Física 2 Principios con Aplicaciones Douglas Giancoli 6ta Edición

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Constantes fundamentales Cantidad

Símbolo

Valor aproximado

Mejor valor actual†

Rapidez de la luz en el vacío Constante gravitacional Número de Avogadro Constante de gas

c G NA R

2.99792458 * 108 m
s 6.6742(10) * 10–11 N
m2
kg 2 6.0221415(10) * 1023 mol–1 8.314472(15) J
mol
K

Constante de Boltzmann Carga del electrón Constante Stefan-Boltzmann Permitividad del espacio libre Permeabilidad del espacio libre Constante de Planck Masa en reposo del electrón

k e s  0 = A1
c2m0 B m0 h me

Masa en reposo del protón

mp

Masa en reposo del neutrón

mn

3.00 * 108 m
s 6.67 * 10–11 N
m2
kg 2 6.02 * 1023 mol–1 8.314 J
mol
K = 1.99 cal
mol
K = 0.0821 L
atm
mol
K 1.38 * 10–23 J
K 1.60 * 10–19 C 5.67 * 10–8 W
m2
K4 8.85 * 10–12 C 2
N
m2 4p * 10–7 T
m
A 6.63 * 10–34 J
s 9.11 * 10–31 kg = 0.000549 u = 0.511 MeV
c2 1.6726 * 10–27 kg = 1.00728 u = 938.3 MeV
c2 1.6749 * 10–27 kg = 1.008665 u = 939.6 MeV
c2 1.6605 * 10–27 kg = 931.5 MeV
c2

Unidad de masa atómica

1.3806505(24) * 10–23 J
K 1.60217653(14) * 10–19 C 5.670400(40) * 10–8 W
m2
K4 8.854187817 p * 10–12 C 2
N
m2 1.2566370614 p * 10–6 T
m
A 6.6260693(11) * 10–34 J
s 9.1093826(16) * 10–31 kg = 5.4857990945(24) * 10–4 u 1.67262171(29) * 10–27 kg = 1.00727646688(13) u 1.67492728(29) * 10–27 kg = 1.00866491560(55) u 1.66053886(28) * 10–27 kg = 931.494043(80) MeV
c2

†

CODATA (12
03), Peter J. Mohr y Barry N. Taylor, National Institute of Standards and Technology. Los números entre paréntesis indican incertidumbres experimentales de una desviación estándar en los dígitos finales. Los valores sin paréntesis son exactos (es decir, son cantidades definidas).

Otros datos útiles

El alfabeto griego

Equivalente en joule (1 cal) Cero absoluto (0 K) Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra (prom.) Rapidez del sonido en el aire Densidad del aire (seco) Tierra: Masa Radio (medio) Luna: Masa Radio (medio) Sol: Masa Radio (medio) Distancia Tierra-Sol (media) Distancia Tierra-Luna (media)

4.186 J –273.15°C 9.80 m
s2 (= g) 343 m
s 1.29 kg
m3

5.98 * 1024 kg 6.38 * 103 km 7.35 * 1022 kg 1.74 * 103 km 1.99 * 1030 kg 6.96 * 105 km 149.6 * 106 km 384 * 103 km

Alfa Beta Gamma Delta Epsilon Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda Mu



¢    ™   ¶ 

a b g d e z h u i k l m

Nu Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau Upsilon Phi Chi Psi Omega

   ß  ©   £

°

n j o p r s t y f, w x c v

Valores de algunos números p = 3.1415927 e = 2.7182818

12 = 1.4142136 13 = 1.7320508

ln 2 = 0.6931472 ln 10 = 2.3025851

Propiedades del agua

Signos y símbolos matemáticos r = L Z 7 W 6 V

es proporcional a es igual a es aproximadamente igual a no es igual a es mayor que es mucho mayor que es menor que es mucho menor que

  g x ¢x ¢x S 0 n!

log10 e = 0.4342945 1 rad = 57.2957795°

es menor que o igual a es mayor que o igual a suma de valor promedio de x cambio en x ¢x tiende a cero n(n - 1)(n - 2) p (1)

Densidad (4°C)

1.000 kg
m3

Calor de fusión (0°C) 333 kJ
kg (80 kcal
kg) Calor de vaporización 2260 kJ
kg (100°C) (539 kcal
kg) Calor específico (15°C) 4186 J
kg
C° (1.00 kcal
kg
C°) Índice de refracción 1.33

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Fórmulas geométricas útiles. Áreas, volúmenes Circunferencia de círculo C = pd = 2pr Área de círculo

A = pr2 =

Área de rectángulo

A = lw

Exponentes [Véase apéndice A-2 para detalles]

d r

pd2 4

Aan BAam B = an + m Aan BAbn B = (ab)n m Aan B = anm

C

l

a –1 =

w

1 a

1

h

A = bh

b Área de triángulo

A =

1 2

hb

h

h b

Triángulo rectángulo (Pitágoras)

A = 4pr2 V = 43 pr3

a

1

[Ej.: Aa5 BAa –2 B = a3]

a = an - m am

an a n n = a b b b

x =

h

V = lwh

–b P 3b2 - 4ac

.

2a

l

w

Logaritmos [apéndice A-8; tabla p. A-11] A = 2prl + 2pr2 V = pr2l

Cono circular recto: área superficial volumen

A = pr2 + pr 3r2 + h2 V = 13 pr2h

l

Si y = 10x,

r

x

Si y = e ,

n(n - 1)

x2 + 2
1 si x V 1

entonces entonces

x = log10 y = log y. x = loge y = ln y.

log(ab) = log a + log b a log a b = log a - log b b log an = n log a

h r

Expansión binomial [apéndice A-5]

L 1 + nx

n

La ecuación con incógnita x en la forma ax2 + bx + c = 0, tiene soluciones

r

Cilindro (recto): área superficial volumen

(1 + x)n = 1 + nx +

d

Fórmula cuadrática [apéndice A-4]

c b

Sólido rectangular: volumen

1

b

c 2 = a 2 + b2

Esfera: área superficial volumen

4 Ejemplo: A a4 B = a 1 = n a0 = 1 a

a4 = 21a

Aan BAa –m B =

h

c

a –n

a2 = 1a Área de paralelogramo

[Ejemplo: Aa3 BAa2 B = a5] [Ejemplo: Aa3 BAb3 B = (ab)3] 2 Ejemplo: Aa3 B = a6

Fracciones

n(n - 1)(n - 2) 3
2
1

x3 + p

c a = es lo mismo que ad = bc b d

[para x2 6 1]

[Ejemplo: (1 + 0.01)3 L 1.03] 1 1 –1 [Ejemplo: = = (1 - 0.01) 2 L 1 - A – 12 B(0.01) L 1.005] 10.99 11 - 0.01

a a b b ad = bc c a b d

Fórmulas trigonométricas [apéndice A-7] )

ot

p

hip

(hi

sen u =

sa enu

op (opuesto) cos u =

θ

ady (adyacente) ady2 + op2 = hip2 tan u =

tan u =

op hip

sen(180° - u) = sen u sen(90° - u) = cos u

ady

cos(90° - u) = sen u

hip

sen 12 u = 3(1 - cos u)
2

op ady

(Teorema de Pitágoras)

sen u cos u

sen2 u + cos2 u = 1 sen 2u = 2 sen u cos u cos 2u = (cos2 u - sen2 u) = (1 - 2 sen2 u) = (2 cos2 u - 1)

cos(180° - u) = – cos u f 0 6 u 6 90° cos 12 u = 3(1 + cos u)
2

[para pequeños u f 0.2 rad] u2 [para pequeños u f 0.2 rad] cos u L 1 2 sen(A P B) = sen A cos B P cos A sen B cos(A P B) = cos A cos B7sen A sen B sen u L u

Para cualquier triángulo: c2 = a2 + b2 - 2ab cos g sen b sen g sen a = = a b c

(ley de cosenos) (ley de senos)

c α

β

b

a γ

Conversiones de unidades (equivalentes) Longitud

Tiempo

1 in = 2.54 cm 1 cm = 0.3937 in 1 ft = 30.48 cm 1 m = 39.37 in = 3.281 ft 1 mi = 5280 ft = 1.609 km 1 km = 0.6214 mi 1 milla náutica (EUA) = 1.151 mi = 6076 ft = 1.852 km 1 fermi = 1 femtómetro (fm) = 10–15 m 1 angstrom (Å) = 10–10 m = 0.1 nm 1 año luz (al) = 9.461 * 1015 m 1 parsec = 3.26 al = 3.09 * 1016 m

1 día = 8.64 * 104 s

Volumen

1 año = 3.156 * 107 s

Masa 1 unidad de masa atómica (u) = 1.6605 * 10–27 kg 1 kg = 0.0685 slug [1 kg tiene un peso de 2.20 lb donde g = 9.80 m
s2.]

Fuerza 1 lb = 4.45 N 1 N = 105 dina = 0.225 lb

Energía y trabajo

1 litro (L) = 1000 mL = 1000 cm3 = 1.0 * 10–3 m3 = 1.057 (qt EUA)
61.02 in3 1 galón (EUA)
4 qt (EUA)
231 in3
3.785 L 0.8327 galón (inglés) 1 cuarto (qt, EUA)
2 pintas (EUA)
946 mL 1 pinta (inglesa)
1.20 pintas (EUA)
568 mL 1 m3 = 35.31 ft3

1 J = 107 ergs = 0.738 ft lb 1 ft lb = 1.36 J = 1.29 * 10–3 Btu = 3.24 * 10–4 kcal 1 kcal = 4.186 * 103 J = 3.97 Btu 1 eV = 1.602 * 10–19 J 1 kWh = 3.60 * 106 J = 860 kcal

Potencia

Rapidez

1 W = 1 J
s = 0.738 ft lb
s = 3.42 Btu
h

1 mi
h = 1.467 ft
s = 1.609 km
h = 0.447 m
s 1 km
h = 0.278 m
s = 0.621 mi
h 1 ft
s = 0.305 m
s = 0.682 mi
h 1 m
s = 3.281 ft
s = 3.600 km
h = 2.237 mi
h 1 nudo = 1.151 mi
h = 0.5144 m
s

1 hp = 550 ftlb
s = 746 W

Presión 1 atm = 1.013 bar = 1.013 * 105 N
m2 = 14.7 lb
in2 = 760 torr

Ángulo

1 lb
in2 = 6.90 * 103 N
m2

1 radián (rad) = 57.30° = 57°18¿

1 Pa = 1 N
m2 = 1.45 * 10–4 lb
in2

1° = 0.01745 rad 1 rev
min (rpm) = 0.1047 rad
s

Multiplicadores métricos (SI)

Unidades SI derivadas y sus abreviaturas Cantidad Fuerza Energía y trabajo Potencia Presión Frecuencia Carga eléctrica Potencial eléctrico Resistencia eléctrica Capacitancia Campo magnético Flujo magnético Inductancia

Unidad newton joule watt pascal hertz coulomb volt ohm farad tesla weber henry

Abreviatura N J W Pa Hz C V  F T Wb H

En términos de unidades base† kg m
s2 kg m2
s2 kg  m2
s3 kg
Am s2 B s–1 A s kg  m2
AA s3 B kg  m2
AA2 s3 B A2 s4
Akg  m2 B kg
AA s2 B kg  m2
AA s2 B kg m2
As2 A2 B

kg
kilogramo (masa), m
metro (longitud), s
segundo (tiempo), A
ampere (corriente eléctrica). †

Prefijo

Abreviatura

Valor

yotta zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deka deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Y Z E P T G M k h da d c m m n p f a z y

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18 10–21 10 –24

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FÍSICA 2 PRINCIPIOS CON APLICACIONES

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FÍSICA 2 PRINCIPIOS CON APLICACIONES SEXTA EDICIÓN

DOUGLAS C. GIANCOLI

TRADUCCIÓN: Víctor Campos Olguín Traductor profesional REVISIÓN TÉCNICA: Agustín Vázquez Sánchez Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Estado de México Alberto Lima Sánchez Profesor de Física Preparatoria-Universidad La Salle Tufik Zambrano Profesor de Física Gimnasio la Fontana Bogotá, Colombia

José Vicente Contreras Julio Profesor de Física y Matemáticas Sección Bachillerato Gimnasio Británico Bogotá, Colombia Sebastián Torres Gutiérrez Profesor de Física Colegio Jordán de Sajonia Bogotá, Colombia Hernando Julio Garrido Insignares Profesor de Física Instituto Técnico Central Bogotá, Colombia

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Datos de catalogación bibliográfica GIANCOLI, C. DOUGLAS FÍSICA 2. Principios con aplicaciones. Sexta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009 ISBN: 978-970-26-1578-1 Área: Universitarios Formato: 21 × 27 cm

Páginas: 528

Authorized translation from the English language edition, entitled Physics: principles with applications 6th ed., by Douglas C. Giancoli, published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2005. All rights reserved. ISBN 0-13-060620-0 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Physics: principles with applications 6a. ed., de Douglas C. Giancoli, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2005. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño

Editor-in-Chief, Science: John Challice Senior Acquisitions Editor: Erik Fahlgren Senior Development Editor: Karen Karlin Vice President of Production and Manufacturing: David Riccardi Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Senior Production Editor: Susan Fisher Production Editor: Chirag Thakkar Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti Manufacturing Buyer: Alan Fischer Managing Editor, Audio and Visual Assets: Patricia Burns AV Project Managers: Adam Velthaus and Connie Long Assistant Managing Editor, Science Media: Nicole Bush Associate Editor: Christian Botting Media Editor: Michael J. Richards

Director of Creative Services: Paul Belfanti Advertising and Promotions Manager: Elise Schneider Creative Director: Carole Anson Art Director: Maureen Eide Illustration: Artworks Marketing Manager: Mark Pfaltzgraff Editor-in-Chief of Development: Carol Trueheart Director, Image Research Center: Melinda Reo Photo Research: Mary Teresa Giancoli and Jerry Marshall Manager, Rights and Permissions: Cynthia Vincenti Copy Editor: Jocelyn Phillips Indexer: Steele/Katigbak Editorial Assistant: Andrew Sobel Composition: Emilcomp srl / Prepare Inc.

SEXTA EDICIÓN, 2009 D.R. © 2009 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco núm. 500 – 5° piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1578-X ISBN 13: 978-970-26-1578-1 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09

CONTENIDO 3 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 *3-7 *3-8 LISTA DE APLICACIONES PREFACIO COMPLEMENTOS Y MEDIOS AUDIOVISUALES DISPONIBLES

xiii xv xxiii

NOTAS A LOS ESTUDIANTES (Y PROFESORES) ACERCA DEL FORMATO

xxvii

VOLUMEN 1

1 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 *1-8

2 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 *2-8

INTRODUCCIÓN, MEDICIÓN, ESTIMACIÓN La naturaleza de la ciencia La física y su relación con otros campos Modelos, teorías y leyes Medición e incertidumbre; cifras significativas Unidades, estándares y el sistema SI Conversión de unidades Orden de magnitud: estimación rápida Dimensiones y análisis dimensional RESUMEN 15 PREGUNTAS 16 PROBLEMAS 16 PROBLEMAS GENERALES 17

1

Marcos de referencia y desplazamiento Velocidad promedio Velocidad instantánea Aceleración Movimiento con aceleración constante Resolución de problemas Caída de objetos Análisis gráfico del movimiento lineal RESUMEN 38 PREGUNTAS 38 PROBLEMAS 39 PROBLEMAS GENERALES 42

4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6

1 3 4

4-7

5 8 10 12 14

4-9

DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO: CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN

4

19 20 21 23 23 26 28 31 36

4-8

5 5-1 5-2 5-3 *5-4 *5-5 5-6 5-7 5-8 *5-9 5-10

CINEMÁTICA EN DOS DIMENSIONES; VECTORES

45

Vectores y escalares Suma de vectores: métodos gráficos Resta de vectores y multiplicación de un vector por un escalar Suma de vectores por medio de componentes Movimiento de proyectiles Resolución de problemas que implican el movimiento de proyectiles El movimiento de proyectiles es parabólico 62 Velocidad relativa RESUMEN 64 PREGUNTAS 65 PROBLEMAS 65 PROBLEMAS GENERALES 69

45 46 48 49 54 56 62

DINÁMICA: LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON

72

Fuerza Primera ley del movimiento de Newton Masa Segunda ley del movimiento de Newton Tercera ley del movimiento de Newton Peso: la fuerza de gravedad y la fuerza normal Resolución de problemas con las leyes de Newton: diagramas de cuerpo libre Problemas que implican fricción y planos inclinados Resolución de problemas: Un enfoque general RESUMEN 96 PREGUNTAS 97 PROBLEMAS 98 PROBLEMAS GENERALES 103

72 73 75 75 77 80 84 90 96

MOVIMIENTO CIRCULAR Y GRAVITACIÓN

106

Cinemática del movimiento circular uniforme 106 Dinámica del movimiento circular uniforme 109 Curvas en las autopistas, peraltadas y sin peralte Movimiento circular no uniforme Centrifugación Ley de la gravitación universal de Newton Gravedad cerca de la superficie de la Tierra; aplicaciones geofísicas Los satélites y la “ingravidez” Leyes de Kepler y síntesis de Newton Tipos de fuerzas en la naturaleza RESUMEN 128 PREGUNTAS 129 PROBLEMAS 130 PROBLEMAS GENERALES 133

112 115 116 117 121 122 125 128

vii

6 6-1 *6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8

6-9 6-10

7 7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 *7-7 7-8 *7-9 *7-10

8 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-8 *8-9

viii

TRABAJO Y ENERGÍA

136

Trabajo realizado por una fuerza constante 137 Trabajo realizado por una fuerza variable 141 Energía cinética y el principio trabajo-energía 141 Energía potencial 144 Fuerzas conservativas y no conservativas 148 Energía mecánica y su conservación 149 Resolución de problemas a partir de la conservación de la energía mecánica 150 Otras formas de energía; transformaciones de energía y la ley de conservación de la energía 155 Conservación de energía con fuerzas disipativas: Resolución de problemas 156 Potencia 158 RESUMEN 160 PREGUNTAS 160 PROBLEMAS 162 PROBLEMAS GENERALES 165

CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL 167 Cantidad de movimiento y su relación con la fuerza 168 Conservación de la cantidad de movimiento 170 Colisiones e impulso 173 Conservación de la energía y de la cantidad de movimiento en colisiones 175 Colisiones elásticas en una dimensión 176 Colisiones inelásticas 178 Colisiones en dos o tres dimensiones 179 Centro de masa (CM) 182 CM del cuerpo humano 184 Centro de masa y movimiento de traslación 185 RESUMEN 187 PREGUNTAS 187 PROBLEMAS 188 PROBLEMAS GENERALES 192

MOVIMIENTO DE ROTACIÓN

194

Cantidades angulares 195 Aceleración angular constante 201 Movimiento de rodamiento (sin deslizamiento) 202 Torca 203 Dinámica de rotación; torca e inercia de rotación 206 Resolución de problemas de dinámica de rotación 208 Energía cinética de rotación 210 Cantidad de movimiento angular y su conservación 213 Naturaleza vectorial de las cantidades angulares 215 RESUMEN 217 PREGUNTAS 217 PROBLEMAS 219 PROBLEMAS GENERALES 223

CONTENIDO

9 9-1 9-2 *9-3 9-4 *9-5 *9-6 *9-7

10 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10

*10-11 *10-12 *10-13 *10-14

EQUILIBRIO ESTÁTICO; ELASTICIDAD Y FRACTURA

226

Condiciones para el equilibrio 227 Resolución de problemas estáticos 229 Aplicaciones a músculos y articulaciones 234 Estabilidad y balance 236 Elasticidad; tensión y deformación 237 Fractura 241 Cubrir un espacio: arcos y domos 243 RESUMEN 246 PREGUNTAS 246 PROBLEMAS 247 PROBLEMAS GENERALES 252

FLUIDOS

255

Fases de la materia 255 Densidad y gravedad específica 256 Presión en fluidos 257 Presión atmosférica y presión manométrica 259 Principio de Pascal 260 Medición de presión; manómetros y el barómetro 260 Flotabilidad y principio de Arquímedes 263 Fluidos en movimiento; tasa de flujo y ecuación de continuidad 268 Ecuación de Bernoulli 270 Aplicaciones del principio de Bernoulli: de Torricelli a los aviones, las pelotas de béisbol y la isquemia 272 Viscosidad 274 Flujo en tubos: ecuación de Poiseuille, flujo sanguíneo 275 Tensión superficial y capilaridad 276 Bombas y el corazón 278 RESUMEN 279 PREGUNTAS 280 PROBLEMAS 281 PROBLEMAS GENERALES 284

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11 11-1 11-2 11-3 11-4 11-5 11-6 11-7 11-8 11-9 *11-10 11-11 11-12 11-13 *11-14 *11-15 *11-16

VIBRACIONES Y ONDAS

286

Movimiento armónico simple 287 La energía en el oscilador armónico simple 289 El periodo y la naturaleza sinusoidal del MAS 292 El péndulo simple 296 Movimiento armónico amortiguado 298 Vibraciones forzadas; resonancia 299 Movimiento ondulatorio 300 Tipos de ondas: transversales y longitudinales 303 Energía transportada por las ondas 305 Intensidad relacionada con la amplitud y la frecuencia 306 Reflexión y transmisión de ondas 307 Interferencia; principio de superposición 308 Ondas estacionarias; resonancia 310 Refracción 312 Difracción 313 Representación matemática de una onda viajera 314 RESUMEN 315 PREGUNTAS 316 PROBLEMAS 317 PROBLEMAS GENERALES 320

VOLUMEN 2

12 12-1 12-2 *12-3 12-4 *12-5 12-6 12-7 *12-8 *12-9

SONIDO

13 13-1 13-2 *13-3 13-4 *13-5 13-6 13-7 13-8 13-9 13-10 *13-11 *13-12 *13-13 *13-14

14 322

Características del sonido 322 Intensidad del sonido: decibeles 325 El oído y su respuesta; intensidad 328 Fuentes de sonido: cuerdas que vibran y columnas de aire 329 Calidad del sonido y ruido; superposición 334 Interferencia de ondas sonoras; batimientos 335 Efecto Doppler 338 Ondas de choque y estampido supersónico 342 Aplicaciones: sonar, ultrasonido y formación de imágenes en medicina 343 RESUMEN 345 PREGUNTAS 346 PROBLEMAS 347 PROBLEMAS GENERALES 349

14-1 14-2 14-3 14-4 14-5 14-6 14-7 14-8

15

TEMPERATURA Y TEORÍA 352

CINÉTICA

Teoría atómica de la materia 352 Temperatura y termómetros 354 El equilibrio térmico y la ley cero de la termodinámica 357 Expansión térmica 357 Tensiones térmicas 361 Las leyes de los gases y la temperatura absoluta 361 La ley del gas ideal 363 Resolución de problemas con la ley del gas ideal 364 La ley del gas ideal en términos de moléculas: número de Avogadro 366 La teoría cinética y la interpretación molecular de la temperatura 367 Distribución de la rapidez molecular 371 Gases reales y cambios de fase 371 Presión de vapor y humedad 373 Difusión 376 RESUMEN 378 PREGUNTAS 379 PROBLEMAS 380 PROBLEMAS GENERALES 382

CALOR

384

El calor como transferencia de energía 385 Energía interna 386 Calor específico 387 Calorimetría. Resolución de problemas 388 Calor latente 391 Transferencia de calor: conducción 395 Transferencia de calor: convección 397 Transferencia de calor: radiación 399 RESUMEN 403 PREGUNTAS 403 PROBLEMAS 404 PROBLEMAS GENERALES 406

LAS LEYES DE LA TERMODINÁMICA

408

15-1 15-2

La primera ley de la termodinámica Procesos termodinámicos y la primera ley *15-3 Metabolismo humano y la primera ley 15-4 Segunda ley de la termodinámica. Introducción 15-5 Máquinas térmicas 15-6 Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas térmicas 15-7 Entropía y segunda ley de la termodinámica 15-8 Del orden al desorden 15-9 Agotamiento de energía; muerte térmica *15-10 Evolución y crecimiento; “flecha del tiempo”

CONTENIDO

409 410 414 415 416 421 424 426 426 427

ix

17-8 Dieléctricos 482 17-9 Almacenamiento de energía eléctrica 484 *17-10 Tubo de rayos catódicos: monitores de televisión, computadoras y osciloscopio 485 *17-11 El electrocardiograma (ECG) 487 RESUMEN 488 PREGUNTAS 488 PROBLEMAS 489 PROBLEMAS GENERALES 491

18 *15-11 Interpretación estadística de la entropía y de la segunda ley 428 *15-12 Contaminación térmica y calentamiento global 430 RESUMEN 432 PREGUNTAS 433 PROBLEMAS 433 PROBLEMAS GENERALES 436

16

CARGA ELÉCTRICA Y CAMPO ELÉCTRICO

439

16-1

Electricidad estática; carga eléctrica y su conservación 440 16-2 Carga eléctrica en el átomo 441 16-3 Aisladores y conductores 441 16-4 Carga inducida; el electroscopio 442 16-5 Ley de Coulomb 444 16-6 Resolución de problemas en los que participan la ley de Coulomb y vectores 447 16-7 El campo eléctrico 450 16-8 Líneas de campo 454 16-9 Campos eléctricos y conductores 456 *16-10 Ley de Gauss 457 *16-11 Fuerzas eléctricas en biología molecular: estructura y replicación del ADN 460 *16-12 Las máquinas de fotocopiado y las impresoras de computadora usan electrostática 462 RESUMEN 463 PREGUNTAS 464 PROBLEMAS 465 PROBLEMAS GENERALES 468

17 17-1 17-2 17-3 17-4 17-5 *17-6 17-7

x

POTENCIAL ELÉCTRICO Energía potencial eléctrica y diferencia de potencial Relación entre potencial eléctrico y campo eléctrico Líneas equipotenciales El electronvolt, una unidad de energía Potencial eléctrico debido a cargas puntuales Potencial debido a dipolo eléctrico; momento de dipolo Capacitancia

CONTENIDO

470

La batería eléctrica 494 Corriente eléctrica 496 Ley de Ohm: resistencia y resistores 498 Resistividad 500 Potencia eléctrica 502 Potencia en circuitos caseros 505 Corriente alterna 506 Visión microscópica de la corriente eléctrica 509 *18-9 Superconductividad 510 *18-10 Conducción eléctrica en el sistema nervioso humano 510 RESUMEN 514 PREGUNTAS 514 PROBLEMAS 515 PROBLEMAS GENERALES 518

19 19-1 19-2 19-3 *19-4 19-5 19-6 19-7 *19-8

20 20-1 20-2 20-3 20-4 20-5

476 479 480

493

18-1 18-2 18-3 18-4 18-5 18-6 18-7 *18-8

470 474 474 476

CORRIENTES ELÉCTRICAS

20-6 20-7 *20-8

CIRCUITOS CD

520

Fem y voltaje en terminales 520 Resistores en serie y en paralelo 522 Reglas de Kirchhoff 528 Fem en serie y en paralelo; cómo cargar una batería 532 Circuitos que contienen capacitores en serie y en paralelo 533 Circuitos RC. Resistor y capacitor en serie 535 Riesgos eléctricos 538 Amperímetros y voltímetros 541 RESUMEN 545 PREGUNTAS 545 PROBLEMAS 547 PROBLEMAS GENERALES 551

MAGNETISMO Imanes y campos magnéticos Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos Fuerza sobre una corriente eléctrica en un B campo magnético; definición de B Fuerza sobre una carga eléctrica que se mueve en un campo magnético Campo magnético debido a un largo alambre recto Fuerza entre dos alambres paralelos Solenoides y electroimanes Ley de Ampère

554 554 557 558 560 563 565 567 568

*20-9

Torca sobre un lazo de corriente; momento magnético 570 *20-10 Aplicaciones: galvanómetros, motores, bocinas 571 *20-11 Espectrómetro de masas 572 20-12 Ferromagnetismo: dominios e histéresis 573 RESUMEN 575 PREGUNTAS 576 PROBLEMAS 577 PROBLEMAS GENERALES 581

21 21-1 21-2 21-3 21-4 21-5 *21-6 21-7 21-8

*21-9 *21-10 *21-11 *21-12 *21-13 *21-14

22 22-1

22-2 22-3 22-4 *22-5 *22-6 *22-7

23 23-1 23-2

INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA Y LEY DE FARADAY 584 Fem inducida 584 Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz 586 Fem inducida en un conductor en movimiento 590 El flujo magnético variable produce un campo eléctrico 591 Generadores eléctricos 592 Fuerza contraelectromotriz y contra torca; corrientes parásitas 593 Transformadores y transmisión de potencia 595 Aplicaciones de la inducción: sistemas de sonido, memoria de computadora, sismógrafo, GFCI 598 Inductancia 600 Energía almacenada en un campo magnético 602 Circuito LR 602 Circuitos CA y reactancia 603 Circuito CA LRC en serie 606 Resonancia en circuitos CA 608 RESUMEN 608 PREGUNTAS 609 PROBLEMAS 610 PROBLEMAS GENERALES 613

23-3

Formación de imágenes por medio de espejos esféricos 635 23-4 Índice de refracción 642 23-5 Refracción: ley de Snell 642 23-6 Reflexión interna total; fibras ópticas 645 23-7 Lentes delgadas; trazado con rayos 647 23-8 Ecuación de lentes delgadas; amplificación 650 *23-9 Combinaciones de lentes 654 *23-10 La ecuación del fabricante de lentes 656 RESUMEN 656 PREGUNTAS 657 PROBLEMAS 658 PROBLEMAS GENERALES 662

24

LA NATURALEZA ONDULATORIA 664

DE LA LUZ

Los campos eléctricos variables producen campos magnéticos; ecuaciones de Maxwell 616 Producción de ondas electromagnéticas 617 La luz como una onda electromagnética y el espectro electromagnético 619 Medición de la rapidez de la luz 622 Energía en ondas EM 623 Transferencia de cantidad de movimiento y presión de radiación 625 Radio y televisión, comunicación inalámbrica 626 RESUMEN 629 PREGUNTAS 629 PROBLEMAS 629 PROBLEMAS GENERALES 631

Ondas frente a partículas; el principio de Huygens y la difracción 665 *24-2 El principio de Huygens y la ley de refracción 666 24-3 Interferencia. Experimento de doble rendija de Young 668 24-4 Espectro visible y dispersión 671 24-5 Difracción por medio de una sola rendija o disco 673 24-6 Rejilla de difracción 676 *24-7 El espectrómetro y espectroscopia 678 24-8 Interferencia por medio de películas delgadas 679 *24-9 Interferómetro Michelson 684 24-10 Polarización 684 *24-11 Pantallas de cristal líquido (LCD) 688 *24-12 Dispersión de luz por la atmósfera 690 RESUMEN 690 PREGUNTAS 691 PROBLEMAS 692 PROBLEMAS GENERALES 694

LUZ: ÓPTICA GEOMÉTRICA

25

INSTRUMENTOS ÓPTICOS

25-1 25-2 25-3

Cámaras, de película y digitales El ojo humano; lentes correctivos Lente de aumento

ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

El modelo de rayos de la luz Reflexión; formación de una imagen por medio de un espejo plano

615

632 632 633

24-1

696

CONTENIDO

697 701 704

xi

www.elsolucionario.org 25-4 *25-5 *25-6 25-7

Telescopios 706 Microscopio compuesto 708 Aberraciones de lentes y espejos 710 Límites de resolución; aberturas circulares 711 25-8 Resolución de telescopios y microscopios; el límite l 714 25-9 Resolución del ojo humano y amplificación útil 715 *25-10 Microscopios de especialidad y contraste 716 *25-11 Rayos X y difracción de rayos X 717 *25-12 Formación de imágenes con rayos X y tomografía computarizada (exploración CT) 718 RESUMEN 721 PREGUNTAS 722 PROBLEMAS 722 PROBLEMAS GENERALES 725

26 26-1 26-2 26-3 26-4 26-5 *26-6 26-7

xii

Relatividad galileana-newtoniana Postulados de la teoría especial de la relatividad Simultaneidad La dilatación del tiempo y la paradoja de los gemelos Contracción de la longitud Espacio-tiempo cuatridimensional Cantidad de movimiento y masa relativistas

CONTENIDO

La rapidez última 743 E
mc2; masa y energía 744 Suma relativista de velocidades 748 El impacto de la relatividad especial 748 RESUMEN 749 PREGUNTAS 750 PROBLEMAS 751 PROBLEMAS GENERALES 752

APÉNDICES A A-1 A-2 A-3 A-4 A-5 A-6 A-7 A-8

REPASO MATEMÁTICO Relaciones, proporcionalidad y ecuaciones Exponentes Potencias de 10 o notación exponencial Álgebra La expansión binomial Geometría plana Funciones trigonométricas e identidades Logaritmos

A-1 A-1 A-2 A-3 A-3 A-6 A-7 A-8 A-10

726

B

ISÓTOPOS SELECCIONADOS

A-12

727

C

MARCOS DE REFERENCIA EN ROTACIÓN; FUERZAS INERCIALES; EFECTO CORIOLIS

A-16

LA TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

26-8 26-9 26-10 26-11

730 731 734 740 742 742

D E

CALORES ESPECÍFICOS MOLARES PARA GASES Y LA EQUIPARTICIÓN DE LA ENERGÍA

A-20

TRANSFORMACIONES GALILEANAS Y DE LORENTZ

A-23

RESPUESTAS A PROBLEMAS CON NÚMERO IMPAR ÍNDICE CRÉDITOS DE FOTOGRAFÍAS

A-27 A-40 A-51

APLICACIONES A LA BIOLOGÍA Y LA MEDICINA Capítulo 1 Estimación del número de latidos en una vida

13

Capítulo 4 Cómo caminamos

79

Capítulo 5 Centrifugado

116, 201

Capítulo 7 No se rompa una pierna Centro de masa de partes del cuerpo Capítulo 8 Torca del bíceps

174 184 205, 221

Capítulo 9 Enderezamiento de dientes Fuerzas en músculos y articulaciones Inserción de músculo y palanca de brazo Columna vertebral, dolor de espalda Equilibrio del cuerpo Capítulo 10 Suspensión del cuerpo en el agua Circulación sanguínea Falta de sangre en el cerebro: isquemia Flujo sanguíneo y enfermedad cardiaca Insecto sobre la superficie del agua El corazón como bomba Presión sanguínea

227 234 234 235 236 255 269 273 275 276 278 278

Capítulo 11 Telaraña 293 Ecolocalización en ballenas y murciélagos 304 Capítulo 12 Amplio rango de la audición humana 325, 329 El oído humano y su sensibilidad 328 Medición Doppler del flujo sanguíneo y otros usos médicos 341 Formación de imágenes médicas por medio de ultrasonido 344 Capítulo 13 La vida bajo el hielo 360 Moléculas en una respiración 367 La evaporación enfría 374, 395 Difusión en organismos vivos 378 Capítulo 14 Quema de calorías 386 Convección por medio de la sangre 399 Pérdida de calor radiado de los humanos 400 Termografía médica 402 Capítulo 15 Energía en el cuerpo humano 414 Evolución biológica y desarrollo 427 Capítulo 16 Células: fuerzas eléctricas más teoría cinética 460 Estructura y replicación del ADN 460 Capítulo 17 Dipolos en biología molecular 480

Quemadura o choque por capacitor 485 Defibrilador cardiaco 485 Electrocardiograma (ECG) 487 Capítulo 18 Conducción eléctrica en el sistema nervioso humano 510 Capítulo 19 Marcapasos cardiaco Choque eléctrico, conducción a tierra y seguridad Capítulo 21 Medición em del flujo sanguíneo Interruptores de circuito para falla a tierra Marcapasos

538 539 590 599 599

Capítulo 22 Pinzas ópticas

626

Capítulo 23 Endoscopios médicos (fibras ópticas)

646

Capítulo 25 Ojo humano Lentes correctivos Lentes de contacto Cómo ver bajo el agua Microscopios de luz Resolución del ojo humano Difracción de rayos X en biología Imágenes de rayos X Exploración TAC

701 702 703 704 708 713 718 718 719

APLICACIONES A OTROS CAMPOS Y A LA VIDA COTIDIANA Capítulo 1 Los picos de 8000 m Estimación del volumen de un lago Estimación de la altura por medio de triangulación Capítulo 2 Diseño de pistas de aterrizaje de aeropuertos Seguridad automovilística: bolsas de aire Distancias de frenado Tránsito rápido

10 12 13

27 29 30 42

Capítulo 3 Cómo patear un balón de fútbol 58, 61 Deportes de pelotas 66, 67, 70, 71 Capítulo 4 Aceleración de un cohete 78 ¿Qué fuerza acelera a un automóvil? 79 Elevador y contrapeso 88 Ventaja mecánica de la polea 89 Ascensión de montañas 102, 105 Capítulo 5 Derrapar en una curva Frenos antibloqueo Curvas peraltadas Aplicaciones geofísicas

113 113 114 122

Satélites terrestres artificiales Satélites geosincrónicos Ingravidez

122 123 124

Capítulo 6 Distancia de frenado de un automóvil a v2 Montaña rusa Salto con garrocha Pistola de dardos Potencia de automóvil Palanca

144 151, 157 152 153 159 162

Capítulo 7 Servicio de tenis Retroceso de un arma Cohetes Salto alto

169, 173 172 172, 186 185

Capítulo 8 Disco duro y rapidez de bit Patinador, clavadista en rotación Colapso de estrella de neutrones

200 214 215

Capítulo 9 Palanca Puente levadizo Concreto reforzado y pretensado Colapso trágico Arcos y domos

229 231 242 242 243

Capítulo 10 Frenos de automóvil, elevador hidráulico 260 Hidrómetro 266 Alas de avión, sustentación 272 Navegación contra el viento 273 Una curva de béisbol 273 Tensión superficial, capilaridad 277 Jabones y detergentes 277 Bombas 278 Capítulo 11 Reloj de péndulo 297 Muelles, amortiguadores de edificios 298 Colapso de puente resonante 299 Terremotos 304, 305, 306, 313 Capítulo 12 Distancia desde un relámpago 323 Cámara de autofoco 324 Instrumentos musicales, de cuerda y de viento 329 Ruido del viento 334 Afinación con pulsos 337 Efecto Doppler, predicción del clima 341 Corrimiento al rojo en cosmología 342 Estampido supersónico 342 Sonar 343

APLICACIONES

xiii

Capítulo 13 Juntas de expansión 354 Apertura de una tapa apretada 359 Desbordamiento del tanque de gasolina 359 Peralte de autopista 361 Masa (y peso) del aire en una habitación 365 Presión en una llanta caliente 366 Reacciones químicas, dependencia de la temperatura 371 Superfluidez 373 Humedad, clima 375, 376 Termostato 379 Capítulo 14 Pérdida de calor a través de las ventanas 396 Ventanas térmicas 397 Valores R de aisladores térmicos 397 Cómo aísla la ropa 397, 399 Calentamiento convectivo de una casa 398 Convección en una pendiente 398 Radiación del Sol 401, 402 Astronomía: tamaño de una estrella 402 Capítulo 15 Motor de vapor 416 Motor de combustión interna 417 Refrigerador 421 Acondicionador de aire 422 Bomba térmica 423 Clasificación SEER 423 Contaminación térmica, calentamiento global 430 Recursos energéticos 430 Capítulo 16 Protección eléctrica, seguridad 457 Máquinas fotocopiadoras 462 Impresoras láser e impresoras de inyección de tinta 463 Capítulo 17 Capacitores en flashes de las cámaras, respaldos, protectores ante excesos de carga, memoria, teclados 480, 481, 482, 484 Súper alta capacitancia 482 TRC: monitores de televisión y computadoras 486 Osciloscopio 486 Fotocelda 492

Capítulo 18 Alambres de bocinas Termómetro de resistencia Elemento de calentamiento, filamento de bombilla eléctrica Por qué las bombillas se queman cuando se encienden por primera vez El relámpago Circuitos domésticos Fusibles y disyuntores Cortos y seguridad Extensiones Secadores de cabello Superconductores

501 502 503 503 504 505 505 506 506 508 510

Capítulo 19 Cómo cargar una batería de automóvil 532 Paso de corriente a un automóvil 532 Luces intermitentes, limpiaparabrisas 537 Riesgos eléctricos 538 Alambres de tierra y clavijas 540 Corriente de fuga 541 Líneas de energía eléctrica caídas 541 Medidores digitales y analógicos 541, 544 Conexión de medidores, correcciones 543-544 Condensador de micrófono 546 Capítulo 20 Uso de brújula, declinación magnética 556 Aurora boreal 563 Electroimanes y solenoides 567 Interrupción por medio de solenoides 567 Interruptores magnéticos de circuitos 567 Motores 571, 572 Altavoces 572 Espectrómetro de masas 572 Bombeo electromagnético 576 Relé 577 Capítulo 21 Estufa de inducción Alternadores de automóvil Corriente de encendido de motor Sobrecarga de motor Amortiguado de corrientes parásitas Detector de metales de los aeropuertos Transformadores de radio Transmisión de energía eléctrica Micrófono magnético

588 592 593 594 594 595 596 597 598

Lectura/escritura en cinta y discos Codificación digital Lectora de tarjeta de crédito Sismógrafo GFCI (interruptor del circuito para falla de conexión a tierra) Capacitores como filtros Resonancia eléctrica Capítulo 22 Transmisión AM y FM Sintonización de una estación Antenas Teléfonos celulares, control remoto, televisión por cable y por satélite

598 598 599 599 599 605 608 627 627 628 628

Capítulo 23 Qué tamaño de espejo necesita 635 Dónde se puede ver usted mismo en un espejo cóncavo 639 Usos de espejos curvos 635, 640, 641 Ilusiones ópticas 643 Profundidad aparente del agua 644 Fibras ópticas en telecomunicaciones 646 Dónde se puede ver una imagen formada por una lente 649 Capítulo 24 Espejismos en la carretera 667 Arcos iris y diamantes 672 Análisis espectroscópico 679 Pompas de jabón y películas de aceite 679 Recubrimiento de lentes 682 Polaroids 684 Cómo ver hacia el río 687 688 Pantallas de cristal líquido (LCD) Por qué el cielo es azul, los atardeceres rojos y las nubes blancas 690 Capítulo 25 Cámaras digitales, ccd, artefactos Ajustes de cámara Telescopios Microscopios Telescopio Espacial Hubble Resolución de telescopio Microscopios especiales Usos de la difracción de rayos X

697 698 706 708 713 714 716 718

Capítulo 26 Sistema de posicionamiento global (GPS)

739

RECUADROS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Capítulo 2 Resolución de problemas 28 Capítulo 3 Resolución de problemas: suma de vectores 53 Resolución de problemas: movimiento de proyectiles 56 Capítulo 4 Resolución de problemas: leyes de Newton; diagramas de cuerpo libre 85 Resolución de problemas: en general 96 Capítulo 5 Resolución de problemas: movimiento circular uniforme 112 Capítulo 6 Resolución de problemas: trabajo 139 Resolución de problemas: conservación de la energía 157

xiv

APLICACIONES

Capítulo 7 Resolución de problemas: conservación de la cantidad de movimiento y colisiones Capítulo 8 Resolución de problemas: movimiento de rotación Capítulo 9 Resolución de problemas: estática Capítulo 14 Resolución de problemas: calorimetría Capítulo 15 Resolución de problemas: termodinámica Capítulo 16 Resolución de problemas: electrostática; fuerzas eléctricas y campos eléctricos

181 209 230 394 432

454

Capítulo 19 Resolución de problemas: reglas de Kirchhoff Capítulo 20 Resolución de problemas: campos magnéticos Capítulo 21 Resolución de problemas: ley de Lenz Capítulo 23 Resolución de problemas: espejos esféricos Resolución de problemas: lentes delgadas Capítulo 24 Resolución de problemas: interferencia

530 562 588 641 651 683

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PREFACIO Ver el mundo a través de ojos que saben física

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Este libro está escrito para los estudiantes. Pretende brindar a los estudiantes una comprensión profunda de los conceptos básicos de la física en todos sus aspectos, desde la mecánica hasta la física moderna. Su meta es explicar la física de una forma sencilla e interesante que sea accesible y clara, y enseñar a los estudiantes a anticipar sus necesidades y dificultades sin una simplificación excesiva. Un segundo objetivo es mostrar a los estudiantes cuán útil es la física en sus propias vidas y en sus profesiones futuras por medio de aplicaciones interesantes. Además, se ha puesto especial énfasis en explicar técnicas y enfoques para resolver problemas. Este libro de texto está especialmente diseñado para que los estudiantes tomen un curso de un año de introducción a la física, que se base en álgebra y trigonometría, pero no en cálculo. Muchos de estos estudiantes están especializándose en biología o están inscritos en un curso propedéutico para medicina, y otros tal vez estudien arquitectura, tecnología, ciencias de la Tierra o ciencias ambientales. Muchas aplicaciones en esos campos tienen la intención de responder la pregunta común de los estudiantes: “¿Por qué debo estudiar física?” La respuesta es que la física resulta fundamental para una comprensión plena de esas especialidades, y aquí ellos verán de qué forma. La física lo es todo en el mundo cotidiano. La meta de este libro es ayudar a los estudiantes “a ver el mundo a través de ojos que saben física”. Algunas de las nuevas características en esta sexta edición incluyen: 1. Ejercicios dentro del texto para que los estudiantes verifiquen su comprensión; 2. nuevos párrafos para hacer el planteamiento de los ejemplos trabajados; 3. nuevos ejemplos que siguen paso a paso cada uno de los Recuadros de Resolución de Problemas; y 4. nuevas aplicaciones como las detalladas descripciones basadas en la física de las pantallas de cristal líquido (LCD), las cámaras digitales (con CCD) y la extensa cobertura de los dispositivos eléctricos y su manejo seguro. Éstos y otros nuevos aspectos se resaltan más adelante.

NUEVO

La física y cómo entenderla He evitado el árido, dogmático y común enfoque de tratar primero los temas de manera formal y abstracta, y sólo después relacionar el material con la propia experiencia de los estudiantes. Mi enfoque parte del reconocimiento de que la física es una descripción de la realidad, de modo que cada tema se inicia con observaciones y experiencias concretas con las que los estudiantes están familiarizados. Luego se procede a hacer generalizaciones y a exponer el tema de manera más formal. Esto no sólo hace que el material sea más interesante y fácil de comprender, también está más cerca de la forma en que en realidad se practica la física. Se ha hecho un gran esfuerzo para no dirigir demasiado a los estudiantes a leer los primeros capítulos. Primero se tiene que aprender lo básico; más adelante se explicarán muchos otros aspectos, cuando los estudiantes estén más preparados. Si no se abruma a los estudiantes con demasiados detalles, en especial al principio, es más probable que consideren que la física es interesante, divertida y útil, y aquellos que tenían miedo de la materia olvidarán su temor. Las grandes leyes de la física están enmarcadas en una pantalla y van acompañadas de una nota marginal en letras mayúsculas encerrada en un rectángulo. Todas las ecuaciones importantes aparecen junto a un número para distinguirlas de las menos útiles. Para ayudar a dejar en claro cuáles ecuaciones son generales y cuáles no lo son, las limitaciones de las ecuaciones importantes se presentan en corchetes junto a la ecuación, como en

x = x0 + v0 t +

1 2

at2.

[aceleración constante]

Las matemáticas en ocasiones constituyen un obstáculo para la comprensión del estudiante. Por eso el libro describe todos los pasos que se siguen en la deducción de

xv

una fórmula. Las herramientas matemáticas importantes, como la suma de vectores y la trigonometría, se incorporan en el texto donde se requieren por primera vez, así que se presentan en un contexto particular y no en un aterrador capítulo de introducción. Los apéndices contienen un repaso de álgebra y geometría (más unos cuantos temas avanzados: marcos de referencia en rotación, fuerzas inerciales, efecto Coriolis; capacidades caloríficas de los gases y equipartición de energía; transformaciones de Lorentz). Las unidades del Sistema Internacional (SI) se emplean de principio a fin. Otras unidades métricas y británicas se definen con propósitos informativos. El capítulo 1 no es desechable. Es fundamental para la física darse cuenta que toda medición tiene un grado de incertidumbre, y que las cifras significativas lo reflejan. Convertir unidades y ser capaz de hacer estimaciones rápidas también es básico. Los aspectos culturales al comienzo del capítulo 1 amplían la comprensión del mundo de una persona, mas no tienen que ser cubiertos en clase. Las múltiples aplicaciones en ocasiones sólo sirven como ejemplos de principios físicos. Otras se tratan en profundidad. Se han seleccionado cuidadosamente para integrarlas en el texto de modo que no interfieran con el desarrollo de la física, sino más bien que la iluminen. Para facilitar la detección de las aplicaciones, aparece una nota de Física Aplicada al margen. Las fotografías que abren cada capítulo, algunas de las cuales tienen vectores sobrepuestos, se han elegido de modo que el texto que las acompaña sea una especie de resumen del capítulo. Algunos de los nuevos aspectos de física y pedagogía en esta sexta edición son:

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Notación vectorial, flechas: Los símbolos para cantidades vectoriales en el texto y las figuras ahora tienen una pequeña flecha sobre ellos, de modo que son similares a lo que el profesor escribe a mano durante su clase. Las letras todavía B B son las tradicionales negritas; así por ejemplo, se utiliza v para velocidad y F para fuerza.

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Ejercicios dentro del texto, para que los estudiantes comprueben su comprensión. Las respuestas se proporcionan al final del capítulo.

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Mayor claridad: Ningún tema, ningún párrafo en este libro se ha pasado por alto en la búsqueda por mejorar la claridad de la presentación. Se han realizado muchos cambios y aclaraciones, algunos de ellos pequeños y otros no tanto. Se eliminaron frases y oraciones que pudieran detener el argumento principal: se trata de exponer lo esencial al principio y explicar los detalles después.

Ejemplos paso a paso, después de un Recuadro de Resolución de Problemas, como se explica en la página xvii. Los ejemplos conceptuales no son una característica nueva, pero hay algunos ejemplos que sí lo son. Ejemplos modificados: Más pasos matemáticos se explican detalladamente y se agregan muchos ejemplos nuevos (véase la página xvii).

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Diseño de la página: Derivaciones completas. Se ha puesto mucha atención, incluso más que en la edición anterior, en cómo está formateada cada página. Se ha realizado un gran esfuerzo para mantener las deducciones y argumentos importantes en páginas enfrentadas. Entonces los estudiantes no tendrán que voltear la página hacia atrás o hacia delante.A lo largo del libro los lectores verán ante ellos, en dos páginas enfrentadas, una importante rebanada de física. Subtítulos: Muchas de las secciones dentro de un capítulo ahora están divididas en apartados, lo que separa los temas en “trozos” más manejables. Ello permite hacer “pausas” para que los estudiantes descansen o recuperen el aliento. Notas marginales: Precaución. Las notas marginales, en azul, puntualizan muchos temas y hacen las veces de subrayado ayudando a localizar los temas en re-

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PREFACIO

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visión. También puntualizan aplicaciones y sugerencias para resolver problemas. Un nuevo título, el de PRECAUCIÓN, puntualiza posibles malas interpretaciones analizadas en el texto adyacente.

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Eliminaciones. Para evitar que el libro sea demasiado largo, y también para reducir la carga sobre los estudiantes en temas más avanzados, muchos temas se recortaron o simplificaron, y unos cuantos se eliminaron.

Nuevos temas de física y principales revisiones He aquí una lista de los principales cambios o adiciones, pero existen muchos otros: Se usa más la simetría, incluso para resolver problemas Análisis dimensional, opcional (cap. 1) Más gráficas en cinemática (cap. 2) Eficiencia de máquinas (cap. 6, 15) Principio trabajo-energía y conservación de energía: nuevo apartado (cap. 6); con enfoque hacia la termodinámica (cap. 15) y la electricidad (cap. 17) Fuerza sobre una pelota de tenis por medio de una raqueta (cap. 7) Alas de aviones, bolas curvas, navegación y otras aplicaciones del principio de Bernoulli: mejorado y aclarado con material nuevo (cap. 10) Distinción de interferencia de ondas en espacio y tiempo (pulsos) (cap. 11) Corrimiento Doppler de la luz (ahora cap. 12) Radio de estrella gigante (cap. 14) Primera ley de la termodinámica reescrita y extendida, mejor relacionada con el principio trabajo-energía y la conservación de la energía (cap. 15) Agotamiento de recursos energéticos (cap. 15) Clasificación SEER (cap. 15) Separación de carga en no conductores (cap. 16) Ley de Gauss, opcional (cap. 16) Fotocopiadoras e impresoras de computadora (cap. 16) Direcciones de fuerza y campos eléctricos más enfatizados (cap. 16, 17) Potencial eléctrico mejor relacionado con el trabajo, más detalle (cap. 17) Efecto dieléctrico sobre capacitor con y sin conexión a voltaje más otros detalles (cap. 17) Derivación del capacitor de placas paralelas, opcional (cap. 17) Riesgos eléctricos, conexión a tierra, seguridad, interruptores de corriente: extendido con mucho material nuevo (cap. 17, 18, 19 especialmente, 20, 21) Corriente eléctrica, malas interpretaciones discutidas en el capítulo 18 Superconductividad actualizada (cap. 18) Voltaje terminal y fem reorganizados, con mayor detalle (cap. 19) Materiales magnéticos recortados (cap. 20) Reglas de la mano derecha resumidas en una tabla (cap. 20) Leyes de Faraday y Lenz extendidas (cap. 21) Circuitos CA acortados (cap. 21), desplazamiento de corriente minimizado (cap. 22) Presión de radiación y cantidad de movimiento de ondas EM (cap. 22) Dónde verse uno mismo en un espejo; dónde se ve en realidad una imagen formada por una lente (cap. 23) Pantalla de cristal líquido (LCD) (cap. 24) La física detrás de las cámaras digitales y los CCD (cap. 25) Cómo ver bajo el agua (cap. 25) Masa relativista reelaborada (cap. 26) Calores específicos de gases, equipartición de energía (apéndices)

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Resolución de problemas, con enfoques nuevos y mejorados

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Ser capaz de resolver problemas es una técnica valiosa en general. Resolver problemas también es una forma efectiva de comprender la física con mayor profundidad. He aquí algunas de las formas que usa este libro para ayudar a los estudiantes a resolver con éxito los problemas. Recuadros de resolución de problemas, en total unos 20, se encuentran a lo largo del libro (hay un lista en la página xiii). Cada uno de ellos subraya una aproximación paso a paso para resolver problemas en general, o de manera específica para el material que se está estudiando. Los mejores estudiantes encontrarán que estos “recuadros” son innecesarios (pueden saltarlos), pero muchos estudiantes los encontrarán útiles como recordatorios de la aproximación general y de los pasos que conviene seguir para resolver problemas. El Recuadro de Resolución de Problemas general de la sección 4-9 está colocado ahí, después de que los estudiantes han tenido cierta experiencia en lidiar con los problemas, de modo que estarán motivados para leerlo con cuidadosa atención. Si se desea, la sección 4-9 puede cubrirse con antelación. No se pretende que los Recuadros de Resolución de Problemas sean una prescripción, sino más bien una guía. Por eso, en ocasiones siguen a los ejemplos para servir como un resumen para uso futuro. Las secciones de resolución de problemas (como las secciones 2-6, 3-6, 4-7, 6-7, 8-6 y 13-8) intentan proporcionar entrenamiento adicional en áreas donde la resolución de problemas es especialmente importante. Ejemplos: Los ejemplos trabajados, cada uno con un título para fácil referencia, caen en cuatro categorías: 1. La mayoría son ejemplos trabajados regulares que sirven como “problemas de práctica”. Se agregaron algunos nuevos, unos cuantos de la edición anterior se eliminaron y muchos se trabajaron de nuevo para ofrecer mayor claridad, más pasos matemáticos, más de “por qué se hace de esta forma”; con el nuevo párrafo de planteamiento hay más análisis del razonamiento y el enfoque. La meta es “pensar en voz alta” con los estudiantes, y conducirlos a desarrollar perspicacia. El nivel de dificultad de los ejemplos trabajados para la mayoría de los temas aumenta gradualmente, de modo que los más complicados se presentan junto con los problemas más difíciles al final de cada capítulo. Muchos ejemplos ofrecen relevantes aplicaciones a diversos campos y a la vida diaria. 2. Ejemplos paso a paso: Después de muchos de los Recuadros de Resolución de Problemas, el siguiente ejemplo está elaborado paso a paso siguiendo los pasos del recuadro precedente, sólo para mostrar a los estudiantes cómo utilizarlo. Tales soluciones son largas y en ocasiones redundantes, así que sólo se incluye un ejemplo trabajado de esta forma. 3. Los ejemplos de estimación, aproximadamente un 10% del total, pretenden desarrollar las habilidades para realizar estimaciones de orden de magnitud, aun cuando los datos sean escasos e incluso cuando el estudiante jamás hubiera pensado que era posible un resultado. Vea, por ejemplo, en la sección 1-7, los ejemplos del 1-6 al 1-9. 4. Ejemplos conceptuales: Cada uno es una breve pregunta socrática que tiene la intención de estimular al estudiante a responder antes de leer la respuesta proporcionada. Párrafo de PLANTEAMIENTO: Ahora todos los ejemplos numéricos trabajados tienen un breve párrafo de introducción antes de la solución, que da el enfoque e indica los pasos que conviene seguir para resolver el problema. NOTA: Ahora muchos ejemplos tienen una breve “nota” después de la solución, a veces par remarcar la solución misma, en ocasiones para mencionar una aplicación, otras veces para proporcionar un enfoque alterno para resolver el problema. Estos nuevos párrafos de Nota permiten que el estudiante sepa que la solución se completó, y que ahora se menciona un tema (o temas) relacionado. Ejemplos adicionales: Algunos temas de física requieren muchos diferentes ejemplos trabajados para quedar claros. Pero tantos ejemplos en línea tal vez resulten abrumadores para algunos estudiantes. En esos lugares, un subtítulo “Ejemplo(s) Adicional(es)” tiene la intención de sugerir a los estudiantes que podrían saltarse estos ejemplos en una primera lectura. Cuando los estudiantes los incluyan durante una segunda lectura del capítulo, seguramente les ayudarán a aumentar su habilidad para resolver un mayor rango de problemas.

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Los ejercicios dentro del texto, después de un ejemplo o de la deducción de una fórmula, brindan a los estudiantes una oportunidad de ver si comprenden lo suficiente como para responder una pregunta simple o realizar un cálculo sencillo. Las respuestas se proporcionan al final de la última página de cada capítulo. Los problemas al final de cada capítulo aumentaron en calidad y cantidad. Algunos de los problemas de la edición anterior se sustituyeron o se volvieron a escribir para hacerlos más claros, y/o se les cambiaron sus valores numéricos. Cada capítulo contiene un gran grupo de problemas ordenados por sección y graduados de acuerdo con la dificultad (aproximada): los problemas de nivel I son simples, diseñados para brindar confianza a los estudiantes; los del nivel II son problemas “normales”, que implican mayor desafío y con frecuencia la combinación de dos conceptos diferentes; los del nivel III son los más complejos y se pretende que sean problemas de “créditos adicionales” que desafiarán incluso a los estudiantes más aventajados. El ordenamiento por número de sección es para ayudar a los profesores a elegir qué material quieren enfatizar, y significa que esos problemas dependen del material incluido hasta esa sección: en ocasiones, también se considera material presentado con anterioridad. Los problemas generales no están clasificados y se agrupan en conjunto al final de cada capítulo; representan tal vez el 30% de todos los problemas. Los problemas generales no necesariamente son más difíciles, pero tienen más probabilidad de hacer referencia a material de capítulos anteriores. Son útiles para los profesores que quieren ofrecer a los estudiantes unos cuantos problemas sin la pista de a qué sección deben remitirse o sobre el grado de dificultad. Las preguntas, también al final de cada capítulo, son de carácter conceptual. Ayudan a los estudiantes a usar y aplicar los principios y conceptos y, por tanto, a profundizar en su comprensión (o les permiten saber qué necesitan estudiar más).

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Asignación de problemas Sugiero que los profesores asignen un número significativo de problemas de los niveles I y II, así como un pequeño número de problemas generales, y reservar los problemas del nivel III sólo como “créditos adicionales” para estimular a los mejores estudiantes. Aunque la mayoría de los problemas del nivel I parecen sencillos, ayudarán a los alumnos a desarrollar confianza, una parte importante del aprendizaje, especialmente en física. Al final del libro se proporcionan las respuestas a los problemas con número impar.

Organización El perfil general de esta nueva edición conserva un orden tradicional de los temas: mecánica (capítulos del 1 al 9); fluidos, vibraciones, ondas y sonido (capítulos del 10 al 12); teoría cinética y termodinámica (capítulos del 13 al 15); electricidad y magnetismo (capítulos del 16 al 22); luz (capítulos del 23 al 25) y física moderna (capítulo 26). Aquí están incluidos casi todos los temas que se incluyen en los cursos de introducción a la física. La tradición de comenzar con mecánica es sensata porque, históricamente, se desarrolló primero y porque buena parte de la física depende de ella. Dentro de la mecánica existen muchas formas de ordenar los temas, y este libro permite considerable flexibilidad. En particular, prefiero presentar estática después de dinámica, en parte porque muchos estudiantes tienen problemas con el concepto de fuerza sin movimiento. Más aún, la estática es un caso especial de la dinámica: la estática se estudia para que uno pueda evitar que las estructuras se vuelvan dinámicas (es decir, se caigan). No obstante, la estática (capítulo 9) podría estudiarse antes, luego de una breve introducción a los vectores. Otra opción es la luz, la cual aparece después de electricidad y magnetismo y de las ondas EM. Pero la luz podría estudiarse inmediatamente después de la ondas (capítulo 11). La relatividad especial (capítulo 26), si se desea, podría estudiarse junto con la mecánica, por ejemplo, después del capítulo 7. No es necesario dar el mismo peso a todos los capítulos. Mientras que los capítulos 4 y 21 podrían requerir 112 o 2 semanas de cobertura, los capítulos 12 y 22 quizás necesiten sólo 1 semana o incluso menos. Puesto que el capítulo 11 se ocupa de las ondas estacionarias, el 12 podría dejarse para lectura de los estudiantes si se tiene poco tiempo de clase disponible. El libro contiene más material del que es posible cubrir en la mayoría de los cursos de un año. Aunque existe gran flexibilidad para elegir los temas. Las secciones marcadas con asterisco (*) se consideran opcionales. Contienen material de física ligeramente más avanzado

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(material que rara vez se incluye en los cursos típicos) y/o aplicaciones interesantes. Esas secciones no contienen material necesario para los capítulos ulteriores, si acaso para las secciones opcionales posteriores. No todas las secciones sin estrella deben ser cubiertas; sigue existiendo considerable flexibilidad en la elección del material. Para un curso breve, podría eliminarse todo el material opcional, así como buena parte de los capítulos 10, 12, 19 y 22, y tal vez partes seleccionadas de los capítulos 7, 8, 9, 15, 21, 24 y 25. Los temas no cubiertos en clase podrían servir de aliciente para el posterior estudio de los alumnos.

Nuevas aplicaciones

TODAS SON NUEVAS

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Las aplicaciones relevantes de la física a diversos campos, como la biología, la medicina, la arquitectura, y a la vida cotidiana son una fuerte característica de este libro. Las aplicaciones son interesantes por ellas mismas, además de que responden la pregunta de los estudiantes:“¿Por qué debo estudiar física?”. Se agregaron nuevas aplicaciones. He aquí unas algunas de ellas (véase la lista después de la tabla de contenido, en las páginas xii y xiii). Cámaras digitales, dispositivos de carga acoplada (CCD) (cap. 25) Pantallas de cristal líquido (LCD) (cap. 24) Seguridad en el manejo de la electricidad, riesgos y diversos tipos de interruptores de corriente y de circuito (cap. 17, 18, 19, 20, 21) Máquinas fotocopiadoras (cap. 16) Impresoras de inyección de tinta y láser (cap. 16) Los picos más altos del mundo (conversión de unidades, cap. 1) Detectores de metales en los aeropuertos (cap. 21) Usos de los capacitores (cap. 17) Visión bajo el agua (cap. 25) Clasificación SEER (cap. 15) Bola curva (cap. 10) Paso de corriente a un automóvil (cap. 19) Circuitos RC en marcapasos, señales de vuelta, limpiadores (cap. 19) Voltímetros digitales (cap. 19)

Gracias Más de 50 profesores de física aportaron información y retroalimentación directa en cada aspecto del texto: organización, contenido, figuras y sugerencias para nuevos ejemplos y problemas. A continuación se mencionan los revisores de esta sexta edición. Con cada uno de ellos tengo una deuda de gratitud: Zaven Altounian (McGill University) David Amadio (Cypresss Falls Senior High School) Andrew Bacher (Indiana University) Rama Bansil (Boston University) Mitchell C. Begelman (University of Colorado) Cornelius Bennhold (George Washington University) Mike Berger (Indiana University) George W. Brandenburg (Harvard University) Robert Coakley (University of Southern Maine) Renee D. Diehl (Penn State University) Kathryn Dimiduk (University of New Mexico) Leroy W. Dubeck (Temple University) Andrew Duffy (Boston University) John J. Dykla (Loyola University Chicago) John Essick (Reed College) David Faust (Mt. Hood Community College) Gerald Feldman (George Washington University) Frank A. Ferrone (Drexel University) Alex Filippenko (University of California, Berkeley) Richard Firestone (Lawrence Berkeley Lab) Theodore Gotis (Oakton Community College) J. Erik Hendrickson (University of Wisconsin, Eau Claire) Laurent Hodges (Iowa State University)

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Brian Houser (Eastern Washington University) Brad Johnson (Western Washington University) Randall S. Jones (Loyola College of Maryland) Joseph A. Keane (St. Thomas Aquinas College) Arthur Kosowsky (Rutgers University) Amitabh Lath (Rutgers University) Paul L. Lee (California State University, Northridge) Jerome R. Long (virginia Tech) Mark Lucas (Ohio University) Dan MacIsaac (Northern Arizona University) William W. McNairy (Duke University) Laszlo Mihaly (SUNY Stony Brook) Peter J. Mohr (NIST) Lisa K. Morris (Washington State University) Paul Morris (Abilene Christian University) Hon-Kie Ng (Florida State University) Mark Oreglia (University of Chicago) Lyman Page (Princeton University) Bruce Partridge (Haverford College) R. Daryl Pedigo (University of Washington) Robert Pelcovits (Brown University) Alan Pepper (Campbell School, Adelaide, Australia) Kevin T. Pitts (University of Illinois)

www.elsolucionario.org Steven Pollock (University of Colorado, Boulder) W. Steve Quon (Ventura College) Michele Rallis (Ohio State University) James J. Rhyne (University of Missouri, Columbia) Paul L. Richards (University of California, Berkeley) Dennis Rioux (University of Wisconsin, Oshkosh) Robert Ross (University of Detroit, Mercy) Roy S. Rubins (University of Texas, Arlington) Wolfgang Rueckner (Harvard University Extension) Randall J. Scalise (Southern Methodist University) Arthur G. Schmidt (Northwestern University) Cindy Schwarz (Vassar College) Bartlett M. Sheinberg (Houston Community College)

J. L. Shinpaugh (East Carolina University) Ross L. Spencer (Brigham Young University) Mark Sprague (East Carolina University) Michael G. Strauss (University of Oklahoma) Chun Fu Su (Mississippi State University) Ronald G. Taback (Youngstown State University) Leo H. Takahashi (Pennsylvania State University, Beaver) Raymond C. Turner (Clemson University) Robert C. Webb (Texas A&M University) Arthur Wiggins (Oakland Community College) Stanley Wojcicki (Stanford University) Edward L. Wright (University of California, Los Angeles) Andrzej Zieminski (Indiana University)

También estoy agradecido con aquellos otros físicos revisores de ediciones anteriores: David A. Aaron (South Dakota State University) Narahari Achar (Memphis State University) William T. Achor (Western Maryland College) Arthur Alt (College of Great Falls) John Anderson (University of Pittsburgh) Subhash Antani (Edgewood College) Atam P. Arya (West Virginia University) Sirus Aryainejad (Eastern Illinois University) Charles R. Bacon (Ferris State University) Arthur Ballato (Brookhaven National Laboratory) David E. Bannon (Chemeketa Community Colllege) Gene Barnes (California State University, Sacramento) Isaac Bass Jacob Becher (Old Dominion University) Paul A. Bender (Washington State University) Michael S. Berger (Indiana University) Donald E. Bowen (Stephen F. Austin University) Joseph Boyle (Miami-Dade Community College) Peter Brancazio (Brooklyn College, CUNY) Michael E. Browne (University of Idaho) Michael Broyles (Collin County Community College) Anthony Buffa (California Polytechnic State University) David Bushnell (Northern Illinois University) Neal M. Cason (University of Notre Dame) H. R. Chandrasekhar (University of Missouri) Ram D. Chaudhari (SUNY, Oswego) K. Kelvin Cheng (Texas Tech University) Lowell O. Christensen (American River College) Mark W. Plano Clark (Doane College) Irvine G. Clator (UNC, Wilmington) Albert C. Claus (Loyola University of Chicago) Scott Cohen (Portland State University) Lawrence Coleman (University of California, Davis) Lattie Collins (East Tennessee State University) Sally Daniels (Oakland University) Jack E. Denson (Mississippi State University) Waren Deshotels (Marquette University) Eric Dietz (California State University, Chico) Frank Drake (University of California, Santa Cruz) Paul Draper (University of Texas, Arlington) Miles J. Dressser (Washington State University) Ryan Droste (The College of Charleston) F. Eugene Dunnam (University of Florida) Len Feuerhelm (Okalhoma Christian University) Donald Foster (Wichita State University) Gregory E. Francis (Montana State University) Philip Gash (California State University, Chico)

J. David Gavenda (University of Texas, Austin) Simon George (California State University, Long Beach) James Gerhart (University of Washington) Bernard Gerstman (Florida International University) Charles Glashausser (Rutgers University) Grant W. Hart (Brigham Young University) Hershel J. Hausman (Ohio State University) Melissa Hill (Marquette University) Mark Hillery (Hunter College) Hans Hochheimer (Colorado State University) Joseph M. Hoffman (Frostburg State University) Peter Hoffman-Pinther (University of Houston, Downtown) Alex Holloway (University of Nebraska, Omaha) Fred W. Inman (Mankato State University) M. Azad Islan (SUNY, Potsdam) James P. Jacobs (University of Montana) Larry D. Johnson (Northeast Louisiana University) Gordon Jones (Mississippi State University) Rex Joyner (Indiana Institute of Technology) Sina David Kaviani (El Camino College) Kirby W. Kemper (Florida State University) Sanford Kern (Colorado State University) James E. Kettler (Ohio University, Eastern Campus) James R. Kirk (Edinboro University of Pennsylvania) Alok Kuman (SUNY, Oswego) Sung Kyu Kim (Macalester College) Amer Lahamer (Berea College) Clement Y. Lam (North Harris College) David Lamp (Texas Tech University) Peter Landry (McGill University) Michael Lieber (University of Arkansas) Bryan H. Long (Columbia State College) Michael C. LoPresto (Henry Ford Community College) James Madsen (University of Wisconsin, River Falls) Ponn Mahes (Winthrop University) Robert H. March (University of Wisconsin, Madison) David Markowitz (University of Connecticut) Daniel J. McLaughlin (University of Hartford) E. R. Menzel (Texas Tech University) Robert Messina David Mills (College of the Redwoods) George K. Miner (University of Dayton) Victor Montemeyer (Middle Tennessee State University) Marina Morrow (Lansing Community College) Ed Nelson (University of Iowa) Dennis Nemeschansky (USC) Gregor Novak (Indiana University/Purdue University)

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Roy J. Peterson (University of Colorado, Boulder) Frederck M. Phelps (Central Michigan University) Brian L. Pickering (Laney College) T. A. K. Pillai (University of Wisconsin, La Crosse) John Polo (Edinboro University of Pennsylvania) Michael Ram (University of Buffalo) John Reading (Texas A&M University) David Reid (Eastern Michigan University) Charles Richardson (University of Arkansas) William Riley (Ohio State University) Larry Rowan (University of North Carolina) D. Lee Rutledge (Oklahoma State University) Hajime Sakai (University of Massachusetts, Amberst) Thoma Sayetta (East Carolina University) Neil Schiller (Ocean County College) Ann Schmiedekamp (Pennsylvania State University, Ogontz) Juergen Schroeer (Illinois State University) Mark Semon (Bates College) James P. Sheerin (Eastern Michigan University) Eric Sheldon (University of Massachusetts, Lowell) K. Y. Shen (California State University, Long Beach) Marc Sher (College of William and Mary) Joseph Shinar (Iowa State University) Thomas W. Sills (Wilbur Wright College) Anthony A. Siluidi (Kent State University) Michael A. Simon (Housatonic Community College)

Upindranath Singh (Embry-Riddle) Michael I. Sobel (Brooklyn College) Donald Sparks (Los Angeles Pierce College) Thor F. Stromberg (New Mexico State University) James F. Sullivan (University of Cincinnati) Kenneth Swinney (Bevill State Community College) Harold E. Taylor (Stockton State University) John E. Teggins (Auburn University en Montgomery) Colin Terry (Ventura College) Michael Thoennessen (Michigan State University) Kwok Yeung Tsang (Georgia Institute of Technology) Jagdish K. Tuli (Brookhaven National Laboratory) Paul Urone (CSU, Sacramento) Linn D. Van Woerkom (Ohio State University) S. L. Varghese (University of Southern Alabama) Jearl Walker (Cleveland State University) Robert A. Walking (University of Southern Maine) Jai-Ching Wang (Alabama A&M University) Thomas A. Weber (Iowa State University) John C. Wells (Tennessee Technological) Gareth Williams (San Jose State University) Wendall S. Williams (Case Western Reserve University) Jerry Wilson (Metropolitan State College at Denver) Lowell Wood (University of Houston) David Wright (Tidewater Community College) Peter Zimmerman (Louisiana State University)

Debo un agradecimiento especial a los profesores Bob Davis y J. Erik Hendrickson por mucha información valiosa, y en especial por trabajar todos los problemas y producir el Manual de soluciones con todas las respuestas a los problemas y preguntas, así como por proporcionar las respuestas a los problemas de número impar la final de este libro. Gracias también al equipo que dirigen (profesores David Curott, Bryan Long y Richard Louie, quienes también trabajaron todos los problemas y preguntas, y cada uno de ellos verificó a los demás. Estoy agradecido con los profesores Robert Coakley, Lisa Morris, Kathryn Dimiduk, Robert Pelcovits, Raymond Turner, Cornelius Bennhold, Gerald Feldman, Alan Pepper, Michael Strauss y Zaven Altounian, quienes inspiraron muchos de los ejemplos, preguntas, problemas y aclaraciones significativas. En especial quiero agradecer a los profesores Howard Shugart, Chris McKee y a muchos otros en el Departamento de Física de University of California, Berkeley, por las discusiones útiles y por su hospitalidad. Gracias también al profesor Tito Arecchi y a otros en el Istituto Nazionale di Ottica, Florencia, Italia. Finalmente, debo agradecer a toda la gente en Prentice Hall con quienes he trabajado en este proyecto, especialmente a Paul Corey, Erik Fahlgren, Andrew Sobel, Chirag Thakkar, John Challice y sobre todo a las altamente profesionales y maravillosamente dedicadas Karen Karlin y Susan Fisher. La responsabilidad final de todos los errores recae sobre mí. Doy la bienvenida a comentarios, correcciones y sugerencias+ tan pronto como sea posible para beneficiar a los estudiantes con la siguiente reimpresión. D.C.G.

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Favor de enviar a: Correo electrónico: o por correo postal:

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[email protected] Physics Editor Prentice Hall Inc. One Lake Street Upper Saddle River, NJ 07458

Complementos y medios audiovisuales disponibles Complementos para el estudiante Compañero de bolsillo del estudiante (0-13-035249-7) de Biman Das (SUNY-Potsdam) Este libro en presentación rústica de 5”  7” contiene un resumen de Física: Principios con aplicaciones, sexta edición, que incluye conceptos clave, ecuaciones, consejos y sugerencias. Guía de estudio del estudiante con soluciones seleccionadas (Volumen I: 0-13-035239-X, Volumen II: 0-13-146557-0) de Joseph Boyle (Miami-Dade Community College) Esta guía de estudio contiene explicaciones generales, ejercicios, frases y términos clave, exámenes para estudio, preguntas para revisión y soluciones a problemas de fin de capítulo seleccionados. Matemáticas para Física Universitaria (0-13-141427-5) de Biman Das (SUNY-Potsdam) Este texto, para estudiantes que necesitan ayuda con las herramientas matemáticas necesarias, muestra cómo las matemáticas se aplican directamente a la física, y explica cómo superar la ansiedad matemática. Ejercicios de clasificación en física, edición del estudiante (0-13-144851-X) de Thomas L. O’Kuma (Lee College), David P. Maloney (Indiana University-Purdue University, Fort Wayne) y Curtis J. Hieggelke (Joliet Junior College) Las actividades de clasificación son un innovador tipo de ejercicio conceptual que pide a los estudiantes realizar juicios comparativos acerca de variaciones sobre una situación física particular. Este complemento incluye aproximadamente 200 ejercicios de clasificación que cubren toda la física clásica, excepto óptica. PH GradeAssist: Guía de inicio rápido del estudiante (0-13-141926-9) Esta guía de estudio (con código de acceso) contiene información acerca de cómo registrar y usar el PH GradeAssist. Física interactiva: Libro de trabajo, segunda edición (0-13-067108-8) de Cindy Schwarz (Vassar College), John Ertel (Naval Academy), MSC.Software Este paquete con libro de trabajo y CD-ROM híbrido está diseñado para ayudar a los estudiantes a visualizar y trabajar con problemas físicos específicos por medio de simulaciones creadas a partir de archivos de Física Interactiva. Cuarenta problemas de diversa dificultad requieren que los estudiantes efectúen predicciones, cambien variables, corran y visualicen movimiento en la pantalla de la computadora. El libro de trabajo/guía de estudio que lo acompaña proporciona instrucciones, un repaso de física, sugerencias y preguntas. El CD-ROM contiene todo lo que los estudiantes necesitan para correr las simulaciones. Physlet® Physics (0-13-101969-4) de Wolfgang Christian y Mario Belloni (Davidson College) Este paquete de CD-ROM y texto tiene más de 800 applets Java interactivos listos para correr, que muchos profesores de física han adoptado. No se requiere ni servidor Web ni conexión a Internet. Physics: Guía de estudio (0-13-627951-1) de Joseph Boone (California Polytechnic State University-San Luis Obispo) Esta guía de estudio MCAT incluye repaso a profundidad, problemas prácticos y preguntas de repaso.

MCAT

Complementos para el profesor Test Item File (0-13-047311-1) Este banco de pruebas contiene aproximadamente 2800 preguntas de opción múltiple, verdadero o falso, de respuesta corta y de ensayo, de las cuales cerca del 25% son de carácter conceptual. Todas las preguntas están clasificadas por nivel de dificultad y referidas a la correspondiente sección de este libro. El Test Item File también está disponible en formato electrónico, en CD-ROM, en el Centro de Recursos del Instructor.

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www.elsolucionario.org Manual de soluciones del instructor (Volumen I: 0-13-035237-3, Volumen II: 0-13-141545-X) de Bob Davis (Taylor University) y J. Erik Hendrickson (University of Wisconsin-Eau Claire) El manual de soluciones contiene soluciones trabajadas y detalladas de todos los problemas de fin de capítulo en este libro, así como respuestas a las preguntas. Están disponibles versiones electrónicas, en CD-ROM, en el Centro de Recursos del Instructor para profesores con Microsoft Word o software compatible con Word. Manual de Recursos del Instructor (0-13-035251-9) de Katherine Whatley (University of North Carolina-Asheville) Este manual contiene esquemas de clases, notas, sugerencias de demostración, lecturas sugeridas y otros recursos de enseñanza. Centro de Recursos del Instructor en CD-ROM (0-13-035246-2) Este conjunto de dos CD contiene todas las ilustraciones y tablas del texto en formatos JPEG, Microsoft PowerPoint™ y Adobe PDF. Los profesores pueden tener vistas previas y secuencias de imágenes, realizar búsquedas por palabra clave, agregar notas de clase e incorporar sus propios recursos digitales. También contiene un TestGenerator, un programa fácil de usar que se puede poner en red para crear pruebas que van de los acertijos cortos a extensos exámenes. Los profesores pueden usar el Editor de Preguntas para modificar las preguntas o problemas existentes, que incluyen versiones algorítmicas, o crear unos nuevos. Los CD también contienen clases adicionales en PowerPoint, más versiones electrónicas del Manual de Recursos del Instructor, del Manual de Soluciones del Instructor y preguntas y problemas de fin de capítulo para este libro. Paquete de transparencias (0-13-035245-4) El paquete incluye aproximadamente 400 transparencias a todo color de imágenes y tablas de este libro. Video “Física que puedes ver” (0-205-12393-7) Este video contiene once demostraciones físicas clásicas, cada una con duración de 2 a 5 minutos.

Sistemas de administración de curso WebCT y Blackboard permiten a los profesores asignar y calificar tareas en línea, administrar su lista de alumnos y su libro de calificaciones, y colocar documentos relacionados con el curso. Los cartuchos para WebCT y Blackboard son específicos de texto e incluyen: Herramientas de enseñanza justo a tiempo: calentamientos, rompecabezas y aplicaciones, por Gregor Novak y Andrew Gavrin (Indiana University-Purdue University, Indianapolis) Ejercicios de clasificación por Thomas L. O’Kuma (Lee College), David P. Maloney (Indiana University-Purdue University, Fort Wayne) y Curtis J. Hieggelke (Joliet Junior College) Physlet® Problems por Wolfgang Christian y Mario Belloni (Davidson College) Problemas de práctica de algoritmos por Carl Adler (East Carolina University) Guía de estudio MCAT con preguntas de “Kaplan Test Prep and Admissions” Companion Website (http://physics.prenhall.com/giancolippa) Este sitio contiene problemas prácticos, objetivos, preguntas prácticas, destinos (vínculos a sitios relacionados) y aplicaciones con vínculos a sitios relacionados. Los problemas y preguntas prácticos son calificados por computadora, y los resultados pueden ser enviados automáticamente por correo electrónico al profesor.

Sistemas de tareas en línea ph GradeAssist (www.prenhall.com/phga) PH GradeAssist (PHGA) es el sistema de tareas en línea de Prentice Hall. Incluye contenido asociado con materiales de enseñanza justo a tiempo, Physlet Problems, preguntas conceptuales y cuantitativas, y cientos de problemas de fin de capítulo de este libro. Muchos de los problemas de fin de capítulo tienen una variante generada de manera algorítmica. Permite a los profesores editar las preguntas, crear nuevas y contro-

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lar parámetros importantes, tales como cuánto vale una pregunta y cuándo un estudiante puede tomar una prueba. PH GradeAssist: Guía de inicio rápido del instructor (0-13-141927-7) Esta guía (con código de acceso) ayuda a los instructores a registrarse para usar el PH GradeAssist.

WebAssign (www.webassign.net) WebAssign es un sistema de en línea alojado nacionalmente que permite a los profesores crear, colocar, recopilar, calificar y registrar tareas a partir de una base de datos, lista para usar, de problemas y preguntas de este libro. y LON-CAPA Enfoque Personalizado Asistido por Computadora (CAPA, por sus siglas en inglés) es un sistema en línea alojado localmente que permite a los profesores crear, colocar, recopilar, calificar y registrar tareas a partir de una base de datos, lista para usar, de problemas y preguntas de este libro. La Red de Aprendizaje en Línea con un Enfoque Personalizado Asistido por Computadora (LON-CAPA, por sus siglas en inglés) es un sistema integrado para aprendizaje y asignación en línea. Consiste en un sistema de administración del curso, un sistema individualizado de tareas y calificación automática, una colección de datos y un sistema de extracción de datos, así como un sistema de entrega de contenido que proporcionará vías de acceso hacia y desde la National STEM Digital Library del NSF. CAPA

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www.elsolucionario.org NOTAS A LOS ESTUDIANTES (Y PROFESORES) ACERCA DEL FORMATO 1. Las secciones marcadas con asterisco (*) se consideran opcionales. Pueden omitirse sin interrumpir el flujo principal de los temas. Ningún material posterior depende de ellas a excepción de algunas secciones posteriores también con asterisco. Será divertido leerlas. 2. Se usan las convenciones comunes: los símbolos para cantidades (como m para masa) aparecen en itálicas, mientras que las unidades (como m para metro) aparecen en redondas. Los símbolos para vectores se presentan en negritas con una B pequeña flecha encima: F. 3. Pocas ecuaciones son válidas en todas las situaciones. Cuando resulte práctico, las limitaciones de las ecuaciones importantes se establecen en corchetes a continuación de la ecuación. Las ecuaciones que representan las grandes leyes de la física se presentan en una pantalla, al igual que algunas otras ecuaciones indispensables. 4. El número de cifras significativas (sección 1-4) no se debe suponer mayor o menor que lo indicado: si un número es establecido como 6, por ejemplo, con sus unidades, ello significa que es 6 y no 6.0 o 6.00. 5. Al final de cada capítulo se incluye un conjunto de preguntas que los estudiantes deben tratar de responder (por ellos mismos, al menos). Después se incluyen problemas que están clasificados como de nivel I, II o III, de acuerdo con la dificultad estimada, siendo los problemas del nivel I los más sencillos. Los del nivel II son problemas normales, y los de nivel III son para “créditos adicionales”. Estos problemas clasificados están ordenados por sección, pero los problemas para una sección dada también pueden depender de material estudiado con anterioridad. Sigue un grupo de problemas generales que no están ordenados por sección ni clasificados por dificultad. Las preguntas y problemas que se relacionan con secciones opcionales tienen un asterisco (*). Al final del libro se ofrecen las respuestas a los problemas con número non. 6. Ser capaz de resolver problemas es una parte esencial del aprendizaje de la física, y representa un poderoso medio para entender los conceptos y principios. Este libro contiene muchos auxiliares para resolver problemas: a) Ejemplos trabajados y sus soluciones en el texto (resaltados con una línea vertical en el margen) que hay que estudiar como una parte integral del texto; b) algunos de los ejemplos trabajados son ejemplos de estimación, que muestran cómo se obtienen resultados aproximados, incluso cuando los datos proporcionados son escasos (véase la sección 1-7); c) “Recuadros de resolución de problemas” especiales colocados a lo largo del texto para sugerir un enfoque paso a paso a la resolución de problemas para un tema particular. Pero no hay que quedarse con la idea de que cada tema tiene sus propias “técnicas”, porque las bases permanecen iguales; a algunos de estos recuadros les sigue un ejemplo que está resuelto mediante el seguimiento explícito de los pasos sugeridos; d) secciones especiales de resolución de problemas; e) notas marginales de “Resolución de problemas” (véase el punto 9 más adelante) que se refieren a sugerencias para resolver problemas dentro del texto; f) ejercicios dentro del texto que es conveniente trabajar inmediatamente y luego comparar la respuesta con la que se proporciona al final de la última página de ese capítulo; g) los problemas mismos al final de cada capítulo (punto 5 anterior). 7. Los ejemplos conceptuales precisamente son más conceptuales que numéricos. Cada uno plantea una o dos preguntas, que tienen la finalidad de hacer pensar al estudiante para dar con una respuesta. Es recomendable darse un poco de tiempo para hallar la respuesta antes de leer la respuesta ofrecida. 8. Los subtítulos de “Ejemplos adicionales” contienen ejemplos que el estudiante podría saltarse en una primera lectura, en caso de que se sienta abrumado. Pero uno o dos días más tarde, al leer el capítulo una segunda vez, también hay que intentar trabajar estos ejemplos porque ayudarán a mejorar la habilidad para resolver un amplio rango de problemas. 9. Notas marginales: Las breves notas en el margen de casi cada página están impresas en azul y son de cinto tipos: a) notas ordinarias (la mayoría) que sirven como una especie de subrayado del texto y ayudarán, más tarde, a localizar conceptos y

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ecuaciones importantes; b) notas que se refieren a las grandes leyes y principios de la física, que están en letras mayúsculas y en un recuadro para resaltarlas; c) notas que se refieren a una sugerencia o técnica de resolución de problemas tratada en el texto, que se identifican por el título “Resolución de problemas”; d) notas que se refieren a una aplicación de la física en el texto o a un ejemplo, y que aparecen bajo el título “Física aplicada”; e) notas de “Precaución” que puntualizan una posible mala interpretación, definida con claridad en el texto adyacente. 10. En los apéndices se encuentra un repaso matemático más algunos temas adicionales. En las cubiertas interiores se incluyen datos útiles, factores de conversión y fórmulas matemáticas.

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Agradecimientos Agradecemos a todos los profesores que han sido leales usuarios y han impartido la materia de Física en los países de habla hispana con el apoyo del reconocido libro de Giancoli. Sus valiosos comentarios han servido para enriquecer el desarrollo de la actual edición. Esperamos que con el uso de este texto cumplan satisfactoriamente los objetivos del programa del curso y preparen a sus alumnos para enfrentar los retos actuales dentro del ámbito de las ciencias. En especial deseamos agradecer el apoyo y retroalimentación que nos han dado los siguientes profesores:

COLOMBIA Abraham Lincoln Clara Ortiz Anglo Americano Miguel Tolosa Cardenal Paccelly Jenny Correa Emmanuel d’Alzon Francisco Ruggiero Gimnasio del Norte Luis Eduardo Cano

Colegio Rossland Víctor Manuel Jiménez Romero Colegio Simón Bolivar Alejandro Jiménez Rubén Darío Díaz Rojas Colegio Unión Martha Patricia Elingher Colegio Vermont Pastor Martínez Escuela Internacional S.C. José Luis Juambelz

María Mazzarello Diana Medina

Escuela Nacional Preparatoria Plantel 6 Luis Fernando Terán Mendieta José Arturo Mompala

San Jorge de Inglaterra Nelson Roby

I.E.S.CH. Samuel León Brindis Manuel de Jesús Arreola Ruiz

MÉXICO

Instituto Mier y Pesado Cayetano Andrade Zavala

Bachillerato Internacional Víctor Gerardo Delgado

Instituto Simón Bolivar Isaac Galindo

CIDEB Margarita Nerio

ITESM campus Querétaro Jaime Salvador Castellanos

Colego Arji Nancy de Alba Bellizzia

Preparatoria Cumbres Enrique Barreto Trujano

Colegio Columbio Eliseo García Sosa

Preparatoria Motolinia Gerardo Zavala Rodríguez

Colegio Franco Inglés Fernando Macías Martínez

Universidad del Valle de México Ivonne Ibarra Silva

Colegio Hebreo Tarbut Esther Murrow

Universidad La Salle A.C. Alberto Lima

Colegio México – Bachillerato María del Socorro García Manuel Carrillo Ricaldi

Universidad St John’s Margarito Rodríguez

Colegio Montaignac Juana Velázquez

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FÍSICA 2 PRINCIPIOS CON APLICACIONES

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Si la música es el alimento de la física, hay que interpretarla. [Shakespeare, La duodécima noche, línea 1.] Una orquesta incluye instrumentos de cuerda, cuyo sonido depende de ondas estacionarias transversales sobre cuerdas, e instrumentos de viento, cuyo sonido se origina en las ondas estacionarias longitudinales de una columna de aire. Los instrumentos de percusión, por su parte, crean ondas estacionarias más complejas. En este capítulo, además de examinar las fuentes del sonido, también se estudiará la escala de decibeles del nivel de sonido, la respuesta del oído, la interferencia y los batimientos de las ondas sonoras, el efecto Doppler, las ondas de choque y el estampido supersónico, así como la formación de imágenes mediante ultrasonido.

12

CAPÍTULO

Sonido

E

l sonido está asociado con el sentido del oído y, por tanto, con la fisiología de los oídos y la psicología del cerebro, que interpreta las sensaciones que llegan a los oídos. El término sonido también se refiere a la sensación física que estimula los oídos: las ondas longitudinales. Es posible distinguir tres aspectos de cualquier sonido. Primero, debe existir una fuente; como con cualquier onda, la fuente de una onda sonora es un objeto que vibra. Segundo, la energía se transfiere desde la fuente en la forma de ondas sonoras longitudinales. Y tercero, el sonido es detectado por un oído o por un micrófono. El capítulo comienza con la observación de algunos aspectos de las ondas sonoras mismas.

12–1 Características del sonido En el capítulo 11 (figura 11-25), se vio cómo un tambor que vibra produce una onda sonora en el aire. De hecho, por lo general, se piensa que las ondas sonoras viajan en el aire, pero normalmente son las vibraciones del aire las que fuerzan a los tímpanos a vibrar. Las ondas sonoras también pueden viajar en otros materiales.

322

www.elsolucionario.org Un nadador puede escuchar el sonido de dos piedras que se golpean bajo el agua, porque ésta conduce las vibraciones hacia el oído. Cuando alguien coloca el oído contra el suelo puede escuchar el sonido de un tren o de un camión que se aproxima. En este caso, el suelo en realidad no toca el tímpano, pero la onda longitudinal transmitida por el suelo se llama onda sonora porque sus vibraciones provocan que el oído externo y el aire dentro de él vibren. Es evidente que el sonido no puede viajar en ausencia de materia. Por ejemplo, no es posible escuchar una campana que suena dentro de un recipiente al vacío, y el sonido no puede viajar a través de los confines vacíos del espacio exterior. La rapidez del sonido es diferente en distintos materiales. En el aire a 0°C y 1 atm, el sonido viaja con una rapidez de 331 m
s. En la tabla 12-1 se indica la rapidez del sonido en varios materiales. Los valores dependen en cierta medida de la temperatura, especialmente en el caso de los gases. Por ejemplo, cuando el aire está cerca de la temperatura ambiente, la rapidez se incrementa aproximadamente 0.60 m
s por cada grado Celsius de aumento en la temperatura:

v L (331 + 0.60T) m
s, donde T es la temperatura en °C. A menos que se especifique otra cosa, en este capítulo se supondrá que T = 20°C, así que v = C 331 + (0.60)(20) D m
s
343 m
s. EJEMPLO CONCEPTUAL 12–1 Distancia desde un relámpago. Una regla empírica que ayuda a saber a qué distancia se produjo un relámpago dice: “una milla por cada cinco segundos antes de que se escuche el trueno”. Justifique, notando que la rapidez de la luz es tan alta (3 * 108 m
s, casi un millón de veces más rápida que el sonido) que el tiempo para que la luz viaje es despreciable en comparación con el tiempo para el sonido. RESPUESTA La rapidez del sonido en el aire es de aproximadamente 340 m
s, así que recorrer 1 km = 1000 m toma alrededor de 3 segundos. Una milla es más o menos 1.6 kilómetros, de modo que el tiempo para que el trueno viaje una milla es aproximadamente (1.6)(3) L 5 segundos.

TABLA 12–1 Rapidez del sonido en varios materiales (20°C y 1 atm)

Material Aire Aire (0°C) Helio Hidrógeno Agua Agua de mar Hierro y acero Vidrio Aluminio Madera dura Concreto

Rapidez (m
s) 343 331 1005 1300 1440 1560

L 5000 L 4500 L 5100 L 4000 L 3000

Rapidez del sonido en el aire F Í S I C A

A P L I C A D A

¿A qué distancia se produjo el relámpago?

EJERCICIO A ¿Cuál sería la regla empírica del ejemplo 12-1 en términos de kilómetros?

Existen dos aspectos de cualquier sonido que son inmediatamente evidentes para un escucha humano: “intensidad” y “tono”. Cada uno se refiere a una sensación en la conciencia del escucha. Pero a cada una de esas sensaciones subjetivas corresponde una cantidad físicamente mensurable. La intensidad está relacionada con la energía (energía por unidad de tiempo que cruza una área unitaria) en la onda sonora, y se analizará en la siguiente sección. El tono de un sonido se refiere a si es alto, como el sonido de un piccolo o de un violín, o bajo, como el sonido de un tambor o de un bajo. La cantidad física que determina el tono es la frecuencia, y fue Galileo el primero en notarlo. Cuanto más baja sea la frecuencia, más bajo será el tono; cuanto más alta la frecuencia, mayor el tono.† Los oídos humanos pueden responder a frecuencias desde aproximadamente 20 Hz hasta casi 20,000 Hz. (Cabe recordar que 1 Hz es 1 ciclo por segundo). Este rango de frecuencias se llama rango audible, aunque los límites varían un poco de un individuo a otro. Una tendencia general es que, cuando las personas envejecen, son menos capaces de escuchar frecuencias altas, de modo que el límite de frecuencia alta puede ser de 10,000 Hz o incluso menos. Las ondas sonoras cuyas frecuencias están fuera del rango audible pueden alcanzar el oído, pero por lo general uno no está consciente de ellas. Las frecuencias por arriba de 20,000 Hz se denominan ultrasónicas (no hay que confundir con supersónico, que se usa para referirse a un objeto que se mueve con una rapidez mayor que la del sonido). Muchos animales pueden escuchar frecuencias ultrasónicas; los perros, por ejemplo, son capaces de escuchar sonidos tan altos como 50,000 Hz, y los murciélagos pueden detectar frecuencias tan altas como 100,000 Hz. Las ondas ultrasónicas tienen varias aplicaciones en medicina y en algunos otros campos, que se examinarán más adelante en este capítulo.

Intensidad

Tono

Rango de frecuencia audible

P R E C A U C I Ó N

No hay que confundir ultrasónico (alta frecuencia) con supersónico (alta rapidez)

†

Aunque el tono está determinado principalmente por la frecuencia, también depende en una ligera medida de la intensidad. Por ejemplo, un sonido “muy sonoro” puede parecer con un tono ligeramente más bajo que un sonido suave de la misma frecuencia.

SECCIÓN 12–1

Características del sonido

323

FIGURA 12–1 Ejemplo 12-2. Las cámaras de autofoco emiten un pulso ultrasónico. Las líneas sólidas representan el frente de onda del pulso de onda de salida que se mueve hacia la derecha; las líneas punteadas representan el frente de onda del pulso reflejado en el rostro de la persona, que regresa a la cámara. La información del tiempo permite que el mecanismo de la cámara ajuste la lente para enfocar a la distancia apropiada.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Cámara de autofoco

EJEMPLO 12–2 Autofoco con ondas sonoras. Las cámaras de autofoco emiten un pulso sonoro de muy alta frecuencia (ultrasónico) que viaja hacia el objeto a ser fotografiado, e incluyen un sensor que detecta el sonido reflejado que regresa, como se muestra en la figura 12-1. Para tener una idea de la sensibilidad del tiempo del detector, calcule el tiempo de recorrido del pulso para un objeto a) a 1.0 m de distancia y b) a 20 m de distancia. PLANTEAMIENTO Si se supone que la temperatura es de alrededor de 20°C, entonces la rapidez del sonido es 343 m
s. Con este valor de rapidez v y la distancia total d de ida y vuelta en cada caso, se puede obtener el tiempo (v = d
t). SOLUCIÓN a) El pulso recorre 1.0 m hacia el objeto y 1.0 m de regreso, para un total de 2.0 m. Al resolver para t en v = d
t:

2.0 m d = = 0.0058 s = 5.8 ms. v 343 m
s b) Ahora la distancia total es 2 * 20 m = 40 m, de modo que 40 m t = = 0.12 s = 120 ms. 343 m
s NOTA Estos tiempos son muy cortos, así que la espera para que la cámara enfoque es insignificante. t =

Las ondas sonoras cuyas frecuencias están por debajo del rango audible (es decir, son menores de 20 Hz) se llaman infrasónicas. Las fuentes de ondas infrasónicas incluyen terremotos, truenos, volcanes y ondas producidas por maquinaria pesada que vibra. Esta última fuente a menudo resulta problemática para los trabajadores, pues las ondas infrasónicas (aun cuando son inaudibles) pueden causar daño al cuerpo humano. Estas ondas de baja frecuencia actúan de una forma resonante, lo que provoca movimiento e irritación de los órganos del cuerpo. Expansión (presión más baja)

Compresión (presión más alta)

Membrana de tambor Movimiento de una molécula + 0.0005 0 − 0.0005

Presión (atm)

Desplazamiento (cm)

FIGURA 12–3 Representación de una onda sonora en el espacio en un instante dado en términos de a) desplazamiento y b) presión.

FIGURA 12–2 La membrana de un tambor, conforme vibra, comprime alternativamente el aire y, cuando retrocede (se mueve hacia la izquierda), deja una rarefacción o expansión de aire. Véase también la figura 11-25.

x (cm)

a) 1.0002 1.0000

x (cm)

0.9998 b)

324

CAPÍTULO 12

Sonido

Con frecuencia una onda sonora se describe en términos de la vibración de las moléculas del medio en el que viaja; es decir, en términos del movimiento o desplazamiento de las moléculas. Pero las ondas sonoras también se pueden analizar desde el punto de vista de la presión. De hecho, las ondas longitudinales a menudo se denominan ondas de presión. En general, la variación de presión es más sencilla de medir que el desplazamiento. Como muestra la figura 12-2, en la “compresión” de una onda (donde las moléculas están más cercanas unas de otras), la presión es mayor que lo normal; mientras que en una expansión (o rarefacción), la presión es menor que lo normal. La figura 12-3 es una representación gráfica de una onda sonora en el aire en términos de a) desplazamiento y b) presión. Cabe hacer notar que la onda de desplazamiento está un cuarto de longitud de onda fuera de fase con respecto a la onda de presión: donde la presión es un máximo o mínimo, el desplazamiento desde el equilibrio es cero; y donde la variación de presión es cero, el desplazamiento es un máximo o un mínimo.

12–2 Intensidad del sonido: decibeles Como el tono, la intensidad es una sensación en la conciencia de un ser humano. También está relacionada con una cantidad físicamente mensurable: la intensidad de la onda. La intensidad se define como la energía transportada por una onda por unidad de tiempo a través de una unidad de área perpendicular al flujo de energía. Como se vio en el capítulo 11, la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. La intensidad tiene unidades de potencia por unidad de área, o watts/metro2 (W
m2). El oído humano puede detectar sonidos con una intensidad tan baja como 10–12 W
m2 y tan alta como 1 W
m2 (e incluso intensidades más altas, aunque esto resulta doloroso). Éste es un rango de intensidad increíblemente amplio, que abarca un factor de 1012 desde el más bajo hasta el más alto. Se presume que, a causa de este amplio rango, lo que se percibe como volumen no es directamente proporcional a la intensidad. Para producir un sonido que suene aproximadamente el doble de fuerte se requiere una onda sonora que tenga unas 10 veces la intensidad. Esto es aproximadamente válido en cualquier nivel sonoro para frecuencias cercanas a la mitad del rango audible. Por ejemplo, una onda sonora de 10–2 W
m2 de intensidad suena, a los oídos de un ser humano promedio, como si fuese el doble de sonora que una cuya intensidad es de 10–3 W
m2, y cuatro veces tan sonora como una de 10–4 W
m2.

Intensidad

F Í S I C A

A P L I C A D A

Amplio rango de la audición humana

Nivel de sonido En virtud de esta relación entre la sensación subjetiva y la cantidad físicamente mensurable de “intensidad”, los niveles de intensidad del sonido generalmente se especifican en escala logarítmica. La unidad en esta escala es un bel, en honor del inventor Alexander Graham Bell, o, mucho más comúnmente, el decibel (dB), que 1 es 10 bel (10 dB = 1 bel). El nivel de sonido,
, de cualquier sonido se define en términos de su intensidad, I, como

I, (12–1) I0 donde I0 es la intensidad de un nivel de referencia elegido, y el logaritmo es a la base 10. I0 se considera usualmente como la intensidad mínima audible para un buen oído el “umbral de audición”, que es I0 = 1.0 * 10 –12 W
m 2. En consecuencia, por ejemplo, el nivel sonoro de un sonido, cuya intensidad es I
1.0  10 –10 W
m 2 1.0 * 10–10 W
m2 b = 10 log a b = 10 log 100 = 20 dB, 1.0 * 10–12 W
m2 será puesto que log 100 es igual a 2.0. Hay que advertir que el nivel del sonido en el umbral de audición es 0 dB. Esto es, b = 10 log 10 –12
10 –12 = 10 log 1 = 0 pues log 1 = 0. También hay que notar que un incremento en intensidad por un factor de 10 corresponde a un incremento en el nivel del sonido de 10 dB. Un aumento en intensidad por un factor de 100 corresponde a un aumento en el nivel del sonido de 20 dB. Por tanto, un sonido de 50 dB es 100 veces más intenso que un sonido de 30 dB, y así sucesivamente. En la tabla 12-2 se mencionan intensidades y niveles del sonido para varios sonidos comunes. b (in dB) = 10 log

EJEMPLO 12–3 Intensidad del sonido en la calle. En la esquina de una calle con tránsito intenso, el nivel del sonido es de 70 dB. ¿Cuál es la intensidad del sonido en ese lugar? PLANTEAMIENTO Hay que resolver la ecuación 12-1 para la intensidad I, recordando que I0 = 1.0 * 10 –12 W
m2. SOLUCIÓN A partir de la ecuación 12-1

b I , log = I0 10 de modo que I = 10b
10. I0 Con b = 70, entonces I = I0 10b
10 = A1.0 * 10–12 W
m2 B A107 B = 1.0 * 10–5 W
m2.

NOTA Cabe recordar (apéndice A) que x = log y es lo mismo que y = 10x. SECCIÓN 12–2

La unidad dB

Nivel de sonido (decibeles)

P R E C A U C I Ó N

0 dB no significa intensidad cero Cada 10 dB corresponden a un cambio decuplicado en intensidad TABLA 12–2 Intensidad de varios sonidos Fuente del sonido

Nivel sonoro Intensidad (dB) (W
m2)

Avión jet a 30 m Umbral del dolor Concierto intenso de rock Sirena a 30 m Interior de automóvil, a 90 km
h Calle con tránsito intenso Plática, a 50 cm Radio bajo Murmullo Crujido de hojas Umbral de audición

140 120

100 1

120 100

1 * 10–2

1

75

3 * 10–5

70 65 40 20 10 0

1 3 1 1 1 1

* * * * * *

10–5 10–6 10–8 10–10 10–11 10–12

Intensidad del sonido: decibeles

325

www.elsolucionario.org F Í S I C A

A P L I C A D A

Respuesta de bocinas (; 3 dB)

EJEMPLO 12–4 Respuesta de bocinas. Según los anuncios publicitarios, una bocina de alta calidad es capaz de reproducir, a todo volumen, frecuencias desde 30 hasta 18,000 Hz con un nivel sonoro uniforme de ; 3 dB. Es decir, en este rango de frecuencias, la salida del nivel de sonido no varía más allá de 3 dB para un nivel de entrada determinado. ¿En qué factor cambia la intensidad para el máximo cambio de 3 dB en la salida del nivel de sonido? PLANTEAMIENTO Sea la intensidad promedio I1 y el nivel de sonido promedio
1. Entonces la intensidad máxima, I2, corresponde a un nivel b2 = b1 + 3 dB. Entonces se usa la relación entre intensidad y nivel de sonido (ecuación 12-1). SOLUCIÓN La ecuación 12-1 da

b2 - b1 = 10 log

I2 I1 - 10 log I0 I0

3 dB = 10 a log = 10 log

I2 I1 - log b I0 I0

I2 I1

pues (log a - log bB = log a
b (véase apéndice A). Esta última ecuación da

log

I2 = 0.30, I1

o x

x = log y significa y = 10

I2 = 100.30 = 2.0. I1 De modo que ; 3 dB corresponde a duplicar o partir a la mitad la intensidad. EJERCICIO B Si un aumento de 3 dB significa “doble de intenso”, ¿qué significa un aumento de 6 dB?

Vale la pena destacar que una diferencia de 3 dB en el nivel de sonido (que corresponde a una duplicación de la intensidad, como se acaba de ver) representa sólo un cambio muy pequeño en la sensación subjetiva de la intensidad aparente. De hecho, el humano promedio puede distinguir una diferencia en el nivel de sonido sólo de alrededor de 1 o 2 dB. Normalmente, el volumen o intensidad de un sonido disminuye conforme uno se aleja de la fuente del sonido. En habitaciones interiores este efecto se reduce a causa de las reflexiones en las paredes. Sin embargo, si una fuente está en un espacio abierto, de modo que el sonido pueda difundirse libremente en todas direcciones, la intensidad disminuye como el cuadrado inverso de la distancia,

I r

1, r2

como se vio en la sección 11-9. Cuando se trata de grandes distancias, la intensidad disminuye más rápido que 1
r2 porque parte de la energía se transfiere como el movimiento irregular de las moléculas del aire. Esta pérdida ocurre más para frecuencias altas, así que cualquier sonido de frecuencias mixtas será menos “brillante” a la distancia. F Í S I C A

A P L I C A D A

Ruido de un jet

EJEMPLO 12–5 Rugir de un aeroplano. El nivel de sonido medido a 30 m de un jet es de 140 dB. ¿Cuál es el nivel de sonido a 300 m? (Ignore las reflexiones en el suelo). PLANTEAMIENTO Dado el nivel de sonido, es posible determinar la intensidad a 30 m con la ecuación 12-1. Puesto que la intensidad disminuye como el cuadrado de la distancia, si se ignoran las reflexiones, se puede encontrar I a 300 m y de nuevo aplicar la ecuación 12-1 para obtener el nivel de sonido.

326

CAPÍTULO 12

Sonido

SOLUCIÓN La intensidad I a 30 m es

140 dB = 10 log a

I b. 10–12 W
m2

Al invertir la ecuación logarítmica para resolver I, se tiene

1014 =

I , 10–12 W
m2

de modo que I = A1014 BA10 –12 W
m2 B = 102 W
m2. A 300 m, 10 veces más le1 2 B = 1
100 o 1 W
m2. En consecuencia, el nivel de sojos, la intensidad será A 10 nido es

b = 10 log a

1 W
m2 b = 120 dB. 10 –12 W
m2

Incluso a 300 m, el sonido está en el umbral del dolor. Es por esto por lo que los trabajadores en los aeropuertos usan orejeras para proteger sus oídos del daño (figura 12-4). NOTA He aquí un enfoque más simple que evita la ecuación 12-1: puesto que la intensidad disminuye como el cuadrado de la distancia, a 10 veces la distancia la in1 2 1 B = 100 . Se puede usar el resultado de que 10 dB correstensidad disminuye por A 10 ponden a un cambio en la intensidad por un factor de 10 (véase justo antes del ejemplo 12-3). Entonces un cambio en la intensidad por un factor de 100 corresponde a un cambio en el nivel de sonido de (2)(10 dB) = 20 dB. Esto confirma el resultado anterior: 140 dB - 20 dB = 120 dB.

FIGURA 12–4 Ejemplo 12-5. Un trabajador aeroportuario con cubiertas en los oídos (u orejeras) que ayudan a reducir la intensidad del sonido.

EJERCICIO C Si se duplica la distancia desde una fuente de sonido que se difunde libremente en todas direcciones, ¿cómo cambia la intensidad que se escucha? ¿Por cuántos decibles cambia el nivel de sonido?

* Intensidad relacionada con la amplitud La intensidad I de una onda es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda, A, como se explicó en las secciones 11-9 y 11-10. Entonces es posible relacionar cuantitativamente la amplitud con la intensidad I o el nivel
, como muestra el ejemplo siguiente. EJEMPLO 12–6 Cuán pequeño es el desplazamiento. Calcule el desplazamiento de las moléculas del aire para un sonido que tiene una frecuencia de 1000 Hz en el umbral de audición.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Increíble sensibilidad del oído

PLANTEAMIENTO En la sección 11-10 se encontró una relación entre intensidad I y amplitud del desplazamiento A de una onda (ecuación 11-18). Se quiere encontrar la amplitud de oscilación de las moléculas del aire, dada la intensidad. SOLUCIÓN En el umbral de audición, I = 1 : 10-12 W
m2 (tabla 12-2). Se resuelve para la amplitud A en la ecuación 11-18:

A =

=

1 I pf B 2rv 1.0 * 10–12 W
m2 1 (3.14)A1.0 * 103 s–1) B (2)A1.29 kg
m3 B(343 m
s)

= 1.1 * 10–11 m, donde se tomó la intensidad del aire como 1.29 kg
m3 y la rapidez del sonido en el aire (que se supone a 20°C) como 343 m
s. NOTA Aquí se ve cuán increíblemente sensible es el oído humano: es capaz de detectar el desplazamiento de moléculas de aire que en realidad son menores que el diámetro de los átomos (alrededor de 10-10 m).

SECCIÓN 12–2

El oído detecta desplazamientos más pequeños que el tamaño de los átomos

Intensidad del sonido: decibeles

327

Cráneo

Estribo Yunque Martillo

Canales semicirculares Nervio auditivo (hacia el cerebro)

Cóclea

Canal auditivo

Trompa de Eustaquio Tímpano Ventana oval Ventana redonda

FIGURA 12–5 Diagrama del oído humano.

Oído externo

* 12–3 El oído y su respuesta; intensidad

F Í S I C A

A P L I C A D A

El oído humano

El oído humano es un extraordinario detector sensible del sonido. Los detectores de sonido (micrófonos) apenas pueden igualar al oído en la detección de sonidos de baja intensidad. La función del oído es transformar la energía vibratoria de las ondas en señales eléctricas que se transmiten al cerebro mediante los nervios. Un micrófono realiza una tarea similar. Las ondas sonoras que golpean el diafragma de un micrófono lo ponen a vibrar, y esas vibraciones se transforman en una señal eléctrica con las mismas frecuencias, que entonces se amplifican y se envían a una bocina o grabadora de cinta. La operación de los micrófonos se explicará cuando se estudien los fenómenos de electricidad y magnetismo en capítulos posteriores. Aquí se analizarán la estructura y la respuesta del oído. La figura 12-5 es un diagrama del oído humano. El oído consta de tres partes principales: el oído exterior, el oído medio y el oído interno. En el oído exterior, las ondas sonoras provenientes del exterior viajan por el canal auditivo hacia el tímpano, que vibra en respuesta a las ondas que lo golpean. El oído medio contiene tres pequeños huesos conocidos como martillo, yunque y estribo, que transfieren las vibraciones del tímpano al oído interno en la ventana oval. Este delicado sistema de palancas, acoplado al área relativamente grande del tímpano en comparación con el área de la ventana oval, genera la presión que se amplifica por un factor cercano a 40. El oído interno consiste en los canales semicirculares, que son importantes para el control del equilibrio, y la cóclea llena de líquido donde la energía vibratoria de las ondas sonoras se transforma en energía eléctrica y es enviada al cerebro.

* La respuesta del oído Sensibilidad del oído

Intensidad (en “fonios”)

328

CAPÍTULO 12

Sonido

El oído no es igualmente sensible a todas las frecuencias. Para escuchar la misma intensidad para sonidos de diferentes frecuencias requiere distintas intensidades. Los estudios promediados entre gran cantidad de personas ha producido las curvas que se muestran en la figura 12-6. En esta gráfica, cada curva representa sonidos que parecían ser igualmente fuertes. El número que acompaña a cada curva representa el nivel de intensidad (las unidades se llaman fonios), que es numéricamente igual al nivel de sonido en dB a 1000 Hz. Por ejemplo, la curva con el número 40 representa los sonidos que, según una persona promedio, tienen la misma intensidad que un sonido de 1000 Hz con un nivel sonoro de 40 dB. A partir de esta curva de 40 fonios, se ve que un tono de 100 Hz debe estar en un nivel cercano a 62 dB para ser percibido tan fuerte como un tono de 1000 Hz de sólo 40 dB.

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120 fonios

Nivel sonoro (dB)

100 80 60 40

Um

br al d

20 0 20

50 100

ea

ud

ic i ó

1

100

10−2

80

10−4

60

10−6

40

10−8

20

10 −10

0

10 −12

n

500 1000

Intensidad (W/m2)

U mbral del dolor

120

5000 10,000

Frecuencia (Hz)

FIGURA 12–6 Sensibilidad del oído humano como función de la frecuencia (véase texto). Hay que hacer notar que la escala de frecuencia es “logarítmica” con la finalidad de abarcar un amplio rango de frecuencias.

La curva más baja de la figura 12-6 (que aparece junto al 0) representa el nivel de sonido, como función de la frecuencia, para el umbral de audición, es decir, el sonido más suave que apenas es audible para un oído muy bueno. El oído es más sensible a sonidos de frecuencia entre 2000 y 4000 Hz, que son comunes en el habla y en la música. También cabe destacar que, mientras que un sonido de 1000 Hz es audible en un nivel de 0 dB, un sonido de 100 Hz debe estar cerca de los 40 dB para ser escuchado. La curva superior de la figura 12-6, que representa 120 fonios, indica el umbral del dolor. De hecho, los sonidos sobre este nivel provocan dolor. La figura 12-6 indica que, a niveles de baja intensidad, los oídos son menos sensibles a las frecuencias altas y bajas en relación con las frecuencias medias. El control de “volumen” en los sistemas de sonido tiene la intención de compensar esta insensibilidad de volumen bajo. Cuando el volumen baja, el control de intensidad aumenta las frecuencias altas y bajas en relación con las frecuencias medias, de modo que el sonido tendrá un balance de frecuencia de “sonido normal”. Sin embargo, muchos escuchas encuentran el sonido más placentero o natural sin el control de intensidad.

12–4 Fuentes de sonido: cuerdas que vibran y columnas de aire La fuente de cualquier sonido es un objeto que vibra. Casi cualquier objeto puede vibrar y, de este modo, se constituye como una fuente de sonido. Ahora se analizarán algunas fuentes simples de sonido, en particular los instrumentos musicales. En éstos, hay que golpear la fuente, pulsarla, tocarla con un arco o soplar en ella para ponerla en vibración. Entonces se producen ondas estacionarias y la fuente vibra a sus frecuencias resonantes naturales. La fuente en vibración está en contacto con el aire (u otro medio) y lo empuja para producir ondas sonoras que viajan hacia fuera. Las frecuencias de las ondas son las mismas que las de la fuente, pero la rapidez y las longitudes de onda pueden ser diferentes. Un tambor tiene una membrana estirada que vibra. Los xilófonos y las marimbas tienen barras de metal o de madera que se ponen en vibración. Las campanas, los timbales y los gongs también tienen un metal que vibra. Los instrumentos más comunes utilizan cuerdas que vibran, como el violín, la guitarra y el piano, o usan columnas de aire que vibran, como la flauta, la trompeta y el órgano de tubos. Ya se ha visto que el tono de un sonido puro está determinado por la frecuencia. En la tabla 12-3 se proporcionan las frecuencias típicas para las notas musicales en la “escala cromática igualmente temperada” para la octava que comienza con el do central. Una octava corresponde a una duplicación de la frecuencia. Por ejemplo, el do central tiene una frecuencia de 262 Hz, mientras que el do sostenido (do arriba del do central) tiene el doble de dicha frecuencia, 524 Hz. [El do central es la nota do en el centro del teclado de un piano.] SECCIÓN 12–4

TABLA 12–3 Escala cromática igualmente temperada† Nota

Frecuencia (Hz)

do central do sostenido o re bemol re re sostenido o mi bemol mi fa fa sostenido o sol bemol sol sol sostenido o la bemol la la sostenido o si bemol si do¿ †

262 277 294 311 330 349 370 392 415 440 466 494 524

Sólo se incluye una octava.

Fuentes de sonido: cuerdas que vibran y columnas de aire

329

L = 1 λ1 2 Fundamental o primer armónico, f1 FIGURA 12–7 Ondas estacionarias en una cuerda. Sólo se muestran las tres frecuencias más bajas.

L =λ2 Primer sobretono o segundo armónico, f2 = 2f1

L = 3λ3 2

Segundo sobretono o tercer armónico, f3 = 3f1

Instrumentos de cuerda F Í S I C A

A P L I C A D A

Instrumentos de cuerda

En el capítulo 11 (figura 11-40), se vio cómo se generan las ondas estacionarias en una cuerda, y aquí se mostrará de nuevo en la figura 12-7. Tales ondas estacionarias son la base para todos los instrumentos de cuerda. El tono normalmente está determinado por la frecuencia resonante más baja, la fundamental, que corresponde a los nodos que se forman en los extremos. La cuerda que vibra arriba y abajo como un todo corresponde a media longitud de onda, como se aprecia en la parte superior de la figura 12-7, así que la longitud de onda de la fundamental sobre la cuerda es igual al doble de la longitud de la cuerda. Por tanto, la frecuencia fundamental es f1 = v
l = v
2L, donde v es la velocidad de la onda sobre la cuerda. Las posibles frecuencias para las ondas estacionarias en una cuerda estirada son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental:

v , n = 1, 2, 3, p 2L (tal como en la ecuación 11-19b), donde n = 1 se refiere a la fundamental y n = 2, 3, · · · son los sobretonos. Todas las ondas estacionarias, n = 1, 2, 3, · · · , se llaman armónicos,† como se vio en la sección 11-13. Cuando se coloca un dedo sobre la cuerda de una guitarra o de un violín, la longitud efectiva de la cuerda se acorta. Así que su frecuencia fundamental, y tono, es mayor pues la longitud de onda de la fundamental es más corta (figura 12-8). Las cuerdas de una guitarra o de un violín tienen todas la misma longitud. Suenan a tonos diferentes porque las cuerdas tienen diferente masa por unidad de longitud, m
L, lo que afecta la velocidad, como se ve en la ecuación 11-13, fn = nf1 = n

FIGURA 12–8 La longitud de onda de a) una cuerda no pulsada es más larga que la de b) una cuerda pulsada. Así que la frecuencia de la cuerda pulsada es mayor. Sólo se muestra una cuerda de esta guitarra, y sólo se representa la onda estacionaria más simple, la fundamental.

v = 2FT
(m
L) . [cuerda estirada] Por tanto, la velocidad en la cuerda más pesada es menor y la frecuencia será menor para la misma longitud de onda. La tensión FT también puede ser diferente. Ajustar la tensión es la forma de afinar el tono de cada cuerda. Por otra parte, en los pianos y arpas, las cuerdas son de diferentes longitudes. Para las notas más bajas, las cuerdas no sólo son más largas, sino también más pesadas, y la razón se explica en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 12–7 Cuerdas de piano. La tecla más alta en un piano corresponde a una frecuencia casi 150 veces la de la tecla más baja. Si la cuerda para la nota más alta tiene 5.0 cm de largo, ¿de qué longitud tendría que ser la cuerda de la nota más baja si tuviese la misma masa por unidad de longitud y estuviese bajo la misma tensión?

a)

PLANTEAMIENTO Dado que v = 2FT
(m
L) , la velocidad sería la misma en cada cuerda. Así que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud L de la cuerda (f = v
l = v
2L).

b) †

Cuando las frecuencias resonantes sobre la fundamental (es decir, los sobretonos) son múltiplos enteros de ésta, como aquí, se llaman armónicos. Pero si los sobretonos no son múltiplos enteros de la fundamental, como es el caso para la membrana vibratoria de un tambor, no son armónicos.

330

CAPÍTULO 12

Sonido

SOLUCIÓN Para las frecuencias fundamentales de cada cuerda la razón se escribe

fH LL , = LH fL donde los subíndices B y A se refieren a las notas más baja y más alta, respectivamente. Por ende LB = LA AfA
fA B = (5.0 cm)(150) = 750 cm, Esto sería una longitud ridícula (L 25 ft) para un piano. NOTA Las cuerdas más largas de frecuencia más baja se hacen más pesadas, así que incluso en los grandes pianos las cuerdas miden menos de 3 m de largo. EJEMPLO 12–8 Frecuencias y longitudes de onda en un violín. Una cuerda de violín de 0.32 m de largo está afinada para tocar el La ubicado después del Do central a 440 Hz. a) ¿Cuál es la longitud de onda de la vibración fundamental de la cuerda y b) cuáles son la frecuencia y la longitud de la onda sonora producida? c) ¿Por qué existe diferencia? PLANTEAMIENTO La longitud de onda de la vibración fundamental de la cuerda es igual al doble de longitud de la cuerda (figura 12-7). Mientras la cuerda vibra empuja el aire, que entonces es forzado a oscilar a la misma frecuencia que la cuerda. SOLUCIÓN a) A partir de la figura 12-7, la longitud de onda de la fundamental es

a)

l = 2L = 2(0.32 m) = 0.64 m = 64 cm. Ésta es la longitud de la onda estacionaria sobre la cuerda. b) La onda sonora que viaja hacia fuera en el aire (para alcanzar los oídos) tiene la misma frecuencia, 440 Hz. Su longitud de onda es

343 m
s v = = 0.78 m = 78 cm, f 440 Hz donde v es la rapidez del sonido en el aire (que se supone a 20°C), como se vio en la sección 12-1. c) La longitud de la onda sonora es diferente de la de la onda estacionaria en la cuerda porque la rapidez del sonido en el aire (343 m
s a 20°C) es diferente de la rapidez de la onda en la cuerda (= fl = 440 Hz * 0.64 m = 280 m
s) que depende de la tensión en esta última y de su masa por unidad de longitud. l =

NOTA Las frecuencias en la cuerda y en el aire son una misma: la cuerda y el aire están en contacto, y la cuerda “fuerza” al aire a vibrar a la misma frecuencia. Pero las longitudes de onda son diferentes porque la rapidez de la onda en la cuerda es diferente de la del aire. Los instrumentos de cuerda no serían muy sonoros si se apoyaran en sus cuerdas vibrantes para producir las ondas sonoras, pues las cuerdas son demasiado delgadas para comprimir y expandir mucho aire. En consecuencia, los instrumentos de cuerda utilizan una especie de amplificador mecánico, conocido como caja armónica (piano) o caja de resonancia (guitarra, violín), que actúa para amplificar el sonido al poner una mayor área superficial en contacto con el aire (figura 12-9). Cuando las cuerdas comienzan a vibrar, la caja armónica o de resonancia también se pone en vibración. De esta forma, como un área mucho mayor está en contacto con el aire, es posible producir una onda sonora más intensa. En una guitarra eléctrica, la caja de resonancia no es tan importante, pues las vibraciones de las cuerdas se amplifican electrónicamente.

b) FIGURA 12–9 a) Piano que muestra la caja armónica (también llamada caja de resonancia) a la que están unidas las cuerdas; b) guitarra eléctrica.

P R E C A U C I Ó N

Rapidez de la onda estacionaria en la cuerda Z rapidez de la onda sonora en el aire

FIGURA 12–10 La flauta es un instrumento de viento.

Instrumentos de viento Los instrumentos como los de madera y de viento, los metales y el órgano de tubos producen sonido a partir de las vibraciones de ondas estacionarias en una columna de aire dentro de un tubo (figura 12-10). Las ondas estacionarias pueden generarse en el aire de cualquier cavidad, pero las frecuencias presentes resultan complicadas para formas tan simples como el tubo estrecho y uniforme de una flauta o como un órgano de tubos. En algunos instrumentos, una lengüeta vibrante o el labio en vibración del intérprete ayuda a generar vibraciones en la columna de aire. En otros, una corriente de aire se dirige contra un extremo de la abertura o boquilla, lo que genera turbulencia que, a su vez, origina las vibraciones. A causa de la perturbación, cualquiera que sea su fuente, el aire dentro del tubo vibra con una variedad de frecuencias, pero sólo persistirán aquellas que correspondan a ondas estacionarias. SECCIÓN 12–4

Fuentes de sonido: cuerdas que vibran y columnas de aire

331

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a) Desplazamiento del aire L A antinodo

nodo

TUBO ABIERTO EN AMBOS EXTREMOS b) Variación de la presión en el aire L Primer armónico = fundamental nodo nodo A antinodo L= 1λ 2

1

f1 = 2vL

B

B

[movimiento de las moléculas de aire] Segundo armónico L = λ2

A

A

f2 = vL = 2f1

B

B Sobretonos

Tercer armónico L = 32 λ 3

A

3v f3 = 2L = 3f1

B FIGURA 12–11 Gráficas de los tres modos más simples de vibración (ondas estacionarias) para un tubo uniforme abierto en ambos extremos (“tubo abierto”). Estos modos más simples de vibración se muestran en a), a la izquierda, en términos del movimiento del aire (desplazamiento) y en b), a la derecha, en términos de la presión del aire. Cada gráfica muestra el formato de onda en dos momentos, A y B, separados medio periodo. El movimiento real de las moléculas para un caso, correspondiente a la fundamental, se muestra justo debajo del tubo en la esquina superior izquierda. F Í S I C A

A P L I C A D A

Instrumentos de viento

Tubo abierto

Los tubos abiertos producen todos los armónicos

332

CAPÍTULO 12

Sonido

A B

Para una cuerda fija en ambos extremos (figura 12-7), las ondas estacionarias tienen nodos (es decir, no hay movimiento) en los dos extremos, y uno o más antinodos (gran amplitud de vibración) en medio. Un nodo separa antinodos sucesivos. La onda estacionaria de la frecuencia más baja, la fundamental, corresponde a un solo antinodo. Las ondas estacionarias de frecuencias más altas se llaman sobretonos o armónicos, como se vio en la sección 11-13. Específicamente, el primer armónico es la fundamental, el segundo armónico (= primer sobretono) tiene el doble de frecuencia que la fundamental, etcétera. La situación es similar para una columna de aire en un tubo de diámetro uniforme, pero cabe recordar que ahora es el aire en sí el que vibra. Las ondas se pueden describir ya sea en términos del flujo de aire (es decir, en términos del desplazamiento de aire) o en términos de la presión en el aire (figuras 12-2 y 12-3). En términos de desplazamiento, el aire en el extremo cerrado de un tubo es un nodo de desplazamiento pues en ese lugar el aire no es libre de moverse, mientras que cerca del extremo abierto de un tubo habrá un antinodo ya que el aire puede moverse libremente para entrar y salir. El aire dentro del tubo vibra en la forma de ondas estacionarias longitudinales. En la figura 12-11 se muestran gráficamente los posibles modos de vibración para un tubo abierto en ambos extremos (llamado tubo abierto), y en la figura 12-12 para un tubo que está abierto en un extremo pero cerrado en el otro (llamado tubo cerrado). [Un tubo cerrado en ambos extremos, sin conexión con el aire exterior, sería inútil como instrumento.] Las gráficas en el inciso a) de cada figura (lado izquierdo) representan la amplitud de desplazamiento del aire que vibra en el tubo. Hay que recalcar que se trata de gráficas, y que las moléculas de aire oscilan horizontalmente, paralelas a la longitud del tubo, como se muestra mediante las pequeñas flechas en el diagrama superior de la figura 12-11a (a la izquierda). La posición exacta del antinodo cerca del extremo abierto de un tubo depende del diámetro de éste, pero si el diámetro es pequeño en comparación con la longitud, que es el caso más común, el antinodo se presenta muy cerca del extremo, como se observa. A continuación se supone que éste es el caso. (La posición del antinodo también depende ligeramente de la longitud de onda y de otros factores). Observe con detalle el tubo abierto de la figura 12-11a, que bien puede ser un órgano de tubo o una flauta. Un tubo abierto tiene antinodos de desplazamiento en ambos extremos, puesto que el aire es libre de moverse en los extremos abiertos. Debe existir al menos un nodo dentro de un tubo abierto si se requiere que exista una onda estacionaria. Un solo nodo corresponde a la frecuencia fundamental del tubo. Como la distancia entre dos nodos sucesivos, o entre dos antinodos sucesivos, es 12 l, existe media longitud de onda dentro de la longitud del tubo para el caso más simple de la fundamental (diagrama superior de la figura 12-11a): L = 12 l, o l = 2L. De modo que la frecuencia fundamental es f1 = v
l = v
2L, donde v es la velocidad del sonido en el aire (dentro del tubo). La onda estacionaria con dos nodos es el primer sobretono o segundo armónico y tiene la mitad de la longitud de onda (L = l) y el doble de la frecuencia de la fundamental. De hecho, en un tubo uniforme abierto en ambos extremos, la frecuencia de cada sobretono es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental, como se podrá ver en la figura 12-11a. Esto es justo lo que se encontró para una cuerda.

TUBO CERRADO EN UN EXTREMO a) Desplazamiento de aire L

b) Variación de presión en el aire L

A

Primer armónico = fundamental L = 14 λ 1

A

B

v f1 = 4L

B

A

Tercer armónico L = 34 λ 3

A

B

f3 = 34Lv = 3f1

B Sobretonos

Quinto armónico L = 54 λ 5

A

A B

f5 = 54Lv = 5f1

B

Para el caso de un tubo cerrado (figura 12-12a), como podría ser un órgano de tubo, siempre existe un nodo de desplazamiento en el extremo cerrado (pues el aire no es libre de moverse) y un antinodo en el extremo abierto (donde el aire puede moverse libremente). Como la distancia entre un nodo y el antinodo más cercano es 14 l, se sabe que la fundamental en un tubo cerrado corresponde sólo a un cuarto de longitud de onda dentro de la longitud del tubo: L = l
4, y l = 4L. Por tanto, la frecuencia fundamental es f1 = v
4L, o la mitad de la fundamental para un tubo abierto de la misma longitud. Existe otra diferencia, que se distingue en la figura 12-12a, y es que sólo los armónicos nones están presentes en un tubo cerrado: los sobretonos tienen frecuencias iguales a 3, 5, 7, · · · veces la frecuencia fundamental. No hay manera de que las ondas con 2, 4, 6, · · · veces la frecuencia fundamental tengan un nodo en un extremo y un antinodo en el otro, y por tanto no pueden existir como ondas estacionarias en un tubo cerrado. Otra forma de analizar las vibraciones en un tubo uniforme es considerar una descripción en términos de la presión en el aire, como se muestra en el inciso b) de las figuras 12-11 y 12-12 (lado derecho). Donde se comprime el aire en una onda, la presión es más alta, mientras que en una expansión (o rarefacción) de onda, la presión es menor que la normal. El extremo abierto de un tubo está abierto a la atmósfera. Así que la variación de presión en un extremo abierto debe ser un nodo: la presión no alterna, sino que permanece a la presión atmosférica exterior. Si un tubo tiene un extremo cerrado, la presión en este último puede alternar fácilmente para estar por encima o por debajo de la presión atmosférica. En consecuencia, existe un antinodo de presión en el extremo cerrado de un tubo. Puede haber nodos y antinodos de presión dentro del tubo. En la figura 12-11b se ilustran algunos de los posibles modos de vibración en términos de presión para un tubo abierto, y en la figura 12-12b se muestran para un tubo cerrado.

FIGURA 12–12 Modos de vibración (ondas estacionarias) para un tubo cerrado en un extremo (“tubo cerrado”). Véase el pie de la figura 12-11.

Tubo cerrado

Los tubos cerrados sólo producen armónicos nones

EJEMPLO 12–9 Órgano de tubos. ¿Cuál será la frecuencia fundamental y los primeros tres sobretonos en un tubo de órgano de 26 cm de largo a 20°C si está a) abierto y b) cerrado? PLANTEAMIENTO Todos los cálculos pueden basarse en las figuras 12-11a y 12-12a. SOLUCIÓN a) Para el tubo abierto (figura 12-11a), la frecuencia fundamental es

343 m
s v = = 660 Hz. 2L 2(0.26 m) La rapidez v es la rapidez del sonido en el aire (el aire que vibra en el tubo). Los sobretonos incluyen todos los armónicos: 1320 Hz, 1980 Hz, 2640 Hz, etcétera. b) Para un tubo cerrado (figura 12-12a), la frecuencia fundamental es 343 m
s v f1 = = = 330 Hz. 4L 4(0.26 m) Sólo están presentes armónicos nones: los primeros tres sobretonos son 990 Hz, 1650 Hz y 2310 Hz. NOTA El tubo cerrado toca a 330 Hz, que, a partir de la tabla 12-3, es el Mi después del Do central, mientras que el tubo abierto de la misma longitud toca a 660 Hz, una octava más alta. f1 =

SECCIÓN 12–4

Fuentes de sonido: cuerdas que vibran y columnas de aire

333

Los órganos usan tubos tanto abiertos como cerrados, con longitudes que van desde unos cuantos centímetros hasta 5 m o incluso más. Una flauta actúa como un tubo abierto, pues está abierta no sólo por la boquilla, sino también en el extremo opuesto. Las diferentes notas en una flauta se obtienen acortando la longitud de la columna de aire en vibración, al descubrir los hoyos a lo largo del tubo (de modo que en el hoyo se genere un antinodo de desplazamiento). Cuanto más corta sea la longitud de la columna de aire en vibración, mayor será la frecuencia fundamental. EJEMPLO 12–10 Flauta. Una flauta está diseñada para tocar un Do central (262 Hz) como la frecuencia fundamental cuando todos los hoyos están cubiertos. ¿Aproximadamente cuál debería ser la distancia desde la boquilla hasta el extremo lejano de la flauta? (Esto sólo es aproximado pues el antinodo no ocurre precisamente en la boquilla). Se supone que la temperatura es de 20°C. PLANTEAMIENTO Cuando todos los hoyos están cubiertos, la longitud de la columna de aire que vibra es la longitud total. La rapidez del sonido en el aire a 20°C es de 343 m
s. Como una flauta está abierta por ambos extremos, se usa la figura 12-11: la frecuencia fundamental f1 está relacionada con la longitud L de la columna de aire en vibración mediante f = v
2L. SOLUCIÓN Al resolver para L, es encuentra

L =

343 m
s v = = 0.655 m. 2f 2 A262 s–1 B

EJERCICIO D Para comprender por qué los ejecutantes de instrumentos de viento “calientan” sus instrumentos (de modo que estén afinados), determine la frecuencia fundamental de la flauta del ejemplo 12-10 cuando todos los hoyos están cubiertos y la temperatura es de 10°C en lugar de 20°C. 1 λ 4

Antinodo Nodo

FIGURA 12–13 Ejemplo 12-11.

FIGURA 12–14 Las amplitudes de la fundamental y de los primeros dos sobretonos se agregan en cada punto para obtener la “suma” u ondulación compuesta.

f1

f2

f3

Suma de las tres

334

CAPÍTULO 12

Sonido

EJEMPLO 12–11 ESTIMACIÓN Frecuencias del ruido del viento. El viento puede ser ruidoso: puede “aullar” en los árboles, o “ulular” en las chimeneas. ¿Qué provoca el ruido y aproximadamente qué rango de frecuencias se esperaría escuchar? PLANTEAMIENTO Las ráfagas de aire en el viento provocan vibraciones u oscilaciones en las ramas del árbol (o en la columna de aire en la chimenea), lo que produce ondas sonoras de la misma frecuencia. El extremo de la rama de un árbol fija al tronco es un nodo, mientras que el otro extremo es libre de moverse y, en consecuencia, es un antinodo; por tanto, la rama del árbol es aproximadamente 14 l (figura 12-13). SOLUCIÓN Se estima v L 4000 m
s para la rapidez del sonido en la madera (tabla 12-1). Se supone que la rama de un árbol tiene una longitud L L 2 m; entonces l = 4L = 8 m y f = v
l = (4000 m
s)
(8 m) L 500 Hz. NOTA El viento puede excitar las oscilaciones de aire en una chimenea, de forma muy similar a como lo hace en un órgano de tubo o en una flauta. Una chimenea es un tubo bastante largo, tal vez de 3 m de longitud, que actúa como un tubo abierto en cualquiera de sus extremos o incluso en ambos extremos. Si está abierto en ambos extremos ( = 2L), con v L 340 m
s, se encuentra f1 L v
2L L 56 Hz, que es una nota bastante baja. ¡No es necesario preguntar por qué “ululan” las chimeneas!

* 12–5 Calidad del sonido y ruido; superposición Siempre que se escucha un sonido, en particular un sonido musical, uno está consciente de su sonoridad, su tono y también de un tercer aspecto llamado “calidad” o timbre. Por ejemplo, cuando un piano y luego una flauta tocan una nota de la misma intensidad y tono (por ejemplo, un Do central), existe una clara diferencia en el sonido global. Nunca se confundiría un piano con una flauta. Esto es lo que significa la calidad de un sonido. Para los instrumentos musicales, también se usan los términos timbre y color de tono. Así como la intensidad y el tono se pueden relacionar con cantidades físicamente mensurables, con la calidad sucede lo mismo. La calidad de un sonido depende de la presencia de sobretonos, su número y sus amplitudes relativas. Por lo general, cuando en un instrumento musical se toca una nota, la fundamental y los sobretonos están presentes simultáneamente. La figura 12-14 ilustra cómo se aplica el principio de superposición (sección 11-12) a tres formas de onda, en este caso la fundamental y los primeros dos sobretonos (con amplitudes particulares): se suman en cada punto para proporcionar una ondulación compuesta. Desde luego, general-

Clarinete 0.5 0 0

1000 2000 3000 Frecuencia (Hz)

1.0

Amplitud relativa

1.0

Amplitud relativa

Amplitud relativa

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Piano 0.5 0 0

1.0 Violín

0.5 0

1000 2000 3000 Frecuencia (Hz)

0

1000 2000 3000 Frecuencia (Hz)

FIGURA 12–15 Espectros sonoros para diferentes instrumentos. Los espectros cambian cuando los instrumentos tocan notas diferentes. El clarinete es un tanto complicado: actúa como un tubo cerrado a frecuencias bajas y sólo con armónicos nones, pero a frecuencias más altas todos los armónicos se producen como en un tubo abierto.

mente están presentes más de dos sobretonos. [Cualquier onda compleja se puede analizar en una superposición de ondas sinusoidales de amplitudes, longitudes de onda y frecuencias apropiadas. Tal análisis se llama análisis de Fourier.] Las amplitudes relativas de los sobretonos para una nota dada son diferentes para diferentes instrumentos musicales, que es lo que le brinda a cada instrumento su calidad o timbre característico. Una gráfica de barras que muestra las amplitudes relativas de los armónicos para una nota dada producida por un instrumento se conoce como espectro de sonido. En la figura 12-15 se muestran varios ejemplos típicos para diferentes instrumentos musicales. Por lo común, la fundamental tiene la amplitud mayor, y su frecuencia es lo que se escucha como el tono. La forma en la que un instrumento se toca influye enormemente en la calidad del sonido. Por ejemplo, pulsar la cuerda de un violín produce un sonido muy diferente a pasar un arco sobre ella. El espectro de sonido al comienzo (o fin) mismo de una nota (como cuando un martillo golpea una cuerda de piano) puede ser muy diferente del subsiguiente tono sostenido. Esto también afecta la calidad subjetiva del tono de un instrumento. Un sonido ordinario, como el que se produce al golpear dos piedras una con otra, es un ruido que tiene cierta calidad, pero no se aprecia un tono claro. Tal ruido es una mezcla de muchas frecuencias que comparten poca relación una con otra. Un espectro de sonido para tal ruido no mostraría líneas discretas como las de la figura 12-15. En vez de ello, sería un espectro de frecuencias continuo o casi continuo. Un sonido así se llama “ruido” en comparación con los sonidos más armónicos que contienen frecuencias que son múltiplos simples de la fundamental.

FIGURA 12–16 Interferencia de ondas sonoras provenientes de dos bocinas.

12–6 Interferencia de ondas sonoras; batimientos Interferencia en el espacio En la sección 11-12 se vio que, cuando dos ondas pasan simultáneamente a través de la misma región del espacio, se interfieren entre sí. La interferencia también ocurre con las ondas sonoras. Consideremos dos grandes bocinas, A y B, separadas una distancia d en el escenario de un auditorio, como se representa en la figura 12-16. Supongamos que las dos bocinas emiten ondas sonoras de la misma frecuencia y que están en fase: es decir, cuando una bocina forma una compresión, también lo hace la otra. (Se ignoran las reflexiones de las paredes, el piso, etcétera). Las líneas curvas en el diagrama representan las crestas de las ondas sonoras provenientes de cada bocina en un instante determinado. Se debe recordar que, para una onda sonora, una cresta es una compresión en el aire mientras que un valle (que cae entre dos crestas) es una rarefacción. Un detector o una persona ubicada en el punto C, que está a la misma distancia de cada bocina, experimentará un sonido fuerte porque la interferencia será constructiva: dos crestas se alcanzan en un momento, y dos valles se alcanzan en un momento posterior. Por otra parte, poco o ningún sonido se escuchará en un punto como D en el diagrama, porque ocurre interferencia destructiva: las compresiones de una onda encuentran rarefacciones de la otra y viceversa (véase la figura 11-37 y la discusión relacionada acerca de las ondas acuáticas en la sección 11-12). SECCIÓN 12–6

λ

D

A d

C

B

λ

Interferencia de ondas sonoras; batimientos

335

A

d

C

B a)

A

D

d

B

E b)

FIGURA 12–17 Las ondas sonoras de una sola frecuencia provenientes de las bocinas A y B (véase la figura 12-16) interfieren constructivamente en C y destructivamente en D. [Aquí se muestran representaciones gráficas, no las ondas sonoras longitudinales verdaderas.]

Un análisis de esta situación resultará más claro si las ondulaciones se representan gráficamente como en la figura 12-17. En la figura 12-17a se observa que, en el punto C, ocurre interferencia constructiva, pues ambas ondas tienen crestas simultáneamente o tienen valles también de manera simultánea cuando llegan a C. En la figura 12-17b se ve que, para alcanzar el punto D, la onda proveniente de la bocina B debe recorrer una mayor distancia que la onda proveniente de A. Es así como la onda proveniente de B se queda rezagada con respecto a la que proviene de A. En este diagrama, el punto E se elige de modo que la distancia ED sea igual a AD. En consecuencia, se ve que, si la distancia BE es igual a la mitad de la longitud de onda del sonido, las dos ondas estarán exactamente fuera de fase cuando alcancen D, y entonces ocurrirá interferencia destructiva. Éste es el criterio para determinar en qué puntos ocurre la interferencia destructiva: la interferencia destructiva tiene lugar en cualquier punto cuya distancia desde una bocina sea más grande que su distancia desde la otra bocina por media longitud de onda. Hay que hacer notar que, si esta distancia adicional (BE en la figura 12-17b) es igual a una longitud de onda completa (o 2, 3, · · · longitudes de onda), entonces las dos ondas estarán en fase y ocurrirá interferencia constructiva. Si la distancia BE es igual a 12 , 1 12 , 2 12 , p longitudes de onda, ocurrirá interferencia destructiva. Es importante darse cuenta de que una persona ubicada en el punto D en la figura 12-16 o 12-17 no escuchará nada en absoluto (o casi nada), aunque el sonido provenga de ambas bocinas. De hecho, si se apaga una de las bocinas, el sonido proveniente de la otra bocina se escuchará claramente. Si una bocina emite un rango completo de frecuencias, sólo longitudes de onda específicas interferirán destructivamente por completo en un punto dado. EJEMPLO 12–12 Interferencia de bocinas. Dos bocinas están separadas 1.00 m. Una persona está de pie a 4.00 m de una bocina. ¿A qué distancia de la segunda bocina debe estar esta persona para detectar interferencia destructiva cuando las bocinas emitan un sonido de 1150 Hz? La temperatura es de 20°C. PLANTEAMIENTO Para experimentar interferencia destructiva, la persona debe estar media longitud de onda más cerca o más lejos de una bocina que de la otra; es decir, a una distancia = 4.00 m ; 
2. Es factible determinar  pues se conocen f y v. SOLUCIÓN La rapidez del sonido a 20°C es de 343 m
s, de modo que la longitud de onda de este sonido es (ecuación 11-12)

l =

343 m
s v = = 0.30 m. f 1150 Hz

Para que ocurra interferencia destructiva, la persona debe estar media longitud de onda más lejos de una bocina que de la otra, o 0.15 m. Por tanto, la persona debe estar a 3.85 m o 4.15 m de la segunda bocina. NOTA Si las bocinas están separadas entre sí a una distancia menor de 0.15 m, no habrá ningún punto que esté 0.15 m más lejos de una bocina que de la otra, por lo que no habrá ningún punto donde pudiera ocurrir interferencia destructiva.

Pulsos. Interferencia en el tiempo Pulsos

336

CAPÍTULO 12

Sonido

Se ha analizado la interferencia de las ondas sonoras que tienen lugar en el espacio. Un interesante e importante ejemplo de interferencia que ocurre en el tiempo es el fenómeno conocido como pulsos: si dos fuentes de sonido (por ejemplo, dos diapasones) emiten frecuencias cercanas, sin que sean exactamente iguales, las ondas sonoras provenientes de las dos fuentes interferirán una con otra. El nivel de sonido en una posición dada alternativamente se eleva y cae en el tiempo, pues las dos ondas a veces están en fase y a veces fuera de fase en virtud de sus diferentes longitudes de onda. Los cambios de intensidad espaciados regularmente se llaman pulsos. La gráfica inferior en la figura 12-18 muestra la suma de las dos ondas como función del tiempo. En el tiempo t = 0, las dos ondas están en fase e interfieren constructivamente. Puesto que las dos ondas vibran a diferentes tasas, en el tiempo t = 0.05 s están completamente fuera de fase e interfieren destructivamente. En t = 0.10 s, de nuevo están en fase y la amplitud resultante de nuevo es grande. Por tanto, la

fA = 50 Hz

fB = 60 Hz

t

t = 0.05 s

t=0

t = 0.15 s

t = 0.10 s

suma

t

periodo de batimiento (0.010 s) FIGURA 12–18 Los pulsos ocurren como resultado de la superposición de dos ondas sonoras de frecuencias ligeramente diferentes.

amplitud resultante es grande cada 0.10 s y cae drásticamente en medio. Esta elevación y caída de la intensidad es lo que se escucha como pulsos.† En este caso, los pulsos están separados 0.10 s. Es decir, la frecuencia de pulsos es 10 por segundo, o 10 Hz. Este resultado, en el que la frecuencia de pulsos es igual a la diferencia de frecuencia entre las dos ondas, es válido en general. El fenómeno de los pulsos ocurre con cualquier tipo de onda y es un método muy sensible para comparar frecuencias. Por ejemplo, para afinar un piano, un afinador escucha los pulsos producidos entre su diapasón estándar de afinación y el de una cuerda particular del piano, y sabe que está afinada cuando los pulsos desaparecen. Los miembros de una orquesta afinan al escuchar los pulsos entre sus instrumentos y los de un tono estándar (por lo general el La después del Do central a 440 Hz) producido por un piano o por un oboe.

Frecuencia de los pulsos = diferencia en las frecuencias de las dos ondas

F Í S I C A

A P L I C A D A

Afinación de un piano

EJEMPLO 12–13 Pulsos. Un diapasón de afinación produce un tono estable de 440 Hz. Cuando este diapasón de afinación se golpea y sostiene cerca de una cuerda de guitarra en vibración, se cuentan 20 pulsos en cinco segundos. ¿Cuáles son las posibles frecuencias producidas por la cuerda de guitarra? PLANTEAMIENTO Para que ocurran los pulsos, la cuerda debe vibrar a una frecuencia diferente de 400 Hz para cualquiera que sea la frecuencia de los pulsos. SOLUCIÓN La frecuencia de los pulsos es

fpulsos = 20 vibraciones
5 s = 4 Hz. Ésta es la diferencia de las frecuencias de dos ondas. Puesto que se sabe que una onda es de 400 Hz, la otra debe ser de 404 o de 396 Hz. EJERCICIO E ¿Cuál es la frecuencia de los pulsos para el diapasón de afinación y la guitarra del ejemplo 12-13, cuando se escuchan juntos sonidos de 500 y 506 Hz? †

Los pulsos se escucharán incluso si las amplitudes no son iguales, en tanto la diferencia de amplitud no sea grande.

SECCIÓN 12–6

Interferencia de ondas sonoras; batimientos

337

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12–7 Efecto Doppler Es posible que el lector haya notado que el tono de la sirena de un camión de bomberos que se aproxima, cae abruptamente conforme pasa junto. También es posible que haya notado el cambio en el tono de una bocina estruendosa de un veloz automóvil conforme éste pasa cerca. El tono del ruidoso motor de un auto de carreras cambia cuando el auto pasa junto a un observador. Cuando una fuente de sonido se mueve hacia un observador, el tono que el observador escucha es más alto que cuando la fuente está en reposo; y cuando la fuente se aleja del observador, el tono es más bajo. Este fenómeno se conoce como efecto Doppler† y ocurre para todo tipo de ondas. Analicemos ahora por qué ocurre y calculemos la diferencia entre la frecuencia percibida y la de la fuente cuando existe movimiento relativo entre la fuente y el observador.

a) En reposo

b) Camión de bomberos en movimiento FIGURA 12–19 a) Ambos observadores en la acera escuchan la misma frecuencia del camión de bomberos en reposo. b) Efecto Doppler: el observador hacia el que se mueve el camión escucha un sonido con frecuencia más alta, y el observador detrás del camión escucha un sonido con frecuencia más baja.

FIGURA 12–20 Determinación del cambio de frecuencia en el efecto Doppler (véase el texto). El punto azul es la fuente.

d=λ

Fuente

a) Fuente fija Cresta emitida cuando la fuente estaba en el punto 1. Cresta emitida cuando la fuente estaba en el punto 2. 1

vBfuente

2

λ′

dfuente = vfuenteT b) Fuente en movimiento

338

CAPÍTULO 12

Sonido

Considere la sirena de un camión de bomberos en reposo, que emite un sonido de una frecuencia particular en todas direcciones, como se muestra en la figura 12-19a. Las ondas sonoras se mueven a la rapidez del sonido en el aire, vsonido, que es independiente de la velocidad de la fuente o el observador. Si la fuente, el camión de bomberos, se mueve, la sirena emite un sonido a la misma frecuencia que cuando está en reposo. Pero los frentes de onda sonoros que emite hacia delante, enfrente de él, están más cerca de lo que estaban cuando el camión estaba en reposo, como se muestra en la figura 12-19b. Esto se debe a que el camión, conforme se mueve, “persigue” los frentes de onda previamente emitidos, y emite cada cresta más cerca de la anterior. Por tanto, un observador situado en la acera y enfrente del camión detectará que más crestas de onda pasan por segundo, de modo que la frecuencia que escuchará será más alta. Por otra parte, los frentes de onda emitidos detrás del camión están más alejados que cuando el camión está en reposo porque el camión se aleja de ellos. Por eso, para un observador que está detrás del camión en movimiento, pasan menos crestas de onda por segundo (figura 12-19b) y el tono percibido es más bajo. El corrimiento de frecuencia percibido se puede calcular a partir de la figura 12-20, suponiendo que el aire (u otro medio) está en reposo en el marco de referencia. (El observador estacionario está a la derecha). En la figura 12-20a, la fuente del sonido se representa como un punto azul, y está en reposo. También se representan dos crestas de onda sucesivas, la segunda de las cuales acaba de emitirse, de modo que todavía está cerca de la fuente. La distancia entre esas crestas es , la longitud de onda. Si la frecuencia de la fuente es f, entonces el tiempo entre emisiones de crestas de onda es

1 l . = vsonido f En la figura 12-20b, la fuente se mueve con velocidad vfuente hacia el observador. T =

†

En honor de J. C. Doppler (1803-1853).

En un tiempo T (como se definió), la primera cresta de onda se ha movido una distancia d = vsonidoT = , donde vsonido es la velocidad de la onda sonora en el aire (que es la misma ya sea que la fuente se mueva o no). En este mismo momento, la fuente se ha movido una distancia dfuente = vfuenteT. Entonces la distancia entre crestas de onda sucesivas, que es la longitud de onda  que percibirá el observador, es

Cambio de frecuencia, fuente en movimiento, observador fijo

l¿ = d - d fuente = l - v fuente T = l - v fuente = la1 -

l

v sonido

v fuente b. v sonido

Se sustrae  de ambos lados de esta ecuación y se encuentra que el corrimiento en longitud de onda, , es ¢l = l¿ - l = – l

v fuente . v sonido

De modo que el corrimiento en longitud de onda es directamente proporcional a la rapidez de la fuente vfuente. La frecuencia f que percibirá el observador estacionario en el suelo está dada por (ecuación 11-12) f¿ =

v sonido l¿

=

v sonido . v fuente la1 b v sonido

Dado que vsonido
 = f, entonces f¿ =

f a1 -

v fuente v sonido

b

c

.

fuente en movimiento hacia d (12–2a) el observador estacionario

Puesto que el denominador es menor que 1, la frecuencia percibida f es mayor que la frecuencia de la fuente f. Esto es, f   f. Por ejemplo, si una fuente emite un sonido de 400 Hz de frecuencia cuando está en reposo, entonces, cuando la fuente se mueve hacia un observador fijo con una rapidez de 30 m
s, el observador escucha una frecuencia (a 20°C) de f¿ =

400 Hz = 438 Hz. 30 m
s 1 343 m
s

Considere ahora una fuente que se mueve alejándose del observador estacionario con una rapidez vfuente. Al usar los mismos argumentos anteriores, la longitud de onda  percibida por el observador tendrá el signo menos en dfuente (véase más arriba en esta página) cambiado por más: l¿ = d + d fuente = la1 +

v fuente . b v sonido

La diferencia entre la longitud de onda percibida y la emitida será  =  -  = +(vfuente
vsonido); La frecuencia percibida de la onda, f = vsonido
, será f¿ =

f a1 +

v fuente v sonido

b

.

c

fuente en movimiento que se d (12–2b) aleja del observador estacionario

Si una fuente que emite a 400 Hz se aleja de un observador fijo a 30 m
s, el observador escuchará una frecuencia f¿ = (400 Hz)
C 1 + (30 m
s)
(343 m
s)D = 368 Hz. SECCIÓN 12–7

Efecto Doppler

339

FIGURA 12–21 Un observador que se mueve con rapidez vobs hacia una fuente estacionaria detecta crestas de onda que pasan con rapidez v = vsonido + vobs, donde vsonido es la rapidez de las ondas sonoras en el aire.

Cambio de frecuencia, fuente fija, observador en movimiento

Observador

Fuente

λ

vfuente = 0

vBobs

vBsonido

El efecto Doppler también ocurre cuando la fuente está en reposo y el observador está en movimiento. Si el observador viaja hacia la fuente, el tono que escucha es más alto que el de la frecuencia emitida por la fuente. Si el observador se aleja de la fuente, el tono que escucha es más bajo. En términos cuantitativos, el cambio en la frecuencia es diferente que para el caso de una fuente en movimiento. Con una fuente fija y un observador en movimiento, la distancia entre crestas de onda, la longitud de onda , no cambia. Pero la velocidad de las crestas con respecto al observador sí cambia. Si el observador se mueve hacia la fuente (figura 12-21), la rapidez v de las ondas en relación con el observador es una simple suma de velocidades: v = vsonido + vobs, donde vsonido es la velocidad del sonido en el aire (se supone que el aire está en calma) y vobs es la velocidad del observador. Por tanto, la frecuencia escuchada es v sonido + v obs . v¿ = f¿ = l l Puesto que  = vsonido
f, entonces ( v sonido + v obs)f , f¿ =

v sonido

o f¿ = a 1 +

v obs b f. v sonido

c

observador en movimiento d (12–3a) hacia una fuente estacionaria

Si el observador se mueve alejándose de la fuente, la velocidad relativa será v = vsonido – vobs, de modo que f¿ = a 1 -

v obs b f. v sonido

c

observador en movimiento que se d (12–3b) aleja de una fuente estacionaria

EJEMPLO 12–14 Una sirena en movimiento. La sirena de una patrulla de la policía emite a una frecuencia predominante de 1600 Hz mientras está en reposo. ¿Qué frecuencia escuchará un observador que está en reposo mientras la patrulla se mueve a 25.0 m
s a) hacia él y b) alejándose de él? PLANTEAMIENTO Si el observador está en un lugar fijo y la fuente se mueve, se emplean las ecuaciones 12-2. La frecuencia que el observador escucha es la frecuencia emitida f dividida por el factor (1 ; vfuente
vsonido) donde vfuente es la rapidez de la patrulla. Se utilizará el signo menos cuando la patrulla se mueva hacia la persona (lo que proporciona una frecuencia más alta); se usará el signo más cuando la patrulla se mueva alejándose de la persona (frecuencia más baja). SOLUCIÓN a) La patrulla se mueve hacia la persona, de modo que (ecuación 12-2a) f¿ =

a1 -

f vfuente vsonido

b

=

1600 Hz = 1726 Hz. 25.0 m
s a1 b 343 m
s

b) La patrulla se aleja de la persona, así que f¿ =

a1 +

f vfuente vsonido

b

=

1600 Hz = 1491 Hz. 25.0 m
s a1 + b 343 m
s

EJERCICIO F Suponga que la patrulla del ejemplo 12-14 está en reposo y que emite una frecuencia de 1600 Hz. ¿Qué frecuencia escuchará una persona si ésta se mueve a 25.0 m
s a) hacia la patrulla y b) alejándose de la patrulla?

340

CAPÍTULO 12

Sonido

www.elsolucionario.org Cuando una onda sonora se refleja en un obstáculo en movimiento, la frecuencia de la onda reflejada, por el efecto Doppler, será diferente de la de la onda incidente. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 12–15 Dos corrimientos Doppler. Una fuente estacionaria emite una onda sonora de 5000 Hz. Esta onda sonora se refleja en un objeto que se mueve a 3.50 m
s hacia la fuente (figura 12-22). ¿Cuál es la frecuencia de la onda reflejada por el objeto en movimiento, según un detector en reposo cerca de la fuente? PLANTEAMIENTO En realidad, en esta situación existen dos corrimientos Doppler. Primero, el objeto en movimiento actúa como un observador que se mueve hacia la fuente con rapidez vobs = 3.50 m/s (figura 12-22a) y así “detecta” una onda sonora de frecuencia (ecuación 12-3a) f¿ = f [1 + A v obs
v sonido B]. Segundo, la reflexión de la onda del objeto en movimiento es equivalente a que el objeto vuelva a emitir la onda, lo que actúa efectivamente como una fuente en movimiento con rapidez vfuente = 3.50 m
s (figura 12-22b). La frecuencia final detectada, f–, está dada por f– = f¿
C1 - vfuente
vsonido D, ecuación 12-2a.

Objeto Fuente Velocidad vBobs = 3.50 m/s

original de onda a)

Objeto Fuente y detector

Velocidad vBfuente = 3.50 m/s

de onda

SOLUCIÓN La frecuencia f  que “detecta” el objeto en movimiento es (ecuación 12-3a): f¿ = a 1 +

b)

vobs 3.50 m
s bf = a1 + b (5000 Hz) = 5051 Hz. vsonido 343 m
s

FIGURA 12–22 Ejemplo 12-15.

El objeto en movimiento ahora “emite” (refleja) un sonido de frecuencia (ecuación 12-2a) f– =

f¿

v fuente a1 b v sonido

=

5051 Hz = 5103 Hz. 3.50 m
s a1 b 343 m
s

Por tanto, la frecuencia se corre por 103 Hz. La onda incidente y la onda reflejada en el ejemplo 12-15, cuando se mezclan (por ejemplo, electrónicamente), interfieren entre sí y producen pulsos. La frecuencia de los pulsos es igual a la diferencia en las dos frecuencias, 103 Hz. Esta técnica Doppler se utiliza en varias aplicaciones médicas, generalmente con ondas ultrasónicas en el rango de frecuencia de los megahertz. Por ejemplo, las ondas ultrasónicas reflejadas por los glóbulos rojos de la sangre permiten determinar la velocidad del flujo sanguíneo. De igual manera, esta técnica se puede usar para detectar el movimiento del pecho de un feto y registrar su ritmo cardiaco. Por conveniencia, las ecuaciones 12-2 y 12-3 se pueden escribir como una sola ecuación que comprenda todos los casos de fuente y observador en movimiento: f¿ = f a

v sonido 6 v obs b. v sonido 7 v fuente

(12–4)

Para obtener los signos correctos, es conveniente recordar a partir de la propia experiencia que la frecuencia es más alta cuando el observador y la fuente se aproximan entre sí, y más baja cuando se alejan. Por tanto, los signos superiores en el numerador y denominador se aplican si la fuente y/o el observador se mueven uno hacia el otro; los signos inferiores se aplican si se alejan.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Medición Doppler del flujo sanguíneo y otros usos médicos

Fuente y observador en movimiento

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Obtención de los signos correctos

* Efecto Doppler para la luz El efecto Doppler también ocurre con otros tipos de ondas. La luz y otras ondas electromagnéticas (como las de radar) exhiben el efecto Doppler: aunque las fórmulas para el corrimiento de frecuencia no son idénticas a las ecuaciones 12-2 y 12-3, el efecto es similar. Una importante aplicación es la predicción del clima con el uso de radar. El lapso entre la emisión de pulsos de radar y su recepción después de reflejarse en las gotas de lluvia proporciona la posición de la precipitación. El hecho de medir el corrimiento Doppler en frecuencia (como en el ejemplo 12-15) permite conocer la rapidez a la que se mueve la tormenta y en qué dirección.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Efecto Doppler para ondas EM y predicción del clima

SECCIÓN 12–7

Efecto Doppler

341

F Í S I C A

A P L I C A D A

Corrimiento hacia el rojo en cosmología

Otra importante aplicación del corrimiento Doppler es en astronomía, a fin de determinar las velocidades de las galaxias distantes. La luz de las galaxias distantes se corre hacia frecuencias más bajas, lo que indica que las galaxias se mueven alejándose. A esto se le llama corrimiento hacia el rojo, pues el rojo tiene la frecuencia más baja del espectro de la luz visible. Cuanto mayor sea la frecuencia de corrimiento, mayor será la velocidad de recesión. Se ha encontrado que, cuanto más lejos están las galaxias, más rápido se mueven alejándose. Esta observación es el fundamento para la idea de que el universo se expande, y es una base para la idea de que el universo comenzó como una gran explosión, a la que se le llama afectuosamente “Big Bang”.

* 12–8 Ondas de choque y estampido supersónico Se dice que un objeto, como un avión, que viaja más rápido que el sonido tiene una rapidez supersónica. Con frecuencia, tal rapidez está dada como un número Mach,† que se define como la razón entre la rapidez del objeto y la rapidez del sonido en el medio circundante. Por ejemplo, un avión que viaja a 600 m
s muy alto en la atmósfera, donde la rapidez del sonido sólo es de 300 m
s, tiene una rapidez de Mach 2. On

da

de

cho

qu

e

θ

e

qu

da

a) vobjeto = 0

b) vobjeto < v sonido

c) vobjeto = vsonido

On

ho ec

d

d) vobjeto > vsonido

FIGURA 12–23 Ondas sonoras emitidas por un objeto a) en reposo o (b, c, y d) en movimiento. b) Si la velocidad del objeto es menor que la velocidad del sonido, ocurre el efecto Doppler; d) si su velocidad es mayor que la del sonido, se produce una onda de choque.

Onda de choque

FIGURA 12–24 Ondas de proa producidas por un bote.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Estampido sónico

Cuando una fuente de sonido se mueve a rapidez subsónica (menor que la rapidez del sonido), el tono del sonido se altera como se ha visto (el efecto Doppler); véase también figura 12-23a y b. Pero si una fuente de sonido se mueve más rápido que el sonido, ocurre un efecto más impactante conocido como onda de choque. En este caso, la fuente de hecho está “rebasando” las ondas que produce. Como se muestra en la figura 12-23c, cuando la fuente viaja con la rapidez del sonido, los frentes de onda que emite hacia delante se “apilan” directamente enfrente de ella. Cuando el objeto se mueve más rápido, con rapidez supersónica, los frentes de onda se apilan uno sobre otro a lo largo de los lados, como se observa en la figura 12-23d. Las diferentes crestas de onda se traslapan una sobre otra y forman una sola cresta muy larga que es la onda de choque. Detrás de esta cresta muy larga, por lo general, existe un valle muy largo. En esencia, una onda de choque es el resultado de la interferencia constructiva de un gran número de frentes de onda. Una onda de choque en el aire es análoga a la onda de proa de un bote que viaja más rápido que las ondas acuáticas que produce (figura 12-24). Cuando un avión viaja con rapidez supersónica, el ruido que produce y su perturbación del aire forman una onda de choque que contiene una tremenda cantidad de energía sónica. Cuando la onda de choque pasa cerca de una persona, se escucha como un fuerte estampido sónico. Un estampido sónico dura sólo una fracción de segundo, pero la energía que contiene a menudo es suficiente para romper ventanas y provocar otros daños. De hecho, un estampido sónico está constituido por dos o más estampidos, ya que grandes ondas de choque se pueden formar en el frente y en la parte trasera de la aeronave, así como en las alas y en otros lugares (figura 12-25). Las ondas de proa de un bote también son múltiples, como se ve en la figura 12-24. †

342

CAPÍTULO 12

Sonido

En honor del físico austriaco Ernst Mach (1838-1916).

que

da

On

l

nta

ola

c de

o e fr

qu

ho ec

d

e ad

cho

d

On

A

B

C

a)

b)

FIGURA 12–25 a) El (doble) estampido sónico ya fue escuchado por la persona A localizada a la izquierda. Está siendo escuchado por la persona B en el centro. Y dentro de poco será escuchado por la persona C a la derecha. b) Fotografía especial de una aeronave supersónica que muestra las ondas de choque producidas en el aire. (Las diferentes partes de la aeronave producen varias ondas de choque espaciadas cercanamente).

Cuando una aeronave se aproxima a la rapidez del sonido, encuentra una barrera de ondas sonoras enfrente de ella (figura 12-23c). Para superar la rapidez del sonido, la aeronave necesita empuje adicional para traspasar esa “barrera de sonido”. A esto se le llama “romper la barrera del sonido”. Una vez que se alcanza una rapidez supersónica, esta barrera ya no impide más el movimiento. A veces se cree erróneamente que un estampido sónico sólo se produce en el momento en que la aeronave está rompiendo la barrera del sonido. En realidad, una onda de choque sigue al avión siempre que viaja a rapidez supersónica. Los observadores en el suelo escucharán un fuerte “estampido” conforme pase la onda de choque (figura 12-25). La onda de choque consiste en un cono cuyo ápice está en la aeronave. El ángulo de este cono, u (figura 12-23d), está dado por sen u =

v sonido , v objeto

(12–5)

donde vobjeto es la velocidad del objeto (la aeronave) y vsonido es la velocidad del sonido en el medio. (La prueba se deja como el problema 63).

* 12–9 Aplicaciones: sonar, ultrasonido y formación de imágenes en medicina * Sonar La reflexión del sonido se usa en muchas aplicaciones para determinar distancias. El sonar† o técnica de eco-pulso se utiliza para localizar objetos submarinos. Un transmisor envía un pulso sonoro a través del agua, y un detector recibe su reflexión, o eco, poco tiempo después. Este intervalo de tiempo se mide cuidadosamente y, a partir de él, es posible determinar la distancia hacia el objeto reflejante, puesto que se conoce la rapidez del sonido en el agua. La profundidad del mar y la ubicación de arrecifes, barcos hundidos, submarinos o bancos de peces se determinan de esta manera. La estructura interior de nuestro planeta se estudia de una forma similar al detectar los reflejos de las ondas que viajan a través de la Tierra, cuya fuente fue una explosión deliberada (llamada “sondeo”). Un análisis de las ondas reflejadas de varias estructuras y fronteras dentro de la Tierra revela patrones característicos que también son útiles en la exploración de yacimientos de petróleo y de otros minerales. Por lo general, el sonar utiliza frecuencias ultrasónicas: es decir, ondas cuyas frecuencias están por arriba de los 20 kHz, más allá del rango de detección humana. Para el sonar, las frecuencias generalmente están en el rango de 20 kHz a 100 kHz. Una razón para el uso de ondas ultrasónicas, aparte del hecho de que son inaudibles, es que, para longitudes de onda cortas, existe menos difracción (sección 11-15), así que el haz se esparce menos, lo que permite detectar objetos más pequeños.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Sonar: hallazgos en las profundidades, sondeos de la Tierra

†

Sonar es la abreviatura de “sound navigation ranging”, que significa “alcance de navegación por sonido”.

*SECCIÓN 12–9

Aplicaciones: sonar, ultrasonido y formación de imágenes en medicina

343

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Vértebra Transductor

Pared abdominal a)

Ecos

Ecos

Intensidad del pulso reflejado

FIGURA 12–26 a) El pulso de ultrasonido pasa a través del abdomen y en su trayectoria se refleja en las superficies. b) Los pulsos reflejados se grafican como función del tiempo una vez que el transductor los recibe. Las líneas punteadas verticales señalan cuál pulso reflejado va con cuál superficie. c) Despliegue de puntos para los mismos ecos: la brillantez de cada punto está relacionada con la intensidad de la señal.

Pulso

b)

Tiempo

c)

* Formación de imágenes médicas con ultrasonido

F Í S I C A

A P L I C A D A

Formación de imágenes médicas con ultrasonido

El uso del ultrasonido para el diagnóstico en medicina, en la forma de imágenes (a veces llamadas sonogramas) es una importante e interesante aplicación de los principios físicos. Para ello, se emplea una técnica de eco-pulso, muy parecida al sonar, excepto que las frecuencias utilizadas están en el rango de 1 a 10 MHz (1 MHz = 106 Hz). Un pulso sonoro de alta frecuencia se dirige al cuerpo, y entonces se detectan sus reflejos en las fronteras o interfases entre los órganos y otras estructuras y lesiones en el cuerpo. Esto permite distinguir tumores y otros crecimientos anormales, o bolsas de fluido; también se puede examinar la acción de las válvulas cardiacas y el desarrollo de un feto; y es posible obtener información acerca de varios órganos del cuerpo, como el cerebro, el corazón, el hígado y los riñones. Aunque el ultrasonido no sustituye a los rayos X, para ciertas clases de diagnóstico resulta muy útil. Algunas tipos de tejido o fluido no pueden detectarse en las radiografías, pero las ondas ultrasónicas se reflejan en sus fronteras. Las imágenes de ultrasonido “en tiempo real” son como una película de una sección del interior del cuerpo. La técnica de ecopulso para formación de imágenes médicas funciona del modo siguiente. Un transductor, que transforma un pulso eléctrico en un pulso de onda sonora, emite un breve pulso de ultrasonido. Parte del pulso se refleja como ecos en cada interfase en el cuerpo, y la mayor parte del pulso (por lo general) continúa hacia delante, como se observa en la figura 12-26a. Entonces se puede desplegar, en la pantalla de una terminal de computadora o en un monitor, la detección que el mismo transductor realiza de los pulsos reflejados. El tiempo transcurrido desde el instante en que se emitió el pulso hasta el momento en que cada reflejo (eco) se recibe es proporcional a la distancia hacia la superficie reflejante. Por ejemplo, si la distancia desde el transductor hasta una vértebra es de 25 cm, el pulso realiza un viaje redondo cuya distancia es 2 * 25 cm = 0.50 m. La rapidez del sonido en el tejido humano es de 1540 m
s (cercana a la del agua marina), así que el tiempo que le lleva es

(0.50 m) d = = 320 ms. v (1540 m
s) La intensidad de un pulso reflejado depende principalmente de la diferencia en la densidad de los dos materiales sobre cualquier lado de la interfase y se puede desplegar como pulso o como punto (figuras 12-26b y c). Cada punto de eco (figura 12-26c) se puede representar mediante un punto cuya posición está dada por el retraso de tiempo y cuya brillantez depende de la intensidad del eco. Entonces, con estos puntos obtenidos a partir de una serie de escaneos, se puede formar una imagen bidimensional. El transductor se mueve, o se usa un arreglo de transductores, cada t =

344

CAPÍTULO 12

Sonido

FIGURA 12–27 a) Mediante el uso de un arreglo de transductores, o al mover el transductor, se realizan 10 trazas a través del abdomen. b) Los ecos son graficados como puntos para producir la imagen. Las trazas espaciadas más cercanamente proporcionarán una imagen más detallada

a)

a)

b)

uno de los cuales envía un pulso a cada posición y recibe ecos como se muestra en la figura 12-27. Cada traza se grafica, espaciada adecuadamente una bajo la otra, para formar una imagen sobre una terminal, como se observa en la figura 12-27b. En la figura 12-27 sólo se incluyen 10 líneas, así que la imagen no tiene mucha precisión. Más líneas proporcionan una imagen más precisa.† En la figura 12-28 se presentan fotografías de imágenes por ultrasonido. † El radar usado por la aeronaves se basa en una técnica de eco-pulso similar, excepto que emplea ondas electromagnéticas (EM) que, al igual que la luz, viajan con una rapidez de 3 * 108 m
s.

b) FIGURA 12–28 a) Imagen de ultrasonido de un feto humano (con la cabeza hacia la izquierda) en el útero. b) Imagen de ultrasonido de alta resolución y falso color de un feto. (Diferentes colores representan diferentes intensidades de pulsos reflejados).

Resumen El sonido viaja como una onda longitudinal en el aire y otros materiales. En el aire, la rapidez del sonido aumenta con la temperatura: a 20°C, es de aproximadamente 343 m
s. El tono de un sonido está determinado por la frecuencia: cuanto más alta la frecuencia, más alto el tono. El rango audible de frecuencias para los humanos es aproximadamente de 20 a 20,000 Hz (1 Hz = 1 ciclo por segundo). El volumen o intensidad de un sonido está relacionada con la amplitud al cuadrado de la onda. Puesto que el oído humano puede detectar intensidades sonoras desde 10-12 W
m2 hasta arriba de 1 W
m2, los niveles de sonido se especifican en una escala logarítmica. El nivel de sonido
, especificado en decibeles, se define en términos de la intensidad I como

b = 10 log a

I b, I0

(12–1)

donde la intensidad de referencia I0 generalmente se toma como 10-12 W
m2. Los instrumentos musicales son fuentes simples de sonido en los que se producen ondas estacionarias. Las cuerdas de un instrumento pueden vibrar como un todo con nodos solamente en los extremos; la frecuencia a la que ocurre esta onda estacionaria se llama fundamental. La frecuencia fundamental corresponde a una longitud de onda igual al doble de longitud de la cuerda, 1 = 2L. La cuerda también puede vibrar a frecuencias más altas, llamadas sobretonos o armónicos,

donde hay uno o más nodos adicionales. La frecuencia de cada armónico es un múltiplo entero de la fundamental. En los instrumentos de viento, las ondas estacionarias se generan en la columna de aire dentro del tubo. El aire que vibra en un tubo abierto (en ambos extremos) tiene antinodos de desplazamiento en los dos extremos. La frecuencia fundamental corresponde a una longitud de onda igual al doble de la longitud del tubo: 1 = 2L. Los armónicos tienen frecuencias que son 1, 2, 3, 4, · · · veces la frecuencia fundamental, tal como para las cuerdas. Para un tubo cerrado (en un extremo), la fundamental corresponde a una longitud de onda cuatro veces la longitud del tubo: 1 = 4L. Sólo están presentes armónicos nones, igual a 1, 3, 5, 7, · · · veces la frecuencia fundamental. Las ondas sonoras provenientes de fuentes diferentes pueden interferir unas con otras. Si los dos sonidos están a frecuencias ligeramente distintas, se pueden escuchar pulsos a una frecuencia igual a la diferencia de frecuencia entre las dos fuentes. El efecto Doppler se refiere al cambio en el tono de un sonido provocado por el movimiento de la fuente o del escucha. Si la fuente y el escucha se aproximan entre sí, el tono percibido es más alto; si se alejan, el tono percibido es más bajo. [*Las ondas de choque y el estampido supersónico ocurren cuando un objeto se mueve a una rapidez supersónica, es decir, más rápido que el sonido. Las ondas sonoras de frecuencia ultrasónica (superiora 20 kHz) se utilizan en muchas aplicaciones, que incluyen el sonar y la formación de imágenes médicas].

Resumen

345

Preguntas 1. ¿Cuál es la evidencia de que el sonido viaja como una onda? 2. ¿Cuál es la evidencia de que el sonido es una forma de energía? 3. Los niños juegan a veces con un “teléfono” hecho en casa atando una cuerda al fondo de dos vasos desechables. Cuando la cuerda se estira y un niño habla por el interior de uno de los vasos, el sonido se escucha en el otro vaso (figura 12-29). Explique cómo es que viaja la onda sonora desde un vaso al otro.

14. Considere las dos ondas que se muestran en la figura 12-31. Cada onda se puede considerar como una superposición de dos ondas sonoras con frecuencias ligeramente diferentes, como en la figura 12-18. ¿En cuál de las ondas, a o b, están más separadas las dos frecuencias componentes? Explique su respuesta.

2 1 t (s)

0 0.05

0.1

0.15

0.2

0.15

0.2

1 FIGURA 12–29 Pregunta 3.

2

4. Cuando una onda sonora pasa del aire al agua, ¿se espera que la frecuencia o longitud de onda cambien? 5. ¿Qué evidencia puede ofrecer de que la rapidez del sonido en el aire no depende significativamente de la frecuencia? 6. La voz de una persona que ha inhalado helio suena con un tono muy alto. ¿Por qué? 7. ¿Cómo afectará la temperatura de una habitación el tono de los tubos de un órgano? 8. Explique cómo se puede usar un tubo como filtro para reducir la amplitud de los sonidos en varios rangos de frecuencia. (Un ejemplo es el tubo de escape de un automóvil).

a) 2 1 t (s)

0 0.05 1 2 b)

9. ¿Por qué el espaciamiento de los trastes en una guitarra (figura 12-30) es menor conforme se está más cerca del puente?

Trastes

FIGURA 12–30 Pregunta 9. 10. Un camión ruidoso se aproxima desde detrás de un edificio. Inicialmente se escucha, pero no puede verse. Cuando emerge y se le ve, su sonido súbitamente es “más brillante”: se escucha más del ruido de alta frecuencia. Explique este fenómeno. [Sugerencia: Véase sección 11-15 acerca de difracción]. 11. Se puede decir que las ondas estacionarias se deben a la “interferencia en el espacio”, mientras que los pulsos son resultado de la “interferencia en el tiempo”. Explique estas afirmaciones. 12. En la figura 12-16, si se disminuye la frecuencia de las bocinas, ¿los puntos D y C (donde ocurren las interferencias destructiva y constructiva) se alejarán o se acercarán? 13. Los métodos tradicionales para proteger los oídos de las personas que trabajan en áreas con niveles muy altos de ruido pretenden bloquear o reducir estos niveles. Una tecnología relativamente nueva consiste en usar audífonos que no bloquean el ruido del ambiente. En vez de ello, se utiliza un dispositivo que detecta el ruido, lo invierte electrónicamente y luego lo alimenta a los audífonos junto con el ruido ambiental. ¿Cómo es posible que más ruido reduzca el nivel de sonido que llega a los oídos?

CAPÍTULO 12

Sonido

FIGURA 12–31 Pregunta 14. 15. ¿Existe un corrimiento Doppler si la fuente y el observador se mueven en la misma dirección, con la misma velocidad? Explique su respuesta.

Puente

346

0.1

16. Cuando el viento sopla, ¿esto alterará la frecuencia del sonido que escucha una persona en reposo con respecto a la fuente? ¿Cambia la longitud de onda o la velocidad? 17. La figura 12-32 muestra varias posiciones de un niño en movimiento sobre un columpio. Una persona, en el suelo, toca un silbato. ¿En qué posiciones, de la A a la E, el niño escuchará la frecuencia más alta para el sonido del silbato? Explique su razonamiento.

Silbato

Silbato A

E D

B C

FIGURA 12–32 Pregunta 17.

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Problemas [A menos que se indique otra cosa, se considera que T = 20°C y vsonido = 343 m
s en el aire]. 12-1 Características del sonido 1. (I) Una excursionista determina la longitud de un lago al escuchar el eco de su grito reflejado en un risco en el extremo lejano del lago. Escucha el eco 2.0 s después de gritar. Estime la longitud del lago. 2. (I) Un marinero golpea uno de los lados de su nave justo debajo de la línea de flotación. Después de 2.5 s, escucha el eco del sonido reflejado en el fondo marino directamente debajo. ¿Cuán profundo está el océano en este punto? La rapidez del sonido en el agua de mar es de 1560 m
s (tabla 12-1) y no varía significativamente con la profundidad. 3. (I) a) Calcule las longitudes de onda en el aire a 20°C para sonidos en el rango máximo de escucha humana, de 20 a 20,000 Hz. b) ¿Cuál es la longitud de onda de una onda ultrasónica de 10 MHz? 4. (II) Un buque pesquero oceánico flota justo sobre un banco de atún en un día nublado. Sin advertencia, ocurre una explosión en el motor de otro buque a 1.0 km de distancia (figura 12-33). ¿Cuánto tiempo transcurre antes de que la explosión la escuchen a) los peces y b) los pescadores?

b) 1.0 km a)

FIGURA 12–33 Problema 4. 5. (II) Se suelta una piedra desde lo alto de un risco. El chapoteo que hace al golpear el agua se escucha 3.5 s más tarde. ¿Cuál es la altura del risco? 6. (II) Una persona, con su oreja sobre el suelo, ve que una gran piedra golpea la banqueta de concreto. Un momento después, se escuchan dos sonidos generados por el impacto: uno viaja por el aire y el otro en el concreto, y tienen una diferencia de 1.1 s. ¿A qué distancia ocurrió el impacto? Véase la tabla 12-1. 7. (II) Calcule el error porcentual cometido en una milla de distancia por la “regla de los 5 segundos” para estimar la distancia a la que se genera un relámpago, si la temperatura es de a) 30°C y b) 10°C. 12-2 Intensidad del sonido; decibeles 8. (I) ¿Cuál es la intensidad de un sonido en el nivel de dolor de 120 dB? Compárela con la de un murmullo a 20 dB. 9. (I) ¿Cuál es el nivel de sonido de un sonido cuya intensidad es de 2.0 * 10 –6 W
m2? 10. (II) Si dos petardos producen un nivel de sonido de 95 dB cuando se disparan simultáneamente en cierto lugar, ¿cuál será el nivel de sonido si sólo uno estalla? [Sugerencia: Sume intensidades, no dB].

11. (II) Una persona, que está de pie a una cierta distancia de un avión con cuatro motores a reacción igualmente ruidosos, experimenta un nivel de sonido que está en la frontera del dolor, esto es, a 120 dB. ¿Qué nivel de sonido experimentaría esta persona si el capitán apaga todos los motores menos uno? [Sugerencia: Sume intensidades, no dB]. 12. (II) Se dice que una audiocasetera tiene una razón entre señal y ruido de 58 dB, mientras que la razón para un reproductor de CD es de 95 dB. ¿Cuál es la razón de intensidades de la señal y el ruido de fondo para cada uno de los aparatos? 13. (II) a) Estime la potencia de salida del sonido proveniente de una persona que habla en una conversación normal. Utilice la tabla 12-2. Suponga que el sonido se expande aproximadamente de manera uniforme sobre una esfera con centro en la boca. b) ¿Cuántas personas lograrían producir una salida de sonido total de 100 W de conversación ordinaria? [Sugerencia: Sume intensidades, no dB]. 14. (II) Una onda sonora de 50 dB golpea un tímpano cuya área es de 5.0 * 10 –5 m2. a) ¿Cuánta energía por segundo absorbe el tímpano? b) A esta tasa, ¿cuánto le tomaría al tímpano recibir una energía total de 1.0 J? 15. (II) El costoso amplificador A está clasificado en 250 W, mientras que el más modesto amplificador B está clasificado en 40 W. a) Estime el nivel de sonido, en decibeles, que se esperaría en un punto a 3.5 m de una bocina conectada a la vez a cada amplificador. b) ¿El amplificador costoso sonaría el doble de fuerte que el más barato? 16. (II) En un concierto de rock, un medidor de dB registró 130 dB cuando se colocó a 2.8 m enfrente de una bocina en el escenario. a) ¿Cuál fue la potencia de salida de la bocina, si se supone una dispersión esférica uniforme del sonido y se desprecia la absorción en el aire? b) ¿A qué distancia el nivel de sonido sería más razonable, por ejemplo, de unos 90 dB? 17. (II) En general, los seres humanos son capaces de detectar una diferencia en el nivel de sonido de 2.0 dB. ¿Cuál es la razón de las amplitudes de dos sonidos cuyos niveles difieren por esta cantidad? [Sugerencia: Véase la sección 11-9]. 18. (II) Si la amplitud de una onda sonora se triplica, a) ¿en qué factor aumenta la intensidad? b) ¿En cuántos decibles aumentará el nivel de sonido? * 19. (II) Dos ondas sonoras tienen igual amplitud de desplazamiento, pero una tiene el doble de frecuencia que la otra. ¿Cuál es la razón de sus intensidades? * 20. (II) ¿Cuál sería el nivel de sonido (en dB) de una onda sonora en el aire, que corresponda a una amplitud de desplazamiento de moléculas de aire vibrantes de 0.13 mm a 300 Hz?

* 12-3 Intensidad * 21. (I) ¿Qué nivel de sonido debe tener un tono de 6000 Hz para parecer tan intenso como uno de 100 Hz que tiene un nivel de sonido de 50 dB? (Véase la figura 12-6). * 22. (I) ¿Cuáles son las frecuencias más baja y más alta que puede detectar el oído humano cuando el nivel de sonido es de 30 dB? (Véase la figura 12-6). * 23. (II) El sistema auditivo humano puede acomodar un amplio rango de niveles de sonido. ¿Cuál es la razón entre la intensidad más alta y la más baja a a) 100 Hz, b) 5000 Hz? (Véase la figura 12-6). 12-4 Fuentes del sonido: cuerdas y columnas de aire 24. (I) Una de las cuerdas de un violín tiene una frecuencia fundamental de 440 Hz. La longitud de la parte vibratoria es de 32 cm y su masa es de 0.35 g. ¿A qué tensión se debe colocar la cuerda?

Problemas

347

25. (I) Un tubo de órgano mide 112 cm de largo. ¿Cuáles son la fundamental y los tres primeros sobretonos audibles si el tubo está a) cerrado en un extremo y b) cerrado en ambos extremos? 26. (I) a) ¿Qué frecuencia resonante se esperaría al soplar por la parte superior de una botella vacía que tiene 18 cm de profundidad, si se supone que es un tubo cerrado? b) ¿Cómo cambiaría esto si la botella estuviese llena de líquido hasta un tercio? 27. (I) Si va a construir un órgano de tubos con tubos abiertos que abarquen el rango de audición humana (de 20Hz a 20 kHz), ¿cuál sería el rango requerido de las longitudes de los tubos? 28. (II) Una apretada cuerda de guitarra tiene una frecuencia de 540 Hz como su tercer armónico. ¿Cuál será su frecuencia fundamental si se pulsa a una longitud de sólo el 60% de su longitud original? 29. (II) Una cuerda de guitarra sin pulsar mide 0.73 m de largo y está afinada para tocar mi después del Do central (330 Hz). a) ¿A qué distancia del extremo de esta cuerda se debe colocar un traste (y el dedo del ejecutante) para tocar la sobre el Do central (440 Hz). b) ¿Cuál es la longitud de onda en la cuerda de esta onda de 440 Hz? c) ¿Cuáles son la frecuencia y la longitud de la onda sonora producida en el aire a 20°C por esta cuerda pulsada? 30. (II) a) Determine la longitud de un tubo de órgano abierto que emite el Do central (262 Hz) cuando la temperatura es de 21°C. b) ¿Cuáles son la longitud de onda y la frecuencia de la onda estacionaria fundamental en el tubo? c) ¿Cuáles son l y f en la onda sonora viajera que se produce en el aire exterior? 31. (II) Un órgano está afinado a 20°C. ¿En qué porcentaje estará desplazada la frecuencia cuando la temperatura es de 5.0°C? 32. (II) ¿A qué distancia de la boquilla de la flauta, en el ejemplo 12-10, debe estar el hoyo que se descubra para tocar el Re que sigue al Do central a 294 Hz? 33. (II) a) A T = 20°C, ¿cuánto debe medir un tubo abierto de órgano para tener una frecuencia fundamental de 294 Hz? b) Si este tubo está lleno de helio, ¿cuál es su frecuencia fundamental? 34. (II) Un tubo de órgano particular puede resonar a 264 Hz, 440 Hz y 616 Hz, pero no en otra frecuencia intermedia. a) Demuestre por qué este es un tubo abierto o cerrado. b) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de este tubo? 35. (II) Un tubo estrecho uniforme de 1.80 m de largo está abierto en ambos extremos. Resuena a dos armónicos sucesivos, con frecuencias de 275 Hz y 330 Hz. ¿Cuál es a) la frecuencia fundamental y b) la rapidez del sonido en el gas en el tubo? 36. (II) Un tubo en aire a 20°C se diseña para producir dos armónicos sucesivos a 240 Hz y 280 Hz. ¿Cuánto debe medir el tubo? ¿Éste debe ser abierto o cerrado? 37. (II) ¿Cuántos sobretonos están presentes dentro del rango audible para un tubo de órgano de 2.14 m de largo a 20°C a) si es abierto y b) si es cerrado? 38. (III) El canal auditivo humano mide aproximadamente 2.5 cm de longitud. Está abierto hacia el exterior y cerrado en el otro extremo mediante el tímpano. Estime las frecuencias (en el rango audible) de las ondas estacionarias en el canal auditivo. ¿Cuál es la relación entre su respuesta y la información en la gráfica de la figura 12-6? 12-6 Interferencia; pulsos 39. (I) Un afinador de piano escucha un pulso cada 2.0 s cuando intenta ajustar dos cuerdas, una de las cuales suena a 440 Hz. ¿Qué tan fuera de frecuencia está la otra cuerda? 40. (I) ¿Cuál es la frecuencia del pulso si el Do central (262 Hz) y el Do sostenido (277 Hz) se tocan juntos? ¿Cuál si cada uno se toca dos octavas más abajo (cada frecuencia se reduce por un factor de 4)?

348

CAPÍTULO 12

Sonido

41. (I) Cierto silbato para perros produce un sonido de 23.5 kHz, mientras que otro (marca X) emite una frecuencia desconocida. Ninguno de los dos silbatos puede ser escuchado por los humanos cuando se tocan por separado, pero, cuando se tocan simultáneamente, se oye un agudo chirrido de 5000 Hz. Estime la frecuencia de operación del silbato de la marca X. 42. (II) Una cuerda de guitarra produce 4 pulsos
s cuando suena con un diapasón de 350 Hz, y 9 pulsos
s cuando suena con un diapasón de 355 Hz. ¿Cuál es la frecuencia vibratoria de la cuerda? Explique su razonamiento. 43. (II) Dos cuerdas de violín se afinan a la misma frecuencia, 294 Hz. Entonces se disminuye en un 2% la tensión de una cuerda. ¿Cuál será la frecuencia de los pulsos que se escuche cuando las dos cuerdas se toquen al unísono? [Sugerencia: Recuerde la ecuación 11-13]. 44. (II) ¿Cuántos pulsos se escucharán si se intenta tocar un Do central (262 Hz) con dos flautas idénticas, pero una está a 5.0°C y la otra a 25.0°C? 45. (II) Se tienen tres diapasones, A, B y C. El diapasón B tiene una frecuencia de 441 Hz; cuando A y B suenan juntos, se escucha una frecuencia de los pulsos de 3 Hz. Cuando B y C suenan juntos, la frecuencia de los pulsos es de 4 Hz. ¿Cuáles son las posibles frecuencias de A y C? ¿Qué frecuencias de los pulsos son posibles cuando A y C suenan juntos? 46. (II) Dos bocinas están separadas 1.80 m. Una persona está de pie a 3.00 m de una bocina y a 3.50 de la otra. a) ¿Cuál es la frecuencia más baja a la que ocurrirá interferencia destructiva en ese punto? b) Calcule otras dos frecuencias que también den como resultado interferencia destructiva en ese punto (indique las siguientes dos más altas). Sea T = 20°C. 47. (III) Se supone que dos cuerdas de piano vibran a 132 Hz, pero un afinador de piano escucha tres pulsos cada 2.0 s cuando se tocan juntas. a) Si una vibra a 132 Hz, ¿cuál debe ser la frecuencia de la otra (sólo existe una respuesta)? b) En qué porcentaje debe aumentar o disminuir la tensión para que las cuerdas queden afinadas? 48. (III) Una fuente emite sonido con longitudes de onda de 2.64 m y 2.76 m en el aire. ¿Cuántos pulsos por segundo se escucharán? (Se supone que T = 20°C.) 12-7 Efecto Doppler 49. (I) La frecuencia predominante de la sirena de un carro de bomberos es de 1550 Hz cuando está en reposo. ¿Qué frecuencia detecta una persona si se mueve con una rapidez de 30.0 m
s a) hacia el carro de bomberos y b) alejándose de él? 50. (I) Una persona está de pie sin moverse. ¿Qué frecuencia detectará si un carro de bomberos, cuya sirena emite a 1550 Hz, se mueve con una rapidez de 32 m
s a) hacia la persona o b) alejándose de ella? 51. (II) a) Compare el corrimiento de frecuencia si una fuente de 2000 Hz se mueve hacia un observador a 15 m
s con el corrimiento que se produce si el observador se mueve hacia la fuente a 15 m
s. ¿Las dos frecuencias son exactamente iguales? ¿Están cerca? b) Repita el cálculo para 150 m
s y luego para c) 300 m
s. ¿Qué se concluye acerca de la asimetría de las fórmulas Doppler? 52. (II) Dos automóviles están equipados con la misma bocina de una sola frecuencia. Cuando uno está en reposo y el otro se mueve hacia el primero a 15 m
s, el conductor en reposo escucha una frecuencia de 5.5 Hz. ¿Cuál es la frecuencia que emiten las bocinas? Considere que T = 20°C. 53. (II) Un murciélago en reposo envía ondas sonoras ultrasónicas a 50.0 kHz y las recibe de regreso a partir de un objeto que se mueve alejándose directamente de él a 25.0 m
s. ¿Cuál es la frecuencia del sonido recibido?

54. (II) Un murciélago vuela hacia una pared con una rapidez de 5.0 m
s. Mientras vuela, el murciélago emite una onda sonora ultrasónica con frecuencia de 30.0 kHz. ¿Qué frecuencia escucha el murciélago en la onda reflejada? 55. (II) Uno de los experimentos Doppler originales consistió en tocar una tuba con una frecuencia de 75 Hz en un vagón plano de ferrocarril en movimiento; una segunda tuba idéntica tocó el mismo tono mientras estaba en reposo en la estación de ferrocarril. ¿Qué frecuencia de pulso se escuchó si el carro de ferrocarril se aproximó a la estación con una rapidez de 10.0 m
s? 56. (II) Un medidor Doppler de flujo utiliza ondas ultrasónicas para medir la rapidez del flujo sanguíneo. El dispositivo emite un sonido a 3.5 MHz y la rapidez del sonido en el tejido humano es de 1540 m
s. ¿Cuál es la frecuencia de pulso esperada si la sangre fluye en las grandes arterias de la pierna a 2.0 cm/s alejándose directamente de la fuente sonora? 57. (III) Para registrar el ritmo cardiaco de un feto se usó el efecto Doppler con ondas ultrasónicas de 2.25 * 106 Hz de frecuencia. Se observó una frecuencia de pulso (máxima) de 500 Hz. Si se supone que la rapidez del sonido en el tejido es de 1.54 * 103 m
s, calcule la velocidad máxima de la superficie del corazón que late. 58. (III) Un silbato de fábrica emite un sonido con 570 Hz de frecuencia. Cuando la velocidad del viento que sopla desde el norte es de 12.0 m/s, ¿qué frecuencia escucharán los observadores que estén ubicados, en reposo, a) hacia el norte, b) hacia el sur, c) hacia el este y d) hacia el oeste del silbato? ¿Qué frecuencia escucha un ciclista que se dirige hacia el silbato e) con rumbo al norte o f ) con rumbo al oeste, a 15.0 m
s? Considere que T = 20°C.

* 60. (II) Un avión viaja a Mach 2.3 donde la rapidez del sonido es

* 61.

* 62.

* 63.

* 64.

de 310 m/s. a) ¿Cuál es el ángulo que la onda de choque forma con la dirección del movimiento del avión? b) Si el avión vuela a una altura de 7100 m, ¿cuánto tiempo después escuchará la onda de choque una persona que se encuentra directamente abajo sobre la Tierra? (II) Una sonda espacial ingresa a la delgada atmósfera de un planeta donde la rapidez del sonido sólo es de aproximadamente 35 m
s. a) ¿Cuál es el número Mach de la sonda si su rapidez inicial es de 15,000 km
h? b) ¿Cuál es el ángulo de la onda de choque en relación con la dirección del movimiento? (II) Un meteorito que viaja a 8500 m
s golpea el océano. Determine el ángulo que produce la onda de choque a) en el aire justo antes de entrar al océano y b) en el agua justo después de entrar en ella. Considere que T = 20°C. (II) Demuestre que el ángulo u que un estampido sónico forma con la trayectoria de un objeto supersónico está dado por la ecuación 12-5. (II) Una persona mira directamente sobre su cabeza y ve un avión a 1.5 km sobre el nivel del suelo que supera la rapidez del sonido. Cuando la persona escucha el estampido sónico, el avión ha recorrido una distancia horizontal de 2.0 km. Observe la figura 12-34. Determine a) el ángulo del cono de choque, u, y b) la rapidez del avión (el número Mach). Considere que la rapidez del sonido es de 330 m
s.

θ

* 12-8 Ondas de choque; estampido sónico * 59. (I) a) ¿A qué rapidez se mueve un objeto en Tierra si su rapidez a 20°C es Mach 0.33? b) Un jet de gran altura que cruza a 3000 km
h muestra un número Mach de 3.2 en una pantalla. ¿Cuál es la rapidez del sonido a esa altitud?

FIGURA 12–34 Problema 64.

Problemas generales 65. Un buscador de peces utiliza un dispositivo de sonar que envía pulsos sonoros de 20,000 Hz hacia abajo desde el fondo del bote y luego detecta los ecos. Si la profundidad máxima para la que el sonar está diseñado es de 200 m, ¿cuál es el tiempo mínimo entre pulsos (en agua fresca)? 66. ¿Aproximadamente cuántas octavas existen en el rango audible humano? 67. Un museo de ciencias tiene una exposición llamada sinfonía de tubos sierra. Consiste en muchos tubos plásticos de varias longitudes, abiertos en ambos extremos. a) Si los tubos tienen longitudes de 3.0 m, 2.5 m, 2.0 m, 1.5 m y 1.0 m, ¿qué frecuencias escuchará un visitante colocado cerca de los extremos de los tubos? b) ¿Por qué esta exposición funciona mejor en un día ruidoso que en un día silencioso? 68. Un mosquito a 5.0 m de una persona produce un sonido cercano al umbral de audición humana (0 dB). ¿Cuál será el nivel sonoro de 1000 mosquitos? 69. ¿Cuál es el nivel sonoro resultante cuando se escuchan simultáneamente un sonido de 82 dB y uno de 87 dB?

70. El nivel sonoro a 12.0 m de una bocina, colocada en un lugar abierto, es de 105 dB. ¿Cuál es la potencia acústica de salida (W) de la bocina, si se supone que radia igualmente en todas direcciones? 71. Un amplificador estéreo está clasificado en 150 W de salida a 1000 Hz. La potencia de salida cae en 10 dB a 15 kHz. ¿Cuál es la potencia de salida en watts a 15 kHz? 72. Los trabajadores alrededor de los aviones generalmente utilizan protectores para sus oídos. El nivel sonoro del motor de un jet, a una distancia de 30 m, es de 140 dB, y el oído humano promedio tiene un radio efectivo de 2.0 cm. ¿Cuál sería la potencia interceptada por un oído desprotegido a una distancia de 30 m del motor de un jet? 73. En los sistemas de audio y comunicaciones, la ganancia,
, en decibeles se define como

b = 10 log a

Psalida b, Pentrada

donde Pentrada es la potencia de entrada al sistema y Psalida es la potencia de salida. Un amplificador estéreo particular saca 100 W de potencia para una entrada de 1 mW. ¿Cuál es su ganancia en dB?

Problemas generales

349

www.elsolucionario.org 74. Cada cuerda en un violín está afinada a una frecuencia 1 12 veces la de su vecina. Las cuatro cuerdas de igual longitud se pondrán bajo la misma tensión. ¿Cuál debe ser la masa por unidad de longitud de cada cuerda en relación con la de la cuerda más baja? 75. La cuerda la de un violín mide 32 cm de largo entre puntos fijos con una frecuencia fundamental de 440 Hz y una masa por unidad de longitud de 6.1 * 10-4 kg
m. a) ¿Cuál es la rapidez de onda y cuál la tensión en la cuerda? b) ¿Cuál es la longitud del tubo de un instrumento de viento simple (por ejemplo, el tubo de un órgano), cerrado en un extremo, cuya fundamental también es 440 Hz, si la rapidez del sonido es de 343 m/s en el aire? c) ¿Cuál es la frecuencia del primer sobretono de cada instrumento? 76. Un diapasón se pone a vibrar sobre un tubo abierto vertical lleno con agua (figura 12-35). Se permite que el nivel del agua caiga lentamente. Conforme lo hace, se escucha que el aire en el tubo arriba del nivel del agua resuena con el diapasón cuando la distancia desde la abertura del tubo al nivel del agua es de 0.125 m y de nuevo a 0.395 m. ¿Cuál es la frecuencia del diapasón?

0.125 m 0.395 m FIGURA 12–35 Problema 76. 77. Una cuerda de guitarra, de 75 cm de largo y 2.10 g de masa, está cerca de un tubo abierto en un extremo y que también mide 75 cm de largo. ¿Cuánta tensión debe haber en la cuerda si debe producir resonancia (en su modo fundamental) con el tercer armónico en el tubo? 78. (II) Se observó que un tramo elevado de una autopista resonó como un lazo completo A 12 lB cuando un leve terremoto agitó el suelo verticalmente a 4.0 Hz. El departamento de caminos colocó un soporte en el centro del tramo elevado, y lo ancló al suelo como se indica en la figura 12-36. ¿Qué frecuencia resonante se esperaría ahora para el tramo elevado? Los terremotos rara vez sacuden significativamente por arriba de 5 o 6 Hz. ¿Las modificaciones hicieron algún bien?

79. Una persona escucha un tono puro en el rango de 500-1000 Hz proveniente de dos fuentes. El sonido es más sonoro en los puntos equidistantes de las dos fuentes. Para determinar la frecuencia con exactitud, la persona se mueve alrededor y encuentra que el nivel sonoro es mínimo en un punto que está 0.34 m más lejos de una fuente que de la otra. ¿Cuál es la frecuencia del sonido? 80. Dos trenes emiten silbidos de 424 Hz. Un tren está detenido y su conductor escucha una frecuencia de pulso de 3.0 Hz cuando el otro tren se aproxima. ¿Cuál es la rapidez del tren en movimiento? 81. La frecuencia del silbato de un tren de vapor es de 538 Hz mientras se aproxima. Después de que pasa, su frecuencia se mide en 486 Hz. ¿Cuál era la rapidez del tren (se supone que la velocidad era constante)? 82. En una pista de carreras, es posible estimar la rapidez de los carros sólo con escuchar la diferencia en el tono del ruido de los motores entre los carros que se aproximan y los que se alejan. El sonido de cierto carro cae por una octava completa (la frecuencia se parte a la mitad) mientras pasa por una recta larga. ¿A qué rapidez va? 83. Dos tubos abiertos de órgano, que suenan juntos, producen una frecuencia de pulso de 11 Hz. El tubo más corto mide 2.40 m de largo. ¿Cuánto mide el otro? 84. Dos bocinas están colocadas en extremos opuestos de un carro de ferrocarril que viaja a 10.0 m
s y que pasa junto a un observador estacionario, como se muestra en la figura 12-37. Si las bocinas tienen frecuencias sonoras idénticas de 212 Hz, ¿cuál es la frecuencia de pulso que escucha el observador cuando a) está en la posición A, enfrente del carro, b) está entre las bocinas, en B, y c) está en C, un punto por el que las bocinas ya pasaron?

v = 10.0 m/s

C

B

A

FIGURA 12–37 Problema 84. 85. Si la velocidad del flujo sanguíneo en la aorta normalmente es cercana a 0.32 m
s, ¿qué frecuencia de pulso se esperaría si se dirigieran ondas de ultrasonido de 5.50 MHz a lo largo del flujo y se reflejaran en los glóbulos rojos? Se supone que las ondas viajan con una rapidez de 1.54 * 103 m
s.

Antes de la modificación

Soporte añadido

Después de la modificación FIGURA 12–36 Problema 78.

350

CAPÍTULO 12

Sonido

86. Un murciélago vuela hacia una polilla con una rapidez de 6.5 m
s, mientras la polilla vuela hacia el murciélago con una rapidez de 5.0 m/s. El murciélago emite una onda sonora de 51.35 kHz. ¿Cuál es la frecuencia de la onda detectada por el murciélago después de que la onda se refleja en la polilla? 87. Un murciélago emite una serie de pulsos sonoros de alta frecuencia conforme se aproxima a una polilla. Los pulsos están espaciados aproximadamente 70.0 ms, y cada uno dura aproximadamente 3.0 ms. ¿A qué distancia estará la polilla que detecte el murciélago, de modo que el eco proveniente de un chillido regrese antes de emitir el siguiente?

88. El “cuerno alpino” (figura 12-38) se utilizó alguna vez para enviar señales de una villa alpina a otra. Como los sonidos de frecuencia más baja son menos susceptibles a perder intensidad, se usaron cuernos largos para crear sonidos profundos. Cuando se toca como instrumento musical, el cuerno alpino se debe soplar de tal forma que sólo uno de los sobretonos resuene. El cuerno alpino más conocido mide 3.4 m de largo, y se llama cuerno de Fa sostenido (o Sol bemol). ¿Cuál es la frecuencia fundamental de este cuerno, y cuál sobretono está cerca de Fa sostenido? (Consulte la tabla 12-3). Utilice el modelo de un tubo abierto.

89. Las habitaciones acústicas para escuchar estéreo se ponen en riesgo ante la presencia de ondas estacionarias, que pueden provocar “puntos muertos” acústicos en las ubicaciones de los nodos de presión. Considere una sala de 5.0 m de largo, 4.0 m de ancho y 2.8 m de alto. Calcule las frecuencias fundamentales para las ondas estacionarias en esta habitación. 90. Una demostración interesante, llamada “barras cantoras”, consiste en sostener en la mano una larga y delgada barra de aluminio cerca del punto medio de ésta. La barra se golpea con la otra mano. Con un poco de práctica, es posible hacer “cantar” a la barra, pues ésta puede emitir un claro y sonoro sonido de tintineo. Para una barra de 90 cm de largo, a) ¿cuál es la frecuencia fundamental del sonido? b) ¿Cuál es su longitud de onda en la barra y c) cuál es la longitud de onda que viaja en el aire a 20°C? * 91. La intensidad en el umbral de audición para el oído humano a una frecuencia cercana a 1000 Hz es I0 = 1.0 * 10-12 W
m2, para la que
, el nivel de sonido, es de 0 dB. El umbral del dolor a la misma frecuencia es aproximadamente de 120 dB, o I = 1.0 W
m2, que corresponde a un aumento de intensidad por un factor de 1012. ¿En qué factor varía la amplitud de desplazamiento, A?

* 92. Un avión viaja a Mach 2.0. Un observador en el suelo escucha el estampido sónico 1.5 min después de que el avión pasa directamente sobre su cabeza. ¿A qué altitud viaja el avión?

* 93. La estela de una lancha rápida es de 15° en un lago donde la FIGURA 12–38 Problema 88.

rapidez de la onda acuática es de 2.2 km
h. ¿Cuál es la rapidez del bote?

Respuestas a los ejercicios A: 1 km por cada 3 s antes de que se escuche el trueno. B: 4 veces la intensidad. C: Un cuarto de su valor original; 6 dB.

D: 257 Hz. E: 6 Hz. F: a) 1717 Hz, b) 1483 Hz.

Problemas generales

351

Al calentar el aire dentro de un globo aerostático se eleva la temperatura, lo que provoca que el aire se expanda y se vea forzado a salir por la abertura del fondo. La reducida cantidad de aire en el interior significa que su densidad es más baja, de modo que sobre el globo existe una fuerza boyante neta hacia arriba. En este capítulo se estudiarán la temperatura y sus efectos sobre la materia: la expansión térmica y las leyes de los gases. En este marco es de suma importancia la ley del gas ideal y su expresión en términos de moléculas.

CAPÍTULO

13

Temperatura y teoría cinética

E

ste capítulo es el primero de tres (capítulos 13, 14 y 15) que están dedicados a los temas de temperatura, calor y termodinámica. Gran parte de este capítulo se dedicará a una investigación de la teoría de que la materia está integrada por átomos que están en continuo movimiento aleatorio. Esta teoría se llama teoría cinética. (“Cinético”, como se recordará, es la palabra griega para “movimiento”). También se analizará el concepto de temperatura y cómo se mide, así como las propiedades de los gases medidas experimentalmente, que sirven como fundamento para la teoría cinética.

13–1 Teoría atómica de la materia

Teoría atómica: la evidencia

La idea de que la materia está hecha de átomos se remonta a los antiguos griegos. De acuerdo con el filósofo griego Demócrito, si una sustancia pura (por ejemplo, una pieza de hierro) se cortara en pedazos cada vez más diminutos, eventualmente se obtendría la pieza más pequeña de dicha sustancia, que ya no podría dividirse más. Esta pieza más pequeña de todas se llamó átomo, que en griego significa “indivisible”.† En la actualidad, la teoría atómica es generalmente aceptada. Sin embargo, la evidencia experimental en su favor se configuró principalmente en los siglos XVIII, XIX y XX, y gran parte de ella se obtuvo a partir del análisis de las reacciones químicas. †

En la actualidad no se considera al átomo como indivisible, sino más bien como consistente en un núcleo (que contiene protones y neutrones) y electrones.

352

www.elsolucionario.org En el texto se hablará con frecuencia de las masas relativas de los átomos y de las moléculas, a las que se llama masa atómica o masa molecular, respectivamente.† Esas masas se basan en la asignación arbitraria del valor exacto de 12.000 unidades de masa atómica unificadas (u) al abundante átomo de carbono, 12C. En términos de kilogramos,

1 u = 1.6605 * 10–27 kg. Entonces la masa atómica del hidrógeno es de 1.0078 u, y los valores para otros átomos se citan en la tabla periódica en la cubierta interior de este libro, así como en el apéndice B. La masa molecular de un compuesto es la suma de las masas atómicas de los átomos que forman las moléculas de ese compuesto.‡ Una importante pieza de evidencia para la teoría atómica es el movimiento browniano, llamado así en honor del biólogo Robert Brown, quien realizó este descubrimiento en 1827. Mientras observaba bajo el microscopio pequeños granos de polen suspendidos en agua, Brown notó que los pequeños granos se movían en trayectorias tortuosas (figura 13-1), aun cuando el agua parecía estar perfectamente en calma. La teoría atómica explica fácilmente el movimiento browniano si se realiza la ulterior suposición de que los átomos de cualquier sustancia están en movimiento continuo. Entonces los pequeños granos de polen, como los que Brown observó, son empujados de un lado a otro por las vigorosas andanadas de las moléculas de agua que se mueven rápidamente. En 1905, Albert Einstein examinó el movimiento browniano desde un punto de vista teórico y fue capaz de calcular, a partir de los datos experimentales, el tamaño y la masa aproximados de los átomos y de las moléculas. Sus cálculos demostraron que el diámetro de un átomo típico es de aproximadamente 10
10 m. Al principio del capítulo 10 se hizo la distinción entre los tres estados, o fases, comunes de la materia (sólido, líquido, gas) con base en propiedades macroscópicas, o de “gran escala”. Ahora se verá cómo difieren estas tres fases de la materia, desde el punto de vista atómico o microscópico. Es claro que los átomos y las moléculas deben ejercer fuerzas atractivas unos sobre otros. Si no fuera así, ¿cómo podrían mantenerse como una sola pieza un ladrillo o un trozo de aluminio? Las fuerzas atractivas entre las moléculas son de naturaleza eléctrica (se hablará más de esto en capítulos posteriores). Cuando las moléculas llegan a estar muy juntas, la fuerza entre ellas debe volverse repulsiva (repulsión eléctrica entre sus electrones exteriores), porque ¿de qué otra forma la materia podría ocupar espacio? Las moléculas mantienen una distancia mínima entre sí. En un material sólido, las fuerzas atractivas son lo suficientemente fuertes como para que los átomos o las moléculas apenas se muevan (oscilen) en torno a posiciones relativamente fijas, con frecuencia en un ordenamiento conocido como retícula cristalina, como la que se ilustra en la figura 13-2a. En un líquido, los átomos o las moléculas se mueven con mayor rapidez, o las fuerzas entre ellos son más débiles, de modo que son suficientemente libres de pasar unos sobre otros, como en la figura 13-2b. En un gas, las fuerzas son tan débiles, o la rapidez tan alta, que las moléculas ni siquiera permanecen juntas. Se mueven rápidamente en todas direcciones (figura 13-2c), de modo que llenan cualquier contenedor y en ocasiones

Masas atómica y molecular

FIGURA 13–1 Trayectoria de una pequeña partícula (por ejemplo, un grano de polen) suspendida en agua. Las líneas rectas conectan posiciones observadas de la partícula en iguales intervalos de tiempo.

Fases de la materia

Propiedades macroscópicas frente a microscópicas

†

A veces se utilizan los términos peso atómico y peso molecular para estas cantidades, pero, propiamente hablando, se comparan las masas. ‡ Un elemento es una sustancia, como el oro, hierro o cobre, que no se puede romper en sustancias más simples mediante procedimientos químicos. Los compuestos son sustancias constituidas por elementos y se pueden descomponer en ellos; algunos ejemplos son el dióxido de carbono y el agua. La pieza más pequeña de un elemento es un átomo; la pieza más pequeña de un compuesto es una molécula. Las moléculas están constituidas por átomos; una molécula de agua, por ejemplo, está constituida por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno; su fórmula química es H2O.

a)

b)

FIGURA 13–2 Ordenamientos atómicos en a) un sólido cristalino, b) un líquido y c) un gas.

c)

SECCIÓN 13–1

Teoría atómica de la materia

353

colisionan unas con otras. En promedio, en un gas, la rapidez es tan alta que, cuando dos moléculas chocan, la fuerza de atracción no es lo suficientemente fuerte como para mantenerlas juntas y se dirigen en todas direcciones. EJEMPLO 13–1 ESTIMACIÓN Distancia entre átomos. La densidad del cobre es 8.9  103 kg
m3, y cada átomo de cobre tiene una masa de 63 u. Estime la distancia promedio entre átomos de cobre vecinos. PLANTEAMIENTO Se considera un cubo de cobre de 1 m de lado. A partir de la densidad indicada se puede calcular la masa de un cubo de 1 m3. Se divide esto por la masa de un átomo (63 u) para obtener el número de átomos en 1 m3. Sea N el número de átomos en una longitud de 1 m; entonces, (N)(N)(N) = N 3 es igual al número total de átomos en 1 m3. SOLUCIÓN La masa de 1 átomo de cobre es 63 u = 63 * 1.66 * 10 –27 kg = 1.05 * 10–25 kg. Esto significa que, en un cubo de cobre de 1 m por lado (volumen = 1 m3), existen 8.9 * 10 3 kg
m 3 = 8.5 * 10 28 átomos
m 3. 1.05 * 10 –25 kg
átomo El volumen de un cubo de lado l es V  l 3, de modo que, en un borde del cubo de 28 31 1 m de largo existen A8.5 * 10 B átomos = 4.4 * 10 9. Por tanto, la distancia entre átomos vecinos es 1m = 2.3 * 10 –10 m. 4.4 * 10 9 átomos NOTA Hay que tener cuidado con las unidades. Aun cuando los “átomos” no son unidad, es útil incluirlos para asegurarse de que los cálculos son correctos.

13–2 Temperatura y termómetros

FIGURA 13–3 Juntas de expansión en un puente.

En la vida cotidiana, la temperatura es una medida que indica qué tan caliente o frío está algo. Se dice que un horno caliente tiene una temperatura alta, mientras que el hielo de un lago helado tiene una temperatura baja. Muchas propiedades de la materia cambian con la temperatura. Por ejemplo, la mayoría de los materiales se expanden cuando se calientan.† Una viga de hierro es más larga cuando está caliente que cuando está fría. Los caminos de concreto y las aceras se expanden y contraen ligeramente en función de la temperatura, por lo que, a intervalos regulares, se colocan espaciadores compresibles o juntas de expansión (figura 13-3). La resistencia eléctrica de la materia cambia con la temperatura (véase el capítulo 18). Lo mismo sucede con el color radiado por los objetos, al menos a temperaturas altas: tal vez el lector haya notado que el elemento calefactor de una estufa eléctrica brilla con un color rojo cuando está caliente. A temperaturas más altas, los sólidos como el hierro brillan con un color anaranjado o incluso blanco. La luz blanca de una bombilla incandescente ordinaria proviene de un alambre de tungsteno extremadamente caliente. Las temperaturas superficiales del Sol y otras estrellas se puede medir mediante el color predominante (más bien, mediante las longitudes de onda) de la luz que emiten. Los instrumentos diseñados para medir la temperatura se llaman termómetros. Existen muchos tipos de termómetros, pero su operación siempre depende de alguna propiedad de la materia que cambie con la temperatura. La mayoría de los termómetros comunes se apoyan en la expansión de un material con un aumento en la temperatura. La primera idea para un termómetro (figura 13-4a), atribuida a Galileo, se basó en la expansión de un gas. Los termómetros comunes de la actualidad consisten en un tubo de vidrio hueco lleno con mercurio o alcohol coloreado con un tinte rojo, como sucedió con los primeros termómetros utilizados (figura 13-4b). La figura 13-4c muestra uno de los primeros termómetros clínicos de un tipo diferente, que también se basaba en un cambio en la densidad con la temperatura. †

La mayoría de los materiales se expanden cuando sus temperaturas se elevan, pero no todos. Por ejemplo, el agua, en el rango de 0°C a 4°C, se contrae con un aumento en la temperatura (véase la sección 13-4).

354

CAPÍTULO 13

Temperatura y teoría cinética

a) b) c) FIGURA 13–4 a) Modelo de la idea original de Galileo para un termómetro. b) Termómetros originales desarrollados por la Accademia del Cimento (1657-1667) en Florencia, que están entre los primeros conocidos. Estos sensibles y exquisitos instrumentos contenían alcohol, a veces coloreado, como muchos termómetros de la actualidad. c) Los termómetros clínicos con forma de rana, también desarrollados por la Accademia del Cimento, se podían amarrar a la muñeca del paciente. Las pequeñas esferas suspendidas en el líquido tenían una densidad ligeramente diferente. El número de esferas que se hundían era una medida de la fiebre del paciente.

En el termómetro común de líquido en vidrio, el líquido se expande más que el vidrio cuando la temperatura aumenta, así que el nivel del líquido aumenta en el tubo (figura 13-5a). Aunque los metales también se expanden con la temperatura, el cambio en longitud de una barra de metal, por ejemplo, generalmente es demasiado insignificante como para medirse con precisión y relacionarse con los cambios ordinarios en la temperatura. Sin embargo, es posible fabricar un termómetro útil poniendo juntos dos metales distintos cuyas tasas de expansión sean diferentes (figura 13-5b). Cuando la temperatura aumenta, las diferentes cantidades de expansión provocan que la tira bimetálica se doble. Con frecuencia, la tira bimetálica tiene la forma de una bobina, uno de cuyos extremos está fijo, mientras que el otro está unido a un puntero (figura 13-6). Este tipo de termómetro se usa como termómetro ordinario de aire, termómetro de horno, en interruptores automáticos de cafeteras eléctricas y en termostatos de habitaciones para determinar cuándo se debe encender o apagar un calefactor o acondicionador de aire. Los termómetros muy precisos se basan en propiedades eléctricas (capítulo 18), como los termómetros de resistencia, los termopares y los termistores, que por lo general cuentan con lectores digitales.

Escalas de temperatura Con la finalidad de medir cuantitativamente la temperatura, se debe definir cierta especie de escala numérica. La escala actual más común es la escala Celsius, a veces llamada escala centígrada. En Estados Unidos, también es común la escala Fahrenheit. La escala más importante en el trabajo científico es la absoluta, o Kelvin, que se estudiará más adelante en este capítulo. Una forma de definir una escala de temperatura es asignar valores arbitrarios a dos temperaturas fácilmente reproducibles. Para las escalas Celsius y Fahrenheit, estos dos puntos fijos se eligen como el punto de congelación† y el punto de ebullición del agua, ambos tomados a presión atmosférica. En la escala Celsius, el punto de

Tubo

Bulbo (actúa como depósito) a)

b)

FIGURA 13–5 a) Termómetro de mercurio o alcohol en vidrio; b) tira bimetálica. FIGURA 13–6 Fotografía de un termómetro que utiliza una tira bimetálica enrollada.

†

El punto de congelación de una sustancia se define como aquella temperatura en la que las fases sólida y líquida coexisten en equilibrio, es decir, sin ningún cambio neto de líquido a sólido o viceversa. De manera experimental, esto ocurre sólo a una temperatura definida, para una presión dada. De forma similar, el punto de ebullición se define como aquella temperatura a la que el líquido y el gas coexisten en equilibrio. Como tales puntos varían con la presión, se debe especificar la presión (generalmente es de 1 atm).

SECCIÓN 13–2

Temperatura y termómetros

355

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100 C

212 F 200 F

150 F 50 C 100 F

50 F 32 F

0 C

Celsius (centígrada)

0 F Fahrenheit

FIGURA 13–7 Comparación de las escalas Celsius y Fahrenheit. P R E C A U C I Ó N

Para hacer la conversión de temperaturas hay que recordar que 0°C  32°F, y que un cambio de 5C°  9F°

congelación del agua se elige en 0°C (“cero grados Celsius”) y el punto de ebullición en 100°C. En la escala Fahrenheit, el punto de congelación se define como 32°F y el punto de ebullición como 212°F. Un termómetro práctico se calibra colocándolo en ambientes cuidadosamente preparados en cada una de las dos temperaturas y marcando la posición del líquido o del puntero. Para una escala Celsius, la distancia entre las dos marcas se divide en cien intervalos iguales, cada uno de los cuales representa un grado entre 0°C y 100°C (de ahí el nombre de “escala centígrada”, que significa “cien escalones”). Para una escala Fahrenheit, los dos puntos se designan como 32°F y 212°F, y la distancia entre ellos se divide en 180 intervalos iguales. Para las temperaturas por debajo del punto de congelación del agua y por arriba del punto de ebullición de ésta, las escalas se pueden extender usando los mismos intervalos igualmente espaciados. Sin embargo, los termómetros sólo se pueden usar en un limitado rango de temperaturas, pues tienen ciertas limitaciones; por ejemplo, el mercurio líquido en un termómetro de vidrio, se solidifica en cierto punto, debajo del cual el termómetro será inútil. También resultará inútil con temperaturas donde el fluido se vaporiza. Para temperaturas muy bajas o muy altas se requieren termómetros especializados, algunos de los cuales se mencionarán más adelante. Cada temperatura en la escala Celsius corresponde a una temperatura particular en la escala Fahrenheit (figura 13-7). Es fácil convertir de una a la otra si se recuerda que 0°C corresponde a 32°F y que un rango de 100° en la escala Celsius corresponde a un rango de 180° en la escala Fahrenheit. Por consiguiente, un grado Fahrenheit (1 F°) corresponde a 100
180 = 59 de un grado Celsius (1 C°). Esto es, 1 F° = 59 C°. (Es conveniente hacer notar que, cuando se hace referencia a una temperatura específica, se escribe “°C”, como en 20°C; pero cuando se hace referencia a un cambio en la temperatura o a un intervalo de temperatura, se escribe “C°”, como en “2 C°”). La conversión entre las dos escalas de temperatura se realiza mediante la ecuación T(°C) =

5 9

C T(°F) - 32 D

o

T(°F) =

9 5

T(°C) + 32.

En lugar de memorizar estas relaciones (sería fácil confundirlas), es más sencillo recordar simplemente que 0°C  32°F y que un cambio de 5 C°  un cambio de 9 F°. EJEMPLO 13–2 Toma de temperatura. La temperatura normal del cuerpo es de 98.6°F. ¿A cuánto equivale esto en la escala Celsius? PLANTEAMIENTO Se sabe que 0°C  32°F y 5 C°  9 F°. SOLUCIÓN Primero se relaciona la temperatura dada con el punto de congelamiento del agua (0°C). Esto es, 98.6°F es 98.6
32.0  66.6 F° sobre el punto de congelación del agua. Como cada F° es igual a 59 C°, esto corresponde a 66.6 * 59 = 37.0 grados Celsius sobre el punto de congelación. El punto de congelación es 0°C, así que la temperatura es 37.0°C. EJERCICIO A Determine la temperatura en la que coinciden ambas escalas (TC  TF).

FIGURA 13–8 Termómetro de gas de volumen constante.

h Gas Bulbo

356

Marca de referencia Mercurio Manguera de conexión

CAPÍTULO 13

Diferentes materiales no se expanden de la misma forma dentro de un amplio rango de temperatura. En consecuencia, si diferentes tipos de termómetros se calibran exactamente como se describió antes, es probable que no concuerden con precisión. Por la forma como se les calibró, concordarán en 0°C y en 100°C. Pero, por las diferentes propiedades de expansión, tal vez no concuerden precisamente en temperaturas intermedias (recuerde que la escala del termómetro se dividió arbitrariamente en 100 partes iguales entre 0°C y 100°C). Por tanto, un termómetro de mercurio en vidrio calibrado con cuidado puede registrar 52.0°C, mientras que un termómetro de otro tipo, también calibrado cuidadosamente, puede indicar 52.6°C. En virtud de esta discrepancia, es necesario elegir algún tipo de termómetro estándar de modo que estas temperaturas intermedias se puedan definir con precisión. El estándar elegido para este propósito es el termómetro de gas a volumen constante. Como se observa en el diagrama simplificado de la figura 13-8, este termómetro consiste en un bulbo lleno con un gas diluido conectado mediante un delgado tubo a un manómetro de mercurio. El volumen del gas se mantiene constante al elevar o bajar el tubo del lado derecho del manómetro de modo que el mercurio

Temperatura y teoría cinética

en el tubo del lado izquierdo coincida con la marca de referencia. Un aumento en la temperatura provoca un aumento proporcional de presión en el bulbo. Por eso, el tubo se debe elevar más alto para mantener constante el volumen del gas. La altura del mercurio en la columna del lado derecho es entonces una medida de la temperatura. Este termómetro proporciona los mismos resultados para todos los gases en el límite en que la presión del gas en el bulbo se reduce hacia cero. La escala resultante sirve como base para la escala estándar de temperatura.

* 13–3 El equilibrio térmico y la ley cero de la termodinámica

Para la mayoría de la gente es familiar el hecho de que, si dos objetos a diferentes temperaturas se colocan en contacto térmico (lo que significa que la energía térmica se puede transferir de uno a otro), los dos objetos eventualmente alcanzarán la misma temperatura. Se dice entonces que están en equilibrio térmico. Por ejemplo, un termómetro común se deja en la boca hasta que llega al equilibrio térmico con dicho ambiente, y luego se lee. Se sabe que dos objetos están en equilibrio térmico si, cuando se colocan en contacto térmico, no fluye energía de uno a otro, y sus temperaturas no cambian. Los experimentos indican que si dos sistemas están en equilibrio térmico con un tercer sistema, entonces los dos primeros están en equilibrio térmico entre sí. Este postulado se llama ley cero de la termodinámica. Tiene este nombre inusual porque no fue sino hasta después de que se trabajaron la primera y la segunda leyes de la termodinámica (capítulo 15) que los científicos se dieron cuenta de que era necesario establecer primero este postulado aparentemente obvio. La temperatura es una propiedad de un sistema que determina si este último estará en equilibrio térmico con otros sistemas. Cuando dos sistemas están en equilibrio térmico sus temperaturas son, por definición, iguales, y ninguna energía térmica neta se intercambiará entre ellos. Esto es consistente con la noción cotidiana de temperatura, pues, cuando un objeto caliente y uno frío se ponen en contacto, eventualmente llegan a la misma temperatura. La importancia de la ley cero es que permite una definición útil de temperatura.

13–4 Expansión térmica La mayoría de las sustancias se expanden cuando se calientan y se contraen cuando se enfrían. Sin embargo, la cantidad de expansión o contracción varía, dependiendo del material.

FIGURA 13–9 Una delgada barra de longitud L0 a temperatura T0 se calienta a una nueva temperatura uniforme T y adquiere longitud L, donde L  L0 + ¢L.

Expansión lineal

L0

Los experimentos indican que el cambio en longitud ¢L de casi todos los sólidos es, hasta una buena aproximación, directamente proporcional al cambio en temperatura ¢T, en tanto ¢T no sea demasiado grande. Como se podría esperar, el cambio en la longitud también es proporcional a la longitud original del objeto, L0 (figura 13-9). Esto es, para el mismo cambio de temperatura, una barra de hierro de 4 m de largo aumentará en longitud el doble que una barra de hierro de 2 m de largo. Esta proporcionalidad se puede escribir como ecuación:

¢L = aL0 ¢T,

(13–1a)

a T0

∆L aT L

Expansión lineal

donde a, la constante de proporcionalidad, se llama coeficiente de expansión lineal para el material particular y tiene unidades de (C°)
1. Al hacer L  L0 + ¢L, esta ecuación se vuelve a escribir como

L = L0(1 + a ¢T),

(13–1b)

donde L0 es la longitud inicial, a temperatura T0, y L es la longitud después de calentar o enfriar a una temperatura T. Si el cambio de temperatura ¢T  T
T0 es negativo, entonces ¢L  L
L0 también es negativo; por tanto, la longitud se acorta conforme la temperatura disminuye.

SECCIÓN 13–4

Expansión térmica

357

TABLA 13–1 Coeficientes de expansión, cerca de 20°C Coeficiente de expansión lineal, A (C°)
1

Material Sólidos Aluminio Latón Cobre Oro Hierro o acero Plomo Vidrio (Pyrex®) Vidrio (ordinario) Cuarzo Concreto y ladrillo Mármol Líquidos Gasolina Mercurio Alcohol etílico Glicerina Agua Gases Aire (y la mayoría de otros gases a presión atmosférica)

25 19 17 14 12 29 3 9 0.4 L 12 1.4 – 3.5

* * * * * * * * * * *

10–6 10–6 10–6 10–6 10–6 10–6 10–6 10–6 10–6 10–6 10–6

Coeficiente de expansión volumétrica B (C°)
1

75 56 50 42 35 87 9 27 1 L 36 4 –10

* * * * * * * * * * *

10–6 10–6 10–6 10–6 10–6 10 –6 10–6 10–6 10–6 10–6 10 –6

950 180 1100 500 210

* * * * *

10–6 10–6 10–6 10–6 10–6

3400 * 10–6

En la tabla 13-1 se mencionan los valores de a para varios materiales. En realidad, a varía ligeramente con la temperatura (por lo que los termómetros hechos de diferentes materiales no concuerdan precisamente). Sin embargo, si el rango de temperatura no es demasiado grande, la variación, por lo general, se puede ignorar. F Í S I C A

A P L I C A D A

Expansión en estructuras

EJEMPLO 13–3 Expansión de puentes. La cama de acero de un puente de suspensión mide 200 m de largo a 20°C. Si los extremos de temperatura a los que puede estar expuesto son de –30°C a +40°C, ¿cuánto se contraerá y expandirá? PLANTEAMIENTO Se supone que la cama del puente se expandirá y contraerá linealmente con la temperatura, como indica la ecuación 13-1a. SOLUCIÓN A partir de la tabla 13-1, se encuentra que a  12  10
6(C°)
1 para el acero. El aumento en longitud cuando esté a 40°C será

¢L = aL0 ¢T = A12 * 10–6
C°B(200 m)(40°C - 20°C) = 4.8 * 10–2 m, o 4.8 cm. Cuando la temperatura disminuya a
30°C, ¢T 
50 C°. Entonces,

¢L = A12 * 10–6
C°B(200 m)( –50 C°) = –12.0 * 10–2 m, o una disminución en longitud de 12 cm. El rango total que deben acomodar las juntas de expansión es 12 cm + 4.8 cm L 17 cm.

FIGURA 13–10 Ejemplo 13-4.

a)

358

CAPÍTULO 13

b)

EJEMPLO CONCEPTUAL 13–4 ¿Los hoyos se expanden o se contraen? Si en el horno se calienta un delgado anillo circular (figura 13-10a), ¿el hoyo del anillo se vuelve más grande o más pequeño? RESPUESTA Se podría suponer que el metal se expande en el hoyo, lo que hace que éste sea más pequeño. Pero no es así. Imagine que el anillo es sólido, como una moneda (figura 13-10b). Con una pluma, dibuje un círculo sobre él, como se muestra. Cuando el metal se expande, el material dentro del círculo se expandirá junto con el resto del metal; de modo que el círculo se expande. Al cortar el metal donde está el círculo queda claro que el hoyo aumenta de diámetro.

Temperatura y teoría cinética

www.elsolucionario.org EJEMPLO 13–5 Anillo en una barra. Un anillo de hierro debe ajustar perfectamente en una barra cilíndrica de hierro. A 20°C, el diámetro de la barra es de 6.445 cm y el diámetro interior del anillo es de 6.420 cm. Para deslizarse sobre la barra, el anillo debe ser ligeramente más grande que el diámetro de la barra por 0.008 cm. ¿Qué temperatura debe tener el anillo si su hoyo debe ser lo suficientemente grande como para deslizarse sobre la barra? PLANTEAMIENTO El hoyo del anillo se debe aumentar desde un diámetro de 6.420 cm a 6.445 cm  0.008 cm  6.453 cm. El anillo se debe calentar pues el diámetro del hoyo aumentará linealmente con la temperatura (como en el ejemplo 13-4). SOLUCIÓN Se resuelve para ¢T en la ecuación 13-1a y se encuentra

6.453 cm - 6.420 cm ¢L = = 430 C°. aL0 A12 * 10–6
C°B(6.420 cm) Así que se debe elevar al menos a T = (20°C + 430 C°) = 450°C. NOTA Al resolver problemas, no hay que olvidar el último paso: sumar la temperatura inicial (en este caso, 20°C). ¢T =

EJEMPLO CONCEPTUAL 13–6 Apertura de una apretada tapa de frasco. Cuando la tapa de un frasco de vidrio está apretada, mantener la tapa bajo agua caliente durante poco tiempo generalmente facilitará su apertura. ¿Por qué?

F Í S I C A

A P L I C A D A

Apertura de una tapa apretada

RESPUESTA El agua caliente golpea la tapa más directamente que al vidrio y por tanto la primera se expande más rápido. Pero, incluso si no lo hace, los metales generalmente se expanden más que el vidrio con el mismo cambio de temperatura (a es más grande; véase tabla 13-1).

Expansión volumétrica El cambio en volumen de un material que experimenta un cambio de temperatura está dado por una relación similar a la ecuación 13-1a, a saber ¢V = bV0 ¢T, (13–2) donde ¢T es el cambio en temperatura, V0 es el volumen original, ¢V es el cambio en volumen y b es el coeficiente de expansión volumétrica. Las unidades de b son (C°)
1. En la tabla 13-1 se proporcionan los valores de b para varios materiales. Hay que hacer notar que, para sólidos, b normalmente es igual a aproximadamente 3a (el problema 19 ayudará a saber por qué). Para sólidos que no son isotrópicos (es decir, que no tienen las mismas propiedades en todas direcciones), la relación b L 3a no es válida. (La expansión lineal no tiene significado para líquidos y gases ya que éstos no tienen formas fijas). EJEMPLO 13–7 Tanque de gasolina al sol. El tanque de gasolina de un automóvil, hecho de acero y con capacidad de 70 L, está lleno hasta el tope con gasolina a 20°C. El automóvil se encuentra bajo los rayos del sol y el tanque alcanza una temperatura de 40°C (104°F). ¿Cuánta gasolina se espera que se desborde del tanque?

Expansión volumétrica

b L 3a

F Í S I C A

A P L I C A D A

Desbordamiento de un tanque de gasolina

PLANTEAMIENTO Tanto la gasolina como el tanque se expanden conforme la temperatura aumenta, y se supone que lo hacen linealmente, como describe la ecuación 13-2. El volumen de la gasolina desbordada es igual al aumento de volumen de la gasolina menos el aumento en volumen del tanque. SOLUCIÓN La gasolina se expande

¢V = bV0 ¢T = A950 * 10–6 C° - 1 B(70 L)(40°C - 20°C) = 1.3 L. El tanque también se expande. Puede considerarse como un cascarón de acero que experimenta expansión volumétrica Ab L 3a = 36 * 10 –6 C° - 1 B. Si el tanque fuese sólido, la capa superficial (el cascarón) se expandiría exactamente lo mismo. Así, el tanque aumenta en volumen ¢V = A36 * 10–6 C° - 1 B(70 L)(40°C - 20°C) = 0.050 L, de modo que la expansión del tanque tiene poco efecto. Más de un litro de gasolina se podría derramar. NOTA ¿Quiere ahorrar algunas monedas? Llene el tanque de gasolina cuando esté frío y la gasolina sea más densa: más moléculas por el mismo precio. Pero no llene el tanque por completo.

SECCIÓN 13–4

Expansión térmica

359

Las ecuaciones 13-1 y 13-2 son precisas sólo si ¢L (o ¢V) es pequeño en comparación con L0 (o V0). Esto es de particular interés en el caso de los líquidos y todavía más en el de los gases, por los grandes valores de b. Más aún, b misma varía sustancialmente con la temperatura para los gases. En consecuencia, se necesita una mejor descripción de los cambios de volumen para los gases, como se analizará al inicio de la sección 13-6.

Comportamiento anómalo del agua debajo de los 4°C El agua tiene un comportamiento insólito: se contrae cuando se calienta de 0°C a 4°C.

F Í S I C A

A P L I C A D A

La vida bajo el hielo

La mayoría de las sustancias se expanden más o menos uniformemente con un aumento en temperatura, en tanto no ocurran cambios de fase. Sin embargo, el agua no sigue el patrón habitual. Si se calienta el agua a 0°C, en realidad disminuye en volumen hasta que alcanza los 4°C. Arriba de los 4°C, el agua se comporta de manera normal y expande su volumen conforme aumenta la temperatura (figura 13-11). Por tanto, el agua tiene su más grande densidad a 4°C. Este comportamiento anómalo del agua es de gran importancia para la supervivencia de las especies acuáticas durante los inviernos fríos. Cuando el agua en un lago o río está por arriba de 4°C y comienza a enfriarse por contacto con el aire frío, el agua en la superficie se hunde a causa de su mayor densidad. Ésta es remplazada por agua más caliente que viene de abajo. Esta mezcla continúa hasta que la temperatura alcanza los 4°C. Cuando el agua superficial se enfría todavía más, permanece en la superficie porque es menos densa que el agua de 4°C abajo de ella. Entonces el agua se enfría primero en la superficie, y el hielo permanece en la superficie porque es menos denso que el agua (gravedad específica  0.917). El agua en el fondo permanece en estado líquido a menos que haga tanto frío que todo el cuerpo de agua se congele. Si el agua fuese como la mayoría de las sustancias y se volviera más densa conforme se enfriara, el agua en el fondo de un lago se enfriaría primero. Los lagos se congelarían más fácilmente pues la circulación llevaría el agua más caliente a la superficie para ser enfriada eficientemente. El congelamiento completo de un lago provocaría severos daños a las plantas y a la vida animal en su interior. Por el comportamiento insólito del agua debajo de los 4°C, es raro que algún gran cuerpo de agua se congele completamente, y a esto ayuda la capa de hielo en la superficie, que actúa como aislador para reducir el flujo de calor desde el agua hacia el aire frío sobre ella. Sin esta peculiar pero maravillosa propiedad del agua, la vida en este planeta como se conoce actualmente no sería posible. No sólo el agua se expande cuando se enfría de 4°C a 0°C; se expande incluso todavía más cuando se congela como hielo. Es por esto por lo que los cubos de hielo flotan en el agua y las tuberías se rompen cuando se congela el agua dentro de ellas.

FIGURA 13–11 Comportamiento del agua como función de la temperatura cerca de 4°C. a) Volumen de 1.00000 gramos de agua como función de la temperatura. b) Densidad contra temperatura. [Note los rompimientos en cada eje.]

b)

a) 0°

5°

10°

0° 2° 4° 6°

100° 1.04343

1.04343

1.00013 1.00000

1.00013 1.00000 0°

360

CAPÍTULO 13

T(°C) 100° 1.00000

0.9999

0.9999

0.9998

0.9998

r (g/cm3)

Volumen (cm3) de 1.00000 g de agua

1.0000

5° 10° 100° Temperatura (°C)

Temperatura y teoría cinética

0.96

0.96 0° 2° 4° 6° 100° Temperatura (°C)

* 13–5 Tensiones térmicas En muchas situaciones, como en los edificios y caminos, los extremos de una viga o losa de material están fijos rígidamente, lo que limita de forma considerable la expansión o contracción. Si la temperatura cambiara, ocurrirían grandes tensiones compresivas y de tracción, llamadas tensiones térmicas. La magnitud de tales tensiones se calcula mediante el concepto de módulos elásticos desarrollado en el capítulo 9. Para calcular la tensión interna, se puede considerar que este proceso ocurre en dos pasos. La viga intenta expandirse (o contraerse) una cantidad ¢L dada por la ecuación 13-1; en segundo lugar, el sólido en contacto con la viga ejerce una fuerza para comprimirla (o expandirla) y mantenerla en su longitud original. La fuerza F que se requiere está dada por la ecuación 9-4:

1 F L0 , EA donde E es el módulo de Young para el material. Para calcular la tensión interna, F
A, ¢L en la ecuación 13-1a se hace igual a ¢L en la ecuación anterior y se encuentra 1 F aL0 ¢T = L0 . EA Por tanto, la tensión F = aE ¢T. A ¢L =

EJEMPLO 13–8 Tensión en el concreto en un día caliente. Se va a construir una autopista con bloques de concreto de 10 m de largo colocados extremo con extremo sin espacio entre ellos que permita su expansión. Si los bloques se colocan a una temperatura de 10°C, ¿qué tensión compresiva ocurrirá cuando la temperatura alcance los 40°C? El área de contacto entre cada bloque es de 0.20 m2. ¿Habrá fractura?

F Í S I C A

A P L I C A D A

Pandeo de una autopista

PLANTEAMIENTO Se usa la expresión para la tensión F
A que se acaba de deducir, y se encuentra el valor de E a partir de la tabla 9-1. Para ver si ocurre la fractura, se compara esta tensión con la resistencia a la rotura del concreto en la tabla 9-2. SOLUCIÓN

F = a E ¢T = A12 * 10–6
C°BA20 * 109 N
m2 B(30 C°) = 7.2 * 106 N
m2. A Esta tensión no está lejos de la resistencia a la rotura del concreto bajo compresión (tabla 9-2) y la supera para tracción y corte. Si el concreto no está perfectamente alineado, parte de la fuerza actuará en corte, y es probable la fractura. Es por esto por lo que en las aceras, las autopistas y los puentes de concreto se usan espaciadores suaves o juntas de expansión (figura 13-3).

13–6 Las leyes de los gases y la temperatura absoluta La ecuación 13-2 no es muy útil para describir la expansión de un gas, en parte porque la expansión puede ser muy grande, y en parte porque los gases generalmente se expanden para llenar cualquier contenedor en el que se encuentran. De hecho, la ecuación 13-2 es significativa sólo si la presión se mantiene constante. El volumen de un gas depende tanto de la presión como de la temperatura. Por eso, vale la pena determinar una relación entre el volumen, la presión, la temperatura y la masa de un gas. A tal relación se le llama ecuación de estado. (Por estado se entiende la condición física del sistema). Si cambia el estado de un sistema, siempre se esperará hasta que la presión y la temperatura hayan alcanzado los mismos valores en todo el sistema. Así que sólo se consideran estados de equilibrio de un sistema: cuando las variables que lo describen (como temperatura y presión) son las mismas a través de todo el sistema y no cambian con el tiempo. También se nota que los resultados de esta sección son precisos sólo para gases que no son demasiado densos (en los que la presión no es demasiado alta, del orden de una atmósfera aproximadamente) y que no están cerca del punto de licuefacción (ebullición).

SECCIÓN 13–6

Las leyes de los gases y la temperatura absoluta

361

www.elsolucionario.org Para una cantidad determinada de gas, se encuentra experimentalmente que, a una buena aproximación, el volumen de un gas es inversamente proporcional a la presión absoluta que se le aplica cuando la temperatura se mantiene constante. Esto es

V r

Ley de Boyle

P

1, P

[T constante]

donde P es la presión absoluta (no “presión manométrica”; véase sección 10-4). Por ejemplo, si la presión en un gas se duplica, el volumen se reduce a la mitad de su volumen original. Esta relación se conoce como ley de Boyle, en honor de Robert Boyle (1627-1691), quien la estableció por primera vez sobre la base de sus propios experimentos. En la figura 13-12 se muestra una gráfica de P contra V para una temperatura fija. La ley de Boyle también se escribe V FIGURA 13–12 Presión contra volumen de una cantidad fija de gas a una temperatura constante, que muestra la relación inversa como la proporciona la ley de Boyle: conforme la presión disminuye, el volumen aumenta.

Cero absoluto

PV = constante.

[T constante]

Esto es, a temperatura constante, si se permite que la presión o el volumen del gas varíe, la otra variable también cambia de modo que el producto PV permanece constante. La temperatura también afecta al volumen de un gas, pero una relación cuantitativa entre V y T se encontró después de un siglo del trabajo de Boyle. El francés Jacques Charles (1746-1823) descubrió que, cuando la presión no es demasiado elevada y se mantiene constante, el volumen de un gas aumenta con la temperatura a una tasa casi constante, como en la figura 13-13a. Sin embargo, todos los gases se licuan a bajas temperaturas (por ejemplo, el oxígeno se licua a
183°C), así que la gráfica no se puede extender por abajo del punto de licuefacción. No obstante, la gráfica es en esencia una línea recta y, si se le proyecta a bajas temperaturas como se hizo con la línea punteada, cruza el eje aproximadamente en
273°C. Tal gráfica se puede dibujar para cualquier gas, y la línea recta siempre se proyecta de vuelta hacia
273°C a volumen cero. Esto parece implicar que, si un gas pudiese enfriarse a
273°C, tendría volumen cero, y a temperaturas más bajas tendría volumen negativo, lo que no tiene sentido. Se podría argumentar que
273°C es la temperatura más baja posible; de hecho, muchos otros experimentos recientes indican que esto es así. A esta temperatura se le llama cero absoluto de temperatura. Se ha determinado que su valor es
273.15°C.

FIGURA 13–13 Volumen de una cantidad fija de gas como función de a) temperatura Celsius y

−273°C

0°C 100°C a) Temperatura (°C)

Escala Kelvin

Conversión entre escalas Kelvin (absoluta) y Celsius

362

CAPÍTULO 13

Volumen

Volumen

b) temperatura Kelvin, cuando la presión se mantiene constante.

200°C

0K

100 K 200 K 300 K 400 K b) Temperatura (kelvins, o K)

500 K

El cero absoluto forma la base de una escala de temperatura conocida como escala absoluta o escala Kelvin y se utiliza extensamente en el trabajo científico. En esta escala la temperatura se especifica como grados Kelvin o, de preferencia, simplemente como kelvins (K), sin el signo de grado. Los intervalos son los mismos que para la escala Celsius, pero el cero en esta escala (0 K) se elige como el cero absoluto. De esta forma, el punto de congelación del agua (0°C) es 273.15 K, y su punto de ebullición es 373.15 K. De esta forma, cualquier temperatura en la escala Celsius se puede convertir a kelvins sumándole 273.15:

T(K) = T(°C) + 273.15. Ahora observe la figura 13-13b, donde la gráfica del volumen de un gas frente a temperatura absoluta es una línea recta que pasa por el origen. Por tanto, a una buena

Temperatura y teoría cinética

aproximación, el volumen de una cantidad dada de gas es directamente proporcional a la temperatura absoluta cuando la presión se mantiene constante. A esto se le conoce como ley de Charles, y se escribe

V r T.

[P constante]

Ley de Charles

Una tercera ley de los gases, conocida como ley de Gay-Lussac, en honor de Joseph Gay-Lussac (1778-1850), afirma que a volumen constante, la presión absoluta de un gas es directamente proporcional a la temperatura absoluta:

P r T.

[V constante]

Ley de Gay Lussac

Un ejemplo familiar es que un frasco cerrado o una lata de aerosol que se lanzan al fuego explotarán a causa del aumento en la presión del gas interior, resultado del aumento de temperatura. Las leyes de Boyle, Charles y Gay-Lussac en realidad no son leyes en el sentido en que se usa este término en la actualidad, es decir, en el sentido de precisión, profundidad y validez de amplio rango. En realidad se trata de aproximaciones que son precisas sólo para gases reales en tanto la presión y la densidad del gas no sean demasiado altas y el gas no esté demasiado cerca de la licuefacción (condensación). Sin embargo, el término ley que se aplica a estas tres relaciones se ha vuelto tradicional, así que el texto se apegará a dicho uso. EJEMPLO CONCEPTUAL 13–9 Nunca hay que lanzar un frasco de vidrio cerrado a una fogata. ¿Qué puede ocurrir si se lanza al fuego un frasco de vidrio vacío con la tapa apretada, y por qué? RESPUESTA El interior del frasco no está vacío, sino lleno de aire. Conforme el fuego calienta el aire interior, aumenta su temperatura. El volumen del frasco de vidrio cambia sólo ligeramente por el calentamiento. De acuerdo con la ley de GayLussac, la presión P del aire dentro del frasco puede aumentar drásticamente, lo suficiente como para provocar que el frasco explote y lance pedazos de vidrio por doquier.

