Fisica 3ro medio.pdf

J r J oo h h n n n n y y F F F r a a n a n z z R R í íoo í s s M M oo n M nt t e e r e r oo

P – B Boo l li v Poo t t oossíí – i v iia a 2 20 01111

D LEEG DEEPPÓ ÓSSIITTO O L GA ALL N 1--223311//22000099 Nºº 1

PPeeddiiddooss a a:: TTeellééf f oonnoo:: 6 622 – – 2 2277660044 C 766445588449944 – Ceelluullaarr:: 7 – 7 7700446644884422 Joohhnnnniittoo _ EEm _ @ @hhoottm maaiill..ccoom m maaiill.. J

LLaa pprreesseennttee eeddiicciióónn eess pprrooppiieeddaadd ddeell aauuttoorr yy qquueeddaa ttoottaallm meennttee pprroohhiibbiiddaa llaa dee llaa o obbrraa,, p poorr c cuuaallqquuiieerr m rreepprroodduucccciióónn ttoottaall o o p paarrcciiaall d meeddiioo m meeccáánniiccoo oo e elleeccttrróónniiccoo,, iinncclluussiivvee ppoorr f f oottooccooppiiaa uu oottrroo ssiisstteem maa ddee aallm maacceennaam miieennttoo ddee iinnf f oorrm maacciióónn ssiinn llaa auuttoorr.. pprreevviiaa a auuttoorriizzaacciióónn e essccrriittaa d deell a

D LEEG DEEPPÓ ÓSSIITTO O L GA ALL N 1--223311//22000099 Nºº 1

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LLaa pprreesseennttee eeddiicciióónn eess pprrooppiieeddaadd ddeell aauuttoorr yy qquueeddaa ttoottaallm meennttee pprroohhiibbiiddaa llaa dee llaa o obbrraa,, p poorr c cuuaallqquuiieerr m rreepprroodduucccciióónn ttoottaall o o p paarrcciiaall d meeddiioo m meeccáánniiccoo oo e elleeccttrróónniiccoo,, iinncclluussiivvee ppoorr f f oottooccooppiiaa uu oottrroo ssiisstteem maa ddee aallm maacceennaam miieennttoo ddee iinnf f oorrm maacciióónn ssiinn llaa auuttoorr.. pprreevviiaa a auuttoorriizzaacciióónn e essccrriittaa d deell a

Í nd i ic c e e C uulloo I I V s p C aa pi i t V eec c t too r r ee s 1.1. Magnitudes escalares 1.2. Magnitudes vectoriales 1.3. Definición de vector 1.4. Elementos de un vector 1.5. Clasificación de vectores

2 2 2 2 2

V s s V eec c t too r r ee s c c oolli i nni i aallee s 1.6. Concepto 1.7. Operaciones con vectores 1.7.1. Suma de vectores 1.7.1.1. Suma de vectores del mismo sentido 1.7.1.2. Suma de vectores de sentido contrario 1.8. Multiplicación de vectores 1.8.1. Producto de un vector por un escalar 1.8.2. Producto escalar de dos vectores 1.8.3. Producto vectorial de dos vectores Problemas resueltos

3 3 3 3 4 4 4 5 5 5

V s ee s V eec c t too r r ee s c c oonnc c uur r r r eennt t s 1.9. Concepto 1.10. Método gráfico 1.10.1. Método del paralelogramo 1.10.2. Método del polígono 1.11. Resta de vectores 1.12. Métodos analíticos 1.12.1. Teorema de Pitágoras 1.12.2. Teorema de los cósenos 1.13. Sumar dos o más vectores concurrentes 1.13.1. Suma de vectores angulares de 90º 1.13.1.1. Solución grafica método del paralelogramo 1.13.1.2. Solución grafica por el método del triangulo 1.13.1.3. Solución analítica 1.13.2. Suma de dos vectores angulares distinto a 90º 1.13.2.1. Solución grafica método del paralelogramo 1.13.2.2. Solución grafica método del triangulo 1.13.2.3. Solución analítica 1.13.3. Suma de dos o más vectores que forman ángulos distintos 1.14. Descomposición de un vector 1.15. Componentes de un vector Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 11 11 12 15 16

C p uulloo I I I I E s áát i ic C aa pi i t t E st t t c aa 2.1. Concepto 2.2. Equilibrio 2.3. Clases de equilibrio 2.3.1. Equilibrio estático 2.3.2. Equilibrio dinámico 2.4. Fuerza 2.5. Momento de una fuerza 2.5.1. Unidades 2.6. Momentos de barras y superficies 2.7. Convención de signos 2.8. Cupla 2.9. Relación de Stevin 2.10. Condiciones de equilibrio 2.10.1. Primera condición de equilibrio 2.10.2. Segunda condición de equilibrio 2.11. Centro de gravedad 2.12. Diagrama de cuerpo libre 2.12.1. Cuerpo suspendido 2.12.2. Cuerpo apoyado en una superficie 2.12.3. Cuerpo apoyado y suspendido Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 21 21 22 26 28

C p uulloo I I I I I I C i ic C aa pi i t t C i i nneem máát t c aa 3.1. Consideraciones generales 3.2. Concepto 3.3. Desplazamiento 3.4. Distancia 3.5. Trayectoria 3.6. Clases de trayectoria 3.6.1. Rectilíneo 3.6.2. Curvilíneo 3.6.2.1. Circular 3.6.2.2. Parabólico 3.6.2.3. Elíptico 3.7. Movimiento 3.8. Clases de movimiento 3.8.1. Movimiento de traslación 3.8.2. Movimiento de rotación 3.8.3. Movimiento de vibración 3.9. Equilibrio

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31

M i m oo r i f Moovi mi i eennt r eec c t ti i l lí í nneeoo uunn f mee i oor r m 3.10. Definición 3.11. Velocidad uniforme 3.12. Elementos del movimiento uniforme 3.12.1. Distancia 3.12.1.1. Unidades 3.12.1.1.1. Sistema internacional 3.12.1.1.2. Sistema cegesimal 3.12.2. Tiempo 3.12.2.1. Unidades 3.12.2.1.1. Sistema internacional 3.12.3. Velocidad 3.13.3.1. Unidades 3.12.3.1.1. Sistema internacional 3.12.3.1.2. Sistema cegesimal 3.13. Grafica distancia tiempo 3.14. Conclusiones 3.15. Grafica velocidad tiempo 3.16. Conclusiones 3.17. Paso de grafica posición tiempo a grafica velocidad tiempo Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 33 33 34 34 35 35 36 40 41

C p uulloo I I V oo oo r i f C aa pi i t t r m meev V M Moov v aar r i i aad d v i im mi i eennt t r eec c t ti i l lí í nneeoo uunn f i oor 4.1. Definición 4.2. Elementos del M.R.U.V. 4.2.1. Distancia 4.2.2. Tiempo 4.2.3. Velocidad inicial 4.2.4. Velocidad final 4.2.5. Velocidad media 4.2.6. Aceleración 4.2.6.1. Unidades 4.2.6.1.1. Sistema internacional 4.2.6.1.2. Sistema cegesimal 4.3. Clases del M.R.U.V. 4.3.1. Movimiento uniformemente acelerado 4.3.2. Movimiento uniformemente retardado 4.4. Formulas 4.4.1. Formula de la velocidad final 4.4.2. Formula del desplazamiento 4.4.3. Formula del cuadrado de las velocidades 4.5. Grafica de la velocidad tiempo 4.5.1. Conclusiones

43 43 43 43 43 43 43 43 44 44 44 44 44 44 44 44 44 45 45 46

4.6. Grafica posición tiempo Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

46 47 47 48 51 52

C p s uulloo V aa lli i bbr eelloo s p C aa pi i t s t V C C aaí í d d r eed d s c c uueer r poo 5.1. Consideraciones generales 5.2. Ecuaciones del movimiento de caída libre Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

54 54 55 55 56 60 61

C p uulloo V oo eenn d oo s i i C aa pi i t t V I I M Moov v i i im mi i eennt t d s d d im meenn s si i oonne s e s 6.1. Movimiento compuesto 6.2. Principio de independencia de movimientos 6.3. Ecuaciones del movimiento compuesto 6.4. Movimiento parabólico 6.5. Características del movimiento parabólico 6.5.1. Calculo de la velocidad horizontal 6.5.2. Calculo de la velocidad vertical 6.5.3. Calculo de la velocidad en cualquier instante “t” 6.5.4. Calculo del tiempo para alcanzar la altura máxima 6.5.5. Calculo de la altura máxima 6.5.6. Calculo del alcance horizontal Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

63 63 63 63 64 64 64 64 64 64 64 65 65 66 72 74

C p uulloo V oo c C aa pi i t t V I I I I M Moov v i i im mi i eennt t c i i ir r c c uullaar r 7.1. Movimiento circular uniforme 7.2. Periodo 7.3. Frecuencia 7.4. Velocidad lineal o tangencial 7.4.1. Unidades 7.5. Velocidad angular 7.5.1. Unidades 7.6. Radian 7.7. Relaciones entre la velocidad lineal y la velocidad angular 7.8. Fuerza centrípeta 7.9. Fuerza centrifuga

76 76 76 76 77 77 77 77 77 77 78

Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

79 79 80 82 83

C p uulloo V C aa pi i t t c aa V I I I I I I D Di i nnáám mi i c 8.1. Primera ley de Newton o principio de inercia 8.1.1. Fuerza 8.1.2. Masa inercial 8.2. Segunda ley de Newton o principio de masa 8.3. Tercera ley de Newton o principio de acción y reacción 8.3.1. Peso y masa 8.3.1.1. Unidades de peso y masa 8.3.1.2. Equivalencias 8.4. Unidades de fuerza 8.4.1. Sistema internacional 8.4.2. Sistema cegesimal 8.4.3. Sistema gravitatorio técnico terrestre 8.4.5. Sistema ingles 8.5. Equivalencias Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

85 85 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 87 87 88 88 89 92 93

C p uulloo I X z aam oo C aa pi i t t I X X RRoo z mi i eennt t 9.1. Definición 9.2. Fuerza de rozamiento 9.3. Clases de rozamiento 9.3.1. Clases de rozamiento seco 9.3.1.1. Rozamiento por deslizamiento 9.3.1.2. Rozamiento por rodadura o pivote 9.4. Leyes de la fuerza de rozamiento por deslizamiento 9.5. Características de las leyes de la fuerza de rozamiento 9.6. Rozamiento estático 9.6.1. Coeficiente de rozamiento estático 9.7. Rozamiento cinético 9.7.1. Coeficiente de rozamiento cinético Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

95 95 95 95 95 95 95 95 95 96 96 96 97 97 97 103 104

C p uulloo X j , , ppoot eennc g C aa pi i t t X T T r ra r abbaa j oo t c i i ia a y y eenneer r gí í aa T j T r ra r abbaa j oo 10.1. Definición 10.2. Unidades 10.2.1. Sistema cegesimal 10.2.2. Sistema internacional 10.2.3. Sistema técnico 10.3. Equivalencias Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

106 106 106 106 106 106 107 107 107 109 110

PPoot eennc t c i i ia a 10.4. Definición 10.5. Unidades de potencia 10.5.1. Sistema cegesimal 10.5.2. Sistema internacional 10.5.3. Sistema técnico 10.6. Equivalencias Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

110 110 110 110 110 110 111 111 111 113 113

E g E nneer r gí í aa 10.7. Definición 10.7.1. Energía potencial 10.7.2. Energía cinética 10.8. Ley de la conservación de la energía Resumen Resumen de formulas Problemas resueltos Problemas propuestos Autoevaluación

114 114 114 114 114 114 115 117 118

P L i ic c.. J J o P r ro o f f .. L oh h n n n n y y F F r ra a n nz z R R í ío os s M M o on n t te er r o o

C a u l o I a p í t tu l V e e s ec c t to r e

e e s sc c r r i i b g U í í s si i c c o a d d b i ir r a a l l g u un n o os s c c o o s s; ; U n n s s o ol lo o n n ú úm me e r r o o n n o o e e s s s s u u f f i i c cii e en n t t e e p p a ar ra on nc ce e p p t to o s s f f e e l a e e e e s st t e e h a h o o s s e eñ ña l d d a r rs s e e c c u ue e n nt t a a d d h e ec c h al l ó ó u u n n a a v va an nc ce e i i n nd du u d da a b bl l e e e e n n l l a i i n nv ve es s t t i g i g a ac ci i ó ón n c c i ie en n t tí f í i i c ca a . .

Prroof f. . LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo

V V e ec c t to o r r e e s s

11..11.. M Maaggnniittuuddeess eessccaallaarreess..--

Las magnitudes escalares pueden ser numéricas o algebraicas, son aquellos que quedan determinados con un número y el nombr e de la unidad de la medida empleada. Estos son: longitud, volumen y superficie, etc. 11..22.. M Maaggnniittuuddeess vveeccttoorriiaalleess..-- Las magnitudes vectoriales, se definen por medio del valor numérico de su medida denominado intensidad o módulo, junto a su dirección y sentido. Para determinar magnitudes como la velocidad, aceleración, fuerza es necesario indicar los factores citados mediante la representación de un segmento orientado al que se denomina vect or .

VVeeccttoorreess

D Diirreecccciióónn, está definida por la recta que contiene al vector. En la fig. esta representado por la recta bc. m

b

c

o

a

Para representar un vector se toma en cuenta lo siguiente:

11.. Tomando en cuenta la letra del origen y el sentido del vector con una flecha superpuesta. Así el vector oa de la figura se representa por:oa . uuu r

2.. Actualmente se representan con

letras negritas o góticas, sin superponerles la flecha, la cual se utiliza únicamente cuando se nombra al vector por las letras que indican su origen y su extremo. Así el vector de 11..33.. D Deef f iinniicciióónn ddee vveeccttoorr..-- Vector es la figura es: oa. una magnitud, cuya determinación exige el conocimiento de un punto de 3.. También se representa por una sola aplicación u origen, módulo, dirección letra ya sea mayúscula o minúscula; el y sentido; indicado por un segmento vector de la figura es: A; a. rectilíneo. 11..55.. C Cllaassiif f iiccaacciióónn ddee vveeccttoorreess..-- Se 11..44.. EElleem e n t o s d e u n v e c t o r . mentos de un vector.-- Un distinguen los siguientes: vector está determinado por su EEqquuiippoolleenntteess, vectores paralelos, longitud que representa la intensidad o del mismo sentido, módulos iguales. módulo de la magnitud vectorial, la Dos vectores de módulo idéntico y recta a la que pertenece indica la sentido contrario forman un par de dirección y la flecha indi ca su sentido, vectores. consta de los siguientes elementos: PPuunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn uu oorriiggeenn,, es uno de los extremos del vector, que P M N representa el origen de la flecha. En O1 O2 la fig. es el punto o. O1 O2 SSeennttiiddoo,, es el extremo opuesto al Par de vectores origen y se indica por una flecha, o Q al lugar al que se dirige el vector. En la fig. se representa por a. M O Móódduulloo,, es la longitud del vector o Oppuueessttooss,, son dos vectores iguales, de la flecha. En la fig. se representa misma dirección pero de sentido por m. contrario u o puesto.

Fí í ssiiccaa QQuuí í mmiiccaa

2 2

PPrroof f. . LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss M Moonntteerroo

Veeccttoorreess

V V e ec c t to o r r e e s s c c ool l i n i n e e a al l e e s s

a

11..66..

C Coonncceeppttoo..--

Los vectores colineales son aquellos que tienen sus líneas de acción sobre una misma recta.

b

LLiiggaaddoo,, vector que tiene; dirección, intensidad, sentido y punto de aplicación invariable e inamovible. c

a

b

c

11..77.. O Oppeerraacciioonneess c coonn v veeccttoorreess:: 11..77..11.. SSuum maa ddee vveeccttoorreess..-- Sumar

es deter minar el vector resultante de varios vectores, se D Deesslliizzaannttee,, vector que puede presentan los siguientes casos: trasladarse a cualquier punto de la   Vectores con la misma direcci ón: recta en la que se halla, cuyo origen   Vectores con el mismo sentido. puede ser cualquier punto de su recta soporte.   Vectores con sentido contrario. vectores

b

11..77..11..11.. SSuum maa ddee vveeccttoorreess ddeell m miissm moo sseennttiiddoo..-- La suma o resultante de éstos

b

O

O’

vectores es la suma de los componentes de la misma dirección y sentido. LLiibbrree,, vector cuyo origen es un Ejemplo: sean los siguientes vectores: punto cualquiera, es decir que se puede trasladar paralelamente a sí a b c mismo. Ejemplo el momento de un par de fuerzas aplicadas a un cuerpo Hallar la resultante de: II.. a + b + c; rígido. IIII.. b + a + c; donde: a = 3 N, b = 5 N, c = 4 N.

IIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááf f iiccaa..-- Dibujar los a

vectores uno a continuación de otro.

a

O

a

O’

V Veeccttoorreess eenn rroottaacciióónn,, vectores que son magnitudes vectoriales ligadas a un movimiento de rotación. O

a

b

O

3 3

b

c

R

IIbb.. SSoolluucciióónn nnuum méérriiccaa..-- Para la solución numérica considerar positivos vectores con sentido a la derecha o hacia arriba; considerar negativos los vectores con sentido a la izquierda y hacia abajo.

FFí í ssiiccaa Q Quuí í mmiiccaa

Prroof f. . LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo a=3N b = 5 N c=4N

VVeeccttoorreess

R=a+b+c R=3N+5N+4N R = 12 N.

IIIIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááf f iiccaa:: b

a

c

R

IIIIbb.. S Soolluucciióónn n nuum méérriiccaa:: a=3N b = 5 N c=4N

R=b+a+c R=5N+3N+4N R = 12 N.

11..77..11..22.. SSuum maa ddee vveeccttoorreess ddee sseennttiiddoo ccoonnttrraarriioo..-- La resultante de éste

IIIIbb.. S Soolluucciióónn n nuum méérriiccaa:: d = -7 m e= 5m

R=e+d R = 5 m + (-7 m) R=-2m

11..88.. M Muullttiipplliiccaacciióónn ddee vveeccttoorreess..-Hasta aquí hemos visto que los vectores tienen sentido, dirección y magnitud, por lo tanto los productos vectoriales no pueden seguir las mismas reglas que los productos escalares o algebraicos. Encontramos útil definir tres clases de aplicaciones de multiplicación de vectores:   Producto

de un vector por un escalar sistema de vectores es igual a la   Producto escalar de dos vectores diferencia de la misma dirección y   Producto vectorial de dos vectores sentido del mayor. 1.8.1. Producto de un vector por un Ejemplo.- Sean los siguientes vectores: 1.8.1. Producto de un vector por un eessccaallaarr..-- El producto de un escalar K y d e de un vector a, es otro vector, cuyo módulo es el producto del vector por el Hallar la resultante de: II.. d + e IIII.. escalar y tiene la misma dirección y e + d; siendo d = 7 m; e = 5 m. sentido que el primer vector. IIaa.. SSoolluucciióónn ggrrááf f iiccaa..-- Dibujar Se escribe K*a y se define como un nuevo vector cuya magnitud es K veces superponiendo los vectores. mayor que la magnitud de a, el nuevo d vector tiene el mismo sentido que a, si K es positivo; y de sentido opuesto, si K es negativo. e Ejemplo: Se tiene el vector a = 3 u. R Calcular el producto 4*a

IIbb.. S Soolluucciióónn n nuum méérriiccaa::

aa.. SSoolluucciióónn ggrrááf f iiccaa..-- Se dibuja el

d = -7 m e= 5m

vector el número de veces que indica el escalar; K = 4

R=d+e R = -7 m + 5 m R=-2m

IIIIaa.. S Soolluucciióónn g grrááf f iiccaa::

a

4a

e

R

bb.. S Soolluucciióónn n nuum méérriiccaa:: d

R Fí í ssiiccaa QQuuí í mmiiccaa

a=3u

R=K*a R=4*3u R = 12 u 4 4

PPrroof f.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss M Moonntteerroo

Veeccttoorreess

11..88..22.. PPrroodduuccttoo eessccaallaarr ddee ddooss P r s P r oobbl l e a s r r e e s s u ue e l lt t o o s s e m m a vveeccttoorreess..-- Llamado también producto 11.. Dado los siguientes vectores:

interno, es un escalar cuyo valor es a=10 m b=15 m c=20 m d=25 m igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo Hallar la resultante de: II.. a + b + c + d que forman. IIaa.. S Soolluucciióónn g grrááf f iiccaa:: a . b = a . b cos α a b c d Su representación gráfica es: b

R

IIbb.. SSoolluucciióónn n nuum méérriiccaa:: α

a

R=a+b+c+d El producto escalar de dos vectores R = 10 m + 15 m + 20 m + 25 m tiene la propiedad conmutativa y R = 70 m.

distributiva. En función de sus componentes, se demuestra que el producto escalar de dos vectores a y b es: a.b = ax + bx + ay + by + az + bz.

2.. Dado los siguientes vectores: a=10 m b=15 m

c=20 m

II.. a + b + c + d

Hallar la resultante de: IIII.. b + d + a + c

Soolluucciióónn g grrááf f iiccaa:: 11..88..33.. PPrroodduuccttoo vveeccttoorriiaall ddee ddooss IIaa.. S vveeccttoorreess..-- Llamado también producto externo, es un vector cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los vectores dados por el seno del ángulo que forman: a x b = ab sen α La representación gráfica es: v=axb a

α b

La dirección del vector producto v es perpendicular al plano definido por los vectores a y b, y el sentido de avance de un sacacorchos cuando gira llevando el vector multiplicando a, hacia el vector multiplicador b por el camino más corto (regla de Maxwell). El producto vectorial no tiene la ro iedad conmutativa. 5 5

d=25 m

a b c

d R

Soolluucciióónn n nuum Ibb.. S méérriiccaa:: R = a + (-b) + c + (-d) R=a–b+c–d R = 10 m - 15 m + 20 m - 25 m R = -10 m

Soolluucciióónn g grrááf f iiccaa:: IIIaa.. S b

d a

c

Soolluucciióónn n nuum IIIbb.. S méérriiccaa::

R

R = -b + (-d) + a + c R = -b – d + a + c R = -15 m - 25 m + 10 m + 20 m R = -10 m



VVeeccttoorreess

que une el origen de a con el extremo equipolente de b es la suma de ambos. 11..99.. C Coonncceeppttoo..-- Los vectores El módulo del vector resultante se concurrentes son aquellos que tienen el determina fácilmente si se conoce el mismo punto de aplicación, pero ángulo que forman los vectores a y b. dirección y sentidos distintos. Por ejemplo en el gráfico los vectores a, b, R c, d y e son concurrentes o coplanarios.

V V e ec ct to o r r e e s s c c oo n nc c u u r r r r e e n n t t e e s s

e

a

d

b

O

b

a

c

11..1100.. M Mééttooddooss ggrrááf f iiccooss..-- Los vectores se suman y restan por métodos geométricos, sumar varios vectores es determinar un vector único o resultante, para sumar y restar se aplican los siguientes métodos .

11..1100..11.. M Mééttooddoo ddeell ppaarraalleellooggrraam moo..-Para sumar dos vectores a y b, se construye un paralelogramo que tenga por lados los dos vectores. La diagonal del paralelogramo determina el vector R cuyo módulo, dirección y sentido son los del vector suma:

11..1100..22.. M Mééttooddoo ddeell ppoollí í ggoonnoo..-- Este método consiste en dibujar a escala y a partir de un punto cualquiera cada uno de los vectores dados, de forma que el origen de ellos coincida con el extremo del anterior. El orden en que se van formando los vectores es arbitrario. La longitud del segmento que une el punto de partida con el extremo del último vector es el módulo del vector resultante. B A

C

B D

⇒

A

C D

R=A+B+C+D

R = a + b La suma de vectores es conmutativa, a + b = b + a, siendo el resultado el mismo cualquiera que sea el orden en que los vectores se sumen.

b

a

11..1111.. R dee v veeccttoorreess..-- La diferencia R eessttaa d a

de dos vectores se obtiene sumando geométricamente el vector a con el opuesto de b es decir:

b R=a+b

a α

180 − α

a - b = a + (- b)

b

En está operación se puede incluir un Otro procedimiento consiste en trazar vector con signo negativo, quiere decir de igual magnitud y por el extremo de a un vector un vector equi polente del vector b. El vector R dirección pero de sentido contrario.


6 6


Veeccttoorreess A

B

R = A + (-B)

sen α =

cateto opuesto a = hipotenusa c

cos α =

cateto adyacente b = hipotenusa c

tan α =

cateto oouesto a = cateto adyacente b

A

-B

-B

Para hallar A - B sumamos A y el o puesto de B que es – B. a − b ≠ b − a

De aquí concluimos que la diferencia de dos vectores no es conmutativa. 11..1122.. M Mééttooddooss aannaallí í ttiiccooss..-- Para r ealizar operaciones con vectores mediante los métodos analíticos, primero es necesario conocer o tener nociones generales sobre funciones trigonométricas. Para hablar de funciones trigonométricas, especialmente debemos referirnos a un triángulo r ectángulo. a

β

11..1122..11.. TTeeoorreem maa ddee PPiittáággoorraass..-- Para resolver numéricamente dos vectores que forman 90°; se usa el teorema de Pitágoras para determinar su módulo, la función trigonométrica tangente para su dirección, si se tiene los módulos de los vectores a y b tenemos:

a R

a

α b

c

90°

α

la resultante R será:

b

Un triángulo rectángulo tiene las siguientes características: Tiene un ángulo recto (90°) y dos ángulos agudos (menores de 90°). Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado oblicuo se denomina hipotenusa. En nuestro gráfico el cateto opuesto y el cateto adyacente de los ángulos α y β son: Si nos referimos al ángulo α tenemos: a es el cateto opuesto b es el cateto adyacente Si nos referimos al ángulo β tenemos: b es el cateto opuesto a es el cateto adyacente Las funciones trigonométricas en un trián ulo rectán ulo son: 7 7

b

R

= a 2 + b2

y su dirección será: tan α =

cateto opuesto a = cateto adyacente b

11..1122..22.. TTeeoorreem maa ddee llooss ccóósseennooss..-Analíticamente la resultante de dos vectores que forman un ángulo diferente a 90°, se halla por medio del teorema de los cósenos, para determinar su dirección se utiliza el teorema de los senos: N R = M+N

O

α

180° - θ

θ

M

Si se trabaja con el ángulo dado, la fórmula para determinar la resultante será:



VVeeccttoorreess

Ejemplo: Sumar los vectores se representan en la figura: En el caso que se trabaje con el a = 6 N; b = 4 N. suplemento de θ o sea 180° - θ la fór mula para el cálculo de la resultante a b será: R= M 2 +N 2

+ 2*M*N*cos

θ

(1)

R = M 2 +N 2 -2*M*N*cos (180° -θ)

(2)

Esta última fórmula (2) llega a ser la misma que la primera (1) por propiedad de reducción de ángulos al primer cuadrante. cos (180° - θ) = - cos θ R = M2 +N 2 -2*M*N* ( - cos θ) R= M 2 +N 2

+ 2*M*N*cos

Para resolver los vectores concurrentes se usan métodos gráficos y analíticos, entre los métodos gráficos existen dos: Paralelogramo y Triángulo.

11..1133..11..11.. SSoolluucciióónn ggrrááf f iiccaa m mééttooddoo ddeell ppaarraalleellooggrraam moo..-- Para la solución por el método del paralelogramo se dibujan líneas paralelas a cada uno de los vectores por sus extremos, el punto de intersección de las paralelas con el origen nos indica la intensidad, dirección y sentido de la resultante.

θ

su dir ección será: γ

R

que

a

α

b

θ

R

b a

a sen α

=

b sen

γ

=

R sen θ

11..1133..11..22.. SSoolluucciióónn ggrrááf f iiccaa ppoorr eell m mééttooddoo ddeell ttrriiáánngguulloo..-- Se dibujan los

11..1133.. SSuum maarr ddooss oo m mááss vveeccttoorreess vectores dados, uno seguido del otro ccoonnccuurrrreenntteess..-- Para un mejor análisis manteniendo el módulo, dirección y de la suma de varios vectores los sentido de cada uno de ellos, el extremo final unido con el punto de agruparemos en tres tipos, que son: Suma de dos vectores angulares de origen nos da el vector suma. 90º. Suma de dos vectores angulares distinto a 90º. Suma de dos o más vectores que forman ángulos distintos.

b

R o a

11..1133..11..33.. SSoolluucciióónn aannaallí í ttiiccaa..-- Para

resolver numéricamente, dos vectores 11..1133..11.. SSuum maa ddee ddooss vveeccttoorreess que forman 90°, se usa el Teorema de aanngguullaarreess ddee 9900ºº..-- Si dos fuerzas o Pitágoras para determinar su módulo, vectores actúan sobre el mismo punto la función trigonométrica tangente para del cuerpo formando un ángulo de 90º, su dirección. su resultante coincide en módulo, aa.. Cálculo del móduulo: Cálculo del mód lo: dirección y sentido con el vector 2 2 R = a 2 + b2 = ( 6 N ) + ( 4 N ) = 7, 21 N diagonal del paralelogramo.


8 8

PProf. rof . LLLic. ic. JJohn ohnnnyy FFranz ranz RRRíos í os MMontero ontero

ectores Vectores

bb.. C Cáállccuulloo d dee ssuu d diirreecccciióónn::

11..1133..22..33..

o

Analíticamente la resultante de dos vectores que forma un ángulo diferente a 90°, se halla por medio del teorema de los cosenos, para determinar su dirección el teorema de los senos:

b

R α a

b 4 = a 6 α = tan -10,66 tan α =

aannaallí í ttiiccaa..--

SSoolluucciióónn

aa.. C Cáállccuulloo ddeell m móódduulloo::

= 0,66

R= M 2 +N 2

+ 2*M*N*cos*θ T.C.

α = 33,69°

R

=

11..1133..22.. SSuum maa ddee ddooss vveeccttoorreess aan ngguullaarreess ddiissttiinnttoo aa 9900°°..-- La

R

= 36 N2 + 16 N2 + 48 N2 *0,5 = 8,72 N

r esultante de dos vectores que forman un ángulo diferente de 90°, es igual en módulo, dirección y sentido al vector diagonal del paralelogramo. Ejemplo: Sumar los vectores que se r epresentan en la figura: M = 6 Kp; N = 4 Kp. N

(6 N)

2

+ (4

N)

2

+ 2*6

N*4*N*cos*60 °

bb.. C Cáállccuulloo d dee ssuu d diirreecccciióónn:: N R = M+N

O

60°

180° - 60º

60°

M

60° M

11..1133..22..11.. S Soolluucciióónn g grrááf f iiccaa m mééttooddoo ddeell ppaarraalleellooggrraam moo:: N

60° M

11..1133..22..22.. SSoolluucciióónn g grrááf f iiccaa m mééttooddoo d deell ttrriiáánngguulloo:: N R = M+N

O

60°

180° - 60º

M

9 9

= 0,399

θ = 23,51 = 23,51º

11.13.3. .13.3. SSuma uma ddee ddos os oo m ás vvectore ectoress más qque ue f forman orman áángulos ngulos ddistintos.istintos.- Para

R = M+N

O

N R = T.S. sen 60º sen 120º N 4 N*0,87 sen θ = * sen 120° = 8,72 N R θ = sen -10, 399

60°

sumar varios vectores coplanarios, primeramente debemos sumar las componentes horizontales y luego las componentes verticales. Los resultados de la suma horizontal y vertical, resultan vectores perpendiculares por lo tanto se debe aplicar el teorema de Pitágoras. Ejemplo.- Hallar, gráficamente, la resultante de cada uno de los tres sistemas de fuerzas concurrentes y coplanarias.

FFísica í sica Q Quuímica í mica


VVeeccttoorreess

aa.. S Soolluucciióónn ggrrááf f iiccaa::

ejes de coordenadas y componerlas después de una resultante única, esto permite utilizar triángulos rectángulos.

y 60 Kp 40 Kp

y

90°

A

Ay

x

30°

80 Kp ° 0 3 n e s 0 8

C

O

α Ax

80 cos 30°

x

y

30°

θ

Componente Horizontal Componnete Vertical

a.- 60 Kp

0

60

b.- 40 Kp

-40

0

c.- 80 Kp 80 cos 30º = 69,3

-80 sen 30º = -40

ΣFx = 29,3 Kp R

Σ Fy = 20 Kp

= (Σ Fx)2 + (Σ Fy)2 = (29,3 Kp)2 + (20 Kp) 2

R = 858,49 Kp 2 + 400 Kp 2

29,3

K p

= tag - 1 0,68 = 34 = 34 ° 11..1144.. D Deessccoom mppoossiicciióónn ddee uunn vveeccttoorr..-El método geométrico aunque es un procedimiento gráfico satisfactorio para encontrar la resultante de un cierto número de vectores, presenta dificultades para el cálculo numérico, porque en general hay que resolver varios triángulos oblicuángulos. Otra manera general de r esolver este pr oblema es usar el método analítico que requiere descomponer un vector en sus componentes según los ejes de coordenadas. Este método usual para hallar la resultante consiste en descomponer primer o todos los vectores en sus componentes rectangulares según los


C

Ay

α

B

Cualquier vector A puede siempre considerarse como la suma de dos (o más) vectores, siendo el número de posibilidades infinito. A cualquier con junto de vectores que su suma sea igual a A se llama componente de A. D

0,68

x

11..1155.. C Coom mppoonneenntteess ddee uunn vveeccttoorr..--

= 35 Kp

cc.. C Cáállccuulloo d dee ssuu d diirreecccciióónn:: Σ Fy 20 K p = = tag α = Σ Fx

O by

bb.. S Soolluucciióónn a annaallí í ttiiccaa:: Fuerza

bx

A

Uy

α O Ux

Ax

B

Los componentes más comúnmente usados son los rectangulares; esto es, el vector se expresa como la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares. Entonces, como vemos en la figura A = Ax + Ay Tenemos: Ax = A cos α Ay = A sen α Definiendo los vectores ux, uy en las direcciones de los ejes x e y respectivamente notamos que: Ax = OB = UxAx Ay = OD = UyAy Por consiguiente tenemos: A = UxAx + UyAy 110 0


Veeccttoorreess

R n R e e s s u u m m e e n Vectores

R n d e ó r m R e e s s u u m m e e n d e f f ó r mu u l la a s s II.. M Mééttooddooss g grrááf f iiccooss::

Definición de vector Exige un conocimiento de módulo, dirección, sentido y origen, es un segmento rectilíneo.

11.. M Mééttooddoo d deell p paarraalleellooggrraam moo:: A

Magnitudes vectoriales Son cantidades físicas que poseen origen, módulo, sentido y dirección.

R=A+B

B

Magnitudes escalares Son magnitudes que poseen módulo y su unidad

Equipolentes

22.. M Mééttooddoo d deell ttrriiáánngguulloo::

Mismo sentido y módulos iguales.

s e r o t c e v e d n ó i c a c i f i s a l C

B A

Deslizante Se traslada a cualquier punto donde se halla la recta

R= A + B

Ligado

A

Punto de origen invariable, e inamovible

B

Vectores en rotación Representan a magnitudes vectoriales que tiene movimiento de rotación.

Libre

A

B

R=A+B

33.. M Mééttooddoo d deell p poollí í ggoonnoo:: B

Con origen en cualquier parte del plano.

A

Opuestos.

B D

C

C

A

Mismo módulo, sentido contrario.

Definición Cuando sus líneas de acción se encuentran sobre una misma recta.

s e l a e n i l o c s e r o t c e V

44.. D Diif f eerreenncciiaa ddee v veeccttoorreess::

Operaciones con vectores

A

Determinar el vector resultante de un sistema.

B

-

-B

Es la suma de sus componentes de la misma dirección y sentido que ellos. R = F1 + F2+………..Fn

Es la diferencia y de la misma dirección y sentido que el vector mayor. R = F1 - F2

-B

IIII.. M Mééttooddooss a annaalliittiiccooss:: 11.. F Fuunncciioonneess ttrriiggoonnoom meettrriiccaass:: b

h

a = Cateto adyacente

Producto escalar de dos vectores

s e r o t c e V e d n ó i c a c i l p i t l u M

1111

Es un escalar cuyo valor es igual al modulo de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman. a.b = a.b cos α

Producto de un vector por un escalar

b = Cateto opuesto a

h = Hipotenusa

=

b

cos θ =

Cateto adyacente

=

tan θ =

Cateto opuesto

sen θ

=

Es un nuevo vector cuya magnitud es K veces mayor que a. R = K*a

Producto vectorial de dos vectores Es un vector cuyo valor es igual al modulo de los dos vectores por el seno del ángulo que forman: axb = a.b sen α

A

R = A + (-B )

Suma de vectores del mismo sentido

Suma de vectores de sentido contrario

D

R = A+B+C+D

Vectores concurrentes

Cateto opuesto Hipotenusa Hipotenusa

Cateto adyacente

h

=

a h b a



VVeeccttoorreess

22.. T Teeoorreem dee p piittaaggoorraass:: maa d R

P r s P r oobbl l e e m m a a s r r e e s s u ue e l lt t o o s s 11.. Hallar la resultante de dos fuerzas de 80 y

R 2 = a2 +b2

b

100 kp, cuyas líneas de acción forman un ángulo de 60°.

a

Datos

33.. T Teeoorreem dee llooss ccoosseennooss:: maa d a

R=a+b

a

F1 = 80 kp F2 =100 kp α = 60º R = ? β = ? γ =180º- α γ =120º F1

180b

b

F2

R = a2 + b2 − 2 ∗ a ∗ b ∗ cos θ R = a2 + b2 − 2 ∗ a ∗ b ∗ cos (180 − θ ) cos (180 − θ ) = −cos θ R = a2 + b2 − 2 ∗ a ∗ b ( − cos θ) R = a2 + b2 + 2 ∗ a ∗ b ∗ cos θ

44.. T Teeoorreem dee llooss sseennooss:: maa d

R

F2

F1

R = F12 + F22 − 2*F1 *F2 *Cos γ 2 2 R = (80 Kp) + ( 100 Kp) - 2 * 80 Kp * 100 Kp * Cos120°

R

a

a

2 2 2 R = 6400 Kp + 10000 Kp - 16000 kp * ( -0,5)

b

b

2 2 2 R = 16400 Kp + 8000 Kp = 24400 Kp = 156 Kp

a b R = = sen α sen γ sen θ

F2 R = Sen α Sen γ

55.. C Coom dee u unn v veeccttoorr:: mppoonneenntteess d y A

F *Sen γ 100 Kp*Sen120° Sen α = 2 = R 156 Kp

B V

Vy C O

O A=C B Δ O C B v cos θ = x ⇒ v x v vy sen θ = ⇒ vy v


Sen α =

86,6

156 Kp / /

156

= 0,555

= v ∗ cos

θ

α = Sen −1 0,555 = 34 = 34°

= v ∗ sen

θ

2.. Sobre un cuerpo actúan dos fuerzas de

(v x )2 + (v y )2

θ = arc tan

100 Kp*0,866

x

Vx

v=

Sen α =

vy vx

100 kp cuyas líneas de acción forman un ángulo de 120°. Hallar una fuerza que sea capaz de a) remplazar al sistema de fuerza dado, b) equilibrar el sistema de fuerzas dado.

