Física Para Universitarios Volumen II, 3ra Edición - Douglas C. Giancoli

ISA

PARA

UNIVERSITARIOS

DOUGLAS C. GIANCOLI www.FreeLibros.me

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Constantes fundamentales Velocidad de Ia luz en el vacIo C Constante gravitatoria G NOmero de Avogadro NA Constante de gas R

Constante de Boltzmann k Carga de electrOn e Constante de Stefan-Boltzmann U Permisividad del espacio libre = (1/cp0) Permeabilidad del espacio libre Constante de Planck h Masa en reposo del electrOn me

3.00 X 10 m/s 6.67 >< 10 Nm2/kg2 6.02 >< 1023 moLt

2.99792458 X 108m/s 6.67259(85) X 10 Nm2/kg2 6.0221367(36) x 1023 moL'

8.315 J/mol K = 1.99 cal/molK = 0.082 atm liter/molK 1.38 x 10-23 J/K

8.314510(70) J/molK 1.380658(12) x 10_23 J/K

1.60 x 10'9C

1.60217733(49) >< 10'C 5.67051(19) X 108W/m2K4 8.854187817... )< 10'2C2/Nm 1.2566370614... 3< 106Tm/A

5.67 )< 108W/m2K4 8.85 x 10_12 C2/Nm2

4it x 10 Tm/A 6.63 x 10

Js

6.6260755(40) 3< 10 Js 9.1093897(54) 3< 10 kg = 5.48579903(13) >< i0 u 1.6726231(10) x 10-27 kg = 1.007276470(12) u 1.6749286(10) x 10-27 kg = 1.008664904(14) u 1.6605402(10) x 10-27 kg = 931.49432(28) MeV/c2

9.11 x io' kg = 0.000549 u = 0.511 Me V/c2

Masa en reposo del proton Masa en reposo del neutrOn

1.6726 x 10 kg = 1.00728 u = 938.3 MeV/c2 1.6749 x 10-27 kg = 1.008665 u

Masa atómica unitaria (1 u)

= 939.6 Me V/c2 1.6605 x 10-27 kg = 931.5 Me V/c2

,np

*Revisado en 1993 por B. N. Taylor del National institute of Standards and Technology. Los ndmeros en pardntesis indican una desviaciOn estándar en incertidumbre experimental en los dlgitos finales. Los valores sin pardntesis son exactos (es decir. son c.antidades definidas).

Otros dabs ñtiles

El alfabebo griego

Equivalente en joules (1 cal) Cero absoluto (0 K)

4.186J

Masa

-273.1 5°C 5.97 x 1024 kg 6.38 X iU km 7.35 x 1022 kg

Radio (medio)

1.74 x iO km

Masa

1.99 x 1030 kg

Tierra: Masa Radio (medio) Luna: Sol:

Radio (medio) Distancia Tierra a Sol (medio) Distancia Tierra a Luna (medio)

6.96 >< i0 km 149.6 X 106 km

384 )< i0 km

Alfa Beta Gamma Delta Epsilon

A

a

B

/3

F L

E

£

Zeta Eta Theta Iota Kappa Lambda

Z

N

'j

Nu Xt Omicron

0

o

B

Pt

II P

p

Sigma Tau

T

T

9

Upsilon

Y

u

I K

t

X

x

A

A

Phi Chi Psi

M

p.

Omega

11

H

0

Mu

Valores de algunos nümeros e

= =

3.1415927 2.7182818

\'2 = =

1.4142136 1.7320508

In 2

=

In 10 =

0.6931472 2.3025851

log10e = 0.4342945

1 rad =

57.2957795°

Signos y sImbolos matemáticos es proporcional a es igual a es aproximadamente igual a no es igual a es mayor que es mucho mayor que es menor que es mucho menor que

es menor que o igual a es mayor que o igual a suma de valor promedio de x cambio en x Ar tiende a cero 0!

,o(n-1)(n-2) .. . (1)

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Rho

'I'

&/i

w

Conversiones de unidades (Equivalentes) Tiempo 1 pulg = 2.54 cm 1 cm = 0.394 pulg 1 pie = 30.5 cm 1 m = 39.37 pulg. = 3.28 pie 1 mi = 5280 pie = 1.61 km

1 dIa = 8.64 X 104s

I año = 3.156 X i0 s

1 km = 0.621 mi 1 mulla naOtica (U.S.) = 1.15 mi = 6076 pie = 1.852 km

1 fermi = I fentómetro (fm) = iO' m 1 angstrom (A) = 10-10 m 1 aflo luz (al) = 9.46 x i0' m 1 parsec = 3.26 al = 3.09 x 1016 m

1 unidad de masa atómica (u) = 1.6605 X 10-27 kg 1 kg = 0.0685 slug [1 kg tiene un peso de 2.20 lb donde g = 9.81 ni/s2.]

1 lb = 4.45 N

1 N = io dma = 0.225 lb 1 litro (L) = 1000 mL = 1000 cm3 = 1.0 X i0 m3 = 1.057 quart (U.S.) = 54.6 pulg3 I galOn (U.S.) = 4 qt (U.S.) = 231 pulg3 = 3.78 L = 0.83 gal (Imperial) 1 m3 = 35.31 pie3

I J = 1O ergs = 0.738 pielb 1 pielb = 1.36 J = 1.29 x iO Btu = 3.24 X lO kcal I kcal = 4.18 >< lO J = 3.97 Btu

1eV = 1.602 x 109J

1 kWh = 3.60 x 106 J = 860 kcal

1 mi/h = 1.47 pie/s = 1.609 km/h = 0.447 ni/s 1 km/h = 0.278 m/s = 0.621 mi/h 1 ftls = 0.305 m/s = 0.682 mi/h 1 m/s = 3.28 pie/s = 3.60 km/h 1 knot = 1.151 mi/h = 0.5144 m/s

p 1 W = 1 J/5 = 0.738 pie lb/s = 3.42 Btu/h

I hp = 550 pielb/s = 746W n

i

1 atm = 1.013 bar = 1.013 x i0 N/ni2 = 14.7 lb/pulg2 = 760 torr 1 lb/pulg2 = 6.90 X i0 N/m2 I Pa = I N/m2 = 1.45 X iO lb/pulg2

1 radian (rad) = 57.30° = 57°18' 1° = 0.01745 rad I rev/mm (rpm) = 0.1047 rad/s

Unidades SI derivadas y sus abreviaturas

Multiplicadores métricos Er tér,niros de

Canlidail

Jnidad

Abrevi at u ra

Fuerza EnergIa y trabajo Potencia Presión Frecuencia Carga eléctrica Potencial eléctrico Resistencia eléctrica Capacitancia Campo magnetico Flujo magnético Inductancia

newton joule watt pascal hertz coulomb volt ohm farad tesla weber henry

N J W

Pa Hz C V

F

T Wb H

unidades baset

kgm/s2 kgm2/s2 kgm2/s3 kg/(ms2)

As kgm2/(As3) kgm2/(A2s3) A2s4/(kg m2) kg/(As2) kgm2/(As2) kgm2/(s2A2)

tkg = kilogramo (masa), rn = metro (Iongitud),s = segundo (tiempo),A = amperio (corriente elOctrica).

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exa

peta tera

E P T

10

10° 1012

giga

0

iU

mega kilo hecto deka deci centi

M

106

k

iO

h

102

da d

101

c

10-2

miii

m

micro nano pico femto atto

p.

n

l0 106 i0

p

10-12

f

a

10

10°

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FISICA

para UNIVERSITARIOS

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Volumen II

FISICA para

UNIVERSITARIOS Tercera edición

TRADUCCION: José de Ia Cera Alonso Profesor titular, Departamento de JngenierIa Universidad Autónoma Metropolitana, Plan tel A zcapotzalco

José de Jesus Castro Peña Profesor titular, Area de FIsica Universidad Autónoma Metropolitana, Plantel Azcapotzalco

REVISION TECNICA: Jorge Alberto Lomas Treviflo Profesor del Departamento de FIsica I. T E. S. M. Campus Monterrey

Francisco Rodriguez Abrego Profesor del Departamento de FIsica I. TE.S.M. Campus Monterrey Con Ia colaboraciOn especial de Mauricio Bastien Montoya Coordinador del Area de FIsica Universidad AutOnoma Metropolitana, Plantel Azcapotzalco

Pearson Educación MEXICO ARGENTINA BRASIL COLOMBIA COSTA RICA CHILE ESPAIA GUATEMALA PERU PUERTO RICO VENEZUELA

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Datos de catalogaciOn bibliográfica

GIANCOLI, DOUGLAS C. F'Isica para universitarios PEARSON EDUCACION, Mexico, 2002 ISBN: ISBN: 970-26-0133-9 Area: Universjtarjos Formato: 21 x 27 cm

Páginas: 472

Authorized translation from the English language edition, entitled Physics Volume II. For Scientists & Engineers with Modern Physics,Third Edition by Douglas C. Giancoli, published by Pearson Education Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyrigth © 2000. All rights reserved. ISBN 0-13-021519-8

Traducción autorizada de Ia edicibn en idioma ingles, titulada Physics Volume II. For Scientists & Engineers with Modern Physics, Third Edition, por Douglas C. Giancoli, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como PRENTICE HALL INC., Copyrigth © 2000.Todos los derechos reservados Esta edicibn en espanol es Ia (mica autorizada. Original English language title by Prentice Hall Inc. Copyright © 2000 All rights reserved ISBN 0-13-021519-8

Edición en espaliol Editora: Leticia Gaona Figueroa e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Jorge Bonilla Talavera Supervisor de producciOn: José D. Hernindez Garduno Edición en inglés Editor-in-Chief: Paul F. Corey Production Editor: Susan Fisher Executive Editor: Alison Reeves Development Editor: David Chelton Director of Marketing: John Tweedale Senior Marketing Manager: Erik Fahlgren Assistant Vice President of Production and Manufacturing: David W. Riccardi Executive Managing Editor: Kathleen Schiaparelli Manufacturing Manager: Trudy Pisciotti Art Manager: Gus Vibal

Director of Creative Servies: Paul Belfanti Advertising and Promotions Manager: Elise Schneider Editor in Chief of Development: Ray Mullaney Project Manager: Elizabeth Kell Photo Research: Mary Teresa Giancoli Photo Research: Administrator Melinda Reo Copy Editor: Jocelyn Phillips Editorial Assistant: Marilyn Coco Cover photo: Onne van der Wal/Young America Composition: Emilcomp srI/Prepare Inc.

TERCERA EDICION, 2002 DR. © 2002 por Pearson EducaciOn de Mexico, S. A. de C. V. Calle 4 No. 25-2do. piso Fracc. Industrial Alce Blanco 53370 Naucalpan de Jubrez Edo. de Mexico

Cbmara Nacional de Ia Industrial Editorial Mexicana. Reg. Nbm. 1031 Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson EducaciOn de Mexico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni a totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacibn de informaciOn, en ninguna forma ni por ningOn medio, sea electrOnico, mecánico, fotoquImico, magnCtico o electroóptico, por fotocopia, grabacion o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prCstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también Ia autorizacibn del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0133-9

Pearson

Educación

Impreso en Mexico. Printed in Mexico

1234567890

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05040302

CONTENIDO, VOLUMEN I

-

CINEMATICA EN I)OS DIMENSIONES; VECTORES

3-1 .1

3-2 3-3 3-4 - 4 3-5 3-6 3-7 3-8

3-9 -.i 3-10 PREFACIO NOTAS A ESTUDIANTES Y PROFESORES SOBRE EL FORMATO

Vectores y escalares Suma de vectores; método 1+4i grafico Resta de vectores . y multiplicación de un vector por un escalar Suma de vectores por componentes F{41itP...t'h 'i!4C Vectores unitarios Cinemática vectorial :--.a, de un proyectil Movimiento ResoluciOn de problemas implican 1iO. que )P.Q1L3 el movimiento de unrj..: proyectilU -J Movimiento circular uniforme Velocidad relativa

.*

RESUMEN 68 PROBLEMAS70

Xvii

45 45 46

48 48 52 53 55

58 63 66

PREGUNTAS 69 PROBLEMAS GENERALES 74

Xxviii

INTRODUCCION, MEDICIONES, 1-1

1-2 1-3

1-4 1-5 1-6 * 1-7

EsTIIv1AcIor'as

1

La naturaleza de la ciencia Modelos,TeorIas y Leyes Medición e incertidumbre; cifras significativas Unidades, Estándares y el Sistema SI Conversion de unidades Orden de magnitud: Estimaciones rápidas Dimensiones y análisis dimensional

2

RESUMEN 13 PROBLEMAS 14

4 6 8 9 12


DEsciuPcION DEL MOVIMIENTO: CINEMATICA EN UNA DIMENSION 16 2-1

2-2 2-3 2-4 2-5

2-6 2-7 * 2-8

Marcos de referencia y desplazamiento Velocidad promedio Velocidad instantánea Aceleración Movimiento bajo aceleración constante Resolución de problemas CaIda de objetos Uso del ci1culo; aceleraciOn variable RESUMEN 38 PROBLEMAS39

2

3


17 18

20 23 26 28 31 36

DINArvEICA: LEYE5 DEL MOVIMEENTO DE NEWTON 4-1 41 4-2 .34 4-3 4-4 4-5 4-6

4-7

Fuerzat': Primera ley de Newton Masa Segunda ley del movimiento de Newton Tercera ley del movimiento de Newton Peso; la fuerza de la gravedad y la fuerza normal Resolución -- de problemas con las leyes -j cuerpo libre de Newton; diagramas de Resolución de problemas. Un enfoque general

4

1

4-8

I.:

77 77 78 79 80 82 85

88

-


96 PREGUNTAS 97 )i fl -. GENERALES L PROBLEMAS 103 ,.

VII

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TRABAJO Y ENERGIA 7-1

7-2 7-3 7-4

* 75

Trabajo hecho por una fuerza constante Producto escalar de dos vectores Trabajo hecho por una fuerza variable EnergIa cinética y el principio trabajo-energfa EnergIa cinética a muy alta velocidad RESUMEN 170 PROBLEMAS 171

APLICACIONES ADICIONALES DE LAS LEYES DE NEWTON 5-1

5-2 5-3 * 5-4 * 5-5

Aplicaciones de las leyes de Newton a problemas con fricciOn I... L... Dinámica del movimiento circular ir uniforme -Curvas carreteras, con y sin 'i. inclinaciOn transversal --- Movimiento circular no uniforme Fuerzas depend ientes de la velocidad; .41.4 terminal velocidad RESUMEN £_.'::-'

124 PROBLEMAS 125

6-3

6-4 6-5 6-6 6-7 * 6-8

6-9

164 169


106 114

118 121

IJ

122

CONSERVACION DE LA ENERGIA 176

Ley de Newton de Ia gravitación universal Forma vectorial de la ley de Ia gravitaciOn universal de Newton Gravedad cerca de la superficie de la Tierra; aplicaciones geofIsicas Satélites e "ingravidez" Leyes de Kepler y sintesis de Newton Campo gravitacional Tipos de fuerzas en Ia naturaleza Masa gravitacional versus masa inercial; el principio de equivalencia Gravitación como curvatura del espacio; agujeros negros

133

8-1

133

8-2 8-3

136

8-4

137 139

8-5 8-6

143

146 147 148

149 RESUMEN 150 PREGUNTAS 150 PROBLEMAS 151 PROBLEMAS GENERALES 153

viii

161


DE NEWTON

6-2

156 159

106

GRAVITACION Y SINTESIS 6-1

155

8-7 8-8 * 8-9

Fuerzas conservativas y no conservativas EnergIa potencial EnergIa mecánica y su conservación Resolución de problemas usando la conservaciOn de Ia energIa mecánica La ley de la conservaciOn de Ia energIa ConservaciOn de Ia energIa con fuerzas disipativas: ResoluciOn de problemas Energfa potencial gravitacional y velocidad de escape Potencia Diagramas de energIa potencial; equilibrio estable e inestable RESUMEN 198 PROBLEMAS 200

Contenido

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177 178

182 184 189 190 192 195

197 PREGUNTAS 199 PROBLEMAS GENERALES 204

MOMENTUM* LINEAL Y COLISIONES

206

Momentum lineal y su relaciOn con la fuerza Conservación del momentum lineal 9-2 Colisiones e impulso 9-3 Conservación de la energIa 9-4 y del momentum lineal en las colisiones Colisiones elásticas en una dimension 9-5 Colisiones inelásticas 9-6 Colisiones en dos o tres dimensiones 9-7 Centro de masa (CM) 9-8 Centro de masa y movimiento traslacional 9-9 * 9-10 Sistemas de masa variable; propulsion de cohetes 9-1


211

214 214 217 219 221 225


227

281

283 285 287 288 290 291 292


240 243 244

246 247

249 250 254 256 260

262 268


EQUILIBRIO ESTATICO;

ELASTICIDAD y ncrii& 12-1

F

279 280

239

Cantidades angulares Ecuaciones cinemáticas para movimiento rotacional uniformemente acelerado 10-3 Rodamiento (sin resbalamiento) 10-4 Naturaleza vectorial de las cantidades angulares 10-5 Torca 10-6 Dinámica rotacional; torca e inercia rotacional 10-7 Resolución de problemas en dinámica rotacional 10-8 Determinación de momentos de inercia 10-9 Momentum angular y su conservación 10-10 EnergIa cinética rotacional 10-11 Movimiento rotacional más traslacional; rodamiento * 10-12 ,Por qué se detiene una esfera rodante? 10-1 10-2

,r

206 208

Producto cruz vectorial El vector torca Momentum angular de una partIcula Momentum angular y torca para un sistema de partIculas 11-5 Momentum angular y torca para un cuerpo rIgido * 11-6 Desbalanceo rotacional 11-7 ConservaciOn del momentum angular * 11-8 El trompo giratorio * 11-9 Marcos de referencia rotacionales; fuerzas de inercia * 11-10 El efecto Coriolis 11-1 11-2 11-3 11-4


MOVIMIENTO ROTACIONAL ALREDEDOR DE UN EJE FIJo


279

ROTACION GENERAL

12-2 12-3 12-4 12-5

12-6 * 12-7 * 12-8

Estática; el estudio de fuerzas en equilibrio Las condiciones de equilibrio Resolución de problemas de estática Estabilidad y equilibrio Elasticidad y módulos elásticos; esfuerzo y deformaciOn unitaria Fractura Armaduras y puentes Arcos y cOpulas (domos) RESUMEN 321 PROBLEMAS 322

300 301 303 308 309 312 315 319


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300

ix

332

FLUIDoS Densidad y peso especIfico Presión en fluidos Presión atmosférica y presión manométrica 13-4 Principio de Pascal 13-5 MediciOn de la presiOn; manómetros y el barómetro 13-6 FlotaciOn y el principio de Arqufmedes 13-7 Fluidos en movimiento; razón de flujo y la ecuación de continuidad 13-8 Ecuación de Bernoulli 13-9 Aplicaciones del principio de Bernoulli: de Torricelli a botes de vela, perfiles de alas, y AlT (ataque isquémico transitorio) * 13-10 Viscosidad * 13-11 Flujo en tubos: ecuación de Poiseuille * 13-12 Tension superficial y capilaridad * 13-13 Bombas y el corazón 13-1 13-2 13-3


332 333 337 337

338 340 343 345

347 350 351 351 353


MOVIMIIENTO ONDULATO1UO Caracterfsticas del movimiento ondulatorio 15-2 Tipos de ondas 15-3 EnergIa transportada por ondas 15-4 Representación matemática de una onda viajera * 15-5 La ecuación de onda 15-6 El principio de superposiciOn 15-7 ReflexiOn y transmisión 15-8 Interferencia 15-9 Ondas estacionarias. Resonancia * 15-10 Refracción * 15-11 DifracciOn 15-1


362

OscILAcIoNEs 14-1 14-2 14-3 14-4

14-5 * 14-6

14-7 14-8

Oscilaciones de un resorte Movimiento armOnico simple (MAS) EnergIa en el oscilador armOnico simple Movimiento armOnico simple relacionado con el movimiento circular uniforme El péndulo simple El péndulo fIsico y el péndulo de torsion Movimiento armónico amortiguado Vibraciones forzadas; resonancia RESUMEN 380 PROBLEMAS 381

x

:' PREGUNTAS 381

363 364 369 371 371 373 374 378

16-3 16-4 * 16-5 16-6 If 16-7 * 16-8 * 16-9

PROBLEMAS GENERALES 386

Contenido

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396 399 401 402 404 -,4_ 4405 r 408 410

417

CaracterIsticas del sonido Representación matemática de ondas longitudinales Intensidad del sonido; decibeles Fuentes del sonido: cuerdas vibrantes y columnas de aire Calidad del sonido y ruido Interferencia de las ondas de sonido; pulsos El efecto Doppler Ondas de choque y el estampido sónico Aplicaciones; sonar, ultrasonido, y formaciOn de imagenes por ultrasonido RESUMEN 438 PROBLEMAS 439

389 391 395

PREGUNTAS 411 PROBLEMAS -rL GENERALES 415

S0ND0 16-1 16-2

388

417 419 420 424 429 429 432 435 437


CALOR Y LA PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

485

Calor como transferencia de energIa EnergIa interna Calor especufico Calorimetria. Resolución de problemas Calor latente La primera ley de la termodinámica Aplicación de la primera ley de la termodinámica; cálculo del trabajo 19-8 Calores especificos molares para gases y la equiparticiOn de energIa 19-9 ExpansiOn adiabática de un gas 19-10 Transferencia de calor: conducción, convecciOn, radiación

485 487 488 489 490 493

19-1 19-2 19-3 19-4 19-5 19-6 19-7

TEMPERATURA, EXPANSION TERMICA Y LEY DEL GAS IDEAL 17-1

TeorIa atómica de la materia

-1,I-i rcfl.-r jr.'i: ii

446 4 447

f_. Temperatura y termómetros 17-2

Equilibrio térmico y la ley cero de la termodinámica t. Expansion térmica 17-4 I 1wii;:ø * 17-5 Esfuerzos térmicos Ii Lc, Las los gases y Ia temperatura 17-6 L,a leyes de absoluta 17-7 La ley del gas ideal i 41i con la t ley 17-8 Resolución de problemas del gas ideal 'L términos t..Tfr 17-9 Ley de un gas ideal en de moléculas; nümero de Avogadro * 17-10 Escala de temperatura de un gas ideal; un estándar 17-3

I ifL'

i


445

454 t. 456 457 459 460


TEORIA CINETICA DE LOS GASES 466 18-1 18-2 18-3 * 18-4 * 18-5 * 18-6 * 18-7

La ley del gas ideal y la interpretaciOn 466 molecular de la temperatura Distribución de las velocidades moleculares 470 473 Gases reales y cambios de fase 474 Presión del vapor y la humedad 477 Ecuación de estado de van der Waals 478 Trayectoria libre media 479 Difusión RESUMEN 481 PROBLEMAS 482


449 450 S.. 454

498 502


SEGUN1A LEY DE LA

516

TERMODINAMICA La segunda ley de la termodinámica. IntroducciOn 20-2 Máquinas térmicas 20-3 Procesos reversibles e irreversibles. Máquina de Carnot 20-4 Refrigeradores, acondicionadores de aire y bombas de calor , 20-5 EntropIa EntropIa y la segunda 20-6 ':-jiiJi' ley c-.. de Ia termodinámica 1L 20-7 De orden a desorden Disponibilidad de energIa; 20-8 '&muerte térmica * 20-9 InterpretaciOn estadIstica de la entropla y Ia segunda ley * 20-10 ?-Tj Escala termodinámica de la temperatura; 1: la H - cero absoluto, y la tercera ley de termodinámica 20-1

516 517

b

520

-

525 528

(1L1 ijk

529 533

Ii1idJ':i i

534 535

rizth1.

iw-.;

ç 539

RESUMEN PROBLEMAS 540

r 3'

537


PREGUNTAS 481

PROBLEMAS GENE RALES 484

495

APENDICES

A-i

Formulas matemáticas Derivadas e integrales Fuerza gravitatoria debido a una distribución esférica de la masa Isótopos seleccionados RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES INDICE CREDITOS DE LAS FOTOGRAFuAS

A-4 A-6 A-9

A-14 A-25 A-39 Contenido

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xi

CONTENIDO DEL VOLUMEN II POTENCIAL ELECTRICO 23-1

23-2 23-3

23-4 23-5 23-6 23-7 23-8 * 23-9

CARGA ELECTRICA Y CAMPO ELECTRICO

Potencial eléctrico y diferencia de potencial RelaciOn entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico Potencial eléctrico debido a cargas puntuales Potencial debido a cualquier distribución de cargas Superficies equipotenciales Dipolos eléctricos DeterminaciOn de E a partir de V EnergIa potencial electrostática; el electron volt Tubo de rayos catOdicos: monitores de TV y computadoras, osciloscopios 607 PROBLEMAS 608

RESUMEN

545

Electricidad estática; carga eléctrica y su conservación 21-2 Carga eléctrica en el átomo 21-3 Aisladores y conductores 21-4 Carga inducida; el electroscopio 21-5 Ley de Coulomb 21-6 El campo eléctrico 21-7 Cálculo del campo eléctrico para distribuciones continuas de carga 21-8 LIneas de campo 21-9 Campos eléctricos y conductores 21-10 Movimiento de una partIcula con carga en un campo eléctrico 21-11 Dipolos eléctricos

591 591

595 597

599 600 601 602 603


21-1


558 561 562 564 565


LEY DE GAUSS 22-1 22-2 22-3 * 22-4

546 547 547 548 549 554

CAPACITANCIA, DIELECTRICOS, ALMACENAMIENTO DE ENERGIA ELECTRICA 613

575

Flujo eléctrico Ley de Gauss Aplicaciones de Ia ley de Gauss Base experimental de la ley de Gauss y Ia ley de Coulomb

576 578 580

586

RESUMEN 586 PREGUNTAS 587 PROBLEMAS 587 PROBLEMAS GENERALES 590

24-1 24-2 24-3 24-4 24-5 * 24-6

Capacitores Determinación de Ia capacitancia Capacitores en serie y en paralelo Almacenamiento de energIa eléctrica Dieléctricos Descripción molecular de los dieléctricos RESUMEN 627 PROBLEMAS 628

xii Contenido

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613 614 617 620 621

624


CORRIENTE ELECTRICA Y RESISTENCIA La baterIa eléctrica Corriente eléctrica Ley de Ohm: resistencia y resistores Resistividad Potencia eléctrica Potencia en los circuitos residenciales Corriente alterna 25-8 An1isis microscópico de Ia corriente eléctrica: densidad de corriente y velocidad de deriva * 25-9 Superconductividad 25-10 Riesgos de Ia corriente eléctrica; corrientes de fuga 25-1 25-2 25-3 25-4 25-S 25-6 25-7


634

-

,S

635 636 638 640 642 644 645

- _-.r-1

___.__ r.-t-

-.

647 650

MAGNETISMO

651


--

i--

27-1 27-2

27-3

27-4 27-5 * 27-6

27-7 * 27-8 * 27-9

686

Imanes y campos magnéticos Las corrientes eléctricas producen magnetismo Fuerza de una corriente eléctrica en un campo magnético; definición de B Fuerza en una carga eléctrica que se mueve en un campo magnético Par en una bobina de corriente; momento de un dipolo magnético Aplicaciones: galvanómetros, motores y bocinas Descubrimiento y propiedades del electron Efecto Hall EspectrOmetro de masa RESUMEN 702 PROBLEMAS 704

686 689 689

692 695

697 699 701 702


FUENTES DE CAMPO MAGNETICO 709 Campo magnético debido a un alambre recto 28-2 Fuerza entre dos alambres paralelos 28-3 Definiciones operacionales de Ampere y Coulomb 28-4 Ley de Ampere 28-5 Campo magnético en un solenoide y en un toroide 28-6 Ley de Biot-Savart * 28-7 Materiales magnéticos; ferromagnetismo * 28-8 Electrojmanes y solenoides * 28-9 Campos magnéticos en materiales magnéticos; histéresis * 28-10 Paramagnetismo y diamagnetismo 28-1

CIRcuITos DE CD 26-1

26-2 26-3 26-4 * 26-5 * 26-6

FEM y voltaje en las terminales de una baterIa Resistores en serie y en paralelo Leyes de Kirchhoff Circuitos que contienen resistores y capacitores (circuitos RC) AmperImetros y voltimetros de CD Transductores y termopares RESUMEN 678 PROBLEMAS 679

658 659 660 664 669 674 676



710 710 712 712 716 719 722 723

724 725

PREGUNTAS 727 PROBLEMAS GENERA LES 732

Contenido

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xiii

INDUCCION ELECTROMAGNETICA

YLEYDEFARADAY

734

734 FEM inducida Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz 736 739 FEM inducida en un conductor mOvil 740 Generadores eléctricos * 29-5 Fuerza contraelectromotriz y contrapar; 742 corrientes parásitas 29-6 Transformadores y transmisión de energIa 744 29-7 Un flujo magnético variable produce 747 un campo eléctrico * 29-8 Aplicaciones de la inducción: sistemas de sonido, memorias para computadoras 749 sismografos 29-1

29-2 29-3 29-4


Cmcuiros DE CA


31-1 31-2 31-3 Espiras de alambre (en los que se induce Ia corriente) Polo norte

Polo snr

Corriente de entrada

Anillos colectores

Corriente de salida (inducida)

I

31-4 31-5 31-6 * 31-7 * 31-8

772 Introducción: circuitos de CA Circuitos de CA que sOlo contienen 773 resistencia R Circuitos de CA que solamente contienen 773 inductancia L Circuitos de CA que solamente contienen 774 capacitancia C 776 Circuito de CA tipo LRC en serie 780 Resonancia en los circuitos de CA 781 Acoplamiento de impedancias 782 CA trifásica RESUMEN 783 PROBLEMAS 784

//

Bobina

772


Giros

Rotor

EcuAcIoNEs DE MAXWELL

Conjunto estator

Y ONDAS ELECTROMAGNETICAS 787 32-1

INDUCTANCIA Y OSCILACIONES ELECTROMAGNETICAS 30-1 30-2 30-3 30-4 30-5 30-6

756 Incluctancia mutua 758 Inductancia propia o autoinductancia EnergIa almacenada en un campo magnético 760 762 Circuitos LR Circuitos LC y oscilaciones 764 electromagnéticas Oscilaciones con resistencia 766 (circuito RLC) RESUMEN 767 PROBLEMAS 768

xiv

756

Contenido

32-2 32-3 32-4 32-5

32-6 32-7 * 32-8 * 32-9


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Campos eléctricos variables producen campos magnéticos; ley de Ampere y corriente de desplazamiento Ley de Gauss para el magnetismo Ecuaciones de Maxwell Producción de ondas electromagnéticas Ondas electromagnéticas, y su rapidez, a partir de las ecuaciones de Maxwell La luz como onda electromagnética y el espectro electromagnético EnergIa en las ondas EM; el vector Poynting PresiOn de Ia radiación Radio y television RESUMEN 806 PROBLEMAS 807

788 791 792 792 794 798 800 802 803


ç,ta.t dw 4'n.t l.'.er rntwr

,n ft*. IS

on the object U, eumparison of pan ía) of A

I EL ihc LIJSICSI h

DE LA LUZ, INTERFERENCIA

- aJ ath' ,wtht.*jn

CI is viewed at the near point with Ic object subtends at the eye is much la/

angular magnification

NATUIRALEZA ONDULATORIA

w

In .hw thc 'a

or tnagnit)ing p

the nstio of the angle subtended by an object subtended using the unaidcd eye with the

t'?ti

je, ot 1tøbtotflIfiI

(25 cm for the normal eye):

t15-

where 9am] 9' axe shown in Fig. 25-13. T beal length f of the lens a follows. Sw

.c, " jnm, .-d ci

chc Inflt SI -

3a is at the near point N of the ey eye. Then the object disranu

4.1.

Li (*4 Si be

35-1 35-2 35-3

35-4 35-5 35-6 * 35-7 * 35-8

867 Principio de Huygens y difracción Principio de Huygens y la ley de refracción 867 Interferencia; experimento de Young 870 de la doble ranura 873 Coherencia Intensidad en el patron de interferencia 874 por doble ranura 877 Interferencia en pelIculas delgadas 881 Interferómetro de Michelson 882 Intensidad luminosa RESUMEN 883 PROBLEMAS 884

I" Ft. 24 of ,

866


Luz: REFLEXION Y REFRACCION 33-1 33-2

El modelo de rayo de luz La velocidad de la iuz y el Indice

33-3

Reflexión; formaciOn de imágenes mediante un espejo piano Formación de imágenes mediante espejos esféricos RefracciOn; ley de Snell Espectro visible y dispersion ReflexiOn total interna; fibras Opticas Refracción en una superficie esférica

33-4 33-5 33-6 33-7 * 33-8

de ref racciOn


Lentes delgadas; trazado de rayos La ecuaciOn de las lentes Combinación de lentes 34-4 Ecuación del fabricante de lentes 34-5 Cámaras 34-6 El ojo humano; lentes correctivas 34-7 Lente de aumento 34-8 Telescopios 34-9 Microscopio compuesto * 34-10 Aberraciones de lentes y espejos RESUMEN 860 PROBLEMAS 861

811 811

812 816 822 824 826 828


LENTES E INSTRUMENTOS OPTICOS 34-1 34-2 34-3

810

DWRAccION Y POLAREZACION 36-1 36-2 * 36-3

836 837 840 843 845 848 850 853 854 856 858


36-4 36-5

887

888 Difracción por una sola ranura Intensidad en el patrOn de difracción de una sola ranura 890 DifracciOn en el experimento de doble 893 ranura LImites de resoluciOn; aberturas circulares 896 Resolución de telescopios y microscopios;

898

el lImite A

Resolución del ojo humano y el aumento (itil 36-7 Rejillas de difracción * 36-8 El espectrOmetro y espectroscopIa * 36-9 Anchos de picos y potencia resolutiva de una rejilla de difracciOn * 36-10 Rayos X y difracciOn de rayos X 36-11 Polarización * 36-12 Dispersion de la luz por la atmósfera * 36-6


901

903 905 907 911


Contenido

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899 900

xv

APENDICES A A-i

TEORTA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

916

917 Relatividad galileana-newtoniana 919 El experimento de MichelsonMorley Postulados de la teorIa de Ia relatividad 922 especial 924 37-4 Simultaneidad 37-5 Dilatación del tiempo y la paradoja 926 de los gemelos 930 37-6 Contracción de la longitud 932 37-7 Espaciotiempo en cuatro dimensiones 37-8 Transformaciones de Galileo y de Lorentz 932 936 37-9 Masa y momento lineal relativIsticos 938 37-10 La velocidad lImite c 938 37-11 EnergIa y masa; E = mc2 942 37-12 Corrimiento Doppler para Ia luz 943 37-13 El impacto de la relatividad especial

37-1 * 37-2 37-3


xvi

FORMULAS MATEMATICAS

Ai Ai Ai Ai Ai

A-2 A-3 A-4 A-5 A-6 A-7 A-8

FOrmula cuadrática Desarrollo binomial Otros desarrollos Areas y volOmenes GeometrIa plaria Funciones e identidades trigonométricas Logaritmos Vectores

B

DERWADAS E INTEGRALES

A-5

C

FUERZA GRAVITATORLA DEBIDO A UNA DISTRIBUCION ESFERICA DE LA MASA

A-7

D

ISOTOPOS SELECCIONADOS

RESPUESTAS A PROBLEMAS IMPARES

INDICE CREDITOS DE FOTOGRAFI AS


Contenido

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A-2 A-2 A-3 A-3

Ail

Ai7 A-23 A-33

PREFACIO

Una tercera edición Han pasado más de diez años desde que se publicó Ia segunda ediciOn de este texto de fIsica basado en el cálculo. Mucho ha cambiado desde entonces, tanto en Ia fIsica misma como en su presentación. Los autores de este texto han investigado el proceso de enseñanza-aprendizaje, lo que les permite ayudar a los estudiantes para que aprendan fIsica y aprenderla bien.

Este libro mantiene el enfoque original: un estudio profundo de Ia fIsica, en concreto y sin dogmas, de fácil comprensiOn. Esta nueva tercera edición presenta muchas mejoras en Ia fIsica y sus aplicaciories.

Antes de analizar detalladamente estos cambios, presentamos una lista de varios cambios globales que atraerán su atenciOn en forma inmediata. Es importante indicar que el uso de diagramas en dos colores permite presentar Ia fIsica con

mayor claridad. Quiero recalcar que el uso de dos colores se usa pedagogicamente para preseritar a Ia fIsica con mayor claridad. Por ejemplo, tipos diferentes de vectores reciben diferentes colores.

Muchos más diagramas, casi el doble del nOmero en ediciones previas, se han elaborado nuevamente; hay muchas más gráficas y fotografIas por todo el texto. Vea por ejemplo Ia parte sobre óptica, donde nuevas fotograffas muestran lentes y las imágenes que ellas forman.

Notas al margen se han agregado como ayuda a los estudiantes para (i) senalar lo que es verdaderamente importante, (ii) servir como una especie de compendio, y (iii) ayudar a encontrar detalles acerca de algo mencionado después, que no pueda ser recordado fci1mente. Además de tales notas al margen "normales", se tienen también notas al margen que señalan breves sugerencias para Ia resolución de problemas y otras que señalan interesantes aplicaciones.

Las grandes Ieyes de Ia fisica son recalcadas dndoles una nota marginal en letras mayOsculas y encerrándolas en Un rectángulo. Las ecuaciones más importantes, especialmente aquellas que expresan las grandes Ieyes, se recalcan con una pantalla.

Las fotograflas de inicio de capItulo fueron seleccionadas para ilustrar aspectos de cada capI-

tub. Cada fotografIa fue escogida con Ia idea de escribir un pequeno encabezado que

sirviera como un tipo de resumen de bo que contiene ese capItulo, y a veces para ofrecer un reto. Algunas fotograflas de inicio de capItulo tienen vectores u otros análisis superpuestos en ellas.

Formato de las páginas: deri'aciones completas. Se presto mucha atenciOn al formato de cada página, especialmente a las vueltas de página. Gran esfuerzo se ha hecho en mantener las derivaciories y argumentos importantes en páginas frontales. Los estudiantes no tienen que voltear paginas para hacer verificaciones. Los lectores yen repetidamente frente a ellos, sobre dos páginas frontales, un importante aspecto de Ia fIsica.

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Nueva fIsica La idea detrás de una nueva edición es mejorar, presentar material nuevo y cancelar aquel material verboso que sOlo hace at libro ms largo o tat vez demasiado avanzado y no tan Otil. A continuaciOn damos un breve resumen de algunos de los cambios implIcitos en Ia propia fIsica. Estas listas son selecciones, no listas completas.

Nuevos descubrimientos: planetas girando a]rededor de estrellas distantes Telescopio espacial Hubble actualiza el tema de fIsica de partIculas y cosmologIa, con ejemplos como inflaciOn y Ia edad del universo

Temas agregados de Ia nueva fIsica: nuevo tratamiento de cOmo hacer estimaciones (capItulo 1), incluidos nuevos ejemplos de estimaciOn (en el capItulo 1, estimaciOn del volumen de un lago, y del radio de Ia Tierra) simetrIa usada mOs ampliamente, incluida en Ia resoluciOn de problemas nuevas tablas que ilustran amplios intervalos de longitudes, tiempos, masas, voltajes gravitaciOn como curvatura del espacio, y agujeros negros (capItulo 6) eficiencia de maquinas (capItulos 8 y 20) rodaniiento con y sin deshzamiento, y otros detatles Otiles del movimiento rotatorio (capItulo 10) fuerzas en estructuras, incluidas armaduras, puentes, arcos y ciipulas (capItulo 12) onda cuadrada (capItulo 15) uso de Ia distribuciOn de Maxwell (capItulo 18) ciclo de Otto (capItulo 20) cálculo estadIstico del cambio de entropIa en expansion libre (capItulo 20) efectos de dieléctricos en capacitores conectados y no conectados (capItulo 24) conexión a tierra para evitar accidentes eléctricos (capItulo 25) ca (corriente alterna) trifOsica (capitulo 31) igual energIa en E y B de una onda electromagnética (capItulo 32) presiOn de Ia radiaciOn, onda electromagnética (capItulo 32) fotografIas de lentes y espejos con sus imOgenes (capItulo 33) directrices detalladas para el trazado de rayos con espejos y lentes (capItulos 33 y 34) combinaciones de lentes (capItulo 34)

FIsica moderna. Varios temas de fIsica moderna son vistos en el marco de Ia fIsica clOsica. He aqul algunos: gravitación como curvatura del espacio, y agujeros negros (capItulo 6) planetas girando alrededor de estrellas lejanas (capItulo 6) energIa cinética a veLocidades relativistas (capItulo 7) colisiones nucleares (capItulo 9) colapso estelar (capItulo 10) corrimiento Doppler a! rojo de galaxias (capItulo 16) teorIa de Otomos (capItu!os 17, 18 y 21) teorIa atOmica de Ia expansion térmica (capItulo 17) masa del átomo de hidrOgeno (capItulo 17) átomos y moléculas en gases (capItulos 17 y 18) velocidades moleculares (capItulo 18) equiparticiOn de La energIa; calores especIficos molares (capItulo 19) tamaOo de las estrellas (capItulo 19) dipolos moleculares (capItulos 21 y 23) tubo de rayos catOdicos (capItulos 23 y 27) electrones en un alambre (capItulo 25) superconductividad (capItulo 25) descubrimiento y propiedades del electrOn, elm, experimento de Ia gota de aceite (capItulo 27) efecto Hall (capItulo 27) momento magnético de los electrones (capItulo 27)

xviii Prefacio

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espectrOmetro de masa (capItulo 27) selector de velocidades (capItulo 27) espIn del electron en materiales magnéticos (capItulo 28) luz y emisión de ondas electromagnéticas (capItulo 32) espectroscopIa (capItulo 36)

Muchos otros ejemplos de fIsica moderna se encuentran como Problemas, aun en los primeros capItulos. El capItulo 37 contiene los temas de fIsica moderna sobre relatividad especial.

FIsica revisada y reorganizaciones. Antes que nada, se ha hecho un gran esfuerzo en no presentar todo a los estudiantes en los primeros capItulos. Los temas básicos tienen que ser aprendidos primero; muchos otros aspectos pueden venir después, cuando los estudiantes estén ms preparados. Una gran parte de este libro se ha reescrito para hacerlo más claro y

entendible a los estudiantes. Más claro no siempre significa más simple o más Mcil. A veces, hacerlo más "fácil" en realidad lo hace más difIcil de entender. A menudo, un poco más de detalle, sin que resulte verboso, puede volver más clara una explicaciOn. Se indican a continuaciOn algunos de los cambios, grandes y pequefios, que se han introducido: graficas y diagramas nuevos para explicar los conceptos de velocidad y aceleraciOn; se analiza con sumo cuidado en desaceleración. conversiOn de unidades ahora en una nueva sección en el capItulo 1, para no interrumpir Ia cinemática. movimiento circular: el capItulo 3 da ahora sOlo lo básico, con un tratamiento más complicado posteriormente: movimiento circular no uniforme en el capItulo 5 y variables angulares en el capItulo 10.

Ia segunda ley de Newton Se escribe ahora siempre como ma = F, para enfatizar Ia inclusiOn de todas las fuerzas que acti.ian sobre un cuerpo. Ia tercera ley de Newton sigue directamente a Ia segunda, con los marcos de referencia inerciales tratados previamente. Nuevos análisis cuidadosos para evitar confusiones al usar Ia tercera ley de Newton. reescritura cuidadosa de los capItulos sobre Trabajo y EnergIa, especialmente energIa potencial, fuerzas conservativas y no conservativas, asI como Ia conservaciOn de Ia energIa. énfasis renovado en que T = ía no es siempre válida: sOlo para un eje fijo en un marco inercial 0 51 el eje pasa por el CM (capftulos 10 y 11). rodamiento introducido temprano en el capItulo 10, con más detalles posteriormente, incluyendo rodamiento con y sin deslizamiento. marcos de referencia rotatorios y Coriolis, se cambiaron al capItulo 11, se incluye Ia explicaciOn de porqué un objeto no cae en forma recta hacia Ia Tierra. fluidos, reducidos a un solo capItulo (13); algunos temas y detalles cancelados o muy acortados. detalles mOs claros sobre cOmo es que un objeto flota (capItulo 13). distinciOn entre interferencia de ondas en el espacio y en el tiempo (pulsos) (capItulo 16). termodinámica reducida a cuatro capItulos; los capitulos anteriores sobre Calor y Ia Primera Ley de Ia Termodinámica se han combinado en uno solo (19), con algunos temas acortados y una secuencia más racional de los temas. Ia transferencia de calor sigue ahora a Ia primera Icy de Ia termodinámlca (capitulo 19). el potencial eléctrico se reescribiO para darle mayor exactitud (capItulo 23). CRT, monitores de computadora, TV, que se trataron en Ia ediciOn anterior (capItulo 23). uso de Qr e Toer para las leyes de Gauss y Ampere, en que los subIndices significan "cerrado". Icy de Ohm y definiciOn de resistencia se reescribieron con sumo cuidado (capItulo 25).

fuentes de campo magnético, capItulo 28, reorganizado para un más fácil entendimiento, con algOn nuevo material y cancelación del tema avanzado sobre vector de magnetizaciOn. circuitos con L, C yb R presentados ahora en Ia regla de circuitos de Kirchhoff y aclarados también de otras maneras (capItulos 30 y 31). mejor presentaciOn de las ecuaciones de Maxwell, dndole menor importancia a Ia corriente de desplazamiento (capItulo 32). Optica reducida a cuatro capItulos; Ia polarizaciOn se presenta ahora en el mismo capItulo que Ia difracciOn.

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Nueva nedagogIa Todas las revisiones que se mencionaron con anterioridad, las secciones reescritas y las reorganizaciones, pretenden ayudar a los estudiantes a aprender mejor Ia fIsica. Fueron hechas en respuest.a a investigaciones contemporáneas acerca de cómo aprenden los estudiantes, asI como a generosos comentarios de profesores que leyeron, revisaron o usaron las ediciones previas. Esta nueva ediciOn también contiene nuevos elementos, especialmente un mayor énfasis en el desarrollo conceptual. Ejemplos conceptuales, tIpicamente 1 o 2 por capItulo, a veces más, son cada uno un tipo de breves pregunta y respuesta socrática. Se pretende que los estudiantes sean estimulados por Ia pregunta para pensar, o reflexionar y obtener una respuesta, antes de leer La respuesta dada. Se indican a continuación algunas de ellas: usando simetrIa (capItulo 1 y en otras partes) pelota rnoviéndose hacia arriba: ideas erróneas (capItulo 2) marcos de referencia y movimiento de un proyectil: dOnde cae La rnanzana? (capItulo 3) qué ejerce La fuerza que hace que un automóvil se mueva? (capItulo 4) acLaración de Ia tercera ley de Newton: jalando un trineo (capItulo 4) diagrama cle cuerpo libre para un disco de hockey (capItulo 4) ventaja de una polea (capItulo 4) y de una palanca (capItulo 12) empujar o jalar un trineo (capItulo 5) ,qué objeto rueda más rápido hacia abajo por una colina? (capItulo 10) moviendo el eje de una rueda en rotación (capItulo 11) colapso tragico (capItulo 12) dedo en Ia parte superior de un popote lleno (capItulo 13) tazas de succión en una nave espacial (capItulo 13) duplicando La amplitud de un MAS (capItulo 14) se expanden térmicamente los agujeros? (capItulo 17) proceso adiabático simple: estiramiento de una banda de hule (capItulo 19) carga dentro de la cavidad de un conductor (capItulo 22) cómo at estirar un alambre se cambia su resistencia (capItuLo 25) en serie o en paralelo (capftulo 26) brillo de un foco (capItulo 26) trayectoria espiral en un carnpo magnético (capItulo 27) practica con Ia Icy de Lenz (capItuLo 29) sobrecarga en un motor (capItulo 29) direcciOn de Ia fern en Ia inducciOn (capftuLo 30) efecto de Ia inductancia en circuitos simples (capItulo 30) fotografIa con reflexión; j,está de cabeza? (capItulo 33) rayos de Luz reversible (capItulo 33)

,,qué tan alto debe ser un espejo de longitud total? (capItuLo 33) dispersion de Ia difracciOn (capItulo 36)

Ejemplos de estimación, aproximadamente el 10% de todos los ejemplos, también una nueva caracterIstica de esta edición, pretenden desarrollar las habilidades necesarias para efectuar

estimaciones del orden de magnitud, aun cuando los datos son escasos y se podrIa haber pensado que era imposible obtener cualquier resultado. Vea, por ejemplo, Ia sección 1-6, ejemplos del 1-5 al 1-8.

xx

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Resolución de problemas con enfoques nuevos y mejorados Aprender cómo enfocar y resolver problemas es una parte básica de cualquier curso de

fIsica. Ella es en si misma una gran habilidad, pero es también importante porque el proceso ayuda al entendimiento de la fIsica. A La resoluciOn de problemas en esta nueva edición se le ha dado un mayor énfasis, incluyendo algunas nuevas caracterIsticas.

Los recuadros de resolución de problemas, aproxirnadamente 20 de ellos, son nuevos en esta edición. Estos se concentran mis en los primeros capItulos, pero se hallan en todo el libro. Cada uno indica un enfoque paso a paso para resolver problemas en general, yb especIfica-

mente para el material ahI tratado. Los mejores estudiantes pueden encontrar estos

"recuadros" innecesarios (los pueden pasar por alto), pero muchos otros hallarán de utilidad que se les recuerde el enfoque general y los pasos que se pueden tomar para iniciarse; yo pienso también que estos recuadros ayudan a los estudiantes a adquirir confianza. El recuadro general de resolución de problemas de Ia secciOn 4-8 se ha colocado ahI, después de que los estudiantes han obtenido cierta experiencia batallando con los problemas, y pueden entonces ser fuertemente motivados a leerlo con gran atención. La secciOn 4-8 puede, por supuesto, ser vista antes si asI se desea.

Las secciones de resolución de problemas se presentan en muchos capItulos y pretenden ofrecer destreza adicional en areas donde Ia resoluciOn de problemas es especialmente importante o detallacla.

Ejemplos. Esta nueva edición tiene muchos más ejemplos resueltos, y todos ellos tienen ahora tItulos para una referencia más fcil. Hay dos nuevas categorIas de ejemplo: conceptual y de estimación, como se describió en la página anterior. Los ejemplos reguiares sirven como "problemas de prctica". Se han agregado muchos nuevos ejemplos, algunos de los viejos se han eliminado, y muchos han sido reformulados para ofrecer mayor claridad y detalle: más pasos se han incluido, mis de "porqué lo hacemos de esta manera", y se ha proporcionado un mayor análisis del enfoque. En suma, Ia idea es "pensar en voz alta con Los estudiantes", conduciéndolos a desarrollar una mayor penetraciOn en su análisis. El nUmero total de ejemplos resueltos es aproximadamente 30% mayor que en Ia ediciOn previa, con un promedio de 12 a 15 por capItulo. Hay una mayor concentraciOn considerable de ejempbs en los primeros capItulos, donde Ia destreza es especialmente importante para desarrollar habilidades y una variedad de enfoques. El nivel de los ejemplos resueltos para Ia mayorIa de los temas se incrementa gradualmente, con los ms complicados correspondiendo a los problemas más difIciles al final de cada capItulo, de manera que los estudiantes puedan ver cOmo enfrentar los problemas más complejos. Muchos de los nuevos ejemplos y las mejoras a los viejos proporcionan importantes aplicaciones a Ia ingenierIa, a otros campus relacionados y a Ia vida diana.

Los problemas al final de cada capItulo han sido considerablemente aumentados en calidad y cantidad. Hay más de 30% de problemas que en Ia segunda edición. Muchos de los problemas viejos han sido reemplazados o reescritos para hacerlos más claros yb sus valores

numéricos han sido cambiados. Cada capItulo contiene un grupo grande de problemas

arreglados por Sección y clasificados de acuerdo con su dificultad; los problemas del nivel I son simples, disenados para dar confianza al estudiante; los del nivel II son problemas "normales" que ofrecen un mayor reto y a menudo Ia combinaciOn de dos conceptos diferentes; los del njvel III son los més complejos, combinando temas diferentes, y serán difIciles aün

para los mejores estudiantes. El arreglo por nümero de Sección significa sOlo que esos Problemas dependen del material visto hasta esa sección inclusive: cabe esperar encontrar en ellos material de secciones previas. La clasificaciOn de los problemas por dificultad (I, II, III) pretende ser sOlo una guIa.

Problemas generales. Aproximadamente 70% de los problemas están clasificados por nivel de dificultad (I, II, III) y arreglados por secciOn. Nuevo a esta ediciOn son los Problemas generales que no están clasificados y si agrupados juntos al final de cada capitulo; éstos representan aproximadamente el 30% de todos los problemas. El nUmero total promedio de problemas por capItubo es aproximadamente de 90. Las respuestas a problemas con nOmero impar se dan al final del libro.

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xxi

Cobertura completa de la fIsica, con o'ciones Este libro pretende dar a los estudiantes Ia oportunidad de obtener una base sólida en todas las areas de la fIsica fundamental. Hay gran flexibilidad en Ia selecciOn de temas, de manera que los profesores pueden escoger cuáles cubrir y cuáles omitir. Las secciones marcadas con un asterisco se pueden considerar opcionales, como se explicó con más detalle más adelante. Aqul quiero recalcar que los temas no vistos en clase pueden ser leIdos por los buenos estudiantes para su propio beneficio, ya sea inmediatamente o después. Se da a continuaciOn una lista parcial de temas de la fIsica; no son los comunes, sino temas que podrIan usualmente no ser cubiertos y esto da idea de cuán completo es este libro en la cobertura de la fIsica basica. Los nümeros de secciories están dados en parentesis. uso del cdlculo; aceleración variable (2-8)

movimiento circular no uniforrne (5-4) fuerzas dependientes de Ia velocidad (5-5) masa gravitatoria versus masa inercial; principio de equivalencia (6-8) gravitaciOn como curvatura del espacio; agujeros negros (6-9) energIa cinética a muy alta velocidad

(7-5)

diagramas de energIa potencial (8-9) sistemas de masa variable (9-10) movimiento rotatorio más traslacional (10-11) uso de £TCM = 'CM aCM (10-11) derivaciOn de K = KCM + Krot (10-11) ,porque se desacelera una esfera en rodamiento? (10-12) momento angular y par de torsion para un sistema (11-4) derivaciOn de

11CM'

=

TCM

(11-4)

desequilibrio rotatorio (11-6) trompo en rotación (11-8) marcos de referencia rotatorios; fuerzas inerciales (11-9) efecto Coriolis (11-10) armaduras (12-7) flujo en tubos: ecuación de Poiseuille (13-11) tension superficial y capilaridad (13-12) péndulo fIsico; péndulo de torsion (14-6) movimiento armOnico amortiguado: soluciOn del inismo (14-7) vibraciones forzadas; ecuaciOn de movimiento y solución; valor Q (14-8)

ecuación de onda (15-5) representaciOn matemática de ondas; derivaciOn de Ia onda de presión (16-2) intensidad del sonido relacionado con Ia amplitud (16-3) interferencia en el espacio y en el tiempo

(16-6)

teorIa atómica de Ia expansiOn (17-4) esfuerzos térmicos (17-5) escala de temperaturas de un gas ideal (17-10)

base experimental de las leyes de Gauss y Coulomb (22-4) relación general entre potencial eléctrico

y campo eléctrico (23-2,23-8)

campos eléctricos en dieléctricos (24-5) descripciOn molecular de dieléctricos

(24-6)

ley de Gauss en dieléctricos (24-7) densidad de corriente y velocidad de deriva (25-8) superconductividad (25-9) circuitos RC (26-4) uso de voltImetros y amperImetros; efectos del aparato de medida (26-5) transductores (26-6) momento dipolar magnético (27-5) efecto Hall (27-8) definiciOn operacional de ampere y coulomb (28-3) materiales magnéticos; ferromagnetismo

(28-7)

electroimanes y solenoides (28-8) histéresis (28-9) paramagnetismo y diamagnetismo (28-10) fuerza contraelectromotriz y torque; corrientes parásitas (29-5) ley de Faraday, forma general (29-7) Ia fuerza debido a B variable no es conservativa (29-7) circuitos LC y oscilaciones EM (30-5) resonancia CA; osciladores (31-6) adaptación de impedancias (31-7) CA trifásica (31-8) los cambios eléctricos variables producen campos magnéticos (32-1) velocidad de la luz a partir de las ecuaciones de Maxwell (32-5) presiOn de la radiación (32-8) fibras Opticas (33-7) combinaciones de lentes (34-3) aberraciones de lentes y espejos (34-10) coherencia (35-4) intensidad en el patrOn de doble ranura

cOlculos usando Ia distribuciOn de Maxwell

(35-5)

gases reales (18-3) presiOn de vapor y humedad (18-4)

36-5)

de velocidades moleculares (18-2)

ecuaciOn de estado de van der Waals (18-5)

trayectoria libre media (18-6) difusión (18-7) equiparticiOn de la energIa (19-8) disponibilidad de energIa; muerte térmica

(20-8)

interpretación estadIstica de la entropIa y segunda ley (20-9) escala de temperatura termodinámica; cero absoluto y tercera ley (20-10)

xxii

dipolos eléctricos (21-11,23-6)

Prefaclo

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intensidad luminosa (35-8) IImites de resolución, el IImite 1(36-4, intensidad para ranura simple (36-2) difracciOn para ranura doble (36-3)

resolución del ojo humano y amplificaciOn

ütil (36-6)

espectroscopIa (36-8) anchos de picos y potencia resolutiva para una red de difracción (36-9) rayos x y difracciOn de rayos x (36-10) dispersiOn de Ia luz por La atmOsfera

(36-12)

Nuevas aDlicaciones Las aplicaciones importantes a la vida diana, a Ia ingenierIa, y a otros campos como Ia geologla y Ia medicina, motivan a los estudiantes y ofrecen al instructor Ia oportunidad de mostrar la importancia de Ia fIsica. Las aplicaciones son una buena respuesta a los estudiantes que preguntan: ",Porque estudiar fIsica?" Muchas nuevas aplicaciones se han agregado en esta edición. Se dan a continuaciOn algunas de ellas: bolsas de aire (cap. 2) elevador y contrapeso (cap. 4) frenos antibloqueo (cap. 5) satélites geosIncronos (cap. 6) disco duro y rapidez en Ia transmisión de bits (cap. 10) colapso de una estrella (cap. 10)

solenoides y electroimanes (cap. 28) memoria de computadora e informaciOn digital (cap. 29) sismOgrafo (cap. 29) grabación en cinta (cap. 29)

fuerzas en armaduras, puentes, arcos,

antenas, para E o B (cap. 32) TV y radio; AM y FM (cap. 32) ojo y lentes correctivos (cap. 34) espejismos (cap. 35) indicadores de cristal liquido (cap. 36)

cCipulas (cap. 12)

ci Titanic (cap. 12) principio de Bernoulli: alas, veleros, TIA,

trampas de plomerfa y pasos laterales (cap. 13) bombas (cap. 13)

red divisora (de frecuencias) de bocinas (cap. 31)

Algunos temas clásicos (y mejorados):

resortes de suspension para automóviies, amortiguadores, amortiguadores sIsmicos para edificios (cap. 14)

manOmetros (cap. 13) instrumentos musicales (cap. 16) humedad (cap. 18)

bocinas (caps. 14, 16 y 27) cámaras con enfoque automático (cap. 16) sonar (cap. 16)

(caps. 23 y 27) riesgos eléctricos (cap. 25)

formaciOn de imágenes por ultrasonido (cap. 16) esfuerzos térmicos (cap. 17)

valores R, aislamiento térmico (cap. 19) motores (cap. 20) bombas de calor, refrigeradores, CA; coeficiente de rendimiento (cap. 20) contaminaciOn térnilca (cap. 20) protección eléctrica (caps. 21, 28) fotocopiadora (cap. 21) cables superconductores (cap. 25)

arranque de un automóvil con acumulador auxiliar (cap. 26) aurora boreal (cap. 27)

CRT, TV, monitores de computadoras potencia en circuitos caseros (cap. 25) amperfmetros y voltImetros (cap. 26) micrOfonos (caps. 26 y 29)

transductores (cap. 26 y en otras partes) motores eléctricos (cap. 27) aiternador de automóvil (cap. 29) transmisiOn de energIa eléctrica (cap. 29) capacitores como filtros (cap. 31) equilibrado de impedancias (cap. 31) fibras Opticas (cap. 33) cámaras, telescopios, microscopios, otros instrumentos ópticos (cap. 34) recubrimientos de lentes (cap. 35) espectroscopla (cap. 36)

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Enfoque general Este libro ofrece una presentación profunda de la fIsica y retiene el enfoque básico de las ediciones anteriores. En vez de usar el enfoque comOn, árido y dogmatico de tratar los temas formal y abstractamente primero y solo luego relacionar el material con La propia experiencia del estudiante, mi enfoque es reconocer que Ia fIsica es una descripciOn de Ia realidad y comenzar asi cada tema con observaciones y experiencias concretas que los estudiantes puedan captar directamente. Luego pasamos a las generalizaciones y tratamientos más formales del tema. Esto no solo hace más interesante y fácil de entender al material, sino que es más cercano a la manera en que Ia fisica es realmente practicada. Esta nueva ediciOn, más aOn que las previas ediciones, intenta explicar Ia fIsica de manera leIble e interesante que además sea accesible y clara. Se trata de enseñar a los estudiantes anticipando sus necesidades, pero sin sobresimplificar. La fIsica está todo alrededor de nosotros. Ciertamente, la meta de este libro es ayudar a los estudiantes a "ver el mundo a través de ojos que conozcan Ia fIsica". Como se mencionó antes, este libro incluye un amplio rango de ejemplos y aplicaciones

de tecnologIa, ingenierIa, arquitectura, ciencias terrestres, ciencias ambientales, biologla, medicina y de Ia vida diana. Algunas aplicaciones sirven sOlo como ejemplos de priricipios fIsicos. Otros ejemplos son tratados en profundidad. Pero las aplicaciones no dominan el texto; éste es, después de todo, un libro de fIsica. Ellas han sido cuidadosamente escogidas e integradas en el texto para no interferir con el desarrollo de la fIsica, sino más bien para ilustrarla. Las aplicaciones están integradas directamente a Ia fIsica. Para facilitar la localizaciOn de las aplicaciones, se ha colocado en el margen (excepto donde los diagramas en el margen lo impiden) una nueva nota marginal denotada FIsica aplicada. Se supone que los estudiantes han estudiado cálculo o que lo estn tomando en forma concurrente. El cálculo se trata primero en forma simple, usualmente en una sección optativa para rio recargar a los estudiantes que toman cOlculo concurrentemente. Por ejemplo, el uso de integrales en cinemOtica, capItulo 2, es una sección opcional. Pero en el capItulo 7 sobre trabajo, La integral es plenamente analizada para todos los lectores. A través de todo el texto se usan las unidades del Systeme International (Sistema Internacional/SI). Otras unidades, métricas y británicas, se definen con propósito informativo. Cuidadosa atención se da a las cifras significativas. Cuando un cierto valor se da como, digamos, 3, con sus unidades, esto quiere decir 3; no se supone que sea 3.0 o 3.00. Cuando queremos decir 3.00, escribimos 3.00. Es importante que los estudiantes sean conscientes de Ia incertidumbre en cualquier valor medido y no sobreestimen la precisiOn de un resultado numérico. En vez de comenzar este libro de fIsica con un capItulo sobre matemáticas, he incorpo-

rado mOs bien muchas herramientas matemticas, tales como suma y multiplicación vectorial directamente en ci texto donde primero se requieren. AdemOs, los apéndices contienen un repaso de muchos temas matemáticos tales como identidades trigonometricas, integrales y el desarrollo del binomio. Un tema avanzado se da también en un apéndice: Ia integraciOn para obtener la fuerza gravitatoria debido a una distribución esférica de Ia masa. Siento que es necesario poner una cuidadosa atención a los detalles, especialmente en Ia obtenciOn de un resultado importante. He tratado de incluir todos los pasos de una derivaciOn y también he tratado de aclarar cuOles ecuaciones son generales y cuáles no, indicando expiIcitamente los lImites de ecuaciones importantes por medio de corchetes colocados junto a las ecuaciones, por ejemplo:

x = x0 + v0t +

at2.

[aceleración constante]

Una detallada introducciOn a las leyes de Newton y su uso es de crucial importancia pedagOgica. Los muchos nuevos ejemplos resueltos incluyen inicialmente algunos bastante simples que proporcionan un cuidadoso anáiisis paso a paso de cOmo proceder al resolver problemas de dinámica. Cada ejemplo sucesivo agrega un nuevo elemento o un nuevo aspecto que introduce mayor complejidad. Espero que esta estrategia permita incluso a los menos bien preparados estudiantes adquirir las herramientas para usar las leyes de Newton correc-

tamente. Si los estudiantes no superan esta dificultad crucial, el resto de la fIsica puede permanecer para siempre mOs allO de su comprensiOn. El movimiento rotatorio es difIcil para la mayonIa de los estudiantes. Como ejemplo de atenciOn a Los detalles (aunque esto no es realmente un "detalle"), he distinguido cuidadosamente el vector posiciOn (r) de un punto y Ia distancia perpendicular de ese punto desde un

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eje, que se le llama R en este libro (yea la Fig. 10-2). Esta distinciOn que aparece particular-

mente en conexiOn con el torque, el momento de inercia y el momento angular, no es a menudo suficientemente clara; no es justo para los estudiantes usar r a r para ambos sin distinguirlos. He aclarado también que no siempre es cierto que T= Ia. Esta relación depende

de los ejes escogidos (válida si el eje está fijo en un marco de referencia inercial 0 51 pasa por el CM). No decir esto a los estudiantes puede lievarlos a serias dificultades (yea las págs. 250, 283, 284). He tratado el movimiento rotatorio comenzando con el simple caso de rotación airededor de un eje (capItulo 10), incluyendo los conceptos de momenta angular y energIa cinética rotatoria. SOlo hasta el capItulo 11 se trata el caso más general de rotaciOn respecto a un punto y este material ligeramente más avanzado puede omitirse si asI se desea (excepto las secciones 11-1 y 11-2 sobre el producto vectorial y el vector torque). El final del capItub 10 tiene una subsección opcional que contiene tres ejempbos ligeramente ms avanzados, usarido TCM = ICMaCM: distribuciOn del frenado de un automOvil, un yo-yo descendente y una esfera en rodamiento con y sin resbalamiento. Entre otros tratamientos especiales esth el capItulo 28 sobre Fuentes de campo magnético: aquI, en un capItulo, se analiza el campo magnetico debido a corrientes (incluidas Ia ley de Ampere y Ia ley de Biot-Savart), asI coma los materiales magnéticos, el ferromagnetismo, el paramagnetismo y el diamagnetismo. Esta presentaciOn es asI más clara, más breve y más completa.

Organización La organizaciOri general de esta nueva ediciOn retiene el orden tradicional de los temas: mecnica (capItulos 1 al 12); fluidos, vibraciones, ondas y sonido (capItulos 13 a! 16); teorIa cinética y termodinámica (capItulos 17 a! 20). En la version de dos volOmenes de este texto, el volumen I termina aquI, despues del capItubo 20. El texto continua con electricidad y magnetismo (capItulos 21 al 32), luz (capItulos 33 al 36) y fIsica moderna (capItulo 37). Casi todos los temas que se yen usualmente en los cursos introductorios de fIsica están incluidos. Varios temas de Ia fIsica moderna están incluidos en los capItulos de fIsica clásica, como se mencionó antes. La tradiciOn de comenzar con Ia mecánica es razonable, ya que fue desarrollada, his-

tOricamente, primero y porque mucho del resto de la fIsica depende de ella. Dentro de la mecánica hay varias maneras de ordenar los temaS y este libro permite una flexibilidad considerable.

Par ejemplo, yo prefiero cubrir Ia estática después de Ia dinámica, en parte porque muchos estudiantes tienen problemas al trabajar con fuerzas sin movimiento. Además, Ia estática es un caso especial de la dinámica; estudiamos Ia estática para impedir que las estructuras se vuelvan dinámicas (que se caigan), y ese sentimiento de estar en el lImite de Ia dinámica es intuitivamente de ayuda. No obstante, Ia estática (capItulo 12) puede estudiarse antes, si asI se desea, antes de Ia dinámica, después de una breve introducciOn a la suma vectorial. Otra opción es Ia luz, que he colocado después de Ia electricidad y el magnetismo y las ondas electromagnéticas. Pero Ia luz podrIa verse inmediatamente después de los capItulos sobre ondas (capItulos 15 y 16.) La relatividad especial está en el capItulo 37, pero podrIa estudiarse junta con Ia mecánica, digamos, después del capItulo 9. No tiene que darse el mismo peso a cada capItulo. Mientras que el capItulo 4 podrIa requerir de 1 a 2 semanas de cobertura, los capItulos 16 a 22 podrIan necesitar sOlo de sem a na.

Algunos profesores pueden hallar que este libro contiene más material del que puede verse completamente en sus cursos. Pero el texto ofrece gran flexibilidad en Ia selecciOn de temas. Las secciones marcadas con un asterisco son consideradas opcionales. Esas secciones contienen material ligeramente más avanzado a material que no se cubre usualmente en los cursos tIpicos, yb aplicaciones interesantes. Estas no contienen material necesario en capItulos posteriares (excepto tal vez en secciones opcionabes posteriores). Esto no implica que todas las secciones sin asterisco deben ser vistas: queda aCm considerable flexibilidad en la selecciOn del material. Para un curso breve, todo el material opcional puede cancelarse asI como partes de los capItulos 11, 13, 16, 26, 30, 31 y 36, asI coma de partes de los capItulos 9, 12, 19,20, 32, 34 y los capItulos sabre fIsica moderna. Los temas no cubiertos en cbase pueden ser un valioso material para estudio posterior; este texto puede servir ciertamente coma una referencia Otil para los estudiantes a lo largo de varios años debido a su amplio rango de cobertura. Prefacio

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Agradecimientos Aproximadamente 60 profesores de fIsica proporcionaron comentarios o directa retroalimentaciOn en cada aspecto de este libro de texto. Los revisores y quienes contribuyeron a esta tercera edición se dan en la lista de abajo. Tengo con cada uno de ellos una deuda de

gratitud.

Ralph Alexander, University of Missouri at Rolla Zaven Altounian, McGill University Charles R. Bacon, Ferris State University Bruce Birkett, University of California, Berkeley Art Braundmeier, Southern Illinois University at Edwardsville Wayne Carr, Stevens Institute of Technology Edward Chang, University of Massachusetts, AnTherst

Charles Chiu, University of Texas at Austin Lucien Crimaldi, University of Mississippi Robert Creel, University of Akron Alexandra Cowley, Community College of Philadelphia Tiniir Datta, University of South Carolina Gary DeLeo, Lehigh University John Dinardo, Drexel University Paul Draper, University of Texas, Arlington Alex Dzierba, Indiana University William Fickinger, Case Western University Jerome Finkelstein, San Jose State University Donald Foster, Wichita State University Gregory E. Frances, Montana State University Lothar Frommhold, University of Texas at Austin Thomas Furtak, Colorado School of Mines Edward Gibson, California State University, Sacramento Christopher Gould, University of Southern California John Gruber, San Jose State University Martin den Boer, Hunter College Greg Hassold, General Motors Institute Joseph Hemsky, Wright State University Laurent Hodges, Iowa State University Mark Holtz, Texas Tech University James P. Jacobs, University of Montana James Kettler, Ohio University Eastern Campus

Jean Krisch, University of Michigan Mark Lindsay, University of Louisville Eugene Livingston, University of Notre Dame Bryan Long, Columbia State Community College Daniel Mavlow, Princeton University Pete Markowitz, Florida International University John McCulIen, University of Arizona, Tucson Peter Nemeth, New York University Hon-Kie Ng, Florida State University Eugene Patroni, Georgia Institute of Technology Robert Pelcovits, Brown University William Pollard, Valdosta State University Joseph Priest, Miami University Carl Rotter, West Virginia University Lawrence Rees, Brigham Young University Peter Riley, University of Texas at Austin Roy Rubins, University of Texas at Arlington Mark Semon, Bates College Robert Simpson, University of New Hampshire Mano Singham, Case Western University Harold Slusher, University of Texas at El Paso Don Sparks, Los Angeles Pierce Conmiunity College Michael Strauss, University of Oklahoma Joseph Strecker, Wichita State University William Sturrus, Youngstown State University Arthur Swift, University of Massachusetts,

Amherst Leo Takahasi, The Pennsylvania State University Edward Thomas, Georgia Institute of Technology Som Tyagi, Drexel University John Wahr, University of Colorado Robert Webb, Texas A & M University James Whitmore, The Pennsylvania State University W. Steve Quon, Ventura College

Debo especiales gracias a Iry Miller, no sOlo por las muchas discusiones fIsicas sino también por haber elaborado todos los problemas y controlado al grupo que trabajó alrededor de él en esos problemas, cada uno revisando al otro, y finalmente producir el Manual de Soluciones (sOlo en Ia ediciOn en inglés), y todas las respuestas a los problemas impares a! final de este libro. El fue eficientemente ayudado por Zaven Altounian y Anand Batra. Estoy particularmente agradecido a Robert Pelcovits y Peter Riley, asI como a Paul Draper y James Jacobs, quienes inspiraron muchos de los nuevos ejemplos, ejemplos conceptuales y problemas.

