FISICA BASICA

ISEP INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DO PORTO

FÍSICA BÁSICA

SISTEMAS DE UNIDADES E ANÁLISE DIMENSIONAL

APONTAMENTOS E PROBLEMAS


FÍSICA BÁSICA

Estes apontamentos constituem um texto de apoio básico aos alunos que frequentam as cadeiras de física I do 1º ano dos cursos de Engenharia. A sua elaboração prende-se com o facto de o aluno ao longo da sua vida estudantil e profissional necessitar de estar bastante familiarizado com os temas que aqui são tratados. A abordagem destes apontamentos não é exaustiva, (tem apenas como objectivo auxiliar o aluno nas cadeiras de física e respectivos laboratórios) pelo que não dispensa um estudo teórico mais aprofundado utilizando a bibliografia recomendada. O texto encontra-se dividido em dois capítulos de acordo com os temas a ser leccionados – Sistemas de Unidades e Análise Dimensional. Em cada capítulo está incluída uma breve explicação teórica que servirá de apoio à compreensão da matéria, problemas resolvidos para facilitar o estudo individual e uma compilação de exercícios propostos que servirão de base para as aulas teórico-práticas.

ISEP, Outubro de 2001

António Silveira D. Pinto Alberto & Paulo José Coelho de Oliveira

-i-


“São muitas as horas preciosas da juventude esbanjadas ao escalar a íngreme e escarpada colina do saber”. Winston Churchill

“Porém é desta forma que se chega a engenheiro”. Nota dos Autores

Winston Churchill (1874 – 1965) foi estadista e escritor inglês. É considerado um dos maiores políticos de todos os tempos e é lembrado pelo seu importante papel na II Guerra Mundial. Escreveu várias obras famosas pelas quais recebeu o Prémio Nobel da literatura em 1953. Por todos estes feitos foi-lhe concedido o titulo de Sir.

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ÍNDICE 1. SISTEMAS DE UNIDADES 1.1. Conceitos fundamentais ------------------------------------------------------------1.2. Sistema Internacional de unidades - S.I. -----------------------------------------1.2.1. Unidades de base ------------------------------------------------------------1.2.2. Unidades derivadas ----------------------------------------------------------1.2.3. Unidades suplementares ----------------------------------------------------1.2.4. Múltiplos e submúltiplos ---------------------------------------------------1.2.5. Unidades definidas a partir de unidades S.I. mas que não são múltiplos ou submúltiplos decimais dessas unidades --------------------1.3. Recomendações gerais relativas à escrita e utilização de unidades -----------1.4. Exercícios resolvidos ---------------------------------------------------------------1.5. Exercícios propostos -----------------------------------------------------------------

1 2 2 4 5 5 6 6 8 13

2. ANÁLISE DIMENSIONAL 2.1. Generalidades -----------------------------------------------------------------------15 2.2. Aplicação das equações dimensionais -------------------------------------------17 2.2.1. Homogeneidade dimensional das equações físicas -------------------- 17 2.2.2. Mudança de unidades ------------------------------------------------------18 2.2.3. Previsão de fórmulas físicas ----------------------------------------------2.3. Exercícios resolvidos --------------------------------------------------------------2.4. Exercícios propostos ----------------------------------------------------------------

ANEXO 1 –Lista de conversões entre algumas unidades S.I. e outros sistemas ------ANEXO 2 – Solução dos problemas propostos ---------------------------------------------

FÍSICA BÁSICA ÍNDICE

19 21 28

A.1 A.2

- iii -



1

SISTEMAS DE UNIDADES



1 - SISTEMAS DE UNIDADES 1.1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS Uma grandeza física, é uma propriedade de um corpo, ou um carácter de um fenómeno, susceptível de ser medido. Daí que no recente V.I.M. (Vocabulário Internacional de Metrologia) a grandeza física a medir tome a definição de Mensuranda. As grandezas podem ser divididas em: ESCALARES – Que ficam perfeitamente determinados com o valor numérico e a unidade em que se exprimem. Ex. comprimento, massa, etc. VECTORIAIS – Grandezas que para ficarem perfeitamente definidas necessitam para além do seu valor numérico de mais 3 elementos; ponto de aplicação, direcção e sentido .Ex. velocidade, força, aceleração... ADIMENSIONAIS – Aquelas que ficam perfeitamente definidas com um valor numérico. Ex. coeficiente de atrito, medida de ângulos.... A medida directa de uma grandeza consiste na comparação desta com outra da mesma espécie que convencionalmente é tomada como padrão. Como por exemplo a medida de um comprimento com uma fita métrica. Na medida indirecta a grandeza a determinar é calculada a partir de outras de fácil medição que com esta se relacionem, por meio de relações conhecidas – Equações de Definição das Grandezas. Por exemplo a pressão exercida por um corpo. À relação completa de todas as grandezas em função de algumas facilmente mensuráveis, dá-se o nome de SISTEMA DE UNIDADES. Nos primeiros sistemas de unidades que apareceram, as unidades para cada grandeza eram definidas de uma forma arbitrária não existindo qualquer relação entre elas. Estes sistemas apresentavam o grave inconveniente de sobrecarregar as fórmulas físicas com incómodas constantes de proporcionalidade. Estes sistemas assim formados e chamados de INCOERENTES estão hoje completamente fora de uso. Mais tarde veio a verificar-se que as unidades de um sistema podiam ser definidas como funções de um pequeno número de unidades – UNIDADES FUNDAMENTAIS OU PRIMÁRIAS, e as restantes definidas em função destas – UNIDADES DERIVADAS OU SECUNDÁRIAS. Nestes sistemas, através de equações de definição simples, não aparecem coeficientes numéricos diferentes da unidade. Estamos assim perante um SISTEMA COERENTE DE UNIDADES que são os únicos hoje em dia utilizados. Foram assim surgindo diversos sistemas de unidades. Presentemente só faz sentido estudar o Sistema Internacional de unidades (S.I.) mas, devido ao facto de ainda haver diversos livros e aparelhagem que utilizam outros FÍSICA BÁSICA SISTEMAS DE UNIDADES

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sistemas, faz sentido num curso superior uma breve referência e saber efectuar as respectivas conversões. De entre os diversos sistemas, salientam-se pela sua importância os seguintes: •

C.G.S. – Que deriva o seu nome às inicias das três grandezas mecânicas de base, centímetro, grama, segundo e é, tal como o S.I., um sistema absoluto.