2 1 12


Veeccttoorreess Datos F1 =100 kp R =? E= ?

F2 =100 kp β =?

F1

α =120º R

F2

F1

F4 F3

R

F2

F2 F1

Fuerza

Componente horizontal

a.- 50 m b.- 30 m c.- 20 m d.- 10 m

Componente vertical

= 50 m = 0 m = -20 m = 0 m

= 0 m = -30 m = 0 m = 10 m

ΣFx = 30 m

ΣFy = -20 m

2 R = ( Σ Fx )2 + ( ΣFy )

E 2 2 R = F1 + F2 − 2*F1 *F2 *Cos γ

R = (30 m)2 + (-20 m)2

2 2 R = (100 Kp) + (100 Kp) − 2*100 Kp*100 Kp*Cos60°

R = 900 m2 + 400 m2 = 1300 m 2 R = 36 m

2 2 2 R = 10000 Kp + 10000 Kp − 16000 kp *( − 0,5) 2 2 R = 20000 Kp + 10000 Kp 2 R = 10000 Kp = 100 Kp

F2 R = Sen β Sen γ F *Sen γ 100 Kp*Sen 60° = Sen β = 2 R 100 Kp Sen β =

100 Kp*0,866

Sen β =

86,6

100 Kp / /

100

= 0,866

tag α =

ΣFy 20 m = = 0,666 ΣFx 30 m

α = tag−1 0,666 = tag−134 = 34° 44.. Hallar el vector suma de los cuatro desplazamientos siguientes: 60 m norte, 30 m oeste, 40 m en una dirección que forma 60° con el norte contados hacia el oeste, 50 m en una dirección que forma 30° con el sur contados hacia el oeste. Resolver el problema gráficamente y por el método analítico de las componentes.

Datos

F1 = 60 m → N;F2 = 30 m → O F3 = 40 m 60º N → O; F4 = 50 m 30º S → O N

β = Sen −1 0,866 = 60 = 60° F1

33.. Un hombre anda 50 m hacia el este; a continuación, 30 m hacia el sur; después, 20 m hacia el oeste, y finalmente, 10 m hacia el norte. Determinar el vector desplazamiento desde el punto de partida al de llegada.

F3

E

O F2 F4

Datos

F1 = 50 m → E; F2 = 30 m → S ; F3 = 20 m → O. F4 =10 m → N R = ? α = ?

3 1 13

S


Prroof f. . LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo Fuerza

Componente horizontal

VVeeccttoorreess

Componente vertical

F1 50 m = 0 m F2 30 m -30 cos 0º = -30 0 m

60 sen 90º = 60

F3 20 m -40 cos 30º = -34,6 m F4 10 m -50 cos 60º = -25 m

40 sen 30º = 20

=0

m m m

-50 sen 60º = -43,3 m

ΣFx = -89,6 m

Σ Fy = 36,7 m

R = (S Fx)2 + (S Fy)2 R = (-89,6 m)2 + (36,7 m)2 R = 8028,16 m2 +1346,89 m2 R = 9375,05 m2 = 96,8 m tag α =

R = 6400

Σ Fy 36,7 m = = 0,41 Σ Fx 89,6 m

α = tag-1 0, 41 = 22 = 22°

m2 m2 +3600 seg2 se g2

m2 m R = 10000 =100 seg seg2

F tag α = B FA

m seg = = 0,75 m 80 seg 60

α = tag-1 0,75 = 37 = 37° 66.. Desde un automóvil que marcha a una velocidad de 24 Km./h se lanza una pelota en dirección perpendicular a la carretera, con una velocidad de 6 m/seg. Calcular la velocidad relativa de la pelota con respecto a la tierra en el momento inicial.

Datos v a = 24 Km / h ; v P = 6 m / seg VR = ?

55.. Dados los vectores A = 80 m/seg.

y

orientado hacia el norte y B = 60 m /seg. hacia el este, hallar el vector diferencia A – B.

VP

Va

VR

VP

Datos FA = 80 m / seg ; FB = 60 m / seg R = FA - FB = ? α = ?

Va

x

N FA

24

A-B

E -FB

Km 1000 m 1h m x x = 6,67 h 1 Km 3600seg. seg.

VR =

( Va )2 + ( VP )2

FB

2

⎡ ⎡ m ⎤ m ⎤ VR = ⎢ 6,67 + ⎢6 ⎥ ⎥ seg. seg. ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ R = (FA )2 +(FB )2 2

VR =

m2 m2 44, 4889 + 36 2 seg 2 seg.

VR =

m2 m 80, 4889 8,9 = seg. seg.2

2

⎡ ⎡ m⎤ m⎤ R = ⎢80 + ⎢60 ⎥ ⎥ ⎣ seg ⎦ ⎣ seg ⎦


2

114 4

PPrroof f.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss M Moonntteerroo 88.. Un barco navega hacia el norte con una velocidad de PPr r oobbl l eem maass p pr r oo p puueessttooss 20 nudos. Sabiendo que la velocidad de la marea es de 11.. La resultante entre dos vectores de 10 y 15 unidades 15 nudos y dirigida hacia el oeste, calcular el módulo, es 20 unidades. Calcular el ángulo que forman las dirección y sentido del vector velocidad resultante del componentes. barco. Veeccttoorreess

Sol. 75,52°

Sol. 25 nudos; 36,87° Nor oeste

22.. Un vector de 20 unidades hace un ángulo de 30° con 9 9 .. La resultante de dos vectores tiene un valor de 30

la resultante cuyo valor es de 24 unidades. Calcular el unidades y hace ángulos de 45º y 30º con ellos. otro vector y el ángulo que forman entre ellos. Calcular el valor de los vectores. Sol. 12 u; 86,18° Sol. 30( 3 − 1) ; 30( 3 − 1)/ 2 33.. En el siguiente gráfico, a = 600 N. Determinar el 110 0 .. La resultante de dos vectores es 40 unidades y hace valor de la componente b y el de la resultante R. ángulos de 30º y 45º con ellos. Calcular el valor de los Sol. 346,42 N; 346,42 N vectores. R

120°

Sol. 29,2 u ; 20,7 u

b

1111.. Dos vectores de 20 y 18 unidades hacen un ángulo

de 60º y 120º. Hallar la magnitud de la diferencia. 30°

a

Sol. 32,92 u; 19,07 u

30°

1122.. Tres vectores situados en un plano tienen 4, 5 y 6

44.. Un muchacho tira de una cuerda atada a un cuerpo unidades de magnitud. El primero y el segundo forman

con una fuerza de 50 Kp. La cuerda forma un ángulo de un ángulo de 30º, el segundo y el tercero otro de 90º. 35° con el suelo. Hallar el valor de la fuerza que tiende Hallar la resultante y su dirección con respecto al vector a elevar verticalmente el cuerpo. mayor. Sol. 28,65 Kp.

Sol. 9,36 u; 64º41’

55.. Encontrar el módulo y dirección de la resultante de 1133.. Calcular la resultante del sistema de vectores.

los vectores mostrados en el grafico donde: a = 5u; b = 14 u; c = 2√ 2; d = 7√ 3.

Sol. 17,32 u 50 u

Sol. 10 u; 53°

30°

y

b

y

a

x 60°

37°

30°

x

60 u

40 u

d 45°

1144.. Un barco navega hacia el este, con una velocidad de

c

15 nudos. El humo que sale de la chimenea hace un ángulo de 15º con la estela del barco. El viento sopla de 6 6 .. Determinar la resultante de la suma de los vectores a norte. ¿Cuál es la velocidad del viento? de la figura donde: a = 11 u ; b = 10 u; c = 5 u; sur Sol. 4,02 nudos d = 15 u. 1155.. Dos vectores forman entre si un ángulo de 53º. Uno Sol. 41 u; 38,66° de ellos es 75 u y su resultante 300 u. Hallar el y b valor de sen α . Sol. 0,2

c 53°

x

116 6 .. Un caballo ejerce una fuerza de 300 Kp para

arrastra una barca a lo largo de un canal utilizando una cuerda de 50 m de longitud. Sabiendo que la barca navega a una distancia de 10 m de la orilla del canal, d calcular a) el valor efectivo de la fuerza que tiende a arrastrar a la barca por el canal y b) la fuerza 7 7 .. Dos vectores de 10 u de magnitud, forman un ángulo transversal que debe efectuar el timonel para mantener a de 37°. ¿Cuál es la resta de estos vectores? la barca a una distancia de 10 m de la orilla. 37°

Sol. 40 u

5 1 15

a

Sol. 293,94 Kp; 60,0 Kp.



VVeeccttoorreess

A A u ut too e e v va al l u a u ac c i ió ó n n

11.. Como se representa actualmente un vector: 2.. Sumar vectores es determinar el vector: 3.. Para sumar dos vectores que método se utiliza: 44.. Para sumar más de dos vectores que método gráfico se utiliza: 55.. Para restar dos vectores se toma en cuenta el: 66.. Para hallar el módulo de dos vectores de 90° analíticamente se utiliza el teorema de:

77.. Que función trigonometría, utiliza para hallar la dirección de dos vectores que forman 90°:

88.. Para hallar la R de 2 vectores que forman ángulos diferentes a 90° se utiliza el teorema de los:

99.. Que teorema, se utiliza para hallar la dirección de dos vectores que forman ángulos diferentes a 90°:

1100.. De un ejemplo de magnitud escalar:


116 6

P L i ic c.. J J o P r ro o f f .. L oh h n nn n y y F F r ra an n z z R R í ío o s s M M o on n t te e r r o o

C a l o I I tu u l a p í t E s t a tá á t ti i c ca

e e l a L a e e l a u a q q u ue e t t r ra at t a a d d l a s s f f L a a e e s st t á á t ti i c ca a e e s s l l a p p a ar r t te e d d l a F F í ís s i ic c a u e er r z za as s . . E E l l c co on n c ce e p p t to o d e e e e s st t a í í s si i c c a e e l e e l d a m m a a g g n ni it t u u d d f f a p p r ro o c ce e d d e e d d l s s e en n t ti i m m i i e en n t to o s s u ub b j j e et t i iv v o o d d l e e s f s f u u e er r z z o o a a l l r r e ea a l l i i z za ar r u u n n t t r ra za ar rs s e e e e n n m a b ba a j j oo c c o or p r p o or ra al l.. E E s st t e e e e s f s f u u e er r z z o o p p u ue e d d e e r r e ea a l li i z m ú úl l t t i p i p l le e s s d i i r re ec c c c i i o i i v d on ne es s y y t t e en n e er r d d ve e r r s sa a s s i i n nt te e n n s s i id d a a d de s s.. C C o om mo o p p a ar ra a p p o od de e r r i i d de e n nt ti f i f i i c ca a r r a a u u a i i r re e cc ci i ó e e s s u u n na a f f u e er r z za a, , a a d de e m má á s s d d a r ri i o o c c o on no oc ce e r r l l a d d c ó n n y y u i i n nt te e n n s si i d d a a d d, , e e s s n n e ec c e e s s a e e l a s síí c o l a u o e l l p u un nt to o e e n n e l l q q u ue e s e e a p p l l s s e en n t ti i d d o o e nn e l l q q u ue e a c ct t ú ú a a, , a om mo li i c ca a , , l a f f u e er r z z a a e e s s u v e ec c t t o u n na a m m a a g g n ni it t u u d d v o r ri i a a l l. .

EEssttááttiiccaa

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí ío oss MMoonntteerroo

E s E s t tá á t t i ic c a a

22..11.. C Coonncceeppttoo..-- La estática es una parte de la mecánica de sólidos que estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo sobre el cual actúan fuerzas o cuplas, fuerzas que a la vez queden en equilibrio. 22..22.. E Eqquuiilliibbrriioo..-- Es el estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo. También se dice que un cuerpo esta en equilibrio cuando su aceleración total es cero. 22..33.. C Cllaasseess ddee eeqquuiilliibbrriioo..-- Tenemos los siguientes: 22..33..11.. EEqquuiilliibbrriioo eessttááttiiccoo..-- Se llama así cuando el cuerpo esta en reposo; es decir, su velocidad es igual a cero y por lo tanto su aceleración es igual a cero. 22..33..22.. EEqquuiilliibbrriioo D Diinnáám miiccoo..-- Se llama así cuando el cuerpo se encuentra en movimiento rectilíneo uniforme; es decir, su velocidad es constante y por tanto su velocidad es igual a cero. 22..44.. FFuueerrzzaa..-- Es una magnitud vectorial que modifica la situación de los cuerpos variando su estado de reposo, variando su velocidad aumentándola o disminuyéndola o en su caso variando su dirección. Toda fuerza aparece como resultado de la interacción de los cuerpos. Las unidades de fuerza son: Newton (N), Dina (dina), Kilopondio (Kp), etc. 22..55.. M Moom meennttoo ddee uunnaa f f uueerrzzaa..-- Si a una silla le aplicamos una fuerza F en el punto B, A, F1

d

B, F

118 8

se le dará un movimiento de translación, pero si le aplicamos una fuerza F1 en el punto A, la silla caerá o dará un movimiento giratorio alrededor del punto B como eje de rotación. Cuando las fuerzas actúan sobre los cuerpos en movimiento, pueden alterar su movimiento lineal o su rotación. Es una magnitud vectorial, que aplicada sobre un cuerpo trata de hacerlo girar alrededor de un punto o de un eje, se debe tomar en cuenta que la fuerza que le da el efecto de rotación, es la fuerza perpendicular F; y de la distancia de su línea de acción al eje de rotación, con el punto de aplicación de la fuerza. F

eje

d

d F

Es decir:

M=F*d Donde: M = Momento F = Valor de la fuerza d = Distancia del punto de giro a la línea de acción de la fuerza (brazo).

2..55..11.. U Unniiddaaddeess..-- Las unidades son las siguientes: S.I. C.G.S. U.T.M.

M= N*m M= dyn*cm M=kp*m

2..66.. M Moom meennttooss eenn bbaarrrraass yy ssuuppeerrf f iicciieess..-- Al realizar cálculos con momento debemos tomar en cuenta lo siguiente:   El vector momento siempre es perpendicular al plano de rotación, el sentido esta tomado por la regla del tirabuzón.


PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo

EEssttááttiiccaa

  Se puede escoger cualquier punto cuerpo su valor se lo halla con la

como eje de rotación. relación de momento.   Las fuerzas cuyas líneas de acción M pasan por el centro de rotación, no producen giro, es decir su momento es nulo.   Cuando una fuerza no es d perpendicular al plano, entonces solamente produce momento, su -F componente vertical.

F

R=F–F=0 M = F *d

F Fy

2..99.. R R eellaacciióónn ddee SStteevviinn..-- Indica que α

“Cada fuerza es directamente proporcional al segmento determinado M = Fy *d * sen α por los puntos de aplicación de las otras 2..77.. C Coonnvveenncciióónn ddee ssiiggnnooss..-- Para dos”. Es decir: anotar el signo del momento nos F *A O = F *O B 1 2 fijamos en lo siguiente: F1 OB Si las fuerzas hacen girar al cuerpo en = OA F 2 sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, entonces el signo del O A B momento es positivo. eje

+

F1

F2

Si las fuerzas hacen girar el cuerpo en Coonnddiicciioonneess ddee eeqquuiilliibbrriioo d dee llooss 2..1100.. C el mismo sentido del movimiento de las cuerpos.agujas del reloj, el signo del momento cuerpos.- Para que un cuerpo solidó o rígido este en equilibrio con relación a es negativo. un movimiento de traslación, cuando esta en reposo o cuando tiene un Para el cálculo del momento de giro movimiento rectilíneo y uniforme, debe a dos condiciones resultante, se realiza la sumatoria de los someterse fundamentales las cuales son: momentos parciales:

2..1100..11.. PPrriim meerraa ccoonnddiicciióónn ddee equilibrio.Para calcular la ubicación de la fuerza equilibrio.- Cuando las fuerzas ∑ M A = F1 * d1 + F2 * d 2 + .............Fn * d n

aplicadas son paralelas, se debe tomar en cuenta para su equilibrio, las dos MA d= clases de movimiento. Nos indica que FR “La suma algebraica de las fuerzas . 8 . C u p l a . 2 .8. Cupla.-- Se denomina cupla a un aplicadas a un cuerpo, en una dirección par de fuerzas paralelas de sentido cualquiera deberá ser cero”. contrario, pero de igual ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 modulo aplicadas sobre un mismo resultante, se aplica la relación:

FFí í ssiiccaa QQuuí í mmiiccaa

119 9

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy F Frraannzz R Rí ío oss MMo oontero nntteerroo

EEssttááttiiccaa

2..1100..22.. SSeegguunnddaa ccoonnddiicciióónn eeqquuiilliibbrriioo..-Tratándose

Cuueerrppoo ssuussppeennddiiddoo:: ddee 2..1122..11.. C

de movimientos de rotación, las fuerzas perpendiculares deben cumplir que “La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo con respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano que las contiene, debe ser 0”.

∑ M = 0 En resumen para el caso de equilibrio de un sistema de fuerzas coplanarias, en el plano x, y; las condiciones necesarias para el equilibrio son:

D.C.L. T

WA

A

2..1122..22.. C Cuueerrppoo aappooyyaaddoo eenn uunnaa ssuuppeerrf f iicciiee:: D.C.L. N B WB

∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 C 2..1122..33.. Cuueerrppoo ssuussppeennddiiddoo:: ∑ M = 0 2..1111.. C Ceennttrroo ddee ggrraavveeddaadd..-- Centro de gravedad de un cuerpo o de un punto de aplicación es la resultante de todas las fuerzas con que la tierra atrae a las partículas de dicho cuerpo.

aappooyyaaddoo

yy

A

C.G θ

D.C.L.

N T

W W

W1

W2

W3

= W1 + W 2 + ......... + W n

donde: W

WA*sen θ θ

= W1 + W 2 + ......... + W n =peso de cada

partícula que forma el cuerpo. W

W *cos θ

= peso total del cuerpo.

2..1122.. D Diiaaggrraam maa ddee ccuueerrppoo lliibbrree..-- Es

WA

el dibujo o gráfico aislado de uno de los cuerpos de un sistema, en el cual se grafican todas las fuerzas externas aplicadas sobre el. Ejemplos: 2 20 0



EEssttááttiiccaa

R n d e ó r m R e e s s u u m e m e n d e f f ó r mu u l la a s s

R n R e e s s u u m m e e n

11.. M Moom dee u unnaa f f uueerrzzaa:: meennttoo d

Estática

M=F*d Definición Parte de la mecánica de sólidos que estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo sobre el cual actúan fuerzas o cuplas y fuerzas a la vez, quede en equilibrio.

Equilibrio Es el estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme de un cuerpo. También se dice que un cuerpo esta en equilibrio cuando su aceleración total es cero.

Equilibrio estático Se llama así cuando el cuerpo esta en reposo; es decir, su velocidad es igual acero y por lo tanto su aceleración es igual a cero.

Equilibrio dinámico Se llama así cuando el cuerpo se encuentra en movimiento rectilíneo uniforme; es decir, su velocidad es constante y por tanto su velocidad es igual a cero.

Moom 2.. M meennttoo rreessuullttaannttee:: ∑ M A = F1 * d1 + F2 * d 2 + .............Fn * d n

Fuueerrzzaa r reessuullttaannttee:: 3.. F ∑ FR = F1 + F2 + ...............................Fn

44.. U Ubbiiccaacciióónn ddee llaa f f uueerrzzaa rreessuullttaannttee eenn llaa b baarrrraa:: d=

F1 * AO= F2 *OB F 1 F 2

M=F*d

F1 F2

=

OB OA

Cupla R=F–F=0 M =F * d

Primera condición de equilibrio

s o p r e u c s o l e d o i r b i l i u q e e d s e n o i c i d n o C

“La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo, en una dirección cualquiera deberá ser cero”. ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0

Segunda condición de equilibrio “La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas aplicadas a un cuerpo con respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano que las contiene, debe ser 0”. ∑M = 0

Centro de gravedad Centro de gravedad de un cuerpo o de un punto de aplicación es la resultante de todas las fuerzas con que la tierra a trae a las partículas de dicho cuerpo.

Diagrama de cuerpo libre Dibujo aislado de uno de los cuerpos de un sistema, en el cual se grafican todas las fuerzas externas aplicadas sobre el.

FR

55.. R dee S Stteevviinn:: R eellaacciióónn d

Momento de una fuerza

Relación de Stevin

MA

=

OB OA

66.. C dee e eqquuiilliibbrriioo:: Coonnddiicciioonneess d

∑ Fx = 0 horizontal ∑ Fy = 0 vertical ∑ M = 0 momento 77.. C Coonnvveenncciióónn d dee ssiiggnnooss:: 77..11.. M Moom meennttooss:: + Cuando el giro es en contra de las agujas del reloj. - Cuando el giro es en sentido de las agujas.

77..22.. F Fuueerrzzaass:: + Cuando las fuerzas verticales están hacia arriba. - Cuando las fuerzas están hacia abajo.

88.. C Cuuppllaa:: R=F–F=0 M =F* d


2 211

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy F Rí íoo ss MMo oontero nntteerroo Frraannzz R

EEssttááttiiccaa

P r s P r oobbl l e e m m a a s r r e e s s u ue el l t too s s

F

T

11.. En los extremos de una barra se aplican dos fuerzas de 4 Kp y 8 Kp como indica la figura. Calcular la fuerza equilibrante y su posición sabiendo que la longitud de la barra es de 1 m y su peso es despreciable.

Datos F1 = 4 Kp F2 = 8 Kp Fe = ? l = 1 m x =?

α

w

ΣF = 0 ΣF = F - w = 0 F=w (1) F = T * sen α (2) Remplazando (2) en (1) T sen α = P 50 Kp P T= = = 100 Kp sen α sen 30°

Fe l

33.. En los extremos de una barra de 80 N de

x F1 F2

∑F = 0 ∑ F = Fe − F1 − F2 = 0 Fe = F1 + F2 Fe = 4 Kp + 8 Kp Fe = 12 Kp ∑M = 0 (2) ∑ M = M2 + Me = 0 M2 = −l *F2 (4) Me = x*Fe (5)

peso se encuentran dos fuerzas de 20 N y 50 N y dicha fuerza es de 2 m. Calcular la fuerza equilibrante y su posición de la fuerza.

Datos w = 80 N F1 = 20 N F2 = 50 N Fe = ? l = 2 m x =? (3)

Fe l

x

Remplazando (4) y (5) en (3)

F1

−l *F2 + x*Fe = 0 l *F2

1 m*8 Kp Fe 12 Kp x = 0,67 m x=

=

2.. Mediante una barra apoyada a una pared, se sostiene un peso de 50 Kp y que también sostiene una cuerda como indica la figura. Calcular la tensión de la cuerda tomando en cuenta el ángulo de30° de inclinación de la cuerda.

Datos w = 50 Kp T =? α = 30° 2 2 2 2

w

F2

∑F = 0 ∑ F = w + F1 + F2 -Fe = 0 Fe = w + F1 + F2 = 80 + 20 N + 50 N = 150 N ∑M = 0 ∑ M = M2 + M3 + Me = 0 (1) M2 = −l *F2 (2) l

M3 = − *w 2 l

Me = (x + )*Fe 2

(3) (4)



EEssttááttiiccaa

Remplazando (2) ,(3) y (4) en (1)

55.. En una barra de 200 cm. de longitud y

−l *F2 − l *w + (x + l )*Fe = 0

8 Kp de peso; se aplican tres fuerzas de 6 Kp, 7 Kp y 9 Kp ubicados a 50 cm, 125 cm, 150 cm. del extremo de la barra respectivamente como indica la fig. Calcular la fuerza equilibrante y la posición de dicha fuerza.

2

2

l

l

(x + )*Fe = l *F2 + *w 2 2 l l *F2

x+ = 2

+ l *w 2

Fe

=

l l *F2 + *w

2 Fe

-

l

2

2 m 2 m*50 N+ *80 N 2 m 2 = 0,2 m x= 150 N 2

Datos l = 200 m w = 8 Kp F2 = 7 Kp F3 = 9 Kp F2

44.. En una barra de 100 cm. y de 50 Dyn de peso, se aplica una fuerza de 30 Dyn. Calcular la fuerza equilibrante y la posición de dicha fuerza.

Datos w = 50 Dyn F1 = 30 Dyn Fe = ? l = 100 m

F1 w

ΣF = 0 ΣF = Fe + F2 - F1 - F3 - w = 0 Fe = F1 + F3 + w - F2 Fe = 6 Kp + 9 Kp + 8 Kp - 7 Kp Fe = 16 Kp F1 l

x

w

l

(1)

(2)

∑M = 0 ∑ M = M1 + M 4 -M2 + M3 -Me = 0 (1) M1 = 50 cm*F1 (2) M 4 = 100 cm*w (3) M2 = −125 cm*F2 (4) M3 = 150 cm*F3 (5) M e = -x*Fe (6)

Remplazando (2) ,(3),(4),(5) en (1) 50 cm*F1 + 100 cm*w-125 cm*F2

+150 cm*F3 -x*Fe = 0 x

=

x

=

50 cm * F 1

+ 100 cm * w - 125 cm * F + 150 cm * F 2

50 cm * 6 Kp

l

l

-(x + )*Fe = - *w (-1) 2 2 l *w l 2 x= Fe 2 100 cm *50 Dyn 100 cm 2 x= = 75 m 20 Dyn 2


+ 100

cm * 8 Kp - 125 cm * 7 Kp

+ 150

cm * 9Kp

16 Kp

l

*w − (x + )*Fe = 0 2 2

3

F e

l

M e = −(x + )*Fe (3) 2 Remplazando (2) ,(3) y en (1) l

x

l

x =?

Fe

M2 = *w 2

Fe

F3

∑F = 0 ∑ F = Fe + F1-w = 0 Fe = w − F1 Fe = 50 − 30 Dyna Fe = 20 Dyna

∑M = 0 ∑ M = M2 + M e = 0

F1 = 6 Kp =? e =?

x

= 98,44 cm

66.. En una barra de 100 cm de longitud apoyada a la pared, se encuentra sosteniendo un peso de 100 Dina y también sostiene una cuerda ubicada a 50 cm. de la pared con un ángulo de inclinación de 60º. Calcular la tensión de la cuerda.

2 3 2 3


EEssttááttiiccaa

∑ Fx = 0 T2x − T1x = 0 (1) ∑ Fy = 0 T2y − T1y − w = 0 (2)

Datos l = 100 cm w = 50 Kp T =? α = 60°

F

T

α l

T cos θ = 2x ;T2x = T2 *cos θ T2 T2y sen θ = ;T = T2 *sen θ T2 2y T cos α = 1x ;T1x = T1*cos α T1

(4)

T1y ;T = T *sen α T1 1y 1

(6)

sen α = w

(3)

(5)

y ∑F = 0 ∑F = F −w = 0 F=w (1) ∑ Mo = 0 ∑ M = M1-M2 = 0 (2) M1 = l *w (3)

T2y

T1

T1y

T1x

M2 = - *F (4) 2 Remplazando (3),(4) en (2) ( − 1)

F=

(5)

2 l *w l

x

θ

α

l

l l *w- *F = 0

T2

T2x w

Reemplazando (3) y (5) en (1) T2 *cos θ-T1*cos α = 0 (7)

2 F = T*sen α (6) Remplazando (6) en (5) Tsenα = 2w 2w 2*100 Dina T= = = 230,94 Dina sen α sen 60°

Reemplazando (4) y (6) en (2) T2 *sen θ + T1*sen α -w = 0 (8) De (7) despejamos T2 T2 *cos θ = T1*cos α cos α T2 = T1 (9) cos θ

77.. Encontrar las tensiones T 1 y T2 según la Reemplazando (9) en (8) fig.

Datos α = 30° θ = 60º w = 50 Kp T1

α

θ

T2

w

2 24 4

cos α T1* *sen θ + T1*sen α = w cos θ T1(cos α*tan θ + sen α) = w w T1 = cos α*tan θ+sen30º 340 N T1 = cos 30º*tan 60º+sen 30º T1 = 170 N Reemplazamos este valor en (9) cos α 30º = 170 N* cos T2 = T1 cos 60º cos θ T2 = 294,45 N


PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo 88.. Encontrar las tensiones T 1 y T2 según la

EEssttááttiiccaa α

fig.

Datos θ = 60º w = 160 N ∑ Fx = 0 T2x − T1 = 0 ∑ Fy = 0 T2y − w = 0

w

(1)

T1x T2y

w

T2

∑ Fx = 0 T2x − T1 = 0 ∑ Fy = 0

160 N

T2y

T2

θ

T1

T2x

x

w

Reemplazando (3) en (1) T2 *cos θ -T1 = 0 (5) Reemplazando (4) en (2) T2 *sen θ -w = 0 (6) De (6) despejamos T2

T2 *cos θ = w w 160 N T2 = = = 208,86 N cos θ sen 50º Reemplazamos este valor en (5) T2 *cos θ − T1 = 0 208,86 N * cos 50º - T1 = 0

T1 = 208,86 N*cos 50º = 134,26 N

99.. Encontrar las tensiones T 1 y T2 según la

x

θ

(4)

y


T2x

α

(3)

T1

Datos α = 45º θ = 60º w = 420 N

T1y

(2)

θ

fig.

y

T1

T cos θ = 2x ;T2x = T2 *cos θ T2 T2y sen θ = ;T = T2 *sen θ T2 2y

w

θ

T2

(1)

T1y _T2y − w = 0 (2) T sen θ = 2x ; T2x = T2 *sen θ (3) T2 T2y cos θ = ; T2y = T2 *cos θ (4) T2 T cos α = 1x ; T1x = T1 *cos α (5) T1 T1y sen α = ; T1y = T1 *sen α (6) T1 Reemplazando (3) y (5) en (1) T2 *sen θ-T1cos α = 0 (7) Reemplazando (4) y (6) en (2) T1 *sen α -T2cos θ − w = 0 de (7) despejamos T2

(8)

T2 *sen θ = T1cos α T cos α T2 = 1 (9) sen θ Reemplazando (9) en (8) T cos α T1 *sen α - 1 *cos θ = w sen θ T1 sen α− cos α*cos θ = w sen θ w T1 = sen α− cos α*cos θ sen θ 420 N T 1 = cos 45º*cos 60º sen 45º − sen 60º T 1 = 1405,35 N

(

)

Reemplazando este valor en (9) cos 45 T2 = 1405,35 N ∗ = 1147,46 N sen 60

2 5 2 5

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy F EEssttááttiiccaa Frraannzz R Rí ío oss MMo oontero nntteerroo 55.. Por medio de una barra y una cuerda, se sostiene un PPr r oobbl l eem maass p pr r oo p puueessttooss 11.. En los extremos de una barra de 150 cm. de peso de 100 N y la cuerda tiene una inclinación de 30º. longitud y de peso despreciable, se aplican dos fuerzas Calcular la tensión de la cuerda. de 80 N y 60 N. Calcular la fuerza equilibrante y la Sol. 200 N posición de dicha fuerza. Sol. 140 N; 64,29 cm Fe l

B

T

x

α

A l

F2

w

F1

22.. En los extremos de una barra de 100 Kp de peso y 6 6 .. Una masa de 50 Kp se sostiene de una cuerda que

3 m de longitud, se encuentran dos cargas de esta ligada a una barra en dos puntos, de tal forma que 80 Kp y 90 Kp. Calcular la fuerza equilibrante y su el ángulo que se forma es de 45º. Calcular la tensión de posición. la cuerda. Sol. 270 Kp; 1,44 m

Sol. 35,46 Kp Fe

α

x

l

T

B

A

T

l /2 F1

F2

α

α

w

3.. En los extremos de una barra de 3m de longitud y

w

80 Dinas de peso, se encuentran dos fuerzas de diferente 7 .. Sobre un cuadrado de 2 m de lado están aplicadas las sentido que tienen 50 Dinas y 30 Dinas 7 respectivamente. Calcular la fuerza equilibrante y su uerzas de 2, 6, 5, 4, 3 y 9 Kp, como se muestra en la igura. Hallar la suma de momentos de dichas fuerzas posición. con respecto al punto C. Sol.100 Dinas; 0,3 m Fe

F2

5

x

l

A

Sol. 1 kpm

6 A

B

2

1m

l /2

C 1m

F1 w

9

4.. En una barra de 2 m de longitud y 50 kp de peso en

sus extremos se encuentran dos fuerzas de 60 Kp y 20 Kp. Calcular la fuerza equilibrante y su posición de dicha fuerza, sabiendo que otra uerza de 40 kp se encuentra a 0,5 m del extremo y de sentido contrario. Sol. 90 Kp; 0,33 m Fe x

l-d

F3

3

88.. Una barra de 100 cm de longitud, apoyada en sus

extremos, tiene su centro de gravedad a 20 cm del extremo A. Teniendo en cuenta que el peso de la barra es de 100 Kp, calcular las fuerzas ejercidas sobre los apoyos A y B Sol. 80 Kp hacia arriba en A; 20 Kp hacia arriba en B

d

l

4

A

B 100 cm l /2

F1 w

2 26 6

A F2

20 cm

B

100 Kp



EEssttááttiiccaa

9 9 .. La barra homogénea de 16 N de peso y de 1,2 m de

largo, pende del punto C por medio de dos cables AC y CB, de 1 m de largo cada uno. Determinar las tensiones en los cables. Sol. 10 N C

37º

1144.. La separación entre las bisagras de una puerta de 1

m de ancho y 20 Kp de peso es de 4 m. sabiendo que el peso de la puerta es soportado únicamente por la bisagra A B superior, hallar las fuerzas ejercidas por las bisagras 110 0 .. En el sistema mostrado en la figura, calcular la sobre la puerta. tensión en el cable y la reacción horizontal de la pared Sol. Reacción horizontal de la bisagra inferior: 2,5 Kp; Fuerza resultante de la bisagra superior: sobre la viga si el peso de esta es de 50 Kp. 20,1 Kp.

Sol. 151, 21 Kp; 120, 76 Kp

1155.. Hallar la resultante de las cuatro fuerzas indicadas

A

en el siguiente diagrama. Sol. 834 Kp hacia apoyo A.

37° B

150 Kp

5m

2m

1111.. Un bloque de 80 Kg. de peso esta sostenido por dos

cuerdas que forman con el techo ángulos de α=37º y θ = 53º. Hallar las tensiones en cada una de las cuerdas. Sol. 48 Kg.; 64Kg.

400 Kp

30º

40 Kp

abajo, aplicada a 2,28 m del 250 Kp

100 Kp

30º

30º

A

B 2,5 m

1,5 m

1m

116 6 .. Una barra homogénea AB de longitud 2L y de peso

“P” puede girar alrededor de un eje horizontal en el α θ extremo A de la barra. Esta se apoya sobre una barra T homogénea CD de la misma longitud 2L, puede girar T alrededor de un eje horizontal que pasa por su punto medio E. Los puntos A y E se encuentran en la misma vertical a la distancia AE = L. Una carga w Q = 2P esta suspendida en el extremo D. Suponiendo 1122.. Cuál es el valor de la fuerza F necesaria y suficiente que no existe rozamiento, determinar el valor del ángulo para que el bloque de 600 N suba con velocidad θ para que el sistema este en equilibrio. Sol. 82,82º constante. Sol. 450 N. A 2L

L

37º

1133.. Un bloque de 600 N de peso se encuentra en

equilibrio sobre un plano liso y sostenido por una cuerda inelástica. Hallar el valor de la fuerza de reacción del plano (N) y la tensión T en la cuerda. Sol. 480 N; 360 N.


θ

B

C L

EE

L

D 2P

2 27 7


EEssttááttiiccaa

A A u ut t o oe e v va a l lu u a c a ci ió ó n n

11.. Cuándo se dice que un cuerpo esta en equilibrio: 2.. Qué es cupla de fuerzas: 3.. Qué significa momento de una fuerza: 44.. Cuándo se dice que un cuerpo esta en equilibrio estático: 55.. Cuándo se dice que un cuerpo esta en equilibrio dinámico: 66.. Cuándo el momento se considera positivo: 77.. Cuándo se considera al momento negativo: 88.. Cuándo un cuerpo permanece en reposo:

2 28 8



C a a p í t tu u l l o I I I C i a ti ic ca i n e má t

E m o E n n l a a n a at tu u r ra a l le e z za a n n a ad da a h a a y y m m á ás s a a n nt ti g i g uu o o q u ue e e e l l m ov vi im m i i e en nt to o ; ; y y s s o on n m u uc ch h o os s i i l y o i i b o e e h e e d ló ó s so o f f o s s l r g o o q q u ue e y e e x xt te e n n s soo s s l l o s s l l br ro o s s q q u ue e l l o s s f f l h a an n d d di i c ca a d do o ; ; s s i in n e e m mb b a ar g h e e é é l h a a y y m m u uc ch h a as s c c o os s a as s i i n nt t e er r e e s s a a n nt t e es s a a c ce e r r c c a a d d l q q u uee h h a as st t a a a a h ho or r a a h h a an n p p a as sa a d do o i i n e e c ci i r r q e u na a d dv v e er r t t i i d do o .. A A l l d d q uu e u n n c c u ue er p r p o o s s e e m m u ue ev v e e,, c c o om m p p a ar r a am m o os s g e e s s p l g o o q q u ue e c c o on ns s i id d e e r ra am m o os s e e nn r r e e p p o on n t tá á n ne ea a m m e en n t te e s s u u p p o os si i c c i i ó ó n n c c o on n a a l p o os so o : : u u n n á a á r rb bo o l l, , u u n n p p o os st t e e ,, u u n na a c c a as sa a , , e e t tc c.. E E n n l l a p p a ar ra a d da a s s e e v v e e e e l l a a u ut to o b bú ú s s m m oo v ve er r s se e y y a v i ia s i in d e e n a u n o a c ce e r r c c a a r rs s e e ; ; e l l v a j j e er r o o , , d n o o e l l nt t r ro o d e e l l a ut t o o b bú ús s,, n o v e e c ó óm mo o s e e m u ue ev v e e é s st t e e ,, s m o m u un nd a r r l l do o e e x xt te e r r i i o o r r,, c c o om m o o c c u ua an n d do o v v a am mo o s s e e n n t t r re e n n y y v v e em m o o s s p p a as sa o s s p p o os st te e s s r r á nt te e .. á p p i id d a a m mee n


CCiinneemmááttiiccaa

Cllaasseess d dee ttrraayyeeccttoorriiaa 3..66.. C R eeccttiillí í nneeoo..-- Cuando 3..11.. C Coonnssiiddeerraacciioonneess ggeenneerraalleess..-- La 3..66..11.. R Cinemática

mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento. Este puede definirse como un cambio continuo de posición. Para Aristóteles, los cuerpos eran ligeros o pe sados según su naturaleza intrínseca y tendían a ocupar el lugar que les co rrespondía en el universo de acuerdo con esta naturaleza, los ligeros ascendían y los pesados caían, también postulaba que cuanto más pesado era un cuerpo, más rápido caía; Stevin y Galileo demostr aron que la velocidad de caída de los cuerpos es independiente del peso de estos.

la

trayectoria es una línea recta.