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Cruciales para eliminar los errores, asI como para proporcionar excelentes sugerencias, fueron Edward Gibson y Michael Strauss, quienes cuidadosamente revisaron todos los aspectos de la fIsica en las páginas de prueba. Gracias especiales a Bruce Birkett por ayuda de todo tipo, desde inteligentes pláticas sobre pedagogla hasta cuidadosas revisiones de detalles en muchas secciones de este libro. Deseo dar las gracias también a los profesores Howard Shugart, Joe Cerny, Roger Falcone y Buford Price por sus ütiles discusiones y por su hospitalidad en Ia Universidad de California

en Berkeley. Muchas gracias también al profesor Tito Arecchi del Istituto Nazionale di

Ottica, en Florencia, Italia, y al personal del Institute and Museum for the History of Science, en Florencia, Italia, por su hospitalidad. Finalmente, agradezco el excelente trabajo editorial y de producción proporcionado por todos aquellos con quienes trabajé directamente en Prentice Hall: Susan Fisher, Marilyn Coco, David Chelton, Kathleen Schiaparelli, Michele Giusti, Gus Vibal, Mary Teresa Giancoli y Jocelyn Phillips. El mayor agradecimiento de todos es para Paul Corey, cuyo constante aliento y astuta habilidad para sacar adelante las cosas me proporcionaron el más efectivo catalizador. La responsabilidad final respecto a todos los errores es, por supuesto, mIa. Agradeceré todos los comentarios y correcciones. D.C.G.

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NOTAS A ESTUDIANTES Y PROFESORES SOBRE EL FORMATO Las secciones marcaclas con un asterisco (*) son consideradas opcionales. Ellas pueden ser omitidas sin interrumpir el flujo principal de los temas. Ningn material posterior depende de ellas excepto posiblemente secciones posteriores también con asterisco. PodrIa ser entretenido leerlas. Se usan con convenciones acostumbradas: los sImbolos para cantidades (como m para masa) se indican con cursivas, mientras que las unidades (como m para metro) no se indican con cursivas. Para vectores se usan negritas (F). Pocas ecuaciones son vilidas en todos los casos. Donde es prctico, las limitaciones de ecuaciones importantes se indican en corchetes siguiendo a la ecuación. Las ecuaciones que representan las grandes leyes de Ia fIsica se exhiben con un fondo oscuro, asi como otras cuantas que son de gran utilidad. El nümero de cifras significativas (yea Ia sección 1-3) no debe suponerse mayor que las cifras dadas: si un nümero se da como (digamos) 6, con sus unidades, ello quiere decir que es 6 y no 6.0 o 6.00. Al final de cada capItulo se tiene un grupo de preguntas que los estudiantes deben intentar responder. Estas son seguidas por problemas que están clasificados por los niveles I, II o III, de acuerdo con la dificultad estimada; los problemas del nivel I son los más ficiles. Estos problemas están arreglados por secciones, pero los problemas para una sección dada pueden depender también de material previo. Sigue luego un grupo de Problemas generales, que no están dispuestos por sección ni clasificados en cuanto a dificultad. Las preguntas y los problemas relacionados con las secciones opcionales tienen asterisco. Poder resolver problemas es una parte crucial del aprendizaje de Ia fIsica y un medio p0-

deroso para entender los conceptos y principios de Ia misma. Este libro contiene muchas ayudas para resolver problemas: (a) Ejemplos resueltos con sus soluciones en el texto; (b) "Recuadros de resoluciOn de problemas" especiales distribuidos a lo largo del texto que sugieren maneras de enfocar Ia resoluciOn de problemas para un tema particular, pero no se piense que cada tema tiene sus propias "técnicas" porque los elementos bsicos sean los mismos; (c) Secciones especiales de resolución de problemas; (d) Notas al margen de "Resolución de Problemas" (yea el punto 8 abajo) que se refieren a las sugerencias para la resoluciOn de problemas dentro del texto; (e) algunos de los ejemplos resueltos son de estimación, que muestran cómo algunos resultados burdos o aproximados pueden obtenerse adn cuando los datos dados son escasos (yea sección 1-6); y finalmente (f) los problemas mismos al final de cada capItulo (punto 5 arriba). Los ejemplos conceptuales parecen ejemplos ordinarios, pero son de carácter conceptual más que de Indole numérica. Cada uno propone una o dos preguntas, que esperamos lo ponga a pensar y puecla usted obtener una respuesta. Dése algo de tiempo para tratar de obtener Ia respuesta antes de leer Ia dada en el texto. Notas al margen: estas notas breves están impresas en un color diferente y son de cuatro tipos: (a) notas ordinarias (Ia mayorfa) que sirven como tipo de compendio del texto y pueden ayudar después a localizar conceptos y ecuaciones importantes; (b) notas que se refieren a las grandes leyes y principios de la fIsica; éstas están en letras mayüsculas y encerradas en un recuadro para darles más énfasis; (c) notas que se refieren a una suge-

rencia de resolución de problemas o técnica tratada en el texto; éstas tienen el encabezado "Resolución de problemas"; (d) notas que se refieren a una aplicaciOn de la

fIsica, en el texto o en un ejemplo; éstas tienen el encabezado "FIsica aplicada". Este libro está impreso a dos colores. Pero no simplemente para hacerlo más atractivo. El color se usa, sobretodo en las figuras, para dar mayor claridad a nuestros análisis y hacer más fácil el aprendizaje de los principios fIsicos implicados. Los apendices incluyen formulas matemáticas ütiles (tales como derivadas e integrales, identidades trigonométricas, areas y volOmenes, desarrollos), y una tabla de isótopos con masas atómicas y otros datos. Las tablas de datos titiles se localizan al reverso de portada y contraportada.

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FISICA

para UNIVERSITARIOS

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Al pasar el peine por el cabello, o frotarlo con una toalla de papel 0 Ufl pedazo de tela, éste recibe una carga de electricidad estática. La carga eléctrica en el peine induce una polarización (separación de cargas) en todos los trozos de papel, y por tanto los atrae. La introducciOn a Ia electricidad en este capitulo abarca los siguientes temas: conductores y aisladores, La Icy de Coulomb que relaciona Ia fuerza entre dos cargas puntuales en funciOn de Ia distancia que las separa. Se introduce también el concepto de campo eléctrico, que es fácil de entender y muy ütil.

Carga eléctrica y campo eléctrico palabra "electricidad" puede evocar Ia imagen de Ia compleja tecnologIa moderna: computadoras, luces, motores, y energfa eléctrica. Pero al parecer la fuerza eléctrica juega un papel aUn ms importante en nuestras vidas. De acuerdo con Ia teorIa atómica, las fuerzas eléctricas que interactian entre los tomos y las moléculas los mantienen unidos para formar lIquidos y sOlidos, además, las fuerzas eléctricas están involucradas en los procesos metabólicos que suceden en el interior del organismo. Hasta ahora, se considera que Ia mayor parte de las fuerzas con las que tratamos como es el caso de las fuerzas elásticas, Ia fuerza normal, y otras fuerzas de contacto (empuje y tracciOn) son el resultado de fuerzas eléctricas que acttian a nivel atómico. Por otra parte, Ia gravedad es una fuerza independiente.t Los estudios más lejanos sobre electricidad se remontan a los antiguos griegos; sin embargo, el estudio detallado de Ia electricidad comenzó hasta los siglos XVII y XIX. En los siguientes doce capItulos analizaremos el desarrollo de las ideas acerca de Ia electricidad, incluyendo los dispositivos prcticos, asI como su relaciOn con el magnetismo.

La

Como ya analizamos en a sección 6-7 del volumen I, los fIsicos del siglo XIX reconocieron Ia existencia de cuatro fuerzas fundamentales en Ia naturaleza: (1) fuerza gravitacional, (2) fuerza electromagnética (como yeremos más adelante, las fuerzas eléctricas y magnéticas están Intimamente relacionadas), (3) fuerza nuclear fuerte y (4) fuerza nuclear débil. Las ültimas dos fuerzas operan a nivel del ndcleo en el átomo. Una teorIa reciente ha combinado las fuerzas electromagneticas y nuclear débil por lo que ahora se considera que tienen un origen comñn que se conoce con el nombre de fuerza electrodébil.

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Frote una regla de plástico con un pedazo de tela (a) y acerquela a algunos trozos pequenos de papel (b). FIGURA 21-1

(a)

(b)

Electricidad estática; carga eléctrica v su conservación

FIGURA 21-2 Cargas diferentes se atraen, cargas iguales se repelen.

La palabra electricidad proviene de la palabra griega elektron, que significa "ámbar", y es una resina petrificada que proviene de los árboles. Los antiguos griegos sabIan que al frotar una barra de ámbar con un pedazo de tela, la barra atraIa a hojas pequeñas o a partIculas de polvo. Cuando Se frota una pieza de goma dura, una barra de vidrio o una regla de plstico con un pedazo de tela también se obtiene el "efecto ámbar" o electricidad estática, tal y como la conocemos en la actualidad. Usted puede recoger trozos pequeflos de papel con Ia ayuda de un peine o una regla de plástico, siempre y cuando lo frote vigorosamente contra una toalla (aunque sea de papel), observe la fotografIa de la página anterior y la figura 21-1. Probablemente usted ya ha experimentado los efectos de Ia electricidad estática mientras peina su cabello o cuando saca una blusa o una

playera (hecha de material sintético) de la secadora de ropa. Es probable que haya sentido los efectos de una descarga eléctrica cuando toca el picaporte de metal de una Dos reglas de plástico cargadas Se repelen

Dos varillas de vidrio cargadas se repelen I

La varilla de vidrio cargada atrae a Ia regla de plastico (que también

est cargada)

puerta después de caminar sobre una alfombra de nylon, o cuando sale de un automóvil. En cualquier caso, un objeto "se carga" debido a un proceso de frotamiento, y se dice que posee una carga eléctrica neta. i,Acaso todas las cargas eléctricas son iguales? o i,es posible que exista más de un tipo? De hecho, existen dos tipos diferentes de cargas eléctricas, como to demuestran los siguientes experimentos. Se suspende una regla de plástico colgándola de un hilo, Luego se frota vigorosamente con un pedazo de tela para cargarla eléctricamente. Cuando se acerca otra regla, que también se ha cargado en la mistna forma, se observa que una regla repele a Ia otra. Esto se indica en la figura 21-2a. En forma similar, si se acerca una barra de vidrio (que está cargada) a otra barra similar que también está cargada, se observa de nuevo la acciOn de una fuerza repulsiva, véase La figura 21-2b. Sin embargo, si Ia barra de vidrio cargada se aproxima a una regla de plstico que también está cargada, ambos objetos se atraen, véase La figura 21-2c. Por consiguiente, Ia carga en Ia barra de vidrio debe ser diferente a La carga de la regla de plástico. Claro está, se ha descubierto en forma experimental que todos los objetos cargados se pueden clasificar en dos categorIas. Ya sea que se vean atraIdos por el plástico y repelidos por el vidrio, como sucede con Ia barra de vidrio; o pueden verse atraIdos por el vidrio y repelidos por el plástico, como sucede con la regla de phstico. En consecuencia parece ser que existen dos, y solamente dos, tipos de cargas eléctricas. Cada tipo de carga repele a las cargas del mismo tipo pero atrae a las del tipo contrario. Es decir, cargas diferentes se atraen, y cargas similares se repelen. Benjamin Franklin (1706-1790), quien fue congresista de Estados Unidos, filOsofo y cientIfico, se refiriO a ambos tipos de carga eléctrica como positiva y negativa. La asignaciOn del nombre fue arbitraria. Franklin asignó el nombre "positivo" a La carga de Ia barra de vidrio, y "negativo" a La carga de la regla de plástico (o ambar). En La actualidad todavIa se utiliza esta convenciOn. Franklin argumentO lo siguiente: siempre que se genera cierta cantidad de carga en un cuerpo debido a un proceso, se produce una cantidad igual de carga pero del tiP0 opuesto en otro cuerpo. Las cargas positivas y negativas se tratan en forma algebraiCa. En consecuencia, durante cualquier proceso, el cambio neto en La cantidad de carga que se genera es cero. Por ejemplo, cuando se frota una regla de pLástico con una toaILa de papel, el plástico adquiere una carga negativa y Ia toalla adquiere una cantidad igual de carga positiva. Las cargas están separadas, pero Ia suma de ambas es cero. Este es un ejemplo de una ley que no está establecida: La ley de conservación de las cargas eléciricas, Ia cual establece lo siguiente:

Ia cantidad neta de carga eléctrica que se produce en cualqwer proceso es cero.

-

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CAPTULO 21

Si un objeto o cierta region del espacio adquiere una carga positiva, entonces una cantidad igual pero de carga negativa se formará en las areas u objetos vecinos. Hasta el

Carga eléctrica y campo eléctrico

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momento no se han encontrado violaciones a esta ley de conservación, Ia cual está tan establecida como las Ieyes de conservaciOn de energIa o de cantidad de movimiento.

Cara eléctrica en el átomo A finales del siglo XIX quedo claro que Ia comprension de la electricidad apuntaba al interior del átomo. En los ültimos capItulos de este libro analizaremos con más detalle Ia estructura atOmica y las ideas que generaron nuestra vision actual del átomo. Sin embargo, si en este momento realizamos un análisis breve podremos comprender mejor La electricidad. Un modelo simplificado del átomo muestra que tiene un nOcleo pequeno con car-

ga positiva, el cual está rodeado por uno o mgs electrones que tienen carga negativa

(véase la figura 21-3). El nUcleo contiene protones, que tienen carga positiva, y neutrones que no tienen carga eléctrica neta. La magnitud de Ia carga eléctrica de todos los proto-

nes y todos los electrones es exactamente igual, pero con signos contrarios. Por consiguiente, los átomos neutrales, que no tienen carga neta, tienen una misma cantidad de protones y de electrones. Algunas veces, como veremos más adelante, un átomo puede perder uno o más de sus electrones, o puede ganar electrones adicionales. En este caso el átomo tendrá una carga neta positiva o negativa, y se conocerá con el nombre de ion. En los materiales sOlidos, el nOcleo tiende a permanecer cerca de posiciones fijas, aUn cuando algunos electrones se pueden mover con bastante libertad. La carga que se obtiene al frotar un objeto sOlido se puede explicar debido a Ia transferencia de electrones de un material a otro. Cuando la regla de plástico adquiere carga negativa al frotarla con una toalla de papel, Ia transferencia de electrones de Ia toalla a Ia regla de plástico deja a La toalla con una carga positiva, que tiene Ia misma magnitud que Ia carga negativa que adquiriO La regla de pkSstico. En los lIquidos y gases, los nOcleos o los jones se pueden mover, como sucede con los electrones. Normalmente, cuando los objetos se cargan debido al frotamiento, solo mantienen su carga durante un tiempo limitado y en forma eventual regresan a! estado neutral. j,A dónde se dirigen las cargas? En algunos casos, estas cargas se neutralizan con los jones cargados del aire (que por ejemplo, se forman debido a las colisiones con partIculas cargadas, las cuales se conocen con el nombre de rayos cósmicos y llegan a La Tierra desde el espacio exterior). TodavIa más importante es que Ia carga se puede "desvanecer" en las moléculas de agua que están en el aire. Esto sucede porque las moléculas de agua son polares, es decir, aun cuando son neutrales, su carga no se distribuye en forma uniforme, véase Ia figura 21-4. Por tanto, podemos decir que los electrones adicionales (de una regla de plástico) se pueden "desvanecer" en el aire porque se yen atraIdos por el extremo positivo de las moléculas de agua. Por otra parte, un objeto que tiene carga positiva puede neutralizarse cuando recibe los electrones que están adheridos débilmente en Ia molécula de agua, que a su vez está en el aire. En los dIas secos, Ia electricidad estática es más notoria porque el aire contiene una menor cantidad de moléculas de agua, lo que facilita el desvanecimiento de las cargas. En cambio, en los dIas hOmedos o Iluviosos, es muy difIcil que un objeto mantenga una carga durante mucho tiempo.

FIGURA 21-3 átomo.

Modelo sencillo del

+ Diagrama de una molécula de agua. Como tiene cargas opuestas en los extremos, se denomina molécuLa "polar". FIGURA 21-4

Aisladores y conductores Consideremos que se tienen dos esferas de metal, una está bastante cargada y Ia otra es eléctricamente neutra (véase Ia figura 21-5a). Si ahora colocamos un objeto de metal, por ejemplo un clavo, en forma que toque ambas esferas (véase Ia figura 21-5b), encontraremos que Ia esfera que antes estaba descargada ahora se carga rápidamente. Ahora bien, si conectamos entre si ambas esferas con una pieza de madera, o un pedazo de goma, (véase Ia figura 21-Sc), Ia esfera que en un principio no estaba cargada no modifica su carga. Los materiales que son similares al acero del clavo se conocen con el nombre de conductores de electricidad, en tanto que los materiales similares a Ia madera o a Ia goma se denominan materiales no conductores o aisladores. Cargado Neutral

Metal

(a)

(b) Conductor

Madera

(c) Aislador SECCION 21-3

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FIGIJRA 21-5 (a) Esfera de metal cargada y esfera de metal neutra. (b) Ambas esferas se conectan mediante un clavo de metal que conduce las cargas de una esfera a La otra. (c) Ambas esferas están conectadas con un material aislante (madera), que no conduce ninguna carga.

Aisladores y conductores

547

En general los metales son buenos conductores de Ia electricidad, por el contrario los demás materiales son aisladores (aun cuando estos conducen electricidad en forma casi imperceptible). Resulta interesante que casi todos los materiales naturales pertenecen a alguna de estas dos categorfas, que son absolutamente diferentes entre si. Sin embargo, existen muchos materiales (entre los que destacan el silicio, germanio y carbon) que caen en una categorla intermedia (pero diferente), que se denomina de

semiconductores. Desde el punto de vista del átomo, los electrones de un material aislante están unidos con bastante fuerza a! nUcleo. Por otra parte, en un buen material conductor, algunos de los electrones están unidos con poca fuerza, at nOcleo, y se pueden mover con libertad en el interior del material (aun cuando no pueden salir del objeto con facilidad). Con frecuencia estos electrones se conocen como electrones libres o electrones de conducción. Cuando un objeto que tiene carga positiva se acerca o toca a un conductor, los electrones libres del conductor se yen atraIdos por esta carga positiva y se mueven con rapidez hacia ella. Contrario a lo anterior, cuando se acerca una carga negativa, los electrones libres se alejan en forma repentina de ella. En un material semiconductor, existen p0cos electrones libres, y en un material aislante casi no hay ninguno.

(a) Varilla de metal sin carga

(b) La varilla de metal adquiere carga por contacto (a) Varilla de metal neutra adquiere una carga (b) cuando se pone en contacto con un objeto de metal que está cargado. FIGURA 21-6

FIGURA 21-7

Carga por inducción

Vanlia de metal sin carga

Lavarilla de metal aUn es neutral, pero las cargas están separadas en sus extremos.

Inducción de una carga en un objeto que está conectado a tierra. FIGURA 21-8

l.

548

CAPITULO 21

Cara inducida; el electroscopio Suponemos que un objeto de metal con carga positiva se acerca a otro objeto de metal que no está cargado. Si ambos se tocan, los electrones libres del objeto que tiene carga neutra son atraIdos por el objeto que tiene carga positiva, y algunos pasarán hacia él, véase la figura 21-6. Como ahora el segundo objeto ha perdido algunos de sus electrones negativos, adquirirá una carga neta positiva. Este proceso se denomina "carga por conducción" o "carga por contacto", en este caso ambos objetos terminan con una carga del mismo signo. Ahora suponemos que un objeto de metal, con carga positiva, se acerca a una vanila de metal sin carga, pero no Ia toca. Aun cuando los electrones de Ia varilla de metal no "salen" de Ia misma, continüan moviéndose en su interior hacia el objeto que está cargado, to anterior hace que las cargas positivas se desplacen hacia el extremo opuesto de la varilla, véase Ia figura 21-7. En este caso se puede decir que se ha inducido una carga en ambos extremos de la varilla de metal. Desde luego que no se ha generado nmguna carga neta en Ia varilla, solo se han separado las cargas. La carga neta en la varilla de metal sigue siendo cero. Sin embargo, si Ia varilla de metal se rompe en dos partes, entonces se obtendrán dos objetos, uno con carga positiva y otro con carga negativa. Se puede inducir una carga neta en un objeto de metal que se conecta a tierra (o a una tuberla de agua potable que esté enterrada) mediante un alambre, como se muestra en la figura 21-8a (el sImbolo -- significa tierra). Se dice entonces que el objeto está "aterrizado" o "conectado a tierra". Ahora bien, como el planeta Tierra tiene unas dimensiones considerables y es conductor, puede aceptar o proporcionar electrones con facilidad; por consiguiente, actüa como un depOsito para las cargas. Si un objeto de metal cargado, en este caso con cargas negativas, se acerca a otro objeto de metal que está conectado a Tierra, los electrones libres del objeto que está conectado a tierra son repelidos por la carga del primer objeto, y Ia mayor parte de ellos se desplazan a Tierra, véase la figura 21-8b. Esto hace que el objeto de metal adquiera una carga positiva. Si ahora se corta el alambre de conexión a tierra del objeto metálico, este Oltimo tendrá una carga inducida positiva (véase la figura 21-8c). Si se corta el alambre después de alejar el objeto que tiene carga negativa, los electrones regresarán al objeto de metal y Ia carga de este ültimo será neutral. El electroscopio es un dispositivo que se utiliza para detectar cargas. Como se muestra en la figura 21-9, en el interior de la cubierta existen dos hojas movibles de metal, que con frecuencia están hechas de oro (algunas veces una hoja está fija y la otra se puede mover). Las hojas se conectan a una terminal de metal que está fuera de la cubierta, con Ia ayuda de un conductor, pero están aisladas del cuerpo de la cubierta. Si se acerca un objeto que tiene carga positiva a la terminal de metal, se induce Ia separación de las cargas, conforme los electrones se yen atraIdos hacia Ia terminal, con to que las hojas


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Aislante Metal y

Hojas, de oro

Vidrio

(a)

(b)

Carga del electroscopio (a) por inducciOn, (b) por contacto. FIGURA 21-10

FIGURA 21-9

Electroscopio.

adquieren una carga positiva, véase la figura 21lOa. Ambas hojas se repelen entre sI, como se indica en la figura. Si al contrario, Ia terminal se carga por conducción, todo el dispositivo adquiere una carga neta como se ilustra en la figura 21lOb. En cualquier CaSO, 51 aumenta la magnitud de la carga también aumentará La separaciOn entre las hojas.

Sin embargo, cabe indicar que en esta forma no se puede determinar el signo de la carga, ya que una carga negativa también provocará la separaciOn de las hojas, como sucede con una carga positiva de la misma magnitud, en cualquier caso ambas hojas se repelerán entre sí. Sin embargo, se puede utilizar el electroscopio para determinar el signo de la carga si primero se carga por conducción, gracias a Ia acción de una carga negativa, como se muestra en Ia figura 21ha. Luego entonces, si se acerca un objeto que tiene carga negativa, como sucede en Ia figura 21lib, se induce el movimiento de una mayor cantidad de electrones hacia las hojas (se desplazan hacia abajo), y éstas se separan cada vez ms. Por el contrario, si se acerca una carga positiva, se induce el movimiento de los electrones hacia la terminal (se desplazan hacia arriba), lo que deja a las hojas con una menor cantidad de carga negativa y, por tanto, se reduce su separa-

ción, véase Ia figura 21lie. El electroscopio se utilizO durante las primeras investigaciones acerca de la electricidad. En la actualidad se aplica el mismo principio, además de ciertos fundamentos de la electrOnica, en los electrómetros modernos que ofrecen una sensibilidad bastante mayor.

1

(a)

(b)

(c)

Un electroscopio previamente cargado se puede utilizar para determinar el signo de una carga determinada. FIGURA 21-11

Principio de operación del aparato de Coulomb. Su funcionamiento es similar al dispositivo de Cavendish que se utilizO para determinar Ia fuerza gravitacional. Cuando una esfera cargada se acerca a una de las esferas de la barra (que está suspendida), la barra gira ligeramente. La fibra que detiene la barra resiste el movimiento de giro, y el ángulo de giro es proporcional a Ia fuerza que se aplica. Con Ia ayuda de este dispositivo, Coulomb determinó la variación de la fuerza eléctrica en función de Ia magnitud de las cargas y Ia distancia que las separa. FIGURA 21-12

Le de Coulomb Hemos visto que una carga eléctrica ejerce una fuerza en otras cargas eléctricas. Qué factores afectan Ia magnitud de esta fuerza? Para responder Ia pregunta, el fIsico Francés Charles Coulomb (1736-1806) analizó las fuerzas eléctricas en Ia década de 1780 con Ia ayuda de una balanza de torsion (véase La figura 21-12), que era muy similar a Ia que utilizO Cavendish cuando analizó Ia fuerza gravitacional. Aun cuando no existIan instrumentos precisos para medir las cargas eléctricas en su época, Coulomb logrO generar esferas pequenas que tenIan cargas con diferentes magnitudes, pero La razón entre las cargas si se conocIa. Coulomb descubriO que si una esfera conductora cargada se ponla en contacto con otra esfera idéntica sin carga, Ia carga de Ia primera esfera se dividla en partes iguales entre ambas esferas debido a su simetrIa. De este modo tenIa una forma para producir cargas que eran mOltiplos (, , etc.) de Ia carga original. Aunque tuvo cierta dificultad con las cargas inducidas, Coulomb pudo determinar que Ia fuerza que ejercIa un objeto pequeno y cargado sobre otro objeto cargado y pequeflo era directamente proporcional a Ia carga en cada uno de ellos. Es decir, si se duplicaba Ia carga en cualesquiera de los objetos, Ia fuerza también se duplicaba; y si la fuerza en ambos objetos aumentaba el doble, Ia fuerza aumentaba 4 veces con respecto a su valor inicial. Esto sucedIa cuando la distancia de separaciOn entre ambas cargas permanecla constante. Cuando aumentaba Ia distancia entre los objetos, Coulomb descubriO que Ia fuerza disminula en un factor que era igual a! cuadrado de Ia distancia que los separa. Es decir, si Ia distancia se duplica, la fuerza disminuye

SECCION 21-5

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-fibra

+ varilla

Ley de Coulomb

549

Q1

r-

FIGURA 21-13 Ley de Coulomb, ecuación 21-1, define Ia fuerza entre dos cargas puntuales Q y Q2, que están separadas por una distancia r.

hasta una cuarta parte de su valor original. En consecuencia, Coulomb concluyó lo siguiente: Ia fuerza que ejerce un objeto pequeno (que tiene carga) sobre otro objeto es proporcional al producto de Ia magnitud de Ia carga en uno de los objetos Q1, por Ia magnitud de Ia carga en el otro Q2, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa r (véase Ia figura 21-13). Como una ecuación, podemos expresar la ley de Coulomb en la siguiente forma:

F=k

FIGURA 21-14

La direcciOn de Ia

fuerza depende del signo que tienen las cargas, si ambas tienen el mismo signo (a) y (b), si tienen signos contrarios (c). F21 = fuerza en 2 debido a 1

F12 = fuerza en 1 debido a 2

F21

F12

F12

1

2

-

F12

F2 2

F21

(21-1)

donde k es una constante de proporcionalidad. La ecuación 21-1 proporciona la magnitud de Ia fuerza eléctrica que ejerce un objeto sobre otro. La direcciOn de Ia fuerza eléctrica siempre coincide con Ia Ilnea que une ambos objetos. Si las dos cargas tienen el mismo signo, la fuerza que actüa en uno de los objetos se aleja del otro. Si ambas cargas tienen signos opuestos, Ia fuerza en uno de los objetos se dirige hacia el otro, véase la figura 21-14. Cabe indicar que Ia fuerza que ejerce la primera carga en Ia segunda es igual pero de signo contrario a la fuerza que ejerce la segunda carga sobre la primera, de acuerdo con Ia tercera ley de Newton. La validez de La ley de Coulomb se fundamenta en La exactitud de las mediciones que se realizan en esta época, que son mucho más sofisticadas que el experimento original de Coulomb. Actualmente se ha demostrado que el exponente 2 de la ley de Coulomb tiene una exactitud de 1 parte en 1016 [es decir, 2 ± (1 x 10-16)1. Como en esta sección estamos analizando una nueva cantidad (carga eléctrica), podemos elegir sus unidades en forma que Ia constante de proporcionalidad k de Ia ecuaciOn 21-1 sea igual a Ia unidad. En verdad, hubo una epoca en Ia que este sistema de unidades fue muy comün.t Sin embargo, Ia unidad que se utiliza ampliamente en Ia actualidad es el coulomb (C), que forma parte del sistema internacional de unidades SI. En Ia actualidad el coulomb se define en forma precisa en términos de Ia corriente eléctrica y el campo magnético, y se analizará posteriormente (sección 28-3). En el SI, el valor de la constante k es

k = 8.988 X 109Nm2/C2

9.0 X 109Nm2/C2.

AsI, 1 C es Ia cantidad de carga que, al ser colocada entre dos objetos puntuales, que tienen una separación de 1.0 m, hace que cada cuerpo ejerza sobre el otro una fuerza de (9.0 X iO N.m2/C2)(1.0 C)(1.0 C)/(1.0 m)2 = 9.0 X iO N. Esta es una fuerza enorme, igual al peso de casi un millOn de toneladas. Normalmente no encontramos cargas tan grandes como 1 coulomb. Las cargas que se producen cuando se frotan objetos de uso comün (como un peine o una regla de plástico) son del orden de un microcoulomb (1 C = 10 C) o menos. Los objetos que adquieren una carga positiva tienen un deficit de electrones, mientras que los objetos que tienen carga negativa tienen un exceso de electrones. Se ha determinado que Ia magnitud de Ia carga de un electrOn es igual a 1.602 x 10 C, y su signo es negativo. Esta es Ia carga de menor magnitud que se puede encontrar en Ia naturaleza6, y debido a su naturaleza fundamental, se le ha asignado el sImbolo e. Con bastante frecuencia se le conoce como carga elemental.

e = 1.602 X 10'9C. Cabe indicar que e se define como un nümero positivo, en consecuencia Ia carga de un electrOn es -e. (Del mismo modo, Ia carga de un protOn es +e.) Como un objeto no puede ganar o perder una fracción del electron, Ia carga rieta en cualquier objeto debe ser un mOltiplo entero de esta carga. Entonces se puede afirmar que la carga eléctrica está cuantizada (sOlo existe en cantidades discretas: le, 2e, 3e, etc.). Sin embargo, como e es muy pequefio, normalmente no riotamos esta caracterIstica discreta en las cargas macroscOpicas (1 C necesita aproximadamente 1013 electrones), las cuales parecen ser continuas. Nos referimos a! sistema de unidades cgs, en este sistema Ia unidad de carga eléctric,a se denomina unidad

electrostáiica (esu) o estatocoulomb. Un esu se define como Ia carga en dos objetos puntuales que están separados por un centimetro, y genera una fuerza de I dma. De acuerdo con el modelo estandarizado de Ia fIsica de partIculas elementales, las partIculas subnucleares se denominan quarks. y su carga es menor a Ia del electron, igual a e o e. En Ia actualidad, los quarks no se han

detectado como objetos aislados, y Ia teorla sugiere que los quarks libres pueden no ser detectables.

550

CAPITULO 21


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Cabe indicar la similitud que existe entre La ley de Coulomb y la ley de gravitaciOri universal, ecuación 6-1. Ambas son leyes del cuadrado inverso (F oc 1/r2). Las dos son proporcionales a! producto de una propiedad de cada cuerpomasa para la gravedad, carga eléctrica para la electricidad. La diferencia principal entre ambas leyes es que Ia gravedad siempre es una fuerza de atracción, en tanto que Ia fuerza eléctrica puede ser de atracción o repulsiOn. Con cierta frecuencia, Ia constante k de Ia ecuación 21-1 se escribe en términos de otra constante, e, que es la permisividad del espacio libre. Dicha constante se relaciona con k de acuerdo con Ia relaciOn k = 1/41T0. Entonces Ia ley de Coulomb se puede expresar en la forma

F=

1

Q1Q2

417-Es

r2

(21-2)

donde 1

Co = 4irk = 8.85 x 1012C2/Nm2. La ecuación 21-2 luce más complicada que Ia ecuación 21-1, pero existen otras ecuaciones fundamentales, que aOn no hemos visto, que son más sencillas en términos de 0, en lugar de k. Desde luego, no importa cuál forma se utilice, porque las ecuaciones 21-1 y 21-2 son equivalentes. Se debe puntualizar que las ecuaciones 21-1 y 21-2 se aplican a objetos cuyo tamano es mucho menor que la distancia que los separa. En forma ideal, estas ecuaciones se ajustan a las cargas puntuales (cuyo tamaño espacial es despreciable si se compara con otras distancias). Para objetos con dimensiones finitas, no siempre est claro qué valor se debe utilizar en r, en especial porque Ia carga puede no estar distribuida de manera uniforme en los objetos. Si ambos objetos son esferas y se sabe que Ia carga está distribuida de manera uniforme en cada una, entonces r es La distancia entre los centros de las esferas.

La ley de Coulomb describe la fuerza que existe entre dos cargas cuando ambas están en reposo. Cuando las cargas están en movimiento se deben considerar fuerzas adicionales, lo cual se analizará en capItulos posteriores. En este capItulo analizaremos solamente las cargas que estn en reposo, este análisis se denomina electroslálica. Cuando se realizan cálculos con la ley de Coulomb se pueden despreciar los signos de las cargas, Ia dirección se determina al indicar si Ia fuerza es de atracciOn o repulsiOn. DeFuerza eléctrica que ejerce un proton sobre un electron. termine Ia magnitud de la fuerza eléctrica que ejerce un protOn (Q2 = +e), que forma parte del nOcleo del átomo, sobre el electrOn de un átomo de hidrógeno. Suponga que el electrOn se "mantiene en Orbita" con relaciOn al proton, y Ia distancia promedio que los separa es r = 0.53 X 10-10 m, véase Ia figura 21-15.

Electron

ProtOn

SOLUCION Al aplicar Ia ley de Coulomb, F = kQ1Q2/r2 (ecuaciOn 21-1), con = 1.6 X 1019C(noseconsideranlossignosdelascargas): r = 0.53 X 10°m, yQ1 = (9.0 x 109Nm2/C2)(1.6 X 10'9C)(1.6 X 1019C) F (0.53 x 10 rn)2 = 8.2 x 108N.

r

H

-

La dirección de Ia fuerza que actOa sobre el electrOn apunta hacia el proton, ya que las cargas tienen signos opuestos y la fuerza es de atracciOn.

Ejemplo 21-1.

FIGURA 21-16

Ejemplo 21-2.

') "

1Qué carga ejerce Ia fuerza de mayor magnitud? Dos cargas positivas Q1 = 50 C y Q2 = 1 tC estn separadas por una distancia 1, véase la figura 21-16. ,Cuál tiene Ia mayor magnitud, Ia fuerza que ejerce Q1 sobre Q2 o la fuerza que ejerce Q2 sobre Q1? fl

FIGURA 21-15

RESPUESTA

De acuerdo con la ley de Coulomb, Ia fuerza que ejerce Q2 sobre Q1 es:

F12 - k

Q=50p.0 -

Q2=lp.0 1

Q1Q2 2

La fuerza que ejerce Q1 en Q2 es Ia misma excepto que Q1 y Q2 están invertidas. La ecuaciOn es simétrica con relaciOn a ambas cargas, por tanto F21 = F12. La tercera ley de Newton indica que ambas fuerzas deben tener Ia misma magnitud. SECCION 21-5

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Ley de Coulomb

551

Es muy importante que recordemos que Ia ecuación 21-1 (o 21-2) proporciona Ia fuerza que experimenta una carga debido a Ia acción de una ánica carga adicional. Si existen varias cargas, la fuerza neta en cualquiera de ellas será Ia suma vectorial de las fuerzas que producen las demás cargas. Este principio de superposición se basa en la experimentaciOn, y nos indica que los vectores de fuerza eléctrica se suman como cualquier otra cantidad vectorial. Para distribuciones continuas de cargas, la suma se transforma en una integral. Cuando se tienen varias cargas, se recomienda el uso de dobles subIndices en cada una de las fuerzas que están involucradas. El primer subIndice se refiere a la particula que experimenta Ia fuerza, el segundo se refiere a Ia partIcula que ejerce la fuerza. Por ejemplo, si se tienen tres cargas, la fuerza F31 significa Ia fuerza que ejerce Ia partIcula 1 en Ia partIcula 3. Como sucede en la resoluciOn de cualquier problema, es muy importante elaborar un diagrama, en especial un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo, con elfin de mostrar todas las fuerzas que actOan sobre ese cuerpo. Al aplicar Ia ley de Coulomb, solamente se pueden manipubar las magnitudes de las cargas (sin tomar en cuenta los signos de menos) para calcular Ia magnitud de cada una de las fuerzas. Entonces se determina, en forma fIsica, la direcciOn de Ia fuerza (a lo largo de la lInea de fuerza que une ambas partfculas: cargas iguales se repelen, cargas diferentes se atraen), y se indica la fuerza en el diagrama. Por Oltimo, se suman en forma vectorial todas las fuerzas que actOan sobre el objeto.

k-0.30 m-4-0.20 m=

-8.0 C

Q2 =

+3.0 C -4.0

-x =

C

(a)

Tres cargas en una linea. Tres particulas cargadas estan cobcaaas en Lnea, como se muestra en Ia figura 21-17a. Calcule Ia fuerza electrostática neta que ejercen las partIculas 1 y 2 sobre la partIcula 3 (Ia carga de -4C que est a Ia derecha).

La fuerza neta en la partIcula 3 es Ia suma vectorial de Ia fuerza F31 que ejerce Ia partIcula 1 y Ia fuerza F32 que ejerce Ia partIcula 2: F = F31 + F32. Las magnitudes de ambas fuerzas son SOLUCION

F32

F31

F31 =

(b) FIGURA 21-17 ejemplo 21-3.

Diagrama para el

F32 =

(9.0 x 109N.m2/C2)(4.0 X 106C)(8.0 x i0C) (0.50 rn)2

(9.0 x iO Nm2/C2)(4.0 X 106C)(3.0 X 106 C) (0.2Dm)2

= 1.2N = 2.7N.

Como vamos a calcular la magnitud de ambas fuerzas, omitimos los signos de las cargas;

pero debemos considerar los signos para deterrninar Ia dirección de cada una de las fuerzas. Si suponemos que Ia Ilnea que une ambas partIculas es el eje x, Ia direcciOn positiva estará a Ia derecha. Por consiguiente, como Ia fuerza F31 es de repulsion y F32 es de atracción, las direcciones de las fuerzas se muestran en Ia figura 21-17b: F31 apunta hacia Ia direcciOn positiva de x y F32 apunta en la direcciOn negativa de x. Entonces Ia fuerza neta en Ia partIcula 3 es

F = -F32 + F31 = -2.7N + 1.2N = -1.5N. La magnitud de la fuerza neta es -1.5 N y apunta a Ia izquierda. Cabe indicar que en este ejemplo Ia carga que está en medio (Q2) no bloquea en absoluto el efecto de la otra (Q1). Cálculo de Ia fuerza eléctrica aplicando las componentes vectoriales. Calcule la fuerza electrostática neta en Ia carga Q3 (que se muestra en Ia figura 21-18a) que generan las cargas Q1 y Q2. El diagrama muestra Ia direcciOn de las fuerzas F31 y F32, se observa que Q1 ejerce una fuerza de atracciOn y Q2 ejerce una fuerza de repulsion. Las magnitudes de F31 y F32 son (sin tomar en cuenta su signo porque ya conocemos sus direcciones) SOLUCION

=

F32 =

552

CAPITULO 21


(9.0 x 109Nm2/C2)(6.5 >< 105C)(8.6 x i05c) (0.6Dm)2

(9.0 X iO Nm2/C2)(6.5 X 105C)(5.0 x iO C)

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(0.30 rn)2

= 140N = 330N.

03

F3 Ix

+65 C

-1-30°

F3 1y

. 6O

E

C.)

900 300'

= +50 1jC

52cm

x Q1 =

x

861iC

(a) FIGURA 21-18

DeterminaciOn de Las fuerzas para el ejemplo 21-4.

Al calcular las componentes de F31 en los ejes x y, como se muestra en Ia figura 21-18a se tiene

F311 = F31

F31 cos 30° = 120 N,

= F31 sen 30° = 70 N.

La fuerza F32 sOlo tiene una componente en ci eje y. Por tanto la fuerza neta F que actOa sobre Q3 tiene las siguientes componentes

F1 = F311 = 120N F = F32 + F31

= 330N - 70N = 260 N.

Por tanto, Ia magnitud de Ia fuerza neta es

F = \/FX2 + F = \/(120N)2 + (260 N)2 = 290 N; Esta fuerza acttia en un ángulo 0 (véase Ia figura 21-18b) que está determinado por tan 0 = FY/FX = 260 N/120 N = 2.2, por lo tanto 0 = 65°.

* Forma vectorial de Ia ley de Coulomb La Jey de Coulomb se puede escribir en forma vectorial (al igual que Ja Icy de Newton para Ia gravitaciOn universal en el capItulo 6, sección 6-2 del volumen I) de acuerdo con Ia expresiOn

F12 = k

r21

.

r21'

donde F12 es el vector de fuerza que actUa en Ia carga Q1 debido a Q2 y r21 es ci vector unitario que va de Q2 a Q1. Es decir, r2i va de La carga "fuente" Q2 hacia Ia carga en La que se desea conocer Ia acciOn de Ia fuerza (Q1), véase Ia figura 21-19. Las cargas Q1 y Q2 pueden ser tanto positivas como negativas, pero esto afectará a Ia dirección de la fuerza eléctrica. Si Q1 y Q2 tienen el mismo signo, entonces el producto Q1 Q2 > 0 y Ia fuerza en Q1 se aleja de Q2, en otras palabras, se trata de una fuerza de repulsiOn. Si Q1 y Q2 tienen signos opuestos, entonces Q1 Q < 0 y F12 apunta hacia Q2, es decir, ia fuerza es de atracciOn.

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Q1 -2 I

FIGURA 21-19 Determinación de Ia fuerza que ejerce Q2 sobre Q1, se indica La dirección de vector unitario r2

.

SECCION 21-5

Ley de Coulomb

553

El camro eléctrico Tanto la fuerza gravitacional como la fuerza eléctrica actüan a distancia: existe una fuerza aun cuando los objetos no se tocan. La idea de una fuerza que actda a distancia

.p

Un campo eléctrico rodea cualquier carga. P es un punto arbitrario. FIGURA 21-20

FIGURA 21-21 Fuerza que ejerce Ia carga +Q en una pequena carga de prueba q, la cual se sitüa en los puntos

a,byc.

Fa

.

a +Q

C

F

fue incomprensible para los pensadores de épocas pasadas. Newton se sintiO incOmodo con esta idea cuando publicó su ley de la gravitaciOn universal. Una forma titil de analizar esta situación utiliza el concepto de campo, que fue desarrollado por el cientIfico británico Michael Faraday (1791-1867). En el caso eJéctrico, de acuerdo con Faraday, un campo eléctrico se extiende hacia el exterior de cualquier carga y atraviesa todo el espacio (figura 21-20). Cuando una segunda carga se coloca cerca de Ia primera, Ia Se-

gunda carga experimenta una fuerza debido a! campo eléctrico que permanece en el lugar (por decir, en el punto P de La figura 21-20). Se considera que el campo eléctrico en la posiciOn de Ia segunda carga interacciona directamente con esta carga para producir una fuerza. En un principio podemos investigar el campo eléctrico que rodea a una carga, o a un grupo de cargas, si medimos la fuerza en una carga de prueba que tiene signo positivo y tamaflo reducido. El término carga de prueba se refiere a una carga que es tan pequena que Ia fuerza que ejerce no altera en forma perceptible la distribuciOn de las cargas que genera el campo que se va a medir. La figura 21-21 muestra Ia fuerza que acttia en una carga positiva y pequena q que se coloca en varias posiciones en los airededores de una sola carga positiva Q. La fuerza en b es menor que la fuerza en a porque la distancia es mayor (ley de Coulomb), y Ia fuerza en c es todavIa menor. De cualquier modo, la fuerza se dirige en forma radial hacia el exterior de Q. El campo eléctrico se define en términos de Ia fuerza que actda en esa carga positiva de prueba. En especial, el campo eléctrico 0, E, en cualquier punto del espacio se define como La fuerza F que actiia sobre una pequena carga positiva de prueba en ese punto, dividida entre Ja magnitud de la carga eléctrica q: E =

(21-3)

Idealmente, E se define como el lImite de F/q conforme q se hace cada vez más pequeña, aproximándose a cero. A partir de esta definición (ecuaciOn 21-3), se observa que el campo eléctrico en cualquier punto del espacio es un vector cuya direcciOn es Ia dirección de la fuerza que actüa en una carga positiva de prueba en ese punto; y su magnitud es la fuerza por unidad de carga. En consecuencia, E se mide en newtons por coulomb (N/C). E se define como F/q (con q 0) porque E no depende de Ia magnitud de la carga de prueba q. Esto significa que E describe solamente el efecto de las cargas que generan el campo eléctrico en ese punto. Se puede medir el campo eléctrico en cualquier punto del espacio, con fundamento en Ia definiciOn de campo eléctrico, ecuación 21-3. Para situaciones sencillas que involucran una o varias cargas puntuales, se puede calcular el valor de E. Por ejemplo, Ia magnitud del campo eléctrico (E) a una distancia r de una sola carga puntual Q está determinada por

E= F q

= kqQ/r2 q

=k r2 o, en términos de

[una sola carga puntual]

(21-4a)

como en Ia ecuaciOn 21-2 (k = l/4ire0):

1Q

E = 'tlT0 r A

[una sola carga puntual]

(21-4b)

Observe que E es independiente de q, es decir, solamente depende de La carga Q que produce el campo, no asI del valor de la carga de prueba q. La ecuaciOn 21-4 se conoce también como Ia forma de campo eléctrico de Ia ley de Coulomb.

554

CAPITULO 21


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Copiadora electrostática. La copiadora electrostática funciona a! agrupar en torma selectiva cargas positivas (de acuerdo con el patrOn que se va a copiar) en Ia superficie de un tambor no conductor, después, se roclan partIculas de toner (tinta) que tienen carga negativa en la superficie del tambor. Las partIculas de tOner se adhieren en forma temporal al patrOn del tambor y después se transfieren a! pape!, donde se "funden" posteriormente para producir la copia. Suponga que cada partIcula de toner tiene una masa de 9.0 x 10_16 kg y transporta en promedio 20 electrones adicionales para generar una carga eléctrica. Si se supone que Ia fuerza eléctrica en una partIcula de toner debe superar dos veces su peso para obtener una atracción suficiente, calcule La magnitud del campo eléctrico que se debe generar cerca de la superficie del tambor. Véase Ia figura 21-22. SOLUCION

Superficie del tambor

El valor mInimo del campo eléctrico satisface la relación

qE = 2mg donde q = 20e. Por 10 tanto

E=

2 mg

2(9.0

X 10

PartIculas de toner que se adhieren a La superficie del tambor debido a! campo eléctrico E

kg)(9.8 m/s2)

20(1.6 x io-19c)

q

= 5.5 x iO N/C.

FIGURA 21-22

Campo eléctrico de una carga puntual. Calcule la magnitud y Ia dirección del campo eléctrico en el punto P, que está 30 cm a la derecha de la carga puntual Q = -3.0 X 10 C. SOLUCION La magnitud del campo eléctrico que genera una carga puntual está de-

Ejemplo 21-6. (a) Campo eléctrico en el punto P debido a La carga negativa Q, (b) campo eléctrico debido a una carga positiva Q. FIGURA 21-23

terminada por Ia ecuaciOn 21-4:

E = k Qr2- =

Ejemplo 21-5.

30cm

(9.0 X iO N.m2/C2)(3.0 x 10-6 C) = 3.0 x iO N/C. (0.30m) 2

La direcciOn del campo eléctrico apunta hacia Ia carga Q como se indica en Ia figura 21-23a, ya que la direcciOn es igual la direcciOn de Ia fuerza que actOa en una carga positiva de prueba. Si Q fuera positiva, el campo eléctrico apuntarIa hacia fuera, como sucede en la figura 21-23b.

Este ejemplo muestra un resultado general: el campo eléctrico que produce una carga positiva se aleja de Ia carga, por el contrario, el campo E que genera una carga negativa apunta hacia dicha carga. Si el campo está generado por más de una carga, los campos individuales (designados por E1, E2, etc.) que generan cada una de las cargas se suman vectorialmente para obtener Ia fuerza total en cualquier punto:

E = E1+E2+.

P

Q=-3.0xlOC E=3.OxlO5N/C Q=+3.0x1OC

E=3.OxlO5N/C

FIGURA 21-24 (a) Campo eléctrico en un punto del espacio. (b) Fuerza en una carga positiva. (c) Fuerza en una carga negativa.

(a)

(21-5)

La validez de este pnncipio de superposición para los campos eléctricos está confirmada totalmente por medio de Ia experimentación. Si designamos a un campo eléctrico F un lugar en el espacio, entonces podemos calcular la fuerza F que actüa en cualquier carga q (aun si esta no es pequena) que esté colocada en ese sitio (véase la ecuaciOn 21-3):

F = qE.

E (b)

+q

F

-q (c)

Si q es positiva, F y E apuntarán en Ia misma dirección. Por el contrario, Si q es negativa, F y E apuntarn en direcciones opuestas. Véase Ia figura 21-24.

SECCION 21-6

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El campo eléctrico

555

Q1=-'5j.tC

Q2=+50.LC

P

(a) Ejemplo 21-7. En (b), no se conocen las longitudes relativas de E1 y E2, esto sucede hasta que se realizan los cálculos.

r2=8.Ocm

FIGURA 21-25

.

E

Q1

Q2

(b)

L2

Campo eléctrico E entre dos cargas puntuales. Dos cargas puntuales estan separadas por una distancia de 10.0 cm. Una tiene una carga de -25 tC y La otra de +50 C. (a) ,Cuál es Ia direcciOn y magnitud del campo eléctrico en el punto P que está situado entre ambas cargas, es decir, a una distancia de 2.0 cm de la carga negativa (figura 21-25a)? (b) Si un electron se coloca en reposo en el punto P, j,cuál será su aceleraciOn inicial (dirección y magnitud)? SOLUCION

(a) El campo está integrado por La combinaciOn de dos campos que

apuntan a Ia izquierda: el campo que genera La carga negativa Q apunta hacia Q1, y el campo que genera Ia carga positiva Q2 se aleja de Ia carga Q2, se dirige a La izquierda, figura 21-25b. For tanto, podemos sumar algebraicamente las magnitudes de ambos campos:

E-

Q2 2+k2 r2

Q1 r1

(Q2/Q) Q2" Q1 I 2+2 -k211+1212 r21r1 r2 /

(Q

r1

r1

En el Oltimo paso factorizamos el término (Q1/r). Al sustituir r1 = 2.0 cm = 2.0 xlO-2myr2=8.0 X 102m: (25 x 10-6 C) 1 (50/25) Ii + (8.0/2.0)2 E = (9.0 X iO Nm2/C2)

= 5.6 x

(2.0 X 10_2m)2

108

1 + 1N/C = 6.3 x

L

108 N/C.

Cabe indicar que el hecho de factorizar el término Q1/r en Ia primera lInea nos permite observar las fuerzas relativas de los dos campos que interaccionan, el campo de es solamente del campo de Q1(o del campo total). (b) El electrOn sentirá una fuerza que se dirige hacia Ia derecha, porque tiene carga negativa y en consecuencia la aceleración también se dirigirá a Ia derecha. Partiendo de Ia definición de campo eléctrico, ecuación 21-3, Ia fuerza en cualquier carga q (aOn si esta no es pequena) que se coloca en un campo eléctrico E está determinada por F = qE. En consecuencia, la magnitud de La aceleraciOn es (1.60 x 10 C)(6.3 x 108 N/C) qE F = 1.1 x 10 20 rn/s.2 a= m = m = 9.1 X 10-31 kg Campo eléctrico E encima de dos cargas puntuales. Calcule el campo eléctrico total: (a) en el punto A, y (b) en el punto B de acuerdo con Ia figura 21-26, debido a las cargas Q1 y Q2 (a) El cálculo es muy similar al del ejemplo 21-4, pero esta vez tratamos con campos eléctricos. El campo eléctrico en A es igual a la suma vectorial de los campos EAt debido a Q1, y EA2 debido a Q2; para cada carga puntual E = kQ/r2, por tanto SOLUCION

RESOLUCION DE PROBLEMAS

EAL =

EA2 =

(9.0 X iO N . m2/C2)(50 x 10-6 C)

(0.60 rn)2 (9.0 X i0 Nm2/C2)(50 X 10-6 C) (0.30 rn)2

= 1.25 x

= 5.0 x

106 N/C, 106

N/C.

Se indican las direcciones, en consecuencia el campo eléctrico total en A, EA, tiene las siguientes componentes

EAX = EAlcos3O° = 1.1 x 106 N/C, EAY = EA2 - EAI sen 300 = 4.4 x i0 N/C. 556

CAP1TULO 21


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EA2, Y

-A

EB2

B -4

'EB

30cm .... -. -...

26cm

a

\

26cm

x = -50 lLC

Q2=+50LC

Cálculo del campo eléctrico en Los puntos A y B para el ejemplo 21-8. FIGURA 21-26

Por tanto, la magnitud de EA es

EA = V'(1.1)2 + (4.4)2 x 106 N/C = 4.5 X 106 N/C, y su dirección 4) está determinada por tan 4) = EAY/EAX = 4.4/1.1 = 4.0, por lo que 4) = 76°. (b) Dc acuerdo a! teorema de Pitágoras, como el punto B está a una distancia de 40 cm de las dos cargas, que son iguales, las magnitudes de EBI y E2 son idénticas, es decir EBI

=

EB2

(9.0 x iO N m2/C2)(50 x 10-6 C)

kO =

2


=

= 2.8 x

(0.40m)2 106 N/C.

Además, debido a Ia simetrIa, las componentes en y tienen Ia misma magnitud pero signos opuestos. En consecuencia, ci campo total EB es horizontal e igual a EBI cos 0 + EB2 cos 0 = 2EBI cos 0; dcl diagrama, cos 0 = 26 cm/40 cm = 0.65. Entonces

EB = 2EBI cos 0 = 2(2.8 x 106 N/C)(0.65) = 3.6

X 106 N/C,

y Ia direcciOn de EB es paralela a! eje +x.

RESOLUCION DE PRO BLEMAS En la resoluciOn de problemas de electrostática se debe seguir el procedimiento general para la resolución de problemas que se analizó en la secciOn 4-8 del volumen I. En forma especial el alumno debe: Elaborar con sumo cuidado un diagrama de cuerpo libre para cada objeto, el cual debe indicar todas las fuerzas que actüan sobre ese objeto, o el campo eléctrico en ese punto que generan todas las fuentes. Aplicar Ia icy de Coulomb para calcular Ia magnitud de Ia fuerza que ejerce cada una de las cargas sobre el objeto con carga, o el campo eléctrico en ese punto. Solamente

se deben considerar las magnitudes de las cargas (sin

considerar el signo menos), para obtener ia magnitud de cada fuerza o campo eléctrico. Luego se determina en forma fIsica Ia dirección de cada fuerza o campo eléctrico (cargas iguales se repeien, cargas opuestas se atraen). El diagrama debe mostrar e identificar cada vector de fuerza. Luego se suman en forma vectorial todas las fuerzas que actUan sobre ci objeto, o los campos que contribuyen en un punto, para obtener ia resuitante. Siempre que sea posibie se deben apiicar los conceptos de simetrIa (geométrica).

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SECCION 21-6

El

campo eléctrico

557

Cálculo del campo eléctrico para distribuciones continuas de carqa En La mayor parte de los casos, podernos tratar a una cargat como si estuviera distribuida en forma continua. Se puede separar una distribuciOn de cargas hasta liegar a cargas infinitesimales dQ, cada una de las cuales actuará corno una pequena carga puntual. La contribuciOn al campo eléctrico a una distancia r de cada dQ es

dE=

ldQ

(21-6a) r2 Eritonces, el campo eléctrico E en cualquier punto se obtiene a! sumar todas las contri4ITE0

buciones infinitesirnales, que es Ia integral E

dE. (21-6b) = J Observe que dE es un vector (Ia ecuación 21-6a proporciona su magnitud). [En los casos donde la ecuaciOn 21.6b es difIcil de evaluar, con frecuencia se pueden aplicar otras técnicas (que se analizarán en los dos capItulos siguientes) para determinar E. En La rnayorIa de los casos tarnbién se puede utilizar la integración numerica.]

Anillo con carga.

Un objeto pequefio con forma de anillo y radio

a raniene na carga total Q, la cual está distribuida en forma uniforme airededor de todo ci anillo. Determine ei campo eléctrico en el punto P del eje del anillo, que está a una distancia x del centro del mismo. Véase Ia figura 21-27. Suponga que X es Ia carga por unidad de longitud (C/rn).

El carnpo eléctrico dE que genera un segrnento particular del anillo, que tiene una longitud dl, tiene la siguiente rnagnitud SOLUCION

dE=

ldQ

4r0 r

2

El anillo completo tiene una longitud (circunferencia) de 2ira, por tanto Ia carga en una longitud dl es

dl)

= Ad!

dQ = Q( 2lTa

donde A = Q/2ira es Ia carga por unidad de longitud. Ahora podernos expresar a dE como

dE= RESOLUCION DE PROBLEMAS

1

Ad

4ire0 r

El vector dE está integrado por dos cornponentes, dE que corre a lo largo del eje x y dE1 que es perpendicular al eje x (véase la figura 21-27). Vamos a surnar (integrar) en todo ci anillo. Cabe indicar que un segrnento diarnetralrnente opuesto, d4 que tiene Ia rnisrna longitud producirá un vector dE cuya componente ser perpendicular al eje x y cancelará a Ia cornponente dE1. Lo anterior es válido para todos los segmentos del Como asumimos que existe una carga minima (e), este tratamiento se elige por conveniencia; no obstante, resuita (itil y exacto porque normaimente ci valor de e es mucho más pequeno que las cargas macroscópicas.

FIGURA 21-27

Ejemplo 21-9.

dEdEcosO x

dE1

558

CAPITULO 21


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dE

anillo, en consecuencia, por simetrIa E estará dirigido a lo largo del eje x, solamente necesitamos sumar las componentes en x, dEs. Entonces, el campo total es

E=E=

JdEx

=

JdEcose

Como cos 0 = x/r, donde r = (x2 +

E=

se tiene que

x

A

(4) (x2 + a2)

41AJcosO.

=

dl =

1

Ax(2ra)

1

Qx

4r0 (x2 +

10

4re0 (x2 + a2) A mayores distancias, x >> a, Ia expresion anterior se reduce a E = Q/4ir0x2. Podemos esperar este resultado ya que a mayores distancias el anillo se parecerá a una carga puntual (dependencia en 1/r2).


Observe que en este ejemplo se pueden utilizar tres "trucos" o técnicas importantes para resolver problemas: (1) aplicar el concepto de simetrIa para reducir Ia cornplejidad del problema; (2) expresar Ia carga dQ en términos de una densidad de carga (que en este caso es lineal, A = Q/2ira); y (3) verificar La respuesta en el ilmite de r, cuando r aumenta, lo cual sirve como indicaciOn (pero no es prueba definitiva) de Ia veracidad de Ia respuesta. Si el resultado no es correcto cuando el valor de r es máximo, sin duda el resultado estará completamente mal. Carga en una Ilnea larga. Determine Ia magnitud del campo eiectrico en cuaiquier punto P que está a una distancia x de una lInea muy larga (por decir un alambre) de una carga que está distribuida en forma uniforme, figura 21-28. Suponga que x es mucho más pequena que Ia longitud del alambre y A es Ia carga por unidad de longitud (C/rn). SOLUCION Partimos de un sistema de coordenadas donde el alambre está en el eje y y el origen está en 0 como se indica en la figura. Un segmento de alambre dy tiene una carga dQ = A dy. El campo dE en P, que genera esa longitud de alambre en y, tiene Ia siguiente magnitud Ady dQ 1 1 dE= 4ire0 r2 = 4ir0 (x2 +


dy

I y

donde r = (x2 + y2) como se indica en Ia figura 21-28. El vector dE tiene las

componentes dE y dE como se muestra, donde dE = dE cos0 y dE = dE sen 0. Si el alambre es extremadamente largo en ambas direcciones (lo suficiente como para

que las contribuciones lejanas tengan poco efecto si se comparan con las contribuciones cercanas), 0 si 0 está en el punto medio del alambre (aun cuando el alambre ten-

ga poca longitud), entonces Ia componente y de E será cero porque existe una cantidad igual de contribuciones a E = fdE arriba y abajo del punto 0, por tanto

E=

FIGURA 21-28

Ejemplo 21-10.

JdEsenO = 0.

Entonces tenemos que

E=E=

JdEcoso

fcosody

A

4ir0

x2 + y2 E proceso de integración ha terminado, en toda Ia longitud del alambre tratamos a x como una constante. Ahora debemos escribir a 0 corno una función de y, o a y como una función de 0. Lo haremos rnás adelante, ya que y = x tan 0, dy = x dO/cos2 6, y (x2 + y2) = x2/cos2 6. Entonces E =

A

1r/2 I

41TE0 X J-ir/2

cosOdO =

J

A

4re0x

(sen0)

ir/2

-/2

=

1

A

21TE0 X

luego entonces hemos asumido que el alambre es extremadamente largo en ambas direcciones (y -+ ±oo), lo que corresponde a los lImites 0 = ± r/2. Por tanto el camp0 de una lInea recta y larga de carga disminuye inversamente con respecto a Ia primera potencia de Ia distancia del alambre. Este resultado, que se obtuvo a partir de un alambre infinito, es una aproximación aceptable para un alambre que tiene longitud finita, siempre y cuando x sea pequefla si se compara con la distancia P desde los extremos del alambre.

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SECCION 21-7

559

Disco con carga uniforme. La carga está distribuida de manera uniforme en un disco circular de poco espesor y radio R. La carga por unidad de area (C/rn2) es ci. Calcule el campo eléctrico en ei punto P en ci eje del disco, a una distancia z por encirna de su centro, véase la figura 21-29. SOLUCION Podernos pensar que el disco está integrado por una serie de anillos concéntricos. En consecuencia se puede aplicar el resultado del ejemplo 21-9 a cada urio de estos anillos, para después surnar los resuitados de todos los anillos. Para ci dQ

anillo de radio r que se muestra en la figura 21-29, ei campo eléctrico tiene Ia siguiente magnitud

Ejemplo 21-11: un disco piano que tiene carga uniforme y radio R.

dE=

FIGURA 21-29

zdQ

1

4ire0

(z2 +

en este caso se ha utiiizado ci resultado dcl ejemplo 21-9, y se ha utilizado dE (en vez

de E) para este anillo delgado que tiene una carga total dQ. El area dcl anillo es

(dr)(2irr), al considerar e insertar la cxpresiOn de carga por unidad de area

ci

= dQ/(2irr dr) se obtiene: 1

dE

zcr2irr dr

zcrr dr

(z + r2)

2e0(z2 + r2) Ahora se suman los datos de todos los anillos comenzando con r = 0, hasta ilegar al anillo más grande con r = R:

E= 2 J0

r dr (z2 +

zo-

2

1

L

- 2 [Ii

]R

1

(z2 + r2)]o z

1 I

(z2 + R2)1]

La exprcsion anterior proporciona Ia magnitud de E en cualquier punto z que es paralelo al eje dcl disco. La direcciOn de cada dE que produce cada anillo es paralela al eje z (corno en ci ejemplo 21-9), y en consecuencia, La dirección dc E es paralela a z. Si Q (y ci) son positivos, entonces E apunta hacia fuera dcl disco, si Q (y ci) son negativos, E apunta hacia ci interior del disco. Si ci radio del disco en ci ejemplo 21-11 es mucho rnayor quc la distancia del punto P al disco, (p. ej., z <
E= 2

[piano infinito]

(21-7)

Este resultado es válido para cualquier punto que está encima (o abajo) de un piano infinito dc cualquicr forrna, quc manticnc una dcnsidad dc carga uniforrnc ci. Tarnbién es válido para los puntos que están cerca de un piano finito, sicrnpre quc ci punto csté ccrca dci piano si se compara con ia distancia a Ia csquina dci piano. Por tanto, un campo que csté cerca de un piano dc gran tarnaño y carga uniforrne tarnbién scrá uniforrnc, y cstará dirigido hacia ci exterior dci piano si Ia carga de este ültirno es positiva. Resulta interesante comparar la dcpcndcncia en ia distancia dcl campo eléctrico quc genera una carga puntual (E 1/r2) dcbido a una lInca de carga bastante uniforme (E 1/r), y dcbido a un piano de carga muy uniforme (E no depende dc r).

Dos placas paralelas. Determine ci campo eléctrico que sc

forma cntrc dos placas largas y paralcias, ci espcsor de ambas es rnuy pcqucfio y cstán scparadas por una distancia d, Ia cual es pequefia si se compara con las dimensioncs dc las piacas. Una piaca transporta una densidad de carga uniforme ci y la otra transporta una densidad dc carga uniforme -ci, corno sc mucstra en La figura 21-30. 560

CAPITULO 21


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E

-E

E=E+E=O

E=E+E. (a

_22)_ d

H

E=E+E=O

cr

H

FIGURA 21-30 Ejemplo 21-12.

SOLUCION De la ecuación 21-7, se tiene que cada placa establece un campo eléctrico cuya magnitud es E = ± cr/20. El campo que genera Ia placa positiva apunta hacia fuera de esta placa, mientras que el campo de Ia placa negativa apunta hacia el interior de Ia misma. En consecuencia, en la region que está comprendida entre ambas placas, los campos se suman como se muestra a continuación:

E=E+E=

ci

2

+

ci

ci

2

co

El campo es uniforme ya que las placas son muy largas si se comparan con la distancia que las separa, por consiguiente, este resultado es válido para cualquier punto, ya sea que esté cerca de cualquiera de las placas en un punto medio entre las placas, siempre que el punto se encuentre lejos de los extremos. Fuera de las placas los campos se cancelan, como se muestra en el diagrama.

E = E+E

2

ci

2

=

Estos resultados son válidos en forma ideal para placas que tienen una longitud infinita, pero además son una buena aproximaciOn para el caso de placas finitas si Ia distancia de separación es bastante menor que las dimensiones de Ia placa y los puntos no están muy cerca de las esquinas. Estos resultados Otiles y extraordinarios representan al principio de suoerposiciOn y sus enormes alcances.

LIneas de campo Como el campo eléctrico es un vector, con cierta frecuencia se conoce con el nombre de campo vectorial. Se puede indicar el campo eléctrico mediarite el uso de flechas que se colocan en varios puntos de acuerdo a un situaciOn determinada, como sucede en a, b y c en la figura 21-31. Las direcciones de Ea, Eb y E son iguales a las direcciones que se muestran en la figura 21-21, pero las longitudes (magnitudes) son diferentes puesto que se dividen entre q. Sin embargo, las longitudes relativas de Ea, Eb 31 E son iguales como en el caso de las fuerzas porque cada vez se divide entre la misma q. Sin embargo, para indicar de esta forma el campo eléctrico en muchos puntos, se tendria que utilizar una gran cantidad de flechas, lo que serIa complicado o confuso. Para evitar lo anterior, se utiliza otra técnica, Ia de las lIneas de campo.

Para visualizar el campo eléctrico, se dibujan una serie de lIneas para indicar La dirección del campo eléctrico en varios puntos del espacio. Estas lIneas de campo eléctrico (que también se conocen como Ilneas de fuerza) se dibujan de tal forma que indiquen Ia direcciOn de la fuerza debido a un campo determmado que actOa en una carga positiva de prueba. La figura 21-32a muestra las lIneas de fuerza que genera una carga positiva de prueba (aislada), en cambio Ia figura 21-32b muestra Las lIneas de fuerza en una carga negativa de prueba (aislada). En la parte (a) las lIneas apuntan en forma radial hacia el exterior de la carga; y en Ia parte (b) las lineas apuntan en forma radial hacia el interior de La carga porque Ia direcciOn de la fuerza actuarla sobre una carga de prueba positiva en cuaLquiera de Los casos (como sucede en La figura 21-23). SOlo se muestra una pequena cantidad representativa de lIneas, aunque también se podrIan dibujar más ilneas entre las JIneas que se muestran en las figuras, ya que ahI también existe el campo eléctrico. En conclusiOn, siempre se podrán dibujar IIneas en una forma tal que Ia cantidad de lIneas que surgen de una carga positiva, o que terminen en una carga negativa, sea proporcional a Ia magnitud de Ia carga. También se puede indicar lo siguiente: conforme se van acercando Las Ilneas a la carga, donde el campo eléctrico es mayor, las lIneas estarán más cerca unas de otras. Esta es una propiedad general de las LIneas de campo eléctrico: conforme se van acercando entre si, el campo eléctrico se tornará más fuerte en esa region. De hecho, se pueden dibujar Las lIneas de tal forma que la cantidad de lIneas que cruzan una unidad de area que es perpendicular a E sea proporcional a la magnitud del campo eléctrico.

Ea

ci

Eb

Vectores de campo eléctrico que corresponden a tres puntos, debido a una sola carga puntual Q. (Compare esta ilustración con FIGURA 21-31

la figura 21-21.)

Lfneas de campo eléctrico (a) cerca de una sola carga puntual positiva, (b) cerca de una sola carga puntual negativa. FIGURA 21-32

SECCION 21-8

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/

(a)

(b)

LIneas de campo

561

La figura 21-33a muestra las lIneas de campo eléctrico que generan dos cargas que tienen signos opuestos. En este caso las lIneas de campo eléctrico presentan cierta curvatura y se dirigen de Ia carga positiva a la negativa. La direcciOn del campo en cualquier punto es en forma tangencial, como lo indica Ia flecha que está en el punto P. Para convericer a! lector de que este es el patron adecuado para las lIneas de campo eléctrico, puede realizar cálculos similares a los que se realizaron en el ejemplo 21-8 sOlo para este caso (véase la figura 21-26). Las figuras 21-33b y 21-33c muestran las lIneas de campo eléctrico (b) para dos cargas positivas de igual magnitud, y (c) para dos cargas desiguales +2Q y -Q, observe que el doble de Ilneas salen de +2Q con respecto a Ia cantidad de 11neas que entran a -Q (Ia cantidad de ilneas es proporcional a Ia magnitud de Q). Por ültimo en (d) se observa el campo entre dos placas paralelas que tienen cargas opuestas. Cabe indicar que las lIneas de campo eléctrico entre las dos placas surgen en forma perpendicular a Ia superficie de las placas de metal (en la siguiente secciOn se vera que esto siempre es cierto) y van directamente de una placa a otra, como era de esperarse, ya que Ia carga positiva de prueba que se coloca entre las placas experimentará una fuerte repulsiOn de Ia placa positiva y una fuerte atracciOn hacia Ia placa negativa. Las lIneas de campo entre las placas son paralelas y tienen una separacion uniforme en la region central, lejos de los bordes (como sucede en el ejemplo 21-12), pero se comban hacia fuera cerca de los bordes. En consecuencia, en La region central, el campo eléctrico tiene Ia misma magnitud en todos los puntos, y se puede escribir (véase el ejemplo 21-12)

(r (a)

(b)

E = constante = -- [entre dos placas paralelas que están cerca una de otra] EU

(21-8)

La deformaciOn del campo cerca de los bordes se puede ignorar con bastante frecuencia, en particular si Ia separaciOn de las placas es pequena en comparaciOn con su tamaño. Las propiedades de las lIneas de campo se pueden resumir de la siguiente forma:

Las IIneas de campo indican Ia direcciOn del campo eléctrico; el campo apunta en direcciOn tangente a Ia lInea de campo en cualquier punto. Las lIneas se dibujan de tal forma que la magnitud del campo eléctrico E sea proporcional a Ia cantidad de lIneas que cruzan Ia unidad de area perpendicular a las Ilneas. Mientras más cerca estén las ilneas, el campo será más fuerte. Las lIneas de campo eléctrico parten de las cargas positivas y terminan en las cargas negativas, la cantidad de IIneas que comienzan o terminan es proporcional a la magnitud de Ia carga. I

FIGURA 21-33 LIneas de canipo eiéctrico que corresponden a cuatro arreglos diferentes de cargas.

