene da do por:
B=
siendo, "n" , "q", "v" la densidad de partí culas por unidad de volumen, la carga y la velocidad de la partícula respectivamente, y "dV" un diferencial de volumen. • Sustituyendo (2) en (1), se tiene:
µoI 2π r
µo 4π
C
(3)
• De aquí podemos deducir que, dado que
"n.dV" es el número de cargas existentes en "dV" que crean el campo magnético B entonces el campo magnético producido por una sola carga debe ser:
B=
4. CAMPO PRODUCIDO POR UNA CARGA EN MOVIMIENTO
∫
qvx r n.dV r3
µo q v x r 4π r 3
(4)
• Luego, la magnitud del campo magnético
en el punto P, creado por la carga "q" que se mueve con velocidad v es:
B E
B=
P r a
uɵ r θ v
µo q vsen θ 4π r 2
(5)
• Evidentemente para θ=π/2 el campo mag
q
• Recordemos que el campo magnético crea
do por una corriente eléctrica uniforme "i" que circula por un circuito, se calcula de la ley de Biot-Savart:
nético creado por la partícula es máxima, y para θ = 0o es mínima. • De otro lado, la partícula adicionalmente crea un campo eléctrico en el punto P, i gual a: E=
1 q r 4πεo r 3
(6)
611 encontramos que E y B están relaciona dos por:
Física III • Despejando aquí, r y reemplazando en la
ec.(4) obtenemos una relación entre el campo magnético y eléctrico: B = ε oµ o v x E
(7)
• Ahora teniendo en cuenta que la veloci
B=
µoεo I uˆ T x E λ
(3)
6. INTENSIDAD MAGNÉTICA (H)
dad de la luz, es igual a:
c=
Se denomina intensidad magnética H , la característica vectorial del campo magné tico B , que para un medio homogéneo i sótropo, se relaciona con B , así
1 m ≈ 3i108 s ε oµ o
Entonces la expresión anterior se puede expresarse, así: B=
1 vxE c2
(8)
5. CAMPO MAGNÉTICO Y ELÉCTRICO PRODUCIDO POR IONES EN MOVIMIENTO E
B R
uɵ T v
• Para iones (positivos o negativos), movién
dose según el eje de un acelerador lineal, el vector campo eléctrico, viene dado por: E=
λ uˆ 2πεo R r
(1)
siendo, uˆ r el vector unitario en la direc ción del campo eléctrico, como muestra la Figura. También, uˆ θ = uˆ T x uˆ r , por lo que comparando la ec.(1) con la ecuación:
µ I B = o uˆ θ 2π R
H=
H en un punto del espacio, es independi ente de las características magnéticas del medio que vienen dadas por la permeabi lidad magnética µ o . • La diferencia entre H y B es que el pri mero describe que tan intenso es el campo magnético en una región dada, en tanto el segundo es la cantidad de líneas del cam po magnético por unidad de área presentes en esa misma región.
a) Regla de la mano derecha Se utiliza para hallar el sentido y la direc ción del campo magnético, consiste de los siguientes pasos: 1) Se toma el conductor con la mano dere cha, con el dedo pulgar en el sentido de la corriente eléctrica. 2) Se gira la mano, el sentido con el que gira los nudos de los dedos, es el del campo magnético. I
B
(2)
B µo
612 7. FUERZA MAGNETICA
Magnetismo
a) Sobre una carga en movimiento La fuerza magnética sobre una carga pun tual "q" , que esta moviéndose en una re gión donde existe un campo magnético, es directamente proporcional a la magnitud de su carga y al producto vectorial de su vector velocidad v por el vector campo magnético B , esto es: F=qvxB
ga "q" se encuentra a la vez dentro de un campo eléctrico y magnético (campo elec tromagnético), entonces la fuerza sobre la partícula es: F=q E+q v x B
A esta fuerza se le denomina fuerza gene ralizada de Lorentz.
b) Sobre un conductor curvilíneo.
(1) B
• A esta fuerza se le denomina fuerza de Lo
rentz. • La fuerza de Lorentz es siempre perpen dicular a la velocidad de traslación de la partícula cargada y le comunica a esta u na aceleración normal, produciendo una variación en la dirección de su velocidad más no en su módulo.
F+ B θ
q F-
(3)
v
• La fuerza de Lorentz no hacer trabajo y la
energía cinética de la partícula cargada no varia, al moverse en el campo magnético. • Si v y B, forman un ángulo " θ " entre sí, entonces, la magnitud de la fuerza magné tica sobre la carga "q" es: F = q v.B sen θ
(2)
• Para, θ = π / 2 , obtenemos un valor máxi
mo de la fuerza. • Para, θ = 0 , no existe fuerza magnética sobre la carga "q". • Ahora, si la partícula de masa "m" y car
I J
• Consideremos un conductor de sección
transversal de área "S", a través del cual circula una corriente eléctrica de intensi dad "I" , además si el conductor se encuen tra en un campo magnético B , como se muestra en la Figura. • Entonces, la fuerza por unidad de volu men en cualquier parte de este conductor debido a la presencia de B es: f = nqvxB
(1)
siendo, "n" la cantidad de cargas que e xiste en una unidad de volumen del con ductor. Pero, teniendo en cuenta que q. v , es la densidad de corriente J , la ecuación anterior, queda así: f =JxB
(2)
• Luego, la fuerza total sobre un pequeño
volumen "dV" del conductor es: dF = f .dV = J x B.dV
(3)
613 • El conductor rectilíneo de longitud " ℓ " está sometido a una fuerza perpendicular a el y al campo magnético. Este es el princi pio en el que se basa el funcionamiento de los motores eléctricos. Ahora, si " θ" es el ángulo entre el conduc tor y el campo magnético B , entonces la magnitud de la fuerza F es:
Física III • Y la fuerza total sobre todo el volumen
"V" del conductor, se obtiene integrando esta expresión sobre todo su volumen, es decir: F = ∫ J x BdV
(4)
V
c) Sobre un conductor rectilíneo Ahora, como el elemento de volumen el conductor es, dV=S. dℓ y el vector densi dad de corriente J = J uˆ T , con uˆ T vector u nitario en la dirección de la tangente al eje del conductor, entonces la ecuación ante rior, queda así:
F = I ℓ B sen θ
(7)
d) Entre dos conductores rectilíneos d I1
F = ∫ (J.S) uˆ T x Bdℓ
d I2
I2 I1
l F F
V
F
F
F = I ∫ uˆ T x Bdℓ V
REPULSION
ATRACCION
F = I ∫ dℓ x B
(5)
V
B
F I
θ
x l
• Como ejemplo consideremos, el caso sen
cillo, cuando el eje del conductor es recti líneo y esta inmerso dentro de un campo magnético uniforme B , como muestra la Figura. En este caso tanto d ℓ como B son vecto res que mantienen su dirección y la ec.(5), se escribe así:
La magnitud de la fuerza de interacción magnética entre dos alambres paralelos rectilíneos de longitudes " ℓ " , separados por una distancia "d", que conducen co rrientes eléctricas "I1 ", "I 2 ", viene dado por: µ I I ℓ F= o 1 2 2π d
La fuerza será atractiva si las corrientes "i1 ", "i 2 " circulan en el mismo sentido, ca so contrario repulsiva. d) Entre dos espiras cuadra das paralelas I2 0• I2
F = I ∫ dℓ x B ℓ
I1
F = IℓxB
(6)
d
a
a
0•
a a
I1
614 Magnetismo La fuerza de interacción magnética entre µ II ℓ dos espiras idénticas cuadradas de lados F= o 1 2 2π d "a" , contenidas en planos paralelos separa dos una distancia "d" , y que conducen co rrientes eléctricas de intensidades "I1 " 8. TORQUE MAGNETICO SOBRE UN CIRCUITO "I " , viene dado por: 2
F=
µo a + 2d d 2a + d 8I1I 2 [ − − 1] 4π a 2 + d2 d a 2 + d2 2
2
2
2
a) Torque magnético en un circuito F x
e) El tensor maxwelliano de tensión La expresión de la fuerza ejercida por un campo magnético externo de intensidad H , sobre un cuerpo de volumen V, que conduce una corriente de densidad J , vie ne dado por:
x
x
x
0’ F’
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Fx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
E
x
D
xI x
x
x
xBx
x
C
I
•
0 F’
F
F=
1 (J x H)dV 4π ∫V
Esta fuerza espacial total puede sustituir se por un sistema de fuerzas superficiales, aplicadas a la superficie "S" del cuerpo de volumen "V " , por cuyo interior circula co rrientes de densidad espacial J , esto es: 1 Fα = (J x H)α dV 4π ∫V Fα =
∫S
Tαβ n β dS
siendo, n el vector unitario normal exte rior a la superficie "S"que encierra el volu men V y Tαβ el tensor maxwelliano de ten sión, cuya expresión es: 1 Tαβ = H α Hβ − H 2 δαβ 2 La fuerza de interacción entre dos conduc tores rectilíneos paralelos de longitudes " ℓ ", separados una distancia "d", y que conducen corrientes I1, I2, es:
• Para estudiar el momento o torque sobre u
na corriente eléctrica, debido a un campo magnético, consideremos el circuito rec tangular mostrado en la Figura. F n I θ
B
b I
F
• Las dimensiones del cuadro rectangular
son "a" y "b". La normal al plano del cua dro forma un ángulo "θ" con la dirección del campo magnético B uniforme. El cua dro puede girar alrededor del eje OO’, y transporta una corriente de intensidad "I" • Los lados CD y EF del cuadro son perpen diculares al campo. Por lo tanto, las fuer zas ejercidas sobre estos lados son iguales
615
Física III en magnitud pero de sentidos opuestos, las cuales son: F = Ia B
(1)
esto es: M = IS
• Entonces la ec.(5), podemos escribirla así:
• La fuerza resultante sobre el cuadro es nu
la. El momento o torque resultante, por el contrario, no es nulo, ya que las fuerzas so bre los lados CD y EF constituyen un par, que tomado respecto al eje OO’, da un mo mento igual a:
τ=F (
τ=MxB
• El sentido de M es el de avance de un tor
nillo derecho que gira en el mismo sentido que da la regla de la mano derecha.
1) Momento magnético dipolar
τ = Fbsen θ
R
(2)
cuando el plano del cuadro es paralelo al campo, y es nulo para θ=0 siendo el plano del cuado perpendicular al campo. • Puesto que "a.b" es el área "S" del cuadro la ec.(2), puede escribirse así: (3)
• Si el cuadro es un devanado con espiras
muy apretadas que tienen "N" vueltas, en tonces el momento en este caso es:
magnético es: τ = ISx B
z
(5)
b) Momento dipolar magnético Si definimos al producto de la intensidad de corriente eléctrica por el área del cua dro, como el momento dipolar magnético
l
Para determinar el momento magnético de un imán a lo largo de su eje, tendremos en cuenta la equivalencia entre corrientes e i manes. Así, sea "m" el momento magnéti co del imán cilíndrico de radio "R " y lon gitud " ℓ " , entonces la corriente equivalen te Ieq que produce este momento magnéti co es: Ieq =
(4)
• La forma vectorial de escribir el momento
dI
P
• El momento es máximo para θ=π/2 o sea
τ = N ISB sen θ
dx
x
Que considerando (1), queda así:
τ = ISB sen θ
(7)
c) Oscilaciones de un imán
b b sen θ) + F ( sen θ) 2 2
τ = Ia bsen θ
(6)
m πR2
Por proporcionalidad, la corriente "dI" que circula por la espira de anchura "dx" comprendida entre x y x+dx es: dI =
Ieq
ℓ
dx =
m dx π R 2ℓ
A su vez, esta corriente "dI" que circula por la espira de radio "R " crea en el punto
616 Magnetismo P un campo magnético dB de magnitud, i 2) Frecuencia angular de las oscilacio nes transversales gual a: El dispositivo experimental consta de un 2 par de bobinas de Helmholtz de radio "R " µ R dI dB = o 2 y que constan de "N" espiras cada una, co 2 (x + R 2 )3/2 nectadas a una batería de modo que la co rriente recorre las espiras en el mismo sen µo m dx dB = tido. Las bobinas se disponen paralelamen 2π ℓ (x 2 + R 2 )3 / 2 te a una distancia "R " una de la otra. Un pequeño imán de momento di polar m se cuelga de un hilo de modo que esté situa do en el punto medio del eje de las bobi R nas. θ1 θ θ2
P
Luego, haciendo la transformación de va riable R = x tg θ , con θ1 ≤ θ ≤ θ2 , e inte grando sobre todos los anillos, obtenemos la magnitud del campo magnético total en el punto P, así: B=
B=
µ o m θ2 ( −sen θ)dθ 2π ℓ R 2 ∫θ1 µo m
2π ℓ R 2
(cos θ2 − cos θ1 )
En la Figura, se observa que: cos θ1 =
cos θ2 =
m
l
z
z z2 + R 2
z+ℓ
ω
B I
R
M
0
I
R
0´ R
• Cuando el eje del imán no coincide con el
eje de las bobinas el campo magnético e jerce un momento que tiende a orientar su momento dipolar en la dirección del cam po. Como veremos el imán describe apro ximadamente pequeñas oscilaciones armó nicas simples cuyo periodo podemos me dir directamente con un cronómetro. • Recordemos que el campo magnético pro ducido por una bobina de radio "R " , de "N" espiras, recorrida por una corriente de intensidad "I" , en un punto de su eje si tuado a una distancia "x" de su centro es:
(z + ℓ)2 + R 2
Así, conocidas las dimensiones del imán, su radio "R " y su longitud " ℓ " , se puede medir el campo magnético B producido por el imán a una distancia "z" a lo largo de su eje y, determinar mediante la fórmu la anterior su momento magnético "m" .
θ
B=
µo N I R2 2 (x 2 + R 2 )3/ 2
Ahora, como los campos magnéticos, gene rados por las dos bobinas en el punto me dio M, son iguales en dirección y magni tud, entonces, el campo magnético resul
617
Física III tante en el punto M, situado a una distan cia x=R/2 es: B = B1 + B2
B=
Así, el imán realiza pequeñas ocilaciones pequeñas oscilaciones armónicas, con u na frecuencia angular, dada por:
µo N I 2 R (1 + 1 / 4)3/ 2
B=
d 2θ + ωo2 θ = 0 2 dt
ωo = (
8 5 µo N I 25 R
A su vez, el período de las pequeñas osci laciones transversales que realiza el imán es:
z ω
T=
0 θ
m
m B 1/ 2 ) I
2π I 1/ 2 ) = 2π ( ωo mB
y
B • De otro lado, si el imán se separa un án
gulo pequeño "θ" del eje de las bobinas, se ejerce sobre él un momento magnético, dado por: M = m x B ó M = m Bsen θ
estando m en la dirección del eje de rota ción del imán (eje Z) • La ecuación de la dinámica de rotación del imán alrededor de su eje de rotación es: I α = − m Bsen θ siendo, "I" el momento de inercia del i mán, que depende de su forma y dimensio nes y "α " la aceleración angular. El signo (-) nos indica que el momento del campo magnético es restaurador de la posición de equilibrio. 2 2 • Como, α = d θ / dt , y teniendo en cuenta que θ → 0o , sen θ ≈ θ , la ecuación ante rior se reduce a:
3) Frecuencia angular de las oscilacio nes longitudinales Ubicando un imán en el eje de una bobina de "N" vueltas, radio "R " por el que cir cula una corriente de intensidad "I" , a una pequeña distancia "x" de su centro 0, el i mán realiza pequeñas oscilaciones longitu dinales, a lo largo del eje de la bobina, co mo se aprecia en la Figura. I P
0
S N
m
B x
I x
La magnitud del campo magnético en el punto P, creado por la bobina es: µo N I R 2 B(x) = 2(x 2 + R 2 )3/2 Asumiendo que el momento magnético m del imán en el punto P es paralelo a B ( m // B ), entonces la energía potencial del imán es:
618
Magnetismo E P (x) = − miB −µ o N I R 2 m E P (x) = 2(x 2 + R 2 )3/2
Como, x<
µ o N I m 3µo N I m x 2 ( ) − + 2R 4R R
15 µ o N I m x 4 ( ) + ... 16R R
Despreciando los términos (x/R)n, para n ≥ 4 , puesto que nos corresponden a la e nergía potencial de un oscilador armónico simple, obtenemos la frecuencia angular propia de las pequeñas oscilaciones armó nicas, realizadas por el imán de masa "M" así: 2 1 d E P (x) ωo = [ ( ) x = 0 ] 1/2 2 M dx
ωo = (
e 2
J
v B
+ + + + + + + +
3 µo N I m 1/2 ) 2 M R3
• La diferencia de potencial de equilibrio en
el efecto Hall es:
a) Efecto Hall clásico
∆V = V1 − V2 = R
- - - - - - - 1 FL
2
- - - - - - - 1 FL
d
l
9. EFECTO HALL
v
ca, situado en un campo magnético B per pendicular al vector densidad de corriente J , surge un campo eléctrico transversal y una diferencia de potencial. • La causa del efecto Hall es la desviación que experimentan los electrones que se mueven en el campo magnético bajo la ac ción de la fuerza de Lorentz. • En la Figura, se muestran las direcciones del campo magnético B , de la densidad de corriente J , de la velocidad v de los e lectrones, de la fuerza de Lorentz FL , y los signos de las cargas concentradas en las ca ras opuestas, superior e inferior, en el caso de un metal o de un semiconductor por ex ceso. • Las cargas son desviadas por el campo magnético, hasta que la acción de la fuer za en el campo eléctrico transversal equili bre la fuerza de Lorentz.
J e B
+ + + + + + + +
Este efecto consiste, que en un metal o se miconductor que conduce corriente eléctri
IB d
siendo, "i" la intensidad de corriente; "B" la magnitud del campo magnético; "d" la longitud del metal o semiconductor a lo largo de B , y "R " la constante de Hall. • El campo eléctrico transversal E H en el e fecto Hall es: EH = R B x J
619 Los sensores de Efecto Hall permiten me dir: 1) La movilidad de una partícula cargada e léctricamente (electrones, protones, etc). 2) Los campos magnéticos (Teslámetros) 3) La intensidad de corrientes eléctricas (sen sores de corriente de Efecto Hall) 4) También permiten la elaboración de senso res o detectores de posición sin contacto, utilizados particularmente en el automóvil para detectar la posición de un árbol girato rio (caja de cambios, palieres, etc.). 5) Encontramos también sensores de efecto Hall bajo las teclas de los teclados de los instrumentos de música modernos (órga nos, órganos digitales, sintetizadores) evi tando así el desgaste que sufren los contac tos eléctricos tradicionales. 6) Encontramos sensores de efecto Hall en el codificador de un motor de CD. 7) Los motores de Efecto Hall (HET) son a celeradores de plasma de gran eficiencia.
Física III siendo, J el vector densidad de corriente. • Para metales y semiconductores extrínse cos con un mismo tipo de conducción, la constante de Hall es: R=
•
•
•
•
•
A n oq
siendo, "q" y "n o " la carga y la concen tración de portadores de corriente, A ≈ 1, un coeficiente adimensional dependiente del carácter de la distribución estadística de los portadores de la corriente según las velocidades. El signo de la constante de Hall coincide con el signo de la carga "q" de los porta dores de corriente. La medición de la constante de Hall para un semiconductor nos proporciona una ca racterística acerca del tipo de su conduc ción eléctrica. Cuando el semiconductor es del tipo "n" (conducción por electrones), q=-e y R < 0; si el semiconductor es del tipo "p" (con ducción por huecos), q = e y R > 0. Si en un semiconductor se observan am bos tipos de conducción eléctrica, por el signo de la constante de Hall se puede de terminar el tipo predominante en él, en este caso, la fórmula para determinar "R " no es válida. La medición de la constante de Hall permi te hallar la concentración de portadores de corriente "n o " si se conoce el tipo de con ducción.
b) Técnica de medición La técnica de medición más utilizada para la determinación de los portadores de car ga y resistividad en un semiconductor es la técnica de Van Der Paw. Es conocida también como técnica de cuatro puntas. c) Aplicaciones
d) Sensor de efecto Hall El sensor de efecto Hall o simplemente sensor Hall es un dispositivo que utiliza el efecto Hall para la medición de campos magnéticos o corrientes o para la determi nación de la posición. e) Efecto Hall cuántico El efecto Hall cuántico es un efecto meca no-cuántico, análogo al efecto Hall, que se observa sólo en gases bidimensionales de electrones, esto es, en sistemas físicos en los que existen electrones confinados a u na superficie, habitualmente por un campo eléctrico que los atrae hacia un aislante, o hacia un semiconductor sin dopar. A bajas temperaturas y campos magnéticos inten sos-temperaturas alrededor de los 4 K y campos magnéticos de alrededor de las 10 teslas, la conductividad eléctrica " σ " de ta les sistemas está cuantizada, y se puede
620 describir por la fórmula:
Magnetismo
e2 σ=ν h donde "e" es la carga del electrón, "h" la constante de Planck y "ν " un número na tural o una fracción sencilla. • El efecto Hall cuántico con números ente ros se puede explicar a partir de electrones individuales confinados a una superficie con defectos y en presencia de campo mag nético; el efecto de las interacciones intere lectrónicas es trivial y se limita al llenado progresivo de los niveles de Landau. Es comparativamente fácil de medir, y está en la base del estándar de resistencia eléc trica desde 1990. • El efecto Hall cuántico con números frac cionales es una propiedad emergente debi da a interacciones interelectrónicas: el e fecto surge precisamente de la correlación electrónica, del movimiento correlaciona do de los electrones para minimizar su re pulsión.
10.EL POTENCIAL VECTORIAL Y ESCALAR MAGNETICO a) Potencial vectorial dV1 j r2-r1 P V1 r1
r2
0
En el segundo capitulo, se estudio que to do campo eléctrico conservativo, que satis face la condición rotE = 0 , se obtiene co mo el gradiente cambiado de signo de una función llamado potencial eléctrico, esto
es, E = −∇V . Ahora, como el rotacional de la inducción magnética B no se anula, no se puede aplicar lo anterior, pero dado que, la divergencia de B se anula ( ∇ iB = 0 ) y como el rotacional de la di vergencia es nulo, entonces, podemos su poner que existe una función vectorial lla mada potencial vectorial A , tal que: B = rot A es decir, podemos obtener la inducción magnética, a partir del potencial vectorial A. • La expresión del potencial vectorial A en el vació, generada por una distribución de corriente espacial J en puntos del espacio, que no pertenecen a la distribución, viene dado por: A(r2 ) =
µo J(r1 ) dV1 ∫ 4π V1 r2 − r1
siendo, r1 el vector de posición que locali za un diferencial de volumen dV1 de la distribución de corriente, y r2 el vector de posición del punto P, donde se calcula el potencial vectorial.
Notas 1) En general el potencial vectorial no es fá cil de calcular, como en el caso del poten cial eléctrico, por ejemplo, si aplicamos es tá fórmula al caso de una corriente rectilí nea infinita obtenemos que A = ∞ , lo cual no es correcto. 2) Conocer el potencial vectorial magnético en un punto del espacio no tiene utilidad, pues, la inducción del campo magnético se obtiene por derivación. 3) El potencial vectorial se utiliza para calcu lar la inducción magnética, generada por
621 trico, este se llama campo de un dipolo magnético, siendo m el momento magnéti co dipolar del circuito.
Física III un circuito a grandes distancias de el, y en problemas en las que interviene la radia ción electromagnética. b) Campo magnético de un circuito e léctrico distante dl
C
r2-r1 I
P
I r1 r2
c) Monopolo magnético Un monopolo si tal cosa existiera sería u na nueva clase fundamentalmente diferen te de objeto magnético. Actuaría como un polo norte aislado, no atado a un polo sur, o viceversa. Los monopolos tendrían "car ga magnética" análoga a la carga eléctrica. A pesar de intensas búsquedas sistemáti cas a partir de 1931 (como la de 2006), to davía no hay evidencia concluyente de su existencia.
0
La expresión del potencial vectorial A en el punto P situado en el vació, generado por el circuito pequeño de corriente eléctri ca, viene dado por: A(r2 ) =
µo m x r2 4π r22
d) Dipolo magnético Se llama “dipolo magnético” el sistema de dos “cargas magnéticas” puntuales de dife rentes signos (+q) y (-q), que se encuen tran entre si a una distancia "d" pequeña en comparación con la distancia "r" hasta los puntos considerados del campo. H
siendo, m el momento magnético del cir cuito eléctrico C, que conduce una corrien te "i" , cuya expresión para r1 mucho me nor que r2 , viene dada por:
P r
B(r2 ) = rot A(r2 ) B(r2 ) =
µo m 3(mi r2 ) r2 [− + ] 4π r23 r25
Como la forma de este campo es parecida a la del campo eléctrico de un dipolo eléc
θ
0
I m = ∫ r1 x dr1 2 Luego, tomando el rotacional al potencial vectorial A , obtenemos la inducción mag nética en el punto P, así:
Hr
Hθ
-q
m
+q
d
El sentido del vector momento magnético dipolar, m = q d , es de sur a norte (de –q a +q). • En coordenadas polares planas, en el pun to P las componentes radial "H r " y tangen cial "E θ " de la intensidad del campo mag nético, viene dados por: Hr =
2 m cos θ y 4π r 3
Hθ =
msen θ 4π r 3
622 Magnetismo • La magnitud de la intensidad del campo f) Potencial escalar de un circuito magnético en el punto P del vació, creado pequeño. por el dipolo magnético, viene dado por: La inducción magnética B generada por un circuito pequeño a grandes distancia, 1 m 2 1/ 2 H= (3cos θ + 1) obtenida en b), podemos expresarla, así: 4π r 3 mi r2 siendo "θ" el ángulo entre el vector de B(r2 ) = −µo grad( ) (2) 3 π 4 r 2 posición r y el vector momento dipolar m. Comparando (1) con (2), encontramos la e) Potencial escalar expresión para la inducción magnética de La ley de Ampere en su forma diferencial un circuito de pequeñas dimensiones (di en el vació, se expresa, así: polo magnético), así: rot B(r) = µo J(r)
V=
si la densidad de corriente J(r) es nulo, entonces, como B satisface la condición de campo conservativo, este en una re gión dada del espacio, puede expresarse como el gradiente cambiado de signo de cierta función "V" llamada potencial esca lar, esto es:
B = −µ o∇V
mi r2 4π r23
Como se observa "V" es independiente de la forma que tenga el circuito conductor.
g) Potencial escalar de un circuito grande de corriente eléctrica P
(1) Ω
Ahora, como la div B =0, entonces, en la expresión anterior, tenemos:
r I
∇ iB = −µo∇ i∇V = 0 ∇ 2V = 0
C I
es decir, el potencial escalar "V"satisface la ecuación de Laplace. En la práctica la solución de muchos problemas de la elec trostática, se obtienen de resolver la ecua ción de Laplace más sus condiciones de contorno. • El potencial escalar magnético se utiliza para obtener el campo magnético, creados por circuitos que conducen corriente eléc trica ó capas dobles magnéticas (capas de dipolos).
En la Figura, el potencial escalar "V"en el punto P del vació, creado por el circuito grande C que conduce una corriente eléc trica "I" , viene dado por:
V(P) = −
IΩ 4π
siendo, " Ω " el ángulo sólido limitado por la curva C en el punto P.
623
Física III 11. OPTICA ELECTRONICA a) Definición La óptica electrónica estudia las propieda des y características de los haces de partí culas cargadas como electrones, protones, neutrinos, etc…que interaccionan con los campos eléctrico y magnético. b) Hipótesis • En la óptica electrónica geométrica se des precian las propiedades ondulatorias de los haces de las partículas cargadas. • Las partículas cargadas se consideran pun tos materiales y su movimiento en los cam pos se representa como un conjunto de tra yectorias. c) Región de validez Las leyes de la óptica electrónica geomé trica se violan allí donde la densidad de los haces de las partículas cargadas varía sensiblemente dentro de los siguientes lí mites lineales: ℓ=
h 2π 2 me V
siendo, "h" la constante de Planck, "e" y "m" la carga y masa de las partículas, y "V" el potencial del campo electrostático. • A la óptica electrónica se le pueden apli car aplicar las leyes fundamentales de la óptica corriente (de la luz). La analogía de las ópticas común y electrónica se basa en que el campo por el cual se desplaza el haz de electrones (u otras partículas carga das), se puede considerar semejante a un medio óptico heterogéneo, y la trayectoria de los electrones, semejante a los rayos en este medio. En la óptica electrónica funda mentalmente se utilizan campos de sime tría axial, es decir campos que son inde pendientes del ángulo "φ" .
d) Microscopia electrónica Es una disciplina que estudia la forma ción de imágenes de objetos microscópi cos mediante haces electrónicos enfoca dos por campos eléctricos y magnéticos. En la microscopia electrónica se utilizan electrones de longitud de onda de Broglie mucho menor que las dimensiones de del objeto, de modo que los haces de electro nes se comportan como los rayos en la óp tica geométrica. e) Ondas de De Broglie El físico De Broglie establece que las par tículas materiales poseen propiedades on dulatorias, así, la longitud de onda "λ " de la onda asociada al movimiento de una partícula, viene dada por: λ=
h h = mv p
siendo, "m" la masa de la partícula, "v" la rapidez con la que se mueve, y "h" la constante de Planck. • La expresión vectorial de la fórmula de De Broglie, se denota así:
p=
h k 2π
siendo, "p" la cantidad de movimiento, k = (2π / λ ) nˆ el vector de onda, y nˆ un vector unitario dirigido en el sentido en que se propaga la onda. • La longitud de onda de De Broglie de un electrón, luego de pasar por una diferen cia de potencial aceleradora es: λ=
h 2m ∆V
• En los cuerpos macroscópicos las propie
dades ondulatorias no se manifiestan de bido a que " λ " es muy pequeño.
624 Magnetismo f) Magnetohidrodinámica. Estudia la interacción de los campos elec tromagnéticos con los medios líquidos y gaseosos de considerable conductibilidad eléctrica. Ejemplo de estos medios es el plasma y los metales líquidos. En la mag CAP. 12 netohidrodinámica, los medios se conside ran continuos, y la excitación magnética H , es igual, a la inducción magnética B , 1. MOVIMIENTO DE CARGAS EN pues, para todos los líquidos y gases con CAMPOS ELECTROMAGNETICOS ductores la permeabilidad magnética es a) Movimiento de una carga en un µ = 1. campo magnético constante g) Campo de radiación Cuando la partícula de masa "m" y carga El proceso de emisión de ondas electro "q" , se mueve con velocidad "v" perpen magnéticas por un sistema se llama radia dicular a las líneas del campo magnético ción, y al campo electromagnético de las B , la fuerza en este caso hace variar sola ondas radiadas por este sistema se llama mente la dirección de la velocidad, más no campo de radiación. Recordemos que las su magnitud, esta fuerza estará dirigida ha cargas eléctricas en movimiento acelerado cia el origen del radio de curvatura (fuerza generan ondas electromagnéticas, también centrípeta), de modo que la partícula des las cargas eléctricas en movimiento no cribirá una trayectoria circular, ya esta acelerado generan campos electromag fuerza es constante tanto en magnitud co néticos, siempre y cuando su velocidad mo en dirección. sea mayor que la velocidad de fase de la luz en el medio (sustancia). B
FLUJO MAGNETICO
h) Campos microscópicos Se llaman así a los campos que se origi nan al interior de los cristales o sustancias, debidas a las interacciones de sus compo nentes (moléculas, átomos, electrones, etc..). Estos campos microscópicos se des criben mediante las ecuaciones de Lo rentz. i) Lentes electrostáticas Son diafragmas metálicos con un agujero circular o segmentos de tubos metálicos de sección circular. El eje óptico de la lente los forman los ejes de simetría de sus distin tos electrodos. La lente se denomina unipo tencial, si los potenciales de los electrodos extremos son iguales, en caso contrario se llama bipotencial.
q v 0
F r
• De otro lado, de la segunda ley de New
ton se tiene que la masa por la acelera ción centrípeta, debe ser igual, a la fuerza magnética sobre la partícula de carga "q":
v2 FC = m = q.v.B r
(1)
siendo, "r" el radio de la trayectoria cir cular que describe la partícula. • De la ec.(1), despejando la velocidad tene mos:
625
Física III v=
q.B.r m
x
x
x
x
x
(2)
x
B
Como, v = ω.r , entonces considerando es to en la ec.(2), obtenemos la frecuencia del movimiento de la partícula.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Rx
x
x
x
x
x
x
x
0 x
x
x
x
x
x
q(+)
ω=
q.B m
(3)
• Para hallar el vector frecuencia angular ω ,
B ingresa al papel y ω sale del papel, el sentido del recorrido de la partícula es an tihoraria.
consideremos que la aceleración lineal se expresa en función de la frecuencia angu lar y de la velocidad lineal como: a =ωx v
(4)
Por otra parte, de la segunda ley de New ton, se tiene: F = m.a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Rx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0
x
q(-)
B ingresa al papel y ω ingresa al papel, el sentido del recorrido de la partícula es ho raria.
q (v x B) = m (ω x v) Esta expresión se puede escribir también así:
b) Movimiento de una partícula en un campo magnético constante (Caso general)
[m ω + q.B] x v = 0
z B
Como v ≠ 0 , entonces la expresión entre corchetes debe ser nula, esto es: q ω= − B m
B
v q
y
(5)
se observa que la dirección de la frecuen cia angular ω es opuesta a la del campo magnético B . • Ahora, representemos la gráfica del mo vimiento de una partícula de carga negati va y positiva, que se mueve en un plano que es perpendicular a las líneas del vec tor campo magnético B .
x
Consideremos una partícula de masa "m" y carga "q", moviéndose con velocidad v (v<
(1)
626 Como:
Magnetismo • La solución general de esta ecuación di
p=
1 ξ.v c2
1 (p x , p y , p z ) = 2 ξ (v x , v y , v z ) c
ferencial de primer orden es la siguiente:
v x + i v y = A.e − i qc
1 ξ (vɺ x , vɺ y , vɺ z ) = q (vx , vy , vz )x(0, 0, B) c2 qc2 (v y B, − v x B, 0) ξ
(3)
vɺ y = − q.c v x B / ξ
(4)
vɺ z = 0
(5)
2
• La solución de la ec.(5) es inmediata ob
teniéndose las expresiones de la velocidad y posición de la partícula en la dirección z: v z = v oz = cte z = z o + voz .t
(6) (7)
Ahora multiplicando la ec.(4) por el ima ginario "i" y sumándole la ec.(3) se tiene: d q c2 (v + i v y ) = [ −i (v x + i v y )] dt x ξ d q c2 (v + i v y ) = −i (v x + i v y ) dt x ξ
(8)
siendo, A una constante, cuya determina ción dependerá de las condiciones inicia les del movimiento de la partícula. De otra lado, si tomamos A=A.e-i.α y ω = qc2 / ξ (frecuencia ciclotrónica), sien do " α " otra constante, entonces la ecua ción anterior queda: v x + i v y = A oe − i (ω.t + α ) vx + iv y = Ao cos(ω.t + α) + iAosen(ω.t + α)
Comparando término a término la expre sión izquierda con la derecha tenemos: vɺ x = q.c2 v y B/ ξ
/ξ
(2)
siendo, "ξ " la energía que posee la partícu la, esta energía asumiremos que se mantie constante. Reemplazando (2) en (1), se tiene:
(vɺ x , vɺ y , vɺ z ) =
2
De aquí, obtenemos las componentes de la velocidad en las direcciones x e y, respec tivamente: v x = A o cos(ω.t + α )
(9)
v y = A osen(ω.t + α)
(10)
Se observa que la suma de los cuadrados de estas componentes es constante, es de cir: v 2x + v 2y = A o2 Integrando nuevamente la ecs.(9) y (10) obtenemos las posiciones de la partícula en las direcciones x e y:
x = xo +
Ao A sen(ω.t + α) ω o
(11)
y = yo +
Ao A cos(ω.t + α) ω o
(12)
• Ahora, representemos la gráfica del mo
vimiento de la partícula.
627
Física III vɺ z =
v q
q E m z
(4)
Integrando esta última ecuación obtene mos la velocidad en la dirección z: 1 q.E v z = z o + voz t + ( z ) t 2 2 m
ESPIRAL
(5)
c) Movimiento de una partícula en un campo magnético y eléctrico cons tante Consideremos una partícula de carga "q" y masa "m" , moviéndose con velocidad v (x<
• De esta ecuación podemos decir que la par
dv = qE + q v x B dt
siendo, ω = qB / m la frecuencia ciclotró nica. • La solución de la ecuación homogénea de la ec.(6) es:
m
(1)
Ahora, las expresiones vectoriales de B , E y v son:
B = (0, 0, B) ; E = (0, E y , E z )
Sustituyendo en la ec. (1), tenemos: m (vɺ x , vɺ y , vɺ z ) = q (0, E y , E z ) + q (v x , v y , v z ) x (0, 0, B) m(vɺ x , vɺ y , vɺ z ) = q (v y B, E y − v x B, E z ) De aquí igualando las componentes de am bos lados de la expresión obtenemos:
q vɺ y = (E y − v x B) m
q.E y d (v x + i v y ) = iω (v x + i v y ) = i (6) dt m
v x + i v y = A.e − i.ωt
(7)
siendo "A" una constante de integración cuya determinación dependerá de las con diciones iniciales en las que se encuentre la partícula. • Una solución particular de la ecuación di ferencial de primer orden (6), es:
v = (v x , v y , v z )
q.B vɺ x = v m y
tícula posee movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje z. Ahora multiplicando la ec.(3) por el ima ginario "i" y sumándole la ec.(2) obtene mos:
(2)
q.E y mω
Ey
(8)
B
De modo que la solución completa de la ec.(6) es: v x + i v y = A.e − i ω.t +
Ey B
(9)
con A0 y α constan tes reales, entonces la anterior ecuación se puede escribir también así:
• Si hacemos A=A0e
(3)
=
-i.α
628
Magnetismo v x + i v y = A oe − i (ω.t + α ) +
y
Ey B
m,q
Luego, las componentes de la velocidad de la partícula en las direcciones x e y son: Ey v x = A o cos(ω.t + α) + (10) B (11)
• Integrando nuevamente este par de ecs. ob
tenemos la posición de la partícula en las direcciones x e y: Ey Ao )sen(ω.t + α) + t ω B
y = yo + (
Ao )cos(ω.t + α) ω
• De otra parte, la velocidad promedio o
media de las componentes de la velocidad en el plano X-Y son: < v x >=
Ey B
y < v y >= 0
• El tipo de trayectoria que describa la par
tícula dependerá de la siguiente relación:
A o /(E y / B) >< 1 Las proyecciones de las trayectorias des critas por la partícula en el plano X-Y son: y m, q
0
x
2. ESPECTROMETRIA DE MASAS
v y = − A osen(ω.t + α)
x = xo + (
0
x
a) Carga específica Se denomina carga específica de una par tícula a la relación "q / m" , entre la carga de la partícula y su masa. La determina ción experimental de la carga específica se basa en el estudio de la desviación de las partículas bajo la acción conjunta de un campo eléctrico y magnético. Conocida la carga específica y la carga "q", se determi na la masa de la partícula. b) Espectro de masas Se denomina espectro de masas de las par tículas al conjunto de valores de sus ma sas. c) Espectrometría de masas Se llama espectrometría de masas, a las mediciones que se realizan de las concen traciones relativas de los isótopos de los e lementos químicos y sus masas, para lo cual se utilizan aparatos especiales tales como espectrógrafos y espectrómetros de masas. d) Espectrómetro de masas de Dempster Es un dispositivo que nos permite determi nar la carga específica de los iones, sus componentes principales se muestran en la Figura. I = Es una fuente de iones (para obtener e lectrones se puede usar un filamento ca liente)
629 y "r" , que pueden medirse experimental mente. • Con esta técnica es posible medir la carga específica no solo de iones sino también de electrones, átomos, moléculas, así co mo de otras partículas cargadas.
Física III S1, S2 = Son dos rendijas a través de las cuales los iones son acelerados por la dife rencia de potencial ∆V , aplicadas entre ambas rendijas. I •
S1 S2 •
• v •
•
•
•
•
•
•
P •
C
•
•
•
•
•
•
r
B
+ ∆V
P = Es una placa fotográfica que registra la marca que deja el impacto de los iones C = Cámara que permite aislar el experi mento de posibles perturbaciones externas B = Campo magnético, cuyas líneas salen del papel y son perpendiculares a la mis ma. • Ahora, determinemos teóricamente la fór mula para el radio "r" de la trayectoria cir cular que siguen los iones en la cámara. Dado que la energía cinética con la que in gresan los iones a la cámara es igual a su e nergía potencial, entonces la velocidad de salida de los iones es: q v 2 = 2 ( ) ∆V m
(1)
• Como el radio de la trayectoria circular,
está dado por: v=
q.B.r m
(2)
• Entonces eliminando la velocidad entre
las ecs.(1) y (2), obtenemos la expresión final para la carga específica: q 2.∆V = m B2 r 2
(3)
en función de tres cantidades " ∆V" , "B"
3. ACELERADORES DE PARTICULAS CARGADAS a) Aceleradores Son instalaciones especiales que se utili zan para obtener en condiciones de labora torio haces dirigidos de partículas carga das, tales como electrones, protones, nú cleos atómicos e iones de los elementos químicos, con gran energía cinética. • Por la forma de la trayectoria y el meca nismo de aceleración de las partículas, los aceleradores se dividen en lineales, cícli cos y de inducción. En los lineales las tra yectorias de las partículas son casi líneas rectas; en los cíclicos y de inducción, las trayectorias son circunferencias o espira les. • El aumento de la energía de las partículas que se aceleran se realiza mediante la ac ción del campo eléctrico del acelerador. En dependencia del tipo de este el campo puede ser electrostático, inducido o alter nativo de alta frecuencia. b) Campo electrostático Es el campo eléctrico estacionario, es de cir que no varía con el tiempo, creado por las cargas eléctricas en reposo. c) Campo inducido o alternativo Es el campo eléctrico que se crea en un conductor que se halla en un campo mag nético alternativo o variable. La medida e nergética de este campo se realiza me diante la fuerza electromotriz ξi de in ducción electromagnética.
630 Magnetismo d) Acelerador electrostático lineal En este acelerador la partícula cargada pa sa una sola vez por un campo eléctrico ace lerador de diferencia de potencial (V1-V2). Si "q" es la carga de la partícula, la ener gía que esta adquiere en el acelerador es: W = q(V1 − V2 )
(1)
En este caso el campo eléctrico lo crea por ejemplo, un generador de Van de Graaf de alta tensión.
e) Aceleradores de resonancia lineales En estos tipos de aceleradores el aumento de energía de las partículas cargadas se e fectúa por la acción de un campo eléctrico alternativo, de frecuencia ultraalta, que va ria sincronizadamente con el movimiento de las partículas. Valiéndose de este tipo de acelerador, los electrones, después de recorrer varios kilómetros de distancia, se pueden acelerar hasta energías del orden de decenas de GeV. f) Aceleradores de resonancia cíclicos Se utiliza para acelerar protones, deutero nes y otras partículas cargadas de más pe so, en estos tipos de aceleradores las par tículas pasan muchas veces por un campo eléctrico sincronizado con su movimiento y cada vez aumenta su energía. El control del movimiento de las partículas y de su re torno periódico al espacio en que actúa el campo eléctrico, se efectúa por medio de un fuerte campo transversal. Las partícu las pasan cada vez por puntos determina dos del campo eléctrico alternativo aproxi madamente en una misma fase que el cam po (en resonancia). g) Ciclotrón
B v De
De q
•
•
V0 sen ω.t
Es el acelerador cíclico de resonancia más simple, entre las dos mitades de una caja cilíndrica, AB, llamadas electrodos en D o simplemente DES, se crea el campo eléc trico alternativo acelerador (Figura). Las DES se encuentran en una cámara cerrada, plana, situada entre los polos de un poten te electroimán, cuyo campo magnético es perpendicular al plano de la Figura. • El campo eléctrico alternativo se crea en la ranura que queda entre los electrodos en D, por un generador eléctrico cuyos polos están unidos a los electrodos a y b. La ace leración de la partícula se realiza en el hue co entre las DES cada vez que ella, por la acción del campo magnético y describien do en tiempos iguales semicircunferencias de radio cada vez mayor, vuelve a pasar por el hueco. Para que la partícula se ace lere continuamente en el ciclotrón es nece saria que se cumpla la condición de sincro nismo (condición de resonancia) T=T0 en la que T es el período de revolución de la partícula en el campo magnético y T0, el período de oscilación del campo eléctrico. Esta condición no se cumple cuando la par tícula se mueve con velocidad próxima a la de la luz en el vacío. Con esta velocidad la masa de la partícula crece, al aumentar la velocidad y lo mismo ocurre con el pe ríodo T. • Toda desviación del período T respecto del valor de resonancia T0 acarreará una
631
Física III variación tal de la energía W de la partícu la en cada aceleración, que T oscila alrede dor del valor T0, permaneciendo en prome dio igual a el: To ≈ T =
2π m 2π W = B q B q2
siendo, W= mc2; m= m0/ 1 − (v / c) 2 ; m0 la masa en reposo de la partícula, y "c" la velocidad de la luz en el vacío. • Por ejemplo, si como resultado del creci miento de la masa "m" y del período "T" , la partícula se encuentra en el hueco entre las DES bajo la acción de un campo elec trico no acelerador, sino retardador, la dis minución de su velocidad ocasiona la dis minución del período "T" y vuelve a con seguirse la igualdad T=T0.
h) Sincrociclotrón En este acelerador se utiliza el principio de la autoestabilización de fase, de la que se sigue que si el aumento del período T0 del campo eléctrico es suficientemente len to, aumenta respectivamente el período "T" de revolución de la partícula en el campo magnético del acelerador. Con esto crece la energía media
trón es:
T=
2π W e.c2 B
siendo, "e" la carga del electrón, y "W" su energía. La condición de sincronismo se cumple en el sincrotrón siendo T0=cte si el campo magnético crece proporcional mente a la energía de la partícula: B=
2π W e.c2 To
en la que "To " es el período del campo e léctrico acelerador de alta frecuencia. En el sincrotrón se cumple la condición: m e.To = = cte. B 2π Las partículas se mueven siguiendo órbi tas aproximadamente circulares, por lo que en el sincrotrón se utilizan electroima nes anulares que crean el campo magnéti co en una zona relativamente estrecha, pró xima a la órbita circular.
j) Sincrofasotrón Es el acelerador de protones más potente que existe, en este caso se combinan los principios utilizados en el sincrociclotrón y en el sincrotrón. En este acelerador si multáneamente y en concordancia, dismi nuye la frecuencia f0 del campo eléctrico acelerador y aumenta el campo magnético B . Con esto los protones que se aceleran se mueven siguiendo una órbita circular de radio constante. 4. LEY DE AMPERE Consideremos una corriente rectilínea infi nita "i" como el que se muestra en la Figu ra, a continuación calculemos la circula ción del campo magnético B creado por
632 Magnetismo ma expresión anterior, para la circulación esta corriente a lo largo de la trayectoria circular de radio "r" : de B : CB = µoI
B
(2)
dℓ
I
P
Luego, de (1) y (2) podemos decir que la circulación del campo magnético es inde pendiente de la trayectoria que se conside re para su cálculo. Así, en general es posi ble demostrar que la ec.(2) se cumple para cualquier forma que tenga el circuito eléc trico, luego lo dicho anteriormente pode mos resumirlo en el siguiente enunciado que viene a ser la ley de Ampere:
l
CB =
∫ Bid ℓ = B ℓ ℓ
CB = (
µoI )(2π r) 2π r
Enunciado
De modo que la circulación de B resulta ser: CB = µo I (1) B
La expresión matemática de esta ley, se es cribe así:
dℓ
I
P B
dθ
r l
La circulación del campo magnético a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual, a la corriente neta que encierra o enlaza dicha trayectoria.
dℓ
CB =
∫ Bid ℓ = µoI ℓ
rdθ
siendo, I = ∑ I k la suma algebraica de las k
Ahora, consideremos una trayectoria arbi traria como el mostrado en la Figura, y cal culemos nuevamente la circulación del campo magnético B a través de esta tra yectoria:
corrientes enlazadas por la trayectoria cerrada " ℓ " .
I2 I3
CB =
∫ Bid ℓ = ∫ Bθdℓ ℓ
CB =
∫ ℓ
(
ℓ
µo I µ I 2π )(r dθ) = o ∫ dθ 2π r 2π 0
De donde nuevamente obtenemos la mis
I1 l
Por ejemplo en la Figura, la corriente neta enlazada por la trayectoria cerrada " ℓ " es:
633 Por la ley de Ampere, la ec.(1) debe ser i gual a la ec.(2) multiplicada por la cons tante "µ o " , esto es:
Física III I1 < 0 I = − I1 + I 2 − I3 = I2 > 0 I <0 3
Nota A veces se acostumbra escribir la ley de Ampere, así: CB =
∫
Bid ℓ = µ o
B=
J idS
S
5. APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE
CB =
a) Campo magnético de un cilindro compacto
I
R
∫ C Bid ℓ = B (2π r)
Y la corriente total que pasa a través del área encerrada por la curva "ℓ 2 " , es "I" , de modo que por la ley de Ampere, la mag nitud del campo magnético para puntos fuera del cilindro resulta ser:
r
l1
µo I r 2π R 2
2) Fuera del cilindro r ≥ R. En este caso, la circulación del campo magnético a lo largo de la trayectoria ℓ 2 (circunferencia de radio r) es:
∫ J idS la corriente neta.
l2
De modo que la magnitud del campo mag nético para r < R es:
S
ℓ
siendo
∫
r2 B(2π r) = µo ( 2 I) R
B=
r
µo I 2π.r
Ahora, representemos la magnitud del campo magnético "B" , en función de la distancia radial "r" . 1) Al interior del cilindro (r < R) La circulación del campo magnético para la trayectoria ℓ1 (circunferencia de radio r) es: CB =
∫ C Bid ℓ = (B)(2πR)
2
r I R2
µ0i/2πR
(1)
De otro lado, la corriente neta que pasa a través del área encerrada por " ℓ1 " es: I1 =
B(r)
(2)
0
R
r
b) Campo magnético de una bobina toroidal Se tiene una bobina toroidal de "N" , de ra
634 Magnetismo y (2), obtenemos la magnitud del campo dios interno "a" y externo "b" , respectiva magnético: mente, como muestra la Figura a través de esta bobina circula una corriente eléctrica µ NI de intensidad "I" . B= o 2π r Entonces utilizando la ley de Ampere po demos determinar el campo magnético pa Si (b-a) es suficientemente pequeño en ra tres casos: tonces la ecuación anterior se puede escri l1 bir como: r B = µo n I
l2 r a
•
l3
r
b •
•
1) Caso I Para puntos fuera de la bobina toroidal, r>b, la circulación del campo magnético B a través de la trayectoria cerrada ℓ1 es:
CB =
∫ ℓ Bid ℓ = (B)(2π r) 1
De otro lado, la corriente que enlaza ℓ1 es cero, de modo que la magnitud del campo magnético en este caso resulta ser
2) Caso II Para puntos situados dentro de la bobina toroidal, esto es para a ≤ r ≤ b, la circula ción del campo magnético B a través de la trayectoria cerrada ℓ 2 es:
∫ℓ
Bid ℓ = (B)(2π r)
B=0 Representemos la magnitud del campo magnético "B" , en función de la distancia radial "r" . B(r) µ0Ni/2πa
0
a
r
b
6. FLUJO MAGNETICO a) Flujo magnético de un campo magnético uniforme
(1)
2
N B
Y la corriente total que enlaza la trayecto ria ℓ 2 es: In = N I
B∝1/r
µ0Ni/2πb
B=0
CB =
siendo, n = N/2π.r = N/ ℓ 2 , el número de vueltas por unidad de longitud. 3) Caso III Para puntos fuera de la bobina toroidal (r < a) procediendo del mismo modo, obtene mos que:
(2)
Luego, aplicando la ley de Ampere, de (1)
θ
S
635
Física III El flujo magnético de un campo magnéti co uniforme, a través de una superficie "S" , por ejemplo, la superficie de una espi ra, viene dado por:
B S
Φ B = B S cos θ siendo, "B" la magnitud del campo mag nético, "S" el área de la superficie y " θ" el ángulo entre B y la perpendicular "N" a la superficie que contiene a la espira. • El flujo magnético, es el número total de lí eas de campo magnético que atraviesan la superficie de área "S".
Unidad: " Φ " se mide en Weber(Wb) Casos particulares: 1) B perpendicular a la superficie (θ = 00) Φ = BS <<
Flujo magnético máximo>>
De otro lado, como las líneas de fuerza del campo magnético son líneas cerradas y si no existen polos magnéticos al interior de la superficie cerrada "S", entones el flujo a través de ella siempre es nulo, esto es:
∫S BidS = 0 Ahora, utilizando el teorema matemático de Gauss, la ecuación anterior se escribe a su vez así:
∫V div B dV = 0
B B S
S
1
2
2) B paralelo a la superficie (θ = 900)
Φ=0 Flujo magnético nulo>>
siendo, "V" el volumen encerrado por el área de la superficie "S", de este modo ob tenemos la ley de Gauss en su forma dife rencial para campos magnéticos. div B = 0 Esta ecuación es la expresión matemática de una de las leyes de Maxwell, análoga a la del campo eléctrico.
<<
a) Flujo magnético de un campo magnético no uniforme El flujo magnético de un campo magnéti co no uniforme, a través de una superficie cerrada o abierta "S", viene dado por: Φ B = ∫ BidS S
c) Circuito magnético Se llama circuito magnético el conjunto de cuerpos o zonas del espacio en que se ha concentrado el campo magnético. Los cir cuitos magnéticos son una parte imprescin dible de las máquinas eléctricas y muchos dispositivos eléctricos. • En el circuito magnético, el flujo magné tico Φ m desempeña una función análoga a
636 Magnetismo siendo, "n" el número de sectores del cir la de la intensidad de corriente en el circui to eléctrico. En todas las secciones de un cuito magnético. circuito magnético sin derivaciones o bi • La reluctancia total Rm, de "n" reluctan furcaciones, el flujo magnético Φ m debe cias acoplados paralelamente, viene dado por: ser el mismo. − 1 −1 R m = [∑ i =1 R mi ] n
d) Ecuación de Hopkinson (Ley de Ohm para circuitos magnéticos) La expresión matemática de esta ley, vie ne dada por: ξm Rm
Φm =
siendo, Φ m el flujo magnético, constante a lo largo de cada zona del circuito; ξ m = iN , la fuerza magnetomotriz: "N" el número de espiras de la corriente magneti zante "i" , y "R m " , la resistencia magnéti ca o reluctancia total del circuito.
e) Reluctancia (Rmi) La reluctancia de la parte del circuito de longitud " ℓ " , y de área de la sección trans versal constante "S" es: R mi =
ℓi µµoS
siendo, "µ " la permeabilidad relativa de la parte dada del circuito, y "µ o " la permea bilidad del vació. • Si el área de la sección transversal "S" no es constante, la reluctancia se obtiene de:
R mi = ∫
ℓi
0
dℓ µµ oS
• La reluctancia total Rm de los sectores del
circuito magnético acoplados en serie, vie ne dado por: R m = ∑ i =1 R mi n
7. LEYES DE KIRCHOFF PARA CIRCUITOS MAGNETICOS a) Primera ley de Kirchoff Para los circuitos magnéticos derivados (bifurcados), la suma algebraica de los flu jos magnéticos en las ramas del circuito que concurren en un nudo, es igual a cero, esto es:
∑ i =1Φ mi = 0, n
siendo, "n" el número de ramas o sectores que concurren en un nudo, como se obser va esta ley es análoga a la ley de Kirchoff para circuitos eléctricos. • El flujo magnético se considera positivo, si las líneas de inducción confluyen en el nudo. Si estas líneas salen del nudo, el flu jo magnético Φ m se considera negativo.
b) Segunda ley de Kirchoff En cualquier contorno cerrado elegido ar bitrariamente de un circuito magnético bi furcado, la suma algebraica de los produc tos de los flujos magnéticos Φ mi por las reluctancias R mi de los correspondientes sectores del circuito, es igual a la suma al gebraica de las fuerzas magnetomotrices ξ mi , aplicadas a este contorno, esto es:
∑ i =1Φ mi R mi = ∑ i =1(± ) ξmi k
k
siendo, "k" el número de sectores del cir cuito magnético, que componen el contor
637 siendo, ∆Φ m = Φ m − Φ mo la variación del flujo magnético a través de la superficie li mitada por el contorno cerrado. • En el cálculo del flujo magnético Φ m a través de la superficie limitada por un con torno cerrado C con corriente "i" , el senti do de la normal exterior se elige de modo que desde el extremo del vector de la nor mal se vea circular la corriente por el con torno contra las agujas del reloj. • El trabajo de desplazamiento por un cam po magnético de un conductor o contorno cerrado con corriente I=cte., se realiza a costa de la energía suministrada por la fuente de corriente.