3..66..22..

C Cuurrvviillí í nneeoo..--

3..66..22..11..

C Ciirrccuullaarr..--

Cuando tr ayectoria es una circunferencia .

la

3..66..22..22..

PPaarraabbóólliiccoo..--

la

Cuando la trayectoria es una línea curva. Entre los más conocidos tenemos:

Cuando

trayectoria es una parábola .

3..22.. C Coonncceeppttoo..-- La cinemática es una

EEllí í ppttiiccoo..-Cuando la parte de la mecánica que se encarga de 3..66..22..33.. estudiar única y exclusivamente el trayectoria es una elipse. movimiento de los cuerpos sin tomar en cuenta las fuerzas externas que no modifican la estructura interna de la 3..77.. M Moovviim miieennttoo..-- Un cuerpo se halla materia. en movimiento con respecto a un e s p l a z a m i e n t o . 3..33.. D Desplazamiento.- Es el cambio de sistema de coordenadas elegido como posición que experimenta una partícula fijo, cuando sus coordenadas varían a al tr anscurrir el tiempo. medida que transcurre el tiempo. t=0

3..44..

t=t

D Diissttaanncciiaa..-- Es el espacio o

longitud de la trayec toria siendo está En el universo no conocemos puntos una magnitud escalar, porque solo fijos, por eso los movimientos que posee módulo. estudiamos siempre son aparentes o 3..55.. TTrraayyeeccttoorriiaa..-- Trayectoria de un relativos. Si existiera un punto de móvil es la figura formada por los referencia realmente fijo, el distintos puntos que va ocupando a movimiento seria absoluto. medida que transcurre el tiempo. Cuando el movimiento de los cuerpos se estudia en el plano basta un par de ejes x, y en cambio cuando el cuerpo se mueve en el espacio, el sistema lo constituyen tres ejes x, y, z.


3 30 0


33..88..

C Cllaasseess

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí ío oss MMoonntteerroo

ddee

m moovviim miieennttoo..--

ovimiento rectilíneo uniforme

Mencionaremos los siguientes:

33..88..11.. M Moovviim miieennttoo ddee ttrraassllaacciióónn..-- Se 3..1100.. D Deef f iinniicciióónn..-- El movimiento de

denomina movimiento de traslación, un cuerpo es rectilíneo cuando su cuando los ejes de un sistema de trayectoria es una recta, el movimiento coordenadas siempre permanecen es uniforme cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales, tiene las siguientes características paralelos a los ejes de un sistema de dentro del movimiento rectilíneo uniforme, que son los siguientes: coordenadas elegido como fijo.

33..88..22.. M Moovviim miieennttoo ddee rroottaacciióónn..-- Un cuerpo tiene movimiento de rotación cuando:

1 seg.

1 seg.

1m

1m

1 seg.

1m

a.- La distancia (d) recorrida es Todos sus puntos describen absolutamente proporcional al tiempo (t) en recorrerla. circunferencias. Los centros de las circunferencias b.- En el movimiento rectilíneo descritas se hallan sobre una misma uniforme la velocidad es constante. r ecta llamada eje de rotación. 3..1111.. V Veelloocciiddaadd uunniif f oorrm mee..-- Una

33..88..33.. M Moovviim miieennttoo ddee vviibbrraacciióónn..-- Un velocidad se llama uniforme cuando el cuerpo tiene movimiento de vibración cuando se mueve en oscilaciones r ápidas con respecto a un sistema de r eferencia.

movimiento no cambia ni en dirección ni en magnitud. La fórmula para la velocidad uniforme dice, matemáticamente, que la velocidad es la distancia (d) en una dirección dada dividida por el tiempo (t) durante el cual tiene lugar dicho desplazamiento: v =

d t

meennttooss ddeell m 33..99.. EEqquuiilliibbrriioo..-- Un cuerpo cualquiera 3..1122.. EElleem moovviim miieennttoo mee..-se encuentra en equilibrio cuando uunniif f oorrm carece de todo tipo de aceleración. 3..1122..11.. D Diissttaanncciiaa..-- Al cambio de posición que experimenta una partícula al transcurrir el tiempo.

Unniiddaaddeess:: 3..1122..11..11.. U 3..1122..11..11..11.. SSiisstteem maa IInntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..))..-- En este sistema la distancia se expresa en: 3 311




Nombre

Unidad

Metro Kilómetro

m Km.

3..1133.. G Grrááf f iiccaa ddiissttaanncciiaa ttiieem mppoo..-- Para

este tipo de gráficas se utiliza un plano formado por los ejes rectangulares que 3..1122..11..11..22.. SSiisstteem maa C Ceeggeessiim maall ((C C.. G G.. son el eje de ordenadas representada SS..))..-- En este sistema la distancia se por la y, el eje de abscisas representada por la x. Sobre el eje de abscisas expr esa en: llevamos los tiempos y sobre el de Nombre Unidad ordenadas las distancias. Centímetros cm. Representemos gráficamente la Milímetros mm distancia recorrida por un móvil al 3..1122..22.. TTiieem mppoo..-- Un momento cambiar su posición de un punto a empleado en realizar un otro, a una velocidad de 50 Km / h acontecimiento. con movimiento uniforme. d 3..1122..22..11.. U Unniiddaaddeess:: v = t 3..1122..22..11..11.. SSiisstteem maa IInntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..))..-- En este sistema el tiempo se V = 50 Km/h

expr esa en:

Nombre

Unidad

Segundo

seg.

3..1122..33.. V Veelloocciiddaadd..-- Es una magnitud vectorial cuyo módulo indica cuál es el es pacio recorrido por un móvil en cada unidad de tiempo.

Unniiddaaddeess:: 3..1122..33..11.. U 3..1122..33..11..11.. SSiisstteem maa IInntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II))..-- En este sistema la distancia se expr esa en metros y el tiempo en segundos, la velocidad queda medida en metros por segundo:

Nombre

Unidad

Distancia Tiempo Velocidad

m seg. m / seg.

SSiisstteem C 3..1122..33..11..22.. maa Ceeggeessiim maall ((C C..G G..SS..))..-- En este sistema la distancia

d = v * t

V’= 25 Km/h

t (h)

d (Km)

t (h) d (Km)

0 1 2 3

0 50 100 150

0 1 2 3

0 25 50 75

d (Km) 200

150

100

P v = 50 Km/h

50

P· v· = 25 Km/h

Q 0 1

2

3 t (h)

se expresa en centímetros y el tiempo Representamos en un mismo sistema la en segundos, la velocidad queda gráfica de la distancia del móvil medido en centímetro por segundo: anterior, y la de otro móvil que parte al Nombre Unidad mismo tiempo, pero con una velocidad Distancia cm de 25 Km / h. Tiempo seg. Observamos que todos los puntos están Velocidad cm / seg. sobre una misma recta de modo que


3 2 3 2



“ En el movimiento uniforme la r epresentación gráfica de la distancia en función del tiempo es una línea r ecta “. Al móvil más veloz corresponde una r ecta que forma un ángulo mayor con el e je de los tiempos. Consideremos un punto P de la recta correspondiente al primer móvil y el punto P’ de la recta para el segundo que tiene la misma abscisa que P, que significado físico tienen los ángulos α y β. Observemos para el primer móvil que: P Q O Q

= distancia = velocidad tiempo

Es decir; que en la representación gráfica de la distancia, la velocidad está representada por la tangente del ángulo que forma la recta representativa con el eje de los tiempos. Como: α >β Tan α > tan β v > v´

3..1144.. C Coonncclluussiioonneess..-  Si

la representación gráfica es una línea recta la velocidad es constante.

  El

valor de la velocidad depende de la inclinación (pendiente) y no de la posición de partida.

(v)

  Si

la recta sube la velocidad es positiva, si baja la velocidad es negativa.

P Q (1) v= O Q

ΔOQP el cociente entre el cateto PQ Grrááf f iiccaa vveelloocciiddaadd ttiieem mppoo..-- Para (opuesto al ángulo β), el cateto OQ 3..1155.. G (adyacente al ángulo β), se llama hallar la gráfica de velocidad tiempo, consideramos la siguiente tabla de tangente del ángulo β  es decir. tan β =

P Q O Q

datos.

( 2)

Relacionando (1) y (2) tenemos: v = tan α

I ntervalo de duración tiempo del intervalo a b c d e f

velocidad durante el intervalo

1 3 1 5 1 3

30 50 25 60 25 -30

30 150 25 300 25 -90

Para el segundo móvil tenemos: P 'Q OQ

d = 440 Km. e = 620 Km

= distancia

ΔOQP’ el cociente entre el cateto P’Q (opuesto al ángulo α), el cateto OQ (adyacente al ángulo α), se llama tangente del ángulo α es decir: tan α =

d (Km)

tiempo

P' Q v' = (1) O Q

P' Q (2) OQ

60

40

3 3 3 3


b

20 a

0

Relacionando (1) y (2) tenemos: v' = tan β

distancia en Km.

-20

d c

1

2 3

4 5

f 6 7

8 9

10

11 12 13

g

14 t (h)



Sea el rectángulo limitado por los ejes, 60 la recta repr esentativa, es una recta paralela al eje de ordenadas, que pasa 50 por el punto de abscisa t, el área del 40 rectángulo es: área (a, b, c, d, f, g) = altura x base

d (m)

30

V2 = 0

V3=-2m/seg

V1 = 3 m/seg

Pero la altura es la velocidad, la base es 20 el tiempo, de modo que: área (a, b, c, d, f, g) = v x t = d

10 10

20

30

40

50

60

En la representación gráfica de la 0 velocidad, el área del rectángulo determinado por los ejes, la recta -10 representativa, la paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto de -20 abscisa t, representada la distancia recorrida por el móvil hasta el instante t. v = d = 0 − 60 = 3 m

3..1166.. C Coonncclluussiioonneess:: 11.. Mientras más arriba queda la recta,

1

v

0 − 20

t

=0 2

70

80

90

100

110 t (s)

V4=0

seg

m seg

la velocidad es mayor. 2.. Si se obtiene una recta paralela al eje v = 60 + 40 = −2 m 3 50 − 100 seg x la velocidad es constante. 3.. Las rectas que quedan por encima v = 0 m 4 seg del eje de la x r epresentan velocidades v (m/seg) positivas y por debajo velocidades 6 negativas. 44.. Las áreas que quedan entre una recta 5 y el eje x representan los 4 desplazamientos en cada intervalo. 3

3..1177.. G Grrááf f iiccaa ppoossiicciióónn ttiieem mppoo aa llaa ggrrááf f iiccaa vveelloocciiddaadd ttiieem mppoo..-- Para representar está gráf ica, se realiza en función de la siguiente tabla de valores que es la siguiente. t (seg.) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

FFísica í sica QQuuímica í mica

d (m) 0 30 60 60 60 60 40 20 0 - 20 - 40 -40

2 1 0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

t (seg)

-1 -2 -3 -4

3 34 4




Definición

a c i t á m e n i C

Elementos del movimiento uniforme

Estudia los movimientos sin tomar en cuenta las causas.

Velocidad Desplazamiento Cambio de posición de una partícula al transcurrir el tiempo.

Distancia Al espacio o longitud de la trayectoria.

Al espacio recorrido por cada unidad de tiempo.

Unidades S.I. Metro,/segundo.; Kilómetro/hora.

C.G.S. Centímetro / segundo.

Trayectoria Conjunto de puntos que forman el camino recorrido.

Movimiento Cambio de posición con relación a un punto fijo (referencia).

Distancia Cambio de posición de una partícula al transcurrir el tiempo.

Unidades S.I. Metro, kilómetro

C.G.S. Centímetro, milímetro.

Tiempo Un momento en realizar un acontecimiento.

Unidades

Movimiento de traslación

o t n e i m i v o m e d s e s a l C

Cuando sus ejes permanecen paralelos a un punto fijo.

S.I. Segundo.

Movimiento de rotación Sus puntos describen circunferencias. Sus centros se hallan sobre una misma recta.

R n d e ó r m R e e s u s u m m e e n d e f f ó r mu u l la a s s

Movimiento de vibración Se mueve en oscilaciones rápidas respecto a un punto fijo.

11.. V unniif f oorrm Veelloocciiddaadd u mee::

Equilibrio

v =

Un cuerpo cundo carece de aceleración, se halla en equilibrio.

d t

Diissttaanncciiaa:: 2.. D e m r o f i n u o e n í l i t c e r o t n e i m i v o M

d = v * t Concepto El móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales.

3.. TTiieem mppoo:: t =

Velocidad uniforme Cuando el movimiento no cambia en dirección y magnitud.

v=

d

44.. C Crruuccee yy a allccaannccee d dee m móóvviilleess::

t

t=

y =

3 5 3 5

d v


d V1 + V2

d ( V 2 - V1 ) V1


P r s P r oobbl l e e m m a a s r r e e s u s ue e l lt t o o s s 11.. Un automóvil recorre 360 Km. en 5 h calcular la velocidad media en km/h y en m/seg.

Datos d = 360 Km t =5 h v =? V=? t=5h d = 360 Km.

d t 360 Km v= 5 h Km v = 72 h Km 1000 m 1 h v = 72 * * h 1 Km 3600 seg. m v = 20 seg.

CCiinneemmááttiiccaa Km 1 h d1=40 *4 min* =2,67 Km h 60 min d2 = v2 *t2 Km 1 h d2 = 80 *8 min* = 10,67 Km h 60 min d3 = v3 *t3 Km 1 h d3 = 32 *2 min* = 1,07 Km h 60 min d t = d1 + d2 + d3 d t = 2,67 Km + 10,67 Km + 1,07 Km d t = 14,4 Km V3=32 km/h

V2=80 km/h

t = 2 min

t = 8 min

v=

V1=40 km/h

t = 4 min

dt tt 14,4 Km Km v= = 1,02 14 min min Km 60 min Km v = 1,02 * = 61,2 min 1h h Km 1000 m 1 min m = 17 v = 1,02 * * min 1 Km 60 seg. seg.

b. v =

33.. Un corredor pedestre corre 200 m en

2.. Un automóvil marcha a 40 km/h durante 21,6 seg. Calcular su velocidad en m/seg.; 4 min., a continuación va a 80 km/h km/h y m/min. durante 8 min., y, finalmente, a 32 km/h Datos durante 2 min. Calcular a) la distancia total d = 200 m recorrida en Km. y b) la velocidad media en t = 21,6 seg. km/min. , en Km. y en m/seg. durante los m Km m v =? ; ; 14 minutos. seg. h min.

Datos

V=?

a. v1 = 40 Km/h t1 = 4 min. d1 = ? v2 = 40 Km/h t2 = 4 min. d2 = ?

v3 = 32 Km/h

t3 = 2 min. d3 = ? dt = ?

b. v = ? km/min;Km/h;m/seg. d a. v= t d=v*t d1=v1 *t1


t = 21,6 seg. d = 200 m.

d 200 m m = = 9,26 t 21,6 seg. seg. m 1 Km 3600 seg. v = 9,26 = * seg. 1000 m 1 h Km v = 33,3 h m 60 seg. m v = 9,26 * = 555,6 min. seg. 1 min. v=

44.. La velocidad de un avión es de 970 km/h; la de otro de 300 m/seg. ¿Cuál es el más veloz?

3 36 6



Datos

v=

Km v1 = 970 h m v2 = 300 seg.

d t

d = v*t = 72

Km *3 h = 216 Km h

77.. Hallar el tiempo que tarda un móvil en

V1 = 970 Km. /h

V2 = 3000 m. /seg.

m 1 Km 3600 seg. * * seg. 1000 m 1 h Km v2 = 1080 h El segundo es más veloz v2 = 300

recorrer una trayectoria de 56489 empleando una velocidad de 45 m/seg

Datos m v = 45

seg. d = 56489 m t =? V= 45 m/seg.

55.. ¿Cuánto tardará un automóvil, con movimiento uniforme en recorrer una distancia de 300 Km., si su velocidad es de 30 m/seg?

Datos d=300 Km m v=30 seg. t=? V=30m/seg. t =? d = 300 Km.

d v 300 Km t= m 3600 seg. 1 Km 30 * * seg. 1 h 1000 m 300 Km t= = 2,777777778 h Km 108 h t=2 h 46 min 40 seg. v=

d t

⇒

t=

66.. Un vehículo marcha a 72 km/h, con movimiento rectilíneo uniforme ¿Cuánto recorre en 3 horas?

Datos Km v = 72 t =3 h d =?

t=? d = 56489 m.

d t d 56488 m t= = = 1255,31 seg. m v 45 seg. v=

88.. Un

móvil recorre una trayectoria en 23489 seg. de tiempo y la velocidad que emplea es 98456 m/seg. Calcular el desplazamiento de dicho móvil.

Datos m v = 98456

seg.

t = 23489 seg. d = ? V= 98456 m/seg.

t = 23489 seg

d=?

d t m d = v*t=98456 *23489 seg. seg. d=2312632984 m v=

99.. Calcular la velocidad de un coche

h

V=72 km/h. t =3 h d = ?.

3 37 7

m,


que corre una distancia de 336 Km. y tarda un tiempo de 8765 seg. , hallar la velocidad en m/seg.

Datos m v =?

t = 8765 seg. seg. d = 336 Km.



V= ?

t=

t = 8765 seg

5 Km 60 min. = 0,05h* =3 min Km 1h 100 h

x = 0,67 Km/min * t

d = 336 km

x = 5 Km – 1km/min * t t(min) x(Km)

t(min) x(Km)

d t 336 Km 1000 m v= * 8765 seg. 1 Km. m v = 38,33 seg. v=

0 1 2 3 4 5

1100.. Un tren recorre 200 Km. En 3h 25 min.

0 1 2 3 4 5

0 0,67 1,3 2 2,6 3,3

5 4 3 2 1 0

15 seg. ¿Cuál es su velocidad?

Datos

5

d=200 Km t=3h 25 min. 15 seg.

4 3

V= ?

2 t = 3 h 25 min. 15seg

1

d = 200 km v

=

d

v

=

200 Km

=

t

0 1

3 h + 25 min. *

1h 60 min.

200 Km 3 h + 0,416 h + 0,00416

=

+ 15 seg. * 200 Km

3,42016 h

3

4

5

1122.. Un móvil parte de A con una velocidad

1h 3600 seg.

= 58,5

2

Km h

de 50000 m/seg y otro móvil de 30000 m/seg. La distancia entre A y B es 160000 m. Calcular a que distancia de A se encontrarán si ambos vienen al encuentro y en que tiempo.

1111.. Dos automóviles distan 5 Km. uno de Datos otro, y marchan en sentidos contrarios, a 40 y v = 50000 m/seg. A 60 km/h. ¿Cuánto tardaran en cruzarse? vB = 30000 m/seg (solución gráfica y analítica). x =? Datos x AB = 5 Km. t =? A

Km h Km v B = 60 h t = ?. v A = 40

x

A

x =5 Km.

x’

(5Km – x’)

x, = v A t (1)

5 Km - x, = vB * t (2) Reemplazando (1) en (2) tenemos 5 Km - v A * t = vB * t v A * t + vB * t = 5 Km t=

5 Km 5 Km = Km Km v A +v B 40 + 60 h h


B

B

d (d – x)

x (1 ) t d-x VB = (2) t despejando x de (1) tenemos: x=VA *t (3) vA =

rem plazamos (3) en (2) tenemos: d (VA *t) VB = t VB * t = d *(VA * t) VB *t + VA *t = d d t= vB + v A

3 38 8



160000 m = 2 seg. m m 50000 + 30000 seg seg m x = VA * t = 50000 *2 seg. x = 100000 m seg.

Datos m v A = 8 seg

t=

1133.. Expresar una velocidad de 72 km/h en

m VB = 15 seg t = 2min = 120 seg.

m/seg.; km/min.; cm/seg. 1 h * 1000 m = 20 m 72 km `* seg. h 3600 seg 1 km 1 h = 1,2 km 72 km `* min. h 60 min 1 h * 1000 m * 100 cm = 2000 cm 72 km `* seg. 1m h 3600 seg 1 km

VA P A

XA

B

XA - XB

XB

xA

1144.. Dos móviles parten de A y de B que en

vA =

línea recta están a una distancia “d”. la velocidad de A es los 2/3 de la velocidad de B. ¿Cuál es el tiempo que demoran en encontrarse en función de “d” y de VB?

x A = v A * t A x A = 8 sm e g * 1 2 0 se g = 9 6 0 m

Datos d=d

xB tA

xB - x A = 1800m - 960m xB - x A = 840m

t =?

VA

VB C

1166.. A Johnny lo llaman por teléfono a su

A A

B dA,t

(d - dA), t d

t=

tA

x B = v B * tB x B = 1 5 sm e g * 1 2 0 se g = 1 8 0 0 m

v A = 23 VB VA = VB

dA

vB =

= 2dA

(1) VA *V 3 B d - dA t= (2) VB igualando (1) y (2) d A = d - dA 2*V VB B 3 d A = 23 d − 23 d A  d A + 23 d A = 23 d  35 d A = 23 d d A = 25 d

casa desde el Colegio a las 9 de la mañana y le dicen que debe presentarse a las 10 h y 30 min. Si Johnny sale inmediatamente de su casa, que dista 14 Km. del colegio, calcular la rapidez con la que debe desplazarse para llegar a la hora de la cita.

Datos d =14 Km =14000 m t =1 h 30 min = 5400 seg. v =?

2 d 3d 5 t= = 2 VB 5VB 3

1155..

Dos móviles A y B pasan simultáneamente por un punto P a lo largo de una carretera rectilínea, con velocidades de 8 m/seg y 15 m/seg respectivamente en la misma dirección y sentido ¿Cual será la distancia que les separa al cabo de 2 minutos?

3 39 9

VB


d t 14000 m m v= = 5,59 5400 seg. seg. v=

PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo PPr r oobbl l eem maass ppr r oo p puueessttooss

CCiinneemmááttiiccaa traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a 11.. Cuánto tiempo demorara en pasar todo el tren de su trabajo a las 8 a.m. ¿A que hora sale siempre de su casa? 20 m de largo, un túnel de 80 m de largo si lleva una Sol. 7 a.m. velocidad de 5 m/seg. 1122.. Dos ciclistas parten de un mismo punto en sentido Sol. 20 seg. 22.. Un ciclista corre por una pista rectilínea a una contrario, uno a 40 Km. /h y el otro a 50 Km. /h al velocidad de 40 Km. /h. ¿Qué distancia se desplaza al cabo de 5 horas, ¿Qué distancia los separa? Sol. 450 Km. cabo de 15 minutos? 1133.. Un automóvil viaja de Potosí a la Paz 550 Km. Sol. 10000 m. 3.. A 170 m de una persona se produjo una explosión. Si Empleando 7 h ¿Calcular su velocidad? la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/seg. Sol. 78,57 Km./h. ¿Después de que tiempo lo lograra escuchar 1144.. Un móvil recorre Potosí – Sucre 165 Km. -4 Sol. 0,5 seg.1, 39x10 h Tardando 2h, 30min y 50 seg. ¿Calcular su velocidad? 4.. Un atleta corre una pista de 100 m. en 11 seg. ¿Cuál Sol. 65,63 Km./h es su velocidad? 1155.. Calcular la distancia que recorre un avión que viaja Sol. 9,09 m/seg. durante 3h, 20 min. y 40 seg. a razón de 650 Km./h 55.. Representar gráficamente el movimiento de un Sol. 2171,65 Km. móvil que marcha a v = 1 m. /seg., con movimiento 16 . 16 . Calcular la distancia que existe entre el sol y la rectilíneo uniforme. tierra si la luz del sol tarda en llegar a la tierra 8 min. 6 6 .. Representar gráficamente el movimiento de un 20 seg. y su velocidad es de 300000 Km./seg. móvil que marcha a v = 20 Km. /h, con movimiento Sol. 150000000 Km. rectilíneo uniforme. 117 7 .. Dos móviles salen de un mismo punto en direcciones 7 7 .. Representar gráficamente el movimiento de un móvil opuestas con velocidades v = 7 m./seg. y v = 13 1 2 que en 2 horas recorre 120 Km., con movimiento m./seg.¿Que distancia los separa al cabo de 2 minutos? rectilíneo uniforme. Sol. 2400 m. 88.. Del origen de coordenadas parte un móvil siguiendo 1188.. Dos lugares A y B están separados por 100 Km. De el eje y, a una velocidad de 6 Km. /h, y A sale una motocicleta hacia B demora 4 horas en simultáneamente otro, siguiendo el eje x, a una llegar. De B sale otra motocicleta hacia A y demora 5 velocidad de 8 Km. /h. al cabo de 10 horas, los móviles horas en llegar. Calcular: a) ¿a que distancia de A se dan vuelta, y marchan hacia el origen de las cruzan? b) ¿Cuánto tiempo después que partieron? coordenadas, pero ahora la velocidad del primero es Sol. 55,56 Km.; 2,22 h. la que de ida tenia el segundo, y la del segundo, la que 9 .. Un obrero sale todos los días de su casa a las 6:30 tenia el primero. ¿Cuántas veces, y en que instantes, 119 a.m. y se dirige de la ciudad hacia la fabrica que se estarán separados entre si por 35 Km? encuentra a 30 Km. Diez minutos mas tarde, de la Sol. 2 veces; 3 h 30 min. y 17 h 30 min. 99.. Dos corredores están separados 20 Km. en línea recta. abrica sale en dirección de la ciudad un ciclista a razón Parten al encuentro el uno al otro en el mismo instante de 18 Km./h, encontrándose con el obrero cuando este con velocidades de 5m/seg. y 6m/seg. había caminado 6 Km. ¿A que hora sucede el encuentro, cual es la velocidad del obrero? Respectivamente. ¿Qué distancia los separa después de Sol. 30 min.; 12 Km./h. ½ h en Km? 200.. Dos móviles, M y M’, parten simultáneamente desde Sol. 0,2 Km. 110 0 .. Dos hombres separados 100 m corren en la misma A hacia B, y en ese mismo instante parte otro, M’’, dirección con velocidades constantes V 1 = 6 m/seg. y desde B hacia A. La distancia AB = 90 Km., y las V 2 = 4 m/seg. De modo que el segundo toma la velocidades de los móviles son de 6 Km. /h y 9 Km. /h, ventaja. ¿Al cabo de que tiempo el primero alcanza al respectivamente. Determinar, gráfica y analíticamente los tiempos en que: a) M equidista de M’ y M’’; b) M’ segundo? equidista de M y M’’; c) M’’ equidista de M y M’; d) M Sol. 50 seg. 1111.. Una persona sale todos los días de su casa a la se cruza con M’’. misma hora y llega a su trabajo a las 9 a.m. un día se FFí í ssiiccaa QQuuí í mmiiccaa

Sol. 5 h 37 min 30 sg. 6 h 55 min 23 seg. 6 h 12 min 24,8 se . 6 h.

4 40 0

CCiinneemmááttiiccaa 2211.. Dos cuerpos se mueven siguiendo los lados de un

ángulo recto. Partieron simultáneamente del vértice, con velocidades de 25 cm. /seg. y de 32 cm. /seg., y han transcurrido 10 segundos. ¿A qué distancia están uno de otro? Sol. 406 cm

2222.. Un móvil avanza uniformemente en línea recta una

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí ío oss MMoonntteerroo 2233.. Dos estaciones distan entre si 100 Km. De A sale un tren que tardara 2 horas en llegar a B; de B sale otro hacia A, donde llegara en una hora y media. Calcular a que distancia de A se cruzan, y que y que tiempo después de haber partido simultáneamente cada uno de su estación. Solución gráfica y analítica. Sol. 42,8 Km 51 min 26 seg.

distancia de 1600 m al cabo de 40 seg. ¿Cual es su v elocidad en Km./h? Sol. 144 Km./h.

Autoevaluación

11.. Cuál es el estudio de la cinemática: 22.. Cómo se llama al espacio o longitud de la trayectoria: 33.. Un cuerpo se halla en movimiento con respecto a un sistema de: 44.. Un cuerpo tiene movimiento de rotación cuando sus puntos: 55.. Cuándo un cuerpo carece de aceleración se encuentra en: 66.. El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una: 77.. Cuando la velocidad de un móvil permanece constante se llama movimiento: 88.. Un momento empleado en realizar un acontecimiento: 99.. Cómo se llama a la distancia recorrida en cada unidad de tiempo: 1100.. En el movimiento uniforme la velocidad es:

4 411


P L i ic c.. J J o P r ro o f f .. L oh h n n n n y y F F r ra a n nz z R R i io os s M M o on n t te er r o o

C a V l o I V tu u l a p í t i o r me M ov i í n e o u n f ec ct ti il lí i m i e e n t o r e v a a r i ia ad do ( M . R ) R .U .V . )

E o o s s d e e c c o a E n n l l o s s v v e eh h í íc cu u ll o d om m p p e et t i i c ci i ó ó n n,, c c o om mo o l l a s s m m o ot to o c ci i c c l l e e t ta a s s,, e e s s t t aa n n i i m an nt t e e p p o od de e r r c c o on ns s e e g g u ui ir r a a l lt t a as s v v e el l o o cc i id d a a d m p p o or rt t a de e s s c c o om m o o h h a ac ce e r r l lo o e e n n e e l l m m í ín n i im m o o d e e t t i ie e m e s s d e e c ci i r r,, e e s s m m p p o o, , e d o b bt te e n n e e r r g g r ra a n nd de e s s a a c ce e l l e e r ra ac c i i o on ne es s .. d m u u y y i i m m p p o or rt t a a n nt te e o


MM..RR..UU..VV..

M oov v i i m m i i e e n n t t oo r r e ec ct ti i l l í n í n e e oo u n i m ad M u n f f i oo r r me e v v a a r r ii a doo ( ( M . R . R ..U U ..V V . ) . )

44..11.. D Deef f iinniicciióónn..-- Es el que tiene un móvil cuya trayectoria es recta y su aceleración constante en magnitud y dirección en dicho movimiento, la aceleración media coincide con la aceleración en cualquier instante. La aceleración puede ser positiva o negativa

44..22..55.. V Veelloocciiddaadd m meeddiiaa, de una partícula es la rapidez con que cambia de posición al transcurrir el tiempo. y

A, t 1 Δd = d 2 - d 1

d1

B, t 2 d2

O

x

44..22.. EElleem meennttooss ddeell M M.. R R .. U U.. V V..-- Los Consideramos una partícula que esta en elementos del M.R.U.V. son los sigtes:

44..22..11.. D Diissttaanncciiaa, al cambio de posición que experimenta una transcurrir el tiempo. t1

d0

partícula

al

t2

d1

d2

44..22..22.. TTiieem mppoo, un momento empleado en realizar un acontecimiento.

44..22..33.. V Veelloocciiddaadd iinniicciiaall, una partícula tiene velocidad inicial, cuando dicha partícula se mueve de tal manera que su velocidad inicial medida no es constante en intervalos diferentes de tiempo. vi

44..22..44.. V Veelloocciiddaadd f f iinnaall, una partícula

el punto A, en el instante t1, su posición en el plano x, y queda determinada por el vector de posición d1. Para mayor sencillez, consideraremos solo el movimiento en dos dimensiones, la ampliación a tres dimensiones no presenta ninguna dificultad. Consideremos que en un cierto tiempo después, t2 la partícula esta en el punto B, determinado por el vector de posición de d2. El vector desplazamiento que describe el cambio de posición de la partícula conforme se mueve de A hacia B es decir ∆d(d2- d 1) y el tiempo transcurrido para el movimiento entre esos puntos es Δt(t2-t1). La velocidad media de la partícula durante un intervalo queda definida: Δd v= Δt Una raya sobre un símbolo indica un valor medio de la cantidad de que se trate. La cantidad v es un vector, porque se obtiene dividiendo el vector d entre el escalar t.

Acceelleerraacciióónn, es el cambio de tiene velocidad final, cuando dicha 44..22..66.. A partícula llega al final de un velocidad por cada unidad de tiempo transcurrido. determinado recorrido. a vf


4 3 4 3

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy F Frraannzz R Rí íoo ss MMoonntteerroo

MM..RR..UU..VV..

44..22..66..11.. U Unniiddaaddeess:: 44..22..66..11..11.. SSiisstteem maa IInntteerrnnaacciioonnaall ((SS..

V −V a = f i t

(4)

II..))..-- Este sistema expresa, la velocidad Despejando de (4) v f tenemos: en metro por segundo, el tiempo en a∗t = V −V f i segundos y la aceleración en metros V −V = a∗t f i por segundo; por segundo es decir:

Nombre

V = V +a∗t f i

Unidad

Si el móvil parte del reposo, v i = 0, la m / seg. ecuación final toma la siguiente forma: seg. 2 Vf = Vi + a ∗ t (1) m / seg. (2) G.. S S..))..-- Vi = 0 44..22..66..11..22.. SSiisstteem Ceeggeessiim maa C maall ((CC.. G Este sistema expresa, la velocidad en Reemplazando (2) en (1) tenemos: centímetro por segundo, el tiempo en V = 0 + a ∗ t f segundos y la aceleración en V = a ∗ t f centímetros por segundo; por segundo 44..44..22.. FFóórrm muullaa ddeell ddeessppllaazzaam miieennttoo..-es decir: Sabemos que: Velocidad Tiempo Aceleración

Nombre

Unidad

Velocidad Tiempo Aceleración

cm / seg. seg. 2 cm / seg.

V=

d t

De donde: d = v ∗ t (1)

V:: 44..33.. C R .. U U.. V deell M M.. R Cllaasseess d Pero también: 44..33..11.. M o v i m i e n t o u n i f o r m e m e n t e Movimiento unif ormemente vi +vf = V (2) aacceelleerraaddoo..-- Es aquel móvil que 2

aumenta su velocidad en cada unidad Reemplazando (2) en (1) tenemos: de tiempo, en una cantidad constante d = vi +vf ∗ t (3) 2 llamada aceleración. 44..33..22.. M Moovviim miieennttoo uunniif f oorrm meem meennttee Por otra parte sabemos que: rreettaarrddaaddoo..-- Es aquel móvil que Vf = Vi + a ∗ t (4) disminuye su velocidad en cada unidad Reemplazando (4) en (3) tenemos: de tiempo, en una cantidad constante V + Vi + a ∗ t ∗t d= i llamado decelerado. 2 2 ∗ Vi + a ∗ t 44..44.. F Fóórrm muullaass:: d= ∗t

44..44..11.. FFóórrm muullaa ddee llaa vveelloocciiddaadd f f iinnaall eenn eell m moovviim miieennttoo uunniif f oorrm meem meennttee aacceelleerraaddoo..-- Sabemos que: Δv (1) Δt V −V a = f i (2) t2 − t1 a=

2

2 ∗ Vi ∗ t + a ∗ t2 d= 2 2 ∗ Vi ∗ t a∗t2 d= + 2 2 a∗t2 d = Vi ∗ t + 2

Si el móvil parte del reposo, v i = 0, la Pero si (t 2 - t 1 = t) (3) tiempo neto ecuación final toma la siguiente forma: completo. a∗t2 d = vi ∗ t + (1) 2 Reemplazando (3) en (2) tenemos: v i = 0 (2) 4 44 4


PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo Reemplazando (2) en (1) tenemos: d = 0∗t +

44..55.. G Grrááf f iiccaa ddee llaa vveelloocciiddaadd ttiieem mppoo..-Representemos gráficamente la velocidad por un móvil cuyo cambio de velocidad es 10 m / seg. cada segundo.

a∗t2 2

a∗t2 d= 2

.2

44..44..33.. FFóórrm muullaa ddeell ccuuaaddrraaddoo ddee llaass veelloocciiddaaddeess..-- Sabemos que: V=

MM..RR..UU..VV..

d t

a = 10 m / seg v f = v i + a t v f = a t 2 v f = 10 m / seg. * t t(seg) V= m/seg 0 0 10 1 20 2 30 3

De donde: d = v ∗ t (1) Pero también v +v V = i f (2)

.2

a = 5 m / seg v f = v i + a t v f = a t 2 v f = 5 m / seg. * t t(seg) V= m/seg 0 0 5 1 10 2 15 3

v = m/seg 40

2

Reemplazando (2) en (1) tenemos: v +v d = i f ∗ t (3) 2

Por otra parte sabemos que: Vf = Vi + a ∗ t (4) De (4) despejamos t Vf − Vi = a ∗ t V −V t = f i (5)

2

a = 10 m/seg 30

20 2

2 a = 5 m/seg

10

2

Reemplazando (5) en (3) tenemos: Vi + Vf Vf −Vi d= ∗ 2

a

Vi ∗ Vf − Vi2 + Vf2 − Vf ∗ Vi d= 2∗a Vf 2 -Vi2 d= 2∗a Vf 2 − Vi2 =d 2∗a v2f − Vi2 = 2 ∗ a ∗ d v2f = Vi2 + 2 ∗ a ∗ d

0 1

2

3 t (seg)

Representamos en un mismo sistema la gráfica de la velocidad del móvil anterior y la de otro móvil que parte al mismo tiempo, pero con una velocidad de 5 m / seg. cada segundo. Observemos para el primer móvil que: P Q velocidad = = aceleración O Q tiempo

(a)

Δ OQP el cociente entre el cateto PQ (opuesto al ánguloα), el cateto OQ Si el móvil parte del reposo, vi = 0, la (adyacente al ángulo α ), se llama ecuación final toma la siguiente forma. v2f = Vi2 + 2 ∗ a ∗ d Vi = 0 (2)

tangente del ángulo α es decir:

(1)

Reemplazando (2) en (1) tenemos v2f = 0 + 2 ∗ a ∗ d v2f = 2 ∗ a ∗ d


tan α =

PQ OQ

a=tan α

Para el segundo móvil tenemos: P, Q OQ

= velocidad = aceleración tiempo

(a , )

4 5 4 5

PPrroof f. . LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo

MM..RR..UU..VV..