FIGURA

21-34 Campo gravitacional

de La Tierra.

Cabe indicar que las ilneas de campo nunca se cruzan. Por qué? Porque no tendrIa sentido que el campo eléctrico tuviera dos valores en el mismo punto. El concepto de campo también se puede aplicar a Ia fuerza gravitacional, como se mencionó en el capItulo 6 del volumen I. En consecuencia se puede decir que existe un campo gravitacional para cada objeto que tiene masa. Un objeto atrae a otro mediante el campo gravitacional. Por ejemplo, se puede decir que La Tierra posee un camP0 gravitacional (figura 21-34) que es responsable de la fuerza gravitacional en los objetos. El campo gravitacional se define como la fuerza por unidad de masa. La magnitud del campo gravitacional de Ia Tierra en cualquier punto es (GMT/r2), donde MT es Ia masa de Ia Tierra, r es Ia distancia del punto al centro de La tierra, y G es La constante gravitacional (capItulo 6, volumen I.) En Ia superficie de la tierra, r es simplemente el radio de Ia Tierra y el campo gravitacional es igual a g, Ia aceleraciOn debida a !a gravedad (ya que F/rn = mg/rn = g). Más allá de Ia Tierra, el campo gravitacional se puede calcular en cualquier punto como La suma de términos debido a la Tierra, el So!, La Luna y otros cuerpos que contribuyen de manera importante.

Campos eléctricos y conductores Ahora analizaremos algunas propiedades de Los conductores. Primero, el carnpo eléctrico en el interior de un conductor es cero en Ia situación estática, es decir, cuando Las cargas

están en reposo. Si existe un campo eléctrico en el interior de un conductor también existirá una fuerza que actOa en sus electrones libres. Los electrones se moverán hasta que alcancen posiciones donde el campo eléctrico sea cero, y en consecuencia Ia fuerza eléctrica que actOa sobre ellos también será cero. 562

CAPITULO 21


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Este razonamiento tiene consecuencias interesantes. La primera es que cualquier carga neta en un conductor se distribuirá en su superficie. Para un conductor que tiene carga negativa, se puede imaginar que las cargas negativas se repelen unas a otras y se desplazan hacia La superficie para Ilegar tan lejos unas de otras como sea posible. Otra consecuencia es la siguiente: supóngase que una carga positiva Q está rodeada por un conductor de metal que no tiene carga y está aislado, y tiene forma de una cubierta esférica, véase Ia figura 21-35. Como no puede existir un campo en el interior del conductor de metal (o esfera), Las ilneas que salen de La carga positiva deben terminar en las cargas negativas que se encuentran en La capa interior del conductor de metal. En consecuencia se induce una carga negativa de igual magnitud -Q en La superficie interna de la cubierta esférica. Luego entonces, como Ia cubierta es neutral, debe existir una carga positiva con la misma magnitud +Q en La superficie externa de Ia cubierta. Aunque no existe ningiin campo en la cubierta de metal, si existe un campo eléctrico fuera de Ia cubierta (como se indica en Ia figura 21-35) como si esta no existiera. Una propiedad que está relacionada con los campos eléctricos y conductores estáticos es La siguiente: el campo eléctrico siempre es perpendicular a la superficie exterior de un conductor. Si existiera una componente de E que fuese paralela a Ia superficie (figura 21-36), los electrones de la superficie se moverlan a lo largo de la superficie en respuesta a esta fuerza hasta alcanzar posiciones donde no se ejerza fuerza neta (sobre ellos) que sea paralela a Ia superficie, en otras palabras, hasta que el campo eléctrico sea perpendicular a Ia superficie. Estas propiedades corresponden solamente a los conductores. En el interior de un material no conductor (que no tiene electrones libres) también puede existir un camp0 eLéctrico como se vera más adelante en el capItulo 24. Y el campo eléctrico en el exterior de un material no conductor no necesariamente forma un ángulo de 90° con Ia superficie.

-£

Conductor

/

Carga que se coloca en el interior de una cubierta esférica. Las cargas se inducen en las superficies del conductor. El campo eléctrico se extiende más allá de La cubierta, no asI hacia el interior del conductor FIGURA 21-35

niismo. FIGURA 21-36 Si el campo eléctrico E en Ia superficie de un conductor tiene una componente que es paralela

a Ia superficie, E11, esta ültima acele-

rará a los electrones haciendo que se muevan. En el caso estático (cuando Las cargas no se mueven), E11 debe ser

Blindaje y seguridad durante una tormenta e.éctr.ca. Si se coloca una caja hueca de metal entre dos placas paralelas que están cargadas, como se muestra en la figura 21-37a. j,Cuál será el campo eléctrico en el interior de la caja? E IEMPLO CONCEPTUAL 21-13

Si nuestra caja de metal fuera sOlida, Los electrones de Ia caja se distribuirlan entre si en la superficie de forma que las LIneas de campo no penetraran el metal conductor de La caja, esto sucederla aun cuando Ia carga global de los electrones fuera neutral. En cambio si la caja es hueca, el campo externo no cambia porque los electrones del metal se pueden mover con tanta facilidad (como antes) en la superficie. De aquI se concluye que el campo en el interior de una caja hueca de metal es cero. En consecuencia las LIneas de campo son algo similar a lo que se muestra en La figura 21-37b. De esta forma se puede utilizar una caja conductora como un dispositivo efectivo para blindar equipos y circuitos electrónicos delicados de campos eléctricos externos e indeseables. También puede observarse que el interior de un automOvil es un

cero y en consecuencia el campo eléctrico debe ser perpendicular a La superficie del conductor: E = E1.

Ei---- E

RESPUESTA

II

E ien cc.

lugar relativamente seguro que permite guarecerse durante una tormenta eléctrica, ya que la persona estarIa rodeada por una cubierta de metal. También se puede observar en la figura 21-38 que la persona que se encuentra en el interior de una "jaula" porosa estará protegida de una descarga eléctrica de gran intensidad. FIGURA 21-37

r

FIGURA 21-38 En la vecindad de esta jaula de Faraday existe un campo eléctrico de gran magnitud, el campo es tan intenso que Los electrones son jalados de los átomos del aire y Ia carga fluye hacia (o de) Ia jaula de metal. De cualquier forma Ia persona que está en el interior de la jaula no resulta afectada.

Ejemplo 21-13.

L

-

SECCION 21-9

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Campos eléctricos y conductores

563

Movimiento de una partIcula con carga en un campo eléctrico Si un objeto que tiene una carga eléctrica q se encuentra en un punto del espacio donde el campo eléctrico es E, Ia fuerza en el objeto estará determinada por

F = qE (véase la ecuaciOn 21-3.) En las secciones anteriores se estudió cómo determinar E para ciertas situaciones particulares. Ahora vamos a suponer que se conoce E y se desea encontrar La fuerza en un objeto que tiene carga y su movimiento subsecuente.

E

V

Electron acelerado por un campo eléctrico. Un electrOn (cui0 x 10-31 kg) se acelera en un campo uniforme E (E =X2.0 ya masa es m = N/C) entre dos placas paraLelas y cargadas. Las separaciOn de las piacas es 1.5 cm. El electrOn se acelera desde ci reposo cerca de la placa negativa y pasa a través de una pequena perforaciOn que existe en la piaca positiva, figura 21-39. (a) j,Con qué velocidad saliO de la perforaciOn? (b) Demuestre que la fuerza gravitacional se puede ignorar. Suponga que Ia perforaciOn es tan pequena que no afecta al campo uniforme que existe entre las placas. SOLUCION

(a) La magnitud de Ia fuerza en el electron es

F = qE FIGURA 2 1-39

Ejemplo 21-14.

y se dirige a Ia derecha. La magnitud de la aceleraciOn del electron es

a=

F m

=

qE m

Entre las piacas E es uniforme, en consecuencia el electrOn experimenta un movimiento uriiformemente acelerado cuya aceleración es a

(1.6 x 10-' c)(2.o >< i0 N/C) (9.1 x 10-31 kg)

= 3.5 X 1015 rn/s2.

Si viaja una distancia x = 1.5 >< 102 m antes de tiegar a la perforaciOn, y como su veloci-

dad inicial era cero, se puede utilizar Ia siguiente ecuación de cinemática v2 = v + 2ax (ecuaciOn 2-12c), con v0 = 0:

v = \2ax =

\"2(3.5

X

i0 rn/s2)(1.5 x 10-2 m) = 1.0 x iO rn/s.

No existe campo eléctrico fuera de las placas, por tanto, después que el electrOn ha pasado Ia perforación se mueve con esta velocidad, que ahora es constante. (b) La magnitud de Ia fuerza eléctrica en ci electrOn es

qE = (1.6

X

109C)(2.0

X

iO N/C) = 3.2

X

10'5N.

La fuerza gravitacional es

mg =

(9.1 X

i0' kg)(9.8 m/s2) = 8.9

X

iO-° N,

jsu valor es 1014 veces más pequenoj Nótese que el campo eléctrico que genera ci electrOn no es parte del problema (ya que una partIcula no puede ejercer fuerza sobre 51

564

CAPITULO 21

misma).


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Electron que se mueve perpendicular a E. Suponga que un electron (ulgamos del ejemplo 21-14) viaja a una velocidad v0 = 1.0 X i0 rn/s y entra a un campo eléctrico uniforme E en ángulo recto a v0 como se muestra en Ia figura 21-40. Describa su movimiento al proporcionar Ia ecuaciOn de su trayectoria mientras viaja en el campo eléctrico. Ignore Ia gravedad. SOLUCION Cuando el electron entra a! campo eléctrico (en x = y = 0) tiene una velocidad v0 = v0i en Ia direcciOn x. El campo eléctrico E, que apunta verticalmente hacia arriba, imparte una aceleración vertical y uniforme al electrOn de a

=

F

qE

m

m

luego hacemos q =

y=

y

E

I

V0

I) EL-

4.

FIGURA 21-40

+

.4-

Ejemplo2l-15.

eE m

para el electrOn. Su posiciOn vertical está determinada por 1

-apt 2 2

eE = ----1 2m

2

porque el movimiento es a aceleración constante. La posiciOn horizontal está determinada por

x = v01 puesto que

a,

= 0. Al eliminar t en ambas ecuaciones Se obtiene

-

eE

2

que es La ecuaciOn de una parabola (como en el caso de movimiento de proyectiles, secciOn 3-7).

Dipolos eléctricos La combmaciOn de dos cargas de igual magnitud y signo contrario +Q y -Q que estthi Se-

paradas por una distancia I se conoce como dipolo eléctrico. La cantidad QI se conoce como momento dipolar y está representadat por el sImbolo p. El momento dipolar se puede considerar como un vector p cuya magnitud es QI. Este vector apunta de Ia carga

negativa a La carga positiva corno se muestra en Ia figura 21-41. Muchas moléculas, corno sucede con la molécula diatómica de CO, tienen un momento dipolar (el C tiene una pequena carga positiva y el 0 una pequena carga negativa de igual magnitud), y se conocen

como moléculas polares. Aun cuando Ia molécula es neutral en su totalidad, existe una separación de carga que es resultado de la comparticiOn desigual de electrones en los dos atomos. (Las moléculas diatOmicas simétricas, como el 02, no tienen momento dipolar.) La molécula de agua, con su comparticiOn desigual de electrones (0 es negativo y los dos H son positivos), también tiene un momento dipolar, véanse las figuras 21-4 y 21-42.

FIGURA 21-41 Un dipolo está formado pot cargas iguales pero de signo opuesto +Q, -Q que están separadas por una distancia I. El momento dipolar es p = QI y apunta de Ia carga negativa a Ia carga positiva.

-Q

p

-s

El lector debe tener cuidado para no confundir esta p de momento dipolar con Ia p de momentum. valor de las cargas separadas puede ser una fracción de e (digamos ± O.2e o ± O.4e) pero cabe indicar que estas cargas no violan Ia afirmación que hicimos at respecto de que e era Ia carga ms pequena. Las cargas inferiores a e no se pueden atsiar y simptemente represenlan cuánto tiempo pasan los electrones alrededor de un átomo.

En Ia molécula de agua (H20) los electrones pasan més tiempo alrededor del átomo de oxIgeno que alrededor de los dos átomos de hidrOgeno. El momento dipolar neto p se puede considerar como Ia suma vectorial de dos momentos dipolares P Y P2' los cuales apuntan de 0 hacia cada H como se muestra en Ia figura, FIGURA 21-42

0

P = Pt +

SECCION 21-11

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Dipolos eléctricos

565

F=QE 0

Dirrnlo en un campo externo Primero vamos a considerar un dipolo, cuyo momento dipolar es p = QI, que se coloca en un campo eléctrico uniforme E como se indica en Ia figura 21-43. Si el campo es uniforme, la fuerza QE en Ia carga positiva y Ia fuerza -QE en Ia carga negativa no producen ninguna fuerza neta en el dipolo. Sin embargo, existirá un par (torque) en el dipolo cuya magnituci será igual a (calculada en el centro del dipolo, punto 0)

-Q

QE - sen 0

= QE sen 0 +

T

F=-QE

= pE sen 0.

(21-9a)

Que se puede escribir en notación vectorial como T

FIGURA 21-43

Dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme.

= p x E.

(21-9b)

El efecto del par es tratar de girar el dipolo para que p sea paralelo a E. El trabajo W que realiza el campo eléctrico en el dipolo para modificar el ángulo de 0 de 0 a 02 esta determinado por (véase la ecuación 10-22) 102

W =

T dO

io

102

= pE

sen 0 dO = -pE cos 0

Jo1

02

= pE(cos 01 - cos 02).

UI

El trabajo que realiza el campo disminuye Ia energIa potencial del dipolo (U) en este campo. Si se tiene que U = 0 cuando p es perpendicular a E (0 = 900) entonces (21-10) -pE cos 0 = -p E. U Si el campo eléctrico no es uniforme, Ia fuerza en +Q del dipolo puede no tener Ia misma magnitud que Ia fuerza en -Q, en consecuencia puede existir una fuerza neta, además de un par.

=w=

Cam'o eléctrico producido 'br un di'olo Hasta ahora hemos analizado cómo afecta un campo eléctrico externo a un dipolo

Campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico. FIGURA 21-44

, E. I' 4)

E4

/

E = E++E,

1)

Donde E y E- son los campos que generan las cargas + y - respectivamente. Las

T

E, /

eléctrico. Ahora vamos a suponer que no existe ningün campo externo y deseamos determinar el campo eléctrico que produce el dipolo. Para fines de simplicidad, nos restringimos a los puntos que están en el bisector perpendicular del dipolo, como el punto P en la figura 21-44 que está a una distancia r por encima del punto medio del dipolo. Cabe indicar que r en la figura 2l-44 no es Ia distancia de cualquiera de las cargas al punto P, esta ültima es (r2 + /2/4) Este valor se debe utilizar en Ia ecuaciOn 21-4. El campo total en P es

magnitudes de

',

y E.. son iguales:

E

r

-

1

Q

4E0 r2 + 12/4

Sus componentes en y se cancelan en el punto P, de tal forma que Ia magnitud del campo total E es -Q

1

0

2

1

2

E = 2Ecos4)

+Q

=

1(

Q

2 r2 + 12/4) 2(r2 + 12/4) "I

0

E

1

p

4ire0 (r2 + J2/4)

en el bisector perpendicular del dipolo

Lejos del dipolo, r>> 1, esta expresiOn se reduce a

E=

1

4ire0 r3

len el bisector perpendicular del dipolo; r >> I L

(21-12)

Por tanto el campo disminuye con mayor rapidez en un dipolo en comparaciOn con una sola carga puntual (1/i-3 contra 1/r2), lo que era de esperarse ya que a mayores distancias las dos cargas opuestas parecen estar tan cerca una de otra como para neutralizarse entre si. Esta deperidencia en 1/r3 también se aplica a los puntos que no están en el bisector perpendicular (véase Ia secciOn de Problemas). 566

CAP1TULO 21


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Dipolo en un campo. El momento dipolar de una molécula de agua es 6.1 X 1030 Cm. La molécula se coloca en un campo eléctrico uniforme cuya magnitud es 2.0 x iO N/C. (a) ,CuáI es la magnitud del par máximo que puede ejercer el campo en Ia molécula? (b) Cuál es la energIa potencial cuando el valor del par es máximo? (c) ,En qué posiciOn ser máximo el valor de Ia energIa potencial? j,Por qué es diferente esta posicion con relación a Ia posición donde el par es

mximo? SOIUCION

(a) De la ecuación 21-9 se observa que T es máximo cuando 6 es 90°.

Entonces T = pE = (6.1 X iO° Cm)(2.0 X i0 N/C) = 1.2 X 1024 Nm. La energIa potencial está determinada por la ecuación 21-10. Para 0 = 90° la

energIa potencial es cero. Cabe indicar que Ia energia potencial es negativa para valores pequenos de 0, en consecuencia U no es minima para 0 = 90°. La energia potencial será maxima cuando cos 6 = 1, por tanto 0 = 180°, esto significa que E y p son antiparalelos. La energia potencial es maxima cuando el dipolo se orienta de tat forma que tiene que girar a través del ángulo mas grande, 180°, para alcanzar Ia posición de equilibrio en 0 = 0°. For otra parte el par es máximo cuando las fuerzas eléctricas son perpendiculares a p.

Resumen Existeri dos clases de cargas eléctricas, positivas y negativas. Estas designaciones se toman en forma algebraica, es decir, cualquier carga puede ser positiva o negativa tantos coulombs (C) en unidades del SI. La carga eléctrica se conserva: Si cierta cantidad de una clase de carga se produce en un proceso, también se genera una cantidad igual pero del tipo opuesto, en consecuencia Ia carga neta que se produce es cero. Se puede entender mejor La electricidad si se aplica Ia teona atómica, La cual teoriza que un átomo esta formado por un nücleo que tiene carga positiva y está rodeado por electrones que tienen carga negativa. Cada electron tiene una carga

e = 1.6 X

1019 C.

Los conductores son aquellos materiales que tienen muchos electrones que tienen libertad de movimiento, mientras que los aisladores son aquellos materiales que tienen pocos electrones que se pueden mover. Un objeto tiene carga negativa cuando adquiere un exceso de electrones, por el contrario adquiere una carga positiva cuando tiene una cantidad inferior a Ia normal de sus electrones. En consecuencia La carga en cualquier objeto es un factor entero de +e o e. Es decir, Ia carga está cuantizada. Un objeto se puede cargar por frotamiento (lo que implica Ia transferencia de electrones de un material a otro), por conducciOn (que es Ia transferencia de cargas de un objeto cargado a otro por contacto), o por inducción (la separacion de cargas en el interior de un objeto debido al acercamiento con otro objeto cargado sin que exista contacto entre ambos). Las cargas eléctricas ejercen una fuerza sobre otras cargas. Si dos cargas son de tipos opuestos, una positiva y otra negativa, cada una ejercerá una fuerza de atracciOn sobre la otra. Si

ambas cargas son de signos iguales, entonces Ia fuerza sera de repulsion. La magnitud de la fuerza que ejerce una carga puntual sobre otra es proporcional al producto de sus cargas, e inversamente proporcional at cuadrado de Ia distancia que las separa:

F=k QIQ2 r 2' que es Ia ley de Coulomb. En unidades del SI, con frecuencia

k es 1/4ir0.

Pensamos en el campo eléctrico como si existiera en el espacio que rodea a cualquier carga o grupo de cargas. Se dice que Ia fuerza en otro objeto que tiene carga es producida por el campo eléctrico que está presente en su ubicación. El campo eléctrico E en cualquier punto del espacio que es generado por una o más cargas se define como Ia fuerza por unidad de carga que actuarIa en una carga de prueba q que se localiza en ese punto:

E=

F q

Los campos eléctricos están representados por lIneas de campo eléctrico que comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. Su dirección indica La direcciOn de la fuerza que estarIa presente en una pequena carga de prueba positiva que se localiza en ese punto. Las lineas se

pueden dibujar de tal forma que el ndmero de lIneas por

unidad de area sea proporcional a Ia magnitud de E. El campo eléctrico estatico (cuando las cargas no se mueyen) en el interior de un conductor es cero, y las lIneas de campo eléctrico justo en Ia parte exterior de un conductor con carga son perpendiculares a Ia superficie del conductor. Un dipolo eléctrico es la combinaciOn de dos cargas de igual magnitud y signos opuestos, +Q y -Q, que están sepa-

radas por una distancia 1. El momento dipolar es p = QI. Si el dipolo se coloca en un campo eléctrico uniforme no experimenta fuerza neta pero sI experimenta un par neto (a menos que p sea paralelo a E). El campo eléctrico que produce un dipolo disminuye a Ia tercera potencia de Ia distancia r del dipolo (E 1/r3) cuando r es grande en comparación con 1.

Resumen

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561

Preciuntas Si usted carga un cepillo de bolsillo al frotarlo con una mascada de seda, ,cómo puede determinar si ci cepillo se carga en forma positiva o negativa? ,Que es lo que provoca que las blusas o las playeras que se toman del cajOn se peguen al cuerpo? Explique porque las gotas de Jiuvia o de niebla tienden a formarse airededor de jones o electrones en el aire. Una varilla que tiene carga positiva se acerca a una pieza neutra de papel, a Ia que atrae. Dibuje un diagrama que muestre la separaciOn de cargas y explique por qué sucede Ia atracción. Por qué una regla de plástico que se ha frotado con un peda-

Considere el campo eléctrico en tres puntos que estn identificados con las letras A, B y C como se indica en Ia figura 21-45. Primero dibuje una flecha en cada punto para indicar Ia direcciOn de Ia fuerza neta que se ejercerIa sobre una carga de prueba p0-

sitiva si ésta se colocara en ese punto, iuego indique las letras

en orden decreciente de su intensidad de campo (primero La más fuerte.)

zo de trapo tiene Ia habilidad de atraer pedazos pequenos de papel? tPor qué resulta difIcil hacer lo anterior en un dIa hOmedo?

Compare Ia carga new en un conductor con el concepto de "cargas libres" en ci conductor.

Las figuras 21-7 y 21-8 muestran cómo es que una barra de plástico que se coloca cerca de un objeto de metal descargado

puede atraer (o repeler) electrones. Existe una gran cantidad de electrones en el metal, aunque solamente algunos de ellos se mueven como se indica. (,Por qué no se mueven todos? Cuando se carga un electroscopio, las dos hojas se repelen entre si y se separan formando cierto ángulo. ,Qué balancea La fuerza eléctrica de repulsion y evita que las hojas se separen aOn más? La forma de Ia icy de Coulomb es muy similar a Ia Icy de gravi-

tación universal de Newton. Cuáies son las diferencias entre ambas leyes? Compare además la masa gravitacional y la carga eléctrica. Normalmente no percibimos Ia fuerza gravitacional o eléctrica

entre dos objetos comunes. ,Cuál es ci motivo en cada caso? Indique un ejemplo que mencione cuándo percibimos ambas fuerzas y explique por qué.

La fuerza eléctrica es una fuerza conservativa? Indique por

qué si 0 por qué no. ,Cuál de las observaciones experimentales que se mencionan en ci texto rige La posibilidad de que ci numerador en Ia Icy de Coulomb contenga Ia suma de las cargas (Q1 + Q2) en vez dcl

producto de las cargas (Q Q)?

Cuando una regia de piástico con carga atrae pedazos pequefios

de papei, algunas veces una pieza salta y se aleja con rapidez después de haber tocado Ia regla, explique por qué sucede esto. Explique por qué se utilizan cargas de prueba pequenas cuando se miden los campos eléctricos. Cuando se determina un campo eléctrico, Lse debe utilizar una carga de prueba posiliva o se puede utilizar una carga negativa? Explique.

Dibuje las Ilneas de campo eléctrico que rodean a dos cargas

Pregunta 18.

tPor qué nunca se cruzan las Incas de campo eléctrico? Demuestre utilizando las tres reglas para las lIneas de campo que se mencionan en Ia secciOn 21-8, que las ilneas de campo eléctrico que inician o terminan en una sola carga puntual deben tener una separaciOn simétrica alrededor de Ia carga. Dadas dos cargas puntuales Q y 2Q separadas a una distancia 1, existe un punto a lo largo de Ia IInea recta que pasa a través de

ias cargas donde E = 0 cuando sus signos son (a) opuestos (b) iguales? Si Ia respuesta es si indique con claridad dónde estará ese punto. Suponga que ci anilo de La figura 21-27 tiene una carga negativa Q que está distribuida de manera uniforme. ,CuáI es La magnitud y direcciOn de E en el punto P? Considere una pequefia carga de prueba positiva que se localiza en una lInea de campo eléctrico en aigOn punto, por ejemplo en P de Ia figura 21-33a. tLa direcciOn de Ia velocidad yb aceIeraciOn de Ia carga de prueba se encuentra a lo largo de esta IInea? Analice.

Se desea determinar el campo eléctrico en un punto cerca de una esfera de metal con carga positiva (un buen conductor). Sc realiza lo anterior aI poner una pequena carga positiva de prueba, q0, en este punto y medir Ia fuerza que actOa en ella F0. (,EI cociente F0/q0 será mayor, menor o igual al campo eléctrico E como lo era en ese punto antes de que estuviera presente La carga de prueba?

,En qué se parece el movimiento de electrones del ejemplo

eléctricas negativas que están separadas por una distancia 1. Suponga que las cargas opuestas de Ia figura 21-33a están separadas por 12.0 cm. Considere que Ia magnitud del campo dee-

21-15 aL movimiento de proyectiles (secciOn 3-7)? (,En qué es diferente? Describa el movimiento dci dipolo que se muestra en La figura 21-43 si se libera del reposo en La posicion que se muestra.

carga, arriba, abajo, izquierda, derecha, es más fuerte ci campo eléctrico?, en qué lado es más débil?

Explique por qué puede existir una fuerza neta en un dipolo

trico está a 2.5 cm de Ia carga positiva. En qué lado de esta

568

FIGURA 21-45

CAP1TULO 21


eléctrico que se coloca en un campo eléctrico no uniforme.

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Problemas

-

(I) Calcule la magnitud de Ia fuerza entre dos cargas puntuales de 2.50 C que están separadas por una distancia de 3.0 m. (I) Cuántos electrones integran una carga de -30.0 C? (I) Cul es Ia magnitud de La fuerza eléctrica de atracciOn entre el nücleo de hierro (q = +26e) y su electron más profundo si Ia distancia entre ambos es 1.5 x 10_12 m? (I) ,Cuál será la fuerza eléctrica de repulsiOn entre dos protones que se encuentran en el interior de un nOcleo si Ia distancia de separación entre ambos es 5.0 X 10 m? ,Cuál será Ia magnitud de Ia fuerza que ejerce una carga de +25 C en una carga de +3.0 tC si la distancia que las separa es 35 cm? (1 C = 10 C, 1 mC = iO C) Dos partIculas de humo tienen una carga y cada una ejerce sobre la otra una fuerza de 4.2 X 10_2 N. tCuál será Ia magnitud de Ia fuerza si las distancia de separación entre ambas es un octavo de pulgada? (II) Dos pelotas cargadas están separadas a una distancia de 15.0 cm. Luego se mueven y Ia fuerza que actOa en cada una de ellas se triplica. ,Cuál es Ia nueva distancia que las separa? (II) Una persona frota sus pies en una alfombra en un dIa seco y acumula una carga neta de -40 1.C. CuOntos electrones en exceso adquirió y en qué cantidad se incrementO su masa? (II) (,Cuál será Ia carga total de todos los electrones que están contenidos en 1.0 kg de H20? (II) Tres partIculas cuyas cargas son +70, +48 y -80 C se cobcan en lInea recta (figura 21-46). La carga central está situada a una distancia de 0.35 m de las cargas restantes. Calcule Ia fuerza neta que ejerce cada una de las cargas en las dos cargas restantes.

. 0.3548m C0.35-80m/LC

70 j.tC

FIGURA 21-46

Problema 10.

(II) Tres partIculas con cargas positivas de 11.0 C se localizan en las esquinas de un triángulo equiltero cuyo lado mide

15.0 cm (vease Ia figura 21-47). Calcule Ia magnitud y dirección de Ia fuerza neta en cada partIcula. 11.0 j.LC

1l.0LC

15.0cm

FIGURA 21-47

11.0j.tC

Problema 11.

(II) Se coloca una carga de 6.00 mC en cada una de las esquinas de un cuadrado cuyo lado mide 0.100 m. Determine La magnitud y Ia direcciOn de Ia fuerza en cada carga.

(II) Repita el problema 12 pero considere que dos cargas positivas, que se localizan en esquinas opuestas, son reemplazadas por dos cargas negativas de la misma magnitud (figura 21-48).

-6.00 mC 0.100 m 6.00 mC O.l00m

I0.lOOm

6.00 mC 0.100 m -6.00 mC FIGURA 21-48

Problema 13.

(II) En cada esquina de un cuadrado de lado I existen cargas puntuales cuya magnitud es Q, 2Q, 3Q y 4Q (figura 21-49). De-

termine La fuerza en cada una de las cargas debido a las tres cargas restantes.

4Q

I

FIGURA 21-49

3Q

Problema 14.

(II) Repita el problema 14 suponiendo que la carga 3Q es reemplazada por una carga igual a -3Q. (II) Compare Ia fuerza eléctrica que retiene al electron en su órbita alrededor del nOcleo de protones de átomo de hidrOgeno (r = 0.53 x 10_la m), considere que Ia fuerza gravitacional actUa sobre el mismo electron y proton. ,CuOl es el cociente o razón entre ambas fuerzas? (II) Dos cargas puntuales y positivas se encuentran separadas a una distancia fija. La suma de sus cargas es QT. CuáI es Ia carga que debe tener cada partIcula para (a) maximizar Ia fuerza eléctrica entre ambas y (b) para minimizarla?

(II) Dos cargas puntuales tienen una carga total de 560 j.tC. Cuando se separan a una distancia de 1.10 m Ia fuerza de re-

pulsión que cada una ejerce sobre Ia otra es 22.8 N. LCuál es Ia carga en cada una de las cargas puntuales? Dos cargas -Qo y -3Q0 están separadas a una distancia 1. Ambas tienen libertad de movimiento pero no Ia ejercen ya que existe una tercera carga en las proximidades. ,Cuál debe ser Ia carga y Ia localizaciOn de Ia tercera carga para que las cargas restantes estén en equilibrio?

Una carga de +7.7 tC y otra de -3.5 tC están separadas por una distancia de 18.5 cm. tDónde se debe colocar una tercera carga para que esta Oltima no experimente fuerza neta? (III) Dos esferas pequefias y aislantes tienen una carga total de 90.0 C. Cuando ambas se separan a una distancia de 1.16 m La fuerza de repulsiOn que ejerce una sobre Ia otra es 12.0 N. ,Cuál es la carga en cada una? ,Qué sucederIa si Ia fuerza fuera de atracciOn?

Problemas

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569

(III) Dos esferas pequenas están suspendidas de un par de cuerdas que tienen la misma longitud 1, como se muestra en Ia figura 21-50. y forman angulos pequefios Ui y 0 con respecto a La ver-

tical. (a) Si Q1 = Q, Q2 = 2Q y m1 = m2 = m, determine la relación 01/02. (b) Si Q1 = Q, Q2 = 2Q, m1 = m y m2 = 2m, determine Ia relaciOn 01/02 (c) Calcule Ia distancia de separación de las esferas en cada caso.

1

-i

jl

(II) Dibuje en forma aproximada las lmneas de campo eléctri-

co que surgen de un alambre recto que tiene carga uniforme y longitud pequena I. La separación entre las ilneas que están cerca del alambre deberá ser ligeramente inferior a I. (Sugerencia: considere también los puntos que están muy alejados del alambre.) (II) CuáI es La magnitud del campo eléctrico en un punto del espacio donde un proton (de masa m = 1.67 X 1027 kg) experimenta una aceleraciOn de un millón de gs? (II) Un electrOn se libera del reposo en un campo eléctrico uniforme y se acelera hacia el forte a una rapidez de 145 m/s2, i,cul es Ia magnitud y direcciOn del campo eléctrico? (II) El campo eléctrico en el punto medio entre dos cargas puntuales de igual magnitud y signo opuesto es 845 N/C, y La distancia entre las cargas es 16.0 cm. Cuál es La magnitud de Las cargas?

1

2

FIGURA 21-50

Problema 22.

(TI) Utilice La ley de Coulomb para determinar Ia magnitud y La direcciOn del campo eléctrico en los puntos A y B de La figura 21-52, debido a dos cargas positivas (Q = 7.0 MC). i,Su resultado es consistente con Ia figura 21-33b?

FIGURA 21-51

Problema 23.

(III) En cada esquina de un cubo cuyo lado es I existe una carga puntual Q. ,Cual es Ia fuerza que actOa sobre Ia carga en el origen 0 debido a las demás cargas? Proporcione una respuesta en notación vectorial para Ia carga que está en el origen, véase Ia figura 21-51.

A

+Q 1

I

5.0cm 5.0cm (I)i,Cuál es La magnitud de Ia aceleración que experimenta un electron en un campo eléctrico de 600 N/c? COmo depende Ia dirección de Ia aceleración en Ia dirección del campo en ese punto? (I) lCuál es Ia magnitud y direcciOn de Ia fuerza eléctrica que experimenta un electrOn en un campo eléctrico uniforme cuya intensidad es 1360 N/C y apunta hacia el este? (I) Un protOn se libera en un campo eléctrico uniforme, y experimenta una fuerza eléctrica de 2.75 X 10-14 N hacia el sur. CuOl es La magnitud y direcciOn del campo eléctrico?

(I) ,Cuál es Ia magnitud y direcciOn del campo eléctrico que

se extiende a 20.0 cm por encima de una carga aislada de 33.0 X io- C?

I

5.0cm

10.0cm

FIGURA 2 1-52 ProbLema 37.

(II) Calcule el campo eLéctrico en el centro de un cuadrado cuyo Lado mide 52.5 cm si una de sus esquinas está ocupada por una carga de +45.0 C y otra esquina está ocupada por una car-

ga de 27.0 C.

(II) Calcule eI campo eléctrico en Ia esquina de un cuadrado cuyo lado mide 1.00 m si las tres esquinas restantes están ocu-

padas por cargas de 3.25 X 10 C. (II) (a) Determine el campo eléctrico E en el origen 0 de la figura 21-53 debido a dos cargas que están en los puntos A y B. (b) Repita el inciso pero considere que La carga B tiene signo contrario.

(I) CuO1 es Ia magnitud y direcciOn del campo eléctrico en el

punto medio entre dos cargas de 8.0 tC y +7.0 siC, si Ia distancia que separa a las cargas es de 8.0 cm? Suponga que no hay otras cargas en La vecindad. (I) La fuerza eléctrica en una carga de +4.20 jC es F = 5.85 X 10 NJ. Cuál es el campo eléctrico en Ia posiciOn de la carga? Cuál es el campo eléctrico en un punto donde Ia fuerza en una carga de 1.25 C que se localiza en ese mismo punto es F = (3.0i - 5.Oj) x iO3 N. Las Ilneas de campo eléctrico siempre se pueden dibujar para que La cantidad de éstas por unidad de rea (perpendicular a las lIneas) sea proporcional a Ia magnitud del campo eléctrico E. Sin embargo, si Ia ley de Coulomb no fuera válida, es decir que el campo que produce una sola carga puntual no cumpliera con 1/r2 (que el exponente de r fuera diferente a 2), esta propiedad de las Ilneas de campo no serla vOlida. Demuestre por qué. (Sugerencia: tome el ejemplo de una sola carga puntual.) (II) Dibuje en forma aproximada las lIneas de campo eléctrico que rodean a dos cargas puntuales, +Q y -3Q, que están separadas por una distancia I. 570

CAPITULO 21

y

x

FIGURA 21-53

Problema 40.

(IT) Se tienen dos cargas puntuales cuyo valor Q1 y Q2 se desconoce. En un punto sobre La lInea que une a ambas cargas, a una tercera parte de Ia distancia de Q1 a Q2, el campo eléctrico es cero (figura 21-54). i,CuáI es La relación Q1/Q2?


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E=0 Qi S

Q2

j

S

1

FIGURA21-54 Problema 41.

(II) Dos anillos circulares y paralelos de radio R tienen sus centros en el eje x, y están separados a una distancia I como se mdica en La figura 21-55. Si cada anillo transporta una carga que está distribuida de manera uriiforme Q, calcule el campo eléctrico E(x) en los puntos que están en el eje x. y

li

2

2

H-'-

0

x FIGURA 21-55

1/

Problema 42.

(II) (a) Dos cargas iguales Q están colocadas en los puntos (x = 1, y = 0) y (x = -I, y = 0). Determine el campo eléctrico en función de y para los puntos que están a to largo del eje y. (b) Demuestre que el campo es máximo en y = ± I/\/. (II) En qué posición, x = XM, es máximo et valor del campo

eléctrico a lo largo del eje x en el anillo del ejemplo 21-9? (II) Suponga que La carga Q en el anillo de Ia figura 21-27 está distribuida de manera uniforme solamente en Ia mitad superior del anillo, y que no existe carga en Ia mitad inferior. Determine el campo eléctrico E en el punto P. (Sugerencia: y apunta verticalmente hacia arriba.) (II) Calcule el campo eléctrico en el punto que está a 2.8 cm y es perpendicular al punto medio de un alambre largo y delgado cuya longitud es de 2.0 rn, considere que el alarnbre transporta una carga total de 4.75 C. El alambre recto de Ia figura 21-28 tiene una carga uniforme y una longitud L, considere que el punto 0 está a la mitad. Demuestre que el campo en el punto P, a una distancia perpendicular x de 0, está determinado por

E=

(III) (a) Suponga que el arco circular de Ia figura 21-57 transporta una carga por unidad de longitud A que varfa con 0 como A = A0cosO, considerando que 0 se mide respecto al eje x. Determine el campo eléctrico E en el origen 0. (b) Repita el inciso anterior suponiendo que A = A0senO. (III) Suponga que el alambre de La figura 21-28 tiene una carga uniforme, su longitud comienza en 0 y aumenta en forma vertical hasta Ilegar a L. (a) Determine las componentes del campo eléctrico E0 y E en el punto P que esta a una distancia x de 0. (Es decir, calcule E cerca de uno de los extremos del alambre,

en el piano perpendicular al alambre.) (b) Si el alambre se extiende desde y = 0 hasta y = , de tal forma que L =

demuestre que E forma un ngulo de 450 con Ia horizontal para cualquier x. (III) Suponga en el ejemplo 21-10 que x = 0.250 m, Q = 3.15 C y el alambre que tiene carga uniforme tiene una longitud de

6.0 m y se extiende sobre el eje y desde y = -4.0 m hasta y = +2.0 rn. (a) Calcule E y E,, en el punto P. (b) Determine cuái serIa el error si utiliza eL resultado del ejemplo 21-10, E =

A/2it. Exprese este error como (E - E)/E y E/E.

(III) Piano de carga uniforme. La carga se distribuye en forma uniforme sobre un piano cuadrado cuyo iado es L, corno se muestra en la figura 21-58. La carga por unidad de area es a (en C/rn2). Calcule el campo eléctrico en el punto P que se encuentra a una distancia z por encima del centro del piano, oo. [Sugerencia: divida el piano en tiras esen el lImite L trechas cuyo ancho es dy, luego utilice el resultado del ejemplo 21-10 para sumar los campos que generan cada una de las tiras para obtener el campo total.]

dEl dE z

L

A

21T0

dE

x(L2 + 4x2) donde A es Ia carga por unidad de longitud. Una tercera varilla cuya longitud es I transporta una carga total Q que está distribuida de manera uniforme en toda su Iongitud. Véase La figura 21-56. Determine el campo eléctrico a lo largo del eje de la varilla que comienza en un extremo, es decir, en Ia figura 21-56. calcule E(x) para x

P

\

\

dy

r I

L

FIGURA 21-58 Problema 53. Q

0

x FIGURA 21-56 Probierna 48.

(II) Un eiectrón que tiene una velocidad v0 = 21.5 x 106 rn/s

(III) Se dobla una varilla que tiene poco espesor para formar et arco de un cIrculo cuyo radio es R, Ia varilla transporta una carga uniforme por unidad de longitud A. El arco contiene un angulo total de 2O, que es simétrico al eje x, como se muestra en Ia figura 21-57. Determine el campo eléctrico E en el origen 0.

R

FIGURA21-57 Problemas 49 y 50.

viaja en forma paralela a un carnpo eléctrico (v0HE) cuya magnitud es E = 11.4 X iO N/C. (a) Cuál será Ia distancia que recorrerá el electron antes que se detenga? (b) Cuánto

tiernpo transcurrirá antes que el electrOn regrese a su punto de partida? (II) Un electrOn que tiene una velocidad inicial v0 = 8.0 X i0 rn/s i, entra a una regiOn donde E = (2.Oi + 8.Oj) X iO N/C. (a) Determine ei vector de aceleraciOn del electron como funciOn del tiernpo. (b) A qué anguio se rnueve (con relación a su dirección inicial) en el tiempo t = 1.0 ns? (II) Una gota de agua cuyo radio es de 0.020 mm permanece en reposo, en el aire. Sm el campo eléctrico de Ia Tierra es 150 N/C y apunta hacia abajo, cuántas cargas con exceso de electrones debe tener Ia gota de agua?

Problemas

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511

(11) c,En qué ángulo saldrán del campo eléctrico uniforme los electrones del ejempLo 21-15 aL final de las placas paraleLas (punto P en La figura 21-40)? Suponga que Las placas tienen una

longitud de 6.0 cm y E = 5.0 x i0 N/c. Ignore La deformación del campo.

Suponga que Los electrones entran a un campo eiéctrico

uniforme en Ia mitad de dos pLacas, éstos se mueven hacia arriba en un ánguLo de 450 como se muestra en La figura 21-59. cual es La velocidad maxima que pueden adquirir Los electrones si deben evitar chocar contra La placa superior? Ignore La deformación del campo.

4/'

(II) La molécuLa de HU tiene un momento dipolar de 3.4 X 10_30 Cm. Los dos átomos están separados por una distancia aproximada de 1.0 X 10_b m. (a) Cuál es La carga neta en cada átomo? (b) (,La carga neta será igual a un mOltiplo entero de e? En caso contrario expLique. (c) ,cual será el par máximo que experimentará este dipolo en un campo eléctrico de 2.5 X io N/c? (d) (,Cuánta energIa se necesitará para girar

6.0cm

V E=5.OxlO3N/C

(IL) Un dipolo está formado por las cargas +e y e que están separadas por una distancia de 68 nm. El dipoLo está en un campo eléctrico cuyo valor es E = 2.7 X i0 N/c. (a) es el valor del momento dipoLar? (b) CuáI es eL par en ci dipoLo cuando este Oltimo es perpendicular al campo? (c) ,Cuál es el par en el dipolo cuando está a un ángulo de 45° con respecto al campo? (d) cual es eL trabajo que se requiere para girar el dipolo desde La posiciOn paraLela al campo hasta Ia posiciOn antiparalela al campo?

.0 cm

una molécula 45° a partir de su posición de equilibrio de menor

energIa potenciaL?

ProbLema 58.

FIGURA 21-59

Suponga que Las dos cargas de La figura 21-44 son positivas.

Una carga positiva q se coloca en el centro de un anillo

circular de radio R. EL anillo transporta una carga negativa que está distribuida en forma uniforme cuya magnitud total es -Q.

(a) Si Ia carga q se desplaza desde el centro a una distancia pequena x como se muestra en La figura 21-60, demuestre que experimentará un movimiento armOnico simple una vez que se haya iiberado. (b) Si su masa es m, cuál será su periodo?

(a) Demuestre que eL campo en el bisector perpendicular, para r>> I, está determinado por (1/4ire0)(2Q/r2). (b) Explique porqué disminuye eL campo en un factor de 1/r2, mientras que en el caso de un dipolo disminuye en 1/r3. (IL) Un dipolo eLéctrico, que proviene de un momento dipolar p y momento de inercia I, se coLoca en un campo eLéctrico uniforme E. (a) Si se desplaza a un ángulo 0 como se muestra en La figura 21-43 y Luego se iibera, ,bajo qué condiciones osciLará en movirniento armOnico simple? (b) ,cuaL será su frecuencia? Suponga que un dipoLo p se coloca en un campo eLéctnico que no es uniforme E = Ei, el cuaL apunta a lo largo del eje x. Si E depende solamente de x, demuestre que La fuerza neta en el dipoio es

F=

R

x

dE.

donde dE/dx es ci gradiente del campo en Ia direcciOn x. (III) (a) Demuestre que en los puntos que están a Lo Largo del eje de un dipolo (en La misma linea que contiene +Q y Q), eL campo eléctrico tiene La siguiente magnitud

x

Oq

(

2p 1 - 41TE0 r3 para r>> I (véase La figura 21-44), donde r es Ia distancia desde el punto hasta el centro del dipolo. (b) ,En qué dirección apunta E? E

FIGURA 21-60

Problema 59.

Problemas generales ,A qué distancia deben estar dos electrones si La fuerza eLéctrica entre ambos es iguaL al peso de cada uno de eLlos en La superficie de Ia Tierra? Imagine que Los invasores del espacio pueden depositar electrones adicionales en cantidades iguaLes en La Tierra y en su automóvil, el cual tiene una masa de 1050 kg. Nótese que Las LLantas

proporcionan cierto aisLamiento. ,Cuánta carga Q se necesitana para depositar en su automóvil (La misma cantidad que en La Tierra) para hacer que flote (que supere a Ia gravedad)? [Sugerencia: suponga que La carga de La Tierra está distribuida en forma uniforme de manera que actOa como si estuviera locaLizada en eL centro de La Tierra, y en ese caso Ia distancia de separación serIa el radio de La Tierra.] 572

CAP1TULO 21

Una moneda de cobre de 3.0 g tiene una carga positiva de 5.5 c. tQué fracciOn de sus eLectrones ha perdido? Suponga que La atracción eléctrica, en vez de La gravedad, fuera Ia responsabLe de mantener a La Luna en su Orbita aLrededor de Ia Tierra. Si se coLocan cargas iguales Q y de signo opuesto en La Tierra y en Ia Luna, ,cuáI deberfa ser el valor de Q para mantener La órbita actual? UtiLice Los siguientes datos: masa de Ia Tierra = 5.97 x 1024 kg, masa de La Luna = 7.35 X 1Q kg; ra-

dio de Ia órbita = 3.84 X 10 m. Trate a Ia Tierra y a La Luna como si fueran partIcuLas puntuales.


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Una clase de cuadripolo eléctrico está formada por dos dipolos que se colocan de extrerno a extremo con sus cargas negativas traslapadas, es decir, en el centro está -2Q rodeado (en ilnea) por una carga +Q en cada lado (figura 21-61). Determine el camp0 eléctrico E en los puntos que están a lo largo del bisector perpendicular y muestre que E disminuye en la forma hr4.

Una carga puntual positiva Q1 = 1.85 x i0 C se mantiene en el origen de las coordenadas, en tanto que una carga negativa Q2 = -7.65 x 10 C se mantiene en el eje x en Ia posiciOn x = +2.00 m. Determine la localizaciOn de los puntos a lo largo del eje x donde el campo eléctrico que generan ambas cargas es cero.

Calcule Ia fuerza neta entre el grupo CO y el grupo HN que se muestran en Ia figura 21-64. Los puntos C y 0 tienen cargas efectivas de ± 0.40e y H y N tienen cargas efectivas de ± 0.20e donde e = 1.6 X 10 C. [Sugerencia: no incluya las fuerzas "internas" entre C y 0, o entre H y N].

I

/

-2Q

+Q

+Q

/10.12


Q3=-6.0C

FIGURA 21-64

Problema 78.

0.28 nm

Un electrOn se mueve a una velocidad de 2.0 x 106 rn/s hacia

la derecha y entra a una region donde el campo eléctrico es uniforme, se sabe que el campo es paralelo a la dirección del

rnovimiento. Si el electron Ilega al reposo a una distancia de 5.4 cm, (a) ,cuál es La direcciOn del carnpo eléctrico?, (b) LcuOl es Ia magnitud del campo?

Q1=4.O1LC

Q2=-8.ObtC

/

nrn

Tres partIculas con carga se colocan en las esquinas de un triángulo equiiâtero cuyo lado mide 1.20 m (figura 21-62). Las cargas son +4.0 C, -8.0 C y -6.0 j.C. Calcule la magnitud y dirección de La fuerza neta que ejerce cada una de las cargas sobre las dos cargas restantes.

1.20m

Hi-N

Las dos cuerdas de Ia molécula de ADN (material genético en las células vivas que tiene forma de hélice) se mantienen juntas gracias a las fuerzas electrostáticas que se muestran en Ia figura 21-65. Suponga que Ia carga neta promedio que Se indica en Los atomos de H y N es efectivamente 0.2e y Ia carga indicada en los átomos C y 0 es 0.4e. Suponga ademOs que los átomo en cada molécula estOn separados por una distancia de 1.0 x l00 m, y todos los ángulos relevantes son de 120°. Calcule Ia fuerza neta entre (a) Ia tiarnina y adenina, (b) citosina y guanina. (c) Calcule Ia fuerza total para una rnoécula de ADN que contiene io pares de estas moléculas.

FIGURA21-62

Problema7l.

Un proton (m = 1.67 X 10 kg) se suspende en reposo en un campo eléctrico uniforme E. Tome en cuenta Ia gravedad y determine E. Calcule Ia magnitud del campo eléctrico en el centro de un cua-

drado cuyos lados miden 35 cm de longitud silas esquinas tienen las siguientes cargas (en sentido de giro del reloj) 1.0 C, 2.0 C, 3.0 C y 4.0 ftC. Todas las cargas son positivas. En un modelo sencillo del atomo de hidrógeno, el electrOn gira en una órbita circular alrededor del protOn con una velocidad de 1.1 x 106 rn/s. j,Cuál es el radio de Ia Orbita del electrOn? Dos cargas -Q0 y -4Q0 están separadas por una distancia 1. Am-

bas tienen libertad de movimiento pero no Ia ejercen porque

existe una tercera carga en Ia cercanIa. LCuál debe ser Ia magnitud y localizaciOn de Ia tercera carga para que las dos primeras estén en equilibrio? Una carga puntual (m = 1.0 g) se encuentra al final de una cuerda aislante cuya longitud es 55 cm. Se observa que Ia carga est en equilibrio con un campo eléctrico horizontal de 10,000 N/C cuando el péndulo se encuentra en la posiciOn que se muestra en

T

C-.G I

L

G

-

c

Ia figura 21-63. La carga estO 12 cm por encima de Ia po.siciOn mOs

baja (vertical). Si el campo apunta hacia Ia derecha en Ia figura 21-63, determine Ia magnitud y el signo de la carga puntual.

"-G

C

T

--

A-. T

T

(a)

:8

10.8 A

(b)

FIGURA 21-65 Problema 80. (a) SecciOn de una hélice doble de ADN. (b) Acercamiento de La hélice, mostrando cómo se

L = 55cm

12cm

Guanina (G)

Citosina (C)

FIGURA 21-63

Problema 76.

atraen entre sí las bases de A-T y G-C gracias a las fuerzas electrostáticas, para mantener unida a Ia hélice. Los puntos se utilizan para indicar Ia atracción electrostática (que con frecuencia se conoce como "enlace débil" o "enlace de hidrOgeno"). Nótese que existen dos enlaces débiles entre A y T, y tres entre C y G. La unidad de distancia es el angstrom (1 A = 10_lU m).

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Problemas generales

573

Suponga que los electrones entran a! campo eléctrico en la mltad entre dos placas formando un ángulo 0 con Ia horizontal, como se muestra en Ia figura 21-66. La trayectoria es simétrica, por tanto los electrones salen con el mismo ángulo 0 sin apenas tocar la placa superior. ,Cuá1 es 0? Ignore Ia deformación del campo.

Se arma un electroscopio de "hojas". Las hojas están formadas por alambres que tienen una longitud de 75 cm y tienen una boIa de 22 g en cada extremo. cuando se carga el aparato, casi toda Ia carga está contenida en las bolas. Si los alambres forman un ángulo de 30° con Ia vertical (figura 21-69), ,cuál es La carga total Q que se debe aplicar a! electroscopio?

6.0cm -1.0 cm

FIGURA 21-66

Problema 81.

Dos cargas puntuales Q1 = 6.7 tC y Q2 = 1.3 C se localizan entre dos placas paralelas que tienen cargas opuestas, como se muestra en Ia figura 21-67. Las dos cargas puntuales están separadas por una distancia x = 0.34 m. Suponga que el campo eléctrico que producen las placas es uniforme e igual a E = 73,000 e indique su diN/C. Calcule la fuerza electrostática neta en recciOn.

FIGURA 21-69

Problema 84.

Tres pianos de carga (con dimensiones muy grandes) de forma cuadrada se colocan como se muestra en La figura 21-70. De izquierda a derecha, los pianos tienen una densidad de carga por

unidad de area de 0.50 tC/m2, 0.10 C/m2 y 0.35 tC/m2.

Calcule el campo eléctrico total (indique su dirección y magni-

tud) en los puntos A, B, C y D. Suponga que las placas son mucho más grandes en comparaciOn con Ia distancia AD.

Q1

Q2

.

A

.

B

.

C

I

S

D

Fx FIGURA 21-67

Problema 82. FIGURA 2 1-70

Una bala pequena se recubre con plástico aislante y se suspende

en forma vertical de un resorte ideal (k = 126 N/m) encima

de una mesa, véase Ia figura 21-68. La masa total de Ia bala y el recubrimiento es 0.800 kg y su centro se encuentra 15.0 cm por encima de La parte superior de Ia tabla cuando está en equilibrio. La bala se jala hacia abajo a una distancia de 5.00 cm por

debajo de Ia posiciOn de equilibrio, y se deposita una carga eléctrica Q = 3.00 X 10 C en Ia bala, luego se suelta el siste-

ma. Aplique sus conocimientos de oscilaciOn armOnica y escriba

Problema 85.

,Cuál será La carga total de todos los electrones que están contenidos en una barra de aluminio de 15 kg? ,Cuál será La carga neta en La barra? (El aIuminio tiene 13 electrones por átomo y una masa atómica iguaL a 27 u.) Se tienen dos cargas como se muestra en Ia figura 21-71, en qué posiciones de x el campo eléctrico sera cero? ,EI valor del camP0 podra ser cero en otras posiciones que no estén en el eje x?

una expresión para Ia intensidad del campo eléctrico (en funciOn del tiempo) que se medirla en el punto P que está encima de Ia superficie de Ia mesa y directamente debajo de Ia bala.

+Q

Q12

HdHx

FIGURA 21-71

p

Problema 87.

Un electron se mueve en un cIrculo de radio r aLrededor de un alambre de gran longitud y carga uniforme, el cual se encuentra en una cámara de vaclo, como se muestra en Ia figura 21-72. La densidad de carga en el alambre es A = 0.14 C/m. (a) LCuáI es el campo eléctrico en el electron (indique su magnitud y direcciOn)? (b) ,CuáI es Ia velocidad del electrOn?

10.00cm

15.0cm

A=0.l4.C/m

+ + + 1 l- + + + + + +1+ + + +

FIGURA 21-68

514

CAPITULO 21

Problema 83.

FIGURA 21-72


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Problema 88.

E

(1

J

EdA

Qenci

0

La ley de Gauss es una relación elegante entre La carga eléctrica y el campo eléctrico. Es más general que La ley de Coulomb. La ley de Gauss involucra una integral del campo eléctrico E en cada punto de una superficie cerrada. La superficie es imaginaria pero su forma y Localización se eligen para poder visualizar Ia integral. En esta figura se muestran dos superficies diferentes, ambas superficies encierran una carga puntual Q. La ley de Gauss

indica que el producto E dA, donde dA es un area infinitesimal de Ia superficie, integrado en toda La superficie es igual a La carga que encierra La superficie Qenci dividida entre . En este caso ambas superficies encierran a

Q.

Ia misma carga Q. De ahI que E dA

A2-

produzca el mismo resultado para ambas superficies.

Ley de Gauss ley de Gauss que se desarrollar y analizar en este capItulo indica la relaciOn que existe entre Ia carga eléctrica y el campo eléctrico. Es una forma más general y elegante de Ia ley de Coulomb. En principio se puede determinar el cambio eléctrico que genera cualquier distribuciOn de cargas eléctricas utilizando Ia ley de Coulomb. El campo eléctrico total en cualquier punto será Ia suma vectorial (o integral) de las contribuciones de todas las cargas que están presentes (véanse las ecuaciones 21-5 y 21-6). Con excepciOn de algunos casos, La suma o integral puede ser algo difIcil de evaluar. Cuando Ia solución analItica no es posible (como se vio en los ejemplos de las secciones 21-6 y 21-7), se puede utilizar una computadora. Sin embargo, en otros casos el campo eléctrico que genera cierta distribuciOn de cargas se puede calcular con mayor facilidad o de manera més elegante si se utiliza Ia ley de Gauss, segün se vera más adelante en este capItulo. Pero el aspecto más importante de Ia ley de Gauss es que proporciona información adicional acerca de Ia naturaleza de los campos electrostáticos y una relación más general entre las cargas y el campo eléctrico. Antes de analizar Ia ley de Gauss, primero se estudiar el concepto de fiujo.

La

575

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FIGURA 22-1 Un campo uniforme E (representado por las ilneas de campo paralelas) que pasa a través de una superficie cuya area A es: (a) perpendicular a E, (b) no es perpendicular a E. La superficie puriteada cuya area es A1 en (b) es Ia proyección de A perpendicular at campo E.

A

(a)

(b)

Fluio eléctrico Imagine una superficie de area A, a través de Ia cual pasa un campo eléctrico uniforme E, figura 22-1. La superficie puede ser un rectángulo (como se muestra), un cIrculo o cualquier otra forma. Si Ia dirección del campo eléctrico es perpendicular a Ia superficie como se ilustra en la figura 22la, el flujo eléctrico (cIE) que pasa a través de Ia superficie se define como el producto

= EA. Si el area A no es perpendicular a E, y en consecuencia forma un ángulo 0 como se indica en Ia figura 22ib, entonces una menor cantidad de lIneas de campo atravesarán el area. En este caso el flujo eléctrico que pasa por Ia superficie se define como

= EA1 = EA cosO,

[E uniforme]

(22la)

donde A1 es la proyección del area A en Ia superficie perpendicular a E como se mdica. El area A de Ia superficie se puede represeritar con un vector A cuya magnitud es A y su dirección es perpendicular a Ia superficie, como se indica en Ia figura 22lb. El ángulo 0 es el ángulo entre E y A, en consecuencia el flujo eléctrico también se puede escribir como

= E A.

[E uniforme]

(22ib)

Debido a La forma como se definió, el flujo eléctrico tiene una sencilla interpretación intuitiva en términos de las lIneas de campo. En la secciOn 21-8 se vio que las lIneas de campo siempre se deben dibujar de tal forma que Ia cantidad de lIneas de campo (N)

que pasan a través de una unidad de area que es perpendicular al campo (A1) sea proporcional a Ia magnitud del campo (E): es decir, E N/A1. De ahI que

NxEA1 = en consecuencia el flujo que pasa a través de un area es proporcional a Ia cantidad de Ilneas de campo que pasan a través de esa area. Flujo eléctrico. (a) Calcule el flujo eléctrico que pasa a través ieI rectangulo tie Ia figura 22la. El rectángulo mide 10 cm X 20 cm y el campo eléctrico es uniforme en 200 N/C. (b) ,Cuál será el flujo en Ia figura 22lb si 9 es 300? SOLUCION

(a) El flujo eléctrico es

= EAcosO

= (200N/C)(0.lOm x 0.20m)cos0° = 4.0Nm2/C. (b) En este caso el flujo es

J?E = (200N/C)(0.lOm X 0.20 m)cos30° = 3.5Nm2/C. 576

CAPITULO 22

Ley de Gauss

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Ahora vamos a considerar el caso más general, cuando el campo eléctrico E no es uniforme y la superficie no es plana, figura 22-2. La superficie elegida se divide en n eiementos pequenos de superficie cuyas areas son A1 , iA2,... Esta divisiOn se escoge de tal forma que cada £4 sea lo suficientemente pequefia para que (1) se pueda considerar como plana y (2) el campo eléctrico varIe en forma minima en esta area pequena como para que se pueda considerar uniforme. Entonces ci flujo eiéctrico en toda Ia superficie es aproximadamente

E

E

AA

1

E

donde E, es ci campo que pasa a través de En eJ lImite conforme - 0, la suma se trasforma en una integral en toda la superficie y Ia relaciOn se vuelve mateniáticamente exacta

=

JE dA.

Flujo ciéctrico quc pasa a través dc una superficic curva. Se indica una area pcquefla de Ia FIGURA 22-2

superficie iXA1.

(22-2)

En Ia mayor parte de los casos (en especial para Ia ley de Gauss) se analiza el flu-

jo que pasa a través de una superficie cerrada, es decir, una superficie que encierra

completamente un volumen (como una esfera o Ia superficie de un balOn), figura 22-3. En este caso ci fiujo neto que pasa a través de la superficie está dado por

=

dA,

(22-3)

donde ci signo de Ia integral se escribe como para indicar que Ia integral se encuentra sobre ci valor de E en una superficie cerrada. Hasta este punto no se ha tomado en cuenta ci hecho de que eziste ambiguedad en Ia direcciOn del vector A que representa una superficie. Por ejemplo, en Ia figura 22-1, el vector A puede apuntar hacia arriba y a Ia derecha (como se indica) o puede apuntar hacia abajo a Ia izquierda, de cualquier forma sera perpendicular a Ia superficie. Para una superficie cerrada, Ia direcciOn de A o de dA se define (en forma arbitraria) de tal forma que se dirige fuera dcl volumen cerrado, fig. 22-4. Para Ia lInea que sale del volumen cerrado (a Ia derecha de Ia figura 22-4), ci angulo 0 entre E y dA debe ser inferior a IT/2 (= 90°), de tal forma que cos 0 > 0. Para una linea que entra al volumen cerrado (a Ia izquicrda de Ia figura 22-4), 0 > -/2 de tal forma que cos 0 < 0. Dc ahi que el flujo que entra a un volumen cerrado es negativo (5 E cos 0 dA < 0), en tanto que ci flujo que sale de un volumen cerrado es positivo. En consccuencia ia ecuación 22-3 proporciona ci flujo neto fuera dcl volumen. Si 'E es negativo, entonces hay un flujo neto que entra a! volumen. En las figuras 22-3 y 22-4 se observa quc cada iinea de campo que entra al volumen también sale del volumen. Dc ahI quc E = E dA = 0. No hay flujo neto dentro o fuera de esta superficie. El flujo, E dA, será distinto de cero soiamente si una o más lineas comienzan o terminan en ci interior de Ia superficic. Como las iincas de campo eléctrico inician o terminan solamente en las cargas cléctricas, ci flujo sera FIGURA 22-3 Flujo eléctrico a través de una superficie cerrada.

La direcciOn de un elemento de area dA se eligc para quc apunte fuera de una superficie cerrada. FIGURA 22-4

dL

Ø(: 2

-a

E

SECCION 22-1

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Flujo eléctrico

577

A1

Un dipolo eléctrico. El flujo a través de la superficie A es positivo, mientras que el flujo en Ia FIGURA 22-5

superficie A2 es negativo.

El flujo neto a través de Ia superficie A es negativo. FIGURA 22-6

/

diferente de cero solamente si Ia superficie encierra una carga neta. Por ejemplo, Ia superficie identificada como A1 en Ia figura 22-5 encierra una carga positiva y existe un flujo neto que sale a través de esta superficie (clE > 0). La superficie A2 encierra una carga negativa de igual magnitud y existe un flujo neto que entra (rlE < 0). Para Ia configuración que se muestra en Ia figura 22-6, el flujo a través de Ia superficie es negativo (cuente el némero de Ilneas). El valor de 1?E depende de Ia carga que encierra Ia superficie, de esto trata La ley de Gauss. [El concepto de flujo se aplica también al flujo de fluidos, en consecuencia hace una analogia interesante. El campo eléctrico E en cada punto corresponde a Ia velocidad de flujo del fluido v, de tat manera que las lIneas de campo eléctrico corresponden a las lIneas de flujo del fluido. El flujo 1 que circula a través de una superficie (para el caso de un fluido) es Ia rapidez de flujo por volumen y está determinado por c1 = fv dA. En las figuras 22-1,22-2 y 22-3 las lfneas pueden corresponder a las lIneas de flujo de un fluido estable que no tienen medio de suministro (por ejemplo una have) o sumidero (por ejempto una fuga 0 Ufl desague). En este caso, el flujo neto a través de una superficie cerrada (similar a Ia de Ia figura 22-3) es cero, ya que todo to que entra sale. En las figuras 22-5 y 22-6 existe una fuente (que corresponde a una carga positiva) donde inician las lIneas de flujo; pero también hay un sumidero (que corresponde a La carga negativa) donde terminan las lIneas de flujo. Aün cuando esta comparacion entre flujo eléctrico y flujo de fluido es interesante, y quizás ofrece cierto entendimiento, no hay que confundirse, el flujo eléctrico no es el flujo de cualquier sustancia. El flujo se puede definir para cualquier campo vectorial, esta definición se utilizará posteriormente para el campo magnetico.]

I-Q

Leyde Gauss La relación precisa entre el campo eléctrico que fluye a través de una superficie cerrada y Ia carga neta Qenci que encierra Ia superficie está determinada por Ia ley de Gauss:

E dA

Una sola carga puntual Q se localiza en el centro de una esfera imaginaria cuyo radio es r ("nuestra FIGURA 22-7

superficie gaussiana", es decir La superficie cerrada que se eligió para aplicar Ia ley de Gauss).

(22-4) = donde e0 es la misma constante (permisividad del espacio libre) que aparece en la ley de Coulomb. La integral de ha izquierda está sobre el valor de E en una superficie cerrada, La cual se elige por conveniencia para cualquier situación. La carga Qenci es la carga neta que encierra esa superficie. No importa dOnde o cOmo está distribuida la carga en el interior de La superficie. No se debe incluir cualquier carga que se encuentre en el exterior de Ia superficie. Una carga en Ia parte exterior de La superficie elegida puede afectar la posiciOn de las lIneas de campo eléctrico, pero no afectará a La cantidad neta de lIneas que entran o salen de Ia superficie. Por ejemplo, la carga Qenci para La superficie gaussiana A1 en La figura 22-5 es Ia carga que encierra A1; Ia carga negativa contribuye al campo eléctrico en A1 pero no está encerrada por La superficie A y por tanto no se incluye en Qenci.

Antes de analizar La validez de La ley de Gauss cabe indicar que con bastante frecuencia Ia integral es difIcil de realizar. Esto se tiene que hacer con poca frecuencia, excepto en algunas situaciones muy sencillas que se analizarán más adelante (sección 22-3). Ahora vamos a analizar cómo se relaciona La ley de Gauss con Ia ley de Coulomb.t Primero se indicó que ha ley de Coulomb proviene de La ley de Gauss. En La figura 22-7

dA/

/

tCabe indicar que Ia ley de Gauss parece más complicada en términos de Ia constante k = l/41Te0 en comparaciOn con Ia constante que se utilizO originalmente en Ia Icy de Coulomb (ecuaciones 21-1 o 21-4a): Ley de Coulomb

CAPITLILO 22

EdA = 4rkQ

E=k

/ /j 578

Ley de Gauss

E=

1Q 4r0 r2

4E.dA J

=

0

La ley de Gauss tiene una forma más sencilla que utiliza 0; Ia ley de Coulomb es más sencilla cuando utiliza en vez de k ya que se considers que Ia ley de Gauss es tnás genek. La convención normal consiste en usar

Ley de Gauss

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se tiene solo una carga Q. Para Ia "superficie gaussiana" se elige una esfera imaginaria de radio r que está centrada en la carga. Como se supone que la ley de Gauss es válida en cualquier superficie, se ha elegido una que facilite los cálculos. Debido a Ia simetrIa de esta esfera (imaginaria) en tomb a Ia carga que se localiza en su centro, se sabe que E debe tener la misma magnitud en cualquier punto de Ia superficie, además E apunta en forma radial hacia el exterior (o hacia el interior) y es paralelo a dA, un elemento del area de Ia superficie. De aquI que Ia integral de la ley de Gauss se puede escribir como

EdA =

5IEdA

= E dA = E(4rr2)

puesto que el area de Ia superficie de una esfera de radio r es 4'n-r2, y Ia magnitud de E es La misma en todos los puntos de esta superficie esférica. Como Qenci = Q, la ley de Gauss se transforma en Q

E dA = E(4irr2).

0

Al resolver para E se obtiene

E= 40r2 que es Ia forma del campo eléctrico de Ia ley de Coulomb, ecuaciOn 21-4b. Ahora vamos a realizar lo inverso para obtener Ia ley de Gauss a partir de Ia ley de Coulomb para cargas eléctricas estáticas. Primero hay que considerar una sola carga puntual Q que está rodeada por una superficie esférica imaginaria similar a la de la figura 22-7. La ley de Coulomb indica que el campo eléctrico en Ia superficie esfé-

rica es E = (l/4o)(Q/r2). Al invertir el argumento se obtiene 1

E dA

dA

(4irr2) =

J 4ITE0 r2 4ir0r j Esta es Ia ley de Gauss, con Qenci = Q, que se obtuvo para el caso especial de una superficie esférica que encierra a una carga puntual en su centro. j,Pero qué sucederIa con otra superficie, como Ia superficie irregular identificada como A2 en Ia figura 22-8? La misma cantidad de lIneas de campo (debido a Ia carga Q) circulan por Ia superficie A2, y pasan a través de Ia superficie esférica A1. En consecuencia, como el flujo que circuIa a través de una superficie es proporcional a Ia cantidad de ilneas que la atraviesan (como ya se vio en La sección 22-1), el flujo a través de A2 es el mismo que en A: IA2

EdA =

in1

EdA

2

0

EdA =

/Et\ Una sola carga puntual rodeada por una superficie esféricaA, FIGURA 22-8

De ahI que se puede esperar que J

A1,

y una superficie irregular A2.

0

sea válida para cualquier superficie que rodea a una sola carga puntual Q. For ültimo, vamos a analizar qué sucede cuando existe más de una carga. Para cada carga Q, que está encerrada por Ia superficie elegida,

EdA = donde E se ref ere al campo eléctrico que produce solamente Q,. Al aplicar el principio de superposiciOn para los campos eléctricos (ecuación 21-5), se tiene que el campo to-

tal E es igual a Ia suma de los campos debido a cada carga independiente. E = SE,. En consecuencia

E dA =

dA =

=

donde Qenci = es Ia carga neta total que está encerrada en el interior de la superficie. Como se puede ver, basandose en este argumento simple, Ia ley de Gauss es resul-

tado de Ia ley de Coulomb para cualquier distribución de carga eléctrica que está

contenida en el interior de una superficie cerrada de cualquier forma.