13–7 La ley del gas ideal Las leyes de los gases de Boyle, Charles y Gay-Lussac se obtuvieron mediante una técnica que es muy útil en ciencia: a saber, mantener una o más variables constantes para ver con claridad los efectos del cambio en una de ellas sobre la otra. Ahora se pueden combinar estas leyes en una sola relación más general entre la presión absoluta, el volumen y la temperatura absoluta de una cantidad fija de gas:

PV r T. Esta relación indica cómo variará cualquiera de las cantidades P, V o T cuando varíen las otras dos. Esta relación se reduce a la de Boyle, a la de Charles o a la de Gay-Lussac cuando la temperatura, o la presión, o el volumen, respectivamente, se mantiene constante. Por último, se debe incorporar el efecto de la cantidad de gas presente. Quienquiera que haya inflado un globo sabe que cuanto más aire se introduzca en el globo, más grande será su tamaño (figura 13-14). De hecho, experimentos cuidadosos demuestran que, a temperatura y presión constantes, el volumen V de un gas encerrado aumenta en proporción directa con la masa m del gas presente. Por tanto, se escribe

PV r mT. Esta proporción se puede convertir en una ecuación si se incluye una constante de proporcionalidad. Los experimentos demuestran que esta constante tiene un valor diferente para gases distintos. Sin embargo, la constante de proporcionalidad resulta ser la misma para todos los gases si, en lugar de la masa m, se usa el número de moles.

FIGURA 13–14 Inflar un globo significa introducir más aire (más moléculas de aire) en el globo, con lo que aumenta su volumen. La presión es casi constante (atmosférica), excepto por el pequeño efecto de la elasticidad del globo.

SECCIÓN 13–7

La ley del gas ideal

363

Mol (unidad para cantidad de sustancia)

Un mol se define como la cantidad de sustancia que contiene tantos átomos o moléculas como hay precisamente en 12 gramos de carbono 12 (cuya masa atómica es exactamente 12 u). Una definición más simple pero equivalente es: 1 mol es aquel número de gramos de una sustancia numéricamente igual a la masa molecular (sección 13-1) de la sustancia. Por ejemplo, la masa molecular del gas hidrógeno (H2) es 2.0 u (pues cada molécula contiene dos átomos de hidrógeno y cada átomo tiene una masa atómica de 1.0 u). De este modo, 1 mol de H2 tiene una masa de 2.0 g. De manera similar, 1 mol de gas neón tiene una masa de 20 g, y 1 mol de CO2 tiene una masa de C12 + (2 * 16)D = 44 g pues el oxígeno tiene masa atómica de 16 (consulte la tabla periódica en la cubierta posterior). El mol es la unidad oficial de cantidad de sustancia en el sistema SI. En general, el número de moles, n, en una muestra dada de una sustancia pura es igual a la masa de la muestra en gramos dividida por la masa molecular especificada como gramos por mol:

n (mol) =

masa (gramos) . masa molecular (g
mol)

Por ejemplo, el número de moles en 132 g de CO2 (masa molecular 44 u) es

n =

132 g = 3.0 mol. 44 g
mol

Ahora la proporción discutida anteriormente se puede escribir como una ecuación:

PV = nRT,

LEY DE GAS IDEAL

(13–3)

donde n representa el número de moles y R es la constante de proporcionalidad. R se llama constante universal de los gases porque experimentalmente se encontró que su valor es el mismo para todos los gases. El valor de R, en varios conjuntos de unidades (sólo el primero es la adecuada unidad SI), es

R = 8.314 J
(mol K) = 0.0821 (Latm)
(mol K) = 1.99 calorías
(mol  K).†

Constante universal de los gases (en varias unidades)

P R E C A U C I Ó N

Siempre proporcione T en kelvins y P como presión absoluta, no manométrica.

[unidades SI]

La ecuación 13-3 se llama ley de gas ideal, o ecuación de estado para un gas ideal. El término “ideal” se usa porque los gases reales no siguen precisamente la ecuación 13-3, en particular a alta presión (y densidad) o cuando están cerca del punto de licuefacción ( punto de ebullición). Sin embargo, a presiones menores que una atmósfera, y cuando T no está cerca del punto de licuefacción del gas, la ecuación 13-3 es bastante precisa y útil para gases reales. Siempre que utilice la ley del gas ideal, recuerde que las temperaturas se deben proporcionar en kelvins (K) y que la presión P siempre debe ser presión absoluta, no presión manométrica (sección 10-4).

13–8 Resolución de problemas con la ley del gas ideal La ley del gas ideal es una herramienta extraordinariamente útil, y a continuación se considerarán algunos ejemplos. Con frecuencia se hará referencia a “condiciones estándar” o “presión y temperatura estándar” (PTE), lo que significa PTE

T = 273 K (0°C) y P = 1.00 atm = 1.013 * 105 N
m2 = 101.3 kPa.

 273 K, 1 atm

EJEMPLO 13–10 Volumen de un mol a PTE. Determine el volumen de 1.00 mol de cualquier gas, si se supone que se comporta como un gas ideal, a PTE. PLANTEAMIENTO Se emplea la ley del gas ideal y se resuelve para V. SOLUCIÓN Se resuelve para V en la ecuación 13-3:

V =

Como 1 litro es 1000 cm3  1  10
3 m3, 1 mol de cualquier gas tiene V  22.4 L a PTE.

1 mol de gas a PTE tiene V  22.4 L †

364

CAPÍTULO 13

(1.00 mol)(8.314 J
mol K)(273 K) nRT = 22.4 * 10–3 m3. = P A1.013 * 105 N
m2 B

Las calorías se definirán en la sección 14-1; a veces resulta útil emplear R en términos de calorías.

Temperatura y teoría cinética

www.elsolucionario.org Vale la pena recordar el valor de 22.4 L para el volumen de 1 mol de un gas ideal a PTE, porque en ocasiones hace más simples los cálculos. EJERCICIO B ¿Cuál es el volumen de 1.00 mol de gas ideal a 20°C?

EJEMPLO 13–11 Globo de helio. Un globo de helio para fiesta, que se supone es una esfera perfecta, tiene una radio de 18.0 cm. A temperatura ambiente (20°C), su presión interna es de 1.05 atm. Determine el número de moles de helio en el globo y la masa de helio necesaria para inflar el globo a estos valores. PLANTEAMIENTO Se puede usar la ley de gas ideal para encontrar n, pues se proporcionan P y T, y V se puede obtener a partir del radio indicado. SOLUCIÓN Se obtiene el volumen V a partir de la fórmula para una esfera:

V = 43 pr3 = 43 p (0.180 m)3 = 0.0244 m3. La presión está dada como 1.05 atm = 1.064 * 105 N
m2. La temperatura se debe expresar en kelvins, así que se cambia 20°C a (20 + 273)K
293 K. Por último, el valor de R se elige como R
8.314 J
(mol¢K) pues se utilizan unidades SI. En

n =

A1.064 * 105 N
m2 BA0.0244 m3 B PV = = 1.066 mol. RT (8.314 J
mol K)(293 K)

La masa del helio (masa atómica
4.00 g
mol, como está dado en el apéndice B o en la tabla periódica) se obtiene a partir de masa
n  masa molecular
(1.066 mol)(4.00 g
mol)
4.26 g. EJEMPLO 13–12 ESTIMACIÓN Masa de aire en una habitación. Estime la masa del aire en una habitación cuyas dimensiones son 5 m  3 m  2.5 m de alto, a PTE. PLANTEAMIENTO Primero se determina el número de moles n con el volumen dado. Luego se multiplica por la masa de una mol para obtener la masa total. SOLUCIÓN El ejemplo 13-10 dice que 1 mol a 0°C tiene un volumen de 22.4 L. El volumen de la habitación es 5 m  3 m  2.5 m, de modo que

n =

(5 m)(3 m)(2.5 m) 22.4 * 10–3 m3

F Í S I C A

A P L I C A D A

Masa (y peso) del aire en una habitación

L 1700 mol.

El aire es una mezcla de aproximadamente 20% oxígeno (O2) y 80% nitrógeno (N2). Las masas moleculares son 2  16 u
32 u y 2  14 u
28 u, respectivamente, para un promedio de 29 u. Por tanto, 1 mol de aire tiene una masa aproximada de 29 g
0.029 kg, de modo que la habitación tiene una masa de aire

m L (1700 mol)(0.029 kg
mol) L 50 kg. NOTA ¡Esto es aproximadamente 100 lbs de aire! EJERCICIO C En una habitación a 20°C, ¿habrá más o menos masa de aire que a 0°C?

Con frecuencia, el volumen se especifica en litros y la presión en atmósferas. En lugar de convertir estas a unidades SI, se puede usar el valor de R proporcionado en la sección 13-7 como 0.0821 Latm
molK. En muchas situaciones no es necesario usar el valor de R en absoluto. Por ejemplo, muchos problemas se relacionan con un cambio en la presión, la temperatura y el volumen de una cantidad fija de gas. En este caso, PV
T
nR
constante, dado que n y R permanecen constantes. Si ahora P1, V1 y T1 representan las variables

SECCIÓN 13–8

Resolución de problemas con la ley del gas ideal

365

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La ley del gas ideal se emplea como proporción

F Í S I C A

apropiadas inicialmente, y P2, V2 y T2 representan las variables después de que se realiza un cambio, entonces es posible escribir

P1 V1 P2 V2 . = T1 T2 Si se conocen cualesquiera cinco de las cantidades en esta ecuación, se puede resolver para la sexta. O, si una de las tres variables es constante (V1 = V2 , o P1 = P2 , o T1 = T2) entonces se puede usar esta ecuación para resolver una incógnita cuando se proporcionan las otras tres cantidades. EJEMPLO 13–13 Verificación de las llantas frías. Una llanta de automóvil (figura 13-15) está llena a una presión manométrica de 200 kPa a 10°C. Después de un recorrido de 100 km, la temperatura dentro de la llanta aumenta a 40°C. ¿Cuál es ahora la presión dentro de ella? PLANTEAMIENTO No se conoce el número de moles de gas, o el volumen de la llanta, pero se supone que son constantes. Se usa la forma de proporción de la ley del gas ideal. SOLUCIÓN Dado que V1
V2, entonces

A P L I C A D A

Presión en una llanta caliente

P2 . P1 = T1 T2 Esto es, incidentalmente, un enunciado de la ley de Gay-Lussac. Puesto que la presión dada es la presión manométrica (sección 10-4), se debe sumar la presión atmosférica (
101 kPa) para obtener la presión absoluta P1 = (200 kPa + 101 kPa) = 301 kPa. Las temperaturas se convierten a kelvins sumando 273 y se resuelve para P2: T2 313 K P2 = P1 a b = A3.01 * 105 PaB a b = 333 kPa. T1 283 K Al restar la presión atmosférica, se encuentra que la presión manométrica resultante es de 232 kPa, que representa un 16% de incremento. Este ejemplo demuestra por qué los manuales de los automóviles sugieren verificar la presión de las llantas cuando éstas están frías. NOTA Cuando se utilice la ley del gas ideal, las temperaturas se deben proporcionar en kelvins (K) y la presión P siempre debe ser presión absoluta, no presión manométrica.

FIGURA 13–15 Ejemplo 13-13.

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

No use presión manométrica o C° en la ley del gas ideal.

13–9 La ley de gas ideal en términos de moléculas: número de Avogadro

Número de Avogadro

El hecho de que la constante de gas, R, tenga el mismo valor para todos los gases es un reflejo notable de la simplicidad en la naturaleza. Fue el científico italiano Amedeo Avogadro (1776-1856) quien reconoció esto por primera ocasión, aunque de una forma ligeramente diferente. Avogadro afirmó que volúmenes iguales de gas a la misma presión y temperatura contienen igual número de moléculas. A veces este enunciado se denomina hipótesis de Avogadro. Esto es consistente con que R sea la misma para todos los gases, lo que se puede ver del modo siguiente. Antes que todo, a partir de la ecuación 13-3 se sabe que, para el mismo número de moles, n, y la misma presión y temperatura, el volumen será el mismo para todos los gases en tanto R sea la misma. En segundo lugar, el número de moléculas en 1 mol es el mismo para todos los gases.† Así, la hipótesis de Avogadro es equivalente a que R sea la misma para todos los gases. El número de moléculas en un mol de cualquier sustancia pura se conoce como número de Avogadro, NA. Aunque Avogadro concibió la noción, en realidad no fue capaz de determinar el valor de NA. De hecho, no se realizaron mediciones precisas sino hasta el siglo XX. †

Por ejemplo, la masa molecular del gas H2 es de 2.0 unidades de masa atómica (u), mientras que la del gas O2 es de 32.0 u. Por tanto, 1 mol de H2 tiene una masa de 0.0020 kg y 1 mol de gas O2, 0.0320 kg. El número de moléculas en un mol es igual a la masa total M de un mol dividido por la masa m de una molécula; en tanto que esta razón (M
m) es la misma para todos los gases, por definición de mol, un mol de cualquier gas debe contener el mismo número de moléculas.

366

CAPÍTULO 13

Temperatura y teoría cinética

Para medir NA se han implementado varios métodos, y el valor aceptado en la actualidad es

NA = 6.02 * 1023 .

[moléculas
mol]]

Número de Avogadro

Puesto que el número total de moléculas, N, en un gas es igual al número por mol multiplicado por el número de moles (N
nNA), la ley del gas ideal (ecuación 13-3) se puede escribir en términos del número de moles presentes:

PV = nRT =

N RT, NA

o

PV = NkT,

(13–4)

LEY DEL GAS IDEAL (en términos de moléculas)

donde k
R
NA se llama constante de Boltzmann y tiene el valor

k =

8.314 J
molK R = = 1.38 * 10–23 J
K. NA 6.02 * 1023
mol

Constante de Boltzmann

EJEMPLO 13–14 Masa del átomo de hidrógeno. Utilice el número de Avogadro para determinar la masa de un átomo de hidrógeno. PLANTEAMIENTO La masa de un átomo es igual a la masa de 1 mol dividida por el número de átomos en 1 mol, NA. SOLUCIÓN Un mol de átomos de hidrógeno (masa atómica
1.008 u, sección 13-1 o apéndice B) tiene una masa de 1.008  103 kg y contiene 6.02  1023 átomos. Así, un átomo tiene una masa

m =

1.008 * 10–3 kg 6.02 * 1023

= 1.67 * 10–27 kg.

NOTA Históricamente, el proceso inverso fue un método que se utilizó para obtener NA; es decir, se obtuvo un valor preciso de NA a partir de una medición precisa de la masa del átomo de hidrógeno. EJEMPLO 13–15 ESTIMACIÓN ¿Cuántas moléculas hay en una inhalación? Estime cuántas moléculas se respiran cuando se inhala 1.0 L de aire.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Moléculas en una inhalación

PLANTEAMIENTO Se determina qué fracción de una mol es 1.0 L, utilizando el resultado del ejemplo 13-10 de que 1 mol tiene un volumen de 22.4 L a PTE, y luego se multiplica esto por NA para obtener el número de moléculas en este número de moles. SOLUCIÓN Un mol corresponde a 22.4 L a PTE, así que 1.0 L de aire es (1.0 L)
(22.4 L
mol)
0.045 mol. Entonces 1.0 L de aire contiene (0.045 mol)(6.02  1023 moléculas
mol) L 3  1022 moléculas.

13–10 La teoría cinética y la interpretación molecular de la temperatura El análisis de la materia en términos de átomos en continuo movimiento aleatorio se llama teoría cinética. Ahora se investigarán las propiedades de un gas desde el punto de vista de la teoría cinética, que se basa en las leyes de la mecánica clásica. Pero aplicar las leyes de Newton a cada una del gran número de moléculas en un gas ( 1025
m3 a PTE) está más allá de la capacidad de cualquier computadora actual. En lugar de ello se emplea un enfoque estadístico y se determinan los promedios de ciertas cantidades, y se considera que tales promedios corresponden a variables macroscópicas. Desde luego, se demandará que la descripción microscópica corresponda a las propiedades macroscópicas de los gases; de otro modo, la teoría sería de poco valor. Y algo más importante todavía: se llegará a una importante relación entre la energía cinética promedio de las moléculas en un gas y la temperatura absoluta.

SECCIÓN 13–10

La teoría cinética y la interpretación molecular de la temperatura

367

www.elsolucionario.org Se hacen las siguientes suposiciones en torno a las moléculas en un gas. Aunque tales suposiciones reflejan una visión simple de un gas, los resultados que predicen corresponden a las características esenciales de los gases reales que están a bajas presiones y lejos del punto de licuefacción. En tales condiciones, los gases reales siguen la ley del gas ideal bastante cerca y, de hecho, el gas que a continuación se describe se considera como gas ideal. Las suposiciones, que representan los postulados básicos de la teoría cinética, son: Postulados de la teoría cinética

1. Existe un gran número de moléculas, N, cada una con masa m, que se mueven en direcciones aleatorias con diferente rapidez. Esta suposición está en concordancia con la observación de que un gas llena su contenedor y, en el caso del aire en la Tierra, sólo la fuerza de gravedad evita que escape. 2. Las moléculas están, en promedio, bastante separadas unas de otras. Esto es, su separación promedio es mucho mayor que el diámetro de cada molécula. 3. Se supone que las moléculas obedecen las leyes de la mecánica clásica y se supone que interactúan una con otra sólo cuando chocan. Aunque las moléculas ejercen mutuamente fuerzas atractivas débiles entre colisiones, la energía potencial asociada con esas fuerzas es pequeña en comparación con la energía cinética, y por el momento se le ignora. 4. Las colisiones con otra molécula o la pared del contenedor se suponen perfectamente elásticas, como las colisiones de las bolas de billar perfectamente elásticas (capítulo 7). Se supone que las colisiones son de muy corta duración comparadas con el tiempo entre colisiones. Entonces es posible ignorar la energía potencial asociada con las colisiones en comparación con la energía cinética entre colisiones.

Explicación de la ley de Boyle

FIGURA 13–16 a) Moléculas de un gas que se mueven en torno a un contenedor rectangular. b) Las flechas indican la cantidad de movimiento de una molécula conforme rebota en la pared.

y l

A x

z

a)

y

Inmediatamente se nota cómo esta visión cinética de un gas puede explicar la ley de Boyle (sección 13-6). La presión ejercida sobre la pared de un contenedor de gas se debe al bombardeo constante de las moléculas. Si el volumen se reduce, por ejemplo, a la mitad, las moléculas estarán más cerca unas de otras y más del doble golpeará una área dada de la pared por segundo. En consecuencia, se espera que la presión sea el doble, en concordancia con la ley de Boyle. Ahora se calculará cuantitativamente la presión que un gas ejerce sobre su contenedor con base en la teoría cinética. Imagine que las moléculas están dentro de un contenedor rectangular (en reposo) cuyos lados tienen área A y cuya longitud es l, como se muestra en la figura 13-16a. La presión ejercida por el gas sobre las paredes de su contenedor, de acuerdo con el modelo, se debe a las colisiones de las moléculas con las paredes. Ahora enfoque la atención en la pared, de área A, en el lado izquierdo del contenedor y examine lo que ocurre cuando una molécula golpea esta pared, como se ilustra en la figura 13-16b. Esta molécula ejerce una fuerza sobre la pared y, de acuerdo con la tercera ley de Newton, la pared ejerce una fuerza igual y opuesta de vuelta sobre la molécula. La magnitud de esta fuerza sobre la molécula, de acuerdo con la segunda ley de Newton, es igual a la tasa de cambio de la cantidad de movimiento de la molécula, F = ¢(mv)
¢ t (ecuación 7-2). Si se supone que la colisión es inelástica, sólo cambia el componente x de la cantidad de movimiento de la molécula, y cambia de mvx (se mueve en la dirección x negativa) a mvx. Por tanto, el cambio en la cantidad de movimiento de la molécula, ¢(mv), que es la cantidad de movimiento final menos la cantidad de movimiento inicial, es

¢(mv) = mvx - A –mvx B = 2mvx

l

para una colisión. Esta molécula realizará muchas colisiones con la pared, cada una separada por un tiempo ¢t, que es el tiempo que toma a la molécula viajar a través del contenedor y regresar de nuevo, una distancia (componente x) igual a 2l. En consecuencia, 2l = vx ¢ t, o x

¢t =

z

368

b)

CAPÍTULO 13

2l . vx

El tiempo ¢t entre colisiones es muy pequeño, de modo que el número de colisiones por segundo es muy grande. De esta forma, la fuerza promedio (promediada sobre

Temperatura y teoría cinética

muchas colisiones) será igual al cambio de cantidad de movimiento durante una colisión dividida por el tiempo entre colisiones (segunda ley de Newton):

¢(mv) F =

=

¢t

2mvx mv2x . = 2l
vx l

[debida a una molécula]]

Durante este pasaje de ida y vuelta a través del contenedor, la molécula puede colisionar con las tapas y con los lados del contenedor, pero esto no altera su componente x de cantidad de movimiento y, en consecuencia, no altera el resultado. También puede chocar con otras moléculas, lo que puede cambiar su vx. Sin embargo, cualquier pérdida (o ganancia) de cantidad de movimiento se adquiere mediante otras moléculas y, como eventualmente se sumará a todas las moléculas, este efecto será incluido. De modo que el resultado anterior no se altera. La fuerza actual debida a una molécula es intermitente, pero, puesto que un gran número de moléculas golpean la pared por segundo, la fuerza es, en promedio, casi constante. Para calcular la fuerza debida a todas las moléculas en el contenedor, se tienen que sumar las aportaciones de cada una. En consecuencia, la fuerza neta sobre la pared es

F =

m 2 Av + v2x2 + p + v2xN B, l x1

donde vx1 significa vx para la molécula 1 (a cada molécula se le asigna arbitrariamente un número) y la suma se extiende sobre el número total de moléculas N en el contenedor. El valor promedio del cuadrado del componente x de la velocidad es

Ox =

v2x1 + v2x2 + p + v2xN . N

(13–5)

Por tanto, la fuerza se puede escribir como

F =

m NOx . l

Se sabe que el cuadrado de cualquier vector es igual a la suma de los cuadrados de sus componentes (teorema de Pitágoras). En consecuencia, v2 = v2x + v2y + v2z para cualquier velocidad v. Al tomar los promedios se obtiene

O = Ox + Oy + Oz . Como las velocidades de las moléculas en el gas se suponen aleatorias, no existe preferencia por una dirección u otra. Por tanto

Ox = Oy = Oz . Al combinar esta relación con la anterior, se obtiene

O = 3Ox . Esto se sustituye en la ecuación para la fuerza neta F:

F =

m O. N l 3

La presión sobre la pared es, entonces,

P =

F = A

P =

1 3

1 3

NmO Al

o

NmO , V

(13–6)

Presión en un gas

donde V
lA es el volumen del contenedor. Éste es el resultado que se buscaba, la presión ejercida por un gas sobre su contenedor expresada en términos de propiedades moleculares.

SECCIÓN 13–10

La teoría cinética y la interpretación molecular de la temperatura

369

La ecuación 13-6, P = 13 NmO
V, se puede volver a escribir en una forma más clara multiplicando ambos lados por V y reordenando el lado derecho:

PV = 23 N A 12 mOB. (13–7) La cantidad es la energía cinética promedio AGB de las moléculas en el gas. Si se compara la ecuación 13-7 con la 13-4, la ley del gas ideal PV
NkT, se ve que las dos concuerdan si 1 2 mO

TEMPERATURA RELACIONADA CON LA ENERGÍA CINÉTICA PROMEDIO DE LAS MOLÉCULAS

o

2 1 3 A 2 mOB

= kT,

G = 12 mO = 32 kT.

[gas ideal] (13–8)

Esta ecuación dice que la energía cinética de traslación promedio de las moléculas en movimiento aleatorio en un gas ideal es directamente proporcional a la temperatura absoluta del gas. Cuanto más elevada sea la temperatura, de acuerdo con la teoría cinética, más rápido se mueven las moléculas en promedio. Esta relación es uno de los triunfos de la teoría cinética. EJEMPLO 13–16 Energía cinética molecular. ¿Cuál es la energía cinética de traslación promedio de las moléculas en un gas ideal a 37°C? PLANTEAMIENTO Se utiliza la temperatura absoluta en la ecuación 13-8. SOLUCIÓN Se cambia 37°C a 310 K y se incorpora en la ecuación 13-8:

G = 32 kT =

3 2

A1.38 * 10–23 J
KB(310 K) = 6.42 * 10–21 J.

NOTA Un mol de moléculas tendría una energía cinética de traslación igual a A6.42 * 10–21 JB A6.02 * 1023 B = 3900 J, que es igual a la energía cinética de una piedra de 1 kg que viaja más rápido que 85 m
s.

Rapidez raíz cuadrática media (rms)

La ecuación 13-8 se cumple no sólo para los gases, sino que también se aplica de forma razonablemente precisa a líquidos y sólidos. De esta forma, el resultado del ejemplo 13-16 se aplicaría a moléculas dentro de células vivientes a temperatura corporal (37°C). La ecuación 13-8 sirve para calcular la rapidez promedio a la que se mueven las moléculas. El promedio en las ecuaciones de la 13-5 a la 13-8 es sobre el cuadrado de la rapidez. La raíz cuadrada de O se llama rapidez raíz cuadrática media, vrms [rms, siglas en inglés de root-mean-square] (dado que se habla de la raíz cuadrada del promedio del cuadrado de la rapidez):

vrms = 3 O =

Rapidez rms de moléculas

3kT . B m

(13–9)

EJEMPLO 13–17 Rapidez de las moléculas del aire. ¿Cuál es la rapidez rms de las moléculas del aire (O2 y N2) a temperatura ambiente (20°C)? PLANTEAMIENTO Para obtener la vrms, se necesitan las masas de las moléculas O2 y N2 y luego se aplica la ecuación 13-9 al oxígeno y al nitrógeno por separado, puesto que tienen diferentes masas. SOLUCIÓN Las masas de una molécula de O2 (masa molecular
32 u) y N2 (masa molecular
28 u) son (donde 1 u
1.66  1027 kg)

m(O2) = (32)A1.66 * 10–27 kgB = 5.3 * 10–26 kg, m(N2) = (28)A1.66 * 10–27 kgB = 4.6 * 10–26 kg. Así, para el oxígeno

(3)A1.38 * 10–23 J
KB(293 K) 3kT = = 480 m
s, B m A5.3 * 10–26 kgB C y para el nitrógeno el resultado es vrms
510 m
s. Estos valores† son más que 1700 km
h o 1000 mi
h. vrms =

†

La rapidez vrms sólo es una magnitud. La velocidad de las moléculas promedia cero: la velocidad tiene dirección, y tantas moléculas se mueven hacia la derecha como hacia la izquierda.

370

CAPÍTULO 13

Temperatura y teoría cinética

www.elsolucionario.org EJERCICIO D ¿Qué rapidez tendría un sujetador de papel si tuviese la misma una molécula del ejemplo 13-17?

EC

que

La ecuación 13-8, G = 32 kT, implica que, conforme la temperatura se aproxima al cero absoluto, la energía cinética de las moléculas tiende a cero. Sin embargo, la teoría cuántica moderna dice que esto no es exactamente así. Más bien, conforme se aproxima al cero absoluto, la energía cinética tiende a un valor mínimo (muy pequeño) distinto de cero. Aun cuando todos los gases reales se vuelvan líquidos o sólidos cerca de 0 K, el movimiento molecular no cesa, incluso en cero absoluto.

* 13–11 Distribución de la rapidez molecular

0

Número relativo de moléculas

Número relativo de moléculas

Se supone que las moléculas en un gas están en movimiento aleatorio, lo que significa que muchas moléculas tienen una rapidez menor que la rapidez rms, mientras que otras tienen una rapidez mayor. En 1859, James Clerk Maxwell (1831-1879) dedujo, sobre la base de la teoría cinética, que los valores de la rapidez de las moléculas en un gas están distribuidos de acuerdo con la gráfica que se presenta en la figura 13-17. Ésta se conoce como la distribución de Maxwell de la rapidez.† Los valores de la rapidez varían desde cero hasta muchas veces la rapidez rms, pero, como muestra la gráfica, la mayoría de las moléculas tienen rapidez que no está lejos del promedio. Menos del 1% de las moléculas superan cuatro veces la vrms. Los experimentos para determinar la distribución en los gases reales, a partir de los 1920, confirmó con considerable precisión la distribución de Maxwell y la proporción directa entre la energía cinética promedio y la temperatura absoluta (ecuación 13-8). La figura 13-8 muestra la distribución de Maxwell para dos diferentes temperaturas; así como la vrms aumenta con la temperatura, la curva completa de distribución se corre hacia la derecha a temperaturas más altas. Esta figura ilustra cómo la teoría cinética puede explicar por qué muchas reacciones químicas, incluso aquellas de las células biológicas, tienen lugar más rápidamente conforme la temperatura aumenta. Dos moléculas pueden reaccionar químicamente sólo si sus energías cinéticas están por arriba de cierto valor mínimo (llamado energía de activación), EA, de modo que, cuando chocan, penetran un poco unas en otras. La figura 13-18 indica que, a una temperatura más alta, muchas más moléculas tienen una rapidez y energía cinética EC por arriba del umbral necesario EA.

vP vrms

Rapidez, v

Distribución de Maxwell de la rapidez de las moléculas en un gas

F Í S I C A

A P L I C A D A

Cómo las reacciones químicas dependen de la temperatura

T = 273 K (0°C) T = 310 K (37°C)

Rapidez

v(EA)

FIGURA 13–17 Distribución de rapidez molecular en un gas

FIGURA 13–18 Distribución de rapidez

ideal. Note que vrms no está en el pico de la curva (la rapidez denominada “rapidez más probable”, vP). Esto se debe a que la curva está sesgada hacia la derecha: no es simétrica.

molecular para dos diferentes temperaturas.

* 13–12 Gases reales y cambios de fase La ley del gas ideal es una descripción precisa del comportamiento de un gas real en tanto la presión no sea demasiado elevada y en tanto la temperatura esté lejos del punto de licuefacción. Pero, ¿qué ocurre cuando estos dos criterios no se satisfacen? Primero se analizará el comportamiento de un gas real y luego se examinará cómo la teoría cinética ayuda a comprender este comportamiento. † Matemáticamente, la distribución está dada por ¢N = Cv2 exp A – 12 mv2
kTB ¢v, donde ¢N es el número de moléculas con rapidez entre v y v + ¢v, C es una constante y exp significa que la expresión entre paréntesis es un exponente en el número natural e
2.718. . .

*SECCIÓN 13–12

Gases reales y cambios de fase

371

Diagrama PV B′ A′

P

Gas

Líquido

c Vapor

a

Región líquidovapor

A B C D

b

V FIGURA 13–19 Diagrama PV para una sustancia real. Las curvas A, B, C y D representan al mismo gas a diferentes temperaturas fijas (TA 7 TB 7 TC 7 TD).

Punto crítico

Vapor versus gas

Diagrama de fase (PV)

Observe una gráfica de presión contra volumen para una cantidad determinada de gas. En tal “diagrama PV” (figura 13-19), cada punto representa un estado de equilibrio de la sustancia dada. Las diversas curvas (A, B, C y D) indican cómo varía la presión conforme cambia el volumen a temperatura constante para diferentes valores de la temperatura. La curva punteada A’ representa el comportamiento de un gas según predice la ley del gas ideal; es decir, PV
constante. La curva sólida A representa el comportamiento de un gas real a la misma temperatura. Hay que hacer notar que, a presión alta, el volumen de un gas real es menor que el predicho por la ley del gas ideal. Las curvas B y C en la figura 13-19 representan al gas en temperaturas sucesivamente más bajas, y se ve que el comportamiento se desvía incluso más de las curvas predichas por la ley del gas ideal (por ejemplo, B’), y la desviación es más grande cuanto más cerca de la licuefacción esté el gas. Para explicar esto, hay que subrayar que se espera que las moléculas estén más cerca unas de otras a temperaturas más altas. Y, particularmente a temperaturas más bajas, la energía potencial asociada con las fuerzas atractivas entre las moléculas (que se ignoró antes) ya no es despreciable en comparación con la ahora reducida energía cinética de las moléculas. Esas fuerzas atractivas tienden a jalar a las moléculas para que estén cerca, así que, a una presión dada, el volumen es menor que el esperado por la ley del gas ideal. A temperaturas todavía más bajas, tales fuerzas causan licuefacción, y las moléculas se acercan más. La curva D representa la situación cuando ocurre la licuefacción. A presión baja en la curva D (a la derecha en la figura 13-19), la sustancia es un gas y ocupa un gran volumen. Conforme aumenta la presión, el volumen disminuye hasta que se alcanza el punto b. Más allá de b, el volumen disminuye sin cambio en la presión; la sustancia cambia gradualmente de la fase gaseosa a la fase líquida. En el punto a, toda la sustancia cambió a líquido. Mayor aumento en la presión reduce el volumen sólo ligeramente (los líquidos son casi incompresibles), así que la curva es muy inclinada a la izquierda, como se observa. El área sombreada bajo la línea punteada representa la región donde las fases gas y líquido existen juntas en equilibrio. La curva C de la figura 13-19 representa el comportamiento de la sustancia en su temperatura crítica; el punto c (el único punto donde esta curva es horizontal) se llama punto crítico. A temperaturas menores que la temperatura crítica (y ésta es la definición del término), un gas cambiará a la fase líquida si se aplica suficiente presión. Arriba de la temperatura crítica, ninguna cantidad de presión provoca que un gas cambie de fase y se convierta en líquido: no se forma líquido superficial. En la tabla 13-2 se presentan las temperaturas críticas para varios gases. Los científicos intentaron durante muchos años licuar oxígeno, pero no obtuvieron éxito. Sólo después del descubrimiento del punto crítico se dieron cuenta de que el oxígeno se licua sólo si primero se enfría por debajo de su temperatura crítica de 118°C. Con frecuencia se hace una distinción entre los términos “gas” y “vapor”: una sustancia debajo de su temperatura crítica en el estado gaseoso se llama vapor; arriba de la temperatura crítica se llama gas. El comportamiento de una sustancia se puede representar no sólo en un diagrama PV, sino también en un diagrama PT, con frecuencia llamado diagrama de fase, que es particularmente conveniente para comparar las diferentes fases de una sustancia. La figura 13-20 es el diagrama de fase del agua. La curva l-v representa aquellos puntos donde las fases de líquido y vapor están en equilibrio; es, por tanto, una gráTABLA 13–2 Temperaturas y presiones críticas Temperatura crítica Sustancia Agua

CO2 Oxígeno Nitrógeno Hidrógeno Helio

372

CAPÍTULO 13

Temperatura y teoría cinética

°C 374 31

–118 –147 –239.9 –267.9

K

Presión crítica (atm)

647 304 155 126 33.3 5.3

218 72.8 50 33.5 12.8 2.3

Punto crítico

218

s -l

P (atm)

Sólido

Líquido

1.0

0.006

Gas l-v Vapor Punto s-v triple 0.00 0.01 100 374 T (°C)

FIGURA 13–20 Diagrama de fase para el agua (las escalas no son lineales).

Punto triple FIGURA 13–21 Diagrama de fase para el dióxido de carbono.

Punto crítico 73 Sólido

P (atm)

fica del punto de ebullición contra la presión. La curva muestra correctamente que, a una presión de 1 atm, el punto de ebullición es de 100°C, y que el punto de ebullición baja para una baja de presión. La curva s-l representa los puntos donde sólido y líquido existen en equilibrio y, por tanto, es una gráfica del punto de congelación contra presión. A 1 atm, el punto de congelación del agua es 0°C, como se indica. Note también en la figura 13-20 que, a una presión de 1 atm, la sustancia está en la fase líquida si la temperatura está entre 0°C y 100°C, pero está en la fase sólida o de vapor si la temperatura está abajo de 0°C o arriba de 100°C. La curva s-v es la curva del punto de sublimación contra presión. Sublimación se refiere al proceso mediante el cual, a presiones bajas, un sólido cambia directamente a la fase de vapor sin pasar por la fase líquida. Para el agua, la sublimación ocurre si la presión del vapor de agua es menor que 0.0060 atm. El dióxido de carbono, que en la fase sólida se llama hielo seco, se sublima incluso a presión atmosférica. La intersección de las tres curvas (en la figura 13-20) es el punto triple. Para el agua, esto ocurre a T
273.16 K y P
6.03  103 atm. Sólo en el punto triple pueden existir juntas las tres fases en equilibrio. Como el punto triple corresponde a un valor único de temperatura y presión, es precisamente reproducible y con frecuencia se usa como punto de referencia. Por ejemplo, el estándar de temperatura se especifica exactamente como 273.16 K en el punto triple del agua, y no como 273.15 K en el punto de congelación del agua a 1 atm. Note que la curva s-l para el agua tiene más pendiente hacia arriba a la izquierda. Esto sólo es cierto para las sustancias que se expanden al congelarse: a una presión más alta, se necesita una temperatura más baja para provocar que el líquido se congele. Más comúnmente, las sustancias se contraen al congelarse y la curva s-l se inclina hacia arriba a la derecha, como se muestra para el dióxido de carbono (CO2) en la figura 13-21. Las transiciones de fase que se han explicado son las más comunes. Sin embargo, algunas sustancias pueden existir en varias formas en la fase sólida. Una transición de una fase a otra ocurre a una temperatura y presión particulares, tal como los cambios de fase ordinarios. Por ejemplo, se ha observado que el hielo tiene al menos ocho formas a presión muy alta. El helio ordinario tiene dos fases líquidas distintas, llamadas helio I y II. Sólo existen a temperaturas a unos cuantos grados del cero absoluto. El helio II exhibe propiedades muy inusuales a las que se engloba con el nombre de superfluidez. En esencia, tiene viscosidad cero y muestra extrañas propiedades, como la de subir por los lados de un contenedor abierto.

Líquido

56 Punto triple

5.11 Vapor 1

−56.6

T (°C)

20

31

Superfluidez

* 13–13 Presión de vapor y humedad Evaporación Si un vaso con agua se deja a la intemperie toda la noche, en la mañana el nivel del agua habrá descendido. Se dice que el agua se evaporó, lo que significa que parte del agua cambió a la fase de vapor o gas. Este proceso de evaporación se explica sobre la base de la teoría cinética. Las moléculas en un líquido se mueven y pasan una sobre otra con diferente rapidez, cuyos valores siguen, aproximadamente, la distribución de Maxwell. Existen intensas fuerzas atractivas entre tales moléculas, que es lo que las mantiene cerca en la fase líquida. Una molécula cerca de la superficie del líquido, a causa de su rapidez, puede dejar el líquido momentáneamente. Pero tal como una roca lanzada al aire regresa a la Tierra, del mismo modo las fuerzas atractivas de las otras moléculas jalan a la molécula vagabunda de vuelta a la superficie del líquido; claro está, si su velocidad no es demasiado alta. Sin embargo, una molécula con una rapidez suficientemente alta escapará del líquido por completo (al igual que un cohete que escapa de la Tierra) para convertirse en parte de la fase gaseosa. Sólo aquellas moléculas que tengan energía cinética por arriba de un valor particular podrán escapar a la fase de gas. Ya se ha visto que la teoría cinética predice que el número relativo de moléculas con energía cinética por arriba de un valor particular (como EA en la figura 13-18) aumenta con la temperatura. Esto está en concordancia con la bien conocida observación de que la tasa de evaporación es mayor a temperaturas más elevadas.

*SECCIÓN 13–13

Evaporación

Presión de vapor y humedad

373

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F Í S I C A

A P L I C A D A

La evaporación enfría

Puesto que las moléculas más rápidas son las que escapan de la superficie, la rapidez promedio de las que permanecen es menor. Cuando la rapidez promedio es menor, la temperatura absoluta es menor. Por eso, la teoría cinética predice que la evaporación es un proceso de enfriamiento. No hay duda de que el lector habrá notado este efecto cuando sale de una ducha caliente y siente frío conforme el agua del cuerpo comienza a evaporarse; o después de haberse ejercitado en un día caluroso, hasta una ligera brisa nos hace sentir frescos a través de la evaporación.

Presión de vapor

FIGURA 13–22 El vapor aparece sobre un líquido en un contenedor cerrado.

TABLA 13–3 Presión de vapor saturado del agua

Temperatura (°C)

– 50 – 10 0 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70† 80 90 100‡ 120 150

Presión de vapor saturado torr

(
mm-Hg) 0.030 1.95 4.58 6.54 9.21 12.8 17.5 23.8 31.8 55.3 92.5 149 234 355 526 760 1489 3570

†

Pa

(
N m2) 4.0

2.60 6.11 8.72 1.23 1.71 2.33 3.17 4.24 7.37 1.23 1.99 3.12 4.73 7.01 1.01 1.99 4.76

* * * * * * * * * * * * * * * * *

102 102 102 103 103 103 103 103 103 104 104 104 104 104 105 105 105

Punto de ebullición en la punta del monte Everest. ‡ Punto de ebullición a nivel del mar.

374

CAPÍTULO 13

Normalmente el aire contiene vapor de agua (agua en la fase gaseosa) que proviene sobre todo de la evaporación. Para observar este proceso con un poco más de detalle, consideremos un contenedor cerrado que está parcialmente lleno con agua (u otro líquido) y del que se ha removido aire (figura 13-22). Las moléculas que se mueven más rápido se evaporan rápidamente en el espacio vacío arriba de la superficie del líquido. Conforme se mueven alrededor, algunas de esas moléculas golpean la superficie del líquido y de nuevo vuelven a ser parte de la fase líquida: a esto se llama condensación. El número de moléculas en el vapor aumenta hasta que se alcanza un punto en el que el número de moléculas que regresan al líquido es igual al número de las que lo dejan en el mismo intervalo de tiempo. Entonces existe equilibrio y se dice que el espacio sobre la superficie del líquido está saturado. La presión del vapor cuando está saturado se llama presión de vapor saturado (o, en ocasiones, simplemente presión de vapor). La presión de vapor saturado no depende del volumen del contenedor. Si el volumen arriba del líquido se redujera de manera súbita, la densidad de las moléculas en la fase vapor aumentaría temporalmente. Entonces más moléculas golpearían la superficie del líquido por segundo. Habría un flujo neto de moléculas de vuelta a la fase líquida hasta alcanzar de nuevo el equilibrio y esto ocurriría en el mismo valor de la presión de vapor saturado, en tanto la temperatura no cambie. La presión de vapor saturado de cualquier sustancia depende de la temperatura. A temperaturas elevadas, más moléculas tienen suficiente energía cinética para salir de la superficie del líquido hacia la fase vapor. Así, el equilibrio se alcanzará a una presión más alta. En la tabla 13-3 se indica la presión de vapor saturado del agua a varias temperaturas. Cabe hacer notar que incluso los sólidos (por ejemplo, el hielo) tienen una presión de vapor saturado mensurable. En situaciones cotidianas, la evaporación de un líquido tiene lugar en el aire arriba de él y no en un vacío. Esto, en realidad, no altera la explicación anterior en relación con la figura 13-22. El equilibrio todavía se alcanzará cuando existan suficientes moléculas en la fase gaseosa de modo que el número de las que reingresan al líquido iguale al número de las que lo dejan. La concentración de moléculas particulares (como el agua) en la fase gaseosa no se afecta por la presencia del aire, aunque las colisiones con las moléculas del aire pueden alargar el tiempo necesario para alcanzar el equilibrio. En consecuencia, el equilibrio ocurre al mismo valor de la presión de vapor saturado, como si el aire no estuviese ahí. Si el contenedor es grande o no está cerrado, es posible que todo el líquido se evapore antes de que se alcance la saturación. Y si el contenedor no está sellado (como, por ejemplo, la habitación de una casa) no es probable que el aire se sature con vapor de agua (a menos que afuera esté lloviendo).

Ebullición La presión de vapor saturado de un líquido aumenta con la temperatura. Cuando la temperatura se eleva al punto donde la presión de vapor saturado a tal temperatura es igual a la presión externa, ocurre la ebullición (figura 13-23). Conforme se aproxima el punto de ebullición, en el líquido tienden a formarse pequeñas burbujas, lo que indica un cambio de la fase líquida a la fase gaseosa. Sin embargo, si la presión

Temperatura y teoría cinética

de vapor saturado dentro de las burbujas es menor que la presión externa, las burbujas se romperán inmediatamente. Conforme aumenta la temperatura, la presión de vapor saturado dentro de una burbuja eventualmente se vuelve igual a la presión del aire exterior o la supera. Entonces la burbuja no colapsará, sino que se elevará hacia la superficie. Entonces habrá comenzado la ebullición. Un líquido hierve cuando su presión de vapor saturado es igual a la presión externa. Para el agua, esto sucede a una presión de 1 atm (760 torr) a 100°C, como se ve en la tabla 13-3. Es evidente que el punto de ebullición de un líquido depende de la presión externa. A grandes altitudes, el punto de ebullición del agua es un poco menor que a nivel del mar, pues en esos lugares la presión del aire es menor. Por ejemplo, en la punta del monte Everest (8850 m), la presión del aire es aproximadamente de un tercio de lo que es al nivel del mar; de acuerdo con la tabla 13-3, se sabe que el agua hervirá ahí alrededor de los 70°C. Cocinar mediante ebullición lleva más tiempo a grandes altitudes, pues la temperatura es menor. Sin embargo, las ollas de presión reducen el tiempo de cocción porque acumulan una presión tan elevada como 2 atm, lo que permite obtener temperaturas de ebullición más altas.

En la ebullición, la presión de vapor saturado es igual a la presión externa.

Presión parcial y humedad Cuando se dice que el clima es seco o húmedo, se hace referencia al vapor de agua contenido en el aire. En un gas como el aire, que es una mezcla de varios tipos de gases, la presión total es la suma de las presiones parciales de cada gas presente.† Por presión parcial se entiende la presión que cada gas ejercería si sólo él estuviese presente. La presión parcial del agua en el aire puede ser tan baja como cero y puede variar hasta un máximo igual a la presión de vapor saturado del agua a la temperatura dada. Por lo mismo, a 20°C, la presión parcial del agua no puede superar los 17.5 torr (tabla 13-3). La humedad relativa se define como la razón entre la presión parcial del vapor de agua y la presión de vapor saturado a una temperatura dada. Generalmente se expresa como porcentaje: Humedad relativa =

presión parcial de H 2O presión de vapor saturado de H 2O

* 100%.

FIGURA 13–23 Ebullición: las burbujas de vapor de agua flotan hacia arriba desde el fondo (donde la temperatura es más elevada).

Humedad relativa

En consecuencia, cuando la humedad es cercana al 100%, el aire retiene casi todo el vapor de agua que puede. EJEMPLO 13–18 Humedad relativa. En un particular día caluroso, la temperatura es de 30°C y la presión parcial del vapor de agua en el aire es de 21.0 torr. ¿Cuál es la humedad relativa? PLANTEAMIENTO En la tabla 13-3 se ve que la presión de vapor saturado del agua a 30°C es 31.8 torr. SOLUCIÓN Por tanto, la humedad relativa es 21.0 torr * 100% = 66%. 31.8 torr Los humanos son sensibles a la humedad. Por lo general, una humedad relativa del 40-50% es óptima tanto para la salud como para la comodidad. La humedad alta, particularmente en un día caluroso, reduce la evaporación de la humedad de la piel, que es uno de los mecanismos vitales del cuerpo para regular la temperatura corporal. Por otra parte, la humedad muy baja reseca la piel y las membranas mucosas.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Humedad y comodidad

†

Por ejemplo, el 78% (por volumen) de las moléculas del aire son de nitrógeno y el 21% de oxígeno, con cantidades mucho menores de vapor de agua, argón y otros gases. A una presión de aire de 1 atm, el oxígeno ejerce una presión parcial de 0.21 atm y el nitrógeno de 0.78 atm.

*SECCIÓN 13–13

Presión de vapor y humedad

375

F Í S I C A

A P L I C A D A

Clima

FIGURA 13–24 Niebla o bruma en una villa baja donde la temperatura cayó por debajo del punto de rocío.

El aire está saturado con vapor de agua cuando la presión parcial del agua en el aire es igual a la presión de vapor saturado a esa temperatura. Si la presión parcial del agua supera la presión de vapor saturado, se dice que el aire está supersaturado. Esta situación ocurre cuando se registra un descenso en la temperatura. Por ejemplo, supongamos que la temperatura es de 30°C y que la presión parcial del agua es de 21 torr, lo que representa una humedad del 66%, como se vio en el ejemplo 13-18. Ahora supongamos que la temperatura desciende a 20°C, lo que puede ocurrir al caer la noche. En la tabla 13-3 se ve que la presión de vapor saturado para el agua a 20°C es de 17.5 torr. Por tanto, la humedad relativa sería mayor del 100% y el aire supersaturado no puede retener toda esta agua. El agua excedente se puede condensar y aparecer como rocío, o como niebla o lluvia (figura 13-24). Cuando se enfría el aire que contiene una cantidad determinada de agua, se alcanza una temperatura en la que la presión parcial del agua es igual a la presión de vapor saturado. A esto se le llama punto de rocío. La medición del punto de rocío es el medio más preciso para determinar la humedad relativa. Un método utiliza una superficie encerada de un metal que está en contacto con el aire, que se enfría gradualmente. La temperatura a la que comienza a aparecer el rocío en la superficie es el punto de rocío, y entonces es posible obtener la presión parcial del agua a partir de tablas de presión de vapor saturado. Si, por ejemplo, en un día determinado la temperatura es de 20°C y el punto de rocío es 5°C, entonces la presión parcial del agua (tabla 13-3) en el aire de 20°C fue de 6.54 torr, mientras que su presión de vapor saturado fue de 17.5 torr; por tanto, la humedad relativa fue 6.54
17.5
37%.

* 13–14 Difusión

La difusión ocurre de alta a baja concentración.

Si se coloca con cuidado unas cuantas gotas de colorante para alimentos en un contenedor de agua, como en la figura 13-25, el color se expandirá a través de toda el agua. El proceso podría tardar varias horas (si no agita el vaso), pero eventualmente el color se volverá uniforme. Esta mezcla, conocida como difusión, es una evidencia del movimiento aleatorio de las moléculas. La difusión también ocurre en los gases. Los ejemplos comunes incluyen el perfume o el humo de cigarrillo que se difunden en el aire, o incluso el olor de la comida que se cocina, aunque la convección (movimiento de corrientes de aire) con frecuencia juega un papel más determinante en la dispersión de los olores que la difusión. La difusión depende de la concentración, con lo que se entiende el número de moléculas o moles por unidad de volumen. En general, la sustancia que se difunde se mueve desde una región donde su concentración es alta hacia una donde su concentración es baja. La difusión se puede comprender fácilmente sobre la base de la teoría cinética y el movimiento aleatorio de las moléculas. Considere un tubo de área transversal A que contiene moléculas en una concentración más alta a la izquierda que en la derecha (figura 13-26). Se supone que las moléculas están en movimiento aleatorio. Por FIGURA 13–25 Unas cuantas gotas de colorante para alimentos se dispersan lentamente a través de toda el agua hasta que ésta toma un color uniforme.

a)

376

CAPÍTULO 13

Temperatura y teoría cinética

b)

c)

www.elsolucionario.org lo mismo, habrá un flujo neto de moléculas hacia la derecha. Para ver por qué esto es cierto, considere la pequeña sección de tubo de longitud ¢x que se ilustra. Las moléculas provenientes de las regiones 1 y 2 atraviesan hacia esta sección central como resultado de su movimiento aleatorio. Cuantas más moléculas haya en una región, más golpearán una área determinada o atravesarán una frontera. Como en la región 1 existe una mayor concentración de moléculas que en la región 2, más moléculas atraviesan hacia la sección central desde la región 1 que desde la región 2. Entonces, existe un flujo neto de moléculas de izquierda a derecha, de concentración alta a concentración baja. El flujo neto se vuelve cero solamente cuando las concentraciones se vuelven iguales. Se podría esperar que, cuanto mayor sea la diferencia en la concentración, mayor será la tasa de flujo. De hecho, la tasa de difusión, J (número de moléculas o moles o kg por segundo), es directamente proporcional al cambio en la concentración por unidad de distancia, (C1  C2)
¢x (que se llama gradiente de concentración), y al área transversal A (figura 13-26):

J = DA

C1 - C2 . ¢x

(13–10)

A

Región 1; concentración = C1

Región 2; concentración = C2

∆x

FIGURA 13–26 La difusión ocurre de una región de alta concentración a una de concentración más baja. (Sólo se muestra un tipo de molécula.)

Ecuación de difusión

D es una constante de proporcionalidad llamada constante de difusión. La ecuación 13-10 se conoce como ecuación de difusión o ley de Fick. Si las concentraciones están dadas en mol
m3, entonces J es el número de moles que pasan por un punto dado por segundo. Si las concentraciones están dadas en kg
m3, entonces J es el movimiento de masa por segundo (kg
s). La longitud ¢x está dada en metros. En la tabla 13-4 se proporcionan los valores de D para varias sustancias. EJEMPLO 13–19 ESTIMACIÓN Difusión de amoniaco en el aire. Para tener una idea del tiempo que se requiere para la difusión, estime cuánto tardaría detectar amoniaco (NH3) a 10 cm de una botella luego de que se abre, si se supone que sólo ocurre difusión. PLANTEAMIENTO Esto será un cálculo de orden de magnitud. La tasa de difusión J se hace igual al número de moléculas N que se difunden a través de una área A en un tiempo t: J = N
t. Entonces el tiempo t = N
J, donde J está dada por la ecuación 13-10. Se tendrán que realizar algunas suposiciones y aproximaciones simples acerca de las concentraciones para usar la ecuación 13-10. SOLUCIÓN A partir de la ecuación 13-19 se obtiene

N N ¢x . = J DA ¢C La concentración promedio (a la mitad entre la botella y la nariz) se aproxima mediante K L N
V, donde V es el volumen sobre el que se mueven las moléculas y es aproximadamente del orden de V L A ¢x, donde ¢x es 10 cm
0.10 m. Al sustituir N = KV = KA ¢x en la ecuación anterior: t =

t L

(KA ¢x)¢x DA ¢C

=

F Í S I C A

A P L I C A D A

Tiempo de difusión TABLA 13–4 Constantes de difusión, D (20°C, 1 atm) Moléculas que se difunden

Medio

H2 O2 O2

Aire Aire Agua

6.3 * 10–5 1.8 * 10–5 100 * 10–11

Sangre, hemoglobina

Agua

6.9 * 10–11

Glicina (un aminoácido)

Agua

95 * 10–11

DNA (masa 6 * 106 u)

Agua

0.13 * 10–11

D (m2 s)

K (¢x)2 . ¢C D

La concentración de amoniaco es alta cerca de la botella y baja cerca de la nariz detectora, de modo que K L ¢C
2, o (K
¢C) L 12 . Puesto que las moléculas de NH3 tienen un tamaño entre H2 y O2, a partir de la tabla 13-4 se estima D L 4  105 m2
s. Entonces

t L

1 2

(0.10 m)2

A4 * 10–5 m2
sB

L 100 s,

o alrededor de un minuto o dos. NOTA Este resultado parece más bien largo a partir de la experiencia, lo que sugiere que las corrientes de aire (convección) son más importantes que la difusión para transmitir olores.

*SECCIÓN 13–14

Difusión

377

F Í S I C A

A P L I C A D A

Difusión en organismos vivos

La difusión es extremadamente importante para los organismos vivos. Por ejemplo, las moléculas producidas en ciertas reacciones químicas dentro de las células se difunden hacia otras áreas donde toman parte en otras reacciones. La difusión de gas también es importante. Las plantas requieren dióxido de carbono para la fotosíntesis. El CO2 se difunde en las hojas desde el aire exterior a través de pequeñas aberturas (estomas). Conforme el CO2 se utiliza en las células, su concentración cae por abajo del que hay en el aire exterior y más se difunde hacia dentro. El vapor de agua y el oxígeno producidos por las células se difunde hacia fuera en el aire. Los animales también intercambian oxígeno y CO2 con el ambiente. El oxígeno es necesario para las reacciones que producen energía, de modo que se difunde en las células. El CO2 es un producto final de muchas reacciones metabólicas y se difunde hacia fuera de las células. Pero la difusión es lenta a través de largas distancias, así que sólo los organismos más pequeños en el mundo animal podrían sobrevivir sin haber desarrollado sistemas respiratorios y circulatorios complejos. En los humanos, el oxígeno se lleva a los pulmones, donde se difunde en cortas distancias a través del tejido pulmonar y hacia la sangre. Entonces la sangre lo hace circular hacia las células por todo el cuerpo. La sangre también transporta el CO2 producido por las células de regreso a los pulmones, donde se difunde hacia fuera.

Resumen La teoría atómica de la materia postula que toda la materia está constituida por pequeñas entidades llamadas átomos, que generalmente tienen 1010 m de diámetro. Las masas atómica y molecular se especifican en una escala donde al carbono ordinario (12C) arbitrariamente se le ha dado el valor de 12.000 u (unidades de masa atómica). La distinción entre sólidos, líquidos y gases se atribuye a la intensidad de las fuerzas atractivas entre los átomos o moléculas y a su rapidez promedio. La temperatura es una medida de cuán caliente o frío está algo. Los termómetros se utilizan para medir la temperatura en las escalas Celsius (°C), Fahrenheit (°F) y Kelvin (K). Dos puntos estándar en cada escala son el punto de congelación del agua (0°C, 32°F, 273.15 K) y el punto de ebullición del agua (100°C, 212°F, 373.15 K). Un cambio en la temperatura de un kelvin es igual a un cambio de un grado Celsius o 95 grados Fahrenheit. Los kelvins están relacionados con los °C mediante

T(K) = T(°C) + 273.15. El cambio en la longitud, ¢L, de un sólido cuando su temperatura cambia por una cantidad ¢T, es directamente proporcional al cambio de temperatura y a su longitud original L0. Es decir,

¢L = aL0 ¢T,

(13–1a)

donde a es el coeficiente de expansión lineal. El cambio en el volumen de la mayoría de los sólidos, líquidos y gases es proporcional al cambio de temperatura y al volumen original V0:

¢V = bV0 ¢T.

(13–2)

El coeficiente de expansión volumétrica, b, es aproximadamente igual a 3a para sólidos uniformes. El agua tiene un comportamiento insólito porque, a diferencia de la mayoría de los materiales cuyo volumen aumenta con la temperatura, su volumen en realidad disminuye cuando la temperatura aumenta en el rango de 0°C a 4°C. La ley del gas ideal, o ecuación de estado para un gas ideal, relaciona la presión P, el volumen V y la temperatura T (en kelvins) de n moles de gas mediante

PV = nRT,

378

CAPÍTULO 13

(13–3)

Temperatura y teoría cinética

donde R
8.314 J
molK para todos los gases. Los gases reales obedecen la ley del gas ideal con bastante precisión si no están a una presión muy alta o cerca de su punto de licuefacción. Un mol de sustancia se define como el número de gramos que es numéricamente igual a la masa atómica o molecular. El número de Avogadro, NA
6.02  1023, es el número de átomos o moléculas en 1 mol de cualquier sustancia pura. La ley del gas ideal se puede escribir en términos del número de moléculas N en el gas como

PV = NkT,

(13–4)

donde k = R
NA = 1.38 * 10 –23 J
K es la constante de Boltzmann. De acuerdo con la teoría cinética de los gases, que se basa en la idea de que un gas está constituido por moléculas que se mueven de manera rápida y aleatoria, la energía cinética promedio de las moléculas es proporcional a la temperatura Kelvin T:

G = 12 mO = 32 kT,

(13–8)

donde k es la constante de Boltzmann. En cualquier momento existe una amplia distribución de la rapidez molecular dentro de un gas. [*El comportamiento de los gases reales a alta presión, y
o cerca de su punto de licuefacción, se desvía de la ley del gas ideal, a causa del tamaño molecular y de las fuerzas atractivas entre las moléculas. Debajo de la temperatura crítica, un gas puede cambiar a líquido si se aplica suficiente presión; pero si la temperatura es más alta que la temperatura crítica, ninguna cantidad de presión provocará que se forme una superficie líquida. El punto triple de una sustancia se refiere a la temperatura y presión únicas en las que pueden coexistir en equilibrio las tres fases: sólido, líquido y gas]. [*La evaporación de un líquido es el resultado del escape de la superficie de las moléculas que se mueven más rápido. La presión de vapor saturado se refiere a la presión del vapor sobre un líquido cuando las dos fases están en equilibrio. La presión de vapor de una sustancia en su punto de ebullición es igual a la presión atmosférica. La humedad relativa del aire en un lugar dado es la razón entre la presión parcial del vapor de agua en el aire y la presión de vapor saturado a esa temperatura; por lo general se expresa como porcentaje]. [*La difusión es el proceso mediante el cual las moléculas de una sustancia se mueven (en promedio) desde una área hacia otra como resultado de una diferencia en la concentración de dicha sustancia].

Preguntas 1. ¿Cuál tiene más átomos: 1 kg de hierro o 1 kg de aluminio? Consulte la tabla periódica o el apéndice B. 2. Mencione varias propiedades de los materiales que se pueden explotar para elaborar un termómetro. 3. ¿Cuál es mayor, 1 C° o 1 F°?

* 4. Si el sistema A está en equilibrio térmico con el sistema B, pero B no está en equilibrio térmico con el sistema C, ¿qué puede decirse acerca de las temperaturas de A, B y C? 5. Una tira bimetálica plana consiste en un trozo de aluminio remachado a una tira de hierro. Cuando se calienta, la tira se dobla. ¿Cuál metal estará en el exterior de la curva? [Sugerencia: Consulte la tabla 13-1]. ¿Por qué? 6. En la relación ¢L = aL0 ¢T, ¿L0 será la longitud inicial, la longitud final o no importa cuál? Explique su respuesta. 7. Las unidades para el coeficiente de expansión lineal a son (C°)1 y no hay mención de una unidad de longitud como metros. ¿El coeficiente de expansión cambiaría si se utilizaran pies o milímetros en lugar de metros? Explique su respuesta. 8. La figura 13-27 muestra un diagrama de un termostato simple utilizado para controlar una caldera (u otro sistema de calentamiento o enfriamiento). La tira bimetálica consta de dos tiras unidas de diferentes metales. El interruptor eléctrico es un recipiente de vidrio que contiene mercurio líquido que conduce electricidad cuando fluye hasta tocar ambos alambres de contacto. Explique cómo este dispositivo controla la caldera y cómo se puede establecer a diferentes temperaturas. Palanca de establecimiento de temperatura

17. La fuerza de flotación sobre una esfera de aluminio sumergida en agua, ¿aumenta o disminuye si la temperatura se eleva de 20°C a 40°C? Explique su respuesta. 18. Explique cómo la ley de Charles se deduce de la teoría cinética y de la relación entre energía cinética promedio y temperatura absoluta. 19. Explique cómo la ley de Gay-Lussac se deduce de la teoría cinética. 20. Conforme se sube más en la atmósfera de la Tierra, la razón de las moléculas de N2 a las moléculas de O2 aumenta. ¿Por qué?

* 21. La velocidad de escape de la Tierra se refiere a la rapidez mínima que un objeto debe tener para abandonar la Tierra y nunca regresar. La velocidad de escape para la Luna es aproximadamente un quinto de la que hay en la Tierra, como consecuencia de la masa más pequeña de la Luna. Explique por qué la Luna prácticamente no tiene atmósfera.

* 22. El alcohol se evapora más rápidamente que el agua a temperatura ambiente. ¿Qué puede inferirse acerca de las propiedades moleculares de uno en relación con la otra? comodidad que un día caluroso seco a la misma temperatura.

* 24. ¿Es posible hervir agua a temperatura ambiente (20°C) sin calentarla? Explique su respuesta.

Interruptor de mercurio líquido

Mercurio líquido

16. Cuando un gas se comprime rápidamente (por ejemplo, al empujarlo con un pistón), su temperatura aumenta. Cuando un gas se expande contra un pistón, se enfría. Explique estos cambios en la temperatura mediante la teoría cinética, y en particular indique lo que ocurre a la cantidad de movimiento de las moléculas cuando golpean al pistón que se mueve.

* 23. Explique por qué un día caluroso húmedo provoca mayor in-

Tira bimetálica

Alambres hacia el calentador

15. Congelar una lata de bebida refrescante provocará que su fondo y parte superior se doblen tanto que la lata no podrá estar en pie. ¿Qué ocurrió?

* 25. Considere dos días cuando la temperatura del aire es la misFIGURA 13–27 Un termostato (pregunta 8).

9. Las largas tuberías de vapor que están fijas en los extremos con frecuencia tienen una sección con forma de U. ¿Por qué?

ma pero la humedad es diferente. ¿Cuál es más denso, el aire seco o el aire húmedo a la misma T? Explique su respuesta.

* 26. Explique por qué es peligroso abrir la tapa del radiador del motor sobrecalentado de un automóvil.

* 27. ¿Por qué el aire exhalado aparece como una pequeña nube blanca en el invierno (figura 13-28)?

10. Un cilindro uniforme plano de plomo flota en mercurio a 0°C. ¿El plomo flotará más alto o más bajo cuando la temperatura se eleve? Explique su respuesta. 11. Cuando un termómetro de mercurio frío se coloca en una tina con agua caliente, el mercurio inicialmente desciende un poco y luego se eleva. Explique por qué. 12. Un contenedor de vidrio se puede romper si una parte de él se calienta o se enfría más rápidamente que las partes adyacentes. Explique por qué. 13. La principal virtud del vidrio Pyrex es que su coeficiente de expansión lineal es mucho menor que el del vidrio ordinario (tabla 13-1). Explique por qué esto da lugar a la gran resistencia al calor del Pyrex. 14. ¿Un reloj de caja alta, preciso a 20°C, corre rápido o lento en un día caluroso (30°C)? Explique su respuesta. El reloj usa un péndulo sostenido por una larga y delgada barra de latón.

FIGURA 13–28 Pregunta 27.

Preguntas

379

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Problemas 13–1 Teoría atómica 1. (I) ¿Cuántos átomos hay en una moneda de cobre de 3.4 gramos? 2. (I) ¿Cómo se compara el número de átomos en un anillo de oro de 26.5 gramos con el número de átomos en uno de plata de la misma masa? 13–2 Temperatura y termómetros 3. (I) a) La “temperatura ambiente” generalmente se registra como 68°F. ¿A cuánto equivale esto en la escala Celsius? b) La temperatura del filamento en una bombilla es aproximadamente de 1800°C. ¿A cuánto equivale esto en la escala Fahrenheit? 4. (I) Entre las temperaturas más alta y más baja registradas están 136°F en el desierto de Libia y 129°F en la Antártica. ¿A cuánto equivalen estas temperaturas en la escala Celsius? 5. (I) a) ¿Qué temperatura Fahrenheit es 15° bajo cero en la escala Celsius? b) ¿Qué temperatura Celsius es 15° bajo cero en la escala Fahrenheit? 6. (II) En un termómetro de alcohol, la columna de alcohol tiene una longitud de 11.82 cm a 0.0°C y una longitud de 22.85 cm a 100.0°C. ¿Cuál es la temperatura si la columna tiene longitud a) de 16.70 cm y b) de 20.50 cm? 13–4 Expansión térmica 7. (I) Una autopista de concreto se construye con losas de 12 m de largo (20°C). ¿Qué tan anchas deben ser las hendiduras de expansión entre las losas (a 20°C) para evitar que se pandeen, si el rango de temperaturas es de 30°C a 50°C? 8. (I) El Super InvarTM, una aleación de hierro y níquel, es un fuerte material con un coeficiente de expansión lineal muy bajo [0.2  106 (C°)1]. Una mesa de 2.0 m de largo hecha de esta aleación se usa para mediciones láser sensibles donde se requieren tolerancias extremadamente altas. ¿Cuánto se expandirá esta mesa en su longitud si la temperatura aumenta 5.0 C°? Compare con mesas hechas de acero. 9. (I) La torre Eiffel (figura 13-29) está hecha de hierro forjado y mide aproximadamente 300 m de alto. Estime cuánto cambia su altura entre julio (temperatura promedio de 25°C) y enero (temperatura promedio de 2°C). Ignore los ángulos de las vigas de hierro y considere la torre como una viga vertical.

FIGURA 13–29 Problema 9. La torre Eiffel en París. 10. (II) Para realizar un ajuste seguro, con frecuencia se usan remaches que son más grandes que el hoyo del remache y que se enfrían (generalmente en hielo seco) antes de colocarlos en el hoyo. Un remache de acero de 1.871 cm de diámetro se va a colocar en un hoyo de 1.869 cm de diámetro a 20°C. ¿A qué temperatura se debe enfriar el remache si debe ajustar en el hoyo? 11. (II) La densidad del agua a 4°C es de 1.00  103 kg
m3. ¿Cuál es la densidad del agua a 94°C? 12. (II) Una esfera de cuarzo mide 8.75 cm de diámetro. ¿Cuál será su cambio en volumen si se calienta de 30°C a 200°C?

380

CAPÍTULO 13

Temperatura y teoría cinética

13. (II) Un vaso ordinario se llena hasta el borde con 350.0 mL de agua a 100.0°C. Si la temperatura disminuye a 20.0°C, ¿cuánta agua se podría agregar al vaso? 14. (II) Se observa que 55.50 mL de agua a 20°C llenan completamente un contenedor hasta el borde. Cuando el contenedor y el agua se calientan a 60°C, se pierden 0.35 g de agua. a) ¿Cuál es el coeficiente de expansión volumétrica del contenedor? b) ¿Cuál es el material más probable del contenedor? La densidad del agua a 60°C es 0.98324 g
mL. 15. (II) a) A un anillo de hiero se le pondrá un tapón de latón. A 20°C, el diámetro del tapón es de 8.753 cm y el del interior del anillo es de 8.743 cm. ¿A qué temperatura común se deben llevar ambos con la finalidad de ajustar? b) ¿Y si el tapón fuese de hierro y el anillo de latón? 16. (II) Si un fluido está contenido en un largo y estrecho recipiente de modo que sólo se puede expandir en una dirección, demuestre que le coeficiente efectivo de expansión lineal a es aproximadamente igual al coeficiente de expansión volumétrica b. 17. (II) a) Demuestre que el cambio en la densidad r de una sustancia, cuando la temperatura cambia por ¢T, está dada por ¢r = –br ¢T. b) ¿Cuál es el cambio fraccional en densidad de una esfera de plomo cuya temperatura disminuye de 25°C a 40°C? 18. (II) Una placa rectangular uniforme de longitud l y ancho w tiene coeficiente de expansión lineal a. Demuestre que, si se ignoran cantidades muy pequeñas, el cambio en el área de la placa que se debe a un cambio de temperatura ¢T es ¢A = 2alw ¢T. Véase la figura 13-30.

l

w

∆l

FIGURA 13–30 Problema 18. Calentamiento de una placa rectangular.

∆w 19. (II) Demuestre que, para un sólido isotrópico, b
3a, si la cantidad de expansión es pequeña. b y a son los coeficientes de expansión volumétrica y lineal, respectivamente. [Sugerencia: Considere un sólido cúbico y desprecie cantidades muy pequeñas. Vea también el problema 18 y la figura 13-30]. 20. (III) El péndulo de un reloj de caja alta está hecho de latón e indica la hora exacta a 17°C. ¿Cuánto tiempo se gana o se pierde en un año si el reloj se mantiene a 25°C? (Suponga que se aplica la dependencia de la frecuencia a la longitud para un péndulo simple). 21. (III) a) El tubo de un termómetro de mercurio tiene un diámetro interior de 0.140 mm. El bulbo tiene un volumen de 0.255 cm3. ¿Cuánto se moverá la hilera de mercurio cuando la temperatura cambie de 11.5°C a 33.0°C? Tome en cuenta la expansión del vidrio Pyrex. b) Determine una fórmula para el cambio en la longitud de la columna de mercurio en términos de variables relevantes. Ignore el volumen del tubo comparado con el volumen del bulbo. 22. (III) Una rueda cilíndrica de aluminio sólido de 23.4 kg y 0.41 m de radio gira en torno a su eje sobre cojinetes sin fricción, con velocidad angular v
32.8 rad
s. Si ahora su temperatura se eleva de 20.0°C a 75.0°C, ¿cuál es el cambio fraccional en v?

* 13–5 Tensiones térmicas * 23. (II) Una barra de aluminio tiene la longitud deseada cuando está a 15°C. ¿Cuánta tensión se requiere para mantenerla a esta longitud si la temperatura aumenta a 35°C?

* 24. (II) a) Una viga I horizontal de acero, con 0.041 m2 de área transversal, está rígidamente conectada a dos vigas maestras verticales. Si la viga I se instaló cuando la temperatura era de 30°C, ¿qué tensión se desarrollará en la viga cuando la temperatura descienda a 30°C? b) ¿Se supera la resistencia a la rotura? c) ¿Qué tensión se desarrollará si la viga es de concreto y tiene una área transversal de 0.13 m2? ¿Se fracturará?

* 25. (III) Un barril de 134.122 cm de diámetro a 20°C se cerrará con una banda de hierro. La banda circular tiene un diámetro interior de 134.110 cm a 20°C. Mide 7.4 cm de ancho y 0.65 cm de grueso. a) ¿A qué temperatura se debe calentar la banda de modo que encaje en el barril? b) ¿Cuál será la tensión en la banda cuando se enfríe a 20°C? 13–6 Leyes de los gases; temperatura absoluta 26. (I) ¿Cuáles son las siguientes temperaturas en la escala Kelvin: a) 86°C, b) 78°F, c) 100°C, d) 5500°C, e) 459°F? 27. (I) ¿Qué temperatura es el cero absoluto en la escala Fahrenheit? 28. (II) Las temperaturas típicas en el interior de la Tierra y el Sol son aproximadamente 4000°C y 15  106 °C, respectivamente. a) ¿A cuánto equivalen estas temperaturas en kelvins? b) ¿Qué error porcentual se comente en cada caso, si una persona olvida cambiar °C a K? 13–7 y 13–8 Ley del gas ideal 29. (I) Si 3.00 m3 de un gas, inicialmente a PTE, se coloca bajo una presión de 3.20 atm, la temperatura del gas se eleva a 38.0°C. ¿Cuál es el volumen? 30. (I) En un motor de combustión interna, el aire a presión atmosférica y una temperatura cercana a 20°C se comprime en el cilindro mediante un pistón a 19 de su volumen original (tasa de compresión
9.0). Estime la temperatura del aire comprimido, si se supone que la presión alcanza 40 atm. 31. (II) Con la ley del gas ideal, calcule la densidad del oxígeno a PTE. 32. (II) Un tanque de almacenamiento contiene 21.6 kg de nitrógeno (N2) a una presión absoluta de 3.65 atm. ¿Cuál será la presión si el nitrógeno se sustituye por una masa igual de CO2? 33. (II) Un tanque de almacenamiento a PTE contiene 18.5 kg de nitrógeno (N2). a) ¿Cuál es el volumen del tanque? b) ¿Cuál es la presión si se añaden 15.0 kg más de nitrógeno sin modificar la temperatura? 34. (II) Si 18.75 moles de gas helio están a 10.0°C y una presión manométrica de 0.350 atm, a) calcule el volumen del gas helio en esas condiciones. b) Calcule la temperatura si el gas se comprime precisamente a la mitad del volumen a una presión manométrica de 1.00 atm. 35. (II) ¿Cuál es la presión dentro de un contenedor de 35.0 L en cuyo interior hay 105.0 kg de gas argón a 385 K? 36. (II) Un tanque contiene 26.0 kg de gas O2 a una presión manométrica de 8.70 atm. Si el oxígeno se sustituye por helio, ¿cuántos kilogramos de este último se necesitarán para producir una presión manométrica de 7.00 atm?

37. (II) Un globo de aire caliente alcanza su sustentación de flotación al calentar el aire en su interior, lo que lo hace menos denso que el aire exterior. Suponga que el volumen de un globo es de 1800 m3 y que la sustentación requerida es de 2700 N (estimación aproximada del peso del equipo y el pasajero). Calcule la temperatura del aire dentro del globo que producirá la sustentación requerida. Suponga que la temperatura del aire exterior es de 0°C y que el aire es un gas ideal en tales condiciones. ¿Qué factores limitan la altitud máxima alcanzable por este método para una carga dada? (Ignore las variables como el viento). 38. (II) Una llanta está llena con aire a 15°C a una presión manométrica de 220 kPa. Si la llanta alcanza una temperatura de 38°C, ¿qué fracción del aire original se debe remover si se mantiene la presión original de 220 kPa? 39. (II) Si 61.5 L de oxígeno a 18.0°C y una presión absoluta de 2.45 atm se comprimen a 48.8 L y al mismo tiempo la temperatura se eleva a 50.0°C, ¿cuál será la nueva presión? 40. (III) Un globo lleno de helio escapa de la mano de un niño a nivel del mar y 20.0°C. Cuando alcanza una altitud de 3000 m, donde la temperatura es de 5.0°C y la presión sólo es de 0.70 atm, ¿cómo se comparará su volumen con el que tiene al nivel del mar? 13–9 Ley del gas ideal en términos de moléculas; número de Avogadro 41. (I) Calcule el número de moléculas
m3 en un gas ideal a PTE. 42. (I) ¿Cuántos moles de agua hay en 1.000 L? ¿Cuántas moléculas? 43. (II) Estime el número de a) moles y b) moléculas de agua en todos los océanos de la Tierra. Suponga que el agua cubre el 75% de la Tierra a una profundidad promedio de 3 km. 44. (II) Una caja cúbica, de 5.1  102 m3 de volumen, está llena con aire a presión atmosférica y 20°C. La caja está cerrada y se calienta a 180°C. ¿Cuál es la fuerza neta sobre cada lado de la caja? 45. (III) Estime cuántas moléculas de aire hay en cada inhalación de 2.0 L que realiza una persona, y que también estuvieron en el último aliento de Galileo. [Sugerencia: Suponga que la atmósfera tiene aproximadamente 10 km de alto y densidad constante]. 13–10 Interpretación molecular de la temperatura 46. (I) a) ¿Cuál es la energía cinética de traslación promedio de una molécula de oxígeno a PTE? b) ¿Cuál es la energía cinética de traslación total de 2.0 moles de moléculas de O2 a 20°C? 47. (I) Calcule la rapidez rms de los átomos de helio cercanos a la superficie del Sol, a una temperatura de más o menos 6000 K. 48. (I) ¿En qué factor aumentará la rapidez rms de las moléculas de gas si la temperatura se aumenta de 0°C a 100°C? 49. (I) Un gas está a 20°C. ¿A qué temperatura se debe elevar para duplicar la rapidez rms de sus moléculas? 50. (I) Doce moléculas tienen los siguientes valores de rapidez, en unidades de km
s: 6, 2, 4, 6, 0, 4, 1, 8, 5, 3, 7 y 8. Calcule la rapidez rms. 51. (II) La rapidez rms de las moléculas en un gas a 20.0°C aumentará en 1.0%. ¿A qué temperatura se debe elevar? 52. (II) Si la presión de un gas se duplica mientras su volumen se mantiene constante, ¿en qué factor cambia la vrms?

Problemas

381

53. (II) Demuestre que la rapidez rms de las moléculas en un gas está dada por vrms = 23P
r , donde P es la presión en el gas y r es la densidad del gas.

* 13–13 Presión de vapor; humedad

54. (II) Demuestre que, para una mezcla de dos gases a la misma temperatura, la razón de sus rapideces rms es igual a la razón inversa de las raíces cuadradas de sus masas moleculares.

* 64. (I) ¿Cuál es la presión del aire en un lugar donde el agua

55. (II) ¿Cuál es la rapidez rms de las moléculas de nitrógeno contenidas en un volumen de 8.5 m3 a 2.1 atm, si la cantidad total de nitrógeno es de 1300 moles?

* 66. (I) ¿Cuál es la temperatura en un día en el que la presión

* 63. (I) ¿Cuál es el punto de rocío (aproximadamente) si la humedad es de 50% en un día en el que la temperatura es de 25°C? hierve a 90°C?

* 65. (I) Si la presión del aire en un lugar particular en las montañas es de 0.72 atm, estime la temperatura a la que hierve el agua.

56. (II) Calcule a) la rapidez rms de una molécula de oxígeno a 0°C y b) determine cuántas veces por segundo se movería en promedio de ida y vuelta a través de una habitación de 7.0 m de largo, si se supone que realiza muy pocas colisiones con otras moléculas. 57. (II) ¿Cuál es la distancia promedio entre las moléculas de nitrógeno a PTE? 58. (II) a) Estime la rapidez rms de un aminoácido cuya masa molecular es de 89 u en una célula viva a 37°C. b) ¿Cuál sería la rapidez rms de una proteína de masa molecular 50,000 u a 37°C? 59. (II) Demuestre que la presión P de un gas se puede escribir P = 13 rv2, donde r es la densidad del gas y v es la rapidez rms de las moléculas. 235

238

60. (III) Los dos isótopos del uranio, U y U (los supraíndices se refieren a sus masas atómicas), se pueden separar mediante un proceso de difusión de gas al combinarlos con fluorina para hacer el compuesto gaseoso UF6. Calcule la razón de las rapideces rms de dichas moléculas para los dos isótopos, a T constante.

* 13–12 Gases reales; cambios de fase * 61. (I) a) A presión atmosférica, ¿en qué fases puede existir el CO2? b) ¿Para qué rango de presiones y temperaturas el CO2 puede ser líquido? Conviene remitirse a la figura 13-21.

* 62. (I) ¿En qué fase está el agua cuando la presión es de 0.01 atm y la temperatura es a) 90°C y b) 20°C?

parcial del agua es 530 Pa y la humedad relativa es del 40%?

* 67. (I) ¿Cuál es la presión parcial del agua en un día en el que la temperatura es de 25°C y la humedad relativa es del 35%?

* 68. (I) ¿Cuál es la presión aproximada dentro de una olla de presión si el agua hierve a una temperatura de 120°C? Suponga que no escapa aire durante el proceso de calentamiento, que comenzó a 20°C. * 69. (II) Si la humedad en una habitación de 680 m3 de volumen a 25°C es del 80%, ¿qué masa de agua todavía se puede evaporar de una cacerola abierta? * 70. (III) Aire que está en su punto de rocío de 5°C se lleva a un edificio donde se calienta a 25°C. ¿Cuál será la humedad relativa a esta temperatura? Suponga presión constante de 1.0 atm. Tome en cuenta la expansión del aire.

* 13–14 Difusión * 71. (II) Estime el tiempo necesario para que una molécula de glicina (véase la tabla 13-4) se difunda una distancia de 15 mm en agua a 20°C si su concentración varía sobre dicha distancia desde 1.00 mol
m3 hasta 0.40 mol
m3. Compare esta “rapidez” con su rapidez (térmica) rms. La masa molecular de la glicina es de aproximadamente 75 u. * 72. (II) El oxígeno se difunde desde la superficie de los insectos hacia el interior a través de pequeños tubos llamados tráqueas. Una tráquea promedio mide aproximadamente 2 mm de largo y tiene un área transversal de 2  109 m2. Si se supone que la concentración del oxígeno en el interior es la mitad de la que está en el exterior en la atmósfera, a) demuestre que la concentración de oxígeno en el aire (se supone que el 21% es oxígeno) a 20°C es cercana a 8.7 mol
m3, entonces b) calcule la tasa de difusión J y c) estime el tiempo promedio para que una molécula se difunda. Considere que la constante de difusión es 1  105 m2
s.

Problemas generales 73. Un preciso flexómetro de acero se ha calibrado a 20°C. A 34°C, a) ¿arrojará una lectura hacia arriba o hacia abajo y b) cuál será el error porcentual? 74. Una tasa medidora de Pyrex se calibró a temperatura ambiente normal. ¿Cuánto error se cometerá en una receta que pide 300 mL de agua fría, si tanto el agua como la tasa están calientes, a 80°C, y no a 20°C? Desprecie la expansión del vidrio. 75. La presión manométrica en un cilindro de gas helio inicialmente es de 28 atm. Después de haber inflado muchos globos, la presión manométrica disminuyó a 5 atm. ¿Qué fracción del gas original permanece en el cilindro? 76. Estime el número de moléculas de aire en una habitación de 6.5 m de longitud, 3.1 m de ancho y 2.5 m de alto. La temperatura es de 22°C. ¿A cuántas moles corresponde eso? 77. En el espacio exterior, la densidad de la materia es de aproximadamente un átomo por cm3, principalmente átomos de hidrógeno, y la temperatura es de 2.7 K. Calcule la rapidez rms de esos átomos de hidrógeno, y la presión (en atmósferas).

382

CAPÍTULO 13

Temperatura y teoría cinética

78. La presión más baja que se obtiene con el uso de las mejores técnicas de vacío disponibles es de aproximadamente 1012 N
m2. A tal presión, ¿cuántas moléculas existen por cm3 a 0°C? 79. Si un buzo llena sus pulmones a toda su capacidad de 5.5 L cuando está a 10 m por debajo de la superficie, ¿a qué volumen se expandirían sus pulmones si subiese rápidamente a la superficie? ¿Es esto aconsejable? 80. Un vehículo espacial que regresa de la Luna ingresa a la atmósfera terrestre con una rapidez cercana a 40,000 km
h. ¿A qué temperatura corresponden las moléculas (de nitrógeno) que golpean la nariz del vehículo con esta rapidez? (A causa de esta alta temperatura, la nariz de un vehículo espacial debe fabricarse con materiales especiales; de hecho, parte de ella se vaporiza, y esto se ve como un brillante resplandor en el reingreso). 81. La temperatura de un gas ideal aumenta desde 110°C hasta 360°C mientras el volumen y el número de moles permanecen constantes. ¿En qué factor cambia la presión? ¿En qué factor cambia vrms?

www.elsolucionario.org 82. Una casa tiene un volumen de 770 m3. a) ¿Cuál es la masa total del aire adentro de la casa a 20°C? b) Si la temperatura desciende a 10°C, ¿qué masa de aire entra o sale de la casa? 83. A partir del valor conocido de presión atmosférica en la superficie de la Tierra, estime el número total de moléculas de aire en la atmósfera terrestre. 84. ¿Cuál es la rapidez rms de las moléculas de nitrógeno contenidas en un volumen de 7.6 m3 a 4.2 atm, si la cantidad total de nitrógeno es de 1800 moles? 85. Un cilindro estándar de oxígeno usado en un hospital tiene presión manométrica
2000 psi (13,800 kPa) y volumen
16 L (0.016 m3) a T
295 K. ¿Cuánto durará el cilindro si la tasa de flujo, medida a presión atmosférica, es constante a 2.4 L
min? 86. Un cubo de hierro flota en un tazón de mercurio líquido a 0°C. a) Si la temperatura se eleva a 25°C, ¿el cubo flotará más alto o más bajo en el mercurio? b) ¿En qué porcentaje cambiará la fracción de volumen sumergido? 87. La densidad de la gasolina a 0°C es 0.68  103 kg
m3. ¿Cuál es la densidad en un día caluroso, cuando la temperatura es de 38°C? ¿Cuál es el cambio porcentual? 88. Si se ajustara una banda de acero alrededor del ecuador terrestre a 25°C, pero entonces se le calentara a 45°C, ¿a qué altura sobre la Tierra estaría la banda (si se supone igual en todas partes)? 89. Una tapa de latón se aprieta fuertemente en un frasco de vidrio a 20°C. Para ayudar a abrir el frasco, se puede colocar en un baño de agua caliente. Después de este tratamiento, la temperatura tanto de la tapa como del frasco es de 60°C. El diámetro interior de la tapa es de 8.0 cm a 20°C. Encuentre el tamaño de la brecha (diferencia en los radios) que se desarrolla mediante este procedimiento. 90. La primera longitud estándar, adoptada en el siglo XVIII, fue una barra de platino con dos marcas muy finas separadas una distancia que se definió exactamente como 1 m. Si esta barra estándar fuese precisa en un rango de ± 1.0 mm, ¿cuán cuidadosamente tendrían que controlar la temperatura los encargados? El coeficiente de expansión lineal para el platino es 9  106 C°1. 91. Un tanque de buceo, cuando está completamente cargado, tiene una presión de 195 atm a 20°C. El volumen del tanque es de 11.3 L. a) ¿Cuál sería el volumen del aire a 1.00 atm y a la misma temperatura? b) Antes de entrar al agua, una persona consume 2.0 L de aire en cada respiración, y respira 12 veces por minuto. A esta tasa, ¿cuánto duraría el tanque? c) A una profundidad de 20.0 m de agua de mar y temperatura de 10°C, ¿cuánto tiempo duraría el mismo tanque si se supone que la tasa de respiración no cambia?

92. La rapidez de escape de la Tierra es de 1.12  104 m
s, de modo que una molécula de gas que viaje alejándose de la Tierra cerca de la frontera exterior de la atmósfera terrestre, a esta rapidez, sería capaz de escapar del campo gravitacional de la Tierra. ¿A qué temperatura la rapidez promedio de a) las moléculas de oxígeno y de b) los átomos de helio es igual a 1.12  104 m
s? c) ¿Se comprende ahora por qué la atmósfera terrestre contiene oxígeno, y no helio? 93. La tapa de 1.0 kg de un bote de basura está suspendida contra la gravedad mediante pelotas de tenis lanzadas verticalmente hacia arriba contra ella. ¿Cuántas pelotas de tenis por segundo deben rebotar elásticamente en la tapa, si se supone que tienen una masa de 0.060 kg y que se lanzan a 12 m
s? 94. Un buzo libera una burbuja (esférica) de aire de 3.00 cm de diámetro desde una profundidad de 14.0 m en un lago. Suponga que la temperatura es constante a 298 K y que el aire se comporta como un gas perfecto. ¿Qué tan grande es la burbuja cuando alcanza la superficie?

* 95. Calcule la presión de vapor de agua total en el aire durante los siguientes dos días: a) un caluroso día de verano, con la temperatura en 30°C y la humedad relativa en un 40%; b) un frío día de invierno, con la temperatura en 5°C y la humedad relativa en un 80%.

* 96. Un sauna tiene 7.0 m3 de volumen de aire, y la temperatura es de 90°C. El aire está perfectamente seco. ¿Cuánta agua (en kg) se debe evaporar si se quiere aumentar la humedad relativa de 0% al 10%? (Consulte la tabla 13-3).

* 97. Estime la diferencia porcentual en la densidad del hierro a y cuando es un sólido en la profundidad de la Tierra donde la temperatura es de 2000°C y está bajo 5000 atm de presión. El módulo volumétrico (90  109 N
m2) y el coeficiente de expansión volumétrica no varían con la temperatura y son los mismos que a PTE.

PTE

* 98. a) Utilice la ley del gas ideal para demostrar que, para un gas ideal a presión constante, el coeficiente de expansión de volumen es igual a b
1
T, donde T es la temperatura en kelvins. Compare con la tabla 13-1 para gases a T
293 K. b) Demuestre que el módulo volumétrico (sección 9-5) para un gas ideal que se mantiene a temperatura constante es B
P, donde P es la presión.

* 99. En los climas húmedos, las personas constantemente deshumidifican sus sótanos para evitar podredumbre y moho. Si el sótano en una casa (mantenida a 20°C) tiene 95 m2 de superficie de suelo y una altura de 2.8 m, ¿cuál es la masa de agua que se debe remover de él para que la humedad descienda del 95% a un más razonable 30%?

Respuestas a los ejercicios A: – 40°C = – 40°F. B: 24.0 L.

C: Menos. D: 3.5 * 10 –9 m
s.

Problemas generales

383

Cuando hace frío, la ropa abrigadora actúa como aislante para reducir la pérdida de calor del cuerpo hacia el exterior mediante conducción y convección. La radiación del calor proveniente de una fogata calienta tanto al cuerpo como a la ropa. El fuego también transfiere energía directamente mediante conducción de calor hacia los alimentos que se cocinan. El calor, al igual que el trabajo, representa una transferencia de energía. Por eso se define como una transferencia de energía causada por una diferencia de temperatura. Otro concepto útil es el de energía interna U, que es la suma de todas las energías de las moléculas de un sistema.

14

CAPÍTULO

Calor

C

uando una tetera con agua fría se coloca sobre el quemador caliente de una estufa, la temperatura del agua aumenta. Se dice que el calor “fluye” del quemador caliente hacia el agua fría. Cuando dos objetos a diferentes temperaturas se ponen en contacto, el calor fluye espontáneamente del más caliente al más frío. El flujo espontáneo de calor es en la dirección que tiende a igualar la temperatura. Si los dos objetos se mantienen en contacto el tiempo suficiente para que sus temperaturas se igualen, se dice que los objetos están en equilibrio térmico y a partir de entonces ya no existirá más flujo de calor entre ellos. Por ejemplo, cuando se coloca por primera vez un termómetro en la boca de una persona, el calor fluye de la boca hacia el termómetro. Cuando este último alcanza la misma temperatura que el interior de la boca, entonces el termómetro y la boca están en equilibrio, y ya no fluye más calor. Con frecuencia, calor y temperatura se confunden. Son conceptos muy diferentes, y en este capítulo se hará una clara distinción entre ellos. Se comenzará por definir y usar el concepto de calor. También se explicará cómo se usa el calor en calorimetría y cómo participa en los cambios de estado de la materia y los procesos de transferencia de calor: conducción, convección y radiación.

384

14–1 El calor como transferencia de energía El término “calor” se usa en la vida cotidiana como si se supiese de qué se está hablando. Pero, con frecuencia, el término se utiliza de manera inconsistente, por lo que es importante definir con precisión qué se entiende por calor y clarificar los fenómenos y conceptos relacionados con él. Comúnmente se habla del flujo de calor: el calor fluye del quemador de una estufa hacia una olla de sopa, del Sol a la Tierra, o de la boca de una persona hacia un termómetro. El calor fluye espontáneamente de un objeto a temperatura más alta hacia otro con temperatura más baja. De hecho, un modelo del calor propuesto en el siglo XVIII concebía el flujo del calor como el movimiento de una sustancia fluida llamada calórico. Sin embargo, el fluido calórico nunca fue detectado. En el siglo XIX, se encontró que los diversos fenómenos asociados con el calor se podrían describir de manera consistente mediante un nuevo modelo que concebía al calor como algo parecido al trabajo, como se explicará en un momento. Primero hay que hacer notar que una unidad común para el calor, todavía en uso en la actualidad, se nombró en honor al calórico. Se denomina caloría (cal) y se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 gramo de agua en 1 grado Celsius. [Para ser precisos, se especifica el rango particular de temperatura que va de 14.5°C a 15.5°C, pues el calor que se requiere es ligeramente diferente a distintas temperaturas. La diferencia es menor del 1% en el rango de 0 a 100°C, y se ignorará para la mayoría de los propósitos]. Con más frecuencia que la caloría se usa la kilocaloría (kcal), que equivale a 1000 calorías. Así que 1 kcal es el calor necesario para elevar 1 kg de agua en 1 C°. Por lo general, a una kilocaloría se le llama Caloría (con C mayúscula), y es con esta unidad con la que se especifica el valor energético de los alimentos. En el sistema inglés de unidades, el calor se mide en unidades térmicas británicas (Btu, por sus siglas en inglés). Un Btu se define como el calor necesario para elevar la temperatura de 1 lb de agua en 1 F°. Es posible demostrar (problema 4) que 1 Btu = 0.252 kcal = 1055 J. Varios científicos del siglo XIX aceptaron la idea de que el calor estaba relacionado con la energía; entre ellos, destaca particularmente un cervecero inglés, James Prescott Joule (1818-1889). Joule y otros investigadores realizaron varios experimentos que fueron cruciales para la aceptación de la visión actual de que el calor, al igual que el trabajo, representa una transferencia de energía. Uno de los experimentos de Joule se muestra (simplificado) en la figura 14-1. El peso que cae provoca que una rueda de paletas gire. La fricción entre el agua y la rueda de paletas provoca que la temperatura del agua aumente ligeramente (de hecho, apenas mensurable para Joule). El mismo aumento de temperatura también se podría obtener al calentar el agua en una estufa. A partir de éste y muchos otros experimentos (algunos de los cuales implicaban energía eléctrica), Joule determinó que una cantidad dada de trabajo realizado siempre era equivalente a una cantidad particular de entrada de calor. En términos cuantitativos, se encontró que 4.186 joules (J) de trabajo eran equivalentes a 1 caloría (cal) de calor. Esto se conoce como el equivalente mecánico del calor:

4.186 J = 1 cal; 4.186 kJ = 1 kcal.

P R E C A U C I Ó N

El calor no es un fluido

La caloría (unidad)

Kilocaloría (= caloría alimenticia)

BTU

Peso

FIGURA 14–1 Experimento de Joule sobre el equivalente mecánico del calor.

Equivalente mecánico del calor

Como resultado de éstos y otros experimentos, los científicos, lejos de interpretar el calor como una sustancia o como una forma de energía, determinaron que éste, más bien, se refiere a una transferencia de energía: cuando el calor fluye de un objeto caliente a uno más frío, es energía la que se transfiere del objeto caliente al objeto frío. Así, el calor es energía transferida de un objeto a otro que obedece a una diferencia en temperatura. En unidades SI, la unidad para el calor, como para cualquier forma de energía, es el joule. No obstante, a veces todavía se usan las calorías y kcal. En la actualidad, la caloría se define en términos del joule (a través del equivalente mecánico del calor que se acaba de precisar), más que en términos de las propiedades del agua, como se mencionó anteriormente. Pero esto último es fácil de recordar: 1 cal eleva 1 g de agua en 1 C°, o 1 kcal eleva 1 kg de agua en 1 C°. Siempre que se use la palabra “calor”, se da a entender una transferencia de energía de un lugar u objeto a otro que se encuentra a una temperatura más baja. SECCIÓN 14–1

Definición de calor: energía transferida debida a ¢T

P R E C A U C I Ó N

Calor se refiere a una transferencia de energía, no a la energía en sí.

El calor como transferencia de energía

385

www.elsolucionario.org El resultado de Joule fue crucial porque extendió el principio trabajo-energía para incluir procesos que implican calor. Sus estudios también condujeron al establecimiento de la ley de la conservación de energía, que se estudiará con detalle en el siguiente capítulo.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Quema de calorías

EJEMPLO 14–1 ESTIMACIÓN Quema de calorías adicionales. Una persona come demasiado helado y pastel en el orden de 500 Calorías. Para contrarrestar este exceso, quiere hacer una cantidad equivalente de ejercicio subiendo escaleras o una montaña. ¿Qué altura debe escalar? Para este cálculo, considere que la masa de la persona es de 60 kg. PLANTEAMIENTO El trabajo W que se necesita hacer para subir escaleras es igual al cambio en energía potencial gravitacional: W = ¢PE = mgh, donde h es la altura vertical escalada. SOLUCIÓN 500 Calorías es igual a 500 kcal, lo que en joules equivale a

(500 kcal)A4.186 * 103 J
kcalB = 2.1 * 106 J. El trabajo realizado al escalar una altura vertical h es W = mgh. Se resuelve para h:

h =

2.1 * 106 J W = = 3600 m. mg (60 kg)A9.80 m
s2 B

Éste es un gran cambio en altura (arriba de 11,000 ft). NOTA El cuerpo humano no transforma energía con el 100% de eficiencia; más bien, lo hace con un 20% de eficiencia. Como se explicará en el capítulo 15, alguna energía siempre se “desperdicia”, así que en realidad, la persona en cuestión tendría que ascender sólo aproximadamente (0.2)(3600 m) L 700 m, que todavía es mucho (alrededor de 2300 ft de ganancia de altura).

14–2 Energía interna Energía interna

La suma de la energía de todas las moléculas de un objeto constituye su energía interna. (En ocasiones se usa el término energía térmica para significar lo mismo). Ahora se introduce el concepto de energía interna, puesto que ayudará a clarificar varias ideas en torno al calor.

Distinción entre temperatura, calor y energía interna P R E C A U C I Ó N

Distinción entre calor, energía interna y temperatura

P R E C A U C I Ó N

La dirección del flujo de calor depende de la temperatura (no de la cantidad de energía interna)

La teoría cinética permite hacer una clara distinción entre temperatura, calor y energía interna. La temperatura (en kelvins) es una medida de la energía cinética promedio de moléculas individuales. La energía interna se refiere a la energía total de todas las moléculas en el objeto. (En consecuencia, dos lingotes de hierro de igual masa pueden tener la misma temperatura, pero dos de ellos tienen el doble de energía térmica de la que tiene uno solo). El calor, finalmente, se refiere a una transferencia de energía de un objeto a otro como resultado de una diferencia en temperatura. La dirección del flujo de calor entre dos objetos depende de sus temperaturas, no de cuánta energía interna tenga cada uno. De este modo, si 50 g de agua a 30°C se ponen en contacto (o se mezclan) con 200 g de agua a 25°C, el calor fluye desde el agua a 30°C hacia el agua a 25°C, aun cuando la energía interna del agua de 25°C sea mucho mayor puesto que hay mayor cantidad de ella.

Energía interna de un gas ideal Ahora se calculará la energía interna de n moles de un gas monoatómico (un átomo por molécula) ideal. La energía interna, U, es la suma de las energías cinéticas de traslación de todos los átomos. Esta suma es justo igual a la energía cinética prome-

386

CAPÍTULO 14

Calor

dio por molécula por el número total de moléculas, N:

U = N A 12 mOB. Usando la ecuación 13-8, G = U = 32 NkT o (recuerde la sección 13-9) U =

3 2

1 2

mO =

nRT,

3 2

kT, se puede escribir como

[gas monoatómico ideal] (14–1)

donde n es el número de moles. Por tanto, la energía interna de un gas ideal sólo depende de la temperatura y del número de moles de gas. Si las moléculas del gas contienen más de un átomo, entonces también deben considerarse las energías de rotación y vibratoria de las moléculas (figura 14-2). La energía interna será más grande a una temperatura dada que para un gas monoatómico, pero todavía será sólo una función de la temperatura para un gas ideal. La energía interna de los gases reales también depende principalmente de la temperatura, pero cuando los gases reales se desvían del comportamiento de gas ideal, su energía interna depende también un poco de la presión y del volumen (en virtud de la energía potencial atómica). La energía interna de los líquidos y sólidos es bastante complicada, pues incluye energía potencial eléctrica asociada con las fuerzas (o enlaces “químicos”) entre los átomos y moléculas.

Energía interna de gas monoatómico ideal

a)

b)

14–3 Calor específico Si el calor fluye a un objeto, la temperatura de éste aumenta (si se supone que no hay cambio de fase). Pero, ¿cómo sube la temperatura? Eso depende de varios factores. Ya desde el siglo XVIII, los experimentadores habían reconocido que la cantidad de calor Q requerida para cambiar la temperatura de un material dado es proporcional a la masa m del material presente y al cambio de temperatura
T. Esta notable simplicidad en la naturaleza se expresa en la ecuación

Q = mc ¢T, (14–2) donde c es una cantidad característica del material llamada calor específico. Puesto que c = Q
m
T, el calor específico está indicado en unidades de J
kgC° (la unidad SI adecuada) o kcal
kgC°. Para el agua a 15°C y una presión constante de 1 atm, c = 4.19 * 103 J
kgC° o 1.00 kcal
kgC°, pues, por la definición de caloría y de joule, toma 1 kcal de calor elevar la temperatura de 1 kg de agua en 1 C°. La tabla 14-1 proporciona los valores de calor específico para otras sustancias a 20°C. Los valores de c dependen en cierta medida de la temperatura (así como ligeramente de la presión), pero, para cambios de temperatura que no son demasiado grandes, c generalmente se puede considerar constante. EJEMPLO 14–2 Cómo el calor transferido depende del calor específico. a) ¿Cuánta entrada de calor se necesita para elevar la temperatura de una barrica vacía de 20 kg, hecha de hierro, desde 10°C hasta 90°C? b) ¿Y cuánta si la barrica está llena con 20 kg de agua? PLANTEAMIENTO Se aplica la ecuación 14-2 a los diferentes materiales que participan en este caso. SOLUCIÓN a) El sistema es la barrica de hierro sola. A partir de la tabla 14-1, se sabe que el calor específico del hierro es 450 J
kgC°. El cambio en la temperatura es (90°C - 10°C) = 80°C. Por tanto,

Q = mc ¢T = (20 kg)(450 J
kg  C°)(80 C°) = 7.2 * 105 J = 720 kJ. b) El sistema es la barrica más el agua. El agua sola requeriría

Q = mc ¢T = (20 kg)(4186 J
kg  C°)(80 C°) = 6.7 * 106 J = 6700 kJ, o casi 10 veces lo que requiere una masa igual de hierro. El total, para la barrica más el agua, es 720 kJ + 6700 kJ = 7400 kJ. NOTA En b), la barrica de hierro y el agua experimentan el mismo cambio de temperatura,
T = 80 C°, pero sus calores específicos son diferentes.

FIGURA 14–2 Además de energía cinética de traslación, las moléculas pueden tener a) energía cinética de rotación y b) energía vibratoria (tanto cinética como potencial).

Relación entre transferencia de calor y cambio de temperatura Calor específico TABLA 14–1 Calores específicos (a 1 atm de presión constante y 20°C, a menos que se indique de otra manera)

Calor específico, c Sustancia

kcal
kg  C° ( cal
g  C°) J
kg  C°

Aluminio Alcohol (etílico) Cobre Vidrio Hierro o acero Plomo Mármol Mercurio Plata Madera Agua Hielo (–5°C) Líquido (15°C) Vapor (110°C) Cuerpo humano (promedio) Proteína

SECCIÓN 14–3

0.22

900

0.58 0.093 0.20 0.11 0.031 0.21 0.033 0.056 0.4

2400 390 840 450 130 860 140 230 1700

0.50 1.00 0.48

2100 4186 2010

0.83 0.4

3470 1700

Calor específico

387

Efectos prácticos del alto calor específico del agua

Si la barrica de hierro en el inciso a) del ejemplo 14-2 se hubiese enfriado de 90°C a 10°C, 720 kJ de calor habrían fluido hacia fuera del hierro. En otras palabras, la ecuación 14-2 es válida para el flujo de calor, ya sea de entrada o salida, con un correspondiente aumento o disminución de temperatura. En el inciso b) se vio que el agua requiere casi 10 veces tanto calor como una masa igual de hierro para efectuar el mismo cambio de temperatura. El agua tiene uno de los calores específicos más altos de todas las sustancias, lo que la hace una sustancia ideal para sistemas de calentamiento de espacios y para otros usos que requieren una mínima caída en temperatura para una cantidad dada de transferencia de calor. Por eso también es el contenido de agua el que hace que sea la pulpa y no la cubierta de una tarta de manzana la que queme la lengua de una persona a través de transferencia de calor. EJEMPLO CONCEPTUAL 14–3 Una sartén muy caliente. Por accidente, una persona deja que una sartén de hierro vacía se caliente demasiado sobre la estufa (200°C o incluso más). ¿Qué ocurre cuando se vierten unas cuantas pulgadas de agua fría en el fondo de la sartén? ¿La temperatura final estará a la mitad entre las temperaturas iniciales del agua y la sartén? ¿El agua comenzará a hervir? Se supone que la masa del agua es aproximadamente la misma que la masa de la sartén. RESPUESTA La experiencia indica que el agua se calienta, quizá tanto como 10 o 20 grados. El agua no llega cerca de la ebullición. El aumento de temperatura del agua es mucho menor que la disminución de temperatura de la sartén. ¿Por qué? Porque la masa del agua es aproximadamente igual a la de la sartén, y el hierro tiene un calor específico casi 10 veces menor que el del agua (tabla 14-1). Conforme el calor deja la sartén para entrar en el agua, el cambio en la temperatura de la sartén de hierro será casi 10 veces mayor que el del agua. Si, en vez de ello, se deja que unas cuantas gotas de agua caigan en la sartén caliente, esta muy pequeña masa de agua chisporroteará y hervirá (la masa de la sartén puede ser cientos de veces mayor que la del agua).

* Calores específicos para gases TABLA 14–2 Calores específicos de gases (kcal
kg  C°)

cp

cv

(presión (volumen constante) constante)

Gas Vapor (100°C) Oxígeno Helio Dióxido de carbono Nitrógeno

0.482 0.218 1.15

0.350 0.155 0.75

0.199 0.248

0.153 0.177

Los calores específicos para gases son más complicados que para los sólidos y líquidos, que modifican su volumen sólo ligeramente con un cambio de temperatura (sección 13-4). Los gases cambian enormemente su volumen con un cambio en la temperatura a presión constante, como se vio en el capítulo 13 cuando se estudiaron las leyes de los gases; o, si el volumen se mantiene constante, la presión en un gas cambia enormemente con la temperatura. El calor específico de un gas depende mucho de cómo se lleve a cabo el proceso de cambiar su temperatura. Más comúnmente, se trata con los calores específicos de los gases al mantener a) la presión constante (cP) o b) el volumen constante (cV). En la tabla 14-2 se proporcionan algunos valores, donde se ve que cP siempre es mayor que cV. Para los líquidos y sólidos, esta distinción, por lo general, es despreciable. En el apéndice D se ofrecen más detalles acerca de los calores específicos moleculares y de la equipartición de la energía.

14–4 Calorimetría. Resolución de problemas Sistemas

388

CAPÍTULO 14

Calor

Al analizar el calor y la termodinámica, con frecuencia se debe hacer referencia a sistemas particulares. Como ya se mencionó en capítulos anteriores, un sistema es cualquier objeto o conjunto de objetos que se desea considerar. Todo lo demás en el universo constituirá su “ambiente” o los “alrededores”. Existen varias categorías de sistemas. Un sistema cerrado es aquel en el que ninguna masa entra o sale (aunque puede intercambiar energía con el ambiente). En un sistema abierto, la masa puede entrar o salir (al igual que la energía). Muchos sistemas (idealizados) que se estudian en física son sistemas cerrados. Pero muchos sistemas, incluso plantas y animales, son sistemas abiertos pues intercambian materiales (alimento, oxígeno, productos de desecho) con el ambiente. Se dice que un sistema cerrado está aislado si ninguna forma de energía pasa a través de sus fronteras; de otro modo, no está aislado. Cuando diferentes partes de un sistema aislado están a distintas temperaturas, el calor fluirá (se transferirá energía) de la parte que tiene mayor temperatura hacia

www.elsolucionario.org la parte a menor temperatura; esto es, dentro del sistema. Si el sistema está completamente aislado, ninguna energía se transferirá hacia él o desde él. Así que la conservación de la energía juega de nuevo un importante papel: la pérdida de calor por una parte del sistema es igual al calor ganado por la otra parte:

pérdidad de calor = ganancia de calor

Conservación de energía

o

energía que sale de una parte = energía que entra a otra parte. Estas simples relaciones son muy útiles. Observemos un ejemplo. EJEMPLO 14–4 La taza enfría al té. Si 200 cm3 de té a 95°C se vierten en una taza de vidrio de 150 g inicialmente a 25°C (figura 14-3), ¿cuál será la temperatura común final T del té y la taza cuando se alcance el equilibrio, si se supone que no fluye calor hacia los alrededores? PLANTEAMIENTO Se aplica la conservación de la energía al sistema del té más la taza, que se supone aislado: todo el calor que sale del té fluye hacia la taza. Se usa la ecuación de calor específico (ecuación 14-2), para determinar cómo el flujo de calor está relacionado con los cambios de temperatura. SOLUCIÓN Como el té es principalmente agua, su calor específico es 4186 J
kgC° (tabla 14-1) y su masa m es su densidad por su volumen (V = 200 cm3 = 200 * 10-6m3): m = V = (1.0 * 103 kg
m3)(200 * 10-6m3) = 0.20 kg. Se usa la ecuación 14-2, se aplica la conservación de la energía y se considera que T es la aún desconocida temperatura final:

95°C 25°C a)

T =? b)

FIGURA 14–3 Ejemplo 14-4.

pérdida de calor por el té = ganancia de calor por la taza m te cte(95°C - T) = m taza ctaza(T - 25°C). Al ponerle números y usar la tabla 14-1 (ctaza = 840 J
kgC° para el vidrio), se resuelve para T y se encuentra

(0.20 kg)(4186 J
kg C°)(95°C - T) = (0.15 kg)(840 J
kg  C°)(T - 25°C) 79,500 J - (837 J
C°)T = (126 J
C°)T - 3150 J T = 86°C. El té desciende su temperatura 9 C° al llegar al equilibrio con la taza. NOTA El aumento de temperatura de la taza es 86°C - 25°C = 61 C°. Este gran cambio de temperatura (en comparación con el del agua del té) se debe a que tiene calor específico mucho menor en comparación con el del agua. NOTA En este cálculo, el
T (de la ecuación 14-2, Q = mc
T) es una cantidad positiva en ambos lados de la ecuación de conservación de energía. A la izquierda está “pérdida de calor” y
T es la temperatura inicial menos la final (95°C - T), mientras que en el lado derecho está “ganancia de calor” y
T es la temperatura final menos la inicial. Pero considere el siguiente planteamiento alternativo. Solución alternativa Es posible trabajar este ejemplo (y otros) mediante un planteamiento alternativo. Se puede escribir que el calor total transferido hacia o desde el sistema aislado es cero:

P R E C A U C I Ó N

Cuando se utilice pérdida de calor = ganancia de calor,
T es positivo en ambos lados.

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Planteamiento alternativo: ©Q = 0

©Q = 0.

Entonces cada término se escribe como Q = mc ATf - Ti B, y ¢T = Tf - Ti siempre es la temperatura final menos la inicial, y cada
T puede ser positivo o negativo. En este ejemplo: ©Q = m taza ctaza(T - 25°C) + m té cté(T - 95°C) = 0. El segundo término es negativo porque T será menor que 95°C. Al resolver algebraicamente se obtiene el mismo resultado. El intercambio de energía, como el que se ilustra en el ejemplo 14-4, es la base para una técnica conocida como calorimetría, que es la medición cuantitativa de inSECCIÓN 14–4

Calorimetría. Resolución de problemas

389

Termómetro

Agitador Tira aisladora

Agua

Aire (aislador) Cubierta Vaso aisladora calorimétrico FIGURA 14–4 Calorímetro simple de agua.

tercambio de calor. Para realizar tales mediciones, se usa un calorímetro; en la figura 14-4 se representa un simple calorímetro de agua. Es muy importante que el calorímetro esté bien aislado de modo que casi no se intercambie calor con los alrededores. Una aplicación importante del calorímetro es la de determinar los calores específicos de las sustancias. En la técnica conocida como “método de mezclas”, se calienta una muestra de la sustancia a una temperatura alta, que se mide con precisión, y luego rápidamente se le coloca en el agua fría del calorímetro. La pérdida de calor por la muestra será ganada por el agua y el vaso calorimétrico. Al medir la temperatura final de la mezcla, se puede calcular el calor específico, como se ilustra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 14–5 Calor específico desconocido determinado mediante calorimetría. Un ingeniero quiere determinar el calor específico de una nueva aleación metálica. Una muestra de 0.150 kg de la aleación se calienta a 540°C. Entonces se coloca rápidamente en 400 g de agua a 10.0°C, que está contenida en un vaso calorimétrico de aluminio de 200 g. (No se necesita conocer la masa de la cubierta aisladora pues se supone que el espacio de aire entre ella y el vaso lo aísla bien, de modo que su temperatura no cambia significativamente). La temperatura final del sistema es de 30.5°C. Calcule el calor específico de la aleación. PLANTEAMIENTO Se aplica la conservación de la energía al sistema, que se considera integrado por la muestra de aleación, el agua y el vaso calorimétrico. Se supone que este sistema está aislado, de modo que la pérdida de energía por la aleación caliente es igual a la ganancia de energía por el agua y el vaso calorimétrico. SOLUCIÓN La pérdida de calor es igual a la ganancia de calor: a

pérdida de calor ganancia de calor ganancia de calor b = a b + a b de la aleación del agua del vaso calorimétrico

ma ca ¢Ta = mw cw ¢Tw + mcal ccal ¢Tcal donde los subíndices a, w y cal se refieren a la aleación, al agua y al calorímetro, respectivamente, y cada
T  0. Cuando se incluyen los valores y se usa la tabla 14-1, esta ecuación se convierte en

(0.150 kg)Aca B(540°C - 30.5°C) = (0.40 kg)(4186 J
kg  C°)(30.5°C - 10.0°C) ± (0.20 kg)(900 J
kg  C°)(30.5°C - 10.0°C) 76.4 ca = (34,300 + 3700) J
kg  C° ca = 500 J
kg  C°. Al realizar este cálculo se ignoró cualquier calor transferido al termómetro y al agitador (lo que permite agilizar el proceso de transferencia de calor, y por tanto, reducir la pérdida de calor hacia el exterior). Se puede tomar en cuenta colocando términos adicionales al lado derecho de la ecuación anterior, lo que dará como resultado una ligera corrección del valor de ca (véase el problema 14).

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Asegúrese de considerar todas las posibles fuentes de transferencia de energía

F Í S I C A

A P L I C A D A

Medición del contenido calórico

390

CAPÍTULO 14

Calor

En todos los ejemplos y problemas de esta especie, asegúrese de incluir todos los objetos que ganen o pierdan calor (dentro de lo razonable). Aquí, en el lado de “pérdida de calor”, sólo está la aleación metálica caliente. En el lado de “ganancia de calor”, están tanto el agua como el vaso calorimétrico de aluminio. Por simplicidad, se ignoraron las masas muy pequeñas, como la del termómetro y el agitador, que sólo afectarán muy ligeramente el equilibrio de energía. Una bomba calorimétrica se usa para medir la energía térmica liberada cuando se quema una sustancia. Las aplicaciones importantes son el quemado de alimentos para determinar su contenido calórico y el quemado de semillas y otras sustancias para determinar su “contenido energético” o calor de combustión. En un contenedor sellado (la “bomba”) se coloca una muestra cuidadosamente pesada de la sustancia, junto con una cantidad adicional de oxígeno a alta presión. La bomba se coloca en el agua del calorímetro y entonces se calienta durante un breve lapso un fino alambre que pasa a la bomba, lo que provoca que la mezcla se encienda. El agua y la bomba ganan la energía liberada en el proceso de quemado.

EJEMPLO 14–6 Medición del contenido energético de una galleta. Determine el contenido energético de una galleta de chocolate Fahlgren’s de 100 g a partir de las siguientes mediciones. A una muestra de 10 g de galleta se le permite secarse antes de colocarla en una bomba calorimétrica. La bomba de aluminio tiene una masa de 0.615 kg y se coloca en 2.00 kg de agua contenida en un vaso calorimétrico de aluminio de 0.524 kg de masa. La temperatura inicial del sistema es de 15.0° y su temperatura después de la ignición es de 36.0°C. PLANTEAMIENTO Se aplica la conservación de la energía al sistema, que se supone aislado y que consiste en la muestra de galleta, la bomba, el vaso calorimétrico y el agua. SOLUCIÓN En este caso, el calor Q liberado en el quemado de la galleta es absorbido por el sistema de bomba, calorímetro y agua:

Q = Amw cw + mcal ccal + mbomba cbomba B ¢T = C(2.00 kg)(1.0 kcal
kg  C°) + (0.524 kg)(0.22 kcal
kg  C°) ± (0.615 kg)(0.22 kcal
kg C°) D [36.0°C - 15.0°C] = 47 kcal.

En joules, Q = (47 kcal)(4186 J
kcal) = 197 kJ. Como se liberan 47 kcal en el quemado de 10 g de galleta, una porción de 100 g contendría 470 Calorías alimenticias, o 1970 kJ.

14–5 Calor latente Cuando un material cambia de fase, de sólido a líquido, o de líquido a gas (véase también la sección 13-12), cierta cantidad de energía participa en este cambio de fase. Por ejemplo, a continuación se describe lo que ocurre cuando un bloque de hielo de 1.0 kg a -40°C se calienta a una tasa estable lenta hasta que todo el hielo cambia a agua, y luego el agua (líquida) se calienta a 100°C y cambia a vapor sobre los 100°C, todo ello a una presión de 1 atm. Como se observa en la gráfica de la figura 14-5, conforme el hielo se calienta, su temperatura se eleva a una tasa cercana a 2 C°
kcal de calor añadido (dado que, para el hielo, c L 0.50 kcal
kgC°). Sin embargo, cuando se alcanzan 0°C, la temperatura deja de aumentar aun cuando todavía se esté añadiendo calor. El hielo cambia gradualmente a agua en el estado líquido, sin cambio en temperatura. Después de que se han añadido más o menos 40 kcal a 0°C, la mitad del hielo permanece y la mitad se convierte en agua. Luego de que se han agregado aproximadamente 80 kcal, o 330 kJ, todo el hielo se convirtió en agua, todavía a 0°C. Al continuar la adición de calor se provoca que la temperatura del agua aumente de nuevo, ahora a una tasa de 1 C°
kcal. Cuando se alcanzan 100°C, la temperatura de nuevo permanece constante conforme el calor añadido cambia el agua líquida a vapor. Se requieren aproximadamente 540 kcal (2260 kJ) para convertir el 1.0 kg de agua completamente en vapor, después de lo cual la gráfica se eleva de nuevo, lo que indica que la temperatura del vapor se eleva conforme se agrega calor. FIGURA 14–5 Temperatura como función del calor agregado para llevar 1.0 kg de hielo a -40°C a vapor sobre 100°C.

120

Vapor de agua

80 60 40

Agua y vapor

20 0

−20 − 40

Hielo

Temperatura (°C)

100

0 20

Agua y hielo

Agua (toda líquida)

100

200

300

400

500

600

700

740

Calor agregado (kcal) SECCIÓN 14–5

Calor latente

391

www.elsolucionario.org FIGURA 14–5 (repetida) Temperatura como función del calor agregado para llevar 1.0 kg de hielo a -40°C a vapor sobre 100°C.

120

Vapor de agua

80 60 40

Agua y vapor

20 0 Hielo

Temperatura (°C)

100

−20 − 40

Agua y hielo

0 20

Agua (toda líquida)

100

200

300

400

500

600

700

740

Calor agregado (kcal)

Calor de fusión

Calor de vaporización

Calor latente

El calor que se requiere para cambiar 1.0 kg de una sustancia del estado sólido al líquido se llama calor de fusión; se le denota mediante LF. El calor de fusión del agua es 79.7 kcal
kg o, en unidades SI adecuadas, 333 kJ
kg (= 3.33 * 105 J
kg). El calor que se requiere para cambiar una sustancia de la fase líquida a la de vapor se llama calor de vaporización, LV. Para el agua es de 539 kcal
kg o 2260 kJ
kg. Otras sustancias siguen gráficas similares a la de la figura 14-5, aunque las temperaturas de los puntos de fusión y de ebullición son diferentes, tal como los calores específicos y los calores de fusión y vaporización. En la tabla 14-3 se proporcionan los valores para los calores de fusión y vaporización, que también se llaman calores latentes, para varias sustancias. Los calores de vaporización y fusión también se refieren a la cantidad de calor liberado por una sustancia cuando cambia de gas a líquido, o de líquido a sólido. Por tanto, el vapor libera 2260 kJ
kg cuando se convierte en agua, y el agua libera 333 kJ
kg cuando se vuelve hielo. El calor que participa en un cambio de fase depende no sólo del calor latente sino también de la masa total de la sustancia. Esto es,

Q = mL,

Cambio de fase

(14–3)

donde L es el calor latente del proceso y sustancia particulares, m es la masa de la sustancia y Q es el calor agregado o liberado durante el cambio de fase. Por ejemplo, cuando 5.00 kg de agua se congelan a 0°C, se liberan (5.00 kg)(3.33 * 105 J
kg) = 1.67 * 106 J de energía.

TABLA 14–3 Calores latentes (a 1 atm) Sustancia

Punto de fusión (°C)

Oxígeno Nitrógeno Alcohol etílico Amoniaco Agua Plomo Plata Hierro Tungsteno †

392

CAPÍTULO 14

– 218.8 – 210.0 – 114 – 77.8 0 327 961 1808 3410

Calor de fusión kcal
kg

†

kJ
kg

3.3 6.1 25 8.0 79.7 5.9 21 69.1 44

Los valores numéricos en kcal
kg son los mismos en cal
g.

Calor

14 26 104 33 333 25 88 289 184

Punto de ebullición Calor de vaporización (°C)

– 183 – 195.8 78

– 33.4 100 1750 2193 3023 5900

kcal
kg†

kJ
kg

51 48 204 33 539 208 558 1520 1150

210 200 850 137 2260 870 2300 6340 4800

En ocasiones, la calorimetría implica un cambio de estado, como muestra el ejemplo siguiente. De hecho, los calores latentes con frecuencia se miden con el uso de calorimetría. EJEMPLO 14–7 Fabricación de hielo. ¿Cuánta energía tiene que remover un congelador para convertir 1.5 kg de agua a 20°C en hielo a -12°C? PLANTEAMIENTO Se necesita calcular la energía total removida al añadir el flujo de salida de calor para (1) reducir el agua de 20°C a 0°C, (2) convertirla en hielo a 0°C y (3) bajar el hielo de 0°C a -12°C. SOLUCIÓN El calor Q que se necesita remover de 1.5 kg de agua es

Q = mcagua(20°C - 0°C) + mLF + mchielo C 0° - (–12°C)D

= (1.5 kg)(4186 J
kg C°)(20 C°) + (1.5 kg)A3.33 * 105 J
kgB ± (1.5 kg)(2100 J
kg C°)(12 C°)

= 6.6 * 105 J = 660 kJ.

EJEMPLO 14–8 ESTIMACIÓN ¿Se derretirá todo el hielo? En una recepción, un trozo de hielo de 0.50 kg a -10°C se coloca en 3.0 kg de té “helado” a 20°C. ¿A qué temperatura y en qué fase estará la mezcla final? Se puede considerar al té como agua. Ignore cualquier flujo de calor hacia los alrededores, incluso hacia el contenedor. PLANTEAMIENTO Antes de escribir una ecuación que aplique la conservación de la energía, primero debe verificarse si el estado final será todo hielo, una mezcla de hielo y agua a 0°C, o toda el agua. Para llevar los 3.0 kg de agua a 20°C hacia 0°C se requiere una liberación de energía de

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Primero determine (o estime) el estado final

magua cagua(20°C - 0°C) = (3.0 kg)(4186 J
kg C°)(20 C°) = 250 kJ. Por otra parte, para elevar al hielo de -10°C a 0°C se requieren

mhielo chielo C0°C - (–10°C) D = (0.50 kg)(2100 J
kg  C°)(10 C°) = 10.5 kJ, y cambiar el hielo a agua a 0°C requiere

mhielo LF = (0.50 kg)(333 kJ
kg) = 167 kJ, para un total de 10.5 kJ + 167 kJ = 177 kJ. Ésta no es suficiente energía para llevar los 3.0 kg de agua de 20°C hacia 0°C, por lo que se sabe que toda la mezcla deberá terminar como agua, en algún punto entre 0°C y 20°C. SOLUCIÓN Para determinar la temperatura final T se aplica la conservación de la energía y se escribe

Luego determine la temperatura final

ganancia de calor = pérdida de calor

§

calor para elevar calor para calor para elevar calor perdido 0.50 kg de hielo cambiar 0.50 kg 0.50 kg de agua por 3.0 kg de ¥ + § ¥ + § ¥ = § ¥. de – 10°C de hielo de 0°C agua al enfriarla a 0°C a agua aT de 20°C a T

Al usar algunos de los resultados anteriores se obtiene

10.5 kJ + 167 kJ + (0.50 kg)(4186 J
kg  C°)(T - 0°C) = (3.0 kg)(4186 J
kg  C°)(20°C - T). Al resolver para T se obtiene

T = 5.0°C. EJERCICIO A ¿Cuánto más hielo a -10°C se necesitaría en el ejemplo 14-8 para llevar el té a 0°C, justo cuando se derrita todo el hielo? SECCIÓN 14–5

Calor latente

393

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Calorimetría 1. Asegúrese de tener suficiente información para aplicar la conservación de la energía. Pregunte: ¿el sistema está aislado (o muy cerca de serlo, lo suficiente para obtener una buena estimación)? ¿Se conocen o se pueden calcular todas las fuentes significativas de transferencia de energía? 2. Aplique la conservación de la energía:

ganancia de calor = pérdida de calor. Para cada sustancia en el sistema aparecerá un término de calor (energía) ya sea en el lado izquierdo o en el derecho de esta ecuación. [De manera alternativa, utilice ©Q = 0]. 3. Si no ocurren cambios de fase, cada término en la ecuación de conservación de energía (anterior) tendrá la forma Q(ganancia) = mc AT f - T i B o

Q(pérdida) = mc AT i - T f B

sustancia, y m y c son su masa y calor específico, respectivamente. 4. Si ocurren o pueden ocurrir cambios de fase, podría haber términos en la ecuación de conservación de energía de la forma Q = mL, donde L es el calor latente. Pero antes de aplicar la conservación de la energía, determine (o estime) en qué fase estará el estado final, como se hizo en el ejemplo 14-8 calculando los diferentes valores de aportación para el calor Q. 5. Asegúrese de que cada término aparezca en el lado correcto de la ecuación de energía (calor ganado o calor perdido) y que cada ¢T sea positivo. 6. Note que, cuando el sistema alcanza equilibrio térmico, la temperatura final de cada sustancia tendrá el mismo valor. Sólo hay una Tf . 7. Resuelva la ecuación de energía para la incógnita.

donde Ti y Tf son las temperaturas inicial y final de la EJEMPLO 14–9 Determinación de un calor latente. El calor específico del mercurio líquido es de 140 J
kgC°. Cuando 1.0 kg de mercurio sólido en su punto de fusión de -39°C se coloca en un calorímetro de aluminio de 0.50 kg lleno con 1.2 kg de agua a 20.0°C, la temperatura final de la combinación es de 16.5°C. ¿Cuál es el calor de fusión del mercurio en J
kg? PLANTEAMIENTO Se sigue explícitamente el recuadro de resolución de problemas. SOLUCIÓN 1. ¿El sistema está aislado? El mercurio se coloca en el calorímetro, el cual, por definición, está bien aislado. El sistema aislado es el calorímetro, el agua y el mercurio. 2. Conservación de energía. El calor ganado por el mercurio = el calor perdido por el agua y el calorímetro. 3 y 4. Cambios de fase. Existe un cambio de fase, y además se usan ecuaciones específicas de calor. El calor ganado por el mercurio (Hg) incluye un término que representa la fusión del Hg: Q(fusión de Hg sólido) = m Hg L Hg , más un término que representa el calentamiento del Hg líquido de -39°C a +16.5°C: Q(calentamiento Hg líquido) = m Hg cHg C 16.5°C - ( – 39°C) D

= (1.0 kg)(140 J
kg  C°)(55.5 C°) = 7770 J.

Todo este calor ganado por el mercurio se obtiene a partir del agua y del calorímetro, que se enfrían:

Qcal + QH2O = mcal ccal(20.0°C - 16.5°C) + mH2O cH2O(20.0°C - 16.5°C) = (0.50 kg)(900 J
kg  C°)(3.5 C°) + (1.2 kg)(4186 J
kg  C°)(3.5 C°) = 19,200 J. 5. Ecuación de energía. La conservación de energía dice que el calor perdido por el agua y el vaso calorimétrico debe ser igual al calor ganado por el mercurio: Q cal + Q H2O = Q(fusión de Hg sólido) + Q(calentamiento de Hg líquido) o 19,200 J = m Hg L Hg + 7770 J. 6. Temperatura de equilibrio. Está dada como 16.5°C y ya se utilizó.

394

CAPÍTULO 14

Calor

www.elsolucionario.org 7. Resolver. La única incógnita en la ecuación de energía (punto 5) es LHg, el calor latente de fusión del mercurio. Se resuelve para ella, colocando mHg = 1.0 kg:

19,200 J - 7770 J = 11,400 J
kg L 11 kJ
kg, 1.0 kg donde se redondeó a 2 cifras significativas. LHg =

Evaporación El calor latente para convertir un líquido en gas no sólo se necesita en el punto de ebullición. El agua puede cambiar de fase líquida a gas incluso a temperatura ambiente. Este proceso se llama evaporación (véase también la sección 13-13). El valor del calor de vaporización del agua aumenta ligeramente con una disminución en la temperatura: a 20°C, por ejemplo, es de 2450 kJ
kg (585 kcal
kg), en comparación con los 2260 kJ
kg (= 539 kcal
kg) a 100°C. Cuando el agua se evapora, el líquido restante se enfría, pues la energía requerida (el calor latente de vaporización) proviene del agua misma; así que su energía interna y, por tanto, su temperatura deben descender.† La evaporación del agua de la piel es uno de los métodos más importantes que el cuerpo usa para controlar su temperatura. Cuando la temperatura de la sangre se eleva ligeramente sobre la normal, el hipotálamo del cerebro detecta este aumento de temperatura y envía una señal a las glándulas sudoríparas para aumentar su producción. La energía (calor latente) que se requiere para vaporizar esta agua proviene del cuerpo, y así el cuerpo se enfría.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Temperatura corporal

Teoría cinética de los calores latentes Se puede usar la teoría cinética para ver por qué se necesita energía para derretir o vaporizar una sustancia. En el punto de fusión, el calor latente de fusión no actúa para aumentar la energía cinética promedio (y la temperatura) de las moléculas en el sólido, sino, en vez de ello, se usa para vencer la energía potencial asociada con las fuerzas entre las moléculas. Esto es, se debe realizar trabajo contra dichas fuerzas atractivas para liberar las moléculas de sus posiciones relativamente fijas en el sólido, de modo que puedan moverse libremente sobre otras en la fase líquida. De manera similar, se requiere energía para que las moléculas juntas en la fase líquida escapen en la fase gaseosa. Este proceso es una reorganización más violenta de las moléculas que la fusión (la distancia promedio entre las moléculas es enormemente aumentada) y por tanto, el calor de vaporización es generalmente mucho mayor que el calor de fusión para una sustancia determinada.

14–6 Transferencia de calor: conducción La transferencia de calor de un lugar u objeto a otro ocurre de tres formas diferentes: mediante conducción, convección y radiación. Ahora se explicarán por separado; pero, en situaciones prácticas, dos de ellas o las tres pueden operar al mismo tiempo. Esta sección se ocupa de la conducción. Cuando un atizador metálico se pone a fuego vivo, o una cuchara de plata se pone en un tazón de sopa caliente, el extremo que una persona sostiene pronto se pone caliente también, aun cuando no esté en contacto directo con la fuente de calor. Se dice que el calor se ha conducido del extremo caliente al extremo frío. La conducción de calor en muchos materiales se realiza a través de colisiones moleculares. Conforme se calienta el extremo de un objeto, las moléculas en ese lugar se mueven cada vez más rápido. Conforme chocan con sus vecinas que se mueven más lentamente, transfieren parte de su energía cinética a esas moléculas, cuya rapidez, por tanto, aumenta. Éstas a su vez transfieren parte de su energía mediante colisiones con moléculas todavía más alejadas a lo largo del objeto. De esta forma, la energía cinética del movimiento térmico se transfiere mediante colisiones moleculares a lo largo del objeto. En los metales, de acuerdo con la teoría moderna, son las colisiones de los electrones libres dentro del metal las que se visualizan como las principales responsables de la conducción.

Tres métodos de transferencia de calor

†

De acuerdo con la teoría cinética, la evaporación es un proceso de enfriamiento porque son las moléculas que se mueven más rápido las que escapan de la superficie (sección 13-13). En consecuencia, la rapidez promedio de las moléculas restantes es menor, así que, por la ecuación 13-8, la temperatura es menor.

SECCIÓN 14–6

Transferencia de calor: conducción

395

Más caliente FIGURA 14–6 Conducción de calor entre áreas a temperaturas T1 y T2. Si T1 es mayor que T2, el calor fluye hacia la derecha; la tasa está dada por la ecuación 14-4.

Más frío A

Flujo de calor T1

T2 l

La conducción del calor de un punto a otro tiene lugar sólo si existe una diferencia de temperatura entre los dos puntos. De hecho, los experimentos demuestran que la tasa de flujo de calor a través de una sustancia es proporcional a la diferencia TABLA 14–4 de temperatura entre sus extremos. La tasa de flujo de calor también depende del Conductividades térmicas tamaño y la forma del objeto. Para investigar esto cuantitativamente, considere Conductividad térmica, k el flujo de calor a través de un cilindro uniforme, como se ilustra en la figura 14-6. Experimentalmente se encuentra que el flujo de calor Q durante un intervalo de kcal J tiempo t está dado por la relación Sustancia Tasa de flujo de calor por conducción

(s  m  C°) (s  m  C°)

10 Plata 9.2 Cobre 5.0 Aluminio 1.1 Acero 5 Hielo 2.0 Vidrio 2.0 Ladrillo 2.0 Concreto 1.4 Agua 0.5 Tejido humano 0.3 Madera Fibra de vidrio 0.12 0.1 Corcho 0.1 Lana Pluma de ganso 0.06 0.06 Poliuretano 0.055 Aire

* * * * * * * * * * * * * * * * *

10–2 10–2 10–2 10–2 10–4 10–4 10–4 10–4 10–4 10–4 10–4 10–4 10–4 10–4 10–4 10–4 10–4

420 380 200 40 2 0.84 0.84 0.84 0.56 0.2 0.1 0.048 0.042 0.040 0.025 0.024 0.023

¿Por qué las alfombras se sienten más calientes que las baldosas? F Í S I C A

T1 - T2 Q = kA (14–4) t l donde A es el área transversal del objeto, l es la distancia entre los dos extremos, que están a temperaturas T1 y T2, y k es una constante de proporcionalidad llamada conductividad térmica, que es característica del material. A partir de la ecuación 14-4 se ve que la tasa de flujo de calor (unidades de J
s) es directamente proporcional al área transversal y al gradiente† de temperatura (T1 - T2)
l. En la tabla 14-4 se presentan las conductividades térmicas, k, para varias sustancias. Las sustancias para las que k es grande conducen el calor rápidamente, por lo que se dice que son buenos conductores. La mayoría de los metales entran en esta categoría, aunque existe un amplio rango incluso entre ellos, como podrá constatarse al sostener los extremos de una cuchara de plata y una cuchara de acero inoxidable sumergidos en el mismo plato con sopa caliente. Las sustancias para las que k es pequeña, como la lana, la fibra de vidrio, el poliuretano y la pluma de ganso, son pobres conductores del calor, y por tanto, son buenos aisladores. Las magnitudes relativas de k permiten explicar fenómenos simples como por qué un piso de baldosas se siente mucho más frío al pisar sobre él que un piso cubierto con alfombra a la misma temperatura. La baldosa es un mejor conductor del calor que la alfombra; el calor que fluye de los pies hacia la alfombra no se conduce rápidamente, de modo que la superficie de la alfombra pronto se calienta hasta alcanzar la temperatura de los pies y se siente bien. Pero la baldosa conduce el calor rápidamente, por lo que de inmediato toma más calor de los pies de una persona que camina sobre ella, de modo que la temperatura superficial de los pies desciende. EJEMPLO 14–10 Pérdida de calor a través de las ventanas. Una gran fuente de pérdida de calor en una casa son las ventanas. Calcule la tasa de flujo de calor a través de una ventana de vidrio de 2.0 m * 1.5 m de área y 3.2 mm de grosor, si las temperaturas en las superficies interior y exterior son 15.0°C y 14.0°C, respectivamente (figura 14-7).

A P L I C A D A

Pérdida de calor a través de las ventanas

PLANTEAMIENTO El calor fluye por conducción a través de los 3.2 mm de grosor del vidrio desde la temperatura interior más alta hacia la temperatura exterior más baja. Se emplea la ecuación de conducción de calor (ecuación 14-4). SOLUCIÓN Aquí, A = (2.0 m)(1.5 m) = 3.0 m2 y l = 3.2 * 10 –3 m. Al usar la tabla 14-4 para obtener k, se tiene

FIGURA 14–7 Ejemplo 14-10.

(0.84 J
sm C°)A3.0 m2 B(15.0°C - 14.0°C) T1 - T2 Q = kA = t l A3.2 * 10–3 mB = 790 J
s. NOTA Esta tasa de flujo de calor es equivalente a (790 J
s)
A4.19 * 103 J
kcalB = 0.19 kcal
s, o (0.19 kcal
s) * (3600 s
h) = 680 kcal
h.

A= 3.0 m2

14.0°C

15.0°C

†

l = 3.2 × 10−3 m

396

CAPÍTULO 14

Calor

La ecuación 14-4 es bastante similar a las relaciones que describen la difusión (sección 13-14) y el flujo de fluidos a través de una tubería (sección 10-12). En esos casos, se encontró que el flujo de materia es proporcional al gradiente de concentración AC1 - C2 B
l, o al gradiente de presión AP1 - P2 B
l. Esta cercana similitud es una razón por la que se habla de “flujo” de calor. Aunque se debe tener en mente que ninguna sustancia fluye en este caso: es energía la que se transfiere.

Tal vez el lector haya notado en el ejemplo 14-10 que 15°C no es una temperatura muy cálida para la sala de una casa. De hecho, la habitación en sí puede ser mucho más cálida, y el exterior más frío que 14°C. Pero las temperaturas de 15°C y 14°C fueron especificadas como las de las superficies de la ventana, y generalmente existe una considerable caída en la temperatura del aire en la vecindad de la ventana, tanto en el interior como en el exterior. Esto es, la capa de aire en cualquier lado de la ventana actúa como aislador, y normalmente la gran parte de la caída de temperatura entre el interior y el exterior de la casa tiene lugar a través de la capa de aire. Si existe un viento fuerte, el aire exterior a una ventana constantemente será sustituido con aire frío; el gradiente de temperatura a través del vidrio será mayor y habrá una tasa mucho más grande de pérdida de calor. Al aumentar el ancho de la capa de aire, como cuando se utilizan dos paneles de vidrio separados por aire, se reducirá la pérdida de calor más que cuando simplemente se aumenta el grosor del vidrio, puesto que la conductividad térmica del aire es mucho menor que la del vidrio. Las propiedades aislantes de la ropa provienen de las propiedades aislantes del aire. Sin ropa, el cuerpo calentaría el aire en contacto con la piel y pronto se sentiría razonablemente confortable porque el aire es muy buen aislador. Pero, como el aire se mueve (existen brisas y corrientes, y la gente se mueve) el aire caliente sería sustituido por aire frío, y en consecuencia aumentaría la diferencia de temperatura y la pérdida de calor del cuerpo. La ropa nos mantiene calientes al atrapar aire de modo que no pueda moverse con facilidad. No es la ropa la que aísla, sino el aire que la ropa atrapa. Las plumas de ganso son un excelente aislador porque incluso una pequeña cantidad de ellas se esponja y atrapa una gran cantidad de aire.

El viento puede provocar pérdidas de calor mucho más grandes F Í S I C A

A P L I C A D A

Ventanas térmicas

F Í S I C A

A P L I C A D A

La ropa aísla al atrapar una capa de aire

EJERCICIO B Explique por qué las cortinas colocadas frente a una ventana reducen la pérdida de calor de una casa.

Valores R para materiales de construcción Para fines prácticos, las propiedades térmicas de los materiales de construcción, en particular cuando se consideran como aislamiento, se especifican mediante valores R (o de “resistencia térmica”), definidos para un grosor dado l de material como:

l. k El valor R de una pieza dada de material combina el grosor l y la conductividad térmica k en un número. En Estados Unidos, los valores R están dados en unidades inglesas como pies2 hF°
Btu (por ejemplo, R-19 significa R = 19 pies2  h F°
Btu). La tabla 14-5 proporciona los valores R de algunos materiales de construcción comunes: note que los valores R aumentan directamente con el grosor del material. Por ejemplo, 2 pulgadas de fibra de vidrio es R-6, la mitad que para 4 pulgadas (= R-12; véase la tabla 14-5). R =

F Í S I C A

A P L I C A D A

Valores R de aislamiento térmico

TABLA 14–5 Valores R Valor R

Material

Grosor

(pies2  h  F°
Btu)

1 Vidrio 8 pulgada Ladrillo 3 12 pulgadas 1 Madera 2 pulgada contrachapada

Aislamiento de fibra de vidrio

1 0.6–1 0.6

4 pulgadas

12

14–7 Transferencia de calor: convección Aunque los líquidos y gases por lo general no son muy buenos conductores de calor, pueden transferir calor bastante rápidamente mediante convección. La convección es el proceso mediante el cual el calor fluye por el movimiento en masa de las moléculas desde un lugar hasta otro. Mientras que en la conducción participan moléculas (y
o electrones) que se mueven sólo a lo largo de pequeñas distancias y chocan, la convección implica el movimiento de grandes cantidades de moléculas a través de grandes distancias. Un horno de aire forzado, en el que el aire se calienta y luego se sopla con un ventilador hacia una habitación, es un ejemplo de convección forzada. También ocurre la convección natural, y un ejemplo familiar de ello es que el aire caliente sube. Por ejemplo, el aire sobre un radiador (u otro tipo de calentador) se expande conforme se calienta (capítulo 13) y, por consiguiente, su densidad disminuye. Como su densidad es menor que la del aire más frío de los alrededores, sube, tal como un tronco sumergido en agua flota hacia arriba porque su densidad es menor que la del agua. Las corrientes oceánicas calientes o frías, como la suave Corriente del Golfo, representan convección natural a escala mundial. El viento es otro ejemplo de convección, y el clima en general es resultado de corrientes de aire convectivas. SECCIÓN 14–7

F Í S I C A

A P L I C A D A

Corrientes oceánicas y viento

Transferencia de calor: convección

397

www.elsolucionario.org Agua más fría

Radiador

Agua Caldera caliente

Agua más caliente

FIGURA 14–8 Corrientes de convección en una olla con agua que se calienta sobre una estufa.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Calentamiento de una casa mediante convección

F Í S I C A

A P L I C A D A

Convección en los senderos de excursionismo inclinados FIGURA 14–10 Convección en un sendero de excursionismo: a) movimiento ascendente del aire en la mañana como resultado de que éste se calienta; b) movimiento descendente en la tarde porque el aire se enfría.

Hay tanto orden en la naturaleza que el sol comenzará a calentar el suelo más rápidamente que al aire. Y así, resulta que toda pendiente o ladera que toma el sol por la mañana pronto se convierte en una fuente de calor. Poco a poco calienta el aire sobre ella y éste, al volverse más ligero, comienza a elevarse. Pero no verticalmente hacia arriba, porque arriba todavía hay aire frío presionando hacia abajo. Asciende por la pendiente cálida, como muestran las flechas del diagrama adjunto [figura 14-10a]. Los visitantes al valle sólo recordarán haber escalado con gran dificultad algunos senderos interminables en forma de zigzag en un día cálido hasta quedarse sin aliento, con el sol a sus espaldas y el polvo flotando hacia arriba con ellos en una exasperante y molesta nube. Tal vez simplemente piensen que tuvieron la mala suerte de que el polvo subiera en ese día particular. Siempre lo hace en una pendiente calentada por el sol. Pero quizá también surjan recuerdos de otra ocasión cuando, al bajar cierto sendero, el polvo descendió con los viajantes, avanzando con ellos en zigzag como si tuviese un placer malicioso. Esto, sin embargo, ocurrió en el lado sombreado del valle. Porque ahí las condiciones son exactamente inversas. Cuando los rayos del sol pierden contacto con una pendiente, ésta comienza al mismo tiempo a perder su calor por radiación, y pronto estará más fría que el aire. Entonces la capa pegada al suelo gradualmente se enfría por contacto y, al volverse más pesada conforme se condensa, comienza a deslizarse hacia abajo por la pendiente [figura 14-10b]. Esto se debe a que normalmente existe una corriente as-

Sendero

b) Sendero

†

CAPÍTULO 14

Calor

FIGURA 14–9 La convección juega un papel en el calentamiento de una casa. Las flechas circulares muestran las corrientes de aire convectivas en las habitaciones.

Cuando una olla de agua se calienta (figura 14-8), se establecen corrientes de convección conforme el agua caliente en el fondo de la olla se eleva a causa de su densidad reducida. Esa agua caliente es sustituida por el agua más fría de arriba. Este principio se usa en muchos sistemas de calentamiento, como el sistema de radiador de agua caliente que se ilustra en la figura 14-9. El agua se calienta en la caldera y, conforme su temperatura aumenta, se expande y se eleva como se muestra. Esto provoca que el agua circule en el sistema de calefacción. Entonces el agua caliente entra a los radiadores, se transfiere calor por conducción hacia el aire y el agua fría regresa a la caldera. Así, el agua circula gracias a la convección; a veces se emplean bombas para mejorar la circulación. El aire a través de toda la habitación también se calienta como resultado de la convección. El aire calentado por los radiadores se eleva y es sustituido por aire más frío, lo que da como resultado corrientes de aire convectivas, como se indica con las flechas azules en la figura 14-9. Otros tipos de calderas también dependen de la convección. Las calderas de aire caliente con registros (aberturas) cerca del suelo con frecuencia carecen de ventiladores, pero dependen de la convección natural, que puede ser apreciable. En otros sistemas, se usa un ventilador. En cualquier caso, es importante que el aire frío pueda regresar a la caldera para que las corrientes convectivas circulen a través de toda la habitación si se desea que ésta se caliente de manera uniforme. El siguiente extracto de “Los vientos del valle Yosemite”,† del pionero ambientalista François Matthes describe otro ejemplo de convección y sus efectos:

a)

398

Frío

Reimpreso del Sierra Club Bulletin, junio de 1911, pp. 91-92.

cendente cálida en una pendiente iluminada por el sol y una corriente descendente fría en una pendiente sombreada; ésta es una regla en la que uno puede confiar casi cualquier día en una región sin vientos como el Yosemite. De hecho, uno puede sacar ventaja de ello y planear sus excursiones de modo que se encuentre con un camino libre de polvo.

El cuerpo humano produce una gran cantidad de energía térmica. De la energía de los alimentos transformada dentro del cuerpo, cuando mucho el 20% se utiliza para realizar trabajo, así que más del 80% se manifiesta como energía térmica. Durante la actividad ligera, por ejemplo, si esta energía térmica no se disipara, la temperatura corporal se elevaría alrededor de 3 C° por hora. Es evidente que el calor generado por el cuerpo debe transferirse hacia el exterior. ¿El calor se transfiere por conducción? La temperatura de la piel en un ambiente confortable es de 33 a 35°C, mientras que el interior del cuerpo está a 37°C. Un simple cálculo (problema 55) muestra que, a causa de esta pequeña diferencia de temperatura, más la baja conductividad térmica del tejido, la conducción directa es responsable de muy poco del calor que se debe disipar. Más bien, el calor se transporta a la superficie por la sangre. Además de realizar otras funciones importantes, la sangre actúa como un fluido convectivo para transferir el calor justo debajo de la superficie de la piel. Entonces se conduce (a través de una muy corta distancia) hacia la superficie. Una vez ahí, el calor se transfiere hacia el entorno por convección, evaporación y radiación (véase la sección 14-8).

F Í S I C A

A P L I C A D A

Calor corporal: convección por la sangre

14–8 Transferencia de calor: radiación La convección y la conducción requieren la presencia de materia como medio para llevar el calor desde la región más caliente hacia la más fría. Pero existe un tercer tipo de transferencia de calor que ocurre sin medio alguno. Toda la vida en la Tierra depende de la transferencia de energía desde el Sol, y esta energía se transfiere hacia la Tierra a través del espacio vacío (o casi vacío). Esta forma de transferencia de energía es calor —dado que la temperatura de la superficie del Sol es mucho mayor (6000 K) que la de la Tierra— y se le conoce como radiación (figura 14-11). El calor que se recibe de una fogata es principalmente energía radiante. (La mayor parte del aire calentado por el fuego en un hogar se eleva por convección hacia la chimenea y no llega a las personas que se encuentran cerca). Como se verá en capítulos posteriores, la radiación consiste esencialmente en ondas electromagnéticas. Por ahora, baste decir que la radiación del Sol consiste en luz visible más muchas otras longitudes de onda a las que el ojo no es sensible, como la radiación infrarroja (IR), que es la principal responsable del calentamiento de la Tierra. Se ha encontrado que la tasa a la que un objeto radia energía es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura Kelvin, T. Es decir, un cuerpo a 2000 K, en comparación con uno a 1000 K, radia energía a una tasa de 24 = 16 veces más. La tasa de radiación también es proporcional al área A del objeto emisor, de modo que la tasa a la que la energía deja el objeto,
Q

t, es

¢Q = esAT4. (14–5) ¢t Ésta es la ecuación de Stefan-Boltzmann, y  es una constante universal llamada constante Stefan-Boltzmann, que tiene el valor s = 5.67 * 10–8 W
m2 K4.

FIGURA 14–11 La superficie del Sol radia a 6000 K, mucho más que la superficie de la Tierra.

Radiación r T4

Constante Stefan-Boltzmann

El factor e, llamado emisividad, es un número entre 0 y 1 que es característico de la superficie del material que radia. Las superficies muy negras, como el carbón, tienen emisividad cercana a 1, mientras que las superficies metálicas brillantes tienen e cerca de cero, y por tanto, emiten menos radiación. El valor de e depende en cierto grado de la temperatura del cuerpo. No sólo las superficies brillantes emiten menos radiación, sino que absorben poca de la radiación que cae sobre ellas (la mayor parte se refleja). Por otra parte, los objetos negros y muy oscuros absorben casi toda la radiación que cae sobre ellos, por lo que es preferible vestir con colores claros y no con oscuros en un día caluroso. Así que un buen absorbedor también es un buen emisor. SECCIÓN 14–8

Emisividad

F Í S I C A

A P L I C A D A

Ropa oscura y clara Un buen absorbedor es un buen emisor

Transferencia de calor: radiación

399

Cualquier objeto no sólo emite energía por radiación, sino también absorbe energía radiada por otros cuerpos. Si un objeto de emisividad e y área A está a una temperatura T1 , radia energía a una tasa esAT41. Si el objeto está rodeado por un ambiente a temperatura T2 , la tasa a la que los alrededores radian energía es proporcional a T42, y la tasa a la que el objeto absorbe la energía es proporcional a T42. La tasa neta de flujo de calor radiante del objeto está dada por la ecuación Tasa de flujo neto de radiación de calor

¢Q = esA AT41 - T42 B, ¢t

(14–6)

donde A es el área superficial del objeto, T1 es su temperatura y e su emisividad (a temperatura T1), y T2 es la temperatura de los alrededores. En esta ecuación la tasa de absorción de calor por un objeto se tomó como esAT42; esto es, la constante de proporcionalidad es la misma tanto para la emisión como para la absorción. Esto debe ser cierto para corresponder con el hecho experimental de que el equilibrio entre el objeto y sus alrededores se alcanza cuando llegan a la misma temperatura. Esto es, ¢Q
¢ t debe ser igual a cero cuando T1 = T2 , de modo que los coeficientes de los términos de emisión y absorción sean los mismos. Esto confirma la idea de que un buen emisor es un buen absorbedor. Puesto que tanto el objeto como sus alrededores radian energía, existe una transferencia neta de energía de uno a otro a menos que todo esté a la misma temperatura. A partir de la ecuación 14-6 es claro que, si T1  T2, el flujo neto de calor es del objeto hacia los alrededores, así que el objeto se enfría. Pero si T1  T2, el flujo neto de calor es de los alrededores hacia el objeto, y su temperatura se eleva. Si diferentes partes de los alrededores están a distintas temperaturas, la ecuación 14-6 se vuelve más compleja. F Í S I C A

A P L I C A D A

Pérdida de calor radiado del cuerpo

EJEMPLO 14–11 ESTIMACIÓN Enfriamiento por radiación. Un atleta está sentado sin ropa en un vestidor cuyas paredes oscuras están a una temperatura de 15°C. Estime la tasa de pérdida de calor por radiación, si se supone una temperatura de la piel de 34°C y e = 0.70. Considere que el área superficial del cuerpo que no está en contacto con la silla es de 1.5 m2. PLANTEAMIENTO Se puede hacer una estimación aproximada mediante las suposiciones dadas y la ecuación 14-6, para la que se deben usar temperaturas Kelvin. SOLUCIÓN Se tiene

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Debe utilizarse la temperatura Kelvin

F Í S I C A

A P L I C A D A

Confort ambiental

La temperatura de la paredes y los alrededores, no sólo del aire, afectan el confort

400

CAPÍTULO 14

Calor

¢Q = esA AT41 - T42 B ¢t = (0.70)A5.67 * 10–8 W
m2  K4 BA1.5 m2 B C (307 K)4 - (288 K)4 D = 120 W. NOTA La “salida” de esta persona en reposo es un poco más de lo que usa una bombilla de 100 W. Una persona en reposo naturalmente produce calor interno a una tasa aproximada de 100 W (capítulo 15), una cifra menor que la pérdida de calor por radiación calculada en este ejemplo. De esta forma, la temperatura de la persona descendería, lo que provocaría incomodidad. El cuerpo responde a la pérdida excesiva de calor mediante el incremento de su tasa metabólica (sección 15-3) y tiritar es un método mediante el cual el cuerpo aumenta su metabolismo. Naturalmente, la ropa ayuda mucho. El ejemplo 14-11 ilustra que una persona puede sentirse incómoda incluso en una habitación bastante cálida en la que la temperatura del aire sea de unos 25°C. Si las paredes o el piso están fríos, la radiación hacia ellos ocurre sin importar cuán caliente esté el aire. De hecho, se estima que la radiación explica aproximadamente el 50% de la pérdida de calor de una persona sedentaria en una habitación normal. Las habitaciones son más confortables cuando las paredes y el piso son cálidos, mientras que el aire no lo es tanto. Los pisos y las paredes se pueden calentar mediante conductos de agua caliente o elementos calefactores eléctricos. Tales sistemas calefactores de primera clase son muy comunes en la actualidad, pero es interesante señalar que hace 2000 años los romanos ya usaban conductos de agua caliente y

www.elsolucionario.org vapor en el piso para calentar sus casas, incluso en aquellas ubicadas en la remota provincia de Gran Bretaña. EJEMPLO 14–12 ESTIMACIÓN Dos teteras. Una tetera de cerámica (e = 0.70) y una brillante (e = 0.10) contienen cada una 0.75 L de té a 95°C. a) Estime la tasa de pérdida de calor de cada una y b) estime el descenso de temperatura para cada una luego de 30 min. Considere sólo la radiación y suponga que los alrededores están a 20°C. PLANTEAMIENTO Se proporciona toda la información necesaria para calcular la pérdida de calor debida a radiación, excepto el área. Las teteras contienen 0.75 L y se pueden considerar como un cubo de 10 cm por lado (volumen = 1.0 L), con cinco lados expuestos. Para estimar la caída de temperatura en b), se utiliza el concepto de calor específico y se ignora la aportación de las teteras en comparación con la del agua. SOLUCIÓN a) La tetera, considerada como un cubo de 10 cm de lado, con cinco lados expuestos, tiene un área superficial aproximada de 5 * (0.1 m)2 = 5 * 10-2 m2. La tasa de pérdida de calor será de

¢Q = esA AT41 - T42 B ¢t = e A5.67 * 10–8 W
m2 K4 B A5 * 10–2 m2 B C (368 K)4 - (293 K)4 D L e(30) W, o aproximadamente 20 W para la tetera de cerámica (e = 0.70) y de 3 W para la tetera brillante (e = 0.10). b) Para estimar la caída de temperatura, se utiliza el calor específico del agua y se ignora la aportación de las teteras. La masa de 0.75 L de agua es de 0.75 kg. (Recuerde que 1.0 L = 1000 cm3 = 1 * 10 –3 m3 y r = 1000 kg
m3). Al usar la ecuación 14-2 y la tabla 14-1 se obtiene

¢Q ¢T . = mc ¢t ¢t Entonces

e(30) J
s ¢Q
¢ t ¢T L = = e(0.01) C°
s. mc ¢t (0.75 kg)A4.186 * 103 J
kgC°B Después de 30 min (1800 s),
T = e(0.01 C°
s)
t = e(0.01 C°
s)(1800 s) = 18e C°, o alrededor de 12 C° para la tetera de cerámica e = 0.70 y aproximadamente 2 C° para la tetera brillante (e = 0.10). Es evidente que esta última tiene una ventaja, al menos en lo que concierne a la radiación. NOTA La convección y la conducción podrían jugar un papel más importante que la radiación. El calentamiento de un objeto mediante la radiación proveniente del Sol no se puede calcular mediante la ecuación 14-6 pues ésta supone una temperatura uniforme, T2, del ambiente que rodea al objeto, mientras que el Sol es esencialmente una fuente puntual. Por esta razón, el Sol se debe considerar como una fuente de energía por separado. El calentamiento por el Sol se calcula considerando el hecho de que casi 1350 J de energía proveniente de él llegan a la atmósfera de la Tierra por segundo por metro cuadrado de área en ángulos rectos a los rayos solares. Este número, 1350 W
m2, se llama constante solar. La atmósfera puede absorber tanto como un 70% de esta energía antes de que alcance el suelo, dependiendo de la cubierta de nubes. En un día despejado, aproximadamente 1000 W
m2 alcanzan la superficie de la Tierra. Un objeto de emisividad e con área A que enfrenta al Sol absorbe energía proveniente del Sol a una tasa, en watts, de

¢Q = A1000 W
m2 BeA cos u, ¢t

F Í S I C A

Constante solar FIGURA 14–12 Energía radiante que hace contacto con un cuerpo a un ángulo u.

Ac

(14–7)

donde u es el ángulo entre los rayos del Sol y una línea perpendicular al área A (figura 14-12). Esto es, A cos  es el área “efectiva”, en ángulos rectos a los rayos del Sol. SECCIÓN 14–8

A P L I C A D A

Radiación del Sol

os

A

θ

θ

Transferencia de calor: radiación

θ

401

Eje

Ecuador Tierra (junio)

Sol

Tierra (diciembre)

a)

Junio

EJEMPLO 14–13 ESTIMACIÓN Cómo broncearse; absorción de energía. ¿Cuál es la tasa de absorción de energía proveniente del Sol para una persona que se encuentra tendida sobre la playa en un día despejado, si el Sol forma un ángulo de 30° con la vertical? Suponga que e = 0.70 y que 1000 W
m2 alcanzan la superficie de la Tierra.

Eje

Ecu ado r

(A) θ ≈ 0° (Verano)

La explicación de las estaciones y las capas de hielo polar (figura 14-13) depende de este factor cos u en la ecuación 14-7. Las estaciones no son resultado de la cercanía de la Tierra con respecto al Sol; de hecho, en el hemisferio norte, el verano tiene lugar cuando la Tierra está más lejos del Sol. Es el ángulo (es decir, cos
) lo que en realidad importa. Más aún, la razón por la que el Sol calienta la Tierra más al mediodía que durante el amanecer o el anochecer, también está relacionada con este factor cos
.

Rayos del Sol (junio)

PLANTEAMIENTO Se emplea la ecuación 14-7 y se estima que un humano mide aproximadamente 2 m de altura y 0.4 m de ancho, de modo que A L (2 m) (0.4 m) = 0.8 m2. SOLUCIÓN Como cos 30° = 0.866, se tiene

23°

¢Q = A1000 W
m2 BeA cos u ¢t

(C) θ ≈ 90° (B) θ ≈ 50° (Frío) (Invierno) b) FIGURA 14–13 a) Las estaciones del año surgen a partir del ángulo de 23 12° que el eje de la Tierra forma con su órbita alrededor del Sol. b) La luz solar de junio forma un ángulo de aproximadamente 23° con el ecuador. Por tanto, u en el sur de Estados Unidos (A) es cercano a 0° (luz solar directa en verano), mientras que en el hemisferio sur (B),
es de 50° o 60°, y se puede absorber menos calor; por tanto, es invierno. Cerca de los polos (C) nunca existe intensa luz solar directa; cos
varía de más o menos 12 en verano a 0 en invierno, así que, con poco calentamiento, se puede formar hielo.

= A1000 W
m2 B(0.70)A0.8 m2 B(0.866) = 500 W.

NOTA Si una persona viste ropa de colores claros, e es una cantidad más pequeña, de modo que la energía absorbida es menor. Una interesante aplicación de la radiación térmica al diagnóstico médico es la termografía. Un instrumento especial, el termógrafo, escanea el cuerpo, mide la intensidad de radiación de muchos puntos y forma un cuadro que recuerda una radiografía (figura 14-14). Con frecuencia, en un termograma se pueden detectar las áreas donde la actividad metabólica es alta, como en los tumores, como resultado de sus temperaturas más altas y el consecuente aumento de radiación.

FIGURA 14–14 Termogramas de brazos y manos de una persona saludable a) antes y b) después de fumar un cigarrillo, que muestran una disminución de temperatura debida a una circulación sanguínea deteriorada asociada con fumar. A los termogramas se les ha asignado un código de color de acuerdo con la temperatura; la escala a la derecha va desde azul (frío) hasta blanco calor). F Í S I C A

A P L I C A D A

Astronomía: tamaño de una estrella

a)

b)

EJEMPLO 14–14 ESTIMACIÓN Radio de una estrella. La estrella gigante Betelgeuse emite energía radiante a una tasa 104 veces mayor que el Sol, mientras que su temperatura superficial sólo es la mitad (2900 K) de la del Sol. Estime el radio de Betelgeuse, si se supone e = 1. El radio del Sol es rS = 7 * 108 m. PLANTEAMIENTO Se supone que tanto Betelgeuse como el Sol son esféricos, con un área superficial de 4pr 2. SOLUCIÓN Se resuelve la ecuación 14-5 para A:

4pr2 = A = Entonces

(¢Q
¢ t) esT4

.

(¢Q
¢ t)B T4S r2B =  = A104 BA2 4 B = 16 * 104. (¢Q
¢ t)S T4B r2S Por tanto, rB = 316 * 104 rS = (400)A7 * 108 mB L 3 * 1011 m. Si Betelgeuse fuese el Sol, envolvería a la Tierra (la Tierra está a 1.5 * 1011 m del Sol).

402

CAPÍTULO 14

Calor

Resumen La energía interna, U, se refiere a la energía de todas las moléculas de un objeto. Para un gas monoatómico ideal,

U = 32 NkT = 32 nRT

(14–1)

donde N es el número de moléculas o n es el número de moles. El calor se refiere a la transferencia de energía de un objeto a otro como resultado de una diferencia de temperatura. Por eso, el calor se mide en unidades de energía, como joules. El calor y la energía interna a veces también se especifican en calorías o kilocalorías (kcal), donde

1 kcal = 4.186 kJ es la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 kg de agua en 1 C°. El calor específico, c, de una sustancia se define como la energía (o calor) que se requiere para cambiar la temperatura de masa unitaria de sustancia por 1 grado; como ecuación, Q = mc ¢T, (14–2) donde Q es el calor absorbido o entregado, ¢T es el aumento o disminución de temperatura y m es la masa de la sustancia. Cuando el calor fluye entre las partes de un sistema aislado, la conservación de la energía indica que el calor ganado por una parte del sistema es igual al calor perdido por otra. Ésta es la base de la calorimetría, que es la medición cuantitativa del intercambio de calor.

El intercambio de energía ocurre, sin cambio en la temperatura, siempre que una sustancia cambia de fase. El calor de fusión es el calor requerido para fundir 1 kg de un sólido en la fase líquida; también es igual al calor entregado cuando la sustancia cambia de líquido a sólido. El calor de vaporización es la energía requerida para cambiar 1 kg de una sustancia de la fase líquida a vapor; también es la energía entregada cuando la sustancia cambia de vapor a líquido. El calor se transfiere de un lugar (u objeto) a otro en tres diferentes formas: conducción, convección y radiación. En la conducción, la energía se transfiere de las moléculas o electrones con mayor energía cinética a los vecinos con EC más baja cuando chocan. La convección es la transferencia de energía mediante el movimiento en masa de las moléculas a través de distancias considerables. La radiación, que no requiere la presencia de materia, es transferencia de energía mediante ondas electromagnéticas, como las provenientes del Sol. Todos los objetos radian energía en una cantidad que es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura Kelvin AT4 B y a su área superficial. La energía radiada (o absorbida) también depende de la naturaleza de la superficie (las superficies oscuras absorben y radian más que las brillantes), lo que se caracteriza con la emisividad, e. La radiación proveniente del Sol llega a la superficie de la Tierra, en un día claro, a una tasa de aproximadamente 1000 W
m2.

Preguntas 1. ¿Qué ocurre al trabajo realizado cuando un frasco de jugo de naranja se agita vigorosamente? 2. Cuando un objeto caliente calienta un objeto más frío, ¿fluye temperatura entre ellos? ¿Los cambios de temperatura de los dos objetos son iguales? 3. a) Si dos objetos de diferentes temperaturas se ponen en contacto, ¿el calor fluirá naturalmente del objeto con mayor energía interna hacia el objeto con menor energía interna? b) ¿Es posible que el calor fluya incluso si las energías internas de los dos objetos son iguales? Explique su respuesta. 4. En regiones cálidas, donde las plantas tropicales crecen pero la temperatura puede descender por debajo de la congelación unas cuantas veces en el invierno, la destrucción de las plantas sensibles al congelamiento se puede reducir si se riegan por la tarde. Explique por qué. 5. El calor específico del agua es bastante elevado. Explique por qué este hecho hace al agua particularmente buena para sistemas de calefacción (como radiadores de agua caliente). 6. ¿Por qué el agua en una cantimplora metálica permanece más fría si la cubierta que rodea a la cantimplora se mantiene húmeda? 7. Explique por qué las quemaduras de la piel por vapor en ocasiones son más severas que las quemaduras provocadas por agua a 100°C. 8. Con los conceptos de calor latente y energía interna, explique por qué el agua se enfría (su temperatura desciende) cuando se evapora. 9. ¿Las papas se cocinarán más rápido si el agua hierve más rápido? 10. ¿Un ventilador eléctrico ordinario enfría el aire? ¿Por qué sí o por qué no? Si no, ¿por qué se le usa? 11. Muy alto en la atmósfera de la Tierra, la temperatura puede alcanzar los 700°C. Pero un animal que estuviera ahí moriría congelado y no quemado. Explique por qué.

12. Los exploradores de las fracasadas expediciones árticas han sobrevivido cubriéndose con nieve. ¿Cuál es la razón para hacer eso? 13. ¿Por qué la arena húmeda en la playa es más fresca para caminar sobre ella que la arena seca? 14. Si se dice que un objeto tiene “alto contenido de calor”, ¿eso significa que su temperatura es alta? Explique su respuesta. 15. Cuando las calderas de aire caliente se usan para calentar una casa, ¿por qué es importante que exista un respirador para que el aire regrese a la caldera? ¿Qué ocurre si este respirador está bloqueado por un librero? 16. Los ventiladores de techo a veces son reversibles, de modo que pueden dirigir el aire hacia abajo en una estación y jalarlo hacia arriba en otra estación. ¿En qué dirección es conveniente poner el ventilador en verano? ¿Y en invierno? 17. Las bolsas de dormir y parkas generalmente están especificadas en tantas pulgadas o centímetros de alto, que se refieren al grosor real de la prenda cuando está esponjada. Explique este hecho. 18. Los chips de microprocesadores tienen un “disipador de calor” pegado en su parte superior que parece una serie de aletas. ¿Por qué se le da esa forma? 19. Las brisas marinas con frecuencia se encuentran en los días soleados en la orilla de un gran cuerpo de agua. Explique esto a la luz del hecho de que la temperatura de la Tierra se eleva más rápidamente que la del agua cercana. 20. El piso de una casa sobre un cimiento bajo el que el aire puede fluir, por lo general es más frío que el piso que descansa directamente sobre el suelo (como un cimiento de losa de concreto). Explique por qué. 21. Un día a 22°C es caluroso, mientras que una alberca a 22°C se siente fría. ¿Por qué? 22. Explique por qué las lecturas de la temperatura del aire siempre se toman con el termómetro en la sombra. 23. Un bebé prematuro se puede enfriar peligrosamente dentro de una incubadora aun cuando la temperatura del aire en la incubadora sea cálida. Explique por qué.

Preguntas

403

www.elsolucionario.org 24. ¿Por qué es plateado el revestimiento de la botella de un termo (figura 14-15), Tapa y por qué tiene un vacío entre sus dos Cubierta externa paredes?

Aire Revestimiento Líquido, caliente o frío Vacío FIGURA 14–15 Pregunta 24.

Soporte de goma

25. Imagine que una pared está muy bien aislada: tiene una resistencia térmica, R1 muy alta. Ahora se coloca en ella una ventana con un valor R relativamente bajo, R2 . ¿Qué ocurre con el valor R global de la pared más la ventana, comparado con R1 y R2 ? [Sugerencia: Considere que la diferencia de temperatura a través de la pared todavía es la misma en todas partes].

26. La pérdida de calor ocurre a través de las ventanas mediante los siguientes procesos: 1. ventilación alrededor de los bordes; 2. a través del marco, particularmente si es de metal; 3. a través de los paneles de vidrio; y 4. radiación. a) Para los primeros tres, ¿cuál es el mecanismo o los mecanismos implicados: conducción, convección o radiación? b) ¿Las cortinas pesadas reducen alguna de estas pérdidas de calor? Explique en detalle. 27. Una pieza de madera que yace bajo los rayos del sol absorbe más calor que una pieza de metal brillante, pero la madera se siente menos caliente que el metal cuando se le levanta. Explique por qué. 28. La Tierra se enfría en la noche mucho más rápidamente cuando el cielo está despejado que cuando está nublado. ¿Por qué? 29. Una “cobija de emergencia” es una delgada hoja plástica brillante (recubierta de metal). Explique cómo es que esta cobija puede ayudar a que una persona inmóvil se mantenga caliente. 30. Explique por qué las ciudades situadas cerca del océano tienden a tener menos temperaturas extremas que las ciudades tierra adentro en la misma latitud.

Problemas 14-1 Calor como transferencia de energía 1. (I) ¿Cuánto calor (en joules) se requiere para elevar la temperatura de 30.0 kg de agua, de 15°C a 95°C? 2. (I) ¿A qué temperatura 7700 J de calor elevarán 3.0 kg de agua que inicialmente está a 10.0°C? 3. (II) Una persona activa promedio consume aproximadamente 2500 Cal al día. a) ¿A cuánto equivale esto en joules? b) ¿A cuánto equivale en kilowatt-hora? c) Una compañía de suministro eléctrico carga aproximadamente 10 centavos de dólar por kilowatt-hora. ¿Cuánto costaría la energía por día si se le pudiera comprar en la central eléctrica? ¿Una persona se podría alimentar con esta cantidad de dinero por día? 4. (II) Una unidad térmica británica (Btu) es una unidad de calor en el sistema inglés de unidades. Un Btu se define como el calor necesario para elevar 1 lb de agua por 1 F°. Demuestre que

11. (II) Un termómetro de vidrio de 35 g registra 21.6°C antes de colocarse en 135 mL de agua. Cuando el agua y el termómetro llegan al equilibrio, el termómetro indica 39.2°C. ¿Cuál fue la temperatura original del agua? 12. (II) ¿Cuál será la temperatura de equilibrio cuando un bloque de cobre de 245 g a 285°C se coloque en un vaso calorimétrico de aluminio de 145 g que contiene 825 g de agua a 12.0°C? 13. (II) Una herradura de hierro caliente (masa = 0.40 kg), apenas forjada (figura 14-16), se suelta en 1.35 L de agua en un cazo de hierro de 0.30 kg inicialmente a 20°C. Si la temperatura final de equilibrio es de 25.0°C, estime la temperatura inicial de la herradura caliente.

1 Btu = 0.252 kcal = 1055 J. 5. (II) Un calentador de agua puede generar 32,000 kJ
h. ¿Cuánta agua puede calentar de 15°C a 50°C por hora? 6. (II) Un pequeño calentador de inmersión está clasificado en 350 W. Estime cuánto tardará en calentar una taza de sopa (suponiendo que se trata de 250 mL de agua) de 20°C a 60°C. 7. (II) ¿Cuántas kilocalorías se generan cuando se usan los frenos para llevar a un automóvil de 1200 kg al reposo desde una rapidez de 95 km
h? 14-3 y 14-4 Calor específico; calorimetría 8. (I) El sistema de enfriamiento de un automóvil contiene 16 L de agua. ¿Cuánto calor absorbe si su temperatura se eleva de 20 a 90°C? 9. (I) ¿Cuál es el calor específico de una sustancia metálica si se necesitan 135 kJ de calor para elevar 5.1 kg del metal de 18.0 a 31.5°C? 10. (II) Muestras de cobre, aluminio y agua experimentan el mismo aumento de temperatura cuando absorben la misma cantidad de calor. ¿Cuál es la razón de sus masas? [Sugerencia: Consulte la tabla 14-1].

404

CAPÍTULO 14

Calor

FIGURA 14–16 Problema 13. 14. (II) Una muestra de 215 g de una sustancia se calienta a 330°C y luego se sumerge en un vaso calorimétrico de aluminio de 105 g que contiene 165 g de agua y un termómetro de vidrio de 17 g a 12.5°C. La temperatura final es de 35.0°C. ¿Cuál es el calor específico de la sustancia? (Suponga que el agua no hierve). 15. (II) ¿Cuánto le toma a una cafetera de 750 W llevar a la ebullición a 0.75 L de agua inicialmente a 8.0°C? Suponga que la parte de la cafetera que se calienta con el agua está hecha de 360 g de aluminio y que el agua no hierve. 16. (II) Estime el contenido calórico de 75 g de dulce proveniente de las siguientes mediciones. Una muestra de 15 g del dulce se seca antes de colocarse en una bomba calorimétrica. La bomba de aluminio tiene una masa de 0.725 kg y se coloca en 2.00 kg de agua contenida en un vaso calorimétrico de aluminio de 0.624 kg de masa. La temperatura inicial de la mezcla es de 15.0°C y su temperatura después de la ignición es de 53.5°C.

17. (II) Cuando una pieza de hierro de 290 g a 180°C se coloca en un vaso calorimétrico de aluminio de 95 g que contiene 250 g de glicerina a 10°C, la temperatura final es de 38°C. Estime el calor específico de la glicerina. 18. (II) La cabeza de 1.20 kg de un martillo tiene una rapidez de 6.5 m
s justo antes de golpear un clavo (figura 14-17) y llega al reposo. Estime la elevación de temperatura de un clavo de hierro de 14 g generada por 10 de tales martillazos realizados en rápida sucesión. Se supone que el clavo absorbe toda la energía.

FIGURA 14–17 Problema 18. 19. (II) Una esfera de aluminio de 0.095 kg se suelta desde el techo de un edificio de 45 m de alto. Si el 65% de la energía térmica producida cuando golpea el suelo la absorbe la esfera, ¿cuál es el aumento de su temperatura? 20. (II) La capacidad calórica, C, de un objeto se define como la cantidad de calor necesaria para elevar su temperatura en 1 C°. En consecuencia, para elevar la temperatura en ¢T se requiere calor Q dado por

Q = C ¢T. a) Escriba la capacidad calórica C en términos del calor específico, c, del material. b) ¿Cuál es la capacidad calórica de 1.0 kg de agua? c) ¿De 25 kg de agua? 14-5 Calor latente 21. (I) ¿Cuánto calor se necesita para fundir 16.50 kg de plata que inicialmente están a 20°C? 22. (I) Durante el ejercicio, una persona puede entregar 180 kcal de calor en 30 min por evaporación de agua de la piel. ¿Cuánta agua se ha perdido? 23. (I) Si se suministran 2.80 * 105 J de energía a un matraz de oxígeno líquido a – 183°C, ¿cuánto oxígeno se puede evaporar? 24. (II) Un cubo de hielo de 30 g en su punto de fusión se suelta en un contenedor aislado de nitrógeno líquido. ¿Cuánto nitrógeno se evapora si éste está en su punto de ebullición de 77 K y tiene un calor latente de vaporización de 200 kJ
kg? Por simplicidad, se supone que el calor específico del hielo es una constante y que es igual a su valor cerca de su punto de fusión. 25. (II) Un cubo de hielo se toma del congelador cuando está a –8.5°C y se coloca en un calorímetro de aluminio de 95 g lleno con 310 g de agua a temperatura ambiente de 20.0°C. Se observa que la situación final es sólo agua a 17.0°C. ¿Cuál fue la masa del cubo de hielo? 26. (II) Un quemador de hierro de 230 kg de masa contiene 830 kg de agua a 18°C. Un calentador suministra energía a una tasa de 52,000 kJ
h. ¿Cuánto le toma al agua a) alcanzar el punto de ebullición y b) convertirse por completo en vapor? 27. (II) En una carrera en un día caluroso, un ciclista consume 8.0 L de agua durante el trayecto de cuatro horas. Si se considera que toda la energía del ciclista se pierde en evaporar esta agua como sudor, ¿cuánta energía en kcal usó el ciclista durante el recorrido? (Como la eficiencia del ciclista sólo es cercana al 20%, la mayor parte de la energía consumida se convierte en calor, así que la aproximación no es tan descabellada). 28. (II) ¿Qué masa de vapor a 100°C se debe agregar a 1.00 kg de hielo a 0°C para producir agua líquida a 20°C?

29. (II) El calor específico del mercurio es 138 J
kg C°. Determine el calor latente de fusión del mercurio con el uso de los siguientes datos calorimétricos: 1.00 kg de Hg sólido en su punto de fusión de –39.0°C se coloca en un calorímetro de aluminio de 0.620 kg con 0.400 kg de agua a 12.80°C; la temperatura de equilibrio resultante es 5.06°C. 30. (II) Una bala de 70 g que viaja a 250 m
s penetra un bloque de hielo a 0°C y llega al reposo dentro del hielo. Si se supone que la temperatura de la bala no cambia de manera apreciable, ¿cuánto hielo se derrite como resultado de la colisión? 31. (II) Un patinador de 54.0 kg que se mueve a 6.4 m
s se desliza hasta detenerse. Si se supone que el hielo está a 0°C y que el 50% del calor generado por la fricción lo absorbe el hielo, ¿cuánto hielo se derrite? 32. (II) En la escena de un crimen, el investigador forense nota que la bala de plomo de 8.2 g, que fue detenida por el marco de la puerta, aparentemente se derritió por completo con el impacto. Si se supone que la bala se disparó a temperatura ambiente (20°C), ¿cuánto calcula el investigador como la velocidad mínima de salida de la boca del arma? 14-6 a 14-8 Conducción, convección, radiación 33. (I) Un extremo de una barra de aluminio de 33 cm de largo, con un diámetro de 2.0 cm, se mantiene a 460°C, y el otro se sumerge en agua a 22°C. Calcule la tasa de conducción de calor a lo largo de la barra. 34. (I) Calcule la tasa de flujo de calor mediante conducción en el ejemplo 14-10, suponiendo que existen fuertes vientos borrascosos y que la temperatura externa es de –5°C. 35. (I) a) ¿Cuánta potencia radia una esfera de tungsteno (emisividad e = 0.35) de 22 cm de radio a una temperatura de 25°C? b) Si la esfera se encierra en una habitación cuyas paredes se mantienen a –5°C, ¿cuál es la tasa de flujo neta de energía que sale de la esfera? 36. (II) Conducción de calor a la piel. Suponga que 200 W de calor fluyen por conducción desde los capilares sanguíneos debajo de la piel hacia una región de la superficie del cuerpo de 1.5 m2. Si la diferencia de temperatura es 0.50 C°, estime la distancia promedio de los capilares debajo de la superficie de la piel. 37. (II) Dos habitaciones, cada una un cubo de 4.0 m por lado, comparten una pared de ladrillo de 12 cm de grosor. A causa de cierta cantidad de bombillas de 100 W en una habitación, el aire está a 30°C, mientras que en la otra habitación está a 10°C. ¿Cuántas bombillas de 100 W se necesitan para mantener la diferencia de temperatura a través de la pared? 38. (II) ¿Cuánto le tomará al Sol derretir un bloque de hielo a 0°C con una área horizontal plana de 1.0 m2 y un grosor de 1.0 cm? Suponga que los rayos de Sol forman un ángulo de 30° con la vertical y que la emisividad del hielo es 0.050. 39. (II) Una barra de cobre y una barra de aluminio de la misma longitud y área transversal se unen extremo con extremo (figura 14-18). El extremo de cobre se coloca en una caldera que se mantiene a una temperatura constante de 250°C. El extremo de aluminio se coloca en un baño de hielo que se mantiene a temperatura constante de 0.0°C. Calcule la temperatura en el punto donde se unen las dos barras.

Cu 250°C

Al T=?

0.0°C

FIGURA 14–18 Problema 39.

Problemas

405

40. (II) a) Utilice la constante solar y estime la tasa a la que toda la Tierra recibe energía del Sol. b) Suponga que la Tierra radia una cantidad igual de vuelta al espacio (es decir, la Tierra está en equilibrio). Entonces, si se supone que la Tierra es un emisor perfecto (e = 1.0), estime su temperatura superficial promedio. 41. (II) Una bombilla de 100 W genera 95 W de calor, que se disipa a través de un bulbo de vidrio que tiene un radio de 3.0 cm y un grosor de 1.0 mm. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las superficies interior y exterior del vidrio? 42. (III) Las cualidades aisladoras de la pared de una casa provienen principalmente de Ladrillo Aislamiento una capa de ladrillo de 4.0 (R1) (R2) pulgadas y una capa de aislamiento R-19, como se muestra en la figura 14-19. ¿Cuál es la tasa total de T1 T2 pérdida de calor a través de tal pared, si su área total Flujo es de 240 ft2 y la diferencia de de temperatura a través de calor ella es de 12 F°?

FIGURA 14–19 Dos capas que aíslan una pared. Problema 42.

43. (III) Una ventana de doble vidrio tiene dos paneles de vidrio separados por un espacio de aire (figura 14-20). a) Demuestre que la tasa de flujo de calor por conducción a través de esa ventana está dada por

Q

t

=

A AT2 - T1 B

l1
k1 + l2
k2 + l3
k3

Vidrio

,

donde k1, k2 y k3 son las conductividades térmicas para el vidrio, el aire y el vidrio, respectivamente. b) Generalice esta expresión para cualquier número de materiales colocados uno junto a otro.

FIGURA 14–20 Problema 43.

T1

Aire

l1

l2

T2

l3

44. (III) ¿Aproximadamente cuánto le tomaría derretirse a 11.0 kg de hielo a 0°C cuando se coloca cuidadosamente en una hielera de espuma de estireno sellada con dimensiones 25 cm * 35 cm * 55 cm, cuyas paredes tienen 1.5 cm de grosor? Suponga que la conductividad de la espuma de estireno es el doble de la del aire y que la temperatura exterior es de 32°C.

Problemas generales 45. Una lata de bebida refrescante contiene aproximadamente 0.20 kg de líquido a 5°C. Beber este líquido en realidad puede consumir parte de la grasa del cuerpo, a causa de la energía que se necesita para calentar el agua a temperatura corporal (37°C). ¿Cuántas Calorías alimenticias debe tener la bebida para que esté en perfecto equilibrio con el calor necesario para calentar el líquido? 46. Si el carbón entrega 30 MJ
kg cuando se quema, ¿cuánto carbón se necesitaría para calentar una casa que requiere 2.0 * 105 MJ para todo el invierno? Suponga que el 30% del calor se pierde en la chimenea. 47. Para tener una idea de cuánta energía térmica contienen los océanos del mundo, estime el calor liberado cuando un cubo de agua de océano, de 1 km de lado, se enfría en 1 K. (Considere al agua de océano como agua pura para esta estimación). 48. Una bala de plomo de 15 g se prueba al dispararla contra un bloque de madera fijo con una masa de 1.05 kg. El bloque y la bala incrustada absorben juntos todo el calor generado. Después de que se alcanza el equilibrio térmico, el sistema tiene una elevación de temperatura medida en 0.020 C°. Estime la rapidez de entrada de la bala. 49. a) Encuentre la potencia total radiada al espacio por el Sol, si se supone que es un emisor perfecto a T = 5500 K. El radio del Sol es de 7.0 * 108 m. b) A partir de esto, determine la potencia por unidad de área que llega a la Tierra, a 1.5 * 1011 m de distancia (figura 14-21).

r = 1.5 × 1011 m Sol

Tierra

FIGURA 14–21 Problema 49.

406

CAPÍTULO 14

Calor

50. Durante la realización de una actividad ligera, una persona de 70 kg puede generar 200 kcal
h. Si se supone que el 20% de esto se va en trabajo útil y el otro 80% se convierte en calor, calcule el aumento de temperatura del cuerpo después de 1.00 h si nada de este calor se transfiere al ambiente. 51. Una gran roca redonda de mármol de 340 kg rueda desde lo alto de un risco y cae por una altura vertical de 140 m antes de golpear el suelo. Estime el aumento de temperatura de la roca si el 50% del calor generado permanece en ella. 52. Una bola de plomo de 2.3 kg se suelta en una cubeta aislada de agua de 2.5 L inicialmente a 20.0°C. Si la temperatura final de la combinación agua-plomo es de 28.0°C, ¿cuál fue la temperatura inicial de la bola de plomo? 53. Un escalador de montañas viste una chamarra de pluma de ganso de 3.5 cm de grosor con área superficial total de 1.2 m2. La temperatura en la superficie de la ropa es de –20°C y en la piel es de 34°C. Determine la tasa de flujo de calor por conducción a través de la chamarra a) si se supone que está seca y la conductividad térmica k es la de la pluma, y b) si se supone que la chamarra está húmeda, de modo que k es la del agua y la chamarra se ha apelotonado a 0.50 cm de grosor. 54. Un corredor de maratón tiene una tasa metabólica promedio de aproximadamente 950 kcal
h durante una carrera. Si el corredor tiene una masa de 55 kg, estime cuánta agua perdería por evaporación de la piel en una carrera que dura 2.5 h. 55. Estime la tasa a la que el calor se puede conducir desde el interior del cuerpo hacia la superficie. Suponga que el grosor del tejido es de 4.0 cm, que la piel está a 34°C y el interior a 37°C, y que el área superficial es de 1.5 m2. Compare esto con el valor medido de aproximadamente 230 W que debe disipar una persona que trabaja ligeramente. Esto demuestra con claridad la necesidad del enfriamiento convectivo de la sangre.

www.elsolucionario.org 56. Una casa tiene paredes bien aisladas de 17.5 cm de grosor (suponga conductividad del aire) y 410 m2 de área, un techo de madera de 6.5 cm de grosor y 280 m2 de área, y ventanas descubiertas de 0.65 cm de grosor y 33 m2 de área total. a) Si se supone que el calor se pierde solamente mediante conducción, calcule la tasa a la que se debe suministrar calor a esta casa para mantener su temperatura interior en 23°C si la temperatura exterior es de –10°C. b) Si la casa inicialmente está a 10°C, estime cuánto calor se debe suministrar para elevar la temperatura a 23°C en 30 min. Suponga que sólo necesita calentarse el aire y que su volumen es de 750 m3. c) Si el gas natural cuesta $0.080 por kilogramo y su calor de combustión es de 5.4 * 107 J
kg, ¿cuál es el costo mensual para mantener la casa como en el inciso a) durante las 24 h del día, si se supone que el 90% del calor producido se utiliza para calentar la casa? Considere el calor específico del aire como 0.24 kcal
kg C°. 57. Una bala de plomo de 15 g, que viaja a 220 m
s, pasa a través de una pared delgada y emerge con una rapidez de 160 m
s. Si la bala absorbe el 50% del calor generado, a) ¿cuál será el aumento de temperatura de la bala? b) Si la temperatura inicial de la bala fue de 20°C, ¿parte de la bala se derretirá y, si es así, cuánto? 58. Una hoja de 40 cm2 de área y 4.5 * 10 –4 kg de masa enfrenta directamente al Sol en un día claro. La hoja tiene una emisividad de 0.85 y un calor específico de 7.0 * 108 m. a) Estime la tasa de aumento de la temperatura de la hoja. b) Calcule la temperatura que alcanzaría la hoja si pierde todo su calor mediante radiación hacia los alrededores a 20°C. c) ¿De qué otras formas puede disipar calor la hoja? 59. Utilice el resultado del inciso a) del problema 58, y tome en cuenta la radiación de la hoja para calcular cuánta agua debe transpirar (evaporar) por hora la hoja para mantener una temperatura de 35°C. 60. Un meteorito de hierro se funde cuando entra a la atmósfera de la Tierra. Si su temperatura inicial era de –125°C fuera de la atmósfera terrestre, calcule la velocidad mínima que el meteorito tenía antes de entrar a la atmósfera de la Tierra. 61. La temperatura dentro de la corteza terrestre aumenta alrededor de 1.0 C° por cada 30 m de profundidad. La conductividad térmica de la corteza es de 0.80 W
C° m. a) Determine el calor transferido del interior a la superficie para toda la Tierra en 1 día. b) Compare este calor con la cantidad de energía incidente a la Tierra en 1 día a partir de la radiación del Sol.

62. En un juego típico de squash (figura 14-22), dos personas golpean una bola de hule suave contra una pared hasta que están a punto de caer por la deshidratación y el cansancio. Suponga que la bola golpea la pared a una velocidad de 22 m
s, que rebota con una velocidad de 12 m
s, y que la pérdida de energía cinética en el proceso calienta la bola. ¿Cuál será el aumento de temperatura de la bola después de un rebote? (El calor específico del hule es aproximadamente 1200 J
kg C°).

FIGURA 14–22 Problema 62.

63. ¿Cuál será el resultado final cuando se mezclen masas iguales de hielo a 0°C y vapor a 100°C? 64. En un ambiente frío, una persona puede perder calor por conducción y por radiación a una tasa aproximada de 200 W. Estime cuánto tardaría que la temperatura corporal disminuyera de 36.6°C a 35.6°C, si el metabolismo casi se detuviese. Suponga una masa de 70 kg. (Consulte la tabla 14-1). 65. Después de un regaderazo caliente y de lavar los platos, “no hay agua caliente” en el calentador de agua de 50 galones (185 L). Esto sugiere que el tanque se vació y rellenó con agua a aproximadamente 10°C. a) ¿Cuánta energía toma recalentar el agua a 50°C? b) ¿Cuánto tardaría si la salida del calentador fuera de 9500 W? 66. La temperatura de la superficie de vidrio de una bombilla de 60 W es de 65°C cuando la temperatura ambiente es de 18°C. Estime la temperatura de una bombilla de 150 W con un bulbo de vidrio del mismo tamaño. Considere sólo radiación y suponga que el 90% de la energía se emite como calor.

Respuestas a los ejercicios A: 0.21 kg.

B: Las cortinas atrapan una capa de aire entre la pared exterior y la habitación, que actúa como un excelente aislador.

Problemas generales

407

La termodinámica es el estudio del calor y el trabajo. El calor es una transferencia de energía causada por una diferencia de temperatura; el trabajo es una transferencia de energía provocada por medios mecánicos, no por una diferencia de temperatura. La primera ley de la termodinámica es un enunciado general de la conservación de la energía: el calor Q que se agrega a un sistema menos el trabajo neto W realizado por el sistema es igual al cambio en la energía interna
U del sistema:
U = Q - W. Las fotografías muestran dos usos de una máquina térmica: una moderna central eléctrica que quema carbón y una antigua locomotora de vapor. Ambas producen vapor que realiza trabajo: en las turbinas para generar electricidad y en un pistón que mueve las conexiones para echar a andar las ruedas de la locomotora. La eficiencia de cualquier máquina está limitada por la naturaleza de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica. Esta gran ley se establece mejor en términos de una cantidad llamada entropía, que no se conserva sino que, en vez de ello, siempre tiende a aumentar en cualquier proceso real. La entropía es una medida del desorden. La segunda ley de la termodinámica dice que, conforme el tiempo transcurre, el desorden en el universo aumenta.

15

CAPÍTULO

Las leyes de la termodinámica

T Distinción entre calor y trabajo

408

ermodinámica es el nombre que se le da al estudio de los procesos en los que la energía se transfiere como calor y trabajo. En el capítulo 6 se vio que se realiza trabajo cuando la energía se transfiere de un objeto a otro por medios mecánicos. En el capítulo 14 se explicó que el calor es una transferencia de energía de un objeto a otro que se encuentra a una temperatura más baja. De este modo, el calor es muy parecido al trabajo. Para distinguirlos, el calor se define como una transferencia de energía provocada por una diferencia de temperatura, mientras que el trabajo es una transferencia de energía que no se debe a una diferencia de temperatura. Al estudiar la termodinámica, con frecuencia se hace referencia a sistemas particulares. Un sistema es cualquier objeto o conjunto de objetos que se desea considerar (sección 14-4). El resto del universo se considera como el “ambiente” o los “alrededores”. En este capítulo se examinarán las dos grandes leyes de la termodinámica. La primera de ellas relaciona el trabajo y la transferencia de calor con el intercambio de energía interna de un sistema, y es un enunciado general de la conservación de la energía. La segunda ley de la termodinámica expresa límites en la capacidad para realizar trabajo útil, y con frecuencia se establece en términos de entropía, que es una medida del desorden. Además de estas dos grandes leyes, también se analizarán algunos importantes dispositivos prácticos relacionados: máquinas térmicas, refrigeradores, bombas térmicas y acondicionadores de aire.

15–1 La primera ley de la termodinámica En la sección 14-2 se definió la energía interna de un sistema como la suma de todas las energías de las moléculas contenidas en él. Uno espera que la energía interna de un sistema aumente si se realiza trabajo sobre él, o si se le agrega calor. De manera similar, la energía interna disminuirá si el calor fluye hacia fuera del sistema o si el sistema realiza trabajo sobre los alrededores. A partir de esto, es razonable extender el principio trabajo-energía y proponer una ley importante: el cambio en la energía interna de un sistema cerrado,
U, será igual a la energía agregada al sistema mediante calentamiento, menos el trabajo efectuado por el sistema sobre los alrededores. En forma de ecuación se escribe:

¢U = Q - W

(15–1)

donde Q es el calor neto agregado al sistema y W es el trabajo neto realizado por el sistema. Hay que tener cuidado y ser consistentes en seguir las convenciones de signos para Q y W. Como W en la ecuación 15-1 es el trabajo realizado por el sistema, entonces, si se realiza trabajo sobre el sistema, W será negativo y U aumentará. De igual modo, Q es positivo para el calor agregado al sistema, de modo que si el calor sale del sistema, Q es negativo. La ecuación 15-1 se conoce como la primera ley de la termodinámica. Es una de las grandes leyes de la física, y su validez se apoya en los experimentos (como el de Joule) para los que no se han encontrado excepciones. Dado que Q y W representan la energía transferida hacia el sistema o desde él, la energía interna cambia en concordancia. De esta forma, la primera ley de la termodinámica es un gran y amplio enunciado de la ley de conservación de la energía. Vale la pena hacer notar que la ley de conservación de la energía no se formuló sino hasta el siglo XIX, por su dependencia de la interpretación del calor como transferencia de energía. Un sistema dado, en cualquier momento, se encuentra en un estado particular y se puede decir que tiene cierta cantidad de energía interna, U. Pero un sistema no “tiene” una cierta cantidad de calor o trabajo. Más bien, cuando se realiza trabajo sobre un sistema (como al comprimir un gas), o cuando se añade o remueve calor del sistema, su estado cambia. En consecuencia, trabajo y calor participan en los procesos termodinámicos que pueden cambiar el sistema de un estado a otro; no son característica del estado mismo. Las cantidades que describen el estado de un sistema, como la energía interna U, la presión P, el volumen V, la temperatura T y la masa m o el número de moles n, se llaman variables de estado. En cambio, Q y W no son variables de estado.

PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA El calor agregado es + El calor perdido es El trabajo sobre el sistema es El trabajo realizado por el sistema es +

La primera ley de la termodinámica se refiere a la conservación de la energía

La energía interna es una propiedad del sistema; el trabajo y el calor no lo son

EJEMPLO 15–1 Uso de la primera ley. A un sistema se agregan 2500 J de calor y 1800 J de trabajo que se realiza sobre el sistema. ¿Cuál es el cambio en la energía interna del sistema? PLANTEAMIENTO Al sistema se aplica la primera ley de la termodinámica (ecuación 15-1). SOLUCIÓN El calor agregado al sistema es Q = 2500 J. El trabajo W realizado por el sistema es -1800 J. ¿Por qué el signo menos? Porque 1800 J realizados sobre el sistema (como se indica) es igual a -1800 J realizados por el sistema, y es esto último lo que se necesita poner en la ecuación 15-1 de acuerdo con las convenciones anteriores de signos. Por tanto

¢U = 2500 J - (–1800 J) = 2500 J + 1800 J = 4300 J. Tal vez se piense intuitivamente que los 2500 J y los 1800 J deberían sumarse juntos, puesto que ambos se refieren a la energía añadida al sistema. Y así es. NOTA Este cálculo se hizo en detalle para enfatizar la importancia de realizar un seguimiento cuidadoso de los signos. EJERCICIO A ¿Cuál sería el cambio en la energía interna en el ejemplo 15-1 si al sistema se agregaran 2500 J de calor y el sistema realizara 1800 J de trabajo (es decir, como salida)? SECCIÓN 15–1

La primera ley de la termodinámica

409

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* La primera ley de la termodinámica extendida Para reafirmar la comprensión de la primera ley, considere un sistema que se mueve, de modo que tiene energía cinética EC, y suponga que también existe energía potencial EP. Entonces, la primera ley de la termodinámica tendría que incluir esos términos y se escribiría como (15–2) ¢ec + ¢ep + ¢U = Q - W. EJEMPLO 15–2 Energía cinética transformada en energía térmica. Una bala de 3.0 g que viaja con una rapidez de 400 m
s entra a un árbol y sale por el otro lado con una rapidez de 200 m
s. ¿A dónde va la EC perdida por la bala y cuál fue la energía transferida? PLANTEAMIENTO La bala y el árbol constituyen el sistema. No hay energía potencial implicada. Ninguna fuerza externa realiza trabajo sobre el sistema (ni el sistema realiza trabajo); tampoco se agrega calor pues no se transfiere energía hacia el sistema o desde él como resultado de una diferencia de temperatura. Así que la energía cinética se transforma en la energía interna de la bala y el árbol. SOLUCIÓN A partir de la primera ley de la termodinámica proporcionada por la ecuación 15-2, se tiene Q = W =
EP = 0, con lo que se obtiene

¢ec + ¢U = 0 o

Pistón móvil

¢U = – ¢ec = – Aecf - eci B = 12 m Av2i - v2f B = 12 A3.0 * 10–3 kgB C (400 m
s)2 - (200 m
s)2 D = 180 J.

NOTA Las energías internas de la bala y el árbol aumentan, y ambos experimentan un aumento de temperatura. Si se hubiera elegido sólo a la bala como el sistema, se hubiese realizado trabajo sobre ella y entonces habría ocurrido transferencia de calor.

15–2 Procesos termodinámicos y la primera ley Gas ideal

A continuación se analizarán algunos procesos termodinámicos a la luz de la primera ley de la termodinámica. Para comenzar, elegiremos un sistema muy simple: una masa fija de un gas ideal encerrado en un contenedor cubierto con un pistón móvil, que se ilustra en la figura 15-1. Primero se considera un proceso idealizado que se lleva a cabo a temperatura FIGURA 15–1 Un gas ideal en un constante. Tal proceso se llama proceso isotérmico, término que proviene del griego cilindro tapado con un pistón móvil. y que significa “misma temperatura”. Si sobre el gas idealizado se lleva a cabo un proceso isotérmico, entonces PV = nRT (ecuación 13-3) se convierte en PV = constante. Entonces, el proceso sigue una curva como AB en el diagrama PV de la figura Proceso isotérmico (
T = 0) 15-2, que es una curva para PV = constante (como en la figura 13-12). Cada punto en la curva, como el punto A, representa un estado del sistema, es decir, su presión P y volumen V en un momento dado. A una temperatura más baja, otro proceso isotérmico se representaría mediante una curva como AB en la figura 15-2 (el producto PV = nRT = constante es menor cuando T es menor). Las curvas que se muestran en la figura 15-2 se denominan isotermas. Depósito de calor Se supone que el gas está en contacto con un depósito de calor (un cuerpo cuya masa es tan grande que, idealmente, su temperatura no cambia de manera significaFIGURA 15–2 Diagrama PV para tiva cuando se intercambia calor con el sistema). También se supone que el proceso un gas ideal que experimenta procesos isotérmicos a dos temperaturas diferentes. de compresión (disminución de volumen) o expansión (aumento de volumen) se realiza muy lentamente de acuerdo con el principio de que todo el gas permanece en equilibrio a temperatura constante. Si el gas inicialmente está en un estado repreA sentado por el punto A en la figura 15-2, y se agrega una cantidad Q de calor al sisA′ tema, la presión y el volumen cambiarán y el estado del sistema estará representado P por otro punto, B, en el diagrama. Si la temperatura ha de permanecer constante, el B Más alta T gas debe expandirse y realizar una cantidad de trabajo W sobre el ambiente (ejerce una fuerza sobre el pistón en la figura 15-1 y lo mueve una cierta distancia). La temT Más baja B′ peratura se mantiene constante, así que, de acuerdo con la ecuación 14-1, la energía 0 V interna no cambia: ¢U = 32 nR ¢T = 0. De esta forma, por la primera ley de la terProceso isotérmico (gas ideal): modinámica (ecuación 15-1), ¢U = Q - W = 0, de modo que W = Q: el trabajo T = constante,
U = 0, Q = W realizado por el gas en un proceso isotérmico es igual al calor agregado al gas.

410

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

Un proceso adiabático es aquel en el que no se permite el flujo de calor hacia el sistema o desde él: Q = 0. Esta situación se puede presentar cuando el sistema está extremadamente bien aislado, o cuando el proceso ocurre tan rápido que el calor (que fluye con lentitud) no tiene tiempo de fluir hacia dentro o hacia fuera. La rápida expansión de los gases en un motor de combustión interna es ejemplo de un proceso que está muy cerca de ser adiabático. Una expansión adiabática lenta de un gas ideal sigue una curva como la AC en la figura 15-3. Como Q = 0, a partir de la ecuación 15-1, se tiene que
U = -W. Es decir, la energía interna disminuye si el gas se expande; por tanto, la temperatura también disminuye (puesto que ¢U = 32 nR ¢T). Esto es evidente en la figura 15-3, donde el producto PV (= nRT) es menor en el punto C que en el punto B (la curva AB es para un proceso isotérmico, para el que
U = 0 y
T = 0). En la operación inversa, una compresión adiabática (que va de C a A, por ejemplo), se realiza trabajo sobre el gas, y por tanto la energía interna aumenta y la temperatura se eleva. En un motor diesel, la mezcla de combustible y aire se comprime adiabáticamente muy rápido por un factor de 15 o más; la elevación de la temperatura es tan grande que la mezcla se enciende de manera espontánea. Los procesos isotérmico y adiabático son sólo dos posibles procesos que pueden ocurrir. Otros dos simples procesos termodinámicos se ilustran en los diagramas PV de la figura 15-4: a) un proceso isobárico es aquel en el que la presión se mantiene constante, de modo que el proceso está representado mediante una línea recta horizontal en el diagrama PV (figura 15-4a); b) un proceso isovolumétrico o isocórico es aquel en el que el volumen no cambia (figura 15-4b). En éstos, y en todos los otros procesos, se sostiene la primera ley de la termodinámica. FIGURA 15–4 a) Proceso isobárico (“misma presión”). b) Proceso isovolumétrico (“mismo volumen”).

A

A

P

Isotérmico B Adiabático

0

V

FIGURA 15–3 Diagrama PV para procesos adiabático (AC) e isotérmico (AB) sobre un gas ideal.

Proceso isobárico: P = constante, W = P
V Proceso isovolumétrico: V = constante, W = 0

FIGURA 15–5 Trabajo realizado sobre el pistón cuando el gas se expande, lo que mueve el pistón una distancia d.

P B

0

C

A

B

P

Proceso adiabático (Q = 0)

V Isobárico a)

0

área A

V

d

Isovolumétrico b) P

Con frecuencia es valioso calcular el trabajo realizado en un proceso. Si la presión se mantiene constante durante un proceso (isobárico), el trabajo realizado se calcula con facilidad. Por ejemplo, si el gas en la figura 15-5 se expande lentamente contra el pistón, el trabajo efectuado por el gas para elevar el pistón es la fuerza F por la distancia d. Pero la fuerza es justo la presión P del gas por el área A del pistón, F = PA. En consecuencia,

W = Fd = PAd. Puesto que Ad =
V, entonces, el cambio en el volumen del gas,

W = P ¢V.

[presión constante] (15–3)

Trabajo realizado en cambios de volumen

La ecuación 15-3 también se sostiene si el gas se comprime a presión constante, en cuyo caso
V es negativo (pues V disminuye); entonces W es negativo, lo que indica que se realiza trabajo sobre el gas. La ecuación 15-3 también es válida para líquidos y sólidos, en tanto la presión sea constante durante el proceso. En un proceso isovolumétrico (figura 15-4b) el volumen no cambia, así que no se realiza trabajo: W = 0. SECCIÓN 15–2

Procesos termodinámicos y la primera ley

411

P A

PA

Isotérmico

Isovolumétrico PB

0

B D Isobárico VA

VB

V

FIGURA 15–6 Diagrama PV para diferentes procesos (véase el texto), donde el sistema cambia de A a B.

Trabajo = área bajo la curva PV FIGURA 15–7 El trabajo realizado por un gas es igual al área bajo la curva PV.

P

D

B

VA

VB

PB

0

V

a) P

A

EJEMPLO CONCEPTUAL 15–3 Trabajo en procesos isotérmicos y adiabáticos. En la figura 15-3 se vio el diagrama PV para un gas que se expande en dos formas, isotérmica y adiabáticamente. El volumen inicial VA fue el mismo en cada caso, y los volúmenes finales fueron los mismos (VB = VC). ¿En cuál proceso el gas realizó más trabajo? RESPUESTA El sistema es el gas. Este último realizó más trabajo en el proceso isotérmico, que se puede ver en dos formas simples en la figura 15-3. Primero, la presión “promedio” fue mayor durante el proceso isotérmico AB, así que W = Pprom
V fue más grande (
V es la misma para ambos procesos). Segundo, se puede observar el área bajo cada curva: el área bajo la curva AB, que representa el trabajo realizado, fue mayor (pues la curva AB es más alta) que la que está bajo AC. EJERCICIO B El trabajo efectuado por el gas en el proceso ADB de la figura 15-6, ¿es mayor que, menor que o igual al trabajo realizado en el proceso isotérmico AB?

B

0

La figura 15-6 muestra la isoterma AB vista en la figura 15-2, así como otros posibles procesos representados mediante la trayectoria ADB. Al ir de A a D, el gas no realiza trabajo pues el volumen no cambia. Pero al ir de D a B, el gas realiza trabajo igual a PB(VB - VA), y éste es el trabajo total realizado en el proceso ADB. Si la presión varía durante un proceso, tal como para el proceso isotérmico AB de la figura 15-2, la ecuación 15-3 no se puede usar directamente para determinar el trabajo. Sin embargo, se puede obtener una estimación aproximada al usar un valor “promedio” para P en la ecuación 15-3. De manera más precisa, el trabajo realizado es igual al área bajo la curva PV. Esto es obvio cuando la presión es constante: como muestra la figura 15-7a, el área sombreada es justo PB(VB - VA), y éste es el trabajo efectuado. De manera similar, el trabajo realizado durante un proceso isotérmico es igual al área sombreada en la figura 15-7b. El trabajo realizado en este caso se puede determinar con la ayuda del cálculo o estimando el área en papel gráfico.

VA

VB b)

V

EJEMPLO CONCEPTUAL 15–4 Proceso adiabático simple. He aquí un ejemplo de un proceso adiabático que se puede efectuar sólo con una liga de hule. Sostenga una delgada liga de hule cómodamente con las dos manos y calibre su temperatura con los labios. Estire la liga súbitamente y de nuevo tóquela apenas con los labios. Debe notarse un aumento en la temperatura. Explique con claridad por qué aumenta la temperatura. RESPUESTA Al estirar la liga súbitamente se realiza el proceso adiabático pues no hay tiempo para que el calor ingrese o salga del sistema (la liga), de modo que Q = 0. Se efectúa trabajo sobre el sistema, que representa una entrada de energía, de modo que W es negativo en la ecuación 15-1 (
U = Q - W). En consecuencia,
U debe ser positivo. Un aumento en la energía interna corresponde a un aumento en la temperatura (para un gas ideal esto se determina mediante la ecuación 14-1). La tabla 15-1 proporciona un breve resumen de los procesos que se han analizado.

TABLA 15–1 Procesos termodinámicos simples y la primera ley

412

CAPÍTULO 15

Proceso

Qué es constante:

Isotérmico Isobárico Isovolumétrico Adiabático

T P V Q

Las leyes de la termodinámica

= = = =

constante constante constante 0

La primera ley predice:

¢T = 0 hace ¢U = 0, por tanto Q = W Q = ¢U + W = ¢U + P ¢V ¢V = 0 hace W = 0, por tanto Q = ¢U ¢U = –W

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PLANTEAMIENTO a) Sólo se realiza trabajo en el proceso de compresión BD. En el proceso DA, el volumen es constante de modo que
V = 0 y no se realiza trabajo (ecuación 15-3). b) Se utiliza la primera ley de la termodinámica (ecuación 15-1). SOLUCIÓN a) Durante la compresión BD, la presión es 2.0 atm = 2(1.01 * 105 N/m2) y el cambio en volumen es

P PA

A Isovolumétrico

EJEMPLO 15–5 Primera ley en procesos isobáricos e isovolumétricos. Un gas ideal se comprime lentamente a una presión constante de 2.0 atm, desde 10.0 L hasta 2.0 L. Este proceso se representa en la figura 15-8 como la trayectoria de B a D. (En este proceso, parte del calor fluye hacia fuera del gas y la temperatura desciende.) Entonces se agrega calor al gas, con lo que el volumen se mantiene constante, y se permite que la presión y la temperatura se eleven (línea DA) hasta que la temperatura alcance su valor original (TA = TB). Calcule a) el trabajo total realizado por el gas en el proceso BDA y b) el flujo de calor total en el gas.

PB

D 0

2

Isotérmico B Isobárico 4

6

8

10 V (L)

FIGURA 15–8 Ejemplo 15-5.

¢V = A2.0 * 10–3 m3 B - A10.0 * 10–3 m3 B = –8.0 * 10–3 m3. Entonces el trabajo realizado es

W = P ¢V = A2.02 * 105 N
m2 BA –8.0 * 10–3 m3 B = –1.6 * 103 J. El trabajo total realizado por el gas es -1.6 * 103 J, donde el signo menos significa que sobre el gas se realizan +1.6 * 103 J de trabajo. b) Puesto que la temperatura al principio y al final del proceso BDA es la misma, no existe cambio en la energía interna:
U = 0. A partir de la primera ley de la termodinámica se tiene

0 = ¢U = Q - W, de modo que

Q = W = – 1.6 * 103 J. Puesto que Q es negativo, 1600 J de calor fluyen hacia fuera del gas durante todo el proceso, BDA. EJERCICIO C En el ejemplo 15-5, si la pérdida de calor del gas en el proceso BD es 8.4 * 103 J, ¿cuál es el cambio en la energía interna del gas durante el proceso BD?

Ejemplos adicionales EJEMPLO 15–6 Trabajo realizado en un motor. En un motor, 0.25 moles de un gas monoatómico ideal en el cilindro se expanden rápida y adiabáticamente contra el pistón. En el proceso, la temperatura del gas desciende de 1150 a 400 K. ¿Cuánto trabajo realiza el gas? PLANTEAMIENTO Se considera al gas como el sistema (el pistón es parte de los alrededores). La presión no es constante, así que no se puede usar la ecuación 15-3. En lugar de ello, se emplea la primera ley de la termodinámica, pues es posible determinar
U dado Q = 0 (el proceso es adiabático). SOLUCIÓN Se determina
U a partir de la ecuación 14-1 para la energía interna de un gas monoatómico ideal:

¢U = Uf - Ui = 32 nR ATf - Ti B = 32 (0.25 mol)(8.314 J
mol K)(400 K - 1150 K) = –2300 J. Entonces, a partir de la primera ley de la termodinámica (ecuación 15-1),

W = Q - ¢U = 0 - (–2300 J) = 2300 J. SECCIÓN 15–2

Procesos termodinámicos y la primera ley

413

EJEMPLO 15–7
U para agua que hierve a vapor. Determine el cambio en la energía interna de 1.00 litro de agua (1.00 kg de masa) a 100°C cuando hierve completamente de líquido a gas, lo que da como resultado 1671 litros de vapor a 100°C. Suponga que el proceso se realiza a presión atmosférica. PLANTEAMIENTO El sistema es el agua. El calor que se requiere aquí no da como resultado un cambio de temperatura; más bien, ocurre un cambio de fase. Se puede determinar el calor Q requerido utilizando el calor latente del agua, como en la sección 14-5. También se realizará trabajo: W = P
V. Entonces la primera ley de la termodinámica proporcionará
U. SOLUCIÓN El calor latente de vaporización del agua (tabla 14-3) es LV = 22.6 * 105 J
kg. De modo que la entrada de calor requerida para este proceso es

Q = mL = (1.00 kg)A22.6 * 105 J
kgB = 22.6 * 105 J. El trabajo realizado por el agua es (ecuación 15-3)

W = P ¢V = A1.01 * 105 N
m2 B C A1671 * 10–3 m3 B - A1 * 10–3 m3 B D = 1.69 * 105 J, donde se usó 1 atm = 1.01 * 105 N
m2 y 1 L = 103 cm3 = 10 –3 m3. Entonces,

¢U = Q - W = A22.6 * 105 JB - A1.7 * 105 JB = 20.9 * 105 J. NOTA La mayor parte del calor agregado va a aumentar la energía interna del agua (aumento de energía molecular para superar la atracción que mantiene juntas a las moléculas en el estado líquido). Sólo una pequeña parte ( 10%) se destina a la realización de trabajo. EJERCICIO D La ecuación 14-1, U = 32 nRT, dice que ¢U = 0 en el ejemplo 15-7 porque ¢T = 0. Aunque se determinó que ¢U = 21 * 105 J. ¿Qué está equivocado?

* 15–3 Metabolismo humano y la primera ley F Í S I C A

A P L I C A D A

Energía en el cuerpo humano

FIGURA 15–9 Una ciclista que obtiene una entrada de energía.

Los seres humanos y los animales realizan trabajo. Cuando una persona camina o corre, o levanta un objeto pesado, realiza trabajo. El trabajo requiere energía. La energía también se necesita para crecer y para formar nuevas células que sustituyan a aquellas que han muerto. Dentro de un organismo tienen lugar una gran cantidad de procesos que transforman energía a los que se conoce como metabolismo. Se puede aplicar la primera ley de la termodinámica,

¢U = Q - W, a un organismo como el cuerpo humano. El cuerpo realiza trabajo W en sus diversas actividades; si éstas no deben dar como resultado una disminución de la energía interna (y de la temperatura) del cuerpo, de algún modo hay que agregar energía para compensar. Sin embargo, la energía interna del cuerpo no se mantiene por un flujo de calor Q en el cuerpo. Normalmente, el cuerpo está a una temperatura más alta que su ambiente, así que el calor generalmente fluye hacia fuera del cuerpo. Incluso en un día muy caluroso, cuando se absorbe calor, el cuerpo no tiene forma de utilizar este calor para efectuar sus procesos vitales. ¿Entonces cuál es la fuente de energía que permite realizar trabajo? Es la energía interna (energía potencial química) almacenada en los alimentos (figura 15-9). En un sistema cerrado, la energía interna cambia sólo como resultado del flujo de calor o del trabajo realizado. En un sistema abierto, como un cuerpo humano, la energía interna misma puede fluir hacia el sistema o desde él. Cuando una persona come, está llevando directamente energía interna al cuerpo y, en consecuencia, aumenta su energía interna total U. Con el tiempo, esta energía se destina al trabajo y fluye como calor desde el cuerpo, de acuerdo con la primera ley.

414

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

La tasa metabólica es la tasa a la que la energía interna se transforma dentro del cuerpo. Por lo general se especifica en kcal
h o en watts. En la tabla 15-2 se presentan tasas metabólicas típicas para varias actividades humanas, para un adulto “promedio” de 65 kg. EJEMPLO 15–8 Transformación de energía en el cuerpo. ¿Cuánta energía transforma en 24 h una persona de 65 kg que pasa 8.0 h dormida, 1.0 h en labor física moderada, 4.0 h en actividad ligera y 11.0 h trabajando frente a un escritorio o en relajamiento? PLANTEAMIENTO La energía transformada durante cada actividad es igual a la tasa metabólica (tabla 15-2) multiplicada por el tiempo. SOLUCIÓN La tabla 15-2 proporciona la tasa metabólica en watts (J
s). Puesto que existen 3600 s en una hora, la energía total transformada es

(8.0 h)(70 J
s) + (1.0 h)(460 J
s) c d (3600 s
h) = 1.15 * 107 J. + (4.0 h)(230 J
s) + (11.0 h)(115 J
s) 3

NOTA Dado que 4.186 * 10 J = 1 kcal, esto es equivalente a 2800 kcal; una ingesta alimenticia de 2800 Cal compensaría esta salida de energía. Una persona de 65 kg que quisiera perder peso tendría que comer menos de 2800 Cal al día, o aumentar su nivel de actividad.

TABLA 15–2 Tasas metabólicas (humano de 65 kg) Tasa metabólica (aproximada) kcal  h

watts

60 100 200

70 115 230

400 Trabajo moderado (jugar tenis, caminar) Correr (15 km
h) 1000 Ciclismo (carrera) 1100

460

Actividad Dormir Sentarse erguido Actividad ligera (comer, vestirse, quehaceres domésticos)

1150 1270

15–4 Segunda ley de la termodinámica. Introducción La primera ley de la termodinámica establece que la energía se conserva. Sin embargo, uno podría imaginar muchos procesos que conservan energía pero que no ocurren en la naturaleza. Por ejemplo, cuando un objeto caliente se pone en contacto con un objeto frío, el calor fluye del más caliente al más frío, pero nunca espontáneamente a la inversa. Si el calor fuese a dejar el objeto más frío para pasar al más caliente, la energía todavía se podría conservar. Aunque esto no ocurre de forma espontánea.† Como segundo ejemplo, considere lo que ocurre cuando se suelta una piedra y ésta golpea el suelo. La energía potencial inicial de la roca cambia a energía cinética conforme cae. Cuando la roca golpea el suelo, esta energía a su vez se transforma en energía interna de la roca y el suelo en la vecindad del impacto; las moléculas se mueven más rápidamente y la temperatura apenas si se eleva. Pero, ¿alguna vez ha visto que ocurra lo contrario: que una roca en reposo en el suelo súbitamente se eleve en el aire porque la energía térmica de las moléculas se transforme en energía cinética de la roca como un todo? La energía se podría conservar en ese proceso, aunque nunca se ha visto que esto ocurra. Existen muchos otros ejemplos de procesos que tienen lugar en la naturaleza pero cuyo inverso no ocurre. He aquí dos más. 1. Si se pone una capa de sal dentro de un frasco y encima se coloca una capa de granos de pimienta de igual tamaño, cuando se agita el frasco se obtiene una mezcla pareja. Pero si se sigue agitando, la mezcla no se separará en dos capas de nuevo. 2. Las tazas de café y los vasos se rompen espontáneamente si se dejan caer. Pero los trozos no vuelven a unirse de forma espontánea (figura 15-10). La primera ley de la termodinámica (conservación de energía) no se violaría si alguno de esto procesos ocurriese a la inversa. Para explicar esta falta de reversibilidad, los científicos en la última mitad del siglo XIX formularon un nuevo principio conocido como segunda ley de la termodinámica. †

Por espontáneamente se entiende por sí mismo, sin entrada de trabajo de algún tipo. (Un refrigerador mueve calor de un ambiente frío a uno más caliente, pero sólo al realizar trabajo.)

?

a) Estado inicial.

FIGURA 15–10 ¿Alguna vez ha observado este proceso: una taza rota que espontáneamente se vuelva a ensamblar y regrese a una mesa?

?

b) Más tarde: la taza se vuelve a ensamblar y se eleva.

c) Todavía más tarde: la taza regresa a la mesa.

SECCIÓN 15–4

Segunda ley de la termodinámica. Introducción

415

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SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA (enunciado de Clausius)

Máquina térmica Temperatura alta, TH

La segunda ley de la termodinámica es un enunciado acerca de cuáles procesos ocurren en la naturaleza y cuáles no. Se puede establecer de varias formas, todas ellas equivalentes. Un enunciado, debido a R. J. E. Clausius (1822-1888), es que el calor fluye espontáneamente de un objeto caliente a un objeto frío; el calor no fluirá espontáneamente de un objeto frío a uno caliente. Como este enunciado se aplica a un proceso particular, no es obvio cómo se aplica a otros procesos. Se necesita un enunciado más general que incluya otros procesos posibles de una forma más obvia. El desarrollo de un enunciado general de la segunda ley de la termodinámica se basó, en buen parte, en el estudio de las máquinas térmicas. Una máquina térmica es cualquier dispositivo que convierte energía térmica en trabajo mecánico, como las máquinas de vapor y los motores de los automóviles. Ahora se examinarán las máquinas térmicas desde el punto de vista práctico y se mostrará su importancia en el desarrollo de la segunda ley de la termodinámica.

QH

15–5 Máquinas térmicas Máquina W QL Temperatura baja, TL FIGURA 15–11 Diagrama de transferencia de energía para una máquina térmica.

P R E C A U C I Ó N

Nueva convención de signos: QH 7 0, QL 7 0, W 7 0

Es fácil generar energía térmica mediante la realización de trabajo; por ejemplo, con el solo hecho de frotar las manos vigorosamente, o mediante cualquier proceso de fricción. Pero obtener trabajo a partir de la energía térmica es más difícil. No fue sino alrededor de 1700 cuando se inventó un dispositivo práctico que permitiera esto; se trata de la máquina de vapor. La idea básica detrás de cualquier máquina térmica es que la energía mecánica se puede obtener a partir de la energía térmica sólo cuando se permite que el calor fluya de una temperatura alta a una más baja. En el proceso, parte del calor se puede transformar en trabajo mecánico, como se observa en la figura 15-11. Aquí sólo se hablará de las máquinas que corren en ciclos repetitivos (es decir, aquellas en las que el sistema regresa de manera repetida a su punto de partida) y, por tanto, pueden correr de modo continuo. En cada ciclo, el cambio en la energía interna del sistema es
U = 0 porque regresa al estado de partida. De esta forma, una entrada de calor QH* a una temperatura alta TH se transforma parcialmente en trabajo W y parcialmente se expulsa como calor QL a una temperatura más baja TL (figura 15-11). Por conservación de energía, QH = W + QL. Las temperaturas alta y baja, TH y TL, se llaman temperaturas operativas de la máquina. Hay que advertir que ahora se emplea una nueva convención de signos: QH, QL y W se toman siempre como positivos. La dirección de cada transferencia de energía se encuentra a partir del diagrama aplicable, como la figura 15-11.

Motor de vapor y motor de combustión interna F Í S I C A

A P L I C A D A

Motores

En la figura 15-12 se ilustra la operación de un motor de vapor. Los motores de vapor son de dos tipos principales, y cada uno utiliza el vapor calentado por combusTemperatura alta Vapor a alta presión de la caldera Vapor Agua Válvula de admisión (abierta durante la expansión)

Caldera

FIGURA 15–12 Motores de vapor. Válvula de escape (cerrada durante la expansión)

Pistón

Bomba Agua

Condenser Temperatura baja a) Tipo reciprocante

416

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

Condensador

Vapor a baja presión expulsado hacia el condensador b) Turbina (la caldera y el condensador no se muestran)

tión de carbón, petróleo, gas o energía nuclear. En el tipo llamado reciprocante (figura 15-12a), el vapor caliente pasa a través de la válvula de admisión y se expande contra un pistón, forzándolo a moverse. Conforme el pistón regresa a su posición original, fuerza a los gases a salir por la válvula de escape. En una turbina de vapor (figura 15-12b), todo es en esencia lo mismo, excepto que el pistón reciprocante se sustituye mediante una turbina rotatoria que recuerda una rueda de paletas con muchos juegos de aspas. La mayor parte de la electricidad generada en la actualidad se basa en turbinas de vapor.† El material que se calienta y se enfría, vapor en este caso, se llama sustancia de trabajo. En un motor de vapor, la temperatura alta se obtiene quemando carbón, petróleo u otro combustible para calentar el vapor. En un motor de combustión interna (como el que se utiliza en la mayoría de los automóviles), la temperatura alta se logra quemando la mezcla de gasolina y aire en el cilindro mismo (encendido por la bujía), como se describe en la figura 15-13.

Válvula de admisión (abierta)

Válvula de escape (cerrada)

Mezcla de gas y aire proveniente del carburador

Ambas válvulas cerradas

Ambas válvulas cerradas

Ambas válvulas cerradas

Chispa de la bujía (se dispara)

Cilindro Pistón

Válvula de escape (abierta) Hacia tubería de escape

Anillos

Barra de conexión

Cigüeñal a) Admisión

b) Compresión

c) Ignición

d) Expansión (carrera de potencia)

e) Escape

FIGURA 15–13 Motor de combustión interna de cuatro tiempos: a) la mezcla de gasolina y aire fluye hacia el cilindro mientras el pistón se mueve hacia abajo; b) el pistón se mueve hacia arriba y comprime el gas; c) el breve instante cuando se dispara la chispa de la bujía enciende la mezcla de gasolina y aire enormemente comprimida, lo que la eleva a una temperatura alta; d) los gases, ahora a alta temperatura y presión, se expanden contra el pistón en una carrera de potencia; e) los gases quemados se empujan fuera hacia la tubería de escape; cuando el pistón alcanza la parte superior, la válvula de escape se cierra y la válvula de admisión se abre, y todo el ciclo se repite. a), b), d) y e) son los cuatro tiempos del ciclo.

Por qué se necesita una
T para conducir una máquina térmica Para ver por qué se requiere una diferencia de temperatura para poner a andar un motor, examinemos el motor de vapor. Por ejemplo, suponga que en el motor reciprocante no hubiera condensador ni bomba (figura 15-12a) y que el vapor estuviera a la misma temperatura a todo lo largo del sistema. Esto significaría que la presión del gas que se expulsa es la misma que la de admisión. Así, aunque el gas realice trabajo sobre el pistón cuando se expande, se tendría que realizar una cantidad igual de trabajo por el pistón para forzar al vapor a salir por el escape; de esta forma, no se realizaría ningún trabajo neto. En un motor real, el gas expulsado se enfría a una temperatura más baja y se condensa de modo que la presión de escape sea menor que la presión de admisión. Así, aunque el pistón debe realizar trabajo sobre el gas para expulsarlo en la carrera de escape, es menor que el trabajo realizado por el gas sobre el pistón durante la admisión. De esta forma se obtiene una cantidad neta de trabajo, pero sólo si existe una diferencia de temperatura. De manera similar, en la turbina de gas si éste no se enfría, la presión en cada lado de las aspas sería la misma. Al enfriar el gas en el lado del escape, la presión en el lado trasero del aspa será menor y entonces la turbina girará. †

Incluso las plantas eléctricas nucleares utilizan turbinas de vapor; el combustible nuclear (uranio) simplemente sirve como combustible para calentar el vapor.

SECCIÓN 15–5

Máquinas térmicas

417

Eficiencia La eficiencia, e, de cualquier máquina térmica se define como la razón entre el trabajo que efectúa, W, y la entrada de calor a la temperatura alta, QH (figura 15-11):

e =

W. QH

Ésta es una definición sensible dado que W es la salida (lo que se obtiene del motor), mientras que QH es lo que se coloca y por lo que se paga en el combustible quemado. Como la energía se conserva, la entrada de calor QH debe ser igual al trabajo realizado más el calor que fluye de salida a la temperatura baja (QL):

QH = W + QL . Por tanto W = QH - QL , y la eficiencia de un motor es

e = Eficiencia de cualquier máquina térmica

=

W QH

(15–4a)

QH - QL QL . = 1 QH QH

(15–4b)

Para obtener la eficiencia como porcentaje, la ecuación 15-4 se multiplica por 100. Advierta que e podría ser 1.0 (o 100%) sólo si QL fuera cero; esto es, sólo si no se expulsara calor al ambiente. EJEMPLO 15–9 Eficiencia de un automóvil. El motor de un automóvil tiene una eficiencia del 20% y produce un promedio de 23,000 J de trabajo mecánico por segundo durante su operación. a) ¿Cuánta entrada de calor se requiere y b) cuánto calor se descarga como desperdicio de calor de este motor, por segundo? PLANTEAMIENTO Se quiere encontrar la entrada de calor QH así como la salida de calor QL, dados W = 23,000 J cada segundo y una eficiencia e = 0.20. Se puede usar la definición de eficiencia (ecuación 15-4), en sus diversas formas, para encontrar primero QH y luego QL. SOLUCIÓN a) De la ecuación 15-4, e = W
QH, se resuelve para QH:

QH =

23,000 J W = e 0.20 = 1.15 * 105 J = 115 kJ.

El motor requiere 115 kJ
s = 115 kW de entrada de calor. b) Ahora se emplea la última parte de la ecuación 15-4 (e = 1 - QL
QH) para resolver para QL:

QL = 1 - e QH de modo que

QL = (1 - e)QH = (0.80)115 kJ = 92 kJ. El motor descarga calor al ambiente a una tasa de 92 kJ
s = 92 kW. NOTA De los 115 kJ que entran al motor por segundo, sólo 23 kJ realizan trabajo útil, mientras que 92 kJ se desechan como salida de calor. NOTA El problema se estableció en términos de energía por unidad de tiempo. También se pudo haber establecido en términos de potencia, dado que 1 J
s = 1 W.

418

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

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Máquina de Carnot Para ver cómo aumentar la eficiencia, el científico francés Sadi Carnot (1796-1832) examinó las características de una máquina ideal (ahora llamada máquina de Carnot). En realidad, no existe ninguna máquina de Carnot, pero como planteamiento teórico juega un papel importante en el desarrollo de la termodinámica. La máquina idealizada de Carnot consta de cuatro procesos realizados en un ciclo, dos de los cuales son adiabáticos (Q = 0) y los otros dos son isotérmicos (
T = 0). Este ciclo idealizado se ilustra en la figura 15-14. Se consideró que cada uno de los procesos se realizaba de manera reversible. Es decir, cada uno de los procesos (por ejemplo, durante la expansión de los gases contra un pistón) se hizo tan lentamente que el proceso podría considerarse una serie de estados de equilibrio, y todo el proceso se podría realizar a la inversa sin cambio en la magnitud del trabajo efectuado o del calor intercambiado. Por otra parte, un proceso real ocurriría más rápidamente; habría turbulencia en el gas, la fricción estaría presente, etcétera. Por todos estos factores, no es posible efectuar un proceso real exactamente a la inversa: la turbulencia sería diferente y la pérdida de calor por fricción no se invertiría por sí misma. Por ende, los procesos reales son irreversibles.

Máquina de Carnot (ideal)

FIGURA 15–14 El ciclo de Carnot. Las máquinas térmicas funcionan en un ciclo, y el ciclo para la máquina de Carnot comienza en el punto a de este diagrama PV. (1) Primero se expande el gas isotérmicamente, con la adición de calor QH, a lo largo de la trayectoria ab a temperatura TH. 2. A continuación, el gas se expande adiabáticamente de b a c; no se intercambia calor, pero la temperatura desciende a TL. 3. Entonces el gas se comprime a temperatura constante TL, en la trayectoria cd, y el calor QL fluye hacia fuera. 4. Finalmente, el gas se comprime adiabáticamente, en la trayectoria da, de vuelta a su estado original.

1)

P

a b Expansión isotérmica

TL TH

QH

a 4)

2)

d a Compresión adiabática

b c Expansión adiabática

QH b d

Q=0

QL

c

0

TH TL

Q=0

V 3) c d Compresión isotérmica

QL

SECCIÓN 15–5

Máquinas térmicas

419

Carnot demostró que, para una máquina ideal reversible, los calores QH y QL son proporcionales a las temperaturas operativas TH y TL (en kelvins), así que la eficiencia se puede escribir como

eideal =

Eficiencia (ideal) de Carnot

TH - TL TL . = 1 TH TH

c

Eficiencia (ideal) d (15–5) de Carnot

La ecuación 15-5 expresa el límite superior fundamental a la eficiencia. Las máquinas reales siempre tienen una eficiencia más baja que esto en virtud de las pérdidas por fricción y otros factores similares. Las máquinas reales que están bien diseñadas alcanzan del 60 al 80% de la eficiencia de Carnot. EJEMPLO 15–10 Eficiencia de motor de vapor. Un motor de vapor opera entre 500 y 270°C. ¿Cuál es la eficiencia máxima posible de este motor? PLANTEAMIENTO La eficiencia máxima posible es la eficiencia idealizada de Carnot (ecuación 15-5). Se debe usar temperaturas kelvin. SOLUCIÓN Primero se cambia la temperatura a grados kelvin agregando 273 a las temperaturas Celsius dadas: TH = 773 K y TL = 543 K. Entonces

eideal = 1 -

543 = 0.30. 773

Para obtener la eficiencia en porcentaje, se multiplica por 100. De este modo, se sabe que la eficiencia máxima (o de Carnot) es del 30%. De manera realista, un motor puede lograr 0.70 de este valor, o sea el 21%. NOTA En este ejemplo, la temperatura de escape más bien es alta, 270°C. Los motores de vapor, por lo general, están ordenados en series, de modo que el escape de un motor se usa como entrada para un segundo o un tercero. EJEMPLO 15–11 ¿Una afirmación engañosa? Un fabricante de motores hace la siguiente afirmación: La entrada de calor por segundo de un motor es de 9.0 kJ a 435 K. La salida de calor por segundo es de 4.0 kJ a 285 K. ¿Son creíbles estas afirmaciones? PLANTEAMIENTO La eficiencia del motor se puede calcular a partir de la definición (ecuación 15-4). Debe ser menor que el máximo posible (ecuación 15-5). SOLUCIÓN La eficiencia que se afirma del motor es

e =

QH - QL 9.0 kJ - 4.0 kJ = = 0.56. QH 9.0 kJ

Sin embargo, la eficiencia máxima posible está dada por la eficiencia de Carnot (ecuación 15-5):

eideal =

TH - TL 435 K - 285 K = = 0.34. TH 435 K

La afirmación del fabricante viola la segunda ley de la termodinámica y no es creíble. Es bastante claro, a partir de la ecuación 15-5, que, a temperaturas normales, no es posible un motor 100% eficiente. Sólo si la temperatura de escape, TL, fuese el cero absoluto se podría obtener el 100% de eficiencia. Pero alcanzar el cero absoluto es una imposibilidad práctica (y también teórica).† †

La experimentación cuidadosa sugiere que el cero absoluto es insostenible. Este resultado se conoce como tercera ley de la termodinámica.

420

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

Puesto que ningún motor es 100% eficiente, se puede decir que

Esto se conoce como el enunciado de Kelvin-Planck de la segunda ley de la termodinámica. La figura 15-15 bosqueja la máquina térmica ideal perfecta, que no existe. Si la segunda ley no fuese cierta, de modo que se pudiese construir una máquina perfecta, podrían ocurrir cosas extraordinarias. Por ejemplo, si el motor de un barco no necesitara un depósito de baja temperatura para expulsar en él el calor, la nave podría navegar a través del océano con el uso de amplios recursos de la energía interna del agua del océano. De hecho, ¡no habría problemas de combustible en absoluto!

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA (enunciado de Kelvin-Planck)

Temperatura alta Calor

PO N O SI E S BL E

no es posible que exista un dispositivo cuyo único efecto sea transformar por completo una cantidad dada de calor en trabajo.

Trabajo

Máquina

15–6 Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas térmicas El principio operativo de los refrigeradores, los acondicionadores de aire y las bombas térmicas es justo el contrario de una máquina térmica. Cada uno opera para transferir calor desde fuera de un ambiente frío hacia un ambiente caliente. Como se diagrama en la figura 15-16, al realizar trabajo W, el calor se toma de una región de temperatura baja, TL (como el interior de un refrigerador) y se expulsa una mayor cantidad de calor a una temperatura alta, TH (la habitación). Con frecuencia puede sentirse este calor soplando por la parte trasera de un refrigerador. Por lo general, el trabajo W se efectúa mediante un motor compresor eléctrico que comprime un fluido, como se ilustra en la figura 15-17.

FIGURA 15–15 Diagrama de una máquina térmica perfecta imposible en la que toda la entrada de calor se utiliza para realizar trabajo. FIGURA 15–16 Diagrama de transferencias de energía para un refrigerador o acondicionador de aire.

TH QH

Presión baja

W Presión alta

Válvula de Serpentines expansión de enfriamiento (interior del Sensor refrigerador) QL (desde el interior del refrigerador hacia los serpentines) Vapor a presión baja

a)

Serpentines del condensador (exterior del refrigerador) QH (hacia el exterior)

Vapor a presión W alta

Motor compresor

Refrigerador o acondicionador de aire QL QH

QL

TL

W

b) Enchufe

Motor

Enchufe

FIGURA 15–17 a) Sistema de un refrigerador típico. El motor compresor eléctrico fuerza a un gas a alta presión a través de un intercambiador de calor (condensador) en la pared exterior trasera del refrigerador, donde se entrega QH, y el gas se enfría para volverse líquido. El líquido pasa de una región de presión alta, mediante una válvula, hacia tubos de presión baja en las paredes interiores del refrigerador; el líquido se evapora a esta presión baja y, por tanto, absorbe calor (QL) del interior del refrigerador. El fluido regresa al compresor, donde el ciclo comienza de nuevo. b) Diagrama como el de la figura 15-16.

SECCIÓN 15–6

Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas térmicas

421

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Refrigerador

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA (enunciado de Clausius)

No es posible un refrigerador perfecto, es decir, uno en el que no se requiera trabajo para llevar calor de la región de temperatura baja a la de temperatura alta. Éste es el enunciado de Clausius de la segunda ley de la termodinámica, ya mencionado en la sección 15-4; se puede establecer formalmente como no es posible que exista un dispositivo cuyo único efecto sea transferir calor de un sistema a una temperatura TL a un segundo sistema a una temperatura más alta TH. Para hacer que el calor fluya de un objeto (o sistema) de temperatura baja a otro a una temperatura más alta, es necesario realizar trabajo. Por tanto, no puede haber refrigerador perfecto. El coeficiente de operación (COP, por sus siglas en inglés) de un refrigerador se define como el calor QL removido del área de temperatura baja (dentro de un refrigerador) dividida por el trabajo W realizado para remover el calor (figura 15-16):

TH QH

QL refrigerador y . c d (15–6a) acondicionador de aire W Esto tiene sentido ya que cuanto más calor, QL, se pueda remover del interior del refrigerador para una cantidad dada de trabajo, mejor será el refrigerador (más eficiente). La energía se conserva, así que, a partir de la primera ley de la termodinámica, se escribe QL + W = QH , o W = QH - QL (véase la figura 15-16). Entonces la ecuación 15-6a se convierte en COP =

W Refrigerador o acondicionador de aire QL TL

QL QL refrigerador y . = c d (15–6b) acondicionador de aire W QH - QL Para un refrigerador ideal (no uno perfecto, que es imposible), lo mejor que uno podría tener sería TL , refrigerador y COPideal = c d (15–6c) acondicionador de aire TH - TL COP =

FIGURA 15–16 (Repetida) Diagrama de transferencias de energía para un refrigerador o acondicionador de aire.

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Acondicionador de aire

análogo a una máquina ideal (de Carnot) (ecuación 15-5). Un acondicionador de aire funciona de manera muy similar a un refrigerador, aunque los detalles de construcción real son diferentes: un acondicionador de aire toma calor QL del interior de una habitación o construcción a una temperatura baja, y deposita calor QH fuera en el ambiente a una temperatura más alta. Las ecuaciones 15-6 también describen el coeficiente de operación para un acondicionador de aire. EJEMPLO 15–12 Fabricación de hielo. Un congelador tiene un COP de 3.8 y utiliza 200 W de potencia. ¿Cuánto le tomará congelar una charola de cubos de hielo que contiene 600 g de agua a 0°C? PLANTEAMIENTO En la ecuación 15-6b, QL es el calor que se debe transferir fuera del agua de modo que se convierta en hielo. Para determinar QL se usa el calor latente de fusión del agua y la ecuación 14-3, Q = mL. SOLUCIÓN A partir de la tabla 14-3, L = 333 kJ
kg. Por tanto Q = mL = (0.600 kg)A3.33 * 105 J
kgB = 2.0 * 105 J es la energía total que se necesita remover del agua. El congelador funciona a la tasa de 200 W = 200 J
s = W
t, que es el trabajo W que puede realizar en t segundos. Se resuelve para t: t = W
(200 J
s). Para W, se emplea la ecuación 15-6b: W = QL
COP. Por tanto

t =

QL
COP 2.0 * 105 J W = = = 260 s, 200 J
s 200 J
s (3.8)(200 J
s)

o aproximadamente 4 12 min. El calor fluye naturalmente de la temperatura alta a la temperatura baja. Los refrigeradores y acondicionadores de aire realizan trabajo para lograr lo opuesto: hacer que el calor fluya de una región fría a una caliente. Se puede decir que “bombean” calor de las áreas frías hacia las áreas más calientes, contra la tendencia natural de que el calor fluye de lo caliente a lo frío, de la misma forma como el agua se puede bombear colina arriba, contra la tendencia natural de fluir colina abajo. El

422

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

término bomba térmica generalmente se reserva para un dispositivo que puede calentar una casa en invierno mediante el uso de un motor eléctrico que realiza trabajo W para llevar calor QL del exterior a temperatura baja y entregar calor QH al interior más caliente de la casa; observe la figura 15-18. Como en el refrigerador, existe un intercambiador de calor interior y uno exterior (serpentines del refrigerador) y un motor compresor eléctrico. El principio operativo es como el de un refrigerador o acondicionador de aire; pero el objetivo de una bomba térmica es calentar (entregar QH) en lugar de enfriar (remover QL). Por eso, el coeficiente de operación de una bomba térmica se define de manera diferente al de un acondicionador de aire, pues ahora lo que importa es el calor QH entregado al interior de la casa:

F Í S I C A

A P L I C A D A

Bomba térmica

Interior de la casa caliente

Exterior frío QL Bomba térmica

QH . [Bomba térmica] (15–7) W El COP necesariamente es mayor que 1. La mayoría de las bombas térmicas se pueden “revertir” y utilizarse como acondicionadores de aire en el verano.

QH

COP =

EJEMPLO 15–13 Bomba térmica. Una bomba térmica tiene un coeficiente de operación de 3.0 y está clasificada para trabajar a 1500 W. a) ¿Cuánto calor se puede agregar a una habitación por segundo? b) Si la bomba térmica se revirtiera para actuar como acondicionador de aire en el verano, ¿cuál sería su coeficiente de operación, si se supone que todo lo demás permanece igual? PLANTEAMIENTO Se usan las definiciones de coeficiente de operación, que son diferentes para los dos dispositivos en a) y b). SOLUCIÓN a) Se utiliza la ecuación 15-7 para la bomba térmica y, dado que el dispositivo realiza 1500 J de trabajo por segundo, puede verter calor en la habitación a una tasa de

W

FIGURA 15–18 Una bomba térmica usa un motor eléctrico para “bombear” calor del exterior frío al interior caliente de una casa.

QH = COP * W = 3.0 * 1500 J = 4500 J por segundo, o a una tasa de 4500 W. b) Si el dispositivo se revierte en el verano, puede llevar calor QL del interior de la casa, efectuando 1500 J de trabajo por segundo para luego arrojar QH = 4500 J por segundo al exterior caliente. La energía se conserva, de modo que QL + W = QH (véase la figura 15-18, pero invierta el interior y el exterior de la casa). Entonces

QL = QH - W = 4500 J - 1500 J = 3000 J. Por tanto, el coeficiente de operación como acondicionador de aire sería (ecuación 15-6a)

QL 3000 J = = 2.0. W 1500 J NOTA Los coeficientes de operación se definen de modo diferente para las bombas térmicas y los acondicionadores de aire. COP =

P R E C A U C I Ó N

Las bombas térmicas y los acondicionadores de aire tienen diferentes definiciones de COP.

En ocasiones, una buena bomba térmica puede ahorrar dinero y energía, dependiendo del costo de la unidad, de la instalación, y de algunos otros factores. Compare, por ejemplo, la bomba térmica del ejemplo 15-13 con un calentador eléctrico de 1500 W. Cuando este último se enchufa al tomacorriente de la pared, extrae 1500 W de electricidad y entrega 1500 W de calor a la habitación. Cuando la bomba térmica se enchufa al tomacorriente, también extrae 1500 W de electricidad (que es por lo que se paga), ¡pero entrega 4500 W de calor!

* Clasificación SEER Los dispositivos de enfriamiento, como los refrigeradores y acondicionadores de aire, con frecuencia reciben una clasificación conocida como SEER (siglas en inglés de Seasonal Energy Efficiency Ratio, que significa eficiencia energética estacional) y que se define como (calor removido en Btu) , SEER = (entrada eléctrica en watt-horas)

F Í S I C A

A P L I C A D A

Clasificación SEER

medida al promediar sobre condiciones variables (estacionales). La definición de la SEER es básicamente la misma que la del COP, excepto por la (desafortunada) mezcla de unidades. Dado que 1 Btu = 1055 J (véase sección 14-1 y problema 4 en el capítulo 14), entonces una SEER = 1 es un COP igual a (1 Btu
1 W·h) = (1055 J)
(1 J
s * 3600 s) = 0.29. Un COP = 1 es una SEER = 1
0.29 = 3.4. SECCIÓN 15–6

Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas térmicas

423

15–7 Entropía y segunda ley de la termodinámica

Entropía

Cambio de entropía

Se han estudiado varios aspectos de la segunda ley de la termodinámica, y se puede demostrar que sus diferentes enunciados analizados son completamente equivalentes. Pero lo que en realidad se necesita es un enunciado general de la segunda ley de la termodinámica. No fue sino hasta la segunda mitad del siglo XIX que la segunda ley de la termodinámica se estableció finalmente de una forma general, en términos de una cantidad llamada entropía, introducida por Clausius en la década de 1860. La entropía, al igual que el calor, es una función del estado de un sistema. Es decir, un sistema en un estado específico tiene una temperatura, un volumen y una presión, pero también tiene un valor particular de entropía. En la siguiente sección se verá que la entropía se puede interpretar como una medida del orden o desorden de un sistema. Cuando se trata con la entropía (al igual que con la energía potencial) lo importante es el cambio en la entropía durante un proceso, no la cantidad absoluta. De acuerdo con Clausius, el cambio en entropía S de un sistema, cuando se le agrega una cantidad de calor Q mediante un proceso reversible† a temperatura constante, está dado por

Q, T donde T es la temperatura Kelvin. ¢S =

(15–8)

EJEMPLO 15–14 Cambio de entropía en la fusión. Un cubo de hielo de 56 g de masa se toma de un lugar de almacenamiento a 0°C y se coloca en un cono de papel. Después de unos cuantos minutos, se ha derretido exactamente la mitad de la masa del cubo de hielo, que se convirtió en agua a 0°C. Encuentre el cambio en la entropía del hielo
agua. PLANTEAMIENTO Se considera que el sistema está constituido por los 56 g de agua, inicialmente en la forma de hielo. Para determinar el cambio en la entropía, primero se debe encontrar el calor necesario para derretir el hielo, lo que se hace utilizando el calor latente de fusión del agua, L = 333 kJ
kg (sección 14-5). SOLUCIÓN El calor requerido para derretir 28 g de hielo (la mitad del cubo de hielo de 56 g) es

Q = mL = (0.028 kg)(333 kJ
kg) = 9.3 kJ. La temperatura permanece constante en el proceso, así que el cambio en la entropía se encuentra a partir de la ecuación 15-8:

Q 9.3 kJ = = 34 J
K. T 273 K NOTA No se calculó el cambio en la entropía de los alrededores (cono de papel y aire). ¢S =

La temperatura en el ejemplo 15-14 fue constante, así que el cálculo fue sencillo. Si la temperatura varía durante un proceso, se puede determinar, mediante el cálculo o una computadora, la suma del flujo de calor sobre la temperatura variable. Sin embargo, si el cambio de temperatura no es muy grande, se puede realizar una aproximación razonable utilizando el valor promedio de la temperatura, como en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 15–15 ESTIMACIÓN Cambio en la entropía cuando se mezcla agua. Una muestra de 50.0 kg de agua a 20.00°C se mezcla con 50.0 kg de agua a 24.00°C. Estime el cambio en la entropía. PLANTEAMIENTO La temperatura final de la mezcla será de 22.0°C, dado que se comenzó con iguales cantidades de agua. Se utiliza el calor específico del agua y los métodos de calorimetría (secciones 14-3 y 14-4) para determinar el calor transferido. Luego se usa la temperatura promedio de cada muestra de agua para estimar el cambio en la entropía (
Q
T). †

Los procesos reales son irreversibles. Como la entropía es una estado variable, el cambio en entropía
S para un proceso irreversible se puede determinar calculando
S para un proceso reversible entre los mismos dos estados.