Física III
no cerrado, Φ mi y ξ mi se consideran mag nitudes positivas, si el sentido de las lí neas coinciden con el sentido, arbitraria mente elegido, de recorrido del contorno.
c) Trabajo de desplazamiento de un conductor con corriente por un campo magnético Para un conductor no fijo que conduce co rriente eléctrica, y que bajo la acción de la fuerza de Ampere, se desplaza por un cam po magnético. El trabajo elemental dW rea lizado por la fuerza de Ampere al despla zar el elemento del conductor con corrien te "I" , viene dado por: dW = IdΦ m siendo, el flujo magnético elemental a tra vés de la superficie engendrada por el e lemento de longitud del conductor en mo vimiento. El trabajo realizado por las fuer zas de Ampere al desplazar el conductor de longitud finita con corriente i=cte. vie ne dado por:
W = I∫
Φm
dΦ m = i Φ m
siendo, "Φ m " el flujo magnético a través de la superficie engendrada por el conduc tor en su movimiento, e I=cte. I
n
d) La densidad de corriente de despla zamiento La densidad de corriente de desplazamien to J D , se define como la variación tempo ral del vector desplazamiento D , esto es: JD =
e) Corriente eléctrica de desplazamien to La corriente de desplazamiento (en ampe rios) a través de una superficie específica, se obtiene por integración exactamente en la misma forma como la corriente de con ducción, esto es: ID = ∫ JD idS = ∫ ( S
I
C
• Al desplazar arbitrariamente un contorno
cerrado con corriente i=cte., por un cam po magnético, se realiza un trabajo, dado por: W = I ∆Φ m
∂D ∂t
S
∂D )idS ∂t
La corriente de desplazamiento "i D " pue de interpretarse en términos de movimien to de cargas. Si la carga "Q" se mueve con una rapidez "v", el campo eléctrico que rodea a "Q" también avanza con ra pidez "v". Por tanto, aunque "Q" puede cruzar físicamente una superficie S (lo que constituiría una corriente de conducción)
638 Magnetismo gen cargas eléctricas de signos contrarios. las líneas de D cambiando a través de S, Este efecto se observa en el cuarzo, turma producen una corriente de desplazamien lina, sal de Rochelle, titanato de bario, to. blenda de cinc. La inversión de la deforma f) Razón entre las densidades de ción del cristal varía el signo de las cargas de las superficies, en el signo opuesto. conducción y desplazamiento • El efecto piezoeléctrico inverso consiste en la variación de las dimensiones lineales de ciertos cristales bajo la acción del cam ε po eléctrico. σ • La variación del sentido del campo eléctri co causa un cambio de carácter de la defor E mación. Este efecto tiene gran importancia para la obtención del ultrasonido. La mayoría de los materiales o sustancias no son perfectamente conductores ni total mente dieléctricos, es decir, presentan am bas características, así, para una dependen cia del campo eléctrico E respecto de la frecuencia ω ( E ∝ e j ωt ) la densidad de corriente total, viene dado por: JT = JC + J D
JT = σ E +
∂ (ε E) ∂t
JT = σ E + ˆj ωε E Así, la razón de las magnitudes de las den sidades de corriente de conducción "J C " y desplazamiento "J D " es: JC σ = J D ωε siendo, " σ " la conductibilidad, " ε " la permitividad eléctrica y " ω" la frecuencia de oscilación de la onda eléctrica E .
g) Efecto piezoeléctrico Este efecto consiste en que, al deformarse mecánicamente ciertos cristales según de terminadas direcciones, en sus caras sur
h) Fotoelectricidad Se llama así al proceso de interacción de u na radiación electromagnética con la mate ria, como resultado del cual la energía de los fotones se transmite a los electrones de la materia. Para los sistemas de cuerpos sólidos y líquidos se observa el efecto foto eléctrico externo (fotoemisión), en el cual la absorción de fotones va acompañada de extracción de electrones del cuerpo, y el e fecto fotoeléctrico interno, en el cual los e lectrones varían su estado energético sin salir del cuerpo. En los gases, el efecto fo toeléctrico consiste en la ionización de los átomos o de las moléculas debido a la ra diación (fotoionización). 8. CONDICIONES DE CONTINUIDAD Y CONTORNO A continuación discutiremos los proble mas de magnetóstatica con valores de contorno y continuidad, las cuales añadi das a las condiciones apropiadas asegu ran que cualquier solución de las ecuacio nes ∇xH = J
(1)
∇ iB = 0
(2)
639
Física III B = µo H
(3)
son una solución única. Las condiciones de continuidad asumen que su forma más simple quedan establecidas en términos de los vectores campo B y H . Las condiciones de continuidad y/o discontinui dad se siguen fácilmente de las ecs.(1) y (3). La naturaleza nula de la divergencia del vector de inducción magnética nos conduce a concluir que la componente de B es continua en cualquier superficie S’ en la que la per meabilidad magnética del medio que se sitúa en la región de interés podría cambiar dis continuamente o en cualquier superficie que contiene una distribución de corriente. Así, cuando los vectores del campo de inducción magnética B e intensidad magnética H , pasan de un medio "1" hacia otro "2" de diferentes propiedades magnéticas, en la superfi cie de separación S de ambos medios, dichos campos magnéticos satisfacen las siguientes condiciones de continuidad. a) La componente normal de B es continua Esta condición establece que la componente normal del campo de inducción magnética B , al pasar este del medio "1" hacia el "2" , no cambia, esto es: nˆ i(B2 − B1 ) = 0 o
B1n = B2n
Para demostrar esto, consideremos la pequeña superfi cie cilíndrica S de altura despreciable comparada con el diámetro de sus bases. Aplicando la integral de flu jo, a esta superficie, y teniendo en cuenta que sólo existe flujo por las bases del cilindro de área ∆S , te nemos:
∫S BidS = 0
B2
n2
2
S 1
B1
n1
⇒ B2 i nˆ 2∆S + B1 inˆ 1∆S
siendo, nˆ 1 y nˆ 2 son las normales dirigidas hacia fuera de las superficies superior e infe rior del cilindro. Como, nˆ 2 = − nˆ 1 y como cada una de estas normales puede servir como normal a la superficie de separación de los medios, tenemos: (B2 − B1 )inˆ 2 = 0 o
B1n = B2n
b) La componente tangencial de H no es continua Esta condición establece que la componente tangencial de la intensidad del campo mag nético H , al pasar este del medio "1" hacia el "2" , cambia, esto es: nˆ 2 x (H 2 − H1 ) = JS o en ausencia de distribuciones de corriente superficial, la componente tangencial de la in tensidad magnética no cambia, esto es
1396
Magnetismo nˆ 2 x (H 2 − H1 ) = 0,
o
H 2t = H1t
H2
2
Para demostrar esto, consideremos el circuito rectan gular ABCD, con las longitudes de los lados AB y CD igual a ∆ " ℓ " y la de los lados AD y BC despre ciables. Luego, aplicando la ley de circulación de Ampere, tenemos:
A
B
D
C H1
1
∫ C H id ℓ = I H 2 i ∆ ℓ + H1 i( − ∆ ℓ) = JSx∆ ℓ
o
H 2t − H1t = JSx ˆi
siendo JS la densidad de corriente superficial (corriente de conducción por unidad de longitud) y ˆi el vector unitario en la dirección de ∆ ℓ . Luego, como la ecuación anterior es válida para cualquier segmento ∆ ℓ paralelo a la superficie de separación, esta ecua ción puede escribirse así nˆ x (H 2 − H1 ) = JS siendo, nˆ la normal unitaria perpendicular a la superficie de corriente, orientada del pri mer medio hacia el segundo.
c) El flujo del campo de inducción magnética B es continuo Para demostrar que en un punto el flujo del campo de inducción magnético es continuo, consideremos un tubo de líneas de campo magnético, de áreas de las S1 y S2, respectiva mente. Ahora, apliquemos el teorema de la divergencia, así:
∫V ∇ iBdV = ∫S BidS − ∫S BidS = Φ(S2 ) − Φ(S1) 2
(4)
1
Así, el los flujos magnéticos que pasan por la superfi cies de las bases inferior y superior del tubo es el mis mo. Las líneas del flujo magnético nunca terminan, pero eventualmente deben llegar a su punto inicial, formando curvas cerradas. Esta condición de continuidad sólo se aplica al cam po de inducción magnética B , más no así a la intensi dad del campo magnético H , pues, ∇ iH = −∇ iM , no es nula en todos los puntos. En este caso, la condi ción de discontinuidad de H , se escribe así:
B2
n2 n’1
S1 n1
Un tubo de líneas del campo magnético
∫V ∇ iH dV = ∫S HidS − ∫S HidS = ∫V ρVdV 2
1
S2
(5)
641
Física III
PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Un protón se mueve con rapidez de v=3.106 m/s formando un ángulo de θ=37º con la di rección del campo magnético de magnitud B=0,3 T que esta dirigido a lo largo del eje +y. (e=1,6•10-19 C, m=1,67•10-27 kg, f=10-15, T=1012) I) Hallar la magnitud de la fuerza magnética de la fuerza magnética sobre el protón. a) 80,7 fN
b) 82,7 fN
c) 84,7 fN
d) 86,7 fN
e) 88,7 fN
II) Hallar la magnitud de la aceleración que adquiere el protón. a) 50,9 Tm/s2
b) 51,9 Tm/s2
c) 52,9 Tm/s2
d) 53,9 Tm/s2
e) 54,9 Tm/s2
02. Un protón que se mueve con rapidez de v=107 m/s perpendicularmente a la dirección de un campo magnético B , experimenta una aceleración de a=2•1015 m/s2 en la dirección del eje +x cuando su velocidad v está en la dirección del eje +z. Hallar el vector campo mag nético B . (µo=4π•10-7 A/m, m=10-3) a) -20,9 ˆi mT
b) 20,9 ˆi mT
c) -20,9 ˆj mT
d) 20,9 ˆj mT
e) 21,9 ˆi mT
03. Un electrón se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial de ∆V=2 400 voltios, y luego ingresa a una región de un campo magnético uniforme de magnitud B= 1,7 T. (e=-1,6•10-19 C, m=9,11•10-31 kg, p=10-12) I) Hallar la magnitud del valor máximo de la fuerza magnética sobre el electrón. a) 7,1 pN
b) 7,3 pN
c) 7,5 pN
d) 7,7 pN
e) 7,9 pN
II) Hallar la magnitud del valor máximo de la fuerza magnética sobre el electrón. a) 0 pN
b) 1 pN
c) 2 pN
d) 3 pN
e) 4 pN
04. Una bola metálica de masa m=30 g y carga neta Q=5 µC se lanza horizontalmente con u na velocidad de v =20 ˆi m/s, sobre una ventana que se encuentra a una altura de h=20 m sobre el suelo. Un campo magnético horizontal uniforme de magnitud B =0,01 ˆi T es per pendicular al plano de la trayectoria de la bola. Hallar la magnitud de la fuerza magnética que actúa sobre la bola, antes de que está golpee el suelo. (g=9,8 m/s2) a) 1kˆ µN
b) −1kˆ µN
c) 2 kˆ µN
d) −2kˆ µN
e) 3kˆ µN
05. Un protón que se mueve con una rapidez de v=4•106 m/s a través de un campo magnético de magnitud B=1,7 T experimenta una fuerza magnética de magnitud F=8,20•10-13 N. Ha llar el menor ángulo entre la velocidad v del protón y el campo magnético B . a) 40,9º
b) 42,9º
c) 44,9º
d) 46,9º
e) 48,9º
642 Magnetismo 06. Un electrón se mueve en un campo eléctrico y magnético uniformes con una velocidad de v =1,2 ˆi km/s y una aceleración de a =2•1012 kˆ m/s. Si el campo eléctrico tiene una inten sidad de E =20 kˆ N/C. Hallar la componente By del campo magnético en la región. (e=1,6•10-19 C, m= 9,11•10-31 kg, m=10-3) a) -2,62 mT
b) 2,62 mT
c) -3,62 mT
d) 3,62 mT
e) -4,62 mT
07. Un protón se mueve a una velocidad de v = (2 ˆi -4 ˆj + kˆ ) m/s en una región R del espacio donde el campo magnético es B = ( i + 2ˆj − 3kˆ ) T. Hallar la magnitud de la fuerza magné tica que actúa sobre el protón. (a=10-18) a) 2,14 aN
b) 2,34 aN
c) 2,54 aN
d) 2,74 aN
e) 2,94 aN
08. Un laboratorio produce un campo magnético de magnitud B=1,5 T. Un protón se mueve a través de este campo con una rapidez de v=6•106 m/s. (e=1,6•10-19 C, m=1,67•10-27 kg) I) Hallar la magnitud de la fuerza magnética que experimenta el protón. a) 1,44 pN
b) 2,44 pN
c) 3,44 pN
d) 4,44 pN
e) 5,44 pN
d) 882 Tm/s2
e) 892 Tm/s2
II) Hallar la magnitud de la aceleración máxima del protón. a) 852 Tm/s2
b) 862 Tm/s2
c) 872 Tm/s2
III) Podría el campo ejercer la misma fuerza magnética sobre un electrón moviéndose a través del campo con la misma velocidad. IV) Podría el electrón experimentar la misma aceleración.
09. En un campo magnético de magnitud B=1,25 T dirigido verticalmente hacia arriba, una partícula de carga de valor q=8,5 µC, se mueve inicialmente hacia el norte con rapidez de v=4,75 km/s se desvía hacia el este. (µ=10-6) I) Hallar el signo de la carga "q" de la partícula. II) Hallar la fuerza magnética que actúa sobre la partícula. a) 50,5 mN
b) 51,5 mN
c) 52,5 mN
d) 53,5 mN
e) 54,5 mN
10. Una partícula de carga q=-5,6 nC se mueve en un campo magnético uniforme B =-1,25 kˆ (T), y la fuerza que experimenta es F = (-0,34 ˆi +0,74 ˆj) µN. I) Hallar las componentes de la velocidad v de la partícula. II) Hallar el producto escalar viF y el ángulo entre v y F . 11. Un grupo de partículas se mueve en un campo magnético de magnitud y dirección desco nocidas. Se observa que un protón que se mueve con velocidad v = 1,5iˆ km/s experimen ta una fuerza de F = 2, 25i10 −16 ˆjN , y otro electrón que se mueve con velocidad de v = −4,75kˆ km/s experimenta una fuerza de magnitud F=8,5•10-16 N. (f=10-15) I) Hallar el campo magnético B , en la región dada.
643
Física III ˆ a) (1,12 ˆi − 0,94 k)T
ˆ b) (1,52 ˆi − 0,34 k)T
ˆ d) (1,92 ˆi − 0,14 k)T
ˆ c) (1,32 ˆi − 0,74 k)T
ˆ e) (1,72 ˆi − 0,54 k)T
II) Hallar la fuerza F sobre un electrón que se mueve con velocidad de v = −3,2 ˆj km/s.
ˆ a) (0,48iˆ + 0,57 k)fN
ˆ ˆ b) ( −0, 48iˆ + 0,57 k)fN c) (0,48iˆ − 0,57 k)fN ˆ ˆ e) (0,57 ˆi + 0, 48k)fN d) ( −0, 48iˆ − 0,57 k)fN
12. Un electrón de carga q=-1,6•10-19 C se mueve con rapidez de v=2•106 m/s, perpendicular mente a un alambre rectilíneo muy delgado que conduce una corriente de intensidad I=50 A, alejándose de el. Hallar la magnitud de la fuerza sobre el electrón, para el instante en que se encuentra a una distancia d=3 cm del alambre. (µo=4π•10-7 A/m, f=10-15) a) 0,11 fN
b) 0,21 fN
c) 0,31 fN
d) 0,41 fN
e) 0,51 fN
13. En un cinescopio, los electrones con energía cinética Ec=3•10-15 J se mueven en línea rec ta desde la parte trasera del tubo hasta el frente. El cinescopio está cerca de un cable recto que conduce una corriente de I=12 A, en dirección paralela a la trayectoria de los electro nes y a una distancia radial de r=0,3 m de esa trayectoria.(e=-1,6•10-19 C, me=9,1.10-31 kg) I) Hallar la magnitud de la fuerza magnética sobre el electrón. a) 0,104 fN
b) 0,114 fN
c) 0,124 fN
d) 0,134 fN
e) 0,144 fN
II) Hallar la magnitud de la aceleración transversal correspondiente. a) 104 Tm/s2
b) 114 Tm/s2
c) 124 Tm/s2
d) 134 Tm/s2
e) 144 Tm/s2
14. Un átomo de cobre se mueve con rapidez de v=7•103 m/s paralelamente a un alambre lar go y recto que conduce una corriente de I=25 A. La distancia del átomo de cobre al alam bre es r=1,5 cm. (µo=4π•10-7 A/m e=1,6•10-19 C, a=10-18) I) Hallar la magnitud de la fuerza magnética sobre el electrón del átomo de cobre. a) 0,17 aN
b) 0,37 aN
c) 0,57 aN
d) 0,77 aN
e) 0,97 aN
II) Hallar la magnitud de la fuerza magnética sobre el núcleo del átomo de cobre. a) 10,8 aN
b) 12,8 aN
c) 14,8 aN
d) 16,8 aN
e) 18,8 aN
III) Hallar la magnitud de la fuerza magnética sobre el átomo de cobre. a) 0 aN
b) 10 aN
c) 20 aN
d) 30 aN
e) 40 aN
15. Un alambre recto muy largo conduce una corriente de intensidad I=30 A en la dirección del eje +x. Un protón situado en r = 2,5 j (m) tiene velocidad instantánea de v =2 ˆi -3 ˆj +4 kˆ (m/s). Hallar la fuerza magnética F sobre el protón. (µo=4π•10-7 A/m, q=1,6•10-19 C, mp=1,67•10-27 kg, y=10-24)
644
Magnetismo
a) (-1,15 ˆí -0,77 ˆj ) yN
b) (-1,75 ˆí -0,17 ˆj ) yN
d) (-1,55 ˆí -0,37 ˆj ) yN
c) (-1,35 ˆí -0,57 ˆj ) yN
e) (-1,95 ˆí -0,97 ˆj ) yN
16. Una carga "+ q" se desplaza con una velocidad v formando un ángulo " θ con la direc ˆ .¿Para qué valor del ángulo " θ" , la magnitud de la fuerza ción de un campo magnético B magnética es la tercera parte de la fuerza magnética máxima? a) 17,5o
b) 18,0º
c) 18,5o
d) 19,0º
e) 19,5o
17. Un protón atraviesa un campo magnético vertical. La velocidad instantánea del protón es v=8.105 m/s horizontal con dirección norte. La aceleración instantánea que produce la fuerza magnética es a=3,2•1014 m/s2 en dirección oeste. Hallar la magnitud del campo magnético y su dirección. a) -4,17 kˆ (T)
b) 4,17 kˆ (T)
c) -4,57 kˆ (T)
d) 4,57 kˆ (T)
e)-4,97 kˆ (T)
18. Se requiere balancear momentáneamente la fuerza gravitacional sobre un protón, con una fuerza magnética. Si el protón se mueve horizontalmente en dirección este, con rapidez de v=6•104 m/s.¿Qué campo magnético B se requiere? (p=10-12) a) 1,1 ˆj pT
b) -1,1 ˆj pT
c) -1,7 ˆj pT
d) 1,7 ˆj pT
e) 1,7 kˆ pT
19. En una tormenta en la sierra, la corriente de un rayo puede ser de intensidad I=2.104 A. Considerando que el rayo es una línea recta de corriente.¿Cuál es la magnitud del campo magnético B a una distancia de r=1 m del rayo? (µo=4π•10-7 A/m, m=10-3) a) 1 mT
b) 2 mT
c) 3 mT
d) 4 mT
e) 5 mT
20. El cable de una línea de alta tensión está a d=25 m sobre el suelo, y conduce una corriente de intensidad I=1,8 kA. (k=103, µ=10-6) I) Hallar la magnitud del campo magnético a nivel del suelo, creado por la corriente. a) 12,4 µT
b) 13,4 µT
c) 14,4 µT
d) 15,4 µT
e) 16,4 µT
II) La intensidad del campo magnético terrestre sobre la línea de alta tensión es de B=60 µT ¿Cuántas veces mayor es la magnitud del campo magnético terrestre que la de la línea de transmisión? a) 4,17 veces
b) 4,37 veces
c) 4,57 veces
d) 4,77 veces
e) 4,97 veces
21. El campo magnético que rodea la Tierra comúnmente es de intensidad B=50 µT. Si un e lectrón de rayo cósmico, con energía cinética de Ec=30 keV, se mueve instantáneamente en dirección perpendicular a las líneas de ese campo magnético. Hallar la magnitud de la fuerza magnética sobre el electrón. (1 eV=1,6•10-19 J, e=-1,6•10-19 C, f=10-15) a) 0,52 fN
b) 0,62 fN
c) 0,72 fN
d) 0,82 fN
e) 0,92 fN
645 22. En Chauripampa el campo magnético terrestre tiene una componente vertical (hacia aba jo) de Bv=60 µT y una componente horizontal (hacia el norte) de Bh=17 µT. Un electrón cósmico se mueve de este a oeste con una rapidez instantánea de v=106 m/s. (e=-1,6•10-19 C, a=10-18) I) Hallar la magnitud de la fuerza magnética sobre el electrón cósmico.
Física III
a) 5,98 aN
b) 6,98 aN
c) 7,98 aN
d) 8,98 aN
e) 9,98 aN
II) Hallar la dirección de la fuerza magnética sobre el electrón cósmico. a) 15,0o
b) 15,4º
c) 15,8º
d) 16,2º
e) 16,6º
23. En la superficie de un pulsar o estrella de neutrones, el campo magnético puede ser hasta de B=108 T. Para un electrón de un átomo de hidrógeno que se encuentre en la superficie de esa estrella, que está a la distancia de r=5,3•10-11 m del protón y se mueve con una rapi dez de v=2,2•106 m/s en su órbita. I) Comparar la fuerza eléctrica que ejerce el protón sobre el electrón, con la fuerza magné tica que ejerce la estrella de neutrones sobre el electrón. II) ¿Es razonable esperar que el átomo de hidrógeno se deforme fuertemente debido al campo magnético? 24. Un filamento rectilíneo delgado con densidad de carga lineal "λ" , se mueve en dirección paralela a sí misma, a la velocidad v . I) Hallar la intensidad de corriente eléctrica generada en el filamento. II) Hallar la magnitud del campo magnético creado por la corriente del filamento. III) Demostrar que la magnitud del campo magnético producido por la corriente del filamento es proporcional a la magnitud del campo eléctrico. 25. Una partícula de carga q=+9,45•10-8 C se mueve en una región R donde hay un campo magnético uniforme B =0,45 ˆi (T). En un instante dado, la velocidad de la partícula es v = ˆ i104 (m/s). Hallar: k= (Fy-Fx)/(Fz-Fx) donde Fx, Fy, Fz son las mag ( −1,68iˆ − 3,11ˆj + 5,85k) nitudes de las componentes de la fuerza magnética. a) 1,58
b) 1,68
c) 1,78
d) 1,88
e) 1,98
26. Se quiere acertar en un blanco situado a varios metros de distancia, con una moneda de carga q=+2,5 mC y masa m=5 g. Se lanza horizontalmente la moneda con una rapidez ini cial de vo=12,8 m/s, en presencia de un campo eléctrico uniforme dirigido verticalmente hacia abajo de magnitud E=27,5 N/C. (m=10-3) I) Hallar la magnitud del campo magnético B , necesario. a) 3,08 T
b) 3,28 T
c) 3,48 T
d) 3,68 T
e) 3,88 T
d)
e) ↓
II) Hallar la dirección del campo magnético B . a) ←
b) ↑
c)
27.Una partícula alfa de masa m=6,64•10-27 kg, moviéndose horizontalmente con una rapidez
646 Magnetismo de v=35,6 km/s ingresa a un campo magnético uniforme vertical de magnitud B=1,1 T. (e=1,6•10-19 C) I) Hallar el radio de la trayectoria circular que describe la partícula alfa. a) 0,27 mm
b) 0,37 mm
c) 0,47 mm
d) 0,57 mm
e) 0,67 mm
II) ¿Cuál es el efecto que ejerce el campo magnético sobre la velocidad de la partícula alfa? III) Hallar la magnitud de la aceleración de la partícula alfa en su trayectoria. a) 1,89 Tm/s2
b) 2,89 Tm/s2
c) 3,89 Tm/s2
d) 4,89 Tm/s2
e) 5,89Tm/s2
28. Un deuterón (núcleo de un isótopo de hidrógeno) tiene una masa de m=3,34•10-27 kg y u na carga de +e. El deuterón se mueve en una trayectoria circular con un radio R=6,96 mm en un campo magnético de magnitud B=2,5 T. (e=1,6•10-19 C, n=10-9, k=103) I) Hallar la rapidez con la que se mueve el deuterón. a) 803 km/s
b) 813 km/s
c) 823 km/s
d) 833 km/s
e) 843 km/s
II) Hallar el tiempo requerido para que recorra media revolución. a) 20,2 ns
b) 22,2 ns
c) 24,2 ns
d) 26,2 ns
e) 28,2 ns
III) ¿A través de qué diferencia de potencial debe ser acelerado el deuterón, para que alcance tal rapidez? a) 7,0 kV
b) 7,2 kV
c) 7,4 kV
d) 7,6 kV
e) 7,8 kV
29. Desde un pozo de altura h=125 m se suelta una bola de masa m=150 g, que contiene N= 4•108 electrones excedentes. En el fondo del pozo la bola interactúa de súbito con un cam po magnético de magnitud B=0,25 T dirigido horizontalmente de este hacia oeste. Des preciando la resistencia del aire. I) Hallar la magnitud de la fuerza magnética F que actúa sobre la bola, en el instante que in gresa al campo magnético. a) 0,59 nN
b) 0,69 nN
c) 0,79 nN
d) 0,89 nN
e) 0,99 nN
II) Hallar la dirección de la fuerza magnética F que actúa sobre la bola, en el instante que in gresa al campo magnético a) ←
b) ↑
c)
d)
e) ↓
30. Un físico desea producir ondas electromagnéticas de frecuencia f=3 Thz usando un mag netrón. (T=1012) I) Hallar la magnitud del campo magnético necesario. a) 101 T
b) 103 T
c) 105 T
d) 107 T
e) 109 T
II) ¿Habría alguna ventaja en usar protones en lugar de electrones en el magnetrón?¿Porqué?
31.Un ciclotrón debe acelerar protones hasta una energía de 5,4 MeV. El electroimán del su
647 perconductor del ciclotrón produce un campo magnético de 3,5 T perpendicular a las órbi tas de los protones. (e=1,6•10-19 C, m=10-3, M=106, 1 eV=1,6•10-19 J) I) Cuando estos han alcanzado una energía cinética de 2,7 MeV,¿Cuál es el radio de su órbi ta circular?
Física III
a) 58 mm
b) 68 mm
c) 78 mm
d) 88 mm
e) 98 mm
II) Cuando estos han alcanzado una energía cinética de 2,7 MeV,¿Cuál es la rapidez angular que han alcanzado? a) 314 Mrad/s
b) 324 Mrad/s
c) 334 Mrad/s
d) 344 Mrad/s
e)354 Mrad/s
III) Cuando estos han alcanzado una energía cinética de 5,4 MeV,¿Cuál es el radio de su órbi ta circular? a) 56 mm
b) 66 mm
c) 76 mm
d) 86 mm
e) 96 mm
IV) Cuando estos han alcanzado una energía cinética de 5,4 MeV,¿Cuál es el radio de su órbi ta circular? a) 314 Mrad/s
b) 324 Mrad/s
c) 334 Mrad/s
d) 344 Mrad/s
e)354 Mrad/s
32. En la Fig.01, la barra metálica homogénea de masa m=458 g, longitud l=75 cm conduce u na corriente de intensidad "I" en presencia de un campo magnético uniforme de magnitud B=1,55 T. La barra está articulada en "b" pero descansa sin sujeción en "a" . Hallar la má xima intensidad de corriente que puede circular de "a" hacia "b" sin que se interrumpa el contacto eléctrico en "a" . (θ=60º) a) 1,87 A
b) 1,90 A
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I •
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b
α•
c) 1,93 A
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a
B
d) 1,96 A
e) 1,99
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
I
x
x
x
x
x
α
x
x x
x
B
x x
P
Fig.01
Fig.02
33. En la Fig.02, la varilla delgada homogénea de masa despreciable y longitud l=0,2 m está sujeta al piso por la bisagra sin fricción en el punto P. El resorte horizontal de constante e lástica k=4,8 N/m enlaza el otro extremo de la varilla a una pared vertical. La varilla que conduce una corriente de I=6,5 A está en un campo magnético uniforme de magnitud B=0,34 T. (α=53º, m=10-3) I) Hallar la deformación que experimenta la longitud del resorte, se estira E o comprime C. a) 5,16 (E)
b) 5,16 (C)
c) 5,76 (E)
d) 5,76 (C)
e) 5,96 (E)
648 Magnetismo II) Hallar la energía almacenada en el resorte deformado, cuando la varilla está en equilibrio. a) 7,14 mJ
b) 7,34 mJ
c) 7,54 mJ
d) 7,74 mJ
e) 7,94 mJ
34. En el cañón de electrones de un cinescopio de televisor, los electrones de carga "e" , masa "m" son acelerados por un voltaje "V" . Después de salir del cañón, el haz de electrones recorre una distancia "D" hasta la pantalla; en está región hay un campo magnético trans versal de magnitud "B" y no hay campo eléctrico "E" . I) Represente la trayectoria que describen los electrones en el cinescopio. II) Demostrar que la desviación aproximada del haz debida a este campo magnético, viene da do por: d= (BD2/2)(e/2mV)1/2. III) Evaluar la distancia "d" para V=750 voltios, D=50 cm y B=50 µT,¿Es significativa esta desviación? a) 6,1 cm
b) 6,3 cm
c) 6,5 cm
d) 6,7 cm
e) 6,9 cm
35. En la Fig.03, el alambre rectilíneo largo presenta una región semicircular de radio R=0,95 m, y está colocado en un campo magnético uniforme de magnitud B=2,2 T. Hallar la mag nitud de la fuerza magnética neta que actúa sobre el alambre que conduce una corriente de intensidad I=3,4 A. (a=3 m) a) 20,44 (→)
b) 20,44 (←)
c) 22,44 (→)
d) 22,44 (←)
e) 20,44 (↑)
36. En la Fig.04, el trozo recto de alambre conductor de masa M=0,5 kg, longitud l=60 cm se coloca en el plano inclinado sin fricción con un ángulo α=53º, respecto de la horizontal; en presencia del campo magnético vertical uniforme de magnitud B=2 T. Para evitar que el alambre se deslice por el plano inclinado, sus extremos se conectan a una fuente de vol taje de V=12 voltios, fluyendo una corriente "I" a través de el. Hallar la magnitud y direc ción de la corriente "I" en el alambre. (g=9,8 m/s2) a) 5,02 (→)
b) 5,02 (←)
c) 5,42 (→)
d) 5,42 (←)
e) 5,82 (→)
I x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
B
R
B M
α l
I
Fig.03
R.SABRERA
Fig.04
37. Un campo magnético ejerce un para de torsión " τ " sobre una espira de alambre redondo que lleva una corriente.¿Cuál será el par de torsión sobre esta espira (en términos de " τ " ) si su diámetro se triplica?
649
Física III a) 5τ
b) 6τ
c) 7τ
d) 8τ
e) 9τ
38. Un alambre de densidad de masa lineal λ=0,5 g/cm conduce una corriente eléctrica de in tensidad I=2 A horizontalmente hacia el Sur. Hallar el campo magnético B necesario pa ra levantar verticalmente este alambre. (g=9,8 m/s2) a) 0,245 (←)
b) 0,245 (→)
c) 0,545 (←)
d) 0,545 (→)
e) 0,945 (←)
39. Un alambre conduce una corriente estable de intensidad I=2,4 A. Una sección recta del a lambre mide l=0,75 m de largo y se encuentra a lo largo del eje x dentro de un campo magnético uniforme de magnitud B=1,6 T en la dirección del eje +x. Hallar la fuerza mag nética sobre la sección del alambre. a) +2,88 ˆj (N)
b) -2,88 ˆj (N)
c) +1,44 ˆj (N)
d) -1,44 ˆj (N)
e) +2,22 ˆj (N)
40. En este problema, todos los cuerpos tienen la misma carga "Q" distribuidas homogénea mente, radio "R " y giran alrededor de su eje de simetría con velocidad angular "ω" . I) Hallar la razón de los momentos magnéticos de un disco (mA) y anillo (mD) II) Hallar la razón de los momentos magnéticos de un cilindro hueco mH compacto (mC) III) Hallar razón de los momentos magnéticos de una esfera hueca (mH) y compacta (mC) 41. En la Fig.05, el conductor suspendido por dos alambres flexibles tiene una densidad de masa lineal de λ=0,04 kg/m.¿Qué intensidad de corriente debe existir en el conductor para que la tensión en los alambres de soporte sea cero cuando el campo magnético es de B= 3,6 T? (g=9,8 m/s2) a) 0,11 (→)
b) 0,11 (←)
c) 0,15 (→)
d) 0,15 (←)
e) 0,19 (→)
42. En la Fig.06, el cubo tiene aristas de longitud a=40 cm. Cuatro segmentos rectos de alam bre ab, bc, cd y da forman una espira cerrada que conduce una corriente de I=5 A en la di rección mostrada. Un campo magnético uniforme de magnitud B=20 mT está en la direc ción del eje +y. I) Hallar la fuerza magnética F sobre cada segmento, mediante el método gráfico. II) Hallar la fuerza magnética F sobre cada segmento, mediante el método vectorial. B
y x
x
x
x
x
x
x
x
B x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
d
I I
Fig.05
z
b x c
Fig.06
650 Magnetismo 43. En la Fig.07, la barra de masa m=0,72 kg y radio de sección R=6 cm descansa sobre dos rieles paralelos de longitudes l=45 cm, separados por la distancia d=12 cm. La barra con duce una corriente de intensidad I=48 A en la dirección indicada, partiendo del reposo rue da a lo largo de los rieles sin deslizarse; en presencia del campo magnético uniforme de magnitud B=0,24 T, perpendicular a la barra.¿Con qué rapidez abandona la barra los rie les? a) 1,07 m/s
b) 1,17 m/s
c) 1,27 m/s
d) 1,37 m/s
e) 1,47 m/s
44. En la Fig.08, la espira rectangular de lados a=0,4 m y b=0,3 m constan de N=100 vueltas enrolladas muy próximas entre sí. La espira se articula a lo largo del eje y, con su plano formando un ángulo de α=30º con ele eje x. En la región R existe un campo magnético u niforme de magnitud B=0,8 T dirigido en la dirección de eje +x cuando la corriente es de I=1,2 A. Hallar el momento de torsión τ sobre la espira ejercido por B . a) 9,98 ˆi N•m
b) -9,98 ˆi N•m
c) 9,98 ˆj N•m
d) -9,98 ˆj N•m e) 9,98 kˆ N•m y I
d
a
B
I α z
l
Fig.07
x
b
Fig.08
45. Un pequeño imán de barra está suspendido en un campo magnético uniforme de magnitud B=0,25 T. El momento de torsión (torque) máximo experimentado por el imán de barra es de τmax=4,6.10-3 N.m. Hallar el momento magnético (en A.m2) del imán de barra. a) 18,0•10-3
b) 18,4•10-3
c) 18,8•10-3
d) 19,2•10-3
e) 19,6•10-3
46. Con un alambre de masa m=0,1 kg se forma una espira cuadrada de lado a=0,1 m. La espi ra se articula a lo largo de un lado horizontal, conduciendo una corriente de intensidad I=3,4 A, y se coloca en un campo magnético vertical de magnitud B=0,01 T. (g=9,8 m/s2) I) Hallar el ángulo que el plano de la espira forma con la vertical cuando la bobina está en e quilibrio. a) 3,57º
b) 3,67º
c) 3,77º
d) 3,87º
e) 3,97º
II) Hallar el momento de torsión (en N.m) que actúa sobre la espira, debido a la fuerza mag nética en equilibrio. a) 31,9•10-3
b) 32,9•10-3
c) 33,9•10-3
d) 34,9•10-3
e) 35,9•10-3
651 47. Una espira de corriente con un momento magnético de dipolo "m" se coloca en un campo magnético uniforme B . Demostrar que su energía potencial es U=- miB .
Física III
48. La aguja de una brújula magnética tiene un momento magnético de m=9,7 mA.m2. En esta ubicación el campo magnético de la Tierra es de B=55 µT hacia el norte a 48º bajo la horizontal. (m=10-3, µ=10-6) I) Hallar la orientación correspondiente a la energía potencial mínima de la aguja, y hallar es ta energía potencial mínima. a) -0,514 µJ
b) -0,534 µJ
c) -0,554 µJ
d) -0,574 µJ
e) -0,594 µJ
II) Hallar la orientación correspondiente a la energía potencial máxima de la aguja, y hallar esta energía potencial máxima. a) +0,514 µJ
b) +0,534 µJ
c) +0,554 µJ
d) +0,574 µJ
e) +0,594 µJ
49. El rotor de un motor eléctrico es un enrollado rectangular plano de 80 vueltas de alambre de dimensiones 2,5 cm por 4,0 cm. El rotor gira en un campo magnético uniforme de mag nitud B=0,8 T. Cuando el plano del rotor es perpendicular a la dirección del campo magné tico, por ella circula una corriente de 10 mA. Para esta orientación, el momento magnéti co del rotor está en dirección opuesta al campo magnético. Entonces, el rotor gira media vuelta. Este proceso se repite girando el rotor uniformemente a 3 600 rev/min. I) Hallar el máximo torque que actúa sobre el rotor. (m=10-3, µ=10-6) a) 600 µN.m
b) 610 µN.m
c) 620 µN.m
d) 630 µN.m
e) 640 µN.m
d) 241 mW
e) 251 mW
II) Hallar el pico de la potencia de salida del motor. a) 211 mW
b) 221 mW
c) 231 mW
III) Hallar la cantidad de trabajo realizado por el campo magnético sobre el rotor en cada vuel ta completa. a) 2,16 mJ
b) 2,26 mJ
c) 2,36 mJ
d) 2,46 mJ
e) 2,56 mJ
c) 134 mW
d) 144 mW
e) 154 mW
IV) Hallar la potencia media del motor. a) 114 mW
b) 124 mW
50. Hallar la energía magnética de interacción de dos circuitos circulares de radios a=0,1 cm y b=10 cm, por las que circulan corrientes de intensidades I1=0,1 A y I2=0,4 A. Los cen tros de estos circuitos se encuentran en un mismo punto y sus planos forman entre sí un ángulo de θ=60º. (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6) a) 0,11µo µJ
b) 0,31µo µJ
c) 0,51µo µJ
d) 0,71µo µJ
e) 0,91µo µJ
51. En la Fig.09, por el conductor circula una corriente de intensidad I=1,8 A de "a" hacia "b" en presencia de un campo magnético uniforme B = 1, 2 kˆ T . Hallar la fuerza total que actúa sobre el conductor y demostrar que es la misma que actuaría si se tratara de un seg
652 Magnetismo -3 mento recto de "a" a "b" . (m=10 ) a) (-86,4 ˆi -64,8 ˆj ) mN
b) (-82,4 ˆi -65,8 ˆj ) mN
d) (-84,4 ˆi -63,8 ˆj ) mN
c) (-81,4 ˆi -61,8 ˆj ) mN
e) (-82,4 ˆi -62,8 ˆj ) mN
52. En la Fig.10, por el cable conductor en forma de semicircunferencia de radio "R " circula corriente de intensidad "I" en presencia de un campo magnético uniforme B = Bkˆ perpen dicular al plano del conductor. Probar que la fuerza que actúa sobre el conductor es cero. y
y
b
I
4cm 0 z
I
a
R
3cm B
0
x
Fig.09
x
Fig.10
53. Un simple magnetómetro (gaussímetro) para la medida de campos magnéticos horizonta les consiste en un alambre rígido de l=50 cm que cuelga de un pivote conductor de modo que su extremo libre hace contacto con una cubeta de mercurio. El mercurio proporciona un contacto eléctrico si restringir el movimiento del alambre. El alambre tiene una masa de m=5 g y conduce una corriente hacia abajo. (g=9,81 m/s2, µ=10-6) I) ¿Cuál es el desplazamiento angular de equilibrio del alambre respecto a la posición verti cal si el campo magnético horizontal es B=0,04 T y la corriente de I=0,2 A? a) 4,06º
b) 4,26º
c) 4,46º
d) 4,66º
e) 4,86º
II) Si la corriente es de I=20 A y puede detectarse un desplazamiento de la vertical de d=0,5 mm para el extremo libre,¿Cuál es la sensibilidad de medida de campos magnéticos hori zontales para este magnetómetro? a) 4,11 µT
b) 4,31 µT
c) 4,51 µT
d) 4,71 µT
e) 4,91 µT
54. Por un cable de longitud l=10 cm circula corriente de intensidad I=4 A en la dirección del eje z positivo. La fuerza que actúa sobre este cable debido a un campo magnético B es F = 0,2(- ˆi + ˆj ) N. Si este cable se gira de tal modo que la corriente fluye en la dirección del eje x positivo, la fuerza sobre el cable es F = 0,2kˆ . Hallar el campo magnético B . a) 0,5(- ˆi + ˆj) T
b) 0,5( ˆi + ˆj) T
c) 0,5( ˆj+ kˆ ) T
d) 0,5( ˆi + kˆ ) T
e) 0,5( ˆi - kˆ )T
55. Por un cable cerrado de forma arbitraria circula una corriente de intensidad "I" en presen
653 cia de un campo magnético uniforme B . Demostrar explícitamente que la fuerza total que actúa sobre la parte del alambre desde un punto "a" a otro punto "b" , viene dado por: F = I ℓ x B , donde " ℓ " es el vector de "a" a "b".
Física III
56. Un protón (p) y una partícula alfa (α) se mueven en un campo magnético uniforme en cir cunferencias de igual radio. I) Hallar la razón de sus rapideces vp/vα=? a) 1
b) 2
c) 4
d)1/2
e) 1/4
d)1/2
e) 1/4
II) Hallar la razón de sus energías cinéticas Tp/Tα=? a) 1
b) 2
c) 4
III) Hallar la razón de las magnitudes de sus cantidades de movimiento pp/pα=? a) 1
b) 2
c) 4
d)1/2
e) 1/4
III) Hallar la razón de las magnitudes de sus momentos angulares Lp/Lα=? a) 1
b) 2
c) 4
d)1/2
e) 1/4
57. Una partícula de carga "q" y masa "m" tiene una cantidad de movimiento p=m.v y una e nergía cinética T=p2/2m. Si se mueve en una órbita circular de radio "R" perpendicular a un campo magnético uniforme B , demostrar que I) p=qBR y, II) T=q2B2R2/2m. 58. Un haz de partículas ingresa con velocidad v en una región de campo magnético unifor me B que forma un pequeño ángulo " θ" con v . Probar que después de que una partícula se mueve una distancia 2π(m/qB) vcos θ medida a lo largo de la dirección de B , la veloci dad de la partícula tiene la misma dirección y sentido que cuando ingresa en el campo. 59. En la Fig.11 un protón con rapidez de v=107 m/s ingresa en la región de campo magnético uniforme de magnitud B=0,8 T, que ingresa perpendicularmente al papel. El ángulo de in greso es θ=60º. (q=1,6•10-19 C, mp=1,67•10-27 kg) I) Hallar el ángulo " φ" con la que sale el protón del campo magnético. a) 30º
b) 37º
c) 45º
d) 53º
e) 60º
II) Hallar la distancia entre los puntos de entrada y salida del campo magnético. a) 10 cm
b) 11 cm
c) 12 cm
d) 13 cm
e) 14 cm
60. En la Fig.12, el elipsoide de revolución de semiejes a=10 cm y b=15 cm, con una densi dad de carga homogénea de ρ=8•10-9 C/m3 distribuida en su volumen, gira con una velo cidad angular constante de ω=100 rad/s alrededor de su eje de simetría. En el centro del e lipsoide se encuentra una partícula con momento magnético interior m =mo ˆj. Hallar el momento M (en nN•m, n=10-9) de fuerza aplicado a la partícula. (Sugerencia: Utilizar la función ln(x))
654
Magnetismo
a) 1, 07mo ˆi
b) 3, 07mo ˆi v’ φ
d
θ
v
c) 5, 07mo ˆi
d) 7, 07mo ˆi z
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
e) 9, 07mo ˆi
ω
b
-a y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-a
a
x
Fig.11
a -b
ρ
Fig.12
61. Supongamos que el campo magnético de la galaxia en alguna zona interestelar es de B= 10-9 T. Una partícula de polvo interestelar tiene masa m=10 µg y carga q=0,3 nC,¿Cuán tos años necesita para completar una órbita circular en el campo magnético? a) 6 615
b) 6 625
c) 6 635
d) 6 645
e) 6 655
62. Las placas de un aparato de Thomson q/m son de longitud l=6 cm y están separadas por una distancia de d=1,2 cm. El extremo de las placas está a D=30 cm de la pantalla del tu bo. La energía cinética de los electrones es de T=2,8 keV. I) Si se aplica un potencial de V=25 voltios a través de las placas de deflexión,¿En cuánto se desviará el haz? a) 7,14 mm
b) 7,24 mm
c) 7,34 mm
d) 7,44 mm
e) 7,54 mm
II) Hallar el valor de un campo magnético cruzado que permita el haz pasar sin ser desviado. a) 63,3 µT
b) 64,3 µT
c) 65,3 µT
d) 66,3 µT
e) 67,3 µT
63. El cloro tiene dos isótopos estables, 35Cl y 37Cl, cuyas abundancias naturales son, respecti vamente, 76 % y 24 %. El gas cloro ionizado con una sola carga ha de separarse en sus componentes isotópicos mediante un espectrómetro de masas. El campo magnético del es pectrómetro es 1,2 T,¿Cuál es el valor mínimo del potencial a través del cual deben acele rarse estos iones para que la separación entre ellos sea de 1,4 cm? (e=1,6•10-19 C, 1 uma=1,66•10-27 kg, m=10-3) a) 120 kV
b) 122 kV
c) 124 kV
d) 126 kV
e) 128 kV
64. Un ión 24Mg simplemente ionizado (masa 3,983•10-26 kg) se acelera a través de un poten cial de 2,5 kV y se desvía en un campo magnético de 55,7 mT que existe en un espectro metro de masas. (e=1,6•10-19 C, 1 uma=1,66•10-27 kg, m=10-3) I) Hallar el radio de curvatura de la órbita del ión 24Mg. a) 61,3 cm
b) 62,3 cm
c) 63,3 cm
d) 64,3 cm
e) 65,3 cm
655 II) ¿Cuál es la diferencia de los radios para los iones Mg y Mg? Asumir que la relación de sus masas es 26:24)?
Física III
26
a) 2,15 cm
b) 2,25 cm
24
c) 2,35 cm
d) 2,45 cm
e) 2,55 cm
65. Un haz de iones 6Li y 7Li pasa a través de un selector de velocidades y entra en un espec trometro magnético. Si el diámetro de la órbita de los iones 6Li es de 15 cm,¿Cuál es el diámetro de la órbita correspondiente a los iones 7Li? a) 13,5 cm
b) 14,5 cm
c) 15,5 cm
d) 16,5 cm
e) 17,5 cm
66. En la Fig.13, hallar la magnitud de la fuerza sobre la rama A-B del circuito que incluye la semicircunferencia de radio R=10 cm que conduce una corriente I=2 A, debida a la co rriente de intensidad I=2 A que circula por el filamento de longitud infinita. (l=40 cm, d=10 cm, µo=4π•10-7 H/m) a) 1µo N
b) 2µo N
c) 3µo N
d) 4µo N
e) 5µo N
67. En la Fig.14, hallar la fuerza sobre la rama A-B del circuito que conduce una corriente de I=2 A, debida a la corriente de intensidad I=2 A que circula por el filamento infinito, sa biendo que: l=4d. I) Para el caso en que θ=300. a) 0,69µo N
b) 1,69µo N
c) 2,69µo N
d) 3,69µo N
e) 4,69µo N
c) 3,55µo N
d) 4,55µo N
e) 5,55µo N
II) Para el caso en que θ=00. a) 1,55µo N
b) 2,55µo N
I
l I
I
I I
R.SABRERA
R A
B
0
A
d -∞
θ
l
d ∞
I
I B
-∞
Fig.13
∞
I
Fig.14
68. Un selector de velocidad tiene un campo magnético de magnitud B=0,28 T perpendicular a un campo eléctrico de magnitud E=0,46 MV/m. (e=1,6•10-19 C, 1 uma=1,66•10-27 kg) I) ¿Cuál deberá ser la velocidad (en m/s) de una partícula para pasar a través de dicho selec tor sin ser desviada? a) 1,04.106
b) 1,24.106
c) 1,44.106
d) 1,64.106
e) 1,84.106
II) ¿Qué energía deberían tener los protones para pasar por el selector, sin ser desviados?
656
Magnetismo
a) 10 keV
b)11 keV
c) 12 keV
d) 13 keV
e) 14 keV
III) ¿Qué energía deberían tener los electrones para pasar por el selector, sin ser desviados? a) 7,09 eV
b) 7,29 eV
c) 7,49 eV
d) 7,69 eV
e) 7,89 eV
69. Un haz de protones se mueve a lo largo del eje x positive con una rapidez de v=12,4 km/s a través de una región de campos cruzados equilibrados con desviación nula. I) Si existe un campo magnético de magnitud B=0,85 T en el sentido del eje y positivo, ha llar la magnitud y dirección del campo eléctrico E . a) -10,5 kV/m ˆi
b) 10,5 kV/m ˆi
c) -10,5 kV/m kˆ
d) 10,5 kV/m kˆ e)8,5 kV/m ˆi
II) ¿Serán desviados los electrones de la misma velocidad por estos campos?.Si es así,¿en qué dirección y sentido?
70. En la Fig.15, el cilindro hueco de radio R=10 cm, altura h=10 cm y densidad de carga su perficial uniforme de σ=8 nC/m2, gira alrededor de su eje de simetría con una velocidad angular constante de ω=30 rad/s. ¿En qué porcentaje disminuye la intensidad del campo magnético, en el centro de la base del cilindro, respecto de H en su centro geométrico? a) 21 %
b) 23 %
c) 25 %
d) 27 %
e) 29 %
71. En la Fig.16, la varilla muy delgada de longitud " ℓ " formada de un conductor con densi dad de carga lineal uniforme de λ = 4•10-11 C/m, y un aislante de longitud d=4 cm, gira al rededor del eje que pasa por uno de sus extremos con una frecuencia constante de f=100 s-1. ¿Para qué longitud de la varilla, la intensidad del campo magnético en 0 es H=4•10-9 A/m? (Sugerencia: Utilizar la función ℓ n(x)) a) 25,6 cm
b) 26,6 cm
c) 27,6 cm
d) 28,6 cm
e) 29,6 cm
ω
ω
R
l
h
σ
0 d
Fig.15
λ
Fig.16
72. Un ión de 58Ni de carga +e y masa m=9,62•10-26 kg se acelera a través de una diferencia de potencial de ∆V=3 kV y se desvía en un campo magnético de magnitud B=0,12 T. Ha llar la diferencia de los tiempos de los iones 58Ni y 60Ni, correspondientes a la mitad de la
657
Física III
trayectoria circular. (e=1,6•10-19 C, 1 uma=1,66•10-27 kg, µ=10-6) a) 0,34 µs
b) 0,44 µs
c) 0,54 µs
d) 0,64 µs
e) 0,74 µs
73. Un ciclotrón para acelerar protones tiene un campo magnético de magnitud B=1,4 T y un radio de R=0,7 m. (e=1,6•10-19 C, m=1,67•10-27 kg, M=106) I) Hallar la frecuencia "f " del ciclotrón. a) 21,1 MHz
b) 21,3 MHz
c) 21,5 MHz
d) 21,7 MHz
e) 21,9 MHz
II) Hallar la energía máxima de los protones cuando salen del mismo. a) 42 MeV
b) 43 MeV
c) 44 MeV
d) 45 MeV
e) 46 MeV
III) ¿En qué variará la respuesta a este problema si se utilizan deuterones, que tienen la misma carga pero doble masa, en lugar de protones? 74. Un ciclotrón tiene un campo magnético de magnitud B=1,8 T y está proyectado para acele rar protones hasta 25 MeV. (e=1,6•10-19 C, m=1,67•10-27 kg, k=103, M=106) I) Hallar la frecuencia "f " del ciclotrón. a) 27,0 MHz
b) 27,2 MHz
c) 27,4 MHz
d) 27,6 MHz
e) 27,8 MHz
II) ¿Cuál deberá ser el radio mínimo del imán para obtener una energía de salida de 25 MeV? a) 40,1 cm
b) 41,1 cm
c) 42,1 cm
d) 43,1 cm
e) 44,1 cm
III) Si se aplica un potencial alterno a las DES con un valor máximo de 50 keV,¿Cuántas vuel tas deberán realizar los protones antes de emerger con la energía de 25 MeV? a) 210 rev
b) 220 rev
c) 230 rev
d) 240 rev
e) 250 rev
75. Demostrar que el radio de la órbita de una particular cargada en un ciclotrón es proporcio nal a la raíz cuadrada del número de órbitas recorridas. 76. Por una espira conductora en forma de un cuadrado de lado l=6 cm situado en el plano xy, circula una corriente de intensidad I=2,5 A. I) Hallar el momento de torsión (torque) que actúa sobre la espira, si existe un campo magné tico de B=0,3 T dirigido en la dirección del z positivo. a) 0 mN
b) ±1 mN ˆj
c) ±2 mN ˆj
d) ±3 mN ˆj
e) ±4 mN ˆj
II) Hallar el momento de torsión (torque) que actúa sobre la espira, si existe un campo magné tico de B=0,3 T dirigido en la dirección del x positivo. a) ±2,7 mN ˆj
b) ±2,7 mN ˆi
c) ±2,7 mN kˆ
d) ±2,1 mN ˆi
e) 0 mN
77. Una espira circular rígida de radio R=10 cm y masa m=400 g transporta una corriente de intensidad I=2,5 A y yace en el plano xy sobre una mesa plana rugosa. Existe un campo
658 Magnetismo magnético horizontal de magnitud B,¿Cuál es el valor mínimo de B para que un borde de la espira se levante sobre la mesa? (g=9,81 m/s2) a) 3 T
b) 4 T
c) 5 T
d) 6 T
e) 7 T
78. En la Fig.17, las bobinas circulares idénticas de radios R=10 cm, tienen N=100 vueltas ca da una, y conducen corrientes eléctricas en el mismo sentido de intensidad I=0,489 A. Las bobinas están contenidas en planos paralelos. Hallar la máxima intensidad del campo mag nético en un punto P del eje común. a) 330 A/m
b) 335 A/m
c) 340 A/m
d) 345 A/m
e) 350 A/m P
n
R
r
P•
I R
θ
b 0
a I
Fig.17
Fig.18
79. En la Fig.18, por el circuito en forma de elipse de semiejes "a" y "b" , circula una corri ente eléctrica de intensidad "I" . I) Hallar el momento magnético m del circuito de corriente. II) Hallar el potencial escalar A(r) en puntos muy distantes del circuito de corriente. III) Hallar el campo de inducción magnética B(r) en puntos muy distantes del circuito de co rriente. IV) Hallar el campo de inducción magnética B(r) en puntos situados en el plano que contiene al circuito de corriente. 80. En la Fig.19, la inducción del campo magnético en el vació cerca de la superficie plana de la sustancia magnética es B=4 T, y el vector B forma un ángulo de ϕ=45º con la normal nˆ a la superficie. La susceptibilidad magnética de la sustancia es χm=2,8.10-3. Hallar: I) El flujo del vector H a través de la superficie "S" de una esfera de radio R=10 cm, cuyo centro se encuentra en la superficie de interfase. a) 191,4 Wb
b) 193,4 Wb
c) 195,4 Wb
d) 197,4 Wb
e) 199,4 Wb
II) La circulación del vector B (en µT.m) por el contorno cuadrado de lado l=2 cm, cuyos dos lados son perpendiculares a la superficie de interfase. a) -150,4
b) -152,4
c) -154,4
d) -156,4
e) -150,8
81. En la Fig.20, la esfera magnética de radio "R " y de permeabilidad magnética "µ " se ubi ca en un campo de inducción magnético uniforme Bo . Hallar:
659
Física III I) El potencial escalar magnético "V" al interior y exterior de la esfera magnética. II) El campo de intensidad magnética "H" al interior y exterior de la esfera magnética. III) El campo de inducción magnética B al interior y exterior de la esfera magnética. IV) El vector de magnetización M de la esfera magnética. V) El factor de desmagnetización "f " de la esfera magnética.
n
ϕ
µo µ
B
χm
R
Bo
Fig.19
Fig.20
82. Una partícula de carga q=8 nC y masa m=400 g se mueve en una circunferencia de radio R=20 cm con una velocidad angular constante de ω=20 rad/s. (n=10-9) I) Hallar la magnitud del momento magnético m (en nA.m2) de la partícula. a) 3,0
b) 3,2
c) 3,4
d) 3,6
e) 3,8
II) Hallar la magnitud del momento angular L (en kg.m2/s) de la partícula. a) 0,30
b) 0,32
c) 0,34
d) 0,36
e) 0,38
III) Demostrar que los vectores de momento magnético m y momento angular L , están rela cionados por: m = (q/2m) L .
83. Un alambre de longitud " ℓ " se enrolla formando una bobina circular de "N" espiras, por el cual, circula una corriente de intensidad "I". Demostrar la magnitud del momento mag nético de esta bobina es m=Il2/4πN. 84. Un disco no uniforme, no conductor de masa "m" , radio "R " y carga total "Q" posee una densidad de carga superficial σ=σo(r/R) y una masa por unidad de área σm= (m/Q)σ. El disco gira con velocidad angular "ω" respecto de su eje de simetría. I) Probar que la magnitud del momento magnético del disco es: m=πωσoR4/5=3QωR2/10. II) Probar que el momento magnético m y el momento angular L están relacionados median te: m = (Q/2m) L . 85. Una cascarón esférico de radio R=20 cm de densidad superficial de carga de σ=8 nC/m2, gira alrededor de uno de sus diámetros con una velocidad angular constante de ω=50 rad/s. Hallar el momento magnético "m" del cascarón esférico. (n=10-9) a) 1,68 nA.m2
b) 2,68 nA.m2
c) 3,68 nA.m2
c) 4,68 nA.m2 e) 5,68 nA.m2
660 Magnetismo 86. Se tiene una esfera sólida de radio R=20 cm de densidad volumétrica de carga uniforme ρ=8 nC/m3, gira alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular constante de ω=50 rad/s. Hallar el momento magnético de la esfera sólida. (n=10-9, p=10-12) a) 80,4 pA.m2
b) 81,4 pA.m2
c) 82,4 pA.m2
d) 83,4 pA.m2 e) 84,4 pA.m2
87. Una superficie cilíndrica de radio R=10 cm y altura h=20 cm, con densidad de carga su perficial homogénea de σ=8•10-9 C/m2 gira alrededor de su eje de simetría con una veloci dad angular de ω=80 rad/s. El eje de rotación forma con la intensidad de campo magnéti co uniforme exterior de magnitud H=40 A/m un ángulo de 37º. Hallar el momento de fuerzas aplicado a la superficie cilíndrica. (n=10-9) a) 1,65n N.m
b) 3,65n N.m
c) 5,65n N.m
d) 7,65n N.m
e) 9,65n N.m
88. Un elipsoide de revolución de semiejes "a" y "b" tiene una carga homogénea y gira alre dedor de su eje de simetría con una velocidad angular constante "ω" . La carga total del e lipsoide es "Q" y su semieje "b" se encuentra en el eje de rotación. Hallar: I) El potencial vectorial A a grandes distancias del elipsoide. II) El campo de inducción magnética B a grandes distancias del elipsoide. III) El momento magnético m del elipsoide. IV) Evaluar m para ω=80 rad/s, a=20 cm, b=15 cm y Q=5.10-9 C. a) 1,2 nA.m2
b) 2,2 nA/.m2
c) 3,2 nA.m2
d) 4,2 nA.m2
e) 5,2 nA.m2
89. En la Fig.21, el disco uniforme de masa m=400 g, radio R=20 cm y densidad superficial de carga σ=4 nC/m2 gira alrededor de su centro con velocidad angular ω=60 rad/s. Un campo magnético uniforme de magnitud B=2 T, atraviesa el disco formando un ángulo de θ=37º con el eje de rotación. I) Hallar el momento neto de la fuerza (en nN.m) que actúa sobre el disco. a) 0,303
b) 0,323
c) 0,343
d) 0,363
e) 0,383
II) Hallar la frecuencia de precesión (en nrad/s) del disco, debida al campo magnético. a) 0,716
b) 0,736
c) 0,756
d) 0,776
e) 0,796
N S
ω B θ
z I
0 σ
R.SABRERA
0 R I
Fig.21
Fig.22
661 90. En la Fig.22, por el anillo circular de radio R=10 cm circula una corriente de intensidad I=2 A. El dipolo magnético de momento magnético dipolar m se ubica a lo largo del eje de simetría del anillo a la distancia de z=2 cm de su centro. Hallar la magnitud de la fuer za de interacción entre el anillo y el dipolo.
Física III
a) 50,4µom
b) 52,4µom
c) 54,4µom
d) 56,4µom
e) 58,4µom
91. Una sección de conductor de espesor s=0,4 cm se utiliza en una medición del efecto Hall. Si se mide un voltaje hall de VH=35 µV para una intensidad de corriente de I=21 A en pre sencia de un campo magnético de magnitud B=1,8 T. Hallar el coeficiente de Hall para es te conductor (en 10-9 m3V/A3). a) 3,1
b) 3,3
c) 3,5
d) 3,7
e) 3,9
92. En la Fig.23, por la cinta de metal de ancho a=2 cm y espesor b=0,1 cm circula una corri ente de intensidad I=20 A y está situado en el interior de un campo magnético de magni tud B=2 T. El voltaje Hall es de VH=4,27 µV. I) Hallar la velocidad de desplazamiento (en mm/s) de los electrones en la cinta de metal. a) 0,107
b) 0,127
c) 0,147
d) 0,167
e) 0,187
II) Hallar la densidad (en 1028 eS− /m3) de los portadores de carga de la cinta. a) 5,04
b) 5,24
c) 5,44
d) 5,64
e) 5,84
III) ¿Cuál de los puntos el "P" o el "Q" se encuentra a mayor potencial?