SECCION 22-2

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Ley de Gauss

519

0I

---

Flujo eléctrico a través de una superficie cerrada. (Igual que en Ia figura 22-3.) Esta superficie no encierra a ninguna carga (Qenci = 0). FIGURA 22-9

La obtención de la ley de Gauss a partir de Ia ley de Coulomb es válida para los campos eléctricos que son producidos por las cargas eléctricas estáticas. Más adelante se vera que los campos magnéticos variables también pueden producir campos eléctricos. La ley de Coulomb no se puede utilizar para describir campos eléctricos de esta clase. Pero La ley de Gauss es vélida para Los campos eléctricos que se generan de esta forma. De aqul que Ia ley de Gauss es una ley más general que Ia ley de Coulomb. De cualquier forma esto es cierto para cualquier campo eléctrico en absoluto. Aün para el caso de los campos eléctricos estáticos que se analizan en este capItulo, es importante reconocer que E en el lado izquierdo de La ley de Gauss no es resultado ünico de la carga Qenci que aparece en el lado derecho. For ejemplo en la figura 22-9, existe un campo eléctrico E en todos los puntos de Ia superficie gaussiana imaginaria, pero el campo no es generado por La carga que está encerrada en la superficie (que en este caso es Qenci = 0). El campo eléctrico E que aparece en el lado izquierdo de Ia ley de Gauss es el campo eléctrico total en cada punto, en Ia superficie gaussiana que se eligiO, no es generado solamente por Ia carga Qenci que aparece en el lado derecho. Se ha descubierto que la ley de Gauss es válida para el campo total en cualquier superficie. Esta ley indica que cualquier diferencia entre el flujo de entrada y salida del campo eléctrico en cualquier superficie se debe a Ia carga que está en el interior de esa superficie.

k"'

'''

i L 1.. Flujo de Ia ley de Gauss. Considere dos superticies gaussianas i-i y A2 que se muestran en la fig. 22-10. La i1nica carga que está presente es Ia carga Q en el centro de La superficie A1 ,Cual es el flujo neto en cada superficie A1 y A2?

La superficie A1 encierra a la carga +Q. De acuerdo a Ia ley de Gauss, el flujo neto a través de A es Q/EO. Para la superficie A2, La carga +Q está fuera de Ia superficie. La superficie A2 encierra una carga neta cero, en consecuencia el flujo eléctrico neto a través de A2 es cero, por ley de Gauss. Observe que todas las Ilneas de campo que entran al volumen que encierra la superficie A2 también salen. RESPUESTA

FIGURA 22-10 Ejemplo 22-2. Dos superficies gaussianas.

A-

Aplicaciones de Ia ley de Gauss La ley de Gauss es una forma muy simplificada y elegante que describe Ia relación entre Ia carga eléctrica y eL campo eléctrico. También ofrece una alternativa sencilla para determinar el campo eléctrico cuando Ia distribución de las cargas es sencilla y/o posee un alto grado de simetrIa. Sin embargo, para aplicar la ley de Gauss se debe elegir con sumo cuidado Ia superficie gaussiana (para Ia integral que está en el lado izquierdo de la ley de Gauss) para poder determinar E. Normalmente se trata de pensar en una superficie que tiene la simetrIa necesaria para que E sea constante en toda o en parte de la superficie. Algunas veces se elige una superficie para que el flujo a través de una parte de ella sea cero.

580

CAPITULO 22

Ley de Gauss

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Vista transversal de una cubierta esférica delgada, cuyo radio es r0, que transporta una carga neta Q que está distribuida de manera uniforme. A1 y A2 representan las dos superficies gaussianas que se utilizan para determinar E. FIGURA 22-11

I UW

Conductor esférico. Una cubierta esférica de poco espesor y s c uu carga neta total Q que está distribuida de manera uniforme en la

cubierta, figura 22-11. Determine el campo eléctrico en los puntos (a) que están en el exterior de Ia cubierta y (b) en el interior de Ia cubierta. (c) ,Qué sucederla si el conductor fuera una esfera sólida?

(a) Como Ia carga esth distribuida en forma simétrica, el campo eléctrico también debe ser simétrico. En consecuencia el campo se debe dirigir en forma radial hacia el exterior (se dirige hacia el interior si Q < 0) y debe depender solamente de r, no del ángulo (coordenadas esféricas). Primero se desea calcular E fuera de Ia cubierta esférica, en consecuencia se elige una esfera de radio r (donde r > r0) como la superficie gaussiana imaginaria, que es concéntrica con la cubierta y se indica en Ia figura 22-11 como el cIrculo punteado A1. Entonces el campo eléctrico E tiene Ia misma magnitud en todos los puntos de Ia superficie, y como E es perpendicular a esta superficie, eJ coseno del angulo entre E y dA siempre es 1. Entonces de Ia ley de Gauss se tiene que (con Qenci = Q) SOLUCION

E dA = E(4irr2) = 0

E=

1

4ir0 r2

[r > ro]

Por tanto el campo fuera de una cubierta esférica que tiene carga uniforme es el mismo que existirla si toda Ia carga estuviera concentrada en el centro de Ia cubierta como ana carga puntual. En el interior de la cubierta el campo también debe ser simétrico. De nuevo E debe tener el mismo valor en todos los puntos de una superficie gaussiana esférica (A2 en Ia figura 22-11) que es concéntrica con La cubierta. En consecuencia E se puede factorizar fuera de La integral, y como Qenci = 0, se tiene

E dA = E(4irr2) = 0. De ahI que

E=0

[r
en el interior de una cubierta esférica con carga uniforme. Estos mismos resultados se aplican a una esfera sOlida y conductora que tiene carga uniforme, ya que toda la carga permanecerla en una capa pequena en la superficie.

SECCION 22-3

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Aplicaciones de Ia ley de Gauss

581

I

Esfera sólida con carga. Una carga eléctrica Q está distribuida de Illallela ulliloune en una esfera no conductora cuyo radio es r0, figura 22-12. Determine (a) el campo eléctrico en el exterior de Ia esfera (r > r0) y (b) en el interior de Ia esfera (r < r0).

F

SOLUCION Como Ia carga está distribuida en forma simétrica en la esfera, el camp0 eléctrico en todos los puntos debe ser simétrico. E depende solo de r y se dirige en forma radial hacia el exterior (o hacia el interior si Q < 0). Para nuestra superficie gaussiana elegimos una esfera de radio r (r > r0) que se indica como A1 en La figura 22-12. Como E solamente depende de r, cuando Qenci Q, Ia ley de Gauss indica

E dA = E(4r2) = 0

Esfera sólida con densidad de carga uniforme. FIGURA 22-12

0

E

- 4e0r2

De nuevo el campo en el exterior de una distribuciOn de carga esférica y simétrica es igual que el campo en una carga puntual que tiene La misma magnitud y que se localiza en el centro de Ia esfera. En el interior de La esfera, se elige como superficie gaussiana a una esfera concéntrica de radio r (r < r0) que se identifica como A2 en Ia figura 22-12. De acuerdo a Ia simetrIa, La magnitud de E es Ia misma en todos los puntos de A2, y E es perpendicular a Ia superficie, entonces

E dA = E(4r2).

'Q 4E0

E

Esta ecuaciOn se debe igualar a Qenci/o, donde Qenci es Ia carga que encierra A2. Qenci no es Ia carga total Q, sOlo es una porcion de ella. La densidad de carga (PE) se define como Ia carga por unidad de volumen (p = dQ/dV, y se tiene que PE = constante. Por tanto La carga que encierra Ia superficie gaussiana A2, una esfera de radio r, es

r02

0

Qenci =

r

r0

FIGURA 22-13 Magnitud del campo eléctrico en funciOn de Ia distancia r

(iTr3pE\ \'7Tr0pEJ

Q=

r3

r0

Q.

De Ia ley de Gauss se tiene que

desde el centro de una esfera sólida que tiene carga uniforme.

E(4irr2) = 0

E

Qenci

= r3rEo -Q

r.

1Q

4ire0 r0

[r < roJ

For tanto el campo aumenta linealmente con r, hasta que r = r0. Entonces disminuye conforme 1/r2, como se indica en Ia figura 22-13. Los resultados anteriores se obtendrIan con mucha dificultad a partir de La ley de Coulomb al integrar en Ia esfera. Sin embargo al utilizar Ia ley de Gauss y la simetrIa de La situaciOn, este resultado se obtiene con facilidad y demuestra el gran poder que tiene Ia Ley de Gauss. Sin embargo, su uso en esta forma está limitado principalmente a los casos en los que Ia distribución de las cargas tiene un alto grado de simetrIa. En estos casos, se elige una superficie simple en la que E = constante, en consecuencia la integraciOn es sencilLa. Desde luego que Ia ley de Gauss es válida para cualquier superficie. Los dos ejemplos siguientes son casos simétricos que se analizaron anteriormente, aplicando la ley de Coulomb, pero el resultado se obtiene con mayor facilidad con Ia ley de Gauss.

582

CAP1TULO 22

Ley de Gauss

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LInea de carga uniforme y de gran longitud. Un alambre recto de gran longitud posee una carga positiva y uniforme por unidad de longitud, A. Calcule el campo eléctrico en los puntos que estn cerca (pero en el exterior) del alambre, lejos de los extremos.

Debido a la simetrIa se espera que el campo se dirija en forma radial hacia el exterior y que dependa solamente de Ia distancia perpendicular, r, a partir del alambre. Debido a la simetrIa de un cilindro, el campo será el misrno en todos los puntos de Ia superficie gaussiana que forman un cilindro con relación al eje del alambre, figura 22-14. E es perpendicular a esta superficie en todos los puntos. Para aplicar Ia ley de Gauss se necesita una superficie cerrada, en consecuencia se incluyen los extremos pianos del cilindro. Como E es paralelo a los extremos, no existe flujo a través de los extremos (el coseno del ánguio entre E y dA en los extremos es cos 900 = 0). Por tanto Ia ley de Gauss indica que SOLUCION

J

E dA

=

Al

Qenci

E(2rr1)

E

r

-1-1-1-'

t--t.1-

-I--I-1-

1-1-

Cálculo de E debido a una lInea de carga muy larga. FIGURA 22-14

donde I es la longitud de la superficie gaussiana que se eligió (I << longitud del alambre), y 2itr es su circunferencia. De ahI que

lÀ E= 2r0 r

Este es el mismo resultado que se obtuvo en el ejemplo 21-10 utilizarido Ia iey de Coulomb (Se utilizó x en lugar de r), pero fue mucho más fácil. De nuevo se puede observar el valor de la ley de Gauss.t

Piano infinito de carga. La carga se distribuye de manera uniforme, con una densidad de carga en Ia superficie ci (ci = carga por unidad de area = dQ/dA), en una superficie plana no conductora que es muy larga y delgada. Determine el campo eléctrico en los puntos que están cerca del piano. Como superficie gaussiana se escoge un cilindro pequefio y cerrado yo eje es perpendicular al piano y se extiende a través del piano como se indica en Ia figura 22-15. Debido a Ia simetrIa, se espera que E se dirija en forma perpendicular al piano en ambos lados como se indica en Ia figura, y debe ser uniforme en ambos extremos del cilindro, cada uno de los cuales tiene un area A. Como no hay flujo que pase a través de los lados curvos del ciiindro, todo el flujo pasa a través de los dos extremos. En consecuencia Ia ley de Gauss indica que SOLUCION

E dA = 2EA J

Qenci

0

ciA

0

Célculo del campo eléctrico en ci exterior de una superficie plana no conductora que tiene carga uniforme. FIGURA 22-15

donde Qenci = erA es Ia carga que encierra el cilindro gaussiano. Entonces el campo eléctrico es

E= 2 Que es el mismo resultado que se obtuvo de manera más compiicada en el capItuio 21, ecuaciOn 21-7. El campo es uniforme para los puntos que están alejados de los extremos del piano, y cerca de su superficie.

Pero cabe indicar que ci método que se utilizó en el ejemplo 21-10 permite caicular E para el caso de

una Ilnea de carga pequefia al utilizar los ilmites adecuados en Ia integral, en tanto que Ia ley de Gauss no se adapta fáciimente debido a Ia falta de simetrIa.

SECCION 22-3

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583

Campo eléctrico cerca de cualquier superficie conductora. 1-

Demuestre que ei campo eléctrico en el exterior de cualquier material conductor, cuya forma es arbitraria, está determinado por E

E=

0

donde a- es ia densidad de carga superficial en Ia superficie del conductor, en ese punto.

SOLUCION Se elige como superficie gaussiana un cilindro pequeflo, como en ei

+ FIGURA 22-16 Campo eléctrico cerca de Ia superficie de un conductor.

ejemplo anterior. La altura del cilindro es muy pequena, de tal forma que uno de sus extremos circulares esté justo encima del conductor (figura 22-16). El otro extremo se encuentra justo por debajo de Ia superficie del conductor, y los lados del cilindro son perpendicuiares al conductor. El campo eléctrico es cero en el interior del conductor y es perpendicular a la superficie que está justo fuera del conductor (sección 21-9), de tal forma que el campo eléctrico pasa solamente a través del extremo exterior del cilindro. Se elige que el area A (del extremo piano del cilindro) sea lo suficientemente pequefla como para que E sea esencialmente uniforme sobre ella. Entonces la ley de Gauss indica que

EdA = EA =

Qenci

a-A

0

0

de tal forma que cr

[en Ia superficie del conductor]

(22-5)

Este es un resultado ütil que se aplica a un conductor de cualquier forma.

i,Por qué el campo eléctrico en el exterior de un piano no conductor de grandes

dimensiones es E = a-/20 (ejemplo 22-6) en tanto que fuera de un conductor es E = O/ (ejemplo 22-7)? La razón del factor de 2 no proviene de Ia comparaciOn enFIGURA 22-17 Conductor piano con carga. La densidad de carga en Ia superficie es cr para cada superficie, pero para el conductor como un todo, Ia densidad de carga es ci-' = 2o-.

tre un conductor y un no conductor, sino de lo que se entiende por densidad de carga en Ia superficie a-. En un conductor Ia carga permanece en Ia superficie y todas las lIneas de campo eléctrico salen por un lado de Ia superficie. Para un piano no conductor delgado, las iIneas salen por ambos lados (figura 22-15). Si se tiene un piano conductor delgado y largo, Ia carga se acumulará en ambas superficies (figura 22-17) y el campo saldrd de ambos lados. Si ci-' es Ia carga en Ia superficie del piano como un todo, cada una de las caras del piano tendrá una carga en su superficie a- = cr72, y en consecuencia el

resultado del ejemplo 22-7 indicará E = (cr72)/e0 = a-'/20, igual que en el piano no conductor. Sin embargo en condiciones normales, a- se aplica a cada una de las caras de un piano conductor y entonces se obtiene E = a-/c0. En consecuencia el factor 2 en los ejemplos 22-6 y 22-7 proviene de dos maneras diferentes de definir a-. En Ia sección 21-9 se vio que en Ia situación estática, el campo eléctrico en el interior de cualquier conductor debe ser cero aün si existe una carga neta en él. (De lo contrario las cargas libres que están en el conductor se moverán, hasta que Ia fuerza neta en cada una, y en consecuencia E, sea cero.) También se indicO en esa secciOn que cualquier carga eléctrica neta en un conductor debe residir completamente en su su-

perficie externa. Esto se demuestra fácilmente utilizando la ley de Gauss. Considere cualquier conductor con carga sin importar la forma que tenga, como el que se muestra en Ia figura 22-18, el cual transporta una carga neta Q. La superficie gaussiana (Se muestra en lIneas punteadas) se elige de tal forma que permanezca justo debajo de Ia superficie del conductor. Nuestra superficie gaussiana puede estar arbitrariamente cerca de la superficie, pero aün asI estard en el interior del conductor. El campo eléctrico es ce-

ro en todos los puntos de esta superficie gaussiana ya que se encuentra en el interior del conductor. De ahI que, a partir de Ia ley de Gauss ecuaciOn 22-4, Ia carga neta en el interior de Ia superficie debe ser cero. En consecuencia no puede existir una carga neta en el interior del conductor. Cualquier carga neta debe permanecer en la superficie del conductor.

584

CAPITULO 22

Ley de Gauss

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F

-

S

-.

Superficie conductora

-_-

S

Superficie gaussiana

Cavidad vacla

19

Conductor (carga neta Q)


¼

t

SW

FIGURA 22-18 Conductor de forma arbitraria con uné carga aislada, La superficie gaussiana (en Lmneas punteadas) se encuentra justo debajo de La superficie del conductor.

Una cavidad vacIa en el interior de un conductor con carga tiene una carga neta igual a cero. FIGURA 22-19

Si existe una cavidad vacIa en el interior de un conductor, ,también se puede acumular una carga en esa superficie (interna)? Como se muestra en Ia figura 22-19, si imaginamos una superficie gaussiana (en ilneas punteadas) justo en el interior de un conductor por encima de La cavidad, sabemos que E debe ser cero en cualquier parte de esta superficie ya que se encuentra en el interior del conductor. A partir de esto, de acuerdo a la ley de Gauss, no puede existir una carga neta en Ia superficie de Ia cavidad. LPero qué sucede si La cavidad no esta vacla y existe una carga en su interior?

-J Conductor con una carga en el interior de una ...0 L. .... . JAuponga que un conductor transporta una carga neta +Q y además contiene una cavidad. En el interior de Ia cavidad existe una carga puntual +q. Qué puede decir acerca de las cargas que están en las superficies interior y exterior del conductor?

Carga puntual

+

+ +

Cavidad

-

cavu..ac..

Como se muestra en la figura 21-20, una superficie gaussiana que esjusto en el interior de un conductor, y ademés rodea a la cavidad, debe contener una carga neta igual a cero (E = 0 en un conductor). En consecuencia debe existir una carga neta -q en La superficie de la cavidad. El conductor en si transporta una carga neta +Q, en consecuencia su superficie externa debe transportar una carga igual a Q + q. RESPUESTA t

RESOLUCION DE PROBLEMA

+ + + Conductor +

++ +

FIGURA 22-20


+

+

EjempLo 22-8.

Ley de Gauss para dis

Identifique primero la simetrfa en la distribuciOn de las cargas: esférica, cilIndrica o plana. Esta identificación deberá sugerir una superficie gaussiana en la que E debe ser constante y/o cero en toda o en parte de la superficie: una esfera para simetrIa esférica, un cilindro para La simetrfa cilIndrica y un cilindro pequeflo para la simetrIa plana. Dibuje la superficie gaussiana adecuada, compruebe que

esta superficie pase a través del punto donde se desea conocer el campo 1éctrico.

EvalUe el flujo

E . dA. Con la superficie gaussiana

adecuada, el producto punto E dA debe ser cero o

igual a ± E dA, donde la magnitud de F es constante. Calcule la carga que encierra la superficie gaussiana. Recuerde que lo importante es La carga que está encerrada. Ignore cualquier carga que esté fuera de Ia superficie gaussiana. Iguale el flujo con La carga encerrada y obtenga el valor

deE.

Utilice Ia simetrIa en la distribución de la carga para determinar la direcciOn de E en Ia superficie gaussiana.

SECCION 22-3

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585

*

Base experimental de Ia ley de Gauss v Ia Ie de Coulomb La ley de Gauss predice que cualquier carga neta en un conductor debe permanecer solamente en su superficie. ,Pero esto será cierto en Ia vida real? Vamos a ver cómo se puede verificar en forma experimental, ademäs cuando se confirme esta predicciOn de Ia ley de Gauss automáticamente se confirmará también Ia ley de Coulomb, ya que esta

(a)

ültima sigue a la Jey de Gauss, como ya se vio en Ia secciOn 22-2. La primera observaciOn

que indicó que las cargas se localizan solamente en Ia parte exterior de un conductor fue registrada por Benjamin Franklin, esto sucediO 30 años antes que Coulomb presen-

Aislador

tara su ley.

La figura 22-21 muestra un experimento sencillo. Un recipiente de metal que tiene una pequena abertura en la parte superior se coloca encima de un aislador. En un principio el recipiente, un conductor, está descargado (figura 22-21a). Una bola de metal con carga (que también es un conductor) se hace bajar con la ayuda de una cuerda aislante en el interior del recipiente, y se permite que Ia bola toque el fondo del recipiente (fig. 22-21b). Ahora Ia bola y el recipiente forman un solo conductor. La ley de Gauss, como ya se analizó anteriormente, indica que toda la carga fluirá a Ia superficie exterior del recipiente (el flujo de Ia carga en esta situación no ocurre en forma instantánea, pero el tiempo en el que ocurre es despreciable). Estas predicciones son confirmadas experimentalmente cuando (1) se conecta un electroscopio al recipiente, lo que indicará que el recipiente está cargado, y (2) al conectar un electroscopio a la pelota después que esta ha tocado el fondo del recipiente (figura 21-22c), Jo que demostrará que Ia pelota tiene una carga cero. La precision de las afirmaciones de Ia ley de Gauss y Ia ley de Coulomb se puede indicar en forma cuantitativa al escribir Ia ley de Coulomb de Ia siguiente manera

F= (a) Un conductor con carga (bola de metal) Se deposita en el interior de un recipiente de metal aislado (buen conductor) el cual transporta una carga neta igual a cero. (b) La bola con carga toca el recipiente y toda su carga fluye rápidamente hacia Ia superficie exterior del recipiente. (c) Cuando se quita Ia bola se encuentra que ésta tiene una carga neta igual FIGURA 22-21

kQ2 r2 +

Para una ley perfecta del inverso del cuadrado, 6 = 0. Los experimentos mas recientes y precisos (1971) indican que 6 = (2.7 ± 3.1) X 10-16. En consecuencia se ha descubierto la validez de Ia ley de Coulomb y Ia ley de Gauss con una precision extremadamente elevada!

a cero.

Resumen El flujo eléctrico que circula a través de una area plana A que tiene un campo eléctrico uniforme E es

= EA. Si el campo no es uniforme, el flujo está determinado por la integral =

JEdA.

La direcciOn del vector A o dA se elige para que sea perpendicular a la superficie cuya area es A o dA, y apunta hacia el exterior de una superficie cerrada. El flujo que pasa a través de una superficie es proporcional a Ia cantidad de lIneas de campo que atraviesan Ia superficie.

586

CAPiTULO 22

Ley de Gauss

La ley de Gauss indica que el flujo neto que sale de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta Qencl que encierra la superficie dividida entre E0:

E dA

Qenci

0

En principio La ley de Gauss se puede utilizar para determinar el campo eléctrico que genera cualquier distribuciOn de carga, pero su utilidad se ye limitada principalmente a una pequefia cantidad de casos donde Ia distribuciOn de la carga presenta mucha simetria. La importancia real de la ley de Gauss es que representa de manera más general y elegante (que Ia ley de Coulomb) Ia relaciOn que existe entre Ia carga eléctrica y el campo eléctrico. Es una de las ecuaciones básicas del electromagnetismo.

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Preguntas Suponga que Ia Ilnea de carga del ejemplo 22-5 se extiende a poca distancia más aIM de los extremos del cilindro que se mues-

Si el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es cero, ,el campo eléctrico es necesariamente cero en todos los puntos de la superuicie? Qué se puede decir de Ia situaciOn inversa: si E = 0 en todos los puntos de Ia superficie, ,el flujo que atravie-

tra en La figura 22-14. ,En qué forma se alterarIa el resultado del ejemplo 22-5? Una carga puntual Q está rodeada por una superficie esférica de radio r0, cuyo centro está en Q. Después Ia carga se mueve a Ia derecha a una distancia r0, pero Ia esfera permanece en su po-

sa Ia superficie es cero?

(,El campo eléctrico E en la iey de Gauss, es generado solamente por ia carga Qenci'?

E dA =

Qenci/Eo

sición original, figura 22-2. ,COmo ha cambiado el flujo eléctrico en Ia esfera, 'l? Se modifica el campo eléctrico en Ia superficie de La esfera? Si Ia respuesta es afirmativa describa el cambio.

Una carga puntual está rodeada por una superficie gaussiana en forma de esfera, cuyo radio es r. Si La esfera es reemplazada por un cubo de lado r, ,el valor de T será més pequeno, grande o el mismo?

Q

Qué puede decir acerca del flujo a través de una superficie Cerrada que encierra a su vez a un dipolo eléctrico?

/

El campo eléctrico E es cero en todos los puntos de una superficie cerrada, es necesario que no exista una carga neta en el interior de Ia superficie? Si una superficie encierra una carga neta cero, el campo eléctrico será necesariamente cero en todos

/

&.. -I

N

\

J

a

Los puntos de Ia superficie? FIGURA 22-22

Defina el flujo gravitacional en una analogla con el flujo eléctrico. ,Las "fuentes" y "desagues" del campo gravitacional son similares a sus contrapartes del campo eléctrico? Explique su respuesta. ,La ley de Gauss es ñtil para determinar el campo eléctrico que produce un dipolo eléctrico? Una pelota esférica de basquetbol (no conductora) tiene una car-

Pregunta 11.

FIGURA 22-23 Pregunta 12.

Un conductor transporta una carga neta positiva Q. En el conductor existe una cavidad profunda, en el centro de esta hay una carga puntual negativa q (figura 22-23). i,Cuál es Ia carga en (a) la superficie exterior del conductor y (b) en Ia superficie interior del conductor? Una carga puntual q se coloca en el centro de La cavidad de una cubierta (delgada) de metal que tiene carga neutra. ,Una carga Q que se coloca en la parte externa de Ia cubierta experimentará una fuerza eléctrica? Explique En Ia figura 22-24 dos objetos 0 y 02 tienen cargas de +1.0 C y 2.0 j.rC respectivamente, pero existe un tercer objeto 03 que es eléctricamente neutro. (a) (,Cuál es el flujo eléctrico a través

ga Q Ia cual está distribuida de manera uniforme en su superficie.

,Qué puede decir con relación al campo eléctrico en el interior de Ia pelota? Suponga que una persona se para encima de Ia pelota, con lo que esta se colapsa, esto hace que Ia mayor canti-

dad de aire salga de Ia pelota sin alterar Ia carga. ,Qué puede decir del campo en el interior de la pelota en este caso? En el ejemplo 22-5 puede parecer que el campo eléctrico que

de Ia superficie A1 que encierra a los tres objetos? (b) ,Cuál es el flujo eléctrico en La superficie A2 que encierra solamente altercer objeto?

se calculO es generado ünicamente por La carga (en el alambre) que está encerrada por el diindro que se eligió como superficie gaussiana. De hecho, toda La carga a lo largo de Ia longitud com-

pleta del alambre contribuye al campo eléctrico. Explique en

qué forma contribuye Ia carga que está fuera de Ia superficie ciIIndrica gaussiana (de la figura 22-14) a E en la superficie gaussiana. [Sugerencia: realice una comparaciOn con el campo que se generarIa en un alambre de poca longitud.]

01+l.0 tC

A1


02-21

Problemas (I) Un cIrculo piano cuyo radio mide 15 cm se coloca en un campo eléctrico uniforme cuya magnitud es 5.8 X 102 N/C.

Cuál es el flujo eléctrico a través del cIrculo cuando su cara es (a) perpendicular a Las lIneas de campo, (b) está a 450 de las 11neas de campo, y (c) es paralela a las lineas de campo? La Tierra posee un campo eléctrico cuya magnitud promedio es 150 N/C cerca de su superficie. El campo apunta en forma radial hacia el interior. Calcule el flujo eléctrico neto que se dirige hacia fuera a una superficie esférica que rodea a La superficie de Ia Tierra (Ia superficie esférica está justo abajo de Ia superficie terrestre). Un cubo de lado I se coloca en un campo eléctrico uniforme E = 6.50 X iO N/C. Las esquinas del cubo son paralelas a

las IIneas de campo. ,Cuál es el flujo neto en el cubo? i,Cuál es el fiujo en cada una de las seis superficies del cubo? --

(II) Un campo eléctrico uniforme E es paralelo al eje de una semiesfera hueca de radio R, figura 22-25. (a) Cuál es el flujo eléctrico a través de Ia superficie semiesférica? (b) Cuál serIa el resultado si E fuera perpendicular al eje?

FIGURA 22-25

Problema 4.

Problemas

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587

(I) El flujo eléctrico total que proviene de una caja cuyos lados miden 28.0 cm es 1.45 X 1O N m2/C. (,Cuál es Ia carga que encierra Ia caja? : (I) La figura 22-26 muestra cinco superficies cerradas que rodean a varias cargas. Determine el flujo eléctrico en cada superficie, S1, S,S, 54 y S5. Las superficies son planas y solamente se extienden Jigeramente por encima y por debajo del pIano del papel. S4

x=0

(II) Una carga puntual Q se encuentra en el centro de una cubierta esférica, delgada y conductora (sin carga). ,Cuál es el campo eléctrico E en función de r (a) si r es menor que el radio de Ia cubierta, (b) en el interior de Ia cubierta, (c) más alIá de Ia cubierta? (d) La cubierta afecta al campo que produce solamente Q? ,Acaso Ia carga Q afecta a Ia cubierta? (II) Un cubo sOlido de metal tiene una cavidad esférica en su centro como se muestra en Ia figura 22-28. En el centro de Ia cavidad existe una carga puntual Q = +8.00 C. El cubo de metal transporta una carga neta q = -7.00 C (sin incluir a Q). Determine (a) Ia carga total en Ia superficie de Ia cavidad esférica y (b) Ia carga total en La superficie exterior del cubo.

x=30m

E

H3OmH FIGURA 22-26

Problema 6.

FIGURA 22-27

Problema 7.

(II) En cierta region del espacio el campo eléctrico es constante en su direcciOn (digamos en forma horizontal en Ia dirección x), pero su magnitud disminuye desde E = 560 N/C en x = 0 hasta E = 410 N/C en x = 30 m. Determine La carga en el interior de una caja cuyos lados miden 30 m si está orientada de tal forma que sus lados sean paralelos a las lIneas de campo (figura 22-27). (II) Una carga puntual Q se coloca en el centro de un cubo de lados 1, CuáI es el flujo en una de las caras del cubo? (1) El campo en el exterior de una bola de metal, cuyo radio es 3.50 cm, es 2.75 x 102 N/C y apunta hacia Ia bola. Cuál es Ia carga que reside en Ia bola? (1) A partir del resultado del ejemplo 22-3, demuestre que el campo eléctrico justo en el exterior de una esfera conductora que tiene carga uniforme es E = a/, de acuerdo con el ejemplo 22-7. Un alambre largo y delgado, que tiene cientos de metros de longitud, transporta una carga de -2.8 C que está distribuida de manera itniforme por cada metro de longitud. Cuál es La magnitud y dirección del campo eléctrico en los puntos que estan (a) a 5.0 m y (b) a 2.0 m del alambre. Una esfera sólida de metal cuyo radio es 3.00 m transporta una carga total de -3.50 rC. LCuál es Ia magnitud del campo eléctrico a una distancia del centro de La esfera igual a (a) 0.15 m, (b) 2.90 m, (c) 3.10 m y (d) 6.00 m. LCOmo cambiarian las respuestas si Ia esfera fuera (e) una cubierta delgada o (J) una esfera sólida y no conductora con carga uniforme? (II) Una esfera no conductora cuyo diámetro es 15.0 cm transporta una carga total de 12.0 jrC, Ia cual está distribuida de manera uniforme en su volumen. Realice una gráfica del campo eléctrico E en función de La distancia r del centro de La esfera, desde r = 0 hasta r = 30 cm. (II) Una hoja plana, cuadrada y delgada de aluminio cuyos lados miden 25 cm transporta una carga de 35 nC, la cual estd distribuida de manera uniforme. Cuál sera el campo eléctrico en (a) 1.0 cm por encima de Ia hoja y (b) 20 m por encima de Ia hoja?

(II) Una cavidad esférica con radio de 4.5 cm se localiza en el centro de una esfera de metal cuyo radio es 18.0 cm. Una carga puntual Q = 5.50 iC se encuentra en reposo en el mismo centro de Ia cavidad, en tanto el conductor de metal no transporta ninguna carga neta. Determine el campo eléctrico en el punto que está (a) a 3.0 cm del centro de Ia cavidad y (b) a 6.0 cm del centro de Ia cavidad. 588

CAPITULO 22

+a -a FIGURA 22-28

Problema 17.

FIGURA 22-29 Problemas 18, 19 y 20.

(II) Dos placas largas y planas de metal están separadas por una distancia que es muy pequefia si se compara con su longitud y anchura. La densidad de carga superficial de los conductores es igual y uniforme pero con signos opuestos ± a. Ignore los efectos en las esquinas y utilice La ley de Gauss para demostrar lo siguiente para los puntos que están alejados de las esquinas, (a) ci campo eléctrico entre las placas es E = a/E0 y (b) fuera de las placas, en cualquier lado el campo es cero. (c) ,Cómo cambiarlan sus resuitados si ambas placas fueran no conductoras? (Véase La figura 22-29.) (II) Suponga que las dos placas conductoras del problema 18

tienen cargas con el mismo signo. LEn este caso cuál será el campo eléctrico (a) entre ambas placas, (b) fuera de ellas en cuaLquier lado? (c) tQué sucederIa silas placas fueran no conductoras?

(II) El campo eléctrico entre dos placas cuadradas de metal es 100 N/C. Cada lado de las placas mide 1.0 m y están separadas a una distancia de 3.0 cm como se indica en La figura 22-29. ,Cuál es La carga en cada placa?, eliniine Los efectos de las esquinas. Dos cubiertas esféricas y concéntricas con radios r1 y r2 (r1 < r2) contienen densidades de carga superficial uniforme a1 y O2 respectivamente (figura 22-30). Determine el campo eléctrico para (a) r < r1, (b) r1 < r < r2, y (c) r > r2. (d) LEn qué condicio-

nes E = 0 para r > r2? r1 < r < r2?

(e)

LEn qué condiciones E = 0 para

FIGURA 22-30 Dos cubiertas esféricas (probLema 21).

FIGURA 22-31 Problem as 22,23 y 34.

(II) Suponga que La esfera no conductora del ejemplo 22-4 tiene una cavidad esférica de radio r1, La cual esta en el centro de La esfera (figura 22-31). Suponiendo que La carga Q está distribuida de manera uniforme en La "cubierta" (entre r = r1 y r = r0), determine el campo eléctrico en función de r para (a) r < r1, (b) r1 < r < r0 y (c) r > r0. (II) Suponga que en el problema 22, figura 22-31, también existe una carga q en el centro de La cavidad. Determine el campo eléctrico para (a) 0 < r < r1, (b) r1 < r < r0 y (c) r > r0.

Ley de Gauss

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(II) Suponga que Ia cubierta esférica delgada del problema 22 es un conductor que transporta una carga neta total Q. Suponga adems que en el centro de La cubierta existe una carga puntual q. tCuál es Ia carga total (a) en la superficie interior de la cubierta y (b) en la superficie exterior de Ia cubierta? Determine el campo eléctrico para (c) 0 < r < r1, (d) r1 < r < r0 y (e) r > r0.

(II) Suponga que en el centro de Ia cavidad (en el interior de Ia cubierta, carga Q), de Ia figura 22-11 (y el ejemplo 22-3) existe una carga puntual q Q). Determine eI campo eléctrico en (a) r < r0 y (b) r > r0. ,Cul serfa su respuesta si (c) q = Q y (d) q = -Q. (II) Un balón esférico de hule transporta una carga total Q que está distribuida de manera uniforme en su superficie. En = 0, el balón no conductor tiene un radio r0, luego el balOn crece lentamente de tal forma que r aumenta linealmente a 2r0 en un tiempo T. Determine el campo eléctrico en función del tiempo (a) justo en el exterior de La superficie del balón (b) en r = 4r0. (II) Una cubierta cilIndrica y larga de radio R0 y longitud L (R0 << L) posee una densidad de carga superficial uniforme (carga por unidad de area) a (figura 22-32). Determine el campo eléctrico en los puntos (a) que están fuera del cilindro (r > R0) y (b) en el interior del cilindro (r < R0); suponga que los puntos están lejos de los extremoS pero no estén muy lejos de la cu-

bierta (r << L). (c) Compare el resultado para una lInea larga

(II) Una cubierta cilIndrica y delgada de radio R1 = 5.0 cm está rodeada por otra cubierta cilIndrica de radio R2 = 9.0 cm, como en el caso de La figura 22-34. Ambos cilindros tienen una longitud de 5.0 m, el cilindro interior transporta una carga total 01 = -3.8 rC, el exterior transporta una carga Q2 = +3.2 j.rC. Para los puntos que están lejos de los extremos del cilindro determine el

campo eléctrico en una distancia radial r del eje central de (a) 3.0 cm, (b) 6.0 cm y (c) 12.0 cm. (II) (a) Si un electrOn (m = 9.1 x 10-31 kg) escapa de Ia super-

ficie del cilindro interior del problema 31 (figura 22-34) con

una velocidad despreciable, Lcuál serO su velocidad cuando lIegue a! cilindro exterior? (b) Si un proton (m = 1.67 X 1027 kg) gira en una Orbita circular de radio r = 6.0 cm alrededor del eje (p. ej. entre los cilindros), cuál será su velocidad? Un cilindro sólido y no conductor de gran longitud de radio R1 tiene una carga uniforme, Ia densidad de carga es PE El cilindro está rodeado por un tubo cilIndrico y concéntrico cuyo radio interno es R2 y su radio externo es R3, como se muestra en

Ia figura 22-35. El tubo transporta también una densidad uniforme de carga Pc Determine el campo eléctrico en función de Ia distancia r del centro de los cilindros para (a) 0 < r < R1,

(b) R1 < r < R2, (c) R2 < r < R3, y (d) r > R3. (e)

si

C/m3 y R1 = R2 = R3 = 5.0 cm, realice una gráfica de E en función de r desde r = 0 hasta r = 20.0 cm. SuponPE

= 15

ga que los cilindros son muy largos comparados con R3.

de carga, ejemplo 22-5.

++++ +++

\+

HR1

,+ + + + + +

+++ FIGURA 22-32

FIGURA 22-35

/V

Problema 33.

FIGURA 22-33

Problema 27.

Problema 28.

(II) Un cilindro no conductor de gran longitud de radio R0 y longitud L (R0 << L) posee una densidad de carga por volumen uniforme PE (C/m3), figura 22-33. Determine el campo eléctrico en los puntos (a) que están fuera del cilindro (r > R0) y (b) en el interior del cilindro (r < R0). Realice lo anterior solamente para los puntos que están lejos de los extremos y en los que r << L. (II) Una cubierta cilIndrica y delgada de radio R1 está rodeada por otra cubierta cilIndrica y concéntrica de radio R2 (figura 22-34). La cubierta interna tiene una carga total +Q y La cubierta externa -Q. Suponiendo que Ia longitud L de las cubiertas es mucho más grande que R1 o R2, determine el campo eléctrico en función de r (Ia distancia perpendicular del eje comOn de los cilindros) para (a) r < R1, (b) R1 < r < R2, (c) r > R2. (d) Cuál

Suponga que la densidad de carga entre r1 y r0 de Ia esfera hueca del problema 22 (figura 22-31) varIa como PE = p0r1/r.

Determine el campo eléctrico en función de r para (a) r <

(b) r1 < r < r0 y (c) r > r0. (d) Realice una grafica de E versus r desde r = 0 hasta r = 2r0. (III) Una carga puntual Q se localiza en ci eje de un cilindro, en el centro del mismo. El diámetro del cilindro es igual a su longitud L (figura 22-36). ,CuáI es el flujo total que circula a través de los lados curvos del cilindro? [Sugerencia: calcule primero ci flujo a través de los extremos.]

L = 2R0 F-

H

será La energIa cinética de un electrOn si se mueve entre las cubiertas (en forma concéntrica) y describe una Orbita circular cuyo radio es (R1 + R2)12?

FIGURA 22-36 Problema 35.

FIGURA 22-34

Problemas 29,

30,31 y32.

(II) En el problema 29 (a) (,En qué condiciones E = 0 para r > R2? (b) En qué condiciones E = 0 para R1 < r < R2?

FIGURA 22-37

ProbIema 36.

(III) Un bloque piano de material no conductor (figura 22-37) transporta una carga uniforme por unidad de volumen PE El bioque tiene un espesor d que es pequeOo si se compara con Ia aitura y anchura de bloque. Determine el campo eléctrico en función de x (a) en el interior del bioque y (b) fuera del bloque (a distancias mucho menores que La aitura o anchura del bloque). Considere que el origen esta en ei centro del bloque.

Problemas

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589

Problemas generales Escriba Ia ley de Gauss para el campo gravitacional g (véase La sección 6-6). La Tierra esta rodeada por un campo eléctrico, el cual apunta

hacia el interior en cualquier punto, Ia magnitud del campo 150 N/C cerca de Ia superficie. (a) Cuál es Ia carga neta en La tierra? (b) A cuántos electrones en exceso por metro cuadrado de Ia superficie de Ia tierra corresponderIa este campo? E

Un piano delgado y grande tiene una densidad de carga superficial uniforme ci. El piano está en contacto con un bLoque en su lado derecho, (figura 22-40), eL bloque es largo y ancho, tiene un espesor d y una densidad de carga volumétrica uniforme PE Determine el campo eLéctrico (a) a La izquierda del piano, (b) a La derecha del bloque, y (c) en cualquier parte del interior del bloque.

Un cubo de lado I tiene una esquina en el origen del eje de

PE

coordenadas y se extiende a lo ]argo de los ejes positivos x, y y z. Suponga que el campo eléctrico en esta region está determinado por E = (a + by)j. Determine La carga en el interior del cubo. Una esfera sOlida y no conductora de radio r0 tiene una carga total Q La cual estO distribuida de acuerdo a Ia expresiOn PE = br, donde PE es Ia carga por unidad de volumen, o densidad de carga (C/rn3) y b es una constante. (a) Determine b en términos de Q, (b) el campo eléctrico en los puntos que están dentro de Ia esfera, y (c) el campo eléctrico en los puntos que estOn fuera de La esfera.

Una carga puntual de 3.50 nC se localiza en el origen y una segunda carga de -5.00 nC se localiza en el eje x en x = 1.50 m. Calcule el flujo eléctrico a traves de Ia esfera que se encuentra en el centro del origen, el radio de La esfera es 1.00 rn. Repita el cálculo si La esfera tiene un radio de 2.00 m.

Una carga puntual produce un flujo eléctrico de +500 Nm2/C a través de una esfera gaussiana de radio 15.0 cm que está centrada en Ia carga. (a) LCuál es el flujo que pasa a través de La esfera gaussiana cuyo radio es 35.0 cm? (b) ,CuOl es La magnitud y el signo de Ia carga? Una carga puntual Q se coloca a una distancia r0/2 por encima de La superficie de una superficie esférica imaginaria de radio r0 (figura 22-38). (a) CuOl es el flujo eléctrico a través de Ia esfera? (b) tQué intervalo de valores adquiere E en La superficie de Ia esfera? (c) i,Acaso E es perpendicular a La esfera en todos los

puntos? (d) ,La ley de Gauss es Otil para obtener E en La superficie de La esfera?

Problema 43.

FIGURA 22-39

va de carga cuya densidad de volurnen está determinada por

pE(r) = _Ae_2T,0, donde a0 = 0.53 x 10-10 rn se conoce como radio de Bohr, y A es una constante tal que La cantidad de carga negativa es -e. (a) ,CuáI es Ia carga neta en eL interior de Ia esfera cuyo radio es a0? (b) Cuál es Ia fuerza del campo eléctrico a una distancia a0 del nticleo?

CAPITULO 22

ProbLema 46.

ProbLema 47.

FIGURA 22-41

Una esfera de radio r0 transporta una densidad de carga voLurnétrica Pa (figura 22-41). Luego se "rebana" una cavidad esfé-

rica de radio r0/2, con Lo que queda el hueco en La esfera, como se muestra en La figura. (a) Cuál es Ia magnitud y direcciOn del campo eléctrico en eL punto A? (b) ,Cuál es Ia direcciOn y mag-

nitud del campo eléctrico en el punto B? El aire seco sufre ruptura dieléctrica y genera una chispa si el campo eléctrico supera el valor de 3 X 106 N/C. ,Cuánta carga se puede almacenar en una "esferita" dieléctrica (tamafio de un chIcharo) (diámetro 0.75 cm) antes que Ia "esferita" se descargue en forma espontánea? Tres hojas grandes están separadas a distancias iguales de 20.0 cm (figura 22-42). La primera y Ia tercera hoja son rnuy delgadas y no son conductoras, además tienen una densidad de carga superficial de +5.00 .cC/m2 y -5.00 fLC/m2 respectivamente. La hoja intermedia es conductora pero no tiene ninguna carga neta. (a) Cuál es el campo eléctrico en el interior de La hoja intermedia? (b) ,CuáL es eL campo eléctrico entre Las hojas izquierda e intermedia? (c) Cuál es el campo eLéctrico entre La hoja derecha y La hoja intermedia? (d) CuáI es Ia densidad de carga en La superficie de Ia hoja intermedia que apunta hacia la hoja izquierda? (e) ,CuáL es La densidad de carga en Ia superficie de La hoja intermedia que apunta hacia La hoja derecha? Qnet = 0

.200cm_.

cr3

z

= -5.00 cC/m2

'-20.0cm-----

C

//

ProbLema 44.

Tres hojas largas tienen poca carga y son paraleLas unas a otras como se indica en Ia figura 22-39. La hoja I tiene una densidad de carga en La superficie de 9.0 nC/rn2, Ia hoja II tiene una carga de -2.0 nC/rn2 y La hoja III tiene una carga de 5.0 nC/rn2. Cuál es La fuerza por unidad de Orea en cada hoja en N/rn2? El hidrógeno neutral se puede modelar como una carga puntual positiva +e que estO rodeada por una distribución negati-

590

FIGURA 22-40

H

r

FIGURA 22-38

0

cr = +5.00 /LC/m2

cI1 r0

P

E

FIGURA 22-42

Problema 49.

FIGURA 22-43

Problema 50.

La mediciOn precisa del campo eléctrico en La tierra puede ser Otil para proporcionar informaciOn relativa a Las cargas. En una regiOn particular, el técnico ha determinado que el campo eléctrico en un volumen cObico, cuyos lados miden 1.00 m, es

E=

E0(1+)I+E0()J

donde E0 = 1.00 N/C y a = 1.00 m. Los lados del cubo son para-

lelos aL eje de coordenadas, figura 22-43. Determine Ia carga neta en eL interior del cubo.

Ley de Gauss

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a

Descarga atniosférica. La diferencia de potencial (voltaje) entre las nubes y Ia Tierra puede ser tan elevada que los electrones son sacados de los átomos del aire debido al campo eléctrico. El aire se vuelve un conductor conforme los átomos ionizados y los electrones liberados fluyen rápidamente, colisionándose con más átomos y provocando más ionización. El flujo masivo de cargas reduce Ia diferencia de potencial y Ia "descarga" termina rápidamente. La luz representa Ia energfa que se libera cuando los jones y electrones Se recombinan para formar átomos.

Potencial eléctrico se vio en los capItulos 7 y 8 que el concepto de energIa era extremadamente ltil cuando se analizan problemas mecánicos. Por un parte, la Anteriormente, energIa es una cantidad que se coriserva y en consecuencia es una herramienta importante para entender la naturaleza. Aün ms, ya se vio que muchos problemas se pueden resolver utilizando el concepto de energIa aün cuando no era posible un conocimiento detallado de las fuerzas involucradas, o cuando los ciculos que involucran las leyes de Newton se tornan difIciles. El punto de vista de Ia energIa se puede utilizar en Ia electricidad, y resulta especialmente dtil. No solo extiende Ia ley de conservaciOn de Ia energIa, también pro-

porciona otra forma de ver el fenómeno eléctrico, y es una herramienta que permite resolver los problemas con mayor facilidad en a mayor parte de los casos, en comparaciOn con el enfoque de fuerzas y campos eléctricos.

Potencial eléctrico y diferencia de potencial Para aplicar Ia conservaciOn de La energIa se tiene que definir la energia potencial eléctri-

ca como ha sucedido con otras clases de energIa potencial (capItulo 8). Como ya se ha visto, Ia energIa potencial se puede definir sOlo para una fuerza conservativa. Recuerde 591

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+ E

Potencial alto

- -*

--

a

Potencial bajo

.t.

FIGURA 23-1 Trabajo que realiza el campo elëctrico a! mover La carga p0sitiva de Ia posiciOn a a Ia posición b.

que el trabajo que realiza una fuerza conservativa en un objeto que se mueve entre dos posiciones es independiente de Ia trayectoria. Es fácil ver que Ia fuerza electrostática entre cualquier par de cargas (F = kQ1 Q2/r2) es conservativa: la dependencia en la p0siciOn es hr2 como sucede con La fuerza gravitacional, Ia cual es conservativa como ya se vio en Ia secciOn 8-7. De ahI que Ia fuerza electrostática que define la ley de Coulomb sea conservativa y en consecuencia se puede defmir Ia energfa potencial U para ella. El cambio en La energIa potencial Ub - Ua, cuando una carga q se mueve de un punto a a un punto b, se define como el valor negativo del trabajo que realiza Ia fuerza eléctrica para mover la carga de a a b. Por ejemplo, considere el campo eléctrico entre dos placas paralelas cuya carga tiene igual magnitud y signos opuestos, la distancia de separación de las placas es pequena en comparaciOn con su anchura y altura, en consecuencia el campo E es uniforme en la mayor parte de Ia region, figura 23-1. Ahora considere una pequena carga puntual positiva q que se coloca muy cerca de La placa positiva como se indica. Esta carga q es tan pequena que no afecta a! campo E. Si esta carga q se libera en el punto a, la fuerza eléctrica realizará un trabajo en la carga y Ia acelerará hacia Ia placa negativa. En el proceso aumentará Ia energIa cinética K de Ia partIcula con carga. Por conservaciOn de energIa, Ia energIa potencial disminuirá en una cantidad igual, que será igual al valor negativo del trabajo que realiza Ia fuerza eléctrica. De acuerdo a la conservación de energIa, Ia energIa potencial eléctrica se transforma en energIa cinética, y Ia energIa total se conserva. Observe que La energia potencial eléctrica de Ia carga positiva q tiene su valor máximo en el punto a, cerca de la placa positiva,t en consecuencia (Ub - Ua) < 0. Lo contrario es cierto para una carga negativa: su energIa potencial será mayor cerca de Ia placa negativa. El campo eléctrico se definió (capItulo 21) como la fuerza por unidad de carga. En forma similar, resulta Otil definir el potencial eléctrico (o simplemente potencial cuando se entiende el contexto "eléctrico") como la energIa potencial por unidad de carga. El potencial eléctrico se identifica con el sImbolo V. Si una carga positiva de prueba q tiene una energIa potencial eléctrica Ua en algün punto a (con relación a cierta energIa potencial cero), ci potencial eléctrico Va en ese punto es Ua

q

Como ya se analizO en el capItulo 8, solamente las diferencias en la energIa potencial son fIsicamente Otiles. De ahI que solamente se pueda medir Ia diferencia en el potencial o diferencia de potencial entre dos puntos a y b (como entre los puntos a y b de Ia figura 23-1). Cuando Ia fuerza eléctrica realiza un trabajo positivo en una carga, Ia energla cinética aumenta y la energIa potencial disminuye. La diferencia en la energfa p0tencial, Ub - Ua, es igual al valor negativo del trabajo Wba que realiza la fuerza eléctrica para mover una carga del punto a a! punto b, en consecuencia Ia diferencia de potencial Vba es

Vba = Vb - Va

UbUa =

q

=-

Wba

q

(23-1)

Observe que el potencial eléctrico, como el campo eléctrico, no depende de Ia carga de prueba q. V depende de las otras cargas que generan el campo, pero no de q; q adquiere una energIa potenciaL porque se encuentra en el potencial V que generan Las otras cargas. A partir de Ia definiciOn se puede ver que la placa positiva de la figura 23-1 se encuentra a un mayor potencial que La placa negativa. En consecuencia un objeto con carga positiva se moverá en forma natural de Ia placa con mayor potencial a la de menor potencial. Una carga negativa realizar lo contrario. La unidad del potencial eléctrico y de la diferencia de potencial es joules/coulomb y tiene un nombre especial, volt en honor de Alejandro Volta (1745-1827, mejor conocido por haber inventado Ia baterIa eléctrica). El volt se abrevia como V, en consecuencia 1 V = 1 J/h C. La diferencia de potencial se mide en volts y con frecuencia se denomina voltaje. Si se desea hablar del potencial Va en algOn punto, se debe tener cuidado porque Va depende del potencial que se designa como cero. El punto cero para el potencial eléctrico en una situaciOn determinada, asI como sucede en La energIa potencial, se puede En este punto tiene Ia mayor capacidad para realizar trabajo (en algün otro objeto 0 sistema).

592

CAPITULO 23

Potencial eléctrico

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elegir en forma arbitraria ya que solamente se pueden medir las diferencias de energIa potencial. Normalmente, Ia tierra fIsica o un conductor que se conecta directamente a tierra (Ia Tierra) se toma como potencial cero, y los demgs potenciales se indican con respecto a tierra. (En consecuencia, un punto donde el voltaje es 50 V es aquél en ci que Ia diferencia de potencial entre este y tierra es 50 V.) En otros casos como ya se vera más adelante, se puede elegir un potencial cero a una distancia infinita (r = oo).

.. ....) L.... .... . L.. .J Una carga negativa. Suponga que una carga negativa, como ci electrOn, se coloca en el punto b de la figura 23i. Si el electron tiene libertad de movimiento, su energIa potencial aumentará o disminuirá? ,COmo cambiará ci potencial eléctrico? L.

Un electron que se coloca en el punto b se moverá hacia La placa positiva. (Un electrOn que se coloque en el punto a no se moverá.) Conforme se mueve ei electrOn a la izquierda, su energIa potencial disminuye y su energfa cinética aumenta. Pero cabe indicar que el electrOn se mueve del punto b que tiene menor potencial a un punto a que tiene mayor potencial: LW = Va - Vb > 0. (Los potenciales V0 y Vb son producidos por Las cargas que se encuentran en las piacas, no por ci electrOn.) RESPUESTA

Como Ia diferencia de potencial eléctrico se define como Ia diferencia de energIa potencial por unidad de carga, entonces ci cambio en Ia energIa potencial de una carga q cuando esta se desplaza entre los puntos a y b es

Ub - Ua = q(Vb - Va) =

(23-2)

Es decir, Si un objeto con carga q se mueve a través de una diferencia de potencial Vba, su energIa potencial cambiaré en una cantidad Por ejemplo, si La diferencia de p0tencial entre las dos piacas de Ia figura 23-1 es 6 V, entonces una carga de +1 C que se mueve de b a a (debido a una fuerza externa) ganará (1 C)(6 V)= 6 J de energIa potenciai eléctrica. (Y perderá 6 J de energIa potencial eléctrica Si se mueve de a a b.) En forma Similar, una carga de 2 C ganará 12 J. En consecuencia, la diferencia de potencial eléctrico es una indicaciOn de cuénta energIa puede adquirir una carga eléctrica en una situación determinada. Además, como La energIa es Ia capacidad para reaiizar un trabajo, Ia diferencia de potencial eléctrico también es una indicación de cuánto trabajo puede realizar una carga determinada. La cantidad exacta depende tanto de la diferencia de potencial como de Ia carga. Para comprender mejor ci potencial eléctrico conviene hacer una comparaciOn entre dci caso gravitatorio cuando una roca cac desde lo alto de una montana. Cuanto más grande sea Ia altura h de una montana, Ia roca tendrá una mayor cantidad de energla potencial (= mgh) en Ia cima de Ia montana, con relación al sueio, pero La energIa cinética de La roca será maxima cuando Ilegue al suelo. La cantidad real de energIa cinética que adquirirá La roca y Ia cantidad de trabajo que puede realizar depende de la aitura de Ia montana y Ia masa m de Ia roca. Una roca grande y una roca pequena pueden estar a Ia misma altura h, (figura 23-2a) y en consecuencia pueden tener el mismo "potencial gravitacional", pero Ia roca grande tiene mayor energIa potencial. El caso eléctrico es similar (figura 23-2b): Ia energIa potencial cambia, o ci trabajo que se puede

reaiizar dependera tanto de la diferencia de potencial (que corresponde a Ia altura

de Ia montana) como de Ia carga (que corresponde a la masa), ecuaciOn 23-2. [Pero observe una diferencia importante: La carga eléctrica viene en dos ciases, + y -, mientras que Ia masa gravitacional siempre es

+ Vb __Vba + Q

I

S

+

(a) Dos rocas se encuentran a Ia misma aitura. La roca más grande tiene ms energIa p0tencial. (b) Dos cargas que tienen ci mismo potencial eiéctrico. La carga 2Q tiene más energIa potenciai. FIGURA 23-2

-

I (a)

(b)

SECCION 23-1

Potencial eléctrico y diferencia de potencial

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593

TABIS 23-1 Algunos voltajes tlpicos %oltaje

Fuente

(aproximado)

Des..ra.ga r atm( )sft rica a Tiet ra

:1

Lmnea c.e trans.rnisión

a

106 V

1i de alt.oc'otaje Fuente de allmentación

deuji

-trdeTV

io V

Encen liclo electrónico ___________________ io v m'vil de i In 21a tO..D 102 V rn L. stico Cont acto do -

Ieuin autom .. Bateria d. na lárnpara Baterli[2 detr: ....... 1 "estello C.. ..

Pot ncial de reposc a raves de una .nernbrana

12 V

erviosa

Car bios n eJ potei a1lJe

JL

L. ] eI (ECG y EEC) )

Electrones en un tubo de imagen de TV. Suponga que un electrOn del tubo de imagen de un receptor de televisiOn se acelera del reposo a trayes de una diferencia de potencial Vba = +5000 V (figura 23-3). (a) Cuál será el cam-

. bio en la energia potencial del electron? (b) ,Cuál será Ia velocidad del electron (m = 9.1 x 10-31 kg) como resultado de su aceleración? (c) Repita los c1culos para un proton (m = 1.67 )< 10-27 kg) que se acelera a través de uria diferencia de poten.

1.5 V

cial Vba = -5000 V.

i

I

Las fuentes prcticas de energIa eléctrica como son las baterIas y los generadores eléctricos deben mantener una diferencia de potencial en sus terminales. La cantidad real de energIa que se utiliza o transforma depende de Ia cantidad de carga que fluye. Pot ejemplo considere el faro de un automOvil que se conecta a una baterIa de 12.0 V. La cantidad de energIa que se transforma (a energIa luminosa y térmica) es proporcional a Ia cantidad de carga que fluye, que a su vez depende del tiempo que permanece encendido el faro. Si durante un periodo determinado de tiempo fluye por el faro una carga de 5.0 C, Ia energIa total que se transforma es (5.0 C)(12.0 V) = 60 J. Si ci faro se deja encendido ci doble de tiempo, entonces fluirá una carga de 10.0 C y Ia energIa que se transforma será (10.0 C)(12.0 V) = 120 J. La tabla 23-1 muestra algunos voltajes tIpicos.

i(r1

1

10V

Vba =

SOLUCI N (a) La carga en ci electrOn es e = -1.6 X 10-19 C. En consecuencia el cambio en su energIa potencial (ecuación 23-2) es

LW = qV

El signo menos indica que Ia energIa potencial disminuye. (La diferencia de potencial Vba tiene signo positivo porque ci potencial final es mayor que el potencial inicial, es decir, los electrones negativos se yen atraIdos del electrodo negativo al positivo.) (b) La energIa potencial que pierde el electrOn se convierte en energIa cinética (=K). Dc Ia conservaciOn de energIa (ecuación 8-9) LK + iU = 0, en consecuencia

5000 V e

b

a

= -LW mv2 - 0 =

Alto

volt aj e

Electron que se acelera en el tubo de irnagen de un receptor de TV, ejemplo 23-2. FIGURA 23-3

= (1.6 X 1OH9C)(+5000V) = -8.0 x 10'6J.

donde la energIa cinética inicial es cero porque se asumiO que el electron partIa del reposo. Al resolver para v y sustituir la masa del electrOn m = 9.1 X 10_31 kg:

v=

-

2qV m

/ 2(-i.6 x 10-19 C)(5000V) 9.1 X 1031 kg

= 4.2 X iO rn/s. [Nota: Para alcanzar esta velocidad, que es de Ia velocidad de La luz, en realidad se debe utilizar La teorfa de Ia relatividad, capItulo 37, para obtener un resultado más preciso.]

(c) La carga del proton tiene Ia misma magnitud que la del electrOn, pero con el signo contrario. En consecuencia para Ia misma magnitud de Vb. se puede esperar ci mismo cambio en U, pero una velocidad inferior ya que Ia masa del proton es superior. En consecuencia:

= qV

= (+1.6 X 10-19 C)(5000V) = -8.0 X 1016J,

y

v=

2qVa

--

/ 2(1.6 x io

C)(5000 V)

(1.67 X 1027kg)

= 9.8 >< i0 rn/s. Observe que Ia energIa no depende de Ia masa, solamente de la carga y ci voltaje. La velocidad sI depende de m. 594

CAPITULO 23


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Relación entre el potencial eléctrico "el campo eléctrico Los efectos de cualquier distribuciOn de carga se pueden describir ya sea en términos del campo eléctrico o en términos del potencial eléctrico. El potencial eléctrico es ms fácil de usar porque es una cantidad escalar, en comparaciOn con el campo eléctrico que es un vector. Existe una conexiOn crucial entre el potencial eléctrico que produce un arreglo determinado de cargas y el campo eléctrico que generan esas cargas, to que examinaremos a continuación. Primero se recordará Ia relación que existe entre una fuerza conservativa F y Ia energIa potencial U que se asocia con esa fuerza. Como se analizó en Ia sección 8-2, la diferencia en Ia energIa potencial entre dos puntos cualesquiera del espacio, a y b, está determinada por Ia ecuaciOn 8-4: b

UbUa = _jF.dl donde dl es un incremento infinitesimal de desplazarniento y Ia integral se realiza a to largo de cualquier trayectoria en el espacio desde el punto a hasta b. Para el caso eléctrico, el interés se enfoca en la diferencia de potencial que está determinada por Ia = (L'b - Ua)/q en vez de Ia energIa potencial en sí misecuación 23-1, Vba = Vb ma. Además, el campo eléctrico E en cualquier punto del espacio se define como Ia fuerza por unidad de carga (ecuación 21-3): E = F/q. Al combinar ambas relaciories se obtiene

Vba = Vb - Va =

- Ja

E

dl.

(23-3)

Esta es Ia relaciOn general entre el campo eléctrico y Ia diferencia de potencial. Observe Ia figura 23-4. Si se tiene el campo eléctrico que es producido por un arreglo de cargas eléctricas, entonces se puede utilizar la ecuación 23-3 para determinar Vba. Un caso especial surge cuando el campo es uniforme. Por ejemplo, en Ia figura 23-1 se tiene una trayectoria paralela a las lIneas de campo eléctrico que van del punto a de Ia placa positiva al punto b de Ia placa negativa (ya que E y dl se encuentran en Ia misma dirección en cualquier punto), entonces b

Vb - Va 0

=

ca1P° eléCmco

E

b

-J E dl = _EJ dl = -Ed

Vba = -Ed

[sOlo si E es uniforme]

FIGURA 23-4

(23-4)

lntegración de E dl

del punto a hacia el punto b en un campo eléctrico no uniforme E.

donde d es la distancia, paralela a las lIneas de campo, que existe entre los puntos a y b.Tenga cuidado y no utilice la ecuaciOn 23-4 a no ser que tenga la seguridad de que el campo eléctrico sea uniforme. A partir de las ecuaciones 23-3 o 23-4 se puede ver que las unidades para Ia intensidad del campo eléctrico se pueden escribir en volts por metro (V/rn) asI como

newtons por coulomb (N/C). En general ambas unidades son equivalentes ya que

iN/C = 1N.m/C.rn = 1J/C.m = 1V/m.

Caso especial: campo eléctrico uniforme que se obtiene a pari)os placas paralelas se cargan a un voltaje de 50 V. Si la separaciOn entre las placas es 5.0 cm, calcule el campo eléctrico entre ellas, ignore cualquier deformacion del campo.

a.i

iu,

SOLUCION De Ia ecuaciOn 23-4 se tiene (por conveniencia solamente se consideran las magnitudes)

E=

Vba

d

50V = 1000 V/rn. 0.050m SECCION 23-2

RelaciOn entre el potencial eléctrico y el campo eléctrico

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595

Esfera conductora con carga. Determine el potencial a una distancia r del centro de una esfera conductora que tiene carga uniforme cuyo radio es r0 para (a) r > r0, (b) r = r0, (c) r < r0. La carga total en La esfera es Q. SOLUCION (a) La carga Q se distribuye en toda La superficie de Ia esfera porque

F

/

esta es conductora. En el ejemplo 22-3 se vio que el campo eléctrico en el exterior de una esfera conductora es

rb

10

[r>ro]

r y apunta en forma radial hacia el exterior (apunta hacia el interior si Q <0). Como se 4IIEQ

tiene E, se puede utilizar La ecuaciOn 23-3 e integrar a lo largo de una LInea radial con dl paraleLo a E (figura 23-5) entre dos puntos que se encuentran a distancias ra y rb del centro de La esfera: rr Q Jrbd,. Q Vb-V = 4n-0 r r2 4ire0 \rb ra) Jr3 Si se hace que V = 0 para r = cc (por decir Vb = 0 en rb = cc), entonces en cualquier punto r (para r > r0) se tiene

FIGURA 23-5 Ejemplo 23-4: integración de E dl para el carnpo que se localiza fuera de un conductor

-I

esférico.

1Q 4- r

23-6 (a) E vs. r y (b) V vs. r, para una esfera conductora sólida FIGURA

que tiene carga uniforme, el radio de Ia esfera es r0 (Ia carga Se distribuye por sI sola en Ia superficie); r es La distancia desde el centro de Ia esfera.

E

r0

2r0

1Q v= 4ir0 r0

3r0

r 2r0

(b)

[r

ro]

El conductor completo, no solo su superficie, se encuentra al mismo potencial. La figura 23-6 muestra grficas de E y V en funciOn de r para una esfera conductora.

V

r0

[r = ro]

en La superficie del conductor. Para Los puntos que están en eL interior del conductor, E = 0. En consecuencia, Ia integral J'E dl, entre r = r0 y cualquier punto en el interior del conductor produce un cambio cero en V. De ahI que V sea constante en el interior del conductor.

(a)

0

Q

4'JTEQ r0

r 0

[r > ro]

Como se ver en Ia siguiente sección, esta misma ecuación se aplica para caLcular el potencial a una distancia r de una soLa carga puntual. En consecuencia el potencial eléctrico fuera de un conductor esférico cuya carga está distribuida de manera uniforme es el mismo que existirIa si toda La carga estuviera en su centro. Conforme r se aproxima a r0 se observa que 1

/E

Edl

3r0

Voltaje de ruptura. En muchas cLases de equipos se utiLizan altos voltajes. Un problema que surge con el uso de voltajes elevados es que el aire se puede ionizar debido a los campos eléctricos de gran magnitud: Los electrones libres que estn en eL aire (que son producidos por los rayos cósrnicos) se aceleran debido a estos campos, y pueden adquirir velocidades suficientes para ionizar las moléculas de 02 y N2 debido a Las colisiones, con La consiguiente LiberaciOn de uno o ms de sus electrones. En consecuencia el aire se vuelve conductor y el alto voltaje ya no se puede mantener conforme fluye Ia carga de iones. La ruptura del aire (como dieléctrico) ocurre con campos eLéctricos de 3 X 106 V/rn aproxirnadamente. (a) Demuestre que el voltaje de ruptura para un conductor esférico que está en el aire es proporcional al radio de La esfera, y (b) caLcuLe el voltaje de ruptura en el aire para una esfera que tiene un dirnetro de 1.0 cm. SOLUCION (a) El potencial eLéctrico en Ia superficie de un conductor esférico de radio r0 (ejempLo 23-4) y eL campo eléctrico justo en La parte exterior de su superficie es:

1Qv= 4r0 r0

y

E

1Q

4ir0 r

Al combinar ambas ecuaciones se tiene

V=

(b) Para

596

CAPiTULO 23

r0

[superficie de un conductor esferico] = 5 X i0 m, el voLtaje de ruptura en el aire es V = (5 X 103rn)(3 X 106 V/rn) 15,000 V. r0E.


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De los resultados del ejemplo 23-5 se comprende porqué Los equipos de alto voltaje utilizan terminates redondas de grandes dimensiones sin esquinas afiladas. También se comprende porqué sucede Ia ruptura (o producción de chispas) en las esquinas pronunciadas o puntos (regiones que tienen un radio de curvatura pequeflo) de un conductor.

r

Potencial eléctrico debido a carqas puntuales

-o

El potencial eléctrico a una distancia r de una sola carga puntual Q se puede obtener = -fE dl. El campo eléctrico que genera directamente de la ecuación 23-3, Vb una sola carga puntual tiene Ia siguiente magnitud (ecuación 21-4) 1 E= 4r0 r2

0

_1--ai "ra

E = kQr2

(donde k = 1/4ir0 = 8.99 x iO N m2/C2), y se dirige en forma radial hacia el exterior de Ia carga (se dirige al interior si Q < 0). La integral de Ia ecuaciOn 23-3 se realiza a to largo de Ia trayectoria (recta) de la lInea de campo (figura 23-7) desde un punto a que está a una distancia ra de Q hasta un punto b a una distancia rb de Q. En consecuencia dl será paralelo a E y dl = dr. Por tanto f'b

Vb_V=_JE.dl=_ 4ii-e0 Jr -dr r 1

I

Ta

1(-

4ir0

rb

Q ra

FIGURA 23-7

V

V=

-)

Se puede pensar que V representa al potencial absoluto, donde V = 0 en r = no, o se puede pensar en V como La diferencia de potencial entre r y el infinito. Observe que et potencial V disminuye con la primera potencia de La distancia, en tanto que el campo eléctrico (ecuaciOn 21-4) disminuye con el cuadrado de Ia distancia. El potencial cerca de una carga positiva es elevado, y disminuye hacia cero a distancias muy grandes (figura 23-8). Para una carga negativa, el potencial es negativo y aumenta hacia cero a grandes distancias (figura 23-9). En ci ejemplo 23-4 se encontrO que el potencial que genera una esfera con carga

uniforme está determinado por La misma relaciOn, ecuaciOn 23-5, para los puntos que estan fuera de La esfera. En consecuencia, se observa que ei potencial fuera de una esfera que tiene carga uniforme es el mismo como si toda La carga se concentrara en su centro.

Trabajo para hacer que dos cargas + se acerquen entre si. i,Qué cantidad minima de trabajo debe realizar una fuerza externa para acercar una carga q = 3.00 .rC que esta a una distancia considerable (sea r = no) a un punto que está a 0.500 m de una carga Q = 20.0 ftC? SOLUCION EL trabajo que realiza ci campo eléctrico es igual al valor negativo del cambio en Ia energIa potencial: q (Q W=-qVba=- 4ne0 \rb

Se integra La ecuaciOn

23-3 a to largo de una lInea recta (de color negro) desde el punto a hasta b. La lInea ab es paralela a una linea de campo.

Como ya se mencionó antes, solamente las diferencias de potencial tienen un significado fIsico. En consecuencia se tiene La libertad de elegir el valor del potencial en cualquier punto conforme se desee. Es comUn que el potencial que se designa en el infinito sea cero (si Vb = 0 en rb = no). Entonces el potencial eléctrico V a una distancia r de una sola carga puntual es 1 una sola carga puntuai Q ( 23 5 V=Oenr=oo 4-e r

4ir0r cuandoQ>0

0

FIGURA 23-8 Potencial V en función de La distancia r de una sola carga puntual Q cuando La carga es positiva. FIGURA 23-9 Potencial Ven funciOn de Ia distancia r de una sola carga puntual Q cuando La carga es

negativa. V

0

V=

4ire0 r

cuandoQ<0

Q\ ra!