424

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

www.elsolucionario.org SOLUCIÓN Una cantidad de calor,

Q = mc ¢T = (50.0 kg)(4186 J
kg  C°)(2.00 C°) = 4.186 * 105 J, fluye fuera del agua caliente mientras se enfría de 24 a 22°C, y este calor fluye dentro del agua fría mientras se calienta de 20 a 22°C. El cambio total en la entropía,
S, será la suma de los cambios en la entropía del agua caliente,
SC, y del agua fría,
SF:

¢S = ¢SC + ¢SF . Los cambios en la entropía se estiman al escribir
S = Q
Tprom, donde Tprom es una temperatura “promedio” para cada proceso, que debe proporcionar una estimación razonable toda vez que el cambio en temperatura es pequeño. Para el agua caliente se usa una temperatura promedio de 23°C (296 K), y para el agua fría una temperatura promedio de 21°C (294 K). Por tanto

¢SC L –

4.186 * 105 J = –1414 J
K 296 K

que es negativo porque este calor fluye hacia fuera, mientras que el calor se agrega al agua fría:

¢SF L

4.186 * 105 J = 1424 J
K. 294 K

Hay que hacer notar que la entropía del agua caliente (SC) disminuye pues el calor fluye fuera del agua caliente. Pero la entropía del agua fría (SF) aumenta por una cantidad mayor. El cambio total en la entropía es

¢S = ¢SC + ¢SF L –1414 J
K + 1424 J
K L 10 J
K. En el ejemplo 15-15 se vio que, aunque la entropía de una parte del sistema disminuyó, la entropía de la otra parte aumentó por una cantidad mayor; el cambio neto en la entropía de todo el sistema fue positivo. Este resultado, que se calculó para un caso específico en el ejemplo 15-15, se sostiene en todos los otros casos puestos a prueba. Es decir, la entropía total de un sistema aislado aumenta en todos los procesos naturales. La segunda ley de la termodinámica se puede establecer en términos de entropía del modo siguiente: La entropía de un sistema aislado nunca disminuye. Sólo puede permanecer igual o aumentar. La entropía puede permanecer igual sólo para un proceso idealizado (reversible). Para cualquier proceso real, el cambio en la entropía
S es mayor que cero:

¢S 7 0.

La entropía de un sistema aislado nunca disminuye

(15–9)

Si el sistema no está aislado, entonces el cambio en la entropía del sistema,
SS, más el cambio en la entropía del ambiente,
Samb, debe ser mayor que o igual a cero:

¢S = ¢Ss + ¢Samb  0.

(15–10)

Sólo los procesos idealizados tienen
S = 0. Los procesos reales tienen
S  0. Entonces, éste es el enunciado general de la segunda ley de la termodinámica: la entropía total de cualquier sistema más la de sus alrededores aumenta como resultado de cualquier proceso natural.

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA (enunciado general)

Aunque la entropía de una parte del universo puede disminuir en cualquier proceso (véase el ejemplo 15-15), la entropía de alguna otra parte del universo siempre aumenta por una cantidad mayor, de modo que la entropía total siempre aumenta. Ahora que finalmente se tiene un enunciado general cuantitativo de la segunda ley de la termodinámica, se podrá ver que se trata de una ley inusual. Difiere considerablemente de otras leyes de la física, que son igualdades (como F = ma) o leyes de conservación (como para la energía y la cantidad de movimiento). La segunda ley de la termodinámica introduce una nueva cantidad, la entropía S, pero no dice que se conserva. Muy por el contrario. La entropía no se conserva en los procesos naturales; siempre aumenta con el paso del tiempo. SECCIÓN 15–7

Entropía y segunda ley de la termodinámica

425

15–8 Del orden al desorden El concepto de entropía, como se ha examinado hasta ahora, más bien podría parecer abstracto. Para tener una idea del concepto de entropía, es conveniente relacionarlo con los más ordinarios conceptos de orden y desorden. De hecho, la entropía de un sistema se considera una medida del desorden del sistema. Entonces, la segunda ley de la termodinámica se puede enunciar simplemente como: SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA (enunciado general)

Los procesos naturales tienden a moverse hacia un estado de mayor desorden. Exactamente qué significa desorden es algo que no siempre resulta claro, así que ahora se considerarán algunos ejemplos. Algunos de ellos mostrarán cómo este enunciado general de la segunda ley se aplica más allá de lo que generalmente se considera como termodinámica. Observe los procesos simples mencionados en la sección 15-4. Primero, un frasco que contiene capas separadas de sal y pimienta está más ordenado que un frasco en el que la sal y la pimienta están mezclados. Agitar un frasco que contiene capas separadas da como resultado una mezcla, y ninguna cantidad de agitación restaura las capas ordenadas. El proceso natural es de un estado de relativo orden (capas) a uno de relativo desorden (una mezcla), no al contrario. Es decir, el desorden aumenta. Segundo, una sólida taza de café es un objeto más “ordenado” y útil que los pedazos de una taza rota. Las tazas se rompen cuando caen, pero no se reparan a sí mismas espontáneamente (como se simuló en la figura 15-10). De nuevo, el curso normal de los eventos es un aumento del desorden. Cuando un objeto caliente se pone en contacto con uno frío, el calor fluye de la temperatura alta a la baja hasta que los dos objetos alcanzan la misma temperatura intermedia. Al principio del proceso se pueden distinguir dos clases de moléculas: aquellas que tienen una energía cinética promedio alta (el objeto caliente) y las que tienen energía cinética promedio baja (el objeto más frío). Después del proceso en el que fluye calor, todas las moléculas están en una clase con la misma energía cinética promedio; ya no se tiene el arreglo más ordenado de moléculas en dos clases. El orden ha cedido el paso al desorden. Más aún, los objetos separados caliente y frío podrían servir como las regiones de temperatura caliente y fría de una máquina térmica, por lo que podrían usarse para obtener trabajo útil. Pero, una vez que los dos objetos se ponen en contacto y alcanzan la misma temperatura, no se puede obtener ningún trabajo. El desorden aumentó, pues un sistema que tiene la capacidad de realizar trabajo seguramente debe considerarse como poseedor de un mayor orden que un sistema que ya no es capaz de efectuar trabajo. Cuando una piedra cae al suelo, su energía cinética se transforma en energía térmica. (Anteriormente se hizo notar que lo contrario nunca ocurre: una piedra nunca absorbe energía térmica ni se levanta en el aire de manera espontánea.) Éste es otro ejemplo de orden que cambia a desorden. La energía térmica está asociada con el movimiento desordenadamente aleatorio de las moléculas, pero las moléculas en la piedra que cae tienen todas la misma velocidad descendente además de sus propias velocidades aleatorias. De esta forma, la energía cinética más ordenada de la piedra cambia a energía térmica desordenada cuando la piedra golpea el suelo. El desorden aumenta en este proceso, como sucede en todos los procesos que tienen lugar en la naturaleza.

15–9 Agotamiento de energía; muerte térmica En el proceso de conducción de calor de un objeto caliente a uno frío, se vio que la entropía aumenta y que el orden cambia a desorden. Los objetos separados caliente y frío servirían como las regiones de temperatura alta y baja para una máquina térmica y, por ende, podrían usarse para obtener trabajo útil. Pero, después de que los dos objetos se ponen en contacto uno con otro y alcanzan la misma temperatura uniforme, no se puede obtener ningún trabajo a partir de ellos. En relación con la capacidad de efectuar trabajo útil, el orden ha cambiado a desorden en este proceso.

426

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

Lo mismo se puede decir acerca de una roca que cae y llega al reposo al golpear el suelo. Antes de golpear el suelo, toda la energía cinética de la roca podría haber servido para realizar trabajo. Pero una vez que la energía cinética mecánica de la roca se convierte en energía térmica, ya no es posible la realización de trabajo útil. Ambos ejemplos ilustran otro aspecto importante de la segunda ley de la termodinámica: en cualquier proceso natural, parte de la energía deja de estar disponible para realizar trabajo útil. En cualquier proceso, ninguna energía se pierde (siempre se conserva). En lugar de ello, la energía se vuelve menos útil: puede realizar menos trabajo útil. Conforme pasa el tiempo, la energía se degrada, en un sentido; con el tiempo, pasa de formas más ordenadas (como la mecánica) a la forma menos ordenada, energía interna o térmica. La entropía es un factor aquí porque la cantidad de energía que deja de estar disponible para realizar trabajo es proporcional al cambio en la entropía durante cualquier proceso. Un resultado natural de esta degradación de energía es la predicción de que, conforme pase el tiempo, el universo se aproximará a un estado de máximo desorden. La materia se volverá una mezcla uniforme y el calor habrá fluido de regiones de alta temperatura a regiones de baja temperatura hasta que todo el universo esté a una misma temperatura. Entonces no se podrá realizar trabajo. Toda la energía del universo se habrá degradado a energía térmica. Todo cambio cesará. Los filósofos han discutido ampliamente esta predicción, llamada la muerte térmica del universo. La tendencia hacia este estado final parecería una consecuencia inevitable de la segunda ley de la termodinámica, aunque estaría muy lejos en el futuro.

Degradación de la energía

“Muerte térmica”

* 15–10 Evolución y crecimiento; “flecha del tiempo” Un ejemplo interesante del aumento en la entropía se relaciona con la evolución biológica y el crecimiento de los organismos. Resulta evidente que un ser humano es un organismo altamente ordenado. La teoría de la evolución describe el proceso de orden creciente que se inicia con la formación de las macromoléculas tempranas y las formas simples de vida hasta llegar al Homo sapiens. Asimismo, el desarrollo de un individuo a partir de una sola célula hasta que se convierte en una persona adulta es un proceso de orden creciente. ¿Estos procesos violan la segunda ley de la termodinámica? No, de ninguna manera. En los procesos de evolución y crecimiento, e incluso durante la madurez de un individuo, los productos de desecho se eliminan. Estas pequeñas moléculas que son el resultado del metabolismo son moléculas simples sin mucho orden. Por tanto, representan entropía o desorden relativamente más alto. De hecho, la entropía total de las moléculas apartadas por los organismos durante los procesos de evolución y crecimiento es más grande que la disminución en la entropía asociada con el orden del individuo en crecimiento o las especies en evolución. Otro aspecto importante de la segunda ley de la termodinámica es que indica en qué dirección van los procesos. Si viéramos una película que corre hacia atrás, sin duda seríamos capaces de decir que corría hacia atrás. Veríamos ocurrencias extrañas, como una taza de café rota que se eleva del suelo y se vuelve a ensamblar hasta llegar a una mesa, o un globo desinflado que súbitamente está lleno de aire otra vez. Uno sabe que estas cosas no ocurren en la vida real; son procesos en los que el orden aumenta, o la entropía disminuye. Violan la segunda ley de la termodinámica. Cuando se observa una película (o se imagina que el tiempo pudiera transcurrir en reversa), es posible detectar una inversión del tiempo preguntándose si la entropía (y el desorden) aumenta o disminuye. Por eso, la entropía se conoce como la flecha del tiempo, porque puede decir en qué dirección marcha éste. *SECCIÓN 15–10

F Í S I C A

A P L I C A D A

Evolución biológica

Evolución y crecimiento; “flecha del tiempo”

427

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* 15–11 Interpretación estadística de la entropía y de la segunda ley Las ideas de entropía y desorden quedan más claras con el uso de un análisis estadístico o probabilístico del estado molecular de un sistema. Este enfoque estadístico, que Ludwig Boltzmann (1844-1906) aplicó por primera ocasión hacia el finales del siglo XIX, hace una clara distinción entre el “macroestado” y el “microestado” de un sistema. El microestado de un sistema estaría especificado al proporcionar la posición y velocidad de cada partícula (o molécula). El macroestado de un sistema está especificado mediante las propiedades macroscópicas del sistema: temperatura, presión, número de moles, etcétera. En realidad, sólo se puede conocer el macroestado de un sistema. En general existen demasiadas moléculas en un sistema como para tener la capacidad de conocer la velocidad y la posición de cada una en un momento dado. No obstante, es importante reconocer que al mismo macroestado pueden corresponder muchísimos microestados diferentes. Tomemos un ejemplo muy simple. Supongamos que una persona agita repetidamente en la mano cuatro monedas y las suelta sobre una mesa. El macroestado del sistema se define especificando el número de caras y cruces que aparecen en un lanzamiento dado, y el microestado se define especificando cada moneda como cara o cruz. En la tabla siguiente se ve cuántos microestados corresponden a cada macroestado: Macroestado 4 caras 3 caras, 1 cruz 2 caras, 2 cruces 1 cara, 3 cruces 4 cruces

Probabilidades

Microestados posibles (H  caras, T  cruces)

Número de Microestados

HHHH H H H T, H H T H, H T H H, T H H H H H T T, H T H T, T H H T, H T T H, T H T H, T T H H T T T H, T T H T, T H T T, H T T T TTTT

1 4 6 4 1

Una suposición básica detrás del enfoque estadístico es que cada microestado es igualmente probable. Por tanto, el número de microestados que proporcionan el mismo macroestado corresponde a la probabilidad relativa de que ocurra ese macroestado. El macroestado de dos caras y dos cruces es el más probable en el caso presente de lanzar cuatro monedas; del total de 16 posibles microestados, seis corresponden a dos caras y dos cruces, de modo que la probabilidad de lanzar dos caras y dos cruces es 6 de 16, o el 38%. La probabilidad de lanzar una cara y tres cruces es 4 de 16, o el 25%. La probabilidad de cuatro caras sólo es 1 en 16, o el 6%. Si las monedas se lanzan 16 veces, es posible que se descubra que dos caras y dos cruces no aparecen exactamente 6 veces, o que cuatro cruces no aparecen exactamente una vez. Éstas sólo son probabilidades o promedios. Pero si se realizan 1600 lanzamientos, muy cerca del 38% de ellos serán dos caras y dos cruces. Cuanto mayor sea el número de intentos, los porcentajes estarán más cerca de las probabilidades calculadas.. Si se lanzan más monedas (por ejemplo, 100, todas al mismo tiempo) la probabilidad relativa de que todas sean caras (o todas cruces) se reduce enormemente. Sólo existe un microestado que corresponde a que todas sean caras. Para 99 caras y 1 cruz, existen 100 microestados, dado que cada una de las monedas podría ser la única cruz. Las probabilidades relativas para otros macroestados se proporcionan en la tabla 15-3. Aproximadamente son posibles 1030 microestados.† Por tanto, la probabilidad relativa de que todas sean caras es 1 en 1030, ¡un evento increíblemente improbable! La probabilidad de obtener 50 caras y 50 cruces (tabla 15-3) es (1.0 * 1029)
1030 = 0.10, o 10%. La probabilidad de obtener un resultado entre 45 y 55 caras es del 90%. Por tanto, se ve que, conforme aumenta el número de monedas, la probabilidad de obtener el arreglo más ordenado (todas caras o todas cruces) se vuelve extremadamente improbable. El arreglo menos ordenado (mitad caras, mitad cruces) es el más probable, y la probabilidad de estar dentro de, por ejemplo, el 5% del arreglo † Cada moneda tiene dos posibilidades: cara o cruz. Entonces el posible número de microestados es 2 * 2 * 2 * p = 2 100 = 1.27 * 1030 (con el uso de una calculadora o de logaritmos).

428

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

TABLA 15–3 Probabilidades de varios macroestados para 100 monedas lanzadas Macroestados caras

cruces

100 99 90 80 60 55 50 45 40 20 10 1 0

0 1 10 20 40 45 50 55 60 80 90 99 100

Números de microestados 1

1.0 1.7 5.4 1.4 6.1 1.0 6.1 1.4 5.4 1.7 1.0

* * * * * * * * * * *

2

10 1013 1020 1028 1028 1029 1028 1028 1020 1013 102

1

Probabilidad

8.0 8.0 1.0 4.0

* * * *

10–31 10–29 10–17 10–10

* * * *

10–10 10–17 10–29 10–31

0.01 0.05 0.08 0.05 0.01

4.0 1.0 8.0 8.0

Fracción de moléculas

Fracción de moléculas

más probable aumenta enormemente conforme aumenta el número de monedas. Estas mismas ideas se pueden aplicar a las moléculas de un sistema. Por ejemplo, el estado más probable de un gas (como el aire en una habitación) es aquel en el que las moléculas ocupan todo el espacio y se mueven aleatoriamente; esto corresponde a la distribución de Maxwell, que se ilustra en la figura 15-19a (véase el capítulo 13). Por otra parte, el mismo arreglo ordenado de todas las moléculas ubicadas en una esquina de la habitación y de que todas se muevan con la misma velocidad (figura 15-19b) es extremadamente improbable. A partir de estos ejemplos es claro que la probabilidad está directamente relacionada con el desorden y, por ende, con la entropía. Es decir, el estado más probable es aquel con la mayor entropía, o mayor desorden y aleatoriedad. En términos de probabilidad, la segunda ley de la termodinámica (que dice que la entropía aumenta en cualquier proceso) se reduce al enunciado de que tales procesos ocurren porque son los más probables. Así, la segunda ley se convierte en un enunciado trivial. Sin embargo, ahora existe un elemento adicional. La segunda ley en términos de probabilidad no prohíbe una disminución en la entropía. Más bien, dice que la probabilidad es extremadamente baja. No es imposible que la sal y la pimienta se separen espontáneamente en capas, o que una taza rota se repare a sí misma. Incluso es posible que un lago se congele en un día caluroso de verano (esto es, que el calor fluya del lago frío hacia los alrededores más calientes). Pero la probabilidad de que tales eventos ocurran es mínima. En los ejemplos de las monedas se vio que, al aumentar el número de monedas de 4 a 100, se reducía drásticamente la probabilidad de grandes desviaciones del arreglo promedio, o más probable. En los sistemas ordinarios se trata no con 100 moléculas, sino con números de moléculas increíblemente grandes: en 1 solo mol existen 6 * 1023 moléculas. De modo que la probabilidad de desviación lejos del promedio es increíblemente pequeña. Por ejemplo, se ha calculado que la probabilidad de que una piedra en reposo en el suelo pueda transformar 1 cal de energía térmica en energía mecánica y elevarse en el aire es mucho menor que la probabilidad de que un grupo de monos escribiendo al azar por casualidad produzcan las obras completas de Shakespeare.

0

Rapidez, a)

0

Entropía en términos de probabilidad

FIGURA 15–19 a) Distribución más probable de rapideces moleculares en un gas (maxwelliana o aleatoria); b) distribución ordenada (pero enormemente improbable) de rapideces en la que todas las moléculas tengan casi la misma rapidez.

Rapidez, b)

*SECCIÓN 15–11

Interpretación estadística de la entropía y de la segunda ley

429

a)

b)

c)

FIGURA 15–20 a) Un arreglo de espejos que enfocan la luz solar sobre una caldera para producir vapor en una instalación de energía solar. b) Planta de vapor de combustible fósil. c) Grandes torres de enfriamiento en una planta generadora de electricidad

FIGURA 15–21 La energía mecánica o térmica se transforma en energía eléctrica con una turbina y un generador.

y calentamiento global

Fuente de energía: agua, vapor o viento Generador eléctrico

Turbina Energía eléctrica

F Í S I C A

A P L I C A D A

Máquinas térmicas y contaminación térmica

430

CAPÍTULO 15

15–12 Contaminación térmica Mucha de la energía que se utiliza en la vida cotidiana (que incluye desde los vehículos de motor hasta la mayor parte de la electricidad producida por las plantas eléctricas) utiliza una máquina térmica. La electricidad producida por el agua que cae en las presas, por los molinos de viento o por las celdas solares (figura 15-20a) no implica una máquina térmica. Pero casi el 90% de la energía eléctrica producida en Estados Unidos se genera en las plantas de vapor de combustible fósil (carbón, petróleo o gas; figura 15-20b) y a partir de una máquina térmica (en esencia, motores de vapor). En las centrales eléctricas, el vapor activa las turbinas y generadores (figura 15-21), cuya salida es energía eléctrica. En la tabla 15-4 se describen brevemente los diversos medios de activar la turbina, junto con algunas de las ventajas y desventajas de cada uno. Incluso las plantas nucleares usan combustible nuclear para poner en funcionamiento un motor de vapor. A la salida de calor QL de cada máquina térmica, desde las centrales eléctricas hasta los automóviles, se le conoce como contaminación térmica, pues el ambiente (como el agua de los ríos o lagos, o el aire que usan las grandes torres de enfriamiento) debe absorber este calor (QL) (figura 15-20c). Este calor eleva la temperatura del agua que se enfría, lo que altera la ecología natural de la vida acuática (principalmente porque el agua más caliente contiene menos oxígeno). En el caso del aire de las torres de enfriamiento, la salida de calor QL eleva la temperatura de la atmósfera, lo que afecta al clima. La contaminación del aire (que incluye los químicos liberados en la quema de los combustibles fósiles en los automóviles, centrales eléctricas y hornos industriales) da lugar al aumento del smog y otros problemas. Un gran problema es la acumulación de CO2 en la atmósfera de la Tierra provocada por la quema de combustibles fósiles. Este CO2 absorbe parte de la radiación infrarroja que emite naturalmente la Tierra (sección 14-8), lo que provoca el calentamiento global, un serio problema que se puede evitar limitando la quema de combustibles fósiles. Sin embargo, la contaminación térmica es inevitable. Los ingenieros pueden intentar diseñar y construir motores que sean más eficientes, pero no pueden rebasar la eficiencia de Carnot y deben aceptar la idea de que TL es la mejor temperatura ambiente del agua o aire. La segunda ley de la termodinámica señala el límite impuesto por la naturaleza. Lo que no es posible hacer, a la luz de la segunda ley de la termodinámica, es usar menos energía y conservar las fuentes de combustibles.

Las leyes de la termodinámica

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TABLA 15–4 Fuentes de energía eléctrica Forma de producción de energía eléctrica

% de producción (aprox.) EUA

Mundo

Ventajas

Desventajas

87

86

Se sabe cómo construirlas; por ahora es relativamente poco costosa.

Contaminación del aire; contaminación térmica; eficiencia limitada; devastación de la tierra por la extracción de materias primas (minería); calentamiento global; accidentes como derrames de petróleo en el mar; limitado suministro de combustible (las reservas se estiman en un rango de un par de décadas a unas cuantas centurias).

8

6

Normalmente casi no contamina el aire; menos contribución al calentamiento global; relativamente barata.

Contaminación térmica; los accidentes pueden liberar radiactividad dañina; difícil disposición de subproductos radiactivos; posible desviación de material nuclear por terroristas; limitado suministro de combustible.

0

0

Relativamente “limpia”; vasto suministro de combustible (hidrógeno en las moléculas de agua en los océanos); menor contribución al calentamiento global.

Todavía no es operativa.

4

7

No se necesita máquina térmica; no hay contaminación del aire, del agua o térmica; relativamente barata; gran eficiencia; las presas pueden controlar inundaciones.

Los depósitos detrás de las presas inundan tierras panorámicas o cañones; las presas bloquean las corrientes migratorias para reproducción del salmón y otros peces; pocas ubicaciones para nuevas presas; sequías.

Geotérmica: Aprovecha el vapor natural del interior de la Tierra que llega a la superficie (fuentes termales, géiseres, respiraderos de vapor); o el agua fría que pasa y entra en contacto con roca seca y caliente para convertirse en vapor.


1


1

No se necesita máquina térmica; poca contaminación del aire; buena eficiencia; relativamente barata y “limpia”.

Pocos sitios apropiados; producción reducida; el contenido mineral del agua caliente empleada puede contaminar.

Potencia eólica: Molinos de viento (con aspas de hasta 50 m de ancho) de 3 kW a 5 MW activan un generador.


1


1

No requiere máquina térmica; no hay contaminación del aire, del agua o térmica; relativamente barata.

Los grandes molinos afectan el clima y resultan antiestéticos; riesgo para las aves migratorias; los vientos no siempre son fuertes.


0.1


1

No se necesita máquina térmica; no hay contaminación del aire o térmica; suministro ilimitado de combustible.

Limitaciones de espacio; puede requerir respaldo; relativamente costosa; menos efectivo cuando está nublado.

No se requiere máquina térmica; no hay contaminación del aire o térmica; relativamente barata.

Casi ninguna, pero también se necesitan otros métodos.

Plantas de vapor de combustible fósil: Quema de carbón, petróleo o gas natural para calentar agua y producir vapor de alta presión que active la turbina de un generador (figuras 15-12b, 15-21); utiliza máquina térmica.

Energía nuclear: Fisión: Separación (“fisión”) de núcleos de átomos de uranio o plutonio con liberación de energía que calienta vapor; utiliza máquina térmica.

Fusión: Energía liberada cuando isótopos de hidrógeno (u otros núcleos pequeños) se combinan o “funden”.

Hidroeléctrica: El agua que cae activa las turbinas en la base de una presa.

Energía solar: Calentamiento solar activo: Paneles solares en los techos absorben los rayos solares, que calientan agua destinada al suministro doméstico y a calentar espacios.

Calentamiento solar pasivo: Dispositivos arquitectónicos: ventanas alineadas a la exposición del sur, sombrillas sobre las ventanas para mantener fuera los rayos solares en verano.

Celdas solares (celdas fotovoltaicas): Convierten la luz solar directamente en electricidad sin usar máquina térmica.

No se requiere máquina térmica; muy baja contaminación térmica, del aire y agua; buena eficiencia ( 30% y en mejoría)

*SECCIÓN 15–12

Escudo protector de verano

Ventana

Sol de verano

Sol de invierno

El suelo absorbe energía

Costosa; contaminación química en su fabricación; se necesitan grandes extensiones de tierra cuando la energía del Sol no es concentrada.

Contaminación térmica y calentamiento global

431

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Termodinámica 1. Defina el sistema con el que se trata; distinga el sistema bajo estudio de sus alrededores. 2. Cuando se aplica la primera ley de la termodinámica, hay que tener cuidado con los signos asociados con trabajo y calor. En la primera ley, el trabajo realizado por el sistema es positivo; el trabajo realizado sobre el sistema es negativo. El calor agregado al sistema es positivo; el calor removido del sistema es negativo. Con las máquinas térmicas, generalmente se considera la admisión de calor, el calor expulsado y el trabajo realizado como positivos. 3. Observe las unidades usadas para trabajo y calor; muy a menudo el trabajo se expresa en joules, y el calor puede estar en calorías, kilocalorías o joules. Sea consistente: elija sólo una unidad para un problema dado.

4. Las temperaturas generalmente se deben expresar en kelvins; las diferencias de temperatura se pueden expresar en C° o K. 5. La eficiencia (o coeficiente de operación) es una razón de dos transferencias de energía: la salida útil dividida por la entrada requerida. La eficiencia (pero no el coeficiente de operación) siempre tiene un valor menor que 1 y por eso, con frecuencia, se expresa como porcentaje. 6. La entropía de un sistema aumenta cuando se agrega calor al sistema y disminuye cuando se remueve calor. Si el calor se transfiere del sistema A al B, el cambio en la entropía de A es negativo y el cambio en la entropía de B es positivo.

Resumen La primera ley de la termodinámica establece que el cambio en energía interna U de un sistema es igual al calor agregado al sistema, Q, menos el trabajo realizado por el sistema, W:

¢U = Q - W.

(15–1)

Éste es un enunciado de la conservación de la energía y se sostiene para todos los tipos de procesos. Un proceso isotérmico es un proceso que se lleva a cabo a temperatura constante. En un proceso adiabático no se intercambia calor (Q = 0). El trabajo W realizado por un gas a presión constante P está dado por

W = P ¢V,

(15–3)

donde V es el cambio en el volumen del gas. Una máquina térmica es un dispositivo para convertir la energía térmica, mediante el flujo de calor entre dos temperaturas, en trabajo útil. La eficiencia e de una máquina térmica se define como la razón entre el trabajo W efectuado por la máquina y la entrada de calor QH. En virtud de la conservación de energía, la salida de trabajo es igual a QH – QL, donde QL es el calor expulsado a baja temperatura hacia el ambiente; por tanto

e =

QL W . = 1 QH QH

(15–4)

El límite superior en la eficiencia (la eficiencia de Carnot) se puede escribir en términos de las temperaturas operativas más alta y más baja (en kelvins) de la máquina, TH y TL, como

eideal

TL . = 1 TH

QL , W

c

(15–5)

refrigerador o d (15–6a) acondicionador de aire

donde W es el trabajo necesario para remover calor QL del área con la temperatura baja.

432

CAPÍTULO 15

COP =

Las leyes de la termodinámica

QH . W

[bomba térmica] (15–7)

La segunda ley de la termodinámica se puede establecer en varias formas equivalentes: a) El calor fluye espontáneamente de un objeto caliente a uno frío, pero no al contrario; b) No existe una máquina térmica 100% eficiente, es decir, una que pueda convertir por completo una cantidad dada de calor en trabajo; c) Los procesos naturales tienden a moverse hacia un estado de mayor desorden o mayor entropía. El inciso c) es el enunciado más general de la segunda ley de la termodinámica, y se puede expresar como: la entropía total, S, de cualquier sistema más la de su ambiente aumenta como resultado de cualquier proceso natural:

¢S 7 0.

(15–9)

El cambio en la entropía en un proceso que transfiere calor Q a una temperatura constante T es

¢S =

La operación de refrigeradores y acondicionadores de aire es el inverso de una máquina térmica: se realiza trabajo para extraer calor de una región fría y expulsarlo hacia una región con temperatura más alta. El coeficiente de operación (COP, por sus siglas en inglés) para cualquiera de los dos es

COP =

Una bomba térmica realiza trabajo W para llevar calor QL del exterior frío y entregar calor QH para calentar el interior. El coeficiente de operación de una bomba térmica es

Q . T

(15–8)

La entropía es una medida cuantitativa del desorden de un sistema. Conforme pasa el tiempo, la energía se degrada a formas menos útiles; es decir, está menos disponible para realizar trabajo útil. [*La segunda ley de la termodinámica dice en qué dirección tienden a ir los procesos, así que la entropía se llama “flecha del tiempo”.] [*Todas las máquinas térmicas dan lugar a contaminación térmica porque expulsan calor al ambiente.]

Preguntas 1. ¿Qué ocurre a la energía interna del vapor de agua en el aire que se condensa en el exterior de un vaso de agua frío? ¿Se realiza trabajo o se intercambia calor? Explique su respuesta. 2. Utilice la conservación de la energía para explicar por qué la temperatura de un gas aumenta cuando se comprime rápidamente, mientras que la temperatura disminuye cuando el gas se expande. 3. En un proceso isotérmico, un gas ideal realiza 3700 J de trabajo. ¿Esto es suficiente información para saber cuánto calor se ha agregado al sistema? Si es así, ¿cuánto? 4. ¿Es posible que la temperatura de un sistema permanezca constante aun cuando el calor fluya hacia dentro o hacia fuera de él? Si es así, proporcione uno o dos ejemplos. 5. Explique por qué la temperatura de un gas aumenta cuando se comprime adiabáticamente. 6. ¿La energía mecánica alguna vez se puede transformar por completo en calor o energía interna? ¿Puede ocurrir lo contrario? En cada caso, si su respuesta es no, explique por qué; si es sí, proporcione uno o dos ejemplos. 7. ¿Es posible calentar una cocina en invierno dejando abierta la puerta del horno? ¿Puede enfriarse la cocina en verano dejando abierta la puerta del refrigerador? Explique sus respuestas. 8. ¿Sería útil una definición de eficiencia de máquina térmica como e = W
QL? Explique su respuesta. 9. ¿Cuáles son las áreas de temperatura alta y de temperatura baja en a) un motor de combustión interna y b) un motor de vapor? 10. ¿Qué representaría la mayor mejoría en la eficiencia de una máquina de Carnot: un aumento de 10 C° en el depósito de temperatura alta, o una disminución de 10 C° en el depósito de temperatura baja? Explique su respuesta. 11. Los océanos contienen una enorme cantidad de energía térmica (interna). ¿Por qué, en general, no es posible convertir esta energía en trabajo útil? 12. A un gas se le permite expandirse a) adiabáticamente y b) isotérmicamente. En cada proceso, ¿la entropía aumenta, disminuye o permanece igual? Explique sus respuestas.

13. Un gas se puede expandir al doble de su volumen original, ya sea adiabática o isotérmicamente. ¿Qué proceso daría como resultado un mayor cambio en la entropía? Explique su respuesta. 14. Proporcione tres ejemplos, distintos a los mencionados en este capítulo, de procesos que ocurran naturalmente en los que el orden ceda el paso al desorden. Discuta la naturaleza observable del proceso inverso. 15. ¿Qué tiene la mayor entropía: 1 kg de hierro sólido o 1 kg de hierro líquido? ¿Por qué? 16. a) ¿Qué ocurre si se remueve la tapa de una botella que contiene gas cloro? b) ¿El proceso inverso puede ocurrir? ¿Por qué sí o por qué no? c) ¿Puede pensar en otros dos ejemplos de irreversibilidad? 17. Se pretende poner a prueba una máquina a la que el inventor llama un “acondicionador de aire al interior de la habitación” y que consiste en una gran caja, instalada en medio de un cuarto, con un cable que se enchufa en un tomacorriente. Cuando la máquina se enciende, se siente una corriente de aire frío que sale de ella. ¿Cómo se sabe que esta máquina no puede enfriar la habitación? 18. Piense en varios procesos (distintos a los ya mencionados) que obedecerían la primera ley de la termodinámica pero que, si en realidad ocurriesen, violarían la segunda ley. 19. Suponga que un montón de papeles están regados por el piso; luego se les apila cuidadosamente. ¿Esto viola la segunda ley de la termodinámica? Explique su respuesta. 20. La primera ley de la termodinámica a veces se enuncia curiosamente como “es imposible obtener algo a cambio de nada” y la segunda ley como “no se puede salir sin ganar ni perder”. Explique cómo estos enunciados podrían ser equivalentes a los enunciados formales. * 21. Con frecuencia, a la entropía se le llama “flecha del tiempo” porque indica en qué dirección ocurren los procesos naturales. Si una película se corriese hacia atrás, mencione algunos procesos que podrían indicar que el tiempo está “transcurriendo al revés”. * 22. Los organismos vivientes, mientras crecen, convierten moléculas de alimento relativamente simples en estructuras complejas. ¿Esto es una violación de la segunda ley de la termodinámica?

Problemas 15-1 y 15-2 Primera ley de la termodinámica 1. (I) Un gas ideal se expande isotérmicamente, y en el proceso realiza 3.40 * 103 J de trabajo. Calcule a) el cambio en energía interna del gas y b) el calor absorbido durante esta expansión. 2. (I) Un gas, encerrado en un cilindro tapado con un ligero pistón sin fricción, se mantiene a presión atmosférica. Cuando se agregan 1400 kcal de calor al gas, su volumen aumenta lentamente desde 12.0 m3 a 18.2 m3. Calcule a) el trabajo realizado por el gas y b) el cambio en la energía interna del gas. 3. (I) Un litro de aire se enfría a presión constante hasta que su volumen queda a la mitad y luego se le permite expandirse isotérmicamente de vuelta a su volumen original. Dibuje el proceso en un diagrama PV.

4. (I) Bosqueje un diagrama PV del proceso siguiente: 2.0 L de gas ideal a presión atmosférica se enfrían a presión constante a un volumen de 1.0 L y luego se expanden isotérmicamente de vuelta a 2.0 L, después de lo cual la presión aumenta a volumen constante hasta que se alcanza la presión original. 5. (II) Se permite que un volumen de 1.0 L de aire inicialmente a 4.5 atm de presión (absoluta) se expanda isotérmicamente hasta que la presión sea de 1.0 atm. Entonces se comprime a presión constante a su volumen inicial y finalmente se lleva de vuelta a su presión original al calentarlo a volumen constante. Dibuje el proceso en un diagrama PV, incluya los números y ponga nombre a los ejes. 6. (II) La presión en un gas ideal se reduce lentamente a la mitad, mientras que se mantiene en un contenedor con paredes rígidas. En el proceso, 265 kJ de calor dejan el gas. a) ¿Cuánto trabajo se realizó durante este proceso? b) ¿Cuál fue el cambio en la energía interna del gas durante este proceso?

Problemas

433

www.elsolucionario.org 7. (II) En un motor, un gas casi ideal se comprime adiabáticamente hasta la mitad de su volumen. Al hacerlo, se realizan sobre el gas 1850 J de trabajo. a) ¿Cuánto calor fluye hacia el gas o desde él? b) ¿Cuál es el cambio en la energía interna del gas? c) ¿Su temperatura se eleva o disminuye? 8. (II) Un gas ideal se expande a una presión total constante de 3.0 atm de 400 a 600 mL. Entonces el calor fluye fuera del gas a volumen constante, y se permite que la presión y la temperatura desciendan hasta que la temperatura alcance su valor original. Calcule a) el trabajo total realizado por el gas en el proceso y b) el flujo de calor total hacia el gas.

12. (II) Cuando un gas se lleva de a a c a lo largo de la trayectoria curva de la figura 15-24, el trabajo realizado por el gas es W = -35 J y el calor agregado al gas es Q = -63 J. A lo largo de la trayectoria abc, el trabajo efectuado es W = -48 J. a) ¿Cuál es Q para la trayectoria abc? b) Si Pc = 12 Pb , ¿cuál es W para la trayectoria cda? c) ¿Cuál es Q para la trayectoria cda? d) ¿Cuál es Ua - Uc? e) Si Ud - Uc = 5 J, ¿cuál es Q para la trayectoria da?

P

9. (II) Un mol y medio de un gas monoatómico ideal se expanden adiabáticamente y en el proceso realizan 7500 J de trabajo. ¿Cuál es el cambio en la temperatura del gas durante esta expansión? 10. (II) Considere el siguiente proceso en dos pasos. Al calor se le permite fluir fuera de un gas ideal a volumen constante de modo que su presión desciende de 2.2 a 1.4 atm. Luego el gas se expande a presión constante, de un volumen de 6.8 L a 9.3 L, donde la temperatura alcanza su valor original. Observe la figura 15-22. Calcule a) el trabajo total realizado por el gas en el proceso, b) el cambio en la energía interna del gas en el proceso y c) el flujo de calor total hacia el gas o desde él.

P a

2.2 atm

b

a

c

d

0

V

FIGURA 15–24 Problemas 12 y 13.

13. (III) En el proceso de llevar un gas del estado a al estado c a lo largo de la trayectoria curva mostrada en la figura 15-24, 80 J de calor dejan el sistema y 55 J de trabajo se realizan sobre el sistema. a) Determine el cambio en la energía interna, Ua - Uc. b) Cuando el gas se lleva a lo largo de la trayectoria cda, el trabajo realizado por el gas es W = 38 J. ¿Cuánto calor Q se agrega al gas en el proceso cda? c) Si Pa = 2.5Pd, ¿cuánto trabajo efectúa el gas en el proceso abc? d) ¿Cuál es Q para la trayectoria abc? e) Si Ua - Ub = 10 J, ¿cuál es Q para el proceso bc? He aquí un resumen de los datos:

Qa S c = –80 J b

1.4 atm

Wa S c = –55 J

c

Wcda = 38 J 6.8 L

9.3 L

V

FIGURA 15–22 Problema 10. 11. (II) El diagrama PV en la figura 15-23 muestra dos posibles estados de un sistema que contiene 1.35 moles de un gas monoatómico ideal. AP1 = P2 = 455 N
m2, V1 = 2.00 m3, V2 = 8.00 m3.B a) Dibuje el proceso que muestra una expansión isobárica del estado 1 al estado 2 y designe este proceso como A. b) Determine el trabajo efectuado por el gas y el cambio en la energía interna del gas en el proceso A. c) Dibuje el proceso de dos pasos que muestra una expansión isotérmica del estado 1 al volumen V2, seguido por un aumento isovolumétrico en temperatura al estado 2, y designe este proceso como B. d) Determine el cambio en la energía interna del gas para el proceso B de dos pasos.

P (N/m2) 500 1 400 300 200 100 0

2

CAPÍTULO 15

Pa = 2.5Pd . * 15-3 Metabolismo humano * 14. (I) ¿Cuánta energía transformaría la persona del ejemplo 158 si, en lugar de trabajar 11.0 h, toma un receso por la tarde y corre durante 1.0 h?

* 15. (I) Calcule la tasa metabólica promedio de una persona que duerme 8.0 h, se sienta frente a un escritorio 8.0 h, realiza una actividad ligera durante 4.0 h, mira televisión 2.0 h, juega tenis 1.5 h y corre 0.5 h diariamente.

* 16. (II) Una persona decide perder peso durmiendo una hora menos por día y dedicando ese tiempo a realizar una actividad ligera. ¿Cuánto peso (o masa) espera perder esta persona en 1 año, si no modifica su ingesta de alimentos? Suponga que 1 kg de grasa almacena 40,000 kJ de energía. 15-5 Máquinas térmicas

2

4

6

8

17. (I) Una máquina térmica expulsa 8200 J de calor mientras realiza 3200 J de trabajo útil. ¿Cuál es la eficiencia de esta máquina?

10 V (m3)

FIGURA 15–23 Problema 11.

434

Ua - Ub = 10 J

Las leyes de la termodinámica

18. (I) Una máquina térmica realiza 9200 J de trabajo por ciclo mientras absorbe 22.0 kcal de calor de un depósito de temperatura alta. ¿Cuál es la eficiencia de esta máquina? 19. (I) ¿Cuál es la eficiencia máxima de una máquina térmica cuyas temperaturas operativas son 580 y 380°C?

20. (I) La temperatura de escape de una máquina térmica es 230°C. ¿Cuál debe ser la temperatura alta si la eficiencia de Carnot es del 28%? 21. (II) Una planta nuclear opera al 75% de su eficiencia teórica máxima (Carnot) entre temperaturas de 625 y 350°C. Si la planta produce energía eléctrica a una tasa de 1.3 GW, ¿cuánto calor de escape se descarga por hora? 22. (II) No es necesario que el ambiente caliente de una máquina térmica sea más caliente que la temperatura ambiente. El nitrógeno líquido (77 K) es casi tan barato como el agua embotellada. ¿Cuál sería la eficiencia de un motor que utiliza el calor transferido del aire a temperatura ambiente (293 K) al “combustible” de nitrógeno líquido (figura 15-25)?

15-6 Refrigeradores, acondicionadores de aire, bombas térmicas 29. (I) La temperatura baja del serpentín de un congelador es -15°C, y la temperatura de descarga es 30°C. ¿Cuál es el coeficiente de operación teórico máximo? 30. (II) Un refrigerador-congelador ideal opera con un COP = 7.0 en una habitación de 24°C. ¿Cuál es la temperatura en el interior del congelador? 31. (II) El refrigerador de un restaurante tiene un coeficiente de operación de 5.0. Si la temperatura en la cocina donde está el refrigerador es de 29°C, ¿cuál es la temperatura más baja que se podría obtener adentro del refrigerador si fuese ideal? 32. (II) Una bomba térmica se usa para mantener una casa caliente a 22°C. ¿Cuánto trabajo se requiere de la bomba para entregar 2800 J de calor en la casa, si la temperatura exterior es de a) 0°C, b) -15°C? Suponga un comportamiento ideal (Carnot). 33. (II) ¿Qué volumen de agua a 0°C puede convertir en cubos de hielo un congelador en una hora, si el coeficiente de operación de la unidad congeladora es 7.0 y la entrada de potencia es 1.0 kilowatt? 34. (II) Una máquina ideal (Carnot) tiene una eficiencia del 35%. Si fuese posible hacerlo operar “en reversa” como una bomba térmica, ¿cuál sería su coeficiente de operación? 15-7 Entropía 35. (I) ¿Cuál es el cambio en la entropía de 250 g de vapor a 100°C cuando se condensa en agua a 100°C? 36. (I) Un kilogramo de agua se calienta de 0°C a 100°C. Estime el cambio en la entropía del agua. 37. (I) ¿Cuál es el cambio en la entropía de 1.00 m3 de agua a 0°C cuando se congela en hielo a 0°C?

FIGURA 15–25 Problema 22.

23. (II) Una máquina de Carnot efectúa trabajo a la tasa de 440 kW mientras usa 680 kcal de calor por segundo. Si la temperatura de la fuente de calor es de 570°C, ¿a qué temperatura se expulsa el calor de desecho? 24. (II) Las temperaturas operativas de una máquina de Carnot son 210 y 45°C. La salida de potencia de la máquina es de 950 W. Calcule la tasa de salida de calor.

38. (II) Si 1.00 m3 de agua a 0°C se congela y enfría a -10°C por estar en contacto con una gran cantidad de hielo a -10°C, ¿cuál sería el cambio total en la entropía del proceso? 39. (II) Una caja de 10.0 kg que tiene una rapidez inicial de 3.0 m
s se desliza a lo largo de una tabla rugosa y llega al reposo. Estime el cambio total en la entropía del universo. Suponga que todos los objetos están a temperatura ambiente (293 K). 40. (II) Una roca que cae tiene energía cinética EC justo antes de golpear el suelo y llegar al reposo. ¿Cuál es el cambio total en la entropía de la roca más los alrededores como resultado de esta colisión?

25. (II) Cierta central eléctrica produce 550 MW de potencia eléctrica. Estime el calor descargado por segundo, si se supone que la planta tiene una eficiencia del 38%.

41. (II) Una barra de aluminio conduce 7.50 cal
s de una fuente caliente que se mantiene a 240°C hacia un gran cuerpo de agua a 27°C. Calcule la tasa a la que crece la entropía por unidad de tiempo en este proceso.

26. (II) Una máquina térmica utiliza una fuente de calor a 550°C y tiene una eficiencia ideal (Carnot) del 28%. Para aumentar la eficiencia ideal al 35%, ¿cuál debe ser la temperatura de la fuente de calor?

42. (II) 1.0 kg de agua a 30°C se mezclan con 1.0 kg de agua a 60°C en un contenedor bien aislado. Estime el cambio neto en la entropía del sistema.

27. (II) Una máquina térmica expulsa su calor a 350°C y tiene una eficiencia de Carnot del 39%. ¿Qué temperatura de expulsión permitiría lograr una eficiencia de Carnot del 49%?

43. (II) Una pieza de aluminio de 3.8 kg a 30°C se coloca en 1.0 kg de agua en un contenedor de espuma de estireno a temperatura ambiente (20°C). Calcule el cambio neto aproximado en la entropía del sistema.

28. (III) En una central eléctrica de vapor, los motores de vapor trabajan en pares, y la salida de calor de uno es la entrada de calor aproximada del segundo. Las temperaturas operativas del primero son 670 y 440°C, y del segundo 430 y 290°C. Si el calor de combustión de carbón es 2.8 * 107 J
kg, ¿a qué tasa se debe quemar el carbón si la planta va a producir 1100 MW de potencia? Suponga que la eficiencia de los motores es el 60% de la eficiencia ideal (Carnot).

44. (III) Una máquina térmica real que trabaja entre depósitos de calor a 970 K y 650 K produce 550 J de trabajo por ciclo para una entrada de calor de 2200 J. a) Compare la eficiencia de esta máquina real con la de una máquina ideal (Carnot). b) Calcule el cambio total en la entropía del universo, por ciclo, de la máquina real. c) Calcule el cambio total en la entropía del universo, por ciclo, de una máquina de Carnot que opera entre las mismas dos temperaturas.

Problemas

435

* 15-11 Interpretación estadística * 45. (II) Calcule las probabilidades, cuando se lanzan dos dados, de obtener a) un 5 y b) un 11.

* 46. (II) Clasifique las siguientes manos de cinco cartas en orden creciente de probabilidad: a) cuatro ases y un rey; b) seis de corazones, ocho de diamantes, reina de bastos, tres de corazones, jack de espadas; c) dos jacks, dos reinas y un as; y d) cualquier mano que no tenga dos caras de igual valor. Discuta su clasificación en términos de microestados y macroestados.

* 47. (II) Suponga que se agitan repetidamente seis monedas en la mano para luego soltarlas sobre el suelo. Elabore una tabla que muestre el número de microestados que correspondan a cada macroestado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a) tres caras y tres cruces y b) seis caras?

* 49. (II) La energía se puede almacenar para su uso durante la demanda pico bombeando agua hacia un depósito elevado cuando la demanda es baja y luego liberándola para activar turbinas cuando se necesita. Suponga que el agua se bombea a un lago a 135 m sobre las turbinas, a una tasa de 1.00 * 105 kg
s durante 10.0 h por la noche. a) ¿Cuánta energía (kWh) se necesita para realizar esto cada noche? b) Si toda esta energía se libera durante 14 h al día, al 75% de eficiencia, ¿cuál es la salida promedio de potencia?

* 50. (II) El agua se almacena en un lago artificial creado por una presa (figura 15-27). La profundidad del agua es de 45 m en la presa y se mantiene una tasa de flujo estable de 35 m3
s por medio de turbinas hidroeléctricas instaladas cerca de la base de la presa. ¿Cuánta potencia eléctrica se puede producir?

* 15-12 Recursos energéticos * 48. (I) Las celdas solares (figura 15-26) pueden producir aproximadamente 40 W de electricidad por metro cuadrado de superficie si encuentran directamente bajo los rayos del Sol. ¿Cuál debe ser el área de estas celdas para satisfacer las necesidades de una casa que requiere 22 kWh
día? ¿Esto cabría en el techo de una casa promedio? (Suponga que el Sol brilla aproximadamente 9 h
día).

FIGURA 15–27 Problema 50.

FIGURA 15–26 Problema 48.

Problemas generales 51. Un inventor afirma haber diseñado y construido una máquina que produce 1.50 MW de trabajo útil mientras toma 3.00 MW de energía térmica a 425 K y rechaza 1.50 MW de energía térmica a 215 K. ¿Hay algo sospechoso en esta afirmación? Explique su respuesta.

436

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

52. Cuando 5.30 * 105 J de calor se agregan a un gas encerrado en un cilindro ajustado con un pistón ligero sin fricción que se mantiene a presión atmosférica, el volumen aumenta de 1.9 a 4.1 m3. Calcule a) el trabajo realizado por el gas y b) el cambio en la energía interna del gas. c) Grafique este proceso en un diagrama PV.

www.elsolucionario.org 53. Un motor de gasolina de 4 cilindros tiene una eficiencia de 0.25 y entrega 220 J de trabajo por ciclo por cilindro. Cuando el mo-tor trabaja a 45 ciclos por segundo, a) ¿cuál es el trabajo realizado por segundo? b) ¿Cuál es la entrada de calor total por segundo desde el combustible? c) Si el contenido de energía de la gasolina es de 35 MJ por litro, ¿cuánto dura un litro? 54. Un refrigerador “Carnot” (lo inverso de una máquina de Carnot) absorbe calor del compartimiento de congelador a una temperatura de -17°C y lo expulsa en la habitación a 25°C. a) ¿Cuánto trabajo debe realizar el refrigerador para cambiar 0.50 kg de agua a 25°C en hielo a -17°C? b) Si la salida del compresor es de 210 W, ¿qué tiempo mínimo se necesita para lograr esto? 55. Se ha sugerido que se podría desarrollar una máquina térmica que utilice la diferencia de temperatura entre el agua en la superficie del océano y la que se encuentra a varios cientos de metros de profundidad. En los trópicos, las temperaturas suelen ser de 27 y 4°C, respectivamente. a) ¿Cuál es la eficiencia máxima que podría tener tal máquina? b) ¿Por qué puede ser factible tal máquina a pesar de la baja eficiencia? c) ¿Cuáles serían algunos efectos ambientales adversos que esto podría traer? 56. Dos automóviles de 1100 kg viajan a 95 km
h en direcciones opuestas cuando chocan y llegan al reposo. Estime el cambio en la entropía del universo como resultado de esta colisión. Considere que T = 20°C. 57. Una taza de aluminio aislada de 120 g a 15°C está llena con 140 g de agua a 50°C. Después de unos minutos, se alcanza el equilibrio. a) Determine la temperatura final y b) estime el cambio total en la entropía.

* 58. a) ¿Cuál es el coeficiente de operación de una bomba térmica ideal que extrae calor del aire exterior a 6°C y deposita calor dentro de una casa a 24°C? b) Si esta bomba térmica opera a 1200 W de potencia eléctrica, ¿cuál es el calor máximo que puede entregar a la casa cada hora? 59. La quema de gasolina en un automóvil libera aproximadamente 3.0 * 104 kcal
gal. Si un automóvil promedia 41 km/gal cuando se conduce a 90 km/h, lo que requiere 25 hp, ¿cuál es le eficiencia del motor en tales condiciones? 60. Una máquina de Carnot tiene una temperatura operativa más baja TL = 20°C y una eficiencia del 30%. ¿En cuántos kelvins se debe aumentar la temperatura operativa alta TH para lograr una eficiencia del 40%? 61. Calcule el trabajo efectuado por un gas ideal al ir del estado A al estado C en la figura 15-28 para cada uno de los siguientes procesos: a) ADC, b) ABC y c) AC directamente.

P

B

PC

PA

A

0

VA

C

D

VC

V

FIGURA 15–28 Problema 61.

62. Una central eléctrica eficiente al 33% saca 850 MW de potencia eléctrica. Se usan torres de enfriamiento para llevarse el calor de escape. a) Si se permite una elevación de la temperatura del aire de 7.0 C°, estime qué volumen de aire (km3) se calientan por día. ¿El clima local se calentará significativamente? b) Si el aire caliente formara una capa de 200 m de grosor, estime cuán grande sería un área cubierta durante 24 h de operación. Suponga que el aire tiene una densidad de 1.2 kg
m3 y que su calor específico es aproximadamente 1.0 kJ/kg
C° a presión constante. 63. Una central eléctrica entrega energía a 980 MW con el uso de turbinas de vapor. El vapor pasa a turbinas supercalentadas a 625 K y deposita su calor no utilizado en agua de río a 285 K. Suponga que la turbina opera como una máquina ideal de Carnot. a) Si la tasa de flujo del río es de 37 m3
s, estime el aumento de temperatura promedio del agua del río inmediatamente corriente abajo de la central. b) ¿Cuál es el aumento en la entropía por kilogramo de la corriente del río en J
kg·K? 64. Un motor de automóvil de 100 hp opera aproximadamente al 15% de eficiencia. Suponga que la temperatura del agua del motor de 85°C es su depósito de temperatura fría (escape) y que 495°C es su temperatura de “admisión” térmica (la temperatura de la mezcla gas y aire que explota). a) ¿Cuál es la razón entre su eficiencia relativa y su máxima eficiencia posible (Carnot)? b) Estime cuánta potencia (en watts) se ocupa en mover el automóvil, y cuánto calor, en joules y en kcal, se expulsan al aire en 1.0 h. 65. Un gas ideal se coloca en un frasco cilíndrico alto de 0.080 m2 de área transversal. Un pistón móvil sin fricción de 0.10 kg se coloca verticalmente en el frasco de modo que el peso del pistón está sostenido por la presión del gas en el frasco. Cuando el gas se calienta (a presión constante) de 25 a 55°C, el pistón se eleva 1.0 cm. ¿Cuánto calor se requiere para este proceso? Considere la presión atmosférica exterior.

Problemas generales

437

66. Metabolizar 1.0 kg de grasa da como resultado aproximadamente 3.7 * 107 J de energía interna en el cuerpo. a) En un día, ¿cuánta grasa quema el cuerpo para mantener la temperatura de una persona que está en la cama y que realiza su metabolismo a una tasa promedio de 95 W? b) ¿Cuánto tomaría quemar 1.0 kg de grasa de esta forma, si se supone que no hay ingesta de alimentos? 67. Un acondicionador de aire ideal mantiene la temperatura interior de una habitación en 21°C cuando la temperatura exterior es de 32°C. Si 5.3 kW de potencia entran a la habitación a través de las ventanas en forma de radiación directa proveniente del Sol, ¿cuánta potencia eléctrica se ahorraría si las ventanas estuvieran sombreadas de modo que la cantidad de radiación se redujera a 500 W?

68. Un deshumidificador es en esencia un “refrigerador con la puerta abierta”. Un ventilador jala el aire húmedo y lo guía a un serpentín frío, donde la temperatura es menor que el punto de rocío, y parte del agua del aire se condensa. Luego se extrae esta agua, el aire se calienta de nuevo a su temperatura original y se envía a la habitación. En un deshumidificador bien diseñado, el calor se intercambia entre el aire de entrada y el de salida. De esta forma, el calor que se remueve mediante el serpentín refrigerador proviene principalmente de la condensación del vapor de agua a líquido. Estime cuánta agua se remueve en 1.0 h mediante un deshumidificador ideal, si la temperatura de la habitación es de 25°C, el agua se condensa a 8°C y el deshumidificador realiza trabajo a una tasa de 600 W de potencia eléctrica.

Respuestas a los ejercicios D: La ecuación 14-1 se aplica sólo a un gas monoatómico ideal, no al agua líquida.

A: 700 J. B: Menor. C: – 6.8 * 103 J.

438

CAPÍTULO 15

Las leyes de la termodinámica

Este peine adquirió carga estática al deslizarlo sobre el cabello o al frotarlo con un trozo de tela o una toalla de papel. La carga eléctrica en el peine induce una polarización (separación de carga) en las tiritas de papel y por eso las atrae. Este capítulo es una introducción a la electricidad y en él se estudiarán los conductores y aisladores, así como la ley de Coulomb, que relaciona la fuerza entre dos cargas puntuales como función de su distancia de separación. También se introduce el importante concepto de campo eléctrico.

CAPÍTULO

16

Carga eléctrica y campo eléctrico

L

a palabra “electricidad” puede evocar una imagen de moderna tecnología compleja: luces, motores, aparatos electrónicos y computadoras. Pero la fuerza eléctrica juega un papel importante incluso en los aspectos más profundos de la vida humana. De acuerdo con la teoría atómica, son las fuerzas eléctricas entre átomos y moléculas las que los mantienen unidos para formar líquidos y sólidos; las fuerzas eléctricas también participan en los procesos metabólicos que ocurren dentro del cuerpo humano. Muchas de las fuerzas que se han estudiado hasta el momento, como las fuerzas elásticas, la fuerza normal y la fricción, y otras fuerzas de contacto (empujones y jalones), ahora se consideran resultado de fuerzas eléctricas que actúan en el nivel atómico. La gravedad, en cambio, es una fuerza aparte.† Los primeros estudios acerca de la electricidad datan de la antigüedad, pero no fue sino hasta los dos últimos siglos que la electricidad se estudió en detalle. En los siguientes siete capítulos se analizará el desarrollo de las ideas en torno a la electricidad y el funcionamiento de diversos dispositivos prácticos, así como la relación entre la electricidad y el magnetismo. †

Como se explicó en la sección 5-10, la física en el siglo XX reconoció cuatro fuerzas fundamentales en la naturaleza: 1. la fuerza gravitacional, 2. la fuerza electromagnética (más tarde se verá que las fuerzas eléctrica y magnética están íntimamente relacionadas), 3. la fuerza nuclear fuerte y 4. la fuerza nuclear débil. Las últimas dos fuerzas operan a nivel del núcleo de un átomo. La teoría reciente ha combinado las fuerzas electromagnética y débil, de modo que ahora se considera que ambas tienen un origen común conocido como fuerza electrodébil.

439

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FIGURA 16–1 a) Frote una regla de plástico y b) acérquela a algunos trozos de papel.

a)

b)

16–1 Electricidad estática; carga eléctrica y su conservación

FIGURA 16–2 Cargas iguales se repelen; cargas opuestas se atraen.

ⴚ

ⴚ ⴚⴚ

ⴚⴚ

ⴚⴚ

ⴚⴚ

ⴚⴚ

a) Dos reglas de plástico cargadas se repelen

ⴙ

ⴙ ⴙⴙ

ⴙⴙ ⴙⴙ ⴙⴙ ⴙⴙ

b) Dos barras de vidrio cargadas se repelen

ⴚ

ⴚ ⴚⴚ

ⴚⴚ

ⴙⴙ

ⴙⴙ

ⴙⴙ

c) La barra de vidrio cargada atrae la regla de plástico cargada Cargas iguales se repelen; cargas distintas se atraen.

440

CAPÍTULO 16

La palabra electricidad proviene de la palabra griega elektron, que significa “ámbar”. El ámbar es resina de árbol petrificada, y los antiguos sabían que si se frota una pieza de ámbar con una tela, el ámbar atrae pequeños pedazos de hojas o polvo. Un pedazo de hule duro, una barra de vidrio o una regla de plástico que se frotan con un trozo de tela también mostrarán este “efecto ámbar”, o electricidad estática, como se le conoce en la actualidad. Es posible levantar fácilmente pedazos de papel con un peine o una regla de plástico que se haya frotado vigorosamente con una toalla de papel. Observe la fotografía en la página anterior y la figura 16-1. Probablemente el lector ha experimentado la electricidad estática al peinarse el cabello o al sacar una blusa o playera sintética de una secadora de ropa. Y tal vez haya sentido una descarga al tocar la manija metálica de una puerta después de deslizarse del asiento de un automóvil o luego de caminar sobre una alfombra de nylon. En cada caso, un objeto se “carga” como resultado del frotamiento, y se dice que posee una carga eléctrica neta. ¿Toda carga eléctrica es la misma o existe más de un tipo? De hecho, existen dos tipos de carga eléctrica, como demuestran los experimentos simples que se describen a continuación. Una regla de plástico suspendida mediante un hilo se frota vigorosamente con un trozo de tela para cargarla. Cuando una segunda regla de plástico, también cargada de la misma forma, se acerca a la primera, se ve que una regla repele a la otra. Esto se ilustra en la figura 16-2a. De igual modo, si una barra de vidrio frotada se acerca a una segunda barra de vidrio cargada, de nuevo se ve que actúa una fuerza repulsiva (figura 16-2b). Sin embargo, si la barra de vidrio cargada se acerca a la regla de plástico cargada, se ve que se atraen mutuamente (figura 16-2c). Así que la carga en el vidrio debe ser diferente de la del plástico. De hecho, experimentalmente se encuentra que todos los objetos cargados caen en una de las dos categorías. O son atraídos por el plástico y repelen el vidrio; o repelen el plástico y atraen el vidrio. Por tanto, parece haber dos, y sólo dos, tipos de carga eléctrica. Cada tipo de carga repele a las del mismo tipo pero atrae a las del tipo opuesto. Es decir, cargas distintas se atraen; cargas iguales se repelen. Fue el estadista, filósofo y científico estadounidense Benjamin Franklin (17061790) quien nombró los dos tipos de carga eléctrica como positiva y negativa. La elección de cuál nombre iba con cuál tipo de carga fue arbitraria. La elección de Franklin estableció que la carga en la barra de vidrio frotado era la carga positiva, así que la carga en la regla de plástico frotado (o ámbar) se llamó carga negativa. En la actualidad todavía se sigue esta convención. Franklin argumentó que siempre que cierta cantidad de carga se produce en un objeto, una cantidad igual del tipo opuesto de carga se produce en otro objeto. Positivo y negativo deben ser tratados algebraicamente, así que, durante cualquier proceso, el cambio neto en la cantidad de carga producida es cero. Por ejemplo, cuando una regla de plástico se frota con una toalla de papel, el plástico adquiere una carga negativa y la toalla adquiere una cantidad igual de carga positiva. Las cargas están separadas, pero la suma de las dos es cero.

Carga eléctrica y campo eléctrico

Éste es un ejemplo de una ley que ahora está bien establecida: la ley de conservación de la carga eléctrica, que establece que la cantidad neta de carga eléctrica producida en cualquier proceso es cero, o, dicho de otro modo, ninguna carga eléctrica neta se puede crear o destruir. Si un objeto (o región del espacio) adquiere una carga positiva, entonces una cantidad igual de carga negativa se encontrará en las áreas u objetos vecinos. Nunca se han encontrado violaciones, y esta ley de conservación está tan firmemente establecida como las de energía y la cantidad de movimiento.

LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA ELÉCTRICA

16–2 Carga eléctrica en el átomo No fue sino hasta el siglo pasado cuando se comprendió que la electricidad se origina dentro del átomo mismo. Así que estudiar brevemente la estructura atómica ayudará a entender la electricidad. Un modelo simplificado describe al átomo como un pequeño pero pesado núcleo cargado positivamente rodeado por uno o más electrones cargados negativamente (figura 16-3). El núcleo contiene protones, que tienen carga positiva, y neutrones, que no tienen carga eléctrica neta. Todos los protones y todos los electrones tienen exactamente la misma magnitud de carga eléctrica, pero sus signos son opuestos. En consecuencia, los átomos neutros, que no poseen carga neta, contienen igual número de protones y electrones. A veces, un átomo puede perder uno o más de sus electrones, o puede ganar electrones adicionales, en cuyo caso tendrá una carga neta positiva o negativa, y se le llama ion. En los materiales sólidos, los núcleos tienden a permanecer cerca de posiciones fijas, mientras que algunos de los electrones pueden moverse con bastante libertad. Cuando un objeto es neutro, contiene igual cantidad de carga positiva y negativa. El hecho de cargar un objeto sólido mediante frotamiento se puede explicar por la transferencia de electrones de un objeto a otro. Cuando una regla de plástico se carga negativamente por frotamiento con una toalla de papel, la transferencia de electrones de la toalla al plástico deja la toalla con una carga positiva igual en magnitud a la carga negativa adquirida por el plástico. En los líquidos y gases, los núcleos o iones se pueden mover al igual que los electrones. Normalmente, cuando los objetos se cargan mediante frotamiento, conservan su carga sólo durante un tiempo limitado, al cabo del cual regresan al estado neutro. ¿A dónde va esta carga? Por lo general, la carga “se transfiere” a las moléculas de agua en el aire. Esto se debe a que las moléculas del agua son polares; es decir, aun cuando sean neutras, su carga no está distribuida de manera uniforme (figura 16-4). De este modo, los electrones adicionales en una regla de plástico cargada, por ejemplo, se pueden “transferir” en el aire porque son atraídos al extremo positivo de las moléculas de agua. Por otra parte, un objeto con carga positiva se puede neutralizar mediante la transferencia de los electrones que se sostienen libremente en las moléculas de agua en el aire. En los días secos, la electricidad estática es mucho más apreciable pues el aire contiene pocas moléculas de agua para permitir el drenaje. En los días húmedos o lluviosos, es difícil hacer que cualquier objeto sostenga una carga neta durante mucho tiempo.

Suponga que se tienen dos esferas metálicas, una altamente cargada y la otra eléctricamente neutra (figura 16-5a). Si ahora se coloca un objeto metálico, como un clavo, de modo que toque a ambas esferas (figura 16-5b), la esfera que no estaba cargada se carga con rapidez. Si, en vez de ello, se conectan las dos esferas mediante una barra de madera o una pieza de hule (figura 16-5c), la esfera no cargada no se cargará apreciablemente. Se dice que los materiales como el clavo de hierro son conductores de electricidad, mientras que la madera y el hule son no conductores o aisladores.

+++ +++

Metal + + +

a)

+ + +

b)

Ion

2

Madera +++ +++

c)

2

11 1

2

FIGURA 16–3 Modelo simple del átomo.

Molécula polar FIGURA 16–4 Diagrama de una molécula de agua. Puesto que tiene cargas opuestas en diferentes extremos, se le llama molécula “polar”.

2 2 O

1

16–3 Aisladores y conductores

Carga neutra

Electrones, protones, neutrones

H

H

1

Conductores y aisladores

FIGURA 16–5 a) Una esfera metálica cargada y una esfera metálica neutra. b) Las dos esferas conectadas mediante un conductor (clavo de hierro) que conduce la carga de una esfera a la otra. c) Las dos esferas conectadas por un aislador (madera); casi no se conduce carga.

SECCIÓN 16–3

Aisladores y conductores

441

Los metales son buenos conductores.

Los metales generalmente son buenos conductores, mientras que la mayoría de los otros materiales son aisladores (aunque incluso los aisladores conducen la electricidad muy ligeramente). Casi todos los materiales naturales caen en una u otra de estas dos categorías, que son bastante distintas entre sí. Sin embargo, unos cuantos materiales (como el silicio y el germanio) caen en una categoría intermedia conocida como semiconductores. Desde el punto de vista atómico, los electrones en un material aislador están apretadamente ligados al núcleo. Por otra parte, en un buen conductor, algunos de los electrones están ligados muy débilmente y se pueden mover con libertad dentro del material (aunque no pueden abandonar fácilmente al objeto) y con frecuencia se les conoce como electrones libres o electrones de conducción. Cuando un objeto cargado positivamente se acerca a un conductor o es tocado por él, los electrones libres en el conductor son atraídos por este objeto cargado positivamente y se mueven con rapidez hacia él. Por otro lado, los electrones libres se alejan rápidamente de un objeto con carga negativa que se les acerca. En un semiconductor, existen unos cuantos electrones libres, y en un aislador casi ninguno.

16–4 Carga inducida; el electroscopio Supongamos que un objeto metálico con carga positiva se acerca a un objeto metáa) Barra metálica neutra lico no cargado. Si los dos se tocan, los electrones libres en el objeto neutro son

+ + ++ + + +

paso de e
Objeto ++ metálico cargado + + b) La barra metálica adquiere carga por contacto FIGURA 16–6 Una barra metálica neutra en a) adquirirá una carga positiva si se le pone en contacto b) con un objeto metálico cargado positivamente. (Los electrones se mueven como se muestra mediante la flecha). Esto se llama carga por conducción.

atraídos hacia el objeto con carga positiva y algunos pasarán a él (figura 16-6). Como el segundo objeto, originalmente neutro, ahora pierde algunos de sus electrones negativos, tendrá una carga positiva neta. Este proceso se llama “carga por conducción” o “por contacto”, y los dos objetos terminan con el mismo signo de carga. Ahora supongamos que un objeto cargado positivamente se acerca a una barra metálica neutra, pero no la toca. Aunque los electrones libres de la barra metálica no dejan la barra, todavía se mueven dentro del metal hacia la carga positiva externa, y dejan una carga positiva en el extremo opuesto de la barra (figura 16-7). Se dice que se ha inducido una carga en los dos extremos de la barra metálica. En la barra no se creó carga neta: simplemente se han separado las cargas. La carga neta en la barra metálica todavía es cero. Sin embargo, si el metal se rompe en dos piezas, se podrían tener dos objetos cargados: uno positivamente y el otro negativamente.

a) Barra metálica neutra FIGURA 16–7 Carga por inducción.

++++

–– –

++ +

b) Barra metálica todavía neutra, pero con una separación de carga FIGURA 16–8 Inducción de una carga en un objeto conectado a tierra.

22 22 2

a)

1 2

111 b)

11 11 c)

442

CAPÍTULO 16

Otra forma de inducir una carga neta en un objeto metálico es conectarlo primero con un alambre conductor a tierra (o a una tubería conductora que se dirige a tierra) como se muestra en la figura 16-8a (el símbolo significa conectado a “tierra”). Se dice entonces que el objeto está “aterrizado”. Como la Tierra es tan grande y puede conducir, acepta o entrega electrones con facilidad; por eso actúa como un depósito de carga. Si un objeto cargado (negativo esta vez) se acerca al objeto metálico, los electrones libres en el metal son repelidos y muchos de ellos se mueven por el alambre hacia Tierra (figura 16-8b). Esto deja al metal cargado positivamente. Si ahora se corta el alambre, el objeto metálico tendrá sobre él una carga positiva inducida (figura 16-8c). Si el alambre se cortara después de alejar al objeto negativo, los electrones se moverían de regreso al objeto metálico y éste sería neutro.

Carga eléctrica y campo eléctrico

www.elsolucionario.org La separación de carga también se puede realizar en los no conductores. Si un objeto con carga positiva se acerca a un no conductor neutro, como se muestra en la figura 16-9, casi ningún electrón se puede mover libremente dentro del no conductor. Pero los electrones se pueden mover ligeramente dentro de sus propios átomos y moléculas. Cada óvalo en la figura 16-9 representa una molécula (no a escala); los electrones cargados negativamente, atraídos hacia la carga positiva externa, tienden a moverse en su dirección dentro de sus moléculas. Puesto que las cargas negativas en el no conductor están más cerca de la carga positiva externa, el no conductor como un todo es atraído a la carga positiva externa (véase la fotografía de apertura de este capítulo). Aislador Metal

+++++ +

–+ –+ –+ –+ –+ Hojas de oro

No conductor FIGURA 16–9 Un objeto cargado que se acerca a un aislador provoca una separación de carga dentro de las moléculas del aislador.

Vidrio

FIGURA 16–10 Electroscopio.

Un electroscopio es un dispositivo que sirve para detectar cargas. Como se muestra en la figura 16-10, en el interior de una caja se encuentran dos hojas metálicas móviles, con frecuencia hechas de oro. (A veces sólo una hoja es móvil). Las hojas están conectadas mediante un conductor hacia una perilla metálica en el exterior de la caja, pero están aisladas de la caja misma. Si un objeto con carga positiva se acerca a la perilla, se induce una separación de carga; los electrones son atraídos hacia la perilla y dejan a las hojas cargadas positivamente (figura 16-11a). Las dos hojas se repelen como se indica, pues ambas tienen carga positiva. Si, en vez de ello, la perilla se carga mediante conducción, todo el aparato adquiere una carga neta como se muestra en la figura 16-11b. En cualquier caso, cuanto más grande sea la cantidad de carga, mayor será la separación de las hojas. Hay que hacer notar que no se puede precisar el signo de la carga de esta forma, dado que la carga negativa provocará que las hojas se separen justo tanto como una cantidad igual de carga positiva; en cualquier caso, las dos hojas se repelen. Sin embargo, se puede usar un electroscopio para determinar el signo de la carga si primero se carga mediante conducción, por ejemplo, negativamente, como en la figura 16-12a. Ahora, si se acerca un objeto, como en la figura 16-12b, se inducen más electrones a moverse hacia las hojas y se separan todavía más. Si en lugar de eso se acerca una carga positiva, se induce a los electrones a fluir hacia arriba dejando las hojas menos negativas y su separación se reduce (figura 16-12c). El electroscopio se usó mucho en los primeros estudios de la electricidad. El mismo principio, apoyado en la electrónica, se utiliza en los electrómetros modernos, que son mucho más sensibles.

2 2 22 222 22

222 222

2 2 2

a)

2

2 22 22 22 22 22 2 2

222222

b)

111 222222 22 2 2 2

11111 11 222

111

1

1 1 1

1 1 1

a)

b)

FIGURA 16–11 Electroscopio cargado a) por inducción, b) por conducción.

Electrómetro

FIGURA 16–12 Se puede usar un electroscopio previamente cargado para determinar el signo de un objeto cargado.

c)

SECCIÓN 16–4

Carga inducida; el electroscopio

443

Fibra

16–5 Ley de Coulomb

ⴙ ⴙ

Varilla

FIGURA 16–13 Aparato del principio de Coulomb. Es similar al de Cavendish, que se usó para la fuerza gravitacional. Cuando una esfera cargada externa se acerca a la cargada en la barra suspendida, la barra gira ligeramente. La fibra de suspensión resiste el movimiento de giro y el ángulo de giro es proporcional a la fuerza aplicada. Con este aparato, Coulomb investigó cómo varía la fuerza eléctrica como función de la magnitud de las cargas y de la distancia entre ellas.

Se ha visto que una carga eléctrica ejerce una fuerza de atracción o repulsión sobre otras cargas eléctricas. ¿Qué factores afectan la magnitud de esta fuerza? Para encontrar una respuesta, el físico francés Charles Coulomb (1736-1806) investigó las fuerzas eléctricas en la década de 1780 con el uso de una balanza de torsión (figura 16-13) muy parecida a la que utilizó Cavendish para sus estudios de la fuerza gravitacional (capítulo 5). En la época de Coulomb no se disponía de instrumentos precisos para medir la carga eléctrica. No obstante, Coulomb fue capaz de preparar pequeñas esferas con diferentes magnitudes de carga en las que se conocía la razón de las cargas.† Aunque tuvo algunas dificultades con las cargas inducidas, Coulomb fue capaz de argumentar que la fuerza que un pequeño objeto cargado ejercía sobre un segundo pequeño objeto cargado es directamente proporcional a la carga sobre cada uno de ellos. Esto es, si la carga sobre cualquiera de los objetos se duplicaba, la fuerza aumentaba a cuatro veces el valor original. Éste fue el caso cuando la distancia entre las dos cargas permaneció constante. Coulomb encontró que, si la distancia entre ellas aumentaba, la fuerza disminuía con el cuadrado de la distancia entre ellas. Esto es, si la distancia se duplicaba, la fuerza descendía a un cuarto de su valor original. De esta forma, Coulomb concluyó que la fuerza que un pequeño objeto cargado ejercía sobre un segundo era proporcional al producto de la magnitud de la carga en uno, Q1, por la magnitud de la carga sobre el otro, Q2, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre ellos (figura 16-14). Como ecuación, la ley de Coulomb se escribe

F = k

LEY DE COULOMB

Dirección de la fuerza

FIGURA 16–14 La ley de Coulomb (ecuación 16-1) proporciona la fuerza entre dos cargas puntuales, Q1 y Q2, separadas una distancia r.

Q1

r

Q1 Q2 , r2

[magnitudes] (16–1)

donde k es una constante de proporcionalidad.‡ La ley de Coulomb (ecuación 16-1) proporciona la magnitud de la fuerza eléctrica que cualquier objeto ejerce sobre otro. La dirección de la fuerza eléctrica siempre es a lo largo de la línea que une los dos objetos. Si las dos cargas tienen el mismo signo, la fuerza sobre cualquier objeto está dirigida alejándose del otro (es decir, se repelen). Si las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza sobre uno está dirigida hacia el otro (se atraen). Observe la figura 16-15. Note que la fuerza que una carga ejerce sobre la segunda es igual pero opuesta a la ejercida por la segunda sobre la primera, en concordancia con la tercera ley de Newton.

Q2 †

Coulomb razonó que si una esfera conductora cargada se coloca en contacto con una esfera idéntica no cargada, la carga sobre la primera sería compartida igualmente por las dos a causa de la simetría. Por tanto, tuvo una forma de producir cargas iguales a 12 , 14 , etcétera, de la carga original.

‡

La validez actual de la ley de Coulomb descansa sobre mediciones precisas que son mucho más elaboradas que el experimento original de Coulomb. El exponente, 2, en la ley de Coulomb ha demostrado ser preciso a 1 parte en 1016 [esto es, 2 ± (1  10
16)].

FIGURA 16–15 La dirección de la fuerza depende de si las cargas tienen el mismo signo, como en a) y b), o signos opuestos, como en c).

F12 = fuerza sobre 1 debida a 2 B ⴙ F12 1 a) B

F12

ⴚ 1

ⴚ 2 B

ⴙ 1

444

CAPÍTULO 16

Carga eléctrica y campo eléctrico

F21 = fuerza sobre 2 debida a 1 B F21 ⴙ 2

b)

B

F 21

F12 c)

ⴚ 2

B

F21

La unidad SI de carga es el coulomb (C).† En la actualidad, la definición precisa del coulomb es en términos de corriente eléctrica y campo magnético, y se explicará más adelante (sección 20-6). En unidades SI, k tiene el valor

k = 8.988 * 109 Nm2
C 2 o, cuando sólo se necesitan dos cifras significativas, k L 9.0 * 109 Nm2
C 2. Por tanto, 1 C es aquella cantidad de carga que, si se coloca en cualquiera de dos objetos puntuales que están separados 1.0 m, provocará que cada objeto ejerza una fuerza de A9.0 * 109 Nm2
C 2 B(1.0 C)(1.0 C)
(1.0 m)2 = 9.0 * 109 N sobre el otro. Esto sería una fuerza enorme, igual al peso de casi un millón de toneladas. Normalmente no se encuentran cargas tan grandes como un coulomb. Por lo general, las cargas producidas al frotar objetos ordinarios (como un peine o una regla de plástico) están alrededor de un microcoulomb (1 mC  10
6 C) o menos. Los objetos que portan una carga positiva tienen un déficit de electrones, mientras que los objetos con carga negativa tienen un exceso de electrones. Se ha determinado que la carga en un electrón tiene una magnitud aproximada de 1.602  10
19 C, y es negativa. Ésta es la carga más pequeña encontrada en la naturaleza‡ y, puesto que es fundamental, se le ha asignado el símbolo e y con frecuencia se denomina carga elemental: e = 1.602 * 10–19 C. Note que e se define como un número positivo, de modo que la carga sobre el electrón es
e. (Por otra parte, la carga sobre un protón es e). Como un objeto no puede ganar o perder una fracción de un electrón, la carga neta sobre cualquier objeto debe ser un múltiplo entero de esta carga. Por eso se dice que la carga eléctrica está cuantizada, pues sólo existe en cantidades discretas: 1e, 2e, 3e, etcétera. Sin embargo, como e es tan pequeña, normalmente no se nota esta falta de sucesión en las cargas macroscópicas (1 mC requiere aproximadamente 1013 electrones), que entonces parece continua. La ley de Coulomb se parece mucho a la ley de la gravitación universal, F = G m1 m2
r2, que expresa la fuerza gravitacional que una masa m1 ejerce sobre una masa m2 (ecuación 5-4). Ambas son leyes de cuadrado inverso (F r 1
r2). Ambas tienen también una proporcionalidad con una propiedad de cada objeto: masa para la gravedad, carga eléctrica para la electricidad. Y ambas actúan a distancia (esto es, no hay necesidad de contacto). Una gran diferencia entre las dos leyes es que la gravedad siempre es una fuerza atractiva, mientras que la fuerza eléctrica puede ser atractiva o repulsiva. La carga eléctrica viene en dos tipos, positiva y negativa; la masa gravitacional sólo es positiva. La constante k en la ecuación 16-1 con frecuencia se escribe en términos de otra constante, 0, llamada la permisividad del espacio libre. Está relacionada con k mediante k = 1
4p0 . Entonces, la ley de Coulomb se puede escribir 1 Q1 Q2 , F = (16–2) 4p0 r2 donde 1 0 = = 8.85 * 10–12 C 2
N m2. 4pk La ecuación 16-2 parece más complicada que la 16-1, pero otras ecuaciones fundamentales que aún no se han estudiado son más simples en términos de 0 que en términos de k. No importa cuál forma se use, pues las ecuaciones 16-1 y 16-2 son equivalentes. (Los más recientes valores precisos de e y 0 se proporcionan en la cubierta frontal). [La convención para las unidades, como C2
Nm2 para 0, significa que m2 está en el denominador. Es decir, C2
Nm2 no significa C2m2
N].

Unidad para carga: el coulomb

Carga en el electrón (la carga elemental)

La carga eléctrica está cuantizada.

Ley de Coulomb y ley de la gravitación universal

LEY DE COULOMB (en términos de 0)

Escritura de unidades

†

En el sistema de unidades cgs (que alguna vez fue común), k se hace igual a 1, y la unidad de carga eléctrica se llama unidad electrostática (esu) o el statcoulomb. Un esu se define como aquella carga, en cada uno de dos objetos puntuales a 1 cm de distancia, que da lugar a una fuerza de 1 dina. ‡ De acuerdo con el modelo estándar de la física de partículas elementales, partículas subnucleares llamadas quarks tienen una carga más pequeña que la del electrón, igual a 13 e o 23 e. Los quarks no se han detectado directamente como objetos aislados, y la teoría indica que los quarks libres no son detectables.

SECCIÓN 16–5

Ley de Coulomb

445

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Carga puntual

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Uso de magnitudes en la ley de Coulomb; la dirección de la fuerza se determina a partir de los signos de las cargas.

Las ecuaciones 16-1 y 16-2 se aplican a objetos cuyo tamaño es mucho menor que la distancia entre ellos. De manera ideal, es preciso para cargas puntuales (tamaño espacial despreciable comparado con otras distancias). Para objetos de tamaño finito, no siempre resulta claro qué valor usar para r, en particular porque es posible que la carga no esté distribuida de manera uniforme sobre los objetos. Si los dos objetos son esferas y se sabe que la carga está distribuida de manera uniforme en cada uno, entonces r es la distancia entre sus centros. La ley de Coulomb describe la fuerza entre dos cargas cuando están en reposo. Cuando las cargas están en movimiento, entran en juego fuerzas adicionales, y esto se analizará en capítulos posteriores. En este capítulo se estudiarán sólo cargas en reposo, cuyo estudio se llama electrostática. Cuando se hacen cálculos con la ley de Coulomb, por lo general se ignoran los signos de las cargas y se determina la dirección de una fuerza por separado, con base en si la fuerza es atractiva o repulsiva. EJEMPLO 16–1 Fuerza eléctrica sobre un electrón por un protón. Determine la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica sobre el electrón de un átomo de hidrógeno ejercida por el único protón (Q2  e) que constituye el núcleo del átomo. Suponga que la distancia promedio entre el electrón que gira y el protón es r  0.53  10
10 m (figura 16-16). PLANTEAMIENTO Para encontrar la magnitud de la fuerza se usa la ley de Coulomb, F = k Q1 Q2
r 2 (ecuación 16-1), con r  0.53  10
10 m. El electrón y el protón tienen la misma magnitud de carga, e, de modo que Q1 = Q2 = 1.6 * 10 –19 C.

Protón ⴙ

B

F

Electrón ⴚ

r Q2

Q1

SOLUCIÓN La magnitud de la fuerza es

F = k

A9.0 * 109 N m2
C 2 B A1.6 * 10–19 CBA1.6 * 10–19 CB Q1 Q2 = r2 A0.53 * 10–10 mB 2 = 8.2 * 10–8 N.

La dirección de la fuerza sobre el electrón es hacia el protón, porque las cargas tienen signos opuestos y la fuerza es atractiva. FIGURA 16–16 Ejemplo 16-1.

FIGURA 16–17 Ejemplo 16-2. Q1 = 50 mC

l

Q2 = 1 mC

EJEMPLO CONCEPTUAL 16–2 ¿Qué carga ejerce la fuerza más grande? Dos cargas puntuales positivas, Q1  50 mC y Q2  1 mC, están separadas una distancia l (figura 16-17). ¿Cuál es más grande en magnitud: la fuerza que Q1 ejerce sobre Q2, o la fuerza que Q2 ejerce sobre Q1? RESPUESTA A partir de la ley de Coulomb, la fuerza sobre Q1 ejercida por Q2 es

F12 = k

Q1 Q2 . l2

La fuerza sobre Q2 ejercida por Q1 es

F21 = k

Q2 Q1 l2

que es la misma magnitud. La ecuación es simétrica con respecto a las dos cargas, de modo que F21  F12. La tercera ley de Newton también dice que estas dos fuerzas deben tener igual magnitud.

EJERCICIO A En el ejemplo 16-2, ¿cómo es la dirección de F12 en relación con la dirección de F21? EJERCICIO B ¿Cuál es la magnitud de F12 (y F21) en el ejemplo 16-2, si l  30 cm?

446

CAPÍTULO 16

Carga eléctrica y campo eléctrico

Es muy importante tener en mente que la ley de Coulomb (ecuación 16-1 o 16-2) proporciona la fuerza sobre una carga debida sólo a otra carga única. Si varias (o muchas) cargas están presentes, la fuerza neta sobre cualquiera de ellas será la suma vectorial de las fuerzas sobre dicha carga debida a cada una de las otras. Este principio de superposición se basa en la experimentación, y dice que los vectores de fuerza eléctrica se suman como cualquier otro vector. Por ejemplo, si se tiene un sistema de cuatro cargas, la fuerza neta sobre la carga 1 es la suma de las fuerzas ejercidas sobre ella por las cargas 2, 3 y 4. Las magnitudes de estas tres fuerzas se determinan a partir de la ley de Coulomb, y luego se suman vectorialmente.

Principio de superposición: las fuerzas eléctricas se suman como vectores.

16–6 Resolución de problemas en los que participan la ley de Coulomb y vectores La fuerza eléctrica entre partículas cargadas en reposo (que en ocasiones se denomina fuerza electrostática o fuerza de Coulomb) es, como todas las fuerzas, un vector: tiene tanto magnitud Bcomo dirección. Cuando variasBfuerzas actúan sobre un B objeto (designadas como F1 , F2 , etcétera), la fuerza neta Fneta sobre el objeto es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre él: B

B

FIGURA 16–18 Repaso de la suma vectorial. B

F1

B

Fneta = F1 + F2 + p . Como se acaba de ver, éste es el principio de superposición para fuerzas. En el capítulo 3 se estudió cómo sumar vectores; luego, en el capítulo 4, se usaron las reglas para sumar vectores y obtener la fuerza neta sobre un objeto mediante la suma de diferentes vectores fuerza que actúan sobre él. Sería una buena idea revisar ahora las secciones 3-2, 3-3 y 3-4, así como la sección 4-9 acerca de las técnicas generales de resolución de problemas. He aquí un breve repaso de vectores.

B

F2 a) Dos fuerzas que actúan sobre un objeto. B

F1

Repaso de la suma de vectores B

B

F2

B

Supongamos que dos vectores fuerza, F1 y F2 , actúan sobre un objeto (figura 16-18a). Se pueden sumar utilizando el método punta y origen (figura 16-18b) o mediante el método del paralelogramo (figura 16-18c), como se explicó en la sección 3-2. Estos métodos son útiles para comprender un problema dado (para tener una imagen en la mente de qué es lo que pasa), pero para calcular la dirección y magnitud de la suma resultante, es más preciso usar el método de suma de componentes. La figura B B 16-18d muestra los componentes de las fuerzas F1 y F2 , a lo largo de los ejes x y y elegidos (para más detalles, véase la sección 3-4). A partir de las definiciones de las funciones trigonométricas (figuras 3-11 y 3-12), se tiene

F1x = F1 cos u1

F2x = F2 cos u2

F1y = F1 sen u1

F2y = –F2 sen u2 .

B

F(= F1

B

B

+ F2)

b) La fuerza total, o neta, es B B B F = F1 + F2 por el método punta y origen de suma de vectores. B F1 B

F (= F1

B

Se suman los componentes x y y por separado para obtener los componentes de B la fuerza resultante F, que son

Fx = F1x + F2x = F1 cos u1 + F2 cos u2 ,

B + F2)

B

F2 B

B

B

c) F = F1 + F2 por el método del paralelogramo. +y

Fy = F1y + F2y = F1 sen u1 - F2 sen u2 .

B

B

La magnitud de la fuerza F, resultante (o neta) es

F1y

F = 3F 2x + F 2y . B

−x B

La dirección de F, se especifica mediante el ángulo u que F forma con el eje x, que está dado por

tan u =

Fy Fx

SECCIÓN 16–6

.

F1

B

B

F2y

B

θ1

F1x

θ2

F2 x

B

+x

B

F2 −y B B d) F1 y F2 descompuestas en sus componentes x y y.

Resolución de problemas en los que participan la ley de Coulomb y vectores

447

Suma de fuerzas eléctricas; principio de superposición Cuando se trata con varias cargas, es útil usar dobles subíndices en cada una de las fuerzas que participan. El primer subíndice se refiere a la partícula sobre la que actúa la fuerza; el segundo se refiere a la partícula que ejerce la fuerza. Por ejemplo, si se tieB nen tres cargas, F31 significa la fuerza ejercida sobre la partícula 3 por la partícula 1. Como en toda resolución de problemas, es muy importante dibujar un diagrama, en particular uno de cuerpo libre (capítulo 4) para cada objeto, que muestre todas las fuerzas que actúan sobre ese objeto. Al aplicar la ley de Coulomb, se puede tratar sólo con magnitudes de carga (se dejan fuera los signos menos) para obtener la magnitud de cada fuerza. Luego se determina por separado la dirección de la fuerza físicamente (a lo largo de la línea que une las dos partículas: cargas iguales se repelen, cargas distintas se atraen) y se muestra la fuerza sobre el diagrama. Por último, se suman como vectores todas las fuerzas sobre un objeto para obtener la fuerza neta sobre ese objeto. 0.30 m

ⴚ

0.20 m

ⴙ

Q1 = −8.0 m C

ⴚ

x

Q2 = Q3 = +3.0 m C −4.0 m C a)

y

B

B

x

F32

ⴚ

F31

Q3

EJEMPLO 16–3 Tres cargas en línea. Tres partículas cargadas están ordenadas en una línea, como se ilustra en la figura 16-19a. Calcule la fuerza electrostática neta sobre la partícula 3 (la de
4.0 mC a la derecha) debida a las otras dos cargas. PLANTEAMIENTO La fuerza neta sobre la partícula 3 es la suma vectorial de la B B fuerza F31 ejercida sobre 3 por la partícula 1 y la fuerza F32 ejercida sobre 3 por B B B la partícula 2: F = F31 + F32 . SOLUCIÓN Las magnitudes de estas dos fuerzas se obtienen mediante la ley de Coulomb (ecuación 16-1):

b) FIGURA 16–19 Ejemplo 16-3.

F31 = k

A9.0 * 109 N m2
C 2 BA4.0 * 10–6 CB A8.0 * 10–6 CB Q3 Q1 = = 1.2 N, r231 (0.50 m)2

donde r31  0.50 m es la distancia desde Q3 hasta Q1. De manera similar,

F32 = k

P R E C A U C I Ó N

Cada carga ejerce su propia fuerza. Ninguna fuerza bloquea el efecto de las otras.

A9.0 * 109 N m2
C 2 BA4.0 * 10–6 CBA3.0 * 10–6 CB Q3 Q2 = = 2.7 N. r232 (0.20 m)2

Puesto que se calculan las magnitudes de las fuerzas, se omitieron los signos de las cargas. Pero se debe tener cuidado con ellos para conocer la dirección de cada fuerza. Sea la línea que une las partículas el eje x que se Bconsidera como positivo B hacia la derecha. Entonces, puesto que F31 es repulsiva y F32 es atractiva, las direcciones de las fuerzas son como se muestra en la figura 16-19b: F31 apunta en la dirección x positiva y F32 apunta en la dirección x negativa. Entonces, la fuerza neta sobre la partícula 3 es

F = –F32 + F31 = – 2.7 N + 1.2 N = –1.5 N. La magnitud de la fuerza neta es 1.5 N y apunta hacia la izquierda. NOTA La carga Q1 actúa sobre la carga Q3 tal como si Q2 no estuviese ahí (éste es el principio de superposición). Es decir, la carga en el medio, Q2, de ninguna forma bloquea el efecto de la carga Q1 que actúa sobre Q3. Naturalmente, Q2 ejerce su propia fuerza sobre Q3. EJERCICIO C Determine la fuerza neta sobre Q1 en la figura 16-19a.

EJEMPLO 16–4 Fuerza eléctrica con el uso de componentes vectoriales. Calcule la fuerza electrostática neta sobre la carga Q3 que se muestra en la figura 16-20a debida a las cargas Q1 y Q2. PLANTEAMIENTO Se utiliza la ley de Coulomb para encontrar las magnitudes de las fuerzas individuales. La dirección deB cadaBfuerza será a lo largo de la línea que conecta Q3 a Q1 o Q2. Las fuerzas F31 y F32 tienen las direcciones que se indican en la figura 16-20a, dado que Q1 ejerce una fuerza atractiva sobre Q3, y Q2 B B ejerce una fuerza repulsiva. Las fuerzas F31 y F32 no están a lo largo de la misma B línea, así que, para encontrar la fuerza resultante sobre Q3 se descomponen F31 y B F32 en componentes x y y y se efectúa la suma vectorial.

448

CAPÍTULO 16

Carga eléctrica y campo eléctrico

www.elsolucionario.org y

B

F 32 FIGURA 16–20 Determinación de las

Q3 = +65 mC

F31x 30°

B

F 32

B

F 31 60

30 cm

F31y

y

cm

90° 30°

Q2 = +50 mC

B

F

52 cm

x Q1 = −86 mC

a)

Q3

u

x

fuerzas para el ejemplo 16-4. a) Las direcciones de las fuerzas individuales son B las que se muestran dado que F32 es repulsiva (la fuerza sobre Q3 está en la dirección que se aleja de Q2 porque tanto Q3 como Q2 son positivas) mientras que B F31 es atractiva (Q3 y Q1 tienen signos B opuestos), de modo que F31 apunta hacia B B Q1. b) Suma de F32 y F31 para obtener la B fuerza neta F.

B

F 31 b)

B

B

SOLUCIÓN Las magnitudes de F31 y F32 son (se ignoran los signos de las cargas dado que se conocen las direcciones)

F31 = k F32 = k B

A9.0 * 109 Nm2
C 2 B A6.5 * 10–5 CB A8.6 * 10–5 CB Q3 Q1 = = 140 N, 2 r31 (0.60 m)2 A9.0 * 109 Nm2
C 2 B A6.5 * 10–5 CB A5.0 * 10–5 CB Q3 Q2 = = 330 N. r232 (0.30 m)2

F31 se resuelve en sus componentes a lo largo de los ejes x y y, como se observa en la figura 16-20a: F31x = F31 cos 30° = (140 N) cos 30° = 120 N, F31y = –F31 sen 30° = –(140 N) sen 30° = –70 N. B

B

La fuerza F32 sólo tiene componente y. De modo que la fuerza neta F sobre Q3 tiene componentes

Fx = F31x = 120 N, Fy = F32 + F31y = 330 N - 70 N = 260 N. La magnitud de la fuerza neta es F = 3F 2x + F 2y = 3(120 N)2 + (260 N)2 = 290 N; y actúa en un ángulo u (ver figura 16-20b) dado por Fy 260 N tan u = = = 2.2, Fx 120 N de modo que u = tan–1(2.2) = 65°. B B B NOTA Dado que F31 y F32 no están a lo largo de la misma línea, la magnitud de F3 no es igual a la suma (o diferencia, como en el ejemplo 16-3) de las magnitudes separadas. Esto es, F3 no es igual a F31  F32; no es igual a F32
F31. En vez de ello, se tiene que realizar una suma vectorial.

FIGURA 16–21 Ejemplo 16-5 yB ejercicio D: Q4 ejerce una fuerza AF34 B

que hace que la fuerza neta sobre Q3 sea cero.

y

EJEMPLO CONCEPTUAL 16–5 Hacer cero la fuerza sobre Q3. En la figura 16-20, ¿dónde debería colocarse una cuarta carga, Q4 
50 mC, de modo que la fuerza neta sobre Q3 sea cero?

B

EJERCICIO D En el ejemplo 16-5, ¿a qué distancia r debe estar Q4 de Q3? EJERCICIO E a) Considere dos cargas puntuales de la misma magnitud pero de signo opuesto (Q y
Q), que están fijas a una distancia d de separación. Determine una ubicación donde se pueda colocar una tercera carga positiva Q de modo que la fuerza eléctrica neta sobre esta tercera carga sea cero. b) ¿Y si las primeras dos cargas fuesen ambas Q?

SECCIÓN 16–6

B

B

F = F31 + F32

RESPUESTA Por el principio de superposición, se necesita una fuerza exactamenB te en la dirección opuesta a la resultante F debida a Q2 y Q1, que se calculó en el ejemplo 16-4 (figura 16-20b). La fuerza debe tener 290 N de magnitud y apuntar abajo y a la izquierda de Q3 en la figura 16-20b. Así que Q4 debe estar a lo largo de esta línea. Véase la figura 16-21.

u = 65°

Q3

x

115°

r?

B

F 34

Q4

Resolución de problemas en los que participan la ley de Coulomb y vectores

449

16–7 El campo eléctrico

P Q Campo

FIGURA 16–22 Un campo eléctrico rodea a toda carga. P es un punto arbitrario.

Carga de prueba FIGURA 16–23 Fuerza ejercida por la carga Q sobre una pequeña carga de prueba, q, colocada en los puntos a, b y c. B

Fa a +Q b

c

B

Fc

B

Fb

A muchas fuerzas comunes, como las manos que empujan o jalan un carrito, o una raqueta de tenis que golpea una pelota, se les conoce como “fuerzas de contacto”. En contraste, tanto la fuerza gravitacional como la fuerza eléctrica actúan a distancia: existe una fuerza entre dos objetos incluso cuando éstos no están en contacto. La idea de una fuerza que actúa a distancia fue difícil para los antiguos pensadores. Newton mismo se sintió incómodo con esta idea cuando publicó su ley de gravitación universal. Una forma útil de mirar la situación se basa en la idea del campo, desarrollada por el científico británico Michael Faraday (1791-1867). En el caso de la electricidad, de acuerdo con Faraday, un campo eléctrico se extiende hacia fuera desde toda carga e impregna todo el espacio (figura 16-22). Si una segunda carga (llámese Q2) se coloca cerca de la primera, siente una fuerza ejercida por el campo eléctrico que está ahí (por ejemplo, en el punto P de la figura 16-22). El campo eléctrico en el punto P se considera que interactúa directamente con la carga Q2 para producir la fuerza sobre Q2. En principio es posible investigar el campo eléctrico que rodea una carga o grupo de cargas midiendo la fuerza sobre una pequeña carga de prueba positiva. Por carga de prueba se entiende una carga tan pequeña que la fuerza que ella ejerce no altera de manera significativa la distribución de aquellas otras cargas que crean el campo. Si una pequeña carga de prueba positiva q se coloca en varias posiciones en la vecindad de una sola carga positiva Q como se indica en la figura 16-23 (puntos a, b, c), la fuerza ejercida sobre q es como se muestra. La fuerza en b es menor que en a porque la distancia de b desde Q es mayor (ley de Coulomb); y la fuerza en c es más pequeña todavía. En cada caso, la fuerza sobre q está dirigida radialmente alejándose de Q. El campo eléctrico se define en términos de la fuerza sobre tal carga B de prueba positiva. En particular, el campo eléctrico, E, en cualquier punto en el esB pacio se define como la fuerza F ejercida sobre una pequeña carga de prueba positiva colocada en dicho punto, dividida por la magnitud de la carga de prueba q: B

Definición de campo eléctrico

B

E es un vector.

F E = . (16–3) q B B De manera más precisa, E se define como el límite de F
q conforme q se vuelve cada vez más pequeña, tendiendo a cero. Es decir, q es tan pequeña que en esencia no ejerce fuerza sobre las otras cargas que crean el campo. A partir de esta definición (ecuación 16-3), se ve que el campo eléctrico en cualquier punto en el espacio es un vector cuya dirección es la de la fuerza sobre una pequeña carga de prueba positiva B en tal punto, y cuya magnitud es la fuerza por unidad de carga. En consecuencia, E tiene unidades SI de newtons por coulomb (N
C). B B B La razón para definir E como F
q (con q S 0) es que así E no depende de la B magnitud de la carga de prueba q. Esto significa que E sólo describe el efecto de las cargas que crean el campo eléctrico en ese punto. Se puede medir el campo eléctrico en cualquier punto en el espacio, con base en la definición, ecuación 16-3. ParaB situaciones simples que implican una o varias cargas puntuales, se puede calcular E. Por ejemplo, el campo eléctrico a un distancia r de una sola carga puntual Q tendría magnitud B

E = Campo eléctrico debido a una carga puntual

kqQ
r 2 F = q q

E = k

Q ; r2

[carga puntual única] (16–4a)

o, en términos de 0 como en la ecuación 16-2 (k = 1
4p0):

E =

1 Q. 4p0 r2

[carga puntual única] (16–4b)

Note que E es independiente de la carga de prueba q; esto es, E sólo depende de la carga Q que produce el campo, y no del valor de la carga de prueba q. Las ecuaciones 16-4 se conocen como la forma de campo eléctrico de la ley de Coulomb.

450

CAPÍTULO 16

Carga eléctrica y campo eléctrico

B

E

B

Si se proporciona el campoBeléctrico E en un punto dado en el espacio, entonces se puede calcular la fuerza F sobre cualquier carga q colocada en ese punto escribiendo (véase la ecuación 16-3): B

B

F = qE.

a) B

(16–5)

E

Esto es válido incluso si q no es pequeña en tanto q no provoque que se muevan las B B B cargas que crean E. Si q es positiva, F y E apuntan en la misma dirección. Si q es neB B gativa, F y E apuntan en direcciones opuestas. Véase la figura 16-24.

F

EJEMPLO 16–6 Máquina fotocopiadora. Una máquina fotocopiadora funciona mediante el ordenamiento de cargas positivas (en el patrón que se copiará) sobre la superficie de un tambor; luego se salpican generosamente sobre el tambor partículas de tóner (tinta) seco con carga negativa. Las partículas de tóner se pegan temporalmente al patrón sobre el tambor (figura 16-25) y posteriormente se transfieren al papel y se “funden” para producir la copia. Suponga que cada partícula de tóner tiene una masa de 9.0  10
16 kg y lleva un promedio de 20 electrones adicionales para proporcionar una carga eléctrica. Si se supone que la fuerza eléctrica sobre una partícula de tóner debe superar el doble de su peso con la finalidad de garantizar suficiente atracción, calcule la intensidad del campo eléctrico requerido cerca de la superficie del tambor. PLANTEAMIENTO La fuerza eléctrica sobre una partícula de tóner de carga q  20e es F  qE, donde E es el campo eléctrico necesario. Esta fuerza necesita ser al menos tan grande como el doble de peso (mg) de la partícula. SOLUCIÓN El valor mínimo del campo eléctrico satisface la relación

B

b)

+q B

E –q

c) B F FIGURA 16–24 a) Campo eléctrico en un punto dado en el espacio. b) Fuerza sobre una carga positiva en ese punto. c) Fuerza sobre una carga negativa en ese punto. F Í S I C A

A P L I C A D A

Fotocopiadora

qE = 2mg donde q  20e. Por tanto

E =

2 A9.0 * 10–16 kgBA9.8 m
s2 B 2mg = = 5.5 * 103 N
C. q 20 A1.6 * 10–19 CB

Superficie del tambor

EJEMPLO 16–7 Campo eléctrico en una carga puntual única. Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en un punto P, localizado a 30 cm a la derecha de una carga puntual Q 
3.0  10
6 C. PLANTEAMIENTO La magnitud del campo eléctrico debido a una carga puntual única está dada por la ecuación 16-4. La dirección se determina utilizando el signo de la carga Q. SOLUCIÓN La magnitud del campo eléctrico es:

Q = = 3.0 * 105 N
C. r2 (0.30 m)2 La dirección del campo eléctrico es hacia la carga Q, hacia la izquierda como se indica en la figura 16-26a, pues se definió la dirección como la de la fuerza sobre una carga de prueba positiva que aquí sería atractiva. Si Q hubiese sido positiva, el campo eléctrico habría apuntado alejándose, como en la figura 16-26b. NOTA No hay carga eléctrica en el punto P. Pero ahí existe un campo eléctrico. La carga real única es Q. E = k

B

A9.0 * 109 Nm2
C 2 BA3.0 * 10–6 CB

B

Este ejemplo ilustra un resultado general: el campo eléctrico E debido a una carga B positiva apunta alejándose de la carga, mientras que E debido a una carga negativa apunta hacia dicha carga.

E Partículas de tóner que se mantienen en la superficie del tambor mediante el B campo eléctrico E

FIGURA 16–25 Ejemplo 16-6. FIGURA 16–26 Ejemplo 16-7. Campo eléctrico en el punto P a) debido a una carga negativa Q y b) debido a una carga positiva Q, cada una a 30 cm de P.

30 cm

P EJERCICIO F ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico debido a una Q = −3.0 × 10–6 C E = 3.0 × 105 N/C carga de 2.5mC en un punto situado 50 cm por debajo de ella? a)

Si el campo eléctrico en un punto dado en el espacio se debe a más de una carB B –6 ga, los campos individuales (designados como E 1 , E 2 , etcétera) debidos a cada una Q = +3.0 × 10 C b) de las cargas se suman vectorialmente para obtener el campo total en ese punto: B B B E = E1 + E2 + p .

La validez de este principio de superposición para campos eléctricos está completamente confirmado por los experimentos.

P E = 3.0 × 105 N/C

Principio de superposición para campos eléctricos

SECCIÓN 16–7

El campo eléctrico

451

www.elsolucionario.org Q1 = –25 m C FIGURA 16–27 Ejemplo 16-8. EnB b), no se B conocen las longitudes relativas de E 1 y E 2 hasta que se realizan los cálculos.

Q2 = +50 m C

P

r1 = 2.0 cm

a)

r2 = 8.0 cm

B

Q1

E1 B

E2

Q2 b)

EJEMPLO 16–8 E en un punto entre dos cargas. Dos cargas puntuales están separadas una distancia de 10.0 cm. Una tiene una carga de
25 mC y la otra de 50mC. a) Determine la dirección y magnitud del campo eléctrico en un punto P entre las dos cargas que está a 2.0 cm de la carga negativa (figura 16-27a). b) Si un electrón (masa  9.11  10
31 kg) se coloca en reposo en P y luego se libera, ¿cuál será su aceleración inicial (dirección y magnitud)? PLANTEAMIENTO El campo eléctrico en P será la suma vectorial de los campos creados separadamente por Q1 y Q2. El campo debido a la carga negativa Q1 apunta hacia Q1, y el campo debido a la carga positiva Q2 apunta alejándose de Q2. De esta forma, ambos campos apuntan hacia la izquierda, como se muestra en la figura 16-27b, y se pueden sumar algebraicamente las magnitudes de los dos campos ignorando los signos de las cargas. En b) se utiliza la segunda ley de Newton (F  ma) para determinar la aceleración, donde F  qE (ecuación 16-5). SOLUCIÓN a) Cada campo se debe a una carga puntual, como se da por la ecuación 16-4, E  kQ
r 2. El campo total es

Q1 Q2 Q1 Q2 + k 2 = ka 2 + 2 b 2 r1 r2 r1 r2 50 * 10–6 C 25 * 10–6 C = A9.0 * 109 N m2
C 2 B ¢ + ≤ –2 2 A2.0 * 10 mB A8.0 * 10–2 mB 2 = 6.3 * 108 N
C. b) El campo eléctrico apunta hacia la izquierda, de modo que el electrón sentirá una fuerza hacia la derecha pues está cargado negativamente. Por tanto, la aceleración a  F
m (segunda ley de Newton) será hacia la derecha. La fuerza sobre una carga q en un campo eléctrico E es F  qE (ecuación 16-5). En consecuencia, la magnitud de la aceleración es E = k

a =

A1.60 * 10–19 CB A6.3 * 108 N
CB qE F = = = 1.1 * 1020 m
s2. m m 9.11 * 10–31 kg B

B

NOTA Al considerar cuidadosamente las direcciones de cada campo (E 1 y E 2) antes de hacer los cálculos, uno se asegura de que los cálculos se pueden realizar de forma simple y correcta. EJERCICIO G Dadas las mismas dos cargas Q1 y Q2 de la figura 16-27, determine la diB B rección de cada uno de los campos eléctricos componentes E 1 y E2 , así como del campo eléctrico total para dos posiciones: a) un punto apenas ligeramente hacia la izquierda de Q1, y b) un punto ligeramente hacia la derecha de Q2. (Sugerencia: Recuerde el factor 1
r 2).

EJEMPLO 16–9 E sobre dos cargas puntuales. Calcule el campo eléctrico total a) en el punto A y b) en el punto B de la figura 16-28 debido a ambas cargas, Q1 y Q2. PLANTEAMIENTO El cálculo es muy parecido al del ejemplo 16-4, excepto que ahora se trata con campos eléctricos en lugar de fuerza. El campo eléctrico en el B B punto A es la suma vectorial de los campos E A1 debido a Q1 y E A2 debido a Q2. Se encuentra la magnitud del campo producido por cada carga puntual, luego se suman sus componentes para hallar el campo total en el punto A. Se procede de igual manera para el punto B.

452

CAPÍTULO 16

Carga eléctrica y campo eléctrico

B

EA2

B

EA B

y f

A B

EA1

B

30° 60

EB2 B

u

EB

B

FIGURA 16–28 Cálculo del campo

EB1

cm

eléctrico en los puntos A y B para el ejemplo 16-9.

40

30 cm

cm

26 cm

26 cm

u

x

Q1 = −50 mC

Q2 = +50 mC

SOLUCIÓN a) La magnitud del campo eléctrico producido en el punto A por cada una de las cargas Q1 y Q2 está dada por E = kQ
r 2, de modo que

EA1 = EA2 =

A9.0 * 109 Nm2
C 2 BA50 * 10–6 CB (0.60 m)2

A9.0 * 109 Nm2
C 2 BA50 * 10–6 CB (0.30 m)2

= 1.25 * 106 N
C, = 5.0 * 106 N
C.

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Ignore los signos de las cargas, determine la dirección físicamente y muestre las direcciones en un diagrama.

La dirección de EA1 apunta desde A hacia Q1 (carga negativa), mientras que EA2 apuntaBdesde A alejándose de Q2, como se aprecia; así que el campo eléctrico total en A, E A , tiene componentes

EAx = EA1 cos 30° = 1.1 * 106 N
C, EAy = EA2 - EA1 sen 30° = 4.4 * 106 N
C. B

Por ende, la magnitud de E A es

EA = 3(1.1)2 + (4.4)2 * 106 N
C = 4.5 * 106 N
C, y su dirección es f y está dada por tan f = EAy
EAx = 4.4
1.1 = 4.0, de modo que f = 76°. b) Puesto que B es equidistante (40 cm por el teorema de Pitágoras) de las dos cargas iguales, las magnitudes de EB1 y EB2 son iguales; esto es,

EB1 = EB2 =

A9.0 * 109 N m2
C 2 B A50 * 10–6 CB kQ = r2 (0.40 m)2

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Siempre que sea posible, utilice la simetría para ahorrar trabajo.

= 2.8 * 106 N
C. Además, a causa de la simetría, los componentes y son iguales y opuestos, y por tanto se cancelan. En consecuencia, el campo total EB es horizontal e igual a EB1 cos u + EB2 cos u = 2EB1 cos u. A partir del diagrama, cos u  26 cm
40 cm  0.65. Entonces

EB = 2EB1 cos u = 2 A2.8 * 106 N
CB(0.65) = 3.6 * 106 N
C, B

y la dirección de E B es a lo largo de la dirección x. NOTA El inciso b) se pudo haber resuelto de la misma forma que el inciso a), pero la simetría permitió resolver el problema con menos esfuerzo.

SECCIÓN 16–7

El campo eléctrico

453

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Electrostática: fuerzas eléctricas y campos eléctricos se de una carga  y hacia una carga
. Muestre y designe cada fuerza o campo vectorial en el diagrama. 2. Aplique la ley de Coulomb para calcular la magnitud de la fuerza que cada carga ejerce sobre un objeto cargado, o la magnitud del campo eléctrico en un punto. Trabaje sólo con las magnitudes de las cargas (deje a un lado los signos menos) y obtenga la magnitud de cada fuerza o campo eléctrico. 3. Sume vectorialmente todas las fuerzas en un objeto, o los campos contribuyentes en un punto, para obtener el resultante. Utilice la simetría (es decir, en la geometría) siempre que sea posible.

La resolución de problemas de electrostática sigue, en una gran medida, el procedimiento general de resolución de problemas descrito en la sección 4-9. Ya sea que se utilice un campo eléctrico o fuerzas electrostáticas, el procedimiento es similar: 1. Dibuje un diagrama con cuidado: un diagrama de cuerpo libre para cada objeto, que muestre todas las fuerzas que actúan sobre tal objeto o que muestre el campo eléctrico en un punto debido a todas las cargas significativas presentes. Determine físicamente la dirección de cada fuerza o campo eléctrico: cargas iguales se repelen, cargas distintas se atraen; los campos apuntan alejándo-

Ahora se verá cómo aplicar el recuadro de resolución de problemas al ejemplo 16-9, inciso b). B

EA2

EJEMPLO 16–9 Repetido. Calcule el campo eléctrico total en el punto B de la figura 16-28 debida a ambas cargas, Q1 y Q2.

B

EA

B

y EB2

f 30°

A B

EA1

B 60

PLANTEAMIENTO y SOLUCIÓN B

B

EB

u B

EB1

cm

40 cm

30 cm

u x Q1 = -50 mC

26 cm

EB1 1. SeBdibuja un diagrama con cuidado. Las direcciones de los campos eléctricos B B y E B2 , así como el campo neto E B B, se muestra en la figura 16-28. E B2 apunta alejándose de la carga positiva Q2 ; E B1 apunta hacia la carga negativa Q1. 2. Se aplica la ley de Coulomb para encontrar las magnitudes de los campos eléctricos contribuyentes. Puesto que B es equidistante (40 cm por el teorema de Pitágoras) de las dos cargas iguales, las magnitudes de EB1 y EB2 son iguales; es decir,

26 cm

Q2 = +50 mC

EB1 = EB2 =

= 2.8 * 106 N
C.

FIGURA 16–28 (Repetida) Cálculo del campo eléctrico en los puntos A y B para el ejemplo 16-9.

A9.0 * 109 N m2
C 2 BA50 * 10–6 CB kQ = r2 (0.40 m)2

3. Se suma vectorialmente y se usa la simetría siempre que sea posible. Los comB B ponentes y de E B1 y E B2 son iguales y opuestos. En virtud de esta simetría, el campo total EB es horizontal e igual a EB1 cos u + EB2 cos u = 2 EB1 cos u. A partir de la figura 16-28, cos u = 26 cm
40 cm = 0.65. Entonces

EB = 2EB1 cos u = 2 A2.8 * 106 N
CB(0.65) = 3.6 * 106 N
C, B

y la dirección de E B es a lo largo de la dirección x. NOTA El inciso a) del ejemplo 16-9 no muestra simetría útil. FIGURA 16–29 Vector de campo eléctrico, mostrado en tres puntos, debido a una sola carga puntual Q. (Compare con la figura 16-23). B

Ea a +Q b B

Eb

454

CAPÍTULO 16

c

B

Ec

16–8 Líneas de campo Como el campo eléctrico es un vector, a veces se hace referencia a él como campo vectorial. El campo eléctrico se podría indicar con flechas en varios puntos en una B B B situación dada, como en a, b y c de la figura 16-29. Las direcciones de E a , E b y E c son las mismas que para las fuerzas que se mostraron anteriormente en la figura 16-23, pero las longitudes (magnitudes) son diferentes dado que se divide F por q para obB B B tener E. Sin embargo, las longitudes relativas de E a , E b y E c son las mismas que para las fuerzas puesto que se divide por la misma q cada vez. Sin embargo, indicar el campo eléctrico de tal forma en muchos puntos, daría como resultado muchas flechas, lo que pronto se volvería confuso. Para evitar esto, se emplea otra técnica, la de las líneas de campo.

Carga eléctrica y campo eléctrico

www.elsolucionario.org

– ⴚ

ⴙ +

FIGURA 16–30 Líneas de campo eléctrico a)

b)

a) cerca de una sola carga puntual positiva, b) cerca de una sola carga puntual negativa.

Para visualizar el campo eléctrico, se dibuja una serie de líneas para indicar la dirección del campo eléctrico en varios puntos en el espacio. Estas líneas de campo eléctrico (a veces llamadas líneas de fuerza) se dibujan de modo que indiquen la dirección de la fuerza debida al campo dado sobre una carga de prueba positiva. En la figura 16-30a se observan las líneas de fuerza debidas a una sola carga positiva aislada, y las de una sola carga negativa aislada se muestran en la figura 16-30b. En el inciso a) las líneas apuntan radialmente hacia fuera desde la carga, y en el inciso b) apuntan radialmente hacia dentro, hacia la carga, porque ésta es la dirección que tendría la fuerza sobre una carga de prueba positiva en cada caso (como en la figura 16-26). Sólo se incluyen unas cuantas líneas representativas. También se podía haber dibujado sólo líneas entre aquellas que se muestran puesto que ahí también existe campo eléctrico. Las líneas se pueden dibujar de modo que el número de líneas que parten de una carga positiva, o terminan en una carga negativa, sea proporcional a la magnitud de la carga. Note que, más cerca de la carga, donde el campo eléctrico es mayor (F r 1
r 2), las líneas están más juntas. Ésta es una propiedad general de las líneas de campo eléctrico: cuanto más juntas estén las líneas, más intenso es el campo en dicha región. De hecho, las líneas de campo se pueden dibujar deB modo que el número de líneas que cruzan una unidad de área perpendicular a E sea proporcional a la magnitud del campo eléctrico. La figura 16-31a muestra las líneas de campo eléctrico para dos cargas iguales de signo opuesto, una combinación conocida como dipolo eléctrico. Las líneas de campo eléctrico se curvan en este caso y están dirigidas desde la carga positiva hacia la negativa. La dirección del campo eléctrico en cualquier punto es tangente a la B línea de campo en ese punto, como se indica mediante la flecha vectorial E en el punto P. Para asegurarse de que éste es el patrón correcto para las líneas de campo eléctrico, es conveniente hacer algunos cálculos como los realizados en el ejemplo 16-9 sólo para este caso (véase la figura 16-28). La figura 16-31b muestra las líneas de campo para dos cargas iguales positivas, y la figura 16-31c para cargas distintas, 2Q y
Q. Cabe resaltar que de 2Q salen el doble de líneas que las que entran a
Q (el número de líneas es proporcional a la magnitud de Q). Finalmente, en la figura 16-31d, se observa el campo entre dos placas paralelas que portan iguales cargas pero opuestas. Advierta que las líneas de campo eléctrico entre las dos placas comienzan perpendiculares a la superficie de las placas metálicas (en la siguiente sección se verá por qué esto es cierto) y van directamente de una placa a la otra, como se espera porque una carga de prueba positiva colocada entre las placas sentiría una intensa repulsión hacia la placa positiva y una intensa atracción hacia la negativa. Las líneas de campo entre dos placas cerradas son paralelas y están igualmente espaciadas en la región central, pero se doblan hacia fuera cerca de los bordes. Por ende, en la región central, el campo eléctrico tiene la misma magnitud en todo punto, y se puede escribir E = constante.

c

Líneas de campo eléctrico FIGURA 16–31 Líneas de campo eléctrico para cuatro ordenamientos de cargas. B

E P ⴙ

ⴚ

a)

ⴙ

ⴙ

b)

ⴙⴙ +2Q

ⴚ –Q

entre dos placas paralelas cargadas de manera d (16–6) opuesta y cercanamente espaciadas

El plegamiento del campo cerca de los bordes con frecuencia se puede ignorar, en particular si la separación de las placas es pequeña en comparación con su tamaño.† †

La magnitud del campo eléctrico constante entre dos placas paralelas está dada por E = Q
0 A, donde Q es la magnitud de la carga en cada placa y A es el área de una placa. Esto se muestra en la sección opcional 16-10, acerca de la ley de Gauss.

SECCIÓN 16–8

c) +Q

-Q

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

d)

Líneas de campo

455

Las propiedades de las líneas de campo se resumen del modo siguiente: 1. Las líneas de campo eléctrico indican la dirección del campo eléctrico; el campo apunta en la dirección tangente a la línea de campo en cualquier punto. 2. Las líneas se dibujan de modo que la magnitud del campo eléctrico, E, sea proporcional al número de líneas que cruzan una unidad de área perpendicular a ellas. Cuanto más juntas estén las líneas, más intenso será el campo. 3. Las líneas de campo eléctrico parten en las cargas positivas y terminan en las negativas; y el número de las que empiezan o terminan es proporcional a la magnitud de la carga. También hay que hacer notar que las líneas de campo nunca se cruzan. ¿Por qué no? Porque no tendría sentido que el campo eléctrico tuviese dos direcciones en el mismo punto.

Campo gravitacional

FIGURA 16–32 El campo gravitacional de la Tierra, que en cualquier punto está dirigido hacia el centro (la fuerza sobre cualquier masa apunta hacia el centro de la Tierra).

16–9 Campos eléctricos y conductores

+ − +−

Conductor −+

ⴙ +

−

−

+

FIGURA 16–33 Una carga dentro de un cascarón metálico esférico neutro induce carga sobre sus superficies. El campo eléctrico existe incluso más allá del cascarón, pero no dentro del conductor mismo.

FIGURA B16–34 Si el campo eléctrico E en la superficie de un conductor tuviera un componente B paralelo a la superficie, E ∑∑ , éste aceleraría a los electrones en B movimiento. En el caso estático, E ∑∑ debe ser cero y el campo eléctrico debe ser perpendicular a la superficie del B B conductor: E = E ⊥ . B

B

E

E

B

E Buen conductor

456

El concepto de campo también se puede aplicar a la fuerza gravitacional. Así, se puede decir que, para todo objeto que tenga masa, existe un campo gravitacional. Un objeto atrae a otro mediante el campo gravitacional. La Tierra, por ejemplo, posee un campo gravitacional (figura 16-32) que es responsable de la fuerza gravitacional sobre los objetos. El campo gravitacional se define como la fuerza por unidad de masa. La magnitud del campo gravitacional de la Tierra en cualquier punto sobre la superficie terrestre es, por tanto, (GMT
r 2), donde MT es la masa de la Tierra, r es la distancia del punto desde el centro de la Tierra y G es la constante gravitacional (capítulo 5). En la superficie de la Tierra, r es el radio de la Tierra y el campo gravitacional es igual a g, la aceleración de la gravedad. Más allá de la Tierra, el campo gravitacional se puede calcular en cualquier punto como una suma de términos en relación con la Tierra, el Sol, la Luna y otros cuerpos que contribuyen significativamente.

CAPÍTULO 16

Ahora se analizarán algunas propiedades de los conductores. Primero, el campo eléctrico dentro de un conductor es cero en la situación estática; es decir, cuando las cargas están en reposo. Si hubiese un campo eléctrico dentro de un conductor, habría una fuerza sobre los electrones libres. Los electrones se moverían hasta alcanzar posiciones donde el campo eléctrico y, por ende, la fuerza eléctrica sobre ellos sea cero. Este razonamiento tiene algunas consecuencias interesantes. Por ejemplo, cualquier carga neta sobre un conductor se distribuye ella misma sobre la superficie. Para un conductor cargado negativamente, puede imaginarse que las cargas negativas se repelen y se dirigen a la superficie para estar tan lejos como sea posible unas de otras. Otra consecuencia es la siguiente. Supongamos que una carga positiva Q está rodeada por un conductor metálico no cargado aislado cuya forma es un cascarón esférico (figura 16-33). Puesto que no puede haber campo dentro del metal, las líneas que dejan la carga positiva central deben terminar en cargas negativas en la superficie interior del metal. Por ende, se induce una cantidad igual de carga negativa,
Q, sobre la superficie interior del cascarón esférico. Entonces, como el cascarón es neutro, en la superficie exterior de éste debe existir una carga positiva de la misma magnitud, Q. En consecuencia, aunque no existe campo en el metal mismo, fuera de él existe un campo eléctrico (figura 16-33), como si el metal incluso no estuviese ahí. Una propiedad relacionada de los campos eléctricos estáticos y los conductores es que el campo eléctrico siempre es perpendicular a la superficie exterior de un conB ductor. Si hubiera un componente de E paralelo a la superficie (figura 16-34), éste ejercería una fuerza sobre los electrones libres en la superficie, lo que provocaría que los electrones se movieran a lo largo de la superficie hasta alcanzar posiciones donde sobre ellos no se ejerciera fuerza neta paralela a la superficie; esto es, hasta que el campo eléctrico fuera perpendicular a la superficie. Estas propiedades sólo se aplican a los conductores. En el interior de un no conductor, que no tiene electrones libres, puede existir un campo eléctrico estático, como se verá en el capítulo 17. Además, el campo eléctrico en el exterior de un no conductor no necesariamente forma un ángulo de 90° con la superficie.

Carga eléctrica y campo eléctrico

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

a)

-

FIGURA 16–35 b)

Ejemplo 16-10.

EJEMPLO CONCEPTUAL 16–10 Protección y seguridad en una tormenta. Entre dos placas paralelas cargadas se coloca una caja metálica hueca neutra, como se ilustra en la figura 16-35a. ¿Cuál es el campo dentro de la caja? RESPUESTA Si la caja metálica hubiese sido sólida, y no hueca, los electrones libres en ella se habrían redistribuido ellos mismos a lo largo de la superficie hasta que todos sus campos individuales se hubiesen cancelado uno al otro en el interior de la caja. El campo neto en el interior de la caja habría sido cero. Para una caja hueca, el campo externo no cambia, ya que los electrones en el metal se pueden mover tan libremente como antes en la superficie. Así, el campo en el interior de la caja metálica hueca también es cero, y las líneas de campo son parecidas a las de la figura 16-35b. Una caja conductora usada de esta forma es un dispositivo adecuado para proteger instrumentos delicados y circuitos electrónicos de los campos eléctricos externos indeseados. También se puede ver que un lugar relativamente seguro para estar durante una tormenta eléctrica es en el interior de un automóvil, por estar rodeado de metal. Observe también la figura 16-36, donde una persona en el interior de una “caja” con aberturas está protegida de una intensa descarga eléctrica.

* 16–10 Ley de Gauss Una relación importante en electricidad es la ley de Gauss, desarrollada por el gran matemático Karl Friedrich Gauss (1777-1855). En ella se relacionan la carga y el campo eléctricos, y es una versión más general y elegante de la ley de Coulomb. La ley de Gauss incluye el concepto de flujo eléctrico, que se refiere al campo B eléctrico que pasa a través de un área dada. Para un campo eléctrico uniforme E que pasa a través de un área A, como se indica en la figura 16-37a, el flujo eléctrico £ E se define como

FIGURA 16–36 En la vecindad de esta “caja de Faraday” existe un intenso campo eléctrico, tan intenso que los electrones que rondan en la atmósfera son acelerados a la EC necesaria para sacar electrones de los átomos de aire, lo que provoca una avalancha de carga que fluye hacia (o desde) la caja metálica. Aunque la persona en el interior de este dispositivo no resulta afectada.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Protección eléctrica

FIGURA 16–37 a) Un campo B eléctrico uniforme E que pasa a través de una área plana A. B b) E⊥ = E cos u es el componente de E perpendicular al plano de área A. c) A ⊥ = A cos u es la proyección (punteada)B del área A perpendicular al campo E.

Área A

rea

al á

lar dicu

en

Perp θ

B

E

B

E

£ E = EA cos u, donde u es el ángulo entre la dirección del campo eléctrico y una línea dibujada perpendicular al área. El flujo se puede escribir de manera equivalente como

£ E = E⊥ A = EA ⊥ ,

a)

(16–7)

E⊥

B

donde E⊥ = E cos u es el componente de E perpendicular al área (figura 16-37b) y, de manera similar, A ⊥ = A cos u es la proyección del área A perpendicular al B campo E (figura 16-37c). El flujo eléctrico tiene una simple interpretación intuitiva en términos de líneas de campo. En la sección 16-8 se mencionó que las líneas de campo siempre se pueden dibujar de modo que el número (N) que pasa a través de una unidad de área perpendicular al campo (A⊥) sea proporcional a la magnitud del campo (E): esto es, E r N
A ⊥ . Por tanto,

N r EA ⊥ = £ E ,

θ

B

E

b) θ B

(16–8)

E

de modo que el flujo a través de una área es proporcional al número de líneas que pasan a través de esa área. c)

A⊥

*SECCIÓN 16–10

Área A

Ley de Gauss

457

www.elsolucionario.org

θ1

∆ A1 ∆ A2

B

E1

θ2

B

E2

B

E B

E

La ley de Gauss implica el flujo total a través de una superficie cerrada: una superficie de cualquier forma que encierra un volumen de espacio. Para cualquiera de tales superficies, como la que se ilustra en la figura 16-38, la superficie se divide en muchas pequeñas áreas, ¢A 1 , ¢A 2 , ¢A 3 , p , etcétera. La división se realiza de modo que cada ¢A sea lo suficientemente pequeña como para considerarse plana y de modo que el campo eléctrico se pueda considerar constante dentro de cada ¢A. Entonces, el flujo total a través de toda la superficie es la suma sobre todos los flujos individuales a través de cada una de las pequeñas áreas:

£ E = E1 ¢A 1 cos u1 + E2 ¢A 2 cos u2 + p

Superficie cerrada

= a E ¢A cos u = a E⊥ ¢A,

FIGURA 16–38 Líneas de campo eléctrico que pasan a través de una superficie cerrada. La superficie se divide en muchas pequeñas áreas, ¢A 1 , ¢A 2 , p , etcétera, de las que sólo se muestran dos

donde el símbolo © significa “suma de”. En la sección 16-8 se vio que el número de líneas de campo que parten de una carga positiva o terminan en una carga negativa es proporcional a la magnitud de la carga. Por tanto, el número neto de líneas N que apuntan hacia fuera de cualquier superficie cerrada (número de líneas que apuntan afuera menos el número de las que apuntan adentro) debe ser proporcional a la carga neta encerrada por la superficie, Qenc. Pero, a partir de la ecuación 16-8, se tiene que el número neto de líneas N es proporcional al flujo total £E. En consecuencia,

£E =

a E⊥ ¢A r Qenc . superficie cerrada

La constante de proporcionalidad es 1
0 , consistente con la ley de Coulomb, así que se tiene LEY DE GAUSS

a E⊥ ¢A = superficie cerrada

Qenc , 0

(16–9)

donde la suma (©) es sobre toda la superficie cerrada y Qenc es la carga neta encerrada dentro de tal superficie. Ésta es la ley de Gauss. La ley de Coulomb y la ley de Gauss se pueden usar para determinar el campo eléctrico debido a una distribución de carga dada (estática). La ley de Gauss es útil cuando la distribución de carga es simple y simétrica. Sin embargo, se debe elegir con mucho cuidado la superficie “gaussiana” cerrada, de modo que se pueda deterB minar E. Normalmente se elige una superficie que tiene justo la simetría necesaria de modo que E sea constante sobre toda su superficie o sobre partes de ella.

FIGURA 16–39 Dibujo transversal de un delgado cascarón esférico de radio r0, que porta una carga neta Q distribuida de manera uniforme. A1 y A2 representan dos superficies gaussianas B que se usan para determinar E. Ejemplo 16-11.

+

+

+

+

B

E

A1 +

+

+ +

+

r0

A2

+

+

r

r

+

+

A1

+

+

+

A2

+ +

458

+

+

+

+ +

CAPÍTULO 16

+

EJEMPLO 16–11 Cascarón esférico cargado. Un delgado cascarón esférico de radio r0 posee una carga neta total Q que está distribuida de manera uniforme sobre él (figura 16-39). Determine el campo eléctrico en puntos a) fuera del cascarón y b) dentro del cascarón. PLANTEAMIENTO Como la carga está distribuida simétricamente, el campo eléctrico debe ser simétrico. Por tanto, el campo fuera del cascarón debe estar dirigido radialmente hacia fuera (hacia dentro si Q  0) y sólo debe depender de r. SOLUCIÓN a) El campo eléctrico tendrá la misma magnitud en todos los puntos sobre una superficie gaussiana imaginaria, si se elige como una esfera de radio r (r  r0) concéntrica conBel cascarón, y que en la figura 16-39 aparece como el círculo punteado A1. Como E es perpendicular a esta superficie, la ley de Gauss produce (con Qenc  Q en la ecuación 16-9)

Q, 2 a E⊥ ¢A = E a ¢A = E A4pr B =  0 donde 4pr2 es el área superficial de la esfera (superficie gaussiana) de radio r. Por tanto

E =

1 Q. 4p0 r2

C r 7 r0 D

En consecuencia, el campo fuera de un cascarón esférico cargado de manera uniforme es el mismo como si toda la carga estuviese aglutinada en el centro como una carga puntual.

Carga eléctrica y campo eléctrico

b) En el interior del cascarón, el campo también debe ser simétrico. De modo que E de nuevo debe tener el mismo valor en todos los puntos sobre una superficie gaussiana esférica (A2 en la figura 16-39) concéntrica con el cascarón. Por ende, E se puede factorizar fuera de la suma y, con Qenc  0 dado que la carga adentro de la superficie es cero, se tiene 2 a E⊥ ¢A = E a ¢A = E A4pr B =

Por lo mismo

E = 0 dentro de un cascarón esférico uniforme de carga.

Qencl = 0. 0 C r 6 r0 D B

Los útiles resultados del ejemplo 16-11 también se aplican a un conductor esférico sólido uniforme que está cargado, puesto que toda la carga estaría en una delgada capa en la superficie (sección 16-9).

E r

r

+ + + + + + + + + + + + + + + +

EJERCICIO H Un alambre recto y muy largo posee una carga uniforme por unidad de longitud, Q
L. Demuestre que el campo eléctrico en puntos cerca (pero fuera) del alambre, lejos de los extremos, está dado por 1 Q E = 2p0 r L utilizando la superficie gaussiana cilíndrica que se muestra (punteada) en la figura 16-40. [Sugerencia: Tome en cuenta que no hay flujo eléctrico a través de los extremos planos del cilindro].

EJEMPLO 16–12 E en la superficie de un conductor. Demuestre que el campo eléctrico justo afuera de la superficie de cualquier buen conductor de forma arbitraria está dado por

E =

s, 0

l B

FIGURA 16–40 Cálculo de E debido a una línea de carga muy larga, ejercicio H, donde el cilindro que se representa (punteado) es la superficie gaussiana.

FIGURA 16–41 Campo eléctrico cerca de la superficie de un conductor. Dos pequeñas cajas cilíndricas se indican punteadas. Cualquiera puede servir como la superficie gaussiana. Ejemplo 16-12.

donde s es la densidad de carga superficial (Q
A) en el conductor en ese punto. PLANTEAMIENTO La superficie gaussiana se elige como una pequeña caja cilíndrica, muy pequeña en altura de modo que uno de sus extremos circulares esté justo arriba del conductor (figura 16-41). El otro extremo está justo debajo de la superficie del conductor, y los lados son perpendiculares a ella. SOLUCIÓN El campo eléctrico es cero dentro de un conductor y es perpendicular a la superficie justo afuera de ella (sección 16-9), de modo que el flujo eléctrico sólo pasa a través del extremo exterior de la caja cilíndrica; no pasa flujo a través de los lados cortos o del extremo interior. Se elige el área A (del extremo plano del cilindro sobre la superficie conductora) suficientemente pequeña como para que E sea en esencia uniforme sobre ella. Entonces, la ley de Gauss da

ⴙ ⴙ ⴙ

B

ⴙ

E ⴙ ⴙ ⴙ ⴙ

B

ⴙ

E ⴙ

Qenc sA , a E⊥ ¢A = EA =  =  0 0 de modo que

s. [en la superficie del conductor] 0 Este útil resultado se aplica para conductores de cualquier forma, incluyendo una gran hoja plana cargada de manera uniforme: el campo eléctrico será constante e igual a s
0 . E =

Este último ejemplo también proporciona el campo entre las dos placas paralelas consideradas en la figura 16-31d. Si las placas son largas en comparación con su separación, entonces las líneas de campo son perpendiculares a las placas y, excepto cerca de los bordes, son paralelas entre sí. En consecuencia, el campo eléctrico (véase la figura 16-42, que muestra la misma superficie gaussiana que la 16-41) también es

E =

Q
A , s = 0 0

c

entre dos placas paralelas cargadas de manera d (16–10) opuesta y cercanamente espaciadas

donde Q  sA es la carga en una de las placas.

Campo eléctrico en la superficie de conductor cargado

+Q

-Q

+

-

+

-

+

-

+

-

+ +

Placas paralelas con cargas opuestas

ⴙ

+

B

E

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

FIGURA 16–42 El campo eléctrico entre dos placas paralelas es uniforme e igual a E = s
0 .

*SECCIÓN 16–10

Ley de Gauss

459

* 16–11 Fuerzas eléctricas en biología molecular: estructura y replicación de ADN F Í S I C A

A P L I C A D A

Dentro de una célula: teoría cinética más fuerza electrostática

FIGURA 16–43 Replicación de ADN en una célula cancerosa HeLa humana. Ésta es una imagen de falso color realizada mediante un microscopio de transmisión de electrones (MET o, por sus siglas en inglés, TEM). F Í S I C A

A P L I C A D A

Estructura del ADN

El estudio de la estructura y funcionamiento de una célula viviente en el nivel molecular se conoce como biología molecular. Es una importante área de aplicación de la física. Como el interior de una célula está constituido sobre todo por agua, puede imaginarse como un vasto mar de moléculas en movimiento continuo (como en la teoría cinética, capítulo 13), que colisionan unas con otras con diversas cantidades de energía cinética. Estas moléculas interactúan unas con otras en varias formas: reacciones químicas (formación y rompimiento de enlaces entre átomos) e interacciones o uniones más breves que ocurren por la atracción electrostática entre las moléculas. Los muchos procesos que ocurren dentro de la célula ahora se consideran el resultado de movimiento molecular aleatorio (“térmico”) más el efecto ordenador de la fuerza electrostática. Ahora se emplearán estas ideas para analizar algunos procesos celulares básicos en los que participan macromoléculas (esto es, moléculas grandes). La imagen que se presenta aquí no se ha visto “en acción”. Más bien, es un modelo de lo que se cree que ocurre con base en las teorías físicas actualmente aceptadas y los resultados experimentales. La información genética que se transmite de generación en generación en todas las células vivientes está contenida en los cromosomas, que están constituidos por genes. Cada gen contiene la información necesaria para producir un tipo particular de molécula proteica. La información genética contenida en un gen se construye en la molécula principal de un cromosoma, el ADN o ácido desoxirribonucleico (figura 16-43). Las moléculas de ADN están constituidas por muchas pequeñas moléculas conocidas como bases nucleótidas. En el ADN existen cuatro tipos de bases nucleótidas: adenina (A), citosina (C), guanina (G) y timina (T). Por lo general, el ADN de un cromosoma consta de dos largas cadenas de ADN enrolladas una alrededor de la otra en forma de una “doble hélice”. La información genética está contenida en el orden específico de las cuatro bases (A, C, G, T) a lo largo de la cadena. Como se ilustra en la figura 16-44, las dos cadenas son atraídas mediante fuerzas electrostáticas; es decir, mediante la atracción de cargas positivas hacia cargas negativas. En la figura 16-44a se ve que una A (adenina) en una cadena siempre es opuesta a T en la otra cadena; de manera similar, una G siempre es opuesta a)

C A

ca

la

la na

T

de ca

A A

ia

C G T T A

0.280 n

m H Adenina (A) H Timina (T) + N C C N + – H C H C 0.300 n C C m N H N C N N C – + – C N O H 1.11 nm 50° 51°

O –

cia

C A

H H C

c Ha

T C G T G C

H

de na

T G

Ha

A C G T A G

b)

H 0.290 nm Guanina (G) H O + C C – + N H C 0.300 nm C C C N H N – C N N C + – + 0.290 nm C N O H N – + – H 1.08 nm 54°

H

Citosina (C)

na ad e la c cia Ha

na

de

ca

Carga eléctrica y campo eléctrico

la

CAPÍTULO 16

52°

ia

460

H

c Ha

FIGURA 16–44 a) Sección de una doble hélice de ADN. b) Vista de “acercamiento” de la hélice, que muestra cómo A y T se atraen entre sí, al igual que G y C, mediante fuerzas electrostáticas. Los signos  y
que se indican sobre ciertos átomos representan cargas netas, generalmente una fracción de e, debido a que comparten de manera desigual los electrones. Los puntos azules indican la atracción electrostática (llamada con frecuencia “enlace débil” o “enlace de hidrógeno”). Advierta que existen dos enlaces débiles entre A y T, y tres entre C y G.

N –

www.elsolucionario.org a C. Este importante efecto de ordenamiento ocurre porque las formas de A, T, C y G son tales que una T encaja adecuadamente sólo en una A, y una G en una C; y sólo en el caso de esta proximidad cercana de las porciones cargadas la fuerza electrostática es lo suficientemente grande como para mantenerlas juntas durante un corto tiempo (figura 16-44b), con lo que forman lo que se conoce como “enlaces débiles”. La fuerza electrostática entre A y T, y entre C y G, existe porque tales moléculas tienen partes cargadas. Estas cargas se deben a algunos electrones en cada una de dichas moléculas que pasan más tiempo en órbita alrededor de un átomo que de otro. Por ejemplo, normalmente el electrón del átomo H de adenina (parte superior de la figura 16-44b) pasa parte de su tiempo en órbita alrededor del átomo adyacente N, de modo que N tiene una carga negativa y H una carga positiva. Entonces, este átomo H de adenina† es atraído hacia el átomo O- de la timina. Por lo general, estas cargas netas  y
tienen magnitudes de una fracción de e (carga en el electrón) como 0.2e o 0.4e. ¿Cómo se llega a dar el ordenamiento que se ilustra en la figura 16-44? Ocurre cuando el ADN se replica (duplica) a sí mismo justo antes de la división celular. De hecho, el ordenamiento de A opuesta a T y G opuesta a C es crucial para garantizar que la información genética pase con precisión a la siguiente generación. El proceso de replicación se muestra en forma simplificada en la figura 16-45. Las dos cadenas de ADN se separan (con la ayuda de enzimas, que también operan a través de la fuerza electrostática), y dejan expuestas las partes cargadas de las bases. Una vez que comienza la replicación, se observa cómo ocurre el orden correcto de las bases enfocando la atención sobre la molécula G señalada mediante la flecha en la cadena inferior de la figura 16-45. Existen muchas bases nucleótidas sin ligar de los cuatro tipos que deambulan por ahí en el fluido celular. La única de las cuatro bases que experimentarán atracción hacia G, si deambula cerca de ella, será una C. Las cargas en las otras tres bases están ordenadas de modo que puedan llegar cerca de las de G y, por tanto, no habrá fuerza atractiva significativa ejercida sobre ellas; recuerde que la fuerza disminuye rápidamente con la distancia (m 1
r 2). Puesto que G no atrae apreciablemente a A, T o G, éstas serán alejadas mediante colisiones con otras moléculas antes de que las enzimas las puedan atraer hacia la cadena creciente (número 3). Pero la fuerza electrostática con frecuencia mantendrá una C opuesta a G el tiempo suficiente como para que una enzima pueda ligar la C al extremo creciente de la nueva cadena. Por tanto, se ve que las fuerzas electrostáticas son responsables de la selección de las bases en el orden apropiado durante la replicación, de modo que la información genética pasa con precisión a la siguiente generación. Note en la figura 16-45 que la nueva cadena número 4 tiene el mismo orden de bases que la antigua cadena número 1; y que la nueva cadena número 3 es la misma que la antigua número 2. De modo que las dos nuevas dobles hélices, 1-3 y 2-4, son idénticas a la hélice original 1-2.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Replicación de ADN

† Cuando está implicado H, el enlace débil que puede formar con una carga negativa cercana, como O
, es relativamente fuerte entre los enlaces débiles (en parte porque H es muy pequeño) y se le conoce como “enlace de hidrógeno”.

Antigua

T A

T A A

T T

1

T

A

G

G

C

C

G

C C

C G

T

A

A

C

G

G

T

Antigua

Nueva

T

C G

G

G

A

A

Antigua

C

A G G

C T C

*SECCIÓN 16–11

Nueva

4

A T C T 3 G A T T A

A

T 2

T

A A

T

ADN.

2

T

T

A G

A

C

A

FIGURA 16–45 Replicación del

Antigua A Antigua C A T T Nueva T T G A A

G

A

T

Nueva Antigua 1

Fuerzas eléctricas en biología molecular: estructura y replicación de

ADN

461

En ocasiones, este proceso de replicación del ADN se presenta como si ocurriera de manera mecánica, como si cada molécula supiera su papel y fuese a su lugar asignado, como abejas en un panal. Pero éste no es el caso. Las fuerzas de atracción entre las cargas eléctricas de las moléculas son más bien débiles y se vuelven significativas sólo cuando las moléculas se pueden acercar y formar varios “enlaces débiles”. De hecho, si las formas no son las correctas, casi no habrá atracción electrostática, que es por lo que existen pocos errores. En consecuencia, fuera del movimiento aleatorio de las moléculas, la fuerza electrostática actúa para traer orden en medio del caos.

* 16–12 Las máquinas de fotocopiado y las impresoras de computadora usan electrostática F Í S I C A

A P L I C A D A

Máquinas de fotocopiado

Las máquinas fotocopiadoras y las impresoras láser utilizan atracción electrostática para imprimir una imagen del original. Cada una de ellas utiliza una técnica diferente para proyectar la imagen en un tambor cilíndrico especial. En una fotocopiadora, las lentes y espejos enfocan una imagen de la hoja de papel original en el tambor, de manera muy similar a como los lentes† de una cámara enfocan una imagen en la película. El tambor generalmente está hecho de aluminio, un buen conductor, y su superficie está recubierta con una delgada capa de selenio. El selenio es un material que tiene la interesante propiedad (llamada “fotoconductividad”) de ser un no conductor eléctrico en la oscuridad, pero que se vuelve conductor cuando se expone a la luz. El paso 1 en el fotocopiado es la colocación de una carga positiva uniforme en la capa de selenio del tambor mediante una barra o rodillo cargado. Esto se hace en la oscuridad. En el paso 2, la imagen a copiar o imprimir se proyecta en el tambor. Por simplicidad, supongamos que la imagen es una letra A oscura en un fondo blanco (como en la página de un libro), como se ilustra en la figura 16-46. La letra A en el tambor es oscura, pero todo el rededor es claro. En todos estos lugares de luz, el selenio se vuelve conductor y los electrones fluyen hacia él desde del aluminio que hay abajo, con lo que se neutralizan dichas áreas positivas. En las áreas oscuras de la letra A, el selenio es no conductor y por lo mismo retiene una carga positiva (figura 16-46). En el paso 3, se da carga negativa a un fino polvo oscuro conocido como tóner, que se impregna en el tambor conforme éste gira. Las partículas de tóner cargadas negativamente son atraídas hacia las áreas positivas del tambor (la A en este caso) y se pegan sólo ahí. En el paso 4, mientras el tambor continúa girando, ejerce presión contra una hoja de papel a la que se ha dado una carga positiva más intensa que el selenio, de modo que las partículas de tóner se transfieren hacia el papel, con lo que forman la imagen final. Por último, en el paso 5, el papel se calienta para fijar firmemente sobre él las partículas de tóner. En una fotocopiadora (o impresora) a color, este proceso se repite para cada color: negro, cian (azul), magenta (rojo) y amarillo. La combinación de estos cuatro colores en diferentes proporciones produce cualquier color deseado. †

Las cámaras se analizan en la sección 25-1, y las imágenes formadas a partir de lentes y espejos en el capítulo 23.

FIGURA 16–46 Interior de una fotocopiadora: 1. al tambor de selenio se le da una carga ; 2. los lentes enfocan la imagen sobre el tambor: sólo los puntos oscuros permanecen cargados; 3. las partículas de tóner (cargadas negativamente) son atraídas hacia las áreas positivas del tambor; 4. la imagen se transfiere al papel; 5. el calor fija la imagen al papel.

(2) Lente que enfoca la imagen del original

(3) Tolva de tóner       



(4) Papel

Barra de carga

462

CAPÍTULO 16

Carga eléctrica y campo eléctrico

                      

(1) Barra o rodillo de carga

(5) Rodillos de calentamiento

Escaneo del rayo láser Láser

Tolva de tóner

Espejo móvil Papel

Rodillos de calentamiento FIGURA 16–47 Interior de una impresora láser: un espejo móvil barre el rayo láser en líneas horizontales a través del tambor.

Por otra parte, una impresora láser no usa un original físico sino que, en lugar de ello, acepta la salida de una computadora que programa la intensidad de un rayo láser. El proceso es muy parecido al de una fotocopiadora, que requiere de un tambor recubierto de selenio y polvo tóner, pero la formación de la imagen en el tambor es diferente. El delgado haz de luz proveniente de un láser se enfoca mediante lentes en un punto fino. Mediante un espejo móvil, el rayo láser escanea de lado a lado a través del tambor en una serie de líneas horizontales, cada una justo debajo de la línea anterior. Conforme el rayo barre a través del tambor, la intensidad del rayo varía (por la salida de la computadora), y es intenso para un punto que representa un blanco o brillante, y débil o cero para puntos que representan una salida oscura. Después de una barrida, el tambor gira muy ligeramente, y se realiza otro barrido horizontal, y luego otro y otro (figura 16-47). Conforme el tambor da vueltas, sobre él se forma una imagen completa. Las partes claras del selenio se vuelven conductoras y pierden su carga eléctrica, y el tóner se pega sólo a las áreas oscuras cargadas eléctricamente. Entonces el tambor transfiere la imagen al papel, como en una fotocopiadora. Una impresora de inyección de tinta no requiere de tambor. En vez de ello, unas boquillas rocían pequeñas gotas de tinta directamente en el papel. Las boquillas barren el papel, y cada barrido está justo arriba del anterior conforme el papel se mueve hacia abajo. En cada barrida, la tinta forma puntos sobre el papel, excepto por aquellos lugares donde no se desea tinta, según vaya indicando la computadora. La imagen consta de un gran número de puntos muy pequeños. La calidad o resolución de una impresora por lo general se especifica en puntos por pulgada (dpi) en cada dirección lineal.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Impresora láser

F Í S I C A

A P L I C A D A

Impresora de inyección de tinta

Resumen Existen dos tipos de carga eléctrica, positiva y negativa. Estas designaciones se deben tomar algebraicamente; esto es, cualquier carga es más o menos tantos coulombs (C), en unidades SI. La carga eléctrica se conserva: si cierta cantidad de un tipo de carga se produce en un proceso, también se produce una cantidad igual del tipo opuesto; por tanto, la carga neta producida es cero. De acuerdo con la teoría atómica, la electricidad se origina en el átomo, que consta de un núcleo cargado positivamente rodeado por electrones con carga negativa. Cada electrón tiene una carga –e = – 1.6 * 10 –19 C. Los conductores eléctricos son aquellos materiales en los que muchos electrones son relativamente libres para moverse,

mientras que los aisladores eléctricos son aquellos en los que muy pocos electrones tienen libertad de movimiento. Un objeto está negativamente cargado cuando tiene un exceso de electrones, y positivamente cargado cuando tiene menos que su número equilibrado de electrones. La carga neta de cualquier objeto es cero o un número entero de veces e o
e. Esto es, la carga está cuantizada. Un objeto puede llegar a cargarse mediante frotamiento (en cuyo caso se transfieren electrones de un material al otro), mediante conducción (que es la transferencia de carga de un objeto cargado a otro mediante contacto) o mediante inducción (la separación de la carga dentro de un objeto debida al acercamiento de otro objeto cargado pero sin contacto).

Resumen

463

www.elsolucionario.org Las cargas eléctricas ejercen una fuerza una sobre otra. Si dos cargas son de tipos opuestos, una positiva y una negativa, ejercen una fuerza atractiva mutua. Si las dos cargas son del mismo tipo, se repelen entre sí. La magnitud de la fuerza que una carga puntual ejerce sobre otra es proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas:

F = k

Q1 Q2 r2

;

(16–1)

Ésta es la ley de Coulomb. En unidades SI, con frecuencia k se escribe como 1
4p0 . Se considera que un campo eléctrico existe en el espacio alrededor de cualquier carga o grupo de cargas. Entonces se dice que la fuerza sobre otro objeto cargado se debe al campo eléctrico presente en su ubicación. B El campo eléctrico, E, en cualquier punto en el espacio debido a una o más cargas, se define como la fuerza por unidad de carga que actuaría sobre una carga de prueba positiva q colocada en ese punto: B

F E = . q B

(16–3)

La magnitud del campo eléctrico a una distancia r de una carga puntual Q es

E = k

Q r2

.

(16–4a)

El campo eléctrico total en un punto en el espacio es igual a la suma vectorial de los campos individuales debida a cada una de las cargas contribuyentes (principio de superposición). Los campos eléctricos están representados mediante líneas de campo eléctrico que parten de cargas positivas y terminan en

cargas negativas. Sus direcciones indican la dirección en la que estaría la fuerza sobre una pequeña carga de prueba positiva colocada en ese punto. Las líneas se pueden dibujar de modo que el número por unidad de área sea proporcional a la magnitud de E. El campo eléctrico estático en el interior de un buen conductor es cero, y las líneas de campo eléctrico justo afuera de un conductor cargado son perpendiculares a su superficie. [*El flujo eléctrico que pasa a Btravés de una pequeña área A para un campo eléctrico uniforme E es

£ E = E⊥ A,

(16–7) B

donde E⊥ es el componente de E perpendicular a la superficie. El flujo a través de una superficie es proporcional al número de líneas de campo que pasan a través de él]. [*La ley de Gauss establece que el flujo total sumado sobre cualquier superficie cerrada (que se considera conformada por muchas pequeñas áreas ¢A) es igual la carga neta Qenc encerrada por la superficie, dividida por 0 :

a E⊥ ¢A =

superficie cerrada

Qenc . 0

(16–9)

La ley de Gauss sirve para determinar el campo eléctrico debido a distribuciones de carga dadas, pero su utilidad está limitada principalmente a casos donde la distribución de carga exhibe mucha simetría. La importancia real de la ley de Gauss es que es un enunciado general y elegante de la relación entre carga y campo eléctricos]. [*En la replicación del ADN, la fuerza electrostática juega un papel crucial en la selección de las moléculas apropiadas de modo que la información genética se transmita con precisión de generación en generación].

Preguntas 1. Si se carga un peine de bolsillo mediante frotamiento con una bufanda de seda, ¿cómo puede determinarse si el peine está cargado positiva o negativamente? 2. ¿Por qué una camisa o una blusa que se sacan de la secadora de ropa a veces se adhieren al cuerpo? 3. Explique por qué las gotas de niebla o de lluvia tienden a formarse alrededor de iones o electrones en el aire. 4. Una barra cargada positivamente se acerca a un pedazo neutro de papel, al que atrae. Dibuje un diagrama que muestre la separación de carga y explique por qué ocurre la atracción. 5. ¿Por qué una regla de plástico que se ha frotado con un trozo de tela puede levantar pequeños pedazos de papel? ¿Por qué es difícil hacer esto en un día húmedo? 6. Contraste la carga neta en un conductor con las “cargas libres” en el conductor. 7. Las figuras 16-7 y 16-8 muestran cómo una barra cargada que se coloca cerca de un objeto metálico sin carga puede atraer (o repeler) electrones. Existe una gran cantidad de electrones en el metal, aunque sólo algunos de ellos se mueven como se indica. ¿Por qué no todos ellos? 8. Cuando un electroscopio está cargado, sus dos hojas se repelen entre sí y permanecen en un ángulo. ¿Qué equilibra la fuerza eléctrica de repulsión de modo que las hojas no se separen más?

464

CAPÍTULO 16

Carga eléctrica y campo eléctrico

9. La forma de la ley de Coulomb es muy similar a la de la ley de gravitación universal de Newton. ¿Cuáles son las diferencias entre estas dos leyes? Compare también la masa gravitacional y la carga eléctrica. 10. Por lo general uno no está consciente de la fuerza gravitacional o eléctrica entre dos objetos ordinarios. ¿Cuál es la razón en cada caso? Proporcione un ejemplo donde uno esté consciente de cada una de ellas y por qué. 11. ¿La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa? ¿Por qué sí o por qué no? (Véase el capítulo 6). 12. Cuando una regla cargada atrae pequeños pedazos de papel, en ocasiones uno de ellos salta rápidamente y se aleja después de hacer contacto con la regla. Explique este fenómeno. 13. Explique por qué las cargas de prueba que se usan para medir campos eléctricos deben ser pequeñas. 14. Cuando se determina un campo eléctrico, ¿uno debe usar una carga de prueba positiva o una carga negativa también estaría bien? Explique su respuesta. 15. Dibuje las líneas de campo eléctrico que rodean dos cargas eléctricas negativas separadas una distancia l. 16. Suponga que las dos cargas opuestas en la figura 16-31a están separadas 12.0 cm. Considere la magnitud del campo eléctrico a 2.5 cm de la carga positiva. ¿En cuál lado de esta carga —arriba, abajo, izquierda o derecha— el campo eléctrico es más intenso? ¿Y más débil? Explique sus respuestas.

17. Considere el campo eléctrico en los puntos A, B y C en la figura 16-48. Primero dibuje una flecha en cada punto que indique la dirección de la fuerza neta que una carga de prueba positiva experimentaría si se coloca en dicho punto, luego mencione los puntos en orden de intensidad de campo decreciente (el más intenso primero).

B

A

ⴙ

C

20. Dadas dos cargas puntuales Q y 2Q, separadas una distancia l, ¿existe un punto a lo largo de la línea recta que pasa a través de ellas donde E  0 cuando sus signos sean a) opuestos y b) iguales? Si es así, establezca aproximadamente dónde estará este punto. 21. Considere una pequeña carga de prueba positiva ubicada sobre una línea de campo eléctrico en algún punto, tal como el punto P en la figura 16-31a. ¿La dirección de la velocidad y
o la aceleración de esta carga puntual está a lo largo de esta línea? Discuta este asunto. 22. Bosqueje las líneas de campo eléctrico para una línea uniforme de carga que sea infinitamente larga. (Sugerencia: Utilice la simetría). ¿El campo eléctrico es uniforme en intensidad?

ⴙ FIGURA 16–48 Pregunta 17.

18. ¿Por qué nunca se pueden cruzar las líneas de campo eléctrico? 19. Demuestre, con el uso de las tres reglas para líneas de campo de la sección 16-8, que las líneas de campo eléctrico que parten o terminan en una sola carga puntual deben estar simétricamente espaciadas alrededor de la carga.

* 23. Si el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero, ¿el campo eléctrico necesariamente es cero en todos los puntos sobre la superficie? ExpliqueB su respuesta. ¿Qué hay acerca de la situación inversa: Si E = 0 en todos los puntos sobre la superficie, el flujo a través de la superficie es cero?

* 24. Una carga puntual está rodeada por una superficie gaussiana esférica de radio r. Si la esfera se sustituye con un cubo de lado r, ¿£E será mayor, menor o igual? Explique su respuesta.

Problemas

0.35 m

FIGURA 16–49 Problema 12.

13. (II) Tres partículas positivas de igual carga, 11.0 mC, están ubicadas en las esquinas de un triángulo equilátero de 15.0 cm de lado (figura 16-50). Calcule la magnitud y dirección de la fuerza neta sobre cada partícula.

cm

11.0 mC

cm

10. (II) Compare la fuerza eléctrica que mantiene al electrón en órbita (r  0.53  10
10 m) alrededor del protón del núcleo del átomo de hidrógeno, con la fuerza gravitacional entre los mismos electrón y protón. ¿Cuál es la razón de estas dos fuerzas? 11. (II) Dos cargas puntuales positivas están separadas una distancia fija. La suma de sus cargas es QT. ¿Qué carga debe tener cada una con la finalidad de a) maximizar la fuerza eléctrica entre ellas y b) minimizarla?

0.35 m


85 C

.0

9. (II) ¿Cuál es la carga total de todos los electrones en 1.0 kg de H20?

48 C

75 C

15

1. (I) Calcule la magnitud de la fuerza entre dos cargas puntuales de 3.60 mC separadas 9.3 cm. 2. (I) ¿Cuántos electrones conforman una carga de
30.0 mC? 3. (I) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica de atracción entre un núcleo de hierro (q 
26e) y su electrón más interno, si la distancia entre ellos es de 1.5  10
12 m? 4. (I) ¿Cuál es la fuerza eléctrica repulsiva entre dos protones separados 5.0  10
15 m en un núcleo atómico? 5. (I) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que una carga de 25 mC ejerce sobre una carga de 3.0 mC a 35 cm de distancia? 6. (II) Dos partículas de polvo cargadas ejercen una fuerza de 3.2  10
2 N una sobre otra. ¿Cuál será la fuerza si se mueven de modo que ahora sólo estén separadas un octavo de la distancia original? 7. (II) Dos esferas cargadas están separadas 8.45 cm. Se mueven y la fuerza en cada una se ha triplicado. ¿A qué distancia están separadas ahora? 8. (II) Una persona que arrastra los pies sobre una alfombra de lana en un día seco acumula una carga neta de
42 mC. ¿Cuánto exceso de electrones obtiene, y por cuánto aumenta su masa?

12. (II) Partículas de carga 75, 48 y
85 mC se colocan en una línea (figura 16-49). La central está a 0.35 m de cada una de las otras. Calcule la fuerza neta sobre cada carga debida a las otras dos.

.0

[1 mC = 10 –3 C, 1 mC = 10 –6 C, 1 nC = 10 –9 C.]

15

16–5 y 16–6 Ley de Coulomb

FIGURA 16–50 11.0 mC

15.0 cm 11.0 mC

Problema 13.

14. (II) Una carga de 6.00 mC se coloca en cada esquina de un cuadrado de 0.100 m de lado. Determine la magnitud y dirección de la fuerza sobre cada carga. 15. (II) Repita el problema 14 para el caso en el que dos de las cargas positivas, en esquinas opuestas, se sustituyen con cargas negativas de la misma magnitud (figura 16-51).

-6.00 mC 0.100 m 6.00 mC 0.100 m

0.100 m FIGURA 16–51

6.00 mC 0.100 m -6.00 mC

Problema 15.

Problemas

465

16. (II) En cada esquina de un cuadrado de lado l hay cargas puntuales de magnitudes Q, 2Q, 3Q y 4Q (figura 16-52). Determine la fuerza sobre a) la carga 2Q y b) la carga 3Q, debida a las otras tres cargas.

Q

2Q

l

l

l FIGURA 16–52

4Q

l

Problema 16.

3Q

17. (II) Tres partículas cargadas se colocan en las esquinas de un triángulo equilátero de 1.20 m de lado (figura 16-53). Las cargas son 4.0,
8.0 y
6.0 mC. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza neta sobre cada una debida a las otras dos.

1.2

0m

1.2

0m

Q1 = +4.0 mC

Q2 = -8.0 mC

1.20 m Q3 = -6.0 mC

FIGURA 16–53 Problema 17.

18. (III) Dos cargas puntuales tienen una carga total de 560 mC. Cuando se colocan separadas 1.10 m, la fuerza que cada una ejerce sobre la otra es de 22.8 N y es repulsiva. ¿Cuál es la carga sobre cada una? 19. (III) Dos cargas,
Q0 y
3Q0, están separadas una distancia l. Estas dos cargas tienen libertad de moverse pero no lo hacen porque existe una tercer carga que está cercana. ¿Cuál debe ser la carga y ubicación de la tercer carga para que las dos primeras estén en equilibrio? 20. (III) Una carga de 4.75 mC y una de
3.55 mC están colocadas con 18.5 cm de separación. ¿Dónde se puede colocar una tercera carga de modo que no experimente fuerza neta? 21. (III) Dos pequeñas esferas no conductoras tienen una carga total de 90.0 mC. a) Cuando se colocan con una separación de 1.06 m, la fuerza que cada una ejerce sobre la otra es de 12.0 N y es repulsiva. ¿Cuál es la carga en cada una? b) ¿Cuál sería si la fuerza fuese atractiva? 22. (III) Una carga Q se transfiere de una bola de plástico inicialmente sin carga a una bola idéntica colocada a 12 cm de distancia. Entonces, la fuerza de atracción es de 17 mN. ¿Cuántos electrones se transfirieron de una bola a la otra? 16–7 y 16–8 Campo eléctrico, líneas de campo 23. (I) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica sobre un electrón en un campo eléctrico uniforme de 2360 N
C de intensidad que apunta hacia el este? 24. (I) Un protón es liberado en un campo eléctrico uniforme y experimenta una fuerza eléctrica de 3.75  10
14 N hacia el sur. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico? 25. (I) Una fuerza descendente de 8.4 N se ejerce sobre una carga de
8.8 mC. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico en este punto? 26. (I) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico 20.0 cm arriba de una carga aislada de 33.0  10
6 C?

466

CAPÍTULO 16

Carga eléctrica y campo eléctrico

27. (II) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración que experimenta un electrón en un campo eléctrico de 750 N
C? ¿Cómo es que la dirección de la aceleración depende de la dirección del campo en ese punto? 28. (II) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico en un punto a la mitad entre una carga de
8.0 mC y una de 7.0 mC separadas 8.0 cm? Se supone que no hay otras cargas cercanas. 29. (II) Dibuje aproximadamente las líneas de campo eléctrico en torno a dos cargas puntuales, Q y
3Q, que están separadas una distancia l. 30. (II) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en un punto en el espacio donde un protón (m  1.67  10
27 kg) experimenta una aceleración de un millón de g? 31. (II) Un electrón es liberado desde el reposo en un campo eléctrico uniforme y acelera hacia el norte a un tasa de 115 m
s2. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico? 32. (II) El campo eléctrico a la mitad entre dos cargas puntuales iguales pero opuestas es de 745 N
C, y la distancia entre las cargas es de 16.0 cm. ¿Cuál es la magnitud de la carga en cada una? 33. (II) Calcule el campo eléctrico en el centro de un cuadrado de 52.5 cm de lado si una esquina está ocupada por una carga de 45.0 mC y las otras tres están ocupadas por cargas de
27.0 mC. 34. (II) Calcule el campo eléctrico en una esquina de un cuadrado de 1.00 m de lado si las otras tres esquinas están ocupadas por cargas de 2.25  10
6 C. 35. (II) Determine la dirección y magnitud del campo eléctrico en el punto P de la figura 16-54. Las cargas están separadas una distancia 2a y el punto P está a una distancia x del punto medio entre las dos cargas. Exprese su respuesta en términos de Q, x, a y k.

a
Q

Q a

P x

FIGURA 16–54 Problema 35. 36. (II) Dos cargas puntuales, Q1 
25 mC y Q2  50 mC, están separadas una distancia de 12 cm. El campo eléctrico en el punto P (figura 16-55) es cero. ¿A qué distancia de Q1 está P?

Q1

x


25 mC

P

Q2

12 cm

50 mC

FIGURA 16–55 Problema 36. B

37. (II) a) Determine el campo eléctrico E en el origen 0 de la figura 16-56 debido a las dos cargas en A y B. b) Repita la operación, pero haciendo que la carga en B invierta su signo.

y A

Q l

Q B

l l 0

FIGURA 16–56

x

Problema 37.

www.elsolucionario.org 38. (II) Utilice la ley de Coulomb para determinar la magnitud y dirección del campo eléctrico en los puntos A y B en la figura 16-57 debido a las dos cargas positivas (Q  7.0 mC) que se muestran. ¿Los resultados son consistentes con la figura 16-31b?

B

A 5.0 cm

+Q

+Q

* 16–10 Ley de Gauss * 43. (I) El flujo eléctrico total de una caja cúbica de 28.0 cm de lado es de 1.45  103 Nm2
C. ¿Qué carga encierra la caja?

* 44. (II) Un círculo plano de 18 cm de radio se coloca en un campo eléctrico uniforme de 5.8  102 N
C de magnitud. ¿Cuál es el flujo eléctrico a través del círculo cuando su cara está a) perpendicular a las líneas de campo, b) a 45° con respecto a las líneas del campo y c) paralela a las líneas de campo?

* 45. (II) En la figura 16-61, dos objetos, O1 y O2, tienen cargas 5.0 cm 5.0 cm

10.0 cm

FIGURA 16–57 Problema 38. 39. (II) (II) Se tienen dos cargas puntuales desconocidas, Q1 y Q2. En un punto en la línea que las une, a un tercio del camino desde Q1 hacia Q2, el campo eléctrico es cero (figura 16-58). ¿Cuál es la razón Q1
Q2?

l

E=0

Q1 3

Q2

O2 -2.0 mC

FIGURA 16–58 Problema 39.

P

x

O3 A2

FIGURA 16–61 Problema 45.

40. (III) Determine la dirección y magnitud del campo eléctrico en el punto P que se muestra en la figura 16-59. Las dos cargas están separadas una distancia de 2a. El punto P está en el bisector perpendicular de la línea que une las cargas, a una distancia x del punto medio entre ellas. Exprese sus respuestas en términos de Q, x, a y k.

a a

A1 O1 +1.0 mC

l

+Q

1.0 mC y
2.0 mC, respectivamente, y un tercer objeto, O3, es eléctricamente neutro. a) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de la superficie A1 que encierra a los tres objetos? b) ¿Cuál es el flujo eléctrico a través de la superficie A2 que encierra sólo al tercer objeto?

* 46. (II) Un cubo de lado l se coloca en un campo uniforme E 

6.50  103 N
C con bordes paralelos a las líneas de campo. a) ¿Cuál es el flujo neto a través del cubo? b) ¿Cuál es el flujo a través de cada una de sus seis caras?

* 47. (II) El campo eléctrico entre dos placas metálicas cuadradas es de 130 N
C. Las placas tienen 1.0 m de lado y están separadas 3.0 cm. ¿Cuál es la carga sobre cada placa (que se suponen iguales y opuestas)? Ignore los efectos de borde.

* 48. (II) El campo justo afuera de una bola metálica de 3.50 cm

–Q

de radio es de 2.75  102 N
C y apunta hacia la bola. ¿Qué carga reside en la bola?

FIGURA 16–59 Problema 40.

* 49. (II) Una esfera metálica sólida de 3.00 m de radio porta una
31

41. (III) Un electrón (masa m  9.11  10 kg) es acelerado en B el campo uniforme E (E  1.45  104 N
C) entre dos placas paralelas cargadas. La separación + B de las placas es de 1.10 cm. El E + electrón es acelerado desde el re+ poso cerca de la placa negativa y + + pasa a través de un pequeño hoyo + en la placa opuesta (figura 16-60). + a) ¿Con qué rapidez deja el hoyo? vB b) Demuestre que se puede ignoe + rar la fuerza gravitacional.

FIGURA 16–60 Problema 41.

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

42. (III) Un electrón que se mueve hacia la derecha al 1.0% de la rapidez de la luz entra a un campo eléctrico uniforme paralelo a su dirección de movimiento. Si el electrón será llevado al reposo en el espacio de 4.0 cm, a) ¿qué dirección se requiere para el campo eléctrico y b) cuál es la intensidad del campo?

carga total de
3.50 mC. ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico a una distancia desde el centro de la esfera de a) 0.15 m, b) 2.90 m, c) 3.10 m y d) 6.00 m? e) ¿Cómo diferirán las respuestas si la esfera fuese un cascarón delgado?

* 50. (III) Una carga puntual Q descansa en el centro de un delgado cascarón esférico conductor sin carga. (Véase la figura 16-33). ¿Cuál es el campo eléctrico E como función de r, a) para r menor que el radio interior del cascarón, b) adentro del cascarón y c) más allá del cascarón? d) ¿El cascarón afecta el campo debido a Q sola? ¿La carga Q afecta al cascarón?

* 16–11 ADN * 51. (III) Las dos cadenas de la molécula de

ADN con forma de hélice se mantienen juntas por medio de fuerzas electrostáticas, como se ilustra en la figura 16-44. Suponga que la carga promedio neta (resultado de compartir electrones) indicada en átomos de H y N es 0.2e y en los átomos indicados C y O es 0.4e. Suponga también que los átomos en cada molécula están separados por 1.0  10
10 m. Estime la fuerza neta entre a) una timina y una adenina; y b) una citosina y una guanina. Para cada enlace (puntos azules) considere sólo los tres átomos en una línea (dos átomos en una molécula, un átomo en el otro). c) Estime la fuerza total para una molécula de 5 ADN que contiene 10 pares de tales moléculas.

Problemas

467

Problemas generales 52. ¿A qué distancia están dos electrones si la fuerza eléctrica entre ellos es igual al peso de cualquiera de ellos en la superficie de la Tierra? 53. Una moneda de cobre de 3.0 g tiene una carga positiva de 38 mC. ¿Qué fracción de sus electrones ha perdido? 54. Un protón (m  1.67  10
27 kg)B está suspendido en reposo en un campo eléctrico uniforme E. Tome en consideración la B gravedad en la superficie de la Tierra y determine E. 55. Las mediciones indican que existe un campo eléctrico alrededor de la Tierra. Su magnitud es aproximadamente de 150 N
C en la superficie terrestre y apunta hacia dentro, es decir, hacia el centro de la Tierra. ¿Cuál es la magnitud de la carga eléctrica sobre la Tierra? ¿Es positiva o negativa? [Sugerencia: El campo eléctrico afuera de una esfera cargada de manera uniforme es la misma que si toda la carga estuviese aglutinada en su centro]. 56. a) Dado el campo eléctrico local de 150 N
C, ¿cuál es la aceleración que experimenta un electrón cerca de la superficie de la Tierra? b) ¿Y un protón? c) Calcule la razón entre cada aceleración y g  9.8 m
s2. 57. Una gota de agua de 0.018 mm de radio permanece estacionaria en el aire. Si el campo eléctrico de la Tierra dirigido hacia abajo es de 150 N
C, ¿cuánto exceso de cargas de electrón debe tener la gota de agua? 58. Estime la fuerza neta entre el grupo CO y el grupo HN que se muestran en la figura 16-62. C y O tienen cargas ±0.40e, y H y N tienen cargas ±0.20e, donde e  1.6  10
19 C. [Sugerencia: No incluya las fuerzas “internas” entre C y O, ni entre H y N].

C

+

-

O

H

+

N

-

63. Una pequeña esfera de plomo está encerrada en plástico aislador y suspendida verticalmente de un resorte ideal (k  126 N
m) sobre una mesa de laboratorio (figura 16-63). La masa total de la esfera recubierta es de 0.800 kg y su centro se encuentra a 15.0 cm sobre la mesa cuando está en equilibrio. La esfera se jala hacia abajo 5.00 cm por debajo del equilibrio; sobre ella se deposita una carga eléctrica Q 
3.00  10
6 C y luego se le libera. Con el uso de lo que sabe acerca de la oscilación armónica, escriba una expresión para la intensidad del campo eléctrico como función del tiempo que se mediría en el punto sobre la mesa (P) directamente por debajo de la esfera.

10.0 cm 15.0 cm P

FIGURA 16–63 Problema 63. 64. Un gran electroscopio está hecho con “hojas” que son alambres de 78 cm de largo con pequeñas esferas de 24 g en los extremos. Cuando se carga, casi toda la carga reside en las esferas. Si los alambres forman cada uno un ángulo de 30° con respecto a la vertical (figura 16-64), ¿qué carga total Q se aplicó al electroscopio? Ignore la masa de los alambres.

0.10 nm

0.12 nm 0.28 nm

FIGURA 16–62 Problema 58. 59. En un modelo simple del átomo de hidrógeno, el electrón gira en una órbita circular alrededor del protón, con una rapidez de 1.1  106 m
s. Determine el radio de la órbita del electrón. [Sugerencia: Consulte el capítulo 5 acerca de movimiento circular]. 60. Suponga que la atracción eléctrica, en lugar de la gravedad, fuese la responsable de mantener a la Luna en órbita alrededor de la Tierra. Si se colocaran cargas iguales y opuestas Q en la Tierra y la Luna, ¿cuál sería el valor de Q para mantener la órbita actual? Utilice los siguientes datos: masa de la Tierra  5.98  1024 kg, masa de la Luna  7.35  1022 kg, radio de la órbita  3.84  108 m. Trate a la Tierra y a la Luna como partículas puntuales. 61. Un electrón con rapidez v0  21.5  106 m
s viaja paralelo a un campo eléctrico de magnitud E  11.4  10 3 N
C. a) ¿Qué distancia recorrerá el electrón antes de detenerse? b) ¿Cuánto tiempo tardará antes de que regrese a su punto de partida? 62. Una carga puntual positiva Q1  2.5  10
5 C está fija en el origen de las coordenadas, y una carga negativa Q2 
5.0  10
6 C está fija en el eje x en x  2.0 m. Determine la ubicación del lugar (o lugares) a lo largo del eje x donde el campo eléctrico debido a estas dos cargas es cero.

468

CAPÍTULO 16

Carga eléctrica y campo eléctrico

30 30 78 cm

Q 2

78 cm

Q 2

FIGURA 16–64 Problema 64.

65. El aire seco se romperá y generará una chispa si el campo eléctrico supera la cifra de 3  106 N
C. ¿Cuánta carga se podría empacar en un chícharo (0.75 cm de diámetro) antes de que éste se descargue espontáneamente? [Sugerencia: Las ecuaciones 16-4 funcionan afuera de una esfera si r se mide desde su centro]. 66. Dos cargas puntuales, Q1 
6.7 mC y Q2  1.8 mC, están ubicadas entre dos placas paralelas con cargas opuestas, como se indica en la figura 16-65. Las dos cargas están separadas por una distancia de x  0.34 m. + Suponga que el campo eléctrico produci+ do por las placas cargadas es uniforme e + Q Q 1 2 igual a E  73,000 N
C. Calcule la fuerza + electrostática neta sobre Q1 y determine + + su dirección.

FIGURA 16–65 Problema 66.

-

+

x

67. Una carga puntual (m  1.0 g) en el extremo de una cuerda aisladora de 55 cm de largo está en equilibrio en un campo eléctrico horizontal uniforme de 12,000 N
C, cuando la posición del péndulo es como se muestra en la figura 16-66, con la carga a 12 cm sobre la posición (vertical) más baja. Si el campo apunta hacia la derecha en la figura 16-66, determine la magnitud y signo de la carga puntual.

L = 55 cm u B

E

Q m 12 cm

FIGURA 16–66

69. ¿Cuál es la carga total de todos los electrones en una barra de aluminio de 15 kg? ¿Cuál es la carga neta de la barra? (El aluminio tiene 13 electrones por átomo y una masa atómica de 27 u). 70. Dos pequeñas esferas conductoras idénticas A y B están separadas una distancia R; cada una porta la misma carga Q. a) ¿Cuál es la fuerza que la esfera B ejerce sobre la A? b) Un esfera idéntica con carga cero, la esfera C, hace contacto con la esfera B y entonces se mueve muy lejos. ¿Cuál es ahora la fuerza neta que actúa sobre la esfera A? c) A continuación la esfera C hace contacto con la esfera A y entonces se mueve muy lejos. ¿Cuál es la fuerza sobre la esfera A en este tercer caso? 71. Dadas las dos cargas que se muestran en la figura 16-68, ¿en qué posición (o posiciones) x el campo eléctrico es cero? ¿El campo es cero en otros puntos cualesquiera, no en el eje x?

Problema 67. 68. Una carga puntual de 0.210 kg de masa y carga neta de 0.340 mC, cuelga en reposo al final de una cuerda aisladora sobre una larga hoja de carga. La hoja horizontal de carga uniforme crea un campo eléctrico vertical uniforme en la vecindad de la carga puntual. La tensión en la cuerda es de 5.67 N. Calcule la magnitud y dirección del campo eléctrico debido a la hoja de carga (figura 16-67).

gB Q = 0.340 µC m = 0.210 kg Hoja uniforme de carga FIGURA 16–67 Problema 68.

+Q

-Q/2 d

P x

FIGURA 16–68 Problema 71. 72. Dos cargas puntuales, Q y –Q, de masa m, se colocan en los extremos de una barra (cuya masa se considera despreciable) de longitud L, que está fija a una mesa mediante un perno a través de su centro. Si entonces el aparato se sujeta a un campo eléctrico uniforme E paralelo a la mesa y perpendicular a la barra, determine la torca neta sobre el sistema constituido por la barra más cargas. 73. Cuatro cargas puntuales positivas iguales, cada una con 8.0 mC de carga, están en las esquinas de un cuadrado de 9.2 cm de lado. ¿Qué carga se debe colocar en el centro del cuadrado de modo que todas las cargas estén en equilibrio? ¿Éste es un equilibrio estable o inestable (sección 9-4) en el plano?

Respuestas a los ejercicios A: Opuesta. B: 5 N. C: 1.2 N, hacia la derecha. D: 0.32 m. E: a) No; b) sí, a la mitad entre ellas. F: 9.0 * 104 N
C, verticalmente hacia abajo.

B

B

B

G: a) E 1 derecha; E 2 izquierda; E derecha; B B B b) E 1 izquierda; E 2 derecha; E. H: a E⊥ ¢A = E a ¢A = E(2prL) = de modo que E =

Qenc , 0

1 Q. 2p0 r L

Problemas generales

469

www.elsolucionario.org En las nubes se puede almacenar una gran cantidad de energía potencial eléctrica. En los relámpagos, el voltaje (
diferencia de potencial
¢EP por carga) entre las nubes y la Tierra puede ser tan alto que los electrones que deambulan por ahí se aceleran a una EC lo suficientemente grande como para desprender electrones de los átomos del aire. Este último se vuelve un conductor conforme los átomos ionizados y los electrones liberados fluyen rápidamente y chocan con más átomos, lo que provoca más ionización. El flujo masivo de carga reduce la diferencia de potencial y la “descarga” cesa rápidamente. La energía liberada cuando los iones y los electrones se recombinan para formar átomos se manifiesta como luz.

CAPÍTULO

17

Potencial eléctrico

E

n el capítulo 6 se vio que el concepto de energía era extremadamente valioso para abordar el tema de la mecánica. La energía es una cantidad que se conserva y constituye una importante herramienta para comprender la naturaleza. Más aún, se vio que muchos problemas se resuelven con la ayuda del concepto de energía aun cuando no fuera posible un conocimiento detallado de las fuerzas que intervienen, o cuando un cálculo a partir de las leyes de Newton fuera demasiado difícil. El punto de vista de la energía resulta especialmente útil en electricidad. No sólo extiende la ley de conservación de la energía, sino que también proporciona otra forma de ver los fenómenos eléctricos. En muchos casos, la energía también es una herramienta más adecuada en la resolución de problemas que el uso de las fuerzas y los campos eléctricos.

17–1 Energía potencial eléctrica y diferencia de potencial Energía potencial eléctrica Para aplicar la conservación de la energía, es necesario definir la energía potencial eléctrica como otro tipo de energía potencial. Como se vio en el capítulo 6, la energía potencial se puede definir sólo para una fuerza conservativa. El trabajo realizado por una fuerza conservativa al mover un objeto entre dos posiciones cualesquiera es independiente de la trayectoria seguida. La fuerza electrostática entre dos cargas cualesquiera (ecuación 16-1, F = kQ1 Q2
r 2) es conservativa pues la dependencia es con la posición, tal como la fuerza gravitacional, que es conservativa. A partir de ahí, es posible definir la energía potencial EP para la fuerza electrostática.

470

En el capítulo 6 se vio que el cambio en la energía potencial entre dos puntos a y b es igual al negativo del trabajo realizado por la fuerza conservativa para mover un objeto de a a b: ¢EP
W. De esta forma, el cambio en la energía potencial eléctrica, EPb  EPa, cuando una carga puntual q se mueve desde algún punto a hacia otro punto b, se define como el negativo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica para mover la carga desde a hasta b. Por ejemplo, considere el campo eléctrico entre dos placas paralelas con la misma carga pero con signo opuesto; se supone que su separación es pequeña en B comparación con el ancho y alto, de modo que el campo E será uniforme sobre la mayor parte de la región (figura 17-1). Considere ahora una pequeña carga puntual positiva q colocada en un punto muy cercano a la placa positiva, como se ilustra. Esta B carga q es tan pequeña que no afecta a E . Si esta carga q en el punto a se libera, la fuerza eléctrica hará trabajo sobre la carga y la acelerará hacia la placa negativa. El trabajo W realizado por el campo eléctrico E para mover la carga un distancia d es

W = Fd = qEd donde se usó la ecuación 16-5, F
qE. El cambio en la energía potencial eléctrica es igual al negativo del trabajo realizado por la fuerza eléctrica: B

[uniforme E] (17–1)

epb - epa = –qEd B

para este caso de campo eléctrico uniforme E . En el caso ilustrado, la energía potencial disminuye (¢EP es negativo); y, conforme la partícula cargada acelera desde el punto a hasta el punto b en la figura 17-1, la energía cinética de la partícula EC aumenta por una cantidad igual. En concordancia con la conservación de la energía, la energía potencial eléctrica se transforma en energía cinética, y la energía total se conserva. Hay que hacer notar que la carga positiva q tiene su mayor energía potencial en el punto a, cerca de la placa positiva.† Lo contrario es cierto para una carga negativa: su energía potencial es mayor cerca de la placa negativa.

+

−

+

−

+

−

+

EP

alta

Potencial alto

−

B

E

+

−

+

−

+

−

+

−

+ +







a

b

− −

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

EP

baja

Potencial bajo

−

+

d FIGURA 17–1 Al mover la carga positiva de la posición a a la posición b, el campo eléctrico realiza trabajo.

Potencial eléctrico y diferencia de potencial En el capítulo 16 se encontró que es útil definir el campo eléctrico como la fuerza por unidad de carga. De manera similar, es útil definir el potencial eléctrico (o simplemente el potencial cuando “eléctrico” se sobreentiende) como la energía potencial eléctrica por unidad de carga. El potencial eléctrico está dado por el símbolo V. Si una carga de prueba positiva q tiene energía potencial eléctrica EPa en algún punto a (en relación con alguna energía potencial cero), el potencial eléctrico Va en este punto es

epa . (17–2a) q Como se explicó en el capítulo 6, sólo las diferencias en energía potencial son físicamente significativas. De esta forma, sólo la diferencia en potencial, o la diferencia de potencial, entre dos puntos a y b (como entre a y b en la figura 17-1) es mensurable. Cuando la fuerza eléctrica realiza trabajo positivo sobre una carga, la energía cinética aumenta y la energía potencial disminuye. La diferencia en energía potencial, EPb  EPa, es igual al negativo del trabajo, Wba, realizado por el campo eléctrico para mover la carga de a a EP; de modo que la diferencia de potencial Vba es Va =

Vba = Vb - Va =

Wba epb - epa . = – q q

El potencial es la energía potencial por unidad de carga. Diferencia de potencial

(17–2b)

Cabe destacar que el potencial eléctrico, como el campo eléctrico, no depende de la carga de prueba q. V depende de las otras cargas que crean el campo, no de q; q adquiere energía potencial al estar en el potencial V debido a las otras cargas. A partir de la definición se puede ver que la placa positiva en la figura 17-1 está a un potencial más alto que la placa negativa. Por ende, un objeto cargado positivamente se mueve de manera natural desde un potencial alto hacia un potencial bajo. Una carga negativa hace lo contrario. †

En este punto, la carga tiene su mayor capacidad para realizar trabajo (sobre algún otro objeto o sistema).

SECCIÓN 17–1

Energía potencial eléctrica y diferencia de potencial

471

Unidad de diferencia de potencial: el volt (1 V
1 J
C)

Voltaje
diferencia de potencial

V
0 se elige de manera arbitraria

+

Potencial alto Va

−

B

E

−

+ +



+a

−

b− −

+

Potencial bajo Vb EP alta para carga negativa aquí

FIGURA 17–2 Parte central de la figura 17-1, que muestra una carga puntual negativa cerca de la placa negativa. Ejemplo conceptual 17-1.

P R E C A U C I Ó N

Una carga negativa tiene EP alta cuando el potencial V es bajo.

La unidad de potencial eléctrico, y de diferencia de potencial, es joules/coulomb y recibe un nombre especial: el volt, en honor de Alessandro Volta (1745-1827), quien es mejor conocido por haber inventado la pila eléctrica. El volt se abrevia V, de modo que 1 V
1 J/C. Como la diferencia de potencial se mide en volts, con frecuencia se denomina voltaje. Si se desea hablar del potencial Va en algún punto a, hay que estar conscientes de que Va depende de dónde se elige el potencial como cero. El cero para el potencial eléctrico en una situación dada se puede elegir de manera arbitraria, tal como se hace para la energía potencial, pues sólo es posible medir las diferencias en la energía potencial. Con frecuencia, la tierra, o un conductor conectado directamente a tierra (la Tierra), se toma como potencial cero, y otros potenciales se proporcionan con respecto a ella. (Por tanto, un punto donde el voltaje sea de 50 V es aquel donde la diferencia de potencial entre él y tierra es de 50 V). En otros casos, como se verá, se puede elegir que el potencial sea cero a una distancia infinita (r
q). EJEMPLO CONCEPTUAL 17–1 Una carga negativa. Suponga que una carga negativa, como un electrón, se coloca cerca de la placa negativa en la figura 17-1, en el punto b, que aquí se muestra en la figura 17-2. Si el electrón tiene libertad para moverse, ¿su energía potencial eléctrica aumenta o disminuye? ¿Cómo cambia el potencial eléctrico? RESPUESTA Un electrón liberado en el punto b se moverá hacia la placa positiva. Conforme el electrón se mueve hacia la placa positiva, su energía potencial disminuye mientras que su energía cinética se incrementa. Sin embargo, note que el electrón se mueve del punto b con potencial bajo al punto a con potencial más alto: ¢V = Va - Vb 7 0. (Los potenciales Va y Vb se deben a las cargas sobre las placas, no al electrón).

NOTA Una carga positiva colocada cerca de la placa negativa en b no se aceleraría. Una carga positiva tiende a moverse desde el potencial alto hacia el bajo. Puesto que la diferencia de potencial eléctrico se define como la diferencia de energía potencial por unidad de carga, el cambio en la energía potencial de una carga q cuando se mueve entre dos puntos a y b es

Potencial eléctrico y energía potencial

Potencial vinculado con la altura de un risco

472

CAPÍTULO 17

epb - epa = q AVb - Va B = qVba .

(17–3)

Esto es, si un objeto con carga q se mueve a través de una diferencia de potencial Vba, su energía potencial cambia por una cantidad qVba. Por ejemplo, si la diferencia de potencial entre las dos placas de la figura 17-1 es de 6 V, entonces una carga de 1 C que se mueve (mediante una fuerza externa) de b a a ganará (1 C)(6 V)
6 J de energía potencial eléctrica. (Y perderá 6 J de energía potencial eléctrica si se mueve de a a b). De manera similar, una carga de 2 C ganará 12 J, y así sucesivamente. Así que la diferencia de potencial eléctrico es una medida de cuánta energía puede adquirir una carga eléctrica en una situación dada. Y, como la energía es la capacidad de realizar trabajo, la diferencia de potencial eléctrico también es una medida de cuánto trabajo puede realizar una carga determinada. La cantidad exacta depende tanto de la diferencia de potencial como de la carga. Para comprender mejor el potencial eléctrico, hagamos una comparación con el caso gravitacional cuando una roca se deja caer desde lo alto de un risco. Cuanto mayor sea la altura, h, del risco, más energía potencial (
mgh) tendrá la roca en lo alto del risco, en relación con el fondo, y más energía cinética tendrá cuando alcance el fondo. La cantidad real de energía cinética que adquirirá y la cantidad de trabajo que puede realizar dependen tanto de la altura del risco como de la masa m de la roca. Una gran roca y una roca pequeña pueden estar a la misma altura h (figura 17-3a) y por tanto tener el mismo “potencial gravitacional”, pero la roca más grande tiene mayor energía potencial (puesto que tiene más masa). El caso eléctrico es similar (figura 17-3b): el cambio en la energía potencial, o el trabajo que se puede realizar, depende tanto de la diferencia de potencial (que corresponde a la altura del risco) como de la carga (que corresponde a la masa), ecuación 17-3. Sin embargo, hay que advertir una diferencia significativa: la carga eléctrica viene en dos tipos,  y , mientras que la masa gravitacional siempre es .

Potencial eléctrico

www.elsolucionario.org

+

Vba

Vb

+

+

a)

b)

Va

-

+

h

-

Q 2Q

-

-

FIGURA 17–3 a) Dos rocas están a la misma altura. La roca más grande tiene más energía potencial. b) Dos cargas tienen el mismo potencial eléctrico. La carga 2Q tiene más energía potencial.

-

+

Las fuentes prácticas de energía eléctrica, como las baterías y los generadores eléctricos, tienen la finalidad de mantener una diferencia de potencial. La cantidad real de energía transformada por tales dispositivos depende de cuánta carga fluya, así como de la diferencia de potencial (ecuación 17-3). Por ejemplo, considere los faros de un automóvil conectados a una batería de 12.0 V. La cantidad de energía transformada (en luz y energía térmica) es proporcional a cuánta carga fluye, lo que a su vez depende de cuánto dura encendida la luz. Si durante un periodo de tiempo dado fluyen 5.0 C de carga, la energía total transformada es (5.0 C)(12.0 V)
60 J. Si el faro se deja encendido el doble de tiempo, fluirán 10.0 C de carga y la energía transformada será (10.0 C)(12.0 V)
120 J. En la tabla 17-1 se presentan algunos voltajes comunes. EJEMPLO 17–2 Electrón en un cinescopio de TV. Suponga que un electrón en el cinescopio de una televisión se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial Vb - Va
Vba = ±5000 V (figura 17-4). a) ¿Cuál es el cambio en la energía potencial eléctrica del electrón? b) ¿Cuál es la rapidez del electrón (m
9.1  1031 kg) como resultado de esta aceleración? PLANTEAMIENTO El electrón, acelerado hacia la placa positiva, disminuirá en energía potencial por una cantidad ¢EP
qVba (ecuación 17-3). La pérdida en energía potencial igualará su ganancia en energía cinética (conservación de energía). SOLUCIÓN a) La carga en un electrón es q = –e = –1.6 * 10 –19 C. Por tanto, su cambio en energía potencial es

¢ep = qVba = A –1.6 * 10

–19

CB(±5000 V) = –8.0 * 10

–16

J.

El signo menos indica que la energía potencial disminuye. La diferencia de potencial, Vba, tiene un signo positivo pues el potencial final Vb es mayor que el potencial inicial Va; los electrones negativos son atraídos hacia un electrodo positivo y repelidos de un electrodo negativo. b) La pérdida de energía potencial por el electrón se vuelve energía cinética EC. A partir de la conservación de energía (ecuación 6-11a), ¢EC  ¢EP
0, de modo que

¢ec = – ¢ep 1 2 2 mv

- 0 = –q AVb - Va B = –qVba ,

TABLA 17–1 Algunas diferencias de potencial (voltajes) comunes Voltaje (aprox.)

Fuente

Nube de tormenta a tierra 108 V Línea de transmisión 105 – 106 V de alto voltaje Suministro de potencia para cinescopio de TV Arranque de automóvil Tomacorriente casero Batería de automóvil Batería de lámpara de mano

104 V 104 V 102 V 12 V 1.5 V

Potencial de reposo a través 10–1 V de membrana nerviosa Cambios de potencial en la piel (ECG y EEG)

− − − −

Vba = 5000 V

− − − 

e−

10 –4 V

+

+ ++ ++ ++

−

a

b Alto voltaje

FIGURA 17–4 Electrón acelerado en el cinescopio de una TV. Ejemplo 17-2.

donde la energía cinética inicial es cero pues se dice que el electrón parte del reposo. Al resolver para v:

v =

B

–

2 A –1.6 * 10–19 CB(5000 V) 2qVba = – = 4.2 * 107 m
s. m 9.1 * 10–31 kg C

NOTA La energía potencial no depende de la masa, sólo de la carga y el voltaje. La rapidez sí depende de m. EJERCICIO A En lugar del electrón en el ejemplo 17-2, suponga que un protón (m
1.67  1027 kg) se acelera desde el reposo por medio de una diferencia de potencial Vba
5000 V. ¿Cuál sería a) el cambio en EP y b) la rapidez final del protón? SECCIÓN 17–1

Energía potencial eléctrica y diferencia de potencial

473

17–2 Relación entre potencial eléctrico y campo eléctrico Los efectos de cualquier distribución de carga se pueden describir ya sea en términos de campo eléctrico o en términos de potencial eléctrico. Con frecuencia, el potencial eléctrico es más fácil de usar pues es un escalar, mientras que el campo eléctrico es un vector. Entre el potencial y el campo existe una íntima conexión. Considere el caso de un campo eléctrico uniforme, como el que existe entre las placas paralelas de la figura 17-1, cuya diferencia de potencial es Vba. El trabajo realizado por el campo eléctrico para mover una carga positiva q de a a b es igual al negativo del cambio en la energía potencial (ecuación 17-2b), de modo que

V relacionado con E uniforme

Unidades para E: 1 N/C
1 V/m

Vba

+


50 V

-

+

-

+

-

+

-

+ +

E =?

PLANTEAMIENTO Se aplica la ecuación 17-4b para obtener la magnitud de E, que se supone uniforme. SOLUCIÓN La magnitud del campo eléctrico es

-

+

-

+

-

+

EJEMPLO 17–3 Campo eléctrico obtenido a partir del voltaje. Dos placas paralelas son cargadas para producir una diferencia de potencial de 50 V. Si la separación entre las placas es de 0.050 m, calcule la magnitud del campo eléctrico en el espacio entre las placas (figura 17-5).

-

+

W = –q AVb - Va B = –qVba . El trabajo realizado también se expresa como fuerza por distancia, donde la fuerza sobre q es F
qE, así que W = Fd = qEd, donde d es la distancia (paralela a las líneas de campo) entre los puntos a y b. Ahora se hacen iguales estas dos expresiones para W y se encuentra qVba = –qEd, o Vba = – Ed. [E uniforme] (17–4a) Si se resuelve para E se encuentra Vba . E = – [E uniforme] (17–4b) d A partir de la ecuación 17-4b se ve que las unidades para el campo eléctrico se pueden escribir como volts por metro (V/m), así como newtons por coulomb (N/C). En general, éstos son equivalentes, dado que 1 N
C = 1 N  m
C  m
1 J
C  m
B 1 V
m. El signo menos en la ecuación 17-4b indica que E apunta en la dirección de potencial V decreciente.

E = Vba
d = (50 V
0.050 m) = 1000 V
m. NOTA Las ecuaciones 17-4 sólo se aplican para un campo eléctrico uniforme. La B relación general entre E y V es más complicada.

-

d=

B * Relación general entre E yV

5.0 cm

B

B

En una región donde E no es uniforme, la conexión entre E y V toma una forma diferente a la de las ecuaciones 17-4. En general, es posible demostrar que el campo eléctrico en una dirección dada en cualquier punto en el espacio es igual a la tasa a la que disminuye el potencial eléctrico sobre la distancia en esa dirección. Por ejemplo, el componente x del campo eléctrico está dado por Ex = – ¢V
¢x, donde ¢V es el cambio en potencial sobre la muy corta distancia ¢x.

FIGURA 17–5 Ejemplo 17-3.

17–3 Líneas equipotenciales

B

Equipotenciales ⊥ E

474

CAPÍTULO 17

El potencial eléctrico se puede representar en un diagrama dibujando las líneas equipotenciales o, en tres dimensiones, las superficies equipotenciales. Una superficie equipotencial es aquella en la que todos los puntos están en el mismo potencial. Es decir, la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera en la superficie es cero, y no se requiere trabajo para mover una carga de un punto a otro sobre una superficie equipotencial. Una superficie equipotencial debe ser perpendicular al campo eléctrico en cualquier punto. Si esto no fuera así (es decir, si existiera un compoB nente de E paralelo a la superficie) se requeriríaB trabajo para mover la carga a lo largo de la superficie contra este componente de E; y esto contradiría la idea de que es una superficie equipotencial.

B

E +

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

–

+

0V 20 V 15 V 5V 10 V

FIGURA 17–6 Las líneas equipotenciales (líneas punteadas azules) entre dos placas paralelas cargadas siempre son perpendiculares al campo eléctrico (líneas continuas).

FIGURA 17–7 Las líneas equipotenciales (punteadas azules) siempre son perpendiculares a las líneas de campo eléctrico (continuas), mostradas aquí para dos partículas igualmente cargadas pero con signo opuesto (un “dipolo eléctrico”).

El hecho de que las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales sean perpendiculares entre sí ayuda a ubicar las equipotenciales cuando se conocen las líneas de campo eléctrico. En un dibujo bidimensional normal, se muestran las líneas equipotenciales, que son las intersecciones de las superficies equipotenciales con el plano del dibujo. En la figura 17-6 están dibujadas unas cuantas líneas equipotenciales (líneas punteadas azules) para el campo eléctrico (líneas continuas) entre dos placas paralelas a una diferencia de potencial de 20 V. La placa negativa se elige arbitrariamente como la de cero volts y se indica el potencial de cada línea equipotenB cial. Note que E apunta hacia valores más bajos de V. Las líneas equipotenciales para el caso de dos partículas igualmente cargadas pero opuestas se muestran en la figura 17-7 como líneas punteadas azules. (Esta combinación de cargas iguales  y  se llama “dipolo eléctrico”, como se vio en la sección 16-8; véase la figura 16-31a). A diferencia de las líneas de campo eléctrico, que comienzan y terminan en cargas eléctricas, las líneas y superficies equipotenciales siempre son continuas y nunca terminan, y por tanto continúan más allá de las fronteras de las figuras 17-6 y 17-7. Una analogía útil es la de un mapa topográfico: en esencia, las líneas de contorno son líneas equipotenciales gravitacionales (figura 17-8). En la sección 16-9 se vio que, en el caso estático, no puede haber campo eléctrico dentro de un conductor; de otro modo, los electrones libres sentirían una fuerza y se moverían. De hecho, un conductor debe estar completamente al mismo potencial en el caso estático, y, entonces, la superficie de un conductor es una superficie equipotencial. (Si no fuese así, los electrones libres en la superficie se moverían, puesto que siempre que existe una diferencia de potencial entre dos puntos, se puede realizar trabajo sobre las partículas cargadas para moverlas). Esto es consistente por completo con el resultado, analizado antes, de que el campo eléctrico en la superficie de un conductor debe ser perpendicular a la superficie.

Los conductores son superficies equipotenciales.

FIGURA 17–8 Un mapa topográfico (aquí, una porción de la Sierra Nevada en California) muestra líneas de contorno continuas, cada una de las cuales está a una altura fija sobre el nivel del mar. Aquí hay intervalos de 80 ft (25 m). Si alguien camina a lo largo de una línea de contorno, no asciende ni desciende. Si la persona cruza líneas, y en especial si asciende de forma perpendicular a las líneas, cambiará su potencial gravitacional (rápidamente, si las líneas están más juntas).

SECCIÓN 17–3

Líneas equipotenciales

475

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17–4 El electronvolt, una unidad de energía El joule es una unidad muy grande para estudiar las energías de electrones, átomos o moléculas. Para este propósito se usa la unidad electronvolt (eV). Un electronvolt se define como la energía que adquiere una partícula al portar una carga cuya magnitud es igual a la del electrón (q
e) como resultado de moverse a través de una diferencia de potencial de 1 V. Como la carga en un electrón tiene una magnitud de 1.6  1019 C, y puesto que el cambio en la energía potencial es igual a qV, 1 eV es igual a A1.6 * 10 –19 CB(1.0 V)
1.6 * 10 –19 J:

1 eV = 1.6 * 10–19 J.

Electronvolt (unidad)

Un electrón que acelera a través de una diferencia de potencial de 1000 V perderá 1000 eV de energía potencial y por tanto ganará 1000 eV, o 1 keV (kiloelectronvolt) de energía cinética. Por otra parte, si una partícula con una carga igual al doble de la magnitud de la carga en el electrón (
2e
3.2  1019 C) se mueve a través de una diferencia de potencial de 1000 V, su energía cambiará por 2000 eV. Aunque el electronvolt es una unidad adecuada para establecer las energías de moléculas y partículas elementales, no es propiamente una unidad SI. Para cálculos, el electronvolt se debe convertir a joules, mediante el factor de conversión apenas proporcionado. En el ejemplo 17-2, por ejemplo, el electrón adquiere una energía cinética de 8.0  1016 J. Normalmente, esta energía se indicaría como 5000 eV (
8.0  10 –16 J
1.6 * 10 –19 J
eVB. Pero cuando se determina la rapidez de una partícula en unidades SI, se debe usar la EC en joules (J).

17–5 Potencial eléctrico debido a cargas puntuales El potencial eléctrico a una distancia r de una sola carga puntual Q se puede deducir de la expresión para su campo eléctrico (ecuación 16-4) utilizando el cálculo. En este caso, el potencial generalmente se toma como cero en el infinito (q); también aquí el campo eléctrico (E
kQ/r2) es cero. El resultado es

Q r 1 Q, = 4p 0 r

V = k

Potencial eléctrico de una carga puntual (V
o en r
q)

P R E C A U C I Ó N

1 1 ,E r 2 r r para una carga puntual V r

[carga puntual única] (17–5)

donde k = 8.99 * 109 N m2
C 2. Aquí se puede considerar que V representa el potencial absoluto a una distancia r de la carga Q, donde V
0 en r
q, o se puede considerar a V como la diferencia de potencial entre r e infinito. Note que el potencial V disminuye con la primera potencia de la distancia, mientras que el campo eléctrico (ecuación 16-4) disminuye como el cuadrado de la distancia. El potencial cerca de una carga positiva es grande y positivo, y disminuye hacia cero a distancias muy largas. El potencial cerca de una carga negativa es negativo y aumenta hacia cero a grandes distancias (figura 17-9). V Q V = k r cuando Q > 0 r

0 FIGURA 17–9 Potencial V como función de la distancia r desde una sola carga puntual Q cuando la carga es a) positiva, b) negativa.

a) V r

0

Q V = k r cuando Q < 0 b)

476

CAPÍTULO 17

Potencial eléctrico

EJEMPLO 17–4 Potencial debido a una carga positiva o negativa. Determine el potencial en un punto a 0.50 m a) de una carga puntual de 20 mC, b) de una carga puntual de 20 mC. PLANTEAMIENTO El potencial debido a una carga puntual está dado por la ecuación 17-5, V
kQ/r. SOLUCIÓN a) A una distancia de 0.50 m de una carga positiva de 20 mC, el potencial es

V = k

Q r

= A9.0 * 109 Nm2
C 2 B ¢

20 * 10–6 C ≤ = 3.6 * 105 V. 0.50 m

b) Para la carga negativa,

V = A9.0 * 109 Nm2
C 2 B ¢

–20 * 10–6 C ≤ = –3.6 * 105 V. 0.50 m

NOTA El potencial puede ser positivo o negativo. Cuando se determina el potencial eléctrico es importante incluir un signo de carga, en contraste con los cálculos de magnitudes de campo eléctrico, para los que generalmente se ignora el signo de las cargas.

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Para el potencial eléctrico, hay que seguir el rastro de los signos de carga.

EJEMPLO 17–5 Trabajo realizado para acercar dos cargas positivas. Qué trabajo mínimo debe realizar una fuerza externa para acercar una carga q
3.00 mC desde una gran distancia (sea r
q) hacia un punto a 0.500 m de una carga Q
20.0 mC? PLANTEAMIENTO Para calcular el trabajo no basta simplemente con multiplicar la fuerza por la distancia porque la fuerza no es constante. En vez de ello, el cambio en la energía potencial se puede hacer igual al (positivo del) trabajo requerido de una fuerza externa (capítulo 6), y la ecuación 17-3: W = ¢ep
q AVb - Va B. Los potenciales Vb y Va se obtienen mediante la ecuación 17-5.

P R E C A U C I Ó N

No se puede usar W
Fd si F no es constante.

SOLUCIÓN El trabajo que se requiere es igual al cambio en la energía potencial:

W = q AVb - Va B = q ¢

kQ kQ ≤, rb ra

donde rb
0.500 m y ra
q. El término en el extremo derecho dentro de los paréntesis es cero (1/q
0), de modo que

W = A3.00 * 10–6 CB

A8.99 * 109 N m2
C 2 BA2.00 * 10–5 CB (0.500 m)

= 1.08 J.

NOTA Aquí no se podrían emplear las ecuaciones 17-4 porque éstas se aplican solamente a campos uniformes. Pero sí se usó la ecuación 17-3 porque siempre es válida. EJERCICIO B ¿Qué trabajo se requiere para acercar una carga q
3.00 mC originalmente a una distancia de 1.50 m de una carga Q
20.0 mC, hasta que esté a 0.50 m de distancia?

Para determinar el campo eléctrico en puntos cercanos a una colección de dos o más cargas puntuales, se requiere sumar los campos eléctricos debidos a cada una de las cargas. Como el campo eléctrico es un vector, esto tal vez consuma mucho tiempo o resulte complicado. Determinar el potencial eléctrico en un punto debido a una colección de cargas puntuales es mucho más sencillo, pues el potencial eléctrico es un escalar y, por tanto, sólo habrá que sumar números sin preocuparse por la dirección. Ésta es una gran ventaja en el uso del potencial eléctrico para resolver problemas. Sin embargo, sí se tienen que incluir los signos de las cargas. SECCIÓN 17–5

Los potenciales se suman como escalares (los campos se suman como vectores).

Potencial eléctrico debido a cargas puntuales

477

y A

B 60

cm

40

30 cm

cm 26 cm

26 cm

FIGURA 17–10 Ejemplo 17-6.

Q2 = +50 mC

(Véase también el ejemplo 16-9 y la figura 16-28).

x

Q1 = -50 mC

EJEMPLO 17–6 Potencial sobre dos cargas. Calcule el potencial eléctrico a) en el punto A de la figura 17-10 debido a las dos cargas que se muestran, y b) en el punto B. [Ésta es la misma situación que el ejemplo 16-9, figura 16-28, donde se calculó el campo eléctrico en dichos puntos]. P R E C A U C I Ó N

El potencial es un escalar y no tiene componentes.

PLANTEAMIENTO El potencial total en el punto A (o en el punto B) es la suma de los potenciales en ese punto debido a cada una de las cargas Q1 y Q2. El potencial debido a cada carga sola está dado por la ecuación 17-5. Uno no tiene que preocuparse por las direcciones, pues el potencial eléctrico es una cantidad escalar. Pero sí hay que seguir el rastro de los signos de las cargas. SOLUCIÓN a) Se suman los potenciales en el punto A debido a cada carga Q1 y Q2, y se utiliza la ecuación 17-5 para cada una:

VA = VA2 + VA1 Q1 Q2 + k = k r2A r1A donde r1A
60 cm y r2A
30 cm. Entonces

VA =

A9.0 * 109 N m2
C 2 BA5.0 * 10–5 CB

0.30 m A9.0 * 10 N m2
C 2 B A –5.0 * 10–5 CB 9

±

0.60 m = 1.50 * 10 V - 0.75 * 106 V = 7.5 * 105 V. 6

b) En el punto B, r1B = r2B = 0.40 m, de modo que

VB = VB2 + VB1 =

A9.0 * 109 N m2
C 2 BA5.0 * 10–5 CB ±

0.40 m A9.0 * 109 N m2
C 2 B A –5.0 * 10–5 CB 0.40 m

= 0 V. NOTA Los dos términos en la suma en b) se cancelan para cualquier punto equidistante de Q1 y Q2 (r1B
r2B). En consecuencia, el potencial será cero en todas partes en el plano equidistante entre las dos cargas. Este plano es una superficie equipotencial con V
0. Simples sumas como éstas se pueden realizar fácilmente para cualquier número de cargas puntuales.

478

CAPÍTULO 17

Potencial eléctrico

www.elsolucionario.org EJEMPLO CONCEPTUAL 17–7 Energías potenciales. Considere los tres pares de cargas, Q1 y Q2, en la figura 17-11. a) ¿Cuál conjunto tiene una energía potencial positiva? b) ¿Cuál conjunto tiene la energía potencial más negativa? c) ¿Cuál conjunto requiere más trabajo para separar las cargas hasta el infinito? Suponga que todas las cargas tienen la misma magnitud. RESPUESTA La energía potencial es igual al trabajo requerido para acercar las dos cargas una a la otra partiendo de una gran distancia (q). Suponga que la carga izquierda () ya está ahí. Para acercar la segunda carga hasta la primera desde una gran distancia (q) se requiere trabajo

Q1 Q2 W = Q2Vba = k r donde r es la distancia final entre ellas. Por tanto, la energía potencial de las dos cargas es Q1 Q2 . ep = k r

–

+

i) –

+

ii) +

+

iii) FIGURA 17–11 Ejemplo 17-7.

a) El conjunto iii) tiene una energía potencial positiva porque las cargas tienen el mismo signo. b) El conjunto i) tiene la energía potencial más negativa porque las cargas son de signo opuesto y su separación es menor que la del conjunto ii). Esto es, r es menor para i). c) El conjunto i) requerirá más trabajo para separarlo al infinito. Cuanto más negativa sea la energía potencial, más trabajo se requiere para separar las cargas y llevar la EP a cero (r
q). P

17–6 Potencial debido a un dipolo eléctrico; * momento de dipolo

FIGURA 17–12

Dos cargas puntuales iguales Q, de signo opuesto, separadas por una distancia l, se llaman dipolo eléctrico. En la figura 17-7 se muestran las líneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales para un dipolo. Puesto que los dipolos eléctricos ocurren con frecuencia en la física, al igual que en otros campos como la biología molecular, es útil examinarlos con detenimiento. El potencial eléctrico en un punto arbitrario P debido a un dipolo (figura 17-12) es la suma de los potenciales debidos a cada una de las dos cargas:

V =

k(–Q) kQ 1 1 ¢r , + = kQ a b = kQ r r r + ¢r r + ¢r r(r + ¢r)

donde r es la distancia desde P hasta la carga positiva y r  ¢r es la distancia hasta la carga negativa. Esta ecuación se simplifica si se consideran puntos P cuya distancia desde el dipolo es mucho mayor que la separación de las dos cargas; es decir, para r W l. A partir del diagrama se ve que ¢r L l cos u; dado que r W ¢r = l cos u, se puede ignorar ¢r en el denominador en comparación con r. Entonces se obtiene

V L

kQl cos u . r2

[dipolo; r W l]

(17–6a)

Se ve que el potencial disminuye como el cuadrado de la distancia desde el dipolo, mientras que, para una sola carga puntual, el potencial disminuye con la primera potencia de la distancia (ecuación 17-5). No es sorprendente que el potencial se reduzca más rápido para un dipolo, porque, cuando uno se aleja del dipolo, las dos cargas iguales pero opuestas aparecen tan juntas que tienden a neutralizarse una a la otra. El producto Ql en la ecuación 17-6a se conoce como momento de dipolo, p, del dipolo. La ecuación 17-6a, en términos del momento de dipolo, es

V L

Dipolo eléctrico. Cálculo de potencial V en el punto P.

kp cos u r2

.

[dipolo; r W l]

r

∆r -Q

u

r

+Q

l Potencial lejos de un dipolo

Momento de dipolo p
QL

(17–6b)

Un momento de dipolo tiene unidades de coulomb-metros (Cm), aunque, para las moléculas, a veces se usa una unidad más pequeña llamada debye: 1 debye
3.33  1030 Cm. *SECCIÓN 17–6

Potencial debido a un dipolo eléctrico; momento de dipolo

479

F Í S I C A

A P L I C A D A

Dipolos en biología molecular TABLA 17–2 Momentos de dipolo de moléculas seleccionadas Molécula

Momento de dipolo (C  m)

H 2(±)O(–) H (±)Cl(–) N (–)H 3(±) »N (–) ¬ H (±) »C (±) “ O(–)

6.1 3.4 5.0 L 3.0 L 8.0

* * * * *

10–30 10–30 10–30 10–30 ‡ 10–30 ‡

‡

Estos últimos dos grupos aparecen con frecuencia en moléculas grandes; así que el valor para el momento de dipolo variará un poco, dependiendo del resto de la molécula.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Usos de los capacitores

En muchas moléculas, aun cuando sean eléctricamente neutras, los electrones pasan más tiempo en la vecindad de un átomo que en otro, lo cual da como resultado una separación de carga. Tales moléculas tienen un momento de dipolo y se llaman moléculas polares. Ya se vio que el agua (figura 16-4) es una molécula polar, y se han encontrado otras en la exposición referente a la biología molecular (sección 16-11). La tabla 17-2 proporciona los momentos de dipolo para varias moléculas. Los signos  y  indican en qué átomos se encuentran estas cargas. Las últimas dos entradas son parte de muchas moléculas orgánicas y juegan un importante papel en la biología molecular.

17–7 Capacitancia Un capacitor es un dispositivo capaz de almacenar carga eléctrica, y consiste en dos objetos conductores (generalmente placas u hojas) colocados uno cerca de otro, pero sin que estén en contacto. Los capacitores se usan ampliamente en los circuitos electrónicos. Almacenan carga que posteriormente se puede liberar, como en los flashes de las cámaras, y como respaldo de energía en las computadoras para cuando falla la potencia. Los capacitores bloquean los excesos de carga y energía para proteger los circuitos. Capacitores muy pequeños sirven como memoria para los “unos” y “ceros” del código binario en la memoria de acceso aleatorio (RAM) de las computadoras. Los capacitores también tienen muchas otras aplicaciones, algunas de las cuales se analizarán a continuación.

Aislador FIGURA 17–13 Diagramas de capacitores a) de placa paralela, b) cilíndricos (de placa paralela enrollada). c) Fotografía de algunos capacitores reales.

A

a)

d

b)

c)

Un capacitor simple consiste en un par de placas paralelas de área A separados por una pequeña distancia d (figura 17-13a). Con frecuencia, las dos placas están enrolladas en la forma de un cilindro con papel u otro aislador para separar las placas (figura 17-13b); la figura 17-13c es una fotografía de algunos capacitores reales utiliFIGURA 17–14 a) Capacitor de placas zados para varias aplicaciones. En un diagrama, el símbolo paralelas conectado a una batería. b) Mismo circuito mostrado con símbolos.

representa un capacitor. Otro símbolo para capacitor que se utiliza a menudo es Una batería, que es una fuente de voltaje, está indicada mediante el símbolo.


Q Q +

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

[símbolo de capacitor]

C

12 V





a)

b)

V




CAPÍTULO 17

[símbolo de batería]

con brazos desiguales. Si a través de un capacitor se aplica un voltaje conectando el capacitor a una batería con alambres conductores, como en la figura 17-14, las dos placas rápidamente quedan cargadas: una placa adquiere carga negativa, la otra una cantidad igual de carga positiva. Cada terminal de batería y la placa del capacitor conectado a ella están al mismo potencial; en consecuencia, todo el voltaje de la batería aparece a través del capacitor. Para un capacitor dado, la cantidad de carga Q que adquiere cada placa es proporcional a la magnitud de la diferencia de potencial V entre ellas:

Capacitancia

480

.

Potencial eléctrico

Q = CV.

(17–7)

La constante de proporcionalidad, C, en la ecuación 17-7 se llama capacitancia del capacitor. La unidad de capacitancia es coulomb por volt, y a esta unidad se le llama farad (F). Los capacitores comunes tienen capacitancia en el rango de 1 pF (picofarad
1012 F) a 103 mF (microfarad
106 F). Fue Volta quien sugirió por primera vez la relación expresada en la ecuación 17-7. A partir de ahora, se usará simplemente V (en itálica) para representar una diferencia de potencial, como el producido por una batería, en lugar de Vba o Vb  Va que se utilizó antes. (Asegúrese de no confundir las V y C itálicas, que representan voltaje y capacitancia, con las V y C no itálicas, que representan las unidades volt y coulomb). La capacitancia C en general no depende de Q ni de V. Su valor depende sólo del tamaño, forma y posición relativa de los dos conductores, y también del material que los separa. Para un capacitor de placas paralelas, cuyas placas tienen área A y están separadas una distancia d de aire (figura 17-13a), la capacitancia está dada por

Unidad de capacitancia: farad (1 F
1 C/V)

P R E C A U C I Ó N

V
diferencia de potencial de aquí en adelante La capacitancia sólo depende de características físicas del capacitor, no de Q o V.

A. [capacitor de placas paralelas] (17–8) d Se ve que C sólo depende de factores geométricos, A y D, y no de Q o V. Esta útil relación se deducirá en la sección opcional de la página siguiente. La constante  0 es la permitividad del espacio libre, que, como se vio en el capítulo 16, tiene el valor 8.85 * 10 –12 C 2
N  m 2. C = 0

EJEMPLO 17–8 Cálculos de capacitor. a) Calcule la capacitancia de un capacitor de placas paralelas cuyas placas miden 20 cm  3.0 cm y están separadas por un brecha de aire de 1.0 mm. b) ¿Cuál es la carga en cada placa si a través de las dos placas se conecta una batería de 12 V? c) ¿Cuál es el campo eléctrico entre las placas? d) Estime el área de las placas que se necesita para lograr una capacitancia de 1 F, dada la misma brecha de aire d. PLANTEAMIENTO La capacitancia se encuentra mediante la ecuación 17-8, C
 0 A/d. La carga en cada placa se obtiene a partir de la definición de capacitancia, es decir, Q
CV (ecuación 17-7). El campo eléctrico es uniforme, así que se puede usar la ecuación 17-4b para la magnitud E
V/d. En d) se usa de nuevo la ecuación 17-8. SOLUCIÓN (a) El área A = A20 * 10 –2 mB A3.0 * 10 –2 mB
6.0 * 10 –3 m2 Entonces, la capacitancia C es

A 6.0 * 10–3 m2 = A8.85 * 10–12 C 2
N m2 B = 53 pF. d 1.0 * 10–3 m b) La carga en cada placa es C = 0

Q = CV = A53 * 10–12 FB(12 V) = 6.4 * 10–10 C.

c) A partir de la ecuación 17-4b para un campo eléctrico uniforme, la magnitud de E es

12 V V = = 1.2 * 104 V
m. d 1.0 * 10–3 m d) En la ecuación 17-8 se resuelve para A y se sustituye C
1.0 F y d
1.0 mm para encontrar que se necesitan placas con una área E =

A =

(1 F)A1.0 * 10–3 mB Cd L L 108 m2. 0 A9 * 10–12 C 2
N  m2 B

NOTA Ésta es el área de un cuadrado de 104 m o 10 km por lado. ¡Éste es el tamaño de una ciudad como San Francisco o Boston! Los capacitores con gran capacitancia no serán simples placas paralelas. No hace mucho tiempo, una capacitancia mayor que 1 mF era inusual. En la actualidad, hay capacitores disponibles en 1 o 2 F, aunque sólo tienen unos cuantos cm de lado. Tales capacitores se usan como respaldos de potencia, por ejemplo, en memorias de computadoras y otros aparatos electrónicos, donde el tiempo y la fecha se pueden conservar a través de pequeños flujos de carga. Tales capacitores de alta ca-

F Í S I C A

A P L I C A D A

El capacitor como respaldo de potencia SECCIÓN 17–7

Capacitancia

481

www.elsolucionario.org Capacitancia muy alta

F Í S I C A

A P L I C A D A

Teclas de computadora

Tecla Placa móvil Aislador (flexible)

Capacitor

pacitancia se fabrican con carbón “activado” que tiene muy alta porosidad, de modo que el área superficie es muy grande; un décimo de un gramo de carbón activado puede tener una área superficial de 100 m2. Más aún, las cargas iguales y opuestas pueden existir en una “doble capa” eléctrica de sólo 109 m de grosor. Un tipo de teclado de computadora opera mediante capacitancia. Como se muestra en la figura 17-15, cada tecla está conectada a la placa superior de un capacitor. La placa superior baja cuando se oprime la tecla, lo que reduce el espacio entre las placas del capacitor y aumenta la capacitancia (ecuación 17-8: d más pequeña, C más grande). El cambio en la capacitancia se convierte en señal eléctrica que detecta un circuito electrónico. EJERCICIO C Dos placas circulares de 5.0 cm de radio están separadas por una brecha de aire de 0.10 mm. ¿Cuál es la magnitud de la carga en cada placa cuando se conecta a una batería de 12 V?

* Determinación de la capacitancia para un capacitor de placas paralelas

Placa fija FIGURA 17–15 Tecla de una computadora. Al oprimir la tecla se reduce el espacio del capacitor y por tanto aumenta la capacitancia, que se puede detectar electrónicamente.

La ecuación 17-8 se deduce de manera directa con el resultado de la sección 16-10 acerca de la ley de Gauss, que indica que el campo eléctrico entre dos placas paralelas está dado por la ecuación 16-10:

E =

Q
A . 0

Al combinar esto con las magnitudes de la ecuación 17-4a, V
Ed, se obtiene

V = ¢

Q ≤ d. A 0

Entonces, a partir de la ecuación 17-7, la definición de capacitancia,

C =

Q Q A = = 0 V d AQ
A 0 Bd

que es la ecuación 17-8.

17–8 Dieléctricos

Constante dieléctrica

En la mayoría de los capacitores existe una hoja de material aislador, como papel o plástico, llamado dieléctrico entre las placas. Esto sirve a varios propósitos. Primero, los dieléctricos no se rompen tan fácilmente (permitiendo el flujo de carga eléctrica) como el aire, así que se pueden aplicar voltajes más altos sin que pase carga a través de la brecha. Más aún, un dieléctrico permite que las placas se coloquen más juntas sin tocarse, lo que permite una capacitancia aumentada dado que d es menor en la ecuación 17-8. En tercer lugar, experimentalmente se encuentra que, si el dieléctrico llena el espacio entre los dos conductores, aumenta la capacitancia por un factor K, conocido como la constante dieléctrica. En consecuencia, para un capacitor de placas paralelas,

C = K 0

Capacitor de placas paralelas con dieléctrico

A. d

(17–9)

Esto se puede escribir como

C =  donde

A, d

 = K 0

se llama la permitividad del material. En la tabla 17-3 se proporcionan los valores de la constante dieléctrica de varios materiales. También en la tabla 17-3 se indica la rigidez dieléctrica, el máximo campo eléctrico antes de que ocurra el rompimiento (flujo de carga).

482

CAPÍTULO 17

Potencial eléctrico

EJEMPLO CONCEPTUAL 17–9 Inserción de un dieléctrico a V constante. Un capacitor lleno con aire que consta de dos placas paralelas separadas una distancia d se conecta a una batería de voltaje V y adquiere una carga Q. Mientras todavía está conectado a la batería, entre las placas del capacitor se inserta una lámina de material dieléctrico con K
3. ¿Q aumentará, disminuirá o permanecerá constante?

TABLA 17–3 Constantes dieléctricas (a 20°C)

RESPUESTA Como el capacitor permanece conectado a la batería, el voltaje permanece constante e igual al voltaje V de la batería. La capacitancia C aumenta cuando el material dieléctrico se inserta, pues K en la ecuación 17-9 ha aumentado. A partir de la relación Q
CV, si V permanece constante, pero C aumenta, Q debe aumentar también. Conforme se inserta el dieléctrico, más carga se jala de la batería y se deposita en las placas del capacitor conforme su capacitancia aumenta.

3 10 24 50 15 8 12 14

EJERCICIO D Si el dieléctrico en el ejemplo 17-9 llena el espacio entre las placas, ¿en qué factor a) cambia la capacitancia, b) cambia la carga en cada placa?

EJEMPLO CONCEPTUAL 17–10 Inserción de un dieléctrico en un capacitor aislado. Suponga que el capacitor lleno con aire del ejemplo 17-9 se carga (a Q) y luego se desconecta de la batería. A continuación se inserta un dieléctrico entre las placas. ¿Cambiará Q, C o V? RESPUESTA La carga Q permanece igual: el capacitor está aislado, de modo que no hay ningún lugar adonde vaya la carga. La capacitancia aumenta como resultado de insertar el dieléctrico (ecuación 17-9). El voltaje a través del capacitor también cambia: disminuye pues, por la ecuación 17-7, Q
CV, de modo que V
Q/C; si Q permanece constante y C aumenta (está en el denominador), entonces V disminuye.

* Descripción molecular de los dieléctricos A continuación se examinará, desde el punto de vista molecular, por qué la capacitancia de un capacitor debe ser mayor cuando un dieléctrico está entre las placas. Un capacitor cuyas placas están separadas por una brecha de aire tiene una carga Q en una placa y Q en la otra (figura 17-16a). Supongamos que está aislado (no conectado a una batería), así que no puede fluir carga hacia o desde las placas. La diferencia de potencial entre las placas, V0, está dada por la ecuación 17-7:

Q = C0 V0 , donde los subíndices se refieren al aire entre las placas. Ahora se inserta un dieléctrico entre las placas (figura 17-16b). En virtud del campo eléctrico entre las placas del capacitor, las moléculas dieléctricas tenderán a orientarse como se muestra en la figura 17-16b. Si las moléculas dieléctricas son polares, el extremo positivo será atraído hacia la placa negativa y viceversa. Incluso si las moléculas dieléctricas no son polares, los electrones dentro de ellas tenderán a moverse ligeramente hacia la placa positiva del capacitor, de modo que el efecto será el mismo. El efecto neto de los dipolos alineados es una carga negativa neta en el borde exterior del dieléctrico que da frente a la placa positiva, y una carga positiva neta en el lado opuesto, como se representa en la figura 17-16c. Entonces, algunas de las líneas de campo eléctrico no pasan a través del dieléctrico sino, en vez de ello, terminan en cargas inducidas en la superficie del dieléctrico, como se ilustra en la figura 17-16c. En consecuencia, el campo eléctrico dentro del dieléctrico es menor que en el aire. Esto es, el campo eléctrico entre las placas del capacitor, que se supone lleno por el dieléctrico, se ha reducido por algún factor K. El voltaje a través del capacitor se reduce por el mismo factor K porque V
Ed (ecuación 17-4) y, en consecuencia, por la ecuación 17-7, Q
CV, la capacitancia C debe aumentar por ese mismo factor K para mantener constante Q.

Constante Rigidez dieléctrica dieléctrica K (V m)

Material Vacío Aire (1 atm) Parafina Poliestireno

1.0000 1.0006 2.2 2.6

Vinil (plástico) Papel Cuarzo Petróleo Vidrio, Pyrex

2–4 3.7 4.3 4 5

Hule, neopreno Porcelana Mica

6.7 6–8 7

* * * * * * * *

106 106 106 106 106 106 106 106

12 * 106 5 * 106 150 * 106

Agua (líquida) 80 Titanato de estroncio

8 * 106

300

FIGURA 17–16 Vista molecular de los efectos de un dieléctrico.
Q

Q

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

a) +

- + - + - +

-

+

- + - + - +

-

+

- + - + - +

-

+

- + - + - +

-

+

- + - + - +

-

+

- + - + - +

-

+

- + - + - +

-

b) + +

-

+

-

+

+ +

-

+ +

-

-

+

-

+

-

E0

E0 c) SECCIÓN 17–8

Dieléctricos

483

17–9 Almacenamiento de energía eléctrica Un capacitor cargado almacena energía eléctrica al separar las cargas  y . La energía almacenada en un capacitor será igual al trabajo realizado para cargarlo. El efecto neto de cargar un capacitor es remover carga de una placa y sumarla a la otra placa. Esto es lo que hace una batería cuando se conecta a un capacitor. Inicialmente, cuando el capacitor no está cargado, no se requiere trabajo para mover el primer fragmento de carga por él. Conforme se transfiere más carga, se necesita trabajo para mover carga contra el voltaje creciente V. El trabajo necesario para sumar una pequeña cantidad de carga ¢q, cuando a través de las placas hay una diferencia de potencial V, es ¢W = V ¢q. El trabajo neto necesario para mover la carga total Q es equivalente a mover toda la carga Q a través de un voltaje igual al voltaje promedio durante el proceso. (Esto es igual que calcular el trabajo realizado para comprimir un resorte, sección 6-4, página 147). El voltaje promedio es AVf - 0B
2 = Vf
2, donde Vf es el voltaje final; así que el trabajo para mover la carga total Q de una placa a la otra es

W = Q

Vf . 2

En consecuencia, se puede decir que la energía potencial eléctrica, EP, almacenada en un capacitor es

ep = energía = 12 QV, donde V es la diferencia de potencial entre las placas (se eliminaron los subíndices) y Q es la carga en cada placa. Como Q
CV, también se puede escribir

ep = 12 QV = 12 CV 2 =

Energía almacenada en un capacitor

F Í S I C A

A P L I C A D A

Flash de cámara

1 2

Q2 . C

(17–10)

EJEMPLO 17–11 Energía almacenada en un capacitor. Una unidad de flash de cámara (figura 17-17) almacena energía en un capacitor de 150 mF a 200 V. ¿Cuánta energía eléctrica puede almacenar? PLANTEAMIENTO Se emplea la ecuación 17-10 en la forma ep = 12 CV 2 puesto que se proporcionan C y V. SOLUCIÓN La energía almacenada es

ep = 12 CV 2 = 12 A150 * 10–6 FB(200 V)2 = 3.0 J. NOTA Si esta energía se pudiera liberar en potencia sería equivalente a 3000 W.

1 1000

de segundo (103 s), la salida de

FIGURA 17–17 Unidad de flash de cámara.

EJERCICIO E Un capacitor almacena 0.50 J de energía a 9.0 V. ¿Cuál es su capacitancia?

EJEMPLO CONCEPTUAL 17–12 Aumento en la separación de las placas de un capacitor. Un capacitor de placas paralelas porta carga Q y entonces se desconecta de una batería. Las dos placas inicialmente están separadas una distancia d. Suponga que las placas se separan hasta la distancia 2d. ¿Cómo cambia la energía almacenada en este capacitor? RESPUESTA Si se aumenta la separación de placa d, la capacitancia disminuye de acuerdo con la ecuación 17-8, C =  0 A
d, por un factor de 2. La carga Q no cambia. Así que la C reducida significa que la EP almacenada aumenta por un factor de 2, de acuerdo con la ecuación 17-10, donde se elige la forma ep = 12 Q 2
C pues se sabe que Q es la misma y C se ha reducido a la mitad. NOTA Desde un punto de vista físico se puede ver por qué la energía almacenada aumenta: las dos placas tienen cargas iguales pero con signo opuesto, así que se atraen. Si se les separa, se realiza trabajo, por lo que su energía potencial se eleva.

484

CAPÍTULO 17

Potencial eléctrico

www.elsolucionario.org Resulta útil pensar en la energía almacenada en un capacitor como si estuviese almacenada en el campo eléctrico entre las placas. A modo de ejemplo, calculemos la energía almacenada en un capacitor de placas paralelas en términos del campo eléctrico. B Se ha visto que el campo eléctrico E entre dos placas paralelas cerradas es casi uniforme y su magnitud está relacionada con la diferencia de potencial mediante V
Ed (ecuación 17-4), donde d es la separación. Además, la ecuación 17-8 dice que C =  0 A
d para un capacitor de placas paralelas. Por tanto

1 0 A 1 ≤ AE 2d2 B ep = 2 CV 2 = ¢ 2 d = 12  0 E 2Ad. La cantidad Ad es el volumen entre las placas en las que existe el campo eléctrico E. Si ambos lados de esta ecuación se dividen por el volumen, se obtiene una expresión para la energía por unidad de volumen o densidad de energía: ep = 12  0 E 2. densidad de energía = (17–11) volumen La energía eléctrica almacenada por unidad de volumen en cualquier región del espacio es proporcional al cuadrado del campo eléctrico en esa región. La ecuación 17-11 se dedujo para el caso especial de un capacitor de placas paralelas. Pero se puede demostrar que es cierta para cualquier región del espacio donde exista un campo eléctrico. De hecho, este resultado se usará cuando se analice la radiación electromagnética (capítulo 22).

Energía almacenada por unidad de volumen en un campo eléctrico

F Í S I C A

Efectos en la salud La energía almacenada en una gran capacitancia puede provocar daños, al producir quemaduras o un choque eléctrico. Una razón por la que se advierte que no hay que tocar un circuito, o el interior de un dispositivo electrónico, es porque los capacitores todavía pueden portar carga incluso si la potencia externa está desconectada. Por otra parte, la base de un defibrilador cardiaco es un capacitor cargado a un alto voltaje. Un ataque cardiaco puede estar caracterizado por rápidos latidos irregulares del corazón, conocidos como fibrilación ventricular (o cardiaca). Entonces el corazón no bombea adecuadamente sangre al resto del cuerpo, y si esto se prolonga por mucho tiempo, puede provocar la muerte. Una breve sacudida súbita de carga al corazón, proveniente de un defibrilador, es capaz de provocar una completa detención cardiaca, en ocasiones seguida por una recuperación del latido normal. Por lo general, el capacitor defibrilador está cargado a un voltaje de unos cuantos miles de volts, y se le permite descargarse muy rápidamente a través el corazón mediante un par de contactos anchos, conocidos como “almohadillas”, que dispersan la corriente por el pecho (figura 17-18).

* 17–10 Tubo de rayos catódicos: monitores de televisión, computadoras y osciloscopio Un importante dispositivo que utiliza el voltaje, y que permite “visualizar” cómo cambia éste en el tiempo, es el tubo de rayos catódicos (TRC, o CRT, por sus siglas en inglés). Un TRC usado de esta forma es un osciloscopio. El TRC también se ha utilizado durante muchos años como el cinescopio de los aparatos de televisión y los monitores de computadora, aunque las pantallas de cristal líquido (LCD) y algunas otras están proliferando en la actualidad. La operación de un TRC depende del fenómeno de la emisión termoiónica, descubierta por Thomas Edison (1847-1931). Considere dos pequeñas placas (electrodos) dentro de un “bulbo” o “tubo” al vacío, como el que se aprecia en la figura 17-19, al cual se aplica una diferencia de potencial. El electrodo negativo se llama cátodo, y el positivo ánodo. Si se calienta el cátodo negativo (generalmente mediante una corriente eléctrica, como en la bombilla eléctrica) de modo que, además de calentarse, brille, la carga negativa dejará el cátodo y fluirá hacia el ánodo positivo. Tales cargas negativas ahora se llaman electrones, pero originalmente se llamaron rayos catódicos pues parecían provenir del cátodo. *SECCIÓN 17–10

A P L I C A D A

Hay que evitar un choque eléctrico o una quemadura. Defibrilador cardiaco

FIGURA 17–18 Defibrilador cardiaco. FIGURA 17–19 Si el cátodo dentro del tubo de vidrio al vacío se calienta hasta brillar (mediante una corriente eléctrica, que no se muestra), los “rayos catódicos” (electrones) cargados negativamente “hierven” y fluyen hacia el ánodo (), hacia el que son atraídos. Cátodo

Ánodo –– ––

+ + + +

– +

Batería

Tubo de rayos catódicos: monitores de televisión, computadoras y osciloscopio

485

Cátodo Tubo de rayos catódicos. Con frecuencia se usan Corriente bobinas de desviación magnética en calefactora lugar de las placas de desviación eléctricas que se muestran aquí. Se han exagerado las posiciones relativas Rejilla de los elementos para brindar mayor claridad.

FIGURA 17–20

Ánodo

Pantalla fluorescente Placas de desviación vertical

F Í S I C A

A P L I C A D A TRC

FIGURA 17–21 Haz de electrones que barre una pantalla de televisión en una sucesión de líneas horizontales. Cada barrido horizontal se realiza al variar el voltaje en las placas de desviación horizontales. Entonces el haz de electrones se mueve hacia abajo una corta distancia por medio de un cambio en el voltaje sobre las placas de desviación verticales, y el proceso se repite. F Í S I C A

A P L I C A D A

Monitores de TV y de computadoras

F Í S I C A

A P L I C A D A

Osciloscopio

CAPÍTULO 17

Trayectoria de los electrones

El tubo de rayos catódicos (TRC) deriva su nombre del hecho de que, en el interior de un tubo de vidrio al vacío, un haz de rayos catódicos (electrones) se dirige hacia varias partes de una pantalla para producir una “imagen”. La figura 17-20 es un diagrama de un TRC simple. Los electrones emitidos por el cátodo calentado se aceleran mediante un alto voltaje (5000-50,000 V) aplicado entre el ánodo y el cátodo. Los electrones salen de este “cañón de electrones” a través de un pequeño agujero en el ánodo. El interior de la cara del tubo está recubierto con un material fluorescente que brilla cuando es golpeado por los electrones. Entonces es visible un pequeño punto brillante donde el haz de electrones golpea la pantalla. Dos placas horizontales y dos verticales pueden desviar el haz de electrones cuando se les aplica un voltaje. Los electrones se desvían hacia cualquier placa que sea positiva. Al variar el voltaje en las placas de desviación, el punto brillante se puede colocar en cualquier lugar de la pantalla. Muchos TRC utilizan bobinas magnéticas de desviación (capítulo 20) en lugar de placas eléctricas. En el cinescopio de un televisor o en el monitor de una computadora, se hace que el haz de electrones barra la pantalla en la forma que se indica en la figura 17-21, cambiando los voltajes que se aplican a las placas de desviación. Para la televisión 1 s, soestándar en Estados Unidos, 525 líneas constituyen un barrido completo en 30 bre toda la pantalla. La televisión de alta definición proporciona más del doble de este número de líneas, lo que brinda mayor claridad de imagen. Una imagen se ve porque se retiene en la pantalla fluorescente y en los ojos durante aproximadamen1 s. La imagen que uno ve consiste en puntos de brillantez variada sobre la pantalla, te 20 controlados por la rejilla (un electrodo “poroso”, como una rejilla de alambre, que permite el paso de los electrones). La rejilla limita el flujo de electrones mediante el voltaje (la “señal de video”) que se le aplica: cuanto más negativo sea este voltaje, más electrones se repelen y menos pasan a través de la rejilla. Esta señal de video enviada por la estación de televisión, y recibida por el aparato doméstico, está acompañada con señales que sincronizan el voltaje de la rejilla para los barridos horizontales y verticales. Un osciloscopio es un dispositivo para amplificar, medir y visualizar una señal eléctrica (una “señal” generalmente es un voltaje variable en el tiempo) en la pantalla de un TRC. El haz de electrones se barre horizontalmente a una tasa uniforme en el tiempo mediante las placas de desviación horizontales. La señal que se mostrará se aplica (después de su amplificación) a las placas de desviación verticales. La “traza” visible en la pantalla, que podría ser un electrocardiograma (figura 17-22) o una señal de un experimento acerca de la conducción nerviosa, es una gráfica de la señal de voltaje (vertical) frente al tiempo (horizontal).

FIGURA 17–22 Traza de electrocardiograma (ECG) mostrado en un TRC.

486

Punto brillante sobre la pantalla, donde golpean los electrones

Placas de desviación horizontal

Potencial eléctrico

* 17–11 El electrocardiograma (ECG) Cada vez que el corazón late, sobre su superficie ocurren cambios en el potencial eléctrico susceptibles de detectarse con el uso de contactos metálicos, llamados “electrodos”, unidos a la piel. Los cambios en el potencial son pequeños, del orden de milivolts (mV), por lo que hay que amplificarlos. Se registran en una gráfica que se imprime en papel, o que se despliega en un monitor (TRC), como en la figura 17-22. Un electrocardiograma (ECG) es el registro de los cambios de potencial para el corazón de una persona. En la figura 17-23 se presenta un ejemplo. El instrumento mismo se llama electrocardiógrafo. Por el momento no nos interesa la electrónica, sino la fuente de estos cambios de potencial y su relación con la actividad cardiaca.

Voltaje

Q

A P L I C A D A

FIGURA 17–23 ECG típico. Se registran dos latidos cardiacos.

R P

F Í S I C A

Electrocardiograma

T Tiempo S

Tanto las células del músculo como las nerviosas tienen una capa de dipolo a FIGURA 17–24 Célula de músculo través de la pared celular. Es decir, en la situación normal, existe una carga positiva cardiaco que muestra a) la capa de neta en la superficie exterior y una carga negativa neta en la superficie interior, co- dipolo de carga en estado de reposo; b) depolarización de una célula que mo se observa en la figura 17-24a. La cantidad de carga depende del tamaño de la progresa conforme el músculo comienza 3 2 célula, pero es aproximadamente de 10 C/m de superficie. Para una célula cuya a contraerse; y c) potencial V en los 5 2 8 área superficial es de 10 m , la carga total en cualquier superficie es L 10 C. Jus- puntos P y P¿ como función del tiempo. to antes de la contracción de los músculos cardiacos ocurren cambios en la pared + +– –+ + celular, de modo que los iones positivos en el exterior de la célula son capaces de – + +– – – pasar a través de la pared y neutralizar a los que están en el interior, o incluso hacen +– –+ la superficie interior ligeramente positiva en comparación con el exterior, como se –+ + – P P' muestra en la figura 17-24b. Esta “depolarización” comienza en un extremo de la cé– – + + – – lula y progresa hacia el extremo opuesto, como se indica mediante la flecha, hasta + +– –+ + a) que todo el músculo es depolarizado; entonces el músculo se repolariza a su estado original (figura 17-24a), todo en menos de un segundo. La figura 17-24c muestra gráficas del potencial V como función del tiempo en los dos puntos P y P’ (en cual– +– –+ + – + quier lado de esta célula) conforme la depolarización se realiza a través de la célula. – + – + La trayectoria de depolarización dentro del corazón como un todo es más complica– + –+ da y produce la compleja diferencia de potencial como función del tiempo de la fi- P –+ – + P' –+ gura 17-23. –+ + – – +– –+ + b) Dividir un electrocardiograma típico en regiones que corresponden a las diversas desviaciones (u “ondas”) es un procedimiento habitual, como se muestra en la figura 17-23. Cada una de las desviaciones corresponde a la actividad de una parte específica del latido cardiaco (figura 10-42). La onda P corresponde a la contracción de V En el punto V las aurículas. El grupo QRS corresponde a la contracción de los ventrículos conforP t t me la depolarización sigue una ruta muy complicada. La onda T corresponde a la En el punto recuperación (repolarización) del corazón en preparación para el ciclo siguiente. P' Los electrocardiogramas utilizan tres electrodos básicos, uno colocado a cada c) lado del corazón y otro en el pie izquierdo. A veces se colocan seis electrodos adicionales en otras ubicaciones. La medición de tantas diferencias de potencial proporciona información adicional (alguna redundante), ya que el corazón es un órgano tridimensional y la deporalización tiene lugar en las tres dimensiones. Un electrocardiograma completo puede incluir hasta 12 gráficos. El ECG es una poderosa herramienta en la identificación de anomalías cardiacas. Por ejemplo, el lado derecho del corazón se agranda si el ventrículo derecho debe empujar contra una carga anormalmente grande (como cuando los vasos sanguíneos se endurecen u obstruyen). Este problema se observa fácilmente en un ECG, pues las ondas S se vuelven muy largas (negativamente). Los infartos, que son regiones muertas del músculo del corazón como resultado de ataques cardiacos, también se detectan en un ECG pues reflejan la onda de depolarización. *SECCIÓN 17–11

El electrocardiograma (ECG)

487

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Resumen El potencial eléctrico V en cualquier punto en el espacio se define como la energía potencial eléctrica por unidad de carga:

epa . q

Va =

(17–2a)

La diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos cualesquiera se define como el trabajo realizado para mover una carga eléctrica de 1 C entre los dos puntos. La diferencia de potencial se mide en volts (1 V
1 J/C) y se denomina voltaje. El cambio en la energía potencial cuando una carga q se mueve a través de una diferencia de potencial Vba es

¢ep = qVba .

(17–3)

La diferencia de potencial Vba entre dos puntos a y b donde existe un campo eléctrico uniforme E está dada por

Vba = –Ed,

(17–4a)

donde d es la distancia ente los dos puntos. Una línea o superficie equipotencial está toda al mismo potencial y es perpendicular al campo eléctrico en todos los puntos. El potencial eléctrico en una posición P debida a una sola carga puntual Q, relativa al potencial cero en el infinito, está dada por

V =

kQ , r

(17–5)

donde r es la distancia desde Q hasta la posición P. [*El potencial debido a un dipolo eléctrico disminuye como 1/r 2. El momento de dipolo es p
Ql, donde l es la distancia entre las dos cargas iguales y opuestas de magnitud Q.] Un capacitor es un dispositivo que se utiliza para almacenar carga (y energía eléctrica) y consiste en dos conductores que no se tocan. Los dos conductores pueden soportar cargas iguales y opuestas de magnitud Q; la razón entre esta carga y la diferencia de potencial V entre los conductores se llama capacitancia, C:

C =

Q , o Q = CV. V

(17–7)

La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de cada placa e inversamente proporcional a su separación:

C = 0

A. d

(17–8)

El espacio entre los dos conductores de un capacitor contiene un material no conductor como el aire, papel o plástico; a tales materiales se les conoce como dieléctricos. La capacitancia es proporcional a una propiedad de los dieléctricos llamada constante dieléctrica, K (casi igual a 1 para el aire). Un capacitor cargado almacena una cantidad de energía eléctrica dada por

ep =

1 2

QV =

1 2

CV 2 =

1 2

Q2 . C

(17–10)

Esta energía se puede considerar como almacenada en el campo eléctrico entre las placas. La energía almacenada en cualquier campo eléctrico E tiene una densidad (energía por unidad de volumen) de ep = volumen

1 2

 0 E 2.

(17–11)

[*Los monitores televisión de computadora tradicionalmente usan un tubo de rayos catódicos (TRC, o CRT por sus siglas en inglés) que acelera los electrones por medio de un alto voltaje y los barre a través de la pantalla en una forma regular mediante placas de desviación]. [*Un electrocardiograma (ECG) registra los cambios de potencial en milivolts de cada latido cardiaco conforme las células se depolarizan y repolarizan, y muestra dichos cambios en la pantalla de un monitor o imprime la gráfica de los registros].

Preguntas 1. Si dos puntos están al mismo potencial, ¿esto significa que no se realiza trabajo al mover una carga de prueba de un punto a otro? ¿Esto implica que no se necesita ejercer fuerza? Explique su respuesta. 2. Si una carga negativa inicialmente está en reposo en un campo eléctrico, ¿se moverá hacia una región de mayor potencial o de menor potencial? ¿Y una carga positiva? ¿Cómo cambia la energía potencial de la carga en cada caso? 3. Establezca con claridad la diferencia a) entre potencial eléctrico y campo eléctrico, b) entre potencial eléctrico y energía potencial eléctrica. 4. Con una diferencia de potencial de 0.10 V, se acelera un electrón. ¿Cuál será su rapidez final si se le acelera con cuatro veces dicho voltaje? Explique su respuesta. 5. ¿Existe un punto a lo largo de la línea de unión de dos cargas positivas iguales donde el campo eléctrico sea cero? ¿Y donde el potencial eléctrico sea cero? Explique sus respuestas. 6. ¿Es posible que una partícula se mueva de una región de bajo potencial eléctrico a una de alto potencial y aún así disminuya su energía potencial eléctrica? Explique su respuesta. 7. Compare la energía cinética ganada por un protón (q
+e) con la energía ganada por una partícula alfa (q
+2e) acelerados por el mismo voltaje V.

488

CAPÍTULO 17

Potencial eléctrico

B

8. Si V
0 en un punto en el espacio, ¿ahí debe ser E = 0? Si B E = 0 en algún punto, ¿en dicho punto debe ser V
0? Explique sus respuestas. Proporcione ejemplos para cada uno. 9. ¿Dos líneas equipotenciales se pueden cruzar? Explique por qué sí o por qué no. 10. Dibuje unas cuantas líneas equipotenciales en la figura 16-31b.

* 11. ¿Qué puede decir acerca del campo eléctrico en una región del espacio que tiene el mismo potencial en toda ella? 12. Un satélite orbita la Tierra a lo largo de una línea equipotencial gravitacional. ¿De qué forma debe ser la órbita? 13. Cuando se trata con dispositivos prácticos, con frecuencia se toma la tierra (la Tierra) como 0 V. Si, en vez de ello, se dice que la tierra es de 10 V, ¿cómo afectaría esto a) al potencial V y b) al campo eléctrico E en otros puntos? 14. Cuando una batería se conecta a un capacitor, ¿por qué las dos placas adquieren cargas de la misma magnitud? ¿Esto será cierto si los dos conductores tienen diferentes tamaños o formas? 15. Se ha visto que la capacitancia C depende del tamaño, forma y posición de los dos conductores, así como de la constante dieléctrica K. Entonces, ¿qué se quiere dar a entender cuando se dice que C es una constante en la ecuación 17-7?

