engenharia - UniVeSP
Disciplina física i BimeStre 2
EXERcíciOs Da sEMana 2 / aUlas 5 a 8
RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO) Caro aluno, resolva os exercícios da lista da semana 2 (aulas 5 a 8) e depois compare os resultados com as respostas indicadas em vermelho. Os resultados dos exercício 4 e 6 não estão disponíveis nesta lista pois estes exercícios devem compor o Portfólio de Física 1.
EXERCÍCIO 1 As coordenadas das posições ocupadas por uma partícula em movimento obedecem as equações: x(t) = 2t ; ; y(t) = 8 – 2t² e z(t) = 0 (unidades do SI). →
a. Escreva a expressão cartesiana do vetor posição r (t) que posiciona a partícula. b. Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. c. Esboçar a trajetória ao longo da qual a partícula se move.
EXERCÍCIO 2 As posições de uma partícula em movimento num plano são determidetermi nadas pelas coordenadas polares ρ = 10+2t (m) e φ = πt (s; rad) .
a. Escrever as coordenadas cartesianas do ponto P. b. Escrever o vetor posição em coordenadas polares. c. Determinar a velocidade vetorial da partícula no instante t = 0. d. Esboçar a trajetória da partícula no plano xy.
EXERCÍCIO 3 Uma partícula move-se no plano cartesiano xy e as posições por ela ocupadas são descritas pelo vetor posição r (t) = (10 t) i + (6 t – 5 t²) j (unidades do SI). →
→
→
Determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula nos insinstantes t = 0 e t = 4 s .
EXERCÍCIO 4 Uma bola é lançada horizontalmente de certa altura em relação ao solo. O eixo 0x do referencial adotado pertence perte nce ao solo horizontal e o eixo 0y se eleva na vertical. O movimento da bola segue as equações horárias: x = 20 t e y = 20 – 5 t² e z = 0 (em unidades unidades do do SI). →
a. Escreva o vetor posição r (t) que posiciona a bola em função do tempo. b. Escreva as expressões cartesianas da velocidade e da aceleração para um instante t qualquer. c. No instante em que a bola atinge o solo ( y = 0 ) qual o módulo da velocidade e da aceleração e a posição x?
EXERCÍCIO 5 Uma partícula movimenta-se no plano z = 0 segundo o vetor posição r (t) = (3 t) i + (– 4t + 2 t²) j + 0.k (em unidades do SI). →
→
→
→
a. Escreva as equações x = x(t) e y = y(t) . b. A expressão cartesiana da velocidade. c. A expressão cartesiana da aceleração. d. A posição, a velocidade e a aceleração no instante t = 0 .
EXERCÍCIO 6 Duas crianças partem simultaneamente de uma esquina. A criança A segue para norte com velocidade constante 1 m/s e a criança B segue para leste com velocidade constante 2 m/s.
a. Qual o comprimento do segmento de reta que une as duas crianças depois de 20 s? b. Qual a velocidade relativa de B em relação a A?
EXERCÍCIO 7 Um avião de acrobacia realiza movimentos circulares de raio R = 1.000 m contidas num plano vertical. Em relação ao eixo 0x, o azimute da coordenada polar varia conforme φ = πt →
Dados:
d( e ρ) = ω. e φ dt →
→
e
d( e φ) = – ω. e onde ω = dφ ρ dt dt →
a. Escrever o vetor posição em coordenadas polares. b. Determinar o vetor velocidade do avião. c. Determinar o vetor aceleração do avião.
Físc I / Exercícios das Aulas 5 a 8
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EXERCÍCIO 8 As posições de uma partícula em movimento num plano são determidetermi nadas pelas coordenadas polares ρ = 10.cosφ (m) e φ = 2 π t (s; rad) . 0? a. Qual o valor da coordenada radial ρ no instante t = 0? b. Escrever o vetor posição em coordenadas polares. c. Determinar a velocidade vetorial da partícula no instante t = 0.