•

MKPS - É um sistema gravitacional cujas unidades de base mecânicas são o metro, quilograma força e segundo. De notar que este sistema utiliza a força como unidade de base em substituição da massa.

Em anexo apresenta-se uma lista de conversões de algumas unidades, entre estes sistemas e o Sistema Internacional.

1.2 - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES - S.I. O Sistema Internacional surgiu da necessidade de haver uma uniformidade a nível internacional das unidades a utilizar. Esta uniformização teve inicio na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas realizado em Paris em 1960. O Sistema Internacional de unidades, após várias alterações, é composto por três classes de unidades: • • •

Unidades de base Unidades derivadas Unidades suplementares

1.2.1 - UNIDADES DE BASE As unidades de base do sistema internacional englobam: uma unidade geométrica, uma cinemática, uma dinâmica, uma electromagnética, uma termodinâmica, uma químico física e uma de fotometria. Estas grandezas foram escolhidas com base nos seguintes pressupostos: • • • •

Serem independentes entre si; Terem uma definição simples, precisa e universal; Desejável que possam ser representadas por padrões; Permitir uma fácil medição directa das grandezas da sua espécie.

No quadro seguinte, enumeram-se estas unidades bem como os seus símbolos.

FÍSICA BÁSICA SISTEMAS DE UNIDADES

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GRANDEZA

Comprimento Massa Tempo Intensidade de Corrente Eléctrica Temperatura Termodinâmica Quantidade de Matéria Intensidade Luminosa

UNIDADES NOME SÍMBOLO

metro quilograma segundo ampere kelvin mole candela

m kg s A K mol Cd

DIMENSÃO

L M T I θ N J

As definições das unidades SI de base são as seguintes: UNIDADE DE COMPRIMENTO – O metro é o comprimento do trajecto percorrido

no vazio pela luz durante 1/299792754 s. (17ª CGPM – 1983). UNIDADE DE MASSA – O quilograma é a unidade de massa e é igual à massa do protótipo internacional do quilograma. (3ª CGPM – 1901). UNIDADE DE TEMPO – o segundo é a duração de 9192631770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois estados hiperfinos do estado fundamental do átomo de Césio 133. (13ª CGPM – 1967). UNIDADE DE INTENSIDADE DE CORRENTE ELÉCTRICA – O Ampere é a intensidade de uma corrente constante que, mantida em dois condutores paralelos, rectilíneos de comprimento infinito, de secção circular desprezável e colocados à distância de 1m um do outro no vazio, produziria entre esses dois condutores uma força de 2x10-7 N por metro de comprimento. (9ª CGPM – 1948). UNIDADE DE TEMPERATURA TERMODINÂMICA – O kelvin é a fracção 1/273.16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. (13ª CGPM – 1967). UNIDADE DE QUANTIDADE DE MATÉRIA – A mole é a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quantos os átomos que existem em 0.012 kg de carbono 12. Quando se utiliza a mole, as entidades elementares devem ser especificadas e podem ser átomos, moléculas, iões, electrões, outras partículas ou agrupamentos especificados de tais partículas. (14ª CGPM – 1971). UNIDADE DE INTENSIDADE LUMINOSA – A candela é a intensidade luminosa, numa direcção dada, de uma fonte que emite uma radiação monocromática de frequência 540x1012 Hz e cuja intensidade energética nessa direcção é 1/683 W por esterradiano. (16ª CGPM – 1979). FÍSICA BÁSICA SISTEMAS DE UNIDADES

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Existe ainda um nome e um símbolo especial da unidade SI de temperatura é o caso da temperatura celsius. GRANDEZA

UNIDADES

Temperatura celsius

NOME

SÍMBOLO

grau Celsius

ºC

A temperatura celsius t é definida pela diferença T = T – T0 entre duas temperaturas termodinâmicas T e T0 com T0 = 273.15 K. Um intervalo ou uma diferença de temperatura podem exprimir-se quer em kelvin quer em graus Celsius. A unidade grau Celsius é igual à unidade kelvin. É importante referir que o nome “grau centígrado” para exprimir a temperatura, foi rejeitado pela C.G.P.M. em 1948 e o seu uso é inadmissível.

1.2.2 - UNIDADES DERIVADAS As unidades derivadas de modo coerente das unidades SI de base e suplementares são dadas por expressões algébricas sob a forma de produtos e divisões, com um factor numérico igual a um. No quadro seguinte apresentam-se algumas unidades derivadas com particular incidência para as grandezas electromagnéticas com nomes e símbolos especiais. GRANDEZA

UNIDADES SIMBOLO

NOME

Frequência Força Pressão e tensão Energia e trabalho Potência Carga eléctrica Tensão eléctrica Resistência eléctrica Condutância eléctrica Capacidade eléctrica Fluxo de indução magnético Indução magnética Indutância


hertz newton pascal joule watt coulomb volt ohm siemens farad weber tesla henry

Hz N Pa J W C V Ω S F Wb T H

Em unidades SI de base

s-1 m.kg.s-2 m-1.kg.s-2 m.kg.s-2 m2.kg.s-3 s.A 2 m .kg.s-3.A-1 m2.kg.s-3.A-2 m-2.kg-1.s3.A2 m-2.kg-1.s4.A2 m2.kg.s-2.A-1 kg.s-2.A-1 m2.kg.s-2.A-2

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1.2.3 - UNIDADES SUPLEMENTARES As unidades suplementares constituem uma classe contendo duas unidades: GRANDEZA

Ângulo plano Ângulo sólido

UNIDADES

DIMENSÃO

NOME

SÍMBOLO

Radiano esterradiano

Rad sr

Grandezas adimensionais

As definições das unidades S.I. suplementares são as seguintes: UNIDADE DE ÂNGULO PLANO – O radiano é o ângulo plano compreendido entre dois raios que, na circunferência de um circulo, intersectam um arco de comprimento igual ao raio desse circulo. (11ª CGPM -1960). UNIDADE DE ÂNGULO SÓLIDO – O esterradiano é o ângulo sólido que, tendo o vértice no centro de uma esfera, intersecta na superfície dessa esfera uma área igual à de um quadrado tendo por lado o raio dessa esfera. (14ª CGPM – 1971).