Problemas De la 17-1 a la 17-4 Potencial eléctrico 1. (I) ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico al mover una carga de 7.7 mC desde tierra a un punto cuyo potencial es 55 V mayor? 2. (I) ¿Cuánto trabajo realiza el campo eléctrico al mover un protón desde un punto con un potencial de 125 V hasta un punto donde es de 55 V? Exprese su respuesta tanto en joules como en electronvolts. 3. (I) ¿Cuánta energía cinética ganará un electrón (en joules y eV) si se acelera a través de una diferencia de potencial de 23,000 V en el cinescopio de un televisor?

18. (II) a) ¿Cuál es el potencial eléctrico a una distancia de 2.5  1015 m de un protón? b) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica de un sistema que consiste en dos protones separados 2.5  1015 m, como puede ocurrir dentro de un núcleo típico? 19. (II) Tres cargas puntuales están ordenadas en las esquinas de un cuadrado de lado L, como se muestra en la figura 17-25. ¿Cuál es el potencial en la cuarta esquina (punto A), si se toma V
0 a una gran distancia?

5. (I) ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico entre dos placas paralelas separadas 5.8 mm, si la diferencia de potencial entre ellas es de 220 V? 6. (I) Se desea un campo eléctrico de 640 V/m entre dos placas paralelas separadas 11.0 mm. ¿Qué voltaje debe aplicarse? 7. (I) El campo eléctrico entre dos placas paralelas conectadas a una batería de 45 V es de 1500 V/m. ¿Cuál es la distancia de separación entre las placas? 8. (I) ¿Qué diferencia de potencial se necesita para brindar al núcleo de helio (Q
2e) 65.0 keV de energía cinética?

L

+Q

4. (I) Un electrón adquiere 7.45  1016 J de energía cinética cuando un campo eléctrico lo acelera desde la placa A hacia la placa B. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas, y cuál placa tiene el potencial más alto?

-2Q

L

L

+3Q

FIGURA 17–25

A

L

Problema 19.

20. (II) Un electrón parte del reposo a 32.5 cm de una carga puntual fija con Q
0.125 mC. ¿A qué rapidez se moverá el electrón cuando esté muy lejos? 21. (II) Dos cargas puntuales idénticas de 9.5 mC inicialmente están separadas 3.5 cm. Si se liberan en el mismo instante desde el reposo, ¿a qué rapidez se moverá cada una de ellas cuando están muy lejos una de otra? Considere que tienen masas idénticas de 1.0 mg.

9. (II) Dos placas paralelas, conectadas a un suministro de potencia de 200 V, están separadas por una brecha de aire. ¿Qué tan pequeña puede ser la brecha si el aire no se debe volver conductor al superar su valor de rompimiento de E
3  106 V/m?

22. (II) Dos cargas puntuales, de 3.0 mC y 2.0 mC, se colocan separadas 5.0 cm sobre el eje x. ¿En qué puntos a lo largo del eje x a) el campo eléctrico es cero y b) el potencial es cero? Sea V
0 en r
q.

10. (II) El trabajo realizado por una fuerza externa para mover una carga de 8.50 mC desde el punto a hasta el punto b es de 15.0  104 J. Si la carga partiese del reposo y tuviese 4.82  104 J de energía cinética cuando alcance el punto b, ¿cuál debe ser la diferencia de potencial entre a y b?

23. (II) ¿Cuánto trabajo se debe realizar para acercar tres electrones desde una gran distancia de separación hasta 1.0  1010 m uno de otro (en las esquinas de un triángulo equilátero)?

11. (II) ¿Cuál es la rapidez de un electrón con una energía cinética de a) 750 eV y b) 3.2 keV? 12. (II) ¿Cuál es la rapidez de un protón cuya energía cinética es de 3.2 keV? 13. (II) En un decaimiento radiactivo se emite una partícula alfa (que es un núcleo de helio, Q
2e, m
6.64  1027 kg) con EC
5.53 MeV. ¿Cuál es su rapidez?

24. (II) Considere el punto a localizado a 72 cm al norte de una carga puntual de 3.8 mC, y el punto b que está 88 cm al oeste de la carga (figura 17-26). Determine a) Vba
Vb  Va y b) B B Eb - Ea (magnitud y dirección).

a 72 cm b

FIGURA 17–26

Q = –3.8 mC

88 cm

Problema 24.

17–5 Potencial debido a cargas puntuales 14. (I) ¿Cuál es el potencial eléctrico a 15.0 cm de una carga puntual de 4.00 mC? 15. (I) Una carga puntual Q crea un potencial eléctrico de 125 V a una distancia de 15 cm. ¿Cuál es Q? 16. (II) Una carga puntual de 35 mC se coloca a 32 cm de una carga idéntica de 35 mC. ¿Cuánto trabajo se requeriría para mover una carga de prueba de 0.50 mC desde un punto a la mitad entre ellas, a un punto 12 cm más cerca de cualquiera de las cargas? 17. (II) Dibuje un conductor en la forma de balón de fútbol americano. Este conductor porta una carga negativa neta Q. Dibuje una docena de líneas de campo eléctrico y dos líneas equipotenciales.

25. (III) ¿Cuánto voltaje se debe usar para acelerar un protón (1.2  1015 m de radio) de modo que tenga suficiente energía para apenas penetrar un núcleo de silicio? Un núcleo de silicio tiene una carga de 14e y su radio es de 3.6  1015 m. Suponga que el potencial es el de cargas puntuales. 26. (III) Dos cargas iguales y opuestas están separadas una distancia d, como se ilustra en la figura 17-27. Determine una fórmula para VBA
VB  VA para los puntos B y A en la línea entre las cargas.

d +q

b

A

B

b

-q

FIGURA 17–27 Problema 26.

Problemas

489

27. (III) En el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno, un electrón gira en torno a un protón (el núcleo) en una órbita circular de 0.53  1010 m de radio. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en la órbita del electrón debida al protón? b) ¿Cuál es la energía cinética del electrón? c) ¿Cuál es la energía total del electrón en su órbita? d) ¿Cuál es la energía de ionización; es decir, la energía que se requiere para remover al electrón del átomo y llevarlo a r
q, al reposo? Exprese los resultados de los incisos b, c y d en joules y eV.

* 17–6 Dipolos eléctricos * 28. (I) Un electrón y un protón están separados 0.53  1010 m. ¿Cuál es su momento de dipolo si están en reposo? * 29. (II) Calcule el potencial eléctrico debido a un dipolo cuyo momento de dipolo es de 4.8  1030 Cm en un punto a 1.1  109 m de distancia si este punto está a) a lo largo del eje del dipolo más cerca de la carga positiva; b) a 45° sobre el eje pero más cerca de la carga positiva; c) a 45° sobre el eje pero más cerca de la carga negativa. * 30. (III) El momento de dipolo, considerado como vector, apunta desde la carga negativa hacia la positiva. La molécula de B agua (figura 17-28) tiene un momento de dipolo p, que se puede considerar como la suma vectorial de los dos momenB B tos de dipolo, p1 y p2 , como se muestra. La distancia entre cada H y O es aproximadamente 0.96  1010 m. Las líneas que unen el centro del átomo O con cada átomo H forman un ángulo de 104°, como se ilustra, y el momento de dipolo neto mide p
6.1  1030 Cm. Determine la carga q en cada B p átomo H. 1

 O 

H


B p

104∞

H


FIGURA 17–28 Problema 30.

B p 2

39. (II) ¿Qué tan intenso es el campo eléctrico entre las placas de un capacitor de 0.80 mF con brecha de aire si están separadas 2.0 mm y cada una tiene una carga de 72 mC? 40. (III) Un capacitor de 7.7 mF es cargado por una batería de 125 V (figura 17-29a) y luego se desconecta de ella. Cuando este capacitor (C1) se conecta (figura 17-29b) a un segundo capacitor, C2, inicialmente no cargado, el voltaje final en cada capacitor es de 15 V. ¿Cuál es el valor de C2? [Sugerencia: La carga se conserva].

C1

C1

V

C2

FIGURA 17–29

a)

b)

Problemas 40 y 52.

41. (III) Un capacitor de 2.50 mF se carga a 857 V y un capacitor de 6.80 mF se carga a 652 V. Entonces estos capacitores se desconectan de sus baterías. A continuación las placas positivas se conectan una a otra y las placas negativas se conectan entre sí. ¿Cuál será la diferencia de potencial a través de cada una y la carga en cada una? [Sugerencia: La carga se conserva]. 17–8 Dieléctricos 42. (I) ¿Cuál es la capacitancia de dos placas paralelas cuadradas con 5.5 cm de lado, que están separadas por 1.8 mm de parafina? 43. (I) ¿Cuál es la capacitancia de un par de placas circulares con 5.0 cm de radio, separadas por 3.2 mm de mica? 44. (II) Un capacitor de 3500 pF con un espacio de aire está conectado a una batería de 22 V. Si se coloca un pedazo de mica entre las placas, ¿cuánta carga fluirá de la batería? * 45. (II) El campo eléctrico entre las placas de un capacitor separado con papel (K
3.75) es de 8.24  104 V/m. Las placas están separadas 1.95 mm y la carga en cada placa es de 0.775 mC. Determine la capacitancia de este capacitor y el área de cada placa.

17–7 Capacitancia 31. (I) Las dos placas de un capacitor soportan 2500 mC y 2500 mC de carga, respectivamente, cuando la diferencia de potencial es de 850 V. ¿Cuál es la capacitancia? 32. (I) Un capacitor de 9500 pF contiene cargas más y menos de 16.5  108 C. ¿Cuál es el voltaje a través del capacitor? 33. (I) La diferencia de potencial entre dos secciones cortas de alambre paralelo en el aire es de 120 V. Ellas portan cargas iguales pero de signo opuesto de 95 pC de magnitud. ¿Cuál es la capacitancia de los dos alambres? 34. (I) ¿Cuánta carga fluye de cada terminal de una batería de 12.0 V cuando está conectada a un capacitor de 7.00 mF? 35. (I) Se desea un capacitor de 0.20 F. ¿Qué área deben tener las placas si deben estar separadas por una brecha de aire de 2.2 mm? 36. (II) La carga en un capacitor aumenta por 18 mC cuando el voltaje a través de él aumenta de 97 a 121 V. ¿Cuál es la capacitancia del capacitor? 37. (II) Se desea un campo eléctrico de 8.50  105 V/m entre dos placas paralelas, cada una con 35.0 cm2 de área y separadas por 2.45 mm de aire. ¿Qué carga debe haber en cada placa? 38. (II) Si un capacitor tiene cargas opuestas de 5.2 mC en las placas, y entre ellas se desea un campo eléctrico de 2.0 kV/mm, ¿cuál debe ser el área de cada placa?

490

CAPÍTULO 17

Potencial eléctrico

17–9 Almacenamiento de energía eléctrica 46. (I) A un capacitor de 2200 pF se aplican 650 V. ¿Cuánta energía se almacena? 47. (I) Se usa un defibrilador cardiaco para sacudir un corazón que late erráticamente. En este dispositivo, un capacitor está cargado a 5.0 kV y almacena 1200 J de energía. ¿Cuál es su capacitancia? 48. (II) ¿Cuánta energía almacena el campo eléctrico entre dos placas cuadradas de 8.0 cm de lado, separadas por 1.5 mm de aire? Las cargas en las placas son iguales pero con signo opuesto y de 420 mC de magnitud. 49. (II) Un capacitor hecho en casa se ensambla colocando dos moldes de tarta de 9 pulgadas separados 5 cm y conectados a las terminales opuestas de una batería de 9.0 V. Estime a) la capacitancia, b) la carga en cada placa, c) el campo eléctrico a la mitad entre las placas y d) el trabajo realizado por la batería para cargar las placas. e) ¿Cuál de los valores anteriores cambia si se inserta un dieléctrico? 50. (II) Un capacitor de placas paralelas tiene cargas fijas Q y Q. Entonces se duplica la separación de las placas. a) ¿En qué factor cambia la energía almacenada en el campo eléctrico? b) ¿Cuánto trabajo se debe realizar al duplicar la separación de las placas de d a 2d? El área de cada placa es A.

www.elsolucionario.org 51. (II) ¿Cómo cambia la energía almacenada si a) la diferencia de potencial se duplica y b) la carga en cada placa se duplica, mientras el capacitor permanece conectado a una batería? 52. (III) Un capacitor de 2.70 mF se carga mediante una batería de 12.0 V. Se desconecta de la batería y luego se conecta a un capacitor no cargado de 4.00 mF (figura 17-29). Determine la energía total almacenada a) antes de que se conecten los dos capacitores y b) después de que se conectan. c) ¿Cuál es el cambio en la energía?

* 17–10 Tubo de rayos catódicos * 53. (III) En un

TRC dado, los electrones se aceleran horizontalmente mediante 7.0 kV. Entonces pasan a través de un campo eléctrico uniforme E por una distancia de 2.8 cm, que los desvía hacia arriba de modo que alcanzan la parte superior de la pantalla, que está a 22 cm de distancia, a 11 cm sobre el centro. Estime el valor de E. * 54. (III) En un TRC se aceleran electrones mediante 6.0 kV. La pantalla mide 30 cm de ancho y está a 34 cm de las placas de desviación de 2.6 cm de largo. ¿Sobre qué rango debe variar el campo eléctrico de desviación horizontal para barrer el haz completamente a través de la pantalla?

Problemas generales 55. Un electrón que parte del reposo adquiere 6.3 keV de EC al moverse del punto A al punto B. a) ¿Cuánta EC adquiriría un protón, si parte del reposo en B y se mueve al punto A? b) Determine la razón de sus rapideces al final de sus respectivas trayectorias. 56. Un relámpago transfiere 4.0 C de carga y 4.2 MJ de energía a la Tierra. a) ¿A través de qué diferencia de potencial viajó? b) ¿Cuánta agua podría hervir y vaporizar esto, a partir de la temperatura ambiente? 57. Cerca de la superficie de la Tierra hay un campo eléctrico cuya magnitud es de aproximadamente 150 V/m. ¿Cuánta energía está almacenada, por metro cúbico, en este campo? 58. En el cinescopio de un televisor, los electrones se aceleran mediante miles de volts a través del vacío. Si un aparato de televisión se colocara en el suelo sobre su parte trasera, ¿los electrones serían capaces de moverse hacia arriba contra la fuerza de gravedad? ¿Qué diferencia de potencial, que actúe sobre una distancia de 3.0 cm, se necesitaría para equilibrar la fuerza descendente de la gravedad de modo que un electrón permaneciera estacionario? Considere que el campo eléctrico es uniforme. 59. Un gran capacitor de 4.0 F tiene suficiente energía almacenada como para calentar 2.5 kg de agua de 21 a 95°C. ¿Cuál es la diferencia de potencial a través de las placas? 60. Un capacitor no cargado se conecta a una batería de 24.0 V hasta que está completamente cargado y luego se desconecta. Entonces se inserta una lámina de parafina entre las placas. ¿Cuál será ahora el voltaje entre las placas? 61. El aire seco se romperá si el campo eléctrico supera 3.0  106 V/m. ¿Qué cantidad de carga se puede colocar en un capacitor de placas paralelas si el área de cada placa es de 56 cm2? 62. Tres cargas están en las esquinas de un triángulo equilátero (lado L) como se ilustra en la figura 17-30. Determine el potencial en el punto medio de cada uno de los lados.

y –Q

L

L

+Q L

x –3Q FIGURA 17–30 Problema 62.

63. Un carga de 3.4 mC y otra de 2.6 mC se colocan separadas 1.6 cm. ¿En qué puntos a lo largo de la línea que los une a) el campo eléctrico es cero y b) el potencial eléctrico es cero? 64. Un capacitor con brecha de aire y 2600 pF se conecta a una batería de 9.0 V. Si entre las placas se coloca una pieza de vidrio Pyrex, ¿cuánta carga fluirá entonces desde la batería? 65. Un electrón es acelerado horizontalmente desde el reposo en el cinescopio de un televisor por una diferencia de potencial de 5500 V. Luego pasa entre dos placas horizontales de 6.5 cm de largo y 1.3 cm de separación que tienen una diferencia de potencial de 250 V (figura 17-31). ¿En qué ángulo u viajará el electrón luego de pasar entre las placas? + + + + + + + +

q

vB - - - - - - - -

FIGURA 17–31 Problema 65. 66. Un capacitor de capacitancia C1 porta una carga Q0. Luego se le conecta directamente a un segundo capacitor, no cargado, de capacitancia C2, como se indica en la figura 17-32. ¿Qué carga portará ahora cada uno? ¿Cuál será la diferencia de potencial a través de cada uno?

C1 C2 FIGURA 17–32 Problema 66. 67. Para tener una idea de cuán grande es un farad, suponga que se quiere hacer un capacitor de 1 F de placas paralelas lleno con aire para un circuito que se está construyendo. Para hacerlo de un tamaño razonable, suponga que se limita el área de la placa a 1.0 cm2. ¿Cuál tendría que ser la brecha entre las placas? ¿Esto es factible en la práctica? 68. Cerca de la superficie de la Tierra existe un campo eléctrico de aproximadamente 150 V/m que apunta hacia abajo. Dos bolas idénticas, de masa m
0.540 kg, se sueltan desde una altura de 2.00 m, pero una de las bolas está cargada positivamente con q1
650 mC y la segunda está cargada negativamente con q2
650 mC. Utilice la conservación de la energía para determinar la diferencia en la rapidez de las dos bolas cuando golpean el suelo. (Desprecie la resistencia del aire).

Problemas generales

491

69. El suministro de potencia para un láser pulsado de nitrógeno tiene un capacitor de 0.050 mF con una clasificación de voltaje máximo de 30 kV. a) Estime cuánta energía se podría almacenar en este capacitor. b) Si el 12% de esta energía eléctrica almacenada se convierte en energía luminosa en un pulso que dura 8.0 microsegundos, ¿cuál es la potencia del pulso láser? 70. En las tormentas eléctricas, la diferencia de potencial entre la Tierra y la parte inferior de las nubes de tormentas puede ser tan alta como 35,000,000 V. La parte inferior de las nubes de tormenta generalmente está a 1500 m sobre la Tierra y puede tener una área de 110 km2. Modele el sistema Tierra-nube como un gran capacitor y calcule a) la capacitancia del sistema Tierra-nube, b) la carga almacenada en el “capacitor” y c) la energía almacenada en el “capacitor”. 71. En una fotocelda, la luz ultravioleta (UV) proporciona suficiente energía a algunos electrones en el bario metálico como para expulsarlos de una superficie con gran rapidez. Observe la figura 17-33. Para medir la energía máxima de los electrones, otra placa sobre la superficie de bario se mantiene a un potencial suficientemente negativo de modo que los electrones emitidos se frenen, se detengan y regresen a la superficie de bario. Si el voltaje de la placa es de 3.02 V (comparado con el bario) cuando los electrones más rápidos son detenidos, ¿cuál fue la rapidez de dichos electrones cuando fueron emitidos?

luz – UV +

V = −3.02 V –

V=0

Bario

FIGURA 17–33 Problema 71.

72. Una carga puntual de 33 mC se coloca a 36 cm de una carga idéntica de 33 mC. Una carga de 1.5 mC se mueve desde el punto a hasta el punto b en la figura 17-34. ¿Cuál es el cambio en la energía potencial?

A

q2

14 cm 12 cm

q1 0.10 m

b

33 mC

73. Un capacitor se fabrica con dos monedas de 1.1 cm de diámetro, separadas por una pieza de papel (K
3.7) de 0.15 mm de grosor. Una batería de 12 V está conectada al capacitor. ¿Cuánta carga hay en cada moneda? 74. Una carga de 4.5 mC está a 23 cm a la derecha de una carga de 8.2 mC. En el punto medio entre las dos cargas, ¿cuáles son a) el potencial y b) el campo eléctrico? 75. Un capacitor de placas paralelas, con área de placa de 2.0 cm2 y separación de brecha de aire de 0.50 mm, está conectado a una batería de 12 V y completamente cargado. Entonces se desconecta la batería. a) ¿Cuál es la carga en el capacitor? b) Ahora las placas se separan a una distancia de 0.75 mm. ¿Cuál es ahora la carga en el capacitor? c) ¿Cuál es ahora la diferencia de potencial a través de las placas? d) ¿Cuánto trabajo se requirió para jalar las placas a su nueva separación? 76. Un capacitor de 2.5 mF es completamente cargado por una batería de 6.0 V. Entonces se desconecta la batería. El capacitor no es ideal y la carga se drena lentamente de las placas. Al día siguiente, el capacitor ha perdido la mitad de su energía almacenada. Calcule la cantidad de carga perdida. 77. Dos cargas puntuales están fijas a 4.0 cm una de otra. Sus cargas son Q1
Q2
5.0 mC y sus masas son m1
1.5 mg y m2
2.5 mg. a) Si Q1 se libera desde el reposo, ¿cuál será su rapidez después de un tiempo muy prolongado? b) Si ambas cargas son liberadas desde el reposo al mismo tiempo, ¿cuál será la rapidez de Q1 después de un tiempo muy largo? 78. Dos cargas se colocan como se ilustra en la figura 17-35, con q1
1.5 mC y q2
3.3 mC. Determine la diferencia de potencial entre los puntos A y B.

B 0.10 m

24 cm a

FIGURA 17–35 Problema 78.

33 mC

FIGURA 17–34 Problema 72.

Respuestas a los ejercicios A: (a) – 8.0 * 10 –16 J; (b) 9.8 * 10 5 m
s. B: 0.72 J. C: 8.3 * 10 –9 C.

492

CAPÍTULO 17

Potencial eléctrico

D: a) 3 veces mayor; b) 3 veces mayor. E: 12 mF.

La corriente eléctrica que pasa a través de una bombilla provoca el brillo de su delgado filamento de alambre. La energía eléctrica se transforma en energía térmica (mediante colisiones entre los electrones que se mueven y los átomos del alambre), lo que provoca que la temperatura del alambre aumente tanto que éste brille. La corriente y la potencia en los circuitos eléctricos son de importancia básica en la vida cotidiana. En este capítulo se examinan tanto la corriente directa (cd) como la corriente alterna (ca) y se incluye un análisis microscópico de la corriente eléctrica.

CAPÍTULO

18

Corrientes eléctricas

E

n los dos capítulos anteriores se estudió la electricidad estática, esto es, las cargas eléctricas en reposo. En este capítulo se comienza el estudio de las cargas en movimiento; a un flujo de carga se le conoce como corriente eléctrica. En la vida cotidiana uno está familiarizado con las corrientes eléctricas en los alambres y otros conductores. De hecho, la mayoría de los dispositivos eléctricos prácticos dependen de la corriente eléctrica: la corriente a través de una bombilla, la corriente en el elemento calefactor de una estufa o un calentador eléctrico, y, desde luego, las corrientes en los dispositivos electrónicos. Las corrientes eléctricas pueden existir en conductores tales como alambres, y también en otros dispositivos como los TRC de un televisor o de un monitor de computadora, cuyos electrones cargados fluyen a través del espacio (sección 17-10). En la sección 16-9 se vio que, en situaciones electrostáticas, el campo eléctrico debe ser cero en el interior de un conductor (si no lo fuese, las cargas se moverían). Pero cuando las cargas se mueven en un conductor, por lo general existe un campo eléctrico en el conductor. De hecho, se necesita un campo eléctrico para poner a las cargas en movimiento, y para mantenerlas en movimiento en cualquier conductor normal. Es posible controlar el flujo de carga utilizando los campos eléctricos y el potencial eléctrico (voltaje), conceptos que ya se estudiaron. Para que haya corriente en un alambre, se requiere una diferencia de potencial, lo que se logra con una batería.

493

www.elsolucionario.org Primero se analizará la corriente eléctrica desde un punto de vista macroscópico: es decir, la corriente como se mide en un laboratorio. Más adelante en el capítulo, se analizarán las corrientes desde un punto de vista microscópico (teórico) como flujo de electrones en un alambre. Hasta el año 1800, el desarrollo técnico de la electricidad consistía principalmente en producir una carga estática mediante fricción. Pero todo cambió en 1800, cuando Alessandro Volta (1745-1827; figura 18-1) inventó la batería eléctrica, y con ella produjo el primer flujo estable de carga eléctrica, es decir, una corriente eléctrica estable.

18–1 La batería eléctrica FIGURA 18-1 Alessandro Volta. En esta pintura, Volta presenta su batería a Napoleón en 1801.

FIGURA 18-2 Una batería voltaica, de la publicación original de Volta.

Los eventos que condujeron al descubrimiento de la batería son interesantes. Pero esto no sólo se trató de un importante descubrimiento, sino que también dio origen a un notable debate científico. En la década de 1780, Luigi Galvani (1737-1798), profesor de la Universidad de Boloña, realizó una serie de experimentos acerca de la contracción del músculo de la pierna de una rana a través de electricidad estática. Galvani encontró que el músculo también se contraía cuando distintos metales se insertaban en la rana. El científico creyó que la fuente de la carga eléctrica estaba en el músculo de la rana o en el nervio en sí, y que el metal simplemente transmitía la carga hacia los puntos adecuados. Cuando publicó su trabajo en 1791, denominó a esta carga “electricidad animal”. Muchos, incluido Galvani mismo, se preguntaron si se había descubierto la tan buscada “fuerza vital”. Volta, en la Universidad de Pavia, a 200 km de distancia, se mostraba escéptico acerca de los resultados de Galvani, y llegó a creer que la fuente de la electricidad no estaba en el animal mismo, sino más bien en el contacto entre los distintos metales. Volta se dio cuenta de que, para que un circuito resultara efectivo, necesitaba un conductor húmedo, como el músculo de la rana o la humedad en el punto de contacto de dos metales distintos. También se dio cuenta de que el músculo contraído de la rana era un instrumento sensible para detectar “tensión” eléctrica o “fuerza electromotriz” (sus palabras para lo que ahora se denomina potencial), de hecho más sensible que el mejor de los electroscopios disponibles que él y otros habían desarrollado.† La investigación de Volta encontró que ciertas combinaciones de metales producían un mayor efecto que otras y, a partir de sus mediciones, las listó en orden de efectividad. (Los químicos de hoy todavía utilizan esta “serie electroquímica”). También se percató de que se podía usar carbono en lugar de uno de los metales. Entonces Volta concibió su mayor aportación a la ciencia. Entre un disco de zinc y uno de plata, colocó una pieza de tela o papel mojados en una solución salina o en ácido diluido y apiló una “batería” de tales acoplamientos, uno encima del otro, como se observa en la figura 18-2. Esta “pila” o “batería” producía una diferencia de potencial muy aumentada. De hecho, cuando las tiras de metal conectadas a los dos extremos de la pila se acercaban, se producía una chispa. Volta había diseñado y construido la primera batería eléctrica; publicó su descubrimiento en 1800.

Pilas eléctricas y baterías

Electrodos

Una batería produce electricidad al transformar la energía química en energía eléctrica. En la actualidad está disponible una gran variedad de pilas eléctricas y baterías, desde las baterías de las lámparas de mano hasta las baterías de almacenamiento de un automóvil. Las baterías más simples contienen dos placas o barras hechas de metales distintos (una puede ser carbono) llamados electrodos. Los electrodos están sumergidos en una solución, como ácido diluido, llamado electrolito. Tal dispositivo se llama adecuadamente pila eléctrica, y varias pilas conectadas en conjunto forman una batería, aunque en la actualidad incluso una sola pila se reconoce como batería. † El electroscopio más sensible de Volta (véase la sección 16-4 y la figura 16-10) medía aproximadamente 40 V por grado (ángulo de separación de hoja). No obstante, era capaz de estimar las diferencias de potencial producidas por metales distintos en contacto: para un contacto plata-zinc obtuvo aproximadamente 0.7 V, cifra muy cercana al valor actual de 0.78 V.

494

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

Las reacciones químicas que tienen lugar en la mayoría de las pilas eléctricas son bastante complicadas. A continuación se describe cómo funciona una pila muy simple, poniendo énfasis en los aspectos físicos. La pila que se representa en la figura 18-3 usa como electrolito ácido sulfúrico diluido. Uno de los electrodos está hecho de carbono y el otro de zinc. La parte de cada electrodo que está fuera de la solución se llama terminal, y es aquí donde se hacen las conexiones a los alambres y circuitos. El ácido tiende a disolver el electrodo de zinc. Cada átomo de zinc deja dos electrones detrás en el electrodo y entra a la solución como un ion positivo. De esta forma, el electrodo de zinc adquiere una carga negativa. Conforme el electrolito se carga positivamente, los electrones son jalados del electrodo de carbono. En consecuencia, el electrodo de carbono se carga positivamente. Como existe una carga opuesta en los dos electrodos, existe una diferencia de potencial entre las dos terminales. En una pila cuyas terminales no están conectadas, sólo se disuelve una pequeña cantidad del zinc; en cuanto el electrodo de zinc se vuelve cada vez más negativo, los nuevos iones positivos de zinc producidos son atraídos de vuelta al electrodo. De esta forma se mantiene una cierta diferencia de potencial (o voltaje) entre las dos terminales. Si se permite que la carga fluya entre las terminales, por ejemplo, a través de un alambre (o una bombilla), entonces se puede disolver más zinc. Después de un tiempo, uno u otro electrodo se agota y la pila se “muere”. El voltaje que existe entre las terminales de una batería depende de qué estén hechos los electrodos y de su habilidad relativa para disolver o entregar electrones. Cuando dos o más pilas se unen de modo que la terminal positiva de una se conecta a la terminal negativa de la siguiente, se dice que están conectadas en serie y su voltaje se suma. Por ende, el voltaje entre los extremos de dos baterías de linternas de 1.5 V conectadas en serie es de 3.0 V, mientras que seis pilas de 2 V de una batería de almacenamiento de automóvil dan 12 V. La figura 18-4a muestra un diagrama de una “pila seca” común o “batería de linterna” usada en radios portátiles, reproductores de discos compactos, linternas, etcétera; la figura 18-4b muestra dos más pequeñas en serie, conectadas a una bombilla de linterna. Una bombilla consta de un delgado alambre enrollado (filamento) en el interior de un bulbo de vidrio al vacío, como se ilustra en la figura 18-5 y en la gran fotografía de apertura de este capítulo. El filamento se calienta y brilla cuando la carga pasa a través de él.

FIGURA 18-4 a) Diagrama de una pila seca ordinaria (como una pila D o AA). La envoltura cilíndrica de zinc está cubierta a los lados; su fondo plano es la terminal negativa. b) Dos pilas secas (tipo AA) conectadas en serie. Aquí se observa cómo la terminal positiva de una pila presiona contra la terminal negativa de la otra.

Aislador

Terminal + (parte superior del electrodo de carbono)

+ – Terminal Terminal Electrodo de carbono + (+)

Ácido sulfúrico FIGURA 18-3 simple.

Pila eléctrica

Las baterías producen una diferencia de potencial (voltaje).

FIGURA 18-5 Una bombilla: el alambre fino del filamento se pone tan caliente que brilla. Este tipo de bombilla se llama bombilla incandescente (en comparación con una bombilla fluorescente). Filamento

Alambres conectores

Pasta de electrolito

Electrodo – de zinc (–)

Aislador

Conexiones externas

a)

Terminal −

Electrodo negativo (envoltura de zinc) b) SECCIÓN 18–1

La batería eléctrica

495

FIGURA 18-6 a) Circuito eléctrico simple. b) Esquema del mismo circuito, que consiste en una batería, alambres conectores (líneas gruesas) y una bombilla u otro dispositivo.

Corriente Dispositivo (bombila) a)

b) A

+

–

B

18–2 Corriente eléctrica Circuito eléctrico

El propósito de una batería es producir una diferencia de potencial, que entonces permitirá mover cargas. Cuando una trayectoria conductora continua está conectada entre las terminales de una batería, se tiene un circuito eléctrico (figura 18-6a). En cualquier diagrama de un circuito, como en la figura 18-6b, se usa el símbolo

12

Símbolo de la batería

[símbolo de batería]

para representar una batería. El dispositivo conectado a la batería podría ser una bombilla, un calentador, un radio, o cualquier otro. Cuando tal circuito se forma, la carga fluye a través de los alambres del circuito, de una terminal de la batería a la otra, en tanto la trayectoria conductora sea continua. Cualquier flujo de carga como ésta se llama corriente eléctrica. De manera más precisa, la corriente eléctrica en un alambre se define como la cantidad neta de carga que pasa a través de toda la sección transversal del alambre en cualquier punto por unidad de tiempo. Así entonces, la corriente I se define como Corriente eléctrica

Unidad de corriente eléctrica: ampere (1 A
1 C
s)

Circuitos: completo o abierto

P R E C A U C I Ó N

Una batería no crea carga; una bombilla no destruye carga.

¢Q , (18-1) ¢t donde ¢Q es la cantidad de carga que pasa a través del conductor en cualquier ubicación durante el intervalo de tiempo ¢ t. La corriente eléctrica se mide en coulombs por segundo. A esta unidad se le da el nombre de ampere (abreviado amp o A), en honor del físico francés André Ampère (1775-1836). Por tanto, 1 A = 1 C
s. Con frecuencia se usan unidades de corriente más pequeñas, como el miliampere A1 mA = 10 –3 AB y el microampere A1 mA = 10–6 AB. En un circuito sólo puede fluir corriente si existe una trayectoria conductora continua. Entonces se tiene un circuito completo. Si existe un rompimiento en el circuito como, por ejemplo, un alambre cortado, se le llama circuito abierto y entonces no fluye corriente por él. En cualquier circuito individual, con una trayectoria única para que siga la corriente, como en la figura 18-6b, una corriente estable en cualquier instante es la misma en un punto (por ejemplo, punto A) que en cualquier otro (como el B). Esto se deriva de la conservación de la carga eléctrica: la carga no desaparece. Una batería no crea (ni destruye) ninguna carga neta, ni tampoco una bombilla absorbe o destruye carga. I =

EJEMPLO 18-1 Corriente es flujo de carga. En un alambre existe una corriente estable (estacionaria) de 2.5 A durante 4.0 min. a) ¿Cuánta carga total pasa por un punto dado en el circuito durante esos 4.0 min? b) ¿A cuántos electrones equivaldría esto? PLANTEAMIENTO La corriente es flujo de carga por unidad de tiempo (ecuación 18-1); así que la cantidad de carga que pasa por un punto es el producto de la corriente y el intervalo de tiempo. Para obtener el número de electrones para responder al inciso b), se divide por la carga en un electrón. SOLUCIÓN a) Como la corriente es de 2.5 A, o 2.5 C
s, entonces, en 4.0 min (
240 s) la carga total que fluye por un punto dado en el alambre es, a partir de la ecuación 18-1,

¢Q = I ¢t = (2.5 C
s)(240 s) = 600 C. 496

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

www.elsolucionario.org b) La carga en un electrón es 1.60  1019 C, así que 600 C consistiría en

600 C = 3.8 * 1021 electrones. 1.6 * 10–19 C
electrón EJERCICIO A Si 1 millón de electrones por segundo pasan por un punto en un alambre, ¿cuál es la corriente en amperes?

EJEMPLO CONCEPTUAL 18-2 Cómo conectar una batería. ¿Qué está mal en cada uno de los esquemas que se muestran en la figura 18-7 para poder encender una bombilla con una batería de linterna y un solo alambre? RESPUESTA a) No existe una trayectoria cerrada para que la carga fluya. Las cargas pueden comenzar a fluir brevemente hacia la bombilla, pero ahí corren hacia un “callejón sin salida”, y el flujo se detendría de inmediato. b) Ahora hay una trayectoria cerrada que pasa hacia la bombilla y desde ella; pero el alambre sólo toca una terminal de la batería, así que no hay diferencia de potencial en el circuito que haga que la carga se mueva. c) Nada está mal aquí. Éste es un circuito completo: la carga puede fluir desde una terminal de la batería, a través del alambre y la bombilla, y hacia la otra terminal. Este esquema encenderá la bombilla.

+

a)

+

+

b)

FIGURA 18-7 Ejemplo 18-2.

c)

En muchos circuitos reales, los alambres están conectados a un conductor común para proporcionar continuidad. Este conductor común se llama tierra; generalmente se representa como , y en realidad está conectado a la tierra en un edificio o casa. En un automóvil, una terminal de la batería se llama “tierra”, aunque no está conectada a la tierra, sino al chasis del automóvil, como lo está una conexión a cada bombilla y otros dispositivos. De este modo, el chasis del automóvil es un conductor en cada circuito, lo que garantiza una trayectoria continua para que fluya la carga. En el capítulo 16 (sección 16-3) se vio que los conductores contienen muchos electrones libres. De esta forma, si un alambre conductor continuo está conectado a las terminales de una batería, los electrones cargados negativamente fluyen en el alambre. Cuando el alambre se conecta por primera vez, la diferencia de potencial entre las terminales de la batería establecen un campo eléctrico en el interior del alambre† y paralelo a él. Los electrones libres en un extremo del alambre son atraídos hacia la terminal positiva y, al mismo tiempo, otros electrones dejan la terminal negativa de la batería y entran al alambre por el otro extremo. Existe un flujo continuo de electrones a través del alambre que comienza tan pronto como éste se conecta a ambas terminales. Sin embargo, cuando se inventaron las convenciones de carga positiva y negativa hace dos siglos, se supuso que la carga positiva fluía en un alambre. Para casi todos los propósitos, la carga positiva que fluye en una dirección es exactamente equivalente a la carga negativa que fluye en la dirección opuesta, como se muestra en la figura 18-8. En la actualidad, todavía se usa la convención histórica de flujo de carga positiva cuando se analiza la dirección de una corriente. De modo que, cuando se habla de la dirección de la corriente en un circuito, se hace referencia a la dirección en la que fluirá la carga positiva. Esto a veces se conoce como corriente convencional. Cuando se quiera hablar de la dirección del flujo de electrones, se establecerá específicamente que se trata de la corriente de electrones. En los líquidos y gases, tanto las cargas positivas como las negativas (iones) se pueden mover.

Tierras y circuitos completos

FIGURA 18-8

La corriente convencional de  a  es equivalente a un electrón negativo que fluye de  a .

Corriente convencional

Flujo de electrones

Dispositivo Corriente convencional Corriente de electrón

+

–

P R E C A U C I Ó N

Distinción entre corriente convencional y flujo de electrones

†

Esto no contradice lo que se dijo en la sección 16-9 de que, en el caso estático, no puede haber campo eléctrico dentro de un conductor porque de otro modo las cargas se moverían. De hecho, cuando existe un campo eléctrico en un conductor, las cargas se mueven, y se obtiene una corriente eléctrica.

SECCIÓN 18–2

Corriente eléctrica

497

18–3 Ley de Ohm: resistencia y resistores Para producir una corriente eléctrica en un circuito se requiere una diferencia de potencial. Una forma de producir una diferencia de potencial a lo largo de un alambre es conectar sus extremos a las terminales opuestas de una batería. Fue Georg Simon Ohm (1787-1854) quien estableció experimentalmente que la corriente en un alambre metálico es proporcional a la diferencia de potencial V aplicada a sus dos extremos:

I r V.

Analogía del agua

Si, por ejemplo, un alambre se conecta a una batería de 6 V, la corriente en el alambre será el doble de lo que sería si el alambre estuviese conectado a una batería de 3 V. También se encontró que invertir el signo del voltaje no afecta la magnitud de la corriente. Una analogía útil compara el flujo de carga eléctrica en un alambre con el flujo de agua en un río, o en una tubería, sobre la que actúa la gravedad. Si el río o tubería está casi a nivel, la tasa de flujo es pequeña. Pero si un extremo está un poco más elevado que el otro, la tasa de flujo (o corriente) es mayor. Cuanto mayor sea la diferencia en altura, más rápida será la corriente. En el capítulo 17 se vio que el potencial eléctrico es análogo, en el caso gravitacional, a la altura de un risco. Esto se aplica en el presente caso a la altura a través de la que fluye el fluido. Tal como un aumento en la altura provoca un mayor flujo de agua, una mayor diferencia de potencial eléctrico o voltaje, provocará una mayor corriente eléctrica. Exactamente cuán grande es la corriente en un alambre depende no sólo del voltaje, sino también de la resistencia que el alambre presenta al flujo de electrones. Las paredes de una tubería, o los bancos y rocas en un río, oponen resistencia a la corriente. De manera similar, las interacciones con los átomos del alambre impiden el flujo de electrones. Cuanto mayor sea esta resistencia, menor será la corriente para un voltaje dado V. Entonces se define la resistencia eléctrica de modo que la corriente es inversamente proporcional a la resistencia; es decir,

V (18-2a) I donde R es la resistencia de un alambre u otro dispositivo, V es la diferencia de potencial que se aplica a través del alambre o dispositivo, e I es la corriente que pasa por él. La ecuación 18-2a con frecuencia se escribe como R =

V = IR.

“LEY” DE OHM

Unidad de resistencia eléctrica: ohm (1  = 1 V
A)

(18-2b)

Como se mencionó antes, Ohm encontró experimentalmente que, en los conductores metálicos, R es una constante independiente de V, un resultado que se conoce como ley de Ohm. La ecuación 18-2b, V
IR, se reconoce a veces como ley de Ohm, aunque sólo cuando se refiere a materiales o dispositivos para los que R es una constante independiente de V. Pero R no es constante para muchas sustancias distintas a los metales, ni para dispositivos como diodos, tubos de vacío, transistores y algunos otros. Por tanto, la “ley” de Ohm no es una ley fundamental, sino más bien una descripción de cierta clase de materiales: los conductores metálicos. Se dice que los materiales o dispositivos que no siguen la ley de Ohm (R
constante) son no óhmicos. Véase la figura 18-9. La unidad para resistencia se llama ohm y se abrevia  (letra griega omega mayúscula). Puesto que R
V
I, se ve que 1.0  es equivalente a 1.0 V
A. FIGURA 18-9 Gráficas de corriente contra voltaje para a) un conductor metálico que obedece la ley de Ohm y b) para un dispositivo no óhmico, en este caso un diodo semiconductor.

I

a)

498

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

0

I

∆I 1 ∆V = R

V

b)

0

V

EJEMPLO 18-3 Resistencia de la bombilla de una linterna. Una pequeña bombilla de linterna (figura 18-10) extrae 300 mA de su batería de 1.5 V. a) ¿Cuál es la resistencia de la bombilla? b) Si la batería se debilita y el voltaje desciende a 1.2 V, ¿cómo cambiaría la corriente? PLANTEAMIENTO Se puede aplicar la ley de Ohm a la bombilla, donde el voltaje que se aplica a través de ella es el voltaje de la batería. SOLUCIÓN a) Se cambia 300 mA a 0.30 A y se emplea la ecuación 18-2:

R =

1.5 V encendido

1.5 V V = = 5.0 . I 0.30 A

apagado

b) Si la resistencia permanece igual, la corriente sería

1.2 V V = = 0.24 A = 240 mA, R 5.0  o una disminución de 60 mA. NOTA Con la corriente más pequeña en b, la temperatura del filamento de la bombilla sería menor y la bombilla menos brillante. Además, la resistencia depende de la temperatura (sección 18-4), así que el cálculo sólo es una aproximación simple. I =

FIGURA 18-10

Linterna (ejemplo 18-3). Aquí se nota cómo el circuito se completa a través de la tira lateral.

EJERCICIO B ¿Cuál es la resistencia de una bombilla si 0.50 A fluyen a través de ella cuando se conecta a 120 V?

Todos los dispositivos eléctricos, desde los calentadores y las bombillas hasta los amplificadores de sonido, ofrecen resistencia al flujo de corriente. Los filamentos de las bombillas (figura 18-5) y los calentadores eléctricos son tipos especiales de alambres cuya resistencia da como resultado un aumento de temperatura. Por lo general, los alambres conectores tienen muy poca resistencia en comparación con los filamentos de alambre o bobinas, así que los alambres generalmente tienen un efecto mínimo sobre la magnitud de la corriente. En muchos circuitos, sobre todo en los dispositivos electrónicos, los resistores se usan para controlar la cantidad de corriente. Los resistores tienen resistencias que varían de menos de un ohm a millones de ohms (figuras 18-11 y 18-12). Los tipos principales son resistores “devanados de alambre” que constan de una bobina de alambre fino, los resistores de “composición” que por lo general están hechos de carbono y delgadas películas de carbono o metal. Cuando se dibuja un diagrama de circuito, se usa el símbolo [símbolo de resistor]

FIGURA 18-11 Fotografía de resistores (con bandas) y otros dispositivos en un tablero de circuito.

Símbolo de resistor

para indicar una resistencia. Sin embargo, los alambres cuya resistencia es despreciable se muestran simplemente como líneas rectas.

Código de color para resistores Color Negro Café Rojo Anaranjado Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco Oro Plata Sin color

Número

Multiplicador

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 101 102 103 104 105 106 107 108 109 10–1 10 –2

Tolerancia Primer dígito Segundo dígito Multiplicador Tolerancia

FIGURA 18-12 El valor de resistencia de un resistor dado

5% 10% 20%

está escrito en el exterior, o se expresa mediante un código de color, como se muestra arriba y en la tabla contigua: los primeros dos colores representan los primeros dos dígitos en el valor de la resistencia, el tercer color representa la potencia de 10 por la que se debe multiplicar, y el cuarto es la tolerancia de fabricación. Por ejemplo, un resistor cuyos cuatro colores son rojo, verde, amarillo y plata tiene una resistencia de 25  104 
250,000 
250 k, más o menos el 10%.

SECCIÓN 18–3

Ley de Ohm: resistencia y resistores

499

www.elsolucionario.org I A

B

R

FIGURA 18-13 Ejemplo 18-4.

“Caída” de voltaje

EJEMPLO CONCEPTUAL 18-4 Corriente y potencial. La corriente I entra a un resistor R como se indica en la figura 18-13. a) ¿El potencial es más alto en el punto A o en el punto B? b) ¿La corriente es mayor en el punto A o en el punto B? RESPUESTA a) La carga positiva siempre fluye de  a , de potencial alto a potencial bajo. Piense de nuevo en la analogía gravitacional: una masa caerá desde el potencial gravitacional alto hacia el bajo. Así que, para la corriente positiva I, el punto A está a un mayor potencial que el punto B. b) La conservación de la carga requiere que, cualquiera que sea la carga que fluya en el resistor en el punto A, emerja una cantidad igual de carga en el punto B. La carga o corriente no se “agota” por un resistor, tal como un objeto que cae a través de una diferencia de potencial gravitacional no gana ni pierde masa. De modo que la corriente es la misma en A y en B. A una disminución de potencial eléctrico, como del punto A al punto B en el ejemplo 18-4, con frecuencia se le llama caída de potencial o caída de voltaje.

Algunas aclaraciones útiles

P R E C A U C I Ó N

El voltaje se aplica por medio de un dispositivo; la corriente pasa a través de un dispositivo.

P R E C A U C I Ó N

La corriente no se consume

He aquí un breve resumen de algunas posibles malas interpretaciones y sus respectivas aclaraciones. Las baterías no mantienen una corriente constante. En vez de ello, las baterías intentan mantener una diferencia de potencial constante, o casi constante. (Los detalles vienen en el capítulo 19). Por tanto, a una batería se le debería considerar como una fuente de voltaje. El voltaje se aplica por medio de un alambre o dispositivo. La corriente eléctrica pasa a través de un alambre o dispositivo (conectado a una batería) y su magnitud depende de la resistencia de dicho dispositivo. La resistencia es una propiedad del alambre o dispositivo. El voltaje, por otra parte, es externo al alambre o dispositivo, y se aplica por medio de los dos extremos del alambre o dispositivo. La corriente a través del dispositivo podría llamarse la “respuesta”: la corriente aumenta si el voltaje se incrementa o la resistencia disminuye, como I
V
R. La corriente no es un vector, aun cuando la corriente tiene una dirección. En un alambre, la corriente siempre es paralela a él, sin importar cómo se curve, tal como el agua en una tubería. La dirección de la corriente convencional (positiva) es del potencial alto () hacia el potencial más bajo (). La corriente y la carga no aumentan ni disminuyen ni se “agotan” cuando pasan a través de un alambre u otro dispositivo. La cantidad de carga que entra en un extremo sale por el otro.

18–4 Resistividad A partir de diversos experimentos se encontró que la resistencia R de cualquier alambre es directamente proporcional a su longitud L e inversamente proporcional a su área transversal A. Esto es

R = r Resistividad (unidad =   m)

500

CAPÍTULO 18

L, A

(18-3)

donde r, la constante de proporcionalidad, se llama resistividad y depende del material utilizado. En la columna media de la tabla 18-1 se proporcionan valores típicos de r, cuyas unidades son   m (véase la ecuación 18-3), para varios materiales. Los valores dependen de algún modo de la pureza, el tratamiento térmico, la temperatura y otros factores. La plata tiene la resistividad más baja y por eso es el mejor conductor (aunque costoso). El cobre está cerca, y es mucho menos costoso, por lo que la mayoría de los alambres están hechos de este material. El aluminio, aunque tiene una mayor resistividad, es mucho menos denso que el cobre; así que es preferible al cobre en algunos casos, como en el de las líneas de transmisión, pues su resistencia para el mismo peso es menor que la del cobre.

Corrientes eléctricas

TABLA 18-1 Resistividad y coeficiente de temperatura (a 20°C) Resistividad, R (  m)

Material

Conductores 1.59 * 10–8 Plata Cobre 1.68 * 10–8 Oro 2.44 * 10–8 Aluminio 2.65 * 10–8 Tungsteno 5.6 * 10–8 9.71 * 10–8 Hierro Platino 10.6 * 10–8 98 * 10–8 Mercurio Nicromo (aleación de Ni, Fe y Cr) 100 * 10–8 † Semiconductores Carbono (grafito) (3–60) * 10–5 Germanio (1–500) * 10–3 Silicio 0.1–60 Aisladores Vidrio 109 – 1012 Hule duro 1013 – 1015 †

Coeficiente de temperatura, A (C°)
1 0.0061 0.0068 0.0034 0.00429 0.0045 0.00651 0.003927 0.0009 0.0004 – 0.0005 – 0.05 – 0.07

Los valores dependen enormemente de la presencia de incluso ligeras cantidades de impurezas.

20 m

20

PLANTEAMIENTO Se resuelve la ecuación 18-3 para obtener el área A, a partir de lo que se puede calcular el radio del alambre mediante la fórmula A
pr 2. El diámetro es 2r. En b) se puede usar la ley de Ohm, V
IR.

m

EJEMPLO 18-5 Alambres de bocinas. Una persona quiere conectar su estéreo a unas bocinas remotas (figura 18-14). a) Si cada alambre debe medir 20 m de largo, ¿qué diámetro de alambre de cobre debe utilizar para mantener la resistencia menor que 0.10 W por alambre? b) Si la corriente en cada bocina es de 4.0 A, ¿cuál es la diferencia de potencial, o caída de voltaje, a través de cada alambre?

SOLUCIÓN a) Se resuelve la ecuación 18-3 para el área A y se encuentra r para el cobre en la tabla 18-1:

A1.68 * 10–8 mB(20 m) L = = 3.4 * 10–6 m2. R (0.10 ) El área transversal A de un alambre circular es A
pr 2. Entonces, el radio debe ser al menos A = 1.04 * 10–3 m = 1.04 mm. r = Bp El diámetro es el doble del radio y por tanto debe ser de al menos 2 r
2.1 mm. b) A partir de V
IR se determina que la caída de voltaje a través de cada alambre es V = IR = (4.0 A)(0.10 ) = 0.40 V. NOTA La caída de voltaje a través de los alambres reduce el voltaje que alcanza las bocinas desde el amplificador estéreo, lo que reduce un poco el nivel de sonido. A = r

96.3 Hz

FIGURA 18-14 Ejemplo 18-5.

EJEMPLO CONCEPTUAL 18-6 El estiramiento cambia la resistencia. Un alambre de resistencia R se estira de manera uniforme hasta que tiene el doble de su longitud original. ¿Qué ocurre con su resistencia? RESPUESTA Si la longitud L se duplica, entonces el área transversal A se divide a la mitad, pues el volumen del alambre (V
AL) permanece igual. A partir de la 1 ecuación 18-3 se ve que la resistencia aumentaría por un factor de cuatro (2
_2
4). EJERCICIO C Los alambres de cobre en las casas generalmente tienen un diámetro de aproximadamente 1.5 mm. ¿Qué longitud tendría un alambre con una resistencia de 1.0 ? SECCIÓN 18–4

Resistividad

501

* La resistividad depende de la temperatura La resistividad de un material depende un tanto de la temperatura. En general, la resistencia de los metales aumenta con la temperatura. Esto no es de sorprender, porque, a temperaturas mayores, los átomos se mueven más rápidamente y están acomodados en una forma menos ordenada. Así que cabe esperar que interfieran más con el flujo de electrones. Si el cambio de temperatura no es tan grande, la resistividad de los metales generalmente aumenta de manera casi lineal con la temperatura. Esto es Efecto de la temperatura en la resistividad

F Í S I C A

A P L I C A D A

Termómetro de resistencia

rT = r0 C 1 + a AT - T0 B D

(18-4)

donde r 0 es la resistividad en alguna temperatura de referencia T0 (como a 0 o 20°C), rT es la resistividad a una temperatura T, y a es el coeficiente de temperatura de resistividad. En la tabla 18-1 se proporcionan valores para a. Hay que hacer notar que el coeficiente de temperatura para los semiconductores puede ser negativo. ¿Por qué? Parece que, a temperaturas más altas, algunos de los electrones, que normalmente no son libres en un semiconductor, se liberan y pueden contribuir a la corriente. De esta manera, la resistencia de un semiconductor podría disminuir con un aumento en la temperatura, aunque éste no siempre es el caso. EJEMPLO 18-7 Termómetro de resistencia. La variación en la resistencia eléctrica con la temperatura se puede aprovechar para realizar mediciones precisas de la temperatura. Es común que se utilice el platino ya que está relativamente libre de efectos corrosivos y tiene un elevado punto de fusión. Supongamos que, a 20.0°C, la resistencia de un termómetro de resistencia de platino es de 164.2 . Cuando se coloca en una solución particular, la resistencia es de 187.4 . ¿Cuál es la temperatura de esta solución? PLANTEAMIENTO Como la resistencia R es directamente proporcional a la resistividad r, se pueden combinar las ecuaciones 18-3 y 18-4 para encontrar R como función de la temperatura T, y luego resolver esa ecuación para T. SOLUCIÓN Se multiplica la ecuación 18-4 por (L
A) para obtener (véase también la ecuación 18-3)

R = R0 C 1 + a AT - T0 B D .

Aquí R0 = r0L
A es la resistencia del alambre en T0
20.0°C. Se resuelve esta ecuación para T y se encuentra (tabla 18-1 para a)

T = T0 +

R - R0 187.4  - 164.2  = 20.0°C + = 56.0°C. aR0 A3.927 * 10–3(C°)–1 B(164.2 )

NOTA Los termómetros de resistencia tienen la ventaja de que se pueden usar a temperaturas muy altas o muy bajas, donde los termómetros de gas o líquido serían inútiles. FIGURA 18-15 Un termistor que se muestra junto a una regla con milímetros para apreciar la escala.

NOTA Para algunas aplicaciones es más conveniente el termistor (figura 18-15), que consiste en un óxido metálico o semiconductor cuya resistencia también varía de forma repetible con la temperatura. Existen termistores muy pequeños que responden muy rápidamente a los cambios de temperatura. El valor de a en la ecuación 18-4 en sí mismo puede depender de la temperatura, así que es importante verificar el rango de temperatura de validez de cualquier valor (en un manual de datos físicos). Si el rango de temperatura es amplio, la ecuación 18-4 no es adecuada y entonces se necesitarán términos proporcionales al cuadrado y cubo de la temperatura, pero por lo general son muy pequeños excepto cuando T  T0 es grande.

18–5 Potencia eléctrica La energía eléctrica es útil porque se puede transformar fácilmente en otros tipos de energía. Los motores transforman energía eléctrica en energía mecánica y se estudiarán en el capítulo 20. En otros dispositivos eléctricos, como los calentadores, estufas, tostadores y secadoras de cabello, la energía eléctrica se transforma en energía térmica en una resisten-

502

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

www.elsolucionario.org cia de alambre conocida como “elemento calefactor”. Y en las bombillas ordinarias, el delgado filamento de alambre (figura 18-5 y la fotografía de apertura del capítulo) se pone tan caliente que brilla; sólo un pequeño porcentaje de la energía se transforma en luz visible, y el resto, arriba del 90%, en energía térmica. Los filamentos de las bombillas y elementos calefactores (figura 18-16) en los aparatos electrodomésticos por lo general tienen resistencias de unos pocos ohms a unos cuantos cientos de ohms. La energía eléctrica se transforma en energía térmica o en luz en tales dispositivos, y en ellos se efectúan muchas colisiones entre los electrones en movimiento y los átomos del alambre. En cada colisión, parte de la energía cinética de los electrones se transfiere al átomo con el que choca. Como resultado, aumenta la energía cinética de los átomos del alambre y por ende aumenta la temperatura del elemento de alambre. La energía térmica aumentada se transfiere como calor mediante conducción y convección al aire en un calentador o a la comida en una sartén, mediante radiación al pan en un tostador, o bien, se irradia como luz. Para encontrar la potencia transformada por un dispositivo eléctrico, recuerde que la energía transformada cuando una carga Q se mueve a través de una diferencia de potencial V es QV (ecuación 17-3). Entonces la potencia P, que es la tasa de energía transformada, será energía transformada QV . P = = tiempo t

FIGURA 18-16 El elemento calefactor en forma de bobina de un calentador eléctrico de espacio a causa de la energía transformada por la corriente eléctrica.

La carga que fluye por segundo, Q
t, es simplemente la corriente eléctrica I. Por tanto, se tiene P
IV.

(18-5)

Potencia eléctrica (general)

Esta relación general permite conocer la potencia transformada por cualquier dispositivo, donde I es la corriente que pasa a través de él y V es la diferencia de potencial a través de él. También proporciona la potencia entregada por una fuente como una batería. La unidad SI de potencia eléctrica es la misma que para cualquier tipo de potencia, el watt (1 W
1 J
s). La tasa de transformación de energía en una resistencia R se puede escribir de otras dos formas, a partir de la relación general P
IV y sustituyendo en V
IR:

P = IV = I(IR) = I 2R V2 . V P = IV = a b V = R R

(18-6a) (18-6b)

Potencia eléctrica (en resistencia R)

Las ecuaciones 18-6a y b se aplican sólo a resistores, mientras que la ecuación 18-5, P
IV, se aplica a cualquier dispositivo, incluso un resistor. EJEMPLO 18-8 Faros de automóvil. Calcule la resistencia de un faro de automóvil de 40 W diseñado para 12 V (figura 18-17). PLANTEAMIENTO Se conoce la potencia y la diferencia de potencial a través de los faros, así que se resuelve la ecuación 18-6b para R. SOLUCIÓN Dado P
40 W y V
12 V, y resolviendo la ecuación 18-6b para R, se obtiene

(12 V)2 V2 = = 3.6 . P (40 W) NOTA Ésta es la resistencia cuando la bombilla se quema mientras brilla a 40 W. Cuando la bombilla está fría, la resistencia es mucho menor, como se vio en la ecuación 18-4. Como la corriente es alta cuando la resistencia es baja, las bombillas se queman con más frecuencia cuando se encienden por primera vez. R =

F Í S I C A

A P L I C A D A

¿Por qué las bombillas se queman cuando se encienden por primera ocasión?

FIGURA 18-17 Ejemplo 18-8.

12 V Faro de 40 W SECCIÓN 18–5

Potencia eléctrica

503

P R E C A U C I Ó N

Uno paga por la energía, que es potencia  tiempo, no por la potencia. Kilowatt-hora (unidad de energía usada por las compañías eléctricas)

Es la energía, no la potencia, la que se paga en la factura de la electricidad. Puesto que la potencia es la tasa a la que se transforma la energía, la energía total utilizada por cualquier dispositivo es simplemente su consumo de potencia multiplicado por el tiempo que está encendido. Si la potencia está en watts y el tiempo está en segundos, la energía estará en joules pues 1 W
1 J
s. Por lo general, las compañías eléctricas especifican la energía con una unidad mucho más grande, el kilowatthora (kWh). Un kWh = (1000 W)(3600 s) = 3.60 * 106 J. EJEMPLO 18-9 Calentador eléctrico. Un calentador eléctrico extrae 15.0 A de manera constante en una línea de 120 V. ¿Cuánta potencia se requiere y cuánto costará por mes (30 días) si opera 3.0 h al día y la compañía eléctrica cobra 9.2 centavos por kWh? PLANTEAMIENTO Se conoce la corriente y el voltaje, así que se usa la ecuación 18-5 para encontrar la potencia. Se multiplica la potencia (en kW) por el tiempo (h) de uso en un mes para encontrar la energía transformada en ese periodo, y luego se multiplica por el costo por unidad de energía, $0.092 por kWh, para obtener el costo por mes. SOLUCIÓN La potencia es

P = IV = (15.0 A)(120 V) = 1800 W o 1.80 kW. El tiempo (en horas) que el calentador se usa por mes es (3.0 h
d) (30 d)
90 h, que a 9.2¢
kWh costaría (1.80 kW)(90 h)($0.092
kWh) = $15. NOTA La corriente doméstica en realidad es alterna (ca), pero la solución todavía es válida si se supone que los valores dados para V e I son los promedios adecuados (rms), como se discutirá en la sección 18-7. F Í S I C A

A P L I C A D A

Relámpagos

EJEMPLO 18-10 ESTIMACIÓN Relámpagos. Los relámpagos son un ejemplo espectacular de la corriente eléctrica en un fenómeno natural (figura 18-18). Existe mucha variabilidad en los relámpagos, pero un evento típico puede transferir 109 J de energía a través de una diferencia de potencial de tal vez 5  107 V durante un intervalo de tiempo de aproximadamente 0.2 s. Utilice esta información para estimar a) la cantidad total de carga transferida entre la nube y la tierra, b) la corriente en el relámpago y c) la potencia promedio entregada durante los 0.2 s. PLANTEAMIENTO La carga Q se estima recordando que el cambio en la energía potencial es igual a la diferencia de potencial Vba por la carga Q (ecuación 17-3). Luego EP se iguala con la energía transferida, EP ≈ 109 J. A continuación, la corriente I es Q
t (ecuación 18-1) y la potencia P es energía
tiempo. SOLUCIÓN a) A partir de la ecuación 17-3, la energía transformada es EP
QVba. Se resuelve para Q:

FIGURA 18-18 Ejemplo 18-10: un relámpago.

¢ep 109 J = 20 coulombs. L V ba 5 * 107 V b) La corriente durante los 0.2 s es aproximadamente Q =

Q 20 C L = 100 A. t 0.2 s c) La potencia promedio entregada es I =

P =

energía tiempo

=

109 J = 5 * 109 W = 5 GW. 0.2 s

También se puede utilizar la ecuación 18-5:

P = IV = (100 A)(5 * 107 V) = 5 GW. NOTA Como la mayoría de los relámpagos constan de varias etapas, es posible que partes individuales puedan portar corrientes mucho mayores que los 100 A calculados. 504

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

EJERCICIO D Si 1 kWh
3.6  106 J, ¿cuánta masa se debe levantar contra la gravedad a lo largo de un metro para realizar la cantidad de trabajo equivalente?

18–6 Potencia en circuitos caseros Los alambres eléctricos que portan electricidad hacia las luces y otros aparatos eléctricos tienen cierta resistencia, aunque por lo general es bastante pequeña. No obstante, si la corriente es lo suficientemente grande, los alambres se calentarán y producirán energía térmica a una tasa igual a I 2R, donde R es la resistencia del alambre. Un posible riesgo es que los alambres que portan corriente en la pared de un edificio se calienten tanto que se inicie un incendio. Los alambres más gruesos tienen menos resistencia (ecuación 18-3) y, por esa razón, pueden portar más corriente sin calentarse demasiado. Cuando un alambre porta más corriente de la que es segura, se dice que está “sobrecargado”. Para evitar la sobrecarga, en los circuitos se instalan fusibles o interruptores de circuito (estos últimos también conocidos como disyuntores o breakers). Básicamente se trata de interruptores (figura 18-19) que abren el circuito cuando la corriente supera cierto valor particular. Por ejemplo, un fusible de 20 A o un interruptor de circuito se abren cuando la corriente que pasa a través de ellos supera los 20 A. Si un circuito quema repetidamente un fusible o abre un disyuntor, existen dos posibilidades: que haya demasiados dispositivos que extraigan corriente en dicho circuito; o existe una falla en alguna parte, como un “corto”. Un cortocircuito, o “corto”, significa que dos alambres que no deberían estar en contacto se tocan (quizá porque el aislador se gastó), así que la trayectoria de la corriente se reduce. Entonces la resistencia del circuito es muy pequeña, de modo que la corriente será muy grande. Los cortocircuitos se deben reparar de inmediato.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Seguridad: los alambres se calientan Fusibles, interruptores de circuito y cortos

FIGURA 18-19 a) Fusibles. Cuando la corriente supera cierto valor, el listón metálico se funde y el circuito se abre. Entonces se debe reemplazar el fusible. b) Un tipo de disyuntor. La corriente eléctrica pasa a través de una tira bimetálica. Cuando la corriente rebasa un nivel de seguridad, el calentamiento de la tira bimetálica provoca que la tira se doble tanto hacia la izquierda que la muesca en la tira metálica sostenida por el resorte baje sobre el extremo de la tira bimetálica; c) entonces el circuito se abre en los puntos de contacto (uno está unido a la tira metálica) y el interruptor exterior también se voltea. Tan pronto como la tira bimetálica se enfría, se puede restaurar mediante el interruptor exterior. Los disyuntores de tipo magnético se estudiarán en los capítulos 20 y 21.

Listón fusible

a) Tipos de fusibles F Í S I C A

Resorte comprimido

Puntos de contacto

Interruptor exterior

A P L I C A D A

Fusibles y disyuntores Contactos abiertos Tira metálica

Tira bimetálica

Hacia circuito eléctrico

b) Disyuntor (cerrado)

c) Disyuntor (abierto)

SECCIÓN 18–6

Potencia en circuitos caseros

505

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Interruptor

Los circuitos caseros están diseñados con los diversos dispositivos conectados de modo que cada uno recibe el voltaje estándar (120 V en Estados Unidos) proveniente de la compañía eléctrica (figura 18-20). Los circuitos con los dispositivos ordenados como en la figura 18-20 se llaman circuitos en paralelo, y se estudiarán en el capítulo 19. Cuando se quema un fusible o se abre un disyuntor, es importante verificar la corriente total que se extrae de dicho circuito, que es la suma de las corrientes en cada dispositivo.

Bombilla 100 W

EJEMPLO 18-11 ¿Se quemará el fusible? Determine la corriente total que extraen todos los dispositivos en el circuito de la figura 18-20. Calefactor eléctrico 1800 W 96.3 Hz

Receptor estéreo 350 W

SOLUCIÓN El circuito en la figura 18-20 extrae las siguientes corrientes: la bombilla extrae I
P
V
100 W
120 V
0.8 A; el calentador extrae 1800 W
120 V
15.0 A; el estéreo extrae un máximo de 350 W
120 V
2.9 A; y la secadora de cabello extrae 1200 W
120 V
10.0 A. La corriente total extraída, si todos los dispositivos se ponen en funcionamiento al mismo tiempo, es

Secadora de cabello 1200 W

NOTA El calentador extrae tanta corriente como 18 bombillas de 100 W. Por seguridad, el calentador probablemente debería tener un circuito para él solo.

0.8 A + 15.0 A + 2.9 A + 10.0 A = 28.7 A.

Fusible o disyuntor 120 V (de la compañía eléctrica)

FIGURA 18-20 Conexión de aparatos electrodomésticos. F Í S I C A

A P L I C A D A

Fusibles adecuados y cortos

F Í S I C A

PLANTEAMIENTO Cada dispositivo tiene el mismo voltaje de 120 V a través de él. La corriente que cada uno extrae de la fuente se determina a partir de la fórmula I
P
V (ecuación 18-5).

A P L I C A D A

Cordones de extensión y posibles peligros

Si el circuito en la figura 18-20 está diseñado para un fusible de 20 A, el fusible se quemaría, y uno espera que así suceda, para evitar que los alambres sobrecargados se calienten tanto como para iniciar un incendio. Algo se tendrá que desconectar para hacer que este circuito esté por debajo de los 20 A. (Las casas y departamentos, por lo general, tienen varios circuitos, cada uno con su propio fusible o disyuntor; para comprobarlo, intente mover uno de los dispositivos a otro circuito). Si el circuito está diseñado con alambre más pesado y un fusible de 30 A, el fusible no se debería quemar; si lo hace, un corto puede ser el problema. (El lugar más probable para un corto es el cordón de uno de los dispositivos). El tamaño de fusible adecuado se selecciona de acuerdo con el alambre que se usa para suministrar la corriente; un fusible adecuadamente clasificado nunca se debe sustituir por uno con clasificación más alta. Un fusible quemado o un disyuntor abierto actúa como un interruptor, y establece un “circuito abierto”. Por circuito abierto se entiende que ya no existe una trayectoria conductora completa, así que no puede fluir corriente; es como si R = q. EJERCICIO E Un calefactor eléctrico portátil de 1800 W está muy lejos de un escritorio como para calentar los pies de una persona. Su cordón es muy corto, así que se conecta en un cordón de extensión clasificado en 11 A. ¿Por qué esto es peligroso?

CD y CA

18–7 Corriente alterna

FIGURA 18-21 a) Corriente direc-

Corriente

ta, b) corriente alterna.

Tiempo

t

Corriente

a) CD

I0

−I0

t Tiempo

Cuando una batería se conecta a un circuito, la corriente se mueve de manera estable en una dirección. A esto se le llama corriente directa, o cd (dc por sus siglas en inglés). Sin embargo, los generadores eléctricos en las centrales eléctricas producen corriente alterna o ca (ac por sus siglas en inglés). (En ocasiones se usan letras mayúsculas, CD y CA). Una corriente alterna invierte la dirección muchas veces por segundo y comúnmente es sinusoidal, como se muestra en la figura 18-21. Los electrones en un alambre se mueven primero en una dirección y luego en la otra. La corriente suministrada a los hogares y negocios por las compañías eléctricas es ca virtualmente a lo largo de todo el mundo. En el capítulo 21 se analizarán y discutirán en detalle los circuitos ca. Pero, como los circuitos ca son tan comunes en la vida real, a continuación se explicarán algunos de sus aspectos básicos. El voltaje producido por un generador eléctrico ca es sinusoidal, como se verá más tarde. La corriente que produce es, por ende, sinusoidal (figura 18-21b). El voltaje como función del tiempo se escribe como

V = V0 sen 2pft = V0 sen vt.

b) CA

506

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

El potencial V oscila entre V0 y V0, y V0 se conoce como voltaje pico. La frecuencia f es el número de oscilaciones completas efectuadas por segundo, v
2pf. En la mayoría de las áreas de Estados Unidos y Canadá, f es de 60 Hz (la unidad “hertz”, como se vio en el capítulo 11, significa ciclos por segundo). En muchos países se usan 50 Hz. La ecuación 18-2, V
IR, también funciona para ca: si por una resistencia R existe un voltaje V, entonces la corriente I a través de la resistencia es

I =

V0 V = sen vt = I0 sen vt. R R

(18–7)

La cantidad I0
V0
R es la corriente pico. La corriente se considera positiva cuando los electrones fluyen en una dirección y negativa cuando fluyen en la dirección opuesta. Es claro a partir de la figura 18-21b que una corriente alterna con tanta frecuencia es positiva como negativa. Así que la corriente promedio es cero. Sin embargo, esto no significa que no se necesite potencia o que no se produzca calor en un resistor. Los electrones se mueven de ida y vuelta, y sí producen calor. De hecho, la potencia transformada en una resistencia R en cualquier instante es Puesto que la corriente está al cuadrado, se ve que la potencia siempre es positiva, como se grafica en la figura 18-22. La cantidad sen2 vt varía entre 0 y 1; y no es demasiado difícil mostrar que su valor promedio es 1, como se indica en la figura 18-22. Por tanto, la potencia promedio transformada, g, es

I 2R = 12 I 20R

I 20 R Potencia

P = I2R = I20 R sen2 vt.

t

g = 12 I 20 R.

Como la potencia también se puede escribir P = V2
R = AV20
RB sen2 vt, también se tiene que la potencia promedio es

Tiempo FIGURA 18-22 Potencia transformada en un resistor en un circuito ca.

V20 . g = 12 R El promedio o valor medio del cuadrado de la corriente o voltaje es, por tanto, lo que importa para calcular la potencia promedio: Y = 12 I 20 y Z = 12 V20 . La raíz cuadrada de cada uno de éstos es el valor rms (raíz cuadrática media) de la corriente o voltaje:

Irms = 3Y = Vrms = 3Z =

I0 22 V0 22

= 0.707I0 , = 0.707V0 .

(18–8a)

Corriente rms

(18–8b)

Voltaje rms

Los valores rms de V e I a veces se denominan valores efectivos. Estos valores son útiles porque se pueden sustituir directamente en las fórmulas de potencia (ecuaciones 18-5 y 18-6), para obtener la potencia promedio:

g = IrmsVrms g =

1 2 2 I 0R 2 1 V0 2

=

(18–9a)

I 2rmsR

(18–9b)

V2rms

. = (18–9c) R R En consecuencia, una corriente directa cuyos valores de I y V sean iguales a los valores rms de I y V para una corriente alterna producirá la misma potencia. Así que, por lo general, son los valores rms de corriente los que se especifican o miden. Por ejemplo, en Estados Unidos y Canadá, el voltaje de línea estándar† es de 120 V ca. Los 120 V son Vrms; el voltaje pico V0 es g =

V0 = 22 Vrms = 170 V. En gran parte del mundo (Europa, Australia y Asia), el voltaje rms es de 240 V, de modo que el voltaje pico es de 340 V. †

El voltaje de línea puede variar, dependiendo de la carga total; sin embargo, la frecuencia de 60 o 50 Hz permanece constante.

SECCIÓN 18–7

Corriente alterna

507

Motor

EJEMPLO 18-12 Secadora de cabello. a) Calcule la resistencia y la corriente pico en una secadora de cabello de 1000 W (figura 18-23) conectada a una línea de 120 V. b) ¿Qué ocurrirá si se conecta a una línea de 240 V en Gran Bretaña?

Ventilador

Bobinas calefactoras

PLANTEAMIENTO Se proporcionan g y Vrms, de modo que Irms = g
Vrms (ecuación 18-9a o 18-5) y I0 = 12 Irms . Entonces se encuentra R a partir de V
IR. SOLUCIÓN a) Se resuelve la ecuación 18-9a para la corriente rms:

Irms = Interruptor

g 1000 W = = 8.33 A. Vrms 120 V

Entonces

Cordón FIGURA 18-23 Secadora de cabello. La mayor parte de la corriente pasa a través de las bobinas calefactoras, una resistencia pura; una pequeña parte va al motor para activar el ventilador. Ejemplo 18-12.

I0 = 12 Irms = 11.8 A. La resistencia es Vrms 120 V = = 14.4 . R = Irms 8.33 A La resistencia se podría calcular igualmente bien con el uso de los valores pico: V0 170 V R = = 14.4 . = I0 11.8 A b) Cuando se conecta a una línea de 240 V, más corriente fluye y la resistencia cambiará con el aumento de temperatura (sección 18-4). Pero mejor se realiza una estimación de la potencia transformada con base en la misma resistencia de 14.4 W. La potencia promedio sería (240 V)2 V2rms = = 4000 W. g = R (14.4 ) Esto es cuatro veces la clasificación de potencia de la secadora e indudablemente fundirá el elemento calefactor o las bobinas de alambre del motor. EJEMPLO 18-13 Potencia de un estéreo. Cada canal de un receptor estéreo es capaz de una salida de potencia promedio de 100 W en una bocina de 8  (figura 18-14). ¿Cuáles son el voltaje rms y la corriente rms que alimentan a la bocina a) en la potencia máxima de 100 W y b) a 1.0 W cuando el volumen se apaga? PLANTEAMIENTO Suponga que la bocina puede ser tratada como una resistencia simple (lo que no es muy cierto; véase el capítulo 21) con R
8.0 . Se proporciona la potencia P, así que es posible determinar Vrms e Irms mediante las ecuaciones de potencia (ecuaciones 18-9). SOLUCIÓN a) Se resuelve la ecuación 18-9c para Vrms y se establece que g = 100 W (en el máximo):

Vrms = 3 gR = 3(100 W)(8.0 ) = 28 V. A continuación se resuelve la ecuación 18-9 para Irms y se obtiene Irms =

g 100 W = = 3.5 A. BR B 8.0 

O se podría usar la ley de Ohm (V
IR):

Irms =

Vrms 28 V = = 3.5 A. R 8.0 

b) En g = 1.0 W,

Vrms = 3(1.0 W)(8.0 ) = 2.8 V 2.8 V = 0.35 A. Irms = 8.0  EJERCICIO F ¿Cuáles serían el voltaje rms y la corriente rms del estéreo en el ejemplo 18-13 si los 100 W se conectan a una bocina de 4 ?

Esta sección constituyó una breve introducción a los aspectos más simples de las corrientes alternas. En el capítulo 21 se estudiarán los circuitos ca con más detalle. El capítulo 19 sólo se ocupará de los detalles de los circuitos cd.

508

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

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18–8 Visión microscópica de la corriente eléctrica

B

+ E

Es útil analizar un modelo simple de la corriente eléctrica en el nivel microscópico de átomos y electrones. En un alambre conductor, por ejemplo, uno puede imaginar a los electrones libres en movimiento aleatorio a alta rapidez, rebotando de los átomos del alambre (un poco como las moléculas de un gas; secciones 13-9 a 13-11). Cuando en el alambre existe un campo eléctrico (figura 18-24) provocado por una diferencia de potencial que se aplica entre sus extremos, los electrones sienten una fuerza y comienzan a acelerar. Pero pronto alcanzan una rapidez promedio más o menos estable (por las colisiones con los átomos en el alambre), conocida como rapidez de deriva, vd . La rapidez de deriva normalmente es mucho menor que la rapidez aleatoria promedio de los electrones. vd se puede relacionar con la corriente macroscópica I en el alambre. En un tiempo t, los electrones recorrerán una distancia l = vd ¢t en promedio. Suponga que el alambre tiene un área de sección transversal A. Entonces, en el tiempo t, todos los electrones en un volumen V = Al = Avd ¢t pasarán a través de la sección transversal A del alambre, como se muestra en la figura 18-25. Si existen n electrones libres (cada uno con carga e) por unidad de volumen, entonces el número total de electrones es N
nV (V es volumen, no voltaje), y la carga total Q que pasa a través del área A en un tiempo t es

¢Q = (número de cargas, N) * (carga por partícula) = (nV)(e) = AnAvd ¢t B(e). La corriente I en el alambre es, por tanto, ¢Q I = = neAvd . ¢t

(18–10)

– vBd

FIGURA 18-24 El campo eléctrico B E en un alambre proporciona a los electrones en movimiento aleatorio una rapidez de deriva vd .

Rapidez de deriva

FIGURA 18-25 Los electrones en el volumen Al pasarán todos a través de la sección transversal indicada en un tiempo ¢t, donde l = vd ¢t.

vBd

A

l = vd ∆t

Corriente (variables microscópicas)

EJEMPLO 18-14 Rapidez de electrones en un alambre. Un alambre de cobre de 3.2 mm de diámetro porta una corriente de 5.0 A. Determine la rapidez de deriva de los electrones libres. Suponga que un electrón por átomo de Cu está libre para moverse (los otros permanecen ligados al átomo). PLANTEAMIENTO Se puede aplicar la ecuación 18-10 para calcular la rapidez de deriva si se determina el número n de electrones libres por unidad de volumen. Como se supone que existe un electrón libre por átomo, la densidad de electrones libres, n, es la misma que la densidad de los átomos de Cu. La masa atómica del Cu es 63.5 u (consulte la tabla periódica en los forros), de modo que 63.5 g de Cu contienen un mol o 6.02  1023 electrones libres. Entonces se usa la densidad de masa del cobre (tabla 10-1), pD
8.9  103 kg
m3, para encontrar el volumen de esta cantidad, y luego n
N
V. (Se usa pD para distinguirla de la p de resistividad). SOLUCIÓN La densidad de masa pD
m
V está relacionada con el número de electrones libres por unidad de volumen, n
N
V, mediante

N (1 mol) N N = = r V m
rD m (1 mol) D 6.02 * 1023 electrones = ¢ ≤ A8.9 * 103 kg
m3 B 63.5 * 10–3 kg = 8.4 * 1028 m–3. El área de sección transversal del alambre es 2 A = pr2 = (3.14)A1.6 * 10–3 mB = 8.0 * 10–6 m2. n =

Entonces, por la ecuación 18-10, la rapidez de deriva es

5.0 A I = neA A8.4 * 1028 m–3 B A1.6 * 10–19 CB A8.0 * 10–6 m2 B = 4.7 * 10–5 m
s, que es sólo de aproximadamente 0.05 mm
s. NOTA Esta rapidez de deriva se puede comparar con la rapidez real de los electrones libres que rebotan en el interior del metal como moléculas en un gas, que está calculada en 1.6  106 m
s a 20°C. vd =

SECCIÓN 18–8

Visión microscópica de la corriente eléctrica

509

La rapidez de deriva de los electrones en un alambre es muy baja, sólo de alrededor de 0.05 mm
s para el ejemplo 18-14, lo que significa que a un electrón le toma 20  103 s, o 51 h, recorrer 1 m. Sin embargo, esto no es la rapidez a la que “viaja la electricidad”: cuando se acciona el interruptor de la luz, ésta (aunque esté a muchos metros de distancia) se enciende casi instantáneamente porque los campos eléctricos viajan en esencia a la rapidez de la luz (3  108 m
s). Puede pensarse en los electrones en un alambre como en una tubería llena con agua: cuando una pequeña cantidad de agua entra por un extremo de la tubería, casi de inmediato sale agua por el otro extremo.

“Rapidez” de la electricidad

Resistividad, r

*

T TC FIGURA 18-26 Un material superconductor tiene resistividad cero cuando su temperatura está por debajo de TC, su “temperatura crítica”. En TC, la resistividad salta a un valor “normal” distinto de cero y aumenta con la temperatura como lo hacen la mayoría de los materiales (ecuación 18-4).

Superconductores a alta temperatura

18–9 Superconductividad A temperaturas muy bajas, muy por debajo de 0°C, la resistividad (sección 18-4) de ciertos metales y ciertos compuestos o aleaciones se vuelve cero, según mediciones basadas en técnicas de la mayor precisión. Se dice que los materiales en tal estado son superconductores. Fue H. K. Onnes (1853-1926) quien observó por primera vez este fenómeno en 1911, cuando enfrió mercurio por debajo de 4.2 K (269°C). Onnes encontró que, a esta temperatura, la resistencia del mercurio súbitamente se reducía a cero. En general, los superconductores se convierten en tales sólo por debajo de cierta temperatura de transición o temperatura crítica, TC, que por lo común está a unos cuantos grados del cero absoluto. Se ha observado que la corriente en un material superconductor con forma de anillo fluye durante años en ausencia de una diferencia de potencial, sin disminución mensurable. Las mediciones muestran que la resistividad p de los superconductores es menor que 4  1025   m, que es más de 1016 veces menor que la del cobre, y en la práctica se considera que es cero. Observe la figura 18-26. Se han realizado extensas investigaciones en torno a la superconductividad para intentar comprender por qué ocurre, y para encontrar materiales que sean superconductores a temperaturas más altas y accesibles, y de este modo reducir el costo y los inconvenientes de la refrigeración a la muy baja temperatura requerida. Antes de 1986 la temperatura más alta a la que se encontró un material superconductor fue de 23 K, y esto requirió helio líquido para mantener frío al material. En 1987 se desarrolló un compuesto de itrio, bario, cobre y oxígeno (YBCO) que podía ser superconductor a 90 K. Como esta cifra está por arriba de la temperatura de ebullición del nitrógeno líquido, 77 K, el nitrógeno líquido es suficientemente frío para mantener como superconductor al material. Esto fue un importante adelanto, pues el nitrógeno líquido es mucho más fácil y barato de obtener que el helio líquido que se necesita para los superconductores convencionales. Desde entonces se ha reportado superconductividad a temperaturas tan elevadas como 160 K, aunque en compuestos frágiles. Se sigue realizando considerable investigación para desarrollar superconductores de alta TC como alambres que puedan portar corrientes lo suficientemente intensas como para ser prácticos. La mayoría de las aplicaciones actuales utilizan un óxido de bismuto-estroncio-calcio-cobre conocido (para abreviar) como BSCCO. Un gran problema que hay que resolver es cómo producir un alambre utilizable y flexible a partir del BSCCO, que es muy quebradizo. Una solución es incrustar delgados filamentos del superconductor de alta TC en una aleación metálica matriz con el alambre superconductor enrollado en torno de un tubo que lleve nitrógeno líquido para mantener al BSCCO por debajo de la TC. El alambre no puede estar libre de resistencia, a causa de las conexiones de plata, pero la resistencia es mucho menor que la de un cable de cobre convencional.

* 18–10 Conducción eléctrica en el sistema nervioso humano Un ejemplo interesante del flujo de carga eléctrica es el sistema nervioso humano, que proporciona los medios para estar consciente del mundo, para la comunicación

510

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

dentro del cuerpo y para controlar los músculos. Aunque el funcionamiento detallado del enormemente complejo sistema nervioso todavía no se entiende bien, se tiene una comprensión razonable de cómo se transmiten los mensajes dentro del sistema nervioso: se trata de señales eléctricas que pasan a lo largo del elemento básico del sistema nervioso, la neurona. Las neuronas son células vivientes de forma inusual (figura 18-27). Unidos al cuerpo celular principal hay varios pequeños apéndices conocidos como dendritas y un largo tallo llamado axón. Las dendritas reciben las señales, que se propagan a lo largo del axón. Cuando una señal alcanza las terminaciones nerviosas, se transmite hacia la siguiente neurona o hacia un músculo en una conexión llamada sinapsis. (Algunas neuronas tienen células separadas, llamadas células de Schwann, enrolladas en torno a sus axones; ellas forman una vaina en capas denominada vaina de mielina, que ayuda a aislar unas neuronas de otras). Las neuronas tienen tres capacidades. Las “neuronas sensoriales” portan mensajes de los ojos, oídos, piel y otros órganos hacia el sistema nervioso central, que consta del cerebro y la médula espinal. Las “neuronas motoras” portan señales desde el sistema nervioso central hacia músculos particulares y pueden indicarles que se contraigan. Estos dos tipos de neuronas conforman el “sistema nervioso periférico”, para distinguirlo del sistema nervioso central. El tercer tipo de células nerviosas son las “interneuronas”, que transmiten señales entre neuronas. Las interneuronas están en el cerebro y la médula espinal, y con frecuencia están conectadas en un arreglo increíblemente complejo. Una neurona, antes de transmitir una señal eléctrica, se encuentra en “estado de reposo”. Como casi todas las células vivas, las neuronas tienen una carga positiva neta en la superficie exterior de la membrana celular y una carga negativa en la superficie interior, como se mencionó en la sección 17-11 en relación con los músculos cardiacos y el ECG. Esta diferencia en carga, o “capa dipolo”, significa que a través de la membrana celular existe una diferencia de potencial. Cuando una neurona no transmite una señal, este “potencial de reposo”, normalmente expresado como Vinterior  Vexterior, por lo general es de 60 mV a 90 mV, dependiendo del tipo de organismo. Los iones más comunes en una célula son K, Na y Cl. Existen grandes diferencias en las concentraciones de estos iones dentro y fuera de una célula, como se indica por los valores típicos que se incluyen en la tabla 18-2. También están presentes otros iones, de modo que los fluidos tanto dentro como fuera del axón son eléctricamente neutros. En virtud de las diferencias en concentración existe una tendencia para que los iones se difundan a través de la membrana (véase la sección 13-14 acerca de la difusión). Sin embargo, en el estado de reposo, la membrana celular evita cualquier flujo neto de Na (mediante un mecanismo de “bombeo activo” de Na hacia fuera de la célula). Pero sí permite el flujo de iones Cl, y menos de los llamados iones K, y son estos dos tipos de iones los que producen la capa dipolo de carga en la membrana. Puesto que existe mayor concentración de K en el interior de la célula que en el exterior, más iones K tienden a difundirse hacia el exterior a través de la membrana que a difundirse hacia dentro. Un ión K que pasa a través de la membrana queda unido a la superficie exterior de ésta y deja detrás una carga negativa igual que yace en la superficie interior de la membrana (figura 18-28). Los fluidos mismos permanecen neutros. De hecho, lo que mantiene a los iones en la membrana es su atracción mutua a través de ella. De manera independiente de este proceso, los iones Cl tienden a difundirse en la célula pues afuera su concentración es mayor. La difusión de K y Cl tiende a cargar negativamente la superficie interior de la membrana y positivamente la exterior. Conforme la carga se acumula en la superficie de la membrana, cada vez se vuelve más difícil que se difundan más iones: los iones K que intentan moverse hacia fuera, por ejemplo, son repelidos por la carga positiva que ya está ahí. El equilibrio se alcanza cuando la tendencia a difundirse provocada por la diferencia de concentración es apenas balanceada por la diferencia de potencial eléctrico a través de la membrana. Cuanto mayor sea la diferencia de concentración, mayor será la diferencia de potencial a través de la membrana, la que, como se mencionó antes, está en el rango de 60 mV a 90 mV. SECCIÓN 18–10

Señal desde otra neurona Sinapsis Dendritas

Cuerpo celular

Núcleo

Axón Vaina de mielina Nodo de Ranvier

Sinapsis

Terminaciones nerviosas

Otra neurona o un músculo FIGURA 18-27 Esquema simplificado de una neurona típica.

TABLA 18–2 Concentraciones de iones dentro y fuera de un axón típico Concentración Concentración dentro del axón fuera del axón (mol m3) (mol m3) K± Na± Cl–

140 15 9

5 140 125

FIGURA 18-28 Cómo se forma una capa dipolo de carga en la membrana de una célula.

Na+

K+ – +

+ –

Fluido extracelular Cl– + – Axón – +

Membrana – +

Conducción eléctrica en el sistema nervioso humano

511

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Vexterior

Vinterior

Axón

FIGURA 18-29 Medición de la diferencia de potencial entre el interior y el exterior de una célula nerviosa.

El aspecto más importante de una neurona no es que tenga un potencial de reposo (la mayoría de las células lo tienen), sino más bien que puede responder a un estímulo y conducir una señal eléctrica a lo largo de ella. Un nervio puede ser estimulado de varias formas. El estímulo puede ser térmico (por ejemplo, cuando se toca una estufa caliente) o químico (como en las papilas gustativas); puede ser presión (como en la piel o en el tímpano) o luz (como en el ojo); o puede ser el estímulo eléctrico de una señal que proviene del cerebro u otra neurona. En el laboratorio, el estímulo generalmente es eléctrico y se aplica por medio de una pequeña sonda en algún punto sobre la neurona. Si el estímulo supera cierto umbral, un pulso de voltaje viajará por el axón. Este pulso de voltaje se puede detectar en un punto sobre el axón con el uso de un voltímetro o un osciloscopio conectado, como se representa en la figura 18-29. Este pulso de voltaje tiene la forma que se muestra en la figura 18-30 y se llama potencial de acción. Como se observa, el potencial aumenta desde un potencial de reposo a aproximadamente 70 mV y se vuelve 30 mV o 40 mV positivo. El potencial de acción dura aproximadamente 1 ms y viaja por un axón con una rapidez de 30 m
s a 150 m
s. Cuando se estimula un potencial de acción, se dice que el nervio se ha “disparado”.

60

FIGURA 18-30 Potencial de acción.

Potencial V (mV)

40 20

Tiempo (ms)

0

1

2

3

4

−20 −40 −60 −80 Potencial de reposo

FIGURA 18-31 Propagación de un potencial de acción a lo largo de la membrana de un axón.

Punto de estimulación Membrana Exterior + – – ++++++++++ – ++ – – – – – – – – – – Interior a) + – – ++++++++++ – ++ – – – – – – – – – – b) – ++ – +++++++++ + – – + – – – – – – – – – c) ++++ – ++++++++ – – – – + – – – – – – – – Potencial de acción que se mueve hacia la derecha d)

512

CAPÍTULO 18

Potencial de acción

¿Qué provoca el potencial de acción? Aparentemente, la membrana celular tiene la habilidad de alterar sus propiedades de permeabilidad. En el punto donde ocurre el estímulo, la membrana súbitamente se vuelve mucho más permeable a los iones Na que a los K o Cl. De esa forma, los iones Na se precipitan a la célula y la superficie interior de la pared adquiere carga positiva, y la diferencia de potencial rápidamente cambia a positiva (L 30 mV en la figura 18-30). Inmediatamente, la membrana regresa a sus características originales: se vuelve impermeable a Na y de hecho bombea hacia el exterior iones Na. De nuevo predomina la difusión de iones Cl y K y el potencial de reposo original se restaura (70 mV en la figura 18-30). ¿Qué causa que el potencial de acción viaje por el axón? El potencial de acción ocurre en el punto de estimulación, como se ilustra en la figura 18-31a. La membrana, por un momento, es positiva en el interior y negativa en el exterior en este punto. Las cargas cercanas son atraídas hacia esta región, como se indica en la figura 18-31b. Entonces, en estas regiones adyacentes baja el potencial, lo que provoca un potencial de acción. De este modo, conforme la membrana regresa a la normalidad en el punto original, junto a él se registra un potencial de acción, de modo que éste se mueve por el axón (figuras 18-31c y d). Tal vez el lector se pregunte si el número de iones que pasan a través de la membrana alterará significativamente las concentraciones. La respuesta es no; y se puede demostrar por qué si se considera al axón como un capacitor, como en el ejemplo siguiente.

Corrientes eléctricas

EJEMPLO 18-15 ESTIMACIÓN Capacitancia de un axón. a) Realice una estimación del orden de magnitud para la capacitancia de un axón de 10 cm de largo y 10 mm de radio. El grosor de la membrana es de aproximadamente 108 m, y la constante dieléctrica es 3. b) ¿En qué factor cambia la concentración (número de iones por volumen) de iones Na en la célula como resultado de un potencial de acción? PLANTEAMIENTO Se modela la membrana de un axón como un capacitor de placas paralelas con forma cilíndrica, con cargas opuestas en cada lado. La separación de las “placas” es el grosor de la membrana, d ≈ 108 m. Primero se calcula el área del cilindro y luego usa la ecuación 17-9, C = K 0 A
d, para determinar la capacitancia. En b), se utiliza el cambio de voltaje durante un potencial de acción para calcular la cantidad de carga que se mueve a través de la membrana. SOLUCIÓN a) El área A es el área de un cilindro de radio r y longitud l:

A = 2prl L (6.28)A10–5 mB(0.1 m) L 6 * 10–6 m2. A partir de la ecuación 17-9, se tiene

C = K 0

A 6 * 10–6 m2 L 10–8 F. L (3) A8.85 * 10–12 C 2
N m2 B d 10–8 m

b) Como el voltaje cambia de 70 mV a casi 30 mV, el cambio total es de aproximadamente 100 mV. Entonces, la cantidad de carga que se mueve es

Q = CV L A10–8 FB(0.1 V) = 10–9 C. Cada ion porta una carga e
1.6  1019 C, de modo que el número de iones que fluyen por potencial de acción es Q
e = A10 –9 CB
A1.6 * 10 –19 CB L 1010. El volumen del axón cilíndrico es

V = pr2l L (3) A10–5 mB (0.1 m) = 3 * 10–11 m3, 2

y la concentración de iones Na en el interior de la célula (tabla 18-2) es 15 mol
m3 = 15 * 6.02 * 1023 iones
m3 L 1025 iones
m3. Por tanto, la célula contiene A1025 iones
m3 B * A3 * 10–11 m3 B L 3 * 1014 iones Na±. Entonces, un potencial de acción cambiará la concentración de iones Na en aproximadamente 1010
A3 * 1014 B
13 * 10–4, o 1 parte en 30,000. Este pequeño cambio no sería mensurable. De esta manera, incluso 1000 potenciales de acción no alterarán la concentración significativamente. Por tanto, la bomba de sodio no tendrá que remover iones Na rápidamente después de un potencial de acción, sino que puede operar con lentitud para mantener una concentración relativamente constante. La propagación de un pulso nervioso como se describe aquí se aplica a un axón desmielinizado. Los axones mielinizados, por otra parte, están aislados del fluido extracelular por medio de la vaina de mielina excepto en los nodos de Ranvier (figura 18-27). Donde hay vaina de mielina no se puede generar un potencial de acción. Una vez que tal neurona recibe un estímulo, el pulso todavía viajará por la membrana, pero existirá una resistencia y el pulso se reducirá conforme se mueva por el axón. No obstante, la señal debilitada todavía puede estimular un potencial de acción de despliegue completo cuando alcance un nodo de Ranvier. Así es como la señal se amplifica varias veces en estos puntos. Comparemos esto con una neurona desmielinizada, en la que la señal se amplifica de manera continua mediante potenciales de acción repetidos a todo lo largo de ella, lo que requiere mucha más energía. El desarrollo de neuronas mielinizadas constituye un significativo paso evolutivo, pues ello significa transmisión confiable de pulsos nerviosos con menor gasto de energía. Y los pulsos viajan más rápidamente, en tanto que la conducción ordinaria es más rápida que la producción repetida de potenciales de acción, cuya rapidez depende del flujo de iones a través de la membrana. SECCIÓN 18–10

Conducción eléctrica en el sistema nervioso humano

513

Resumen Una batería eléctrica funciona como fuente de diferencia de potencial casi constante al transformar energía química en energía eléctrica. Una batería simple consiste en dos electrodos hechos de diferentes metales sumergidos en una solución o pasta conocida como electrolito. La corriente eléctrica, I, se refiere a la tasa de flujo de carga eléctrica y se mide en amperes (A): 1 A es igual al flujo de 1 C
s que pasa por un punto dado. La dirección de la corriente convencional es la del flujo de carga positiva. En un alambre, en realidad son los electrones cargados negativamente los que se mueven, de modo que fluyen en una dirección opuesta a la corriente convencional. Un flujo de carga positiva en una dirección casi siempre es equivalente a un flujo de carga negativa en la dirección opuesta. La corriente convencional positiva siempre fluye de un alto potencial a un bajo potencial. La resistencia R de un dispositivo se define mediante la relación

V = IR,

(18-2)

donde I es la corriente en el dispositivo cuando se aplica una diferencia de potencial V a través de él. Para los materiales como los metales, R es una constante independiente de V (por ende, I V), un resultado que se conoce como ley de Ohm. En consecuencia, la corriente I proveniente de una batería de voltaje V depende de la resistencia R del circuito conectado a ella. El voltaje se aplica mediante un dispositivo o entre los extremos de un alambre. La corriente pasa a través de un alambre o dispositivo. La resistencia es una propiedad del alambre o dispositivo. La unidad de resistencia es el ohm (); donde 1 
1 V
A. Vea la tabla 18-3.

P = IV, que para los resistores se expresa como

P = I 2R =

1 A = 1 C
s 1 V = 1 J
C 1 W = 1 J
s 1  = 1 V
A

La resistencia R de un alambre es inversamente proporcional a su área de sección transversal A y directamente proporcional a su longitud l y a una propiedad del material llamada resistividad:

rL . A

V2 . R

(18-6)

La unidad SI de potencia es el watt (1 W
1 J
s). La energía eléctrica total transformada en cualquier dispositivo es igual al producto de la potencia y el tiempo durante el que el dispositivo está en funcionamiento. En unidades SI, la energía está dada en joules (1 J = 1 W  s), pero las compañías eléctricas emplean una unidad más grande, el kilowatt-hora (1 kWh
3.6  106 J). La corriente eléctrica puede ser corriente directa (cd), en la que la corriente es estable en una dirección; o corriente alterna (ca), en la que la corriente invierte su dirección a una frecuencia particular f, generalmente de 60 Hz. Las corrientes alternas típicas son sinusoidales en el tiempo

I = I0 sen vt,

(18-7)

donde v = 2pf, y se producen mediante un voltaje alterno. Los valores rms de las corrientes y voltajes alternos sinusoidales están dados por

Irms =

I0 22

I = neAvd ,

R =

(18-5)

y

Vrms =

V0 22

,

(18-8)

respectivamente, donde I0 y V0 son los valores pico. La relación de potencia, P = IV = I 2R = V 2
R, es válida para la potencia promedio en las corrientes alternas cuando se usan los valores rms de V e I. [*La corriente en un alambre, a nivel microscópico, se considera como una rapidez de deriva de los electrones baja, v d . La corriente I está dada por

TABLA 18-3 Resumen de unidades Corriente Diferencia de potencial Potencia Resistencia

La tasa a la que la energía se transforma en una resistencia R de eléctrica a otras formas de energía (como calor y luz) es igual al producto de la corriente y el voltaje. Esto es, la potencia transformada, medida en watts, está dada por

(18-3)

La resistividad, r, aumenta con la temperatura para los metales, pero para los semiconductores puede disminuir.

(18-10)

donde n es el número de electrones libres por unidad de volumen, e es la carga en un electrón y A es el área de sección transversal del alambre]. [*A temperaturas muy bajas, ciertos materiales se vuelven superconductores, lo que significa que sus resistencias eléctricas se vuelven cero]. [*El sistema nervioso humano opera mediante conducción eléctrica: cuando un nervio “se dispara”, una señal eléctrica viaja como un pulso de voltaje llamado potencial de acción].

Preguntas 1. ¿Qué cantidad se mide con la clasificación de una batería dada en ampere-horas (A  h)? 2. Cuando una pila eléctrica se conecta a un circuito, los electrones fluyen alejándose de la terminal negativa en el circuito. Pero dentro de la pila, los electrones fluyen hacia la terminal negativa. Explique este fenómeno. 3. Cuando una linterna se enciende, ¿qué se usa: corriente de batería, voltaje de batería, energía de batería, potencia de batería o resistencia de batería? Explique su respuesta.

514

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

4. Se dice que una terminal de una batería de automóvil está conectada a “tierra”. Pero en realidad no está conectada a tierra, ¿qué significa entonces esta expresión? 5. Cuando se abre un grifo de agua, el agua casi siempre fluye de inmediato. Uno no tiene que esperar para que el agua fluya de la válvula a la espita. ¿Por qué no? ¿Lo mismo es cierto cuando se conecta un alambre a las terminales de una batería?

www.elsolucionario.org 6. ¿Un alambre de cobre y un alambre de aluminio de la misma longitud pueden tener la misma resistencia? Explique su respuesta. 7. Si la resistencia de un pequeño calefactor de inmersión (para calentar el agua para té o sopa, figura 18-32) se aumenta, esto ¿acelerará o frenará el proceso de calentamiento? Explique su respuesta.

FIGURA 18-32

12. ¿Cuál bombilla extrae más corriente: una de 100 W o una de 75 W? ¿Cuál tiene la mayor resistencia? 13. La potencia eléctrica se transfiere a través de grandes distancias a muy altos voltajes. Explique cómo el alto voltaje reduce las pérdidas de potencia en las líneas de transmisión. 14. Un fusible de 15 A se quema repetidamente. ¿Por qué es peligroso sustituir este fusible con uno de 25 A? 15. Cuando las luces eléctricas se operan a ca de baja frecuencia (por ejemplo, 5 Hz), titilan notablemente. ¿Por qué? 16. Activados por una potencia ca, los mismos electrones pasan de ida y vuelta a través de una lámpara para lectura una y otra vez. Explique por qué la luz permanece encendida en lugar de apagarse después del primer paso de electrones. 17. El elemento calefactor en un tostador está hecho de alambre de nicromo. Inmediatamente después de que el tostador se enciende, la corriente (Irms) en el alambre ¿aumenta, disminuye o permanece constante? Explique su respuesta. 18. ¿Se emplea corriente en un resistor? Explique su respuesta. 19. Diferentes lámparas pueden tener baterías conectadas en cualquiera de los dos arreglos que se muestran en la figura 18-33. ¿Cuáles serían las ventajas de cada esquema?

Pregunta 7.

8. Si un sólido rectangular hecho de carbono tiene lados de longitudes a, 2a y 3a, ¿cómo deberían conectarse los alambres de una batería de modo que se obtenga a) la menor resistencia, b) la mayor resistencia? 9. La ecuación P
V 2
R indica que la potencia disipada en un resistor disminuye si la resistencia aumenta, mientras que la ecuación P
I 2R significa lo opuesto. ¿Esto implica contradicción? Explique su respuesta. 10. ¿Qué ocurre cuando una bombilla se quema? 11. Explique por qué las bombillas casi siempre se queman cuando se encienden por primera vez y no después de que han estado encendidas algún tiempo.

+

+ + + b)

a)

FIGURA 18-33

Pregunta 19.

Problemas 18-2 y 18-3

Corriente eléctrica, resistencia, ley de Ohm 19

(Nota: La carga en un electrón es 1.60  10 C). 1. (I) Una corriente de 1.30 A fluye en un alambre. ¿Cuántos electrones fluyen por segundo por un punto cualquiera en el alambre? 2. (I) Una estación de servicio carga una batería utilizando una corriente de 6.7 A durante 5.0 h. ¿Cuánta carga pasa a través de la batería? 3. (I) ¿Cuál es la corriente en amperes si 1200 iones Na fluyen a través de la membrana de una célula en 3.5 ms? La carga en el sodio es la misma que un electrón, pero positiva. 4. (I) ¿Cuál es la resistencia de un tostador si 120 V producen una corriente de 4.2 A?

5. (I) ¿Qué voltaje producirá 0.25 A de corriente a través de un resistor de 3800 ? 6. (II) Una secadora de cabello extrae 7.5 A cuando se conecta a una línea de 120 V. a) ¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuánta carga pasa a través de ella en 15 min? (Suponga corriente directa). 7. (II) Una secadora de ropa eléctrica tiene un elemento calefactor con una resistencia de 9.6 . a) ¿Cuál es la corriente en el elemento cuando está conectado a 240 V? b) ¿Cuánta carga pasa a través del elemento en 50 min? 8. (II) Una batería de 9.0 V está conectada a una bombilla cuya resistencia es de 1.6 . ¿Cuántos electrones dejan la batería por minuto?

Problemas

515

9. (II) Una ave se sostiene en una línea de transmisión eléctrica de cd que porta 2800 A (figura 18-34). La línea tiene 2.5  105  de resistencia por metro y las patas del ave están separadas 4.0 cm. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las patas del ave?

21. (II) Un sólido rectangular hecho de carbono tiene lados de longitudes 1.0, 2.0 y 4.0 cm, que se encuentran a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente (figura 18-35). Determine la resistencia para la corriente que pasa a través del sólido en a) la dirección x, b) la dirección y y c) la dirección z. La resistividad es r
3.0  105   m.

4. 0

cm

y

2.0 cm

x

z FIGURA 18-34 Problema 9. 10. (II) Un dispositivo eléctrico extrae 6.50 A a 240 V. a) Si el voltaje disminuye un 15%, ¿cuál será la corriente, si se supone que todo lo demás permanece igual? b) Si la resistencia del dispositivo se redujese un 15%, ¿qué corriente se extraería a 240 V? 11. (II) Una batería de 12 V provoca una corriente de 0.60 A a través de un resistor. a) ¿Cuál es su resistencia y b) cuántos joules de energía pierde la batería por minuto? 18-4

Resistividad

12. (I) ¿Cuál es el diámetro de un alambre de tungsteno de 1.00 m de largo cuya resistencia es de 0.32 ? 13. (I) ¿Cuál es la resistencia de un alambre de cobre de 3.5 m de longitud y 1.5 mm de diámetro? 14. (II) Calcule la razón entre la resistencia de 10.0 m de alambre de aluminio con 2.0 mm de diámetro y la de 20.0 m de alambre de cobre con 2.5 mm de diámetro. 15. (II) ¿Un alambre de cobre de 2.5 mm de diámetro puede tener la misma resistencia que un alambre de tungsteno de la misma longitud? Proporcione detalles numéricos.

1.0 cm

FIGURA 18-35 Problema 21.

22. (II) Dos alambres de aluminio tienen la misma resistencia. Si uno tiene el doble de longitud que el otro, ¿cuál es la razón entre el diámetro del alambre más largo y el diámetro del alambre más corto? *23. (II) Un alambre de aluminio se conecta a un suministro de potencia de precisión de 10.00 V, y se mide precisamente una corriente de 0.4212 A a 20.0°C. El alambre se coloca en un nuevo ambiente de temperatura desconocida donde la corriente es de 0.3618 A. ¿Cuál es la temperatura desconocida? 24. (III) Una alambre de 10.0 m de longitud está formado por 5.0 m de cobre seguido por 5.0 m de aluminio, ambos de 1.0 mm de diámetro. A través del alambre compuesto se coloca una diferencia de voltaje de 85 mV. a) ¿Cuál es la resistencia total (suma) de los dos alambres? b) ¿Cuál es la corriente a través del alambre? c) ¿Cuáles son los voltajes a través de la parte de aluminio y a través de la parte de cobre? *25. (III) Para algunas aplicaciones, es importante que el valor de una resistencia no cambie con la temperatura. Por ejemplo, suponga que se elabora un resistor de 4.70 k a partir de un resistor de carbono y un resistor de alambre devanado de nicromo conectados juntos de modo que la resistencia total es la suma de sus resistencias separadas. ¿Qué valor debe tener cada uno de estos resistores (a 0°C) de modo que la combinación sea independiente de la temperatura?

16. (II) Cierto alambre de cobre tiene una resistencia de 10.0 . ¿En qué punto a lo largo de él se debe cortar el alambre de modo que la resistencia de una pieza sea 4.0 veces la resistencia de la otra? ¿Cuál es la resistencia de cada pieza?

18-5 y 18-6

*17. (II) ¿Cuánto tendría que elevarse la temperatura de un alambre de cobre (originalmente a 20°C) para aumentar su resistencia en un 15%?

26. (I) El elemento calefactor de un horno eléctrico está diseñado para producir 3.3 kW de calor cuando se conecta a una fuente de 240 V. ¿Cuál debe ser la resistencia del elemento?

*18. (II) Estime a qué temperatura el cobre tendrá la misma resistividad que el tungsteno tiene a 20°C.

27. (I) ¿Cuál es el consumo de potencia máxima de un reproductor de discos compactos portátil de 3.0 V que extrae un máximo de 320 mA de corriente?

*19. (II) Una bombilla de 100 W tiene una resistencia cercana a 12  cuando está fría (20°C) y de 140  cuando está encendida (caliente). Estime la temperatura del filamento cuando está caliente, si se supone un coeficiente de temperatura de resistividad promedio
0.0060 (C°)1. 20. (II) Calcule la caída de voltaje a lo largo de un alambre de cobre casero del número 14 de 26 m de longitud (usado en circuitos de 15 A). El alambre tiene un diámetro de 1.628 mm y porta una corriente de 12 A.

516

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

Potencia eléctrica

28. (I) ¿Cuál es el voltaje máximo que se puede aplicar a través de un resistor de 2.7 k clasificado a 143 de watt? 29. (I) a) Determine la resistencia, y la corriente a través de una bombilla de 75 W conectada a su fuente de voltaje apropiada de 120 V. b) Repita el cálculo para una bombilla de 440 W. 30. (II) El calefactor de 115 V de una pecera está clasificado en 110 W. Calcule a) la corriente a través del calefactor cuando está en funcionamiento y b) su resistencia.

31. (II) Una secadora de cabello de 120 V tiene dos configuraciones: 850 y 1250 W. a) ¿En cuál configuración se espera que la resistencia sea mayor? Después de hacer una suposición, determine la resistencia en b) la configuración más baja y c) la configuración más alta. 32. (II) Una persona compra en Europa una bombilla de 75 W, donde la electricidad se entrega a los hogares a 240 V. Si la bombilla se usa en Estados Unidos a 120 V (suponiendo que su resistencia no cambia), ¿qué tan brillante será en relación con las bombillas de 75 W y 120 V? [Sugerencia: Suponga que la brillantez es proporcional a la potencia consumida]. 33. (II) ¿Cuántos kWh de energía usa un tostador de 550 W en la mañana, si está en funcionamiento durante 15 min? A un costo de 9.0 centavos
kWh, estime cuánto sumaría esto a la factura mensual de consumo eléctrico si el tostador se utiliza cuatro mañanas a la semana. 34. (II) A $0.095 por kWh, ¿cuánto cuesta dejar encendida día y noche la luz de 25 W del porche durante un año? 35. (II) Una linterna ordinaria usa dos baterías tipo D de 1.5 V conectadas en serie como en la figura 18-4b (figura 18-36). La bombilla extrae 450 mA cuando está encendida. a) Calcule la resistencia de la bombilla y la potencia disipada. b) ¿En qué factor aumentaría la potencia si se usaran cuatro pilas D en serie con la misma bombilla? (Ignore los efectos de calentamiento del filamento). ¿Por qué no se debe intentar esto?

FIGURA 18-36 Problema 35. 36. (II) ¿Cuál es la cantidad total de energía almacenada en una batería de automóvil de 12 V y 85 A  h cuando está completamente cargada? 37. (II) ¿Cuántas bombillas de 100 W, conectadas a 120 V como en la figura 18-20, se pueden usar sin quemar un fusible de 15 A? 38. (II) Un cordón de extensión hecho de dos alambres de 0.129 cm de diámetro (alambre de cobre del número 16) y 2.7 m (9 ft) de largo se conecta a un calefactor eléctrico que extrae 15.0 A en una línea de 120 V. ¿Cuánta potencia se disipa en el cordón? 39. (II) Una estación eléctrica entrega 620 kW de potencia a 12,000 V a una fábrica mediante alambres con resistencia total de 3.0 . ¿Cuánta potencia deja de desperdiciarse si la electricidad se entrega a 50,000 V en lugar de a 12,000 V? 40. (III) La corriente en un electroimán conectado a una línea de 240 V es de 17.5 A. ¿A qué tasa debe pasar el agua de enfriamiento sobre las bobinas, si la temperatura del agua no se debe elevar en no más de 7.50 C°? 41. (III) Un pequeño calefactor de inmersión se utiliza en un automóvil con el fin de calentar una taza de agua para preparar café o té. Si el calefactor es capaz de calentar 120 mL de agua de 25 a 95°C en 8.0 min, a) ¿aproximadamente cuánta corriente extrae de la batería de 12 V del automóvil, y b) cuál es su resistencia? Suponga que el fabricante anuncia un 60% de eficiencia. 18-7

Corriente alterna

42. (I) Calcule la corriente pico en un resistor de 2.2 k conectado a una fuente de ca de 220 V rms.

43. (I) Un voltaje ca, cuyo valor pico es de 180 V, atraviesa un resistor de 330 . ¿Cuáles son las corrientes rms y pico en el resistor? 44. (II) Estime la resistencia de los circuitos de 120 Vrms en una casa, como los ve la compañía eléctrica, cuando a) todos los aparatos eléctricos están desconectados y b) hay una sola bombilla de 75 W encendida. 45. (II) El valor pico de una corriente alterna en un dispositivo de 1500 W es de 5.4 A. ¿Cuál es el voltaje rms a través de él? 46. (II) Una soldadora de arco de 1800 W está conectada a una línea ca de 660 Vrms. Calcule a) el voltaje pico y b) la corriente pico. 47. (II) a) ¿Cuál es la máxima potencia instantánea disipada por una bomba de 3.0 hp conectada a una fuente de potencia ca de 240 Vrms? b) ¿Cuál es la corriente máxima que pasa a través de la bomba? 48. (II) Una bobina calefactora, conectada a una línea ca de 240 Vrms, tiene una resistencia de 34 . a) ¿Cuál es la potencia promedio usada? b) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la potencia instantánea? * 18-8 Visión microscópica de la corriente eléctrica

* 49. (II) Un alambre de cobre de 0.65 mm de diámetro porta una pequeña corriente de 2.3 mA. ¿Cuál es la rapidez de deriva de los electrones en el alambre? 50. (II) Un alambre de 2.0 mm de diámetro y 5.80 m de longitud * porta una corriente de 750 mA cuando a sus extremos se aplican 22.0 mV. Si la rapidez de deriva es de 1.7  105 m
s, determine a) la resistencia R del alambre, b) la resistividad r y c) el número n de electrones libres por unidad de volumen. 51. (III) En un punto alto en la atmósfera de la Tierra, los iones * de He2 en una concentración de 2.8  1012
m3 se mueven hacia el norte con una rapidez de 2.0  106 m
s. Además, una concentración de 7.0  1011
m3 de iones O 2– se mueven hacia el sur con una rapidez de 7.2  106 m
s. Determine la magnitud y dirección de la corriente neta que pasa a través de unidad de área (A
m2). * 18-10 Conducción nerviosa

* 52. (I) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico a través de la

membrana de un axón de 1.0  108 m de grosor, si el potencial de reposo es de 70 mV? * 53. (II) Una neurona es estimulada con un pulso eléctrico. El potencial de acción se detecta en un punto 3.40 cm abajo del axón, 0.0052 s más tarde. Cuando el potencial de acción se detecta a 7.20 cm del punto de estimulación, el tiempo requerido es de 0.0063 s. ¿Cuál es la rapidez del pulso eléctrico a lo largo del axón? (¿Por qué se necesitan las dos mediciones en lugar de sólo una?) * 54. (III) Estime cuánta energía se requiere para transmitir un potencial de acción a lo largo del axón del ejemplo 18-15. [Sugerencia: Considere que la energía para transmitir un pulso es equivalente a la energía almacenada al cargar la capacitancia del axón; consulte la sección 17-9]. ¿Qué potencia mínima promedio se requiere para que 104 neuronas transmitan cada una 100 pulsos por segundo? * 55. (III) Durante un potencial de acción, iones Na se mueven dentro de la célula a una tasa de 3  107 mol
m2s. ¿Cuánta potencia debe producir el sistema de “bombeo activo de Na” para producir este flujo contra una diferencia de potencial de 30 mV? El axón mide 10 cm de largo y tiene 20 mm de diámetro.

Problemas

517

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Problemas generales 56. ¿Cuántos coulombs hay en 1.00 ampere-hora? 57. ¿Cuál es la corriente promedio extraída por un motor de 1.0 hp y 120 V? (1 hp
746 W). 58. Una persona accidentalmente deja encendidas las luces de su automóvil. Si cada uno de los dos faros es de 40 W y cada una de las dos luces traseras es de 6 W, para un total de 92 W, ¿cuánto durará una batería nueva de 12 V si está clasificada a 95 A  h? Suponga que los 12 V aparecen a través de cada bombilla. 59. El elemento calefactor de un calentador de 1500 W y 110 V mide 5.4 m de largo. Si está hecho de hierro, ¿cuál debe ser su diámetro? 60. La conductancia G de un objeto se define como el recíproco de la resistencia R; es decir, G
1
R. La unidad de la conductancia es el mho (
ohm1), que también se llama siemens (S). ¿Cuál es la conductancia (en siemens) de un objeto que extrae 730 mA de corriente a 3.0 V? 61. Una pequeña ciudad requiere aproximadamente 10 MW de potencia. Suponga que, en lugar de usar líneas de alto voltaje para suministrar la potencia, ésta se entrega a 120 V. Si se supone una línea de dos alambres, con alambres de cobre de 0.50 cm de diámetro, estime el costo de la pérdida de energía por calor por hora por metro. El costo de la electricidad es de 10 centavos por kWh. 62. a) Una casa particular usa un calefactor de 1.8 kW 3.0 h
día (tiempo “encendido”), cuatro bombillas de 100 W 6.0 h
día, un elemento de estufa eléctrica de 3.0 kW durante un total de 1.4 h
día, y potencia diversa que representa 2.0 kWh
día. Si la electricidad cuesta $0.105 por kWh, ¿cuál será su facturación mensual (30 d)? b) ¿Cuánto carbón (que produce 7000 kcal
kg) debe quemar una planta eléctrica que es un 35% eficiente para proporcionar las necesidades anuales de esta casa? 63. Una longitud de alambre se corta a la mitad y las dos piezas se enrollan juntas lado a lado para hacer un alambre más grueso. ¿Cómo se compara la resistencia de esta nueva combinación con la resistencia del alambre original? 64. Una secadora de cabello de 1200 W está diseñada para 117 V. a) ¿Cuál será el cambio porcentual en la salida de potencia si el voltaje cae a 105 V? Suponga que no hay cambio en la resistencia. b) ¿Cómo afectaría su respuesta el cambio real en resistividad? 65. El alambrado de una casa debe ser lo suficientemente grueso de modo que no se caliente demasiado como para iniciar un incendio. ¿Qué diámetro debe tener un alambre de cobre si debe portar una corriente máxima de 35 A y no producir más de 1.8 W de calor por metro de longitud? 66. Suponga que una corriente está dada por la ecuación I
1.80 sen 210t, donde I está en amperes y t en segundos. a) ¿Cuál es la frecuencia? b) ¿Cuál es el valor rms de la corriente? c) Si ésta es la corriente a través de un resistor de 42.0 , anote la ecuación que describe el voltaje como función del tiempo. 67. Un horno de microondas que tiene una eficiencia del 65% entrega 950 W de energía por segundo al interior. Calcule a) la potencia extraída de la fuente y b) la corriente extraída. Suponga una fuente de voltaje de 120 V.

518

CAPÍTULO 18

Corrientes eléctricas

68. Un alambre de 1.00  se estira uniformemente a 3.00 veces su longitud original. ¿Cuál es ahora su resistencia? 69. A dos diferentes conductores hechos del mismo material se aplican 220 V. Un conductor tiene el doble de longitud y el doble de diámetro que el segundo. ¿Cuál es la razón de la potencia transformada en el primero en relación con el segundo? 70. Un calefactor eléctrico se usa para calentar una habitación de 62 m3 de volumen. El aire se lleva a la habitación a 5°C y es sustituido por completo dos veces por hora. La pérdida de calor a través de las paredes representa aproximadamente 850 kcal
h. Si el aire se va a mantener a 20°C, ¿qué wattaje mínimo debe tener el calefactor? (El calor específico del aire es de 0.17 kcal
kgC°). 71. Un horno de 2200 W está conectado a una fuente de 240 V. a) ¿Cuál es la resistencia del horno? b) ¿Cuánto tiempo tardará en llevar 120 mL de agua a 15°C a 100°C, si se supone una eficiencia del 75%? c) ¿Cuánto costará esto a 11 centavos
kWh? 72. Un proyecto de vehículo eléctrico utiliza baterías de almacenamiento como su fuente de energía. Su masa es de 1560 kg y es activado por 24 baterías, cada una de 12 V y 95 A  h. El automóvil es conducido sobre caminos a nivel a una rapidez promedio de 45 km
h, y la fuerza de fricción promedio es de 240 N. Suponga una eficiencia del 100% e ignore la energía utilizada para la aceleración. Cuando el vehículo está detenido no se consume energía, pues el motor no necesita marchar en vacío. a) Determine la potencia requerida. b) ¿Después de aproximadamente cuántos kilómetros se deben recargar las baterías? 73. Un resistor de 12.5  está hecho de una bobina de alambre de cobre cuya masa total es de 18.0 g. ¿Cuál es el diámetro del alambre y cuál es su longitud? 74. Una bombilla de 100 W y 120 V tiene una resistencia de 12  cuando está fría (20°C) y de 140  cuando está encendida (caliente). Calcule su consumo de potencia a) en el instante en que se enciende y b) después de unos cuantos momentos, cuando está caliente.

* 75. El acelerador Tevatrón en el Fermilab (Illinois) está diseñado para portar un haz de protones de 11 mA que viajan a una rapidez muy cercana a la de la luz (3.0  108 m
s) alrededor de un anillo de 6300 m de circunferencia. ¿Cuántos protones se almacenan en el haz? 76. Un acondicionador de aire extrae 12 A a 220 V ca. El cordón de conexión es alambre de cobre con un diámetro de 1.628 mm. a) ¿Cuánta potencia extrae el acondicionador de aire? b) Si la longitud total del alambre es de 15 m, ¿cuánta potencia se disipa en el cableado? c) Si en vez de ello se usó alambre del número 12 con diámetro de 2.053 mm, ¿cuánta potencia se disiparía? d) Si se supone que el acondicionador de aire está en funcionamiento 12 h por día, ¿cuánto dinero por mes (30 días) se ahorraría usando alambre del número 12? El costo de la electricidad es de 12 centavos por kWh.

77. El calefactor de una pecera está clasificado en 95 W cuando se conecta a 120 V. El elemento calefactor es una bobina de alambre de nicromo. Cuando no está enrollado, el alambre tiene una longitud total de 3.8 m. ¿Cuál es el diámetro del alambre? 78. En un automóvil, el voltaje del sistema varía desde 12 V, cuando el carro está apagado, hasta 13.8 V cuando está encendido y el sistema de carga está en operación, lo que significa una diferencia del 15%. ¿En qué porcentaje varía la potencia entregada a los faros conforme el voltaje cambia de 12 V a 13.8 V? Considere que la resistencia del faro permanece constante. 79. La bombilla A está clasificada en 120 V y 40 W para uso doméstico. La bombilla B está clasificada en 12 V y 40 W para aplicaciones automotrices. a) ¿Cuál es la corriente a través de cada bombilla? b) ¿Cuál es la resistencia de cada una? c) En una hora, ¿cuánta carga pasa a través de cada bombilla? d) En una hora, ¿cuánta energía utiliza cada una? e) ¿Cuál de ellas requiere alambres de mayor diámetro para conectarse a su fuente de potencia? 80. Para conectar un conjunto de aparatos a 120 V, que extraen una potencia total de 2250 W, se usa alambre de cobre de 0.259 cm de diámetro. a) ¿Qué potencia se desperdicia en 25.0 m de este alambre? b) ¿Cuál es su respuesta si se utiliza alambre de 0.412 cm de diámetro?

81. Una tubería de cobre tiene un diámetro interior de 3.00 cm y un diámetro exterior de 5.00 cm (figura 18-37). ¿Cuál es la resistencia de 10.0 m de esta tubería?

3.00 cm

5.00 cm

FIGURA 18-37

Problema 81.

82. Si un alambre de resistencia R se estira uniformemente de modo que su longitud se duplique, ¿en qué factor cambia la potencia disipada en el alambre, si se supone que permanece conectado a la misma fuente de voltaje? * 83. Un filamento de tungsteno usado en la bombilla de una linterna opera a 0.20 A y 3.2 V. Si su resistencia a 20°C es de 1.5 , ¿cuál es la temperatura del filamento cuando la linterna está encendida?

Respuestas a los ejercicios A: B: C: D:

1.6  1013 A. 240 . 110 m. 370,000 kg, o aproximadamente 5000 personas.

E: 1800 W a 120 V extraen una corriente de 15 A. Los alambres en el cordón de extensión clasificado en 11 A se podrían calentar lo suficiente como para derretir el aislamiento y provocar un incendio. F: 20 V, 5.0 A.

Problemas generales

519

Este reproductor portátil MP3-CD contiene circuitos que son cd, al menos en parte. (La señal de audio es ca). El diagrama de circuito que lo acompaña muestra un posible circuito amplificador para cada canal estéreo. El gran triángulo es un chip amplificador que contiene transistores, y aunque los demás elementos del circuito, resistores y capacitores, ya se han estudiado, ahora se les analizará en los circuitos. También nos ocuparemos de los voltímetros y amperímetros, cómo se fabrican y cómo se emplean para realizar mediciones. 15 V 470 mF

CAPÍTULO

19

2.2 mF Entrada a cada canal

2.2 mF

470 mF IC3 0.1 mF

50 k
47 k


2.2 mF

Audífonos 8


2.7 k


Circuitos CD

L TABLA 19–1 Símbolos para elementos de circuito Símbolo

Dispositivo

±

Batería

ƒ o

Capacitor Resistor Alambre con resistencia despreciable Interruptor

o

Tierra

os circuitos eléctricos son partes básicas de todos los dispositivos electrónicos, desde los aparatos de radio y la televisión hasta las computadoras y automóviles. Las mediciones científicas, desde la física a la biología y la medicina, utilizan circuitos eléctricos. En el capítulo 18 se estudiaron los principios básicos de la corriente eléctrica. Ahora se aplicarán esos principios para analizar los circuitos cd que incluyen combinaciones de baterías, resistores y capacitores. También se estudiará la operación de algunos instrumentos útiles.† Cuando se dibuja un diagrama para un circuito, las baterías, capacitores y resistores se representan con los símbolos que se presentan en la tabla 19-1. Los alambres cuya resistencia es despreciable en comparación con otra resistencia en el circuito se dibujan simplemente como líneas rectas. Algunos diagramas de circuito incluyen un símbolo de tierra ( o ) que puede significar una conexión real a tierra, por ejemplo, a través de una tubería de metal, o simplemente puede significar una conexión común, como el chasis de un automóvil). En la mayor parte de este capítulo, excepto la sección 19-6 acerca de circuitos RC, el interés se centrará en los circuitos que operan en su estado estacionario. Es decir, no se observará un circuito en el momento en que sobre él se realiza un cambio, como cuando una batería o un resistor se conecta o se desconecta, sino más bien poco tiempo después de que las corrientes han alcanzado sus valores estables.

19–1 Fem y voltaje en terminales

Definición de fem

Para tener una corriente en un circuito eléctrico se necesita un dispositivo, como una batería o un generador eléctrico, que transforme un tipo de energía (química, mecánica o luz) en energía eléctrica. A tal dispositivo se le llama fuente de fuerza electromotriz o de fem. (El término “fuerza electromotriz” es un nombre equívoco pues no se refiere a una “fuerza” que se mida en newtons. Por eso, para evitar confusión, en el texto se preferirá el uso de la abreviatura fem). La diferencia de potencial entre las terminales de tal fuente, cuando no fluye corriente hacia un circuito externo, se llama la fem de la fuente. Por lo general se usa el símbolo e para fem (no hay que confundir con E de campo eléctrico) y su unidad es el volt. † Los circuitos ca que contienen sólo una fuente de voltaje y resistores se pueden analizar como los circuitos cd en este capítulo. Sin embargo, los circuitos ca que contienen capacitores y otros elementos de circuito son más complicados, y se estudiarán en el capítulo 21.

520

www.elsolucionario.org Una batería no es una fuente de corriente constante: la corriente que sale de una batería varía de acuerdo con la resistencia en el circuito. Sin embargo, una batería es una fuente de voltaje casi constante, pero no perfectamente constante, como se explicará a continuación. Es posible que el lector haya notado en su propia experiencia que, cuando se extrae una corriente de una batería, la diferencia de potencial (voltaje) a través de sus terminales cae por debajo de su fem de clasificación. Por ejemplo, si se enciende un automóvil con los faros encendidos, podrá notarse que los faros se apagan por un momento. Esto ocurre porque el arranque extrae una gran corriente, y el voltaje de la batería disminuye como consecuencia. La caída de voltaje ocurre porque las reacciones químicas en una batería no pueden suministrar carga lo suficientemente rápido como para mantener la fem completa. Por una razón: la carga se debe mover (dentro del electrolito) entre los electrodos de la batería, y siempre existe algún obstáculo para el flujo completamente libre. Por tanto, una batería en sí tiene alguna resistencia, que se llama resistencia interna, y generalmente se designa como r. Una batería real está modelada como si fuese una fem e perfecta en serie con un resistor r, como se muestra en la figura 19-1. Como esta resistencia r está en el interior de la batería, nunca se le puede separar de la batería. Los puntos a y b en el diagrama representan las dos terminales de la batería. Lo que se mide es el voltaje en terminales Vab  Va – Vb. Cuando no se extrae corriente de la batería, el voltaje en terminales es igual a la fem, que está determinada por las reacciones químicas en la batería: Vab = e. Sin embargo, cuando una corriente I fluye de manera natural desde la batería existe una caída interna en el voltaje igual a Ir. Así, el voltaje en las terminales (el voltaje verdadero) es† Vab = e - Ir. (19–1) Por ejemplo, si una batería de 12 V tiene una resistencia interna de 0.1
, entonces, cuando fluyan 10 A de la batería, el voltaje en las terminales será 12 V – (10 A)(0.1
)  11 V. En general, la resistencia interna de una batería es pequeña. Por ejemplo, una batería ordinaria de linterna, cuando está nueva, podría tener una resistencia interna de 0.05
. (Sin embargo, conforme pasa el tiempo y el electrolito se seca, la resistencia interna aumenta a muchos ohms). Las baterías de los automóviles tienen resistencia interna más baja. EJEMPLO 19–1 Batería con resistencia interna. Un resistor de 65.0
(figura 19-2) está conectado a las terminales de una batería, cuya fem es de 12.0 V y cuya resistencia interna es de 0.5
. Calcule a) la corriente en el circuito, b) el voltaje en las terminales de la batería, Vab, y c) la potencia disipada en el resistor R y en la resistencia interna r de la batería. PLANTEAMIENTO Primero se considera la batería como un todo, que se muestra en la figura 19-2 como una fem e y una resistencia interna r entre los puntos a y b. Se aplica entonces V  IR al circuito mismo. SOLUCIÓN a) A partir de la ecuación 19-1 se tiene

P R E C A U C I Ó N

¿Por qué el voltaje de una batería no es perfectamente constante? +

–

r

a

b Voltaje en terminales

Vab

FIGURA 19–1 Diagrama de una pila o batería eléctrica.

Voltaje en terminales

FIGURA 19–2 Ejemplo 19-1.

R = 65.0 Ω

I

a

b

r= 0.5 Ω

= 12.0 V

Vab = e - Ir. Se aplica la ley de Ohm (ecuación 18-2) a esta batería y la resistencia R del circuito: Vab  IR. Entonces, IR = e - Ir o e = I(R + r), y de este modo

12.0 V 12.0 V e = = = 0.183 A. R + r 65.0
+ 0.5
65.5
b) El voltaje en terminales es Vab = e - Ir = 12.0 V - (0.183 A)(0.5
) = 11.9 V. c) La potencia disipada (ecuación 18-6) en R es PR = I 2R = (0.183 A)2(65.0
) = 2.18 W, y en r es Pr = I 2r = (0.183 A)2(0.5
) = 0.02 W. I =

EJERCICIO A Repita el ejemplo 19-1, pero suponga ahora que la resistencia es R  10.0
, mientras que e y r permanecen como antes. † Cuando se carga una batería, se fuerza a una corriente a pasar a través de ella; entonces se tiene que escribir Vab  e + Ir. Véase el ejemplo 19-9 o el problema 24 y la figura 19-44.

SECCIÓN 19–1

Fem y voltaje en terminales

521

En lo sucesivo, a menos que se especifique de otro modo, se supondrá que la resistencia interna de la batería es despreciable, y que el voltaje de la batería es su voltaje en las terminales, que sólo se escribirá como V en lugar de Vab. Hay que tener cuidado de no confundir V (itálica) para voltaje con V (no itálica) para la unidad volt.

19–2 Resistores en serie y en paralelo Cuando dos o más resistores están conectados extremo con extremo a lo largo de una sola trayectoria, como se ilustra en la figura 19-3a, se dice que están conectados en serie. Los resistores podrían ser simples resistores como los de la figura 18-11, o podrían ser bombillas (figura 19-3b), o elementos calefactores u otros dispositivos resistivos. Cualquier carga que pase a través de R1 en la figura 19-3a también pasará a través de R2 y luego por R3. De esta forma, la misma corriente I pasa a través de cada resistor. (Si no fuese así, esto implicaría que la carga no se conservó o que la carga se acumuló en algún punto en el circuito, lo que no ocurre en el estado estacionario). FIGURA 19–3 a) Resistencias conectadas en serie. b) Las resistencias podrían ser bombillas o cualquier otro tipo de resistencia. c) Resistencia sola equivalente Req que extrae la misma corriente: Req  R1 + R2 + R3 .

I

R1

R2

R3

V1

V2

V3

+

a)

Req I

– b)

V

Circuito en serie: suma de voltajes; la corriente es la misma en cada R.

c) Batería

+

–

V

Sea V la representación de la diferencia de potencial (voltaje) a través de los tres resistores en la figura 19-3a. Se supone que todas las otras resistencias en el circuito se pueden ignorar, de modo que V es igual al voltaje en las terminales suministrado por la batería. Sean V1, V2 y V3 las diferencias de potencial a través de cada uno de los resistores, R1, R2 y R3, respectivamente. A partir de la ley de Ohm, V  IR, se escribe V1 = IR1 , V2 = IR2 , y V3 = IR3 . Puesto que los resistores están conectados extremo con extremo, a partir de la conservación de la energía se sabe que el voltaje total V es igual a la suma de los voltajes† a través de cada resistor:

V = V1 + V2 + V3 = IR1 + IR2 + IR3 .

[series] (19–2)

Ahora se determinará la resistencia sola equivalente Req que extraería la misma corriente I que la combinación de tres resistores en serie; observe la figura 19-3c. Tal resistencia sola Req estaría relacionada con V mediante

V = IReq . Esta expresión se iguala con la ecuación 19-2, V = I AR1 ± R2 + R3 B, y se encuentra Resistencias en serie

Req = R1 + R2 + R3 .

[series] (19–3)

Esto es, de hecho, lo que se esperaba. Cuando se ponen varias resistencias en serie, la resistencia total o equivalente es la suma de las resistencias separadas. (A veces se le puede llamar “resistencia neta”). Esta suma se aplica a cualquier número de resistencias en serie. Note que, cuando se suman más resistencias al circuito, la corriente a través de éste disminuye. Por ejemplo, si una batería de 12 V está conectada a un resistor de 4
, la corriente será de 3 A. Pero si la batería de 12 V está conectada a † Para ver con más detalle por qué esto es cierto, note que una carga eléctrica q que pasa a través de R1 pierde una cantidad de energía potencial igual a qV1. Al pasar por R2 y R3, la energía potencial EP disminuye por qV2 y qV3, para un total ¢ep = qV1 + qV2 + qV3 ; esta suma debe ser igual a la energía dada a q por la batería, qV, de modo que la energía se conserva. En consecuencia, qV  q AV1 + V2 + V3 B, y por tanto V = V1 ± V2 + V3 , que es la ecuación 19-2.

522

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

tres resistores de 4
en serie, la resistencia total es de 12
y la corriente a través de todo el circuito será sólo de 1 A. Otra forma simple de conectar resistores es en paralelo, de modo que la corriente de la fuente se divide en las ramas o trayectorias separadas, como se ilustra en la figura 19-4a. El cableado en las casas y en los edificios está arreglado de modo que todos los dispositivos eléctricos estén en paralelo, como ya se vio en el capítulo 18 (figura 18-20). Con el alambrado en paralelo, si se desconecta un dispositivo (por ejemplo, R1 en la figura 19-4a), la corriente hacia los otros dispositivos no se interrumpe. Compare con un circuito en serie, donde si un dispositivo (por ejemplo, R1 en la figura 19-3a) se desconecta, la corriente sí se detiene en todos los demás. I1

R1

I2

R2

A

I3

a) Resistencias conectadas en paralelo. b) Las resistencias podrían ser bombillas. c) Circuito equivalente con Req obtenido a partir de la ecuación 19-4:

R3 +

I

FIGURA 19–4

Req

B

+

– +

V a)

–

b)

I

–

1 1 1 1 . + +  Req R1 R2 R3

V c)

En un circuito en paralelo (figura 19-4a), la corriente total I que deja la batería se divide en tres trayectorias separadas. Sean I1, I2 e I3 las corrientes a través de cada uno de los resistores, R1, R2 y R3, respectivamente. Puesto que la carga eléctrica se conserva, la corriente I que fluye en la unión A (donde se encuentran los diferentes alambres o conductores, figura 19-4a) debe ser igual a la corriente que fluye de la unión. Por ende

I = I1 + I2 + I3 .

[paralelo]

Cuando los resistores están conectados en paralelo, el mismo voltaje pasa a través de cada uno. (De hecho, dos puntos cualesquiera en un circuito conectado por un alambre de resistencia despreciable están al mismo potencial). En consecuencia, todo el voltaje de la batería se aplica a cada resistor en la figura 19-4a. Al aplicar la ley de Ohm a cada resistor, se tiene

I1 =

V, R1

I2 =

V R2

y

I3 =

Circuito en paralelo: las corrientes se suman; el voltaje es el mismo a través de cada R.

V. R3

Ahora se determinará qué resistor solo Req (figura 19-4c) extraerá la misma corriente I que estas tres resistencias en paralelo. Esta resistencia equivalente Req también debe satisfacer la ley de Ohm:

I =

V . Req

Ahora se combinan las ecuaciones anteriores:

I = I1 + I2 + I3 , V V V. V = + + Req R1 R2 R3 Cuando se divide la V de cada término se tiene

1 1 1 1 . = + + Req R1 R2 R3

[paralelo] (19–4)

Resistencias en paralelo

Por ejemplo, suponga que se conectan dos bocinas de 4
a un solo conjunto de terminales de salida de un amplificador o receptor estéreo. (Ignore por un momento el otro canal: las dos bocinas están conectadas al canal izquierdo). SECCIÓN 19–2

Resistores en serie y en paralelo

523

www.elsolucionario.org La resistencia equivalente de los dos “resistores” de 4 V en paralelo es

1 1 1 2 1 , = + = = Req 4
4
4
2


h

FIGURA 19–5 Tuberías de agua en paralelo: analogía con corrientes eléctricas en paralelo.

y así Req  2
. De este modo, la resistencia neta (o equivalente) es menor que la de cada resistencia sola. Al principio, tal vez esto parezca sorprendente. Pero recuerde que, cuando los resistores se conectan en paralelo, la corriente tiene trayectorias adicionales para seguir. Así que la resistencia neta será menor. Aquí resultará útil una analogía. Considere dos tuberías idénticas que toman el agua cerca de la parte superior de una presa y la liberan abajo, como se muestra en la figura 19-5. La diferencia de potencial gravitacional, proporcional a la altura h, es la misma para ambas tuberías, tal como el voltaje es el mismo para los resistores en paralelo. Si ambas tuberías están abiertas, en lugar de sólo una, fluirá el doble de agua. Es decir, con dos tuberías iguales abiertas, la resistencia neta al flujo de agua se reducirá, a la mitad, tal como para los resistores eléctricos en paralelo. Note que si ambas tuberías están cerradas, la presa opone resistencia infinita al flujo de agua. Esto corresponde, en el caso eléctrico, a un circuito abierto (cuando la trayectoria no es continua y no fluye corriente), de modo que la resistencia eléctrica es infinita. EJEMPLO CONCEPTUAL 19–2 ¿En serie o en paralelo? a) Las bombillas en la figura 19-6 son idénticas y tienen idéntica resistencia R. ¿Cuál configuración produce más luz? b) ¿De qué forma estarán conectados los faros de un automóvil? RESPUESTA a) La resistencia equivalente del circuito en paralelo se determina a partir de la ecuación 19-4, 1
Req  1
R + 1
R = 2
R. Por tanto, Req  R/2. Entonces la combinación en paralelo tiene resistencia más baja ( R/2) que la combinación en serie (Req  R  R  2R). Habrá más corriente total en la configuración en paralelo (2), dado que I  V/Req y V es el mismo para ambos circuitos. La potencia total transformada, que está relacionada con la luz producida, es P  IV, de modo que la mayor corriente en (2) significa más luz producida. b) Los faros están conectados en paralelo (2), pues si una bombilla falla, la otra puede permanecer encendida. Si estuviesen en serie (1), cuando una bombilla se queme (y se rompa el filamento), el circuito estaría abierto y no fluiría corriente, así que incluso la bombilla buena no encendería.

FIGURA 19–6 Ejemplo 19-6.

+

–

(1) En serie

+

–

(2) En paralelo

EJEMPLO 19–3 Resistores en serie y en paralelo. Dos resistores de 100
están conectados a) en paralelo y b) en serie a una batería de 24.0 V. Observe la figura 19-7. ¿Cuál es la corriente a través de cada resistor y cuál es la resistencia equivalente de cada circuito? PLANTEAMIENTO Se utiliza la ley de Ohm y las ideas apenas discutidas acerca de las conexiones en serie y en paralelo para obtener la corriente en cada caso. También serán útiles las ecuaciones 19-3 y 19-4.

524

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

SOLUCIÓN a) Cualquier carga (o electrón) puede fluir sólo a través de uno o el otro de los dos resistores en la figura 19-7a. Tal como un río se separa en dos torrentes cuando pasa por de una isla, aquí también la corriente total I proveniente de la batería (figura 19-7a) se divide para fluir a través de cada resistor, de modo que I será igual a la suma de las corrientes separadas a través de los dos resistores:

V = 24.0 V I

I = I1 + I2 .

I1 I2

La diferencia de potencial a través de cada resistor es el voltaje de la batería V  24.0 V. Al aplicar la ley de Ohm a cada resistor se obtiene

I = I1 + I2 =

R1

R2 a)

24.0 V V V 24.0 V + = + R1 R2 100
100


V = 24.0 V

= 0.24 A + 0.24 A = 0.48 A. I La resistencia equivalente es

Req

R1

24.0 V V = = = 50
. I 0.48 A

R2 b)

FIGURA 19–7 Ejemplo 19-3.

También se podría haber obtenido este resultado a partir de la ecuación 19-4:

1 1 1 2 1 , + = = = Req 100
100
100
50
de modo que Req = 50
. b) Toda la corriente que fluye de la batería pasa primero a través de R1 y luego por R2, pues se encuentran a lo largo de una sola trayectoria (figura 19-7b). De modo que la corriente I es la misma en ambos resistores; la diferencia de potencial V a través de la batería es igual al cambio total en el potencial a través de los dos resistores:

V = V1 + V2 . La ley de Ohm da

V = IR1 + IR2 = I AR1 + R2 B. En consecuencia 24.0 V V = = 0.120 A. I = R1 + R2 100
+ 100
La resistencia equivalente, utilizando la ecuación 19-3, es Req  R1  R2  200
. Req también podría obtenerse si se piensa desde el punto de vista de la batería: la resistencia total Req debe ser igual al voltaje de la batería dividido entre la corriente que entrega:

Re q =

V 24.0 V = = 200
. I 0.120 A

NOTA El voltaje a través de R1 es V1 = IR1  (0.120 A)(100
) = 12.0 V, y el que cruza R2 es V2  IR2  12.0 V, y cada uno es la mitad del voltaje de la batería. Por eso, un circuito simple como el de la figura 19-7b con frecuencia se conoce como divisor de voltaje simple.

Divisor de voltaje

EJERCICIO B Diseñe un divisor de voltaje que proporcione un quinto (0.20) del voltaje de la batería a través de R2. ¿Cuál es la razón R1/R2?

Cabe hacer notar que, siempre que un grupo de resistores se sustituya por la resistencia equivalente, la corriente, el voltaje y la potencia en el resto del circuito no resultarán afectados. SECCIÓN 19–2

Resistores en serie y en paralelo

525

500 Ω I1

a 400 Ω b

c 700 Ω I2

I

I FIGURA 19–8 a) Circuito para los ejemplos 19-4 y 19-5. b) Circuito equivalente, que muestra la resistencia equivalente de 290
para los dos resistores en paralelo en a).

12.0 V a)

a

400 Ω

b

RP = 290 Ω

c

12.0 V b)

EJEMPLO 19–4 Circuito con serie y paralelo. ¿Cuánta corriente se extrae de la batería que se ilustra en la figura 19-8a? PLANTEAMIENTO Toda la corriente I que fluye de la batería pasa a través del resistor de 400
, pero luego se divide en I1 e I2, para pasar a través de los resistores de 500 y de 700
. Los últimos dos resistores están en paralelo. Para simplificar se busca algo que ya se sabe cómo tratar. Así que se comienza por encontrar la resistencia equivalente, RP, de los resistores en paralelo: 500 y 700
. Luego puede considerarse que esta RP está en serie con el resistor de 400
. SOLUCIÓN La resistencia equivalente RP de los resistores de 500 y 700
en paralelo está dada por

1 1 1 = + = 0.0020
–1 + 0.0014
–1 = 0.0034
–1. RP 500
700
P R E C A U C I Ó N

Recuerde considerar el recíproco.

Esto es 1/RP, así que se toma el recíproco para encontrar RP. Un error común es olvidar tomar este recíproco. Advierta que las unidades de ohms recíprocos,
1, son un recordatorio. Por tanto

RP =

1 = 290
. 0.0034
–1

Estos 290
son la resistencia equivalente de los dos resistores en paralelo y están en serie con el resistor de 400
, como se muestra en el circuito equivalente de la figura 19-8b. Para encontrar la resistencia equivalente total Req se suman los resistores de 400 y de 290
, pues están en serie, y se obtiene

Req = 400
+ 290
= 690
. La corriente total que fluye de la batería es entonces

I =

V 12.0 V = = 0.0174 A L 17 mA. Req 690


NOTA Esta I también es la corriente que fluye a través del resistor de 400
, pero no a través de los resistores de 500 y 700
(ambas corrientes son menores; vea el siguiente ejemplo). NOTA Los circuitos con resistores complejos con frecuencia se pueden analizar de esta forma, al considerar el circuito como una combinación de resistencias en serie y en paralelo.

526

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

www.elsolucionario.org EJEMPLO 19–5 Corriente en una rama. ¿Cuál es la corriente a través del resistor de 500
en la figura 19-8a? PLANTEAMIENTO Se necesita encontrar el voltaje a través del resistor de 500
, que es el voltaje entre los puntos b y c en la figura 19-8a, al que se le llama Vbc. Una vez que se conoce Vbc, se puede aplicar la ley de Ohm, V  IR, para obtener la corriente. Primero se calcula el voltaje a través del resistor de 400
, Vab, pues se sabe que a través de él pasan 17 mA. SOLUCIÓN Vab se determina mediante la fórmula V  IR:

Vab = (0.0174 A)(400
) = 7.0 V. Como el voltaje total a través de la red de resistores es Vac  12.0 V, entonces Vbc debe ser 12.0 V – 7.0 V  5.0 V. Entonces la ley de Ohm aplicada al resistor de 500
indica que la corriente I1 a través de ese resistor es

I1 =

5.0 V = 1.0 * 10–2 A = 10 mA. 500


Ésta es la respuesta que se quería. También se puede calcular la corriente I2 a través del resistor de 700
, pues el voltaje a través de él también es de 5.0 V:

I2 =

5.0 V = 7 mA. 700


NOTA Cuando I1 se combina con I2 para formar la corriente total I (en el punto c de la figura 19-8a), su suma es 10 mA  7 mA  17 mA. Esto, desde luego, es la corriente total I calculada en el ejemplo 19-4. EJEMPLO CONCEPTUAL 19–6 Brillantez de una bombilla en un circuito. El circuito que se muestra en la figura 19-9 tiene tres bombillas idénticas, cada una con resistencia R. a) Cuando el interruptor S se cierra, ¿cómo se comparará la brillantez de las bombillas A y B con la de la bombilla C? b) ¿Qué ocurre cuando el interruptor S se abre? Utilice un mínimo de matemáticas en sus respuestas. RESPUESTA a) Con el interruptor S cerrado, la corriente que pasa a través de la bombilla C debe dividirse en dos partes iguales cuando alcance la unión que conduce a las bombillas A y B. Se divide en partes iguales porque la resistencia de la bombilla A es igual a la de B. De esta forma, las bombillas A y B reciben, cada una, la mitad de la corriente de C; A y B serán igualmente brillantes, pero serán menos brillantes que la bombilla C. b) Cuando el interruptor S se abre, ninguna corriente fluye a través de la bombilla A, así que estará oscuro. Ahora se tiene un circuito en serie con un solo lazo, y se espera que las bombillas B y C sean igualmente brillantes. Sin embargo, la resistencia equivalente de este circuito ( R  R) es mayor que la del circuito con el interruptor cerrado. Cuando se abre el interruptor, se aumenta la resistencia y se reduce la corriente que deja la batería. Por tanto, la bombilla C brillará menos cuando se abra el interruptor. La bombilla B obtiene más corriente cuando el interruptor está abierto (aquí habrá que usar un poco de matemáticas) y de este modo será más brillante que con el interruptor cerrado, y B será tan brillante como C. A

C

FIGURA 19–9 Ejemplo 19-6, tres bombillas idénticas. Cada círculo con en su interior representa una bombilla y su resistencia.

S

B

SECCIÓN 19–2

Resistores en serie y en paralelo

527

10.0 Ω

Ejemplo adicional EJEMPLO 19–7 Análisis de un circuito. Una batería de 9.0 V, cuya resistencia interna r es de 0.50
, está conectada en el circuito que se representa en la figura 19-10a. a) ¿Cuánta corriente se extrae de la batería? b) ¿Cuál es el voltaje en las terminales de la batería? c) ¿Cuál es la corriente en el resistor de 6.0
?

8.0 Ω 6.0 Ω 4.0 Ω 5.0 Ω

PLANTEAMIENTO Para calcular la corriente de la batería, primero se necesita determinar la resistencia equivalente Req de todo el circuito, incluso de r, lo que se hace al identificar y aislar combinaciones simples de resistores en serie o en paralelo. Una vez que se calcula I a partir de la ley de Ohm, I = e
Req , se obtiene el voltaje en las terminales mediante Vab = e - Ir. Para c) se aplica la ley de Ohm al resistor de 6.0
. SOLUCIÓN a) Se quiere determinar la resistencia equivalente del circuito. Pero, ¿por dónde comenzar? Note que los resistores de 4.0 y 8.0
están en paralelo y, por tanto, tienen una resistencia equivalente Req1 dada por

r = 0.50 Ω a)

= 9.0 V 10.0 Ω Req1 = 2.7 Ω

6.0 Ω

1 1 3 1 = + = ; Req1 8.0
4.0
8.0


5.0 Ω

de modo que Req1  2.7
. Estos 2.7
están en serie con el resistor de 6.0
, como se muestra en el circuito equivalente de la figura 19-10b. La resistencia neta del brazo inferior del circuito es entonces

r = 0.50 Ω b)

= 9.0 V

Req2 = 6.0
+ 2.7
= 8.7
, como se indica en la figura 19-10c. La resistencia equivalente Req3 de las resistencias en paralelo de 8.7 y 10.0
está dada por

10.0 Ω

Req2 = 8.7 Ω

1 1 1 = + = 0.21
–1, Req3 10.0
8.7


así que Req3 = A1
0.21
–1 B  4.8
. Estos 4.8
están en serie con el resistor de 5.0
y la resistencia interna de 0.50
de la batería (figura 19-10d), así que la resistencia equivalente total Req del circuito es Req = 4.8
+ 5.0
+ 0.50
= 10.3
. En consecuencia, la corriente extraída es

5.0 Ω

r = 0.50 Ω c)

= 9.0 V

I = Req3 = 4.8 Ω

e 9.0 V = = 0.87 A. Req 10.3


b) El voltaje en terminales de la batería es

Vab = e - Ir = 9.0 V - (0.87 A)(0.50
) = 8.6 V. c) Ahora se puede trabajar de vuelta y obtener la corriente en el resistor de 6.0
. Debe ser la misma que la corriente a través de los 8.7
que se muestra en la figura 19-10c (¿por qué?). El voltaje a través de esos 8.7
será la fem de la batería menos la caída de voltaje a través de r y el resistor de 5.0
: V8.7 = 9.0 V - (0.87 A) (0.50
+ 5.0
). Al aplicar la ley de Ohm se obtiene la corriente I¿ )

5.0 Ω

r = 0.50 Ω d)

= 9.0 V

FIGURA 19–10 Circuito para el ejemplo 19-7, donde r es la resistencia interna de la batería.

I¿ =

9.0 V - (0.87 A)(0.50
+ 5.0
) = 0.48 A. 8.7


Ésta es la corriente a través del resistor de 6.0
.

FIGURA 19–11 Las corrientes se pueden calcular mediante las reglas de Kirchhoff.

30 Ω

I1 a

I3

40 Ω

h

r= 2= 1 Ω 45 V d

b 1= 80 V

I2 g

528

19–3 Reglas de Kirchhoff

c 20 Ω

r= 1Ω

f

CAPÍTULO 19

e Circuitos

CD

En los últimos ejemplos se han encontrado las corrientes en circuitos mediante la combinación de resistencias en serie y en paralelo, y utilizando la ley de Ohm. Esta técnica se aplica con muchos circuitos. Sin embargo, algunos de ellos son demasiado complicados para ese análisis. Por ejemplo, no es posible determinar las corrientes en cada parte del circuito que se representa en la figura 19-11 simplemente combinando las resistencias como se hizo antes. A mediados del siglo XIX, G. R. Kirchhoff (1824-1887) estableció ciertas reglas, conocidas como reglas de Kirchhoff, que permiten analizar los circuitos complejos. Son dos reglas y se trata de simples aplicaciones convenientes de las leyes de con-

servación de la carga y de la energía. La primera regla de Kirchhoff o regla de la unión (o del nodo) se basa en la conservación de la carga eléctrica y ya se usó al deducir la regla para resistores en paralelo. Tal regla afirma que en cualquier punto de unión, la suma de todas las corrientes que entran a la Regla de la unión unión debe ser igual a la suma de todas las corrientes que salen de ella. (conservación de carga) Esto es, cualquier carga que entra debe salir. Por ejemplo, en el punto de unión a de la figura 19-11, I3 entra mientras que I1 e I2 salen. Así, la regla de la unión de Kirchhoff establece que I3  I1  I2. En la nota al final del ejemplo 19-5 se vio un ejemplo de esto. La segunda regla de Kirchhoff o regla del lazo (o de la malla) se basa en la conservación de la energía. Esta regla establece que la suma de los cambios en el potencial alrededor de cualquier trayectoria cerra- Regla del lazo da de un circuito debe ser cero. (conservación de la energía) Para ver por qué esta regla debería cumplirse, considere una analogía simple con la energía potencial de una montaña rusa en su vía. Cuando la montaña rusa parte de la estación, tiene una energía potencial particular. Conforme asciende la primera colina, su energía potencial aumenta y alcanza un máximo en la cima. Conforme desciende hacia el otro lado, su energía potencial disminuye y alcanza un mínimo local en el 290 Ω c fondo de la colina. Mientras la montaña rusa continúa en su trayectoria, su energía a 400 Ω b potencial experimenta varios cambios más. Pero, cuando llega de regreso al punto de partida, tiene exactamente tanta energía potencial como tenía cuando comenzó en ese punto. Otra forma de decir esto es que hubo tantas subidas como bajadas en la ruta. I + – Un razonamiento similar se podría aplicar a un circuito eléctrico. Dentro de poe 12.0 V d co se resolverá el circuito de la figura 19-11, pero primero consideremos el circuito a) más simple de la figura 19-12. Se trata del mismo circuito de la figura 19-8b ya analizado. La corriente en este circuito es I = (12.0 V)
(690
)  0.0174 A, como se calculó en el ejemplo 19-4. (Se mantiene un dígito adicional en I para reducir los 12 errores de redondeo). El lado positivo de la batería (punto e en la figura 19-12a) está 7.0 V a un alto potencial en comparación con el punto d en el lado negativo de la batería. Es decir, el punto e es como la cima de una colina para una montaña rusa. Seguimos 12.0 V la corriente alrededor del circuito comenzando en cualquier punto. Comenzaremos en V 5.0 V el punto e y seguiremos una carga de prueba positiva completamente alrededor de este circuito. Al avanzar, notaremos todos los cambios en el potencial. Cuando la 0 e a b c d e carga de prueba regresa al punto e, el potencial será el mismo que cuando se inició (el cambio total en el potencial alrededor del circuito es cero). Los cambios en el 400 Ω 290 Ω +12.0 V potencial alrededor del circuito están graficados en la figura 19-12b; el punto d se b) elige arbitrariamente como cero. Conforme la carga de prueba positiva pasa del punto e al punto a, no existe FIGURA 19–12 Los cambios en el cambio en el potencial pues no existe fuente de fem y se supone una resistencia des- potencial alrededor del circuito en preciable en los alambres de conexión. A continuación, conforme la carga pasa a a) se grafican en b). través del resistor de 400
para llegar al punto b, existe una disminución en el potencial de V = IR  (0.0174 A)(400
)  7.0 V. La carga de prueba positiva fluye “colina abajo” ya que se dirige hacia la terminal negativa de la batería, como se indica en la gráfica de la figura 19-12b. Como se trata de una disminución en el potencial, se usa un signo negativo: ➥ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Vba = Vb - Va = –7.0 V. Conforme la carga avanza de b a c existe otra disminución de potencial (una “caída de voltaje”) de (0.0174 A) * (290
)  5.0 V, y esto también representa una disminución en el potencial: Vcb = –5.0 V. No hay cambio en el potencial conforme la carga de prueba se mueve de c a d, pues se supone resistencia despreciable en los alambres. Pero cuando se mueve de d, que es el lado negativo o de potencial bajo de la batería, al punto e, que es la terminal positiva (lado de alto potencial) de la batería, el potencial aumenta por 12.0 V. Esto es Ved = ±12.0 V. La suma de todos los cambios en el potencial alrededor del circuito de la figura 19-12 es –7.0 V - 5.0 V + 12.0 V = 0. Esto es exactamente lo que indica la regla del lazo de Kirchhoff.

Hay que ser consistentes con los signos cuando se aplica la regla del lazo.

SECCIÓN 19–3

Reglas de Kirchhoff

529

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Reglas de Kirchhoff 4. Aplique la regla del lazo de Kirchhoff a uno o más lazos: siga cada lazo sólo en una dirección. Ponga mucha atención a los subíndices y a los signos: a) Para un resistor, aplique la ley de Ohm; la diferencia de potencial será negativa (una disminución) si la dirección elegida del lazo es la misma que la dirección elegida de la corriente a través de tal resistor; la diferencia de potencial será positiva (un aumento) si la dirección elegida del lazo es opuesta a la dirección elegida de la corriente. b) Para una batería, la diferencia de potencial será positiva si la dirección del lazo es de la terminal negativa hacia la terminal positiva; la diferencia de potencial será negativa si la dirección del lazo es de la terminal positiva hacia la terminal negativa. 5. Resuelva las ecuaciones algebraicamente para las incógnitas. Hay que tener cuidado de no cometer errores con los signos al manipular las ecuaciones. Al final, verifique las respuestas colocándolas en las ecuaciones originales, o incluso mediante el uso de algunas ecuaciones adicionales de la regla de lazo o de unión no usadas previamente.

1. Designe la corriente en cada rama separada del circuito dado con un subíndice diferente, como I1, I2, I3 (figura 19-11 o 19-13). Cada corriente se refiere a un segmento entre dos uniones. Elija la dirección de cada corriente e indíquela con una flecha. La dirección se puede elegir de manera arbitraria: si en realidad la corriente está en la dirección opuesta, resultará con un signo menos en la solución. 2. Identifique las incógnitas. Se necesitarán tantas ecuaciones independientes como incógnitas. Es probable que puedan escribirse más ecuaciones, pero algunas de ellas serán redundantes (es decir, no serán independientes en el sentido de que proporcionen nueva información). Podrá usarse la fórmula V  IR para cada resistor, lo que a veces reducirá el número de incógnitas. 3. Aplique la regla de la unión de Kirchhoff a una o más uniones.

EJEMPLO 19–8 Uso de las reglas de Kirchhoff. Calcule las corrientes I1, I2 e I3 en las tres ramas del circuito de la figura 19-13. PLANTEAMIENTO y SOLUCIÓN

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Elija arbitrariamente las direcciones de la corriente.

1. Designe las corrientes e indique sus direcciones. En la figura 19-13 se utilizaron las etiquetas I1, I2 e I3 para la corriente en las tres ramas separadas. Puesto que la corriente (positiva) tiende a moverse alejándose de la terminal positiva de una batería, las direcciones de I2 e I3 se eligen como se muestra en la figura 19-13. La dirección de I1 no es obvia por anticipado, así que arbitrariamente se elige la dirección indicada. Si la corriente en realidad fluye en la dirección opuesta, la respuesta tendrá un signo negativo. 2. Identifique las incógnitas. Se tienen tres incógnitas, de modo que se necesitan tres ecuaciones, lo que se obtiene al aplicar las reglas de la unión y del lazo de Kirchhoff. 3. Regla de la unión. Se aplica la regla de la unión de Kirchhoff a la corriente en el punto a, donde entra I3 y salen I2 e I1:

I3 = I1 + I2 .

a)

Esta misma ecuación se sostiene en el punto d, así que no se obtiene nueva información al escribir una ecuación para el punto d.

FIGURA 19–13 Las corrientes se pueden calcular mediante las reglas de Kirchhoff. Vea el ejemplo 19-8.

30 Ω

I1 a

I3

40 Ω

h r= 2= 1 Ω 45 V

b 1= 80 V

I2 g

530

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

f

d

c 20 Ω

r= 1Ω e

4. Regla del lazo. Se aplica la regla del lazo de Kirchhoff a dos lazos cerrados diferentes. Primero se aplica al lazo superior ahdcba. Se comienza (y se termina) en el punto a. De a a h se tiene una disminución de potencial Vha  – AI1 B(30
). De h a d no hay cambio, pero de d a c el potencial aumenta por 45 V; esto es, Vcd  45 V. De c a a el potencial disminuye a través de las dos resistencias por una cantidad Vac  – AI3 B (40
+ 1
)  –(41
)I3 . Así, se tiene Vha + Vcd ± Vac = 0, o

–30I1 + 45 - 41I3 = 0,

b)

donde se omitieron las unidades. Para el segundo lazo, se toma el lazo exterior ahdefga. (En lugar de éste, se pudo haber elegido el lazo inferior abcdefga). De nuevo se comienza en el punto a y se tiene Vha = – AI1 B (30
) y Vdh = 0. Pero, cuando se lleva la carga de prueba positiva de d a e, en realidad se va colina arriba, contra la corriente, o al menos contra la dirección supuesta de la corriente, que es lo que cuenta en este cálculo. Por tanto, Ved = I2(20
) tiene un signo positivo. De igual modo, Vf e = I2(1
). De f a g existe una disminución en el potencial de 80 V pues se va de la terminal de alto potencial de la batería a la baja. En consecuencia, Vgf  80 V. Por último, Vag  0 y entonces la suma de los cambios de potencial alrededor de este lazo es

–30I1 + (20 + 1)I2 - 80 = 0.

c)

5. Resuelva las ecuaciones. Se tienen tres ecuaciones (a, b y c) y tres incógnitas. A partir de la ecuación c) se tiene

I2 =

80 + 30I1 = 3.8 + 1.4I1 . 21

d)

De la ecuación b) se tiene

I3 =

45 - 30I1 = 1.1 - 0.73I1 . 41

e)

Al sustituir las ecuaciones d) y e) en la ecuación a):

I1 = I3 - I2 = 1.1 - 0.73I1 - 3.8 - 1.4I1 . Se resuelve para I1, reuniendo términos:

3.1I1 = –2.7 I1 = –0.87 A. El signo negativo indica que la dirección de I1 es en realidad opuesta a la que se supuso inicialmente y se muestra en la figura 19-13. Note que la respuesta se obtiene en amperes porque todos los valores estuvieron en volts y en ohms. A partir de la ecuación d) se tiene

I2 = 3.8 + 1.4I1 = 3.8 + 1.4(–0.87) = 2.6 A, y de la ecuación e)

I3 = 1.1 - 0.73I1 = 1.1 - 0.73(–0.87) = 1.7 A. Esto completa la solución. NOTA Las incógnitas en diferentes situaciones no necesariamente son corrientes. Podría presentarse el caso de que las corrientes estén dadas y uno tenga que resolver para la resistencia o el voltaje incógnitos.

EJERCICIO C Escriba la ecuación para el lazo inferior abcdefga del ejemplo 19-8 y demuestre, si se suponen las corrientes calculadas en este ejemplo, que los potenciales suman cero para este lazo inferior. SECCIÓN 19–3

Reglas de Kirchhoff

531

* 19–4 Fem en serie y en paralelo; cómo cargar una batería Cuando dos o más fuentes de fem, como las baterías, se ordenan en serie como en la figura 19-14a, el voltaje total es la suma algebraica de sus respectivos voltajes. Por otra parte, cuando una batería de 20 V y una de 12 V se conectan de manera opuesta, como se observa en la figura 19-14b, el voltaje neto Vca es de 8 V (se ignoran las caídas de voltaje a través de las resistencias internas). Es decir, una carga de prueba positiva que se mueve de a a b gana 20 V en potencial, pero cuando pasa de b a c cae 12 V. Así que el cambio es 20 V – 12 V  8 V. Se podría pensar que conectar las baterías a la inversa, como en este caso, significaría un desperdicio. Para la mayoría de los propósitos esto sería cierto. Pero tal ordenamiento a la inversa es precisamente la manera como funciona un cargador de baterías. En la figura 19-14b, la fuente de 20 V carga a la batería de 12 V. A causa de su mayor voltaje, la fuente de 20 V fuerza a la carga de regreso hacia la batería de 12 V: los electrones son forzados en su terminal negativa y removidos de su terminal positiva. R I (a)

a

1.5 V

b

– +

1.5 V

c

– +

FIGURA 19–14 Baterías en serie a) y b), y en paralelo c).

R

R I (b)

a

20 V – +

b

12 V c

12 V – +

I

(c)

+ – – + 12 V

FIGURA 19–15 Ejemplo 19-9, arranque sin batería. Batería en buen estado

r1 = 0.020 Ω RJ

= 12.5 V

Cables de acoplamiento

I1

RJ

Batería débil

I2 A

r=

0.10 Ω Interruptor de arranque (cerrado)

S

B = 10.1 V

I3

Rs = 0.15 Ω

CAPÍTULO 19

Circuitos

EJEMPLO 19–9 Cómo arrancar un automóvil que se ha quedado sin batería. Para pasar corriente a la batería descargada de un automóvil, se usa una batería de automóvil cargada. La batería en buen estado tiene una fem de 12.5 V y resistencia interna de 0.020
. Suponga que la batería débil tiene una fem de 10.1 V y resistencia interna de 0.10
. Cada cable de acoplamiento de cobre mide 3.0 m de largo y 0.50 cm de diámetro, y se puede unir como se muestra en la figura 19-15. Suponga que el arranque del motor se puede representar como un resistor RS  0.15
. Determine la corriente a través del arranque del motor a) si sólo está conectada la batería débil a él y b) si la batería en buen estado también está conectada, como se ilustra en la figura 19-15. PLANTEAMIENTO Se aplican las reglas de Kirchhoff, pero en b) primero habrá que determinar la resistencia de los cables de acoplamiento con base en sus dimensiones y la resistividad (r  1.68  10-8
m para el cobre), como se explicó en la sección 18-4.

Arranque del motor

532

Un alternador de automóvil mantiene la batería del auto cargada en la misma forma. Un voltímetro colocado en las terminales de una batería de automóvil (12 V) con el motor en marcha bastante rápido puede indicar si el alternador está cargando o no la batería. Si es así, el voltímetro registra 13 o 14 V. Si la batería no se está cargando, el voltaje será de 12 V o menos, cuando la batería se descarga. Es posible recargar las baterías de automóvil, pero algunas no son recargables, pues las reacciones químicas en ellas no se pueden invertir. En tales casos, el ordenamiento de la figura 19-14b simplemente desperdiciaría energía. Las fuentes de fem también se pueden poner en paralelo (figura 19-14c), lo que normalmente es útil sólo si las fem son iguales. Un arreglo en paralelo no se usa para aumentar voltaje, sino más bien para proporcionar más energía cuando se necesitan grandes corrientes. Cada una de las pilas en paralelo tiene que producir sólo una fracción de la corriente total, de modo que la pérdida de energía debida a la resistencia interna es menor que para una pila sola; y las baterías se agotarán más lentamente.

CD

www.elsolucionario.org SOLUCIÓN a) El circuito que sólo tiene la batería débil y que carece de cables de acoplamiento es simple: una fem de 10.1 V conectada a dos resistencias en serie, 0.10
 0.15
 0.25
. Por tanto, la corriente es I = V
R  (10.1 V)
(0.25
)  40 A. b) Se necesita encontrar la resistencia de los cables de acoplamiento que conectan la batería en buen estado. A partir de la ecuación 18-3, cada uno tiene resistencia

RJ = rL
A  A1.68 * 10–8
mB(3.0 m)
(p)A0.25 * 10 –2 mB  0.0026
. La regla del lazo de Kirchhoff para todo el lazo exterior da 12.5 V - I1 A2RJ + r1 B - I3 RS = 0 12.5 V - I1(0.025
) - I3(0.15
) = 0 a) pues (2RJ + r) = (0.0052
+ 0.020
) = 0.025
. La regla del lazo para el lazo inferior, que incluye la batería débil y el arrancador, aporta 10.1 V - I3(0.15
) - I2(0.10
) = 0. b) La regla de la unión en el punto B da como resultado I1 + I2 = I3 . c) Se tienen tres ecuaciones con tres incógnitas. A partir de la ecuación c), I1 = I3  I2 y esto se sustituye en la ecuación a): 12.5 V - AI3 - I2 B(0.025
) - I3(0.15
) = 0, 12.5 V - I3(0.175
) + I2(0.025
) = 0. Al combinar esta última ecuación con b) se obtiene I3  71 A, un poco mejor que en a). Las otras corrientes son I2  5 A e I1  76 A. Advierta que I2  5 A está en la dirección opuesta a la que se supuso en la figura 19-15. De esta forma, el voltaje en terminales de la batería débil de 10.2 V es VBA  10.1 V - (–5 A)(0.10
)  10.6 V. NOTA El circuito que se muestra en la figura 19-15, sin el arrancador del motor, representa la forma como se puede cargar una batería. La batería más fuerte empuja la carga de regreso en la batería débil. 2

EJERCICIO D Si los cables de acoplamiento del ejemplo 19-9 se conectaran de manera equivocada a la inversa, la terminal positiva de cada batería estaría conectada a la terminal negativa de la otra batería (figura 19-16). ¿Cuál sería la corriente I incluso antes de que el arrancador del motor se enganche (el interruptor S en la figura 19-16 está abierto)? ¿Por qué esto podría provocar que las baterías exploten?

0.020 Ω

12.5 V

NO INTENTE ESTO

RJ

RJ

I C

D 0.10 Ω

S

10.1 V

Rs

Arrancador del motor FIGURA 19–16 Ejercicio D.

19–5 Circuitos que contienen capacitores en serie y en paralelo Así como los resistores se pueden colocar en serie o en paralelo en un circuito, lo mismo sucede con los capacitores (capítulo 17). Consideremos primero una conexión en paralelo como la de la figura 19-17. Si una batería suministra una diferencia de potencial V a los puntos a y b, esta misma diferencia de potencial V  Vab existe a través de cada uno de los capacitores. Esto es, dado que las placas de la izquierda de todos los capacitores están conectadas mediante conductores, todas alcanzan el mismo potencial Va cuando se conectan a la batería; y las placas de la derecha alcanzan el potencial Vb. Cada placa de capacitor adquiere una carga dada por Q1 = C1 V, Q2 = C2 V, y Q3 = C3 V. La carga total Q que debe dejar la batería es

Q = Q1 + Q2 + Q3 = C1 V + C2 V + C3 V. Intentaremos encontrar un solo capacitor equivalente que sostenga la misma carga Q al mismo voltaje V  Vab. Tendrá una capacitancia equivalente Ceq dada por Q = Ceq V. Al combinar las dos ecuaciones previas se tiene Ceq V = C1 V + C2 V + C3 V = AC1 + C2 + C3 BV o Ceq = C1 + C2 + C3 . [paralelo] (19–5) De esta forma, el efecto neto de conectar capacitores en paralelo es aumentar la capacitancia. Esto tiene sentido porque en esencia se aumenta el área de las placas donde se puede acumular carga (véase, por ejemplo, la ecuación 17-8). SECCIÓN 19–5

FIGURA 19–17 Capacitores en paralelo: Ceq  C1 + C2 + C3 .

1 C21

Q1 a

1 C22

b

Q2

1 C23

Q3

V = Vab

Capacitores en paralelo

Circuitos que contienen capacitores en serie y en paralelo

533

La carga en cada capacitor en serie es igual. a

C1

A

C2

B

C3

1Q 2Q 1Q 2Q 1Q 2Q

b

Los capacitores también se pueden conectar en serie; es decir, extremo con extremo, como se ilustra en la figura 19-18. Una carga Q fluye de la batería a una placa de C1, y –Q fluye a una placa de C3. Las regiones A y B entre los capacitores originalmente eran neutras, de modo que la carga neta todavía debe ser cero. La Q en la placa izquierda de C1 atrae una carga de –Q en la placa opuesta. Puesto que la región A debe tener una carga neta cero, en la placa izquierda de C2 existe Q. Las mismas consideraciones se aplican a los otros capacitores, por lo que se ve que la carga en cada placa de capacitor tiene la misma magnitud Q. Un solo capacitor que pudiese sustituir estos tres en serie sin afectar al circuito (es decir, de modo que Q y V sean los mismos) tendría una capacitancia Ceq donde

Q = Ceq V. El voltaje total V a través de los tres capacitores en serie debe ser igual a la suma de los voltajes a través de cada capacitor:

V = V1 + V2 + V3 .

V = Vab

FIGURA 19–18 Capacitores en serie: También para cada capacitor se tiene Q = C1 V1 , Q = C2 V2 , y Q = C3 V3 , de modo que se pueden sustituir V, V1, V2 y V3 en la última ecuación para obtener 1 1 1 1 + + .  Ceq C1 C2 C3 Q Q Q Q 1 1 1

Ceq

=

C1

+

C2

+

C3

= Q¢

C1

+

C2

+

C3

≤

o

1 1 1 1 . = + + Ceq C1 C2 C3

Capacitores en serie (se suman como recíprocos) P R E C A U C I Ó N

La fórmula para capacitores en serie se asemeja a la fórmula para resistores en paralelo.

[series] (19–6)

Note que la capacitancia equivalente Ceq es menor que la capacitancia contribuyente más pequeña. Note también que las formas de las ecuaciones para capacitores en serie o en paralelo son el inverso de sus contrapartes para resistencia. Esto es, la fórmula para capacitores en serie se asemeja a la fórmula para resistores en paralelo. EJEMPLO 19–10 Capacitancia equivalente. Determine la capacitancia de un solo capacitor que tendrá el mismo efecto que la combinación que se muestra en la figura 19-19a. Considere C1 = C2  C3 = C. PLANTEAMIENTO Primero se determina la capacitancia equivalente de C2 y C3 en paralelo, y luego se considera esa capacitancia en serie con C1. SOLUCIÓN Los capacitores C2 y C3 están conectados en paralelo, de modo que son equivalentes a un solo capacitor que tiene capacitancia

C2 3 = C2 + C3 = 2C. Este C23 está en serie con C1 (figura 19-19b), así que la capacitancia equivalente de todo el circuito, Ceq, está dada por

1 1 3 . 1 1 1 + = = + = Ceq C1 C2 3 C 2C 2C

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Recuerde considerar el recíproco.

Por tanto, la capacitancia equivalente de toda la combinación es Ceq  23 C, y es menor que cualquiera de los capacitores contribuyentes, C1 = C2  C3 = C.

C2 C1

a

b

C23

a

FIGURA 19–19 Ejemplos 19-10 y 19-11.

V

C3 (a)

534

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

V (b)

C1

b

* Ejemplo adicional. Cálculo de carga y voltaje EJEMPLO 19–11 Carga y voltaje sobre capacitores. Determine la carga sobre cada capacitor en la figura 19-19a del ejemplo 19-10 y el voltaje a través de cada uno, si C  3.0 mF y el voltaje de la batería es V  4.0 V. PLANTEAMIENTO Se tiene que trabajar “hacia atrás” en el ejemplo 19-10. Es decir, se encuentra la carga Q que deja la batería, mediante la capacitancia equivalente. Luego se determina la carga sobre cada capacitor separado y el voltaje a través de cada uno. Cada paso se vale de la ecuación 17-7, Q  CV. SOLUCIÓN La batería de 4.0 V “piensa” que está conectada a una capacitancia Ceq = 23 C  23 (3.0 mF) = 2.0 mF. Así, la carga Q que deja la batería, por la ecuación 17-7, es

Q = CV = (2.0 mF)(4.0 V) = 8.0 mC. A partir de la figura 19-19a, esta carga llega a la placa negativa de C1, de modo que Q1  8.0 mC. La carga Q que deja la placa positiva se divide de manera equitativa entre C2 y C3 (simetría: C2  C3) y es Q2 = Q3  12 Q = 4.0 mC. Además, los voltajes a través de C2 y C3 tienen que ser iguales. El voltaje a través de cada capacitor se determina mediante la fórmula V  Q/C. Así que

V1 = Q1
C1 = (8.0 mC)
(3.0 mF) = 2.7 V V2 = Q2
C2 = (4.0 mC)
(3.0 mF) = 1.3 V V3 = Q3
C3 = (4.0 mC)
(3.0 mF) = 1.3 V.

19–6 Circuitos RC. Resistor y capacitor en serie Con frecuencia, en un circuito se encuentran juntos capacitores y resistores. Tales circuitos RC se usan para controlar los limpiaparabrisas de un automóvil y el tiempo de encendido de las luces de los semáforos; se emplean también en los flashes de las cámaras, en los marcapasos cardiacos y en muchos otros dispositivos electrónicos. En los circuitos RC no interesa tanto el voltaje y la carga en el capacitor en el “estado estable” final, sino más bien cómo cambian estas variables con el tiempo. En la figura 19-20a se VC R

FIGURA 19–20 Para el circuito RC que se muestra en a), el voltaje a través del capacitor aumenta con el tiempo; en b) se muestra después de que el interruptor S se cierra.

0.63

–

C

+

S a)

b)

t=0

t = RC

2RC Time

3RC

t

presenta un ejemplo simple. A continuación se analizará este circuito RC. Cuando el interruptor S se cierra, la corriente inmediatamente comienza a fluir a través del circuito. Los electrones fluirán desde la terminal negativa de la batería, a través del resistor R, y se acumularán en la placa superior del capacitor. Y también los electrones fluirán hacia la terminal positiva de la batería, y dejarán una carga positiva en la otra placa del capacitor. Conforme la carga se acumula en el capacitor, la diferencia de potencial a través de él aumenta (V  Q/C), y la corriente se reduce hasta que eventualmente el voltaje a través del capacitor iguala la fem de la batería, e. Entonces no existe diferencia de potencial a través del resistor y ya no fluirá más carga. La diferencia de potencial a través del capacitor, que es proporcional a la carga sobre el capacitor (VC  Q/C, ecuación 17-7), aumenta entonces con el tiempo, como se observa en la figura 19-20b. La forma verdadera de esta curva es un tipo de exponencial y está dada por la fórmula†

VC = e A1 - e –t
RC B, donde se usa el subíndice C para recordar que VC es el voltaje a través del capacitor y aquí está dado como función del tiempo t. [La constante e, conocida como la base de los logaritmos naturales, tiene el valor e = 2.718 p. No hay que confundir esta e con la e para la carga en el electrón]. †

Circuitos RC

Cómo se carga el capacitor

P R E C A U C I Ó N

No hay que confundir e para exponencial con e para carga de electrón.

La deducción requiere cálculo.

SECCIÓN 19–6

Circuitos RC. Resistor y capacitor en serie

535

www.elsolucionario.org Se puede escribir una fórmula similar para la carga Q ( CVC) en el capacitor:

Q = Q0 A1 - e –t
RC B,

donde Q0 representa la carga máxima. El producto de la resistencia R por la capacitancia C, que aparece en el exponente, se llama constante de tiempo T del circuito: Constante de tiempo t  RC

Descarga del capacitor

t = RC.

(19–7)

La constante de tiempo es una medida de la rapidez con que se carga el capacitor. [Las unidades de RC son
F  (V
A)(C
V)  C
(C
s) = s]. Específicamente, se puede demostrar que el producto RC proporciona el tiempo requerido para que el voltaje (y la carga) del capacitor alcance el 63% del máximo. Esto se puede comprobar† con una calculadora que tenga la función ex: e1  0.37, así que para t  RC, entonces A1 - e –t
RC B = A1 - e –1 B = (1 - 0.37) = 0.63. Por ejemplo, en un circuito donde R  200 k
y C  3.0 mF, la constante de tiempo es A2.0 * 105
BA3.0 * 10–6 FB  0.60 s. Si la resistencia es mucho menor, la constante de tiempo es mucho menor y el capacitor se carga casi de inmediato. Esto tiene sentido, ya que una resistencia más baja retardará el flujo de menos carga. Todos los circuitos contienen cierta resistencia (aunque sea sólo en los alambres conectores), así que un capacitor nunca se puede cargar instantáneamente cuando se conecta a una batería. El circuito que se acaba de analizar implica la carga de un capacitor por medio de una batería a través de una resistencia. Ahora observe otra situación: un capacitor ya está cargado (por ejemplo, a un voltaje V0 y carga Q0), y luego se le permite descargarse a través de una resistencia R, como se representa en la figura 19-21a. (En este caso no existe batería). Cuando el interruptor S se cierra, la carga comienza a fluir a través del resistor R desde un lado del capacitor hacia el otro, hasta que está completamente descargado. El voltaje a través del capacitor disminuye, como se muestra en la figura 19-21b. Esta curva de “decaimiento exponencial” está dada por

VC = V0 e –t
RC, donde V0 es el voltaje inicial a través del capacitor. El voltaje cae el 63% del camino a cero (a 0.37v0) en un tiempo t  RC. Como la carga Q en el capacitor es Q  CV, se puede escribir

Q = Q0 e –t
RC para un capacitor que se descarga, donde Q0 es la carga inicial. VC FIGURA 19–21 Para el circuito RC que se muestra en a), el voltaje VC en el capacitor disminuye con el tiempo, como se muestra en b), luego de que el interruptor S se cierra. La carga en el capacitor sigue la misma curva, pues Q r V.

V0 C

– V + 0

R

S a)

0.37 V0 0

t = RC

2RC Tiempo b)

3RC

t

EJEMPLO 19–12 Un circuito RC que se descarga. Si un capacitor cargado, C  35 mF, se conecta a una resistencia R  120
como en la figura 19-21a, ¿cuánto tiempo tardará hasta que el voltaje caiga al 10% de su valor original (máximo)? PLANTEAMIENTO El voltaje a través del capacitor disminuye de acuerdo con VC  V0 e –t
RC. Se hace VC  0.10V0 (10% de V0), pero primero se necesita calcular t  RC. De manera más simple, e  2.718..., entonces e –1 = 1
e  1
2.718 = 0.37. Advierta que e es la operación inversa al logaritmo natural ln: ln(e)  1, y ln(ex)  x.

†

536

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

SOLUCIÓN La constante de tiempo para este circuito está dada por

t = RC = (120
)(35 * 10–6 F) = 4.2 * 10–3 s. Después de un tiempo t, el voltaje a través del capacitor será

VC = V0 Ae –t
RC B.

Se quiere conocer el tiempo t para el que VC  0.10V0. Esto se sustituye en la ecuación anterior

0.10V0 = V0 e –t
RC de modo que e –t
RC = 0.10. La operación inversa al exponencial e es el log natural, ln. Por tanto t ln Ae –t
RC B = – = ln 0.10 = – 2.3. RC Al resolver para t, se encuentra que el tiempo transcurrido es t = 2.3(RC) = (2.3)A4.2 * 10–3 sB = 9.7 * 10–3 s o 9.7 ms. NOTA Se puede encontrar el tiempo para cualquier voltaje especificado a través de un capacitor mediante la fórmula t = RC ln AV0
VC B. EJERCICIO E Para el mismo capacitor de 35 mF del ejemplo 19-12, ¿qué valor de resistencia R produciría una reducción de voltaje al 10% de V0 en exactamente 1.0 s?

EJEMPLO CONCEPTUAL 19–13 Bombilla en circuito RC. En el circuito de la figura 19-22, el capacitor originalmente no está cargado. Describa el comportamiento de la bombilla desde el instante en que se cierra el interruptor S hasta un largo tiempo después. RESPUESTA Cuando el interruptor se cierra por primera vez, la corriente en el circuito es alta y la bombilla arde brillantemente. Conforme el capacitor se carga, el voltaje a través del capacitor aumenta y la corriente se reduce, lo que provoca que la bombilla emita una luz tenue. Conforme la diferencia de potencial a través del capacitor se aproxima al mismo voltaje que el de la batería, la corriente disminuye hacia cero y la bombilla se apaga.

S

V0

C

R

FIGURA 19–22 Ejemplo 19-13.

* Aplicaciones médicas y de otro tipo de los circuitos RC La carga y descarga en un circuito RC se puede usar para producir pulsos de voltaje a una frecuencia regular. La carga en el capacitor aumenta hacia un voltaje particular y luego se descarga. Una forma simple de iniciar la descarga del capacitor es con el uso de un tubo lleno de gas que tiene un fallo eléctrico cuando el voltaje a través de él alcanza cierto valor V0. Después de que la descarga termina, el tubo ya no conduce más corriente y el proceso de recarga se repite a sí mismo comenzando en un voltaje más bajo V0œ . La figura 19-23 muestra un posible circuito, y los “dientes de sierra” de voltaje que produce. Una simple luz titilante puede ser una aplicación de un circuito oscilador en un diente de sierra. Aquí la fem se suministra mediante una batería; la bombilla de neón destella quizás a una tasa de 1 ciclo por segundo. El componente principal de una “unidad de destellos” es un capacitor moderadamente grande.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Voltaje en diente de sierra de lámparas titilantes

V R + –

R' C Tubo lleno de gas a)

FIGURA 19–23 a) Un circuito RC, acoplado con un tubo lleno de gas como interruptor, puede producir un voltaje en “diente de sierra” repetitivo, como se muestra en b).

V0 V0' 0

Tiempo b) SECCIÓN 19–6

Circuitos RC. Resistor y capacitor en serie

537

F Í S I C A

A P L I C A D A

Limpiaparabrisas

F Í S I C A

A P L I C A D A

Marcapasos cardiacos

FIGURA 19–24 En esta radiografía de la caja torácica se observa el marcapasos electrónico activado con batería.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Peligros de la electricidad

Los limpiaparabrisas intermitentes de un automóvil también utilizan un circuito RC. La constante de tiempo del RC, que puede cambiar con el uso de un interruptor de posiciones múltiples para diferentes valores de R con C fija, determina la tasa a la que se activan los limpiadores. Un interesante uso médico de un circuito RC es el marcapasos cardiaco electrónico, que es capaz de hacer que un corazón detenido comience a latir de nuevo al aplicarle un estímulo eléctrico a través de electrodos unidos al pecho. Si es necesario, el estímulo se puede repetir a la tasa del latido normal. El corazón mismo contiene un células marcapasos que envían pequeños pulsos eléctricos a una tasa de 60 a 80 por minuto. Estas señales inducen el comienzo de cada latido. En algunas enfermedades cardiacas, el marcapasos natural falla en su funcionamiento adecuado y el corazón pierde su ritmo. Para tales pacientes se prescriben los marcapasos electrónicos, capaces de producir un pulso de voltaje regular que inicia y controla la frecuencia del latido cardiaco. Los electrodos se implantan en o cerca del corazón (figura 19-24) y el circuito contiene un capacitor y un resistor. La carga en el capacitor aumenta hasta cierto punto y luego se descarga. Luego comienza a cargarse de nuevo. La tasa de pulsación depende de los valores de R y C.

19–7 Riesgos eléctricos El exceso de corriente eléctrica puede quemar los alambres en los edificios y provocar incendios, como se explicó en la sección 18-6. La corriente eléctrica también puede dañar el cuerpo humano o incluso provocarle la muerte. Los daños que la corriente eléctrica podría provocar en el cuerpo humano son de dos tipos: 1. la corriente eléctrica calienta el tejido y causa quemaduras; 2. la corriente eléctrica estimula los nervios y músculos (cuyo funcionamiento, como se vio en las secciones 17-11 y 18-10, es eléctrico) y se experimenta un “choque”. La severidad de un choque depende de la magnitud de la corriente, de cuánto tiempo actúa y de cuál parte del cuerpo atraviesa. Una corriente que pasa a través de órganos vitales como el corazón o el cerebro es especialmente seria porque interfiere con su funcionamiento. La mayoría de las personas “sienten” una corriente de aproximadamente 1 mA. Corrientes de unos cuantos mA causan dolor pero rara vez provocan un daño considerable en una persona sana. Las corrientes por arriba de 10 mA provocan severas contracciones de los músculos y es probable que una persona no sea capaz de soltar la fuente de la corriente (como un aparato o alambre dañados). Es factible que sobrevenga la muerte por parálisis del sistema respiratorio. Sin embargo, en ocasiones la respiración artificial puede revivir a una víctima. Si una corriente por arriba de un rango comprendido entre 80 y 100 mA pasa a través del torso, de modo que una porción pase a través del corazón durante más de un segundo o dos, los músculos cardiacos comenzarán a contraerse de manera irregular y la sangre no podrá bombearse de manera adecuada. Esta condición se llama fibrilación ventricular. Si dura mucho tiempo, ocasiona la muerte. Aunque parezca extraño, si la corriente es mucho mayor, del orden de 1 A, la muerte por fallo cardiaco resulta menos probable,† pero tales corrientes pueden provocar serias quemaduras, en especial si se concentran en una pequeña área del cuerpo. La seriedad de un choque depende del voltaje aplicado y de la resistencia efectiva del cuerpo. El tejido vivo tiene baja resistencia ya que el fluido de las células contiene iones que son buenos conductores. Sin embargo, la capa exterior de la piel, cuando está seca, ofrece alta resistencia y sirve de protección. La resistencia efectiva entre dos puntos en lados opuestos del cuerpo cuando la piel está seca está en el rango de 104 a 106
. Pero cuando la piel está mojada, la resistencia es de 103
o menos. Una persona descalza o que lleva zapatos de suela delgada hará un buen † Las grandes corrientes aparentemente llevan al corazón a una pausa. Al liberar la corriente, el corazón regresa a su ritmo normal. Esto en ocasiones no sucede porque la fibrilación, una vez comenzada, es difícil de detener. La fibrilación también puede ocurrir como resultado de un ataque cardiaco o durante una cirugía del corazón. Un dispositivo conocido como defibrilador (descrito en la sección 17-9) permite aplicar una corriente intensa al corazón por un lapso breve, lo que provoca un completo paro cardiaco que con frecuencia es seguido por la reanudación del latido normal.

538

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

www.elsolucionario.org contacto con la tierra, y si toca una línea de 120 V con una mano húmeda esto dará como resultado una corriente de

120 V I = = 120 mA. 1000
Como se vio, esto podría ser mortal. Una persona que ha recibido un choque se ha convertido en parte de un circuito completo. La figura 19-25 muestra dos formas en que el circuito se puede completar cuando una persona accidentalmente toca un alambre eléctrico “vivo”. El término “vivo” significa un alto potencial como 120 V (voltaje doméstico normal) en relación con la tierra. El otro lado del cableado de un edificio está conectado a tierra, ya sea mediante un alambre conectado a un conductor enterrado o a través de una tubería de agua en el suelo. En la figura 19-25a, la corriente pasa del alambre de alto voltaje, a través de la persona, hacia tierra a través de sus pies descalzos y de vuelta a lo largo del suelo (un buen conductor) hacia la terminal a tierra de la fuente. Si la persona está de pie sobre un buen aislador, como zapatos con gruesas suelas de goma o un piso de madera seco, habrá mucho más resistencia en el circuito y, en consecuencia, mucho menos corriente a través de la persona. Si la persona está de pie con los pies descalzos en el suelo, o está en una bañera, existe un peligro mortal ya que la resistencia es mucho menor y la corriente mayor. En una bañera (o alberca), no sólo se está mojado, sino que también el agua está en contacto con la tubería de drenaje que conduce a tierra. Por eso se recomienda no tocar aparatos eléctricos cuando se esté mojado o descalzo. En la figura 19-25b una persona toca un alambre “vivo” defectuoso con una mano, y la otra mano toca un grifo (conectado a tierra a través de la tubería). La corriente es particularmente peligrosa porque pasa por el pecho, a través del corazón y los pulmones. Como regla general, si una mano toca algún aparato eléctrico, hay que mantener la otra mano en el bolsillo (¡no la use!), y además es recomendable usar zapatos con suela gruesa de goma. También es una buena idea remover la joyería metálica, en especial los anillos ya que, por lo general, los dedos están húmedos debajo de ellos). Una persona entra en contacto con un alambre vivo al tocar un alambre cuyo aislador se ha gastado, o un alambre expuesto en el interior de un aparato que intenta reparar. (¡Siempre hay que desconectar un aparato eléctrico antes de inspeccionar† su interior!) Otra posibilidad es que un alambre en el interior de un dispositivo se rompa o pierda su aislamiento y entre en contacto con la cubierta. Si ésta es metálica, conducirá electricidad. Entonces una persona podría sufrir un severo choque con tan sólo tocar la cubierta, como se muestra en la figura 19-26b. Para evitar un accidente, se supone que las cubiertas metálicas están conectadas directamente a tierra mediante un alambre separado. Entonces, si un alambre “vivo” toca la cubierta conectada a tierra, en el interior ocurre inmediatamente un cortocircuito a tierra, como se muestra en la figura 19-26c, y la mayor parte de la corriente pasará a través del alambre de baja resistencia a tierra y no a través de la persona. Más aún, la alta corriente debe abrir el fusible o el disyuntor (también conocido como breaker).

I

120 V

a)

“¡Aaayyy!”

b) FIGURA 19–25 Una persona recibe un choque eléctrico cuando el circuito se completa. P R E C A U C I Ó N

Es conveniente mantener una mano en el bolsillo cuando la otra toque electricidad. F Í S I C A

A P L I C A D A

Aterrizaje y choques

† Incluso entonces existe la posibilidad de recibir un choque de un capacitor que no se ha descargado hasta que se toca.

FIGURA 19–26 a) Un horno eléctrico que opera normalmente con un enchufe de dos patas. b) Corto en la cubierta cuando ésta no se encuentra conectada a tierra: choque. c) Corto en la cubierta cuando ésta se conecta a tierra mediante un enchufe de tres patas.

I

Corriente

I

I I 120 V

120 V

120 V Corriente

I a)

b)

c) SECCIÓN 19–7

Riesgos eléctricos

539

La conexión a tierra de una cubierta metálica se logra mediante un alambre de tierra separado que se conecta a la tercera pata (redonda) de un enchufe de tres patas (figura 19-27a). Nunca corte la tercera pata de un enchufe: podría ser mortal. ¿Por qué se necesita un tercer alambre? Los 120 V son conducidos por los otros dos alambres: uno vivo (120 V ca), el otro neutro, que en sí mismo está conectado a tierra.† El tercer alambre “dedicado” a tierra, con la pata redonda, parecería inútil. Pero representa protección por dos razones: 1. protege contra el alambrado interno que pudo haberse realizado de manera incorrecta; 2. el alambre neutro porta corriente normal (“regresa” corriente de los 120 V) y tiene resistencia; así que puede haber una caída de voltaje a lo largo de él, normalmente pequeña, pero si las conexiones son pobres o están corroídas, o si el enchufe está flojo, la resistencia podría ser lo suficientemente grande como para que una persona sienta dicho voltaje si toca el alambre neutro a cierta distancia de su punto de conexión a tierra. Algunos dispositivos eléctricos vienen sólo con dos alambres, y las dos patas del enchufe tienen diferentes anchos; el enchufe se puede insertar sólo de una forma en el tomacorriente, de modo que el neutro (pata más ancha) del dispositivo quede conectado al neutro en el alambrado. Por ejemplo, las vueltas de tornillo en una bombilla tienen la intención de ser conectadas a neutro (y el contacto de la base a vivo) para evitar choques cuando se cambie una bombilla en un portalámparas que tal vez esté salido. Los dispositivos con enchufes de dos patas no tienen sus cubiertas conectadas a tierra; pero se supone que tienen doble aislamiento eléctrico. De cualquier forma, hay que tomar precauciones adicionales. El aislamiento de un alambre puede tener código de colores. Los medidores de mano, por lo general, tienen alambres guía rojos (vivo) y negros (tierra). Pero, en una casa, el negro generalmente es vivo (o puede ser rojo), mientras que el blanco es neutro y el verde es el dedicado a tierra. Pero tenga cuidado: no siempre se puede confiar en estos códigos de color. Los disyuntores o breakers normales (secciones 18-6 y 20-7) protegen el equipo y los edificios de sobrecargas e incendios. Protegen a los humanos sólo en algunas circunstancias, como en el caso de corrientes muy altas que son resultado de un corto, si responden suficientemente rápido. Los interruptores de circuito para falla a tierra, descritos en la sección 21-8, están diseñados para proteger a la gente de las corrientes mucho más bajas (10 mA a 100 mA) que son mortales pero que no dispararían un disyuntor de 15 A o que no quemarían un fusible de 20 A.

a)

b)

† En Estados Unidos, en una casa normalmente entran tres alambres: dos alambres vivos a 120 V cada uno (que en conjunto suman 240 V para aparatos o dispositivos que funcionan a 240 V) más el neutro a tierra (que porta corriente de regreso para los dos vivos). Observe la figura 19-28. El alambre “dedicado” a tierra (que no porta corriente) es un cuarto alambre que no proviene de la compañía eléctrica pero que entra a la casa desde una pesada estaca cercana colocada en el suelo o desde una tubería metálica enterrada. Los dos alambres vivos pueden alimentar circuitos separados de 120 V en la casa, así que cada circuito de 120 V en el interior de la casa tiene sólo tres alambres, como se explicó en el texto.

c) FIGURA 19–27 a) Enchufe con tres patas y b) un adaptador (gris) para los antiguos tomacorrientes de dos patas: asegúrese de atornillar la lengüeta a tierra. c) Enchufe polarizado de dos patas.

FIGURA 19–28 Los cuatro alambres que entran a una casa típica (en Estados Unidos). Los códigos de color para los alambres no siempre son los que se muestran aquí. ¡Tenga cuidado!

 120 V De la compañía eléctrica

P R E C A U C I Ó N

El alambre negro puede ser tierra o vivo. ¡Tenga cuidado!

Negro (o rojo)

Vivo

120 Vrms 240 Vrms 0

Blanco

Neutro

Negro

Tierra en poste eléctrico CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

0

120 Vrms 120 V 

Vivo  120 V Verde

540

 120 V

0

Tierra en casa

La corriente es la que daña, pero es el voltaje el que provoca la corriente. A veces se dice que 30 volts son el umbral para el peligro. Pero incluso una batería de automóvil de 12 V (capaz de suministrar grandes corrientes) puede causar desagradables quemaduras y choques eléctricos. Otro peligro es la fuga de corriente, término con el que se designa una corriente a lo largo de una trayectoria no deseada. Las fugas de corriente con frecuencia son “acopladas de forma capacitiva”. Por ejemplo, un alambre en una lámpara forma un capacitor con la cubierta de metal; las cargas que se mueven en un conductor atraen o repelen carga en el otro, así que existe una corriente. Los códigos típicos de electricidad limitan las fugas de corriente a 1 mA para cualquier dispositivo. Una fuga de corriente de 1 mA, por lo general, no es dañina. Sin embargo, podría ser muy peligrosa para un paciente de hospital con electrodos implantados que se conectan a tierra a través del aparato. Esto se debe a la ausencia de la capa protectora de la piel y porque la corriente puede pasar directamente a través del corazón en comparación con la situación común donde la corriente entra a las manos y se esparce a través del cuerpo. Aunque se requieren 100 mA para provocar fibrilación cardiaca cuando la corriente entra por las manos (en realidad muy poca de ella pasa al corazón), se ha sabido de fibrilaciones producidas por cifras tan pequeñas como 0.02 mA que pasan directamente al corazón. Por tanto, un paciente “conectado” está en considerable peligro por las fugas de corriente, incluso en un acto tan simple como tocar una lámpara. Finalmente, nunca toque una línea de potencia caída (¡esto es mortal!); ni siquiera se acerque a ella. Una línea de potencia viva está a miles de volts. A través del suelo o del pavimento puede fluir una enorme corriente, desde donde el alambre de alto voltaje toca el suelo hasta el punto de conexión a tierra de la línea neutra, que es suficiente como para que el voltaje entre las piernas sea grande. Sugerencia: Párese en un pie o corra (de modo que sólo un pie toque el suelo a la vez).

* 19–8 Amperímetros y voltímetros

Fuga de corriente

F Í S I C A

A P L I C A D A

Medidores de CD

Un amperímetro sirve para medir corriente, y un voltímetro mide diferencias de potencial o voltajes. Las mediciones de corriente y voltaje se realizan con medidores que son de dos tipos: 1. medidores análogos, que despliegan valores numéricos mediante la posición de un puntero que se mueve a lo largo de una escala (figura 19-29a); y 2. medidores digitales, que despliegan el valor numérico en números (figura 19-29b). Ahora se analizarán los medidores en sí y su funcionamiento, para luego explicar cómo se conectan a los circuitos con la finalidad de realizar mediciones. Por último se hablará de cómo el uso de medidores afecta al circuito que se mide, lo que posiblemente ocasiona resultados erróneos; se explicará qué hacer al respecto.

FIGURA 19–29 a) Multímetro analógico que se usa como voltímetro. b) Medidor digital electrónico.

a)

b)

* Amperímetros y voltímetros analógicos La parte esencial de un amperímetro o voltímetro analógico, en el que la lectura se realiza mediante un puntero sobre una escala (figura 19-29a), es un galvanómetro. El galvanómetro funciona sobre el principio de la fuerza entre un campo magnético y una bobina de alambre que porta corriente, que se estudiará en el capítulo 20. Por el momento, simplemente se necesita saber que la desviación de la aguja del galvanómetro es proporcional a la corriente que fluye a través de él. La sensibilidad de *SECCIÓN 19–8

Amperímetros y voltímetros

541

www.elsolucionario.org

El amperímetro usa un resistor derivado en paralelo.

corriente a escala completa, Im, de un galvanómetro es la corriente necesaria para hacer que la aguja se desvíe la escala completa. Es posible usar un galvanómetro directamente para medir pequeñas corrientes cd. Por ejemplo, un galvanómetro cuya sensibilidad Im es de 50 mA es capaz de medir corrientes desde aproximadamente 1 mA (corrientes más pequeñas que esto son difíciles de leer en la escala) hasta 50 mA. Para medir corrientes mayores, se coloca un resistor en paralelo con el galvanómetro. Así, un amperímetro, representado por el símbolo A , consiste en un galvanómetro ( G ) en paralelo con un resistor llamado resistor en derivación o derivado, como se muestra en la figura 19-30. (“En derivación” o “derivado” es un sinónimo de “en paralelo”). La resistencia en derivación es Rder, y la resistencia de la bobina del galvanómetro, a través de la que pasa la corriente, es r. El valor de Rder se elige de acuerdo con la desviación de escala completa deseada; normalmente Rder es muy pequeña —dada la muy pequeña resistencia neta de un amperímetro— así que la mayor parte de la corriente pasa a través de Rder y muy poca (f 50 mA) pasa a través del galvanómetro para desviar la aguja. r G

FIGURA 19–30 Un amperímetro es un galvanómetro en paralelo con un resistor (en derivación) con baja resistencia, Rder.

IG I

Amperímetro A

=

I IR

Rder

EJEMPLO 19–14 Diseño de amperímetro. Diseñe un amperímetro para leer 1.0 A a escala completa con el uso de un galvanómetro con una sensibilidad de escala completa de 50 mA y una resistencia r  30
. Verifique si la escala es lineal.

PLANTEAMIENTO Sólo 50 mA A IG  0.000050 AB de la corriente de 1.0 A debe pasar a través del galvanómetro para proporcionar desviación de escala completa. El resto de la corriente AIR  0.999950 AB pasa a través del pequeño resistor en derivación, Rder (figura 19-30). La diferencia de potencial a través del galvanómetro es igual a la que cruza el resistor en derivación (están en paralelo). Se aplica la ley de Ohm para encontrar Rder. SOLUCIÓN Puesto que I = IG + IR , cuando I  1.0 A fluye al medidor, se quiere que IR a través del resistor en derivación sea IR  0.999950 A. La diferencia de potencial a través del derivado es la misma que cruza el galvanómetro, así que la ley de Ohm dice

IR Rder = IG r; entonces

Rder =

A5.0 * 10–5 AB(30
) IG r = IR (0.999950 A) = 1.5 * 10–3
,

o 0.0015
. Por tanto, el resistor en derivación debe tener una resistencia muy baja y la mayor parte de la corriente pasa a través de él. Si la corriente I en el medidor es de 0.50 A, por ejemplo, esto producirá una corriente hacia el galvanómetro igual a

IG =

(0.50 A)A1.5 * 10–3
) IR Rder = r 30
= 25 mA,

que brinda una desviación de media escala completa; de modo que la escala es lineal.

542

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

Un voltímetro ( V ) también consta de un galvanómetro y un resistor. Pero el resistor Rser está conectado en serie (figura 19-31), y por lo general es grande, lo que le da al voltímetro una alta resistencia interna. Voltímetro

Rser

=

V

El voltímetro usa un resistor en serie.

FIGURA 19–31 Un voltímetro es un

r

galvanómetro en serie con un resistor con alta resistencia, Rser.

G

EJERCICIO F Con el mismo galvanómetro que el del ejemplo 19-14, con resistencia interna r  30
y sensibilidad de corriente a escala completa de 50 mA, utilice la ley de Ohm para determinar el valor de Rser para fabricar un voltímetro que permita registrar desde 0 hasta 15 V.

Los medidores que se acaban de describir son para corriente directa. Es posible modificar un medidor cd para medir ca (corriente alterna, sección 18-7) con la adición de diodos, lo que permite que la corriente fluya sólo en una dirección. Un medidor ca se puede calibrar para leer valores rms o pico. Los voltímetros y amperímetros pueden tener varios resistores en serie o en derivación para ofrecer una variedad de rangos. Los multímetros pueden medir voltaje, corriente y resistencia. A veces los multímetros se conocen como VOM (Volt-OhmMedidor o Volt-Ohm-Miliamperímetro). Un óhmmetro mide resistencia, y debe contener una batería de voltaje conocido conectada en serie a un resistor (Rser) y a un amperímetro (figura 19-32). El resistor cuya resistencia se va a medir completa el circuito. La desviación de la aguja es inversamente proporcional a la resistencia. La calibración de la escala depende del valor del resistor en serie. Puesto que un óhmmetro envía una corriente a través del dispositivo cuya resistencia se va a medir, no debería usarse en dispositivos muy delicados que pudiesen dañarse con la corriente. La sensibilidad de un medidor por lo general se especifica en la carátula. Puede estar dada como tantos ohms por volt, lo que indica cuántos ohms de resistencia hay en el medidor por volt de lectura de escala completa. Por ejemplo, si la sensibilidad es de 30,000
/V, esto significa que, en la escala de 10 V, el medidor tiene una resistencia de 300,000
, mientras que, en la escala de 100 V, la resistencia del medidor es de 3 M
. La sensibilidad de corriente de escala completa, Im, discutida con anterioridad, es justo el recíproco de la sensibilidad en
/V.

Medidores CA

Multímetros VOM

Óhmmetros

r

G

Rder Rser V R a ser medida FIGURA 19–32 Un óhmmetro.

* Cómo conectar los medidores Suponga que se desea determinar la corriente I en el circuito que se muestra en la figura 19-33a y el voltaje a través del resistor R1. ¿Cómo se conectan exactamente los amperímetros y voltímetros al circuito que se va a medir? FIGURA 19–33 Medición de corriente y voltaje. a

b

c

R1

R2

V a)

a

A P L I C A D A

V b

c

R1 A

F Í S I C A

Cómo usar correctamente los medidores

R2

c

b

a

R1

V

R2

V

b)

Como un amperímetro se usa para medir la corriente que fluye en el circuito, se debe insertar directamente en el circuito, en serie con los otros elementos, como se indica en la figura 19-33b. Cuanto más pequeña sea su resistencia interna, menos afectará al circuito. Por otra parte, un voltímetro se conecta “externamente”, en paralelo con el elemento de circuito a través del que se va a medir el voltaje. Se utiliza para medir la diferencia de potencial entre dos puntos. Sus dos alambres guía (alambres conectores) están conectados a los dos puntos, como se ilustra en la figura 19-33c, donde se va a medir el voltaje que cruza R1. Cuanto mayor sea su resistencia interna, (Rser  r) en la figura 19-31, menos afectará al circuito que se mide. *SECCIÓN 19–8

c) El amperímetro se inserta en el circuito.

El voltímetro se conecta en paralelo.

Amperímetros y voltímetros

543

* Efectos de la resistencia del medidor F Í S I C A

A P L I C A D A

Corrección para resistencia del medidor. a

b

c

R2

R1

V a)

V c

b

a

R1

R2

V

Es importante conocer la sensibilidad de un medidor, porque en muchos casos la resistencia de éste puede afectar seriamente los resultados. Considere el ejemplo siguiente. EJEMPLO 19–15 Lectura de voltaje frente a voltaje verdadero. Supongamos que se prueba un circuito electrónico que tiene dos resistores, R1 y R2, cada uno de 15 k
, conectados en serie como se aprecia en la figura 19-34a. La batería mantiene 8.0 V a través de ellos y tiene resistencia interna despreciable. Un voltímetro, cuya sensibilidad es de 10,000
/V, se coloca en la escala de 5.0 V. ¿Qué voltaje indica el medidor cuando se conecta a través de R1 (figura 19-34b), y qué error provoca la resistencia finita del medidor? PLANTEAMIENTO El medidor actúa como un resistor en paralelo con R1. Se emplea el análisis de resistores en paralelo y en serie y la ley de Ohm para determinar las corrientes y los voltajes. SOLUCIÓN En la escala de 5.0 V, el voltímetro tiene una resistencia interna de (5.0 V)(10,000

V) = 50,000
. Cuando se conecta a través de R1, como en la figura 19-34b, estos 50 k
se tienen en paralelo con R1  15 k
. La resistencia neta Req de estos dos está dada por

1 1 1 13 + = ; = Req 50 k
15 k
150 k


b)

así que Req  11.5 k
. Esta Req  11.5 k
está en serie con R2  15 k
, de modo que la resistencia total del circuito ahora es de 26.5 k
(en lugar del original 30 k
). En consecuencia, la corriente proveniente de la batería es

FIGURA 19–34 Ejemplo 19-15.

8.0 V = 3.0 * 10–4 A = 0.30 mA. 26.5 k
Entonces la caída de voltaje a través de R1, que es la misma que la que cruza el –4 3 voltímetro, es A3.0 * 10 ABA11.5 * 10
B  3.5 V. [La caída de voltaje a tra–4 3 vés de R2 es A3.0 * 10 AB A15 * 10
B  4.5 V, para un total de 8.0 V.] Si se supone que el medidor es preciso, indicará 3.5 V. En el circuito original, sin el medidor, R1  R2, así que el voltaje que cruza R1 es la mitad del de la batería, o 4.0 V. De este modo, el voltímetro, por su resistencia interna, brinda una lectura baja. En este caso varía en 0.5 V, o más del 10%. I =

El ejemplo 19-15 ilustra cómo un medidor puede afectar un circuito y arrojar una lectura equivocada. Sin embargo, si la resistencia de un voltímetro es mucho mayor que la resistencia del circuito, tendrá poco efecto y sus lecturas serán confiables, al menos hasta la precisión de fabricación del medidor, que para los medidores analógicos generalmente es del 3 al 4% de desviación de escala completa. Un amperímetro también puede interferir con un circuito, pero el efecto es mínimo si su resistencia es mucho menor que la del circuito como un todo. Tanto para los voltímetros como para los amperímetros, cuanto más sensible sea el galvanómetro, menor efecto tendrá. Un medidor de 50,000
/V es mucho mejor que un medidor de 1000
/V.

* Medidores digitales Los medidores digitales (figura 19-29b) se utilizan de la misma forma que los medidores analógicos: se insertan directamente en el circuito, en serie, para medir corriente (figura 19-33b), y en el “exterior”, en paralelo con el circuito, para medir voltaje (figura 19-33c). Sin embargo, la construcción interna de los medidores digitales es diferente de la de los medidores analógicos, ya que los primeros no usan galvanómetro. El circuito electrónico y las lecturas digitales son más sensibles que el galvanómetro y la aguja que sustituyen, y tienen menos efecto sobre el circuito sometido a medición. Cuando se miden voltajes cd, la resistencia del medidor es muy alta, por lo general en el orden de 10 a 100 M
(107-108
). Esta resistencia interna no cambia significativamente cuando se seleccionan diferentes escalas de voltaje (como sucede para los

544

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

www.elsolucionario.org medidores analógicos). Un medidor digital con esa alta resistencia extraerá muy poca corriente cuando se conecte a través de un elemento de circuito de incluso 1 M
de resistencia. La precisión de los medidores digitales es excepcional, con frecuencia de una parte en 104 ( 0.01%) o incluso mejor. Sin embargo, esta precisión no es lo mismo que exactitud. Un medidor preciso de 108
de resistencia interna no brindará resultados exactos si se usa para medir un voltaje a través de un resistor de 108
, en cuyo caso es necesario realizar un cálculo como el del ejemplo 19-15. Un aspecto fundamental de esta sección es demostrar que, siempre que se realiza una medición en un circuito, éste se ve afectado hasta cierto grado (recuerde el ejemplo 19-15). Esta afirmación también es cierta para otros tipos de mediciones: siempre que se realiza una medición en un sistema, por lo general éste resulta afectado de alguna forma. En una medición de temperatura, por ejemplo, el termómetro tiene un calor específico y puede intercambiar calor con el sistema, con lo que altera su temperatura (aunque sólo de manera ligera). Es importante tener la capacidad de realizar cualquier corrección necesaria, como se hizo en el ejemplo 19-15.

Resumen Un dispositivo que transforma otro tipo de energía en energía eléctrica se llama fuente de fem. Una batería se comporta como una fuente de fem en serie con una resistencia interna. La fem es la diferencia de potencial determinada por las reacciones químicas en la batería y es igual al voltaje en las terminales cuando no se extrae corriente. Cuando se extrae una corriente, el voltaje en las terminales de la batería es menor que su fem por una cantidad igual a la disminución de potencial Ir a través de la resistencia interna. Cuando las resistencias están conectadas en serie (extremo con extremo en una sola trayectoria lineal), la resistencia equivalente es la suma de las resistencias individuales:

Req = R1 + R2 + p.

(19–3)

En una combinación en serie, Req es mayor que cualquier resistencia componente. Cuando los resistores están conectados en paralelo, el recíproco de la resistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de las resistencias individuales:

1 1 1 = + + p. Req R1 R2

(19–4)

En una conexión en paralelo, la resistencia neta es menor que cualquiera de las resistencias individuales. Las reglas de Kirchhoff son útiles para determinar las corrientes y los voltajes en los circuitos. La regla de la unión de Kirchhoff se basa en la conservación de la carga eléctrica y establece que la suma de todas las corrientes que entran a cualquier unión es igual a la suma de todas las corrientes que dejan dicha unión. La segunda, o regla del lazo, se basa en la conservación de la energía y afirma que la suma algebraica de los cambios en el potencial alrededor de cualquier trayectoria cerrada del circuito debe ser cero.

Cuando los capacitores están conectados en paralelo, la capacitancia equivalente es la suma de las capacitancias individuales:

Ceq = C1 + C2 + p.

(19–5)

Cuando los capacitores están conectados en serie, el recíproco de la capacitancia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de las capacitancias individuales:

1 1 1 = + + p. Ceq C1 C2

(19–6)

Si un circuito RC que contiene una resistencia R en serie con una capacitancia C está conectado a una fuente cd de fem, el voltaje a través del capacitor se eleva gradualmente en el tiempo caracterizado por la constante de tiempo

t = RC. (19–7) Éste es el tiempo que le toma al voltaje alcanzar el 63% de su valor máximo. Un capacitor que se descarga a través de un resistor se caracteriza por la misma constante de tiempo: en un tiempo t  RC, el voltaje a través del capacitor cae al 37% de su valor inicial. Los choques eléctricos son provocados por la corriente que pasa a través del cuerpo. Para evitar choques, la persona no debe volverse parte de un circuito completo al permitir que diferentes partes de su cuerpo entren en contacto con objetos a diferentes potenciales. Comúnmente, los choques tienen lugar porque una parte del cuerpo toca tierra y otra entra en contacto con un alto potencial eléctrico. [*Un amperímetro mide corriente. Un amperímetro analógico consiste en un galvanómetro y un resistor en derivación en paralelo que porta la mayor parte de la corriente. Un voltímetro analógico consiste en un galvanómetro y un resistor en serie. Un amperímetro se inserta en el circuito cuya corriente se va a medir. Un voltímetro es externo y se conecta en paralelo con el elemento cuyo voltaje se va a medir. Los medidores digitales tienen mayor resistencia interna y afectan al circuito que se va a medir menos que los medidores analógicos].

Preguntas 1. Explique por qué las aves se pueden posar con seguridad en las líneas de alta tensión, mientras que inclinar una escalera de metal contra una línea de potencia para desenredar una cometa atorada resulta extremadamente peligroso. 2. Discuta las ventajas y desventajas de las luces de los arbolitos de Navidad en paralelo frente a las conectadas en serie.

3. Si se tiene una línea de 120 V, ¿sería posible iluminar varias lámparas de 6 V sin quemarlas? ¿Cómo? 4. Dos bombillas de resistencias R1 y R2 (R2 > R1) están conectadas en serie. ¿Cuál es más brillante? ¿Y si estuviesen conectadas en paralelo? Explique sus respuestas.

Preguntas

545

5. Los tomacorrientes domésticos con frecuencia tienen tomacorrientes dobles. ¿Están conectados en serie o en paralelo? ¿Cómo se sabe? 6. Con dos bombillas idénticas y dos baterías idénticas, ¿cómo deberían ordenarse las bombillas y las baterías en un circuito para obtener la máxima salida de potencia total posible? (Suponga que las baterías tienen resistencia interna despreciable). 7. Si dos resistores idénticos se conectan en serie a una batería, ¿esta última tiene que suministrar más potencia o menos que cuando sólo estaba conectado uno solo de los resistores? Explique su respuesta. 8. En una habitación se tiene una sola bombilla de 60 W. ¿Cómo cambia la resistencia global del circuito eléctrico de la habitación si se enciende una bombilla adicional de 100 W? 9. Cuando se aplica la regla del lazo de Kirchhoff (como en la figura 19-35), ¿el signo (o dirección) de la fem de una batería depende de la dirección de la corriente a través de la batería? ¿Y qué hay acerca del voltaje en terminales?

r = 1.0 Ω = 18 V

r = 2.0 Ω

11. ¿Para qué uso están conectadas las baterías en serie? ¿Para qué uso están conectadas en paralelo? ¿Importa si las baterías son casi idénticas o no en cualquiera de los dos casos? 12. ¿El voltaje en las terminales de una batería puede superar alguna vez su fem? Explique su respuesta. 13. Explique con detalle cómo podría medirse la resistencia interna de una batería. 14. Compare y discuta las fórmulas para resistores y para capacitores cuando se conectan en serie y en paralelo. 15. Suponga que tres capacitores idénticos están conectados a una batería. ¿Almacenarán más energía si se conectan en serie o en paralelo? 16. ¿Por qué es más peligroso encender un aparato eléctrico cuando se está de pie en el exterior con los pies descalzos, que cuando se está en el interior con zapatos de suela gruesa? 17. La figura 19-37 es un diagrama de un capacitor (o condensador) de micrófono. La presión del aire variable en una onda sonora provoca que una placa del capacitor C se mueva de ida y vuelta. Explique cómo se produce una corriente de la misma frecuencia que la onda sonora.

R = 6.6 Ω

FIGURA 19–37 Diagrama del capacitor de un micrófono. Pregunta 17.

FIGURA 19–35 Pregunta 9.

= 12 V

C 10. Dado el circuito que se muestra en la figura 19-36, utilice las palabras “aumenta”, “disminuye” o “permanece igual” para completar los siguientes enunciados: a) Si R7 aumenta, la diferencia de potencial entre A y A ni en e. E_____. Suponga que no hay resistencia en ~ b) Si R7 aumenta, la diferencia de potencial entre A y A y e tienen resistencia. E_____. Suponga que ~ c) Si R7 aumenta, la caída de voltaje a través de R4 _____. d) Si R2 disminuye, la corriente a través de R1 __________. e) Si R2 disminuye, la corriente a través de R6 __________. f) Si R2 disminuye, la corriente a través de R3 __________. g) Si R5 aumenta, la caída de voltaje a través de R2 ______. h) Si R5 aumenta, la caída de voltaje a través de R4 ______. i) Si R2, R5 y R7 aumentan, e (r = 0) _________________.

FIGURA 19–36 Pregunta 10. R2, R5 y R7 son resistores variables (se puede cambiar su resistencia), a las que se les da el símbolo .

Presión del sonido

R

Placa móvil (diafragma)

+ –

Vsalida V

18. Diseñe un circuito en el que se puedan usar dos diferentes interruptores del tipo que se muestra en la figura 19-38 para operar la misma bombilla desde los lados opuestos de una habitación.

R4

Alambre

R5 C

D

Alambre

R6

Alambre FIGURA 19–38 Pregunta 18.

R2

R3

R7

B

19. En un circuito RC, la corriente fluye desde la batería hasta que el capacitor está completamente cargado. ¿La energía total que suministra la batería es igual a la energía total almacenada por el capacitor? Si no lo es, ¿a dónde va la energía adicional?

* 20. ¿Cuál es la diferencia principal entre un voltímetro analógico y un amperímetro analógico?

R1 A

A

+ –

* 21. ¿Qué ocurriría si por equivocación se emplea un amperímetro donde se necesita usar un voltímetro? E

* 22. Explique por qué un amperímetro ideal tendría resistencia cero y un voltímetro ideal resistencia infinita.

546

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

* 23. Un voltímetro conectado a través de un resistor siempre

* 24. Una pequeña linterna operada con batería requiere una sola

arroja una lectura menor que el voltaje verdadero a través del resistor cuando el medidor no está presente. Explique por qué.

batería de 1.5 V. La bombilla apenas brilla, pero cuando se extrae la batería y se mide con un voltímetro, registra 1.5 V. ¿Cómo explicaría esto?

Problemas 19–1 Fem y voltaje en terminales 1. (I) Calcule el voltaje en las terminales para una batería con una resistencia interna de 0.900
y una fem de 8.50 V cuando la batería está conectada en serie con a) un resistor de 81.0
y b) un resistor de 810
. 2. (I) Cuatro pilas de 1.5 V están conectadas en serie a una bombilla de 12
. Si la corriente resultante es de 0.45 A, ¿cuál es la resistencia interna de cada pila, si se supone que son idénticas y se desprecian los alambres? 3. (II) ¿Cuál es la resistencia interna de una batería de automóvil de 12.0 V cuyo voltaje en terminales cae a 8.4 V cuando el arrancador extrae 75 A? ¿Cuál es la resistencia del arrancador? 4. (II) Se puede probar una pila seca de 1.5 V al conectarla a un amperímetro de baja resistencia. Debería ser capaz de suministrar al menos 22 A. ¿Cuál es la resistencia interna de la pila en este caso, si se supone que es mucho mayor que la del amperímetro? 19–2 Resistores en serie y en paralelo

13. (II) Ocho luces idénticas están conectadas en serie a través de una línea de 110 V. a) ¿Cuál es el voltaje a través de cada bombilla? b) Si la corriente es de 0.50 A, ¿cuál es la resistencia de cada bombilla y cuál es la potencia disipada en cada una? 14. (II) Ocho luces están conectadas en paralelo a una fuente de 110 V mediante dos largas guías de 1.6
de resistencia total. Si 240 mA fluyen a través de cada bombilla, ¿cuál es la resistencia de cada una y qué fracción de la potencia total se desperdicia en las guías? 15. (II) Ocho luces de 7.0 W para un árbol de Navidad están conectadas en serie una con otra y a una fuente de 110 V. ¿Cuál es la resistencia de cada bombilla? 16. (II) Una inspección cercana de un circuito eléctrico revela que un resistor de 480
se soldó inadvertidamente en el lugar donde se necesita un resistor de 320
. ¿Cómo se puede solucionar esto sin remover algo del circuito existente? 17. (II) Determine a) la resistencia equivalente del circuito que se muestra en la figura 19-39 y b) el voltaje a través de cada resistor.

En estos problemas, considere despreciable la resistencia interna de una batería a menos que el problema se refiera a ella. 5. (I) Cuatro bombillas de 240
están conectadas en serie. ¿Cuál es la resistencia total del circuito? ¿Cuál es su resistencia si están conectadas en paralelo? 6. (I) Tres bombillas de 45
y tres bombillas de 75
están conectadas en serie. a) ¿Cuál es la resistencia total del circuito? b) ¿Cuál es su resistencia si las seis están conectadas en paralelo? 7. (I) Dos resistores, uno de 650
y otro de 2200
, están conectados en serie con una batería de 12 V. ¿Cuál es el voltaje a través del resistor de 2200
? 8. (I) Dados sólo un resistor de 25
y uno de 35
, elabore una lista con todos los posibles valores de resistencia que se pueden obtener. 9. (I) Suponga que se tiene un resistor de 680
, otro de 940
y otro más de 1.20 k
. ¿Cuáles son a) la resistencia máxima y b) mínima que se pueden obtener al combinarlos? 10. (II) Suponga que se tiene una batería de 6.0 V y se quiere aplicar un voltaje de sólo 4.0 V. Dado un suministro ilimitado de 1.0
resistores, ¿cómo se les podría conectar de modo que se haga un “divisor de voltaje” que produzca una salida de 4.0 V por una entrada de 6.0 V?

820 Ω

FIGURA 19–39 12.0 V

Problema 17.

18. (II) Una bombilla de 110 V y 75 W se conecta en paralelo con una bombilla de 110 V y 40 W. ¿Cuál es la resistencia neta? 19. (III) Considere la red de resistores que se muestran en la figura 19-40. Responda cualitativamente: a) ¿Qué ocurre con el voltaje a través de cada resistor cuando el interruptor S se cierra? b) ¿Qué ocurre a la corriente a través de cada uno cuando el interruptor se cierra? c) ¿Qué ocurre con la salida de potencia de la batería cuando el interruptor se cierra? d) Sea R1 = R2 = R3 = R4 = 125
y V  22.0 V. Determine la corriente a través de cada resistor antes y después de cerrar el interruptor. ¿Se confirman sus predicciones cualitativas?

FIGURA 19–40 Problema 19. R1

11. (II) Tres resistores de 240
se pueden conectar juntos de cuatro formas diferentes, con lo que se hacen combinaciones de circuitos en serie y
o en paralelo. ¿Cuáles son estas cuatro formas y cuál es la resistencia neta en cada caso? 12. (II) Una batería con una fem de 12.0 V muestra un voltaje en terminales de 11.8 V cuando opera en un circuito con dos bombillas clasificadas en 3.0 W (a 12.0 V) que están conectadas en paralelo. ¿Cuál es la resistencia interna de la batería?

470 Ω

680 Ω

S

V

R3

R4

R2

Problemas

547

www.elsolucionario.org 20. (III) ¿Cuál es la resistencia neta del circuito conectado a la batería en la figura 19-41? Cada resistencia tiene R  2.8 k


24. (II) Determine el voltaje en las terminales de cada batería en la figura 19-44.

r = 1.0 Ω R

= 18 V

B

R

R

R = 6.6 Ω

r = 2.0 Ω R

A

= 12 V FIGURA 19–44 Problema 24.

C

R 25. (II) a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y d en la figura 19-45 (mismo circuito que la figura 19-13, ejemplo 19-8), y b) cuál es el voltaje en las terminales de cada batería?

R FIGURA 19–41 Problema 20.

12 V

30 Ω

21. (III) Tres resistores iguales (R) están conectados a una batería como se muestra en la figura 19-42. Cualitativamente, ¿qué ocurre con a) la caída de voltaje a través de cada uno de estos resistores, b) el flujo de corriente a través de cada uno y c) el voltaje en las terminales de la batería, cuando el interruptor S se abre, después de que ha estado cerrado durante largo tiempo? d) Si la fem de la batería es de 15.0 V, ¿cuál es su voltaje en terminales cuando el interruptor se cierra, si la resistencia interna es de 0.50
y R  5.50
? e) ¿Cuál es el voltaje en terminales cuando se abre el interruptor?

R

R

a

r= 2= 1 Ω 45 V

I3

40 Ω

b 1= 80 V

I2 g

d

c 20 Ω

r= 1Ω

f

e

FIGURA 19–45 Problema 25.

26. (II) Para el circuito que se representa en la figura 19-46, determine la diferencia de potencial entre los puntos a y b. Cada resistor tiene R  75
y cada batería es de 1.5 V.

S

r

I1

h

R

R

a

1.5 V FIGURA 19–42 Problema 21.

R

R R

1.5 V

b 22. (III) Un resistor de 2.8 k
y uno de 2.1 k
están conectados en paralelo; esta combinación se conecta en serie con un resistor de 1.8 k
. Si cada resistor está clasificado en 12 W (máximo sin sobrecalentamiento), ¿cuál es el voltaje máximo que se puede aplicar a través de toda la red?

FIGURA 19–46 Problema 26.

27. (II) Determine las magnitudes y direcciones de las corrientes a través de R1 y R2 en la figura 19-47.

19–3 Reglas de Kirchhoff 23. (I) Calcule la corriente en el circuito de la figura 19-43 y demuestre que la suma de todos los cambios de voltaje alrededor del circuito es cero.

V1 = 9.0 V R1 = 22 Ω R2 = 15 Ω

r = 2.0 Ω V3 = 6.0 V

9.0 V 8.0 Ω

FIGURA 19–47 Problemas 27 y 28. 12.0 Ω FIGURA 19–43 Problema 23.

548

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

28. (II) Repita el problema 27, pero ahora suponga que cada batería tiene una resistencia interna r  1.2
.

29. (II) Determine las magnitudes y direcciones de las corrientes en cada resistor que se ilustra en la figura 19-48. Las baterías tienen fem de e1  9.0 V y e2  12.0 V, y los resistores tienen valores de R1 = 25
, R2 = 18
y R3 = 35
.

R1 1

R2 R3

2

FIGURA 19–48 Problemas 29 y 30.

30. (II) Repita el problema 29, pero ahora suponga que cada batería tiene resistencia interna r  1.0
. 31. (II) Calcule las corrientes en cada resistor de la figura 19-49.

19–5 Capacitores en serie y en paralelo 35. (I) a) Seis capacitores de 4.7 mF se conectan en paralelo. ¿Cuál es la capacitancia equivalente? b) ¿Cuál es su capacitancia equivalente si se conectan en serie? 36. (I) Se tienen tres capacitores con capacitancias de 3200 pF, 7500 pF y 0.0100 mF. ¿Qué capacitancias máxima y mínima se pueden formar a partir de estas tres? ¿Cómo se hacen las conexiones en cada caso? 37. (I) Un capacitor de 3.00 mF y otro de 4.00 mF están conectados en serie y esta combinación se conecta en paralelo con un capacitor de 2.00 mF (figura 19-52). ¿Cuál es la capacitancia neta?

3.00 mF

4.00 mF

2Ω

6.0 V

3.0 V 12 Ω

6Ω

2.00 mF

10 Ω FIGURA 19–52

8Ω

26.0 V

Problemas 37 y 38.

FIGURA 19–49 Problema 31. 32. (III) a) Determine las corrientes I1, I2 e I3 en la figura 19-50. Suponga que la resistencia interna de cada batería es r  1.0
. b) ¿Cuál es el voltaje en las terminales de la batería de 6.0 V?

I1

r 12.0 V 8.0 Ω

12 Ω

I2

10 Ω

r

12.0 V 15 Ω

38. (II) Si a través de toda la red de la figura 19-52 se aplican 26.0 V, calcule el voltaje a través de cada capacitor. 39. (II) La capacitancia de una porción de un circuito se reducirá de 4800 a 2900 pF. ¿Qué capacitancia se puede agregar al circuito para producir este efecto sin remover elementos de circuito existentes? ¿En el proceso se deben romper algunas conexiones existentes? 40. (II) Accidentalmente se construyó un circuito eléctrico con un capacitor de 5.0 mF en lugar del valor requerido de 16 mF. Sin remover el capacitor de 5.0 mF, ¿qué debería agregar un técnico para corregir este circuito? 41. (II) Determine la capacitancia equivalente del circuito que se ilustra en la figura 19-53.

18 Ω

r 6.0 V

I3

C1

FIGURA 19–50 Problemas 32 y 33.

C2

C3

33. (III) ¿Cuál sería la corriente I1 en la figura 19-50 si el resistor de 12
se corta? Sea r  1.0
.

* 19–4 Fem combinada, carga de una batería * 34. (II) Suponga que dos baterías, con fem distintas de 2.00 y 3.00 V, se conectan como se indica en la figura 19-51. Si cada resistencia interna es r  0.100
y R  4.00
, ¿cuál es el voltaje a través del resistor R?

R = 4.00 Ω = 2.00 V

r = 3.00V r

FIGURA 19–51 Problema 34.

FIGURA 19–53 V

Problemas 41, 42, 43 y 44.

* 42. (II) En la figura 19-53, si C1 = C2  2C3 = 22.6 mF, ¿cuánta carga se almacena en cada capacitor cuando V  45.0 V?

* 43. (II) En la figura 19-53, suponga C1 = C2  C3 = 16.0 mF.

Si la carga en C2 es Q2  24.0 mC, determine la carga en cada uno de los otros capacitores, el voltaje a través de cada capacitor y el voltaje V a través de toda la combinación. * 44. (II) En la figura 19-53, sea V  78 V y C1 = C2 = C3  7.2 mF. ¿Cuánta energía se almacena en la red capacitor? * 45. (II) Un capacitor de 0.40 mF y otro de 0.60 mF están conectados en serie a una batería de 9.0 V. Calcule a) la diferencia de potencial a través de cada capacitor y b) la carga en cada uno. c) Repita los incisos a) y b) pero suponga que los dos capacitores están en paralelo.

Problemas

549

46. (II) Tres placas conductoras, cada una con área A, están conectadas como se muestra en la figura 19-54. a) ¿Los dos capacitores formados están en serie o en paralelo? b) Determine C como función de d1, d2 y A. Suponga que d1  d2 es mucho menor que las dimensiones de las placas.

51. (II) El circuito RC de la figura 19-57 (misma que la figura 19-21a) tiene R  6.7 k
y C  3.0 mF. El capacitor está a un voltaje V0 en t  0 cuando el interruptor se cierra. ¿Cuánto le toma al – capacitor descargarse al 1.0% de su V0 R C + voltaje inicial?

FIGURA 19–57 Problema 51.

d1 d2

V

FIGURA 19–54 Problema 46.

47. (II) Un circuito contiene un solo capacitor de 250 pF conectado a través de una batería. Se desea almacenar tres veces tanta energía en una combinación de dos capacitores al agregar un solo capacitor al que ya se tiene. ¿Cómo lo conectaría y cuál sería su valor?

52. (III) Dos resistores y dos capacitores no cargados están ordenados como se indica en la figura 19-58. Entonces se aplica una diferencia de potencial de 24 V a través de la combinación, como se muestra. a) ¿Cuál es el potencial en el punto a con el interruptor S abierto? (Sea V  0 en la terminal negativa de la fuente). b) ¿Cuál es el potencial en el punto b con el interruptor abierto? c) Cuando el interruptor se cierra, ¿cuál es el potencial final del punto b? d) ¿Cuánta carga fluye a través del interruptor S después de que se cierra?

48. (III) Un capacitor de 185 pF está conectado en serie con una capacitancia desconocida, y como una combinación en serie están conectados a una batería con una fem de 25.0 V. Si el capacitor de 185 pF almacena 125 pC de carga en sus placas, ¿cuál es la capacitancia desconocida?

8.8 Ω + 24 V –

Electrodo a la pierna izquierda

Amplificador

C

Registro

R

50. (II) En la figura 19-56 (misma que la figura 19-20a), la resistencia total es de 15.0 k
y la fem de la batería es de 24.0 V. Si la constante de tiempo se mide en 35.0 ms, calcule a) la capacitancia total del circuito y b) el tiempo que toma el voltaje atravesar el resistor para alcanzar 16.0 V después de que se cierra el interruptor.

250 V, si la sensibilidad del medidor es de 30,000
/V?

* 54. (I) Un amperímetro tiene una sensibilidad de 20,000
/V.

* 55.

* 56.

* 57.

* 58.

* 59.

FIGURA 19–56

S

550

CAPÍTULO 19

Problema 50.

Circuitos

CD

0.24 mF

* 53. (I) ¿Cuál es la resistencia de un voltímetro en la escala de

R

C

b

* 19–8 Amperímetros y voltímetros

Electrodo al brazo FIGURA 19–55 Problema 49.

S

Problema 52.

R Electrodo a la pierna derecha (tierra)

0.48 mF

FIGURA 19–58

C

– +

a 4.4 Ω

19–6 Circuitos RC 49. (I) Con frecuencia, los electrocardiógrafos están conectados como se ilustra en la figura 19-55. Se dice que las guías están acopladas de manera capacitiva. Una constante de tiempo de 3.0 s es típica y permite que los rápidos cambios en el potencial se registren con precisión. Si C  3.0 mF, ¿qué valor debe tener R? [Sugerencia: Considere cada pierna como un circuito separado].

S

¿Qué corriente en el galvanómetro produce desviación de escala completa? (II) Un galvanómetro tiene una resistencia interna de 30
y desviación de escala completa para una corriente de 50 mA. Describa cómo usar este galvanómetro para hacer a) un amperímetro para leer corrientes de hasta 30 A y b) un voltímetro para proporcionar una desviación de escala completa de 250 V. (II) Un galvanómetro tiene una sensibilidad de 35 k
/V y resistencia interna de 20.0
. ¿Cómo podría hacerse esto en a) un amperímetro que da una lectura de escala completa de 2.0 A o b) un voltímetro que da una lectura de escala completa de 1.00 V? (II) Un miliamperímetro da una lectura de escala completa de 10 mA. Consiste en un resistor de 0.20
en paralelo con un galvanómetro de 33
. ¿Cómo podría cambiarse este amperímetro a un voltímetro que dé una lectura de escala completa de 10 V sin quitar el amperímetro? ¿Cuál será la sensibilidad (
/V) del voltímetro? (II) Una batería de 45 V de resistencia interna despreciable está conectada a dos resistores en serie, uno de 38 k
y otro de 27 k
. ¿Qué lectura proporcionará un voltímetro, de 95 k
de resistencia interna, cuando se usa para medir el voltaje a través de cada resistor? ¿Cuál es el porcentaje de imprecisión debido a la resistencia del medidor para cada caso? (II) Un amperímetro cuya resistencia interna es de 63
registra 5.25 mA cuando se conecta en un circuito que contiene una batería y dos resistores en serie cuyos valores son 750 y 480
. ¿Cuál es la corriente real cuando el amperímetro está ausente?

www.elsolucionario.org * 60. (II) Una batería con e  12.0 V y resistencia interna r  1.0


* 62. (III) ¿Qué resistencia interna debería tener el voltímetro del

está conectada a dos resistores de 9.0 k
en serie. Un amperímetro de 0.50
de resistencia interna mide la corriente, y al mismo tiempo un voltímetro con resistencia interna de 15 k
mide el voltaje a través de uno de los resistores de 9.0 k
en el circuito. ¿Qué lectura arrojan el amperímetro y el voltímetro? 61. (III) Dos resistores de 9.4 k
están colocados en serie y se * conectan a una batería. Un voltímetro de 1000
/V de sensibilidad está en la escala de 3.0 V e indica 2.0 V cuando se coloca a través de cualquier resistor. ¿Cuál es la fem de la batería? (Ignore su resistencia interna).

ejemplo 19-15 para estar en un error menor al 3%? 63. (III) Cuando el resistor R de la figura 19-59 es de 35
, el * voltímetro de alta resistencia indica 9.7 V. Cuando R se sustituye por un resistor de 9.0
, el voltímetro registra una caída a 8.1 V. ¿Cuáles son la fem y la resistencia interna de la batería?

V

R FIGURA 19–59 Problema 63.

Problemas generales 64. Suponga que se quiere aplicar una diferencia de potencial de 0.25 V entre dos puntos en el cuerpo humano. La resistencia es de aproximadamente 2000
y sólo se tiene una batería de 9.0 V. ¿Cómo podría conectarse uno o más resistores para producir el voltaje deseado? 65. Una bombilla de tres vías puede producir 50, 100 o 150 W a 120 V. Tal bombilla contiene dos filamentos que se pueden conectar a los 120 V individualmente o en paralelo. a) Describa cómo se tienen que hacer las conexiones a los dos filamentos para dar cada uno de los tres wattajes. b) ¿Cuál debe ser la resistencia de cada filamento? 66. Suponga que se quiere poner en funcionamiento algún aparato que está a 95 m de un tomacorriente eléctrico. Cada uno de los alambres que conectan el aparato con la fuente de 120 V tiene una resistencia por unidad de longitud de 0.0065
/m. Si el aparato extrae 3.0 A, ¿cuál será la caída de voltaje a través de los alambres conectores y qué voltaje se aplicará al aparato? 67. La electricidad puede ser peligrosa en los hospitales, particularmente para los pacientes que están conectados a electrodos, como en un ECG. Por ejemplo, suponga que el motor de una cama motorizada corta al marco de la cama, y que la conexión a tierra del marco de la cama está rota (o no estaba ahí en primer lugar). Si una enfermera toca la cama y al paciente al mismo tiempo, ella se convierte en conductor y se puede formar un circuito completo a través del paciente a tierra a través del aparato de ECG. Esto se muestra esquemáticamente en la figura 19-60. Calcule la corriente a través del paciente.

Cama

Enfermera

Paciente

(baja R)

10 4 Ω

10 4 Ω

10 4 Ω

69. Un marcapasos cardiaco está diseñado para operar a 72 latidos/min con un capacitor de 7.5 mF en un circuito RC simple. ¿Qué valor de resistencia se debe usar si el marcapasos se disparará (descarga de capacitor) cuando el voltaje alcance el 63% del máximo? 70. Suponga que la resistencia del cuerpo de una persona es de 950
. a) ¿Qué corriente pasa a través del cuerpo cuando la persona accidentalmente está conectada a 110 V? b) Si existe una trayectoria alternativa hacia tierra cuya resistencia es de 45
, ¿qué corriente pasa a través de la persona? c) Si la fuente de voltaje puede producir cuando mucho 1.5 A, ¿cuánta corriente pasa a través de la persona en el caso b)? 71. Un puente de Wheatstone es un tipo de “circuito puente” que se usa para realizar mediciones de resistencia. La resistencia desconocida que se medirá, Rx, se coloca en el circuito con las resistencias R1, R2 y R3 que se conocen con precisión (figura 19-61). Una de éstas, R3, es un resistor variable que se ajusta de modo que, cuando el interruptor se cierre momenA registra flujo cero de corrientáneamente, el amperímetro ~ te. a) Determine Rx en términos de R1, R2 y R3. b) Si un puente de Wheatstone está “balanceado” cuando R1 = 630
, R2 = 972
y R3 = 42.6
, ¿cuál es el valor de la resistencia desconocida?

B I3

R3 A

A Aparato de ECG (baja R)

Rx Amperímetro C

S

I1 R1

R2

Motor

D

220 V +

FIGURA 19–60 Problema 67. 68. ¿Cuánta energía debe gastar una batería de 45 V para cargar completamente un capacitor de 0.40 mF y otro de 0.60 mF cuando están colocados a) en paralelo, b) en serie? c) ¿Cuánta carga fluye de la batería en cada caso?

FIGURA 19–61 –

Problemas 71 y 72. Puente de Wheatstone.

72. Una longitud desconocida de alambre de platino de 0.920 mm de diámetro se coloca como la resistencia desconocida en un puente de Wheatstone (véase el problema 71; figura 19-61). Los brazos 1 y 2 tienen resistencias de 38.0 y 46.0
, respectivamente. El equilibrio se alcanza cuando R3 es de 3.48
. ¿Cuál es la longitud del alambre de platino?

Problemas generales

551

79. Para el circuito que se muestra en la figura 19-65, determine a) la corriente a través de la batería de 14 V y b) la diferencia de potencial entre los puntos a y b, Va – Vb.

a

15 kΩ

10 kΩ

b

18 V

12

kΩ

kΩ

14 V

20

73. ¿Cuáles son los valores de capacitancia efectiva que se pueden obtener al conectar cuatro capacitores idénticos, cada uno con capacitancia C? 74. La capacitancia variable de un viejo sintonizador de radio consta de cuatro placas conectadas juntas colocadas de manera alternada entre otras cuatro placas, también conectadas juntas (figura 19-62). Cada placa está separada de su vecina por 1.5 mm de aire. Un conjunto de placas se puede mover de modo que el área de traslape de cada placa varía de 2.0 cm2 a 9.5 cm2. a) ¿Estos siete capacitores están conectados en serie o en paralelo? b) Determine el rango de valores de capacitancia.

12 V FIGURA 19–65 Problema 79. 80. Una celda solar de 3.0 cm cuadrados tiene una salida de 350 mA a 0.80 V cuando se expone a plena luz solar. Se necesita un panel solar que entregue cerca de 1.0 A de corriente a 120 V de fem para una carga externa. ¿Cuántas celdas solares se necesitarán para crear el panel? ¿Qué tan grande debe ser el panel y cómo se deben conectar las celdas una con otra? ¿Cómo se podría optimizar la salida del panel solar?

FIGURA 19–62 Problema 74. 75. Una batería produce 40.8 V cuando de ella se extraen 7.40 A, y 47.3 V cuando se extraen 2.20 A. ¿Cuáles son la fem y la resistencia interna de la batería? 76. ¿Cuántos resistores de 12-W, cada uno de la misma resistencia, se deben usar para producir un resistor equivalente de 2.2 k
y 3.5 W? ¿Cuál es la resistencia de cada uno y cómo se deben conectar? No rebase P = 12 W en cada resistor. 77. La corriente a través del resistor de 4.0 k
de la figura 19-63 es de 3.50 mA. ¿Cuál es el voltaje en terminales Vba de la batería “desconocida”? (Existen dos respuestas. ¿Por qué?) [Sugerencia: Utilice la conservación de energía o las reglas de Kirchhoff].

81. Un suministro de potencia tiene una salida de voltaje fija de 12.0 V, pero se necesita VT  3.0 V para un experimento. a) Con el divisor de voltaje que se ilustra en la figura 19-66, ¿cuál sería R2 si R1 es de 10.0
? b) ¿Cuál será el voltaje en terminales VT si se conecta una carga a la terminal de 3.0 V, y se supone que la carga tiene una resistencia de 7.0
?

R1 12.0 V

R2

FIGURA 19–66 Problema 81.

4.0 kΩ

Vba a

5.0 kΩ b 1.0 Ω

8.0 kΩ 12.0 V

FIGURA 19–63 Problema 77. 78. Un capacitor de placas paralelas lleno de aire tiene capacitancia C0. Si dos láminas dieléctricas de idéntico tamaño, con constantes dieléctricas K1 y K2, se insertan como se muestra en la figura 19-64, ¿cuál es la nueva capacitancia? [Sugerencia: Considere esto como dos capacitores en combinación].

K1

K2

82. El circuito que se representa en la figura 19-67 utiliza un tubo lleno de neón como en la figura 19-23a. Esta lámpara de neón tiene un voltaje de disparo V0 para conducción, porque no fluye corriente hasta que el gas de neón en el tubo es ionizado por un campo eléctrico suficientemente intenso. Una vez que se supera el voltaje de disparo, la lámpara tiene resistencia despreciable. El capacitor almacena energía eléctrica, que se puede liberar para hacer que la lámpara emita un destello. Suponga que C = 0.150 mF, R = 2.35 * 106
, V0 = 90.0 V y e = 105 V. a) Si se supone que el circuito está conectado a la fem en el tiempo t  0, ¿en qué tiempo destellará la luz por primera vez? b) Si el valor de R aumenta, ¿el tiempo encontrado en el inciso a) aumentará o disminuirá? c) El destello de la lámpara es muy breve. ¿Por qué? d) Explique lo que ocurre después de que la lámpara emite un destello por primera vez.

R 105 V

FIGURA 19–64 Problema 78.

552

CAPÍTULO 19

Circuitos

CD

VT

C

Lámpara de neón

FIGURA 19–67 Problema 82.

83. La corriente a través del resistor de 20
en la figura 19-68 no cambia si los dos interruptores S1 y S2 están ambos abiertos o ambos cerrados. Use esta clave para determinar el valor de la resistencia desconocida R.

20 Ω

* 86. a) Un voltímetro y un amperímetro se pueden conectar como se indica en la figura 19-71a para medir una resistencia R. Si V es la lectura del voltímetro e I es la lectura del amperímetro, el valor de R no será V/I (como en la ley de Ohm) porque parte de la corriente en realidad se va a través del voltímetro. Demuestre que el valor real de R está dado por

I 1 1 = , R V RV

R S1

10 Ω

S2

50 Ω

donde RV es la resistencia del voltímetro. Note que R L V
I si RV W R. b) Un voltímetro y un amperímetro también se pueden conectar como se muestra en la figura 19-71b para medir una resistencia R. Demuestre en este caso que

R =

6.0 V FIGURA 19–68 Problema 83.

V - RA , I

donde V e I son las lecturas del voltímetro y el amperímetro y RA es la resistencia del amperímetro. Note que R L V
I si

84. En el circuito que se ilustra en la figura 19-69, el resistor de 33
disipa 0.50 W. ¿Cuál es el voltaje de la batería?