= no. EL segundo tdrmino es cero (1/no = 0), por tanto (8.99 X iO Nm2/C2)(2.00 x iO5C) -1.08 J. -(3.00 X 10 C) (0.500 m)

donde rb = 0.500 m y

w=

b

ra

En este caso ci campo eléctrico realiza un trabajo negativo. Para acercar Ia carga a este punto, La fuerza externa debe reaiizar un trabajo W = +1.08 J, suponiendo que no hay aceleración en las cargas. SECCION 23-3

Potencial eléctrico debido a cargas puntuales

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591

La determinaciOn del carnpo eléctrico que rodea a una agrupación de dos o ms cargas puntuales requiere Ia adiciOn de los campos eléctricos que produce cada carga. Como el campo eléctrico es un vector, con frecuencia lo anterior puede ser muy cornplicado. El cálculo del potencial eiéctrico que genera un grupo de varias cargas puntuales es más sencillo, ya que el potencial eléctrico es una cantidad escalar, y sOlo se tierien que sumar nOmeros sin considerar ninguna direcciOn. Esta es Ia mayor ventaja que ofrece el potencial eléctrico. Sin embargo, se tienen que incluir los signos de las cargas. Potencial arriba de dos cargas. Calcule el potencial eléctrico en los puntos A y J de la figura 23-10 que generan las dos cargas que se muestran en Ia figura. (Se trata de Ia misma situaciOn que en el ejemplo 21-8, figura 21-26, donde se calculO el campo eléctrico en esos puntos.) Suponga que V = 0 en r = oo. y B

30cm

\

...

...-.

26cm

26cm

= +50 jC FIGURA 23-10

\\ ...

\

\

x Q1 = 50 .LC

Ejemplo 23-7. (Véase también ci ejemplo 21-8, figura 21-26.)

El potencial en el punto A es la suma de los potenciales que generan las cargas + y -, al usar Ia ecuaciOn 23-5 para cada una se tiene:

SOLUCION

VA

VA2 + VAI

(9.0 X i09 N m2/C2)(5.0 x iD C) 0.3Dm

(9.0 x iD N m2/C2)(-5.0 x i0 C) 0.6Dm 1.50 x 106V - 0.75 >< 106V

7.5 X 105 V. Y en ei punto B: VB = VB2 + VB1

(9.0 >< i0 Nm2/C2)(5.0 x iD5C) 0.4Dm

(9.0 x i09 Nm2/C2)(-5.0 x iD5c) 0.4Dm

= Dv. Debe estar claro que el potencial será cero en cualquier punto del piano que sea equidistante a ambas cargas. En consecuencia este piano es una superficie equipotencial con V = 0.

El proceso anterior se puede reaiizar con facilidad en cualquier cantidad de cargas puntuaies. 598

CAPTULO 23


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Potencial debido a cualquier distribución de caraas Si se conoce el campo eléctrico en una region del espacio que es producido por cualquier distribución de cargas, se puede determinar Ia diferencia de potencial entre ambos puntos de la region utilizando Ia ecuación 23-3, Vba = J'a E dl. En Ia mayor parte de los casos no se conoce E como función de la posición, y los cálculos pueden ser difIciles. Se puede calcular el potencial V que genera una distribuciOn determinada de cargas en otra forma, que a menudo es más sencilla, utilizando el potencial que genera una sola carga puntual, ecuación 23-5: 1

4ii- r donde V = 0 en r = 00. Entonces se puede realizar una suma en todas las cargas. Si se tienen n cargas puntuales individuales, el potencial en algün punto a (en relaciOn a V = 0 en r = oo) es 1

Va=

(23-6a)

IT0 j1 na

i=1

donde na es Ia distancia de la iésima carga (Q) a! punto a. (Este enfoque ya se utilizó anteriormente en el ejemplo 23-7.) Si se puede considerar que Ia distribución de las cargas es continua, entones 1

V =

Idq '

(23-ób)

4ii-eJ r I

donde r es Ia distancia de un elemento pequeno de carga (dq) a! punto donde e va a determinar V.

dq

Un anillo circular delPotencial debido a un anillo con carga. gado de radio R transporta una carga Q que está distribuida de manera uniforme. Determine el potencial eléctrico en el punto P que se localiza en el eje del anillo a una distancia x de su centro, figura 23-11. SOLUCION Cada punto del anillo es equidistante del punto P, y esta distancia es (x2 + R2). En consecuencia, el potencial en el punto P es: 1

1

1

1

Q (x2 + R2)2

4r0 (x2 + R2)2 J 4-e J r Observe que para los puntos que están muy alejados del anillo, x>> R, este resultado se reduce a (1/4-eo)(Q/x), ci potencial de una carga puntual, como era de esperarse.

FIGURA 23-11 Cálculo del potencial en ci punto P, a una distancia x del centro de un anillo con carga uniforme. Ejemplo 23-8.

Un disco piano, de poco

FIGURA 23-12 Cálcu!o del potencial eléctrico en el punto P en ei eje de un disco deigado con carga uniforme. Ejemplo 23-9.

Potencial debido a un disco con carga.

itr y con radio R transporta una carga Q que est distribuida de manera uniforme,

figura 23-12. Determine el potencial en el punto P en el eje del disco, a una distancia x de su centro. SOLUCION El disco se divide en anillos delgados de radio r y espesor dr. La carga Q está distribuida de manera uniforme, en consecuencia Ia carga que esté contenida en cada anillo es proporcional a su area. El area del disco es irR2 y el area de cada anillo es

dA = (2irr)(dr).Portanto,

(2

2irrdr

dq

Q-

rR2

dq=Q

(2irr)(dr)

y

irR2

-

2Qr dr R2

Entonces la diferencia de potencial P, utilizando Ia ecuación 23-6b en Ia que r es sustituido por (x2 + r2), es r=R 1' 1 2Q rdr dq 1 (x2 + r2) 2ire0R2 = 40R2 J r=O J (x2 + n2) +r

v= 4o -

Q

2TE0R2

[(x2

+ R2) - xl. SECCION 23-4

Potencial debido a cualquier distribuciOn de cargas

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599

Superficies equipotenciales II I

F

--

+

20V

15 V10

FIGURA 23 13

V

5V

0V

LIneas equipotencia-

es (lIneas punteadas) entre dos piacas paraleias cuya carga tiene La misma magnitud y signos opuestos. Observe que las lIneas equipotenciales son perpendiculares a las Ilneas de campo magnetico (iIneas continuas).

El potencial eléctrico se puede representar en forma gráfica dibujando IIneas equipotenciales, o en tres dimensiones superficies equipolenciales. Una superficie equipotencia! es aquella en la que todos los puntos se encuentran a! mismo potencial. Es decir, Ia diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de la superficie es cero, y no se requiere ningün trabajo para mover una carga de un punto a otro. Una superficie equipotencial debe ser perpendicular al campo eléctrico en cuaiquier punto. De no ser asI, es decir si existiera una componente de E paralela a la superficie, se requerirIa un trabajo para mover La carga a través de Ia superficie en contra de esta componente de E; y esto estarla en contra de Ia definiciOn de una superficie equipotencial. Lo anterior también se puede observar a partir de Ia ecuaciOn 23-3, zXV = fE dl. En una superficie donde V es constante, iW = 0, entonces E = 0, dl = 0 o cos 9 = 0, donde 0 es el ngulo entre E y dl. Por tanto en una region donde E es diferente de cero, Ia trayectoria dl a to largo de un equipotencial debe tener cos 0 = 0, esto significa que 0 = 90° y E es perpendicular at equipotencial. El hecho que las iIneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales sean perpendiculares entre si ayuda a Localizar los equipotenciales cuando se conocen las iIneas de campo eléctrico. En un dibujo normal de dos dimensiones, las Ilneas equipotenciales son las intersecciones de las superficies equipotenciales con el piano del dibujo. En La figura 23-13 se han dibujado pocas Ilneas equipotenciales (iIneas punteadas) para el campo eléctrico (!Ineas continuas) entre dos placas paralelas que tienen una diferencia de potencial de 20 V. Se elige en forma arbitraria que ia placa negativa esté a cero volts y se indica el potencial de cada lInea equipotencial. Observe que E apunta hacia los valores inferiores de V. Las Ilneas equipotenciales (lIneas punteadas) en el caso de dos partIculas que tienen Ia misma carga y signos contrarios se muestran en Ia figura 23-14. Las lIneas y las superficies equipotenciales, a diferencia de las lIneas de campo, siempre son continuas y nunca terminan, en consecuencia se extienden más aIlá de las fronteras de Las figuras 23-13 y 23-14. En Ia secciOn 21-9 se vio que en eL caso estático no puede existir un campo eléc-

trico en el interior de un conductor, de io contrario los electrones libres experimentarIan una fuerza y se moverIan. En consecuencia, en el caso estático el volumen completo de un conductor debe encontrarse completamente al mismo potencial, y La superficie de un conductor será entonces una superficie equipotencial. (De lo contrario, los electrones Libres de Ia superficie se moverIan, ya que siempre que exista una diferencia de potencial entre dos puntos se producirá el movimiento de Las cargas libres.) Lo anterior está completamente de acuerdo con nuestro resultado anterior, eL cual mdica que e! campo eléctrico en Ia superficie de un conductor debe ser perpendicular a La superficie.

FIGURA 23-14 Las LIneas equipotenciales (LIneas punteadas) siempre son perpendiculares a las ilneas de campo eLéctrico (lIneas continuas), en este caso se muestran dos partIcuLas que tienen La misma carga pero con signos contrarios.

\\ -5'

/

,

\

5,

\\

/

I, I/f I

' \\\ '.I I

I

, //

/

/

/ -S. 5-,

---5-

!I,,-_-S I

I

g

//

600

CAPITULO 23


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I

//

/

FIGURA - in'

I

'

r

_o

pI

L ce )r r

tires

23-15 Un mapa topografi-

co (que muestra una parte de La Sierra Nevada en California) muestra lineas continuas de contorno, cada una de las cuales tiene un nivel determinado por arriba del nivel del mar. Los intervalos son de 80 pies (25 m). Si camina por una lInea de contorno podrá subir o bajar con respecto a] nivel. Si cruza las lIneas, y en especial si sube en forma perpendicular a las lIneas, entonces modificará su potencial gravitacional (rápidamente silas imneas están cerca unas de otras).

ri

u,eL

i

(

A1

Una analogIa ütil de las lIneas equipotenciales es un mapa topográfico, las lIneas de contorno son esencialmente lIneas gravitacionales equipotenciales (figura 23-15).

Dioolos eléctricos Dos cargas puntuales de igual magnitud Q y signo opuesto que están separadas a una distancia / forman un dipolo eléctrico, como lo vimos en la secciOri 21-11. Las dos cargas de las figuras 23-10 y 23-14 forman un dipolo eléctrico, esta áltima muestra las ilneas de campo eléctrico y las superficies equipotenciales de un dipolo. Como los dipolos eléctricos suceden con frecuencia en La fIsica, asI como en otros campos, resulta ütil un examen más detallado de los mismos. Ahora se va a calcular el potencial eléctrico que genera un dipolo en un punto arbitrario P, como se indica en Ia figura 23-16. Como es normal, se hace que V = 0 en r = 00. Como V es Ia suma de los potenciales que producen cada una de las cargas, se tiene

V=

1

1

r

(Q)

4i,-E0 r + zr

1

4ir0

Q(1

\r

1

r + tsr)

Q

4ir0 r(r + ir)

donde r es la distancia de P a Ia carga positiva y r + r es Ia distancia a Ia carga negativa. Esta ecuaciOn se vuelve mgs sencilia si se consideran los puntos P cuya distancia del dipolo es mucho mayor que la distancia de separación entre ambas cargas, es decir para r>> 1. Del diagrama se puede ver que en este caso, tXr I cos 0. Como r>> r, se puede despreciar r en el denominador en comparación con r. En consecuencia 1 1 vcosO OIcosO [dipolo; r >> 11 (23-7) = 4re0 = 4ir0 r2 r2 donde p = Qt se denomina momento dipolar. Cuando 9 se encuentra entre 0 y 90°, V es positivo. Si 0 está entre 90° y 180°, V es negativo (porque cos 9 es negativo). Esto tiene sentido ya que en el primer caso P est más cerca de Ia carga positiva y en el segundo caso está más cerca de La carga negativa. En 9 = 90°, el potencial es cero (cos 90° = 0), de acuerdo al resultado del ejemplo 23-7 (punto B). De Ia ecuaciOn 23-7 se observa que el potencial disminuye con el cuadrado de la distancia del dipolo, mientras que para una sola carga puntual el potencial disminuye con la primera potencia de la distancia (ecuaciOn 23-5). No es sorprendente que el potencial disminuya con mayor rapidez en el dipolo, cuando se está lejos del dipolo, las dos cargas de igual magnitud y signos opuestos pareceri estar tan cerca una de la otra que tienden a neutralizarse entre Si. La tabla 23-2 da los momentos dipolares para varias moléculas. Los signos + y - mdican en cuáles átomos residen estas cargas. Las dos iiltimas anotaciones son parte de muchas moléculas orgánicas y juegan un papel importante en la biologIa molecular.

23-16 Dipolo eléctrico. Cálculo del potencial V en el punto P. FIGURA

TABLA 23-2

Momentos dipolares de varias moléculas

Molécula

H2tO

(C m)

6.1 x 10° 3.4 X i0

5.0 x 10°

Nm>H3

>N--H(

°3.0 x i0°

>c()=O(

8.0 x iO

Estos grupos aparecen con frecuencia en moléculas más grandes; en consecuencia el valor del momento dipolar variará un poco, dependiendo del resto de Ia molécula.

SECCION 23-6

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Momento dipolar

Dipolos eléctricos

601

El dipolo del grupo C=O. La distancia entre los tomos de carnon +) y oxigeno (-) en el grupo C = 0 (que existe en muchas moléculas orgánicas) es de aproximadamente 1.2 X 10-10 m y el momento dipolar de este grupo es 8.0 X i0° Cm. Calcule (a) Ia carga efectiva Q en los átomos de C (carbOn) y 0 (oxIgeno), (b) el potencia! a una distancia de 9.0 x 10b0 m del dipolo a lo largo de su eje,

cuando el oxIgeno es el átomo más cercano (es decir, a la izquierda en Ia figura 23-17, por tanto, 0 = 180°). (c) Cuál será el potencial en este punto si solamente el oxIgeno tuviera una carga?

+

SOLUCION

C

0

Nube de electrones airededor de C y 0 en el grupo C = 0. El grupo C = 0 tiene un momento dipolar porque los dos electrones que FIGURA 23-17

(a) El momento dipolar es p = QI, en consecuencia

p

8.0X1030Cm

1

1.2 >< 1010m

6.7 >< 1020C.

Aunque esta carga es inferior a e, Ia carga más pequefia que se conoce, no es una carga que se pueda aislar, pero es Ia carga efectiva que se produce debido a la comparticiOn desigual de electrones, figura 23-17. Como 0 = 180°, al utilizar la ecuación 23-7:

en un principio se encontraban en el tomo de carbon permanecen parte de su tiempo en los alrededores del átomo

pcos

1

V

4r0

r2

(9.0 X 109Nm2/C2)(8.0 >< 1030Cm)(-1.00) (9.0 X 10 IOm)2

de oxIgeno.

= 0.089 V.

Si se supone que Ia carga del oxIgeno es Q = 6.7 X 10_20 C, como en el inciso (a), y el carbon no tiene carga, se utiliza la formula para una sola carga:

v=

Q

1

4e0 r

(9.oxlo' N m2/C2)(-6.7 X 10 9.0 x 1010m

C) =

0.67 V.

Claro está que Ia magnitud del potencial de una sola carga debe ser superior a la magnitud de Un dipolo que tiene Ia misma carga en Ia misma distancia, como era de esperarse.

Determinación de E a partir de V b

Se puede utilizar Ia ecuacion 23-3, Vb = 5a E dl, para determinar Ia diferencia de potencial entre dos puntos si se conoce el campo eléctrico que est en Ia regiOn entre los dos puntos. Al invertir Ia ecuación 23-3 se puede escribir el campo eléctrico en términos del potencial. Entonces se puede determinar el campo eléctrico si se conoce V. Vamos a ver cómo se hace esto. Se escribe Ia ecuación 23-3 en La forma diferencial

dV = E dl = E,dl,

donde dV es La diferencia infinitesimal en el potencial que existe entre dos puntos que están separados por una distancia dl, y E1 es Ia componente del campo eléctrico en direcciOn del desplazamiento infinitesimal dl. Entonces se tiene =

dV

(23-8)

- dl

For tanto, Ia componente del campo eléctrico en cualquier dirección es igual a! valor negativo de Ia razón de cambio del potencial eléctrico con respecto a Ia distancia en esa dirección. La cantidad dV/dl se denomina gradiente de V en una direcciOn particular. Si no se especifica Ia direcciOn, el término gradiente se refiere a Ia dirección en Ia que V cambia con mayor rapidez, que puede ser Ia direcciOn de E en ese punto, en consecuencia

E = - dV dl 602

CAPTULO 23


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[sidlE]

Si E se escribe en función de x, y y z, y I se refiere a los ejes x, y y z, entonces la ecuaciOn 23-8 se trarisforma en

E = - av ay

E = - av ax

E = - av az

'

(23-9)

Donde t3V/ax es la derivada parcial de V con respecto a x, cuando y y z se mantienen constantes.t Determine el campo eléctrico en

E para un anillo y un disco.

el punto r que se encuentra en el eje de (a) un anillo circular con carga (figura 23-11), (b) un disco con carga uniforme (figura 23-12). SOLUCION (a) Del ejemplo 23-8

v= Entonces

E1 =

Q

1

4r0 (x2 + R2) av

Qx

1

(x2 + R2)

E = E2 = 0.

Este es el mismo resultado que se obtuvo en el ejemplo 21-9, pero no se tiene que romper ei vector del campo eléctrico en sus componentes para integrar posteriormente. (b) Del ejemplo 23-9,

V= por tanto

E-

2ir0 R2

2 R2)x], [(x+

av

x

- 21TE0R2

(x2 + R2)

E = E = 0.

Para los puntos que estn muy cerca del disco, x <
2ire0R2 - 2

donde o- = Q/'rrR2 es la densidad de carga en Ia superficie. También se obtuvieron estos resultados en el capItulo 21, ejemplo 21-11 y ecuaciOn 21-7.

Si se compara este ejemplo con los ejemplos 21-9 y 21-11, se observará que en estos iiltimos, al igual que sucede en muchas distribuciones de carga, es más fcil si primero se calcula V y luego E de Ia ecuación 23-9, que calcular primero E en cada carga a partir de la ley de Coulomb. La razón de esto es que el voltaje V que generan varias cargas es una suma escalar, mientras que E es una suma vectorial.

EnereIa ootencial electrostática; el electron volt Suponga que una carga puntual q se mueve entre dos puntos del espacio, a y b, en tanto el potencial eléctrico que generan otras cargas es V y Vb respectivamente. El cambio en la energIa potencial electrostática de q en el campo de estas cargas adicionales es, de acuerdo a la ecuaciOn 23-2

LXU = UbUa = q(VbV) =

1La ecuaciOn 23-9 se puede escribir como una ecuación vectorial.

E = grad V = VV =

(i

', ax

+j

ay

+k

azi

V

donde ci sImbolo V se conoce como operador del gradiente: V =

a i

ax

+j

a

ay

SECCION 23-8

+ k a-. az

EnergIa potencial electrostática; el electrOn volt

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603

Ahora suponga que se tiene un sistema con varias cargas puntuales. Cuál será Ia energIa potencial electrostática del sistema? Resulta más conveniente elegir que Ia energIa potencial eléctrica sea cero cuando las cargas estn muy lejos (idealmente estarIan separadas por una distancia infinita). Una sola carga puntual y aislada Q1, no tiene energIa potencial ya que si flO existen otras cargas en sus alrededores, no se puede ejercer ninguna fuerza eléctrica en ella. Si se acerca una segunda carga puntual (Q2) a el potencial que produce Q1 en Ia posiciOn de Ia segunda carga será 1 r1 2

donde r12 es Ia distancia entre ambas. La energIa potencial de las dos cargas con relación a V = 0 en r = es

U=Q2V=

1

Q1Q2

4ir0

r12

(23-10)

Esto representa el trabajo que tiene que realizar una fuerza externa para acercar a desde el infinito (V = 0) a una distancia r12 de Q1. También es el negativo del trabajo que se necesita para separar ambas cargas a una distancia infinita. Si el sistema está integrado por tres cargas, Ia energIa potencial total seri el trabajo que se necesita para acercar a las tres cargas. La ecuaciOn 23-10 representa el trabajo que se necesita para acercar Q2 a Q. Para acercar una tercera carga Q3 de tal forma que esta se encuentre a una distancia r13 de Q1 y r23 de Q3 se requiere un trabajo igual a 1

Q1Q3

1

Q2Q3

41TE0

r13

4JTE0

r23

En consecuencia Ia energIa potencial de un sistema de tres cargas puntuales es

(QIQ2 Q2Q3 [V = 0 en r = oo] r23 \ r12 Para un sistema que tiene cuatro cargas, Ia energIa potencial contendrá seis de estos términos, y asI sucesivamente. (Se debe tener cuidado cuando se realizan sumas de esta clase, para evitar contar dos veces los pares diferentes.) 1

La unidad electron volt El joule es una unidad muy grande cuando se trabaja con las energIas de los electrones, átomos o moléculas (véase el ejemplo 23-2), y por este motivo se utiliza Ia unidad electrón volt (eV). Un electron volt se define como Ia energIa que adquiere una partIcula que transporta una carga igual a Ia de un electrOn (q = e) cuando esta se mueve a trayes de una diferencia de potencial del volt. Como e = 1.6 X 109C y ci cambio en la

energIa potencial es igual a qV, 1 eV es igual a (1.6 x i0' C)(1.0 V) = 1.6 x iO

J:

I eV = 1.6 >( 109J. Un electrOn que se acelera a través de una diferencia de potencial de 1000 V perderi 1000 eV de energIa potencial y en consecuencia ganará 1000 eV o 1 keV (kilo-electron volt) de energIa cinética. Por otra parte, si una partIcula tiene una carga igual a dos yeces Ia carga del electrOn, (= 2e = 3.2 X 10-19 C), entonces cuando se mueva a través de una diferencia de potencial de 1000 V su energIa cambiará en 2000 eV. Aunque el electrOn volt resulta prctico para indicar las energIas de moléculas y partIculas elementales, no es una unidad adecuada en el SI. Para fines de cálculo el eV se debe convertir a joules utilizando el factor de conversiOn que se indicó anteriormente. Por ejemplo, en el ejemplo 23-2, el electrOn adquiere una energIa cinética de 8.0 x 10-16 J. Normalmente, se indicarla esta energIa como 5000 eV (= 8.0 X 10_16 J/1.6 x i0' J/eV). Pero si se va a calcular la velocidad en unidades del SI entonces se tiene que utilizar Ia energIa cinética en J.

Se desarma un átomo de hidrógeno. Calcule el trabajo que se requiere para "iesarmar" un átomo de hidrOgeno. Suponga que en un principio el protOn y el electron están separados por una distancia que es igual al radio "promedio" del átomo de hidrOgeno en su estado estable, 0.529 X 10' m, y que ambas partIcuias terminan separadas a una distancia infinita. 604

CAPITtJLO 23


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SOLUCION De Ia ecuación 23-10 se tiene (al inicio) 1

Q1Q2

1

r

(8.99 X 109N'm2/C2)(1.60 x

e2

r

10_19C)2

(0.529 x lOHOm)

= 27.2(1.60 x io19)J = 27.2eV. Esto representa La energIa potencial. La energIa total debe incluir además Ia energIa cinética del electron que se mueve en una órbita cuyo radio es r = 0.529 x 10-10 n De F = ma para La aceleración centrIpeta se tiene (1/4ire0)(e2/r2) = mv2/r. En consecuencia

K=

mv2

7

1

\41rE0

)e2 r

lo que es igual a - U (como se caJculO antes), por tanto K = +13.6 eV. En un principio Ia energIa total es E = K + U = 13.6 eV - 27.2 eV = 13.6 eV. Para separar un átomo estable de hidrOgeno en un protOn y un electrOn a una distancia muy grande (U = 0 en r = oo, K = 0 ya que v = 0) se requieren +13.6 eV. De hecho esta es Ia energIa de ionizaciOn del hidrógeno.

Tubo de rayos catódicos: monitores de TV y computadoras, osciloscopios Un dispositivo importante que utiliza voltaje, y que a su vez permite "visualizar" voltajes ya que presenta gráficamente cOmo cambia un voltaje con respecto al tiempo; es el tubo de rayos catódicos (TRC). Un TRC que se utiliza de esta forma se denomina osciloscopio, pero una aplicación todavIa más comOn del TRC es el tubo de imagen (cinescopio) de un receptor de television o de un monitor de computadora. La operación del TRC depende ames que nada del fenómeno de emisión termoiónica que fue descubierta por Thomas Alva Edison (1847-1931) en el transcurso de los experimentos que realizO para desarrollar La lámpara eléctrica. Para comprender cOmo sucede Ia emisión termoiOnica, considere dos placas pequefias (electrodos) que están en el interior de una "lámpara" o "tubo" de vidrio al que se le ha practicado vacIo, como se indica en Ia figura 23-18. En los electrodos se aplica una diferencia de potencial (con una baterIa). El electrodo negativo es el cálodo, el positivo es el ánodo. El cátodo

negativo se calienta (normalmente mediante una corriente eléctrica, como sucede en un foco) hasta que se enciende y Ilega a Ia incandescencia, a partir de ese momento emitirá una carga negativa que se dirigir al ánodo (que es positivo). En Ia epoca actual estas cargas negativas se denominan electrones, pero en un principio se Ilamaron rayos catódicos, porque al parecer provenIan del cátodo. Se puede comprender cOmo es que los electrones son "expulsados" de una placa de metal si se trata a los electrones como si fueran las moléculas de un gas. Esto tiene sentido silos electrones son relativamente libres para moverse en el interior del metal,

Cátodo

Anodo

Bateria Si el cátodo que se localiza en el interior de un tubo al que se le ha practicado vacIo se calienta hasta Ia incandescencia, este expulsa "rayos catOdicos" (electrones) que tienen carga negativa, estos fluyen a través del ánodo (+) ya que son atraidos a él.

FIGURA 23-18

lo que es consistente con el hecho de que los metales son buenos conductores de electricidad. Sin embargo, los electrones no escapan con facilidad del metal. Si un electron tiene que escapar fuera de Ia superficie del metal, entonces tendrá que dejar atrás una carga positiva, pero esta atraerá de nueva cuenta al electrOn. Para poder escapar, un electrOn necesita una cantidad minima de energia cinética, asi como Las moléculas de un lIquido deben tener una energIa cinética minima para "evaporarse" en el estado gaseoso. En el capItulo 18 se vio que Ia energIa cinética promedio (K) de las moléculas de un gas es proporcional a Ia temperatura absoluta. Podemos aplicar esta idea, pero solamente en forma muy burda, para liberar a los electrones de un metal como si este (iltimo estuvie-

ra formado por un "gas de electrones". Claro est que algunos electrones tendrán una mayor cantidad de energia cinética que el promedio, o quizás esta será menor. A temperatura ambiente Ia cantidad de electrones que tienen la energIa suficiente para escapar es muy pequena. A temperaturas elevadas, K es superior y podrán escapar ms electrones, como sucede con las moléculas de un lIquido que se evapora, pero esto sucede con mayor facilidad a temperaturas muy elevadas. Por tanto, Ia emisiOn termoiOnica considerable sucede sOlo a temperaturas elevadas. *SECCION 23-9

Tubo de rayos catOdicos: monitores de TV y computadoras, osciloscopios

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605

Cátodo

Anodo

Mancha bnulante

Placas de diflexión horizontal

sobre Ia pan-

talla donde chocan los electrones

A

Un tubo de rayos Catódicos. Las bobinas de deflexión magnética se utilizan en lugar de las placas de deflexiOn eléctrica. Las posiciones relativas de los elementos se han exagerado para fines de claridad.

Calefactor1 _(

FIGURA 23-19

_.

El haz de electrones barre Ia pantalla de un televisor en una sucesión de lIneas horizontales. FIGURA 23-20

FIGURA 23-21

IndicaciOn de un

electrocardiograma (ECG) en un TRC.

Rejilla -

Placas de diflexión vertical

Pantalla fluorescente

Trayectoria de electrones

El tubo de rayos catódicos (TRC) obtuvo su nombre del siguiente hecho: en el interior cle un tubo de vidrio (al que se le ha practicado vacIo) el haz de rayos catódicos (electrones) se dirige a varias partes de una pantalla para producir una "imagen". La figura 23-19 muestra un TRC sencillo. Los electrones que emite el cátodo son acelerados por un alto voltaje (5,000 a 50,000 V) que se aplica al ánodo. Los electrones salen de este "cañOn de electrones" a través de una perforación pequeña que se encuentra en el ánodo. La cara interior del tubo tiene un recubrimiento de material fluorescente que emite un destello cuando es golpeado por los electrones. En consecuencia, se observa un punto pequeno y brillante cuando el haz de electrones golpea Ia pantalla. Dos placas horizontales y dos placas verticales desvian el haz de electrones cuando se conectan a un voltaje. Los electrones se desvian hacia cualquiera de las placas que sea positiva. Al Variar el voltaje en las placas de deflexiOn, el punto brillante se puede colocar en cualquier parte de Ia pantalla. En Ia actualidad Ia mayor parte de los tubos de rayos catOdicos utilizan bobina de deflexión magnética (capItulo 27) en lugar de placas eléctricas. En el tubo de imagen o monitor de una computadora o receptor de TV, el haz de electrones debe barrer toda la pantalla como se indica en la figura 23-20. El haz realiza el barrido en forma horizontal gracias a las placas o bobinas de deflexiOn horizontal. Cuando el campo de deflexiOn horizontal es máximo en una direcciOn, el haz se encuentra en una esquina de Ia pantalla. Conforme el campo disminuye a cero, el haz se mueve hacia el centro; y conforme el campo aumenta a un valor mximo en Ia direcciOn opuesta, el haz se aproxima a la esquina opuesta. Cuando el haz Ilega a esta esquina, el voltaje o Ia corriente cambian en forma repentina para hacer que el haz regrese al lado opuesto de la pantalla. En forma simultánea el haz se desvIa ligeramente hacia abajo debido a la acciOn de las placas o bobinas de deflexión vertical, luego se realiza otro barrido horizontal. La norma de televisiOn estándar en Estados Unidos especifica una cantidad de 525 lIneas para obtener un barrido completo en toda Ia pantalla. (El sistema de televisiOn de alta definiciOn HDTV proporciona más del doble de esta cantidad de lIneas, to que proporciona mayor definiciOn en Ia imagen.) La imagen completa de 525 lIneas es barrida en 1/30 de segundo. En realidad un solo barrido vertical necesita 1/60 de segundo e involucra a cualquier otra linea. En consecuencia, las lineas intermedias se barren hasta eI 1/60 de segundo siguiente (esto se conoce como entrelazado). El observador mira una imagen porque Ia imagen es retenida en Ia pantalla fluorescente y en los ojos durante 1/20 de segundo. La imagen que se observa est formada por variaciones en Ia brillantez de los puntos que integran Ia pantalla. El brillo de los puntos es controlado por una reja de control (un electrodo poroso similar a una rejilla de alambre) que puede limitar el flujo de electrones debido al voltaje que se aplica: mientras más negativo sea el voltaje, Ia cantidad de electrones que repele Ia reja aumentará, y en consecuencia una menor cantidad de estos pasará a través de Ia reja. El voltaje en la reja de control está determinado por Ia señal de video (un voltaje) que envIa La estaciOn transmisora de TV y es recibida en los circuitos del receptor de TV. La señal de video incluye los pulsos de sincronia que sincronizan el voltaje de Ia reja con los pulsos de barrido vertical y horizontal. Un oscioscopio es un dispositivo que amplifica, mide y presenta Ia indicaciOn visual

de una señal eléctrica (normalmente Ia seflal es un voltaje que varfa con el tiempo), en especial se utiliza para analizar senales que cambian rápidamente. La seflal se indica en Ia pantalla del TRC. En Ia operaciOn normal, el haz de electrones se barre en direcciOn horizontal con una rapidez uniforme en el tiempo, para esto se utiiza una diferencia de potencial que varla con respecto al tiempo la cual se aplica a las placas de deflexiOn horizontal. La senal que se va a medir se aplica, después de pasar por utia etapa de amplificaciOn, a las placas de deflexiOn vertical. La traza visible en Ia pantalla, que puede ser Ia salida de un electrocardiOgrafo (figura 23-21), el voltaje de un equipo en reparaciOn, o Ia seflal de un experimento, es una representaciOn gráfica de La señal de voltaje (secciOn vertical del osciloscopio) contra el tiempo (secciOn horizontal del osciloscopio). 606

CAPITULO 23


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Resumen El potencial eléctrico se define como la energIa potencial eléctrica por unidad de carga. Es decir, Ia diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos cualesquiera en el espacio se defi-

ne como Ia diferencia en Ia energIa potencial de una carga de prueba q que se localiza en esos puntos, dividida entre Ia carga q:

UbUa

Vba=

En consecuencia Vba se puede encontrar en cualquier region donde E sea conocido. Si eL campo eléctrico es uniforme, La integral es fácil de resolver: Vba = -Ed, donde d es Ia distancia (paralela al campo eLéctrico) entre Los dos puntos. Cuando V se conoce se pueden calcular las componentes de E a partir del inverso de La relación anterior

E=

q

La diferencia de potencial se mide en volts (1 V = 1 J/C) y algunas veces se conoce como voltaje. El cambio en Ia energIa potencial de una carga q cuando esta se mueve a través de una diferencia de potencial Vba es =

eléctrico en todos Los puntos. El potencial eLéctrico que produce una sola carga puntual Q, con relaciOn a un potencial cero en el infinito es 1

Q

4ire0 r El potencial que produce cuaiquier distribuciOn de cargas se puede obtener al sumar (o integrar) los potenciales de todas

1b

-J a

0z

Una lInea o superficie equipotencial se encuentra comple-

determinada por Ia reLaciOn

=

av

tamente al mismo potencial, y es perpendicular al campo

La diferencia de potencial Vba entre dos puntos, a y b, está

Vba

0x

E), =av -' E = 0y

Ed1.

las cargas.

Preq U ntas Si dos puntos se encuentran at mismo potencial, ,esto significa que no se realiza trabajo cuando Se mueve una carga de prueba de un punto a otro? ,Esto implica que no se debe ejercer nmguna fuerza? Si en un principio una carga negativa se encuentra en reposo en

un campo eléctrico, ,ésta se moverá hacia una region donde

exista mayor o menor potencial? ,Qué sucede si Ia carga es p0sitiva? (,Cómo se modifica La energIa potencial de La carga en estos casos?

Indique claramente La diferencia que existe (a) entre el potencial eléctrico y el campo eLéctrico, (b) entre el potencial eléctrico y Ia energia potencial eléctrica. Un electrOn se acelera debido a una diferencia de potencial de 0.10 V. Que tan grande seni su velocidad final si su aceleraciOn fuese 4 veces este voltaje? Una partIcula se puede mover de una region de bajo potencial eléctrico a otra region de alto potencial eléctrico, aun cuando su energfa potencial eléctrica disminuya? Explique. Si V = 0 en un punto en el espacio, ,E debe ser cero? Si E = 0 en algOn punto, jV debe ser cero en ese punto? Explique. Proporcione ejemplos en cada caso. Cuando se trata con dispositivos prOcticos, coil frecuencia se indica que Ia tierra (Ia Tierra) estO a 0 V. (a) Si en vez de esto se dice que Ia tierra estO a 10 V, ,como afectarIa esta decision a V y E en otros puntos? (b) El hecho de que Ia Tierra tiene una carga neta afecta a Ia elecciOn de V en su superficie? (,Se pueden cruzar dos lIneas equipotenciales? Explique. Dibuje varias iIneas equipotenciales en La figura 21-33b y c. ,Qué puede decir en relaciOn al campo eléctrico en una region del espacio que tiene el mismo potencial en todos Los puntos? Un satélite orbita La Tierra en todo to largo de una LInea equipotencia] gravitacional. ,Qué forma deberá tener La órbita?

Suponga que el anillo con carga del ejemplo 23-8 no tiene una carga uniforme, de tat forma que La densidad de carga es el doble cuando se acerca a La parte superior y La parte inferior. Suponiendo que La carga total Q permanece sin cambio, esto afectarO al potencial en el punto P en eL eje (figura 23li)? LAfectará at valor de E en ese punto? Existe alguna discrepancia? Explique. Considere un conductor de metal que tiene La forma de un baLón de fOtbol americano. Si transporta una carga total Q, ,dOnde esperarIa que La densidad de carga o- sea mayor, en Los extremos o en los lados más pianos? Explique. [Sugerencia: cerca de La su-

perficie de un conductor, E =

Una esfera conductora transporta una carga Q y otra esfera conductora idéntica es neutral. En un principio ambas se en-

cuentran aisladas, pero luego se tocan entre sí. (a) (,Qué puede decir acerca del potenciaL en cada una cuando se tocan? (b) tLa carga pasarO de una esfera a Ia otra? En caso afirmativo. ,cuánta? (c) Si Las esferas no tienen el misrno radio, tcómo serán sus respuestas a los incisos (a) y (b)? En un punto en particular, el campo eléctrico se dirige hacia el forte. 6En qué direcciOn(es) Ia razOn de cambio del potencial será (a) mayor, (b) menor, (c) cero? Si se conoce V en un punto en el espacio, se podrá calcular E en ese punto? Si se conoce E en un punto se puede calcular V en ese punto? Si La respuesta es no, qué mOs se debe conocer en cada caso? Las ilneas equipotenciales están separadas a 1.00 V. ,La distancia entre las lmneas en regiones diferentes del espacio indicarO algo acerca de Ia fuerza relativa E en esas regiones? En caso afirmativo, qué se indica? Si el campo eléctrico E es uniforme en una regiOn, ,qué se puede concluir acerca del potencial eléctrico V? Si V es uniforme en una region del espacio, ,qué se puede decir acerca de E? ,La energIa potencial eléctrica en dos cargas diferentes es positiva o negativa? ,Qué sucede silas cargas son iguales? ,Cuál será el significado del signo de Ia energIa potencial en coda caso?

Preguntas

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601

Problemas (I) ,Cuánto trabajo se necesita para mover una carga de 7.0 j.rC de Ia tierra a un punto cuyo potencial es más cicvado a razón de +6.00 V? (I) Cuánto trabajo se requiere para mover un proton de un

punto que tiene un potencial de 100 V a un punto donde ci potencial cs 50.0 V? Cuánta encrgIa cinética ganará un electrOn (en joules) si cae a través de una diferencia de potencial de 21,000 V en ci tubo de imagen de un receptor de TV? (1) Un electron adquiere una energIa cinética de 16.4 X 10_tb j

cuando sc acelera en un campo magnético de La placa A a Ia placa B. ,CuOl es Ia diferencia de potencial entre las placas? ,CuOi de ellas se encueritra a mayor potencial? El trabajo que realiza una fuerza externa para mover una

carga de 8.10 C dcl punto a al punto b es 8.00 X i0-' J. Si Ia carga parte del reposo y tiene una energia cinética de

J cuando liega al punto b, jcuál deberá ser La diferencia de potencial entre a y b? 2.10 x 10

(11) La Tierra produce un campo eléctrico que se dirige hacia ci interior de 150 V/m cerca de su superficie. (a) Cuál es ci potencial en Ia superficic de Ia Tierra con relaciOn a V = 0 en r = 00. (b) Si ci potcncial de Ia Tierra se ehge para que sea cero, cuál será ci potencial en ci infinito? (Ignore ci hecho de quc Ia car-

ga positiva de Ia ionósfera cancela Ia carga neta dc Ia Tierra, ,cómo afectarIa esto a su rcsultado?) (11) Una esfcra conductora con diOmetro de 32 cm sc carga a 500 V en relacjOn a V = 0 en

r

= 00. (a) LCuOl scrá La dcnsidad

de carga superficial o-? (b) ,A qué distancia ci potcncial quc produce Ia esfera (solamente) será 10.0 V?

(II) Un conductor csférico y aislado de radio r1 transporta una carga Q. Un segundo conductor csférico de radio r2 que en un principio está dcscargado sc conecta al primero con un alambre conductor de gran longitud. (a) Dcspués de Ia conexiOn, ,qué se puede decir acerca dcl potenciai eléctrico en cada csfera? (b) ,Cuánta carga sc transfierc a Ia segunda csfcra? Suponga que las esferas conectadas se cncucntran iejos en comparaciOn con sus radios. (,Por qué se realiza esta suposiciOn?) (II) Determine Ia diferencia de potcncial entre dos puntos que

(I) El campo eléctrico entre dos piacas paralelas que se conec-

tan a una baterla de 45 V es 1500 V/m. Cuál es Ia separación de las piacas? (I) Se requiere un campo eléctrico de 640 V/m cntre dos placas

paralelas que estOn separadas a 11.0 mm. Qué voltaje deberá apIicarse? (I) CuOl scrá La fuerza de un campo eléctrico entre dos placas

paralelas que estOn separadas por 5.00 mm si Ia diferencia de potencial entre eilas es de 110 V? (I) Cuál serO Ia cantidad maxima de carga que puede mantenec en ci aire un conductor esférico cuyo radio es 5.0 cm? aCuái es ci radio mInimo que debe tener Ia esfera conductora de un generador electrostOtico que produce 30,000 V sin que se descarguc en ci aire? CuOnta carga tendrá? Un campo eléctrico uniforme E = 300 N/Ci apunta en direcciOn de las x negativas como sc muestra en Ia figura 23-22. Las coordenadas x y y de los puntos A, B y C se indican en ci diagrama (en metros). Determine las diferencias de potencial

y S

Una esfera no conductora de radio r0 transporta una carga total Q que cstO distribuida de manera uniforme en su volumen. Determine ci potencial eléctrico en funciOn de La distancia r dci centro de Ia esfera para (a) r > r0 y (b) r < r0. Suponga q,uc V = 0 en r = 00. (c) Grafique V versus r y E versus r.

Repita el probiema 17 suponiendo que Ia densidad dc carga PE aumenta con ci cuadrado de Ia distancia desde ci centro dc Ia esfera,)' P = 0 en ci centro.

(III) Un cilindro conductor muy largo (longitud L), radio R0, (R0 << L) transporta una dcnsidad de carga superficial uniforme a (C/rn2). El cilindro cstá en un potenciai eléctrico V0. Cuál será ci potencial en los puntos que estOn lejos de los cxtrcmos, a una distancia r del ccntro dci cilindro? Determine io anterior para (a) r > R0 y (b) r < R0. (c) ,Se cumple que V = 0 en r = 00, (suponga que L = oo)? Expliquc. (III) Un conductor esférico y hueco que transporta una carga neta +Q, tienc un radio interior r1 y un radio exterior r2 = 2r1 (figura 23-23). En ci centro de la esfera se encuentra una carga puntual Q/2. (a) Escriba La fuerza dci campo eléctrico E en las tres regioncs en funciOn de r. Luego determine ci potencial como funciOn de r, La distancia dcl centro, para (b) r > r2,

(a) VBA,(b) VCB,y(c) VCA.

C(-3 4)

se encuentran a las distancias Ra y Rb de un aiambrc recto y muy largo (> Ra o Rb) quc transporta una carga uniformc par unidad de longitud A.

.-B(4,4)

(c)r1
A(4, 1)

x

ciOn de

r,

desde

r

= 0 hasta

r

=

2r2.

FIGURA 23-22 Probiema 11.

(II) El potencial eléctrico en una placa piana de metal que ticne grandes dimensiones cs V0. La placa transporta una distribuciOn uniforme de carga cuya densidad superficial es a (C/rn2). Determine V a una distancia x de Ia piaca. Considere que ci punto x está lejos de los bordes y suponga que x es mucho mcnor que las dimensiones de ia placa.

608

CAPITULO 23


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FIGURA 23-23 Problerna 20.

(I) (a)CuáI es

potencial eléctrico a una distancia de

el

0.50 X 10° m de un proton (carga +e)? Si V = 0 en r = oo. (b) Cuál será La energia potencial de un electrOn en este punto? Una carga Q produce un potencial eléctrico de +125 V a una distancia de 15 cm. LCuI es el valor de Q? Una carga de +25 rC se coloca a 6.0 cm de una carga idéntica de +25 C. ,Cuánto trabajo debe realizar una fuerza externa para mover una carga de prueba de 0.10 C de un punto que se encuentra a Ia mitad de ambas cargas a 1.0 cm cerca de alguna de las cargas?

(II) Unas cargas de 3.0 rC y -2.0 j.rC se separan a una distancia de 4.0 cm. En qué puntos a lo largo de Ia lInea que une a ambas cargas se encontrará (a) el campo eléctrico cero, (b) el potencial cero? Suponga que V = 0 en r = 00. (II) Cuánto voltaje se debe usar para acelerar un proton (radio 1.2 X io m) para que adquiera energIa suficiente para penetrar un nOcleo de silicio? La carga del nOcleo de silicio es +14e y su radio es 3.6 X 10° m. Suponga que el potencial es de

(II) Un anillo piano cuyo radio interior es R1 y radio exterior es R2, figura 23-27, transporta una densidad de carga superficial uniforme a-. Determine ei potencial eléctrico en los puntos que se encuentran en el eje (de Las x).

x

FIGURA 23-27 Problema 31. Una barra delgada de longitud 2L se coloca en el centro del eje x como Se indica en La figura 23-28. La barra transporta una carga Q que estd distribuida de manera uniforme. Determine ci potencial V en funciOn de y para los puntos que están a lo argo

del eje y. En ci infinito V = 0.

cargas puntuales.

y

(II) Considere un punto a que se encuentra a una distancia de 70cm al norte de una carga puntal de -3.8 rC, y un punto b que se encuentra a 80 cm al oeste de Ia carga (figura 23-24). Determine (a) Vba = Vb - Va, (b) Eb Ea (magnitud y di-

L

L

rección). a

FIGURA 23-28

x

Problemas 32,33,34 y 48.

70cm b

-80cm-

FIGURA 23-24

Q=-3.8ttC

Determine ci potencial V(x) para Los puntos que se en-

Problema 26.

cuentran a lo Largo del eje x fuera de La barra de La figura 23-28, problema 32.

(II) Un electron parte del reposo a 72.5 cm de una carga puntual fija Q = -0.125 C. A qué rapidez se moverd el electrOn cuando se encuentre muy lejos?

(II) Dos cargas puntuales e idénticas de +7.5 rC están separadas inicialmente a 5.0 cm una de La otra. Si ambas se liberan al mismo tiempo a partir del reposo, ja qué velocidad se moverán cuando Se encuentren muy lejos una de La otra? Suponga que tienen masas idénticas de 1.0 mg. (II) Dos cargas de igual magnitud y signo contrario están Separadas por una distancia d, como se indica en Ia figura 23-25. Determine una fOrmula para VBA = VB - VA para los puntos B y A que están alineados entre las cargas como indica Ia figura.

d

H-

+q

A

B

FIGURA 23-25

b-

(ILL) La carga de La barra de La figura 23-28 tiene una distribución de carga Lineal y no uniforme, A = ax. Determine ci potencial V para (a) Los puntos en el eje y, (b) los puntos en el eje x fuera de La barra.

(III) Suponga que el disco circular piano de La figura 23-12 (ejemplo 23-9) tiene una densidad de carga superficial no uniforme a- = a,2, donde r se mide desde el centro del disco. CaicuIc ci potencial V(x) en los puntos que se encuentran a Lo Largo del eje x, con relaciOn a V = 0 en r = 00.

Dibuje un conductor que tenga La forma de un baiOn de fOtbol americano. Este conductor transportará un carga neta negativa -Q. Dibuje una docena de incas de campo eléctrico y

H

lineas equipotenciales.

-q

Las superficies equipotenciales se dibujan a intervalos de 100 V cerca de una placa de grandes dimensiones que tiene una carga uniforme, La densidad de carga de La placa es a- = 0.55 C/m2. i,CudI es La separaciOn entre las superficies equipoten-

Probiema 29.

ciales?

(II) Tres cargas puntuales se colocan en las esquinas de un cuadrado cuyo lado es L, como se muestra en La figura 23-26. ,Cuál

es el potencial en La cuarta esquina (punto A) si V = 0 a una distancia mayor. L

L

una carga Q = 0.50 rC. Las superficies equipotenciales se van a dibujar a intervaios de 100 V fuera de La esfera. Determine el radio r de (a) La primera, (b) Ia décima, (c) La centésima equipotencial a partir de La superficie.

-2Q L

L

(II) Una esfera de metal cuyo radio es r0 = 0.30 m transporta

A

(I) Un electrOn y un protOn están separados 0.53 X 10_b m. (a)


,CuOi serd su momento dipolar si estn en reposo? (b) i,Cudi será ei momento dipolar promedio si ci electrOn gira airededor del protOn en una Orbita circular?

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Problemas

609

(II) Calcule el potenciaL eléctrico que produce un dipolo cuyo momento dipolar es 4.8 x 1030 Cm en un punto que está alejado del dipolo a una distancia de 1.1 x 10 m, y (a) a lo largo del eje del dipolo cerca de Ia carga positiva; (b) a 45° por encima del eje pero cerca de Ia carga positiva; (c) a 45° por encima del eje pero cerca de Ia carga negativa. (a) En el ejemplo 23-10 parte b, calcule el potencial eléctrico sin utilizar Ia aproximación del dipolo, ecuación 23-7; es decir, no suponga que r>> 1. (b) ,Cuál será el porcentaje de error en este caso cuando se utiliza La aproximación del dipolo? Demuestre que si un dipolo eléctrico se coloca en un camp0 eléctrico uniforme, entonces se ejerce un par en él igual a pE donde q es el angulo entre el vector de momento dipolar sen y la direcciOn del campo eIéctrico como se indica en la figura 23-29. ,Cuá1 será La fuerza neta en el dipolo? ,COmo se afectarIan Los resultados si el campo no es uniforme? Observe que el

vector del momento dipo]ar p se defina de tal forma que su

(I) ,CuáI es el gradiente de potencial justo en la parte exterior de Ia superficie del niicleo de uranio (Q = +92e) cuyo diámetro es 15 x 10-t5 m? Demuestre que el campo eléctrico de una sola carga puntual es (ecuación 21-4) seguida de Ia ecuaciOn 23-5, V = (1/4reo)

(Q/r).

El potencial eléctrico en una regiOn del espacio varIa conforme a V = ay/(b2 + y2) Determina E. (II) En cierta region del espacio, el potencial eléctrico está determinado por V = y2 + 2xy - 4xyz. Determine el vector del campo eléctrico E, en esta regiOn. (Ifl) Utilice el resultado de los problemas 32 y 33 para determinar el campo eléctrico que produce La barra de la figura 23-28 que tiene carga uniforme en los puntos (a) que están a lo largo del eje y, (b) a to largo del eje x.

magnitud sea QI y su dirección apunte del extremo negativo al positivo como se indica.

P

-Q

FIGURA 23-29

U

Problema 42.

(III) El momento dipolar se considera un vector, apunta de Ia carga negativa a Ja carga positiva. La molécula de agua, figura 23-30, tiene un momento dipolar p que se puede considerar como Ia suma vectorial de dos momentos dipolares Pt Y P2 La dis-

tancia entre cada H y el 0 es 0.96 X 10_to m; las lIneas que unen el centro del átomo de 0 con cada átomo de H forman un ángulo de 104° como se indica, y el momento dipolar neto es p = 6.1 X i0 Cm. (a) Determine La carga efectiva q en cada atomo de H. (b) Determine el potencial eléctrico. lejos de Ia molécula, que produce cada dipolo p Y P2, demuestre además que

1

pcosO

4ir0

r2

donde p es Ia magnitud del momento dipolar neto, p = p + P2 y V es el potencial total que producen Pt Y P2 Suponga que V = 0 en r = 00.

FIGURA 23-30

Problema 43.

610

CAPITULO 23

(I) Determine La energIa potencial electrostática mutua (en eV) en dos protones del nOcleo de uranio (235U) (a) si están en La superficie, en lados opuestos del nOcleo, y (b) Si UflO está en el centro y el otro está en La superficie. El diámetro de un nOcleo de 5U es 15 X 10t5 m. Ignore los demOs protones. (1) CuOnto trabajo debe realizarse para acercar a tres electrones que estOn alejados a una distancia de 1.0 x 10_b m? (I) ,Qué diferencia de potencial se necesita para dar al nOcleo de helio (Q = 3.2 X 10t9 C) 48 keV de energIa cinética? ,CuOl serO La rapidez de (a) un electrOn que tiene 3.5 keV de energIa cinética, (b) un protOn con 3.5 keV? Escriba Ia energIa potencial electrostOtica total U para (a) cuatro cargas puntuales, (b) cinco cargas puntuales. Dibuje un diagrama que defina todas las cantidades.

(11) Una partIcula alfa (que es un niicleo de helio, Q = +2e, m = 6.64 X 10_27 kg) es emitida en desintegracion radiactiva con una energfa cinética de 5.53 MeV, ,cuáL es su velocidad? (II) Un electrOn que parte del reposo adquiere una energIa cinética de 2.0 keV cuando se mueve del punto A al punto B. (a) ,CuOnta energIa cinética adquirirO un proton que parte del re-

poso en B y se mueve al punto A? (b) Determine eI cociente

entre sus velocidades al final de sus trayectorias respectivas (II) Cuatro cargas puntuales iguales Q se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado b. (a) Cuál serO su energIa potencial electrostOtica total? (b) CuOnta energIa potencial tendrO una quinta carga Q, si se encuentra en el centro del cuadrado (en relaciOn a V = 0 en r = oo)? (c) Si Ia cargas deben permanecer en ese piano, la carga nOmero cinco estará en equiibrio estable o inestable? Si es inestable, j,cuOl será La energIa cinética mOxima que puede adquirir? (d) Repita la parte (c) si Ia carga es negativa (-Q). (II) Repita el problema 56, partes a y b, suponiendo que dos cargas, que estOn en las esquinas (diagonales) opuestas se sustituyen por cargas -Q. (U) Determine La energIa potencial electrostOtica total de una esfera conductora de radio r0 que transporta una carga total Q que estO distribuida de manera uniforme en su superficie. (III) Determine La energIa potencial electrostOtica total de una esfera no conductora de radio r0 que transporta una carga total Q que estO distribuida de manera uniforme en todo su volumen.


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(III) En un TRC determinado, los electrones se aceleran en for-

(I) Utilice ci modeio de gas ideal para calcular la velocidad rcm de un electrOn libre en un metal que se encuentra a 300 K y a 2500 K (Ia temperatura tIpica del cátodo de un TRC).

ma horizontal por un voitaje dc 15 kV. Luego los electrones pasan a través de un campo eléctrico E uniforme por una distancia de 2.8 cm, lo que ios desvfa hacia arriba para que aicancen ia parte superior de Ia pantalla que está a una distancia de 22 cm, a 11 cm por encima del centro. Calcule ci valor de E.

Problemas qenerales Dibuje el campo eléctrico y las imneas equipotenciales para dos cargas que tienen el mismo signo y magnitud, las cargas cstán separadas por una distancia d.

Al frotar un material no conductor, se puede producir una

carga de 10-8 C. Si esto se realiza en una esfera de radio 10 cm, calcule ci potencial que se produce en Ia superficie. Deje que

Cuatro cargas puntuales se localizan en las esquinas de un cuadrado cuyos iados miden 8.0 cm. Las cargas son Q, 2Q, -3Q y Q = 4.8 tC (figura 23-32) ,Cuál es Ia energIa potencial eléctrica total que Se almacena en ci sistema, en reiación a U = 0 en Ia separaciOn infinita?

V = 0 en r = 00. Si los ciectrones de una gota de Iluvia que tiene 3 mm de diámetro Se pudieran remover de Ia Tierra (sin eliminar su nücleo atomico), en cuánto aumentarIa Ia energia potenciai de

o 8.0cm2

Ia Tierra?

Una descarga atmosférica transfiere 4.0 C de carga y 4.2 MJ de energIa a Ia Tierra. (a) ,Entre qué diferencia de potencial viaja ci rayo? (b) tCunta agua se puede hervir, a partir de Ia temperatura ambiente?

En cada esquina de un cubo cuyo lado mide I se encuentra una carga puntuai Q, figura 23-31. (a) ,Cui es ia diferencia de potencial en ci centro dci cubo (V = 0 en r = oo)? (b) CuáI es ci potencial en cada esquina debido a las 7 cargas restantes? (c) LCuál es Ia energIa potencial total del sistema?

C

I,

FIGURA 23-32

Problema 70.

En ci tubo de imagen de un televisor los electrones son acelerados por un voltaje de miles de volts en ci vacIo. Si ci receptor de TV descansa sobre su parte trasera, cuántos electrones Se pueden mover hacia arriba, en contra de Ia fucrza de gravedad? LCuáI será ia diferencia dc potencial que actüa sobre una distancia de 3.0 cm, para balancear ia fuerza de gravedad que se dirige hacia abajo, de tai forma que un electrOn permanezca en reposo? Suponga quc ci campo eléctrico es uniforme.

Un proton que parte del reposo adquiere una energIa cinética de 5.2 keV cuando se mueve del punto P al punto Q. (a) LCuánta energIa cinética adquirirá un electron, si parte dci reposo en 0 y se mucvc al punto P? (b) Determine ci cociente de sus yelocidades al final de sus trayectorias respectivas.

0

/ Q

En una fotocelda, la Iuz ultravioleta (UV) proporciona cncrgIa suficicntc para quc aigunos electrones del metal bario salgan de

0

Ia superficie a alta veiocidad, véase Ia figura 23-33. Para medir Ia

.9

Q

FIGURA 23-31

JQ

2Q

Problema 66.

!Cuánto voltaje se debe utilizar para acelerar un proton de tal forma que tenga energIa suficiente para tocar Ia superficic de un nOcieo de hierro? El nücleo de hierro tienc una carga igual a 26 veces Ia carga del proton (= e) y su radio mide 4.0 X i0 m, en tanto que ci proton tiene un radio de 1.2 X i0 m. Suponga que ci ndcIeo es esférico y ticnc carga uniforme. Los electrones se aceleran con 14 kV en un TRC. La pantaila tiene 30 cm de ancho y está a 34 cm de las piacas de deflcxión que miden 2.6 cm de largo. LEn qué intervalo debe variar ci campo eiéctrico de deflexiOn horizontal para que ci haz barra compietamente toda ia pantaila? Suponga que una capa uniforme de electrones se mantiene cerca de ia superficie de la ilierra debido a Ia fuerza de gravedad de Ia lierra. tCuál será Ia cantidad maxima de electrones que se pueden mantener en esta forma? Ignore las demás cargas y campos eléctricos excepto aquellos quc generan los mismos electrones.

maxima energia dc los electrones, sc mantiene otra place encima de Ia superficie de bario a un potenciai que es lo suficientemcnte ncgativo como para disminuir La velocidad y detener a los electrones que son emitidos, para regresarlos a Ia superficie del bario. Si ci voltaje de Ia place es 3.02 V (comparado con ci bario), cuando se deticnen los electroncs mäs veloces, LcuáI era su velocidad cuando fueron emitidos? U-

Luz -

+

FIGURA 23-33

V 3.02V V= 0 Problema 73.

Ccrca de Ia superficie dc Ia Tierra cxistc un campo eléctrico de 150 V/m que apunta hacia abajo. Dos bolas idénticas cuya masa m es 0.540 kg sc dcjan caer desde una altura dc 2.00 m, pero una de las bolas tiene carga positiva q1 = 550 C y Ia otra ticne carga negativa q2 = 550 C. Use Ia conservación de Ia energia para determinar la difcrencia en La velocidad dc las dos boIas cuando estas chocan en Ia tierra. (Ignore Ia resistcncia dcl aire.)

Problemas generales

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611

Tres cargas se encuentran en las esquinas de un tridngulo equildtero (de lado L) como se indica en La figura 23-34. Determine el potencial en el punto medio de cada uno de los lados.

P(x, y)

\ -3Q FIGURA 23-34

Problema 75.

cuando sucede La ruptura eléctrica? (Suponga que V = 0 en r = oo.) (b) ,Cuál será Ia carga en La esfera para eL potencial

0

-

Los electrones son sacados de Ia banda gracias a! electrodo de alto voltaje (que tiene puntas afiladas) que está identificado con La letra A, esto hace que La banda adquiera una carga positiva. La banda transporta las cargas positivas hacia arriba, estas se dirigen al interior de Ia cubierta esférica, luego las cargas pasan por el conductor B hacia Ia superficie exterior de Ia esfera conductora. Conforme se acerca más carga en Ia parte superior, Ia esfera adquiere un voitaje extremadamente elevado. Considere un generador Van de Graaff cuya esfera tiene un radio de 0.15 m. (a) ,CuáI serO eL potencial eléctrico en La superficie de Ia esfera

r

-Q

Un generador Van de Graaff (figura 23-37) puede desarrollar una diferencia de potencial muy elevada, hasta de millones de volts.

x

del inciso (a)?

+Q

FIGURA 23-35

GENERADOR

Problema 76.

+

+

+

+

Determine las componentes del campo eléctrico E y E en cualquier punto P del piano xy debido a un dipolo, figura 23-35, comience con Ia ecuación 23-7. Suponga que r = (x2 + y2)3 >> 1.

Conductor +

B

Polea +

(a) ,Cuál será el potencial eiéctrico a una distancia de 2.5 X i0-'

+

m lejos de un protOn? Suponga que V = 0 en r = x. (b) ,Cuál será la energfa potencial eléctrica de un sistema que está formado por dos protones que estOn separados por una distancia de 2.5 X 10_Is m, como sucede en un nOcleo tIpico?

Un disco no conductor piano y de poco espesor cuyo radio es R y carga Q, tiene un hoyo (cuyo radio es R/2) en su centro. Calcule el potencial eléctrico V(x) en los puntos que están a to largo del eje de simetrIa (x) del disco (una lInea perpendicular al disco, que pasa por su centro). Suponga que V = 0 en r = El contador Geiger se utiliza para detectar partIculas con carga que emite un nücleo radiactivo. EstO integrado por un alambre central y pequeno que tiene carga positiva y radio Ra, ci cual está rodeado por un cilindro conductor concéntrico de radio Rb que tiene una carga negativa de La misma magnitud. (figura 23-36). La carga por unidad de longitud en el alambre interior es A (sus unidades son C/rn). El ensamble cilIndrico se Ilena con gas inerte a baja presiOn. Las partIculas con carga ionizan algunos de los dtomos de este gas, los electrones libres que se producen de esta forma son atraldos hacia el alambre central. Si el campo eléctrico radial tiene Ia fuerza suficiente, los electrones libres adquirirán una cantidad suficiente de energIa para ionizar a otros átomos, to que provocard una "avalancha" de electrones que golpean al alambre central, generando asI una senal eléctrica. Encuentre la expresión para el campo eléctrico entre el alambre central y ci cilindro, y demuestre que La diferencia de potencial entre Ra y Rb es

VaVb =

A

= 2lrEoIfl(Rb/Ra)

-Aislador Polea accionada por un motor

A

50 kV

FIGURA 23-37

Problema 80.

Demuestre que en dos dipolos que tienen momentos dipolares Pi y P2 y están alineados entre Si (figura 23-38), Ia energIa potencial de uno en presencia del otro (su "energIa de interacción") está determinada por

U=

1

PIP2

21rE0

r3

donde r es Ia distancia entre los dos dipolos. Suponga que r es muy superior a Ia longitud de cada dipolo. p1

FIGURA 23-38

r

Problema 81.

Demuestre que La energia potencial electrostática de dos dipolos en un piano (como se muestra en Ia figura 23-39) está determinada por 1

PIP2

U = 4E0 r

[cos (°

- 02) - 3 cos O cos

021.

Suponga que r es muy superior a Ia longitud de cada dipolo. Los momentos dipolares del vector Pi Y P2 apuntan de la carga negativa a La carga positiva del dipolo.

/

Pi /\e

FIGURA 23-39

Problema 82.

Alambre central, radio Ra FIGURA 23-36

612

CAPITULO 23

Problema 79.


Una esfera no conductora cuyo radio es r2 contiene una cavidad esférica y concéntrica de radio r1. El material que se localiza entre r1 y r2 transporta una densidad uniforme de carga PE (en C/rn3).

Determine el potencial eléctrico V, en relaciOn a V = 0 en r = oo, en función de La distancia r del centro para (a) r > r2, (b) r1 < r < r2, y (c) r < r1. i,Ves continuo en r1 y r2?

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Los capacitores están disponibles en una amplia variedad de formas y tamaflos; La figura muestra aigunos de estos componentes. Bésicamente, un capacitor está integrado por dos conductores que no se tocan, debido a esto pueden almacenar cargas de signo opuesto en sus dos piacas conductoras. Los capacitores se utilizan en una amplia gama de circuitos como se vera en este capItulo y en capItulos siguientes.

Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energia eléctrica este capItulo termina nuestro estudio de Ia electrostática. Primero, se analiza un dispositivo de suma importancia, ci capacitor, que se utiliza en todos los circuitos electrOnicos. También se analizará el almacenamiento de energIa eléctrica y los efectos que tiene el aislante, o dieléctrico, en los campos eléctricos y las diferencias de potencial.

Con

Capacitores Un capacitor, que antiguamente se conocIa con ci nombre de condensador, es un dispositivo que puede almacenar carga eléctrica, y cománmente está formado por

dos objetos conductores (normalmente se trata de placas u hojas) que se colocan cerca unos de otros pero que no se tocan. Los capacitores se utilizan ampliamente en los circuitos electrOnicos; almacenan energIa para su uso posterior, como sucede en Ia luz de desteilo (flash) de una cmara. También se utilizan como respaldo de energIa en las computadoras, si falla Ia lInea de alimentaciOn, entonces un conjunto (o banco) de Capacitores proporciona energIa y bloquea los picos transitorios para proteger a los circuitos. Los capacitores forman parte de los circuitos de sintonIa de cualquier receptor de radio; capacitores de tamaño muy reducido funcionan como memoria para almacenar los "ceros" y los "unos" del codigo binario en las memorias de acceso aieatorio (RAM) de las computadoras; por ültimo, los capacitores se utilizan para muchas aplicaciones diferentes, algunas de las cuales se anaiizarán en este capItuio.

613

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Aislador

(a)

(b)

HdH

Capacitores. Diagramas de (a) capacitor de placas paralelas, (b) capacitor de forma cilIndrica (placas paralelas enrolladas entre si). FIGURA 24-1

Un capacitor simple está integrado por un par de placas paralelas cuya area es A, las cuales están separadas por una pequefla distancia d (figura 24la). Con cierta frecuencia las placas paralelas se enrollan formando un cilindro, en este caso se utiliza papel o cualquier otro material aislante para separar las placas, véase Ia figura 24lb. En Ia página anterior se presenta una foto con varios capacitores que se utilizan en varias aplicaciones. En un diagrama esquematico, un capacitor se representa con el sImbolo

+.

+Q Q

Otro sImbolo que representa un capacitor es

HH C

voltaje, está representada por el sImbolo:

[sImbolo del capacitor] -JE.

La baterla, que es una fuente de [sImbolo de La baterIa]

con brazos desiguales. V

(b) (a) Capacitor de placas paralelas conectado a una baterIa. (b) el mismo circuito utilizando Ia simbologia. FIGURA 24-2

Si se aplica voltaje a un capacitor, por ejemplo cuando se le conecta a una baterIa, como se muestra en Ia figura 24-2, el capacitor se carga rápidamente. Una placa adquiere una carga negativa, la otra adquiere una carga positiva de igual magnitud. Cada una de las terminates de la baterIa, los alambres de conexiOn y las placas del capacitor se encuentran al mismo potencial, de ahI que el voltaje máximo de La bateria esté presente entre las terminates del capacitor. Para un capacitor de vator determinado, se puede decir que ta cantidad de carga Q que adquieren cada una de sus ptacas es proporcionat a Ia magnitud de Ia diferencia de potencial Vba entre ellas:

Q = CVba.

(24A)

La constante de proporcionalidad, C en Ia retaciOn anterior, se conoce como capacitancia del capacitor. La unidad de capacitancia es el coulomb por volt, y se conoce con el nombre de farad (F). Los vatores de capacitancia de Ia mayor parte de los capacitores se encuentran en el intervalo de 1 pF (1 picofarad = 1O_12 F) a 1 pF (1 microfarad X lO F). La relación, ecuación 24-1, fue sugerida por primera vez por Alessandro Volta a finales del siglo XVIII. En general Ia capacitancia C no depende de Q o de V. Su valor depende sOlo del tamaflo, forma y posicion relativa de los dos conductores, además del material que los separa (dieléctrico).

Determinación de Ia caoacitancia La capacitancia de un capacitor cualesquiera se puede determinar en forma experimental a partir de Ia ecuación 24-1, para esto se mide Ia carga Q en cualesquiera de los conductores para una diferencia de potencial determinada Vba. 614 CAPITULO 24

Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energIa eléctrica

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Para el caso de los capacitores que tienen una geometrIa sencilla, el valor de C se puede determinar en forma anaiftica, en esta secciOn supondremos que los conductores están separados por aire o por vacIo. Para mostrar lo anterior, vamos a determinar C para un capacitor de placas paralelas, véase la figura 24-3. Cada una de las placas tiene un rea A y está separada por una distancia d. Se asume que el valor de d es pequeflo comparado con las dimensiones de cada placa, de manera que el campo eléctrico E que existe entre las placas es uniforme y por tanto se puede ignorar La dispersion del campo (las ilneas de E que no son rectas) que ocurre en las esquinas. Como ya se vio con anterioridad (en el ejemplo 21-12) el campo eléctrico entre dos placas paralelas, que están muy cerca una de otra, tiene La siguiente magnitud E = o-/ y su direcciOn es perpendicular a las placas. Como o- es Ia carga por unidad de area, ci = Q/A, entonces el campo entre las placas es

H-dH

E= 0A La relaciOn entre campo eléctrico y potericial eléctrico, de acuerdo con la ecuaciOn 23-4, es b

Vba =

b

a

Capacitor de placas paralelas, cada una de las cuales tiene un area A. Se ignora Ia deformaciOn del campo. FIGURA 24-3

_JE.dI.

Podemos tomar la integral de lInea a través de una trayectoria que es antiparalela a las lIneas de campo, de un pIano a otro; entonces 0 = 180°, y cos 180° = 1, por tanto

')

Vba=Vb_Va=_IEd1C0S180°=HEd1= 0A Ja Ja

1b

Jd1

Ja

Qd

e0A

La expresiOn anterior relaciona Q con Vba, y a partir de ella se puede obtener Ia capacitancia C en términos de Ia geometrIa de las placas: A [capacitor con placas paralelasl (24-2) C= Q = d

Vba

Esta relaciOn tiene sentido, como se puede intuir: un aumento en el area A significa que para una cantidad determinada de cargas (electrones), existirá una menor repulsion entre las cargas (si están alejadas una de otras), por tanto se espera que cada una de las placas retenga una mayor cantidad de carga. El aumento en Ia distancia de separación d significa que Ia carga en una de las placas ejerce una menor fuerza de atracciOn en Ia otra placa, en consecuencia se toma menor carga de Ia baterIa y Ia capacitancia es menor. Cabe indicar que en Ia ecuaciOn 24-2 el valor de C no depende de Q o de V, por tanto se puede predecir que Q es proporcional a V, como se demostrO experimentalmente. Cálculo de capacitores. (a) Calcule la capacitancia de un capauijtiones de sus placas son 20 X 3.0 cm y están separadas por una abertura de aire de 1.0 mm. (b) ,Cuál es la carga en cada una de las placas si el capacitor se conecta a una baterIa de 12 V? (c) ,Cuál es el campo eléctrico entre las placas? (d) Calcule el area que deben tener las placas para obtener una capacitancia de 1 F, considere Ia misma abertura de aire d. SOLUCION (a) El area A = (20 X 102m)(3.0 X 102m) = 6.0 >< 103m2. EntonLOL Si 1

ces Ia capacitancia C es

A d

C=

= (8.85 X 102C2/Nm2)

60x103 m 2 = 53pF. 1.0X103m

La carga en cada placa (aquI utilizamos V en lugar de Vha) es:

Q = cv =

(53

x 1o2F)(12v) = 6.4 x 1010C.

Partiendo de la ecuación 23-4, para un campo eléctrico uniforme, Ia magnitud de E es:

E

V

12V

d

X 103m

1.0

- 1.2 X iO V/rn.

Al resolver A en Ia ecuación 24-2, considerando que se desea un capacitor de 1 F con una abertura de aire de 1 mm, se necesita un capacitor cuyas placas deben tener Ia siguiente area

A =

Cd

(1F)(1.0 X 10m)

(9 x 1012 C2/N m2)

108m2.