1.2.4 - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS Por razões de ordem prática, utilizam-se múltiplos e submúltiplos das unidades fundamentais e derivadas na forma de potências de base 10. Eles são designados por um prefixo e os seus nomes derivam do grego e do latim respectivamente. Na tabela seguinte, apresentam-se os seus nomes e símbolos. Factor

Prefixo

Símbolo

Factor

Prefixo

Símbolo

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

yotta zetta exa peta tera giga mega quilo hecto deca

Y Z E P T G M k h da

10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

deci centi mili micro nano pico fento ato zepto yocto

d c m µ η (n) p f a z y


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1.2.5 – UNIDADES DEFINIDAS A PARTIR DE UNIDADES S.I. QUE NÃO SÃO MÚLTIPLOS OU SUBMÚLTIPLOS DECIMAIS DESSAS UNIDADES As unidades referidas, referem-se ao ângulo plano e ao tempo e encontram-se sintetizada na tabela seguinte o seu nome, símbolo e factor de conversão para as unidades base do S.I..

GRANDEZA

Ângulo plano

UNIDADES

CONVERSÃO

NOME

SÍMBOLO

Grau Minuto de ângulo Segundo de ângulo

º ´ ´´

1º = π/180 rad 1´ = π/10800 rad 1´´ = π/648800 rad

minuto hora dia

min h d

1 min = 60 s 1 h = 3600 s 1 d = 86400 s

Tempo

1.3 – RECOMENDAÇÕES GERAIS RELATIVAS À ESCRITA E UTILIZAÇÃO DE UNIDADES Enumeram-se em seguida algumas regras de escrita e utilização dos nomes e símbolos das unidades S.I. e dos prefixos. •

NOMES DAS UNIDADES -

Os nomes das unidades escrevem-se em caracteres minúsculos mesmo que derivem de nomes de cientistas. Exemplo: metro, segundo, newton, ampere, watt.

-

Os nomes das unidades que derivem de nomes de cientistas seguem a grafia original, sendo inadmissível o uso de formas aportuguesadas. Exemplo: ampere e não ampério.

-

Os nomes das unidades admitem plural, quando o valor da grandeza for maior ou igual a dois. Exemplo: 1.52 metro, 2 amperes, 5.4 segundos.


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•

•

SÍMBOLOS DAS UNIDADES -

Os símbolos das unidades são impressos em caracteres romanos direitos e em geral minúsculos. Porém se o nome da unidade deriva de nome próprio, a primeira letra é maiúscula. Exemplo: m (metro), W (watt), N (newton), Pa (pascal)

-

Os símbolos das unidades ficam invariáveis no plural. Exemplo: 12 m e nunca 12 ms

-

Os símbolos das unidades não são seguidos de um ponto, excepto no caso da pontuação normal. Exemplo: 14 V e não 14 V.

-

O produto de duas ou mais unidades pode ser indicado de uma das seguintes formas: N⋅m ou N m

-

Quando uma unidade derivada é formada dividindo uma unidade por outra, pode ser utilizada uma barra obliqua(/), uma barra horizontal ou expoentes negativos. Exemplo: m/s, ms ou m⋅s-1

-

Nunca se deve utilizar na mesma linha mais de uma barra obliqua, a menos que sejam adicionados parênteses. Em casos complicados aconselha-se o uso de expoentes negativos. Exemplo: m/s2 mas não m/s/s

PREFIXOS DAS UNIDADES -

Os símbolos dos prefixos são impressos em caracteres romanos direitos, sem espaço entre o símbolo do prefixo e o símbolo da unidade. Exemplo: 5 pF e não 5 p F

-

Não são empregues prefixos compostos. Exemplo: 1 nm e não 1 mµm

-

Um prefixo não pode ser empregue sem uma unidade a que se refira. Exemplo: 106/m3 e não M/m3


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1.4 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Problema 1 Determine a velocidade de um corpo que percorre o espaço de 1 metro em 1 segundo em km/h. Resolução: Pela equação de definição de velocidade obtemos no SI o valor:

v=

e 1m = =1 m/s t 1s

Notar que os coeficientes numéricos são unitários porque estamos perante um sistema coerente de unidades. Para calcular a velocidade em km/h, temos de efectuar as seguintes mudanças de unidades: 1 m = 1×10-3 km

e

1s =

1 h 3600

substituindo na fórmula de definição da velocidade, temos:

1 × 10 −3 v= = 3600 × 1 × 10 −3 = 3.6 km / h 1 3600 Como podemos observar, dado o coeficiente de proporcionalidade diferente da unidade, estamos perante um exemplo de um sistema incoerente de unidades.

Problema 2 A unidade de pressão do sistema CGS é a bária. Determine o factor de conversão para a respectiva unidade do Sistema Internacional. Resolução: Como o sistema CGS é um sistema coerente de unidades, se atendermos à fórmula de definição da pressão:


10


p=

F s

mas por sua vez a força tem a equação de definição que é F = m a e a secção s = l ⋅ l e a aceleração a = l ⋅ t −2 . Como CGS são as iniciais de centímetro, grama e segundo a bária em função das unidades de base vem:

1bária =

1 g ⋅ 1 cm ⋅ 1 s −2 1 cm

2

= 1 g ⋅ 1 cm −1 ⋅ 1 s −2

A unidade de pressão do SI é, como sabemos, o pascal em que as unidades de base mecânicas são o quilograma, o metro e o segundo. Deste modo, fazendo as seguintes mudanças de unidades: 1 g = 1×10-3 kg

e

1cm = 1×10-2 m

e fazendo a sua substituição na fórmula de definição da grandeza, obtemos:

1bária =

1 × 10 −3 kg 1 × 10

−2

m ⋅1s

2

= 1 × 10 −1 kg ⋅ m −1 ⋅ 1 s −2 = 1 × 10 −1 pascal

Problema 3 Um cubo de 20 cm de aresta é feito de uma substância cujo peso volúmico tem o valor de 3.92×103 kgf.m-3. Calcule a massa do corpo em unidades do Sistema Internacional. Resolução: Utilizando a fórmula de definição de peso volúmico,

π=

Peso m⋅g = volume V

e tendo em conta que o peso volúmico está em unidades do sistema MKPS que tem as unidades básicas mecânicas o metro, o quilograma força e o segundo e que a aresta do cubo está em unidades do sistema CGS temos que efectuar as respectivas conversões.

a = 20 cm = 0.2 m

π = 3.92 × 10 3 kgf ⋅ m −3 = 3.92 × 10 3 × 9.8 N ⋅ m −3 FÍSICA BÁSICA SISTEMAS DE UNIDADES

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Substituindo na fórmula obtemos:

π ⋅V

m=

g

3.92 × 10 3 × 9.8 × (0.2) 3 = = 31.36 kg 9.8

Problema 4 Um bloco com 12 u.m.m. tem a forma de um paralelepípedo rectângulo cujas dimensões são 20×30×40 cm3. Determine: a) A pressão máxima que ele pode exercer quando apoiado pela face conveniente sobre uma superfície horizontal, expressa em unidades do Sistema Métrico Gravitatório. b) A densidade relativa do bloco, suposto homogéneo. Resolução Dos dados do problema podemos escrever: V = 20 × 30 × 40cm 3 = 24000 cm 3 Fg = mg = 12u.m.m. × 9.8ms −2 = 117.6 Kgf a) A pressão é dada por: P=

Fg S

logo será máxima quanto menor for a área da face do cubo que lhe serve de apoio...