RA V R.

68 Ω

V

V

R

R

A

33 Ω

A

75 Ω a) FIGURA 19–69 Problema 84.

b) FIGURA 19–71 Problema 86.

85. a) ¿Cuál es la resistencia equivalente del circuito que se representa en la figura 19-70? b) ¿Cuál es la corriente en el resistor de 18
? c) ¿Cuál es la corriente en el resistor de 12
? d) ¿Cuál es la disipación de potencia en el resistor de 4.5
?

87. Una bombilla de linterna clasificada a 2.5 W y 3.0 V opera mediante una batería de 9.0 V. Para iluminar la bombilla a este voltaje y potencia clasificados, se conecta en serie un resistor R, como se ilustra en la figura 19-72. ¿Qué valor debe tener el resistor?

6.0 V 12 Ω

30 Ω

18 Ω

4.5 Ω FIGURA 19–70 Problema 85.

R

9.0 V FIGURA 19–72 Problema 87.

Respuestas a los ejercicios A: B: C: D:

a) 1.14 A; b) 11.4 V; c) PR = 13.1 W, Pr  0.65 W. En serie con R1
R2  4.0.

41I3 - 45 + 21I2 - 80 = 0.

E: 12 k
. F: El voltímetro consistirá en una resistencia Rser  300 k
en serie con el galvanómetro.

180 A; esta alta corriente a través de las baterías podría provocar que se pongan muy calientes; la potencia disipada en la batería débil sería P = I 2r = (180 A)2(0.10
) = 3200 W!

Problemas generales

553

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Los imanes producen campos magnéticos, pero lo mismo hacen las corrientes eléctricas. Una corriente eléctrica que fluye en este alambre recto produce un campo magnético que hace que las pequeñas piezas de hierro (“limaduras”) se alineen en el campo. En este capítulo se definirá el campo magnético, y se verá que la dirección de éste se localiza a lo largo de las limaduras de hierro. Las líneas de campo magnético provocadas por la corriente eléctrica en este largo alambre tienen la forma de círculos alrededor de él. También se explicará cómo los campos magnéticos ejercen fuerzas sobre las corrientes eléctricas y sobre las partículas cargadas, y se presentarán aplicaciones útiles de la interacción entre campos magnéticos, corrientes eléctricas y cargas eléctricas en movimiento.

CAPÍTULO

20

Magnetismo

L

a historia del magnetismo comienza hace miles de años. En una región de Asia menor conocida como Magnesia, se encontraron rocas que podían atraerse unas a otras. Esas rocas recibieron el nombre de “magnetos” en honor al lugar donde se descubrieron. Sin embargo, no fue sino hasta el siglo XIX cuando se comprendió que el magnetismo y la electricidad estaban estrechamente relacionados. Un hecho fundamental fue descubrir que las corrientes eléctricas producen efectos magnéticos (más bien, “campos magnéticos”) al igual que los imanes. Como se verá, todo tipo de dispositivos prácticos dependen del magnetismo: desde las brújulas hasta los motores, las bocinas, la memoria de las computadoras y los generadores eléctricos.

20 –1 Imanes y campos magnéticos FIGURA 20–1 Un imán de herradura atrae alfileres. Campos magnéticos

554

Todos hemos observado que un imán atrae sujetapapeles (clips), clavos y otros objetos hechos de hierro (figura 20-1). Cualquier imán, ya sea que tenga la forma de barra o de herradura, tiene dos extremos o caras, llamados polos, donde el efecto magnético es más intenso. Si un imán de barra se suspende de una fina hebra, un polo del imán siempre apuntará hacia el norte. No se sabe con certeza cuándo se descubrió este hecho, pero se sabe que los chinos hicieron uso de ello como auxiliar para la navegación hacia el siglo XI y tal vez antes. Éste es el principio de la brújula. La aguja de una brújula simplemente es un imán de barra que está sostenido en su centro de gravedad de modo que puede girar con libertad. El polo de un imán sus-

pendido libremente que apunta hacia el norte geográfico se llama polo norte del imán. El otro polo apunta hacia el sur y se llama polo sur. Es común observar que, cuando dos imanes se acercan entre sí, cada uno ejerce una fuerza sobre el otro. La fuerza puede ser o atractiva o repulsiva y se siente incluso cuando los imanes no se tocan. Si el polo norte de un imán de barra se acerca al polo norte de un segundo imán, la fuerza es repulsiva. De manera similar, si dos polos sur se acercan, la fuerza es repulsiva. Pero cuando un polo norte se acerca a un polo sur, la fuerza es atractiva. Estos resultados se muestran en la figura 20-2 y hacen recordar las fuerzas entre cargas iguales: polos iguales se repelen, polos distintos se atraen. Pero no hay que confundir polos magnéticos con carga eléctrica. Son muy diferentes. Una diferencia importante es que una carga eléctrica, positiva o negativa, se puede aislar fácilmente. Pero nunca se ha observado el aislamiento de un solo polo magnético. Si un imán de barra se corta a la mitad, no se obtienen polos norte y sur aislados. En vez de ello, se producen dos nuevos imanes (figura 20-3), cada uno con polos norte (N) y sur (S). Si la operación de corte se repite, se producen más imanes, cada uno con un polo norte y un polo sur. Los físicos han buscado polos magnéticos aislados (monopolos), pero nunca se ha observado un monopolo magnético. Sólo el hierro y algunos otros materiales, como el cobalto, el níquel, el gadolinio y algunos de sus óxidos y aleaciones, muestran intensos efectos magnéticos. Se dice que son ferromagnéticos (de la palabra latina ferrum, hierro). Otros materiales presentan cierto efecto magnético ligero, pero tan débil que sólo se puede detectar con instrumentos delicados. En la sección 20-12 se estudiará con mayor detalle el ferromagnetismo. En el capítulo 16 se explicó el concepto de campo eléctrico que rodeaba a una carga eléctrica. De manera similar, se puede imaginar un campo magnético que rodea a un imán. La fuerza que un imán ejerce sobre otro se puede describir entonces como la interacción entre un imán y el campo magnético del otro. Tal como se dibujaron líneas de campo eléctrico, también se pueden dibujar líneas de campo magnético. Tales líneas se dibujan, como las líneas de campo eléctrico, de modo que 1. la dirección del campo magnético sea tangente a una línea de campo en cualquier punto y 2. el número de líneas por unidad de área sea proporcional a la intensidad del campo magnético. La dirección del campo magnético en un punto dado se define como la dirección en la que apuntaría el polo norte de la aguja de una brújula en ese punto. (En la sección 20-3 se dará una definición más precisa.) La figura 20-4a muestra cómo finas limaduras de hierro (que actúan como pequeños imanes) revelan las líneas de campo magnético al alinearse como las agujas de una brújula. En la figura 20-4b se muestra el campo magnético determinado de esta forma para el campo que rodea a un imán de barra. Note que, por definición, las líneas siempre apuntan desde el polo norte y hacia el polo sur de un imán (el polo norte de la aguja de una brújula magnética es atraída hacia el polo sur del imán). Las líneas de campo magnético continúan en el interior de un imán, como se indica en la figura 20-4b. De hecho, la falta de polos magnéticos solos hace que las líneas de campo magnético siempre formen lazos cerrados, a diferencia de las líneas de campo eléctrico que comienzan en cargas positivas y terminan en cargas negativas.

S

N

a)

S

N

N

S

Repulsiva N

S

S

N

Repulsiva N

S

N

S

Atractiva FIGURA 20–2 Polos iguales de un imán se repelen; polos distintos se atraen.

FIGURA 20–3 Si un imán se separa, no se obtienen polos norte y sur aislados; en vez de ello, se producen dos nuevos imanes, cada uno con un polo norte y un polo sur. S

N

S S

N

S

N

S

N

S

N N

S

N

P R E C A U C I Ó N

Los imanes no atraen a todos los metales. Líneas de campo magnético

P R E C A U C I Ó N

Las líneas de campo magnético forman lazos cerrados, a diferencia de las líneas de campo eléctrico. FIGURA 20–4 a) Visualización de las líneas de campo magnético alrededor de un imán de barra, con el uso de limaduras de hierro y agujas de brújula. El extremo azul del imán de barra es su polo norte. El polo N de la aguja de una brújula cercana apunta alejándose del polo norte del imán. b) Líneas de campo magnético para un imán de barra.

b) SECCIÓN 20–1

Imanes y campos magnéticos

555

Polo norte Eje de geográfico rotación (“norte verdadero”) Declinación

Campo magnético de la Tierra

W

E

En la figura 20-5 se muestra el campo magnético de la Tierra. El patrón de líneas de campo es como si existiese un imán de barra imaginario en el interior de la Tierra. Polo Como el polo norte (N) de una brújula apunta hacia el norte, el polo magnético de magnético la Tierra que está en el norte geográfico es magnéticamente un polo sur, como se inBrújula dica en la figura 20-5 mediante la S en el imán de barra representado en el interior de la Tierra. Recuerde que el polo norte de un imán es atraído hacia el polo sur de N otro imán. No obstante, el polo de la Tierra en el norte todavía con frecuencia se llaS ma “polo norte magnético” o “norte geomagnético”, simplemente porque está en el S norte. De manera similar, el polo magnético sur de la Tierra, que está cerca del polo sur geográfico, es magnéticamente un polo norte (N). Los polos magnéticos de la N Tierra no coinciden con los polos geográficos, que están en el eje de rotación de nuestro planeta. El polo magnético norte, por ejemplo, está en al Ártico canadiense,† aproximadamente a 900 km del polo norte geográfico o “norte verdadero”. EsPolo ta diferencia se debe tomar en cuenta al usar una brújula (figura 20-6). A la Polo sur magnético geográfico diferencia angular entre el norte magnético y el norte verdadero (geográfico) se le llama declinación magnética. En Estados Unidos varía de 0 a cerca de 20°, depenFIGURA 20–5 La Tierra actúa diendo de la ubicación. como un gran imán; pero sus polos Cabe hacer notar, a partir de la figura 20-5, que el campo magnético de la Tiemagnéticos no están en los polos rra en la mayoría de las ubicaciones no es tangente a la superficie de la Tierra. El geográficos, que se localizan en el eje ángulo que el campo magnético de la Tierra forma con la horizontal en cualquier de rotación de la Tierra. punto se conoce como ángulo de inclinación. EJERCICIO A ¿El campo magnético de la Tierra tiene una mayor magnitud cerca de los polos o cerca del ecuador? Sugerencia: Observe las líneas de campo en la figura 20-5. F Í S I C A

A P L I C A D A

Uso de una brújula FIGURA 20–6 Uso de mapa y brújula en tierra salvaje. Primero se alinea la brújula de modo que la aguja apunte alejándose del norte verdadero (N) exactamente el número de grados de declinación establecidos en el mapa (15° para el lugar que se muestra en este mapa topográfico de una parte de California). Luego se alinea el mapa con el norte verdadero, como se muestra, no con la aguja de la brújula.

FIGURA 20–7 El campo magnético entre dos anchos polos de un imán es casi uniforme, excepto en los bordes.

N

S

Campo magnético uniforme El campo magnético más simple es aquel que es uniforme: no cambia en magnitud ni dirección de un punto a otro. No es fácil producir un campo perfectamente uniforme en una área grande. Pero el campo entre los polos de dos piezas de imán paralelas planas es casi uniforme si el área de las caras de los polos es grande en comparación con su separación, como se ilustra en la figura 20-7. En los bordes, el campo “se quiebra” un poco hacia fuera: las líneas de campo magnético ya no son tan paralelas ni uniformes. Las líneas de campo paralelas espaciadas de manera equidistante en la región central de la brecha indican que el campo es uniforme en puntos no muy cercanos al borde, en gran parte como el campo eléctrico entre dos placas paralelas (figura 17-1). †

En la actualidad, el norte magnético se mueve muchos kilómetros al año. El magnetismo en las rocas sugiere que los polos de la Tierra no sólo se han movido significativamente a lo largo del tiempo geológico, sino que también han invertido su dirección 400 veces durante los últimos 330 millones de años.

556

CAPÍTULO 20

Magnetismo

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I

I

a) b) c) FIGURA 20–8 a) La desviación de las agujas de las brújulas cerca de un alambre que porta corriente indica la presencia y dirección del campo magnético. b) Líneas de campo magnético alrededor de una corriente eléctrica en un alambre recto. c) Regla de la mano derecha para recordar la dirección del campo magnético: cuando el pulgar apunta en la dirección de la corriente convencional, los dedos alrededor del alambre apuntan en la dirección del campo magnético.

20–2 Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos Durante el siglo XVIII, muchos científicos trataron de averiguar la conexión entre electricidad y magnetismo. Se demostró que una carga eléctrica estacionaria y un imán no tenían influencia mutua. Pero, en 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) descubrió que, cuando se coloca una brújula cerca de un alambre conductor, la aguja se desvía tan pronto como el alambre es conectado a una batería y el alambre porta una corriente eléctrica. Como se ha visto, la aguja de una brújula se desvía por un campo magnético. De modo que el experimento de Oersted demostró que una corriente eléctrica produce un campo magnético. De esta forma, se encontró una conexión entre electricidad y magnetismo. Una brújula colocada cerca de una sección recta de un alambre portador de corriente experimenta una fuerza, lo que provoca que la aguja se alinee de manera tangente a un círculo alrededor del alambre (figura 20-8a). En consecuencia, las líneas de campo magnético producidas por una corriente en un alambre recto se disponen en la forma de círculos con el alambre en su centro (figura 20-8b). La dirección de esas líneas está indicada por el polo norte de las brújulas en la figura 20-8a. Existe una forma simple de recordar la dirección de las líneas de campo magnético en este caso. Se le llama regla de la mano derecha: Sujete el alambre con la mano derecha de modo que el pulgar apunte en la dirección de la corriente convencional (positiva); entonces sus dedos encerrarán en un círculo al alambre en la dirección del campo magnético (figura 20-8c). Las líneas de campo magnético debidas a un lazo circular de alambre portador de corriente se determinan de forma similar con el uso de una brújula. El resultado se presenta en la figura 20-9. De nuevo resulta útil la regla de la mano derecha, como se indica en la figura 20-10. A diferencia del campo uniforme mostrado en la figura 20-7, los campos magnéticos que se representan en las figuras 20-8 y 20-9 no son uniformes: los campos son diferentes en magnitud y dirección en diferentes puntos. EJERCICIO B Un alambre recto porta una corriente directamente hacia una persona. ¿En qué dirección rodean al alambre las líneas de campo magnético?

Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos.

Regla de la mano derecha 1: dirección del campo magnético producido por corriente eléctrica FIGURA 20–9 Líneas de campo magnético debidas a un lazo circular de alambre.

I

FIGURA 20–10 Regla de la mano

I

Campo magnético

derecha para determinar la dirección del campo magnético en relación con la corriente.

SECCIÓN 20–2

Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos

557

Fuerza ascendente

I

I

B

B

F

B S

N

N

S B

B +

Fuerza descendente

–

–

+ B

22 V

22 V

I

B

I

I

a)

B Regla de la mano derecha

b)

20–3 Fuerza sobre una corriente eléctrica

FIGURA 20–11 a) Fuerza sobre un alambre portador de corriente B colocado en un campo magnético B; b) lo mismo, pero con corriente invertida; c) regla de la mano derecha para la configuración en b).

El imán ejerce una fuerza sobre una corriente eléctrica.

Regla de la mano derecha 2: fuerza B sobre corriente ejercida por B

I

B

θ

B

l

Fuerza sobre corriente eléctrica en un campo magnético uniforme

Definición de campo magnético

B

en un campo magnético; definición de B En la sección 20-2 se vio que una corriente eléctrica ejerce una fuerza sobre un imán, como en la aguja de una brújula. Por la tercera ley de Newton se puede esperar que lo contrario también sea cierto, es decir, que un imán ejerza una fuerza sobre un alambre portador de corriente. De hecho, los experimentos confirman este efecto y fue también Oersted quien lo observó por primera vez. Suponga que un alambre recto se coloca en el campo magnético entre los polos de un imán de herradura, como se observa en la figura 20-11. Cuando una corriente fluye en el alambre, los experimentos indican que se ejerce una fuerza sobre este último. Pero esa fuerza no es hacia uno u otro polo del imán. En vez de ello, la fuerza está dirigida en ángulos rectos con la dirección del campo magnético, hacia abajo en la figura 20-11a. Si la corriente se invierte en dirección, la fuerza está en la dirección opuesta, esto es, hacia arriba, como se aprecia en la figura 20-11b. Los experimentos demuestran que la dirección de la fuerza siempre es perpendicular a la dirección de B la corriente y también perpendicular a la dirección del campo magnético, B. La dirección de la fuerza está dada por otra regla de la mano derecha, como se ilustra en la figura 20-11c. Se orienta la mano derecha hasta que los dedos estirados apunten en la dirección de la corriente convencional I; cuando se doblen los dedos, B éstos apuntarán en la dirección de las líneas de campo magnético, B. Entonces el B pulgar estirado apuntará en la dirección de la fuerza F sobre el alambre. Esta regla de la mano derecha describe la dirección de la fuerza. ¿Y qué hay acerca de la magnitud de la fuerza sobre el alambre? De manera experimental se ha observado que la magnitud de la fuerza es directamente proporcional a la corriente I en el alambre, y a la longitud l de alambre expuesta al campo magnético (supuesto uniforme). Más aún, si el campo magnético se hace más intenso, la fuerza será proporcionalmente más grande. La fuerza también depende del ángulo u entre la dirección de la corriente y el campo magnético (figura 20-12), y es proporcional a sen u. Por tanto, la fuerza sobre un alambre que porta una corriente I con longitud l en un campo magnético uniforme B está dada por

FIGURA 20–12 Alambre portador de corriente en un campo magnético. La fuerza sobre el alambre está dirigida hacia dentro de la página.

c)

F r IlB sen u. Cuando la corriente es perpendicular a las líneas de campo (u = 90°), la fuerza es más intensa. Cuando el alambre es paralelo a las líneas de campo magnético (u = 0°), no hay fuerza en absoluto. Hasta ahora no se ha definido con precisión la intensidad del campo magnético. De hecho, el campo magnético B se puede definir convenientemente en términos de la proporción anterior, de modo que la constante de proporcionalidad es precisamente 1. Por tanto, se tiene F = IlB sen u. (20–1) B Si la dirección de la corriente es perpendicular al campo B (u = 90°), entonces la fuerza es B Fmáx = IlB. C corriente ⊥ B D (20–2) B Si la corriente es paralela al campo (u = 0°), la fuerza es cero. La magnitud de B se puede definir con la ecuación 20-2 como B = Fmáx
Il, donde Fmáx es la magnitud de la fuerza sobre un alambre recto de longitud l que porta una corriente I cuando el B alambre es perpendicular a B.† †

En la discusión se ha supuesto que el campo magnético es uniforme. Si no lo es, entonces B en las ecuaciones 20-1 y 20-2 es el campo promedio sobre la longitud l del alambre.

558

CAPÍTULO 20

Magnetismo

La unidad SI del campo magnético B es el tesla (T). A partir de las ecuaciones 20-1 o 20-2, es claro que 1 T
1 N
Am. Un nombre antiguo para el tesla es el de “weber por metro cuadrado” (1 Wb
m2
1 T). Otra unidad que a veces se usa para especificar campo magnético en unidades cgs es el gauss (G): 1 G
104 T. Un campo dado en gauss siempre se debe cambiar a teslas antes de usarlo con otras unidades SI. Para “acostumbrarse” a estas unidades, diremos que el campo magnético de la Tierra en su superficie es de aproximadamente 12 G o 0.5  104 T. Por otra parte, los electroimanes más intensos producen campos del orden de 2 T y los imanes superconductores generan campos por arriba de 10 T.

Unidades del campo magnético: tesla y gauss

EJEMPLO 20–1 Fuerza magnética sobre un alambre portador de corriente. Un alambre con longitud l
12 cm porta una corriente de 30 A entre los polos de un imán a un ángulo u
60° (figura 20-12). El campo magnético es aproximadamente uniforme en 0.90 T. Ignore el campo más allá de las piezas del polo. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza sobre el alambre? PLANTEAMIENTO Se emplea la ecuación 20-1 para determinar la fuerza F sobre los 12 cm de longitud de alambre dentro del campo uniforme B. SOLUCIÓN Al utilizar la ecuación 20-1, con l = 12 cm, I = 30 A, B = 0.90 T y u = 60°se obtiene

F = IlB sen u = (30 A)(0.12 m)(0.90 T)(0.866) = 2.8 N. EJERCICIO C Una línea de potencia recta porta 30 A y es perpendicular al campo magnético de la Tierra de 0.50  104 T. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que se ejerce sobre 100 m de esta línea de transmisión?

En un diagrama, cuando se quiere representar una corriente eléctrica o un campo magnético que apunta fuera de la página (hacia el observador) o adentro de la página, se usan
o , respectivamente. El símbolo
tiene la intención de recordar el extremo puntiagudo de una flecha que apunta directamente hacia el lector, mientras que  o z recuerda la cola de una flecha que se aleja. (Véase la figura 20-13). EJEMPLO 20–2 Medición de un campo magnético. Un lazo rectangular de alambre cuelga verticalmente como se indica en la figura 20-13. Un campo magnéB tico B está dirigido horizontalmente, perpendicular al alambre, y apunta hacia fuera de laBpágina en todos los puntos, según representa el símbolo
. El campo magnético B es casi uniforme a lo largo de la porción horizontal del alambre ab (longitud l
10.0 cm) que está casi en el centro de la brecha de un gran imán que produce el campo. La porción superior del lazo de alambre está libre del campo. El lazo cuelga de una balanza que mide una fuerza descendente (además de la fuerza gravitacional) de F
3.48  102 N cuando el alambre porta una corriente I
0.245 A. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético B?

I

I 10.0 cm

B

PLANTEAMIENTO Tres secciones rectas del lazo de alambre están en el campo magnético: una sección horizontal y dos secciones verticales. Se aplica la ecuación 20-1 a cada sección y se usa la regla de la mano derecha. SOLUCIÓN La fuerza magnética sobre la sección vertical izquierda del alambre apunta hacia la izquierda; la fuerza sobre la sección vertical derecha apunta hacia la derecha. Estas dos fuerzas son iguales y en direcciones opuestas y por tanto suman cero. En consecuencia, la fuerza magnética neta sobre el lazo es la de la secB ción horizontal ab, cuya longitud es l
0.100 m. El ángulo u entre B y el alambre es u
90°, de modo que sen u
1. Por tanto, la ecuación 20-1 da

B =

B (hacia el

a

observador)

b

B

F FIGURA 20–13 BMedición de un campo magnético B. Ejemplo 20-2.

F 3.48 * 10–2 N = = 1.42 T. Il (0.245 A)(0.100 m)

NOTA Esta técnica puede ser un medio preciso para determinar la intensidad del campo magnético. SECCIÓN 20–3

B

Fuerza sobre una corriente eléctrica en un campo magnético; definición de B

559

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20 –4 Fuerza sobre una carga eléctrica que se mueve

B

F

B

B

N

S

en un campo magnético

Se ha visto que un alambre portador de corriente experimenta una fuerza cuando se le coloca en un campo magnético. Puesto que una corriente en un alambre consiste B F – en cargas eléctricas en movimiento, se podría esperar que las partículas cargadas + (no en un alambre) que se mueven libremente también experimenten una fuerza cuando pasen a través de un campo magnético. Aunque las cargas eléctricas libres –qvB +qvB no son tan fáciles de producir en el laboratorio como una corriente en un alambre, Regla de la mano sí es factible, y los experimentos realizados demuestran que las cargas eléctricas en derecha movimiento experimentan una fuerza en un campo magnético. A partir de lo que ya se conoce es posible predecir la fuerza sobre una sola carB ga eléctrica que se mueve en un campo magnético B. Si N de tales partículas de carFIGURA 20–14 La fuerza sobre partículas cargadas debida a un ga q pasan por un punto dado en el tiempo t, constituyen una corriente I
Nq
t. Sea B campo magnético es perpendicular a t el tiempo para que una carga q recorra una distancia l en un campo magnético B; B la dirección del campo magnético. entonces l
vt, donde v es la magnitud de la velocidad v de la partícula. En conseFuerza sobre una carga que se mueve cuencia, la fuerza sobre estas N partículas es, por la ecuación 20-1, F = IlB sen u = en un campo magnético (Nq
t)(vt)B sen u = NqvB sen u. La fuerza sobre una de las N partículas es entonces (20–3) F = qvB sen u. Esta ecuación proporciona la magnitud de la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una partícula de carga q que se mueve con velocidad v en un punto donde B B el campo magnético tiene magnitud B. El ángulo entre v y B es u. La fuerza es maB yor cuando la partícula se mueve perpendicular a B (u
90°): B C vB ⊥ B D (20–4) Fmáx = qvB. La fuerza es cero si la partícula se mueve paralela a las líneas de campo (u
0°). La diB B rección de la fuerza es perpendicular al campo magnético B y a la velocidad (v), de la Regla de la mano derecha 3: fuerza partícula. De nuevo está dada por una regla de la mano derecha: Se orienta la mano sobre una carga en movimiento derecha de modo que los dedos estirados apunten a lo largo de la dirección de la veloB ejercida por B cidad de la partícula (v); cuando se doblan los dedos, éstos deben apuntar a lo largo de B la dirección de B. Entonces el dedo pulgar apuntará en la dirección de la fuerza. Esto sólo es cierto para partículas cargadas positivamente y será “hacia abajo” para la situación que se muestra en la figura 20-14. Para partículas con carga negativa, la fuerza está exactamente en la dirección opuesta, “hacia arriba” en la figura 20-14. B

EJEMPLO CONCEPTUAL 20–3 Carga negativa cerca de un imán. Una carga negativa –Q se coloca en reposo cerca de un imán. ¿La carga comenzará a moverse? ¿Sentirá una fuerza? ¿Y si la carga fuese positiva, Q? RESPUESTA No a todas las preguntas. Una carga en reposo tiene velocidad igual a cero. Los campos magnéticos ejercen fuerza sólo sobre cargas eléctricas en movimiento (ecuación 20-3). FIGURA 20–15 Ejemplo 20-4. vB (arriba) B

ⴙ

ⴙ Movimiento hacia

F (oeste)

la página (norte) a)

EJEMPLO 20–4 Fuerza magnética sobre un protón. Un protón que tiene una rapidez de 5.0  106 m
s en un campo magnético siente una fuerza de 8.0  1014 N hacia el oeste cuando se mueve verticalmente hacia arriba (figura 20-15a). Cuando se mueve horizontalmente en una dirección rumbo al norte, siente fuerza cero (figura 20-15b). Determine la magnitud y dirección del campo magnético en esta región. (La carga sobre un protón es q = ±e
1.6 * 10 –19 C.) PLANTEAMIENTO Como el protón no siente fuerza cuando se mueve hacia el norte, el campo debe estar en una dirección norte-sur. Para una fuerza hacia el oeste B cuando el protón se mueve hacia arriba, la regla de la mano derecha dice que B debe apuntar hacia el norte. (El pulgar apunta al oeste y los dedos estirados de la mano derecha apuntan Bhacia arriba sólo cuando los dedos doblados apuntan al norte.) La magnitud de B se determina mediante la ecuación 20-3. SOLUCIÓN La ecuación 20-3, con u
90°, da

b)

B =

8.0 * 10–14 N F = = 0.10 T. qv A1.6 * 10–19 CBA5.0 * 106 m
sB

EJERCICIO D Determine la fuerza sobre el protón del ejemplo 20-4 si se dirige horizontalmente al sur.

560

CAPÍTULO 20

Magnetismo

vB

–P

Q – B

B

F

vB

F

FIGURA 20–16 La fuerza ejercida por un campo magnético uniforme sobre una partícula cargada en movimiento (en este caso, un electrón) produce una trayectoria circular.

Trayectoria del electrón

B

B está hacia la página

La trayectoria de una partícula cargada que se mueve en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme es un círculo, como ahora se demostrará. En la figura 20-16 el campo magnético está dirigido hacia el papel, según representan las . Un electrón en el punto P se mueve hacia la derecha, y la fuerza sobre él en este punto es descendente, como se indica (use la regla de la mano derecha e invierta la dirección para carga negativa). Entonces, el electrón se desvía hacia abajo. Un momento después, por ejemplo, cuando alcanza el punto Q, la fuerza todavía es perpendicular a la velocidad y está en la dirección mostrada. Puesto que la fuerza B B siempre es perpendicular a v, la magnitud de v no cambia: el electrón se mueve con rapidez constante. En el capítulo 5 se vio que, si la fuerza sobre una partícula siemB pre es perpendicular a su velocidad v, la partícula se mueve en un círculo y experimenta una aceleración centrípeta a = v2
r (ecuación 5-1). Así que una partícula cargada se mueve en una trayectoria circular con aceleración centrípeta constante (ejemplo 20-5) en un campo magnético uniforme. En la figura 20-16 el electrón se mueve en sentido de las manecillas del reloj. Una partícula positiva sentiría una fuerza en la dirección opuesta y, por ende, se movería en sentido contrario al de las manecillas del reloj. EJEMPLO 20–5 Trayectoria de un electrón en un campo magnético uniforme. Un electrón viaja a 2.0  107 m
s en un plano perpendicular a un campo magnético uniforme de 0.010 T. Describa su trayectoria cuantitativamente. PLANTEAMIENTO El electrón se mueve con rapidez v en una trayectoria curva, por lo que debe tener una aceleración centrípeta a = v2
r (ecuación 5-1). El radio de curvatura se determina con la segunda ley de Newton. La fuerza está dada por la ecuación 20-3, con sen u = 1, F = qvB. SOLUCIÓN Se insertan F y a en la segunda ley de Newton:

©F = ma qvB =

mv2 . r

Se resuelve para r y se encuentra

r = B

mv . qB B

B

Así que F es perpendicular a v, la magnitud de v no cambia. A partir de esta ecuaB ción se ve que, si B
constante, entonces r
constante y la curva debe ser un círculo, como se afirmó con anterioridad. Para obtener r se ponen números:

r =

A9.1 * 10–31 kgBA2.0 * 107 m
sB A1.6 * 10–19 CB(0.010 T) SECCIÓN 20–4

= 1.1 * 10–2 m = 1.1 cm.

Fuerza sobre una carga eléctrica que se mueve en un campo magnético

561

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Campos magnéticos Los campos magnéticos son de algún modo análogos a los campos eléctricos del capítulo 16, pero existen varias diferencias importantes que hay que recordar: 1. La fuerza experimentada por una partícula cargada que se mueve en un campo magnético es perpendicular a la dirección del campo magnético (y a la dirección de la velocidad de la partícula), mientras que la fuerza ejercida por un campo eléctrico es paralela a la dirección del campo (y no es afectada por la velocidad de la partícula). 2. La regla de la mano derecha, en sus diferentes formas, tiene la intención de ayudar a determinar las direccio-

nes del campo magnético, y las fuerzas que ejerce, y
o las direcciones de la corriente eléctrica o la velocidad de la partícula cargada. Las reglas de la mano derecha (tabla 20-1) están diseñadas para tratar con la naturaleza “perpendicular” de estas cantidades. 3. Por lo general, las ecuaciones en este capítulo no están expresadas como ecuaciones vectoriales, pues sólo incluyen magnitudes. Las reglas de la mano derecha se tienen que usar para determinar las direcciones de cantidades vectoriales.

TABLA 20–1 Resumen de reglas de la mano derecha (RMD) Situación física

Ejemplo

1. Campo magnético producido por corriente (RMD-1)

I

Cómo orientar la mano derecha

Resultado

Se colocan los dedos alrededor del alambre con el pulgar apunta en dirección de la corriente I

Los dedos apuntan en la B dirección de B

Los dedos apuntan a lo largo de la corriente I, luego se doblan aB lo largo del campo magnético B

El pulgar apunta en dirección de la fuerza

Los dedos apuntan a lo largo B de la velocidad v, deB la partícula, luego a lo largo de B

El pulgar apunta en dirección de la fuerza

B

B Fig. 20–8c 2. Fuerza sobre corriente eléctrica I debida a campo magnético (RMD-2)

B

F B

I

B

B

Fig. 20–11c

3. Fuerza sobre la carga eléctrica q debida a campo magnético (RMD-3)

vB B

B B

F Fig. 20–14

EJEMPLO CONCEPTUAL 20–6 Trayectoria helicoidal. ¿Cuál es la trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético uniforme, si su velocidad no es perpendicular al campo magnético? RESPUESTA El vector velocidad se puede desintegrar en componentes paralelo y perpendicular al campo. El componente de velocidad paralelo a las líneas de campo no da como resultado una fuerza, así que este componente permanece constante. El componente de velocidad perpendicular al campo da como resultado un movimiento circular en torno a las líneas de campo. Al poner juntos estos dos movimientos se produce un movimiento helicoidal (en espiral) alrededor de las líneas de campo, como se ilustra en la figura 20-17. EJERCICIO E ¿Cuál es el signo de la carga en la figura 20-17? ¿Cómo se modificaría el dibujo si el signo se invirtiese? B

B

vB

vB)

FIGURA 20–17 Ejemplo 20-6. vB

562

CAPÍTULO 20

Magnetismo

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Partícula cargada que se aproxima a la Tierra

FIGURA 20–18 a) Diagrama que muestra una partícula cargada que se acerca a la Tierra y es “capturada” por el campo magnético de nuestro planeta. Tales partículas siguen las líneas de campo hacia los polos, como se muestra. b) Fotografía de una aurora boreal.

B

B

B

B

a)

b)

* Auroras boreales Los iones cargados provenientes del Sol (el “viento solar”) que se aproximan a la Tierra e ingresan a la atmósfera principalmente cerca de los polos, en ocasiones provocan un fenómeno denominado aurora boreal o “luces del norte” en latitudes del norte. Para ver por qué, considere el ejemplo 20-6 y la figura 20-18 (véase también la figura 20-17). En la figura 20-18 imagine una corriente de partículas cargadas que se aproximan a la Tierra. El componente de velocidad perpendicular al campo para cada partícula se convierte en una órbita circular alrededor de las líneas de campo, mientras que el componente de velocidad paralelo al campo lleva a la partícula a lo largo de las líneas de campo hacia los polos. Conforme la partícula se aproxima al polo N, el campo magnético es más intenso y el radio de la trayectoria helicoidal se vuelve más pequeño. La alta concentración de partículas cargadas ioniza el aire, y conforme los electrones se recombinan con los átomos, se emite luz, que es la aurora. Las auroras son especialmente espectaculares durante periodos de alta actividad de las manchas solares, cuando el viento solar trae más partículas cargadas hacia la Tierra.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Las auroras boreales

* Producto vectorial La ecuación 20-3 se puede escribir en forma vectorial que incorpore la regla de la mano derecha: B

B

B

F = qv * B

(20–5)

La cruz  implica la regla de la mano derecha: primero apunte sus dedos a lo largo vB , de modo que, cuando los doble, apuntarán en la dirección del vector velocidad del B B campo magnético B. Entonces el pulgar proporciona la dirección de la fuerza F. La cruz  también implica el uso de sen u para la magnitud de F. La ecuación 20-5 es una ecuación vectorial conocida como el producto cruz de vectores.

20 –5 Campo magnético debido a un largo alambre recto En la sección 20-2 se vio (figura 20-8) que el campo magnético que rodea la corriente eléctrica en un largo alambre recto es tal que las líneas de campo son círculos con el alambre en el centro (figura 20-19). Cabría esperar que la intensidad del campo en un punto dado fuera mayor si la corriente que fluye en el alambre fuese mayor; y que el campo fuera menor en puntos más alejados del alambre. De hecho esto es lo que ocurre. Experimentos minuciosos demuestran que el campo magnético B debido a la corriente en un largo alambre recto es directamente proporcional a la corriente I en el alambre e inversamente proporcional a la distancia r desde el alambre:

FIGURA 20–19 Igual que la figura 20-8b: líneas de campo magnético alrededor de un largo alambre recto portador de una corriente eléctrica I.

I

I. r Esta relación es válida en tanto r, la distancia perpendicular al alambre, sea mucho menor que la distancia hacia los extremos del alambre (es decir, el alambre es largo). B r

SECCIÓN 20–5

Campo magnético debido a un largo alambre recto

563

La constante de proporcionalidad se escribe† como m0
2p; por ende, Campo magnético debido a corriente en un alambre recto

m0 I . [cerca de un largo alambre recto] (20–6) 2p r El valor de la constante m0, que se llama permeabilidad del espacio libre, es m0
4p * 10–7 T m
A. B =

B

I 10 cm

P

EJEMPLO 20–7 Cálculo de B cerca de un alambre. Un alambre eléctrico en la pared de un edificio porta una corriente cd de 25 A verticalmente hacia arriba. ¿Cuál es el campo magnético debido a esta corriente en un punto P a 10 cm al norte del alambre (figura 20-20)? PLANTEAMIENTO Se supone que el alambre es mucho más largo que la distancia de 10 cm hacia el punto P, así que se puede aplicar la ecuación 20-6. SOLUCIÓN De acuerdo con la ecuación 20-6:

B =

A4p * 10–7 T m
AB(25 A) m0 I = = 5.0 * 10 –5 T, 2pr (2p)(0.10 m)

FIGURA 20–20 Ejemplo 20-7. P R E C A U C I Ó N

Una brújula cerca de una corriente podría no apuntar al norte.

o 0.50 G. Por la regla de la mano derecha (figura 20-8c), el campo apunta hacia el oeste (hacia la página en la figura 20-20) en este punto. NOTA El campo del alambre tiene aproximadamente la misma magnitud que el de la Tierra, así que una brújula podría no apuntar hacia el norte sino en una dirección hacia el noroeste. NOTA La mayor parte del cableado eléctrico en los edificios consiste en cables con dos alambres en cada uno. Como los dos alambres portan corriente en direcciones opuestas, sus campos magnéticos se cancelarán en gran medida. EJERCICIO F ¿A qué distancia del alambre del ejemplo 20-7 su campo magnético es 5 veces mayor que el de la Tierra?

FIGURA 20–21 Ejemplo 20-8. El alambre 1 que porta corriente I1 hacia el lector y el alambre 2 que porta corriente I2 hacia la página producen campos magnéticos cuyas líneas son círculos alrededor de sus respectivos alambres.

B1

B2 I2 (adentro)

I1 (afuera) 5.0 cm

5.0 cm

EJEMPLO 20–8 Campo magnético a la mitad entre dos corrientes. Dos alambres rectos paralelos separados 10.0 cm portan corrientes en direcciones opuestas (figura 20-21). La corriente I1
5.0 A es hacia fuera de la página, e I2
7.0 A es hacia dentro de la página. Determine la magnitud y dirección del campo magnético a la mitad entre los dos alambres. PLANTEAMIENTO La magnitud del campo producido por cada alambre se calcula a partir de la ecuación 20-6. La dirección del campo de cada alambre se determina con la regla de la mano derecha. El campo total es la suma vectorial de los dos campos en el punto medio. SOLUCIÓN Las líneas del campo magnético debido a la corriente I2 forman círculos alrededor del alambre de I1, y la regla de la mano derecha 1 (figura 20-8c) indica que apuntan en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor del alambre. Las líneas del campo debido a I2 forman círculos alrededor de I2 y apuntan en sentido de las manecillas del reloj (figura 20-21). En el punto medio, ambos campos apuntan hacia arriba, como se muestra, y por tanto se suman. El punto medio está a 0.050 m de cada alambre y, a partir de la ecuación 20-6, las magnitudes de B1 y B2 son

B1 = B2 =

A4p * 10–7 T m
AB(5.0 A) m0 I1 = = 2.0 * 10–5 T; 2pr 2p(0.050 m) A4p * 10–7 T m
AB(7.0 A) m0 I2 = = 2.8 * 10–5 T. 2pr 2p(0.050 m)

El campo total es hacia arriba, con una magnitud de

B = B1 + B2 = 4.8 * 10–5 T. † La constante se elige de esta forma complicada de modo que la ley de Ampère (sección 20-8), que se considera más fundamental, tenga una forma simple y elegante.

564

CAPÍTULO 20

Magnetismo

EJEMPLO CONCEPTUAL 20–9 Campo magnético debido a cuatro alambres. La figura 20-22 muestra cuatro largos alambres paralelos que portan corrientes iguales hacia dentro o hacia fuera de la página, como se muestra. ¿En cuál configuración, a) o b), el campo magnético es mayor en el centro del cuadrado? RESPUESTA Es mayor en a). Las flechas señalan las direcciones del campo producido por cada alambre; verifíquelo con el uso de la regla de la mano derecha, para confirmar estos resultados. El campo neto en el centro es la superposición de los cuatro campos, que apuntarán hacia la izquierda en a) y es cero en b).

1

2

1

2

3

3 4

4

1

2 1 3

4

2

3

a)

4 b)

FIGURA 20–22 Ejemplo 20-9.

20 –6 Fuerza entre dos alambres paralelos

I1

I2

I1

paralelos que portan corrientes I1 e I2. B b) Campo magnético B1 producido por muestra el campo producido I1. (No se B por I2.) B1 apunta hacia la página en la posición de I2.

I1

I2

I1

I2

d

Alambre 2

m0 I1 . 2p d Observe la figura 20-23b, donde se muestra el campo debido sólo a I1. De acuerdo con la ecuación 20-2, la fuerza F2 ejercida por B1 sobre una longitud l2 de alambre 2, que lleva corriente I2, es F2 = I2 B1 l2 . Hay que hacer notar que la fuerza sobre I2 se debe sólo al campo producido por I1. Por supuesto, I2 también produce un campo, pero no ejerce fuerza sobre sí. Se sustituye B1 en la fórmula para F2 y se encuentra que la fuerza sobre una longitud l2 de alambre 2 es m0 I1 I2 F2 = l . (20–7) 2p d 2 Si se usa la regla de la mano derecha 1 de la figura 20-8c, se ve que las líneas de B1 son como se ilustra en la figura 20-23b. Entonces, al usar la regla de la mano derecha 2 de la figura 20-11c, se ve que la fuerza ejercida sobre I2 será hacia la izquierda en la figura 20-23b. Es decir, I1 ejerce una fuerza atractiva sobre I2 (figura 20-24a). Esto es cierto en tanto las corrientes estén en la misma dirección. Si I2 está en la dirección opuesta, la regla de la mano derecha indica que la fuerza es en la dirección opuesta. Es decir, I1 ejerce una fuerza repulsiva sobre I2 (figura 20-24b). Un razonamiento similar al anterior muestra que el campo magnético producido por I2 ejerce una fuerza igual pero opuesta sobre I1. Desde luego, también se espera que esto sea cierto a partir de la tercera ley de Newton. En consecuencia, como se ilustra en la figura 20-24, corrientes paralelas en la misma dirección se atraen mutuamente, mientras que corrientes paralelas en direcciones opuestas se repelen. B1 =

FIGURA 20–23 a) Dos conductores

Alambre 1

Se ha visto que un alambre que porta corriente produce un campo magnético (magnitud dada por la ecuación 20-6 para un largo alambre recto). Además, un alambre portador de corriente experimenta una fuerza cuando se coloca en un campo magnético (sección 20-3, ecuación 20-1). En consecuencia, se espera que dos alambres portadores de corriente ejerzan fuerza uno sobre otro. Considere dos largos alambres paralelos separados por una distancia d, como en la figura 20-23a. Éstos portan corrientes I1 e I2, respectivamente. Cada corriente produce un campo magnético que “siente” el otro, así que cada uno debe ejercer una fuerza sobre el otro. Por ejemplo, el campo magnético B1 producido por I1 en la figura 20-23 está dado por la ecuación 20-6 que, en la ubicación del alambre 2, es

a)

b)

I2 FIGURA 20–24 a) Corrientes paralelas

F F

a)

F

F

en la misma dirección ejercen una fuerza atractiva entre sí. b) Corrientes antiparalelas (en direcciones opuestas) ejercen una fuerza repulsiva entre sí.

b) SECCIÓN 20–6

Fuerza entre dos alambres paralelos

565

www.elsolucionario.org EJEMPLO 20–10 Fuerza entre dos alambres portadores de corriente. Los dos alambres de 2.0 m de largo del cordón de un aparato están separados 3.0 mm y portan una corriente de 8.0 A cd. Calcule la fuerza que un alambre ejerce sobre el otro. PLANTEAMIENTO Cada alambre está en el campo magnético del otro cuando la corriente está encendida, así que se aplica la ecuación 20-7. Se puede escribir

m0
2p
2.0 * 10–7 T m
A. SOLUCIÓN La ecuación 20-7 da A2.0 * 10–7 T m
AB(8.0 A)2(2.0 m) F = = 8.5 * 10–3 N. A3.0 * 10–3 mB Las corrientes están en direcciones opuestas (una hacia el aparato, la otra alejándose de él), así que la fuerza será repulsiva y tenderá a separar los alambres.

d = 20 cm

I1 = 80A

EJEMPLO 20–11 Suspensión de una corriente con una corriente. Un alambre horizontal porta una corriente I1
80 A cd. ¿Qué corriente I2 debe portar un segundo alambre paralelo, 20 cm debajo del primero (figura 20-25), de modo que no caiga por la acción de la gravedad? El alambre más bajo tiene una masa de 0.12 g por metro de longitud.

I2 = ?

PLANTEAMIENTO Si el alambre 2 no debe caer bajo la acción de la gravedad, que actúa hacia abajo, la fuerza magnética sobre él debe ser hacia arriba. Esto significa que la corriente en los dos alambres debe estar en la misma dirección. La corriente I2 se determina al igualar las magnitudes de la fuerza magnética y la fuerza gravitacional sobre el alambre. SOLUCIÓN La fuerza de gravedad sobre el alambre 2 es hacia abajo. Por cada 1.0 m de longitud de alambre, la fuerza gravitacional tiene magnitud

B

FB B

mg

FIGURA 20–25 Ejemplo 20-11.

F = mg = A0.12 * 10–3 kg
mB(1.0 m)A9.8 m
s2 B = 1.18 * 10–3 N.

La fuerza magnética sobre el alambre 2 debe ser hacia arriba, y la ecuación 20-7 produce

m0 I1 I2 l 2p d donde d
0.20 m e I1
80 A. Se resuelve esto para I2 y se igualan las magnitudes de las dos fuerzas (con l
1.0 m): F =

I2 =

2p(0.20 m) 2pd F a b = A1.18 * 10–3 N
mB = 15 A. m0 I1 l A4p * 10–7 T m
AB(80 A)

* Definición de ampere y coulomb Tal vez el lector se haya preguntado cómo la constante m0 de la ecuación 20-6 puede ser exactamente 4p * 10 –7 T m
A. He aquí cómo ocurrió. Con una antigua definición del ampere, m0 experimentalmente se midió muy cerca de este valor. Sin embargo, en la actualidad, m0 se define exactamente como 4p * 10 –7 T m
A. Esto, desde luego, no se pudo haber hecho si el ampere se hubiese definido de manera independiente. El ampere, la unidad de corriente, ahora se define en términos del campo magnético B que produce usando el valor definido de m0. En particular, se usa la fuerza entre dos alambres paralelos portadores de corriente (ecuación 20-7) para definir con precisión el ampere. Si I1
I2
1 A exactamente, y los dos alambres están separados exactamente 1 m, entonces

A4p * 10–7 T m
AB (1 A)(1 A) m0 I1 I2 F = = = 2 * 10–7 N
m. l 2p d (2p) (1 m)

Definiciones de ampere y coulomb

566

CAPÍTULO 20

Magnetismo

Por tanto, un ampere se define como aquella corriente que fluye en cada uno de dos largos alambres paralelos, separados 1 m, que da como resultado una fuerza de exactamente 2  107 N
m de longitud de cada alambre. Ésta es la definición precisa del ampere. Entonces el coulomb se define como exactamente un ampere-segundo: 1 C
1 As.

I

20 –7 Solenoides y electroimanes

I

Una larga bobina de alambre que consta de muchos lazos (o vueltas) de alambre se N conoce como solenoide. El campo magnético dentro de un solenoide puede ser bas- S tante grande pues es la suma de los campos debidos a la corriente en cada lazo (fil gura 20-26). Un solenoide actúa como un imán; un extremo se puede considerar el polo norte y el otro el polo sur, dependiendo de la dirección de la corriente en los lazos (de acuerdo con la regla de la mano derecha). Como las líneas de campo mag- FIGURA 20–26 Campo magnético nético salen del polo norte de un imán, el polo norte del solenoide en la figura 20-26 de un solenoide. El polo norte de este está a la derecha. Como se verá en la siguiente sección, el campo magnético en el in- solenoide, considerado como un imán, está a la derecha, y el polo sur está terior de un solenoide apretadamente enrollado con N vueltas de alambre en una a la izquierda. longitud l, donde cada una porta corriente I, es B = m0IN
l. (20–8) Si una pieza de hierro se coloca dentro del solenoide, el campo magnético aumenta enormemente porque el hierro se convierte en imán. El campo magnético resultante es la suma de los campos debidos a la corriente y al hierro, y puede ser F Í S I C A A P L I C A D A cientos o miles de veces el campo debido a la corriente sola (sección 20-12). Tal solenoide con núcleo de hierro es un electroimán. Electroimanes y solenoides Los electroimanes tienen muchas aplicaciones prácticas, desde su uso en motores y generadores hasta la producción de grandes campos magnéticos para investigación. A veces no está presente un núcleo de hierro: el campo magnético proviene sólo de la corriente en las bobinas de alambre. Para algunas aplicaciones, los alambres portadores de corriente están hechos de material superconductor conservado por abajo de la temperatura de transición (sección 18-9). Es posible producir campos muy elevados con el uso de alambre superconductor, sin utilizar un núcleo de hierro. No se necesita potencia eléctrica para mantener grandes corrientes en las bobinas superconductoras, lo que significa grandes ahorros de energía; ni se disiparán grandes cantidades de calor. Otro dispositivo útil consiste en un solenoide en el que una barra de hierro está parcialmente insertada. Esta combinación también se conoce como solenoide. Un uso simple es el del timbre (figura 20-27). Cuando el circuito se cierra al oprimir el F Í S I C A A P L I C A D A botón, la bobina efectivamente se convierte en un imán y ejerce una fuerza sobre la Timbre, arranque de automóvil barra de hierro. La barra se jala hacia la bobina y golpea la campana. En los arranques de los automóviles se usa un gran solenoide; cuando se activa el arranque, se cierra un circuito que no sólo acciona el motor del arranque, sino que activa un solenoide que primero mueve el arranque en contacto directo con los engranes en el volante del motor. Los solenoides se usan como interruptores en muchos dispositivos. Tienen la ventaja de mover partes mecánicas de manera rápida y exacta. Los disyuntores modernos que protegen las casas y edificios de sobrecargas e inF Í S I C A A P L I C A D A cendios no sólo contienen partes “térmicas” (las tiras bimetálicas descritas en la sección Disyuntores magnéticos 18-6, figura 18-19), sino también un sensor magnético. Si la corriente está sobre cierto nivel, el campo magnético que produce jala una placa de hierro que rompe los mismos puntos de contacto que en las figuras 18-19b y c. En los disyuntores más avanzados, incluso en los de falla a tierra (GFCI, por sus siglas en inglés, que se estudiarán en la sección 21-8), se utiliza un solenoide. La barra de hierro de la figura 20-27, en lugar de golpear una campana, golpea un lado de un par de puntos, con lo que los abre y también abre el circuito. Los disyuntores magnéticos reaccionan rápidamente ( 10 ms) y para los edificios están diseñados de modo que reaccionen a las altas corrientes de los cortos (pero no se apagan para las sobrecargas de arranque de los motores). Barra de hierro Campana FIGURA 20–27 Solenoide usado Resorte

como timbre.

I Interruptor 120 V

120 V

SECCIÓN 20–7

Solenoides y electroimanes

567

I1

FIGURA 20–28 Trayectoria arbitraria que encierra corrientes eléctricas, por la ley de Ampère. La trayectoria se separa en segmentos de igual longitud ¢l. La corriente total encerrada por la trayectoria mostrada es Ienc = I1 + I2 .

I2

Trayectoria cerrada constituida por segmentos de longitud ∆ l

I1

Área encerrada por la trayectoria

I2

* 20 –8 Ley de Ampère En la sección 20-5 se vio que la ecuación 20-6 proporciona la relación entre la corriente en un largo alambre recto y el campo magnético que produce. Esta ecuación es válida sólo para un largo alambre recto. ¿Existe alguna relación general entre una corriente en un alambre de cualquier forma y el campo eléctrico a su alrededor? Sí: el científico francés André Marie Ampère (1775-1836) propuso tal relación poco después del descubrimiento de Oersted. Considere cualquier trayectoria cerrada (arbitraria) alrededor de una corriente, como se muestra en la figura 20-28, e imagine esta trayectoria como constituida por segmentos cortos, cada uno de longitud ¢l. Tomamos el producto de la longitud de cada segmento por el componente de campo B magnético B paralelo a ese segmento. Si ahora se suman todos estos términos, el resultado (dijo Ampère) será igual a m0 por la corriente neta Ienc que pasa a través de la superficie encerrada por la trayectoria. Esto se conoce como ley de Ampère y se escribe

©B∑∑ ¢l = m0 Ienc .

LEY DE AMPÈRE

(20–9) B

El símbolo © significa “la suma de” y B∑∑ significa el componente de B paralelo a esa ¢l particular. Las longitudes ¢l se eligen lo suficientemente pequeñas de modo que B∑∑ sea esencialmente constante en cada longitud. La suma se debe realizar sobre una trayectoria cerrada, e Ienc es la corriente neta total encerrada por la trayectoria cerrada.

* Campo debido a un alambre recto FIGURA 20–29 Trayectoria circular de radio r.

I

r

Es posible verificar la ley de Ampère aplicándola al caso simple de un largo alambre recto que porta una corriente I. A continuación se encontrará la magnitud de B en el punto A, a una distancia r del alambre en la figura 20-29. Las líneas de campo magnético son círculos con el alambre en su centro (como en la figura 20-8). Como trayectoria para la ecuación 20-9 se elige una conveniente: un círculo de radio r B pues, en cualquier punto sobre esta trayectoria, B será tangente a este círculo. Para B cualquier segmento corto del círculo (figura 20-29), B será paralela a dicho segmento, de modo que B∑∑ = B. Suponga que la trayectoria circular se descompone en 100 segmentos.† Entonces la ley de Ampère afirma que

(B ¢l)1 + (B ¢l)2 + (B ¢l)3 + p + (B ¢l)100 = m0 I. A

Los puntos representan todos los términos que no se escribieron. Todos los segmentos están a la misma distancia del alambre, así que por simetría se espera que B sea el mismo en cada segmento. Entonces se puede factorizar B a partir de la suma:

B A¢l1 + ¢l2 + ¢l3 + p + ¢l100 B = m0 I.

La suma de las longitudes de segmento ¢l es justo la circunferencia del círculo, 2pr. Por tanto, se tiene

I

†

En realidad, la ley de Ampère es precisa cuando existe un número infinito de segmentos infinitesimalmente cortos, pero ello conduce al cálculo.

568

CAPÍTULO 20

Magnetismo

www.elsolucionario.org B(2pr) = m0 I, o

m0 I . 2pr Ésta es justo la ecuación 20-6 para el campo cerca de un largo alambre recto, así que la ley de Ampère concuerda con el experimento en este caso. Una gran cantidad de experimentos indican que la ley de Ampère es válida en general. Sin embargo, se puede usar para calcular el campo magnético principalmente para situaciones simples o simétricas. Su importancia radica en que relaciona al campo magnético con la corriente en una forma directa y matemáticamente elegante. Por eso, la ley de Ampère es considerada una de las leyes básicas de la electricidad y el magnetismo. Es válida para cualquier situación donde las corrientes y campos no cambien en el tiempo. B =

B debido a un alambre recto, con el uso de la ley de Ampère

I

I

* Campo en el interior de un solenoide Ahora se usará la ley de Ampère para calcular el campo magnético en el interior de un solenoide, una larga bobina de alambre con muchos lazos o vueltas (figura 20-30). Cada lazo produce un campo magnético, como se ilustra en la figura 20-9, y el campo total dentro del solenoide será la suma de los campos debidos a cada lazo de corriente, como se muestra en la figura 20-30a para unos cuantos lazos. Si los lazos del solenoide son muchos y están muy cercanos, el campo en el interior esencialmente será paralelo al eje, excepto en los extremos, como se observa en la figura 20-30b. Afuera del solenoide, las líneas de campo se dispersan en el espacio, así que el campo magnético es mucho más débil en el exterior del solenoide que en su interior. Para aplicar la ley de Ampère se elige la trayectoria abcd que se muestra en la figura 20-31 lejos de cualquier extremo. Considere esta trayectoria como constituida por cuatro segmentos rectos, los lados del rectángulo: ab, bc, cd, da. Entonces la ley de Ampère, ecuación 20-9, se convierte en

AB∑∑ ¢lB ab + AB∑∑ ¢lB bc + AB∑∑ ¢lB cd + AB∑∑ ¢lB da = m0 Iencl . El primer término en la suma a la izquierda será (casi) cero, pues el campo afuera B del solenoide es despreciable en comparación con el campo en el interior. Más aún, B es perpendicular a los segmentos bc y da, así que dichos términos son cero también. En consecuencia, el lado izquierdo de la ecuación anterior es simplemente AB∑∑ ¢lB cd
Bl, donde B es el campo en el interior del solenoide y l es la longitud cd. Bl se iguala a m0 y se multiplica por la corriente encerrada por la elección del lazo rectanCorriente hacia fuera de la página B

B c

d

b

a

Corriente hacia dentro de la página

a)

I

I

b) FIGURA 20–30 a) Campo magnético debido a varios lazos de un solenoide. b) Para muchos lazos muy cercanos entre sí, el campo es casi uniforme.

FIGURA 20–31 Vista transversal en el interior de un solenoide. El campo magnético en el interior es recto excepto en los extremos. Las líneas punteadas indican la trayectoria elegida para usar en la ley de Ampère. } y z son direcciones de corriente eléctrica (en los lazos de alambre) hacia fuera y hacia dentro de la página.

l gular: si una corriente I fluye en el alambre del solenoide, la corriente total encerrada por la trayectoria abcd es NI, donde N es el número de lazos (o vueltas) que encierra la trayectoria (cinco en la figura 20-31). Por tanto, la ley de Ampère produce

Bl = m0 NI.

Campo magnético en el interior de un solenoide

y

m0 IN , [solenoide] (20–8 repetida) l que se citó en la sección previa. Ésta es la magnitud del campo magnético en el interior de un solenoide. B sólo depende del número de lazos por unidad de longitud, N
l, y la corriente I. El campo no depende de la posición dentro del solenoide, así que B es uniforme en el interior de este último. Esto es estrictamente cierto sólo para un solenoide infinito, pero es una buena aproximación para los reales, para puntos que no estén cerca de los extremos. La dirección del campo magnético se encuentra con la regla de la mano derecha 1 (figura 20-8c) y es como se muestra en la figura 20-31. B =

*SECCIÓN 20–8

Ley de Ampère

569

Eje de rotación

* 20 –9 Torca sobre un lazo de corriente; momento magnético b

I B

B

B

F1

I B

F2

a

I

I a)

B

F1 B

B

Eje I

I

I B

F2 b)

M = NIA (a la cara de la bobina)

B

F1

θ

I Eje

B

B

Cuando una corriente eléctrica fluye en un lazo de alambre cerrado colocado en un campo magnético externo, como se ilustra en la figura 20-32, la fuerza magnética sobre la corriente puede producir una torca. Éste es el principio detrás de varios importantes dispositivos prácticos, incluidos los voltímetros, amperímetros y motores. (Estas aplicaciones se analizarán en la siguiente sección). La interacción entre una corriente y un campo magnético también es importante en otras áreas, incluida la física atómica. La corriente fluye a travésBdel lazo en la figura 20-32a, cuya cara se supone que B es paralela a B y rectangular. B no ejerce fuerza ni torca sobre los segmentos horizontales del alambre porque son paralelos al campo y sen u
0 en la ecuación 20-1. Pero el campo magnético sí ejerce una fuerza sobre cada una de las secciones vertiB B cales de alambre, como se muestra, F1 y F2 (observe también la vista superior, figura 20-32b). Por la regla de la mano derecha 2 (figura 20-11c), la dirección de la fuerza sobre la corriente ascendente a la izquierda está en la dirección opuesta de la fuerB za F2 de igual magnitud en la corriente descendente a la derecha. Estas fuerzas originan una torca neta que tiende a girar la bobina en torno a su eje vertical. A continuación se calculará la magnitud de esta torca. A partir de la ecuación B 20-2 (corriente ⊥ B), la fuerza F
IaB, donde a es la longitud del brazo vertical de la bobina. El brazo de palanca para cada fuerza es b
2, donde b esBel ancho de la boB bina y el “eje” está en el punto medio. Las torcas producidas por F1 yF2 actúan en la misma dirección, así que el momento de torsión total es la suma de las dos torcas:

b b + IaB = IabB = IAB, 2 2 B F2 donde A
ab es el área de la bobina. Si esta última consta de N lazos de alambre, c) entonces la corriente es NI, de modo que la torca se convierte en FIGURA 20–32 Cálculo de la torca t = NIAB. sobre un lazo de corriente en un campo B Si la bobina forma un ángulo u con el campo magnético, como se muestra en la figumagnético B. a) La cara del lazo es B paralela a las líneas de campo de B; ra 20-32c, las fuerzas no cambian, pero cada brazo de palanca se reduce de 12 b a 12 b B b) vista superior; c) el lazo forma un B sen u. Advierta que el ángulo u se toma como el ángulo entre B y la perpendicular a ángulo con B, lo que reduce la torca, la cara de la bobina (figura 20-32c). De modo que la torca se convierte en pues el brazo de palanca disminuye. (20–10) t = NIAB sen u. Momento de torsión sobre lazo de corriente Esta fórmula, deducida aquí para una bobina rectangular, es válida para cualquier forma de bobina plana. La cantidad NIA se llama momento de dipolo magnético de la bobina: Momento de dipolo magnético M = NIA (20–11) y se considera un vector perpendicular a la bobina. I

I

t = IaB

EJEMPLO 20–12 Torca sobre una bobina. Una bobina circular de alambre tiene un diámetro de 20.0 cm y contiene 10 lazos. La corriente en cada lazo es de 3.00 A y la bobina se coloca en un campo magnético externo de 2.00 T. Determine las torcas máxima y mínima que el campo ejerce sobre la bobina. PLANTEAMIENTO La ecuación 20-10 es válida para cualquier forma de bobina, incluso lazos circulares. Las torcas máxima y mínima se determinan mediante el ángulo u que la bobina forma con el campo magnético. SOLUCIÓN El área de un lazo de la bobina es

A = pr2 = p(0.100 m)2 = 3.14 * 10–2 m2. La torca máxima ocurre cuando la cara de la bobina es paralela al campo magnético, de modo que u
90° en la figura 20-32c, y sen u
1 en la ecuación 20-10: t = NIAB sen u = (10)(3.00 A)A3.14 * 10–2 m2 B(2.00 T)(1) = 1.88 N m.

La torca mínima ocurre si sen u
0, por lo que u
0°, y entonces t
0 de la ecuación 20-10. NOTA Si la bobina tiene libertad para girar, lo hará hacia la orientación con u  0°.

570

CAPÍTULO 20

Magnetismo

* 20 –10 Aplicaciones: galvanómetros, motores, bocinas

2

1

0

3

4

Pivote

* Galvanómetro El componente básico de los medidores analógicos (aquellos con puntero y dial), incluyendo los amperímetros, voltímetros y óhmmetros, es el galvanómetro. Ya se ha visto cómo están diseñados estos medidores (sección 19-8) y ahora se examinará cómo funciona el elemento esencial, el galvanómetro. Como se ilustra en la figura 20-33, un galvanómetro consiste en una bobina de alambre (con puntero unido) suspendida en el campo magnético de un imán permanente. Cuando la corriente fluye a través del lazo de alambre, el campo magnético ejerce una torca sobre el lazo, dada por la ecuación 20-10,

t = NIAB sen u. A esta torca se opone un resorte que ejerce una torca tR aproximadamente proporcional al ángulo f a través del cual gira (ley de Hooke). Es decir, ts = kf, donde k es la constante de rigidez del resorte. La bobina y el puntero unido a ella giran al ángulo donde las torcas se equilibran. Cuando la aguja está en equilibrio en reposo, las torcas son iguales: kf = NIAB sen u, o NIAB sen u . f = k La desviación del puntero, f, es directamente proporcional a la corriente I que fluye B en la bobina, pero también depende del ángulo u que la bobina forma con B. Para un medidor útil se necesita que f sólo dependa de la corriente I, independiente de u. Para resolver este problema, se usan piezas de imanes con polos curvos, y la bobina del galvanómetro se enrolla alrededor de un núcleo de hierro cilíndrico, como se ilustra enB la figura 20-34. El hierro tiende a concentrar las líneas de campo magnético, así que B siempre apunta de forma perpendicular a la cara de la bobina, y la torca no variará con el ángulo. En consecuencia f será proporcional a I, como se requiere.

Resorte B

F

b a

N

S B

F

I

I

Pivote

FIGURA 20–33 Galvanómetro.

FIGURA 20–34 Bobina de galvanómetro enrollada en un núcleo de hierro.

Puntero B

F

N

S B

F Núcleo de hierro

Motores eléctricos * Un motor eléctrico cambia energía eléctrica en energía mecánica (de rotación). Un motor funciona con base en el mismo principio que un galvanómetro, excepto que no existe resorte, de modo que la bobina puede girar de manera continua en una dirección. La bobina es grande y está montada sobre un gran cilindro llamado rotor o armadura (figura 20-35). En realidad, existen varias bobinas, aunque en la figura sólo se representa una. La armadura está montada en un eje. Cuando la armadura está en la posición mostrada en la figura 20-35, el campo magnético ejerce fuerzas sobre la corriente en el lazo, como se indica. Sin embargo, cuando la bobina, que en la figura 20-35 gira en sentido de las manecillas del reloj, pasa más allá de la posición vertical, entonces las fuerzas actúan para regresar la bobina de vuelta a la vertical si la corriente permanece constante. Pero si la corriente de algún modo pudiera invertirse en ese momento crítico, las fuerzas se invertirían y la bobina continuaría girando en la misma dirección. Por ende, se necesita la alternación de la corriente si un motor ha de dar vueltas de manera continua en un dirección. Esto se puede lograr con un motor cd con el uso de conmutadores y escobillas: como se muestra en la figura 20-36, las escobillas son contactos estacionarios que frotan contra los conmutadores conductores montados en el eje del motor. En cada media revolución, cada conmutador cambia su conexión sobre la otra escobilla. De esta forma, la corriente en la bobina se invierte cada media revolución como se requiere para la rotación continua. Alambres guía hacia la bobina de la armadura Conmutador

Escobillas

F Í S I C A

A P L I C A D A

Motor CD FIGURA 20–35 Diagrama de un motor cd simple.

Armadura B

F

I

N

S B

F Escobillas – + Fuente de voltaje

FIGURA 20–36 El ordenamiento conmutadorescobilla en un motor cd garantiza la alternación de la corriente en la armadura para mantener continua la rotación. Los conmutadores están unidos al eje del motor y dan vuelta con él, mientras que las escobillas permanecen estacionarias.

Batería (cd)

*SECCIÓN 20–10

Aplicaciones: galvanómetros, motores, bocinas

571

www.elsolucionario.org

FIGURA 20–37 Motor con muchos devanados.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Motor CA

Marco Bobina de metálico alambre rígido (unida al cono de la bocina)

* Bocinas Una bocina también funciona de acuerdo con el principio de que un imán ejerce una fuerza sobre un alambre portador de corriente. La salida eléctrica de un estéreo o de un aparato de televisión está conectada a una bobina de alambre, que a su vez está unida al cono de la bocina (figura 20-38). El cono de la bocina generalmente está hecho de cartón endurecido y está montado de modo que se puede mover libremente de ida y vuelta. Un imán permanente está montado directamente en línea con la bobina de alambre. Cuando la corriente alterna de una señal de audio fluye a través de la bobina de alambre, que tiene libertad para moverse dentro del imán, la bobina experimenta una fuerza debida al campo magnético del imán. Conforme la corriente alterna a la frecuencia de la señal de audio, la bobina y el cono de bocina unido se mueven de ida y vuelta a la misma frecuencia, lo que provoca compresiones y rarefacciones alternadas del aire adyacente, y entonces se producen ondas sonoras. De esta forma, una bocina cambia la energía eléctrica en energía sonora, y las frecuencias e intensidades de las ondas sonoras emitidas son una reproducción exacta de la entrada eléctrica.

S B

B

N B

B

S Imán I

I

Cono

Alambres guía

La mayoría de los motores contienen varias bobinas, llamadas devanados, cada una ubicada en un lugar diferente de la armadura (figura 20-37). La corriente fluye a través de cada bobina sólo durante una pequeña parte de una revolución, en el momento en el que su orientación da como resultado la torca máxima. De esta forma, un motor produce una torca mucho más estable que la que se obtiene a partir de una sola bobina. Un motor ca, con corriente ca como entrada, puede funcionar sin conmutadores pues la corriente misma alterna. Muchos motores utilizan bobinas de alambre para producir el campo magnético (electroimanes) en lugar de un imán permanente. De hecho, el diseño de la mayoría de los motores es más complejo que el descrito aquí, pero los principios generales son los mismos.

FIGURA 20–38 Bocina.

* 20 –11 Espectrómetro de masas F Í S I C A

A P L I C A D A

Espectrómetro de masas FIGURA 20–39 Espectrómetro de masas Bainbridge. Los campos magnéticos B y B¿ apuntan hacia fuera de la página (lo que se indica mediante los puntos).

s2

S

–

s1

+

2r

B

B

Detector o película

572

E. B Sólo aquellos iones cuya rapidez es v
E
B pasarán a través sin desviarse y saldrán por la rendija s2. (Este arreglo se llama selector de velocidad.) En la región semicircular, después de s2, sólo existe un campo magnético, B, de modo que los iones siguen una trayectoria circular. El radio de la trayectoria circular se encuentra a partir de su marca sobre película (o detectores) si B está fijo, o r está fijo por la posición de un detector y B varía hasta que ocurre la detección. La segunda ley de Newton, ©F = ma, aplicada a un ion que se mueve en un círculo sólo bajo la influencia del v =

B

B y B E

Un espectrómetro de masas es un dispositivo para medir masas de átomos. En la actualidad se utiliza no sólo en física, sino también en química, geología y medicina, con frecuencia para identificar átomos (y sus concentraciones) en muestras dadas. Como se observa en la figura 20-39, se producen iones por calentamiento, o mediante una corriente eléctrica, en la fuente o muestra S. Los iones pasan a través de la rendija s1 y entran a una región donde existen campos eléctricos y magnéticos cruzados. Los iones siguen una trayectoria en línea recta en esta región si la fuerza eléctrica qE (hacia arriba sobre un ion positivo) justo se equilibra por la fuerza magnética qvB (hacia abajo sobre un ion positivo): esto es, si qE = qvB, o

CAPÍTULO 20

Magnetismo

campo magnético B¿ da como resultado qvB¿
mv2
r. Puesto que v
E
B, se tiene

qBB¿r qB¿r . = v E Todas las cantidades en el lado derecho se conocen o pueden medirse, de modo que es posible determinar m. A lo largo de la historia, las masas de muchos átomos se midieron de esta forma. Cuando se empleaba una sustancia pura, a veces se encontraba que en la película aparecían dos o más marcas muy cercanas. Por ejemplo, el neón producía dos marcas cuyos radios correspondían a átomos de 20 y 22 unidades de masa atómica (u). Las impurezas fueron descartadas y se concluyó que debía haber dos tipos de neón con diferentes masas. Estas diferentes formas se llamaron isótopos. Pronto se encontró que la mayoría de los elementos eran mezclas de isótopos, y la diferencia de masa se debía a diferentes números de neutrones. m =

Isótopos

EJEMPLO 20–13 Espectrometría de masas. Átomos de carbono, de 12.0 u de masa atómica, están mezclados con otro elemento desconocido. En un espectrómetro de masas con B¿ fijo, el carbono atraviesa una trayectoria de 22.4 cm de radio y la trayectoria del desconocido tiene 26.2 cm de radio. ¿Cuál es el elemento desconocido? Suponga que ambos tienen la misma carga. PLANTEAMIENTO El carbono y los átomos desconocidos pasan a través de los mismos campos eléctrico y magnético. Así que sus masas son proporcionales al radio de sus respectivas trayectorias (véase la ecuación anterior). SOLUCIÓN Se escribe una razón para las masas y se emplea la ecuación en la parte superior de esta página:

qBB¿rx
E mx 26.2 cm = = 1.17. = mC qBB¿rC
E 22.4 cm Por tanto, mx
1.17  12.0 u
14.0 u. El otro elemento probablemente es nitrógeno (consulte la tabla periódica en los forros de este libro). NOTA El desconocido también puede ser un isótopo como el carbono-14 A 146CB. Consulte el apéndice B. Se necesitaría mayor análisis físico o químico.

20 –12 Ferromagnetismo: dominios e histéresis En la sección 20-1 se vio que el hierro (y algunos otros materiales) se pueden convertir en intensos imanes. Se dice que tales materiales son ferromagnéticos.

Fuentes de ferromagnetismo El examen microscópico revela que un imán está constituido por pequeñas regiones conocidas como dominios, cuando mucho de aproximadamente 1 mm de longitud o de ancho. Cada dominio se comporta como un pequeño imán con un polo norte y uno sur. En una pieza de hierro no magnetizada, los dominios están ordenados de manera aleatoria (figura 20-40a). Los efectos magnéticos de los dominios se cancelan entre sí, de modo que esta pieza de hierro no es un imán. En un imán, los dominios están alineados preferentemente en una dirección, como se muestra en la figura 20-40b (hacia abajo en este caso). Se puede hacer un imán a partir de una pieza de hierro no magnetizada al colocarla en un intenso campo magnético. (Una aguja se puede magnetizar, por ejemplo, al frotarla con un polo de un imán intenso.) La dirección de magnetización de los dominios en realidad puede girar ligeramente para estar más en paralelo con un campo externo, o las fronteras de los dominios se mueven de modo que los dominios con orientación magnética paralela al campo externo crecen más (compare las figuras 20-40a y b). Esto explica cómo un imán es capaz de levantar pedazos de hierro no magnetizado como los sujetapapeles. El campo del imán provoca una ligera alineación de los dominios en el objeto no magnetizado, que se convierte en un imán temporal cuyo polo norte enfrenta al polo sur del imán permanente, y viceversa; entonces, se genera atracción. De manera similar, las limaduras de hierro elongadas en un campo magnético adquieren dominios alineados y SECCIÓN 20–12

Dominios

a)

b)

FIGURA 20–40 a) Un pedazo de hierro no magnetizado está constituido por dominios ordenados aleatoriamente. Cada dominio es como un pequeño imán; las flechas representan la dirección de magnetización, siendo la punta de la flecha el polo N. b) En un imán, los dominios están alineados preferentemente en una dirección (hacia abajo en este caso) y se pueden alterar en tamaño por el proceso de magnetización.

Ferromagnetismo: dominios e histéresis

573

se alinean ellas mismas para revelar la forma del campo magnético (figura 20-41). También observe la fotografía de apertura de este capítulo. Un imán de hierro puede permanecer magnetizado durante largo tiempo, y en tal caso se le llama “imán permanente”. Pero si se suelta un imán sobre el piso o se N S le golpea con un martillo, los dominios se sacuden de manera aleatoria y el imán pierde parte o todo su magnetismo. Calentar un imán permanente también provoca pérdida de magnetismo, pues la elevación de la temperatura aumenta el movimiento térmico aleatorio de los átomos, que tiende a volver aleatorios los dominios. Sobre cierta temperatura, conocida como temperatura de Curie (1043 K para el hierro), es imposible fabricar un imán. FIGURA 20–41 Limaduras de hierro La sorprendente similitud entre los campos producidos por un imán de barra y alineadas a lo largo de las líneas de por un lazo de corriente eléctrico o un solenoide (figuras 20-3b, 20-9 y 20-30) ofrecampo magnético debido a un imán cen una pista de que tal vez el campo magnético producido por una corriente tiene permanente. relación con el ferromagnetismo. De acuerdo con la teoría atómica moderna, los átomos de cualquier material se visualizan, en términos generales, como constituidos por electrones que giran alrededor de un núcleo central. Los electrones están cargados y así constituyen una corriente eléctrica y, en consecuencia, producen un campo magnético. Los electrones mismos producen un campo magnético adicional, casi como si ellos y sus cargas eléctricas estuviesen girando en torno a sus propios ejes. Se cree que el campo magnético debido al spin† del electrón es el que produce el ferromagnetismo en la mayoría de los materiales ferromagnéticos. Actualmente se cree que todos los campos magnéticos son provocados por coP R E C A U C I Ó N rrientes eléctricas. Esto significa que las líneas de campo magnético siempre forman B Las líneas de B forman lazos lazos cerrados, a diferencia de las líneas de campo eléctrico, que comienzan en carB cerrados, E comienza en gas positivas y terminan en cargas negativas.

1

y termina en

2

* Permeabilidad magnética Si un pedazo de hierro se coloca en el interior de un solenoide para formar un electroimán, el campo magnético crece enormemente sobre el producido porB la corriente en las bobinas delBsolenoide solo. Entonces el campo magnético total B es la suma B B B B + B B de dos términos, , donde es el campo debido a la corriente en el B = 0 M 0 B alambre y BM es el campo adicional debido al hierro (u otro material magnético insertado en su lugar). Con frecuencia BM W B0 . El campo total también se puede escribir sustituyendo la constante m0 en la ecuación 20-8 (B = m0 NI
l para un solenoide) por la permeabilidad magnética m, que es característica del material magnético en el interior de la bobina. Entonces B = mNI
l. Para materiales ferromagnéticos, m es mucho mayor que m0. Para todos los otros materiales, su valor es muy cercano a m0.‡ Sin embargo, el valor de m no es constante para los materiales ferromagnéticos; depende de la intensidad del campo “externo” B0, como demuestra el siguiente experimento.

* Histéresis FIGURA 20–42 Toroide con núcleo de hierro.

I

I

Para realizar mediciones sobre materiales magnéticos se usa un toroide, que, en esencia, es un largo solenoide dobladoB en forma de dona (figura 20-42), de modo que prácticamente todas las líneas de B permanecen dentro del toroide. Considere un toroide con núcleo de hierro que inicialmente no está magnetizado y que no hay corriente en los lazos de alambre. Entonces lentamente se aumenta la corriente I. El campo magnético total B, que es la suma del campo debido a la corriente sola (B0) más el campo debido al hierro, también aumenta, pero sigue la línea curva que se †

El nombre “spin” proviene de las tempranas sugerencias de que el campo magnético adicional surge del “giro” (spinning) del electrón sobre su eje (así como de su “órbita” en torno al núcleo) para producir el campo adicional. Sin embargo, esta visión de un electrón que gira está sobresimplificada y no es válida. ‡ Todos los materiales son ligeramente magnéticos. Los materiales no ferromagnéticos caen en dos clases principales: 1. materiales paramagnéticos que constituidos por átomos que tienen un momento de dipolo magnético neto que se puede alinear ligeramente con un campo externo, tal como la bobina del galvanómetro en la figura 20-33 experimenta una torca que tiende a alinearlo; 2. materiales diamagnéticos que tienen átomos sin momento de dipolo neto, pero, en presencia de un campo externo, los electrones que giran en una dirección aumentan ligeramente su rapidez, mientras que los electrones que giran en la dirección opuesta reducen su rapidez; el resultado es un ligero efecto magnético neto que se opone al campo externo.

574

CAPÍTULO 20

Magnetismo

www.elsolucionario.org B (T) 1.20 b 1.00 0.80 FIGURA 20–43 Campo magnético total B en un toroide con núcleo de hierro como función del campo externo B0 (B0 es provocado por la corriente I en la bobina).

0.60 0.40 0.20 a 0

0.40

0.80 1.20 B0 (10−3 T)

muestra en la gráfica de la figura 20-43. (Note las diferentes escalas: B  B0.) En el punto inicial a, los dominios están orientados aleatoriamente. Conforme B0 aumenta, los dominios se alinean cada vez más y más hasta un punto b, donde casi todos están alineados. Se dice que el hierro tiende a la saturación. A continuación, suponga que se reduce la corriente en las bobinas, de modo que el campo B0 disminuye. Si la corriente (y B0) se reduce a cero (el punto c en la figura 20-44), los dominios no se vuelven completamente aleatorios. En vez de ello, en el núcleo de hierro queda cierto magnetismo permanente. Si la corriente aumenta en la dirección opuesta, suficientes dominios pueden dar la vuelta de modo que el B total se vuelve cero en el punto d. Conforme la corriente inversa aumenta todavía más, el hierro se aproxima a la saturación en la dirección opuesta, punto e. Finalmente, si la corriente se reduce de nuevo a cero y luego se aumenta en la dirección original, el campo total sigue la trayectoria efgb, y de nuevo se aproxima a la saturación en el punto b. Cabe destacar que el campo no pasó a través del origen (punto a) en este ciclo. El hecho de que la curva no se vuelva a trazar a sí misma sobre la misma trayectoria se conoce como histéresis. La curva bcdefgb se llama lazo de histéresis. En tal ciclo, mucha energía se transforma en energía térmica (fricción) debida al realineamiento de los dominios. Advierta que, en los puntos c y f, el núcleo de hierro está magnetizado aun cuando no haya corriente en las bobinas. Estos puntos corresponden a un imán permanente.

d

1.20 B (T) 1.00 c 0.80 0.60 0.40 0.20 a 0

b

g

0.40 0.80 1.20 B0 (10−3 T)

f e FIGURA 20–44 Curva de histéresis. Histéresis

Resumen Un imán tiene dos polos, norte y sur. El polo norte es aquel extremo que apunta hacia el norte geográfico cuando el imán está suspendido libremente. Los polos iguales de dos imanes se repelen entre sí, mientras que polos distintos se atraen. Se puede imaginar que un campo magnético rodea a todo imán. La unidad SI de campo magnético es el tesla (T). Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos. Por ejemplo, las líneas de campo magnético debidas a una corriente en un alambre recto forman círculos alrededor del alambre, y el campo ejerce una fuerza sobre los imanes (o corrientes) cerca de él. Un campo magnético ejerce una fuerza sobre una corriente eléctrica. Para un alambre recto de longitud l que porta una corriente I, la fuerza tiene magnitud

F = IlB sen u,

(20–1) B

donde u es el ángulo entre el campo magnético B y la corriente. La dirección de la fuerza es perpendicular al alambre portador de corriente y al campo magnético, y está dada por la regla de la mano derecha.BLa ecuación 20-1 sirve como la definición del campo magnético B.

De manera similar, un campo magnético ejerce una fuerza sobre una carga q que se mueve con velocidad v de magnitud (20–3) F = qvB sen u, B

B

B

donde u es elBángulo entre v y B. La dirección de F es perpendiB cular a v y a B (de nuevo la regla de la mano derecha). La trayectoria de una partícula cargada que se mueve perpendicular a un campo magnético uniforme es un círculo. La magnitud del campo magnético producido por una corriente I en un largo alambre recto, a una distancia r del alambre, es

B =

m0 I . 2p r

(20–6)

Dos corrientes ejercen una fuerza mutua a través del campo magnético que producen. Las corrientes paralelas en la misma dirección se atraen entre sí; las corrientes en direcciones opuestas se repelen. El campo magnético en el interior de un largo solenoide enrollado apretadamente es

B = m0 NI
l, (20–8) donde N es el número de lazos en una longitud l de bobina e I es la corriente en cada lazo. Resumen

575

[*La ley de Ampère establece que, alrededor de cualquier trayectoria de lazo cerrado que se elija, la suma de cada segmento B de trayectoria ¢l por el componente de B paralelo al segmento es igual a m0 por la corriente I encerrada por la trayectoria cerrada:

©B7 ¢l = m0 Ienc .

(20–9)]

[*La torca t sobre N lazos de corriente I en un campo magB nético B es

t = NIAB sen u.

(20–10)

La fuerza ejercida sobre un alambre portador de corriente por un campo magnético es la base para la operación de muchos dispositivos, como medidores, motores y bocinas.]

[*Un espectrómetro de masas usa campos eléctricos y magnéticos para determinar las masas de átomos]. El hierro y algunos otros materiales que son ferromagnéticos pueden convertirse en intensos imanes permanentes. Los materiales ferromagnéticos están constituidos por pequeños dominios —cada uno un pequeño imán— que se alinean preferentemente en un imán permanente. [*Cuando el hierro u otro material ferromagnético se coloca en un campo magnético B0 debido a una corriente, el hierro se magnetiza. Cuando la corriente se apaga, el material permanece magnetizado; cuando la corriente aumenta en dirección opuesta, una gráfica del campo total B contra B0 es un lazo de histéresis, y el hecho de que la curva no se vuelva a trazar a sí misma se llama histéresis].

Preguntas 1. La aguja de una brújula no siempre está balanceada paralela a la superficie de la Tierra, sino que uno de sus extremos puede inclinarse hacia abajo. Explique por qué. 2. Dibuje las líneas de campo magnético alrededor de una sección recta de alambre que porta una corriente horizontalmente hacia la izquierda. 3. ¿En qué dirección están las líneas de campo magnético que rodean un alambre recto que porta una corriente que se mueve directamente alejándose del observador? 4. Un imán de herradura se mantiene verticalmente con el polo norte hacia la izquierda y el polo sur hacia la derecha. Un alambre que pasa entre los polos, equidistante de ellos, porta una corriente directamente alejándose del observador. ¿En qué dirección está la fuerza sobre el alambre? 5. ¿Un imán atraerá cualquier objeto metálico o sólo a aquellos hechos de hierro? (Inténtelo y observe). ¿Por qué esto es así? 6. Dos barras de hierro se atraen mutuamente sin importar cuáles extremos se pongan juntos. ¿Ambos son imanes? Explique su respuesta. 7. El campo magnético debido a la corriente en los alambres en una casa puede afectar a una brújula. Discuta el efecto en términos de corrientes, incluso si son ca o cd. 8. Si una partícula cargada negativamente entra a una región de campo magnético uniforme que es perpendicular a la velocidad de la partícula, ¿la energía cinética de la partícula aumenta, disminuye o permanece igual? Explique su respuesta. (Desprecie la gravedad y suponga que no existe campo eléctrico). 9. En la figura 20-45, partículas cargadas se mueven en la vecindad de un alambre portador de corriente. Para cada partícula cargada, la flecha indica la dirección de movimiento de la partícula, y los  o  indican el signo de la carga. Para cada una de las partículas, indique la dirección de la fuerza magnética de+ – bida al campo magnético producido por el I alambre.

FIGURA 20–45

–

Pregunta 9.

+

11. Una partícula cargada positivamente en un campo magnético no uniforme sigue la trayectoria señalada en la figura 20-47. Indique la dirección del campo magnético en todas partes en el espacio, si se supone que la trayectoria siempre está en el plano de la página, e indique las magnitudes relativas del campo en cada región.

+

vB

FIGURA 20–47 Pregunta 11.

12. ¿Una barra de hierro puede atraer a un imán? ¿Un imán puede atraer a una barra de hierro? ¿Qué debe considerarse para responder estas preguntas? 13. Explique por qué un imán intenso sostenido cerca del TRC de una pantalla de televisión (sección 17-10) provoca que la imagen se distorsione. Además, explique por qué la imagen a veces cambia completamente a negro donde el campo es más intenso. [Pero no se arriesgue a dañar su televisor intentando esto]. 14. Se tienen tres barras de hierro, de las cuales dos están magnetizadas pero la tercera no lo está. ¿Cómo determinaría cuáles dos son los imanes sin usar objetos adicionales? 15. ¿Es posible hacer que un electrón en reposo se ponga en movimiento con un campo magnético? ¿Con un campo eléctrico? Explique sus respuestas. 16. Una partícula cargada se mueve en un círculo bajo la influencia de un campo magnético uniforme. Si se enciende un campo eléctrico que apunta en la misma dirección que el campo magnético, describa la trayectoria que tomará la partícula cargada. 17. La fuerza sobre una partícula en un campo magnético es la idea detrás del bombeo electromagnético. Se utiliza para bombear fluidos metálicos (como el sodio) y para bombear sangre en las máquinas de corazón artificial. El diseño básico se ilustra en la figura 20-48. Se aplica un campo eléctrico perpendicular a un vaso sanguíneo y a un campo magnético. Explique cómo se provoca que los iones se muevan. ¿Los iones positivos y negativos sienten una fuerza en la misma dirección?

10. Tres partículas, a, b y c, entran a un campo magnético como se muestra en la figura 20-46. ¿Qué puede dea cirse acerca de la carga en cada partícula?

a, b, c

b

FIGURA 20–46 Pregunta 10.

576

CAPÍTULO 20

Magnetismo

c

+ B

FIGURA 20–48 Bombeo electromagnético en un vaso sanguíneo. Pregunta 17.

N

F −

S

18. Un haz de electrones se dirige hacia un alambre horizontal que porta una corriente de izquierda a derecha (figura 20-49). ¿En qué dirección se desvía el haz?

I FIGURA 20–49 Dirección del electrón Pregunta 18. 19. Describa los campos eléctrico y
o magnético que rodean una carga eléctrica en movimiento. 20. Una partícula cargada se mueve en una línea recta a través de una región particular del espacio. ¿Podría haber un campo magnético distinto de cero en esta región? Si es así, mencione dos situaciones posibles. 21. Si una partícula cargada en movimiento se desvía hacia los lados en cierta región del espacio, ¿se puede concluir con seB guridad que B Z 0 en dicha región? Explique su respuesta. 22. En una región particular del espacio existe un campo magnético B uniforme B. Afuera de esta región, B
0. ¿Es posible inyectar un electrón desde el exterior en el campo perpendicularmente, de modo que se mueva en una trayectoria circular cerrada en el campo? ¿Y si el electrón se inyecta cerca del centro? 23. ¿Cómo se sabe si los electrones en movimiento en cierta región del espacio se desvían por un campo eléctrico o por un campo magnético (o por ambos)? 24. ¿Cómo se puede fabricar una brújula sin usar hierro u otro material ferromagnético? 25. Dos largos alambres que portan iguales corrientes I están en ángulos rectos uno con otro, pero no se tocan. Describa la fuerza magnética que uno ejerce sobre el otro. 26. Un alambre horizontal portador de corriente, libre de moverse en el campo gravitacional de la Tierra, está suspendido directamente sobre un segundo alambre, paralelo, portador de corriente. a) ¿En qué dirección está la corriente en el alambre inferior? b) ¿El alambre superior se puede mantener en equilibrio estable debido a la fuerza magnética del alambre inferior? Explique sus respuestas.

27. ¿Por qué cualquier polo de un imán atrae una pieza de hierro no magnetizada? 28. Un clavo no magnetizado no atrae un sujetapapeles no magnetizado. Sin embargo, si un extremo del clavo está en contacto con un imán, el otro extremo atraerá un sujetapapeles. Explique por qué. * 29. Dos iones tienen la misma masa, pero uno está ionizado de manera sencilla y el otro está doblemente ionizado. ¿Cómo diferirán sus posiciones en la película de un espectrómetro de masas (figura 20-39)? 30. ¿Cuál sería el efecto sobre B en el interior de un largo solenoide si a) el diámetro de todos los lazos se duplica, b) el espacio entre los lazos se duplica o c) la longitud del solenoide se duplica a lo largo con una duplicación en el número total de lazos? 31. Un tipo de interruptor magnético similar a un solenoide es un relé (figura 20-50). Un relé es un electroimán (la barra de hierro en el interior de la bobina no se mueve) que, cuando se activa, atrae una pieza de hierro sobre un pivote. Diseñe un relé para cerrar un interruptor eléctrico. Un relé se usa cuando se necesita abrir un circuito que porta una corriente muy larga pero no se desea que grandes corrientes fluyan a través del interruptor principal. Por ejemplo, el interruptor del arrancador de un automóvil está conectado a un relé, así que la gran corriente que se necesita para el arrancador no pasa hacia el interruptor del tablero.

FIGURA 20–50 Pregunta 31.

Problemas 20–3 Fuerza sobre corriente eléctrica en un campo magnético 1. (I) a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza por metro de longitud en un alambre recto que porta una corriente de 8.40 A cuando está perpendicular a un campo magnético uniforme de 0.90 T? b) ¿Qué sucede si el ángulo entre el alambre y el campo es de 45.0°? 2. (I) Calcule la magnitud de la fuerza magnética sobre una alambre recto de 160 m de longitud estirado entre dos torres que portan una corriente de 150 A. El campo magnético de la Tierra de 5.0  105 T forma un ángulo de 65° con el alambre. 3. (I) ¿Cuánta corriente fluye en un alambre de 4.80 m de largo si la fuerza máxima sobre él es de 0.750 N cuando se coloca en un campo uniforme de 0.0800 T? 4. (II) Un alambre de 1.5 m de longitud, que porta una corriente de 4.5 A, está orientado horizontalmente. En ese punto sobre la superficie terrestre, la inclinación del campo magnético de la Tierra forma un ángulo de 38° con el alambre. Estime la magnitud de la fuerza magnética sobre el alambre debida al campo magnético de la Tierra de 5.5  105 T en ese punto. 5. (II) La fuerza sobre un alambre portador de 8.75 A es un máximo de 1.28 N cuando se coloca entre las caras de los polos de un imán. Si la cara del polo norte tiene 55.5 cm de diámetro, ¿cuál es la intensidad aproximada del campo magnético?

6. (II) La fuerza magnética por metro sobre un alambre se mide en sólo 35° de su máximo valor posible. Bosqueje la relación del alambre y el campo si la fuerza ha sido máxima, y bosqueje la relación como es en realidad, calculando el ángulo entre el alambre y el campo magnético. 7. (II) La fuerza sobre un alambre es un máximo de 6.50  102 N cuando se coloca entre las caras de los polos de un imán. La corriente fluye horizontalmente hacia la derecha y el campo magnético es vertical. El alambre “salta” hacia el observador cuando la corriente se enciende. a) ¿Qué tipo de polo magnético es la cara del polo superior? b) Si las caras de los polos tienen un diámetro de 10.0 cm, estime la corriente en el alambre si el campo tiene 0.16 T. c) Si el alambre se inclina de modo que forme un ángulo de 10.0° con la horizontal, ¿qué fuerza experimentará ahora? 8. (II) Suponga que un alambre recto de cobre de 1.00 mm de diámetro pudiera “flotar” horizontalmente en el aire debido B a la fuerza del campo magnético de la Tierra B, que es horizontal, perpendicular al alambre, y de 5.0  10-5 T de magnitud. ¿Qué corriente portaría el alambre? ¿La respuesta parece factible? Explique brevemente.

Problemas

577

www.elsolucionario.org 20–4 Fuerza sobre carga en movimiento en un campo magnético 9. (I) Desde una fuente radiactiva se emiten partículas alfa, con carga q
2e y masa m
6.6  1027 kg, a una rapidez de 1.6  107 m
s. ¿Qué intensidad de campo magnético se requeriría para doblarse en una trayectoria circular de radio r
0.25 m? 10. (I) Determine la magnitud y dirección de la fuerza sobre un electrón que viaja a 8.75  105 m
s horizontalmente hacia el este en un campo magnético verticalmente hacia arriba de 0.75 T de intensidad. 11. (I) Encuentre la dirección de la fuerza sobre una carga negaB tiva para cada diagrama mostrado B en la figura 20-51, donde v (gris) es la velocidad de la carga y B (azul) es la dirección del campo magnético. ( z significa que el vector apunta hacia dentro.
significa que apunta hacia fuera, hacia el lector). B

B

vB

B

B

B

B

v

B

B

vB

B a)

vB

b)

c) vB

vB

d)

B

B

B

B e)

f) FIGURA 20–51 Problema 11. B

12. (I) DetermineB la dirección de B para cada caso en la figura 20-52, donde F representa la máxima fuerza magnética sobre una partícula cargada positivamente que se mueve con veloB cidad v. B

vB

F

B

vB

B

a)

F

vB

F b)

c)

FIGURA 20–52 Problema 12.

13. (I) Un electrón se proyecta verticalmente hacia arriba con una rapidez de 1.70  106 m
s en un campo magnético uniforme de 0.350 T que se dirige horizontalmente alejándose del observador. Describa la trayectoria del electrón en este campo. 14. (II) Un protón de 5.0 MeV (energía cinética) entra a un campo de 0.20 T, en un plano perpendicular al campo. ¿Cuál es el radio de su trayectoria? 15. (II) Un electrón experimenta la mayor fuerza cuando, al viajar a 2.9  106 m
s en un campo magnético, se mueve hacia el norte. La fuerza está dirigida hacia arriba y tiene 7.2  1013 N de magnitud. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético? 16. (II) ¿Cuál es la velocidad de un haz de electrones que marchan sin desviarse cuando pasan a través de un campo eléctrico y un campo magnético perpendiculares con magnitudes de 8.8  103 V
m y 3.5  103 T, respectivamente? ¿Cuál es el radio de la órbita del electrón si el campo eléctrico se apaga? 17. (II) Un átomo de helio doblemente cargado, cuya masa es de 6.6  1027 kg, se acelera mediante un voltaje de 2100 V. a) ¿Cuál será su radio de curvatura si se mueve en un plano perpendicular a un campo uniforme de 0.340 T? b) ¿Cuál es su periodo de revolución? 18. (II) Un protón (masa mp), un deuterón (m
2mp, Q
e) y una partícula alfa (m
4mp, Q
2e) son acelerados por la misma diferencia de potencial V y luego entran a un campo B magnético uniforme B donde se mueven en trayectorias B circulares perpendiculares a B. Determine el radio de las trayectorias para el deuterón y la partícula alfa en términos del radio del protón.

578

CAPÍTULO 20

Magnetismo

19. (II) Demuestre que el tiempo T que se requiere para que una partícula de carga q que se mueve con rapidez constante v para darB una revolución circular en un campo magnético B uniforme B (⊥ v) es

T =

2pm . qB

[Sugerencia: Vea el ejemplo 20-5 y el capítulo 5]. 20. (II) Una partícula de carga q se mueve en una trayectoria circular de radio r en un campo magnético uniforme B. Demuestre que su cantidad de movimiento es p
qBr. 21. (II) Una partícula de masa m y carga q se mueve en una trayectoria circular en un campo magnético B. Demuestre que su energía cinética es proporcional a r 2, el cuadrado del radio de curvatura de su trayectoria. 22. (II) Demuestre que la cantidad de movimiento angular de la partícula en el problema 21 es L
qBr 2 en torno al centro del círculo. 23. (III) Una bala de 3.40 g se mueve con una rapidez de 160 m
s perpendicular al campo magnético de la Tierra de 5.0  105 T. Si la bala posee una carga neta de 13.5  109 C, ¿por cuánta distancia se desviará de su trayectoria debido al campo magnético de la Tierra después de que ha viajado 1.00 km? 24. (III) Suponga que el campo magnético de la Tierra en el ecuador tiene 0.40  104 T de magnitud y una dirección hacia el norte en todos los puntos. Estime la rapidez que un solo ion de uranio ionizado (m
238 u, q
e) necesitaría para dar la vuelta a la Tierra a 5.0 km sobre el ecuador. ¿Se puede ignorar la gravedad? FIGURA 20–53 Problema 25. 25. (III) Un protón que se mueve con raθ pidez v
2.0  105 m
s en una región de espacio libre abruptamente entra a un campo magnético en esencia uniforB B me B
0.850 T (B ⊥ v). Si el protón x entra a la región del campo magnético en un ángulo de 45°, como se muestra en la figura 20-53, a) ¿en qué ángulo sale y b) a qué distancia x sale del vB campo?

45°

20–5 y 20–6 Campo magnético de alambre recto, fuerza entre dos alambres 26. (I) Un cable de acoplamiento usado para arrancar un vehículo varado porta una corriente de 65 A. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético a 6.0 cm del cable? Compare con el campo magnético de la Tierra. 27. (I) Si a un alambre eléctrico se le permite producir un campo magnético no mayor que el de la Tierra (0.55  104 T) a una distancia de 25 cm, ¿cuál es la máxima corriente que puede portar el alambre? 28. (I) En la figura 20-54, un largo alambre recto porta corriente I hacia fuera de la página, es decir, hacia el lector. Indique, con las flechas adecuadas, B C la dirección de B en cada uno de los puntos C, D y E en el D plano de la página.

FIGURA 20–54 Problema 28.

I E

29. (I) Un alambre recto vertical que porta una corriente ascendente de 24 A ejerce una fuerza atractiva por unidad de longitud de 8.8  104 N
m sobre un segundo alambre paralelo a 7.0 cm de distancia. ¿Qué corriente (magnitud y dirección) fluye en el segundo alambre? 30. (I) Determine la magnitud y dirección de la fuerza entre dos alambres paralelos de 35 m de largo y separados 6.0 cm, si cada uno porta 25 A en la misma dirección.

31. (II) Se va a realizar un experimento acerca del campo magnético de la Tierra a 1.00 m de un cable eléctrico. ¿Cuál es la máxima corriente permisible en el cable si el experimento debe ser exacto en un rango de ±1.0%? 32. (II) Una línea de transmisión porta una corriente de 95 A a través de la parte superior de unos postes de 8.5 m de altura. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético producido por este alambre en el suelo? ¿Cómo se compara esto con el campo de la Tierra de aproximadamente 12 G? 33. (II) Dos largos y delgados alambres paralelos separados 13.0 cm portan corrientes de 25 A en la misma dirección. Determine el campo magnético en el punto P, a 12.0 cm de un alambre y a 5.0 cm del otro (figura 20-55).

5.0

39. (II) Un tercer alambre se coloca en el plano de los dos alambres mostrados en la figura 20-56, paralelo y justo a la derecha. Si porta 25.0 A hacia arriba, ¿qué fuerza por metro de longitud ejerce sobre cada uno de los otros dos alambres? Suponga que está a 2.8 mm del alambre más cercano, de centro a centro. 40. (II) La aguja de una brújula apunta a 23° al E del N en el exterior. Sin embargo, cuando se coloca a 12.0 cm al este de un alambre vertical en el interior de un edificio, apunta a 55° al E del N. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la corriente en el alambre? El campo de la Tierra en ese lugar es de 0.50  104 T y es horizontal. 41. (II) Un lazo rectangular de alambre se encuentra en el mismo plano que un alambre recto, como se muestra en la figura 20-57. Existe una corriente de 2.5 A en ambos alambres. Determine la magnitud y dirección de la fuerza neta sobre el lazo.

cm

2.5 A

13.0 cm 12. 0c m

P

3.0 cm

2.5 A

5.0 cm

FIGURA 20–55 Problema 33.

10.0 cm 34. (II) Una brújula horizontal se coloca a 18 cm hacia el sur de un alambre recto vertical que porta una corriente de 35 A hacia abajo. ¿En qué dirección apunta la aguja de la brújula en esta ubicación? Suponga que el componente horizontal del campo de la Tierra en este punto es de 0.45  104 T y la declinación magnética es de 0°. 35. (II) Un largo alambre horizontal porta 22.0 A de corriente hacia el norte. ¿Cuál es el campo magnético neto a 20.0 cm al oeste del alambre, si ahí el campo de la Tierra apunta al norte pero hacia abajo, 37° debajo de la horizontal, y tiene 5.0  105 T de magnitud? 36. (II) Una corriente recta de protones pasa un punto dado en el espacio a una tasa de 1.5  109 protones
s. ¿Qué campo magnético producen a 2.0 m del haz? 37. (II) Determine el campo magnético a la mitad entre dos largos alambres rectos, separados 2.0 cm, en términos de la corriente I en uno, cuando el otro porta 15 A. Suponga que estas corrientes están a) en la misma dirección y b) en direcciones opuestas. 38. (II) Un largo par de alambres conducen 25.0 A de corriente cd a, y desde, un instrumento. Si los alambres aislados son de diámetro despreciable pero están separados 2.8 mm, ¿cuál es el campo magnético a 10.00 cm de su punto medio, en su plano (figura 20-56)? Compare con el campo magnético de la Tierra.

I

FIGURA 20–57 Problema 41. 42. (II) Un largo alambre horizontal porta una corriente de 48 A. Un segundo alambre, hecho de alambre de cobre de 2.5 mm de diámetro y paralelo al primero, se mantiene en suspensión magnética 15 cm abajo (figura 20-58). a) Determine la magnitud y dirección de la corriente en el alambre inferior. b) ¿El alambre inferior está en equilibrio estable? c) Repita los incisos a) y b) si el segundo alambre está suspendido 15 cm arriba del primero debido al campo del último.

I = 48 A 15 cm

I=? FIGURA 20–58 Problema 42. 43. (II) Dos largos alambres están orientados de modo que son perpendiculares entre sí. En su punto más cercano, están separados 20.0 cm (figura 20-59). ¿Cuál es la magnitud del campo magnético en un punto a la mitad entre ellos, si el alambre superior porta una corriente de 20.0 A y el inferior porta 5.0 A?

I

IT = 20.0 A 10.0 cm 10.00 cm

B=? 10.0 cm Alambre inferior

FIGURA 20–56 Problemas 38 y 39.

2.8 mm

IB = 5.0 A

FIGURA 20–59 Problema 43. Problemas

579

44. (II) Dos largos alambres paralelos rectos están separados 15 cm. El alambre A porta 2.0 A de corriente. La corriente de B es de 4.0 A en la misma dirección. a) Determine la magnitud del campo magnético debido al alambre A en la posición del alambre B. b) Determine el campo magnético debido al alambre B en la posición del alambre A. c) ¿Estos dos campos magnéticos son iguales y opuestos? ¿Por qué sí o por qué no? d) Determine la fuerza sobre el alambre A debida al alambre B, y la fuerza sobre el alambre B debida al alambre A. ¿Estas dos fuerzas son iguales y opuestas? ¿Por qué sí o por qué no? 45. (II) Tres largos alambres paralelos están a 3.8 cm uno de otro. (Si se miran desde un extremo, están en las tres esquinas de un triángulo equilátero). La corriente en cada alambre es de 8.00 A, pero su dirección en el alambre M es opuesta a la de los alambres N y P (figura 20-60). Determine la fuerza magnética por unidad de longitud sobre cada alambre debida a los otros dos.

51. (III) Se tiene 1.0 kg de cobre y se quiere hacer un solenoide práctico que produzca el mayor campo magnético posible para un voltaje dado. ¿Del cobre se debe hacer un alambre largo y delgado, corto y grueso, o de alguna otra forma? Considere ciertas variables, como el diámetro del solenoide y la longitud, entre otras.

* 20–8 Ley de Ampère * 52. (II) Un toroide es un solenoide con forma de círculo (figura 20-62). Utilice la ley de Ampère a lo largo de la trayectoria circular, mostrada con línea punteada en la figura 20-62a, para determinar que el campo magnético a) en el interior del toroide es B = m0 NI
2pr, donde N es el número total de vueltas, y b) afuera del toroide es B
0. c) ¿El campo adentro del toroide es uniforme como el de un solenoide? Si no lo es, ¿cómo varía?

I

cm

3.8

3.8

cm

M

R 3.8 cm

N

P

FIGURA 20–60 Problemas 45, 46 y 74. 46. (II) En la figura 20-60, determine la magnitud y dirección del campo magnético en el punto medio del lado del triángulo entre el alambre M y el alambre N. 47. (II) Sean dos largos alambres paralelos, separados una distancia d, que portan corrientes iguales I en la misma dirección. Un alambre está en x
0, el otro está en x
d (figura B 20-61). Determine B a lo largo del eje x entre los alambres como función de x.

y

d I

x

Trayectoria 1

FIGURA 20–62 Problema 52. a) Un toroide. b) Sección del toroide que muestra la dirección de la corriente para tres lazos;
significa corriente hacia el lector y z significa corriente que se aleja del lector. *

53. (III) a) Utilice la ley de Ampère para demostrar que el campo magnético entre los conductores de un cable coaxial (figura 20-63) es B = m0 I
2pr si r es mayor que el radio del alambre interior y menor que el radio de la malla trenzada cilíndrica exterior. b) Demuestre que B
0 afuera del cable coaxial.

Funda aisladora

20–7 Solenoides y electroimanes

I

48. (I) Un delgado solenoide de 12 cm de largo tiene un total de 420 vueltas de alambre y porta una corriente de 2.0 A. Calcule el campo en el interior, cerca del centro. 49. (I) Un solenoide de 30.0 cm de largo y 1.25 cm de diámetro producirá un campo de 0.385 T en su centro. ¿Cuánta corriente debe portar el solenoide si tiene 975 vueltas de alambre? 50. (II) Un solenoide de 550 vueltas mide 15 cm de largo. La corriente en él es de 33 A. Un alambre recto de 3.0 cm de largo pasa por el centro del solenoide, a lo largo de un diámetro. Este alambre porta una corriente descendente de 22 A (y está conectado a otros alambres que no son de importancia). ¿Cuál es la fuerza sobre este alambre si se supone que el campo del solenoide apunta hacia el este?

CAPÍTULO 20

b)

I

FIGURA 20–61 Problema 47.

580

Trayectoria 2 a)

Magnetismo

r Malla trenzada cilíndrica

I

Alambre sólido

FIGURA 20–63 Cable coaxial. Problema 53. * 20–9 y 20–10 Torca sobre lazo de corriente, aplicaciones * 54. (I) Un solo lazo cuadrado de alambre de 22.0 cm de lado se coloca con su cara paralela al campo magnético entre los polos de un gran imán. Cuando 6.30 A fluyen en la bobina, la torca sobre él es de 0.325 mN. ¿Cuál es la intensidad del campo magnético?

www.elsolucionario.org * 55. (I) La aguja de un galvanómetro se desvía la escala completa

* 62. (II) Suponga que el campo eléctrico entre las placas eléctri-

para una corriente de 53.0 mA. ¿Qué corriente dará desviación de escala completa si el campo magnético se debilita a 0.860 de su valor original? * 56. (I) Si el resorte restaurador de un galvanómetro se debilita en un 25% a través de los años, ¿qué corriente dará desviación de escala completa si originalmente se requerían 36 mA? * 57. (I) Si la corriente a un motor cae en un 12%, ¿en qué factor cambia la torca de salida? * 58. (II) Demuestre que el momento de dipolo magnético M de un electrón que describe una órbita en torno al núcleo de protón de un átomo de hidrógeno está relacionado con la cantidad de movimiento angular orbital L del electrón por

cas en el espectrómetro de masas de la figura 20-39 es de 2.48  104 V
m y los campos magnéticos B
B¿
0.68 T. La fuente contiene isótopos de carbono con números de masa 12, 13 y 14 de un pedazo de árbol muerto hace mucho tiempo. (Para estimar las masa atómicas, multiplique por 1.67  1027 kg). ¿Cuál es la distancia de separación entre las líneas formadas por los iones cargados sencillamente de cada tipo en la película fotográfica? ¿Y si los iones estuviesen doblemente cargados? * 63. (II) Un espectrómetro de masas se usa para llevar registro de los contaminantes del aire. Sin embargo, es difícil separar moléculas con masas casi iguales como CO (28.0106 u) y N2 (28.0134 u). ¿De qué tamaño debe ser el radio de curvatura de un espectrómetro si estas dos moléculas deben estar separadas en la película por 0.50 mm? * 64. (II) Una forma de espectrómetro de masas acelera iones mediante un voltaje V antes de que entren a un campo magnético B. Se supone que los iones parten del reposo. Demuestre que la masa de un ion es m = qB2R 2
2V, donde R es el radio de la trayectoria de los iones en el campo magnético y q es su carga.

M =

e L. 2m

* 59. (II) Una bobina circular de 16.0 cm de diámetro y que contiene nueve lazos se encuentra plano sobre el suelo. El campo magnético de la Tierra en esta ubicación tiene 5.50  105 T de magnitud y apunta hacia la Tierra en un ángulo de 56.0° por abajo de una línea que apunta hacia el norte. Si una corriente de 7.20 A en sentido de las manecillas del reloj pasa a través de la bobina, a) determine el momento de torsión sobre la bobina y b) ¿cuál borde de la bobina se eleva: norte, este, sur u oeste?

20–12 Ferromagnetismo, histéresis

* 20–11 Espectrómetro de masas

* 65. (I) Un largo solenoide delgado tiene 430 lazos de alambre

* 60. (I) Los protones se mueven en un círculo de 5.10 cm de radio

por metro y una corriente de 25 A fluye a través del alambre. Si la permeabilidad del hierro es de 3000m0, ¿cuál es el campo total B dentro del solenoide? * 66. (II) Un solenoide con núcleo de hierro tiene 38 cm de largo, 1.8 cm de diámetro y 640 vueltas de alambre. El campo magnético dentro del solenoide es de 2.2 T cuando fluyen 48 A en el alambre. ¿Cuál es la permeabilidad m a esta alta intensidad de campo?

en un campo magnético de 0.566 T. ¿Qué valor de campo eléctrico haría rectas sus trayectorias? ¿En qué dirección debe apuntar? * 61. (I) En un espectrómetro de masas, los átomos de germanio tienen radios de curvatura iguales a 21.0, 21.6, 21.9, 22.2 y 22.8 cm. El radio más largo corresponde a una masa atómica de 76 u. ¿Cuáles son las masas atómicas de los otros isótopos?

Problemas generales 67. Protones con cantidad de movimiento de 4.8  1016 kgm
s son magnéticamente conducidos en sentido de las manecillas del reloj en una trayectoria circular de 2.0 km de diámetro en el Fermi National Accelerator Laboratory en Illinois. Determine la magnitud y dirección del campo en los imanes que rodean la tubería del haz. 68. Un protón y un electrón tienen la misma energía cinética al entrar a un región de campo magnético constante. ¿Cuál es la razón de los radios de sus trayectorias circulares? 69. El cable de potencia de un tranvía eléctrico (figura 20-64) porta una corriente horizontal de 330 A hacia el este. El campo magnético de la Tierra tiene una intensidad de 5.0  105 T y forma un ángulo de inclinación de 22° en esta ubicación. Calcule la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre una longitud de 15 m de este cable.

I = 330 A

71. Cerca del ecuador, el campo magnético de la Tierra apunta casi horizontalmente hacia el norte y tiene magnitud B
0.50  104 T. ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección para la velocidad de un electrón si su peso debe ser exactamente equilibrado por la fuerza magnética? 72. Un átomo de helio doblemente cargado, cuya masa es de 6.6  1027 kg, es acelerado por un voltaje de 2400 V. a) ¿Cuál será su radio de curvatura en un campo uniforme de 0.240 T? b) ¿Cuál es su periodo de revolución? 73. En la figura 20-65 se ilustra una especie de “lanzaproyectiles”. Una gran corriente se mueve en un lazo cerrado compuesto de rieles fijos, una fuente de poder y una barra muy ligera, casi sin fricción, que toca los rieles. Un campo magnético es perpendicular al plano del circuito. si la barra tiene una longitud L
22 cm, una masa de 1.5 g y se coloca en un campo de 1.7 T, ¿qué flujo de corriente constante se necesita para acelerar la barra desde el reposo hasta 28 m
s en una distancia de 1.0 m? ¿En qué dirección debe apuntar el campo magnético?

L I

aB

I I

FIGURA 20–65 Problema 73. FIGURA 20–64 74. En la figura 20-60, el alambre superior es alambre de cobre Problema 69. 70. Calcule la fuerza sobre un avión que adquirió una carga neta de 1550 mC y se mueve con una rapidez de 120 m
s perpendicular al campo magnético de la Tierra de 5.0  105 T.

de 1.00 mm de diámetro y está suspendido en el aire debido a las dos fuerzas magnéticas provenientes de los dos alambres inferiores. El flujo de corriente a través de los dos alambres inferiores es de 95 A en cada uno. Calcule el flujo de corriente requerido en el alambre suspendido.

Problemas generales

581

75. Dos alambres paralelos rígidos separados una distancia l en un plano horizontal actúan como rieles para sostener una barra metálica ligera de masa m (perpendicular a cada riel), figuB ra 20-66. Un campo magnético B, dirigido verticalmente hacia arriba (hacia fuera en el diagrama) actúa a todo lo largo. En t
0, los alambres conectados a los rieles se conectan a una fuente de corriente constante y a través del sistema comienza a fluir una corriente I. Determine la rapidez de la barra, que parte del reposo en t
0, como función del tiempo a) si se supone que no hay fricción entre la barra y los rieles, y b) si el coeficiente de fricción es mk. c) ¿La barra se mueve al este o al oeste si la corriente a través de ella se dirige hacia el norte?

78. Cuatro alambres paralelos rectos y muy largos, ubicados en las esquinas de un cuadrado de lado l, portan corrientes iguales I0 perpendiculares a la página como se muestra en la figura B 20-68. Determine la magnitud y dirección de B en el centro C del cuadrado.

l

l

Norte

C

B

B

l

B

B

I I

Oeste

I

l Este

B

l

B

B

B

Sur FIGURA 20–66 Vista superior sobre una barra

FIGURA 20–68 Problema 78.

que se desliza sobre rieles. Problema 75. 76. Estime la desviación máxima aproximada del haz de electrones cerca del centro de una pantalla de televisión debida al campo de 5.0  105 T de la Tierra. Suponga que el TRC de la pantalla (sección 17-10) está a 22 cm del cañón de electrones, donde estos últimos son acelerados por a) 2.0 kV o b) 30 kV. Note que, en los televisores a color, el haz del TRC se debe dirigir con precisión a menos de 1 mm para que golpee el fósforo correcto. Puesto que el campo de la Tierra es significativo aquí, se usan escudos de mu-metal† para reducir el campo de la Tierra en el TRC. 77. El ciclotrón (figura 20-67) es un dispositivo que se usa para acelerar partículas elementales, como los protones, a alta rapidez. Las partículas que parten del punto A con cierta velocidad inicial viajan en órbitas circulares en el campo magnético B. Las partículas se aceleran a rapideces más altas cada vez que pasan a través de la brecha entre las “des” metálicas, donde hay un campo eléctrico E. (No hay campo eléctrico en el interior de las des metálicas huecas). El campo eléctrico cambia de dirección cada medio ciclo, a causa de un voltaje ca V = V0 sen 2pft, de modo que las partículas aumentan su rapidez en cada paso a través de la brecha. a) Demuestre que la frecuencia f del voltaje debe ser f = Bq
2pm, donde q es la carga sobre las partículas y m su masa. b) Demuestre que la energía cinética de las partículas aumenta por 2qV0 cada revolución, si se supone que la brecha es pequeña. c) Si el radio del ciclotrón es de 2.0 m y la intensidad del campo magnético es de 0.50 T, ¿cuál será la energía cinética máxima, en MeV, de los protones acelerados? B

B

79. Los campos magnéticos son muy útiles en los aceleradores de partículas para “dirigir haces”; es decir, los campos magnéticos se pueden usar para cambiar la dirección del haz sin alterar su rapidez (figura 20-69). Demuestre cómo funciona esto con un haz de protones. ¿Qué ocurre a los protones que no se mueven con la rapidez para la que está diseñado el campo magnético? Si el campo se extiende sobre un región de 5.0 cm de ancho y tiene una magnitud de 0.33 T, ¿aproximadamente en qué ángulo se doblará un haz de protones que viaja a 1.0  107 m
s?

Imán

B

B

Tubos al vacío, en cuyo interior los protones se mueven con la velocidad indicada por las flechas. FIGURA 20–69 Problema 79. 80. El campo magnético B en el centro de una bobina circular de alambre que porta una corriente I (como en la figura 20-9) es

B = B

E

A

Brecha

FIGURA 20–67 Un ciclotrón. Problema 77.

∼

“Des”

†

N. del T. El mu-metal (o metal mu) es una aleación de níquel-hierro con cobre y molibdeno. Su nombre se debe a que presenta un gran valor m.

582

CAPÍTULO 20

Magnetismo

m0 NI , 2r

donde N es el número de lazos en la bobina y r es su radio. Suponga que un electroimán usa una bobina de 1.2 m de diámetro hecha de alambre cuadrado de cobre de 1.6 mm de lado. El suministro de potencia produce 120 V a una salida máxima de potencia de 4.0 kW. a) ¿Cuántas vueltas se necesitan para correr el suministro de potencia a máxima potencia? b) ¿Cuál es la intensidad del campo magnético en el centro de la bobina? c) Si se usa un número mayor de vueltas y este mismo suministro de potencia (de modo que el voltaje permanece en 120 V), ¿resultará un campo magnético más grande? Explique su respuesta.

85. Un largo solenoide de 32 cm y 1.8 cm de diámetro producirá un campo magnético de 0.30 T en su centro. Si la corriente máxima será de 5.7 A, ¿cuántas vueltas debe tener el solenoide? 86. Dos largos alambres rectos de aluminio, cada uno de 0.50 mm de diámetro, portan la misma corriente pero en direcciones opuestas. Están suspendidos por cuerdas de 0.50 m de largo, como se muestra en la figura 20-71. Si las cuerdas de suspensión forman un ángulo de 3.0° con la vertical, ¿cuál es la corriente en los alambres?

0.50 m

81. Cerca de los polos de la Tierra, el campo magnético es de aproximadamente 1 G (1  104 T). Imagine un modelo simple en el que el campo de la Tierra lo produce un solo lazo de corriente alrededor del ecuador. Estime aproximadamente la corriente que este lazo portaría. [Sugerencia: Utilice la fórmula del problema 80]. 82. Una persona quiere tener una idea de la magnitud de los campos magnéticos producidos por las líneas de transmisión sobre su cabeza. Ella estima que los dos alambres están cada uno aproximadamente a 30 m sobre el suelo y están separados aproximadamente 3 m. La compañía eléctrica local dice que las líneas operan a 10 kV y proporcionan un máximo de 40 MW al área local. Estime el campo magnético máximo que se experimenta al caminar bajo dichas líneas de transmisión y compare con el campo de la Tierra. [Para una corriente ca, los valores son rms y el campo magnético cambiará.] 83. a) ¿Qué valor de campo magnético haría que un haz de electrones, que viaja hacia la derecha con una rapidez de 4.8  106 m
s, pase sin desviarse a través de una región donde existe un campo eléctrico uniforme de 10,000 V
m que apunta verticalmente hacia arriba? b) ¿Cuál es la dirección del campo magnético si se sabe que es perpendicular al campo eléctrico? c) ¿Cuál es la frecuencia de la órbita circular de los electrones, si el campo eléctrico se apaga? 84. Un protón sigue una trayectoria espiral a través de un gas en un campo magnético de 0.010 T, perpendicular al plano de la espiral, como se ilustra en la figura 20-70. En dos lazos sucesivos, en los puntos P y Q, los radios son de 10.0 mm y 8.5 mm, respectivamente. Calcule el cambio en energía cinética del protón mientras viaja de P a Q.

6.0°

I1 S I2 FIGURA 20–71 Problema 86. 87. Un electrón entra a un campo magnético uniforme B
0.23 T B en un ángulo de 45° con B. Determine el radio r y el paso p (distancia entre lazos) de la trayectoria helicoidal del electrón, si se supone que su rapidez es de 3.0  106 m
s. Observe la figura 20-72. B

B

Q P 2r

vB

B

B

p FIGURA 20–70 Problema 84.

FIGURA 20–72 Problema 87.

Respuestas a los ejercicios A: B: C: D:

Cerca de los polos, donde las líneas de campo están más juntas. En sentido contrario al de las manecillas del reloj. 0.15 N. Cero.

E: Negativo; la dirección de la trayectoria helicoidal se invertiría. F: 2.0 cm.

Problemas generales

583

www.elsolucionario.org Una de las grandes leyes de la física es la ley de inducción de Faraday, que dice que un flujo magnético variable produce una fem inducida. Esta fotografía muestra un imán de barra que se mueve en el interior de una bobina de alambre, y el galvanómetro registra una corriente inducida. Este fenómeno de inducción electromagnética es la base para muchos dispositivos prácticos, desde generadores, alternadores y transformadores hasta grabadoras de cinta y memorias de computadora.

CAPÍTULO

21

Inducción electromagnética y ley de Faraday

E

n el capítulo 20 se analizaron dos formas en las que están relacionadas la electricidad y el magnetismo: 1. una corriente eléctrica produce un campo magnético; y 2. un campo magnético ejerce una fuerza sobre una corriente eléctrica o una carga eléctrica en movimiento. Estos descubrimientos se realizaron entre 1820 y 1821. Entonces los científicos comenzaron a preguntarse: Si las corrientes eléctricas producen un campo magnético, ¿es posible que un campo magnético produzca una corriente eléctrica? Diez años después, el norteamericano Joseph Henry (1797-1878) y el inglés Michael Faraday (1791-1867) encontraron independientemente que esto era posible. En realidad, Henry hizo el descubrimiento primero, pero Faraday publicó sus resultados más temprano e investigó la materia con más detalle. Ahora se estudiarán estos fenómenos y algunas de sus aplicaciones que cambiaron al mundo, como el generador eléctrico.

21–1 Fem inducida En su intento por producir corriente eléctrica a partir de un campo magnético, Faraday empleó un aparato como el que se ilustra en la figura 21-1. Una bobina de alambre, X, se conectaba a una batería. La corriente que fluía a través de X producía un campo magnético que se intensificaba mediante el núcleo de hierro alrededor del cual se enredaba el alambre. Faraday esperaba que una intensa corriente estable en X produciría un campo magnético lo suficientemente grande como para producir

584

Galvanómetro

+ –

Interruptor

Hierro – 10

X

Batería

0

+

10

FIGURA 21-1 Experimento de Faraday para inducir una fem.

Y

una corriente en una segunda bobina Y que compartía el mismo núcleo de hierro. Este segundo circuito, Y, contenía un galvanómetro para detectar cualquier corriente, pero no contenía batería. No tuvo éxito con corrientes constantes. Pero el efecto a largo plazo se observó por fin cuando Faraday notó que el galvanómetro en el circuito Y se desviaba fuertemente en la dirección opuesta cuando cerraba el interruptor en X. Y el galvanómetro se desviaba fuertemente en la dirección opuesta cuando abría el interruptor en X. Una corriente constante en X producía un campo magnético constante que no producía corriente en Y. Sólo se producía una corriente en Y cuando la corriente en X iniciaba o se detenía. Faraday concluyó que aunque un campo magnético constante no produce corriente en un conductor, un campo magnético cambiante es capaz de producir una corriente eléctrica. A tal corriente se le llama corriente inducida. Cuando cambia el campo magnético a través de una bobina Y, en Y ocurre una corriente, como si hubiese una fuente de fem en el circuito Y. Por tanto, se dice que

P R E C A U C I Ó N B

B

El cambio en B, no B misma, induce corriente.

B

un campo magnético variable induce una fem.

B variable induce una fem.

Faraday realizó más experimentos acerca de la inducción electromagnética, como se llamó a este fenómeno. Por ejemplo, la figura 21-2 muestra que, si un imán se mueve rápidamente en el interior de una bobina de alambre, en éste se induce una corriente. Si el imán se remueve rápidamente, se induce una corriente en la direcB ción opuesta (disminuye B a través de la bobina). Más aún, si el imán se mantiene estable y la bobina de alambre se mueve hacia o desde el imán, de nuevo se induce una fem y fluye una corriente. Se requiere el movimiento o el cambio para inducir una fem. No importa si el imán o la bobina se mueven. Es su movimiento relativo el que cuenta.

P R E C A U C I Ó N

Movimiento relativo: el imán o la bobina en movimiento inducen corriente.

FIGURA 21-2 a) Cuando un imán se mueve hacia una bobina se induce una corriente, con lo que momentáneamente aumenta el campo magnético aBtravés de la bobina. b) La corriente inducida es opuesta cuando el imán se mueve alejándose de la bobina (B disminuye). Note que el cero del galvanómetro está en el centro de la escala y la aguja se desvía hacia la izquierda o hacia la derecha, dependiendo de la dirección de la corriente. En c) no se induce corriente si el imán no se mueve en relación con la bobina. Aquí cuenta el movimiento relativo: se puede mantener estable al imán y mover la bobina, lo que también induce una fem.

– 10

0

+

10

– 10

I

I

a)

N

S

El imán se mueve arriba, hacia laBbobina ( B en la bobina aumenta) b)

0

+

10

– 10

I

S

El imán se mueve hacia abajo B (B en la bobina disminuye)

+

10

I=0

I

N

0

N

c)

S

Sin movimiento B (B constante en la bobina)

SECCIÓN 21–1

Fem inducida

585

21–2 Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz

B

B

B|| θ B

B

Faraday investigó cuantitativamente qué factores influyen en la magnitud de la fem inducida. Antes que todo encontró que, cuanto más rápido cambia el campo magnético, mayor es la fem inducida en un lazo de alambre. Pero la fem no es simplemenB te proporcional a la tasa de cambio del campo magnético, B; también depende del área y el ángulo del lazo. Esto es, la fem es proporcional a la tasa de cambio del flujo magnético,
B, a través del lazo. El flujo magnético para un campo magnético uniforme a través de un lazo de área A se define como

θ B⊥

A = l2

l

l

FIGURA 21-3 Determinación del flujo a través de un lazo plano de alambre. Este lazo es cuadrado, de lado l y área A  l2.

FIGURA 21-4 El flujo magnético
B es proporcional al número de líneas de B B que pasan a través del lazo. B

B

θ = 90°

θ = 45°


=0


B > 0

θ = 0°
B = máx

a)

b)

c)

FIGURA 21-5 Ejemplo 21-1.

Lazo de alambre

B

B

Área A2

Área A1

£ B = B⊥ A = BA cos u.

[B uniforme]

(21-1)

B

Aquí B⊥ es el componente del campo magnético B perpendicular a la cara del lazo, B y u es el ángulo entre B y una línea perpendicular a la cara del lazo. Estas cantidades se muestran en la figura 21-3 para un lazo cuadrado de lado l cuya área es A  l 2. B B Cuando la cara del lazo es paralela a B, u  90° y
B  0. Cuando B es perpendicular al lazo, u  0° y B

[uniforme B ⊥ a cara del lazo ]

£ B = BA. B

B

Como se vio en el capítulo 20, las líneas de B (como las líneas de E) se pueden dibujar de tal modo que el número de líneas por unidad de área sea proporcional a la intensidad del campo. Entonces se puede pensar que
B es proporcional al número total de líneas que pasan a través del área encerrada por el lazo. Esto se ilustra en la figura 21-4, donde el lazo se ve desde el lado (o extremo). Para u  90°, no pasan líneas de campo magnético a través del lazo y
B  0, mientras que
B es un máximo cuando u  0°. La unidad de flujo magnético es tesla-metro2; a esta unidad se le llama weber: 1 Wb  1 T  m2. EJEMPLO CONCEPTUAL 21-1 Determinación del flujo. Un lazo cuadrado de alambre encierra Buna área A1, como se muestra en la figura 21-5. Un campo magnético uniforme B perpendicular al lazo se extiende sobre el área A2. ¿Cuál es el flujo magnético a través del lazo A1? RESPUESTA Se supone que el campo magnético es cero en el exterior del área A2. El flujo magnético total a través del área A1 es el flujo a través del área A2, que, por la ecuación 21-1 para campo uniforme, es BA2, más el flujo a través del área restante ( A1 – A2), que es cero porque B  0. Así que el flujo total es
B  B BA2  0(A1  A2)  BA2. No es igual a BA1 porque B no es uniforme sobre A1. EJEMPLO 21-2 Cálculo del flujo. Un lazo cuadrado de alambre de 10.0 cm por lado está en un campo magnético B de 1.25 T. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de flujo que pueden pasar a través del lazo? PLANTEAMIENTO El flujo está dado por la ecuación 21-1. Es un máximo para B u  0°, lo que ocurre cuando el plano del lazo es perpendicular aBB. El valor mínimo ocurre cuando u  90° y el plano del lazo está alineado con B. SOLUCIÓN A partir de la ecuación 21-1, el valor máximo es

£ B = BA cos u = (1.25 T)(0.100 m)(0.100 m) cos 0° = 0.0125 Wb. El valor mínimo es 0 Wb cuando u  90° y cos 90°  0. EJERCICIO A Determine el flujoBen el ejemplo 21-2 cuando la perpendicular a la bobina forma un ángulo de 35° con B.

Con la definición de flujo (ecuación 21-1), ahora es posible escribir los resultados de las investigaciones de Faraday. Si el flujo a través de un lazo de alambre cambia por una cantidad 
B durante un muy breve intervalo de tiempo t, la fem inducida en este instante es LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY

e = –

¢ £B . ¢t

[1 lazo] (21-2a)

Este resultado fundamental se conoce como ley de inducción de Faraday, y es una de las leyes básicas del electromagnetismo.

586

CAPÍTULO 21

Inducción electromagnética y ley de Faraday

www.elsolucionario.org Si el circuito contiene N lazos enrollados muy juntos, se suman las fem inducidas en cada lazo, así que

e = –N

¢£ B . ¢t

[N lazos] (21-2b)

El signo menos en las ecuaciones 21-2 está ahí para recordar en qué dirección actúa la fem inducida. Los experimentos demuestran que una corriente producida por una fem inducida se mueve en una dirección de modo que su campo magnético se opone al cambio original en el flujo. Ésta es la ley de Lenz. Hay que tener presente que ahora se habla de dos campos magnéticos distintos: 1. el campo magnético variable o flujo que induce la corriente y 2. el campo magnético producido por la corriente inducida (todas las corrientes producen un campo). El segundo campo se opone al cambio en el primero. Ahora se aplicará la ley de Lenz al movimiento relativo entre un imán y una bobina (figura 21-2). El flujo variable a través de la bobina induce una fem en esta última, lo que produce una corriente. Esta corriente inducida produce su propio campo magnético. En la figura 21-2a la distancia entre la bobina y el imán disminuye. El campo magnético del imán (y el número de líneas de campo) a través de la bobina aumenta, y por tanto el flujo se incrementa. El campo magnético del imán apunta hacia arriba. Para oponerse al aumento hacia arriba, el campo magnético en el interior de la bobina, producido por la corriente inducida, necesita apuntar hacia abajo. Por tanto, la ley de Lenz dice que la corriente se mueve como se muestra (se utiliza la regla de la mano derecha). En la figura 21-2b, el flujo disminuye (pues el imán se mueve alejándose y B disminuye), así que la corriente inducida en la bobina produce un campo magnético hacia arriba a través de la bobina que “intenta” mantener el estado imperante. Así, la corriente en la figura 21-2b está en la dirección opuesta de la figura 21-2a. Es importante notar que, siempre que existe un cambio en el flujo a través de la bobina, se induce una fem; ahora se considerarán algunas otras posibilidades.

I

B

B (hacia dentro) a)

b)

LEY DE INDUCCIÓN DE FARADAY

Ley de Lenz P R E C A U C I Ó N

Distinción de dos diferentes campos magnéticos

FIGURA 21-6 Se puede inducir una corriente al cambiar el área de la bobina, aun cuando B no cambie. Tanto en este caso como en el de la figura El flujo 21-7, el flujo a través de la bobina se a través de la bobina reduce conforme se va de a) a b). disminuye Aquí la breve corriente inducida actúa en la dirección que se indica, de porque A disminuye modo que intenta mantener el flujo original (£ = BA) al generar su propio campo magnético hacia la página. Es decir, conforme el área A disminuye, la corriente actúa para aumentar B en la dirección original (hacia dentro).

Como el flujo magnético £ B  BA cos u, se ve que es posible inducir una fem de tres formas: 1. al cambiar el campo magnético B; 2. al cambiar el área A del lazo en el campo; o 3. al cambiar la orientación u del lazo con respecto al campo. Las figuras 21-1 y 21-2 ilustran el caso 1. Los ejemplos de los casos 2 y 3 se ilustran en las figuras 21-6 y 21-7, respectivamente.

Tres formas de cambiar el flujo magnético: cambiar B, A o u.

B

B (hacia dentro) FIGURA 21-7 Al hacer girar una bobina en un campo magnético se induce una corriente. El flujo a través de la bobina cambia de a) a b) porque u (en la ecuación 21-1) pasó de 0° (cos u  1) a 90° (cos u  0).

Disminución de flujo

Flujo máximo a)

Flujo cero b) SECCIÓN 21–2

Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz

587

FIGURA 21-8 Ejemplo 21-3: estufa de inducción.

EJEMPLO CONCEPTUAL 21-3 Estufa de inducción. En una estufa de inducción (figura 21-8), una corriente ca pasa alrededor de una bobina que es el “quemador” (un quemador que nunca se calienta). ¿Por qué calentará una sartén de metal pero no un contenedor de vidrio? RESPUESTA La corriente ca establece un campo magnético variable que pasa a través del fondo de la sartén. Ese campo magnético variable induce una corriente en el fondo de la sartén y, puesto que ésta opone resistencia, la energía eléctrica se transforma en energía térmica que calienta el cazo y su contenido. Un contenedor de vidrio opone tan alta resistencia que poca corriente se induce y poca energía se transforma AP = V2
RB.

15 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Ley de Lenz La ley de Lenz se utiliza para determinar la dirección de la corriente eléctrica (convencional) inducida en un lazo debida a un cambio en el flujo magnético en el interior del lazo. Para producir una corriente inducida se requiere a) un lazo conductor cerrado y b) un flujo magnético externo a través del lazo que cambie con el tiempo. 1. Determine si el flujo magnético (
 BA cos u) en el interior del lazo disminuye, aumenta o permanece constante. 2. El campo magnético debido a la corriente inducida: a) apunta en la misma dirección que el campo externo si el

flujo disminuye; b) apunta en la dirección opuesta que el campo externo si el flujo aumenta; o c) es cero si el flujo permanece constante. 3. Una vez que se conoce la dirección del campo magnético inducido, se usa la regla de la mano derecha 1 (p. 562) para encontrar la dirección de la corriente inducida. 4. Siempre hay que tener en mente que existen dos campos magnéticos: 1. un campo externo cuyo flujo debe cambiar si se quiere inducir una corriente eléctrica, y 2. un campo magnético producido por la corriente inducida.

S

a) b) Jalar el lazo hacia la derecha, Encoger un lazo en un campo afuera de un campo magnético que apunta magnético que apunta hacia la página hacia fuera de la página FIGURA 21-9 Ejemplo 21-4.

P R E C A U C I Ó N

El campo magnético de la corriente inducida se opone al cambio en el flujo externo, no necesariamente se opone al campo externo.

588

CAPÍTULO 21

c) Polo magnético N que se mueve hacia el lazo al interior de la página

S N

d) Polo magnético N que se mueve hacia el lazo en el plano de la página

B

B e) Rotación del lazo al jalar el lado izquierdo hacia el lector y empujar el derecho hacia la página; el campo magnético apunta de derecha a izquierda

EJEMPLO CONCEPTUAL 21-4 Práctica con la ley de Lenz. ¿En qué dirección está la corriente inducida en el lazo para cada situación de la figura 21-9? RESPUESTA a) Inicialmente, el campo magnético que apunta hacia fuera de la página pasa a través del lazo. Si éste se jala hacia fuera del campo, el flujo magnético a través del lazo disminuye; de modo que la corriente inducida estará en una dirección para mantener la disminución de flujo a través del lazo: la corriente estará en sentido contrario a las manecillas del reloj para producir un campo magnético hacia fuera (hacia el lector). b) El campo externo está hacia la página. El área de la bobina se vuelve más pequeña, así que el flujo disminuirá; en consecuencia, la corriente inducida será en sentido de las manecillas del reloj, produciendo su propio campo hacia la página para compensar la disminución del flujo. c) Las líneas del campo magnético apuntan hacia fuera del polo N de un imán, de modo que, conforme el imán se mueve hacia el lazo, el campo del imán apunta hacia la página y se vuelve más intenso. La corriente en el lazo será inducida en la dirección contraria a las manecillas del reloj, con la finalidad de producir un campo B B hacia fuera de la página. d) El campo está en el plano del lazo, así que no pasan líneas de campo magnético a través del lazo y el flujo a través de éste es cero a todo lo largo del proceso; por tanto, no existe cambio en el tiempo del flujo magnético externo, y no habrá fem inducida o corriente en el lazo. e) Inicialmente no existe flujo a través del lazo. Cuando éste comienza a girar, el campo externo a través del lazo comienza a aumentar hacia la izquierda. Para contrarrestar este cambio en el flujo, el lazo tendrá corriente inducida en una dirección contraria a las manecillas del reloj de modo que produce su propio campo hacia la derecha.

Inducción electromagnética y ley de Faraday

EJEMPLO 21-5 Jalar una bobina en un campo magnético. Una bobina B = 0.600 T cuadrada de alambre, con lado l  5.00 cm, contiene 100 lazos (vueltas) y está ubicada de forma perpendicular a un campo magnético uniforme de 0.600 T, como se B=0 ilustra en la figura 21-10. Se saca del campo con rapidez constante (en movimiento B perpendicular a B) hacia una región donde B cae abruptamente a cero. En t  0, B el borde derecho de la bobina está en el borde del campo. Toma 0.100 s para que B Fext FM toda la bobina alcance la región libre de campo. La resistencia total de la bobina es de 100 . Determine a) la tasa de cambio en el flujo a través de la bobina y b) la fem y la corriente inducidas. c) ¿Cuánta energía se disipa en esta bobina? d) ¿Cuál fue la fuerza promedio requerida? PLANTEAMIENTO Se comienza por determinar cómo cambia el flujo,
B  BA, 5.00 cm durante el intervalo de tiempo t  0.100 s. Entonces la ley de Faraday proporciona la fem inducida y la ley de Ohm permite determinar la corriente. FIGURA 21-10 Ejemplo 21-5. SOLUCIÓN a) El área de la bobina es A  l 2  (5.00  102 m)2  2.50  103 m2. La bobina cuadrada en un campo Inicialmente el flujo es
B  BA  (0.600 T)(2.50  103 m2). Después de 0.100 s, magnético B  0.600 T se jala el flujo es cero. La tasa de cambio en el flujo es constante (porque la bobina es abruptamente hacia la derecha, hacia una región donde B  0. cuadrada), igual a

0 - A1.50 * 10–3 WbB ¢£ B = – 1.50 * 10–2 Wb
s. = ¢t 0.100 s b) La fem inducida (ecuación 21-2) en la bobina de 100 lazos durante este intervalo de 0.100 s es ¢£ B = –(100)A –1.50 * 10–2 Wb
sB = 1.50 V. e = –N ¢t La corriente se encuentra al aplicar la ley de Ohm a la bobina de 100 : e 1.50 V I = = = 1.50 * 10–2 A = 15.0 mA. R 100  Por la ley de Lenz, Bla corriente debe estar en el sentido de las manecillas del reloj para producir más B hacia la página y por tanto se opone a la disminución del flujo hacia la página. c) La energía total disipada en la bobina es el producto de la potencia ( I 2R) y el tiempo: 2 E = Pt = I 2Rt = A1.50 * 10–2 AB (100 )(0.100 s) = 2.25 * 10–3 J. d) Se puede usar el resultado del inciso c) y aplicar el principio trabajo-energía: la energía disipada E es igual al trabajo W necesario para jalar la bobina hacia fuera del campo (capítulo 6). Puesto que W  Fd, donde d  5.00 cm, entonces W 2.25 * 10 –3 J = = 0.0450 N. f = d 5.00 * 10–2 m Solución alterna d) También es posible calcular la fuerza directamente de F  I
B, B la ecuación 20-2 para B constante. Las fuerzas que el campo magnético ejerce sobre las secciones superior e inferior de la bobina cuadrada de la figura 21-10 están B en direcciones opuestas y se cancelan mutuamente. La fuerza magnética FM ejercida sobre la sección vertical izquierda de la bobina cuadrada actúa hacia la izquierda, como se indica, porque la corriente es hacia arriba (en sentido de las manecillas B del reloj). El lado derecho del lazo está en la región donde B = 0. En consecuencia, la fuerza externa, hacia la derecha, necesaria justo para superar la fuerza magnética hacia la izquierda (sobre N  100 lazos) es Fext = NIlB = (100)(0.0150 A)(0.0500 m)(0.600 T) = 0.0450 N, que es la misma respuesta, lo que confirma el uso de la conservación de energía líneas arriba. EJERCICIO B ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en el lazo circular debido a la corriente que se representa en cada inciso de la figura 21-11?

FIGURA 21-11 Ejercicio B.

I decreciente I constante

I creciente

I creciente a)

c)

b) SECCIÓN 21–2

d)

Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz

589

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21–3 Fem inducida en un conductor en movimiento vB

l

∆A B

B (hacia fuera)

∆t

a)

En la figura 21-12a se muestra otra forma de inducir una fem, y esta situación ayuda a arrojar luz sobre la naturaleza de la fem inducida. Suponga que un campo magB nético uniforme B es perpendicular al área acotada por el conductor con forma de U y que la barra móvil descansa sobre él. Si se hace que la barra se mueva con una rapidez v, recorre una distancia ¢x = v ¢ t en un tiempo t. Por tanto, el área del lazo aumenta por una cantidad ¢A = l ¢x  lv ¢ t en un tiempo t. Por la ley de Faraday, existe una fem inducida e cuya magnitud está dada por

¢ £B B ¢A Blv ¢ t = = = Blv. (21-3) ¢t ¢t ¢t – La ecuación 21-3 es válida en tanto B, l y v sean perpendiculares entre sí. (Si no Fuerza sobre el lo son, sólo se usan los componentes de cada uno que son perpendiculares). Una electrón fem inducida sobre un conductor que se mueve en un campo magnético a veces se conoce como fem direccional. v – También es factible obtener la ecuación 21-3 sin usar la ley de Faraday. En el capítulo 20 se vio que una partícula cargada que se mueve de forma perpendicular a un campo magnético B con rapidez v experimenta una fuerza F = qvB (ecuación 20-4). Cuando la barra de la figura 21-12a se mueve hacia la derecha con rapidez v, + los electrones en la barra también se mueven con esta rapidez. Por tanto, dado que B b) v ⊥ B, cada electrón experimenta una fuerza F = qvB, que actúa hacia arriba de la página, como se indica en la figura 21-12b. Si la barra no estuviese en contacto FIGURA 21-12 a) Una barra con el conductor con forma de U, los electrones se reunirían en el extremo superior conductora se mueve hacia la derecha de la barra, lo que dejaría el extremo inferior positivo (observe los signos en la figusobre un conductor con forma de U B en un campo magnético uniforme B ra 21-12b). Por tanto, debe haber una fem inducida. Si la barra se desliza sobre el que apunta hacia fuera de la página. conductor con forma de U (figura 21-12a), los electrones fluirán hacia la U. Entonb) Fuerza ascendente sobre un ces en el lazo habrá una corriente (convencional) en sentido de las manecillas del electrón en la barra metálica (que Bse reloj. Para calcular la fem, se determina el trabajo W necesario para mover una carmueve hacia la derecha) debida a B ga q de un extremo de la barra hasta el otro contra esta diferencia de potencial: W que apunta hacia fuera de la página.  fuerza  distancia  (qvB)(l). La fem es igual al trabajo realizado por unidad de carga, de modo que e = W
q  qvBl
q  Blv, el mismo resultado que se obtuvo a partir de la ley de Faraday (ecuación 21-3). e =

B

B

FIGURA 21-13 Ejemplo 21-6.

EJERCICIO C ¿En qué dirección fluirán los electrones en la figura 21-12 si la barra se mueve hacia la izquierda, con lo que disminuye el área del lazo de corriente?

EJEMPLO 21-6 ¿El avión en movimiento desarrolla una gran fem? Un avión viaja a 1000 km
h en una región donde el campo magnético de la Tierra es de 5.0  105 T y es casi vertical (figura 21-13). ¿Cuál es la diferencia de potencial inducida entre las puntas de las alas que están separadas 70 m? PLANTEAMIENTO Las alas se consideran como conductores de 70 m de largo que se mueven a través del campo magnético de la Tierra. Se utiliza la ecuación 21-3 para obtener la fem. B B SOLUCIÓN Dado que v  1000 km
h  280 m
s, y v ⊥ B, se tiene

e = Blv = A5.0 * 10–5 TB(70 m)(280 m
s) = 1.0 V. NOTA No hay mucho de qué preocuparse. F Í S I C A

A P L I C A D A

Medición del flujo sanguíneo FIGURA 21-14 Medición de la velocidad sanguínea a partir de la fem inducida. Ejemplo 21-7.

N

l

S

Voltímetro

EJEMPLO 21-7 Medición electromagnética del flujo sanguíneo. Con el aparato de la figura 21-14 se puede medir la tasa de flujo sanguíneo en los vasos del cuerpo humano, pues la sangre contiene iones cargados. Suponga que el vaso sanguíneo mide 2.0 mm de diámetro, que el campo magnético es de 0.080 T y que la fem medida es de 0.10 mV. ¿Cuál es la velocidad del flujo de la sangre? B PLANTEAMIENTO El campo magnético B apunta horizontalmente de izquierda a derecha (el polo N hacia el polo S). La fem inducida actúa sobre el ancho l  2.0 B B mm del vaso sanguíneo (figura 21-14), perpendicular a B y v, tal como en la figura 21-12. Entonces se emplea la ecuación 21-3 para obtener v. SOLUCIÓN Se resuelve para v en la ecuación 21-3:

A1.0 * 10–4 VB e = = 0.63 m
s. Bl (0.080 T)A2.0 * 10–3 mB NOTA En la práctica real se usa una corriente alterna para producir un campo magnético que alterna. Entonces la fem inducida también alterna. v =

vB

590

CAPÍTULO 21

Inducción electromagnética y ley de Faraday

Ejemplo adicional EJEMPLO 21-8 Fuerza sobre la barra. Para hacer que la barra de la figura 21-12 se mueva hacia la derecha con una rapidez v, se necesita aplicar una fuerza sobre la barra hacia la derecha. a) Explique y determine la magnitud de la fuerza requerida. b) ¿Qué potencia externa se requiere para mover la barra? (No hay que confundir esta fuerza sobre la barra con la fuerza sobre los electrones que se ilustra en la figura 21-12b). PLANTEAMIENTO Cuando la barra se mueve hacia la derecha, los electrones fluyen hacia arriba en la barra, de acuerdo con la regla de la mano derecha 3 (p. 562). De modo que la corriente convencional está hacia abajo en la barra. Esto también se puede ver a partir de la ley de Lenz: el flujo magnético hacia fuera a través del lazo crece, así que la corriente inducida debe oponerse al incremento. De esta forma, la corriente es en sentido de las manecillas del reloj para producir un campo magnético hacia la página (regla de la mano derecha 1). La fuerza magnética sobre la barra en movimiento es F = IlB para un B constante (ecuación 20-2). La regla de la mano derecha 2 indica que esta fuerza magnética es hacia la izquierda, de modo que es una “fuerza de arrastre” que se opone al esfuerzo por mover la barra hacia la derecha. SOLUCIÓN a) La magnitud de la fuerza externa, hacia la derecha, necesita equilibrar la fuerza magnética F = IlB. La corriente I = e
R = Blv
R (véase la ecuación 21-3) y la resistencia R es la de todo el circuito: la barra y el conductor con forma de U. Entonces, la fuerza F que se requiere para mover la barra es

Blv B2l2 v. b lB = R R Si B, l y R son constantes, entonces se produce una rapidez constante v mediante una fuerza constante. R constante implica que los rieles paralelos tienen resistencia despreciable. b) La potencia externa necesaria para mover la barra para R constante es B2l2v2 . Pext = Fv = R La potencia disipada en la resistencia es P = I 2R. Con I = e
R = Blv
R, B2l2v2 , PR = I 2R = R de modo que la entrada de potencia es igual a la disipada en la resistencia en cualquier momento. F = IlB = a

21–4 El flujo magnético variable produce un campo eléctrico Se ha visto que un flujo magnético variable induce una fem; también existe una corriente inducida. Esto implica que existe un campo eléctrico en el alambre, lo que provoca que los electrones comiencen a moverse. De hecho, éste y otros resultados sugieren la importante conclusión de que un campo magnético variable induce un campo eléctrico. Esto no sólo se aplica a los alambres y otros conductores, sino que es un resultado general que se aplica a cualquier región en el espacio: en cualquier punto en el espacio donde exista un campo magnético variable se inducirá un campo eléctrico. Es posible obtener una fórmula simple para E en términos de B para el caso de los electrones en un conductor en movimiento, como en la figura 21-12. Los electrones experimentan una fuerza (hacia arriba en la figura 21-12b), y si uno se pone a sí mismo en el marco de referencia del conductor, esta fuerza que acelera a los electrones implica que existe un campo eléctrico en el conductor. El campo eléctrico se define como la fuerza por unidad de carga, E = F
q, donde F = qvB (ecuación 20-4). Por ende, el campo efectivo E en la barra debe ser

E =

qvB F = = vB. q q

(21–4) SECCIÓN 21–4

El flujo magnético variable produce un campo eléctrico

591

Eje que gira mecánicamente Armadura I

21–5 Generadores eléctricos

b

a

N

S

I I

Anillos colectores

a b

I Escobillas

FIGURA 21-15 Un generador ca.

FIGURA 21-16 a) Un generador cd con un conjunto de conmutadores y b) un generador cd con muchos conjuntos de conmutadores y devanados.

V t

a)

V t

b)

FIGURA 21-17 La fem se induce en los segmentos ab y cd, cuyos componentes de Bvelocidad perpendiculares al campo B son v sen u.

vB⊥ a I (inducida)

θ

vB

b θ B

N

B

Eje

S

c I (inducida) vB

592

CAPÍTULO 21

d

En la sección 18-7 se estudiaron las corrientes alternas (ca). Ahora se examinará como se genera la ca mediante un generador eléctrico o dínamo, uno de los resultados prácticos más importantes del gran descubrimiento de Faraday. Un generador transforma energía mecánica en energía eléctrica, tal como un motor hace lo opuesto. En la figura 21-15 se muestra un diagrama simplificado de un generador ca. Un generador consta de muchos lazos de alambre (sólo se muestra uno) devanados sobre una armadura que puede girar en un campo magnético. El eje se activa mediante algún medio mecánico (caída de agua, turbina de vapor, banda de un motor de automóvil) y se induce una fem en la bobina en rotación. Por tanto, la salida de un generador es una corriente eléctrica. Suponga que en la figura 21-15 la armadura gira en sentido de las manecillas del reloj; entonces la regla de la mano derecha 3 sobre las partículas cargadas en el alambre (o ley de Lenz) dice que la corriente (convencional) en el alambre designado como b en la armadura es hacia fuera; en consecuencia, la corriente es hacia fuera en la escobilla b. (Cada escobilla está fija y presiona contra un anillo colector continuo que gira con la armadura.) Después de media revolución, el alambre b estará donde ahora se encuentra el alambre a en el dibujo, y entonces la corriente en la escobilla b será hacia dentro. Por ende, la corriente producida es alterna. La frecuencia f es de 60 Hz para uso general en Estados Unidos y Canadá, mientras que en muchos otros países se utilizan 50 Hz. La mayor parte de la potencia generada en Estados Unidos se obtiene en plantas de vapor, donde la quema de combustibles fósiles (carbón, petróleo, gas natural) provoca que el agua hierva para producir vapor de alta presión que hace girar una turbina conectada al eje del generador (figura 15-21). En las plantas de potencia nuclear, la energía nuclear liberada se usa para producir vapor que hace girar las turbinas. De hecho, una máquina térmica (capítulo 15) conectada a un generador es el medio principal de generación de potencia eléctrica. La frecuencia de 60 o 50 Hz se mantiene con mucha precisión por parte de las compañías eléctricas. Un generador cd es muy parecido a un generador ca, excepto que los anillos colectores son sustituidos por conmutadores (figura 21-16a), tal como en un motor cd. La salida de tal generador es como se muestra y se puede suavizar al colocar un capacitor en paralelo con la salida (sección 19-6). Lo más común es el uso de muchos devanados de armadura, como en la figura 21-16b, lo que produce una salida más suavizada. Los automóviles solían usar generadores cd. En la actualidad principalmente usan alternadores, que evitan los problemas de deterioro y arqueo eléctrico (chispas) a través de los conmutadores de los generadores cd. Los alternadores difieren de los generadores en que un electroimán, llamado rotor, se alimenta mediante corriente proveniente de la batería y se hace girar mediante una banda desde el motor. El campo magnético del rotor que gira pasa a través de un conjunto de bobinas estacionarias que lo rodean, llamadas estator, induciendo una corriente alterna en las bobinas del estator, que es la salida. Esta salida ca cambia a cd para cargar la batería por medio de diodos semiconductores, lo que permite que fluya la corriente sólo en una dirección. La figura 21-17 muestra el lazo de alambre en la armadura de un generador. El B lazo gira en sentido de las manecillas del reloj en un campo magnético uniforme B. Se muestra la velocidad de las dos longitudes ab y cd en este instante. Aunque las secciones de alambre bc y da se mueven, la fuerza sobre los electrones en estas secciones es hacia el lado del alambre, no a lo largo de la longitud del alambre. Por tanto, la fem generada sólo se debe a la fuerza sobre las cargas en las secciones ab y cd. A partir de la regla de la mano derecha 3, se ve que la dirección de la corriente inducida en ab es de a hacia b. Y, en la sección inferior, es de c a d; así que el flujo es continuo en el lazo. La magnitud de la fem generada en ab está dada por la ecuación 21-3, excepto que se debe tomar el componente de la velocidad perpendicular a B:

e = Blv⊥ , donde l es la longitud de ab. A partir de la figura 21-17 se observa que v
 v sen u, donde u es el ángulo que la cara del lazo forma con la vertical. La fem inducida en

Inducción electromagnética y ley de Faraday

www.elsolucionario.org cd tiene la misma magnitud y está en la misma dirección. Por tanto, sus fem se suman, y la fem total es
 2NB
v sen u, donde se ha multiplicado por N, el número de lazos en la bobina. Si la bobina gira con velocidad angular constante v, entonces el ángulo u  v t. También, a partir de las ecuaciones angulares (ecuación 8-4), se tiene que v  vr  v(h
2), donde h es la longitud de bc o ad. En consecuencia, e  2NBvl(h
2) sen vt; o
 NBvA sen v t, (21-5) donde A  lh es el área del lazo. Esta ecuación se sostiene para cualquier forma de bobina, no sólo para una rectangular, como se dedujo. Así, la fem de salida del generador alterna de manera sinusoidal (figura 21-18 y sección 18-7). Como w está expresada en radianes por segundo, se puede escribir v = 2pf, donde f es la frecuencia.

fem 0

0

Tiempo

FIGURA 21-18 Un generador ca produce una corriente alterna. La fem de salida

0 sen vt, donde
0  NAvB (ecuación 21-5).

* 21–6 Fuerza contraelectromotriz y contra torca; corrientes parásitas * Fuerza contraelectromotriz Un motor gira y produce energía mecánica cuando una corriente fluye en él. A partir de la descripción en la sección 20-10 de un motor cd simple, cabe esperar que la armadura acelere indefinidamente debido a la torca sobre ella. Sin embargo, conforme la armadura del motor gira, el flujo magnético a través de la bobina cambia y se genera una fem. Esta fem inducida actúa para oponerse al movimiento (ley de Lenz) y se llama fuerza contraelectromotriz. Cuanto mayor sea la rapidez del motor, mayor será la fuerza contraelectromotriz. Normalmente, un motor da vueltas y realiza trabajo sobre algo, pero si no existe carga, la rapidez del motor aumenta hasta que la fuerza contraelectromotriz iguale el voltaje de entrada. Cuando existe carga mecánica, la rapidez del motor también puede estar limitada por la carga. Entonces la fuerza contraelectromotriz será menor que el voltaje externo aplicado. Cuanto mayor sea la carga mecánica, más lentamente girará el motor y más baja será la fuerza contraelectromotriz (e r v, ecuación 21-5). EJEMPLO 21-9 Fuerza contraelectromotriz en un motor. Los devanados de la armadura de un motor cd tienen una resistencia de 5.0 . El motor está conectado a una línea de 120 V y, cuando el motor alcanza toda su rapidez contra su carga normal, la fuerza contraelectromotriz es de 108 V. Calcule a) la corriente en el motor cuando apenas se arranca y b) la corriente cuando el motor alcanza toda su rapidez. PLANTEAMIENTO Conforme el motor apenas arranca, gira muy lentamente, así que no existe fuerza contraelectromotriz inducida. El único voltaje es de la línea de 120 V. La corriente está dada por la ley de Ohm con R  5.0 . A toda rapidez, como fem habrá que incluir la fem aplicada de 120 V y la fuerza contraelectromotriz opuesta. SOLUCIÓN a) Al arranque, la corriente está controlada por los 120 V aplicados a la resistencia de 5.0  de la bobina. Por la ley de Ohm,

V 120 V = = 24 A. R 5.0  b) Cuando el motor está a toda su rapidez, se debe incluir la fuerza contraelectromotriz en el circuito equivalente que se ilustra en la figura 21-19. En este caso, la ley de Ohm (o la regla de Kirchhoff) da 120 V - 108 V = I(5.0 ). En consecuencia 12 V I = = 2.4 A. 5.0  NOTA Este resultado demuestra que la corriente puede ser muy alta cuando se arranca un motor. Es por esto por lo que las luces en una casa parpadean cuando el motor del refrigerador (u otro gran motor) se enciende. La gran corriente inicial provoca que el voltaje en los tomacorrientes disminuya, pues el alambrado casero tiene resistencia y, a través de él, existe cierta caída de voltaje cuando se extraen grandes corrientes.

FIGURA 21-19 Circuito de un motor que muestra fuerza contraelectromotriz inducida. Ejemplo 21-9.

Devanados de motor 5.0 Ω

Fuerza contraelectromotriz inducida en los devanados de motor inducida= 108 V

I =

*SECCIÓN 21–6

= 120 V Efecto de la fuerza contraelectromotriz sobre la corriente

Fuerza contraelectromotriz y contra torca; corrientes parásitas

593

F Í S I C A

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Quemado de un motor

EJEMPLO CONCEPTUAL 21-10 Motor sobrecargado. Cuando se pone en funcionamiento un aparato como una licuadora, un taladro eléctrico o una sierra eléctrica, si el aparato se sobrecarga o atasca de modo que el motor frena apreciablemente o se detiene mientras la potencia todavía está conectada, el dispositivo se puede quemar y arruinarse. Explique por qué ocurre esto. RESPUESTA Los motores están diseñados para funcionar a cierta rapidez para un determinado voltaje aplicado, y el diseñador debe tomar en cuenta la fuerza contraelectromotriz esperada. Si la rapidez de rotación se reduce, la fuerza contraelectromotriz no será tan alta como se esperaba (e r v, ecuación 21-5) y la corriente aumentará, y tal vez se vuelva lo suficientemente grande como para que los devanados del motor se calienten hasta el punto de arruinarlo.

* Contra torca

Contra torca

En un generador, la situación es la contraria a la de un motor. Como se vio, la rotación mecánica de la armadura induce una fem en los lazos, que es la salida. Si el generador no está conectado a un circuito externo, en las terminales existe fem, pero no hay corriente. En este caso, toma poco esfuerzo hacer girar la armadura. Pero si el generador está conectado a un dispositivo que extrae corriente, entonces en las bobinas de la armadura fluye una corriente. Como esta bobina portadora de corriente está en un campo magnético externo, habrá una torca ejercida sobre ella (como en un motor) y esta torca se opone al movimiento (se utiliza la regla de la mano derecha 2 para la fuerza sobre un alambre, en las figuras 21-15 o 21-17). A esto se le llama contra torca. Cuanto más grande sea la carga eléctrica –es decir, cuanta más corriente se extraiga— más grande será la contra torca. En consecuencia, la torca externa aplicada tendrá que ser mayor para mantener dando vueltas al generador. Esto tiene sentido a partir del principio de conservación de la energía. Se necesita más entrada de energía mecánica para producir más salida de energía eléctrica.

* Corrientes parásitas Las corrientes inducidas no siempre están confinadas a trayectorias bien definidas como en los alambres. Considere, por ejemplo, la rueda metálica giratoria de la figura 21-20a. Un campo magnético externo se aplica a un área limitada de la rueda, como FIGURA 21-20 Producción de se indica, y apunta hacia la página. La sección de rueda en el campo magnético tiene corrientes parásitas en una rueda una fem inducida en ella porque el conductor se mueve, y lleva electrones consigo. en rotación. El flujo de corriente (convencional) en la rueda es hacia arriba en la región del campo magnético (figura 21-20b) y la corriente sigue una trayectoria de regreso hacia abajo afuera de dicha región. ¿Por qué? De acuerdo con la ley de Lenz, las corrientes inducidas se oponen al cambio que las provoca. Considere la parte de la rueda designada como c en la figura 21-20b, donde el Bcampo magnético es cero pero apenas está a punto de entrar a una región donde B apunta hacia la página. Para oponerse a este aumento hacia dentro en el campo magnético, la corriente inducida es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj para producir un campo que apunte hacia fuera de la página (regla de la mano derecha 1). De manera similar, la B región d está a punto de moverse hacia e, donde B es cero; por tanto, la corriente B B (hacia dentro) es en el sentido de las manecillas del reloj para producir un campo hacia dentro a) opuesto a este flujo decreciente hacia dentro. A dichas corrientes se les conoce como corrientes parásitas. Se pueden presentar en cualquier conductor que se mueve a través de un campo magnético o a través del cual el campo magnético varía. B En la figura 21-20b, el campo magnético ejerce una fuerza F sobre las corrientes inducidas que ha creado, y esa fuerza se opone al movimiento de rotación. Las corrientes parásitas se usan en esta forma como un suave dispositivo de freno sobre un vehículo que transita rápidamente, por ejemplo. Con la intención de detener al vehículo, se activa un electroimán que aplica su campo hacia las llantas o hacia el riel de acero que se mueve por abajo. Las corrientes parásitas también sirven para B c F amortiguar (reducir) la oscilación de un sistema en vibración. Sin embargo, las coe d rrientes parásitas en ocasiones constituyen un problema. Por ejemplo, las corrientes parásitas inducidas en la armadura de un motor o un generador producen calor b) (P = Ie) y desperdicio de energía. Para reducir las corrientes parásitas, las armaduras son laminadas; es decir, se hacen de hojas muy delgadas de hierro que están bien aisladas unas de otras. La longitud de la trayectoria total de las corrientes parásitas está confinada a cada lámina, lo que aumenta la resistencia total; por ende, la corriente es menor y hay menor desperdicio de energía.

594

CAPÍTULO 21

Inducción electromagnética y ley de Faraday

Los detectores de metales por los que se atraviesa en los aeropuertos (figura 21-21) detectan objetos metálicos por medio de inducción electromagnética y de corrientes parásitas. Varias bobinas se sitúan en las paredes de los pasillos a diferentes alturas. En una técnica llamada “inducción de pulso”, las bobinas reciben breves pulsos de corriente repetidos (del orden de microsegundos), cientos o miles de veces por segundo. Cada pulso en una bobina produce un campo magnético durante un periodo de tiempo muy breve. Cuando una persona pasa a través del pasillo, cualquier objeto metálico que lleve encima tendrá sobre él corrientes parásitas inducidas. Las corrientes parásitas persisten brevemente después de cada pulso de entrada, y el pequeño campo magnético producido por la corriente parásita persistente (antes del siguiente pulso externo) se detecta, con la activación de una alerta o alarma. Las tiendas y librerías usan sistemas similares para evitar robos.

F Í S I C A

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Detector de metales en el aeropuerto

21–7 Transformadores y transmisión de potencia Un transformador es un dispositivo para aumentar o disminuir un voltaje ca. Los transformadores se encuentran en todas partes: en los aparatos de televisión para dar el alto voltaje necesario para el cinescopio, en los convertidores para conectar en un estéreo portátil, en los postes de las líneas de transmisión eléctrica (figura 21-22) para reducir el alto voltaje proveniente de la compañía eléctrica hacia un voltaje utilizable en los hogares (120 V o 240 V), y en muchas otras aplicaciones. Un transformador consiste en dos bobinas de alambre conocidas como bobinas primaria y secundaria. Las dos bobinas se pueden entrelazar (con alambre aislador); o se pueden ligar mediante un núcleo de hierro que está laminado para reducir al mínimo las pérdidas de corrientes parásitas (sección 21-6), como se observa en la figura 21-23. Los transformadores están diseñados de modo que (casi) todo el flujo magnético producido por la corriente en la bobina primaria también pasa a través de la bobina secundaria, y se supone que esto es cierto en lo que sigue. También se supone que las pérdidas de energía (en resistencia e histéresis) se pueden ignorar, lo que constituye una buena aproximación para los transformadores reales, que con frecuencia tienen una eficiencia superior al 99%. Cuando se aplica un voltaje ca a la bobina primaria, el campo magnético variable que produce inducirá un voltaje ca de la misma frecuencia en la bobina secundaria. Sin embargo, el voltaje será diferente de acuerdo con el número de lazos (vueltas) en cada bobina. A partir de la ley de Faraday, el voltaje o fem inducida en la bobina secundaria es

VS = NS

¢£ B , ¢t

donde NS es el número de vueltas en la bobina secundaria, y ¢ £ B
¢ t es la tasa a la que cambia el flujo magnético. El voltaje de entrada a la primaria, VP, está relacionado con la tasa a la que el flujo cambia a través de ella,

FIGURA 21-21 Detector de metales en un aeropuerto.

FIGURA 21-22 Reparación de un transformador de bajada en un poste de transmisión de alto voltaje.

FIGURA 21-23 Transformador de subida (NP  4, NS  12).

VP

¢£ B , VP = NP ¢t

Bobina secundaria

Bobina primaria (entrada)

donde NP es el número de vueltas en la bobina primaria. Estas dos ecuaciones se dividen, y se supone que poco o nada de flujo se pierde, para encontrar

VS NS . = VP NP

(21–6)

Esta ecuación de transformador dice cómo el voltaje secundario (salida) está relacionado con el voltaje primario (entrada); VS y VP en la ecuación 21-6 pueden ser valores rms (sección 18-7) para ambos, o valores picos para ambos. Los voltajes cd no funcionan en un transformador porque no habría flujo magnético variable. Si la bobina secundaria contiene más lazos que la bobina primaria (NS NP), se tiene un transformador de subida. El voltaje secundario es mayor que el voltaje primario. Por ejemplo, si la bobina secundaria tiene el doble de vueltas que la bobina SECCIÓN 21–7

NP vueltas

VS

(salida)

NS vueltas

Núcleo de hierro laminado Ecuación de transformador

Transformadores y transmisión de potencia

595

www.elsolucionario.org primaria, entonces el voltaje secundario será el doble que el voltaje primario. Si NS es menor que NP se tiene un transformador de bajada. Aunque con un transformador es posible aumentar (o disminuir) el voltaje ca, no se obtiene algo a cambio de nada. La conservación de energía indica que la salida de potencia no podrá ser mayor que la potencia de entrada. Un transformador bien diseñado puede ser eficiente a más del 99%, así que poca energía se pierde por calor. De este modo, la potencia de salida, en esencia, es igual a la potencia de entrada. Como la potencia P  IV (ecuación 18-5), se tiene

IP VP = IS VS , o Ecuación de transformador II

IS NP . = IP NS

(21–7)

EJEMPLO 21-11 Transformador de un radio portátil. Un transformador para uso doméstico de un radio portátil reduce 120 V ca a 9.0 V ca. (Tal dispositivo también contiene diodos para cambiar los 9.0 V ca a cd, para ser como su batería de 9.0 V). La bobina secundaria contiene 30 vueltas y el radio extrae 400 mA. Calcule a) el número de vueltas en la bobina primaria, b) la corriente en la primaria y c) la potencia transformada. PLANTEAMIENTO Se supone que el transformador es ideal, sin pérdida de flujo, así que se utiliza la ecuación 21-6 y luego la 21-7. SOLUCIÓN a) Éste es un transformador de bajada y, a partir de la ecuación 21-6, se tiene

NP = NS

(30)(120 V) VP = = 400 vueltas. VS (9.0 V)

(b) A partir de la ecuación 21-7

IP = IS FIGURA 21-24 Un voltaje cd encendido y apagado como se muestra en a) produce pulsos de voltaje en la secundaria b). Las escalas de voltaje en a) y b) no son las mismas.

Interruptor abierto

Interruptor

VP cerrado a)

Tiempo

VS Tiempo b) F Í S I C A

A P L I C A D A

Sistema de ignición de un automóvil

596

CAPÍTULO 21

NS 30 = (0.40 A) a b = 0.030 A. NP 400

(c) La potencia transformada es

P = IS VS = (0.40 A)(9.0 V) = 3.6 W. NOTA La potencia en la bobina primaria, P = (0.030 A)(120 V)  3.6 W, es la misma que la potencia en la bobina secundaria. Existe una eficiencia del 100% en la transferencia de potencia para el transformador ideal. EJERCICIO D ¿Cuántas vueltas debería haber en la bobina secundaria del transformador del ejemplo 21-11 (NP  400 vueltas) si se quiere reducir el voltaje de 120 V ca a 3.0 V ca?

Un transformador opera sólo en ca. Una corriente cd en la bobina primaria no produce un flujo variable y, por consiguiente, no induce fem en la secundaria. Sin embargo, si se aplica un voltaje cd a la primaria a través de un interruptor, en el instante cuando el interruptor se abre o se cierra habrá una corriente inducida en la secundaria. Por ejemplo, si la cd se enciende o se apaga como se indica en la figura 21-24a, el voltaje inducido en la secundaria es como se muestra en la figura 21-24b. Hay que hacer notar que el voltaje secundario cae a cero cuando el voltaje cd es estable. Básicamente, es así como se crea, en el sistema de ignición de un automóvil, el alto voltaje para producir la chispa a través de la brecha de una bujía que enciende la mezcla aire-gas. Al transformador se le conoce simplemente como “bobina de ignición” y transforma los 12 V de la batería (cuando está apagada en la primaria) en un pico de hasta 30 kV en la secundaria. Los transformadores juegan un importante papel en la transmisión de electricidad. Las plantas eléctricas con frecuencia están situadas lejos de las áreas metropolitanas, así que la electricidad se debe transmitir a través de grandes distancias

Inducción electromagnética y ley de Faraday

Línea de transmisión de alto voltaje Transformador Transformador de bajada (subestación) de bajada

Planta eléctrica Transformador de subida

12,000 V

Casa

2400 V 240 V

240,000 V

FIGURA 21-25 La transmisión de energía eléctrica desde las plantas eléctricas hasta los hogares utiliza transformadores en varias etapas.

(figura 21-25). Siempre hay cierta pérdida de potencia en las líneas de transmisión, y esta pérdida se puede reducir al mínimo si la potencia se transmite a alto voltaje, con el uso de transformadores, como muestra el ejemplo siguiente.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Los transformadores ayudan en la transmisión de energía eléctrica.

EJEMPLO 21-12 Líneas de transmisión. A una pequeña ciudad se envían un promedio de 120 kW de energía eléctrica desde una planta eléctrica ubicada a 10 km de distancia. Las líneas de transmisión tienen una resistencia total de 0.40 . Calcule la pérdida de potencia si la energía es transmitida a a) 240 V y b) 24,000 V. PLANTEAMIENTO No se puede usar P = V2
R porque si R es la resistencia de las líneas de transmisión, no se conoce la caída de voltaje a lo largo de ellas; los voltajes dados se aplican a través de las líneas más la carga (a la ciudad). Pero es posible determinar la corriente I en las líneas ( P
V) y luego calcular la pérdida de potencia a partir de PP  I 2R; para los casos a) y b). SOLUCIÓN a) Si se envían 120 kW a 240 V, la corriente total será

P 1.2 * 105 W = 500 A. = V 2.4 * 102 V La pérdida de potencia en las líneas, PP, es entonces I =

PP = I2R = (500 A)2(0.40 ) = 100 kW. Así que ¡más del 80% de toda la potencia se desperdiciaría como calor en las líneas de transmisión! b) Si se envían 120 kW a 24,000 V, la corriente total será

P 1.2 * 105 W = = 5.0 A. V 2.4 * 104 V La pérdida de potencia en las líneas será entonces I =

PP = I2R = (5.0 A)2(0.40 ) = 10 W, que es menor que

1 100

del 1%.

NOTA Se ve que el mayor voltaje da como resultado menos corriente y, por consiguiente, menos electricidad se desperdicia como calor en las líneas de transmisión. Por esta razón, la electricidad generalmente se transmite a muy altos voltajes, tan altos como 700 kV. La gran ventaja de la ca, y una razón principal por la que es de uso casi universal, es que el voltaje se puede subir o bajar fácilmente con un transformador. El voltaje de salida de una planta de generación de electricidad se sube antes de la transmisión. Antes de llegar a una ciudad, se baja en etapas en subestaciones eléctricas antes de su distribución. Por lo general, el voltaje en las líneas a lo largo de las calles de la ciudad es de 2400 V y mediante transformadores se baja a 240 V o 120 V para uso doméstico (figuras 21-22 y 21-25). SECCIÓN 21–7

Transformadores y transmisión de potencia

597

21–8 Aplicaciones de la inducción: sistemas de sonido, memoria de computadora, sismógrafo, GFCI Membrana

Pequeña bobina de alambre Imán

N S Hacia la grabadora o el amplificador FIGURA 21-26 Diagrama de un micrófono que funciona por inducción.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Computadoras e información digital

Micrófono Existen varios tipos de micrófonos, y muchos operan con base en el principio de inducción. En cierto sentido, un micrófono sólo es el inverso de una bocina (sección 20-10). Una pequeña bobina conectada a una membrana está suspendida cerca de un pequeño imán permanente, como se ilustra en la figura 21-26. La bobina se mueve en el campo magnético cuando las ondas sonoras golpean la membrana y este movimiento induce una fem. La frecuencia de la fem inducida será justo la de las ondas sonoras incidentes, y esta fem es la “señal” que se amplifica y se envía a las bocinas, o a una grabadora.

Leer/escribir en cinta y discos La grabación y reproducción en cinta o discos se realiza mediante cabezas magnéticas. Las cintas grabadas para su uso en grabadoras de audio y video contienen una delgada capa de óxido magnético sobre una delgada cinta plástica. Durante la grabación, la señal de voltaje del audio y
o video se envía a la cabeza grabadora, que actúa como un pequeño electroimán (figura 21-27) que magnetiza la pequeña sección de cinta que pasa sobre la angosta brecha en la cabeza en cada instante. En la reproducción, el magnetismo variable de la cinta en movimiento en la brecha produce cambios correspondientes en el campo magnético dentro de la cabeza de hierro suave, que a su vez induce una fem en la bobina (ley de Faraday). Esta fem inducida es la señal de salida susceptible de ser amplificada y enviada a una bocina (audio) o al cinescopio (video). En las grabadoras de audio y video, las señales son analógicas cuando varían continuamente en amplitud a través del tiempo. La variación en grado de magnetización de la cinta en cualquier punto refleja la variación en amplitud y frecuencia de la señal de audio y video. La información digital, como la usada en los discos de computadora (disco duro o disco zip) o en cinta magnética de computadora y ciertos tipos de grabadoras de cinta digital, se lee y se escribe utilizado cabezas que básicamente son las mismas que las apenas descritas (figura 21-27). La diferencia esencial está en las señales, que no son analógicas, sino digitales, y en binario particular, lo que significa que sólo dos valores son posibles para cada uno de los extremadamente elevados números de espacios predeterminados en la cinta o disco. Los dos posibles valores generalmente son conocidos como 1 y 0. El voltaje de señal no varía de manera continua, sino que más bien sólo toma dos valores, 5 y 0 V, por ejemplo, lo que corresponde a 1 o 0. De esta manera, la información se lleva como una serie de “bits”, cada uno de los cuales puede tener sólo uno de dos valores, 1 o 0.

Lector de tarjeta de crédito Cuando se usa una tarjeta de crédito en una tienda o una estación de servicio, la banda magnética en la parte trasera de la tarjeta pasa por una cabeza lectora tal como FIGURA 21-27 a) Cabeza de lectura
escritura (reproducción
grabación) para cinta o disco. En la escritura o grabación, la señal eléctrica de entrada hacia la cabeza, que actúa como un electroimán, magnetiza la cinta o disco que pasa. En la lectura o reproducción, el campo magnético variable de la cinta o disco que pasa induce un campo magnético variable en la cabeza, que a su vez induce una fem en la bobina, que es la señal de salida. b) Fotografía de un disco duro que incluye varias placas y cabezas de lectura
escritura que se pueden mover rápidamente del borde del disco hacia el centro.

598

CAPÍTULO 21

Señal eléctrica de entrada (o salida)

Cabeza lectura/escritura

Bobina Brecha

Cinta o disco magnético en movimiento a)

Inducción electromagnética y ley de Faraday

b)

www.elsolucionario.org en una grabadora o computadora. La banda magnética contiene información personal acerca de la cuenta y se conecta por línea telefónica para aprobación si la cuenta está en orden.

Resortes de Bobina suspensión

Sismógrafo

Imán permanente

En geofísica, un sismógrafo mide la intensidad de las ondas sísmicas mediante un imán y una bobina de alambre. El imán o la bobina está fijo a la carcasa, y el otro es inercial (suspendido mediante resortes; figura 21-28). El movimiento relativo del imán y la bobina cuando la Tierra se sacude induce una fem de salida.

FIGURA 21-28 Un tipo de sismó-

Interruptor de circuito para falla a tierra (GFCI) Los fusibles y disyuntores (secciones 18-6 y 20-7) protegen a los edificios de incendios, y a los aparatos de daños, provocados por altas corrientes indeseadas. Pero no apagan la corriente sino hasta que ésta es mucho mayor que la que provoca daño permanente a los humanos o la muerte (L 100 mA). Si son lo suficientemente rápidos, pueden proteger en caso de corto. Un interruptor de circuito para falla a tierra (GFCI, siglas en inglés de ground fault circuit interrupter) tiene la intención de proteger a los humanos; los GFCI reaccionan a corrientes tan pequeñas como 5 mA.

grafo en el que la bobina está fija a la carcasa y se mueve con la Tierra.

Circuito electrónico simple

Disyuntor de solenoide

Bobina sensora Vivo

120 V

I

I S

Neutro

I

I

FIGURA 21-29 Interruptor de circuito para falla a tierra (GFCI).

Dispositivo eléctrico (posible fuente de problema)

Anillo de hierro

La inducción electromagnética es la base física de un GFCI. Como se aprecia en la figura 21-29, los dos conductores de una línea eléctrica conducen a un dispositivo eléctrico que pasa a través de un pequeño anillo de hierro. Alrededor del anillo hay muchos lazos de alambre delgado que sirven como bobina sensora. En condiciones normales (cuando no hay falla a tierra), la corriente que se mueve en el alambre vivo es exactamente equilibrada por la corriente de regreso en el alambre neutro. Si algo sale mal y el alambre vivo toca la carcasa metálica enterrada del dispositivo o aparato, parte de la corriente de entrada puede pasar a través de una persona que toque la carcasa y luego a tierra (una falla a tierra). Entonces la corriente de regreso en el alambre neutro será menor que la corriente de entrada en el alambre vivo, de modo que hay una corriente neta que pasa a través del anillo de hierro del GFCI. Como la corriente es ca, cambia y produce un campo magnético variable en el hierro, que entonces induce una fem en la bobina sensora enrollada alrededor del hierro. Por ejemplo, si un dispositivo extrae 8.0 A, y existe una falla a tierra de 100 mA ( 0.1 A) a través de una persona, entonces 7.9 A aparecerán en el alambre neutro. La fem inducida en la bobina sensora por esta diferencia de 100 mA se amplifica mediante un circuito transistor simple y se envía a su propio disyuntor de solenoide que abre el circuito en el interruptor S. Si la carcasa del dispositivo defectuoso está conectada a tierra, la diferencia de corriente es todavía mayor cuando hay una falla y el GFCI se activa inmediatamente. Los GFCI son sensibles a corrientes tan bajas como 5 mA y reaccionan en 1 ms, con lo que salvan vidas. Algunos son lo suficientemente pequeños como para encajar como tomacorriente de pared (figura 21-30) o como unidades de enchufe donde se conectan una secadora de cabello o un tostador. Es especialmente importante tener GFCI instalados en cocinas, baños, exteriores y cerca de albercas, donde la gente está en mayor peligro de tocar tierra. Los GFCI siempre tienen un botón de “prueba” (test, para asegurarse de que funcionan) y un botón “restablecimiento” (reset, después de que se apagan). SECTION 21–8

FIGURA 21-30 Tomacorriente de pared

GFCI.

Aplicaciones de la inducción: sistemas de sonido, memoria de computadora,

599

* 21–9 Inductancia * Inductancia mutua Si dos bobinas de alambre están cerca una de la otra, como en la figura 21-31, una corriente variable en una inducirá una fem en la otra. Se aplica la ley de Faraday a la bobina 2: la fem e2 inducida en la bobina 2 es proporcional a la tasa de cambio del flujo que pasa a través de ella. Una corriente variable en la bobina 1 produce un flujo variable en la bobina 2. De modo que e2 es proporcional a la tasa de cambio de la corriente en la bobina 1: Inductancia mutua Bobina 1 Bobina 2

I1 2

(inducida) FIGURA 21-31 Una corriente variable en una bobina inducirá una corriente en la segunda bobina.

e2 = –M

A P L I C A D A

Marcapasos

(21–8a)

donde la constante de proporcionalidad, M, se llama inductancia mutua, y se supone que el intervalo de tiempo t es muy pequeño. (El signo menos se debe a la ley de Lenz.) La inductancia mutua tiene unidades de V  s
A    s, que se denomina henry (H), en honor de Joseph Henry: 1 H  1   s. La inductancia mutua M es una “constante” en tanto que no depende de I1; M depende de factores “geométricos”, tales como tamaño, forma, número de vueltas y posiciones relativas de las dos bobinas, y también de si está presente hierro (u otro material ferromagnético). Por ejemplo, cuanto más separadas estén las bobinas de la figura 21-31, menos líneas de flujo pasarán a través de la bobina 2, así que M será menor. Si se considera la situación inversa —una corriente variable en la bobina 2 que induce una fem en la bobina 1— la constante de proporcionalidad, M, resulta tener el mismo valor,

e1 = –M F Í S I C A

¢I1 , ¢t

¢I2 . ¢t

(21–8b)

Un transformador es un ejemplo de inductancia mutua en la que el acoplamiento se maximiza de modo que casi todas las líneas de flujo pasen a través de ambas bobinas. La inductancia mutua también tiene otras aplicaciones, como en algunos tipos de marcapasos usados para mantener el flujo sanguíneo en los pacientes cardiacos (sección 19-6). La potencia en una bobina externa se transmite a través de inductancia mutua hacia una segunda bobina en el marcapasos en el corazón. Este tipo tiene la ventaja, sobre los marcapasos activados con baterías, de que no se necesita cirugía para reemplazar una batería cuando se agota.

* Autoinductancia El concepto de inductancia se aplica también a una sola bobina aislada. Cuando una corriente variable pasa a través de una bobina o solenoide, en el interior de la bobina se produce un flujo magnético variable, y esto a su vez induce una fem. Esta fem inducida se opone al cambio en el flujo (ley de Lenz); es muy similar a la fuerza contraelectromotriz generada en un motor. (Por ejemplo, si la corriente a través de la bobina aumenta, el flujo magnético creciente induce una fem que se opone a la corriente original y tiende a retardar su aumento.) La fem inducida
es proporcional a la tasa de cambio en la corriente (y está en la dirección opuesta al cambio): Autoinductancia (fem inducida por un inductor)

Inductores

e = –L

¢I . ¢t

La constante de proporcionalidad L se llama autoinductancia, o simplemente la inductancia de la bobina. También se mide en henrys. La magnitud de L depende del tamaño y la forma de la bobina, así como de la presencia de un núcleo de hierro. Un circuito ca (sección 18-7) siempre contiene alguna inductancia, pero con frecuencia es bastante pequeña a menos que el circuito contenga una bobina de muchos lazos o vueltas. Una bobina que tiene autoinductancia significativa L se llama inductor. En los diagramas de circuito se representa con el símbolo .

600

CAPÍTULO 21

(21–9)

Inducción electromagnética y ley de Faraday

[símbolo de inductor]

EJEMPLO CONCEPTUAL 21-13 Dirección de fem en un inductor. A través de la bobina de la figura 21-32 pasa corriente de izquierda a derecha, como se indica. a) Si la corriente aumenta con el tiempo, ¿en qué dirección está la fem inducida? b) Si la corriente disminuye con el tiempo, ¿entonces cuál es la dirección de la fem inducida? RESPUESTA a) A partir de la ley de Lenz se sabe que la fem inducida debe oponerse al cambio en el flujo magnético. Si la corriente crece, lo mismo sucede con el flujo magnético. La fem inducida actúa para oponerse al flujo creciente, lo que significa que actúa como una fuente de fem que se opone a la fuente exterior de fem que dirige la corriente. De modo que la fem inducida en la bobina actúa para oponerse a I en la figura 21-32a. En otras palabras, el inductor se puede considerar como una batería con una terminal positiva en el punto A (que tiende a bloquear la corriente que entra en A), y una negativa en el punto B. b) Si la corriente decrece, entonces, por la ley de Lenz, la fem inducida actúa para reforzar el flujo: como una fuente de fem que refuerza la fem externa. La fem inducida actúa para aumentar I en la figura 21-32b, así que en esta situación se puede considerar que la fem inducida es como una batería con su terminal negativa en el punto A para atraer más corriente () para moverse hacia la derecha.

I

A

B

creciente +

− a)

I

A

B

decreciente −

+ b)

FIGURA 21-32 Ejemplo 21-13. Los signos  y  se refieren a la fem inducida debida a la corriente variable, como si los puntos A y B fuesen las terminales de una batería.

EJEMPLO 21-14 Inductancia de solenoide. a) Determine una fórmula para la autoinductancia L de un solenoide enrollado apretadamente (una larga bobina) de longitud l y área de sección transversal A, que contiene N vueltas (o lazos) de alambre. b) Calcule el valor de L si N = 100, l = 5.0 cm, A = 0.30 cm2 y el solenoide está lleno de aire. PLANTEAMIENTO La fem inducida en una bobina se determina a partir de la ley de Faraday Ae = –N ¢£ B
¢ t B o por la autoinductancia Ae = –L ¢I
¢ t B. Si se igualan estas dos expresiones, se puede resolver para la inductancia L pues se sabe cómo calcular el flujo
B para un solenoide con la ecuación 20-8. SOLUCIÓN a) Se igualan la ley de Faraday (ecuación 21-2b) y la ecuación 21-9 para la inductancia:

e = –N

¢£ B ¢I , = –L ¢t ¢t

y se resuelve para L:

L = N

¢£ B . ¢I

Se conoce £ B = BA (ecuación 21-1) y la ecuación 20-8 proporciona el campo magnético B para un solenoide, B = m0 NI
l, así que el flujo magnético en el interior del solenoide es

£B =

m0 NIA . l

Cálculo de la autoinductancia de una bobina

Cualquier cambio en la corriente, I, provoca un cambio en el flujo

¢£ B =

m0 N ¢I A . l

Esto se coloca en la ecuación anterior para L:

L = N

m0 N 2A ¢£ B . = ¢I l

b) Al usar m0  4p * 10 –7 T m
A, y ponerle valores, se obtiene

L =

A4p * 10–7 Tm
AB(100)2 A3.0 * 10–5 m2 B A5.0 * 10–2 mB

= 7.5 mH.

*SECCIÓN 21–9

Inductancia

601

www.elsolucionario.org

* 21–10 Energía almacenada en un campo magnético En la sección 17-9 se vio que la energía almacenada en un capacitor es igual a 12 CV 2. Con un argumento similar, se demuestra que la energía U almacenada en una inductancia L, que porta una corriente I, es

U = energía = 12 LI2. Tal como se considera que la energía almacenada en un capacitor reside en el campo eléctrico entre sus placas, del mismo modo se considera que la energía en un inductor está almacenada en su campo magnético. Para escribir la energía en términos del campo magnético, se utiliza el resultado del ejemplo 21-14 de que la inductancia de un solenoide es L = m0 N 2A
l. Ahora, el campo magnético B en un solenoide está relacionado con la corriente I (véase la ecuación 20-8) por B = m0 NI
l. En consecuencia, I = Bl
m0 N, y 1

U = energía = 12 LI2 = 2 ¢

m0 N2A Bl 2 1 B2 ≤¢ ≤ = 2 Al. m0 l m0 N

Se considera que esta energía reside en el volumen encerrado por los devanados, que es Al. Entonces, la energía por unidad de volumen, o densidad de energía, es Densidad de energía en un campo magnético

B2 . u = densidad de energía = 12 m0

(21–10)

Es posible demostrar que esta fórmula, que se dedujo para el caso especial de un solenoide, es válida para cualquier región del espacio donde exista un campo magnético. Si un material ferromagnético está presente, m0 se sustituye por m. Esta ecuación es análoga a la de un campo eléctrico, 12 0 E 2, sección 17-9. A

B

C

R

L

Interruptor

V

FIGURA 21-33 Circuito LR. FIGURA 21-34 a) Crecimiento de corriente en un circuito LR cuando está conectado a una batería; b) decaimiento de corriente cuando el circuito LR se corta (la batería se saca del circuito).

I Imáx = V/R 0.63Imáx

τ = L Tiempo R a)

I

Cualquier inductor tendrá cierta resistencia. Esta situación se representa al dibujar la inductancia L y la resistencia R por separado, como en la figura 21-33. La resistencia R también podría incluir un resistor separado conectado en serie. Ahora la pregunta es: ¿Qué ocurre cuando a tal circuito LR se conecta en serie una fuente cd? En el instante en que se cierra el interruptor que conecta a la batería, la corriente comienza a fluir. Se le opone la fem inducida en el inductor debido a la corriente variable. Sin embargo, tan pronto como la corriente comienza a fluir, se registra una caída de voltaje a través de la resistencia (V  IR). En consecuencia, se reduce la caída de voltaje a través de la inductancia, y entonces existe menos impedancia hacia el flujo de corriente proveniente de la inductancia. Así, la corriente se eleva gradualmente, como se muestra en la figura 21-34a, y se aproxima al valor estable Imáx  V
R cuando toda la caída de voltaje es a través de la resistencia. La forma de la curva para I como función del tiempo es

I = a

V b A1 - e –t
t B, R

0.37Imáx τ = L Tiempo R b)

CAPÍTULO 21

[circuito LR con fem]

donde e es el número e  2.718... (sección 19-6) y t = L
R es la constante de tiempo del circuito. Cuando t  t, entonces A1 - e –1 B = 0.63, de modo que t es el tiempo requerido para que la corriente alcance 0.63Imáx. Si la batería se remueve súbitamente del circuito (línea punteada en la figura 21-33), la corriente disminuye como se observa en la figura 21-34b. Ésta es una curva de decaimiento exponencial dada por

I = Imáx e–t
t.

Imáx

602

* 21–11 Circuito LR

[circuito LR sin fem]

La constante de tiempo t es el tiempo para que la corriente disminuya al 37% del valor original, y de nuevo es igual a L
R. Estas gráficas indican que siempre existe algún “tiempo de reacción” cuando un electroimán, por ejemplo, es encendido o apagado. También se ve que un circuito LR tiene propiedades similares a un circuito RC (sección 19-6). Sin embargo, a diferencia del caso del capacitor, aquí la constante de tiempo es inversamente proporcional a R.

Inducción electromagnética y ley de Faraday

EJEMPLO 21-15 Constante de tiempo de solenoide. Un solenoide tiene una inductancia de 87.5 mH y una resistencia de 0.25 . Determine a) la constante de tiempo para este circuito y b) cuánto tomaría para que la corriente vaya de cero al 63% de su valor final (máximo) cuando está conectado a una batería de voltaje V. PLANTEAMIENTO La constante de tiempo es t  L
R. Entonces se usa la ecuación para I, se hace I  0.63Imáx y se resuelve para t. SOLUCIÓN a) Por definición, t = L
R  A87.5 * 10 –3 HB
(0.250 ) = 0.350 s. b) Anteriormente se vio que I = (V
R)A1 - e –t
t B. Se quiere encontrar t tal que I  (0.63)(V
R) donde V
R  Imáx. Esto ocurre cuando t  t  L
R, de modo que t  0.350 s.

* 21–12 Circuitos CA y reactancia Previamente se analizaron los circuitos que contienen combinaciones de resistor, capacitor e inductor, pero sólo cuando están conectados a una fuente cd de fem o cuando no están conectados a ninguna fuente (como en la descarga de un capacitor en un circuito RC). Ahora se analizarán estos elementos de circuito cuando están conectados a una fuente de voltaje alterno que produce una corriente alterna (ca). Primero se examinará, uno a la vez, cómo se comporta un resistor, un capacitor y un inductor cuando se conectan a una fuente de voltaje alterno, que se representa mediante el símbolo [voltaje alterno]

R

a) V0 V I0 I

que produce un voltaje sinusoidal de frecuencia f. En cada caso se supone que la fem da lugar a una corriente

t

0

I = I0 cos 2pft, donde t es el tiempo e I0 es la corriente pico. Recuerde (sección 18-7) que Vrms = V0
12 y Irms = I0
12 (ecuación 18-8)

I = I0 cos 2ft V = V0 cos 2ft b)

* Resistor Cuando una fuente ca está conectada a un resistor, como en la figura 21-35a, la corriente aumenta y disminuye con la fem alterna de acuerdo con la ley de Ohm, I  V
R. La figura 21-35b muestra al voltaje (curva gris) y la corriente (curva azul). Puesto que la corriente es cero cuando el voltaje es cero y la corriente alcanza un pico cuando el voltaje lo hace, se dice que la corriente y el voltaje están en fase. La energía se transforma en calor (sección 18-7) a una tasa promedio de g = q 

I 2rmsR  V2rms
R.

I V

FIGURA 21-35 a) Resistor conectado a una fuente ca. b) La corriente (curva azul) está en fase con el voltaje (gris) a través de un resistor.

Resistor: corriente y voltaje están en fase FIGURA 21-36 a) Inductor conecta-

* Inductor En la figura 21-36a, un inductor de inductancia L (símbolo ) está conectado a la fuente ca. Se ignora cualquier resistencia que pueda tener (generalmente es pequeña). El voltaje aplicado al inductor será igual a la “contra” fem generada en el inductor por la corriente variable, como indica la ecuación 21-9. Es por esto por lo que la suma de las fem alrededor de cualquier circuito cerrado debe ser cero, como dice la regla de Kirchhoff. Por ende

¢I ¢I , = 0 o V = L ¢t ¢t donde V es el voltaje de la fuente que varía de forma sinusoidal y L ¢I
¢ t es el voltaje inducido en el inductor. De acuerdo con esta ecuación, I crece más rápidamente cuando V tiene su valor máximo, V  V0. E I disminuirá más rápidamente cuando V  V0. Estos dos instantes corresponden a los puntos d y b en la gráfica de voltaje contra tiempo en la figura 21-36b. Al ir punto por punto de esta forma se puede construir la curva de I contra t, en comparación con la de V contra t, y ambas se muestran con las líneas azul y gris, respectivamente, en la figura 21-36b. Hay que advertir que la corriente alcanza sus picos (y valles) 3 de ciclo después de que el voltaje lo hace. Se dice que en un inductor, la corriente se retrasa del voltaje en 90°. Puesto que la corriente y el voltaje en un inductor están fuera de fase por 90°, el producto IV ( potencia) tan frecuentemente es positivo como negativo (figura 21-36b).

do a una fuente ca. b) La corriente (curva azul) está retrasada del voltaje (curva gris) por un cuarto de ciclo o 90°.

L

V - L

a) V0 I0 0

b)

V

I a

b c

d

e

I = I0 cos 2ft V = –V0 sen 2ft

t V

I

Inductor: corriente retrasada del voltaje

*SECCIÓN 21–12

Circuitos

CA

y reactancia

603

Así que, en un inductor, no se transforma energía en el promedio; y no se disipa energía como energía térmica. Tal como un resistor impide el flujo de carga, del mismo modo un inductor impide el flujo de carga en una corriente alterna debido a la fuerza contraelectromotriz producida. Para un resistor R, la corriente y el voltaje están relacionados por medio de V  IR. Se puede escribir una relación similar para un inductor:

V = IXL , Reactancia

Reactancia inductiva

[

valores rms o pico, no en cualquier instante

]

(21–11a)

donde XL se llama reactancia inductiva. XL tiene unidades de ohms. Las cantidades V e I en la ecuación 21-11a se pueden referir a valores rms para ambos, o a valores pico para ambos (véase la sección 18-7). Aunque esta ecuación relaciona valores pico, la corriente y el voltaje pico no se alcanzan al mismo tiempo; así que la ecuación 21-11a no es válida en un instante particular, como es el caso para un resistor (V  IR). Cálculos minuciosos, así como experimentos, demuestran que

XL = vL = 2pfL, donde v = 2pf y f es la frecuencia de la ca.

(21–11b)

EJEMPLO 21-16 Reactancia de una bobina. Una bobina tiene una resistencia R  1.00  y una inductancia de 0.300 H. Determine la corriente en la bobina si a) se le aplican 120 V cd, b) se le aplican 120 V ca (rms) a 60.0 Hz. PLANTEAMIENTO Cuando el voltaje es cd, no existe reactancia inductiva (XL  2p fL  0, pues f  0), así que se aplica la ley de Ohm para la resistencia. Cuando el voltaje es ca, se calcula la reactancia XL y luego se emplea la ecuación 21-11a. SOLUCIÓN a) Con cd, no se tiene XL, así que simplemente se aplica la ley de Ohm:

V 120 V = = 120 A. R 1.00  b) La reactancia inductiva es I =

XL = 2pfL = (6.28)A60.0 s–1 B(0.300 H) = 113 .

En comparación con esto, la resistencia se puede ignorar. Por tanto

Vrms 120 V = = 1.06 A. XL 113  NOTA Puede ser tentador decir que la impedancia total es 113   1   114 . Esto implicaría que cerca del 1% de la caída de voltaje es a través del resistor, o casi 1 V; y que a través de él la inductancia es de 119 V. Aunque el 1 V a través del resistor es correcto, los otros enunciados no son verdaderos a causa de la alteración en fase en un inductor. Esto se analizará en la siguiente sección. Irms =

FIGURA 21-37 a) Capacitor conectado a una fuente ca. b) La corriente adelanta al voltaje por un cuarto de ciclo, o 90°.

C

a) V0 I0 0

V

V

I a b

c

t

d I

I = I0 cos 2ft V = V0 sen 2ft b)

604

CAPÍTULO 21

* Capacitor Cuando un capacitor está conectado a una batería, las placas del capacitor rápidamente adquieren cargas iguales y opuestas; pero no fluye corriente estable en el circuito. Un capacitor evita el flujo de una corriente cd. Pero si un capacitor está conectado a una fuente de voltaje alterno, como en la figura 21-37a, fluirá continuamente una corriente alterna. Esto ocurre porque, cuando el voltaje ca se enciende por primera vez, la carga comienza a fluir y una placa adquiere una carga negativa y la otra una carga positiva. Pero cuando el voltaje se invierte a sí mismo, las cargas fluyen en la dirección opuesta. Por ende, para un voltaje alterno aplicado, en el circuito se presenta continuamente una corriente ca. El voltaje aplicado debe igualar al voltaje a través del capacitor: V  Q
C, donde C es la capacitancia y Q la carga sobre las placas. De este modo, la carga Q sobre las placas sigue al voltaje. ¿Pero qué hay acerca de la corriente I? En el punto a de la figura 21-37b, cuando el voltaje es cero y comienza a aumentar, la carga sobre las placas es cero. En consecuencia, la carga fluye fácilmente hacia las placas y la corriente I es grande. Conforme el voltaje se aproxima a su máximo de V0 (punto b), la carga que se ha acumulado en las placas tiende a evitar que fluya más carga, así que la corriente I se reduce a cero en el punto b. De este modo, la corriente sigue la curva azul de la figura 21-37b. Como en un inductor, el voltaje y la corriente están

Inducción electromagnética y ley de Faraday

www.elsolucionario.org fuera de fase por 90°. Pero, para un capacitor, la corriente alcanza sus picos 14 de ciclo antes de que lo haga el voltaje, así que se dice que en un capacitor, la corriente adelanta al voltaje por 90°. Como la corriente y el voltaje están fuera de fase, la potencia promedio disipada es cero, tal como para un inductor. Así que sólo una resistencia disipará energía como energía térmica en un circuito ca. Tal como para una inductancia, es posible escribir una relación entre el voltaje aplicado y la corriente en un capacitor: valores rms V = IXC , (21-12a) o pico, donde XC es la reactancia capacitiva y tiene unidades ohms. V e I pueden ser rms o máximos (V0 e I0); XC depende tanto de la capacitancia C como de la frecuencia f:

[

Capacitor: la corriente adelanta al voltaje. Sólo R (ni C ni L) disipa energía.

]

1 , 1 = (21–12b) vC 2pfC donde v = 2pf. Para condiciones cd, f  0 y XC se vuelve infinita, como debería pues un capacitor no pasa corriente cd. XC =

Reactancia capacitiva

EJEMPLO 21-17 Reactancia capacitiva. ¿Cuál es la corriente rms en el circuito de la figura 21-37a si C  1.0 mF y Vrms  120 V? Calcule para a) f  60 Hz y luego para b) f  6.0  105 Hz. PLANTEAMIENTO La reactancia se determina mediante la ecuación 21-12b y se resuelve para la corriente en la forma equivalente de la ley de Ohm (ecuación 21-12a). SOLUCIÓN a) XC = 1
2pfC  1
(6.28)A60 s–1 BA1.0 * 10 –6 FB  2.7 k. La corriente rms es (ecuación 21-12a):

Irms =

Vrms 120 V = = 44 mA. XC 2.7 * 103 

b) Para f  6.0  105 Hz, XC será de 0.27  e Irms  440 A, ¡bastante grande! NOTA La dependencia de f es considerable. Para altas frecuencias, la reactancia capacitiva es muy pequeña. En las figuras 21-38a y b se ilustran dos aplicaciones comunes de los capacitores. En la figura 21-38a, se dice que el circuito A está acoplado capacitivamente al circuito B. El propósito del capacitor es evitar que un voltaje cd pase de A a B, pero sí permitir que una señal ca pase relativamente sin impedimento (si C es suficientemente grande). En la figura 21-38b, el capacitor también pasa ca pero no cd. En este caso, puede mantenerse un voltaje cd entre los circuitos A y B, pero una señal ca

F Í S I C A

A P L I C A D A

Capacitores como filtros

Señal Circuito

A

Circuito

B

C a)

Salida de amplificador

C FIGURA 21-38 a) y b) Dos usos L

Señal

A

comunes de los capacitores. c) Cruce de bocina simple.

B C b)

c)

que salga de A pasa a tierra y no a B. De esta forma, el capacitor en la figura 21-38b actúa como filtro cuando se requiere un voltaje cd; cualquier variación aguda en el voltaje pasará a tierra en lugar de al circuito B. Las bocinas que tienen “woofers” (bocinas de baja frecuencia) y “tweeters” (bocinas de alta frecuencia) separados requieren de un simple “cruce” que consiste en un capacitor en el circuito del tweeter para impedir señales de baja frecuencia, y un inductor en el circuito del woofer para impedir señales de alta frecuencia AXL = 2pfLB. De esta forma, principalmente los sonidos de baja frecuencia alcanzan y son emitidos por el woofer. Observe la figura 21-38c. *SECCIÓN 21–12

F Í S I C A

A P L I C A D A

Cruce de bocinas

Circuitos

CA

y reactancia

605

>y

* 21–13 Circuito CA LRC en serie L

R

C

V FIGURA 21-39 Circuito LRC. P R E C A U C I Ó N

Los voltajes pico no se suman para producir voltaje fuente.

y

* Diagramas de fasores

VL0 = I0 XL

I0 VR0 = I0 R

x

Un circuito LRC se analiza con un diagrama de fasores. En un sistema coordenado xy se dibujan flechas (que se tratan como vectores) para representar cada voltaje. La longitud de cada flecha representa la magnitud del voltaje pico a través de cada elemento:

a)

y VR 0 = I0 R

VR0 = I0 R,

I0 2ft

x VC 0 = I0 XC b)

y VL 0

VR 0 I0 2ft

VL

A continuación se encontrará la impedancia del circuito como un todo y la corriente pico I0. La corriente en cualquier instante debe ser la misma en todos los puntos del circuito. De esta forma, las corrientes en cada elemento están en fase unas con otras, aun cuando los voltajes no lo estén. Se elige el origen en tiempo (t  0) de modo que la corriente I en cualquier tiempo I sea

I = I0 cos 2pft.

VC 0 = I0 XC

VL0 = I0 XL

Ahora se examinará in circuito que contiene los tres elementos en serie: un resistor R, un inductor L y un capacitor C (figura 21-39). Si un circuito dado contiene sólo dos de estos elementos, todavía se pueden usar los resultados de esta sección al hacer R  0, XL  0 o XC  0, según se necesite. VR, VL y VC representan el voltaje a través de cada elemento en un instante dado en el tiempo; y VR0, VL0 y VC0 representan los valores máximos (pico) de dichos voltajes. El voltaje a través de cada uno de los elementos seguirá las relaciones de fase analizadas en la sección previa. En cualquier instante el voltaje V suministrado por la fuente será, por la regla del lazo de Kirchhoff, V = VR + VL + VC . (21-13) Como los diversos voltajes no están en fase, no alcanzan sus valores pico al mismo tiempo, así que el voltaje pico de la fuente V0 no será igual a VR0 + VL0 + VC0 .

I VC VR

x

VL0 = I0 XL ,

y

VC0 = I0 XC .

VR0 está en fase con la corriente e inicialmente (t  0) se dibuja a lo largo del eje x positivo, como está la corriente. VL0 adelanta a la corriente por 90°, así que adelanta a VR0 por 90° e inicialmente se dibuja a lo largo del eje y positivo. VC0 se atrasa a la corriente por 90°, así que VC0 inicialmente se dibuja a lo largo del eje y negativo. Observe la figura 21-40a. Si se hace que el diagrama vectorial gire en sentido contrario a las manecillas del reloj a frecuencia f, se obtiene el diagrama de la figura 21-40b; después de un tiempo t, cada flecha ha girado a través de un ángulo 2pft. Entonces las proyecciones de cada flecha sobre el eje x representan los voltajes a través de cada elemento en el instante t (figura 21-40c). Por ejemplo,I = I0 cos 2pft. La suma de las proyecciones de los tres vectores voltaje representan el voltaje instantáneo a través de todo el circuito, V. En consecuencia, la suma vectorial de estos vectores será el vector que representa el voltaje fuente pico, V0, como se muestra en la figura 21-41, donde se ve que V0 forma un ángulo f con I0 y VR0. Conforme pasa el tiempo, V0 gira con los otros vectores, así que el voltaje instantáneo V (proyección de V0 sobre el eje x) es (figura 21-41)

V = V0 cos(2pft + f).

VC0 c) FIGURA 21-40 Diagrama de fasores para un circuito LRC en serie.

Impedancia

Desde luego, el voltaje V a través de todo el circuito debe ser igual al voltaje fuente (figura 21-39). En consecuencia, el voltaje proveniente de la fuente está fuera de fase con la corriente por un ángulo f. A partir de este análisis ahora es posible determinar la impedancia total Z del circuito, que se define por la relación Vrms  IrmsZ, o V0  I0Z. (21-14)

y V0 VR0

FIGURA 21-41 Diagrama de fasores para un circuito LRC en serie que muestra al vector suma, V0.

VL 0 − VC 0

f I0 V

606

CAPÍTULO 21

Inducción electromagnética y ley de Faraday

2ft

x

A partir de la figura 21-41 se ve, por el teorema de Pitágoras (V0 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo), que

V0 = 3 V2R0 + AVL0 - VC0 B

2

= I0 3 R2 + AXL - XC B . 2

De esta manera, a partir de la ecuación 21-14, la impedancia total Z es

Z = 3 R2 + AXL - XC B . (21-15) También a partir de la figura 21-41 se encuentra el ángulo de fase f entre voltaje y corriente: 2

tan f =

I0 AXL - XC B VL0 - VC0 XL - XC = = VR0 I0 R R

cos f =

VR0 I0 R R = = . V0 I0 Z Z

Impedancia total

(21-16a)

y (21-16b)

La figura 21-41 se dibujó para el caso XL XC, y la corriente se atrasa al voltaje fuente por f. Cuando lo inverso es cierto, XL XC, entonces f en las ecuaciones 21-16 es menor que cero, y la corriente adelanta al voltaje fuente. Anteriormente se vio que la potencia se disipa sólo por una resistencia; ninguna se disipa por inductancia o capacitancia. En consecuencia, la potencia promedio g = I 2rms R. Pero, a partir de la ecuación 21-16b, R  Z cos f. Por consiguiente

g =

I 2rms Z

cos f = Irms Vrms cos f.

Factor de potencia

(21-17)

Al factor cos f se le conoce como factor de potencia del circuito. EJEMPLO 21-18 Circuito LRC. Suponga que R  25.0 , L  30.0 mH y C  12.0 mF en la figura 21-39, y están conectados a una fuente de 90.0 V ca (rms) y 500 Hz. Calcule a) la corriente en el circuito y b) las lecturas (rms) de voltímetro a través de cada elemento. PLANTEAMIENTO Para obtener la corriente, es necesario determinar la impedancia (ecuación 21-15 más ecuaciones 21-11b y 21-12b) y luego se considera Irms  Vrms
Z. Las caídas de voltaje a través de cada elemento se determinan con la ley de Ohm o el equivalente para cada elemento: VR = IR, VL = IXL , y VC = IXC . SOLUCIÓN a) Primero se determina la reactancia del inductor y del capacitor en f  500 Hz  500 s1:

XL = 2pfL = 94.2 ,

XC =

1 = 26.5 . 2pfC

Entonces la impedancia total es

Z = 3 R2 + AXL - XC B = 3(25.0 )2 + (94.2  - 26.5 )2 = 72.2 . 2

A partir de la versión de impedancia de la ley de Ohm, ecuación 21-14

Irms =

Vrms 90.0 V = = 1.25 A. Z 72.2 

b) El voltaje rms a través de cada elemento es

AVR B rms = Irms R = (1.25 A)(25.0 ) = 31.2 V

AVL B rms = Irms XL = (1.25 A)(94.2 ) = 118 V

AVC B rms = Irms XC = (1.25 A)(26.5 ) = 33.1 V. NOTA Estos voltajes no suman el voltaje fuente, 90.0 V (rms). De hecho, el voltaje rms a través de la inductancia supera al voltaje fuente. Esto ocurre porque los diferentes voltajes están fuera de fase mutua, y en cualquier instante un voltaje puede ser negativo, para compensar un gran voltaje positivo de otro. Sin embargo, los voltajes rms siempre son positivos por definición. Aunque los voltajes rms no necesitan sumar el voltaje fuente, los voltajes instantáneos en cualquier tiempo deben sumar el voltaje fuente en dicho instante. *SECCIÓN 21–13

Circuito

CA

LRC en serie

607

www.elsolucionario.org Irms

* 21–14 Resonancia en circuitos CA La corriente rms en un circuito 21-15, 21-11b y 21-12b): Para R pequeña

Vrms = Z

en serie está dada por (véase ecuaciones 21-14,

Vrms 2 1 R2 + a 2pfL b 2pfC C

.

(21-18)

Como la reactancia de los inductores y de los capacitores depende de la frecuencia f de la fuente, la corriente en un circuito LRC depende de la frecuencia. A partir de la ecuación 21-18 se ve que la corriente será un máximo a una frecuencia que satisfaga

Para R grande 0 0.90 f0

Irms =

LRC

f0

1.10 f0

FIGURA 21-42 Corriente en un circuito LRC como función de la frecuencia, que muestra pico de resonancia en

f = f0  (1
2p) 21
LC . Frecuencia resonante

Circuito LC

Oscilaciones EM

2pfL -

1 = 0. 2pfC

Se resuelve esto para f y la solución se llama f0:

f0 =

1 . 1 2p A LC

(21-19)

Cuando f  f0, el circuito está en resonancia y f0 es la frecuencia resonante del circuito. A esta frecuencia, XC  XL, de modo que la impedancia es meramente resistiva. En la figura 21-42 se presenta una gráfica de Irms contra f para valores particulares de R, L y C. Para R más pequeño en comparación con XL y XC, el pico de resonancia será más alto y agudo. Cuando R es muy pequeño, se habla de un circuito LC. La energía en un circuito LC oscila, a frecuencia f0, entre el inductor y el capacitor, con alguna que se disipa en R (cierta resistencia es inevitable). A esto se llama oscilación LC o una oscilación electromagnética. No sólo la carga oscila de ida y vuelta, sino que también lo hace la energía, que oscila entre estar almacenada en el campo eléctrico del capacitor y en el campo magnético del inductor. La resonancia eléctrica se emplea en muchos circuitos. Los aparatos de radio y televisión, por ejemplo, utilizan circuitos resonantes para sintonizar una estación. Mucha frecuencias alcanzan al circuito desde la antena, pero una corriente significativa sólo fluye para frecuencias en o cerca de la frecuencia resonante. L o C son variables, de modo que se pueden sintonizar diferentes estaciones (en el capítulo 22 se verá más acerca de esto).

Resumen El flujo magnético que pasa a través de un lazo es igual al producto del área del lazo por el componente perpendicular de la intensidad del campo magnético: £ B = B⊥ A = BA cos u. (21-1) Si el flujo magnético a través de una bobina de alambre cambia con el tiempo, se induce una fem en la bobina. La magnitud de la fem inducida es igual a la tasa de cambio en el tiempo del flujo magnético a través del lazo por el número N de lazos en la bobina:

e = –N

¢£ B . ¢t

(21-2b)

Ésta es la ley de inducción de Faraday. La fem inducida puede producir una corriente cuyo campo magnético se opone al cambio original en flujo (ley de Lenz). La ley de Faraday también dice que un campo magnético variable produce un campo eléctrico; y que un alambre recto de longitud l que se mueve con rapidez v perpendicular a un campo magnético de intensidad B tiene una fem inducida entre sus extremos igual a

e = Blv.

(21-3) Un generador eléctrico cambia energía mecánica en energía eléctrica. Su operación se basa en la ley de Faraday: se hace girar de manera uniforme una bobina de alambre por medios mecáni-

608

CAPÍTULO 21

cos en un campo magnético, y el flujo variable a través de la bobina induce una corriente sinusoidal, que es la salida del generador. [*Un motor, que opera a la inversa de un generador, actúa como un generador en el sentido de que se induce una fuerza contraelectromotriz en su bobina giratoria. Como esta fuerza contraelectromotriz se opone al voltaje de entrada, puede actuar para limitar la corriente en la bobina de un motor. De manera similar, un generador actúa un poco como un motor en el sentido de que una contra torca actúa sobre su bobina giratoria.] Un transformador, que es un dispositivo para cambiar la magnitud de un voltaje ca, consiste en una bobina primaria y una bobina secundaria. El flujo variable debido a un voltaje ca en la bobina primaria induce un voltaje ca en la bobina secundaria. En un transformador 100% eficiente, la razón de voltajes de salida a entrada (VS
VP) es igual a la razón entre el número de vueltas NS en la secundaria y el número NP en la primaria:

NS VS . = VP NP

(21-6)

La razón entre la corriente secundaria y la primaria está en la razón inversa de las vueltas:

Inducción electromagnética y ley de Faraday

IS NP . = IP NS

(21-7)

Los micrófonos, interruptores de circuito para falla a tierra, sismógrafos y cabezas lectura
escritura para discos de computadora y grabadoras de cinta son aplicaciones de la inducción electromagnética. [*Una corriente variable en una bobina de alambre producirá un campo magnético variable que induzca una fem en una segunda bobina colocada cerca de ella. La inductancia mutua, M, se define mediante

e2 = –M

¢I1 . ¢t

V = IXL ,

¢I . e = –L ¢t

(21-9)]

[*La energía almacenada en una inductancia L que porta corriente I está dada por U = 12 LI 2. Se puede considerar que esta energía está almacenada en el campo magnético del inductor. La densidad de energía u en cualquier campo magnético B está dada por 2 1 B . u = 2 m0

(21-10)]

[*Cuando una inductancia L y un resistor R están conectados en serie a una fuente de fem V, la corriente surge como

V A1 - e –t
t B, R

donde t  L
R es la constante de tiempo. Si la batería se apaga súbitamente del circuito LC, la corriente cae exponencialmente, I  Imáxet
t.

(21-11a)

y a través de un capacitor

V = IXC .

(21-12a)

La reactancia de un inductor aumenta con la frecuencia

XL = 2pfL,

(21-8)]

[*Dentro de una bobina sola, el B variable debido a una corriente variable induce una fem que se opone,
, de modo que una bobina tiene una autoinductancia L definida por

I =

[*La reactancia inductiva y capacitiva, X, definida para los resistores, es la constante de proporcionalidad entre voltaje y corriente (ya sean valores rms o pico). A través de un inductor

(21-11b)

mientras que la reactancia de un capacitor disminuye con la frecuencia f,

XC =

1 . 2pfC

(21-12b)

La corriente a través de un resistor siempre está en fase con el voltaje a través de él, pero en un inductor la corriente se atrasa al voltaje en 90°, y en un capacitor la corriente adelanta al voltaje en 90°]. [*En un circuito LRC en serie, la impedancia total Z se define mediante el equivalente de V  IR para resistencia, a saber,

V0  I0Z Z está dado por

o

Vrms  IrmsZ;

Z = 3 R2 + AXL - XC B . 2

(21-14) (21-15a)]

[*Un circuito LRC en serie resuena a una frecuencia dada por

f0 =

1 1 . 2p A LC

(21-19)

La corriente rms en el circuito es más grande cuando el voltaje aplicado tiene una frecuencia igual a f0 .]

Preguntas 1. ¿Cuál sería la ventaja, en los experimentos de Faraday (figura 21-1), de usar bobinas con muchas vueltas? 2. ¿Cuál es la diferencia entre flujo magnético y campo magnético? 3. Suponga que se sostiene un anillo circular de alambre y súbitamente se empuja un imán, el polo sur primero, alejándose del observador hacia el centro del círculo. ¿Se induce una corriente en el alambre? ¿Se induce una corriente cuando el imán se mantiene estable dentro del anillo? ¿Se induce una corriente cuando se retira el imán? En cada caso, si su respuesta es sí, especifique la dirección. 4. Dos lazos de alambre se mueven en la vecindad de un alambre recto muy largo que porta una corriente estable como se indica en la figura 21-43. Encuentre la dirección de la corriente inducida en cada lazo.

vB

6. En la figura 21-44, determine la dirección de la corriente inducida en el resistor RA cuando a) la bobina B se mueve hacia la bobina A, b) cuando la bobina B se mueve alejándose de A, c) cuando la resistencia RB aumenta.

Bobina B

Bobina A

RB

I

RA FIGURA 21-44 Pregunta 6.

vB FIGURA 21-43 Pregunta 4. 5. Suponga que usted observa a lo largo de una línea a través de los centros de dos lazos de alambres circulares (pero separados), uno detrás del otro. Súbitamente se conecta una batería al lazo frontal, que establece una corriente en sentido de las manecillas del reloj. a) ¿Se inducirá una corriente en el segundo lazo? b) Si es así, ¿cuándo comienza esta corriente? c) ¿Cuándo se detiene? d) ¿Cuál es la dirección de esta corriente? e) ¿Existe una fuerza entre los dos lazos? f) Si es así, ¿en qué dirección?

7. En situaciones donde una pequeña señal debe recorrer una distancia, se usa un “cable blindado” en el que el alambre de señal está rodeado por un aislador y luego es encerrado por un conductor cilíndrico que porta la corriente de regreso. ¿Por qué es necesario un “blindaje”? 8. ¿Cuál es la ventaja de colocar los dos alambres eléctricos aislados portadores de ca juntos o incluso enlazados uno alrededor del otro? * 9. Explique por qué las luces de un refrigerador parpadean brevemente cuando arranca el motor. Cuando un calefactor eléctrico se enciende, las luces pueden parpadear en tanto el calefactor esté encendido. Explique la diferencia.

Preguntas

609

* 10. Utilice las figuras 21-15 y 21-17 más las reglas de la mano de-

* 16. Una barra metálica, pivotada en un extremo, oscila libremen-

recha para demostrar por qué la contra torca en un generador se opone al movimiento. * 11. ¿El freno de corriente parásita (figura 21-20) funcionará en una rueda de cobre o de aluminio, o la rueda debe ser ferromagnética? Explique su respuesta. * 12. Se ha propuesto que las corrientes parásitas se usen para ayudar a clasificar residuos sólidos para reciclado. Primero se aterriza el residuo en pequeños segmentos y se remueve el hierro con un imán cd. Luego el residuo se desliza por un plano inclinado sobre imanes permanentes. ¿Cómo ayudaría esto a separar metales no ferrosos (Al, Cu, Pb, latón) de materiales no metálicos? * 13. La barra de metal pivotada con rendijas de la figura 21-45 cae mucho más rápidamente a través de un campo magnético que una barra sólida. Explique por qué.

te en ausencia de un campo magnético; pero en un campo magnético, sus oscilaciones son amortiguadas rápidamente. Explique por qué. (Este amortiguamiento magnético se utiliza en varios dispositivos prácticos). Un transformador encerrado tiene cuatro alambres guía que salen de él. ¿Cómo podría determinarse la razón de vueltas en las dos bobinas sin abrir el transformador? ¿Cómo podríamos saber cuáles alambres están pareados con cuáles? El uso de líneas de alto voltaje en los hogares –por ejemplo, 600 o 1200 V— reduciría el desperdicio de energía. ¿Por qué no se usan? Un transformador diseñado para una entrada ca de 120 V con frecuencia “se quemará” si se conecta a una fuente cd de 120 V. Explique por qué. [Sugerencia: Considere que la resistencia de la bobina primaria generalmente es muy baja]. ¿Cómo deberían arreglarse dos bobinas circulares planas de modo que su inductancia mutua sea a) máxima, b) mínima (sin separarlas por una gran distancia)? ¿La fem de la batería de la figura 21-33 afecta el tiempo necesario para que el circuito LR alcance a) una fracción dada de su máxima corriente posible, b) un valor dado de corriente? Explique sus respuestas. En un circuito LRC, ¿los voltajes rms a través de a) un inductor, b) un capacitor, pueden ser más grandes que el voltaje rms de la fuente ca? Explique sus respuestas. Describa brevemente cómo la frecuencia de la fuente fem afecta la impedancia de a) una resistencia pura, b) una capacitancia pura, c) una inductancia pura, d) un circuito LRC cerca de resonancia (R pequeña), e) un circuito LRC lejos de resonancia (R pequeña). Describa cómo hacer mínima la impedancia en un circuito LRC.

17.

18.

19.

* 20. Pivote

* 21.

* 22. FIGURA 21-45 Pregunta 13. * 14. Si una hoja de aluminio se mantiene entre los polos de un gran imán de barra, requiere cierta fuerza jalarlo afuera del campo magnético aun cuando la hoja no sea ferromagnética y no toque las caras de los polos. Explique por qué. * 15. Un imán de barra que cae adentro de un tubo metálico vertical alcanza una velocidad terminal incluso si el tubo está al vacío, de modo que no existe resistencia del aire. Explique este hecho.

* 23.

* 24.

Problemas De la 21-1 a la 21-4 Ley de inducción de Faraday 1. (I) El flujo magnético a través de una bobina de alambre que contiene dos lazos cambia de 50 a 38 Wb en 0.42 s. ¿Cuál es la fem inducida en la bobina? 2. (I) El lazo rectangular que se ilustra en la figura 21-46 se empuja en el campo magnético que apunta hacia dentro. ¿En qué dirección está la corriente inducida?

FIGURA 21-46 Problema 2. 3. (I) El polo norte del imán en la figura 21-47 se inserta en la bobina. ¿En qué dirección está la corriente inducida que fluye a través del resistor R?

S

N FIGURA 21-47

R

610

CAPÍTULO 21

4. (I) Un lazo circular de alambre, de 9.6 cm de diámetro, está en un campo magnético de 1.10 T. El lazo se remueve del campo en 0.15 s. ¿Cuál es la fem inducida promedio? 5. (I) Un lazo de alambre, de 12.0 cm de diámetro, inicialmente está orientado de forma perpendicular a un campo magnético de 1.5 T. El lazo se gira de modo que su plano es paralelo a la dirección del campo en 0.20 s. ¿Cuál es la fem inducida promedio en el lazo? 6. (II) Una bobina de alambre, de 10.2 cm de diámetro, inicialmente está orientado de modo que su plano es perpendicular a un campo magnético de 0.63 T que apunta hacia arriba. Durante el curso de 0.15 s, el campo cambia a uno de 0.25 T que apunta hacia abajo. ¿Cuál es la fem inducida promedio en la bobina? 7. (II) Un lazo circular de alambre, de 15 cm de diámetro, se coloca en un campo magnético de 0.50 T. a) Cuando el plano del lazo es perpendicular a las líneas de campo, ¿cuál es el flujo magnético a través del lazo? b) El plano del lazo se gira hasta que forma un ángulo de 35° con las líneas de campo. ¿Cuál es el ángulo u en la ecuación 21-1 para esta situación? c) ¿Cuál es el flujo magnético a través del lazo a este ángulo?

Problema 3.

Inducción electromagnética y ley de Faraday

www.elsolucionario.org 8. (II) a) Si la resistencia del resistor en la figura 21-48 disminuye lentamente, ¿cuál es la dirección de la corriente inducida en el pequeño lazo circular en el interior del lazo más grande? b) ¿Cuál sería si el lazo pequeño se colocase afuera del más grande, hacia la izquierda?

13. (II) Un lazo circular en el plano del papel se encuentra en un campo magnético de 0.75 T y apunta hacia la página. Si el diámetro del lazo cambia de 20.0 a 6.0 cm en 0.50 s, a) ¿cuál es la dirección de la corriente inducida?, b) ¿cuál es la magnitud de la fem inducida promedio? y c) si la resistencia de la bobina es de 2.5 , ¿cuál es la corriente inducida promedio? 14. (II) La barra en movimiento en la figura 21-12 tiene 13.2 cm de largo y genera una fem de 120 mV mientras se mueve en un campo magnético de 0.90 T. a) ¿Cuál es su rapidez? b) ¿Cuál es el campo eléctrico en la barra? 15. (II) Parte de un lazo de alambre rectangular solo, con las dimensiones que se indican en la figura 21-51, está situada en el interior de una región de campo magnético uniforme de 0.550 T. La resistencia total del lazo es de 0.230 W. Calcule la fuerza que se requiere para jalar el lazo desde el campo (hacia la derecha) con una velocidad constante de 3.40 m
s. La gravedad se considera despreciable.

I

FIGURA 21-48 Problema 8.

9. (II) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en el lazo circular debida a la corriente que se muestra en cada parte de la figura 21-49? B

0.350 m

I creciente

F

I decreciente a)

b) 0.750 m FIGURA 21-51 Problema 15.

I constante

I decreciente

d)

c)

FIGURA 21-49 Problema 9. 10. (II) Si el solenoide en la figura 21-50 se jala alejándolo del lazo que se muestra, ¿en qué dirección está la corriente inducida en el lazo?

I

I

FIGURA 21-50 Problema 10.

16. (II) Un solenoide de 500 vueltas y 25 cm de largo, tiene un diámetro de 2.5 cm. Una bobina de 10 vueltas se devana apretadamente alrededor del centro del solenoide. Si la corriente en el solenoide aumenta de manera uniforme de 0 a 5.0 A en 0.60 s, ¿cuál será la fem inducida en la bobina corta durante este tiempo.? 17. (II) En la figura 21-12, la barra se mueve con una rapidez de 1.6 m
s, tiene 30.0 cm de largo y una resistencia de 2.5 . El campo magnético es de 0.35 T y la resistencia del conductor con forma de U es de 25.0  en un instante dado. Calcule a) la fem inducida, b) la corriente en el conductor con forma de U y c) la fuerza externa necesaria para mantener constante la velocidad de la barra en ese instante. 18. (III) Una bobina de 22.0 cm de diámetro tiene 20 vueltas de alambre de cobre circular de 2.6 mm de diámetro. Un campo magnético uniforme, perpendicular al plano de la bobina, cambia a una tasa de 8.65  103 T
s. Determine a) la corriente en el lazo y b) la tasa a la que se produce energía térmica. 19. (III) El campo magnético perpendicular a un solo lazo circular de alambre de cobre, de 13.2 cm de diámetro, disminuye de manera uniforme desde 0.750 T hasta cero. Si el alambre tiene 2.25 mm de diámetro, ¿cuánta carga pasa por un punto en la bobina durante esta operación?

11. (II) El campo magnético perpendicular a un lazo de alambre circular, de 12.0 cm de diámetro, cambia de 0.52 a 0.45 T en 180 ms, donde  significa que el campo apunta alejándose de un observador y  hacia el observador. a) Calcule la fem inducida. b) ¿En qué dirección fluye la corriente inducida?

* 20. (I) Un generador simple genera un voltaje de salida pico de

12. (II) La barra en movimiento en la figura 21-12 tiene 12.0 cm de largo y se jala con una rapidez de 15.0 cm
s. Si el campo magnético es de 0.800 T, calcule a) la fem desarrollada y b) el campo eléctrico que experimentan los electrones en la barra.

240.0 V. La armadura cuadrada tiene devanados de 6.0 cm de lado y gira en un campo de 0.420 T a una tasa de 60.0 rev
s. ¿Cuántos lazos de alambre se deben devanar en la armadura cuadrada?

21-5 Generadores

Problemas

611

* 21. (II) El generador de un automóvil que marcha en vacío a

rriente de salida es de 15.0 A. ¿Cuáles son el voltaje de salida y la corriente de entrada?

1100 rpm produce 12.4 V. ¿Cuál será la salida a una rapidez de rotación de 2500 rpm, si se supone que todo lo demás permanece constante?

37. (II) Si 30 MW de potencia a 45 kV (rms) llegan a una ciudad desde un generador a través de líneas de transmisión de 4.0 , calcule a) la fem en el generador al final de las líneas y b) la fracción de la potencia generada que se pierde en las líneas.

* 22. (II) Demuestre que la salida rms (sección 18-7) de un generador ca es Vrms  NABv
12 , donde v = 2pf. * 23. (II) Un generador simple tiene una bobina cuadrada de 21.0

38. (III) A una ciudad llegan 65 kW mediante dos líneas de 0.100 . Estime cuánta potencia se ahorra si el voltaje se sube de 120 V a 1200 y luego se baja de nuevo, en lugar de simplemente transmitirlo a 120 V. Suponga que los transformadores son un 99% eficientes cada uno.

cm de lado y 320 lazos. ¿A qué rapidez debe girar en un campo de 0.650 T para producir una salida pico de 120 V?

* 24. (II) Una bobina de armadura circular de 450 lazos, con un diámetro de 8.0 cm, gira a 120 rev
s en un campo magnético uniforme de 0.55 T de intensidad. a) ¿Cuál es la salida de voltaje rms del generador? b) ¿Qué debería hacerse a la frecuencia de rotación para que duplique la salida de voltaje rms?

* 21-9 Inductancia * 39. (I) Si la corriente en una bobina de 180 mH cambia de manera estable de 25.0 A a 10.0 A en 350 ms, ¿cuál es la magnitud de la fem inducida?

* 25. (II) Un generador gira a 85 Hz en un campo magnético de 0.030 T. Tiene 1000 vueltas y produce un voltaje rms de 150 V y una corriente rms de 70.0 A. a) ¿Cuál es la corriente pico producida? b) ¿Cuál es el área de cada vuelta de la bobina?

* 21-6 Fuerza contraelectromotriz y torca * 26. (I) Un motor tiene una resistencia de armadura de 3.25 . Si extrae 8.20 A cuando corre a toda rapidez y está conectado a una línea de 120 V, ¿cuál será la fuerza contraelectromotriz?

* 27. (I) La fuerza contraelectromotriz en un motor es de 72 V cuando opera a 1800 rpm. ¿Cuál sería la fuerza contraelectromotriz a 2500 rpm si el campo magnético no cambia?

* 40. (I) ¿Cuál es la inductancia de una bobina si ésta produce una

fem de 2.50 V cuando la corriente en ella cambia de 28.0 mA a 31.0 en 12.0 ms?

* 41. (I) ¿Cuál es la inductancia L de una bobina llena de aire de 0.60 m de largo y 2.9 cm de diámetro que contiene 10,000 lazos? 42. (I) ¿Cuántas vueltas de alambre se requerirían para sacar una inductancia de 130 mH de una bobina llena de aire de * 30.0 cm de largo con un diámetro de 5.2 cm?

*

* 28. (II) La fuerza contraelectromotriz en un motor es de 95 V cuando el motor opera a 1000 rpm. ¿Cómo debería cambiar el campo magnético del motor si se quiere reducir la fuerza contraelectromotriz a 65 V cuando el motor corre a 2500 rpm?

* 29. (II) ¿Cuál será la corriente en el motor del ejemplo 21-9, si la carga provoca que corra a la mitad de la rapidez?

*

21-7 Transformadores [Suponga el 100% de eficiencia, a menos que se indique de otro modo.] 30. (I) Un transformador está diseñado para cambiar 120 V en 10,000, y en la bobina primaria hay 164 vueltas. ¿Cuántas vueltas hay en la bobina secundaria? 31. (I) Un transformador tiene 320 vueltas en la bobina primaria y 120 en la bobina secundaria. ¿Qué tipo de transformador es éste y en qué factor cambia el voltaje? ¿En qué factor cambia la corriente?

*

43. (II) Un inductor cilíndrico lleno de aire tiene 2800 vueltas, 2.5 cm de diámetro y 28.2 cm de largo. a) ¿Cuál es su inductancia? b) ¿Cuántas vueltas se necesitarían para generar la misma inductancia si el núcleo estuviese lleno de hierro? Suponga que la permeabilidad magnética del hierro es aproximadamente 1200 veces la del espacio libre. 44. (II) Una bobina tiene 2.25  de resistencia y 440 mH de inductancia. Si la corriente es de 3.00 A y aumenta a una tasa de 3.50 A
s, ¿cuál es la diferencia de potencial a través de la bobina en este momento? 45. (III) Un largo y delgado solenoide de longitud l y área de sección transversal A contiene N1 vueltas de alambre muy juntas. Alrededor de él está enrollada apretadamente una bobina aislada de N2 vueltas (figura 21-52). Suponga que todo el flujo proveniente de la bobina 1 (el solenoide) pasa a través de la bobina 2 y calcule la inductancia mutua.

N2

32. (I) Un transformador de subida aumenta 25 V a 120. ¿Cuál es la corriente en la bobina secundaria en comparación con la bobina primaria? 33. (I) Las señales de neón requieren 12 kV para su operación. Para operar desde una línea de 240 V, ¿cuál debe ser la razón de vueltas secundarias a primarias del transformador? ¿Cuál sería la salida de voltaje si el transformador se conectase a la inversa? 34. (II) Un transformador de tren a escala se conecta en 120 V ca y extrae 0.35 A mientras suministra 7.5 A al tren. a) ¿Qué voltaje está presente a través de las vías? b) ¿El transformador es de subida o de bajada? 35. (II) El voltaje de salida de un transformador de 95 W es de 12 V y la corriente de entrada es de 22 A. a) ¿Se trata de un transformador de subida o de bajada? b) ¿En qué factor se multiplica el voltaje? 36. (II) Un transformador tiene 330 vueltas primarias y 1340 vueltas secundarias. El voltaje de entrada es de 120 V y la co-

612

CAPÍTULO 21

N1

l FIGURA 21-52 Problema 45.

* 46. (III) El alambre de un solenoide devanado apretadamente se desenrolla y se usa para fabricar otro solenoide también devanado apretadamente pero con el doble de diámetro. ¿En qué factor cambia la inductancia?

* 21-10 Almacenamiento de energía magnética * 47. (I) El campo magnético dentro de un solenoide lleno de aire, de 36 cm de largo y 2.0 cm de diámetro, es de 0.80 T. ¿Aproximadamente cuánta energía se almacena en este campo?

Inducción electromagnética y ley de Faraday

* 48. (II) En un instante dado la corriente a través de un inductor

* 21-13 Circuitos LRC

es de 50.0 mA y aumenta a la tasa de 115 mA
s. ¿Cuál es la energía inicial almacenada en el inductor si se sabe que la inductancia es de 60.0 mH, y cuánto tarda en que la energía aumente en un factor de 10 desde el valor inicial?

* 61. (I) Un resistor de 30 k está en serie con un inductor de 45

* 49. (II) Si se supone que el campo magnético de la Tierra prome-

tados en serie a una fuente ca. Calcule la impedancia del circuito si la frecuencia de la fuente es a) 60 Hz y b) 60,000 Hz.

dia aproximadamente 0.50  104 T cerca de la superficie de la Tierra, estime la energía total almacenada en este campo en los primeros 10 km sobre la superficie terrestre.

* 21-11 Circuito LR * 50. (II) Determine ¢I
¢ t en t  0 (cuando la batería está conectada) para el circuito LR de la figura 21-33 y demuestre que, si I continúa en aumento a esta tasa, alcanzaría su valor máximo en una constante de tiempo.

* 51. (III) ¿Después de cuántas constantes de tiempo la corriente en la figura 21-33 alcanza el a) 10%, b) 1.0% y c) 0.1% de su valor máximo?

mH y una fuente ca. Calcule la impedancia del circuito si la frecuencia de la fuente es a) 50 Hz y b) 3.0  104 Hz.

* 62. (I) Un resistor de 3.5 k y un capacitor de 4.0 mF están conec-

* 63. (I) Para un voltaje de 120 V rms y 60 Hz, una corriente de 70 mA que pase a través del cuerpo humano durante 1.0 s podría ser letal. ¿Cuál debe ser la impedancia del cuerpo para que esto ocurra?

* 64. (II) ¿Cuál es la resistencia de una bobina si su impedancia es de 235 W y su reactancia es de 135 ?

* 65. (II) ¿Cuáles son la impedancia total, el ángulo de fase y la corriente rms en un circuito LRC conectado a una fuente de 725 V (rms) y 10.0 kHz si L  22.0 mH, R  8.70 k y C  6250 pF?

* 52. (III) Dos solenoides apretadamente devanados tienen la mis-

* 66. (III) Un resistor de 2.5 kW en serie con un inductor de 420

ma longitud y área de sección transversal circular. Pero el solenoide 1 contiene alambre que es la mitad de grueso que en el solenoide 2. a) ¿Cuál es la razón de sus inductancias? b) ¿Cuál es la razón de sus constantes de tiempo inductivo (si se supone que no hay otra resistencia en el circuito)?

* 67. (III) a) ¿Cuál es la corriente rms en un circuito RL cuando se

* 21-12 Circuitos CA y reactancia * 53. (I) ¿Cuál es la reactancia de un capacitor de 7.20 mF a una frecuencia de a) 60.0 Hz, b) 1.00 MHz?

* 54. (I) ¿A qué frecuencia un inductor de 22.0 mH tendrá un reactancia de 660 ?

* 55. (I) ¿A qué frecuencia un capacitor de 2.40 mF tendrá una reactancia de 6.70 k?

* 56. (II) Elabore una gráfica de la reactancia de un capacitor de 1.0 mF como función de la frecuencia, de 10 a 1000 Hz.

* 57. (II) Elabore una gráfica de la reactancia de un inductor de 1.0 mH como función de la frecuencia, de 100 a 10,000 Hz. * 58. (II) Calcule la reactancia y la corriente rms en una bobina de radio de 160 mH conectada a una línea de 240 V (rms) y 10.0 kHz. Ignore la resistencia.

* 59. (II) Una bobina de inductancia opera a 240 V y 60.0 Hz. Extrae 12.8 A.¿ Cuál es la inductancia de la bobina?

* 60. (II) a) ¿Cuál es la reactancia de un capacitor de 0.30 mF bien aislado conectado a una línea de 2.0 kV (rms) y 720 Hz? b) ¿Cuál será el valor pico de la corriente?

mH es activado mediante un suministro de potencia ca. ¿A qué frecuencia la impedancia duplica la impedancia a 60 Hz? aplica un voltaje ca de 60.0 Hz y 120 V rms, donde R  1.80 k y L  350 mH? b) ¿Cuál es el ángulo de fase entre voltaje y corriente? c) ¿Cuáles son las lecturas de voltaje rms a través de R y L? RL si R  8.80 kW, C  1.80 mF y el voltaje rms aplicado es de 120 V a 60.0 Hz? b) ¿Cuál es el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente? c) ¿Cuáles son las lecturas de voltímetro a través de R y C?

* 68. (III) a) ¿Cuál es la corriente rms en un circuito

* 21-14 Resonancia en circuitos CA * 69. (I) Un capacitor de 3500 pF está conectado a una bobina de

55.0 mH de 3.00  de resistencia. ¿Cuál es la frecuencia resonante de este circuito?

* 70. (I) El capacitor variable en el sintonizador de un radio

AM

tiene una capacitancia de 2800 pF cuando el radio se sintoniza en una estación a 580 kHz. a) ¿Cuál debe ser la capacitancia para una estación a 1600 kHz? b) ¿Cuál es la inductancia (que se supone constante)? LRC tiene L  14.8 mH y R  4.40 . a) ¿Qué valor debe tener C para producir resonancia a 3600 Hz? b) ¿Cuál será la corriente máxima en resonancia, si el voltaje pico externo es de 150 V?

* 71. (II) Un circuito

Problemas generales 72. Suponga que se observan los dos lazos de corriente en el plano de la página como se muestra en la figura 21-53. Cuando el interruptor S se cierra en la bobina de la izquierda, a) ¿cuál es la dirección de la corriente inducida en el otro lazo? b) ¿Cuál es la situación después de un “largo” tiempo? c) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en el lazo de la derecha si este último se jala rápidamente en dirección horizontal hacia la derecha?

S

73. Un lazo cuadrado de 24.0 cm de lado tiene una resistencia de 5.20 . Inicialmente está en unB campo magnético de 0.665 T, con su plano perpendicular a B, pero se remueve del campo en 40.0 ms. Calcule la energía eléctrica disipada en este proceso. 74. Una lámpara de escritorio de alta intensidad está clasificada en 45 W pero requiere sólo 12 V. Contiene un transformador que convierte 120 V de voltaje casero. a) ¿El transformador es de subida o de bajada? b) ¿Cuál es la corriente en la bobina secundaria cuando la lámpara está encendida? c) ¿Cuál es la corriente en la bobina primaria? d) ¿Cuál es la resistencia de la bombilla cuando está encendida?

FIGURA 21-53 + −

Problema 72.

Problemas generales

613

www.elsolucionario.org 75. En una planta generadora de electricidad ubicada a 118 km de una ciudad que requiere 50 MW de potencia a 12 kV, se producen 24 kV. Dos líneas de transmisión desde la planta hasta la ciudad tienen cada una resistencia de 0.10 
km. ¿Cuál deberá ser el voltaje de salida del transformador en la planta generadora para una eficiencia global de transmisión del 98.5%, si se supone una transformador perfecto? 76. Los devanados primarios de un transformador, que tiene una eficiencia del 80%, están conectados a 110 V ca. Los devanados secundarios están conectados a bombillas de 75 W y 2.4 . a) Calcule la corriente a través de los devanados primarios del transformador. b) Calcule la razón entre el número de devanados primarios y el número de devanados secundarios del transformador. 77. Un par de líneas de transmisión de potencia tienen cada una resistencia de 0.80  y portan 740 A sobre 9.0 km. Si el voltaje rms de entrada es de 42 kV, calcule a) el voltaje en el otro extremo, b) la entrada de potencia, c) la pérdida de potencia en las líneas y d) la salida de potencia. 78. Dos rieles sin resistencia descansan separados 32 cm en una rampa de 6.0°. Está unidos en el fondo por un resistor de 0.60  y en la parte superior por una barra de cobre de 0.040 kg de masa (ignore su resistencia) que atraviesa los rieles. Todo el aparato está sumergido en un campo vertical de 0.55 T. ¿Cuál es la velocidad terminal (estable) de la barra conforme se desliza sin fricción hacia abajo de los rieles? 79. Demuestre que la pérdida de potencia en las líneas de transmisión PP está dada por PP  (PT)2 RL
V2, donde PT es la potencia transmitida al usuario, V es el voltaje entregado y RL es la resistencia de las líneas de potencia. 80. Un bobina con 150 vueltas, 5.0 cm de radio y 12  de resistencia rodea un solenoide que tiene 230 vueltas
cm y 4.5 cm de radio; observe la figura 21-54. La corriente en el solenoide cambia a una tasa constante de 0 a 2.0 A en 0.10 s. Calcule la magnitud y dirección de la corriente inducida en la bobina.

81. Cierto dispositivo electrónico necesita ser protegido contra súbitas sobrecargas en la corriente. En particular, después de que la electricidad se enciende, la corriente no se debe elevar más de 7.5 mA en los primeros 120 ms. El dispositivo tiene 150 W de resistencia y está diseñado para operar a 55 mA. ¿Cómo debería protegerse este dispositivo? 82. Una bobina de 25 vueltas y 12.5 cm de diámetro se coloca entre los polos de un electroimán. Cuando el imán se enciende, el flujo a través de la bobina cambia, e induce una fem. ¿A qué tasa (en T
s) debe cambiar el campo producido por el imán, si la fem será de 120 V?

* 83. Calcule el voltaje de salida pico de un generador simple cuyos devanados de armadura cuadrada tienen 6.60 por lado; la armadura contiene 155 lazos y gira en un campo de 0.200 T a una tasa de 120 rev
s.

* 84. Los grandes valores típicos para campos eléctrico y magnético

logrados en laboratorio son de aproximadamente 1.0  104 V
m y 2.0 T. a) Determine la densidad de energía para cada campo y compare. B) ¿Qué magnitud de campo eléctrico se necesitaría para producir la misma densidad de energía que el campo magnético de 2.0 T?

* 85. ¿Cuál es la inductancia L de la primaria de un transformador cuya entrada es de 220 V a 60.0 Hz, si la corriente extraída es de 5.8 A? Suponga que no hay corriente en la secundaria.

* 86. Una bobina de 130 mH, cuya resistencia es de 18.5 , está conectada a un capacitor C y a una fuente de voltaje de 1360 Hz. Si la corriente y el voltaje deben estar en fase, ¿qué valor debe tener C?

* 87. Una bobina de inductancia extrae 2.5 A cd cuando se conecta a una batería de 36 V. Cuando se conecta a una fuente de 60 Hz y 120 V (rms), la corriente extraída es de 3.8 A (rms). Determine la inductancia y la resistencia de la bobina.

* 88. Un inductor de 135 mH, con 2.0 W de resistencia, se conecta en serie a un capacitor de 20 mF y a una fuente de 60 Hz y 45 V. Calcule a) la corriente rms y b) el ángulo de fase.

* 89. El factor Q de un circuito en resonancia se define como la razón entre el voltaje a través del capacitor (o inductor) y el voltaje a través del resistor, en resonancia. Cuanto más grande sea el factor Q, más aguda será la curva de resonancia y más definida la sintonía. a) Demuestre que el factor Q está dado por la ecuación Q = (1
R) 2L
C . b) A una frecuencia resonante f0  1.0 MHz, ¿cuáles deben ser los valores de L y R para producir un factor Q de 550? Suponga que C  0.010 mF.

I FIGURA 21-54 Problema 80.

Respuestas a los ejercicios A: 0.0102 Wb. B: a) Contraria a las manecillas del reloj; b) en sentido de las manecillas del reloj; c) cero; d) contraria a las manecillas del reloj.

614

CAPÍTULO 21

C: Contraria a las manecillas del reloj. D: 10 vueltas.

Inducción electromagnética y ley de Faraday

Estas antenas con forma de disco, cada una con 25 m de diámetro, están orientadas para recibir ondas de radio del espacio exterior. Las ondas de radio son ondas electromagnéticas (EM) que tienen frecuencias que van desde unos cientos de Hz hasta cerca de 100 MHz. Estas antenas están conectadas electrónicamente en conjunto para captar mayores detalles, y son parte del Very Large Array en Nuevo México, que busca información en los cielos acerca del cosmos. Maxwell predijo la existencia de las ondas EM a partir de sus famosas ecuaciones, que son un magnífico resumen del electromagnetismo.

CAPÍTULO

22

Ondas electromagnéticas

FIGURA 22–1 James Clerk Maxwell.

L

a culminación de la teoría electromagnética en el siglo XIX fue la predicción y la comprobación experimental de que las ondas de los campos electromagnéticos podían viajar a través del espacio. Este logro abrió un mundo completamente nuevo de comunicación: primero hizo posible el telégrafo inalámbrico, luego la radio y la televisión, y más recientemente los teléfonos celulares y los aparatos de control remoto. Además, generó la predicción espectacular de que la luz es una onda electromagnética. La predicción teórica de las ondas electromagnéticas fue obra del físico escocés James Clerk Maxwell (1831-1879; figura 22-1), quien unificó, en una magnífica teoría, todos los fenómenos de la electricidad y el magnetismo.