Δ OQP’ el cociente entre el cateto P’Q (opuesto al ánguloβ), el cateto OQ (adyacente al ánguloβ), se llama tangente del ángulo β  es decir:

t(seg) 0 1 2 3 4 5 6

P'Q OQ a ' = tan β

tan α =

Es decir; que en la representación gráfica de la velocidad, la aceleración esta representada por la tangente del ángulo que forma la recta representativa con el eje de los tiempos. Como α > β tan α > tan β a > a’

d(m) 0 1,25 5 11,25 20 31,2 45

d (m)

50 Q

45 40

30

44..55..11.. C Coonncclluussiioonneess::

P

  Si

la representación es una línea recta la aceleración es constante.   El valor de la aceleración depende del ángulo de inclinación y no de la velocidad inicial; es decir a mayor ángulo de inclinación mayor aceleración.   Si la recta sube la aceleración es positiva, si baja la aceleración es negativa.

44..66.. G Grrááf f iiccaa ppoossiicciióónn ttiieem mppoo..-- Para encontrar la gráfica posición tiempo se considera un móvil que parte del reposo y a los 10 seg. su velocidad es 90 Km./h suponiendo un movimiento uniformemente acelerado. km m v = 0; t = 10seg.; v f = 90 = 25 h

a*t2 a*t2 d = v o *t + ⇒d = 2 2 v f = vo + a*t ⇒ v f = a*t m 25 v f seg m a= ⇒a= = 2,5 t 10 seg seg 2 m 2,5 * (1 seg ) seg2 d= = 1,25 m 2

4 46 6

FFí í ssiiccaa QQuuí ímm iiccaa

seg.

R

20

10

0 1

vm =

2

d6 -d 4

6 seg-4 seg m v m = 12,5 seg tan α = v m

3

=

4

5

6 t(seg.)

45 m − 20 m 2 seg

Observamos : que la velocidad media entre dos instantes dados está representada por la tangente del ángulo formado por el eje de abscisas y la recta determinada por los puntos de la parábola correspondientes a esos dos instantes. También se ve que la velocidad instantánea está representada en la gráfica por la tangente trigonométrica del ángulo que forman los ejes de los tiempos con la recta tangente a la parábola en el punto considerado.


MM..RR..UU..VV..

R m e n u R e e s s u m e n

R n ó r m R e e s s u u m m e e n d d e e f f ó r mu u l la a s s

11.. V Veelloocciiddaadd m meeddiiaa:: Movimiento variado

V = Velocidad media La relación entre la variación de la posición y la variación destiempo.

vm

=

Δd Δt

Fóórrm dee llaa v veelloocciiddaadd f f iinnaall:: 2.. F muullaa d V = V + a ∗t f i

Velocidad instantánea Es la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a 0

Δd Δt

Δt

Δd v = lim Δt→ 0 Δt

Si el móvil parte del reposo, v i = 0. V = a*t f

Movimiento rectilíneo uniforme variado Cuando un móvil su trayectoria es una recta y su aceleración constante.

Fóórrm deell d deessppllaazzaam 3.. F muullaa d miieennttoo:: 1 d = v * t + *a * t2 i 2

Aceleración Cambio de velocidad por cada unidad de tiempo transcurrido.

Unidades S.I.

C.G.S.

Metro/seg2

Centímetro/seg2

Formulas

Si el móvil parte del reposo, v i = 0. d =

1 *a * t2 2

4. Fórmula del cuadrado de las velocidades:

Formula de la velocidad final.

V f

= Vi + at

v2 = V 2 + 2 ∗ a ∗ d f i

Formula de la distancia o desplazamiento.

d

= vi

*t

+

at 2 2

Formula del cuadrado de las velocidades.

2 V f


=

2 V i

+ 2ad

Si el móvil parte del reposo, v i = 0. v2 = 2 ∗ a ∗ d f

4 47 7


MM..RR..UU..VV..

P r s P r oobbl l e e m m a a s r r e e s s u ue e l l t too s s

2.. Un móvil que lleva una velocidad de

8 m/seg acelera su marcha uniformemente de forma que recorre 640 m en 40 seg. Calcular: 11.. Un móvil que lleva una velocidad de a.- La velocidad media durante los 40 seg. 10 m/seg. Acelera su marcha a razón de b.- La velocidad final 2 c.- El incremento de velocidad en el tiempo 2 m/seg. . Calcular: a.- El incremento de velocidad durante un dado d.- La aceleración. minuto Datos b.- La velocidad al final del primer minuto. c.- La velocidad media durante el primer v i = 8 m/seg. a. b. c. d. d = 640 m v = ? minuto. v f = ? v = ? a = ? d.- El espacio recorrido en un minuto. t = 40 seg. t = 40 seg.

Datos v i = 10 m/seg. a = 2 m/seg2

a. vi = ? t = 60 seg.

b. v f = ?

Vi

Vf

t = 60 seg.

d. d =? t = 60 seg.

c. v =? t = 60 seg.

Vi

Vf

d,t

d,t

a. d 640 m v= = = 16 m t 40 s seg.

b.

a.

v + v f m v= i ⇒ v f = 2 * v - v i = 2 *16 - 8 = 24 2 seg.

m v i = v f + a*t = 2 *60 seg. seg.

c.

Δv = v f + v i = 24 − 8 = 16

m v f = 120 seg. b. m m v f = v i + a*t = 10 + 2 *60 seg. seg. seg. m v f = 130 seg. c. m 10 + 130 m v + v f seg. seg. v= i = 2 2 m v = 70 seg.

d. 1 d = v i * t + a * t2 2 2 m 1 m d =10 *60seg.+ *2 * (60seg.) seg. 2 seg2 d = 4200 m 4 48 8


m seg.

d. a=

Δv = v f - v i = t

t

24

m m - 8 s s = 0,4 m 40 s s2

33.. Expresar las siguientes aceleraciones en 2

m/seg a.

m seg. min. m 1800 *1 = 30 2 min. 60 seg. seg. b. m m m 1 min. 1800 min. = * = 30 seg. min. seg. 60 seg. seg.2

PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo c. m m m 1 min.2 1800 min. = * = 0,5 min. min2 (60 seg.)2 seg.2 d. m m m 1 h 1800 min. = * = 0,5 h seg. h 3600 seg. seg.2 e. m 1 min. m 1 h 1800 min. = * * min. h 60 seg. 3600 seg. h m = 8,3x10−3 2 seg. f. Km 1 h m km 1000 m 36 h = * * 10 = seg. h seg. 3600 seg. 1 Km seg.2

44.. Un automóvil parte del

reposo con 2 una aceleración constante de 5 m/seg . Calcular la velocidad que adquiere y el espacio que recorre al cabo de 4 segundos.

Datos v i = 0 m/seg. a = 5 m/seg.2 v f = ?

MM..RR..UU..VV.. recorrida a los 6 segundos de haber iniciado el movimiento.

Datos a =? v i = 0 m/seg. t1 = 3 seg. v f1 = 27 m/seg

t2 = 6 seg. d = ?

vi Vf Vf

d

v f = v i + a*t 1

m m −0 v f − v i 27 seg. seg. m a= 1 = =9 t1 3 seg. seg2 . v f = v i + a*t2 2 m m m v f = 0 +9 *6 seg. = 54 seg. seg. 2 seg2. 1 d = v i *t2 + a*t22 2 2 m 1 m d =0 *6 seg. + *9 * ( 6 seg.) seg. 2 seg2 d = 162 m

d = ? t = 4 seg.

66.. Un móvil parte del reposo con una a

Vi dt

v f = v i + a*t = 0

m m + 5 2 *4 seg. seg seg

m seg. 1 d = v i *t + a*t2 2 2 m 1 m d=0 *4 seg. + *5 * ( 4 seg.) seg. 2 seg2

aceleración constante y cuando lleva recorridos 250 m, su velocidad es de 80 m/seg. Calcular la aceleración.

Datos vi = 0 a =? d = 250 m v f = 80 m/seg.

v f = 20

d = 40 m

55.. Un cuerpo cae por un plano inclinado con una aceleración constante partiendo del reposo sabiendo que al cabo de 3 segundos la velocidad que adquiere es de 27 m/seg. Calcular la velocidad que lleva y la distancia


v f2 = ?

Vf

Vi d,t

v2f = v2i + 2 ∗ a*d 2 2 m m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ v2f −v2i ⎜⎝ 80 seg ⎟⎠ −⎜⎝ 0 seg ⎠⎟ a= = 2∗d

2∗250 m

2 6400 m 2 seg m a= = 12,8 500 m seg.2

4 49 9


MM..RR..UU..VV..

77.. La velocidad inicial de un proyectil es de v f = v i + a*t 600 m/seg. Sabiendo que la longitud del cañón es de 150 cm. Calcular la aceleración media del proyectil hasta el momento de salir del cañón.

Datos v i = 600 m/seg d = 150 cm = 1,5 m a =? v f = 0 m/seg.

m −20 m 60 v f − v i seg. seg. t= = a 8m seg. 40 m seg. t= = 5 seg. m 8 seg2

99.. Un móvil parte de A hacia B, distante “L”

en línea recta; parte del reposo con aceleración “a” constante; en el mismo Vi d instante, parte otro móvil de B hacia A con a rapidez “V” constante: ¿Cuál será el valor de “V” para que ambos móviles se crucen en la mitad de la distancia entre A y B? Coche A 1 v2f = v2i + 2a*d d = v*t + a*t2 2 2 2 1 2 ⎛ 0 m ⎞ −⎛ 600 m ⎞ d = a*t ⎟ 2 v2f − v2i ⎜⎝ seg. ⎟⎠ ⎜⎝ seg. ⎠ a= = 1 1 2*1,5 m 2 d = a * t2 2 2 2 m 3600 L = a * t2 2 seg m a= = 1,2x105 2=L t 2 3 m seg a 88.. Un automóvil aumenta uniformemente su t = L A a velocidad desde 20 m/seg. Hasta 60 m/seg., mientras recorre 200 m. Calcular Coche B la aceleración y el tiempo que tarda en pasar d = v*t B de una a otra velocidad. L = v*t Datos B 2 v i = 20 m/seg L tB = 2*v v f = 60 m/seg. t A = tB d = 200 m 2 2 L = L a =? a 2*v t =? L L2 V V

( ) ( )

f

i

dt

v2f = v2i + 2 ∗ a*d 2

2

⎛ 60 m ⎞ −⎛ 2 m ⎞ 2 2 v f − v i ⎜⎝ seg. ⎟⎠ ⎜⎝ seg. ⎟⎠ a= = 2∗d

2*200 m

2 m 3200 seg2 m a= 8 = 400 m seg2

5 50 0


=

a 4 * v2 1 L = a 4 * v2 v2 = L a 4 v2 = L*a 4 1 v2 = a *L 4 1 1 v= a*L = a*L 4 2


PPr r oobbl l eem maass p pr r oo p puueessttooss 11.. Un móvil parte del reposo, y en el primer segundo

MM..RR..UU..VV.. 110 0 .. Un tren con velocidad de 72 Km./h frena con una desaceleración constante y se para en 10 segundos. ¿Qué distancia recorrió? Sol. 100 m.

recorre 30 cm. con M.R.U.V. Calcular la distancia 11. 11. Un auto parte del reposo con aceleración constante recorrida en el lapso comprendido entre 8° y el 9° de 4 m./seg.2, recorre 200 m.¿Cuanto tiempo duro su segundo. trayectoria y con que velocidad llego al final? Sol. 255 cm. Sol. 10 seg.; 40 m./seg.

22.. Calcular cuanto tardara el móvil del problema 1122.. Un auto se mueve con velocidad de 45 m./seg.

anterior en adquirir una velocidad de 35 cm./seg.

desacelerando constantemente. Si luego de 3 seg. Su velocidad se ha reducido a 30 m./seg.¿Cuanto 3.. Calcular la distancia recorrida por el móvil anterior tiempo mas debe transcurrir para lograr detenerse?. en 3 minutos. Sol. 6 seg. Sol. 116,7 seg.

Sol. 4860 m.

1133.. Un móvil parte del reposo desde lo mas alto de un 4.. Dos móviles parten, el uno hacia el otro, desde los plano inclinado y se desliza hacia abajo con una

extremos de un segmento de 5 m de longitud. Se mueven con M.R.U.V. de aceleraciones a = 20 cm./seg.2 y a’= 30 cm./seg. 2, respectivamente. ¿En que instante se produce el encuentro, y a que distancia de los extremos?

aceleración constante. El plano inclinado tiene 2 m. de largo y le toma 3 seg. al móvil alcanzar la parte del plano. Encontrar: a.- La aceleración del móvil. Sol. 4,47 seg. ; 2m y 3m. b.- Su rapidez en la parte más baja del plano. 55.. Dos móviles parten simultáneamente del origen de c.- El tiempo que tarda el móvil en alcanzar el punto coordenadas, ambos con M.R.U.V. y en la misma medio del plano. dirección. A los 5 segundos de la partida la distancia d.- Su rapidez en el punto medio. entre ambos es de 50 m. Calcular la aceleración del Sol. 0,444 m./seg. 2 ; 1,33 m./seg.; 2,12 seg.; 0,943 segundo móvil sabiendo que la del otro es de 3 m/seg. 2 m./seg. 1144.. Un móvil parte del reposo y recorre una distancia Sol. 7 m./seg.2 ; -1 m./seg.2 6 6 .. Dos móviles parten simultáneamente y en el mismo en dos etapas durante 16 seg. y ha adquirido una sentido, desde los extremos A y B de un segmento velocidad de 60 m./seg. La primera parte dura 6 seg. y AB = 15 m. El que parte de A lo hace con una es movimiento acelerado; la segunda parte es velocidad inicial de 50 cm./seg. y una aceleración de movimiento uniforme . Calcular: 35 cm./seg.2; el de B, con 75 cm./seg. y a.- La aceleración de la primera parte. -20 cm./seg.2¿En que instante y a que distancia de A, b.- La distancia2 recorrida durante los 16 segundos. Sol. 10 m/seg. ; 780 m. el primero alcanza al segundo. 1155.. Dos móviles A y B están separados en 4005 m; A Sol. 7,86 seg.; 1473 cm. 7 7 .. Dos móviles distanciados 64 m. parten detrás de B. Parten en el mismo instante y con la misma simultáneamente al encuentro en línea recta y en dirección y sentido, A con velocidad constante de 72 sentidos contrarios con aceleraciones constantes Km./h. y B con movimiento uniformemente acelerado de a = 5 m./seg.2 y a1= 3 m./seg.2¿Después de cuantos 0,04 m./seg.2 Calcular: a.- A que distancia de la partida de B se encuentran. segundos se encontraran? Ambos parten del reposo. b.- Que tiempo transcurre. Sol. 4 seg. c.- La velocidad del móvil B en el momento del 88.. Un móvil parte del reposo con una encuentro. aceleración constante y en 4 segundos recorre Sol. 1540 m. y 10460 m.; 277 seg. y 723 seg.; 11.08 32 m. Calcular el espacio que recorrerá en m./seg. y 28,82 m/seg. los 4 segundos siguientes. 116 6 .. Un bloque partiendo del reposo, cae por un plano Sol. 96 m. inclinado, sin rozamiento, que forma un ángulo de 22° 9 9 .. Un móvil con M.R.U.V. pasa por A con una con la horizontal. Calcular: velocidad V, y después de 4 seg. pasa por B con una a.- La aceleración. velocidad de 3V, y 1 seg. más tarde recorre 52 m. b.- El tiempo que emplea en recorrer 20 m sobre el Hallar V. plano. Sol. 16 m./seg.


Sol. 3,66 m/seg.; 3,3 seg.

5 511

PPrroof f. . LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss M Moonntteerroo 117 7 .. Un automóvil partiendo del reposo con M.R.U.V. 2211.. Una esfera que parte del reposo se mueve durante 8 recorre una distancia “X” en un tiempo “t/2” con una segundos con velocidad constante de 10 cm./seg.; luego aceleración de “2a”; si la misma distancia recorre en un comienza a frenarse, con una aceleración constante de – tiempo “3t”¿Cuál es su aceleración? 8 cm./seg2, hasta que se detiene. ¿Qué distancia recorrió Sol. a1 = 1/18 a desde la partida, y durante cuanto tiempo se ha movido? 1188.. Un móvil parte del reposo y recorre una distancia Sol. 86,25 cm.; 9,25 seg. en dos etapas durante 16 seg. y ha adquirido una 2222.. Un cuerpo tiene un M.R.U.V. de a = 3 m/seg 2. velocidad de 60 m/seg. la primera parte dura 6 seg. y es Calcular: a) su velocidad al cabo de 5 segundos; b) movimiento acelerado; la segunda parte es movimiento velocidad con que inicia el octavo segundo; c) uniforme. Calcular: distancia recorrida en los primeros 6 segundos. a.- Aceleración de la primera parte Sol. 15 m/seg.; 21 m/seg.; 54 cm. b.- Distancia recorrida durante los 16 seg. 2233.. ¿Cuál es la aceleración de un móvil cuya velocidad Sol. 10 m/seg2 ; 780 m aumenta en 20 m/seg. cada 5 segundos? 119 9 .. ¿Qué velocidad inicial debería tener un móvil Sol. 4 m/seg2 cuya aceleración es de 2 m/seg2, para alcanzar una velocidad de 108 Km./h a los 5 segundos de su partida. 2244.. Un móvil parte del reposo, y en el primer segundo recorre 30 cm. con M.R.U.V. Calcular la distancia Sol. 20 m/seg. 72 Km./h 220 0 .. Un tren va a una velocidad de 18 m/seg.; recorrida rena y se detiene en 15 segundos. Calcular su en el lapso comprendido entre el 8º y 9º segundos. Sol. 255 cm. aceleración y la distancia recorrida al frenar. MM..RR..UU..VV..

Sol. - 1,2 m/seg2 ; 135 m

A A u ut t oo e e v va a l l u ua a c c i ió ó n n

11.. Cuándo un movimiento es variado: 22.. Cómo se explica el concepto de aceleración: 33.. Cómo se puede ver que una partícula tiene velocidad inicial: 44.. Cómo verificamos que una partícula tiene velocidad final: 55.. Cuándo decimos que una partícula tiene velocidad media:

5 2 5 2



V C a tu ul l o V a p í t C a ue e r po s e d e e l o s c u ib r e aí íd da a l i

T o o e s s e e e e n a a T o d do o s s l l o s s c c u ue er p r p o os s q q uu e nc cu u e en n t tr r a a n n s s o ob br r e e l l a t t i ie er r r r a a , , e e s st tá á n n s s u u j j e et t o o s s a a l l a a j a t tr ra a c cc c i i ó ón n q q u ue e n n u ue e s s t t r ro o p p l la a n ne et t a a e e j e er r c ce e .. E o b b j j e et t o o a a E n nt t o on nc c e e s s ,, s s i i s s o ol lt t a am mo o s s u u n n o c c i ie e r r t t a e l h e ec c h h o o s s e e a a a l lt t u ur ra a d d l s s u ue e l l o o i i n nm m e ed d i i a at ta a m me e n n t t e e c c aa e er r á á h h a ac ci i a a e e l l p p i is s oo , , e e s st t e e h d e e b a u e e a i i c ch a d be e j j u us st ta a m me e n n t t e e a a l l a s s f f u e er r z za as s d d a t tr r a a c cc c i i ó ó n n e e n nt tr r e e l l a y y d d h o o o o b b j j e et t o o.. a t t i ie e r r r r a O am mb bi i é én n ,, q q u ue e a a m m e ed d i i d s s e e a a c ce e r r c c a a a a l l s s u ue el l o o ,, s s u u O b bs se e rr v v a am mo o s s t t a da a q q u ue e e e l l o o b b j j e et t oo v o c ci i d re e d e e c ci i r r q e e l o d v v a a e e n n a u v e ell o d a a d um m e e n n t to o; ; e e s st to o q q u ui iee r d q u ue e e e l l m m o ovv i im m ii e en n t t o o d d l o s s c c u e e b a m ue er p r p d bi id d o o a a l l a a a t tr ra a c cc c i i ó ó n n t t e er r r r e es s t tr r e e ,, e e s s u u n n m m o ov v i im i ie e n n t to o v o os s d v a ar ri i aa d do o ..

CCaaí í ddaa lliibbrree


C C a aí í d da a l l i ibb r r e e d d e e l l oo s s c c u ue e r r p poo s s

55..11.. C Coonnssiiddeerraacciioonneess ggeenneerraalleess..-- Los griegos pensaban que si dejaban caer dos esferas de igual radio, una de 1 kilopondio y otra de 10 kilopondios, la esfera de 10 kilopondios caería más rápidamente porque la atracción de la tierra es, 10 veces mayor; en otras palabras, los cuerpos más pesados caen más rápidamente. 1k

10k

“Todos los cuerpos dejados caer desde una altura, caen con la misma velocidad en el vacío “. Aire

Vació

Galileo realizó una serie de experimentos con planos inclinados llegando a la conclusión de que las distancias recorridas eran directamente proporcionales a los cuadrados de los tiempos empleados. Decimos que es una característica propia de un movimiento uniformemente variado. Por lo cual si se va aumentando la inclinación del plano, el movimiento siempre es la misma, de modo que será uniformemente variado cuando el plano inclinado sea vertical. Podemos decir: La caída en el aire o en el vació es un movimiento uniformemente acelerado (variado). A esta aceleración se la denomina la “aceleración de la g ravedad”, se la representa con la letra g y tiene un valor promedio de 2 0 9,81 m / seg. a 45 de latitud y al nivel del mar. Este valor no es el mismo en todos los lugares de la tierra, ya que depende de la latitud y la altura sobre el nivel del mar, en los polos alcanza su mayor 2 valor de 9,83 m/seg. y en el ecuador el 2 menor de 9,78 m /seg. .

Sé pensó así durante 2000 años hasta que Galileo sospecho que si un cuerpo pesado es atraído con mayor fuerza que una más liviano, precisamente por ser más pesado cuesta más moverlo, de está manera había una compensación por lo cual enuncio una ley que decía: “todos los cuerpos caerán con la misma velocidad, siempre y cuando no estén sujetos a fuerzas extrañas que lo impidan”. Observó que era el rozamiento del aire, el que hacia cambiar las velocidades de caída de los cuerpos. Galileo recurrió al método experimental demostrando lo que había indicado, pero surgió una pregunta. ¿Por qué cae una pluma de ave lentamente que una piedra? Galileo respondió que la causa de esa desigualdad de velocidades se debe a la 55..22.. E Eccuuaacciioonneess ddeell m moovviim miieennttoo ddee presencia del aire que opone resistencia caí da caí da lliibbrree..-- En caída libre a la caída de todos los cuerpos. (despreciando la resistencia y el Este hecho fue comprobado por empuje del aire) serán aplicables las Newton por medio del tubo que lleva ecuaciones del movimiento su nombre. En resumen podemos decir. uniformemente acelerado, sim plemente


5 54 4

CCaaí ídd aa lliibbrree

Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss M PPrroof f.. L Moonntteerroo

cambia algunos símbolos como ser en lugar de la aceleración a, se emplea la aceleración de la gravedad g y en lugar de la distancia d, se emplea la altura h. Cuando el cuerpo simplemente cae, no tiene velocidad inicial, si se lo lanza hacia abajo tiene velocidad inicial (v i), y la aceleración de la gravedad se la considera positiva.

Formulas de caída Tiempo t

= vi + g ∗ t f

v2 = v2 + 2 ∗ g ∗ h f i

= vi − g ∗ t

v2 = v2 − 2 ∗ g ∗ h f i g∗ t2 h = v ∗t − i 2

R n R e e s s u u m e m e n

g

= vi ∗ t +

V f 2 V f

Cuando un cuerpo asciende siempre debe tener una velocidad inicial, y el movimiento es contrario al sentido de la gravedad, por lo tanto es negativa. f

2*h

g∗t

2

2

Velocidad

g ∗ t2 h = v ∗t + i 2

v

=

Altura

h

v

2

= Vi + g ∗ t

= Vi2 + 2 ∗ g ∗ h

R m e n ó r m u R e e s s u m e n d d e e f f ó r mu u l la s a s

11.. FFóórrm veelloocciiddaadd f f iinnaall:: muullaa ddee llaa v V =V f i

± g*t

Si el móvil parte del reposo, v i = 0 V = g*t f

Fóórrm dee llaa a allttuurraa:: 2.. F muullaa d 1 h = v * t ± *g* t2 i 2

Si el móvil parte del reposo, v i = 0 Movimiento vertical Caída libre Movimiento vertical en el vacío donde no hay resistencia del aire.

Aceleración Es la aceleración constante con la que caen todos los cuerpos en el vacío. g = 9,8 m/seg2.

5 5 5 5

h =

1 *g * t2 2

3.. FFóórrm muullaa ddeell ccuuaaddrraaddoo ddee llaass veelloocciiddaaddeess:: v2 = v2 ± 2 * g * h f i Si el móvil parte del reposo, vi = 0 v2 = 2 * g * h f




P r s r e P r oobbl l e e m m a a s r e s u s ue e l lt t o o s s 11.. Un cuerpo cae libremente desde el reposo. Calcular: a.- La aceleración. b.- La distancia recorrida en 3 segundos. c.- La velocidad después de haber recorrido 100 m. d.- El tiempo necesario para alcanzar una velocidad de 25 m/seg. e.- El tiempo necesario para recorrer 300 m.

Datos

= 0 m/seg. v =? f v

i

b. d=? t = 3 seg.

a. g=? d .

f

⇒

g = 9,8

h

= vi * t +

h

=0

m 1 m 2 * 3 seg. + * 9,8 * (3 seg.) seg. 2 seg 2

h = 44,1 m c.

m *100m 2 seg .

+2*9,8

= vi + g * t ⇒ t = f

v

f

= vi + g * t

= 0 + 9,8 f

m m * 5 seg = 49 seg seg 2

g ∗t2 h=v t+ i 2 9,8 h = 0 ∗ 5 seg +

m (5 seg )2 seg 2 2

m ∗ 25 seg 2 seg 2 245 m = 122,5 m 2

h=

33.. Desde una altura de 25 m se lanza una

d.


vf

h=

m v2 = 44,3 f seg.

t = 2,55 seg.

vi = 0 t = 5 seg h=? vf = ? 2 g = 9,8 m/seg

9,8

v2 = v2 +2*g*h f f

v

seg2

Datos

v

2

9,8

que tarda en llegar al agua 5 segundos. Calcular la altura del puente y la velocidad de la piedra en el momento de llegar al agua.

seg.2

1 a * t2 2

m ⎞ v2 = ⎛⎜ 0 ⎟ f ⎝ seg. ⎠

= 2 * 300m m = 7,82 seg.

2.. Desde un Puente se deja caer una piedra

m

m + 9,8 m *3 seg. = 29,4 m seg. seg. seg 2 .

=0 f

2

h

= vi + g*t

v

2*h g

= g *2t

c. v =? f h = 100 m.

b. v

t=

e. t =? h = 300 m.

m v = 25 eg . f t = ? a. a = g

1 e. − h = v * t + a * t 2 i 2

v f = g

m m seg. m 9,8 . 2 seg . 25

piedra en dirección vertical contra el suelo con una velocidad inicial de 3 m/seg. Calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo y la velocidad con que llega a el.

Datos vf = ? h = 25 m

5 56 6


Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss M PPrroof f.. L Moonntteerroo

55.. Se lanza verticalmente hacia arriba una

vi = 3 m/seg. t=? Vi =

h = 25 m t=? Vf =?

v

= f

v2 + 2*g * h i

Datos

⎛ m ⎞ 2 m v = ⎜3 * 25 m ⎟ + 2 * 9,8 f seg. 2 ⎝ ⎠ seg . v v

= 22,3 f f

t=

piedra con una velocidad inicial de 30 m/seg. Calcular: a) el tiempo que tarda que está ascendiendo, b) la máxima altura que alcanza, c) el tiempo que tarda desde que es lanzada hacia arriba hasta que regrese de nuevo al punto de partida, d) los tiempos, a partir del momento de ser lanzado, que emplea en adquirir una velocidad de 25 m/seg.

m seg. v

= vi + g * t ⇒ t =

− vi f

= 1,97

i

= 30

g = 9,8

t

seg.

m/seg. m

seg.2 a. t = ? b. h = ? d. v

g

m 22,3 −3 m seg. seg m 9,8 seg 2

v

2

= 25 f

c. t

t =

?

m seg.

=?

g = 9,8

m seg 2 . h máx. = ?

44.. Calcular la altura con respecto al suelo desde la que se deja caer un cuerpo para que llegue a aquél con una velocidad de 8 m/seg. Se desprecia la resistencia del aire.

t =?

vi = 30 m/seg.

Datos

Tt =?

vi = 0 h=? vf = 8 m/seg 2 g = 9,8 m/seg

vf =25

a. − v

h=?

v2 = v2 + 2 ∗ g ∗ h f i 2 * g * h = v2 ⇒ h = f

⎛ m ⎞ ⎜⎜ 8 ⎟⎟ seg ⎠ h = ⎝ 2 ∗ 9,8

5 57 7

v2 f 2∗g

2

m

seg 2

= 3,26

m

= vi + g * t

v i t =t 1 2 g

vi = 0

Vf =

f

=

m seg. = 3,06 seg. m 9,8 . 2 seg . 30

b. - v 2 = v 2 + 2 ∗ g * h f i v2 − v2 i h = f 2∗g 2 ⎛ m ⎞ 2 ⎛ m ⎞ ⎜0 ⎟ − ⎜ 30 ⎟ seg. ⎠ seg. ⎠ ⎝ ⎝ h= m 2 * 9,8 seg 2 m2 900 seg 2 h= = 46 m m 19,6 seg 2



PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo c. t t = t + t 1 2 t t = 3,06 seg + 3,06 seg. = 6,12 seg. f

= vi + g*t

f

− vi

d. v t

=

v

g

25

=

m −30 m seg. seg. m 9,8 seg2 .

= 0,51

seg.

Datos h1 = 80 m vi = 30 m/ seg. 2 g = 9,8 m/seg h T= ? vf = ? h máx. = ?

66.. Desde un globo se deja caer un cuerpo vi = 30

que tarda en llegar a la tierra en 20 segundos. Calcular la altura del globo a) si está en reposo en el aire, b) si está ascendiendo a una velocidad de 50 m/seg.

Datos v

i

=0

h = 80 m

vf = ?

m/seg.

t = 20 seg b. m v = 50 seg. i h = ?; 2

a. h = ? 1 v2 h max = h + i 2∗g h max

m+

(

)

2∗9,8 m seg2 h max = 80 + 45,918 m = 125,9 m

v = 50 m/seg.

v

Vi =0 h=?

= 80

m 2 30seg.

h=? t = 20 seg.

d = 1960 m 1 b. d = v * t + a * t 2 i 2 m 1 m 2 d = 50 * 20seg. - * 9,8 * ( 20seg.) seg. 2 seg2

=

v2 + 2 * g * h i

⎛ m ⎞ 2 m v = ⎜ 30 * 80 m ⎟ + 2 * 9,8 f ⎝ seg. ⎠ seg 2 . v

1 a. d = v * t + a * t 2 i 2 m 1 m 2 d=0 * 20seg. + *9,8 * ( 20seg.) seg. 2 seg2

f

= 49,7 f

m seg.

88.. Una bomba lanzada desde un avión tarda 10 seg. en dar en el blanco.¿A que altura volaba el avión?

Datos

t = 10 seg. h =? m g = 9,8 seg 2

d = 960 m

77.. Desde la cima de una torre de 80 m de altura se lanza una piedra en dirección vertical y hacia arriba con una velocidad de 30 m/seg. Calcular la máxima altura alcanzada por la piedra y la velocidad con la que llegará al suelo.


h =?

t = 10 seg.

5 58 8

CCaaí ídd aa lliibbrree h

= vi * t + 1 a * t 2

h

=0

h

= 490

Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss M PPrroof f.. L Moonntteerroo V salida

2

m 1 m 2 *10seg. + * 9,8 * (10seg.) seg. 2 seg 2

99.. Se dispara verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 80 m/seg. Calcular: a.- Tiempo en que alcanza su máxima altura b.- Su altura máxima c.- Tiempo total en el aire d.- Velocidad que alcanza al pasar nuevamente por el punto de lanzamiento. e.- Velocidad a los 12 segundos.

Datos

= 80 m seg. i a. − t =? v

b h =? c. t Total

V = 80 m seg. v

m

d. − v Llegada e. − v =? f

=?

= Vllegada

v

f

= vi + g * t

= 0 + 9,8 f

m m * 4 seg = 39,2 seg seg 2

1100.. Un nadador se deja caer desde un trampolín de 5 m de altura. Calcular: a) cuanto tardara en entrar en el agua; b) la velocidad con que entra.

Datos

h = 5 m. t =? v =? f

g = 9,8

m seg 2

=?

h máx. = ?

t =?

1 h = 2 *g*t2 Tt =?

vi = 30 m/seg.

t=

2*h g

2*5 m = 1 seg. 9,8 m seg.

=

vf =?

v f = v i + g*t

v

f

t=

v f = 0 + 9,8

= vi + g * t v

− vi f g

=

0

m m * 1 seg = 9,8 seg seg2

m − 80 m seg. seg. m 9,8 seg 2 .

t = 8,16 seg. h

= vi * t −

h

= 80

h

t t

m seg.

= 326,53

Total Total

5 59 9

1 2

a*t

2

* 8,16seg. −

1 2

* 9,8

m seg

2

* (8,16seg.)

2

m

= t subida + t bajada = 8,16 seg. + 8,16 seg. = 16,32 seg. FFí í ssiiccaa Q Quuí í mmiiccaa

CCaaí í ddaa lliibbrree 1111.. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con PPr r oobbl l eem maass p pr r oo p puueessttooss una velocidad inicial 20 m./seg. ¿A que distancia se 11.. Un cohete que asciende verticalmente con una encontrara la pelota respecto del punto de lanzamiento velocidad de 160 m/seg., deja caer un aparato que luego de: a) 4 seg. y b) 2 seg. llega al suelo 40 segundos después. Sol. 1,52 m; 20,38 m ¿A que altura se desprende el aparato? 1122.. Una piedra es abandonada y cae libremente. ¿Qué Sol. 1600 m. distancia logra descender en el 5°. Seg. de su 2 . 2 2.. Un observador situado a 40 m. de altura ve pasar un movimiento? cuerpo hacia arriba, y 5 seg. después lo ve pasar hacia Sol. 44,14 m. abajo, ¿Cuál fue la velocidad inicial del cuerpo, y hasta 1133.. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con que altura llego? una velocidad de 40 m./seg. ¿Qué desplazamiento Sol. 37,2 m/seg.; 70,625 m. experimenta en el 4° seg? 3.. Los puntos A y B sobre la misma vertical, pero A 512 Sol. 5,66 m. m más arriba. Desde A se deja caer una bola, y 4,3 1144.. Un móvil se dispara verticalmente hacia arriba con segundos mas tarde se deja caer otra desde b, y ambas una velocidad de 50 m./seg. ¿Cuánto tiempo dura el llegan al suelo simultáneamente. ¿A que altura esta B, y vuelo, y que altura máxima alcanzo? cuanto duro la caída de A? Sol.- 127,42 m. PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo

Sol. 490 m.; 14,3 seg.

4.. Dos cuerpos A y B situados sobre una misma vertical y

1155.. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con

una velocidad. Si luego de 6 seg. su velocidad es de 30 separada por una distancia de 100 m., son arrojados m./seg. hacia arriba, ¿Cuál es el valor de v en m./seg.? uno contra el otro con velocidades de 30 y 20 m/seg., Sol. 88,86 m./seg. respectivamente. ¿Cuándo y donde se chocan? 116 6 .. Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra Sol. 2 seg.; 20,4 m del origen de B. con una velocidad de 100 m./seg. Calcular en que 55.. Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba posición se encontrara la piedra (respecto del punto de con una velocidad de 40 m/seg. ¿Qué velocidad lanzamiento) al cabo de 25 seg. tendrá al cabo de 8 seg.? Sol. -565,62 m. Sol. -38,48 m./seg.

6 6 .. Un cuerpo se mueve verticalmente hacia arriba, de

117 7 .. Una piedra se lanza verticalmente desde un punto A

con una velocidad de 80 m./seg. ¿A que distancia se modo que al pasar por un punto A tiene una encontrara otro punto B donde la velocidad de la piedra velocidad de 30 m./seg. ¿A que tiempo se encontrara un será de 20 m./seg. hacia abajo? punto B, donde la velocidad sea de 10 m./seg? Sol. 305,81 m. Sol. 2,04 seg.

1188.. Se lanza un cuerpo en un planeta donde la 7 . 7 . Una piedra se encuentra a 20 m. del piso, y se deja gravedad es el doble que el de la tierra, alcanzando una

caer libremente. ¿Qué velocidad poseerá un segundo altura máxima de 10 m. Si el lanzamiento se realiza en antes del impacto? la Tierra con el doble de velocidad. ¿A que altura Sol. 10 m./seg. lograría ascender? 88.. Se deja caer un cuerpo, y se observa que luego de Sol. 80,01 m. transcurrir 6 seg. se encuentra a 20 m. del piso. ¿De que 119 9 .. Un cuerpo se deja caer de una altura de 20 m. ¿Con altura se soltó? que velocidad llega achocar con el piso? Sol. 196,58 m.