S = 0.2 × 0.3 = 0.06m 2 P=

Fg S

=

117.6 = 1960 Kgfm − 2 0.06

b) A densidade relativa é dado por: d=

m m H 2O

Sabemos que:

ρ H O = 10 3 Kgm −3 2


10 3 u.m.m 9 . 8 = = 102.04 u.m.m −3 m m3 12


podendo determinar então a massa da água que ocuparia aquele volume: m H 2 o = ρ H o × V = 102.4 × (0.2 × 0.3 × 0.4) = 2.449u.m.m 2

e assim finalmente obtemos:

d=

12 = 4.9 2.449

Problema 5

Considere o prisma quadrangular recto colocado nas duas A posições A e B representadas na figura. Quando colocado na posição A exerce uma pressão 2.5 vezes maior do que colocado na posição B. As dimensões das arestas estão expressas em centímetros e o peso do prisma é h de 6.272 N. Determine: a) O valor de h. 4 4 b) A densidade relativa da substância do prisma.

B 4 4

h

Resolução

Dos dados do problema podemos escrever: P = 6.272 N

V = 0.04 × 0.04 × h = 16 × 10 −4 h m 3 a) A pressão é uma força por unidade de superfície, sendo assim podemos escrever que para a posição A: PA =

6.272 16 × 10 − 4

enquanto que para a posição B: PB =

6.272 0.04 × h

Sabe-se dos dados de problema que: PA = 2.5 PB

⇒


6.272 6.272 = 2 .5 −4 0.04 × h 16 × 10

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∴ h = 0.1m = 10cm b) A massa volúmica da água é dada por:

ρ H O = 10 3 Kgm −3 2

A massa volúmica do material será: m ρ= V

⇒

6.272 9 .8 ρ= = 4 × 10 3 Kgm −3 −4 16 × 10 × 0.1

Então a densidade deste será dada por: d=

ρ ρH O 2

=

4 × 10 3 =4 10 3


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1.4 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS P1 – Um cubo feito de uma substância X pesa 100 unidades SI e outro feito de uma substância Y tem uma massa igual a 1 u.m.m.. Sabe-se que ambos os cubos têm 1 dm de aresta: a) Diga, apresentando os cálculos necessários, qual daquelas substâncias tem maior densidade. b) Determine o peso volúmico das duas substâncias em kgf.dm-3.

P2 – Um paralelepípedo de arestas a, b e h (altura) assente numa mesa, exerce uma pressão de 1.35x10-2 kgf.cm-2. Sabendo que a sua densidade é de 2.7 e que o lado a mede 3.0 cm calcule os lados b e h no sistema SI, sendo o volume do paralelepípedo de 45 cm3. P3 – Duas substâncias A e B têm pesos volúmicos iguais a 1960 dine.cm-3 e 7.8 kgf.dm-3 respectivamente. a) Qual das duas substâncias tem maior densidade? b) Um cubo feito da substância B exerce uma pressão de 76.44 mbar quando apoiado por uma das faces sobre uma superfície horizontal. Calcule o valor da aresta do cubo. P4 – Determine a pressão exercida por uma semi-esfera de uma substância de densidade 1.7 e de diâmetro 4 cm, sobre uma superfície horizontal em unidades de um sistema cujas unidades base são: dm, dg, min. P5 – Dois paralelepípedos sobrepostos pelas bases pesam conjuntamente 47 kgf. Sabendo que o inferior é de cobre (dcu= 8.8) e o superior é de vidro (dvidro=2.5), que a altura do de cobre é ¼ da altura do de vidro, calcule: a) A altura de cada paralelepípedo supondo que a superfície de contacto é de 500 cm2. b) A pressão exercida pelo paralelepípedo de vidro sobre o de cobre, exprimindo o resultado em milibares. P6 – Um cubo de 10 cm de aresta é feito de uma substância cuja densidade é 7.8. Sabendo que a sua massa é de 0.25π u.m.m.: a) Verifique que o cubo não é compacto e determine o volume da cavidade. b) Se o cubo fosse compacto, qual a pressão que ele exerceria sobre uma superfície horizontal, num sistema absoluto de unidades de base: decâmetro, hectograma e minuto. P7 – Dois paralelepípedos homogéneos formados por substâncias diferentes, estão dispostos como se mostra na figura. A secção recta de ambos é quadrada e igual, sendo a altura do superior metade da do inferior. Um corpo com 1 dm3 da substância que constitui o paralelepípedo superior, adquire uma aceleração de 360x103 cm.min-2 quando sujeito a uma força de 1 N. O inferior tem peso volúmico de 16 kgf.dm-3. Determine as dimensões da secção recta dos paralelepípedos, sabendo que na


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posição representada exercem uma pressão de 16.66x103 Pa sobre o plano horizontal em que se apoiam. P8 – Considere dois cubos A e B da mesma substância, sendo a aresta do cubo B dupla da do cubo A. Sabendo que a pressão exercida sobre uma das faces pelo cubo A em repouso é de 26.46 mbar e que o peso do cubo B é de 21.6 kgf, calcule: a) O valor da aresta do cubo A. b) A densidade relativa da substância que constitui os cubos. P9 – Doze cubos de idênticas dimensões com 1 dm de aresta, estão empilhados uns em cima dos outros, sendo alguns constituídos por uma substância A e outros por uma B. Sabe-se que o trabalho realizado, pela força da gravidade, quando se deixa cair um cubo da substância A de uma altura de 20 m é de 7.84x109 erg e que a substância B tem de massa volúmica 0.6122249x10-6 u.m.m..mm-3. Determine o número de cubos das duas substâncias, sabendo que a pressão exercida pelos doze cubos sobre uma superfície horizontal é de 56.84x103 Pa.