615

22–1 Los campos eléctricos variables producen campos magnéticos; ecuaciones de Maxwell

Ecuaciones de Maxwell

B

B

E variable produce B

El desarrollo de la teoría electromagnética en la primera parte del siglo XIX por Oersted, Ampère y otros científicos, en realidad, no se realizó en términos de campos eléctricos y magnéticos. La idea del campo la introdujo un poco más tarde Faraday, y no fue de uso generalizado sino hasta que Maxwell demostró que todos los fenómenos eléctricos y magnéticos se podían describir sólo con cuatro ecuaciones referentes a campos eléctricos y magnéticos. Estas ecuaciones, conocidas como ecuaciones de Maxwell, son las ecuaciones básicas de todo el electromagnetismo. Son fundamentales en el mismo sentido en el que las tres leyes del movimiento y la ley de gravitación de Newton lo son para la mecánica. En cierta forma, incluso son más fundamentales, pues son consistentes con la teoría de la relatividad (capítulo 26), mientras que las leyes de Newton no lo son. Puesto que todo el electromagnetismo está contenido en este conjunto de cuatro ecuaciones de Maxwell, se les considera uno de los grandes triunfos del intelecto humano. Aunque las ecuaciones de Maxwell no se presentarán aquí en forma matemática, ya que requieren del cálculo, se resumirán con palabras. Estas ecuaciones son: 1. Una forma generalizada de la ley de Coulomb conocida como ley de Gauss (sección 16-10) que relaciona al campo eléctrico con su fuente, la carga eléctrica; 2. Una ley similar para el campo magnético, excepto que las líneas de campo magnético siempre son continuas: no comienzan ni terminan (como las líneas de campo eléctrico comienzan y terminan sobre las cargas); 3. Un campo magnético variable produce un campo eléctrico (ley de Faraday); 4. Una corriente eléctrica, o un campo eléctrico variable, produce un campo magnético (ley de Ampère). La ley 3 es la ley de Faraday (véase el capítulo 21, en especial la sección 21-4). Oersted descubrió la primera parte de la ley 4, referente a que una corriente eléctrica produce un campo magnético, y la relación matemática está dada por la ley de Ampère (sección 20-8). Pero la segunda parte de la ley 4 es un aspecto completamente nuevo que Maxwell predijo. Él argumentó que, si un campo magnético variable produce un campo eléctrico, como afirma la ley de Faraday, entonces lo inverso también es cierto: un campo eléctrico variable producirá un campo magnético. Ésta fue una hipótesis de Maxwell, con base en la idea de simetría en la naturaleza. De hecho, el tamaño del efecto en la mayoría de los casos es tan pequeño que Maxwell reconoció que sería difícil detectarlo de forma experimental.

* Cuarta ecuación de Maxwell (ley de Ampère extendida) Para respaldar la idea de que un campo eléctrico variable puede producir un campo magnético, se emplea un argumento indirecto que se parece un poco al siguiente. De acuerdo con la ley de Ampère (sección 20-8), ©B∑∑ ¢l = m0 I. Esto es, se divide cualquier trayectoria cerrada que se escoja en segmentos cortos ¢l, se multiplica cada segmento por el componente paralelo del campo magnético B en dicho segmento y luego se suman todos estos productos sobre la trayectoria cerrada completa. Esta suma entonces será igual a m0 por la corriente total I que pasa a través de una superficie acotada por la trayectoria. Cuando se aplicó la ley de Ampère al campo alrededor de un alambre recto (sección 20-8), la corriente se imaginó como pasando a través del área circular encerrada por el lazo circular. El área es la superficie plana 1 que se ilustra en la figura 22-2. Sin embargo, también se pudo haber usado la superficie 2 con forma de saco de la figura 22-2 como la superficie para la ley de Ampère, pues la misma corriente I pasa a través de ella.

FIGURA 22–2 Ley de Ampère aplicada a dos diferentes superficies acotadas por la misma trayectoria cerrada.

616

CAPÍTULO 22

Ondas electromagnéticas

Superficie 2

Trayectoria cerrada Superficie 1 I

www.elsolucionario.org

B

–

E

+ + + + +

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

Trayectoria cerrada

+ + + + + + +

I

+ + + + + + + + + + + + +

Considere ahora la trayectoria cerrada para la situación de la figura 22-3, donde un capacitor se descarga. La ley de Ampère funciona para la superficie 1 (la corriente I pasa a través de la superficie 1), pero no funciona para la superficie 2 porque no pasa corriente a través de esta última. Alrededor del alambre existe un campo magnético, así que el lado izquierdo de la ley de Ampère no es cero alrededor de la trayectoria circular cerrada; como no fluye corriente a través de la superficie 2, el lado derecho es cero para la superficie 2. Parece haber una contradicción con la ley de Ampère. Sin embargo, en la figura 22-3 hay un campo magnético presente sólo si la carga fluye hacia o desde las placas del capacitor. La carga variable sobre las placas significa que el campo eléctrico entre estas últimas cambia en el tiempo. Maxwell resolvió el problema de ausencia de corriente a través de la superficie 2 de la figura 22-3 al proponer que el campo eléctrico variable entre las placas es equivalente a una corriente eléctrica. Él la llamó corriente de desplazamiento, ID. Entonces una corriente ordinaria I se llama “corriente de conducción”, y la ley de Ampère, generalizada por Maxwell, se convierte en

Superficie 1 Superficie 2

FIGURA 22–3 Un capacitor que se descarga. A través de la superficie 2 no pasa ninguna corriente de conducción. En la ley de Ampère se necesita un término adicional.

©B∑∑ ¢l = m0 AI + ID B.

Ahora se aplicará la ley de Ampère a la superficie 2 de la figura 22-3, donde ID se refiere al campo eléctrico variable. Al combinar la ecuación 17-7 para la carga sobre un capacitor, Q = CV, con la ecuación 17-4a, V = Ed, y la ecuación 17-8, C =  0 A
d, se puede escribir Q = CV
( 0 A
d)(Ed) =  0 AE. Entonces la corriente ID se convierte en

¢£ E , ¢Q = 0 ¢t ¢t donde £ E = EA es el flujo eléctrico, que se define en analogía con el flujo magnético (sección 21-2). Entonces, la ley de Ampère se vuelve ¢£ E . ©B∑∑ ¢l = m0 I + m0  0 (22–1) ¢t Esta ecuación incorpora la idea de Maxwell de que un campo magnético se puede producir no sólo mediante una corriente eléctrica normal, sino también por medio de un campo eléctrico variable o un flujo eléctrico variable. ID =

22–2 Producción de ondas electromagnéticas De acuerdo con Maxwell, en el espacio vacío se producirá un campo magnético si existe un campo eléctrico variable. A partir de esto, Maxwell obtuvo otra sorprendente conclusión. Si un campo magnético variable produce un campo eléctrico, ese campo eléctrico en sí mismo es variable. Este campo eléctrico variable, a su vez, producirá un campo magnético, que será variable, y que también producirá un campo eléctrico variable; y así sucesivamente. Cuando Maxwell trabajó con sus ecuaciones, encontró que ¡el resultado neto de esos campos variables en interacción era una onda de campos eléctrico y magnético que se puede propagar (es decir, viajar) a través del espacio! Ahora se examinará, de forma simplificada, cómo se producen tales ondas electromagnéticas. Considere dos barras conductoras que servirán como una “antena” (figura 22-4a). Supongamos que estas dos barras están conectadas con un interruptor a las terminales opuestas de una batería. Tan pronto como el interruptor se cierra, la barra superior rápidamente queda con carga positiva y la inferior con carga negativa. Las líneas de campo eléctrico se forman como se indica con las líneas en la figura 22-4b. Mientras las cargas fluyen, existe una corriente cuya dirección es la indicada por las flechas negras. De esta forma, cerca de la antena se produce un campo magnético. Las líneas de campo magnético encierran en un círculo la antena con forma de barra y en conB secuencia, en la figura 22-4, B apunta hacia la página (z) en el lado derecho y hacia fuera de la página (}) en el izquierdo. Ahora la pregunta es: ¿A qué distancia hacia fuera se extienden estos campos eléctrico y magnético? En el caso estático, los campos se extienden hacia fuera indefinidamente lejos. Sin embargo, cuando se cierra el interruptor de la figura 22-4, los campos aparecen cerca rápidamente, pero toma tiempo para que alcancen puntos distantes. Los campos eléctricos y magnéticos almacenan energía, y esta energía no se puede transferir a puntos distantes con rapidez infinita. SECCIÓN 22–2

Ley de Ampère (generalizada)

FIGURA 22–4 Campos producidos por carga que fluye en conductores.B Toma tiempo para que los campos E B y B viajen hacia fuera a puntos distantes. Los campos se encuentran a la derecha de la antena, pero se mueven hacia fuera en todas direcciones, simétricamente en torno a la antena (vertical).

S + – Cómo se producen las ondas electromagnéticas

a)

+

I

+ +

+ – B

B es hacia fuera b)

B

E

I

B

E

B

E

– – B

–

B es hacia dentro

Producción de ondas electromagnéticas

617

I + –

I a)

I – +

I b) FIGURA 22–5 Secuencia que muestra los campos eléctrico y magnético que se dispersan hacia fuera a partir de cargas en oscilación sobre dos conductores (la antena) conectados a una fuente ca (véase el texto).

Ahora se observará la situación de la figura 22-5, donde la antena está conectada a un generador ca. En la figura 22-5a se acaba de completar la conexión. La carga comienza a acumularse y los campos se forman justo como en la figura 22-4b. Los signos  y  en la figura 22-5a indican la carga neta sobre cada barra. Las flechas negras indican la dirección de la corriente. El campo eléctrico está representado por líneas azules en el plano de la página; y el campo magnético, de acuerdo con la regla de la mano derecha, está hacia dentro (z) o hacia fuera (}) de la página. En la figura 22-5b el voltaje del generador ca ha invertido su dirección; la corriente se invierte y el nuevo campo magnético está en la dirección opuesta. Como los nuevos campos han cambiado su dirección, las líneas antiguas se pliegan para conectarse con alguna de las líneas nuevas y formar lazos cerrados como se muestra.† Sin embargo, las líneas antiguas no desaparecen súbitamente; están en camino a puntos distantes. De hecho, puesto que un campo magnético variable produce un campo eléctrico, y un campo eléctrico variable produce un campo magnético, esta combinación de campos eléctrico y magnético variables que se mueven hacia fuera es autosustentable y ya no depende más de las cargas en la antena. Los campos que no están lejos de la antena, conocidos como campos cercanos, se vuelven bastante complejos, pero este texto no está tan interesado en ellos. El interés principal está en los campos lejos de la antena (que son los que en general se detectan), y a los que se conoce como campo de radiación. Las líneas de campo eléctrico forman lazos, como se ilustra en la figura 22-6, y continúan en movimiento hacia fuera. Las líneas de campo magnético también forman lazos cerrados, pero no se muestran porque son perpendiculares a la página. Aunque las líneas sólo se representan hacia la derecha de la fuente, los campos también viajan en otras direcciones. Las intensidades de campo son mayores en direcciones perpendiculares a las cargas en oscilación; y caen a cero a lo largo de la dirección de oscilación: arriba y abajo de la antena en la figura 22-6. FIGURA 22–6 a) Campos de radiación (lejos de la antena) producidos por una señal sinusoidal en la antena. Los lazos cerrados azules representan líneas de campo eléctrico. Las líneas de campo magnético, perpendiculares a la página y representadas por z y }, también forman lazos cerrados. b) Muy lejos de la antena, los frentes de onda (líneas de campo) son en esencia planos sobre un área bastante grande, y se les conoce como ondas planas.

Dirección de viaje de la onda

Antena a)

b) B

B

B

E ⊥ B ⊥ vB en onda EM

B

Las magnitudes de E y B en el campo de radiación disminuyen con la distancia como 1/r. (Compare esto con el campo eléctrico estático dado por la ley de Coulomb, B donde E disminuye como 1/r 2). La energía portada por la onda electromagnética es proporcional (como para cualquier onda, capítulo 11) al cuadrado de la amplitud E2 o B2, como se discutirá más tarde en la sección 22-7, de modo que la intensidad de la onda disminuye como 1/r 2. A partir de la figura 22-6 se distinguen varias cosas acerca del campo de radiación. Primero, los campos eléctrico y magnético en cualquier punto son perpendiculares entre sí y a la dirección de viaje de la onda. Segundo, se puede ver que los campos alB ternan en dirección B(B es hacia dentro de la página en algunos puntos y hacia fuera de la página en otros; E apunta hacia arriba en algunos puntos y hacia abajo en otros). Así, las intensidades de campo varían de un máximo en una dirección, a cero, a un máximo en la otra dirección. Los campos eléctrico y magnético están “en fase”; es decir, cada uno es cero en los mismos puntos y alcanzan sus máximos en los mismos puntos en el espacio. Por último, muy lejos de la antena (figura 22-6b), las líneas de campo son bastante planas sobre un área razonablemente grande, y a las ondas se les conoce como ondas planas. †

Se consideran ondas que viajan a través del espacio vacío. No hay cargas de donde partan o termiB nen las líneas de E, así que forman lazos cerrados. Las líneas de campo magnético siempre forman lazos cerrados.

618

CAPÍTULO 22

Ondas electromagnéticas

B

E B

B

y

Dirección de movimiento de la onda

x z B

B B

E

Si la fuente de voltaje varía de forma sinusoidal, entonces las intensidades de campo eléctrico y magnético en el campo de radiación también variarán de forma sinusoidal. El carácter sinusoidal de las ondas se muestra en la figura 22-7, que despliega las intensidades de campo como una función de la posición a lo largo de la diB B rección de viaje de la onda. Advierta que B y E son perpendiculares entre sí y a la dirección de viaje de la onda. A estas ondas se les llama ondas electromagnéticas (EM). Son ondas transversales porque la amplitud es perpendicular a la dirección de viaje de la onda. Sin embargo, las ondas EM siempre son ondas de campos, no de materia (como las ondas en el agua o en una cuerda). Como son campos, las ondas EM se propagan en el espacio vacío. Como se ha visto, las ondas EM se producen mediante cargas eléctricas en oscilación y, por tanto, experimentan aceleración. De hecho, en general se dice que las cargas eléctricas en aceleración dan lugar a ondas electromagnéticas. EM: E, v = c = (22–2) B donde c es el símbolo especial para la rapidez de las ondas electromagnéticas en el espacio vacío, mientras que E y B son las magnitudes de los campos eléctrico y magnético en el mismo punto en el espacio. De manera más específica, también se demostró fácilmente que 1 . c = (22–3) 2 0 m0 Cuando Maxwell puso los valores para 0 y 0 encontró 1 1 c = = –12 2 2 –7 2 2 2 0 m0 3 A8.85 * 10 C
N m B A4p * 10 N s
C B = 3.00 * 108 m
s, que es igual a la rapidez de la luz medida en el vacío.

FIGURA 22–7 Intensidades de campo eléctrico y magnético en una B B onda electromagnética. E y B están en ángulos rectos uno con otro. Todo el patrón se mueve Ben dirección perB pendicular tanto a E como a B.

Las cargas eléctricas en aceleración producen ondas EM.

Maxwell dedujo una fórmula para la rapidez de las ondas

c es el símbolo para la rapidez de la luz.

Rapidez de las ondas EM

22–3 La luz como una onda electromagnética y el espectro electromagnético La predicción de Maxwell de que debían existir ondas EM fue sorprendente. Igualmente asombrosa fue la rapidez a la que se predijo que viajaban las ondas EM: 3.00  108 m
s, igual que la rapidez de la luz de acuerdo con las mediciones. Sesenta años antes del trabajo de Maxwell se había demostrado que la luz se comportaba como onda (esto se analizará en el capítulo 24). Pero nadie sabía qué tipo de onda era. ¿Qué es lo que oscila en una onda de luz? Maxwell, sobre la base de la rapidez calculada de las ondas EM, argumentó que la luz debe ser una onda electromagnética. Esta idea pronto llegó a ser aceptada en términos generales por los científicos, pero no del todo, sino hasta después de que las ondas EM se detectaron de forma experimental. Heinrich Hertz (1857-1894) fue el primero en generar y detectar experimentalmente las ondas EM en 1887, ocho años después de la muerte de Maxwell. Hertz utilizó un aparato de brecha de chispa en el que la carga iba rápidamente de ida y vuelta durante corto tiempo, lo que generó ondas cuya frecuencia era de SECCIÓN 22–3

La luz como una onda electromagnética y el espectro electromagnético

619

www.elsolucionario.org aproximadamente 109 Hz. Él las detectó a cierta distancia con un lazo de alambre en el que se producía una fem cuando pasaba a través suyo un campo magnético variable. Más tarde se demostró que estas ondas viajaban a la rapidez de la luz, 3.00  108 m
s, y que exhibían todas las características de la luz, como la reflexión, la refracción y la interferencia. La única diferencia consistía en que no eran visibles. El experimento de Hertz fue una fuerte confirmación de la teoría de Maxwell. Las longitudes de onda de la luz visible se midieron en la primera década del siglo XIX, mucho antes de alguien imaginara que la luz era una onda electromagnética. Se encontró que las longitudes de onda estaban entre 4.0  107 m y 7.5  107 m; o de 400 nm a 750 nm (1 nm
109 m). Las frecuencias de la luz visible se determinan mediante la ecuación 11-12, que aquí se vuelve a escribir: Longitud de onda y frecuencia relacionadas con la rapidez

Espectro EM

c = lf,

(22–4)

donde f y l son la frecuencia y longitud de onda, respectivamente, de la onda. Aquí, c es la rapidez de la luz, 3.00  108 m
s; se le asigna el símbolo especial c por su universalidad para todas las ondas EM en el espacio libre. La ecuación 22-4 dice que las frecuencias de la luz visible están entre 4.0  1014 Hz y 7.5  1014 Hz. (Recuerde que 1 Hz
1 ciclo por segundo
1 s1). Pero la luz visible es sólo un tipo de onda EM. Como se dijo antes, Hertz produjo ondas EM de frecuencia mucho menor, cercanas a 109 Hz, que ahora se conocen como ondas de radio, pues las frecuencias en este rango se utilizan para transmitir señales de radio y televisión. Las ondas electromagnéticas, o radiación EM como a veces se le llama, se han producido o detectado sobre un amplio rango de frecuencias. Generalmente se les clasifica como en la figura 22-8 (véase el anexo a color al final de esta obra), donde se representa el espectro electromagnético.

Longitud de onda (m) 3 × 10 4 m

3 × 10 −8 m

3 × 10 −4 m

3m

Infrarrojo

60 Hz

radio AM

(corriente ca)

10 2

10 4

10 6

Ultravioleta Luz visible

Ondas de radio

Microondas (radar) FM

TV

TV

C2-6

C7+

Teléfonos celulares

10 8

Frecuencia (Hz)

FIGURA 22–8

10 10

Rayos gamma rayos-X

TV por satélite

10 12

10 14

l = 7.5 × 10 −7 m f = 4 × 10 14 Hz

Espectro electromagnético.

3 × 10 −12 m

Luz visible

10 16

10 18

10 20

4.0 × 10 −7 m 7.5 × 10 14 Hz

Es posible generar las ondas de radio y las microondas en el laboratorio con el uso de equipo electrónico (figura 22-5). Las ondas de frecuencia superior son muy difíciles de producir electrónicamente. Éstas y otros tipos de ondas EM se producen en procesos naturales, como en la emisión de los átomos, las moléculas y los núcleos (más adelante se tratará esto). Las ondas EM se pueden producir mediante la aceleración de los electrones u otras partículas cargadas, como los electrones que se aceleran en la antena de la figura 22-5. Otro ejemplo es el de los rayos X, que se producen cuando electrones que se mueven rápidamente se desaceleran con rapidez al golpear un blanco metálico. Incluso la luz visible emitida por una bombilla incandescente ordinaria se debe a electrones que experimentan aceleración dentro del filamento caliente. Más adelante se encontrarán varios tipos de ondas EM. Sin embargo, vale la pena mencionar aquí que la radiación infrarroja (IR) (ondas EM cuya frecuencia apenas es menor que la de la luz visible) es la principal responsable por el efecto de calentamiento del Sol. El Sol no sólo emite luz visible, sino también cantidades sustanciales de IR y UV (rayos ultravioleta). Las moléculas de la piel tienden a “resonar” a frecuencias infrarrojas, así que éstas son las que las personas absorben preferentemente y que las calientan. Los humanos experimentan las ondas EM de manera diferente, dependiendo de sus longitudes de onda: los ojos detectan longitudes de onda entre 4  107 m y 7.5  107 m (luz visible), mientras que la piel detecta longitudes de onda más largas (IR). Muchas longitudes de onda EM no pueden ser detectadas por los humanos.

620

CAPÍTULO 22

Ondas electromagnéticas

La luz y otras ondas electromagnéticas viajan con una rapidez de 3  108 m
s. Compare esto con el sonido (véase el capítulo 12), que viaja a una rapidez aproximada de 300 m
s en el aire, un millón de veces más lento; o con la rapidez típica en las autopistas, de 30 m
s (100 km
h o 60 mi
h), una cifra 10 millones de veces menor que la rapidez de la luz. Las ondas EM difieren de las ondas sonoras en otro sentido: las ondas sonoras viajan en un medio como el aire, e involucran el movimiento de las moléculas del aire; las ondas EM no involucran ningún material, sólo campos, y pueden viajar en el espacio vacío.

P R E C A U C I Ó N

Las ondas sonoras y las EM son diferentes.

EJEMPLO 22–1 Longitudes de onda de las ondas EM. Calcule la longitud de onda a) de una onda EM de 60 Hz, b) de una onda de radio FM de 93.3 MHz y c) de un haz de luz visible roja proveniente de un láser a una frecuencia de 4.74  1014 Hz. PLANTEAMIENTO Todas estas ondas son electromagnéticas, así que su rapidez es c
3.00  108 m
s. Se resuelve para l en la ecuación 22-4: l = c
f. SOLUCIÓN a)

3.00 * 108 m
s c = = 5.0 * 106 m, f 60 s–1 o 5000 km. 60 Hz es la frecuencia de la corriente ca en Estados Unidos y, como se ve aquí, una longitud de onda se propaga a través de todo el territorio continental de EUA. b) 3.00 * 108 m
s l = = 3.22 m. 93.3 * 106 s–1 La longitud de una antena de FM es de alrededor de la mitad de esto A 12 lB, o 1 12 m. c) 3.00 * 108 m
s l = = 6.33 * 10–7 m (
633 nm). 4.74 * 1014 s–1 l =

EJERCICIO A ¿Cuáles son las frecuencias de a) una onda de radio de 80 m de longitud de onda y b) rayos X de 5.5  1011 m de longitud de onda?

EJEMPLO 22–2 ESTIMACIÓN Antena de teléfono celular. La antena de un teléfono celular a menudo tiene 14 de longitud de onda de largo. Un teléfono celular en particular tiene como antena una barra recta de 8.5 cm de largo. Estime la frecuencia de operación de este teléfono. PLANTEAMIENTO La ecuación básica que relaciona rapidez de onda, longitud de onda y frecuencia es c = lf; la longitud de onda l es igual a cuatro veces la longitud de la antena. SOLUCIÓN La antena mide 14 l de largo, así que l = 4(8.5 cm) = 34 cm = 0.34 m. Entonces f = c
l = A3.0 * 10 8 m
sB
(0.34 m) = 8.8 * 10 8 Hz = 880 MHz. NOTA Las antenas de radio no siempre son conductores rectos. Hay conductores con forma de lazo redondo para ahorrar espacio. Observe la figura 22-17b. EJERCICIO B ¿Cuál debe ser la longitud de una antena de 14 l para que el radio de una aeronave puede operar a 165 MHz?

Las ondas electromagnéticas viajan tanto a lo largo de líneas de transmisión como en el espacio vacío. Cuando una fuente de fem está conectada a una línea de transmisión, ya sea que se trate de dos alambres paralelos o de un cable coaxial (figura 22-9), el campo eléctrico dentro del alambre no se establece inmediatamente en todos los puntos a lo largo de los alambres. Esto se basa en el mismo argumento que se usó en la sección 22-2 con relación a la figura 22-5. De hecho, es posible demostrar que, si los alambres están separados por espacio vacío o aire, la señal eléctrica viaja a lo largo de los alambres con la rapidez c
3.0  108 m
s. Por ejemplo, cuando se activa un interruptor de luz, en realidad la luz se difunde una pequeña fracción de segundo más tarde. Si los alambres están en un medio cuya permitividad eléctrica es e y la permeabilidad magnética es m (secciones 17-8 y 20-12, respectivamente), la rapidez no está dada por la ecuación 22-3, sino por

v =

FIGURA 22–9 Cable coaxial.

1 . 1m SECCIÓN 22–3

La luz como una onda electromagnética y el espectro electromagnético

621

EJEMPLO 22–3 ESTIMACIÓN Rapidez de la voz a través de alambres. Cuando se habla por teléfono de Los Ángeles a Nueva York, a unos 4000 km de distancia, ¿cuánto tarda en recorrer esa distancia la señal que porta la voz? PLANTEAMIENTO La señal se porta en un alambre de teléfono o en el aire vía satélite. En cualquier caso, es una onda electromagnética. La electrónica, así como el alambre o el cable, hacen las veces de freno, pero de cualquier forma se considera que la rapidez es c
3.0  108 m
s. SOLUCIÓN Puesto que rapidez
distancia
tiempo, entonces tiempo
distancia
1 s. rapidez
A4.0 * 106 mB
A3.0 * 108 m
sB = 1.3 * 10 –2 s, o alrededor de 100 NOTA Tan pequeña cantidad de tiempo normalmente pasa desapercibida. EJERCICIO C Si la voz de una persona viajara como onda sonora, ¿cuánto tardaría en el ejemplo 22-3?

22–4 Medición de la rapidez de la luz

Michelson mide c.

Galileo intentó medir la rapidez de la luz al tratar de medir el tiempo requerido para que la luz recorriera una distancia conocida entre dos colinas. Pidió a uno de sus asistentes que se instalara en una colina y él mismo se ubicó en otra; ordenó a su asistente levantar la tapa de una lámpara en el instante en que viera un destello de la lámpara de Galileo. El científico midió el tiempo entre el destello de su lámpara y el momento en el que recibió la luz de la lámpara de su asistente. El tiempo fue tan corto que Galileo concluyó que simplemente representaba tiempo de reacción humano, y que la rapidez de la luz debía ser extremadamente elevada. Fue el astrónomo danés Ole Roemer (1644-1710) quien realizó la primera determinación exitosa de que la rapidez de la luz es finita. Roemer había notado que la medición cuidadosa del periodo orbital de Ío, una luna de Júpiter con un periodo promedio de 42.5 h, variaba ligeramente dependiendo del movimiento relativo de la Tierra y Júpiter. Cuando la Tierra se movía alejándose de Júpiter, el periodo de Ío era ligeramente más largo, y cuando la Tierra se movía hacia Júpiter, el periodo era ligeramente más corto. Él atribuyó esta variación en el periodo aparente al cambio en la distancia entre la Tierra y Júpiter durante uno de los periodos de Ío, y el tiempo que tardaba la luz en recorrer esta distancia. Roemer concluyó que la rapidez de la luz, aunque grande, era finita. Desde entonces se han empleado varias técnicas para medir la rapidez de la luz. Entre las más sobresalientes se encuentra la que ideó el estadounidense Albert A. Michelson (1852-1931). Este científico utilizó el aparato de espejos rotatorios, cuyo diagrama se representa en la figura 22-10, para un serie de experimentos de alta precisión realizados entre 1880 y la década de 1920. La luz proveniente de una fuente se dirigía a la cara de un espejo rotatorio de ocho lados. La luz reflejada viajaba hacia un espejo estacionario a una gran distancia y regresaba de nuevo como se indica. Si el espejo rotatorio daba vueltas justo a la tasa correcta, el haz luminoso de

Observador Espejo estacionario FIGURA 22–10 Aparato de Michelson para medir la rapidez de la luz (no a escala).

Espejo rotatorio de ocho lados

Fuente de luz

(Monte Wilson)

(Monte Baldy) 35 km

622

CAPÍTULO 22

Ondas electromagnéticas

www.elsolucionario.org regreso se reflejaría desde una cara del espejo hacia un pequeño telescopio a través del que miraba el observador. Si la rapidez de rotación sólo fuese ligeramente diferente, el haz se desviaría hacia un lado y no lo vería el observador. A partir de la rapidez requerida por el espejo rotatorio y la distancia conocida hacia el espejo estacionario, se podría calcular la rapidez de la luz. En la década de 1920 Michelson colocó el espejo rotatorio en la cima del Monte Wilson, en el sur de California, y el espejo estacionario en el Monte Baldy (Monte San Antonio), a 35 km de distancia. Más tarde midió la rapidez de la luz en el vacío en un largo tubo al vacío. En la actualidad, se considera que la rapidez de la luz, c, en el vacío es

c = 2.99792458 * 108 m
s, y se define como este valor. Esto significa que el estándar para longitud, el metro, ya no se define por separado. En vez de ello, como se explicó en la sección 1-5, el metro se define ahora de manera formal como la distancia que la luz viaja en el vacío en 1
299,792,458 de segundo. Por lo general, c se redondea a

c = 3.00 * 108 m
s cuando no se requieren resultados extremadamente precisos. En el aire, la rapidez apenas es menor que esa cifra.

* 22–5 Energía en ondas EM Las ondas electromagnéticas portan energía de una región del espacio a otra. Esta energía está asociada con los campos eléctrico y magnético en movimiento. En la sección 17-9 se vio que la densidad de energía uE (J
m3) almacenada en un campo eléctrico E es u E = 12  0 E 2 (ecuación 17-11). La densidad de energía almacenada en un campo magnético B, como se analizó en la sección 21-10, está dada por u B = 12 B 2
m 0 (ecuación 21-10). En consecuencia, la energía total almacenada por unidad de volumen en una región del espacio donde exista una onda electromagnética es

u = uE + uB =

1 1 B2 .  0 E2 + 2 2 m0

(22–5)

En esta ecuación, E y B representan las intensidades de los campos eléctrico y magnético de la onda en cualquier instante en una pequeña región del espacio. La ecuación 22-5 se puede escribir sólo en términos del campo E con las ecuaciones 22-2 (B
E
c) y 22-3 (c = 1
1 0 m0) para obtener

u =

1  0 m0 E 2 1  0 E2 + =  0 E 2. 2 2 m0

(22–6a)

Advierta aquí que la densidad de energía asociada con el campo B es igual a la que se debe al campo E, y cada uno aporta la mitad de la energía total. También es posible escribir la densidad de energía sólo en términos del campo B:

u =  0 E 2 =  0 c2B2 =

B2 , m0

(22–6b)

o en un término que contenga tanto a E como a B

u =  0 E 2 =  0 EcB =

 0 EB

2 0 m0

=

0 EB. B m0

(22–6c)

*SECCIÓN 22–5

Energía en ondas

EM

623

B

B

y

x

x z A B

E

FIGURA 22–11 Onda electromagnética

∆ x = c ∆t

que porta energía a través del área A.

La energía que una onda transporta por unidad de tiempo por unidad de área es la intensidad I, como se define en las secciones 11-9 y 12-2.† Las unidades de I son W
m2. La energía que pasa a través de un área A en un tiempo ¢t (figura 22-11) es

¢U = u ¢V = (u)(A ¢x) = A 0 E 2 B (Ac ¢ t)

pues ¢x = c ¢t. Por tanto, la magnitud de la intensidad (energía por unidad de área por unidad de tiempo ¢t, o potencia por unidad de área) es

A 0 E 2 B(Ac ¢ t) ¢U = =  0 cE 2. A ¢t A ¢t A partir de las ecuaciones 22-2 y 22-3, esto también se puede escribir como I =

Intensidad de las ondas EM

I =  0 cE 2 =

c 2 EB . B = m0 m0

(22–7)

La intensidad promedio durante un extenso periodo de tiempo, si E y B son sinusoidales de modo que y = E 20
2 (tal como para corrientes eléctricas y voltajes, sección 18-7), es Intensidad promedio

E0 B0 1 1 c 2 .  0 cE 20 = B0 = (22–8) 2 2 m0 2m0 Aquí E0 y B0 son los valores máximos de E y B. También se puede escribir I =

I =

Erms Brms , m0

donde Erms y Brms son los valores rms (Erms = 3y, Brms = 3¿). EJEMPLO 22–4 E y B provenientes del Sol. La radiación proveniente del Sol alcanza la Tierra (en la parte alta de la atmósfera) a una tasa aproximada de 1350 J
sm2 (
1350 W
m2). Suponga que ésta es una sola onda EM y calcule los valores máximos de E y B. PLANTEAMIENTO Se proporciona la intensidad I = 1350 J
sm2. Se resuelve la ecuación 22-8 AI = 12  0 cE 20 B para E0 en términos de I. SOLUCIÓN

2 A1350 J
sm2 B 2I = –12 2 2 8 C  0 c C A8.85 * 10 C
N m B A3.00 * 10 m
sB = 1.01 * 103 V
m.

E0 =

A partir de la ecuación 22-2, B
E
c, de modo que

E0 1.01 * 103 V
m = = 3.37 * 10–6 T. c 3.00 * 108 m
s NOTA Aunque B tiene un pequeño valor numérico comparado con E (como consecuencia de la forma en que se definen las diferentes unidades de E y B), B aporta a la onda la misma energía que E, como se vio con anterioridad. B0 =

† LaB intensidad I de las ondas EM con frecuencia se llama vector de Poynting y se le asigna el símbolo S. Su dirección es aquella en la que se transporta la energía, que es la dirección en que viaja la onda, y su magnitud es la intensidad (S
I).

624

CAPÍTULO 22

Ondas electromagnéticas

* 22–6 Transferencia de cantidad de movimiento y presión de radiación Si las ondas electromagnéticas portan energía, entonces se puede esperar que también porten cantidad de movimiento lineal. Cuando una onda electromagnética encuentra la superficie de un objeto y se absorbe o refleja, sobre la superficie se ejercerá una fuerza como resultado de la transferencia de cantidad de movimiento (F = ¢p
¢ t), tal como cuando un objeto en movimiento golpea una superficie. La fuerza por unidad de área que las ondas ejercen se denomina presión de radiación y Maxwell predijo su existencia. Él demostró que, si un haz de radiación EM (luz, por ejemplo) es absorbido completamente por un objeto, entonces la cantidad de movimiento transferido es ¢U , radiación ¢p = c d (22–9a) absorbida c donde ¢U es la energía absorbida por el objeto en un tiempo ¢t y c es la rapidez de la luz. Si, en vez de ello, la radiación es reflejada por completo (suponga que el objeto es un espejo), entonces la cantidad de movimiento transferido es el doble de grande, tal como cuando una bola rebota elásticamente sobre una superficie:

2¢U . radiación c d (22–9b) reflejada c Si una superficie absorbe parte de la energía y refleja otra parte, entonces ¢p = a ¢U
c, donde a tiene un valor entre 1 y 2. Mediante la segunda ley de Newton es posible calcular la fuerza y la presión ejercidas por la radiación EM sobre un objeto. La fuerza F está dada por ¢p . F = ¢t La presión de radiación P (si se supone absorción completa) está dada por (véase la ecuación 22-9a) F 1 ¢p 1 ¢U . = P = = A A ¢t Ac ¢ t En la sección 22-5 se explicó que la intensidad promedio I se define como energía por unidad de tiempo por unidad de área: ¢U . I = A ¢t En consecuencia, la presión de radiación es I P = . c Si la luz es reflejada por completo, la presión es el doble de grande (ecuación 22-9b): 2I . P = c ¢p =

Presión de radiación (absorbida) Presión de radiación (reflejada)

EJEMPLO 22–5 ESTIMACIÓN Presión solar. La radiación proveniente del Sol que alcanza la superficie de la Tierra (luego de pasar a través de la atmósfera) transporta energía a una tasa de aproximadamente 1000 W
m2. Estime la presión y la fuerza ejercidas por el Sol sobre la mano estirada de una persona. PLANTEAMIENTO La radiación es reflejada en parte y absorbida en parte, así que simplemente se estima P = I
c.

1000 W
m2 I = L 3 * 10–6 N
m2. c 3 * 108 m
s Según una estimación del área de la mano estirada de una persona es de alrededor de 10 por 20 cm, así que A
0.02 m2. Entonces la fuerza es F = PA L A3 * 10–6 N
m2 BA0.02 m2 B L 6 * 10–8 N. SOLUCIÓN

P L

NOTA Estos números son pequeños. Para efectos de comparación, la fuerza de gravedad sobre la mano es tal vez de media libra, o con m = 0.2 kg, mg L (0.2 kg) A9.8 m
s2 B L 2 N. La presión de radiación sobre la mano es imperceptible comparada con la gravedad. *SECCIÓN 22–6

Transferencia de cantidad de movimiento y presión de radiación

625

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F Í S I C A

A P L I C A D A

Pinzas ópticas

Aunque no es posible sentir directamente los efectos de la presión de la radiación, el fenómeno tiene efectos bastante intensos cuando se aplica a los átomos irradiados por un haz láser finamente enfocado. Un átomo tiene una masa del orden de 1027 kg, y un haz láser puede entregar energía a una tasa de 1000 W
m2. Ésta es la misma intensidad que se considera en el ejemplo 22-5, pero aquí la presión de radiación de 106 N
m2 sería muy significativa sobre una molécula cuya masa podría variar entre 1023 y 1026 kg. Es posible mover átomos y moléculas al dirigirlos con un haz láser, en un dispositivo llamado “pinzas ópticas”. Las pinzas ópticas tienen algunas aplicaciones sobresalientes. Son de gran interés para los biólogos, en especial porque las pinzas ópticas pueden manipular microorganismos vivos y componentes dentro de una célula sin dañarlos. Se han medido las propiedades elásticas del ADN jalando cada extremo de la molécula con tales “pinzas” láser.

* 22–7 Radio y televisión,

comunicación inalámbrica

F Í S I C A

A P L I C A D A

Transmisión “inalámbrica”

Transmisión de ondas de radio

Frecuencia portadora

Las ondas electromagnéticas ofrecen la posibilidad de transmitir información a través de largas distancias. Uno de los primeros en darse cuenta de esto y de ponerlo en práctica fue Guglielmo Marconi (1874-1937), quien, en la década de 1890, inventó la radio y desarrolló la telegrafía inalámbrica. Estos medios permiten enviar mensajes a la velocidad de la luz sin utilizar cables. Las primeras señales fueron meramente pulsos largos y cortos que se podían traducir en palabras mediante un código, como los “puntos” y “rayas” del código Morse: eran inalámbricos digitales, créanlo o no. En 1895, Marconi envió señales inalámbricas a un kilómetro o dos. Hacia 1901 había enviado señales de prueba a 3000 km a través del océano, desde Newfoundland, Canadá, hasta Cornwall, Inglaterra. En 1903, envió el primer mensaje comercial práctico desde Cabo Cod, Massachusetts, hacia Inglaterra: el Times de Londres imprimió las noticias que le envió su corresponsal en Nueva York. 1903 también fue el año del primer vuelo en aeroplano de motor realizado por los hermanos Wright. Los hitos de la era moderna (la comunicación inalámbrica y la posibilidad de volar) datan del mismo año. La década siguiente presenció el desarrollo de los tubos al vacío. A partir de estos trabajos primigenios nacieron la radio y la televisión. Ahora se explicará brevemente 1. cómo se transmiten las señales de radio y televisión, y 2. cómo se reciben en el hogar. El proceso mediante el cual una estación de radio transmite información (palabras y música) se describe en la figura 22-12. La información de audio (sonido) se convierte en señal eléctrica de las mismas frecuencias mediante un micrófono o una cabeza grabadora. Esta señal eléctrica se llama señal de audiofrecuencia (AF), pues las frecuencias están en el rango de audio (20 a 20,000 Hz). La señal se amplifica electrónicamente y luego se mezcla con una señal de radio-frecuencia (RF) llamada su frecuencia portadora, que representa a dicha estación. Las estaciones de radio AM tienen frecuencias portadoras que van de 530 hasta 1700 kHz. Por ejemplo, “710 en el cuadrante del radio” significa una estación cuya frecuencia portadora es de 710 kHz. Las estaciones de radio FM tienen frecuencias portadoras mucho más altas, entre 88 y 108 MHz. Las frecuencias portadoras para la transmisión de estaciones de televisión en Estados Unidos se encuentran entre 54 y 88 MHz, entre 174 y 216 MHz, y entre 470 y 890 Mhz.

FIGURA 22–12 Diagrama de bloques de una estación transmisora de radio.

Ondas sonoras

Señal Señal de audio de audio (eléctrica) Amplificador (amplificada) Micrófono

AF

Antena de transmisión Mezcladora

Señal modulada Amplificador

Señal RF
portadora Oscilador RF

626

CAPÍTULO 22

Ondas electromagnéticas

RF

Programa (audio)

Programa (audio)

Portadora

Portadora

Señal total (AM)

Señal total (FM)

FIGURA 22–13 En amplitud modulada (AM), la amplitud de la señal portadora varía en proporción a la amplitud de la señal de audio.

FIGURA 22–14 En frecuencia modulada (FM), la frecuencia de la señal portadora cambia en proporción con la amplitud de la señal de audio. Este método lo usan la radio FM y la televisión.

La mezcla de la frecuencia de audio y de la frecuencia portadora se realiza de dos formas. En amplitud modulada (AM), la amplitud de la onda portadora de alta frecuencia se varía en proporción a la amplitud de la señal de audio, como se muestra en la figura 22-13. Se llama “amplitud modulada” porque la amplitud de la onda portadora se altera (“modular” significa cambiar o alterar). En frecuencia modulada (FM), la frecuencia de la onda portadora se cambia en proporción con la amplitud de la señal de audio, como se ilustra en la figura 22-14. La señal mezclada se amplifica aún más y se envía a la antena transmisora, donde la mezcla compleja de frecuencias se envía en la forma de ondas EM. Un transmisor de televisión funciona de forma similar, con el uso de FM para audio y AM para video; ambas señales, audio y video (sección 17-10), se mezclan con frecuencias portadoras. Antena receptora Señal Sintonizador y amplificador RF

RF

Señal de Bocina audio Amplificador Demodulador AF

Ahora se observará el otro lado del proceso, es decir, la recepción en casa de programas de radio y televisión. En la figura 22-15 está diagramado un receptor de radio simple. Las ondas EM enviadas por todas las estaciones son recibidas por la antena. La señal que la antena detecta y envía al receptor es muy pequeña y contiene frecuencias provenientes de muchas estaciones diferentes. El receptor selecciona una frecuencia RF particular (en realidad, un estrecho rango de frecuencias) que corresponden a una estación particular, por medio de un circuito LC resonante (sección 21-14). En la figura 22-16 se muestra una forma simple de sintonizar una estación. Una estación particular se “sintoniza” al ajustar C y
o L de modo que la frecuencia resonante del circuito iguale la de la frecuencia portadora de la estación. La señal, que contiene tanto frecuencias de audio como la portadora, pasa a continuación al demodulador o detector (figura 22-15), donde ocurre la “demodulación”; es decir, la frecuencia portadora RF se separa de la señal de audio. La señal de audio se amplifica y se envía a una bocina o audífonos. Los receptores modernos tienen más estaciones que los mostrados. Se dispone de varios medios para aumentar la sensibilidad y la selectividad (habilidad para detectar señales débiles y distinguirlas de otras estaciones), y para reducir al mínimo la distorsión de la señal original.†

F Í S I C A AM

A P L I C A D A

y FM

FIGURA 22–15 Diagrama de bloques de un receptor de radio simple.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Receptores de radio y televisión

FIGURA 22–16 Sintonización simple de una estación de radio.

Antena

Transistor amplificador Circuito de sintonía

C

†

Para la transmisión de FM estéreo, dos señales son transportadas por la onda portadora. Una señal contiene frecuencias por arriba de 15 kHz, lo que incluye a la mayoría de las frecuencias de audio. La otra señal incluye el mismo rango de frecuencias, pero a ella se suman 19 kHz. Un receptor estéreo resta esta señal de 19,000 Hz y distribuye las dos señales a los canales izquierdo y derecho. La primera señal consiste en la suma de los canales izquierdo y derecho (I  D), de modo que los radios monoaurales detectan todo el sonido. La segunda señal es la diferencia entre los canales izquierdo y derecho (I  D). En consecuencia, el receptor debe sumar y restar las dos señales para obtener una señal pura izquierda y derecha para cada canal.

*SECCIÓN 22–7

Radio y televisión, comunicación inalámbrica

627

Un receptor de televisión hace cosas similares tanto a las señales de audio como a las de video. La señal de audio pasa finalmente a la bocina, y la señal de video al monitor, que puede ser un tubo de rayos catódicos (TRC) o una pantalla LCD (secciones 17-10 y 24-11). Un tipo de antena consta de una o más barras conductoras; el campo eléctrico en las ondas EM ejerce una fuerza sobre los electrones en el conductor, lo que los incita a moverse de ida y vuelta a las frecuencias de las ondas (figura 22-17a). Un segundo tipo de antena consiste en una bobina tubular de alambre que detecta el campo magnético de la onda: el campo B variable induce una fem en la bobina (figura 22-17b). Un plato satelital (figura 22-18) consiste en un reflector parabólico que enfoca las ondas EM en un “cuerno”, similar a un telescopio de espejo cóncavo (figura 25-21).

Televisión

Antenas

Barra de antena B

E

Antena de lazo

I Corriente producida B

E

por el campo eléctrico

B

B

B

B

Corriente inducida

Dirección de la onda EM

Hacia el receptor B

B

B

B

E B

E

a)

B

b)

Hacia el receptor (aparato de TV)

FIGURA 22–17 Antenas. a) El campo eléctrico de una onda EM produce una corriente en una antena constituida por un alambre recto o barras. b) El campo magnético variable induce una fem y una corriente en una antena de lazo. FIGURA 22–18 Plato satelital.

EJEMPLO 22–6 Sintonizar una estación. Calcule la longitud de onda de transmisión de una estación de radio FM que transmite a 100 MHz. PLANTEAMIENTO La radio se transmite como una onda EM, de modo que la rapidez es c
3.0  108 m
s. La longitud de onda se encuentra a partir de la ecuación 22-4, l = c
f. SOLUCIÓN La frecuencia portadora es f = 100 MHz = 1.0 * 108 s–1, así que

l =

A3.0 * 108 m
sB c = = 3.0 m. f A1.0 * 108 s–1 B

NOTA Las longitudes de onda de otras señales FM (entre 88 y 108 MHz) están cerca de la longitud de onda de 3.0 m de esta estación. Las antenas de FM por lo general tienen 1.5 m de largo, o casi media longitud de onda. Esta longitud de onda se elige de modo que la antena reaccione de forma resonante por lo que será más sensible a frecuencias FM. Las antenas de radio AM tendrían que ser mucho más largas, ya sea para 12 l o 14 l.

Otras comunicaciones mediante ondas EM F Í S I C A

A P L I C A D A

Teléfonos celulares, radiocontrol, control remoto, tv por cable, y tv y radio satelitales

628

CAPÍTULO 22

Las diversas regiones del espectro de onda de radio están asignadas por las agencias gubernamentales para varios propósitos. Además de las mencionadas anteriormente, existen “bandas” asignadas para uso exclusivo de barcos, aviones, la policía, el ejército, los aficionados, los satélites, las comunicaciones en el espacio y los radares. Los teléfonos celulares, por ejemplo, son completos transmisores y receptores de radio que, en Estados Unidos, funcionan en dos bandas diferentes: 800 MHz y 1900 MHz (
1.9 GHz), mientras que en Europa y Asia se usan las bandas de 900 MHz y 1800 MHz en el estándar internacional denominado GSM (Global System for Mobile Communication, Sistema Global para Comunicación Móvil). Los juguetes de radiocontrol (carros, botes, animales robóticos, etcétera) utilizan varias frecuencias, desde 27 hasta 75 MHz. El control remoto (llave) de automóviles opera alrededor de 300 o 400 MHz. Los canales de televisión por cable son transportados como ondas electromagnéticas a lo largo de un cable coaxial (figura 22-9) en lugar de transmitirse y recibirse a través del “aire”. Los canales están en la misma parte del espectro EM, es decir, en el rango de cientos de MHz, pero algunos están en frecuencias no disponibles para la transmisión de televisión. La televisión y la radio digitales satelitales son transportadas en la porción de microondas del espectro (12 a 14 GHz y 2.3 GHz, respectivamente).

Ondas electromagnéticas

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Resumen James Clerk Maxwell sintetizó una elegante teoría en la que todos los fenómenos eléctricos y magnéticos se podían describir mediante cuatro ecuaciones, ahora llamadas ecuaciones de Maxwell. Éstas se basan en ideas anteriores, pero Maxwell agregó una más: que un campo eléctrico variable produce un campo magnético. La teoría de Maxwell predijo que, al acelerar cargas eléctricas, se producirían ondas electromagnéticas (EM) transversales, y que tales ondas se propagarían (o moverían) a través del espacio a la rapidez de la luz, dada por la fórmula

c =

1

2 0 m0

.

(22–3)

La longitud de onda l y la frecuencia f de las ondas tán relacionadas con su rapidez c mediante

Los campos eléctrico y magnético que oscilan en una onda son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. Esas ondas son ondas de campos, no de materia, y se pueden propagar en el espacio vacío.

es-

c = lf, (22–4) tal como sucede con otras ondas. Después de que las ondas EM se detectaron de forma experimental, la idea de que la luz es una onda EM (de muy alta frecuencia) se volvió ampliamente aceptada. El espectro electromagnético incluye ondas EM de una amplia variedad de longitudes de onda, desde microondas y ondas de radio hasta luz visible, rayos X y rayos gamma, todas las cuales viajan a través del espacio con una rapidez c
3.0  108 m
s. [*La intensidad promedio (W
m2) de una onda EM es I =

EM

EM

1 1 c 2 1 E0 B0 ,  0 cE 20 = B0 = 2 2 m0 2 m0

(22–8)

donde E0 y B0 son los valores pico de los campos eléctrico y magnético en la onda, respectivamente]. [*Las ondas EM portan cantidad de movimiento y ejercen una presión de radiación proporcional a la intensidad I de la onda].

Preguntas 1. El campo eléctrico en una onda EM que viaja al norte oscila en un plano este-oeste. Describa la dirección del vector de campo magnético en esta onda. 2. ¿El sonido es una onda electromagnética? Si no es así, ¿qué tipo de onda es? 3. ¿Las ondas EM pueden viajar a través de un vacío perfecto? ¿Pueden hacerlo las ondas sonoras? 4. Cuando se enciende un interruptor de luz, ¿la luz se enciende inmediatamente? Explique este hecho. 5. ¿Las longitudes de onda de las señales de radio y televisión son más largas o más cortas que las que puede detectar el ojo humano? 6. Cuando se conectan dos bocinas a la salida de un amplificador estéreo, ¿debemos asegurarnos de que los alambres guía tienen igual longitud para evitar que haya un retraso de tiempo entre las bocinas? Explique su respuesta. 7. En el espectro electromagnético, ¿qué tipo de onda EM tendría una longitud de 103 km? ¿De 1 km? ¿1 m? ¿1 cm? ¿1 mm? ¿1 mm?

8. ¿Las ondas de radio pueden tener las mismas frecuencias que las ondas sonoras (20 a 20,000 Hz)? * 9. ¿Dos estaciones de radio o televisión pueden transmitir en la misma frecuencia portadora? Explique su respuesta. * 10. Si un transmisor de radio tiene una antena vertical, para obtener una mejor recepción ¿la antena del receptor (tipo barra) debe ser vertical u horizontal? * 11. Las frecuencias portadoras de las transmisiones de FM son mucho más altas que las de transmisión AM. Sobre la base de lo que ha aprendido acerca de la difracción en el capítulo 11, explique por qué las señales AM se pueden detectar más fácilmente que las señales FM detrás de los cerros bajos o edificios. * 12. Discuta cómo usan las ondas EM los teléfonos inalámbricos. ¿Y los teléfonos celulares? * 13. Una persona perdida puede enviar señales mediante el encendido y apagado de una lámpara de mano, con el código Morse. En realidad, ésta es una onda EM modulada. ¿Es AM o FM? ¿Cuál es la frecuencia de la onda portadora, aproximadamente?

Problemas B

B

22–1 E variable produce B

* 1. (II) En un instante dado, una corriente de 1.8 A fluye en los alambres conectados a un capacitor de placas paralelas. ¿Cuál es la tasa a la que varía el campo eléctrico entre las placas si las placas cuadradas tienen 1.60 cm por lado?

* 2. (II) Un capacitor de 1200 nF con placas paralelas circulares de 2.0 cm de diámetro acumula carga a la tasa de 35.0 mC
s en cierto instante. ¿Cuál será la magnitud del campo magnético inducido a 10.0 cm radialmente hacia fuera desde el centro de las placas? ¿Cuál será la magnitud del campo después de que el capacitor esté completamente descargado? 22–2 Ondas EM 3. (I) Si el campo magnético en una onda EM viajera tiene una magnitud pico de 17.5 nT en un punto dado, ¿cuál es la magnitud pico del campo eléctrico?

4. (I) En una onda EM que viaja hacia el oeste, el campo B oscila verticalmente y tiene una frecuencia de 80.0 kHz y una intensidad rms de 6.75  109 T. ¿Cuáles son la frecuencia e intensidad rms del campo eléctrico, y cuál es su dirección? [Sugerencia: Observe la figura 22-7]. 22–3 y 22–4 Espectro EM y rapidez 5. (I) ¿Cuál es la frecuencia de una microonda cuya longitud de onda es de 1.60 cm? 6. (I) ¿Cuál es la longitud de onda de una señal de radar de 29.75  109 Hz? 7. (I) Una onda EM tiene una frecuencia de 9.66  1014 Hz. ¿Cuál es su longitud de onda y cómo se le clasificaría? 8. (I) Una onda EM tiene una longitud de onda de 650 nm. ¿Cuál es su frecuencia y cómo se le clasificaría? 9. (I) ¿Cuánto le toma a la luz llegar del Sol a la Tierra, a 1.50  108 km de distancia?

Problemas

629

10. (I) Una banda de transmisión de radio de “onda corta” ampliamente usada se conoce como una banda de 49 m. ¿Cuál es la frecuencia de una señal de radio de 49 m?

* 22. (II) Un láser de 12.8 mW emite un estrecho haz de 1.75 mm

11. (II) La estrella más cercana a la Tierra (distinta al Sol) está a 4.2 años luz de distancia. Es decir, la luz que emite la estrella tarda 4.2 años en llegar a la Tierra. ¿A qué distancia, en metros, está esa estrella?

* 23. (II) Estime la salida de potencia promedio del Sol, dado que

12. (II) Un año luz es una medida de distancia (no de tiempo). ¿Cuántos metros recorre la luz en un año? 13. (II) ¿Cuánto tardaría en llegar a Marte, a) cuando está más cerca de la Tierra y b) cuando está más lejos de la Tierra, un mensaje enviado como ondas de radio? [Sugerencia: Consulte la tabla 5-2, p. 125]. 14. (II) ¿Cuál es la rapidez angular mínima a la que habría tenido que girar el espejo de ocho lados de Michelson, para reflejar con éxito la luz en el ojo de un observador mediante las caras del espejo (figura 22-10)? 15. (II) Un estudiante quiere reducir la escala del experimento de rapidez de luz de Michelson a un tamaño que quepa en una habitación. Tiene a su disposición un espejo de seis caras y el espejo estacionario se puede motar a 12 m del espejo rotatorio. Si el ordenamiento es como el que se ilustra en la figura 22-10, ¿a qué tasa mínima debe girar el espejo? 16. (II) ¿Quién escuchará primero la voz de un cantante: una persona en el palco situado a 50.0 m de distancia del escenario (figura 22-19); o una persona a 3000 km de distancia, en su casa, cuya oreja está cerca de la radio? ¿Cuánto más rápido? Suponga que el micrófono está a unos pocos centímetros del cantante y que la temperatura es de 20°C.

de diámetro. ¿Cuáles son los valores promedio (rms) de E y B en el haz? aproximadamente 1350 W
m2 alcanzan la atmósfera superior de la Tierra. EM es de 2.5  107 T, a) ¿cuál es la amplitud del campo E? b) ¿Cuál es la potencia promedio por unidad de área de la onda EM?

* 24. (II) Si la amplitud del campo B de una onda

* 25. (II) Un láser pulsátil de alta energía emite un pulso de 2.8  1011 W de potencia promedio y 1.0 ns de longitud. El haz tiene 2.2  103 m de radio. Determine a) la energía entregada en cada pulso y b) el valor rms del campo eléctrico.

* 22–6 Presión de radiación * 26. (II) Estime la presión de radiación debida a una bombilla de 100 W a un distancia de 8.0 cm del centro de la bombilla. Estime la fuerza ejercida sobre la punta del dedo de una persona si lo coloca en este punto.

* 22–7 Radio, TV * 27. (I) ¿Cuál es el rango de longitudes de onda para a) radio FM (de 88 a 108 MHz) y b) radio

AM

(de 535 a 1700 kHz)?

* 28. (I) Estime la longitud de onda para la recepción de un teléfono celular de 1.9 GHz.

* 29. (I) Compare los 940 en el cuadrante

AM con el 94 en el cuadrante FM. ¿Cuál tiene la longitud de onda más larga y en qué factor es más larga?

* 30. (I) ¿Cuáles son las longitudes de onda para dos canales de

50.0 m

televisión que transmiten a 54.0 MHz (canal 2) y 806 MHz (canal 69)?

* 31. (I) El capacitor variable en el sintonizador de un radio FIGURA 22–19 Problema 16. 17. (II) Los láser de pulso que se usan en ciencia y medicina producen ráfagas muy cortas de energía electromagnética. Si la longitud de onda de la luz láser es de 1062 nm (esto corresponde a un láser neodimio-YAG) y el pulso dura 32 picosegundos, ¿cuántas longitudes de onda se encuentran dentro del pulso láser? ¿Cuán corto necesitaría ser el pulso para contener sólo una longitud de onda?

* 22–5 Energía en ondas EM B * 18. (I) El campo E en una onda

EM en el espacio libre tiene un pico de 21.8 mV
m. ¿Cuál es la tasa promedio a la que esta onda porta energía a través de una unidad de área por unidad de tiempo?

* 19. (II) El campo magnético en una onda

EM viajera tiene una intensidad rms de 28.5 nT. ¿Cuánto tarda en entregar 235 J de energía a 1.00 cm2 de una pared a la que golpea de forma perpendicular?

* 20. (II) ¿Cuánta energía se transporta por hora a través de un área de 1.00 cm2 mediante una onda una intensidad rms de 38.6 mV
m?

* 21. (II) Una onda

EM

cuyo campo E tiene

que se dispersa de manera esférica, proviene de una fuente de 1200 W. A una distancia de 10.0 m, ¿cuál es la intensidad promedio y cuál es el valor rms del campo eléctrico?

630

EM,

CAPÍTULO 22

Ondas electromagnéticas

AM

tiene una capacitancia de 2800 pF cuando el radio se sintoniza en una estación a 550 kHz. ¿Cuál debe ser la capacitancia para una estación cerca del otro extremo del cuadrante, que corresponde a 1610 kHz?

* 32. (I) El oscilador de una estación

FM de 96.1 MHz tiene una inductancia de 1.8 H. ¿Cuál debe ser el valor de la capacitancia?

* 33. (II) Cierto circuito sintonizador de radio

FM tiene un capacitor fijo de C
840 pF. La sintonización se realiza mediante una inductancia variable. ¿Qué rango de valores debe tener la inductancia para sintonizar estaciones desde 88 hasta 108 MHz?

* 34. (II) Un operador de radio aficionado quiere construir un receptor capaz de sintonizar un rango desde 14.0 hasta 15.0 MHz. Un capacitor variable tiene una capacitancia mínima de 82 pF. a) ¿Cuál es el valor requerido de la inductancia? b) ¿Cuál es la máxima capacitancia usada en el capacitor variable?

* 35. (II) Un satélite emite un haz de radiación de microondas con una potencia de 10 kW hacia la superficie de la Tierra, a 550 km de distancia. Cuando el haz golpea la Tierra, su diámetro circular es de aproximadamente 1500 m. Determine la intensidad rms del campo eléctrico del haz.

* 36. (III) Una antena FM de 1.60 m de largo se orienta paralela al campo eléctrico de una onda EM. ¿Cuán grande debe ser el campo eléctrico para producir un voltaje de 1.00 mV (rms) entre los extremos de la antena? ¿Cuál es la tasa de transporte de energía por metro cuadrado?

Problemas generales 37. Si el Sol fuese a desaparecer, o de algún modo cambiara radicalmente su salida, ¿cuánto tiempo nos tomaría darnos cuenta de ello en la Tierra? 38. El filamento de una bombilla ordinaria emite luz en una ráfaga de trenes de ondas de aproximadamente 108 s de duración. ¿Cuál es la longitud en el espacio de tales trenes de ondas? 39. a) ¿Cuánto tiempo le tomó a un mensaje enviado desde la Tierra llegar a los primeros astronautas en la Luna? b) ¿Cuánto le tomará a un mensaje enviado desde la Tierra llegar a los primeros astronautas que lleguen a Marte; suponga que Marte está en su punto más cercano a la Tierra (78  106 km)? 40. Una señal de voz de radio proveniente de la tripulación del Apolo en la Luna (figura 22-20) fue enviada a una multitud que escuchaba en las bocinas de los radios. Si una persona estaba ubicada a 25 m de la bocina, ¿cuál fue el tiempo total de retraso entre el momento en que escuchó el sonido y el momento en que el sonido dejó la Luna?

tro y 380 lazos, si la onda EM tiene una frecuencia de 810 kHz y transporta energía a una tasa promedio de 1.0  104 W
m2 en la antena? [Sugerencia: Se puede utilizar la ecuación 21-5 para un generador, dado que se le podría aplicar a un observador que se mueve con la bobina de modo que el campo magnético oscila con la frecuencia f = v
2p]. * 47. La intensidad promedio de la señal de una estación de televisión en particular es de 1.0  1013 W
m2 cuando llega a una antena de TV satelital de 33 cm de diámetro. a) Calcule la energía total recibida por la antena durante 6.0 horas en las que se ven los programas de esta estación. b) ¿Cuáles son las amplitudes de los campos E y B de la onda EM? * 48. A 15 km de la antena transmisora de una estación de radio, la amplitud del campo eléctrico es de 0.12 V
m. ¿Cuál es la salida de potencia promedio de la estación de radio? * 49. La capacitancia variable de un sintonizador de radio consta de seis placas conectadas en conjunto, colocadas de manera alterna entre otras seis placas, también conectadas juntas (figura 22-21). Cada placa está separada de su vecina por un espacio de 1.1 mm. Un conjunto de placas se puede mover de modo que el área de traslape varía de 1.0 cm2 a 9.0 cm2. a) ¿Estos capacitores están conectados en serie o en paralelo? b) Determine el rango de valores de capacitancia. c) ¿Qué valor de inductor se necesita si el radio debe sintonizar estaciones AM de FIGURA 22–21 550 a 1600 kHz? Problema 49.

* 50. Una estación de radio transmite a una potencia promedio FIGURA 22–20 * 41.

* 42.

* 43.

* 44.

* 45.

* 46.

Problema 40. La radiación de fondo de microondas cósmicas llena todo el espacio con una densidad de energía promedio de 4  1014 J
m3. a) Determine el valor rms del campo eléctrico asociado con esta radiación. b) ¿A qué distancia de un transmisor de radio de 10 kW que emite de manera uniforme en todas direcciones se encontraría un valor comparable? ¿Cuáles son E0 y B0 a 2.00 m de una fuente de luz de 95 W? Suponga que la bombilla emite radiación de una sola frecuencia de manera uniforme en todas direcciones. Estime el campo eléctrico rms en la luz solar que llega a Marte, si se sabe que la Tierra recibe aproximadamente 1350 W
m2 y que Marte está 1.52 veces más lejos del Sol (en promedio) que la Tierra. En un instante de tiempo dado, una onda EM viajera tiene su máximo campo magnético apuntando al oeste y su máximo campo eléctrico apuntando al sur. ¿En qué dirección viaja la onda? Si la tasa de flujo de energía es de 560 W
m2, ¿cuáles son los valores máximos para los dos campos? Estime cuánto tendría que medir una antena AM si fuese de a) 1l o b) 3l. La radio AM es aproximadamente de 1 MHz (de 530 kHz a 1.7 MHz). ¿Cuán grande será la fem (rms) generada en una antena que consiste en una bobina circular de alambre de 2.2 cm de diáme-

que no supera 25 kW. Si se considera que un campo eléctrico de 0.020 V
m de amplitud es aceptable para recibir la transmisión de radio, estime a cuántos kilómetros de distancia se puede escuchar esta estación. * 51. Una fuente puntual emite energía luminosa de manera uniforme en todas direcciones a una tasa promedio P0 con una sola frecuencia f. Demuestre que el campo eléctrico pico en la onda está dado por

E0 =

m0 cP0 . B 2pr2

* 52. Una estación de radio de 50 kW emite ondas

EM de manera uniforme en todas direcciones. a) ¿Cuánta energía por segundo cruza un área de 1.0 m2 a 100 m de laBantena transmisora? b) ¿Cuál es la magnitud rms del campo E en este punto, si se supone que la estación opera a toda potencia? c) ¿Cuál es el voltaje inducido a esta distancia en la antena vertical de un carro que mide 1.0 m de largo? * 53. Repita el problema 52 para una distancia de 100 km desde la estación. * 54. ¿Cuál es el nivel de potencia máximo de la estación de radio del problema 52 para que evite rompimiento eléctrico del aire a una distancia de 1.0 m de la antena? Considere que la antena es una fuente puntual. El aire se rompe en un campo eléctrico de aproximadamente 3  106 V
m. [Sugerencia: Consulte el problema 51].

Respuestas a los ejercicios A: a) 3.8 * 106 Hz; b) 5.5 * 1018 Hz. B: 45 cm.

C: 3 horas.

Problemas generales

631

www.elsolucionario.org El reflejo en el agua tranquila, así como el que se forma en un espejo de vidrio, se pueden analizar con el modelo de rayos de la luz. ¿Esta fotografía está derecha? ¿Cómo se puede saber? ¿Cuáles son las pistas? Los diagramas de rayos, que el lector aprenderá a dibujar en este capítulo, ayudan a obtener la respuesta. (La fotografía está de cabeza). En este primer capítulo acerca de la luz y la óptica, se utiliza el modelo de rayos de la luz para comprender la formación de imágenes en los espejos, tanto planos como curvos (esféricos), así como en las lentes, que son la parte esencial de los así llamados instrumentos ópticos.

CAPÍTULO

23

Luz: óptica geométrica

E La luz llega a los ojos 1. desde una fuente, 2. por reflexión.

l sentido de la vista es extremadamente importante para los seres humanos, pues proporciona una gran parte de la información acerca del mundo. ¿Cómo ven los humanos? ¿Qué es eso llamado luz que entra en los ojos y provoca la sensación de visión? ¿Cómo se comporta la luz de modo que se puede ver todo lo que uno hace? En el capítulo 22 se explicó que la luz se considera una forma de radiación electromagnética. Ahora, en los próximos tres capítulos, se examinará en detalle el tema de la luz. Uno ve un objeto en una de dos formas: 1. cuando el objeto es una fuente de luz, como una bombilla, una flama o una estrella, uno ve la luz emitida directamente por la fuente; o, más comúnmente, 2. uno ve un objeto por la luz que se refleja en él. En el último caso, la luz puede proceder del Sol, de las luces artificiales o de una fogata. No fue sino hasta la década de 1920 cuando se logró una comprensión de cómo los cuerpos emiten luz. La comprensión de cómo se refleja la luz de los objetos se logró muchísimo antes, y esto se estudiará en la sección 23-2.

23–1 El modelo de rayos de la luz

Rayos de luz

632

Un gran cúmulo de evidencia sugiere que la luz viaja en líneas rectas en una amplia variedad de circunstancias. Por ejemplo, una fuente puntual de luz, como el Sol, forma distintas sombras, y el haz de una linterna parece estar en línea recta. De hecho, uno infiere las posiciones de los objetos en el ambiente al suponer que la luz se mueve desde el objeto hasta los ojos en trayectorias de líneas rectas. La orientación en el mundo físico se basa en esta suposición. Esta suposición razonable condujo al modelo de rayos de la luz. Este modelo supone que la luz viaja en trayectorias de líneas rectas llamadas rayos de luz. En realidad, un rayo es una idealización; tiene la intención de representar un haz de luz

extremadamente estrecho. Cuando uno ve un objeto, de acuerdo con el modelo de rayos, la luz alcanza los ojos desde cada punto sobre el objeto. Aunque los rayos de luz abandonan cada punto en muchas direcciones diferentes, normalmente sólo un pequeño cúmulo de esos rayos entran a la pupila del ojo de un observador, como se muestra en la figura 23-1. Si la cabeza de la persona se mueve hacia un lado, desde cada punto entrará al ojo un cúmulo de rayos diferente. En el capítulo 22 se vio que la luz se considera una onda electromagnética. Aunque el modelo de rayos de la luz no trata con este aspecto (en el capítulo 24 se analizará la naturaleza ondulatoria de la luz), sí resulta adecuado para describir muchos aspectos de la luz tales como la reflexión, la refracción y la formación de imágenes en los espejos y en las lentes. Como tales explicaciones consideran rayos en línea recta en varios ángulos, a esta materia se le conoce como óptica geométrica.

23–2 Reflexión; formación de una imagen por medio de un espejo plano

Este cúmulo entra al ojo

FIGURA 23–1 Los rayos de luz provienen de cada punto individual de un objeto. Se muestra cómo un pequeño cúmulo de rayos que salen de un punto entran a los ojos de una persona.

Cuando la luz entra en contacto con la superficie de un objeto, parte de la luz se refleja. El resto puede ser absorbido por el objeto (y transformarse en energía térmica) o, si el objeto es transparente como el vidrio o el agua, parte de la luz se puede transmitir a través de él. Para un objeto muy brillante, como un espejo plateado, casi el 95% de la luz se refleja. Normal a la superficie

Normal a la superficie Fuente Rayo de luz incidente

Ángulo de Ángulo de incidencia reflexión

θi

θr

Ángulo de Ángulo de incidencia reflexión Rayo de luz reflejado

a)

Rayo de luz

θi

θr

FIGURA 23–2 Ley de reflexión: a) Vista tridimensional de un rayo incidente reflejado en lo alto de una superficie plana; b) Vista lateral o “desde el extremo”, que generalmente se usará por su claridad.

b)

Cuando un estrecho haz de luz entra en contacto con una superficie plana (figura 23-2), se define el ángulo de incidencia, Ui, como el ángulo que un rayo incidente forma con la normal (perpendicular) a la superficie, y el ángulo de reflexión, Ur, como el ángulo que el rayo reflejado forma con la normal. Se observa que los rayos incidente y reflejado se encuentran en el mismo plano con la normal a la superficie y que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia, Ur
Ui. Ésta es la ley de reflexión y se bosqueja en la figura 23-2. Los antiguos griegos la conocían y uno la puede confirmar al hacer brillar un estrecho haz de una linterna en un espejo dentro de un cuarto oscuro. Cuando la luz incide sobre una superficie rugosa, incluso microscópicamente rugosa como esta página, se refleja en muchas direcciones (figura 23-3). A esto se le llama reflexión difusa. Sin embargo, se sostiene la ley de reflexión en cada pequeña sección de la superficie. En virtud de la reflexión difusa en todas direcciones, un objeto ordinario puede ser visto desde muchos ángulos diferentes por la luz que se refleja en él. Cuando uno mueve la cabeza hacia un lado, diferentes rayos reflejados alcanzan los ojos desde cada punto del objeto (como esta página), figura 23-4a. Compare la reflexión difusa con la reflexión de un espejo, que se conoce como reflexión especular. (“Speculum” en latín significa espejo.) Cuando un estrecho haz de luz brilla en un espejo, la luz no alcanzará los ojos de una persona a menos que los ojos estén ubicados justo en el lugar correcto donde la ley de reflexión se satisface, como se muestra en la figura 23-4b. Esto es lo que da origen a las especiales propiedades de formación de imágenes de los espejos. El ojo aquí no ve la luz reflejada

a)

en te Fu

Fu en te

El ojo en ambas posiciones ve la luz reflejada

b)

El ojo aquí sí ve la luz reflejada

Ángulos de incidencia y reflexión (medidos ⊥ a la superficie)

Ley de reflexión

FIGURA 23–3 Reflexión difusa sobre una superficie rugosa.

FIGURA 23–4 Un haz de luz proveniente de una linterna brilla sobre a) papel blanco y b) un espejo. En el inciso a) se ve la luz blanca reflejada en varias posiciones gracias a la reflexión difusa. Pero en el inciso b) se ve la luz reflejada sólo cuando los ojos del observador se ubican correctamente (ur = ui); a esto se le conoce como reflexión especular. (Galileo, con el uso de argumentos similares, demostró que la Luna tiene una superficie rugosa y no una superficie sumamente pulida como un espejo, como algunas personas creían en esa época.) SECCIÓN 23–2

633

FIGURA 23–5 Cuando una persona se mira en un espejo, ve una imagen de sí misma y de los objetos que le rodean. No se ve como la ven los otros, porque los lados izquierdo y derecho aparecen invertidos en la imagen.

Cuando una persona se mira de frente en un espejo, observa lo que parece ser ella misma así como varios objetos a su alrededor y detrás suyo (figura 23-5). Parece como si la cara y los objetos estuviesen enfrente del observador, más allá del espejo; pero no lo están. Lo que se ve en el espejo es una imagen de los objetos, incluido el observador mismo, que están enfrente del espejo. Un espejo “plano” es aquel con una suave superficie reflectora plana. La figura 23-6 muestra cómo se forma una imagen en un espejo plano de acuerdo con el modelo de rayos. El espejo se ve desde el extremo en el diagrama de la figura 23-6, y los rayos se muestran reflejándose en la superficie frontal. (Los buenos espejos por lo general tienen un recubrimiento metálico altamente reflectivo sobre una superficie de pieza de vidrio muy plana). En la figura 23-6 se representan los rayos provenientes de dos puntos diferentes en un objeto (una botella): dos rayos salen de un punto en la parte superior de la botella, y dos más desde un punto en la parte inferior. Los rayos que salen de cada punto en el objeto van en muchas direcciones, pero sólo se muestran aquellos que encierra el haz de rayos que entran al ojo y que provienen de cada uno de los dos puntos. Cada conjunto de rayos divergentes que entran al ojo parecen provenir de un solo punto (llamado punto de imagen) detrás del espejo, como se indica mediante las líneas punteadas. Es decir, los ojos y el cerebro interpretan cualquier rayo que entra a los ojos como un rayo que ha viajado en una trayectoria de línea recta. El punto desde el que parece provenir cada haz de rayos es un punto sobre la imagen. Para cada punto en el objeto, existe un punto de imagen correspondiente. Espejo plano Superficie reflectora

FIGURA 23–6 Formación de una

θi

imagen virtual mediante un espejo plano.

θr

B′ B D

A

C do

Distancia imagen
distancia objeto (espejo plano)

Imágenes reales y virtuales

di

Concentrémonos en este momento en los dos rayos que salen del punto A en el objeto de la figura 23-6 y que llegan al espejo en los puntos B y B¿. Ahora se recurre a la geometría para los rayos en B. Los ángulos ADB y CDB son ángulos rectos; y por la ley de reflexión, ui
ur en el punto B. Por tanto, por geometría, los ángulos ABD y CBD también son iguales. Los dos triángulos ABD y CBD son congruentes, y la longitud AD
CD. Esto es, la imagen parece tan lejos detrás del espejo como lo está el objeto ubicado enfrente. La distancia imagen, di (distancia desde el espejo a la imagen, figura 23-6), es igual a la distancia objeto, do (distancia desde el objeto al espejo). A partir de la geometría, también se ve que la altura de la imagen es la misma que la del objeto. Los rayos de luz en realidad no pasan a través de la ubicación misma de la imagen en la figura 23-6. (Las líneas punteadas indican que se trata de proyecciones, no de rayos). La imagen no aparecería sobre papel o sobre una película colocada en la ubicación de la imagen. En consecuencia, se le llama imagen virtual. Esto es para distinguirla de una imagen real en la que la luz sí pasa a través de la imagen y que, por tanto, podría aparecer en papel o en una película colocada en la posición de la imagen. Nuestros ojos pueden ver imágenes tanto reales como virtuales, siempre que los rayos divergentes entren a las pupilas. Más adelante se verá que los espejos curvos y las lentes pueden formar imágenes reales, así como virtuales. El lente proyector de una película, por ejemplo, produce una imagen real que es visible sobre la pantalla. EJEMPLO 23–1 ¿De qué altura debe ser un espejo de cuerpo entero? Una mujer de 1.60 m de alto está de pie frente a un espejo plano vertical. ¿Cuál debe ser la altura mínima del espejo y a qué distancia por arriba del suelo debe estar su borde inferior para que ella pueda ver reflejado todo su cuerpo? (Suponga que sus ojos están a 10 cm por abajo de la parte superior de su cabeza).

634

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

www.elsolucionario.org G

H

F

0.10 m

Espejo

E

1.50 m B

A

Imagen

D

C

FIGURA 23–7 Vista de una persona en un espejo. Ejemplo 23-1.

PLANTEAMIENTO Para que la mujer vea todo su cuerpo, los rayos de luz provenientes de la parte superior de su cabeza y de sus pies se deben reflejar en el espejo y entrar en sus ojos: observe la figura 23-7. No se muestran dos rayos divergentes desde cada punto como se hizo en la figura 23-6, donde se quería encontrar dónde estaba la imagen. Ahora que se sabe que la imagen está a la misma distancia detrás del espejo plano como lo está el objeto enfrente de él, sólo se necesita mostrar un rayo que sale del punto G (parte superior de la cabeza) y un rayo que sale del punto A (los dedos de sus pies) y luego usar simple geometría. SOLUCIÓN Primero se considera el rayo que sale de los pies en A, se refleja en B y entra a los ojos en E. El espejo no necesita extenderse más abajo de B. Puesto que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia, la altura BD es la mitad de la altura AE. Como AE
1.60 m  0.10 m
1.50 m, entonces BD
0.75 m. De manera similar, si la mujer quiere ver la parte superior de su cabeza, el extremo superior del espejo sólo necesita alcanzar el punto F, que está 5 cm por abajo del borde superior de su cabeza (la mitad de GE
10 cm). Por tanto, DF
1.55 m y el espejo necesita tener una altura vertical de sólo (1.55 m  0.75 m)
0.80 m. El borde inferior del espejo necesita estar a 0.75 m sobre el suelo. NOTA Se deduce que un espejo tan sólo necesita tener la mitad de la altura de una persona para que ésta se vea por completo.

F Í S I C A

A P L I C A D A

¿De qué altura debe ser un espejo para brindar un reflejo de todo el cuerpo?

EJERCICIO A ¿El resultado del ejemplo 23-1 depende de la distancia de la persona al espejo? (Inténtelo y observe; es divertido).

23–3 Formación de imágenes por medio de espejos esféricos Las superficies reflectoras no tienen que ser planas. Los espejos curvos más comunes son esféricos, lo que significa que forman una sección de una esfera. Un espejo esférico se llama convexo si la reflexión tiene lugar sobre la superficie exterior de la forma esférica, de modo que el centro de la superficie del espejo se “abomba” hacia el observador (figura 23-8a). Un espejo se llama cóncavo si la superficie reflectora está en la superficie interior de la esfera, de modo que el centro del espejo se aleja del observador (como una “cueva”), figura 23-8b. Los espejos cóncavos se usan como espejos de afeitado o cosméticos (figura 23-9a) y los espejos convexos a veces se usan en los autos y camiones (espejos retrovisores) y en las tiendas (para observar a los ladrones), pues tienen un amplio campo de visión (figura 23-9b).

FIGURA 23–8 Espejos con superficies esféricas convexa y cóncava. Note que ur
ui para cada rayo. Normal a la superficie

θi

θr

Rayos de una fuente distante Espejo convexo

a)

FIGURA 23–9 a) Un espejo cosmético cóncavo brinda una imagen amplificada. b) Un espejo convexo en una tienda reduce el tamaño de la imagen y así incluye un amplio campo de visión.

Normal a la superficie

θi

θr

b) a)

Espejo cóncavo

b)

SECCIÓN 23–3

Formación de imágenes por medio de espejos esféricos

635

FIGURA 23–10 Si la distancia

Espejo

objeto es grande en comparación con el tamaño del espejo (o lente), los rayos son casi paralelos. Son paralelos para un objeto en el infinito (q).

Estos rayos llegan al espejo y en esencia son paralelos.

Punto focal y longitud focal

FIGURA 23–11 Los rayos paralelos que llegan a un espejo esférico cóncavo no se enfocan precisamente en un solo punto. (A este “defecto” se le conoce como “aberración esférica”).

FIGURA 23–12 Los rayos paralelos al eje principal de un espejo esférico cóncavo llegan a un foco en F, el punto focal, siempre que el ancho del espejo sea menor que su radio de curvatura, r, de modo que los rayos son “paraxiales”, es decir, sólo forman ángulos pequeños con el eje.

r

θ

θ

B θ

A F

C Eje principal

f r Longitud focal de un espejo

Espejo parabólico

636

CAPÍTULO 23

Para ver cómo forman imágenes los espejos esféricos, consideremos primero un objeto que está muy lejos de un espejo cóncavo. Para un objeto distante, como se muestra en la figura 23-10, los rayos provenientes de cada punto del objeto, que llegan al espejo, serán casi paralelos. Para un objeto infinitamente distante (el Sol y las estrellas se aproximan a esto), los rayos serían precisamente paralelos. Considere ahora que tales rayos paralelos caen sobre un espejo cóncavo, como en la figura 23-11. La ley de reflexión se sostiene para cada uno de estos rayos en el punto que cada uno toca al espejo. Como se observa, no todos ellos llegan a un solo punto. Para formar una imagen clara, los rayos deben llegar a un punto. En consecuencia, un espejo esférico no formará una imagen tan clara como la de un espejo plano. Sin embargo, como se mostrará más abajo, si el espejo es pequeño en comparación con su radio de curvatura, de modo que un rayo reflejado forme sólo un ángulo pequeño con el rayo incidente (2u en la figura 23-12), entonces los rayos se cruzarán unos a otros muy aproximadamente en un solo punto, o foco. En el caso que se muestra en la figura 23-12, los rayos son paralelos al eje principal, que se define como la línea recta perpendicular a la superficie curva en su centro (línea CA en el diagrama). El punto F, donde los rayos paralelos incidentes llegan a un foco después de la reflexión, se llama punto focal del espejo. La distancia entre F y el centro del espejo, longitud FA, se denomina longitud focal, f, del espejo. El punto focal también es el punto de la imagen para un objeto infinitamente alejado a lo largo del eje principal. La imagen del Sol, por ejemplo, estaría en F. Ahora se demostrará que los rayos casi se encuentran en un punto común, F, en el caso de un espejo cuya superficie reflectora es pequeña en comparación con su radio de curvatura, y también se calculará la longitud focal f. En esta aproximación, sólo se consideran los rayos que forman un ángulo pequeño con el eje principal; a tales rayos se les llama rayos paraxiales y sus ángulos están exagerados en la figura 23-12 para dar mayor claridad. Primero se considera un rayo que llega al espejo en B en la figura 23-12. El punto C es el centro de curvatura del espejo (el centro de la esfera de la cual el espejo es una parte). Así que la línea punteada CB es igual a r, el radio de curvatura, y CB es normal a la superficie del espejo en B. El rayo entrante que toca el espejo en B forma un ángulo u con esta normal y por tanto el rayo reflejado, BF, también forma un ángulo u con la normal (ley de reflexión). Hay que hacer notar que el ángulo BCF también es u como se muestra. El triángulo CBF es isósceles porque dos de sus ángulos son iguales. De esta forma, se tiene la longitud CF
BF. Se supone que la superficie del espejo es pequeña comparada con el radio de curvatura del espejo, así que los ángulos son pequeños y la longitud FB casi es igual a la longitud FA. En esta aproximación, FA
FC. Pero FA
f, la longitud focal, y CA
2  FA
r. En consecuencia, la longitud focal es la mitad del radio de curvatura:

r. (23–1) 2 Sólo se supuso que el ángulo u era pequeño, así que este resultado se aplica a todos los otros rayos paraxiales incidentes. De esta forma, todos los rayos paraxiales pasan a través del mismo punto F. Dado que sólo es aproximadamente cierto que los rayos llegan a un foco perfecto en F, cuanto más curvo sea el espejo, peor será la aproximación (figura 23-11) y más borrosa será la imagen. Este “defecto” de los espejos esféricos se conoce como aberración esférica; esto se estudiará con mayor detalle en relación con las lentes en el capítulo 25. Por otra parte, un reflector parabólico reflejará los rayos a un foco perfecto. Sin embargo, como las formas parabólicas son mucho más difíciles de hacer y en consecuencia mucho más costosas, los espejos esféricos se usan para la mayoría de los propósitos. (Muchos telescopios astronómicos utilizan reflectores parabólicos). Aquí sólo se considerarán espejos esféricos y se supondrá que son pequeños comparados con sus radios de curvatura, de modo que la imagen será clara y se sostendrá la ecuación 23-1.

Luz: óptica geométrica

f =

Formación de imágenes; diagramas de rayos Se vio que, para un objeto en el infinito, la imagen está ubicada en el punto focal de un espejo esférico cóncavo, donde f = r
2. Pero, ¿dónde se encuentra la imagen para un objeto que no está en el infinito? Primero considere el objeto que se muestra como una flecha en la figura 23-13, que está colocado entre F y C en el punto O (O por objeto). Ahora se determinará dónde estará la imagen para un punto dado O¿ en la parte superior del objeto. Para hacer esto, se dibujan varios rayos asegurándose de que se reflejan en el espejo de tal modo que el ángulo de reflexión sea igual al ángulo de incidencia. Se podrían dibujar muchos rayos que salen de cualquier punto en el objeto, pero la determinación de la posición de la imagen se simplifica si se trata con tres simples rayos en particular. Éstos son los rayos designados como 1, 2 y 3 en la figura 23-13 y es posible dibujarlos saliendo del punto O¿ del objeto del modo siguiente: El rayo 1 se dibuja paralelo al eje; por tanto, después de la reflexión, debe pasar a lo largo de una línea a través de F (como se vio en la figura 23-12, y se dibuja aquí en la figura 23-13a). El rayo 2 sale de O’ y se hace pasar a través de F; por tanto, se debe reflejar de modo que sea paralelo al eje (figura 23-13b). El rayo 3 pasa a través de C, el centro de curvatura; está a lo largo de un radio de la superficie esférica y es perpendicular al espejo, así que se refleja de vuelta sobre sí mismo (figura 23-13c). Los tres rayos salen de un solo punto O¿ en el objeto. Después de la reflexión en un espejo (pequeño), el punto en el que estos rayos se cruzan es el punto de imagen I¿. Todos los demás rayos provenientes del mismo punto del objeto también pasarán a través de este punto de imagen. Para encontrar el punto de imagen para cualquier punto de objeto, sólo es necesario dibujar estos tres tipos de rayos. En realidad, sólo se necesitan dos de estos rayos, pero el tercero sirve como comprobación. O′ 1

a) El rayo 1 sale de O¿ paralelo al eje y se refleja a través de F.

b)

O

1

Punto de imagen es donde se intersecan los rayos reflejados.

A

F

O′

El rayo 2 pasa a través de F y luego se refleja de vuelta paralelo al eje.

1

C O

1

F

2

A

O′ I

1

C O

I′

F

2

FIGURA 23–13 Rayos que salen del punto O¿ en el objeto (una flecha). Se muestran los tres rayos más útiles para determinar dónde se forma la imagen I¿. [Note que el espejo no es pequeño comparado con f, así que el diagrama no dará la posición precisa de la imagen].

3

El rayo 3 se elige perpendicular al espejo y así se debe reflejar de vuelta sobre sí mismo y pasar a través de C (centro de curvatura).

DIAGRAMA DE RAYOS

Cómo encontrar la posición de la imagen para un espejo curvo

C

2

c)

➥

A

2

Rayos divergentes que se dirigen al ojo

En la figura 23-13 se muestra el punto de imagen para un solo punto en el objeto. Otros puntos en el objeto se visualizan cerca, así que se forma una imagen completa del objeto, como se indica mediante las flechas punteadas en la figura 23-13c. Puesto que la luz en realidad pasa a través de la imagen misma, ésta es una imagen real que aparecerá en un pedazo de papel o en una película colocada ahí. Esto se puede comparar con la imagen virtual formada por un espejo plano (la luz en realidad no pasa a través de esa imagen, figura 23-6). La imagen en la figura 23-13 puede ser vista por el ojo cuando éste se coloca a la izquierda de la imagen, de modo que parte de los rayos que divergen desde cada punto sobre la imagen (como el punto I’) entran al ojo como se ilustra en la figura 23-13c. (Véase también las figuras 23-1 y 23-6). SECCIÓN 23–3

Imagen real

Formación de imágenes por medio de espejos esféricos

637

www.elsolucionario.org

Ecuación de espejo y amplificación

Las distancias do y di se miden desde el centro del espejo.

Los puntos de imagen se determinan, aproximadamente, al dibujar los tres rayos como se acaba de describir (figura 23-13); pero es difícil dibujar ángulos pequeños para los rayos “paraxiales” como se supuso. Para resultados más precisos, ahora se deducirá una ecuación que proporciona la distancia imagen si la distancia objeto y el radio de curvatura del espejo se conocen. Para hacer esto, nos remitiremos a la figura 23-14. La distancia objeto, do, es la distancia del objeto (punto O) desde el centro del espejo. La distancia imagen, di, es la distancia de la imagen (punto I) desde el centro del espejo. La altura del objeto OO¿ se llama ho y la altura de la imagen, I¿I, hi. Se ilustran los dos rayos que salen de O¿: O¿FBI¿ (igual que el rayo 2 en la figura 23-13) y

O′ I

FIGURA 23–14 Diagrama para deducir la ecuación del espejo. Para ello, se supone que el tamaño del espejo es pequeño comparado con su radio de curvatura.

C ho F

O

hi

A

θ θ

B

I′ f do di

O¿AI¿, que es un cuarto tipo de rayo que se refleja en el centro del espejo y que resulta útil para encontrar un punto de imagen. El rayo O¿AI¿ obedece la ley de reflexión, de modo que los dos triángulos rectos O¿AO e I¿AI son similares. En consecuencia, se tiene

ho do . = hi di Para el otro rayo que se representa, O¿FBI¿, los triángulos O¿FO y ABF también son similares porque los ángulos son iguales y se usa la aproximación AB
hi (espejo pequeño comparado con su radio). Más aún, FA
f, la longitud focal del espejo, de modo que

do - f ho OF . = = hi FA f Los lados izquierdos de las dos expresiones precedentes son los mismos, así que se pueden igualar los lados derechos:

do - f do . = di f Ahora se dividen ambos lados por do y se reordenan para obtener

1 1 1 + = . do di f

Ecuación del espejo

(23–2)

Ésta es la ecuación que se buscaba. Se llama ecuación del espejo y relaciona las distancias objeto e imagen con la longitud focal f (donde f
r
2). La amplificación, m, de un espejo se define como la altura de la imagen dividida por la altura del objeto. A partir del primer conjunto de triángulos similares arriba, o de la primera ecuación de esta página, se puede escribir: Amplificación de un espejo curvo

m =

hi di . = – ho do

(23–3)

El signo menos en la ecuación 23-3 se inserta como convención. De hecho, hay que tener cuidado con los signos de todas las cantidades en las ecuaciones 23-2 y 23-3.

638

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

Las convenciones de signos se eligen de modo que brinden las ubicaciones y orientaciones correctas de las imágenes, predichas por los diagramas de rayos. Las convenciones de signos que se emplean son: la altura de la imagen hi es positiva si la imagen está derecha y negativa si está invertida en relación con el objeto (se supone que ho se toma como positiva); di o do es positiva si la imagen u objeto está enfrente del espejo (como en la figura 23-14); si la imagen o el objeto está detrás del espejo, la distancia correspondiente es negativa (se tiene un ejemplo en la figura 23-16, ejemplo 23-3). Así, la amplificación (ecuación 23-3) es positiva para una imagen derecha y negativa para una imagen invertida (de cabeza). Las convenciones de signos se resumirán de manera más completa luego de analizar los espejos convexos, más adelante en esta sección.

P R E C A U C I Ó N

Convenciones de signos

EJERCICIO B ¿La ecuación del espejo (ecuación 23-2) se sostiene para un espejo plano? Explique su respuesta.

Ejemplos de espejo cóncavo EJEMPLO 23–2 Imagen en un espejo cóncavo. Un anillo de diamantes de 1.50 cm se coloca a 20.0 cm de un espejo cóncavo con 30.0 cm de radio de curvatura. Determine a) la posición de la imagen y b) su tamaño. PLANTEAMIENTO Se determina la longitud focal a partir del radio de curvatura (ecuación 23-1), f = r
2 = 15.0 cm. El diagrama de rayos es básicamente como el que se reproduce en la figura 23-13 o en la figura 23-14, pues el objeto está entre F y C. La posición y el tamaño de la imagen se determinan a partir de las ecuaciones 23-2 y 23-3. SOLUCIÓN Al hacer referencia a la figura 23-14, se tiene CA = r = 30.0 cm, FA = f = 15.0 cm y OA = do = 20.0 cm. a) A partir de la ecuación 23-2

1 1 1 1 1 = = = 0.0167 cm–1 . di f do 15.0 cm 20.0 cm Así que di = 1
A0.0167 cm–1 B = 60.0 cm. Dado que di es positiva, la imagen está a 60.0 cm enfrente del espejo, en el mismo lado que el objeto. b) A partir de la ecuación 23-3, la amplificación es di 60.0 cm m = – = –3.00. = – do 20.0 cm La altura de la imagen es 3.0 veces la altura del objeto, y es hi = mho = (–3.00)(1.5 cm) = –4.5 cm. El signo menos recuerda que la imagen está invertida, como en la figura 23-14.

P R E C A U C I Ó N

Recuerde tomar el recíproco.

NOTA Cuando un objeto está más allá del punto focal de un espejo cóncavo, se puede ver a partir de la figura 23-13 o de la 23-14 que la imagen siempre está invertida y es real. Para que los ojos de una persona vean una imagen clara, deben estar en un lugar donde intercepten los rayos divergentes provenientes de puntos en la imagen, como es el caso para la posición de los ojos en las figuras 23-13 y 23-14. Los ojos están hechos para ver objetos normales, lo que siempre significa que los rayos divergen hacia los ojos como se indica en la figura 23-1. (O, para objetos muy distantes como las estrellas, los rayos se vuelven en esencia paralelos; véase la figura 23-10). Si un observador coloca sus ojos entre los puntos O e I de la figura 23-14, por ejemplo, los rayos convergentes que provienen del objeto OO¿ entrarían a los ojos y el cristalino no podría enfocarlos; la persona vería una imagen borrosa. En el capítulo 25 se hablará más acerca de la visión. Si usted es el objeto OO¿ en la figura 23-14, situado entre F y C, e intenta verse a sí mismo en el espejo, vería una mancha; pero la persona cuyos ojos se representan en la figura 23-14 podrá verlo con claridad. Usted se verá claramente, pero de cabeza, si se ubica a la izquierda de C en la figura 23-14, de modo que do  2f. ¿Por qué? Porque entonces los rayos reflejados de la imagen serán divergentes en su posición, como se ilustra en la figura 23-15, y sus ojos podrán enfocarlos. También se verá claramente, y derecho, si está más cerca del espejo que su punto focal (do  f), como se verá en el ejemplo 23-3 (figura 23-16). SECCIÓN 23–3

FIGURA 23–15 Un observador ve una clara imagen invertida de su rostro cuando está más allá de C (do > 2f), porque los rayos que llegan a los ojos son divergentes. Los rayos estándar 2 y 3 salen del punto O en la nariz. El rayo 2 (y otros rayos cercanos) entran a los ojos. Advierta que los rayos son divergentes y que se mueven hacia la izquierda del punto de imagen I.

Imagen de la nariz Rayo 2

O

C o3 Ray

o3

Ray

I

Rayo 2

F

Rayo 2

Formación de imágenes por medio de espejos esféricos

639

2

FIGURA 23–16 Objeto colocado

2

dentro del punto focal F. La imagen está detrás del espejo y es virtual, ejemplo 23-3. [Note que la escala vertical (altura del objeto
1.0 cm) es diferente de la horizontal (OA
10.0 cm) para facilitar el dibujo, aunque esto afecta la precisión del mismo].

1

3 C

3

F

O

A

I

1

EJEMPLO 23–3 Objeto más cerca a un espejo cóncavo. Un objeto de 1.00 cm de alto se coloca a 10.0 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es de 30.0 cm. a) Dibuje un diagrama de rayos para ubicar (aproximadamente) la posición de la imagen. b) Determine analíticamente la posición de la imagen y la amplificación. PLANTEAMIENTO Se dibuja el diagrama con los rayos de la figura 23-13. Una solución analítica utiliza las ecuaciones 23-1, 23-2 y 23-3. SOLUCIÓN a) Dado que f = r
2 = 15.0 cm, el objeto está entre el espejo y el punto focal. Se dibujan los tres rayos como se describió anteriormente (figura 23-13); se representan saliendo de la punta del objeto en la figura 23-16. El rayo 1 deja la punta del objeto dirigiéndose hacia el espejo paralelo al eje, y se refleja a través de F. El rayo 2 no se puede dirigir hacia F porque no haría contacto con el espejo; así que el rayo 2 debe apuntar como si partiera de F (línea punteada) y se dirigiera al espejo, y luego se refleja paralelo al eje principal. El rayo 3 es perpendicular al espejo, como antes. Los rayos reflejados por el espejo divergen y, por consiguiente, nunca se alcanzan en un punto. Sin embargo, parecen provenir de un punto detrás del espejo. Este punto ubica la imagen de la punta de la flecha. La imagen, por ende, está detrás del espejo y es virtual, (¿Por qué?) b) Se emplea la ecuación 23-2 para encontrar di cuando do
10.0 cm:

1 1 1 1 2 - 3 1 1 . = = – = = di f do 15.0 cm 10.0 cm 30.0 cm 30.0 cm Por tanto, di
30.0 cm. El signo menos significa que la imagen está detrás del espejo. La amplificación es m = –di
do = –(–30.0 cm)
(10.0 cm) = ±3.00. De modo que la imagen es 3.00 veces más grande que el objeto. El signo más indica que la imagen es derecha (igual que el objeto), lo que es consistente con el diagrama de rayos (figura 23-16). NOTA La distancia imagen no se puede obtener con precisión al medir en la figura 23-16, porque el diagrama viola la suposición de rayo paraxial (para hacer que todos los rayos sean claramente visibles).

Cómo verse uno mismo derecho y amplificado en un espejo cóncavo

F Í S I C A

A P L I C A D A

Espejo amplificador (afeitar y cosmético)

640

CAPÍTULO 23

NOTA Cuando el objeto está ubicado en el interior del punto focal de un espejo cóncavo (do < f), la imagen siempre es derecha y vertical. Y si el objeto O en la figura 23-16 es usted, se verá claramente, porque los rayos reflejados en O son divergentes. Su imagen es derecha y alargada. Es útil comparar las figuras 23-13 y 23-16. Se observa que, si el objeto está dentro del punto focal (do < f), como en la figura 23-16, la imagen es virtual, derecha y amplificada. Así es como se usa un espejo para afeitarse o cosmético: debe colocarse la cabeza más cerca del espejo que el punto focal si uno se quiere ver derecho (figura 23-9a). Si el objeto está más allá del punto focal, como en la figura 23-13, la imagen será real e invertida (de cabeza, ¡y difícil de usar!). Si la amplificación es más grande o menor que 1.0 en el último caso depende de la posición del objeto relativa al centro de curvatura, punto C.

Luz: óptica geométrica

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Espejos convexos El análisis que se realizó para los espejos cóncavos también es aplicable a los espejos convexos. Incluso la ecuación del espejo (ecuación 23-2) se sostiene para un espejo convexo, aunque las cantidades implicadas se deben definir cuidadosamente. La figura 23-17a muestra rayos paralelos que caen sobre un espejo convexo. De nuevo estará presente la aberración esférica (figura 23-11), pero se supone que el tamaño del espejo es pequeño comparado con su radio de curvatura. Los rayos reflejados divergen, pero parecen provenir del punto F detrás del espejo. Éste es el punto focal, y su distancia desde el centro del espejo es la longitud focal, f. Es fácil demostrar que de nuevo f
r
2. Se ve que un objeto en el infinito produce una imagen virtual en un espejo convexo. De hecho, no importa dónde se coloque el objeto en el lado reflector de un espejo convexo, la imagen será virtual y derecha, como se indica en la figura 23-17b. Para encontrar la imagen se dibujan los rayos 1 y 3 de acuerdo con las reglas empleadas antes en el espejo cóncavo, como se observa en la figura 23-17b. Advierta que, aunque los rayos 1 y 3 en realidad no pasan a través de los puntos F y C, la línea a lo largo de la que se dibuja cada uno sí lo hace (se indica con líneas punteadas). La ecuación del espejo (ecuación 23-2) se sostiene para espejos convexos, pero la distancia focal f debe considerarse negativa, al igual que el radio de curvatura. La demostración se deja como problema. También se deja como problema la demostración de que la ecuación 23-3 para la amplificación es igualmente válida.

A

a)

C

F f

1 3 A

O

b)

do

I

F

C

di

FIGURA 23–17 Espejo convexo: a) el punto focal está en F, detrás del espejo; b) la imagen I del objeto en O es virtual, derecha y más pequeña que el objeto. [No a escala para el ejemplo 23-4].

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Espejos esféricos 1. Siempre dibuje un diagrama de rayos, aun cuando se vaya a realizar un cálculo analítico: el diagrama sirve como comprobación, incluso si no es preciso. Desde un punto en el objeto dibuje al menos dos, de preferencia tres, de los rayos más fáciles de dibujar, de acuerdo con las reglas descritas en la figura 23-13. El punto de imagen es donde los rayos reflejados se intersecan o parecen intersecar. 2. Aplique la ecuación del espejo (ecuación 23-2) y la ecuación de amplificación (ecuación 23-3). Es muy importante seguir las convenciones de signos (punto siguiente).

3. Convenciones de signos a) Cuando el objeto, imagen, o punto focal esté sobre el lado reflector del espejo (a la izquierda en los dibujos), la distancia correspondiente es positiva. Si alguno de estos puntos está detrás del espejo (a la derecha), la distancia correspondiente es negativa.† b) La altura de la imagen hi es positiva si la imagen está derecha, y negativa si está invertida, en relación con el objeto (ho siempre se considera positiva). 4. Compruebe que la solución analítica sea consistente con el diagrama de rayos.

†

Las distancias objeto son positivas para los objetos materiales, pero pueden ser negativas en sistemas con más de un espejo o lente; véase la sección 23-9.

EJEMPLO 23–4 Espejo retrovisor convexo. Un espejo retrovisor externo en un automóvil es convexo, con un radio de curvatura de 16.0 m (figura 23-18). Determine la ubicación de la imagen y su amplificación para un objeto a 10.0 m del espejo. PLANTEAMIENTO Se siguen explícitamente los pasos del recuadro de resolución de problemas. SOLUCIÓN 1. Dibuje un diagrama de rayos: El diagrama de rayos será como la figura 23-17, pero la gran distancia objeto (d0
10.0 m) hace difícil un dibujo preciso. Se tiene un espejo convexo, de modo que r es negativo por convención. 2. Ecuaciones de espejo y amplificación: El centro de curvatura de un espejo convexo está detrás del espejo, al igual que su punto focal, así que se hace r
16.0 m, de modo que la longitud focal es f = r
2 = – 8.0 m. El objeto está enfrente del espejo, do
10.0 m. Al resolver la ecuación del espejo (ecuación 23-2) para 1
di se obtiene

3.

4.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Espejo retrovisor convexo

FIGURA 23–18 Ejemplo 23-4.

1 1 1 1 1 – 10.0 - 8.0 18 . = = = = – di f do –8.0 m 10.0 m 80.0 m 80.0 m Por tanto, di = –80.0 m
18 = –4.4 m. La ecuación 23-3 proporciona la amplificación (–4.4 m) di m = – = – = ±0.44. do (10.0 m) Convenciones de signos: La distancia imagen es negativa, 4.4 m, así que la imagen está detrás del espejo. La amplificación es m
0.44, así que la imagen está derecha (misma orientación que el objeto) y tiene menos de la mitad de la altura del objeto. Comprobación: Los resultados son consistentes con la figura 23-17b. SECCIÓN 23–3

Formación de imágenes por medio de espejos esféricos

641

Los espejos retrovisores convexos de los vehículos a veces vienen con una advertencia de que los objetos están más cerca de lo que parecen en el espejo. El hecho de que di pueda ser más pequeña que do (como en este ejemplo) parece contradecir esta observación. La razón verdadera por la que los objetos parecen más alejados es que su imagen en el espejo convexo es más pequeña y la distancia de los objetos ordinarios se juzga como la de los otros automóviles, principalmente por su tamaño.

TABLA 23–1 Índices de refracción† Medio

n
c £

Vacío Aire (a PTE) Agua Alcohol etílico

1.0000 1.0003 1.33 1.36

Vidrio Cuarzo fundido Vidrio corona Flint ligero Lucita o plexiglás Cloruro de sodio Diamante

1.46 1.52 1.58 1.51 1.53 2.42

†

23–4 Índice de refracción En el capítulo 22 se vio que la rapidez de la luz en el vacío es

c = 2.99792458 * 108 m
s, que por lo general se redondea a

l = 589 nm.

c = 3.00 * 108 m
s cuando no se requieren resultados extremadamente precisos. Esta rapidez se aplica a todas las ondas electromagnéticas, incluida la luz visible. En el aire, la rapidez sólo es ligeramente menor. En otros materiales transparentes, como el vidrio o el agua, la rapidez siempre es menor que en el vacío. Por ejemplo, en el agua, la luz viaja a casi 34 c. La razón entre la rapidez de la luz en el vacío y la rapidez v en un material dado se llama índice de refracción, n, de ese material:

n =

Índice de refracción

c. v

(23–4)

El índice de refracción nunca es menor que 1, y en la tabla 23-1 se proporcionan los valores de varios materiales. Como se verá más adelante, n varía un poco con la longitud de onda de la luz —excepto en el vacío— de modo que en la tabla se especifica una longitud de onda particular, la de la luz amarilla con longitud de onda l
589 nm. EJEMPLO 23–5 Rapidez de la luz en un diamante. Calcule la rapidez de la luz en un diamante. PLANTEAMIENTO Se utiliza la ecuación 23-4, y en la tabla 23-1 se encuentra que n
2.42 para el diamante. SOLUCIÓN La rapidez de la luz que viaja en el interior de un diamante es

v =

c c = = 0.413c n 2.42

o

3.00 * 108 m
s 2.42 = 1.24 * 108 m
s.

v =

El hecho de que la luz viaje más lentamente en la materia que en el vacío se explica, a nivel atómico, como resultado de la absorción y reemisión de la luz por los átomos y las moléculas del material.

23–5 Refracción: ley de Snell Cuando la luz pasa de un medio transparente a otro con un índice de refracción diferente, parte de la luz incidente se refleja en la frontera. La restante pasa hacia el medio siguiente. Si un rayo de luz es incidente en un ángulo con la superficie (no perpendicular), el rayo cambia de dirección conforme entra al nuevo medio. Este cambio en la dirección, o doblado, se llama refracción.

642

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

Normal

Normal

Fuente

Rayo refractado

Rayo reflejado

Rayo incidente

θ1

θ2 Aire (n1) Agua (n2)

Aire (n2) Rayo reflejado

θ2

θ1

Rayo refractado

Fuente

n2 > n1 a)

Agua (n1) Rayo incidente

n1 > n2 b)

El rayo se dobla hacia)

El rayo se dobla alejándose de)

FIGURA 23–19 Refracción. a) Luz refractada cuando pasa del aire (n1) al agua (n2): n2  n1. b) Luz refractada cuando pasa del agua (n1) al aire (n2): n1  n2.

La figura 23-19a muestra un rayo que pasa del aire al agua. El ángulo u1 es el ángulo que forma el rayo incidente con la normal (perpendicular) a la superficie y se llama ángulo de incidencia. El ángulo u2 es el ángulo de refracción, el ángulo que el rayo refractado forma con la normal a la superficie. Note que el rayo se dobla hacia la normal cuando entra al agua. Éste siempre es el caso cuando el rayo entra a un medio donde la rapidez de la luz es menor (y al índice de refracción mayor, ecuación 23-4). Si la luz viaja de un medio a otro en el que su rapidez es más grande, el rayo se dobla alejándose de la normal; esto se ilustra en la figura 23-19b para un rayo que viaja del agua al aire.

.. ..... .... ............. ... . ... . . . . ..... .... ... .. . . .. .

..... .... ... .. . .. .

Ángulo de refracción

. .. . . . . .... . ... ..

. . . ....... .. .. . . . . ....... ... ... . . . . . . . ....... ... .. . . . . . . . ....... .. .. .. ..

. .. . . Los pies parecen . . ... estar aquí

FIGURA 23–20 Diagrama de rayos que muestra por qué las piernas de una persona parecen más cortas cuando está de pie dentro del agua y ésta le llega a la cintura: la trayectoria de la luz que viaja desde los pies del bañista hasta los ojos del observador se dobla en la superficie del agua, y el cerebro interpreta que la luz ha viajado en línea recta desde más arriba (línea punteada).

FIGURA 23–21 Un lápiz que se sumerge en agua parece doblado aun cuando no lo está.

La refracción es responsable de varias ilusiones ópticas comunes. Por ejemplo, un persona de pie dentro del agua que le llega a la cintura parece tener piernas acortadas. Como se ilustra en la figura 23-20, los rayos que salen de los pies de la persona se doblan en la superficie. El cerebro del observador supone que los rayos viajaron en una trayectoria en línea recta (línea punteada) y por eso los pies parecen estar más arriba de lo que en realidad están. De manera similar, cuando se introduce un lápiz dentro de un recipiente con agua, parece doblado (figura 23-21).

F Í S I C A

A P L I C A D A

Ilusiones ópticas

Ley de Snell El ángulo de refracción depende de la rapidez de la luz en los dos medios y del ángulo de incidencia. Hacia 1621, Willebrord Snell (1591-1626) determinó experimentalmente una relación analítica entre u1 y u2. Se le conoce como ley de Snell y se escribe

n1 sen u1 = n2 sen u2 .

(23–5)

u1 es el ángulo de incidencia y u2 es el ángulo de refracción; n1 y n2 son los respectivos índices de refracción en los materiales. Observe la figura 23-19. Los rayos incidente y refractado se encuentran en el mismo plano, que también incluye la perpendicular a la superficie. La ley de Snell es la ley de refracción básica. (La ley de Snell se dedujo en la sección 11-14, donde la ecuación 11-20 es sólo una combinación de las ecuaciones 23-5 y 23-4). A partir de la ley de Snell es claro que, si n2 > n1, entonces u2 < u1. Es decir, si la luz entra a un medio donde n es más grande (y su rapidez menor), entonces el rayo se dobla hacia la normal. Y si n2 < n1, entonces u2 > u1, así que el rayo se dobla alejándose de la normal. Esto quedó representado en la figura 23-19.

Ley de Snell (ley de refracción) P R E C A U C I Ó N

Los ángulos u1 y u2 se miden desde la perpendicular, no desde la superficie.

SECCIÓN 23–5

Refracción: ley de Snell

643

www.elsolucionario.org Aire

Vidrio

Aire

θB θA θA 60°

Rayo proveniente “Imagen” (donde parece del objeto estar el objeto) FIGURA 23–22 Luz que pasa a través de un pedazo de vidrio (ejemplo 23-6).

FIGURA 23–23 Ejemplo 23-7.

θ2 x d = 1.0 m

x

θ2

d′

EJERCICIO C La luz pasa de un medio con n
1.3 a un medio con n
1.5. ¿La luz se dobla hacia la perpendicular a la interfase o alejándose de ella?

EJEMPLO 23–6 Refracción a través de un vidrio plano. Un rayo de luz que viaja en el aire hace contacto con una pieza plana de vidrio de grosor uniforme en un ángulo incidente de 60°, como se aprecia en la figura 23-22. Si el índice de refracción del vidrio es 1.50, a) ¿cuál es el ángulo de refracción uA en el vidrio?; b) ¿cuál es el ángulo uB en el que emerge el rayo del vidrio? PLANTEAMIENTO Se aplica la ley de Snell a la primera superficie, donde la luz entra al vidrio, y de nuevo a la segunda superficie, donde deja el vidrio y entra al aire. SOLUCIÓN a) El rayo incidente está en el aire, así que n1
1.00 y n2
1.50. Al aplicar la ley de Snell donde la luz entra al vidrio (u1
60°) se obtiene

1.00 sen 60° = 0.577, 1.50 de modo que uA = 35.2°. b) Como las caras del vidrio son paralelas, el ángulo incidente en la segunda superficie es justo uA (geometría simple), de modo que sen uA
0.577. En esta segunda interfase, n1
1.50 y n2
1.00. Por tanto, el rayo reingresa al aire en un ángulo uB (
u2) dado por 1.50 sen uB = sen uA = 0.866, 1.00 y uB
60°. La dirección de un rayo de luz, por tanto, no cambia al pasar a través de un pedazo plano de vidrio de grosor uniforme. NOTA Debe quedar claro que esto funciona para cualquier ángulo de incidencia. Sin embargo, el rayo se desplaza ligeramente a un lado. Esto se puede constatar al mirar un objeto a través de un pedazo de vidrio (cerca de su borde) y luego mover ligeramente la cabeza hacia un lado, de modo que el objeto se vea directamente. El objeto “salta”. sen uA =

EJEMPLO 23–7 Profundidad aparente de una alberca. Un nadador soltó sus gafas de natación en el fondo de una alberca en la zona poco profunda, marcada con 1.0 m de profundidad. Pero las gafas no parecen estar a dicha profundidad. ¿Por qué? ¿A qué profundidad parecen estar las gafas cuando se observa en línea recta en el agua hacia abajo? PLANTEAMIENTO Se dibuja un diagrama de rayos que muestre dos rayos que se dirigen hacia arriba en un pequeño ángulo desde un punto en las gafas de natación y que se refractan en la superficie (plana) del agua. Esto se ilustra en la figura 23-23 y las líneas punteadas indican por qué el agua parece menos profunda de lo que en realidad es. Los dos rayos que viajan hacia arriba desde las gafas se refractan alejándose de la normal conforme salen del agua, y así parecen divergir de un punto sobre las gafas (líneas punteadas). SOLUCIÓN Para calcular la profundidad aparente d¿ (figura 23-23), dada una profundidad real d
1.0 m, se usa la ley de Snell con n1
1.33 para el agua y n2
1 para el aire:

sen u2 = n1 sen u1 . Sólo se consideran ángulos pequeños, así que sen u L tan u L u, con u en radianes. Así que la ley de Snell se vuelve

θ1

u2 L n1u1 .

Gafas

A partir de la figura 23-23 se ve que

x x y u1 L tan u1 = . d¿ d Al poner esto en la ley de Snell, u2 L n1u1 , se obtiene x x L n1 d¿ d o d 1.0 m d¿ L = = 0.75 m. n1 1.33 La alberca parece tener sólo tres cuartos de la profundidad que en realidad tiene. u2 L tan u2 =

644

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

23–6 Reflexión interna total; fibras ópticas Cuando la luz pasa de un material a otro cuyo índice de refracción es menor (por ejemplo, del agua al aire), la luz se dobla alejándose de la normal, como para los rayos I y J en la figura 23-24. A un ángulo incidente particular, el ángulo de refracción será de 90°, y el rayo refractado rozaría la superficie (rayo K) en este caso. El ángulo incidente al que ocurre esto se llama ángulo crítico, uC. A partir de la ley de Snell, uC está dado por

sen uC =

n2 n2 . sen 90° = n1 n1

(23–6)

Para cualquier ángulo incidente menor que uC existirá un rayo refractado, aunque parte de la luz también se reflejará en la frontera. Sin embargo, para ángulos incidentes mayores que uC, la ley de Snell diría que sen u2 es mayor que 1.00. Aunque el seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1.00. En este caso no existe rayo refractado y toda la luz es reflejada, como para el rayo L en la figura 23-24. Este efecto se llama reflexión interna total. Pero la reflexión interna total sólo puede ocurrir cuando la luz toca una frontera donde el medio que está más allá tiene un índice de refracción más bajo.

n2 (< n1) I J n1 θ1 θ1

K θC

L

Ángulo crítico

P R E C A U C I Ó N

Reflexión interna total (sólo ocurre si el índice de refracción es menor más allá de la frontera).

FIGURA 23–24 Como n2 < n1, los rayos de luz son totalmente reflejados de manera interna si el ángulo de incidencia u1 > uC, como para el rayo L. Si u1 < uC, como para los rayos I y J, sólo una parte de la luz se refleja y el resto se refracta.

Fuente

EJEMPLO CONCEPTUAL 23–8 Ver hacia arriba desde la profundidad del agua. Describa qué vería una persona que mirase hacia arriba en el mundo que se encuentra debajo de la superficie perfectamente tranquila de un lago o alberca. RESPUESTA Para una interfase aire-agua, el ángulo crítico está dado por

sen uC =

1.00 = 0.750. 1.33

En consecuencia, uC
49°. Así que la persona vería el mundo exterior comprimido en un círculo cuyos bordes forman un ángulo de 49° con la vertical. Más allá de este ángulo, la persona vería reflejos de los lados y el fondo del lago o alberca (figura 23-25). EJERCICIO D Un rayo de luz que viaja en el aire toca una superficie de vidrio con n
1.48. ¿Para qué rango de ángulos ocurrirá la reflexión interna total?

FIGURA 23–25 a) Rayos de luz y b) vista hacia arriba desde la profundidad del agua (la superficie del agua debe ser muy tranquila). Ejemplo 23-8.

49° 49°

a)

b) SECCIÓN 23–6

Reflexión interna total; fibras ópticas

645

Muchos instrumentos ópticos, como los binoculares, se basan en la reflexión interna total dentro de un prisma para reflejar la luz. La ventaja es que casi el 100% de la luz es reflejada, mientras que incluso los mejores espejos reflejan menos del 100%. De esta forma, la imagen es más brillante, en especial después de varias reflexiones. Para vidrio con n
1.50, uC
41.8°. Así que los prismas de 45° reflejarán internamente toda la luz, si se orientan como se muestra en los binoculares de la figura 23-26. EJERCICIO E Si en los binoculares se usaran lentes de plástico de 45°, ¿qué índice de refracción mínimo debe tener el plástico? EJERCICIO F ¿Qué ocurriría si los prismas de vidrio de 45° del ejercicio E se sumergieran en agua? FIGURA 23–26 Reflexión interna total de la luz mediante prismas en los binoculares.

FIGURA 23–27 Luz reflejada totalmente en la superficie interior de un vidrio o fibra plástica transparente.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Fibras ópticas en las comunicaciones

F Í S I C A

A P L I C A D A

Medicina: broncoscopios, colonoscopios, endoscopios

Fibras ópticas La reflexión interna total es el principio detrás de la fibra óptica. Son comunes el vidrio y las fibras plásticas tan delgadas como unos cuantos micrómetros de diámetro. A un haz de tales fibras se le llama conducto de flujo luminoso o cable, y la luz† se puede transmitir a lo largo de él casi sin pérdida gracias a la reflexión interna total. La figura 23-27 ilustra cómo la luz que viaja por una fibra delgada sólo da colisiones oblicuas con las paredes, por lo que ocurre reflexión interna total. Incluso si el conducto de flujo luminoso se dobla de una forma complicada, el ángulo crítico no se superará, así que la luz se transmite prácticamente sin disminución hasta el otro extremo. Sí ocurren pérdidas, pero muy pequeñas, principalmente por reflexión en los extremos y por la absorción dentro de la fibra. En la medicina y las comunicaciones hay importantes aplicaciones de los cables de fibra óptica. Se emplean en lugar de alambre para transmitir llamadas telefónicas, señales de video y datos de computadora. La señal es un haz de luz modulado (un haz de luz cuya intensidad se puede variar) y los datos se transmiten a una tasa mucho mayor y con menos pérdida y menos interferencia que una señal eléctrica en un alambre de cobre. Se han desarrollado fibras que pueden transportar hasta 100 longitudes de onda separadas, cada una modulada para llevar hasta 10 gigabits (1010 bits) de información por segundo. Eso representa un terabit (1012 bits) por segundo para las 100 longitudes de onda. El uso especializado de las fibras ópticas para transmitir una imagen clara es particularmente útil en medicina (figura 23-28). Por ejemplo, es posible examinar los pulmones de un paciente mediante un tubo de luz conocido como broncoscopio, que se inserta a través de la boca y que pasa por los bronquios. La luz se envía por un conjunto externo de fibras para iluminar los pulmones. La luz reflejada regresa por un conjunto de fibras en el núcleo central. La luz directamente enfrente de cada fibra viaja por esta última. En el extremo opuesto, un observador mira una serie de manchas brillantes y oscuras, muy parecidas a una pantalla de televisión, que constituyen una imagen de lo que se encuentra en el extremo opuesto. Se usan lentes en cada extremo: en el extremo del objeto, para llevar los rayos en paralelo, y en el extremo de visualización como telescopio. La imagen se puede ver directamente, o bien, en la pantalla de un monitor o en una película. Las fibras deben estar aisladas ópticamente una de otra, generalmente mediante un delgado recubrimiento de material con un índice de refracción menor que el de la fibra. Cuantas más fibras haya, y más pequeñas sean, más detallada será la imagen. Tales instrumentos, que incluyen broncoscopios, colonoscopios (para ver el colon) y endoscopios (para examinar el estómago u otros órganos), son extremadamente útiles para hacer estudios de lugares difíciles de alcanzar. †

Las fibras ópticas se usan no sólo con luz visible, sino también con luz infrarroja, luz ultravioleta y microondas.

FIGURA 23–28 a) Cómo se forma una imagen de fibra óptica. b) Ejemplo de dispositivo de fibra óptica insertado a través de la nariz, que permite generar una imagen.

a)

646

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

A

b)

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Biconvexa Planoconvexa Menisco convexo a) Lentes convergentes

Bicóncava Planocóncava Menisco d) c) cóncavo b) Lentes divergentes FIGURA 23–29 a) Lentes convergentes y b) lentes divergentes, mostradas en sección transversal. c) Fotografía de una lente convergente (izquierda) y de una lente divergente (derecha). d) Lentes convergentes (arriba) y lentes divergentes (abajo), planas y elevadas sobre el papel para formar imágenes.

23–7 Lentes delgadas; trazado con rayos Sin duda, el más importante dispositivo óptico simple es la lente delgada. El desarrollo de dispositivos ópticos que incluyen lentes data de los siglos XVI y XVII, aunque el registro más antiguo de anteojos del que se tiene noticia data de finales del siglo XIII. En la actualidad se encuentran lentes en las gafas, cámaras, lupas, telescopios, binoculares, microscopios e instrumentos médicos. Una lente delgada, por lo general, es circular y sus dos caras son porciones de una esfera. (Aunque también son posibles superficies cilíndricas, el texto se ocupará de las esféricas). Las dos caras pueden ser cóncavas, convexas o planas; en la figura 23-29 se presentan varios tipos, en sección transversal. La importancia de las lentes es que forman imágenes de objetos, como se muestra en la figura 23-30. FIGURA 23–30 La lente convergente (en el soporte) forma una imagen (“F” grande sobre la pantalla de la derecha) de un objeto brillante (“F” iluminada a la izquierda).

FIGURA 23–31 (abajo) Rayos paralelos llegan a un foco por medio de una lente delgada convergente.

SECCIÓN 23–7

F

a)

Eje

f

Plano focal

Considere los rayos paralelos que entran en contacto con la lente doble convexa que se muestra en sección transversal en la figura 23-31a. Se supone que la lente está hecha de vidrio o de plástico transparente, de modo que su índice de refracción es mayor que el del aire exterior. El eje de una lente es una línea recta que pasa a través del centro de la lente y es perpendicular a sus dos superficies (figura 23-31). A partir de la ley de Snell, se puede ver que cada rayo en la figura 23-31a se dobla hacia el eje cuando el rayo entra a la lente y, de nuevo, cuando deja la lente en la superficie posterior. (Las líneas punteadas indican las normales a cada superficie para el rayo superior). Si los rayos paralelos al eje caen sobre una lente delgada, se enfocarán en un punto llamado punto focal, F. Esto no será precisamente cierto para una lente con superficies esféricas. Pero estará muy cerca de ser cierto —es decir, los rayos paralelos se enfocarán sobre una delgada región que es casi un punto— si el diámetro de las lentes es pequeño en comparación con los radios de curvatura de las dos superficies de la lente. Este criterio lo satisface una lente delgada, una que es muy delgada en comparación con su diámetro, y aquí sólo se considerarán lentes delgadas.

F

b)

Eje

Fa

Lentes delgadas; trazado con rayos

647

Longitud focal de las lentes

FIGURA 23–32 Imagen del Sol que quema hasta casi formar un hoyo en un pedazo de papel. Potencia de lente Dioptría

FIGURA 23–33 Lentes divergentes.

F f

➥

DIAGRAMA DE RAYOS

Cómo encontrar la posición de la imagen formada por una lente delgada

Los rayos provenientes de un punto en un objeto distante, en esencia, son paralelos; observe la figura 23-10. Así, se puede decir que el punto focal es el punto de imagen para un objeto en el infinito sobre el eje de la lente. En consecuencia, el punto focal de una lente se encuentra localizando el punto donde los rayos de Sol (o aquellos de algún otro objeto distante) se llevan a un imagen clara (figura 23-32). La distancia del punto focal desde el centro de las lentes se llama longitud focal, f. Una lente se puede hacer girar hasta que la luz pase a través de ella desde el lado opuesto. La longitud focal es la misma en ambos lados, como se verá más adelante, incluso si las curvaturas de las dos superficies de la lente son diferentes. Si los rayos paralelos caen sobre una lente en un ángulo, como en la figura 23-31b, se enfocan en un punto Fa. El plano en el que caen todos los puntos como F y Fa se llama plano focal de la lente. Cualquier lente† que sea más gruesa en el centro que en los extremos hará que los rayos paralelos converjan en un punto, y se llama lente convergente (figura 23-29a). Las lentes que son más delgadas en el centro que en las orillas (figura 23-29b) se llaman lentes divergentes porque hacen que la luz paralela diverja, como se aprecia en la figura 23-33. El punto focal, F, de una lente divergente se define como aquel punto desde el que los rayos refractados, que se originan de los rayos incidentes paralelos, parecen surgir como se ilustra en la figura 23-33. Y la distancia desde F hasta la lente se llama longitud focal, f, tal como para una lente convergente. Los optometristas y los oftalmólogos, en lugar de usar la longitud focal, usan el recíproco de la longitud focal para especificar la graduación de los anteojos (o lentes de contacto). A esto se le llama potencia, P, de una lente:

1. (23–7) f La unidad para la potencia de la lente es la dioptría (D), que es un metro inverso: 1 D
1 m1. Por ejemplo, una longitud focal de 20 cm tiene una potencia P
1
(0.20 m)
5.0 D. En el texto principalmente se usará la longitud focal, pero de nuevo se hará referencia a la potencia de una lente cuando nos ocupemos de las lentes de los anteojos, en el capítulo 25. El parámetro más importante de una lente es su longitud focal f. Para una lente convergente, f se mide fácilmente encontrando el punto de imagen para el Sol u otro objeto distante. Una vez conocida f la posición de la imagen se puede calcular para cualquier objeto. Encontrar el punto de imagen mediante el dibujo de rayos sería difícil si se tienen que determinar los ángulos de refracción en la superficie frontal de la lente y de nuevo en la superficie posterior por donde sale el rayo. Se puede ahorrar mucho esfuerzo si se toman en cuenta ciertos hechos ya conocidos, como el que un rayo paralelo al eje de la lente pasa (después de la refracción) a través del punto focal. Para determinar un punto de imagen, se necesita considerar sólo los tres rayos indicados en la figura 23-34, en la que el objeto se representa con una flecha (a la izquierda), y una lente convergente que forme una imagen a la derecha. Estos rayos, que emanan de un solo punto en el objeto, se dibujan como si la lente fuese infinitamente delgada, y en la figura sólo se muestra una clara desviación en la línea central de la lente en lugar de las refracciones en cada superficie. Estos tres rayos se dibujan del modo siguiente: El rayo 1 se dibuja paralelo al eje; por tanto, se refracta en la lente de modo que pasa a lo largo de una línea a través del punto focal F detrás de la lente, figura 23-34a. (Observe también la figura 23-31a). El rayo 2 se dibuja sobre una línea que pasa a través del otro punto focal F¿ (lado frontal de la lente en la figura 23-34) y surge de la lente paralela al eje, figura 23-34b. El rayo 3 se dirige hacia el centro mismo de la lente, donde las dos superficies son esencialmente paralelas entre sí; por tanto, este rayo emerge de la lente en el mismo ángulo en el que entró; como se vio en el ejemplo 23-6, el rayo se desplazaría ligeramente hacia un lado, pero, como se supuso que la lente es delgada, el rayo 3 se dibujó recto, como se muestra en la figura 23-34c. P =

El punto donde esos tres rayos cruzan es el punto de imagen para dicho punto de objeto. En realidad, cualquiera de estos dos rayos será suficiente para localizar el punto de imagen, pero dibujar el tercer rayo puede servir como comprobación. †

Se supone que la lente tiene un índice de refracción mayor que el del material que lo rodea, como lentes de vidrio o plástico en un medio como el aire, que es la situación más común.

648

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

FIGURA 23–34 Cómo

Línea central Objeto

encontrar la imagen por trazado de rayos para una a) El rayo 1 sale de un punto sobre el objeto lente convergente. Los rayos que va paralelo al eje, entonces se refracta se muestran saliendo de un punto en el objeto (una a través del punto focal detrás. flecha). Se ilustran los tres rayos más útiles, que salen de la punta del objeto, para determinar dónde se forma la imagen de ese punto.

1

F O

F′

1 1

F

I

b) El rayo 2 pasa a través de F¿ enfrente de la lente; por tanto es paralelo al eje detrás de ésta.

F

I

c) El rayo 3 pasa recto a través del centro de la lente (que se supone muy delgada).

F′ 2 2

Objeto

1 3

O

F′ 2 Imagen

Al usar estos tres rayos para un punto de objeto se puede encontrar el punto de imagen para ese punto del objeto (la punta de la fecha en la figura 23-34). Los puntos de imagen para todos los demás puntos en el objeto se encuentran de igual modo para determinar la imagen completa del objeto. Puesto que los rayos en realidad pasan a través de la imagen para el caso que se representa en la figura 23-34, es una imagen real (véase la página 634). La imagen se podría detectar por película, o en realidad verse sobre una superficie blanca o sobre una pantalla colocada en la posición de la imagen (figura 23-35). La imagen también se puede ver directamente por los ojos cuando éstos se colocan detrás de la imagen, como se ilustra en la figura 23-34c, de modo que parte de los rayos que divergen de cada punto en la imagen pueden entrar al ojo. Una imagen clara sólo se puede ver para rayos que divergen de cada punto en la imagen, porque se usan objetos normales cuando los rayos divergentes de cada punto entran a los ojos como se muestra en la figura 23-1. El ojo no puede enfocar los rayos que convergen en él; si el ojo se colocara entre los puntos F e I de la figura 23-34c, no vería una imagen clara. (En la sección 25-2 se hablará más acerca de los ojos). La figura 23-35 presenta una imagen vista a) en una pantalla y b) directamente por el ojo (y una cámara) colocada detrás de la imagen.

Cómo ver la imagen

FIGURA 23–35 a) Una lente convergente puede formar una imagen real (aquí de un edificio distante, de cabeza) en una pantalla. b) Esa misma imagen real también es directamente visible al ojo. [La figura 23-29d muestra imágenes (papel gráfico) formadas tanto por lentes divergentes como por convergentes, vistas por el ojo].

a)

b) SECCIÓN 23–7

Lentes delgadas; trazado con rayos

649

www.elsolucionario.org

Lentes divergentes Al dibujar los mismos tres rayos que emergen de un solo punto de un objeto, es posible determinar la posición de la imagen formada por una lente divergente, como se ilustra en la figura 23-36. Advierta que el rayo 1 se dibuja paralelo al eje, pero no pasa a través del punto focal F¿ detrás de la lente. En lugar de ello, parece llegar desde el punto focal F enfrente de la lente (línea punteada). El rayo 2 se dirige hacia F¿ y se refracta paralelo al eje de la lente por la lente. El rayo 3 pasa directamente a través del centro de la lente. Los tres rayos refractados parecen surgir de un punto a la izquierda de la lente. Éste es el punto de imagen, I. Como los rayos no pasan a través de la imagen, se trata de una imagen virtual. Hay que hacer notar que el ojo no distingue entre imágenes reales y virtuales: ambas son visibles. 1 1 2

FIGURA 23–36 Cómo encontrar la imagen mediante trazado de rayos para una lente divergente.

2

3 O

F

I

F' 3

23–8 Ecuación de lentes delgadas; amplificación Ahora se deducirá una ecuación que relaciona la distancia imagen con la distancia objeto y la longitud focal de una lente delgada. Esta ecuación hará más rápida y más precisa la determinación de la posición de la imagen que con el trazado de rayos. Sea d0 la distancia objeto, la distancia del objeto desde el centro de la lente, y di la distancia imagen, la distancia de la imagen desde el centro de la lente. Y sean ho y hi las alturas del objeto y la imagen. Considere los dos rayos que se representan en la B

O′

ho FIGURA 23–37 Derivación de la ecuación de

F O

F′

I

hi

A

lentes para una lente convergente.

I′

f di figura 23-37 para una lente convergente que, se supone, es muy delgada. Los triángulos a la derecha FI¿I y FBA (sombreados en gris) son similares porque el ángulo AFB es igual al ángulo IFI¿; de modo que do

ECUACIÓN DE LENTE DELGADA

650

CAPÍTULO 23

di - f hi , = ho f dado que la longitud AB
ho. Los triángulos OAO¿ e IAI¿ son similares también. Por tanto, hi di . = ho do Se igualan los lados derechos de estas dos ecuaciones (los lados izquierdos son iguales), y al dividir entre di se obtiene 1 1 1 = f di do o 1 1 1 + = . (23–8) do di f A esto se le llama ecuación de lente delgada; relaciona la distancia imagen di con la distancia objeto do y la longitud focal f. Es la ecuación más útil en óptica geométrica. (Es interesante que sea exactamente la misma que la ecuación de espejo, ecuación 23-2). Si el objeto está en el infinito, entonces 1
do
0, de modo que di
f. Por tanto, la longitud focal es la distancia imagen para un objeto en el infinito, como se mencionó anteriormente.

Luz: óptica geométrica

do

B

O′ I′

ho

hi

O

F

I

A

di

FIGURA 23–38 Deducción de la ecuación

f

de lente para una lente divergente.

Se puede deducir la ecuación de lente para una lente divergente a partir de la figura 23-38. Los triángulos IAI¿ y OAO¿ son similares; y los triángulos IFI¿ y AFB son similares. Por ende (y haciendo notar que la longitud AB
ho),

f - di hi hi di . = y = ho do ho f Cuando se igualan los lados derechos de estas dos ecuaciones y se simplifica, se obtiene 1 1 1 = – . do di f Esta ecuación se convierte en la ecuación 23-8 si f y di se hacen negativas. Esto es, f se hace negativa para una lente divergente y di es negativa cuando la imagen está en el mismo lado de la lente de donde procede la luz. Por tanto, la ecuación 23-8 será válida tanto para lentes convergentes como para divergentes, y para todas las situaciones, si se emplean las siguientes convenciones de signos: 1. La longitud focal es positiva para lentes convergentes y negativa para lentes divergentes. 2. La distancia objeto es positiva si el objeto está en el lado de la lente del que llega la luz (por lo general, éste es el caso, aunque cuando las lentes se usan en combinación, tal vez no lo sea); de otro modo, es negativa. 3. La distancia imagen es positiva si la imagen está en el lado opuesto de la lente de donde proviene la luz; si está en el mismo lado, di es negativa. De manera equivalente, la distancia imagen es positiva para una imagen real y negativa para una imagen virtual. 4. La altura de la imagen, hi, es positiva si la imagen está derecha, y negativa si la imagen está invertida en relación con el objeto. (ho siempre se toma como positiva).

P R E C A U C I Ó N

La longitud focal es negativa para lentes divergentes.

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

CONVENCIONES DE SIGNOS para lentes

La amplificación, m, de una lente se define como la razón entre la altura de la imagen y la altura del objeto, m = hi
ho . De las figuras 23-37 y 23-38, y las convenciones apenas establecidas, se tiene

hi di . = – (23–9) ho do Para una imagen derecha, la amplificación es positiva, y para una imagen invertida la amplificación es negativa. A partir de la convención de signos 1, se sigue que la potencia (ecuación 23-7) de una lente convergente, en dioptrías, es positiva, mientras que la potencia de una lente divergente es negativa. A una lente convergente en ocasiones se le designa como lente positiva, y a una lente divergente como lente negativa. m =

Amplificación de una lente

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Lentes delgadas 1. Dibuje un diagrama de rayos, tan preciso como sea posible, pero incluso un bosquejo servirá como confirmación de los resultados analíticos. Elija un punto en el objeto y dibuje al menos dos, de preferencia tres, de los rayos más fáciles de dibujar descritos en las figuras 23-34 y 23-36. El punto de la imagen es donde los rayos intersecan. 2. Para soluciones analíticas, resuelva las incógnitas en la ecuación de lentes delgadas (ecuación 23-8) y la ecua-

ción de amplificación (ecuación 23-9). La ecuación de lentes delgadas incluye los recíprocos: no olvide tomar el recíproco. 3. Siga las convenciones de signos anteriores. 4. Compruebe que las respuestas analíticas sean consistentes con el diagrama de rayos.

SECCIÓN 23–8

Ecuación de lentes delgadas; amplificación

651

1

O′ Eje

F

3 F′

Flor

Imagen

100 cm

FIGURA 23–39 Ejemplo 23-9. (No a escala).

EJEMPLO 23–9 Imagen formada por lentes convergentes. ¿Cuál es a) la posición y b) el tamaño de la imagen de una flor de 7.6 cm de alto colocada a 1.00 m de la lente de una cámara de 50.0 mm de longitud focal? PLANTEAMIENTO Se siguen explícitamente los pasos del recuadro de resolución de problemas. SOLUCIÓN 1. Diagrama de rayos: La figura 23-39 es un diagrama de rayos aproximado, que sólo muestra los rayos 1 y 3 para un solo punto en la flor. Se ve que la imagen debe estar un poco detrás del punto focal F, hacia la derecha de la lente. 2. Ecuaciones de lente delgada y de amplificación: a) Analíticamente se encuentra la posición de la imagen, mediante la ecuación 23-8, la ecuación de lente delgada. La lente de la cámara es convergente, con f
5.00 cm y do
100 cm, así que la ecuación de la lente delgada da

1 1 1 1 1 = = di f do 5.00 cm 100 cm =

20.0 - 1.0 19.0 . = 100 cm 100 cm

Entonces

di =

100 cm = 5.26 cm, 19.0

o 52.6 mm detrás de la lente. b) La amplificación es

m = –

di 5.26 cm = –0.0526, = – do 100 cm

de modo que

hi = mho = (–0.0526)(7.6 cm) = –0.40 cm. La imagen tiene 4.0 mm de alto. 3. Convenciones de signos: La distancia imagen di resultó positiva, así que la imagen está detrás de la lente. La altura de la imagen es hi
0.40 cm; el signo menos significa que la imagen está invertida. 4. Consistencia: Los resultados analíticos de los pasos 2 y 3 son consistentes con el diagrama de rayos de la figura 23-39: la imagen está detrás de la lente e invertida. NOTA El inciso a) dice que la imagen está 2.6 mm más lejos de la lente que la imagen para un objeto en el infinito, que es igual a la longitud focal, 50.0 mm. De hecho, cuando se enfoca la lente de una cámara, cuanto más cerca de la cámara esté el objeto, más lejos de la película debe estar la lente. EJERCICIO G Si la flor (objeto) del ejemplo 23-9 se mueve más lejos de la lente, ¿la imagen se mueve más cerca o más lejos de la lente? (¡No calcule!)

652

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

www.elsolucionario.org EJEMPLO 23–10 Objeto cerca de una lente convergente. Un objeto se coloca a 10 cm de una lente convergente de 15 cm de longitud focal. Determine la posición y el tamaño de la imagen a) analíticamente y b) con un diagrama de rayos. PLANTEAMIENTO Primero se utilizan las ecuaciones 23-8 y 23-9 para obtener una solución analítica, y luego se confirma con un diagrama de rayos con los rayos especiales 1, 2 y 3 para un solo punto de objeto. SOLUCIÓN a) Dados f
15 cm y do
10 cm, se tiene

1 1 1 1 , = = – di 15 cm 10 cm 30 cm y di
30 cm. (¡Recuerde tomar el recíproco!) Puesto que di es negativo, la imagen debe ser virtual y en el mismo lado de la lente que el objeto. La amplificación di –30 cm m = – = – = 3.0. do 10 cm La imagen es tres veces más grande que el objeto y está derecha. Esta lente se usa como un simple vidrio de aumento, que se analizará con más detalle en la sección 25-3. b) El diagrama de rayos se reproduce en la figura 23-40 y confirma el resultado del inciso a). Se elige el punto O¿ en lo alto del objeto y se dibuja el rayo 1, lo que es una tarea sencilla. Pero el rayo 2 implica cierto razonamiento: si se dibuja en dirección a F¿, va en el camino equivocado, así que se dibuja como si viniera de F¿ (y por tanto está punteado), toca la lente y luego va paralelo al eje de la lente. Se le proyecta hacia atrás con una línea punteada, como también se debe hacer para el rayo 1, con la finalidad de encontrar dónde se cruzan. El rayo 3 se dibuja a través del centro de la lente y cruza a los otros dos rayos en el punto imagen, I¿. NOTA A partir de la figura 23-40 se ve que, siempre que un objeto se coloque entre una lente convergente y su punto focal, la imagen será virtual.

I′

2 O′

I

P R E C A U C I Ó N

No olvide tomar el recíproco.

F′

2 1

FIGURA 23–40 Un objeto

1

O 3

colocado dentro del punto focal de una lente convergente produce una imagen virtual. Ejemplo 23-10.

F

EJEMPLO 23–11 Lente divergente. ¿Dónde debe colocarse un pequeño insecto si una lente divergente de 25 cm de longitud focal debe formar una imagen virtual de 20 cm enfrente de la lente? PLANTEAMIENTO El diagrama de rayos es básicamente el de la figura 23-38 porque aquí la lente es divergente y la imagen está enfrente de la lente dentro de la distancia focal. (Ahora, sería un valioso ejercicio dibujar el diagrama de rayos a escala, de manera precisa). La distancia del insecto, do, se calcula mediante la ecuación de la lente delgada. SOLUCIÓN La lente es divergente, así que f es negativa: f
25 cm. La distancia imagen debe ser negativa también pues la imagen está enfrente de la lente (convenciones de signo), de modo que di
20 cm. La ecuación 23-8 da

1 1 1 1 1 –4 + 5 1 . = = – + = = do f di 25 cm 20 cm 100 cm 100 cm Así que el objeto debe estar a 100 cm enfrente de la lente. EJERCICIO H Un objeto se coloca a 12 cm de una lente con longitud focal de 15 cm. ¿La imagen será real o virtual si la lente es a) convergente o b) divergente? EJERCICIO I Determine la posición de la imagen producida por una lente convergente con longitud focal de 15.0 cm, cuando un objeto se coloca a 13.0 cm enfrente de ella. SECCIÓN 23–8

Ecuación de lentes delgadas; amplificación

653

* 23–9 Combinaciones de lentes Lentes múltiples: la imagen formada por la primera lente es objeto para la segunda lente.

Ahora se explicará cómo considerar las lentes usadas en combinación. Cuando la luz pasa a través de más de una lente, se encuentra la imagen formada por la primera lente como si estuviera sola. Esta imagen se convierte en el objeto para la segunda lente, y entonces se encuentra la imagen formada por esta segunda lente, que será la imagen final si sólo existen dos lentes. La amplificación total será el producto de las amplificaciones separadas de cada lente, como se verá. Incluso si la segunda lente intercepta la luz proveniente de la primera lente antes de que se forme una imagen, esta técnica todavía funciona. EJEMPLO 23–12 Un sistema de dos lentes. Dos lentes convergentes, A y B, con longitudes focales fA
20.0 cm y fB
25.0 cm, se colocan separadas 80.0 cm, como se ilustra en la figura 23-41a. Un objeto se coloca a 60.0 cm enfrente de la primera lente, como se aprecia en la figura 23-41b. Determine a) la posición y b) la amplificación de la imagen final formada por la combinación de las dos lentes.

FIGURA 23–41 Dos lentes, A y B,

Lente A

en combinación. Ejemplo 23-12. Los números pequeños se refieren a los rayos dibujados fácilmente.

F′A

Lente B FA

a)

FB

F′B

80.0 cm A

B

1

F′A

F A IA

3

O

FB IB

4

b)

F′B

2

dοΑ

OB (= IA) diA

doB

diB

PLANTEAMIENTO Partiendo del borde superior del objeto O, se dibujan los rayos 1, 2 y 3 para la primera lente, A, y también un rayo 4 que, después de pasar a través de la lente A, actúa como “rayo 3” (a través del centro) para la segunda lente, B. El rayo 2 para la lente A sale paralelo y así es el rayo 1 para la lente B. Para determinar la posición de la imagen IA formada por la lente A, se usa la ecuación 23-8 con fA
20.0 cm y doA
60.0 cm. La distancia de IA desde la lente B es la distancia objeto doB para la lente B. La imagen final se encuentra mediante la ecuación de lente delgada, esta vez con todas las distancias relativas a la lente B. Para b) las amplificaciones se determinan a partir de la ecuación 23-9 para cada lente a la vez. SOLUCIÓN a) El objeto está a una distancia doA
60.0 cm de la primera lente, A, y ésta forma una imagen cuya posición se calcula utilizando la ecuación de lente delgada:

P R E C A U C I Ó N

Note que la distancia objeto para la segunda lente no es igual a la distancia imagen para la primera lente.

654

CAPÍTULO 23

1 1 1 1 1 1 3 - 1 . = = = = diA fA doA 20.0 cm 60.0 cm 60.0 cm 30.0 cm Así que la primera imagen IA está a diA
30.0 cm detrás de la primera lente. Esta imagen se vuelve el objeto para la segunda lente, B. Está a una distancia doB
80.0 cm  30.0 cm
50.0 cm enfrente de la lente B, como se indica en la figura 23-41b. La imagen formada por la lente B, de nuevo con la ecuación de lente delgada, está a una distancia diB de la lente B: 1 1 1 1 1 2 - 1 1 . = = = = diB fB doB 25.0 cm 50.0 cm 50.0 cm 50.0 cm Por tanto, diB
50.0 cm detrás de la lente B. Ésta es la imagen final; observe la figura 23-41b.

Luz: óptica geométrica

b) La lente A tiene una amplificación (ecuación 23-9)

diA 30.0 cm = – = – 0.500. doA 60.0 cm Por tanto, la primera imagen está invertida y tiene la mitad de la altura del objeto (de nuevo la ecuación 23-9): hiA = mAhoA = –0.500hoA . La lente B toma esta imagen como objeto y cambia su altura por un factor diB 50.0 cm mB = – = – = –1.000. doB 50.0 cm La segunda lente reinvierte la imagen (el signo menos) pero no cambia su tamaño. La altura de la imagen final es (recuerde que hoB es igual que hiA) hiB = mB hoB = mB hiA = mB mA hoA = Amtotal BhoA . La amplificación total es el producto de mA y mB, que aquí es igual a mtotal = mA mB = (–1.000)(–0.500) = ±0.500, o la mitad de la altura original, y la imagen final está derecha. mA = –

La amplificación total es mtotal
mAmB

Punto de imagen formado por la primera lente (punto objeto para la segunda lente) FIGURA 23–42 Determinación de Imagen producida por la segunda lente (imagen final)

la longitud focal de una lente divergente. Ejemplo 23-13.

fC f T = 28.5 cm

EJEMPLO 23–13 Medición de f para una lente divergente. Para medir la longitud focal de una lente divergente, se coloca una lente convergente en contacto con ella, como se muestra en la figura 23-42. Los rayos del Sol se enfocan con esta combinación en un punto a 28.5 cm detrás de las lentes, como se indica. Si la lente convergente tiene una longitud focal fC de 16.0 cm, ¿cuál es la longitud focal fD de la lente divergente? Suponga que ambas lentes son delgadas y que el espacio entre ellas es despreciable. PLANTEAMIENTO La distancia imagen para la primera lente es igual a su longitud focal (16.0 cm) dado que la distancia objeto es infinita (q). La posición de esta imagen, aun cuando en realidad nunca se forma, actúa como el objeto para la segunda lente (divergente). Se aplica la ecuación de lente delgada a la lente divergente para encontrar dónde está la imagen final. SOLUCIÓN Los rayos provenientes del Sol se enfocan 28.5 cm detrás de la combinación, así que la longitud focal de la combinación total es fT
28.5 cm. Si la lente divergente no estuviese, la lente convergente formaría la imagen en su punto focal; es decir, a una distancia fC
16.0 cm detrás de ella (líneas punteadas en la figura 23-42). Cuando la lente divergente se coloca junto a la lente convergente, la imagen formada por la primera lente se considera como el objeto para la segunda lente. Como este objeto se encuentra a la derecha de la lente divergente, ésta es una situación donde do es negativa (consulte las convenciones de signos, página 651). En consecuencia, para la lente divergente, el objeto es virtual y do
16.0 cm. La lente divergente forma la imagen de este objeto virtual a una distancia di
28.5 cm alejada (este dato se proporcionó). De este modo,

1 1 1 1 1 = + = + = – 0.0274 cm–1. fD do di –16.0 cm 28.5 cm

Se toma el recíproco para encontrar fD = –1
A0.0274 cm–1 B = –36.5 cm. NOTA Si esta técnica funciona, la lente convergente debe ser “más potente” que la lente divergente; es decir, debe tener una longitud focal cuya magnitud sea menor que la de la lente divergente. *SECCIÓN 23–9

Combinaciones de lentes

655

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* 23–10 La ecuación del fabricante de lentes Una ecuación útil, conocida como ecuación del fabricante de lentes, relaciona la longitud focal de una lente con los radios de curvatura R1 y R2 de sus dos superficies y su índice de refracción n:

1 1 1 = (n - 1) ¢ + ≤. f R1 R2

Ecuación del fabricante de lentes

(23–10)

Si ambas superficies son convexas, R1 y R2 se consideran positivas.† Para una superficie cóncava, el radio se debe considerar negativo. Note que la ecuación 23-10 es simétrica en R1 y R2. De esta forma, si una lente se da vuelta de modo que la luz toque la otra superficie, la longitud focal será la misma incluso si las dos superficies de la lente son diferentes. EJEMPLO 23–14 Cálculo de f para una lente convergente. Una lente menisco convexa (figuras 23-29a y 23-43) está hecha de vidrio con n
1.50. El radio de curvatura de la superficie convexa es de 22.4 cm y la de la superficie cóncava es de 46.2 cm. ¿Cuál es la longitud focal?

R = 1 22. 4c

m

C1 R2 = −46.2 cm

C2

PLANTEAMIENTO Se utiliza la ecuación del fabricante de lentes (ecuación 23-10) para encontrar f. SOLUCIÓN R1 = 22.4 cm y R2 = – 46.2 cm (superficie cóncava). Entonces

1 1 1 = (1.50 - 1.00) a b = 0.0115 cm–1. f 22.4 cm 46.2 cm

FIGURA 23–43 Ejemplo 23-14.

De modo que

1 = 87 cm, 0.0115 cm–1 y la lente es convergente dado que f 7 0. f =

NOTA Si se da vuelta a la lente de modo que R1
46.2 cm y R2
22.4 cm, se obtiene el mismo resultado. †

Algunos libros emplean una convención diferente. Por ejemplo, R1 y R2 se consideran positivos si sus centros de curvatura están a la derecha de las lentes, en cuyo caso un signo menos sustituye el signo  en su equivalente de la ecuación 23-10.

Resumen La luz parece viajar en trayectorias en línea recta, llamadas rayos, con una rapidez v que depende del índice de refracción, n, del material; esto es

n =

c, v

(23–4)

donde c es la rapidez de la luz en el vacío. Cuando la luz se refleja desde una superficie plana, el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. Esta ley de reflexión explica por qué los espejos forman imágenes. En un espejo plano, la imagen es virtual, derecha, del mismo tamaño que el objeto y está tan lejos detrás del espejo como el objeto enfrente de él. Un espejo esférico puede ser cóncavo o convexo. Un espejo esférico cóncavo enfoca rayos paralelos de luz (luz proveniente de un objeto muy distante) en un punto llamado punto focal. La distancia de este punto desde el espejo es la longitud focal f del espejo y

f =

r, 2

(23–1)

donde r es el radio de curvatura del espejo.

656

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

Los rayos paralelos que caen en un espejo cóncavo se reflejan en el espejo como si divergieran de un punto común detrás del espejo. La distancia de este punto desde el espejo es la longitud focal y se considera negativa para un espejo convexo. Para un objeto dado, la posición y tamaño aproximado de la imagen formada por un espejo se determina mediante un trazado de rayos. Algebraicamente, la relación entre las distancias imagen y objeto, di y do, y la longitud focal f está dada por la ecuación del espejo:

1 1 1 + = . do di f

(23–2)

La razón entre la altura de imagen hi y la altura de objeto ho, que es igual a la amplificación m de un espejo, es

m =

hi di . = – ho do

(23–3)

Cuando los rayos que convergen para formar una imagen en realidad pasan a través de la imagen, de modo que ésta aparecería sobre una película o sobre una pantalla colocada ahí, se dice que la imagen es real. Si los rayos de luz en realidad no pasan a través de la imagen, ésta será una imagen virtual.

Cuando la luz pasa de un medio transparente a otro, los rayos se doblan o se refractan. La ley de refracción (ley de Snell) afirma que

n1 sen u1 = n2 sen u2 ,

(23–5)

donde n1 y u1 son el índice de refracción y el ángulo con la normal a la superficie para el rayo incidente, y n2 y u2 son el índice y el ángulo para el rayo refractado. Cuando los rayos de luz alcanzan la frontera de un material donde el índice de refracción disminuye, los rayos serán totalmente reflejados de manera interna si el ángulo incidente, u1, es tal que la ley de Snell predeciría sen u2 > 1. Esto ocurre si u1 supera el ángulo crítico uC dado por

sen uC =

n2 . n1

(23–6)

Una lente se basa en la refracción para producir una imagen real o virtual. Los rayos paralelos de luz se enfocan en un punto, llamado punto focal, mediante una lente convergente. La distancia del punto focal desde la lente se llama longitud focal f de la lente. Después de que los rayos paralelos pasan a través de una lente divergente, parecen divergir de un punto, su punto focal; y la longitud focal correspondiente se considera negativa.

La potencia P de una lente, que es P
1
f (ecuación 23-7), está dada en dioptrías, que son unidades de metros inversos (m1). Para un objeto dado, la posición y el tamaño de la imagen formada por una lente se determinan aproximadamente por el trazado de rayos. Algebraicamente, la relación entre las distancias imagen y objeto, di y do, y la longitud focal f, está dada por la ecuación de lente delgada:

1 1 1 + = . do di f

(23–8)

La razón entre la altura de imagen y la altura de objeto, que es igual a la amplificación m para una lente, es

m =

hi di . = – ho do

(23–9)

Cuando se usan las diversas ecuaciones de óptica geométrica, es importante recordar las convenciones de signos para todas las cantidades implicadas: revíselas con cuidado (pp. 641 y 651) cuando resuelva problemas. [*Cuando dos (o más) lentes delgadas se usan en combinación para producir una imagen, la ecuación de lente delgada se aplica para cada lente en secuencia. La imagen producida por la primera lente actúa como el objeto para la segunda. La ecuación del fabricante de lentes relaciona los radios de curvatura de las superficies y el índice de refracción de la lente, con la longitud focal].

Preguntas 1. ¿Cuál sería la apariencia de la Luna si tuviese a) una superficie rugosa; b) una superficie pulida como espejo? 2. Se dice que Arquímedes quemó toda la flota romana en el puerto de Siracusa enfocando los rayos del Sol con un gran espejo esférico. ¿Es esto razonable? 3. Aunque un espejo plano parece invertir izquierda y derecha, no invierte arriba y abajo. Explique por qué. 4. Si un espejo cóncavo produce una imagen real, ¿la imagen necesariamente está invertida? Explique su respuesta. 5. Un objeto se coloca a lo largo del eje principal de un espejo esférico. La amplificación del objeto es –3.0. ¿La imagen es real o virtual, invertida o derecha? ¿El espejo es cóncavo o convexo? ¿En qué lado del espejo está ubicada la imagen? 6. Con las reglas para los tres rayos analizadas con referencia a la figura 23-13, dibuje el rayo 2 para la figura 23-17b. 7. ¿Cuál es la longitud focal de un espejo plano? ¿Cuál es la amplificación de un espejo plano? 8. Cuando se mira la reflexión de la Luna en un mar con ondulaciones, parece alargada (figura 23-44). Explique por qué.

9. ¿Cuál es el ángulo de refracción cuando un rayo de luz alcanza perpendicularmente la frontera entre dos materiales? 10. ¿Cómo se puede determinar la rapidez de la luz en un objeto transparente, sólido y rectangular? 11. Cuando se mira hacia abajo en una alberca o en un lago, ¿es probable que se subestime o se sobrestime su profundidad? Explique por qué. ¿Cómo varía la profundidad aparente con el ángulo de visión? (Utilice diagramas de rayos). 12. Dibuje un diagrama de rayos para demostrar por qué un palito parece doblarse cuando parte de él está bajo el agua (figura 23-21). 13. Una persona mira un acuario y observa un pez en su interior. En la figura 23-45 se muestra un rayo de luz que emerge del tanque, así como la posición aparente del pez. En el dibujo, indique la posición aproximada del pez real. Justifique brevemente su respuesta.

FIGURA 23–44 Pregunta 8.

FIGURA 23–45 Pregunta 13. 14. ¿Cómo es que se puede “ver” una gota redonda de agua en una mesa aun cuando el agua es transparente e incolora? 15. Cuando se observa un objeto en el aire desde abajo de la superficie de una alberca, ¿el objeto parece tener el mismo tamaño que cuando se observa directamente en el aire? Explique su respuesta. 16. ¿Cómo puede un espejo esférico tener una distancia objeto negativa?

Preguntas

657

17. Los rayos de luz de las estrellas (incluso el Sol) siempre se doblan hacia la dirección vertical conforme pasan a través de la atmósfera terrestre. a) ¿Por qué esto tiene sentido? b) ¿Qué se concluye acerca de las posiciones aparentes de las estrellas como se ven desde la Tierra? 18. ¿Dónde se debe colocar la película si se necesita que la lente de una cámara obtenga una imagen clara de un objeto muy lejano? 19. ¿Qué tipo de espejo se observa en la figura 23-46? Explique su respuesta.

23. Se dice que los rayos de luz son “reversibles”. ¿Esto es consistente con la ecuación de lente delgada? Explique su respuesta. 24. ¿Es posible proyectar las imágenes reales en una pantalla? ¿Y las imágenes virtuales? ¿Alguna de ellas puede ser fotografiada? Analice cuidadosamente. 25. Una lente convergente delgada se mueve más cerca de un objeto ya de por sí cercano. ¿La imagen real formada cambia a) en posición, b) en tamaño? Si es así, describa cómo. 26. Una lente está hecha de un material con un índice de refracción n
1.30. En el aire, es una lente convergente. ¿Todavía será una lente convergente si se coloca en el agua? Explique con la ayuda de diagramas de rayos. 27. Un perro con su cola en el aire está de pie frente a una lente convergente. Si la nariz y la cola se enfocan en una pantalla cada una a la vez, ¿cuál tendrá la mayor amplificación? 28. Un gato con su cola en el aire está de pie frente a una lente convergente. ¿En qué circunstancias (si acaso) la imagen de la nariz sería virtual y la imagen de la cola sería real? ¿Dónde estaría la imagen del resto del gato?

* 29. ¿Por qué, en el ejemplo 23-13, la lente convergente debe tener una longitud focal más corta que la lente divergente, si la longitud focal de la última se va a determinar al combinarlas?

* 30. Explique cómo se podría tener un objeto virtual. FIGURA 23–46 Pregunta 19. 20. Un fotógrafo se mueve más cerca de su sujeto y luego vuelve a enfocar. ¿La lente de la cámara se mueve más lejos o más cerca de la película? Explique su respuesta. 21. ¿Una lente divergente puede formar una imagen real en cualquier circunstancia? Explique su respuesta. 22. Utilice diagramas de rayos para demostrar que una imagen real formada por una lente delgada siempre está invertida, mientras que una imagen virtual siempre está derecha si el objeto es real.

* 31. Una lente asimétrica (por ejemplo, planoconvexa) forma una imagen de un objeto cercano. ¿El punto de imagen cambia si la lente se da vuelta?

* 32. Cuanto más gruesa sea en el centro una lente biconvexa, comparada con sus bordes, más corta será su longitud focal para un diámetro de lente dado. Explique este hecho.

* 33. Considere dos lentes convergentes separadas por cierta distancia. Un objeto se coloca de modo que la imagen proveniente de la primera lente se encuentre exactamente en el punto focal de la segunda lente. ¿Esta combinación producirá una imagen? Si es así, ¿dónde? Si no, ¿por qué no?

Problemas 23–2 Reflexión; espejos planos 1. (I) Una persona quiere tomar una fotografía de sí misma mientras observa su imagen en un espejo plano a 2.5 m de distancia. ¿Para qué distancia se debe enfocar la lente de la cámara?

4. (II) Una persona, cuyos ojos están a 1.68 m sobre el suelo, está de pie a 2.20 m enfrente de un espejo plano vertical cuyo extremo inferior está a 43 cm sobre el suelo (figura 23-48). ¿Cuál es la distancia horizontal x del punto más cercano sobre el suelo que se puede ver reflejado en el espejo a la base de la pared que lo sostiene?

2. (I) Cuando una persona se mira en un espejo plano de 60 cm de alto, ve la misma cantidad de su cuerpo si está cerca del espejo que si está alejada de él. (Inténtelo y observe). Utilice diagramas de rayos para demostrar por qué esto sería cierto. 3. (II) Dos espejos se encuentran en un ángulo de 135° (figura 23-47). Si los rayos de luz hacen contacto con un espejo a 40° como se muestra, ¿en qué ángulo f dejan al segundo espejo?

2.20 m

1.68 m

φ

40°

658

CAPÍTULO 23

43 cm FIGURA 23–47 Problema 3.

Luz: óptica geométrica

x FIGURA 23–48 Problema 4.

www.elsolucionario.org 5. (II) Un observador está a 90 cm de un espejo plano. ¿Qué área del espejo se usa para reflejar los rayos que entran en un ojo provenientes de la punta de la nariz si el diámetro de la pupila es de 5.5 mm? 6. (III) Demuestre que, si dos espejos planos se encuentran en un ángulo f, un solo rayo reflejado sucesivamente en ambos espejos se desvía en un ángulo de 2f independiente del ángulo incidente. Suponga que f < 90° y que sólo tienen lugar dos reflexiones, una en cada espejo. 23–3 Espejos esféricos 7. (I) Un calentador solar, en realidad un espejo cóncavo que apunta al Sol, enfoca los rayos solares 18.0 cm enfrente del espejo. ¿Cuál es el radio de la superficie esférica de la que se hizo el espejo? 8. (I) ¿A qué distancia de un espejo cóncavo (23.0 cm de radio) se debe colocar un objeto si su imagen debe estar en el infinito? 9. (II) Si una persona se mira en una brillante esfera de arbolito de Navidad, que tiene un diámetro de 9.0 cm, cuando su cara está a 30.0 cm de distancia de ella, ¿dónde estará su imagen? ¿Ésta es real o virtual? ¿Está derecha o invertida? 10. (II) Un espejo en un parque de diversiones muestra una imagen derecha de cualquier persona que esté de pie a 1.4 m enfrente de él. Si la imagen es tres veces la altura de la persona, ¿cuál es el radio de curvatura? 11. (II) Un dentista quiere un pequeño espejo que, cuando esté a 2.20 cm de una pieza dental, produzca una imagen derecha 4.5. ¿Qué tipo de espejo debe usar y cuál debe ser su radio de curvatura? 12. (II) Algunos espejos retrovisores producen imágenes de los automóviles que van detrás, que son más pequeñas de lo que serían si el espejo fuese plano. ¿Los espejos son cóncavos o convexos? ¿Cuál es el radio de curvatura de un espejo si los automóviles a 20.0 m de distancia parecen 0.33 de su tamaño normal? 13. (II) Un objeto luminoso de 3.0 mm de alto se coloca a 20.0 cm de un espejo convexo de 20.0 cm de radio de curvatura. a) Demuestre, mediante trazado de rayos, que la imagen es virtual, y estime la distancia imagen. b) Demuestre que la distancia imagen (negativa) se puede calcular a partir de la ecuación 23-2, si se usa una longitud focal de 10.0 cm. c) Calcule el tamaño de la imagen con la ecuación 23-3. 14. (II) Una persona está de pie a 3.0 m de un espejo cóncavo de seguridad en una tienda. Estima que la altura de su imagen es la mitad de su altura real. Estime el radio de curvatura del espejo. 15. (II) a) ¿Dónde se debe colocar un objeto enfrente de un espejo cóncavo de modo que produzca una imagen en la misma ubicación que el objeto? b) ¿La imagen es real o virtual? c) ¿La imagen está invertida o derecha? d) ¿Cuál es la amplificación de la imagen? 16. (II) La imagen de un árbol distante es virtual y muy pequeña cuando se ve en un espejo curvo. La imagen parece estar a 18.0 cm detrás del espejo. ¿Qué tipo de espejo es y cuál es su radio de curvatura? 17. (II) Utilice dos diferentes técnicas, a) un diagrama de rayos y b) la ecuación del espejo, para demostrar que la magnitud de la amplificación de un espejo cóncavo es menor que 1 si el objeto está más allá del centro de curvatura C (do > r) y es mayor que 1 si el objeto está dentro de C (do < r).

18. (II) Demuestre, con un diagrama de rayos, que la amplificación m de un espejo convexo es m = –di
do , tal como para un espejo cóncavo. [Sugerencia: Considere un rayo proveniente de la parte superior del objeto que se refleja en el centro del espejo]. 19. (II) Utilice diagramas de rayos para demostrar que la ecuación del espejo (ecuación 23-2) es válida para un espejo cóncavo en tanto f se considere negativa. 20. (II) La amplificación de un espejo convexo es 0.65 para objetos a 2.2 m del espejo. ¿Cuál es la longitud focal de este espejo? 21. (III) Un objeto de 4.5 cm de alto se coloca enfrente de un espejo esférico a 28 cm. Se desea producir una imagen virtual derecha de 3.5 cm de alto. a) ¿Qué tipo de espejo se debe usar? b) ¿Dónde está ubicada la imagen? c) ¿Cuál es la longitud focal del espejo? d) ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo? 22. (III) Un espejo que se utiliza para afeitarse está diseñado para amplificar la cara de una persona por un factor de 1.33 cuando la cara está ubicada a 20.0 cm enfrente de él. a) ¿Qué tipo de espejo es? b) Describa el tipo de imagen que forma de la cara. c) Calcule el radio de curvatura requerido para el espejo. 23–4 Índice de refracción 23. (I) ¿Cuál es la rapidez de la luz en a) vidrio corona, b) lucita y c) alcohol etílico? 24. (I) La rapidez de la luz en hielo es de 2.29  108 m
s. ¿Cuál es el índice de refracción del hielo? 25. (II) La rapidez de la luz en cierta sustancia es el 89% de su valor en agua. ¿Cuál es el índice de refracción de esta sustancia? 23–5 Refracción: ley de Snell 26. (I) El haz de una linterna hace contacto con la superficie de un panel de vidrio (n
1.58) en un ángulo de 63° con la normal. ¿Cuál es el ángulo de refracción? 27. (I) Un buzo hace brillar una linterna hacia arriba desde abajo del agua en un ángulo de 42.5° con la vertical. ¿En qué ángulo la luz deja el agua? 28. (I) Un haz de luz proveniente de una luminaria submarina sale del agua en un ángulo de 66.0° con la vertical. ¿En qué ángulo de incidencia alcanza la interfase aire-agua desde la profundidad? 29. (I) Se ve que los rayos del Sol forman un ángulo de 31.0° con la vertical debajo del agua. ¿En qué ángulo sobre el horizonte está el Sol? 30. (II) Un acuario lleno con agua tiene lados de vidrio plano cuyo índice de refracción es 1.52. Un haz de luz proveniente del exterior del acuario toca el vidrio en un ángulo de 43.5° con la perpendicular (figura 23-49). ¿Cuál es el ángulo de este rayo de luz cuando entra a) al vidrio y luego b) al agua? c) ¿Cuál sería el ángulo refractado si el rayo entrara directamente al agua?

Vidrio Aire 43.5°

Agua FIGURA 23–49 Problema 30.

Problemas

659

31. (II) Al buscar en el fondo de una alberca en la noche, un vigilante hace brillar un estrecho haz de luz de su linterna, a 1.3 m sobre el nivel del agua, hacia la superficie del agua en un punto a 2.7 m del borde la alberca (figura 23-50). ¿Dónde toca el punto de luz el fondo de la alberca, medido desde la pared bajo sus pies, si la alberca tiene 2.1 m de profundidad?

37. (I) El ángulo crítico para cierta superficie líquido-aire es de 47.7°. ¿Cuál es el índice de refracción del líquido? 38. (II) Un haz de luz se emite en una alberca de agua desde una profundidad de 62.0 cm. ¿Dónde debe tocar la interfase aireagua, en relación con el punto directamente sobre él, con la finalidad de que la luz no salga del agua? 39. (II) Un haz de luz se emite 8.0 cm por abajo de la superficie de un líquido y toca la superficie a 7.0 cm del punto directamente sobre la fuente. Si ocurre reflexión interna total, ¿qué se concluye acerca del índice de refracción del líquido? 40. (III) Suponga que un rayo hace contacto con la cara izquierda del prisma en la figura 23-51 a 45.0° como se muestra, pero es totalmente reflejado de manera interna en el lado opuesto. Si el ángulo del vértice del prisma (en la parte superior) es f
75.0°, ¿qué se concluye acerca del índice de refracción del prisma?

1.3 m

2.7 m 2.1 m

FIGURA 23–50 Problema 31. 32. (II) Un rayo de luz incide en un prisma de vidrio equilátero en un ángulo de 45.0° con una cara (figura 23-51). Calcule el ángulo en el que la luz emerge de la cara opuesta. Suponga que n
1.58.

41. (III) Un haz de luz entra en el extremo de una fibra óptica como se ilustra en la figura 23-52. Demuestre que se puede garantizar reflexión interna total en la superficie lateral del material (en el punto a), si el índice de refracción es mayor que 1.42. En otras palabras, sin importar el ángulo a, el haz de luz se reflejará de vuelta hacia el material en el punto a.

a α

Aire θ3

45.0° θ2

?

5 θ4

FIGURA 23–51 Problemas 32 y 40.

β γ

Material transparente

FIGURA 23–52 Problema 41.

42. (III) a) ¿Cuál es el índice de refracción mínimo para un prisma de vidrio o plástico que se usará en unos binoculares (figura 23-26), de modo que la reflexión total interna ocurra a 45°? b) ¿Los binoculares funcionarán si sus prismas (suponga n
1.50) están sumergidos en agua? c) ¿Qué mínimo n se necesita si los prismas están inmersos en agua?

33. (II) Un haz de luz en el aire hace contacto con una lámina de vidrio (n
1.52) y es parcialmente reflejado y parcialmente refractado. Calcule el ángulo de incidencia si el ángulo de reflexión es el doble del ángulo de refracción.

23–7 y 23–8 Lentes delgadas

34. (III) Pruebe en general que, para un haz de luz incidente sobre una capa uniforme de material transparente, como en la figura 23-22, la dirección del haz emergente es paralela al haz incidente, independiente del ángulo incidente u. Suponga aire en ambos lados del vidrio.

44. (I) Se observa que la luz solar se enfoca en un punto 18.5 cm detrás de una lente. a) ¿Qué tipo de lente es? b) ¿Cuál es su potencia en dioptrías?

35. (III) Un rayo de luz incide sobre una pieza plana de vidrio con índice de refracción n, como en la figura 23-22. Demuestre que, si el ángulo incidente u es pequeño, el rayo emergente se desplaza una distancia d = tu(n - 1)
n del rayo incidente, donde t es el grosor del vidrio y u está en radianes. [Sugerencia: Para u pequeño, u, sen u L tan u L u en radianes]. 23–6 Reflexión interna total 36. (I) ¿Cuál es el ángulo crítico para la interfase entre agua y lucita? Para reflejarse totalmente de manera interna, ¿de cuál material debe partir la luz?

660

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

43. (I) Una imagen clara se ubica a 78.0 mm detrás de una lente convergente de 65.0 mm de longitud focal. Determine la distancia objeto a) con diagrama de rayos y b) mediante cálculos.

45. (I) Cierta lente enfoca luz de un objeto a 2.57 m de distancia como una imagen de 48.3 cm en el otro lado de la lente. ¿Qué tipo de lente es y cuál es su longitud focal? ¿La imagen es real o virtual? 46. (I) a) ¿Cuál es la potencia de una lente de 20.5 cm de longitud focal? b) ¿Cuál es la longitud focal de una lente de –6.25 dioptrías? c) ¿Estas lentes son convergentes o divergentes? 47. (II) Un coleccionista de estampillas utiliza una lente convergente con longitud focal de 24 cm para examinar una estampilla que se encuentra a 18 cm enfrente de la lente. a) ¿Dónde está ubicada la imagen? b) ¿Cuál es la amplificación?

48. (II) Una lente de –5.5 D se sostiene a 14.0 cm de un objeto de 4.0 mm de alto. ¿Cuáles son la posición, el tipo y la altura de la imagen? 49. (II) Una lente con 80 mm de longitud focal se usa para enfocar una imagen sobre la película de una cámara. La distancia máxima permitida entre la lente y el plano de la película es de 120 mm. a) ¿A qué distancia adelante de la película debe estar la lente si el objeto a ser fotografiado está a 10.0 m de distancia? b) ¿A 3.0 m de distancia? c) ¿A 1.0 m de distancia? d) ¿Cuál es el objeto más cercano que esta lente podría fotografiar con claridad? 50. (II) Se desea amplificar material de lectura en un factor de 2.5 cuando un libro se coloca a 8.0 cm detrás de una lente. a) Dibuje un diagrama de rayos y describa el tipo de imagen que sería ésta. b) ¿Qué tipo de lente se necesita? c) ¿Cuál es la potencia de la lente en dioptrías? 51. (II) Un objeto está ubicado a 1.5 m de una lente de 8.0 D. ¿En cuánto se mueve la imagen si el objeto se mueve a) 1.0 m más cerca de la lente y b) 1.0 m más lejos de la lente? 52. (II) ¿A qué distancia de una lente convergente, con una longitud focal de 25 cm, se debería colocar un objeto para producir una imagen real que sea del mismo tamaño que el objeto?

* 61. (II) Las dos lentes convergentes del ejemplo 23-12 ahora se colocan separadas sólo 20.0 cm. El objeto todavía está enfrente de la primera lente a 60.0 cm, como en la figura 23-41. En este caso, determine a) la posición de la imagen final y b) la amplificación global. c) Elabore el diagrama de rayos para este sistema.

* 62. (II) Dos lentes convergentes se colocan a 30.0 cm de separación. La longitud focal de la lente a la derecha es de 20.0 cm y la longitud focal de la lente de la izquierda es de 15.0 cm. Un objeto se coloca a la izquierda de la lente de longitud focal de 15.0 cm. Una imagen final proveniente de ambas lentes es invertida y se ubica a la mitad entre las dos lentes. ¿A qué distancia a la izquierda de la lente de longitud focal de 15.0 cm está el objeto original?

* 63. (II) Una lente divergente con una longitud focal de –14 cm se coloca a 12 cm a la derecha de una lente convergente con una longitud focal de 18 cm. Un objeto se coloca 33 cm a la izquierda de la lente convergente. a) ¿Dónde estará ubicada la imagen final? b) ¿Dónde estará la imagen si la lente divergente está a 38 cm de la lente convergente?

* 64. (II) Dos lentes, una convergente con longitud focal de 20.0

53. (II) a) ¿A qué distancia de una lente de 50.0 mm de longitud focal se debe colocar un objeto si su imagen debe ser real y amplificada 2.00? b) ¿A qué distancia si la imagen debe ser virtual y amplificada 2.00?

cm y una divergente con longitud focal de –10.0 cm, se colocan separadas 25.0 cm. Un objeto se coloca 60.0 cm enfrente de la lente convergente. Determine a) la posición y b) la amplificación de la imagen final formada. c) Dibuje un diagrama de rayos para este sistema.

54. (II) Repita el problema 53 para una lente con longitud focal de –50.0 mm. [Sugerencia: Considere objetos reales o virtuales (formados por alguna otra pieza de óptica)].

* 65. (III) Una lente divergente se coloca junto a una lente con-

55. (II) a) Un insecto de 2.00 cm de alto está a 1.20 de una lente de 135 mm de longitud focal. ¿Dónde está la imagen, cuál es su altura y de qué tipo es? b) Responda la pregunta anterior para f
135 mm. 56. (III) ¿A qué distancia están separados un objeto y una imagen formada por una lente convergente de 75 cm de longitud focal, si la imagen es 2.5 más grande que el objeto y es real? 57. (III) Un objeto brillante y una pantalla de visualización están separados por una distancia de 66.0 cm. ¿En qué ubicación (o ubicaciones) entre el objeto y la pantalla se debe colocar una lente de 12.5 cm de longitud focal para producir una imagen fina sobre la pantalla? [Sugerencia: Primero dibuje un diagrama].

vergente de longitud focal fC, como en la figura 23-42. Si fT representa la longitud focal de la combinación, demuestre que la longitud focal de la lente divergente, fD, está dada por

1 1 1 . = fD fT fC * 23–10 Ecuación del fabricante de lentes * 66. (I) Una lente bicóncava tiene radios de superficie de 34.2 y 23.8 cm. ¿Cuál es la longitud focal si n
1.52?

* 67. (I) Ambas superficies de una lente biconvexa tienen radios de 31.0 cm. Si la longitud focal es de 28.9 cm, ¿cuál es el índice de refracción del material de la lente?

* 68. (II) Una lente planocóncava (n
1.50) tiene una longitud * 23–9 Combinaciones de lentes

focal de –23.4 cm. ¿Cuál es el radio de la superficie cóncava?

* 58. (II) Dos lentes convergentes de 28.0 cm de longitud focal es-

* 69. (II) Una lente planocóncava de lucita (figura 23-29b) tiene

tán separadas 16.5 cm. Un objeto se coloca a 36.0 cm enfrente de una lente. ¿Dónde estará ubicada la imagen final formada por la segunda lente? ¿Cuál es la amplificación total?

una superficie plana y la otra tiene R
18.4 cm. ¿Cuál es la longitud focal?

* 59. (II) Una lente divergente con f
31.5 cm se coloca 14.0 cm

* 70. (II) Una lente simétrica biconvexa, con una longitud focal de

detrás de una lente convergente con f
20.0 cm. ¿Dónde estará enfocado un objeto en el infinito?

* 60. (II) Una lente convergente de 31.0 cm de longitud focal está 21.0 cm detrás de una lente divergente. Luz paralela hace contacto con la lente divergente. Después de pasar a través de la lente convergente, la luz de nuevo es paralela. ¿Cuál es la longitud focal de la lente divergente? [Sugerencia: Primero dibuje un diagrama de rayos].

25.0 cm, se fabricará con vidrio que tiene un índice de refracción de 1.52. ¿Cuál deberá ser el radio de curvatura de cada superficie?

* 71. (II) Una prescripción para unos lentes correctivos pide 1.50 D.

El fabricante pule los lentes a partir de unos “lisos” con n
1.56 y una superficie frontal convexa preformada de 40.0 cm de radio de curvatura. ¿Cuál deberá ser el radio de curvatura de la otra superficie?

Problemas

661

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Problemas generales 72. Dos espejos planos están frente a frente, separados 2.0 m como en la figura 23-53. Una persona está de pie a 1.5 m de uno de los espejos y se mira en él, de modo que ve imágenes múltiples de sí misma. a) ¿A qué distancia del observador están las tres primeras imágenes en el espejo que tiene enfrente? b) ¿Estas tres primeras imágenes están de cara hacia el observador o se alejan de él?

1.5 m

2.0 m

FIGURA 23–53 Problema 72.

73. Se quiere determinar la profundidad de una alberca llena de agua. Se mide el ancho (x
5.50 m) y luego se observa que el extremo del fondo de la alberca es justo visible en un ángulo de 14.0° sobre la horizontal, como se muestra en la figura 23-54. Calcule la profundidad de la alberca.

77. Demuestre analíticamente que una lente divergente nunca puede formar una imagen real de un objeto real. ¿Podría describir una situación en la que una lente divergente forme una imagen real? 78. Cada estudiante en un laboratorio de física tiene asignada la tarea de encontrar la ubicación donde se debe colocar un objeto brillante para que un espejo cóncavo con radio de curvatura r
40 cm produzca una imagen tres veces el tamaño del objeto. Dos estudiantes completan la tarea en diferentes momentos usando equipo idéntico, pero cuando más tarde comparan notas, descubren que sus respuestas para la distancia objeto no son las mismas. Explique por qué no necesariamente necesitan repetir el ejercicio de laboratorio y justifique su respuesta con unos cálculos. 79. Si el ángulo del vértice de un prisma es f
72° (figura 23-56), ¿cuál es el ángulo incidente mínimo para un rayo si debe salir por el lado opuesto (es decir, sin que se refleje totalmente de manera interna), dado n
1.50?

φ

5.50 m

14.0°

Agua

¿Profundidad?

FIGURA 23–54 Problema 73. 74. El ángulo crítico de cierta pieza de plástico en el aire es uC
37.3°. ¿Cuál es el ángulo crítico del mismo plástico si está sumergido en agua? 75. a) Un espejo plano se puede considerar un caso límite de un espejo esférico. Especifique de qué límite se trata. b) Determine una ecuación que relacione las distancias imagen y objeto en este límite de un espejo plano. c) Determine la amplificación de un espejo plano en este mismo límite. d) ¿Los resultados en los incisos b) y c) son consistentes con la sección 23-3 acerca de los espejos planos? 76. Coloque dos espejos planos de modo que formen un ángulo de 90° como en la figura 23-55. Cuando una persona observa este espejo doble, se ve a sí misma como los demás la ven, en lugar de obtener imagen invertida como cuando se ve en un solo espejo. Realice con cuidado un diagrama de rayos para demostrar cómo ocurre esto.

FIGURA 23–56 Problema 79. 80. Las caras terminales de una barra cilíndrica de vidrio (n
1.54) son perpendiculares a los lados. Demuestre que un rayo de luz que entre en una cara terminal, en cualquier ángulo, será totalmente reflejada de manera interna en el interior de la barra cuando el rayo entre en contacto con los lados. Suponga que la barra está en aire. ¿Y si estuviese en agua?

* 81. Una vela encendida se coloca a 33 cm enfrente de una lente con-

vergente de longitud focal f1
15 cm, que a su vez está 55 cm enfrente de otra lente convergente de longitud focal f2
12 cm (figura 23-57). a) Dibuje un diagrama de rayos y estime la ubicación y el tamaño relativo de la imagen final. b) Calcule la posición y el tamaño relativo de la imagen final.

f1 = 15 cm

33 cm

f2 = 12 cm

55 cm

12 9

3 6

908

FIGURA 23–55 Problema 76.

662

CAPÍTULO 23

Luz: óptica geométrica

FIGURA 23–57 Problema 81. 82. Un objeto brillante se coloca en un lado de una lente convergente de longitud focal f, y una pantalla blanca para visualizar la imagen está en el lado opuesto. La distancia dT
di  do entre el objeto y la pantalla se mantiene fija, pero la lente se puede mover. a) Demuestre que, si dT > 4f, habrá dos posiciones donde se podrá colocar la lente para producir una imagen clara sobre la pantalla. b) Si dT < 4f, demuestre que no existirá posición de la lente donde se forme una imagen clara. c) Determine una fórmula para la distancia entre las dos posiciones de lente en el inciso a) y la razón de los tamaños de la imagen.

83. En un proyector de diapositivas o películas, la película actúa como el objeto cuya imagen se proyectará sobre una pantalla (figura 23-58). Si una lente de 105 mm de longitud focal proyectará una imagen sobre una pantalla a 8.00 m de distancia, ¿a qué distancia de la lente debe estar la diapositiva? Si la diapositiva mide 36 mm de ancho, ¿de qué ancho será la imagen en la pantalla?

Diapositiva Lente

89. Cuando un objeto se coloca a 60.0 cm de cierta lente convergente, forma una imagen real. Cuando el objeto se mueve a 40.0 cm de la lente, la imagen se mueve 10.0 más lejos de la lente. Determine la longitud focal de esta lente. 90. Un pequeño objeto está a 25.0 cm de una lente divergente, como se muestra en la figura 23-59. Una lente convergente con una longitud focal de 12.0 cm está a 30.0 cm a la derecha de la lente divergente. El sistema de dos lentes forma una imagen real invertida 17.0 cm a la derecha de la lente convergente. ¿Cuál es la longitud focal de la lente divergente?

Pantalla

FIGURA 23–58 Problema 83. 84. Se va a proyectar una diapositiva de 35 mm (el tamaño de la imagen en realidad es de 24 por 36 mm) sobre una pantalla de 1.80 m por 2.70 m ubicada a 7.50 m del proyector. ¿Qué longitud focal de lente se debe usar si la imagen debe cubrir la pantalla? 85. Demuestre analíticamente que la imagen formada por una lente convergente es real e invertida si el objeto está más allá del punto focal (do > f), y es virtual y derecha si el objeto está dentro del punto focal (do < f). Describa la imagen si el objeto es en sí mismo una imagen, formada por otra lente, de modo que su posición está más allá de la lente, para –do > f y para 0 < do < f. 86. Una estrella de cine sorprende a un reportero tomándole fotografías en su casa. Ella afirma que el reportero estaba invadiendo su propiedad. Para probar su argumento, proporciona como evidencia la película que le quitó. Su altura de 1.75 m equivale a 8.25 mm de alto en la película, y la longitud focal de la lente de la cámara era de 210 mm. ¿A qué distancia de ella estaba el reportero? 87. ¿De qué tamaño es la imagen del Sol en la película usada en una cámara con a) una lente de 28 mm de longitud focal, b) una lente con 50 mm de longitud focal y c) una lente con 135 mm de longitud focal? d) Si la lente de 50 mm se considera normal para esta cámara, ¿que amplificación relativa proporciona cada una de las otras dos lentes? El Sol tiene 1.4  106 km de diámetro y está a 1.5  108 km de distancia. 88. a) Un objeto de 34.5 cm colocado enfrente de cierta lente se visualiza como de 8.20 cm enfrente de dicha lente (en el mismo lado que el objeto). ¿Qué tipo de lente es ésta y cuál es su longitud focal? ¿La imagen es real o virtual? b) Si, en vez de ello, la imagen estuviera ubicada enfrente de la lente a una distancia de 41.5 cm, ¿qué tipo de lente sería y qué longitud focal tendría?

30.0 cm

17.0 cm

25.0 cm FIGURA 23–59 Problema 90. 91. Un objeto se coloca a 15 cm de cierto espejo. La imagen tiene la mitad de tamaño del objeto, es invertida y real. ¿A qué distancia está la imagen del espejo y cuál es el radio de curvatura del espejo? 92. a) Demuestre que la ecuación de la lente se puede escribir en la forma newtoniana

xx¿ = f2, donde x es la distancia del objeto desde el punto focal en el lado frontal de la lente, y x¿ es la distancia de la imagen al punto focal en el otro lado de la lente. Calcule la ubicación de una imagen si el objeto se coloca 45.0 cm enfrente de una lente convexa con una longitud focal f de 32.0 cm utilizando b) la forma estándar de la ecuación de lente delgada y c) la forma newtoniana, establecida anteriormente.

* 93. Una lente convergente con longitud focal de 10.0 cm se pone en contacto con una lente divergente con longitud focal de –20.0 cm. ¿Cuál es la longitud focal de la combinación? ¿La combinación es convergente o divergente?

* 94. a) Demuestre que, si dos lentes delgadas con longitudes focales f1 y f2 se ponen en contacto, la longitud focal de la combinación está dada por fT = f1 f2
Af1 + f2 B. b) Demuestre que la potencia P de la combinación de dos lentes es la suma de sus potencias separadas, P
P1  P2.

Respuestas a los ejercicios A: No. B: Sí; para un espejo plano, r
q, así que f
q; entonces la ecuación 23-2 da 1
do + 1
di = 0, o di = –do . C: Hacia la perpendicular. D: Para ninguno.

E: F: G: H: I:

1.414. No habría reflexión interna total, uC > 45°. Más cerca de ella. a) Virtual; b) virtual. 97.5 cm (es decir, 97.5 cm enfrente de la lente).

Problemas generales

663

Los hermosos colores de la superficie de esta pompa de jabón se explican bastante bien mediante la teoría ondulatoria de la luz. Una pompa de jabón es una película muy delgada llena de aire; la luz reflejada en las superficies exterior e interior de esta delgada película de agua jabonosa interfieren constructivamente para producir los brillantes colores. El color específico que se ve en un punto determinado depende del grosor de la película de agua jabonosa en ese punto y también del ángulo de visión. En el presente capítulo se estudiarán aspectos fundamentales de la naturaleza ondulatoria de la luz, incluida la interferencia y la difracción, la interferencia de una película delgada, y la polarización. También nos ocuparemos de diversas aplicaciones, desde la espectrometría hasta los monitores con pantalla LCD.

CAPÍTULO

24

La naturaleza ondulatoria de la luz

E

l hecho de que la luz porta energía es obvio para cualquiera que haya enfocado los rayos del Sol con una lupa sobre un trozo de papel para quemarlo y formar un hoyo en él. Pero, ¿cómo viaja la luz y en qué forma se porta esta energía? En la explicación de las ondas del capítulo 11, se estudió que la energía se puede transportar de lugar a lugar básicamente en dos formas: mediante partículas o mediante ondas. En el primer caso, los objetos materiales o partículas pueden portar energía, como una avalancha o agua que se mueve rápidamente. En el segundo caso, las ondas acuáticas y las ondas sonoras, por ejemplo, pueden portar energía a través de largas distancias, aun cuando las partículas en oscilación del medio no recorran tales distancias. En vista de esto, ¿qué se puede decir acerca de la naturaleza de la luz: la luz viaja como una corriente de partículas alejándose de su fuente, o viaja en la forma de ondas que se dispersan hacia fuera desde la fuente?

664

www.elsolucionario.org Históricamente, esta cuestión ha resultado muy difícil. Por un lado, la luz no se revela a sí misma en formas obvias como constituida por pequeñas partículas; ni uno puede ver pequeñas ondas de luz pasar por ahí como las ondas en el agua. La evidencia parecía favorecer primero a una explicación y luego a la otra hasta 1830, cuando la mayoría de los físicos aceptaron la teoría ondulatoria. Hacia finales del siglo XIX, la luz fue considerada una onda electromagnética (capítulo 22). A principios del siglo XX, se demostró que la luz también tenía una naturaleza de partícula. No obstante, la teoría ondulatoria de la luz sigue siendo válida y ha probado su utilidad. Ahora se investigará la evidencia de la teoría ondulatoria y cómo se le utiliza para explicar un amplio rango de fenómenos.

24–1 Ondas frente a partículas; el principio de Huygens y la difracción El científico holandés Christian Huygens (1629-1695), contemporáneo de Newton, propuso una teoría ondulatoria de la luz que tenía mucho mérito. En la actualidad todavía se utiliza una técnica desarrollada por Huygens para predecir la posición futura de un frente de onda cuando se conoce una posición anterior. Por frente de onda se hace referencia a todos los puntos a lo largo de una onda bidimensional o tridimensional que forman una cresta de onda, a lo que simplemente se le llama “onda”, como las que se ven en el océano. Los frentes de onda son perpendiculares a los rayos, como se analizó en el capítulo 11 (figura 11-34). El principio de Huygens se establece del modo siguiente: Todo punto en un frente de onda se puede considerar como una fuente de pequeñas onditas que se dispersan hacia delante con la rapidez de la onda misma. El nuevo frente de onda es la envoltura de todas las onditas; es decir, la tangente a todas ellas. Como ejemplo simple del uso del principio de Huygens, considere el frente de onda AB en la figura 24-1, que viaja alejándose de una fuente S. Se supone que el medio es isotrópico; es decir, la rapidez v de las ondas es la misma en todas direcciones. Para encontrar el frente de onda poco tiempo t después de que está en AB, se dibujan pequeños círculos con radio r
vt. Los centros de estos pequeños círculos son puntos azules sobre el frente de onda original AB, y los círculos representan las (imaginarias) onditas de Huygens. La tangente a todas las onditas, la línea curva CD, es la nueva posición del frente de onda. El principio de Huygens es particularmente útil para analizar lo que sucede cuando las ondas chocan con un obstáculo y los frentes de onda son parcialmente interrumpidos. El principio de Huygens predice que las ondas se doblan detrás de un obstáculo, como se ilustra en la figura 24-2. Esto es justo lo que hacen las ondas en el agua, como se vio en el capítulo 11 (figuras 11-44 y 11-45). El doblado de las ondas detrás de los obstáculos en la “región de sombra” se conoce como difracción. Como la difracción ocurre para las ondas, pero no para las partículas, este hecho sirve como medio para distinguir la naturaleza de la luz.

Principio de Huygens

C A

Fuente

S

B D FIGURA 24-1 Principio de Huygens, que se usa para determinar el frente de onda CD cuando está dado el frente de onda AB.

FIGURA 24-2 El principio de Huygens es consistente con la difracción a) alrededor del borde de un obstáculo, b) a través de un gran hoyo, c) a través de un hoyo pequeño cuyo tamaño es del orden de la longitud de onda de la onda.

a)

b)

SECCIÓN 24–1

c)

Ondas frente a partículas; el principio de Huygens y la difracción

665

¿La luz presenta difracción? A mediados del siglo XVII, el sacerdote jesuita Francesco Grimaldi (1618-1663) observó que, cuando la luz del Sol entraba a un cuarto oscuro a través de un pequeño hoyo en una pantalla, la mancha en la pared opuesta era más grande de lo que se habría esperado a partir de los rayos geométricos. También observó que el borde de la imagen no era claro, sino que estaba rodeado por franjas de colores. Grimaldi atribuyó esto a la difracción de la luz. El modelo ondulatorio de la luz explica de manera adecuada la difracción. Pero el modelo de rayos (capítulo 23) no permite explicar la difracción, y es importante estar al pendiente de tales limitaciones de este modelo. La óptica geométrica que utiliza rayos tiene éxito en un amplio rango de situaciones, sólo porque las aberturas y los obstáculos normales son mucho más grandes que la longitud de onda de la luz, y por ende ocurre relativamente poca difracción o doblado.

* 24–2 El principio de Huygens y la ley de refracción Las leyes de reflexión y refracción eran bien conocidas en la época de Newton. La ley de reflexión no podía distinguir entre las dos teorías que se acaban de exponer: ondas frente a partículas. Porque cuando las ondas se reflejan en un obstáculo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión (figura 11-35). Lo mismo es cierto para las partículas: piense en una pelota de tenis sin giro que golpea una superficie plana. La ley de refracción es otro asunto. Considere un rayo de luz que entra a un medio donde se dobla hacia la normal, como cuando viaja del aire al agua. Como se muestra en la figura 24-3, este doblado se puede construir a partir del principio de Huygens si uno supone que la rapidez de la luz es menor en el segundo medio Rayo

u1 B FIGURA 24-3 Explicación de la refracción mediante el principio de Huygens. Los frentes de onda son perpendiculares a los rayos.

A v2 t

nda

eo

d nte Fre

v1 t

90°

Medio 1 Medio 2 (v2  v1)

D C

u2

Rayo

Av2 6 v1 B. En el tiempo t, el punto B del frente de onda AB (perpendicular al rayo entrante) recorre una distancia v1 t para alcanzar el punto D. El punto A en el frente de onda, que viaja en el segundo medio, va a una distancia v2 t para alcanzar el punto C, y v2 t 6 v1 t. El principio de Huygens se aplica a los puntos A y B para obtener las onditas curvas que se muestran en C y D. El frente de onda es tangente a estas dos onditas, así que el nuevo frente de onda es la línea CD. Por tanto, los rayos, que son perpendiculares a los frentes de onda, se doblan hacia la normal si v2 6 v1 , como se dibujó. (Ésta es básicamente la misma explicación utilizada para la figura 11-43). Newton favoreció una teoría corpuscular de la luz que predecía el resultado opuesto: que la rapidez de la luz sería mayor en el segundo medio Av2 7 v1 B. Así, la teoría ondulatoria predice que la rapidez de la luz en el agua, por ejemplo, es menor que en el aire; y la teoría corpuscular de Newton predice lo contrario. En 1850, el físico francés Jean Foucault realizó un experimento para medir la rapidez de la luz en el agua, y confirmó la predicción de la teoría ondulatoria. Sin embargo, para entonces, la teoría ondulatoria ya era completamente aceptada, como se verá en la siguiente sección. La ley de Snell de refracción se desprende directamente del principio de Huygens, puesto que la rapidez de la luz v en cualquier medio está relacionada con la rapidez en el vacío, c, y el índice de refracción, n, por la ecuación 23-4; esto es, v = c
n. A partir de la construcción de Huygens de la figura 24-3, el ángulo ADC es igual a u2 y el ángulo BAD es igual a u1. Entonces, para los dos triángulos que tienen el lado común AD, se tiene 666

CAPÍTULO 24

La naturaleza ondulatoria de la luz

v1 t v2 t . sen u2 = , AD AD Al dividir estas dos ecuaciones se obtiene v1 sen u1 . = v2 sen u2 sen u1 =

Entonces, dado que v1 = c
n1 y v2 = c
n2 ,

n1 sen u1 = n2 sen u2 , que es la ley de Snell de refracción, ecuación 23-5. (La ley de reflexión se deduce a partir del principio de Huygens de forma similar.) Cuando una onda de luz viaja de un medio a otro, su frecuencia no cambia, pero su longitud de onda sí. Esto se aprecia en la figura 24-3, donde cada una de las líneas azules que representan un frente de onda corresponde a una cresta (pico) de la onda. Entonces

v2 t v2 n1 l2 , = = = n v l1 v1 t 2 1 donde, en el último paso, se empleó la ecuación 23-4, v = c
n. Si el medio 1 es un vacío (o aire), de modo que n1
1,v1 = c, y l1 es simplemente l, entonces la longitud de onda en otro medio de índice de refracción n (
n2) será l ln = . (24–1) n Este resultado es consistente con la frecuencia f que no cambia sin importar el medio en el que viaje, pues c
fl. Los frentes de onda permiten explicar cómo se producen los espejismos mediante la refracción de la luz. Por ejemplo, en un día caluroso, los automovilistas en ocasiones experimentan una ilusión óptica que les hace creer que hay agua en la carretera enfrente de ellos, y los vehículos distantes parecen reflejarse en ella (figura 24-4a, que aparece en el anexo a color al final del libro). En un día caluroso, puede haber una capa de aire muy caliente cerca de la carretera (que se calienta por los rayos solares que entran en contacto con ella). El aire caliente es menos denso que el aire frío, así que el índice de refracción es ligeramente menor en el aire caliente. En la figura 24-4b (también en el anexo al final del libro) se reproduce un diagrama de la luz que proviene de un punto en un carro distante (a la derecha) y se dirige a la izquierda hacia el observador. Se muestran los frentes de onda y dos rayos. El rayo A se dirige directamente al observador y sigue una trayectoria en línea recta, y representa la visión normal desde el carro distante. El rayo B es un rayo que al principio se dirige ligeramente hacia abajo, pero que se dobla ligeramente conforme se mueve a través de las capas de aire de diferentes índices de refracción. Los frentes de onda, que en la figura 24-4b se muestran en azul, se mueven ligeramente más rápido en las capas de aire más cercanas al suelo (como en la figura 24-3, al igual que en la analogía de los soldados en la figura 11-43). De esta forma, el rayo B se dobla como se muestra, y al observador le parece que llega desde abajo (línea punteada) como si se reflejara en el camino. De ahí el espejismo.

La longitud de onda depende de n.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Espejismos en las carreteras

FIGURA 24-4 a) Espejismo en la carretera. b) Dibujo (enormemente exagerado) que ilustra los frentes de onda y los rayos para explicar los espejismos en las carreteras. Note cómo las secciones de los frentes de onda cerca del suelo se mueven más rápidamente y por eso están más separados.

Rayo directo Observador

Rayo dirigido ligeramente hacia abajo

A B

E l ray

o B pa rece p roven ir de a quí b)

a) *SECCIÓN 24–2

El principio de Huygens y la ley de refracción

667

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Rayos de sol

S1 S2

a)

? Pantalla de visualización

b) Pantalla de visualización (predicción de la teoría corpuscular)

24–3 Interferencia. Experimento de doble rendija de Young En 1801, el inglés Thomas Young (1773-1829) obtuvo evidencia convincente para la naturaleza ondulatoria de la luz e incluso fue capaz de medir longitudes de onda para la luz visible. La figura 24-5a muestra un diagrama esquemático del famoso experimento de doble rendija de Young. La luz proveniente de una sola fuente (Young utilizó al Sol) cae sobre una pantalla que contiene dos rendijas cercanamente espaciadas, S1 y S2. Si la luz consiste en pequeñas partículas, se esperaría ver dos líneas brillantes sobre una pantalla colocada detrás de la rendijas como en b). Pero, en lugar de ello, se ve una serie de líneas brillantes, como en c). Young fue capaz de explicar este resultado como un fenómeno de interferencia ondulatoria. Para ver esto, imagine ondas planas de luz de una sola longitud de onda —llamadas monocromáticas, es decir, de un color— que caen sobre dos rendijas, como se muestra en la figura 24-6. A causa de la difracción, las ondas que salen de las dos pequeñas rendijas se dispersan hacia fuera como se indica. Esto es equivalente al patrón de interferencia producido cuando dos rocas se lanzan a un lago (figura 11-37), o cuando el sonido proveniente de dos bocinas interfiere (figura 12-16). Recuerde la sección 11-12 acerca de la interferencia de las ondas.

Rayos

S1

c)

S2

FIGURA 24-5 a) Experimento de doble rendija de Young. b) Si la luz consiste en partículas, se esperaría ver dos líneas brillantes en la pantalla detrás de las rendijas. c) De hecho, se observan muchas líneas.

Pantalla

Pantalla de visualización (lo que sucede en realidad)

Frentes de onda FIGURA 24-6 Si la luz es una onda, la luz que pasa a través de una de las dos rendijas interferirá con la luz que pasa a través de la otra rendija.

Para ver cómo se produce un patrón de interferencia sobre la pantalla, observe la figura 24-7. Las ondas de longitud de onda l se presentan entrando a las rendijas S1 y S2, que están separadas una distancia d. Las ondas se dispersan en todas direcciones después de pasar a través de las rendijas, pero sólo se muestran para tres ángulos diferentes u. En la figura 24-7a se observan las ondas que alcanzan el centro de la pantalla (u
0°). Las ondas provenientes de las dos rendijas recorren la misma distancia, así que están en fase: la cresta de una onda llega al mismo tiempo que la cresta de la otra onda. De este modo, las amplitudes de las dos ondas se suman para formar una amplitud mayor, como se ilustra en la figura 24-8a. Esto se define como interferencia constructiva, en la que existe un área brillante en el centro de la pantalla. La interferencia constructiva también se presenta cuando las trayectorias de los dos rayos difieren por una longitud de onda (o cualquier número entero de longitudes de onda), como se aprecia en la figura 24-7b; aquí también existirá brillantez en la pantalla. Pero si un rayo recorre una distancia adicional de media longitud de onda (o 32 l, 52 l, etcétera), las dos ondas estarán exactamente fuera de fase cuando alcancen la pantalla: las crestas de una onda llegan al mismo tiempo que los valles de la otra onda, de modo que se suman para producir amplitud cero (figura 24-8b). Entonces se presenta interferencia destructiva, y la pantalla es oscura (figura 24-7c). Por ende, habrá una serie de líneas brillantes y oscuras (o franjas) en la pantalla de visualización.

668

CAPÍTULO 24

La naturaleza ondulatoria de la luz

Brillante (interferencia constructiva)

Brillante (interferencia constructiva)

Oscuro (interferencia destructiva)

d1

S1 d

d S2 L a) u


u

u

u

u

d

Distancia adicional =l

Distancia adicional = 1l

L

L

Pantalla

0o

u

S2

d2 − d1 = d sen u

Pantalla

c)

b)

d2

u

d

2

Pantalla

u

S1

d)

FIGURA 24-7 Cómo explica la teoría ondulatoria los patrones de líneas que se ven en el experimento de doble rendija. a) En el centro de la pantalla las ondas provenientes de cada rendija recorren la misma distancia y están en fase. b) En este ángulo u, la onda inferior recorre una distancia adicional de un número entero de longitud de onda y las ondas están en fase; note, a partir del triángulo sombreado, que la diferencia en la trayectoria es igual a d sen u. c) Para este ángulo u, la onda inferior recorre una distancia adicional igual a media longitud de onda, así que las dos ondas llegan a la pantalla completamente fuera de fase. d) Diagrama más detallado que muestra la geometría para los incisos b) y c).

Para determinar con exactitud dónde caen las líneas brillantes, note primero que la figura 24-7 está un poco exagerada; en situaciones reales, la distancia d entre las rendijas es muy pequeña en comparación con la distancia L a la pantalla. De esta forma, los rayos provenientes de cada rendija para cada caso serán en esencia paralelos, y u será el ángulo que formen con la horizontal, como se indica en la figura 24-7d. A partir de los triángulos rectos sombreados en las figuras 24-7b y c, se observa que la distancia adicional recorrida por el rayo inferior es d sen u (que se aprecia más claramente en la figura 24-7d). Ocurrirá interferencia constructiva y una franja brillante aparecerá en la pantalla cuando la diferencia en trayectoria, d sen u, sea igual a un número entero de longitudes de onda:

d sen u = ml,

interferencia C contructiva S (24–2a) (brillante)

m = 0, 1, 2, p.

El valor de m se llama orden de la franja de interferencia. El primer orden (m
1), por ejemplo, es la primera franja en cada lado de la franja central (que está en u
0, m
0). La interferencia destructiva ocurre cuando la diferencia en la trayectoria d sen u es 12 l, 32 l, etcétera:

d sen u = Am + 12 Bl,

interferencia m = 0, 1, 2, p. C destructiva S (24–2b) (oscuro)

Las franjas brillantes son picos o máximos de intensidad de luz, mientras que las franjas oscuras son mínimos. La intensidad de las franjas brillantes es mayor para la franja central (m
0) y disminuye para órdenes superiores, como se distingue en la figura 24-9. El ancho de las dos rendijas determinará cuánto disminuye la intensidad con el orden creciente. Interferencia constructiva m = 3

a)

Interferencia destructiva

m=2

SECCIÓN 24–3

2

1 0

1 b)

0

1

0

2

1

3

2

3

FIGURA 24-8 Dos ondas viajeras que se ilustran experimentando a) interferencia constructiva, b) interferencia destructiva. (Véase también la sección 11-12).

+ =

a)

+ = b)

FIGURA 24-9 a) Franjas de interferencia producidas por un experimento de doble rendija y detectadas por una película fotográfica colocada en la pantalla de visualización. La flecha marca la franja central. b) Gráfica de la intensidad de la luz en el patrón de interferencia. También se muestran los valores de m para la ecuación 24-2a (interferencia constructiva) y la ecuación 24-2b (interferencia destructiva).

Interferencia. Experimento de doble rendija de Young

669

EJEMPLO 24-1 Espaciamiento de líneas para interferencia de doble rendija. Una pantalla que contiene dos rendijas separadas 0.100 mm está a 1.20 m de la pantalla de visualización. Luz de longitud de onda l
500 nm cae en las rendijas desde una fuente distante. ¿Aproximadamente a qué distancia estarán separadas las franjas adyacentes de interferencia brillante sobre la pantalla? PLANTEAMIENTO La posición angular de las franjas brillantes (interferencia constructiva) se determina con la ecuación 24-2a. La distancia, por ejemplo, entre las dos primeras franjas se encuentra utilizando triángulos rectos, como se muestra en la figura 24-10. SOLUCIÓN Dado d = 0.100 mm = 1.00 * 10 –4 m, l = 500 * 10 –9 m, y L
1.20 m, la franja de primer orden (m
1) se presenta en un ángulo u dado por

(1)A500 * 10–9 mB ml = = 5.00 * 10–3. d 1.00 * 10–4 m Éste es un ángulo muy pequeño, así que se puede hacer sen u ≈ u, con u en radianes. La franja de primer orden se formará a una distancia x1 sobre el centro de la pantalla (figura 24-10), dada por x1
L = tan u1 L u1 , de modo que sen u1 =

P R E C A U C I Ó N

Utilice la aproximación u ≈ tan u o u ≈ sen u, sólo si u es pequeño y está en radianes.

x1 L Lu1 = (1.20 m)A5.00 * 10–3 B = 6.00 mm. La franja de segundo orden (m
2) se formará en 2l x2 L Lu2 = L = 12.0 mm d sobre el centro, etcétera. Así que las franjas de orden inferior están separadas 6.00 mm.

FIGURA 24-10 Ejemplos 24-1 y 24-2. Para ángulos pequeños, las franjas de interferencia se forman a una distancia x = uL sobre la franja central (m = 0); u1 y x1 son para la franja de primer orden (m = 1), u2 y x2 son para m = 2.

u1

S1 S2

L

5

u2

x1

x2

1.20 m

EJEMPLO CONCEPTUAL 24-2 Cambio de longitud de onda. a) ¿Qué sucede con el patrón de interferencia que se representa en la figura 24-10 (ejemplo 24-1), si la luz incidente (500 nm) se sustituye por luz de 700 nm de longitud de onda? b) ¿Qué pasa si, en vez de ello, la longitud de onda permanece en 500 nm pero las rendijas se separan todavía más? RESPUESTA a) Cuando l aumenta en la ecuación 24-2a pero d permanece igual, entonces el ángulo u para franjas brillantes aumenta y el patrón de interferencia se dispersa. b) Aumentar el espaciamiento de las rendijas d reduce u para cada orden, de modo que las líneas estarán más juntas.

La longitud de onda (o la frecuencia) determina el color. FIGURA 24-11 Las franjas de primer orden son un espectro completo, como un arco iris. Vea el ejemplo 24-3.

Blanco

2.0 mm 3.5 mm

670

CAPÍTULO 24

A partir de las ecuaciones 24-2 se ve que, excepto para la franja de orden cero en el centro, la posición de las franjas depende de la longitud de onda. En consecuencia, cuando luz blanca cae sobre las dos rendijas, como Young constató en sus experimentos, la franja central es blanca, pero las franjas de primer orden (o superiores) contienen un espectro de colores parecido a un arco iris; u es más pequeño para la luz violeta y más grande para la roja (figura 24-11). Al medir la posición de estas franjas, Young fue el primero en determinar las longitudes de onda de la luz visible (utilizando las ecuaciones 24-2). Al hacerlo, demostró que lo que distingue físicamente los diferentes colores es su longitud de onda (o frecuencia), una idea que Grimaldi llevaría más adelante en 1665. EJEMPLO 24-1 Longitudes de onda a partir de la interferencia de doble rendija. Luz blanca pasa a través de dos rendijas separadas 0.50 mm, y sobre una pantalla a 2.5 m de distancia se observa un patrón de interferencia. La franja de primer orden recuerda un arco iris con luces violeta y roja en los extremos opuestos. La luz violeta cae aproximadamente a 2.0 mm y la roja a 3.5 mm del centro de

La naturaleza ondulatoria de la luz

www.elsolucionario.org la franja central blanca (figura 24-11, que aparece en el anexo a color al final de esta obra). Estime las longitudes de onda para las luces violeta y la roja. PLANTEAMIENTO Los ángulos para las luces violeta y roja se encuentran a partir de las distancias indicadas y del diagrama de la figura 24-10. Luego se utiliza la ecuación 24-2a para obtener las longitudes de onda. Puesto que 3.5 mm es mucho menor que 2.5 m, se puede usar la aproximación del ángulo pequeño. SOLUCIÓN Se emplea la ecuación 24-2a con m
1 y sen u ≈ tan u ≈ u. Entonces, para la luz violeta, x
2.0 mm, de modo que (véase también la figura 24-10)

l =

d sen u du d x 5.0 * 10–4 m 2.0 * 10–3 m L L ≤¢ ≤ = 4.0 * 10–7 m, = ¢ m m mL 1 2.5 m

o 400 nm. Para la luz roja, x
3.5 mm, de modo que

l =

5.0 * 10–4 m 3.5 * 10–3 m d x = ¢ ≤¢ ≤ = 7.0 * 10–7 m = 700 nm. mL 1 2.5 m

EJERCICIO A Para la configuración del ejemplo 24-3, ¿a qué distancia de la franja central blanca se encuentra la franja de primer orden para la luz verde, l
500 nm?

Luz coherente Las dos rendijas de la figura 24-7 actúan como si fuesen dos fuentes de radiación. Se les denomina fuentes coherentes porque las ondas que salen de ellas tienen la misma longitud de onda y frecuencia, y llevan la misma relación de fase una con otra en todo momento. Esto sucede porque las ondas vienen de una sola fuente hacia la izquierda de las dos rendijas en la figura 24-7. Sólo se observa un patrón de interferencia cuando las fuentes son coherentes. Si dos pequeñas bombillas sustituyeran las dos rendijas, no se vería patrón de interferencia. La luz emitida por una bombilla tendría una fase aleatoria con respecto a la segunda y la pantalla estaría más o menos uniformemente iluminada. Ambas fuentes, cuyas ondas de salida no tienen relación de fase fija una con otra, se llaman fuentes incoherentes.

Fuentes coherentes e incoherentes Los patrones de interferencia sólo se presentan si las fuentes son coherentes.

24–4 Espectro visible y dispersión Las dos propiedades más obvias de la luz se describen fácilmente en términos de la teoría ondulatoria de la luz: intensidad (o brillantez) y color. La intensidad de la luz es la energía que porta por unidad de área por unidad de tiempo, y está relacionada con el cuadrado de la amplitud de la onda, tal como para cualquier onda (véase la sección 11-10, o las ecuaciones 22-7 y 22-8). El color de la luz está relacionado con la frecuencia f o longitud de onda l de la luz. (Recuerde que lf = c = 3.0 * 108 m
s, ecuación 22-4). La luz visible —aquella a la que los ojos son sensibles— consta de frecuencias que van desde 4  1014 Hz hasta 7.5  1014 Hz, que corresponden a las longitudes de onda en el aire de aproximadamente 400 a 750 nm.† A esto se le conoce como espectro visible y dentro de él se encuentran los diferentes colores desde el violeta hasta el rojo, como se observa en la figura 24-12 que se incluye en el anexo a color al final de esta obra. La luz con longitud de onda más corta que 400 nm se llama ultravioleta (UV) y la luz con longitud de onda más larga que 750 nm se llama infrarroja (IR).‡ Aunque los ojos humanos no son sensibles a la luz UV ni a la IR, algunos tipos de película fotográfica y otros detectores sí responden a ellas. En ocasiones se usa la unidad angstrom (Å) cuando se hace referencia a la luz: 1 Å
1  1010 m. En el aire, la luz visible tiene longitudes de onda que van de 4000 Å a 7500 Å. ‡ En la figura 22-8 en el anexo a color al final de esta obra se ilustra el espectro electromagnético completo. †

IR

UV λ

f 7.5

400 nm

3 1014 Hz

500 nm 6

3 10 14 Hz

600 nm 5

3 10 14 Hz

700 nm 4

FIGURA 24-12 El espectro de la luz visible, que muestra el rango de frecuencias y longitudes de onda (en el aire) de los diversos colores.

3 1014 Hz

SECCIÓN 24–4

Espectro visible y dispersión

671

[Las longitudes de onda de la luz visible se miden en el aire entre 400 y 750 nm, y este rango es el que generalmente se cita. Pero, como se verá en el capítulo 25, el interior del ojo está lleno con un fluido con índice de refracción n ≈ 1.4, de modo que las longitudes de onda donde en realidad alcanzan la retina son más pequeñas por este factor (ecuación 24.1)]. Un prisma separa la luz blanca en un arco iris de colores, como se aprecia en la figura 24-13, que aparece en el anexo a color al final del libro. Esto sucede porque el índice de refracción de un material depende de la longitud de onda, como se muestra para varios materiales en la figura 24-14. La luz blanca es una mezcla de todas las longitudes de onda visibles, y cuando incide sobre un prisma, como en la figura 24-15 (en el anexo a color al final de esta obra), las diferentes longitudes de onda se doblan en varios grados. Puesto que el índice de refracción es mayor para longitudes de onda más cortas, la luz violeta es la que más se dobla y la luz roja la que menos se dobla. Esta dispersión de luz blanca en todo el espectro se llama dispersión.

FIGURA 24-13 La luz blanca que pasa a través de un prisma se descompone en sus colores constitutivos.

1.7

Índice de refracción

Vidrio flint de silicato

1.6

FIGURA 24-14 Índices de refracción como función de la longitud de onda para varios sólidos transparentes.

1.5

Violeta Azul

A P L I C A D A

por un prisma en el espectro visible.

Vidrio flint de borato Cuarzo

nca

Luz bla

Vidrio corona de silicato Cuarzo fundido

1.4 400

F Í S I C A

FIGURA 24-15 Luz blanca dispersada

Pared o pantalla 500 600 Longitud de onda Verde Amarillo Anaranjado

Roj An o Amaaranjado Ver rillo Azudl e Viol eta

700 Rojo

El arco iris es un ejemplo espectacular de la dispersión mediante gotas de agua. El arco iris se distingue cuando se observan gotas de agua que caen con el Sol detrás del observador. La figura 24-16 (en el anexo a color al final del libro) muestra cómo los rayos rojo y violeta se doblan por las gotas de agua esféricas y se reflejan en su superficie trasera. El rojo se dobla menos y así alcanza los ojos del observador desde las gotas más elevadas en el cielo, como se ilustra en el diagrama. Por eso la parte superior del arco iris es roja.

Arco iris

FIGURA 24-16 a) Diagrama de rayos que explica cómo se forma un arco iris b).

Luz de

l Sol

Rojo Anaranjado

Violeta

El observador ve estos dos rayos (no están a escala) Rojo

Amarillo Verde

Luz d

el Sol

Azul Violeta

Violeta Rojo

FIGURA 24-17 Diamante.

a)

b)

Los diamantes logran su brillantez (figura 24-17) gracias a una combinación de dispersión y reflexión interna total. Como los diamantes tienen un índice de refracción muy elevado, de aproximadamente 2.4, el ángulo crítico para la reflexión interna total es de sólo 25°. Por esa razón, la luz dispersada en un espectro en el interior del diamante golpea muchas de las superficies internas antes de golpear una al menos a 25° y salir. Después de muchas de tales reflexiones, la luz ha viajado lo suficiente como para que los colores estén suficientemente separados para ser vistos por el ojo de manera individual y brillante después de dejar el cristal.

672

CAPÍTULO 24

La naturaleza ondulatoria de la luz

El espectro visible, figura 24-12 (en el anexo a color), no muestra todos los colores que se ven en la naturaleza. Por ejemplo, en esa figura no hay café. Muchos de los colores que uno ve son una mezcla de longitudes de onda. Para propósitos prácticos, la mayoría de los colores naturales se pueden reproducir utilizando tres colores primarios, que son rojo, verde y azul para fuente de visión directa como la TV y los monitores de computadora. Para las tintas que se usan en la imprentas, los colores primarios son cian, amarillo y magenta.

24–5 Difracción por medio de una sola rendija o disco El experimento de doble de rendija de Young colocó a la teoría ondulatoria de la luz sobre pies firmes. Pero su aceptación total sólo vendría con los estudios acerca de difracción (sección 24-1) más de 10 años después, en las décadas de 1810 y 1820. Ya se explicó brevemente la difracción en relación con las ondas en el agua (sección 11-15), así como para la luz (sección 24-1), y se vio que se refiere a la dispersión o doblamiento de las ondas alrededor de los bordes. Ahora se estudiará este fenómeno con mayor detalle. En 1819, Augustin Fresnel (1788-1827) presentó a la Academia Francesa una teoría ondulatoria de la luz que predecía y explicaba los efectos de interferencia y difracción. Casi inmediatamente, Siméon Poisson (1781-1840) puntualizó una inferencia contraria a la intuición: de acuerdo con la teoría ondulatoria de Fresnel, si la luz proveniente de una fuente puntual cayese sobre un disco sólido, parte de la luz incidente se difractaría alrededor de los bordes e interferiría constructivamente en el centro de la sombra (figura 24-18). Esta predicción parecía muy improbable. Pero, cuando François Arago realmente llevó a cabo el experimento, observó la mancha brillante en el centro mismo de la sombra (figura 24-19a). Ésta fue una evidencia contundente para la teoría ondulatoria. La figura 24-19a es una fotografía de la sombra producida por una moneda con el uso de una fuente (casi) puntual de luz, un láser en este caso. En el centro está claramente presente la mancha brillante. Note también las franjas brillantes y oscuras más allá de la sombra. Esto recuerda las franjas de interferencia de una doble rendija. De hecho, se deben a la interferencia de las ondas difractadas alrededor del disco, y a todo ello se le conoce como patrón de difracción. Alrededor de cualquier objeto claro iluminado por una fuente puntual existe un patrón de difracción, como se muestra en las figuras 24-19b y c. Uno no siempre está al tanto de ellos porque la mayoría de las fuentes de luz en la vida cotidiana no son puntuales, de modo que la luz proveniente de las diferentes partes de la fuente diluyen el patrón.

a)

b) SECCIÓN 24–5

Sombra Disco sólido Mancha brillante FIGURA 24-18 Si la luz es una onda, una mancha brillante aparecerá en el centro de la sombra de un disco sólido iluminado por una fuente puntual de luz monocromática.

La (in)esperada mancha de difracción

FIGURA 24-19 Patrón de difracción de a) un disco circular (una moneda), b) tijeras, c) una sola rendija. Cada objeto está iluminado por una fuente (casi) puntual de luz monocromática.

c) Difracción por medio de una sola rendija o disco

673

www.elsolucionario.org Para ver cómo surge un patrón de difracción, se analizará el representativo caso de la luz monocromática que pasa a través de una rendija estrecha. Se supondrá que los rayos paralelos (ondas planas) de luz caen sobre la rendija de ancho D, y pasan a través de ella hacia una pantalla de visualización muy alejada.† Como se sabe a partir del estudio de las ondas en el agua y del principio de Huygens, las ondas que pasan a través de la rendija se dispersan en todas direcciones. Ahora se examinará cómo interfieren entre sí las ondas que pasan a través de las diferentes partes de la rendija. Rayos paralelos de luz monocromática pasan a través de la rendija estrecha como se muestra en la figura 24-20a. La luz cae sobre una pantalla que se supone está muy alejada, así que los rayos que se dirigen a cualquier punto son prácticamente paralelos antes de encontrarse en la pantalla. Primero considere los rayos que pasan rectos a través de la rendija, como en la figura 24-20a. Todos ellos están en fase, así que habrá una mancha brillante central sobre la pantalla. En la figura 24-20b se considera que los rayos que se mueven en un ángulo u, como el rayo desde la parte superior de la rendija, viajan exactamente una longitud de onda más lejos que el rayo que proviene del borde inferior para alcanzar la pantalla. El rayo que pasa a través del centro mismo de la rendija recorrerá media longitud de onda más que el rayo en el fondo de la rendija. Estos dos rayos estarán exactamente fuera de fase uno con otro y por ello interferirán negativamente cuando se traslapen en la pantalla. De manera similar, un rayo ligeramente arriba del que está en el fondo cancelará a un rayo que esté a la misma distancia arriba del central. De hecho, cada rayo que pasa λ

D

D

a) θ = 0 Brillante

1 λ 2

θ

3 λ 2

θ

λ

2λ θ

λ D

θ

λ

1 λ 2

b) sen θ = Oscuro

3 λ 2 1 λ 2

c) sen θ = Brillante

3λ 2D

d) sen θ = Oscuro

2λ D

FIGURA 24-20 Análisis de patrón de difracción formado por luz que pasa a través de una rendija estrecha.

a través de la mitad inferior de la rendija se cancelará con un rayo correspondiente que pase a través de la mitad superior. De este modo, todos los rayos interferirán destructivamente en pares, y así la intensidad de la luz será cero sobre la pantalla de visualización en este ángulo. En la figura 24-20b se ve que el ángulo u en el que esto tiene lugar se presenta cuando l
D sen u, así que Ecuación de difracción (medio ancho angular de la mancha central)

l. [primer mínimo] (24–3a) D La intensidad de la luz es un máximo en u
0° y disminuye a un mínimo (intensidad
cero) en el ángulo u dado por la ecuación 24-3a. Ahora considere un ángulo u más grande tal que el rayo superior recorra 32 l más lejos que el rayo del fondo, como en la figura 24-20c. En este caso, los rayos provenientes del tercio inferior de la rendija se cancelarán en pares con los del tercio medio porque estarán l
2 fuera de fase. Sin embargo, la luz proveniente del tercio superior de la rendija todavía alcanzará la pantalla, de modo que habrá una mancha brillante centrada cerca de sen u L 3l
2D, pero no será tan brillante como la mancha central en u
0°. Incluso para un ángulo u más grande tal que el rayo superior recorra 2l más que el rayo del fondo (figura 24-20d), los rayos provenientes del cuarto inferior de la rendija se cancelarán con los que se encuentran en el cuarto justo arriba de él, porque las longitudes de la trayectoria difieren por l
2. Y los rayos a través del cuarto de la rendija justo sobre el centro se cancelarán con los que pasan a través del cuarto superior. A este ángulo, de nuevo habrá un mínimo de intensidad cero en el patrón de difracción. En la figura 24-21 se muestra una gráfica sen u =

†

Si la pantalla de visualización no está lejana, se pueden usar lentes para hacer los rayos paralelos.

674

CAPÍTULO 24

La naturaleza ondulatoria de la luz

Intensidad FIGURA 24-21 Intensidad en el patrón de difracción de una sola rendija como función de sen u. Note que el máximo central no sólo es mucho más alto que los máximos a cada lado, también es el doble de ancho (ancho 2l
D) que cualquiera de los otros (ancho de sólo l
D cada uno). −

3λ 2λ λ − − D D D

0

λ D

2λ D

3λ D

sen θ

de la intensidad como función del ángulo. Esto corresponde bien con la fotografía de la figura 24-19c. Note que los mínimos (intensidad cero) ocurren en

D sen u = ml,

m = 1, 2, 3, p,

[mínimos] (24–3b)

pero no en m
0, donde se presenta el máximo más intenso. Entre los mínimos, los máximos de intensidad más pequeña ocurren aproximada, aunque no exactamente, en m L 32 , 52 , p. Hay que hacer notar que los mínimos para un patrón de difracción (ecuación 24-3b), satisfacen un criterio que parece muy similar al de un máximo (manchas brillantes) para interferencia de doble rendija (ecuación 24-2a). Note también que D es el ancho de una sola rendija, mientras que d en la ecuación 24-2 es la distancia entre dos rendijas.

Mínimos de difracción para una sola rendija P R E C A U C I Ó N

No hay que confundir las ecuaciones 24-2 para interferencia con las ecuaciones 24-3 para difracción; note la diferencia.

EJEMPLO 24-4 Máximo de difracción en una sola rendija. Luz con 750 nm de longitud de onda pasa a través de una rendija de 1.0  103 mm de ancho. ¿Cuál es el ancho del máximo central a) en grados y b) en centímetros, sobre una pantalla a 20 cm de distancia? x

PLANTEAMIENTO El ancho del máximo central va del primer mínimo en un lado, al primer mínimo en el otro lado. Se emplea la ecuación 24-3a para determinar la posición angular del primer mínimo de difracción para una sola rendija. SOLUCIÓN a) El primer mínimo ocurre en

sen u =

49° Rendija

20 cm 49°

l 7.5 * 10–7 m = 0.75. = D 1 * 10–6 m

x

De modo que u
49°. Éste es el ángulo entre el centro y el primer mínimo (figura 24-22). El ángulo subtendido por todo el máximo central, entre los mínimos arriba y abajo del centro, es el doble de esto, 98°. b) El ancho del máximo central es 2x, donde tan u
x
20 cm. Así que 2x
2(20 cm) (tan 49°)
46 cm.

Intensidad de luz sobre la pantalla FIGURA 24-22 Ejemplo 24-4.

NOTA Se iluminará un gran ancho de la pantalla, pero normalmente no será muy brillante puesto que la cantidad de luz que podría pasar a través de tan pequeña rendija sería poca y se dispersaría sobre una gran área. Note también que aquí no se puede usar la aproximación para ángulo pequeño u ≈ sen u ≈ tan u porque u es grande. EJERCICIO B En el ejemplo 24-4 se utilizó luz roja (l
750 nm). Si en lugar de ello se hubiese usado luz amarilla (l
550 nm), ¿el máximo central sería más ancho o más estrecho? EJEMPLO CONCEPTUAL 24-5 La difracción se dispersa. La luz brilla a través de un hoyo rectangular, que es más estrecho en la dirección vertical que en la horizontal (figura 24-23). a) ¿Se esperaría que el patrón de difracción esté más disperso en la dirección vertical o en la dirección horizontal? b) En un estadio, un cuerno de bocina rectangular, ¿debería ser alto y estrecho, o ancho y plano?

FIGURA 24-23 Ejemplo 24-5.

RESPUESTA a) A partir de la ecuación 24-3a se sabe que, si se hace la rendija (ancho D) más estrecha, el patrón se dispersa más. Esto es consistente con el estudio de las ondas en el capítulo 11. La difracción a través del hoyo rectangular será más ancho verticalmente, pues la abertura es más pequeña en esa dirección. b) Para una bocina, el patrón sonoro deseado es uno que se disperse horizontalmente, así que el cuerno deberá ser alto y estrecho (gire la figura 24-23 por 90°). SECCIÓN 24–5

Difracción por medio de una sola rendija o disco

675

24–6 Rejilla de difracción

∆l = d sen θ ∆l

d

θ

∆l ∆l θ

FIGURA 24-24 Rejilla de difracción.

Máximos de rejilla de difracción (m
orden) P R E C A U C I Ó N

La rejilla de difracción se analiza con las fórmulas de interferencia, no con las fórmulas de difracción. ¿Por qué más rendijas producen picos más claros?

FIGURA 24-25 Intensidad como función del ángulo de visión u (o posición sobre la pantalla) para a) dos rendijas, b) seis rendijas. Para una rejilla de difracción, el número de rendijas es muy grande (≈ 104) y los picos son todavía más estrechos.

m

51

m

50

m

51

m

51

a)

m

51

m

50 b)

676

CAPÍTULO 24

Una gran cantidad de rendijas paralelas igualmente espaciadas se denomina rejilla de difracción, aunque sería más adecuado el término “rejilla de interferencia”. Las rejillas se fabrican por medio de maquinaria de precisión con líneas paralelas muy finas sobre una placa de vidrio. Los espacios no tocados entre las líneas sirven como las rendijas. Las transparencias fotográficas de una rejilla original sirven como rejillas de bajo costo. Son comunes las rejillas que contienen 10,000 líneas por centímetro, y son muy útiles para mediciones precisas de longitudes de onda. Una rejilla de difracción que contiene rendijas se llama rejilla de transmisión. Otro tipo de rejilla de difracción es la rejilla de reflexión, que se hace al trazar líneas finas sobre una superficie metálica o de vidrio en la cual se refleja la luz y se analiza. El análisis básicamente es el mismo que para una rejilla de transmisión, y se expondrá a continuación. El análisis de una rejilla de difracción es muy parecido al del experimento de doble rendija de Young. Se supone que rayos paralelos de luz inciden sobre la rejilla como se ilustra en la figura 24-24. También se supone que las rendijas son lo suficientemente estrechas como para que la difracción en cada una de ellas disperse la luz en un ángulo muy amplio sobre una pantalla distante más allá de la rejilla, y que ocurra interferencia con luz proveniente de todas las otras rendijas. Los rayos de luz que pasan a través de cada rendija sin desviación (u
0°) interfieren constructivamente para producir una línea brillante en el centro de la pantalla. También ocurre interferencia constructiva en un ángulo u tal que los rayos provenientes de rendijas adyacentes viajan una distancia adicional l
ml, donde m es un entero. Si d es la distancia entre rendijas, entonces, a partir de la figura 24-24, se ve que l
d sen u, y

ml [máximos principales] (24–4) , m = 0, 1, 2, p d es el criterio para tener un máximo brillante. Ésta es la misma ecuación que para la situación de doble rendija, y de nuevo m se llama orden del patrón. Existe una importante diferencia entre un patrón de doble rendija y uno de múltiples rendijas. Los máximos brillantes son mucho más claros y más estrechos para una rejilla. ¿Por qué? Suponga que el ángulo u aumenta apenas ligeramente más allá del requerido para un máximo. En el caso de sólo dos rendijas, las dos ondas estarán sólo ligeramente fuera de fase, así que ocurre interferencia constructiva casi completa. Esto significa que los máximos son anchos (figura 24-10). Para una rejilla, las ondas provenientes de dos rendijas adyacentes tampoco estarán significativamente fuera de fase. Pero las ondas provenientes de una rendija y las provenientes de una segunda a unos cientos de rendijas de distancia pueden estar exactamente fuera de fase; toda o casi toda la luz se podría cancelar en pares de esta forma. Por ejemplo, suponga que el ángulo u es apenas diferente de su máximo de primer orden, así que la longitud adicional de la trayectoria para un par de rendijas adyacentes no es exactamente l, sino más bien 1.0010l. La onda a través de una rendija y otra ubicada 500 rendijas abajo tendrán una diferencia de trayectoria de 1l  (500) (0.001 l)
1.5000l, o 1 12 longitudes de onda, así que las dos se cancelarán. Un par de rendijas, cada una debajo de éstas, también se cancelarán. Es decir, la luz proveniente de la rendija 1 se cancela con la proveniente de la rendija 501; la luz proveniente de la rendija 2 se cancela con la de la rendija 502, y así sucesivamente. De esta forma, incluso para un ángulo pequeño† co1 l, existe mucha inrrespondiente a una longitud de una trayectoria adicional de 1000 terferencia destructiva y, por ende, los máximos son muy estrechos. Cuantas más líneas haya en una rejilla, más claros serán los picos (figura 24-25). Puesto que una rejilla produce líneas mucho más claras (y brillantes) que las que producen dos rendijas solas, es un dispositivo mucho más preciso para medir longitudes de onda. Suponga que la luz que golpea una rejilla de difracción no es monocromática, sino que consta de dos o más longitudes de onda distintas. Entonces, para todos los órdenes distintos de m
0, cada longitud de onda producirá un máximo en un ángulo diferente (figura 24-26a, en el anexo a color al final de esta obra), tal como para una doble rendija. Si luz blanca entra en contacto con una rejilla, el máximo central (m
0) será un pico blanco agudo. Pero para todos los otros órdenes habrá sen u =

†

Dependiendo del número total de rendijas, puede o no haber cancelación completa para tal ángulo, de modo que habrá picos muy pequeños entre los máximos principales (figura 24-25b), pero generalmente son demasiado pequeños como para verse.

La naturaleza ondulatoria de la luz

www.elsolucionario.org m=2

m=2 m=1 m=1

m=0

m=1 m=1 m=2

m=2 FIGURA 24-26 Espectros

700 nm

400 700 nm nm

Ambas l

a)

400 nm

700 400 nm nm

700 nm

m=1

m=0

m=1

m=2

Arco iris

Blanco

Arco iris

Arco iris (más débil)

m=2

Arco iris (más débil)

400 nm

b)

producidos por una rejilla; a) dos longitudes de onda, 400 y 700 nm; b) luz blanca. El segundo orden normalmente será menos brillante que el primer orden. (No se muestran órdenes mayores). Si el espaciamiento de la rejilla es lo suficientemente pequeño, el segundo orden y los órdenes superiores se perderán.

un espectro de colores distinto disperso sobre cierto ancho angular (figura 24-26b, en el anexo a color al final del libro). Como la rejilla de difracción dispersa la luz en sus longitudes de onda componentes, al patrón resultante se le llama espectro. EJEMPLO 24-6 Rejilla de difracción: líneas. Determine las posiciones angulares de los máximos de primer y segundo órdenes para luces con 400 y 700 nm de longitud de onda que inciden sobre una rejilla que contiene 10,000 líneas
cm. PLANTEAMIENTO Primero se determina la distancia d entre las líneas de la rejilla: si la rejilla tiene N líneas en 1 m, entonces la distancia entre líneas debe ser d
1
N metros. Entonces se utiliza la ecuación 24-4 a fin de encontrar los ángulos para las dos longitudes de onda para m
1 y 2. SOLUCIÓN La rejilla contiene 1.00  10 4 líneas
cm
1.00  10 6 líneas
m, lo que significa que la distancia entre líneas es d
(1
1.00  10 6)m
1.00  106 m
1.00 mm. En primer orden (m
1), los ángulos son

(1)A4.00 * 10–7 mB ml = 0.400 = d 1.00 * 10–6 m (1)A7.00 * 10–7 mB sen u700 = = 0.700 1.00 * 10–6 m de modo que u400
23.6° y u700
44.4°. En segundo orden, (2)A4.00 * 10–7 mB 2l sen u400 = = 0.800 = d 1.00 * 10–6 m sen u400 =

(2)A7.00 * 10–7 mB

= 1.40 1.00 * 10–6 m de modo que u400
53.1°. Pero el segundo orden no existe para l
700 nm porque sen u no puede superar 1. No aparecerán órdenes superiores. sen u700 =

EJEMPLO 24-7 Traslapamiento de espectros. Luz blanca, que contiene longitudes de onda desde 400 hasta 750 nm, choca con una rejilla que contiene 4000 líneas
cm. Demuestre que el azul en l
450 nm del espectro de tercer orden se traslapa con el rojo en 700 nm del segundo orden. PLANTEAMIENTO Se utiliza la ecuación 24-4 para calcular las posiciones angulares del máximo azul m
3 y del rojo m
2. SOLUCIÓN El espaciamiento de la rejilla es d
(1
4000) cm
2.50  106 m. El azul del tercer orden se presenta en un ángulo u dado por

(3)A4.50 * 10–7 mB ml = = 0.540. d A2.50 * 10–6 mB El rojo en el segundo orden se presenta en sen u =

(2)A7.00 * 10–7 mB

= 0.560, A2.50 * 10–6 mB que es un ángulo mucho más grande; de modo que el segundo orden se traslapa con el comienzo del espectro de tercer orden. sen u =

SECCIÓN 24–6

Rejilla de difracción

677

EJERCICIO C ¿Cuántas líneas por cm hay en una rejilla que produce a 18° el máximo de primer orden de luz de 633 nm? EJERCICIO D Se muestra el espectro producido por luz roja que brilla a través de dos rejillas diferentes. Las líneas en el espectro A están más separadas que las del espectro B. ¿Cuál rejilla tiene más líneas
cm?

* 24–7 El espectrómetro y espectroscopia Un espectrómetro o espectroscopio (figura 24-27) es un dispositivo que mide con precisión longitudes de onda, mediante una rejilla de difracción (o un prisma) para separar las diferentes longitudes de onda de la luz. La luz proveniente de una fuente pasa a través de una estrecha rendija S en el “colimador”. La rendija está en el punto focal de la lente L, así que la luz paralela cae sobre la rejilla. El telescopio móvil lleva los rayos a un foco.

Fuente Colimador FIGURA 24-27 Espectrómetro

S

o espectroscopio.

L

Rejilla u

Telescopio Ojo

En el telescopio no se verá nada a menos que se coloque en un ángulo u que corresponde a un pico de difracción (por lo general se emplea el primer orden) de una longitud de onda emitida por la fuente. El ángulo u se puede medir con mucha precisión, de modo que la longitud de onda de una línea se determina con alto grado de precisión mediante la ecuación 24-4:

d sen u, m donde m es un entero que representa el orden y d es la distancia entre líneas de rejilla. La línea que se ve en un espectrómetro, correspondiente a cada longitud de onda, es en realidad una imagen de la rendija S. Cuanto más estrecha sea la rendija, más estrecha —pero más tenue— es la línea, y con mayor precisión se puede medir su posición angular. Si la luz contiene un rango continuo de longitudes de onda, entonces en el espectroscopio se observa un espectro continuo. En muchos espectrómetros se emplea una rejilla de reflexión, y a veces un prisma. Un prisma funciona gracias a la dispersión (sección 24-4), que dobla la luz de diferentes longitudes de onda en diferentes ángulos. (Un prisma no es un dispositivo lineal y se debe calibrar.) Un importante uso de los espectrómetros es la identificación de átomos o moléculas. Cuando un gas se calienta o una corriente eléctrica pasa a través de él, el gas emite un espectro de línea característico. Es decir, sólo se emiten ciertas longitudes de onda discretas de luz, y éstas son diferentes para distintos elementos y compuestos.† La figura 24-28, en el anexo a color al final del libro, ilustra los espectros de línea para varios elementos en estado gaseoso. Los espectros de líneas se presentan sólo para gases a temperaturas altas, y presión y densidad bajas. La luz proveniente de sólidos calientes, como el filamento de una bombilla, e incluso de un objeto gaseoso denso como el Sol, produce un espectro continuo que incluye un amplio rango de longitudes de onda. La figura 24-28 también muestra el “espectro continuo” del Sol, que contiene un número de líneas oscuras (sólo se muestran las más notorias), llamadas líneas de absorción. Los átomos y las moléculas son capaces de absorber luz a las mismas longitudes de onda a las que emiten luz. Las líneas de absorción del Sol se deben a la absorción por parte de los átomos y las moléculas en la atmósfera exterior más fría del Sol, así como por parte de los átomos y las moléculas en la atmósfera de la Tierra. l =

Espectros de líneas

†

Por qué los átomos y las moléculas emiten espectros de línea fue un gran misterio durante muchos años, y jugó un papel central en el desarrollo de la teoría cuántica moderna.

678

CAPÍTULO 24

La naturaleza ondulatoria de la luz

Hidrógeno atómico

Mercurio

Sodio

Espectro de absorción solar

FIGURA 24-28 Espectros de línea

Un análisis cuidadoso de todos estos miles de líneas revelan que al menos dos tercios de todos los elementos están presentes en la atmósfera del Sol. También por espectroscopia se puede determinar la presencia de elementos en la atmósfera de otros planetas, en el espacio interestelar y en las estrellas. La espectroscopia es útil para determinar la presencia de ciertos tipos de moléculas en especímenes de laboratorio donde el análisis químico sería difícil. Por ejemplo, el ADN biológico y diferentes tipos de proteínas absorben luz en regiones particulares del espectro (como en la región UV). El material a examinar, que generalmente está en solución, se coloca en un haz de luz monocromática cuya longitud de onda se selecciona mediante la colocación de un ángulo de una rejilla de difracción o prisma. La cantidad de absorción, comparada con una solución estándar sin el espécimen, puede revelar no sólo la presencia de un tipo particular de molécula, sino también su concentración. La emisión y absorción de luz también ocurre en el exterior de la parte visible del espectro, como en las regiones UV e IR. El vidrio absorbe luz en estas regiones, así que se utilizan rejillas de reflexión y espejos (en lugar de lentes). Para detección se emplean tipos especiales de película o detectores.

para los gases indicados, y espectro del Sol que muestra líneas de absorción.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Análisis químico y bioquímico mediante espectroscopia

24–8 Interferencia por medio de películas delgadas La interferencia de la luz da lugar a muchos fenómenos de la vida cotidiana, como los brillantes colores reflejados en las pompas de jabón y en las delgadas películas oleosas en el agua (figura 24-29, en el anexo al final del libro). En éstos y otros casos, los colores son resultado de la interferencia constructiva entre la luz reflejada en las dos superficies de la película delgada. El efecto se presenta sólo si el grosor de la película está en el orden de la longitud de onda de la luz. Si el grosor de la película es mayor que unas cuantas longitudes de onda, el efecto se diluye.

a)

b) SECCIÓN 24–8

FIGURA 24-29 Patrones de interferencia de película delgada vistos en a) pompas de jabón, b) una película delgada de agua jabonosa y c) una delgada capa de aceite en el agua de un charco callejero.

c) Interferencia por medio de películas delgadas

679

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A

C B

Aire Aceite Agua

FIGURA 24-30 Luz reflejada en las superficies superior e inferior de una película delgada de aceite que yace sobre agua. Este análisis supone que la luz entra en contacto con la superficie casi perpendicularmente, pero aquí se muestra en un ángulo de modo que se aprecie cada rayo.

Para ver cómo ocurre esta interferencia de película delgada, considere una superficie suave de agua sobre la que se encuentra una delgada capa uniforme de otra sustancia, por ejemplo aceite, cuyo índice de refracción es menor que el del agua (en un momento se verá por qué se supone esto); observe la figura 24-30. Suponga por un momento que la luz incidente es de una sola longitud de onda. Parte de la luz incidente se refleja en A sobre la superficie superior, y parte de la luz transmitida se refleja en B sobre la superficie inferior. La parte reflejada en la superficie inferior debe recorrer la distancia adicional ABC. Si esta diferencia de trayectoria ABC es igual a uno o a un número entero de longitudes de onda en la película (l n), las dos ondas alcanzarán al ojo en fase y se interferirán constructivamente. De esta forma, la región AC en la superficie de la película parecerá brillante. Pero si ABC es igual a 12 ln , 32 ln , etcétera, las dos ondas estarán exactamente fuera de fase y habrá interferencia destructiva: el área AC sobre la película será oscura. La longitud de onda l n es la longitud de onda en la película: l n
l
n, donde n es el índice de refracción en la película y l es la longitud de onda en el vacío. Vea la ecuación 24-1. Cuando luz blanca cae sobre tal película, la diferencia de trayectoria ABC será igual a l n (o ml n, con m
entero) sólo para una longitud de onda en un ángulo de visión dado. El color correspondiente a l (l en el aire) se verá como muy brillante. Para la luz que se ve en un ángulo ligeramente diferente, la diferencia de trayectoria ABC será más larga o más corta, y un color distinto experimentará interferencia constructiva. Así, para una fuente extendida (no puntual) que emita luz blanca, se verá una serie de colores brillantes uno junto a otro. Las variaciones en grosor de la película también alterarán la diferencia de trayectoria ABC y, por tanto, afectarán el color de la luz que se refleje con más fuerza. Cuando una superficie de vidrio curva se pone en contacto con una superficie de vidrio plana (figura 24-31), se ve una serie de anillos concéntricos cuando se iluminan

FIGURA 24-31 Anillos de Newton.

B A

a) Anillos de Newton FIGURA 24-32 a) El rayo reflejado cambia de fase por 180° o 12 ciclo si n2  n1, pero b) no lo hace si n2  n1.

n1

n2 > n1

n1

n2 < n1

a)

680

CAPÍTULO 24

b)

desde arriba con luz monocromática. A éstos se les llama anillos de Newton† y se deben a la interferencia entre los rayos reflejados por las superficies superior e inferior del muy delgado espacio de aire entre las dos piezas de vidrio. Como este espacio (que es equivalente a una película delgada) aumenta en anchura a partir del punto de contacto central y hacia fuera, hacia los bordes, la longitud de trayectoria adicional para el rayo inferior (igual a BCD) varía; donde es igual a 0, 12 ln , l, 32 ln , 2l, etcétera, corresponde a interferencia constructiva y destructiva; y esto da lugar a la serie de líneas brillantes y oscuras que se observan en la figura 24-31b. El punto de contacto de las dos superficies de vidrio (A en la figura 24-31a) es oscuro en la figura 24-31b. Puesto que la diferencia en trayectoria aquí es cero, el análisis previo sugeriría que los rayos reflejados de cada superficie están en fase y, por ende, este punto central debería ser brillante. Pero es oscuro, lo que indica que algo más ocurre aquí: los dos rayos deben estar completamente fuera de fase. Esto se explica porque una de las ondas, en la reflexión, se voltea: una cresta se convierte en valle; observe la figura 24-32. Se dice que la onda experimenta un cambio de fase de 180°, o de medio ciclo de onda. De hecho, éste y otros experimentos revelan que, a incidencia normal, un haz de luz reflejado por una material con índice de refracción mayor que el del material en el que viaja, cambia de fase por 180° o 12 ciclo; observe la figura 24-32. Este cambio de fase actúa justo como una diferencia de trayectoria de †

b)

D C

Aunque Newton proporcionó una descripción elaborada de ellos, fue su contemporáneo, Robert Hooke, quien los observó y describió primero.

La naturaleza ondulatoria de la luz

1 2

l. Si el índice de refracción es menor que el del material en el que viaja la luz, no hay cambio de fase. Por tanto, el rayo reflejado por la superficie curva sobre el espacio de aire en la figura 24-31a no experimenta cambio de fase. El rayo reflejado en la superficie inferior, donde el haz en el aire golpea el vidrio, experimenta un cambio de fase de 1 1 2 -ciclo equivalente a una diferencia de trayectoria de 2 l. Por tanto, los dos rayos reflejados en el punto de contacto A de las dos superficies de vidrio (donde el espacio de aire tiende a grosor cero) estará medio ciclo (o 180°) fuera de fase, y se formará una mancha oscura. Otras bandas oscuras se formarán cuando la diferencia de trayectoria BCD de la figura 24-31a sea igual a un número entero de longitudes de onda. Las bandas brillantes se formarán cuando la diferencia de trayectoria sea 12 l, 32 l, etcétera, pues el cambio de fase en una superficie efectivamente añade una diferencia de trayectoria de 12 l A= 12 cicloB. Regresemos por un momento a la figura 24-30. La luz que se refleja en ambas interfases, aire-aceite y aceite-agua, experimenta un cambio de fase de 180° equivalente a una diferencia de trayectoria de 12 l, pues se supuso nagua  naceite  naire; como los cambios de fase fueron iguales, no afectaron el análisis. EJEMPLO 24-8 Película delgada de aire, con forma de cuña. Un alambre muy fino, de 7.35  103 mm de diámetro, se coloca entre dos placas planas de vidrio, como en la figura 24-33a. Luz, cuya longitud de onda en el aire es de 600 nm, cae (y se ve) perpendicular a las placas; además, se observa una serie de bandas brillantes y oscuras (figura 24-33b). ¿Cuántas bandas de luz y oscuridad habrá en este caso? ¿El área junto al alambre será más brillante u oscura?

FIGURA 24-33 a) Los rayos de luz reflejados en las superficies superior e inferior de una delgada cuña de aire interfieren para producir bandas brillantes y oscuras. b) Patrón observado cuando unas placas de vidrio son ópticamente planas; c) patrón cuando las placas no son tan planas. Ejemplo 24-8.

D F E

A

C B a)

PLANTEAMIENTO Es necesario considerar dos efectos: 1. las diferencias de trayectoria para los rayos que se reflejan de las dos superficies cercanas (delgado espacio de aire entre las dos placas de vidrio) y 2. el cambio de fase de 12-ciclo en la superficie inferior (punto E en la figura 24-33a), donde los rayos en el aire pueden entrar al vidrio. En virtud del cambio de fase en la superficie inferior, habrá una banda oscura cuando la diferencia de trayectoria sea 0, l, 2l, 3l, etcétera. Puesto que los rayos de luz son perpendiculares a las placas, la longitud de la trayectoria adicional es igual a 2t, donde t es el grosor del espacio de aire en cualquier punto. SOLUCIÓN Las bandas oscuras se formarán donde

2 t = ml,

b)

m = 0, 1, 2, p.