EXERCÍCIO 9 No instante t = 0 um projétil é lançado da origem do referencial cartesiano. As projeções do vetor posição que posiciona o projétil durante o movimento são: x(t) = 40 t e y(t) = 30 t – 5t² (em unidades unidades do SI).
a. Escreva a equação horária do vetor posição. b. Escreva a equação horária da velocidade. c. Escreva a equação horária da aceleração. passa pela posição posição y = = y max ; d. No instante em que v y = 0, o projétil passa determine y max .
EXERCÍCIO 10 Um projétil é lançado da origem do referencial cartesiano xy com velocidade v 0 com certa inclinação com relação a horizontal, conforme ilusilustra a gura.
y
→
v
o
θ
x
As projeções nos eixos x e y, dos pontos que o projétil ocupa durante o movimento, seguem as equações: x(t) = 250t e y(t) = 400t – 5t² (SI). (SI). Pedem-se: coordenada a y) no qual y(t) = y max ; a. O instante t ( e a respectiva coordenad b. A coordenada x do ponto de impacto do projétil com o eixo 0 x.
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EXERCÍCIO 11 Um avião a serviço humanitário voa a uma altitude H = 845 m a velocivelocidade horizontal constante v = = 216 km/h (60 m/s). No instante t = 0 um pacote é solto do avião que continua o seu vôo sem mudar a sua velovelo cidade. O vetor posição do pacote é r (t) = (60 t) i + (845 – 5 t²) j (em unidades do SI). No instante t = 0 a origem do vetor posição coincide com o pé da vertical do solo até o avião. Determinar: →
→
→
a. A expressão analítica do vetor velocidade do pacote. velocidade do pacote pacote quando este atin b. As componentes v x e v y da velocidade gir o solo ( y y = 0). 0). c. A equação da trajetória do pacote.
Físc I / Exercícios das Aulas 5 a 8
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Exercício 1 As coordenadas das posições ocupadas por uma partícula em movimento obedecem as equações: x(t) =
2 t ; y)t) = 8 - 2 t ! e z (t) = 0
(unidades do SI).
a) Escreva a expressão cartesiana do vetor posição (t) que que posiciona a partícula. b) Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração da partícula. c) Esboçar a trajetória ao longo da qual a partícula se move. Respostas (a) Vetor posição. O vetor (t) com origem em 0 e extremidade em P(x;y;z) é o vetor posição. posição. A sua extremidade acompanha a posição que partícula ocupa em cada instante. É um vetor que posiciona a partícula em relação à origem do referencial. O seu módulo
= r(t) = OP = distância da origem até o ponto P.
Ele pode ser expresso em função de suas componentes: ( ;
; )=
.
. + . .
Se a particular mudar de posição na superfície de um plano, o movimento é dito ser plano, é o vetor posição é caracterizado por duas componentes.
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( ; )=
No plano, o vetor posição pos ição tem a seguinte expressão ex pressão analítica: an alítica:
.
. se o mo movi vime ment ntoo fo forr no pl plan anoo xy xy..
Neste caso, as componentes componentes são: •
x(tt) = r. r.ccos (t) = x(
•
(t)) = y(t (t y(t)) = r.s r.sen en
onde
= ângulo azimutal (medido do eixo 0x até o vetor , no sentido anti-horári anti-horárioo olhando do eixo 0z para a origem. origem.
Desta maneira, o vetor posição é assim expresso: (t) = x(t). + y(t). . Neste exercício, exercíc io, o enunciado enuncia do afirmar que: qu e: x(t) = 2 t e y(t) = 8 - 2 t !; logo, (t) = (2t (2t). ). + (8 - 2t ). . !
(b) Vetor velocidade e vetor aceleração. Conforme definição: (t) =
=
=
+
=
+
= 2. +[-4t].
(t) = 2. - 4t.
Por procedimento semelhante determinamos o vetor aceleração:
(t) =
=
=
+
= 0. (t) =
(c) Esboço da trajetória.