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2

ANÁLISE DIMENSIONAL



2 – ANÁLISE DIMENSIONAL 2.1 - GENERALIDADES

A análise dimensional é desenvolvida a partir das equações de definição, de tal modo que no segundo membro só existam grandezas fundamentais. Como exemplo apresentamos o caso da pressão, em que:

F m ⋅ a m ⋅ v ⋅ t −1 m ⋅ l ⋅ t −2 = p= = = s l ⋅l l ⋅l l2 é pois possível exprimir qualquer grandeza G como função das grandezas de base que com ela se relacionam. Podemos dizer que a dimensão é uma “unidade generalizada” interpretada no seguinte sentido: Se uma grandeza pode medir-se em unidades de comprimento, diz-se que tem a dimensão de um comprimento, independentemente do “tamanho” da unidade que se usar. Para representar as dimensões de uma grandeza G, usa-se o símbolo dimensional proposto por Maxwell: [G]. Uma equação de dimensão é pois o produto ou quociente das dimensões das grandezas fundamentais. Temos deste modo: [G] = Aα⋅Bβ⋅Cγ⋅Dδ... Em que: α, β, γ, δ,... são as dimensões da grandeza; A, B, C, D,.. são os símbolos dimensionais das grandezas fundamentais. Os símbolos dimensionais das grandezas fundamentais, adoptados por convenção, para o SI são: [comprimento] = L [massa] = M [tempo] = T [temperatura termodinâmica] = θ [intensidade de corrente eléctrica] = I [intensidade luminosa] = J [quantidade de matéria] = N Para melhor percebermos este conceito, vamos ilustrar com um pequeno exemplo. FÍSICA BÁSICA ANÁLISE DIMENSIONAL

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Exemplo 1 Determine as dimensões da grandeza trabalho. Resolução:

Como sabemos a grandeza trabalho é representada pela letra W, e a sua fórmula de definição para o caso mais simples da força ter a mesma direcção e sentido do deslocamento é dada pelo produto destes dois factores.

W = F ⋅l Assim, a equação das dimensões terá a seguinte forma e obtém-se sucessivamente:

[W ] = [F ] ⋅ [l ] [m] ⋅ [a]

[v] ⋅ [t ]−1 [l ] ⋅ [t ]−1

[W ] = L T −1T −1M L = L2 M T −2 Se a força e o deslocamento não tiverem a mesma direcção, a expressão do trabalho é dada pelo produto anterior vezes o coseno do angulo.

W = F ⋅ l ⋅ cos α E agora qual será agora a dimensão da grandeza trabalho? Como sabemos o coseno de um ângulo é a razão entre dois comprimentos, isto é:

cos α =

a b

logo

[cos α ] = L = 1 L

o coseno é assim uma grandeza adimensional, não possuí dimensões e como tal não interfere nas dimensões do trabalho. Numa grandeza adimensional, todos os expoentes são nulos (0 = α = β = γ =...) e a sua dimensão vem:

[Grandeza adimensinonal ] = A0 ⋅ B 0 ⋅ C 0 ... = 1 São disso exemplo o ângulo sólido, o ângulo plano, o coeficiente de atrito, o índice de refracção, etc. FÍSICA BÁSICA ANÁLISE DIMENSIONAL

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2.2 – APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIMENSIONAIS

As equações dimensionais, têm diversas aplicações fazendo parte do nosso estudo as seguintes: • • •

Verificação da homogeneidade das formulas físicas; Transformação de unidades (mudança de sistema); Previsão de fórmulas físicas.

Vamos de seguida estudar cada um destes três casos.

2.2.1 – HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL DAS EQUAÇÕES FÍSICAS

Uma equação física para estar correcta, terá de ser dimensionalmente homogénea, isto é, deverá apresentar nos seus dois membros a mesma dimensão. Esta condição é necessária mas não suficiente, porque a homogeneidade não verifica os coeficientes numéricos adimensionias. É pois necessário que a equação esteja matematicamente certa. Como só podemos comparar e somar grandezas da mesma espécie (com as mesmas dimensões), podemos utilizar a análise dimensional para verificar se uma expressão está correcta. Exemplo 2 Num exame de física em que era pedida a frequência de oscilação de um pêndulo gravítico que depende da aceleração da gravidade g e do seu comprimento l o aluno estava em dúvida sobre qual das seguintes expressões será a correcta:

f =

1 l ⋅ 2π g

ou

f =

1 g ⋅ 2π l

Resolução:

Como o aluno dominava análise dimensional, sabia que para a fórmula estar correcta, (a menos da constante numérica) a dimensão do primeiro membro devia ser igual ao do segundo: [1º membro] = [2º membro] A dimensão do primeiro membro, igual nas duas equações, é a dimensão da frequência que é o inverso do período. Assim:

FÍSICA BÁSICA ANÁLISE DIMENSIONAL

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1 = T −1 [t ]

[1º membro] = [ f ] = •

Para a 1ª expressão, o segundo membro apresenta a dimensão:

[2º membro] =

[l ] = [l ]2 [g ] [g ]12 1

1 2

− 12

=L L

(T )

1 −2 − 2

=T

Como podemos constatar, esta expressão está errada, pois a dimensão dos dois membros não é igual. •

Para a 2ª expressão, obtemos de modo análogo:

[2º membro] =

[g ] = [g ] 2 [l ] [l ]12 1

1

− 12

= L2 L

(T −2 )+

1 2

= T −1

Onde podemos verificar que esta seria a expressão a utilizar.

2.2.2 – MUDANÇA DE UNIDADES

Através das equações de dimensão das grandezas é muito mais cómodo e evita erros, a passagem de um sistema de unidades para outro. O problema consiste em determinar, para uma dada grandeza, a razão entre as suas unidades em dois sistemas diferentes. Exemplo 3 Determinar as relações entre as seguintes unidades: a) newton e dine. b) newton e quilograma força. Resolução: Alínea a) Neste caso, como a dimensão da grandeza é independente do sistema utilizado a equação de dimensão é dada por (ver tabela):

[F ] = LMT −2 Para os dois sistemas em causa, temos:


22


SI

uL → m uM → kg uT → s

CGS

U SI N m ⋅ kg ⋅ s −2  m   kg   s  = = = ⋅ ⋅  U CGS dine cm ⋅ g ⋅ s −2  cm   g   s 

uL → cm uM → g uT → s −2

= 10 2 ⋅ 10 3 ⋅ 1 = 10 5

donde concluímos que 1 N = 105 dine Alínea b) Neste caso, a dimensão da grandeza já não é independente do sistema utilizado pois como vimos no capítulo 1 o sistema MKPS é um sistema gravitacional em que a força é uma unidade de base.