Las bandas brillantes se forman cuando 2 t = Am + 12 Bl, donde m es entero. En la posición del alambre, t
3.5  106 m. En este punto habrá 2 t
l
(2)(7.35  106 m)
(6.00  107 m)
24.5 longitudes de onda. Esto es “medio entero”, así que el área junto al alambre será brillante. Habrá un total de 25 líneas oscuras a lo largo de las placas, lo que corresponde a longitudes de trayectoria de 0l, 1l, 2l, 3l, . . ., 24l, que incluyen la del punto de contacto A (m
0). Entre ellas, habrá 24 líneas brillantes más la del extremo, o sea 25. NOTA Las bandas brillantes y oscuras serán rectas sólo si las placas de vidrio son extremadamente planas. Si no lo son, el patrón es disparejo, como en la figura 24-33c. Ésta es una forma bastante precisa de probar una superficie de vidrio para ver si es plana. Las superficies de las lentes esféricas se pueden probar para precisión al colocar la lente sobre una superficie de vidrio plana y observar los anillos de Newton (figura 24-31b) para circularidad perfecta.

c) F Í S I C A

A P L I C A D A

Prueba del vidrio para ver si es plano

Si la cuña entre las dos placas de vidrio del ejemplo 24-8 está llena con alguna sustancia transparente distinta al aire (por ejemplo, agua) el patrón se modifica porque cambia la longitud de onda de la luz. En un material donde el índice de refracción es n, la longitud de onda es ln
l
n, donde l es la longitud de onda en el vacío (ecuación 24-1). Por ejemplo, si la delgada cuña del ejemplo 24-8 estuviese llena con agua, entonces ln
600 nm
1.33
450 nm; en lugar de 25 líneas oscuras, habría 33. Cuando luz blanca (en lugar de luz monocromática) incide sobre la delgada cuña de aire de las figuras 24-31a o 24-33a, se observa una serie de bandas coloridas. Esto se debe a que ocurre interferencia constructiva para diferentes longitudes de onda en la luz reflejada en diferentes grosores a lo largo de la cuña. SECCIÓN 24–8

Interferencia por medio de películas delgadas

681

n = 1.35 Rayo incidente Rayos reflejados Interior de la pompa

Aire exterior

n = 1.00

Una pompa de jabón es un delgado cascarón (o película) esférico con aire en su interior. Las variaciones en grosor de la película de una pompa de jabón dan lugar a brillantes colores reflejados en ella. (Existe aire en ambos lados de la película de la pompa.) Variaciones similares en el grosor de la película producen los colores brillantes que se ven reflejados en una delgada capa de aceite o gasolina sobre un charco o lago (figura 24-29). También el ángulo de visión determina qué longitudes de onda aparecen más brillantes.

n = 1.00

t FIGURA 24-34 Ejemplo 24-9. Se supone que los rayos incidente y reflejado son perpendiculares a la superficie de la pompa. Se muestran en un ángulo ligero para distinguirlos.

P R E C A U C I Ó N

Una fórmula no es suficiente: también hay que comprobar si hay cambios de fase en las superficies.

EJEMPLO 24-9 Grosor del revestimiento de una pompa de jabón. Una pompa de jabón parece verde (l
540 nm) en el punto sobre su superficie frontal más cercano al observador. ¿Cuál es el menor grosor que podría tener la película de la pompa de jabón? Suponga que n
1.35. PLANTEAMIENTO Suponga que la luz se refleja perpendicularmente desde el punto de una superficie esférica más cercano al observador (figura 24-34). Los rayos de luz también se reflejan en la superficie interior de la película de la pompa de jabón, como se muestra. La diferencia de trayectoria de estos dos rayos reflejados es 2t, donde t es el grosor de la película de jabón. La luz reflejada en la primera superficie (exterior) experimenta un cambio de fase de 180° (el índice de refracción del jabón es mayor que el del aire), mientras que la reflexión en la segunda superficie (interior) no cambia. Para determinar el grosor t para una máxima interferencia, se debe usar la longitud de onda de la luz en el jabón (n
1.35). SOLUCIÓN El cambio de fase de 180° sólo en una superficie es equivalente a una diferencia de trayectoria de 12 l. Por tanto, la luz verde es brillante cuando la diferencia de trayectoria mínima es igual 12 ln . En consecuencia, 2t
l
2n, de modo que

t =

(540 nm) l = = 100 nm. 4n (4)(1.35)

Éste es el grosor más pequeño. NOTA La superficie frontal también aparecería verde si 2 t = 3l
2n, y, en general, si 2 t = (2m + 1)l
2n, donde m es entero. Note que el verde se ve en el aire, así que l
540 nm (no l
n). F Í S I C A

A P L I C A D A

Recubrimiento de lentes

FIGURA 24-35 Lente recubierta. Note el color de la luz reflejada en la superficie frontal de la lente.

682

CAPÍTULO 24

Una importante aplicación de la interferencia de película delgada es el recubrimiento de vidrio para hacerlo “no reflector”, en particular para lentes. Una superficie de vidrio refleja alrededor del 4% de la luz que incide sobre ella. Las cámaras de buena calidad, microscopios y otros dispositivos ópticos pueden contener de seis a 10 lentes delgadas. La reflexión de todas estas superficies reduce el nivel de luz considerablemente, y las reflexiones múltiples producen un trasfondo brumoso que reduce la calidad de la imagen. Al reducir la reflexión, la transmisión aumenta. Un recubrimiento muy delgado sobre las superficies de las lentes reduce las reflexiones de manera considerable: el grosor de la película se elige de modo que la luz (al menos para una longitud de onda) que se refleja desde las superficies frontal y posterior de la película interfiera destructivamente. La cantidad de reflexión en una frontera depende de la diferencia en el índice de refracción entre los dos materiales. De manera ideal, el material de recubrimiento debería tener un índice de refracción igual a la media geométrica A = 1n1 n2 B de los índices del aire y el vidrio, de modo que la cantidad de reflexión en cada superficie sea más o menos igual. Entonces puede ocurrir interferencia destructiva casi completamente para una longitud de onda particular, dependiendo del grosor del recubrimiento. Longitudes de onda cercanas interferirán de manera destructiva, al menos parcialmente, pero un solo recubrimiento reducirá la reflexión total de un 4 a un 1% de la luz incidente. Con frecuencia, el recubrimiento está diseñado para eliminar el centro del espectro reflejado (alrededor de 550 nm). Los extremos del espectro —rojo y violeta— no se reducirán tanto. Como una mezcla de rojo y violeta produce púrpura, la luz que se ve reflejada en tales lentes recubiertas es púrpura (figura 24-35, en el anexo al final del libro). Las lentes que contienen dos o tres recubrimientos separados reducirán más efectivamente un amplio rango de las longitudes de onda que se reflejan.

La naturaleza ondulatoria de la luz

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Interferencia 1. Los efectos de interferencia dependen de la llegada simultánea de dos o más ondas al mismo punto en el espacio. 2. La interferencia constructiva se presenta cuando las ondas llegan en fase, es decir, cuando la cresta de una llega al mismo tiempo que la cresta de la otra. Las amplitudes de las ondas se suman para formar una amplitud mayor. La interferencia constructiva también se presenta cuando la diferencia de trayectoria es exactamente una longitud de onda completa o cualquier múltiplo entero de una longitud de onda completa: 1l, 2l, 3l, . . . . 3. La interferencia destructiva tiene lugar cuando la cresta de una onda llega al mismo tiempo que el valle

de la otra onda. Las amplitudes se suman, pero son de signo opuesto, así que la amplitud total se reduce a cero si las dos amplitudes son iguales. La interferencia destructiva se produce siempre que la diferencia de fase es la mitad de un ciclo de onda, o cuando la diferencia de trayectoria es medio número de longitudes de onda. Por tanto, la amplitud total será cero si dos ondas idénticas llegan media longitud de onda fuera de fase, o Am + 12 B l fuera de fase, donde m es entero. 4. Para interferencia de película delgada, se produce un corrimiento de fase adicional de media longitud de onda cuando la luz se refleja en un medio ópticamente más denso (al ir de un medio de menor índice de refracción a uno de mayor índice de refracción).

EJEMPLO 24-10 Recubrimiento no reflector. ¿Cuál es el grosor de un recubrimiento óptico de MgF2 cuyo índice de refracción es n
1.38 y está diseñado para eliminar la luz reflejada en longitudes de onda (en el aire) de alrededor de 550 nm cuando incide normalmente sobre vidrio para el que n
1.50? PLANTEAMIENTO Se sigue explícitamente el procedimiento descrito en el anterior recuadro de resolución de problemas. SOLUCIÓN 1. Efectos de interferencia: Considere dos rayos que se reflejan en las superficies frontal y posterior del recubrimiento en la lente, como se muestra en la figura 24-36. Los rayos se dibujan no muy perpendiculares a la lente, de modo que es posible distinguirlos. Estos dos rayos reflejados interferirán uno con otro. 2. Interferencia constructiva: Se quiere eliminar la luz reflejada, así que no se considera la interferencia constructiva. 3. Interferencia destructiva: Para eliminar la reflexión, se quiere que los rayos reflejados 1 y 2 estén 1 ciclo fuera de fase uno con respecto al otro, de modo que interfieran destructivamente. La diferencia de fase se debe a la diferencia de trayectoria 2t recorrida por el rayo 2, al igual que cualquier cambio de fase en cualquier rayo se debe a la reflexión.

Recubrimiento

Aire 2 1 Rayo incidente

Vidrio Rayo transmitido

FIGURA 24-36 Ejemplo 24-10. El rayo de luz incidente se refleja parcialmente en la superficie frontal del recubrimiento de una lente (rayo 1) y de nuevo se refleja parcialmente en la superficie posterior del recubrimiento (rayo 2). La mayor parte de la energía pasa al vidrio como el rayo transmitido.

4. Reflexión del corrimiento de fase: Los rayos 1 y 2 experimentan ambos un cambio de fase de 1 ciclo cuando se reflejan en las superficies frontal y posterior del recubrimiento, respectivamente (en ambas superficies aumenta el índice de refracción). Por tanto, no hay cambio neto en la fase a causa de reflexiones. La diferencia de fase neta se deberá a la trayectoria adicional 2t tomada por el rayo 2 en el recubrimiento, donde n
1.38. Se quiere que 2t sea igual a 12 ln de modo que ocurra interferencia destructiva, donde ln
l
n es la longitud de onda del recubrimiento. Con 2 t = ln
2 = l
2n, entonces

t =

(550 nm) ln l = = = 99.6 nm. 4 4n (4)(1.38)

NOTA Se pudo haber establecido 2 t = Am + 12 B ln , donde m es entero. Por lo general se elige el menor grosor (m
0) porque la interferencia destructiva ocurrirá sobre el ángulo más ancho. NOTA La interferencia destructiva completa sólo ocurre para una longitud de onda dada de luz visible. Las longitudes de onda más largas o más cortas sólo se cancelarán parcialmente.

SECCIÓN 24–8

Interferencia por medio de películas delgadas

683

M1 (espejo móvil) ) 1

MS

Fuente 2

Ojo

M2 (espejo fijo)

FIGURA 24-37 Interferómetro Michelson.

* 24–9 Interferómetro Michelson Un valioso instrumento que utiliza interferencia de onda es el interferómetro Michelson (figura 24-37),† inventado por el estadounidense Albert A. Michelson (sección 22-4). En la figura se muestra que luz monocromática proveniente de un solo punto en una fuente extendida entra en contacto con un espejo medio plateado EP. Este espejo EP divisor de haz tiene una delgada capa de plata que sólo refleja la mitad de la luz que lo toca, de modo que la mitad del haz pasa a través de él hacia un espejo fijo E2, donde se refleja de vuelta. La otra mitad la refleja EP a un espejo E1 que es móvil (mediante un tornillo de rosca fina), donde también se refleja de vuelta. En su retorno, parte del haz 1 pasa a través de EP y alcanza al ojo; y parte del haz 2, de retorno, se refleja en EP hacia el ojo. Si las dos longitudes de trayectoria son idénticas, los dos haces coherentes entrarán al ojo con interferencia constructiva y se verá brillantez. Si el espejo móvil se mueve una distancia l
4, un haz recorrerá una distancia adicional igual a l
2 (puesto que viaja de ida y vuelta la distancia l
4). En este caso, los dos haces se interferirán destructivamente y se verá oscuridad. Conforme E1 se mueve más lejos, volverá a presentarse la brillantez (cuando la diferencia de trayectoria sea l), luego oscuridad, y así sucesivamente. Es posible realizar mediciones de longitud muy precisas con un interferómetro. El movimiento del espejo E1 por sólo 14 l produce una clara diferencia ente brillantez y oscuridad. Para l
400 nm, esto significa una precisión de 100 nm, ¡o 104 mm! Si el espejo E1 se inclina ligeramente, en lugar de una serie de líneas o “franjas” claras y oscuras, se verán manchas brillantes u oscuras. Al contar el número de franjas, o fracciones de las mismas, es factible realizar mediciones de longitud extremadamente precisas.

24–10 Polarización

a)

b)

FIGURA 24-38 Ondas transversales en una soga polarizada a) en un plano vertical y b) en un plano horizontal.

Una importante y útil propiedad de la luz es que se puede polarizar. Para ver lo que esto significa, se examinarán las ondas que viajan por una soga. Se coloca una soga en oscilación en un plano vertical, como en la figura 24-38a, o en un plano horizontal, como en la figura 24-38b. En cualquier caso, se dice que la onda está linealmente polarizada o plano-polarizada; es decir, las oscilaciones son en un plano. Si ahora se pone un obstáculo que contenga una rendija vertical en la trayectoria de la onda (figura 24-39), una onda verticalmente polarizada pasa a través de la rendija vertical, pero una onda polarizada horizontalmente no lo hará. Si se usara una rendija horizontal, la onda polarizada verticalmente se detendría. Si se usaran ambos tipos de rendijas, ambos tipos de onda se detendrían en una rendija o en la otra. Hay que hacer notar que la polarización existe sólo para ondas transversales y no para ondas longitudinales como el sonido. Estas últimas oscilan sólo a lo largo de la dirección de movimiento y ninguna orientación de las rendijas las detendría. FIGURA 24-39 La onda polarizada verticalmente pasa a través de una rendija vertical, pero una onda polarizada horizontalmente no lo hará.

FIGURA 24-40 Oscilación de los vectores de campo eléctrico en luz no polarizada. La luz viaja hacia dentro o hacia fuera de la página.

a)

†

684

CAPÍTULO 24

b)

La teoría de la luz de Maxwell como ondas electromagnéticas (EM) predijo que la luz se puede polarizar porque una onda EM es una onda transversal. La dirección de polarización en una onda EM plano-polarizada se toma como la dirección del vecB tor de campo eléctrico E. La luz no necesariamente está polarizada. También puede estar no polarizada, lo que significa que la fuente tiene oscilaciones en muchos planos a la vez, como se muestra en la figura 24-40. Una bombilla incandescente ordinaria emite luz no polarizada, como lo hace el Sol. Existen otros tipos de interferómetro, pero el de Michelson es el más conocido.

La naturaleza ondulatoria de la luz

Polaroids La luz plano-polarizada se obtiene a partir de luz no polarizada utilizando ciertos cristales como la turmalina. O, lo que es más común en la actualidad, se emplean hojas Polaroid. (Edwin Land inventó los materiales Polaroid en 1929.) Una hoja Polaroid consiste en complicadas moléculas gigantes ordenadas paralelamente unas con otras. Tal Polaroid actúa como una serie de rendijas paralelas que permiten una orientación para que pase la polarización casi sin disminución. Esta dirección se llama eje de transmisión del Polaroid. Una polarización perpendicular se absorbe casi por completo en el Polaroid. [La absorción mediante un Polaroid se explica a nivel molecular. Un campo B eléctrico E que oscila paralelo a las moléculas gigantes pone en movimiento a los electrones en las moléculas, y por tanto realiza trabajo sobre ellos y transfiere enerB gía. En consecuencia, si E es paralelo a las moléculas, se absorbe. Un campo eléctriB co E perpendicular a las moléculas gigantes no tiene esta posibilidad de realizar trabajo y transferir su energía, de modo que atraviesa libremente. Cuando se habla del eje de transmisión de un Polaroid, se hace referencia a la dirección por la que paB sa E, así que el eje de un Polaroid es perpendicular a las moléculas gigantes. Si se quiere pensar que hay rendijas entre las moléculas paralelas en el sentido de la figuB ra 24-39, entonces esta última se aplicaría para el campo B en la onda EM, no para el B campo E.] Si un haz de luz plano-polarizada golpea un Polaroid cuyo eje de transmisión está en un ángulo u con la dirección de polarización incidente, el haz saldrá planopolarizado paralelo al eje de transmisión del Polaroid, y la amplitud de E se reducirá a E cos u (figura 24-41). Así, un PolaroidBsólo permite el paso del componente de polarización (el vector de campo eléctrico, E paralelo a su eje de transmisión. Puesto que la intensidad de un haz de luz es proporcional al cuadrado de la amplitud (secciones 11-10 y 22-5), se sabe que la intensidad de un haz plano-polarizado transmitido por un polarizador es

E0 cos u

I = I0 cos2 u, (24–5) donde I0 es la intensidad entrante y u es el ángulo entre el eje de transmisión del polarizador y el plano de polarización de la onda entrante.†

E0 E = E0 cos u

u Eje

Haz incidente polarizado en ángulo u con la vertical; tiene amplitud E0

Polaroid vertical

Intensidad de onda plano-polarizada reducida por un polarizador

FIGURA 24-41 El Polaroid vertical sólo transmite el componente vertical de una onda (campo eléctrico) incidente sobre él.

Onda transmitida

Un Polaroid sirve como polarizador para producir luz plano-polarizada a partir de luz no polarizada, ya que sólo transmite el componente de luz paralelo al eje. Un Polaroid también sirve como analizador para determinar 1. si la luz está polarizada y 2. el plano de polarización. Un Polaroid que actúa como analizador pasará la misma cantidad de luz independientemente de la orientación de su eje, si la luz está no polarizada; intente dar vuelta a una lente de un par de anteojos para sol Polaroid mientras observa una bombilla a través de ella. Sin embargo, si la luz está polarizada, cuando se hace girar el Polaroid la luz transmitida será un máximo cuando el plano de polarización sea paralelo al eje del Polaroid, y un mínimo cuando sea perpendicular a él. Si hace esto mientras mira al cielo, de preferencia en ángulos rectos en dirección al Sol, verá que la luz del cielo está polarizada. (La luz solar directa es no polarizada, pero no mire directamente al Sol, ni siquiera a través de un polarizador, porque esto daña los ojos.) Si la luz transmitida por un analizador Polaroid cae a cero en una orientación, entonces la luz es 100% plano-polarizada. Si simplemente alcanza un mínimo, la luz está parcialmente polarizada. †

A la ecuación 24-5 con frecuencia se le conoce como ley de Malus, en honor de Etienne Malus, contemporáneo de Fresnel.

SECCIÓN 24–10

Polarización

685

www.elsolucionario.org Polarizador

La luz no polarizada consiste en luz con direcciones aleatorias de polarización. Luz polarizada Cada una de estas direcciones de polarización se puede disociar en componentes a

Luz no polarizada

lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí. En promedio, se considera que un haz no polarizado son dos haces plano-polarizados de igual magnitud y perpendiculares entre sí. Cuando la luz no polarizada pasa a través de un polarizador, un 1 componente es eliminado. De modo que la intensidad de la luz que pasa a través se I0 I 2 0 reduce a la mitad, pues la mitad de la luz es eliminada: I = 12 I0 (figura 24-42). FIGURA 24-42 La luz no polarizada Cuando dos Polaroid se cruzan —es decir, cuando sus ejes de polarización son tiene componentes vertical y horizontal perpendiculares entre sí— la luz no polarizada se puede detener por completo. Como de igual intensidad. Luego de pasar a se ilustra en la figura 24-43, la luz no polarizada se hace plano-polarizada mediante través de un polarizador, uno de tales el primer Polaroid (el polarizador). componentes es eliminado. La intensi-

Dirección de la luz

dad de la luz se reduce a la mitad.

Polarizador (eje vertical)

FIGURA 24-43 Los Polaroids cruzados eliminan por completo la luz.

No hay luz

Dirección de la luz Luz no polarizada

FIGURA 24-44 Polaroids cruzados. Cuando las dos lentes polarizadas de los anteojos se traslapan, con ejes perpendiculares, casi ninguna luz pasa a través de ellas.

Analizador (eje horizontal)

Luz plano-polarizada

Entonces el segundo Polaroid, el analizador, elimina este componente pues su eje de transmisión es perpendicular al primero. Intente esto con anteojos Polaroid para sol (figura 24-44). Note que los anteojos Polaroid para sol eliminan el 50% de luz no polarizada gracias a sus propiedades polarizantes; absorben incluso más porque están coloreados. EJEMPLO 24-11 Dos Polaroids a 60°. Luz no polarizada pasa a través de dos Polaroids; el eje de uno es vertical y el del otro está a 60° con respecto a la vertical. Describa la orientación e intensidad de la luz transmitida. PLANTEAMIENTO La mitad de la luz no polarizada se absorbe en el primer Polaroid, y sale plano-polarizada. Cuando esa luz pasa a través del segundo Polaroid, la intensidad se reduce aún más de acuerdo con la ecuación 24-5, y el plano de polarización queda a lo largo del eje del segundo Polaroid. SOLUCIÓN El primer Polaroid elimina la mitad de la luz, de modo que la intensidad se reduce a la mitad: I1 = 12 I0 . La luz que alcanza al segundo polarizador está verticalmente polarizada y por tanto se reduce en intensidad (ecuación 24-5) a

I2 = I1(cos 60°)2 = 14 I1 . En consecuencia, I2 = 18 I0 . La luz transmitida tiene una intensidad de un octavo de la original y está plano-polarizada en un ángulo de 60° con la vertical. EJEMPLO CONCEPTUAL 24-12 Tres Polaroids. En la figura 24-43 se vio que, cuando la luz no polarizada cae sobre dos Polaroids cruzados (ejes a 90°), no pasa luz a través de ellos. ¿Qué sucede si, entre ellos, se coloca un tercer Polaroid, con eje a 45° con respecto a los otros dos (figura 24-45a)?

FIGURA 24-45 Ejemplo 24-12. Polarizador Polarizador vertical 45 horizontal

a)

Dirección de la luz

I0

1 2 I0

b)

686

CAPÍTULO 24

1 4 I0

1 8 I0

RESPUESTA Se comienza tal como en el ejemplo 24-11 y se recuerda de nuevo que la luz que sale de cada Polaroid está polarizada paralela al eje de este último. Por tanto, el ángulo en la ecuación 24-5 es el que existe entre los ejes de transmisión de cada par de Polaroids tomados a la vez. El primer Polaroid cambia la luz no polarizada a plano-polarizada y reduce la intensidad de I0 a I1 = 12 I0 . El segundo polarizador reduce aún más la intensidad en (cos 45°)2, ecuación 24-5:

I2 = I1(cos 45°)2 = 12 I1 = 14 I0 . La luz que sale del segundo polarizador es plano-polarizada a 45° (figura 24-45b) en relación con el tercer polarizador, de modo que el tercero reduce la intensidad a I3 = I2(cos 45°)2 = 12 I2 , 1 o I3 = 8 I0 . En consecuencia, se transmite 18 de la intensidad original. NOTA Si no se inserta el Polaroid a 45°, resulta intensidad cero (figura 24-43). EJERCICIO E ¿Cuánta luz pasaría si el polarizador de 45° del ejemplo 24-12 se colocase, no entre los otros dos polarizadores, sino a) antes del polarizador vertical (el primero) o b) después del polarizador horizontal?

Polarización por reflexión Otro medio de producir luz polarizada a partir de luz no polarizada es mediante reflexión. Cuando la luz entra en contacto con una superficie no metálica en cualquier ángulo distinto a la perpendicular, el haz reflejado se polariza preferentemente en el plano paralelo a la superficie (figura 24-46). En otras palabras, el componente con polarización en el plano perpendicular a la superficie es preferentemente transmitido o absorbido. Es posible comprobar esto al girar los anteojos Polaroid para sol mientras a través de ellos se observa una superficie plana en un lago o camino. Como la mayoría de las superficies exteriores son horizontales, los anteojos Polaroid se fabrican de modo que sus ejes verticales eliminen el componente horizontal reflejado más intensamente; por eso reducen el destello. La gente que va de pesca usa Polaroids para eliminar el destello reflejado por la superficie de un lago o corriente, lo que le permite ver por debajo del agua con más claridad (figura 24-47, en el anexo al final del libro).

FIGURA 24-46 La luz reflejada en una superficie no metálica, como la superficie tranquila del agua en un lago, es parcialmente polarizada paralela a la superficie.

FIGURA 24-47 Fotografías de un río a) cuando se permite que toda la luz entre a la lente de la cámara y b) con el uso de un polarizador. El polarizador se ajusta para absorber la mayor parte de la luz (polarizada) que se refleja en la superficie del agua, lo que permite que la luz más tenue proveniente del fondo del río, y cualquier pez que se encuentre ahí, se vean con mayor facilidad.

a)

b)

La cantidad de polarización en el haz reflejado depende del ángulo, que varía de ninguna polarización en incidencia normal al 100% de polarización en un ángulo que se conoce como ángulo de polarización, up.† Este ángulo está relacionado con el índice de refracción de los dos materiales en cualquier lado de la frontera por la ecuación

n2 , (24–6a) n1 donde n1 es el índice de refracción del material en el que viaja el haz de luz, y n2 es el índice del medio más allá de la frontera de reflexión. Si el haz viaja en el aire, n1
1 y la ecuación 24-6a se convierte en tan up =

tan up = n.

(24–6b)

El ángulo de polarización up también se llama ángulo de Brewster, y las ecuaciones 24-6 se conocen como ley de Brewster, en honor del físico escocés David Brewster (1781-1868), quien las trabajó experimentalmente en 1812. Las ecuaciones 24-6 se deducen a partir de la teoría ondulatoria electromagnética de la luz. Es interesante que, en el ángulo de Brewster, el rayo reflejado y el rayo transmitido (refractado) forman un ángulo de 90° entre sí; es decir, up  ur
90.0°, donde ur es el ángulo de refracción (figura 24-48). Esto se corrobora al sustituir la ecuación 24-6a, n2
n1 tan up
n1 sen up
cos up, en la ley de Snell, n1 sen up
n2 sen ur, de donde resulta cos up
sen ur que sólo se sostiene si up
90°  ur .

FIGURA 24-48 En up, la luz reflejada es plano-polarizada paralela a la superficie y up  ur
90°, donde ur es el ángulo de refracción. (Los puntos grandes representan vibraciones perpendiculares a la página).

up

EJEMPLO 24-13 Ángulo de polarización. a) ¿A qué ángulo incidente la luz solar reflejada en un lago está plano-polarizada? b) ¿Cuál es el ángulo de refracción? PLANTEAMIENTO El ángulo de polarización en la superficie es el ángulo de Brewster (ecuación 24-6b). El ángulo de refracción se encuentra a partir de la ley de Snell. SOLUCIÓN a) Se utiliza la ecuación 24-6b con n
1.33, de modo que tan up
1.33, lo que da up
53.1°. b) A partir de la ley de Snell, sen ur
sen up
n
sen 53.1°
1.33
0.601 lo que da ur
36.9°. NOTA up  ur
53.1°  36.9°
90.0°, como se esperaba.

up

90° ur

†

Sólo una fracción de la luz incidente se refleja en la superficie de un medio transparente. Aunque esta luz reflejada es 100% polarizada (si u
up), el resto de la luz, que se transmite dentro del nuevo medio, sólo es parcialmente polarizada. SECCIÓN 24–10

Polarización

687

* 24–11 Pantallas de cristal líquido (LCD)

FIGURA 24-49 Ejemplo de una imagen hecha con muchos pequeños cuadrados o pixeles (picture elements = elementos de imagen). Esta imagen tiene resolución más bien pobre.

FIGURA 24-50 Las moléculas de cristal líquido tienden a alinearse en una dimensión (paralelas entre ellas), pero tienen posiciones aleatorias (izquierda-derecha, arriba-abajo).

FIGURA 24-51 a) Forma “retorcida” del cristal líquido. El plano de polarización de la luz gira 90°. Sólo se muestra una línea de moléculas. b) Moléculas desorientadas por el campo eléctrico. El plano de polarización no cambia, así que la luz no pasa a través del polarizador horizontal. (No se ilustran los electrodos transparentes.)

Un uso maravilloso de la polarización está en las pantallas de cristal líquido (LCD, siglas en inglés de liquid cristal display). Los LCD se usan como pantalla en las calculadoras de mano, los relojes de pulso digitales, los teléfonos celulares, las pantallas de televisión y en los monitores planos de computadora que proyectan hermosos colores. Una pantalla de cristal líquido está hecha de muchos pequeños rectángulos llamado pixeles, o “elementos de imagen”. La imagen que se ve depende de cuáles pixeles son oscuros o brillantes y de qué color, como se sugiere en la figura 24-49 para un simple dibujo en blanco y negro. Los cristales líquidos son materiales orgánicos que, a temperatura ambiente, existen en una fase que no es completamente sólida ni completamente líquida. Son una especie de material viscoso y sus moléculas muestran una aleatoriedad de posición característica de los líquidos, como se explicó en la sección 13-1 y en la figura 13-2. También exhiben algo del ordenamiento de un cristal sólido (figura 13-2a), pero sólo en una dimensión. Los cristales líquidos que resultan útiles están hechos de moléculas parecidas a barras que son relativamente rígidas e interactúan débilmente y tienden a alinearse paralelas unas con otras, como se ilustra en la figura 24-50. En un LCD simple, cada pixel (elemento de imagen) contiene un cristal líquido hecho emparedado entre dos placas de vidrio cuyas superficies interiores se han cepillado para formar raspaduras paralelas nanométricas. Las moléculas de cristal líquido con forma de barra en contacto con las raspaduras tienden a alinearse a lo largo de estas últimas. Por lo general, las dos placas tienen sus raspaduras a 90° una con otra, y las fuerzas débiles entre las moléculas con forma de barra tienden a mantenerlas casi alineadas con sus vecinas más cercanas, lo que da como resultado el patrón retorcido que se aprecia en la figura 24-51a. Las superficies exteriores de las placas de vidrio tienen una delgada película polarizadora, y también están orientadas a 90° una con otra. La luz no polarizada incidente que proviene de la izquierda se vuelve plano-polarizada y las moléculas de cristal líquido mantienen esta polarización alineada con sus formas parecidas a barras. Es decir, el plano de polarización de la luz gira con las moléculas conforme la luz pasa a través del cristal líquido. La luz sale con su plano de polarización girado 90° y pasa a través del segundo polarizador con facilidad. Un pequeño pixel LCD en esta situación parecería brillante. Ahora suponga que se aplica un voltaje a electrodos transparentes en cada placa de vidrio del pixel. Las moléculas con forma de barra son polares (o pueden adquirir una separación interna de carga gracias al campo eléctrico aplicado). El voltaje aplicado tiende a alinear las moléculas y ya no siguen más el patrón retorcido que se representa en la figura 24-51a, con las moléculas del extremo siempre en un plano paralelo a las placas de vidrio. Ahora el campo eléctrico aplicado tiende a alinear las moléculas planas, de izquierda a derecha (perpendiculares a las placas de vidrio) y no afectan significativamente la polarización de la luz. La luz plano-polarizada que entra ya no tiene más su plano de polarización girado conforme pasa, y ninguna luz puede salir a través del segundo polarizador (horizontal). Con el voltaje encendido, el pixel aparece oscuro.† †

En algunas pantallas, los polarizadores son paralelos uno con respecto al otro (las raspaduras permanecen en 90° para mantener el retorcimiento). Entonces el voltaje apagado da como resultado negro (no luz) y el voltaje encendido provoca luz brillante.

Vidrio Fuente de luz no polarizada

Cristal líquido

Raspaduras Cristal líquido verticales sobre el vidrio Luz Polarizador verticalmente polarizada Raspaduras vertical que entra al horizontales cristal líquido a) Voltaje apagado Eje

688

CAPÍTULO 24

 Salida de luz brillante Pantalla Eje de o polarización espejo Polarizador horizontal Luz polarizada horizontalmente

La naturaleza ondulatoria de la luz

V



Eje Eje

Luz todavía polarizada verticalmente b) Voltaje encendido

No hay salida de luz

www.elsolucionario.org Las sencillas pantallas de los relojes y de las calculadoras usan luz del ambiente como fuente (la pantalla no se puede ver en la oscuridad) y un espejo detrás del LCD refleja la luz de vuelta. Sólo hay unos cuantos pixeles, que corresponden a los segmentos alargados necesarios para formar los números del 0 al 9 (y las letras en algunas pantallas), como se ve en la figura 24-52. Cualquier pixel al que se aplique voltaje aparece oscuro y forma parte de un número. Sin voltaje, los pixeles dejan pasar la luz a través de los polarizadores hacia el espejo y de vuelta, lo que forma un fondo brillante para los números oscuros de la pantalla. Los LCD de los televisores a color y las computadoras son más complejos. Un pixel de color consta de tres celdas, o subpixeles, cada uno cubierto con filtro rojo, verde o azul. La brillantez variable de estos tres colores primarios permite producir casi cualquier color natural. Una pantalla de buena calidad consta de un millón o más de pixeles, muy parecida a la superficie del TRC de un monitor a color (figura 17-20). Detrás de este arreglo de pixeles hay una fuente de luz, con frecuencia delgados tubos fluorescentes del diámetro de una pajilla. La luz pasa, o no, a través de los pixeles dependiendo del voltaje aplicado a cada subpixel, como en las figuras 24-51a y b. Observe la figura 24-53, que aparece en el anexo a color al final de esta obra.

FIGURA 24-52 Pantalla LCD de una calculadora. A los segmentos o pixeles negros se les aplica un voltaje. Note que el 8 usa los siete segmentos (pixeles), mientras que otros números usan menos.

Electrodos transparentes (vertical) Filtros de color Transistor de película delgada (TFT) [si es matriz activa]

Vidrio Observador

Fuente de luz Vidrio Segundo polarizador

Polarizador

Celdas de cristal líquido

Electrodos transparentes (horizontal) b)

a)

FIGURE 24-53 Construcción de capa básica para un LCD de computadora o de pantalla de televisión. Todo pixel contiene tres celdas (subpixeles), cada uno con un filtro rojo, verde o azul. Una pantalla de matriz activa tiene transistores de película delgada y es más compleja.

En un LCD de matriz pasiva, un par de conjuntos de electrodos, uno vertical y otro horizontal, llevan señales eléctricas a los pixeles: dos alambres, uno proveniente de cada conjunto, “intersecan” a cada subpixel, y un cuidadoso cronometrado electrónico (llamado “direccionamiento”) activa el voltaje en encendido o apagado. Las señales pueden afectar subpixeles cercanos, lo que reduce el contraste y la calidad de la imagen. Las mejores imágenes se obtienen con un LCD de matriz activa que tiene un transistor de película delgada (TFT, por sus siglas en inglés) en cada subpixel para controlar con precisión su brillantez. Para obtener un rango de escala de grises o un rango de brillantez de color, cada subpixel simplemente no puede encenderse o apagarse como en la figura 24-51. Existen varias técnicas, que se utilizan dependiendo de la construcción del LCD. Si el voltaje aplicado en la figura 24-51b es suficientemente pequeño, la desorientación de las moléculas será pequeña, lo que permite cierta rotación del vector de polarización y en consecuencia alguna luz podrá pasar; la cantidad real depende del voltaje. De manera alternativa, cada subpixel puede ser pulsátil: la longitud de tiempo que dura encendido afecta la brillantez percibida. En lugar de ello, el efecto de brillantez más intensa o más débil se genera por el número de subpixeles cercanos del mismo color que se encienden o se apagan; este tipo permite al ojo “promediar” muchos pixeles, pero reduce la claridad o resolución de la imagen. *SECCIÓN 24–11

Pantallas de cristal líquido (LCD)

689

Luz solar no polarizada

* 24–12 Dispersión de luz por la atmósfera Molécula O 2 o N2

La luz dispersada en ángulos rectos es plano-polarizada

Observador FIGURA 24-54 Luz solar no polarizada que se dispersa por las moléculas del aire. Un observador en ángulo recto percibe luz plano-polarizada, pues el componente de oscilación a lo largo de la línea de visión no emite luz a lo largo de ella. F Í S I C A

A P L I C A D A

¿Por qué el cielo es azul? ¿Por qué los atardeceres son rojos?

¿Por qué las nubes son blancas?

Los atardeceres son rojos, el cielo es azul y la luz del cielo es polarizada (al menos en parte). Estos fenómenos son explicables sobre la base de la dispersión de la luz por medio de las moléculas de la atmósfera. En la figura 24-54 se ve luz no polarizada proveniente del Sol que entra en contacto con una molécula de la atmósfera terrestre. El campo eléctrico de la onda EM pone en movimiento las cargas eléctricas en el interior de la molécula, y ésta absorbe parte de la radiación incidente. Pero rápidamente reenvía esta luz ya que las cargas están en oscilación. Como se explicó en la sección 22-2, las cargas eléctricas en oscilación producen ondas EM. La intensidad es más fuerte a lo largo de una línea perpendicular para la oscilación, y cae a cero a lo largo de la línea de oscilación (sección 22-2). En la figura 24-54, el movimiento de las cargas se disocia en dos componentes. Un observador en ángulo recto a la dirección de la luz solar, como se ilustra, verá luz plano-polarizada porque no se emite luz a lo largo de la línea del otro componente de oscilación. (Cuando se ve a lo largo de la línea de una oscilación, no se percibe tal oscilación, y por tanto no se ven las ondas que produce.) En otros ángulos de visión, ambos componentes estarán presentes; sin embargo, uno será más intenso, de modo que la luz parece parcialmente polarizada. En consecuencia, el proceso de dispersión explica la polarización de la luz del cielo. La dispersión de la luz por la atmósfera terrestre depende de l. Para partículas mucho más pequeñas que la longitud de onda de la luz (como las moléculas del aire), las partículas serán un menor obstáculo para las longitudes de onda largas que para las cortas. La dispersión disminuye, de hecho, como 1
l4. Las luces azul y violeta, por ende, se dispersan mucho más que la roja y la anaranjada, por lo que el cielo parece azul. En el atardecer, los rayos solares pasan a través de una longitud máxima de la atmósfera. Mucho del azul ha quedado fuera por la dispersión. Así que la luz que alcanza la superficie de la Tierra, y se refleja de las nubes y neblina, carece de azul. Es por esto por lo que los atardeceres parecen rojizos. La dependencia de la dispersión en 1
l4 sólo es válida si los objetos que dispersan son mucho más pequeños que la longitud de onda de la luz. Esto es válido para las moléculas de oxígeno y nitrógeno, cuyos diámetros son de alrededor de 0.2 nm. Sin embargo, las nubes contienen gotitas o cristales de agua que son mucho más grandes que l. Ellas dispersan todas las frecuencias de luz casi de manera uniforme. Por ende, las nubes parecen blancas (o grises, si está nublado).

Resumen La teoría ondulatoria de la luz es enormemente apoyada por las observaciones de que la luz muestra interferencia y difracción. La teoría ondulatoria también explica la refracción de la luz y el hecho de que la luz viaja más lentamente en sólidos y en líquidos transparentes de lo que lo hace en el aire. Un auxiliar para predecir el comportamiento ondulatorio es el principio de Huygens, que afirma que todo punto en un frente de onda se puede considerar como una fuente de pequeñas onditas que se dispersan hacia delante con la rapidez de la onda misma. El nuevo frente de onda es la envoltura (la tangente común) de todas las onditas. La longitud de onda de la luz en un medio con índice de refracción n es

ln =

l, n

(24-1)

donde l es la longitud de onda en el vacío; la frecuencia no cambia. El experimento de doble rendija de Young demostró claramente la interferencia de la luz. Las manchas brillantes observadas en el patrón de interferencia se explicaron como interferencia constructiva entre los haces provenientes a través de las dos rendijas, donde los haces difieren en longitud de trayectoria por un número entero de longitudes de onda. Las áreas oscuras intermedias se deben a la interferencia destructiva cuando la longitudes

690

CAPÍTULO 24

La naturaleza ondulatoria de la luz

de trayectoria difieren por 12 l, 32 l, etcétera. Los ángulos u a los que ocurre interferencia constructiva están dados por

sen u = m

l, d

(24-2a)

donde l es la longitud de onda de la luz, d es la separación de las rendijas y m es un entero (0, 1, 2, . . . ). La interferencia destructiva se presenta en ángulos u dados por

sen u = Am + 12 B

l, d

(24-2b)

donde m es un entero (0, 1, 2, . . . ). Dos fuentes de luz son perfectamente coherentes si las ondas que salen de ellas son de la misma frecuencia y mantienen la misma relación de fase en todo momento. Si las ondas de luz provenientes de las dos fuentes tienen una fase aleatoria una con respecto a la otra a lo largo del tiempo (como para dos bombillas incandescentes), las dos fuentes son incoherentes. La frecuencia o longitud de onda de la luz determina su color. El espectro visible se extiende desde aproximadamente 400 nm (violeta) hasta cerca de 750 nm (rojo). Los prismas de vidrio descomponen la luz blanca en sus colores constituyentes porque el índice de refracción varía con la longitud de onda, un fenómeno conocido como dispersión.

La fórmula sen u
ml
d para interferencia constructiva también se sostiene para una rejilla de difracción, que consiste de muchas rendijas o líneas paralelas, separadas una de otra por una distancia d. Los picos de interferencia constructiva son mucho más brillantes y claros para una rejilla de difracción que para el simple aparato de dos rendijas. Una rejilla de difracción (o un prisma) se usa en un espectroscopio para separar diferentes colores o para observar espectros de líneas; para un orden dado m, u depende de l. Un espectroscopio permite determinar de manera precisa la longitud de onda, mediante la medición cuidadosa de u. La difracción se refiere al hecho de que la luz, al igual que otras ondas, se dobla alrededor de los objetos por los que pasa, y se dispersa después de pasar a través de rendijas estrechas. Este doblamiento da lugar a un patrón de difracción provocado por la interferencia entre los rayos de luz que recorren diferentes distancias. La luz que pasa a través de una rendija muy estrecha de ancho D (en el orden de la longitud de onda l) producirá un patrón con un brillo máximo central de medio ancho u dado por

sen u =

l, D

(24–3a)

flanqueado por líneas más débiles a los lados. La luz reflejada desde las superficies frontal y trasera de una película delgada de un material transparente puede interferir. Cuando la luz se refleja en una superficie donde el índice de re-

fracción aumenta, se presenta un cambio de fase de 180° A 12 lB Tal interferencia de película delgada tiene muchas aplicaciones prácticas, como en los recubrimientos de lentes y los anillos de Newton. En la luz no polarizada, los vectores de campo eléctrico oscilan en todas direcciones transversales. Si el vector eléctrico oscila sólo en un plano, se dice que la luz está plano-polarizada. La luz también puede ser parcialmente polarizada. Cuando un haz de luz no polarizada pasa a través de una hoja Polaroid, el haz que sale está plano-polarizado. Cuando se polariza un haz de luz y pasa a través de un Polaroid, la intensidad varía conforme el Polaroid gira. Así que un Polaroid actúa como polarizador, o bien, como analizador. La intensidad de un haz de luz plano-polarizado incidente sobre un Polaroid se reduce por el factor

I = I0 cos2 u,

(24-5)

donde u es el ángulo entre el eje del Polaroid y el plano inicial de polarización. La luz también puede estar parcial o completamente polarizada por reflexión. Si la luz que viaja en el aire se refleja en un medio de índice de refracción n, el haz reflejado será completamente plano-polarizado si el ángulo incidente up está dado por

tan up = n.

(24-6b)

El hecho de que la luz pueda estar polarizada demuestra que debe ser una onda transversal.

Preguntas 1. ¿El principio de Huygens se aplica a las ondas sonoras? ¿A las ondas en el agua? Explique sus respuestas. 2. ¿Cuál es la evidencia de que la luz es energía? 3. ¿Por qué a veces la luz se describe como rayos y a veces como ondas? 4. Los sonidos se pueden escuchar alrededor de las esquinas, pero no es posible ver alrededor de las esquinas, aunque tanto el sonido como la luz son ondas. Explique la diferencia. 5. Si el experimento de doble rendija de Young se pusiera en práctica bajo el agua, ¿cómo cambiaría el patrón de franjas? 6. Luz roja monocromática incide sobre una doble rendija y el patrón de interferencia se visualiza sobre una pantalla a cierta distancia. Explique cómo se alteraría el patrón de franjas si la fuente de luz roja se cambiara por una fuente de luz azul. 7. Dos rayos de luz que provienen de la misma fuente interfieren destructivamente si las longitudes de sus trayectorias difieren, ¿por cuánto? 8. ¿Por qué la observación del patrón de interferencia de doble rendija fue una evidencia más convincente para la teoría ondulatoria de la luz que la observación de la difracción? 9. Compare un experimento de doble rendija para ondas sonoras con el de ondas de luz. Discuta las similitudes y diferencias. 10. ¿Por qué la luz proveniente de los faros de un automóvil distante no producen un patrón de interferencia? 11. Suponga que luz blanca cae sobre las dos rendijas de la figura 24-7, pero una rendija está cubierta con un filtro rojo (700 nm) y la otra con un filtro azul (450 nm). Describa el patrón sobre la pantalla. 12. Cuando luz blanca pasa a través de una pieza plana de una ventana de vidrio, no se separa en colores como lo hace con un prisma. Explique por qué. 13. Tanto para lentes convergentes como divergentes, discuta cómo difiere la longitud focal para la luz roja de la que tiene la luz violeta.

14. Un rayo de luz se refracta a través de tres diferentes materiales (figura 24-55). Clasifique los materiales de acuerdo con sus índices de refracción, de menor a mayor.

FIGURA 24-55 Pregunta 14. 15. Sostenga una mano cerca de uno de sus ojos y enfoque una fuente de luz distante a través de una estrecha rendija entre dos dedos. (Ajuste sus dedos para obtener el mejor patrón). Describa el patrón que observa. 16. ¿Qué sucede con el patrón de difracción de una sola rendija si todo el aparato se sumerge en a) agua, b) un vacío, en lugar de aire? 17. Para difracción por una sola rendija, ¿cuál es el efecto de aumentar a) el ancho de la rendija y b) la longitud de onda? 18. ¿Cuál es la diferencia en los patrones de interferencia formados a) mediante dos rendijas separadas 104 m, b) por una rejilla de difracción que contiene 104 líneas
cm? 19. Para una rejilla de difracción, ¿cuál es la ventaja de a) muchas rendijas, b) rendijas muy juntas? 20. Luz blanca entra en contacto con a) una rejilla de difracción y b) un prisma. En cada caso aparece un arco iris en la pared justo abajo de la dirección del haz incidente horizontal. ¿Cuál es el color en la parte superior del arco iris en cada caso? Explique sus respuestas. 21. Para luz que consistente en longitudes de onda entre 400 y 700 nm, que incide de manera normal sobre una rejilla de difracción, ¿para qué órdenes (si acaso) habría traslapamiento en el espectro observado? ¿Su respuesta depende del espaciamiento de las rendijas? 22. ¿Por qué las franjas de interferencia son apreciables sólo para una película delgada como una pompa de jabón y no, por ejemplo, para un pedazo grueso de vidrio?

Preguntas

691

www.elsolucionario.org 23. Cuando un disco compacto (CD) se mantiene en un ángulo en luz blanca, la luz reflejada es un espectro completo (figura 24-56). Explique por qué. ¿Qué se esperaría ver si se utilizara luz monocromática?

FIGURA 24-56 Pregunta 23. 24. ¿Por qué los anillos de Newton (figura 24-31) están más juntos cuanto más lejos están del centro?

25. Ciertas lentes recubiertas se ponen amarillo-verdosas cuando se ven por la luz reflejada. ¿Para la transmisión completa de qué longitudes de onda supone que está diseñado el recubrimiento? 26. Una gota de aceite sobre un charco parece brillar en sus bordes, donde su grosor es mucho menor que las longitudes de onda de la luz visible. ¿Qué puede decir acerca del índice de refracción del aceite? 27. ¿Qué dice la polarización acerca de la naturaleza de la luz? 28. Explique la ventaja de los anteojos de sol polarizados en comparación con los anteojos teñidos normales. 29. ¿Cómo se puede saber si un par de anteojos están polarizados o no? 30. Dos hojas polarizadas que se hacen girar en un ángulo de 90° una con respecto a la otra no dejarán que pase luz. Tres hojas polarizadas, giradas en un ángulo de 45° una con respecto a la otra, permitirán que alguna luz pase. ¿Qué pasará con la luz no polarizada si se alinean cuatro hojas polarizadas, giradas en un ángulo de 30° una con respecto a la otra? * 31. ¿Cuál sería el color del cielo si la Tierra no tuviese atmósfera? * 32. Si la atmósfera de la Tierra fuese 50 veces más densa de lo que lo es, ¿la luz solar seguiría siendo blanca o tendría algún otro color?

Problemas 24-3 Interferencia de doble rendija 1. (I) Luz monocromática que cae sobre dos rendijas separadas 0.016 mm produce la franja de quinto orden en un ángulo de 8.8°. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz utilizada? 2. (I) La franja de tercer orden de 610 nm de luz se observa en un ángulo de 18° cuando la luz cae sobre dos rendijas estrechas. ¿Qué distancia separa a las rendijas? 3. (II) Luz monocromática cae sobre dos rendijas muy estrechas separadas 0.048 mm. Franjas sucesivas sobre una pantalla a 5.00 m de distancia están separadas 6.5 cm cerca del centro del patrón. Determine la longitud de onda y la frecuencia de la luz. 4. (II) Un haz paralelo de luz proveniente de un láser He-Ne, con una longitud de onda de 656 nm, cae sobre dos rendijas muy estrechas separadas 0.060 mm. ¿Cuál es la separación entre las franjas en el centro del patrón sobre una pantalla a 3.6 m de distancia? 5. (II) Luz de 680 nm de longitud de onda cae sobre dos rendijas y produce un patrón de interferencia en el que la franja de cuarto orden está a 38 mm de la franja central sobre una pantalla a 2.0 m de distancia. ¿Cuál es la separación entre las dos rendijas? 6. (II) Si luces de 720 y 660 nm pasan a través de dos rendijas separadas 0.58 mm, ¿cuál será la separación entre las franjas de segundo orden para estas dos longitudes de onda sobre una pantalla a 1.0 m de distancia? 7. (II) En un experimento de doble rendija, se encuentra que luz azul de 460 nm de longitud de onda produce un máximo de segundo orden en cierta ubicación sobre la pantalla. ¿Qué longitud de onda de luz visible tendría un mínimo en la misma ubicación? 8. (II) Ondas acuáticas que tienen crestas paralelas separadas 2.5 cm pasan a través de dos aberturas separadas 5.0 cm en una tabla. En un punto 2.0 m más allá de la tabla, ¿en qué ángulo, relativo a la dirección “recta a través” habría poca o ninguna acción de onda?

692

CAPÍTULO 24

La naturaleza ondulatoria de la luz

9. (II) Suponga que una pieza delgada de vidrio se coloca enfrente de la rendija inferior de la figura 24-7, de modo que las dos ondas que entran a las rendijas salen 180° fuera de fase (figura 24-57). Describa con detalle el patrón de interferencia sobre la pantalla.

FIGURA 24-57 Problema 9. 10. (II) En un experimento de doble rendija, el máximo de tercer orden para la luz de 500 nm de longitud de onda se ubica a 12 mm de la mancha brillante central sobre una pantalla a 1.6 m de las rendijas. Entonces, a través de las mismas rendijas, se proyecta luz con 650 nm de longitud de onda. ¿A qué distancia de la mancha brillante central estará ubicado el máximo de segundo orden de esta luz? 11. (II) Dos rendijas estrechas, separadas 1.0 mm, se iluminan mediante una luz de 544 nm. Determine la distancia entre franjas brillantes adyacentes sobre una pantalla a 5.0 m de las rendijas. 12. (III) Luz de 480 nm de longitud de onda en el aire cae sobre dos rendijas separadas 6.00  102 mm. Las rendijas están sumergidas en agua, al igual que una pantalla de visualización a 40.0 cm de distancia. ¿Qué distancia separa a las franjas sobre la pantalla? 13. (III) Una hoja muy delgada de plástico (n
1.60) cubre una rendija de un aparato de doble rendija que es iluminado por luz de 640 nm. El punto central de la pantalla, en lugar de ser un máximo, es oscuro. ¿Cuál es el grosor (mínimo) del plástico? 24-4 Dispersión 14. (I) ¿En qué porcentaje, aproximadamente, la rapidez de la luz roja (700 nm) supera la de la luz violeta (400 nm) en vidrio flint de silicato? (Véase la figura 24-14). 15. (II) Un haz de luz toca una pieza de vidrio en un ángulo incidente de 60.00°. El haz contiene dos longitudes de onda, 450.0 y 700.0 nm, para los cuales el índice de refracción del vidrio es 1.4820 y 1.4742, respectivamente. ¿Cuál es el ángulo entre los dos haces refractados?

16. (III) Un haz paralelo de luz que contiene dos longitudes de onda, l1
450 nm y l2
650 nm, entra a vidrio flint de silicato de un prisma equilátero como se ilustra en la figura 24-58. ¿En qué ángulo sale cada haz del prisma? (proporcione el ángulo con la normal a la cara)

33.

60° 45.0° FIGURA 24-58 Problemas 16 y 87.

32.

θ1 θ2

60°

60°

24-5 Difracción de una sola rendija 17. (I) Si luz de 580 nm cae sobre una rendija de 0.0440 mm de ancho, ¿cuál es el ancho angular completo del pico de difracción central? 18. (I) Luz monocromática cae sobre una rendija que tiene 2.60  103 mm de ancho. Si el ángulo entre las primeras franjas oscuras en cualquier lado del máximo central es de 35.0° (franja oscura a franja oscura), ¿cuál es la longitud de onda de la luz utilizada? 19. (II) Luz de 520 nm de longitud de onda cae sobre una rendija que tiene 3.20  103 mm de ancho. Estime la separación entre la primera franja brillante de difracción y el máximo central intenso, si la pantalla está a 10.0 m de distancia. 20. (II) Una sola rendija de 1.0 mm de ancho se ilumina mediante luz de 450 nm. ¿Cuál es el ancho del máximo central (en cm) en el patrón de difracción sobre una pantalla a 5.0 m de distancia? 21. (II) Luz monocromática de 653 nm de longitud de onda cae sobre una rendija. Si el ángulo entre las primeras franjas brillantes en cualquier lado del máximo central es de 32°, estime el ancho de la rendija. 22. (II) ¿De qué anchura es el pico de difracción central sobre una pantalla a 2.30 m detrás de una rendija de 0.0348 mm de ancho iluminada por luz de 589 nm? 23. (II) Cuando luz azul de 440 nm de longitud de onda cae sobre una sola rendija, las primeras bandas oscuras en cualquier lado del centro están separadas por 55.0°. Determine el ancho de la rendija. 24. (II) Cuando luz violeta de 415 nm de longitud de onda cae sobre una sola rendija, crea un pico de difracción central que tiene 9.20 cm de ancho, sobre una pantalla que está a 2.55 m de distancia. ¿De qué ancho es la rendija? 25. (II) Si una rendija difracta luz de 650 nm de modo que el máximo de difracción tiene 4.0 cm de ancho sobre una pantalla a 1.50 m de distancia, ¿cuál será el ancho del máximo de difracción para luz de 420 nm de longitud de onda? 26. (II) Para una determinada longitud de onda l, ¿cuál es el máximo ancho de rendija para el que no habrá difracción mínima? 24-6 y 24-7 Rejillas 27. (I) ¿En qué ángulo luz de 560 nm producirá un máximo de segundo orden si cae sobre una rejilla cuyas rendijas están separadas 1.45  103 cm? 28. (I) Una rejilla de 3500 líneas
cm produce una franja de tercer orden en un ángulo de 28.0°. ¿Qué longitud de onda de luz se utiliza? 29. (II) ¿Cuántas líneas por centímetro tiene una rejilla si el tercer orden ocurre en un ángulo de 18.0° para luz de 630 nm? 30. (II) Una rejilla tiene 8300 líneas
cm. ¿Cuántos órdenes espectrales completos se pueden ver (de 400 a 700 nm) cuando se ilumina con luz blanca? 31. (II) La línea de primer orden de luz de 589 nm, que cae sobre una rejilla de difracción, se observa en un ángulo de

34.

35.

36.

37.

38.

15.5°. ¿Cuál es la distancia de separación entre las rendijas? ¿En qué ángulo se observará el tercer orden? (II) una rejilla de difracción tiene 6.0  105 líneas
m. Calcule la dispersión angular en el espectro de segundo orden entre luz roja de 7.0  107 m de longitud de onda y luz azul de 4.5  107 m de longitud de onda. (II) Luz que cae normalmente sobre una rejilla de 9700 líneas
m contiene tres líneas en el espectro de primer orden en ángulos de 31.2°, 36.4° y 47.5°. ¿Qué longitudes de onda son éstas? (II) ¿Cuál es el espectro de orden más alto que se puede ver si una rejilla con 6000 líneas por cm está iluminada con luz láser de 633 nm? Suponga incidencia normal. (II) Dos (y sólo dos) órdenes espectrales completos se pueden ver en cualquier lado del máximo central cuando luz blanca se envía a través de una rejilla de difracción. ¿Cuál es el número máximo de líneas por cm para la rejilla? (II) Luz blanca que contiene longitudes de onda desde 410 hasta 750 nm cae sobre una rejilla con 8500 líneas
cm. ¿Cuál es el ancho del espectro de primer orden sobre una pantalla a 2.30 m de distancia? (II) Un láser de gas He-Ne, que produce luz monocromática de una longitud de onda conocida l
6.328  107 m, se usa para calibrar una rejilla de reflexión en un espectroscopio. La línea de difracción de primer orden se encuentra en un ángulo de 21.5° con el haz incidente. ¿Cuántas líneas por metro hay en la rejilla? (II) Dos líneas espectrales de primer orden se miden mediante un espectroscopio de 9500 líneas
cm en ángulos, en cada lado del centro, de 26°38 , 41°08 y 26°48 , 41°19 . ¿Cuáles son las longitudes de onda?

24-8 Interferencia de película delgada 39. (I) Si una pompa de jabón tiene 120 nm de grosor, ¿qué longitud de onda se refleja con mayor intensidad en el centro de la superficie exterior cuando se ilumina normalmente con luz blanca? Suponga que n
1.34. 40. (I) ¿Qué distancia separa a las franjas oscuras en el ejemplo 24-8, si las placas de vidrio tienen cada una 26.5 cm de largo? 41. (II) ¿Cuál es el menor grosor de una película de jabón (n
1.42) que aparecería negra si se ilumina con luz de 480 nm? Suponga que en ambos lados de la película de jabón hay aire. 42. (II) Una lente aparece con una tonalidad amarillo-verdosa (l
570 nm es más intenso) cuando luz blanca se refleja en ella. ¿Qué grosor mínimo de recubrimiento (n
1.25) cree que se usó en tal lente de vidrio (n
1.52) y por qué? 43. (II) Un total de 31 anillos de Newton brillantes y 31 anillos oscuros (no cuenta la mancha oscura en el centro) se observan cuando luz de 550 nm cae normalmente sobre una lente planoconvexa que descansa sobre una superficie de vidrio plana (figura 24-31). ¿Cuánto más grueso es el centro que lo extremos? 44. (II) Una fina hoja metálica separa un extremo de las dos piezas de vidrio ópticamente plano, como en la figura 24-33. Cuando luz de 670 nm de longitud de onda incide normalmente, se observan 28 líneas oscuras (con una en cada extremo). ¿De qué grosor es la hoja? 45. (II) ¿De qué grosor (mínimo) debe ser la capa de aire entre dos superficies de vidrio planas, si se requiere que el vidrio parezca brillante cuando luz de 450 nm incide normalmente? ¿Cuál debe ser el grosor si se requiere que el vidrio aparezca oscuro? 46. (II) Una pieza de material, que se sospecha es un diamante robado (n
2.42), se sumerge en aceite con 1.43 de índice refractivo y se ilumina con luz no polarizada. Se encuentra que la luz reflejada está completamente polarizada en un ángulo de 59°. ¿Es diamante?

Problemas

693

47. (III) Una película delgada de alcohol (n
1.36) yace sobre una placa de vidrio plana (n
1.51). Cuando luz monocromática, cuya longitud de onda se puede cambiar, incide normalmente, la luz reflejada es un mínimo para l
512 nm y un máximo para l
640 nm. ¿Cuál es el grosor mínimo de la película? 48. (III) Cuando un aparato de anillos de Newton (figura 24-31) se sumerge en un líquido, el diámetro del octavo anillo oscuro disminuye de 2.92 a 2.48 cm ¿Cuál es el índice refractivo del líquido?

* 24-9 Interferómetro Michelson * 49. (II) ¿Cuál es la longitud de onda de la luz que entra a un interferómetro, si se cuentan 644 franjas brillantes cuando el espejo móvil se mueve 0.225 mm? * 50. (II) Un micrómetro está conectado al espejo móvil de un interferómetro. Cuando el micrómetro se presiona sobre una hoja delgada de metal, el número neto de franjas brillantes que se mueven, en comparación con el micrómetro vacío, es de 272. ¿Cuál es el grosor de la hoja? La longitud de onda de la luz usada es de 589 nm. * 51. (II) ¿Qué distancia se debe mover el espejo E1 en un interferómetro Michelson, si por una línea de referencia deben pasar 850 franjas de luz de 589 nm? * 52. (III) Uno de los haces de un interferómetro (figura 24-59) pasa a través de un pequeño contenedor de vidrio que contiene una cavidad de 1.30 cm de profundidad. Cuando a un

hacia el espejo E1 Contenedor de vidrio Fuente EP

1.30 cm

E2

FIGURA 24-59 Problema 52.

gas se le permite llenar lentamente el contenedor, se cuenta un total de 236 franjas oscuras que pasan por una línea de referencia. La luz utilizada tiene una longitud de onda de 610 nm. Calcule el índice de refracción del gas, si se supone que el interferómetro está en el vacío. 24-10 Polarización 53. (I) Dos polarizadores están orientados a 65° uno del otro. Luz no polarizada cae sobre ellos. ¿Qué fracción de la intensidad de luz se transmite? 54. (I) ¿Cuál es el ángulo de Brewster para una superficie airevidrio (n
1.52)? 55. (II) ¿Cuál es el ángulo de Brewster para un diamante sumergido en agua, si la luz golpea al diamante (n
2.42) mientras viaja en el agua? 56. (II) Dos Polaroids están alineados de modo que la luz que pasa a través de ellos es un máximo. ¿En qué ángulo se debe colocar uno de ellos para que la intensidad se reduzca a la mitad? 57. (II) ¿En qué ángulo se deben colocar los ejes de dos Polaroids para reducir la intensidad de la luz no polarizada inci1 ? dente a a) 13 , b) 10 58. (II) Dos polarizadores están orientados a 40° uno del otro y luz plano-polarizada incide sobre ellos. Si sólo el 15% de la luz pasa a través de los dos, ¿cuál es la dirección de polarización inicial de la luz incidente? 59. (II) Dos polarizadores están orientados a 38.0° uno con respecto al otro. A través de ambos pasa luz polarizada en un ángulo de 19.0° con cada polarizador. ¿Qué porcentaje de reducción en intensidad se registra? 60. (II) ¿Cuál sería el ángulo de Brewster para las reflexiones de la superficie del agua para luz que proviene de abajo de la superficie? Compare con el ángulo para reflexión interna total y con el ángulo de Brewster desde arriba de la superficie. 61. (II) Luz no polarizada pasa a través de cinco hojas Polaroid sucesivas; el eje de cada una forma un ángulo de 45° con el anterior. ¿Cuál es la intensidad del haz transmitido?

Problemas generales 62. Luz de 5.0  107 m de longitud de onda pasa a través de dos rendijas paralelas y cae sobre una pantalla a 4.0 m de distancia. Las bandas brillantes adyacentes del patrón de interferencia están separadas 2.0 cm. a) Determine la distancia entre las rendijas. b) Las mismas dos rendijas son iluminadas a continuación por luz de una longitud de onda diferente, y el mínimo de quinto orden para esa luz ocurre en el mismo punto sobre la pantalla que el mínimo de cuarto orden para la luz anterior. ¿Cuál es la longitud de onda de la segunda fuente de luz? 63. Las ondas de televisión y radio, reflejadas en las montañas o aviones, interfieren con la señal directa proveniente de la estación. a) ¿Qué tipo de interferencia ocurrirá cuando señales de televisión de 75 MHz lleguen a un receptor directamente de una estación distante, y se reflejen en un avión cercano a 118 m directamente arriba del receptor? Suponga un cambio de 12 l en la fase de la señal en la reflexión. b) ¿Qué tipo de interferencia tendrá lugar si el avión está 22 m más cerca del receptor? 64. Luz roja proveniente de tres fuentes separadas pasa a través de una rejilla de difracción con 3.00  105 líneas
m. Las longitudes de onda de las tres líneas son 6.56  107 m (hidrógeno), 6.50  107 m (neón) y 6.97  107 m (argón). Calcule los ángulos para las líneas de difracción de primer orden de cada una de estas fuentes.

694

CAPÍTULO 24

La naturaleza ondulatoria de la luz

65. Luz de 590 nm de longitud de onda pasa a través de dos rendijas estrechas separadas 0.60 mm. La pantalla está a 1.70 m de distancia. Una segunda fuente de longitud de onda desconocida produce su franja de segundo orden 1.33 mm más cerca del máximo central que la luz de 590 nm. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz desconocida? 66. Una estación de radio que opera a 102.1 MHz transmite desde dos antenas idénticas a la misma elevación pero separadas una distancia horizontal d de 8.0 m (figura 24-60). Una señal máxima se encuentra a lo largo de la línea media, perpendicular a d en su punto medio y se extiende horizontalmente en ambas direcciones. Si la línea media se toma como 0°, ¿en qué otro(s) ángulo(s) u se detecta una señal máxima? ¿Una señal mínima? Suponga que todas las mediciones se realizan mucho más lejos de los 8.0 m desde las torres de las antenas.

Antena 1

θ Línea media

d Antena 2

FIGURA 24-60 Problema 66.

www.elsolucionario.org 67. Un maestro está de pie atrás de una puerta exterior de 0.88 m de ancho y sopla un silbato de 750 Hz de frecuencia. Si se ignoran las reflexiones, estime en qué ángulo(s) no es posible escuchar el silbato claramente en el patio de juegos afuera de la puerta. 68. Si luz paralela cae sobre una rendija de ancho D en un ángulo de 30° con la normal, describa el patrón de difracción. 69. Las alas de cierto insecto tienen una serie de líneas paralelas a través de ellas. Cuando luz de 460 nm, que incide normalmente, se refleja en el ala, ésta parece brillar cuando se observa en un ángulo de 51°. ¿Cuál es la distancia de separación entre las líneas? 70. ¿Cuántas líneas por centímetro debe tener una rejilla, si no debe haber espectro de segundo orden para cualquier longitud de onda visible? 71. Demuestre que los espectros de segundo y tercer órdenes de luz blanca producida por una rejilla de difracción siempre se traslapan. ¿Qué longitud de onda se traslapa exactamente? 72. Cuando luz de sodio amarilla, l
589 nm, cae sobre una rejilla de difracción, su pico de primer orden sobre una pantalla a 60.0 cm de distancia cae a 3.32 cm del pico central. Otra fuente produce una línea de 3.71 cm del pico central. ¿Cuál es la longitud de onda de la nueva fuente? ¿Cuántas líneas
cm hay en la rejilla? 73. Luz incide sobre una rejilla de difracción con 8600 líneas
cm, y el patrón se ve sobre una pantalla a 2.5 m de la rejilla. El haz de luz incidente consta de dos longitudes de onda, l1
4.6  107 m y l2
6.8  107 m. Calcule la distancia lineal entre las franjas brillantes de primer orden de estas dos longitudes de onda sobre la pantalla. 74. ¿Cuál es el índice de refracción de un material claro si de él se necesita un mínimo de 150 nm de grosor, cuando yace sobre vidrio, para reducir la reflexión casi a cero cuando luz de 600 nm incide normalmente sobre él? ¿Tiene alguna opción para su respuesta? 75. Luz monocromática de longitud de onda variable incide normalmente sobre una hoja delgada de película plástica en el aire. La luz reflejada es un mínimo sólo para l
512 nm y l
640 nm en el espectro visible. ¿Cuál es el grosor de la película (n
1.58)? [Sugerencia: Suponga valores sucesivos de m.] 76. Compare el grosor mínimo necesario para un recubrimiento antireflector (n
1.38) que se aplica a una lente de vidrio con la finalidad de eliminar reflexiones a) azules (450 nm) o b) rojas (700 nm) de la luz en incidencia normal. 77. ¿Cuál es el grosor mínimo (distinto de cero) para la capa de aire entre dos superficies de vidrio planas, si el vidrio debe aparecer oscuro cuando luz de 640 nm incide normalmente? ¿Qué grosor se requiere si el vidrio debe aparecer brillante? 78. Suponga que se ve la luz transmitida a través de una delgada película en capa sobre una pieza plana de vidrio. Dibuje un diagrama, similar a las figuras 24-30 o 24-36, y describa las condiciones requeridas para máximos y mínimos. Considere todos los valores posibles de índice de refracción. Discuta el tamaño relativo de los mínimos en comparación con los máximos y con cero. 79. ¿En qué ángulo sobre el horizonte está el Sol cuando la luz que se refleja en un lago tranquilo se polariza más intensamente?

80. ¿En qué ángulo se deben colocar los ejes de dos Polaroids de modo que se reduzca la intensidad de la luz no polarizada incidente por un factor adicional (después de que el primer Polaroid la corta a la mitad) de a) 4, b) 10, c) 100? 81. Luz no polarizada cae sobre dos hojas polarizadoras cuyos ejes de transmisión están en ángulos rectos. Un tercer polarizador se coloca entre los dos primeros de modo que su eje forma un ángulo de 62° con el eje del primer polarizador. a) ¿Qué fracción de la intensidad de luz incidente se transmite? b) ¿Cuál si el tercer polarizador está enfrente de los otros dos? 82. Cuatro polarizadores se colocan en sucesión con sus ejes verticales a 30° con la vertical, a 60° con la vertical y a 90° con la vertical. a) Calcule qué fracción de la luz no polarizada incidente se transmite por los cuatro polarizadores. b) ¿La luz transmitida se puede disminuir al remover uno de los polarizadores? Si es así, ¿cuál de ellos? c) ¿La intensidad de la luz transmitida se puede extinguir al remover los polarizadores? Si es así, ¿cuál(es) de ellos? 83. Un haz láser pasa a través de una rendija de 1.0 cm de ancho y se apunta a la Luna, que está aproximadamente a 380,000 km de la Tierra. Suponga que el láser emite ondas de 630 nm de longitud de onda (la luz roja de un láser He-Ne). Estime el ancho del haz cuando alcanza la Luna. 84. Una serie de polarizadores se colocan cada uno en un intervalo de 10° del polarizador previo. Luz no polarizada incide sobre esta serie de polarizadores. ¿Por cuántos polarizadores tiene que pasar la luz antes de tener 14 de su intensidad original? 85. Una película delgada de jabón (n
1.34) recubre una pieza de vidrio plano (n
1.52). ¿Cuál es el grosor de la película si refleja luz roja de 643 nm con más intensidad cuando se ilumina normalmente con luz blanca? 86. Considere dos antenas que difunden ondas de radio de 6.0 MHz en fase unas con otras. Las antenas están ubicadas en los puntos S1 y S2, separadas una distancia d
175 m (figura 24-61). ¿Cuáles son los primeros tres puntos sobre el eje y donde habrá interferencia destructiva? (En este caso, interferencia destructiva significa que un receptor de radio ubicado en dicho punto no captaría la señal).

y

FIGURA 24-61 Problema 86. S2

S1

x

175 m 87. Un haz paralelo de luz que contiene dos longitudes de onda, 420 y 650 nm, entra a un prisma equilátero de vidrio flint de silicato (figura 24-58). a) ¿Cuál es el ángulo entre los dos haces que salen del prisma? b) Repita el inciso a) para una rejilla de difracción con 6200 líneas
cm. * 88. Una lente planoconvexa de lucita tiene una superficie plana y una con R
18.4 cm. Se le usa para ver un objeto ubicado a 66.0 cm de la lente, que es una mezcla de rojo y amarillo. El índice de refracción de la lucita es de 1.5106 para luz roja y 1.5226 para luz amarilla. ¿Cuáles son las ubicaciones de las imágenes roja y amarilla formadas por la lente? [Sugerencia: Consulte la sección 23-10].

Respuestas a los ejercicios A: B: C: D:

2.5 mm. Más estrecho. 4900 líneas
cm. A.

E: Cero tanto para a) como para b), porque los dos polarizadores sucesivos a 90° cancelan toda la luz. El Polaroid a 45° se debe insertar entre los otros dos si va a haber transmisión.

Problemas generales

695

De los muchos dispositivos ópticos que se analizan en este capítulo, la lente de aumento (o lupa) es el más simple. He aquí una amplificación de la página 705 de la versión en inglés de este capítulo, que describe cómo funciona la lente de aumento de acuerdo con el modelo de rayos. En este capítulo también se analizan las cámaras fotográficas de película y las digitales, el ojo humano, los telescopios y los microscopios, así como la resolución de imagen, los rayos X y las exploraciones de TC.

CAPÍTULO

25

Instrumentos ópticos

E

n la explicación del comportamiento de la luz en los dos capítulos anteriores, también se describieron algunos instrumentos como el espectrómetro y el interferómetro Michelson. En este capítulo se estudiarán algunos otros instrumentos, más comunes, la mayoría de los cuales utilizan lentes, como la cámara fotográfica, el telescopio y el microscopio; se estudiará, además, el funcionamiento del ojo humano. Para describir la forma de operar de los instrumentos ópticos, se emplearán diagramas de rayos. Sin embargo, se verá que para comprender algunos aspectos de su operación se recurrirá a la naturaleza ondulatoria de la luz.

696

25–1 Cámaras, de película y digitales

F Í S I C A

Los elementos básicos de una cámara son una lente, una cámara oscura, un obturador que permite que la luz pase a través de la lente sólo brevemente, y, en una cámara tradicional, un rollo de película (figura 25-1), o, en una cámara digital, un sensor electrónico. Cuando el obturador se abre, la luz proveniente de los objetos externos en el campo de visión es enfocada por la lente como una imagen sobre la película o el sensor. La película contiene químicos fotosensibles que cambian cuando entran en contacto con la luz. En el proceso de desarrollo, las reacciones químicas provocan que las áreas cambiadas se vuelvan opacas, de modo que la imagen se registra sobre la película.† Cualquier persona podrá observar la imagen si remueve la parte trasera de una cámara convencional y ve a través de un trozo de papel de seda (sobre el cual se formará la imagen), colocado en el lugar de la película, con el obturador abierto.

A P L I C A D A

La cámara Visor Lente D = apertura de la lente Diafragma o “alto” Obturador Película FIGURA 25–1 Una cámara simple.

Cámaras digitales, sensores CCD En una cámara digital la película se sustituye con un sensor semiconductor conocido como dispositivo de carga acoplada o CCD, por sus siglas en inglés. Un sensor CCD está hecho de millones de pequeños pixeles (“elementos de imagen”); observe la figura 24-29. Un sensor‡ de 3 MP (3 megapixeles) contendría unos 1500 pixeles verticalmente por 2000 pixeles horizontalmente sobre un área de 9
12 mm. La luz que alcanza cualquier pixel libera electrones del semiconductor. Cuanto más intensa sea la luz, más carga se acumulará durante el breve tiempo de exposición. Electrodos conductores llevan carga de cada pixel (en serie en el tiempo, hilera por hilera, de ahí el nombre de “carga acoplada”) a un procesador central que almacena la brillantez relativa de los pixeles y permite, más tarde, la reformación de la imagen en una pantalla de computadora o impresora. Un CCD es completamente reutilizable. Una vez que las cargas de pixel son transferidas a la memoria, se puede tomar una nueva fotografía. El color se logra mediante filtros rojo, verde y azul sobre pixeles alternados, como se muestra en la figura 25-2 que aparece en el anexo a color al final del libro, similar a como sucede en un TRC o en una pantalla LCD. El tipo de sensor que se ilustra en la figura 25-2 contiene el doble de pixeles verdes que rojos o azules (el verde tiene una mayor influencia sobre la sensación de claridad). El color analizado por computadora en cada pixel es la intensidad de ese pixel promediada con las intensidades de los colores vecinos más cercanos. A fin de reducir la cantidad de memoria para cada fotografía, los programas de compresión promedian varios pixeles, pero con una consecuente pérdida de claridad o “resolución”.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Cámara digital

FIGURA 25–2 Porción de un sensor CCD típico. Un grupo cuadrado de cuatro pixeles RV VA a veces se llama “pixel de color”.

Pixel de color

Electrodos

* Artefactos digitales Las cámaras digitales pueden producir artefactos en la imagen (efectos artificiales introducidos por el proceso), como el que se describe en la figura 25-3 utilizando el ordenamiento común de los pixeles “en mosaico” de la figura 25-2. Una tecnología más novedosa utiliza un sistema de capa de silicio semiconductor semitransparente, que se basa en el hecho de que diferentes longitudes de onda de la luz penetran el silicio a diferentes profundidades: cada pixel es un emparedado de capas parcialmente transparentes, una para cada color. La capa superior absorbe luz azul, lo que permite que pasen las luces verde y roja. La segunda capa absorbe la luz verde y la capa del fondo detecta la roja. Los tres colores son detectados por cada pixel, lo que da como resultado una mejor resolución de color y menos artefactos. †

A esto se le llama negativo, porque las áreas negras corresponden a objetos brillantes y viceversa. El mismo proceso ocurre durante la impresión para producir una imagen “positiva” en blanco y negro a partir del negativo. La película de color tiene tres emulsiones (o tintes) que corresponden a los tres colores primarios. ‡ Cada diferente color de pixel en un CCD se cuenta como un pixel por separado. En contraste, en una pantalla LCD (sección 24-11), un grupo de tres subpixeles se cuenta como un pixel, un conteo más conservador.

Objecto

Blanco Negro Blanco

Pixeles

Imagen

FIGURA 25–3 Suponga que se toma una fotografía que incluye una delgada línea negra (el objeto) sobre un fondo blanco. La imagen de esta línea blanca tiene un halo colorido (rojo arriba, azul abajo) debido al ordenamiento en mosaico de los pixeles de filtro de color, como lo muestran los otros colores transmitidos. El promedio de la computadora permite minimizar los problemas de color como éste (el verde en la parte superior e inferior de la imagen se promedia con los pixeles cercanos para dar blanco o casi blanco), pero la imagen, en consecuencia, se “suaviza” o se vuelve borrosa. Los pixeles de color en capa descritos en el texto evitarían este artefacto. SECCIÓN 25–1

Cámaras, de película y digitales

697

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Ajustes de cámara Existen tres ajustes principales en las cámaras de buena calidad: rapidez del obturador, abertura del diafragma (números “f ”) y foco. Aunque la mayoría de las cámaras actuales realizan estos ajustes automáticamente, es valioso comprender qué es lo que sucede para usar una cámara de manera efectiva. Para trabajos especiales o de alta calidad, una cámara manual es indispensable (figura 25-4).

Obturador de cámara digital

FIGURA 25–4 En esta cámara, los números “f” y el anillo de enfoque están en la lente de la cámara. La rapidez del obturador se selecciona en la pequeña rueda en la parte superior del cuerpo de la cámara.

Números f

Enfoque

Rapidez del obturador Se refiere a cuánto tiempo está abierto el obturador y expuesta la película. Esto puede variar desde un segundo o más (“tiempos de exposi1 s o menos. Para evitar imágenes borrosas por el movimiento de la ción”) hasta 1000 1 s. Si el objeto está en movicámara, normalmente se usan rapideces mayores a 100 miento, se necesita una rapidez mayor del obturador para “congelar” la acción. Algunos obturadores se abren y se cierran “detrás de la lente”, como en la figura 25-1, mientras que otros, llamados de “plano focal”, consisten en una cortina móvil colocada justo enfrente de la película. Las cámaras digitales tienen “obturadores electrónicos”, que son los breves tiempos de muestreo para recolectar cargas de pixel; también tienen un obturador mecánico que normalmente se abre para que pueda verse la toma en la pantalla LCD adjunta, pero se cierra justo antes de que se haga la toma, se abre brevemente para disparar y se vuelve a abrir después de ello. Las cámaras digitales fijas que toman breves secuencias deben tener un tiempo de “muestreo” rápido y un tiempo de “aclarado” (de la carga) rápido, de modo que puedan tomar fotografías de al menos 12 o 15 cuadros por segundo. Abertura del diafragma (números “f”) La cantidad de luz que alcanza la película debe controlarse con sumo cuidado para evitar subexposición (que se presenta cuando hay muy poca luz, de modo que la imagen es oscura y sólo se distinguen los objetos más brillantes), o bien, sobreexposición (cuando hay demasiada luz, de modo que todos los objetos brillantes parecen iguales, con la consecuente falta de contraste y una apariencia “deslavada”). Para controlar la exposición, detrás de la lente (figura 25-1) se coloca un diafragma, cuya abertura es de diámetro variable. El tamaño de la abertura se varía para compensar las condiciones de iluminación brillantes u oscuras, la sensibilidad de la película† utilizada y para diferentes rapideces de obturador. El tamaño de la abertura se especifica con los números f, que se definen como f , números-f = D donde f es la longitud focal de la lente y D es el diámetro de la abertura de la lente (figura 25-1). Por ejemplo, cuando una lente con longitud focal de 50 mm tiene una abertura D  25 mm, se dice que está puesta a f
2. Cuando la lente está en f
8, la abertura sólo es de 6 14 mm A50
6 14 = 8B. Para una rapidez mayor del obturador, o para condiciones de poca luz, se debe usar una mayor abertura de lente a fin de obtener una exposición adecuada. Esto corresponde a un número f (abertura de diafragma) menor. Cuanto más pequeño sea el número, mayor será la abertura y más luz pasará a través de la lente hacia la película. El número f más pequeño de una lente (mayor abertura) se conoce como la rapidez de la lente. En la actualidad es común encontrar lentes de f
2.0, y algunas incluso más rápidas. La ventaja de una lente rápida es que permite que las fotografías se tomen en pobres condiciones de iluminación. Las lentes de buena calidad constan de varios elementos para reducir los defectos presentes en las lentes delgadas simples (sección 25-6). Marcajes de número f estándar en las buenas lentes son 1.0, 1.4, 2.0, 2.8, 4.0, 5.6, 8, 11, 16, 22 y 32 (figura 25-4). Cada una de estas aberturas de diafragma corresponde a una reducción del diámetro por un factor de aproximadamente 12 = 1.4. Puesto que la cantidad de luz que llega a la película es proporcional al área de la abertura, y en consecuencia proporcional al diámetro al cuadrado, cada número f estándar corresponde a un factor de 2 en la intensidad de luz que llega a la película. Enfoque Enfoque es la operación de colocar la lente en la posición correcta en relación con la película para obtener la imagen más clara. La distancia imagen es más pequeña para objetos en el infinito (el símbolo q se usa para infinito) y es igual a la †

Diferentes películas tienen diferentes sensibilidades a la luz, que definen la “rapidez de la película” y que se especifican como un “número ASA” o “número ISO”. Una película “más rápida” es más sensible y necesita menos luz para producir una buena imagen. Las películas más rápidas son más granulosas, así que ofrecen menor claridad (resolución) cuando se amplifican. Las cámaras digitales pueden tener un ajuste de “ganancia” o “ISO” para la sensibilidad. Ajustar un CCD para que sea “más rápido” en condiciones de luz baja da como resultado “ruido”, el equivalente digital del carácter granuloso.

698

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

FIGURA 25–5 Fotografías tomadas con una cámara a) enfocada sobre un objeto cercano, mientras un objeto distante aparece borroso, y b) enfocada sobre un objeto más distante, mientras el objeto cercano se ve borroso. a)

b)

longitud focal. Para objetos más cercanos, la distancia imagen es mayor que la longitud focal, como se ve a partir de la ecuación de lentes, 1
f = 1
do + 1
di (ecuación 23-8). Así, para enfocar objetos cercanos, la lente se debe mover lejos de la película, y en una cámara manual esto generalmente se hace dando vuelta a un anillo sobre la lente. Si la lente se enfoca sobre un objeto cercano, se formará una imagen clara de él, pero la imagen de los objetos distantes resultará borrosa (figura 25-5). Los rayos provenientes de un punto en el objeto distante estarán fuera de foco: formarán un círculo sobre la película, como se muestra (exagerado) en la figura 25-6. El objeto distante producirá entonces una imagen consistente en círculos traslapados y será borrosa. Tales círculos se denominan círculos de confusión. Para incluir objetos cercanos y distantes en la misma fotografía, es conveniente fijar el foco de la lente en una posición intermedia. Para una configuración de distancia dada, existe un rango de distancias sobre el que los círculos de confusión serán lo suficientemente pequeños como para que las imágenes sean claras. A esto se le llama profundidad de campo. La profundidad de campo varía con la abertura de la lente. Si la abertura de la lente es más pequeña, sólo serán aceptados los rayos a través de la parte central de la lente, y éstos formarán círculos de confusión más pequeños para una distancia objeto dada. De esta forma, a aberturas de lente más pequeñas, un mayor rango de distancias objeto encajarán dentro del criterio de círculo de confusión, de modo que la profundidad de campo será mayor. Para cámaras de 35 mm, la profundidad de campo se basa en un diámetro máximo de círculo de confusión de 0.03 mm. Rayos provenientes de un objeto cercano (en el foco) Rayos provenientes de un objeto distante

Profundidad de campo

FIGURA 25–6 Cuando la lente se ubica para enfocar un objeto cercano, “Círculo de confusión” los puntos sobre un objeto distante para un objeto distante producen círculos y, en consecuencia, (enormemente exagerado) son borrosos. (El efecto se muestra enormemente exagerado).

EJEMPLO 25–1 Foco de cámara. ¿A qué distancia de su configuración en el infinito se debe mover la lente de una cámara de 50.0 mm de longitud focal para enfocar claramente un objeto a 3.00 m de distancia? PLANTEAMIENTO Para un objeto en el infinito, la imagen está en el punto focal, por definición, como se explicó en la sección 23-7. Para una distancia objeto de 3.00 m, se usa la ecuación de lente delgada, ecuación 23-8, para encontrar la distancia imagen (es decir, la distancia de la lente a la película o al sensor). SOLUCIÓN Cuando se enfoca al infinito, la lente está a 50.0 mm de la película. Cuando se enfoca a do  3.00 m, la distancia imagen está dada por la ecuación de la lente

1 1 3000 – 50 2950 1 1 1 . = = = = di f do 50.0 mm 3000 mm (3000)(50.0) mm 150,000 mm Se resuelve para di y se encuentra que di  50.8 mm, de modo que la lente necesita moverse 0.8 mm lejos de la película o sensor digital. EJERCICIO A Si la lente del ejemplo 25-1 está a 50.4 mm de la película o del sensor, ¿cuál es la distancia objeto para un enfoque claro? SECCIÓN 25–1

Cámaras, de película y digitales

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EJEMPLO CONCEPTUAL 25–2 Rapidez de obturador. Para mejorar la profundidad de campo, un fotógrafo “detiene” la lente de su cámara con dos números f de f
4 a f
8. ¿Qué debe hacer con la rapidez del obturador para mantener la misma exposición? RESPUESTA La cantidad de luz admitida por la lente es proporcional al área de la abertura de la lente. Al reducir la abertura de la lente con dos números f se reduce el diámetro en un factor de 2, y el área por un factor de 4. Para mantener la misma exposición, el obturador se debe abrir cuatro veces más. Si la rapidez del 1 1 s, habría que aumentarlo a 125 s. obturador era de 500

Claridad de la imagen La claridad de la imagen depende no sólo del enfoque preciso, sino también de qué tan granulosa es la película o del número de pixeles en el caso de una cámara digital. Las películas de grano fino son “más lentas”, lo que significa que requieren exposiciones más largas para un nivel de luz dado. La calidad de la lente afecta enormemente la calidad de la imagen, y en las secciones 25-6 y 25-7 se analizarán la resolución de la lente y los efectos de difracción. La claridad, o resolución, de una lente con frecuencia está dada como tantas líneas por milímetro, que se mide mediante la fotografía de un conjunto estándar de líneas paralelas en una película de grano fino. El espaciamiento mínimo de líneas distinguibles proporciona la resolución; 50 líneas
mm es razonable, 100 líneas
mm es muy bueno. Pixeles y resolución

EJEMPLO 25–3 Pixeles y resolución. Una cámara digital de alta calidad de 6 MP (6 megapixeles) ofrece una resolución máxima de 2000
3000 pixeles en un sensor CCD de 16
24 mm. ¿Qué tan clara debe ser la lente para usar esta resolución? PLANTEAMIENTO Se calcula el número de pixeles por milímetro y se requiere que la lente sea al menos tan buena como eso. SOLUCIÓN Se puede tomar la altura de la imagen (2000 pixeles en 16 mm) o el ancho (3000 pixeles en 24 mm): 3000 pixeles 24 mm

= 125 pixeles
mm.

Se quiere que la lente sea capaz de resolver también al menos 125 líneas
mm. Si no es posible, se podrían usar menos pixeles y menos memoria. NOTA En la actualidad, aumentar la resolución de la lente es un problema más serio que apretar más pixeles en un CCD. ¿Cuándo es clara una imagen?

EJEMPLO 25–4 Fotografía ampliada. La ampliación de una fotografía parece clara a distancias de visualización normales si los puntos o líneas están resueltos a aproximadamente 10 puntos
mm. ¿Una ampliación de 8
10 pulgadas de una fotografía tomada por la cámara del ejemplo 25-3 parecerá clara? ¿A qué tamaño máximo se podría ampliar esta imagen de 2000
3000 pixeles? PLANTEAMIENTO Se supone que la imagen tiene 2000
3000 pixeles en un CCD de 16
24 mm, como en el ejemplo 25-3, o 125 pixeles
mm. Se hace una ampliación fotográfica de 8
10 pulgadas  20
25 cm. SOLUCIÓN El lado corto del CCD mide 16 mm  1.6 cm de largo, y el lado de la fotografía tiene 8 pulgadas o 20 cm. Por ende, la ampliación es por un factor de 20 cm
1.6 cm  12.5
(o 25 cm
2.4 cm L 10
). Para llenar el papel de 8
10 pulgadas, se supone que la ampliación es de 12.5
. Los pixeles, por tanto, se amplían 12.5
; así que la cuenta de pixel de 125
mm en el CCD se vuelve 10
mm en la impresora, que está apenas alrededor del máximo posible para una fotografía clara. Si se considera que 7 puntos
mm es suficientemente bueno, tal vez podría ampliarse a 11
14 pulgadas.

700

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

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Telefotos y gran angular Las lentes de las cámaras están clasificadas en normal, telefoto y gran angular, de acuerdo con la longitud focal y el tamaño de la película. Una lente normal cubre la película con un campo de visión que corresponde aproximadamente a la visión normal. Una lente normal para película de 35 mm tiene una longitud focal de alrededor de 50 mm.† La lente telefoto actúa como telescopio para amplificar las imágenes. Tiene longitudes focales más largas que una lente normal: como se vio en el capítulo 23 (ecuación 23-9), la altura de la imagen para una distancia objeto determinada es proporcional a la distancia imagen, y esta última será más grande para una lente con mayor longitud focal. Para objetos distantes, la altura de la imagen es casi proporcional a la longitud focal. Así, una lente telefoto de 200 mm que se usa con una cámara de 35 mm proporciona una amplificación de 4
sobre la lente normal de 50 mm. Una lente gran angular tiene una longitud focal más corta que la normal: incluye un campo de visión más ancho, y los objetos parecen más pequeños. Una lente zoom es aquella cuya longitud focal se puede modificar de modo que parece que el sujeto o el objeto cuya imagen se va a capturar se acerca o se aleja conforme se cambia la longitud focal. Algunas cámaras digitales tienen un “zoom óptico”, lo que significa que la lente puede cambiar la longitud focal y mantener la resolución. Pero un “zoom electrónico” o “digital” sólo alarga los puntos (pixeles) con pérdida de claridad. En la actualidad, en las cámaras son comunes diferentes tipos de sistemas de visualización. En muchas cámaras se ve a través de una pequeña ventana justo arriba de la lente, como en la figura 25.1. En una cámara réflex de una sola lente (SLR, por sus siglas en inglés), en realidad se ve a través de la lente con la ayuda de prismas y espejos (figura 25-7). Un espejo cuelga en un ángulo de 45° detrás de la lente y sube fuera del camino de la luz justo antes de que se abra el obturador. Las SLR tienen la gran ventaja de que se puede ver casi exactamente lo que se obtendrá en la película. Esto también es cierto para las cámaras digitales con LCD, si están construidas con cuidado.

25–2 El ojo humano; lentes correctivos

Telefoto y lente gran angular Prisma Lente

Espejo

FIGURA 25–7 Cámara réflex de una sola lente (SLR) que muestra cómo se ve la imagen a través de la lente con la ayuda de un espejo móvil y de un prisma. F Í S I C A

El ojo humano recuerda una cámara fotográfica en su estructura básica (figura 25-8), pero entraña mayor complejidad. El interior del ojo está lleno con una sustancia transparente gelatinosa llamada humor vítreo, cuyo índice de refracción es n  1.337. La luz entra a esta sustancia encerrada a través de la córnea y el cristalino. Entre la córnea y el cristalino hay un fluido acuoso, el humor acuoso, con n  1.336. Un diafragma, llamado iris (la parte colorida del ojo) se ajusta automáticamente para controlar la cantidad de luz que entra al globo ocular, de manera similar a como sucede en una cámara fotográfica. El orificio en el iris a través del que pasa la luz (la pupila) es negro porque en él no se refleja luz (es un orificio) y muy poca luz se refleja de regreso desde el interior del ojo. La retina, que juega el papel de la película o del sensor en una cámara, se localiza en la superficie trasera curva del ojo. La retina consiste en un complejo arreglo de nervios y receptores conocidos como bastones y conos, que actúan para transformar la energía luminosa en señales eléctricas que viajan a lo largo de los nervios. La reconstrucción de la imagen a partir de todos estos pequeños receptores se realiza principalmente en el cerebro, aunque algunos análisis también se pueden efectuar en la compleja red de nervios interconectados en la retina misma. En el centro de la retina hay una pequeña área llamada fóvea, de aproximadamente 0.25 mm de diámetro, donde los conos están muy juntos y se encuentra la mejor imagen y la mejor discriminación de color. A diferencia de una cámara fotográfica, el ojo carece de obturador. La operación equivalente la realiza el sistema nervioso, que analiza las señales para formar imágenes a una tasa aproximada de 30 por segundo. Esto es comparable con las cámaras de cine o televisión, que operan al tomar una serie de imágenes fijas a una tasa de 24 (películas para cine) o 30 (televisión estadounidense) por segundo. Su rápida proyección en la pantalla brinda la apariencia de movimiento. El cristalino del ojo (n  1.386 a 1.406) realiza poco del doblamiento de los rayos de luz. La mayor parte de la refracción se realiza en la superficie frontal de la córnea (n  1.376) en su interfase con el aire (n  1.0). El cristalino actúa como un fino ajuste para enfocar a diferentes distancias. Esto se logra mediante los músculos ciliares (figura 25-8), que modifican la curvatura del cristalino de modo que su lon-

A P L I C A D A

El ojo

Anatomía del ojo

FIGURA 25–8 Diagrama de un ojo humano.

Músculos ciliares Iris Humor acuoso Pupila

Retina Fóvea

Humor vítreo

Córnea Cristalino Músculos ciliares

Nervio óptico

Enfoque del ojo

†

Una “cámara de 35 mm” usa película que tiene 35 mm de ancho; no hay que confundir estos 35 mm con una longitud focal.

SECCIÓN 25–2

El ojo humano; lentes correctivos

701

Punto focal de cristalino y córnea

Objeto en el q a) Punto focal de cristalino y córnea

Objeto b) FIGURA 25–9 Acomodación de un ojo normal: a) cristalino relajado, que enfoca al infinito; b) cristalino engrosado, que enfoca sobre un objeto cercano.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Lentes correctivos

Miopía

gitud focal cambia. Para enfocar un objeto distante, los músculos ciliares del ojo se relajan y el cristalino se vuelve delgado, como se ilustra en la figura 25-9a, y los rayos paralelos se enfocan en el punto focal (sobre la retina). Para enfocar un objeto cercano, los músculos se contraen, lo que provoca que el centro del cristalino se vuelva más grueso (figura 25-9b) y que, por tanto, se acorte la longitud focal de modo que las imágenes de los objetos cercanos se puedan enfocar sobre la retina, detrás del nuevo punto focal. Este ajuste en el enfoque se llama acomodación. La distancia más cercana a la que el ojo es capaz de enfocar con claridad se llama punto cercano del ojo. Para los adultos jóvenes es típicamente de 25 cm, aunque los niños pequeños con frecuencia enfocan objetos a una distancia tan cercana como 10 cm. Conforme las personas envejecen, la habilidad para la acomodación se reduce y el punto cercano aumenta. El punto lejano de una persona es la distancia más lejana a la que puede ver un objeto con claridad. Para algunos propósitos es útil hablar de un ojo normal (una especie de promedio sobre la población), que se define como un ojo que tiene un punto cercano de 25 cm y un punto lejano de infinito. Para comprobar su propio punto cercano, coloque este libro cerca de los ojos y aléjelo lentamente hasta que los tipos sean claros. El ojo “normal” es una especie de ideal. Muchas personas tienen ojos que no se acomodan dentro del rango “normal” de 25 cm al infinito, o tienen algún otro defecto. Dos defectos comunes son la miopía y la hipermetropía. Ambos se corrigen en gran medida con el uso de lentes, ya sea montados en anteojos o gafas, o bien, que se colocan como lentes de contacto. En la miopía el ojo sólo es capaz de enfocar objetos cercanos. El punto lejano no es el infinito sino alguna otra distancia más corta, de modo que los objetos distantes no se distinguen con claridad. Generalmente se presenta cuando el globo ocular es muy largo, aunque a veces es la curvatura de la córnea la que es demasiado larga. En cualquier caso, las imágenes de los objetos distantes se enfocan enfrente de la retina. Una lente divergente, que hace que los rayos paralelos diverjan, permite que los rayos se enfoquen en la retina (figura 25-10a), de modo que corrigen este defecto.

Objeto en el q a) Ojo miope

FIGURA 25–10 Corrección de los defectos de los ojos con lentes: a) un ojo miope, que no puede enfocar claramente los objetos lejanos, se corrige con el uso de una lente divergente; b) un ojo hipermétrope, incapaz de enfocar con claridad los objetos cercanos, se corrige con el uso de una lente convergente.

Hipermetropía

Astigmatismo FIGURA 25–11 Una lente cilíndrica forma una imagen lineal de un objeto puntual porque es convergente sólo en un plano.

Objeto (punto)

Imagen (línea)

702

CAPÍTULO 25

Objeto

Objeto

b) Ojo hipermétrope

En la hipermetropía, o hiperopía, el ojo no puede enfocar los objetos cercanos. Aunque los objetos distantes, en general, se ven con claridad, el punto cercano es un poco mayor que los 25 cm “normales”, lo que hace difícil la lectura. Este defecto es causado por un globo ocular muy corto o, con menos frecuencia, por una córnea que no es suficientemente curva. Se corrige con una lente convergente (figura 25-10b). Un defecto similar a la hipermetropía es la presbicia, que consiste en la pérdida de la habilidad del ojo para acomodarse conforme se envejece; entonces el punto cercano se aleja. Las lentes convergentes también compensan este problema. El astigmatismo, por lo regular, tiene su causa en una córnea o un cristalino fuera de redondez, de modo que los objetos puntuales se enfocan como líneas cortas, lo que hace borrosa la imagen. Es como si la córnea fuese esférica con una sección cilíndrica sobrepuesta. Como se ilustra en la figura 25-11, una lente cilíndrica enfoca un punto en una línea paralela a su eje. Un ojo astigmático es capaz de enfocar rayos en un plano, como el plano vertical, a una distancia más corta que enfoca los rayos en un plano horizontal. El astigmatismo se corrige con el uso de una lente cilíndrica compensadora. Las lentes para los ojos miopes o hipermétropes, así como para los astigmáticos, se pulen con superficies esféricas y cilíndricas sobrepuestas, de modo que el radio de curvatura de la lente correctiva es diferente en distintos planos.

Instrumentos ópticos

EJEMPLO 25–5 Ojo hipermétrope. Susana es hipermétrope con un punto cercano de 100 cm. ¿Qué potencia deben tener sus lentes de lectura para que pueda leer un periódico a una distancia de 25 cm? Suponga que la lente está muy cerca del ojo. PLANTEAMIENTO Cuando el objeto se coloca a 25 cm de la lente, se quiere que la imagen esté a 100 cm de distancia sobre el mismo lado de la lente (de modo que el ojo la pueda enfocar), así que la imagen es virtual (figura 25-12) y di  100 cm será negativa. Se utiliza la ecuación de lente delgada (ecuación 23-8) para determinar la longitud focal necesaria. Las prescripciones de los optometristas especifican la potencia (P  1
f, ecuación 23-7) en dioptrías (1 D  1 m1). SOLUCIÓN Como do  25 cm y di  100 cm, la ecuación de lente delgada da

1 1 1 4 - 1 1 . 1 1 = + = = + = f do di 25 cm –100 cm 100 cm 33 cm De modo que f  33 cm  0.33 m. La potencia P de la lente es P  1
f  3.0 D. El signo más indica que es una lente convergente. NOTA La posición de la imagen se eligió donde el ojo pueda realmente enfocarla. La lente necesita colocar la imagen ahí, dada la ubicación deseada del objeto (periódico). Imagen

Lente

Ojo

Objeto

FIGURA 25–12 Lente de anteojos de lectura (ejemplo 25-5).

di

do

EJEMPLO 25–6 Ojo miope. Un ojo miope tiene puntos cercano y lejano de 12 y 17 cm, respectivamente. a) ¿Qué potencia de lente se necesita para que esta persona vea objetos distantes con claridad y b) cuál será entonces el punto cercano? Suponga que la lente está a 2.0 cm del ojo (distancia típica para unos anteojos). PLANTEAMIENTO Para un objeto distante (do  q), la lente debe colocar la imagen en el punto lejano del ojo, como se muestra en la figura 25-13a, 17 cm enfrente del ojo. Se utiliza la ecuación de lente delgada para determinar la longitud focal de la lente, y a partir de esto su potencia. El nuevo punto cercano para la lente (figura 25-13b) se calcula utilizando de nuevo la ecuación de lente delgada. SOLUCIÓN a) Para un objeto en el infinito (do  q), la imagen debe estar enfrente de la lente, a 17 cm del ojo o (17 cm – 2 cm)  15 cm de la lente; por tanto, di  15 cm. Se emplea la ecuación de lente delgada para resolver la longitud focal de la lente necesaria:

FIGURA 25–13 Ejemplo 25-6. 2 cm Objeto en q I 17 cm (Punto lejano)

1 1 1 1 1 1 . + = + = = – q f do di –15 cm 15 cm

a)

De modo que f  15 cm  0.15 m o P  1
f  6.7 D. El signo menos indica que debe utilizarse una lente divergente para el ojo miope. b) El punto cercano cuando se usan las lentes es donde se coloca un objeto (do), de modo que la lente forma una imagen en el “punto cercano del ojo”, es decir, a 12 cm de él. Dicho punto de imagen está a (12 cm – 2 cm)  10 cm enfrente de la lente, así que di  0.10 m y la ecuación de lente delgada da como resultado

1 1 1 –2 + 3 1 . 1 1 + = = = = – do f di 0.15 m 0.10 m 0.30 m 0.30 m

O

I

12 cm (Punto cercano) b)

Así entonces, do  30 cm, lo que significa que el punto cercano, cuando la persona usa los anteojos, está a 30 cm enfrente de la lente. Suponga que los lentes de contacto se usan para corregir la visión de la persona del ejemplo 25-6. Como los lentes de contacto se colocan directamente sobre la córnea, no se restarían los 2.0 cm de las distancias imagen. Es decir, para objetos distantes, di  f  17 cm, de modo que P  1
f  5.9 D. El nuevo punto cercano sería 41 cm. Por tanto, se ve que un lente de contacto y una lente montada en unos anteojos reSECCIÓN 25–2

Lentes de contacto

El ojo humano; lentes correctivos

703

www.elsolucionario.org querirán potencias, o longitudes focales, ligeramente diferentes para una misma persona en función de sus diferentes ubicaciones con respecto al ojo. También se ve que los anteojos, en este caso, brindan un mejor punto cercano que los lentes de contacto. EJERCICIO B ¿Qué potencia de lentes de contacto se necesita para que un ojo vea objetos distantes, si su punto lejano es de 25 cm?

Visión submarina F Í S I C A

A P L I C A D A

Visión submarina

Cuando una persona está bajo el agua, los objetos submarinos distantes le parecen borrosos porque, en la interfase agua-córnea, la diferencia en los índices de refracción es muy pequeña: n  1.33 para el agua, 1.376 para la córnea. Por consiguiente, los rayos de luz se doblan muy poco y se enfocan muy detrás de la retina (figura 25-14a). El uso de gafas de natación o de una mascarilla, restaura una interfase aire-córnea (n  1.0 y 1.376, respectivamente) y los rayos se pueden enfocar (figura 25-14b).

Agua FIGURA 25–14 a) Bajo el agua se ven imágenes borrosas porque los rayos de luz se doblan mucho menos que en el aire. b) Si se usan gafas de natación de nuevo se tiene una interfase airecórnea y se puede ver con claridad.

n 1.33 a) Aire

Agua

Aire

b)

Mascarilla

25–3 Lente de aumento

Imagen

θ a) Imagen

θ b) FIGURA 25–15 Cuando el mismo objeto se ve a una distancia más corta, la imagen sobre la retina es más grande, de modo que el objeto parece de mayor tamaño y se distinguen más detalles. El ángulo u que el objeto subtiende en a) es más grande que el de b). Nota: Éste no es un diagrama de rayos normal porque sólo se muestra un rayo de cada punto.

Buena parte del resto de este capítulo tendrá que ver con dispositivos ópticos que se usan para producir imágenes amplificadas de los objetos. Primero se analizará el amplificador simple, o lente de aumento, que simplemente es una lente convergente (véase la fotografía de apertura del capítulo). Qué tan grande aparece un objeto y con cuánto detalle se le puede ver son factores que dependen del tamaño de la imagen que se forma en la retina. Esto, a la vez, depende del ángulo subtendido por el objeto en el ojo. Por ejemplo, una moneda sostenida a 30 cm del ojo parece el doble de alta que una que se sostiene a 60 cm de distancia, porque el ángulo que subtiende es el doble de grande (figura 25-15). Cuando se desea examinar detalles de un objeto, éste se acerca a los ojos de modo que subtienda un ángulo mayor. Sin embargo, los ojos sólo pueden acomodar hasta cierto punto (el punto cercano), y de ahora en adelante se supondrá una distancia estándar de N  25 cm como el punto cercano. Una lente de aumento permite colocar el objeto más cerca del ojo de modo que subtiende un ángulo más grande. Como se muestra en la figura 25-16a, el objeto se coloca en el punto focal o justo dentro de él. Entonces la lente convergente produce una imagen virtual, que debe estar al menos a 25 cm del ojo para enfocarla. Si el ojo está relajado, la imagen estará en el infinito, y en este caso el objeto está exactamente en el punto focal. (Una persona hace este ligero ajuste cuando “enfoca” el objeto moviendo la lente de aumento).

FIGURA 25–16 Hoja vista a) a través de una lente de aumento y b) con el ojo sin ayuda. En ambos casos

Imagen

el ojo se enfoca en su punto cercano.

h θ′

h

Objeto F

di

do

θ′

704

N (= 25 cm para un ojo normal) b)

a) CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

θ

Una comparación del inciso a) de la figura 25-16 con el inciso b), en la que el mismo objeto se ve en el punto cercano con el ojo sin ayuda, revela que el ángulo que subtiende el objeto en el ojo es mucho más grande cuando se usa el amplificador. La amplificación angular o potencia de amplificación, M, de la lente se define como la razón entre el ángulo subtendido por un objeto cuando se usa la lente y el ángulo subtendido con el ojo desprovisto de ella, con el objeto en el punto cercano N del ojo (N  25 cm para un ojo normal):

M =

u¿ , u

(25–1)

u y u¿ se muestran en la figura 25-16. M se puede escribir en términos de la longitud focal al notar que u  h
N (figura 25-16b) y u¿  h
do (figura 25-16a), donde h es la altura del objeto y se supone que los ángulos son pequeños de modo que u y u¿ igualan sus senos y tangentes. Si el ojo está relajado (es decir, hay menor tensión en el ojo), la imagen estará en el infinito y el objeto estará precisamente en el punto focal; observe la figura 25-17. Entonces do  f y u¿  h
f. En consecuencia,

M =

h
f u¿ N. ojo enfocado en el q; = = B R (25–2a) N = 25 cm para un ojo normal u h
N f

Se ve que, cuanto más corta sea la longitud focal de la lente, mayor será la amplificación.† La amplificación de una lente dada se puede aumentar un poco al mover la lente y ajustar el ojo de modo que se enfoque sobre la imagen en el punto cercano. En este caso, di  N (figura 25-16a) si el ojo está muy cerca del amplificador. Entonces la distancia objeto do está dada por

M =

N + 1. f

Imagen en el q h F

θ′

FIGURA 25–17 Con el ojo relajado,

A partir de esta ecuación se ve que do = fN
(f + N) 6 f, como se muestra en la figura 25-16a, dado que N
(f  N) debe ser menor que 1. Con u¿  h
do, la amplificación es

h
do 1 u¿ N 1 = = = Na + b u h
N do f N

Amplificación de un amplificador simple

θ′

1 1 1 1 1. = = + do f di f N

M =

Se suponen ángulos pequeños, de modo que sen u L tan u L u (en radianes).

el objeto se coloca en el punto focal, y la imagen está en el infinito. Compare con la figura 25-16a, donde la imagen está en el punto cercano del ojo.

o B

ojo enfocado en el punto cercado N; R (25–2b) N = 25 cm para un ojo normal

Se ve que la amplificación es ligeramente mayor cuando el ojo se enfoca en su punto cercano, en lugar de estar relajado. EJEMPLO 25–7 ESTIMACIÓN “Lupa” de un joyero. Una lente convergente de 8 cm de longitud focal se usa como “lupa de joyero”, que es una lente de aumento. Estime a) la amplificación cuando el ojo está relajado, y b) la amplificación si el ojo se enfoca en su punto cercano N  25 cm. PLANTEAMIENTO La amplificación cuando el ojo está relajado está dada por la ecuación 25-2a. Cuando el ojo está enfocado en su punto cercano se usa la ecuación 25-2b y se supone que la lente está cerca del ojo. SOLUCIÓN a) Con el ojo relajado enfocado en el infinito,

M =

25 cm N = L 3*. f 8 cm

b) La amplificación cuando el ojo está enfocado en su punto cercano (N  25 cm), y la lente está cerca del ojo, es

M = 1 +

25 N = 1 + L 4*. f 8

†

Los amplificadores simples constituidos por una lente sola están limitados a alrededor de 2 o 3
en virtud de la distorsión producida por la aberración esférica (sección 25-6).

SECCIÓN 25–3

Lente de aumento

705

25–4 Telescopios

a)

b) FIGURA 25–18 a) Lente objetivo (montado ahora en un marco de marfil) del telescopio con el que Galileo realizó sus descubrimientos que conmocionaron al mundo, incluidas las lunas de Júpiter. b) Últimos telescopios hechos por Galileo.

El telescopio sirve para amplificar los objetos que están muy lejos. En la mayoría de los casos, el objeto se considera en el infinito. Galileo, aunque no inventó el telescopio,† lo convirtió en un instrumento útil e importante. Fue el primero en examinar los cielos con él (figura 25-18) y realizó descubrimientos que conmocionaron al mundo: las lunas de Júpiter, las fases de Venus, las manchas solares, la estructura de la superficie de la Luna, que la Vía Láctea está constituida por un gran número de estrellas individuales, entre otros. Existen varios tipos de telescopios astronómicos. El común tipo refractor, a veces llamado kepleriano, contiene dos lentes convergentes ubicadas en lados opuestos de un tubo largo, como se ilustra en la figura 25-19. La lente más cercana al objeto se llama lente objetivo (longitud focal fo) y forma una imagen real I1 del objeto distante en el plano de su punto focal Fo (o cerca de él si el objeto no está en el infinito). Aunque esta imagen, I1, es más pequeña que el objeto original, subtiende un ángulo más grande y está muy cerca de la segunda lente, llamada ocular (longitud focal fe), que actúa como amplificador. Es decir, el ocular amplifica la imagen producida por la lente objetivo para producir una segunda imagen enormemente amplificada, I2, que es virtual e invertida. Si el ojo observador está relajado, el ocular se ajusta de modo que la imagen I2 esté en el infinito. Entonces la imagen real I1 está en el punto focal F eœ del ocular, y la distancia entre las lentes es fo + fe para un objeto en el infinito. Para encontrar la amplificación total de este telescopio, note que el ángulo que subtiende un objeto según lo ve el ojo por sí solo, es justo el ángulo u subtendido en el objetivo del telescopio. A partir de la figura 25-19 se ve que u L h
fo , donde h es la altura de la imagen I1 y se supone que u es pequeño, de modo que tan u L u. Note, también, que el más grueso de los rayos dibujados en la figura 25-19 es paralelo al eje antes de entrar en contacto con el ocular, y por tanto se refracta a través del punto focal ocular Fe en el lado lejano. En consecuencia, u¿ L h
fe y la potencia de amplificación total (amplificación angular) de este telescopio es

M =

Amplificación de telescopio

Ah
fe B fo u¿ = = – , u fe Ah
fo B

(25–3)

donde se ha insertado un signo menos para indicar que la imagen está invertida. Para lograr una mayor amplificación, la lente objetivo debe tener una gran longitud focal, y el ocular una corta longitud focal. †

Galileo construyó su primer telescopio en 1609, después de haber escuchado que tal instrumento existía en Holanda. Los primeros telescopios amplificaban sólo tres o cuatro veces, pero Galileo pronto hizo un instrumento de potencia 30. El primer telescopio holandés parece datar de 1604, pero existe una referencia que sugiere que se pudo haber copiado de un telescopio italiano construido tan temprano como 1590. Kepler (véase el capítulo 5) brindó una descripción en rayos (en 1611) del telescopio kepleriano, que se llama así en su honor por haber sido él quien lo describió primero, aunque no lo construyó.

FIGURA 25–19 Telescopio astronómico (refractor). La luz paralela proveniente de un punto sobre un objeto distante (do  q) se lleva a un foco por el lente objetivo en su plano focal. Esta imagen (I1) se amplifica en el ocular para formar la imagen final I2. Sólo dos de los rayos mostrados que entran al objetivo son rayos estándar (2 y 3), como se describió en la figura 23-34.

fo

Rayos paralelos provenientes de un objeto en el q θ

θ

fe

Fe′ Fo

h

fe

θ′

Fe

I1 Lente objetivo

706

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

I2

Ocular

www.elsolucionario.org EJEMPLO 25–8 Amplificación de telescopio. El telescopio óptico refractor más grande del mundo se encuentra en el Observatorio Yerkes, en Wisconsin (figura 25-20). Se le conoce como telescopio de “40 pulgadas”, lo que significa que el diámetro del objetivo es de 40 pulgadas, o 102 cm. El objetivo tiene una longitud focal de 19 m, y el ocular una longitud focal de 10 cm. a) Calcule la potencia de amplificación total de este telescopio. b) Estime la longitud del telescopio. PLANTEAMIENTO La ecuación 25-3 proporciona la amplificación. La longitud del telescopio es la distancia entre las dos lentes. SOLUCIÓN a) A partir de la ecuación 25-3 se determina

M = –

fo 19 m = – = – 190 * . fe 0.10 m

b) Para un ojo relajado, la imagen I1 está en el punto focal tanto del ocular como del objetivo. La distancia entre las dos lentes es, por tanto, fo + fe L 19 m, que en esencia es la longitud del telescopio. FIGURA 25–20 Este gran EJERCICIO C Un telescopio de 40
tiene un ocular con longitud focal de 1.2 cm. ¿Cuál es la longitud focal de la lente objetivo?

Para que un telescopio astronómico genere imágenes brillantes de distintas estrellas, la lente objetivo debe ser grande para permitir que entre tanta luz como sea posible. De hecho, el diámetro de la lente objetivo (y por tanto su “potencia de recolección de luz”) es un importante parámetro para un telescopio astronómico, por lo que los más grandes se especifican proporcionando el diámetro del objetivo (como el telescopio Keck de 10 metros en Hawaii). La construcción y pulido de grandes lentes es muy difícil. Así que los telescopios más grandes son telescopios reflectores que usan un espejo curvo como objetivo (figura 25-21). Un espejo sólo tiene una superficie para pulir y se tiene que sostener a lo largo de toda su superficie† (una gran lente, sostenida sólo en sus extremos, se rompería con su propio peso). Con frecuencia, la lente del ocular o espejo (figura 25-21) se remueve de modo que la imagen real formada por el espejo objetivo se pueda registrar directamente en una película o en un sensor digital CCD (sección 25-1).

telescopio refractor se construyó en 1897 y se alberga en el Observatorio Yerkes, en Wisconsin. La lente del objetivo tiene 102 cm (40 pulgadas) de diámetro y el tubo del telescopio mide aproximadamente 19 m de largo. Ejemplo 25-8.

Telescopios reflectores

†

Otra ventaja de los espejos es que no muestran aberración cromática porque la luz no pasa a través de ellos; y se pueden pulir en forma parabólica para corregir la aberración esférica (sección 25-6). Newton fue quien propuso el telescopio reflector por primera vez.

FIGURA 25–21 Un espejo cóncavo sirve como el objetivo de un telescopio astronómico. Como el ocular se pueden usar a) una lente o b) un espejo. El arreglo se llama a) foco newtoniano y b) foco cassegrainiano. También son posibles otros arreglos. c) El telescopio Hale de 200 pulgadas (diámetro del espejo), en Monte Palomar, California. d) El telescopio Keck en Mauna Kea, Hawaii. El Keck combina 36 espejos de seis lados de 1.8 metros en el equivalente de un reflector solo muy grande, de 10 m de diámetro.

Espejo cóncavo (objetivo)

Rayos paralelos provenientes de un objeto distante

Ocular (espejo)

Ocular (lente) a)

b)

c)

d) SECCIÓN 25–4

Telescopios

707

Imagen final (virtual) Rayos paralelos provenientes de un objeto distante

Fo

Lente objetivo

Ocular

Lente objetivo

Ocular

b)

a) FIGURA 25–22 Telescopios terrestres que producen una imagen derecha: a) galileano; b) tipo catalejo o lente de campo.

Tercera lente

Un telescopio terrestre, para proporcionar imágenes de objetos en la Tierra, debe presentar una imagen derecha: ver los objetos normales de cabeza sería difícil (algo mucho menos importante para ver las estrellas). En la figura 25-22 se muestran dos diseños. El tipo galileano, que usó Galileo para sus notables descubrimientos astronómicos, tiene una lente divergente como ocular, que intercepta los rayos convergentes provenientes de la lente objetivo antes de que alcancen el foco, y actúa para formar una imagen virtual derecha (figura 25-22a). Este diseño se usa con frecuencia en los binoculares. El tubo es razonablemente corto, pero el campo de visión es pequeño. El segundo tipo, que se representa en la figura 25-22b, con frecuencia se llama catalejo y usa una tercera lente convexa que actúa para hacer que la imagen sea derecha, como se muestra. Un catalejo debe ser bastante largo. El diseño más práctico en la actualidad es el binocular de prisma que se ilustra en la figura 23-26. El objetivo y el ocular son lentes convergentes. Los prismas reflejan los rayos mediante reflexión interna total, acortan el tamaño del dispositivo, y también actúan para producir una imagen derecha. Un prisma reinvierte la imagen en el plano vertical, el otro en el plano horizontal.

* 25–5 Microscopio compuesto F Í S I C A

A P L I C A D A

Microscopios

El microscopio compuesto, al igual que el telescopio, tiene lente objetivo y ocular (figura 25-23). El diseño es diferente del de un telescopio porque un microscopio se usa para ver objetos que están muy cerca, de modo que la distancia objeto es muy pequeña. El objeto se coloca justo más allá del punto focal del objetivo, como se observa en la figura 25-23a. La imagen I1 formada por la lente objetivo es real, bastante lejos de la lente y muy agrandada. Esta imagen es amplificada por el ocular en una imagen virtual muy grande, I2, que se ve por el ojo y está invertida.

do Objeto

l fe Lente objetivo Fo′

Ocular

Fe

Fo I1

a)

b)

FIGURA 25–23 Microscopio compuesto: a) diagrama de rayos, b) fotografía (la iluminación viene de la esquina inferior derecha, luego sube a través del portaobjeto que sostiene al objeto).

I2

708

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

La amplificación global de un microscopio es el producto de las amplificaciones producidas por las dos lentes. La imagen I1 formada por el objetivo es un factor mo más grande que el objeto en sí. A partir de la figura 25-23a y la ecuación 23-9 para la amplificación de una lente simple, se tiene

mo =

l - fe hi di , = = ho do do

(25–4)

donde do y di son las distancias objeto e imagen para la lente objetivo, l es la distancia entre las lentes (igual a la longitud del barril) y se ignora el signo menos en la ecuación 23-9 que sólo indica que la imagen está invertida. Se hace di = l - fe , que es verdadera sólo si el ojo está relajado, de modo que la imagen I1 está en el punto focal del ocular Fe. El ocular actúa como un amplificador simple. Si se supone que el ojo está relajado, la amplificación angular del ocular Me es (a partir de la ecuación 25-2a)

Me =

N, fe

(25–5)

donde el punto cercano N  25 cm para el ojo normal. Como el ocular agranda la imagen formada por el objetivo, la amplificación angular global M es el producto de la amplificación lateral del objetivo, mo, por la amplificación angular, Me, de la lente ocular (ecuaciones 25-4 y 25-5):

M = Me mo = ¢ Nl . L fe fo

Amplificación

N l - fe ≤¢ ≤ fe do

(25–6a) de

[fo y fe V l] (25–6b)

microscopio

La aproximación (ecuación 25-6b) es precisa cuando fe y fo son pequeñas comparadas con l, de modo que l - fe L l y do L fo (figura 25-23a). Ésta es una buena aproximación para grandes amplificaciones, que se obtienen cuando fo y fe son muy pequeñas (están en el denominador de la ecuación 25-6b). Para hacer lentes de muy corta longitud focal, que se pueden hacer mejor para el objetivo, se deben usar lentes compuestas que contienen varios elementos para evitar aberraciones serias, como se explicará en la siguiente sección. EJEMPLO 25–9 Microscopio. Un microscopio compuesto consta de un ocular 10
y un objetivo 50
separados 17.0 cm. Determine a) la amplificación global, b) la longitud focal de cada lente y c) la posición del objeto cuando la imagen final está en foco con el ojo relajado. Considere un ojo normal, para el que N  25 cm. PLANTEAMIENTO La amplificación global es el producto de la amplificación del ocular y la amplificación del objetivo. La longitud focal del ocular se encuentra a partir de la ecuación 25-2a o 25-5 para la amplificación de un amplificador simple. Para el objetivo, es más fácil determinar a continuación do (inciso c) mediante la ecuación 25-4 antes de encontrar fo. SOLUCIÓN a) La amplificación global es (10
)(50
)  500
. b) La longitud focal del ocular es (ecuación 25-5) fe = N
Me = 25 cm
10 = 2.5 cm. A continuación se resuelve la ecuación 25-4 para do y se obtiene

do =

(17.0 cm - 2.5 cm) l - fe = = 0.29 cm. mo 50

Entonces, a partir de la ecuación de lente delgada para el objetivo con di = l - fe = 14.5 cm (figura 25-23a),

1 1 1 1 1 + = 3.52 cm–1; = + = fo do di 0.29 cm 14.5 cm

de modo que fo = 1
A3.52 cm–1 B = 0.28 cm. c) Se acaba de calcular do  0.29 cm, que está muy cerca de fo.

*SECCIÓN 25–5

Microscopio compuesto

709

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* 25–6 Aberraciones de lentes y espejos

Aberración esférica

En el capítulo 23 se desarrolló una teoría de formación de imágenes mediante lente delgada. Se encontró, por ejemplo, que todos los rayos provenientes de cada punto de un objeto se llevan hacia un solo punto como el punto de imagen. Éste y otros resultados se basaron en aproximaciones como la de que los rayos forman pequeños ángulos unos con otros y que se puede usar sen u L u. A causa de estas aproximaciones, se esperan desviaciones de la teoría simple, que se conocen como aberraciones de lentes. Existen varios tipos de aberración; se explicará brevemente cada una de ellas por separado, pero es posible que todas se presenten al mismo tiempo. Considere un objeto en cualquier punto (incluso en el infinito) sobre el eje de una lente. Los rayos de este punto que pasan a través de regiones exteriores de la lente se llevan a un foco en un punto diferente de aquellos por los que pasa el centro de la lente. A esto se le llama aberración esférica y se muestra exagerada en la figura 25-24. En consecuencia, la imagen vista en un trozo de película (por ejemplo) no C

FIGURA 25–24 Aberración esférica (exagerada). El círculo de menor confusión está en C.

Aberraciones fuera de eje

será un punto, sino un pequeño parche circular de luz. Si la película se coloca en el punto C, como se indica, el círculo tendrá su diámetro más pequeño, al que se le conoce como círculo de menor confusión. La aberración esférica está presente siempre que se emplean superficies esféricas. Se corrige con el uso de lentes con superficies no esféricas, pero pulir tales lentes es un procedimiento difícil y costoso. Es posible minimizar esta aberración con superficies esféricas eligiendo las curvaturas de modo que ocurran iguales cantidades de doblamientos en cada superficie de la lente; se puede diseñar una lente como ésta sólo para una distancia objeto particular. Por lo general, la aberración esférica se corrige (con lo que se entiende que se reduce enormemente) con el uso de varias lentes en combinación, y utilizando sólo la parte central de ellas. Para objetos que apuntan al eje de la lente ocurren aberraciones adicionales. Los rayos que pasan a través de las diferentes partes de la lente provocan dispersión de la imagen que es no circular. Existen dos efectos: coma (cuando la imagen de un punto tiene forma de cometa en lugar de círculo) y astigmatismo fuera de eje.† Más aún, los puntos de imagen para los objetos fuera de eje pero a la misma distancia de la lente no caen sobre una superficie plana, sino sobre una superficie curva; es decir, el plano focal no es plano. (Esto es de esperar dado que los puntos sobre un plano con forma plana, como la película en una cámara, no están equidistantes de la lente). Esta aberración se conoce como curvatura de campo y es un problema en las cámaras y otros dispositivos donde la película se coloca en un plano con forma plana. Sin embargo, en el ojo, la retina es curva, lo que compensa este efecto. Otra aberración, conocida como distorsión, es el resultado de la variación de la amplificación a diferentes distancias del eje de la lente. Por tanto, un objeto en línea recta a cierta distancia del eje puede formar una imagen curva. Una retícula cuadrada de líneas podría distorsionarse para producir una “distorsión en barril” o “distorsión en cojín” (figura 25-25). Esta última es común en lentes gran angular extremos. Todas las aberraciones anteriores ocurren para luz monocromática y por eso se les conoce como aberraciones monocromáticas. La luz normal no es monocromática y también habrá aberración cromática. Esta aberración surge a causa de la dispersión: la variación del índice de refracción de los materiales transparentes con la longitud de onda (sección 24-4). Por ejemplo, la luz azul se dobla más que la luz roja en † Aunque el efecto es el mismo que para el astigmatismo en el ojo (sección 25-2), la causa es diferente. El astigmatismo fuera de eje no es problema en el ojo porque los objetos se ven claramente sólo en la fóvea, en el eje de la lente.

710

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

Ejes

a)

b)

FIGURA 25–25 Distorsión: las lentes forman la imagen de una rejilla cuadriculada

Blanco

de líneas perpendiculares para producir a) distorsión en barril o b) distorsión en cojín. Estas distorsiones se aprecian en la fotografía de la figura 23-29d.

el vidrio. De modo que si luz blanca incide sobre una lente, los diferentes colores se enfocan en diferentes puntos (figura 25-26), y existirán franjas coloridas en la imagen. Es posible eliminar la aberración cromática para dos colores cualesquiera (y reducirse enormemente para todos los demás) mediante el uso de dos lentes hechas de diferentes materiales con distintos índices de refracción y dispersión. Normalmente, una lente es convergente y la otra divergente, y con frecuencia se pegan juntas (figura 25-27). Tal combinación de lentes se llama doblete acromático (o lente “correctora de color”). No es posible corregir por completo todas las aberraciones. Al combinar dos o más lentes es posible reducirlas. Las lentes de alta calidad utilizadas en las cámaras, los microscopios y en otros dispositivos son lentes compuestas que consisten en muchas lentes simples (a las que se les conoce como elementos). Una lente típica de alta calidad para cámara contiene de seis a ocho (o más) elementos. Por simplicidad, las lentes en los diagramas generalmente se representarán como si fuesen lentes simples. El ojo humano también es sujeto de aberraciones, pero son mínimas. La aberración esférica, por ejemplo, se minimiza porque 1. la córnea es menos curva en los bordes que en el centro y 2. el cristalino es menos denso en los bordes que en el centro. Ambos efectos hacen que los rayos en los bordes exteriores se doblen menos intensamente, y por ende ayudan a reducir la aberración esférica. La aberración cromática es parcialmente compensada porque el cristalino absorbe de forma considerable las longitudes de onda más cortas y la retina es menos sensible a las longitudes de onda azul y violeta. Ésta es justo la región del espectro donde la dispersión —y por tanto la aberración cromática— es mayor (figura 24-14). Los espejos esféricos (sección 23-3) también sufren aberraciones que incluyen aberración esférica (figura 23-11). Los espejos se pueden pulir en forma parabólica para corregir la aberración esférica, pero son mucho más difíciles de elaborar y, por esa razón, muy costosos. Sin embargo, los espejos no exhiben aberración cromática porque la luz no pasa a través de ellos (no hay refracción, no hay dispersión).

Ro jo Az ul

FIGURA 25–26 Aberración cromática. Los diferentes colores se enfocan en diferentes puntos.

FIGURA 25–27 Doblete acromático.

Blanco

Rojo Blanco Azul

25–7 Límites de resolución; aberturas circulares La capacidad de una lente para producir distintas imágenes de dos objetos puntuales muy juntos se llama resolución de la lente. Cuanto más juntas estén las imágenes sin que dejen de verse distintas (es decir, sin que se conviertan manchas traslapadas), mayor será la resolución. La resolución de la lente de una cámara, por ejemplo, con frecuencia se especifica como tantas líneas por milímetro, como se mencionó en la sección 25-1. Dos factores principales limitan la resolución de una lente. El primero se refiere a las aberraciones de ésta. Como se vio, las aberraciones esféricas y algunas otras provocan que un objeto puntual no sea un punto sobre la imagen, sino una pequeña mancha. El diseño cuidadoso de lentes compuestas reduce significativamente las aberraciones, pero no las elimina por completo. El segundo factor que limita la resolución es la difracción, que no se puede corregir ópticamente ya que es un resultado natural de la naturaleza ondulatoria de la luz. A continuación se analizará este fenómeno. En la sección 24-5 se vio que, en tanto que la luz viaja como onda, la luz proveniente de una fuente puntual que pasa a través de una rendija se dispersa en un patrón de difracción (figuras 24-19 y 24-21). Una lente, en virtud de que tiene bordes, actúa como una rendija. Cuando una lente forma la imagen de un objeto puntual, la imagen en realidad es un pequeño patrón de difracción. Así, una imagen resultaría borrosa incluso si no hubiese aberraciones. SECCIÓN 25–7

Límites de resolución; aberturas circulares

711

FIGURA 25–28 Fotografías de imágenes (enormemente amplificadas) formadas por una lente, que muestran el patrón de difracción de una imagen para a) un solo objeto puntual, b) dos objetos puntuales cuyas imágenes tienen baja resolución.

a)

b)

En el análisis que sigue, se supone que la lente está libre de aberraciones, así que es posible concentrarse en los efectos de difracción y cuánto limitan la resolución de la lente. En la figura 24-21 se vio que el patrón de difracción producido por la luz que pasa a través de una rendija rectangular tiene un máximo central en el que cae la mayoría de la luz. Este pico central cae a un mínimo en cualquier lado de su centro en un ángulo u dado por

l D (ésta es la ecuación 24-3a), donde D es el ancho de rendija y l la longitud de onda de la luz usada. u es medio ancho angular del máximo central y para ángulos pequeños se puede escribir l. u L sen u = D También hay franjas de baja intensidad más allá. Para una lente, o para cualquier hoyo circular, la imagen de un objeto puntual consistirá en un pico central circular (llamado punto de difracción o disco Airy) rodeado por franjas circulares más débiles, como se muestra en la figura 25-28a. El máximo central tiene un ancho medio angular dado por 1.22l , u = D donde D es el diámetro de la abertura circular. Esta fórmula difiere de aquella para una rendija (ecuación 24-3) por el factor de 1.22. Este factor aparece porque el ancho de un hoyo circular no es uniforme (como una rendija rectangular), sino que varía desde su diámetro D hasta cero. Un análisis matemático muestra que el ancho “promedio” es D
1.22. En consecuencia, se obtiene la ecuación anterior en lugar de la ecuación 24-3. En la figura 25-29 se muestra la intensidad de la luz en el patrón de difracción de la luz proveniente de una fuente puntual que pasa a través de una abertura circular. La imagen para una fuente no puntual es una superposición de tales patrones. Para la mayoría de los propósitos es necesario considerar sólo la mancha central, pues los anillos concéntricos son mucho más débiles. Si dos objetos puntuales están muy juntos, los patrones de difracción de sus imágenes se traslaparán como se ilustra en la figura 25-28b. Conforme los objetos se muevan más cerca, se alcanzará una separación tal que no se podrá decir si existen dos imágenes traslapadas o una sola imagen. La separación a la que esto ocurre podría ser diferente a juicio de diferentes observadores. Sin embargo, un criterio generalmente aceptado es el que propuso por lord Rayleigh (1842-1919). El criterio de Rayleigh afirma que dos imágenes apenas son resolubles cuando el centro del disco de difracción de una imagen está directamente sobre el primer mínimo en el patrón de difracción del otro. Esto se ilustra en la figura 25-30. Como el primer mínimo está en un ángulo u = 1.22l
D del máximo central, la figura 25-30 indica que dos objetos se consideran apenas resolubles si están separados por al menos el ángulo u dado por 1.22l . u = [u en radianes] (25–7) D Éste es el límite sobre la resolución puesto por la naturaleza ondulatoria de la luz que se debe a la difracción. Un ángulo más pequeño significa mejor resolución: es posible juntar más los objetos. A partir de la ecuación 25-7 se sabe que usar una longitud de onda más corta l aumenta la resolución. sen u =

Ángulos más pequeños significan mejor resolución. Intensidad

− 1.22l D

0 1.22l D

u

FIGURA 25–29 Intensidad de la luz a través del patrón de difracción de un hoyo circular.

Criterio de Rayleigh (límite de resolución)

712

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

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FIGURA 25–30 El criterio de Rayleigh. Dos imágenes apenas

s

O

␪

␪

O′

son resolubles cuando el centro del pico de difracción de una está directamente sobre el primer mínimo en el patrón de difracción de la otra. Los dos objetos puntuales O y O¿ subtienden un ángulo u en la lente; para cada objeto sólo se dibuja un rayo (el que pasa a través del centro de la lente), para indicar el centro del patrón de difracción de su imagen.

EJEMPLO 25–10 Telescopio Espacial Hubble. El Telescopio Espacial Hubble es un telescopio reflector que se puso en órbita sobre la atmósfera de la Tierra, de modo que su resolución no estaría limitada por turbulencias en la atmósfera (figura 15-31). Su diámetro de objetivo es 2.4 m. Para la luz visible, por ejemplo l  550 nm, estime la mejora en resolución que el Hubble ofrece sobre los telescopios en la Tierra, que están limitados en resolución por el movimiento de la atmósfera de nuestro planeta a casi la mitad de un arco segundo. (Cada grado se divide en 60 minutos, y cada uno contiene 60 segundos, de modo que 1°  3600 arco segundos). PLANTEAMIENTO La resolución angular para el Hubble está dada (en radianes) por la ecuación 25-7. La resolución para los telescopios en la Tierra está dada, y primero se le convierte a radianes para tener una cifra comparable. SOLUCIÓN Los telescopios en la Tierra están limitados a una resolución angular de

u =

1 2

a

1 ° 2p rad b a b = 2.4 * 10–6 rad. 3600 360°

El Hubble, por otra parte, está limitado por la difracción (ecuación 25-7) que, para l = 550 nm es

1.22 A550 * 10–9 mB 1.22l = = 2.8 * 10–7 rad, u = D 2.4 m

FIGURA 25–31 El Telescopio

lo que significa casi 10 veces mejor resolución A2.4 * 10 –6 rad
2.8 * 10 –7 rad L 9*B. NOTA El Hubble también puede observar radiación en el ultravioleta cercano (longitudes de onda tan pequeñas como 115 nm) e infrarrojo (longitudes de onda tan largas como 1 mm), que son rangos del espectro bloqueados por la atmósfera. El sensor es un CCD, como en una cámara (ver sección 25-1), con una cuenta de pixeles de 16 MP.

Espacial Hubble con la Tierra como fondo. Los paneles planos son celdas solares que captan energía proveniente del Sol.

EJEMPLO 25–11 ESTIMACIÓN Resolución del ojo. Una persona viaja en un avión a una altitud de 10,000 m. Si mira hacia abajo, hacia tierra, estima la separación mínima s entre los objetos que puede distinguir. Considere sólo la difracción y suponga que la pupila mide aproximadamente 3.0 mm de diámetro y l  550 nm. PLANTEAMIENTO Se utiliza el criterio de Rayleigh (ecuación 25-7) para estimar u. La separación s de los objetos es igual a su distancia de alejamiento, L  104 m, por u (en radianes) en tanto u sea pequeño, de modo que s = Lu.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Qué tan bien ve el ojo.

SOLUCIÓN En la ecuación 25-7 se hace D  3.0 mm para la abertura del ojo:

1.22l D 4 A10 mB A1.22 BA550 * 10–9 mB

s = Lu = L =

3.0 * 10–3 m

= 2.2 m.

EJERCICIO D Alguien afirma que una cámara instalada en un satélite espía es capaz de captar los encabezados de los periódicos, de 3 cm de alto, desde una altitud de 100 km. Si la difracción fuese la única limitación (l  550 nm), utilice la ecuación 25-7 para determinar qué diámetro tendría la lente de la cámara. SECCIÓN 25–7

Límites de resolución; aberturas circulares

713

25–8 Resolución de telescopios y microscopios; el límite L Tal vez el lector piense que se podría diseñar un microscopio o un telescopio para producir cualquier amplificación deseada, dependiendo de la elección de las longitudes focales y de la calidad de las lentes. Pero esto no es posible debido a la difracción. Un incremento en la amplificación sobre cierto punto simplemente da como resultado una amplificación de los patrones de difracción. Esto puede conducir a errores enormes, pues se podría pensar que uno está viendo detalles de un objeto cuando en realidad se ven detalles del patrón de difracción. Para examinar este problema, se aplica el criterio de Rayleigh: dos objetos (o dos puntos cercanos en un objeto) apenas son resolubles si están separados por un ángulo u (figura 25-30) dado por la ecuación 25-7:

1.22l . D Esta fórmula es válida para cualquier microscopio o telescopio, donde D es el diámetro de la lente objetivo. Para un telescopio, la resolución se especifica al establecer u dado por esta ecuación.† Para un microscopio, es más conveniente especificar la distancia real, s, entre dos puntos que apenas son resolubles: observe la figura 25-30. Como los objetos normalmente están colocados cerca del punto focal del objetivo del microscopio, el ángulo subtendido por dos objetos es u = s
f, o s = fu. Si esto se combina con la ecuación 25-7, se obtiene la potencia de resolución (PR) de un microscopio 1.22lf , RP = s = fu = (25–8) D donde f es la longitud focal de la lente objetivo (no la frecuencia). Esta distancia s se llama la potencia de resolución de la lente porque es la separación mínima de dos puntos objeto que apenas pueden ser resueltos, si se utiliza la lente de mayor calidad, pues este límite lo impone la naturaleza ondulatoria de la luz. Una PR más pequeña significa mejor resolución y mayor detalle. u =

Potencia de resolución

EJEMPLO 25–12 Resolución de un telescopio (onda de radio contra luz visible). ¿Cuál es la mínima separación angular teórica entre dos estrellas que apenas pueden ser resolubles por a) el telescopio de 200 pulgadas de Monte Palomar (figura 25-21c), y b) el radiotelescopio de Arecibo (figura 25-32), cuyo diámetro es de 300 m y cuyo radio de curvatura también es de 300 m. Suponga que l  550 nm para el telescopio de luz visible en el inciso a) y l  4 cm (la longitud de onda más corta a la que se ha operado el radiotelescopio) para el inciso b). PLANTEAMIENTO Se aplica el criterio de Rayleigh (ecuación 25-7) para cada telescopio. SOLUCIÓN a) Dado que D  200 pulgadas  5.1 m, se tiene, a partir de la ecuación 25-7, que

u =

FIGURA 25–32 El radiotelescopio de 300 m de Arecibo, Puerto Rico, emplea ondas de radio (figura 22-8) en lugar de luz visible.

(1.22)A5.50 * 10–7 mB 1.22l = = 1.3 * 10 –7 rad, D (5.1 m)

o 0.75
105 grados. (¡Note que esto es equivalente a la resolución de dos puntos con menos de 1 cm de separación desde una distancia de 100 km!) b) Para ondas de radio con l  0.04 m, la resolución es

u =

(1.22)(0.04 m) (300 m)

= 1.6 * 10–4 rad.

La resolución es menor porque la longitud de onda es mucho mayor, pero el objetivo más grande es una ventaja. †

Los telescopios en la Tierra con objetivos de gran diámetro generalmente están limitados, no por la difracción, sino por otros efectos como la turbulencia en la atmósfera. La resolución de un microscopio de gran calidad, por otra parte, normalmente está limitada por la difracción; los objetivos de los microscopios son complejas lentes compuestas que contienen muchos elementos de pequeño diámetro (dado que f es pequeña), y por tanto se reducen las aberraciones.

714

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

NOTA En ambos casos, se determinó el límite impuesto por la difracción. La resolución para un telescopio terrestre de luz visible no es tan buena a causa de las aberraciones y, lo que es más importante, a causa de la turbulencia en la atmósfera. De hecho, los objetivos de gran diámetro no se justifican por un aumento en la resolución, sino por su mayor capacidad para capturar luz: permiten que entre más luz, lo que permite ver los objetos que, de otro modo, apenas serían perceptibles. A los radiotelescopios no les estorba la turbulencia atmosférica, y la resolución que se encontró en b) es una buena estimación. La difracción impone un límite final al detalle que se puede ver en cualquier objeto. En la ecuación 25-8 para potencia de resolución, la longitud focal de una lente prácticamente no se puede hacer menor (aproximadamente) que el radio de la lente, e incluso esto es muy difícil (véase la ecuación del fabricante de lentes, ecuación 23-10). En este mejor caso, la ecuación 25-8 da, con f L D
2,

l. (25–9) 2 Por tanto, se puede decir, dentro de un factor de 2 o algo así, que no es posible tener resolución para detalles de los objetos más pequeños que la longitud de onda de la radiación que se utiliza. Ésta es una importante y útil regla empírica. Las lentes compuestas de los microscopios ahora se diseñan tan bien que el límite real en la resolución con frecuencia lo impone la difracción, es decir, la longitud de onda de la luz utilizada. Para obtener mayor detalle se debe usar radiación de longitud de onda más corta. El uso de radiación UV permite aumentar la resolución por un factor tal vez de 2. Sin embargo, todavía más importante fue el descubrimiento, a principios del siglo XX, de que los electrones tienen propiedades ondulatorias y de que sus longitudes de onda pueden ser muy pequeñas. La naturaleza ondulatoria de los electrones se utiliza en el microscopio de electrones, capaz de amplificar de 100 a 1000 veces más que un microscopio de luz visible gracias a las longitudes de onda mucho muy cortas. También los rayos X tienen longitudes de onda muy cortas y se usan con frecuencia para estudiar objetos con gran detalle (sección 25-11). RP L

Resolución limitada a l

25–9 Resolución del ojo humano y amplificación útil La resolución del ojo humano está limitada por varios factores, todos aproximadamente del mismo orden de magnitud. La resolución es mejor en la fóvea, donde el espaciamiento de conos es menor, de alrededor de 3 mm ( 3000 nm). El diámetro de la pupila varía desde más o menos 0.1 cm hasta aproximadamente 0.8 cm. De modo que, para l  500 nm (donde la sensibilidad del ojo es mayor), el límite de difracción es de alrededor de u L 1.22l
D L 8 * 10 –5 rad a 6 * 10 –4 rad. El ojo mide aproximadamente 2 cm de largo, lo que da una potencia de resolución (ecuación 25-8) de s L A2 * 10 –2 mB A8 * 10 –5 radB L 2 mm en el mejor de los casos, hasta más o menos 15 mm en el peor de los casos (pupila pequeña). Las aberraciones esférica y cromática también limitan la resolución a alrededor de 10 mm. El resultado neto es que el ojo es capaz de tener resolución para objetos cuya separación angular aproximada es de

5 * 10–4 rad en el mejor caso. Esto corresponde a objetos separados 1 cm a una distancia de unos 20 m. El punto cercano típico de un ojo humano es aproximadamente de 25 cm. A esta distancia, el ojo apenas puede tener resolución para objetos que están separados (25 cm)(5
10 –4 radB L 10 –4 m = 101 mm. Como los mejores microscopios de luz son capaces de tener resolución para objetos no menores a aproximadamente 200 nm cuando mucho (ecuación 25-9 para luz violeta, l  400 nm), la amplificación útil [ (resolución del ojo por sí solo)
(resolución por microscopio)] está limitada a aproximadamente 10 –4 m L 500 * . 200 * 10–9 m

Mejor resolución del ojo

Máxima amplificación útil de microscopio

En la práctica, con frecuencia se usan amplificaciones de alrededor de 1000
para reducir al mínimo la tensión ocular. Cualquier amplificación mayor simplemente haría visible el patrón de difracción producido por el objetivo del microscopio. SECCIÓN 25–9

Resolución del ojo humano y amplificación útil

715

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* 25–10 Microscopios de especialidad y contraste

F Í S I C A

A P L I C A D A

Microscopio de interferencia

c

a Luz

b Objeto

d

H2O FIGURA 25–33 Objeto —que podría tratarse de una bacteria— en una solución acuosa.

Toda la potencia de resolución que un microscopio pueda lograr será inútil si el objeto a ser observado no se distingue del fondo. La diferencia en brillantez entre la imagen de un objeto y la imagen de sus alrededores se llama contraste. Lograr alto contraste es un importante problema en microscopía y otras formas de creación de imágenes. El problema surge, por ejemplo, en biología porque las células están constituidas principalmente por agua y casi son uniformemente transparentes a la luz. Ahora se hablará brevemente acerca de dos tipos especiales de microscopios que aumentan el contraste: los microscopios de interferencia y los de contraste de fase. Un microscopio de interferencia utiliza las propiedades ondulatorias de la luz de una forma directa para aumentar el contraste en un objeto transparente. Considere un objeto transparente, por ejemplo, una bacteria en agua (figura 25-33). La luz entra de manera uniforme desde la izquierda y es coherente (está en fase) en todos los puntos como a y b. Si el objeto es tan transparente como el agua, el haz que sale en d será tan brillante como el de c. No habrá contraste y el objeto no se verá. Sin embargo, si el índice refractivo del objeto es ligeramente diferente al del medio circundante, la longitud de onda dentro del objeto se alterará como se ilustra. En consecuencia, las ondas de luz en los puntos c y d diferirán en fase, si no es que en amplitud. El microscopio de interferencia convierte esta diferencia en fase en una diferencia de amplitud que los ojos pueden detectar. La luz que pasa a través de la muestra se superpone en un haz de referencia que no pasa a través del objeto, por lo que se interfieren. En la figura 25-34 se ilustra una forma de hacer esto. La luz proveniente de una fuente se divide en dos haces iguales mediante un espejo semiplateado, EP1. Un haz pasa a través el objeto y el segundo (haz de comparación) pasa a través de un sistema idéntico sin el objeto. Los dos se encuentran de nuevo y se superponen mediante el espejo semiplateado EP2 antes de entrar al ocular y al ojo. La longitud (y amplitud) de la trayectoria del haz de comparación es ajustable, así que el fondo podría ser oscuro, lo que indicaría que ocurrió interferencia destructiva completa. La luz que pasa a través del objeto (haz bd en la figura 25-33) también interferirá con el haz de comparación. Pero, por su diferencia de fase, la interferencia no será completamente destructiva. Por ende, parecerá más brillante que el fondo. Donde el objeto varía en grosor, la diferencia de fase entre los haces ac y bd en la figura 25-33 será distinta, y por tanto afectará la cantidad de interferencia. En consecuencia, la variación en el grosor del objeto aparecerá como variaciones en brillantez en la imagen.

Portaobjeto de comparación E1

MS2

FIGURA 25–34 Diagrama de un

Lentes objetivo

microscopio de interferencia.

Ocular Objeto

Fuente EP1 F Í S I C A

A P L I C A D A

Microscopio de contraste de fase

716

CAPÍTULO 25

E2

Un microscopio de contraste de fase también se basa en la interferencia y en las diferencias de fase para producir una imagen de alto contraste. El contraste se logra mediante una placa de fase circular de vidrio que tiene una muesca (o una porción elevada) con forma de anillo, ubicada de modo que los rayos de la fuente no desviados pasen por él, pero que los rayos desviados por el objeto no pasen a través del anillo. Como los rayos desviados por el objeto pasan a través de un grosor de vidrio diferente de aquel por el que pasan los rayos de la fuente no desviados, unos y otros podrían estar fuera de fase e interferir destructivamente en el plano de la imagen objeto. Por tanto, la imagen del objeto contrasta claramente con el fondo. Las imágenes del microscopio de contraste de fase tienden a tener “halos” a su alrededor (como resultado de la difracción de la abertura de la placa de fase), así que se debe tener cuidado en la interpretación de las imágenes.

Instrumentos ópticos

fem calefactora

* 25–11 Rayos X y difracción de rayos X En 1895, W. C. Roentgen (1845-1923) descubrió que, cuando los electrones se aceleraban mediante un alto voltaje en un tubo al vacío y se les permitía golpear un vidrio o una superficie metálica en el interior del tubo, los minerales fluorescentes a cierta distancia brillaban, y la película fotográfica quedaba expuesta. Roentgen atribuyó estos efectos a un nuevo tipo de radiación (diferente de los rayos catódicos). Se les dio el nombre de rayos X en “honor” del símbolo algebraico x, que significa una cantidad desconocida. Roentgen pronto descubrió que los rayos X penetraban mejor a través de algunos materiales que de otros, y en pocas semanas presentó la primera fotografía de rayos X (de la mano de su esposa). La producción de rayos X en la actualidad generalmente se realiza en un tubo (figura 25-35) similar al de Roentgen, con voltajes típicos de 30 a 150 kV. Las investigaciones acerca de la naturaleza de los rayos X indicaron que no eran partículas cargadas (como los electrones) pues no se podían desviar mediante un campo eléctrico o magnético. Se sugirió que podía tratarse de una forma de luz invisible. Sin embargo, no mostraban difracción ni efectos de interferencia al utilizar rejillas ordinarias. De hecho, si sus longitudes de onda eran mucho más pequeñas que el espaciamiento típico de rejilla de 106 m ( 103 nm), no se esperarían efectos. Alrededor de 1912, Max von Laue (1879-1960) sugirió que si los átomos de un cristal se ordenaban en un arreglo regular (véase la figura 13-2a), tal cristal podría servir como rejilla de difracción para longitudes de onda muy cortas, del orden del espaciamiento entre átomos, que se estimaba en alrededor de 1010 m ( 101 nm). Los experimentos pronto demostraron que los rayos X dispersados por un cristal, de hecho, mostraban los picos y valles de un patrón de difracción (figura 25-36). Entonces se demostró, con un solo soplido, que los rayos X tienen naturaleza ondulatoria y que los átomos en un cristal están ordenados de forma regular. En la actualidad, los rayos X están reconocidos como radiación electromagnética con longitudes de onda en el rango de 102 hasta 10 nm, el rango fácilmente producido en un tubo de rayos X. En las secciones 25-7 y 25-8 se vio que la luz de longitud de onda más corta proporciona mayor resolución cuando se examina un objeto bajo el microscopio. Como los rayos X tienen longitudes de onda mucho más cortas que la luz visible, en principio ofrecerían mucho mayor resolución. Sin embargo, parece no haber un material efectivo para usar como lentes para las longitudes de onda tan cortas de los rayos X. En vez de ello, la astuta pero complicada técnica de difracción de rayos X (o cristalografía) ha probado ser muy efectiva para examinar el mundo microscópico de los átomos y las moléculas. En un cristal simple, como el NaCl, los átomos están acomodados en una forma cúbica ordenada (figura 25-37), con átomos espaciados una distancia d. Suponga que un haz de rayos X incide sobre el cristal en un ángulo f con la superficie, y que los dos rayos mostrados se reflejan en dos planos subsecuentes de átomos como se muestra. Los dos rayos interferirán constructivamente si la distancia adicional que recorre el rayo I es un número entero de longitudes de onda mayor que la distancia que recorre el rayo II. Esta distancia adicional es 2d sen f. Por tanto, la interferencia constructiva ocurrirá cuando (25–10) ml = 2d sen f, m = 1, 2, 3, p , donde m puede ser cualquier entero. (Note que f no es el ángulo con respecto a la normal a la superficie). A esto se le llama ecuación de Bragg, en honor de W. L. Bragg (1890-1971), quien la dedujo y quien, junto con su padre, W. H. Bragg (1862-1942), desarrolló la teoría y técnica de difracción de rayos X mediante cristales entre 1912 y 1913. Si se conoce la longitud de onda de los rayos X y se mide el ángulo f, es posible obtener la distancia d entre átomos. Ésta es la base de la cristalografía de rayos X.

Calefactor Electrones –

Rayos X

+ Blanco (ánodo)

Alto voltaje

+

FIGURA 25–35 Tubo de rayos X. Los electrones emitidos por un filamento caliente en un tubo al vacío se aceleran mediante un alto voltaje. Cuando golpean la superficie del ánodo, el “blanco”, se emiten rayos X.

FIGURA 25–36 Este patrón de difracción de rayos X es uno de los primeros observados por Max von Laue en 1912 cuando dirigió un haz de rayos X a un cristal de sulfuro de zinc. El patrón de difracción se detectó directamente sobre una placa fotográfica.

Ecuación de Bragg

II

I

f

f f

rayos X mediante un cristal. en

ff

FIGURA 25–37 Difracción de

ds

d

–

*SECCIÓN 25–11

Rayos X y difracción de rayos X

717

FIGURA 25–38 Los rayos X se pueden difractar desde muchos planos posibles dentro de un cristal.

Los patrones de difracción de los rayos X reales son bastante complicados. Antes que todo, un cristal es un objeto tridimensional, y los rayos X se pueden difractar desde diferentes planos en distintos ángulos dentro del cristal, como se observa en la figura 25-38. Aunque el análisis es complejo, se aprende mucho acerca de cualquier sustancia que se pueda poner en forma cristalina. Si la sustancia no es un solo cristal sino una mezcla de muchos cristales pequeños —como en un metal o un polvo— entonces, en lugar de una serie de manchas, como en la figura 25-36, se obtiene una serie de círculos (figura 25-39), y cada uno corresponde a la difracción de cierto orden m de un conjunto particular de planos paralelos. FIGURA 25–39 a) La difracción de rayos X de un sustancia policristalina produce un conjunto de anillos circulares como en b), que es para acetoacetato de sodio policristalino.

2θ s

X-ray

a)

b)

FIGURA 25–40 Fotografía de difracción de rayos X de moléculas de tomada por Rosalind Franklin a comienzos de los 1950. La cruz de manchas sugiere que el ADN es una hélice. ADN

La difracción de rayos X ha sido muy útil en la determinación de la estructura de moléculas biológicamente importantes, como la estructura de doble hélice del ADN, estudiada por James Watson y Francis Crick en 1953. Observe la figura 25-40 y, para modelos de la doble hélice, las figuras 16-44a y 16-45. Alrededor de 1960, con la ayuda de la difracción de los rayos X, se conoció la primera estructura detallada de una molécula proteica, la mioglobina. Pronto se estudió la estructura de un constituyente importante de la sangre, la hemoglobina, y desde entonces, con el auxilio de los rayos X, se han determinado las estructuras de una gran cantidad de moléculas.

* 25–12 Formación de imágenes con rayos X y tomografía computarizada (Exploración CT) * Imagen normal de rayos X F Í S I C A

A P L I C A D A

Imagen normal de rayos X

P R E C A U C I Ó N

Las imágenes de rayos X son una especie de sombra; no se utilizan lentes.

Para una fotografía convencional de rayos X, médica o dental, los rayos X que salen del tubo (figura 25-35) pasan a través del cuerpo y se detectan sobre una película fotográfica o una pantalla fluorescente (figura 25-41). Los rayos viajan en líneas casi rectas a través del cuerpo, con mínima desviación pues a las longitudes de onda de los rayos X existe poca difracción o refracción. Sin embargo, existe absorción (y dispersión), y la diferencia en absorción por las diferentes estructuras del cuerpo es lo que da lugar a la imagen producida por los rayos transmitidos. Menos absorción significa mayor transmisión y más oscuridad en la película. La imagen es, en cierto sentido, una “sombra” de lo que han atravesado los rayos. La imagen de rayos X no se produce al enfocar los rayos con lentes, como sucede con los instrumentos analizados anteriormente en este capítulo.

FIGURA 25–41 Formación convencional de imágenes con rayos X, que en esencia es una producción de sombras.

718

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

Fuente de rayos X

www.elsolucionario.org Monitor de video Computadora Colimador

Detector Colimador

Fuente de rayos X FIGURA 25–42 Formación de imágenes tomográficas: la fuente y el detector de rayos X se mueven juntos a través del cuerpo, para medir la intensidad transmitida en un gran número de puntos. Entonces el conjunto fuente-detector gira ligeramente (por ejemplo, 1°) y se realiza otra exploración. Este proceso se repite tal vez durante 180°. La computadora reconstruye la imagen de la rebanada y se presenta en un monitor de TV.

* Imágenes de tomografía (TC) En las imágenes convencionales de rayos X, el grosor total del cuerpo se proyecta en la película; las estructuras se traslapan y en muchos casos son difíciles de distinguir. En la década de 1970 se desarrolló una nueva técnica revolucionaria de rayos X, llamada tomografía computarizada (TC, o CT por sus siglas en inglés), que produce la imagen de una rebanada a través del cuerpo. (La palabra tomografía viene del griego: tomos  rebanada, grafos  imagen). Las estructuras y lesiones previamente imposibles de visualizar ahora se pueden distinguir con notable claridad. El principio detrás de la TC se ilustra en la figura 25-42: un delgado haz colimado de rayos X (“colimar” significa “hacer recto”) pasa a través del cuerpo hacia un detector que mide la intensidad transmitida. Se realizan mediciones en un gran número de puntos conforme la fuente y el detector se mueven juntos a lo largo del cuerpo. Entonces el aparato gira ligeramente en torno al eje del cuerpo y de nuevo explora; esto se repite a intervalos de (acaso) 1° para 180°. Los datos de la intensidad del haz transmitido para los muchos puntos de cada exploración, y para cada ángulo, se envían a una computadora que reconstruye la imagen de la rebanada. Note que la rebanada visualizada es perpendicular al eje longitudinal del cuerpo. Por esta razón, a la TC a veces se le llama tomografía axial computarizada (TAC, o CAT por sus siglas en inglés), aunque la abreviatura TAC, como en exploración TAC, también se puede interpretar como tomografía asistida por computadora. El uso de un solo detector como en la figura 25-42 requeriría unos cuantos minutos para que las muchas exploraciones formen una imagen completa. Los exploradores (scanners) mucho más rápidos usan un haz en abanico (figura 25-43a), en el que los haces que pasan a través de toda la sección transversal del cuerpo se detectan simultáneamente mediante muchos detectores. Entonces la fuente y los detectores se hacen girar en torno al paciente, y una imagen sólo requiere de unos cuantos segundos para formarse. Todavía más rápidas y, por supuesto, útiles para las exploraciones cardiacas, son las máquinas de fuente fija en las que se dirige un haz de electrones (mediante campos magnéticos) hacia anillos de tungsteno que rodean al paciente y que sirven de blanco, con lo que generan los rayos X. Observe la figura 25-43b.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Imágenes de tomografía computarizada

Exploraciones TAC

FIGURA 25–43 a) Explorador de

Fuente de electrones Arreglo de detectores

Fuente de rayos X a)

Bobina de desviación magnética

Anillo detector

Haz de electrones Rayos X b) *SECCIÓN 25–12

haz en abanico. Los rayos transmitidos

Anillos de tungsteno a través de todo el cuerpo se miden que sirven de blanco simultáneamente en cada ángulo. La (creación de rayos X) fuente y el detector giran para tomar mediciones en diferentes ángulos. En Mesa del paciente otro tipo de explorador de haz en abanico, existen detectores alrededor de todos los 360° del círculo, que permanece fijo conforme la fuente se mueve. b) En otro tipo, un haz de electrones, proveniente de la fuente, se dirige mediante campos magnéticos a anillos de tungsteno que rodean al paciente y que sirven de blanco.

Formación de imágenes con rayos X y tomografía computarizada

719

* Formación de imágenes Pero, ¿cómo se forma la imagen? Podría considerarse que la rebanada a visualizar está dividida en muchos pequeños elementos de imagen (o pixeles), que podrían ser cuadrados. (Observe, por ejemplo, la figura 24-49). Para la TC, el ancho de cada pixel se elige de acuerdo con el ancho de los detectores y
o el ancho de los haces de rayos X, y esto determina la resolución de la imagen, que puede ser de 1 mm. Un detector de rayos X mide la intensidad del haz transmitido. Al sustraer este valor de la intensidad del haz en la fuente, se produce la absorción total (llamada “proyección”) a lo largo de la línea del haz. Complicadas técnicas matemáticas permiten analizar todas las proyecciones de absorción para el gran número de exploraciones de haz medidas (véase el siguiente apartado), con lo que se obtiene la absorción en cada pixel y a cada uno se le asigna un “valor de gris” de acuerdo con cuánta radiación se absorbió. La imagen está constituida por pequeñas manchas (pixeles) de tonalidades variables de gris. Con frecuencia, la cantidad de absorción tiene código de color. Sin embargo, los colores en la imagen de “falso color” no tienen nada que ver con el color verdadero del objeto. La figura 25-44 ilustra cómo se ven las imágenes reales de TC. En general se concuerda en que la exploración TC revolucionó algunas áreas de la medicina, al proporcionar diagnósticos mucho menos invasivos y
o más precisos. La tomografía computarizada también se aplica a la formación de imágenes con ultrasonido (sección 12-9), en las emisiones de radioisótopos y en la resonancia magnética nuclear.

a)

b) FIGURA 25–44 Dos imágenes TC con diferentes resoluciones; cada una muestra una sección transversal del cerebro. La fotografía a) es de baja resolución; la fotografía b), de alta resolución, muestra un tumor cerebral (área oscura a la derecha).

Reconstrucción de una imagen FIGURA 25–45 Una simple imagen 2
2 que muestra los valores de absorción verdadera y las proyecciones medidas.

7

Ángulo 1

2

13

6

4

9

4

Á

3

9

o

ul

ng

ng

ul

Á

o

5

Ángulo 2 14

11 7

13

* Reconstrucción de imágenes tomográficas ¿Cómo se determina el grado de gris de cada pixel, aun cuando todo lo que se mide es la absorción total a lo largo de cada línea de haz en la rebanada? Sólo se logra utilizando muchas exploraciones de haz realizadas en muchos ángulos diferentes. Suponga que la imagen será un arreglo de 100
100 elementos, para un total de 104 pixeles. Si se tienen 100 detectores y se miden las proyecciones de absorción en 100 ángulos diferentes, entonces se obtienen 104 piezas de información. A partir de esta información se reconstruye una imagen, pero no de manera precisa. Si se miden más ángulos, la reconstrucción de la imagen se realizará con mayor precisión. Para sugerir cómo se hace la reconstrucción matemática, considere un caso muy simple que emplea la técnica “iterativa” (“iterar” proviene del latín y significa “repetir”). Suponga que la rebanada muestra se divide en los simples pixeles 2
2, como se observa en la figura 25-45. El número en cada pixel representa la cantidad de absorción por el material en dicha área (por ejemplo, en décimos de un porcentaje): esto es, 4 representa el doble de absorción que 2. Pero no se pueden medir directamente esos valores: son las incógnitas que se necesita resolver. Todo lo que se puede medir son las proyecciones —la absorción total a lo largo de cada línea de haz— y éstas se muestran en el diagrama como la suma de las absorciones para los pixeles a lo largo de cada línea en cuatro ángulos diferentes. Tales proyecciones (dadas en la punta de cada flecha) son lo que se puede medir, y ahora se quiere trabajar de vuelta a partir de ellas para ver qué tan cerca se puede llegar al valor de absorción verdadero para cada pixel. El análisis comienza al asignar a cada pixel un valor cero (figura 25-46a). En la técnica iterativa se usan las proyecciones para estimar el valor de absorción en cada cuadro, y se repite para cada ángulo. Las proyecciones del ángulo 1 son 7 y 13. Cada uno de éstos se divide equitativamente entre sus dos cuadros: cada cuadro en la columna izquierda obtiene 31 (la mitad de 7) y cada cuadro en la columna derecha obtiene 61 (la mitad de 13); observe la figura 25-46b. A continuación

FIGURA 25–46 Reconstrucción de la imagen con el uso de proyecciones en un procedimiento iterativo.

0

0

1

1

32

62

6

12

1

42

1

2

4

1

82

1

5

9

Ángulo 2 (medido) 0

1

1

32

62

14

52

ng ul 4

Á

o

Instrumentos ópticos

c)

3

CAPÍTULO 25

9

ul

720

b)

ng

a)

Á

o

0

11

d)

se usan las proyecciones en el ángulo 2. Se calcula la diferencia entre las proyecciones medidas en el ángulo 2 (6 y 14) y las proyecciones basadas en la estimación previa (hilera superior: 3 12 + 6 12 = 10; lo mismo para la hilera inferior). Luego se distribuye esta diferencia equitativamente a los cuadros en esa hilera. Para la hilera superior, se tiene 6 - 10 6 - 10 3 12 + y 6 12 + = 1 12 = 4 12 ; 2 2 y para la hilera inferior 14 - 10 14 - 10 y 6 12 + = 5 12 = 8 12 . 3 12 + 2 2 Estos valores se insertan como se indica en la figura 25-46c. A continuación, la proyección en el ángulo 3 da 11 - 10 11 - 10 (superior izquierda) 1 12 + = 2 e (inferior derecha) 8 12 + = 9; 2 2 y las del ángulo 4 dan 9 - 10 9 - 10 (inferior izquierda) 5 12 + = 5 e (superior derecha) 4 12 + = 4. 2 2 El resultado, que aparece en la figura 25-46d, corresponde exactamente a los valores verdaderos. (En situaciones reales, los valores verdaderos no se conocen, por lo que se requiere de esta técnica por computadora). Para obtener estos números exactamente se utilizaron seis piezas de información (dos en cada uno de los ángulos 1 y 2, uno en cada uno de los ángulos 3 y 4). Para el número mucho mayor de pixeles usados en imágenes reales, los valores exactos generalmente no se logran. Se necesitan muchas iteraciones, y el cálculo se considera suficientemente preciso cuando la diferencia entre la proyección calculada y la medida es suficientemente pequeña. El ejemplo anterior ilustra la “convergencia” del proceso: la primera iteración (b a c en la figura 25-46) cambió los valores en 2, la última iteración (c a d) sólo en 12 .

Resumen La lente de una cámara forma una imagen sobre película, o sobre un dispositivo de carga acoplada en una cámara digital, al permitir el paso de la luz a través de un obturador. La lente se enfoca al moverla en relación con la película, y su número f (o abertura de lente) se debe ajustar para la brillantez de la escena y la rapidez de obturador elegida. El número f se define como la razón entre la longitud focal y el diámetro de la abertura de la lente. El ojo humano también se ajusta para la luz disponible, mediante la apertura y cierre del iris. Enfoca no mediante el movimiento del cristalino, sino por el ajuste de la forma de este último para variar su longitud focal. La imagen se forma sobre la retina, que contiene un arreglo de receptores conocidos como bastones y conos. Las lentes divergentes montadas sobre anteojos o en forma de lentes de contacto se usan para corregir el defecto de un ojo miope, que no puede enfocar bien los objetos distantes. Las lentes convergentes se usan para corregir los defectos en los que el ojo no puede enfocar los objetos cercanos. Un amplificador simple es una lente convergente que forma una imagen virtual de un objeto colocado en (o dentro de) el punto focal. La amplificación angular, cuando se ve con un ojo normal relajado, es

M =

N, f

(25–2a)

donde f es la longitud focal de la lente y N es el punto cercano del ojo (25 cm para un ojo “normal”). Un telescopio astronómico consiste en una lente objetivo o espejo y un ocular que amplifica la imagen real formada por el objetivo. La amplificación es igual a la razón de las longitudes focales del objetivo y el ocular, y la imagen está invertida:

M = –

fo . fe

(25–3)

[*Un microscopio compuesto también emplea lentes objetivo y ocular, y la imagen final está invertida. La amplificación total es el producto de las amplificaciones de las dos lentes y es aproximadamente

M L

Nl , fe fo

(25–6b)

donde l es la distancia entre las lentes, N es el punto cercano del ojo y fo y fe son las longitudes focales del objetivo y el ocular, respectivamente]. Los microscopios, los telescopios y otros instrumentos ópticos están limitados en la formación de imágenes claras por las aberraciones de lentes. En éstas se incluyen la aberración esférica, en la que los rayos que pasan a través del borde de una lente no se enfocan en el mismo punto que los que pasan cerca del centro, y la aberración cromática, en la que diferentes colores se enfocan en diferentes puntos. Las lentes compuestas, que constan de varios elementos, permiten corregir considerablemente las aberraciones. La naturaleza ondulatoria de la luz también limita la claridad, o resolución, de las imágenes. A causa de la difracción, no es posible discernir detalles más pequeños que la longitud de onda de la radiación que se utiliza. Esto limita la amplificación útil de un microscopio de luz a aproximadamente 500
. [*Los rayos X son una forma de radiación electromagnética de longitud de onda muy corta. Se producen cuando electrones de alta rapidez, acelerados por alto voltaje en un tubo al vacío, chocan con un vidrio o un blanco de metal]. [*La tomografía computada (TC o exploración TAC) emplea muchos haces estrechos de rayos X a través de una sección del cuerpo para construir una imagen de esa sección].

Resumen

721

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Preguntas 1. ¿Por qué la profundidad de campo es mayor, y la imagen más clara, cuando la lente de una cámara “obstruye el objetivo” a un gran número f? Ignore la difracción. 2. Describa cómo afecta la difracción el enunciado de la pregunta 1. [Sugerencia: ve la ecuación 24-3 o la 25-7]. 3. ¿Por qué la lente de una cámara se debe mover más lejos de la película para enfocar sobre un objeto más cercano? 4. ¿Por qué principalmente son las personas de más edad quienes necesitan los lentes bifocales y no las personas más jóvenes? 5. ¿Una persona miope, que usa lentes correctivas en sus gafas, será capaz de ver claramente bajo el agua cuando usa esas gafas? Utilice un diagrama para demostrar por qué sí o por qué no. 6. Es posible decir que alguien es miope o hipermétrope al observar el ancho de su cara a través de los anteojos. Si la cara de la persona parece más delgada a través de las gafas (figura 25-47), ¿la persona es miope o hipermétrope?

FIGURA 25–47 Pregunta 6.

7. Al intentar discernir detalles distantes, a veces las personas entrecierran los ojos. ¿Por qué les ayuda esto? 8. ¿La imagen formada sobre la retina del ojo humano está derecha o invertida? Discuta las implicaciones de esto para la percepción de los objetos. 9. El ojo humano es muy parecido a una cámara fotográfica, sin embargo, cuando el obturador de una cámara se deja abierto y la cámara se mueve, la imagen resultará borrosa; pero cuando una persona mueve la cabeza con los ojos abiertos, puede ver con claridad. Explique por qué. 10. Los anteojos de lectura son lentes convergentes. Un amplificador simple también es una lente convergente. Por tanto, ¿los anteojos para lectura son amplificadores? Discuta las similitudes y diferencias entre las lentes convergentes cuando se usan para estos dos diferentes propósitos. * 11. Los microscopios baratos con los que juegan los niños generalmente producen imágenes que tienen colores en los bordes. ¿Por qué? * 12. La aberración esférica en una lente delgada se minimiza si los rayos se doblan igualmente por las dos superficies. Si se usa una lente planoconvexa para formar una imagen real de un objeto en el infinito, ¿cuál superficie debe dar frente al objeto? Use diagramas de rayos para mostrar por qué. * 13. ¿Cuáles aberraciones presentes en una lente simple no están presentes (o están enormemente reducidas) en el ojo humano? * 14. Explique por qué la aberración cromática ocurre para lentes delgadas pero no para espejos. 15. ¿En qué factor se puede mejorar la resolución, cuando todo lo demás permanece igual, si se usa luz azul (l  450 nm) en lugar de roja (700 nm)? 16. Mencione al menos dos ventajas para el uso de grandes espejos reflectores en los telescopios astronómicos. 17. ¿Cuál color de la luz visible brindaría la mejor resolución en un microscopio? Explique su respuesta. 18. Los átomos tienen diámetros de alrededor de 108 cm. ¿Se puede usar luz visible para “ver” un átomo? Explique su respuesta.

Problemas 25–1 Cámara 1. (I) Una lente, con longitud focal de 55 mm, tiene números f que varían de f
1.4 a f
22. ¿Cuál es el rango correspondiente de los diámetros de la lente del diafragma? 2. (I) La lente de una cámara de televisión tiene una longitud focal de 14 cm y un diámetro de lente de 6.0 cm. ¿Cuál es su número f? 3. (I) Un exposímetro reporta que una cámara configurada a 1 250 s en f
5.6 proporcionará una exposición correcta. Pero el fotógrafo desea usar f
11 para aumentar la profundidad de campo. ¿Cuál debe ser la rapidez del obturador? 4. (I) Una fotografía adecuadamente expuesta se toma a f
16 y 1 60 s. ¿Qué abertura de lente requeriría si la rapidez del obtu1 s? rador fuese de 1000

7. (II) Un fotógrafo de la naturaleza quiere fotografiar un árbol de 28 m de alto desde una distancia de 58 m. ¿Qué longitud focal de lente debe usar si la imagen debe llenar los 24 mm de altura de la película? 8. (II) Una cámara de “hoyo de alfiler” usa un pequeño hoyo de alfiler en lugar de una lente. Muestre, con diagramas de rayos, qué tan claras resultan las imágenes tomadas con tales cámaras. En particular, considere dos objetos puntuales separados 2.0 cm que están a 1.0 m de un hoyo de alfiler de 1.0 mm. Demuestre que, en un trozo de película a 7.0 cm detrás del hoyo de alfiler, los dos objetos producen dos círculos separados que no se traslapan. 1 s en 9. (III) Suponga que una exposición correcta es de 250 f
11. En las mismas condiciones, ¿qué tiempo de exposición se necesitaría para una cámara de hoyo de alfiler (problema 8) si el diámetro del hoyo es de 1.0 mm y la película está a 7.0 cm del hoyo?

5. (II) Si un telefoto de f  135 mm está diseñado para cubrir distancias de objeto de 1.2 m al q, ¿sobre qué distancia se debe mover la lente en relación con el plano de la película?

25–2 Ojo y lentes correctivas

6. (II) Una lente, con longitud focal de 200 mm, se puede ajustar de modo que esté de 200.0 a 206.0 mm de la película. ¿Para qué rango de distancias objeto es posible ajustarla?

10. (I) Un globo ocular humano tiene aproximadamente 2.0 cm de largo, y la pupila tiene un diámetro mínimo de alrededor de 8.0 mm. ¿Cuál es la “rapidez” de esta lente?

722

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

11. (I) Si la persona miope del ejemplo 25-6 usara lentes de contacto correctivos para el punto lejano ( q), demuestre que el punto cercano sería de 41 cm. (¿Las gafas serían más recomendables en este caso?) 12. (II) ¿Qué potencia de anteojos de lectura se requiere para una persona cuyo punto cercano está a 115 cm, de modo que pueda leer una pantalla de computadora a 55 cm? Suponga una distancia lente-ojo de 1.8 cm. 13. (II) Una persona tiene un punto lejano de 14 cm. ¿Qué potencia de anteojos podría corregir esta visión si se considera que éstos habrán de colocarse a 2.0 cm de los ojos? ¿Qué potencia de lentes de contacto, colocados sobre el ojo, necesitaría esa persona? 14. (II) Una persona se esfuerza por leer sujetando un libro con su mano estirada, a una distancia de 45 cm ( punto cercano). ¿Qué potencia de anteojos de lectura se prescribiría para ella, si se supone que aquellos se colocarán a 2.0 cm de los ojos y que la persona quiere leer en el punto cercano normal de 25 cm? 15. (II) El ojo izquierdo de una persona está corregido por una lente de –3.50 dioptrías, a 2.0 cm del ojo. a) ¿El ojo izquierdo de esta persona es miope o hipermétrope? b) ¿Cuál es el punto lejano de este ojo sin lentes? 16. (II) El ojo derecho de una persona puede ver los objetos con claridad sólo si están entre 25 cm y 75 cm de distancia. a) ¿Qué potencia de lentes de contacto se requiere, de modo que los objetos más allá de esa distancia se vean con claridad? b) ¿Cuál será el punto cercano con los lentes puestos? 17. (II) ¿Aproximadamente cuánto más grande es el ojo miope del ejemplo 25-6 que un ojo normal que mide 2.0 cm? 18. (II) Una lente de los anteojos de una persona miope tiene una longitud focal de –22.0 cm, y la lente está a 1.8 cm del ojo. Si la persona cambia a lentes de contacto que están colocados directamente sobre el ojo, ¿cuál debería ser la longitud focal de los lentes de contacto correspondientes? 19. (II) ¿Cuál es la longitud focal del sistema ojo-lente cuando se ve un objeto a) en el infinito y b) a 33 cm del ojo? Suponga que la distancia lente-retina es de 2.0 cm. 20. (III) Una persona miope tiene puntos cercano y lejano de 10.0 y 20.0 cm, respectivamente. Si ella se pone lentes de contacto con potencia P  4.00 D, ¿cuáles son sus nuevos puntos cercano y lejano? 25–3 Lente de aumento 21. (I) ¿Cuál es la amplificación de una lente que se usa con un ojo relajado, si su longitud focal es de 12 cm? 22. (I) ¿Cuál es la longitud focal de una lente de aumento de 3.5
de amplificación para un ojo relajado normal? 23. (I) Un amplificador está clasificado en 2.5
para un ojo normal que enfoca una imagen en el punto cercano. a) ¿Cuál es su longitud focal? b) ¿Cuál es su longitud focal si los 2.5
se refieren a un ojo relajado? 24. (II) Sherlock Holmes usa una lente con longitud focal de 9.00 cm como lupa. Para obtener la máxima amplificación, ¿dónde debe colocarse el objeto (suponga un ojo normal) y cuál será la amplificación? 25. (II) Un insecto de 3.30 mm de ancho se ve con una lente de 9.50 cm de longitud focal. Un ojo normal ve la imagen en su punto cercano. Calcule a) la amplificación angular, b) el ancho de la imagen y c) la distancia objeto desde la lente.

26. (II) Un pequeño insecto se coloca a 5.55 cm de una lente con 6.00 cm de longitud focal. Calcule a) la posición de la imagen y b) la amplificación angular. 27. (II) Una lupa con una longitud focal de 8.5 cm se usa para leer impresos colocados a una distancia de 7.5 cm. Calcule a) la posición de la imagen; b) la amplificación angular. 28. (III) Una lente de aumento se clasifica en 3.0
para un ojo normal que está relajado. ¿Cuál sería la amplificación de esta lente para un ojo relajado cuyo punto cercano está a) a 55 cm y b) a 16 cm? Explique las diferencias. 25–4 Telescopios 29. (I) ¿Cuál es la amplificación de un telescopio astronómico cuyo objetivo tiene una longitud focal de 76 cm y cuyo ocular tiene una longitud focal de 2.8 cm? ¿Cuál es la longitud global del telescopio cuando se ajusta para un ojo relajado? 30. (I) Se desea que la amplificación global de un telescopio astronómico sea de 25
. Si se usa un objetivo con longitud focal de 78 cm, ¿cuál debe ser la longitud focal del ocular? ¿Cuál es la longitud global del telescopio cuando se ajusta para que lo utilice una persona con los ojos relajados? 31. (I) Un binocular de 8.0
tiene un ocular de 2.8 cm de longitud focal. ¿Cuál es la longitud focal de la lente objetivo? 32. (II) Un telescopio astronómico tiene un objetivo con longitud focal de 85 cm y un ocular de 35 D. ¿Cuál es la amplificación total? 33. (II) Un telescopio astronómico tiene sus dos lentes separados 75.2 cm. Si el objetivo tiene una longitud focal de 74.5 cm, ¿cuál es la amplificación de este telescopio? Suponga un ojo relajado. 34. (II) Un telescopio galileano ajustado para un ojo relajado tiene 32.8 cm de largo. Si el objetivo tiene una longitud focal de 36.0 cm, ¿cuál es su amplificación? 35. (II) ¿Cuál es la potencia de amplificación de un telescopio astronómico que usa un espejo reflector cuyo radio de curvatura es de 6.0 m y un ocular cuya longitud focal es de 3.2 cm? 36. (II) La imagen de la Luna parece amplificarse 120
mediante un telescopio astronómico reflector con un ocular que tiene una longitud focal de 3.2 cm. ¿Cuáles son la longitud focal y el radio de curvatura del espejo principal (objetivo)? 37. (II) Un telescopio astronómico de 170
está ajustado para un ojo relajado cuando las dos lentes están separadas 1.25 m. ¿Cuál es la longitud focal de cada lente? 38. (III) Un telescopio reflector (figura 25-21b) tiene un radio de curvatura de 3.0 m para su espejo objetivo y un radio de curvatura de –1.50 m para su espejo ocular. Si la distancia entre los dos espejos es de 0.90 m, ¿a qué distancia enfrente del ocular se debe colocar la película fotográfica para registrar la imagen de una estrella?

* 25–5 Microscopio * 39. (I) Un microscopio usa un ocular con una longitud focal de 1.40 cm. Con un ojo normal y una imagen final en el infinito, la longitud del tubo es de 17.5 cm y la longitud focal de la lente objetivo es de 0.65 cm. ¿Cuál es la amplificación del microscopio?

Problemas

723

* 40. (I) Un microscopio de 620
usa una lente objetivo de 0.40 cm de longitud focal. Si la longitud del tubo es de 17.5 cm, ¿cuál es la longitud focal del ocular? Suponga un ojo normal y que la imagen final está en el infinito.

* 41. (I) Un microscopio de 17 cm de largo tiene un ocular con una longitud focal de 2.5 cm y un objetivo con una longitud focal de 0.28 cm. ¿Cuál es la amplificación aproximada?

* 42. (II) Un microscopio tiene un ocular de 12.0
y un objetivo de 59.0
separados 20.0 cm. Calcule a) la amplificación total, b) la longitud focal de cada lente y c) dónde debe estar el objeto para que un ojo normal relajado pueda verlo en foco.

* 43. (II) Un microscopio tiene un ocular con 1.8 cm de longitud focal y un objetivo de 0.80 cm. Si se supone un ojo normal relajado, calcule a) la posición del objeto si la distancia entre las lentes es de 16.0 cm y b) la amplificación total.

* 44. (II) Repita el problema 43, pero suponga que la imagen final se ubica a 25 cm del ocular (punto cercano de un ojo normal).

* 45. (III) El ocular de un microscopio compuesto tiene una longitud focal de 2.70 cm y el objetivo tiene f  0.740 cm. Si un objeto se coloca a 0.790 cm del lente objetivo, calcule a) la distancia entre las lentes cuando el microscopio se ajusta para un ojo relajado, y b) la amplificación total.

* 25–6 Aberraciones * 46. (II) Una lente acromática está hecha de dos lentes muy delgadas, en contacto, que tienen longitudes focales f1  28 cm y f2  23 cm. a) ¿La combinación es convergente o divergente? B) ¿Cuál es la longitud focal neta?

* 47. (III) Examine la aberración esférica en una situación particular. En la figura 25-48 se ilustra una lente planoconvexa de 1.50 de índice de refracción y R  12.0 cm de radio de curvatura. Considere un rayo entrante paralelo al eje principal y a una altura h sobre él, como se muestra. Determine la distancia d, desde la cara plana de la lente, a donde este rayo cruza el eje principal si a) h  1.0 cm, y b) h  6.0 cm. c) ¿Cuál es la distancia de separación entre estos “puntos focales”? d) ¿Cuál es el radio del “círculo de menor confusión” producido por el rayo h  6.0 cm en el “punto focal” para h  1.0 cm?

h

R

“F” d

FIGURA 25–48 Problema 47.

724

CAPÍTULO 25

Instrumentos ópticos

De la sección 25-7 a la 25-9 Resolución 48. (I) ¿Cuál es el límite de resolución angular (en grados) impuesto por la difracción para el telescopio de 100 pulgadas (254 cm diámetro de espejo) del Monte Wilson (l  550 nm)? 49. (II) Se quiere construir un telescopio capaz de resolver características de 7.0 km en la Luna, a 384,000 km de distancia. Se tiene un lente objetivo de 2.0 m de longitud focal cuyo diámetro es de 11.0 cm. ¿Qué longitud focal se necesita en el ocular si el ojo puede resolver objetos separados 0.10 mm a una distancia de 25 cm? ¿Cuál es el límite de resolución (en radianes) impuesto por el tamaño de la lente objetivo (es decir, por difracción)? Considere que l  550 nm. 50. (II) La lente normal en una cámara de 35 mm tiene una longitud focal de 50.0 mm. Su diámetro de abertura varía de un máximo de 25 mm (f
2) a un mínimo de 3.0 mm (f
16). Determine el límite de resolución impuesto por difracción para f
2 y f
16. Especifique como el número de líneas por milímetro resuelto en la película. Considere que l  550 nm. 51. (II) Dos estrellas separadas 15 años luz apenas son resueltas por un telescopio de 55 cm (diámetro de espejo). ¿Qué distancia separa a las estrellas? Suponga que l  550 nm y que la resolución está limitada por difracción. 52. (II) a) ¿A qué distancia puede distinguir el ojo humano dos faros de automóvil separados 2.0 m? Considere sólo los efectos de la difracción y suponga un diámetro de la pupila del ojo de 5.0 mm y una longitud de onda de 550 nm. b) ¿Cuál es la separación angular mínima que un ojo puede resolver cuando ve dos estrellas, si se consideran sólo los efectos de la difracción? En realidad, es aproximadamente 1¿ de arco. ¿Por qué no es igual a su respuesta en b)? 53. (II) La Tierra y la Luna están separadas por aproximadamente 400
106 m. Cuando Marte está a 8
1010 m de la Tierra, ¿una persona en Marte podría resolver la Tierra y su Luna como dos objetos separados sin un telescopio? Suponga un diámetro de pupila de 5 mm y que l  550 nm.

* 25–11 Rayos X * 54. (II) Rayos X con 0.133 nm longitud de onda caen sobre un cristal cuyos átomos, que se encuentran en planos, están separados 0.280 nm. ¿A qué ángulo f (relativo a la superficie, figura 25-37) se deben dirigir los rayos X si se debe observar el primer máximo de difracción? * 55. (II) Rayos X con 0.0973 nm de longitud de onda se dirigen a un cristal desconocido. El segundo máximo de difracción se registra cuando los rayos X se dirigen en un ángulo de 23.4° en relación con la superficie del cristal. ¿Cuál es el espaciamiento entre los planos del cristal? * 56. (II) Difracción Bragg de primer orden se observa a 25.2° en relación con la superficie del cristal, con espaciamiento entre átomos de 0.24 nm. a) ¿En qué ángulo se observará el segundo orden? b) ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos X?

* 25–12 Tomografía computarizada * 57. (II) a) Suponga para una imagen convencional de rayos X que el haz de rayos X consiste en rayos paralelos. ¿Cuál sería la amplificación de la imagen? b) En vez de ello, suponga que los rayos X provienen de una fuente puntual (como en la figura 25-41) que está 15 cm enfrente de un cuerpo humano de 25 cm de grosor y que la película se presiona contra la espalda de la persona. Determine y discuta el rango de amplificaciones que resulta.

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Problemas generales 58. Samuel compra unos anteojos de 3.50 dioptrías que corrigen su visión defectuosa para poner su punto cercano a 25 cm. (Suponga que él usa los lentes a 2.0 cm de sus ojos). a) Calcule la longitud focal de los lentes de Samuel. b) Calcule el punto cercano de Samuel sin lentes. c) Pamela, quien tiene ojos normales con punto cercano a 25 cm, se pone los lentes de Samuel. Calcule el punto cercano de Pamela cuando se pone los lentes de Samuel. 59. Conforme la mañana transcurre hacia el mediodía, y la luz del Sol se vuelve más intensa, una fotógrafa nota que, si mantiene constante la rapidez de su obturador, tiene que cambiar el número f de f
5.6 a f
22. ¿En qué factor ha aumentado la intensidad de la luz solar durante este tiempo? 60. Demuestre que, para objetos muy lejanos (suponga infinito), la amplificación de la lente de una cámara es proporcional a su longitud focal. 61. Para un cámara equipada con una lente de 50 mm de longitud focal, ¿cuál es la distancia objeto si la altura de la imagen es igual a la altura del objeto? ¿A qué distancia de la película está el objeto? 62. Una mujer puede ver claramente con su ojo derecho sólo cuando los objetos están entre 45 y 155 cm de distancia. ¿Qué potencia deben tener los bifocales prescritos para que pueda ver claramente los objetos distantes (parte superior) y ser capaz de leer un libro a 25 cm de distancia (parte inferior) con su ojo derecho? Suponga que los lentes estarán a 2.0 cm de los ojos. 63. Un niño tiene un punto cercano de 15 cm. ¿Cuál es la amplificación máxima que el niño puede obtener con el uso de un amplificador de 8.0 cm de longitud focal? ¿Qué amplificación puede obtener un ojo normal con la misma lente? ¿Cuál persona ve más detalle? 64. ¿Cuál es la potencia de amplificación de una lente de 4.0 D usada como amplificador? Suponga un ojo normal relajado. 65. Un físico perdido en las montañas intenta hacer un telescopio con las lentes de sus gafas de lectura, que tienen potencias de 2.0 D y 4.5 D, respectivamente. a) ¿Qué máxima amplificación de telescopio es posible? b) ¿Cuál lente se debe usar como el ocular? 66. Un hombre de 50 años de edad usa lentes de 2.5 dioptrías para leer un diario a 25 cm de distancia. Diez años después, debe sostener el periódico a 35 cm de distancia para ver claramente con los mismos lentes. ¿Qué potencia de lentes necesita ahora para leer el periódico a 25 cm de distancia? (Las distancias se miden desde los lentes).

67. Los aviones espía vuelan a alturas extremadamente altas (25 km) para evitar intercepción. Sus cámaras son capaces de discernir características tan pequeñas como 5 cm. ¿Cuál debe ser la abertura mínima de la lente de la cámara para lograr esta resolución? (Considere que l  550 nm). 68. Cuando se toman fotografías a distancias muy cortas, hay que aumentar los tiempos de exposición pues la distancia de la lente a la película aumenta para una imagen enfocada. a) Demuestre que, cuando el objeto está tan cerca de la cámara que la altura de la imagen es igual a la altura del objeto, el tiempo de exposición debe ser cuatro veces más largo (o 2 números f) que cuando el objeto está a una gran distancia (por ejemplo, q), si la iluminación y el número f son los mismos. b) Demuestre que, si do es al menos cuatro o cinco veces la longitud focal f de la lente, el tiempo de exposición aumenta por menos de la mitad de un número f relativo al mismo objeto que está a gran distancia. 69. El objetivo y el ocular de un telescopio están separados 85 cm. Si el ocular es de 23 dioptrías, ¿cuál es la amplificación total del telescopio? 70. El Telescopio Espacial Hubble, con un diámetro de objetivo de 2.4 m, se enfoca hacia la Luna. Estime la distancia mínima entre dos objetos sobre la Luna que el Hubble puede distinguir. Considere la difracción de la luz con longitud de onda de 550 nm. Suponga que el Hubble está cerca de la Tierra. 71. Dos lentes convergentes, una con f  4.0 cm y la otra con f  44 cm, se convierten en telescopio. a) ¿Cuáles son la longitud y la amplificación? ¿Cuál lente debe ser el ocular? b) Suponga que dichas lentes ahora se combinan para hacer un microscopio; si la amplificación necesaria debe ser de 25
, ¿qué tan largo deberá ser el microscopio? 72. Un telescopio astronómico tiene una amplificación de 8.0. Si las dos lentes están separadas 28 cm, determine la longitud focal de cada una. 73. Se quiere diseñar un satélite espía para fotografiar los números de las placas de los automóviles. Si se supone que es necesario resolver puntos separados por 5 cm con luz de 550 nm, y que el satélite orbitará a un altura de 130 km, ¿qué abertura de lente mínima (diámetro) se requiere?

* 74. Una lente planoconvexa de lucita (figura 23-29a) tiene una superficie plana y la otra tiene R  18.4 cm. Esta lente se usa para ver un objeto, ubicado a 66.0 cm de distancia de la lente, que es una mezcla de rojo y amarillo. El índice de refracción del vidrio es 1.5106 para luz roja y 1.5226 para luz amarilla. ¿Cuáles son las ubicaciones de las imágenes roja y amarilla formadas por la lente?

Respuestas a los ejercicios A: 6.3 m. B: P = – 4.0 D.

C: 48 cm. D: 2 m.

Problemas generales

725

Uno de los primeros libros de fantasía científica (1940) llamado El país de las maravillas, escrito por el físico George Gamow, describía un mundo en el que la rapidez de la luz sólo era de 10 m
s (20 mi
h). El señor Tompkins había estudiado relatividad y, cuando comenzó a “acelerar” en su bicicleta, “esperaba que su cuerpo fuera inmediatamente reducido, y se sentía muy feliz acerca de ello ya que su creciente figura últimamente le había causado cierta ansiedad. Sin embargo, para su gran sorpresa, nada le ocurrió a él ni a su bicicleta. Por otra parte, el panorama alrededor suyo había cambiado por completo. Las calles se hicieron más cortas, las ventanas de las tiendas comenzaron a parecer estrechas rendijas, y el policía en la esquina se convirtió en el hombre más delgado que había visto jamás. ‘¡Por Júpiter!’, exclamó el señor Tompkins excitadísimo, ‘Ahora veo el truco. De aquí es de donde proviene la palabra relatividad’.” De hecho, la relatividad no predice que los objetos que se mueven en relación con el observador a gran rapidez, cercana a la de la luz c, disminuyan en longitud. No lo notamos, como lo hizo el señor Tompkins, porque c
3  108 m
s es una rapidez increíble. En este capítulo se estudiarán la contracción de la longitud, la dilatación del tiempo, la no concordancia de la simultaneidad, y cómo la energía y la masa son equivalentes (E
mc2).

CAPÍTULO

26

La teoría especial de la relatividad

L

a física de finales del siglo XIX volvió la vista a un periodo de grandes progresos. Las teorías desarrolladas durante los tres siglos precedentes habían tenido mucho éxito al explicar un amplio rango de fenómenos naturales. La mecánica newtoniana explicaba hermosamente el movimiento de los objetos en la Tierra y en los cielos. Más aún, constituyó la base para la comprensión de los fluidos, el movimiento ondulatorio y el sonido. La teoría cinética explicaba el comportamiento de los gases y de otros materiales. La teoría de Maxwell del electromagnetismo no sólo unificó y explicó los fenómenos eléctricos y magnéticos, sino que también predijo la existencia de ondas electromagnéticas que se comportarían exactamente como la luz, de modo que esta última se llegó a considerar como una onda electromagnética.

726

De hecho, parecía que el mundo natural, visto a través de los ojos de los físicos, estaba muy explicado. Todavía quedaban algunos acertijos, pero se creía que pronto encontrarían explicación mediante los principios ya conocidos. Pero las cosas no fueron tan simples. En vez de ello, estos rompecabezas sólo serían resueltos con la introducción, en la primera parte del siglo XX, de dos nuevas teorías revolucionarias que cambiarían toda la concepción de la naturaleza: la teoría de la relatividad y la teoría cuántica. La física, tal como se conocía a finales del siglo XIX (lo que se ha estudiado hasta ahora en este libro), constituye la llamada física clásica. La nueva física que se desarrolló a partir de la gran revolución a la vuelta del siglo XX ahora se llama física moderna. En este capítulo se presentará la teoría especial de la relatividad, propuesta por Albert Einstein (1879-1955; figura 26-1) en 1905.

Física clásica frente a la moderna

FIGURA 26–1 Albert Einstein (1879-1955), una de las grandes mentes del siglo xx, fue el creador de las teorías especial y general de la relatividad.

26–1 Relatividad galileana-newtoniana La teoría especial de la relatividad tiene que ver con la manera de observar los eventos, en particular con la forma en que los objetos y los eventos se observan desde diferentes marcos de referencia.† Desde luego, Galileo y Newton ya habían explorado este tema. La teoría especial de la relatividad trata con los eventos que se observan y se miden en los así llamados marcos de referencia inerciales que, como se explicó en el capítulo 4, son los marcos de referencia en los que es válida la primera ley de Newton: si un objeto no experimenta fuerza neta, el objeto permanece en reposo o continúa en movimiento con rapidez constante en línea recta. Es más fácil analizar los eventos cuando se observan y se miden desde marcos inerciales. La Tierra, aunque no es precisamente un marco inercial (puesto que gira), está lo suficientemente cerca de serlo como para que, para la mayoría de los propósitos, se le considere como un marco inercial. Los marcos de referencia en rotación o en aceleración son marcos no inerciales,‡ y no se estudiarán en este libro.

Marco de referencia inercial

†

Un marco de referencia es un conjunto de ejes coordenados fijos a cierto cuerpo, como la Tierra, un tren o la Luna. Véase la sección 2-1. ‡ En una plataforma giratoria, como un tiovivo, por ejemplo, un objeto en reposo comienza a moverse hacia fuera aun cuando ningún cuerpo ejerza fuerza sobre él. Por tanto, éste es un marco no inercial. Observe la figura C-1 en el apéndice C.

SECCIÓN 26–1

Relatividad galileana-newtoniana

727

www.elsolucionario.org

Principio de relatividad: las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales.

Un marco de referencia que se mueve con velocidad constante con respecto a un marco inercial, en sí mismo, también es un marco inercial, pues las leyes de Newton de igual forma se sostienen en él. Cuando se dice que se observa o que se realizan mediciones desde cierto marco de referencia, ello significa que el observador está en reposo en ese marco de referencia. Tanto Galileo como Newton estaban conscientes de lo que ahora se llama principio de relatividad aplicado a la mecánica: que las leyes básicas de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales. Es posible que el lector haya reconocido su validez en la vida cotidiana. Por ejemplo, los objetos se mueven de la misma forma en un tren o en un avión que se mueve con suavidad (velocidad constante), que como lo hacen en la Tierra. (Esto supone que no hay vibraciones o sacudidas que podrían hacer al marco de referencia no inercial.) Cuando una persona camina, toma sopa de un tazón, juega billar o deja caer un lápiz en el suelo mientras viaja en un tren, avión o barco que se muevan con velocidad constante, los cuerpos se moverán tal como lo hacen cuando esa persona está en reposo sobre la Tierra. Suponga ahora que una persona va a bordo de un automóvil que viaja rápidamente a velocidad constante. Si suelta una moneda a la altura de la cabeza dentro del automóvil, ¿cómo caerá? Caerá de forma recta hacia abajo con respecto al automóvil, y golpeará el suelo directamente debajo del punto de liberación, como se observa en la figura 26-2a. (Si la moneda se soltara afuera de la ventanilla del auto, esto no pasaría porque el aire en movimiento arrastraría la moneda hacia atrás en relación con el auto.) Esto es tal como caen los objetos en la Tierra —recto hacia abajo—- y por tanto el experimento en el auto en movimiento está en concordancia con el principio de relatividad.

FIGURA 26–2 Una persona suelta una moneda en un automóvil en movimiento. Las imágenes superiores muestran el momento de liberación de la moneda, las inferiores ilustran la situación poco tiempo después. a) En el marco de referencia del automóvil, la moneda cae de forma recta hacia abajo (y el árbol se mueve hacia la izquierda). b) En un marco de referencia fijo en la Tierra, la moneda sigue una trayectoria curva (parabólica).

a) Marco de referencia = automóvil

P R E C A U C I Ó N

Las leyes son las mismas, pero las trayectorias pueden ser diferentes en diferentes marcos de referencia.

728

CAPÍTULO 26

b) Marco de referencia = Tierra

Sin embargo, en este ejemplo hay que hacer notar que, para un observador en la Tierra, la moneda sigue una trayectoria curva (figura 26-2b). La trayectoria real seguida por la moneda es diferente según se vea desde distintos marcos de referencia. Esto no viola el principio de relatividad porque éste afirma que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales. La misma ley de gravedad y las mismas leyes de movimiento se aplican en ambos marcos de referencia. Y la aceleración de la moneda es la misma en ambos marcos de referencia. La diferencia en las figuras 26-2a y b es que, en el marco de referencia de la Tierra, la moneda tiene una velocidad inicial (igual a la del automóvil). Por tanto, las leyes de la física predicen que la moneda seguirá una trayectoria parabólica como cualquier proyectil (capítulo 3). En el marco de referencia del auto, no hay velocidad inicial, y las leyes

La teoría especial de la relatividad

de la física predicen que la moneda caerá de forma recta hacia abajo. La leyes son las mismas en ambos marcos de referencia, aunque las trayectorias específicas son diferentes. La relatividad galileano-newtoniana implica ciertas suposiciones no verificables que tienen sentido a partir de la experiencia cotidiana. Se supone que las longitudes de los objetos son las mismas en un marco de referencia y en otro, y que el tiempo pasa a la misma tasa en diferentes marcos de referencia. Entonces, en la mecánica clásica, los intervalos de espacio y tiempo se consideran absolutos: su medición no cambia de un marco de referencia a otro. La masa de un objeto, así como todas las fuerzas, se suponen invariables por un cambio en un marco de referencia inercial. Sin embargo, la posición de un objeto es diferente cuando se especifica en diferentes marcos de referencia, y también su velocidad. Por ejemplo, un persona puede caminar en el interior de un autobús hacia el frente con una rapidez de 2 m
s. Pero si el autobús se mueve a 10 m
s con respecto a la Tierra, entonces la persona se mueve con una rapidez de 12 m
s con respecto a la Tierra. Sin embargo, la aceleración de un cuerpo es la misma en cualquier marco de referencia inercial, de acuerdo con la mecánica clásica. Esto es así porque el cambio en la velocidad, y el intervalo de tiempo, serán los mismos. Por ejemplo, la persona en el autobús puede acelerar de 0 a 2 m
s en 1.0 segundo, de modo que a
2 m
s2 en el marco de referencia del autobús. Con respecto a la Tierra, la aceleración es

P R E C A U C I Ó N

La posición y la velocidad son diferentes en diferentes marcos de referencia, pero la longitud es la misma (clásica).

(12 m
s - 10 m
s) = 2 m
s2, 1.0 s que es la misma. Como ni F ni m ni a cambian de un marco inercial a otro, entonces la segunda ley de Newton, F
ma, no cambia. De esta forma, la segunda ley de Newton satisface el principio de relatividad. Es factible demostrar fácilmente que las otras leyes de la mecánica también satisfacen el principio de relatividad. El hecho de que las leyes de la mecánica sean las mismas en todos los marcos de referencia inerciales implica que ningún marco inercial es especial en sentido alguno. Esta importante conclusión se expresa al decir que todos los marcos de referencia inerciales son equivalentes para la descripción de fenómenos mecánicos. Ningún marco de referencia inercial es de alguna forma mejor que otro. Un marco de referencia fijo en un automóvil o en un avión que viajen con velocidad constante es tan bueno como uno fijo en la Tierra. Cuando una persona viaja suavemente con velocidad constante en un automóvil o en un avión, es tan válido decir que está en reposo y que la Tierra se mueve, como decir lo contrario. No hay un experimento en el que se pueda determinar cuál marco “realmente” está en reposo y cuál en movimiento. Por ende, no hay forma de singularizar un marco de referencia particular como en reposo absoluto. Sin embargo, en la segunda mitad del siglo XIX surgió una complicación. La extensa y exitosa teoría del electromagnetismo de Maxwell (capítulo 22) predijo que la luz era una onda electromagnética. Las ecuaciones de Maxwell indicaban que la velocidad de la luz c era de 3.00  108 m
s; y esto es lo que se mide, dentro del error experimental. Entonces surgió la pregunta: ¿En qué marco de referencia la luz tiene precisamente el valor predicho por la teoría de Maxwell? Para ello se supuso que la luz tendría una rapidez diferente en diferentes marcos de referencia. Por ejemplo, si algunos observadores viajaran en una nave espacial con una rapidez de 1.0  108 m
s alejándose de una fuente de luz, uno esperaría que ellos midieran la rapidez de la luz que los alcanza en

Todos los marcos de referencia inerciales son igualmente válidos.

A3.0 * 108 m
sB - A1.0 * 108 m
sB = 2.0 * 108 m
s. Pero las ecuaciones de Maxwell no prevén la velocidad relativa. Predicen que la rapidez de la luz es c
3.0  108 m
s. Esto parece implicar que debe haber algún marco de referencia especial donde c tendría este valor.

SECCIÓN 26–1

Relatividad galileana-newtoniana

729

El “éter”

El experimento Michelson-Morley

El resultado nulo

En los capítulos 11 y 12 se explicó que las ondas pueden viajar en el agua y a lo largo de sogas o cuerdas, y que las ondas sonoras viajan en el aire y otros materiales. Los físicos del siglo XIX visualizaron al mundo material en términos de las leyes de la mecánica, de modo que para ellos era natural suponer que la luz también debía viajar en algún medio. Llamaron éter a este medio transparente y supusieron que penetraba en todo el espacio.† Entonces se supuso que la velocidad de la luz dada por las ecuaciones de Maxwell debía ser con respecto al éter. Al principio parecía que las ecuaciones de Maxwell no satisfacían el principio de relatividad. Eran más simples en el marco donde c
3.00  108 m
s; es decir, en un marco de referencia en reposo en el éter. En cualquier otro marco de referencia habría que agregar términos para tomar en cuenta la velocidad relativa. Así, aunque la mayoría de las leyes de la física obedecían el principio de relatividad, las leyes de la electricidad y el magnetismo aparentemente no lo hacían. (El segundo postulado de Einstein, que se explica en la siguiente sección, resolvió este problema: las ecuaciones de Maxwell sí satisfacen la relatividad). Los científicos pronto se dieron a la tarea de determinar la rapidez de la Tierra en relación con este marco absoluto, cualquiera que pudiera ser. Se diseñaron varios ingeniosos experimentos. El más directo corrió a cargo de A. A. Michelson y E. W. Morley en la década de 1880. Ellos midieron la diferencia en la rapidez de la luz en diferentes direcciones con el interferómetro de Michelson (sección 24-9). Esperaban encontrar una diferencia que dependiera de la orientación de sus aparatos con respecto al éter. Porque, tal como un bote tiene diferentes rapideces en relación con la tierra cuando se mueve corriente arriba, corriente abajo o a través de la corriente, del mismo modo se esperaría que la luz tuviese diferentes rapideces dependiendo de la velocidad del éter que pase por la Tierra. Por extraño que parezca, no detectaron diferencia en absoluto. Éste fue un gran enigma. Varias explicaciones se esgrimieron durante varios años, pero conducían a contradicciones o, por alguna razón, no se aceptaban de manera general. Este resultado nulo fue uno de los grandes enigmas a finales del siglo XIX. Entonces, en 1905, Albert Einstein propuso una nueva teoría radical que reconciliaba todos estos problemas de una forma simple. Pero al mismo tiempo, como se verá, cambiaría por completo las ideas en torno al espacio y al tiempo.

26–2 Postulados de la teoría especial de la relatividad Los problemas que existían a comienzos del siglo XX con respecto a la teoría electromagnética y la mecánica newtoniana fueron hermosamente resueltos por la introducción de Einstein de la teoría de la relatividad en 1905. Desconocedor del resultado nulo de Michelson-Morley, Einstein fue motivado por ciertas preguntas concernientes a la teoría electromagnética y las ondas luminosas. Por ejemplo, se preguntaba: “¿Qué vería si monto en un haz de luz?”. La respuesta fue que en lugar de ver una onda electromagnética viajera, vería campos eléctricos y magnéticos alternos en reposo cuya magnitud cambiaría en el espacio, mas no cambiaría en el tiempo. Tales campos, como se dio cuenta, nunca se habían detectado y de hecho no eran consistentes con la teoría electromagnética de Maxwell. Por tanto, argumentó, no era razonable pensar que la rapidez de la luz relativa a algún observador se podría reducir a cero o de hecho reducirse en absoluto. Esta idea se convirtió en el segundo postulado de su teoría de la relatividad.

†

El medio para las ondas luminosas no podía ser el aire, pues la luz viaja del Sol a la Tierra a través del espacio casi vacío. Por eso, se postuló la existencia de otro medio, el éter, el cual no sólo era transparente sino que, en virtud de la dificultad para detectarlo, se supuso que tenía densidad cero.

730

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

www.elsolucionario.org En su famoso ensayo de 1905, Einstein propuso desechar por completo la idea del éter y la suposición concomitante de un marco de referencia absoluto en reposo. Esta propuesta tomó forma en dos postulados. El primero fue una extensión del principio de relatividad galileano-newtoniano para incluir no sólo las leyes de la mecánica, sino también las del resto de la física, incluidas la electricidad y el magnetismo: Primer postulado† (el principio de relatividad): Las leyes de la física tienen la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales. El segundo postulado es consistente con el primero: Segundo postulado (constancia de la rapidez de la luz): La luz se propaga a través del espacio vacío con una rapidez definida c independiente de la rapidez de la fuente o del observador. Estos dos postulados constituyen los cimientos de la teoría especial de la relatividad de Einstein. Se le llama “especial” para distinguirla de su posterior “teoría general de la relatividad”, que trata con marcos de referencia no inerciales (en aceleración). La teoría especial, que es la que se analizará aquí, trata sólo con marcos inerciales. El segundo postulado resulta difícil de aceptar porque parece violar el sentido común. Antes que todo, se tiene que pensar que la luz viaja a través del espacio vacío. Sin embargo, dar por descontada la existencia del éter no es tan difícil, pues nunca se le ha detectado. Pero el segundo postulado también dice que la rapidez de la luz en el vacío siempre es la misma, 3.00  108 m
s, sin importar cuál sea la rapidez del observador o de la fuente. De este modo, una persona que viaje hacia o desde una fuente de luz medirá la misma rapidez para la luz que alguien en reposo con respecto a la fuente. Esto entra en conflicto con la experiencia cotidiana: uno esperaría tener que sumar la velocidad del observador. Por otra parte, tal vez uno no espera que la experiencia cotidiana sea de utilidad cuando se lidia con la alta velocidad de la luz. Más aún, el resultado nulo del experimento Michelson-Morley es completamente consistente con el segundo postulado.‡ La propuesta de Einstein tiene cierta belleza. Al deshacerse de la idea de un marco de referencia absoluto, era posible reconciliar la mecánica clásica con la teoría electromagnética de Maxwell. La rapidez de la luz predicha por las ecuaciones de Maxwell es la rapidez de la luz en el vacío en cualquier marco de referencia. La teoría de Einstein requiere que uno deseche las nociones de sentido común acerca del espacio y el tiempo, y en las siguientes secciones se examinarán algunas extrañas, pero interesantes, consecuencias de la relatividad especial. La mayoría de los argumentos serán simples. Se emplearán técnicas que el mismo Einstein utilizó: imaginar situaciones experimentales muy simples en las que se necesitan pocas matemáticas. De esta forma, se pueden ver muchas de las consecuencias de la teoría de la relatividad sin tener que efectuar cálculos detallados. Einstein llamó a estos experimentos “mentales”.

Primer postulado de la relatividad especial Segundo postulado de la relatividad especial

“Experimentos mentales”

26–3 Simultaneidad Una consecuencia importante de la teoría de la relatividad es que uno ya no puede considerar al tiempo como una cantidad absoluta. Nadie duda de que el tiempo fluye hacia delante y nunca regresa. Pero el intervalo de tiempo entre dos eventos, e incluso si dos eventos son o no simultáneos, depende del marco de referencia del observador. Por “evento”, que se usa mucho en el texto, se quiere dar a entender algo que ocurre en un lugar particular y en un tiempo particular.

Definición de evento

†

El primer postulado también se puede establecer del modo siguiente: No hay experimento que pueda realizarse en un marco de referencia inercial que diga si se está en reposo o en movimiento uniforme con velocidad constante. ‡ El experimento Michelson-Morley también podría considerarse una evidencia del primer postulado, pues tenía la intención de medir el movimiento relativo de la Tierra en un marco de referencia absoluto. Su fracaso implica la ausencia de cualquiera de tales marcos preferidos.

SECCIÓN 26–3

Simultaneidad

731

Se dice que dos eventos ocurren de manera simultánea si tienen lugar exactamente al mismo tiempo. Pero, ¿cómo se sabe si dos eventos ocurren precisamente al mismo tiempo? Si ocurren en un mismo punto en el espacio —como dos manzanas que caen sobre la cabeza de una persona al mismo tiempo— es fácil determinarlo. Pero si los dos eventos ocurren en lugares muy separados, es más difícil saber si los eventos son simultáneos pues se tiene que considerar el tiempo que tarda la luz proveniente de ellos en llegar a donde uno está. Puesto que la luz viaja a rapidez finita, una persona que ve dos eventos debe calcular de vuelta para determinar cuándo ocurrieron en realidad. Por ejemplo, si se observa que dos eventos ocurren al mismo tiempo, pero en realidad uno tuvo lugar más lejos del observador que el otro, entonces el más distante debió haber ocurrido antes, y los dos eventos no fueron simultáneos. Ahora imaginemos un sencillo experimento mental. Suponga que un observador, llamado O, se ubica exactamente a la mitad entre los puntos A y B, donde ocurren dos eventos (figura 26-3). Suponga que los dos eventos son relámpagos que llegan a los puntos A y B, como se ilustra. Para eventos breves como los relámpagos, sólo cortos pulsos de luz viajarán hacia fuera de A y B, y alcanzarán O. El observador O “ve” los eventos cuando los pulsos de luz alcanzan el punto O. Si los dos pulsos llegan a O al mismo tiempo, entonces los dos eventos fueron simultáneos. Esto se debe a que los dos pulsos de luz viajaron con la misma rapidez (postulado 2) y, como la distancia OA es igual a OB, el tiempo para que la luz viaje de A a O y de B a O debe ser el mismo. Entonces el observador O puede afirmar definitivamente que los dos eventos ocurrieron de forma simultánea. Por otra parte, si O ve la luz de un evento antes que la del otro, entonces el primer evento ocurrió antes.

O

FIGURA 26–3 Un momento después de que el relámpago llega a los puntos A y B, los pulsos de luz viajan hacia el observador O, pero O “ve” el relámpago sólo cuando la luz alcanza O.

A

B

Luz proveniente de los dos eventos en A y B

La pregunta que realmente se quiere examinar es ésta: Si dos eventos son simultáneos para un observador en un marco de referencia, ¿también son simultáneos para otro observador que se mueve con respecto al primero? Vamos a referirnos a los observadores O1 y O2 y supongamos que están fijos en los marcos de referencia 1 y 2 que se mueven con rapidez v relativa mutua. Estos dos marcos de referencia se pueden considerar como trenes (figura 26-4). O2 dice que O1 se mueve hacia la derecha con rapidez v, como en la figura 26-4a; y O1 dice que O2 se mueve hacia la izquierda con rapidez v, como en la figura 26-4b. Ambos puntos de vista son legítimos de acuerdo con el principio de relatividad. [No hay un tercer punto de vista que diga cuál se mueve “en realidad”.] FIGURA 26–4 Los observadores O1 y O2, en dos trenes diferentes (dos marcos de referencia distintos), se mueven con rapidez relativa v. O2 dice que O1 se mueve hacia la derecha a); O1 dice que O2 se mueve hacia la izquierda b). Ambos puntos de vista son legítimos: todo depende del marco de referencia.

vB

O1 O2 a)

O1 vB

O2 b)

732

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

A1

O1

B1

A2

O2

B2

vB

a)

A1 A2

O1 O2

B1 B2

vB

FIGURA 26–5 Experimento mental acerca de la simultaneidad. Para el observador O2, el marco de referencia de O1 se mueve hacia la derecha. En a), un relámpago golpea los dos marcos de referencia en A1 y A2, y un segundo relámpago golpea en B1 y B2. b) Un momento después, la luz proveniente de los dos eventos alcanza a O2 al mismo tiempo, de modo que, de acuerdo con el observador O2, los dos relámpagos golpean simultáneamente. Pero en el marco de referencia de O1, la luz proveniente de B1 ya alcanzó a O1, mientras que la luz proveniente de A1 todavía no ha llegado a O1. Por tanto, en el marco de referencia de O1, el evento en B1 debe preceder al evento en A1. La simultaneidad en el tiempo no es absoluta.

b)

Suponga ahora que los sujetos O1 y O2 observan y miden dos relámpagos. Los relámpagos marcan ambos trenes donde golpean: en A1 y B1 en el tren de O1, y en A2 y B2 en el tren de O2 (figura 26-5a). Por simplicidad, se supone que O1 está exactamente a la mitad entre A1 y B1, y que O2 está a la mitad entre A2 y B2. Nos colocaremos primero en el marco de referencia de O2, de modo que observamos a O1 moviéndose a la derecha con velocidad v. También vamos a suponer que los dos eventos ocurren simultáneamente en el marco de O2, y justo en el instante cuando O1 y O2 están opuestos uno con respecto al otro (figura 26-5a). Poco tiempo después (figura 26-5b), la luz proveniente de A2 y de B2 alcanza a O2 al mismo tiempo (se supone esto). Como O2 sabe (o mide) que las distancias O2A2 y O2B2 son iguales, O2 sabe que los eventos son simultáneos en el marco de referencia O2. Pero, ¿qué observa y mide el observador O1? Desde nuestro marco de referencia (el de O2), se puede predecir lo que O1 observará. Se ve que O1 se mueve hacia la derecha durante el tiempo que la luz viaja hacia O1 desde A1 y B1. Como se muestra en la figura 26-5b, desde el marco de referencia O2 se ve que la luz proveniente de B1 ya pasó a O1, mientras que la luz proveniente de A1 todavía no alcanza a O1. Esto es, O1 observa la luz proveniente de B1 antes de observar la luz que viene de A1. Puesto que 1. la luz viaja con la misma rapidez c en cualquier dirección y en cualquier marco de referencia, y 2. la distancia O1A1 es igual a O1B1, entonces el observador O1 sólo puede concluir que el evento en B1 ocurrió antes que el evento en A1. Los dos eventos no son simultáneos para O1, aun cuando lo sean para O2. Por ende, se sabe que dos eventos que tienen lugar en diferentes ubicaciones y son simultáneos para un observador, en realidad no son simultáneos para un segundo observador que se mueve en relación con el primero. Podría ser tentador preguntar: “¿Cuál observador tiene razón, O1 u O2?”. La respuesta, de acuerdo con la relatividad, es que ambos tienen razón. No existe un “mejor” marco de referencia que se pueda elegir para determinar cuál observador está en lo correcto. Ambos marcos son igualmente buenos. Sólo se puede concluir que la simultaneidad no es un concepto absoluto, sino relativo. Sin embargo, uno no está consciente de ello en la vida cotidiana, porque el efecto es apreciable sólo cuando la rapidez relativa de los dos marcos de referencia es muy grande (cerca de c), o cuando las distancias implicadas son muy grandes.

La simultaneidad es relativa

EJERCICIO A Examine el experimento de la figura 26-5 desde el marco de referencia de O1. En este caso, O1 estará en reposo y verá que el evento B1 ocurre antes que A1. ¿O1 reconocerá que O2, quien se mueve con rapidez v hacia la izquierda, verá los dos eventos simultáneamente? (Sugerencia: Dibuje un diagrama equivalente a la figura 26-5). SECCIÓN 26–3

Simultaneidad

733

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26–4 La dilatación del tiempo y la paradoja de los gemelos El hecho de que dos eventos simultáneos a un observador puedan no ser simultáneos para un segundo observador sugiere que el tiempo mismo no es absoluto. ¿Podría decirse que el tiempo transcurre de manera diferente en un marco de referencia que en otro? De hecho, esto es lo que la teoría de la relatividad de Einstein predice, como demuestra el siguiente experimento mental. Espejo

D Fuente de luz a)

Receptor Reloj registrador

D2 2

2

D FIGURA 26–6 Es posible demostrar la dilatación del tiempo mediante un experimento mental: el tiempo que tarda la luz en recorrer una nave espacial y regresar es más largo para el observador en la Tierra b) que para el observador en la nave espacial a).

L

 L2

L

D

L

Tierra b)

La figura 26-6 ilustra una nave espacial que pasa por la Tierra a alta rapidez. El punto de vista de un observador en la nave espacial se considera en el inciso a), y el de un observador en la Tierra en el inciso b). Ambos observadores tienen relojes precisos. La persona en la nave espacial (a) dispara un destello de luz y mide el tiempo que tarda la luz en recorrer la nave espacial y regresar después de reflejarse en un espejo. En el marco de referencia de la nave espacial, la luz recorre una distancia 2D con rapidez c; de modo que el tiempo requerido para ir de ida y vuelta, que se llamará t0, es Intervalo de tiempo medido por el observador en la nave espacial

¢ t0 =

2D . c

El observador en la Tierra (figura 26-6b) observa el mismo proceso. Pero para este observador, la nave espacial está en movimiento. De modo que la luz recorre la trayectoria diagonal que, como se muestra, va a través de la nave espacial, se refleja en el espejo y regresa al emisor. Aunque la luz viaja a la misa rapidez hacia este observador (segundo postulado), recorre una mayor distancia. Por tanto, el tiempo requerido, según mide el observador en la Tierra, será más grande que el medido por el observador en la nave espacial. El intervalo de tiempo, t, observado por el sujeto en la Tierra, se calcula del modo siguiente. En el tiempo t, la nave espacial recorre una distancia 2L = v ¢ t donde v es la rapidez de la nave espacial (figura 26-6b). Por consiguiente, la luz recorre una distancia total sobre su trayectoria diagonal (teorema de Pitágoras) de

2 1D2 + L2 ,

734

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

donde L = v ¢ t
2, y en consecuencia

c =

2 3D2 + L2 =

¢t

2 2D2 + v2(¢ t)2
4 . ¢t

Al elevar al cuadrado ambos lados

4D2 + v 2, (¢ t)2 y resolver para t, se encuentra 4D2 (¢ t)2 = 2 c - v2 2D . ¢t = c 31 - v2
c2 Al combinar esta ecuación con la fórmula de la página anterior, ¢ t0 = 2D
c: c2 =

¢t =

¢ t0

.

(26-1a)

2 2 31 - v
c

Dado que 11 - v2
c2 siempre es menor que 1, se ve que ¢ t 7 ¢ t0 . Esto es, el intervalo de tiempo entre los dos eventos (el envío de la luz y su recepción en la nave espacial) es mayor para el observador en la Tierra que para el observador en la nave espacial. Éste es un resultado general de la teoría de la relatividad, y se conoce como dilatación del tiempo. Enunciado de manera simple, el efecto de dilatación del tiempo dice que para un observador, los relojes en movimiento relativo a él caminan más lentamente (en comparación con los relojes en reposo). Sin embargo, no se debe pensar que los relojes de alguna forma tienen fallas. En realidad, se mide que el tiempo pasa más lentamente en cualquier marco de referencia en movimiento, comparado con el propio. Este resultado notable es una conclusión inevitable de los dos postulados de la teoría de la relatividad. El factor 1
11 - v2
c2 ocurre tan frecuentemente en relatividad que a menudo se le asigna el símbolo g, y la ecuación 26-1a se escribe como ¢ t = g ¢ t0 (26-1b) donde

g =

1

.

(26-2)

2 2 31 - v
c

Note que g nunca es menor que uno. A rapideces normales, g
1 hasta unos cuantos lugares decimales; en general, g  1. El concepto de dilatación del tiempo resulta difícil de aceptar, porque contradice la experiencia. A partir de la ecuación 26-1 se ve que el efecto de la dilatación del tiempo, de hecho, es despreciable a menos que v esté razonablemente cerca de c. Si v es mucho menor que c, entonces el término v2
c2 es mucho menor que 1 en el denominador de la ecuación 26-1a, y entonces ¢ t L ¢ t0 (véase el ejemplo 26-2). Las rapideces que se experimentan en la vida cotidiana son mucho menores que c; son tan pequeñitas que ordinariamente no se nota la dilatación del tiempo. Los experimentos han puesto a prueba el efecto de dilatación del tiempo y han confirmado las predicciones de Einstein. En 1971, por ejemplo, relojes atómicos extremadamente precisos se pusieron a bordo de aviones que volaron alrededor del mundo. La rapidez de los aviones (103 km
h) era mucho menor que c, de modo que los relojes tenían que ser precisos en nanosegundos (109 s) con la finalidad de detectar cualquier dilatación del tiempo. Tuvieron esta precisión y confirmaron la ecuación 26-1 hasta dentro del error experimental. Sin embargo, la dilatación del tiempo se había confirmado décadas atrás, al observar “partículas elementales” que tienen masas muy pequeñas (generalmente de 1030 a 1027 kg) y que, por tanto, requieren poca energía para acelerarse a rapideces cercanas a la de la luz c. Muchas de estas partículas elementales no son estables y con el tiempo decaen en partículas más ligeras. Un ejemplo es el muon, cuya vida promedio es de 2.2 ms cuando está en reposo. Experimentos realizados con sumo cuidado demostraron que, cuando un muon viaja a alta rapidez, su vida media es más larga que cuando está en reposo, tal como predice la fórmula de dilatación del tiempo. SECCIÓN 26–4

Fórmula de dilatación del tiempo

Dilatación del tiempo: los relojes en movimiento caminan lentamente.

Dilatación del tiempo Definición de g

¿Por qué generalmente no se aprecia la dilatación del tiempo?

Confirmación experimental

La dilatación del tiempo y la paradoja de los gemelos

735

EJEMPLO 26-1 Vida media de un muon en movimiento. a) ¿Cuál será la vida media promedio de un muon, medida en el laboratorio, si viaja a v
0.60c
1.80  108 m
s con respecto al laboratorio? Su vida media en reposo es 2.20 ms
2.20  106 s. b) ¿Cuánto recorre un muon en el laboratorio, en promedio, antes de decaer? PLANTEAMIENTO Si un observador se moviese junto con el muon (el muon estaría en reposo para este observador), el muon tendría una vida media de 2.2  106 s. Para un observador en el laboratorio, el muon vive más debido a la dilatación del tiempo. La vida media se determina con la ecuación 26-1a y la distancia promedio con d
v t. SOLUCIÓN a) A partir de la ecuación 26-1a, con v
0.60c, se tiene

¢t =

¢ t0

=

v2 1 - 2 B c

2.20 * 10 –6 s

=

2.20 * 10–6 s

0.36c2 1 B c2

30.64

= 2.8 * 10–6 s.

b) La relatividad predice que un muon recorrería una distancia promedio de d = v ¢ t = (0.60)A3.0 * 108 m
sBA2.8 * 10–6 sB = 500 m, y ésta es la distancia que se mide experimentalmente en el laboratorio. NOTA A una rapidez de 1.8  108 m
s, la física clásica diría que, con una vida media de 2.2 ms, un muon promedio recorrería d
v t
(1.8  108 m
s)(2.2  106 s)
400 m. Ésta es una cifra menor que la distancia medida. EJERCICIO B ¿Cuál es la vida media del muon del ejemplo 26-1, si v es a) 0.10c, b) 0.90c?

El tiempo propio t0 está en un marco de referencia donde los dos eventos ocurren en el mismo punto en el espacio.

Es necesario aclarar cómo utilizar la ecuación 26-1 y el significado de t y t0. La ecuación es cierta sólo cuando t0 representa el intervalo de tiempo entre los dos eventos en un marco de referencia donde ocurren los dos eventos en el mismo punto en el espacio (como en la figura 26-6a, donde los dos eventos son el destello de luz que se envía y se recibe). Este intervalo de tiempo, t0, se denomina tiempo propio. Entonces t en la ecuación 26-1 representa el intervalo de tiempo entre los dos eventos, medido en un marco de referencia que se mueve con rapidez v con respecto al primero. En el ejemplo 26-1, t0 (y no t) se hizo igual a 2.2  106 s porque sólo es en el marco en reposo del muon donde ocurren los dos eventos (“nacimiento” y “decaimiento”) en el mismo punto en el espacio. El tiempo propio t0 es el tiempo más corto entre los eventos que cualquier observador puede medir. En cualquier otro marco de referencia en movimiento, el tiempo t es mayor. EJEMPLO 26-2 Dilatación del tiempo a 100 km/h. Compruebe la dilatación del tiempo para las rapideces cotidianas. Un automóvil que viaja a 100 km
h cubre cierta distancia en 10.00 s, de acuerdo con el reloj del conductor. ¿Qué mide un observador en reposo sobre la Tierra como intervalo de tiempo? PLANTEAMIENTO La rapidez del automóvil relativa a la Tierra es 100 km
h
(1.00  105 m)
(3600 s)
27.8 m
s. El conductor está en reposo en el marco de referencia del auto, así que se hace t0
10.00 s en la fórmula de dilatación del tiempo. SOLUCIÓN Se utiliza la ecuación 26-1a:

¢t =

¢ t0

= 2

v 1 - 2 B c

10.00 s 27.8 m
s 1 - ¢ ≤ 3.00 * 108 m
s C

= 2

10.00 s

21 - A8.59 * 10–15 B

.

Si se ingresan estos números en una calculadora, se obtendrá t
10.00 s, pues el denominador difiere de 1 por tan pequeña cantidad. De hecho, el tiempo medido por un observador en la Tierra no mostraría diferencia del medido por el conductor, incluso con los mejores instrumentos. Una computadora que pudiese calcular hasta un gran número de lugares decimales mostraría que t es mayor que t0 por alrededor de 4  1014 s.

736

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

www.elsolucionario.org NOTA La diferencia se puede estimar con el uso de la expansión binomial (apéndice A).

(16x)n L 16nx.

➥

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Uso de la expansión binomial

[para x V 1]

En la fórmula de dilatación del tiempo, se tiene el factor g = A1 - v2
c2 B 2. Por consiguiente –1

¢ t = g ¢ t0 v2 = ¢ t0 ¢ 1 - 2 ≤ c L ¢ t0 ¢ 1 +

1

–2

1 v2 ≤ 2 c2

L 10.00 s B 1 +

2 27.8 m
s 1 ¢ ≤ R 8 2 3.00 * 10 m
s

L 10.00 s + 4 * 10–14 s. De modo que se predice que la diferencia entre t y t0 es 4  1014 s, una cantidad extremadamente pequeña. EJERCICIO C Cierto reloj atómico mantiene tiempo perfecto sobre la Tierra. Si el reloj se lleva en una nave espacial que viaja con una rapidez v
0.60c, ¿este reloj ahora caminará lentamente de acuerdo con las personas a) en la nave espacial, b) en la Tierra?

¿Viaje espacial? La dilatación del tiempo ha suscitado interesantes especulaciones acerca de los viajes espaciales. De acuerdo con la física clásica (newtoniana), alcanzar una estrella a 100 años luz de distancia no sería posible para los mortales ordinarios (1 año luz es la distancia que la luz recorre en un año
3.0  108 m
s  3.16  107 s
9.5  1015 m. Incluso si una nave espacial pudiese viajar muy cerca de la rapidez de la luz, le tomaría cerca de 100 años alcanzar tal estrella. Pero la dilatación del tiempo dice que el tiempo requerido sería menor para un astronauta. En una nave espacial que viaje a v
0.999c, el tiempo para tal viaje sólo sería aproximadamente de

¢ t0 = ¢ t 11 - v2
c2 = (100 años) 11 - (0.999)2 = 4.5 años. Así que la dilatación del tiempo permite tal viaje, pero los enormes problemas prácticos para alcanzar esa rapidez ciertamente no se podrán superar en el futuro cercano. En este ejemplo, 100 años pasarían en la Tierra, mientras que sólo pasarían 4.5 años para el astronauta en el viaje. ¿Sólo son los relojes los que frenarían para el astronauta? No. Todos los procesos, incluso el envejecimiento y otros procesos vitales, sucederían más lentamente para el astronauta, de acuerdo con el observador de la Tierra. Pero para el astronauta, el tiempo pasaría de una forma normal. El astronauta experimentaría 4.5 años de actividades como dormir, comer, leer, etcétera, mientras que la gente en la Tierra experimentaría 100 años de actividad ordinaria. SECCIÓN 26–4

La dilatación del tiempo y la paradoja de los gemelos

737

Paradoja de los gemelos Paradoja de los gemelos

No mucho tiempo después de que Einstein propusiera la teoría especial de la relatividad, se puntualizó una aparente paradoja. De acuerdo con esta paradoja de los gemelos, suponga que una persona de 20 años de edad y que tiene un hermano gemelo, sube a bordo de una nave espacial que viaja con rapidez muy alta hacia una estrella distante y regresa a la Tierra, mientras que el hermano gemelo permanece en nuestro planeta. De acuerdo con el gemelo en la Tierra, el gemelo astronauta envejecerá menos. Mientras que pueden pasar 20 años para el gemelo en la Tierra, tal vez sólo pasaría 1 año para el viajero (dependiendo de la rapidez de la nave espacial). Así que, cuando el viajero regresa, el gemelo que se quedó en tierra podría tener 40 años de edad, mientras que el gemelo viajero sólo tendría de 21. Éste es el punto de vista del gemelo en la Tierra. Pero, ¿qué hay acerca del gemelo viajero? Si todos los marcos de referencia inerciales son igualmente buenos, ¿el gemelo viajero no haría las mismas afirmaciones que el gemelo en la Tierra, sólo que a la inversa? ¿El gemelo astronauta no puede afirmar que, como la Tierra se mueve alejándose a alta rapidez, el tiempo pasa más lentamente en este planeta y que el gemelo en la Tierra envejecerá menos? Esto es lo opuesto de lo que predice el gemelo que permanece en la Tierra. No es posible que los dos estén en lo correcto, porque, después de todo, la nave espacial regresaría a la Tierra y se podría realizar una comparación directa de edades y relojes. Sin embargo, aquí no existe contradicción. Las consecuencias de la teoría especial de la relatividad —en este caso, la dilatación del tiempo— se aplican sólo con observadores en un marco de referencia inercial. La Tierra es uno de tales marcos (o casi lo es), mientras que la nave espacial no lo es. La nave espacial acelera hacia al comienzo y final de su viaje, y cuando da vuelta en el punto más lejano de su viaje. Durante la aceleración, el gemelo en la nave espacial no está en un marco de referencia inercial. Mientras tanto, el gemelo astronauta puede estar en un marco inercial (y se justifica al decir que el reloj del gemelo en la Tierra camina lentamente), pero no siempre es el mismo marco. Así que no es posible predecir sus edades relativas cuando regresa a la Tierra. El gemelo en la Tierra permanece en el mismo marco inercial y, por tanto, sus predicciones con base en la relatividad especial son confiables. De modo que no hay paradoja. La predicción del gemelo en la Tierra de que el gemelo viajero envejece menos es la adecuada.

* Ejemplo adicional. Uso de g EJEMPLO 26-3 g para varias rapideces. Determine el valor de g para una rapidez v igual a a) 0, b) 0.010c, c) 0.10c, d) 0.50c, e) 0.90c, f ) 0.990c. PLANTEAMIENTO Simplemente se utiliza la ecuación 26-2. SOLUCIÓN a) Para v
0, g
1
1
1 exactamente. b) Para v
0.010c
3.0  106 m
s (una rapidez bastante elevada):

1

g =

C =

1 - ¢

0.010c 2 ≤ c

1

31 - A0.010B

= 2

1 20.99990

= 1.00005.

A menos que v tenga más cifras significativas, g
1.0 aquí. Se ve que g nunca es menor que 1.0 y sólo superará 1.0 significativamente a rapideces más altas. c) Para una rapidez 10 veces mayor, v
0.10c, se obtiene

g =

738

CAPÍTULO 26

1

31 - A0.10B

La teoría especial de la relatividad

= 2

1 20.99

= 1.005.

d) Con una rapidez equivalente a la mitad de la rapidez de la luz

g =

1

31 - A0.50B

2

= 1.15.

e) En v
0.90c se obtiene g
2.3. f) En v
0.990c se obtiene g
7.1. La tabla 26-1 es un resumen manejable de estos resultados.

TABLA 26-1 Valores de G £

G

0 0.01c 0.10c 0.50c 0.90c 0.99c

1.000 1.000 1.005 1.15 2.3 7.1

* Sistema de posicionamiento global (gps) Los aviones, automóviles, botes y excursionistas usan receptores de sistema de posicionamiento global (GPS, por sus siglas en inglés) que les informan con bastante precisión dónde están, en un momento determinado. Los 24 satélites de sistema de posicionamiento global envían señales precisas de tiempo de acuerdo con relojes atómicos. El receptor compara los tiempos recibidos desde al menos cuatro satélites, cuyos tiempos son cuidadosamente sincronizados hasta en 1 parte en 1013. Al comparar las diferencias de tiempo con las posiciones conocidas de los satélites y la rapidez fija de la luz, el receptor puede determinar qué tan lejos está de cada satélite y, por tanto, dónde está en la Tierra. Esto es posible con una precisión típica de hasta 15 m, si se ha diseñado para realizar correcciones como la siguiente debida a la relatividad especial.

F Í S I C A

A P L I C A D A

Sistema de posicionamiento global (GPS)

EJEMPLO CONCEPTUAL 26-4 Una corrección relativa al GPS. Los satélites se mueven aproximadamente a 4 km
s
4000 m
s. Demuestre que un buen receptor GPS necesita corregir para la dilatación del tiempo si debe producir resultados consistentes con relojes atómicos precisos hasta 1 parte en 1013. GPS

RESPUESTA Se calcula la magnitud del efecto de dilatación del tiempo al insertar v
4000 m
s en la ecuación 26-1a:

¢t =

1 v2 1 - 2 B c

¢ t0

1

=

4 * 103 m
s 2 1 - ¢ ≤ 3 * 108 m
s C 1

=

–10 31 - 1.8 * 10

¢ t0

¢ t0 .

Se usa la expansión binomial: (16x)n L 16nx para x << 1 (apéndice A) que 1 aquí es (1 - x)2 L 1 + 12 x. Esto es

¢ t = A1 + 12(1.8 * 10–10)B ¢ t0 = (1 + 9 * 10–11) ¢ t0 . El “error” de tiempo dividido por el intervalo de tiempo es

A¢ t - ¢ t0 B ¢ t0

= 1 + 9 * 10–11 - 1 = 9 * 10–11 L 1 * 10–10.

La dilatación del tiempo, si no se tomara en cuenta, introduciría un error de aproximadamente 1 parte en 1010, que es 1000 veces mayor que la precisión de los relojes atómicos. No corregir para la dilatación del tiempo significa que un receptor podría dar precisión de posición mucho más pobre. NOTA Los dispositivos GPS también deben hacer otras correcciones, incluso las que tienen que ver con los efectos asociados con la relatividad general.

SECCIÓN 26–4

La dilatación del tiempo y la paradoja de los gemelos

739

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FIGURA 26–7 a) Una nave espacial que viaja a muy alta rapidez desde la Tierra hacia el planeta Neptuno, como se ve desde el marco de referencia de la Tierra. b) De acuerdo con un observador en la nave espacial, la Tierra y Neptuno se mueven a la muy alta rapidez v: la Tierra deja la nave espacial y un tiempo t0 más tarde, Neptuno llega a la nave espacial.

v

Tierra a)

Neptuno

v

v Tierra b)

Neptuno

26–5 Contracción de la longitud No sólo los intervalos de tiempo son distintos en diferentes marcos de referencia. Los intervalos de espacio —longitudes y distancias— también son diferentes, de acuerdo con la teoría especial de la relatividad, y esto se ilustra con un experimento mental. Observadores en la Tierra miran una nave espacial que viaja con rapidez v desde la Tierra hasta Neptuno (figura 26-7a). La distancia entre los planetas, medida por los observadores de la Tierra, es L0. El tiempo requerido para el viaje, medido desde la Tierra, es

L0 . [observador en la Tierra] v En la figura 26-7b se reproduce el punto de vista de los observadores en la nave espacial. En este marco de referencia, la nave espacial está en reposo; la Tierra y Neptuno se mueven† con rapidez v. El tiempo entre la partida de la Tierra y la llegada de Neptuno (observada desde la nave espacial) es el “tiempo propio”, dado que los dos eventos ocurren en el mismo punto en el espacio (es decir, en la nave espacial). En consecuencia, el intervalo de tiempo es menor para los observadores en la nave especial que para los observadores en la Tierra. Esto es, a causa de la dilatación del tiempo (ecuación 26-1), el tiempo para el viaje, según se ve en la nave espacial, es ¢t =

¢ t0 = ¢ t 21 - v2
c2 = ¢ t
g.

[observador en la nave espacial]

Puesto que los observadores en la nave espacial miden la misma rapidez pero menos tiempo entre estos dos eventos, también miden la distancia como menor. Si se establece que L es la distancia entre los planetas vista por los observadores de la nave espacial, entonces L = v ¢ t0 , que se reescribe como L = v ¢ t0 = v ¢ t 11 - v2
c2 = L0 11 - v2
c2. De esta forma, se tiene el importante resultado de que

L = L0 21 - v2
c2

Fórmula de contracción de la longitud

(26–3a)

o, con el uso de g (ecuación 26-2),

L =

L0 . g

(26-3b)

Éste es un resultado general de la teoría especial de la relatividad y se aplica a las longitudes de objetos, así como a la distancia entre objetos. El resultado se enuncia de forma más simple con palabras: Contracción de la longitud: los objetos en movimiento son más cortos (en la dirección de movimiento). P R E C A U C I Ó N

La longitud propia se mide en el marco de referencia donde las dos posiciones están en reposo.

740

CAPÍTULO 26

la longitud de un objeto se mide más corta cuando se mueve en relación con el observador, que cuando está en reposo. A esto se le conoce como contracción de la longitud. La longitud L0 en la ecuación 26-3 se llama longitud propia. Es la longitud del objeto (o distancia entre dos puntos cuyas posiciones se miden al mismo tiempo) determinada por observadores en reposo con respecto a él. La ecuación 26-3 proporciona la longitud L que medirán los observadores cuando el objeto pase junto a ellos con rapidez v. †

Se supone que v es mucho mayor que la rapidez relativa de Neptuno y la Tierra, de modo que la última se puede ignorar.

La teoría especial de la relatividad

Es importante notar que la contracción de la longitud ocurre sólo a lo largo de la dirección de movimiento. Por ejemplo, la nave espacial en movimiento de la figura 26-7a se acorta en longitud, pero su altura es la misma que cuando está en reposo. La contracción de la longitud, al igual que la dilatación del tiempo, no es apreciable en la vida cotidiana porque el factor 11 - v2
c2 en la ecuación 26-3 difiere significativamente de 1.00 sólo cuando v es muy grande. EJEMPLO 26-5 Contracción de una pintura. Una pintura rectangular mide 1.00 m de alto y 1.50 m de ancho. Cuelga en la pared lateral de una nave espacial que pasa junto a la Tierra con una rapidez de 0.90c. Observe la figura 26-8a. a) ¿Cuáles son la dimensiones del cuadro, de acuerdo con el capitán de la nave espacial? b) ¿Cuáles son las dimensiones vistas por un observador en la tierra? PLANTEAMIENTO Se aplica la fórmula de la contracción de la longitud (ecuación 26-3), a la dimensión paralela al movimiento; v es la rapidez del cuadro relativa al observador.

1.00 m

1.50 m a)

SOLUCIÓN a) El cuadro está en reposo (v
0) en la nave espacial, de modo que (así como todo lo demás en la nave espacial) parece perfectamente normal a los ojos de todos en la nave espacial. El capitán ve un cuadro de 1.00 m por 1.50 m. b) Sólo se acorta la dimensión en la dirección del movimiento, así que la altura queda inalterada en 1.00 (figura 26-8b). Sin embargo, la longitud se contrae a

1.00 m

2

L = L0

B

1 -

v c2

?

= (1.50 m) 31 - (0.90)2 = 0.65 m. b)

De modo que el cuadro tiene las dimensiones de 1.00 m  0.65 m.

FIGURA 26–8 Ejemplo 26-5.

EJEMPLO 26-6 Un tren de fantasía. Un tren muy rápido, con una longitud propia de 500 m, pasa a través de un túnel de 200 m de largo. La rapidez del tren es tan alta que el tren cabe completamente dentro del túnel, según ve un observador en reposo sobre la Tierra (en la montaña situada arriba del túnel); es decir, la máquina está a punto de salir por un extremo del túnel cuando el último vagón desaparece en el otro extremo. ¿Cuál es la rapidez del tren? PLANTEAMIENTO Como el tren cabe justo en el interior del túnel, su longitud medida por la persona en la montaña es de 200 m. Entonces se utiliza la fórmula de contracción de la longitud (ecuación 26-3) para resolver para v. SOLUCIÓN Al sustituir L
200 m y L0
500 m en la ecuación 26-3 resulta

200 m = 500 m

B

1 -

v2 ; c2

al dividir ambos lados por 500 m y elevar al cuadrado se obtiene

(0.40)2 = 1 -

v2 c2

o

v = 31 - (0.40)2 c v = 0.92c. NOTA Ningún tren real podría ir tan rápido. Pero resulta divertido pensar en ello. NOTA Un observador en el tren no vería los dos extremos del tren adentro del túnel al mismo tiempo; la simultaneidad es relativa. EJERCICIO D ¿A qué rapidez de la nave espacial la pintura del ejemplo 26-5 parecería contraída por sólo 10 cm (a L
1.40 m) de acuerdo con los observadores en la Tierra? SECCIÓN 26–5

Contracción de la longitud

741

* 26–6 Espacio-tiempo cuatridimensional 7

a)

7

b) FIGURA 26–9 De acuerdo con un reloj preciso a bordo de en un tren que se mueve rápidamente, una persona a) comienza la cena a las 7:00 y b) termina a las 7:15. Al comienzo de la cena, los observadores en la Tierra ajustan sus relojes para sincronizarlos con el reloj del tren. Estos observadores miden que el tiempo de comida es de 20 minutos.

Imagine que una persona está a bordo de un tren que se mueve a una rapidez muy alta, por ejemplo, 0.65c (figura 26-9). Esta persona comienza a cenar a las 7:00 y termina a las 7:15, de acuerdo con un reloj en el tren. Los dos eventos, comenzar y terminar la cena, tienen lugar en el mismo punto en el tren. Así que el tiempo propio entre estos dos eventos es de 15 min. Para los observadores en la Tierra, la comida tardará más: 20 min, de acuerdo con la ecuación 26-1. Suponga que la cena se sirvió en un plato de 20 cm de diámetro. Para los observadores en la Tierra, el plato mide sólo 15 cm de ancho (contracción de la longitud). Así, para los observadores en la Tierra, la comida parece más pequeña pero dura más tiempo. En un sentido, los dos efectos, dilatación del tiempo y contracción de la longitud, se equilibran mutuamente. Cuando se ven desde la Tierra, lo que un objeto parece perder en tamaño lo gana en longitud de tiempo de duración. Espacio, o longitud, son intercambiados por tiempo. Consideraciones como ésta conducen a la idea de un espacio-tiempo cuatridimensional: el espacio toma tres dimensiones y el tiempo es una cuarta dimensión. Espacio y tiempo están íntimamente conectados. Tal como sucede cuando se aprieta un globo y una dimensión se hace más larga y otra más corta, cuando se examinan los objetos y eventos desde diferentes marcos de referencia, cierta cantidad de espacio es intercambiada por tiempo, o viceversa. Aunque quizás la idea de cuatro dimensiones parezca extraña, se refiere a la idea de que cualquier objeto o evento está especificado por cuatro cantidades: tres para describir dónde en el espacio, y una para describir cuándo en el tiempo. El aspecto realmente inusual del espacio-tiempo cuatridimensional es que el espacio y el tiempo se pueden entremezclar: un poco de uno puede intercambiarse por un poco del otro cuando cambia el marco de referencia. Para la mayoría de las personas resulta difícil entender la idea del espacio-tiempo cuatridimensional. De algún modo sienten, igual que los físicos antes del advenimiento de la relatividad, que el espacio y el tiempo son entidades completamente separadas. Aunque se ha encontrado en los experimentos mentales que no están separados por completo. Y piense en Galileo y en Newton. Antes de Galileo, la dirección vertical, aquella en la que caen los objetos, se consideraba distintivamente diferente de las dos dimensiones horizontales. Galileo demostró que la dimensión vertical sólo difiere en que es la dirección en la que actúa la gravedad. De otro modo, las tres dimensiones son equivalentes, un punto de vista que todos aceptan actualmente. Ahora se pide aceptar una dimensión más, el tiempo, que previamente se consideró como algo diferente. Esto no significa que no exista distinción entre espacio y tiempo. Lo que la relatividad ha demostrado es que las determinaciones de espacio y tiempo no son independientes una de otra.

26–7 Cantidad de movimiento y masa relativistas Hasta el momento en este capítulo se ha visto que dos cantidades mecánicas básicas, los intervalos de longitud y tiempo, necesitan modificación porque son relativos: sus valores dependen del marco de referencia desde el que se miden. Cabe esperar que otras cantidades físicas necesiten cierta modificación de acuerdo con la teoría de la relatividad, como la cantidad de movimiento, la energía y la masa. El análisis de las colisiones entre dos partículas demuestra que, si se quiere preservar la ley de conservación de la cantidad de movimiento en la relatividad, la cantidad de movimiento se debe redefinir como Cantidad de movimiento relativista

p =

m0v 2 2 31 - v
c

= gm0v.

(26-4)

Aquí g es el símbolo para 1
31 - v2
c2 como antes (ecuación 26-2). Para rapideces

742

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

www.elsolucionario.org mucho menores que la rapidez de la luz, la ecuación 26-4 proporciona la cantidad de movimiento clásica, p
m0v. Se escribió m0 en lugar de m porque la ecuación 26-4 sugiere a ciertos físicos una interpretación relativista de la masa. A saber, que un objeto en reposo tiene una masa en reposo, m0, pero que su masa puede aumentar con la rapidez de acuerdo con la fórmula

mrel =

m0 2 2 31 - v
c

= gm0 ,

(26-5)

Fórmula de aumento de masa

donde mrel se llama masa relativista. Pero hay que tener cuidado de no pensar que una masa adquiere más partículas o más moléculas conforme su rapidez se vuelve muy grande. No lo hace. De hecho, muchos físicos creen que un objeto sólo tiene una masa (su masa en reposo) y que es sólo la cantidad de movimiento lo que aumenta con la rapidez, un efecto relativista en el que todos concuerdan. [Se usan subíndices en m (m0 y mrel) para evitar cualquier mala interpretación. Si una persona ve m sin subíndice, podría pensar que se trata de masa en reposo]. La cantidad de movimiento relativista se ha probado muchas veces en pequeñas partículas elementales (como los muones) y se ha encontrado que aumenta de acuerdo con la ecuación 26-4. EJEMPLO 26-7 Cantidad de movimiento de un electrón en movimiento. Compare la cantidad de movimiento de un electrón cuando tiene una rapidez de a) 4.00  107 m
s en el TRC de un televisor y b) 0.98c en un acelerador usado para terapia del cáncer. PLANTEAMIENTO Se utiliza la ecuación 26-4 para la cantidad de movimiento de un electrón en movimiento. SOLUCIÓN a) A v
4.00  107 m
s, la cantidad de movimiento del electrón es

p =

m0v

m 0v

= 2

v 1 - 2 B c

C

1 -

A4.00 * 107 m
sB

A3.00 * 108 m
sB

2

= 1.01m0v.

2

El factor g = 1
31 - v2
c2 L 1.01, de modo que la cantidad de movimiento sólo es aproximadamente un 1% mayor que el valor clásico. (Si se pone la masa en reposo del electrón, m0
9.11  1031 kg, la cantidad de movimiento es p = 1.01m0v = 3.68 * 10 –23 kg m
s.) b) Con v
0.98c, la cantidad de movimiento es

p =

m0v

m0v

= 2

v 1 - 2 B c

B

1 -

(0.98c)2

=

m 0v 2 31 - (0.98)

= 5.0m0v.

c2

Un electrón que viaje a 98% de la rapidez de la luz tiene g
5.0 y una cantidad de movimiento 5.0 veces su valor clásico.