93. En la Fig.24, por la placa de plata de espesor s=0,2 mm circula corriente de intensidad I=20 A, en presencia de un campo magnético uniforme de magnitud "B" . El coeficiente Hall para la plata es RH=0,84•10-10 m3/C, y el voltaje Hall es VH=15 µV. (e=-1,6•10-19 C) I) Hallar la densidad (en 1028 eS− /m3) de los portadores de carga en la plata. a) 7,04
b) 7,24
c) 7,44
d) 7,64
e) 7,84
II) Hallar la magnitud del campo magnético B , aplicado a la placa. a) 1,49 T
b) 1,59 T
c) 1,69 T
d) 1,79 T
e) 1,89 T
B
B Q •
I
a b
•
I
d s
P
Fig.23
Fig.24
662 Magnetismo 94. Una placa de cobre de espesor s=0,33 mm conduce una corriente estable de intensidad I=50 A, en presencia de un campo magnético uniforme de magnitud B=1,3 T, perpendicu lar a la placa. Si el voltaje Hall medido en la placa es de VH=9,6 µT. (ρ=8,92 g/cm3, M= 63,5 g/mol, e=-1,6•10-19C) I) Hallar la densidad de cargas (en 1029 eS− /m3) de los electrones libres en la placa. a) 1,28
b) 2,28
c) 3,28
d) 4,28
e) 5,28
II) ¿Qué número efectivo de electrones libres por átomo indica este resultado? a) 1,12
b) 1,22
c) 1,32
d) 1,42
e) 1,52
95. Una sonda de efecto Hall funciona con una corriente de intensidad I=120 mA. Cuando la sonda se pone en un campo magnético uniforme de magnitud B=0,08 T, produce un volta je de Hall de VH=0,7 µV. (e=-1,6•10-19 Cm, m=10-3, µ=10-6) I) Cuando se mide un campo magnético desconocido, el voltaje de hall es VH=0,33 µV. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético desconocido? a) 33,7 mT
b) 34,7 mT
c) 35,7 mT
d) 36,7 mT
e) 37,7 mT
II) Si el espesor de la sonda en la dirección de B es s=2 mm, hallar la densidad (en 1025 eS− /m3) de portadores de carga.
a) 4,09
b) 4,29
c) 4,49
d) 4,69
e) 4,89
96. La densidad de electrones libres en el cobre es de n=8,47•1022 electrones por centímetro cúbico. Si la cinta de metal de la Fig.23, es de cobre, la corriente es de I=10 A, y la magni tud del campo magnético B=2 T. (e=-1,6•10-19 C, µ=10-6) I) Hallar la velocidad de desplazamiento "vd " de los electrones en la cinta. a) 32,9 µm/s
b) 33,9 µm/s
c) 34,9 µm/s
d) 35,9 µm/s
e) 36,9 µm/s
II) Hallar el voltaje Hall que se genera en la cinta, debido al campo magnético. a) 1,48 µV
b) 2,48 µV
c) 3,48 µV
d) 4,48 µV
e) 5,48 µV
97. La sangre contiene iones cargados de modo que al moverse produce un voltaje Hall a tra vés del diámetro de una artería. Una arteria gruesa con un diámetro de D=0,85 cm tiene u na velocidad de flujo de sangre de vd=0,6 m/s. Si una sección de esta arteria se encuentra en un campo magnético de magnitud B=0,2 T. Hallar el voltaje Hall. (m=10-3) a) 1,02 mV
b) 1,22 mV
c) 1,42 mV
d) 1,62 mV
e) 1,82 mV
98. En la Fig.25, un positrón (antipartícula del electrón) con energía de Ec=22,5 eV ingresa en un campo magnético uniforme de magnitud B=455 µT con su vector de velocidad forman do un ángulo de θ=65,5º con B . (n=10-9) I) Hallar el periodo del movimiento del positrón. a) 75,6 ns
b) 76,6 ns
c) 77,6 ns
d) 78,6 ns
e) 79,6 ns
663
Física III II) Hallar el paso de la trayectoria en forma de hélice que describe el positrón. a) 9,16 cm
b) 9,36 cm
c) 9,56 cm
d) 9,76 cm
e) 9,96 cm
III) Hallar el radio "R" de la trayectoria helicoidal que describe el positrón. a) 3,0 cm
b) 3,2 cm
c) 3,4 cm
d) 3,6 cm
e) 3,8 cm
99. En la Fig.26, el alambre en forma de U de masa "m" y longitud " ℓ " está sumergido con sus dos extremos en mercurio. El alambre está dentro de un campo magnético uniforme B . Si una carga, esto es, un impulso de corriente q=∫I.dt, se envía por el alambre, el alam bre saltará. I) Hallar, a partir de la altura "h" que el alambre alcanza, la magnitud de la carga o impulso de corriente, suponiendo que el tiempo del impulso de corriente es muy pequeño en com paración con el tiempo de vuelo. II) Evalué la carga "q" para B=0,12 T, m=13 g, l=20 cm, h=3,1 m, y g=9,81 m/s2. a) 4,0 C
b) 4,2 C
c) 4,4 C
d) 4,6 C
e) 4,8 C
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
x
x
x
x
x
x
l
p
m
I
B
Hg r v
q
R.SABRERA
Fig.25
Fig.26
100.En la Fig.27, la corriente de intensidad I=4 A pasa a través del cable recto y largo que se encuentra a la altura h=4 cm sobre el plano superconductor. Hallar: I) La densidad de corriente lineal en la superficie superconductora, para x=2 cm. a) 21,46 A/m
b) 23,46 A/m
c) 25,46 A/m
d) 27,46 A/m
e) 29,46 A/m
II) La presión magnética máxima sobre la superficie del superconductor. (m=10-3) a) 0,58 mPa
b) 0,61 mPa
c) 0,64 mPa
d) 0,67 mPa
e) 0,70 mPa
III) La fuerza que ejerce el superconductor sobre cada unidad de longitud de la corriente recti línea. (µ=10-6) a) 10 µN/m
b) 20 µN/m
c) 30 µN/m
d) 40 µN/m
e) 50 µN/m
101.En la Fig.28, el vector de inducción del campo magnético de magnitud B=5 T, al pasar
664 Magnetismo por una superficie plana, cambia el ángulo de inclinación hacia la superficie de α=60º a β=37º. I) ¿En cuánto cambia la inducción del campo magnético? a) 1,24
b) 1,34
c) 1,44
d) 1,54
e) 1,64
II) ¿Cuál es la densidad lineal de la corriente (en A/m) en la superficie de interfase? a) 1, 25µo−1
b) 2, 25µ o−1
c) 3, 25µ o−1
d) 4, 25µo−1
e) 5, 25µo−1
1
I
h 0
α β
x 2
Fig.27
Fig.28
102.Por dos alambres, rectilíneos y paralelos, separados por una distancia d=10 cm circulan corrientes en el mismo sentido y de intensidades I1=20 A y I2=30 A. Hallar el trabajo por unidad de longitud, que hay que hacer, para separar a los alambres hasta la distancia de 20 cm. (µo=4π•10-7 A/m, µ=10-6, utilizar ln(x)) a) 81 µJ /m
b) 83 µJ /m
c) 85 µJ /m
d) 87 µJ /m
e) 89 µJ /m
103.La excitación magnética al interior de un solenoide de longitud l=20 cm y diámetro D=5 cm, es uniforme y su magnitud es H=12,6 Oe. Hallar la diferencia de potencial en los ex tremos del arrollamiento del solenoide, si éste es un alambre de cobre de diámetro d=0,5 mm y resistividad ρ=1,7•10-8 Ω.m . (1 Oe=1000/4π A/m) a) 2,70 V
b) 2,72 V
c) 2,74 V
d) 2,76 V
e) 2,78 V
104.¿Cuántos amperios-vuelta se necesitan para que en el interior de un solenoide de diáme tro muy pequeño y longitud l=30 cm, la densidad volumétrica de energía del campo mag nético sea de w=1,75 J/m3? a) 300
b) 350
c) 400
d) 450
e) 500
105.La longitud del núcleo de hierro de un toroide es l2=2,5 m, y la del entrehierro de aire l1=1 cm, el número de espiras del arrollamiento del toroide N=1000 y la intensidad de co rriente I=20 A, la inducción del campo magnético en el entrehierro es B1 =1,6 T. Hallar la permeabilidad magnética relativa del núcleo de hierro. a) 430
b) 432
c) 434
d) 436
e) 438
106.Una barra metálica de masa m=200 g que conduce una corriente de intensidad I=10 A se
665 desliza sobre dos rieles horizontales separados por la distancia de d=50 cm,¿Qué campo magnético vertical se requiere para mantener la barra en movimiento a una rapidez cons tante, si el coeficiente de fricción cinética entre la barra y los rieles es de µc=0,1? (g=9,8 m/s2, m=10-3)
Física III
a) 39,0 mT
b) 39,2 mT
c) 39,4 mT
d) 39,6 mT
e) 39,8 mT
107.En la Fig.29, protones de energía cinética T=5 MeV se mueven en la dirección del eje x positiva e ingresan al campo magnético uniforme de magnitud B=0,05 T perpendicular al papel saliendo de el. (e=+1,6•10-19 C, m=1,67•10-27 kg) I) Hallar el ángulo "α " entre la velocidad inicial vo del del haz de protones y la velocidad v después de que el haz emerge del campo B . (1 eV=1,6•10-19 J) a) 8,1º
b) 8,3º
c) 8,5º
d) 8,7º
e) 8,9º
II) Hallar la componente vertical (dirección del eje y) de la cantidad de movimiento (en 10-21 kg.m/s) de los protones, cuando salen del campo magnético. a) 7,18
b) 7,38
c) 7,58
d) 7,78
e) 7,98
108.En la Fig.30, el circuito se componen de alambres en la parte superior e inferior, y de re sortes metálicos idénticos. El alambre en el fondo tiene masa m=10 g y longitud l=5 cm Los resortes se alargan x1=0,5 cm bajo el peso del alambre y el circuito tiene una resisten cia total de R=12 Ω. Cuando se activa el campo magnético B , los resortes se alargan x2=0,3 cm adicionales.¿Cuál es la magnitud del campo magnético B ? (ξ=24 V, m=10-3) a) 508 mT
b) 528 mT
c) 548 mT
d) 568 mT ξ
R •
T 0
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
•
•
B • •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
x•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
e) 588 mT
l •
•
•
•
k
k
1m
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
B • •
•
•
•
•
Fig.29
•
Fig.30
109.Un electrón órbita alrededor de un protón manteniendo una trayectoria circular fija de ra dio R=5,29.10-11 m. Hallar la magnitud del momento de torsión resultante (en 10-24 N.m) en presencia de un campo magnético de B=0,4 T dirigido perpendicular al momento mag nético del electrón. (e=1,6•10-19 C, m=9,11•10-31 kg, ke=9•109 N•m2/C2) a) 1,69
b) 2,69
c) 3,69
d) 4,69
e) 5,69
666 Magnetismo 110.En una bomba electromagnética, utilizada para el bombeo de metal fundido, un tramo del tubo que contiene metal se encuentra en un campo magnético homogéneo, cuya induc ción es B=0,10 T. A través de esta parte del tubo se deja pasar una corriente de intensidad I=100 A perpendicularmente al vector B y al eje del tubo. Hallar la sobrepresión creada por la bomba. a) 100 Pa
b) 200 Pa
c) 300 Pa
d) 400 Pa
e) 500 Pa
111.Un alambre que tiene una densidad de masa lineal de λm=1 g/cm se pone sobre una super ficie horizontal que tiene un coeficiente de fricción de µ=0,2. El alambre conduce una co rriente de intensidad I=1,5 A hacia el este y se mueve horizontalmente hacia el norte. I) Hallar la magnitud del campo magnético B más pequeño que permite al alambre moverse de este modo. (g=9,8 m/s2, m=10-3) a) 120 mT
b) 122 mT
c) 124 mT
d) 126 mT
e) 128 mT
II) Hallar el ángulo que forma el campo magnético B con la horizontal. a) 78,1º
b) 78,3º
c) 78,5º
d) 78,7º
e) 78,9º
112.En la Fig.31, la barra metálica de densidad de masa longitudinal λm=0,4 kg/m conduce una corriente de intensidad I=2 A, y está suspendida de dos alambres en un campo magné tico vertical uniforme "B" . Los alambres forman un ángulo de θ=37º con la vertical cuan do están en equilibrio. Hallar la magnitud del campo magnético B . (g=9,8 m/s2) a) 1,28 T
b) 1,38 T
c) 1,48 T
d) 1,58 T
e) 1,68 T
113.En la Fig.32, la varilla no conductora de masa m=0,5 kg, longitud l=40 cm, y densidad de carga lineal uniforme de λ=8 nC/m, se hace girar con una velocidad angular constante de ω=60 rad/s alrededor del eje que pasa por uno de sus extremos, y es perpendicular a la varilla. Hallar el momento magnético de la varilla. (n=10-9) a) 5,12 nA•m2
b) 6,12 nA•m2
c) 7,12 nA•m2
d) 8,12 nA•m2 e) 9,12 nA•m2
m
ω
θ θ g
B
l 0
I
Fig.31
Fig.32
114.En la Fig.33, el alambre largo que conduce una corriente de I=6 A invierte su dirección
667 mediante dos flexiones de ángulo recto. La parte del alambre donde ocurre la flexión se encuentra en un campo magnético de B=0,666 T, confinado a una región circular de diá metro D=75 cm. La distancia entre los alambres horizontales es a=45 cm. Hallar la magni tud y dirección de la fuerza neta sobre el alambre.
Física III
a) 1,2 ˆi N
b) 1,4 ˆi N
c) 1,6 ˆi N
d) 1,8 ˆi N
e) 2,0 ˆi N
115.En la Fig.34, el anillo de alambre de radio R=10 cm, conduce una corriente de intensidad I=2 A, en presencia del campo magnético B =2 ˆi T. I) Hallar la fuerza sobre el primer cuadrante del circuito de corriente en forma de anillo. a) -0,2 kˆ N
b) 0,2 kˆ N
c) -0,4 kˆ N
d) 0,4 kˆ N
e) -0,8 kˆ N
II) Hallar la fuerza sobre la mitad derecha del circuito de corriente en forma de anillo. a) -0,2 kˆ N
b) 0,2 kˆ N
c) -0,4 kˆ N
d) 0,4 kˆ N
e) -0,8 kˆ N
III) Hallar el momento magnético m (en 10-3 A.m2) del circuito de corriente. a) 61 kˆ
b) -61 kˆ
c) -63 kˆ
d) 63 kˆ
e) 65 kˆ
IV) Hallar el momento de torsión τ (en 10-3 N.m) que actúa sobre el anillo. a) 122 ˆi
b) 122 ˆj
c) 126 ˆi
d) 126 ˆj
e) 130 ˆi
V) ¿A qué distancia del origen 0, actúa el par de fuerzas, que hace girar al anillo? a) 7,48 cm
b) 7,58 cm
• •
I
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
j
d) 7,78 cm
e) 7,88 cm
y
I a
c) 7,68 cm
•
•
B
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
B
• • •
I R x
0 I
D i
Fig.33
Fig.34
116.Una barra magnética delgada larga de momento magnético m paralelo a su eje longitudi nal está suspendido de su centro como la aguja de una brújula sin fricción. Situada en un campo magnético B la aguja se alinea con el campo. (µ=10-6, n=10-9) I) Hallar la frecuencia "f"de oscilación de la aguja alrededor de su posición de equilibrio, sa biendo que su momento de inercia es "I".
668
Magnetismo
a) (mB/4π2I)1/2
b) (mB/2π2I)1/2
c) (mBI/4π2)1/2
d) (mBI/2π2)1/2 e) (mI/2B)1/2
II) Evaluar la frecuencia de las oscilaciones para: m=5 nA.m2, M=4 kg, l=60 cm, m=5 nA.m2, B=4 T. a) 50 µs
b) 55 µs
c) 60 µs
d) 65 µs
e) 70 µs
117.En la Fig.35, por el alambre delgado en forma de parábola de ecuación: y=x2 circula una corriente de intensidad I=2 A, en presencia del campo magnético uniforme B = 3iˆ + 4 ˆj (T). Hallar la fuerza magnética sobre este trozo de alambre. a) -4 kˆ N
b) +4 kˆ N
c) -8 kˆ N
d) +8 kˆ N
e) -4 ˆj N
118.En la Fig.36, por el alambre en forma de semicircunferencias de radios R=20 cm y r=10 cm, circula una corriente de intensidad I=2 A, en presencia del campo magnético unifor me B = 2,5 ˆj (T). Hallar la fuerza magnética sobre este alambre. a) +1 kˆ N
b) -1 kˆ N
c) +2 kˆ N
d) +2 kˆ N
y(m)
e) +1 ˆi N
y P
4
I
R.SABRERA
I 0
R r
0 2
x(m)
x
I
Fig.35
Fig.36
119.I) Demostrar que, en términos del campo eléctrico Hall E H y la densidad de corriente J el número de portadores de carga por unidad de volumen está dado por: n=JB/eEH. II) De mostrar que la razón entre el campo eléctrico Hall EH y el campo eléctrico E que gene ra la corriente es: EH/E=B/neρ, siendo "ρ " la resistividad del material, "e" la carga del e lectrón y "B" el campo magnético. III) Evaluar la razón EH/E=? para B=0,65 T perpendicular a la placa, I=23 A, n=8,49•1028 es− /m3, e=-1,6•10-19 C, y ρ=1,68•10-8 Ω.m. a) 1,8.10-3
b) 2,8.10-3
c) 3,8.10-3
d) 4,8.10-3
e) 5,8.10-3
120.Dos dipolos m1 y m 2 están en el mismo plano; m1 se fija pero m 2 puede girar libremen te respecto de su centro. Demostrar que, para el equilibrio, tg θ1=-2tg θ2, donde " θ1 " y " θ2 " son los ángulos entre el vector de desplazamiento vectorial r y m1 y m 2 , respectiva
669
Física III mente.
121.En la Fig.37, el protón describe una trayectoria en espiral a través de un gas en un campo magnético uniforme de B=0,018 T, perpendicular al plano de la espiral. En dos vueltas su cesivas, en los puntos A y B, los radios son RA=10 mm y RB=, respectivamente. Hallar el cambio que experimenta la energía cinética del protón entre los puntos A y B.(q=1,6•10-19 C, m=1,67•10-27 kg, z=10-21) a) -37 zJ
b) +37 zJ
c) -67 zJ
d) +67 zJ
e) -97 zJ
122.En la Fig.38, demostrar que la componente paralela B del campo de inducción magnéti ca en el punto P, creado por la densidad de corriente lineal J , que fluye por la superficie plana, viene dado por: B = (µo J / 4π) Ω , siendo Ω el ángulo sólido limitado por la super ficie. Ω
BII
v
q
0•
•B • A
J
Fig.37
Fig.38
123.En un espectrómetro de masas, distintos átomos de germanio tienen un radio de curvatu ra de 21,0 cm; 21,6 cm; 21,9 cm; 22,2 cm; y 22,8 cm. El radio mayor corresponde a una masa atómica de 76 uma,¿Cuáles son las masas de los otros isótopos? 124.Un tipo de espectrómetro de masas acelera iones mediante un voltaje "V" antes de que in gresen a un campo magnético "B" uniforme. Se asume que al inicio, los iones están en re poso. Demostrar que la masa de un ión es m=qB2R2/2V, donde "R" es el radio de la tra yectoria de los iones en un campo magnético y "q" su carga. 125.Se usa un espectrómetro de masas para monitorear contaminantes del aire. Sin embargo, es difícil separar moléculas con masas casi iguales, como el CO (28,0106 uma) y N2 (28,0134 uma),¿Qué tan grande debe ser el radio de curvatura de un espectrómetro si es tas dos moléculas deben separarse en la película o en los detectores por una distancia de d=0,65 mm? a) 2,25 m
b) 2,50 m
c) 2,75 m
d) 3,00 m
e) 3,25 m
126.En el modelo de Bhor del átomo de hidrógeno el electrón se mantiene en su órbita circu lar de radio "r" alrededor del protón en el núcleo en el núcleo gracias a la atracción elec trostática.
670 Magnetismo I) Demostrar que si se coloca el átomo en un campo magnético débil B , la frecuencia de ro tación de los electrones que giran en un plano perpendicular a B experimenta un cambio, dado por: ∆f=±eB/4πm donde "e" y "m" son la carga y la masa del electrón. II) ¿Qué indica el signo ± en la expresión obtenida en I)? 127.En la Fig.39, los campos magnéticos son muy útiles en aceleradores de partículas para "conducción de haces"; esto es, el campo magnético puede usarse para cambiar la direc ción de un haz sin alterar su rapidez. Si el campo magnético de magnitud B=0,38 T se ex tiende sobre la región de ancho d=5 cm,¿A qué ángulo aproximadamente se desviarán los protones que viajan a la rapidez de v=0,85•107 m/s. (e=1,6•10-19 C, m=1,67•10-27 kg) a) 10º
b) 12º
c) 14º
d) 16º
e) 18º
128.En la Fig.40, la espira rectangular de lados a= 20 cm, b=10 cm, tiene una masa de M=1 kg y conduce una corriente de intensidad I=4 A. La espira está orientada un pequeño ángu lo "θ" respecto del campo magnético B=2 T. Hallar la frecuencia de las pequeñas oscila ciones que realiza la espira, cuando se libera. a) 1,14 s-1
b)1,24 s-1
c) 1,34 s-1
d) 1,44 s-1
e) 1,54 s-1
ωo
m
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
v
B
I
θ B
v
θ
a
m
b
d
Fig.39
Fig.40
129.En la Fig.41, la cinta plana de metal de longitud l=6,5 cm , ancho a=0,88 cm, y espesor s=0,76 mm se mueve a velocidad constante de "v" por un campo magnético de magnitud B=1,2 mT perpendicular a la cinta. Entre los puntos P y Q a lo ancho de la cinta se mide u na diferencia de potencial de ∆V=3,9 µV. Hallar la magnitud de la velocidad v . a) 361 mm/s
b) 363 mm/s
c) 365 mm/s
d) 367 mm/s
e) 369 mm/s
130.En la Fig.42, la placa ilimitada de grosor h=20 cm presenta una cavidad cilíndrica de ra dio R=10 cm, cuyo eje es paralelo a las superficies de las placas . Por todo el volumen de la placa, salvo por la cavidad circula una densidad de corriente J=40 A/m2. Hallar: I) El campo de inducción magnética en un punto situado a la distancia de 22 cm de 0. a) 3,1µo T
b) 3,3µo T
c) 3,5µo T
d) 3,7µo T
e) 3,9µo T
671
Física III II) El campo de inducción magnética en un punto situado a la distancia de 5 cm de 0. a) 1µo T
b) 2µo T
c) 3µo T
d) 4µo T
e) 5µo T
III) El campo de inducción magnética en un punto situado a la distancia de 10 cm de 0. a) 1µo T
b) 2µo T
c) 4µo T
d) 6µo T
e) 8µo T
IV) ¿A qué distancia de 0, el campo de inducción magnética se reduce a la mitad de la que tie ne en la superficie de la placa? a) 6,0 cm
b) 6,2 cm
c) 6,4 cm
d) 6,6 cm
e) 6,8 cm
v x
P B
• •
Q J
0
h
R.SABRERA
Fig.41
Fig.42
131.Se tiene un alambre rectilíneo delgado muy largo que conduce una corriente eléctrica de intensidad "I" . Hallar el campo de inducción magnética a una distancia "R " del alambre. I) Mediante la expresión vectorial de la ley de Biot-Savart. II) Mediante la expresión escalar de la ley de Biot-Savart. III) Mediante la expresión escalar de la ley de Ampere. IV) Evaluar la magnitud del campo de inducción magnética para: R=2 mm, y I=2 A. a) 100 µT
b) 150 µT
c) 200 µT
d) 250 µT
e) 300 µT
132.Se tiene un anillo muy delgado de radio "R " , que conduce una corriente de intensidad "I". Hallar el campo de inducción magnética en un punto situado en el eje de simetría del anillo, a la distancia "d" de su centro. (µo=4π•10-7 A/m, n=10-9) I) Mediante la expresión vectorial de la ley de Biot-Savart. II) Mediante la expresión escalar de la ley de Biot-Savart. III) Evaluar la magnitud del campo de inducción magnética para: R=10 cm, d=4 mm, I=2 A. a) 0,1 nT
b) 0,2 nT
c) 0,3 nT
d) 0,4 nT
e) 0,5 nT
133.En la Fig.43, un electrón de masa m=9,1•10-31 kg y carga e=-1,6•10-19 C, ingresa con án gulo de incidencia θ=370 y velocidad v=4•107 m/s perpendicularmente a un campo mag nético uniforme de magnitud B=2•10-3 T. Hallar la profundidad máxima "d" de penetra ción del electrón en la región del campo magnético. a) 45,1 mm
b) 45,3 mm
c) 45,5 mm
d) 45,7 mm
e) 45,9 mm
672 Magnetismo 134.En la Fig.44, la espira cuadrada de lado a=1 cm se suspende de un hilo de longitud l=10 cm y sección transversal de radio r=0,1 mm, de manera que las líneas de fuerza del campo magnético de magnitud B=1,37•10-2 T formen un ángulo de 900 con la normal al plano de la espira. Si por la espira circula una corriente de intensidad I=1 A, la espira gira un ángu lo de α=10. Hallar el módulo de rigidez (en N/m2) del material del hilo. a) 1.1010
b) 2.1010
c) 3.1010
d) 4.1010 ωo
l x
x
x
x
x
x
x
x
B x x
x
θ
x
x
x
x
x
x
v x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
m, e
e) 5.1010
r B θ
M
a a
Fig.43
Fig.44
135.En la Fig.45, la esfera hueca aislante de radio a=10 cm y densidad superficial de carga u niforme σ=2•10-10 C/m2 gira alrededor del eje que pasa por su centro con velocidad an gular de ω = 6 rad/s. Hallar la magnitud de "B" en la intersección del eje con la superficie de la esfera. (µo=4π•10-7 H/m ; f=10-15 ) a) 0,1 fT
b) 0,2 fT
c) 0,3 fT
d) 0,4 fT
e) 0,5 fT
136.En la Fig.46, por la espira circular de radio a=2 cm circula una corriente de intensidad I=2 A. Hallar aproximadamente la magnitud del campo magnético en el punto P, que esta a una distancia d=1 m del centro de la espira y se encuentra en el plano que contiene a di cha espira. (µo=4π•10-7 H/m ; n=10-9 ) a) 0,10 nT
b) 0,15 nT
c) 0,20 nT
d) 0,25 nT
σ
I
0
0
a
Fig.45
e) 0,30 nT
ω I
P a d
Fig.46
137.En la región 0 < r < 0,5 m, en coordenadas cilíndricas, la densidad de corriente viene da da por: J = 4,5e −2r kˆ (A/m2) y J = 0 en cualquier otra parte. Hallar la magnitud de la exci tación magnética, H en r=0,1 m.
673
Física III a) 0,191 A/m
b) 0,193 A/m
c) 0,195 A/m
d) 0,197 A/m
e) 0,199 A/m
138.Un conductor cilíndrico de radio R=10-2 m tiene un campo magnético interno dado por: H = (4,77•104)(r /2- r2 /3•10-2) φˆ (A/m). Hallar la corriente total en el conductor. a) 1 A
b) 2 A
c) 3 A
d) 4 A
e) 5 A
139.Sea, B = 2,5sen(π x / 2)e −2y kˆ (T) hallar el flujo magnético total " Φ " que atraviesa la franja z = 0, y y ≥ 0, 0 ≤ x ≤ 2 m. a) 1,51 Wb
b) 1,53 Wb
c) 1,55 Wb
d) 1,57 Wb
e) 1,59 Wb
140.En la Fig.47, por la espira conductora cuadrada de lado l=80 cm circula una corriente de intensidad I=3 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto P, situado en el eje de simetría perpendicular al plano de la espira, a una distancia d=40 cm de su centro. a) 1,71 µT
b) 1,73 µT
c) 1,75 µT
d) 1,77 µT
e) 1,79 µT
141.En la Fig.48, la espira circular dieléctrica de radio a=10 cm, densidad de carga lineal uni forme λ=8•10-9 C gira alrededor de su eje de simetría a la velocidad angular ω = 4 rad/s. Hallar la magnitud de B en el centro 0 de la espira. (µo=4π•10-7 H/m ; f=10-15 ) a) 6,0π fT
b) 6,2π fT
c) 6,4π fT
d) 6,6π fT
P
e) 6,8π fT
P ω
d λ
I l
a 0 l
I
Fig.47
Fig.48
142.En una región existe un campo magnético de B = 5,0.10 −4 kˆ (T) y un campo eléctrico de E = 5,0 kˆ (V/m). Un protón (q=1,602•10-19 C, m=1,673•10-27 kg) ingresa a los campos en el origen con velocidad inicial de vo = 2,5i105 ˆi (m/s). Después de 3 revoluciones com pletas, el protón a qué distancia del origen se encuentra. a) 31 m
b) 33 m
c) 35 m
d) 37 m
e) 39 m
143.Si un protón tiene una posición fija y un electrón gira alrededor de el en trayectoria circu lar de radio R=0,35•10-10 m. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el protón? Si: µo=4π•10-7 H/m , me=9,1•10-31 kg , qp=qe=-1,6.10-19 C , k=1/4πε0=9•109 N•m2/C2.
674
Magnetismo
a) 31 T
b) 33 T
c) 35 T
d) 37 T
e) 39 T
144.En la región 0 < r < 0,5 m, en coordenadas cilíndricas, la densidad de corriente, viene da do por: J = 4,5 e −2r kˆ (A/m2) y J = 0 en cualquier otra parte. Hallar la magnitud de la ex citación magnética H , para r=0,25 m. a) 0,402 A/m
b) 0,404 A/m
c) 0,406 A/m
d) 0,408 A/m
e) 0,410 A/m
145.La excitación magnética al interior de un conductor cilíndrico de radio R=1 cm, viene da do por: H = (104 / r)[(1/ a 2 ) sen ar − (r / a)cosar] φˆ (A/m), siendo a=π/2R. Hallar la corri ente eléctrica total en el conductor. a) 2/π A
b) 4/π A
c) 6/π A
d) 8/π A
e) 10/π A
146.Una partícula de carga eléctrica Q=1,602•10-19 C, gira en trayectoria circular de radio R= 0,5•10-10 m, a la velocidad angular de ω=4,0•1016 rad/s en un campo magnético uniforme de magnitud B=0,4•10-3 T. Hallar el máximo torque que actúa sobre la partícula. a) 3,0•10-27 N.m d) 3,6•10-27 N.m
b) 3,2•10-27 N.m e) 3,8•10-27 N.m
z
x B
1,5
c) 3,4•10-27 N.m
530 370
I
B
Y
R
R
2,0
-1,5
z
x R.SABRERA
Fig.49
y
Fig.50
147.En la Fig.49, el conductor recto ubicado a lo largo del eje Z, en -1,5 ≤ z ≤ 1,5 m condu ce una corriente constante de intensidad i=10 A en la dirección − kˆ , y se encuentra en un campo magnético dado por: B = 3,0i10 −4 e −0,2x ˆj (T). Hallar el trabajo necesario para mo ver el conductor a velocidad constante hasta x =2,0 m, y=0 en 5,0.10-3 s. Supóngase movi miento paralelo a lo largo del eje X. a) -14,6 mJ
b) 14,6 mJ
c) -14,8 mJ
d) 14,8 mJ
e) 15,0 mJ
148.En la Fig.50, hallar el flujo magnético " Φ " del campo magnético B = 2 ˆi T, a través del segmento esférico de radio R=20 cm, limitado por los ángulos 370 < θ < 530. a) 69,9 mWb
b) 69,7 mWb
c) 69,3 mWb
d) 69,5 mWb
e) 69,1mWb
675
Física III
149.En la Fig.51, la lámina de corriente k = 6,0 ˆi A/m, yace en el plano z=0 y un filamento de corriente está ubicado en y = 0, z = 4 m. Hallar "i" , si H = 0 en (0; 0; 1,5) m. a) 47,1 A
b) 47, 3 A
c) 47,5 A
d) 47,7 A
e) 47,9 A
150.Una franja de corriente de ancho 2 cm lleva una corriente de intensidad I=15,0 A en la di rección ˆi . Hallar la fuerza por unidad de longitud sobre la franja, si el campo magnético u niforme es B = 0,20 ˆj (T). a) 3,0 kˆ
b) -3,0 kˆ
c) 3,4 kˆ
d) -3,4 kˆ
z
Z
• (0;0;4)
I
e) 3,6 kˆ
R v
• (0;0;1,5)
1m 0,5
y x
y
0,6
x
kɵ
Fig.51
Fig.52
151.Hallar el flujo magnético total " Φ " que atraviesa el plano z=0 en coordenadas cilíndri cas para r ≤ 5,0•10-2 m si el campo magnético es, B = (0, 2 / r) sen 2φ kˆ (T). a) 31,0 mWb
b) 31,2 mWb
c) 31,4 mWb
d) 31,6 mWb
e) 31,8 mWb
152.En la Fig.52, la espira rectangular se mueve hacia el origen con velocidad v = −250 ˆi m/s, en un campo magnético dado por: B = 0,8.e −0,5.y kˆ (T). Hallar la corriente en el ins tante en que los lados de la bobina se encuentran en y=0,50 m y y=0,60 m, si R=2,5 Ω . a) 3,48 A
b) 3,12 A
a
c) 3,04 A
d) 3,26 A
e) 3,38 A
P• I2
I
3a
a
a
a
a
Fig.53
∞
I1
0
Fig.54
∞
676 Magnetismo 153.En la Fig.53, el filamento conductor en forma de "L" de lados a=4 cm, conduce una co rriente eléctrica de intensidad I=2 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto P. (µo=4π•10-7 H/m ; micro µ = 10 −6 ) a) 7,01 µT
b) 7,03 µT
c) 7,05 µT
d) 7,07 µT
e) 7,09 µT
154.En la Fig.54, los filamentos de longitudes infinito y finito conducen corrientes eléctricas de intensidades I1=2 A y I2=5 A. Hallar la magnitud de la fuerza magnética de interacción entre los filamentos, para a=20 cm. (Utilizar: ln(x) ) a) 2,71 µN
b) 2,73 µN
c) 2,75 µN
d) 2,77 µN
e) 2,79 µN
155.En la Fig.55, el filamento de longitud infinita y la espira triangular conducen corrientes e léctricas de intensidades I1=4 A y I2=2 A, respectivamente. Hallar la magnitud de la fuer za de interacción magnética entre el filamento y la espira, para a=10 cm. a) 0,15 µN
b) 0,25 µN
c) 0,35 µN
d) 0,45 µN
e) 0,55 µN
156.Una lámina cuadrada muy delgada de lado "2a" que presenta en su centro un agujero cuadrado de lado "a", se halla a una distancia "a / 2" de un filamento que conduce corri ente de intensidad I=2 A. Hallar el flujo magnético " Φ " a través de la lámina, para a=10 cm. (n=10-9) a) 83,0 nWb
b) 83,2 nWb
c) 83,4 nWb
d) 83,6 nWb
e) 83,8 nWb
157.En la Fig.56, el filamento conductor rectilíneo, conduce una corriente eléctrica de intensi dad I=2 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto P, situado a una distancia d=10 cm del filamento, para α=37º, β=53º (µo=4π•10-7 H/m ; µ = 10 −6 ) a) 5,0 µT
b) 5,2 µT
I1
600
c) 5,4 µT
d) 5,6 µT
α
a
I2 600
a 600
a/4
Fig.55
e) 5,8 µT
d
i
P
a
β
Fig.56
158.En la Fig.57, en el circuito cerrado formado por dos semicircunferencias de radios a=10 cm y b=20 cm, circula corriente eléctrica de intensidad I=2 A. Hallar el campo magnético en el punto P.
677
Física III a) 9,40 µT
b) 9,42 µT
c) 9,44 µT
d) 9,46 µT
e) 9,48 µT
159.En la Fig.58, los dos conductores “infinitamente largos” y los puntos "A" , "B" y "C" están en el plano del papel. El punto "B" equidista de ambos conductores; los puntos "A" y "C" están a "r" m del conductor más cercano, tal que AB = BC =2r. Hallar la relación de las magnitudes de los campos magnéticos BA , BB y BC . a) BB > BA = BC b) BB = BA > BC c) BB < BA = BC e) BB = BA = BC d) BB = BA < BC
160.Con un alambre de longitud l=20 cm que transporta una corriente I=2 A, se enrolla para formar una bobina circular, en presencia de un campo magnético de magnitud B=1 T. Ha llar el valor máximo del torque magnético (en N•m). a) 6,0.10-3
b) 6,2.10-3
c) 6,4.10-3
d) 6,6.10-3
I
e) 6,8.10-3
C 3I
b
B•
2r
P a I
I R.SABRERA
Fig.57
A
Fig.58
161.Por una espira rectangular de lados a=10 cm y b=20 cm, circula una corriente de intensi dad I=2 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el centro de la espira. (µo=4π•10-7 H/m , micro µ=10-6 ) a) 17,1 µT
b) 17,3 µT
c) 17,5 µT
d) 17,7 µT
e) 17,9 µT
162.En la Fig.59, por el alambre en forma de "horquilla" muy larga, circula una corriente de intensidad I=10 A. Hallar la magnitud del campo magnético B en el punto "a". Conside rar que R= 0,50 cm. a) 1,01 mT
b) 1,03 mT
c) 1,05 mT
d) 1,07 mT
e) 1,09 mT
163.En la Fig.60, por los tres alambres A, B y C muy largos, paralelos y contenidos en un mismo plano, circulan corrientes de intensidades IA=30 A, IB=10 A y IC=20 A. Hallar la fuerza que actúa sobre 25 m del alambre "C". (µo=4π•10-7 H/m , m=10-3 ) a) 17,1 mN
b) 17,3 mN
c) 17,5 mN
d) 17,7 mN
e) 17,9 mN
164.Una espira circular de radio R=2 cm, está situado en un campo magnético uniforme de
678 Magnetismo modo que el plano de la espira es perpendicular a las líneas de fuerza del campo. La exci tación magnética es H=2000 Oe. Por la espira circula una corriente de intensidad I=2 A. ¿Qué trabajo se debe realizar para que la espira gire un ángulo de θ=900 alrededor de su e je, que coincide con su diámetro? (1 Oe=103/4π T ; m=10-3) a) 0,1 mJ
b) 0,2 mJ
c) 0,3 mJ
d) 0,4 mJ A
i
B
e) 0,5 mJ C
∞
30A
10A
20A
a R ∞
i
3cm
Fig.59
5cm
Fig.60
165.En la Fig.61, por el alambre circula una corriente de intensidad I=2 A, el radio de la semi circunferencia es R=10 cm. Hallar la magnitud del campo magnético en el centro C. (µo=4π•10-7 H/m) a) 3,14 µT
b) 6,28 µT
c) 12,56 µT
d) 9,42 µT
e) 15,7 µT
166.Un electrón que se acelera con una diferencia de potencial de 1000 V ingresa entre dos placas separadas 0,02 m, cuya diferencia de potencial es 100 V. Si el electrón penetra per pendicularmente al campo eléctrico entre las placas, ¿Qué campo magnético se necesita, perpendicular tanto a la trayectoria inicial del electrón como al campo eléctrico, para que el electrón se desplace en línea recta? (e=-1,6•10-19 C ; m=9,1•10-31 kg ) a) 207 µT
b) 223 µT
c) 245 µT
d) 267 µT
e) 289 µT
167.En la Fig.62, en la espira por la cual circula una corriente de intensidad I=2A, los seg mentos curvos son arcos de circunferencias de radios a=20 cm, b=10 cm, y los segmentos rectos están a lo largo de los radios. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto P, sabiendo que α=300. a) 0,50 µT
b) 0,52 µT
c) 0,54 µT
d) 0,56 µT
e) 0,58 µT
I
I I
∞
R
I
I
C l
l
∞
b
α
P
Fig.61
Fig.62
a
679 168.En la Fig.63, la espira cuadrada de lado a=0,1 m, está en el plano XY, y conduce una co rriente de intensidad I=10 A, en presencia de un campo magnético B = 0,1 y kˆ (y en me tros). Hallar la fuerza magnética resultante sobre la espira. (m=10-3)
Física III
b) 10 mN ( − ˆj)
a) 10 mN (ˆj)
ˆ d) 10 mN ( − ˆi) e) 5 mN (i)
ˆ c) 10 mN (i)
169.La bobina de un galvanómetro que tiene N=600 espiras, se suspende de un hilo de módu lo de rigidez G=5,9•109 N/m2 longitud l=10 cm y diámetro D=0,1 mm en un campo mag nético de excitación H=16•104 A/m, de modo que su plano es paralelo al campo magnéti co. La longitud de los lados de la bobina son a=2,2 cm y b=1,9 cm. ¿Qué corriente circula por el arrollamiento de la bobina, si ésta ha girado un ángulo de α = 0,50? a) 0,1 µA
b) 0,2 µA
c) 0,3 µA
d) 0,4 µA
e) 0,5 µA
170.En la Fig.64, hallar la magnitud del campo magnético en C, que es el centro común de los arcos de semicircunferencia AD y HJ, cuyos radios son, R2 =20 cm y R1 =10 cm res pectivamente, y que forman parte del circuito AHJDA por el cual circula una corriente I=2 A. a) 3,14 µT
b) 6,28 µT
c) 9,42 µT
d) 12,56 µT
e) 1,57 µT
Z
i B
i
i i
i 0
R2 R1
i
Y
A
H
C
J
D
X
Fig.63
Fig.64
171.En la Fig.65, por el circuito circula una corriente eléctrica de intensidad I=2 A, los radios de curvatura son, a=20 cm; b=10 cm y los conductores en dirección de los ejes X e Y son infinitamente largos. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto "O" . a) 5,1 µT
b) 5,3 µT
c) 5,5 µT
d) 5,7 µT
e) 5,9 µT
172.Dos partículas idénticas ingresan con velocidades v1 y v 2 = 2v1 , perpendiculares a un campo magnético uniforme B . Indicar las afirmaciones verdaderas (V) o falsas (F). I) El radio de la trayectoria de la partícula "1" es mayor que la de la partícula "2" . II) Ambas partículas demoran el mismo tiempo en completar una revolución. III) El período de la partícula "2" es la mitad que el período de la partícula "1" . a) Sólo I es correcta. b) Sólo II es correcta. c) Sólo III es correcta d) I y II son correctas e) I y III son correctas
173.En la Fig.66, por el circuito mostrado circula una corriente de intensidad I=2 A, siendo
680 Magnetismo los radios de curvatura a=20 cm y b=10 cm. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto "O" (µo=4π•10-7 H/m) a) 7,1 µT
b) 7,3 µT
c) 7,5 µT
bacan
y I 0
a
y +∞
I
I
a
+∞
•
0
b
I
I
I
I
Fig.65
e) 7,9 µT
+∞
x
b I
i
•
d) 7,7 µT
I
Fig.66
174.Una lámina conductora consiste en un número de alambres adyacentes, todos ellos de longitud infinita con n=5 alambres por cm, cada uno de ellos conducen una corriente de in tensidad I=2 A. Hallar la magnitud de B en puntos situados en frente de la lámina. a) 0,61 mT
b) 0,63 mT
c) 0,65 mT
d) 0,67 mT
e) 0,69 mT
175.Hallar la fuerza de interacción magnética entre dos alambres paralelos rectilíneos de lon gitudes igual a l=1 m, separados por una distancia d=1 m, y que conducen corrientes en sentidos opuestos de intensidades I1=I2=1 A. a) 0,1 µN
b) 0,2 µN
c) 0,3 µN
d) 0,4 µN
e) 0,5 µN
176.En la Fig.67, en el circuito a=10 cm, b=20 cm y I=1 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto "O". (µo=4π•10-7 H/m) a) 5,1 µT
b) 5,3 µT
c) 5,5 µT
d) 5,7 µT
e) 5,9 µT
177.En la Fig.68, el alambre rectilíneo muy largo y la espira rectangular conducen corrientes de intensidades 3 A y 2 A. Hallar la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre la es pira. (a=1,0 cm b=8,0 cm y l=30 cm) a) 30 µ N
b) 32 µ N
c) 34 µ N
d) 36 µ N
e) 38 µ N
178.Por un circuito en forma de hexágono regular de lado a=4 cm, circula una corriente de in tensidad I=2 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el centro del hexágono. a) 69,1 µT
b) 69,3 µT
c) 69,5 µT
d) 69,7 µT
e) 69,9 µT
179.Por un conductor cilíndrico hueco de radios interno a=1 cm y externo b=2 cm circula
681 una corriente de intensidad I=1 A distribuida uniformemente en toda su sección transver sal. Hallar la magnitud de B a una distancia de r=1,5 cm del eje del conductor
Física III
a) 5,50 µT
b) 5,52 µT
c) 5,54 µT
I
d) 5,56 µT
3A
I a
b 0
e) 5,58 µT
2A
r
b
I a
l
I
Fig.67
Fig.68
180.En la Fig.69, por los alambres muy largos, separados una distancia d=4 cm circulan co rrientes iguales en magnitud a I=2 A, pero de sentidos opuestos. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto P. (µo=4π•10-7 H/m , R=8 cm, M punto medio) a) 0,31 µT
b) 0,33 µT
c) 0,35 µT
d) 0,37 µT
e) 0,39 µT
181.En la Fig.70, el alambre coaxial largo consta de dos conductores concéntricos de radios a=1 cm; b=2 cm y c=4 cm. Sobre estos conductores circulan corrientes iguales y opuestas de I=2 A. Hallar la magnitud de B dentro del conductor externo para r =3 cm. a) 7,70 µT
b) 7,72 µT
c) 7,74 µT
d) 7,76 µT
e) 7,78 µT
I
i d M
R
i
•P
c
i
a b
I
R.SABRERA
Fig.69
Fig.70
182.En la Fig.71, por los cuatro alambres de cobre, largos y paralelos, cuyas secciones trans versales forman un cuadrado de lado a=20 cm, circulan corrientes de intensidades I=2 A en el sentido mostrado. Hallar la magnitud y la dirección de B en el centro del cuadrado. a) 6 µT (↑)
b) 8 µT (↑)
c) 6 µT (↓)
d) 8 µT (↓)
e) 6 µT (↑)
183.Un positrón de energía 3,2.10-16 J ingresa a una región en la que hay un campo magnéti
682 Magnetismo co uniforme de magnitud B= 0,1 T y su vector velocidad forma un ángulo de 890 respecto de B . Hallar el avance "a" .(µo=4π•10-7 H/m, m=9,1•10-31 kg, q=1,6•10-19 C) a) 0,106 mm
b) 0,186 mm I
I
a
c) 0,166 mm
r
P •
a
e) 0,126 mm
B
-
I
d) 0,146 mm
V+
I
x
q S
Fig.71
Fig.72
184.En la Fig.72, se muestra el espectrómetro de masas de Dempster, utilizada para medir las masas de las partículas. Hallar la expresión que permite medir dichas masas. B2q 2 )x a) ( 2V
B2q 2 b) ( )x 4V
B2q 2 c) ( )x 8V
3B2q 2 d) ( )x 2V
e) (
Bq 2 )x 4V
185.En un experimento del efecto Hall, una corriente longitudinal de 3,0 A a lo largo de un conductor de 1,0 cm de longitud; 4,0 cm de ancho y 10-3 cm de espesor, produce un vol taje "Hall transversal" (a lo largo de la anchura) de 10-5 V, cuando se aplica un campo magnético de magnitud 1,5 T perpendicularmente al conductor. Hallar la velocidad de a rrastre (en mm/s) de los portadores de carga. a) 0,61
b) 0,63
c) 0,65
d) 0,67
e) 0,69
186.En la Fig.73, el cilindro de madera tiene masa m=0,25 kg, radio "R " , longitud l=0,1 m y número de vueltas N=10 de alambre enrollada longitudinalmente en el, de tal forma que el plano de las espiras de alambre contiene al eje del cilindro. Hallar el valor mínimo de la corriente que debe circular por el enrollamiento para que el cilindro no ruede por el plano inclinado, que forma un ángulo "θ" respecto a la horizontal, en presencia de un campo magnético vertical de magnitud B=0,5 T, el plano de las espiras es paralelo al plano incli nado. (g=10 m/s2) a) 2,1 A
b) 2,3 A
c) 2,5 A
d) 2,7 A
e) 2,9 A
187.En la Fig.74, por el circuito cuadrado de lado a=8 cm, circula una corriente de intensidad I=2 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto P. (µo=4π•10-7 H/m) a) 39,1 µT
b) 39,3 µT
c) 39,5 µT
d) 39,7 µT
e) 39,9 µT
188.Un conductor largo rectilíneo tiene una sección transversal de radio R=20 cm y transpor
683 ta una corriente de I=2 A. Dentro del conductor hay un orificio cilíndrico de radio a=4 cm con su eje paralelo al eje conductor y a una distancia b=10 cm de el. Hallar la magnitud del campo magnético al interior del orificio.
Física III
a) 1,00 µT
b) 1,02 µT
c) 1,04 µT
d) 1,06 µT
e) 1,08 µT
a/4
B
A a/4
B
l
•P
a
I θ
D
C
a
Fig.73
Fig.74
189.Los electrones en un haz de un cinescopio de televisión tienen una energía de 19,2•10-16 J El tubo se orienta de tal forma que los electrones se mueven horizontalmente de sur a norte. La componente vertical del campo magnético terrestre apunta hacia abajo y tiene un valor igual a B=5,5•10-5 T. ¿Cuánto se deflectará el haz al moverse 20 cm en el cines copio del televisor? (me=9,1•10-31 kg, e= -1,6•10-19 C, µo=4π•10-7 H/m) a) 2,84 mm
b) 2,88 mm
c) 2,92 mm
d) 2,94 mm
e) 2,98 mm
190.En la Fig.75, se muestra un alambre de forma arbitraria que transporta una corriente i=1 A entre los puntos "a" y "b" . El alambre se encuentra en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme de B=2 T y b-a=20 cm. Hallar la magnitud de la fuerza mag nética sobre el alambre. a) 0,1 N
b) 0,2 N
c) 0,3 N
d) 0,4 N
b
e) 0,5 N
B
φ
I B
φ
R
n µ
a
mg
Fig.75
Fig.76
191.En la Fig.76, la bobina circular de N=10 vueltas, radio R=10 cm que está suspendida en un campo magnético vertical uniforme B=0,5 T, puede girar en torno a un eje horizontal que pasa por su centro. De la parte inferior de la bobina cuelga, mediante un hilo, una ma sa m=500 g. Cuando a través de la bobina circula una corriente i=1 A, se alcanza la po sición de equilibrio en la que la perpendicular al plano de la bobina forma un ángulo φ
684
Magnetismo
con respecto a la dirección de B . Hallar el valor del ángulo φ. (g=10 m/s2) a) 720 26’
b) 720 30’
c) 720 34’
d) 720 38’
e) 720 42’
192.En la Fig.77, las corrientes de intensidad I=2 A que circulan por los alambres muy largos y paralelos están en el mismo sentido. Hallar la magnitud de la fuerza por unidad de longi tud (en µN/m) sobre cualquiera de los cuatro alambres. (a=20 cm) a) 8,37
b) 8,41
c) 8,45
d) 8,49
e) 8,53
193.Un toroide de radios externo R=20 cm e interno r=15 cm y cuya sección transversal es de S=25 cm2, tiene N=500 vueltas de un alambre que transporta una corriente de intensi dad I=0,8 A. Hallar el flujo magnético a través de su sección transversal. a) 1,10 µWb
b) 1,14 µWb
c) 1,18 µWb
d) 1,22 µWb
e) 1,26 µWb
194.En la teoría de Bohr del átomo de hidrógeno un electrón gira en sentido horario con ve locidad uniforme de v=4•106 m/s en una órbita circular de radio R=2•10-9 m alrededor del protón Si el átomo se ubica en un campo magnético uniforme de B=2 T, perpendicular al plano de la órbita. Hallar el porcentaje en que aumenta la velocidad angular del electrón (k=9•109 N•m2/C2, e=-1,6•10-19 C, me=9,1•10-31 kg) a) 1,11 %
b) 1,33 %
c) 1,55 %
d) 1,77 %
e) 1,99 %
195.Un haz de electrones, de energía cinética "E C " sale por una ventana del extremo de un tubo acelerador. A una distancia "d" de la ventana se encuentra una placa metálica perpen dicular a la dirección del haz. Hallar el valor mínimo de B, para el cual, el haz no incide sobre la placa metálica. a) (
mE C 1/ 2 ) e 2d 2
b) (
2mE C 1/ 2 ) e 2d 2
c) (
mE C 1/ 2 ) 2e 2d 2
d) (
mE C 1/ 2 ) e.d 2
e) (
mE C 1/ 2 ) e 2d
196.En la Fig.78, por el alambre largo de cobre circula una corriente de intensidad I=10 A. Hallar el flujo magnético por metro de alambre, que pasa a través de la superficie plana "S" . a) 1 µWb/m
b) 2 µWb/m
I
a
c) 3 µWb/m
d) 4 µWb/m
I a
a
i
a
S
I
a
Fig.77
I R.SABRERA
Fig.78
e) 5 µWb/m
685 197.Por un conductor cilíndrico hueco muy largo de radios interno a=2 cm y externo b=4 cm circula una corriente total de I=2 A, pero la densidad de corriente no uniforme dentro del conductor es, J(r) = α.r , y "α " una constante. Hallar la magnitud del campo magnético a una distancia r=3 cm del eje del cilindro. (µo=4π•10-7 H/m)
Física III
a) 4,48 µT
b) 4,52 µT
c) 4,56 µT
d) 4,60 µT
e) 4,64 µT
198.En la Fig.79, por el cilindro conductor muy largo de radio R=4 cm que tiene dos orifi cios cilíndricos de radios R/2 circula una corriente total de intensidad I=2 A, la densidad de corriente "J" es uniforme en la sección transversal. Hallar la magnitud del campo mag nético en P. (µo=4π•10-7 H/m) a) 10 µT
b) 12 µT
c) 14 µT
d) 16 µT
e) 18 µT
199.Por un solenoide de radio R=4 cm, longitud l=50 cm y número de vueltas N=300 circula una corriente de intensidad I=0,4 A. Si la corriente se aumenta en 1 %, hallar el aumento en porcentaje del campo magnético. a) 1 %
b) 2 %
c) 3 %
d) 4 %
e) 5 %
200.En la Fig.80, por la espira cuadrada de lado a=10 cm circula una corriente de intensidad I=2 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto P, situado en el plano que con tiene a la espira a una distancia d=10 cm de su centro 0. a) 2,22 µT
b) 2,44 µT
c) 2,66 µT
d) 2,88 µT
e) 3,02 µT
P •
a
I R/2
R/2
a
0
d
P
R a
Fig.79
Fig.80
201.En la Fig.81, los alambres paralelos de longitudes l=1 m, separados una distancia d=12 cm, se hallan unidos por dos resortes de constantes k=0,1 N/m. El sistema se halla en el plano horizontal. Hallar la distancia de separación entre los alambres, cuando por ellas se hacen circular corrientes en sentidos opuestos de intensidad I=20 A. a) 11,77 cm
b) 11,82 cm
c) 12,02 cm
d) 12,32 cm
e) 12,55 cm
202.Por un alambre en forma de polígono regular de n=40 lados, que se encuentra inscrito en una circunferencia de radio a=10 cm, circula una corriente I=20 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el centro de la circunferencia. (µo=4π•10-7 H/m)
686
Magnetismo
a) 121,9 µT
b) 125,9 µT
c) 123,9 µT
d) 122,9 µT
e) 123,9 µT
203.En la Fig.82, el alambre rectilíneo muy largo y la espira circular se encuentran en un mis mo plano, I=2 A, d=8 cm y R=4 cm. Hallar la magnitud de la fuerza de interacción magné tica entre el alambre y la espira. a) 45,4 µN
b) 42,4 µN
•
•
k
d
c) 41,4 µN
d) 43,4 µN I
I
I
e) 44,4 µN
R
k •
•
I
l
d
Fig.81
Fig.82
204.En un experimento del efecto Hall, una corriente longitudinal de 3,0 A a lo largo de un conductor de 1 cm de longitud; 4,0 cm de ancho y 10-3 cm de espesor, produce un voltaje “Hall transversal” (a lo largo de la anchura) de 10-5 V, cuando se aplica un campo magné tico de 1,5 T perpendicularmente al conductor. Hallar el número de portadores por metro cúbico. (e=-1,6•10-19 C) a) 2,0•1029
b) 2,2•1029
c) 2,4•1029
d) 2,6•1029
e) 2,8•1029
205.En la Fig.83, el anillo de radio R=10 cm conduce una corriente I=2 A y es perpendicular a la dirección general de un campo magnético, que diverge siguiendo una simetría radial. La magnitud del campo magnético B=2 T en la posición del anillo es la misma y su direc ción forma, en todos los sitios del anillo, un ángulo de θ=370 respecto a la normal al plano del anillo. Hallar la fuerza que ejerce el campo magnético. a) 1,51 N (ˆj)
b) 1,51 N ( − ˆj)
I
c) 1,25 N (ˆj)
d) 1,25 N ( − ˆj) e) 1,77 N ( − ˆj)
B
I
R
w
y
d
P
θ
x
Fig.83
Fig.84
206.En la Fig.84, la lámina conductora de longitud infinita y ancho w=10 cm tiene una den
687 sidad uniforme de corriente j=20 A/m por unidad de ancho es decir, i total = j w . Hallar el campo magnético en el punto "P" a una distancia perpendicular d=5 cm del borde de la lá mina, contenida en el mismo plano de la lámina. (µo=4π•10-7 H/m)
Física III
a) 4,31 µT
b) 4,33 µT
c) 4,35 µT
d) 4,37 µT
e) 4,39 µT
207.En la Fíg.85, el alambre situado en la diagonal del cubo de lados a=10 cm conduce una ˆ . Ha corriente de intensidad I=2 A y se halla en un campo magnético uniforme B = 2 T (i) llar la magnitud de la fuerza magnética sobre el alambre. a) 0,51 N
b) 0,53 N
c) 0,55 N
d) 0,57 N
e) 0,59 N
208.En la Fig.86, por la espira en forma de hexágono regular de lado a=10 cm circula una co rriente de intensidad I=2 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el punto P situa do a una distancia d=10 cm del centro del hexágono. (µo=4π•10-7 H/m) a) 4,0 µT
b) 4,2 µT
c) 4,4 µT
d) 4,6 µT
e) 4,8 µT
209.Por n=20 espiras cuadradas concéntricas de lados a, a/2, a/3,...,a/20 circulan corrientes en el mismo sentido y de intensidades I=2 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el centro común. (a=10 cm ; m=10-3) a) 4,71 mT
b) 4,73 mT
c) 4,75 mT
d) 4,77 mT
e) 4,79 mT
z •
•
P
•
a a
a B x
a •
•
0 a
a
d
i
•
a
y R.SABRERA
Fig.85
a a
Fig.86
210.En la Fig.87, el campo magnético "B" al interior del volumen cilíndrico de radio R=10 cm es uniforme y su magnitud disminuye a un ritmo constante de 0,01 T/s. Hallar la mag nitud de la aceleración instantánea que experimenta un electrón ubicado a una distancia r=5 cm del eje del cilindro. (e=-1,6•10-19 C; me = 9,1•10-31 kg, M=106) a) 40 Mm/s2
b) 42 Mm/s2
c) 44 Mm/s2
d) 46 Mm/s2
e) 48 Mm/s2
211.En la Fig.88, la lámina conductora de gran longitud y ancho "w" tiene una densidad uni forme de corriente " j" por unidad de ancho, es decir, j=i/w=2 A. Hallar la magnitud del campo magnético si d<
b) 1,22 µT
c) 1,24 µT
d) 1,26 µT
e) 1,28 µT
688
Magnetismo y x
x
x
x
x
x
R
x
x
P• d x
r x
0 x
x
x
W
B x
i
x
Fig.87
Fig.88
212.En la Fig.89, por el solenoide de longitud l=10 cm, de N=400 vueltas y radio de cada es pira a=4 cm, circula una corriente de intensidad I=2 A. Hallar "B" en el punto "P" ubica do a una distancia d=2 cm del extremo izquierdo del solenoide. (µo=4π•10-7 H/m) a) 2,50 mT
b) 2,52 mT
c) 2,54 mT
d) 2,56 mT
e) 2,58 mT
213.Un imán de hierro de permeabilidad relativa km=5000 tiene un camino de flujo de longi tud a=1,0 m en el hierro y una brecha de aire de longitud b=0,01 m, ambos con sección transversal de área S=0,02 m2. Hallar la intensidad de corriente que debe circular por un embobinado de N=500 vueltas en torno al hierro para que la densidad del flujo en la bre cha de aire sea de 1,8 T. a) 29,20 A
b) 29,22 A
c) 29,24 A
d) 29,26 A
e) 29,28 A
214.En la Fig.90, las corrientes circulares de intensidad I=2 A y radio a=10 cm están separa das por una distancia 2b=8 cm. Para, a=2b hallar la magnitud del campo magnético en el punto P, hasta una aproximación de tercer orden en "x" . (µo=4π•10-7 H/m, O punto me dio) a) 22,1 µT
b) 22,3 µT
c) 22,5 µT
d) 22,7 µT
e) 22,9 µT
l
a
• •• • • •• •• •• •• • • • •
I P
x
0
•
P
a d
x xxxx xxxx xx xx xxxx
2b
a I
Fig.89
Fig.90
215.En la Fig.91, por los alambres largos paralelos de densidad lineal de masa ρ=5•10-2 kg/m colgados del eje común O por medio de hilos de longitud a=4 cm, circulan la misma corriente "i" pero en sentidos opuestos. Hallar el valor de la corriente. (g=10 m/s2)
689
Física III a) 46, 80 A
b) 46,82 A
c) 46,84 A
d) 46,86 A
e) 46,88 A
216.En la Fig.92, por la bobina de N=100 vueltas en forma de tronco de cono con ángulo de abertura: θ =370, a=10 cm y b=20 cm circula una corriente de intensidad I=4 A. Hallar la magnitud del campo magnético en el vértice del cono. (Usar la función ln(x)) a) 01, mT
b) 0,2 mT 0
d) 0,4 mT
e) 0,5 mT
a
60 60
θ θ
I
I
I
c) 0,3 mT
l
a b
d 2
1
Fig.91
Fig.92
217.Por un anillo de alambre de radio R=10 cm, suspendido de dos conductores, circula una corriente de intensidad I=2 A, el anillo esta situado en un campo magnético uniforme hori zontal de magnitud B=2 T. Hallar la tensión interna del anillo. a) 0,1 N
b) 0,2 N
c) 0,4 N
d) 0,6 N
e) 0,8 N
218.Un anillo de alambre de radio R=10 cm se encuentra en un campo magnético perpendicu lar al plano del anillo y cuya magnitud varía según: B=1000.t (T). Hallar la magnitud del campo eléctrico en el anillo. a) 10 N/C
b) 20 N/C
c) 30 N/C
d) 40 N/C
e) 50 N/C
219.En la Fig.93, el anillo circular de radio R=1 cm y densidad lineal de carga uniforme de λ=4•10-9 C/m, gira alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular de ω = 4 rad/s. Hallar la magnitud del campo magnético " B" en puntos ubicados sobre el eje de gi ro, para z>>R (z=1 m ; µo=4π•10-7 H/m) a) 1.10-20 T
b) 2.10-20 T
c) 3.10-20 T
d) 4.10-20 T
e) 5.10-20 T
220.En la Fig.94, el disco delgado aislante de radio a=10 cm y densidad superficial de carga uniforme σ=6•10-10 C/m2, gira alrededor de su eje de simetría con velocidad angular de ω = 80 rad/s. Hallar la magnitud del campo magnético B , en el centro del disco. (f=10-15 ) a) 1 fT
b) 2 fT
c) 3 fT
d) 4 fT
e) 5 fT
221.Una esfera de radio a=10 cm y densidad de carga volumétrica uniforme de ρ=4•10-8 C/m3 gira alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular constante de ω=10 rad/s. Hallar la magnitud del campo magnético, en el centro de la esfera. (f=10-15)
690
Magnetismo
a) 1,98 fT
b) 1,08 fT z
λ
c) 1,28 fT
d) 1,48 fT
e) 1,68 fT
ω P
P•
ω
σ
a
R
Fig.93
Fig.94
222.Una corriente de intensidad I=10 A recorre en sentido antihorario una espira de alambre delgada en forma de triángulo equilátero de lado a=1 m. Hallar la magnitud del campo magnético en el centro de la espira. (µ=10-6) a) 10 µT
b) 12 µT
c) 14 µT
d) 16 µT
e) 18 µT
223.En la Fig.95, el cilindro metálico compacto de radio R=2 cm gira alrededor de su eje de simetría con una velocidad angular constante de ω = 938 Mrad/s. La carga eléctrica y la masa del electrón son: e=-1,6•10-19 C, m=9,1•10-31 kg, respectivamente. Hallar: (M=106) I) La diferencia de potencial entre la superficie del cilindro y su eje de simetría. a) 800 V
b) 850 V
c) 900 V
d) 950 V
e) 1 000 V
II) La diferencia de potencial entre los puntos situados a una distancia de d=R/2 y el eje. a) 150 V
b) 200 V
c) 250 V
d) 300 V
e) 350 V
III) La magnitud del campo magnético en el eje, creado por un electrón situado a la distancia de d=R/2 de el. a) 600 aT
b) 650 aT
c) 700 aT
d) 750 aT µ
σ
ω
ω
•
d
R •
R.SABRERA
Fig.95
e) 800 aT
θ
0
Fig.96
R
691 224.En la Fig.96, al hemisferio conductor hueco de radio R=10 cm, densidad de carga super ficial uniforme σ=8•10-9 C/m2, que gira alrededor de su eje de simetría con una velocidad angular constante de ω = 100 rad/s, se le ha quitado un segmento esférico, limitado por el ángulo θ=450. Hallar la energía magnética de interacción entre el hemisferio cortado y la partícula de momento magnético interior "µ " que se encuentra situado en el eje a la dis tancia d=10 cm de 0.