Assim, para o SI e para o CGS como já tínhamos visto:

[F ] = LMT −2 mas para o MKPS,

[F ] = F utiliza-se assim uma das duas hipóteses: U SI m ⋅ kg ⋅ s −2 N  m   kg   s  = = = ⋅ ⋅  −2 U MK P S kgf u.m.m. ⋅ m ⋅ s  m   u.m.m.   s 

−2

= 1⋅

1 1 ⋅1 = 9.8 9.8

ou

U SI  N  N 1  = = =  U MK P S kgf  kgf  9.8 donde concluímos que 1 kgf = 9.8 N

2.2.3 – PREVISÃO DE FÓRMULAS FÍSICAS

Partindo do princípio fundamental de que as equações físicas “correctas”, têm de ser dimensionalmente homogéneas, podemos deduzir através da análise dimensional a dependência funcional entre as grandezas intervenientes nessas equações. Os coeficientes numéricos, caso existam, não podem ser obtidos por este processo devido ao facto de serem adimensionais. São no entanto fáceis de determinar experimentalmente depois de obtidos os expoentes da análise dimensional.


23


Este procedimento é conhecido por “Método de Bertrand”. A previsão de fórmulas físicas constitui uma das mais importantes aplicações da análise dimensional. O procedimento consiste na observação de um determinado fenómeno, identificar as grandezas intervenientes e através da análise dimensional determinar a equação que as relaciona. Exemplo 4 Da análise experimental, sabemos que a força centrípeta é função da massa m do móvel, da sua velocidade instantânea v, e do raio da trajectória r. Determine a dependência funcional destas grandezas. Resolução:

Equacionando o nosso problema, sabe-se que:

FC = f (m, v, r )

Fc = K .mα ⋅ v β ⋅ r γ

ou

Determinamos de seguida as dimensões das grandezas que fazem parte do problema.

[FC ] = LMT −2 [m] = M [v] = LT −1 [r ] = L Como a equação tem de ser homogénea, as dimensões do 1º membro têm de ser iguais ás dimensões do 2º membro. Assim:

(

LMT −2 = (M )α ⋅ LT −1

)β ⋅ (L)γ = M α ⋅ Lβ +γ ⋅ T −β

Resolvendo o sistema e substituindo,

1 = β + γ  1 = α − 2 = − β 

α = 1  β = 2 γ = −1  1

2

FC = K ⋅ m ⋅ v ⋅ r

−1

m ⋅ v2 =K r

Temos desta forma a equação de dependência entre as grandezas, a menos da constante adimensional K (que pode ser 1!).


24


2.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Problema 1

A velocidade do som no ar, depende da constante dos gases R, da temperatura termodinâmica T e da massa molecular M do ar. Sabendo que a massa molecular do ar é igual a 28.9 g, a constante dos gases R=8.3 J.K-1 e a uma temperatura de 23 ºC a velocidade do som no ar é de 345 m.s-1, determine a expressão que relaciona a velocidade com as restantes grandezas e calcule a constante de proporcionalidade no SI. (Teste de Setembro de 1999). Resolução:

Pelos dados do problema temos:

v = f ( R, T , M )

ou

v = k ⋅ Rα ⋅ T β ⋅ M γ

As dimensões das grandezas que intervêm no problema são:

[v] = LT −1 [R] = W T

=

L2 MT −2

[T ] = θ [M ] = M

θ

= L2 MT −2θ −1

substituindo na equação do nosso problema:

(

LT −1 = L2 MT −2θ −1

)α ⋅ (θ )β ⋅ (M )γ = L2α M α +γ T −2αθ β −α

Igualando os expoentes dos dois membros e resolvendo o sistema:

2 α = 1 α + γ = 0   − 2 α = −1  β − α = 0

1  α =  2  1  ⇔ β = 2  1  γ = − 2 

obtemos assim a expressão que relaciona estas grandezas:


25


v=k

RT M

Com os valores numéricos dados, é possível agora determinar a constante de proporcionalidade k.

345 = k

8,3 ⋅ (23 + 273)

⇒

28,9 ⋅ 10 −3

k = 1.1833 = 1.4

De notar que para obter o valor de k, (que é a raiz quadrada do índice adiabático) é necessário efectuar as mudanças de unidades para o sistema internacional.

Problema 2

A resistência de uma linha de transmissão, depende da capacidade C e da indutância L distribuída ao longo da linha. Sabendo que 1V = 1J/1C e que [L] = L2MT-2I-2 e [C] = L-2M-1T4I2, determine a expressão da resistência em função de L e C. (Teste de Outubro de 1999) Resolução:

Atendendo aos dados do problema temos:

R = f ( L, C )

ou

R = K ⋅ Lα ⋅ C β

As dimensões das grandezas que intervêm no problema são:

[L] = L2 MT −2 I −2 [C ] = L−2 M −1T 4 I −2 Por sua vez R, atendendo à lei de Ohm:

[ V ] L2 MT −3 I −1 [R] = = [I ] I

= L2 MT −3 I −2

com:

[ W ] L2 MT −2 [V ] = = [Q] IT

= L2 MT −3 I −1

Substituindo as dimensões encontradas na função: FÍSICA BÁSICA ANÁLISE DIMENSIONAL

26


(

L2 MT −3 I −2 = L2 MT −2 I −2

)α (L−2 MT 4 I 2 )β

Resolvendo o sistema obtemos:

2 α − 2 β = 2 α + β = 1   − 2 α + 4 β = −3 − 2 α + 2 β = −2

⇒

1  α = 2  β = − 1  2

E por fim a equação que me relaciona estas grandezas a menos de uma constante adimensional k.