26–8 Rapidez última Un resultado básico de la teoría especial de la relatividad es que la rapidez de un objeto no puede ser igual a la rapidez de la luz y mucho menos podría superarla. El hecho de que la rapidez de la luz es un límite de rapidez natural en el universo se corrobora a partir de cualquiera de las ecuaciones 26-1, 26-3 o 26-4. Tal vez es más fácil de ver a partir de la ecuación 26-4: conforme un objeto acelera hacia rapideces cada vez mayores, su cantidad de movimiento se vuelve más y más grande. De hecho, si v fuese igual a c, el denominador en esta ecuación sería cero (en las otras ecuaciones también) y la cantidad de movimiento se volvería infinita. Acelerar un objeto a v
c requeriría en consecuencia energía infinita, y por tanto no es posible. SECCIÓN 26–8

Rapidez última

743

26–9 E = mc 2; masa y energía Si la cantidad de movimiento necesita modificación para compaginar con la relatividad, como se acaba de ver en la ecuación 26-4, entonces cabe esperar que la energía también necesitará repensarse. De hecho, Einstein no sólo desarrolló una nueva fórmula para la energía cinética, sino que también encontró una nueva relación entre masa y energía, y llegó a la sorprendente conclusión de que la masa es un forma de energía.† Retomemos el principio trabajo-energía (capítulo 6) y supongamos que todavía es válido en relatividad. Es decir, el trabajo neto realizado sobre una partícula es igual a su cambio en energía cinética (EC). Al usar este principio, Einstein demostró que, a altas rapideces, la fórmula ec = 12 mv2 no es correcta. En vez de ello, Einstein demostró que la energía cinética de una partícula de masa en reposo m0 que viaja con rapidez v está dada por Energía cinética relativista

m0c2

- m0c2. 2 2 1 v
c 3 En términos de g = 1
31 - v2
c2 la ecuación 26-6a se reescribe como ec =

ec = gm0c2 - m0c2 = (g - 1)m0c2.

(26-6a)

(26-6b)

Las ecuaciones 26-6 requieren cierta interpretación. El primer término aumenta con la rapidez v de la partícula. El segundo término, m0c2, es constante; se le llama energía en reposo E0 de la partícula y representa una forma de energía que una partícula tiene incluso cuando está en reposo. Hay que advertir que, si una partícula está en reposo (v
0), el primer término en la ecuación 26-6a se convierte en m0c2, de modo que EC
0 como debiera. La ecuación 26-6b se reordena para obtener

gm0c2 = m0c2 + ec. A gm0 c 2 se le llama la energía total E de la partícula (si no se supone energía potencial), porque es igual a la energía en reposo más la energía cinética:

E = m0c2 + ec.

Energía total (definición)

(26-7a)

La energía total también se puede escribir, utilizando las ecuaciones 26-6, como

m 0c 2

. (26-7b) 2 2 1 v
c 3 Para una partícula en reposo en un marco de referencia dado, EC es cero en las ecuaciones 26-7, de modo que la energía total es su energía en reposo E0: E = gm0c2 =

MASA RELACIONADA CON ENERGÍA

Masa y energía intercambiables

E0 = m0c2.

(26-8)

He aquí la famosa fórmula de Einstein, que de manera habitual se escribe simplemente como E
mc2. Esta fórmula relaciona matemáticamente los conceptos de energía y masa. Pero, si esta idea tuviese algún significado desde un punto de vista práctico, entonces la masa debería ser convertible a otras formas de energía y viceversa. Einstein sugirió que esto era posible, y de hecho se han confirmado experimentalmente cambios de masa a otras formas de energía, y viceversa, en incontables ocasiones. La conversión de masa y energía se detecta más fácilmente en la física nuclear y en la de partículas elementales. Por ejemplo, se ha observado que el pion neutro (p 0) de masa en reposo de 2.4  1028 kg, decae a radiación electromagnética pura (fotones). El p 0 desaparece por completo en el proceso. La cantidad de energía electromagnética producida es exactamente igual a la que predice la fórmula de Einstein, E
mc 2. El proceso inverso también se observa comúnmente en el laboratorio: la radiación electromagnética, en ciertas condiciones, se convierte en partículas materiales como los electrones. A gran escala, la energía producida en las plantas †

Es interesante que el concepto de masa como forma de energía surge del concepto de masa relativista (ecuación 26-5). Cuando se realiza trabajo sobre un objeto, su energía cinética aumenta. La rapidez del objeto no puede aumentar indefinidamente porque no es posible superar c; pero la masa relativista del objeto aumenta. Es decir, el trabajo realizado sobre un objeto no sólo aumenta su rapidez, sino que también contribuye a aumentar su masa.

744

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

nucleares es resultado de la pérdida en masa en reposo del combustible uranio conforme experimenta el proceso llamado fisión. Incluso la energía radiante que se recibe del Sol es un ejemplo de E
mc2; la masa del Sol continuamente disminuye conforme radia energía electromagnética hacia el exterior. Ahora se cree que la relación E
mc2 se aplica a todos los procesos, aunque los cambios con frecuencia son demasiado pequeños para medirse. Es decir, cuando la energía de un sistema cambia por una cantidad E, la masa del sistema cambia por una cantidad m dada por

¢E = (¢m)Ac2 B.

(26-9)

En una reacción nuclear donde se libera una energía E (o se requiere que se vaya), las masas de los reactantes y los productos será diferente en ¢m = ¢E
c 2. Incluso cuando el agua se calienta sobre una estufa, se supone que la masa del agua aumenta muy ligeramente. EJEMPLO 26-8 EC de pion. Un mesón p0 (m0
2.40  10-28 kg) viaja con rapidez v
0.80c
2.4  108 m
s. ¿Cuál es su energía cinética? Compare con un cálculo clásico. PLANTEAMIENTO Desde el punto de vista relativista, la energía cinética está dada por las ecuaciones 26-6. Desde el punto de vista clásico, ec = 12 m0v2. SOLUCIÓN La energía cinética del mesón p0 a la rapidez v
0.80c es (ecuación 26-6a):

ec = m0c2 ¢

1 21 - v2
c2

= A2.40 * 10

–28

- 1≤ 2

kgBA3.0 * 10 m
sB ¢ 8

➥

1 1

- 1≤

EC

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

relativista

(1 - 0.64)2

= 1.4 * 10–11 J. Note que las unidades de m0c2 son kg  m2
s2, que es el joule. Un cálculo clásico 2 daría ec = 12 m0v2 = 21 A2.4 * 10 –28 kgB A2.4 * 108 m
sB = 6.9 * 10 –12 J, casi la mitad, pero éste no es el resultado correcto. NOTA No intente calcular la energía cinética relativista mediante la ecuación clásica con una masa relativista en lugar de la masa en reposo (aquí mrel
m0
21 - v2
c2
4.0  1028 kg). Esto daría ec = 12 mv2 = 12 A4.0 * 10–28 kgB 2 A2.4 * 108 m
sB = 1.2 * 10 –11 J, que es incorrecto. EJEMPLO 26-9 Energía a partir del decaimiento nuclear. La energía requerida o liberada en las reacciones y decaimientos nucleares proviene de un cambio en la masa entre las partículas iniciales y finales. En un tipo de decaimiento radioactivo, un átomo de uranio (m
232.03714 u) decae a un átomo de torio (m
228.02873 u) más un átomo de helio (m
4.00260 u) donde las masas están dadas en unidades de masa atómica (1 u
1.6605  1027 kg). Calcule la energía liberada en este decaimiento. PLANTEAMIENTO La masa inicial menos la masa final total proporciona la pérdida de masa en unidades de masa atómica (u); esto se convierte a kg y se multiplica por c2 para encontrar la energía liberada, ¢E = ¢m c 2. SOLUCIÓN La masa inicial es 232.03714 u, y después del decaimiento la masa es 228.02873 u + 4.00260 u = 232.03133 u, así que existe una disminución en la masa de 0.00581 u. Esta masa, que es igual a (0.00581 u)(1.66  1027 kg)
9.64  1030 kg, se convierte en energía. Por E
mc 2 se tiene

Energía liberada en un proceso nuclear

¢E = A9.64 * 10–30 kgBA3.0 * 108 m
sB = 8.68 * 10–13 J. 2

Como 1 MeV
1.60  1013 J, la energía liberada es de 5.4 MeV.

SECCIÓN 26–9

E
mc 2; masa y energía

745

www.elsolucionario.org EJEMPLO 26-10 Cambio de masa en una reacción química. Cuando dos moles de hidrógeno y un mol de oxígeno reaccionan para formar dos moles de agua, la energía liberada es de 484 kJ. ¿Cuánto disminuye la masa en esta reacción? PLANTEAMIENTO Se utiliza el gran concepto de Einstein de intercambiabilidad de masa y energía (E
mc2). SOLUCIÓN Al usar la ecuación 26-9 se tiene, para el cambio en masa m:

A –484 * 103 JB ¢E = = –5.38 * 10–12 kg. 2 2 c A3.00 * 108 m
sB La masa inicial del sistema es 0.002 kg  0.016 kg
0.018 kg. Por ende, el cambio en la masa es relativamente muy pequeño y normalmente se puede despreciar. [La conservación de la masa, en general, es un principio razonable para aplicar a las reacciones químicas.] ¢m =

Unidades: eV
c para p, eV
c2 para m

En el diminuto mundo de los átomos y los núcleos, es común citar las energías en eV (electronvolts) o múltiplos del mismo como MeV (106 eV). La cantidad de movimiento (véase la ecuación 26-4) se enuncia en unidades de eV
c (o MeV
c). Y la masa se enuncia (a partir de E
mc2) en unidades de eV
c2 (o MeV
c2). Hay que destacar el uso de c para mantener las unidades correctas. Se demuestra fácilmente que las masas en reposo del electrón y del protón son 0.511 MeV
c2 y 938 MeV
c2, respectivamente. Consulte también la tabla en los forros. EJEMPLO 26-11 Un protón de 1 TeV. El acelerador Tevatrón en el Fermilab de Illinois es capaz de acelerar protones a una energía cinética de 1.0 TeV (1012 eV). ¿Cuál es la rapidez de tal protón? PLANTEAMIENTO Se resuelve la fórmula de energía cinética (ecuación 26-6) para v. SOLUCIÓN La energía en reposo de un protón es E0
938 MeV o 9.38  108 eV. Comparada con la EC de 1012 eV, la energía en reposo se puede despreciar, así que la ecuación 26-6a se simplifica a

ec L

m0c2

.

2 2 31 - v
c

Se resuelve para v en los pasos siguientes:

m0c2 v2 ; = ec B c2 m0c2 2 v2 1 - 2 = ¢ ≤ ; ec c 1 -

m0c2 2 9.38 * 108 eV 2 v2 = 1 - ¢ ≤ = 1 - ¢ ≤ ; 2 ec c 1.0 * 1012 eV v = 31 - A9.38 * 10–4 B 2 c = 0.99999956c. Así que el protón viaja a una rapidez mucho muy cercana a c. A bajas rapideces, v V c, la fórmula relativista para la EC se reduce a la clási(16x)n = como se demuestra al usar la expansión binomial, 1 2 p 16nx + n(n - 1)x
2! + . Con n = – 2 , se expande la raíz cuadrada en la ecuación 26-6a ca,

ec = m0c2 ¢

1 2 2 31 - v
c

- 1≤

de modo que

ec L m0c2 ¢ 1 +

1 v2 + p - 1≤ 2 c2

L 12 m0v2. Los puntos en la primera expresión representan términos muy pequeños en la expansión que se desprecian puesto que se supuso que v V c. Por tanto, a bajas 746

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

rapideces, la forma relativista para la energía cinética se reduce a la forma clásica, ec = 12 mv2. Esto hace a la relatividad una teoría viable que permite predecir resultados precisos tanto a baja como a alta rapidez. De hecho, las otras ecuaciones de la relatividad especial también se reducen a sus equivalentes clásicas a rapideces ordinarias: contracción de la longitud, dilatación del tiempo y modificaciones a la cantidad de movimiento, así como a la energía cinética, todas desaparecen para v V c pues 11 - v2
c2 L 1. También es factible deducir una relación útil entre la energía total E de una partícula y su cantidad de movimiento p. La cantidad de movimiento de una partícula con masa en reposo m0 y rapidez v está dada por la ecuación 26-4:

p =

m0v 2 2 31 - v
c

= gm0v.

Cantidad de movimiento relativista

La energía total es (ecuación 26-7b)

m0c2

. 2 2 1 v
c 3 Al elevar al cuadrado esta ecuación (y sumar un término “v2 - v2” que es cero, pero que será de utilidad): E = gm0c2 =

E2 =

m20c2 Av2 - v2 + c2 B 1 - v2
c2

= p2c2 +

m20c4 A1 - v2
c2 B 1 - v2
c2

o

E 2 = p2c2 + m20c4.

(26–10)

Entonces, la energía total se puede escribir en términos de la cantidad de movimiento p, o en términos de la energía cinética (ecuación 26-7a), donde se supuso que no hay energía potencial.

Energía relacionada con la cantidad de movimiento

* ¿Cuándo se emplean fórmulas relativistas? Desde un punto de vista práctico, no se tiene mucha oportunidad en la vida cotidiana para usar las matemáticas de la relatividad. Por ejemplo, el factor g, g = 1
11 - v2
c2, que aparece en muchas fórmulas relativistas, tiene un valor de 1.005 cuando v
0.10c. Por tanto, para rapideces incluso tan altas como 0.10c
3.0  107 m
s, el factor 11 - v2
c2 en las fórmulas relativistas proporciona una corrección numérica de menos del 1%. Para rapideces menores que 0.10c, o a menos que la masa y la energía sean intercambiadas, generalmente no se necesita usar las fórmulas relativistas más complicadas, y se emplean las fórmulas clásicas más simples. Si se proporcionan la masa en reposo m0 de una partícula y su energía cinética EC, es conveniente hacer cálculos rápidos para determinar si se requiere usar fórmulas relativistas o si las clásicas son adecuadas. Simplemente se calcula la razón 2 EC
m0c porque (ecuación 26-6b)

ec 1 = g - 1 = - 1. 2 2 m0c2 31 - v
c Si esta razón resulta ser menor que, digamos, 0.01, entonces g  1.01 y las ecuaciones relativistas corregirán a las clásicas por aproximadamente un 1%. Si la precisión esperada no es mejor que 1%, las fórmulas clásicas son adecuadas. Pero si la precisión es de 1 parte en 1000 (0.1%), entonces habrá que usar las fórmulas relativistas. Si la precisión esperada sólo es del 10%, se necesitará de la relatividad si Aec
m0c2 B g 0.1. EJERCICIO E Para 1% de precisión, ¿un electrón con EC
100 eV necesita ser tratado de forma relativista? [Sugerencia: Considere que la masa en reposo de un electrón es de 0.511 MeV.] SECCIÓN 26–9

E
mc 2; masa y energía

747

26–10 Suma relativista de velocidades

P R E C A U C I Ó N

Las velocidades relativas no se suman de manera simple, como en la mecánica clásica (v V c) . Fórmula de suma relativista de velocidades u y v a lo largo de la misma línea) B

B

u
0.60c con

respecto al cohete 1

2

v
0.60c con respecto a la Tierra 1 Tierra

Considere un cohete que viaja alejándose de la Tierra con rapidez v, y suponga que este cohete disparó un segundo cohete que viaja con rapidez u con respecto al primero (figura 26-10). Es posible esperar que la rapidez u del cohete 2 con respecto a la Tierra sea u
v  u , que en el caso que se muestra en la figura 26-10 es u
0.60c  0.60c
1.20c. Pero, como se explicó en la sección 26-8, ningún objeto puede viajar más rápido que la rapidez de la luz en cualquier marco de referencia. De hecho, Einstein demostró que, dado que la longitud y el tiempo son diferentes en diferentes marcos de referencia, las antiguas fórmulas de suma de velocidades ya no son válidas. En vez de ellas, la fórmula correcta es

u =

v + u¿ 1 + vu¿
c2

c

B

B

u y v a lo largo de d la misma dirección

(26-11)

para movimiento a lo largo de una línea recta. Esta fórmula se deduce en el apéndice E. Si u está en dirección opuesta a v, entonces u debe tener un signo menos en la ecuación anterior, de modo que u = (v - u¿)
A1 - vu¿
c2 B. EJEMPLO 26-12 Velocidad relativa, de forma relativista. Calcule la rapidez del cohete 2 en la figura 26-10 con respecto a la Tierra. PLANTEAMIENTO Se suma la rapidez del cohete 2 relativa al cohete 1, a la rapidez del cohete 1 relativa a la Tierra, utilizando la ecuación 26-11 relativista, pues las rapideces son altas y están a lo largo de la misma línea. SOLUCIÓN El cohete 2 se mueve con rapidez u
0.60c con respecto al cohete 1. Este último tiene rapidez v
0.60c con respecto a la Tierra. La rapidez del cohete 2 con respecto a la Tierra es (ecuación 26-11)

u = FIGURA 26–10

El cohete 2 se dispara desde el cohete 1 con rapidez u¿ = 0.60c. ¿Cuál es la rapidez del cohete 2 con respecto a la Tierra?

1.20c 0.60c + 0.60c = = 0.88c. (0.60c)(0.60c) 1.36 1 + c2

NOTA La rapidez del cohete 2 relativa a la Tierra es menor que c, cual debe ser. Como se ve, la ecuación 26-11 se reduce a la forma clásica para velocidades pequeñas comparadas con la rapidez de la luz pues 1 + vu¿
c2 L 1 para v y u¿ V c. Por ende, u ≈ v  u , como en la física clásica (capítulo 3). Probemos la fórmula en un caso más, el de la rapidez de la luz. Suponga que el cohete 1 en la figura 26-10 envía un haz de luz de modo que u
c. La ecuación 26-11 dice que la rapidez de esta luz con respecto a la Tierra es

1.60c 0.60c + c = = c, (0.60c)(c) 1.60 1 + c2 que es completamente consistente con el segundo postulado de la relatividad. u =

EJERCICIO F Utilice la ecuación 26-11 para calcular la rapidez del cohete 2 de la figura 26-10 relativa a la Tierra, si se disparó desde el cohete 1 con una rapidez u
3000 km
s
0.010c. Suponga que el cohete 1 tiene una rapidez v
6000 km
s
0.020c.

26–11 El impacto de la relatividad especial Se han realizado muchos experimentos para poner a prueba las predicciones de la teoría especial de la relatividad. Dentro del error experimental, no se han encontrado contradicciones. Así que los científicos han aceptado la relatividad como una descripción precisa de la naturaleza.

748

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

www.elsolucionario.org A rapideces mucho menores que la rapidez de la luz, las fórmulas relativistas se reducen a las clásicas, como se explicó. Desde luego, se podría esperar —más bien, se insiste— que esto es cierto puesto que la mecánica newtoniana funciona tan bien para los objetos que se mueven con rapideces v V c. Esta insistencia de que una teoría más general (como la relatividad) proporciona el mismo resultado que una teoría más restringida (como la mecánica clásica que funciona para v V c) se llama principio de correspondencia. Las dos teorías deben corresponder donde sus reinos de validez se traslapan. La relatividad, por tanto, no contradice la mecánica clásica. Más bien, es una teoría más general, de la que ahora la mecánica clásica se considera un caso límite. La importancia de la relatividad no radica simplemente en que brinda resultados más precisos, sobre todo a rapideces muy altas. Mucho más que eso, ha cambiado la forma en que se ve el mundo. Los conceptos de espacio y tiempo ahora se ven relativos, y entremezclados, mientras que antes se consideraban absolutos y separados. Incluso los conceptos de materia y energía han cambiado: cualquiera de ellos se puede convertir en el otro. El impacto de la relatividad se extiende mucho más allá de la física. Ha influido en otras ciencias, e incluso en el mundo del arte y la literatura; de hecho, ha entrado en la cultura general. Desde un punto de vista práctico, no se tiene mucha oportunidad en la vida diaria para usar las matemáticas de la relatividad. Por ejemplo, el factor g 1
11 - v2
c2 , que aparece en las fórmulas relativistas, tiene un valor de sólo 1.005 incluso para una rapidez tan alta como 0.10c
3.0  107 m
s, que da una corrección de menos del 1%. Para rapideces menores que 0.10c, a menos que la masa y la energía se intercambien, generalmente no se requiere el uso de fórmulas relativistas más complicadas y bastará con utilizar las más simples fórmulas clásicas. La teoría especial de la relatividad trata con marcos de referencia inerciales (no en aceleración).

Principio de correspondencia

Resumen Un marco de referencia inercial es aquel en el que la ley de inercia de Newton se sostiene. Los marcos de referencia inerciales se pueden mover a velocidad constante relativa unos con otros; los marcos de referencia en aceleración son no inerciales. La teoría especial de la relatividad se basa en dos principios: el principio de relatividad, que afirma que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales, y el principio de constancia de la rapidez de la luz, que afirma que la rapidez de la luz en el espacio vacío tiene el mismo valor en todos los marcos de referencia inerciales. Una consecuencia de la teoría de la relatividad es que dos eventos que son simultáneos en un marco de referencia pueden no ser simultáneos en otro. Otros efectos son la dilatación del tiempo: al hacer una medición de los relojes en movimiento, se observa que caminan más lentamente; y la contracción de la longitud: al hacer una medición se observa que la longitud de un objeto en movimiento es más corta (en su dirección de movimiento) que cuando está en reposo. Cuantitativamente,

¢t =

¢ t0 2 2 31 - v
c

= g ¢ t0

(26-1)

L0 g

(26-3)

L = L0 31 - v2
c2 =

donde L y t son la longitud y el intervalo de tiempo de los objetos (o eventos) observados conforme se mueven con rapidez v;

L0 y t0 son la longitud propia y el tiempo propio; es decir, las mismas cantidades medidas en el marco en reposo de los objetos o eventos. La cantidad es una abreviatura de

g =

1

.

(26-2)

2 2 31 - v
c

La teoría de la relatividad ha cambiado la noción de espacio y tiempo, así como la de cantidad de movimiento, energía y masa. Espacio y tiempo se conciben como íntimamente conectados, y el tiempo se considera como cuarta dimensión, además de las tres dimensiones del espacio. La cantidad de movimiento de un objeto está dada por

p = gm0v =

m0v

.

(26-4)

2 2 31 - v
c

Esta fórmula se interpreta como un aumento de masa, donde la masa relativista es

mrel = gm0 =

m0

,

(26-5)

2 2 31 - v
c

y m0 es la masa en reposo del objeto (v = 0).

Resumen

749

Masa y energía pueden convertirse una en la otra. La ecuación

E0 = m0c

2

(26-8)

dice cuánta energía E0 se necesita para crear una masa m0, o viceversa. Dicho de otra forma, E0 = m0c2 es la cantidad de energía que un objeto tiene debido a su masa m0. La ley de conservación de la energía debe incluir la masa como forma de energía. La energía cinética EC de un objeto en movimiento con rapidez v está dada por

E = ec + m0c2 = gm0c2.

(26-7)

La cantidad de movimiento p de un objeto está relacionada con su energía total E (si se supone no energía potencial) mediante

E 2 = p2c2 + m20c4.

(26-10)

2

ec =

m0c

2 2 31 - v
c

- m0c2 = (g - 1)m0c2

(26-6)

donde m0 es la masa en reposo del objeto. La energía total E, si no hay energía potencial, es

La suma de velocidades también se debe realizar de una forma especial. Todos estos efectos relativistas sólo son significativos a altas rapideces, cerca de la rapidez de la luz, que en sí misma es la rapidez última en el universo.

Preguntas 1. Una persona está en el interior de un vagón sin ventanas en un tren que se desplaza de manera excepcionalmente suave y con velocidad constante. ¿Existe algún experimento físico que se pueda realizar en el vagón del tren para determinar si la persona está en movimiento? Explique su respuesta. 2. Es posible que el lector haya tenido la experiencia de estar detenido ante un alto de semáforo cuando, por el rabillo del ojo, ve el auto de junto arrastrarse hacia delante. Instintivamente, pisa el pedal del freno, y piensa que usted es quien rueda hacia atrás. ¿Qué dice esto acerca del movimiento absoluto y relativo? 3. Un trabajador está de pie en lo alto de un carro de ferrocarril en movimiento, y lanza una bola pesada de forma recta hacia arriba (desde su punto de vista). Si se ignora la resistencia del aire, ¿la bola aterrizará en el carro o detrás de él? 4. ¿La Tierra realmente gira alrededor del Sol? ¿O también es válido decir que el Sol gira alrededor de la Tierra? Discuta esto desde el punto de vista del primer principio de la relatividad (que no hay mejor marco de referencia). Explique el argumento. 5. Si una persona fuese en una nave espacial que viaja a 0.5c alejándose de una estrella, ¿a qué rapidez le pasaría la luz de la estrella? 6. El efecto de dilatación del tiempo a veces se expresa como “los relojes en movimiento caminan más lentamente”. En realidad, este efecto no tiene nada que ver con el movimiento que afecte el funcionamiento de los relojes. Entonces, ¿a qué se refiere? 7. ¿La dilatación del tiempo significa que el tiempo en realidad pasa más lentamente en los marcos de referencia en movimiento o que sólo parece transcurrir más lentamente? 8. Una joven mujer astronauta acaba de llegar a casa de un largo viaje. Corre hacia un hombre de cabellos grises y, mientras entablan conversación, se dirige a él como su hijo. ¿Cómo es posible esto? 9. Si una persona viajara alejándose de la Tierra con rapidez 0.5c, ¿notaría un cambio en su ritmo cardiaco? ¿Su masa, peso o cintura cambiarían? ¿Qué dirían de esa persona los observadores en la Tierra que usen telescopios? 10. ¿La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud ocurren a rapideces ordinarias, como por ejemplo 90 km
h? 11. Suponga que la rapidez de la luz fuese infinita. ¿Qué ocurriría a las predicciones relativistas de contracción de la longitud y dilatación del tiempo? 12. Discuta cómo la vida cotidiana sería diferente si la rapidez de la luz sólo fuese de 25 m
s.

750

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

13. Explique cómo se pueden usar las fórmulas de contracción de la longitud y de dilatación del tiempo para indicar que c es la rapidez límite del universo. 14. La ilustración al comienzo del capítulo muestra las calles que ve el señor Tompkins, para quien la rapidez de la luz es c
20 mi
h. ¿Cómo ven al señor Tompkins las personas que están de pie en la calle (figura 26-11)? Explique su respuesta.

FIGURA 26–11 Pregunta 14. El señor Tompkins visto por la gente en la acera. Observe también la ilustración al inicio del capítulo. 15. Un electrón está limitado a viajar a rapideces menores que c. ¿Esto pone un límite superior a la cantidad de movimiento de un electrón? Si es así, ¿cuál es este límite superior? Si no, explique por qué. 16. ¿Una partícula con masa en reposo distinta de cero puede alcanzar la rapidez de la luz? 17. ¿La ecuación E
mc2 entra en conflicto con el principio de conservación de la energía? Explique su respuesta. 18. Si la masa es una forma de energía, ¿esto significa que un resorte tiene más masa cuando se comprime que cuando está relajado? 19. No es correcto decir que “la materia no se crea ni se destruye”. ¿Qué debería decirse en vez de ello? 20. ¿La noción intuitiva de que las velocidades simplemente se suman, como se hizo en la sección 3-8, es errónea por completo?

Problemas 26-4 y 26-5 Dilatación del tiempo, contracción de la longitud 1. (I) Una nave espacial pasa junto a un observador con una rapidez de 0.750c. El observador mide su longitud en 28.2 m. ¿Cuál será su longitud cuando esté en reposo? 2. (I) Cierto tipo de partícula elemental viaja con una rapidez de 2.70  108 m
s. A esta rapidez, el promedio de vida es de 4.76  106 s. ¿Cuál es la vida de la partícula en reposo? 3. (I) Las longitudes y los intervalos de tiempo dependen del factor

31 - v
c 2

2

de acuerdo con la teoría de la relatividad (ecuaciones 26-1 y 26-3). Evalúe este factor para rapideces de: a) v = 20,000 m
s (rapidez típica de un satélite); b) v = 0.020c; c) v = 0.200c; d) v = 0.95c; e) v = 0.98c;f) v = 0.999c. 4. (II) Si una persona fuese a viajar a una estrella a 125 años luz de la Tierra, con una rapidez de 2.50  108 m
s, ¿cuánto mediría esta distancia? 5. (II) ¿Cuál es la rapidez de un pion si su vida promedio se mide en 4.10  108 s? En reposo, su vida promedio es de 2.60  108 s. 6. (II) En un marco de referencia terrestre, una estrella está a 82 años luz de distancia. ¿A qué rapidez tendría que viajar un astronauta de modo que para él la distancia sea sólo de 35 años luz? 7. (II) Suponga que una persona decide viajar a una estrella a 85 años luz de distancia con una rapidez que indica que la distancia sólo es de 25 años luz. ¿Cuántos años le tomaría realizar el viaje? 8. (II) ¿A qué rapidez v la longitud de una barra de 1.00 m parecería n 10.0% más corta (90.0 cm)? 9. (II) La velocidad de escape de la Tierra es de 40,000 km
h. ¿Cuál sería la disminución porcentual en longitud de una nave espacial de 95.2 m de largo que viaja a esa rapidez? 10. (II) ¿A qué rapidez las fórmulas relativistas para a) longitud y b) intervalos de tiempo difieren de los valores clásicos en 1.00%? (Ésta es una forma razonable de estimar cuándo hacer cálculos relativistas en lugar de clásicos.) 11. (II) Suponga que un reporte noticioso afirma que la nave espacial Enterprise acaba de regresar de un viaja de 5 años mientras viajaba a 0.84c. a) Si el reporte significa 5.0 años de tiempo Tierra, ¿cuánto tiempo transcurrió en la nave? b) Si el reporte significa 5.0 años de tiempo nave, ¿cuánto tiempo pasó en la Tierra? 12. (II) Cierta estrella está a 10.6 años luz de distancia. ¿Cuánto le tomaría a una nave espacial viajar 0.960c para alcanzar esa estrella desde la Tierra, según miden los observadores: a) en la Tierra, b) en la nave espacial? c) ¿Cuál es la distancia recorrida de acuerdo con los observadores en la nave espacial? d) ¿Qué rapidez calcularán los ocupantes de la nave espacial a partir de los resultados de b) y c)? 13. (II) Un amigo pasa rápidamente junto a usted en su “Ferrari” con una rapidez de 0.660c. En su marco de referencia mide 4.80 m de largo por 1.25 m de alto. a) ¿Cuáles serán esta longitud y altura en reposo? b) ¿Cuántos segundos diría que han pasado en el reloj de su amigo cuando para usted han pasado 20.0 s? c) ¿A qué rapidez parece estar viajando de

acuerdo con su amigo? d) ¿Cuántos segundos diría que han pasado en el reloj de usted cuando su amigo vio que pasaron 20.0 s en el suyo? 14. (III) ¿A qué rapidez se debe mover un pion promedio para recorrer 15 m antes de su decaimiento? La vida promedio, en reposo, es de 2.6  108 s. 26-7 Cantidad de movimiento relativista 15. (I) ¿Cuál es la cantidad de movimiento de un protón que viaja a v = 0.85c? 16. (I) ¿A qué rapidez la masa relativista de un objeto será el doble de su masa en reposo? 17. (II) Una partícula con masa en reposo m0 viaja con una rapidez v = 0.20c. ¿A qué rapidez su cantidad de movimiento será el doble? 18. (II) a) Una partícula viaja a v = 0.10c. ¿En qué porcentaje un cálculo de su cantidad de movimiento será erróneo si se utilizan las fórmulas clásicas? b) Repita el problema para

v = 0.50c. 19. (II) ¿Cuál es el cambio porcentual en cantidad de movimiento de un protón que acelera a) de 0.45c a 0.90c; b) de 0.90c a 0.98c? 26-9 E = mc2 20. (I) Cierta reacción química requiere 4.82  104 J de entrada de energía para llevarse a cabo. ¿Cuál es el aumento en la masa de los productos sobre los reactantes? 21. (I) Cuando un núcleo de uranio en reposo se separa en el proceso conocido como fisión en un reactor nuclear, los fragmentos resultantes tienen una energía cinética total de aproximadamente 200 MeV. ¿Cuánta masa se pierde en el proceso? 22. (I) Calcule la energía en reposo de un electrón en joules y en MeV (1 MeV
1.60  1013 J). 23. (I) Calcule la masa en reposo de un protón en MeV
c2. 24. (I) El consumo anual total de energía en Estados Unidos es de aproximadamente 8  1019 J. ¿Cuánta masa tendría que convertirse en energía para satisfacer este requerimiento? 25. (II) ¿Cuánta energía se puede obtener de la conversión de 1.0 gramo de masa? ¿Cuánta masa podría elevar esta energía a una altura de 0.25 km sobre la superficie de la Tierra? 26. (II) ¿Cuál es la rapidez de una partícula cuando su energía cinética es igual a su energía en reposo? 27. (II) ¿A qué rapidez la energía cinética de un objeto será el 25% de su energía en reposo? 28. (II) a) ¿Cuánto trabajo se requiere para acelerar un protón del reposo a una rapidez de 0.997c? b) ¿Cuál sería la cantidad de movimiento de este protón? 29. (II) Calcule la energía cinética y la cantidad de movimiento de un protón que viaja a 2.60  108 m
s. 30. (II) ¿Cuál es la cantidad de movimiento de un protón de 750 MeV (es decir, su energía cinética es de 750 MeV)? 31. (II) ¿Cuál es la rapidez de un protón acelerado por una diferencia de potencial de 105 MV?

Problemas

751

www.elsolucionario.org 32. (II) ¿Cuál es la rapidez de un electrón cuya energía cinética es de 1.00 MeV? 33. (II) ¿Cuál es la rapidez de un electrón justo antes de que golpee una pantalla de televisión después de ser acelerado desde el reposo por los 25,000 V del cinescopio? 34. (II) Dos partículas idénticas con masa en reposo m0 se aproximan una a la otra con rapideces iguales y opuestas v. La colisión es completamente inelástica y el resultado es una sola partícula en reposo. ¿Cuál es la masa en reposo de la nueva partícula? ¿Cuánta energía se pierde en la colisión? ¿Cuánta energía cinética se pierde en esta colisión? 35. (II) Calcule la rapidez de un protón (m0
1.67  1027 kg) cuya energía cinética es exactamente la mitad a) su energía total, b) su energía en reposo. 36. (II) ¿Cuál es la rapidez y la cantidad de movimiento de un electrón (m
9.11  1031 kg) cuya energía cinética es igual a su energía en reposo? 37. (II) Suponga que una nave espacial de 27,000 kg de masa se acelera a 0.21c. a) ¿Cuánta energía cinética tendría? b) Si se emplea la fórmula clásica para energía cinética, ¿cuál sería el porcentaje de error? 38. (II) Calcule la energía cinética y la cantidad de movimiento de un protón (m0
1.67  1027 kg) que viaja a 7.35  107 m
s. ¿En qué porcentajes sus cálculos estarían en error si hubiese usado fórmulas clásicas? 39. (II) El núcleo de americio 241 95 Am, decae a un núcleo de neptunio 237 93 Np, mediante la emisión de un partícula alfa de 4.00260 u de masa y 5.5 MeV de energía cinética. Estime la masa del núcleo de neptunio, ignorando su retroceso, dado que la masa del americio es 241.05682 u. 40. (II) Un electrón (m0
9.11  1031 kg) se acelera del reposo a rapidez v por medio de una fuerza conservativa. En este proceso, su energía potencial disminuye en 6.60  1014 J. Determine la rapidez del electrón v. 41. (II) Elabore una gráfica de la energía cinética contra cantidad de movimiento para a) una partícula de masa en reposo distinta de cero y b) una partícula con masa en reposo cero. 42. (II) ¿Qué intensidad de campo magnético se necesita para mantener protones de 998 GeV girando en un círculo de 1.0 km de radio (en el sincrotrón del Fermilab)? Use la masa relativista. La masa en reposo del protón es 0.938 GeV
c2. (1 GeV
109 eV.) [Sugerencia: Tome en cuenta que en relatividad, todavía es cierto que mv2
r = qvB en un campo magnético].

26-10 Suma de velocidades relativistas 43. (I) Una persona en un cohete que viaja a 0.50c (con respecto a la Tierra) observa un meteoro venir desde atrás y pasarla con una rapidez que mide como 0.50c. ¿A qué rapidez se mueve el meteoro con respecto a la Tierra? 44. (II) Dos naves espaciales salen de la Tierra en direcciones opuestas, cada una con una rapidez de 0.50c con respecto a Tierra. a) ¿Cuál es la velocidad de la nave espacial 1 relativa a la nave espacial 2? b) ¿Cuál es la velocidad de la nave espacial 2 relativa a la nave espacial 1? 45. (II) Una nave espacial sale de la Tierra con rapidez 0.71c. Una segunda nave espacial deja la primera con una rapidez de 0.87c con respecto a la primera. Calcule la rapidez de la segunda nave con respecto a la Tierra si se dispara a) en la misma dirección en la que ya se mueve la primera nave espacial, b) directamente hacia atrás hacia la Tierra. 46. (II) Un observador en la Tierra ve una nave extraterrestre acercarse con una rapidez de 0.60c. El Enteprise llega al rescate (figura 26-12), y rebasa a los extraterrestres mientras se mueve directamente hacia la Tierra con una rapidez de 0.90c relativa a Tierra. ¿Cuál es la rapidez relativa de una nave según la ve la otra?

Enterprise

v1 5 0.60c

v2 5 0.90c

FIGURA 26–12 Problema 46.

47. (II) Una nave espacial en problemas envía dos cabinas de escape en direcciones opuestas. Una viaja con una rapidez v1 = –0.60c en una dirección y la otra viaja con una rapidez v2 = ±0.70c en la otra dirección, según se observa desde la nave espacial. ¿Qué rapidez mide la primera cabina de escape de la segunda cabina de escape? 48. (II) El cohete A pasa la Tierra con una rapidez de 0.75c. Al mismo tiempo, el cohete B pasa la Tierra con movimiento de 0.95c relativo a la Tierra en la misma dirección. ¿A qué rapidez relativa a A se mueve B cuando pasa a A?

Problemas generales 49. La estrella más cercana a la Tierra es Próxima Centauri, a 4.3 años luz de distancia. a) ¿A qué velocidad constante debe viajar una nave espacial desde la Tierra, si debe alcanzar la estrella en 4.0 años, según miden los viajeros de la nave espacial? b) ¿Cuánto tiempo tarda el viaje, de acuerdo con observadores en la Tierra? 50. Como regla empírica, cualquier objeto que viaje más rápido que 0.1 se llama relativista, es decir, para el que la corrección que emplea relatividad especial es un efecto significativo. Determine la rapidez de un electrón en un átomo de hidrógeno (0.5  1010 m de radio) y establezca si es relativista. (Trate al electrón como si estuviese en una órbita circular alrededor del protón). 51. a) ¿Cuál es la rapidez v de un electrón cuya energía cinética es 14,000 veces su energía en reposo? Puede establecer la di-

752

CAPÍTULO 26

La teoría especial de la relatividad

ferencia, c - v. Tales rapideces se alcanzan en el Acelerador Lineal Stanford (SLAC por sus siglas en inglés). b) Si los electrones viajan en el laboratorio a través de un tubo de 3.0 km de largo (como en el SLAC), ¿de qué longitud es este tubo en el marco de referencia de los electrones? [Sugerencia: Utilice la expansión binomial]. 52. ¿Cuántos gramos de materia tendrían que ser totalmente destruidos para accionar una bombilla de 100 W durante 1 año? 53. ¿Qué cantidad mínima de energía electromagnética se necesita para producir un electrón y un positrón juntos? Un positrón es una partícula con la misma masa en reposo que un electrón, pero tiene la carga opuesta. (Note que la carga eléctrica se conserva en este proceso).

54. Un electrón (m
9.11  1031 kg) entra a un campo magnético uniforme B
1.8 T, y se mueve de forma perpendicular a las líneas de campo con una rapidez v = 0.92c. ¿Cuál es el radio de curvatura de su trayectoria? Vea la sugerencia para el problema 42. 55. Un muon negativo, que viaja al 33% de la rapidez de la luz, choca frontalmente con un muon positivo que viaja al 50% de la rapidez de la luz. Los dos muones (cada uno con 105.7 MeV
c2 de masa en reposo) se aniquilan y producen ¿cuánta energía electromagnética? 56. Un neutrón libre puede decaer en un protón, un electrón y un neutrino. Suponga que la masa en reposo del neutrino es cero, y las otras masas se pueden encontrar en la tabla en los forros de este libro. Determine la energía cinética total compartida entre las tres partículas cuando un neutrón decae en reposo. 57. El Sol radia energía a una tasa aproximada de 4  1026 W. a) ¿A qué tasa disminuye la masa del Sol? b) ¿Cuánto tiempo le toma el Sol perder una masa igual a la de la Tierra? c) Estime cuánto podría durar el Sol si radia constantemente a esta tasa. 58. Se mide que una partícula desconocida tiene una carga negativa y una rapidez de 2.24  108 m
s. Su cantidad de movimiento se determina en 3.07  1022 kg  m
s. Identifique la partícula determinando su masa en reposo. 59. ¿Cuánta energía se requeriría para romper un núcleo de helio en sus constituyentes, dos protones y dos neutrones? Las masas en reposo de un protón (incluido un electrón), un neutrón y el helio son, respectivamente, 1.00783 u, 1.00867 u y 4.00260 u. (Esta diferencia de energía se llama energía de enlace total del núcleo de 42He ). 60. ¿Cuál es el aumento porcentual en la masa (relativista) de un automóvil que viaja 110 km
h en comparación con su masa en reposo? [Sugerencia: Utilice la expansión binomial]. 61. Dos protones, cada uno con una rapidez de 0.935c en el laboratorio, se mueven uno hacia el otro. Determine a) la cantidad de movimiento de cada protón en el laboratorio, b) la cantidad de movimiento total de los dos protones en el laboratorio y c) la cantidad de movimiento de un protón visto por el otro protón. 62. Demuestre analíticamente que una partícula con cantidad de movimiento p y energía E tiene una rapidez dada por

v =

pc2 pc . = 2 2 2 E m 3 0c + p

63. La ficticia nave espacial Enterprise obtiene su potencia al combinar materia y antimateria, con lo que logra conversión completa de masa en energía. Si la masa de la Enterprise es aproximadamente de 5  109 kg, ¿cuánta masa se debe convertir en energía cinética para acelerarla desde el reposo hasta un décimo de la rapidez de la luz? 64. Un electrón se acelera de modo que su energía cinética es más grande que su masa en reposo m0c2 por un factor de a) 5.00, b) 999. ¿Cuál es la rapidez del electrón en cada caso?

65. Un granjero que estudia física cree que puede encajar un poste de 15.0 m de largo en un granero de 12.0 m de largo si corre lo suficientemente rápido (llevando el poste). ¿Puede hacerlo? Explique con detalle. ¿Cómo concuerda esto con la idea de que, cuando corre, para él el granero parece incluso más corto que los 12.0 m? 66. Cuando dos moles de hidrógeno y un mol de oxígeno reaccionan para formar dos moles de agua, la energía liberada es de 484 kJ. ¿Cuánto disminuye la masa de los elementos en esta reacción? ¿Qué porcentaje de la masa original total del sistema representa este cambio de masa? 67. En una reacción nuclear, se crean dos partículas idénticas, que viajan en direcciones opuestas. Si la rapidez de cada partícula es de 0.75c relativa al marco de referencia del laboratorio, ¿cuál es la rapidez de una partícula relativa a la otra partícula? 68. Un astronauta en una nave espacial que viaja a una rapidez de 0.75c relativa a la Tierra mide que su nave tiene 25 m de longitud. En la nave, él come su almuerzo en 23 min. a) ¿Qué longitud tiene la nave espacial de acuerdo con los observadores en la Tierra? b) ¿Cuánto tiempo le toma comerse su almuerzo, según los observadores en la Tierra? 69. Un astronauta viaja en una nave espacial que se aleja de la Tierra con una rapidez de 0.85c. Envía hacia la Tierra un haz láser, que viaja con velocidad c relativa a él. ¿Qué rapidez del haz láser miden los observadores en la Tierra? 70. Una nave espacial y sus ocupantes tienen una masa total de 150,000 kg. Los ocupantes quieren viajar a una estrella que está a 25 años luz de distancia con una rapidez de 0.60c. Para acelerar, el motor de la nave espacial convierte directamente masa en energía. ¿Cuánta masa se convertirá en energía para acelerar la nave espacial a esta rapidez? Suponga que la aceleración es rápida, de modo que la rapidez para el viaje entero se puede considerar como de 0.60c, e ignore la disminución en la masa total para el cálculo. ¿Cuánto tiempo tardará el viaje de acuerdo con los astronautas a bordo? 71. Suponga que una nave espacial de 12,500 kg abandona la Tierra con una rapidez de 0.99c. ¿Cuál es la energía cinética de la nave espacial? Compare con el consumo de energía anual total de Estados Unidos (aproximadamente 1020 J). 72. Una nave espacial de 42,000 kg viaja a la vecindad de una estrella a 6.0 años luz de la Tierra. Los pasajeros de la nave quieren que el viaje (sólo de ida) no tome más de 1.0 año. ¿Cuánto trabajo debe realizarse sobre la nave espacial para llevarla a la rapidez necesaria para este viaje? 73. Una masa de 1.68 kg oscila en el extremo de un resorte cuya constante de rigidez es k
48.7 N
m. Si este sistema está en una nave espacial que pasa junto a la Tierra a 0.900c, ¿cuál es su periodo de oscilación de acuerdo con a) los observadores en la nave y b) los observadores en la Tierra? 74. Un mesón pi con masa en reposo mp decae en reposo a un muon (masa en reposo mm) y un neutrino de masa en reposo despreciable o cero. Demuestre que la energía cinética del muon es ecm = Amp - mm B 2c2
2mp .

Respuestas a los ejercicios A: Sí. B: a) 2.21 ms; (b) 5.0 ms. C: a) No; (b) sí.

D: 0.36c. E: No. F: 0.030c, lo mismo que la clásica, hasta una precisión mejor que 0.1%.

Problemas generales

753

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APÉNDICE

A

Repaso matemático

A–1 Relaciones, proporcionalidad y ecuaciones Uno de los aspectos importantes de la física es la búsqueda de relaciones entre diferentes cantidades; es decir, determinar cómo una cantidad afecta a otra. Por ejemplo, ¿cómo la temperatura afecta la presión del aire en una llanta? ¿O cómo la fuerza neta sobre un objeto afecta su aceleración? A veces una cantidad dada se ve afectada por dos o más cantidades; por ejemplo, la aceleración de un objeto se relaciona tanto con su masa como con la fuerza aplicada. Si se sospecha que existe una relación entre dos o más cantidades, es conveniente intentar determinar la naturaleza precisa de esta relación. Esto se hace al variar una de las cantidades y medir cómo la otra se modifica como resultado. Si es probable que una cantidad particular resulte afectada por más de un factor o cantidad, sólo una cantidad se varía a la vez, mientras que las otras se mantienen constantes.† Como ejemplo simple, los antiguos encontraron que si un círculo tiene el doble de diámetro que un segundo círculo, el primero también tiene el doble de circunferencia. Si el diámetro es tres veces más grande, la circunferencia también es tres veces mayor. En otras palabras, un aumento en el diámetro da como resultado un aumento proporcional en la circunferencia. Se dice que la circunferencia es directamente proporcional al diámetro. Esto se escribe en símbolos como C r D, donde “r” significa “es proporcional a”, y C y D se refieren a la circunferencia y el diámetro de un círculo, respectivamente. El siguiente paso es cambiar esta proporcionalidad a una ecuación, que hará posible vincular las dos cantidades numéricamente. Esto simplemente requiere insertar una constante de proporcionalidad, que en muchos casos está determinada por la medición. (En algunos casos se puede elegir arbitrariamente, si sólo implica la definición de una nueva unidad). Los antiguos encontraron que la razón entre la circunferencia y el diámetro de cualquier círculo era 3.1416 (para mantener sólo algunos de los primeros lugares decimales). Este número está designado por la letra griega p, y es la constante de proporcionalidad para la relación C r D. Para obtener una ecuación, se inserta p en la proporción y se cambia r por
. En consecuencia, C
pD. También ocurren otros tipos de proporcionalidad. Por ejemplo, el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su radio. Esto es, si el radio se duplica, el área se vuelve cuatro veces más grande; etcétera. En este caso se puede escribir A r r 2, donde A representa el área y r el radio del círculo. En ocasiones dos cantidades están relacionadas de tal forma que un aumento en una conduce a una disminución proporcional en la otra. A esto se llama proporción inversa. Por ejemplo, el tiempo que se requiere para recorrer una distancia dada es inversamente proporcional a la rapidez del recorrido. Cuanto mayor sea la rapidez, menor será el tiempo que tarde. Esta proporción inversa se escribe como tiempo r 1/rapidez. Cuanto mayor sea el denominador de una fracción, menor será el valor de la fracción como un todo. Por ejemplo, 14 es menor que 12 . Por tanto, si la rapidez se duplica, el tiempo se divide a la mitad, que es lo que se quiere expresar mediante esta relación de proporcionalidad inversa.

Proporción directa

Proporción inversa

† Cuando una cantidad afecta a otra, con frecuencia se usa la expresión “es una función de” para indicar esta dependencia; por ejemplo, se dice que la presión en una llanta es una función de la temperatura.

A-1

Cualquiera que sea el tipo de relación que se mantenga, se puede cambiar a una igualdad al insertar una constante de proporcionalidad adecuada. Entonces, las afirmaciones o predicciones cuantitativas acerca del mundo físico se pueden expresar mediante ecuaciones.

A–2 Exponentes Cuando se escribe 104, se quiere dar a entender que se multiplica 10 por sí mismo cuatro veces: 104 = 10 * 10 * 10 * 10 = 10,000. El superíndice 4 se llama exponente, y se dice que 10 se eleva a la cuarta potencia. Cualquier número o símbolo es susceptible de elevarse a una potencia; se usan nombres especiales cuando el exponente es 2 (a2 es “a al cuadrado”) o 3 (a3 es “a al cubo”). Para cualquier otra potencia, se dice que an es “a a la n-ésima potencia”. Si el exponente es 1, generalmente se quita: a1
a, pues no implica ninguna multiplicación. Las reglas para multiplicar números expresados como potencias son las siguientes: (A–1) Aa n BAam B = an + m. Es decir, los exponentes se suman. Para ver por qué, considere el resultado de la multiplicación de 33 por 34:

A33 B A34 B = (3)(3)(3) * (3)(3)(3)(3) = (3)7. Aquí la suma de los exponentes es 3  4
7, de modo que la regla A-1 funciona. Note que esta regla funciona sólo si los números base (a en la ecuación A-1) son iguales. En consecuencia, no se puede usar la regla de suma de exponentes para A63 BA52 B; estos números tendrían que escribirse. Sin embargo, si los números base son diferentes pero los exponentes son iguales, se tiene una segunda regla: Aan BAbn B = (ab)n.

Por ejemplo, A5 B A6 B = (30) , pues 3

3

(A–2)

3

(5)(5)(5)(6)(6)(6) = (30)(30)(30). La tercera regla contempla el caso que se presenta cuando una potencia se eleva a 2 otra potencia: Aa 3 B significa Aa 3 B Aa 3 B, que es igual a a 3 + 3 = a 6. Entonces la regla general es

Aan B = anm. En este caso, los exponentes se multiplican. Los exponentes negativos se usan para recíprocos. Por ende, m

(A–3)

1 = a –1, a

1 = a –3, a3 etcétera. La razón para usar exponentes negativos es permitir el uso de las reglas de multiplicación que se dieron anteriormente. Por ejemplo, Aa 5 BAa –3 B significa (a)(a)(a)(a)(a) = a 2. (a)(a)(a) La regla A-1 da el mismo resultado: Aa 5 B Aa –3 B = a5 - 3 = a2.

¿Qué significa un exponente cero? Esto es, ¿qué significa a0? Cualquier número elevado a la cero potencia es por definición igual a 1:

a0 = 1. Esta definición se usa porque se desprende de las reglas para sumar exponentes. Por ejemplo,

a3a –3 = a3 - 3 = a0 = 1. Pero, ¿a 3a –3 en realidad es igual a 1? Sí, porque

a3 = 1. a3 1 2 a Los exponentes fraccionarios se usan para representar raíces. Por ejemplo, 1 1 2 3 significa la raíz cuadrada de a; esto es, a = 1a . De manera similar, a significa la a3a –3 =

A-2

APÉNDICE A

Repaso matemático

raíz cúbica de a, etcétera. La raíz cuarta de a significa que si se multiplica la raíz cuarta de a por sí misma cuatro veces, de nuevo se obtiene a:

Aa4 B = a. 1 4 4 Esto es consistente con la regla A-3, pues Aa 4 B
a 4 = a 1 = a. 1 4

A–3 Potencias de 10 o notación exponencial Escribir números muy grandes y muy pequeños, como la distancia de Neptuno al Sol, 4,500,000,000 km, o el diámetro de un átomo típico, 0.00000001 cm, es inconveniente y proclive al error. También deja en duda (véase la sección 1–4) el número de cifras significativas. (¿Cuántos ceros son significativos en el número 4,500,000,000 km?) En estos casos es conveniente utilizar las “potencias de 10” o notación exponencial. La distancia de Neptuno al Sol se expresa entonces como 4.50  109 km (si se supone que el valor es significativo a tres dígitos), y el diámetro de un átomo como 1.0  108 cm. Este modo de escribir números se basa en el uso de exponentes, donde an significa a multiplicado por sí mismo n veces. Por ejemplo, 104 = 10 * 10 * 10  10 = 10,000. En consecuencia, 4.50 * 109
4.50 * 1,000,000,000
4,500,000,000. Note que el exponente (9 en este caso) es justo el número de lugares que el punto decimal se mueve hacia la derecha para obtener el número escrito de forma completa (4.500,000,000). Cuando dos números se multiplican (o dividen), primero se multiplican (o se dividen) las partes simples y luego las potencias de 10. Así, 2.0  103 multiplicado por 5.5  104 es igual a (2.0 * 5.5) * A103 * 104 B
11 * 107, donde se usó la regla para sumar exponentes (apéndice A-2). De manera similar, 8.2  105 dividido por 2.0  102 es igual a

8.2 * 105 8.2 105 * = = 4.1 * 103. 2 2.0 2.0 * 10 102 Para números menores que 1, por ejemplo, 0.01, el exponente potencia de 10 se escribe con un signo negativo: 0.01 = 1
100 = 1
102 = 1 * 10 –2. De manera similar, 0.002
2  103. El punto decimal de nuevo se mueve el número de lugares que expresa el exponente. Entonces, 0.020  3600
72; en notación exponencial, A2.0 * 10–2 B * A3.6 * 103 B = 7.2 * 101 = 72. Note también que 101 * 10 –1
10 * 0.1 = 1, y, por la ley de exponentes, 101  101
100. Por tanto, 100
1. Cuando se escribe un número en notación exponencial, es común hacer que el número simple esté entre 1 y 10. De esta forma, es una convención escribir 4.5  109 en lugar de 45  108, aunque se trate del mismo número.† Esta notación también permite que el número de cifras significativas esté claramente expresado. Se escribe 4.50  109 si este valor es preciso a tres cifras significativas, pero 4.5  109 si es preciso sólo a dos.

A–4 Álgebra Las relaciones físicas entre cantidades se expresan como ecuaciones que incluyen símbolos (generalmente letras del abecedario) que representen las cantidades. La manipulación de tales ecuaciones es el campo del álgebra, y se emplean con mucha frecuencia en física. Una ecuación incluye un signo igual, que indica que las cantidades en cualquier lado del signo igual tienen el mismo valor. Ejemplos de ecuaciones son

3 + 8 = 11 2x + 7 = 15 a2b + c = 6. La primera ecuación sólo incluye números, así que se llama ecuación aritmética. Las otras dos ecuaciones son algebraicas porque contienen símbolos. En la tercera ecuación, la cantidad a2b significa el producto de a por a por b: a 2b
a * a * b. †

Otra convención que se usa, en particular en las computadoras, es que el número simple esté entre 0.1 y 1. Por tanto, 4,500,000,000 se podría escribir como 0.450  1010.

SECCIÓN A–4

Álgebra

A-3

www.elsolucionario.org

Resolución para una incógnita Con frecuencia se quiere resolver para uno (o más) símbolos, y se les trata como incógnitas. Por ejemplo, en la ecuación 2x + 7 = 15, x es la incógnita; sin embargo, esta ecuación es verdadera sólo cuando x
4. A la determinación de qué valor (o valores) pueden tener la(s) incógnita(s) para satisfacer la ecuación (o ecuaciones) se le llama resolución de la ecuación. Para resolver una ecuación, se usa la siguiente regla: Una ecuación permanecerá verdadera si cualquier operación realizada en un lado también se realiza en el otro lado: por ejemplo, a) suma o resta de un número o símbolo; b) multiplicación o división por un número o símbolo; c) elevar cada lado de la ecuación a la misma potencia o sacar la misma raíz (como la raíz cuadrada). EJEMPLO A–1

Resuelva para x en la ecuación

2x + 7 = 15. PLANTEAMIENTO Realice las mismas operaciones en ambos lados de la ecuación para aislar x como la única variable en el lado izquierdo del signo igual. SOLUCIÓN Primero reste 7 de ambos lados:

2x + 7 - 7 = 15 - 7 o

2x = 8. Luego divida ambos lados entre 2 para obtener

8 2x = , 2 2 o, al realizar las divisiones,

x = 4, y esto resuelve la ecuación. EJEMPLO A–2

a) Resuelva la ecuación

2

a b + c = 24 para la incógnita a en términos de b o c. b) Resuelva para a si se supone que b
2 y c
6. PLANTEAMIENTO Se realizan las operaciones para aislar a como la única variable en el lado izquierdo del signo igual. SOLUCIÓN a) Se intenta resolver para a, así que primero se resta c de ambos lados:

a2b = 24 - c, luego se divide entre b: 24 - c , b y finalmente se saca la raíz cuadrada: a2 =

a =

B

24 - c . b

b) Si se sabe que b
2 y c
6, entonces

a =

24 - 6 = 3. B 2

NOTA Siempre que se saque raíz cuadrada, el número puede ser o positivo negativo. Por ende, a
3 también es una solución. ¿Por qué? Porque (3)2
9, tal como (3)2
9. Así que, en realidad, se tienen dos soluciones: a
3 y a
3.

A-4

APÉNDICE A

Repaso matemático

Para comprobar una solución, se le coloca de vuelta en la ecuación original (en realidad ésta es una comprobación de que se hicieron las manipulaciones correctamente). En la ecuación

a2b + c = 24, se pone a
3, b
2, c
6 y se encuentra

(3)2(2) + (6)
24 24 = 24, lo que concuerda. EJERCICIO A Ponga a
3 en la ecuación del ejemplo A-2 y demuestre que también funciona.

Dos o más incógnitas Si se tienen dos o más incógnitas, una ecuación no es suficiente para encontrarlas. En general, si existen n incógnitas, se necesitan n ecuaciones independientes. Por ejemplo, si existen dos incógnitas, se necesitan dos ecuaciones. Si las incógnitas se llaman x y y, un procedimiento típico es resolver una ecuación para x en términos de y, y sustituir esto en la segunda ecuación. EJEMPLO A–3

Resuelva el siguiente par de ecuaciones para x y y.

3x - 2y = 19 x + 4y = –3. PLANTEAMIENTO Se tienen dos incógnitas y dos ecuaciones; se puede comenzar por resolver la segunda ecuación para x en términos de y. Luego se sustituye este resultado para x en la primera ecuación. SOLUCIÓN Se resta 4y de ambos lados de la segunda ecuación:

x = –3 - 4y. Esta expresión se sustituye para x en la primera ecuación y se simplifica:

3(–3 - 4y) - 2y –9 - 12y - 2y –14y y

= = = =

19 19 28 –2.

(al realizar la multiplicación por 3) (al sumar 9 a ambos lados) (al dividir ambos lados entre –14)

Ahora que se conoce y
2, se sustituye esto en la expresión para x:

x = –3 - 4y = –3 - 4(–2) = –3 + 8 = 5. La solución es x
5, y
2. Esta solución se comprueba al colocar dichos valores de vuelta en las ecuaciones originales:

3x - 2y
19 3(5) - 2(–2)
19 15 + 4
19 19 = 19 y

(sí concuerda)

x + 4y
–3 5 + 4(–2)
–3 –3 = –3.

(sí concuerda)

En los libros de álgebra se explican otros métodos para resolver dos o más ecuaciones, como el método de determinantes.

SECCIÓN A–4

Álgebra

A-5

La fórmula cuadrática En ocasiones se encuentran ecuaciones que incluyen una incógnita, por ejemplo x, que no sólo aparece a la primera potencia, sino también al cuadrado. Tal ecuación cuadrática se escribe en la forma

ax 2 + bx + c = 0. Las cantidades a, b y c generalmente son números o constantes dadas.† Las soluciones generales a tal ecuación están dadas por la fórmula cuadrática: x =

Fórmula cuadrática

–b P3b2 - 4ac

.

2a

(A–4)

El signo ; indica que existen dos soluciones para x: una donde se usa el signo más, la otra donde se usa el signo menos. EJEMPLO A–4

Encuentre las soluciones para x en la ecuación

2

3x - 5x = 2. PLANTEAMIENTO Aquí, x aparece tanto a la primera potencia como al cuadrado, por lo que se emplea la ecuación cuadrática. SOLUCIÓN Primero se escribe esta ecuación en la forma estándar

ax2 + bx + c = 0 al restar 2 de ambos lados:

3x2 - 5x - 2 = 0. En este caso, a, b y c en la fórmula estándar toman los valores a
3, b
5 y c
2. Las dos soluciones para x son

x =

± 5 + 325 - (4)(3)(–2) 5 + 7 = = 2 (2)(3) 6

x =

±5 - 325 - (4)(3)(–2) 5 - 7 1 = = – . (2)(3) 6 3

y

En este ejemplo, las dos soluciones son x = 2 y x = – 13 . En los problemas de física a veces ocurre que sólo una de las soluciones corresponde a una situación de la vida real; en este caso, la otra solución se descarta. En otros casos, ambas soluciones pueden corresponder a la realidad física. Note, incidentalmente, que b2 debe ser mayor que 4ac, de modo que 3b2 - 4ac produzca un número real. Si Ab2 - 4acB es menor que cero (negativo), no existe solución real. La raíz cuadrada de un número negativo se llama imaginario. Una ecuación de segundo orden (aquella en la que la potencia más alta de x es 2) tiene dos soluciones; una ecuación de tercer orden (que incluye x3) tiene tres soluciones; y así sucesivamente.

A–5 La expansión binomial En ocasiones uno termina con una cantidad de la forma (1 + x)n. Esto es, la cantidad (1  x) se eleva a la n-ésima potencia. Esto se escribe como una suma infinita de términos, conocida como serie de expansión, del modo siguiente:

(1 + x)n = 1 + nx +

n(n - 1) 2 x + p. 2!

(A–5)

Esta fórmula es útil principalmente cuando x es muy pequeña comparada con (x V 1). En este caso, cada término sucesivo es mucho menor que el término precedente. Por ejemplo, si x
0.01 y n
2, por ejemplo, entonces, mientras el primer †

A-6

APÉNDICE A

Uno o más de ellos podrían ser variables, en cuyo caso se necesitan ecuaciones adicionales.

Repaso matemático

www.elsolucionario.org término es igual a 1, el segundo término es nx = (2)(0.01) = 0.02, y el tercer término es [(2)(1)
2](0.01)2 = 0.0001, etcétera. Por ende, cuando x es pequeño, es posible ignorar todos los términos, excepto los primeros dos (o tres) términos, y escribir (A–6) (1 + x)n L 1 + nx. Esta aproximación con frecuencia permite resolver una ecuación fácilmente, que de otro modo resultaría muy difícil. Algunos ejemplos son

(1 + x)2 L 1 + 2x, 1 = (1 + x)–1 L 1 - x, 1 + x 1

11 + x = (1 + x)2 L 1 + 12 x, 1 1 = (1 + x)– 2 L 1 - 12 x, 11 + x donde x V 1. Como ejemplo numérico, evaluemos 11.02 utilizado la expansión binomial, dado que x
0.02 es mucho menor que 1: 1

1

11.02 = (1.02)2 = (1 + 0.02)2 L 1 + 12 (0.02) = 1.01. Puede comprobar con una calculadora (y quizá no más rápidamente) que

11.02 L 1.01.

A–6 Geometría plana Aquí se revisan varios de los teoremas que incluyen ángulos y triángulos que son útiles en física. 1. Ángulos iguales. Dos ángulos son iguales si cualquiera de las siguientes condiciones son verdaderas: a) Son ángulos verticales (figura A-1); o b) el lado izquierdo de uno es paralelo al lado izquierdo del otro, y el lado derecho de uno es paralelo al lado derecho del otro (los lados izquierdo y derecho son vistos desde el vértice, donde los dos lados se encuentran, figura A-2); o c) el lado izquierdo de uno es perpendicular al lado izquierdo del otro, y los lados derechos son igualmente perpendiculares (figura A-3).

θ

θ

FIGURA A–1 FIGURA A–2

θ θ FIGURA A–3 Ángulo recto

2. La suma de los ángulos en cualquier triángulo plano es 180°. 3. Triángulos similares. Se dice que dos triángulos son similares si sus tres ángulos son iguales (u1 = f1 , u2 = f2 y u3 = f3). Por tanto, los triángulos similares tienen la misma forma básica, pero pueden ser de tamaños diferentes y tener orientaciones diferentes. Dos teoremas útiles acerca de los triángulos similares son:

θ Ángulo recto

θ

a) Dos triángulos son similares si cualesquiera dos de sus ángulos son iguales. (Esto se sigue porque los terceros ángulos también deben ser iguales, pues la suma de los ángulos de un triángulo es 180°). b) Las razones de lados correspondientes de dos triángulos similares son iguales. Esto es (figura A-4)

FIGURA A–4

θ2

a3 a2 a1 . = = b1 b2 b3

a3

4. Triángulos congruentes. Dos triángulos son congruentes si uno se puede colocar precisamente encima del otro. Esto es, son triángulos similares y tienen el mismo tamaño. Dos triángulos son congruentes si cualquiera de las condiciones siguientes se cumplen: a) Los tres lados correspondientes son iguales. b) Dos lados y el ángulo encerrado son iguales (“lado-ángulo-lado”). c) Dos ángulos y el lado encerrado son iguales (“ángulo-lado-ángulo”).

θ1

a1 θ3

a2

φ1

b2

SECCIÓN A–6

φ3

b3

φ2

b1

Geometría plana

A-7

APÉNDICE

B

Isótopos seleccionados

(1) Número atómico Z 0 1

† ‡

(2)

(3)

Elemento

Símbolo

2

(Neutrón) Hidrógeno Deuterio Tritio Helio

n H doD toT He

3

Litio

Li

4

Berilio

Be

5

Boro

B

6

Carbono

C

7

Nitrógeno

N

8

Oxígeno

O

9 10

Flúor Neón

F Ne

11

Sodio

Na

12 13 14

Magnesio Aluminio Silicio

Mg Al Si

(4) Número de masa A

(5) Masa atómica†

(6) % abundancia (o modo de decaimiento radiactivo)‡

1 1 2 3 3 4 6 7 7 9 10 11 11 12 13 14 13 14 15 15 16 18 19 20 22 22 23 24 24 27 28 31

1.008665 1.007825 2.014102 3.016049 3.016029 4.002603 6.015122 7.016004 7.016929 9.012182 10.012937 11.009306 11.011434 12.000000 13.003355 14.003242 13.005739 14.003074 15.000109 15.003065 15.994915 17.999160 18.998403 19.992440 21.991386 21.994437 22.989770 23.990963 23.985042 26.981538 27.976927 30.975363

b– 99.9885% 0.0115% b– 0.000137% 99.999863% 7.59% 92.41% CE, g 100% 19.9% 80.1% b±, CE 98.93% 1.07% b– ± b , CE 99.632% 0.368% b±, CE 99.757% 0.205% 100% 90.48% 9.25% b±, CE, g 100% b–, g 78.99% 100% 92.2297% b–, g

Las masas dadas en la columna (5) son las del átomo neutro, incluidos los Z electrones. CE
captura de electrón.

A-12

(7) Vida media (si es radiactivo) 10.24 min

12.33 años

53.29 días

20.39 min

5730 años 9.965 min

122.24 s

2.6019 años 14.951 h

157.3 min

(1) Número atómico Z

(2)

(3)

Elemento

Símbolo

15

Fósforo

P

16

Azufre

S

17

Cloro

Cl

18 19

Argón Potasio

Ar K

20 21 22 23 24 25 26 27

Calcio Escandio Titanio Vanadio Cromo Manganeso Hierro Cobalto

Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co

28

Níquel

Ni

29

Cobre

Cu

30

Zinc

Zn

31 32

Galio Germanio

Ga Ge

33 34 35 36 37 38

Arsénico Selenio Bromo Kriptón Rubidio Estroncio

As Se Br Kr Rb Sr

39 40 41 42 43

Itrio Zirconio Niobio Molibdeno Tecnecio

Y Zr Nb Mo Tc

44 45 46 47

Rutenio Rodio Paladio Plata

Ru Rh Pd Ag

(4) Número de masa A

(5) Masa atómica

31 32 32 35 35 37 40 39 40

30.973762 31.973907 31.972071 34.969032 34.968853 36.965903 39.962383 38.963707 39.963999

(6) % abundancia (o modo de decaimiento radiactivo) 100% b– 94.9% b– 75.78% 24.22% 99.600% 93.258% 0.0117% b–, CE, g, b±

40 45 48 51 52 55 56 59 60 58 60 63 65 64 66 69 72 74 75 80 79 84 85 86 88 90 89 90 93 98 98

39.962591 44.955910 47.947947 50.943964 51.940512 54.940363 55.934942 58.933200 59.933822 57.935348 59.930791 62.929601 64.927794 63.929147 65.926037 68.925581 71.922076 73.921178 74.921596 79.916522 78.918338 83.911507 84.911789 85.909262 87.905614 89.907738 88.905848 89.904704 92.906378 97.905408 97.907216

96.94% 100% 73.72% 99.750% 83.789% 100% 91.75% 100% b–, g 68.077% 26.223% 69.17% 30.83% 48.6% 27.9% 60.108% 27.5% 36.3% 100% 49.6% 50.69% 57.00% 72.17% 9.86% 82.58% b– 100% 51.4% 100% 24.1% b–, g

102 103 106 107 109

101.904350 102.905504 105.903483 106.905093 108.904756

31.55% 100% 27.33% 51.839% 48.161%

APÉNDICE B

(7) Vida media (si es radiactivo)

14.262 días 87.38 días

1.277  109 años

5.2708 años

28.79 años

4.2  106 años

Isótopos seleccionados

A-13

www.elsolucionario.org

(1) Número atómico Z

A-14

(2)

(3)

Elemento

Símbolo

(4) Número de masa A

(5) Masa atómica

(6) % abundancia (o modo de decaimiento radiactivo)

(7) Vida media (si es radiactivo)

48 49

Cadmio Indio

Cd In

114 115

113.903358 114.903878

28.7% 95.71%; b–

50 51 52

Estaño Antimonio Telurio

Sn Sb Te

120 121 130

119.902197 120.903818 129.906223

32.58% 57.21% 34.1%; b–b–

53

Yodo

I

54

Xenón

Xe

127 131 132 136

126.904468 130.906124 131.904155 135.907220

100% b–, g 8.0207 días 26.89% 8.87%; b–b– > 3.6  1020 años

55 56

Cesio Bario

Cs Ba

57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

Lantano La Cerio Ce Praseodimio Pr Neodimio Nd Prometio Pm Samario Sm Europio Eu Gadolinio Gd Terbio Tb Disprosio Dy Holmio Ho Erbio Er Tulio Tm Iterbio Yb Lutecio Lu Hafnio Hf Tantalio Ta Tungsteno (wolframio) W

133 137 138 139 140 141 142 145 152 153 158 159 164 165 166 169 174 175 180 181 184

132.905447 136.905821 137.905241 138.906348 139.905434 140.907648 141.907719 144.912744 151.919728 152.921226 157.924101 158.925343 163.929171 164.930319 165.930290 168.934211 173.938858 174.940768 179.946549 180.947996 183.950933

100% 11.232% 71.70% 99.910% 88.45% 100% 27.2% CE, a 26.75% 52.19% 24.84% 100% 28.2% 100% 33.6% 100% 31.8% 97.41% 35.08% 99.988% 30.64%; a

75

Renio

Re

187

186.955751

76

Osmio

Os

77

Iridio

Ir

78 79 80

Platino Oro Mercurio

Pt Au Hg

81 82

Talio Plomo

Tl Pb

191 192 191 193 195 197 199 202 205 206 207 208 210 211 212 214

190.960928 191.961479 190.960591 192.962924 194.964774 196.966552 198.968262 201.970626 204.974412 205.974449 206.975881 207.976636 209.984173 210.988731 211.991887 213.999798

APÉNDICE B

Isótopos seleccionados

62.60%; b– b–, g 40.78% 37.3% 62.7% 33.832% 100% 16.87% 29.9% 70.476% 24.1% 22.1% 52.4% b–, g, a b–, g b–, g b–, g

4.41  1014 años

> 5.6  1022 años

17.7 años

> 4  1018 años 4.35  1010 años 15.4 días

22.3 años 36.1 min 10.64 h 26.8 min

(1) Número atómico Z

(2)

(3)

Elemento

Símbolo

83

Bismuto

Bi

84

Polonio

Po

85 86 87 88 89 90

Astatino Radón Francio Radio Actinio Torio

At Rn Fr Ra Ac Th

91

Protactinio

92

Uranio

Masa atómica

(6) % abundancia (o modo de decaimiento radiactivo)

(7) Vida media (si es radiactivo)

208.980383 210.987258 209.982416 213.995186 218.008681 222.017570 223.019731 226.025403 227.027747 228.028731 232.038050

100% a, g, b– a, g, CE a, g a, b– a, g – b , g, a a, g b–, g, a a, g 100%; a, g

Pa

231

231.035879

a, g

3.276 * 104 años

U

232 233

232.037146 233.039628

a, g a, g

68.9 años 1.592  105 años

235 236 238 239 237 239 239 244 243 247 247 251 252 257 258 259 262 263 262 266 264 269 268 271 272 277

235.043923 236.045562 238.050783 239.054288 237.048167 239.052931 239.052157 244.064198 243.061373 247.070347 247.070299 251.079580 252.082970 257.095099 258.098425 259.10102 262.1097 263.11831 262.11415 266.1219 264.1247 269.1341 268.1388 271.14608 272.1535 277

0.720%; a, g a, g 99.274%; a, g b–, g a, g b–, g a, g a a, g a, g a, g a, g a, CE, g a, g a, g a, CE a, CE, fisión fisión a, fisión, CE a, fisión a a a a a a

Neptunio

Np

94

Plutonio

Pu

Americio Curio Berkelio Californio Einstenio Fermio Mendelevio Nobelio Lawrencio Rutherfordio Dubnio

Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Uuu Uub

Seaborgio Bohrio Hasio Meitnerio Darmstadtio

(5)

209 211 210 214 218 222 223 226 227 228 232

93

95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112

(4) Número de masa A

APÉNDICE B

2.14 min 138.376 días 164.3 ms 1.5 s 3.8235 días 22.00 min 1600 años 21.773 años 1.9116 años 1.405 * 1010 años

7.038  108 años 2.342  107 años 4.468  109 años 23.45 min 2.144  106 años 2.3565 días 24,110 años 8.00  107 años 7370 años 1.56  107 años 1380 años 898 años 471.7 días 100.5 días 51.5 días 58 min 3.6 h 10 min 34 s 21 s 0.44 s 9s 0.07 s 0.06 ms 1.5 ms 0.24 ms

Isótopos seleccionados

A-15

APÉNDICE

C

Marcos de referencia en rotación; fuerzas inerciales; efecto Coriolis Marcos de referencia inerciales y no inerciales En los capítulos 5 y 8 se examinó el movimiento de los objetos, incluso los movimientos circular y de rotación, desde el exterior, como observadores fijos en la Tierra. A veces es conveniente ubicarse uno mismo (si no físicamente, al menos en teoría) en un marco de referencia que esté en rotación. Ahora se examinará el movimiento de los objetos desde el punto de vista, o marco de referencia, de las personas sentadas en una plataforma giratoria como un tiovivo. A ellos les parece como si el resto del mundo girase alrededor de ellos. Pero nos enfocaremos en lo que ellos observan cuando ponen una pelota de tenis en el piso de la plataforma giratoria, que se supone no tiene fricción. Si ponen la bola suavemente, sin darle ningún empujón, observarán que acelera desde el reposo y se mueve hacia fuera como se ilustra en la figura C-1a. De acuerdo con la primera ley de Newton, un objeto inicialmente en reposo deberá permanecer en reposo si no actúa ninguna fuerza sobre él. Pero, de

La persona en el suelo parece moverse de esta forma

FIGURA C–1 Trayectoria de una pelota liberada sobre un tiovivo en rotación según se ve a) en el marco de referencia del tiovivo y b) en un marco de referencia fijo en el suelo.

a)

Trayectoria de la pelota con respecto a la plataforma en rotación (es decir, como la ve el observador en la plataforma)

Trayectoria de la pelota vista por los observadores en reposo sobre el suelo

b)

A-16

Plataforma en rotación contra las manecillas del reloj

www.elsolucionario.org acuerdo con los observadores en la plataforma en rotación, la pelota comienza a moverse aun cuando no exista fuerza aplicada sobre ella. Para los observadores en el suelo, esto está muy claro: la pelota tiene una velocidad inicial cuando se libera (puesto que la plataforma está en movimiento) y simplemente continúa moviéndose en una trayectoria en línea recta, como se indica en la figura C-1b, en concordancia con la primera ley de Newton. Pero, ¿qué se debe hacer acerca del marco de referencia de los observadores en la plataforma en rotación? Es evidente que la primera ley de Newton, la ley de la inercia, no se sostiene en este marco de referencia en rotación. Por esta razón, a tal marco se le denomina marco de referencia no inercial. Un marco de referencia inercial (como se explicó en el capítulo 4) es aquel en el que la ley de la inercia (primera ley de Newton) sí se sostiene, y lo mismo la segunda y la tercera leyes de Newton. En un marco de referencia no inercial, como la plataforma en rotación, la segunda ley de Newton no se sostiene. Por ejemplo, en la situación descrita líneas arriba, no hay fuerza sobre la pelota; y, sin embargo, con respecto a la plataforma en rotación, la pelota acelera.

Fuerzas ficticias (inerciales) Puesto que la ley de Newton no se sostiene cuando se realizan observaciones con respecto a un marco de referencia en rotación, el cálculo del movimiento resulta complicado. Sin embargo, todavía se pueden aplicar las leyes de Newton en tal marco de referencia si se utiliza un truco. La pelota en la plataforma en rotación de la figura C-1a vuela hacia fuera cuando se le libera (como si una fuerza actuase sobre ella; aunque, como se vio anteriormente, en realidad ninguna fuerza actúa sobre ella); de modo que el truco utilizado es escribir la ecuación ©F = ma como si una fuerza igual a mv2
r (o mv2r) actuase radialmente hacia fuera sobre el objeto, además de otras fuerzas cualesquiera que pudiesen actuar. Esta fuerza adicional, que se designa como “fuerza centrífuga” porque parece actuar hacia fuera, se llama fuerza ficticia o pseudofuerza. Es una pseudofuerza (“pseudo” significa “falso”) porque no hay objeto que ejerza esta fuerza. Más aún, cuando se ve desde un marco de referencia inercial, el efecto no existe en absoluto. Se ha construido esta pseudofuerza de modo que se puedan realizar cálculos en un marco de referencia no inercial con la segunda ley de Newton, ©F = ma. Por ende, el observador en el marco no inercial de la figura C-1a usa la segunda ley de Newton para el movimiento hacia fuera de la pelota, al suponer que una fuerza igual a mv2
r actúa sobre ella. A tales pseudofuerzas también se les denomina fuerzas inerciales, pues surgen sólo porque el marco de referencia es no inercial. Ahora se examinará el movimiento de una partícula en una centrifugadora (sección 5-5) desde el marco de referencia del tubo de ensayo en rotación. En este marco de referencia, las partículas se mueven en el tubo en una trayectoria más o menos recta. (Desde el marco de referencia de la Tierra, las partículas dan vueltas y vueltas). La aceleración de una partícula con respecto al tubo en rotación se puede calcular entonces con el uso de F
ma si se incluye una pseudofuerza, “F”, igual a mv2r = m Av2
rB que actúa a lo largo del tubo, además de la fuerza de arrastre FA ejercida por el fluido sobre la partícula (figura C-2) hacia la boquilla del tubo. En la sección 5-3 se analizaron las fuerzas sobre una persona en un automóvil que toma una curva (figura 5-11) desde el punto de vista de un marco inercial. El automóvil, por otra parte, no es un marco inercial. Los pasajeros en ese automóvil podrían interpretar esta presión hacia fuera como el efecto de una fuerza “centrífuga”. Pero necesitan reconocer que es una pseudofuerza porque no existe objeto identificable que la ejerza. Es un efecto de estar en un marco de referencia no inercial. La Tierra misma gira sobre su eje. Por ende, en sentido estricto, las leyes de Newton no son válidas en la Tierra. Sin embargo, el efecto de la rotación de la Tierra generalmente es tan pequeño que puede ignorarse, aunque sí influye en el movimiento de grandes masas de aire y de las corrientes oceánicas. En virtud del movimiento de rotación, el material de la Tierra está ligeramente más concentrado en el ecuador. La Tierra, por tanto, no es una esfera perfecta sino que es ligeramente más ensanchada en el ecuador que en los polos.

APÉNDICE C

Fuerza ficticia (pseudofuerza)

Fuerza inercial

“F ” = m 2/r FA FIGURA C–2 Fuerzas sobre una partícula en un tubo de ensayo en rotación en una centrifugadora, vistas en el marco de referencia del tubo de ensayo.

Marcos de referencia en rotación; fuerzas inerciales; efecto Coriolis

A-17

Efecto Coriolis En un marco de referencia que gira con rapidez angular constante v (relativa a un marco inercial), existen otras pseudofuerzas conocidas como fuerza Coriolis. Parece actuar sobre un cuerpo en un marco de referencia en rotación sólo si el cuerpo se mueve en relación con ese marco de referencia, y actúa para desviar al cuerpo hacia los lados. También es un efecto del marco de referencia no inercial, y por tanto, se le considera como una fuerza inercial. Para ver cómo surge la fuerza Coriolis, considere dos personas, A y B, en reposo sobre una plataforma en rotación con rapidez angular v, como se ilustra en la figura C-3a. Están situadas a distancias rA y rB, respectivamente, del eje de rotación (en O). La mujer en A lanza una bola con una velocidad B horizontal v (en su marco de referencia) radialmente hacia fuera, hacia el hombre en B sobre el borde exterior de la plataforma. En la figura C-3a se ve la situación desde un marco de referencia inercial. La bola inicialmente no sólo tiene la velociB B dad v radialmente hacia fuera, también tiene una velocidad tangencial vA debida a la rotación de la plataforma. Ahora, la ecuación 8-4 dice que vA
rAv, donde rA es la distancia radial de la mujer desde el eje de rotación en O. Si el hombre en B tuviese esta misma velocidad vA, la bola lo alcanzaría perfectamente. Pero su rapidez es mayor que vA (figura C-3a) puesto que él está más lejos del eje de rotación. Su rapidez es vB
rBv, que es mayor que vA porque rB 7 rA . Por ende, cuando la bola alcanza el borde exterior de la plataforma, pasa un punto que el hombre en B ya pasó porque su rapidez en esa dirección es mayor que la de la bola. De modo que bola pasa detrás de él. La figura C-3b muestra la situación como se ve desde la plataforma en rotación como marco de referencia. Tanto A como B están en reposo, y la bola se lanza con B velocidad v hacia B, pero se desvía hacia la derecha como se muestra y pasa detrás de B como se describió anteriormente. Este no es un efecto de fuerza centrífuga, pues la última actúa radialmente hacia fuera. En vez de ello, este efecto actúa hacia B los lados, de forma perpendicular a v, y se llama aceleración Coriolis; se dice que se debe a la fuerza Coriolis, que es una fuerza inercial ficticia. Su explicación, como se ve desde un sistema inercial, se dio anteriormente: es un efecto de estar en un sistema en rotación, en aquellos puntos que están más lejos del eje de rotación que tienen mayores rapideces lineales. Por otra parte, cuando se ve desde el sistema en rotación, el movimiento se puede describir con el uso de la segunda ley de Newton, B ©F
maB , si se añade un término de “pseudofuerza” correspondiente a este efecto Coriolis. Ahora se determinará la magnitud de la aceleración Coriolis para el caso simple descrito líneas arriba. (Se supone que v es grande y las distancias son cortas, así FIGURA C–3 Origen del efecto Coriolis. Al ver desde arriba una plataforma en rotación, a) desde un sistema inercial no giratorio y b) desde la plataforma giratoria como marco de referencia.

ω vBB

s

B

O

vA

A

B

v

O

B Trayectoria

A

vB

s

de la bola Trayectoria de la bola

a)

A-18

APÉNDICE C

B

b)

Marcos de referencia en rotación; fuerzas inerciales; efecto Coriolis

que se puede ignorar la gravedad). El cálculo se hace desde el marco de referencia inercial (figura C-3a). La bola se mueve radialmente hacia fuera una distancia rB  rA con rapidez v en un tiempo t dado por

rB - rA = vt. Durante este tiempo, la bola se mueve hacia el lado una distancia sA dada por

Baja presión

sA = vAt. El hombre en B, en este tiempo t, se mueve una distancia sB = vBt. Por tanto, la bola pasa detrás de él una distancia s (figura C-3a) dada por

a)

s = sB - sA = AvB - vA Bt.

Anteriormente se vio que vA
rAv y vB
rBv, de modo que

s = ArB - rA Bvt.

Se sustituye rB – rA = vt (véase arriba) y se obtiene 2

s = vvt .

(C–1)

Esta misma s es igual al desplazamiento lateral como se ve desde el sistema en rotación no inercial (figura C-3b). Inmediatamente se ve que la ecuación C-1 corresponde al movimiento con aceleración constante. Porque, como es vio en el capítulo 2 (ecuación 2-11b), y = 12 at 2 para una aceleración constante (con velocidad inicial cero en la dirección y). En consecuencia, si la ecuación C-1 se escribe en la forma s = 12 a Cor t2, se ve que la aceleración Coriolis aCor es

aCor = 2vv.

b)

(C–2)

Esta relación es válida para cualquier velocidad en el plano de rotación, es decir, en el plano perpendicular al eje de rotación (en la figura C-3, el eje a través del punto O perpendicular a la página). Puesto que la Tierra gira, el efecto Coriolis tiene ciertas manifestaciones interesantes sobre ella. Afecta el movimiento de las masas de aire y, por tanto, tiene una influencia en el clima. En ausencia del efecto Coriolis, el aire se lanzaría directamente en una región de baja presión, como se muestra en la figura C-4a. Pero, en virtud del efecto Coriolis, los vientos se desvían hacia la derecha en el hemisferio norte (figura C-4b), pues la Tierra gira de oeste a este. Así que, alrededor de una área de baja presión, tiende a haber un patrón de viento en sentido contrario a las manecillas del reloj. Lo contrario es cierto en el hemisferio sur. Por eso, los ciclones giran en sentido contrario a las manecillas del reloj en el hemisferio norte y en sentido de las manecillas del reloj en el hemisferio sur. El mismo efecto explica el movimiento de los vientos hacia el este cerca del ecuador: cualquier viento con dirección sur hacia el ecuador se desviará hacia el oeste (esto es, como si viniese del este). El efecto Coriolis también actúa sobre la caída de los cuerpos. Un cuerpo que se libera desde lo alto de una alta torre no golpeará el suelo directamente debajo del punto de liberación, sino que se desviará ligeramente hacia el este. Visto desde un marco inercial, esto se debe a que la parte superior de la torre da vueltas con una rapidez ligeramente mayor que la base de la torre.

APÉNDICE C

Baja presión

c) FIGURA C–4 a) Los vientos (masas de aire en movimiento) fluirían directamente hacia una área de baja presión si la Tierra no girara; b) y c): A causa de la rotación de la Tierra, los vientos se desvían hacia la derecha en el hemisferio norte (como en la figura C-3) como si actuase una fuerza ficticia (Coriolis).

Marcos de referencia en rotación; fuerzas inerciales; efecto Coriolis

A-19

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APÉNDICE

D

Calores específicos molares para gases y la equipartición de la energía Calores específicos molares para gases Los valores de los calores específicos para gases dependen de cómo se lleva a cabo el proceso termodinámico. Dos importantes procesos son aquellos en los que el volumen o la presión se mantienen constantes, y la tabla D-1 muestra cuán diferentes pueden ser. La diferencia en calores específicos se explica bastante bien en términos de la primera ley de la termodinámica y la teoría cinética. Para los gases generalmente se usan calores específicos molares, CV y CP, que se definen como el calor requerido para elevar 1 mol de gas en 1 C° a volumen constante y a presión constante, respectivamente. En analogía con la ecuación 14-2, el calor Q necesario para elevar la temperatura de n moles de gas por ¢T es

Q = nCV ¢T Q = nCP ¢T.

Calores específicos molares

[volumen constante]

(D–1a)

[presión constante]

(D–1b)

Es claro a partir de la definición de calor específico molar (compare las ecuaciones 14-2 y D-1) que

CV = McV y CP = McP , donde M es la masa molecular del gas (M
m/n en gramos/mol). Los valores para calores específicos molares se incluyen en la tabla D-1. Estos valores son casi los mismos para diferentes gases que tienen el mismo número de átomos por molécula. Ahora se empleará la teoría cinética de los gases para ver, primero, por qué los calores específicos de los gases son mayores para procesos a presión constante que para procesos a volumen constante. Imagine que un gas ideal se calienta lentamente mediante estos dos procesos: primero a volumen constante, y luego a presión constanTABLA D – 1 Calores específicos de gases a 15°C Calores específicos (kcal
kgK) Gas Monoatómico He Ne Diatómico

N2 O2

cV

cP

Calores específicos molares (cal
molK) CV

CP

CP - C V (cal
mol  K)

0.75 0.148

1.15 0.246

2.98 2.98

4.97 4.97

1.99 1.99

0.177 0.155

0.248 0.218

4.96 5.03

6.95 7.03

1.99 2.00

0.153 0.350

0.199 0.482

6.80 6.20

8.83 8.20

2.03 2.00

0.343

0.412

10.30

12.35

2.05

Triatómico

CO2 H 2O (100°C) Poliatómico

C 2H 6

A-20

te. En ambos procesos se deja que la temperatura aumente por la misma cantidad, ¢T. En el proceso a volumen constante no se realiza trabajo pues ¢V
0. Por tanto, de acuerdo con la primera ley de la termodinámica, el calor agregado (denotado por QV) se destina en su totalidad a aumentar la energía del gas:

QV = ¢U. En el proceso de presión constante, sí se realiza trabajo. De este modo, el calor añadido QP no sólo debe aumentar la energía interna, sino también se utiliza para realizar trabajo W = P ¢V. Así, para el mismo ¢T, en el proceso a presión constante se debe agregar más calor que en el de volumen constante. Para el proceso a presión constante, la primera ley de la termodinámica da QP = ¢U + P ¢V. Como ¢U es igual en los dos procesos (se elige ¢T como el mismo), es factible combinar las dos ecuaciones anteriores:

QP - QV = P ¢V. A partir de la ley de gas ideal, V = nRT
P, de modo que para un proceso a presión constante ¢V = nR ¢T
P. Al colocar esto en la ecuación anterior y utilizar las ecuaciones D-1, se encuentra

nCP ¢T - nCV ¢T = P a

nR ¢T b P

o, después de cancelaciones,

CP - CV = R.

(D–2)

Puesto que la constante de gas R = 8.315 J
mol K = 1.99 cal
mol K, se predice que CP será mayor que CV por aproximadamente 1.99 cal/molK. De hecho, esto está muy cerca de lo que se obtiene experimentalmente, como indica la última columna de la tabla D-1. Ahora se calculará el calor específico molar de un gas monoatómico con la teoría cinética. Para un proceso que se lleva a cabo a volumen constante, no se realiza trabajo, así que la primera ley de la termodinámica dice que

¢U = QV . Para un gas monoatómico ideal, la energía interna, U, es la energía cinética total de todas las moléculas

U = N A 12 mOB = 32 nRT

como se vio en la sección 14-2. Entonces, a partir de la ecuación D-1a, ¢U = QV se escribe como

¢U = 32 nR ¢T = nCV ¢T

(D–3)

o

CV = 32 R.

(D–4)

Como R = 8.315 J
molK = 1.99 cal
mol K, la teoría cinética predice que CV
2.98 cal
mol K para un gas monoatómico ideal. Esto está muy cerca de los valores experimentales para gases monoatómicos como el helio y el neón (tabla D-1). A partir de la ecuación D-2, se predice que CP es aproximadamente 4.97 cal/molK, también en concordancia con los experimentos (tabla D-1).

Equipartición de energía

FIGURA D–1 Una molécula

Los calores específicos molares medidos para gases más complejos (tabla D-1), como los gases diatómicos (dos átomos) y triatómicos (tres gases), aumentan con el número creciente de átomos por molécula. Esto se explica al suponer que la energía interna incluye no sólo energía cinética de traslación, sino también otras formas de energía. Por ejemplo, en un gas diatómico (figura D-1), los dos átomos pueden girar en torno a dos ejes diferentes (pero la rotación en torno a un tercer eje que pase a través de los dos átomos daría lugar a energía despreciable, pues el momento de inercia sería muy pequeño). Las moléculas también pueden tener energía cinética de rotación, así como de traslación.

APÉNDICE D

diatómica puede girar en torno a dos ejes diferentes.

Eje

Eje a)

b)

Calores específicos molares para gases y la equipartición de la energía

A-21

Grados de libertad

Equipartición de la energía

FIGURA D–2 Una molécula diatómica puede vibrar, como si los dos átomos estuviesen conectados mediante un resorte. Desde luego no lo están, sino que más bien ejercen fuerzas de naturaleza eléctrica entre sí, de una forma que recuerda la fuerza de un resorte. FIGURA D–3 Calores específicos

Es útil introducir la idea de grados de libertad, con lo que se entiende el número de formas independientes en que las moléculas pueden poseer energía. Por ejemplo, un gas monoatómico tiene tres grados de libertad, porque un átomo puede tener velocidad a lo largo de los ejes x, y y z. Éstos se consideran tres movimientos independientes porque un cambio en cualquiera de los componentes no afectaría a los otros. Una molécula diatómica tiene los mismos tres grados de libertad asociados con la energía cinética de traslación más dos grados de libertad asociados con la energía cinética de rotación (figura D-1), para un total de cinco grados de libertad. La tabla D-1 indica que el CV para gases diatómicos es aproximadamente 53 veces el de un gas monoatómico; es decir, en la misma razón que sus grados de libertad. Esto condujo a los físicos del siglo XIX al principio de equipartición de la energía. Este principio afirma que la energía se comparte equitativamente entre los grados de libertad activos, y cada grado de libertad activo de una molécula tiene en promedio una energía igual a 12 kT. De esta forma, la energía promedio para una molécula de un gas monoatómico sería 32 kT (lo que ya se sabía) y de un gas diatómico 52 kT. En consecuencia, la energía interna de un gas diatómico sería U = N A 52 kTB = 52 nRT, donde n es el número de moles. Al utilizar el mismo argumento que se empleó para gases monoatómicos, se ve que, para los gases diatómicos, el calor específico molar a volumen constante sería 52 R = 4.97 cal
mol K, en concordancia con los valores medidos. Las moléculas más complejas tienen incluso más grados de libertad y, por ende, mayores calores específicos molares. Sin embargo, las mediciones mostraron que, para gases diatómicos a temperaturas muy bajas, CV tiene un valor de apenas 32 R, como si sólo hubiese tres grados de libertad. Y a temperaturas muy altas, CV fue de aproximadamente 72 R, como si hubiese siete grados de libertad. La explicación es que, a temperaturas bajas, casi todas las moléculas tienen sólo energía cinética de traslación, de modo que ninguna energía pasa a energía de rotación y sólo tres grados de libertad están “activos”. A temperaturas muy altas, los cinco grados de libertad están activos más dos adicionales. Los dos nuevos grados de libertad se interpretan como asociados con los dos átomos en vibración, como si estuviesen conectados por un resorte (figura D-2). Un grado de libertad viene de la energía cinética del movimiento vibracional, y el segundo de la energía potencial de movimiento vibracional A 12 kx 2 B. A temperatura ambiente, estos dos grados de libertad aparentemente no están activos. Einstein explicó, mediante la teoría cuántica, por qué menos grados de libertad están “activos” a temperaturas más bajas.

Sólidos

El principio de equipartición de la energía también es aplicable a los sólidos. El calor específico molar de cualquier sólido a altas temperaturas está cerca de 3R (6.0 cal/molK), figura D-3. Se le llama valor de Dulong y Petit, en honor de los científicos Plomo Cobre que lo midieron por primera vez en 1819. (Hay que hacer notar que la tabla 14-1 Berilio proporciona los calores específicos por kilogramo, no por mol). A altas temperatuDiamante ras, cada átomo aparentemente tiene seis grados de libertad, aunque algunos no están activos a bajas temperaturas. Cada átomo en un sólido cristalino puede vibrar en torno de su posición de equilibrio como si estuviese conectado mediante resortes a cada uno de sus vecinos (figura D-4). Por tanto, puede tener tres grados de libertad 0 200 400 600 800 1000 para la energía cinética y tres más asociados con energía potencial de vibración en cada una de las direcciones x, y y z, en concordancia con valores medidos. Temperatura (K)

Calor específico molar a V constante (cal/mol · K)

molares de sólidos como una función de la temperatura.

6 4 2 0

FIGURA D–4 Los átomos en un sólido cristalino pueden vibrar en torno a sus posiciones de equilibrio como si estuviesen conectados a sus vecinos mediante resortes. (Las fuerzas entre átomos en realidad son de naturaleza eléctrica).

A-22

APÉNDICE D

Calores específicos molares para gases y la equipartición de la energía

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APÉNDICE

E

Transformaciones galileanas y de Lorentz

A

hora se examinarán en detalle las matemáticas que permiten relacionar cantidades en un marco de referencia inercial con las cantidades equivalentes en otro. En particular, se verá cómo las posiciones y las velocidades se transforman (es decir, cambian) conforme se pasa de un marco de referencia a otro. Comenzaremos con el punto de vista clásico, o galileano. Considere dos marcos de referencia S y S¿ que se caracterizan cada uno por un conjunto de ejes coordenados (figura E-1). Los ejes x y y (z no se muestra) se refieren a S, y x¿ y y¿ se refieren a S¿. Los ejes x¿ y x se traslapan y se supone que el marco S¿ se mueve hacia la derecha (en la dirección x) con rapidez v con respecto a S. Por simplicidad, se supondrá que los orígenes O y O¿ de los dos marcos de referencia se superponen en el tiempo t
0. Ahora considere un evento que ocurre en algún punto P (figura E-1) representado por las coordenadas x¿, y¿, z¿ en el marco de referencia S¿ en el tiempo t¿. ¿Cuáles serán las coordenadas de P en S? Como S y S¿ se traslapan precisamente en el inicio, después de un tiempo t, S¿ se habrá movido una distancia vt¿. Por tanto, en el tiempo t¿, x = x¿ + vt¿. Las coordenadas y y z, por otra parte, no se alteran con el movimiento a lo largo del eje x; de esta forma, y
y¿ y z
z¿. Finalmente, puesto que el tiempo se supone absoluto en la física galileana-newtoniana, los relojes en los dos marcos concordarán uno con otro, de modo que t
t¿. Esto se resume en las siguientes ecuaciones de transformación galileana:

x = x¿ + vt¿ y = y¿ (E–1) z = z¿ t = t¿. Estas ecuaciones proporcionan las coordenadas de un evento en el marco S cuando se conocen las del marco S¿. Si las del sistema S se conocen, entonces las coordenadas en S¿ se obtienen a partir de x¿ = x - vt,

y¿ = y,

z¿ = z,

Transformaciones galileanas

t¿ = t.

Estas cuatro ecuaciones son la transformación “inversa” y se obtienen muy fácilmente a partir de las ecuaciones E-1. Note que el efecto es simplemente intercambiar las cantidades primas y no primas y sustituir v por v. Esto tiene sentido pues, desde el marco S¿, S se mueve hacia la izquierda (dirección x negativa) con rapidez v. y

y′ S

S′ FIGURA E–1 El marco de referencia inercial S¿ se mueve hacia la derecha con rapidez v con respecto al marco inercial S.

vB

vt x

O

x′

x

O′

P

x′

A-23

Suponga ahora que el punto P en la figura E-1 representa un objeto que se œ œ mueve. Sean los componentes de su vector velocidad en S¿ u x , u y y u zœ (se usa u para distinguir de la velocidad relativa de los dos marcos, v). Ahora, u xœ = ¢x¿
¢ t ¿, u yœ
¢y¿
¢ t ¿ y u zœ = ¢z¿
¢ t ¿, donde todas las cantidades son como se miden en el marco S¿. Por ejemplo, si en el tiempo t 1œ la partícula está en x 1œ , y poco tiempo después t 2œ , está en x 2œ , entonces

uxœ =

x2œ - x1œ ¢x¿ . = t2œ - t1œ ¢t ¿

Ahora la velocidad de P vista desde S tendrá componentes ux, uy y uz. Con la ecuación E-1 se demuestra cómo están relacionados éstos con los componentes de velocidad en S¿. Por ejemplo,

ux =

= =

Ax2œ + vt2œ B - Ax1œ + vt1œ B x2 - x1 ¢x = = ¢t t2 - t1 t2œ - t1œ Ax 2œ - x1œ B + v At2œ - t1œ B t2œ - t1œ

¢x¿ + v = uxœ + v. ¢t ¿

Para los otros componentes, uyœ = uy y uzœ = uz , así que se tiene Transformaciones

ux = uxœ + v,

galileanas

uy = uyœ ,

de velocidad

uzœ .

Teoría de la relatividad

uz =

(E–2)

Éstas se conocen como las ecuaciones de transformación galileana de velocidad. Se ve que los componentes y y z de la velocidad no varían, pero los componentes x difieren por v. Esto es justo lo que se empleó antes, cuando se trató con velocidad relativa. Por ejemplo, si S¿ es un tren y S la Tierra, y el tren se mueve con rapidez v con respecto a la Tierra, una persona que camine hacia el frente del tren con rapidez uxœ tendrá una rapidez con respecto a la Tierra de ux = uxœ + v. Las transformaciones galileanas (ecuaciones E-1 y E-2) son válidas sólo cuando las velocidades implicadas no sean relativistas (capítulo 26), es decir, mucho menores que la rapidez de la luz, c. Se observa, por ejemplo, que la primera de las ecuaciones E-2 no funcionará para la rapidez de la luz, c, que es la misma en todos los marcos de referencia inerciales (un postulado básico de la teoría de la relatividad). Es decir, la luz que viaje en S¿ con rapidez uxœ = c tendrá una rapidez c  v en S, de acuerdo con la ecuación E-2, mientras que la teoría de la relatividad insiste que debe ser c en S. Entonces, como es evidente, se necesita un nuevo conjunto de ecuaciones de transformación para tratar con velocidades relativistas. Las ecuaciones requeridas se deducirán de forma simple, de nuevo a partir de la figura E-1. Se supone que la transformación es lineal y de la forma

x = g Ax¿ + vt¿ B,

y = y¿,

z = z¿.

Es decir, se modifica la primera de las ecuaciones E-1 al multiplicar por un factor g que está aún por determinarse. Pero se supone que las ecuaciones de y y z no varían porque ya no se espera contracción de longitud en estas direcciones. No se supone una forma para t, pero se le deducirá. Las ecuaciones inversas deben tener la misma forma con v sustituida por v. (El principio de relatividad así lo demanda, puesto que S¿ en movimiento hacia la derecha con respecto a S es equivalente a S en movimiento hacia la izquierda con respecto a S¿). Por tanto,

x¿ = g(x - vt). Ahora, si un pulso de luz sale del origen común de S y S¿ en el tiempo t
t¿
0, después de un tiempo t habrá viajado a lo largo del eje x una distancia x
ct (en S) o x¿
ct¿ (en S¿). De esta manera, a partir de las ecuaciones para x y x¿ anteriores

A-24

APÉNDICE E

Transformaciones galileanas y de Lorentz

ct = g Act¿ + vt¿B = g(c + v)t¿, ct¿ = g(ct - vt) = g(c - v)t. Se sustituye t¿ de la segunda ecuación en la primera y se encuentra ct = g(c + v) g(c - v)(t
c)= g2 Ac2 - v2 Bt
c. Se cancela t en cada lado y se resuelve para g para encontrar

g =

1

.

2 2 31 - v
c

Ahora que se encontró g, sólo se necesita encontrar la relación entre t y t¿. Para ello, se combina x¿ = g(x - vt) con x = g Ax¿ ± vt¿ B:

x¿ = g(x - vt) = gCg Ax¿ + vt¿ B - vt D.

Se resuelve para t y se encuentra t = g At¿ ± vx¿
c2 B. En resumen,

Ax¿ + vt¿B, 2 2 31 - v
c y = y¿, z = z¿, vx¿ 1 ¢ t¿ + 2 ≤ . t = 2 2 c 31 - v
c

x =

1

(E–3)

Transformaciones de Lorentz

Éstas se llaman ecuaciones de transformación de Lorentz. Fue Lorentz quien las propuso por primera vez en 1904, con una forma ligeramente diferente, para explicar el resultado nulo del experimento Michelson-Morley y para hacer que las ecuaciones de Maxwell tomaran la misma forma en todos los sistemas inerciales. Un año después, Einstein las dedujo independientemente con base en su teoría de la relatividad. Advierta que no sólo la ecuación x se modifica en comparación con la transformación galileana, sino también la ecuación de t. De hecho, en esta última ecuación se ve directamente, así como en la primera, cómo se mezclan las coordenadas espacio y tiempo. Las ecuaciones de velocidad correctas desde el punto de vista relativista se obtienen con facilidad. Por ejemplo, utilizando las ecuaciones E-3 (sea g = 1
21 - v2
c2),

ux =

g A¢x¿ + v ¢t ¿ B A¢x¿
¢t ¿ B + v ¢x = = 2 ¢t g A¢t ¿ + v ¢x¿
c B 1 + Av
c2 BA¢x¿
¢t ¿ B =

uxœ + v . 1 + vuxœ
c2

Las otras se obtienen de la misma forma, y se reúnen aquí:

ux = uy = uz =

uxœ + v , 1 + vuxœ
c2 uyœ 31 - v2
c2 1 + vuxœ
c2 uzœ 31 - v2
c2 1 + vuxœ
c2

Transformaciones

,

(E–4)

relativistas de velocidad

.

La primera de estas ecuaciones es la ecuación 26-9, que se usó en la sección 26-11, donde se explicó cómo las velocidades no se suman en el sentido común (galileano), a causa del denominador A1 + vuxœ
c2 B. Ahora se puede ver que los componentes x y y de la velocidad también se alteran y que dependen del componente x¿ de velocidad.

APÉNDICE E

Transformaciones galileanas y de Lorentz

A-25

www.elsolucionario.org EJEMPLO E–1 Contracción de la longitud. Deduzca la fórmula de contracción de la longitud (ecuación 26-2) a partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz. SOLUCIÓN Sea un objeto de longitud L0 en reposo en el eje x en S. Las coordenadas de sus dos puntos extremos son x1 y x2, de modo que x2 - x1 = L0 . En cualquier instante en S¿, los puntos extremos estarán en x 1œ y x 2œ , dados por las ecuaciones de transformación de Lorentz. La longitud medida en S¿ es L = x 2œ – x1œ . Un observador en S¿ mide esta longitud al medir x2œ y x1œ al mismo tiempo (en el marco S¿), de modo que t2œ = t1œ . Entonces, a partir de la primera de las ecuaciones E-3,

L 0 = x2 - x1 =

1 2 2 31 - v
c

Ax2œ + vt2œ - x1œ - vt1œ B.

Puesto que t2œ = t1œ , se tiene

L0 = o

1

31 - v
c 2

L = L0

B

1 -

2

Ax2œ - x1œ B =

L

,

2 2 31 - v
c

v2 , c2

que es la ecuación 26-2. EJEMPLO E–2 Dilatación del tiempo. Deduzca la fórmula de dilatación del tiempo (ecuación 26-1) a partir de las ecuaciones de transformación de Lorentz. SOLUCIÓN El tiempo ¢t0 entre dos eventos que ocurren en el mismo lugar Ax 2œ = x1œ B en S¿ se mide que es ¢t0 = t2œ - t1œ . Como x 2œ = x1œ , entonces, a partir de la última de las ecuaciones E-3, el tiempo ¢t entre los eventos, según se mide en S, es

¢t = t2 - t1 = =

=

1 2 2 31 - v
c

1 2 2 31 - v
c ¢t0

¢ t2œ +

vx2œ vx1œ œ t ≤ 1 c2 c2

At2œ - t1œ B ,

2 2 31 - v
c

que es la ecuación 26-1. Cabe hacer notar que se elige S¿ como el marco en el que los dos eventos ocurren en el mismo lugar, de modo que x 1œ = x 2œ , y los términos que contienen x 1œ y x 2œ se cancelan.

A-26

APÉNDICE E

Transformaciones galileanas y de Lorentz

RESPUESTAS A PROBLEMAS CON NÚMERO IMPAR 51. 2.21 * 1019 m3, 49.3 Lunas.

1. a) 1.4 * 10 años; 17

b) 4.4 * 10 s. 3. a) 1.156 * 100; b) 2.18 * 101; c) 6.8 * 10–3; d) 2.7635 * 101; e) 2.19 * 10–1; f) 4.44 * 102. 5. 1%. 7. a) 4%; b) 0.4%; c) 0.07%. 9. 1.7 m. 11. 9%. 13. a) 1 megavolt; b) 2 micrometros; c) 6 kilodías; d) 18 hectodólares; e) 8 nanopiezas. 15. a) 1.5 * 1011 m; b) 150 gigametros. 17. 3.8 s. 19. 3.76 m. 21. 7.3%. 23. a) 3.80 * 1013 m2; b) 13.4. 25. L 7 * 105 libros. 27. L 11 horas. 29. 8 * 104 cm3. 31. 4 * 108 kg
año. 33. a) No puede ser correcta; b) puede ser correcta; c) puede ser correcta. 35. 50,000 chips. 37. 2 * 10–4 m. 39. a) 1012 protones o neutrones; b) 1010 protones o neutrones;

b) 0.7%, 0.2%. CAPÍTULO 2 1. 72.3 km
h.

1.5 1.0 0.5

3. 61 m. 5. –2.5 cm
s.

0

7. a) 2.6 * 102 km; b) 77 km
h. 9. a) 4.3 m
s;

10

20

30 t (s)

−0.5

40 50

−1.0

b) 0 m
s. 11. 2.7 min. 13. 6.8 h, 8.7 * 102 km
h. 15. 6.73 m
s. 17. a) 7.41 m
s2; b) 9.60 * 104 km
h2. 19. –5.5 m
s2, –0.56 g. 21. 2.0 m
s2, 114 m. 23. 1.8 * 102 m. 25. 63.0 m. 27. –36 g. 31. 3.1 s. 33. 51.8 m. 35. a) 8.8 s; b) 86 m
s. 37. 15 m
s, 11 m. 39. 5.61 s. 43. 4.1 * 10–2 s. 45. 46 m. 47. a) 5.20 s; b) 38.9 m
s; c) 84.7 m. 49. a) 48 s; b) 90 s a 108 s; c) 0 s a 38 s, 65 s a 83 s, 90 s a 108 s;

−1.5 −2.0 57. a) –150 m
s2; b) aflojarla. 59. 1.3 m. 61. (b) 14 m; (c) 39.4 m. 63. 31 m
s. 65. a) 8.8 min; b) 7.5 min. 67. 4.9 m
s a 5.7 m
s, 6.0 m
s a 6.9 m
s, rango más pequeño de velocidades iniciales. 69. 29.0 m. 71. 5.1 * 10–2 m
s2. 73. 3.3 min; 5.2 km; 23.3 s, 0.61 km. 75. a) 88 m
s; b) 27 s; c) 1590 m; d) 36 s; e) –177 m
s; f) 54 s. 77. a) Automovilista

d) 65 s a 83 s. 51. a) 0 s a 18 s;

d) 1068 protones o neutrones.

b) 27 s;

45. L 3500 km. 47. 150 m de largo, 25 m de ancho, 15 m de alto; 6 * 104 m3. 49. 210 yd, 190 m.

2.0

53. a) 3%, 3%;

c) 1029 protones o neutrones;

41. 1500 bolas de chicle. 43. L 3 pies.

55.

(m/s)

10

x

CAPÍTULO 1

Oficial de policía

t

c) 38 s; d) ambas direcciones. 53. a) 4 m
s2; b) 3 m
s2; c) 0.35 m
s2; 2

d) 1.6 m
s .

t1

b) 23 s; c) 3.0 m
s2; d) 67 m
s. 79. 18 m
s. 81. 0.44 m
min, 2.9 hamburguesas
min. 83. 12 m
s.

A-27

85. a) Cerca del punto medio del intervalo de tiempo; b) A; c) en los puntos donde las dos gráficas se cruzan; en el primer cruce, la bicicleta B pasa a la bicicleta A; en el segundo cruce, la bicicleta A pasa a la bicicleta B; d) A; e) tienen la misma velocidad promedio.

21. 23. 25. 27. 29.

31.

CAPÍTULO 3 33. 35.

1. 282 km, 12° al sur del oeste. B

Doeste u

B

Dsur-

B

DR

oeste B

37. 39.

B

3. V2 - V1 . 5. 58 m, 48°.

VR
V1  V2  V3 B

B

B

B

B

V3

41.

B

V2

B

VR B

43. 45. Este

V1

47. y

7. a) B

49. 51. 53. 55.

B

V

Vy

34.8°

x

B

Vx

9. 11. 13.

15. 17. 19.

b) – 11.7 unidades, 8.16 unidades; c) 14.3 unidades, 34.8° sobre el eje –x . a) 550 km
h, 487 km
h; b) 1650 km, 1460 km. 64.6, 53.1°. a) 62.6, 329°; b) 77.5, 71.9°; c) 77.5, 251.9°. – 2450 m, 3870 m, 2450 m; 5190 m. 4.0 m. 13° y 77°. 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

x (m)

0

A-28

73. 75.

CAPÍTULO 4

y (m)

0

57. 59. 61. 63. 65. 67. 69. 71.

7.92 m
s. 12.9 m. 6 veces más lejos. 5.71 s. El balón no librará la barra. Está 0.76 m abajo cuando alcanza el poste. a) 10.4 s; b) 541 m; c) 51.9 m
s, –63.1 m
s; d) 81.7 m
s; e) 50.6° bajo el horizonte; f) 78.1 m. 76°. a) 481 m; b) 8.37 m
s abajo; c) 97.4 m
s. 1.8 m
s, 19° al banco del río. a) 2.59 m
s, 62° desde la orilla; b) 3.60 m corriente abajo, 6.90 m a través del río. a) 543 km
h, 7.61° al este del sur; b) 17 km. 1.41 m
s. a) 1.24 m
s; b) 2.28 m
s. a) 67 m; b) 170 s. 42.2° al norte del este. 114 km
h. 6.2°. 4.7 m
s2 izquierda (opuesto al movimiento del camión), 2.8 m
s2 abajo. vT
tan u. 180 s, 4.8 km; 21.2 s, 0.56 km. 1.9 m
s2. 1.9 m
s, 2.7 s. 49.6°. 63 m
s, 66° sobre el horizontal. 10.8 m
s a 11.0 m
s. a) 36 m
s; b) 20 m
s. 7.0 m
s, 97°. 39 m.

0.5

1.0

1.5

2.0

1. 75.0 N. 3. 1.15 * 103 N. 5. a) 196 N, 196 N; b) 294 N, 98.0 N. 7. 68.4 N. 9. 780 N, hacia atrás. 11. 2.00 g’s, 9.51 * 103 N. 13. 5.08 * 104 N, 4.43 * 104 N.

Respuestas a problemas con número impar

15. 2.5 m
s2, hacia abajo. 17. a) 7.4 m
s2, hacia abajo; b) 1.29 * 103 N. 19. a) 47.0 N; b) 17.0 N; c) 0 N. B 21. Fbat mgB b)

mgB a)

23. 1.41 * 103 N. 25. a) 63 N, 31 N; b) 73 N, 36 N. 27. 6.9 * 103 N, 8.9 * 103 N. 29. a) 320 N; b) 1.5 m
s2. 31. a)

B

FT

B

FN1

B

FT m1gB

b) a = g

m2gB

m2 , m1 + m2

FT = m1 a = g 33. a)

m1 m2 . m1 + m2 B

B

FN1

F

B

F12 m1gB B

B

F21

FN2

B

F23

m2gB B

B

FN3

F32 m3gB F ; m1 + m2 + m3 m1 F c) F1 net = , m1 + m2 + m3 m2 F , F2 net = m1 + m2 + m3 m3 F ; F3 net = m1 + m2 + m3 Am2 + m3BF d) F12 = F21 = , m1 + m2 + m3 m3 F ; F23 = F32 = m1 + m2 + m3 e) 2.67 m
s2; 32.0 N, 64.0 N, 32.0 N. b) a =

www.elsolucionario.org 35. 1.74 m
s2, 22.6 N, 20.9 N. 37. a) 0.98; b) 0.91. 39. 7.8 m
s2. 41. 73 N, 0.59. 43. a)

CAPÍTULO 5

B

FN

B

Ffr

y θ

x θ
30°

m gB

45. 47. 49. 51. 53. 55. 57.

59. 61. 63.

b) No hay cambio; c) la dirección de la fuerza de fricción se invertiría. 40 N. 4.1 m. – 7.4 m
s2. 0.40. a) 1.2 m; b) 1.6 s. 101 N, 0.719. a) 0.58; b) 5.7 m
s; c) 15 m
s. 0.36. 5.3 * 102 N. Am1 sen u - m2 B ; a) g Am1 + m2 B b) m1 sen u 7 m2 (hacia abajo del plano), m1 sen u 6 m2 (hacia arriba del plano).

65. 67. 69. 71. 73. 75. 77. 79. 81.

83. 85.

87.

89.

1.3 * 102 N. 1.3 m. 1.54 * 103 N. a) 16 m
s; b) 13 m
s. Sí, 3.8 m
s. 82 m
s. 5.9°. 940 N, 79° sobre la horizontal. a) 9.43 * 104 N; b) 1.33 * 104 N; c) 1.33 * 104 N. 12 m
s. a) 45 N (10 lb); b) 37 N (8.4 lb); c) no cuando se jala verticalmente. a) 4.1 m
s2, 3.2 m
s2; b) 4.1 m
s2, 3.2 m
s2; c) 3.5 m
s2. 5.3 * 102 N, 2.6 * 102 N.

1. a) 1.42 m
s2; b) 35.5 N. 3. 5.97 * 10–3 m
s2, 3.56 * 1022 N, el Sol. 5. 0.9 g’s. 7. a) 3.73 N; b) 9.61 N. 9. 25 m
s, sí. 11. 30.4 m
s, 0.403 rev
s. 13. 8.5 m
s. 15. 11 rpm. 17. 3.38 * 104 rpm. 21. 0.22. 23. 4p2f2Am1 r1 + m2 r2B, 4p2m2 r2 f2. 25. 3.5 * 103 N, 5.0 * 102 N. 27. a) 1.27 m
s; b) 3.05 m
s. 29. a) 21.0 kg, 21.0 kg; b) 206 N, 252 N. 31. 4.4 m
s2. 33. 3.9 kg, 0.1 kg. 35. 2.02 * 107 m. 37. 4.38 * 107 m
s2. 39. 3.2 * 10–8 N hacia el centro del cuadrado. 41. 6.4 * 1023 kg. 43. 6.32 * 103 m
s. 45. 10 s
rev. 47. 7.90 * 103 m
s. 49. 2.0 * 104 s, 7.1 * 104 s. 51. a) 21 N, hacia la Luna; b) 2.0 * 102 N, alejándose de la Luna. 53. a) 5.4 * 102 N; b) 5.4 * 102 N; c) 7.2 * 102 N; d) 3.6 * 102 N; e) 0 N. 55. (b) 5.4 * 103 kg
m3. 57. 1.62 * 1011 m. 59. 2690 * 106 km, sí, Plutón. 61. a) 1.90 * 1027 kg; b) 1.90 * 1027 kg, 1.89 * 1027 kg, 1.90 * 1027 kg, sí. 63. 671 * 103 km, 1070 * 103 km, 1880 * 103 km. 65. 9.0 d. 67. 2.64 * 106 m. 69. 0.344%. 71. 2.6 m
s2 hacia arriba.

73. a) b) c) 75. a)

77. 79. 81. 83. 85. 87. 89. 91.

2.2 * 103 m; 5.4 * 103 N; 3.8 * 103 N. u = tan–1 mL R2Tierra
MTierra D2L;

b) 5 * 1013 kg; c) A8 * 10–4 B °. 5.07 * 103 s. 26.9 m
s. 5.2 * 1039 kg, 2.6 * 109 masa de solares. a) 3.86 * 103 m
s; b) 4.36 * 104 s. a) L 12 h; b) 1.8 * 103 m. 5 * 10–5 Nm2
kg2. 3.8 * 10–10 N, hacia arriba. 1.6 * 10–4 m
s2.

93. vmín = v0

vmáx = v0

A1 - ms Rg
v20 B

D A1 + ms v20
RgB

,

A1 + Rgms
v20 B

D A1 - ms v20
RgB

.

CAPÍTULO 6 1. 7.27 * 103 J. 3. a) 9.2 * 102 J; b) 5.2 * 103 J. 5. 4.9 * 102 J. 9. a) 1.10Mg; b) 1.10Mgh. 11. 5.0 * 103 J. 13. 8.4 * 10–2 J. 15. 484 m
s. 17. –1.64 * 10–18 J. 19. 44 m
s. 21. 2.25. 23. 1.1 N. 25. a) 3.24 * 103 N; b) 9.83 * 103 J; c) 7.13 * 104 J; d) –6.14 * 104 J; e) 8.31 m
s. 27. 82 J. 29. 8.1 * 104 N
m. 31. a) 9.2 * 105 J; b) 9.2 * 105 J; c) sí. 33. 1.4 m, no a menos que la longitud 6 0.7 m. 35. 5.14 m
s. 37. a) 9.2 m
s; b) – 0.31 m.

Respuestas a problemas con número impar

A-29

39. a) 8.3 m
s; b) 3.64 m. 41. 12 mv2 + 12 kx2 = 12 kx20. 43. 26 m
s, 12 m
s, 20 m
s. 45. 12 Mg
h. 47. 5.3 * 106 J. 49. a) 21 m
s; b) 2.4 * 102 m. 51. a) 25%; b) 5.4 m
s; c) calor, sonido, deformación no elástica 53. 23 m
s. 55. 0.40. 57. a) 1.1 * 103 km
h; b) 2 * 103 N. 59. 5.5 * 102 N. 61. (b) 0.10 hp. 63. 2.2 * 104 W, 3.0 * 101 hp. 65. 480 W. 67. 1.0 * 103 W. 69. 18°. 71. 9.0 * 102 W. 73. 1.5 * 103 J. 75. a) 2.5r; b) 11mg; c) 5mg; d) mg. 77. a) 22gL ; b) 21.2 gL . 79. a) 2.5 * 105 J; b) 23 m
s; c) –1.56 m. 81. a) 4.0 * 101 m
s; b) 3.0 * 105 W. 83. a) 1.4 * 103 m; b) 1.6 * 102 m
s. 85. 4.2 * 104 N. 87. 3.9 * 102 W. 89. 2k. 91. 4.6 s. 93. a) 1 * 102 m
s; b) 4 * 107 W. CAPÍTULO 7 1. 3. 5. 7. 9.

0.24 kg m
s. 4.40 * 103 N hacia el pitcher. 6.0 * 107 N hacia arriba. 12.6 m
s. 8  102 N, Fviento  Ffr ≈ 7  102 N.

11. 4.2 * 103 m
s.

A-30

13. a) 6.9 * 103 m
s alejándose de la Tierra, 4.7 * 103 m
s alejándose de la Tierra; b) 5.9 * 108 J. 15. a) 2.0 kgm
s; b) 5.8 * 102 N. 17. 2.1 kg m
s hacia la izquierda. 19. a) 3.8 * 102 kgm
s; b) –3.8 * 102 kgm
s; c) 3.8 * 102 kgm
s; d) 5.1 * 102 N. 21. 69 m. 23. 1.00 m
s oeste, 2.00 m
s este. 25. 0.88 m
s y 2.23 m
s, ambas en la dirección del movimiento inicial de la bola de tenis.. 27. a) 3.62 m
s, 4.42 m
s; b) –4.0 * 102 kgm
s, 4.0 * 102 kgm
s. 29. 0.35 m, 1.4 m. 31. v2 = 22 v1 . 33. a) –M
(m + M); b) –0.96. 35. 23 m
s. 37. (b) e = 2h¿
h . 39. a) 1.7 m
s para ambos; b) – 2.1 m
s, 7.4 m
s; c) 0, 4.3 m
s, razonable; d) 2.8 m
s, 0, no razonable; e) –4.0 m
s, 10.3 m
s, no razonable. 41. 60° relativo al águila A, 6.7 m
s. 43. 141°. 45. 39.9 u. 47. 6.5 * 10–11 m. 49. (1.04 m, –1.04 m) relativo al centro del transbordador. 51. (1.2l, 0.9l) relativo a la esquina trasera izquierda. 53. 17% de toda la masa corporal. 55. 21.7 cm horizontal, 7.6 cm vertical. 57. a) 4.66 * 106 m desde el centro de la Tierra. 59. 24.8 cm. 61. vm
(m + M) hacia arriba, el globo se detiene. 63. vxœ = 32 v0 , vyœ = –v0 . 65. a) 0.194 m
s; b) 8.8 * 102 N. 67. mB = 53 m. 69. 4.00 m. 71. 3.8 * 102 m
s. 73. a) 2.5 * 10–13 m
s; b) 1.7 * 10–17; c) 0.19 J.

Respuestas a problemas con número impar

75. a)

F (N) 600 400 200 0

t (ms) 0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

b) 0.93 Ns; c) 4.2 * 10–3 kg. 77. 6.7 * 103 m
s. 79. a) –4.4 m
s, 4.0 m
s; b) 2.0 m. 81. –29.6 km
s. CAPÍTULO 8 1. a) 0.52 rad, p
6 rad; b) 0.99 rad, 19p
60 rad; c) 1.57 rad, p
2 rad; d) 6.28 rad, 2p rad; e) 7.33 rad, 7p
3 rad. 3. 5.3 * 103 m. 5. 7.4 * 10–2 m. 7. a) 2.6 * 102 rad
s; b) 46 m
s, 1.2 * 104 m
s2. 9. a) 1.99 * 10–7 rad
s; b) 7.27 * 10–5 rad
s. 11. 3.6 * 104 rpm. 13. v1
v2 = R2
R1 . 15. 2.8 * 104 rev. 17. a) 4.0 * 101 rev
min2; b) 4.0 * 101 rpm. 19. a) –0.42 rad
s2; b) 210 s. 21. a) –4.1 rad
s2; b) 7.6 s. 23. a) 41 mN; b) 29 mN.

25. mgAL2 - L1B, en sentido de las manecillas del reloj. 27. 1.81 kgm2. 29. a) 0.94 kgm2; b) 2.4 * 10 –2 m N. 31. a) 6.1 kgm2; b) 0.61 kgm2; c) eje vertical. 33. 20 N. 35. 62 mN. 37. 993 rev, 10.9 s. 39. a) 92 rad
s2; b) 7.9 * 102 N.

41. a =

Am1 + m2 + I
r2 B

aI = 0 = 43. 45. 47. 49. 51. 53. 55. 57. 59. 61. 63. 65. 67. 69. 71. 73.

75. 77. 79. 81. 83.

85.

Am2 - m1 B

Am2 - m1 B

Am1 + m2 B

g 6 aI = 0 ,

g.

1.40 * 104 J. 56 J. 1.42 * 104 J. 3.22 m
s. 2.64 kgm2
s. a) Su inercia de rotación aumenta; b) 1.6. 0.77 kgm2, al jalar los brazos hacia el centro de su cuerpo. a) 14 kgm2
s; b) – 2.7 mN. v
2. a) 1.2 rad
s; b) 1.8 * 103 J, 1.1 * 103 J. 5 * 10 –2 rad
s, 2 * 104 kei . A2.7 * 10–16 B%. – 0.30 rad
s. 8.21 * 10–6. 53 m N. a) vR
vF = NF
NR . b) 4.0; c) 1.5. (b) 2.2 * 103 rad
s; (c) 25 min. a) 4.3 m; b) 5.2 s. Mg 22Rh - h2
(R - h). 2.8 m N, desde los músculos de sus brazos. a) 7.8 kgm2
s; b) 3.9 mN; c) 2.9 rad
s. 2.7(R - r).

23. a) 0.78 N; b) 0.98 N. 25. 55.2 N, 63.7 N. 27. 0.50. 29. 1.0 * 102 N. 31. 9.9 * 102 N. 33. 2.7 * 103 N. 35. 2.4w. 37. (b) Sí, por 1
24 de longitud de ladrillo; n L (c) D = a ; i = 1 2i (d) 35 ladrillos. 39. a) 2.0 * 105 N
m2; b) 4.1 * 10–6. 41. a) 1.4 * 105 N
m2; b) 6.9 * 10–7; c) 6.5 * 10–6 m. 43. 9.6 * 106 N
m2. 45. A –2 * 10–2B%. 47. a) 1.1 * 102 mN, en sentido de las manecillas del reloj; b) la pared. B

Fpared

b) ms 7 l
2h. 71. a) FIzquierda = 3.3 * 102 N arriba, FDerecha = 2.3 * 102 N abajo; b) 0.65 m; c) 1.2 m. 73. FIzquierda = 1.0 * 102 N, FDerecha = 1.9 * 102 N. 75. fuerza promedio por área área = 4.5 * 105 N
m2. 77. a) 3.5 * 108 N
m2; b) el hueso se fracturará; c) 8.2 * 106 N
m2, el hueso no se fracturará. 79. 2.34 m. CAPÍTULO 10 1. 3 * 1011 kg. 3. 5.8 * 102 kg. 5. 0.8477. 7. a) 7 * 107 N
m2;

Tpared B

b) 2 * 105 N
m2. B

mg 49. a) 393 N; b) más gruesas. 51. a) 4.4 * 10–5 m2; b) 2.7 * 10–3 m. 53. 1.2 * 10–2 m. 55. 12 m. 57. 2.94 * 10–1 kg, 2.29 * 10–1 kg, 6.56 * 10–2 kg. 59. a) Mg 2h
(2R - h) ; b) Mg 2h(2R - h)
(R - h). 61. a) B

FDerecha CAPÍTULO 9 1. 430 N, 112° en sentido de las maneB cillas del reloj desde FA . 3. 6.52 kg. 5. 1.1 * 103 N. 7. 5.8 * 103 N, 8.1 * 103 N. 9. a) 2.3 m del adulto; b) 2.5 m del adulto. 11. 2.6 * 103 N, 3.1 * 103 N. 13. 0.32 m. 15. 6.1 * 103 N, 5.9 * 103 N. 17. 34.6 N. 19. 9.05 * 10–1 m. 21. a) 4.25 * 102 N; b) 4.25 * 102 N, 3.28 * 102 N.

69. a) ms 6 l
2h;

9. a) 4.7 * 105 N; b) 4.7 * 105 N. 11. 2.2 * 103 kg. 13. 13 m. 15. 1.60 * 104 m. 17. a) 9.6 * 105 N
m2; b) 98 m. 19. a) 1.41 * 105 Pa; b) 9.8 * 104 Pa. 21. 1.06 * 103 kg
m3, 3% más alto. 23. 0.199. 25. 920 kg. 27. Hierro o acero. 29. a) 7.4 * 105 N;

32.0 cm

b) 1.0 * 104 N. B

2.0 cm

FIzquierda

31. a) 1.03 * 103 kg
m3;

m gB

b) r líquido


2

b) FIzquierda = 3.7 * 10 N, FDerecha = 4.2 * 102 N, mg = 49 N; c) 8.3 mN. 63. 29°. 65. 7.7 * 10–6 m. 67. a) 0.29mg; b) 0.58mg; c) horizontal en el punto más bajo, 60° sobre la horizontal en puntos de unión.

robjeto Amobjeto - maparente B
mobjeto . 33. 0.105. 35. 0.90 m
s. 39. 4.4 * 105 s (5.1 días). 41. 5.6 * 10–3 m3
s. 43. 1.9 * 105 N. 45. 9.7 * 104 Pa (L 0.96 atm). 47. (b) 0.24 m
s.

49. a) 22h1Ah2 - h1 B ; b) h1œ = h2 - h1 .

Respuestas a problemas con número impar

A-31

www.elsolucionario.org 51. nuevo tiempo
0.13 (tiempo previo). 53. 9.9 * 102 Pa. 55. 0.9 Pa
cm. 57. a) Re = 2500, turbulento; b) Re = 5000, turbulento. 59. 3.6 * 10–2 N
m. 61. No, 8.3 * 10–6 kg es la máxima masa que podría sostener. 63. a) 0.75 m; b) 0.65 m; c) 0.24 m. 65. 150 N a 220 N. 67. 0.047 atm. 69. 0.6 atm. 71. 0.142 m. 73. 1.3 * 102 N. 75. 1.1 m. 77. 0.33 kg. 79. 1.1 W. 81. 4.6 m. 83. a) 9.1 m
s; b) 0.26 L
s; c) 0.91 m
s. 85. 4.0 * 10–4 m3
s. 87. 4.2 * 10–3 Pas.

33. Acortar el péndulo por 0.7 mm.

69. a) 3.2 * 10–2 m; b) 1.5 m. 71. a) 1.8 * 104 N
m; b) 0.71 s. 73. 220 Hz. 75. a) 1.22f; b) 0.71f. 77. a) G: 784 Hz, 1180 Hz; A: 880 Hz, 1320 Hz; b) 1.26; c) 1.12; d) 0.794. 79. a) 3.0 m
s; b) 5.0 * 103 m
s2. 81. l = 4L
(2n - 1), n = 1, 2, 3, p. 83. El periodo horizontal es más largo por un factor de 11 + l0 k
mg . 85. 6.44 m desde el origen del primer pulso. 87. 0.40 s.

35. a) –11°;

CAPÍTULO 12

f)

x (m) 0.4 0.2 0 0.2

t (s) 0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.4 23. a) 0.490 s, 2.04 Hz; b) 0.231 m; c) 37.9 m
s2; d) y = (0.231 m) sen(4.08pt); e) 3.31 J. 27. 114 N
m, 19.4 m. 29. 0.99 m. 31. a) 1.8 s; b) el péndulo no oscilará.

b) 15°; c) 15°. 37. 1.31 m. 39. a) 1.4 * 103 m
s; b) 4.1 * 103 m
s;

CAPÍTULO 11 1. 3. 5. 7. 9.

11. 13. 15. 17. 19.

21.

0.72 m. 1.5 Hz. 3.8 Hz. a) 0.16 N
m; b) 2.8 Hz. a) 2.5 m
s; b) P1.6 m
s; c) 1.8 J; d) x = (0.13 m) cos(6.0pt). P 12 x0 . a) 6.0 * 10–2 m; b) 0.58 m
s. a) 4.2 * 102 N
m; b) 3.3 kg. P0.707A. a) y = (0.18 m) cos(2pt
0.65 s); b) 0.16 s; c) 1.7 m
s; d) 17 m
s2, en el punto de liberación. a) 0.38 m; b) 1.03 Hz; c) 0.967 s; d) 0.92 J; e) 5.1 * 10–2 J, 0.86 J.

A-32

c) 5.1 * 103 m
s. 41. 0.35 s. 43. 2.1 * 103 m. 45. 0.99 m. 47. a) 4.6 * 109 W
m2; b) 2.3 * 1010 W. 49. 1.73. 51. a)

b)

c) Toda la energía es energía cinética. 53. 441 Hz. 55. 9.7 * 10–2 m. 57. 290 Hz, 580 Hz, 870 Hz. 59. a) 1.3 kg; b) 0.32 kg; c) 5.2 * 10–2 kg. 61. 1.1 m
s. 63. 25°. 65. 44°. 67. 10 min.

Respuestas a problemas con número impar

1. 3.4 * 102 m. 3. a) 17 cm a 17 m; b) 3.4 * 10–5 m. 5. 55 m. 7. a) 8%; b) 4%. 9. 63 dB. 11. 114 dB. 13. a) 9 * 10–6 W; b) 1 * 107 personas. 15. a) 122 dB, 114 dB; b) no. 17. 1.3. 19. 4. 21. 25 dB. 23. a) 109; b) 1012. 25. a) 76.6 Hz, 230 Hz, 383 Hz, 536 Hz; b) 153 Hz, 306 Hz, 459 Hz, 613 Hz. 27. 8.6 mm a 8.6 m. 29. a) 0.18 m; b) 1.1 m; c) 440 Hz, 0.78 m. 31. –2.6%. 33. a) 0.583 m; b) 862 Hz. 35. a) 55 Hz; b) 2.0 * 102 m
s. 37. a) 248 sobretonos; b) 249 sobretonos.

39. 41. 43. 45.

P0.50 Hz. 28.5 kHz. 3.0 Hz. fA = 438 Hz o 444 Hz, fC = 437 Hz o 445 Hz, fbatimiento = 1 Hz o 7 Hz.

47. a) 130.5 Hz, 133.5 Hz; b) aumenta por 2.3%, disminuye por 2.2%. 49. a) 1690 Hz; b) 1410 Hz. 51. a) 2091 Hz y 2087 Hz; b) 3550 Hz y 2870 Hz; c) 16,000 Hz y 3750 Hz. 53. 4.32 * 104 Hz. 55. 2 Hz. 57. 0.171 m
s. 59. a) 110 m
s; b) 260 m
s. 61. a) 120; b) 0.48°. 65. 0.3 s. 67. a) 57 Hz, 69 Hz, 86 Hz, 110 Hz, 170 Hz. 69. 88 dB. 71. 15 W. 73. 50 dB. 75. a) 2.8 * 102 m
s, 48 N; b) 0.195 m; c) 880 Hz, 1320 Hz. 77. 7.4 * 102 N. 79. 81. 83. 85. 87. 89. 91. 93.

504 Hz. 17 m
s. 2.84 m. 2.29 * 103 Hz. 11.5 m. 34 Hz, 43 Hz, 61 Hz. 106. 17 km
h.

CAPÍTULO 13 22

1. 3.3 * 10 átomos. 3. a) 20°C; b) 3300°F. 5. a) 5°F; b) – 26°C. 7. 4.3 * 10–3 m. 9. 8 * 10–2 m. 11. 981 kg
m3. 13. 5.12 mL. 15. a) – 140°C; b) 180°C.

17. (b) 5.7 * 10–3 (0.57% de aumento). 21. a) 6.1 cm; b) dL =

V0 bombilla pr20 7

AbHg - bvidrioB ¢T.

2

23. 3.5 * 10 N
m . 25. a) 27°C; b) 4.3 * 103 N. 27. –459.67°F. 29. 1.07 m3. 31. 1.43 kg
m3. 33. a) 14.8 m3; b) 1.83 * 105 Pa. 35. 2.40 * 108 Pa.

CAPÍTULO 14

b) 2.9 kWh; c) $0.29 por día, no. 5. 220 kg
h. 7. 100 kcal. 9. 2.0 * 103 J
kg C°. 11. 40.1°C.

19 moléculas
inhalación. 6 * 103 m
s. 899°C. 25.9°C. 3.9 * 102 m
s. 3.34 * 10–9 m.

13. A1.9 * 102B°C. 15. 425 s. 17. 2.3 * 103 J
kg C°. 19. 0.32 C°. 21. 5.0 * 106 J. 23. 1.3 kg. 25. 9.90 * 10–3 kg. 27. 4.7 * 103 kcal. 29. 1.12 * 104 J
kg. 31. 1.7 g. 33. 83 W.

a) sólido o vapor; b) 5.11 atm  P  73 atm, –56.6°C  T  31°C. 14°C. 91°C. 1.1 * 103 Pa.

35. a) 95 W; b) 33 W. 37. 23 bombillas.

39. A1.6 * 102B°C. 41. 10 C°.

3.1 kg. 0.28 s, vdifusión
5.4  105 m
s,

43. (b)

AT1 - T2 B Q . = A n t a li
ki i=1

75. 77. 79. 81. 83.

vrms = 3.1 * 10 m
s, vdifusióny vrms
1.7  107. a) bajo; b) A1.7 * 10–2B%. 0.21. 260 m
s, 4 * 10–22 atm. 11 L, no aconsejable. 1.65, 1.29. 1.1 * 1044 moléculas.

45. 6.4 Calorías.

85. 87. 89. 91.

15 horas. 0.66 * 103 kg
m3, –3.5%. 1.6 * 10–3 cm. a) 2.20 * 103 L;

57. a) 44 C°;

2

73.

C < <

3. a) 1.0 * 107 J;

43. a) 7 * 1022 moles; b) 4 * 1046 moléculas.

63. 65. 67. 69. 71.

99. 3.0 kg.

1. 1.0 * 107 J.

37. 37°C. 39. 3.43 atm. 41. 2.69 * 1025 moléculas
m3.

45. 47. 49. 51. 55. 57. 61.

97. 6% disminución.

b) 92 min; c) 30 min. 93. 6.8 pelotas
s. 95. a) 1.7 * 103 Pa; b) 7.0 * 102 Pa.

47. 4 * 1015 J. 49. a) 3.2 * 1026 W; b) 1.1 * 103 W
m2. 51. 0.80 C°. 53. a) 46 W; b) 7.3 * 103 W. 55. 20 W, apenas un 9% de la tasa de pérdida de calor requerida. b) ninguna de las balas se fundirá. 59. 4.1 g
h. 61. a) 1.2 * 1018 J; b) QSol = 1.3 * 104 Qinterior . 63. Una mezcla de agua líquida y vapor a 100°C, con la masa de agua líquida igual al doble de la masa del vapor.

Respuestas a problemas con número impar

A-33

65. a) 3.1 * 107 J; b) 3.3 * 103 s.

29. 31. 33. 35. 37. 39.

CAPÍTULO 15 1. a) 0 J; b) 3.40 * 103 J. 3. P B P0

43. 45. C

P0 /2

0 5.

41.

A

0.5

1.0

47.

V (L)

49. 51.

P (atm) 5.0

53.

4.0 A

3.0 2.0

C

55. 57.

1.0

B

V (L) 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 7. a) 0 J; b) 1850 J; c) se eleva. 9. – 4.0 * 102 K. 11. (a, c)

63. 65. 67.

P (N/m2) 500

1

1. 13 N.

15. 17. 19. 21. 23. 25. 27.

V (m3)

31. 6.54 * 10–10 N
C, sur. 33. 4.70 * 106 N
C a 45°. 35.

39. 41. 43. 45. 47. 49.

53.

9. – 5.4 * 107 C.

55.

11. a) q1 = q2 = 0.5QT ;

57.

b) q1 = 0, q2 = QT .

59.

13. carga superior: 83.7 N, 90°; carga inferior izquierda: 83.7 N, 210°; carga inferior derecha: 83.7 N, 330°.

61.

15. 2.96 * 107 N, hacia el centro del cuadrado.

63.

B

4kQxa

Ax2 - a2 B

2

, hacia la izquierda.

23 kQ , 240°; l2 kQ , 330°. b) l2 1
4. (a) 7.49 * 106 m
s. 1.28 * 10–8 C. a) –1.1 * 105 Nm2
C; b) 0. 1.15 * 10–9 C. a) 0; b) 0; c) 3.27 * 103 N
C; d) 8.74 * 102 N
C; e) no hay diferencia. a) 4.6 * 10–10 N; b) 7.1 * 10–10 N; c) 6 * 10–5 N. 1
A3.5 * 109 B. 6.8 * 105 C, negativa. 1.0 * 107 cargas de electrón. 2.1 * 10–10 m. a) 0.115 m; b) 2.14 * 10–8 s. 1.08 * 107 N
C 2 C3.00 - cos (12.5t)D

37. a)

7. 4.88 cm.

B

   3Q

+Q


5. 5.5 * 103 N.

2 4 6 8 10 b) 2.73 * 103 J, 4.10 * 103 J; d) 4.10 * 103 J. a) 25 J; b) 63 J; c) – 95 J; d) – 120 J; e) – 15 J. 162 W. 0.28. 0.23. 1.6 * 1013 J
h. 440°C. 9.0 * 102 MW (MJ
s). 250°C.

A-34

27. 1.32 * 1014 m
s2, la dirección de la aceleración es opuesta a la dirección del campo. 29.

51.

3. 2.7 * 10–3 N.

B

100

13.

25. 9.5 * 105 N
C, arriba.

CAPÍTULO 16

300

0

23. 3.78 * 10–16 N, oeste.

2 A

400

200

59. 61.

5.7. – 21°C. 76 L. – 1.5 * 103 J
K. –1.22 * 106 J
K. 0.15 J
K. J
K . 4.35 * 10–2 s 1.1 J
K. a) 1
9; b) 1
18. a) 5
16; b) 1
64. a) 1.32 * 106 kWh; b) 7.09 * 104 kW. Sí, la máquina propuesta opera a una eficiencia mayor que la ideal. a) 4.0 * 104 J
s; b) 1.6 * 105 J
s; c) 220 s. a) 0.077. a) 45°C; b) 0.58 J
K. 0.24. a) PA AVC - VA B; b) PC AVC - VA B; c) 12 APC + PA BAVC - VA B. a) 5.3C°; b) 77 J
kg K. 200 J. 180 W.

(hacia arriba).

17. F1 = 0.30 N a 265°, F2 = 0.26 N a B 139°, F3 = 0.26 N a 30°.

65. 5 * 10–9 C.

19. 0.40Q0 , 0.37l desde –Q0 hacia –3Q0 .

69. –7.0 * 108 C, 0 C.

21. a) 69.9 * 10

–6

C, 22.1 * 10

–6

b) 104.4 * 10 C, – 14.4 * 10–6 C.

Respuestas a problemas con número impar

–6

C;

67. 7.8 * 10–7 C, positiva.

71. x =

d

22 - 1

L 2.41d, no.

73. –7.66 * 10–6 C, inestable.

www.elsolucionario.org CAPÍTULO 17 –4

1. 4.2 * 10 J. 3. 3.7 * 10–15 J, 2.3 * 104 eV. 5. 3.8 * 104 V
m. 7. 3.0 * 10–2 m. 9. 7 * 10–5 m. 11. a) 1.6 * 107 m
s; b) 3.4 * 107 m
s. 13. 1.63 * 107 m
s. 15. 2.1 * 10–9 C. 17.

19. 21. 23. 25. 27.

29.

31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. 45. 47. 49.

51. 53. 55. 57.

22kQ A 22 + 1B. 2L 4.8 * 103 m
s. 6.9 * 10–18 J. 4.2 * 106 V. a) 27 V; b) 2.2 * 10–18 J, 14 eV; c) – 2.2 * 10 –18 J, – 14 eV; d) 2.2 * 10–18 J, 14 eV. a) 3.6 * 10–2 V; b) 2.5 * 10–2 V; c) – 2.5 * 10–2 V. 2.9 * 10–6 F. 7.9 * 10–13 F. 5.0 * 107 m2. 2.63 * 10–8 C. 4.5 * 104 V
m. C2.50 : 712 V, 1.78 * 10–3 C; C6.80 : 712 V, 4.84 * 10–3 C. 1.5 * 10–10 F. 4.82 * 10–9 F, 0.283 m2. 9.6 * 10–5 F. a) 7 * 10–12 F; b) 7 * 10–11 C; c) 200 V
m; d) 3 * 10 –10 J; e) capacitancia, carga, energía. a) se cuadruplica; b) se duplica. 2.9 * 105 V
m. a) 6.3 KeV; b) 42.8 : 1. 1.0 * 10–7 J
m3.

59. 620 V. 61. 1.5 * 10–7 C. 63. a) 11 cm de la carga , en el lado opuesto de la carga  desde la carga ; b) 0.7 cm desde la carga , en el mismo lado de la carga  que la carga ; 5.2 cm desde la carga , en el lado opuesto de la carga  desde la carga . 65. 6.5°. 67. 9 * 10–16 m, no. 69. a) 23 J; b) 3.4 * 105 W. 71. 1.03 * 106 m
s. 73. 2.5 * 10–10 C. 75. a) 4.2 * 10–11 C; b) 4.2 * 10–11 C; c) 18 V; d) 1.3 * 10–10 J. 77. a) 2.7 * 103 m
s; b) 2.2 * 103 m
s. CAPÍTULO 18 1. 8.13 * 1018 electrones
s. 3. 5.5 * 10–11 A. 5. 950 V. 7. a) 25 A; b) 7.5 * 104 C. 9. 2.8 * 10–3 V. 11. a) 20 ; b) 430 J. 13. 3.3 * 10 –2 . 15. sí, diámetro del tungsteno = 4.6 mm. 17. 22 C°. 19. 1800°C. 21. a) 3.8 * 10–4 ; b) 1.5 * 10–3 ; c) 6.0 * 10–3 . 23. 58.3°C. 25. Rcarbón
2090 ; RNicromo
2610 . 27. 0.96 W. 29. a) 190 , 0.63 A; b) 33 , 3.7 A. 31. a) 850 W; b) 17 ; c) 12 . 33. 0.14 kWh, 20 centavos
mes. 35. a) 6.7 , 1.4 W; b) 4. 37. 18 bombillas. 39. 7500 W. 41. a) 10 A; b) 1.2 . 43. 0.39 A, 0.55 A.

45. 390 V. 47. a) 4500 W; b) 13 A. 49. 5.1 * 10–10 m
s. 51. 2.6 A
m2, norte. 53. 55. 57. 59. 61. 63. 65. 67. 69. 71.

73. 75.

35 m
s. 3 * 10–14 W. 6.2 A. 2.9 * 10 –4 m. $1200 por hora por metro. 1
4. 3.8 * 10–3 m. a) 1500 W; b) 12 A. 2 : 1. a) 26 ; b) 26 s; c) 0.17 centavos. 2.58 * 10–4 m, 38.8 m. 1.4 * 1012 protones.

77. 1.79 * 10–4 m. 79. a) IA = 0.33 A, IB = 3.3 A; b) RA = 360 , RB = 3.6 ; c) QA = 1.2 * 103 C, QB = 1.2 * 104 C; d) EA = EB = 1.4 * 105 J; e) B. 81. 1.34 * 10–4 . 83. 2200°C. CAPÍTULO 19 1. a) 8.41 V; b) 8.49 V. 3. 0.048 , 0.11 . 5. 960 , 60 . 7. 9.3 V. 9. a) 2820 ; b) 300 . 11. 720  (todos en serie), 80  (todos en paralelo), 360  (dos en paralelo, en serie con el tercero), 160  (dos en serie, en paralelo con el tercero). 13. a) 14 V; b) 28 , 6.9 W. 15. 27 . 17. a) 840 ; b) V470 = 6.7 V; V680 = V820 = 5.3 V. 19. a) V1, V2 aumenta; V3, V4 disminuye; b) I1, I2 aumenta; I3, I4 disminuye; c) aumenta; d) antes: I1 = 0.117 A, I2 = 0, I3 = I4 = 0.059 A; después: I1 = 0.132 A, I2 = I3 = I4 = 0.044 A; sí.

Respuestas a problemas con número impar

A-35

21. a) Vizquierda disminuye, Vmedia aumenta, Vderecha va a 0; b) Iizquierda disminuye, Imedia aumenta, Iderecha va a 0; c) aumenta; d) 14.1 V; e) 14.3 V. 23. 0.41 A. 25. a) –25.7 V; b) V80 = 77.4 V, V45 = 43.3 V. 27. I1
0.68 A, izquierda; I2
0.40 A, izquierda. 29. I1
0.13 A, derecha; I2
0.31 A, izquierda; I3
0.18 A, arriba. 31. 2 : 0.26 A, 6 : 0.028 A, 8 : 0.29 A, 10 : 0.26 A, 12 : 0.29 A. 33. 1.30 A. 35. a) 28.2 mF; b) 0.78 mF. 37. 3.71 mF. 39. 7300 pF, sí. C2 C3 41. C1 + . C2 + C3 43. Q1 = 48.0 mC, Q3 = 24.0 mC; V1 = 3.00 V, V2 = 1.50 V, V3 = 1.50 V; V = 3.00 V. 45. a) V0.40 = 5.4 V, V0.60 = 3.6 V; b) Q0.40 = Q0.60 = 2.2 * 10–6 C; c) V0.40 = V0.60 = 9.0 V, Q0.40 = 3.6 * 10–6 C, Q0.60 = 5.4 * 10–6 C. 47. en paralelo, 500 pF. 49. 1.0 * 106 . 51. 9.3 * 10–2 s. 53. 7.5 * 106 . 55. a) 5.0 * 10–5  en paralelo; b) 5.0 * 106 A en serie. 57. 1000  en serie, 100 
V. 59. 5.52 * 10–3 A. 61. 10 V. 63. 10.4 V, 2.6 . 65. (b) 290 , 140 . 67. 7 * 10–3 A. 69. 1.1 * 10 –5 . 71. a) Rx = R2 R3
R1 ; b) 65.7 . 73. 14 C, 25 C, 35 C, 34 C, C, 43 C, 52 C, 4C. 75. 50.1 V, 1.25 . 77. 52.3 V, –28.3 V (dos respuestas porque la dirección de la corriente a través del resistor de 4.0  es desconocida.) 79. a) 6.7 * 10–5 A, hacia arriba; b) 16 V. 81. a) 3.3 ; b) 2.2 V.

A-36

83. 100 . 85. a) 7.6 ; b) 0.33 A; c) 0.33 A; d) 0.95 W. 87. 7.2 . CAPÍTULO 20 1. a) 7.6 N
m; b) 5.3 N
m. 3. 1.95 A. 5. 0.264 T. 7. a) polo sur; b) 4.1 A; c) 6.4 * 10–2 N. 9. 1.3 T. 11. a) izquierda; b) izquierda; c) hacia arriba; d) hacia dentro; e) no hay fuerza; f) hacia abajo. 13. movimiento circular en sentido de las manecillas del reloj con radio 2.77 * 10–5 m. 15. 1.6 T, este. 17. a) 2.7 * 10–2 m; b) 3.8 * 10–7 s. 23. 6.20 * 10–7 m. 25. a) 45°; b) 3.5 * 10–3 m. 27. 69 A. 29. 13 A, hacia arriba. 31. 2.5 A. 33. 1.1 * 10–4 T arriba. 35. 4.1 * 10–5 T, 11° bajo la horizontal. 37. a) A2.0 * 10–5 T
AB(I - 15 A); b) A2.0 * 10–5 T
AB(I + 15 A). 39. cerca del alambre: 4.5 * 10–2 N, se atraen; lejos del alambre: 2.2 * 10–2 N, se repelen. 41. 2.6 * 10–6 N, hacia el alambre recto. 43. 4.1 * 10–5 T. 45. M: 5.8 * 10–4 N
m, 90°; N: 3.4 * 10–4 N
m, 300°; P: 3.4 * 10–4 N
m, 240°. m0 I 1 1 47. a b , dirección y. 2p x d - x 49. 51. 55. 57. 59.

94.3 A. corto y grueso. 61.6 mA. 0.88. a) 4.01 * 10–5 m N; b) norte. 61. 70 u, 72 u, 73 u, 74 u.

Respuestas a problemas con número impar

63. 65. 67. 69. 71. 73. 75.

77. 79. 81. 83.

85. 87.

2.5 m. 41 T. 3.0 T, hacia arriba. 0.25 N, hacia el norte, 68° sobre la horizontal. 1.12 * 10–6 m
s, oeste. 1.6 A, abajo. I lB a) t; m I lB b) a - mk gb t; m c) este. (c) 48 MeV. Perderán el segundo tubo, 9.1°. 1 * 109 A. a) 2.1 * 10–3 T; b) fuera del plano formado por las direcciones de la velocidad y el campo eléctrico; c) 5.8 * 107 Hz. 1.3 * 104 vueltas. 5.3 * 10–5 m, 3.3 * 10–4 m.

CAPÍTULO 21 1. 3. 5. 7.

9.

11.

13.

15. 17.

19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33.

–420 V. hacia la izquierda. 8.5 * 10–2 V. a) 8.8 * 10–3 Wb; b) 55°; c) 5.1 * 10–3 Wb. a) en sentido de las manecillas del reloj; b) en sentido contrario a las manecillas del reloj; c) en sentido de las manecillas del reloj; d) no hay corriente inducida. a) 6.1 * 10–2 V; b) en sentido de las manecillas del reloj. a) en sentido de las manecillas del reloj; b) 4.3 * 10–2 V; c) 1.7 * 10–2 A. 0.548 N. a) 0.17 V; b) 6.1 * 10–3 A; c) 6.4 * 10 –4 N. 5.86 C. 28.2 V. 2.08 rev
s. a) 99.0 A; b) 1.3 * 10–2 m2. 100 V. 13 A. de bajada, 0.375, 2.67. 50, 4.8 V.

11. 4.0 * 1016 m.

35. a) de subida; b) 2.8. 37. a) 48 kV (rms); b) 0.056. 39. 7.7 V. 41. 0.14 H. 43. a) 1.7 * 10–2 H, b) 81 vueltas. 45. m0 N1 N2 A
l. 47. 29 J. 49. 5.1 * 1015 J. 51. a) 2.3; b) 4.6; c) 6.9. 53. a) 368 ; b) 2.21 * 10–2 . 55. 9.90 Hz.

b) 22 cm detrás del espejo; c) –98 cm;

b) 1260 s. 15. 2.1 * 106 rev
s.

d) –196 cm.

17. 9040 longitudes de onda,3.541015 s.

23. a) 1.97 * 108 m
s; b) 1.99 * 108 m
s;

19. 1.21 * 107 s (L 140 días). 23. 3.80 * 1026 W.

c) 2.21 * 108 m
s. 25. 1.49.

25. a) 280 J;

27. 64.0°.

21. 0.95 W
m2, 19 V
m.

29. 46.8°. 31. 4.6 m.

b) 2.6 * 109 V
m. 27. a) 2.78 m a 3.41 m;

33. 81.1°.

b) 176 m a 561 m. 29.

AM es más larga, por un factor de 100.

31. 330 pF. 9

35. 1.5 V
m.

60

39. a) 1.28 s;

37. 1.35. 39. n 1.5. 43. a)

9

33. 2.6  10 H a 3.9  10 H.

57. XL () 80

37. 499 s (8.31 min). b) 260 s (4.3 min).

40

41. a) 0.07 V
m;

20 0

21. a) convexo;

13. a) 261 s;

0

4000

8000

CAPÍTULO 22 1. 7.9 * 1014 V
m
s. 3. 5.25 V
m. 5. 1.88 * 1010 Hz.

O

I

F

b) 8 km.

f (Hz)

59. 4.97 * 10–2 H. 61. a) 30 k; b) 31 k. 63. 1700 . 65. 8.78 k, – 7.62°, 8.26 * 10–2 A. 67. a) 6.65 * 10 –2 A; b) 4.19°; c) 119.7 V, 8.77 V. 69. 3.63 * 105 Hz. 71. a) 1.32 * 10–7 F; b) 34.1 A. 73. 7.05 * 10–3 J. 75. 200 kV. 77. a) 41 kV; b) 3.1 * 107 W; c) 8.8 * 105 W; d) 3.0 * 107 W. 81. Colocando un inductor de 120 mH en serie con el dispositivo. 83. 102 V. 85. 0.10 H. 87. 7.5 * 10–2 H, 14 . 89. (b) 2.5 * 10 –6 H, 2.9 * 10–2 .

F

43. 469 V
m. 45. a) 150 m; b) 75 m. 47. a) 1.8 * 10

–10

J;

b) 8.7 * 10–6 V
m, 2.9 * 10–14 T. 49. a) en paralelo; b) 8.9 pF a 11 pF; c) 1.1 mH. 53. a) 4.0 * 10–7 J; b) 1.2 * 10–2 V
m; c) 1.2 * 10–2 V. CAPÍTULO 23 1. 3. 5. 7. 9.

5.0 m. 5°. 5.9 * 10–6 m2. 36.0 cm. 2.09 cm detrás de la superficie frontal de la bola, virtual, derecha. 11. cóncavo, 5.66 cm. 13. (b) –6.7 cm; (c) 1.0 mm. 15. a) en el centro de curvatura; b) real; c) invertida; d) – 1.

b) 390 mm. 45. convergente, 41.1 cm, real. 47. a) –72 cm; b) 4.0. 49. a) 80.6 mm; b) 82.2 mm; c) 87.0 mm; d) uno en 24 cm. 51. a) 3.0 cm alejándose de la lente; b) 0.5 cm hacia la lente. 53. a) 75.0 mm; b) 25.0 mm. 55. a) 15.2 cm, –2.54 mm, real e invertida; b) –12.1 cm, 2.02 mm, virtual y derecha. 57. 49.2 cm, 16.8 cm. 59. 7.41 cm detrás de la lente divergente. 61. a) 7.14 cm a la derecha de la lente B; b) –0.357. c) A

B

IB IA F A

F B

FB

FA

–7

7. 3.11 * 10 m, ultravioleta. 9. 499 s (8.31 min).

Respuestas a problemas con número impar

A-37

www.elsolucionario.org

63. a) 16 cm a la izquierda de la lente convergente; b) 1.8 cm a la derecha de la lente divergente. 67. 1.54. 69. – 36.1 cm. 71. 5.6 m. 73. 5.16 m. 75. a) r = q; b) do = –di ; c) ±1; d) sí. 77. El objeto es virtual y está más cerca de la lente que del punto focal. 79. 49°. 81. a)

43. 45. 47. 49. 51. 53. 55. 57. 59. 61. 63. 65. 67. 69.

F1

83. 85. 87.

89. 91. 93.

11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29.

(b) 21 cm a la derecha de la segunda lente, 0.65. 0.106 m, 2.7 m. real y derecha, real y derecha. a) 0.26 mm de diámetro; b) 0.47 mm de diámetro; c) 1.3 mm de diámetro; d) 0.56, 2.7. 20.0 cm. 7.5 cm, 10 cm. 20.0 cm, convergente.

4.9 * 10–7 m. 6.2 * 10–7 m, 4.8 * 1014 Hz. 1.4 * 10–4 m. 610 nm. inverso del patrón usual de doble rendija. 2.7 * 10–3 m. 533 nm. 0.22°. 1.51°. 2.51 m. 3.6 * 10–6 m. 9.53 * 10–7 m. 2.6 cm. 4.43°. 1640 líneas
cm.

31. 2.20 * 10–6 m, 53.3°. 33. 534 nm, 612 nm, 760 nm. 35. 7140 líneas
cm. 37. 5.79 * 105 líneas
m. 39. 643 nm. 41. 169 nm.

A-38

59. 61. 63. 65.

F2

I1

F1

CAPÍTULO 24 1. 3. 5. 7. 9.

49. 51. 53. 55. 57.

ƒ2

ƒ1

O

41. 43. 45. 47.

8.5 * 10–6 m. 113 nm, 225 nm. 471 nm. 699 nm. 2.50 * 10–4 m. 0.089. 61.2°. a) 35.3°; b) 63.4°. 44.5%. 0.031I0 . a) constructiva; b) destructiva. 360 nm. 31°. 590 nm.

F2

I2

71. 600 nm a 700 nm del espectro de segundo orden se traslapan 400 nm a 467 nm del espectro de tercer orden. 73. 0.7 m. 75. 810 nm. 77. 320 nm, 160 nm. 79. 36.9°. 81. a) 0.086; b) ninguna. 83. 10 mm. 85. 240 nm. 87. a) 6.0°; b) 8.7°. CAPÍTULO 25 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39.

2.5 mm a 39 mm. 1
62.5 s L 1
60 s. 17 mm. 50 mm. 0.16 s. Las gafas serían una mejor opción. –8.3 D, –7.1 D. a) miope; b) 20.6 cm. 0.2 cm. a) 2.0 cm; b) 1.9 cm. 2.1. a) 17 cm; b) 10 cm. a) 3.63; b) 12.0 mm; c) 6.88 cm. a) –64 cm; b) 3.3 * . –27, 79 cm. 22 cm. –110 * . – 94 * . fe = 0.73 cm, fo = 124 cm. 440 * .

Respuestas a problemas con número impar

67. 69. 71. 73.

610 * . a) 0.85 cm; b) 230 * . a) 14.4 cm; b) 137 * . a) 16.0 cm; b) 14.3 cm; c) 1.7 cm; d) 0.71 mm. 9.1 cm, 6.1 * 10–6 rad. 1.7 * 1011 m. sí. 0.245 nm. a) 1; b) 1 a 2.7. 16. 100 mm, 200 mm. 2.9 * , 4.1 * , la persona con ojos normales. a) –2.3 * ; b) ±4.5 D. 34 cm. –19 * . a) 48 cm, –11 * , 4.0 cm lente; b) 180 cm. 1.7 m.

CAPÍTULO 26 1. 42.6 m. 3. a) 1 - 2.2 * 10 –9; b) 0.9998; c) 0.980; d) 0.31; e) 0.20; f) 0.0447. 5. 2.32 * 108 m
s. 7. 26 años. 9. 7 * 10–8 %. 11. a) 2.7 años; b) 9.2 años. 13. a) 6.39 m, 1.25 m; b) 15.0 s; c) 0.660c; d) 15.0 s. 15. 8.1 * 10–19 kg m
s. 17. 0.38c. 19. a) 310%; b) 140%. 21. 4 * 10–28 kg. 23. 938 MeV
c2. 25. 9.0 * 1013 J, 3.7 * 1010 kg. 27. 0.60c. 29. 944 MeV, 1630 MeV
c. 31. 0.437c. 33. 0.30c. 35. a) 0.866c; b) 0.745c. 37. a) 5.5 * 1019 J; b) 3.3%. 39. 237.0483 u.

41. a) EC EC
pc 

m0c2

EC
p 2 2m0

p b) EC

43. 0.80c. 45. a) 0.98c; b) 0.42c. 47. 0.92c. 49. a) 0.73c; b) 5.9 años. 51. a) c - v = 0.77 m
s; b) 0.21 m. 53. 1.02 MeV (o 1.64 * 10 –13 J). 55. 234 MeV. 57. a) 4 * 109 kg
s; b) 4 * 107 años; c) 1 * 1013 años.

59. 28.3 MeV (o 4.53 * 10 –12 J). 61. a) 2470 MeV
c; b) 0; c) 1.40 * 104 MeV
c. 63. 2.5 * 107 kg. 65. sí, en el marco de referencia del granero, pero no en el marco de referencia del muchacho. 67. 0.96c. 69. c. 71. 6.8 * 1021 J, 68 * mayor. 73. a) 1.17 s; b) 2.68 s.

EC
pc

p

Respuestas a problemas con número impar

A-39

ÍNDICE

ERRNVPHGLFRVRUJ

NOTA: La abreviatura def significa que la página citada proporciona la definición del término; np significa que la referencia está en una nota al pie de página; pr significa que se encuentra en un problema o pregunta; ss significa que también hay que consultar las páginas siguientes.

A Aberración astigmatismo y, 702, 710 cromática, 710-11 de lentes, 710-11 de ojo, 702-3, 710 esférica, 636, 710 monocromática, 710-11 Absorción, espectro de, 679 líneas de, 679 Accademia del Cimento, 355 Acción-reacción (tercera ley de Newton), 77-80 Aceleración, 23-27, 75-77, 106-9 angular, 196-99, 201 centrífuga, 201 centrípeta, 107 ss, 194, 198, 200 constante, movimiento a 26-44 de Coriolis, A-18 - A-19 de la gravedad, 33 ss, 121 de la Luna, 109, 118 de oscilador armónico simple, 295 de un bobsled, 75 expresada en g, 35 instantánea, 24 promedio, 23, 24 radial, 107 relación con fuerza, 75-77 tangencial, 115-16, 198 uniforme (constante), 26-44 Adenina, 460-61 Adhesión (def), 277 ADN, 460-62, 679, 718 estructura y duplicación del, 460-62 Aeropuerto detector de metales en el, 595 pista de aterrizaje de un, 27 Afinación de un piano, 14, 337 Agua barómetro de, 262 calor específico del, 388

A-40

chinche de, 276 cohesión del, 277 expansión del, 360, 373 momento de inercia para molécula de, 224 pr presión de vapor saturado de, 374 punto triple de, 373 tabla de propiedades del (véase forro frontal) tobogán de, 152 Aire acondicionador de, 421-23 bolsas de, 29 columnas de, y vibraciones de las, 329-34 contaminación del, 430 contenido de agua en el, 374-76 flotabilidad del, 267 masa de, en una habitación, 365 subterráneo, circulación del, 274 supersaturado, 376 Airy, disco de, 712 Aislamiento térmico, 396, 397 eléctrico, 441-42 Ala de avión, sustentación de, 272-73 Alambre(s) neutro, 540 vivo, 540 Alfabeto griego (véase forro frontal) Álgebra, repaso de, A-3 – A-6 Alternadores, 593 Altura equivalente de presión (def), 258 AM, amplitud modulada, 626-7 Amortiguamiento corrientes parásitas para, 594 crítico, 298 en edificios, 298 magnético, 610 pr sobre- y sub-, 298 Ampere (unidad), 496, 566 definición operativa de, 566 ley de, 568-9, 616 Ampère, André, 496, 568, 616 ley de, 568-69, 616 Amperímetro, 541-45 Amplificación angular, 705, 706, 709 de espejo, 638-39 de lente de aumento, 704-5

de lente, 650-53, 704-8 de microscopio, 709, 715 de telescopio, 706-8 útil, 715-16 Amplificador, simple, 704, 705 Amplitud de onda, 302, 305, 306-7, 314, 327 de vibración, 288 modulada (AM), 626-7 Análisis de Fourier, 334 gráfico de movimiento lineal, 36-37 para trabajo, 141 Analizador (de luz polarizada), 685 Angstrom (unidad), 671 np Angular(es) aceleración, 196-99 constante, 201 instantánea, 197 promedio, 197 amplificación, 705-6, 709 cantidades, 195-200, 215-16 cantidad de movimiento, 213-15 desplazamiento, 196 Ángulo crítico, 645 de Brewster, 687 de fase, 607 de incidencia, 308, 312, 366, 643 de inclinación, 556 de reflexión, 308, 633 de refracción, 312, 643 medida en radianes de un, 195 polarización, 687 Animales que viven bajo tierra, 274 Ánodo, 485 Antena, 615, 621, 626, 627-28 Anteojos o gafas, 701-4 Antinodos, 310, 333 Aplicaciones geofísicas, 122 Arago, François, 673 Arco iris, 672 Arcos, 243-45 Área bajo una curva o gráfica, 37, 141 volúmenes y, A-1 Aristóteles, 2, 73

Armadura, 571, 592, 594 Armaduras laminadas, 594 Armónicos, 310, 311, 330 np, 332-33 Arquímedes, 263, 265 principio de, 255, 263-67 Arquitectura, 4, 243-45 Articulaciones humanas, fuerzas en, 234-35 Ascenso de montañas, 102 pr, 105 pr Astigmatismo, 702, 710 fuera de eje, 710 Atardecer, color del, 690 Atmósfera como unidad, 259, 261 dispersión de la luz por la, 690 Atomizador, 272 Átomo(s), 352-54, 441 (véase también Teoría cinética) carga eléctrica en, 441 de hidrógeno, masa de un, 367 distancia entre, 354 Atwood, máquina de, 88, 221 pr Audición en humanos, 325, 328-29 umbral de, 329 Aurora boreal, 563 Autofoco, cámara de, 324 Autoinductancia, 600-601 Automóvil arrancadores de un, 567 bolsas de aire en un, 29, derrape, 113 distancia de frenado de un, 30, 144 frenos de un, 260 fuerza que acelera un, 79 fuerzas en una curva sobre el, 112 potencia necesaria de un, 159 Avión alas de un, 272-73 intensidad sonora de un, 326-27 sustentación en las alas de un, 272-73 Avogadro, Amadeo, 366 hipótesis de, 366-67 número de, 366-67 Axón, 511-13 Axones mielinizados, 513 Balance, 236 corporal, 236

www.elsolucionario.org B Ballenas, ecolocalización, 304 Balón de fútbol, 58, 61, 66 pr, 67 pr Bar (unidad), 259, 261 Barómetro, 260-62 de mercurio, 262 Barrera sonora, 342 Básquetbol, 71 pr Batería, 493-500, 520-21 carga de, 521 np, 532-33 eléctrica, 494-97, 520-21 símbolo de, 496 voltaica, 494 Batimiento, 335-37 frecuencia de, 337 Béisbol bola curva, 273 elevado, 71 pr trabajo realizado sobre pelota de, 136, 143 Bel (unidad), 325 Bell, Alexander Graham, 325 Bernoulli, Daniel, 270 bote de vela y principio de, 273 ecuación de, 270-71 principio de, 270 ss aplicaciones del, 272-74 Bíceps y torca, 205, 221 Binoculares, 646, 708 Biología molecular y fuerzas eléctricas, 460-62 Blindaje eléctrico, 457 Bobina(s) (véase Inductor) primarias, 595 secundarias, 595 Bobsled, aceleración de un, 75 Bocina, 295, 326, 335, 336, 501, 508, 572 Bola curva, lanzamiento de, 273 Boltzmann, Ludwig, 428 constante de, 367 Bomba(s), 278-79 calorimétrica, 390 centrífuga, 278 de circulación, 278-79 de vacío, 278 térmica, 423 Bombeo electromagnético, 576 pr Bombilla incandescente, 495 Boyante, fuerza, 263-67 Boyle, Robert, 362 ley de, 362, 363, 368 Brazo de momento, 203 Brewster, David, 687 ángulo y ley de, 687 Broncoscopio, 646 Brown, Robert, 353 Brújula, magnética, 556, 564 Brunelleschi, Filippo, 245 BSCCO, 510 Btu (unidad), 385

C ca, circuitos de, 506-8, 520 np, 603-5

Caballo de potencia (unidad), 158 Cabeza grabadora, 598 magnética, 598 Caída impulso en la, 174-75 libre, 124 Caja armónica, 331 de resonancia, 331 calculadora, errores de, 7 Cálculos aproximados, 12-14 Calefacción, conducto de, 269 Calentamiento convección, en una casa, 398 global, 430 solar, 431 Calidad de sonido, 334-35 Calor, 384-407, (def, 385) como flujo de energía, 385-86 comparado con trabajo, 408 conducción, convección, radiación, 395-402 de fusión, 392 de vaporización, 392 distinción de energía interna y temperatura, 386 equivalente mecánico del, 385 específico, 387 ss, A-20 – A-21 de gases, 388 molar, A-20 – A-21 para gases, A-20 – A-21 latente, 391-95 metabolismo humano y, 414-15 pérdida de, a través de las ventanas, 396 pérdida de, por el cuerpo, 399, 400 primera ley de la termodinámica y, 408 ss transferencia de, 395-402 Caloría (unidad), 385 quema de, 386 relacionada con el joule, 385 Calorimetría, 388-91 Calorímetro, 390 Cámara, 697-701 ajustes a la, 698-700 de autofoco, 324 digital, 697 enfoque de, 698-99 flash de la, 484 réflex de una sola lente (SLR), 701 Cambio de fase (o estado), 371-73, 391 Caminar, 79 Campo, 450 cercano, 618 eléctrico, 450-54 campo magnético producido por un, variable, 616 ss de carga puntual, 451

en dieléctrico, 482-83 en onda EM, 617-19 energía almacenada en un, 485 ley de Coulomb para determinar el, 458 ley de Gauss para determinar el, 458 líneas de equipotencial y, 474-75 líneas de, 454-56 producido por un campo o flujo magnético variable, 591, 617 ss relación a potencial eléctrico, 474 y conductores, 456-57 gravitacional, 456 magnético, 554-75 campo eléctrico, corriente eléctrica, fem y, 584 ss, 616 s corriente eléctrica y, 557 de alambre recto, 564 de lazo circular, 557 de solenoide, 567 de Tierra, 556 definición de, 558 determinación del, 568-69 en una onda EM, 617-19 energía almacenada en un, 602 fem y, 584 ss fuerza sobre carga eléctrica y corriente eléctrica, en relación con un, 558-63 líneas de, 555 movimiento de partículas cargadas en un, 560-63 producido por un campo eléctrico variable, 616 ss vectoriales, naturaleza de, 215-16 vectorial (def), 454 Cantidad(es) angulares, 195-200, 215-16 vectoriales, naturaleza de las, 215-16 base, 10 básicas contra derivadas, 10 conservada, 149 de movimiento, 136, 167-93 angular, 213-15 conservación de la, 170 ss relación entre fuerza y, 168-69 relativista, 742-43, 747 total, de sistemas de partículas, 185-86 unidades de, 168 derivada, 10 Capa de frontera, 273 Capacidad (véase Capacitancia) calórica, 405 pr (véase también Calor específico) Capacitancia, 480-82, 533-35 equivalente, 534 Capacitor, 480-81

carga y voltaje sobre un, 535 como filtro, 605 de placas paralelas, 482 en circuitos ca, 604-5 en serie y en paralelo, 533-34 en un circuito RC, 535-37 energía almacenada en un, 484-85 reactancia (impedancia) de un, 603-5 usos del 605 Capilares, 278 Capilaridad, 276-78 Carga (véase también Carga eléctrica) de batería, 521 np, 532-33 de prueba, 450 eléctrica, 439 ss “de prueba”, 450 cálculo de una, 535 conservación de, 440-41, 523, 528-29 cuantización de una, 445 de un electrón, 445 elemental, 445 en aceleración da origen a onda EM, 619 en un átomo, 441 inducida, 442-43 movimiento de una, en un campo magnético, 560-63 puntual, 446, 450-51, 476-79 elemental (def), 445 inducida, 584-85 negativa, 472 puntual (def), 446 campo de, 451 potencial de, 476-79 Carnot, Sadi, 419 ciclo de (en un motor), 419-21 eficiencia de, 420 Catalejo, 708 Catedrales, 244-45 Cátodo, 485 Causalidad, 128 Cavendish, Henry, 119 CCD, dispositivo de carga acoplada, 697 cd (def), 506 circuitos de, 520-45 generador de, 592-93 motor de, 571 Celda solar, 431 Celsius, escala de temperatura de, 355-56, 362-63 Celular, teléfono, 314, 621, 628 Células de Schwann, 511 presión sobre, 259 Centígrada (véase Celsius, escala de temperatura de) Centipoise (unidad), 275 Centrifugadora, 116-17 Centrípeta aceleración, 107 ss, 194, 198-99, 201 fuerza, 109

Índice

A-41

Centro de gravedad, 183-84 de masas, 182-86 para cuerpo humano, 184-85 y movimiento de traslación, 185-86 Cero absoluto, 362 CGS, sistema de unidades, 9 Charles, Jacques, 362 ley de, 363 Chimenea, humo de, 274 Chips semiconductores, área de, 11 Choques eléctricos, 538-41 Ciclo (def), 288 de motor de cuatro golpes, 417 Ciclotrón, 582 pr Cielo, color del, 690 Ciencia, naturaleza de la, 1-3 Cifras significativas, 6-7, A-3 Cinemática movimiento circular uniforme y, 106-9 movimiento de rotación y, 201-3 movimiento de traslación y, 19-71 Cinética fricción, 90 ss energía (véase Energía cinética) Cinta y discos magnéticos, 598 Circuito eléctrico abierto, 496 aterrizado, 539-41 casero, 505 completo, 496, 497 constantes de tiempo, 536, 602 de ca, 506-9, 603-8 de cd, 493 ss, 520-45 digital, 831 en paralelo, 506, 522 ss, 532-4 en serie, 522 ss, 532-34 LC, 608, 627 LR, 602-3 LRC, 606-7 puente, 551 pr que contiene capacitores, 533-35, 603-8 que contiene resistores, 498 ss, 520-45 RC, 535-37 aplicaciones del, 537-38 resonante, 608 y reglas de Kirchhoff, 528 ss Círculo de confusión, 699, 710 de menor confusión, 710 Citosina, 460-61 Clasificación SEER, 423 Clausius, R. J. E., 416, 422 enunciado de, de la segunda ley, 416, 422 Clavados, giros en, 214 Coaxial, cable, 580 pr, 621 Coeficiente de operación, 422

A-42

Índice

Cohesión, 277 Cohetes, 78, 172, 186 Colapso de edificios, 242 de estrellas, 215 de puentes, 299 resonante, 299 Colisión(es), 173-81 completamente inelástica, 178-79 elásticas, 175-77 en dos o tres dimensiones, 179-81 inelásticas, 175-76, 178-79 nuclear, 177 Colonoscopios, 646 Color relacionado con longitud de onda, 670, 671 del cielo, 690 Color de tono, 334 Columna vertebral, fuerzas sobre la, 234 Coma, 710 Cometa Halley, 133 pr Componentes de un vector, 49-53 Compresión esfuerzo de, 239-40 onda longitudinal, 303 ondas de, (ondas P), 304 Compuesto(s) (def), 353 np de itrio, bario, cobre y oxígeno (YBCO), 510 Computadora(s), 598 disco duro de una, 200 información digital y, 598 monitor de una, 485-86 teclado de una, 482 Comunicación fibras ópticas en, 646 inalámbrica, 626-28 Concreto pretensado, 242 reforzado, 242 Condensación, 374 Condensador (véase Capacitor) Condiciones estándar (PTE), 364 Conducción alrededor de una curva, 112-13 calor por, 395-97 corriente de, (def), 617 eléctrica, 441-42, 493-513 nervio, 510-13 Conductancia, 518 pr Conductividad térmica, 396 Conductores calor y, 396 eléctricos, 441-42, 456-57, 475-76, 493-513, 590-91 Conejos, suministro de aire en, 274 Conmutadores, 571, 592-93 Conservativa, fuerza, 148-49 Constante(s) dieléctrica, 482 fundamentales (véase forro frontal)

gravitacional, 119 solar, 401 universal de los gases, 364 Construcción con postes y vigas, 243-44 Contaminación ambiental, 430 térmica, 430-31 Continuidad, ecuación de, 268-69 Contraelectromotriz, fuerza 593-94 Contrafuertes voladores, 244 Contrapeso, 88 Contraste en imágenes de microscopio, 716 Contratorca, 593-94 Control remoto, 628 Convección, 397-99 de la sangre, 399 en sendero de excursionismo, 398 forzada, 397 natural, 397 Convenciones de signo (óptica), 638-39, 651 Copérnico, 3 Corazón humano, 278-79 como bomba, 278-79 defibrilador para, 538 np electrocardiograma del, 47 flujo sanguíneo, 269, 275-76 marcapasos, 538 número de latidos del, 13 Coriolis aceleración, A-18 – A-19 efecto, A-18 – A-19 fuerza, A-18 – A-19 Córnea, 701, 702 Corriente eléctrica, 493 y ss alterna (ca), 506-9 campo magnético y, 557 conducción (def), 617 convencional (def), 497 de fuga, 541 desplazamiento de una, 617 directa (cd) (def), 506 fuerza magnética sobre una, 558-59 inducida, 584 medición de la, 541-45 pico, 506-7 producida por un campo magnético variable, 584 ss riesgos de la, 538-41 rms, 507 visión microscópica de la, 509-10 y ley de Ohm, 498-500 Corrientes en el océano, 397 parásitas, 593-94 Corrimiento al rojo, 341-42 Cortos, 505-6, 539, 540 Coulomb Charles, 444 como unidad, 445 definición operativa de, 566

fuerza de (def), 447 ley de, 444-47, 458 Creatividad, en ciencia, 1-2 Crick, F. H. C., 718 Cristales líquidos, 256, 688-89 Cristalino, 701 Cristalografía, 717 Cromosoma (véase ADN) Cuantización, de carga eléctrica, 445 Cuerda de un piano, 311, 330 en vibración, 310-12, 329-34 instrumentos de, 330-31, 335 Cuerpo(s) humano balance y, 236 centro de masa para el, 184-185 metabolismo del, 414-15 partes del, cm de los, 184-85 pérdida de calor radiado del, 400 temperatura del, 356, 395 rígido (def), 194 que caen, 31-35 Curva(s) automóvil en, 112-15 de pelota de tenis, 273 exponenciales, 535, 602 sinusoidal (def), 294 Curvatura de campo, 710

D Da Vinci, Leonardo, 3 dB (unidad), 325 Debye (unidad), 479-80 Decibel (dB) (unidad), 325-27 Declinación magnética, 556 Defibrilador, 538 np Definición operativa, 10 Deformación, 237-41 Degradación de energía, 427 Demócrito, 352 Demodulador, 627 Dendrita, 511 Densidad, 256 y flotación, 263, 266 Depósito térmico (def), 410 Deriva continental, 267 Derrape de automóvil, 113 Desaceleración (def), 25 Desbordamiento de tanque de gasolina, 359 Deshumidificador, 438 pr Desorden y orden, 424, 426 Desplazamiento, 20-21, 37, 46-47, 50-53 angular, 196 corriente de, 617 de onda, 314 en movimiento vibratorio, 288 Detector(es), 627 de metales, 595 Detergentes, 277 Devanados, 572 Diagrama(s) de cuerpo libre, 84 ss, 228

de fasores, 606-7 PT, 372-73 PV, 372 Diamagnetismo, 574 np Diamantes, 672 Dieléctricos, 482-83 descripción molecular de, 483 Diente de sierra, voltaje en, 573 Dientes, enderezado de, 227 Difracción, 313-14, 665-66, 673-75, 711-18 como límite para resolución, 711-13 de luz, 665-66, 673-75 de ondas acuáticas, 313-14 de rayos X, 717-18 ecuación de, 674 límite de, para resolución, 715 mancha de, 673, 712 patrón de (def), 673 de abertura circular, 711-13 de rayos X, 717-18 de rendija sola, 673-75 por aberturas circulares, 711-13 por una sola rendija, 673-75 rejilla de, 676-78 Difusión, 376-78 constante de, 377 ecuación de, 377 Dina (unidad), 76 Dinámica, 19, 72 ss de rotación, 206 ss sustentación, 273 Dínamo (véase Generador eléctrico) Dioptría, 648 Dipolo eléctrico, 455, 479-80 magnético, 570 momento de, 479 Disco duro y rapidez de bit, 200 intervertebral, 235 Dispersión, 671-3 de la luz, 690 Dispositivo(s) de carga acoplada (CCD), 697 no lineal o no óhmico, (def, 498) electrónicos, 485-86, 451-45, 626-28 Distancia imagen, 634, 638 objeto, 634, 638, 650 Distorsión (lentes), 710 Disyuntor, 505-6, 599 magnético, 567 Divisor de haz, 684 Doblete acromático, 711 Dolor, umbral de, 329 Dominios magnéticos, 573-75 Domos, 243-45 Doppler, medidor de flujo sanguíneo, 341

efecto, 338-42 para luz, 341-42 predicción del clima y, 341 J. C., 338 np técnicas en medicina, 341 predicción del clima, 341

E E = mc2, 744-47 Ebullición, 374-75, 414 pr punto de, 355 np, 373, 375 tabla, 392 ECG, electrocardiograma, 487 Ecolocalización, 304 Ecuación(es) cinemáticas, 27, 56, 201 de continuidad, 268-69 de estado, 361 para un gas ideal, 364 de lente delgada, 650-53 de transformador, 595 del fabricante de lentes, 656 Edison, Thomas, 485 Efecto Doppler, 338-42 honda gravitacional, 193 pr Eficiencia de Carnot, 420 de máquina térmica, 160, 418 Einstein,Albert, 3, 353, 727-49, 758 Eje de lente, 647 de rotación, 195 fuerzas que actúan par inclinar el, 206 principal, 636 Elasticidad, 237-41 Electricidad, 439-545, 584 ss, 615 ss estática, 440-41 ley de Gauss, 457-59 riesgos de la, 538-41 Electrocardiograma (ECG), 487 Electrodo, 494 Electroimán, 567 Electrolito, 494 Electromagnetismo, 584-631 Electrómetro, 443 Electromotriz, fuerza (ver fem) Electrón carga en, 445 libre, 442 spin de un, 574 Electrón-volt (unidad), 476, 746 Electroscopio, 442-43 Electrostática, 439-87 en fotocopiadoras e impresoras, 462-63 Elementos (def), 353 np de lente, 711 Elevador hidráulico, 260 y contrapeso, 88 Elipse, 125 EM, intensidad de ondas, 624 EM, ondas electromagnéticas, 615-28, 664 ss, 726-27, 729, 730

Emisión termoiónica, 485 Emisividad, 399-400 Enchufes, tipos de, 540 Endoscopio 646 Energía cinética, 141-44, 210-13, 744-47 de rotación, 210-13 de traslación, 142 ss definición de, 142 en colisiones, 175-79 molecular, 370 relativista, 744-47 Energía eléctrica, 470-87 almacenamiento de 484-85 plantas de combustible fósil, 430, 431, 592 producción de, 430 Energía potencial, 144-48 (véase también Energía nuclear) elástica, 147, 289 eléctrica, 470-71 gravitacional, 144-45 Energía, 136, 141-60, 744-47 almacenada en un campo eléctrico, 484-85 almacenada en un campo magnético, 602 calor como transferencia de, 385-86 cinética (véase Energía cinética) conservación de la, 149-55, 389, 409, 529 de activación, 371 de ondas, 305-6 “cubetas” de, 290 de rotación, 210-13 degradación de la, 427 densidad de, 485, 602, 623 en campo eléctrico, 485 en ondas EM, 623 en un campo magnético, 602 distinción de calor y temperatura, 386 eléctrica (véase Energía eléctrica) en ondas EM, 623-24 en reposo, 744 equipartición de la, A-21 – A-22 generación de, y recursos 430-31 geotérmica, 431 indisponibilidad de, 426-27 interna, 386-87, 408-15 ley de conservación de la, 149-55 mecánica total (def), 149 mecánica, 149-55 molecular de rotación y vibratoria, 387 movimiento armónico simple y, 289-91 nuclear, 431 potencial (véase, Energía potencial)

primera ley de termodinámica y, 408-10 relacionada con el trabajo, 141 ss relativista, 744-47 solar, 431 térmica, 156, 386 transformación de, 155-56, 744-47 unidades de, 143 vibratoria, 289-91 Enfoque de cámara, 698-99 Enfriamiento por evaporación, 374, 395 por radiación, 400 Entropía, 408, 424-25 en procesos de vida, 427 estadísticas y, 428-29 segunda ley de la termodinámica y, 424-25 Equilibrio, 226-55, (def, 227) condiciones para el, 227-29 en sube y baja, 230-31 estable, 236 estado de, (def), 361 inestable, 236 neutro, 236 posición de, en movimiento vibratorio, 287 térmico, 357 Equipartición de la energía, A-21 – A-22 Equivalente mecánico del calor, 385 Erg (unidad), 137, 143 Escala absoluta de temperatura, 362-63 cromática igualmente temperada, 329 de temperatura Fahrenheit, 355-56 musical, 329 Escalares, 45, 46 Escobillas, 571 Esfuerzo de tensión, de compresión y de corte, 239-40 sobre concreto, 361 Espacio interferencia en el, 335-36 libre, permitividad de, 445 y tiempo absoluto, 729 Espacio-tiempo (cuatridimensional), 742 Espalda dolor de, 234 fuerzas sobre la, 234-35 Espectro, 677 absorción del, 679 continuo, 679 de elementos seleccionados, 678 de la luz visible, 671-73 electromagnético, 619-22 emitido por gases, 678 línea de, 678-79 sonoro, 335

Índice

A-43

www.elsolucionario.org Electric field (cont.) visible, 671-73 Espectrografía, 572-73 Espectrómetro de luz, 678-79 de masas, 572-73 Espectroscopia, 678-79 Espectroscopio, 678-79 Espejismo, 667 Espejo amplificador, 640 cóncavo y convexo, 635 ss, 639-40 ecuación de, 638-39 esférico, 635-42 longitud focal de un, 636, 641 parabólico, 636 plano, 633-35 usado en un telescopio, 707 Esquiar, rapidez y aceleración al, 94-95 Estaciones, 402 Estadística y entropía, 429-29 Estado cambios de, 371-73, 391-92 como condición de sistema, 361 ecuación de, 361, 364 de equilibrio, 361 de la materia, 255-56, 353 variables de, 409 Estampido supersónico, 342-43 Estándares y unidades, 8-10 Estática, 226-55 Estática, electricidad, 440-41 Estator, 593 Estimación, 12-14 Estrella(s) colapso de, 215 de neutrones, 215 radio de, 402 Esu (unidad), 445 np Éter, 730 Evaporación, 373-74, 395 Evento, (def, 731) Everest, Monte, 121 Evolución biológica, 427 y desarrollo biológicos, 427 Exactitud, precisión contra, 5 np Expansión binomial, 737, A-6 – A-7 (véase también forro posterior) juntas de, 354 lineal, coeficiente de, 357-58 rarefacción, 303, 324 térmica, 354, 357-60 coeficientes de, 357-58 del agua, 360 en estructuras, 358 volumétrica, coeficiente de, 359-60 Experimentación, 2 Experimento de doble rendija, para luz, 668-71 mental, 731

A-44

Índice

Exploración mineral y de petróleo, 122 TAC, 719 TC, 718-21 Exponentes y notación exponencial, A-2 – A-3 (véase también forro posterior)

F Factor(es) de conversión, 10-11 (véase también forro frontal) de seguridad, 241 Q en circuito resonante, 614 pr, 615 Falla a tierra, 599 Farad (unidad), 481 Faraday, Michael, 450, 584 ley de, 616 Fase ángulo de, 607 cambios de, en materia, 371-73, 391-92 cambios de, en onda de luz, 680-81 de materia, 256, 353 de ondas, 309 diagrama de, 372-73 en circuitos ca, 603-7 microscopio de contraste de, 716 placa de, 716 transiciones de, 371-73, 391-92 Fem, 520-22 (def, 520) contra, 593-94 de generador, 592-95 direccional, 590 en serie y en paralelo, 532-34 fuente de 520-21 inducida, 584 ss en conductor en movimiento, 590-91 en un generador, 592-95 en un transformador, 595-97 Fermi, Enrico, 14 Ferromagnetismo, 555, 573-75 Fibras ópticas, 645-46 Fibrilación ventricular, 538 Fick, ley de difusión de, 377 Ficticia (inercial), fuerza, A-17 Filtro (eléctrico), 605 Física clásica, 1, (def, 727) moderna, 1, (def, 727) Florencia, Catedral de, 245 Flotabilidad, 263-67 Fluidos, 255-85 (véase también Gases) rapidez de onda longitudinal en, 304 Flujo aerodinámico (def), 268 de fluidos, 268-74 aerodinámico (def), 268 en tubos, 275-76 laminar (def), 268 turbulento, 268

eléctrico, 457-58, 617 laminar (def), 268 magnético, 586, 591 variable 591 sanguíneo, 269, 275-76, 590 convección por, 399 isquemia y, 273 medición electromagnética del, 590 medidor Doppler del, 341 FM, transmisión estéreo, 627 np Foco, 636 cassegrainiano, 707 Fones (unidad), 328 Formación de imágenes médicas, 343-45, 402, 718-20 Fórmula(s) cuadrática, 34, 35, A-6 (véase también forro posterior) matemáticas (véase forro posterior) Fotocopiadoras, 451, 462-63 Foucault, Jean, 666-67 Fourier, análisis de, 334 Fóvea, 701 Fracciones (véase forro posterior) Fractura, 237, 241-43 de pierna, 174 Franjas, interferencia (def), 668 Franklin, Benjamin, 440 Rosalind, 718 Frecuencia, 108, 200, 288, 292-93 de luz, 620 de movimiento circular, 108 de onda, 302, 305, 306-7 de rotación, 200 de sonido audible, 323 de vibración, 286 fundamental, 310, 311, 330-34 infrasónica, 324 modulada (FM), 627 natural, 299, 310 portadora, 626 pulso y, 337 resonante, 299, 310, 329, 608 ultrasónica, 343 Frenado de automóvil, 30, 113, 144 corrientes parásitas para, 594 Freno(s) hidráulico, 260 antibloqueo, 113 Frente de onda (def), 308 Fresnel, Augustin, 673 Fricción estática, 90, 91-92, 211-12 Fricción, 73-74, 90-95, 112-14 coeficientes de, 90, 91 cinética, 90 ss en rodamiento, 90, 211-12 estática, 90, 91-92, 211-12 Fuente, 520 de luz coherente, 671 de luz incoherente, 671 Fuerza(s), 72-105, (def, 73, 76), 128 (véase también Fuerza

eléctrica; Fuerza gravitacional) aceleración y, 75-77 bomba de, 278 boyante, 263-67 cantidad de movimiento y, 168-69 centrífuga, 110 centrípeta, 109 conservativa, 148 ss contraelectromotriz 593-94 Coriolis, A-18 – A-19 Coulomb (def), 447 (véase también Fuerza eléctrica) de contacto, 81, 128, 450 de fricción, 90-95, 112,14 de gravedad, 80-83, 117-28 diagrama de, 84 ss, 228 disipativa, 156-58 ejercida por objetos inanimados, 79 elástica, 147, 237-41 eléctrica, 439 ss en biología molecular, 460-62, 479 ley de Coulomb para, 444-47 electromagnética, 128 electromotriz (ver fem) en campos magnéticos sobre cargas y corrientes, 558-63 en equilibrio, 226-55 en leyes de Newton, 75 ss en músculos y articulaciones, 234-35 ficticia, A-17 – A-18 inercial, A-17 magnética sobre una corriente eléctrica, 558-59 sobre una carga eléctrica en movimiento, 560-63 medición de, 73 neta (def), 76, 84 no conservativa, 148 normal, 81 ss componente horizontal de una, 114 nuclear débil, 128 nuclear fuerte, 128 por unidad de masa, 456 pseudofuerza, A-17 restauradora, 287 tipos de, en la naturaleza, 128 trabajo realizado por, 137 ss unidades de 76 vectoriales, 84 ss, 447 Funciones trigonométricas, 49-51, A-8–A-9 (véase también forro posterior) Fusible, 505-6 Fusión, calor de, 505-6 Fútbol, 58, 61, 66 pr, 67 pr

G Galileo, 2, 19, 31-32, 55-56, 73-74, 297, 354, 622, 633, 706 np, 708, 727, 728, 742

Galileo-newtoniana, relatividad, 727-30, A-23 – A-24 Galvani, Luigi, 4, 494 Galvanómetro, 541-44, 571 Gamow, George, 726 Gas ideal, 368 energía interna de, 368, 386-87 ley del, 363-67 Gases, 255, 353-54, 361-73, 410-14 calores específicos molares para, A-20 – A-21 cambio de fase de, 371-73, 391-92 constante de, 364 definición de, 255, 353, 372 ideal, 363-67 leyes de, 361-67 reales, 371-73 trabajo realizado por, 410-14 Gasolina, desbordamiento de, 359 Gauss, como unidad, 559 Karl Friedrich, 457 ley de, 457-59, 616 Gay-Lussac, Joseph, 363 ley de, 363 Generación de potencia eléctrica, 430-31 Generador ca, 592-93 eléctrico, 430, 473, 520, 584, 592-93 Geometría repaso, A-7 – A-8 plana, A-7 – A-8 (véase también forro posterior) GeV (véase Electronvolt [unidad]) GFCI, Interruptor de circuito para falla a tierra, 599 GPS, sistema de posicionamiento global, 739, 134 pr Gradiente de concentración, 377 de temperatura, 396 de velocidad, 274 Grados de libertad, A-22 Gramo (unidad), 9, 76 Gran teoría unificada, 128 Gravedad, 32-34, 80-83, 117-28 aceleración de la, 32-34, 118, 121 anomalías de la, 122 centro de, 183-84, 229 en la Luna, 109 específica, 256 Gravitación, ley universal de la, 117-20, 445 Gravitacional, fuerza, 80-83, 117-28 Grimaldi, Francesco, 666, 670 Guanina, 460-61

H Habitación, confort en la, 400-401 Henry, como unidad, 600 Joseph, 584, 600

Hertz, como unidad, 200, 288 Heinrich, 619-20 Hidrodinámica, 268 ss Hidrógeno, masa de un átomo de, 367 Hidrómetro, 266-67 Hielo, 360-61, 373, 393, 422 patinaje sobre, par acciónreacción en el, 78 seco, 373 Hiperopía, 702 Histéresis, 573-75 lazo de, 575 Honda gravitacional, efecto de, 193 pr Hooke, ley de, 147, 237, 287 ss Robert, 237, 680 np Hubble, telescopio espacial, 134 pr, 713 Humedad, 375-76 presión parcial y, 375-76 relativa, 375-76 Humo (de chimenea), 274 Humor vítreo, 701 Huygens, Christiaan, 665 principio de, 665-66

I Identidades trigonométricas, A-8 (véase también forro posterior) Ilusiones ópticas, 643 Imagen virtual, 634, 640, 650 Imágenes, 634 claridad de las, 700 exploración TAC, 719 fibra óptica e, 645-46 formación de médicas, 718-20 termografía, 402 formación de, 637 formadas por espejo esférico, 635-42 por espejo plano, 633-35 por lentes, 647-50 rayos X e, 718-19 reales (def), 634-637, 639 tomográficas, 719 ultrasonido, 343-45 virtuales (def), 634, 640, 650 Imán, 554,57, 573-75 dominios de, 573-75 electro-, 567 permanente, 574 Impedancia, 606-7 Impresoras (láser), 462-63 Impulso, 173-75 Incertidumbre estimada, 5 np, 6 en mediciones, 5-6 porcentaje de, 6 Incidencia, ángulo de, 308, 312, 633, 643 Inclinación, de ala, 272-73 Incógnitas, resolución de, A-4 – A-5

Índice de refracción, 642, 672 Indisponibilidad de energía, 426-27 Inducción de pulso, 595 electromagnética, 584 ss estufa de, 588 ley de Faraday de, 586 ss Inductancia, 600-601 auto-, 600-601 de solenoide, 601 en circuitos ca, 603-4 mutua, 600 Inductor, 600 ss Inercia, 74 de rotación, 206-8 ley de, 74 momento de, 206 y ss, (def, 207) Infarto, 487 Información analógica, 598 digital, 598 Ingravidez, 124-25 aparente, 124-25 Inhalación, moléculas en una, 367 Insecto, sobre el agua, 276-77 Inserciones (puntos de unión de músculo), 234 Instrumentos eléctricos, 541-45 musicales, 329-35 ópticos, 696-725 Intensidad de luz, 671 de ondas EM, 624 de ondas en general, 305, 306-7 de sonido, 325-27 nivel de, 325, 328-29 Interferencia, 308-9, 335-36, 668 ss constructiva, 308-9, 335-36, 668 de ondas de luz, 668 ss de ondas en el agua, 309 de ondas sobre una cuerda, 308 de ondas sonoras, 335-37 destructiva, 308-9, 310, 335-36, 668 en tiempo, 336-37 franjas de, 668 ss microscopio de, 716 por medio de películas delgadas, 679-83 Interferómetro, 684 Interneurona, 511 Interruptor de circuito para falla a tierra (GFCI), 599 Ion (def), 441 en axones, 511 IR, radiación, 399, 620, 671 Iris, 701 Isoterma, 410 Isótopos, 573, A-12 – A-15 Isquemia (accidente/ataque isquémico transitorio), 273

J Jabón, 277 burbujas de, 679, 682 Joule, James Prescott, 385 como unidad, 137, 143, 204 np, 385 Juegos en parque de diversiones, 111, 194, 198, 199 Juntas de expansión, 354 Júpiter, 133

K K2, portada, 10, 11

Kelvin como unidad, 362 escala de temperatura, 355, 362-63 Kelvin-Planck, enunciado de la segunda ley de la termodinámica, 421 Kepler, Johannes, 125 leyes de, 125-28 Kilocaloría (unidad), 385 Kilogramo (unidad), 9, 75 Kilowatt-hora (unidad), 164, 504 Kirchhoff, G. R., 528 reglas de, 528-31

L Lago, volumen de un, 12-13 Land, Edwin, 685 Laue, Max von, 717 LC, circuito, 608, 627 LC, vibración, 608 LCD de matriz activa, 689 pasiva, 689 LCD, pantalla de cristal líquido 688-9 Lector de tarjeta de crédito, 599 Lente aberraciones de, 710-11 acromática, 711 amplificación de, 650-53, 704-8 cilíndrica, 702 compuesta, 711 convergente, 647, 648, 653 corrección de color mediante, 711 correctiva, 701-4 de aumento (lupa), 696, 704-5 de cámara, 697 de contacto, 702-4 delgada (def), 647 ss divergente, 647, 648, 650, 653 ecuación de, 650-53 elementos de, 711 en anteojos o gafas, 701-4 en forma newtoniana, 633 pr gran angular, 701 longitud focal de una, 648, 650, 651-52, 656 magnética, 768 normal, 701 objetivo, 706

Índice

A-45

ocular, 706-8 positiva y negativa, 651 potencia de (dioptrías), 648 recubrimiento de, 682 resolución de, 711-13 telefoto, 701 usada en combinación, 654-55, 710 ss zoom, 701 Ley(es), (def) 4-5 de Ampère, 568-9, 616 de Boyle, 362-3, 368 de Brewster, 687 de conservación de cantidad de movimiento angular, 213-15 de cantidad de movimiento lineal, 170-73 y ss de carga eléctrica, 440-41, 523, 528-29 de energía, 149-55, 389 ss, 409, 529 de Coulomb, 444-7, 458 de Charles, 363 de Faraday, 586, 616 de Fick, 377 de gases, 361-7 de Gauss, 457-9, 616 de Gay-Lussac, 363 de la gravitación universal, 117-20, 445 de Hooke, 147, 237, 287 ss de Kepler, 125-8 de la gravitación universal, 117-20, 445 de la termodinámica cero, 357 primera, 408-14 segunda, 424-9 tercera, 420 np de Lenz, 586 ss de Malus, 685 np de Newton, 73-105, 168, 186 de Ohm, 498-500 de reflexión, 308, 633 de refracción, 313, 643-4, 666-7 de Snell, 642-4 o ecuación de StefanBoltzman, 399 Libertad, grados de, A-22 Libra (unidad), 76 Licuefacción, 371 Límite elástico, 237 proporcional, 237 Línea(s) de campo eléctrico, 454-56 de fuerza, 454-56 de plomada, 35 de transmisión eléctrica, 584, 595-97 equipotenciales, 474-75 Líquido(s), 255, 353 cristales, 256, 688-89 Logaritmos, A-10 – A-11 (véase también forro posterior)

A-46

Índice

Longitud de onda (def, 302) como límite para resolución, 715 de la luz visible, 620, 671-73 índice de refracción y, 667 Longitud propia, 740 estándar de, 8 contracción de la, 740-41 focal, 636, 641, 648, 650-1, 656 Lorentz, transformaciones de, A-25 – A-26 LR, circuito, 602-3 LRC, circuito, 606-7 Lubricantes, 73 Luna, 109, 118, 120, 141 Lupa de joyero, 705 Luz, 632-738 blanca, 670 color de, y longitud de onda, 670, 671 como onda electromagnética, 619-22, 664 ss conducto de flujo de, 646 difracción de la, 665-66, 673-75 dispersión de la, 671-73 efecto Doppler para la, 341-42 emisión de, 632 fuentes de, coherente e incoherente, 671 infrarroja (IR), 620, 671 intensidad de, 671 interferencia de, 668-71 longitudes de onda de, 620, 670 modelo de rayos de, 632 ss monocromática (def), 668 no polarizada (def), 684 polarizada, 684-87 polarizada linealmente, 684 rapidez de la, 8, 619, 622-23, 729-31, 743 reflexión de la, 632, 633 ss refracción de la, 642 ss teoría ondulatoria de la, 664-95 ultravioleta, 620, 671 visible, 620, 671-73 espectro de la, 671-73 longitud de onda de la, 620, 671-73

M Mach, Ernst, 342 np número, 342 Macroestado, 428 Macroscópico (def), 353 Magnético(a) amortiguamiento, 610 pr campo (véase Campo magnético) cinta y discos, 598 declinación, 556 dipolo, 570

disyuntor Dominio(s), 573-75 Flujo, 586, 591 momento, 570 monopolo, 555 polo(s), 554-5 Magnetismo, 554-75 (véase también Electromagnetismo) Malus, ley de, 685 np Manómetros, 259, 260-62 aneroide y barómetro, 261 Máquina(s) de vapor, 416-17, 420 térmicas, 416-21, 430 contaminación y, 430 diferencia de temperatura y, 417 eficiencia de, 418 Marcapasos, 538, 600 Marconi, Guglielmo, 626 Marcos de referencia, 20-21, 62, 74 en aceleración, 124 en rotación, A-16 – A-19 inerciales, 74, 727, A-16 – A-17 no inerciales, 74, 727, A-16 – A-17 Marte, 126-27 Martillo par acción-reacción en golpe, 78 trabajo realizado por un, 143 MAS (véase Movimiento armónico simple) Masa, 9, 75, 256, 744 atómica, 353 de hidrógeno, 367 aumento de, 743 centro de, 182-86 del Sol, 127 en reposo, 743 energía y, 744-47 y peso moleculares, 353 np relativista, 742-43 unidades de, 9, 75 Materia, estados de la, 255-56, 353 Materiales de construcción, propiedades térmicas de los, 397 Maxwell, distribución de rapidez molecular de, 371 ecuaciones de, 616-17 James Clerk, 371, 615 ss, 729, 730 Mecánica (def), 19 Medición, 2, 5-7 Medidor digital, 544-45 eléctricos, 541-45 Metabolismo humano, 414-15 Método del paralelogramo de suma de vectores, 48 Metro (unidad), 8 MeV (véase Electronvolt [unidad])

Michelson, A. A., 622-23, 684, 730 experimento con Morley, 730 interferómetro, 684, 730 Microestado, 428 Micrófono, 598 capacitor, 546 pr Micrómetro, 13 propiedad microscópica (def), 353 Microondas, 620, 945 ss Microscopio amplificación de un, 709, 715-16 amplificación útil de un, 715-16 compuesto, 708-9, 715 de contraste de fase, 716 de interferencia, 716 potencia de resolución de un, 714-15 Miopía, 702 MKS, sistema de unidades, 9 Mm Hg (unidad), 261 Modelos, 4-5 de partícula, 19 Modulación, 627 Módulo de corte, 238, 240 elástico, 237-38 y rapidez de sonido, ondas, 304 volumétrico, 238, 240-41 Mol, 363, 364 volumen de, para gas, 364 Moléculas, 353 np diatómicas, A-22 energía cinética de, 370 en respiración, 367 polares, 441, 480 Momento de un dipolo magnético, 570 de una fuerza, 204 de inercia, 206 y ss, (def, 207) magnético, 570 Monocromático (def), 668 Monopolo magnético, 555 Montaña rusa fricción en la, 157 cambios en la energía potencial en la, 146 rapidez de la 151 Montañas, ascenso de, 102 pr, 105 pr Morley, E. W., 730 Motor de combustión interna, 41617 eléctrico, 571-72 arrancador de un, 532-33 de ca, 572 de cd, 592 fuerza contraelectromotriz en un, 593-94, 600 quemado, 594 Movimiento a aceleración constante, 26-44

www.elsolucionario.org armónico amortiguado, 298 forzado, 299 simple, 287-97 browniano, 353 cantidad de, (véase Cantidad de movimiento) cinemática del, 19-71 circular, 292 no uniforme, 115-16 uniforme, 106-15 de rotación, 194-225 de traslación, 19 ss, 185-86 de un proyectil, 54-62 de una onda (véase también Movimiento ondulatorio) descripción del, (cinemática), 19-71 dinámica del, 72 ss leyes de Kepler de planetario, 125-28 leyes de Newton del, 73-105, 168, 186 lineal, análisis gráfico del, 36-37 ondulatorio, 300-315 periódico, 287 ss relativo, 62-64, 726 ss uniformemente acelerado, 26-44 vibratorio, 286-300 MP3-CD, reproductor, 520 Mr. Tompkins en el país de las maravillas (Gamow), 726 Muelles, 289, 298 Muerte térmica, 426-27 Multímetro, 543 Músculos extensores, 234 flexores, 234 y articulaciones, fuerzas en los, 205, 234-35

N Naturaleza ondulatoria de la luz, 664 ss Near Earth Asteroid Rendezvous (NEAR), 135 Negativo, 697 np Neptuno, 127 Nervios y conducción nerviosa, 510-13 Neuronas motoras, 511 sensoriales, 511 Newton, anillos de, 680 como unidad, 76 foco newtoniano, 707 Isaac, 19, 74, 106, 117-28, 450, 666-67, 680 np, 727, 728, 742 ley de la gravitación universal, 117-20 leyes del movimiento, 73105, 168, 186 para movimiento de rotación, 206-7, 213 mecánica de, 74-135

segunda ley de, para sistema de partículas, 186 síntesis de, 127-28 No conductor, 441 Nodos, 310, 333 Notación exponencial, A-3 Nuclear fuerza, débil y fuerte 128 colisión, 177 energía, 431 potencia, 431 Núcleos de hierro laminados, 595 Nucleótido, 460 Número f, 698

O Objetos que flotan, y densidad, 263, 266 Observación, 2 Ocular, 706, 707-9 Oersted, Hans Christian, 557, 558, 616 Ohm, Georg Simon, 498 como unidad, 498 ley de, 498-500 Óhmmetro, 543 Oído humano, 328-29 sensibilidad del, 327, 328 Ojo, 701-4, 711, 715-16 acomodación del, 702 estructura y función del, 701-4 hipermétrope, 702 miope, 702 normal (def), 702 punto lejano del, 702 puntos lejano y cercano del, 702 resolución del, 715-16 Olla de presión, 375 Onda(s), 300-315, 664-95 (véase también Luz y Longitud de onda) amplitud de, 302, 327 continua (def), 301 de choque, 342-43 de proa, 342 de radio, 620 transmisión de, 626 difracción de, 313-14, 665-66, 673-75 electromagnéticas (EM),615-28, 664 ss, 726-27, 729, 730 efecto Doppler para, 341 transferencia de cantidad de movimiento y presión de radiación, 625-26 energía transportada por, 305-6 esférica, 305 estacionaria, 310-12, 329-34 forma de, 334 incidente, 308 infrasónicas, 324 intensidad de, 305, 306-7, 325-27 interferencia de, 308-9, 668-71, 676-78

longitudinal, 303, 322 ss luz, 664-95 mecánicas, 300 muelles, 289, 298 P, 304 periódica (def), 301 plana, 308, 618-19 planas, 308, 618-19 presión, 324 pulso de, 301 reflexión de, 307-8 refracción de, 312-13, 666 S, 304 sísmica, 304, 313 sonora, 322-45 superficial, 305 transversal (def, 303), 684 ultrasónica, 323, 343 velocidad de, 302 viajera, 314-15 vibración y, 301, 322 Onnes, H. K., 510 Óptica geométrica, 632-56 (véase también Luz) Orden de magnitud y estimación rápida, 12-14 patrón de interferencia o difracción, 669, 676 y desorden, 424, 426 Órgano de tubos, 333-34 Ortodoncia, 227 Oscilaciones, 287 (véase también Vibraciones) electromagnéticas (LC), 608 Oscilador, 608 armónico simple, 289 ss periodo de un, 292-93 energía total de un, 289-90 Osciloscopio, 485-86

P P, onda, 304 Página, grosor de, 13 Palanca, 162 pr, 229 brazo de, 203 Pandeo, 361 Pantalla de cristal líquido (LCD), 688-89 Parábola (proyectil), 62 Paradoja de los gemelos, 738-40 de los relojes (véase Paradoja de los gemelos) Paralelo, circuito en 506, 522 ss, 532-34 Paralelogramo, método del, de suma de vectores 48 Paramagnetismo, 574 np Partícula (def), 167 modelo de, 19 Pascal, Blaise, 257, 260 como unidad, 257, 261 principio de, 260 Patinaje de figura, giros en, 214 Pendiente, 36

Péndulo balístico, 178-79 reloj de, 297 simple, 296-97 Pera loca, 112 Peralte de curvas, 112-15 Percepción espacial con el uso de ondas sonoras, 304 Perfume, atomizador de, 272 Periodo de movimiento circular, 108 de onda, 302 de planetas, 125 de rotación, 200 de vibración, 287, 288, 292-93 Permeabilidad magnética, 564, 574 Permitividad, 445, 482 Perros de las praderas, suministro de aire en, 274 Perturbaciones, 127 Peso, 75, 81 ss aparente, 265 atómico, 353 np flotabilidad del aire y, 267 Piano afinación de un, 14, 337 tensión en las cuerdas de un, 238 Pico, voltaje 506-7 Picos más altos del mundo, 10-11 Pie-libra (unidad), 137, 143 Pila eléctrica, 494-95 fotovoltaica, 431 seca, 495 Ping-pong, bola de, 272 Pinzas ópticas, 626 Pistola de dardos, 153 Pixel, 688-89, 720 Placas, tectónica de, 267 Plano(s) focal, 648 inclinados, movimiento en, 94-95, 211-12 Plantas de energía eléctrica, 431 ss, 592 Plasma, 256 Plutón, 127 Poise (unidad), 275 Poiseuille, ecuación de, 275-76 J. L., 275 Poisson, Siméon, 673 Polarización, 684-87 ángulo de, 687 dirección de, 684 Polarizador, 685 Polaroid, 685-86 Polaroids cruzados, 686 Polea, ventaja mecánica de la, 89 Polo(s) norte, 555 sur, 555 magnéticos, 554-5 de la Tierra, 556 solos, 555

Índice

A-47

Potencia(s), 158-60 caballo de (unidad), 158 de amplificación, 705 (véase también Amplificación) de diez, 8, A-3 de lente, 648 eléctrica, 502-5 en circuitos ca, 606 en circuitos caseros, 506-7 transmisión de, 595-97 eólica, 431 factor de, 607 generación de, 430-31 hidroeléctrica, 431 nuclear, 431 Potencial caída de, 500 de acción, 512-13 diferencia de, (def, 471), 520 eléctrico, 470-87 campo eléctrico y, 474 de carga puntual sola, 476-79 de dipolo, 479-80 Poynting, vector, 624 np Precisión, exactitud contra, 5 np Predicción del clima, efecto Doppler para, 341 Prefijos métricos (multiplicadores), 9 (véase también forro frontal) unidad, 9 Presbicia, 702 Presión (def), 257 absoluta, 259 atmosférica, 259, 261 de un neumático, 261 efecto de la temperatura en la, 366 de vapor saturado, 374 diastólica, 279 en células vivas, 259 en fluidos, 257 ss en un gas (en términos de moléculas), 369-70 hidráulica, 260 manométrica, 259 medición de, 260-62 ondas de, 324 parcial, 375 sanguínea, 279 medición de la, 279 sistólica y diastólica, 279 solar, 625 unidades de, 257, 261 vapor y, 374 y temperatura estándar (PTE), 364 Primer armónico, 311 sobretono, 332 Primera ley de la termodinámica, 408-15 metabolismo humano y, 414-15 en procesos isobáricos e isovolumétricos, 413

A-48

Índice

Principio contra leyes, 5 (véase también Ley[es]) de correspondencia, 749 de Arquímedes, 255, 263-67 de equipartición de energía, A-22 de superposición, 308-9, 334-35 Prismas, 672, 678 binocular de, 646, 708 Probabilidad, en termodinámica, 428-29 Proceso adiabático, 411-12 irreversible (def), 419 isobárico, 411 isocórico (isovolumétrico), 411 isotérmico, 410, 412 reversible, 419 Profundidad de campo, 699 Proporción directa, A-1 Proporción inversa, A-1 Proteínas, 679, 718 Proyectil rango horizontal de, 60-61 movimiento de, 54-62 Prueba, de teorías, 2 Pseudofuerza, A-17 centrífuga, 110, A-17 – A-18 Psi (unidad), 257 PT, diagramas, 372-73 PTE, presión y temperatura estándar, 364 Ptolomeo, 3 Puente levadizo, 231 Puentes, colapso de, 299 Pulso, 301 Punto cercano del ojo, 702 crítico, 372 de congelación (def), 355 np, 373 tabla de, 392 de fusión, 392 (véase también Cambio de fase [o estado]) de rocío, 376 de ruptura, 237 focal, 636, 641, 647 triple, 373 Pupila, 701 PV, diagramas, 372

Q Quarks, 445

R Radar, 341, 345 np Radiación campo de, 618 del cuerpo humano, 400 del Sol, 401, 402 electromagnética infrarroja, 620, 671 microonda, 620 ultravioleta, 620, 671 X (véase rayos X)

infrarroja, 399 presión de, 625-26 tasa de flujo neta de, 400 térmica, 399-402 Radián (def), 195 Radio, 626-28 FM, 627 Radiocontrol, 628 Raíces, A-2 Rango audible, 323 Rapidez, 20 (véase también Velocidad) cuadrática media (rms), 370 de bit, 200 de deriva, 509 de la luz, 8, 619, 622-23, 729-31, 743 de onda(s), 302, 304 EM, 619 de película, 698 np del obturador, 698 del sonido, 323 media de las moléculas, 370 molecular, 370-71 distribución de, 371 promedio, 21 relativa, 176 rms, 370 supersónica, 342-43 última, 743 Rarefacción (expansión), 303, 324 Rayleigh, Lord, 712 criterio de, 712, 713 Rayos (def), 308, 633 catódicos, 485 (véase también Electrón) diagrama de, 637 ss, (esp. 648) gamma, 620 modelo de, de la luz, 632 ss paraxiales, 636 trazado de, 647-50 ultravioleta, 620, 671 X, 620, 717-18 difracción de, 717-18 en el espectro EM, 620 imágenes de, 718-19 RC, circuito, 535-37 Reacciones químicas, efecto de temperatura, 371 temperatura y, 371 Reactancia, 603-5 capacitiva, 605 inductiva, 604 Receptores de radio y televisión, 628 Recubrimiento óptico (de lentes), 682 Recursos y energía, 431 Reflexión ángulo de (def), 308, 633 cambios de fase durante la, 680-81 de luz, 633 ss, 645 de ondas acuáticas, 307, 308 de ondas en una cuerda, 307

difusa, 633 en películas delgadas, 679-83 especular, 633 interna (total), 645-46 ley de, 308, 633 polarización, 687 rejilla de, 676 Refracción, 312-13, 642 ss, 666-67 ángulo de, 312, 643 de la luz, 642 ss de ondas acuáticas, 312-13 de ondas sísmicas, 304 índice de, 642, 672 ley de 313, 643-4, 666-7 por lente delgada, 647-50 Refracción, índice de, 642, 672 Refrigerador, 421-23 Región elástica, 237 plástica, 237 Regla de la mano derecha, 215, 557-58, 560, 570, 618 de unión (nodo) (véase Reglas de Kirchhoff) del lazo (malla) (véase Reglas de Kirchhoff) Rejilla (electrodo), 486 Rejilla de transmisión, 676 de difracción, 676-78 Relámpago, 470, 504 distancia a un, 323 Relatividad galileo-newtoniana, 727-30, A-23 – A-24 principio de, 728, 730, 731 teoría especial de la, 726-49 Relé, 577 pr Reloj, péndulo, 297 Remolinos, 268 Repaso de matemáticas, A-1 – A-11 Reposo, energía en, 744 Reproductor MP3-CD, 520 Resistencia a la rotura, 237, 241 Resistencia, 498-500 (véase también Resistores) a la rotura, 237, 241 corrección para en medidores, 544 interna, 521 termómetro de, 502 Resistividad, 500-502 coeficiente de temperatura de, 502 Resistor en derivación, 542 Resistores, 498-500 con capacitor, 535-37 en circuito ca, 603 y ss en derivación, 542 en serie y paralelo, 522-28 y reglas de Kirchhoff, 529 ss Resolución, 711-13 de un telescopio, 714-15 de una lente, 711-13 de vectores, 49-53 del ojo, 715-16

límites de, 711-13 longitud de onda como límite de, 715 poder de, 714 Resonancia, 299, 310-12 en circuitos de ca, 608 Resorte, 287, 289-93 balanza de, 73 ecuación de, 147, 237, 287 ss elástico, 147 vibración de (véase Vibraciones) Resultado nulo, 730 Retina, 701 Retroceso (de arma), 172 Riesgos de la electricidad, 538-41 Rigidez dieléctrica, 482 rms, rapidez cuadrática media, 370 rms, voltaje, 507 Rodamiento, 202-3 fricción y, 90, 211-12 Roemer, Ole, 622 Roentgen, W. C., 717 Ropa, propiedades aisladoras de la, 397 Rotación eje de, fuerzas que inclina, 206 energía cinética de, 210-13 frecuencia de, 200 inercia de, 206-8 movimiento de, 194-225 aceleración angular constante en el, 201 torca, 203-8 patinador, en, 214 Rotor, 571, 593 Rueda de la fortuna, 111 Ruido, 334-35

S S, onda, 304 SAE, Society of Automotive Engineers, 275 np Salto alto, 185 de pértiga, 152 impulso en el aterrizaje después del, 174-75 Satélite, 122-3 geosincrónico, 123 Saturación (magnética), 575 Secadora de cabello, 508 SEER, clasificación, 243 Segunda ley de la termodinámica, 415, 424-29 entropía y, 424-25 enunciado de Clausius de la, 416, 422 general de la, 424, 425, 426 Kelvin-Planck de la, 421 interpretación estadística de la, 428-29 Segundo (unidad), 9 Segundo armónico, 311, 332 Selenio, 462

Semiconductor, 442, 498, 502 Sendero de excursionismo, convección en un, 398-99 Sensibilidad de medidores, 543 a la corriente, 542 Serie, circuito en, 522 ss, 532-34 SI, 8-10, 76 (véase también forro frontal) Sifón, 280 Signos convenciones de, 638-39, 651 y símbolos matemáticos (véase forro frontal) Simetría, 13, 34, 453 Sinapsis, 511 Sismógrafo, 598-99 Sistema(s) (def), 171, 388, 408 abierto (def), 388, 414 aislado (def), 171-72, 388-89 cerrado (def), 388, 409 CGS de unidades, 9 coordenados, 20 de posicionamiento global (GPS), 739 Navstar, 134 pr de unidades, 8-10 inglés de unidades, 9 (véase también nombre de unidad) métrico, 8-10 MKS de unidades, 9 nervioso humano, 510-13 periférico, 511 Slug (unidad) 76 Snell, Willebrord, 643 ley de, 642-44 Sobreamortiguamiento, 298 Sobreexposición, 698 Sobretonos, 310, 311, 330 np, 332, 333 Society of Automotive Engineers (SAE), 275 np Soga dinámica, 105 pr estática, 105 pr Sol espectro de absorción del, 678 masa del, 127 radiación proveniente del, 401 Solenoide, 567, 569 Sólidos, 255, 353, A-22 calores específicos molares de los, A-22 equipartición de energía para, A-22 Sonar, 343, 343 np Sonido y ondas sonoras, 322-45 calidad del, 334-35 corrimiento Doppler de, 338-42 fuente de, 329 ss intensidad de, 323, 325, 328-29 nivel de, 328 interferencia de, 335-37 rapidez del, 323 sistemas de, 598-99 tono de un, 332 ultrasónico, 323 Sonogramas, 343

Spin (de electrón), 574 Statcoulomb (unidad), 445 np Stefan-Boltzmann constante de, 399 ley (o ecuación) de, 399 Subamortiguamiento, 298 Subexpuesta, 698 Sublimación, 373 Succión, 262 Suma de velocidades, 62-64, 748 Superconductividad, 510 Superconductores de alta temperatura, 510 Superficies equipotenciales, 474-75 Superfluidez, 373 Superposición, principio de, 308-9, 334-35, 451-52 Surfactantes, 277 Sustentación dinámica, 273

T Tabla periódica (véase forro posterior) trigonométrica, A-9 TAC, exploración, 719 Tapa, apertura cuando está apretada, 359 Tasa de flujo, 268-69, 275 TC, exploración, 718-21 Técnica de ecopulso, 343-44 iterativa, 720 Tectónica de placas, 267 Telaraña, 293 Teléfonos celulares, 314, 621, 628 Telescopio(s), 706-8 amplificación de, 714-15 astronómico, 706-7 Espacial Hubble, 134 pr, 713 galileano, 708 kepleriano, 706 reflector, 707 refractor, 706 resolución de, 714-15 terrestre, 708 Televisión, 473- 485-86, 626-28 por cable, 628-29 y radio por satélite, 628 Temperatura, 352 ss absoluta, 361-63 Celsius (o centígrada), 355-56, 362-63 cero absoluto de, 362 coeficiente de temperatura de resistividad, 502 corporal, 356, 395 crítica, 372, 510 de Curie, 574 de operación (de una máquina térmica), 416 de transición, 510 diferencias con el calor y la energía interna, 386 efecto sobre la presión de una llanta, 366 efecto sobre las reacciones químicas, 371

Fahrenheit, 355-56 Kelvin, 355, 362 interpretación molecular de la, 367-71 operación de máquina térmica y, 416 reacciones químicas y, 371 Tendón de Aquiles, 250 pr Tenis, servicio de, 70 pr, 169, 173 Tensión en una cuerda, 86-87, 111 superficial, 276-78 térmica, 361 Teorema de Pitágoras, 50, A-8 Teoría (en general), 2-5 aceptación de, 2-3 atómica, 352-54 (véase también Átomo; Teoría cinética) calórica, 385 cinética, 352, 367-71, 395 postulados de la, 368 cuántica, 727 de la relatividad (véase Relatividad) electrodébil, 128 especial de la relatividad, 726-49 impacto de la, 748-49 postulados de la, 730-31 ondulatoria de la luz, 664-95 Tercera ley de la termodinámica, 420 np Térmico(a) aislamiento, 396, 397 conductividad, 396 contaminación, 430-31 depósito, 410 equilibrio, 357 ventana(s), 397 Terminal (de batería), 495 Termistor, 502 Termodinámica, 408-38 ley cero de, 357 primera ley de, 408-14 segunda ley de, 424-29 tercera ley de, 420 np Termografía, 402 Termómetro(s), 354-7, 502 de gas a volumen constante, 356-57 de líquido en gas, 355 de tira bimetálica, 355 Termostato, 379 pr Terremotos, 304, 305, 306, 313 Tesla (unidad), 559 TFT, transistor de película delgada, 689 Tiempo constante de, 536, 602 dilatación del, 734-37 estándar de, 9 flecha del, 427 propio, 736 Tierra y aterrizaje, eléctrico, 497, 539-41

Índice

A-49

www.elsolucionario.org Timbre, 334 de puerta, 567 Timina, 460-61 Tomografía axial computarizada, 719 Tóner, 462 Tono de un sonido, 332 Torca, 203-8 (def, 204) contra, 593-94 en equilibrio, 228-29 herramientas que producen, 203 sobre lazo de corriente, 570 Toroide, 574-75, 580 Torr, 261 Torricelli, Evangelista, 261, 262, 272 teorema de, 272 Trabajo, 136-67 a partir de máquinas térmicas, 416-21 comparado con calor, 408 definición de, 137 en la primera ley de la termodinámica, 408 ss energía, principio, 141,44, 148, 156, 157 mediante torca, 212-13 negativo, 139 por gas en expansión, 411-12 relacionado con energía, 141-58 sustancia de, 417 unidades de 137 Transformación de Lorentz, A-25 – A-26 galileana de velocidad, A-24 – A-25 galileana, A-23 – A-26 masa energía, 744-7 Transformador(es), 595-97, 608 de bajada, 596 de subida, 596 Transistor de película delgada (TFT), 689 Tránsito rápido, 42 pr

A-50

Índice

Transmisión de energía eléctrica, 595-97 estéreo, FM, 627 np TRC, tubo de rayos catódicos, 485-86, 628 Triangulación, 13 Tubo(s) abierto, 332 cerrado, 332, 333 de rayos catódicos (TRC), 485-86, 628 flujo en, 275-76 Turbina, 430 Tuzas, suministro de aire, 274

U Ultracentrifugadora, 116-17 Ultrasonido y formación de imágenes médicas, 343-45 Unidad(es) (véase también forro frontal) conversión de, 10-11 de masa atómica (unificada), 9, 353 de medición, 8-11, 76 electrostática (ESU), 445 np SI, 8-10, 76 (véase también forro frontal) derivadas en el, (véase forro frontal) UV, luz ultravioleta, 671

V Valor(es) Dulong y Petit, A-22 efectivos, 507 R, 397 Vapor (def) 373 presión de, 374 Vaporización, calor de, 392 Variables de estado, 409 Vector(es), 20, 45-53, 84, 85, 447-49 componentes de, 49-53 resolución de, 49-53

resta de, 48-49 resultantes (def), 46-48 suma de, 46, 447-49 Vector, componentes de un, 49-53 Velocidad(es), suma de, 62-4, 748 Velocidad, 21-23 angular, 196 ss, 215-16 instantánea, 196 promedio, 196 velocidad lineal y, 197, 199 de deriva, 509 de la luz, 619, 622-23, 729-31, 743 de ondas, 302 de oscilador armónico simple, 295 del sonido, 323 gradiente de, 274 instantánea, 23 lineal, 197, 199 molecular, y su relación con la temperatura, 370 promedio, 21-22 relativa, 62-64, 748 rms, 370 selector de, 572-73 suma de, 62-64, 748 suma relativista de, 748 supersónica, 342-43 terminal, 32 np Ventaja mecánica, 89, (def, 229) de elevador hidráulico, 260 Ventanas térmicas, 397 Ventanas pérdida de calor a través de las, 396 térmicas, 397 Venturi medidor 274 tubo de, 274 Viaje espacial, dilatación del tiempo y, 737 Vibración, 286-300, 301 como fuente de onda, 301, 329-34 de columnas de aire, 329-34

de cuerdas, 310-12, 329-34 forzada, 299 LC, 608 molecular, 387 Vida bajo el hielo, 360 Viento corrientes oceánicas y, 397 instrumentos de, 331-35 molino de, 431 pérdida de calor y, 397 ruido del, 334 Vigas, 243 Viscosidad, 268, 274-75 coeficiente de, 274 Visión submarina, 704 Volt (unidad), 472 Volta, Alessandro, 472, 494 Voltaje (def), 472 caída de, 500 (def, 529) cálculo del, 535 en diente de sierra, 537 divisor de, 525 en terminales, 520-22 (def, 521) medición del, 541-45 pico, 506-7 rms, 507 Voltímetro, 541-45 VOM, 543

W Watson, J. D. 718 Watt como unidad, 158, 503 James, 158 np Weber (unidad), 586 Wheatstone, puente de, 551 pr

Y YBCO, compuesto

de itrio, bario, cobre y oxígeno, 510 Young experimento de doble rendija de, 668-71 módulo, 237-38, 239 Thomas, 668

CRÉDITOS DE FOTOGRAFÍAS Página de título Art Wolfe/Getty Images, Inc. 1-01 Erich Lessing/Art Resource, N.Y. 1-02a, 1-02b Franca Principe/Istituto e Museo di Storia della Scienza 1-03 Franca Principe/Istituto e Museo di Storia della Scienza 1-04b Antranig M. Ouzoonian, P.E./Weidlinger Associates, Inc. 1-06a, 1-06b Douglas C. Giancoli 1-08a Oliver Meckes/Eye of Science/MaxPlanck-Institut-Tubingen/Photo Researchers, Inc. 1-08b Douglas C. Giancoli 1-09 Adolfo Viansson 1-10a Douglas C. Giancoli 1-14 David Parker/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. 1-15 The Image Works 2-16 SuperStock, Inc. 2-18 Harold E. Edgerton/Palm Press, Inc. 3-19 Richard Megna/Fundamental Photographs 3-27c Douglas C. Giancoli 4-04 Bettmann/Corbis 4-05 Gerard Vandystadt/Agence Vandystadt/Photo Researchers, Inc. 4-07 David Jones/Photo Researchers, Inc. 4-37 Lars Ternblad/Getty Images, Inc.–Image Bank 4-39 Kathleen Schiaparelli AC-5 Earth Imaging/Getty Images Inc.–Stone Allstock 5-35 Daniel L. Feicht/ Cedar Fair L.P. AC-6 Al Bello/Getty Images, Inc.–Liaison 6-21 Harold E. Edgerton/Palm Press, Inc. 6-42 CORBIS BETTMANN AC-7 Richard Megna/Fundamental Photographs 7-15 D.J. Johnson 7-18 Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. 8-36 AP/Wide World Photos 9-01 AP/Wide World Photos 9-21 Douglas C. Giancoli 9-28a Douglas C. Giancoli 9-28b Galen Rowell/Mountain Light Photography, Inc. 9-30 Douglas C. Giancoli 9-33 Douglas C. Giancoli 9-34a Consejo Italiano de Turismo AC-10 Verlinden, Vic/Getty Images, Inc.–Image Bank 10-10 CORBIS BETTMANN 10-19a-R, 10-19b-R, David Hazen 10-33a Lester V. Bergman/CORBIS BETTMANN 10-33b Biophoto Associates/Photo Researchers, Inc. 10-36 Alan Blank/Bruce Coleman, Inc. AC-11 I Fundamental Photographs AC-11 D Jonathan Nourok/PhotoEdit 11-11 Photo Researchers, Inc. 11-13 Douglas C. Giancoli 11-17 Taylor Devices, Inc. 11-19a AP/Wide World Photos 11-19b Corbis/Sygma 11-20 Douglas C. Giancoli 11-27 Art Wolfe/Getty Images, Inc.–Stone Allstock 11-37 Douglas C. Giancoli 11-42 Visuals Unlimited AC-12 Fra Angelico, Linaioli Altarpiece, detalle Museo di San Marco, Florencia, Italia. Scala/Art Resource, N.Y. 12-25b SETTLES, GARY S./Photo Researchers, Inc. 12-28a P. Saada/Eurelios/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. 12-28b Howard Sochurek/Medical Images, Inc. 12-38 Dallas & John Heaton/CORBIS BETTMANN 13-03 Bob Daemmrich/Stock Boston 13-04a, 13-04b, 13-04c Franca Principe/Istituto e Museo di Storia della Scienza 13-06 Leonard Lessin/Peter Arnold, Inc. 13-28 Kennan Harvey/Getty Images, Inc.–Stone Allstock 14-14a, 14-14b Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. 14-16 Phil Degginger/Color-Pic, Inc. 15-10a, 15-10b, 15-10c Leonard Lessin/Peter Arnold, Inc. 15-20a Sandia National Laboratories 15-20b Martin Bond/Science Photo Library/Photo Researschers, Inc. Tabla 15-4 (en sentido de las manecillas del reloj desde arriba a la derecha) Ed Degginger/Color-Pic, Inc; Michael Collier; Malcolm Fife/Getty Images, Inc.–Photodisc; Inga Spence/Visuals Unlimited 15-25 Geoff Tompkinson/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. 15-26 Inga Spence/Visuals Unlimited 15-27 Michael Collier 16-36 Michael J. Lutch/Boston Museum of Science 16-43 Dr. Gopal Murti/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. AC-17 Gene Moore/Phototake NYC 17-17 Tom Pantages/Tom Pantages 17-18 Custom Medical Stock Photo, Inc. 18-01 J. L. Charmet/Science Photo Library/Photo Researchers 18-06b Dave King/Dorling Kindersley Media Library 18-16 Tony Freeman/PhotoEdit 18-18 Barbara Filet/Tony Stone Images 18-32 Jerry Marshall/Jerry Marshall 18-34 Scott T. Smith/Corbis/Bettmann; www.corbis.com/Scott T. Smith/Corbis Images 18-36 Jim Wehtje/Getty Images, Inc.—Photodisc. 19-24 Departamento de Radiología Clínica, Salisbury District Hospital/SPL/Photo Researchers, Inc.; Departamento de Radiología Clínica, Salisbury District Hospital/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. AC-20 Chris Rogers/ Rainbow; © 2000 Chris Rogers/Rainbow 20-01 No identificado/Dorling Kindersley Media Library; © Dorling Kindersley 20-04a Stephen Oliver/Dorling Kindersley Media Library; Stephen Oliver © Dorling Kindersley 20-06 Mary Teresa Giancoli 20-08a Richard Megna/Fundamental Photographs 20-50 Clive Streeter/Dorling Kindersley Media Library; Clive Streeter © Dorling Kindersley AC-21 Richard Megna/Fundamental Photographs 21-21 Joe Raedle/Getty Images, Inc—Liaison 21-27b Pete Saloutos/Corbis/Bettmann 22-21 World Perspectives/Getty Images, Inc.—Stone Allstock AC-23 Mulvehill/The Photo Works 23-9a Mary Teresa Giancoli/Mary Teresa Giancoli; Mary Teresa Giancoli y Suzanne Saylor 23-9b Paul Silverman/Fundamental Photographs 23-21 Mary Teresa Giancoli 23-28b S. Elleringmann/Bilderberg/ Aurora & Quanta Productions, Inc. 23-30 Douglas C. Giancoli y Howard Shugat 23-46 Mary Teresa Giancoli AC-24 Dave King/Dorling Kindersley Media Library; Dave King © Dorling Kindersley 24-13 Science Photo Library/David Parker/Photo Researchers 24-31b Ken Kay/Fundamental Photographs 24-33 Bausch & Lomb Incorporated 24-51 Texas Instruments Incorporated 24-55 Pekka Parviainen/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. 25-04 Mary Teresa Giancoli 25-07 Leonard Lessin/Peter Arnold 25-18 Franca Principe/Istituto e Museo di Storia della Scienza, Florencia, Italia 25-20 Yerkes Observatory 25-21c Palomar/Caltech 25-21d Roger Ressmeyer/Starlight 25-23b Olympus America Inc. 25-28 Reproducido con el permiso de M. Cagnet, M. Francon, and J. Thrier, The Atlas of Optical Phenomena. Berlin: Springer-Verlag, 1962. 25-31 Space Telescope Science Institute 25-32 National Astronomy &

A-51

Ionosphere Center, Cornell University, Arecibo, Puerto Rico 25-36 Fotografía de W. Friedrich/Max von Laue. Burndy Library, Dibner Institute for the History of Science y Technology, Cambridge, Massachusetts. 25-40 Rosalind Franklin/Photo Researchers 25-44a Martin M. Rotker/Martin M. Rotker 25-44b Simon Fraser/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. AC-26 Cambridge University Press; “The City Blocks Became Still Shorter” de la página 4 del libro, “Mr Tompkins in Paperback” de George Gamow. Reimpreso con el permiso de Cambridge University Press. 26-11 Cambridge University Press; “Unbelievably Shortened” de la página 3 de “Mr Tompkins in Paperback” de George Gamow. Reimpreso con el permiso de Cambridge University Press.

A-52

Créditos de fotografías

www.elsolucionario.org

4

2s2

2s1

4s2

4s1

3d14s2

Símbolo Masa atómica§

Cl 17

Número atómico

B

5 C

6 N

7 O

5s2

5s1

88.90585

4d15s2

3d 34s2

3d 54s1

51.9961 3d 54s2

54.938049 3d 64s2

55.845 3d 74s2

6s2

6s1

3d 84s2

58.933200 58.6934

4d25s2

91.224 4d45s1

92.90638 4d55s1

95.94 4d55s2

(98) 4d75s1

101.07 4d85s1

5d26s2

178.49 5d36s2

180.9479 5d46s2

183.84 5d56s2

186.207 5d66s2

190.23

de lantánidos

de actínidos

†Serie

‡Serie

7s2

(226)

8 F

(262) 6d37s2

3p3

3p4

32.066

9 Ne 10 2p6

3p5

35.4527

3p6

39.948

16 Cl 17 Ar 18

2p5

18.9984032 20.1797

3d 104s2

65.39 4p1

69.723

5d76s2

192.217

195.078 5d96s1

6d47s2

(266) 6d 57s 2

(264) 6d 67s 2

(269) 6d 77s 2

(268)

(271) 6d 9 7s1

4d105s1

107.8682

4d105s2

112.411

6d 10 7s1

(272)

111

5d106s1

196.96655

6d 10 7s 2

(277)

112

5d106s2

200.59

204.3833 6p1

5p2

118.710

5p3

4p4

78.96

4p5

79.904

6p2

207.2

208.98038 6p3

5p4

127.60

5p5

126.90447

5p6

131.29

53 Xe 54

4p6

83.80

6p4

(209)

6p5

(210)

6p6

(222)

83 Po 84 At 85 Rn 86

121.760

81 Pb 82 Bi

114.818 5p1

4p3

74.92160

49 Sn 50 Sb 51 Te 52 I

4p2

72.61

5d16s2

4f 35d 06s2

140.90765

144.24

6d17s2

6d27s2

(227.02775) 232.0381 5f 26d 17s2

(231)

(145) 4f 55d 06s2

150.36 4f 65d 06s2

151.964 4f 75d 06s2

157.25 4f 75d16s2

4f 95d 06s2

158.92534

162.50

164.93032

167.26

168.93421

173.04

174.967 4f 105d 06s2 4f 115d 06s2 4f 125d 06s2 4f 135d 06s2 4f 145d 06s2 4f 145d 16s2

5f 36d 17s2

238.0289

5f 46d 17s2

(237)

5f 66d 07s2

(244)

5f 76d 07s2

(243)

5f 76d 17s2

(247)

5f 96d 07s2

(247)

5f 106d 07s2

(251)

5f 116d 07s2

(252)

5f 126d 07s2

(257)

5f 136d 07s2

(258)

5f 146d 07s2

(259)

5f 146d 17s2

(262)

92 Np 93 Pu 94 Am 95 Cm 96 Bk 97 Cf 98 Es 99 Fm 100 Md 101 No 102 Lr 103

4f 45d 06s2

Ac 89 Th 90 Pa 91 U

140.115 4f 15d16s2

138.9055

La 57 Ce 58 Pr 59 Nd 60 Pm 61 Sm 62 Eu 63 Gd 64 Tb 65 Dy 66 Ho 67 Er 68 Tm 69 Yb 70 Lu 71

6d27s2

(261)

3p2

30.973761

15 S

2p4

15.9994

§Los valores de masa atómica están promediados sobre los isótopos en los porcentajes que se registran en la superficie de la Tierra. Para elementos inestables, la masa del isótopo conocido de vida más larga se proporciona entre paréntesis. Revisiones 2003. (Véase también el apéndice B).

7s1

(223)

3d 104s1

63.546

78 Au 79 Hg 80 Tl

4d105s 0

106.42

77 Pt

102.90550

Fr 87 Ra 88 89−103‡ Rf 104 Db 105 Sg 106 Bh 107 Hs 108 Mt 109 Ds 110

137.327

132.90545

3p1

26.981538 28.0855

14 P

2p3

14.00674

23 Cr 24 Mn 25 Fe 26 Co 27 Ni 28 Cu 29 Zn 30 Ga 31 Ge 32 As 33 Se 34 Br 35 Kr 36

50.9415

22 V

Cs 55 Ba 56 57−71† Hf 72 Ta 73 W 74 Re 75 Os 76 Ir

87.62

85.4678

3d 24s2

47.867

2p2

12.0107

Al 13 Si

2p1

3p5

Configuración electrónica (sólo capas externas)

10.811

35.4527

39 Zr 40 Nb 41 Mo 42 Tc 43 Ru 44 Rh 45 Pd 46 Ag 47 Cd 48 In

44.955910

Rb 37 Sr 38 Y

40.078

39.0983

19 Ca 20 Sc 21 Ti

3s2

3s1

K

24.3050

22.989770

Na 11 Mg 12

9.012182

3 Be

6.941

Li

1s2

2

1s1

He

Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo Grupo III IV V VI VII VIII 4.002602

1

Elementos de transición

1.00794

H

Grupo Grupo I II

Tabla periódica de los elementos§

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Longitud de onda (m) 3 × 10 4 m

3 × 10 −8 m

3 × 10 −4 m

3m

Infrarrojo

60 Hz

AM radio

(corriente ca)

10 2

10 4

10 6

Ultravioleta Luz visible

Ondas de radio

Microondas (por ejemplo, radar) FM TV

TV

C. 2-6

C. y por arriba

3 × 10 −12 m Rayos gamma Rayos X

Teléfonos TV por celulares satélite

10 8

Frecuencia (Hz)

10 10

10 12

10 14

10 16

l = 7.5 × 10 −7 m f = 4 × 10 14 Hz

Luz visible

10 18

10 20

4.0 × 10 −7 m 7.5 × 10 14 Hz

FIGURA 22-8 Espectro electromagnético

Radio directo Observador

A

Rayo dirigido ligeramente hacia abajo

B E l ra

a)

FIGURA 24-4 a) Espejismo en la carretera. b) Dibujo (enormemente exagerado) que ilustra los frentes de onda y los rayos para explicar los espejismos en las carreteras. Note cómo las secciones de los frentes de onda cerca del suelo se mueven más rápidamente y por eso están más separados.

b)

yo B

parec e pro venir de a

quí

Blanco

2.0 mm 3.5 mm FIGURA 24-11 Las franjas de primer orden son un espectro completo, como un arco iris. Vea el ejemplo 24-3.

IR

UV λ

400 nm f 7.5 ⫻ 10 14 Hz

500 nm 6 ⫻ 10 14 Hz

FIGURA 24-12 El espectro de la luz visible, que muestra el rango de frecuencias y longitudes de onda (en el aire) de los diversos colores.

600 nm 5 ⫻ 10 14 Hz

700 nm 4 ⫻ 10 14 Hz

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FIGURA 24-13 La luz blanca que pasa a través de un prisma se descompone en sus colores constitutivos.

lanca

Luz b

Pared o pantalla

Ro An jo Amaaranjad Ve rillo o Azurde Viol l eta

FIGURA 24-15 Luz blanca dispersada por un prisma en el espectro visible.

Luz de

l Sol

Rojo Anaranjado

Violeta

El observador ve estos dos rayos (no están a escala)

Amarillo Verde

Luz del So l

o Roj

Azul Violeta

Violeta Rojo

a)

b)

FIGURA 24-16 a) Diagrama de rayos que explica cómo se forma un arco iris b).

m=2

m=2m=1 m=1

700 nm

400 700 nm nm m=2

Arco iris (más débil)

400 nm

m=0

Ambas l a)

m=1 m=1m=2

400 nm

m=2

700 400 nm nm

700 nm

m=1

m=0

m=1

m=2

Arco iris

Blanco

Arco iris

Arco iris (más débil)

FIGURA 24-26 Espectros producidos por una rejilla; a) dos longitudes de onda, 400 y 700 nm; b) luz blanca. El segundo orden normalmente será menos brillante que el primer orden. (No se muestran órdenes mayores.) Si el espaciamiento de la rejilla es lo suficientemente pequeño, el segundo orden y los órdenes superiores se perderán.

b)

Hidrógeno atómico

Mercurio

Sodio

Espectro de absorción solar FIGURA 24-28 Espectros de línea para los gases indicados, y espectro del Sol que muestra líneas de absorción.

a) FIGURA 24-29 Patrones de interferencia de película delgada vistos en a) pompas de jabón, b) una película delgada de agua jabonosa y c) una delgada capa de aceite en el agua de un charco callejero.

b)

c)

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FIGURA 24-35 Lente recubierta. Note el color de la luz reflejada en la superficie frontal de la lente.

a)

b) FIGURA 24-47 Fotografías de un río a) cuando se permite que toda la luz entre a la lente de la cámara y b) con el uso de un polarizador. El polarizador se ajusta para absorber la mayor parte de la luz (polarizada) que se refleja en la superficie del agua, lo que permite que la luz más tenue proveniente del fondo del río, y cualquier pez que se encuentre ahí, se vean con mayor facilidad.

Electrodos transparentes (vertical) Filtros de color

Transistor de película delgada (TFT) [si es matriz activa]

Vidrio Observador

Fuente de luz Vidrio Segundo polarizador

Polarizador

Celdas de cristal líquido

Electrodos transparentes (horizontal)

FIGURA 24-53 Construcción de capa básica para un LCD de computadora o de pantalla de televisión. Todo pixel contiene tres celdas (subpixeles), cada uno con un filtro rojo, verde o azul. Una pantalla de matriz activa tiene transistores de película delgada y es más compleja.

a)

b)

Pixel de color

Electrodos FIGURA 25-2 Porción de un sensor CCD típico. Un grupo cuadrado de cuatro pixeles RV VA a veces se llama “pixel de color”.

Objeto

Pixeles

Imagen

Blanco Negro Blanco

FIGURA 25-3 Suponga que se toma una fotografía que incluye una delgada línea negra (el objeto) sobre un fondo blanco. La imagen de esta línea blanca tiene un halo colorido (rojo arriba, azul abajo) debido al ordenamiento en mosaico de los pixeles de filtro de color, como lo muestran los otros colores transmitidos. En general, la computadora permite minimizar los problemas de color como éste (el verde en la parte superior e inferior de la imagen se promedia con los pixeles cercanos para dar blanco o casi blanco), pero la imagen, en consecuencia, se “suaviza” o se vuelve borrosa. Los pixeles de color en capa descritos en el texto evitarían este artefacto.