Esta es el area de un cuadrado cuyo lado mide iO m = 10 km por lado, este es el tamaflo de una ciudad similar a San Francisco o Boston! SECCION 24-2 DeterminaciOn de Ia capacitancia

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615

Tecla' Placa móvil

ii

Capacitor

Aislador -

(flexible)

Placa' fija

El teclado de una computadora. Al presionar Ia tecla se reduce la separación de las placas de un capacitor, lo que a su vez provoca un aumento en Ia capacitancia, este proceso se detecta en forma electrOnica.

FIGURA 24-4

(a) Capacitor ciJIndrico integrado por dos conductores cilIndricos y coaxiales. (b) Las Ilneas de campo eléctrico se muestran en Ia vista transversal. FIGURA 24-5

Rb

Hace diez o quince años, era poco comün encontrar una capacitancia superior a 1 tE En la actualidad, existen capacitores cuyo valor est comprendido entre 1 y 2 F, aunque su tamaño es reducido, cada uno de sus lados mide pocos centImetros. Estos capacitores se utilizan como reservas de energIa para aplicaciones de bajo voltaje, tal es el caso de las memorias para computadora y las fuentes de alimentación de las videocaseteras, donde se puede mantener informaciOn relativa al tiempo y fecha mediante el flujo de cargas pequenas. (En estas aplicaciones los capacitores superan a las baterlas recargables ya que se pueden recargar en más de i0 ocasiones sth mayores problemas.) j,Cómo se fabrican estos capacitores que tienen una capacitancia tan elevada? Existe una clase de capacitores que utiliza carbon activado que es altamente poroso, por tanto el area superficial es muy grande; una décima de gramo de carbOn activado puede tener un area superficial de 100 m2. Además, en este dispositivo con "capa eléctrica" doble existen cargas iguales y opuestas, esta capa eléctrica es una capa de carga que aparece en Ia interfase que forman las partIculas de carbon y el ácido sulfOrico que las rodea. La carga positiva reside en el borde de carbOn y Ia carga negativa reside en el borde de ácido con una separaciOn de aproximadamente iO m entre ambas. En consecuencia, la capacitancia de 0.1 g de carbOn activado, cuya area interna puede ser de 102 m2, es C = e0A/d = (8.85 X 10'2C2/N.m2)(102m2)/(109m) 1 F Un tipo especial de teclado para computadora funciona basado en Ia capacitancia. Como se muestra en Ia figura 24-4, cada tecla se conecta en Ia placa superior de un capacitor. La placa superior se mueve hacia abajo cuando se presiona Ia tecla, reduciéndose asI Ia separaciOn entre las placas del capacitor, con el consiguiente aumento en Ia capacitancia (de Ia ecuaciOn 24-2: si d disminuye entonces C aumenta). El cambio en La capacitancia se transforma en una senal eléctrica que es detectada por un circuito electrOnico. La proporcionalidad, C A /d en Ia ecuaciOn 24-2, es válida solamente en el caso de un capacitor de placas paralelas que se enrolla en espiral en el interior de un ciJindro, como se muestra en la figura 24-lb. Sin embargo, se debe reemplazar el factor constante Si se utiliza papel como material aislante (algo que es muy comOn) para separar las placas. Esto se analiza en Ia secciOn 24-5. Para un capacitor realmente cilIndrico, formado por dos cilindros coaxiales, el resultado es un tanto diferente como lo demuestra el siguiente ejemplo.

Capacitor cilIndrico. Un capacitor cilfndrico está integrado por un ciiinaro o aimbre) con radio Rb, que a su vez estd rodeado por una cubierta cilIndrica y coaxial cuyo radio interno es Ra, véase Ia figura 24-5a. Ambos cilindros tienen una longitud L, La cual suponemos es mucho mayor que Ia distancia que separa a ambos cilindros, RaRb, en consecuencia podemos despreciar sus efectos. El capacitor esta cargado (por ejemplo cuando se conecta a una baterIa) de modo tal que un cilindro adquiera una carga +Q (el cilindro interior) y el otro adquiera una carga Q. Determine la formula de la capacitancia. SOLUCION Para obtener C = Q/Vba, necesitamos determinar Ia diferencia de potencia! entre los cilindros, Vba, en términos de Q. Podemos utilizar el resultado anterior (ejemplos 21-10 o 22-5) que indica que el campo eléctrico que rodea a un alambre largo se dirige en forma radial hacia el exterior del mismo, y tiene una magnitud E = (l/211-0) (A/r), donde r es Ia distancia desde el eje y A es la carga por unidad de longitud, Q/L; entonces E = (1/2it0)(Q/Lr) para los puntos que estén entre los cilindros. Para obtener Vb. en términos de Q, se utiliza este resultado en La ecuación 23-3, E dl, y se escribe la integral desde el cilindro exterior hacia el cilindro Vba = interior (para que Vba > 0) a lo largo de Ia lInea radial.

ba -

b

- ia

fRbj. dl-- 2ir 0L iRa r Q

-

Q

2ii-e L

n

J?

Q

Ra - 21T 0L

R Rb

Q y Vba son proporcionales, y Ia capacitancia C es

C=

I

0

=

2ITEL

[capacitor cilIndrico] Ifl(Ra/Rb) ,Acaso tiene sentido Ia dependencia en L, R y Rb? (Véase el análisis que está después de la ecuaciOn 24-2.) Vba

Cabe indicar que E apunta hacia fuera en Ia figura 24-5b, pero dl apunta hacia dentro debido a Ia dirección de integracion que se eligiO, el ángulo entre E y dl es 1800 y cos 180° = 1. Además, dl = dr ya que dr aumenta hacia fuera. Ambos signos de menos se cancelan.

616

CAPITULO 24


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Capacitor esférico. Se tiene un capacitor esférico que está formado por dos cubiertas conductoras concéntricas y con forma esférica, cuyos radios SOfl ra y rb como se indica en la figura 24-6. La cubierta interior tiene una carga Q que está distribuida de manera uniforme en su superficie, mientras que Ia cubierta externa tiene una carga de igual magnitud pero de signo contrario -Q. Determine Ia capacitancia de ambas cubiertas.

/

--

SOLUCION En el ejemplo 22-3 se utilizó la ley de Gauss para demostrar que el campo eléctrico en el exterior de una esfera conductora que tiene una carga uniforme es E = Q/4p0r2 como si toda Ia carga estuviera concentrada en el centro de Ia esfera, Ahora se utiliza Ia ecuación 233, Vba = Ja E dl, y se integra a lo largo de Ia trayectoria radial para obtener Ia diferencia de potencial entre las dos cubiertas conductoras: b

Vba =

-1 Ed1 Ja

rr1

Q

-

471-co

J

r

dr

Q (II'ra) = 4ir0 rb

Por áltimo

FIGURA 24-6 Una secciOn de un capacitor esférico. La delgada cubierta interior tiene un radio rb, el radio de La cubierta exterior es ra.

(rr\ rr 4ir Q

\

/

= 4Tco( rarb

ra - rb,

= "ba

También se puede decir que un conductor inico y aislado puede tener una capacitancia C. En este caso C se puede defiriir como la razón de cambio de un potencial absoluto V en el conductor (con relación a V = 0 en r = ), por tanto la relaciOn

Q = CV continua siendo válida. Por ejemplo, el potencial de una esfera conductora de radio rb se puede obtener a partir de los resultados del ejemplo 24-3, al hacer que ra se vuelva entonces infinitamente grande. Conforme ra -

v=

Q

(jj\\

4ir

1

ra) - 4ii rb

en consecuencia la capacitancia es

C=

Q

= 4ITEOTb.

Pero cabe indicar que un conductor aislado no se puede considerar como un capacitor. En Ia práctica, un conductor puede estar cerca de otros conductores o cerca de La Tierra (la que se puede considerar como Ia "otra" placa del capacitor), lo que afectarIa el valor de Ia capacitancia.

Capacitores en serie v en paralelo Los capacitores se pueden encontrar en casi cualquier circuito eléctrico. Un circuito eléc-

trico es una trayectoria cerrada de conductores, que normalmente está integrada por alambres que conectan capacitores y/u otros dispositivos, donde pueden circular las cargas e incluye una fuente de voltaje, por ejemplo, una baterfa. El voltaje de la baterIa recibe el sImbolo V, esto significa que V representa una diferencia de potencial. Los capacitores se pueden conectar entre si en varias formas. Dos formas comunes son conexión en serie y conexión en paralelo, ambas se analizarán enseguida. SECCION 24-3

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Capacitores en serie y en paralelo

617

La figura 24-7 presenta un circuito que contiene tres capacitores conectados en paralelo. Están en "paralelo" porque eJ voltaje de Ia baterIa V se conecta a los puritos a y b. Este voltaje V = Vab está presente en cada uno de los capacitores. Es decir, como las placas del lado izquierdo de todos los capacitores están conectadas a un mismo conductor, todas están a! mismo potencial V cuando se conectan a la baterIa. Las placas del lado derecho están a! potencial Vb. Cada una de las placas de los capacitores adquiere una carga que está determinada por Q1 = C1V, Q2 = C2V, Q3 = C3V. La carga total Q que debe dejar a la baterIa es

+-C' QI C2

b S

2

C3

1

Q = Ql+Q2+Q3 = C1V+C2V+C3V.

3

V

Vab

Capacitores en paralelo: C = C1 + C2 + C3.

Ahora vamos a tratar de encontrar un solo circuito equivalente que contenga la misma carga Q con el mismo voltaje V = Vy La capacitancia equivalente de este circuito Ceq está determinada por

FIGURA 24-7

Q = CeqV. Al combinar las dos ecuaciones anteriores se tiene

CeqV = C1V+C2V+C3V = (C1+c2+c3)v 0

Ceq = C +

1_i

FIGURA 24-8

-

C1

a S

Capacitores en serie:

C2

A

1

1

Cl + C2

+ C3 B

C

II

+Q Q +Q Q +Q Q

b

Vab

[paralelo]

+ C3.

(24-3)

El efecto neto que se obtiene al conectar capacitores en paralelo es un aumento en Ia capacitancia. Esto tiene sentido porque en esencia se aumenta el area de las placas donde se puede acumular Ia carga (véase por ejemplo Ia ecuación 24-2). Los capacitores también se pueden conectar en serie. En este caso se conectan de extremo a extremo, como se muestra en Ia figura 24-8. Una carga + Q fluye de La baterIa a una placa de C1, y Q f!uye a una placa de C3. En un principio las regiones A y B que se localizan entre los capacitores eran neutrales, por tanto Ia carga neta seguIa siendo cero. La carga + Q que está en la placa izquierda de C1 atrae a Ia carga Q que está en Ia placa opuesta. Como Ia region A debe tener una carga neta igual a cero, deberá existir una carga + Q en Ia placa izquierda de C2. Las mismas consideraciones aplican a! resto de los capacitores, en consecuencia se observa que la carga en cada uno de los capacitores tiene el mismo valor Q. Un solo capacitor que puede reemplazar a los tres capacitores en serie, sin afectar a! circuito, (en otras palabras que Q y V no se alteren) deberá tener una capacitancia Ceq, donde Q

V

C2

CeqV.

Ahora, como el voltaje total V a través de los tres capacitores en serie debe ser igual a Ia suma de los voltajes en cada capacitor:

V = V1+V2+V3. También se tiene que Q = C1V1, Q = C2V2, Q = C3V3, por tanto si se sustituyen V1, V2 y V3 en la ültima ecuación se obtiene

Ceq - C1

C2

C3

C2

C3

C,

C2

C3)

0 1

Ceq

=

Ci

[serie]

(24-4)

Nótese que Ia capacitancia equivalente Ceq es bastante menor que la capacitancia más pequefla del circuito. Otras configuraciones de capacitores se pueden analizar en forma similar utilizando la conservación de las cargas, simplemente en términos de conexiones en serie y paralelo.

618

CAP1TULO 24

Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energia eléctrica

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Capacitancia equivalente. Determine la capacitancia de un capacitor simple que tendrIa el mismo efecto que la combiriación de capacitores que se C. muestra en La figura 24-9. Considere que C1 = C2 = C3

C2 y C3 están conectados en paralelo, por tanto equivalen a un solo capacitor que tiene Ia siguiente capacitancia SOLUCION

C2

Cl

. a

it C3

C23 = C2 + C3 = 2C. C23 está en serie con C1, por tanto Ia capacitancia equivalente Ceq está determinada por 1

=

Ceq

1

1

C1

C23

=

+ 1

1

C

2C

=

FIGURA 24-9

Ejemplo 24-4.

3

2C


que es La capacitancia equivalente de toda Ia combinaciOn de

de aquI que Ceq = capacitores.

C2

Combinaciôn de capacitores. (a) Determine Ia capacitancia e ue ia combinación que se muestra en La figura 24-lOa (es decir, la capacitancia entre los puntos a y b). Haga C1 = 6.0 /LF, C2 = 4.0 F, C3 = 8.0 jiF. (b) Si los capacitores se cargan con una baterla de 12 V que se conecta entre los puntos a y b, determine la carga en cada capacitor y La diferencia de potencial en cada uno. .JL

HI

Cl

C3

(a) C2 y C3 están conectados en paralelo, por tanto equivalen a un solo capacitor cuya capacitancia es (ecuación 24-3) SOLUCION

1

1

1

S

S

(a)

C23 está en serie con C1, como se muestra en Ia figura 24-lOb. La capacitancia equivaLente C de toda la combinaciOn está determinada por Ia ecuaciOn (24-4)

11

b

a

C23 = C2 + C3 = 4.OtF + 8.OpF = 12.0tE

Cl

3

C23

-II

Ceq - C1 + C23 - 6.0 j.F + 12.0 LF - 12.0 ,iF De aquI que C = 12.0 F/3 = 4.0 tF.

(b) La carga total que fluye de La baterIa es Q = CV = (4.0 x 1o6F)(12v)

S

(b)

C1 y C23 transportan esta carga Q. El voltaje entre las terminales de C1 es Q C1

b

a

= 4.8 x 105C.

FIGURA 24-10

Ejemplo 24-5.

4.8 x iO- C = 8.0 V. 6.0 x 106F

El voltaje en las terminales de la combinación C23 es Q C23

4.8x105C 12.0 x

106F

Como los capacitores C2 y C3 están en paralelo, Ia siguiente relaciOn representa el voltaje en estos capacitores:

V2 = V3 = 4.OV. Las cargas en C2 y C3 son

= C2V = (4.0 x 1o6F)(4.ov) = 1.6 x 10-Ic = c3v3 = (8.0 x 10-6 F)(4.OV) = 3.2 x 105C. Para resumir:

V1 = 8.OV Q1 = 48pC Q2 = 16,u.0 V2 = 4.OV Q3 = 32/.LC. V3 = 4.OV = Q, como debe ser. cabe indicar que Q2 + Q3 =

SECCION 24-3

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Capacitores en serie y en paralelo

619

I

Capacitores reconectados. Dos capacitores C1 = 2.2 F y ccnectan en paralelo a una fuente de 24 volts, como se muestra en La figura 24-ha. Una vez que se han cargado se desconectan los capacitores de La fuente de voltaje, pero también se desconectan entre sI para despues conectarse de nuevo como se indica en Ia figura 24-lib, con las placas encontradas. Calcule Ia carga en Cada capacitor y el potencial una vez que se ha establecido el equilibrio. SOLUCION Primero se debe calcular cuánta carga se ha almacenado en cada capacitor después que estos se cargaron completamente a! voltaje de la fuente de alimentación. Utilizando la ecuación 24-i para cada capacitor se tiene: 1.L

24 V

T-'

Q21

(a) configuración inicial.

1+Q

T-'

Q21

+Q21

= C1V = (2.2,F)(24V) = 52.81tC,

(b) solamente en el instante de reconexión.

qf

iJ

1q2

(c) Poco después. FIGURA 24-11

= C2V = (1.2,aF)(24V) = 28.8C. Ahora examinamos Ia figura 24-ilb. Los capacitores están conectados en paralelo, y Ia diferencia de potencial entre ambos debe alcanzar rápidamente el mismo valor. En consecuencia, la carga no puede permanecer como se muestra en Ia figura 24-lib, pero las cargas deben modificarse por si mismas para que las placas superiores tengan cargas del mismo signo, en tanto que las placas inferiores tengan una carga opuesta como se muestra en Ia figura 24-lie. La ecuación 24-i se aplica a cada carga: q1

Ejemplo 24-6.

= C1V'

y

q2

= C2V'

donde V' es el voltaje en cada capacitor después que se han reacomodado las cargas. No se conoce el valor de q1, q2 o V', por tanto se necesita otra ecuación, Ia cual provendrá de Ia conservaciOn de cargas. Las cargas se han reacomodado entre 51, véanse las figuras 24-lib y c. La carga total en las placas superiores de ambas figuras debe ser la misma, en consecuencia q1 + q2 = - Q2 = 24.0C. Al combinar las Oltimas tres ecuaciones se obtiene: V' = (qi + q2)/(C1 + C2) = 24.0 iC/3.4 F = 7.06 V 7.1 V q1 = C1V' = (2.2F)(7.06V) = i5.5F i6/LF q2 =

C2V' = (i.21F)(7.06V) = 8.5p.F

solamente Se incluirán en las respuestas los datos más significativos.

Almacenamiento de enerqIa eléctrica Un capacitor cargado almacena energIa eléctrica, Ia energIa que almacena es igual a! trabajo que se realizO para cargarlo. El efecto neto que se obtiene al cargar un capacitor es remover Ia carga de una placa y depositarla en La otra. Esto es lo que hace una baterIa cuando se conecta a un capacitor. El capacitor no se carga en forma instantánea, necesita algOn tiempo (véase Ia secciOn 26-4). En un principio, cuando el capacitor está descargado, no se necesita ningün trabajo para mover la primera carga. Una vez que se ha acumulado cierta cantidad de carga en ambas placas, se necesita trabajo adicional para añadir más cargas del mismo signo debido a Ia repulsion eléctrica. Conforme allmenta Ia carga en Ia placa Se necesitará mayor cantidad de trabajo para depositar carga

adicional. El trabajo que se necesita para afladir una pequena cantidad de carga dq, cuando existe una diferencia de potencial V entre las placas del capacitor es dW = V dq. Como V = q/C en cualquier momento (ecuaciOn 24-1), donde C es La capacitancia, el trabajo que se necesita para almacenar una carga total Q es

W = JVdq

=

1

jqdq

=

Q2

En consecuencia se puede decir que Ia energIa "almacenada" en el capacitor es ,-2

17

cuando el capacitor C transporta las cargas +Q y -Q en sus conductores. Como Q = CV, donde V es la diferencia de potencial en las terminales del capacitor, se tiene la siguiente expresiOn

U= 620

CAPiTULO 24

-=

CV2 =

QV.


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(24-5)

EnergIa almacenada en un capacitor. Una luz de destello para cámara almacena energIa en un capacitor de 150 tF a 200 V. j,Cunta energIa eléctrica se puede almacenar? SOLUCION De la ecuación 24-5 se tiene

U = energIa = Cv2 = Cabe indicar cómo se manejan las unidades

=

()(v2) = cv =

(150 X 106F)(200V)2 = 3.OJ.

c()

= .j.

Si esta energIa se puede liberar en ioo de segundo (10-s s), Ia potencia de salida serIa equivalente a 3000 W. Resulta ütil pensar que la energIa que se almacena en un capacitor se va a almacenar en forma de campo eléctrico entre las placas. Como ejemplo vamos a calcular Ia energIa que se almacena en un capacitor de placas paralelas en términos del campo eléctrico.

De acuerdo a lo analizado anteriormente (ecuaciOn 23-4) el campo eléctrico E entre dos placas paralelas (que están cerca una de otra) es aproximadamente uniforme y su magnitud está relacionada con Ia diferencia de potencial mediante V = Ed, donde d es la distancia de separación. Adems, la ecuación 24-2 indica que C = 0A/d para un capacitor de placas paralelas. En consecuencia

u= =

CV2

1(oA)(E2d2)

e0E2Ad.

La cantidad Ad es el volumen entre las placas en el que existe el campo eléctrico E. Al dividir arnbos lados de Ia ecuación entre el volumen se obtiene la expresiOn para Ia energIa por unidad de volumen o densidad de energIa, u:

u = densidad de energIa =

0E2.

(24-6)

La energIa eléctrica por unidad de volumen que se almacena en cualquier region del espacio es proporcional at cuadrado del campo eléctrico en esa regiOn. Se obtuvo Ia ecuaciOn 24-6 para el caso especial de un capacitor de placas paralelas, pero también se

puede mostrar que la ecuación es válida para cualquier region en el espacio donde exista un campo eléctrico.

Dieléctricos En la mayor parte de los capacitores existe una capa de material aislante (que puede ser papel o plástico) que se conoce como dieléctrico, el cual se encuentra entre las placas.

Este material tiene varios propositos: antes que nada los materiales dieléctricos sufren la ruptura (permitiendo el flujo de las cargas eléctricas) con menor facilidad que el aire, en consecuencia, su uso permite la aplicación de voltajes más elevados sin que pasen las cargas entre la abertura que separa las placas del capacitor. AOn más, el uso de un dieléctrico permite que las placas se acerquen más sin que se toquen, con el consiguiente aumento en Ia capacitancia ya que d disminuye en la ecuación 24-2. Por Oltimo, se ha demostrado experimentalmente que el uso de un material dieléctrico que Ilena el espacio entre dos conductores aumenta la capacitancia en un factor K, el cual se conoce como constante dieléctrica. En consecuencia

C = KC,

(24-7)

donde C0 es la capacitancia cuando el espacio que existe entre las placas de un capacitor es el vacIo, y C es Ia capacitancia cuando el espacio entre las placas se llena con un material cuya constante dieléctrica es K. SECCION 24-5

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Dieléctricos

621

TABLA 24-1 Constantes dieléctricas (a 20° C)

Constante Rigidez dieléctrica dieléctrica (V/rn) K

Material VacIo

1.0000

Aire (1 atm) Parafina Poliestireno Hule, neopreno Vinilo (ptástico) Papel Cuarzo Aceite Vidrio (Pyrex) Porcelana

1.0006

Mica

10 x 106

2.6

24 x 106

6.7

12 x 106

2-4

50 x 106

3.7

15 x 106

4.3

4

8x106 12x106

5

14X106

7

Agua (lIquido) Titanato de estroncio

difiere muy poco de Ia capacitancia en el vacIo. La tabla 24-1 también muestra Ia rigidez

dieléctrica, que es una medida del valor mximo del campo eléctrico antes que ocurra Ia ruptura (flujo de cargas) del material dieléctrico. Para un capacitor de placas paralelas (véase la ecuación 24-2) se tiene

C = K0

3 x 106

2.2

6-8

La tabla 24-1 muestra los valores de Ia constante dieléctrica para varios materiales. Cabe indicar que para el aire (a 1 atmOsfera de presión) K = 1.0006, que difiere muy poco del valor de 1.0000 para el vacIo, en otras palabras Ia capacitancia en el aire

5x106

[capacitor de placas paralelas]

(24-8)

cuando el espacio entre las placas está completamente Ileno con un dieléctrico cuya constante dieléctrica es K. (La situación que existe cuando el dieléctrico Ilena en forma parcia! el espacio entre las placas se analiza en el ejemplo 24-9.) Debido a que Ia cantidad Ke0 aparece con bastante frecuencia en las formulas, procederemos a definir una nueva cantidad (24-9) = Ke0 Ia cual se conoce como permisividad de un material. La expresiOn de Ia capacitancia de un capacitor de placas paralelas se transforma en

C=

150x106

80 300

8x106

Note que representa Ia permisividad del espacio libre (en vacIo). La densidad de energfa almacenada en un campo eléctrico E (secciOn 24-4) en un dieléctrico está determinada por (véase La ecuaciOn 24-6)

u = K0E2 = Dos experimentos sencillos demuestran el efecto de un material dieléctrico. En el primero, figura 24-12a, se conecta el voltaje de una baterIa V0 a un capacitor como si se tratara de un dieléctrico: si Ia carga en las placas sin dieléctrico es Q0, entonces cuando se inSerta el dieléctrico, se encuentra experimentalmente (de acuerdo a Ia ley de Faraday) que La carga Q en las placas aumenta en un factor K, [voltaje constante] KQ0. Q La capacitancia ha aumentado en C = Q/V0 = KQ0/V0 = KCO3 que es la ecuaciOn 24-7. En un segundo experimento, figura 24-12b, se conecta el voltaje de una baterIa V0 a un capacitor CO3 el cual mantiene una carga Q0 = C0V0. Entonces se desconecta Ia baterIa, dejando al capacitor aislado con una carga Q0 y un voltaje V0. Luego se inserta un dieJéctrico entre las placas del capacitor. La carga permanece en Qo (no existe otro lado donde pueda ir Ia carga), pero se encontrO experimentalmente que el voltaje disminuyO en un factor K: V0

[carga constante] K Cabe indicar que Ia capacitancia cambia a C = Q0/V = Q0/(V0/K) = KQ0/V0 = KCO3 en consecuencia este experimento confirma también Ia ecuaciOn 24-7. FIGURA 24-12

Dos experimentos

con un capacitor. (a) Se inserta un dieléctrico mientras se mantiene constante el voltaje, (b) mientras se mantiene constante Ia carga.

,_'

VOT

=u v0

-

sin dieléctrico

(a) Voltaje constante

I

VOT

+o

T-°

-

sin dieléctrico

I+Q=-I-KQO v0

Q=KQ0 con dieléctrico

+Qoj.

Q0T

0'

c

batena desconectada

(b) Carga constante 622

CAP1TULO 24

Capacitancia, dieléctricos y almacenamento de energIa eléctrica

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c=

-

+QojvYQ _QoTc = KG0 se insertó el dieléctrico

El campo eléctrico en el interior de un dieléctrico también se altera. Cuando no existe dieléctrico, el campo eléctrico entre las placas de un capacitor de pJacas paralelas está determinado por Ia ecuación 23-4: E0

V0

-d

donde V0 es la diferencia de potencial entre las placas y d es la distancia de separacion de las placas. Si el capacitor está aislado de tal forma que Ia carga permanezca sin cambio en las placas cuando se inserta un dieléctrico, al momento de ilenar el espacio entre las placas, Ia diferencia de potencial cae a V = V0/K. Por tanto el campo eléctrico en el dieléctrico es V

E = ED = 0

ED =

V0

= Kd

E0

[en un dielectrico]

(24-10)

En consecuencia el campo eléctrico en el interior de un dieléctrico también se reduce por un factor que es igual a Ia constante dieléctrica. Aunque el campo se reduce en un dieléctrico (o aislante), no se reduce hasta ilegar completamente a cero como sucede en un conductor. Un capacitor de placas paralelas que esa enJ ae un material dieléctrico cuya K = 3.4, se conecta a una baterla de 100 V (figura 24-13a). Después que se ha cargado completamente el capacitor se desconecta Ia baterIa. El area de las placas es A = 4.0 m2, y están separadas por una distancia d = 4.0 mm. (a) Calcule Ia capacitancia, la carga en el capacitor, La fuerza del campo eléctrico y Ia energIa almacenada en el capacitor. (b) Si ahora se remueve el dieléctrico del capacitor Remoción del dieléctrico.

sin modificar La separaciOn entre sus placas y se considera que ninguna carga deja el capacitor (figura 24-13b), calcule los valores de Ia capacitancia, fuerza de campo eléctrico, voltaje entre las placas y Ia energIa almacenada en el capacitor. SOLUCION (a) Primero se calcula Ia capacitancia con dieléctrico: 3.4(8.85 X 10-12 C2/N m2)(4.0 m2) Ke0 A

C=

-

d

4.0X103m

A

K-3 4

j4.O m (a)

100V

0v

A

\

I d=4.0 mm

(b) FIGURA 24-13

Ejemplo 24-8.

SECCION 24-5

Dieléctricos

= 3.0x108F.

La carga Q en las placas es

Q = cv = (3.0 x 108F)(100V) = 3.0 x 106C. El campo eléctrico entre las placas es V 100V

E=

25kV/rn.

4.0X103m

d

Por ültimo, Ia energIa total almacenada en el capacitor es u = cv2 = (3.o x 108F)(100V)2 = 1.5 x 104J. (b) La capacitancia sin el dieléctrico es

C0 =

r

=

(30 x 1(Y8F

(34;

'

= 8.8 x 109F.

La carga Q no cambia, por tanto V = Q/C aumenta por un factor K = 3.4 hasta Ilegar a 340 V. El campo eléctrico es

E== V

340V

d

4.0X103m

=85kV/rn.

La energIa almacenada es u = cv2 = (8.8 x 109F)(340V2 = 5.1 x 104J. De dónde proviene toda esta cantidad adicional de energIa? La energIa aumento porque se tiene que realizar trabajo para remover el dieléctrico. El trabajo necesario fue

W = 5.1 x 104J - 1.5 x 104J = 3.6 x 104J. (Como se vera en Ia siguiente secciOn, ese trabajo es necesario debido a Ia fuerza de atracciOn entre Ia carga inducida en el dieléctrico y las cargas de las placas, véase Ia figura 24-14c.)

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623

*

DescripciOn molecular de los dieléctricos La siguiente cuestiOri Ia examinaremos desde el punto de vista molecular: ,por qué debe aumentar Ia capacitancia de un capacitor cuando se inserta un dieléctrico entre sus placas? Considérese un capacitor cuyas placas están separadas por una abertura de aire. Este capacitor tiene una carga +Q en una placa y -Q en Ia otra (figura 24-14a). El capacitor está aislado (sin conectar a una baterIa) de tal forma que no puede entrar o salir carga de sus placas. La diferencia de potencial entre las placas, V0, está determinada por la ecuaciOn 24-1: Q = C0V0, los subIndices () indican que solamente existe aire entre las placas. Ahora se inserta un dieléctrico entre las placas (figura 24-14b). Las moléculas del dieléctrico pueden ser polares, es decir, aunque las moléculas son neutrales, puede existir un momento dipolar permanente (como sucede en el agua). Debido a la presencia del campo eléctrico entre las placas, las moléculas tendermn a orientarse como se indica en la figura 24-14b, aunque no estarn perfectamente orientadas debido al movimiento térmico (véase el capItulo 18 del volumen I), pero se espera que estén alineadas en forma parcial (conforme aumenta el campo eléctrico habrá una mayor alineación de las moléculas). Aün cuando las moléculas no sean polares, el campo eléctrico entre las placas inducirá cierta separaciOn de carga en las moléculas (momento dipolar inducido). Aunque los electrones no dejen las moléculas, estos se movergn ligeramente en el interior de las moléculas hacia Ia placa positiva. Esta situaciOn se presenta en Ia figura 24-14b. El efecto neto en cualquier caso es Ia existencia de una carga neta negativa en el borde exterior del dieléctrico, que apunta hacia Ia placa positiva, y una carga neta positiva en el lado opuesto, como se indica en Ia figura 24-14c. Se puede visualizar que algunas de las lIneas de campo eléctrico no pasan a través del dieléctrico, en vez de eso termman en las cargas inducidas en la superficie del dieléctrico como se muestra en la figura. De aqul que el campo eléctrico en el interior del dieléctrico sea menor que en el aire. Ahora se puede imaginar una carga positiva de prueba en el interior del dieléctrico. Como el campo eléctrico aqul es menor, la fuerza que experimenta una carga positiva de prueba se ye reducida por un factor K (que como se vera más adelante, es igual a la constante dieléctrica). Como la fuerza en nuestra carga de prueba se reduce por un factor K, el trabajo que se necesita para moverla de una +Q

+4+

FIGURA 24-14 Vista molecular de los efectos de un dieléctrico

H.

J

-1

F

(a)

(b)

.4-

-

4 4

--

.1

4 I E0

E0

(c)

624 CAP1TULO 24

Capacitancia, dieléctricos y almacenamiento de energia eléctrica

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(d)

placa a La otra se reduce también por un factor K. (Se supone que el dieléctrico liena todo el espacio entre las placas, aun cuando Ia figura 24-14 deja cierto espacio para mostrar el campo.) El voltaje, que es el trabajo realizado por unidad de carga, también tuvo que haber disminuido por el factor K. Ahora el voltaje entre las placas es:

v=.

Ahora Ia carga en las placas, Q, no ha cambiado porque las placas están aisladas, de ahI que Q

= CV,

donde C es Ia capacitancia cuando esth presente el dieléctrico. Al combinar esta ecuaciOn con la relación V = V0/K se obtiene

QK

Q V0/K

V

V0

= KCO3

ya que C0 = Q/VO. En consecuencia se puede observar porque Ia capacitancia aumen-

ta en un factor K. Como se mostrO en la figura 24-14d, el campo eléctrico en el interior del dieléctrico ED se puede considerar como la suma vectorial del campo eléctrico E0 que generan las cargas "libres" en las placas conductoras, y el campo Efld que genera Ia carga inducida en las superficies del dieléctrico. Como estos campos tienen direcciones opuestas, es menor que E0. La relación el campo neto en el interior del dieléctrico, E0 exacta está dada por Ia ecuación 24-10:

E0 - EIfld =

ED = 0

E0

/

EIfld = E0 1

i\

- -).

El campo eléctrico entre dos placas paralelas se relaciona con La densidad de carga en la superficie, 0 (véase Ia secciOn 22-3 y el ejemplo 22-7), de acuerdo con E = Por tanto

E0 =

-

donde cr = Q/A es la densidad de carga en la superficie del conductor; Q es la carga neta en el conductor y con frecuencia se llama carga libre (ya que la carga es libre para moverse en un conductor). En forma similar, se puede definir el equivalente de Ia densidad de carga inducida en Ia superficie del dieléctrico, 0jnd EIfld =

crind

0

donde Efld es el campo eléctrico que genera La carga inducida Qfld = ofldA en Ia superficie del dieléctrico, figura 24-14d. Con frecuencia Qd se conoce como carga Iatente, ya que está en un material aislante y no tiene libertad de movimiento. Como Efld = E0(1 - 1/K) como se muestra más adelante, se tiene ind

=

-

(24ha)

K)

I

asI

QInd = Q(1

1

(24lib)

K

Como K siempre es mayor que 1, se puede ver que Ia carga inducida en el dieléctrico siempre es menor que la carga libre en cada una de las placas del capacitor. *SECCION 24-6

DescripciOn molecular de los dieléctricos

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625

d=2.00mm

Dieléctrico que Ilena en forma parcial un capacitor. El area

ce ias piacas oe un capacitor de pLacas paralelas es A = 250 cm2 y Ia separaciOn de Las placas es d = 2.00 mm. El capacitor se carga a una diferencia de potencial V0 = 150 V. Luego se desconecta Ia baterIa (La carga Q en Las placas no cambia), y se coloca entre Las pLacas una hoja de material dieléctrico (K = 3.50) que tiene Ia misma area A, un espesor I = 1.00 mm, como se muestra en Ia figura 24-15. Determine (a) La capacitancia iniciaL del capacitor con dieléctrico de aire, (b) La carga en cada una de las placas antes que se inserte el dieléctrico, (c) Ia carga que se induce en cada cara del dieléctrico después que se ha insertado, (d) eL campo eléctrico en el espacio entre cada pLaca

+Q

K= 3.50

SOLUCION

/=1.00mm FIGURA 24-15

y el dieléctrico, (e) el campo eléctrico en el dieléctrico, (f) la diferencia de potencial entre las placas después que se ha afiadido el dieléctrico, (g) Ia capacitancia después de haber colocado el dieLéctrico.

Ejemplo 24-9.

(a) Antes de coLocar el dieléctrico Ia capacitancia

C0 = E0

A

= (8.85 x 10

C2/N .rn)

X 102m2 2.00 X i0 rn)

=

111 pF.

La carga en cada placa es

Q = c0v0 = (1.11 x 10-'°F)(lSOV) = 1.66 x 108C. De La ecuaciOn 24-llb:

Qnd = Q(1

-

) = (1.66 x 108C)(1

-

3.50) = 1.19 x 108C.

El campo eLéctrico en La abertura que está entre las placas y el dieléctrico (véase La figura 24-14c) es el mismo que en La ausencia del dieLéctrico, ya que no se ha aLterado La carga en las placas. La ley de Gauss, como se aplicO en el ejempLo 22-7, se

puede utilizar aquI, lo que da E0 = o-/. 0 se puede indicar que, en ausencia del dieléctrico, E0 = V0/d = Q/C0d (ya que V0 = Q/C0) = Q/0A (ya que C0 = 0A/d) que es eL mismo resultado. Entonces

E0 =

Q

0A

=

1.66 x 108C = 7.50 X 104 V/rn. (8.85 X 1O12C2/Nm2)(2.50 X 10m)

En el dieléctrico el campo eléctrico es (ecuaciOn 24-10) ED

7.50 X i0 V/rn

E0

=

=

3.50

- 2.14 X iO V/rn.

Para obtener Ia diferencia de potenciaL en presencia deL dieléctrico se puede utiLizar Ia ecuaciOri 23-3, integrar a lo Largo de La lInea recta que es paraLeia a las IIneas de campo:

V = - JE

dl = E0(d - 1) + ED!,

que se puede simplificar a V =

Eo(

d-1+

Kj

= (7.50 X iO V/m)(1.00 X 103rn

1.00 X 103m +

3.50

= 96.4 V. En presencia del dieléctrico, La capacitancia es Q C=-= V

1.66 x 108C 96.4V

=172pF.

Cabe indicar que si eL dieléctrico LLenara eL espacio entre Las pLacas, Las respuestas a (f)

y (g) serIan 42.9 V y 387 pF, respectivamente. 626

CAPITULO 24


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Resumen El capacitor es un dispositivo que se utiliza para almacenar carga y está integrado por dos conductores separados. Ambos conductores portan cargas de Ia misma magnitud pero de signo contrario, Q. La relaciOn que existe entre esta carga y Ia diferencia de potencial V entre los conductores se conoce como capacitancia C, de tal forma que

Q = CV. La capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional a! area A de cada una de las placas e inversamente proporcionaJ a la distancia que las separa d: A

C=

La separaciOn entre los conductores alberga a un material no conductor que puede ser papel o plástico. Estos materiales se conocen como dieléctricos, además, Ia capacitancia es proporcional a una propiedad que tienen los materiales dieléctricos que se conoce como constante dieléctrica, K (que es aproximadamente igual a 1 para el aire). Para un capacitor de placas paralelas

C= donde

A

Cuando los capacitores se conectan en paralelo, la capacitancia equivalente es Ia suma de las capacitancias individuales:

Ceq = C1+C2+. Cuando los capacitores se conectan en serie, el recIproco de Ia capacitancia equivalente es igual a la suma de los redprocos de las capacitancias individuales 1

1

1

Ceq

C

C2

Un capacitor cargado almacena una cantidad de energIa que está determinada por

U = QV =

cv2

Esta energIa puede visualizarse como si estuviera almacenada en el campo eléctrico que existe entre las placas del capacitor. En cualquier campo eléctrico E que está en el espacio libre, la densidad de energia u (por unidad de volumen) es

U=

A

=

= K0 se conoce como permisividad del material

Si existe un dieléctrico, Ia densidad de energIa es

=

dieléctrico.

=

Prer U ntas L Suponga que dos conductores cercanos transportan Ia misma carga negativa. ,Puede existir una diferencia de potencial entre ambos conductores? En caso afirmativo, se puede aplicar la definiciOn de

modifica Ia diferencia de potencial? tQué sucede con el trabajo que se reaftza durante el proceso de separación de las placas?

capacitancia C = Q/V. Suponga que Ia distancia de separación, d, de las placas de un ca-

cia de potencial? (b) Se duplica La carga en cada una de las placas, y (c) se duplica Ia distancia de separación de las placas, mientras el capacitor permanece conectado a Ia baterla? Para dieléctricos que están formados pot moléculas polares, ,cómo esperarIa que se modificara Ia constante dieléctrica con relación a Ia temperatura? Considere que solo existe el capacitor de Ia figura 24-16. El capacitor está cargado y tiene placas horizontales. Si se inserta una hoja de material dieléctrico de poco espesor entre las placas, pero Ia hoja penetra a poca distancia, véase Ia flgura 24-16, en qué modificara Ia situación cuando se libere?

pacitor (de placas paralelas) noes muy pequefia si se compara con las dimensiones de las placas. ,Es de esperarse que Ia ecuaciOn 24-2 proporcione una subestimación o sobreestimación del valor real de La capacitancia? Explique su respuesta. Suponga que una de las placas de un capacitor de placas paralelas se desplazO de tal forma que el area que comparten las placas se redujo a La mitad, pero las placas siguen siendo paralelas, cOmo afecta esto a Ia capacitancia? Explique en qué forma tiene sentido Ia relaciOn que define Ia Capacitancia de un capacitor cilIndrico, ejemplo 24-2. Utilice argumentos similares a los que están después de Ia ecuación 24-2. Describa un método sencillo para determinar el valor de con Ia ayuda de un capacitor. Al conectar una baterIa a un capacitor, por qué ambas placas adquieren cargas de igual magnitud? ,Esto será válido si Ia forma o tamaflo de ambos conductores es diferente? Una hoja grande de cobre de espesor I se coloca entre las placas

paralelas de un capacitor, pero no está en contacto con las placas. Como afectará esto a Ia capacitancia? Suponga que tres capacitores idénticos se conectan a una baterfa. tAlmacenarán una mayor cantidad de energfa si se conectan en serie o en paralelo? Las placas paralelas de un capacitor aislado transportan cargas opuestas cuya magnitud es Q. Si aumenta Ia distancia de separaciOn de las placas, se requiere Ia aplicaciOn de una fuerza? ,Se

,COmo cambia la energIa en un capacitor Si: (a) se duplica Ia diferen-

Dieléctrico FIGURA 24-16

Pregunta 12. Suponga que una baterIa permanece conectada al capacitor de La pregunta 12. ,Qué sucederá cuando se quita el dieLéctrico? Se quita el dieléctrico de las placas de un capacitor mientras este ültimo permanece conectado a una baterIa. ,Qué ocurrirá con La capacitancia, las cargas en las placas, Ia diferencia de potencial, La energIa almacenada y el campo eléctrico? ,COmo se modifica La energIa que se almacena en un capacitor cuando se inserta un dieléctrico Si: (a) el capacitor está aislado de tal forma que Q no cambie, (b) el capacitor permanece conectado a una baterIa de tal forma que V no cambie?

Preguntas

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621

Se ha visto que Ia capacitancia C depende del tamaño, Ia forma y posición de dos conductores (placas),asIcomo de Ia constante dieléctrica K. Entonces, ta qué nos referimos cuando comentarnos que C es constante en Ia ecuaciOn 24-1?

Qué valor se podrfa asignar a Ia constante dieléctrica para un buen conductor? Explique su respuesta. Poder de disoluciOn del agua. El agua tiene una elevada constante dieléctrica, K = 80 (tabla 24-1), y en consecuencia tiene un profundo efecto en los materiales ya que permite que muchos sean disueltos en agua. Por ejemplo, Ia sal comOn NaCI, o cloruro de sodio,cuya estructura cristalina (véase Ia figura 24-17a) se mantiene

unida gracias a las fuerzas de atracciOn entre los jones Na y C1, pero se disuelve con facilidad cuando se surnerge en agua. Explique por qué es de esperarse que el campo eléctrico que produce cada ion se reduzca a un factor igual a Ia constante dieléctrica, es decir, analice Ia aplicaciOn que tiene La ecuaciOn 24-10 al campo de

una carga puntual en un dieléctrico, y en consecuencia explique (utilizando este modelo simple) cómo se disuelve Ia sal (véase Ia figura 24-17b).

(b) FIGURA 24-17 (a) Cristal de cloruro de sodio; (b) cloruro de sodio disuelto en agua. Pregunta 18.

Problemas (I) Las dos placas de un capacitor mantienen una carga de +2500 tC y -2500 tC respectivarnente, con una diferencia

de potencial de 950 V. i,Cuál es el valor de La capacitancia? (I) Un capacitor de 12,000 pF mantiene una carga de 28.0 X 10 C. i,Cuál es el voitaje en el capacitor? (I) La diferencia de potencial entre dos alambres paralelos que están en el aire es de 12.0 V. Los alambres transportan una carga de igual magnitud y signos opuestos de 75 pC. Cuá1 es Ia capacitancia entre ambos alambres? (I) j,Cuánta carga puede fluir de una baterfa de 12 V cuando se conecta a un capacitor de 15.6 tF? La carga de un capacitor aumenta en 16 C cuando el voltaje entre sus terminales aurnenta de 28 V a 48 V. Cuál es Ia capacitancia del capacitor? Un capacitor C1 transporta una carga Q0. Luego se conecta directarnente a un segundo capacitor C2 que en un principio estaba descargado. tQué carga transportarán cada uno de los capacitores? i,Cul será Ia diferencia de potencial en cada capacitor? (II) Se necesitan 25 J de energIa para mover una carga de 0.20 C de una placa a otra de un capacitor de 16 tF. Cuánta carga hay en cada placa? (II) Un capacitor de 2.40 F se carga a 880 V y un capacitor de

F se carga a 560 V. (a) Entonces se desconectan ambos capacitores de sus baterIas y las placas positivas se conectan una con otra, lo mismo sucede con las placas negativas. ,Cuál será la diferencia de potencial en cada capacitor y Ia carga en 4.00

cada uno? (b) i,Cuál será el voltaje y Ia carga en cada capacitor si se conectan las placas en forma invertida?

(I) Se quiere obtener un capacitor de 0.40 E ,Que area deben tener las placas si van a estar separadas por una abertura de aire de 4.0 mm? 628

CAPITULO 24

(1) ,Cuál es Ia capacitancia por unidad de longitud (F/rn) de un cable coaxial cuyo conductor interno tiene un diámetro

de 1.0 mm y Ia malla cilmndrica exterior (blindaje) tiene un diámetro de 5.0 mm? Suponga que el espacio entre ambos conductores está Ileno de aire. Determine La capacitancia de Ia Tierra, suponiendo que es un conductor esférico. Utilice Ia ley de Gauss y demuestre que E = 0 en el interior del conductor interno de un capacitor cilIndrico (véase Ia figura 24-5 y el ejemplo 24-2) asI como en Ia parte exterior del cilindro externo. (II) El aire seco se puede utilizar como dieléctrico, pero experimenta Ia ruptura si el campo eléctrico excede ci valor aproximado de 3.0 X 106 V/rn. Qué cantidad de carga se puede colocar en un capacitor (que tiene dieléctrico de aire) si el area de cada una de sus placas es 8.5 cm2? (II) Se desea obtener un campo eléctrico de 2.80 X 10 V/rn entre dos placas paralelas, cada una de las cuales tiene un area de 21.0 cm2 y están separadas por aire a una distancia de 0.250 cm. ,Qué carga debe tener cada una de las placas? (11) Considere el lImjte de una distancia de separación muy pequena para los dos cilindros de un capacitor cilmndrico (Ra - Rb en Ia figura 24-5) y demuestre que La relación que se obtuvo en el ejemplo 24-2 se reduce a La expresiOn del capacitor de placas paralelas (ecuaciOn 24-2). (II) Suponga que un capacitor transporta una carga de ± 4.2 tC y se desea obtener un campo eléctrico de 2.0 kV/mm entre las placas que están separadas por 4.0 mm de aire. ,Cuál debe ser el area de cada una de las placas? (II) ,Cuál será Ia fuerza del campo eléctrico entre las placas de un capacitor con dieléctrico de aire de 8.0 F silas placas están separadas a una distancia de 2.0 mm y cada una tiene una carga

de 72 jC? (II) Considere un capacitor esférico (ejemplo 24-3) y dernuestre lo siguiente: si La Separación entre las cubiertas es muy pequefla (ra - Tb << ra), La fOrmula se reduce a Ia expresiOn de un capacitor de placas paralelas.


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(II) Una hoja de metal de gran tamaflo y espesor I se coloca entre (y paralela a) Las placas de un capacitor de placas paralelas, véase la figura 24-3. La hoja no toca las placas, y se extiende más allá de los extremos de las placas. (a) i,Cuál será Ia capacitancia neta en términos de A, d y I? (b) Si I = i,en qué factor cambia la capacitancia cuando se inserta Ia hoja?

Seis capacitores de 1.8 tF se conectan en paralelo. i,Cuál es Ia capacitancia equivalente? ,Cuál serfa Ia capacitancia equivalente silos capacitores se conectan en serie? (1) La capacitancia de una secciOn de un circuito se reduce de 3600 pF a 1600 pF. Qué capacitancia se puede afladir a! circui-

to para producir este efecto sin tener que eliminar elementos en el circuito? Se deben modificar ciertas conexiones en el circuito para realizar lo anterior? Suponga que tres capacitores con placas paralelas, cuyas

(II) Considere tres capacitores, cuya capacitancia es 3000 pF, 5000 pF y 0.010 pE LCuales serán los valores máximo y mInmo de capacitancia que se pueden obtener con estos valores? ,COmo se conectan los capacitores en cada caso? (II) Un capacitor de 0.20 tF y otro de 0.30 F se conectan en serie a una baterIa de 9 V. Calcule (a) La diferencia de potencial

en cada capacitor y (b) Ia carga en cada capacitor. (c) Repita los incisos (a) y (b) silos dos capacitores están en paralelo. (II) En Ia figura 24-21, suponga que C1 = C2 = C3 = C4 = C. (a) Determine Ia capacitancia equivalente entre los puntos a y b. (b) Determine La carga en cada capacitor y la diferencia de

potencial en cada uno si Vab = V. (II) A partir de Ia figura 24-21, suponga que C1 = C2 = C3 = 16.0 F y C4 = 36.0 j.tF. Si Ia carga en C2 es Q2 = 12.4 tC, determine Ia carga en cada capacitor, el voltaje en cada capacitor y el voltaje Vab en toda Ia combinaciOn.

placas tienen las siguientes areas A1, A2 y A3, y separaciones d1, d2 y d3 se conectan en paralelo. Demuestre utilizando solamente Ia ecuación 24-2 que Ia ecuaciOn 24-3 es valida.

C1

C2

II

II

(II) (a) Determine La capacitancia equivalente del circuito que se muestra en Ia figura 24-18. (b) Si C1 = C2 = C3 = 14.0 uF, j,cuánta carga se almacena en cada capacitor cuando V = 25.0 V?

C3

H

Cl C2

a.

C2

C3

C4T

.b

V

FIGURA 24-18

Vab en toda Ia combinación.

(II) Un capacitor de 3.00 F y otro de 4.00 jF se conectan en serie, a su vez esta combinación se conecta en paralelo con un capacitor de 2.0 F (véase la figura 24-19). (a) j,Cuál es la capacitancia neta? (b) Si se aplica un voltaje de 26.0 V en todo el arreglo, calcule el voltaje en cada capacitor.

V0

Problemas 29,

FIGURA 24-21

(II) En la figura 24-18, suponga que C1 = C2 = C3 = 16.0 E Si Ia carga en C2 es Q2 = 24.0 tC, determine Ia carga en los capacitores restantes, el voltaje entre cada capacitor y el voltaje

3.00 j.tF

II

b

Problemas 23,

FIGURA 24-22

(II) El interruptor S de Ia figura 24-22 se conecta en Ia posiciOn inferior de tal forma que el capacitor C2 se cargue completamente al voltaje de Ia baterla V0. Luego el interruptor se conecta en La posición superior, determine Ia carga en cada capacitor después de cada conmutación. (II) (a) Determine Ia capacitancia equivalente entre los puntos a y b para la combinación de capacitores que se muestran en Ia figura 24-23. (b) Determine Ia carga en cada capacitor y el voltaje en cada uno si Vab = V.

4.00 j.F Cl

2.00 1tF

FIGURA 24-20

II C4

II

FIGURA 24-23

Problema 26.

(II) Se tienen tres placas conductoras, cada una tiene una superficie A, y se conectan como se muestra en Ia figura 24-20. (a) Los dos capacitores que se forman están conectados en serie o en paralelo? (b) Determine C en función de d1, d2 y A. Suponga que d1 + d2 es mucho menor que las dimensiones de las placas. (c) La placa intermedia se puede mover (modificando los valores de d1 y d2) para modificar Ia capacitancia. ,Cuáles serIan los valores mInimo y máximo de La capacitancia neta?

b

C2

26.0 V

Problema 25.

C3

a .-

tdi V

FIGURA 24-19

Problema 31.

30 y 44.

Problemas 32 y 33.

(II) Suponga que en el problema 32, figura 24-23, C1 = C3 = 8.0

tF, C2 = C4 = 16 F y Q3 = 30 1iC. Determine (a) La carga en los demás capacitores, (b) el voltaje en cada capacitor, (c) el voltaje Vab en Ia combinaciOn.

(II) Dos capacitores se conectan en paralelo para producir una capacitancia equivalente de 35.0 tF, pero cuando se conectan en serie Ia capacitancia equivalente es de 4.0 F. ,CuáI es La capacitancia individual de cada capacitor?

Problemas

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629

(II) En el puente de capacitancia que se muestra en Ia figura

24-24, se aplica un voltaje V0 y se ajusta el capacitor variable C1 hasta que el voltaje entre los puntos a y b es cero, de acuerdo a ). Determine Ia capaci!I Ia indicaciOn del voltImetro ( tancia desconocida C si C1 = 8.9 j.tF y los capacitores fijos son C2 = 18.0 tF y C3 = 6.0 E

(I) Se aplican 1200 V a un capacitor de 2800 pE Cuánta energla eléctrica se almacena? (I) Si existe un campo eléctrico cerca de La superficie de Ia Tierra cuya intensidad es 150 V/rn, cuánta energIa se almacena por metro cObico en este carnpo? Cuánta energIa se almacena en el carnpo eléctrico que existe entre dos placas cuadradas cuyo lado mide 8.0 cm, las cuales están separadas por una abertura de aire de 1.5 mm? Las cargas de las placas tienen magnitudes iguales de 420 C y signos contrarios.

FIGURA 24-24

Problema 35.

Dos capacitores C1 = 3200 pF y C2 = 2200 pF se conectan en serie a una baterIa de 12.0 V. Después se desconectan los Capacitores de Ia baterfa y se conectan directarnente uno con otro, placa positiva con positiva y negativa con negativa. tCuál será Ia carga en cada capacitor? Suponga que una placa del capacitor de placas paralelas se inclina de manera que Se forma un pequefio ángulo 0 con respecto a Ia otra placa, corno se indica en La figura 24-25. Determine Ia formula para C en términos de A, d y 0, donde A es el area de cada una de las placas y 0 es pequefio. Suponga que las placas son cuadradas. [Sugerencia: imagine que el capacitor está

integrado por una cantidad infinitesimal de capacitores en paralelo.]

a. C21 V

I

CIT

4J

b FIGURA 24-25

FIGURA 24-26

Problema 38.

Un capacitor de placas paralelas tiene las cargas fijas +Q y -Q. Si se duplica Ia separaciOn entre las placas. (a) tEn qué factor se modifica Ia energIa almacenada en el carnpo eléctrico? (b) i,Cuánto trabajo se debe realizar si la separación entre las placas se duplica de d a 2d? El area de cada placa es A.

(II) En La figura 24-18, sea V = 10.0 V y C = C2 = C3 = 2200 pF. i,Cuánta energIa se almacena en Ia red de capacitores? (II) i,CuáI es Ia energIa total que se almacena en la red de capacitores de Ia figura 24-21, problema 29? (II) i,Cuánta energIa debe gastar una baterIa de 12 V para cargar completamente un capacitor de 0.15 rF y otro de 0.20 iF cuando ambos se conectan (a) en paralelo (b) en serie? (c) i,Cuánta carga se tomo de Ia baterla en cada caso?

(II) (a) Suponga que se duplica el radio exterior R0 de un capacitor cilIndrico, pero Ia carga se mantiene constante. i,En qué factor cambiará La energIa almacenada? De dOnde provendra Ia energfa? (b) Repita el inciso anterior suponiendo que el voltaje permanece constante.

(II) Un capacitor de 3.0 tF se carga con una baterIa de 12 V. Después se desconecta el capacitor de Ia baterIa y se conecta a un capacitor descargado de 5.0 tF. Determine Ia energIa total airnacenada (a) antes de que se conecten ambos capacitores, (b) después que se conectaron los capacitores. (c) i,Cuál es el carnbio en Ia energIa? (d) i,Se conserva La energIa?, explique porqué. (II) i,Cuánto trabajo debe realizarse para remover La placa de metal que se encuentra entre las placas del capacitor en el problerna 19, suponiendo que: (a) La baterIa continUa conectada de tal forma que el voltaje permanece constante, (b) Ia baterla se desconecta para que Ia carga permanezca constante?

(II) (a) Dernuestre que cada una de las placas de un capacitor de placas paralelas ejerce una fuerza

Problema 37.

(III) Se aplica un voltaje V a Ia red de capacitores que se muestra en Ia figura 24-26. (a) Cuál es Ia capacitancia equivalente? [Sugerencia: suponga que existe una diferencia de potencial Vab

entre las terminales de La red, escriba las diferencias de patencial para las diversas trayectorias a través de la red, desde el punto a hacia b, en términos de cargas en los capacitores y

F

1Q2

- 20A

en Ia otra, calcule dW/dx, donde dW es el trabajo que se requie-

re para aumentar Ia reparaciOn en dx. (b) tPor qué se obtuvo una respuesta errónea al utilizar F = QE?

las capacitancias.I (b) Determine Ia capacitancia equivalente si C2 = C4 = 8.0 F y C1 = C3 = C5 = 6.0 E

630

CAPITULO 24


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(II) Repita el problema 57 (figura 24-28) pero suponga que Ia

(II) Demuestre que La energIa electrostática que se almacena en el campo eléctrico que rodea a un conductor esférico aislado de radio R que adquiere una carga neta Q es

d2. distancia de separaciOn d1 (II) Dos capacitores idénticos se conectan en paralelo y cada uno adquiere una carga Q0 cuando se conectan a una fuente de voltaje V0. Entonces se desconecta la fuente de voltaje y se inserta un dieléctrico (K = 4.0) para Ilenar cl espacio entre las placas de uno de los capacitores. Determine (a) Ia carga en cada uno de

= 8ITEOR Realice lo anterior en tres formas: (a) Use Ia ecuación 24-6 para Ia densidad de energia en un campo eléctrico [Sugerencia: considere cubiertas esféricas de espesor drl; (b) use La ecuación 24-5 considerando Ia capacitancia de una esfera aislada (secciOn 24-2); (c) calcule el trabajo que se necesita para elevar toda Ia carga Q a! infinito en partes infinitesimales dq.

los capacitores después de insertar el dieléctrico, (b) el voltaje en cada capacitor. (II) Un bloque de ancho d y constante dieléctrica K se inserta una distancia x entre las placas paralelas de forma cuadrada (de lado 1) del capacitor que se muestra en Ia figura 24-29. Determine en funciOn de x: (a) Ia capacitancia, (b) Ia energIa almacenada si Ia diferencia de potencial es V0, y (c) Ia magnitud y direcciOn de Ia fuerza ejercida en el bloque (suponga que Vo es constante).

(I) Cuál será Ia capacitancia de un par de placas circulares cuyo radio es de 5.0 cm y están separadas por 3.2 mm de mica? Cuál será Ia capacitancia de dos placas paralelas de forma cuadrada cuyo lado mide 5.5 cm, y están separadas por 1.8 mm de parafina? Un capacitor de 3500 pF con dieléctrico de aire se conecta

dI

a una baterIa de 22 V. Si se coloca un trozo de mica entre las

FIGURA 24-29

placas, Lcuánta carga fluirá de Ia baterla? (II) Suponga que el capacitor del ejemplo 24-8 permanece conectado a Ia baterIa mientras se quita el dieléctrico. CuI será el trabajo que se requiere para remover el dieléctrico en este caso? (II) ,Cuánta energIa se almacenará en el capacitor del problema 41 si se coloca mica como dieléctrico entre las placas? Suponga que Ia mica tiene un espesor de 1.5 mm (y que en consecuencia liena el espacio entre las placas).

(II) Repita el ejemplo 24-9 suponiendo que Ia baterIa permanece conectada cuando se inserta el dieléctrico. Calcule también Ia carga libre en las placas después que se ha insertado el dieléctrico (deje que esto sea Ia parte (h) del problema). (II) Demuestre que el capacitor del ejemplo 24-9 se puede considerar como el equivalente de tres capacitores conectados en serie (cuando se ha insertado el dieléctrico), y usando esta suposiciOn, demuestre que se obtiene el mismo valor de capacitancia que resultO en Ia parte (g) del ejemplo 24-9.

K2

K1

FIGURA 24-27

Problema 56.

(II) Dos dieléctricos diferentes Ilenan Ia mitad del espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas, como se muestra en la figura 24-27. Determine la formula de Ia capacitancia en términos de k1, k2, el area A de las placas y la distancia de separación d. [Sugerencia: podrfa considerar a este capacitor como si se tratara de dos capacitores en serie o en paralelo?] (II) Dos dieléctricos diferentes Ilenan Ia mitad del espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas, como se muestra en Ia figura 24-28. Determine la fOrmula de La capacitancia en términos de k1, k2, el area A de las piacas y Ia distancia de separaciOn d1 = d2 = d/2. [Sugerencia: ,podrIa considerar a este capacitor

*

(II) En el ejemplo 24-9, qué porcentaje de La energIa almacenada se mantiene en el campo eléctrico del dieléctrico?

*

(II) Usando el ejemplo 24-9 como modelo, obtenga la fOrmula de La capacitancia de un capacitor de placas paralelas cuyas placas tienen una superficie A y separación d, cuando se inserta un dieléctrico de espesor 1(1 < d) y constante dieléctrica K entre las placas.

*

(III) El capacitor que se muestra en Ia figura 24-30 se conecta a una baterIa de 90.0 V. Calcule y dibuje el campo eléctrico por todas partes entre las placas del capacitor. Calcule Ia carga libre en las placas del capacitor y Ia carga inducida en las caras de Ia placa de vidrio que sirve como dieléctrico.

como si se tratara de dos capacitores en serie o en paralelo?I

/A=1.85m2

+J_90.0V

I

3.00 mmj

J'.

d1

K2

d2

Problema 60.

b=2.00mm

Aire idrio

K=5.80

-T FIGURA 24-28

Problemas 57 y 58.

FIGURA 24-30

Problema 65.

Problemas generales Un circuito eléctrico se construyO accidentalmente utilizando un

capacitor de 5.0 tF en vez del capacitor requerido de 16.0 E (,Que puede hacer el técnico para corregir este problema?

El defibrilador cardIaco se utiliza para proporcionar una descarga al corazOn que late en forma errOtica. Este dispositivo utiliza un capacitor que se carga a 6000 V y almacena 200 J de energIa. i,Cuál es el valor de Ia capacitancia?

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Problemas generales

631

Se ensambla un capacitor hecho en casa colocando dos moldes para pay de 9 pulgadas, las cuales se separan a una distancia de 10 cm. El capacitor se conecta a las terminales de una baterIa de 9 V. Calcule (a) Ia capacitancia, (b) la carga en cada placa, (c) el campo eiéctrico en Ia mitad de Ia distancia que separa a las placas, (d) el trabajo que realiza Ia baterla para cargar las placas, (e) Lcuál de los valores anteriores sufrirá cambios Si se inserta un dieléctrico? LCOmo cambia Ia energIa almacenada en un capacitor cuando: (a) se duplica Ia diferencia de potencial, (b) se duplica La carga en cada placa, (c) se duplica Ia separación entre las placas y el capacitor continua conectado a Ia baterIa? Un capacitor de gran tamaño y capacitancia de 7.0 F ha almacenado una cantidad suficiente de energia para calentar 2.5 kg de agua de 20°C a 95°C. LCudl es la diferencia de potencial entre las placas del capacitor?

Un capacitor descargado se conecta a una baterIa de 24.0 V

hasta que se carga completamente, después se desconecta de Ia baterla. Luego Se inserta un bioque de parafina entre las placas. LCuál será el voltaje entre las placas? Se necesitan 18.5 J de energIa para mover una carga de 13.0 mC de una placa a otra en un capacitor de 12.0 j.tE ,Cuánta carga hay en cada placa? Un cable coaxial, figura 24-31, está formado por un conductor

Se utiliza una baterIa de 12.4 V para cargar un capacitor de 3.5 j.F, una vez que se ha cargado el capacitor se desconecta de Ia baterla. Luego este capacitor C1 se conecta a otro capacitor C2 que estaba inicialmente descargado. En ese rnomento el voltaje en C1 disminuye hasta 5.2 V. Lcuál es ei valor de C2?

La fuente de aiimentación de un laser de pulsos de nitrógeno tiene un capacitor de 0.060 F, cuya especificación máxirna de

voltaje es 25 kV. (a) Calcule cuánta energIa se puede almacenar en este capacitor. (b) Si ci 10 por ciento de esta energia eléctrica almacenada se convierte en energIa luminosa en forma de un pulso cuya longitud es 10 microsegundos. LCuál es la potencia del pulso del laser?

El capacitor variable del sintonizador de un radio antiguo está integrado por cuatro placas (rnóviles) conectadas entre sí, las cuales se colocan en forma alternada entre cuatro placas adicionales estacionarias, figura 24-32. Cada placa está separada de La otra por una distancia de 1.0 mm, ci dieléctrico es aire. Las placas móviies se pueden mover de tal forma que ci drea de traslape de cada placa varIa desde 2.0 cm2 hasta 9.0 cm2. (a) LL05 siete capa-

citores que se forman están conectados en serie o en paralelo? (b) Determine el intervalo de los valores de capacitancia.

interior de forma cilIndrica (alambre), cuyo radio es Rb, el cual estd rodeado por un aislante dieléctrico. A su vez, el dieléctrico estd rodeado por una malla conductora de alambre de radio Ra, la cual por lo general se conecta a tierra. (a) Determine la expresión para Ia capacitancia por unidad de longitud del cable coaxial cuyo aislante tiene una constante dieléctrica K. (b) Para un cable coaxial, Rb = 3.5 mm y Ra = 9.0 mm. La constante dieléctrica del aislador es K = 2.6. Suponga que existe un potencial de 1.0 kV entre el conductor interior y el conductor exterior (malia). Calcule Ia capacitancia por metro

\

del cable coaxial.

Malla conductora exterior, radio Ra Dieléctrico

\

1

Conductor interior de radio Rb FIGURA 24-31

Problerna 73.

El campo eléctrico entre las placas de un capacitor con dieléctrico de papel (K = 3.75) es 9.21 x i0 V/rn. Las placas están separadas por una distancia de 1.95 mm y Ia carga en cada placa es 0.475 C. Determine Ia capacitancia de este capacitor y ei area de las placas.

Un capacitor de placas paralelas (y dieléctrico de aire) está aislado con una carga ±Q en cada placa. Si Ia separación de las placas se divide a Ia rnitad y se inserta un material dieléctri-

co (cuya constante es K) entre las placas, Len qué factor se modifica Ia energIa almacenada? tA qué puede atribuirse el cambio en la energIa potencial almacenada? LCórno se cornpara el nuevo valor del campo eléctrico entre las placas con el valor original?

632 CAPTULO 24

FIGURA 24-32 Problemas 78 y 79.

Se puede construir una fuente de alimentación de alto voltaje con Ia ayuda de un capacitor variable. La construcciOn de las placas de este capacitor es similar a Ia del capacitor de Ia figura 24-32. Una versiOn de un capacitor variabie de este tipo con mayor cantidad de placas tiene una capacitancia que varIa desde 10 pF hasta 1 pF. (a) En un principio, este capacitor se carga con una fuente de 10,000 volts cuando Ia capacitancia es 10 pE

Luego se desconecta el capacitor de La fuente de alimentaciOn y ia capacitancia se reduce a 1 pF cuando se giran las placas del capacitor. LCuál es el voltaje en el capacitor? (b) LCudl serIa La principai desventaja de esta fuente de alto voltaje? Se conecta un capacitor de 150 pF en serie con otro capacitor cuya capacitancia Se desconoce. Luego este arreglo en serie se conecta a una baterIa de 25.0 V. Si el capacitor de 150 pF almacena una carga de 125 pC en sus placas. Cual es el valor de Ia capacitancia desconocida?

Un circuito contiene un solo capacitor de 330 pF que se conecta a una baterIa. Se desea que el capacitor almacene tres veces más energIa mediante la conexión de un solo capacitor adicional a! capacitor de 330 pE LCOmo se debe conectar el capacitor adicional y cual será su valor? LCuales son los valores de capacitancia efectiva que se pueden obtener al conectar cuatro capacitores idénticos, si cada uno tiene una capacitancia C?


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En el circuito de Ia figura 24-33, C1 = 1.0 MF, C2 = 2.0 F, C3 = 3.0 F y se aplica un voltaje Vab = 24 V entre los puntos a y b. Una vez que se ha cargado completamente C1, el interruptor se mueve a la derecha. (,CuáI es la carga final y Ia diferencia de potencial en cada capacitor?

C2

1-1FIGURA 24-33

i-C3

Un capacitor de placas paralelas se conecta a una baterIa de 45 V, el area de sus placas es 2.5 m2 y La separaciOn entre las placas es 3.0 mm, véase la figura 24-36. (a) Determine La carga en el capacitor, el campo eléctrico, la capacitancia y la energIa atmacenada en el capacitor. (b) Considerando que el capacitor aCm está co-

nectado a Ia baterIa, se inserta un bloque de plastIco que tiene una constante dieléctrica K = 3.6 entre las placas del capacitor, de ta.l forma que la abertura se Ilena completamente con el dieléctrico, ,cuáles son los nuevos valores de Ia carga, campo eléctrico, capacitancia y energIa almacenada en el capacitor U?

Problema 83.

A = 2.5 m2

El capacitor cilIndrico de Ia figura 24-34 está formado par cuatro cilindros concéntricos, cuyos radios respectivos son Ra, Rb, Ry Rd. Los cilindros b y c están unidos con tiras de metal corno se indica en Ia figura. Determine La capacitancia por unidad de longitud de este arreglo.

-T451

d=3.0rnm

45V+

FIGURA 24-36

K=3.6 3.Omn

Problema 87.

Una esfera conductora lisa de radio r0 transporta una carga Q. La mitad de Ia energIa almacenada en su campo eléctrico está contenida en un volumen que corresponde a un radio determinado. ,Cuál es el valor de ese radio? El papel tiene una constante dieléctrica K = 3.7 y una rigidez dieléctrica de 15 X 10° V/rn. Suponga que una hoja tIpica de FIGURA 24-34

papel tiene un espesor de 0.030 mm. Usted puede hacer un capacitor "casero" si coloca una hoja de papel tarnaflo carta

Problema 84.

(8.5 X 11) entre dos hojas de papel aluminio (figura 24-37). El

El area de las placas de un capacitor de placas paralelas es A, Ia separación entre las placas es x, y Ia carga almacenada en las placas es Q, véase Ia figura 24-35. Calcule Ia cantidad de trabajo que se necesita para duplicar Ia separaciOn de las placas a 2x, suponiendo que Ia carga permanece constante en Q. Demuestre que su respuesta es consistente con el cambio en Ia energIa que se almacena en el capacitor.

+Q x$

+Q

A\

Q FIGURA 24-35

\

A

espesor de Ia hoja de papel alurninio es 0.040 mm. (a) ,Cudl es La capacitancia C0 del capacitor? (b) (,Cuánta carga puede almacenar el capacitor antes de liegar a la ruptura del dieléctrico? (c) Dibuje un diagrama que indique cómo podrIa recubrir hojas de papel y aluminio para hacer una combinaciOn de capacitores en paralelo. Si realizara 100 de estos capacitores y conectara los extremos de las hojas en paratelo, de tal forma que obtuviera un solo capacitor cuya capacitancia fuese 1000O3 ,cuáJ serIa el espesor de este capacitor? (d) CuáI serIa el voltaje máxima que puede aplicar a este capacitor 10000 sin que ilegue a La ruptura del dieléctrico?

2x

papel

Q

Alurninio

(8x 11')

Problema 85.