Sol. 19,81 m./seg.

9 9 .. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo, 220 0 .. ¿Cuántos segundos emplea un cuerpo en llegar al

comprobándose que desciende 120 m. en 4 seg. ¿Cuál piso, si se soltó de una altura de 125 m? ue la velocidad inicial de lanzamiento? Sol. 5,05 seg. Sol. 10,38 m./seg.

110 0 .. Un cuerpo se lanzo verticalmente hacia abajo tal

2211.. Un cuerpo se deja caer desde la azotea de un

edificio, un observador que mira por una ventana de 4,9 que, luego de descender 80 m., su velocidad fue de 50 m de altura, ve pasar el cuerpo en ½ segundo. ¿Cuál es m./seg. ¿Cuál fue su velocidad al inicio del la distancia que existe entre la azotea del edificio y la movimiento? parte superior de la ventana? Sol. 30,50 m./seg.


Sol. 2,75 m.

6 60 0


Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo PPrroof f.. L 2222.. Un cuerpo se deja caer y simultáneamente un 226 6 .. Un fotógrafo en helicóptero que asciende segundo cuerpo se lanza hacia abajo con una velocidad verticalmente a una velocidad constante de 1,75 m/seg de 1m./seg. ¿Cuándo la distancia entre ellos será de 18 deja caer accidentalmente una cámara cuando el m.? helicóptero esta a 50 m arriba del suelo: a ¿Cuánto Sol. 18 seg. tiempo tardara la cámara en llegar al suelo? b ¿Cuál será su rapidez cuando choque con el suelo? 2233.. Un cuerpo que es dejado caer recorre en el último Sol. 3,38 seg 31,4 m/seg. segundo de su caída la mitad de la altura que ha de recorrer. ¿Desde que altura cae y cuanto tiempo emplea? 227 7 .. Un proyectil que se mueve verticalmente llega a una Sol. 3,41 seg. altura máxima de 17,5 m arriba de su posición inicial: 2244.. Dos cuerpos P y Q, se colocan en la misma vertical, a ¿Cuál fue la velocidad inicial del proyectil? b ¿Cuál como se muestra en la figura. El cuerpo P se lanza hacia será su altura máxima sobre el punto de partida en arriba con velocidad de 60 m./seg. y en ese mismo 2,45 seg? instante Q se deja caer. ¿Desde que altura se tendrá que Sol. 18,5 m/seg 15,9 m. dejar caer Q para que ambos cuerpos se encuentren en la 28. 28. Desde una altura de 100 m. se deja caer una máxima altura alcanzada por P? partícula y al mismo tiempo desde el suelo es proyectada Sol. 367,2 m. otra partícula verticalmente hacia arriba si las dos 2255.. Desde el techo de un edificio se deja caer un objeto y partículas tienen la misma velocidad, cuando se tarda un tiempo de 3 seg en llegar al suelo. Calcular la encuentran, ¿Qué altura ha recorrido la partícula altura de dicho edificio. lanzada desde el suelo? Sol. 44,14 m

Sol. 74,95 m.


1. Qué es la aceleración de la gravedad: 2. Cuál es la condición para que el cuerpo ascienda: 3. Qué es movimiento retardado: 4. Cuándo se dice que la gravedad es positivo: 5. Cuándo se dice que la gravedad es negativo:

6 611



C a tu u l l o V I a p í t e n d o s M ov i e n t o e i m i e D i io ne s i m e n s i

E n u ue es s t tr r o o e e s st t u u d di i o E n n e e l l p p r re e s s e e n n t te e c c a a p p í ít t u u l lo o a a m m p p l li i a ar re e m m o o s s n o a a l l m m o ov vi im m i i e e n nt t o o e e n n d o i i m n e e l d o s s d d me e n n s s i io o n ne e s s , , t t a al l c c o om mo o s s e e v v e e e e n l g g r rá á f f i i c co o . . E E s s a a q qu ue el l e e n n e e l l c c u ua al l e e x xi i s st t e e s s i im M o m u ul l t t á án ne e a a m me e n n t te e d o or r i iz z o on nt ta a l l o s s o m á ás s t t i p i p o os s d e e m o ov vi im mi i e e n n t to o : : M ov vi im m i i e en n t to o h o y a y v v e er r t ti i c c a a l l a a l l a v v e ez z


MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo

M e n d oo s M oov v i m i m i i e e n n t t oo e n d s m moov v i i m m i i e e n n t t oo s s

66..11.. M Moovviim miieennttoo ccoom mppuueessttoo..-- Es una

La velocidad horizontal Vox, se mantiene constante en todo el trayecto: Vx

= Vix

situación que se observa cuando simultáneamente una partícula realiza La velocidad vertical varía durante el dos tipos de movimiento. Puede ser un movimiento, debido a la aceleración de movimiento vertical y un movimiento la gravedad. horizontal. Vy = g * t A

B’ C’

D’

H’

B C D

H

La velocidad resultante en el punto C, es la composición de las dos velocidades horizontal Vx y la vertical Vy, su relación es:

Así en el grafico, la esfera al salir del V 2 = Vx2 + Vy2 R borde de la mesa realiza dos movimientos; un movimiento vertical La dirección de la V R es tangente a la porque va cayendo hacia el suelo, y al trayectoria, cuyo ángulo de inclinación mismo tiempo un movimiento de pende de: horizontal, porque va alejándose de la Vy mesa. tg θ = Vx 66..22.. PPrriinncciippiioo ddee iinnddeeppeennddeenncciiaa ddee m miieennttooss..-- La independencia de El cuerpo recorre una distancia moovviim

dos movimientos simultáneos y horizontal que depende de: perpendiculares, fue experimentado por dx = Vix * t Galileo: “Si un cuerpo tiene movimiento compuesto, cada uno de También el cuerpo cae desde una cierta los movimientos cumple como si los altura: demás no existieran”. g * t2

h = 66..33.. EEccuuaacciioonneess ddeell m moovviim miieennttoo 2 ccoom mppuueessttoo..-- En el punto A, la esfera Existe una relación entre la distancia

de la figura tiene una velocidad horizontal avanzada y la altura que ha horizontal “Vx”, pero su velocidad caído: vertical en ese instante es 0. Al cabo de 2y = dx Vix un cierto tiempo, en el punto C la g esfera tiene dos velocidades: la 6.4. M ppaarraabbóólliiccoo Moovviim miieennttoo horizontal “Vx” (constante) y la 6.4. ((PPrrooyyeeccttiilleess))..-- El movimiento de un vertical “Vy” (variable). A proyectil lanzado oblicuamente, es B Vox parabólico y en el vació resulta de la Vx composición del movimiento h Vy horizontal, rectilíneo y uniforme y del movimiento vertical uniformemente Vx C θ variado, debido a la aceleración de la VR Vy gravedad. dx


6 3 6 3

MMoovv.. P Paarraabbóólliiccoo o V y d V a V i r Vx a v V y Vi o t V y H n i Vx Hm e V Vx i V α m i o y v Vox R o V M Movimiento uniforme V Donde: Vi = Velocidad inicial de lanzamiento α = Angulo de inclinación o ángulo de disparo Hm = Altura máxima alcanzada por el proyectil. R = Alcance horizontal máximo Vix = Componente horizontal de Vi Viy = Componente vertical de Vi

Al lanzar un proyectil oblicuamente con una velocidad inicial Vi, y que forma una cierta inclinación α con relación a la superficie horizontal. Si no existiera la gravedad, el movimiento seria de acuerdo a la recta OV, pero a causa de la gravedad, la trayectoria es una parábola. En todo momento de su trayectoria, la velocidad es el resultado de las dos velocidades en ese instante: la velocidad horizontal Vx y la vertical Vy. En este movimiento “real” se debe tomar en cuenta los siguientes factores: La resistencia del aire. La variación de la aceleración de la gravedad con la altura. La tierra no es plana. La tierra tiene un movimiento de rotación.

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí ío oss MMoonntteerroo constante, para su mejor comprensión la designaremos con Vx, por tanto tenemos que: Vx

= Vi ∗ cos ∗ α

66..55..22.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd veerrttiiccaall..-- La velocidad vertical es uniformemente variada por tanto: V iy

= Vi ∗ sen ∗ α

(1)

Velocidad vertical en un cualquiera de la trayectoria: Vy

= Viy − g ∗ t

punto

(2)

Reemplazando la ecuación (1) en la ecuación (2) se tiene: Vy

= Vi ∗ sen ∗ α − g ∗ t

(3)

66..55..33.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd eenn ccuuaallqquuiieerr iinnssttaannttee “ “tt””:: V = Vx2 + Vy2 V = V 2 − 2 ∗ g ∗ t ∗ V ∗ sen ∗ α + g 2 ∗ t 2 i i

66..55..44.. C Cáállccuulloo ddeell ttiieem mppoo ppaarraa aallccaannzzaarr llaa aallttuurraa m maa..-- El mááxxiim tiempo del movimiento del proyectil. En el movimiento de ascenso tarda lo mismo que en el descenso. t=

V ∗ sen ∗ α i g

66..55..55.. C Cáállccuulloo ddee llaa aallttuurraa m mááxxiim maa ((H Hm m))..-- La altura máxima que alcanza,

66..55.. C Caarraacctteerrí í ssttiiccaass ddeell m moovviim miieennttoo es cuando su velocidad vertical es 0. ppaarraabbóólliiccoo..-- Se lanza un proyectil con una velocidad inicial Vo y con un ángulo de inclinación α se tiene:

Hm =

V 2 ∗ sen 2 ∗ α i 2 ∗g

66..55..11.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd 66..55..66.. C Cáállccuulloo ddeell aallccaannccee hhoorriizzoonnttaall hhoorriizzoonnttaall..-- La velocidad del ((R R ))..-- El alcance horizontal se relaciona movimiento horizontal es constante y con la velocidad Vix constante y con el su valor es: tiempo de movimiento. V ix

= Vi ∗ cos ∗ α

Como (Vox = velocidad horizontal) es 6 64 4

V 2 ∗ sen ∗ 2 ∗ α R = i g




R m e n u R e e s s u m e n s e n o i s n e m i d s o d n e o t n e i m i v o M

Definición Cuando el móvil al mismo tiempo desarrolla dos tipos de movimiento.

Principio de la independencia de movimientos Cuando el móvil tiene movimientos compuestos, cada uno de los movimientos se cumple como si los demás no existieran.

Vx

= Vix

Laa vveelloocciiddaadd v veerrttiiccaall:: 2.. L

Ecuaciones del movimiento compuesto

Vy

= Vox

Velocidad resultante 2 VR

=

2 Vx

+

Velocidad vertical

2 Vy

Vy

= g*t

Alcance horizontal dx = Vox * t

o c i l ó b a r a p o t n e i m i v o M

coom Moo v v iim miieen n t t oo c m p p u ueess t t oo

11.. L Laa v veelloocciiddaadd h hoorriizzoonnttaall::

Velocidad horizontal

Vx

R n d e ó r m R e e s s u u m m e e n d e f f ó r mu u l la a s s

44.. Á Ánngguulloo ddee iinncclliinnaacciióónn::

Es el movimiento de un proyectil lanzado oblicuamente con un cierto ángulo de inclinación.

Componente horizontal Vox = Vo ∗ cos ∗ α Componente vertical Voy = Vo ∗ sen ∗ α Velocidad vertical Vy

3.. LLaa vveelloocciiddaadd rreessuullttaannttee eenn uunn ppuunnttoo:: V 2 = Vx2 + Vy2 R

Definición

o c i l ó b a r a p o t n e i m i v o m l e d s e n o i c a u c E

= g*t

tg θ =

Vy Vx

55.. D Diissttaanncciiaa h hoorriizzoonnttaall:: dx = Vix * t

66.. A Allttuurraa::

= Vo ∗ sen ∗ α − g ∗ t

Calculo del tiempo

V ∗ sen t= i g

∗

α

Altura máxima V 2 ∗ sen 2 ∗α Hm = o 2∗g

Calculo del alcance Vo2 ∗ sen ∗ 2 ∗ α R = g

g*t2 h = 2

77.. R R eellaacciióónn eennttrree ddiissttaanncciiaa hhoorriizzoonnttaall aavvaannzzaaddaa yy aallttuurraa qquuee hhaa ccaaí í ddoo:: dx = Vix

2y g

Velocidad en un t V = Vo2 − 2∗g∗ t ∗ Vo ∗sen∗α+ g2 ∗ t2


6 5 6 5

MMoovv.. P Paarraabbóólliiccoo

M b v iim miieen n oo p Moo v pa a rra a bóó l liiccoo (( p prroo y y eecc t t i l i leess))

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí ío oss MMoonntteerroo

P r s P r oobbl l e a s r r e e s s u ue e l lt t o o s s e m m a Moovviim miieennttoo ccoom m p puueessttoo

11.. C dee llaa v veelloocciiddaadd hhoorriizzoonnttaall:: 11.. Un avión vuela horizontalmente a 1990 m Cáállccuulloo d V ix

de altura, a una velocidad de 217 Km. /h. del avión se larga un cajón de provisiones a un grupo de personas. Cuantos metros antes de volar sobre el grupo debe soltar el cajón?

= Vi ∗ cos∗ α

Como (Vix = velocidad horizontal)

h = 1990 m; v ix

= Vi ∗ cos∗ α

Vx

Datos

g = 9,8

22.. C dee llaa v veelloocciiddaadd v veerrttiiccaall:: Cáállccuulloo d V iy

= Vi ∗ sen ∗ α

Vy

= Viy − g ∗ t

m dx 2 seg

= 217 km = 60,28 m h

= ?;

seg. m V =0 iy seg

Vo

h

Vy

= Vi ∗ sen ∗ α − g ∗ t

33.. C Cáállccuulloo ddee llaa vveelloocciiddaadd eenn ccuuaallqquuiieerr iinnssttaannttee “ “tt””:: V = Vx2 + Vy2 V = V2 i

− 2 ∗ g ∗ t ∗ Vi ∗

sen ∗ α + g 2 ∗ t 2

V ∗ sen ∗ α i g

55.. C Cáállccuulloo ddee llaa aallttuurraa m mááxxiim maa ((H Hm m)):: Hm =

V 2 ∗ sen 2 ∗ α i 2∗g

66.. C deell a allccaannccee hhoorriizzoonnttaall ((R Cáállccuulloo d R )):: V 2 ∗ sen ∗ 2 ∗ α R = i g

6 66 6

2 *1990 m = 20,15 seg. m 9,8 seg 2 m d x = V * t = 60,28 * 20,15 seg ix seg d = 1214,54 m x t=

44.. C Cáállccuulloo ddeell ttiieem mppoo ppaarraa aallccaannzzaarr llaa a allttuurraa m mááxxiim maa:: t=

dx

2* h g

=

2.. Cuando un tren corre a 25 m/seg., entre en un puente de 15m de largo, un pasajero deja caer fuera del tren un objeto desde 2,5 m de altura. ¿A qué distancia de la entrada del puente caerá el objeto? ¿Cuantos metros antes de que el tren entre en el puente, deberá soltar el objeto para que caiga en la mitad del puente?

Datos v ox

= 25

m seg.

l = 15 m h = 2,5 m d =? x1 d =? x2



MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo 2

V ox

Vt

2 Vx

=

+ Vy2

⎛ m ⎞ ⎛ m ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ 41,65 ⎟⎟ = ⎜⎜ 450 seg ⎠ ⎝ seg ⎠ ⎝

h V t

l dx1

2*h g

t=

d

d

2 * 2,5 m m 9,8 seg 2

=

m seg

= 0,71 seg.

l

2

m − 7,5 m = 10,25 m

Datos

h

ix

= ?;

m ; t = 4,25 seg.; V iy seg.

dx

= ?;

Vt

Vx

seg

m

41,65

seg m

= 450

m

= 0,092

seg

44.. Un cuerpo es lanzado horizontalmente

proyectil horizontalmente con una velocidad de 450 m/seg. desde una altura, tarda en llegar al agua 4,25 seg. Calcular la altura desde donde fue disparado. El alcance horizontal del proyectil. La velocidad con que llega al agua. El sentido de la velocidad de llegada.

= 450

Vy

2

= 451,92

β = 5 o15' 23''

* 0,71 seg = 17,75 m

= d x1 − = 17,75

2

seg

tg β =

33.. Un cañón dispara sobre el mar, un

v

204234,72

dx2

= Vix * t = 25 x1 x2

=

m

2

= ?;

=0

m seg.

desde una altura de 36 m, con una velocidad de 45 m/seg. Calcular: a. El tiempo que dura en el aire; b. El alcance horizontal; c. La velocidad que tiene al llegar al suelo. Datos h = 36 m m v = 45 ix seg m g = 9,8 seg 2 t =? dx = ? Vy

=?

β=?

Vo

Vo h

h

dx

Vy Vy

dx

Vx 9,8

g*t2 = h= 2 h = 88,48 m. dx d

x

m 2 * (4,25 seg ) seg 2 2

= Vix * t = 450 = 1912,5

m * 4,25 seg seg

m m

m + Vy = V − g * t = 0 9,8 * 4,25seg. iy seg seg 2 V y

= 41,65

m seg


t=

2* h g

2 * 36 m m 9,8 seg 2

=

dx

= Vix * t = 45

d

= 121,95

x

m * 2,71 seg seg

m

vy

= g*t = 9,8

v

= 26,56

y

= 2,71 seg.

m seg 2

* 2,71 seg

m seg

6 67 7


PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí í ío oss MMoonntteerroo

55.. Desde un bombardero que viaja con una 77.. Una piedra es lanzada desde lo alto de un velocidad de 420 Km. /h a una altura de 3500 m, se arroja una bomba hacia un objetivo en la tierra ¿Cuántos metros antes de llegar sobre el blanco, debe soltar la bomba.

acantilado, con una velocidad de 20 m/seg., horizontalmente. Si la altura del acantilado es de 130 m. Calcular el tiempo que demora en caer, la velocidad y la distancia horizontal en que caerá.

Datos

Datos

h = 3500 m; v g = 9,8

m seg 2

2*h g

t=

=

ix

= 420

;

dx

Km = 116,67 m seg h

= ?;

2 * 3500 m m 9,8 seg 2

= 26,73

seg.

m d x = V * t = 116,67 * 26,73 seg ix seg d = 3118,59 m x

m ix seg h = 130 m m g = 9,8 seg 2

= 20

v

t = ? vy = ? dx

=? Vi

vox

h

h

dx

t=

dx

66.. Una pelota sale rodando del borde de una mesa de 1,25 m de altura, si cae al suelo en un punto situado a 1,5 m del pie de la mesa, ¿Qué velocidad llevaba la pelota antes de caer?

Datos

v

ix

dx

=

v ox

=

dx t

=

6 68 8

= 103

x

2 *1,25 m m 9,8 seg 2 1,5 m 0,51 seg

= 0,51 seg.

= 2,94

seg.

m * 5,15 seg seg

m

= g*t = 9,8

= 50,47 y

m seg 2

* 5,15 seg

m seg

horizontal de 75 cm. de altura, cae tocando el suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 150 cm. del borde de la mesa. Calcular la velocidad de la esfera en el momento de abandonar la mesa.

h

t=

d

= 5,15

88.. Una pelota rueda sobre una mesa

Vo

2*h g

= Vix * t = 20

v

=?

2 *130 m m 9,8 seg 2

=

dx

vy

h = 1,25 m d x = 1,5 m

2* h g

m seg

Datos

h = 75 cm h = 0,75 cm d x = 150 cm

= 1,5cm v =? ix

d

x


PPrroof f f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo 2(Vi * sen α) g t = 2,81 seg. t=

Vo

v=

h

v

ix

2* h g

=

dx t

=

=

2 * 0,75 m m 9,8 seg 2 1,5 m 0,39 seg

=

9,81

16 = 5,69 m 2,81 seg. seg.

2.. Un mortero dispara un proyectil con

dx

t=

x t

= 2 *19,51 m * sen 45°

= 0,39

= 3,85

seg.

m seg

100 m/seg. y 30° de inclinación con la horizontal. En el mismo instante sobre la misma superficie horizontal avanza un tanque en sentido opuesto a razón de 36 Km. /h. Calcular la distancia que los separaba al momento del disparo, si el proyectil impacto en el tanque

t o s s Daatos paarraabbóólliiccoo Moovviim miieennttoo p m v = 10 0 11.. Una pelota de fútbol es pateada con una i seg. velocidad inicial de 19,5 m/seg. Con un α = 30°

ángulo de proyección de 45°, el jugador que va a recibir la pelota y esta en la línea de meta a 54,84 m de distancia en la dirección de la patada comienza en ese mismo instante a correr para alcanzar la pelota. Cual debe ser su velocidad para coger la pelota en el preciso instante en que esta toca el suelo por primera vez.

km t h R = ?; d = ?; x = ? v

= 36

Vo V oy

Vox

Datos v

Vf=?

α

R

= 19,5 i

m seg.

d x

α = 45° d = 54,84 m v = ?; t = ? f m g = 9,8 seg.2 Vf =?

Vi

Vi 2 * sen ∗ 2 ∗ α R = g (100) 2 * (sen ∗ 60°) R = = 882,79 m 9,81 2 * Vi * sen ∗ 30° 2 *100 * 0,5 t= = g 9,81 t = 10,2 seg.

33.. Una ametralladora dispara una bala con B

α

x

R d

2 Vi 2sen2θ sen2θ (19,5) sen90° R = = g 9,81 2 19,51) *1 ( R = = 38,80 m 9,81 x = d − R x = 54,84 m − 38,80 m x = 16,04 m


una velocidad de 650 pies/seg. Determinar los ángulos bajo los cuales la bala alcanzara un blanco situado a 480 pies de distancia y 18 pies de alto. Datos pies V = 600 ; β = ?; β = ? 1 i seg. x = 450 pies; y = 18 pies; g = 32 pies

x = V * cos ∗ β * t i

(1)

g*t2 y = V * sen ∗ β * t − i 2

(2)

6 69 9

MMoovv.. P Paarraabbóólliiccoo Datos

De (1) despejamos t x t= (3) V * cos ∗ β i Reemplazamos (3) en (2) x y = V * sen ∗ β * i V * cos ∗ β i g * x2

−

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí í ío oss MMoonntteerroo α = 30° V i

= 40

m seg.

a. t = ? b. x = ? c. θ = ? y

2 * V 2 ∗ cos 2 β i

g x2 y = x * tan ∗ β * − sec 2 ∗ β 2 * V2 i g * x 2 ⎛ 2 y = x * tan ∗ β − ⎜1 + tan ∗ β ⎞⎟ ⎠ 2 * V 2 ⎝ i 18 = 450 tan ∗ β 2 32 * (450) ⎛ − 1 + tan 2 ∗ β ⎞⎟ ⎜ 2 ⎠ 2 * (600) ⎝ 18 = 450 tan ∗ β − 9 ⎛ ⎜1 + tan 2 ∗ β ⎞⎟

⎝

⎠

18 = 450 tan ∗ β − 9 − 9 tan 2 ∗ β 9 tan 2 β − 450 tan β + 27 = 0 (÷9) tan 2 β − 50 tan β + 3 = 0

-b ±

− 4*a *c 2*a 50 ± 502 − 4 * 1 * 3 50 ± 2500 − 12 tan β = = 2*1 2 50 ± 49, 88 50 + 49, 88 tan β = = = 49,94 2 2 β = 88° 51´ 50 - 49,88 = 0,06 tan β = 2 β = 3° 26´ tan β =

b2

vx

α x

θ

x Vy

g*t 2 a.y = V *sen α*t − i 2 g*t 2 0 = V *s *sen α*t − i 2 g*t 2 V *sen sen α*t = i 2 2*V 2*V *sen *sen α = g*t i 2*V 2*V *sen *sen α i t= g m 2*40 *sen 30° seg t= = 4,07 seg. m 9,8 seg 2

b. x = V *cos α*t i m x = 40 *cos 30°*4,07 seg. seg x = 141,6 m m Vx = V * cos α = 40 * cos 30° i seg. y m V = 34,8 x seg. y Vy = V * sen α − g * t i m V = 40 * sen 30° β y seg. x x m m − 9,8 * 4,07 seg. = − 19,93 44.. Se dispara un proyectil de mortero con seg. seg 2 un ángulo de elevación de 30° y una m − 19,93 velocidad inicial de 40 m/seg. Sobre un Vy seg. = terreno horizontal calcular: a. el tiempo que c. tan θ = m Vx 34,8 tarda en llegar a tierra; b. el alcance del seg. proyectil; c. el ángulo que forma con el θ = 29°48' terreno en el momento de llegar a el.

7 70 0


PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo 55.. Un cañón dispara un proyectil con un


a. t = ? ángulo de elevación de 50° y una velocidad b. x' = ? inicial de 400 m/seg. Sobre un terreno c. Vy = ? horizontal sabiendo que a una distancia de y 1000 m existe una pared vertical calcular la altura del punto de pared sobre el cual incide Vo el proyectil.

x

Datos

α = 50° V i

= 400

x = 1000 y=?

α

m seg. m

h

X’

Vy

y

Vx

y

β x x = V * cosα * t i x 1000 m t= = V * cos α 40 m * cos 50 ° i seg t = 3,9 seg. g*t2 y = V * sen α * t − i 2 m y = 400 * sen 50º * 3,9 seg. seg m 9,8 * (3,9 seg) 2 seg 2

−

2 y = 1195,02 m − 74,06 m = 1120,4 m

x

g*t 2 a. − h = V *sen α*t − i 2 g*t 2 −h = − ( − 1) 2 g*t 2 h= 2 t=

2 h g

2 * 243,84 m m 9,8 seg 2

=

=3

seg.

b. x = V *cos α*t i m x = 243,84 *cos0°*3seg. = 731,52m seg c. Vy = V *sen α − g*t i m Vy = 243,84 *sen 0° seg. −9,8 m *3 seg. = −29,4 m seg. seg 2

77.. Un bateador golpea una pelota con un

6. Un proyectil es disparado horizontalmente ángulo de inclinación de 35 o y le proporciona por un cañón emplazado a 43,92 m sobre un una velocidad de 18 m/seg. Cuanto tarda la plano horizontal con una velocidad de salida pelota en llegar al suelo. A que distancia del de 243,84 m/seg. Calcular: a. cuanto dura el bateador cayó la pelota. proyectil en el aire; b. Cual es su alcance; Datos c. Cual es la magnitud de la componente m v =0 i vertical de su velocidad cuando llega al seg h = 3500 m blanco. km m

Datos

v

m V = 243,84 i seg.

v

h = 43,92 m


f

= 420

= 116,67 f

g = 9,8

h m seg

seg 2

d=?

7 711


PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí ío oss MMoonntteerroo PPr r oobbl l eem maass p pr r oo p puueessttooss

vi tS

35

tB

coom M oov v iim miieennttoo c m p puueessttoo 11.. Un avión vuela a 1200 m de altura con una

o

velocidad de 180 Km/h.: a. ¿A que distancia del blanco deberá soltar la bomba?; b. ¿Con que velocidad llegara la bomba al blanco?; c. Que velocidad tiene cuando a caído a 10 segundos?; d. ¿Cuánto tiempo antes de estar sobre el blanco, deberá soltar?; e) ¿Cuál es su velocidad cuando esta a 200 m del suelo?

x

tt

tt

= tS + t B 2∗v i

=

∗ sen ∗ α g

2 ∗ 18

=

m seg 9,8

t = 2,09 seg t x = v ∗ cosα ∗ t i m ∗ cos 35o x = 18 seg

∗ sen ∗ 35o m seg 2

Sol. a. 782,5 m; b. 153,37 m/seg.; c. 98 m/seg.; d. 15,65 seg.; e. 62,61 m/seg.

22.. Una esfera es lanzada horizontalmente

desde una altura de 24 m, con una velocidad inicial de 100 m/seg. Calcular el tiempo que esta la esfera en el aire. Su alcance horizontal, la velocidad con que llega al suelo.

∗ 2,09 seg = 30,85 m

8. Un proyectil es disparado formando un o

ángulo de 38 . Llego al suelo a una distancia de 4,3 Km. del cañón. Calcular la velocidad inicial y la velocidad en el punto de altura máxima.

Datos α = 38o ; R = 4,3 Km. R = 4300 m;v = ?;vx = ? i

Sol. 2,21 segundos; 221 m; 102,3 m/seg.

3.. Una pelota sale rodando por el borde de una escalera

con una velocidad horizontal de 1,08 m/seg. Si los escalones tienen 18 cm. de altura y 18 cm. de ancho. ¿Cual será el primer escalón que toque la pelota? Sol. 2do escalón.

4.. Un avión que vuela horizontalmente a una altura de

2 Km. y con una velocidad de 700 Km. /h sufre una avería al desprenderse el motor. ¿Qué tiempo tarda el motor en llegar al suelo. ¿Cuál es su alcance horizontal?

vi

Sol. 20,20 seg.; 3927,69 m.

55.. Un tren se mueve a 108 Km. / h y entra a un puente

38o

de 20 m de largo y justo en el momento de entrar al puente, un pasajero deja caer un objeto de una altura de 2,5 m del suelo? ¿El objeto caerá al agua?

R

R

v 2 ∗ Sen 2 α i ; g

=

v 2 ∗ Sen 2 α i g

v 2 ∗ Sen 2 α = R ∗ g;v 2 i i

v i

=

=

Sen 2 α

=

Sol. 21,3 m; no cae al agua.

6 6 .. Un bote a motor parte desde la orilla de un rió con

R ∗g

una velocidad constante de 40 m/seg., perpendicular a el. Las aguas del rió tienen una velocidad de 30 m/seg. el ancho de esta es de 160 m. a. Que tiempo demora el bote en llegar a la otra orilla; b. Que espacio se desfasa; c. Que espacio recorre.

Sen 2 α

4300 m ∗ 9,8

R ∗g

= R

m seg 2

sen76o

Sol. 4 seg.; 120 m.; 200 m. 42140 vi

2

seg

=

vx

m

0,970

= vi ∗ cos

2

=

43443,30

2

seg

α = 208,43

m v = 208,43 ∗ 0,79 x seg m v = 164,66 x seg

7 2 7 2

m

2

7 7 .. Un cuerpo es lanzado horizontalmente desde la parte = 208,43

m ∗ cos 38o seg

m seg

superior de un acantilado de 500 m de altura, con una velocidad de 5 m/seg. ¿Que espacio horizontal recorrió el cuerpo hasta el instante que choca con el agua? Sol. 10 seg.; 50 m.

88.. Un alumno es arrojado horizontalmente de la azotea

del colegio de 64 pies de altura. ¿Con que velocidad debe ser arrojado para que caiga sobre una mullida cama que se encuentra a 50 pies de la base del colegio. Sol. 25 pies/seg.


PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo 9 9 .. De la azotea de un edificio se dispara

horizontalmente un cuerpo con una velocidad de 29,4 m/seg. Al cabo de 4 seg. ¿Cuál será la velocidad del cuerpo? Sol. 49 m/seg.

110 0 .. El tanque de agua de una casa se encuentra a 10 m

de altura y presenta un agujero por el cual esta saliendo agua en dirección horizontal al tanque. ¿Con que rapidez esta saliendo el agua? Se sabe que el agua cae a 2 m de la casa (g = 10 m/seg2 ).

MMoovv.. PPaarraabbóólliiccoo rueda sobre el piso directamente bajo la primera pelota y con la misma velocidad y dirección. ¿Chocarán las pelotas cuando la primera rueda fuera de la mesa? Si así es, ¿Qué tan lejos a partir del punto directamente debajo del borde de la mesa estarán cuando chocan una con otra? Sol.- 0,11 m

6 6 .. Un estudiante tira horizontalmente una pelota desde

la ventana de un dormitorio 15 m arriba del suelo. Otro estudiante de pie a 10 m del dormitorio cacha la pelota a una altura de 1,5 m arriba del suelo. ¿Cuál es la Sol. 1 m/seg. 1111.. Un avión vuela a 500 m de altura, y con una velocidad inicial de la pelota? Sol. 6.02 m. velocidad de 360 Km./h.¿A que distancia horizontal de 7 . un blanco ubicado en Tierra debe soltar una bomba para 7 . Un mortero de trinchera dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 53° por encima de la horizontal no fallar?. una velocidad inicial de 60 m/s. Un tanque que Sol. 1009,6 m 1122.. De lo alto de un edificio se dispara horizontalmente avanza directamente hacia el mortero, sobre terreno un cuerpo, y con una velocidad de 10 m/seg. Si el horizontal, a la velocidad de 3 m/s. ¿Cuál deberá ser la edificio tiene 150 m de altura.¿A que distancia se distancia desde el mortero al tanque, para lograr blanco, en el instante en que es disparado el primero? encontrara el edifico y del piso al cabo de 5 seg.? Sol. 50 m 25 m

M oov v iim miieennttoo p paar r aabbó ó l li iccoo

11.. Un balón de fútbol que descansa sobre el suelo es pateada con un ángulo de 35° y una velocidad inicial de 20 m/seg. a. ¿Cuál es la máxima altura alcanzada por la pelota? b. ¿Cuál es su máximo alcance? Sol. a. 6,75 m; b. 38,5 m

Sol. 382 m.

88.. Se dispara un proyectil desde un acantilado de altura

40 m sobre el nivel del mar, con una velocidad inicial de 40 m/seg. formando un ángulo 38° con la horizontal; si cae al mar a una distancia de 1000 m de la base del acantilado, encontrar la altura máxima por encima del nivel del mar. Sol. 225,81 m.

9 9 .. Un cañón dispara una bala con una velocidad de

22.. Calcular cual debe ser el ángulo de inclinación al 300 m/seg., formando un ángulo de 50º con el terreno.

disparar un proyectil para que alcance una altura de Calcular: a. La velocidad y la posición de la bala 16,40 pies si su velocidad inicial es de 65,6 pies/seg. después de 20 seg. b. El alcance máximo c. El tiempo necesario para que la bala retorne al terreno. (g = 32,8 pie/seg 2 ). Sol. 30°

Sol. 196,16 m/seg.; 9000 m.

3.. Se dispone un cañón con un ángulo de tiro de 37° y 110 0 .. Un proyectil es disparado formando un ángulo de

una velocidad inicial de 196,8 pies/seg., un tanque avanza alejándose del cañón a una velocidad de 10,8 Km./h. Calcular la distancia entre el cañón y el tanque en el momento de disparo, para hacer blanco en el tanque. Sol. 316,8 m

38º. Llego al suelo a una distancia de 4,3 Km., del cañón. Calcular la velocidad inicial y la velocidad en el punto de altura máxima. Sol. 208,43 m/seg.; 164,66 m/seg.

1111.. Un proyectil es disparado con una velocidad inicial

de 600 m/seg. haciendo un ángulo de 65º con la 4.. Un cuerpo es lanzado hacia abajo haciendo un horizontal. Calcular la altura después de 30 seg. La ángulo de 37° con la horizontal, desde un punto que velocidad y el tiempo cuando el proyectil se encuentre a está a 270 m sobre el plano con una velocidad inicial 10 Km. de altura. 60 m/seg. Calcular su avance horizontal y el tiempo Sol. 11970 m; 403,36 m/seg.; 88,32 seg.; 23,11 seg. que demora la caída. 1122.. Desde un punto situado a 100 m de un blanco, que Sol. 565,44 m; 11,78 seg. esta a 10 m sobre la horizontal, se dispara un proyectil 55.. Una pelota rueda sobre una mesa de 1 m de alto con con una velocidad de 35 m/seg. ¿Cuál debe ser el una velocidad constante de 0,25 m/seg., y otra pelota ángulo de inclinación del disparo para dar en el blanco? rueda sobre el piso directamente bajo la primera pelota y Sol. 86º6’39’’; 1º49’58’’ FFí í ssiiccaa QQuuí í mmiiccaa

7 3 7 3


PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí ío oss MMoonntteerroo 1133.. Se dispara una bala con una velocidad inicial de 1188.. Cuál debe ser la velocidad inicial de un atleta de 64 m/seg. formando una inclinación de 49º. Se observa salto largo para igualar el record mundial de 8,90 m, si que al caer a tierra pasa justo rozando el borde de un su salto hace un ángulo de37º con la horizontal. precipicio de 210 m de altura. Calcular el alcance Sol. 18,54 m/seg 119 horizontal. El tiempo que permanece en el aire. 9 .. Un jugador de fútbol patea una pelota desde A con Sol. 687,78 m; 13,08 seg. una velocidad de 14,142 m/seg. Si choca con el 1144.. Un avión vuela horizontalmente con una velocidad travesaño en B, justo cuando alcanza su altura vx y a una altura h se dispara un proyectil con un cañón máxima,¿Con que ángulo fue pateada la pelota?. desde un plano horizontal, en el instante en que el avión Sol. 29,67º se encuentra en la línea vertical del cañón. Calcular el 220 0 .. ¿Cuál es el máximo alcance que se lograría ángulo de inclinación, la velocidad inicial del proyectil lanzando un proyectil con una velocidad de 30 m/seg, para hacer blanco en el avión. La distancia horizontal describiendo este un movimiento parabólico? detrás del cañón desde donde debería arrojar una bomba Sol. 90 m el avión para hacer blanco en el cañón. 2211.. Un proyectil se lanza de tal modo que desarrolla un movimiento parabólico, empleando un tiempo en volver = = = θ Sol. al piso. Si la velocidad de lanzamiento fue de 1155.. Se lanza un objeto con Vi = 20 m/seg 40 m/seg., y el ángulo de 30º, ¿Cuál es el valor del y con ángulo de 45º ¿Cuál es el alcance tiempo?. Sol. 4,08 seg. máximo (g = 10 m/seg2 ). 2222.. Una pelota es disparada desarrollando un Sol. 40 m 116 6 .. Un proyectil es lanzado con Vi = 40 m/seg movimiento parabólico. Si el ángulo de lanzamiento fue de 60º, y 20 m/seg.¿Cual es el valor de la altura α = 30º, para t = 5 seg; hallar: máxima?. a. Velocidad “v” Sol. 15,31 m b. Altura “h” c. Distancia horizontal “d” 2*g*h

tanθ

Vx

vo

2*g*h sen

dx

vx

2*h g

Sol. 45,82 m/seg; 75 m; 173,2 m

117 7 .. Desde una

altura de vuelo de 600 m, un avión deja caer una bomba, si el avión esta volando a 70 m/seg Calcular: a. Tiempo que demora en caer b. Distancia horizontal que avanza c. Velocidad del momento del impacto Sol. 10,95 seg; 766,5 m; 124,86 m/seg

A A u ut to oe e v va al lu ua acc i ió ó n n

1. Cuándo decimos que un movimiento es compuesto: 2. En los movimientos compuestos cómo se comporta el movimiento vertical: 3. Qué indica el ángulo de inclinación: 4. Qué significa el alcance horizontal de un móvil:

7 74 4



V I I C a l o V tu u l a p í t c i M ov i a cu ul la r i r c i m i e e n t o c

e e y H a a a s s l l y e es s , , s s e e c c r re e y y ó H a as st ta a q q u ue e K K e e p p l le e r r e e n nu un nc c i ió ó s s u us s f f a m moo s sa ó – – b b a as s á án nd d o o s se e e n n l l a s s ó ó r rb b i it t a a s s a p p aa r re e n n t t e e s s y y e n n i n ns st t r r u um m e e n n t to o s s d e e m e ed d i i d da a n o o m u u y y p p r re e c c i i s so o s s – q u ue e l o o s s p n s e e g r e ec c o p l la a n ne et t a a s s g g i ir ra a b baa n a , , r o r rr r i ie en g ú ún n o r rb b i it t a ass c i ir rc c u u l l a a r re e s s e n n t o or rn n o o a l a a t i ie e r r r ra n d do o l o e e a e e c ci i r r , , e e s st t a o l o n n g g i it tu u d d e e s s d d a r rc c o o s s i g i g u ua al l e e s s e e n n t t i ie e m m p p o os s i g i g u ua al le e s s,, e e s s d d a b ba an n d d o t ta a d do o s s d e e m d m o ov vi im mi i e e n n t to o s s c c i ir r c c u u l la a r re e s s u u n ni f i f o o r rm m e e s s . .