Física III
a) 10 µ nJ
b) 12 µ nJ
c) 14 µ nJ
d) 16 µ nJ
e) 18 µ nJ
225.En la Fig.97, la superficie cónica de ecuación: x 2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ h , tiene una densi dad de carga superficial uniforme de σ=8•10-9 C/m2, y gira alrededor de su eje de sime tría con una rapidez constante de ω=40 rad/s. Hallar la intensidad del campo magnético en el vértice 0 de la superficie cónica, si h=10 cm. (n=10-9) a) 10 nA/m
b) 12 nA/m
c) 14 nA/m
d) 16 nA/m
e) 18 nA/m
226.En la Fig.97, el cono de ecuación: x 2 + y 2 = z 2 , 0 ≤ z ≤ h , tiene una densidad de carga volumétrica uniforme de ρ=8•10-9 C/m3, y gira alrededor de su eje de simetría con una ve locidad angular constante de ω=100 rad/s. En el vértice del cono se encuentra una partí cula de momento magnético interno "µ " . La altura del cono es de h=50 cm. I) La magnitud de la intensidad del campo magnético H , en el vértice del cono. a) 4,1 nA/m
b) 5,1 nA/m
c) 6,1 nA/m
d) 7,1 nA/m
e) 8,1 nA/m
II) La energía magnética "W" de interacción entre la partícula y el cono de rotación. a) 4,1 µ nA/m
b) 5,1 µ nA/m
c) 6,1 µ nA/m
d) 7,1 µ nA/m e) 8,1 µ nA/m
ω
z
h
0
ω
θ r
P y
σ ρ
x
0
Fig.97
Fig.98
227.En la Fig.98, el cuerpo sólido de densidad de carga volumétrica "ρ " , gira alrededor del e je Z, con una velocidad angular constante " ω" . I) Demostrar que la intensidad del campo magnético en el origen de coordenadas 0, viene da ω do por: H(0) = (ρ sen 2θ / r)dV , siendo "θ" el ángulo que forma el vector de posi ∫ 4π V
692 Magnetismo ción "r " con el eje Z, y "dV" el diferencial de volumen en el punto P. II) Utilizando el resultado anterior, hallar la intensidad del campo magnético en el centro de u na esfera sólida de radio R=10 cm, densidad de carga volumétrica uniforme ρ = 9.10-9 C/m3, que gira alrededor del eje Z, con una velocidad angular constante de ω = 100 rad/s. (n=10-9) a) 1 nA/m
b) 2 nA/m
c) 3 nA/m
d) 4 nA/m
e) 5 nA/m
228.En la Fig.99, los anillos de radios iguales a R=10 cm, y densidades de carga lineales uni formes de λ1=4 nC/m y λ2, giran en sentidos contrarios alrededor del eje común, con ve locidades angulares constantes de ω1=40 rad/s y ω2=80 rad/s. ¿Para qué valor de λ2, la in tensidad del campo magnético en el punto P es nulo? a) 7,1 nC/m
b) 7,3 nC/m
c) 7,5 nC/m
d) 7,7 nC/m
e) 7,9 nC/m
ω
λ1
R
R
ω1
R
P 2R
λ2
h
ρ
R
0
R
ω2
Fig.99
Fig.100
229.En la Fig.100, el cilindro compacto de radio R=10 cm, altura h=20 cm, densidad de car ga volumétrica uniforme ρ=8•10-9 C/m3, gira alrededor de su eje de simetría con una ve locidad angular constante de ω=200 rad/s, y presenta en su base inferior una cavidad se miesférica de radio R=10 cm. Hallar la intensidad del campo magnético en el punto 0. a) 1,11 nA/m
b) 1,31 nA/m
c) 1,51 nA/m
d) 1,71 nA/m
e) 1,91 nA/m
230.En la Fig.101, la esfera compacta de radio R1=10 cm y el cascarón compacto de radios in terno R1=10 cm, externo R2=20 cm, tienen densidades de cargas volumétricas uniformes "ρ1 " "ρ2 " , y giran en sentidos opuestos alrededor del eje común con velocidades angula res constantes de ω=40 rad/s. La esfera y el cascarón están aislados entre si. ¿Para qué razón ρ1/ρ2=? de las densidades de cargas, la intensidad del campo magnético H en el cen tro común 0 es nulo? a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
231.La magnetización de una muestra de hierro es tal que aporta 2 Wb/m2 a una inducción magnética uniforme B . ¿Cuál es el momento magnético de un volumen de 1 cm3 de esta muestra?
693
Física III a) 1,47 A.m2
b) 1,50 A.m2
c) 1,53 A.m2
d) 1,56 A.m2
ω
A•
σ (2)
(1)
0
e) 1,59 A.m2
ω
B•
ω
R 0
R1 R2 R.SABRERA
Fig.101
Fig.102
232.Una esfera compacta de radio R=10 cm, tiene una carga Q = 4•10-8 C, distribuida unifor memente en su volumen, y gira alrededor de su eje de simetría con una velocidad angular constante de ω=40 rad/s. ¿En qué porcentaje varia la intensidad del campo magnético en el centro de la esfera, si su carga "Q" se distribuye en su superficie? a) 31,3 %
b) 33,3 %
c) 35,3 %
d) 37,3 %
e) 39,3 %
233.En la Fig.102 la esfera conductora hueca de radio R=10 cm, densidad de carga superfi cial uniforme de σ=8•10-9 C/m2, gira alrededor de uno de sus diámetros con una velo cidad angular constante de ω=100 rad/s. Hallar: I) La magnitud de la intensidad del campo magnético en el punto A, situado a una distancia d=12 cm del centro 0 de la esfera. a) 30,9 nA/m
b) 31,9 nA/m
c) 32,9 nA/m
d) 33,9 nA/m
e) 34,9 nA/m
II) La magnitud de la intensidad del campo magnético en el punto B, situado a una distancia d=8 cm del centro 0 de la esfera. a) 52,3 nA/m
b) 53,3 nA/m
c) 54,3 nA/m
d) 55,3 nA/m
e) 56,3 nA/m
III) ¿En qué porcentaje cambia la intensidad del campo magnético en el punto A, respecto del punto B? a) 40 %
b) 42 %
c) 44 %
d) 46 %
e) 48 %
IV) ¿A qué distancia del centro 0, la intensidad del campo magnético en un punto del eje es la mitad de la intensidad magnética en 0? a) 12,2 cm
b) 12,4 cm
c) 12,6 cm
d) 12,8 cm
e) 13,0 cm
V) Para puntos situados sobre el eje de rotación, representar la gráfica de la intensidad del campo magnético H en función de la distancia "z" al centro de la esfera
234.En la Fig.103, la varilla muy delgada de longitud l=30 cm, formada por dos conductores de densidad de carga lineal uniforme λ=4•10-9 C/m y un aislante descargado, gira alrede
694 Magnetismo dor del eje de simetría con una velocidad angular constante de ω=100 rad/s. (Sugerencia: Utilizar la función ℓn(x) ) I) Hallar la intensidad del campo magnético (en nA/m) en el punto P, situado a una distancia d=10 cm de 0. a) 3,24
b) 3,44
c) 3,64
d) 3,84
e) 4,04
II) Hallar la intensidad del campo magnético (en nA/m) en el punto 0. a) 8,14
b) 8,34
c) 8,54
d) 8,74
e) 8,94
III) ¿Cuántas veces mayor es la intensidad del campo magnético en el punto 0 que en P? a) 1,5
b) 2,0
c) 2,5
d) 3,0
e) 3,5
235.En la Fig.104, la esfera conductora hueca de radio R1=10 cm y densidad de carga superfi cial uniforme σ=8•10-9 C/m2, gira alrededor de su eje de simetría con una velocidad angu lar constante de ω1=21,1 rad/s. ¿A qué velocidad angular debe girar alrededor del mismo eje en sentido opuesto, el disco conductor hueco muy delgado de radios interno R1=10 cm, externo R2=20 cm, y densidad de carga superficial uniforme "σ " , para que la intensi dad del campo magnético en el punto A sea nulo? a) 30 rad/s
b) 35 rad/s
c) 40 rad/s
ω
σ
λ 0
5cm
d) 45 rad/s
e) 50 rad/s ω1
A
•
R1
0
10cm
R2
P•
Fig.103
Fig.104
236.Una esfera de radio R=10 cm tiene distribuida uniformemente en su volumen una carga Q=800 nC. Las mitades de la esfera giran en sentidos opuestos alrededor de su eje de si metría con velocidades angulares constantes de ω1=60 rad/s y ω2=40 rad/s. I) Hallar la intensidad del campo magnético en el centro de la esfera. a) 6,0 µA / m
b) 6,2 µA / m
c) 6,4 µA / m
d) 6,6 µA / m
e) 6,8 µA / m
II) ¿Cuál es la diferencia de las cargas de las mitades de la esfera, si estas se distribuyen de forma diferente, tal que, la intensidad del campo magnético en el centro de la esfera es nu la? a) 160 nC
b) 170 nC
c) 180 nC
d) 190 nC
e) 200 nC
237.En la Fig.105, el anillo conductor delgado de radio R=10 cm, densidad de carga lineal u
695 niforme λ=8•10-9 C/m, primero se hace girar alrededor del eje A, y luego alrededor del eje B, con velocidad angular constante de ω=80 rad/s. ¿En qué porcentaje ha cambiado la intensidad del campo magnético en el centro 0 del anillo?
Física III
a) 40 %
b) 45 %
c) 50 %
d) 55 %
e) 60 %
238.En la Fig.106, la bobina toroidal tiene una circunferencia media de longitud lm=40 cm, un área transversal de A=5 cm2, y está formada por N=400 vueltas de alambre sobre un núcleo de hierro con susceptibilidad magnética de χm=550. Una corriente de intensidad I= 1,5 A pasa por el alambre. Hallar: I) La magnitud de la intensidad magnética H al interior del toroide. a) 1 350 A/m
b) 1 400 A/m
c) 1 450 A/m
d) 1 500 A/m
e) 1 550 A/m
II) La magnitud de la inducción magnética B al interior del toroide. a) 1,0186 T
b) 1,0386 T
c) 1,0586 T
d) 1,0786 T
e) 1,0986 T
III) La magnitud de la intensidad del campo magnético, creado por la corriente "i" . a) 0,0019 T
b) 0,0039 T
c) 0,0059 T
d) 0,0079 T
e) 0,0099 T
IV) La magnitud de la intensidad del campo magnético, generada por la magnetización. a) 1,0167 T
b) 1,0367 T
c) 1,0567 T
d) 1,0767 T
e) 1,0967 T
V) El porcentaje que representa la inducción magnética creada por la corriente "i" , res pecto de la inducción total. a) 0,18 %
b) 0,38 %
c) 0,58 %
d) 0,78 %
e) 0,98 %
d) 0,41 Wb
e) 0,51 Wb
VI) El flujo magnético total que atraviesa la muestra. a) 0,11 Wb
b) 0,21 Wb
λ
c) 0,31 Wb
A ω B ω
Rm R2 0
0
R1
R
I I
Fig.105
Fig.106
239.En la Fig.107, la esfera compacta de radio R=20 cm y densidad de carga volumétrica uni forme ρ=8•10-9 C/m3, se desplaza con una rapidez de v=4•106 m/s, en la dirección mos trada. Hallar: (c=3•108 m/s, k=1/4πεo=9•109 N•m2/C2)
696 Magnetismo I) La inducción del campo magnético en el punto A, situado a la distancia de r=10 cm del centro de la esfera, para θ = 300. a) 6,1 µT
b) 6,3 µT
c) 6,5 µT
d) 6,7 µT
e) 6,9 µT
II) La inducción del campo magnético en el punto B, situado a la distancia de r=25 cm del centro de la esfera, para θ=300. a) 8,18 µT
b) 8,38 µT
c) 8,58 µT
d) 8,78 µT
e) 8,98 µT
III) ¿Cuántas veces mayor es la inducción magnética en el punto B que en el punto A? a) 1,08
b) 1,28
c) 1,48
d) 1,68
e) 1,88
y
ρ
P • d
B A θ
0
•
I
0 b
v
x
R
Fig.107
Fig.108
240.Un disco conductor muy delgado de radio R=10 cm y densidad de carga superficial no u niforme, dada por: σ=σo(r/R)2 con σo=8•10-10 C/m2, gira con una velocidad angular de ω= 100 rad/s, alrededor de su eje de simetría que pasa por su centro, y es perpendicular al pla no que lo contiene. Hallar: (µo=4π•10-7 H/m) I) La intensidad del campo magnético (en nA/m), en un punto del eje de simetría, situa do a la distancia d=10 cm, del centro del disco. (n=10-9) a) 0,196
b) 0,296
c) 0,496
d) 0,696
e) 0,896
II) La intensidad del campo magnético (en nA/m) en el centro del disco. a) 1/3
b) 2/3
c) 3/2
d) 4/3
e) 7/5
III) La magnitud del momento magnético (en pA.m2) del disco rotante. (p=10-12) a) 1,19
b) 2,19
c) 4,19
d) 6,19
e) 8,19
241.Hallar la densidad de la corriente en función de la distancia "r" hasta el eje de un flujo de electrones simétrico y paralelo a este eje, si la inducción del campo magnético dentro de éste depende de "r" según la ley B = b.r α , siendo "b" y "α " constantes positivas. 242.Se tiene una lámina delgada muy grande de densidad de carga superficial uniforme σ = 8•10-9 C/m2, contenida en el plano XY, que se mueve con una velocidad v = 500 ˆi (m/s). Hallar la magnitud de la intensidad del campo magnético, a una distancia d=1 cm de la lá
mina: (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6) a) 1 µA/m
b) 2 µA/m
697
Física III c) 3 µA/m
d) 4 µA/m
e) 5 µA/m
243.En la Fig.108, la lámina conductora de gran longitud y ancho "b " tiene una densidad uni forme de corriente "J " por unidad de ancho, es decir, J = i/b =8A/m. Hallar la intensidad del campo magnético a una distancia d<
b) 2 A/m
c) 4 A/m
d) 6 A/m
e) 8 A/m
244.En la Fig.109, por las láminas paralelas delgadas muy grandes, separadas por una distan cia "d", circulan corrientes de densidad de corriente longitudinal J . Hallar la intensidad de campo magnético H en las zonas I, II y III, para los siguientes casos: I) Las corrientes circulan por las láminas en el mismo sentido. II) Las corrientes circulan por las láminas en sentidos contrarios. 245.En la Fig.110, por las cuatro caras metálicas del cubo hueco de lados a=20 cm, circula u na densidad de corriente lineal de J=18 A/m. Las otras dos caras son aislantes de co rriente. Hallar en el centro del cubo la magnitud de la intensidad de campo magnético. a) 10 A/m
b) 12 A/m
c) 14 A/m
d) 16 A/m a
e) 18 A/m
J J
(I) J
a
(II) d
J
J
(III)
J a
Fig.109
Fig.110
246.En la Fig.111, en la cubeta rectangular de lados a=40 cm, b=80 cm, h=40 cm, y cuyas dos paredes son metálicas y las demás son aislantes, se vierte agua de mar de densidad ρ= 1,03 g/cm3, conductividad eléctrica σ=5 S.m-1, hasta una altura de 20 cm. Las paredes me tálicas están puestas a un potencial de V=200 voltios, y toda la cubeta se ubica en un cam po magnético uniforme vertical de inducción B=2 T. Hallar la diferencia de los niveles que alcanza el líquido en las paredes anterior y posterior de la cubeta. (g=10 m/s2) a) 9,1 cm
b) 9,4 cm
c) 9,7 cm
d) 10,0 cm
e) 10,3 cm
247.En la Fig.112, por la lámina muy delgada circula una distribución de corriente superfi cial uniforme kˆ . Hallar el potencial vectorial magnético en P de esta distribución de co
698 rriente. a)
1 µ k y zˆ 2 o
Magnetismo 1 b) − µ o k y zˆ 2
c)
1 µ o k y ˆi 2
1 d) − µo k y ˆi 2
e)
1 µ o k y ˆj 2
x
B
g
z
k
V P
a
y
b R.SABRERA
Fig.111
Fig.112
248.En la Fig.113, por la placa metálica muy delgada circular de radio R=20 cm, circula una densidad de corriente lineal de J=30 A/m. Hallar la intensidad de campo magnético: I) En el punto P, situado a la distancia d=10 cm del centro de la placa. a) 4,0 A/m
b) 4,2 A/m
c) 4,4 A/m
d) 4,6 A/m
e) 4,8 A/m
d) 14 /m
e) 15 A/m
II) En el centro 0 de la placa metálica circular. a) 11 A/m
b) 12 A/m
c) 13 A/m
ω
P
P d
σ R
J
R
0
R
Fig.113
Fig.114
249.Un anillo conductor de radio R=20 cm que conduce una corriente eléctrica de I=5 A, se ubica en un campo magnético perpendicular al plano del anillo. El anillo puede soportar u na tensión máxima "T" antes de romperse. ¿Qué inducción "B" debe tener el campo para que el anillo se rompa? Despreciar el campo de inducción magnética creada por la co rriente que circula por el anillo. a) T
b) 2T
c) 3T
d) 4T
e) 5T
250.En la Fig.114, la pirámide hueca conductora muy delgada de densidad de carga superfi cial uniforme σ=5•10-10 C/m2, se hace rotar alrededor de su eje de simetría, con una velo
699 cidad angular constante de ω=40 rad/s. El radio de la base circular de la pirámide es R=20 cm. I) Hallar la intensidad de campo magnético en el vértice P de la pirámide (n=10-9).
Física III
a) 1,86 nA/m
b) 3,86 nA/m
c) 5,86 nA/m
d) 7,86 nA/m
e) 9,86 nA/m
II) Hallar la densidad de energía magnética en el vértice P de la pirámide (z=10-24). a) 1,17 zJ/m3
b) 2,17 zJ/m3
c) 3,17 zJ/m3
d) 4,17 zJ/m3
e) 5,17 zJ/m3
251.En la Fig.115, el cuerpo conductor en forma de un paraboloide de revolución de ecua ción: cz=x2+y2, de densidad de carga superficial σ=+8•10-10 C/m2, gira alrededor del eje Z, con velocidad angular constante de ω=100 rad/s siendo c=H=10 cm una constante. Hallar la intensidad de campo magnético en el vértice 0 del paraboloide, sabiendo que c=H=10 cm. a) 2,14 nA/m
b) 2,34 nA/m
c) 2,54 nA/m
d) 2,74 nA/m
e) 2,94 nA/m
z ω
l
I
d
H
0 σ
0 x
J a
y
a R.SABRERA
Fig.115
Fig.116
252.Un cilindro infinito de radio R1=10 cm se encuentra no coaxialmente en el interior de o tro cilindro de radio R2=40 cm. A lo largo de los cilindros fluyen corrientes homogéneas J1=10 A/m2, J2=20 A/m2 en sentidos opuestos. La corriente del cilindro exterior no pene tra en el interior. La distancia entre los ejes paralelos de estos cilindros muy largos es d= 20 cm. Hallar la fuerza aplicada por unidad de longitud en el cilindro interior. a) 6µo N/m
b) 8µo N/m
c) 10µo N/m
d) 12µo N/m
e) 14µo N/m
253.Una espira cuadrada de lado a=20 cm se encuentra en un mismo plano que una corriente lineal de intensidad I=5 A. ¿A qué distancia "d" de la corriente se encuentra el lado mas cercano de la espira, si el flujo de campo magnético a través de la superficie de la espira es Φo=3,58•10-7 Wb? a) 1 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 5 cm
254.I) Por dos barras paralelas idénticas de ancho b=40 cm circulan corrientes eléctricas i guales de intensidad I=5 A. El ancho de las barras es mucho mayor que la distancia que las separa. Hallar la fuerza que actúa sobre la unidad de longitud de las barras.
700
Magnetismo
a) 31,3 µN/m
b) 33,3 µN/m
c) 35,3 µN/m
d) 37,3 µN/m
e) 39,3µN/m
II) A través de una placa de sección rectangular de lados a=10 cm, b=1 m circula una co rriente eléctrica de intensidad I=40 A. El módulo de elasticidad longitudinal de la placa es E=11,8•1010 N/m2. ¿En qué magnitud disminuirá la longitud del lado "a" ? (f=10-15) a) 10,2 fcm
b) 12,2 fcm
c) 14,2 fcm
d) 16,4 fcm
e) 18,2 fcm
255.En la Fig.116, por la placa cuadrada conductora muy delgada de lados a=20 cm, circula una densidad de corriente lineal de J=200 A/m. Hallar la fuerza que ejerce la placa sobre el filamento muy delgado de longitud l=20 cm, por el que circula una corriente de intensi dad I=2 A, y cuyo extremo inferior se encuentra a una distancia d=20 cm, del centro 0 de la placa. (Sugerencia: Utilizar log(x), µo=4π.10-7 H/m) a) 6,0 µN
b) 6,2 µN
c) 6,4 µN
d) 6,6 µN
e) 6,8 µN
256.En la Fig.117, el disco conductor muy delgado de radio R=10 cm y densidad de carga su perficial uniforme σ=8•10-10 C/m2, gira alrededor de su eje de simetría A con una veloci dad angular constante de ω=100 rad/s. (µo=4π•10-7 H/m) I) Hallar la intensidad de campo magnético en el punto P, situado a la distancia d=2 m. a) 1 nA/m
b) 2 nA/m
c) 3 nA/m
d) 4 nA/m
e) 5 nA/m
II) El disco se rota 900 respecto de uno de sus diámetros, y se hace girar con la misma velo cidad angular respecto del eje A. Hallar la intensidad de campo magnético en el punto P. a) 60,5 fA/m
b) 62,5 fA/m
c) 64,5 fA/m
d) 66,5 fA/m
e) 68,5 fA/m
III) ¿En cuántas veces aumenta (A) o disminuye (D) la intensidad de campo magnético en el punto P? a) 16k veces
b) 32k veces
c) 48k veces
d) 64k veces
e) 80k veces
A
P• ω σ
eje J
d
a
a R
•
•
0
a
Fig.117
Fig.118
257.En la Fig.118, por las paredes del tubo conductor delgado, muy largo de sección transver sal en forma de triángulo equilátero de lados a=10 cm, circula una densidad de corriente lineal. Hallar:
701 I) La intensidad de campo magnético en el eje de simetría, si por cada una de las caras circu la una densidad de corriente lineal de J=10 A/m.
Física III
a) 0 A/m
b) 3 A/m
c) 5 A/m
d) 7 A/m
e) 9 A/m
II) La intensidad de campo magnético en el eje de simetría, si por cada una de las caras circulan densidades de corrientes lineales de 20 A/m, 40 A/m y 60 A/m, respectivamente. a) 5,17 A/m
b) 5,37 A/m
c) 5,57 A/m
d) 5,77 A/m
e) 5,97 A/m
III) La densidad de energía magnética en puntos del eje de simetría, para el caso II) a) 10,6µo J/m3
b) 12,6µo J/m3
c) 14,6µo J/m3
d) 16,6µo J/m3
e)18,6µo J/m3
258.En la Fig.119, la superficie cónica de ecuación: x2+y2=z2, 0 ≤ z ≤ H , tiene una densidad de carga superficial uniforme de σ=8•10-9 C/m2, y gira alrededor de su eje de simetría con una rapidez constante de ω=100 rad/s. ¿En que porcentaje varia la intensidad de campo magnético en el vértice 0 del cono, si se extrae su base y se hace girar con la misma velocidad angular, y misma densidad de carga superficial? (H=20 cm) a) 18,0 %
b) 18,5 % z
c) 19,0 %
d) 19,5 %
e) 20,0 %
ω
R c
b H
I a
σ 0 x
y
Fig.103
Fig.120
259.Un imán permanente en forma de un disco muy delgado de radio R=1 cm, está magneti zado a lo largo de su eje de simetría. Determinar la corriente molecular "I" que fluye por el borde del disco, si el campo de inducción magnética en un punto situado en el eje a la distancia de x=10 cm de su centro es Bo=30µ T. (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6, k=103) a) 41,7 kA
b) 43,7 kA
c) 45,7 kA
d) 47,7 kA
e) 49,7 kA
260.En la Fig.120, el cobre en forma de una placa de sección rectangular de lados "a" y "b" (a<
b) 12 T
c) 14 T
d) 16 T
e) 18 T
784 Inducción electromagnética 07. En un helicóptero sus aspas de longitud l=4 m giran con una velocidad angular de ω=3 rev/s en un plano horizontal, en presencia del campo magnético terrestre, cuya componen te vertical es B⊥=65 µT. Hallar el valor de la f.e.m inducida entre la punta de un aspa y el casco. (m=10-3, µ=10-6) a) 9,0 mV
b) 9,2 mV
c) 9,4 mV
d) 9,6 mV
e) 9,8 mV
08. El plano de una bobina inicialmente forma ángulos rectos con la dirección de un campo magnético aplicado. ¿A qué ángulo debe girarse la bobina para invertir la dirección del flu jo y reducir la magnitud del flujo a través de la bobina a 30 % de su valor inicial? (A=sen tido de giro de las manecillas, y B=sentido de giro opuesto a las manecillas) a) 107º, A
b) 253º, A
c) 127º, B
d) 233º, B
e) 80º, A
09. En Choropampa, el campo magnético terrestre apunta hacia abajo a un ángulo de θ=69º por debajo de la horizontal. La intensidad del flujo magnético es B=59 µT. Hallar el flujo magnético (en µ T•m2) a través de una superficie de área A=1 m2 de suelo. (µ=10-6) a) +45
b) -45
c) +55
d) -55
e) +65
10. Un generador electromagnético tiene una bobina de área A=200 µm2, con 300 vueltas de alambre. Hallar la f.e.m "ξ " alterna proporcionada por esta bobina cuando gira a razón de ω=200 rev/min en un campo magnético de magnitud B=20 mT (m=10-3, µ=10-6) a) 251 mV
b) 254 mV
c) 257 mV
d) 260 mV
e) 263 mV
11. Un generador unipolar consta de un disco metálico que rota alrededor de un eje horizontal en un campo magnético horizontal uniforme. El circuito externo está conectado a escobi llas que tocan el disco en el aro y en el eje. Si el radio del disco es de R=1,2 m y la intensi dad del campo magnético es B=60 mT. ¿Con qué rapidez debe girar el disco tal que la f.e.m generada sea de ξ=6 V? (m=10-3, µ=10-6) a) 20 rev/s
b) 22 rev/s
c) 24 rev/s
d) 26 rev/s
e) 28 rev/s
12. Una bobina circular tiene N=250 vueltas de alambre de cobre de diámetro D=1,0 mm, resistividad ρ=1,7•10-8 Ω•m y área de A=0,35 m2. Un campo magnético dirigido a θ=30º con respecto al plano de la bobina aumenta de manera uniforme desde cero hasta 5,5 T en un tiempo de t=35 s. I) Hallar la f.e.m "ξ " inducida a través de la bobina durante este tiempo. a) 6,58 V
b) 6,68 V
c) 6,78 V
d) 6,88 V
e) 6,98 V
II) Hallar la intensidad de corriente inducida que circula por la resistencia. a) 0,606 A
b) 0,626 A
c) 0,646 A
d) 0,666 A
e) 0,686 A
III) Hallar la cantidad de energía que se disipa durante este tiempo. a) 140 J
b) 142 J
c) 144 J
d) 146 J
e) 148 J
785
Física III
13. En los hospitales se utilizan grandes imanes conductores para obtener fotografías del inte rior del cuerpo por imagenología por resonancia magnética (MRI imagen por resonancia magnética). Para este efecto, el paciente es introducido entre las bobinas del imán, donde el campo magnético es de B=1,5 T. Supóngase que el paciente se introduce al campo mag nético durante t=10 s. Hallar la f.e.m inducida alrededor del tronco del paciente, que mide l=0,9 m de circunferencia. ¿El paciente debe introducirse al campo magnético más lenta mente? (m=10-3, µ=10-6) a) 9,1 mV
b) 9,3 mV
c) 9,5 mV
d) 9,7 mV
e) 9,9 mV
14. En la Fig.01, la espira circular de alambre se ubica en un campo magnético de B=0,3 T, en tanto, los extremos libres del alambre se conectan a un resistor de R=15 Ω. Cuando se tuerce la espira, su área de reduce a razón constante desde Ao=200 cm2 hasta A=100 cm2 en un tiempo de t=0,02 s. Hallar la magnitud y dirección de la corriente en el resistor R. a) 10 mA, →
b) 10 mA, ←
c) 20 mA, →
d) 20 mA, ←
e) 5mA, ←
15. En la Fig.02, la bobina larga conductora rectangular de ancho a=25 cm se encuentra par cialmente en una región de un campo magnético uniforme horizontal de B=1,8 T perpen dicular a la bobina. La masa de la bobina es de m=12 g y su resistencia es de R=0,17 Ω. Si la bobina se libera, hallar la velocidad límite. Supóngase que la parte superior de la bo bina permanece en el campo magnético. a) 9,1 cm/s
b) 9,3 cm/s x x
x
x
x
x
c) 9,5 cm/s x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d) 9,7 cm/s x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
R.SABRERA
x
e) 9,9 cm/s
B
h
v a
R
Fig.01
Fig.02
16. Un disco compacto (CD) se ubica en un campo magnético uniforme de B=1,5 T y gira a la velocidad angular de ω=210 rev/s alrededor de un eje paralelo al campo. Hallar la f.e.m generada entre un punto en su pista externa (radio R=5,8 cm) y un punto en su pista inter na (radio r=2,3 cm). a) 41 mV
b) 43 mV
c) 45 mV
d) 47 mV
e) 49 mV
17. En la Fig.03, el toroide de radios interno r=7 cm, tiene N=150 vueltas en una sección transversal rectangular de altura h=4 cm y ancho a=6,5 cm. La intensidad de corriente en
786 Inducción electromagnética el alambre del toroide es de I=2 A. Hallar el flujo magnético a través de la trayectoria cir cular mostrada. (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6) a) 1,0 µT
b) 1,2 µT
c) 1,4 µT
d) 1,6 µT
e) 1,8 µT
18. La corriente en un solenoide largo de radio R=3 cm y N=350 vueltas aumenta de manera uniforme a razón de 1,5 A/s. (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6) I) Hallar el campo eléctrico inducido a la distancia r=2 cm del eje del solenoide. a) 6,0 µV/m
b) 6,2 µV/m
c) 6,4 µV/m
d) 6,6 µV/m
e) 6,8µV/m
II) Hallar el campo eléctrico inducido a la distancia r=4 cm del eje del solenoide. a) 7,0 µV/m
b) 7,2 µV/m
c) 7,4 µV/m
d) 7,6 µV/m
e) 7,8µV/m
19. El plano de una bobina de alambre circular de radio r=3,5 cm y resistencia R=25 Ω inicial mente es perpendicular a un campo magnético uniforme de B=8,2 T. Luego, la bobina se hace girar 90º, de modo que el magnético se hace paralelo al plano de la bobina. Hallar el valor de la carga que circula por cualquier punto de la bobina durante este proceso. a) 1,06 mC
b) 1,26 mC
c) 1,46 mC
d) 1,66 mC
e) 1,86 mC
20. Un disco metálico con resistencia despreciable mide r=6 cm de radio. El disco se hace gi rar a ω=300 rev/s mientras se encuentra en un campo magnético uniforme de B=5,5 T per pendicular al disco. Un extremo de un resistor de R=33 Ω está en contacto con el centro del disco; el otro extremo del resistor está en contacto con el borde del disco. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3, µ=10-6) I) Hallar la intensidad de corriente que circula por el resistor. a) 525 mA
b) 535 mA
c) 545 mA
d) 555 mA
e) 565 mA
II) Hallar el momento de torsión (en 10-3 N•m) que debe suministrarse al disco para mantener esta corriente a) 5,19
b) 5,29
c) 5,39
d) 5,49
e) 5,59
21. Una bobina cuadrada de lados a=8 cm está hecha de alambre de cobre de diámetro D=1 mm. La bobina se coloca de frente a un campo magnético que aumenta a razón constante de dB/dt=80 T/s.¿Qué corriente inducida circula a través de la bobina? a) 290 A
b) 292 A
c) 294 A
d) 296 A
e) 298 A
22. Un solenoide muy largo de radio R=5 cm con n=20 vueltas por centímetro está rodeado por una bobina rectangular de alambre de cobre. La bobina rectangular mide ancho a=10 cm, largo b=30 cm, y el radio de su alambre mide r=0,05 cm. La resistividad del cobre es ρ=1,7•10-8 Ω•m. Hallar la corriente inducida en la bobina rectangular, si la corriente en el solenoide aumenta con una rapidez de dI/dt=5•104 A/s.
787
Física III a) 51 A
b) 53 A
c) 55 A
d) 57 A
e) 59 A
23. En la Fig.03, la bobina rectangular de lados a=20 cm, b=80 cm está hecha de alambre de cobre pesado de radio r=0,13 cm, resistividad ρ=1,7•10-8 Ω•m. Supóngase que está bobina se introduce, primero el lado corto, a una rapidez de v=0,40 m/s en un campo magnético de magnitud B=5•10-2 T. El rectángulo está de frente al campo magnético, y el lado corto restante permanece fuera del campo magnético. Hallar la corriente inducida que circula por la bobina. a) 0,605 A
b) 0,625A
c) 0,645 A
d) 0,665 A
e) 0,685 A
24. En la Fig.04, el anillo de aluminio está en la parte superior del solenoide vertical. Cuando la corriente en el solenoide se conecta repentinamente, el anillo salta hacia arriba. Explí quese cuidadosamente por qué en estas circunstancias el extremo del solenoide ejerce una fuerza de repulsión sobre el anillo. I
r
a I • •
a
v
Fig.03
Fig.04
25. El campo magnético uniforme de un betatrón de radio R=1 m tiene una amplitud de oscila ción de B=0,9 T y una frecuencia de f=60 Hz. I) Hallar la razón r= (Eo)1,5/(Eo)0,8 de las amplitudes de oscilación del campo eléctrico indu cido trayectorias circulares de radios r=0,8 m y r=1,5 m a) 1,2
b) 1,4
c) 1,6
d) 1,8
e) 2,0
II) Hallar la razón r= (ξo)0,8/(ξo)1,5 de las amplitudes de oscilación de la f.e.m "ξ" inducida al rededor de trayectorias circulares de radios r=0,8 m y r=1,5 m. a) 1,48
b) 1,52
c) 1,56
d) 1,60
e) 1,64
26. En la Fig.03, la bobina cuadrada de lados "a" se mueve con una rapidez "v" hacia un a lambre recto que transporta una corriente "I" . El alambre y la bobina están en el mismo plano, y dos de los lados de la bobina son paralelos al alambre. Hallar la f.e.m "ξ " indu cida en la bobina como función de la distancia "r" entre el alambre y el lado más próximo de la bobina. (µo=4π•10-7 H/m, a=40 cm, v=5 m/s, I=2 A, r=10 cm, µ=10-6) a) 6,0 µV
b) 6,2 µV
c) 6,4 µV
d) 6,6 µV
e) 6,8 µV
788
Inducción electromagnética
27. Una bobina circular de alambre aislado de radio R=9 cm tiene N=60 vueltas de alambre. Los extremos del alambre están conectados en serie a un resistor de R=15 Ω que cierra el circuito. La normal a la bobina está inicialmente paralela a un campo magnético constan te de magnitud B=50 mT. Si se da vuelta a la bobina, de modo que se invierta la dirección de la normal, por el resistor circulará una corriente. Suponer que la resistencia del alam bre es despreciable en comparación con la del resistor. Hallar la cantidad de carga que pa sa por el resistor R. a) 10 mC
b) 15 mC
c) 20 mC
d) 25 mC
e) 30 mC
28. Fig.05, el conductor rectilíneo de longitud l=10 cm se desplaza con velocidad v=15 m/s perpendicularmente al campo magnético uniforme de B=0,1 T de inducción. Hallar el va lor de la fuerza electromotriz "ξ " inducida en el conductor. a) 0,11 V
b) 0,13 V
c) 0,15 V
d) 0,17 V
e) 0,19 V
29. En la Fig.06, la barra delgada de 1m de longitud gira en un campo magnético de magni tud B=0,05 T, alrededor de un eje que pasa por uno de sus extremos y es paralelo al cam po magnético. Hallar el flujo de inducción magnética " Φ " (en Wb) que atraviesa la barra en cada vuelta. a) 0,151
b) 0,153
c) 0,155
B
v
l
Fig.05
d) 0,157
e) 0,159
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
eje
l
x
B
x
x x
Fig.06
30. Se coloca una bobina de N=200 vueltas y de R=0,10 m de radio perpendicularmente a un campo magnético uniforme de B=0,2 T. Hallar el valor de la fuerza electromotriz "ξ " in ducida en la bobina si en 0,1 s se duplica la magnitud del campo magnético. a) 1π V
b) 2π V
c) 3π V
d) 4π V
e) 5π V
31. Por un solenoide de excitación magnética H=16•103 A/m y longitud l=100 cm, circula una corriente de intensidad I=40 A. Hallar el valor de la fuerza electromotriz "ξ " inducida en el solenoide si se ubica en un campo cuyo flujo magnético varia 600•10-8 Weber /m2 en cada segundo. a) 2,0 mV
b) 2,2 mV
c) 2,4 mV
d) 2,6 mV
e) 2,8 mV
789 32. Una espira circular conductora, de área A=100 cm se halla en un campo magnético uni forme de inducción igual a B=1 Wb/m2. El plano de la espira es perpendicular a la direc ción del campo magnético. Hallar valor medio de la fuerza electromotriz "ξ " de induc ción que se crea en la espira si gira un ángulo de 1800 en 0,01 s.
Física III
2
a) 1 V
b) 2 V
c) 3 V
d) 4 V
e) 5 V
33. En la Fig.07, la espira de área A=500 cm2 y resistencia eléctrica R =10 Ω se acerca hacia un imán fijo, aumentando el flujo magnético a través de ella a razón de 0,2 Wb/s. Hallar la intensidad de corriente inducida en la espira. a) 10 mA
b) 20 mA
c) 30 mA
d) 40 mA
e) 50 mA
34. Una bobina de N=300 espiras y área A=100 cm2 gira en un campo magnético de magni tud B=0,5 T a ω =1 800 rev/min. ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza electromotriz ge nerada? a) 50π V
b) 60π V
c) 70π V
d) 80π V
e) 90π V
35. En la Fig.08, al interrumpir el circuito de la izquierda, respecto del sentido de la corriente inducida en el circuito de la derecha, indique la afirmación verdadera (V) o correcta F). I) Horario
II) Antihorario
a) VFF
b) FVF
III) No hay corriente
c) FFV
d) VVF
e) VFV
v i=? ••
IMAN + -
ε
Fig.07
R
Fig.08
36. En la Fig.09, al cerrar el circuito de la izquierda, respecto del sentido de la corriente eléc trica inducida en el circuito de la derecha, indicar las afirmaciones verdaderas o falsas: I) Horario
II) Antihorario
a) VFF
b) FVF
c) FFV
III) No hay corriente d) VVF
R
d
+
-
e) VFV i
R
v
••
Fig.09
Fig.10
790
Inducción electromagnética
37. En la Fig.10, el circuito rectangular se mueve con velocidad "v" , alejándose del alambre, respecto del sentido de la corriente eléctrica inducida en el circuito, indicar las afirmacio nes verdaderas (V) ó falsas (F). I) Horario
II) Antihorario
a) VFF
b) FVF
III) No hay corriente
c) FFV
d) VVF
e) VFV
38. En la Fig.11, el disco de cobre de radio r=20 cm gira perpendicularmente a las líneas de de un campo magnético de B=1 T a razón de f=50 rev/s. Hallar la intensidad de corriente que circula a través de la resistencia de R=4 Ω. a) 1,51 A
b) 1,53 A
c) 1,55 A
d) 1,57 A
e) 1,59 A
39. En la Fig.12, la inducción magnética que pasa través de la espira perpendicularmente al plano que lo contiene, varía de acuerdo con la relación: ΦB=6t2 +7t +1, donde "t" esta da do en segundos. Hallar la fuerza electromotriz "ξ " inducida en la espira de área A=10 cm2, para t=2 s. (m=10-3) a) 31 mV
b) 33 mV
c) 35 mV
d) 37 mV x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
R eje
r B
ω
e) 39 mV
R.SABRERA
R
Fig.11
Fig.12
40. Un alambre de longitud l=50 cm, es perpendicular a un campo magnético uniforme de magnitud B=4 T, y se mueve con velocidad v=40 cm/s formando un ángulo θ = 370 con el campo magnético. Hallar la fuerza electromotriz "ξ " inducida en el alambre. a) 0,12 V
b) 0,24 V
c) 0,36 V
d) 0,48 V
e) 0,60 V
41. Un imán moviéndose con velocidad de v=2 cm/s sobre el eje de una bobina de N=100 espiras se aleja 10 cm, cambiando el flujo a través de la bobina de 300 Wb a 280 Wb. Ha llar el valor de la fuerza electromotriz "ξ " inducida en la bobina. a) 300 V
b) 350 V
c) 400 V
d) 450 V
e) 500 V
42. Por dos largos tubos concéntricos de radios interior r=1,5 cm y exterior R=3,0 cm hechos de lámina metálica circulan corrientes eléctricas en direcciones opuestas de intensidades I=120 A. hallar la energía magnética en un segmento de l=1 m de estos tubos. (m=10-3)
791
Física III a) 1 mJ
b) 2 mJ
c) 3 mJ
d) 4 mJ
e) 5 mJ
43. El flujo magnético que pasa a través del área de una espira es: Φ=3t2-7t. Hallar la fuerza e lectromotriz inducida en la espira en el instante de tiempo t = 2 s. a) 1 V
b) 2 V
c) 3 V
d) 4 V
e) 5 V
44. El flujo magnético a través de un circuito constituido por dos espiras que conducen una co rriente de intensidad I=2 A es Φ=0,4 Wb. Hallar la fuerza electromotriz "ξ " autoinducida en el circuito, si la corriente se duplica en 0,2 s. a) 1 V
b) 2 V
c) 3 V
d) 4 V
e) 5 V
45. Hallar el coeficiente de autoinducción de un solenoide de N=100 espiras, longitud l=5 cm y área de sección transversal A=5 cm2. (µo=4π•10-7 H/m , µ = 10-6) a) 10π µ H
b) 20π µ H
c) 30π µ H
d) 40π µ H
e) 50π µ H
46. Un avión vuela con velocidad de v=360 km/h formando un ángulo de θ=370 con un cam po magnético de magnitud B=10-8 T. Hallar la diferencia de potencial entre las puntas de las alas, cuya longitud es de l=25 m. ( µ = 10-6) a) 10 µV
b) 15 µV
c) 20 µV
d) 25 µV
e) 30 µV
47. En un instante dado, por una bobina de N=20 espiras, y coeficiente de autoinducción L=15 H, circula una corriente de intensidad I=4 A. Hallar el flujo, magnético que pasa a través del área de la sección de la bobina. a) 1 Wb
b) 2 Wb
c) 3 Wb
d) 4 Wb
e) 5 Wb
48. Una bobina circular de alambre de N=25 vueltas tiene un diámetro de D=1 m. La bobina se coloca con su eje a lo largo de la dirección del campo magnético terrestre de magnitud B=50 µT, y luego durante un tiempo de t=0,2 s se gira en 180º. Hallar la f.e.m "ξ " prome dio generada en la bobina. (m=10-3) a) -9,82 mV
b) +9,82 mV
c) -9,42 mV
d) +9,42 mV
e)-9,02m V
49. Una espira rectangular de área "A" se pone en una región donde el campo magnético es perpendicular al plano de la espira. Se deja que la magnitud del campo magnético varíe en el tiempo de acuerdo con la expresión B=Bmáxe-t/τ, donde Bmáx y " τ " son constantes. El campo tiene un valor constante de Bmáx para t<0. (m=10-3) I) Utilizando la ley de Faraday mostrar que la f.e.m "ξ " inducida en la espira está dada por: ξ= (ABmáx/τ)e-t/τ. II) Evaluar la f.e.m "ξ " para: t=4 s, A=0,16 m2, Bmáx=0,35 T y τ=2 s. a) 3,19 mV
b) 3,39 mV
c) 3,59 mV
d) 3,79 mV
e) 3,99 mV
792 Inducción electromagnética III) Hallar el valor máximo de la f.e.m "ξ " . a) 25 mV
b) 26 mV
c) 27 mV
d) 28 mV
e) 29 mV
50. Un poderoso electroimán produce un campo uniforme de B=1,6 T sobre una sección trans versal de área A=0,2 m2. Alrededor del electroimán se coloca una bobina que tiene N= 200 vueltas y una resistencia total de R=20 Ω. Luego la corriente en el electroimán dis minuye suavemente hasta anularse en t=20 ms. Hallar la corriente inducida en la bobina. a) 160 A
b) 162 A
c) 164 A
d) 166 A
e) 168 A
51. Al interior de solenoide de N=500 vueltas y diámetro D=10 cm existe un campo magnéti co de B=0,2 T. ¿Para qué tiempo el campo magnético "B" se anula y la f.e.m "ξ " induci da promedio al interior de la bobina es de ξ=10 kV? (k=103, µ=10-6) a) 75,5 µs
b) 76,5 µs
c) 77,5 µs
d) 78,5 µs
e) 79,5 µs
52. En la Fig.13, el anillo de aluminio de radio r=5 cm y resistencia R=300 µΩ se coloca so bre la parte superior del largo solenoide de núcleo de aire, de n=1000 vueltas por metro y radio de a=3 cm. Suponga que la componente axial del campo producido por el solenoide es la mitad de intensa que en el centro del solenoide. Suponga que el solenoide produce un campo despreciable afuera de su área de sección transversal. (µo=4π•10-7 A/m, µ=10-6) I) Si la corriente en el solenoide está aumentando a razón de 270 A/s,¿Cuál es la corriente in ducida en el anillo? a) 1,0 A
b) 1,2 A
c) 1,4 A
d) 1,6 A
e) 1,8 A
II) ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en el centro del anillo, creado por la corriente inducida en el anillo? a) 20,1 µT
b) 21,1 µT
c) 22,1 µT
d) 23,1 µT
e) 24,1 µT
III) ¿Cuál es la dirección del campo magnético inducido en el centro del anillo? a) →
b) ←
c) ↑
d) ↓
e)
53. En la Fig.14, la espira de alambre rectangular de ancho "a" y longitud "b" se encuentra a la distancia "d" del alambre recto muy largo que conduce una corriente "I" . Ambos se encuentran sobre una mesa horizontal. (µo=4π•10-7 H/m, n=10-9) I) Hallar el flujo magnético a través de la espira debido a la corriente I, para: a=4 cm, b=8 cm, d=2 cm, I=1 A. a) 15,6 nWb
b) 16,6 nWb
c) 17,6 nWb
d) 18,6 nWb
e) 19,6nWb
II) Suponiendo que la corriente cambia con el tiempo según: I=c+dt, donde "c" y "d" son constantes, hallar la f.e.m "ξ " inducida en la espira si: d=10 A/s, d=1 cm, a=10 cm y b= 100 cm. a) +4,8 µV
b) -4,8 µV
c) +9,6 µV
d) -9,6 µV
e) +1,2 µV
793
Física III III) ¿Cuál es el sentido del flujo magnético inducido en la espira rectangular? a) →
b) ←
c) ↑
d) ↓
e)
5cm
I d
I
a I
b
3cm
Fig.13
Fig.14
54. En la Fig.15, la bobina de N=15 vueltas y radio R=10 cm rodea a un largo solenoide de ra dio r=2 cm y n=1000 vueltas por metro. Si la corriente en el solenoide cambia, según: I=5 sen(120.t) A. Hallar la f.e.m "ξ " inducida en la bobina de N=15 vueltas, para el instante t=0,1 s. (µo=4π•10-7 H/m , m=10-3, µ = 10-6) a) -13,9 mV
b) +13,9 mV
c) -16,9 mV
d) +16,9 mV (I)
a
R
x x x x xx x x x xx x x x xx x x x xx xx x x
I
e) -19,9mV (II)
P
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x
2a
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Q
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
a
4Ω
Fig.15
Fig.16
55. En la Fig.16, el circuito rectangular se localiza en un campo magnético, cuya magnitud va ría con el tiempo, según: B=10-3.t (T/s). Suponer que la resistencia por longitud del alam bre es de R=0,1 Ω/m y a=65 cm. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3) I) Hallar la intensidad de corriente "I1 " en la malla (I). a) 2,14 mA
b) 2,24 mA
c) 2,34 mA
d) 2,44 mA
e) 2,54 mA
d) 2,46 mA
e) 2,56 mA
II) Hallar la intensidad de corriente "I 2 " en la malla (II). a) 2,16 mA
b) 2,26 mA
c) 2,36 mA
794
Inducción electromagnética
III) Hallar la intensidad de corriente "IPQ " en la rama PQ, y su sentido de circulación. a) 253 µA (↑)
b) 253 µA (↓)
c) 283 µA (↑)
d) 283 µA (↓)
e) 213 µA (↑)
56. Una bobina circular de N=30 vueltas de radio r=40 cm y resistencia R=1 Ω se pone en un campo magnético, dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. La magnitud del campo magnético varía con tiempo, según: B=0,01.t+0,04.t2 donde "t" está en segundos y "B" en teslas. Hallar la f.e.m "ξ " inducida en la bobina en el instante t=5 s. a) 61,8 mV
b) 62,8 mV
c) 63,8 mV
d) 64,8 mV
e) 65,8 mV
57. En la Fig.17, el largo solenoide de n=400 vueltas por metro conduce una corriente de I=30 (1-e-1,6t). Al interior del solenoide y coaxial con él se encuentra una bobina de radio R=6 cm formado por N=250 vueltas de alambre delgado. Hallar el valor de la f.e.m "ξ " inducida en la bobina, en el instante t=5 s. (µo=4π•10-7 H/m , m=10-3, µ = 10-6) a) 20,9 µV
b) 21,9 µV
c) 22,9 µV
d) 23,9 µV
e) 24,9 µV
58. Una bobina cuadrada de N=50 vueltas de alambre se coloca en un campo magnético de modo que la normal al plano de la bobina forme un ángulo de θ=30º con la dirección del campo. Cuando el campo magnético se incrementa uniformemente de Bo=200 µT a B= 600 µT en un tiempo de t=0,4 s, se induce en la bobina una f.e.m media de ξ=80 mV. Ha llar la longitud "ℓ total del alambre que forma la bobina. (µo=4π•10-7 H/m) a) 270 m
b) 272 m
c) 274 m
d) 276 m
e) 278 m
eje solenoide
N=500 I
R
a
R b
Fig.17
M=20
Fig.18
59. Una espira circular de radio r=0,5 m se encuentra en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme de magnitud B=0,4 T. Si la forma de la espira se cambia a la de un cuadrado en un tiempo de t=0,1 s, mientras permanece en el mismo plano. Hallar la mag nitud de la f.e.m "ξ " media inducida en la espira. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3) a) 614 mV
b) 634 mV
c) 654 mV
d) 674 mV
e) 694 mV
795
Física III
60. En la Fig.18, el toroide de sección transversal rectangular de lados a=2 cm, b=3 cm y ra dio R=4 cm está formada por N=500 vueltas de alambre que conduce una corriente, dada por: I=Io sen ωt, con Io=50 A y una frecuencia f=ω/2π=60 Hz. La bobina que se compone de M=vueltas de alambre se une al toroide. Hallar la f.e.m "ξ " inducida en la bobina en el instante t=0,1 s. a) 0,13 V
b) 0,23 V
c) 0,33 V
d) 0,43 V
e) 0,53 V
61. En la Fig.19, la espira circular de una sola vuelta de radio R=10 cm es coaxial al largo so lenoide de radio r=8 cm, longitud l=25 cm y N=200 vueltas. El resistor variable está cam biando de modo que la corriente del solenoide disminuye linealmente de I1=1 A a I2=0,5 A en un tiempo de t=0,01 s. Hallar la f.e.m "ξ " inducida en la espira. . (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3) a) 1,18 mV
b) 1,28 mV
c) 1,38 mV
d) 1,48 mV
e) 1,58 mV
62. En la Fig.20, la bobina circular de área A=100 cm2 está formada por N=200 vueltas de a lambre de cobre. Al principio, un campo magnético uniforme de magnitud B=1,1 T está dirigida perpendicularmente hacia arriba a través de la bobina. La dirección del campo se invierte después. Durante el tiempo que el campo está cambiando su dirección, ¿Cuánta carga fluye a través de la bobina si R=5 Ω? a) 0,58 C
b) 0,68 C
c) 0,78 C
d) 0,88 C
e) 0,98 C
B
R
R
I ξ
R.SABRERA
Fig.19
Fig.20
63. En la Fig.21, en el circuito mostrado R=6 Ω, l=1,2 m y la magnitud del campo magnético dirigido perpendicularmente hacia el papel es de B=2,5 T (µo=4π•10-7 A/m) I) ¿A qué rapidez debe moverse la barra MN para que la corriente por el resistor "R " sea de I=0,5 A? a) 0,5 m/s
b) 1,0 m/s
c) 1,5 m/s
d) 2,0 m/s
e) 2,5 m/s
II) Hallar la magnitud de la fuerza aplicada que se requiere para mover la barra hacia la dere cha a una rapidez constante de v=2 m/s. a) 1,0 N
b) 2,0 N
c) 3,0 N
d) 4,0 N
e) 5,0 N
796
Inducción electromagnética
III) ¿Cuál es la potencia mecánica entregada por la fuerza, cuando la barra se desplaza con u na rapidez de v=2,5 m/s? a) 8,2 W
b) 8,6 W
c) 9,0 W
d) 9,4 W
e) 9,8 W
IV) ¿A qué rapidez se libera la energía en el resistor "R " , cuando la barra se mueve con una rapidez de v=2,5 m/s? a) 8,2 W
b) 8,6 W
c) 9,0 W
d) 9,4 W
e) 9,8 W
64. En la Fig.22, la espira cuadrada está hecha de alambres con una resistencia total en serie de R=10 Ω. Se coloca en un campo magnético uniforme de B=0,1 T dirigido perpendicu larmente hacia el papel. La espira que está articulada en cada vértice, se jala hasta que la separación entre los puntos M y N es de d=3 m. Si este proceso tarda t=0,1 s. Hallar la co rriente eléctrica inducida y su sentido de circulación. (A=antihorario, H=horario) a) 120 mA, A
b) 120 mA, H
c) 150 mA, A
d) 150 mA, H
e) 190 mA, A
M M
l
3m
3m
3m
3m
B R
v
N
N
Fig.21
Fig.22
65. En la Fig.23, la bobina rectangular de resistencia "R " tiene "N" vueltas, cada una de lon gitud " ℓ " y ancho "a" . La bobina se mueve en un campo magnético uniforme B a ve locidad v . Hallar la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre la bobina. I) Cuando esta ingresa al campo magnético B . II) Cuando se mueve en el campo magnético B . III) Cuando sale del campo magnético B . 66. En la Fig.24, el agua pasa a través de las placas conductoras paralelas de longitud " ℓ " , an cho "a", separadas por una distancia "d" con una rapidez "v". La componente vertical del campo magnético terrestre es "B" . Las placas están sumergidas completamente en el agua. I) Hallar la intensidad de corriente en el resistor "R " . II) Hallar la intensidad de corriente, para: R=0 (corriente de cortocircuito), l=100 m, a=5 m, v=3 m/s, B=50 µT, y ρ=100 Ω•m a) 550 µA
b) 600 mA
c) 650 µA
d) 700 µA
e) 750 µA
797
Física III v a
l
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
agua R I
a
B
v d
l
Fig.23
Fig.24
67. En la Fig.25, el imán de barra se desplaza hacia la espira. Indicar si Va-Vb es positiva, ne gativa o cero. Explicar. 68. En la Fig.26, los dos rieles paralelos de resistencias despreciables están separados por d=10 cm y se conectan mediante el resistor R=5 Ω. El circuito contiene también dos ba rras metálicas de resistencias R1=10 Ω y R2=15 Ω que se deslizan a lo largo de los rieles. Las barras se alejan del resistor con rapidez constante de v1=4 m/s y v2=2 m/s, respectiva mente. Se aplica un campo magnético uniforme de B=10 mT de magnitud, perpendicular al plano de los rieles. (µ=10-6) I) Hallar la corriente inducida que circula por la barra de resistencia "R1 " . a) 317 µA
b) 327 µA
c) 337 µA
d) 347 µA
e) 357 µA
II) Hallar la corriente inducida que circula por la barra de resistencia "R 2 " . a) 152 µA
b) 162 µA
c) 172 µA
d) 182 µA
e) 192 µA
d) 145 µA
e) 155 µA
III) Hallar la corriente inducida que circula por el resistor "R " .
a) 115 µA
b) 125 µA
c) 135 µA
riel S
a
x
R b
v1
x
x
x
x
x
x
B x
x
x
x
x
x
xR
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
R1
Fig.25
riel
v2
d
R2
Fig.26
69. En la Fig.27, para la situación mostrada el campo magnético cambia con el tiempo de a cuerdo con la expresión, B= (2,0t3-4,0t2+0,8) T y r2=2R=5 cm. (m=10-3, z=10-21, H=hora rio, A=antihorario,e=1,6•10-19 C)
798 Inducción electromagnética I) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P1, situado a la distancia r1=1 cm. a) 10 mN/C
b) 20 mN/C
c) 30 mN/C
d) 40 mN/C
e) 50 mN/C
II) Hallar la magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre un electrón localizado en el pun to P2, cuando t=2 s. a) 2,4 zN, A
b) 2,4 zN, H
c) 6,4 zN, A
d) 6,4 zN, H
e) 4,4 zN,A
III) Hallar la magnitud del campo eléctrico en el punto P2, situado a la distancia r2=5 cm. a) 10 mN/C
b) 20 mN/C
c) 30 mN/C
d) 40 mN/C
e) 50 mN/C
IV) Hallar la magnitud y dirección de la fuerza ejercida sobre un electrón localizado en el pun to P2, cuando t=2 s. a) 4 zN, A
b) 4 zN, H
c) 8 zN, A
d) 8 zN, H
e) 2 zN, A
d) 1,43 s
e) 1,53 s
V) ¿En qué instante de tiempo esta fuerza es igual a cero? a) 1,13 s
b) 1,23 s
c) 1,33 s
70. En la Fig.28, la bobina cuadrada de lados a=20 cm que consta de N=100 vueltas de alam bre gira alrededor de su eje vertical a ω=1 500 rev/min. La componente horizontal del campo magnético terrestre en la posición de la bobina es de B=20 µT. Hallar la máxima f.e.m "ξ " inducida en la bobina por este campo. (m=10-3, µ=10-6) a) 11,6 mV
b) 12,6 mV
c) 13,6 mV
d) 14,6 mV
e) 15,6 mV
ω P1 x x x x x x x x r1 x x x x x x x x x x
r2
P2
a
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
B
R
a
Fig.27
Fig.28
71.En la Fig.29, por el cable coaxial de radios a=10 mm, b=20 mm conectado a la resistencia pura "R " , y fuente de energía de V=20 voltios, circula una corriente de intensidad I=2 A. El cable esta constituido por un material dieléctrico. Hallar: I) La magnitud del campo eléctrico (en kN/C) a una distancia de r=15 mm del eje del cable. a) 1,92
b) 3,92
c) 5,92
d) 7,92
e) 9,92
II) La magnitud de la intensidad del campo magnético a una distancia de r=15 mm del eje.