Para esboçar a trajetória precisamos conhecer os valores das coordenadas x e y para diversos valores de t. Vamos preencher a tabela de valores para facilitar a tarefa, inclusive com os valores das velocidades e aceleração.
t=0
t= 1 s
t=2s
t=3s
t=4s
(m)
0
2
4
6
8
y(t) = 8 -2t! (m)
8
6
0
-10
-24
2. - 8.
2. - 12.
2. - 16 16..
-4
-4
x(t) = 2.t
(t)
(m/ m/ss)
2
2. - 4.
(t)
(m/s!)
-4
-4
-4
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A va vari riaave vell t
Re t
0
A trajétória é parabólica e cada posição é definida por um vetor posição e também por um par de de valores coordenados x(t) e y(t). y(t).
No gráfico da d a trajetória foram fora m desenhados desenha dos as componentes (t) = 2 m/s e = - 4t (SI) que cresce no sentido oposto ao eixo 0y.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICA PARAMÉTRICA E EQUAÇÃO DA TRAJETÓRIA MOVIMENTO NO PLANO As equações x(t) = 2.t e y(t) = 8-2t! são denominadas Equações paramétricas (dependem do parâmetro t). Explicitando Explicita ndo t = e substituindo em y(t) obtem y(x) = 8 – 2( )! = 8 – ( )x! que, matematicamente, matematicamente, é uma polinomial de 2 grau ( Parábola). Resumindo Resumindo:: eliminando eliminando-se -se t entre as equações paramétrica paramétricass tem-se uma função y = f(x) que é a equação da trajetória da partícula. partícula.
Exercício 2 As posições de uma partícula em movimento num plano são determinadas pelas coordenadas polares 10+2t (m) e = t (s; rad) .
a) Escrever as coordenadas coordenadas cartesianas cartesianas do ponto P. b) Escrever o vetor posição em coordenadas polares. c) Determinar a velocidade velocidade vetorial da partícula partícula no instante t = 0. 0. d) Esboçar a trajetória da partícula no plano xy. Respostas comentadas.
"#$%#&'#()* "#$%&' "#$%#&'#()* "#$%&' () +,-./* *%+ +,-./* *%+ ,' -.$/' 0'1234$
=
a) Utilizando as equações de de transformação coordenadas coordenadas polares em coordenadas coordenadas cartesianas x = coss (14 co (14.1) .1) e y = sen (RE (RECAL CALL: L: Ane Anexo xo 2 da Aul Aulaa 01) es escre crevem vem-se -se:: x(t) x( t) = (5 (5+2 +2t) t) co cos( s( t) e y (t) = (5 (5+2 +2t) t) se sen( n( t) me medi dida dass em un unid idad ades es do SI SI..
b) (t) = (5 + 2t)
c) (t) =
=
onde
= versor polar na direção radial .
=
+ (5+2.t).
É pr prec ecis isoo ca calc lcul ular ar a de deri riva vada da deri de riva vada da (t) = 2
=-
.
=2
; co como mo
+ (5+2t) = t, a de deri riva vada da
=
port po rtan anto to,, a
= - . . Te Temo moss en entã tão: o: + (5+2t)
=2
No instante t = 0: (t=0) = 2
+ (5+2t) - . ] = 2
- (5+2t)
.
(SI)
-5 .
d) Esboço da trajetória no plano xy. Vamos construir uma tabela dos valores de , , x e y em função do tempo. As equa equações ções de trans transforma formação ção coord coordenad enadas as polar polares es para carte cartesian sianas as são: x = cos = (5+2t (5+2t)cos )cos(( t) e y = senn = (5+ se (5+2t) 2t)sen sen(( t). Par Paraa fac facilit ilitar ar o cál cálcul culoo de cos cos(( t) e sen sen(( t), ire iremos mos con consid sidera erarr t em “s “step teps’s s’s”” de (1/2) s, ou seja, t = 0, t = 1( ") ; t = 2(1/2); 2(1/2); t = 3(1/2) ..... Assim foi elaborada a tabela a seguir e o esboço da trajetória no plano xy.