MMoovviimmiieennttoo cciirrccuullaarr

M c i i r M oov v i i m m i i e e n n t t oo c r c cu ul l a a r r Se denomina movimiento circular, a todo movimiento cuya trayectoria es una circunferencia descrita por un móvil como ejemplos tenemos: Las agujas de un reloj, el volante de una máquina, una honda al girar, etc. Dentro de este movimiento estudiaremos el movimiento circular uniforme.

77..11.. M Moovviim miieennttoo cciirrccuullaarr uunniif f oorrm mee..-Recordemos que un movimiento rectilíneo es uniforme cuando el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Lo mismo diremos para el movimiento circular, pero cambiando la palabra distancia por la palabra arco. Es decir: “Un movimiento circular es uniforme cuando el móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales “. Como en una misma circunferencia a arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales, también podemos decir: “Un movimiento circular es uniforme cuando el móvil describe ángulos iguales en tiempos iguales “ v Q

Δs o

θ R

P

Los puntos P y Q de la figura representan dos posiciones sucesivas de la partícula. Su desplazamiento cuando se mueve de P a Q es el vector Δ s.

77..22.. PPeerriiooddoo..-- Se llama periodo del movimiento circular uniforme al tiem po que emplea el móvil en dar una vuelta entera, generalmente se lo designa con la letra T, y se mide en segundos. Como en el movimiento circular uniforme todas las vueltas son recorridas en tiempos iguales, el periodo es constante. T =

2* π ω

T=

2 * π * R v

T =

1 f

f = frecuencia. ω = velocidad angular v = velocidad tangencial El periodo se lo mide en segundos.

77..33.. FFrreeccuueenncciiaa..-- Se llama frecuencia del movimiento circular al número de vueltas que el móvil da en un segundo se lo simboliza con la letra f. f =

1 T

f =

ω 2* π

T = periodo ω = velocidad angular Generalmente se le mide en vueltas/seg. o revoluciones/seg. concretamente se denomina Hertz.

77..44.. V o ttaannggeenncciiaall..-- La Veelloocciiddaadd lliinneeaall o velocidad tangencial se llama también velocidad lineal que es igual a la Δs = R * θ longitud curvilínea circular S, que recorre el móvil en la unidad de Δ s θ= tiempo, tenemos la siguiente ecuación: R Donde: Consideremos a continuación un S = longitud del arco pequeño cuerpo (una partícula) girando t = tiempo en una circunferencia de radio R y s v = centro O. t R=oP


7 76 6


PPrroof f. . LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo tiene 2 π radianes.

t1 S

1radian =

π radianes = 180 o

R tO

Si: s = 2*π*R t = T (periodo) Se tiene la siguiente ecuación: v=

360° 2* π

1radian =

180° π

A menudo, la velocidad del movimiento circular uniforme se da en revoluciones por minuto (r. p. m.), y a veces en revoluciones por segundo (r. p. s.).

2 * π * R T

R eellaacciioonneess eennttrree llaa vveelloocciiddaadd 77..44..11.. U Unniiddaaddeess..-- Las unidades de la 77..77.. R velocidad tangencial en el sistema lliinneeaall yy vveelloocciiddaadd aanngguullaarr..-- De la internacional es m/seg.

metro por segundo fórmula: v =

s t

(1)

77..55.. V Veelloocciiddaadd aanngguullaarr..-- Se denomina Además:

(2) velocidad angular al ángulo barrido por s = θ * R el radio vector en la unidad de tiempo Reemplazando (2) en (1): Donde: θ v = * R = ω R θ =ángulo central t v = ω * R t = tiempo

ω= θ

ω=

t

77..88.. FFuueerrzzaa cceennttrrí í ppeettaa..-- La fuerza

t1

θ R

Si: θ = 2π t = T (periodo). Se tiene la siguiente ecuación: ω=

v R

tO

centrípeta es un vector cuya dirección, en cada punto, es la del radio de la circunferencia descrita por el móvil, y cuyo sentido apunta hacia el centro de la circunferencia.

Fc

2* π t

77..55..11.. U Unniiddaaddeess..-- La unidad de la Para hallar una expresión que nos velocidad angular es el radian por permita calcular el valor de la fuerza segundo rad/seg. centrípeta (Fc), consideremos un 77..66.. R R aaddiiaann..-- Es un ángulo cuyo arco cuerpo de masa m que gira con velocidad lineal v describiendo una tiene la misma longitud que su radio. Por consi uiente una circunferencia circunferencia de radio r. 7 77 7




Siente la fuerza F, que le ejerce la pared de la plataforma hacia adentro y, r Fc v a la vez, siente la tendencia de salir de la trayectoria circular. Sobre el actúan dos fuerzas: la fuerza F y la fuerza que experimenta hacia fuera o fuerza que experimenta hacia fuera o fuerza Aplicando la ecuación fundamental de centrifuga. Porque permanece quieto la dinámica tenemos: con respecto a la plataforma y se tiene: m

F = m∗a

F centrifuga

=F

Entonces v2 F = m ∗a = m∗ c c r

O

Es decir: F c

=m

F F

v2

F centrífuga

r

Como la relación entre la velocidad lineal, v, y la velocidad angular ω, es v = ω x r, podemos obtener otra expresión para la fuerza centrípeta de la siguiente manera: m ∗ v 2 m(ω ∗ r )2 F = = c r r F = m ∗ ω2 ∗ r c

=

m ∗ ω2 ∗ r 2 r

77..99.. FFuueerrzzaa cceennttrrí í f fuu ggaa..-- Para la persona que se halla dentro de la plataforma siente que ejerce una fuerza sobre el, para que se mantenga en movimiento circular. Esta fuerza es igual a la fuerza centrípeta necesaria para que describa trayectorias circulares por lo tanto se tiene: F = Fc O

F F


7 78 8



R n d e ó r m R e e s s u u m m e e n d e f f ó r mu u l la a s s R n R e e s s u u m m e e n

11.. P Peerriiooddoo:: T=

2∗ π ω

Definición

f =

Cuando la partícula describe una trayectoria circular.

Movimiento circular uniforme

v =

Es la longitud de arco “s” que recorre una partícula en la unidad de tiempo:

v=

T=

ω

T=

v

1 f

Velocidad angular Es el ángulo central θ que describe el radio de la circunferencia en un cierto tiempo:

ω=

t

f =

T

ω 2 ∗π

Es la medida del ángulo central subtendido por un arco de longitud igual que el radio de la circunferencia.

=

2

∗π t

360° 2∗ π

π radianes = 180 o 1radian =

180° π

66.. R R eellaacciioonneess eennttrree llaa vveelloocciiddaadd lliinneeaall y y v veelloocciiddaadd aanngguullaarr:: v =

s t

(1) s = θ ∗ R

(2)

θ ∗ R = ω ∗ R t v = ω ∗ R v ω= R v=

180°

F = m∗a F c

π

F c F c F c

7 79 9

2 ∗ π ∗ R T

77.. F Fuueerrzzaa cceennttrrí í ppeettaa::

Radian

1 radian

∗π

2

Reemplazando (2) en (1):

Es el número de vueltas θ que da la partícula en 1 segundo de tiempo:

1

ω

ω=

t

2 ∗π

Frecuencia

f =

v=

ω= θ

1 radian =

2 ∗π∗ R

f =

55.. R R aaddiiaann::

T

Es el tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa:

2∗π

1 T

s t

2 ∗ π ∗ R

Periodo

T=

1 f

44.. V Veelloocciiddaadd a anngguullaarr::

Velocidad tangencial

t

T=

3.. V Veelloocciiddaadd lliinneeaall oo ttaannggeenncciiaall::

La partícula describe arcos o ángulos iguales en tiempos iguales.

v=

2 ∗ π ∗ R v

Frreeccuueenncciiaa:: 2.. F

Movimiento circular

s

T=

v2 = m ∗ ac = m ∗ r v2 =m r m ∗ v 2 m(ω ∗ r )2

=

r

=

r

2 2 = m ∗ ω ∗ r r

= m ∗ ω2 ∗ r FFí í ssiiccaa Q Quuí í mmiiccaa



P r s r e P r oobbl l e e m m a a s r e s s u ue l lt t o o s e s 11.. Un móvil con movimiento circular uniforme tarda 8 seg. en dar tres vueltas. Calcular su velocidad angular.

Datos t = 8 seg. θ = 3 vueltas

t

8 seg. seg. 60 seg vueltas 1 rev ω = 0,375 x x seg 1 vuelta 1 min rev ω = 22,5 = r.p.m. min ω = 22,5 r.p.m.

2.. El periodo de un móvil de movimiento circular uniforme es de 1,5 seg. cual es su velocidad angular.

ω = ?

t = 1,5seg. ω=

2 π t

=

2 π 1,5 seg

rad = 4,18 seg

33.. Un

móvil con movimiento circular uniforme, tarda 10 seg. en dar 5 vueltas. Calcular su velocidad angular.

Datos

t = 10 seg.

ω=

2 π t

v=? R = 8 m t = 5 min = 300 seg. 2 * π * R 2 * 3,14 * 8 m v= = t 300 seg.

= 0,17

m seg.

66.. Calcular la velocidad angular, el periodo y

ω = ? θ 3 vueltas ω= = = 0,375 vueltas

Datos

Datos

θ = 5 vueltas

= 5 * 2 * π = 3,14 10 seg

ω=?

rad seg

la frecuencia de una partícula que circula sobre una circunferencia que tiene un radio de 25 m y su velocidad tangencial es 10 m/seg.

Datos

ω=? T=? f = ? R = 25 m v = 10 m/ seg. v ω= R m 10 seg. ω= 25 m. 1 ω = 0,4 seg. 1 f = T 1 f = 15,7 seg. f = 0,064 Rev. f = 0,064 Hertz

T= T=

2 * π * R v 2 * 3,14 * 25 m m 10 seg.

T = 15,7 seg.

77.. Si el periodo del movimiento de unas

44.. Calcular el período y la velocidad angular aspas de molino es de 20 seg, encontrar su de un motor que gira a 2500 Rev./min.

Datos

velocidad rev/seg.

y

frecuencia

en

rad/seg.,

y

T=? θ = 2500 Rev ω=? t = 1min = 60 seg.

Datos

θ * 2 * π 2500 * 2 * π = = 261,66 rad t 60 seg. seg. 2*π 2*π T= = = 0,024 seg. ω 261,66 seg.

88.. ¿Cuál es la velocidad angular en rad/seg

T = 20 seg ω=

ω=

55.. Hallar la velocidad tangencial de una partícula que se mueve circunferencia de 8 m de minutos.


por una radio en 5

2*π T

ω=?

= 2 * π * rad = 20 seg.

f = ? π rad 10 seg

del segundero de un reloj mecánico?

Datos

T = 60 seg ω=

2*π T

ω=?

= 2 * π * rad = 60 seg.

π rad 30 seg

99.. Hallar la velocidad angular y el periodo de revolución de un disco que en 5 seg.

8 80 0



logra girar 26.4 rad. ω 2* π N f = v t

Datos

θ = 26,4 rad t = 5 seg ω=? T =? θ 26,4 rad ω= = 5 seg. t ω= T=

2*π T 2 * π * rad ω

f =

N

= 5,28 rad seg

N

v

=

= f * t = 40 = 2400

= 40

rev seg

60 seg rev *1 min * seg 1 min

rev

1133.. Una rueda gira 480 rpm. Hallar la

=2

* π * rad rad 5,28 seg

= 1,19

seg.

1100.. Calcular la velocidad angular de un móvil que toma una curva de 8 m de radio a una velocidad de 45 km/h.

Datos km v = 45 h

v

π * rad seg 2 * π * rad

80

R = 8 m

ω=?

v R km 1000 m 1h 45 * * h 1 km 3600 seg ω= 8 m rad ω = 1,56 seg v = ω * R = ω =

velocidad angular de un punto cualquiera de la misma en rad/seg., y la velocidad lineal

de un punto situado a 1 m de su centro. Datos ω = 480 rpm R = 1 m v=? rev 2 * π * rad 1 min ω = 480 * * min

ω = 16

1 rev

60 seg

π rad seg.

v = ω * R = 16 v = 50,26

π * rad *1 m seg

m seg.

1144.. Un ciclista, en una competencia da 80

pedaleadas completas por minuto. La 1111.. Sabiendo que un ventilador trabaja a catalina tiene un diámetro de 20 cm., el razón de 40 rpm, ¿Cuál es el periodo de piñón de la rueda 8 cm. y la rueda o llanta, rotación de sus aspas en segundos, y cuál es tiene un diámetro de 60 cm. Calcular la su frecuencia en rpm?. velocidad que lleva el ciclista.

Datos

ω = 40 rpm

T=?

Datos ω = 80 rpm v=?

f = ?

2*π T 2*π T= = ω ω=

= 20 cm d = 8 cm p d = 60 cm LL d

2 *π * rad 40 rev * 1 min *2 * π *rad min 60 seg 1 rev T = 1,5 seg.

c

rev 40 ω min * 2 * π * rad = f = 1 rev 2 * π 2 * π * rad f = 40 rpm

1122.. Sabiendo que una polea tiene una velocidad de 80 π rad/seg., ¿Cuántas revoluciones logra dar en 1 minuto?

Datos ω = 80

8 811

π * rad seg

T = 1 min

N

v

=?

v

= ω * R = 80 c

rev *10 cm min

2*π *10 cm 60 seg m v = 0,84 c seg. v

= 80 * c



= v p = ωLL

v

c ω p v p r p

v

= R LL

LL

v p v = R LL * r LL p v v v v v

LL LL LL LL LL

83,77 cm seg = 30cm * 4 cm 1m = 628,28 cm * 100 cm seg. m = 6,28 seg 1km * 3600seg = 6,28 m * 1000 m 1h s = 22,6 km h

1155.. Calcular la velocidad angular de las tres agujas de un reloj ángulo ω= tiempo 2* π 3,1426 ω= = 122**3600 seg 12 h 1 ω = 1,4544 *10 − 3 seg


P r s P r oobbl l e e m m a a s p p r r oo p pu u e e s s t to o s s 11.. Realizar las siguientes conversiones: a. 50 rev a radianes b. 48 π rad a rev. c. 72 rev/s a rad/s d. 1500 rpm a rad/s e. 7 π rad/s a rpm f. 2 rad/s a grados/s. Sol. a. 314,16 rad; b. 24 rev; c. 144 rad/seg.; d. 50 rad/seg.; e. 210 rev/min; f. 114,59 grados.

22.. Un móvil

dotado de M.C.U. da 280 vueltas en 20 minutos, si la circunferencia que describe es de 80cmderadio: a. ¿Cuál es su velocidad angular?. b. ¿Cuál es su velocidad tangencial'? c. ¿Cuál es la aceleración centrípeta? Sol. a. 1,47 rad/seg.; b. 117,29 cm/seg.; c. 171,95 cm/seg2.

3.. Calcular la velocidad tangencial de un volante que

cumple 3000 rpm si su radio es de 0,8 m. Sol. 251,3 m/seg.

4.. Un volante de 20 cm de radio posee una velocidad

tangencial de 22,3 m/s. a) ¿Cuál es su frecuencia'? b)¿Cuál es su número de rpm ? Sol. a. 17,75 rev/seg.; b. 1065 rpm.

5. La velocidad tangencial de un punto material situado

a 0,6 m del centro de giro es de 15 m/s. a) ¿Cuál es su velocidad angular? b) ¿Cuál es su período? Sol. a. 25 rad/seg.; b. 0,25 seg.

6 6 .. Una polea cumple 2000 rpm, calcular la velocidad

angular en grados sobre segundo. Sol. 12000 grad/seg.

7 7 .. Las ruedas de una bicicleta poseen a los 4 seg. una

velocidad tangencial de 15 m/s, si su radio es de 30 cm, ¿cuál será la aceleración tangencial?. Sol. 12,5 cm./seg2

88.. Una polea posee una velocidad angular de 20

rad/seg., si esta animada por un M.C.U.V. y se detiene en 4 s, ¿cuál es la aceleración angular?. ángulo ω = 1 tiempo 2 * π 2 * 3,1426 ω = = 3600seg 1 1h 1 ω1 = 1,7453 *10 − 3 seg ángulo ω = 2 tiempo 2 * π 2 * 3,1426 ω = = 60seg 2 1 min 1 ω2 = 0,1047 seg


Sol. -5 rad/seg.

9 9 .. Si la aceleración angular de un volante es de 0,3

rad/seg2, ¿cuál es la velocidad angular alcanzada a los 3 seg.? Sol. 0,9 rad/seg.

110 0 .. Un punto móvil gira con un periodo de 2 seg., y a

1,2 m del centro, calcular: a) La velocidad tangencial. b) La velocidad angular. Sol. a. 3, 77 m/seg.; b. 3.14 rad/seg.

1111.. La velocidad angular de un punto móvil es de 55

rad/seg., ¿cuál es la velocidad tangencial si el radio de giro es de 0,15 m? Sol. 8,25 m/seg.

8 2 8 2


PPrroof f.. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo 1122.. Calcular la aceleración angular de una rueda de 119 9 .. El minutero y el horero de un reloj están 0,25 m de radio, al lograr a los 20 seg., una velocidad superpuestos a ls 12 horas.¿Dentro de cuanto tiempo de 40 Km. /h. estarán nuevamente superpuestos? Sol. 2.22 rad/seg. 2

Sol. 1 hora; 5 minutos; 27 segundos.

0 .. a. ¿Cual es la velocidad angular de un punto 1133.. El radio de una rueda de bicicleta es de 32 cm. Si 220

la velocidad tangencial es de 40 Km./h, ¿cuál es la dotado de M.C.U. si su periodo es de 1,4 seg? b. ¿Cuál es la velocidad tangencial si el radio es de 80 cm? velocidad angular''. Sol. 34.7 rad /seg.

Sol. 4,48 rad/seg.; 358,4 cm./seg.

recuencia?; b. ¿Cuál es su período?

a. ¿Cuál es su velocidad angular? b. ¿Cuál es su periodo?

21. 1144.. Si una hélice da 18000 rpm, a. ¿Cuál es su 21. Si un motor cumple 8000 rpm, determinar: Sol. a. 300 rev/seg.; b. 0,003 seg.

1155.. El eje de un motor eléctrico parte del reposo y

acelera uniformemente hasta alcanzar una velocidad de 200 rpm en 10 seg, gira a esta velocidad durante los próximos 25 seg. Finalmente se suprime la energía eléctrica, y el eje se detiene en 2 min. Adicionales. Calcúlese el número total de revoluciones que realiza el eje. Sol. 305.1 rev

116 6 .. Una piedra de amolar al reducir su velocidad

angular desde 1500 rpm hasta 800 rpm realiza 700 revoluciones alrededor de su eje de giro. En estas condiciones calcular: a. La desaceleración de la piedra b. El tiempo que requiere para esta disminución de velocidad c. Si la velocidad continua reduciéndose al mismo ritmo ¿Cuánto tiempo más requiere para quedar en reposo?

Sol.- 837,76 rad/seg.; 0,007 seg.

2222.. Dos partículas A y B están girando alrededor del

mismo eje con velocidades angulares constantes de 12 y 10 rad/seg., respectivamente, en un instante determinado ambas partículas pasan por un punto P, a. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la primera aventaje a la segunda por 5 vueltas y media?, b. ¿Cuántas vueltas habrán realizado cada una de las partículas en ese tiempo? Sol. 17,28 seg.; 33; 27,5.

2233.. Una

rueda que gira a razón de 120 rpm incrementa uniformemente su velocidad hasta 660 rpm en 6 segundos. Calcular la aceleración angular en rad/seg2, así como la aceleración lineal de un punto situado a 80 cm. del eje. Sol.- 2,4

m/seg2.

Sol. a. -2 rad/seg2 ; b. 36.65 seg.; c. 41.9 seg.

2244.. Un

26,4 rad.

Sol. 848,23 m/min.

motor eléctrico que gira a 1800 rpm, tiene 2 117 7 .. Hallar la velocidad angular y el periodo de ruedas de poleas en su eje. Hallar la velocidad lineal de la aja cuando se coloca sobre la rueda de mayor diámetro. Los revolución de un disco que en 5 seg. Logra girar diámetros de las poleas son 7,5 cm y 15 cm. Sol. 5,28 rad/seg.; 1,19 seg.

1188.. Calcular la velocidad angular de un móvil que toma

una curva de 8 m de radio a una velocidad de km/h Sol. 1,56 rad/seg.

2255.. Los radios de tres poleas conectadas por una faja de

transmisión son como 5:3:1, la polea mayor gira a 45 razón de 50 rpm. ¿Cuál es la velocidad angular de las otras dos?. Sol. 250 r m


1. Explicar el concepto de movimiento circular uniforme: 2. A qué se denomina frecuencia: 3. Qué es el periodo en el movimiento circular uniforme: 4. A qué es igual el radian: 5. Por qué se denomina velocidad angular: 8 3 8 3



V I I I C a l o V a p í t tu ul

a E e e l a e e l n t to o y y l l a m m a an ne e r ra a c c o E l l e e s st tu u d di i o o d d l a s s c c a au us s a as s d d l m m o ov vi im m i i e e n om mo o u u n no os s c c u ue er p r p o os s i i n u y e e o e e n i i n o s s s s e e d n f f l l u y e en n e e n n e e l l m m o ov vi im mi i e e n n t to o d d o t tr r o d noo m mi i n n a a d d ná á m mi i c ca a . . E o e e s sc c r r i i t to E n n l l o s s m m o ov vi im m i i e en n t to o s s d d o s s a a n nt te er r i i o n e e s p s p e ec c i i a a l l e e l l m m o ov vi i m mi i e en n t t o o o r rm m e en n t t e e,, e e n a r r e ec c t t i i l ne eo o y y e e l n o o s s e e a a n na a l li i z za ar ro o n n l l a s s c c a au us s a a s s d e e lí í n l m m o ov vi im m i i e en n t to o e e n n u u n n p p l la a n no o,, n i i cc h ho l a u d ét t r r i i c ca m m os s m m o ov vi im i ie e n n t to os s , , l a d i i s sc c u u s s i ió ó n n f f u e e e s se en n c ci i a al lm m e en n t te e g l d g e eo o m é a . . A h ho or ra a , , e e l a l i i t ta a t ti i v va a d e e a n ná ál li i s si i s s s e e c e en n t t r r a ar r á á e n n o b bt te e n n e er r u n na a r e el l a a c ci i ó ón n c u ua a n nt ti i t t a a t ti i v v a a y y c u ua al l a e e l m o m o l a s s c c a au u s sa a s s d d l m ov v i im mi i e e n n t t o o y y e e l l m ov vi im m i i e en n t to o m m i is s m mo o . .

DDiinnáámmiiccaa


D m D i n i n á á mi i c ca a

que los pasajeros es como si quisieran continuar su movimiento En temas anteriores estudiamos el (movimiento rectilíneo uniforme). movimiento de una partícula, insistiendo en el movimiento en una 88..11..11.. F Fuueerrzzaa..-- La fuerza es aquella línea recta o en un plano. capaz de producir deformación o No preguntamos que es lo que modificación en los cuerpos aun “causaba” el movimiento: simplemente cuando estos se encuentran en reposo o describíamos el movimiento en función movimiento. del desplazamiento, velocidad y la Sin embargo, en física, diremos a la aceleración. En este tema discutiremos fuerza en función de la aceleración que las causas del movimiento, que es el experimenta un cuerpo y la masa que aspecto que en mecánica se llama posee el mismo. dinámica, lo mismo que antes 88..11..22.. M Maassaa iinneerrcciiaall..-- Se denomina consideraremos a los cuerpos como si masa inercial aquella masa que se fueran simples partículas. mantiene en reposo, en movimiento y 88..11.. PPrriim e r a l e y d e N e w t o n o mera ley de Newton o que no interviene la gravedad ya que pprriinncciippiioo ddee iinneerrcciiaa..-- En la primera para mover la masa inercial se necesita ley, denominada el principio de inercia, una fuerza para modificarla. Esta masa Newton establece la relación entre las se representa en dinámica. fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el Neew wttoonn oo tipo de movimiento que dicho cuerpo 88..22.. SSeegguunnddaa lleeyy ddee N maassaa..-- Consideremos un experimenta. El enunciado de este pprriinncciippiioo ddee m principio es el siguiente: “Si un cuerpo cuerpo cualquiera en la que actúa una esta en reposo seguirá indefinidamente fuerza F, este modifica su estado y le en reposo o si esta en movimiento este proporciona una aceleración, entonces será rectilíneo y uniforme a menos que decimos que a mayor aceleración sea obligado a cambiar su estado por mayor será la fuerza que cede, o contrariamente a menor fuerza menor uerzas que se le apliquen”. aceleración por tanto la ecuación será: F = m∗a

Como ejemplo más sencillo de esta primera ley tenemos: Cuando los pasajeros de un automóvil son empujados hacia atrás cuando este comienza a partir o sea los pasajeros tratan de volver a su posición inicial. Análogamente cuando estos mismos son empujados hacia adelante cuando el automóvil frena bruscamente, o sea


En esta ecuación F es la suma vectorial de todas las fuerzas que obran sobre el cuerpo m, la masa del mismo y a, su aceleración vectorial. Este principio dice “Si se aplica una uerza F a un cuerpo le comunica una aceleración de la misma dirección y sentido que la fuerza, directamente roporcional a ella, e inversamente roporcional a la masa m del cuerpo”. a =

F m

8 5 8 5

DDiinnáámmiiccaa

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí íoo ss M Moonntteerroo

88..33.. TTeerrcceerraa lleeyy ddee N Neew wttoonn oo dirección de la fuerza gravitacional, pprriinncciippiioo ddee aacccciióónn yy rreeaacccciióónn..-- Este esto es, hacia el centro de la tierra. principio esta en función de una sola fuerza de la interacción mutua entre dos cuerpos. Experimentalmente encontramos que al ejercer una fuerza sobre un segundo cuerpo, este segundo cuerpo ejercerá una fuerza sobre el primero. Además, encontramos que esas fuerzas son de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario: Por consiguiente, una sola fuerza aislada es una imposibilidad. Si una de las dos fuerzas que intervienen en la interacción entre dos cuerpos se llama fuerza de “ acción”, la otra se llama fuerza de “reacción”. Cualquiera de las dos fuerzas se puede considerar como la de “acción” y la otra como de “reacción”. En este fenómeno no implica una relación de causa a efecto, lo que si implica es una interacción simultánea mutua. Esta propiedad de las dos fuerzas fue establecida primeramente por Newton en su tercera ley del movimiento que dice: “A toda acción se opone siempre una reacción igual; o en otras palabras, las acciones mutuas de dos cuerpos entre sí siempre son iguales, y dirigidos a partes contrarias”. F

-F

88..33..11.. PPeessoo yy m maassaa..-- El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional que ejerce la tierra sobre el. Siendo el peso una fuerza, es una cantidad vectorial. La dirección de este vector es la 8 86 6

Cuando un cuerpo de masa m cae libremente, su aceleración es la aceleración de la gravedad g y la fuerza que obra sobre el es su peso W. Al aplicarle la segunda ley de Newton, F = m* a, a un cuerpo en caída libre tenemos W = m* g Tanto m como g son vectores dirigidos hacia el centro de la tierra. Como g varía de un punto a otro de la tierra el peso W de un cuerpo de masa m, es diferente en diversos lugares. Por consiguiente podemos escribir: w = m∗g

Por consiguiente, a diferencia de la masa de un cuerpo, que es una propiedad intrínseca del cuerpo, el peso de un cuerpo depende de su posición con respecto al centro de la tierra. Los dinamómetros dan lecturas iguales. Así de distinto puntos de la tierra, las balanzas dan lecturas iguales, así: F = m∗a

(1)

w = m∗g

(2)

De (2) despejamos m y tenemos: m=

w g

(3)

Reemplazando (3) en (1) tenemos: F=

w ∗a g

88..33..11..11.. U Unniiddaaddeess d dee p peessoo y ym maassaa..-- La magnitud del peso se expresa en unidades de fuerza, tales como libras o Newton. aa.. La unidad de masa en el sistema M.K.S. es la masa del Kilogramo patrón (cilindro de platino iridio, depositado en la oficina internacional de pesas y medidas de parís) y se llama Kilogramo masa (Kg.).


DDiinnáámmiiccaa


bb.. La unidad de masa en el sistema 88..44..33.. SSiisstteem maa ggrraavviittaattoorriioo ttééccnniiccoo C.G.S. es el gramo (g) y corresponde a tteerrrreessttrree:: la milésima parte de la masa del kilogramo patrón. c.- La unidad técnica de masa (sistema métrico) utm no tiene nombre especial y se deduce de la formula siguiente: F a = m kg m = m seg 2 m=

kg ∗ seg 2

F = m ∗a F = k g.

∗ 9,81

m

seg 2 F = kgf. o kp

El kilogramo fuerza o kilogramo peso se define como la fuerza que aplicada a un cuerpo de 1 Kg. de masa le comunica una aceleración de 9,81 m2 seg

88..44..44.. S Siisstteem maa iinnggllééss:: F = m ∗a pie F = slug seg 2

m

88..33..11..22.. EEqquuiivvaalleenncciiaass.. 1 kg = 0,102 utm 1 utm = 9,81 kg

F = lb. o f (libra fuerza)

88..44.. U Unniiddaaddeess ddee f f uueerrzzaa..-- En la La libra fuerza se define como la fuerza

que aplicada a un cuerpo de 1 slug de ecuación F = m*a en cada sistema de masa le comunica una aceleración de unidades se eligen dos de ellos como pie fundamentales (unidad de masa y de 1 seg 2 aceleración) y la tercera se considera 88..55.. E Eqquuiivvaalleenncciiaass:: derivada de aquellas:

88..44..11.. S Siisstteem maa iinntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..)):: F = m ∗a m F = Kg * seg 2 F = N (Newton)

El Newton se define como la fuerza que aplicada a un cuerpo de 1 Kg. de masa le comunica una aceleración de 1

m seg 2

88..44..22.. S Siisstteem ceeggeessiim maa c maall ((C C..G G..SS..)):: F = m ∗a cm F = g* seg 2

N

a

Dina m N = kg seg 2 N

g = kg ∗ 1000 ∗ 1 kg

N

=

m 100 cm ∗ 1m 2 seg

cm 5 10 g seg2

⎯→

a

kg

∗

N

kg

=

kg

kg

=

9.81 kg

kg

= 9.81

⎯→ kg

9.81

m seg2

N

a

DINA m seg 2

F = Dya (Dina)

kg

=

kg

La dina se define como la fuerza que aplicada a un cuerpo de 1 gramo de masa le comunica una aceleración de

N

=

kg ∗

1000 g 1 kg

kg

=

9.81

∗

5 10 g

kg

=

9.81

∗

5 10 Dinas

1

cm seg 2


∗

m seg 2

9.81

∗

m seg 2

∗

100 cm 1 m

cm seg 2

8 87 7

DDiinnáámmiiccaa

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí íoo ss M Moonntteerroo

R m e n ó r m u R e e s s u m e n d d e e f f ó r mu u l la s a s

R n R e e s s u u m m e e n Dinámica Concepto de dinámica La relación que existe entre los movimientos y las causas que los producen.

11.. S Seegguunnddaa lleeyy d dee N Neew o pprriinncciippiioo wttoonn o ddee m maassaa:: F = m∗a a =

Principio de inercia Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas aplicadas sobre el.

F m

Peessoo y y m maassaa:: 2.. P

Principio de masa La fuerza neta F que se aplica a un cuerpo está en relación constante con la aceleración “a” que le comunica:

F = m∗a

m

=

F a

w = m∗g F = m∗a w = m ∗g

(1) (2)

Principio de acción y reacción “A toda acción se opone siempre una reacción igual; o en otras palabras, las acciones mutuas de dos cuerpos entre sí siempre son iguales, y dirigidos a partes contrarias”.

Fuerza La fuerza es aquella capaz de producir deformación o modificación en los cuerpos aun cuando estos se encuentran en reposo o movimiento.

De (2) despejamos m y tenemos: m =

w g

(3)

Reemplazando (3) en (1) tenemos: F=

w ∗a g

Masa inercial Se denomina masa inercial aquella masa que se mantiene en reposo, en movimiento y que no interviene la gravedad.

Peso del cuerpo Fuerza con que un cuerpo es atraído hacia el centro de la tierra:

W

= m∗g

Masa del cuerpo Es la suma de las masas de todos los puntos materiales:

m

8 88 8

=

W g


DDiinnáámmiiccaa

PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo F

P r s r e P r oobbl l e e m m a a s r e s s u ue l lt t o o s e s 11.. Una fuerza aplicada a un cuerpo de 2 Kg. de masa le comunica una aceleración de 3 2 m/seg . Calcular la aceleración que comunicaría si actuará sobre un cuerpo de masa a. 1 Kg., b. 4 Kg.

Datos F=?

seg.2 F = m∗a

F

m seg.2

= 6 N

m

a

F a = = 1 m 1 b. a =? 2 m = 4 Kg. 2 F = m ∗a 2 2

m seg2 4 kg

=6

masa es a. d. 0,5 utm. Datos w =? m g = 9,8 seg 2

m seg.2

= 1,5

m seg.2

2.. Una fuerza aplicada de 4 kp a un cuerpo le 2

comunica una aceleración de 1 m/seg . Hallar la fuerza que aplicada a dicho cuerpo le comunique una aceleración de a. 0,5 2 2 m/seg , b. 5 m/seg .

Datos m

m=

w = 2 Kg. ∗ 9,8

Kp = 4m 1 seg 2


Kp seg 2 =4 m

2 Kg., b. 0,5 g, c. 2 utm,

b. m

= 0,5 g. 2 d. m = 0,5 utm 4

m seg.2

w = 19,6 N

m

= m2 ∗ g

w = 0,5 g. ∗ 980

seg2 F = m ∗a F a

a. m = 2 Kg. 1 c. m = 2 utm 3 a. w = m *g 1

b w

F=?

=1

= m ∗a2

33.. Calcular el peso de un cuerpo cuya

6 kg

2

a

∗ a1

Kp seg 2 m ∗ F =4 5 2 m seg.2 F = 20 Kp 2

m 6 kg seg2 1 kg

F = = 2 m

m a = 0,5 1 seg2

F 2

a. a =? 1 m = 1 Kg. 1 F = m ∗a 1 1

a

a. F =? 1

Kp seg 2 m ∗ F =4 0,5 1 m seg.2 F = 2 Kp 1 b. F=? m a =5 seg2

m

F = 2 Kg ∗ 3

a

F =m 1

m = 2 Kg.

=3

a

m

cm seg.2

w =?

10-5 N w = 490 dinas ∗ 1 dina w = 4,9*10 −3 N

8 9 89

DDiinnáámmiiccaa

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí íoo ss M Moonntteerroo Datos

c. w = m *g 3 w = 2 utm ∗ 9,8

a =? a. F = 5N 1 m = 2Kg. 1 c. F = 5Kp 3 m = 2utm. 3

m seg.2

w = 19,6 Kp d. − w = m ∗ g 4 w = 0,5 utm. ∗ 9,8

m seg.2

w = 4,9 Kp

44.. Un bloque pende del extremo de una

b. F = 5dinas 2 m = 2g. 2 d. F = 1Kp 4 w = 9,8Kp.

a. F = m ∗a 1 1 1

cuerda. Calcular la masa de dicho bloque m sabiendo que la tensión de la cuerda es 5 Kg 5 F a. 4,9 N, b. 1 kp, c. 4,9 x 10 dinas. seg2 m 1 = = = a 2,5 Datos 1 m 2 Kg. seg2 1 m=? a. b. b. m F = 4,9 N g = 9,8 F = 1 Kp F = m ∗a 1 2 2 2 2 2 seg cm c. 5 g F seg2 cm 2 F = 4,9*105 dinas = = = a 2,5 3 2 m 2 2 g.

T=F a. F = m * a 1 1 F 4,9 N m = 1 = 1 m a 9,8 seg 2

m =? a

w

m = 0, 5 Kg. 1 b. F = m * a 2 2 F 1 Kp m = 2 = 2 m a 9,8 seg 2 m = 0,102 utm. 2 c. F = m * a 3 3 cm 4, 9*105 g F seg 2 3 m = = 3 cm a 980 seg 2 1 Kg. m = 500 g * = 0,5 Kg. 3 1000 g

55.. Calcular la aceleración producida por una fuerza a. de 5 N aplicada a una masa de 2 kg, b. de 5 dinas aplicada a una masa de 2g, c. de 5 kp aplicada a una masa de 2 utm, d. de 1kp aplicada a un cuerpo de 9,8 kp de peso.