799
Física III a) 21,2 A/m
b) 23,2 A/m
c) 25,2 A/m
d) 27,2 A/m
e)29,2 A/m
III) El módulo del vector de Poynting (en nW/m2), a través de la sección transversal del cable. a) 40,8
b) 42,8
c) 44,8
d) 46,8
e) 48,8
IV) La potencia total sobre la sección transversal del dieléctrico del cable. a) 40 W
b) 42 W
c) 44 W
d) 46 W
e) 48 W
72. En la Fig.30, el imán de barra se hace girar a una rapidez angular constante de "ω" alrede dor del eje. La espira conductora rectangular plana rodea al imán, y en t=0 el imán está o rientado como se muestra. Trazar una gráfica cualitativa de la corriente inducida en la es pira en función del tiempo, graficando las corrientes en sentido antihorario como positivas y como negativas las de sentido horario.
ω R
N I
S V ∼ I
Fig.29
Fig.30
73. Un solenoide de radio de R=2 cm está constituido de n=1000 vueltas de alambre por me tro. Sobre un cierto intervalo de tiempo la corriente varía con el tiempo de acuerdo con: I=3e0,2t, donde "I" está en amperios y "t" en segundos. Hallar la magnitud del campo eléc trico (en µN/C ) a la distancia de r=5 cm del eje del solenoide en t=10 s. a) 21,3
b) 22,3
c) 23,3
d) 24,3
e) 25,3
74. Un largo solenoide con N=1000 vueltas por metro y radio R=2 cm conduce una corriente oscilante I=5 sen(100πt) A. (m=10-3) I) Hallar la magnitud del campo eléctrico inducido a la distancia r=10 del eje del solenoide en el instante de tiempo t=0,02 s. a) 3,52 mN/C
b) 3,62 mN/C
c) 3,72 mN/C
d) 3,82 mN/C e) 3,92mN/C
II) Hallar la dirección de este campo eléctrico cuando la corriente está aumentando en la bo bina en sentido antihorario.
75. En la Fig.31, el conductor semicircular de radio R=25 cm gira alrededor del eje AC con u na rapidez constante de ω=120 rev/min. El campo magnético uniforme sale perpendicular mente del papel y tiene una magnitud de B=1,3 T.
800 Inducción electromagnética I) Hallar el valor máximo de la f.e.m inducida en el conductor. a) 1,0 V
b) 1,2 V
c) 1,4 V
d) 1,6 V
e) 1,8 V
II) Hallar el valor de la f.e.m inducida promedio en cada rotación completa. a) 0 V
b) 1,5 V
c) 2,0 V
d) 2,5 V
e) 3,0 V
III) ¿Cómo cambiarían las respuestas a las partes I) y II) si B se dejará extender una distancia "R " sobre el eje de rotación? Dibuje la f.e.m en función del tiempo. IV) Cuando el campo es como el mostrado en la Fig.31. V) Cuando el campo se extiende como se describe en la parte III). 76. I) ¿Cuál es el momento de torsión máxima que entrega un motor eléctrico si éste tiene N=80 vueltas de alambre enrolladas sobre una bobina rectangular, cuyas dimensiones son a=2,5 cm por b=4 cm? Suponga que el motor utiliza I=10 A de corriente y que un campo magnético uniforme de B=0,8 T existe dentro del motor. a) 0,60 N.m
b) 0,62 N.m
c) 0,64 N.m
d) 0,66 N.m
e) 0,68N.m
II) Si el motor gira a ω=3600 rev/min, ¿Cuál es la potencia pico producida por el motor? a) 241 W
b) 243 W
c) 245 W
d) 247 W
e) 249 W
a
R C
A •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
B
•
l
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• •
• •
•
•
•
• • •
• •
• •
v
•
• •
• •
Fig.31
• •
• •
•
B
•
Fig.32
77. La espira rotatoria en un generador de CA es un cuadrado de lado a=10 cm. Se hace girar a f=60 Hz en un campo uniforme de magnitud B=0,8 T. I) Hallar el flujo que pasa a través de la espira en función del tiempo. II) Hallar la f.e.m inducida en la espira. III) Hallar la corriente inducida en la misma para una resistencia de espira de R=1 Ω. IV) Hallar el momento de torsión que debe ejercerse para rotarlo. 78. En la Fig.32, el alambre de masa m=0,15 kg en la forma de rectángulo cerrado de ancho a=1 m y largo l=1,5 m tiene una resistencia total de R=0,75 Ω. Se deja que el rectángulo descienda por un campo magnético dirigido perpendicularmente a la dirección de movimi
801 ento del rectángulo. El rectángulo se acelera hacia abajo conforme se aproxima a una rapi dez límite de v=2 m/s, con su parte superior que aún no está en esta región del campo. Ha llar la magnitud del campo magnético B . (µo=4π•10-7 H/m, g=9,8 m/s2, m=10-3)
Física III
a) 712 mT
b) 722 mT
c) 732 mT
d) 742 mT
e) 752 mT
79. En la Fig.32, la espira rectangular conductora de masa m=20 g, resistencia R=20 Ω y di mensiones ancho a=10 cm y l=20 cm desciende desde el reposo en presencia del campo magnético uniforme de magnitud B=2 T. (µo=4π•10-7 H/m, g=9,8 m/s2, m=10-3) I) Hallar la rapidez límite de la espira. a) 90 m/s
b) 92 m/s
c) 94 m/s
d) 96 m/s
e) 98 m/s
II) ¿Por qué la velocidad límite "v" es proporcional a "R " ? III) ¿Por qué la velocidad límite es inversamente proporcional a B2?
80. Un protón de carga e=+1,6.10-19 C, masa m=1,6.10-27 kg se mueve a través de un campo eléctrico uniforme E =50 ˆj (V/m) y un campo magnético uniforme B = (0,2 ˆi +0,3 ˆj +0,4 kˆ ) (T). Hallar la aceleración (en Gm/s2) del protón cuando su velocidad es v =200 ˆi m/s. a) -2,87 ˆj+5,75 kˆ
b) -2,67 ˆj+5,15 kˆ d) -2,27 ˆj+5,55 kˆ
c) -2,47 ˆj+5,35 kˆ e) -2,07 ˆj+5,95 kˆ
81. Hallar el coeficiente de autoinductancia de un circuito de corriente circular de radio me dio b=78,92 cm y área pequeña de sección transversal circular de radio a=2 cm. a) 0,18µo H
b) 0,38µo H
c) 0,58µo H
d) 0,78µo H
e) 0,98µo H
82. Un electrón de carga e=-1,6•10-19 C, masa m=9,11•10-31 kg se mueve a través de un cam po eléctrico uniforme E =(2,5 ˆi +5 ˆj) V/m y un campo magnético uniforme B =0,4 kˆ T. Ha llar la aceleración (en Gm/s2) del electrón cuando su velocidad es v =10 ˆi m/s. (G=109) a) -439 ˆi -176 ˆj
b) -439 ˆi +176 ˆj d) +439 ˆi +176 ˆj
c) +439 ˆi -176 ˆj e) +439 ˆi -172 ˆj
83. En la Fig.33, las bobinas están colocadas frente a frente. Su inductancia mutua es M=20 mH. La corriente en la bobina 1 oscila sinusoidalmente con una frecuencia de f=60 Hz y u na amplitud de Io=12 A: I1=12 sen(120πt), donde la corriente se mide en amperios, y el tiempo en segundos. I) ¿Cuál es el flujo magnético que esta corriente induce en la bobina 2 en el instante t=0 s? a) 0 Wb
b) 1 Wb
c) 2 Wb
d) 3 Wb
e) 4 Wb
II) ¿Cuál es la f.e.m " ξ " que esta corriente induce en la bobina 2 en el instante t=0? a) -94,5 V
b) 94,5 V
c) -90,5 V
d) 90,5 V
e) -80 V
802
Inducción electromagnética
III) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en la bobina 2 en el instante t=0, según la ley de Lenz? Supóngase que la dirección positiva para la corriente I1 es la indicada en la Figura. 84. En la Fig.34, el solenoide lardo de radio "R1 " tiene "n1 " vueltas por unidad de longitud. La bobina circular de radio "R 2 " con R2=200 vueltas rodea al solenoide. I) Hallar la inductancia mutua del sistema solenoide-bobina. II) ¿Importa la forma de la bobina de alambre? bobina 1
B1
bobina 2
bobina R2
R1
I1
I1
Fig.33
I1
Fig.34
85. Un solenoide largo tiene n1=400 vueltas por metro. Una bobina de radio R=1 cm con N2= 30 vueltas de alambre aislado se coloca al interior del solenoide, con su eje paralelo al eje del solenoide. (µ=10-6) I) Hallar la inductancia mutua. a) 4,14 µH
b) 4,34 µH
c) 4,54 µH
d) 4,74 µH
e) 4,94 µH
II) ¿Qué f.e.m "ξ " se induce alrededor de la bobina si la corriente en los devanados del sole noide cambia a razón de dI/dt=200 A/s?
a) 908 µV
b) 928 µV
c) 948 µV
d) 968 µV
e) 988 µV
86. Una bobina de alambre que transporta una corriente de intensidad I=100 A genera un flu jo magnético de ΦB=50 Wb, a través del área limitada por la bobina. I) ¿Cuál es la autoinductancia de la bobina? a) 0,1 H
b) 0,2 H
c) 0,3 H
d) 0,4 H
e) 0,5 H
II) Si la intensidad de corriente decrece a razón de dI/dt=20 A/s, ¿Cuál es la f.e.m inducida? a) 6 V
b) 7 V
c) 8 V
d) 9 V
e) 10 V
87. Se tiene un solenoide muy largo de n=2000 vueltas por metro, y radio de la sección trans versal de R=2 cm. (k=103) I) Hallar la autoinductancia para un segmento de longitud l=1 cm de este solenoide.
803
Física III a) 6,1 kH
b) 6,3 kH
c) 6,5 kH
d) 6,7 kH
e) 6,9 kH
II) Hallar la fuerza contraelectromotriz que genera este segmento, si la corriente en el solenoi de cambia a razón de dI/dt=300 A/s. a) 1,1 V
b) 1,3 V
c) 1,5 V
d) 1,7 V
e) 1,9 V
88. Un solenoide con autoinductancia de L=2,2 mH, en el que inicialmente no hay corriente, se conecta repentinamente en serie con los polos de una batería de V=24 voltios. ¿Cuál es la razón inicial instantánea de incremento de la corriente en el solenoide? (m=10-3, k=103) a) 10 kA/s
b) 11 kA/s
c) 12 kA/s
d) 13 kA/s
e) 14 kA/s
89. Un inductor de inductancia L=7,5 mH transporta una corriente dependiente del tiempo definida por I=C1t-C2t2, donde "t" está en segundos, C1=65 A/s y C2=25 A/s2. Hallar la razón ξ2/ξ1=?, donde " ξ 2 " y " ξ1 " son los valores de las f.e.m inducidas en el inductor en los instantes t=2 s y t=1 s, respectivamente. a) 2,13
b) 2,23
c) 2,33
d) 2,43
e) 2,53
90. En un circuito digital rápido, la sincronización de las señales a menudo está limitada por la inductancia de los componentes del circuito. Supóngase que repentinamente se aplica u na f.e.m de ξ=5 V a una inductancia efectiva de L=2,5 µH. ¿Cuánto tiempo se requiere pa ra que la corriente en el inductor llegue a I=2 mA? (m=10-3, µ=10-6, n=10-9) a) 1 ns
b) 2 ns
c) 3 ns
d) 4 ns
e) 5 ns
91. Dos bobinas están arrolladas sobre un núcleo común. La inductancia de la primera bobi na es L1=0,2 H, la de la segunda L2=0,8 H; la resistencia de la segunda bobina es de R2= 600 Ω. ¿Qué corriente circulara por la segunda bobina, si se desconecta durante ∆t=0,001 s la corriente que circula por la primera bobina, que es de I1=0,3 A? a) 0,1 A
b) 0,2 A
c) 0,3 A
d) 0,4 A
e) 0,5 A
92. Una corriente de intensidad I=15 A en una bobina produce un flujo magnético de ΦB=0,1 Wb, a través de cada una de las vueltas de una bobina adyacente de N=60 vueltas. Hallar la inductancia mutua. a) 0,1 H
b) 0,2 H
c) 0,3 H
d) 0,4 H
e) 0,5 H
93. En la Fig.35, los dos solenoides concéntricos largos de "n1 " y "n 2 " vueltas por longitud u nitaria tienen radios "R1 " y "R 2 " (R1
b) 2,37
c) 2,57
d) 2,77
e) 2,97
94. En la Fig.36, en la bobina rectangular de ancho a=30 cm y largo b=50 cm es coplanar con
804 Inducción electromagnética el alambre muy largo por el que circula una corriente de intensidad I=2,5 A. La distancia de la bobina al alambre es d=10 cm. Hallar la inductancia mutua "M" entre el alambre lar go y la bobina rectangular. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3, n=10-9) a) 119 nH
b) 139 nH
c) 159 nH
d) 179 nH
e) 199 nH
I d R2
R1
a
b R.SABRERA
Fig.35
Fig.36
95. Un horno de inducción articular usa un solenoide de n=15 vueltas de longitud l=25 cm y radio R=3 cm. La corriente en el horno oscila sinusoidalmente, según: I=Iosen(ωt), donde Io=2,5 A y ω=1,2.107 rad/s. Hallar el voltaje máximo inducido a través del solenoide. Des preciar cualquier resistencia. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3, µ=10-6) a) 90 V
b) 92 V
c) 94 V
d) 96 V
e) 98 V
96. Un anillo de alambre grueso tiene una autoinductancia de L=40 nH. ¿Qué trabajo se debe hacer para establecer una corriente de intensidad I=25 A en este anillo? (µ=10-6, n=10-9) a) 10,5 µJ
b) 12,5 µJ
c) 14,5 µJ
d) 16,5 µJ
e) 18,5 µJ
97. En una región R del espacio vació que contiene un campo magnético de magnitud B=1 T y un campo eléctrico de magnitud E=1 V/m. Hallar la razón wE/wB, donde "w E " y "w B " son las densidades de energía del campo eléctrico y magnético, respectivamente. (µo= 4π•10-7 A/m, εo=8,85•10-12 C2/N•m2) a) 1.1016
b) 3.1016
c) 5.1016
d) 7.1016
e) 9.1016
98. Hallar la densidad de energía magnética en un punto situado a la distancia de r=3 mm de un alambre largo que transporta una corriente de intensidad I=24 A. a) 1 J/m3
b) 2 J/m3
c) 3 J/m3
d) 4 J/m3
e) 5 J/m3
99. El excedente de energía de una planta generadora puede almacenarse temporalmente en el campo magnético dentro de un toroide muy largo. Si la intensidad del campo magnético es de B=1 T. (M=106) I) ¿Qué volumen del campo magnético se requiere para almacenar una energía de W=100 MW•h?
805
Física III a) 9 008 m3
b) 9 028 m3
c) 9 048 m3
d) 9 068 m3
e) 9 088 m3
II) Si las proporciones del toroide son aproximadamente las de una dona. Hallar el radio ex terno aproximado del toroide. a) 16,05 m
b) 16,25 m
c) 16,45 m
d) 16,65 m
e) 16,85 m
100.Una bobina inductora de inductancia L=2,0 H y un resistor con R=100 Ω se conectan sú bitamente en serie a una batería de f.e.m E=6,0 V. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3, n=10-9) I) Hallar la intensidad de corriente que pasa por la bobina en cualquier instante de tiempo. II) Hallar la intensidad de corriente en la bobina en el instante t=10 ms. a) 20 mA
b) 22 mA
c) 24 mA
d) 26 mA
e) 28 mA
III) Hallar la intensidad de corriente en la bobina en el instante t=20 ms. a) 30 mA
b) 32 mA
c) 34 mA
d) 36 mA
e) 38 mA
IV) Hallar el valor estable final de la intensidad de corriente en la bobina. a) 30 mA
b) 40 mA
c) 50 mA
d) 60 ma
e) 70 mA
V) Hallar la razón de incremento de la intensidad de corriente en el instante t=0 s. a) 1 A/s
b) 2 A/s
c) 3 A/s
d) 4 A/s
e) 5 A/s
101.En la Fig.37, hallar el coeficiente de inductancia mutua entre el filamento de corriente rectilínea infinita y el filamento de corriente circular de radio R=10 cm, el filamento de co rriente rectilíneo esta situado en el plano que contiene al filamento de corriente circular a una distancia d=12 cm de su centro. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3) a) 50µo mH
b) 52µo mH
c) 54µo mH
d) 56µo mH r
I
I
e) 58µo mH
0
l
R
R d
Fig.37
x
φ
Fig.38
102.En la Fig.38, el conductor de longitud l=2 m rota con una velocidad angular de ω=1200 rev/min en presencia del campo de inducción magnética B = 0,10 senφ rˆ (T) . Hallar la co rriente que circula por la espira cerrada con una resistencia de R=100 Ω. (µo=4π•10-7 H/m, r=20 cm, m=10-3)
806
Inducción electromagnética
a) 10,9 mA
b) 11,9 mA
c) 12,9 mA
d) 13,9 mA
e) 14,9 mA
103.En la Fig.39, la barra metálica de longitud l=20 cm, masa m=200 g, resistencia R=150 Ω se desliza libremente, sin fricción, en dos rieles metálicos paralelos de resistencia despre ciable, formando un circuito cerrado. El campo magnético uniforme que aumenta a razón de dB/dt=0,1 T/s, ingresa perpendicularmente al plano del circuito. Inicialmente la magni tud del campo es Bo=0,4 T, y la barra está en reposo a una distancia xo=10 cm del extre mo conectado de los rieles. Hallar la aceleración de la barra en el instante t=0. a) -4 µm
b) +4 µm
c) -8 µm
d) +8 µm
e) -6 µm
104.En la Fig.40, las dos espiras circulares de alambre de una sola vuelta tienen radios "r" y "R " (R>r). Las espiras se encuentran en el mismo plano y son concéntricas. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3) I) Hallar el coeficiente de inductancia mutua "M" del para de espiras. II) Evaluar el coeficiente de inductancia mutua "M" , para: r=2 cm, R=20 cm. a) 3,15 nH
l
b) 3,35 nH
c) 3,55 nH
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
d) 3,75 nH
e) 3,95 nH
R
x
r
x
xo
Fig.39
Fig.40
105.Dos bobinas están muy cercanas una de la otra. La primera bobina conduce una corriente variable en el tiempo, dada por: I(t)=5,0e-0,025tsen(377t). En t=0,8 s, el voltaje medido a tra vés de la segunda bobina es V=-3,2 voltios. Hallar la inductancia mutua de las bobinas. a) 1,53 mH
b) 1,63 mH
c) 1,73 mH
d) 1,83 mH
e) 1,93 mH
106.Un solenoide de N1=70 vueltas que tiene longitud l=5 cm y diámetro D=1 cm conduce u na corriente de I1=2 A. Una sola espira de alambre de diámetro d=3 cm, se ubica de modo que su plano es perpendicular al eje común. Hallar la inductancia mutua del sistema, si el plano de la espira pasa a través del solenoide a x=2,5 cm de su extremo. (n=10-9) a) 118 nH
b) 128 nH
c) 138 nH
d) 148 nH
e) 158 nH
107.Un inductor de L=1 mH y un capacitor de C=1 µF se conectan en serie. La corriente en el circuito es, I=20.t, donde "t" está en segundos y "I" en amperios. El capacitor inicial mente no tiene carga eléctrica. (m=10-3, µ=10-6, M=106)
807
Física III I) Hallar el voltaje en el inductor en el instante t=0,1 s. a) -10 mV
b) +10 mV
c) -20 mV
d) +20 mV
e) -30 mV
d) +0,4 MV
e) -0,8 MV
II) Hallar el voltaje en el capacitor en el instante t=0,1 s. a) -0,1 MV
b) +0,1 MV
c) -0,4 MV
III) El instante en que la energía almacenada en el capacitor excede por primera vez a la del inductor. a) 61,2 µs
b) 63,2 µs
c) 65,2 µs
d) 67,2 µs
e) 69,2 µs
108.En un circuito serie LC, el capacitor de C=4 µF está inicialmente cargado. Después de t=0,01 s de cerrado el interruptor, la energía que queda en el capacitor es un cuarto de su valor inicial. Hallar la inductancia "L" de la bobina. a) 21,8 H
b) 22,8 H
c) 23,8 H
d) 24,8 H
e) 25,8 H
109.Por un solenoide de núcleo de aire de N=68 vueltas, longitud de l=8 cm y diámetro de D=1,2 cm, circula una corriente de intensidad I=0,77 A. Hallar la energía almacenada en el campo magnético. a) 2,04 µJ
b) 2,24 µJ
c) 2,44 µJ
d) 2,64 µJ
e) 2,84 µJ
110.Un disco de radio R=10 cm y altura h=1 mm hecho de un material de permeabilidad mag nética relativa µ=1+χm, siendo " χ m " la susceptibilidad magnética, se coloca transversal mente en un campo magnético uniforme de magnitud Bo=40 T. Hallar el cambio que expe rimenta el campo de inducción magnética en el centro del disco. a) 0,1χm
b) 0,2χm
c) 0,3χm
d) 0,4χm
e) 0,5χm
111.En la Fig.41, la esfera conductora hueca de radio R=10 cm, densidad de carga superficial homogénea σ=8•10-9 C/m2, gira alrededor de su eje de simetría con una velocidad angular constante de ω=100 rad/s. Sobre el eje de simetría a la distancia d=20 cm, se encuentra la espira circular de radio r=1 mm, que conduce una corriente I=2 A. Hallar la energía de in teracción magnética. (1 J=6,242•1018 eV, α=30º) a) 0,164 eV
b) 0,364 eV
c) 0,564 eV
d) 0,764 eV
e) 0,964 eV
112.En la Fig.42, la esfera hueca conductora de radio "R " , y carga eléctrica "Q" , distribuida homogéneamente en su superficie gira alrededor de su eje de simetría con velocidad angu lar constante "ω" . En el centro de la esfera se encuentra la esferita compacta de radio "a " (R=20a) y carga eléctrica "q" (Q=300q) distribuida homogéneamente en todo su volu men, que gira alrededor del eje de simetría común con la misma velocidad angular. Hallar la energía de interacción magnética entre la esfera y la esferita. a)
µo 2 2 ω q a 2π
b)
µo 2 2 ω q a 3π
c)
µo 2 2 ω q a 4π
d)
2µ o 2 2 ω q a 3π
e)
3µ o 2 2 ω q a 4π
808
Inducción electromagnética α
I
ω Q
d
ω 0
q 0
R
a R
σ
Fig.41
Fig.42
113.En el instante t=0 s se aplica a una bobina de inductancia L=0,8 H y resistencia R=30 Ω una f.e.m de E=500 V. (µo= 4π•10-7 H/m, r=20 cm, m=10-3) I) Hallar la energía almacenada en el campo magnético cuando la corriente alcanza la mitad de su valor máximo. a) 27,0 J
b) 27,2 J
c) 27,4 J
d) 27,6 J
e) 27,8 J
II) Después de que la f.e.m se conecta, ¿En qué tiempo la corriente alcanza la mitad de su va lor máximo? a) 15,5 ms
b) 16,5 ms
c) 17,5 ms
d) 18,5 ms
e) 19,5 ms
114.Se tiene un solenoide de radio R=2 cm y número de vueltas n=1 por metro. Para un cier to intervalo de tiempo la corriente varía con el tiempo, según: I(t)=3e0,2t, donde "I" está en amperios y "t" en segundos. Hallar la magnitud del campo eléctrico (en µN/C) a la dis tancia de r=5 cm del eje del solenoide en el instante t=10 s. (µo= 4π•10-7 H/m, r=20 cm, m=10-3, µ=10-6) a) 20,3
b) 21,3
c) 22,3
d) 23,3
e) 24,3
115.En la Fig.43, se muestra la gráfica de la f.e.m "ξ " inducida versus el tiempo "t" de una bobina de "N" vueltas que gira con velocidad angular constante "ω" en un campo mag nético uniforme dirigido perpendicularmente al eje de rotación de la bobina. Basado en esta gráfica, represente la gráfica de "ξ " versus "t" , para los siguientes casos: I) Cuando el número de vueltas "N" se duplica. II) Cuando la velocidad angular "ω" se duplica. III) Cuando la velocidad angular "ω" se duplica y el número de vueltas "N" se reduce a la mitad. 116.En la Fig.44, la barra conductora de longitud l=35 cm partiendo del reposo se desliza so bre los rieles. Los resistores R1=2 Ω y R2=5 Ω están conectados a los extremos de las ba rras formando un circuito. El campo magnético uniforme B=2,5 T ingresa perpendicular mente al plano del circuito. Un agente externo jala a la barra hacia la izquierda a una rapi dez constante de v=8 m/s.
809
Física III I) Hallar la intensidad de corriente y su sentido de circulación en el resistor R1. a) 3,5 A; (↓)
b) 3,5; (↑)
c) 2,5; (↓)
d) 2,5; (↑)
e) 1,5; (↓)
II) Hallar la intensidad de corriente y su sentido de circulación en el resistor R2. a) 1,4 A; (↓)
b) 1,4; (↑)
c) 2,8; (↓)
d) 2,8; (↑)
e) 3,2; (↓)
d) 34,3 W
e) 35,3 W
III) La potencia total entregada al circuito eléctrico. a) 31,3 W
b) 32,3 W
c) 33,3 W
IV) La magnitud de la fuerza que se debe aplicar para desplazar a la barra a esta velocidad constante. a) 4,09 N
b) 4,29 N
c) 4,49 N
d) 4,69 N
e) 4,89 N
E(mV)
riel
10 x
5
R1 0,5
1,5
2,5
3,5
t(ms)
-5
x
x
x
x
x
x
x
x
B x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
R2 l
riel -10 R.SABRERA
Fig.43
Fig.44
117.Se tiene una bobina de N=200 vueltas, sección transversal de área A=20 cm2, cuyo nú cleo está formada por una longitud de hierro de l1=63 cm y una rendija de aire de longitud l2=2 cm. Las permeabilidades magnéticas del hierro y aire, son: µ1=5000 H/m y µ2= 4π•10-7 H/m. Hallar el coeficiente de autoinductancia de esta bobina. a) 10µo H
b) 15µo H
c) 20µo H
d) 25µo H
e) 30µo H
118.Un toroide de núcleo de aire con sección transversal cuadrada de lados a=1,5 cm, tiene radios r1=80 cm, r2=82 cm, y N=700 vueltas. Hallar el coeficiente de autoinductancia de dos formas diferentes. a) 30,3 µH
b) 32,3 µH
c) 34,3 µH
d) 36,3 µH
e) 38,3 µH
119.Una pulsera circular de cobre de área A=0,005 m2 y resistencia R=0,02 Ω, se coloca en un solenoide que genera un campo magnético uniforme Bo=5 T, perpendicular al plano de la pulsera. Una falla en la fuente de energía provoca que el campo magnético caiga a B= 1,5 T en un tiempo de t=20 ms. (µo= 4π•10-7 H/m, m=10-3, µ=10-6) I) Hallar la corriente inducida en la pulsera.
810
Inducción electromagnética
a) 43,15 A
b) 43,35 A
c) 43,55 A
d) 43,75 A
e) 43,95 A
d) 38,7 W
e) 38,9 W
II) Hallar la potencia entregada a la resistencia de la pulsera. a) 38,1 W
b) 38,3 W
c) 38,5 W
120.En la Fig.45, se muestra dos solenoides infinitamente largos de radios r1=10 cm, r2=15 cm (vistos por su sección transversal) que pasan por el circuito. La magnitud del campo magnético uniforme aumenta a razón de dB/dt=100 T/s. Hallar el valor de la expresión: (I1+I3)/I2 siendo I1, I2 y I3 las corrientes por las resistencias R1=6 Ω, R2=5Ω y R3=3 Ω, res pectivamente. (l=50 cm) a) 1,14
b) 1,24
c) 1,34
d) 1,44
e) 1,54
121.En la Fig.46, hallar la inductancia mutua entre los dos solenoides coaxiales estrechamen te unidos de longitudes l1=20 cm y l2=2 mm, de N1=400 vueltas y N2=50 vueltas, y ra dios R1≈R2=5 cm. (m=10-3) a) 0,187 mH
b) 0,387 mH l
d) 0,787 mH
x xxxx xxxxx xxxx x
e) 0,987mH
l1 l2
l r1
R1
c) 0,587 mH
r2 R3
B
•• • • • •• • • • ••• • • • •• ••
2R1
R2 l
B
o
Fig.45
o
o
o
Fig.46
122.En la Fig.47, la barra de masa "m" , longitud " ℓ " y resistencia "R " se desliza sin fric ción sobre rieles paralelos. La batería que mantiene una f.e.m constante "ξ " se conecta en tre los rieles y un campo magnético constante "B" ingresa perpendicularmente al plano del circuito. I) Si la barra parte del reposo, hallar la rapidez de la barra en el instante "t" . II) Evaluar la expresión de la rapidez (en mm/s) de la barra, para: m=50 g, l=20 cm, R=40 Ω, E=12 V, t=10 ms, B=2 T. a) 20 mm/s
b) 22 mm/s
c) 24 mm/s
d) 26 mm/s
e) 28 mm/s
123.En la Fig.48, la espira circular de alambre de radio "r" se encuentra en un campo magné tico uniforme, con el plano de la espira perpendicular a la dirección del campo. El campo magnético varía con el tiempo de acuerdo con B(t)=a+bt, donde "a" y "b" son constan tes. I) Hallar el flujo magnético a través de la espira en el instante t=0 s. II) Si la resistencia de la espira es "R " , hallar la corriente inducida en la espira.
811
Física III III) ¿A qué proporción se está entregando la energía eléctrica a la resistencia de la espira?
l
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
B
B
•
E
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
r
Fig.47
Fig.48
124.En la Fig.49, la esfera de radio " R " magnetizada uniformemente rota alrededor del diá metro de la esfera que es paralela al vector magnetización "M" . Hallar la fuerza electro motriz inducida "ξ " entre el polo A y el ecuador B de la esfera. 1 a) − µo Mω R 2 3
b)
1 µo Mω R 2 3
1 c) − µo M ω2 R 3
d)
1 µ o M ω2 R 3
e)
1 µo M ω R 3
125.En la Fig.50, hallar el coeficiente de autoinductancia de la bobina de radios interno r1=1 cm, externo r2=2 cm, longitud l=3 cm y número de vueltas N=800. (m=10-3) a) 4,1 mH
b) 4,3 mH
c) 4,5 mH
d) 4,7 mH
e) 4,9 mH
B
M A
R
ω
r1
l
r2
Fig.49
Fig.50
126.La radio de un automóvil tiene una antena vertical de longitud l=1,2 m. El automóvil via ja a una rapidez constante de v=65 km/h sobre una pista horizontal donde el campo mag nético terrestre es de B=50 µT dirigido hacia el norte y hacia abajo a un ángulo de θ=65º bajo la horizontal. (µ=10-6) I) ¿En qué dirección debe desplazarse el automóvil para generar la máxima f.e.m de movi miento en la antena, con la parte superior de la misma positiva respecto de la inferior? a) Este
b) Oeste
c) Norte
d) Sur
e) Sur-Este
d) 478 µV
e) 498 µV
II) Hallar la magnitud de la f.e.m "ξ " inducida en la antena. a) 418 µV
b) 438 µV
c) 458 µV
812
Inducción electromagnética
127.En la Fig.51, el plano de la espira cuadrada de alambre de longitud a=20 cm es perpendi cular al campo magnético terrestre en un punto donde B=15 µT. La resistencia total de la espira y de los alambres que la conectan al galvanómetro (G) es de R=0,5 Ω. Si la espira se colapsa repentinamente mediante fuerzas horizontales como se indica, ¿Qué carga total pasa por el galvanómetro? (µ=10-6) a) 1,0 µC
b) 1,2 µC
c) 1,4 µC
d) 1,6 µC
e) 1,8 µC
128.En la Fig.52, el eje de rodamiento de longitud l=1,5 m, se empuja a lo largo de los rieles horizontales a una rapidez constante de v=3 m/s. Un resistor R=0,4 Ω se conecta a los rieles en los puntos "a" y "b" , directamente opuestos entre sí. La magnitud del campo magnético dirigido verticalmente hacia abajo es de B=0,08 T. I) Hallar la corriente inducida en el resistor. a) 0,5 A
b) 0,6 A
c) 0,7 A
d) 0,8 A
e) 0,9 A
II) ¿Qué fuerza horizontal "F" se requiere para mantener al eje rodando a una rapidez constante? a) 108 mN
b) 118 mN
c) 128 mN
d) 138 mN
e) 148 mN
III) ¿Qué extremo del resistor "a" ó "b", está a un potencial eléctrico más alto? IV) Después de que el eje rueda más allá del resistor,¿la corriente en "R " invierte su direc ción? Explicar porqué. F B
G
a
v R b
F R.SABRERA
Fig.51
Fig.52
129.En la Fig.53, la barra conductora se desplaza a una velocidad constante v perpendicular a un largo alambre recto que conduce una corriente "I" . I) Hallar el valor de la f.e.m "ξ " generada entre los extremos de la barra. II) Evaluar el valor de la f.e.m "ξ " generada, para: v=4 m/s, I=2 A, l=20 cm, r=10 cm. a) 30 V
b) 32 V
c) 34 V
d) 36 V
e) 38 V
130.En la Fig.54, el pequeño anillo de radio r=0,5 cm se mantiene directamente debajo de un
813 largo alambre recto que conduce una corriente de I=10 A. El anillo está ubicada a h=0,5 m sobre la cubierta de la mesa. (µo=4π•10-7 A/m, g=9,8 m/s2, n=10-9) I) Si el anillo se deja caer desde el reposo, ¿Cuál es la magnitud de la f.e.m inducida prome dio en ella desde el momento en que se suelta hasta el momento en que golpea la mesa? Suponga que el campo magnético casi es constante sobre el área del anillo e igual al cam po magnético en su centro.
Física III
a) 91,4 nV
b) 93,4 nV
c) 95,4 nV
d) 97,4 nV
e) 99,4 nV
II) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en el anillo? I I
r
l
h
g
v
Fig.53
Fig.54
131.Se tiene un solenoide toroidal de sección transversal circular de radio a=4 cm, radio me dio b=8 cm, y número de vueltas N=400. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3) I) Hallar la autoinductancia del solenoide toroidal. a) 1,15 mH
b) 2,15 mH
c) 3,15 mH
d) 4,15 mH
e) 5,15 mH
d) 2,5 mH
e) 3,0 mH
II) Hallar la autoinductancia del solenoide toroidal para b>>a. a) 1,0 mH
b) 1,5 mH
c) 2,0 mH
132.Un cilindro circular recto contiene N=550 conductores de longitud l=100 mm sobre la su perficie curva y cada una tiene una corriente constante de intensidad I=7,5 A. El campo magnético es B = 38 sen φ rˆ (mT) . La dirección de la corriente es kˆ para 0<φ<π y − kˆ pa ra π<φ<2π. Hallar la potencia mecánica necesaria para hacer girar el cilindro a ω=1600 rev/min en la dirección - φˆ . a) 4,18 W
b) 4,38 W
c) 4,58 W
d) 4,78 W
e) 4,98 W
133.Hallar el coeficiente de autoinductancia de un cilindro compacto de radio R=10 cm, lon gitud l=2,51 m. a) µo/10 H
b) µo/15 H
c) µo/20 H
d) µo/25 H
e) µo/30 H
134.Dos conductores cilíndricos paralelos separados por una distancia d=1 mm, tienen una in ductancia por unidad de longitud de L/l=2,12 µH/m. Hallar el radio del conductor. (µo=
814 4π•10-7 H/m, µ=10-6) a) 1 µm
Inducción electromagnética
b) 2 µm
c) 3 µm
d) 4 µm
e) 5 µm
135.Un núcleo cerrado de hierro de longitud l=50 cm tiene un arrollamiento de N=1 000 espi ras. Por el arrollamiento fluye una corriente de intensidad I=1 A. ¿Qué corriente se debe hacer circular por el arrollamiento para que la inducción siga siendo la misma después de retirar el núcleo de hierro? (µo=4π•10-7 H/m) a) 600 A
b) 620 A
c) 640 A
d) 660 A
e) 680 A
136.I) Hallar la inducción magnética del núcleo cerrado de hierro de un toroide de longitud l=20,9 cm, si el número de amperio-vueltas del arrollamiento del toroide es de NI=1500. a) 1,0 T
b) 1,2 T
c) 1,4 T
d) 1,6 T
e) 1,8 T
II) Hallar la permeabilidad relativa magnética del material del núcleo en estas condiciones. a) 100
b) 150
c) 200
d) 250
e) 300
137.Se desea construir un electroimán que genere una inducción magnética de B=1 400 Gs en el espacio interpolar. La longitud del núcleo de hierro es l1=40 cm, la longitud del espa cio interpolar es l2=1 cm, el diámetro del núcleo es D=5 cm. ¿Qué f.e.m se debe suminis trar al arrollamiento del electroimán para obtener el campo magnético deseado, si se cuen ta con un conductor de cobre de sección transversal de área A=1 mm2 y resistividad ρ= 1,7•10-7 Ω•m? a) 30,4 V
b) 32,4 V
c) 34,4 V
d) 36,4 V
e) 38,4 V
138.¿Qué presión experimenta la superficie lateral de un solenoide largo y recto que tiene 5 espiras por centímetro, cuando por el pasa corriente eléctrica de intensidad I=0,4 A? (µo= 4π•10-7 H/m, k=10-3) a) 10µo kPa
b) 20µo kPa
c) 30µo kPa
d) 40µo kPa
e) 50µo kPa
139.En la Fig.55, el campo magnético uniforme disminuye a una razón constante dB/dt=-k, donde "k" es una constante positiva. El plano de la espira circular de alambre de radio "a" que contiene un resistor "R " y un capacitor "C" es perpendicular al campo B . I) Hallar la carga "Q" sobre el capacitor, cuando éste se encuentra totalmente cargado. a) πak
b) 2πak
c) πa2k
d) 2πa2k
e) 2π2ak
II) ¿Cuál de las placas está a mayor potencial? III) Analice la fuerza que provoca la separación de las cargas.
140.En la Fig.56, la espira rectangular de longitud " ℓ " , ancho "a" se desplaza a una rapidez constante de "v" alejándose del alambre rectilíneo muy largo que conduce una corriente "I" . La resistencia total de la espira es "R " .
815 I) Hallar una expresión para la corriente inducida en la espira en función de a, l, v, R y I, cuando el lado izquierdo de la espira se encuentra a una distancia "r" del alambre. II) Evaluar la expresión de la corriente, para: l=30 cm, a=20 cm, v=20 m/s, I=2 A, R=20 Ω y r=10 cm. (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6)
Física III
a) 0,1 µA
b) 0,2 µA x
c) 0,4 µA
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
d) 0,6 µA
e) 0,8 µA
B
I
l
v
R
C
R
a
r
Fig.55
Fig.56
141.Hallar la inductancia de un solenoide largo de radio r=2 cm, longitud l=10 cm, y de N= 300 vueltas, colocado en el eje de un tubo cilíndrico superconductor largo de radio R=5 cm. a) 750µo H
b) 800µo H
c) 850µo H
d) 900µo H
e) 950µo H
142.Una bobina rectangular de N=60 vueltas, lados de longitudes a=10 cm, b=20 cm y resis tencia total de R=10 Ω, gira a rapidez angular de ω=30 rad/s alrededor del eje y en presen cia de un campo magnético uniforme de magnitud B=1 T y dirigido en la dirección del e je-x. La rotación se inicia de modo que el plano de la bobina es perpendicular a la direc ción de B en t=0. I) Hallar la fuerza electromotriz inducida máxima en la bobina. a) 30 V
b) 32 V
c) 34 V
d) 36 V
e) 38 V
II) Hallar la rapidez de cambio máxima del flujo magnético a través de la bobina. a) 0,2 Wb/s
b) 0,4 Wb/s
c) 0,6 Wb/s
d) 0,8 Wb/s
e) 1,0 Wb/s
III) Hallar la fuerza electromotriz inducida en la bobina en el instante t=0,05 s. a) 35,9 V
b) 36,9 V
c) 37,9 V
d) 38,9 V
e) 39,9 V
IV) Hallar el torque ejercido sobre la bobina por el campo magnético en el instante en que la f.e.m es máxima. a) 4,12 N.m
b) 4,32 N.m
c) 4,52 N.m
d) 4,72 N.m
e) 4,92N.m
143.Hallar la energía magnética de interacción de dos circuitos circulares de radios a=0,1 cm
816 Inducción electromagnética b=10 cm, por las que circulan corrientes de intensidades I1=0,1 A y I2=0,4 A. Los centros de estos circuitos se encuentran en un mismo punto y sus planos forman entre sí un ángulo de θ=60º. (µo=4π•10-7 A/m, µ=10-6) a) 0,11µo µJ
b) 0,31µo µJ
c) 0,51µo µJ
d) 0,71µo µJ
e)0,91µo µJ
144.En la Fig.57, el filamento de corriente rectilínea infinita y el filamento de corriente rec tangular de lados a=20 cm, b=30 cm, se encuentran contenidos en un mismo plano. La dis tancia del filamento rectilíneo a la espira rectangular es d=2 cm. Hallar: (µo=4π•10-7 H/m) I) La energía de interacción magnética entre los filamentos rectilíneo y rectangular. a) 1,77 µJ
b) 2,77 µJ
c) 3,77 µJ
d) 4,77 µJ
e) 5,77 µJ
II) La inductancia mutua de los filamentos rectilíneo y rectangular, utilizando la energía de interacción magnética W. III) La inductancia mutua de los filamentos rectilíneo y rectangular, utilizando la densidad de flujo magnético Φ. IV) La inductancia mutua de los filamentos rectilíneo y rectangular, utilizando el potencial vectorial magnético A . a) 111 nH
b) 113 nH
c) 115 nH
d) 117 nH
e) 119 nH
145.En la Fig.58, hallar el coeficiente de autoinductancia por unidad de longitud del cable coaxial consistente de un conductor sólido de radio a=2 cm una capa conductora de radio interno b=3 cm y externo c=4 cm. Asumir que las corrientes "I" se distribuyen uniforme mente sobre las secciones transversales de los conductores. (µo=4π•10-7 H/m, n=10-9) a) 110 nH
b) 114 nH
c) 118 nH
d) 122 nH
I
I
e) 126 nH
I I a R.SABRERA
d
c b a
b
Fig.57
Fig.58
146.La distancia de separación entre dos bobinas es muy pequeña. La primera bobina condu ce una corriente variable en el tiempo dada por: I1(t)=5e-0,025tsen(377t) A. En el instante t=0,8 s, el voltaje medido a través de la segunda bobina es V2=-3,20 voltios. Hallar la in ductancia mutua de las bobinas. a) 1,69 mH
b) 1,73 mH
c) 1,77 mH
1,81 mH
e) 1,85 mH
817 147.En la Fig.59, el solenoide de N=70 vueltas tiene longitud l=5 cm, diámetro de sección D=1 cm y conduce una corriente de I=2 A. Una sola espira de alambre, de diámetro d=3 cm, se sostiene de modo que el plano de la espira es perpendicular al eje largo del solenoi de. Hallar la inductancia mutua de los dos si el plano de la espira pasa a través del solenoi de a una distancia de r=2,5 cm de un extremo.
Física III
a) 130 nH
b) 132 nH
c) 134 nH
d) 136 nH m
e) 138 nH B
g
D
l
r I I
M
Fig.59
Fig.60
148.En la Fig.60, la barra de masa "m" se jala horizontalmente a través de rieles paralelos mediante una cuerda sin masa que pasa sobre una polea ideal y que está unida a la masa suspendida "M" . El campo magnético uniforme es de magnitud "B" , y la distancia entre los rieles es " ℓ " . Los rieles están conectados en un extremo mediante el resistor "R " . I) Hallar la rapidez "v" con la que se desplaza la barra en función del tiempo "t" , "B" , "m" , "M" , " ℓ " , "R " y "g" . II) Evaluar la expresión obtenida para la rapidez "v" , para: t=0,1 s, B=4 T, m=50 g, M=60 g, l=20 cm, R=50 Ω y g=10 m/s2. a) 50,2 cm/s
b) 52,2 cm/s
c) 54,2 cm/s
d) 56,2 cm/s
e)58,2 cm/s
149.Se tiene un alambre de material no magnético de radio "R " que conduce una corriente "I" distribuida uniformemente en su sección transversal. (µo=4π•10-7 A/m, n=10-9) I) Hallar la energía magnética por unidad de longitud al interior del alambre. II) Evaluar la energía magnética por unidad de longitud, para: R=0,5 cm, y I=2 A. a) 2 nJ/m
b) 3 nJ/m
c) 4 nJ/m
d) 5 nJ/m
e) 6 nJ/m
150.En la Fig.61, el alambre horizontal de masa "m" , y longitud " ℓ " puede deslizarse libre mente sobre los rieles verticales del armazón conductor que presenta un resistor "R " . El campo magnético uniforme "B" sale perpendicularmente del plano del armazón. I) Hallar una expresión para la rapidez límite "vℓ " de la barra en función "m" , " ℓ " , "R " , "B" y "g" . II) Evaluar la expresión de la rapidez límite "vℓ " , para: m=40 g, l=20 cm, R=30 Ω, B=2 T y g=10 m/s2. a) 60 m/s
b) 65 m/s
c) 70 m/s
d) 75 m/s
e) 80 m/s
818 Inducción electromagnética 151.En la Fig.84, la línea de corriente "I" de longitud infinita se encuentra dentro del cilindro de radio "R " de permeabilidad magnética "µ " . Hallar: I) La intensidad de campo magnético "H" dentro y fuera del cilindro. II) El campo de inducción magnética "B" dentro y fuera del cilindro. III) El vector de magnetización "M" dentro y fuera del cilindro. IV) La corriente de magnetización volumétrica en el cilindro. V) La corriente de magnetización lineal en el cilindro. VI) La corriente de magnetización superficial en el cilindro. l g
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B
R
m µo µ
I
R
Fig.61
Fig.62
152.Hallar la inductancia por unidad de longitud (en nH/m) de un cable coaxial de radios in terno a=2 mm y externo b=4 mm. (µo=4π•10-7 H/m ; n = 10-9) a) 131
b) 133
c) 135
d) 137
e) 139
153.Un solenoide de longitud l=50 cm, y sección transversal de área A=2 cm2 tiene una in ductancia L=2•10-7 H. ¿A qué intensidad de corriente la densidad espacial de la energía del campo magnético en el interior del solenoide es de W0=10-3 J/m3? a) 1 A
b) 2 A
c) 3 A
d) 4 A
e) 5 A
154.Se tiene un toroide de N=500 vueltas, área de la sección transversal rectangular A=40 cm2 y radios interno y externo r=15 cm ; R=20 cm, respectivamente. Hallar la inductancia del toroide. (µo=4π•10-7 H/m , m=10-3) a) 1,10 mH
b) 1,12 mH
c) 1,14 mH
d) 1,16 mH
e) 1,18 mH
155.¿Cuántas espiras tiene una bobina de inductancia L=0,001 H, si a la intensidad de co rriente I=1 A, el flujo magnético a través de la bobina es Φ = 200 Mx? (1 Mx=10-8 Wb) a) 350
b) 400
c) 450
d) 500
e) 550
156.En un campo magnético uniforme de magnitud B=500 Gs, gira una varilla de longitud l=1 m a una velocidad angular constante de ω=20 rad/s. El eje de giro pasa por el extre mo de la varilla y es paralelo a las líneas del campo magnético. Hallar la fuerza electro motriz "ξ " de inducción en los extremos de la varilla. (1 Gs=10-4 T)
819
Física III a) 0,1 V
b) 0,2 V
c) 0,3 V
d) 0,4 V
e) 0,5 V
157.¿Cuántas espiras de un conductor tiene el arrollamiento en una sola capa de una bobina, cuya inductancia es L=0,001 H? El diámetro de la bobina es D=4 cm, el diámetro del con ductor es d=0,6 mm. Las espiras se tocan unas a otras. (µo=4π•10-7 H/m) a) 360
b) 370
c) 380
d) 380
e) 400
158.En la Fig.63, el alambre de longitud l=20 cm se mueve con velocidad v=4 m/s en la di rección de la corriente de intensidad I=2 A. Hallar la magnitud de la fuerza electromotriz "ξ " en los extremos de la varilla. (µo=4π•10-7 H/m ; a=4 cm ; θ = 370) a) 2,51 µV
b) 2,53 µV
c) 2,55 µV
d) 2,57 µV
e) 2,59 µV
159.Una resistencia R=104 Ω y un condensador se conectan en serie y súbitamente se les a plica un potencial de V=10 voltios. Si el potencial a través del condensador aumenta a 5 V en 1 µs . Hallar la capacidad del condensador. (p=10-12) a) 140 pF
b) 142 pF
c) 144 pF
d) 146 pF
e) 148 pF
160.En un campo magnético uniforme de magnitud B=0,8 T, gira uniformemente una espira cuadrada de área A=150 cm2 a una velocidad angular de ω = 15 rad/s. El eje de giro se ha lla en el plano de la espira formando un ángulo θ=300 con la dirección del campo magné tico. Hallar la fuerza electromotriz "ξ " máxima inducida en la espira. a) 0,15 V
b) 0,18 V
c) 0,09 V
d) 0,27 V
e) 0,36 V
161.Se tiene un solenoide con núcleo de hierro de permeabilidad magnética µ=3581, de lon gitud l=50 cm, sección transversal de área A=10 cm2 y número de espiras N=1000. Ha llar la inductancia de este solenoide, si por el arrollamiento del mismo circula una corrien te de intensidad I=1 A. a) 1,0 H
b) 3,0 H
c) 5,0 H
d) 7,0 H
e) 9,0 H
162.En un solenoide de longitud l=50 cm se introduce un núcleo de hierro cuya función B= f(H) se desconoce. El número de espiras por unidad de longitud es n=400, el área de su sección transversal es A=10 cm2. Si por el solenoide circula una corriente de intensidad I=5 A, y el flujo magnético a través de su sección transversal es Φ=1,6•10-3 Wb. Hallar la inductancia del solenoide. a) 60 mH
b) 62 mH
c) 64 mH
d) 66 mH
e) 68 mH
163.La densidad de energía asociada a determinada onda electromagnética de una sola frecu encia es w=10-7 J/m3. Hallar la magnitud del campo magnético. (n=10-9) a) 350 nT
b) 352 nT
c) 354 nT
d) 356 nT
e) 358 nT
164.Un solenoide largo de longitud l=50 cm tiene N=500 vueltas de alambre y sección trans
820 Inducción electromagnética 2 versal de área A=10 cm , hallar su inductancia. Si se reduce la corriente a través del sole noide de 10 A a cero en 0,1 s, determinar la fuerza electromotriz "ξ " promedio durante es te tiempo. a) 620 µH ; 62,0 mV b) 622 µH ; 62,2 mV c) 624 µH ; 62,4 mV d) 626 µH ; 62,6 mV e) 628 µH ; 62,8 mV
165.Una bobina de resistencia R=60 Ω y inductancia L=30 H se conecta a una batería de fuerza electromotriz ε=50 V a través de un interruptor. ¿En qué tiempo la corriente en la bobina alcanza la cuarta parte de su valor de equilibrio? a) 0,10 s
b) 0,12 s
c) 0,14 s
d) 0,16 s
e) 0,18 s
166.Se tiene un circuito R-L, indique qué fracción de la corriente eléctrica se alcanza después de transcurrido 4 constantes de tiempo. a) 0,90 s
b) 0,92 s
c) 0,94 s
d) 0,96 s
e) 0,98 s
167.En la Fig.64, la barra de cobre se mueve sobre unas vías conductoras con una velocidad "v" paralela a un alambre recto, largo, que transporta una corriente "I" . Hallar la fuerza e lectromotriz "ε " inducida en la barra, sabiendo que: v=5 m/s, I=1 A, a=1 cm y b=20 cm. a) 1 µ V
b) 2 µ V
c) 3 µ V
d) 4 µ V I
v
I
e) 5 µ V
a b
θ
v
a
Fig.63
Fig.64
168.Por un alambre largo y recto, de radio R= 0,5 cm, circula una corriente total uniforme de intensidad Io=2 A. Hallar la energía magnética por unidad de longitud almacenada en el a lambre. a) 0,1 µJ /m
b) 0,2 µJ /m
c) 0,3 µJ /m
d) 0,4 µJ /m
e)0,5 µJ /m
169.Hallar la densidad de energía magnética (en µJ /m3) en el centro de una espira cuadrada de lado a=20 cm, que conduce corriente eléctrica de intensidad I=2 A. (µo=4π•10-7 H/m) a) 51
b) 53
c) 55
d) 57
e) 59
170.En la Fig.65, el alambre rígido doblado en forma de semicircunferencia de radio R=10 cm gira con frecuencia de f=4 rev/s en un campo magnético uniforme B=2 T, ¿Cuál es la corriente inducida máxima cuando la resistencia interna del medidor "M" es RM=40 mΩ y el resto del circuito tiene una resistencia que puede ignorarse? (µo=4π•10-7 H/m)
821
Física III a) π A
b) 2 π A
c) 3 π A
d) 4 π A
e) 5 π A
171.Un electrón de carga q=-1,6•10-19 C, masa me= 9,1•10-31 kg, gira en órbita circular de ra dio R=5•10-10 m alrededor de un protón fijo de carga q=1,6•10-19 C, masa mP=1,6•10-27 kg. Hallar la densidad de energía en la posición del protón. (µo=4π•10-7 A/m) a) 821 J/m3
b) 823 J/m3
c) 825 J/m3
d) 827 J/m3
e) 829 J/m3
172.Una bobina toroidal de resistencia R=40 Ω , se conecta a una batería. La corriente alcan za la mitad de su valor de equilibrio Io=4 A, después de t=0,01 s. Hallar la energía almace nada en el campo magnético. a) 4,0 J
b) 4,2 J
c) 4,4 J
d) 4,6 J
e) 4,8 J
173.En la Fig.66, se muestra una barra de cobre que se mueve con velocidad de v=5 m/s para lelo al alambre recto largo que conduce una corriente de I=1 A. Hallar la fuerza electromo triz inducida en la barra, sabiendo que: a=1 cm y b=20 cm. ( µ o =4π•10-7 H/m) a) 9,41 µV
b) 9,43 µV
x
x
x
x
x
x
x
x
•
x
x
x
x
x
x
R
x
x
x
B
x
x
x
x
M
c) 9,45 µV
d) 9,47 µV
e) 9,49 µV
I a •
b
v
R.SABRERA
Fig.65
Fig.66
174.Un alambre rectilíneo muy largo de radio R=0,2 cm conduce una corriente de intensidad I=2 A. Hallar la energía almacenada en el campo magnético en un volumen de longitud l=20 cm que se extiende entre a=0,5 cm y b=1,0 cm. (µo=4π•10-7 H/m , n=10-9) a) 55,1 nJ
b) 55,3 nJ
c) 55,5 nJ
d) 55,7 nJ
e) 55,9 nJ
175.Se desea formar un circuito L-C resonante a la frecuencia de f=1600 Hz con una bobina de inductancia L=4 mH. Hallar el valor de la capacidad del condensador. a) 2,41 µF
b) 2,43 µF
c) 2,45 µF
d) 2,47 µF
e) 2,49 µF
176.En la Fig.67, a=1,0 cm, b=8,0 cm, l=30 cm, y la corriente en el alambre disminuye uni formemente de 3 A a cero en 1,0 s. Si no existe corriente inicial en la espira de resistencia R=0,02 Ω. Hallar la corriente inducida en la espira rectangular. (µo=4π•10-7 H/m , µ=10-6) a) 19,0 µA
b) 19,2 µA
c) 19,4 µA
d) 19,6 µA
e) 19,8 µA
177.Un condensador de capacidad C=10 µF y inductancia L se conectan en serie con una ba
822 Inducción electromagnética tería de fem de frecuencia f=60 Hz. Con un voltímetro se mide 100 V en el condensador y 150 V en la bobina inductora. Hallar la inductancia L de la bobina. a) 1,00 H
b) 1,02 H
c) 1,04 H
d) 1,06 H
e) 1,08 H
178.Un toroide "delg ado" de radio medio Rm=15 cm tiene n=100 vueltas por centímetro y á rea transversal S=4 cm2. Hallar la inductancia del toroide. (m=10-3) a) 47,0 mH
b) 47,2 mH
c) 47,4 mH
d) 47,6 mH
e) 47,8 mH
179.En la Fig.67, a=1,0 cm, b=8,0 cm, l=30 cm, y la corriente en el alambre disminuye uni formemente de 30 A a cero en 1,0 s. Si no existe corriente inicial en la espira de resisten cia R=0,02 Ω. Hallar la energía transferida a la espira en el tiempo de 1,0 s. (p=10-12) a) 780 pJ
b) 782 pJ
c) 784 pJ
d) 786 pJ
b
L
a
R o
o
•
-
l
I
ξ0 +
Fig.67
e) 788 pJ
•
S
Fig.68
180.Dos alambres de cobre (D= 0,127 cm) largos y paralelos, transportan corrientes de inten sidad I=10 A en sentidos opuestos, sus centros se encuentran separados 2,0 cm. Hallar el flujo por metro (en µWb/m ) de conductor que existe en el espacio entre los ejes de estos dos alambres. a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
181.En la Fig.68, en el circuito que presenta una bobina de inductancia L=24 H y resistencia R=120 Ω, se cierra el interruptor "S" en t = 0 s y se aplica una tensión constante de ξ0=36 V. Hallar el tiempo para el cual la corriente alcanza el 80 % de su valor de equilibrio. a) 0,16 s
b) 0,20 s
c) 0,24 s
d) 0,28 s
e) 0,32 s
182.Una bobina de inductancia L=0,2 H y resistencia R=10 Ω está conectada en serie con un condensador de capacidad C y una fuente de corriente alterna (C.A) de ξ=110 V y f= 60 Hz. Hallar el valor de la capacidad del condensador. a) 34,0 µF
b) 34,4 µF
c) 34,8 µF
d) 35,2 µF
e) 35,6 µF
183.En la Fig.69, el alambre de longitud l=10 cm, masa m=200 g y resistencia R=2 m Ω des liza sin fricción a lo largo de dos rieles paralelos de resistencia despreciable y conectados
823 en su extremo final por una tira conductora paralela al alambre y sin resistencia, formando el alambre y los rieles un ángulo de θ=530 con la horizontal y a través de esta región e xiste un campo magnético uniforme de B=2 T. Hallar la velocidad del alambre. (g=10 m/s2)
Física III
a) 0,14 m/s
b) 0,18 m/s
c) 0,22 m/s
d) 0,26 m/s
e) 0,30 m/s
184.En la Fig.70, un alambre se dobla en tres segmentos semicirculares de radio r=10 cm, ca da segmento forma un cuadrante de circunferencia contenidas en los planos XY, XZ y YZ, si existe un campo magnético uniforme en la dirección X, que aumenta a un ritmo de 3•10-3 T/s. Hallar la magnitud de la fuerza electromotriz "ξ " en la espira de alambre. a) 20,6 µV
b) 21,6 µV
c) 22,6 µV
d) 23,6 µV
e) 24,6 µV
z B m
c
B
l
•
r b
0 R
θ
a•
r
r
•
y
x
Fig.69
Fig.70
185.Se tiene un toroide de N= 800 vueltas, radios interno y externo r1=4 m y r2=8 cm y sec ción transversal rectangular de área S=8 cm2. Hallar la inductancia "L" del toroide. a) 1,71 mH
b) 1,73 mH
c) 1,75 mH
d) 1,77 mH
e) 1,79 mH
186.Un solenoide de inductancia L=15 mH y resistencia R= 20 Ω se conecta a una batería de ξ = 6 V de resistencia interna despreciable. Hallar la energía almacenada en el solenoide, después de cerrarse el interruptor y haber alcanzado la corriente el 10 % de su valor de e quilibrio. a) 6,71 µJ
b) 6,73 µJ
c) 6,75 µJ
d) 6,77 µJ
e) 6,79 µJ
187.Un alambre largo conduce una corriente uniforme de intensidad I=2 A. Hallar la energía magnética por unidad de longitud almacenada al interior del alambre. a) 0,1 µJ/m
b) 0,2 µJ/m
c) 0,3 µJ/m
d) 0,4 µJ/m
e) 0,5 µJ/m
188.En la Fig.71, se conectan en serie una bobina, una resistencia y un condensador, con una fuente de corriente alterna (C.A) de valor eficaz Vef =50 V, si ω=50 rad/s, L= 0,04 H, C = 0,02 µ F y R=4 Ω . Hallar el valor de la corriente eficaz "Ief " en el circuito eléctrico. a) 50,1 µA
b) 50,3 µA
c) 50,5 µA
d) 50,7 µA
e) 50,9 µA
824 Inducción electromagnética 189.La resistencia de un solenoide es R=80 Ω y su constante de tiempo es t0= 0,05 s. Hallar el valor de su inductancia. a) 1 H
b) 2 H
c) 3 H
d) 4 H
e) 5 H
190.Se coloca una bobina de área S=3 cm2, número de vueltas N=50 dentro de un solenoide que conduce una corriente de intensidad I(t)=5 sen(200.t) y cuyo campo magnético a su in terior es B(t)=0,5 sen (200.t). Hallar la inductancia mutua cuando el eje de la bobina for ma 370 con el eje del solenoide. (µo=4π•10-7 H/m , m=10-3) a) 1,0 mH
b) 1,2 mH
c) 1,4 mH
d) 1,6 mH
e) 1,8 mH
191.En los extremos opuestos de un alambre de sección de radio a=20 cm, resistencia R= 0,02 Ω ubicado en un campo magnético uniforme de magnitud B=1 T se aplican fuerzas i guales y opuestas deformándolo hasta obtener un par de alambres rectos paralelos, en un intervalo de tiempo ∆t=0,02 s. Hallar el trabajo realizado en la deformación. a) 39,40 J
b) 39,42 J
c) 39,44 J
d) 39,46 J
e) 39,48 J
L o
•
∼•
o
B ξ=48√2 cos60t
R
C
C
F
C
Fig.71
Fig.72
192.En la Fig.72, por las cremalleras metálicas paralelas unidas por dos condensadores de ca pacidades C=6 µF situadas en un plano horizontal, puede moverse, sin fricción el alam bre de masa m=100 g y longitud l=10 cm, además: B=2 T y F= 0,2 N. Hallar la acelera ción que adquiere el alambre, despréciese las resistencias de las cremalleras y el alambre. a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 4 m/s2
e) 5 m/s2
193.En la Fig.73, las espiras circulares de radios R1=1 mm y R2=2 mm, se encuentran en pla nos paralelos, y conducen corrientes eléctricas de intensidades I1=0,5 A y I2=1,0 A. Hallar la inductancia mutua. (µo=4π•10-7 H/m , d=10 cm, f=10-15) a) 9,89 fH
b) 1,89 fH
c) 3,89 fH
d) 5,89 fH
e) 7,89 fH
194.Demostrar que la autoinductancia de un cable coaxial de radios interno "a" y externo "b" y longitud " ℓ " , viene dado por: L= (µo/2π)l ln(b/a). 195.Demostrar que la autoinductancia de una línea de transmisión de corriente eléctrica for mada por dos conductores radios "R " y de longitud muy grande " ℓ " , viene dado por la ex presión: L= (µo/π)l ln(d/R).