Exercício 3 "#$%#&'#()* "#$%&' "#$%#&'#()* "#$%&' () +,-./* *%+ +,-./* *%+ ,' -.$/' 0'1234$
Uma partícula move-se no plano cartesiano xy e as posições por ela ocupadas são descritas pelo vetor posição (t) = (10 t ) + (6 t – 5 t ) (unidades do SI). ! !
Determine a posição, a velocidade e a aceleração da partícula nos instantes t = = 0 e t = = 4 s.
Respostas comentadas.
A análise do vetor de posição permite inferir que: 1) x(t) = 10t 10t (SI) e y(t) = (6t - 5t ) SI. ! !
Sendo
(t) = (10 t )
+
(6 t – 5 t )
acele ac elera raçã ção o vet vetor oria iall é =
! !
velocid cidade ade da par partícu tícula la é , a velo
=
=10.. + (6 - 10t =10 10t). ). e a
= -10 -10.. . A ta tabe bela la mo mostr stra a as as coor coorde dena nada dass (x;y (x;y)) da da pos posiç ição ão da pa partí rtícu cula las, s, a
velocidade e a aceleração nos instantes t = 0 e t = 4s.
x = 10t (m)
y = 6t – 5t (m) ! !
= 10 +( +(66-10 10t) t) (m (m/s /s))
= - 10 10.. (m (m/s /s ) !
t=0
0
0
10 + 0.
- 10.
t=4
40
-56
10 – 34.
- 10.
Exercício 4 Uma bola é lançada horizontalmente de certa altura em relação ao solo. O eixo 0x do referencial adotado pertence ao solo solo horizontal e o eixo 0y se eleva eleva na vertical. O movimento movimento da bola segue segue as equações equações horárias: x = 20 t e e y = 20 – 5 t ! e z = = 0 (em unidades do SI). a) Escreva o vetor posição que posiciona a bola em função do tempo. b) Escreva as expressões cartesianas da velocidade e da aceleração para um instante t qualquer. qualquer. c) No instante em que que a bola atinge o solo ( y = 0 ) qual o módulo da velocidade e da aceleração e a posição x? Respostas comentadas. Item (a): (t) = 20t. + (20 – 5 t !). ) Item It em (b (b): ): (t) = 20 20.. -1 -10t 0t.. e (t) ==-10 10.. (m (m/s /s!). Item (c): Para a solução calculamos o instante t em que a bola atinge o solo e para tal igualamos a equação horária y(t) = 20-5t! = 0 donde donde se extrai t = = 2 s ( t 0). Substituindo-se t = 2 s na equação da velocidade e do vetor posição teremos (t= 2s) = 20. - 20. (m/s) e (t=2 s) = 40. + 0. (m). Quan Quanto to a acel aceleraç eração, ão, ela é cons constante tante,, = - 10. (m/s !).
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Exercício 5 Uma partícula movimenta-se no plano z = = 0 segundo o vetor posição (t) = (3 t ) + (- 4t + 2 t !) + 0. (em unidades do SI).
a) Escreva as equações x = x( t ) e y = y( t ). ). b) A expressão cartesiana da velocidade. c) A expressão cartesiana da aceleração. d) A posição, a velocidade e a aceleração no instante t = = 0 Respostas comentadas. a) x(t) = 3t (SI) e y(t) = 2t -4t -4t (SI). A função horária da abscissa do ponto ocupado pela partícula é uma função de grau 1; logo, o movimento da projeção do ponto no eixo e ixo x é uniforme ( velocidade vel ocidade constante). E o movimento da projeção do ponto no eixo y é uniformemente acelerado ( função horária do espaço segue uma polinomial de grau 2 no tempo). ! !
b)
=
= 3 + (4t – 4) (SI). Observ Observee que a compo componente nente
componente
=(4t-4 )(m/s) varia uniformemente com tempo e
c) (t (t)) =
=
= 3 m/s (constante) e !
= 0; A
= 4 m/s , constante. !