R=k

L C

Problema 3

A velocidade de propagação de ondas na superfície de um líquido é dada pela expressão:

v=

g A 2π T + ρB 2π

Sabendo que T é medido em N/m no SI, g é a aceleração da gravidade e ρ a massa volúmica do líquido, determine as dimensões das grandezas A e B. (Teste de Janeiro de 1998). Resolução:

Nos problemas de análise dimensional devemos sempre iniciar a resolução determinando as dimensões das grandezas que entram na resolução do problema. Assim:

[ F ] LMT −2 [T ] = = [l ] L [g ] = LT −2 [ρ ] = ML−3 [v] = LT −1 FÍSICA BÁSICA ANÁLISE DIMENSIONAL

= MT −2

27


Como na equação há duas parcelas, e só é possível somar grandezas com as mesmas dimensões, podemos escrever:

[v] = ([g ][A])

1

2

 [T ]   =   [ρ ][B ] 

1

2

Ou de outra forma:

[A] = [v] [g ] 2

e

=

[B] = [T ] 2 [ρ ][v]

L2T −2 LT =

−2

=L

MT −2 ML−3 L2T −2

=L

É importante referir que as constantes numéricas, neste caso, 2π não entram nas equações dimensionais pois a sua dimensão é zero. Isto é: [2π] = 1

Problema 4

Sendo e a base dos logaritmos neperianos, a seguinte equação dá-nos o valor da abcissa x no instante de tempo t, de um corpo de massa m a efectuar um movimento oscilatório amortecido. Determine as dimensões das grandezas a, b, c e d e as respectivas unidades no Sistema Internacional. (Teste de Fevereiro de 2000)

x = ae

−

bt 2m

× cos(c t + d )

Resolução:

Tendo em conta quer os argumentos dos ângulos e os expoentes são grandezas adimensionais, que a equação é homogénea e obtendo as dimensões das grandezas conhecidas:

[x ] = L [t ] = T [m] = M facilmente se determinam as dimensões pedidas e as respectivas unidades SI.


28


[a ] = [x] = L

uSI →m

[b][t ] = 1 [m]

⇒

[b] = [m] = MT −1 [t ]

[c][t ] = 1

⇒

[c] =

uSI →kg/s

1 = T −1 [t ]

uSI →s-1 ou Hz

[d ] = 1

adimensional

Problema 5

Determine as dimensões e unidades no Sistema Internacional (S.I.) da constante de estrutura fina α, definida por: e2 α= . 2ε 0 hc Sabendo que a grandeza da força eléctrica entre dois electrões (de carga e) à distância r é: 1 e2 F= 4πε 0 r 2 A energia de um fotão com frequência ν é E = hν e c é a velocidade da luz no vazio. Resolução:

A equação que nos permite determinar as dimensões da constante de estrutura fina α é:

[ e]2 [α ] = [ε 0 ][h][c] já que o 2 sendo uma constante tem dimensão 1, ou seja [2] = 1 Para isso teremos que encontrar as dimensões de cada um dos elementos que constituem a equação anterior. Assim teremos:

[F ] =

[e]2 [ε 0 ] [r ]2 1

⇒

[e]2 = [F ][r ]2 [ε 0 ]

⇒

[e]2 = ML3T −2 [ε 0 ]

Pois F é uma força logo [F ] = MLT −2 e r é uma distância logo [r ] = L . Por outro lado sabe-se que E = hν ou seja: FÍSICA BÁSICA ANÁLISE DIMENSIONAL

29


[h] = [E ] [ν ]

[h] = ML2T −1

⇒

Pois E é uma energia e portanto [E ] = ML2 T −2 e ν é uma frequência, assim [ν ] = T −1 . Finalmente c é a velocidade da luz no vazio e sendo uma velocidade podemos escrever: [c] = LT −1 . Substituindo tudo na primeira equação temos:

[α ] =

[e]2 [ε 0 ][h][c]

⇒

[α ] =

ML3T −2 ML2T −1 LT −1

=1

Ou seja a constante de estrutura fina α não tem dimensões.

Problema 6

A potência de uma hélice de avião depende da massa específica do ar, da velocidade angular da hélice e do raio da mesma. Determine a equação em que a potência é definida em função destas grandezas. Resolução:

Do enunciado do problema podemos concluir que a potência é função da massa específica do ar, da velocidade angular da hélice e do raio da mesma ou seja: P = f (ρ,ω, r) Assim podemos escrever a menos de uma constante adimensional K que: P = K ρ αω β r γ Agora resta-nos determinar as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas na equação anterior:

[P] = [E ] = ML T [T ] T 2

−2

= ML2 T −3

[ρ ] = [m] = ML−3 [V ] [ω ] = T −1 FÍSICA BÁSICA ANÁLISE DIMENSIONAL

30


[r ] = L e finalmente substituindo obtemos:

[P] =[ρ ]α [ω ]β [r ]γ

[

ML2 T −3 = ML−3

⇒

] [T ] [L] α

−1 β

γ

Está equação nos dá origem a um sistema: 1 = α  2 = −3α + γ − 3 = − β 

⇒

α = 1  γ = 5 β = 3 

Finalmente podemos escrever que: P = K ρ ω 3r 5


31


2.4 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS P1 – A grandeza G tem as seguintes dimensões: -2 para o comprimento; 1 para a massa; -2 para o tempo. a) Identifique a grandeza e defina a respectiva unidade no sistema SI. b) Qual o valor da unidade definida na alínea anterior num sistema absoluto cujas unidades fundamentais são: decímetro, grama e minuto. P2 – Demonstrar a homogeneidade da equação de Poiseuille:

π R 4 ( p1 − p 2 ) Q= 8η L que dá o volume de fluido vertido por um tubo por unidade de tempo, isto é, o caudal, sendo R o seu raio, L o seu comprimento, η a viscosidade e (p1-p2) a diferença de pressão entre os extremos do tubo. η exprime-se em dine.s.cm-2. P3 – Dada a seguinte equação homogénea:

2 v 2 + 2 gh = X m e sabendo que v é uma velocidade, g a aceleração da gravidade, h uma altura e m uma massa: a) Caracterize a grandeza X. b) Escreva a equação da dimensão de X num sistema coerente de unidades mecânicas em que as grandezas fundamentais são: a superfície (s), a potência (P) e o peso volúmico (π). P4 – A velocidade de propagação de uma onda num liquido depende de τ (força por unidade de comprimento), de ρ (massa volúmica do liquido) e de λ (comprimento de onda). Escreva a equação que relaciona essas grandezas. P5 – A lei de Stokes, dá-nos a força que é necessário aplicar a uma esfera para que esta se desloque através de um liquido com velocidade constante. Esta força, depende do raio e da velocidade da esfera e do coeficiente de viscosidade η, do liquido. a) Determine a partir da análise dimensional a lei de Stokes, sabendo que o coeficiente de viscosidade se mede em poise (dine.s.cm-2). b) Determine o coeficiente de proporcionalidade, sabendo que a uma esfera de raio 10 cm, que se desloca à velocidade de 0.2 m.s-1 num liquido de coeficiente de viscosidade 14.99 poise, está aplicada uma força de 0.565 N. P6 – A velocidade escalar v com que um gás se escapa de um orifício praticado no reservatório que o contém, depende apenas da diferença ∆p entre as pressões interna e externa do reservatório e da massa volúmica ρ do gás. A velocidade escalar com a qual o gás escapa através do orifício num reservatório é de 20 m.s-1. Determine a velocidade de escapamento, se em vez de ar, este reservatório contivesse hidrogénio com a mesma pressão do ar. A densidade do hidrogénio em relação ao ar é igual a 0.069. FÍSICA BÁSICA ANÁLISE DIMENSIONAL