825 196.En la Fig.74, el disco metálico delgado compacto de radio R=10 cm que gira con una ve locidad angular constante de ω=20 rad/s, está conectada al circuito eléctrico mediante u nos contactos corredizos. La resistencia del disco es muy pequeña comparada con la resis tencia externa R0=200 Ω . Hallar la cantidad de calor disipada por unidad de tiempo en la resistencia "R o " . (1 eV=1,602•10-19 J, m=9,1•10-31 kg, e=-1,6•10-19 C)
Física III
a) 103,8 µeV
b) 203,8 µeV
c) 303,8 µeV
d) 403,8 µeV I
(2)
(1)
e) 503,8 µeV
R0
I1 0´
0
I2
0
R2
R1
I
ω
d
Fig.73
Fig.74
197.En la Fig.75, por el anillo metálico de radio R=10 cm, colgado mediante alambres flexi bles pasa una corriente eléctrica de intensidad I=1,5 A. El anillo está situado en un campo magnético horizontal uniforme de magnitud B=3 T. Hallar la tensión interna en el anillo. a) 0,1 N
b) 0,2 N
c) 0,3 N
d) 0,4 N
e) 0,5 N
198.En la Fig.76, el cilindro metálico de radio R=10 cm gira alrededor de su eje con una ve locidad angular constante de ω=40 rad/s. El campo magnético uniforme es paralelo al eje de simetría del cilindro. ¿Para que valor del campo magnético, no surge un campo eléc trostático? (e=-1,6•10-19 C, me=9,1•10-31 kg, n=10-9) a) 0,23 nT
b) 0,43 nT
c) 0,63 nT
d) 0,83 nT
e) 1,03 nT
B
i
ω
B •
R
R •
i
Fig.75
Fig.76
199.En la Fig.76, el cilindro metálico de radio R=10 cm gira alrededor de su eje con una ve locidad angular constante de ω = 40 rad/s. El campo magnético uniforme es paralelo al e
826 Inducción electromagnética je de simetría del cilindro y de dirección opuesta al que aparece en la Figura. Hallar la in tensidad del campo eléctrico (en nN/C), si la magnitud del campo magnético es B=10-10 T, n=10-9 a) 1,31
b) 3,31
c) 5,31
d) 7,31
e) 9,31
200.Un anillo metálico de radio "R " se encuentra en un campo magnético perpendicular al plano que contiene al anillo, y cuya magnitud, viene dado por: B = k t , siendo "k" una constante y "t" el tiempo. Hallar la magnitud del campo eléctrico en el anillo. a) kR
b) kR/2
c) kR/4
d) 2kR
e) 3kR/4
201.En la Fig.77, por las cremalleras verticales paralelas AB y CD, unidas por la resistencia R=2 Ω , puede deslizarse sin fricción, el conductor metálico de longitud l=10 cm, masa m=50 g y resistencia despreciable. El sistema se halla en un campo magnético uniforme de magnitud B=5 T, perpendicular al papel. Hallar: (g=10 m/s2) I) La magnitud de la velocidad uniforme de caída del alambre, desprecie la fricción. a) 1 m/s
b) 2 m/s
c) 3 m/s
d) 4 m/s
e) 5 m/s
II) La intensidad de la corriente eléctrica inducida en el alambre. a) 0,2 A
b) 0,4 A
c) 0,6 A
d) 0,8 A
e) 1,0 A
III) ¿El sistema electromecánico es conservativo? A
C l m
B R1
B
b R
B
D R
R.SABRERA
a
Fig.77
R
0
R2
Fig.78
202.En la Fig.78, las mitades del anillo de alambre de radio R=10 cm, tienen resistencias de R1=10 Ω y R2=20 Ω . El anillo se encuentra en un campo magnético perpendicular al pla no que contiene al anillo, y cuya magnitud varía según: B=Bo+k.t, siendo "t" el tiempo, B0=1 T y k=2 T/s constantes. Hallar: I) La fuerza electromotriz inducida en el anillo. a) 60,8 mV
b) 62,8 mV
c) 64,8 mV
d) 66,8 mV
e) 68,8 mV
d) 3,0 mA
e) 3,3 mA
II) La intensidad de la corriente eléctrica inducida en el anillo. a) 2,1 mA
b) 2,4 mA
c) 2,7 mA
827
Física III III) La diferencia de potencial eléctrico entre los puntos de unión "a" y "b" . a) 9,5 mV
b) 10,5 mV
c) 11,5 mV
d) 12,5 mV
e) 13,5 mV
IV) La magnitud del campo electrostático (en mN/C) en el anillo. a) 30,3
b) 31,3
c) 32,3
d) 33,3
e) 34,3
V) La magnitud del campo eléctrico originado por la variación temporal del campo magnéti co. a) 0,1 N/C
b) 0,2 N/C
c) 0,3 N/C
d) 0,4 N/C
e) 0,5 N/C
203.En la Fig.79, el cilindro hueco de radios interior a=4 cm, exterior b=8 cm, espesor h=2 cm y resistividad eléctrica ρ = 1,69•10-8 Ω•m, está en un campo magnético en la dirección del eje A, y cuya magnitud, viene dado por: B=k.t, siendo "t" el tiempo, y k=3,38•10-5 T/s una constante. Hallar la intensidad de la corriente inducida en el cilindro. a) 40 mA
b) 42 mA B
c) 44 mA
d) 46 mA
e) 48 mA
A 3a
b
a
B
h
3a
A
a
B v
B
Fig.79
Fig.80
204.En la Fig.80, el alambre AB de longitud a=20 cm, empieza a deslizarse sobre la espira rectangular metálica fija, con una rapidez constante de v=4 cm/s. La resistencia por uni dad de longitud de la espira y el alambre es α=5,4•10-3 Ω / m . La espira se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitud B=2•10-3 T. Hallar la intensidad de corriente que circula por el alambre AB, para el instante en que este ha recorrido la distancia "a". a) 1,5 mA
b) 2,0 mA
c) 2,5 mA
d) 3,0 mA
e) 3,5 mA
205.En la Fig.81, el conductor utilizado en el circuito eléctrico, tiene una resistencia por uni dad de longitud de α=5,4•10-3 Ω / m , y se encuentra en un campo magnético, cuya mag nitud, viene dado por: B=k.t, siendo "t" el tiempo y k=5•10-3 T/s. Hallar la intensidad de corriente eléctrica, que circula por el conductor BC. (a=20 cm) a) 7,2 mA
b) 7,6 mA
c) 8,0 mA
d) 8,4 mA
e) 8,8 mA
206.Un anillo metálico de radio R=20 cm, se encuentra en un plano perpendicular al eje X si tuado en la posición x=10 cm. Por el anillo circula una corriente eléctrica de intensidad
828 Inducción electromagnética I=2 A, en sentido antihorario mirando desde el origen 0. I) Hallar la fuerza ejercida sobre el anillo por un campo magnético radial que diverge del ori gen, dada por: B = k r / r 3 , siendo "r" la distancia radial, y "k" una constante. a) -41k ˆi (N)
b) 41k ˆi (N)
c) -45k ˆi (N)
d) 45k ˆi (N)
e) -47k ˆi (N)
II) Hallar la magnitud de la fuerza con la que se extiende el anillo. a) 1,58k (N)
b) 3,58k (N)
c) 5,58k (N)
d) 7,58k (N)
e) 9,58k (N)
III) Hallar el flujo del campo magnético que pasa por la superficie que encierra el anillo. a) 10k Wb
b) 12k Wb
c) 14k Wb
d) 16k Wb
e) 18k Wb
207.Asumiendo que el radio del electrón es R=1,88•10-15m, su carga eléctrica q=-1,6•10-19 C, y que se mueve lentamente en trayectoria rectilínea con una rapidez constante "v". (µo= 4π•10-7 H/m , c=1/ µoεo ) I) Estimar la energía magnética externa al electrón. a) 1,5v2•10-31 J
b) 4,5v2•10-31 J
c) 5,5v2•10-31 J
d) 7,5v2•10-31 J
e) 9,5v2•10-31J
c) 5,1•10-31 kg
d) 7,1•10-31 kg
e) 9,1•10-31 kg
II) Estimar la masa del electrón. a) 1,1•10-31 kg
b) 3,1•10-31 kg
III) Estimar el radio clásico "rC " del electrón. a) 2,82•10-15 m
b) 4,82•10-15 m
c) 6,82•10-15 m
d) 8,82•10-15 m e)4,82•10-16m
208.Demostrar que en cierta región R en ausencia de corriente eléctrica ( J = 0 ), el campo magnético B es derivable de un potencial escalar "V" , la cual, satisface la ecuación de Laplace. 209.Demostrar la ley de Ampere en su forma diferencial ∇ x B = µo J , siendo B el campo magnético y J la densidad de corriente eléctrica. 210.Demostrar que una partícula de carga eléctrica "q" que se mueve lentamente con una ve locidad "v" (no relativista), crea en el espacio que lo rodea un campo magnético B y un campo eléctrico E , relacionados entre si por: B = v x E / c2 , siendo "c" la velocidad de la luz en el vació. 211.Demostrar la ley de Faraday-Henry en su forma diferencial ∇ x E = −∂B / ∂t , siendo B el campo magnético y E el campo eléctrico. 212.Hallar el potencial vectorial magnético A a una distancia r=r0/6 de un filamento rectilí neo de longitud infinita que conduce una corriente eléctrica de intensidad I=4 A, siendo
829
Física III "ro " la distancia referencial, para el cual A = 0 . b) 1,14µoθˆ
a) 1,14 µo rˆ
c) 2,14 µo rˆ
d) 2,14µ oθˆ
e) 4,14 µo rˆ
213.En la Fig.82, hallar el potencial vectorial magnético A correspondiente a una lámina pla na infinita contenida en el plano XY, que conduce una corriente eléctrica uniforme de den sidad j = j ˆj . a)
µo x − xo j 2 A
b)
µo x − xo j 4
a
B
a/2
c)
µo z − zo j 2
µo z − zo j 4
d)
e)
µo y − yo j 2
z
E
P kˆ ˆj
B
B
a
j
ˆi D
C
y
F
x
Fig.81
Fig.82
214.En cierta región R del espacio las componentes de la excitación magnética en coordena das esféricas son: H r = a (R 2 / 3 − r 2 5)cosθ , H θ = a (3r 2 / 5 − R 2 / 3)sen θ y Hφ=0, para r ≤ R , H r = (2a R 5 /15r 3 cosθ , H θ = (a R 5 /15r 3 )sen θ , H φ = 0 para r ≥ R . Hallar:
I) La densidad de corriente eléctrica j asociada a H , para r ≤ R .
a) 0
b)
a cr rˆ 4π
c)
acr ˆ θ 4π
d)
acr ˆ φ 4π
e)
a cr rˆ 2π
acr ˆ φ 4π
e)
a cr rˆ 2π
II) La densidad de corriente eléctrica j asociada a H , para r ≥ R . a) 0
b)
a cr rˆ 4π
c)
acr ˆ θ 4π
d)
215.Una esfera de radio "R " está magnetizada uniformemente, el vector de magnetización M , está en la dirección del eje Z positivo. Hallar: I) El potencial escalar magnético "V", al interior y exterior de la esfera. II) El campo de inducción magnética B , al interior y exterior de la esfera. 216.En la Fig.83, en la región cerca al centro del anillo de radio R=10 cm, existe un campo magnético variable B , el cual, crea en el anillo una fuerza electromotriz inducida de va lor ξ=180,7 µV . La resistencia por unidad de longitud de los conductores es α=5,4•10-3 Ω/m. Hallar la intensidad de corriente eléctrica que indica el amperímetro A.
830
Inducción electromagnética
a) 1 mV
b) 2 mV
c) 4 mV
d) 6 mV
e) 8 mV
R R B
x
x
x
x
B 0
A
60
b
x
x
x
x
x
x
x
x
R
a
Fig.83
Fig.84
217.En la Fig.84, una bobina rectangular de "N" vueltas, longitud "a" y ancho "b" , gira con una frecuencia "f " en un campo magnético uniforme "B" . I) Probar que en la bobina se genera una fem inducida, cuya expresión viene dado por: ξ = 2π f .N.b.a B sen(2π.t) = ξo sen(2πf .t) Este es el principio de operación de los generadores de corriente alterna. II) ¿Cuántas vueltas por unidad de área, debe tener un generador, para que girando con una frecuencia de f=60 rev/s en un campo magnético de magnitud B=0,5 T, la fuerza electro motriz inducida en el generador sea de ξ = 150 voltios? a) 0,5 vuel.m2
b) 0,6 vuel.m2
c) 0,7 vuel.m2
d) 0,8 vuel.m2
e) 0,9 vuel.m2
218.En la Fig.85, el freno electromagnético con "corriente vortice" consiste en un disco de conductividad σ=5,81•107 S/m y espesor t=1 cm que gira en torno a su eje de simetría y un campo magnético de magnitud B=0,5 T, perpendicular al plano del disco, y que pasa a través de la superficie cuadrada de lados a=2 cm, situada a una distancia r=5 cm de 0. Hallar la magnitud del torque que tiende a disminuir la rotación del disco cuando su velo cidad angular instantánea es ω=40 rad/s. a) 5,01 N.m
b) 5,21 N.m
c) 5,41 N.m
d) 5,61 N.m
e)5,81 N.m
219.En la Fig.86, la barra MN hace contacto con dos rieles metálicos MP y NQ separados 50 cm situados en un campo uniforme de magnitud B=1,0 T perpendicular al plano que con tiene a las espiras. La resistencia total del circuito MNPQ es R=0,4 Ω. I) ¿Cuál es la magnitud y el sentido de la fem inducida en la barra cuando se mueve hacía la izquierda con una rapidez de v=8,0 m/s? a) 4 V ( MN )
b) 4 V ( NM )
c) 6 V ( MN )
d) 6 V ( NM ) e) 8 V ( MN )
II) Hallar la magnitud de la fuerza que se requiere para mantener a la barra MN en movi miento. a) 2 N
b) 3 N
c) 4 N
d) 5 N
e) 6 N
831
Física III
III) Comparar el ritmo con el cual la fuerza F realiza trabajo mecánico con el ritmo de au mento de la energía térmica en el circuito. a) 10 J/s
b) 20 J/s
c) 30 J/s
d) 40 J/s
ω B 0
a
r
50cm
2
t
Fig.85
e) 50 J/s xB x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Nx
x
xQ
M
P
Fig.86
220.En la Fig.87, se muestra el campo de inducción magnética en función del tiempo a través de la sección de una espira circular de una vuelta de alambre de radio r=10 cm, y resisten cia despreciable conectado a una resistencia externa de R=10 Ω . I) Representar la gráfica de la fuerza electromotriz inducida a través del resistor. II) Representar la gráfica de la corriente "I" a través del resistor "R " . III) Representar la gráfica del ritmo de generación de energía térmica en el resistor. B(T) r
1/2 x R.SABRERA
I R I
0
2
1
Fig.87
3
t(s)
Fig.88
221.En la Fig.88, las espiras de alambre situados en planos paralelos tienen el mismo eje. La distancia "x" entre los centros de las espiras es mucho mayor que el radio "R " de la es pira mayor y con una rapidez constante v = dx / dt (con "x" aumentando). I) Hallar el flujo magnético " Φ B " como función de "x" a través del área delimitada por la espira pequeña. II) Hallar la dirección de la corriente inducida en la espira pequeña si v>0. III) Hallar el sentido de la corriente inducida en la espira. 222.En la Fig.89, la barra metálica MN de longitud l=16 cm reposa en el cilindro hueco de ra dio R=10 cm. El campo magnético es paralelo al eje del cilindro y aumenta con respecto al tiempo con una rapidez de dB/dt=0,5 T/s. Hallar la fuerza electromotriz inducida en la barra.
832
Inducción electromagnética
a) 1,6 mV
b) 2,0 mV
c) 2,4 mv
d) 2,8 mV
e) 3,2 mV
223.En la Fig.90, la resistencia de R=2 Ω situada en la varilla MN de longitud l=10 cm y ma sa m=40 g, puede deslizarse sobre la armadura metálica de resistencia despreciable, conec tada a la batería de fem Eo=12 V. El campo magnético uniforme es perpendicular al plano horizontal que contiene a la armadura, y su magnitud es de B=0,5 T. I) Hallar la magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre la varilla. a) 0,1 N
b) 0,2 N
c) 0,3 N
d) 0,4 N
e) 0,5 N
II) Hallar la rapidez con la que se desliza la varilla MN, sobre la armadura en t=0,01s a) 6,0 cm/s
b) 6,5 cm/s
c) 7,0 cm/s
d) 7,5 cm/s
e) 8,0 cm/s
III) Hallar la intensidad de corriente inducida al cerrarse la llave S, en el instante t=0,01s. a) 1,675 mA
b) 1,475 mA
x x x x
M
x x x x x x x
x x x x x x x x x x x 0x x x x x
x x
l
x x R x x x x x x x x x x x x
x
c) 1,075 mA
d) 1,875 mA S
x x x x
M
x
ox
x
+ x
x
x
x
x
x
x
ξ0-
N
e) 1,275 mA
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
R
l
N
Fig.89
Fig.90
224.Por un solenoide muy largo de sección transversal circular de radio R=5 cm que está a rrollado con n=300 vueltas de alambre por centímetro, inicialmente circula una corriente eléctrica de I0=2,4 A. La corriente se reduce linealmente a 0 A en 0,04 s. Hallar: I) La magnitud del campo eléctrico a una distancia de r=4 cm del eje del solenoide. a) 30 µo k
N C
b) 32 µo k
N C
c) 34 µo k
N C
d) 36 µo k
N C
e) 38 µo k
N C
II) La magnitud del campo eléctrico a una distancia de r=8 cm del eje del solenoide. a) 20 µ o k
N C
b) 22 µ o k
N C
c) 24 µ o k
N C
d) 26 µ o k
N C
e) 28 µo k
N C
III) La magnitud del campo eléctrico a una distancia de r=5 cm del eje del solenoide. a) 45 µo k
N C
b) 50 µo k
N C
c) 55 µo k
N C
d) 60 µo k
N C
e) 65 µo k
N C
833 225.El flujo magnético que pasa por cada una de las "N" vueltas de alambre de una bobina es " Φ B " , y la corriente eléctrica que circula por la bobina es "I" . I) Demostrar que la inductancia de la bobina es L= ΦB/I. II) Si la inductancia de la bobina estrechamente arrollada es L=10 mH, la bobina tiene N=10 vueltas y la corriente es de I=2 mA, hallar el flujo que atraviesa la bobina.
Física III
a) 1 µWb
b) 2 µWb
c) 3 µWb
d) 4 µWb
e) 5 µWb
226.En la Fig.91, por el conductor de longitud l=50 cm que se encuentra sobre el eje X, circu la una corriente eléctrica de intensidad I=2 A. Hallar el trabajo que se debe hacer para ro tarlo a velocidad constante y ubicarlo sobre el eje Y, en presencia del campo magnético u niforme de magnitud B=3 T. a) 0,88 J
b) 1,18 J
c) 1,48 J
d) 1,78 J
e) 2,08 J
B(T)
z B 0
l
y
l
0,4
I
H(A/m)
994
x
Fig.91
Fig.92
227.Con un alambre de longitud l=20 m se construye un solenoide de longitud lo=10 cm. El diámetro del solenoide "D" es mucho menor que su longitud lo. Hallar la inductancia del solenoide. (µo=4π•10-7 H/m , m=10-3) a) 0,1 mH
b) 0,2 mH
c) 0,3 mH
d) 0,4 mH
e) 0,5 mH
228.En la Fig.92, la curva de B vs H, corresponde al núcleo de hierro colado de una bobina de radios interno r=7 cm, externo R=9 cm y sección transversal cuadrada de lado a=2 cm. Hallar el flujo magnético " Φ " a través del núcleo, si la fuerza magnetomotriz (fmm) de la bobina es F=500 A. a) 120 µWb
b) 130 µWb
c) 140 µWb
d) 150 µWb
e) 160 µWb
229.Una bobina toroidal delgada tiene radio R=15 cm y sección transversal circular de área A=4 cm2 su devanado primario es de n1=75 vueltas/cm y el secundario de n2=40 vuel tas/cm. Suponiendo que el secundario se enrolla directamente sobre el devanado del pri mario. Hallar: I) La inductancia "L1 " propia del devanado primario. a) 20,7 mH
b) 22,7 mH
c) 24,7 mH
d) 26,7 mH
e) 28,7 mH
834 Inducción electromagnética II) La inductancia "L 2 " propia del devanado secundario. a) 4,6 mH
b) 5,6 mH
c) 6,6 mH
d) 7,6 mH
e) 8,6 mH
III) La inductancia mutua "M" correspondiente a los devanados primario y secundario. a) 12,2 mH
b) 13,2 mH
c) 14,2 mH
d) 15,2 mH
e) 16,2 mH
IV) Probar directamente que entre las inductancias, se cumple que: M = L1L 2 .
230.Se tiene dos bobinas de "N1 ", "N 2 " vueltas y coeficientes de inductancia "L1 ", "L 2 ". I) Probar que si las bobinas se conectan en serie muy alejadas una de otra a una batería de fem "ξ " , la inductancia equivalente del sistema es L = L1 + L 2 . II) Probar que si las bobinas se conectan en paralelo muy alejadas una de otra a una batería de fem "ξ " , la inductancia equivalente del sistema es L−1 = L−11 + L−21 . 231.En coordenadas esféricas, las componentes del vector j de la corriente orbital con densi dad espacial media que circula en el átomo de hidrógeno excitado, son: jr = jθ = 0 y
jφ = (1/ 2.38 )(e h r 3 / π ma 7 )e −2 r / 3a sen 3θ , siendo m=9,1•10-31 kg, e=1,6•10-19 C, la masa y carga del electrón, a=0,5•10-10 m el radio de Bhor, h=6,6•10-34 J.s la constante de Planck. Hallar la magnitud de la intensidad magnética H en el origen de coordenadas, generada por esta corriente orbital.
a) 345 kA/m
b) 355 kA/m
c) 365 kA/m
d) 375 kA/m
e) 385 kA/m
232.Probar que para determinar el campo magnético B en un punto P en cierta región del es pacio R, se debe medir las velocidades v1 , v 2 en dicho punto de dos movimientos di ferentes de una partícula de carga "q", y las fuerzas magnéticas F1 , F ejercidas sobre ella. Para el caso de velocidades perpendiculares entre si, la expresión del campo magnético, viene dado por: B = (F1 x v1 ) / q v12 + (F2 x v 2 i v1 / q v12 v 22 ) v 2 . 233.Una corriente de I=0,2 A está cargando un capacitor de placas circulares de radio R=10 cm, separadas por una distancia d=4 mm. (µo=4π•10-7 H/m, G=109, n=10-9) I) Hallar la rapidez de incremento en el tiempo del campo eléctrico (en GV/m.s) entre las placas. a) 700
b) 720
c) 740
d) 760
e) 780
II) Hallar la magnitud del campo eléctrico entre las placas a la distancia de r=5 cm del centro a) 100 nT
b) 150 nT
c) 200 nT
d) 250 nT
e) 300 nT
234.En el modelo de Bhor del átomo de hidrógeno de 1913, el electrón gira en una órbita cir cular de radio R=5,29•10-11 m, con una rapidez de v=2,19•106 m/s. I) Hallar la magnitud del momento magnético (en 10-24 A•m2) debido al movimiento del elec
835
Física III trón. a) 9,07
b) 9,27
c) 9,47
d) 9,67
e) 9,87
II) Si el electrón gira en sentido contrario a las manecillas del reloj en una circunferencia ho rizontal, ¿Cuál es la dirección de este vector de momento magnético? 235.En la Fig.93, el toroide de radio medio Rm=20 cm y número de vueltas N=630 se llena con acero pulverizado de susceptibilidad χm=100. Si la corriente en los bobinados es de I= 3 A, hallar la magnitud del campo de inducción magnética B al interior del solenoide. a) 151 mT
b) 161 mT
c) 171 mT
d) 181 mT
e) 191 mT
236.En la Fig.94, por el alambre en forma de espiral exponencial, r=eθ, donde 0≤θ≤2π, circu la corriente eléctrica de intensidad I=10 A. Para completar una espira, los extremos de la espiral se conectan por medio de un alambre recto a lo largo del eje x. Hallar el campo de inducción magnética B en el origen de coordenadas. a) 0,79µo
b) 0,79µo E
c) 0,49µo
d) 0,49µo
e) 0,19µo
S y r=eθ
Rm
I θ
0 I
r r
x dr dl
β=π/4
G Fig.93
Fig.94
237.Al interior de un toroide de núcleo de hierro el campo magnético es de B=1,3 T. El toroi de tiene un radio medio de Rm=10 cm y una permeabilidad magnética de µ=5000µo. ¿Qué corriente pasa por el toroide si el número de vueltas de alambre es de N=470. El espesor del anillo de hierro es pequeño comparado con 10 cm, de modo que el campo en el mate rial puede considerarse uniforme. a) 271 mA
b) 273 mA
c) 275 mA
d) 277 mA
e) 279 mA
238.Una bobina de N=500 vueltas se enrolla sobre un anillo de hierro de permeabilidad mag nética µ=750µo con un radio medio de Rm=20 cm y área de sección transversal A=8 cm2. Hallar el flujo magnético " Φ B " en este anillo de Rowland cuando la corriente en la bobi
836 Inducción electromagnética na es de I=0,5 A. (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6) a) 110 µWb
b) 110 µWb
c) 120 µWb
d) 130 µWb
e) 150µWb
239.En la saturación el alineamiento de los espines del hierro puede contribuir con 2 T al campo magnético total B . Si cada electrón contribuye con un momento magnético de m= 9,27•10-24 A.m2 (un magnetón de Bhor). La densidad atómica del hierro es n=8,5•1028 átomos/m3. ¿Cuántos electrones por átomo contribuyen al campo saturado de hierro? a) 2,02
b) 2,22
c) 2,42
d) 2,62
e) 2,82
240.El momento magnético de la tierra asumida una esfera es aproximadamente m=8•1022 A•m2. (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6) I) Si este fuera causado por la magnetización completa de un gigantesco depósito de hierro, ¿A cuántos electrones dispares correspondería esto? a) 8,03.1045
b) 8,23.1045
c) 8,43.1045
d) 8,63.1045
e) 8,83.1045
II) A dos electrones no pareados por átomo de hierro, ¿A cuántos kilogramos (en 1020 kg) de hierro correspondería lo anterior? La densidad de hierro es de ρ=7900 kg/m3, y su densi dad atómica es de nA=8,5•1028 átomos/m3. a) 4,01
b) 4,21
c) 4,41
d) 4,61
e) 4,81
241.En la Fig.95, el conductor rectilíneo de longitud infinita que conduce una corriente de I=10 A, está incrustado en la masa de hierro de permeabilidad magnética µ=2000µo, y es tá aislado de esta. Hallar la densidad de flujo magnético en el punto P. (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6, a=20 mm, b=30 mm) a) 2,134 ˆi -0,267 ˆj
b) 0,267 ˆi -2,134 ˆj
c) 2,134 ˆi +0,267 ˆj e) 2,134 ˆj +0,267 kˆ
d) 2,134 ˆj -0,267 kˆ y
10cm b
•
I a
µ
•
0,6cm 12cm
P a
2cm
0
x
Fig.95
1cm
Fig.96
242.En la Fig.96, por la bobina de N=2000 vueltas del circuito magnético circula una corrien te de intensidad I=10 A. Suponga que todas las ramas tienen una sección transversal de á rea A=2 cm2, y la permeabilidad magnética relativa del hierro es µr=1500.
837 I) Hallar las reluctancias en el núcleo R1, el entrehierro R2, la reluctancia total R, y la fuer za magnetomotriz total F. II) Hallar las fuerzas magnetomotrices en el núcleo F1, el entrehierro F2, y el flujo magnético en el núcleo Φ1, entrehierro Φ2, y el flujo total Φ.
Física III
243.Por un tubo de longitud infinita de radios interno "a" y externo "b" de un material con ductor magnético, colocado a lo largo del eje z, circula una corriente total "I" , además el tubo se encuentra en un campo magnético uniforme B = Boρˆ . (µo=4π•10-7 H/m, µ=10-6) I) Hallar la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre el tubo. II) Evaluar la fuerza por unidad de longitud, para: a=2 cm, b=4 cm, I=10 A y Bo=2 T. a) 10 φˆ N/m
b) 20 kˆ N/m
c) 20 φˆ N/m
d) 10 kˆ N/m
e)20 ρˆ N/m
244.En una región R del vació, la intensidad de campo magnético, en coordenadas cilíndri cas, viene dado por: H =ρ (sen φ ρˆ +2 cos φ φˆ ) cos(4.106t) A/m. Hallar la densidad de co rriente de desplazamiento J D y el campo eléctrico E . 245.En cierta región R del espacio la susceptibilidad magnética es, χm=19 y la intensidad de campo magnético, está dada por: H =5x2yz ˆi +10xy2z ˆj -15xyz2 kˆ A/m. Hallar la energía magnética almacenada en la región R definida por: 0< x <1 m, 0< y <2 m, -1 m< z <2 m. (µo=4π•10-7 H/m m=10-3) a) 21,13 mJ
b) 22,13 mJ
c) 23,13 mJ
d) 24,13 mJ
e) 25,13 mJ
246.En la Fig.97, por una espira cuadrada de alambre de N=1 vuelta, y longitud lateral de l=2 cm, circula una corriente de Ie=0,2 A en el sentido de las manecillas del reloj. La espira se encuentra al interior de un solenoide de n=30 vueltas/cm, que conduce una corriente de Is=15 A en el sentido de las manecillas del reloj, el plano de la espira es perpendicular al campo magnético del solenoide. (µo=4π•10-7 H/m m=10-3, µ=10-6) I) Hallar la fuerza sobre el lado AB de la espira cuadrada. a) 226 µN kˆ
b) -226 µN kˆ
c) 226 µN ˆj
d) -226 µN ˆj
e) 226µN ˆj
II) Hallar la magnitud del torque magnético sobre la espira cuadrada, ejercido por el campo magnético del solenoide. a) 0
b) 4,0 µN.m
c) 4,5 µN.m
d) 4,0 µN.m
e)4,0 µN.m
247.En la Fig.98, el alambre doblado en forma de una pirámide, con θ=53º y l=1,6 m, se colo ca en un campo magnético uniforme de B=0,3 T perpendicular a la base de la pirámide. El alambre es rígido, pero está articulado en los puntos "a" y "b". Si la pirámide se cae sobre su base en un tiempo de t=0,1 s. Hallar la fem E promedio en el alambre durante es te tiempo. a) -5,75 V
b) +5,75 V
c) -6,75 V
d) +6,75 V
e) -7,75 V
838
Inducción electromagnética y
b
A Ie
Ie
a
IS x
l
l
θ
θ
l
B
B
l
l
z
Fig.97
Fig.98
248.Un circuito en serie RL con L=3 H y un circuito RC en serie con C=3 µF tienen la mis ma constante de tiempo. Si los dos circuitos tienen la misma resistencia "R " . (k=103, m=10-3) I) Hallar el valor de la resistencia "R " . a) 1,0 kΩ
b) 1,5 kΩ
c) 2,0 kΩ
d) 2,5 kΩ
e) 3,0 kΩ
c) 2,0 ms
d) 2,5 ms
e) 3,0 ms
II) Hallar la constante de tiempo " τ " . a) 1,0 ms
b) 1,5 ms
249.En la Fig.99, un pulso de corriente es suministrado a la parte de circuito mostrado. La co rriente inicial es cero, luego para 0 ≤ t ≤ 200 µs es I=10 A, y luego se anula. Hallar la co rriente en la bobina inductora en función del tiempo. (R=100 Ω, L=10 mH, m=10-3) I(t)
A •
S
•B •
I(t)
•
R
•
E R2
L
L
R1
R.SABRERA
Fig.99
•
Fig.100
250.En la Fig.100, una aplicación de un circuito RL es la generación de un alto voltaje que varía en el tiempo a partir de una fuente de bajo voltaje, como se muestra. (E=12 V, R1=12 Ω, R2=1200 Ω, L=2 H, m=10-3) I) Hallar la corriente en el circuito un largo tiempo después de que el interruptor ha estado en la posición A. a) 1,0 A
b) 1,5 A
c) 2,0 A
d) 1,5 A
e) 3,0 A
II) ¿En qué relación están los voltajes V1 (en la resistencia de 12 Ω), V2 (en la resistencia de 1200 Ω y V3 (en la bobina inductora)?
839
Física III a) V1
b) V2
c) V1
d) V3
III) ¿Qué tiempo transcurre hasta que el voltaje a través del inductor disminuya hasta 12 V? a) 7,02 ms
b) 7,22 ms
c) 7,42 ms
d) 7,62 ms
e) 7,82 ms
251.En la Fig.101, la corriente eléctrica de intensidad I=4 A que circula por el cable recto y largo ingresa en el conductor perpendicularmente a su superficie y se extiende uniforme mente sobre ella. Hallar la intensidad de campo magnético en el punto P, para θ=600 y r=10 cm. (µo=4π•10-7 H/m m=10-3) a) 3,08 A/m
b) 3,28 A/m
c) 3,48 A/m
d) 3,68 A/m
e)3,98 A/m
252.En la Fig.102, la esfera de radio R=20 cm se magnetiza, siendo el vector de magnetiza ción igual a: M =λ(x ˆi +y ˆj +(z+R) kˆ ) con " λ " una constante. Un dipolo de momento mag nético m=8 A.m2 se ubica en el punto P, situado a la distancia c=22 cm, con su eje parale lo al eje-x. Hallar la magnitud del torque magnético sobre el dipolo. a) 0,1µoλ N•m
b) 0,2µoλ N•m
c) 0,3µoλ N•m
d) 0,4µoλ N•m
e) 0,5µoλ N•m
y I c
P
r
θ
0
P
m
x
z
Fig.101
Fig.102
253.Se tiene un alambre de longitud " ℓ " y radio de sección "a" enrollado de tal forma que constituye un inductor en forma cilíndrica de radio "r" (r>>a). Las vueltas están rebobina das estrechamente sin sobrelapamiento. (µo=4π•10-7 H/m µ=10-6) I) Hallar inductancia "L" de este inductor en función de "r" , " ℓ " y "a". II) Evaluar la inductancia del inductor para: a=2 mm, r=4 cm, l=20 cm. a) 1,06 µH
b) 1,26 µH
c) 1,46 µH
d) 1,66 µH
e) 1,86 µH
254.Un electrón se mueve con gran rapidez en un campo magnético uniforme B=5•10-4 T, y un campo eléctrico uniforme E=2•103 V/m. Las componentes de la velocidad inicial per pendicular y paralela a los campos magnético y eléctrico son E⊥=6•106 m/s, y EII=4•106 m/s, respectivamente. (m=9,11•10-31 kg, e=-1,6•10-19 C, M=106, n=10-9) I) Describir cualitativamente el movimiento que describe el electrón. II) Hallar la frecuencia ciclotrónica correspondiente al movimiento transversal del electrón. a) 10 MHz
b) 12 MHz
c) 14 MHz
d) 16 MHz
e) 18 MHz
840 Inducción electromagnética III) Hallar el periodo correspondiente al movimiento transversal del electrón. a) 71,4 ns
b) 72,4 ns
c) 73,4 ns
d) 74,4 ns
e) 75,4 ns
IV) Hallar el aumento que experimenta la velocidad paralela a los campos eléctrico y magnéti co, correspondiente al primer periodo. a) 15 Mm/s
b) 25 Mm/s
c) 35 Mm/s
d) 45 Mm/s
e) 55 Mm/s
V) Hallar la posición del electrón en dirección paralela a los campos eléctrico y magnético, después de transcurrido el primer periodo. a) -0,31 m
b) +0,61 m
c) -0,61 m
d) +0,61 m
e) -0,91 m
255.En la Fig.103, las partículas con cargas positivas separadas por una distancia "d" , cada u na con carga "q" y masa "m" , se mueven al principio con la misma velocidad "v" en di recciones perpendiculares a la línea que los une. El campo magnético uniforme B aplica do desvía las trayectorias de las partículas, que toman la forma circular. ¿Para qué intensi dad de campo magnético las partículas chocan de frente, a la mitad del camino entre los dos puntos iniciales? Despreciar las fuerzas eléctricas entre las cargas. a) mv/qd
b) mv/2qd
c) 2mv/qd
d) mv/4qd
e) 4mv/qd
256.En la Fig.104, por la bobina circular de N=25 vueltas, masa m=0,05 kg, que está inmersa en un campo magnético uniforme de magnitud B=0,2 T; circula una corriente de intensi dad I=5 A. Inicialmente la bobina se sujeta para que su plano transversal sea paralelo al campo magnético. Hallar la aceleración angular instantánea (en 103 rad/s2) de la bobina respecto al eje horizontal cuando esta se suelta. a) 3,14
b) 3,34 • •
v
• • •
+q
•
•
•
• •
B
c) 3,54
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• +q •
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
d) 3,74
e) 3,94
B
•
v
I
•
I •
d
Fig.103
Fig.104
257.Asuma que la intensidad del campo magnético terrestre desde el suelo hasta una altura de h=6,0•106 m es uniforme y de magnitud B=5•10-5 T. Con este dato, estime la energía en el campo magnético terrestre, en esta región. El radio medio de la Tierra es R=6,3•106 m. (µo=4π•10-7 H/m, E=1018) a) 2,85 EJ
b) 3,85 EJ
c) 4,85 EJ
d) 5,85 EJ
e) 6,85 EJ
841 258.En la Fig.105, en el circuito eléctrico mostrado si se estira rápidamente el solenoide, ti rando de sus extremos,¿Cómo cambia la corriente eléctrica en el circuito?
Física III
259.En la Fig.106, en el centro del condensador de placas planas paralelas cargado hasta la tensión "Vo " se encuentra la pequeña bolita metálica de radio "r" . ¿Qué carga aparecerá en la bolita, si la conectamos mediante un alambre con una de las placas? La redistribu ción de la carga a lo largo de las placas producida por la bolita puede despreciarse. a) πεorVo
b) 2πεorVo
c) 3πεorVo
d) 4πεorVo
e) πεorVo/2
L o
o
2r
Vo
A E
Fig.105
R.SABRERA
Fig.106
260.La intensidad del campo eléctrico en la onda electromagnética de frecuencia ω=2•1016 rad/s modulada en amplitud con frecuencia Ω=2.1015 rad/s varía con el tiempo según la ley E= a(1+cos Ωt) cos ωt (en donde "a" es una constante). Hallar la energía de los elec trones expulsados por esta onda de los átomos de hidrógeno gaseoso con la energía de io nización Wi=13,5 eV. El átomo absorbe la luz monocromática por porciones (cuantos) cu ya energía es ℏ ω ( ℏ =1,05•10-34 J.s es la constante de Planck, e=-1,6•10-19 C) a) 2,0 eV
b) 2,2 eV
c) 2,4 eV
d) 2,6 eV
e) 2,8 eV
261.Desde gran altura se suelta un anillo de masa "m" , diámetro "D" y resistencia "R " , en presencia de un campo magnético. El plano del anillo en todo instante se mantiene parale lo. La magnitud del vector de inducción B del campo magnético varía con la altura "h" , según la ley: B=Bo(1+αh), donde "α " es una constante. I) Hallar una expresión para la velocidad estacionaria de caída del anillo, en función de "m" "D" , "Bo ", "α " y "g". II) Evaluar la velocidad estacionaria de caída del anillo, para: m=50 g, R=60 Ω, D=8 cm, Bo=2 T, α=5•103 m•A-1, y g=9,8 m/s2. a) 1,16 cm/s
b) 1,36 cm/s
c) 1,56 cm/s
d) 1,76 cm/s
e)1,96 cm/s
262.Un toroide de radio medio Rm=25 cm y radio de sección transversal r=2 cm está enrolla do con un cable de superconductor de longitud l=1000 m por el que circula una corriente de intensidad I=400 A. (µo=4π•10-7 H/m k=103, M=106) I) Hallar el número de vueltas de la bobina. a) 7918
b) 7928
c) 7938
d) 7948
e) 7958
842 Inducción electromagnética II) Hallar la magnitud del campo magnético de inducción en el radio medio. a) 2,15 T
b) 2,25 T
c) 2,35 T
d) 2,45 T
e) 2,55 T
III) Asumiendo que "B" es constante en toda el área de la bobina, calcular la densidad de ener gía magnética (en MJ/m3, M=106) a) 2,19
b) 2,29
c) 2,39
d) 2,49
e) 2,59
IV) Teniendo en cuenta II), calcular la energía magnética total almacenada en el toroide. a) 5,11 kJ
c) 5,21 kJ
c) 5,31 kJ
d) 5,41 kJ
e) 5,51 kJ
263.Un gran electroimán tiene una inductancia de L=50 H y una resistencia de R=8 Ω. Si se conecta a una fuente de potencia de corriente continua de V=250 voltios. Hallar el tiempo que tarda la corriente en alcanzar la intensidad de I=10 A. a) 2,11 s
c) 2,21 s
c) 2,31 s
d) 2,41 s
e) 2,51 s
264.En la Fig.107, en el circuito eléctrico mostrado, suponer que el interruptor S se ha cerra do durante un tiempo muy largo, tal que existen corrientes estacionarias en el inductor y que su resistencia es despreciable. R1=10 Ω, R2=100 Ω, L=2 H, E=10 V. I) Hallar la intensidad de corriente suministrada por la batería. I) 0 A
c) 0,5 A
c) 1,0 A
d) 1,5 A
e) 2,0 A
II) Hallar la intensidad de corriente que circula por el resistor "R 2 " . I) 0 A
c) 0,5 A
c) 1,0 A
d) 1,5 A
e) 2,0 A
III) Hallar la intensidad de corriente que circula por la bobina inductora "L" . I) 0 A
c) 0,5 A
c) 1,0 A
d) 1,5 A
e) 2,0 A
IV) Hallar el voltaje inicial entre los extremos del inductor, cuando se abre el interruptor S. I) 80 V
c) 90 V
c) 100 V
d) 110 V
e) 120 V
265.En la Fig.108, en el circuito eléctrico, constituido por el resistor de R=15 Ω, y las bobi nas inductoras de L1=8 mH y L2=4 mH, y la fuente de E=24 V. Justo instantes después de cerrado el interruptor S, hallar: (m=10-3, k=103) I) La variación de la intensidad de corriente con el tiempo en el resistor "R " . a) 7,0 kA/s
b) 7,5 kA/s
c) 8,0 kA/s
d) 8,5 kA/s
e) 9,0 kA/s
II) La variación de la intensidad de corriente con el tiempo en el inductor "L1 ". a) 2,0 kA/s
b) 2,5 kA/s
c) 3,0 kA/s
d) 3,5 kA/s
III) La variación de la intensidad de corriente con el tiempo en el inductor "L 2 ".
e) 4,0 kA/s
843
Física III a) 4,0 kA/s
b) 4,5 kA/s
c) 5,0 kA/s
d) 5,5 kA/s
e) 6,0 kA/s
IV) Después de transcurrido un tiempo muy largo, ¿Cuál es la intensidad de corriente final? a) 1,0 A
b) 1,2 A S
•
c) 1,4 A
d) 1,6 A
R1
S
•
•
R2
E
•
E
L
e) 1,8 A
•
•
•
•
L1
L2
R
Fig.107
Fig.108
266.En la Fig.109, en el campo de inducción magnético de magnitud B=6 T perpendicular al plano XY, se encuentra un cable en forma de parábola y=αx2, siendo α=4 m-1 una constan te. En el instante t=0 s desde el vértice de la parábola empieza a desplazarse progresiva mente el puente MN con una aceleración de a=2 m/s2. Hallar en el circuito formado, el va lor de la f.e.m (ξ) de inducción para el instante en que y=20 cm. a) 2,0 V
b) 2,2 V
c) 2,4 V
d) 2,6 V
e) 2,8 V
267.En la Fig.110, los cilindros compactos idénticos de radios R=20 cm, ejes paralelos y cuya distancia entre sus centros es OO’=10 cm se intersecan. Dos corrientes con densi dades de J=40 A/m2 atraviesan las zonas no intersecadas a lo largo de los ejes, en sentidos opuestos. I) Hallar el campo de inducción magnética en la zona de intersección. a) 1µo T
b) 2µo T
c) 3µo T
d) 4µo T
e) 5µo T
II) Hallar la distribución de la densidad lineal de la corriente en la superficie del cilindro de radio "R " que crea dentro del cilindro un campo magnético uniforme de inducción "Bo " , en función de ángulo "θ" que se mide respecto de la horizontal. a) (
Bo )sen θ µo
b) (
2Bo ) sen θ µo
c) (
Bo ) cos θ µo
d) (
2Bo ) cos θ µo
e) (
Bo ) tg θ µo
III) Hallar la densidad de corriente máxima en la superficie del cilindro. a)
Bo µo
b)
2Bo µo
c)
3Bo µo
d)
4Bo µo
e)
5Bo µo
268.Con un alambre de cobre de longitud l=52,5 cm, diámetro D=1,10 mm, resistividad ρ= 1,69•10-8 Ω•m se forma una espira circular, y se coloca su plano perpendicular a un cam
844 Inducción electromagnética po magnético uniforme que aumenta con el tiempo a una rapidez constante de α=9,82 mT/s. ¿A qué rapidez se genera la energía interna en la espira. a) 4,15 µJ
b) 4,35 µJ
c) 4,55 µJ
d) 4,75 µJ
e) 4,95 µJ
y B
a
J
R
0
R
a
N
M
J
x
Fig.109
Fig.110
269.Alrededor de un núcleo cilíndrico de sección transversal de área A=12,2 cm2 están deva nadas N=125 vueltas de alambre de cobre aislado. Las dos terminales están conectadas a un resistor. La resistencia total en el circuito es de R=13,3 Ω. Un campo magnético longi tudinal uniforme aplicado externamente en el núcleo cambia de Bo=1,57 T en una direc ción a B=1,57 T, en dirección opuesta en un tiempo de t=2,88 ms. ¿Qué cantidad de carga circula por el circuito eléctrico? (m=10-3) a) 30 mC
b) 32 mC
c) 34 mC
d) 36 mC
e) 38 mC
270.Por un solenoide de espiras circulares de radio R=10 cm, circula una corriente eléctrica de intensidad I=2 A. La cantidad de espiras por centímetro de longitud del solenoide es n=10 Hallar la tensión interna que experimentan las espiras. (µo=4π•10-7 H/m) a) 100µo N
b) 200µo N
c) 300µo N
d) 400µo N
e) 500µo N
271.Una corriente de I=3 A está distribuida con homogeneidad por la sección de un cilindro infinito de radio R=20 cm. Hallar la fuerza por unidad de longitud (en N/m) sobre una de las mitades del cilindro. (µo=4π•10-7 H/m) a) 1,0µo
b) 1,5µo
c) 2,0µo
d) 2,5µo
e) 3,0µo
272. Demostrar que la fuerza electromotriz inducida ξind en un circuito cerrado C, es igual, a la variación temporal de la circulación del campo magnético vectorial A , a lo largo de di cho circuito, esto es: ξind = −∂ ∫ Aid ℓ / ∂t . C
273.A lo largo de un conductor de cobre rectilíneo de sección circular de radio R=5,0 mm pa sa una corriente de intensidad I=50 A. Hallar la diferencia de potencial entre el eje del con ductor y su superficie. La concentración de electrones de conducción en el cobre es de n= 0,9•1023 eS/cm3. (µo=4π•10-7 H/m, p=10-12) a) 121 pV
b) 221 pV
c) 321 pV
d) 421 pV
e) 521 pV
845 274.Dos protones se desplazan paralelamente uno a otro con una velocidad idéntica de v=600 km/s. Hallar la razón entre las magnitudes de las fuerzas de interacción magnética y eléc trica (FM/FE=?) de dichos protones. (µ=10-6)
Física III
a) 1µ
b) 2µ
c) 4µ
d) 6µ
e) 8µ
275.Dos esferas metálicas de radios R1=10 cm y R2=20 cm, que se encuentran a la distancia de d=1 m, se conectan a una batería de fuerza electromotriz ξ=200 V. Hallar la fuerza de interacción entre las esferas. Despreciar la interacción con los alambres conductores. (T=1012) a) 1,0 TN
b) 1,2 TN
c) 1,4 TN
d) 1,6 TN
e) 1,8 TN
276.Una masa "m" de cobre se estira formando un alambre de sección de radio "r" , con el cual, a su vez se forma una espira circular de radio "R " , y se coloca en un campo magné tico uniforme "B" , cuya rapidez de cambio temporal es dB/dt. Asuma que B es perpendi cular al plano que contiene a la espira. I) Hallar una expresión para la corriente inducida "I" en el anillo en términos de la masa "m" , la resistividad "ρ " , la densidad "δ " y "dB / dt" . II) Evaluar la intensidad de corriente inducida "I" , para: m=80 g, δ=8,9 g/cm3, ρ=1,69•10-8 Ω.m y dB/dt=0,02 T/s. a) 0, 55 A
b) 0,65 A
c) 0,75 A
d) 0,85 A
e) 0,95 A
277.Se desea construir un electroimán que genere una inducción magnética de B=1 400 Gs en el espacio interpolar. La longitud del núcleo de hierro es l1=40 cm, la longitud del espa cio interpolar es l2=1 cm, el diámetro del núcleo es D=5 cm. ¿Qué f.e.m se debe suminis trar al arrollamiento del electroimán para obtener el campo magnético deseado, si se cuen ta con un conductor de cobre de sección transversal de área A=1 mm2 y resistividad ρ= 1,7•10-7 Ω•m? a) 30,4 V
b) 32,4 V
c) 34,4 V
d) 36,4 V
e) 38,4 V
278.En la Fig.111, la espira rectangular de lados "a", "b", y resistencia eléctrica "R " , giran do a una velocidad angular de "ω" se introduce en un campo magnético de inducción "B" , inicialmente perpendicular al plano que contiene a la espira. I) Hallar la magnitud del torque magnético sobre la espira, para que este gire con velocidad angular constante, en función de "a", "b", "B" "R " , "ω" y el tiempo "t". II) Evaluar la magnitud del torque magnético, para: a=15 cm, b=12 cm, B=20 T, R=10 Ω, ω=40 rad/s, t =0,1 s. a) 0,19 N.m
b) 0,29 N.m
c) 0,39 N.m
d) 0,49 N.m
e) 0,59 N.m
279.En la Fig.112, la barra metálica de lados a=10 cm, b=2 cm, c=12 cm se mueve a la velo cidad de v=14 m/s en el campo magnético uniforme de inducción B=2,5 T. (k=9•109 N•m2/C2) I) Hallar la diferencia de potencial entre las caras laterales anterior y posterior de la barra.