= 0. + 4. (m (m/s /s ) !
d) No instante t = 0
•
•
•
(0) = 0, ou seja, x=y = 0 ( a partícula passa pela origem do referencial) ref erencial) (0) = 3. -4. ( =3 e – 4 (SI). O esqu esquema ema ao lado mostra os respectivos vetores. = 4. m/ m/ss (SI) !
Exercício 6 Duas crianças partem simultaneamente de uma esquina. A criança A segue para norte com velocidade constante 1 m/s e a criança criança B segue segue para leste leste com velocidade velocidade constante 2 m/s. a) Qual o comprimento do segmento de reta que une as duas crianças depois de 20 s? b) Qual a velocidade velocidade relativa de B em relação a A? "#$%#&'#()* "#$%&' "#$%#&'#()* "#$%&' () +,-./* *%+ +,-./* *%+ ,' -.$/' 0'1234$
Exercício 7 Um avião de acrobacia realiza movimentos circulares de raio R = 1.000 m contidas num plano vertical. Em relação ao eixo 0x, o azimute da coordenada polar varia conforme = .t
Dados:
= .
e
= - .
onde
=
a) Escrever o vetor posição em coordenadas coordenadas polares. b) Determinar o vetor vetor velocidade do avião. c) Determinar o vetor aceleração do avião. Respostas comentadas. a) (t) = . (t) =
= 1000. =
(SI). = 1000
= 1000
. Precisamos determinar a derivada
=
=
As posições de uma partícula em movimento num plano são determinadas pelas coordenadas polares 10.c 10.cos os (m) (m) e = t (s; (s; rad) rad) .
=
. Po Port rtan anto to,, o ve veto torr ve velo loci cida dade de as assi sim m se es escr crev eve: e: (t) = 10 1000 00 . . c)
1000 .
= -1000. .
Exercício 8
a) Qual o valor da coordenada radial
no instante t = 0?
b) Escrever o vetor vetor posição em coordenadas coordenadas polares. polares. c) Determinar a velocidade velocidade vetorial da partícula no instante t = 0. 0. Respostas comentadas. a) No instante t = 0, a variável angular m.
= 2 (0) = 0 e, portanto, a coordenada radial é
"#$%#&'#()* "#$%&' "#$%#&'#()* "#$%&' () +,-./* *%+ +,-./* *%+ ,' -.$/' 0'1234$
= 10.cos(0) = 10
b) (t) = 10.cos . , substituindo c) (t) =
=
=
t, tem-se: (t) = 10.cos(
= 20 sen(
É preciso calc lcuula larr a deriv ivaada derivada
t).
+ 10.cos(2 t).
= -(
. ; como
t). . .
= 2 t, a deriv ivaada
=2
portanto, a
= - 2 . . Temos então:
(t) = 20
(
t).
+ 10.cos(2 t).[-2 . ] = [20 sen(
(t) = [20 sen(
t)].
+ [-20 .cos(2 t).
t)].
+ [-20 .cos(2 t).
.
. (salvo melhor juízo)
No instante t = 0: (t=0) = -20 .
Exercício 9 No instante t = = 0 um projétil é lançado da origem do referencial cartesiano. As projeções do vetor posição que posiciona o projétil durante o movimento são: x( t ) = 40 t e e y( t ) = 30 t – 5 t ! (em unidades do SI). a. Escreva a equação horária do vetor posição. b. Escreva a equação horária da
velocidade.
c. Escreva a equação horária da
aceleração.
d. No instante em que que
= 0, o projétil passa passa pela posição posição y =
; determine
.