9 90 0

c. F 3

m

F 4 a

= m3 ∗ a 3

= 3

d. w

seg

2

F 3 m 3

=

5 Kp = 2,5 m 2 Kp . 2 seg

m seg2

= m∗g w g

=

9,8 Kp m 9,8 seg2

=1

utm.

= m4 ∗ a 4

= 4

F 4 m 4

=

1 Kp m =1 m seg2 1 Kp . seg 2

66.. Hallar la fuerza constante que aplicada a un cuerpo de 30 kp de peso le comuniqué: 2 a. Una aceleración de 3m/seg ; b. Una aceleración de 30 m/seg./min. ; c. Una velocidad de 9 m/seg. a los 6 segundos de empezar a moverse. d. Recorrer un espacio de 30 m a los 5 segundos de empezar a moverse. e. Un incremento de su velocidad desde 5 m/seg. hasta 15 m/seg. en 4 segundos. ; f. Una disminución de su velocidad desde 20 hasta 10 m/seg. en 30 m de recorrido.


DDiinnáámmiiccaa

PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo Datos F=?

w

= 30

F = m∗a

(2) g Reemplazando (2) en (1) w 30 kp m F = *a = *2,4 m g seg 9,8 seg F = 7,35 kp

Kp

a. a =3

b.

m seg 2

m seg min m a=3 *1 = 0,5 min 60seg seg2

e. V = V + a * t f i V − V i = a*t f

c. m V =9 f seg

d.

= 30 m t = 5 seg

d

= 6 seg V =0 i t

a

e. a = ?

f. a = ?

m V =5 i seg m V = 15 f seg

m V = 20 i seg m V = 10 f seg

t

=4

seg

d

a. F = m * a

=

m=

(1)

g

V − V i f t

=

seg

(1)

m

F=

g

=

*a

= 9,2

m=

(1)

F=

g

=

*a

F=

(2)

kp

30 kp m *0,5 m seg 9,8 seg

(1)

m=

w

w g

(2)

= 1,53

kp

a

=

=

w g

30 kp

=

*a

9,8

2 2 V −V f i 2*d 2 m 100 2 seg

w g

=

*a

30 kp m *1,5 m seg 9,8 seg

d. d = V * t + i

d a

= =

a t2

w g

=

*a

seg

m

− 400

2*30 m 2

2 seg

m=

30 kp m

2

m 2 seg

-5

w

(2)

m

*5

seg

= 15,3 kp

seg 2

F=? a.

= 4,6

m seg 2

a =2

kp m

=2

b.

Kg.

m

a = 80

= 50

cm seg 2

g.

a. F = m * a

=

2 Kg*2

2 2d t2

F

=

F

= 4000

m seg 2

⎛ m⎞ ⎛ m⎞ ⎜10 seg ⎟ - ⎜ 20 seg ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ =⎝

9,8

b. F = m * a


= 7,65 kp

aceleración de a. 2 m/seg a una masa de 2 2kg, b. 80 cm./seg a una masa de 50 g. Datos

F

= 2,4

seg

g Reemplazando (2) en (1)

2

2*30 m (5 seg) 2

m

(1)

a t2

=

m

*2,5

77.. Calcular la fuerza que comunicaría una

R eemplazando (2) en (1) F=

(2)

g

60 m

F = m∗a

F=

(2)

g

w

=

m 2 seg

2 2 f. V = V + 2 * a * d f i

a

c. V = V + a * t Þ V = a * t f i f m 9 V seg m a = f = = 1,5 t 6 seg seg 2 F = m∗a

= 2,5

Reemplazando (2) en (1)

R eemplazando (2) en (1) w

seg

2

30 kp m *3 m seg 9,8 seg

b. F = m * a

m

-5

4 seg

R eemplazando (2) en (1) w

m

15

F = m∗a

= 30 m w

w

m=

(1)

50 g*80

m 2 seg

=4

m 2 seg .

cm 2 seg

dinas

⇒

4*10

3

dina s

9 911

DDiinnáámmiiccaa

P r s P r oobbl l e e m m a a s p p r r oo p pu u e e s s t to o s s

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí íoo ss M Moonntteerroo que la masa de la derecha es de 10 Kg. y que la de la izquierda es de 2kg. ¿Cuál es la aceleración del sistema? ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

11.. Qué aceleración experimenta un cuerpo de 8 kg. De Sol. 6,53 m/seg2 ; 32,7 N

masa, si sobre el actúa una fuerza resultante de 30 N. Sol. 3, 75 m/seg 2

1133.. Una fuerza de 10 N actúa sobre un cuerpo de 2 kg

22.. Si sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 96 de masa. Determinar: a. La aceleración del cuerpo b. El

N y se lo acelera a 12 m/seg2. Calcular la masa. Sol. 8 Kg.

33.. Sobre un cuerpo de 6 kg de masa inicialmente en

peso del cuerpo en N c. La aceleración del cuerpo si se duplica la fuerza. Sol. a. 96 N; b. 4*10 -2N

24 N. Calcular la 1144.. Una fuerza F, aplicada a un cuerpo de masa m 1 el cuerpo en produce una aceleración de 3 m/seg2. La misma fuerza aplicada a un segundo cuerpo de masa m 2 produce una Sol. 200 m. aceleración de 1 m/seg2.¿Cuál es el valor de la razón 44.. A una masa de 250 g en reposo, se le aplica una m1/m2? uerza constante de 50 g. ¿Qué velocidad adquiere y que Sol. 1/3 1155.. A una masa de 1000 kg se le aplica una fuerza distancia al cabo de 12 segundos?. 2 Sol. 240 cm/seg ; 1440 cm. de 800 N durante 10 segundos. Calcular: a. La 55.. Dos personas jalan de un cuerpo de 20 kg, con aceleración b. La velocidad que adquiere. 2 2 uerzas de 100 y 200 N. Calcular la aceleración si las Sol. a. 0,8 m/seg b. 8 m/seg 116 6 .. Un cuerpo de 1500 kp de peso que pende del uerzas forman un ángulo de 60º entre si. Sol. 291, 20 N ; 14,56 m/seg2. extremo de un cable, desciende con una velocidad de 6 6 .. Calcular el peso que tiene un cuerpo de 1 kg de masa, 4 m/seg. Sabiendo que el espacio que recorre hasta detenerse es de 3 m, calcular la tensión en el cable en los tres sistemas. suponiendo que la desaceleración es constante. Sol. 9,8 N; 980000 dyn; 1 Kp. reposo, actúa una fuerza de distancia recorrida por 10 segundos.

7 7 .. Un automóvil pesa 1000 kp y va a una velocidad de

Sol. 1900 Kp.

7 .. Calcular el espacio que recorrerá un cuerpo de 5 Kg. 90 km/h. Calcular la fuerza retardadora de los frenos, 117 para detenerlo en 70 m, sobre una carretera horizontal. de masa, cuando sobre él actué una fuerza constante de 1 N durante 10 segundos. Sol. 102,04 utm; -4,46 m/seg2 ; - 455,10 kp. 88.. Encuentra: a. La masa de una persona cuyo peso es

Sol. 10 m.

de 150 lb. b. El peso de un bloque de 72 Kg. c. La masa 1188.. Calcular la fuerza constante de rozamiento necesaria para detener en 5 seg. un automóvil de de un cuerpo cuyo peso es de 400 N. 1500 kp de peso que marcha a una velocidad de Sol. a. 4,69 slugs; b. 705,6 N; c. 40,8 Kg. 90 Km. /h ¿Qué espacio recorrerá hasta detenerse? 9 9 .. ¿Qué aceleración imprimirá una fuerza de 35 N a un Sol. 765 kp; 62,5 m. objeto de 7 Kg? 119 9 .. Calcular la aceleración y el tiempo que tarda en Sol. 5m/seg. recorrer 70 m un cuerpo de 12 kp de peso sometido a la 110 0 .. Una fuerza de 85 N tira de un bloque de 43 Kg. acción de una fuerza constante de 3 kp. horizontalmente por el piso si el coeficiente de Sol. 2,45 m/seg2 ; 7,55 seg. rozamiento es de 0,1. Encuentra la aceleración del 220 0 .. Un cuerpo de 100 kp de peso pende del extremo de bloque. Sol. 0,99 m/seg2. una cuerda. Calcular su aceleración cuando la 1111.. Una caja de 3500 N es levantado con tensión en la cuerda es a) 125 kp, b) 80 kp, c) 100 kp. Sol. a. 2,45 m/seg2 hacia arriba, b. 1,96 m/seg2 hacia una aceleración de 4 m/seg2.¿Cual es la tensión en el abajo, c. 0 m/seg2 cable de soporte? 2211.. El ascensor de una mina, que pesa 800 kp, arranca Sol. 4928,57 N. 2 1122.. Una maquina de Atwood consiste en una polea hacia arriba con una aceleración de 6 m/seg . Calcular simple con masas suspendidas de ambos lados. Es una la tensión en el cable en el momento del arranque. versión simplificada de muchos sistemas industriales en Sol.- 1290 kp. los cuales se emplean contrapesos para equilibrar. Supón 2222.. ¿Qué fuerza hacia arriba se debe aplicar a un 9 2 9 2


DDiinnáámmiiccaa cuerpo de 50 kp de peso para que su aceleración de 229 9.. Un paracaidista de 70 kp de peso se lanza 2 caída sea de 3 m/seg ? libremente al espacio desde el reposo y los 5 segundos del Sol. 34,7 kp. instante del lanzamiento abre su paracaídas. Este tarda 2233.. ¿Qué fuerza hacia arriba se debe aplicar a un en abrirse por completo 0,8 segundos y la velocidad cuerpo de 2 kg de masa para que ascienda con una pasa a 12 m/seg cuando esta totalmente abierto. Calcular la fuerza media ejercida sobre las cuerdas del aceleración de 1,6 m/seg2? paracaídas, suponiendo que este carece de peso. Sol. 22,8 N. PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo

2244.. El peso de un ascensor es de 1200 kp. Calcular la Sol. 400,7 Kp. 0 .. Un vagón de 1000 kp de peso es arrastrado sobre tensión en los cables cuando a. asciende con una 30

aceleración de 1 m/seg 2, b. desciende con una una vía horizontal por un caballo de 500 kp sabiendo que la fuerza de rozamiento sobre el vagón es de aceleración de 1 m/seg2. 150 kp. Calcular la fuerza que debe ejercer el caballo Sol. 1322 Kp; 1078 Kp. 2255.. Un hombre de 80 kp de peso está dentro de un para que el vagón adquiera una velocidad de 10 m/seg. ascensor que desciende con una aceleración uniforme a los 5 segundos de iniciado el movimiento, la máxima de 11 m/seg2. Calcular la fuerza que el hombre ejerce tensión que debe soportar la cuerda. Sol. 456 Kp; 354 Kp.

sobre dicho ascensor. Ídem, cuando asciende con una 311.. Un plano inclinado forma un ángulo de 30° con la aceleración de 1 m/seg2. horizontal. Calcular la fuerza constante paralela al Sol. 72 Kp; 88 Kp. plano que se necesita aplicar a un bloque de 40 kp de 226 6 .. Sabiendo que el alargamiento de un resorte es directamente proporcional a la fuerza de tracción a que peso para desplazarlo 2a) hacia arriba con una se someta, calcular la uerza que indicaría un aceleración de 1 m/seg2 , b) hacia abajo con una dinamómetro calibrado en un lugar donde la gravedad aceleración de 1m/seg . Se supone que no hay es de 9,8 m/seg2 cuando sobre el se colocara un peso rozamiento. Sol. a. 24 Kp hacia arriba, b. 16 Kp hacia abajo.

patrón de 2 kp en un lugar donde la gravedad fuera de 322.. Un plano inclinado que forma un ángulo de 25° en 9,5 m/seg2. la horizontal tiene una polea en su parte superior. Un Sol. 1,94 Kp. bloque de 10 kp de peso esta apoyado sobre el plano y 227 7 .. De los extremos de una cuerda, que pasa por una polea sin rozamiento, penden dos cargas de 2 y 6 kp de unido, por medio de una cuerda que pasa por la polea, aun cuerpo de 5 kp de peso que cuelga libremente. peso. Calcular la aceleración y la tensión de la cuerda. Suponiendo que no hay rozamiento, calcular el espacio Sol. 4,9 m/seg2 ; 3 Kp. que recorrerá el cuerpo de 5 kp en 2 segundos partiendo 2288.. Un ascensor arranca hacia arriba con una del reposo. aceleración constante de forma que a los 0,8 seg. ha Sol. 1,04 m. ascendido 1 m. dentro de el va un hombre que lleva un paquete de 3 kp colgado de un hilo. Calcular la tensión en el hilo. Sol. 3,96 Kp.

A A u ut too e e v va al l u u a ac c i ió ó n n

1. Qué es masa inercial: 2. Qué es peso: 3. Cuáles son las unidades en que se mide la fuerza: 4. Qué indica el principio de inercia: 5. Qué indica el principio de acción y reacción: FFí í ssiiccaa QQuuí í mmiiccaa

9 3 9 3


C a tu ul l o I X a p í t R o z a e n t o a m i e

E o p o e e t te e r r m a E l l r r o ozz a am mi i e e n n t to o e e x xi is s t t e e n n t te e e e n nt t r re e d d o s s c c u ue err p os s q q u ue ed d a a d d m i i n n a ad do o p p o or r l l a s s p e e c c a e e l o a u o p r ro o p p i ie e d d a a d de e s s d d ad da a u u n no o d d l o s s c c u ue e r p r p o u n n os s y y p p o or r l l a f f u e er r z z a a q q u ue e l l o s s u u n ne e :: u l i i b e e s sl á a m mo os s 2 2 0 0 l br ro o s s e e p p u ue ed d e e d d l i i z za ar r f f á c ci i l l m m e en n t te e s s o ob br re e u u n na a m m e es s a a p p e er r o o s s i i c c o ol l o o c ca l i i b á l br ro o s s s s o á f f á cc i il l m m o ov ve er r l lo o .. ob br re e é é s st t e e,, y y a a n n o o s s e er r á

RRoozzaammiieennttoo

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy F Frraannzz RRí ío oss MMoonntteerroo

R R oo z a a m m i i e e n n t t oo

f α N

99..11.. D Deef f iinniicciióónn..-- En algunos de los capítulos ya estudiados se supuso que las superficies eran lisas, esto para hacer el problema más sencillo; sin embargo no existe ninguna superficie perfectamente liza. Cuando dos superficies están en contacto y si se intenta mover una de ellas respecto a la otra. Siempre a parecen fuerzas tangenciales llamadas f uerzas de rozamiento; por otra parte, estas fuerzas de rozamiento son limitadas y no evitaran el movimiento si se aplican fuerzas suficientemente grandes.

N f w

La fuerza de rozamiento no depende del área de las superficies en contacto, además es independiente de la velocidad del cuerpo en movimiento.

99..55.. C Caarraacctteerrí í ssttiiccaass ddee llaass lleeyyeess ddee llaa f uueerrzzaa ddee rroozzaam miieennttoo..-- Dentro de las características tenemos los siguientes:  Magnitud.-

El valor de la fuerza de rozamiento por deslizamiento se calcula mediante la siguiente fórmula.

f= N

99..22.. FFuueerrzzaass ddee rroozzaam miieennttoo..-- Es

Siendo: f = Fuerza de rozamiento o fricción aquella fuerza que surge entre dos μ = Coeficiente de rozamiento cuerpos cuando uno trata de moverse paralela a las superficies en contacto.

con respecto al otro. Esta fuerza siempre es contraria al movimiento o posible movimiento.



SSeennttiiddoo..-- Siempre se opone al

movimiento o posible movimiento de las superficies en contacto. 99..33.. C Cllaasseess ddee rroozzaam miieennttoo..-- Existen PPuunnttoo ddee aapplliiccaacciióónn..-- Se aplica dos clases de fuerza de rozamiento: El sobre cualquier punto perteneciente a R ozamiento Seco (rozamiento de las superficies en contacto. Coulomb) y el Rozamiento Fluido. Es 99..66.. R essttááttiiccoo..-- Es la que se R oozzaam miieennttoo e necesario recordar que al rozamiento presenta entre superficies que se también se lo conoce con el nombre de encuentran en reposo. El valor de la f ricción. fuerza de rozamiento estático varia

99..33..11.. C dee rroozzaam Cllaasseess d miieennttoo sseeccoo::

desde cero hasta un valor máximo, el 99..33..11..11.. R R oozzaam poorr d deesslliizzaam miieennttoo p miieennttoo:: cual lo adquiere cuando el cuerpo en contacto esta a un punto de moverse;  Rozamiento Estático pero sin conseguirlo. (Movimiento  Rozamiento Cinético inminente). 99..33..11..22.. R R oozzaam miieennttoo ppoorr rrooddaadduurraa oo Este valor máximo de la fuerza de ppiivvoottee:: rozamiento estático equivale a la fuerza 99..44.. L Leeyyeess ddee llaa f f uueerrzzaa d dee rroozzaam miieennttoo mínima necesaria para iniciar el ppoorr ddeesslliizzaam miieennttoo..-- Dentro de las movimiento, el cual puede calcularse leyes de rozamiento por deslizamiento mediante la siguiente fórmula. v=0 tenemos las siguientes: La fuerza de fs = μs N F r ozamiento tiene un valor que es fs directamente proporcional a la reacción N normal. w 9 5 9 5




Siendo: fs = Fuerza de rozamiento estático μs = Coeficiente de rozamiento estático N = Reacción normal

Mov.

N

f k = μk N

F

f k

99..66..11.. C Cooeef f iicciieennttee ddee rroozzaam miieennttoo eessttááttiiccoo..-- Para calcular el coeficiente

w

Siendo: de r ozamiento estático se sigue el fk = Fuerza de rozamiento cinético siguiente procedimiento: Se toma un μk = Coeficiente de rozamiento cinético plano y sobre el se coloca un cuerpo. N = Reacción normal

Se inclina el plano respecto al horizonte, gradualmente hasta que el movimiento del cuer po sea inminente; en ese momento se mi de el ángulo que for ma el plano con la horizontal. La tangente de ese ángulo será igual al coeficiente de rozamiento estático. fs N

fs

N

w

θ w

θ

De la forma f s = w sen θ (1) pero fs = μs N (2) (2) en (1) μs N = w sen θ (3) del triangulo N

=w

cos θ

(4)

(3):(4) μs N = w sen θ N = w cos θ μs = tg θ

El valor de μs dependerá pues, de la calidad de los materiales en contacto.

99..77.. R R oozzaam miieennttoo cciinnééttiiccoo -- Es aquella

99..77..11.. C Cooeef f iicciieennttee ddee rroozzaam miieennttoo cciinnééttiiccoo..-- Para calcular el coeficiente

de rozamiento estático se sigue el siguiente procedimiento: Se toma un plano y sobre el se coloca un cuerpo. Se inclina gradualmente el plano; pero dando pequeños empujoncitos al cuerpo (simultáneamente) hasta que el cuerpo resbale sobre el plano inclinado, con velocidad constante. Se mide el ángulo que forma el plano con la horizontal; la tangente de dicho ángulo nos dará el coeficiente de rozamiento cinético. f k N v = cte.

f k

w

N

w

θ

θ

De la figura: f = w sen θ (1) k pero f = μ N (2) k k (2) en (1) μ N = w sen θ (3) k del triangulo N = w cos θ (4) (3) : (4) μ N = w sen θ k N = w cos θ μ = tg θ k

que se presenta cuando hay movimiento de un cuerpo respecto al otro. Cuando el cuerpo pasa del movimiento inminente al movimiento propiamente dicho, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y permanece El valor de μk dependerá pues, de la calidad de los materiales en contacto. casi constante.


9 96 6



P r s P r oobbl l e e m m a a s r r e e s s u ue el l t t oo s s


11.. Sobre un plano horizontal se tiene una Rozamiento Definición de rozamiento Cuando dos superficies están en contacto y si se intenta mover una de ellas respecto a la otra. Siempre aparecen fuerzas tangenciales llamadas fuerzas de rozamiento.

Fuerzas de rozamiento

caja que pesa 20 Kg. ¿Qué fuerza es necesario aplicarle para que se mueva, si μs = 0.5?

Datos W = 20 kg μs = 0.5 Fmax = ? N = 20 N

Fuerza que surja entre dos cuerpos cuando uno trata de moverse con respecto al otro.

o t n e i m a z o r e d s e s a l C

Mo

Rodadura

f max

F

Debido a las deformaciones de las superficies que ruedan.

w Deslizamiento Debido a las asperezas de las superficies que están en contacto.

Rozamiento estático Entre dos superficies que están en reposo u na sobre la otra.

fs = μs N

Rozamiento cinético Fuerza tangencial entre dos cuerpos en contacto, cuando uno de ellos se esta desplazando respecto al otro.

μk N f k =

R n m R e e s u s u m m e e n d d e e f oo r f r mu u l la a s s

11.. C Caarraacctteerrí í ssttiiccaass ddee llaass lleeyyeess ddee llaa f f uueerrzzaa d dee r roozzaam miieennttoo::

F – Fmax = m *a (1) Pero a = 0 (2) Reemplazando (2) en (1) tenemos F – Fmax = 0 Pero Fmax = μs *N

Reemplazando (4) en (3) tenemos F = μs *N F = 05 * 20 F = 10 Kg.

2.. Un ladrillo de 5 kg de masa se apoya a una pared vertical mediante una fuerza de sentido horizontal “F”, como se en la figura. Si el coeficiente de rozamiento estático es 0,25, hallar el mínimo valor de “F” para que el ladrillo se mantenga inmóvil.

Datos

m = 5kg f s = 0,25 F min fs

f = μ N

=?

y

22.. R essttááttiiccoo:: R oozzaam miieennttoo e

F N

x

fs = s N

33..-- R R oozzaam miieennttoo cciinnééttiiccoo::

(3) (4)

mg

f k = μk N

9 97 7

Quuí í mmiiccaa FFí í ssiiccaa Q



= μ s * N max ∑ Fx = 0 : F = N (1)

f s

= f s

N

∑ Fy = 0 : f s = m * g μ s * N = m * g (2)

f k

F

Remplazando (1) en (2) μs * F = m ∗ g F min

=

m∗g μs

5 Kg = 0,25

= 20

w

kg

−μ k *N = − F

33.. a. Calcular la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de 50 kp de peso para desplazarlo con velocidad uniforme sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento 0,2 b. Sabiendo que la fuerza horizontal que es necesario aplicar a un cuerpo de 150 kp de peso para desplazarlo sobre una superficie horizontal con velocidad uniforme de 30 kp, calcular el coeficiente cinético de rozamiento.

Datos

μ

k

F

=

N

=

30 kp 150 kp

= 0,2

44.. Calcular la fuerza paralela a un plano inclinado, de 30 m de altura y 40 m de base, que es necesario aplicar a un bloque de 100 kp de peso para que no se desplace sobre el. El coeficiente de rozamiento es igual a 0,25.

Datos F p

a. F = ? w = 50 kp a =0 μ = 0,2 k

=F

μ *N k

=?

h

= 40 m μ = 0,25 k

b

= 30

w

m

= 100

kp

N N

f p

v = cte. f k

F − F = m *a k F−F = 0 k F=F k F = μ * N = 0,2 * 50 kp k F = 10 kp pero a = 0 F = μ * N k k N = w N = 50 kp b. F = 30 kp w = 150 kp w = cte. a =0 μ =? k F − F = m*a k F − F = m*0 k F − μ *N = 0 k


w

f p

f r wx

F

θ

wx

h

w

μk

θ

wy

θ w

b h

tag α

=

tag α

=

tag α

= 0,75

α

= arc

α

= 36º

b 30 m 40 m

tag 0,75

Pero: w x

= w*sen

(1)

α

Fr = μ *N k Fr = μ *w*cos α k

(2)

− Fr − Fp = 0 −Fp = Fr − w x wx Fp

( − 1)

= w x − Fr(3)

reemplazando (1) y (2) en (3) Fp

= w*sen

α − μ *w*cos α k

F p

= 100kp*sen36º − 0,25*100kp*cos36º

Fp = 100 kp*0,6 F p

= 60

− 0,25*100

kp − 20 kp

=

kp*0,8

40 kp

9 98 8



55.. Sabiendo que para ascender un bloque de

N

50kp de peso con una velocidad uniforme por un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal es necesario aplicar una fuerza, paralela al plano, de 40 kp, calcular el coeficiente de rozamiento cinético.

Datos w = 50 α = 30º μ =? k

Fp = 40 kp

N

wx

f p

wy

α

wx

w

30º

= 0 (1) w x = w*sen Fr = μ *N k

α (2)

= w*cos

(4)

a

α

− Fr = m*a

(6)

Fp-w*sen α-μ *w*cos α k

= m*0

Fp-w*sen α-μ *w*cos α = 0 k −μ k *w*cos α = w*sen α − Fp ( − 1) Fp-w*sen α μ = k w*cos α 40 kp-50 kp*sen 30º μ = k 50 kp*cos 30º

w*sen α

= k k

40 kp-25 kp 43 kp

= 0,348

tabla horizontal que se va inclinando gradualmente cuando la tabla forma un ángulo de 27º con la horizontal, el bloque esta a punto de comenzar su desplazamiento. Calcular el coeficiente estático entre el bloque y la mesa.

9 99 9

27º

=

α

sen α cos α

= tag

α

= 0,51

en reposo sobre un plano inclinado rugoso, que forma un ángulo de 30º con la horizontal sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es igual a 0,15, calcular la fuerza paralela al plano que se necesita aplicar al cuerpo para que pueda empezar a desplazarse hacia arriba.

Datos

w = 10 kp α = 30º Fp = ? μ = 0,15 k N f p

N

f p wx

α

w 30º

wx

α

f

wx

66. Un bloque de metal se coloca sobre una

α = 27º μ =? k

= μ k *w*cos

w*sen α w*cos α

= tag

40 kp-50 kp*0,5 50 kp*0,86

Datos

(3)

77.. Un bloque de 10 kp de peso se mantiene

reem plazando (1),(2),(5), en (6)

= k

(2)

− Fr = 0 w x = Fr (5)

μ

(3)

Fr = μ *w*cos α (5) k

μ

= w*sen α (1)

Fr = μ *w*cos α (4) k w x − Fr = m*0

μ

(4) en (3)

=

w

reemplazando (1),(4), en (5)

w

k

27º

wx

α

f r

μ

wy

α

w

(3) en (2) f p

Fp − w x

wx

wx

Fr = μ *N k N = w*cos α N

N

f r

α

wx

v = cte

kp

f r

N

= w * sen

wy

w

α

(1)

N = w * cos α (2) Fr = μ * N (3) k (2) en (3) Fr = μ * w * cos α (4) k Fp − w − Fr = m * 0 x Fp − w − Fr = 0 (5)




r eemplazando (4),(1), en (5) Fp = w*sen α + μ *w*cos α k F p = 10kp*sen30º + 0,15*10kp*cos30º F p = 10kp*0,5 + 0,15*10kp*0,86 F p = 5 kp

+

1,3 kp

F p = 6,3 kp

88.. Un bloque de 50 kp de peso esta sobre una superficie horizontal y se mueve a lo largo de ella por la acción de una cuerda paral ela a la superficie cuyo extremo esta unido a través de una polea sin rozamiento a un cuerpo de 12 kp de peso. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es igual a 0,2 calcular el espacio que recorrerá el primer cuerpo a los 10 segundos de iniciarse el movimiento.

Datos w = 50 kp 1 w = 12 kp 2 d=? t = 10 seg. μ = 0,2 k w1

w2

N

N T

f r

w2

w1 T-Fr w

2

= m1

* a

a = 0,32

m seg 2

d = v * t i d=

a * t2 2 0,32

d=

s/m/m

+

a * t2 2 0,32

=

m * (10 seg) 2 seg 2 2

m *100 seg 2 seg 2 2

m

plano inclinado de 30 m de altura y 40 de base; para que se mantenga en el un bloque de 50 kp, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es igual a 0,3, b. la fuerza paralela al plano para que el bloque ascienda por el con una velocidad constante, c. la aceleración que adquiere el cuerpo si la fuerza que se le aplica es de 47 kp paralela al plano y hacia arriba, d. la distancia recorrida por el cuerpo en 10 segundos en las condiciones del apartado anterior; e. ¿ qué ocurrirá si se aplica una fuerza de 25 kp paralela al plano y hacia arriba?, f.¿qué ocurrirá si se aplica una fuerza de 13 kp paralela al plano y hacia arriba?, g. la distancia recorrida por el cuerpo en 10 segundos en las condiciones del apartado anterior.

Datos a. F p

=?

h = 30 m w

= 50

kp N

__ __________________

− Fr = a(m1 + m 2 ) w −Fr a= 2 (1) Fr = μ *N k m1 + m2 w

= 16

99.. Determinar: a. la fuerza paralela a un

b = 40 m μ = 0,3 k

* a

− T = m2

reemplazando (2), (3), (4) en (1) w − μ * N w − μ * N 2 k k a= 2 = w w w +w 1+ 2 1 2 g g g 12 kp - 0,2 * 50 kp 12 kp - 10 kp a= = 6,33 50 kp + 12 kp m 9,8 seg 2

f r

f p

2

m 1

=

w1 g

(3)


m

2

=

w2 g

(2)

wx w

(4)

h

θ b

110 00 0

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy F Frraannzz RRí í ío oss MMoonntteerroo


− Fp − Fr = m * a w x − Fp − Fr = 0 Fp = w x − Fr (1) w x = w * sen α (2) Fr = μ * w * cos α (3) k wx

N

f p

v = cte a =0

w

= 47 kp − 50 kp * 0,6 − 0,32* 50 kp * 0,8

a

kp m = 47 kp − 30 kp − 12 = 0,98 5,1 kp m/seg2 seg2

5,1kp m/seg

d. d =? t = 10 seg. N d

wx

w

d = v * t i

d=

a w Fp − w*sen α − μ *w*cos α = 0 k

m seg 2

*100 seg 2

=

Fp

= 50kp*sen36º + 0,3*50kp*cos36º

Fr = μ *w*cos α k w x = w*sen 36º

F p

= 50

kp*0,6

wx

F p

= 30

kp − 12 kp

=

kp*0,8

α = 36º

N

wy w

Fp − w*sen α − μ *w*cos α k

=

=

Fp−w*sen α −μ k *w *cos α w g

110 011

(2)

(3)

=

30 kp−18 kp 50

a

=

12 kp− 0,3 0,3 *50 *50 kp *0,8 *0,8 5,1kp m/seg2

a

=

12 kp−12 1 2 kp 5,1 kp m/seg2

θ θ

(1)

a

w a g

f. w

x

a=

−μ k *w* cos α

kp m 9,8 seg 2

F + f r r

wx

a

= 30 kp

49 m

(3), (2) en (1)

42 kp

c. a =? F p = 47kp

=

w g

= w*sen

+ 0,3*50

* (10 seg) 2 2

Fp

α + μ *w*cos α k

seg 2

− F − Fr = m*a w x −F− Fr

wx

wy

=

m

2 F = 18 kp

e.

θ

a * t2 2

+

0,98

a *t2 2 0,98

wx + f r r

wy

θ

a f p

F + f r r

θ

d=

θ

a

θ

w h tag θ = b 30 m tag θ = 40 m tag θ = 0,75 θ = arc tag 0,75 θ = 36º reemplazando (2) y (3) en (1) Fp = w * sen α − μ * w * cos α k Fp = 50kp * sen36º − 0,3 * 50kp * cos36º Fp = 50 kp * 0,59 − 0,3 * 50 kp * 0,8 Fp = 30 kp − 12 kp = 18 kp b. F p = ?

N

=

wx + f r r

θ

47kp − 50kp * sen36º −0,3 * 50kp * cos36º 50 kp m 9,8 seg2

a

=

0 Kp 5,1 kp m/ m/seg2

=0

F = 13 kp − F − Fr = m * a w x − F − Fr w g

(1)


PPrroof f f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo


Fr = μ * w * cos α (2) k w = w * sen 36º x w = 30 kp (3) x (3), (2) en (1) 30 kp − 13 kp − μ * w * cos α k a= 50 kp m 9,8 seg 2 a= a= a= g.

w1

w2

5 Kp 5,1 kp m/seg 2 d

=?

w = 50 kp

= 0,98

T + f r r

m seg 2

t = 10 seg. m a = 0,98 seg2

1100.. A un bloque de 5 kp situado sobre una mesa horizontal están unidos dos cuerdas de cuyos ext remos penden a través de unas poleas, los pesos de 3 y 4,5 kp que se representa en la figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la masa y el bloque de 5 kp es 0,2, calcular la velocidad que adquirirá el peso de 4,5 kp cuando este haya descendido 1 m partiendo del reposo. reposo. w = 5 kp 1 w = 4,5 kp 3 v=?


w

T T

w

= m1 * a 2 T - T - Fr = m * a 2 w −T = m * a s/m/m 3 3 __________ __________ __ a w − w − Fr = (w + w 2 3 2 g 1

W

T-w

a * t2 d = v * t + i 2 m 0,98 * (10 seg)2 2 2 seg a*t d= = 2 2 m 0,98 *100 seg2 2 seg d= 2 d = 49 m

Datos

N1

T

30 kp - 13 kp − 0,3 * 50 kp * 0,8 5,1kp m/seg 2 30 kp - 13 kp − 12 kp 5,1 kp m/seg 2

w3

+ w 3 )

Fr = μ * N k 1 g ( w − w - μ * N ) 3 2 k 1 a= w + w + w 1 2 3 m 9,8 (4,5kp − 3kp − 0,2 * 5kp) 2 seg a= 5 kp + 3 kp + 4,5 kp m 9,8 * 0,5 kp 2 seg a= = 0,392 Kp 12,5 kp v2 = v2 + 2 * a * d f i v2 = 2 * a * d f v2 = 2 * a * d f m m v = 2 * 0,392 *1 m = 0,88 f seg seg 2

= 3 kp μ = 0,2 k d =1 m w

2

110 2 0 2

PPrroof f .. LLiicc.. JJoohhnnnnyy F Frraannzz RRí í ío oss MMoonntteerroo viene expresada por la ecuación d = C r 2, siendo 2 C = 1.73 m/seg . Hallar el coeficiente de rozamiento 11.. Un bloque de 100 kp de peso se mueve a lo largo de entre el cuerpo y el plano. una superficie horizontal rigurosa por la acción de una Sol. 0,5 uerza de 50 kp que forma un ángulo de 30º con la 7 .. Dos cuerpos cuyos pesos son P1 = 2kp y P2 = 1 kp horizontal. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 7 igual a 0,2, calcular el espacio recorrido por el bloque a respectivamente, están unidos entre si por un hilo que los 10 segundos de iniciarse el movimiento partiendo del pasa por una polea cuyo peso es insignificante. Hallar: a. la aceleración con que se mueven los cuerpos, b. La reposo. tensión del hilo (El rozamiento que existe en la polea es Sol. 139 m 22.. Dos tableros de 1 m y 1,6 m, estan unidos entre si despreciable). Sol. a. 3,27 m/seg2 ; b. 13 N. como indica la figura. Sobre los planos se colocan dos bloques de igual peso unidos por medio de una cuerda 88.. Un cuerpo se encuentra en un plano inclinado que que pasa sobre una polea sin rozamiento. Sabiendo que orma con la horizontal un ángulo de 4º. Determinar: el coeficiente de rozamiento entre los bloques y las a. ¿Qué valor limite deberá tener el coeficiente de superficies es igual a 0,3, a) demostrar que el sistema rozamiento para que el cuerpo comience a descender por esta en equilibrio b) si el sistema se le comunica una el plano?. b. ¿Con qué aceleración se deslizara el cuerpo velocidad inicial de 1 m/seg en una u otra dirección, por el plano si el coeficiente de rozamiento es igual a calcular la distancia recorrida hasta alcanzar el reposo. 0,03?. c. ¿Cuánto tiempo tardara el cuerpo en recorrer 100 m en estas condiciones? d. ¿Qué velocidad Sol. 0,138 m. tendrá el cuerpo al finalizar estos 100 m?. RRoozzaammiieennttoo PPr r oobbl l eem maass ppr r oo p puueessttooss

Sol. a. 0,07; b. 0,39 m/seg 2 ; c. 22,7seg.; d. 8,85 m/seg. m/seg.