32


P7 – A força de atrito de escorregamento Fa, entre dois materiais pode, dentro de certa aproximação ser expressa como:

Fa = K 1 v + K 2 v 2 em que v representa a velocidade relativa dos dois materiais, K1 e K2 são coeficientes de atrito que valem em unidades do sistema cgs, K1 = 0.1 e K2 = 0.2x10-2. Determine: a) A dimensão dos coeficientes K1 e K2. b) Os respectivos valores em unidades SI. P8 – Deduza utilizando a análise dimensional, a terceira lei de Kepler relativa ao movimento dos planetas, sabendo que o período T da revolução planetária depende da dimensão a do semieixo maior da órbita, da constante de gravitação universal G e da massa do sol M. (Nota: A constante universal de gravitação G é a constante dimensional que aparece na expressão da força de atracção gravitacional, que dá a força de atracção entre duas massas quando estas se encontram à distância d uma da outra: F = G

mm´ ) d2

P9 – A velocidade escalar mínima necessária para que um corpo lançado da terra não volte a cair é de 11.2 Km.s-1 (desprezando a resistência do ar e o movimento de rotação da Terra). Esta velocidade, denominada de “velocidade de escape da terra” é, tal como para qualquer outro planeta, dependente apenas da constante universal de gravitação G, da massa m e do raio r do planeta a que se refere. Calcule a velocidade de escape de um dado planeta P, sabendo que a sua massa é metade da massa da Terra e o seu raio é 8 vezes menor do que o raio da Terra. P10 – A potência P sobre o eixo de um motor de Corrente Contínua, é directamente proporcional ao comprimento h do eixo e é função ainda da indução magnética B, do diâmetro D do induzido, da intensidade de corrente I no induzido e da velocidade angular ω. Determine a equação que nos dá a dependência de P em função destas grandezas. (Teste de Janeiro de 2000). (Nota: 1 T = 1 Wb.m-2 = 1 kg.s-2.A-1) P11 - Sendo e a base dos logaritmos neperianos, a seguinte equação dá-nos a pressão p na atmosfera terrestre a uma altitude h acima do nível do mar; se g for a aceleração da gravidade suposta constante, determine as dimensões das grandezas a e b e as respectivas unidades no Sistema Internacional. (Teste de Janeiro de 2000).

p = be


−

agh b

33


REFERÊNCIAS

Guilherme de Almeida, “Sistema Internacional de Unidades (SI) – Grandezas e Unidades Físicas”. Paulo Cabral, “Metrologia Industrial – Uma função de Gestão da Qualidade”. Diário da República - I Série-A “Decreto –Lei nº 238/94 Martins –Pauli – Mauad, “Física para a universidade volume 1”

FÍSICA BÁSICA REFERÊNCIAS

34


ANEXOS



CONVERSÕES DE ALGUMAS GRANDEZAS ENTRE TRÊS SISTEMAS DE UNIDADES Grandezas Área

S = l2

Volume

V = l3 Velocidade v=l/t Aceleração a=v/t Massa m Força F =m.a P =m.g Trabalho W =F. e Potência P=W/t Pressão p=F/S Massa Volúmica ρ=m/v Peso Volúmico π=F/V Viscosidade Dinâmica η Viscosidade Cinemática ν=η/ρ

Dimensões LMT

C.G.S.

→ ÷ × ←

S.I.

→ ÷ × ←

MKpS

Dimensões LFT

L2

cm2

104

m2

1

m2

L2

L3

cm3

106

m3

1

m3

L3

LT-1

cm.s-1

102

m.s-1

1

m.s-1

LT-1

LT-2

cm.s-2

102

m.s-2

m.s-2

LT-2

M

g

103

kg

9,8

u.m.m.

L-1FT2

LMT-2

dine

105

newton

9,8

kgf

F

L2MT-2

erg

107

joule

9,8

kgm

LF

L2MT-3

erg.s-1

107

watt

9,8

kgm.s-1

LFT-1

L-1MT-2

bária

10

pascal

9,8

kgf.m-2

L-2F

L-3M

g.cm-3

10-3

kg.m-3

9,8

u m m.m-3

L-4FT2

L-2MT-2

dine.cm-3

10-1

N.m-3

9,8

kgf.m-3

L-3F

L-1MT-1

poise

10

poiseuille

L2T-1

stoke

104

m2.s-1

1

OUTRAS UNIDADES EM USO Trabalho

Potência Pressão

1 wh = (J / s) × 3600 s =3600J 1 kwh = 103 wh = 3,6 ×106 J 1 cvh = 735 (J / s) × 3600 s =735×3600J 1 cv = 75 Kgm /s = 75×9,8 J / s = 735 W 1 hp = 76 kgm/s 1 bar = 106 bárias 1 mbar = 103 bárias 1 atmosfera = 76 cmHg = 1013 mbar

FÍSICA BÁSICA TABELA DE CONVERSÕES

37


ANEXO 2

SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS PROPOSTOS

CAPITULO 1 P1 – P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 -

a) X b) πx = 10.2 kgf.dm-3 ; πy = 9.8 kgf.dm-3 b = 3 cm ;h = 5 cm a) B b) 10 cm 8x108 unidades de pressão a) 20 cm ; 5 cm b) 49 mbar b) 2.8x109 unidades de pressão a) 13.2 cm3 a = 10.3 cm a) a = 10 cm b) d = 2.7 7e5

CAPITULO 2 a) Peso volúmico b) πx = 3.6x104 unidades de peso volúmico

P1 – P2 P3 -

a) trabalho

P4 -

v=K

P5 P6 P7 -

a) F = KRvη b) K = 6π v = 76.14 m.s-1 a) [K1] = M T-1 ; [K2] = M L-1 b) K1 = 0.1x10-3 ; K2 = 0.2x10-3

P8 -

T =K

P9 P10 P11 -

v = 22.4 km.s-1 P = B.I.ω.h.D [a] = L; [b] = M T-2 , [c] = T-1; [d] = 1

b) X = S2π

τ ρλ

a3 GM

FÍSICA BÁSICA SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS

38

FISICA BASICA

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