Respostas comentadas. a) (t) = (40t) + (30t – 5t!) (SI) b) (t) =
= 30. + (30 – 10.t)
c) A função horária horária y(t) = 30t 30t – 5t! é a polinomial que que descreve o movimento da projeção do projétil no eixo y. Aprendemos, quando do estudo de máximo e mínimo de funções, funções, que se igualando igualando a zero a primeira derivada da função, descobrimos o valor da variável ( no caso, a variável t) para o qual a função se anula. Assim:
=
= 30 – 10t. Igualando este resultado a zero temos: 30-10t = 0 donde t = 3
s. A segunda derivada, no mesmo instante t, é:
= -10. Como a segunda derivada é negativa, a
função y(t) no ponto t = 3 corresponde a um ponto de máxima. Logo, = 30(3) – 5(3) ! = 45 m. E neste ponto, a componente = 30 – 10(3) = 0, ou seja, momentaneamen momentaneamente te a componente da velocidade do projétil é nula no ponto de altura máxima. Imediatamente o projétil atingir o ponto de altura máxima, ele inicia o movimento de retorno.
Exercício 10 "#$%#&'#()* "#$%&' "#$%#&'#()* "#$%&' () +,-./* *%+ +,-./* *%+ ,' -.$/' 0'1234$
Um projétil é lançado da origem do referencial cartesiano xy com velocidade relação a horizontal, conforme ilustra a figura.
com certa inclinação com
As projeções nos eixos eixos x e y, dos pontos que o projétil ocupa durante durante o movimento, seguem as equações: equações: x(t) =
250 t e y(t) = 400t – 5t ! (SI).
Pedem-se: a. O instante t ( e a respectiva respectiva coordenada coordenada y)
no qual y(t) =
b. A coordenada x do ponto de impacto do projétil com o eixo 0 x.
Respostas comentadas.
a)
=
= 400 – 10t = 0
t = 40 s. Logo, y (t=40 s) = 400(40) – 5(40) ! = 8.000 m.
b) No ponto de impacto, y (t) = 0, logo y = 400 t – 5t ! = (400-5t)t = 0, resultam dois valores de t: t’ = 0 s e t” = 80 s. Para determinar a respectiva coordenada x, vamos substituir na função horária da componente x da posição, os valores t’ = 0 e t” t ” = 80s. Assim, para t = 0 x =250(0) = 0 e para t = 80 s x = 250(80) = 20.000 m. Portanto, a coordenada do ponto de impacto é = 20.000 m.
Exercício 11 Um avião a serviço humanitário voa a uma altitude H = = 845 m a velocidade horizontal constante v = 216 km/h (60 m/s). No instante t = = 0 um pacote é solto do avião que continua o seu vôo sem mudar a sua velocidade. O vetor vetor posição posição do do pacote pacote é (t) = (60 t ) + (845 – 5 t !) (em unidades do SI). No instante t = 0 a origem do vetor posição coincide com o pé da vertical do solo até o avião. Determinar: a. A expressão analítica do vetor velocidade do pacote. b. As componentes
e
da velocidade do pacote quando este atingir o solo ( y = 0).
c. A equação da trajetória do
pacote.
Respostas
"#$%#&'#()* "#$%&' "#$%#&'#()* "#$%&' () +,-./* *%+ +,-./* *%+ ,' -.$/' 0'1234$
a) (t) =
= 60.i + (-10t (-10t). ). (SI)
b) Precisamos calcular o instante t em que o pacote atinge o solo. Para tal fazemos y = 0, ou seja, y(t) = 845-5t ! = 0; desde igual, extraímos extraímos t = 13 s. Substituindo Substituindo em (t) = 60.i + (-10t (-10t). ). , resul resulta, ta, (t=13 s) = 60.i + (-130 (-130). ). . Porta Portanto, nto, no instante em que o pacote atinge o solo, = 60 m//s e = 130 m/s ( sinal negativo, indica que o movimento é para baixo).
c) A equação da trajetória pode ser obtida eliminando-se o tempo t de x(t) e y(t). Assim, de x(t) = 60 t tem-se que t = x/60. Substituindo em y = 845-5t !, resulta y = 845 -
(m) que é equação de uma parábola.
"#$%#&'#()* "#$%&' "#$%#&'#()* "#$%&' () +,-./* *%+ +,-./* *%+ ,' -.$/' 0'1234$