9 9 .. Un bloque de 50 kp esta en reposo sobre el suelo 0,8 m

horizontal. La fuerza horizontal mínima para que inicie 1m 1,6 m el movimiento es de 15 kp; y la fuerza mínima horizontal necesaria para mantenerlo en movimiento con una velocidad constante es de 10 kp. Calcular el 3 3.. Los diámetros de los planetas Marte y tierra son, coeficiente de rozamiento cinético, b. cual será la fuerza respectivamente, 6700 km y 11800 km y la masa de de rozamiento cuando se aplique al bloque una fuerza Marte es 0,108 de la masa de la Tierra. Si un cuerpo horizontal de 5 kp. pesa 50 kp en la superficie de la tierra. ¿Cuánto pesaría Sol. 0,3; 0,2. en Marte? ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad 110 0 .. Sobre un bloque de 20 kp situado sobre una en Marte? superficie horizontal, se aplica una fuerza de 10 kp Sol. 19 kp; 3,72 m/seg 2 ormando un ángulo de 30º con la horizontal. horizontal. Si al 44.. Un automóvil pesa I Tn. La fuerza de rozamiento que cabo de 3 segundos la velocidad del bloque es de actua sobre el cuando se mueve es igual a 0,1 de su 7 m/seg, calcular el coeficiente de rozamiento. peso. Hallar la fuerza de tracción que desarrolla el Sol. 0,16. motor cuando el automóvil marcha con velocidad 1111.. Hallar la fuerza F, la fuerza normal N y la fuerza constante: a) por una cuesta arriba cuya inclinación es de fricción f si el coeficiente de rozamiento es 0,4. El de 1 m cada 25 m, b) por una cuesta bajo de la misma peso del bloque es de 100 N y sube con una velocidad inclinación que la anterior. constante. El ángulo de inclinación del plano es de 28º Sol. a. 1370 N; b. 590 N. el ángulo que forma la fuerza F con el plano inclinado 55.. Hallar la fuerza de tracción que desarrolla el motor es 20º. de un automóvil que sube por una cuesta con la Sol. F = 78,33 N; N = 67,37 N; f = 26,94 N. aceleración de 1 m/seg 2. La inclinación de la cuesta es 1122..Suponiendo que un bloque pesa 22 N, y que la igual a 1 m por cada 25 m. El automóvil pesa tensión puede aumentar hasta 8 N, antes de que el 9,8*103N. El coeficiente de rozamiento es igual a 0,1. bloque comience a deslizar y que para mantener al Sol. 2370 N. bloque en movimiento con velocidad constante una vez 6 . 6 6.. Un cuerpo se desliza por un plano inclinado que iniciado, es necesario una fuerza de 4 N. Calcular los orma con la horizontal un ángulo de 45º. La relación coeficientes de rozamiento estático y cinético. entre entre la distan distancia cia d recorri recorrida da or el cuer cuer o el tiem tiem o t Sol. 0,36; 0,18. 110 3 0 3



RRoozzaammiieennttoo 1133.. Un móvil marcha a 10 m/seg, horizontalmente. Su 111444... Un auto marcha a 60 km/h. Su masa es de masa es de 500 kg, ¿en cuanto tiempo parara al 800 kg. Calcular la distancia que recorre hasta aplacársele los frenos? Si el coeficiente de rozamiento es detenerse. Resistencia del aire equivalente a 800 N. de 0,6. g = 10 m/seg2. Coeficiente de rozamiento: g = 10 m/seg 2. Sol. 1,67 seg

Sol. 23,22 m

A A u ut too e e v va al l u u a ac c i ió ó n n

1. Qué son las fuerzas de rozamiento: 2. Cuáles son las clases de deslizamiento: 3. Por qué se dice rozamiento estático: 4. Por qué se llama rozamiento cinético:


110 04 4


C a tu u l l o X a p í t j o , pot e T r a a ía a e n c i ia y y e ne r g í ab a

L a e e u e e p L a a e e n ne er g r g í ía a e e s s l l a c c a a p p a ac ci i d d a a d d d d u n n s s i is st t e e m m a a d d p r ro o d du u c ci i r r u d e e u n n t t r ra a b ba a j j o o. . P P u ue e d s s e er r d e e m o a, , r r a d m ú úl lt t i p i p l le e s s f f o r rm m a a s s:: m m e ec c á á n ni i c c a a, e e l q u uí í m mi i c c a a , , lé é c ct t r ri i c ca a ,, t t é ér r m m i icc a ad di i a an nt t e e,, q e e t tc c.. Y Y t t i ie e n a d e e t t r ra e e u e e q o .. A A n nt t e es s d n e e l l a p p r ro o p p i ie ed d a a d d d a n ns f s f o o r rm m a a r rs s e e d d u n n t t i p i p o o a a o o t tr r o d q u ue e E a í í s si i c c a e e c cí í a E i in ns s t te e i i n n r r e ev v o ol lu u c ci i o on n a ar ra a l l a f f a s s e e d d a:: “ “ L e e s st t r r u La a m ól lo o s s e e t t r ra a n ns f s f o o r rm m a a ” ”, , p m a at te e r r i i a a n n o o s s e e c c r re e a a n n i i s s e e d d u y y e e,, s s ó p r ri i n n c ci p i p i io o q q u ue e h r e e n e e s st tr r u n o o s s e e c c r re e a h u ub b o o q q u ue e c c o on nv ve er r t t ii r n:: “ “ L La a e e n ne er g r g í ía a n a n n i i s s e e d d u y y e e,, s s ó ól lo o s s e e t t r ra e e s s p ó a n ns f s f o o r rm m aa ” ”, , d d p u ué é s s d e e q n e e s st t a a b bl le e c ci i e er r a a s s u u c c é él l e e bb r re e f f ó r rm mu u l la a q u ue e E E i in n s st t e e i i n E E = = m m c c2 2 ..

TTrraabbaa j joo P Pootteenncciiaa E Enneerrggí í aa

PPrroof f .. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí ío oss MMoonntteerroo

T r j n r g T r a ab ba a j oo P P oot t e e n n c c i ia a E E ne e r g í ía a Trabajo, potencia y energía son palabras que empleamos diariamente, pero de una manera vaga e imprecisa, e incluso como si fueran sinónimos. Costo mucho a la ciencia distinguir claramente entre conceptos tan íntimamente vinculados entre si, pero ahora cada una de ellas tiene un significado perfectamente definido.

T r j T r a ab ba a j oo

por la distancia (d) que se mueve el cuerpo a lo largo de la línea “.

La escribimos de la siguiente forma: Tr = F

∗

cos

∗

α

∗

d

1100..22.. U Unniiddaaddeess:: 1100..22..11.. S Siisstteem ceeggeessiim maa c maall ((C C..G G..SS..))..-- En este sistema la fuerza se expresa en dinas, la distancia en centímetros, el trabajo se mide en dinas - centímetros que se denomina ergios, es decir: F = Dinas

d = Cm

T = Ergios r

1100..22..22.. SSiisstteem maa iinntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..))..--

1100..11.. D Deef f iinniicciióónn..-- En la vida corriente, la En este sistema la fuerza se expresa en

palabra trabajo se aplica a cualquier clase de Newton, la distancia en metros, y se actividad que requiere realizar un esfuerzo muscular o intelectual, sin embargo en física, define como el trabajo realizado la palabra trabajo se emplea en un sentido cuando se ejerce una fuerza constante de un Newton sobre un cuerpo que muy diferente y mucho más restringido. Diremos que un hombre, o una máquina recorre una distancia de un metro en la realizan trabajo, cuando vence una misma dirección y sentido de la fuerza. resistencia a lo largo de un camino. Un Newton - metro se denomina Julios Una fuerza realiza trabajo sobre un cuerpo es decir: cuando actúa una fuerza constante sobre dicho cuerpo y este cambia de posición por F = Newton d = m T = Julios r efecto de la fuerza y se produce un desplazamiento en línea recta. El trabajo es 1100..22..33.. S Siisstteem maa ttééccnniiccoo..-- En este una magnitud escalar. sistema la fuerza se expresa en De acuerdo al siguiente gráfico tenemos que: kilopondios, la distancia en metros, la A

unidad de trabajo es por consiguiente el kilopondimetro, es decir:

F

d B

Ahora bien, consideremos otra partícula que reciba la acción de una fuerza (F) que forma un ángulo a con la dirección del movimiento. F

y

α

x

A F*cos*α

d

En este caso definimos el “Trabajo hecho por la fuerza sobre la partícula como el producto de la componente de la fuerza (F) en dirección del movimiento,

110 06 6

F = Kilopondio (Kp) d= m T = Kilopondimetro (Kpm) r

1100..33.. EEqquuiivvaalleenncciiaass:: 1 J = 10 7 Ergios 1 Kpm = 9,8 Julios 1 Kpm = 9,8 ∗ 10 7 Ergios 1 J = 0,102 Kpm 1 Ergio = 0,102 ∗ 10 - 7 Kpm 1 Ergio = 10 - 7 Julios


TTrraabbaa j jjoo PPootteenncciiaa E Enneerrggí í aa



Dina * cm = Ergio C.G.S N * m =J S.I. kp * m = kpm Técnico

11.. T Trraabbaa j joo m meeccáánniiccoo:: T =F r


∗

d

2.. T Trraabbaa j joo m meeccáánniiccoo ccuuaannddoo f f oorrm maa

uunn ddeetteerrm ánngguulloo:: miinnaaddoo á T = F ∗ cos ∗ α ∗ d r

Concepto

o j a b a r T

Como el producto de la fuerza por el desplazamiento, que esta en una misma dirección.

Tr

= F∗d

11.. Calcular el trabajo que tiene que

Trabajo realizado por una fuerza cuando forma un determinado ángulo “Trabajo hecho por la fuerza sobre la partícula como el producto de la componente de la fuerza (F) en dirección del movimiento, por la distancia (d) que se mueve el cuerpo a lo largo de la línea “.

Tr

P r s P r oobbl l e e m m a a s r r e e s s u ue e l lt t o o s s

= (F * cos * α)

d

efectuarse para suspender desde el suelo un motor que pesa 600 kg hasta una altura de 1,5 metros sobre el suelo.

Datos w = 600 Kg. Tr =?

d = 1,5 m F=w

T =F * d r T = 600 Kg * 1,5 m = 900 Kgm r S.I.

s e d a d i n U

C.G.S.

F=N

F = Dinas

=m Tr = Julios

d

= Cm Tr = Ergios

d

F = Kilopondio (Kp) d

s a i c n e l a v i u q E

1 J

= 0,102

1

(Kpm)

Kpm

= 0,102 ∗ 10−7 −7 Julio Ergio = 10

1 Ergio

Kpm

= 107 Ergios 1 Kpm = 9,8 Julios 1 Kpm

= 9,8 ∗ 10

w = 25 Kg. h = 2.8 m t=5 min tt = 4h F=w Tt =? T = F*h r T = 25 Kg. * 2.8 m = 70 Kgm r 5 min.................1 saco 240 min.............x 240 min * 1saco x= 5 min x = 48 sacos Tt = F * h Tt

1 J

7

de arena a razón de uno cada 5 minutos, durante 4 horas. Cada saco pesa 25 Kg. y lo eleva a una altura de 2.8 m ¿Cuál es el trabajo total realizado?

Datos

S. Técnico

=m Tr = Kilopondimetro

2.. Un hombre levanta cierto número de sacos

= 70

* 48 = 3,360 Kgm

33.. Calcular el trabajo necesario para trasladar Ergios

un cuerpo desde una posición de 5 metros hasta los 20 metros aplicando una fuerza de 45 N. Hallar dicho trabajo en julios y Kilopondimetros.

Datos

Tr = ?


110 07 7

TTrraabbaa j joo P Pootteenncciiaa E Enneerrggí í aa Datos x = 5m i x = 20 m f F = 45 N Δ = x − x = 20 m − 5 m = 15 m x f i T = F*Δ r x T = 45 N *15 m = 675 J r 1 kpm = 68,88 kpm T = 675 J * r 9,8 J

PPrroof f .. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí ío oss MMoonntteerroo Datos

T =? r p = 500 kp θ=? Δ =? x P =? x F=? F

un cuerpo hasta 22 metros de distancia empleando una fuerza de 8 kp, sabiendo que entre la fuerza y el desplazamiento, hay un ángulo de 35º.

Datos Tr = ? d = 22 m 9,8 N = 78,4 N F = 8 kp* 1 kp α = 35º T = F * d * cos α r T = 78,4N * cos35º * 22m = 1414,34J r

Δx

Px

44.. Calcular el trabajo necesario para arrastrar

w

5m

θ 8m

( = 8 m)2 + (5 m )2 x Δ = 9,43 m x P = P * sen θ x Δ

5 m = 255,11 kp P = 500 kp * x 9,43 m F = 255,11 kp T = F * Δ = 255,11 kp * 9,43 m r x T = 2499,99 kpm r

55.. Calcular el trabajo para subir un cuerpo de 77.. Calcular el trabajo realizado por una 12 Kg. de masa hasta una altura de 4 metros fuerza de 220 dinas y recorre una distancia de 300 m y forma un ángulo de 35º. Expresar en 5 segundos. el resultado en julios. Datos Datos T =? r T =? r m = 12 kg F = 220 dyn h=4 m d = 300 m t = 5 seg α = 35º m g = 9,8 1 N = F = 220 dyn * 2.2 *10- 3 N seg 2 105 dyn T = p * h r T = F * d * cos α r T = m*g *h r T = 2,2 *10- 3 N * 300m * cos35º r m T = 12 kg * 9,8 *4 m r T = 0,54 J seg 2 r T = 470,4N * m 88.. Calcular el trabajo realizado por una r T = 470,4 J fuerza de 500 dyn cuyo punto de aplicación r se desplaza a 120 m que forma un ángulo de 66.. Un cuerpo que pesa 500 Kg., esta al pie de 35º. Expresar el resultado en kpm. un plano inclinado, de la figura. Calcular: a) Datos La fuerza para subirlo a la cumbre, b) El T = ? r trabajo realizado por esa fuerza. F = 500 dyn

110 08 8



PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo d = 120 m α = 35º

P r s P r oobbl l e a s p p r r oo p pu u e e s s t too s s e m m a

1 kp F = 500 dyn * 9,81*105 dyn F = 5,09 *10- 4 kp T = F * d * cos α r T = 5,09 *10- 4 kp *120m * cos 35º r T = 0,05 kpm r 99.. Calcular el trabajo realizado por un cuerpo de 300 kg cuyo punto de aplicación se desplaza 1200 m, que forma un ángulo de 120º.

Datos

= 300

kg * 9,81

Sol. 1400 J; 1,4*10 10 ergios.

Bajo la acción de cierta fuerza F un cuerpo de masa de 2 kg, tiene una aceleración de 3 m/seg 2. ¿Cuál es el trabajo de esta fuerza si el cuerpo se desplaza 5 m?.

2 2 2...

Sol. 30 J.

3.. Un bloque de 5 kg se empuja una distancia de 8 m

sobre un plano horizontal, con coeficiente de rozamiento de 0,3, por una fuerza constante F paralela al plano a velocidad constante. ¿Cuál es el trabajo de la fuerza F? Sol. 117,6 J.

T =? r m = 300 kg d = 1200 m α = 120º w=F w = m*g w

Una persona empuja una carretilla de 50 kg de peso sobre una superficie horizontal a lo largo de 35 metros, empleando una fuerza de 40 N. Calcular el trabajo que realiza la persona, expresar el resultado en dos sistemas.

1 1 1...

4.. Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 3 N

cuyo punto de aplicación se desplaza 12 m paralela a la uerza. Expresar el resultado en el sistema internacional en el sistema cegesimal. Sol. 36 J; 36*10 7 erg.

55.. Calcular el trabajo de una fuerza de 1000 N en m seg 2

= 2943 N

oules, Kpm y ergios, cuyo punto de aplicación se desplaza 50 m en la misma dirección de la fuerza. Sol. 50000 J; 5100 kpm; 5*10 11 erg.

T = F * d * cos α r 6 6... ¿A que altura habrá sido levantado un cuerpo que T = 2943 N *1200m * cos 120º pesa 10 kp, si el trabajo empleado fue de 5000 J? r Sol. 51 m. T = 1765800 J r 1100.. Cual es el trabajo realizado por un 7 7 .. Calcular el trabajo realizado por una fuerza de 3 N, hombre que carga un sillón de 100 N hasta el cuyo punto de aplicación se desplaza 15 m paralela a la uerza en joules y ergios. segundo piso de una casa de 2,5 m de alto.

Datos

T =? r F = 100 N d = 2,5 m

T = F * d = 100 N * 2,5 m = 250 J r 1111.. Un hombre empuja una cortadora de gras con un angulo de 30º con la horizontal, con una fuerza de 200 N, una distancia de 10 m¿Cuál es el trabajo realizado.

Datos

T =? r F = 200 N d = 10 m α = 30º T = F * d * cosα = 100N * 2,5m * cos30º r Tr = 1732 N * m = 1732 J


Sol. 45 J; 4,5*10 4 ergios.

88.. Un hombre empuja una cortadora de césped con un

ángulo de 30º con la horizontal empleado una fuerza de 10 kp, y recorriendo una distancia de 15 m. Calcular el trabajo. Sol. 130,5 kpm.

9 9 .. Calcular el trabajo realizado para subir una bolsa de

cemento hasta una altura de 2,5 m en 10 segundos. Sol. 1225 J.

110 0 .. Un cuerpo tiene una masa de 500 kg y se lo quiere

subir por el siguiente plano inclinado. Calcular la uerza para subirlo y el trabajo realizado por esa fuerza. Sol. 300 kp; 1500 kpm.

1111.. Un muchacho estira un trineo de 45 N de peso una

distancia de 10 m sobre una superficie horizontal. Calcular el trabajo neto que tiene que hacer sobre el trineo, si el coeficiente es de 0,2 y la cuerda forma un 110 09 9



ángulo de 50º respecto a la horizontal. Sol. 72,7 J.

1122.. Un cuerpo de 60 kg se desea levantar hasta una

1100..44.. D Deef f iinniicciióónn..-- Se llama potencia

altura de 7m, por medio de un plano inclinado que orme un ángulo de 40º con la horizontal. Si la fuerza que se ejerce a través de la cuerda es de 700 N y el coeficiente de rozamiento cinético es de 0,2. Calcular: a. El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, b. El trabajo neto realizado.

(P) de una fuerza (F) a la magnitud física que caracteriza la rapidez con que una fuerza realiza un trabajo. La potencia es igual a la razón de trabajo (Tr) y al intervalo de tiempo (t) durante el cual se efectúa.

Sol. 7658 J; 0 J; -4953,19 J; -823,34 J; 1881,47 J

T P = r t

F

Δx

Px f 40º

w

h

A A u ut too e e v va al l u u a ac c i ió ó n n 11.. A qué se denomina trabajo: 22.. En qué unidades se mide el trabajo:

1100..55.. U Unniiddaaddeess d dee p pootteenncciiaa:: 1100..55..11.. SSiisstteem maall ((C C..G G..SS..))..maa cceeggeessiim Para la unidad de potencia en el sistema c.g.s. no se ha asignado un nombre especial. Donde el trabajo se expresa en ergio, el tiempo en segundos, por lo tanto la potencia se mide en ergio / segundo. T = Ergio r

t

= seg

P=

Ergio seg

1100..55..22.. SSiisstteem maa iinntteerrnnaacciioonnaall ((SS..II..))..-En este sistema el trabajo se expresa en julios, el tiempo en segundos, la potencia se mide en julios / segundos, que se denomina vatio. Esta es una unidad denominada pequeña, la potencia se expresa con más frecuencia en Kilovatio o Kw. Tr = Julio t = seg

P=

Julio = Vatt seg

1100..55..33.. SSiisstteem maa ttééccnniiccoo..-- En este sistema técnico en el cual la unidad de trabajo es el kilopondio y la unidad de tiempo es el seg. La unidad de potencia es el kilopondimetro por seg., o Kpm seg T = Kpm r

11110 0

t = seg

p =

Kpm seg




1100..66.. E Eqquuiivvaalleenncciiaass::

P r s P r oobbl l e e m m a a s r r e e s u s ue e l lt t o o s s

1kilovatio (Kw) = 103 w 1Megavatio = 103 Kw = 10 6 w 1caballo vapor CV

=

75 Kpm seg.

1Horse power Hp = 746 w

11.. Un martillo de 2*10 3 Kg. De una máquina = 735 w = 0,735

= 0746 Kw

para hincar clavos se levanta una altura de 2 m en 2 seg. ¿Qué potencia suministra el motor al martillo?

Datos

3

m = 2*10 Kg. t = 2 seg. 2 g =9,81 m/seg


h=2m P=?

T F*d = (1) t t Pero. F = m * g (2) Reemplazando (2) en (1) tenemos m * g * d 2 *103 * 9,8 * 2 P= = t 2 P = 2 *10 4 watts P=

Potencia

Concepto A la rapidez con que una fuerza realiza trabajo.

P

=

Tr t

2.. Se levanta un cuerpo de 35 kg, hasta una altura de 9 m. ¿Qué potencia se realizara si se emplea 40 segundos?.

Unidades

Datos S.I. W

C.G.S.

= Julio

t

= seg

P

=

Julio seg

W

= Vatio

S. Técnico

= Ergio

t

= seg

P

=

Ergio seg

W

= Kpm

t

= seg

p

=

Kpm seg

Equivalencias

m = 35 kg h=9 m P=? t = 40 seg. P * h m*g*h P= = t t m 35 kg * 9,8 *9 m 2 seg 3087 J P= = 40 seg. 40 seg. P = 77,18 w

33.. De un pozo deben extraerse cada 1kilovatio (Kw) 1Megavatio

= 103w

= 103Kw = 106 w

1caballo vapor CV

=

75Kpm seg.

= 735 w = 0,735 1Horse power Hp

= 746w = 0746Kw


11.. PPootteenncciiaa m meeccáánniiccoo:: T P = r t


3 minutos, 900 litros de agua desde una profundidad de 150 m. ¿Cuántos HP debe desarrollar el motor?

Datos

t = 3 min = 180 seg. P = 900 l = 8820 N h = 150 m P=? P * h 8820 N *150 m P= = = 7350 w 180 seg. t 1 Hp 7350 w * = 9,99 HP 736 w P = 9,99 HP

44.. Un hombre hace una fuerza de 200 N para jalar un cuerpo una distancia de 15 m empleando 10 segundos. Cual es la potencia desarrollada.

111111

TTrraabbaa j joo P Pootteenncciiaa E Enneerrggí í aa Datos

Datos

F = 200 N d = 15 m t = 10 seg. P =? T = F*d r T = 200 N *15 m = 3000 J r T 3000 J P = r = = 300 w t 10 seg

P=? t = 1 min

α = 30º P =?

* 30 m J = 4 N = =2 2 60 seg seg

W

88.. Calcular la potencia necesaria para elevar

desarrollara un hombre al llevar sobre sus espaldas un bulto que pesa 300 N a lo largo de una pendiente de 30º de inclinación y 40 m de longitud y que tarda 2º segundos. w = 300 N t = 20 seg.

F = 4 N d = 30 m

T F*d P = r = t t

55.. Calcular la potencia, en watts, que

Datos


d = 40 m

un caudal de 5 litros de agua por segundo hasta una altura de 75 metros, suponiendo nulos todos los rozamientos. Expresar el resultado en CV.

Datos

P=? Q = 5 litros h = 75 m t = 1 seg.

1 dm3 5 litros * 1 litro m = Vρ

F

40 m w sen α

m = 5dm3 *1

α w cos α

w

T =E r P

= 5dm3

kg dm3

= 5kg

= m*g *h

m T = 5 kg * 9,8 * 75 m r 2 seg

T P = r = F * d = w * sen * α * d t t t 300 N * sen * 30º*40 m P= 20 seg P = 300 N * m = 300 J = 300 W seg seg

T = 3675 J r T P = r = 3675 J 1 seg t P = 3675W * 1 CV 735 W

= 5 CV

66.. Calcular ¿Cuántos HP desarrolla un camión que carga 2 Ton durante 10 minutos al desplazarse por una pista de 3 km, si hace 4 una fuerza de 10 N?

Datos F = 10 4 d = 3 km

P=? t = 10 min T F*d P = r = t t

4

* 3000m = 10 600seg = 50000W

P = 50000 W * 1 HP 745 W

= 67,1

HP

77.. Hallar la potencia de un móvil que recorre 30 m en un minuto, el cual emplea una fuerza de 4 N.

11 2 1 12


PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo PPr r oobbl l eem maass p pr r oo p puueessttooss 11.. Un hombre levanta un cuerpo de 50 kg hasta una

TTrraabbaa j jjoo PPootteenncciiaa E Enneerrggí í aa rendimiento del motor es del 80 %, calcular el tiempo que tardara en llenarse, expresado en segundos. Sol. 2,551 seg.

altura de 12 m ¿Qué potencia desarrolla si el trabajo lo 1111.. Hallar lza potencia del motor de automóvil de realiza medio minuto. 1000 Kp de peso que marcha a una velocidad de Sol. 196 w 70 km/h ascendiendo por una pendiente de 3 %. 22.. Un automóvil sube con una velocidad de 14 m/seg. Expresar el resultado en caballos de vapor, suponiendo por un plano inclinado de 5º, la masa del automóvil es que no existe rozamiento. 1500 kg. Calcular la potencia del motor. El trabajo Sol. 7,78 CV. efectuado en 12 seg. 1122.. Hallar la potencia media necesaria para elevar, por Sol. 279,65 Hp; 17150 J medio de un sistema de poleas cuyo rendimiento es del 3.. Un hombre arrastra un bulto de harina de 60 kg por 75 %, un peso de 300 Kp a una altura de 6 m en 8 m a lo largo del piso con una fuerza de 30 N y luego 30 segundos. Expresar el resultado en caballos vapor. lo levanta hasta un camión a 70 cm de altura. Calcular Sol. 0,6 CV. el trabajo y la potencia desarrollada si dura 3 minutos. Sol.- 651,6 J; 3,62 w

A A u ut t o oe e v va al l u u a c a ci ió ó n n HP desarrolla un camión de carga de 2 toneladas durante 10 minutos al deslizarse por una 11.. Por qué se llama potencia: pista de 5 km, si efectúa una fuerza de 2000 kp. 4.. Cuántos

Sol. 219 HP.

55.. En una construcción se sube un balde de arena de

2.. En qué unidades se mide la potencia:

20 kp a una velocidad de 4 m/seg. Calcular en HP la potencia del motor que mueve la instalación Sol. 1067 HP.

6 6 .. Para llenar un tanque hay que levantar el agua hasta

una altura de 10 m. El tanque es cilíndrico y tiene 2 m de altura por 1 m de radio. La bomba utilizada tiene una potencia de 1 HP. Calcular el tiempo que tardara en llenar el tanque. Sol. 13 min., 57 seg.

7 7 .. De un pozo deben extraerse cada 3 minutos

900 litros de agua desde una profundidad de 150 m. ¿Cuántos HP debe desarrollar el motor de una bomba, si el 40 % de su potencia se pierde?. Sol. 16,7 HP.

88.. Una persona sube ladrillos de 5kg cada uno, por una

escalera hasta una altura de 9 m tardándose una hora en subir un millar. Hallar la potencia ejercida por la persona. Sol. 125 W.

9 9 .. En una construcción se sube un balde de arena de

20 kg a una velocidad de 4 m/seg. Calcular en HP la potencia del motor que mueve la instalación. Sol. 1,067 HP.

110 0 .. Con un motor de 4 C v de potencia se desea llenar

un depósito de 200 m3, el extremo del cual se halla situado a 3 metros por encima del nivel del agua. Si el FFí í ssiiccaa QQuuí í mmiiccaa

11 3 1 13



E n r g í ía E ne e r a

R n R e e s s u u m e m e n

1100..77.. D Deef f iinniicciióónn..-- La energía de un cuerpo es la capacidad que posee para realizar un trabajo. Como la energía de un cuerpo se mide en función del trabajo que este puede realizar, y trabajo y energía se expresan en las mismas unidades. Energía, al igual que trabajo es una magnitud escalar. Dentro la energía tenemos dos clases que son la energía potencial y la energía cinética.

1100..77..11.. EEnneerrggí í aa ppootteenncciiaall..-- Energía potencial Ep de un cuerpo es la capacidad que este posee de realizar trabajo por efecto del estado o posición en que se encuentra, su fórmula es:

Energía Concepto Capacidad que posee para realizar un trabajo.

Energía potencial

Energía cinética

Tiene la capacidad de realizar trabajo por efecto del estado o posición en que se encuentra.

Tiene la capacidad de realizar trabajo debido a su movimiento.

Ep

= mgh

Ec

=

1 2

mv

2

Ep = m ∗ g ∗ h

Donde:

R m e n ó r m u R e e s s u m e n d d e e f f ó r mu u l la a s s

m = masa g = graveda h = altura

1100..77..22.. EEnneerrggí í aa cciinnééttiiccaa..-- Energía 11.. E Enneerrggí í aa p pootteenncciiaall:: cinética Ec de un cuerpo es la capacidad que posee de realizar un trabajo, debido a su movimiento, la energía cinética de un cuerpo de masa m que se desplaza a una velocidad v, su fórmula es: Ec =

1 ∗ m ∗ v2 2

Ep = m ∗ g ∗ h

Enneerrggí í aa c ciinnééttiiccaa:: 2.. E Ec =

1 ∗ m ∗ v2 2

1100..88.. LLeeyy ddee llaa ccoonnsseerrvvaacciióónn ddee llaa eenneerrggí í aa..-- Dice “La energía no se crea ni se destruye, únicamente se transforma “. Ello implica que la masa en ciertas condiciones se puede considerar como una forma de energía. En general, no se trata aquí el problema de conservación de masa en energía, ya que se incluye la Teoría de la Relatividad. 11114 4




P r s r e P r oobbl l e e m m a a s r e s u s ue e l lt t o o s s

w = m*g ⇒ m =

w g

3 kp m 9,81 seg.2

=

11.. Calcular la velocidad con que llega al suelo un objeto que cae desde 150 m de altura. Calcular su energía potencial a esa altura, si la masa es de 8 kg.

Datos

h = 150 m m = 8 kg E

P

v=? E =? P

E

1 m v2 2 2* m*g *h = 2*g*h m

E

m *150 m seg2

= m*g *h = 8 P P

= 11760

E p

= 0,306utm*6m*9,81

= 54,22

kg * 9,8

Datos

Ec = ?

m seg

m *150 m 2 seg

J

velocidad de 30 m/seg. y tarda en llegar al suelo 1,8 seg. Determinar la altura en el que se ha lanzado dicha piedra. Sabiendo que la energía potencial es 6,2 ergios.

Datos t = 1,8 seg.

1 kg. 2 *10 − 3 kg. 1000 gr 1J E = 6,2 erg * = 6,2 *10 − 7 J h = ? p 10 7 E = m*g *h p E p 6,2 *10− 7 J = h= m * g 2 *10− 3 kg * 9,8 m seg2 h = 3,2 *10 − 5 m m = 2 gr *

6 m. E p

=?

h=6 m

m seg. w = m*g 12 kp w m= = g m 9,81 seg.2 E

c

m * v2


= 18kpm.

=

2

=

E

c

=

= 1,22

utm. m 2 ) seg.

2 m2 seg2

2

= 0,61

kpm.

55.. Un cuerpo de 2 kp de peso cae desde una altura de 10 m. calcular la energía cinética del cuerpo al llegar al suelo y demostrar que es igual a la disminución que experimenta su energía potencial.

Datos w

=?

h = 10 m

Ec = ?

Ep = ?

g = 9,8

m seg2.

w = m*g m=

w g

=

12 kp m 9,81 seg.2

= f

2 * 9,81

w = 3 kp m seg.2

kp

1,22 utm * (1

1,22 utm *1

v

g = 9,81

= 12

w

33.. Hallar la energía potencial que adquiere v = 2 * g * h f un peso de 3 kp al elevarlo a una altura de Datos

m seg2

v =1

2.. Una piedra de 2 gramos se lanza con una

m v = 30 seg

= m*g*h

de 12 kp de peso animado de una velocidad de 1 m/seg.

m*g *h =

v = 2 * 9,8

E p

44.. Calcular la energía cinética de un cuerpo

= Ec

v=

w = 0,306 utm.

E

c

=

m * v2 2

=

m seg.2

= 0,20

utm.

*10 m

= 14

0,20 utm * (14

m seg.

m 2 ) seg.

2

11 5 1 15

TTrraabbaa j joo P Pootteenncciiaa E Enneerrggí í aa m2 0,20 utm *196 seg 2

= 2 E = m*g *h p E

c

E p

= 0,20

E p

= 20


= 20 kpm.

utm *10 m * 9,81

m

m * v2 E = c 2 2 * Ec 2 * 9 *1011 N * m m= = 2 v ⎛ 166,67 m ⎞2 ⎜ seg ⎠⎟ ⎝ m = 6,5 *10 7 kg

seg 2

m = 6,5 *10 7 kg *

kpm.

1000 g 1 kg

= 6,5 *1010

g

66.. Un cuerpo de 350 kp de peso cae 88.. Un cuerpo de 200 kp de peso tiene una libremente desde una altura de 3m. Calcular la Ec del cuerpo en el momento de llegar al suelo y demostrar que es igual a la Ep del mismo antes de caer

Datos w

= 350

Ec = ? v v

h =3 m

kp

Ep = ?

=

2*g *h

= f

2 * 9,81

f

m seg.2

g = 9,8

*3 m

m seg2.

= 7,67

m seg.

w = m*g m=

w g

= 350 kp m 9,81 seg.2

= 35,68

utm.

2 ⎛ ⎞ m 35,68 utm * ⎜ 7,67 seg ⎠⎟ m * v2 ⎝ E = = c 2

2

35,68utm * 58,83

= c E = m*g *h p E

E p

= 35,68

E p

= 1050

m2 seg 2

2

utm * 3 m * 9,81

= 1050kpm. m seg 2

kpm.

una velocidad de 600 km/h, sabiendo que la 11 energía cinética es 9*10 J. Expresar el resultado en ergios.

Datos k m Ec = 9 *1011 J h v = 600 km * 1000 m * 1 h 3600 seg h 1 km v = 166,67 m seg

11116 6

v = 600

Datos

w = 200 kp

E p

= 9 *108

ergios *

1 kpm 9,81*107 ergios

E = 9,18 kpm p h=? m g = 9,81 seg.2 E p

= m*g *h

h=

E p m*g

=

E p w

kpm = 9,18 200 kp

h = 4,59 *10 - 2 m

99.. Calcular la energía cinética de un cuerpo de 80 utm que recorre 20 m en 30 segundos. Expresar el resultado en kpm.

Datos

77.. Calcular la masa de un cuerpo que lleva

m= ?

8

energía potencial de 9*10 ergios. Calcular la altura en el que se encuentra dicho cuerpo.

E

c

=

?

m = 80 utm

d = 20 m t = 30 seg. m v = d = 20 m = 0,67 t 30 seg seg. 2 ⎛ ⎞ m 80 utm * ⎜ 0,67 seg ⎠⎟ m * v2 ⎝ E = = c 2 2 80 utm * 0,4489

= E = 17,956 c E

c

m2 seg2

2 kpm.

1100.. Una fuerza constante actúa durante un minuto sobre un cuerpo de 3 kp comunicándole una velocidad de 2 m/seg. Hallar la energía cinética adquirida por el cuerpo y el valor de la fuerza.



PPrroof f.. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz RRí í ooss MMoonntteerroo Datos w = 3 kp

v = 2

Ec = ? m=

E

E

E E

w g

c

= =

= c

kp * seg 2 = 0,306 m

3 kp = m 9,8 seg 2

Sol.- 5,49 * 10 9 erg.

A un cuerpo de 40 kp se le aplica una fuerza de 18 kp formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si no hay rozamiento. Calcular la velocidad del cuerpo después de haber recorrido 8 m de distancia, partiendo del reposo.

2 2 2...

2

kp * seg2 ⎛ m ⎞2 0,306 *⎜2 ⎟ m ⎝ seg ⎠ 2 kp * seg2 m2 0,306 *4 m seg2

Sol. 7,8 m/seg2

3.. Un automóvil de 1200 kp de peso desciende por una

2 0,612 kpm *

Un cuerpo de 4 kp cae desde una altura de 14 m, calcular la perdida que experimenta de Ep en julios y en ergios.

1 1 1...

F=?

m*v = c 2

c

P r obl ee m a s p p r o pu ee s tt o s Problemas propuestos

m seg

9,8 J 1 kpm

= 5,99

J

pendiente de 20º. El conductor aprieta el freno cuando la velocidad es de 19 m/seg. Calcular la fuerza paralela al plano, que ejercen los frenos, si el automóvil recorre 50 m antes de detenerse. Sol. 871,35 Kp

4. Un cuerpo de 8 kg de masa se encuentra a una altura de 32 m se lo deja caer. Demostrar la conservación de energía, en su parte superior, cuando ha descendido 20 m; cuando este a 7 m del suelo. Sol. 2508,8 J

Un tren parte del reposo desde la cima de un tramo de vía con una pendiente de 1% y recorre una distancia de 1500 m bajo la acción exclusiva de la gravedad, continuando después por otro tramo horizontal. La fuerza de rozamiento es constante e igual a 6 kp/tn. Calcular la velocidad final de la pendiente y el espacio que recorre el tren por el plano.

5 5...

Sol.- 10,84 m/seg ; 1000 m

6 6 .. Una fuerza horizontal de 10 kp impulsa a un cuerpo

de 25 kp a lo largo de 30 m sobre una superficie horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento cinético a 0,1. Hallar los trabajos realizados contra las fuerzas de rozamiento y de la gravedad. Indicar que clase de energía adquiere el cuerpo. Sol. 75 Kpm

7 7 .. Calcular la energía potencial almacenada en

un tanque con 1500 litros de agua, situado a 10 m de altura respecto del suelo. El peso especifico del agua es 1000 Kp/m3. Sol.- 147000 J 88.. Que energía cinética tiene al tocar el suelo un cuerpo

de 100 kp de peso que cae desde una altura de 40 m?. Sol. 39200 J.


11117 7


PPrroof f .. L Liicc.. JJoohhnnnnyy FFrraannzz R Rí ío oss MMoonntteerroo 9 9 9... Calcular la energía que se consumirá al frenar un 1 133.. Una fuerza horizontal de 10 Kp impulsa a un vagón de ferrocarril de 8000 kp que marcha a razón de cuerpo de 25 Kp a lo largo de 30 m sobre una superficie 5 m/seg. horizontal, siendo el coeficiente de rozamiento cinético Sol. 100000 J igual a 0,1. hallar los trabajos realizados contra las uerzas de rozamiento y de la gravedad. Indicar que 110 0 .. Un cuerpo que pesa 4,9 kp se desliza por un plano clase de energía adquiere el cuerpo. inclinad, sin frotamiento, de 5 m de longitud y 1m de Sol. 225 Kpm. altura. Determinar: a. El espacio que recorre partiendo del reposo, en 1144.. Una bola de acero, pulimentada, de 98 N es 2 segundos. lanzada hacia arriba desde el suelo, con una velocidad b. La energía cinética que adquiere. inicial de 20 g m / seg . Determinar: a) La altura “h” que c. La disminución de su energía potencial. alcanzara la bola y el tiempo que durara la ascensión, Sol. a. 3,92 m; b. 3,84 kpm; c. 3,84 kpm b) La energia cinetica y la energia potencial en joules cunado la bola esta a 50 m del suelo. 1111.. Un avión vuela a una altura de 100 m a una Sol. 200 m 14700 J 4900 J. velocidad de 720 km/h; su masa es de 98100 kg. Calcular su energía potencial en J. Sol. 96,14*10 6 J.

1122.. Una caída de agua tiene una velocidad media de 8

m seg

.Si en cada segundo caen 200 litros. ¿Cuál es la

energía cinética del agua? Sol. 800 J.


11.. A qué se llama energía potencial: 22.. En qué unidades se mide la energía potencial: 33.. A qué se llama energía cinética: 44.. En qué unidades se mide la energía cinética:

11118 8


Fisica 3ro medio.pdf

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