846
Inducción electromagnética
a) 0,5 V
b) 0,6 V
c) 0,7 V
d) 0,8 V
e) 0,9 V
II) Hallar el valor de la densidad de carga superficial (en pC/m2) de las caras laterales ante rior y posterior de la barra metálica. a) 0,14
b) 0,24
c) 0,44
d) 0,64
e) 0,84
b
a
v
b/2
a
B
ω
B
c
Fig.111
Fig.112
280.Un condensador de capacidad C=10 µ F se carga periódicamente de una batería que pro duce una diferencia de potencial de ∆V=120 voltios y se descarga a través de un solenoi de de longitud l=10 cm con N=200 espiras. El valor medio de la excitación magnética en el interior del solenoide es H=3,02 Oe. ¿Cuántas veces por segundo se produce la conmu tación del condensador? (1 Oe = (1000/4π) A/m; l>>D) a) 50 s-1
b) 10 s-1
c) 80 s-1
d) 100 s-1
e) 500 s-1
281.En la Fig.113, la línea de corriente "I" en dirección del eje-z está a una distancia "d" so bre la superficie que separa los medios magnéticos de permeabilidades "µ1 " y "µ 2 " . I) Hallar las corrientes imagen I' en la posición x=-d e I" en x=d que satisfagan todas las condiciones de frontera. El campo en la región "1" se debe a I e I' , mientras que el campo en la región "2" se debe a I" . II) Hallar la magnitud de la fuerza por unidad de longitud sobre la línea de corriente I. I, I”
µ1
D d
y
B B
x µ2
v
d O
I’
Fig.113
R.SABRERA
θ A
C
Fig.114
282.En la Fig.114, la varilla metálica AB, de resistencia por unidad de longitud de ρ=0,4 Ω•m, se desplaza a velocidad constante de v=4 cm/s ( v ⊥AB), conectando dos conducto
847 res ideales OC y OD, que forman un ángulo de θ=53o. La longitud de OC es l=40 cm y AB ⊥ OC. Todo el sistema se encuentra en un campo magnético uniforme de inducción B=2 T, perpendicular al plano que contiene las varillas. I) Hallar una expresión para la cantidad total de calor disipado en el circuito durante el movi miento de la varilla desde O hasta C, en función de "B" , " ℓ " , "v" , "ρ " y "θ" . II) Hallar una expresión para el trabajo realizado en el desplazamiento de la varilla, en fun ción de "B" , " ℓ " , "v" , "ρ " y "θ" . III) En que sentido circula la corriente inducida en la varilla AB. IV) Hallar el valor de la fem "ξ " inducida en la varilla AB, cuando esta se encuentra a la dis tancia de 20 cm del vértice O. (m=10-3)
Física III
a) 21,2 mV
b) 22,2 mV
c) 23,2 mV
d) 24,2 mV
e) 25,2 mV
V) Hallar la corriente eléctrica inducida en la varilla AB, cuando está se encuentra a la distan cia de 20 cm del vértice O. a) 0,1 A
b) 0,2 A
c) 0,3 A
d) 0,4 A
e) 0,5 A
VI)Hallar la magnitud de la fuerza magnética que actua sobre la varilla AB, cuando está se en cuentra a la distancia de 20 cm del vértice O. a) 0,11 N
b) 0,21 N
c) 0,31 N
d) 0,41 N
e) 0,51 N
VII)Hallar la cantidad de calor total que se disipa en la varilla AB. (m=10-3) a) 40,5 mJ
b) 42,5 mJ
c) 44,5 mJ
d) 46,5 mJ
e) 48,5 mJ
283.Un largo cilindro dieléctrico de radio R=20 cm se polariza estáticamente de modo que en todos sus puntos la polarización es P = α r , siendo "α " una constante positiva, r la distan cia hasta el eje. El cilindro se pone en rotación alrededor de su eje con velocidad angular constante de ω=100 rad/s. Hallar la magnitud de la inducción B del campo magnético en el centro del cilindro. a) 1 µoα (T)
b) 2µ o α (T)
c) 3µo α (T)
d) 4µ o α (T)
e) 5µo α (T)
284.Un hemisferio compacto de radio R=20 cm que está polarizado uniformemente con pola rización P gira con velocidad angular constante de ω=100 rad/s, respecto de un eje parale lo a P que pasa por el centro de la base del hemisferio y es perpendicular al mismo. Ha llar la intensidad de campo magnético en el centro de la base del hemisferio. a) 1P A/m
b) 3P A/m
c) 5P A/m
d) 7P A/m
e) 9P A/m
285.En la Fig.115, en el campo de gravedad se coloca verticalmente el anillo metálico. La varilla metálica de longitud R=20 cm y masa m=80 g esta conectada al anillo y al eje de giro O fijo. El campo magnético de inducción B=2,5 T es perpendicular al plano del ani llo. (g=9,8 m/s2) I) ¿Cómo debe variar la intensidad de corriente en la varilla en función del tiempo "t", para que la varilla gire con velocidad angular constante " ω" ? Desprecie la fricción.
848 Inducción electromagnética II) Evaluar la expresión obtenida en I), para: ω=4 rad/s, y t=0,1 s. a) 1,04 A
b) 1,24 A
c) 1,44 A
d) 1,64 A
e) 1,84 A
286.En la Fig.116, se muestra el modelo de un motor de corriente continua, constituido por el anillo conductor, el resistor de R=4 Ω, la fuente de fem ξ=12 V. La varilla móvil de longi tud r=20 cm gira con velocidad angular constante "ω" . La fuerza de fricción entre el ani llo y la varilla móvil es f=5 N. I) Hallar la intensidad de corriente eléctrica que circula en el circuito. a) 1,0 A
b) 1,5 A
c) 2,0 A
d) 2,5 A
e) 3,0 A
II) Hallar la velocidad angular estacionaria con la que gira la varilla móvil. a) 4 rad/s
b) 5 rad/s x
x
x
x
x
c) 6 rad/s x
d) 7 rad/s x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
B x
e) 8 rad/s
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
R
x
x
g
R E
r
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0 ω
0
Fig.115
ω
Fig.116
287.Un disco metálico de radio R=25 cm gira alrededor de sus eje con una rapidez angular constante de ω=130 rad/s. Hallar la diferencia de potencial entre el centro y el borde del disco metálico. (me=9,11•10-31 kg, e=-1,6•10-19 C, m=10-3, n=10-9) I) Cuando no hay campo magnético exterior (B=0). a) 1 nV
b) 2 nV
c) 3 nV
d) 4 nV
e) 5 nV
II) Cuando hay un campo magnético externo de magnitud B=5 T, perpendicular al disco. a) 10 mV
b) 15 mV
c) 20 mV
d) 25 mV
e) 30 mV
288.Una barra cilíndrica de aluminio delgada muy larga, de susceptibilidad magnética χm= 2,3.10-5 y área de sección transversal A=4 cm2, se encuentra ubicada a lo largo del eje de una bobina con corriente. El extremo derecho de la barra se encuentra en el centro de la bobina, donde el campo magnético de inducción es Bo=1,5 T, y en el otro extremo el cam po magnético es prácticamente nulo. ¿Con qué fuerza la bobina actúa sobre la barra? (µo= 4π•10-7 H/m). a) 0,52 N
b) 0,62 N
c) 0,72 N
d) 0,82 N
e) 0,92 N
289.En la Fig.117, la barra conductora está conectada mediante los resortes al par de rieles en
849
Física III
presencia del campo magnético externo de inducción B =6 cos 10.t ˆi mT. Si el eje-z es la posición de equilibrio de la barra y la velocidad es v =2 cos 10.t ˆj m/s. Hallar la fem " ξ " inducida en la barra, en el instante t=0,1 s. (l=10 m, a=5 m, µo=4π•10-7 H/m). a) 2,54 V
b) 2,64 V
c) 2,74 V
d) 2,84 V
e) 2,94 V
290.En la Fig.118, se muestra la sección transversal de un disco generador homopolar de ra dio interno r1=2 cm y externo r2=10 cm que gira en un campo magnético uniforme de in ducción B=15 mT a una rapidez de ω=60 rad/s. Hallar la fem " ξ " inducida en el disco. a) 4,12 mV
b) 4,32 mV
c) 4,52 mV
d) 4,72 mV
e) 4,92 mV
r1 ω
z l
B
a
v B y
Fig.117
r2 R.SABRERA
Fig.118
291.Por un solenoide largo de N=600 vueltas y longitud l=10 cm circula una corriente de in tensidad I=2 A. Una varilla de hierro delgada, de permeabilidad µ=3µo y sección trans versal de área A=2 cm2, se introduce a lo largo del eje del solenoide. Si la varilla se extrae hasta que la mitad de su longitud permanezca dentro del solenoide, hallar aproximadamen te la fuerza que tienda a regresarla a su lugar. (µo=4π•10-7 H/m, m=10-3) a) 30,2 mN
b) 32,2 mN
c) 34,2 mN
d) 36,2 mN
e) 38,2 mN
292.Entre los polos de un electroimán se encuentra una pequena bobina, cuyo eje coincide con la dirección del campo magnético B . El área de la sección transversal de la bobina es A=3 mm2, el número de espiras N=60. Si la bobina gira a un ángulo de θ=180º alrededor de su diámetro, por el galvanómetro balístico conectado a ella circula una carga de q=4,5 µC. Hallar la magnitud de B entre los polos, si la resistencia total del circuito es R=40 Ω. a) 0,1 T
b) 0,2 T
c) 0,3 T
d) 0,4 T
e) 0,5 T
293.Un cilindro de aluminio macizo y largo, de radio R=5 cm, gira alrededor de su eje con u na velocidad angular de ω=45 rad/s, en un campo magnético uniforme de inducción B=10 mT, que es paralelo al eje. Despreciando el campo magnético de las cargas surgidas I) Hallar la densidad de carga superficial en el cilindro macizo. a) 0,1 pC/m2
b) 0,2 pC/m2
c) 0,3 pC/m2
d) 0,4 pC/m2
e) 0,5 pC/m2
850 Inducción electromagnética II)Hallar la densidad de carga volumétrica en el cilindro compacto. a) -0,1 pC/m3
b) -0,2 pC/m3
c) -0,3 pC/m3
d) -0,4 pC/m3
e) -0,5 pC/m3
294.Un anillo de radio de alambre muy delgado de radio R=20 cm, y carga Q=8 nC se aproxi ma al punto de observación P de modo que su centro se mueve rectilíneamente a la veloci dad constante de v=4 m/s. El plano del anillo en todo instante es perpendicular es perpen dicular a la dirección de su movimiento. I) ¿Para que distancia "x" del punto P al anillo, la densidad de corriente de desplazamiento "J D " es máxima? a) 0 cm
b) 2 cm
c) 4 cm
d) 6 cm
e) 8 cm
d) 0,72 nA/m2
e) 0,92 nA/m2
II) Hallar el valor de esta corriente de desplazamiento máximo. a) 0,12 nA/m2
b) 0,32 nA/m2
c) 0,52 nA/m2
295.Un electroimán que tiene forma de "U" , de longitud l=40 cm, distancia de separación de los polos d=10 cm y permeabilidad magnética µ=4µo, tiene una sección cuadrada de área A=6 cm2. Se enrolla con N=500 vueltas de alambre por la que pasa una corriente de inten sidad I=2 A. Hallar la fuerza con la que el imán sostiene contra sus polos una barra del mismo material y de la misma sección. (µo=4π•10-7 H/m, k=103) a) 480,5 kN
b) 482,5 kN
c) 484,5 kN
d) 486,5 kN
e) 488,5 kN
296.¿A qué frecuencia de la intensidad de campo eléctrico con dependencia armónica en el tiempo, esta genera una densidad de corriente de conducción y una densidad de corriente de desplazamiento iguales en módulo? (k=9•109 N•m2/C2, G=109, M=106) I) En el agua de mar de permitividad relativa εr=72 y conductividad σ=4 S/m. a) 1 GHz
b) 2 GHz
c) 3 GHz
d) 4 GHz
e) 5 GHz
II) En tierra húmeda de permitividad relativa εr=2,5 y σ=10-3 S/m a) 1,2 MHz
b) 3,2 MHz
c) 5,2 MHz
d) 7,2 MHz
e) 9,2 MHz
297.El espacio entre dos esferas metálicas concéntricas está lleno de un medio homogéneo débil conductor, de resistividad "ρ " y permeabilidad dieléctrica "ε " . En el instante t=0 a la esfera interna se le comunico cierta carga. I) Hallar en un punto arbitrario del medio y en un mismo instante la relación entre las densidades de corrientes de conducción JC y desplazamiento J D . II) Hallar la corriente de desplazamiento a través de este medio y que abarca la esfera interior si la carga de esta última es "q" en el instante dado. 298.En los cálculos relacionados al efecto electromagnético de las corrientes en un buen con ductor generalmente se ignora la corriente de desplazamiento, incluso para frecuencias de micro-ondas. I) Hallar la razón de la magnitud de la densidad de corriente de desplazamiento a la de con ducción, para un conductor de cobre de permitividad relativa εr=1 y conductividad σ=
851
Física III 7
5,7•10 S/m, siendo la frecuencia de la onda eléctrica de f=100 GHz. a) 1,75•10-8
b) 3,75•10-8
c) 5,75•10-8
d) 7,75•10-8
e) 9,75•10-8
II) Exprese la ecuación diferencial que describe el comportamiento de la intensidad de cam po magnético H en un buen conductor en ausencia de fuentes. 299.En cierta región R del espacio la densidad de corriente es, J = (2y ˆi +xz ˆj +z3 kˆ )sen(104t) A/m. Hallar la densidad de carga volumétrica en dicha región, si ρ(x; y; 0; t)=0. 300.En un medio no magnético, la expresión del campo eléctrico es, E =50cos(109t-8x) ˆj+ 40sen(109t-8x) kˆ V/m. I) Hallar la expresión de la intensidad de campo magnético H . II) Hallar la constante dieléctrica relativa " ε r " . a) 5,16
b) 5,36
c) 5,56
d) 5,76
e) 5,96
301.Hallar la energía "W" del campo magnético de una superficie esférica de radio R=10 cm carga eléctrica Q=9•10-8 C, distribuida uniformemente en su superficie, y que gira alrede dor de su diámetro con velocidad angular constante de ω=100 rad/s. (µo=4π•10-7 H/m) a) 10 zJ
b) 30 zJ
c) 50 zJ
d) 70 zJ
e) 90 zJ
302.En la Fig.119, el circuito de alambre, en forma de semicírculo de radio R=20 cm, se ha lla al borde del campo magnético de inducción Bo=2 T. En el instante t=0 inicia un giro del circuito a una aceleración angular de α=8 rad/s2, alrededor del eje O que coincide con la línea del vector Bo . Hallar la fem de inducción del circuito para la sexta semivuelta en el instante t=0,01 s. Considerese como sentido positivo de la fem el indicado en la Figura. a) 3,2 mV
b) -3,2 mV
c) 3,6 mV
d) -3,6 mV
e) 4,0 mV
303.En la Fig.120, el circuito plano en forma de cuadrados unidos de lados a=20 cm y b=10 cm, se encuentra en el campo magnético uniforme B=Bosen(ωt) con Bo=10 mT y ω=100 rad/s. Hallar la corriente de inducción en el circuito, si su resistencia por unidad de longi tud es ρ=50 mΩ/m. a) 0,21 A
b) 0,23 A x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
θ 0
x
c) 0,25 A
Fig.119
B
d) 0,27 A x
x
x
x
e) 0,29 A
x
x
x
x
B x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
bx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
Fig.120
Física III
A
APENDICE 1. TRIGONOMETRIA Basandose en la Figura. mostrada, pode mos definir las siguientes relaciones:
Relaciones entre funciones de 2 y . sen 2
2 tg , ctg 2 1 tg 2
tg 2 r
ctg
y , r
cos
x , y
sec
sec
2
X
x , r
tg
r , x
csc
y x
1 tg
,
csc
) sen cos
cos 2
2
)
tg(
ctg(
cos cos
1 ctg
cos 2
1 2
1 (1 cos ) 2
sen3
3sen
4sen 3
cos3
4cos3
3cos
sen
sen
1 2sen ( 2
1 )cos ( 2
)
cos
cos
1 2cos ( 2
1 )cos ( 2
)
1 2sen ( 2
1 )sen ( 2
)
2
cos sen
cos
cos cos
tg tg ) 1 tg tg )
1 (1 cos ) 2
1
cos cos(
1 2
Relaciones entre funciones de 3 y .
r y
Suma y diferencia de dos ángulos sen(
sen 2
Suma y diferencia de funciones
sen 2 , sen cos 2
ctg 2 1 2ctg
Relaciones entre funciones de /2 y .
a) Identidades trigonométricas
tg
sen 2
y
x
0
sen
cos2
cos2
Y
2sen cos
ctg ctg 1 ctg ctg
Producto de dos funciones sen sen
1 [cos( 2
) cos(
)]
cos cos
1 [cos( 2
) cos(
)]
Apéndice 1 [sen( 2
sen cos
) sen(
)]
a sen
Identidades fundamentales ei
sen
e
i
e 2i
ei
cos
,
e 2
1
cos a tg 1a
cos
1
sen
1
isen
1 a2
1 a a
1
1 a2
senh x tgh x
ex ex
e 2
x
e e
x
,
1
tg
1
1 a2 a
cos
1
1
1 a2
c) Teorema del coseno En todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo com prendido entre ellos, esto es:
1 a2
x
,
ex
cosh x ctgh x
ex ex
e 2 e e
x
x x
Recíproca de funciones hiperbólicas senh 1 x
n(x
1 x2 )
cosh 1 x
n(x
x 2 1)
tgh x
1 1 x n( ) 2 1 x
ctgh 1 x
1 x 1 n( ) 2 x 1
1
B
c
a
tg
2
A
Funciones hiperbólicas
ex
a
b
i
cos
sen
c sen
C
i
Relaciones de funciones recíprocas sen 1a
b sen
a2
b2
c2
2bccos
b2
a2
c2
2a ccos
c2
a2
b2
2a bcos
d) Teorema de la tangente En cualquier triángulo, la diferencia de dos lados cualesquiera es a su suma co mo la tangente de la mitad de la diferen cia de los ángulos opuestos es a la tangen te de la mitad de su suma, esto es:
a b a b
tg[( tg[(
) / 2] ) / 2]
e) Relaciones en los triángulo rectángulos En el triángulo rectángulo ABC, se cum plen las siguientes relaciones: A
b) Teorema del seno Los lados de un triángulo son proporcio nales a los senos de los ángulos opuestos, esto es:
c
B
b
h n
m a
C
Física III Relaciones entre funciones 4 y .
b2
am
c2
an
h2
mn
h
bc/a
a2
b2
b2
m n
c2
c2
sen 4
4sen cos 8cos4
cos4
8sen 2 cos 8cos2
4tg 4tg3 1 6tg 2 tg 4
tg 4
2. CALCULO a) Desarrollo de series de potencias 1) Desarrollo binomial
(x
y)n
xn
n (n 1) n x 2!
n xn 1 y
2
y2
n (n 1)(n 2 n x 3!
3 3
y ... yn , n Z
2) Desarrollo de Taylor f (x)
f (x
f (x
'
f (a) (x a)f (a)
h)
h)
(x a) 2 f "(a) 2!
(x a)3 (x a) n (n) f "'(a) ... n f ( (a) ... 3! n!
'
h2 f "(x) 2!
h3 f "'(x) ... 3!
'
x2 f "(h) 2!
x3 f '"(h) ... 3!
f (x) h f (x)
f (h) x f (h)
Si, f (x) es una función con derivadas de todos los órdenes en el intervalo a tonces existe un valor de "x" con a x b , tal que se cumple: f (b)
f (a
f (x)
f (a) (b a)f '(a)
h)
h2 f "(a) 2!
f (a) h f '(a)
f (a) (x a)f '(a)
de donde, R n
f (n) (a
(b a) 2 (b a) n 1 (n f "(a) ... f 2! (n 1)! h3 f '"(a) ... 3!
(x a)2 f "(a) ... 2!
(x a)) (x a) n , 0 n!
1)
(a)
x
b , en
(b a) n (n) f (a) n!
h n 1 (n 1) hn f (a) f (a h) (n 1)! n! para, b a h , 0 1
(x a)n 1 (n f (n 1)!
1
1)
(a) R n
Apéndice 3) Serie de Mclaurin f (x)
x2 f "(0) 2!
f (0) x f '(0)
de donde, R n
f n (a
x3 f '"(0) ... 3!
(x a)) , 0 n!
xn 1 n x (n 1)!
1
x x 1!
x2 2!
Rn
1
4) Exponenciales
1 e 1 1! a
x
ex
1 1 2! 3!
1 1 ... 4! 5! (x log e a) 2 2!
1 x log e a
(lx og ea)3 3!
(x a) 2 2!
ea [1 (x a)
e
(x a)3 3!
x
(x log e a) 4 4! (x a) 4 4!
log e x log e x
(x 1)
log e x
2[
log e (1 x)
x 1 x 1 x
1 x 12 ( ) 2 x
1 2 x 2
1 3 x 3
log e (n 1) log e (n 1)
loge3 (a
x) log e a
1 x loge 1 x loge x
2[x
log e a
x3 3 x a a
2[
2[
(x
1 ) 2
(2
x
1 x 15 ( ) ... ] 5 x 1
(x
0)
1 4 x 4
( 1
1 (x 1)3 3
1 x 13 ( ) 3 x 1
1 n
x5 5
x
R.SABRERA
1 (x 1) 4 ... 4
1 5 x ... 5
1 3n 3
x 2a
x5 5!
1 5n 5
1 x 3 ( ) 3 2a x
(x a)3 3a 3
)
x 0)
... ]
x 2n 1 ... ...] 2n 1
(x a) 2 2a 2
...
...
1 x 13 ( ) ... 3 x
1 (x 1) 2 2
x4 4!
... ]
5) Logarítmicas x 1 x
x3 3!
1 x 5 ( ) ... ] 5 2a x
(a
( 1
...
(0
0 , -a< x < )
x 1) x
2a )
Física III 6) Trigonométricas x3 2!
x5 5!
x7 7!
...
(
x
x2 cos x 1 2!
x4 4!
x6 6!
...
(
x R)
x3 3
2 x5 15
17 x 7 315
sen x
tg x
x
x
ctg x
1 x
x2 45
x 3
x2 sec x 1 2
csc x
1 x
sen 1 x
x 6
1
cos x 1
tg x tg 1x
2
tg 1 x
2
1
ctg x log e cos x
2
7 3 x 360
31 5 x 15120
(x
2 x
61 6 x 720
1.3 5 x 2.4.5 x3 2.3
x3 3
x5 5
1 x
1 3x 2 1 x
x x2 2
x3 3 x4 12
277 8 x ... E n x 2n ... 8064 2 / 4 y En los números de Euler) ( x2
x7 7
127 x7 604800 ( x2
1 5x 5
1 7 x7
1 5x 2
x6 45
2
1 7 x7
x7 7
...
2(22n 1 1) Bn x 2n (2n)!
...
(x
2
(x
2
1, 0 cos 1 x
(x
2
1)
1,
2
(x > 1)
...
1
y Bn los números de Bernoulli)
1.3.5 7 x ... ) 2.4.6.7
...
x5 5
...
1.3.5 7 x .... 2.4.6.7
1.3 5 x 2.4.5
1 3x 2
22n (22n 1) Bn 2n 1 ... x ... (2n)! 2 / 4 y Bn los números de Bernoulli) ( x2
x7 22n Bn 2n 1 ... x ... 4725 (2n)! 2 ( x2 y Bn los números de Bernoulli)
5 4 x 24
x3 2.3
x
2 x5 945
62 x 9 2835
R)
(x < -1)
...
(x
2
17 x 8 ... 2520
(x
2
1) 2
/4)
sen 1x
2 )
)
Apéndice log e tg x
log le x
esen x
1 x
ecos x
e(1
e
tg x
x3 3
x2 2! x3 2! x2 2!
1 x
7 x4 90
3x 4 4!
62 x 6 2835
8x 5 5!
3x 6 6!
4 x4 4!
31x 6 6!
... )
3x 3 3!
9 x4 4!
37 x 5 5!
... 56 x 7 7!
(x
2
2
/4)
(x
2
2
/4)
...
...
7) Hiperbólicas e hiperbólicas recíprocas x
x3 3!
x5 5!
x7 7!
x 2n 1 ... (2n 1)!
( x
)
cosh x 1
x2 2!
x4 4!
x6 6!
...
x 2n (2n)!
( x
)
senh x
tgh x
1 3 x 3
x
ctgh x
1 x
x3 45
x 3
1 2 sec h x 1 x 2! csc h x
senh 1 x
1 x
cosh 1 x
tgh 1 x
5 4 x 4!
1 3 x 2.3 [ n(2x)
x
x3 3
17 7 x 315
2 x5 945
7 x3 360
x 6
x
2 5 x 15
x5 5
62 9 ( 1) n 1 22n (22n 1) x ... Bn x 2n 2835 (2n)!
x7 ( 1) n 1 22n ... Bn x 2n 4725 (2n)! 61 6 x 6
1 2.2 x 2
x7 7
(0
1
1)
Bn x 2n
( x
1
...
(0
1.3.5 ] 2.4.6.6 x 6
x 2n 1 ... 2n 1
..
x
)
/ 2)
x
1.3.5 7 1.3.5(2n 1) x ... ( 1)n x 2n 2.4.6.7 2.4.6...2n (2n 1) 1.3 2.4.4 x 4
...
...
1835 8 ( 1) n x ... E n x 2n 8! 2n!
31x 5 2( 1) n (22n ... 15120 (2n)!
1.3 5 x 2.4.5
1
1
)
1
(x > 1)
( x
1)
Física III b) Diferenciales y derivadas 1) Diferenciales d ax
d
u v
a dx
d(u
v)
vdu u dv v2
d xn
ex dx
dea x
dex
x 1 dx
dloge x
du
dv
d uv
u dv
vdu
n x n 1 dx
d xy
y x y 1 dx x y loge x dy
a ea x dx
da x
a x loge a dx
x x (1 loge x)dx
dloga x
x 1 loga edx
d xx
d cos x
sen x dx
d tg x sec2 dx
tg x sec x dx
2) Derivadas dsen x
cos x dx
dctg x
csc2 x dx
dsec x
d vers x
sen x dx
dsen 1 x
d tg 1 x
1 x 2 dx
d csc 1 x
x
d cosh x
1
x2
a dx
senh x dx
dsec h x
sec h x tgh x dx
d csc x
1 x 2 dx
ctg x csc x dx
d cos 1 x
d ctg 1 x
1 x 2 dx
d vers 1x
2x
x 2 dx
1 x 2 dx
dsec 1 x
x
dsenh x
cosh x dx
d tgh x sech 2x dx
dctgh x
d csch x
csch x ctgh x dx
d senh 1x
1 x 2 dx
d ctgh 1x
d cosh 1 x
x 2 1dx
d tgh 1x
dsec h 1x
x 1 x 2 dx
d csc h 1x
x x 2 1dx
1) Integrales indefinidas
(y)dx u dv
a f (x)dx
ax
uv
(y) dy , siendo y' dy / dx y' v du
(u
u
a f (x)dx
v)dx
dv dx dx
u dx
uv
v
x 2 1dx
csch 2 x dx
c) Integrales
a dx
1
vdx du dx dx
x 2 1dx x 2 1dx
Apéndice
xn 1 , (n n 1
n
x dx dx x
1)
log x o log( x)
e x dx
b a log b
a x log a dx
a
2
dx x' a bx
dx a bx
1 ax e a
log x dx
x
2
2
1
a
tg (
x2
2b(a
x dx (a b x) 2
1 [log(a b2
dx x 2 (a b x)
a
b x 1/ 2 ) a
a2
(a
2
x
b x) 2 b x)
a ] a bx
1 a bx log a x b a bx log x a2
2
(a b x) n (n 1) b
b x) dx
x2
a x
)
1 , (
n 1)
1 b(a
1 [a b2
x dx (a b x)3
b x)
b x a log(a
1 1 [ b2 a b x
dx x (a b x) 2
dx c2 x 2
a2 )
1 a log( a
n
x dx a bx
x2
log(x
dx (a bx)2
1
1 ax
dx x2
1 x ctg 1( ) a a
1 x ctg 1( ) a a
a2
x a
b x)
dx (a bx)3
a
x
1 1 x tg ( ) o a a
2
dx
1 a cos 1 ( ) a x
1 log(a b
dx x (a b x)
x log x
dx
x x sen 1 ( ) o cos 1 ( ) a a
dx x x
f (x) , [df (x) f[(x)dx]
dx
1 1 x 1 a x tg ( ) o log a a 2a a x
x2
2
R.SABRERA
ax
dx a2
f[(x)dx 2 f (x)
ax
dx a2 x2
log f (x) , [df (x) f '(x)dx]
ea x dx
ex
ba x dx
f '(x)dx f (x)
1 tg c
1 a (a 1x
c
b x)
b x)] a
2(a
b x) 2
]
1 a bx log 2 a a
Física III
dx c2 x 2
1 c x log 2c c x
dx bx)(c dx)
(a
x a
1 a d bc
15b
x2
a2
a 2 )3 2
2 3
x2 x 2 dx
x 2 )3
x 2 dx a2
a
b x dx
a
bx x
a ) a
x
x2
a2 x2 dx x2
a
a2
2
x2
a2
x2
(a 2
a2 sen 2 1
1x
a x a
a2
a2 ) a 2 )3
a2
x2
x x 2 )3
a2 a2
x2 a2
x2
x 2 )5
a2 x2 a 2x
x 2 dx x 2 )3
x2
1 (a 2 5
x 2 )3 dx
dx
(a 2
bx
x2 a2 a 2x
a2
x2
x (a 2
sen
x2
dx
x 2 )3
x2 x2
a 2 )3
x dx
1
x
x2
dx x a bx
1
x2 x2 )
a
1 (x 2 3
dx
a )
1 (a 2 3
a2
bx
log(x
a 2 )3 dx
(x 2 2 5
a2 x
x 2 a 2
2 a
bx)3
2(2a bx) a 3b 2
dx 2
2 (a 3b
x dx
1 a log( a
a2
dx
x (x 2
1 (x 2 5
x dx (a 2
bx bx
a2 x2
a ) dx
x a2
2
c2
x
dx a2
bx)3
a2
dx
x (x
c dx ) a bx
1 x c log 2c x c
x dx a bx
1 a log( a a
x dx
(x 2
log(
2 a bx b
dx x a bx
x2
x2
2(2a 3bx) (a
bx dx
dx a bx
dx
x a2
x2
sen
1
x a
dx 2ax x 2
cos 1 (
dx a 2bx cx
a
x a
Apéndice 1 x 1/ 2 ( ) dx 1 x
)
1 sen c
2
1
cx b b
2
sen x dx
sen 1x
cos x
ac
cos x dx
sen x
tg x dx
log cos x
ctg x dx
logsen x
sec x dx
log tg(
csc x dx
1 log tg x 2
sen 2 x dx
sen 3x dx
1 cos x (sen 2 x 3
x sen dx a
a cos
sen(a
b x)dx
dx sen x
log tg
dx cos2 x
tg x
dx 1 cos x 2
xsen x dx
tg
2)
x a b x)
x 2
x 2
x2 4
xsen 2x 4
cos 2x 8
sen x dx
3x 8
sen 2x 4
sen 4x 32
cos 4 x dx
3x 8
sen 2x 4
sen 4x 32
tg 4 x dx
1 3 tg x 3
tg x
4
ctg 4 x dx
1 3 ctg x 3
x
ctg x
x
4
1 x 2
1 sen x cos x 2
b x)dx
dx cos x
log tg(
tg(
dx 1 cos x
ctg
2
x sen x dx 2
x cos x dx
1 sen(a b
b x)
x ) 2
4
dx 1 sen x
1 x 2
x a
a sen
cos(a
2
x ) 2
1 cos x sen x 2
cos 2 x dx x cos dx a
1 cos(a b
1 x2
4
x ) 2
x 2
x3 6 x2 4
x2 ( 4
1 ) 8
xsen2x 4
x cos 2x 4 cos 2x 8
1 2 tg x log cos x 2 1 2 ctg 3x dx ctg c logsen x 2 tg 3x dx
sen x cos x dx
1 sen 2 x 2
Física III 1 1 ( sen 4x 8 4
sen 2 x cos 2 x dx
sen m 1x m 1
sen m x cos x dx sen 2 x dx cos x
sen x
dx sen x cos x
log tg x
dx sen x cos x
dx sen 2 x
x ) 2
4
ctg x
sec x
cos x dx sen 2 x
x ) 2
4
ctg x
ctg 2 x dx
sen x cos x dx
csc x
dx sen x cos 2 x log tg(
1 cos x
2ctg 2x
tg 2 x dx
x
tg x
ctg x
x 2sen x dx
2x sen x (x 2
2)cos x
x cos x dx
cos x
x 2 cos x dx
2x cos x
(x 2
2)sen x
sen 1x dx
xsen 1x
cos 1 x dx
x cos 1 x
ctg 1x dx
x tg 1x
csc 1x dx
x csc 1 x log(x
cos
1
ctg
1
x dx a
x cos
x dx a
x ctg
x log x dx
x sen x
1
x a
x2 log x 2
x a
a2 a log(a 2 2
x2 4
sen x
tg 1x dx
1 log(1 x 2 ) 2
x 2 1) x2 x2)
tg
1
1
x a
2
x sen x
1 x2 1 log(1 x 2 ) 2
xsec 1 x log(x x sen
1
x tg
1
x dx a
log x dx
x cos x
x tg 1x
sec 1 x dx sen
x 2
tg x
csc 2 x dx
1 x2
log tg
dx sen x cos 2 x 2
sec 2 x dx
x
cosm 1 x m 1
m
sen x dx cos2 x
log tg(
1 sen x
2
x)
x log x
x log x dx
x a
a2
x a
x2
a log(a 2 2
x
x3 log x 3
x3 9
x 2 1)
x2 )
Apéndice p 1
x p log(ax)dx
x log(ax) p 1
(log x)n dx x
1 n 1
dx x (log x) n
1 (n 1)(log x) n
sen log x dx
1 x sen log x 2
e x dx
(log x)n
p 1
x (p 1) 2
(log x) 2 dx
dx x log x
1
1
1 x cos log x 2
ex 1 ax e a
dx 1 ex
log
ea x sen px dx
cos log x dx
1 x sen log x 2
dx
a em x
ea x (a sen px pcos px) a 2 p2
log x m 1
xm 1[
x
dx be
mx
1 x cos log x 2
ea x (a cos px psen px) a 2 p2
cosh x dx
senh x
tgh x dx
log cosh x
ctgh x dx
logsenh x
csc h x dx
x log tgh( ) 2
x cosh x senh x
]
1 a tg 1(em x ) b m ab
cosh x
x senh x dx
(m 1)2
ea x (a x 1) a2
ea x cos px dx
2 tg 1(e x )
1
x
e
senh x dx
sec h x dx
2x
log(log x)
x ea x dx
ex 1 ex
2 x log x
x m log x dx
e
ea x dx
x (lo x) 2
x cosh x dx
x senh x cosh x
2) Integrales definidas 1
x
n 1
e
x
dx
(n)
0
0
0
dx (1 x) x p
x p 1 dx 1 x 0
cscp , (p < 1)
sen p
,
(0 < p <1)
dx xm
1 , m 1
dx (1 x) x p 0 x m 1 dx 1 xn 0
(m > 1)
ctg p ,
n sen (m / n)
(p < 1)
,
(0 < m < n)
Física III
dx (1 x) x 0
a dx a x2 0 2
/2
sen x dx
2
0
/ 2,
sen mx dx x
0
0,
si m
0, 0
R.SABRERA
0, (k
0
m, k, m Z)
0
sen x cos mx dx x
tg x dx x
0
(n 1/ 2) , n > -1 (n / 2 1)
2
0
0
/ 2, si m;0
sen kx sen mx dx
m
1
/ 4, m
1
/ 2, m 2 1
2
cos kx cos mx dx
0, (k
m, k, m Z)
0
2
2
sen mx dx 0
sen mx dx 0 m
/ 2e
cos mx dx 1 x2
0
sen(x 2 )dx
0
0 /2
cos 1 a
dx 1 a cos x
0
e
ax
x2
dx
0 2n
x e
ax 2
dx
n
x e
1 2 2
0 2
,
ax
(n 1) / a n 1, (n
dx
n!/ a n 1,
(m 0)
(a < 1)
1 a
dx
0
xe
1 a
2
2
sen 2 x dx 2 x2 0
, (m 0)
/ 2e m ,
cos(x 2 )dx
0
cos n x dx
si m 0
cos x dx x
0
/2
(n 1/ 2) , n > -1 (n / 2 1)
n
si a
,
2
0
sen x dx x
0
dx 1 a cos x
e
a2x2
dx
0
1 2
x2 e
x2
dx
0
1.3.5...(2n 1) a 2n 1 a n
e 0
cos x dx x
( x2 a2 / x2 )
2 1 a
2
(n Z )
2
,
(a2 < 1)
(a > 0)
2a
4 dx
1)
e
2a
2
Apéndice nx
e
1 2n n
x dx
0
e
ax
cos mx dx
0
e
a
m
2
e
e b 2a
cos bx dx
0
, (a > 0)
e
/ 4a 2
(log1/ x)
dx
(log x)n dx
,(a > 0)
2
( 1) n n!
0
(log1/ x)
2
0
1/ 2
dx
0
1
1 n
(log1/ x) dx
n!
3 4
x log(1 x)dx
0
0
1 0 1
1
6
1 x dx log( ) 1 x x
1
2
4
x log(1/ x) dx 0
1 x
1
(x p
0
1
dx [log(1/ x)]1/ 2 0
0 /2
log 2
0
log(a
2
x q )dx log x
log 2
log(
p 1 ), (p 1 0) q 1
2
4
0 /2
log cos x dx
2
0
bcos x)dx
2
sen x logsen x dx
/2
logsen x dx
8
/2
2
2
2
ex 1 log( x )dx e 1
0
x logsen x dx
12
log x dx
0
(n 1) , (m+1>0) (m 1)n 1
n
2
log x dx 1 x2
0
1 n
log x dx 1 x
0
2
log x dx 1 x
0
1
1 4
x log(1 x)dx
0
m , (a > 0) a m2
sen mx dx
1 1/ 2
0
n
1
1
1
ax
dx
0 2
a2x2
x
0
a 2
nx
log(
a
a2 2
log 2
log tg x dx 0
b2
), (a
b)
0
log 2 1
Física III f) Progresiones
d) Fórmulas para la suma de los números naturales 1) Suma de los "n" primeros números natu rales. n (n 1) Sn 2
2) Suma de los "n" primeros números pa res naturales. Sn
n (n 1)
3) Suma de los "n" primeros números im pares naturales. Sn n 2 4) Suma de los cuadrados de los "n" prime ros números naturales. n (n 1)(2 n 1) 6
Sn
5) Suma de los cubos de los "n" primeros números naturales.
Sn
n 2 (n 1)2 4
e) Promedios 1) Media aritmética (Ma) La media aritmética de "n" cantidades a1, a2,…,an, viene dado por: Ma
a1 a 2
... a n n
2) Media geométrica (Mg) La media geométrica de "n" cantidades a1, a2,…,an, viene dado por: Mg
[a1.a 2 .....a n ] 1/ n
3) Media armónica (Mh) La media armónica de "n" cantidades a1, a2,…,an, viene dado por:
Mh
n 1/ a1 1/ a 2 ... 1/ a n
1) Progresión aritmética Si "a" es el primer término de una pro gresión aritmética, "k" el último, "d" la diferencia común, "n" el número de tér minos y "S" la suma de términos, se cumple: n (a k) k a (n 1)d , S 2 S
n [2a 2
(n 1)d]
2) Progresión geométrica Si "a" es el primer término de una pro gresión geométrica, "k" el último, "r" la razón común, "n" el número de térmi nos y "S" la suma de los "n" términos, en estas condiciones se cumple:
k
ar
n 1
kr a (r n 1) , S a r 1 (r 1)
, S
Si, "n" es infinito y r2<1, entonces, la suma de los infinitos términos de la pro gresión es: S
a 1 r
g) Ecuación cuadrática Las dos raíces de una ecuación cuadráti ca del tipo: a x 2 b x c 0 , vienen da dos por: x
b [b 2 4a c] 1/ 2 2a
Si: b2 4a c 0 , las raíces son reales y diferentes. Si: b2 4a c 0 , las raíces son iguales y reales. Si: b2 4a c 0 , las raíces son comple jas y diferentes.
Apéndice También, se cumplen las siguientes rela ciones: x1
b a
x2
y
x1 x 2
c a
ma
1 [2 b 2 2
2c 2
a 2 ] 1/ 2
mb
1 [2a 2 2
2c 2
b 2 ] 1/ 2
mc
1 [2a 2 2
2 b2
c 2 ] 1/ 2
h) Logaritmo 1) Definición El logaritmo de un número "N" , es el exponente "x" al que hay elevar otro nú mero denominado base "b" , para obte ner dicho número, esto es: bx
N
x
Ortocentro Es el punto de intersección de las tres al turas C
log b N
Se lee "x" es el logaritmo del número "N" en la base "b" .
b
ha
2) Operaciones
hb
hc
log b M N log b M log b N M log b log b M log b N N logb Mp plogb M 1 log x Nx log b N x
A
3. GEOMETRIA
B
c
ha
2 [p (p a)(p b)(p c)] 1/ 2 a
hb
2 [p (p a)(p b)(p c)] 1/ 2 b
hc
2 [p (p a)(p b)(p c)] 1/ 2 c
a) Triángulos 1) Puntos notables de un triángulo Baricentro Es el punto de intersección de las tres medianas, en el se encuentra el centro de gravedad del triángulo.
a
Incentro Es el punto de intersección de las tres bi sectrices, correspondientes a sus tres án gulos C
C b b
mb
ma
B
a
mc c
a
B A
A
B
B
B
c
2 b c
[bc p(p a)] 1/ 2
B
Física III Circunferencia Longitud circunferencia Radio circunferencia Longitud de arco
: : :
C
R
2 R C 2 R no
R l
0 R
180o
Círculo
D2 4
2
Area total círculo
:
A
Longitud de arco Longitud de circunferencia
:
S R C 2 R
Longitud de cuerda Distancia de cuerda Angulo central en radianes
: : :
2 R2 h R d
Cubo Area
:
A
6 a2
Volumen
:
V
a3
Diagonal
:
d
Lado del cubo
:
a
Radio de la esfera inscrita
:
r
Esfera Area total de una esfera Area de zona
: :
A 4 R2 D2 A Z 2 R h1
Area de luna
:
AL
Volumen de una esfera
:
V
Volumen sector esférico
:
VS
:
Volumen segmento esférico :
VS1
R
R
0
d2
de dos bases
VS2
S
R
24 r 2 8 r3 d
3a
a a a
h1
2 R2
4 R3 3 2 R 2 h1 3 6
h3 (3r32
h2 h3
h32 )
r3 r2 R
de una sola base Volumen segmento esférico :
h
d
6
h 2 (3r32
3r22
h 22 )
Apéndice Tetraedro Area
:
A
3 a2
Volumen
:
V
2 a3 / 2 8 3 r3
Radio de la esfera inscrita
:
r
24 3 r 2 a
a a a a
a
Tronco de cono Radio de la base media
:
rm
Area lateral
:
AL
Area total
:
A
Volumen
:
V
Generatriz del cono
:
g
r
R r
2 (r
(r
R) g
(r 2
R) g
1 h (r 2 3
rR
R2 )
g
h
rm
R2) R
Cilindro
R.SABRERA
Area lateral
:
AL
2 Rh
Area total
:
A
2 Rh
Volumen
:
V
R2 h
R2
h
R
Tonel Volumen
:
V
Radio menor
:
r
Radio mayor
:
R
Altura
:
h
:
A
1 h (r 2 3
2R2) R
h
r
Toroide Area
4 rR r
Volumen Radio menor Radio mayor
: : :
V r R
4 r 2R
R
Física III Paralelepípedo Volumen
:
V
a bc
Superficie total
:
A
2 (a b
Diagonal
:
d
a2
Radio mayor
:
R
bc
b2
c a)
c2
d
c b
a
Pirámide o cono Volumen
:
V
1 Sh 3
Area lateral
:
A
1 pa 2
Area de la base
:
S
Altura
:
h
Perímetro de la base
:
p
Area
:
A
Angulo entre los lados
:
Altura
:
a h R p
Paralelogramo ah
a b sen
b
h
h
a
Polígono regular de n lados
1 2 180o n a ctg 4 n
Area del polígono
:
A
Area sector
:
AS
Area segmento
:
ASEG
Perímetro del polígono
:
p
2 n R sen
Area polígono circunscrito
:
A
n R 2 tg
1 RS 2
1 2 R 2
1 2 R ( 2 n
n
sen )
a
R 0
Apéndice Trapecio Area
:
Area
:
Area
:
H
:
(B b) h A 2 A pm h h A (B b b ') 6 altura
:
A
3 3 r3
a3
r
b
h
pm
B
Triángulo Area
3
r
l3
a3
2 3r
4. GEOMETRIA ANALITICA PLANA a) Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos P1, P2 de coordenadas rectangulares (x1; y1), (x2; y2), viene dado por:
d
[( x 2
x1)2
( y2
y1)2 ] 1 / 2
La distancia entre dos puntos P1, P2 de coordenadas polares (r1; por:
d
[r12
r22
2 r1 r2 cos(
1
2 )]
1 ),
(r2;
2 ),
viene dad
1/ 2
b) Formas que adoptan las ecuaciones de una recta 1) 2) 3) 4)
Ax By C 0 y y1 m ( x x1 ) y mx b x y 1 a b
(forma general ) (forma punto pendiente ) (forma pendiente intersección ) (forma intersecciones Y
c) Pendiente de una recta La pendiente de la recta que pasa por los puntos P1(x1; y1) y P2(x2; y2), viene dado por:
m
y2 x2
y1 x1
)
P2
P1 0
X
Física III d) Coordenadas del punto medio Las coordenadas del punto medio del segmento de recta P1(x1; y1) y P2(x2; y2), viene dado por:
Y
P2 Pm
xm
x1
x2 2
y
y1
ym
y2 2
P1 0
Y
e) Angulo entre dos rectas El ángulo entre dos rectas S1, S2 de pendientes m1 y m2, viene dado por:
m1 m2 1 m1 m2
tg
X
L2
L1
R.SABRERA
0
X
f) Area de un triángulo El área de un triángulo cuyas coordenadas rectangulares de sus vértices son: A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3), viene dado por: A
1 ( x1 y 2 2
x 2 y1
x 2 y3
x3y2
x 3 y1
x1y3 )
Area
Si las coordenadas polares de los vértices del triángulo son: A(r1 ; 1) , B(r2 ; 2 ) y C(r3 ; 3 ) , entonces el área de di cho triángulo es: A
1 [r1 r2 sen ( 2
2
1)
r2 r3 sen (
3
2)
B
r1 r3 sen (
1
C
A
3 )]
CONICAS a) Circulo La ecuación de un circulo de centro en (h ; k) y radio " R" , viene dado por:
( x h)2
( y k )2
Y
R2 (h; k)
Si el centro se ubica en el origen, la ecuación ante rior, queda así:
x2
y2
R2
X
Apéndice La ecuación polar de un círculo con el origen sobre la circunferencia y su centro en el punto C es: r
2 C cos(
Y
)
Si el origen no está sobre la circunferencia, el radio es " a" y el centro está en el punto b, a, en este caso la ecuación es:
a2
r2
b2
2 r b cos(
R
0
X
)
Y
b) Elipse La ecuación de una elipse con centro en (h; k) y se miejes mayor " a" y menor " b" es:
a (h; k)
(x
h)
2
(y k)
a2
2
b2
1
b 0
X
Si el centro se encuentra en el origen de coordenadas 0, la ecuación se convierte en: x2
y2
a2
b2
Y
1 a
La ecuación polar cuando el polo está en el centro de la elipse es:
r
b
0
X
a 2 b2
2
a 2 sen 2
b2 cos2
c) Hipérbola La ecuación de una hipérbola de centro (h; k) y de ejes paralelos a los ejes de coordenadas X, Y y de eje transverso horizontal es: h )2
(x a
( y k )2
2
b
2
y2
a2
b2
1
(h; k)
1
Si el centro está en el origen de coordenadas 0, la e cuación se reduce a: x2
Y
0
X
Física III siendo " a" el semieje transverso y " b" el semieje conjugado (vertical). La ecuación polar que tiene el centro en el polo es:
r2
Y
a 2 b2 a 2 sen 2
b2 cos2
d) Hipérbola equilátera Es aquella hipérbola que tiene por centro el origen y por asíntotas los ejes de coordenadas, su ecuación es: xy C
X
siendo "C" una constante. Y
e) Parábola La ecuación de una parábola con vértice en V(h; k) y foco en F(h+p; k) es:
( y k)
2
F
4p (x h) V
Si el vértice está en el origen, la ecuación anterior se reduce a:
y2
0
X
4p x
Y
La ecuación polar cuando el foco está en el polo y " p" es el semilado recto es:
r
p 1 cos
F V
Si el vértice está en el polo y " p" tiene el mismo significado anterior, la ecuación es:
r
2 p cos sen
Y
2
f) Relaciones entre las coordenadas polares y rectangulares x
r cos
y
r
x2
y2 ,
y
r sen x
0
r
X
y tg 1 ( ) , x
sen
y x2
y2
,
cos
X
x x2
y2
Apéndice g) Angulo sólido Angulo sólido es el espacio comprendido al interior de una circunferencia cónica (vérti ce), como muestra la Figura., los ángulos sólidos se representan simbólicamente mediante " ". El valor del ángulo sólido en todo el espacio es 4 . En el S.I. (Sistema Internacional) los ángulos se miden en estereorradián, y para obtener su valor se traza una superficie esférica de radio arbitrario "R" con centro en el vértice O, (como se muestra en la Fig.); y se aplica la relación:
S R2
S
siendo "S" el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido. Cuando el ángulo sólido es pequeño en lugar de "S" se debe considerar un diferencial de superficie de área "dS" , de modo que la ecuación anterior, queda así:
d
R 0
dS R2
P
En algunos casos la superficie " dS" no es perpendicu lar a OP y ella forma un ángulo " " con la normal a " dS" , como muestra la Figura, en éste caso el ángulo sólido, viene dado por:
d
d dS
dScos R2
0
5. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES a) Transformación de coordenadas Sean x, y, z las coordenadas de un punto P en el sistema cartesiano (S), y x 1, x2, x3 las coordenadas de dicho punto en un sistema de coordenadas ortogonales (0), si existe una transformación biunívoca entre los sistemas (S) y (0), entonces, la terna (x, y, z) podemos expresarlo en función de la terna (x1, x2, x3), así: x
x(x1 , x 2 , x 3 ) ,
y
y(x1 , x 2 , x 3 ) ,
z
z(x1 , x 2 , x 3 )
o viceversa, la terna (x1, x2, x3) en función de la terna (x, y, z), así: x1
x1 (x, y, z) ,
x2
x 2 (x, y, z),
x3
x 3 (x, y, z)
Física III b) Coordenada curvilínea ortogonal En la Figura, las superficies x1=c1, x2=c2, x3=c3 siendo c1, c2, c3 constantes se llaman superficies coordenadas; la intersección de cada par de estas superficies definen las líneas coordenadas L3, L2, L 3. Cuando estas líneas de coordenadas se cortan en ángulo recto se dice que el sistema de coordenadas (0) es ortogonal.
L3
Z
u1=c1 u2=c2
L1
P u3=c3
L2
0 Y X
c) Vectores unitarios Los vectores unitarios que se utilizan como vectores base para definir el sistema de coor denadas ortogonales (0), y que son tangentes a las líneas de coordenadas L1, L2, L 3, vie nen dados por: r / xi r / xi
eˆ i
r / xi con (i=1, 2, 3) hi
donde, r x ˆi y ˆj z kˆ o r r(x1 , x 2 , x 3 ) es el vector de posición del punto P en los sistemas de coordenadas (S) y (0), respectivamente, y hi con (i=1, 2, 3) los coeficientes métricos o coeficientes de Lamé, cuyas expresiones, vienen dados por:
hi
[(
x 2 ) xi
(
y 2 ) xi
(
z 2 1/ 2 con (i=1, 2, 3) ) ] xi
el sentido del vector unitario eˆ i , con (i=1,2 ,3) es el de crecimiento de xi. Como x i es un vector normal en el punto P a la superficie x i ci , el vector unitario en esta dirección y sentido, viene dado por: eˆ *i
xi xi
con
(i=1, 2, 3)
En conclusión, en cada punto de un sistema de coordenadas curvilíneas se pueden definir dos sistemas de vectores unitarios eˆ i tangentes a las líneas de coordenadas Li, con (i=1,2, 3) y eˆ *i perpendiculares a las superficies de coordenadas xi=ci con (i=1, 2, 3). Ambos sis temas de vectores unitarios coincidirán solo en el caso en que el sistema de coordenadas sea ortogonal, y tendrán la misma función que la de los vectores unitarios cartesianos ˆi , ˆj , kˆ , con la diferencia que los vectores unitarios ( eˆ o eˆ * ) pueden cambiar de dirección y i i sentido de un punto a otro. d) Elementos de línea, superficie y volumen Como, r / x i h i eˆ i (i=1, 2, 3), el diferencial del vector de posición r en el sistema de coordenadas ortogonal (0), viene dado por:
Apéndice
r dx1 x1
dr
h1 dx1 eˆ1
dr
r dx 2 x2 h 2 dx 2 eˆ 2
r dx 3 x3
L3 h3dx3e3
h 3 dx 3 eˆ 3
h1dx1e1 P
y el cuadrado del elemento de longitud es:
L2 h2dx2e2
ds
2
dr dr
h12 dx12
h 22 dx 22
h32 dx32
L1
En la Figura., como los vectores unitarios eˆ 1 , eˆ 2 , eˆ 3 son mutuamente perpendiculares entre si; los elementos de superficie dA1 (formado por L2, L3), dA2 (formado por L1, L3), y dA3 (formado por L1, L2), vienen dados:
(h 2 dx 2 eˆ 2 ) x (h3 dx3 eˆ 3 )
h 2 h3 eˆ 2 x eˆ 3 dx 2 dx3
h 2 h3 dx 2 dx3
dA2
(h3 dx3 eˆ 3 ) x (h1dx1 eˆ1 )
h3 h1 eˆ 3 x eˆ1 dx3 dx1
h3 h1 dx3dx1
dA3
(h1dx1eˆ1 ) x (h 2 dx 2 eˆ 2 )
h1h 2 eˆ1 x eˆ 2 dx1 dx 2
h1h 2 dx1dx 2
dA1
En la Figura, el elemento de volumen en el sistema de coordenadas ortogonal, viene dado por el triple producto escalar, esto es:
dV
(h1dx1 eˆ1) (h 2 dx 2eˆ 2 ) x (h3 dx3 eˆ 3 )
h1h 2h3 dx1 dx 2 dx 3
e) El gradiente, la divergencia, el rotacional y la laplaciana. Sean: un campo escalar y A un campo vectorial, entonces las expresiones de los opera dores gradiente, divergencia, rotacional y Laplaciana, en un sistema de coordenadas curvi línea ortogonal, vienen dados por: 3 1 i 1h i
grad
div A
A
xi
eˆ i
1 eˆ1 h1 x1
1 [ (h h A ) h1h 2h 3 x1 2 3 1
x2
h1 eˆ1 rot A
xA
1 h1 h 2 h 3
1 eˆ 2 h2 x2 (h 3h1A 2 ) h 2 eˆ 2
1 eˆ 3 h3 x3
x3
h 3 eˆ 3
x1
x2
x3
h1 A1
h 2 A2
h 3 A3
(h1h 2A3 )]
R.SABRERA
Física III h h 1 [ ( 2 3 ) h1h 2 h 3 x1 h1 x1
2
x2
(
h 3 h1 ) h2 x2
x3
(
h1 h 2 )] h3 x3
1) Coordenadas rectangulares En este sistema de coordenadas: x1=x, x2=y, x3=z, los coeficientes métricos son: h1=1, h2=1, h3=1, y a su vez, los operadores diferenciales, vienen dados por:
grad
ˆi
x
rot A
xA
(
y
ˆj
z Ay
Az y
z
kˆ ,
) ˆi
(
div A
Ax x
A
Ay Az ˆ )j ( x x
Ax z
2
2
2
x2
y2
z2
Ay
Az z
y Ax ˆ )k y
2
ds2
dx 2 dy2 dz2 ;
dV
dx dydz
Las superficies coordenadas son: tres planos mutuamente perpendiculares. 2) Coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas: x1 , x2 , x 3 z , están relacionados con las coorde cos , y sen , z=z, los coeficientes métricos son: h1=1, nadas cartesianas por: x h2 , h 3 1 , y las expresiones de los operadores diferenciales, son:
divA
rot A
xA
(
1 A3
F( )
1
A A2 ) eˆ1 z
1
2
2
1
eˆ1
grad
F( )
eˆ 2
(
A3
A1 z
)
dF( ) 1 d ( ) d d
1
) eˆ 2
(
2
2
1
( A2 ) 2
2
d 2 F( ) d
eˆ 3
A3 z
1 A2
( A1)
(
z
2
z2 1 dF( ) d
1 A1
) eˆ 3
Apéndice
ds2
2
d
2
2
d
dz2
Las superficies coordenadas son: z=cte. planos. 3) Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas: x1
dV
;
d d dz
cte. , cilindros concéntricos;
r , x2
, x3
cte. , planos; y
, están relacionados con las coordena-
das cartesianas por: x r sen cos , y r sen sen , z r cos , los coeficientes métri cos son: h1=1, h 2 r , h 3 1 , y las expresiones de los operadores diferenciales son:
grad
divA
rot A
1 [ r sen
r
1 (r 2A1) 2 r r
A
A2
(sen A3 ) 2
1 r2 r 2
F(r)
(r
2
r
F(r)
ds2
eˆ 2
1 rsen
1 1 [ r sen
]eˆ1
)
1 r
eˆ1
1
(sen A 2 ) A1 r
1 d2 (r F(r)) r dr 2
dV
r 2d
2
eˆ 3
)
d 2 F(r) dr 2
r 2sen 2 d
A3
1 rsen
(r A3 )]eˆ 2
(sen
r 2 sen
dr 2
1 r sen
1 [ (rA 2 ) r r
1 r 2 sen 2
A1
]eˆ 3
2 2
2 dF(r) r dr
2
r 2sen dr d d
Las superficies coordenadas son: r cte. , esferas concéntricos; planos.
cte. , conos; y
=cte.