Considere el uso de capacitores como celdas de memoria. Un capacitor cargado representarIa un "uno" y un capacitor descargado representarIa un "cero". Suponga que estos capacitores se fabricaron a partir de una oblea de silicio y cada uno tiene una capacitancia de 30 femto farads (1 fF = i0 F). El dieléctrico que liena el espacio entre las placas dieléctricas tiene una constante dieléctrica K = 1.00 X iO y una rigidez dieléctrica de 5.0

X iO V/rn. (a) Si el voltaje de operación es 3.0 V, ,cudntos electrones se pueden almacenar en uno de estos capacitores cuando está cargado? (b) Si no se permite un factor de seguridad, cuál serIa el espesor de Ia capa de material dieléctrico que se puede utilizar para operar a 3.0 V? (c) Utilizando el espesor del inciso anterior, cuál será el area de las placas del capacitor?

Aluminio' FIGURA 24-37

Problema 89.

En las tormentas eléctricas, Ia diferencia de potencial entre la Tierra y Ia parte inferior de las nubes puede ser tan alta coma 35,000,000 V. La parte inferior de las nubes se encuentra a una altura tIpica de 1500 m de Ia corteza terrestre, y puede tener una superficie de 110 km2. Para fines de este problema, considere a! sisterna Tierra-nube como modelo de un capacitor enorme y calcule (a) La capacitancia del sistema Tierra-nube, (b) Ia carga almacenada en el "capacitor", y (c) Ia energIa almacenada en el "capacitor".

Problemas generales

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633

El destello del filamento delgado de alambre de una lámpara incandescente es provocado por la corriente eléctrica que fluye por el filamento. La energfa eléctrica se transforma en energIa térmica (mediante las colisiones entre los electrones móviles y los átomos del alambre), lo que provoca que Ia ternperatura del alambre se eleve tanto que este Oltimo comienza a brillar. La corriente eléctrica y La potencia eléctrica en los circuitos eléctricos tienen una importancia básica en Ia vida diana. En este capItulo se analizarán tanto Ia corriente directa (cd) como Ia corriente alterna (ca), también se incluye el análisis microscOpico de Ia corriente eléctnica, asI corno un vistazo a los peligros de Ia electricidad.

Corriente eléctrica y resistencia los cuatro capItulos anteriores hemos estudiado Ia electricidad estática: las cargas eléctricas en reposo. En este capItulo comenzamos nuestro análisis de las cargas en dmovimiento, y utilizamos el concepto flujo de cargas en una corriente eléctrica.

Fn Alejandro Volta. En este retrato, Volta presenta su baterIa a Napoleon en 1801. FIGURA 25-1

En nuestra vida diana estamos familiarizados con el flujo de corriente eléctrica en alambres y otros conductores. De hecho, Ia operaciOn de Ia mayor parte de los dispositivos eléctricos depende de la corriente eléctrica: Ia corriente fluye a través del filamento en una Iámpara incandescente, fluye por el elemento calefactor de una estufa o calentador eléctricos, y desde luego existe el flujo de corriente en los dispositivos electrónicos. Las corrientes eléctricas pueden existir en conductores (alambres) al igual que en otros dispositivos, como el tubo de rayos catOdicos de un televisor o el monitor de una computadora, cuyos electrones con carga fluyen en el espacio (sección 23-9). Como ya se analizó anteriormente en las secciones 21-9 y 22-3 en el estudio de las situaciones electrostáticas, el campo eléctrico en el interior de un conductor debe ser cero (de no ser asI las cargas se moverIan). Pero cuando las cargas se mueven en un conductor, puede existir un campo eléctrico en el conductor. Sin duda se necesita un campo eléctrico para hacer que las cargas se muevan, y para mantenerlas en movimiento en cualquier conductor normal. Primero se analizará Ia corriente desde el punto de vista macroscopico: es decir, Ia corriente tal como se mide en un laboratorio. Después, se analizarán las corrientes desde el punto de vista microscOpico (teOrico) como sucede en el flujo de electrones en un alambre. Se puede controlar el flujo de las cargas con la ayuda de campos eléctricos y p0tenciales elOctricos (voltaje), conceptos que ya se han estudiado anteriormente. Para que circule corriente en un alambre, primero tiene que existir una diferencia de potencial, la cual puede provenir de una baterla. Hasta el aflo 1800, el desarrollo técnico de Ia electricidad consistIa principalmente

en Ia producciOn de cargas eléctricas por fricciOn. Todo cambiO en 1800 cuando Alejandro Volta (1745-1827, figura 25-1) inventó Ia baterfa eléctrica y produjo en consecuencia el

primer flujo estable de cargas eléctricas, es decir, una corriente eléctrica estable. 634

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La baterIa eléctrica Los eventos que ilevaron al descubrimiento de Ia baterIa son bastante interesantes. No se trata solamente de un descubrimiento muy importante, también generó un debate cientIfico famoso. En 1780, Luigi Galvarii (1737-1798), profesor de Ia Universidad de Bolonia, realizó una serie de experimentos con relaciOn a la contracción de un müsculo de una rana, este fenómeno era producido por Ia electricidad esttica. Galvani descubriO que Ia contracción del müsculo también podia producirse cuando se insertaban metales diferentes en el mtisculo de Ia rana. Galvani pensO que La fuente de Ia carga eléctrica se encontraba en el müsculo o en el nervio mismo de Ia rana, decIa que el metal simplemente transmitia Ia carga a los puntos adecuados. Cuando publicó su investigaciOn en 1791, identificó a esta carga como "electricidad animal". Muchos pensaron, incluyendo al mismo Galvani, que se habia descubierto la siempre anhelada "fuerza vital". Volta en Ia Universidad de Pavia, a 200 km de distancia, se mostraba escéptico ante los resultados de Galvani, y lIegO a pensar que Ia fuente de electricidad no se encontraba en el animal, sino en el contacto entre los metales diferentes. Volta pensO que se necesitaba un conductor hOmedo (el mOsculo de Ia rana) o humedad en el punto de contacto de los dos metales diferentes para que el circuito fuera efectivo. También observO que Ia contracción del mOsculo de La rana era un instrumento sensible para detectar Ia "tensiOn" eléctrica o "fuerza electromotriz" (sus palabras para lo que ahora liamamos potencial), de hecho es mucho más sensible que el mejor de los electroscopios que tanto él como otros cientlficos hablan desarrollado en esa época. En su investigación Volta descubrió que ciertas combiriaciones de metales produclan un efecto superior a otras, y con Ia ayuda de sus mediciones distribuyO a los metales de acuerdo a su efectividad. (Esta serie electroqulmica aOri es utilizada por los quimicos en Ia actualidad.) También descubriO que se puede utilizar carbon en lugar de uno de los metales. Luego Volta concibió su más grande contribuciOn a Ia ciencia. Entre un disco de zinc y otro de plata colocO una pieza de tela o papel impregnada en soluciOn sauna o diluida en ácido, formando asI una pila de estos discos, uno encima del otro como se indica en La figura 25-2. Esta "pila" o "bateria" producla una diferencia de potencial bastante superior. Asimismo, cuando las tiras de metal que conectaban ambos extremos de Ia pila se acercaban entre sI saltaba una chispa. Volta habla diseñado y construido La primera baterla eléctrica. Una baterla produce electricidad al transformar energla qulmica en energla eléctrica. En la actualidad hay disponibles una amplia variedad de pilas y baterlas, desde las baterlas de una lámpara de mano hasta el acumulador o baterla de un automOvil. Las baterlas más sencillas estn integradas por dos placas o barras que están hechas con metales diferentes (uno puede ser carbOn) que se conocen como electrodos. Los electrodos están sumergidos en una soluciOn, que puede ser äcido diluido, que se denomina electrolito. El nombre adecuado de este dispositivo es celda eléclrica, y varias celdas conectadas entre 51 forman una baterIa, aunque en Ia actualidad a una sola celda se le conoce como baterla. Las reacciones qulmicas que están presentes en Ia mayor parte de las celdas eléctricas son bastante complicadas. Aqul describiremos cOmo funciona una ceLda muy sencilla haciendo énfasis en los aspectos fisicos. La celda de Ia figura 25-3 utiliza ácido sulfUrico diluido como electrolito. Uno de los electrodos está hecho de carbon, y el otro de zinc. La parte de cada electrodo que está fuera de Ia soluciOn se denomiria terminal, y las conexiones a los alambres y circuitos se realizan desde Las terminales. El ácido reacciona con el electrodo de zinc y tiende a disolverlo. Cada tomo de zinc deja atrás dos electrones y eritra a la soluciOn como un ion positivo. En consecuencia el electrodo de zinc adquiere una carga negativa. Conforme se carga el electrolito con carga positiva, los electrones son sacados del electrodo de carbon. En consecuencia el electrodo de carbOn adquiere carga positiva. Como existe una carga opuesta en los dos electrodos, también se genera una diferencia de

F 111 FIGURA

25-2 Una baterIa voltaica:

tornado de Ia publicación original de Volta.

FIGURA

25-3 Celda eléctrica simple. +

Terminal Terminal Electrodo de zinc

Electrodo

de carbOn (+)

:

flA 10

I

(-)

S

tEl electroscopio más sensible de Volta podia medir cerca de 40 V por grado (angulo de separaciOn de las hojas del electroscopio). Sin embargo, Volta pudo calcular las diferencias de potencial que produclan metales diferentes cuando se ponian en contacto: para un contacto de plata-zinc, calculó aproximadamente 0.7 V, bastante cerca del valor actual de 0.78 V.

SECCION 25i

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La baterIa eléctrica

635

Aislamiento

(a) Diagrama de una pila seca ordinaria (una baterIa tamaño D). El recipiente cilIndrico de zinc está cubierto por ambos Lados; su parte inferior es plana y es Ia terminal negativa. (b) Dos pilas secas (tamano AA) conectadas en serie. Observe que La terminal positiva de una pila empuja contra La terminal negativa de la otra. FIGURA 25-4

Terminal + (parte superior del electrodo e carbon)

Electrolito (pasta)

(a)

Terminal -

Electrodo negativo (recipiente de zinc)

(b)

potencial entre las dos terminales. En una celda cuyas terminales no están conectadas, solamente se disuelve una pequefia cantidad de zinc, pero en tanto el electrodo de zinc se vuelve más negativo, cuaLquier ion positivo nuevo de zinc se atrae de vuelta a! electrodo. En consecuencia se mantiene una diferencia especIfica de potencial (o voltaje) entre las dos terminales. Si se permite que una carga fluya entre las terminales, por ejemplo en un alambre (o foco), entonces se disolverá una mayor cantidad de zinc. Despues de un tiempo, uno u otro electrodo se termina y Ia celda se "muere". El voltaje que existe entre las terminales de una baterIa depende del material de fabricación de los electrodos y de su habilidad relativa para ser disueltos o entregar electrones. Cuando dos o mOs celdas se conectan de tal forma que la terminal positiva de una se conecta a Ia terminal negativa de La otra, se dice que Las celdas están conectadas en serie y Los voltajes se suman. En consecuencia, el voltaje entre Los extremos de las dos baterlas para linterna de 1.5 V que se conectan en serie es 3.0 V, mientras que las seis celdas de 2 V de un acumulador o baterIa para automOvil dan 12 V. La figura 25-4 muestra (a) el diagrama de una pila seca comOn o baterIa para linterna que se utiliza en radios portátiLes, walkmans, linternas, etc., (b) dos baterIas en serie.

Corriente eléctrica Cuando se conecta una trayectoria conductora continua entre Las terminales de una baterIa, se forma un circuito eléctrico, figura 25-5a. En cuaLquier diagrama de un circuito, como en Ia figura 25-5b, Ia baterIa está representada por el sImbolo [sImbolo de La baterIa]

El dispositivo que es alimentado por Ia baterIa puede ser una lámpara de mano (cuyo foco está integrado por alambre muy fino que se encuentra en el interior de un bulbo de vidrio aL vacIo), un calentador, un receptor de radio, etc. Cuando se forma este circuito las cargas pueden circular por los alambres, de una terminal de La baterIa a Ia otra. Cualquier flujo de carga similar a este se denomina corriente eléctrica. La corriente eléctrica puede fluir siempre que existe una diferencia de potencial entre los extremos de un conductor, o simplemente si existen cargas opuestas en Los dos extremos de un conductor, o aUn en el vacIo.

FIGURA 25-5 (a) Circuito eldctrico simple. (b) Diagrama esquemático del mismo circuito.

-

Corriente

(a) 636

CAP1TULO 25

Corriente eléctrica y resistencia

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Dispositivo (foco)

En forma más precisa, Ia corriente eléctrica que fluye en un alambre se define como Ia cantidad neta de carga que pasa a través de toda la secciOn transversal del alambre en cualquier punto por unidad de tiempo. En consecuencia, Ia corriente promedio I se define como

I

LiQ

(25la)

donde LQ es Ia cantidad de carga que pasa a través del conductor en cualquier porción durante el intervalo de tiempo t. La corriente instantánea se define por el lImite diferencial dQ dt

(25ib)

La corriente eléctrica se mide en coulombs por segundo y recibe el nombre especial de ampere (que se abrevia amp o A), debido a los descubrimientos del fIsico Frances André Ampere (1775-1836). En consecuencia, 1 A = 1 C/s. Con bastante frecuencia se utilizan unidades más pequenas de corriente, como el miliampere (1 mA = i0 A) y el microampere (1 jA = 10-6 A). En un circuito simple que solamente tierie una trayectoria para que fluya Ia corriente, como el de Ia figura 25-5, una corriente estable en cualquier instante es la misma en un punto (digamos en el punto A) a! igual que en cualquier otro punto (por ejemplo B). Esto proviene de Ia conservación de la carga eléctrica (la carga no desaparece).

La corriente es el flujo de una carga. Una corriente estable de 2.5 A fluye en un alambre durante 4.0 minutos. (a) j,Cuánta carga circula por cual-

quier punto en el circuito? (b) Cuántos electrones circularn?

(a) Como la corriente es 2.5 A, o 2.5 C/s, entonces en 4.0 minutos (240 segundos) la carga total que fluye es, de acuerdo a la ecuación 25-1, SOLUCION

=I

t

= (2.5C/s)(240s) = 600C. (b) La carga en un electrOn es 1.60 X 10-19 C, en consecuencia una carga de 600 C incluirá

600C 1.6

x 1019 C/electrOn

- 3.8 X

1021 electrones.

Como ya se vio en el capItulo 21, los conductores pueden contener cierta cantidad de electrones libres. En consecuencia, si se conecta un alambre de longitud continua a las terminales de una baterIa, los electrones que tienen carga negativa circularán por el alambre. La primera vez que se conecta el alambre, la diferencia de potencial entre las terminales de Ia baterla producirá un campo eléctrico en el interior del alambre, el cual es paralelo al alambre. En consecuencia los electrones libres de un extremo del alambre se yen atraldos por Ia terminal positiva, y al mismo tiempo los electrones salen de Ia terminal negativa de la baterfa y entran al alambre por el otro extremo. Existe un flujo continuo de electrones en el alambre, el cual inicia tan pronto como el alambre se conecta a ambas terminales de Ia baterIa. Sin embargo, hace dos siglos cuando se determinaron las convencioneS para las cargas positivas y negativas, se asumió que las cargas positivas circulaban en un alambre. Para fines prácticos, las cargas positivas que fluyen en una direcciOn son exactamente iguales a las cargas negativas que fluyen en dirección opuesta,t como se muestra en la figura 25-6. En Ia actualidad todavIa se utiiza Ia convención histórica de corriente positiva cuando se analiza Ia direcciOn de flujo de la corriente. Por tanto cuando hablamos de la corriente que fluye en un circuito, nos referimos a la direcciOn de flujo de las cargas positivas. Lo anterior se conoce como corriente convencional. Cuando deseamos hablar de la direcciOn de flujo de los electrones, indicamos especIficamente que se trata de la corriente de electrones. En los lIquidos y gases, tanto las cargas positivas como las cargas negativas (jones) se pueden mover.

-

Cothente convencional

Flujo de electrones

IDispositivo

FIGURA 25-6 La corriente convencional que fluye de + a - es equivalente a la corriente negativa (de electrones) que fluye de - a +.

La excepciOn a este punto se analiza en Ja secciOn 27-8.

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SECCION 25-2

Corriente eléctrica

637

Lev de Ohm: resistencia" resistores Para generar corriente eléctrica en un circuito se requiere una diferencia de potencial. La Unica forma de producir una diferencia de potencial es con la ayuda de una baterIa. Georg Simon Ohm (1787-1854) estableció en forma experimental que La corriente que fluye en un alambre de metal es proporcional a Ia diferencia de potencial V que se aplica en ambos extremos del alambre: I cx V.

Si por ejemplo se conecta un alambre a una baterIa de 6 V, la corriente que fluirá será dos veces más grande si se compara con Ia corriente que fluirIa si se utiliza una bateria de 3 V. Para fines de simplicidad, se utiliza V en lugar de Vba para representar la diferencia de potencial o voltaje. También se ha determinado que el hecho de invertir ci signo del voltaje no afecta Ia magnitud de Ia corriente. Resulta ütil comparar una corriente eléctrica con ci flujo de agua en un rio, o el flujo de agua en una tuberIa debido a Ia acción de Ia gravedad. Si Ia tuberIa (o rio) tiene poco nivel, Ia rapidez del flujo scr pequeña. Pero Si Ufl extremo es ligeramente ms alto quc ci otro, Ia rapidez del flujo o corriente es mayor. Mientras mayor sea Ia diferencia en altura, Ia corriente se moverá con mayor rapidez. En ci capItulo 23 se observO que el potencial eléctrico es analogo, en el caso gravitacional, a Ia altura de una montana. Esto se aplica a la altura por la que debe fluir ci liquido. AsI como un aumento en la altura puede provocar un aumento en ci flujo del agua, de Ia misma forma un aumento en la diferencia de potencial, o voltaje, producirá un mayor flujo de corriente eléctrica. Exactamente la cantidad de corriente que fluye en un alambre depende no solo del voltaje, también est en funciOn de la resistencia que ofrece el alambre al flujo de electrones. Las paredes de una tuberIa, o Ia orilla de un rio y las rocas que se encuentran en su parte media ofrecen cierta resistencia a! flujo de Ia corriente del rio. En forma Similar, La rapidez de los electroncs disminuye debido a las interacciones con los átomos del alambre. En tanto esta resistencia sea mayor, Ia corriente será menor para un voltaje determinado V. Entonces se puede definir a Ia resistencia indicando que Ia corriente es inversamente proporcional a la resistencia, es decir:

R=-

Al -R V

(b)

V

UI

FIGURA 25-7 Gráficas de corriente contra voltaje para (a) un conductor de metal que obedece a Ia tey de Ohm, y (b) para un dispositivo no óhmico, en este caso un diodo semiconductor.

FIGURA 25-8

A

638

i

Ejemplo 25-2.

R

CAPITULO 25

B

(25-2a)

donde R es la resistencia de un alambre o cualquicr otro dispositivo, V es Ia diferencia de potenciai en ci dispositivo e I es la corriente que fluyc en ci dispositivo. Con frecuencia Ia ecuación 25-2a se escribc como

(25-2b) Como ya se mcncionó antes, Ohm descubrió cxperimcntaimcnte que en los conductores de metal R es una constante independiente de V, el resultado Se conoce como Ia ley de Ohm. También Ia ecuación 25-2b, V = IR, se conoce como ley de Ohm, pero solamentc cuando se refiere a materiales o dispositivos en los que R es una constante independicntc de V. Pero R no es una constante para muchas sustancias, como sucede en los diodos, tubos al vaclo (bulbos), transistores y dems. En consecuencia Ia "icy de Ohm" no es una icy fundamental, en vez de eso es una descripción de cierta ciase de materiales (conductores de metal). Sc dice que los materiaies o dispositivos que no cumplen Ia icy de Ohm (R = constante) son no óhmicos, véase la figura 25-7. La unidad de rcsistcncia es ci ohm y su abreviaciOn es ci simbolo fi (letra mayüscula omega dci alfabeto gricgo). Como R = V/I, se obscrva quc 1.0 ( es equivalente a 1.0 V/A.

r

("

'fl "i-" Corriente y potencial. La corricntc I entra en ci resistor R como se muestra en Ia figura 25-8. (a) ,EI potencial es mayor en ci punto A o en ci punto B? (b) ,La corriente es mayor en ci punto A o en ci punto B? RESPUESTA (a) La carga positiva sicmprc fluyc de + a -, dcl punto de mayor p0tencial al punto de menor potencial. Pensemos de nuevo en La analogIa gravitacional: una masa cacrá dcsdc ci punto dc mayor potcncial gravitacional hacia ci punto dc mcnor potcncial gravitacional. En consccuencia para ia corriente positiva I, ci punto A sc encuentra a un mayor potencial que ci punto B. (b) La conscrvaciOn de La carga requicrc quc cualquicr corriente que fiuya en ci resistor cntre por cI punto A y salga por ci punto B. La corricnte no cs utilizada por ci resistor, como sucede con un objcto quc cae debido a una diferencia de potencial gravitacional, donde el objeto no gana o pierdc masa. En consccucncia Ia corrientc es la misma en A y en B.


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Resistencia del foco de una Iámpara de mano. El foco peque(figura 25-9) consume 300 mA de su baterIa de 1.5 V. (a) Cuá1 es Ia resistencia del foco? (b) Si el voltaje disminuye a 1.2 V, 4cómo cambiará la corriente?

S0LUCION

(a) De Ia ecuación 25-2,

R=

= 5.0f.

=

Encendido

(b) Si Ia resistencia no cambia, Ia corriente será

I=

Apagado

= 0.24A,

=

o una disminución de 60 mA. En realidad la resistencia está en funciOn de Ia temperatura (sección 25-4), por tanto esta es solamente una burda aproximaciOn. Todos los dispositivos eléctricos, desde los calentadores hasta los focos de los amplificadores estereofónicos, ofrecen cierta resistencia a! flujo de Ia corriente. Los filamentos de los focos y los calentadores eléctricos están formados por una clase especial de alambre cuya resistencia es resultado de la elevaciOn de temperatura que experimenta (se calienta). En general, la resistencia de los alambres de conexión es muy pequefla en comparacion con la resistencia de los filamentos o bobinas de alambre. En Ia mayor parte de los circuitos, especialmente en los dispositivos electrOnicos, los resistores se utilizan para controlar la cantidad de corriente. La resistencia de los resistores varIa desde un ohm hasta millones de ohms (véanse las figuras 25-10 y 25-11). Los tipos principales son: resistores devanados de alambre que están formados por una bobina de alambre delgado; resistores de "composiciOn" que están formados normalmente por carbon semiconductor; resistores de pelIcula metálica. Cuando se dibuja el diagrama de un circuito, La resistencia se indica con el sImbolo

FIGURA 25-9 Lámpara de bolsillo (ejemplo 25-3). Observe cOmo se

cierra el circuito con la ayuda de Ia cinta de metal.

FotografIa de algunos resistores (en su mayorIa). FIGURA 25-10

[sImbolo del resistor]

Sin embargo, los alambres cuya resistencia es despreciable se dibujan simplemente con lIneas rectas.

Tole1odecoIosderesioNs1 MultiplE- rancia

I

r

!(

Nümero

cador

I., [egro

0

1

ii '6

1

101

c

R' ii-

uk ) i\.i k1i'

4

H Verde

5

Azul

6

io io io

S S

tI .'t I

______

106

io

Violeta

7

Gris

8

108

Blanco

9

io9

12.

(%)

112 1..,

3

Dorado

10-1

5%

Plata

10-2

10%

Sin color

Primer dIgito - Segundo dIgito Multiplicador Tolerancia (%)

20%

1 El valor de la resistencia de un resistor determinado se escribe en el exterior del resistor, o puede indicarse con un código de colores, como se muestra arriba y en Ia tabla: las primeras dos bandas de colores representan Los primeros dos dIgitos del valor del resistor, la tercera banda representa la potencia de diez a la que se debe multiplicar, y La cuarta banda es la tolerancia de fabricaciOn del resistor. Por ejemplo, un resistor cuyas bandas de colores son rojo, verde, naranja y plata tiene el siguiente valor; 25,000 fl (25 kfl), con una tolerancia del 10 por ciento. FIGURA 25-11

SECCION 25-3

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Ley de Ohm: resistencia y resistores

639

1BLA 25 -1 i

rA

P'tesistivivae

y coeficieres II de temperatura (a 20°C) Resistividad p (1. m)

Material

nducton Plata Cobre Oro Aluminio Thngsteno Hierro Platino Mercurio

Nicromel (aleación de Ni, Fe, Cr) Semiconductorest CarbOn (grafito) Germanio Silicio

Coeficiente de temperatura a (C0)

1.59 x 108

0.0061

1.68 x 1O 2.44 X 10-8

0.0068

2.65 X 10-8

0.00429

5.6 x 10-8

0.0045

9.71 x 10-8

0.00651

10.6 X 10 98 x 10 x 10 100 (3-60) X 10 (1-500) X iO 0.1-60

0.0034

0.003927

0C'Q 0.0004

-0.0005

-0.05 -0.07

Aislantes _1012

Vidrio

io

Hule

16 -iOu

valores dependen en gran medida de Ia presencia de cantidades muy pequefias de impurezas.

Resistividad Se ha demostrado en forma experimentaJ que la resistencia R de un alambre de metal es directamente proporcional a su longitud I e inversamente proporcional a su area transversal A. Es decir

R = p' A

(25-3)

donde p, la constante de proporcionalidad, se conoce como resistividad y deperide del m (véase Ia ecuamaterial que se utiliza. Los valores tIpicos de p, cuyas unidades son ciOn 25-3), para varios materiales se presentan en la columna central de Ia tabla 25-1. Los valores dependen en cierta forma de la pureza, el tratamiento térmico, Ia temperatura y otros factores. Observe que Ia plata tiene la menor resistividad y en consecuericia es el mejor conductor (aunque su costo es muy elevado). El cobre es cercano pero su costo es bastante inferior, en consecuencia resulta claro porqué Ia mayor parte de los alambres están hechos de cobre. Aunque el aluminio tiene una resistividad superior es bastante menos denso que el cobre, y por tanto es preferible que el cobre en ciertas aplicaciones, como sucede en las lIneas de transmisión, ya que su resistencia para el mismo peso es inferior que la del cobre. El recIproco de Ia resistividad es la conductividad 0,

a- = 1-,

(25-4)

y sus unidades son (flm)1

Conexión de bocinas. Suponga que desea conectar las bocinas remotas de su estéreo (figura 25-12). (a) Si cada alambre debe tener una longitud de 20 m, qué diámetro de alambre de cobre se debe utilizar para que la resistencia sea inferior a 0.10 fl por alambre? (b) Si Ia corriente en cada bocina es 4.0 A, i,cuU será la calda de voltaje en cada alambre? 640

CAPITULO 25


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SOLUCION

(a) Al resolver Ia ecuaciOn 25-3 para el area A y usar Ia tabla 25-1:

A=

1

(1.68 x

1cr8cm)(2om) = 3.4X 10m2. (0.10c)

= El area transversal A de un alambre circular se relaciona con su diámetro d de acuerdo a Ia siguiente expresiOn: A = ii-d2/4. Eritonces el diámetro debe ser como minimo

d=

4A

= 2.1

X

iO m = 2.1 mm.

(b) De V = JR se tiene

V = JR = (4.OA)(O.1OQ) = O.40V.

's-i La deformación modifica Ia resistencia. Un alambre cuya resistencia es R se estira de manera uniforme hasta que su longitud final es el doble de Ia inicial. Qué sucede con su resistenciä? RESPUESTA Si Ia longitud / se duplica entonces el area transversal A disminuye a Ia mitad, en consecuencia el volumen (V = Al) no cambia. De Ia ecuación 25-3 se observa que Ia resistencia aumentará en un factor de cuatro (2/i = 4). Lr

iji r'' 'i t"

FIGURA 25-12 Ejemplo 25-4.

' "srr'iv1's 1

La resistividad de un material depende en cierta forma de la temperatura. En general, Ia resistencia de los metales aumenta con Ia temperatura. Esto no es sorprendente, ya que a mayores temperaturas los átomos se mueven con mayor rapidez y se arreglan en una forma menos ordenada. Por tanto, es de esperarse que interfieran en mayor medida con ei flujo de electrones. Si el cambio en La temperatura no es muy grande, normalmente Ia resistividad de los metales aumenta en forma lineal con la temperatura, es decir (25-5) PT = p[i + a(T - T0)] donde Po es Ia resistividad a cierta temperatura de referencia T0 (por ejemplo 0°C o 20°C), p- es la resistividad a la temperatura T y a es el coeficiente de temperatura de Ia resistividad. En la tabla 25-1 se indican algunos valores de a. Observe que el coeficiente de temperatura de ciertos semiconductores puede ser negativo. cPor qué? Parece ser que a altas temperaturas algunos de los electrones que normalmente no están libres en el material semiconductor se liberan y pueden contribuir a incrementar Ia corriente. Por tanto, La resistencia de un semiconductor puede disminuir cuando aumenta la temperatura. Termómetro de resistencia. La variación de la resistencia eléctrica con respecto a la temperatura se puede utilizar para realizar mediciones precisas de temperatura. El platino se utiliza con mucha frecuencia ya que está relativamente libre de los efectos de Ia corrosiOn y tiene un punto de fusiOn elevado. Suponga que a 20°C Ia resistencia de un termOmetro con resistencia de platino es 164.2 l. Cuando se sumerge en cierta soluciOn determinada Ia resistencia del termOmetro es 187.4 fl. Cuá1 es La temperatura de La solución?

Como La resistencia R es directamente proporcional a Ia resistividad p. se pueden combinar las ecuaciones 25-3 y 25-5: SOLUCION

R = R0[1 + a(T - T0)]. De ahI que R0 = poL/A es la resistencia del alambre a T0 = 20°C. Al resolver esta ecuaciOn para Tse tiene (véase Ia tabla 25.1 para a)

T = T0 +

R - R0 aR0

= 20°C +

FIGURA 25-13 Se muestra un termistorjunto a una regla.

187.4c - 164.2 = 56.0°C. (3.927 X 103(C°)-')(164.2c)

El termistor es mas conveniente para ciertas aplicaciones (figura 25-13), este dispositivo está integrado por un Oxido metálico o semiconductor cuya resistencia varIa también en forma repetitiva con respecto a La temperatura. Los termistores pueden ser muy pequefios y responden con mucha rapidez a los cambios de temperatura. Otra ventaja de Los termOmetros de resistencia es que se pueden utilizar en temperaturas muy bajas o muy elevadas donde los termOmetros de gas o lIquidos son poco titiles.

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SECCION 25-4

Resistividad

641

El valor de a en Ia ecuación 25-5 puede depender de Ia temperatura, en consecuencia es importante verificar Ia validez del intervalo de temperatura para cualquier valor (por decir en un manual de referencia de datos técnicos). Si el intervalo de temperatura es amplio, Ia ecuación 25-5 no es adecuada y se necesitan términos proporcionales a! cuadrado y a! cubo de Ia temperatura, pero en general son muy pequefios excepto cuando T - T0 es grande.

Potencia eléctrica La energIa eléctrica es ütil porque se puede transformar con facilidad en otras formas de energIa. Los motores (cuya operacion se analizará en el capItulo 27) transforman energIa eléctrica en trabajo mecánico. En otros dispositivos como son los calentadores eléctricos, las estufas, tostadoras

Filamento

y secadoras de pelo, Ia energIa eléctrica se transforma en energIa térmica en una resisten-

Aislador

FIGURA 25-14

Lámpara

incandescente.

cia de alambre que se denomina "elemento calefactor". En una lámpara incandescente comün, el filamento de alambre delgado (figura 25-14) se calienta tanto que comienza a resplandecer; solamente una pequena fracción de Ia energIa se transforma en luz visible, el resto, cerca de un 90 por ciento, se transforma en energIa térmica. Los filamentos de las lâmparas incandescentes y los elementos calefactores de los aparatos electrodomésticos tienen resistencias cuyo valor tIpico va de pocos ohms a cientos de ohms. En estos dispositivos Ia energIa eléctrica se transforma a energIa térmica o luminosa, se puede decir que a nivel atOmico existen muchas colisiones entre los electrones que están en movimiento y los átomos del alambre. En cada colisiOn, parte de la energIa cinética de los electrones se transfiere al átomo con el que chocan. Como resultado, Ia energIa cinética de los átomos del alambre aumenta y en consecuencia Ia temperatura del alambre (o elemento calefactor) se eleva. La energIa térmica que va en aumento se puede transferir al aire como calor mediante conducción y convecciOn en un calentador eléctrico o a Ia comida en un horno eléctrico. Esta energia tambiéri se transfiere por radiación al pan en un tostador, o se irradia como luz. Para calcular Ia potencia que se transforma en un dispositivo eléctrico, hay que recordar lo siguiente: La energIa que se transforma cuando una carga infinitesimal dq se mueve a través de una diferencia de potencial V es dU = dqV (ecuaciOn 23-2). Si di es el tiempo que se necesita para que una cantidad de carga dq se mueva a través de una diferencia de potencial V, La potencia P, que es la rapidez con la que se transforma La energIa, es

dU di

dt

La carga que fluye por segundo, dq/dt, es La corriente eléctrica I. En consecuencia se tiene que

(25-6) Esta relaciOn general proporciona Ia potencia que se trarisforma en cualquier dispositivo,

donde I es Ia corriente que circula por el dispositivo y V es La diferencia de potencial en sus terminales. Esta expresiOn también indica Ia potencia que entrega una fuente, en este caso una baterIa. La unidad del SI para Ia potencia eléctrica es Ia misma que para cualquier clase de potencia, el watt (1 W = 1 J/s). La rapidez con Ia que se transforma Ia energIa en una resistencia R se puede ohtener a partir de V = IR, en dos maneras diferentes:

P = IV

(25-7a)

= I(IR) = 12R

(25Th)

(Vv -

(25-7c)

-

k)

-

R

Las ecuaciones 25-7b y c se aplican solamente a los resistores, en tanto que la ecuaciOn 25-7a, P = IV, se aplica a cualquier dispositivo. 642

CAPITULO 25


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L, ci ii

Luz de faro. Calcule Ia resistencia de un faro para automóvil de diseflado para operar a 12 V (figura 25-15).

SOLUCION

Como P = 40W y V = 12V, se puede utilizar Ia ecuaciOn 25-7c para

'Ri

calcular R:

V2

R

P

(12V) (40W)

3.6.

Faro de 40 W

FIGURA 25-15

Ejemplo25-7.

Esta es Ia resistencia cuando el foco brilla completamente a 40 fl. Cuando el foco está frio su resistencia es bastante inferior, como ya se vio en Ia ecuación 25-5. Como La corriente es elevada cuando la resistencia del foco es baja, los faros de los automóviles se funden normalmente justo cuando se encienden. Usted paga por Ia energIa, no por Ia potencia, en el recibo que expide Ia compaflia que suministra energIa eléctrica. Como la potencia es Ia rapidez con Ia que se transforma Ia energIa, Ia energIa total que utiliza cualquier dispositivo es sencillamerite su consumo de potencia multiplicado por el tiempo en el que está encendido. Si la potencia está en watts y el tiempo está en segundos, la unidad de energIa será el joule ya que 1 W = 1 J/s. Las compafiIas que suministran energIa eléctrica especifican normalmente Ia energIa con una unidad mucho más grande, el kilowalt-hora (kWh). Un kWh = (1000 W) (3600 s) = 3.60 x 106 j Calentador eléctrico. Un calentador eléctrico consume uria comente estable cie 15.0 A de una IInea de 120 V. ,Cuánta potencia se necesita y cul será el costo mensual (30 dIas) si el calentador opera 3.0 horas por dia y el costo de Ia energIa eléctrica es de 10.5 centavos de dOlar por kwh? SOLUCION

La potencia es

P = IV = (15.OA)(120V) = 1800W o 1.80 kW. Operar el calentador por (3.0 h/d)(30 d) = 90 h costarIa (1.80 kW) (90 h) (0.105 dólares) = $17 dólares. d. &I.M1 Descarga atmosférica. Las descargas atmosféricas (rayos) son un ejempo espectacular de las corrientes eléctricas en los fenómenos naturales (figura 25-16). Existe mucha variabilidad en las descargas atmosféricas, pero un evento tIpico puede transferir i0 J de energIa a través de una diferencia de potencial aproximada de 5 X 10 V durante un intervalo de tiempo de 0.2 s. Utilice esta informaciOn para calcular Ia cantidad total de carga que se transfiere, Ia corriente y Ia potencia promedio en el intervalo de 0.2 s.

SOLUCION

Dc Ia ecuación 23-2, Ia energIa es igual a QV, por tanto,

= 20C. La corriente en el intervalo de 0.2 s es =

20C 0.2 sec

= bOA.

Como la mayor parte de las descargas atmosféncas están integradas por varias etapas, es posible que alguna parte individual pueda transportar corrientes bastante más superiores a esta. La potencia promedio entregada es

-

energIa i0 J = tiempo 0.2 sec

FIGURA 25-16 Ejemplo 25-9: una descarga atmosférica (rayo).

=5x109W=5GW.

También se puede utilizar Ia ecuaciOn 25-7a:

P = IV = (100A)(5 >< 1ov) = 5GW. SECCION 25-5

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Potencia eléctrica

643

Resorte comprimido

Platinos de contacto

Interruptor extemo

Tira bimetálica

Platinos abiertos Tira de metal

-.

Al circuito eléctrico

Eslabón fusible

(b) Interruptor termomagnético (cerrado)

(c) Interruptor termomagnético (abierto)

FIGURA 25-17 (a) Fusibles. Cuando Ia corriente supera cierto valor, el eslabOn de metal se funde y el circuito se abre. Entonces de debe reemplazar el fusible. (b) Un interruptor termomagnético (pastiha). La corriente eléctrica pasa a un circuito a través de una tira bimetálica. Cuando Ia corriente es bastante elevada (tanto que excede el nivel de seguridad), Ia tira bimetáhica se calienta y se dobla hacia Ia izquierda de tal forma que Ia ranura que est en Ia tira de metal (que se mantiene en su lugar con la ayuda de un resorte) se corre hacia abajo hasta topar con Ia punta de ha tira bimetálica; (c) el circuito se abre en los platinos (uno de los platinos está montado en Ia tira de metal) y el interruptor exterior cambia de posición. En cuanto se enfrIa La tira bimetálica, se puede cohocar de nuevo en su posición inicial con Ia ayuda del interruptor externo.

Potencia en los circuitos residenciales

Interruptor

Lámpara incandescente 100W

Calentador eléctrico 1800 W

Receptor estereofónico

350W

Fusible

I-. Secadora de pelo 1200W

120 V

de la companIa eléctrica)

FIGURA 25-18 Conexión de electrodomésticos.

644

CAPITULO 25

Los conductores eléctricos que transportan electricidad a las lámparas y otros equipos eléctricos tieneri cierta resistencia, aunque normalmente es muy pequena. Sin embargo, si la corriente es bastante elevada, los conductores se calentarán y producirán energIa térmica con una rapidez igual a 12R, donde R es Ia resistencia del conductor. Un riesgo posible es que los alambres conductores de corriente, que estn instalados en las paredes de las edificaciones, se calienten lo suficiente como para producir un incendio. Desde luego que los alambres más gruesos tienen una resistencia inferior (véase la ecuaciOn 25-3) y en consecuencia pueden transportar una mayor cantidad de corriente, sin que se calienten tanto. Cuando un alambre transporta una corriente cuyo valor supera a su IImite de seguridad, se dice que está "sobrecargado". Para evitar Ia sobrecarga de los conductores se instalan fusibles o interruptores termomagnéticos de protección en los circuitos. Estos dispositivos son básicamente interruptores (figura 25-17) que abren el circuito cuando la corriente supera un valor determinado. Por ejemplo, un fusible o interruptor termomagnético de 20 A interrumpir el circuito cuando La corriente que circula a través de él es superior a 20 A. Si un circuito funde su fusible o acciona su interruptor termomagnético con bastante frecuencia, existen dos posibihidades: hay muchos dispositivos que consumen demasiada corriente en ese circuito; o existe una falla en alguna parte del circuito, como puede ser un "corto". Un corto o "corto circuito" significa que dos alambres se tocan entre Si (quizá debido a una falla en su aislamiento) en consecuencia ha trayectoria al flujo de corriente disminuye. En este caso Ia resistencia del circuito Será muy pequena, en consecuencia Ia corriente será muy grande. Es obvio que los corto circuitos deben arreglarse inmediatamente. Los circuitos eléctricos residenciales están diseñados para que los diversos dispositivos que pueden alimentar reciban el voltaje estándar (que normalmente es 120 Vca en Estados Unidos y Latinoamérica) que entrega ha compafiIa que genera energIa eléctrica (figura 25-18). Los circuitos y los dispositivos que alimentan se conectan en forma similar a Ia figura 25-18, y se denominan circuitos en paralelo, como veremos con más detalle en el siguiente capItulo. Cuando se funde un fusible o se desconecta un interruptor termomagnetico se debe verificar Ia corriente total que circula en ese circuito. LJLC

Se fundirá el fusible? Determine Ia corriente total que contis _.positivos de Ia figura 25-18.

SOLUCION En el circuito de Ia figura 25-18 circulan las siguientes corrientes: en Ia lam-

para I = P/V = 100 W/120 V = 0.8 A; el calentador consume 1800 W/120 V = 15.0 A, el receptor consume un máximo de 350 W/120 V = 2.9 A y la secadora de cabello consume 1200 W/120 V = 10.0 A. La corriente total que consumirian todos los dispositivos si se encendieran al mismo tiempo es:

0.8A + 15.0 A + 2.9A + 10.0 A = 28.7 A.


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Si el circuito de Ia figura 25-18 está diseñado para utilizar un fusible de 20 A, este ültimo se fundirá y se espera que esto interrumpa el flujo de corriente y La consiguiente sobrecarga de los conductores, Jo que podrIa ser suficiente para provocar un incendio. Algün dispositivo se tiene que desconectar para que Ia corriente sea inferior a 20 A, (normalmente las casas y departamentos tienen varios circuitos, cada uno de los cuales tiene su propio fusible o interruptor termomagnetico de protección, en consecuencia debe tratar de conectar alguno de los dispositivos en otro circuito). Si el circuito está diseflado para usar un fusible de 30 A, este ültimo no se fundir, si to hace es probable que exista un corto circuito (el cual estará con mayor probabilidad en el cable de conexión de alguno de los dispositivos). El tamaño y la capacidad de un fusible se seJeccionan de acuerdo con el calibre del conductor que alimenta al circuito, nunca se debe reemplazar un fusible que es adecuado para una aplicaciOn por otro de mayor capacidad. El fusible cuando se funde o el interruptor termomagnético actOan como un interruptor que generan un "circuito abierto". Un circuito abierto significa que ya no existe una trayectoria conductora completa, por tanto, cesa el flujo de corriente, como si R = oo.

Corriente alterna Cuando se conecta una baterIa a un circuito, Ia corriente fluye de manera estable en una dirección. Esta corriente se conoce como corriente directa o cd. Sin embargo, los generadores eléctricos que están en las plantas generadoras de energIa eléctrica producen corriente alterna o Ca. (Algunas veces se utilizan letras mayüsculas para abreviar CD y CA.) La corriente alterna invierte su dirección muchas veces cada segundo, y su forma de onda es del tipo senoidal, como se muestra en Ia figura 25-19. Los electrones de un alambre primero se mueven en una direcciOn y luego se desplazan en La direcciOn contraria. La corriente que suministran las companIas eléctricas a los hogares y oficinas

U

es ca, de igual forma sucede en todo el mundo. En el capItulo 31 se analizarán los circuitos de ca con sumo detalle. Como los circuitos de ca son tan comunes en la vida real, en esta sección analizaremos algunos de los aspectos más sencillos de la ca. El voltaje que produce un generador eléctrico de ca es senoidal, como se vera mas adelante. En consecuencia Ia corriente que produce también es senoidal (figura 25-19b). La expresión que define al voltaje con relaciOn al tiempo es V = VosenZ7i-ft = V0senwt. El potencial V oscila entre +V0 y -V0. V0 es el voltaje pico. La frecuenciafes el n6mero de oscilaciones completas por segundo y a = 2irf En Ia mayor parte de Estados Unidos y Canada (asI como en Ia mayor parte de Latinoamérica) La frecuencia fes 60 Hz (Ia unidad "hertz", como ya se vio en el capItulo 14, significa ciclos por segundo). En otros palses se utiliza Ia frecuencia de 50 Hz. De la ecuación 25-2, V = IR, si existe un voltaje V en una resistencia R, entonces Ia corriente I es V0 V = --senwt = I0senwt. (25-8)

I=-

La cantidad I = V0/R es la corriente pico. Se considera que Ia corriente es positiva cuando los electrones fluyen en una direcciOn y negativa cuando fluyen en direcciOn opuesta. Es claro de la figura 25-19b que La corriente alterna tiene tantos valores positivos como negativos. En consecuencia Ia corriente promedio es cero. Sin embargo esto no significa que no se necesita potencia o que no se produce calor en un resistor. Los electrones se mueven de un lado a otro, y esto genera calor. Además, Ia potencia que se entrega a un resistor R en cualquier instante es

p = 12R = IRsen2üt.

Tiempo CD

Tiemp CA

(a) Corriente directa. (b) Corriente alterna. FIGURA 25-19

Potencia entregada a un resistor en un circuito de ca. FIGURA 25-20

Como Ia corriente está al cuadrado, se observa que la potencia siempre es positiva, figura

25-20. La cantidad sen2 wi varla entre Oy 1; y no resulta difIdil demostrar que su valor promedio es como se puedeobservar gráficamente en la figura. En consecuencia La potencia

12R =!R 2 10R

promedio desarrollada P es

P=IR.

La grafica de cos2 WI contra es idéntica a Ia grafica sen2 WI de Ia figura 25-20, excepto que los puntos están desplazados (por de ciclo) en el eje del tiempo. De aquI que el valor promedio de sen2 y cos2, promediado en uno o más ciclos completos. ser el mismo: sen2wt cos2wt. De Ia identidad trigonometrica sen2O + cos2O = 1, se tiene

Tiempo

(sen2 wt) + (cos2 WI) = 2(sen2 WI) = 1. De ahI que el valor promedio de sen2 WI es

SECCION 25-7

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Corriente alterna

645

Como Ia potencia también se puede escribir como P = V2/R = (Vo/R) sen2 wt, se tiene que Ia potencia promedio es

-P =

1

O

En consecuencia el valor promedio o valor medio del cuadrado de Ia corr.iente o el voltaje es el término importante cuando se calcula la potencia promedio: j2 = I2 V2 = V. La raIz cuadrada de cada uno de esos términos es el valor rem4 (raIz cuadrática media) de Ia corriente o voltaje:

\/V2

Vrcm

(25-9a)

=

'rcm = =

= 0.707V0.

(25-9b)

Los valores rcm de V e 1 se conocen con cierta frecuencia como "valores efectivos". Son titiles porque se pueden sustituir directamente en las fOrmulas de potencia, ecuaciones 25-7, para obtener Ia potencia promedio:

P = 1R = 1cmR 1

V2 0

(25-lOa)

V2 rcm

(25-lob)

R

En consecuencia, una corriente directa cuyos valores de V e I sean iguales a los valores rcm de V e I de una corriente alterna producirán la misma potencia. Por esta ra2ón el valor rcm de Ia corriente es el que se mide o especifica con mayor frecuencia. Por ejemplo, en Estados Unidos y Canada, el voltaje estándar de Ia lIneat de ca es 120 V. El voltaje de 120 V es un voltaje rcm (Vrcm), el voltaje pico V0 es

V0 = \/Vrcm = 170V. En la mayor parte de Europa el voltaje rcm es 240 V, en consecuencia el valor pico es 340 V. Motor

Secadora de cabello.

Ventilador \ç

(a) Calcule Ia resistencia y la corrien-

piu ii uiia zadora de pelo de 1000 W (figura 25-21) que se conecta a una lInea

de 120 V. (b) !Qué sucede si se conecta a una lInea de 240 V en Gran Bretaña?

(a) Se puede aplicar Ia ecuación 25-7a utilizando los valores rem. Entonces Ia corriente rcm es SOLUCION

Resistencia (elemento calefactor)

N

Interruptor

Por tanto 1 R

Secadora de cabello. La mayor parte de Ia corriente circula por las bobinas del elemento calefactor, una resistencia simple, una pequena parte de Ia corriente pasa por el motor para hacer que gire el ventilador.

Ejemplo 25-Il.

L, V

1000W

rcm

"1rcm = 11.8 A. Luego entonces la resistencia es 120V Vrcm

= 14.4g.

8.33 A La resistencia se podrIa calcular de igual forma con los valores pico R = V0/10 = 170 V/

Cable FIGURA 25-21

P

1rcm

'rcm

11.8 A = 14.4g.

(b) Cuando la secadora se conecta a una Ilnea de 240 V, fluirá una mayor cantidad de corriente y la resistencia cambiará de acuerdo al aumento en la temperatura (sección 25-4). Pero vamos a hacer un cálculo basándonos en al misma resistencia de 14.4 fl. En este caso Ia potencia promedio entregada será

-

V2rcm

(240 V)2

= (14.4(')

= 4000W.

Este valor es cuatro veces superior a Ia especificaciOn de potencia y sin duda se puede decir que el elemento térmico (o el devanado del motor) se fundirá. AsegUrese que su secadora (o rasuradora eléctrica) tenga un interruptor de alimentaciOn de 120 V/240 V antes de Ilevarla a sus viajes a otros continentes, o utilice un transformador para viajero (secciOn 29-6).

tEl voltaje de lInea puede variar, dependiendo de Ia carga total, sin embargo Ia frecuencia de lInea (60 Hz) no varIa, su valor permanece extremadamente constante.

646

CAPITULO 25


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Análisis microscópico de Ia corriente eléctrica: densidad de corriente v velocidad de deriva Hasta ahora en este capItulo hemos analizado principalmente una visiOn macroscOpica,

y de Ia vida diana, de la corriente eléctrica. Sin embargo, se ha mencionado que de acuerdo a Ia teorIa atOmica Ia corriente que fluye en los alambres de metal es transporta-

da por los electrones que tienen carga negativa, se ha dicho además que en soluciones lIquidas la corriente también puede ser transportada por jones positivos y/o negativos. Ahora vamos a observar esta imagen microscOpica con mayor detalle. Cuando se aplica una diferencia de potencial entre los dos extremos de un alambre cuya secciOn transversal es uniforme, La direcciOn del campo eléctrico E es paralela a las paredes del alambre (figura 25-22). La existencia del campo E en el interior del alambre conductor no se contrapone a nuestro resultado anterior que indica que E = 0 en el interior de un conductor en el caso electrosttico. Pero ya no estamos tratando con el caso estático. Las cargas tienen libertad para moverse en el conductor, y debido a esto se pueden mover bajo la acción de un campo eléctrico. Si todas las cargas están en reposo, entonces E debe ser cero (electrostática). Ahora definiremos una nueva cantidad microscOpica, Ia densidad de corriente, j. Esta se define como la corriente eléctrica por unidad de area (o secciOn transversal) en cualquier punto en el espacio. Si Ia densidad de corriente j en on alambre (cuya secciOn transversal es igual a A) es uniforme en toda la secciOn transversal, entonces j se relaciona con la corriente eléctrica de acuerdo a

j=-

o

I = jA.

A

/ FIGURA

25-22 Campo eléctrico E en

un alambre con secciOn transversal uniforme A que transporta una corniente 1. La densidad de corriente es

= I/A.

(25-11)

Si Ia densidad de corriente rio es uniforme, entonces Ia relaciOn general se transforma en

(25U)

I = Ji dA,

donde dA es un elemento de la superficie e I es Ia corriente que circula en Ia superficie donde se realiza Ia integraciOn. La dirección de Ia densidad de corriente en cualquier punto es La dirección en Ia que se moverIa una carga positiva cuando se coloca en ese punto, es decir, Ia dirección de j en cualquier punto es igual a Ia direcciOn de E, figura 25-22. (Normalmente se pueden ignorar los efectos inerciales.) La densidad de corriente existe para cualquier punto en el espacio. Por otra parte, La corriente I se refiere a un conductor como on todo, y en consecuencia es una cantidad macroscOpica. La dirección de j se elige para que represente Ia dirección de flujo de la carga positiva. Sin embargo en un conductor se mueven los electrones que tienen carga negativa, por tanto los electrones se mueven en Ia direcciOn j o E (a Ia izquierda en La figura 25-22). Se puede imaginar a los electrones libres como si se estuvieran moviendo casi aleatoriamente a altas velocidades, rebotando con los tomos del alambre (algo similar a las moléculas de un gas, capItulo 18). Cuando existe un campo eléctrico en el alambre, figura 25-23, los electrones "sienten" esta fuerza y en un principio comienzan a acelerarse, pero al poco tiempo los electrones alcanzan una velocidad promedio más o menos estable (debido a las colisiones con los átomos del alambre), la coal se denomina velocidad de deriva (Vd). Normalmente Ia velocidad de deriva es bastante menor que Ia velocidad aleatoria promedio de Los electrones. Se puede relacionar a la velocidad Vd con la corriente macroscOpica I que circula en un alambre. En el tiempo t, los electrones recorrerán una distancia I = V tt en promedio. Suponga que el alambre tiene una sección transversal A. Entonces en el tiemp0 t, los electrories que están contenidos en el volumen V = Al = Avd zt pasaran a tra-

Vd

FIGURA 25-23 El campo eléctrico E en un alambre da a Los electrones en un movimiento aleatorio una velocidad

de deriva Vd.

25-24 Los electrones en el volumen Al pasarán a través de Ia secciOn transversal que se indica en un tiempo t, donde I = v-j t. FIGURA

yes de la secciOn transversal A del alambre, como se muestra en la figura 25-24. Si existen

n electrones libres (cada uno tiene una carga e) por unidad de volumen (n = entonces Ia carga total tQ que pasa a través del area A en eI tiempo It es = (nUmero de cargas, N) x (carga por partIcula) = (nV)(e) = (nAvd t)(e). En consecuencia Ia corniente en el alambre I es LQ I = neAvd. = SECCION 25-8

Vp

l=VdAt

(25-13)

Análisis microscOpico de Ia corriente eléctrica: densidad de corriente y velocidad...

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647

La densidad de corriente j = I/A es

I = -nev.

(25-14)

En Ia forma vectorial, Ia expresiOn anterior se escribe como

j = -nev,

(25-15) en este caso el signo de menos indica que La dirección del flujo de corriente (positivo) es opuesto a Ja velocidad de deriva de los electrones. Se puede generalizar Ia ecuaciOn 25-15 para un flujo de carga de cualquier tipo, corno el flujo de iones en un electrolito. Si existen varias clases de jones (que pueden incluir Los electrones Libres), cada uno con densidad n (nümero por unidad de volumen), carga q(q = -e para los electrones) y velocidad de deriva VdI, entonces Ia densidad neta de corriente en cualquier punto es

j=

(25-16)

n, q1 Vdi.

La corriente total I que circuLa a través de un area A que es perpendicular a una densidad de corriente uniforme j es

I=

nqvdA.

Velocidad de los electrones en un alambre. Un alambre de coore cuyo aiametro es 3.2 mm transporta una corriente de 5.0 A. Determine (a) La den-

sidad de corriente en el alambre y (b) La velocidad de deriva de los electrones libres. (c) Calcule La velocidad rcrn de los electrones suponiendo que se comportan como un gas ideal a 20°C. Suponga que se puede mover un electron por átorno de cobre (Los otros electrones permanecen unidos al atorno). SOLUCION (a) La sección transversal del alambre es A = 7rr2 = (3.14)(1.60 x 103rn)2 = 8.0 )< 10rn2. Entonces La densidad de corriente es I 5.0 A I

8.0 X 10m2

A

= 6.2 X iU A/rn2.

Como suponernos que solamente hay un electrOn libre por cada átorno, La densidad de Los electrones Libres, n, es Ia misma que Ia densidad de Los atornos de cobre. La masa atOmica del cobre es 63.5 uma (véase La tabla periOdica en Ia tercera de forros), por tanto 63.5 g de cobre contienen un mol o 6.02 X 1023 electrones libres. La densidad de masa del cobre (tabLa 13-1) es PD = 8.9 X i0 kg/rn3, donde p0 = rn/V. (Se utiliza Po para distinguirlo de la p de resistividad.) En consecuencia Ia cantidad de electrones Ii-

bres por unidad de volumen es N N V

=

N(lmol)

rn/p0 = m(lmol)

PD

(6.02 x 10 electrones\ (8.9 63.5 x iO- kg \ i I

X

103 kg/rn) = 8.4

X 10

8

-

Entonces de acuerdo a Ia ecuación 25-14 Ia velocidad de deriva es Vd

J

ne

6.2 X i0 A/rn2 = 4.6 X i0 m/s, (8.4 x 1028 m3)(1.6 X iO' C)

que es aproximadamente 0.05 rnrn/s. Si el modelo de los electrones libres corresponde a un gas ideal (una aproximaciOn ligeramente burda), se utiliza la ecuaciOn 18-5 para determinar La velocidad aleatoria rcm de un electrOn conforrne se desplaza /3(1.38 x 10-23 J/K)(293 K) = 1.2 X 10 rn/s. rn 9.11 x 1031 kg En consecuencia se observa que la velocidad de deriva (velocidad prornedio en La direcciOn de Ia corriente) es bastante más inferior que Ia veLocidad térmica promedio rcm de los electrones, por un factor de i09. [Nota: el resultado del inciso (c) es una subestimación. La teorIa cuántica, Los cálculos y experirnentos indican que La velocidad prornedio en el cobre es aproximadamente de 1.6 X 106 m/s.I Vrcm =

648

CAPITULO 25

/3kT

=


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La velocidad de deriva de los electrones en un alambre es rnuy lenta, es cercana a 0.05 mm/s para el ejemplo anterior, esto significa que un electron necesita 20 X iO segundos o 5.5 horas para recorrer solarnente un metro. Desde luego que esta no es Ia "rapidez" con la que viaja la electricidad: cuando usted acciona el interruptor de una lmpara, aOn si está a varios metros de distancia, esta se enciende casi en forma instantáflea, pero los carnpos eléctricos viajan esencialmente a la velocidad de Ia luz (3.0 x 108 m/s). Se puede pensar que Ia situación de los electrones en un alambre es similar a una tuberIa liena de agua: cuando entra agua a un extremo de Ia tuberIa, casi en forma inmediata el agua sale en el otro extrerno. La ecuaciOn 25-2b, V = JR se puede escribir en términos de canticlades microscOpicas como se indica a continuación. La resistencia R se escribe en términos de la resistividad p:

R= a su vez V e 1 se escriben como

I = jA y

V = El.

La Oltima relaciOn proviene de Ia ecuación 23-3, cuando se asumió que el campo eléctrico es uniforme en el interior del alambre y I es Ia longitud del alambre (o de una porciOn del mismo) donde existe Ia diferencia de potencial V. Entonces de V = JR se tiene

V = JR /

El = (jA)p por tanto

I=

l

= jpl

E = p

(25-17)

donde o- = i/p es Ia conductividad (ecuación 25-4). Para un conductor de metal, p y ano dependen de V (y por tanto tampoco de E). En consecuencia Ia densidad de corriente j es proporcional a! campo eléctrico E en el conductor. Este es el "enunciado" microScópico de la ley de Ohm, ecuaciOn 25-17, que se puede escribir en la forma vectorial como

j = crE =

p

que algunas veces se toma como Ia definición de conductividad ci y resistividad p.

Campo eléctrico en el interior de un alambre. campo eléctrico en el interior del alambre en el ejemplo 25-12?

jCul es el

SOLUCION De Ia tabla 25-1 se tiene que p = 1.68 X 10 fl rn para el cobre. Como j = 6.2 X iO A/rn2,

E = pj = (1.68 x 10 cl.rn)(6.2 X iO A/rn2) = 1.0 X 102V/m. Para fines de comparaciOn, el campo eléctrico entre las placas de un capacitor es mu-

cho mayor; en el ejemplo 24-1, E está en el orden de i0 V/rn. En consecuencia se observa que solamente se neceSita un carnpo eléctrico modesto para que fluya la corriente en casos prácticos.

SECCION 25-8

Análisis microscOpico de Ia corriente eléctrica: densidad de corriente y velocidad...

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*

Superconductividad A temperaturas muy bajas, cerca del cero absoluto, Ia resistividad (sección 25.4) de ciertos metales y compuestos o aleaciones es cero cuando se determina con técnicas avanzadas

y de alta precision. Se dice que los materiales que están en este estado son supercon-

T

Tc

FIGURA 25-25 Un material superconductor tiene una resistividad igual a cero cuando su temperatura es inferior a Tc, que es su temperatura de transición. En Tc Ia resistividad salta a un valor "normal" diferente de cero y aumenta con Ia temperatura como sucede con Ia mayor parte de los materiales, (ecuación 25-5).

ductores. Este fenómeno tue observado por primera vez por H. K. Onnes (1853-1926) en 1911 cuando enfriO mercurio por debajo de 4.2 K (-269°C). Onnes descubriO que a esta temperatura la resistencia del mercurio disminuIa en forma repentina hasta cero. En general los materiales superconductores se vuelven superconductores solamente debajo de cierta temperatura de transición T, que normalmente se encuentra a pocos grados del cero absoluto. Se ha observado que en un anillo fabricado con material superconductor Ia corriente fluye durante años en ausencia de diferencia de potencial, sin ninguna disminuciOn detectable. Las mediciones indican que Ia resistividad p de los superconductores es inferior a 4.0 X 10-25 fl m, este valor es 1016 veces más pequeflo que la resistividad del cobre, y prácticamente se considera igual a cero, véase la figura 25-25. En tiempos recientes se ha investigado bastante el fenómeno de la superconductividad para tratar de entender porqué sucede, también se ha tratado de encontrar materiales que sean superconductores a temperaturas ms razonables para reducir los costos e inconvenientes de Ia refrigeraciOn a las bajas temperaturas que se requieren. Antes de 1986 la temperatura más alta a Ia que se encontró que un material es superconductor era 23 K, para lo cual se utilizaba helio lIquido para enfriar el material. En 1987 se desarro110 un compuesto a base de itrio, bario, cobre y oxIgeno que era superconductor a 90 K.

Como esta temperatura es superior a Ia temperatura del nitrOgeno lIquido, 77 K, el nitrogeno lIquido en ebulliciOn era suficientemente frfo para mantener a! material en estado superconductor. Esta fue una hazafla importante ya que el nitrogeno lIquido se obtiene con mayor facilidad y en forma más econOmica que el helio lIquido que se necesitaba en los superconductores anteriores. Desde entonces, se han reportado superconductores a temperaturas cercanas a 160 K, aunque se trata de compuestos frágiles. Se ha realizado una investigaciOn considerable para desarrollar superconductores

FIGURA 25-26 Este tren experimental del Japón es soportado por el campo magnético que producen bobinas de corriente que se localizan debajo de los rieles (en los contenedores).

cuya T sea elevada, tanto que ya es viable la fabricaciOn de alambres que pueden transportar corrientes bastante elevadas. La mayor parte de las aplicaciones actuales utilizan un Oxido de bismuto-estroncio-calcio-cobre, que se conoce como BSCCO. El uso principal que se da a los superconductores es la generación y transmisión de corriente en electroimanes (se vera en el capItulo 27 que las corrientes eléctricas producen campos magneticos). En los imanes de gran tamaflo y material que no es superconductor, se necesita una cantidad considerable de energIa solamente para mantener La corriente, pero esta energIa se desperdicia en forma de calor. El principal problema es cOmo fabricar alambre que sea manejable y maleable a partir de BSCCO, ya que es muy quebradizo. Uria solución es incrustar filamentos del-

gados del material superconductor de alta T en una matriz de aleaciOn de metal. El principal fabricante de semiconductores de alta T incrusta los filamentos en plata; los

alambres que se obtieneri integran un cable que transporta corrientes elevadas en las 11neas de distribuciOn de energIa eléctrica en Ia ciudad de Detroit. El alambre superconductor se enrolla alrededor de un tubo que transporta nitrógeno IIquido que mantiene al BSCCO debajo de Ia temperatura de transiciOri TcLa resistencia del alambre no es igual a cero, debido a las conexiones de plata, sin embargo es bastante inferior que Ia resistencia del cable convencional de cobre. Un cable superconductor que mide 130 m y pesa 100 kg puede transportar Ia misma cantidad de corriente que un cable convencional de cobre que pesa 8000 kg. También se trabaja en motores, generadores y transformadores eléctricos que uti-

002

lizan superconductores, se espera que sean más pequenos y ligeros que los aparatos convencionales. El tamaflo y peso de los prototipos de motores que se desarrollan en la actualidad es la mitad de sus contrapartes no-superconductoras. Los materiales superconductores pueden lograr que los autos eléctricos sean una

realidad, pueden hacer que las computadoras sean mas veloces y tienen un gran potencial en los dispositivos que almacenan energIa para usarla después en Ia demanda pico. Se estudia el uso de superconductores en medios de transporte terrestre de alta velocidad: los campos magnéticos que generan imanes superconductores se utilizarIan para "levitar" vehIculos que circulan sobre rieles, de tal forma que no exista fricciOn (figura 25-26). La levitaciOn se produce gracias a la fuerza de repulsion que existe entre el imán (por decir en el tren) y las corrientes eddy que se generan en el ne! (o viceversa). 650

CAP1TULO 25


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Riesgos de Ia corriente eléctrica; corrientes de fuga Un choque eléctrico puede dañar el cuerpo humano más aün, puede ser fatal. La severidad del choque depende de Ia magnitud de Ia corriente, el tiempo que durO su actuaciOn, y Ia parte del cuerpo por La que circulO. Cualquier corriente que circule a través de los Organos vitales, por ejemplo el corazOn, es especialmente peligrosa. La corriente eléctrica hace que los tejidos se calienten y puede provocar quemaduras. La corriente también estimula los nervios y mésculos, por este motivo sentimos los choques eléctricos. La mayorIa de la gente puede "sentir" una corriente cercana a 1 mA. Las corrientes de pocos mA provocan dolor pero rara vez pueden danar a una persona saludable. Sin embargo, las corrientes superiores a 10 mA pueden provocar Ia contracción severa de los m(isculos, y por este motivo una persona puede ser incapaz de liberarse o soltar Ia fuente de corriente (digamos un alambre o aparato electrodoméstico que ha fallado). También puede ocurrir la muerte de la persona afectada debido a Ia parálisis del sistema respiratorio, sin embargo las técnicas de respiración artificial pueden revivir a Ia vIctima. Si una corriente superior a 70 mA circula a través del torso, de manera que un parte de ella pase por el corazOn durante un segundo o más, los misculos del corazOn comenzarn a contraerse en forma irregular y Ia sangre no se bombear en La forma adecuada. Esta condición se conoce como "fibrilación ventricular". Si este fenOmeno dura mucho tiempo se produce Ia muerte. Lo que resulta bastante extraño es que si la corriente es bastante mayor, en el orden de 1 A, el daño puede ser menor y la muerte por falla del corazOn es menos probablet bajo ciertas condiciones. La gravedad del choque eléctrico depende de Ia resistencia efectiva del cuerpo. Los tejidos vivos tienen poca resistencia ya que el fluido intracelular contiene iones que pueden conducir muy bien. Sin embargo, las capas externas de la pie!, cuando estan secas, ofrecen una resistencia superior. La resistencia efectiva entre dos puntos que se encuentran a extremos opuestos del cuerpo humano (cuando Ia pie! esta seca) es del orden de io a 106 fl. Sin embargo cuando Ia pie! está hümeda, su resistencia puede ser igual o inferior a iO fI. Una persona que tiene buen contacto con tierra y que al mismo tiempo toca un conductor de Ia IInea de 120 Vca con las manos mojadas, puede sufrir los efectos de una corriente

I=

= l2OmA.

Como ya se vio esto puede ser letal. La figura 25-27 muestra cOmo se cierra el circuito cuando una persona toca un conductor eléctrico. Un lado de Ia ilnea de 120 V se conecta a tierra mediante un conductor de puesta a tierra, el cuai puede estar enterrado (como lo esth una tuberla de agua). Entonces Ia corriente circula del alambre de la Ilnea de 120 V, pasa por la persona y se dirige a tierra, y circula por Ia terminal de tierra hasta llegar a Ia otra terminal de Ia fuente para cerrar el circuito. Si Ia persona de la figura 25-27 está parada sobre un buen material aislante, ya sea que utilice zapatos con sueLa de hule o esté parada en un piso de madera, entonces existirá una mayor resistencia en el circuito y en consecuencia Ia corriente que fluira será bastante inferior. Sin embargo, si Ia persona se para descaiza con los pies en Ia tierra, o se encuentra en La tina de baflo, existira un peligro considerable ya que la resistencia es bastante inferior. Cuando una persona está en la tina de baño no solo está mojada, ya que el agua está en contacto con la tuberIa de drenaje que se dirige a tierra. Por esto se recomienda ampliamente que se evite el contacto con cualquier aparato eléctrico en esta situaciOn. El principal peligro surge cuando se toca un alambre conductor cuyo aislamiento esta desgastado, o cuando el alambre está en contacto con alguna parte de metal en ci interior de un equipo eléctrico que es utilizado por una persona. ( Siempre desconecte cual-

Una persona recibe un choque eléctrico cuando cierra ci circuito. FIGURA 25-27

tAparentemente, las corrientes de mayor valor hacen que el corazón haga una pausa. Cuando se elimina Ia corriente el corazOn vuelve a funcionar a su ritmo normal. Esto puede no suceder cuando ocurre Ia fibrilación, ya que es difIcil de detener una vez que ha comenzado. La fibrilaciOn también puede ocurrir como resultado de un ataque cardiaco o una cirugla al corazOn. El clispositivo que se conoce como desfibrilador se utiliza para aplicar una corriente elevada durante un intervalo breve de tiempo al corazOn, esto provoca que el corazOn se detenga completamente para despues comenzar a latir en forma normal.

SECCION 25-10

Riesgos de Ia corriente electrica; corrientes de fuga

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651

0' Corriente

0 !

I2UV

120 V

120V 2orriente

t-1-J(b)

(a)

(c)

(a) Un aparato eléctrico que funciona normalmente con una clavija de dos terminates. (b) Corto circuito en Ia cubierta de metal, Ia cubierta no está conectada a tierra: choque eléctrico. (c) Corto circuito en Ia cubierta de metal, Ia cubierta está conectada a tierra, clavija con tres terminales. FIGURA 25-28

/ V

Cueo

I\

\humano

\

I---, FIGURA 25-29 Modelo eléctrico del cuerpo humano donde se representa como una resistencia y una capacitancia en paralelo cuando Se aplica un

voltaje.

652

CAPiTULO 25

quier aparato antes de investigar qué es to que tiene en su interior!). Algunas veces el alambre que est en el interior de un dispositivo se rompe o su aislamiento se deteriora y se pondrá en contacto con la cubierta del mismo dispositivo. Si la cubierta es de metal, esta conducirá Ia electricidad. En esta circunstancia cuatquier persona podrá sufrir un choque con el simple hecho de tocar la cubierta, como se indica en Ia figura 25-28b. Para evitar un accidente, se supone que las cubiertas de metal se tienen que conectar directamente a tierra, para que no estén al mismo potencial del conductor "vivo". En este caso, si un alambre "vivo" toca la cubierta (que está conectada a tierra) ocurrirá inmediatamente un corto circuito a tierra en el interior del equipo, como se muestra en Ia figura 25-28c; la mayor parte de la corriente circulará por el alambre de puesta a tierra que ofrece baja resistencia en vez de pasar a través de Ia persona. AUn más, el exceso de corriente fundirá inmediatamente el fusible o activará el interruptor termomagnetico de protecciOn del circuito. La conexiOn a tierra de Ia cubierta de metal se realiza con Ia ayuda de un cable independiente de conexiOn a tierra que se conecta a Ia terminal redonda (Ia tercera) de una clavija de tres terminales. La conexión a tierra de la cubierta de metal también se puede realizar con la ayuda de un adaptador de clavijas de tres terminates a dos terminates, en este caso se tiene que utilizar un contacto polarizado que debe estar conectado a tierra en Ia forma adecuada. El cuerpo humano actüa como si tuviera una capacitancia en paralelo con su resistencia (figura 25.29). Una corriente de cd puede pasar a través de Ia resistencia, no asI de Ia capacitancia. En la rama capacitiva también puede existir una corriente alterna, como las corrientes cambiantes que se analizaron en Ia secciOn 25-7. Debido a Ia trayectoria adicionat para el flujo de corriente, Ia corriente de ca para un voltaje determinado Vrcm será superior que para el mismo voltaje de cd. En consecuencia un voltaje de ca es más peligroso que un voltaje de cd. Las corrientes de fuga representan otro petigro. Las corrientes de fuga son cualquier corriente que circuta por una trayectoria imprevista. Con frecuencia las corrientes de fuga tienen acoplamiento capacitivo. Por ejemplo, el alambre de una lámpara forma un capacitor con Ia cubierta de metal; las cargas que se mueven en un conductor atraen o repelen a las cargas en et otro conductor, en consecuencia existe una corriente. Las normas etéctricas limitan el valor de las corrientes de fuga a 1 mA para cuatquier clase de dispositivo. En condiciones normales una corriente de fuga de 1 mA es inofensiva, sin embargo puede ser muy peligrosa para un paciente que está hospitalizado y conectado a electrodos que a su vez se dirigen a tierra a través de un equipo medico. Esto es porque la corriente puede pasar directamente por el corazón si se compara con la situaciOn normal cuando La corriente entra por las manos y se dirige a todas las partes del cuerpo. Aunque se necesita una corriente de 70 mA para provocar Ia fibrilaciOn del corazOn cuando La corriente entra por las manos (aunque en realidad una fracción muy pequefla de Ia corriente que entra circula por el corazOn en este caso), se sabe que una corriente tan baja como 0.02 mA puede provocar La fibrilación cuando circula directamente por el corazOn. En consecuencia cualquier paciente que esté "conectado" se encuentra bajo un riesgo considerable debido a las corrientes de fuga, acm con el simple hecho de tocar una Iámpara.