Física III
APENDICE
B
1. FACTORES DE CONVERSION Angulo plano minuto segundo
grado
radían
revolución
1 grado
1
60
3 600
1 745 10-2 2,778 10-3
1 minuto
1,667 10-2
1
60
2,909 10-4 4,630 10-5
1 segundo
2,778 10-4 1,667 10-2
1
4,848 10-6 7,716 10-7
1 radían 1 revolución
57,30
3 438
2,063 105
1
0,1592
360
2,16 104
1,296 106
6,283
1
1 esfera = 4
Angstrom
Angulo sólido esterorradianes = 12,57 esterorradianes Longitud metro pulgada
1
10-10
1010
1 pulgada
1Angstrom
10
pie -10
yarda
milla-T
1,09 10-10
6,2 10-14
39,36 10-
3,28 10
1
39,37
3,28
1,09
0,621 10-3
2,54 108
0,0254
1
0,083
0,0278
1,578 10-5
1 pie
30,48 108
0,3048
12
1
0,3333
1,894 10-4
1 yarda
91,44 108
0,9144
36
3
1
5,68 10-4
1 milla-T
6,21 106
6,21 10-4
63360
5280
1760
1
1 milla-N
1852 1010
1852
72912
6076
2025,3
1,15
1 vara
5,292 1010
5,0292
198
16,5
5,5
3,125 10-3
1 legua
4,828 1013
4828,032
190080
15840
5280
3
1 año luz
9,45 1025
9,45 1015
372 1015
31 1015
10,33 1015
5,87 1012
1 parsec
30,84 1025
30,84 1015
1212 1015
101 1015
33,67 1015
19,15 1012
1 braza
1,83 1010
1,8288
72
6
2
1,135 10-3
201,16 1010
201,168
7920
660
220
0,125
1 metro
1 estadio
Apéndice
mm
2
cm
Area m2
km2
plg2
pie2
1 mm2
1
10-2
10-6
10-12
15,5
1,076 10-5
1 cm2
102
1
10-4
10-10
0,155
1,076 10-3
1 m2
106
104
1
10-6
1550
10,76
1 km2
1012
1010
106
1
155 10-5
10,76 106
1 plg2
645,2
6,452
6,452 10-4
6,45 10-10
1
6,9 10-3
1 pie2
9,29 104
929
9,29 10-2
9,29 10-8
144
1
1 yarda2
0,836 106
0,836 104
0,8361
0,836 10-6
1296
9
1 milla2
2,15 1012
2,59 1010
2,59 106
2,59
4,01 109
27,87 106
1010
108
104
10-2
1,55 107
10,76 104
2
1 hectárea 1 acre
4046,8 106 4046,8 104
4046,86
4046,8 10-6
6,27 106
43560
1 vara2
25,29 106
25,29 104
25,2928
25,29 10-6
3,92 104
272,15
1 legua2
23,31 1012
23,31 1010
23,31 106
23,31
3,6 1011
25 108
3
3
Volumen m3
km3
litro
pie3
10-9
10-18
10-6
3,531 10-8
1
10-6
10-15
10-3
3,531 10-5
109
106
1
10-9
103
35,31
1 km3
1018
1015
109
1
1012
35,31 109
1 litro
106
103
10-3
10-12
1
3,531 10-2
1 galón
3,785 106
3,785 103
3,785 10-3 3,785 10-12
3,785
133,67 10-3
1 pie3
2,832 107
2,832 104
2,832 10-2 2,832 10-11
28,321
1
1 plg3
16,39 103
16,39
1 cuarto
0,946 106
1 pinta
mm
cm
1 mm3
1
10-3
1 cm3
103
1 m3
1,639 10-5 1,639 10-14 1,639 10-2
5,787 10-4
0,946 103
0,946 10-3 0,946 10-12
0,946
33,417 10-3
0,473 106
0,473 103
0,473 10-3 0,473 10-12
0,473
16,708 10-3
1 onza
2,365 106
2,365 103
2,365 10-4 2,365 10-13
0,2365
8,35 10-3
1 barril
0,159 109
0,159 106
0,159 103
5,614
0,159
0,159 10-9
Física III Tiempo día hora
año
minuto
segundo
1 año
1
365,2
8,766 10-3
5,259 105
3,156 107
1 día
2,738 10-3
1
24
1 440
8,640 104
1 hora
1,141 10-4
4,167 10-2
1
60
3 600
1 minuto
1,901 10-6
6,944 10-4
1,667 10-2
1
60
1 segundo
3,169 10-8
1,157 10-5
2,778 10-4
1,667 10-2
1
Masa g
kg
lb
onza
tonelada
1g
1
10-3
2,205 10-3
35,27 10-3
9,8 10-7
1 kg
103
1
2,205
35,27
9,8 10-4
1 lb
453,6
0,4536
1
16
4,46 10-4
1 onza
28,35
2,835 10-2
0,0625
1
2,79 10-5
1 tonelada
1 016 103
1 016
2 240
35 840
1
1 ton. métr
106
103
2 204,6
35 274
0,98
1 slug
14,59 103
14,59
32,17
514,8
1,43 10-2
1 arroba
11,34 103
11,34
25
400
1,11 10-2
1 quintal
45,36 103
45,36
100
1 600
4,45 10-2
1 utm
9,8 103
9,8
21,60
345,6
9,6 10-3
1 uma
1,66 10-24
1,66 10-27
3,66 10-27
5,857 10-26
1,63 10-30
1 cuarto
254,01 103
254,01
560
8 960
0,249
1 dracma
1,772
1,77 10-3
3,9 10-3
6,25 10-2
1,736 10-3
pie/s
milla/h
Velocidad m/s km/h
mm/s
cm/s
1 cm/s
10
1
0,01
3,6 10-2
3,281 10-2
2,237 10-2
1 m/s
1000
100
1
3,6
3,281
2,237
1 km/h
277,8
27,78
0,2778
1
0,9113
0,6214
1 pie/s
304,8
30,48
0,3048
1,097
1
0,6818
1 milla/h
447,0
44,70
Apéndice 0,4470 1,609
1 nudo
514,4
51,44
0,5144
2
2
1,852
Aceleración m/s2 km/h2
1,467
1
1,688
1,151
pie/s2
plg/s2
mm/s
cm/s
1 cm/s2
10
1
0,01
129,6
3,281 10-2
1 m/s2
1000
100
1
3,6
3,281
39,37
1 km/h2
277,8
27,78
0,2778
1
0,9113
3,04 10-3
pie/s2
304,8
30,48
0,3048
3,95 103
1
12
plg/s2
25,4
2,54
25,4 10-3
329,18
83,3 10-3
1
1 pdl
lbf
pdl
3,108 10-2
1
Fuerza kgf 1,41 10-2
N
dyn
ozf
0,1383
1,383 104
0,497
5
1 lbf
1
32,17
0,4536
4,448
4,448 10
16
1 kgf
2,205
70,93
1
9,80665
9,8 105
35,26
1N
0,2248
7,233
0,102
1
105
3,597
1,02 10-6
10-5
1
3,597 10-5
2,248 10-6 72,32 10-6
1 dyn 1 tf
2000
64340
907,2
8896,6
8896,6 105
3,20 104
1 tf m
2204,6
70921
1000
9806,6
9806,6 105
3,53 104
1 arroba
25
804,25
11,34
111,20
111,20 105
4
444,80
5
1 quintal
100
3217
1 ozf
62,49 10-3
2,011
2
lbf/pie 1 atm
2
pdl/pie
45,36
444,80 10
1600
28,36 10-3 0,278014 0,278014 105 Presión kgf/m2 Pa
dyn/cm2
2,116 103 68,06 103 1,033 104 1,013 105 1,013 106
1
bar
Torr
1,013
760
1 lbf/pie2
1
32,17
4,8825
47,881
478,81
4,13 10-6
0,359
1 lbf/plg2
144
4632,48
703,08
6894,8
68948
5,95 10-4
51,69
1 pdl/pie2
31 10-3
1
0,152
1,49
14,9
0,13 10-6
0,011
1 kgf/m2
0,2048
6,59
1
9,806
98,06
0,85 10-6
0,073
1 Pa
2,089 10-2
0,672
0,102
1
10
10-5
7,5 10-3
1 bar
24,2 104
7,79 106
1 Torr
2,785
89,60
Física III 1,02 104 105 13,6
133,3
Energía kgf m joule
106
1
8,69 104
1333
0,12 10-4
1
lbf pie
pdl pie
1 Btu
778
2,502 103
107,55
1055
1,055 1010 2,93 10-4 6,59 1021
1 lbf pie
1
32,17
0,13825
1,356
1,356 107 0,38 10-6 0,85 1019
1
4,3 10-3
1 pdl pie 3,11 10-2
ergio
1kWh
1 eV
4,21 10-2 4,214 105 1,17 10-8 2,63 10-17
1 cal
3,087
99,308
0,427
4,186
4,186 107 1,17 10-6 2,62 1019
1 kgf m
7,233
232,5
1
9,806
9,806 107 2,72 10-6 6,12 1019
1 joule
0,7376
23,729
0,102
1
107
1 hp h
1,98 106
63,7 106
0,27 106
2,68 106
2,68 1013
0,746
1,67 1025
1 kWh
2.65 106
85,41 106
0,37 106
3,6 106
3,6 1013
1
2,25 1025
1 eV
1,18 10-19
38 10-19
0,16 10-19 1,6 10-19
1,6 10-12
4,4 10-26
1
Potencia kgf m/s vatio
lbf pie/s
pdl pie/s
1 Btu/h
0,216
0,695
2,99 10-2
1 lbf pie/s
1
32,17
0,138
-2
1 pdl pie/s 3,108 10
-3
0,28 10-6 6,20 1018
ergio/s
hp
cal/s
0,293
0,293 107
3,93 10-4
7 10-2
1,356
1,356 107
1,82 10-3
0,324
-2
5
1
4,3 10
4,21 10
4,21 10
5,65 .10
-5
10-2
1 kgf m/s
7,2329
232,68
1
9,806
9,806 107
0,013
2,343
1 vatio
0,7376
23,729
0,102
1
107
1,34 10-3
0,239
1 hp
550
17693
76,07
746
746 107
1
178,16
1 kW
737,6
2,373 104
101,97
103
1010
1,341
239
1 Btu/s
778
25,028 103
107,58
1055
1,055 1010
1,414
252
3
g/cm
Densidad de masa kg/m3 lb/pulg3
lb/pie3
utm/m3
1 g/cm3
1
103
36,2 10-3
62,5
102,06
1 kg/m3
10-3
1
0,36 10-4
6,25 10-2
0,102
27,68
2,768 104
1
1 728
2,825 103
1 lb/pulg3
3
Apéndice 16 5,79 10-4
-3
1 lb/pie
16 10
1 utm/m3
9,798 10-3
0,354 10-3
9,798
Carga eléctrica abcoulomb Ah
1
1,6345
0,612
1
coulomb
statcoulomb
1
2,778 10-3
10
2,998 1010
1 ampere-hora
360
1
3600
1,079 1013
1 coulomb
0,1
2,778 10-4
1
2,998 109
3,336 10-11
9,266 10-14
3,336 10-10
1
1 abcoulomb
1 statcoulomb
Corriente eléctrica abampere ampere 1 abampere 1 ampere 1 statampere
statampere
1
10
2,998 1010
0,1
1
2,998 109
3,336 10-11
3,336 10-16
1
Fuerza electromotriz 1 abvoltio voltio
statvoltio
abvoltio
1
10-8
3,336 10-11
1 voltio
106
1
3,336 10-3
2,998 1010
299,8
1
1 statvoltio
Resistencia eléctrica 1 abohmio ohmio
statohmio
abohmio
1
10-9
1,113 10-21
1 ohmio
109
1
1,113 10-12
8,987 1020
8,987 1011
1
1 statohmio
Capacitancia abfaradio faradio 1 abfaradio
1
109
microfaradio
statfaradio
1015
8,987 1020
-9
1 faradio
10
1 microfaradio
10-15 1,113 10-21
1 statfaradio
Física III 1
106
8,987 1011
10-6
1
8,987 105
1,113 10-12
1,113 10-6
1
2. VALORES DE ALGUNAS PROPIEDADES FISICAS PROPIEDADES DE ALGUNOS LIQUIDOS Densidad Calor específico Coeficiente de Líquido
en kg/m3
tensión J/kg 0C
cal/g 0C
880
1 720
0,41
0,03
Agua
1 000
4 190
1,0
0,073
Glicerina
1 200
2 430
0,58
0,064
Aceite de ricino
900
1 800
0,43
0,035
Kerosene
800
2 140
0,051
0,03
Mercurio
13 600
138
0,033
0,5
Alcohol
790
2510
0,6
0,02
Benzol
superficial (N/m)
PROPIEDADES DE ALGUNOS SOLIDOS Densidad Temperatura Calor específico Calor de Sólido
en kg/m3
de fusión 0C
J/kg 0C
cal/g 0C
Coeficiente
fusión
dilatación
J/kg
térmica
Aluminio
2 600
659
896
0,214
3.22 105
2,3 10-5
Hierro
7 900
1 530
500
0,119
2,72 105
1,2 10-5
Latón
8 400
900
386
0,092
-
1,9 10-5
Hielo
900
0
2 100
0,5
3,35 105
-
Cobre
8 600
1 100
395
0,094
1,76 105
1,6 10-5
Estaño
7 200
232
230
0,055
5,86 104
2,7 10-5
Platino
21 400
1 770
117
0,028
1,13 105
0,89 10-5
Corcho
200
-
Apéndice 2 050
Plomo
11 300
327
126
0,030
2,26 104
2,9 10-5
Plata
10 500
960
234
0,056
1,9 10-5
Acero
7 700
1 300
460
8,80 104
0,11 R.SABRERA
-
1,06 10-5
Zinc
7 000
420
391
0,093
1,17 105
2,9 10-5
0,49
-
-
PROPIEDADES ELASTICAS DE ALGUNOS SOLIDOS Resistencia a la Módulo de Sustancia
rotura en N/m2 Young en N/m2
Aluminio
1,1 108
6,9 1010
Hierro
2,94 108
19,6 1010
Cobre
2,45 108
11,8 1010
Plomo
0,2 108
1,57 1010
Plata
2,9 108
7,4 1010
Acero
7,85 108
21,6 1010
PERMITIVIDAD RELATIVA (k) DE ALGUNOS DIELECTRICOS Cera
7,800
Madera
2,5-8
Agua
81
Alcohol, etílico (00 C)
28,4
Kerosene
2
Petróleo
2,1
Aceite
5
Agua (destilada, 00 C)
88,0
Parafina
2
Agua (destilada, 200 C)
80,0
Mica
6
Aire (1 atm)
1,00059
Vidrio
5-10
Aire (100 atm)
1,0548
Nilón
3,5
CO2 (1 atm)
1,000985
Caucho
2-3, 5
Porcelana
6
Azufre
4,0
Ebonita
2,6
Física III CONDUCTIVIDAD TERMICA DE ALGUNOS SOLIDOS ( en W/m oC) Aluminio
210
Fieltro
0,046
Hierro
58,7
Cuarzo fundido
1,37
Cobre
390
Arena seca
0,325
Corcho
0,050
Plata
460
Ebonita
0,174
RESISTIVIDAD DE ALGUNOS MATERIALES (
en
m)
Aluminio
2,83 10-8
Germanio (puro)
Cobre
1,69 10-8
Germanio (5.10-6 % de As) 0,011
Oro
2,44 10-8
Silicio (puro)
640,0
Hierro (00 C)
8,85 10-8
Silicio (10-4 % de As)
0,003
Niquel
7,24 10-8
Solución de NaCl
0,044
Plata (00 C)
1,47 10-8
Ambar
5,0 1014
Mercurio
95,8 10-8
Vidrio
1020-1014
Tungsteno
5,51 10-8
Ebonita
1012-1016
Constatan (Cu60)
44,0 10-8
Mica
1011-1015
Nicromo
100 10-8
Madera
108-1011
0,45
CONDUCTIVIDAD ELECTRICA DE ALGUNOS MATERIALES ( en S/m ) Aluminio
3,54 107
Germanio (puro)
2,22
Cobre
5,81 107
Germanio (5.10-6 % As)
90,9
Oro
4,09 107
Silicio (puro)
1,56 10-3
Hierro (00 C)
1,53 107
Silicio (10-4 % de As)
3,33 10-2
Níquel
6,80 107
Solución de NaCl
25
Plata (00 C)
6,14 107
Ambar
2,0 10-15
Tungsteno
1,82 107
Vidrio
10-20-10-14
Mercurio
1,82 106
Ebonita
10-12-10-16
6
Constatan (Cu60)
2,04 10
Nicromo
1,00 106
Apéndice Mica
10-11-10-15 10-8-10-11
Madera
SUSCEPTIBILIDAD ELECTRICA ( e) DE ALGUNOS MATERIALES Mica
5
Hidrógeno
5,0 10-4
Porcelana
6
Helio
0,6 10-4
Vidrio
8
Nitrógeno
5,5 10-4
Baquelita
4,7
Oxígeno
5,0 10-4
Aceite
1,1
Argón
5,2 10-4
Trementina
1,2
Oxido de carbono
9,2 10-4
Benceno
1,84
Aire
5,4 10-4
Alcohol (etílico)
24
Vapor de agua
7,0 10-3
Agua
78
Aire (100 atm)
5,5 10-2
MOMENTOS DIPOLARES DE ALGUNAS MOLECULAS (m C) HCl
3,43 10-30
HBr
2,60 10-30
HI
1,26 10-30
CO
0,40 10-30
H2O
6,20 10-30
H2S
5,30 10-30
SO2
5,30 10-30
NH3
5,00 10-30
C2H5OH
1,26 10-30
SUSCEPTIBILIDAD MAGNETICA (
m)
DE ALGUNOS MATERIALES
Hidrógeno (1 atm) -2,1 10-9
Oxígeno (1 atm)
2,1 10-6
Nitrógeno 91 atm) -5,0 10-9
Magnesio
1,2 10-5
Sodio
2,4 10-6
Aluminio
2,3 10-5
Cobre
-1,0 10-5
Tungsteno
6,8 10-5
Bismuto
-1,7 10-5
Titanio
7,1 10-5
Diamante
-2,2 10-5
Platino
3,0 10-4
Mercurio
-3,2 10-5
GdCl3
2,8 10-3
Física III MOVILIDAD DE LOS IONES EN LOS ELECTROLITOS (m 2/V s) NO-3
6,4 10-8
H+
3,26 10-7
Cl-
6,8 10-8
Ag+
5,6 10-8
K+
6,70 10-8
Código de colores para las resistencias
Colores Negro Marrón Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco Oro Plata Sin color
1ª Cifra 2ª Cifra Multiplicador Tolerancia 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 x10 x 102 x 103 x 104 x 105 x 106 x 107 x 108 x 109 x 10-1 x 10-2
1% 2%
0.5%
5% 10% 20%
PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL (S.I.) Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo 101
deca
da
10-1
deci
d
102
hecto
h
10-2
centi
c
103
kilo
k
10-3
mili
m
106
mega
M
10-6
micro
109
giga
G
10-9
nano
n
1012
tera
T
10-12
pico
p
1015
peta
P
10-15
femto
f
1018
exa
E
10-18
atto
a
Apéndice 3. FORMULAS E IDENTIDADES DEL ANALISIS VECTORIAL ( ) ( ) 1) 2) 3)
(f
5)
( f)
7)
xf
9)
8)
x f
10)
x
0
(f h)g (f g)h
12)
/ nˆ
nˆ
(nˆ )B
14)
x xf
B / nˆ
r
19)
(r / r3 )
21)
F( )
23)
x A( ) S
S
f
0
16)
r/r
18) 2
(1/ r) 0, si r
( F/
V
ds
gdV
V
31)
x(f x g) f
g g
f
32)
(f g) (f
)g (g
)f
(g
(g
30)
)f dV )f
(f
r
r / r3
(1 / r) r'
'r
C
S L
f d
(A
ds x f d
V S
36) 37)
L
V
V
N dy
ds x
)g
f x xg gx xf
[
2
[
2
(
S
)( 2
N x
(
)]dV
]dV
M )dx dy y S
S
(
(
R.SABRERA
) ds ) ds
r'
r r
r' r'
) )( B /
x f ds
S
34) (e x f ) x (g x h) [e (f x h)]g [e (f x g)]h
M dx
xf
3
33) (e x f ) (g x h) (e g)(f h) (e h)(f g)
35)
xg
2
A( ) ( A /
28)
f
xf
24) (A )B( )
)
xg
xf
22)
dV f
xf
r
26)
V
g)
20)
f dV
V
f (g ds)
0
)
x( A /
f ds
S
2
f
17)
29)
(f x g) g
f
0
xr
27)
6)
g
f
15)
25)
x (f
f
11) f x g x h 13)
4)
g)
x f dV
)
Física III 4. ECUACIONES DE MAXWELL EN EL VACIO (S.I.)
Para campos electromagnéticos independientes del tiempo Ley
Forma diferencial
Forma integral
De Gauss para el campo e léctrico E S
E ds
De Gauss para el campo de inducción magnética B S
De circulación para el cam po eléctrico E L
De circulación para el cam po de inducción magné tica
L
q/
E
o
/
o
B ds
0
B 0
Ed
0
xE 0
Bd
xB
oI
oJ
Para campos electromagnéticos dependientes del tiempo Ley
Forma integral
De Gauss para el campo eléctrico E S
De Gauss para el campo de inducción magnética B De circulación para el campo eléctrico E
E ds
S
L
De circulación para el campo de inducción mag nética
Forma diferencial
L
Bd
q/
B ds
0
d dt
Ed
oI
E
o
o o
S
/
o
B 0
B ds
d dt
S
B ds
xE 0
xB
oJ
Apéndice 5. RESUMEN DE FORMULAS DEL ELECTROMAGNETISMO (S.I.)
Nombre 01) Ley de Coulomb
Discreta (s) F
k
q1 .q 2 3 r12
Continua (s)
r12
F
k
1dV1
2 r dV2 3 12 V2 r12
(r
r´)
r
r´
V1
02) Fuerza sobre una carga
F qE
en el campo eléctrico E N
03) Intensidad del campo eléctrico
E
k k 1
/r
rk ) q k r
rk
E
3
k V
04) Campo a una distancia "d" de un
3
dV
P
filamento de longitud infinita y
E
d
2
densidad de carga lineal " "
od
P
05) Campo a una distancia "d" de un
sen
E
filamento de longitud finita " " y
2
od
d
densidad de carga lineal " " l/2
P
06) Campo a una distancia "d" del centro
E
de una espira cuadrada de lados "2a"
4
o (a
d
8 ad d 2 )(2a 2
2
y densidad de carga lineal " " 0
2a
2a
P
07) Campo a una distancia "d" de un plano infinito de densidad de carga superficial uniforme " "
d
E
2
o
d 2 )1/ 2
Física III 08) Campo a una distancia "d" del centro
P
E
de un anillo de radio "R" , y densidad de carga lineal uniforme " "
Rd 2 o (d 2 R 2 )3 / 2
d
R P
09) Campo a una distancia "d" del centro
E
d
de un disco de radio "R" , y densidad de carga superficial uniforme " "
d
[1
2
d
o
2
R
2
]
R
A
10) Campo de planos infinitos paralelos delgados cargados con densidades de cargas superficiales
-
B
/
E
0,
C
11) Campo de planos infinitos paralelos
o
en B en A y C
A
delgados cargados con densidades de cargas superficiales
B
/
E
o
0,
en A y C en B
C
P
12) Campo de un cascarón esférico de
r
radio "R" , y densidad de carga
E
superficial uniforme " "
0, R2 /
or
2
para r
R,
para r
R.
R
P
13) Campo de una esfera compacta de
r
radio "R" , y densidad de carga volumétrico uniforme " "
E R
r / 3 o,
para r
R,
R 3 / 3 o r 2 para r
R.
Apéndice 14) Campo de un segmento esférico R
de radio "R" , y densidad de
r E
carga superficial uniforme " "
0 2
E (
4
)( o
r ) R2 eje
15) Campo en el eje de simetría de
P R
un cascarón cilíndrico de longitud
" " , y densidad de carga superficial z
uniforme " " R
(
2
R
o
E (
2
o
2
(z
R )
2
R
R R2
(
2
z
2
R z)2
R2
z2
l
), z O
), z eje P
16) Campo en el eje de simetría de
R
un cilindro compacto de longitud
R.SABRERA
z
" " , y densidad de carga volumétrica
l
uniforme " "
E
2 2
[
(z
)2 R 2
z 2 R 2 ], z
O
o
[2z
z)2 R 2
(
z 2 R 2 ], z
E
o
P
17) Componente perpendicular del campo de una superficie plana cargada, que limita un ángulo sólido " " E
4
o
18) Ecuación para las líneas de fuerza de E
E ydx
19) Tensor Maxwelliano de tensión eléctrica
T
Exdy 1 (E E 4
1 2 E 2
)
Física III 20) Flujo de E a través de una superficie S
E
S
21) Densidad de líneas de campo eléctrico
D
oE
22) Número de líneas del campo eléctrico
N
E
23) Ley de Gauss en su forma integral
E
24) Ley de Gauss en su forma diferencial
E dS
S
E
E dS Qn / /
25) Momento dipolar de un dipolo eléctrico
p qd
26) Potencial eléctrico de un dipolo eléctrico
V(r, )
27) Componentes radial (Er) y tangencial (E )
Er
o
o
pcos 4 or 2 2pcos , E 4 or3
psen 4 or3
del campo E de un dipolo eléctrico p
28) Campo eléctrico de un dipolo eléctrico
E
29) Momento del momento dipolar de un dipolo
M px E
30) Trabajo para alinear un dipolo eléctrico
W
pE
31) Energía de interacción de un dipolo con E
W
pE
32) Energía de interacción entre dos dipolos
W
33) Momento del cuádrupolo
4
or
1 4
3
[ o
[3cos 2
p1 p2 r2 r1
1]1/2
3p1 (r1 r2 )p2 (r1 r2 ) 3
r2 r1
5
Q 2qd 2
34) Potencial eléctrico de un cuádruplo
V
qd 2 (3cos2 3 4 or
35) Componentes del campo eléctrico de
Er
3q d (3cos 2 4 4 or
E
3q d (sen 2 ) 4 or 4
un cuadrupolo eléctrico
3q d (5cos 4 4 4 or
36) Campo eléctrico de un cuadrupolo
E
37) Trabajo para desplazar una carga "q"
W q Ed
1) 1) ,
2cos 2
1)1/ 2
]
Apéndice 38) Circulación del campo eléctrico E
CE W / q
39) Condición de campo eléctrico conservativo
rot E 0 o CE
40) Definición de energía potencial eléctrica
W
41) Diferencia de energía potencial entre B y A
UB
42) Energía potencial eléctrica en un punto P
UP
43) Energía potencial de interacción de Q1 y Q2
U
44) Energía potencial de una carga en un
Ui
Ed
U
Ed
UB
UA
B
UA
q E A o
P
0
d
qoE d
Q1Q 2 r 1 N qi .q j 4 . o j i rij
k
sistema de "N" cargas puntuales 45) Energía potencial de un sistema de "N"
N N
1
US
8
qi .q j
o i j j 1
rij
cargas puntuales 46) Definición de potencial eléctrico en un punto P
VP
47) Potencial eléctrico de una carga puntual "q"
V
UP qo k
P
Ed
q r N
48) Potencial eléctrico de un sistema de
V
k k
qk r 1 k
"N" cargas puntuales 49) Potencial eléctrico de un cuerpo cargado
V
k
dq D r B
50) Diferencia de potencial eléctrico entre B y A
VBA
VB VA
E dr A
51) Ecuación de las líneas equipotenciales
Exdx
52) Cargas después del contacto de dos esferas de
Q1'
(R1 / R1 R 2 )(Q1 Q2 )
radios R1, R2 con cargas iniciales Q1 Q2, 53) Potencial eléctrico a una distancia "d" de un filamento de longitud infinita y densidad de carga lineal uniforme " "
Q'2
(R 2 / R1 R 2 )(Q1 Q2 )
V
2
o
C n( ) d
E ydy
P d
Física III 54) Potencial eléctrico a una distancia "d" de un filamento de longitud " " y densidad de carga lineal uniforme " "
P
d
V
2
o
( / 2)2 n[ d
d2 2d
] l/2
P
55) Potencial eléctrico a una distancia "z" del centro de una espira de lados " " y densidad de carga lineal uniforme " " V
2
z
z 2 2( / 2)2
n[
z
o
2
( / 2)
2
2 z
2
( / 2)
2
0
]
l
l
56) Potencial eléctrico a una distancia 'd" del centro de una espira circular de radio "R" y densidad de carga lineal uniforme " " V
R 2 o (d 2 R 2 )1/2
P d
R
R.SABRERA
57) Potencial eléctrico a la distancia "d" de una superficie plana muy grande de densidad de carga superficial uniforme " " V
2
P d
d o
P
58) Potencial eléctrico a una distancia "d" del centro de un disco de radio "R" , y densidad de carga superficial uniforme " " V
2
[ d
2
R
2
d R
d]
o
P
59) Potencial eléctrico de un cascarón cilíndrico muy largo de radio "R" , y densidad de carga superficial uniforme " "
r
R
R
l l>>R
Apéndice VP
c n( ), r r
2 k
R
y
60) Potencial eléctrico de un cilindro muy largo compacto de radio "R" , y densidad de carga longitudinal uniforme " "
VP
c n( ), r r
2 k
P r
r n( ), r R R r k [1 ( )2 ], r R R
R
2k
VP
R
l
R
l>>R
P
61) Potencial eléctrico de un cascarón esférico de radio "R" , y densidad de carga superficial uniforme " " R/ VP
o,
2
R /
o r,
r
R,
r
R.
r
R
62) Potencial eléctrico de una esfera compacta de radio "R" , y densidad de carga volumétrico uniforme " " (3R 2
VP
r2 ) / 6 o ,
3
R / 3 o r,
r
R,
r
R.
63) Potencial eléctrico de un hemisferio compacto de radio "R" , y densidad de carga volumétrica uniforme " "
P r
R
R P 0
VP
12
[2(d 2
R 2 )3/2
2d3 3R 2d 2R 3 ]
o
d
64) Potencial eléctrico de un segmento esférico hueco de radio "R" , y densidad de carga superficial uniforme " "
R 0
V
R 2
o
(1 cos
o)
0
65) El gradiente del potencial eléctrico
Física III E
gradV
V
66) Componentes cartesianas del campo E
Ex
V ; Ey x
V y Ez y
67) Componentes polares planas del campo E
Er
V r
1 V r
68) Componentes cilíndricas del campo E
E
69) Componentes esféricas del campo E
Er
V
E
;
1 V
E
;
V ; E r 1 V r sen
E
V z
y Ez
1 V y r
Carga puntual "Q" frente a una placa a potencial nulo (V=0) 70) Componente normal del campo eléctrico en la placa En
2Qd 4 or3
' o
Q
d
71) Fuerza eléctrica entre la placa y la carga "Q" F
1 16
o
Q2 d2
Carga puntual "Q" frente a una esfera conductora a V=0 72) Carga imagen y distancia al centro esfera
Qi
a Q y b d
a2 d
a
d
Q
0
73) Densidad de carga superficial inducida en la esfera '
Q(d 2 a 2 ) 4 a (d 2 a 2 2da cos ) 1/ 2 2
74) La ecuación de Laplace y Poisson 75)
76)
2
2
V en coordenadas cartesianas rectangulares
V en coordenadas polares planas
2
0
V
V x2
/ 2
o 2
V y2
1 V (r ) r r r
Laplace Poisson 0
V z2
1 r2
2
/ V 2
o
0 /
o
V z
Apéndice 77)
2
2
V en coordenadas cilíndricas V en coordenadas esféricas
1 V (r ) r r r
2
1 r2
1 V (r 2 ) 2 r r r 2
1 2 r sen 2
1 r sen 0
V 2
/
1 2
79) Energía eléctrica de un conductor cargado
U
1 2
80) Densidad de energía eléctrica en el vació
u
U V
1 2
81) Intensidad de corriente eléctrica
I
dQ dt
en vA
82) Velocidad media o arrastre de los electrones
v
83) Señal eléctrica alterna senoidal
A(t)
84) Valor pico a pico de la señal alterna senoidal
2Ao
85) Valor medio de la señal alterna senoidal
Am
1 T
86) Valor eficaz de la señal alterna senoidal
A ef
[
87) Factor de forma de la señal alterna senoidal
F
Aef Am
88) Definición de densidad de corriente eléctrica
J
I A
89) Vector densidad de corriente eléctrica
J
nq v
90) Intensidad de corriente por un conductor
I
V dS oE
1 2
T 0
1 T
T 0
J
v
)
A 2 (t)dt]1/2
Jcos dS A
92) Densidad de corriente para un medio continuo
A(t)dt
J dS A2 A1
V dv
R.SABRERA
A osen( t
J1 J2
V
2
eE me
91) Relación para un conductor de sección variable
o
E 2 dV
o
A
/
(sen
2
U
0
V z2
2
78) Energía del campo eléctrico E en el vació
S
2
V
V
o
)
Física III 93) Resistencia eléctrica de un conductor
R
94) Resistencia en función de la temperatura
R
S R o [1
(T To )]
95) Resistividad macroscópica de un material
VA I
96) Resistividad microscópica de un material
me v n e2
97) Resistividad en función de la temperatura
V J
o
o
98) Cambio en fracción de la resistividad
m (T
o
To )
m (T
To )
o
1d dT
99) Coeficiente de resistividad de un material
J E 1
100) Conductividad macroscópica de un material 101) Conductividad microscópica de un material
ó
E
n e2 me v
N A .z. A
102) Densidad electrónica de un material
n
103) Energía cinética media del movimiento térmico es
1 m.vc2 2
104) Velocidad media de los e en el gas electrónico s
J
v
3 k.T 2 [
1 N
N i 1
1 N
N i 1
105) Velocidad cuadrática media de los e s
vc
[
106) Ley de Wiedemann-Franz
K
k 3 ( )2 T e
107) Conductancia eléctrica de un conductor
G
108) Ley de Ohm para conductores ohmicos
V R cte. I VAB I R y
109) Analogía entre electricidad e hidráulica 110) Potencia eléctrica consumida en una resistencia
P
1 R
VI
vi ] 1/2
vi2 ] 1/2
I V
2
I R
PAB
V2 R
QC
Apéndice 111) Potencia instantánea en corriente alterna (C.A)
P(t)
112) Potencia active (P) de una corriente alterna (C.A)
P IVcos
113) Potencia fluctuante de una corriente alterna (C.A)
P(t)
V Icos
V Icos(2 t
114) Potencia reactiva (Q) de una corriente alterna (C.A) Q IVsen 115) Reactancias inductiva (XL) y capacitiva (XC)
XL
I 2R
I ZIcos
V Icos(2 t
)
)
I2 (XL XC )
L, XC
1 C
116) Potencia aparente (S) de una corriente alterna (C.A) S P ˆjQ P S
117) Factor de potencia (F) de una corriente alterna
F cos
118) Primera ley de Faraday
m
kQ
kIt
119) Segunda ley de Faraday
k
C kx
1A -3 -1 , F=10 C Fz
120) Ley unificada de Faraday
m
1A Q Fz n' , n ' # de iones disociados n
121) Coeficiente de disociación en un electrolito 122) Recombinación electrolítica
1 C
123) Cuantización de las cargas en un electrolito
Q
124) Densidad de corriente en un electrolito
J =q+no+< v >+ q-no-< v >
2
125) Velocidad media de los iones (+) y (-) 126) Carga eléctrica debido a los iones (+)
C.n o z.F NA
v q
u E , e.z
F z NA
v
u E y q no
F z n o (u u )E NA NA 128) Resistividad de un electrolito F.z n o (u u ) 1 m 129) Energía cinética media mínima partículas ionizantes m.v 2 (1 ).Wi 2 M 127) Ley de Ohm en un electrolito
J
130) Corriente de saturación
IS
e No
q no
Física III 131) Ecuación de continuidad para J 132) La ecuación de Laplace para J
J
133) Densidad de carga del equilibrio electrostático 134) Tiempo de relajación
J
t
0
0
(r)
t/
o (r)e
tC 2
135) Trabajo de las fuerzas de Coulomb
1
EC d
V1 V2
2
136) Fuerza electromotriz
12
EE d
1
137) Fuerza electromotriz de Thomson
2
dT
1
138) Diferencia de potencial entre dos puntos a, b
N1
N2
Vab
IR k k 1
( )
k
k 1
1 ( ) 1 r/R
139) Diferencia de potencial en los bornes de una pila Vab
rg2
140) Resistencia de compensación
Rx
141) Resistencia equivalente para conexión serie
Re
142) Resistencia equivalente para conexión paralelo
Re 1
143) Corriente en un galvanómetro balístico
I
rg
RS
R1 ... R N
R1 1 ... R N1
N BA q o
144) Corriente en un galvanómetro 145) Resistencia desconocida en el puente Weatstone 146) f.e.m desconocida en un potenciómetro
k NAB
I
rg2
Rx
x
147) Primera ley de Kirchoff (Regla de nodos)
k
rg
RS
R1 R1S
S
( ) Ik
N
148) Segunda ley de Kirchoff (Regla de mallas)
0 M
( )Ik R k k 1
( ) k 1
k
Apéndice 149) Resistencia en paralelo (Shunt) con un amperímetro
RS
I0 R 0 I I0
150) Resistencia en serie con un voltímetro
Ra
V I0
R0
151) Cantidad de calor disipado por efecto Joule
Q 0,24 i R t
152) Cálculo microscópico del efecto Joule
P
V2 0,24 t R
2
V
J EdV
v E
153) Movilidad de los electrones en un conductor (t)
d dt
155) Energía eléctrica almacenada en una bobina
WM
1 2 LI 2
156) Inductancia equivalente para conexión en serie
Le
L1 ... L N
157) Inductancia equivalente para conexión en paralelo
Le1
L11 ... L N1
158) Impedancia equivalente para conexión en serie
Z
159) Impedancia equivalente para conexión en paralelo
Ze 1
160) Voltaje total en un circuito eléctrico RL
V I[R 2
154) Fuerza electromotriz en una bobina de inducción
162) Voltaje total en un circuito eléctrico RC 163) Angulo de fase entre V y I en el circuito eléctrico RC 164) Susceptibilidad eléctrica de un dieléctrico 165) Constante dieléctrica
V
Z1 1 ... ZN1
X2L ]1/2
XL ) R
I[R 2
tg 1 (
tg 1 (
XC ) R
i
o (k
E
k 1 k
D k
o
o o
o
IZ L ) R
XC2 ]1/2
o
Capacidad especifica de inducción 166) 167) Vector desplazamiento dieléctrico
di(t) dt
Z1 ... Z N
tg 1 (
161) Angulo de fase entre V y I en el circuito eléctrico RL
L
E
1/ C tg 1 ( ) R 1)
o
Física III 168) Teorema de gauss para dieléctricos
D dS q (carga libre) S
169) Ley de Snell en dieléctricos 170) Vector de polarización en dieléctricos
tg tg
k1 k2
1 2
1 V
Pe
171) Vector de polarización para dieléctrico neutro
Pe
no
172) Vector de polarización para dieléctrico polar
Pe
no
N
pe, i i 1
E
o
o
E
pe
n o pc2 3 o kT
173) Fórmula de Debye-Langevin 174) Densidad superficial de cargas de polarización
p
175) Densidad volumétrica de cargas de polarización
p
Pe nˆ div Pe
176) Relación entre D , E y P
D
177) Carga inducida en una esfera conductora
qi
(
178) Trabajo de extracción de un electrón en un metal
W
e(V V ')
179) Capacidad eléctrica
C
q V
180) Capacidad de un condensador plano paralelo
C
181) Capacidad de un condensador cilíndrico
C
182) Capacidad de un condensador esférico
C 4
183) Capacidad equivalente para conexión en serie
Ce 1
184) Capacidad equivalente para conexión en paralelo
Ce
185) Carga instantánea en proceso de carga condensador
q(t) VabC (1 e
186) Intensidad de corriente en un proceso de carga
I(t)
oE
Pe
k 1 )q k
oA
d
2 o n(b / a) o
ab (b a)
C1 1 ... CN1 C1 ... C N
Vab e R
t/RC
t/RC
)
Apéndice 187) Constante de tiempo en un proceso de carga
t
188) Carga instantánea en un proceso de descarga
q(t) Q.e
RC t / RC
1 Q2 2 C
1 qV 2
E2 2
2 o Vab
189) Energía eléctrica almacenada en un condensador
W
190) Densidad de energía eléctrica en un condensador
w
o
191) Fuerza eléctrica entre las placas de un condensador
F
D2A 2 o
192) Coeficientes de potencial sistema de "N" cargas
Vi
193) Energía de un sistema de "N" conductores
W
194) Coeficientes de capacidad de "N" conductores
Qi
N c V j 1 ij j
195) Intensidad de corriente eléctrica de desplazamiento
ID
JD dS
196) La ley de Biot-Savart para calculo de B
B
197) La ley de Biot-Savart para calculo de modulo de B 198) Cálculo de B en un medio o sustancia magnética
oE
oI
4
C
d xr r3
C
sen d r2
oI
B
4
B Bo N
I 2 d
B=?
IMAN
d
B d
I
D ) dS t
P
q
conduce una corriente "I"
S
(
Bm
"d" de un filamento rectilíneo muy largo que
o
Q2 2 oA
A
N Q V j 1 j j
S
200) Campo de inducción magnética a una distancia
B
2
2
1 2
"d" del extremo de un imán B
2d
N p Q j 1 ij j
199) Campo de inducción magnética a una distancia
o q 4 d2
1 CV 2 2
Física III 201) Campo de inducción magnética a una distancia
B
"d" de un filamento rectilíneo finito que conduce una corriente "I" B
d
I (sen 4 d o
sen ) I I
202) Campo de inducción magnética en el centro de una espira rectangular de lados "a" , "b"
B
I
0
que conduce una corriente "I"
b I
B
o
8I(a
4
2
2 1/2
b ) ab
I
a P
203) Campo de inducción magnética a una distancia d
"d" del centro de una espira cuadrada de lados "2a" que conduce una corriente "I"
I 2a
2
B
(a
2
2 oIa d 2 )(2a 2
d 2 )1/2
2a
I
P
204) Campo de inducción magnética a una distancia
d I
"d" del centro de un anillo de radio "R" que conduce una corriente "I"
R
0
B
IR2 2 (d 2 R 2 )3/2 o
I
205) Campo de inducción magnética en el centro de
B
un filamento en forma de arco circular de radio "R" que conduce una corriente "I" B
R
R
I 4 R
I
o
206) Campo de inducción magnética a una distancia "d" del centro de un anillo de radio "R" , densidad de carga lineal " " que gira con frecuencia " "
d 0
R
Apéndice
R3 B 2 (d 2 R 2 )3/2 207) Campo de inducción magnética en puntos o
l R
del eje de simetría de un solenoide de "N"
P
vueltas, que conduce una corriente "I" o
B
IN
2
(cos
2 1
cos 1 )
2
208) Campo de inducción magnética de un Rm
toroide de radios interno "R 1 " , externo
R2
"R 2 " que conduce una corriente "I"
0 R1
IN R1 r R 2 2 r 0 r R1 o r R 2 o
B
I I
209) Campo de inducción magnética de un
I R
cilindro compacto de radio "R" , muy largo que conduce una corriente "I" Ir , r R 2 R2 o I , r R. 2 r
o
B
R.SABRERA
210) Campo de inducción magnética en P de un
I
anillo de radio "R" , que conduce corriente R
"I" , cuando d>>R o IR 3
B
P
0 I
2
d
4d
211) Campo de inducción magnética en P de un
P
disco de radio "R" , densidad de carga superficial " " , y que gira con frecuencia angular " " 2
B
o
2
[
R (R 2
R
2
2d d 2 )1/2
d
2d]
Física III 212) Campo de inducción magnética a una distancia
"d" del centro de un anillo de radio "R" , densidad P
de carga lineal " " , que gira alrededor de su diámetro
d
con frecuencia angular " "
R3 , d 4d3
o
B
R R
213) Campo de inducción magnética en puntos
R.SABRERA
del eje de simetría de un cilindro hueco d
rotante de radio "R" , y densidad de carga
P
superficial " " B
R
o
2
d
( d
2
d R
2
(d
h)
R
h 2
R
2
)
214) Campo de inducción magnética a una distancia
"d" del centro de una espira hexagonal de lados "a"
h
P
a a
que conduce una corriente "I" 3 3 o Ia 2
B
a
d
(4d 2 3a 2 ) d 2
a
a
a2
a
215) Campo de inducción magnética en puntos del
I
plano que contiene una banda de corriente "I" de ancho "w" a una distancia "d" B
oI
2 w
n(1
"d" de una banda de corriente "I" de ancho "w" w B ( ) tg ( ) w 2d 1
d
w ) d
216) Campo de inducción magnética a una distancia
oI
w
P d 0
w
I
P
Apéndice 217) Campo de inducción magnética en el punto P, de N vueltas de corriente "I" que se encuentran sobre un tronco de cono oI N
B
2(b a)
sen
P I
2
cos
a
b n( ) a
b
218) Campo de inducción magnética en el punto P, creado por dos espiras circulares que
a
I P
conducen corrientes "I" (x<<2b) B
(a
2 oI a 2 2 3/2
b )
x
0
3 (4b 2 a 2 ) 2 [1 x ...] 2 (a 2 b 2 )
2b
a I
219) Campo de inducción magnética generado P
por una esfera hueca de radio "R" , densidad
z
de carga superficial " " que gira alrededor de su diámetro B
0
2
o
R 4 / 3z3 ,
para z
R
2
o
R / 3,
para z
R
R
220) Campo de inducción magnética a una distancia P
"d" del centro de un disco de radio "R" , densidad
d
de carga superficial " " , que rota alrededor de su diámetro B
1 16
o
R4 , d d3
R
R
221) Campo de inducción magnética generado por una esfera sólida rotante de radio "R" ,
P
densidad de carga volumétrica " "
B
2
o o
R 5 / 15z3 , para z R 2 / 3,
para z
z
R 0
0
R
Física III 222) Campo de inducción magnética en el centro de la base de un cilindro sólido rotante de P
"R" , densidad de carga volumétrica " " h ( R2
o
B
2
h2
h
h) R
223) Campo de inducción magnética a una distancia
"d" de la base mayor de un segmento esférico hueco de densidad de carga superficial " " B
1 R[ sen (cos 2 3 2 2
o
2)]
P
d
R
0
224) Campo de inducción magnética en el vértice P de un cono regular hueco rotante de altura "h" , R
ángulo de vértice " " y densidad de carga superficial " " o
B
2
R sen 2 P
225) Campo de inducción magnética en el vértice P de un cono regular sólido rotante de altura "h" , ángulo de vértice " " y densidad de carga
R
volumétrica " "
1 2cos R2 ( ) 1 cos2
o
B
4
P
226) Campo de inducción magnética en el vértice P de una pirámide de base circular de radio "R"
P
con densidad de carga superficial " " B
o
2
R
(8 5 2)
R R
Apéndice 227) Campo de inducción magnética en el vértice 2
z
2
P de un paraboloide de ecuación cz=x +y , altura "H" , densidad de carga superficial " " H
1
c[1
1 H/c
]
H y
0 x
228) Campos de inducción magnética, creados por dos bandas de de densidades de corriente "J" , (I)
separados por una distancia "d" o J,
B
J
zona I
(II)
0,
zona II o J zona III
J
d
229) Campo de inducción magnética a una distancia
(III)
P
"d" del centro de una superficie circular de d
radio "R" , con densidad de corriente "J" oJ (1 2
B
d
2
R
J
d R
2
)
0
230) Campo de inducción magnética a una distancia
P
"d" del centro de una superficie cuadrada de
d
lados "a", con densidad de corriente "J" J
B
oJ
1 ( ) 2 1 4d / a
0
231) Campo de inducción magnética de una esfera
a
a
compacta de radio "R" , densidad de carga
B
volumétrica " " , y se desplaza con velocidad
"v"
A 0
BA
4 v r sen (3)(4 o )c 2
3
BB
4 vR sen (3)(4 o )r 2 c2
v R
Física III 232) Relación de campos de una carga puntual que
B
1 vxE c2
se desplaza con velocidad "v" 233) Definición de intensidad magnética
H
B o
234) Fuerza magnética sobre una carga puntual
F qvxB
235) Fuerza de Lorentz sobre una carga puntual
F qE qvxB
236) Fuerza magnética sobre un conductor curvilíneo
F
J x BdV V
237) Fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo
F I xB
238) Fuerza magnética entre dos conductores rectilíneos
F
o I1 I 2
2
239) Torque magnético sobre un circuito de corriente
d
MxB
240) Momento magnético de un circuito de corriente
M
241) Periodo de las oscilaciones transversales de un imán
T
IS 2
2 (
I 1/ 2 ) mB
2 (
2MR 3 1/2 ) 3 o NIm
o
242) Periodo de las oscilaciones longitudinales de un imán
T
2 o
243) Diferencia de potencial de equilibrio en el efecto Hall
V
244) Campo eléctrico transversal en el efecto Hall
EH
245) La constante de Hall
R
V1
V2
R
IB d
R Bx J A n oq
e2 h
246) La conductividad eléctrica en el efecto Hall 247) Campo de inducción en función del potencial vectorial
B rot A
248) Potencial vectorial magnético de una densidad "J "
A(r2 )
249) Potencial vectorial de un circuito distante
A(r2 )
o
4
V1
J(r1 ) dV1 r2 r1
m x r2 4 r22 o
Apéndice o
m r23
250) Campo magnético de un circuito eléctrico distante
B(r2 )
251) Componente radial Hr de un dipolo magnético
Hr
2m cos 4 r3
252) Componente tangencial H de un dipolo magnético
H
msen 4 r3
253) Modulo de la intensidad magnética de un dipolo
H
254) Potencial escalar V y campo de inducción B
B
255) Potencial escalar magnético de un circuito pequeño
V
256) Potencial escalar de un circuito de corriente grande
V(P)
4
[
1 m (3cos2 3 4 r
m r2 4 r23 I 4
h mv
h p
258) Cantidad de movimiento de De Broglie
p
h k 2
259) Vector número de onda
k
(2 / )nˆ
260) Carga especifica en un espectrómetro de Dempster
q m
2. V B2r 2
261) Periodo de una partícula en un cicrotrón
T
2 W e.c2 B
262) Campo de inducción magnética en un cicrotrón
B
2 W e.c2 To
263) Periodo de resonancia en un ciclotrón
To
T
m B
e.To 2
264) La ley de Ampere para circuitos magnéticos 265) Flujo magnético a través de una superficie "S"
1)1/ 2
V
o
257) Longitud de onda de De Broglie
Condición de funcionamiento en un sicrotrón
3(m r2 ) r2 ] r25
CB B
2 m B q cte.
Bd S
2 W B q2
B dS
oI
Física III 266) Ley de Gauss para campos magnéticos 267) Ley de Ohm para circuitos magnéticos
div B 0 mR m
m
268) Reluctancia de un circuito magnético con "S" constante
R mi
269) Reluctancia de un circuito magnético con "S" variable
Rm
i oS
d
0
o
S
n R i 1 mi
270) Reluctancia total para una conexión en serie
Rm
271) Reluctancia para una conexión en paralelo
Rm [
n R 1] 1 i 1 mi
272) Primera ley de Kirchoff para circuitos magnéticos
n i 1
mi
273) Segunda ley de Kirchoff para circuitos magnéticos
k i 1
mi R mi
274) Trabajo de desplazamiento de un conductor
W
I
0,
d
k ( i 1
m
i
)
mi
m
m
D t
275) Densidad de corriente de desplazamiento
JD
276) Razón entre las densidades de corriente JC y JD
JC JD
277) Continuidad de la componente normal de B
nˆ (B2 B1) 0
278) Discontinuidad de componente tangencial de H
nˆ 2x (H2
279) Continuidad del flujo de inducción magnética
V
H1)
BdV
JS
(S2 )
280) Definición de fuerza electromotriz
W q
281) f.e.m inducida en una bobina rotante de "N" espiras
N BS sen
d
282) Ley de Faraday
Ed
B
dt
283) f.e.m en función del potencial vectorial magnético 284) Voltaje de salida (V2) en un transformador
C
t
V2
(
Ad
N2 )V N1 1
(S1)
Apéndice 285) Potencia entregada y consumida en un transformador
V1 I1
286) Definición de flujo de autoinducción
V2 I 2
B dS
a S
287) Autoindiccón para un contorno no ferromagnético
LI
a
288) Ley de Faraday para un contorno no ferromagnético
d a dt
L
289) Expresión para el coeficiente de autoinducción
2
di dt
d xr dS r3
o
L
L
S
290) Coeficiente de autoinducción para un
l
solenoide muy largo
N
2
L
o
N S/
I
S
291) Coeficiente de autoinducción para un solenoide de coeficiente k=l/d L k
N2S /
o
l N
I
R.SABRERA
292) Coeficiente de autoinducción para
S
R2
cilindros coaxiales de radios "R 1 " , "R 2 " y longitud " "
1 2
L
R1 o
.
n(
R2 ) R1
l I
293) Coeficiente de autoinducción de un un toroide de sección transversal rectangular de lados "a", 'b"
1 2
L
o
N 2b n(
N b a
R2 ) R1
R1 R2
R
294) Coeficiente de autoinducción para Una línea de transmisión L
1 o
d n( ) R
d R l
Física III
N2 )V N1 1
295) Voltaje de salida (V2) en un transformador
V2
296) Intensidad de corriente en un circuito eléctrico R-L
I(t)
297) Tiempo de relajamiento en un circuito eléctrico R-L
tc
298) Energía magnética en una bobina inductora
WM
1 2 LI 2
299) Densidad de energía en una bobina inductora
wM
1 2
o
d
21
300) Inducción mutua para dos bobinas de corriente
(
Ioe
R t/L
R
L R
2
H2
dt
301) Flujo magnético de inducción mutual para dos bobinas
21
M 21I1,
302) Coeficiente de inducción mutual para un núcleo hierro
M 21
N1.N 2 Rm
303) Expresión de Neumann para calculo de "M 21 "
M21
304) Coeficiente de autoinducción para conexión en serie
Le
L1 L2 ...
305) Coeficiente de autoinducción para conexión paralelo
Le1
L11 L21 ...
d 'd C2 r r '
o
4
M11I 2
11
C2
k
1 B R2 2
306) Fuerza electromotriz generada en un disco de Faraday 307) Momento magnético orbital del electrón
mL
308) Momento angular en el estado estacionario del electrón
L
309) Momento dipolar orbital del electrón
mL
310) Momento magnético orbital del átomo
mL
311) Espín del electrón
Sz
312) Momento magnético dipolar de espín
mS
R t/L
(1 e
e L g LL 2m (
1)
e 2m
(
Z m k 1 L, k
2
h 4
e S gS S m
1)
Lk k
Lk1
)
Apéndice 313) Proyección del momento magnético dipolar en el eje-z
mS, Z
314) Momento magnético dipolar de un electrón
me
315) Velocidad angular de presesión de la órbita del electrón
e 2m
gS S gLL oe
L
316) Momento angular orbital inducido (teorema de Largor)
H
2m
oe
2
S H 4 m
m
317) Torque magnético sobre un electrón moviéndose B
B
Bx me
318) Energía magnética de un electrón en un campo B
W me B
319) Vector de magnetización de un material
m M Lim n V 0 V
320) Campo magnetizante en un material magnetizado
H
1
1 N Lim mk V 0V k 1
B M
o
321) Susceptibilidad magnética de un medio
m
322) Permeabilidad magnética de un material 323) Permeabilidad magnética relativa del material
M H o (1
m)
km
1
m
o
324) Susceptibilidad diamagnética de una sustancia 325) Susceptibilidad paramagnética de una sustancia
m
n om2 o H 3k T
m
326) Permeabilidad magnética de un cuerpo ferromagnético 327) Período de las oscilaciones en un circuito CLC
n oe2 o 6m
B H
(H)
T
2
2
LC
o
328) Amplitud de la intensidad de corriente en un CLC
Io
329) Amplitud de la diferencia de potencial en un CLC
Vo
Qo Qo C
o
Qo LC
Z r2 k 11
Física III Qo C
330) Amplitud de la diferencia de potencial en un CLC
Vo
331) Energía eléctrica máxima de E en un CLC
WE
1 C Vo2 2
332) Energía magnética máxima de B en un CLC
WM
1 2 LI 2 o
333) Carga en oscilación sobreamortiguada de un CRLC
q(t)
q oe
334) Carga en oscilac. criticam. amortiguado de un CRLC
q(t) e
335) Carga en oscilación infraamortiguado en CRLC
R t / 2L
(A Bt)
Rt/2L
q oe
q(t)
1 (4L / R 2 C)t / 2L
R(1
sen( t
o)
1 R 2C / 4L
336) Coeficiente de amortiguamiento o atenuación
R 2L
337) Frecuencia angular de la oscilación infraamortiguada
[(1/ LC) (R / 2L)2 ]1/ 2
338) Fase inicial de la oscilación infraamortiguada 339) Amplitud de las oscilaciones inframortiguadas
o
tg 1[(4L/ R 2C) 1]1/ 2 qo
A
e
2
R t / 2L
1 R C / 4L
340) Periodo de las oscilaciones infraamortiguadas
T
341) Decremento logarítmico de una amortiguación
2
4 L 4L / C R 2
n
342) Tiempo de relajación de las oscilaciones amortiguadas
A(t) A(t T)
NT
343) Relación entre " " y " "
o
1 )2 (
[1 ( o
344) Factor de calidad del sistema oscilante
Q
345) Rapidez de cambio de la energía del sistema oscilante
dE dt
346) Pm en un oscilador armónico amortiguado forzado
P
2 1 e
2 T
R I2 1 I 2 o
T
o cos
2
2 1 e
)2 ]1/2
2
Apéndice
Io ; 2
347) Valor eficaz de la corriente y f.e.m en un OAAF
Ief
348) Valor máximo de la corriente en un OAAF
Io, max
R
1 LC
r
350) Relación entre E y B para ondas electromagnéticas
E
351) Velocidad de propagación de las O.E en el vació
c
352) Velocidad de la luz en el vació
c [
o
353) Velocidad de propagación de una O.E.en un medio
v
f
3 108 o]
2
o
E2
356) Densidad de energía de una onda electromagnética
wE
357) Energía del campo electromagnético
W
358) Vector de Poynting
P ExH
359) Penetración de rayos gamma en una pared
I(d)
360) Energía de un fotón
E
361) Ley de Snell para la refracción
n i sen
362) Indice de refracción
n
f
365) La fuente se acerca al receptor en reposo (E. Doppler)
f
366) El efecto Doppler electromagnético
f
2
m s 3 108
m s
E 0 t 2 H 0 t
oE
V
o
2 2
H2
dV
d
I0e hc
c v C
364) La fuente se aleja del receptor en reposo (E. Doppler)
1/2
1 E 2 c 1 2 H c2
2
363) Angulo crítico en reflexión interna total
o
cB of o
355) Ecuación para la componente H de una O.E.
2
o
349) Frecuencia de resonancia en un OAAF
354) Ecuación para la componente E de una O.E.
o
ef
n R sen
i
R
o
nR ) ni f0 v 1 (v1 / v) f0 1 (v1 / v) sen 1 (
[1 (v / c) 2 ] 1/ 2 f0 1 (v / c) cos
Física III CONSTANTES FISICAS UNIVERSALES Magnitud Símbolo Valor 01. Unidad masa atómica 1 u.m.a 1,6605655(86) 10-27 kg 02. Carga elemental e 1,6021892(46) 10-19 C 03. Carga especifica electrón e/me 1,7588047(49) 10-11 C/kg 04. Longitud onda Compton (n) 1,3195909(22) 10-15 m C, n=h/(mnc) 05. Longitud onda Compton (p) 1,3214099(22) 10-15 m C, p=h/(mpc) 06. Longitud onda Compton (e) 2,4263089(40) 10-12 m C, e=h/(mec) 07. Magnetón de Bhor 9,274078(36) 10-24 J/T B=eh/2m 08. Magnetón Nuclear 5,050824(20) 10-27 J/T n=eh/2mp 09. Momento magnético protón 1,410617(55) 10-26 J/T p 10. Momento magnético electrón 9,284832(36) 10-24 J/T e 11. Masa en reposo del neutrón mn 1,6749543(86) 10-27 kg 12. Masa en reposo del protón mp 1,6726485(86) 10-27 kg 13. Masa en reposo del electrón me 0,9109534(47) 10-30 kg 14. Volumen de 1 mol gas perfecto Vo=RTo/Po 0,02241383(70) m3/mol 15. Constante de Boltzman K=R/NA 1,380662(44) 10-23 J/K 16. Constante universal gases R 8,31441(26) J/mol K 17. Constante de gravitación G 6,672(41) 10-11 N m2/kg2 18. Constante de Planck 6,6266176(36) 10-34 J/Hz 19. Constante de radiación primera 3,741832(20) 10-16 W m2 c1=2 hc2 20. Constante de radiación segunda c2=hc/k 0,01438786(45) m K 2 4 3 2 21. Constante de Stefan-Boltzman 5,6703(71) 10-8 W/m2 K4 = k /60h c 22. Constante de estructura fina 0,0072973506(60) = oce2/2h 23. Constante de Faraday F=NAe 9,648456(27) 104 C/mol 2 24. Constante eléctrica 8,85418782(7) 10-12 F/m o=1/( oc ) 25. Radio de Bhor 0,52917706(44) 10-10 m ao= /(4 R ) 26. Radio clásico del electrón 2,8179380(70) 10-15 m Ro= oe2/4 me 27. Velocidad de la luz en el vació c 299792458(1,2) m/s 28. Aceleración de caída libre g 9,80665 m/s2 29. Número de Avogadro NA 6,022045(31) 1023 mol-1 30. Energía en reposo neutrón mnc2 939,5731(27) MeV 2 31. Energía en reposo protón Mpc 938,2796(27) MeV 2 32. Energía en reposo electrón Mec 0,5110034(14) MeV 33. Constante magnética 12,5663706144 H/m o 7 -1 34. Constante de Rydberg R = o2 mec3e4/8h3 1,097373177(83) 10 m 35. Cuanto de flujo magnético 2,0678506(54) 10-15 Wb o=h/2e
Apéndice