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Resumen La baterla eléctrica opera como una fuente de cliferencia de potencial a! transforniar Ia energIa quImica en energIa eléctrica. Una baterIa simple está formada por dos electrodos de diferentes materiales, los cuales están sumergidos en una solución o pasta que se denomina electrolito. La corriente eléctrica I se refiere a Ia rapidez de Ilujo de las cargas eléctricas y se mide en amperes (A): 1 A es igual a el flujo de 1 C/s en un punto deterrninado. La dirección de flujo de Ia corriente convencional es Ia de las cargas positivas. Sin embargo en un alambre, lo que en realidad se mueve son los electrones que tienen carga negativa, por tanto fluyen en dirección contraria a la dirección de Ia corriente convencional. La corriente convencional positiva siempre fluye del potencial más alto al potencial ms bajo. La resisteilcia R de un dispositivo se define mediante Ia siguiente relaciOn V

IR,

donde I es la corriente que fluye en el dispositivo cuando aplica una diferencia de potencial V en sus terminales. Para el caso de los metales, R es una constante independiente de V (en consecuencia I o V), el resultado es Ia popular ley de Ohm.

y para los resistores se puede expresar como

p = 12R = La energIa total que se transforma en cualquier disposi-

tivo es igual al producto de Ia potencia y el tiempo en el que opera el dispositivo. En el SI Ia energIa se indica en Joules

(1 J = I W s), pero las companIas que suministran energIa eléctrica utilizan una unidad más grande, el kilowatthora (1 kWh = 3.6 x 106 J). La corriente eléctrica puede ser del tipo corriente directa (cd) cuando La corriente fluye de manera estable en una di-

rección, o puede ser corriente alterna (ca) cuando la corriente invierte su direcciOn a una frecuencia determinada,f, que normalmente es de 60 Hz. Normalmente las corrientes alternas tienen una forma de onda senoidal con respecto al tiemp0, 1 = I0senan, donde w = 2irf, y son producidas por un voltaje alterno. Los valores rem de las corrientes y voltajes a]ternos están determinados por las siguientes expresiones respectivamente,

La unidad de resistencia es el ohm (1), donde 1 fl = 1

'rcrn =

V/A. Véase Ia tabla 25-2.

'0

V0 Y

Vrcrn

=

donde I y V0 son los valores pico. La relaciOn de potencia, TABLA 25-2

Corriente ifereT-la de pot encia ntencia -

P = IV = IR = V2/R es válida para Ia potencia promedio

Resumen de unidades

1A=1( s 1

sisten cia

1 V = I J/C 1W

en los circuitos de corriente alterna cuando se utilizan los valores rcm de V e I.

a

La densidad de corriente j es Ia corriente por sección

IJ/s

icI=ii 'A

La resistencia R de un alambre es inversamente proporcional a su secciOn transversal A, y directamente proporcional a su longitud I y a una propiedad de los materiales que se denomina resistividad R = p1/A. Para los metales, Ia resistividad p aumenta con la temperatura, pero en los semiconductores disminuye. La velocidad con Ia que se transforma Ia energIa eléctrica en un resistor a otras formas de energIa (p. ej. calor o luz) es igual a! producto de Ia corriente por el voltaje. Es decir, Ia potencia transformada (medida en watts) está determinada por

P = lv

transversal. Desde un punto de vista microscópico, Ia densidad de corriente se relaciona con La cantidad de portadores de carga por unidad de volumen (n), su carga y su yelocidad de deriva Vd de acuerdo a Ia siguiente expresión El campo eléctrico en el interior de un alambre se j= relaciona con j de acuerdo a j = o-E, donde o = i/p es Ia conductividad.

A temperaturas muy bajas, ciertos materiales se vuelven superconductores, esto significa que su resistencia eléctrica es cero.

Los choques eléctricos son provocados por Ia corriente que circula a través del cuerpo humano. Para evitar los choques eléctricos, se debe evitar que el cuerpo forme parte del circuito eléctrico, para esto se debe evitar el contacto de las diferentes partes del cuerpo humano con objetos que se encuentran a diferentes potenciales.

Preguntas Las baterIas de los automóviles están especificadas en ampe-

res hora (A.h) Que aspecto de Ia baterIa es el que se espe-

En el automOvil se dice que una de las terminales de Ia baterIa se conecta a tierra. Como en realidad no está conectada a tierra fIsica, que significa esta expresiOn?

nes salen de La terminal negativa del mismo. Pero en el interior de Ia pila, los electrones fluyen hacia Ia terminal negativa.

Cuando usted abre una have de agua, es normal que el agua fluya en forma inmediata. Usted no tiene que esperar a que el agua fluya desde Ia entrada de Ia tuberIa hasta Ia salida de La have, ,por qué no? Sucede algo similar cuando conecta un

cifica? Cuando Se conecta una pila eléctrica a un circuito, los electro-

Explique. Desarrolle una analogIa entre Ia circulación sanguInea y un circuito eléctrico. Analice qué elemento juega el papel de corazón en el caso eléctrico.

alambre a las terminales de una baterIa? Dos alambres, uno de cobre y otro de aluminio, con Ia misma longitud, pueden tener ha misma resistencia? Explique.

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Preguntas

653

Un sólido de forma rectangular está hecho de carbon y tiene Iados cuya longitud es a, 2a y 3a. (,Cómo conectarIa los alambres que provienen de la baterIa para obtener (a) Ia menor resistencia, (b) Ia mayor resistencia?

La ecuación P = V2/R indica que Ia potencia disipada en un resistor disminuye si aumenta Ia resistencia, en tanto que Ia ecuación P = 12R indica lo contrario. Existe una contradicciOn? Explique.

,Qué le sucede a un foco (lámpara incandescente) cuando se quema el filamento? Explique porqué los focos casi siempre se queman cuando se encienden y no después que han estado encendidos durante cierto tiempo. Qué consume mayor cantidad de corriente, un foco de 100 W o un foco de 75 W? LCuál de los dos tiene mayor resistencia? La potencia eléctrica se transmite a grandes distancias a voltajes muy elevados. Explique por qué el uso de voltajes elevados reduce las pérdidas de potencia en las lineas de transmisiOn. ,Por qué resulta peligroso reemplazar un fusible de 15 A que se funde constantemente por otro de 20 A? Cuando las lámparas eléctricas operan a bajas frecuencias, por ejemplo 10 Hz, se puede observar que parpadean, j,por qué sucede esto?

Cuando se energizan con ca, los mismos electrones van y vienen a través de La lámpara de escritorio, una y otra vez. Explique por qué Ia lámpara permanece encendida en lugar de apagarse después del primer ir y venir de los electrones. El elemento calefactor de un tostador de pan estO fabricado con alambre Nicromel. ,,1nmediatamente después que se enciende el tostador, Ia corriente que circula en el alambre (Ircm) aumenta, disminuye a permanece constante? Explique. jSe consume Ia corriente cuando circula por un resistor? Se conecta un voltaje V a través de un alambre de longitud I y radio p. ,COmo se ye afectada Ia velocidad de deriva de los electrones cuando (a) se duplica el radio (b) se duplica el voltaje? Compare las velocidades de deriva y las corrientes eléctricas en dos alambres que son geométricamente idénticos y Ia densidad de los átomos es similar en ambos, pero Ia cantidad de electrones libres por Otomo en el material de un alambre es dos veces mayor que en el otro. ,Por qué es más peligroso encender un aparato electrodoméstico cuando se está parado en el patio con los pies desnudos en cornparaciOn a cuando se esta en el interior de una casa con zapatos y suelas de goma?

Problemas (I) Una corriente de 1.50 A fluye en un alambre. ,Cuántos electrones fluyen en un punto determinado durante cada segundo? La carga de un electrOn es 1.60 X 10_19 C. (I) En una estaciOn de servicio se carga una bateria a razón de 5.7 A durante 7.0 horas. ,Cuánta carga ha pasado a Ia baterIa?

(II) Un pájaro se posa en una IInea de transmisión eléctrica de cd que transporta 2500 A (figura 25-30). La resistencia de Ia Iinea es 2.5 x i0 ohms por metro y las patas del pOjaro estdn separadas por 4.0 cm. ,Cuál es Ia diferencia de potencial que siente el pájaro?

(I) Cuál es Ia corriente en amperes si 1000 iones Na fluyen a través de Ia membrana de una célula durante 7.5 j.s? La carga en el sodio es igual a Ia carga del electrOn, pero con signo positivo.

(I) Cuál será Ia resistencia de un tostador de pan si produce una corriente de 4.2 A cuando se conecta a 110 V? ,Qué voltaje producirá una corriente de 0.25 A que fluye por un resistor de 3000 ft? Un dispositivo eléctrico consume 5.50 A a 110 V. (a) Si el voltaje disminuye en un 10 por ciento, ,cuál será Ia corriente suponiendo que nada más se modifica? (b) Si Ia resistencia del dispositivo se reduce en un 10 por ciento, j,qué corriente se consumirá a 110 V? (II) Una baterla de 9.0 V se conecta a un foco cuya resistencia es 1.6 fi. ,Cuántos electrones saten de Ia baterIa cada segundo?

(II) Si una baterIa de 12 V produce una corriente de 0.50 A cuando circula por un resistor, Lcul es La resistencia del resistor? ,Cuántos joules de energIa pierde Ia baterla cada minuto? (II) Una secadora de cabello consume 7.5 A cuando se conecta a una Ilnea de 120 V. (a) Cuál es su resistencia? (b) ,Cuánta carga circula por Ia secadora durante 15 niinutos? (Suponga que se conecta a cd.)

654

CAPiTULO 25


(1) ,,CuáI será el diámetro de un alambre de tungsteno que tiene una longitud de 1.00 m si su resistencia es 0.22 fi? Cuál serO La resistencia de un alambre de cobre si su longitud es 3.5 m y su diámetro es 1.5 mm? Compare la resistencia de 10.0 m de alambre de aluminio cuyo diámetro es 2.0 mm con un alambre de cobre que mide 20.0 m y tiene un diámetro de 2.5 mm. (II) Un alambre de cobre cuyo diámetro es 2.5 mm puede tener La misma resistencia que un alambre de tungsteno de Ia misma longitud? (II) La resistencia de cierto alambre de cobre es 10.0 11. En qué punto se debe cortar el alambre para que Ia resistencia de una pieza de alambre sea 5.0 veces Ia resistencia de la pieza restante de alambre? i,CuáL serO Ia resistencia de cada pieza de alambre?


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(II) Cuánto tiene que aumentar Ia temperatura de un alambre de cobre (que en un inicio era de 20°C) para que su resistencia aumente un 20 por ciento?

(II) Cierta longitud de alambre de aluminio se conecta a una

-

(111) Un resistor cilIndrico y hueco cuyo radio interior es r,, radio exterior es r2 y longitud 1, está fabricado con un material cuya resistividad es p (figura 25-32). (a) Demuestre que Ia resistencia está dada por

fuente de voltaje de precisiOn que entrega 10.00 V, Ia corriente

que se mide en forma precisa es 0.4212 A a 20°C. Luego ci alambre se coloca en un nuevo ambiente cuya temperatura es desconocida, en este caso la corriente es 0.3618 A. ,Cuál es la

temperatura desconocida? (II) tA qué temperatura eL cobre tendrá Ia misma resistividad que el tungsteno a 20°C? (II) Una lámpara de 100 W tiene una resistencia de 12 12 cuando está apagada (a 20°C) y 140 11 cuando está encendida. Calcule Ia temperatura del filamento cuando Ia lámpara está encendida si el coeficiente de temperatura promedio de Ia resistividad es a = 0.0060 (°C)-'.

R=

p

2irl

r2

In-r1

para la corriente que fluye en forma radial hacia el exterior. [Sugerencia: divida el resistor en cubiertas cilIndricas y concéntnicas y luego integre.] (b) Evalüe Ia resistencia R para un resistor similar fabricado con carbon cuyo radio interior es 1.0 mm, radio exterior es 1.8 mm y longitud es 3.0 cm. (c) ,Cuá1 será Ia resistencia en La parte (b) para Ia corriente que fluye de manera paralela al eje?

(II) Un cuerpo sólido rectangular que está hecho de carbon descansa en los ejes x, y y z. La longitud de sus lados es 1.0 cm, 2.0 cm y 3.0 cm respectivamente (figura 25-31). Determine Ia resistencia a! paso de corriente que fluye en el sOlido en (a) La direcciOn x, (b) en La dirección y, y (c) en Ia direcciOn z. Suponga que Ia resistividad es p = 3.0 X 10 12 m. FIGURA 25-32

(III) Determine Ia formula para Ia resistencia total de una cubierta esférica que está fabricada con un material cuya conductividad es o-, radio interior r1 y radio exterior r2. Suponga que Ia corriente fluye de manera radial hacia el exterior. (III) El filamento de una lOmpara tiene una resistencia de 12 12 a 20°C cuando está apagado y 140 12 cuando está encendido (como en el problema 19). (a) Calcule Ia temperatura del filamento cuando está caliente, y tome en consideración el cambio en Ia longitud y el area del filamento debido a Ia expansion térmica (suponga que el tungsteno tiene un coeficiente de expansion térmica de c5 X 10 °C-'). (b) En este intervalo de temperatura, i,cual será el porcentaje de cambio en Ia resistencia debido a Ia expansiOn térmica? Cuál será el porcentaje de cambio en la resistencia debido solamente al cambio en p? Utilice Ia ecuación 25-5.

I 2.0 cm

x

z

/ 1.0 cm

Problema 24.

FIGURA 25-31

Problema 20.

(II) Una longitud de alambre se corta a La mitad y las dos mita-

des se unen de extremo a extremo para obtener un alambre más grueso. j,Cómo se compara la resistencia de esta nueva combinaciOn con la resistencia del alambre original?

(II) En ciertas aplicaciones es importante que el valor de un resistor no vane con Ia temperatura. Por ejemplo suponga que se obtiene un resistor de 4.70 k12 cuando se conectan un resistor de carbOn y un resistor devanado de alambre Nicromel, de tal forma que Ia resistencia total sea Ia suma de las resistencias independientes. ,Cuál debe sen el valor de los resistores (a 0°C) para que Ia combinación sea independiente de la temperatura? (II) (a) Demuestre lo siguiente: en un alambre recto que descansa en el eje x y tiene una sección transversal A, Ia rapidez con Ia que fluyen las cargas es

dq

=

dV

donde dV/dx es el gradiente de potencial y s es Ia conductividad. (b) Realice una analogia con Ia conducciOn de calor (capftub 19). tEsperaria que o- y k (conductividad térmica) estén relacionadas?

(I) Cuál serO el consumo mOximo de potencia de una reproductora portátii de casetes que se alimenta con 9.0 V y consume una corriente maxima de 350 mA?

(I) El elemento térmico de un horno eléctrico está disenado para producir 3.1 kW de calor cuando se conecta a una fuente de 240 V. LC1IOI debe ser Ia resistencia del elemento calefactor? (I) Cuál será ci voltaje máximo que se puede aplicar a un resistor de 5.4 k12 que estO especificado a de watt? (I) ,Una secadora de pelo tiene dos funciones: 600 W y 1200 W. (a) i,En qué funciOn se espera que Ia resistencia sea mayor? Des-

pues de responder, determine Ia resistencia en (b) Ia potencia

minima y (c) en La potencia mOxima. (I) (a) Cuál serO Ia resistencia y La corriente que circula por un

foco de 60 W si se conecta a una fuente adecuada de voltaje de 120 V? (b) Repita bo anterior para un foco de 150 W. (I) Suponga que adquiere un foco de 60 W en Europa, donde Ia electricidad doméstica es 240 V. Si utili.za el foco en Estados Unidos donde el voltaje es 120 V (suponiendo que Ia resistencia del foco no cambia), cOmo será Ia brillantez con relaciOn a los focos de 60 W y 120 V? Calcule Ia potencia consumida.

Problemas

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(II) Cuántos kWh de energIa consume un tostador de 550 W que se utiliza en Ia mañana durante 10 minutos? Si ci costo de Ia energIa es de 12 centavos por kWh, qué cantidad representará en el recibo mensual que envIa La compañIa eléctrica si el tostador se utiliza cinco veces a Ia semana? (II) Si el kWh cuesta 11 centavos, cuánto cuesta dejar encendido un foco de 60 W en Ia entrada de una casa dIa y noche durante un año? (II) ,Cuál es Ia cantidad total de energIa que se aimacena en una baterIa de automóvil que opera a 12 V y tiene una capacidad de 90 A h cuando está completamente cargada? (II) La corriente maxima en un transistor que se va a utilizar en

un circuito está especificada como 20 mA a 9.0 V. (a) Cuá1 es Ia patencia maxima que puede aceptar eJ transistor? (b) tCuál será el limite de corriente Si el voltaje aplicado es solamente 7.0 V? (II) ,Cuántos focos de 100W se pueden conectar a una lInea de 120 V (coma se indica en La figura 25-18) sin que se funda ci fusible de 2.5 A? (11) Cuái será Ia eficiencia de un motor eléctrico de 0.5 hp que consume 4.6 A de una iInea de 120 V? (II) Una planta de energIa entrega 520 kW de cnergIa a una fa-

brica a través de alambres que tienen una resistencia total de

3.0 fl. ,Cuánta energia se desperdicia si Ia electricidad se entrega a 50,000 V en vez de 12,000 V? Un horno de 2800 W se conecta a una fuente de 240 V. (a) Cuál es La resistencia dcl horno? (b) Cuánto tiempo se necesitará para hervir 100 ml de agua suponiendo quc Ia eficiencia del horno es del 80 par cienta? (c) ,Cuánto costará lo anterior Si ci kWh cuesta diez ccntavos? La corriente que circula en un electroimán que se conecta a una lInea de 240 V es 14.5 A. A qué rapidez debe circuiar ci agua de enfriamiento en las bobinas de enfriamiento si la ternperatura del agua no debe aumentar en más de 6.50°C? (III) Un calentador pequeño dci tipo inrnersiOn se puede utiLizar en un autornóvil para calentar una taza de café o de agua. Si ci calentador puede caLentar 150 mi de agua de 5°C a 95°C en 6.0 minutoS aproximadarnente, cuánta corriente tomará de ia bateria de 12 V y cuui será Ia resistencia del caientador? Suponga que La eficiencia del calentador es del 60 por ciento.

(I) Calcule La corriente pico en un resistor de 1.8 kfl quc se conecta a una fuente de 120 Vrcrn. (I) Un voltaje de ca, cuyo vaior pica es 180 V, se apiica entre las terminales de un resistor de 330 fl. Cuái es ci valor de las corrientes pica y rcrn en ci resistor?

,Cuái será La rcsistcncia de ios circuitos dc su casa, vista desde Ia cornpanIa que surninistra energIa eléctrica, cuando (a) to-

dos los dispositivos eléctricos están apagados, (b) soiamentc cstá encendido el foco dcl patio de 75 W?

El valor pica de una corriente alterna que circula par un dispositivo de 1500W es 6.0 A. ,Cuál es el voltajc rcm en cL dispositivo?

(II) Caiculc ci voltaje pica y La corriente pico en una soldadora dc arco dc 1800 W que se conecta a una IInca de 450 Vca.

(II) ,Cuál scrá La potcncia instantánca maxima quc se disipa, y Ia corriente maxima quc circula en una bomba de 3.0 hp que se conecta a una IInca de 240 Vca?

(II) Una bobina calefactora que se conccta a La lInea de 240 Vca tienc una resistencia de 38 fl. (a) ,Cuál será La patencia promcdio que se utiliza? (b) CuáIes scrán Los valores máxirno y minima de La potencia instantánea?

(II) Suponga que La carriente está dcfinida par La ccuaciOn I = 1.80 sen 2101, donde I cstá en amperes y t en segundos. (a) ,Cuái cs la frccuencia? (b) LCuáI es el valor rcm de Ia carriente? (c) Si csta es Ia corricntc quc circula par un resistor de 42.0 1, ,cuál scrá La ccuación que describe el voltajc en función dci tiempo?

(11) Un alambre de cobre cuyo diárnctro es 0.55 mm transporta una corriente de 2.5 ptA. Calcule (a) La velocidad de deriva de Los electrones en el alambre, (b) La densidad de corriente y (c) ci campo eléctrico.

(II) Un alambre cuya Longitud CS 5.00 m y diárnetro 2.0 mm transporta una corriente de 750 mA cuando se aplica un voltaje de 22.0 rnV en sus extremos. Si La velocidad dc deriva que se ha medido (dc acuerdo ai efecto Hall, secciOn 27-8) es 1.7 X i0 rn/s determine (a) La rcsistencia R del alambre, (b) Ia resistividad p, (c) La densidad de corriente j, (d) ci campo eLéctrico en ci

interior dcl alambre y (e) Ia cantidad de electrones Libres (n) par unidad de volumen. En un punto par encirna de La atrnósfera de La Tierra, Los jones Hc2* (en una concentraciOn de 2.8 X 1012/m3) se mueven hacia el norte a una veLocidad de 2.0 X 106 rn/s. Tarnbién una concentraciOn de 8.0 x 10"/rn3 ioncs O se mueve hacia ci sur a una velocidad de 7.2 x 106 rn/s. Determine la magnitud y di-

rección de Ia densidad de corriente j en este punto.

Problemas qenerales Cuantos couiombs hay en 1.00 ampere-hora? Una persona sale de su autornOvil y por accidente deja las lu-

ces encendidas. Si cada uno de los faros es de 40 W, las dos luces traseras son de 6 W, para un total de 92 W, Lcuánto tiempo durará La carga de una baterfa nueva dc 12 V si cstá cspccificada a

90 A h? Suponga que en cada foco aparece ci voltaje complcto de 12.0 V.

,Cuál cs Ia corriente promedio quc consume un motor de 1.5 hp, 120 V?

La conductancia G dc un objcto se define corno ci recIproco de Ia resistencia R, es decir, G = hR. La unidad de conductancia

es ci mho (= ohrn). que también se denornina siemens (5). aCuai será La conductancia (en siemens) de un dispositivo que

consume 800 mA a 12.0 V? 656

CAPiTULO 25

Un alambre de 10 rn esta integrado par 5.0 m de cobre seguidos de 5.0 rn de aLuminio de igual diárnetro (ambas son de 1.0 mm). Sc conccta una diferencia de potencial de 25 V en todo el alambre. (a) ,Cuál es Ia resistencia total dcl alambre? (b) i,CuáI es

Ia carriente que fIuye en el alarnbre? (c) i,Cuai es el valtajc en Ia sección de alurninio y en La secciOn dc cobre?

Una lárnpara de mano utiliza dos pilas tamaño D de 1.5 V conectadas en serie, corno en el circuito de Ia figura 25-4b. El faco consume 350 mA cuando se enciende Ia Iámpara. (a) Calcule Ia resistcncia del foco y Ia potcncia que disipa. (b) LEn qué factor aumentará La potencia si se canectan cuatro pilas tarnaflo D en scric con el mismo foco (Los efectos de calentarniento en el fiLamento son despreciables)? LPor qué no se debe hacer La anterior?

Corrente eléctrica y resistencia

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El elemento calefactor de un calentador de 110 V, 900 W tiene

un longitud de 5.4 m y está hecho de hierro, cul debe ser su

diámetro? En una casa se conecta un calentador de 1.8 kW durante 3 horas al dIa, cuatro focos de 100 W durante 6 horas al dIa, una estufa eléctrica de 3.0 kW durante 1.4 horas al dIa, y otros dispositivos que suman 2.0 kW a! dIa. Si la electricidad cuesta $0105 por kilowatt, (a) cuál será el importe del recibo mensual (considere 30 dIas)? (b) Cuánto carbon se debe quemar (el cual produce 7000 kcal/kg) en una planta de energIa eléctrica cuya eficiencia es del 35 por ciento para satisfacer las necesidades anuales de la casa?

Una ciudad pequena necesita aproximadamente 10 MW de

energia. Suponga que en vez de utilizar lineas de alto voltaje para suministrar la energIa, esta se transmite a través de lIneas de 120 V. Suponiendo que una lInea de 120 V está formada por dos alambres de cobre cuyo diámetro es 0.50 cm, calcule el costo de las pérdidas de energIa debido al calentamiento de los alambres por hora y por metro. Suponga que el costo de La electricidad es de 10 centavos por kWh.

Una secadora de pelo de 1200 W está disenada para operar a 117 V. (a) ,Cuál será el porcentaje de cambio en Ia potencia de salida si el voltaje disminuye a 105 V? (b) ,COmo afectarIa el cambio real en resistividad (con respecto a Ia temperatura) al resultado anterior? El alambrado de una casa debe teller el espesor suficiente para evitar que se caliente lo suficiente como para iniciar un incendio.

,Que diámetro deberá tener un alambre de cobre si va a transportar una corriente maxima de 30 A y debe producir menos de 1.6 W de calor por metro lineal? Un aire acondicionado consume 12 A a 120 Vca. El cable de

conexión es de cobre y tiene un diámetro de 1.628 mm. (a)

(,Cuánta potencia consume el acondicionador? (b) Si Ia longitud total del alambre de conexión es 15 m, ,cuánta potencia se disipa en el cable? (c) Si se utiliza cable calibre 12 cuyo diámetro es 2.053 mm, j,cuánta potencia se disipa en el cable de conexiOn? (d) Suponiendo que el aire acondicionado funciona 12 horas al

dIa, ,duánto dinero se ahorrarfa diariamente si se utiliza cable de conexión calibre 12? Suponga que el costa de Ia electricidad es 10 centavos por kWh. Durante una tormenta falla el voltaje que suministra Ia cornpafifa de luz eléctrica. Si se supone que el porcentaje de Ia disminución de voltaje es pequeno, demuestre que Ia poteocia de salida de un aparato electrodornéstico disminuye aproximadamente el doble de ese porcentaje, suponiendo que Ia resistencia no cambia. Cuánta caIda de voltaje se necesita para que un foco de 60W comience a trabajar como un foco de 50 W? Un horno de microondas que opera a una eficiencia del 60 pot ciento entrega 900 W de energIa por segundo en su cavidad interior. Determine (a) Ia potencia que consume de Ia IInea y (b) la corriente rcm que consume. Suponga que el voltaje de Ia II-

Se fabrica un resistor de 650 11 con una bobina de alambre de cobre cuya masa total es 18.0 g. CuáI es el diámetro y Ia longitud del alambre de cobre? El nuevo automóvil eléctrico EV-1 utiliza baterIas de almacenamiento como fuente de energia. Su masa es de 1300 kg y está alimentado por 26 baterias, cada una es de 12 V y 52 A h. Suponga que el auto se maneja en un lugar pIano a una velocidad promedio de 40 km/h, Ia fuerza de retraso promedio es 240 N. Suponga que Ia eficiencia es del 100 por ciento y desprecie La energfa que se utiliza en Ia aceleración. Observe que no se consume energia cuando el vehIculo se detiene ya que el motor no necesita operar en ese momento. (a) Determine La potencia en caballos de fuerza que se requiere. (b) Después de cuan-

tos kilómetros aproximadamente se tienen que recargar las

baterias? Una lámpara incandescente de 100W, 120 V tiene una resistencia de 12 fl cuando está frIa y 140 fi cuando está caliente. Calcule el consumo de potencia en (a) el instante que se enciende, (b) después de ciertos instantes cuando está caliente. Los capacitores se utilizan a menudo en los circuitos electrOnicos para mantener el flujo de energia aOn cuando existe un corte de energia de Ia compania que suministra energia eléctrica. ,Qué capacitancia se requiere para que un receptor de televisiOn que opera con un voltaje interno de 120 Vcd a 150 W reciba energIa suficiente durante el corte de energIa que dura 0.10 s? El acelerador Tevaron que está en los laboratorios Fermi (en Illinois) está disenado para transportar un haz de protones de 11.0 mA que viaja a una velocidad muy cercana a Ia velocidad de Ia luz (3.0 x 108 m/s) alrededor de un anillo cuya circunferencia es de 6300 rn. j,Cuántos protones se almacenan en el haz? ,Qué distancia viaja un electrOn promedio en Ia resistencia de un tostador de pan durante un ciclo de corriente alterna? El cable de alimentaciOn está integrado por alambres de cobre cuyo diámetro es 1.8 mm, el tostador se conecta a Ia lInea estándar de 120 Vca, 60 l-Iz. [Sugerencia: La corriente maxima en el ciclo está relacionada con Ia velocidad maxima de deriva. La velocidad maxima en una oscilaciOn se relaciona con el desplazamiento máximo, véase el capItulo 14.] Para el alambre de Ia figura 25-33 cuyo diámetro varfa de manera uniforme de a hacia b coma se indica, suponga que Ia corriente I = 2.0 A entra en a. Si a = 3.0 mm y b = 4.0 mm, ,cuá1

es Ia densidad de corriente (que se supone es uniforme) en cada extremo?

TI'

nea es 120 Vrcm. Un alambre de 1.00 fl consume hasta 3.0 veces su longitud ori-

ginal, cuál es su resistencia actual? Se aplica un voltaje de 220 V a dos conductores diferentes que están hechos del mismo material. El primer conductor tiene el doble de longitud y el doble de espesor que el segundo. Cudl

es Ia relación de la potencia que se transforma en et primer

FIGURA 25-33

Problemas 77 y 78.

Se utiliza un calentador eléctrico para calentar una recámara

La secciOn transversal de una porciOn de alambre aumenta de manera uniforme como se muestra en La figura 25-34, en consecuencia el alambre tiene forma de un cono truncado. El diáme-

que debe tener el calentador? (El calor especIfico del aire es 0.17 kcal/kg°C.)

bongitud total a través del eje es 1. Si el material tiene una resistividad p, determine Ia resistencia R entre los dos extremos en términos de a, b, I y p. Suponga que La corriente fluye de manera uniforme en cada secciOn, y que La disminuciOn gradual en Ia secciOn transversal es pequefia, es decir (b - a) << I.

conductor con relaciOn a! segundo?

cuyo volumen es de 68 m3. El aire entra a La recámara a 5°C y cambia compietamente al doble en una hora. La pérdida de cabr en las paredes es de aproximadamente 850 kcal/h. Si el aire se debe mantener a 20°C, cuál es Ia potencia minima en watts

tro en uno de los extremos es a y en el otro extremo es b, Ia

Problemas generales

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657

Este reproductor portátil o "walkman" contiene cirduitos de cd., a! menos en parte (Ia seflal de audio es ca). El diagrama esquemático de La figura muestra un circuito amplificador (en realidad se utilizan dos circuitos idénticos, uno para cada canal estereofonico).Aunque el triángulo 1C3 es un circuito amplificador que contiene transistores (no se estudian en este capItulo), los demás elementos del dircuito son similares a los que ya se han analizado en capitubs anteriores (resistores y capacitores). En este capItulo se analizará el uso de resistores y capacitores en los circuitos electrOnicos, además del uso y construcción de voltImetros y amperImetros.

Entrada

2.2 F

a cada o-I canal

Circuitos de CD

ABLA 25-1 5mbolos de

ricoJ1 [Pisposi fi

ImboIo

--

-

:

IL

Baterla Capacitor Resistor -

II

(4

AL ambre

-

-

cor resistencia despreciabie

4,,

Tierra

1

os circuitos eléctricos son parte fundamental de cualquier equipo electrOnico, desde receptores de radio y televisores, hasta computadoras y automóviles. En varias Idisciplinas cientIficas como Ia fIsica, la biologIa o La medicina se realizan mediciones que utilizan circuitos eléctricos. En el capItulo 25 se analizaron los principios básicos de Ia corriente eléctrica. En esta sección se van a aplicar estos principios para analizar los circuitos de cd y comprender el funcionamiento de una cierta cantidad de instrumentos étiles. Cuando se dibuja el diagrama de un circuito las baterIas, los capacitores y resistores se representan utilizando los sImbolos que se indican en Ia tabla 26-1. Los alambres que tienen una resistencia despreciable en comparaciOn con otras resistencias del circuito se dibujan sencillamente con lIneas rectas. AJgunos diagramas de circuitos mues-

J

tran el sImbolo de tierra (J o para indicar una conexiOn real a tierra, quizás a través de una tuberIa de metal, este sImbolo puede significar La conexión a un punto

comün, como en el chasis de un automOvil. En Ia mayor parte de este capItulo, excepto en Ia secciOn 26-4, el objeto de estudio serán los circuitos que operan en su estado estable, es decir, se excluye el análisis de un circuito en el momento que ocurren cambios en él, como sucede cuando se conecta o desconecta un resistor o la baterIa. En vez de lo anterior se analiza el circuito una vez que Las corrientes han alcanzado sus valores estables. Los circuitos de ca que contienen solamente una fuente de voltaje y resistores se pueden analizar en forma similar a los circuitos de cd. Sin embargo, los circuitos de ca que contienen capacitores y otros elementos de circuito son más complicados y se estudiarán en el capftulo 31.

658

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FEM v volta!e en las terminales de una baterla Para que exista corriente en un circuito eléctrico se necesita un dispositivo similar a una baterIa o un generador eléctrico que transforme una clase de energIa (quImica, mecánica, lummosa y demás) en energIa eléctrica. Este dispositivo se conoce con el nombre de fuente de fuerza electromotriz o fern. (El término "fuerza electromotriz" es un nornbre inapropiado porque no se refiere a ninguna fuerza que se mide en newtons. En consecuencia, para evitar confusiones, es preferible el uso de la abreviatura fern.) La diferencia de potencial en las terrninales de una baterIa (cuando no fluye corriente hacia un circuito externo) se conoce corno fern de la fuente. El sIrnbolo se utiliza normalmente para indicar la fern (que no se debe confundir con Ia E de campo eléctrico). Usted habrá notado por experiencia propia que cuando se torna corriente de una baterIa, el voltaje entre las terminales disminuye cierta cantidad con relaciOn a Ia fern que está especificada. Por ejemplo, si enciende un autornóvil cuando los faros están conectados, notará que la luz disminuye. Esto sucede porque el arrancador toma una cantidad considerable de corriente, y en consecuencia el voltaje de la baterla disrninuye. La caIda de voltaje aparece porque las reacciones qulmicas de Ia baterIa no pueden proporcionar carga con Ia rapidez suficiente para mantener el nivel cornpleto de fern. La carga debe fluir (a través del electrolito) entre los electrodos de Ia baterIa y siempre existirá cierta dificultad para obtener el flujo cornpletamente libre de Ia carga. En consecuencia, Ia baterla en si tiene cierta resistencia, Ia que se conoce como resistencia interna y se designa normalmente corno r. Una baterla real se puede representar como si fuera una fern perfecta () en serie con el resistor r, corno se rnuestra en Ia figura 26-1. Como esta resistencia r está en el interior de Ia baterIa, nunca se podrá separar de ella. Los puntos a y b en el diagrarna representan las dos terminates de Ia baterIa. La cantidad que se rnide es el voltaje en las terminales Vab = Va - Vb. Cuando no se toma corriente de la baterIa, el voltaje en las terminales es igual a La fern, este hecho está deterrninado por las reacciones quIrnicas que ocurren en el interior de La baterla: Vflb = . Sin ernbargo, cuando fluye una corriente I que se torna de la baterIa, existirá una caIda interna de voltaje igual a Jr. En consecuencia el voltaje en las terminales (o el voltaje real que entrega la baterIa) se define comot = - Jr.

For qué ci t.'o!zaje de lv binevea tO cs Constance?

L

Voltaje en las terminales

FIGURA 26-1 Diagrama de una celda eléctrica o baterIa.

Por ejernplo, si una baterfa de 12 V tiene una resistencia interna de 0.1 (1, entonces circulará una corriente de 10 A en Ia baterIa y el voltaje entre las terrninales será 12 V-(10 A)(0.1 fi) = 11 V. Normalrnente el valor de Ia resistencia interna de Ia baterla es pequeno. Por ejernplo, Ia baterIa normal de una linterna (cuando está nueva) puede tener una resistencia interna de 0.05 fl. (Sin ernbargo, conforme pasa el tiempo el electrolito de la baterIa se seca y Ia resistencia interna aurnenta cierta cantidad de ohms.) Las baterIas de los autornOviles tienen una resistencia interna inferior. BaterIa con resistencia interna. Se conecta un resistor de 65.0 fi en las terminates de Una baterIa que tiene una fern de 12.0 V y resistencia interna de 0.5 fl (figura 26-2). Calcule (a) la corriente en et circuito, (b) el voltaje en las terminales de Ia baterla y (c) Ia potencia que disipa el resistor R y Ia resistencia interna de Ia baterIa r. SOLUCION (a) De Ia ecuación anterior que relaciona la fern C con el voltaje en las terminates se tiene que Vab =

- Ir,

donde Vab = JR (ecuación 25-2). De aquI que JR = secuencia

R+r

12.OV

65.51

- Jr o

= I(R + r), en con-

R = 65.0 Q

Wv

----Wvv--H r= O.5Q

FIGURA 26-2

12.OV

Ejemplo 26-1.

0183A

El voltaje en las terminales es Vab =

- Jr = 12.0 V - (0.183A)(0.5fl)

11.9 V.

La potencia disipada es

PR = 12R = (0.183A)2(65.Ofl) = 2.18W = J2r = (0.183A)2(0.5fl) = 0.02W. Cuando se carga una baterIa, Ia corriente se ye forzada a circular a través de Ia baterla y se tiene La expresion Vb = ± Jr. Vëase el ejemplo 26-10.

SECCION 26-1

FEM y voltaje en las terminales de una baterIa

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659

A partir de este momento, a no ser que se especifique lo contrario, se asumirá que Ia resistencia interna de Ia baterIa es despreciable, y en el caso de Ia baterIa, el voltaje que se indica es el voltaje de las terminales, el cual se escribirá como V en lugar de Vab.

Resistores en serie y en paralelo Cuando dos o más resistores se conectan entre si como se muestra en Ia figura 26-3, se dice que estn conectados en serie. Estos resistores pueden ser similares a los de la figura 25-10 o pueden ser lámparas incandescentes, elementos calefactores o cualquier otro dispositivo resistivo. Cualquier carga que circule a través de R1 en Ia figura 26-3a también pasará por R2 y R3. En consecuencia Ia misma corriente I circula por cada resistor. (Si no sucediera asI, esto implicarla Ia acumulación de Ia carga en algün punto del circuito, lo que no sucede en estado estable.) Si ahora V representa el voltaje en los tres resistores y suponemos que cualquier otra resistencia en el circuito es despreciable, se tiene que V es igual al voltaje en las terminales de Ia baterIa. V1, V2 y V3 son las diferencias de potencial en los resistores R1, R2 y R3 respectivamente, como se muestra en la figura 26-3a. De Ia ecuación V = JR se tiene: V1 = 1R1, V2 = 1R2, V3 = JR3. Como los resistores están conectados de extremo a extremo, la conservaciOn de energIa nos mdica que el voltaje total V es igual a Ia suma de voltajes en cada resistor:

V = V1+V2+V3 = JRI+1R2+1R3.

(26-1)

[en serie]

Para analizar con mayor detalle y comprobar que lo anterior es cierto, observe que la carga eléctrica q que circula a través de R1 pierde energIa potencial de acuerdo a qV1. Cuando Ia carga circula por R2 y R3 la energIa potencial U disminuye en qV2 y qV3, para una variaciOn total zU = qV1 + qV2 + qV3; esta suma debe ser igual a la energIa (qV) que proporciona Ia baterIa a la carga q, por tanto se conserva Ia energIa. Ya que qV = q(V1 + V2 + Vs), de igual forma V V1 + V2 + 1/3, que es la ecuaciOn 26-1. Ahora vamos a determinar Ia resistencia equivalente Req que consumirIa la misma corriente que la combinaciOn, véase la figura 26-3c. Este resistor ünico R estarIa relacionado con V de acuerdo con

V = IReq. Al igualar esta expresión con la ecuaciOn 26-1, V = I(R1 + R2 + R3), se tiene que

Req = R1 + R2 + R3.

(26-2)

[en serie]

Este resultado era el esperado. Cuando se conectan varios resistores en serie, la resistencia total es Ia suma de las resistencias individuales de cada resistor. Esto se aplica a cualquier cantidad de resistores conectados en serie. Observe que conforme aumenta Ia resistencia del circuito Ia corriente disminuye. Por ejemplo, si una baterla de 12 V se conecta a un resistor de 4 fl, La corriente será 3 A. Pero si la misma baterIa se conecta a tres resistores en serie de 4 fi, la resistencia total será 12 fi y Ia corriente 1 A.

FIGURA 26-3 (a) Resistores conectados en serie: Req = R + R2 + R3. (b) Los resistores pueden ser lámparas incandescentes o cualquier otra clase de resistencia. (c) Resistor ünico equivalente Req que consume la misma corriente.

R

(c)

Ii V

660

CAPITULO 26

Circuitos de CD

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Otra forma sencilla de conectar resistores es en paralelo, de tal forma que la corriente que proviene de Ia fuente se divida en ramas separadas, como se muestra en Ia figura 26-4. El alambrado eléctrico de casas y edificios está diseñado de tal forma que todos los dispositivos eléctricos estén conectados en paralelo, como se vio anteriormente en el capItulo 25, figura 25-18. En el alambrado en paralelo, si se desconecta un dispositivo (por decir R1 en La figura 26-4), la corriente que circula en los dems dispositivos no se interrumpe. Pero en un circuito tipo serie, (digamos R1 en Ia figura 26-3) si Se desconecta un dispositivo La corriente deja de fluir en los dems. En el circuito paralelo de Ia figura 26-4a, la corriente total I que sale de la baterIa se divide en tres ramas, '1, J e 13 son las corrientes que circulan en cada uno de los resistores R1, R2 y R3 respectivamente. Como se conserva Ia carga eléctrica, La corriente que entra a un punto de conexión (lugar donde los alambres o conductores se unen) debe ser igual a Ia corriente que sale del punto de conexiOn. En consecuencia en la figura 26-4a, + J + 13. [en paralelo] = Cuando los resistores se conectan en paralelo, cada uno se encuentra al mismo voltaje. (Claro está que dos puntos cualesquiera que estn conectados entre si por un alambre cuya resistencia es despreciable se encontrarán aL mismo potencial.) Por tanto el voltaje completo de Ia baterIa se apJica a cada resistor de la figura 26-4a, por tanto

11' '2k' V

V

e

13

V

Ahora se determinará eL valor del resistor equivalente Req que consumirá Ia misma corriente I que los tres resistores en paralelo. El resistor equivalente debe cumplir con V

= Req Al combinar las ecuaciones anteriores se tiene:

I = J + '2 + J3 V Req

=

V

V

V

R1

R2

R3

Luego se divide cada término entre V para obtener 1

1 = --+

1

1

+ -b--.

[en paralelo] (26-3) 1V2 1%3 "eq "1 Por ejemplo suponga que conecta dos bocinas de 4 fi a un canal de un amplificador o receptor estereofónico (ignore el otro canal por un momento, las dos bocinas se conectan al canal izquierdo). La resistencia equivaLente será 1

4442 1

1

2

1

por tanto Req = 2 fl. La resistencia neta es menor a Ia resistencia de un solo resistor. A primera vista esto puede ser sorprendente. Pero recuerde que cuando se conectan resistores en paralelo, Ia corriente puede seguir varias trayectorias adicionales, de aquI que Ia resistencia neta sea menor. FIGURA 26-4 (a) Resistores conectados en paralelo:

1/Req = hR1 + hR2 + 1/R3, los

R

(b)

resistores pueden ser (b) Iámparas incandescentes; (c) se muestra el circuito equivalente, Req se obtiene de Ia ecuaciOn 26-3.

(c)

SECCION 26-2

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Resistores en serie y en paralelo

661

I .1

TuberIas de agua en paralelo, analogIa con las corrientes eléctricas en paralelo. FIGURA 26-5

FIGURA 26-6

Ejemplo 26-2.

El uso de una analogia puede ser Util en este punto. Considere dos tuberias que están conectadas en la parte superior de una presa. La tuberia descarga el agua en La parte inferior como se muestra en Ia figura 26-5. La diferencia de potencial gravitacional, que es proporcional a Ia altura h, es Ia misma en ambas tuberIas, como sucede con los resistores que están conectados en paralelo. Si ambas tuberIas están abiertas, en lugar de una sola, Ia cantidad de agua que fluirá será el doble. Es decir, cuando dos tuberfas idénticas están abiertas, Ia resistencia neta al flujo del agua se reduce a Ia mitad. Observe que si ambas tuberias están cerradas, Ia presa ofrecerá una resistencia infinita al flujo de agua. Esto corresponde a un circuito abierto (cuando no fluye corriente) en el caso de circuitos eléctricos, en consecuencia Ia resistencia eléctrica es infinita. Observe que la forma de las ecuaciones para resistores, ecuaciones 26-2 y 26-3, representa el inverso de sus contrapartes para los capacitores, capItulo 24, ecuaciones 24-3 y 24-4. En otras palabras, Ia formula para los resistores en serie tiene Ia misma forma que Ia fOrmula para los capacitores en paralelo, y viceversa. LEn serie o en paralelo? (a) Las lámparas incandescentes de la figura 26-6 son idénticas y Ia resistericia de cada una es Ia misma, en este caso R. j,Qué configuraciOn producirá más luz? (b) tEn qué forma estarán conectados los faros de un automOvil? EJEMPLO CONCEPTUAL 26-2

(a) En la combinaciOn en paralelo Ia resistencia es menor (= R/2)

RESPUESTAS

r

que se produce, es decir P = JV, por tanto la configuracion que proporciona mayor cantidad de corriente genera más Iuz. (b) En paralelo, diagrama (2) si una lmpara se funde Ia otra permanece encendida. Si las lámparas se conectan en serie, diagrama (1), cuando se funde una de ellas (se rompe el filamento) el circuito se interrumpe y cesa el flujo de corriente, en consecuencia Ia lámpara que está intacta también se apaga.

(2) En paralelo

(1) En serie

FIGURA 26-7

que en la combinaciOn en serie (= 2R). La corriente total es mayor en Ia configuracion en paralelo. La potencia total que se transforma es proporciorial a Ia cantidad de luz

Ejemplo 26-3. V = 24.0 V

Resistores en serie y en paralelo. Dos resistores de 100 fi se conectan (a) en serie y (b) en paralelo a una bateria de 24 V. Véase la figura 26-7. ,Cuál es Ia corriente que fluye en cada resistor y cuál será la resistencia equivalente de cada circuito? SOLUCION (a) Toda Ia corriente que sale de Ja baterIa pasa primero por R1 y luego por R2. Por tanto Ia corriente I es la misma en ambos resistores, y Ia diferencia de potencial en la baterIa V es igual al cambio total de Ia energIa potencial en ambos resistores.

V = VI+V2

En consecuencia

R2

R1

(a)

I

j

R1

La resistencia equivalente, utilizando Ia ecuación 26-2, es Req = R1 + R2 = 200 fi. También se puede obtener Req si se piensa desde el punto de vista de La bateria: la resistencia total Req debe ser igual al voltaje de la baterla dividido entre Ia corriente que se toma de ella: Req = V/I = 24.0 V/0.120 A = 200 fi. [Conviene indicar que el voltaje en R1 es V1 = JR1 = (0.120 A)(100 fi) = 12.0 V, y el voltaje en R2 es V2 = JR2 = 12.0 V. En consecuencia cada resistor tiene la mitad del voltaje de La baterIa. Un circuito sencillo similar at de la figura 26-7a se conoce como "divisor de voltaje".] (b) Cualquier carga determinada (o electron) puede circular solamente por uno de los resistores. AsI como un rio se puede dividir en dos torrentes cuando rodea una isla, en este ejemplo Ia corriente total I de la baterIa (figura 26-7b) es igual a la suma de dos corrientes independientes que fluyen en ambos resistores: + '2 = La diferencia de potencial en cada resistor es el voltaje de Ia baterIa V = 24.0 V. Por tanto

I = 1 + '2 = 662

CAPITULO 26

= 0.120 A.

= R ± R2 = 100

V = 24.0 V i

= IR1+1R2.

V

+

24.OV

V

=

Circuitos de CD

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24.OV +

= 0.24 A + 0.24 A = 0.48 A.

La resistencia equivalente es

24.0V

V

Req

= 50 ci.

= 0.48 A

=

Pero este resultado también se puede obtener de la ecuación 26-3: 2

1

1

1

Req - lOOci + 100(1 - 100(1 - 50(1 por tanto Req = 50 ci.

Circuitos en serie y en paralelo. ,Cunta corriente sale de la baterIa que se muestra en la figura 26-8a? SOLUCION La corriente I sale de Ia baterIa y circula por el resistor de 400 ci, luego se divide en I e '2 a! pasar por los resistores de 500 ci y 700 ci. Estos ültimos están en paralelo. En La solución de este problema se debe buscar La simplicidad, algo que se puede solucionar. Primero vamos a calcular Ia resistencia equivalente R de los resistores en paralelo de 500 ci y 700 ci:

= 0.0020 c + 0.0014 if-1 = 0.0034 ci1. + 7Oi R 500 De La expresiOn anterior se obtiene 1/Re, luego se debe calcular el recIproco para ob-

12.0 V

a

400Q

b

290Q

c

tener R. (El simple hecho de calcular el recIproco es un paso que a veces se olvida. Observe las unidades para comprobar, el hecho de obtener if indica que falta calcular el recIproco.) Por tanto

R=

II

0.0034 ci'

12.0 V

= 290(1.

Este resistor de 290 (1 (que es Ia resistencia equivalente de los dos resistores en paralelo) está en serie con el resistor de 400 ci, como se muestra en el circuito equivalente de la figura 26-8b. Para calcular Ia resistencia equivalente total Req, se suman las resistencias de 290 ci y 400 ci, porque están en serie,

Req = 400ci + 290(1 = 690 ci.

FIGURA 26-8 (a) Circuito para los ejemplos 26-4 y 26-5. (b) Circuito

equivalente que muestra la resistencia equivalente de 290fl para los dos resistores en paralelo del inciso (a).

La corriente total que proviene de la baterIa es

I=

V Req

=

12.OV

690L

= 0.017 A = 17 mA.

Corriente en una rama. ,Cuál es la corriente que fluye en el resistor de UJ U de Ia figura 26-8a? SOLUCION Se necesita calcular el voltaje VbC en el resistor de 500 ci para luego aplicar V = JR para obtener Ia corriente. Primero se calcula el voltaje en el resistor de 400 ci, Vab, ya que sabemos que una corriente de 17 mA circula a través de el. El voltaje Vab se puede calcular utilizando la ecuación V = IR:

= (0.017A)(400ci) = 6.8V. Como el voltaje total en Ia red de resistores es Vac = 12.0 V, el voltaje en la rama VbC

debe ser 12 V - 6.8 V = 5.2 V. Luego Ia ley de Ohm indica que Ia corriente I en el resistor de 500 ci es

5.2V

= 500(1

= 1.0 X 102A = 10 mA.

Esta es Ia respuesta deseada. También se puede calcular La corriente '2 que circula en el resistor de 700 (1 ya que la caIda de voltaje en este resistor también es 5.2 V: '2

5.2V

= 700ci=7mA.

Observe que J se combina con '2 para formar la corriente total I (en el punto c de la figura 26-8a), Ia suma de ambas corrientes es 10 mA + 7 mA = 17 mA. Esta es Ia corriente total que se calculó en el ejemplo 26-4. SECCION 26-2

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Resistores en serie y en paralelo

663

- Brillantez de las Iámparas en un circuito. El circuito de Ia figura 26-9 tiene tres lámparas idénticas, cada una tiene una resistencia R. CuáI será La brillantez de las lamparas A y B en comparación con la brillantez de la lámpara C? EJEMPLO CONCEPTUAL

/

La corriente que circula por Ia lámpara C se divide en dos partes

RESPUESTA

-

I-

iguales cuando atraviesa Ia union que se dirige a las lámparas A y B, ya que Ia resistencia de las lámparas A y B es Ia misma. Estas Iámparas A y B recibirán La mitad de rriente y brillarán menos que la Iámpara C.

B

FIGURA 26-9 Ejemplo 26-6, tres lámparas idénticas. FIGURA 26-10

Ejemplo 26-7. R

R

R

3R I

"Escalera" de resistores. (a) Calcule La resistencia equivalente ue Ia escalera de resistores que está integrada por resistores cuyo valor es 100 fl, Segun se muestra en Ia figura 26-lOa. En otras palabras, cuál serIa Ia lectura de resistencia de un óhmetro que se conecta en los puntos A y B? (b) ,Cuál será la corriente que circula en cada uno de los resistores de Ia izquierda (figura 26-lOd) si se conecta una baterIa de 50 V entre los puntos A y B? SOLUCION A simple vista puede parecer que ninguno de los resistores esth en sene o en paralelo. Pero hay un lugar donde empezar: los tres resistores que están en el extremo derecho estn conectados en serie. Cada uno tiene una resistencia R = 100 fi, por tanto, estos ültimos tienen una resistencia igual a 3R = 300 . Luego, se puede observar que esta combinaciOn está en paralelo con el siguiente resistor de Ia izquierda, como se muestra en el recuadro punteado de la figura 26-7b. La resistencia equivalente de los resistores del recuadro punteado en (b), llámese Reqi, es 1 1 1 4 3R + por tanto Reqi = = R 3R = Reqi que numéricamente es igual a 300 fl/4 = 75 fi. Luego esta resistencia equivalente de 3R/4 está en serie con los dos resistores siguientes (figura 26-lOc). Los resistores en el recuadro punteado de (c) están en serie, y equivalen a 2R + 3R/4 = 1IR/4 (que a su vez es igual a 1100 fl/4 = 275 (1). Observe que este resistor 11R/4 está en paralelo con el siguiente paso de la escalera, (figura 26-lOd). La resistencia en el recuadro punteado de (d) equivale a

=+ hR

1

4

1

=

15

por tanto

hR

Req2=15

R Req2 hR A su vez este resistor está en serie con dos resistores, lo que nos da Ia resistencia final equivalente de Req =

111+R+R

=

R.

Como R = 100 entonces Req = 273 1. Observe el valor que tiene el algebra: se puede Ilegar a una respuesta que permite calcular la resistencia total sin importar el valor del resistor individual. (b) Si una baterIa de 50 V se conecta entre los puntos A y B, entonces la corriente que sale de Ia baterla y circula por los dos resistores de Ia extrema izquierda es I = 50 V/273 fi = 0.183 A. La corriente que circula por el primer escalón de resistores (figura

26-lOd) es menor a este valor ya que R está en paralelo con una resistencia neta

de 2 R = FIGURA 26-11 Las corrientes se pueden calcular utitizando las leyes de Kirchhoff. 30 Q

I'

40Q

664

f

Por Oltimo, I =

20 Q

r=

1Q

CAPITULO 26

e

I=

(i+)i

ff'i

= (0.183 A) = 0.134 A.

Leves de Kirchhoff

1Q 45V

a

g

= '1'2 =

r

13

80V

R. En este caso 1 es Ia corriente que circula por R, '2 es la corriente que circula por R, con I = '1 + '2. La diferencia de potencial en R es igual a la diferencia en R, en consecuencia 11R = I2(-R), e '2 = Luego, entonces

En los ültimos ejemplos hemos calculado corrientes que fluyen en circuitos que están integrados por combinaciones de resistores en serie y en paralelo. Esta técnica se puede utilizar en muchos circuitos. Sin embargo, existen ciertos circuitos que son bastante complicados para este análisis. Por ejemplo, no podemos calcular las corrientes en cada parte del circuito de La figura 26-11 aplicando La combinación de resistores como sucediO en los ejemplos anteriores.

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Para analizar circuitos complicados se utilizan las leyes de Kirchhoff, que fueron desarrolladas por G. R. Kirchhoff (1824-1887) a mediados del siglo XIX. Existen dos leyes de Kirchhoff que son simplemente aplicaciones convenientes de las leyes de conservación de las cargas y la energIa. La prunera ley de Kirchhoff o ley del punto de union se basa en la conservación de las cargas, esta ley se utilizó con anterioridad cuando se obtuvo la regla para resistores en paralelo. Esta ley indica lo siguiente:

en cualquier punto de union, La suma de todas las corrientes que entran a Ia union debe ser igual a La suma de todas las corrientes que salen de Ia uniOn.

Es decir, todo lo que entra debe salir. Por ejemplo, en el punto de union a de la figura 26-11, Ia corriente 13 entra mientras que las corrientes Ii e '2 salen. La ley de union de Kirchhoff indica que 13 = 1 + '2. En Ia parte final del ejemplo 26-5 se vio lo anterior. La segunda Jey de Kirchhoff o ley del lazo se basa en la conservación de Ia energia. Esta ley indica

que Ia suma de los cambios en el potencial en cualquier trayectoria cerrada de un circuito debe ser cero.

Para comprender mejor esta ley se puede usar una analogia de la energIa potencial en el carrito de la montana rusa. Cuando el carrito inicia su recorrido desde la estaciOn, tiene una energIa potencial determinada. Conforme sube la primera montana, su energIa potencial aumenta hasta alcanzar un valor máximo en Ia cima. Luego, conforme desciende por el otro lado de Ia montana, su energIa potencial disminuye hasta que alcanza un mmnimo local en la parte inferior de Ia montana. Conforme el carrito continua su camino, su energIa potencial experimenta más cambios. Pero cuando regresa al punto de partida, tiene exactamente Ia misma energIa potencial que tenIa cuando iniciO su recorrido en ese punto. Otra forma de decirlo es que existieron tantas subidas como bajadas. Un razonamiento similar se puede aplicar a un circuito eléctrico, esto se hará más adelante en el circuito de [a figura 26-11, pero primero se considerará el circuito sencide Ia figura 26-12. El circuito se ha elegido para que sea igual al circuito equivalenlb te de Ia figura 26-8b que se analizO con anterioridad. La corriente en este circuito es I = (12.0 V)/(690 fl) = 0.017 A, como se calculO en el ejempbo 26-4. El lado positivo de la baterIa, punto e en la figura 26-12a, está a un potencial elevado si se compara con el punto d que está en el lado negativo de Ia baterIa. Es decir, el punto e es similar a la cima de La montana rusa. Ahora podemos seguir Ia trayectoria de la corriente en el circuito comenzando en cualquier punto. Decidimos iniciar en el punto e y seguir una carga de prueba positiva en todo su recorrido por el circuito. Conforme avanzamos, observaremos todos los cambios en el potencial. Cuando la carga de prueba regrese al punto e, el potencial en ese punto será igual que cuando empezamos, por tanto el cambio total en el potencial será cero. Resulta ütil realizar una gráfica que indique los cambios de voltaje en el circuito, esto se indica en la figura 26-12b; el punto d se toma en forma arbitraria como cero. Conforme avanza nuestra carga positiva de prueba desde el punto e hacia el punto a, se observa que no hay cambio en el potencial ya que no existe ninguna fuente de potencial o resistor. Sin embargo, conforme circula La carga por el resistor de 400 fl para Ilegar al punto b, existe una disminución en el potencial que es igual a V = JR = (0.017 A)(400 fi) = 6.8 V. En efecto, la carga positiva de prueba se mueve "hacia abajo" ya que se dirige a Ia terminal negativa de La baterIa. Esto se mdica en la gráfica de Ia figura 26-12b. La disminución en el potencial entre ambos extremos del resistor (que es igual a IR) se conoce como caIda de voltaje. Como existe una dismiución en el potencial, se utiliza el signo negativo cuando se aplica Ia ley del lazo de Kirchhoff, es decir, Vba

=

VbVa

=

400Q

a

e

29O

b

c

12.OV (a)

12

6.8V

t

v

12.OV I

5.2V

0

a

b

C

d

%WrSW

400Q 290Q

+12.OV

(b)

Los cambios en la energma potencial en el circuito del inciso (a) se grafican en (b). FIGURA 26-12


6.8V.

Conforme Ia carga se mueve de b hacia c, existe otra caIda de voltaje de (0.017 A) X (290 fi) = 5.2 V, como se trata de una disminuciOn de potencial se tiene = 5.2V. No hay cambio en el potencial conforme Ia carga de prueba se mueve de c a d. Pero cuando La carga se mueve del punto d, que es el lado negativo o de bajo potencial de la baterIa, hacia el punto e que es Ia terminal positiva, el potencial aumenta en 12.0 V. Es decir Vcb

= +12.0 V.

La suma de todos los cambios en el potencial en el circuito de la figura 26-12 es 6.8 V - 5.2 V + 12.0 V = 0. Esto es exactamente lo que predijo Ia ley de Kirchhoff del lazo. SECCION 26-3

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Leyes de Kirchhoff

665


Cuando se utilizan las leyes de Kirchhoff, las corrientes que circulan en cada rama independiente de un circuito se identifican con un subIndice diferente, como sucede con 1, 12 e 13 en Ia figura 26-13 (Se trata del mismo circuito de Ia figura 26il). Usted no tiene que conocer perfectamente cuil es Ia direcciOn real del movimiento de estas corrientes. Se trata de adivinar y calcular los potenciales airededor del circuito en esa direcciOn. Si en realidad la corriente fluye en direcciOn opuesta, su respuesta tendrá un signo negativo. Uso de las Ieyes de Kirchhoff. Calcule Las corrientes 11, I e 13 en las ramas aei circuito de Ia figura 26-13. SOLUCION Como Ia corriente (positiva) tieride a alejarse de la terminal positiva de Ia baterIa, suponemos que las corrientes '2 e 13 tienen las direcciones que se indican en La figura 26-13. La direcciOn de 1 no es tan evidente, por tanto se escogiO en forma arbitraria La dirección que se indica. Como hay tres incOgnitas se necesitan tres ecuaciones. Prirnero se aplica Ia ley de Kirchhoff de los puntos de union para las corrientes en el punto a, donde entra 13 y salen I e 12:

13 = '!'2

Las corrientes se pueden calcular utilizando las leyes de Kirchhoff. Véase el ejemplo 26-8. FIGURA 26-13

(a) La misma ecuación es válida para el punto d, en consecuencia no se obtiene mayor informaciOn en ese punto. Luego se aplica Ia ley del lazo de Kirchhoff a dos lazos cerrados diferentes. Prirnero Ia aplicamos al lazo (o malla) andcba. Comenzamos y terminamos en el punto a. Del punto a al h hay una caIda de voltaje Vha = (11)(30fl). Del punto h al d no hay cambio, pero del punto d al c el potencial se incrementa en 45 V, es decir, V = +45 V. Del punto c al punto a el voltaje disrninuye porque circula por dos resistores, Vac = (13)(40 fl + lfl). En consecuencia se tiene que Vha + V + Vac = 0, 0

30I + 45 - (40 + 1)13 = 0

(b)

Se han omitido las unidades. Para el segundo lazo, se toma el circuito completo andefga (aunque también se podrIa haber tornado el abcdefg). De nuevo iniciamos en el punto a, donde Vh. = (li)(30fl), y Vdh = 0. Pero cuando decimos que Ia carga de prueba positiva se dirige del punto d al punto e, en realidad se dirige hacia arriba, en contra del flujo de corriente, o al menos en sentido contrario a Ia dirección que se asignó a Ia corriente, que es lo que cuenta en este cálculo. En consecuencia Ved = 12(20 fl) tiene signo positivo. En forma similar, Vie = 12(1 Del punto f a g hay una disminuciOn en el potencial de 80 V, ya que vamos de la terminal de alto potencial a La terminal de bajo potencial. En consecuencia Vg = 80 V. Por Oltimo, Vag = 0, y la surna de las diferencias de potencial en este lazo es

301k + (20 + 1)12 - 80 = 0.

(c)

El trabajo de Ia fIsica est terminado. El resto es algebra. Tenemos tres ecuaciones, que están identificadas como (a), (b) y (c) en tres incOgnitas. De Ia ecuaciOn (c) se tiene que '2

80 + 3013

=

21

= 3.8 + 1.4I.

(d)

= 1.1 - 0.731.

(e)

De La ecuaciOn (b) se tiene

45 - 30I

= 41 Al sustituir estas ecuaciones en la ecuaciOn (a) y resolver 1: II = 13 - '2 = 1.1 - 0.73I - 3.8 - 1.4I 3.11k = 2.7 I = 0.87A.

El signo negativo indica que Ia direcciOn real de I se opone a Ia dirección que se asignO en un principio, como se muestra en Ia figura 26-13. Observe que Ia respuesta surge de manera automática en amperes porque todos los valores están en volts y ohms. De la ecuaciOn (d) se tiene

'2 = 3.8 + 1.41k = 2.6 A, y de la ecuaciOn (e):

/3 = 1.1 - 0.73I = 1.7 A. Con esto finaliza la soluciOn. 666

CAP1TULO 26

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Leyes de Kirchhoff

RE SO LU C tON

DE PROBLEMAS

.. +yde -

raoa hateria. El lado k.1eri ifi 'ue los signos anch1D en el s: imi3olc & .aL bateri .fti cs Ia terminal Ldentifique Las corrientes ez c Ja rama dcl ircuitc) con ufl JLt. -'-, ci a figura -L 26-13): simDoto y una 1:lecna (comc ' iireeI iOn Llie La flecha se 41 ie d elegir c lorma arnitraria Si la corrien'tI I icr en ri aliKw1J Ia diireccion opuesta. entor1lu(iOfl. I ces Len di Ii un signc £nel Os 1 CT.' .a ' . de K'ir:hhoff ci1 una pique la 1 y del Pu iito ie ur fin A1-li mis unu ib tan n laié1ev del 'iazc de }(irci iho If iue - jarApli., s. de cuaciones ireAu ii L.inc) , más azos. I .a ( antid2 j funciOr ie Iar varia i .iráerl------ui a esta aue neeesit rpen' .iente F aTcr b.es. Pod ci ]CS c L iiia m s ecua Cit.?nes CIc Las riCceSaria - -pero cnccIntl.ain qu aigunas de elk is .serán redLn iantes (es dear, que r 10 SOli in.. ieç,endienl:es p que ilic )LOI :ionat.1 IP..for fl'aciOr. nueva). P uei.Je uti San Ia e p resión = JR j ara can resi ;I or, Jo q u. er ithos casos reduT

-

L

-

I

i.

.

.

:

4

:_ti

1

-

I

cii á

'tida dde inc 5g.. ( 'iitas. Ia caa -

4.Cu moo aplique ia icy dli Iat

le .ni ccitini

o,

-'(1 -sigui .ei_o solamente una d irecc iOn. I ng oi. a los suL'rlalces y a I-us signos: .

-

ci'l.

-

1

-

en 4 :ad

no

speciai iten- -

-

(a) 1 'a-a tin resistor, ci signo de Ia difere FtciaUI p1otenciaii scra negativo SI .2 lirecciOn que ehgi eriel Iazc es ig ual a Ia direcciOn Je Ia corriente iue circ a er -se :esist01 -- Li1 ci signc scrá positivo Si se iueve en JirecciOn 1, )ouesta a seuido ue flujo de Ia corriente. Ll -UI I (I ): I ara Lina baterIa, e, signo c'e. 1I Ui ferer1ci2 terminal liesert fositivo si l i direcciOn del iazc va L

.

I

U'lt

4

1

tJl

1

ga va a Ia positiva4. El signc será ncgativc) si a direccion 1.111 iei azo va d e Ia tenirat 1 ositiva At lega'iva. ii 5. .esuelva en forma aigebraica las ecuador s Dara ei caso c'e. .r l is incOgnitas. Tenga cuidado cua do nanipt'I.e las ecr\cic ies p a IC equivocarse COb I.05 signos. hi tina,. LZI Fe:ru iqie sus respuestas sustitryer.dc DS rnsultados er. as ecuacic ies originaii es, o utilice cua luier ecuaciOr origina (de Ia ley Je puntos de uniOn a de Ia Icy del law) que flI.o hubiera usado anteriormente.

ui

Li

1

4

-

41

41

1

4

i

41

Puente de Wheatstone. Un puente de Wheatstone es un circuito tipo puente que se utiliza para efectuar mediciones de resistericia. La resistencia desconocida que se va a medir R se conecta en el circuito que contiene resistores cuyo valor se conoce en forma exacta, R1, R2 y R3. Uno de estos resistores, R3, es un resistor variable cuyo valor se ajusta para que al cerrar momentáneamente el interruptor, La lectura en el amperImetro sea cero. (Veremos más adelante en este capftulo cOmo funciona un amperImetro.) (a) Determine el valor de R en términos de R1, R2 y R3. (b) Si el puente de Wheatstone está balanceado cuando R1 = 630 ci, R = 972 (1 y R3 = 42.6 ci, 1cuál será el valor de Ia resistencia desconocida?

(a) Se indicó que el valor de R3 se ajusta hasta que cesa el flujo de corriente en el amperImetro. Los puntos B y D de Ia figura 26-14 están en el mismo SOLUCION

potencial, por tanto VAB = VAD 0 13R3 = 11R1.

es Ia corriente que circula a través de R1 y R2 cuando el puente está balanceado; 13 es La corriente que circula por R3 y R. Cuando el puente está balanceado el voltaje en R es igual al voltaje en R2, en consecuencia I3R

= 11R2.

Al dividir en ambas ecuaciones se tiene FIGURA 26-14 Ejemplo 26-9. Puente de Wheatstone.

R2

R = R1R3. En Ia práctica, el amperImetro es muy sensible, en consecuencia cuando se ajusta R3 el interruptor se cierra en forma momentánea para verificar si Ia corriente es cero o no. (b)

R=

R2 R1

R3

7972ci\

=

630ci)426

= 65.711.

SECCION 26-3

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Leyes de Kirchhoff

667

FEM en circuitos en serie y en paralelo; carga de una baterIa Cuando dos o más fuentes de fuerza electromotriz, por ejemplo dos baterlas, se conectan en serie como se indica en la figura 26-15a, el voltaje total es La suma algebraica de los voltajes de las baterlas. Por otra parte, cuando Las baterIas de 20 V y 12 V se conectan en forma opuesta, como se muestra en Ia figura 26-15b, el voltaje neto V es 8 V. Es decir, una carga positiva de prueba que se mueve del punto a a b gana un potencial de 20 V, pero cuando pasa de b a c disminuye a 12 V. Por tanto, La carga neta es 20 V - 12 V = 8V. Usted puede pensar que el hecho de conectar baterIas en forma invertida puede ser un desperdicio. Para La mayorIa de los fines esto es cierto. Pero este arreglo invertido de baterIas representa precisamente el funcionamiento de un cargador de baterIas. En Ia figura 26-15b, La fuente de 20 V carga a la baterIa de 12 V. Como su voltaje es mayor, La fuente de 20 V hace que La carga regrese a La baterla de 12 V: Los electrones se yen obligados a entrar a La terminal negativa y son removidos de Ia terminal positiva. El alternador de un automOvil mantiene cargada la baterIa de un automOvil en Ia misma forma. Si se conecta un voLtImetro en Las terminales de la baterla del automóviL (de 12 V) cuando el motor funciona a altas revoluciones, se puede determinar si el alternador carga o no a la baterIa. Si eL alternador carga la baterla, el voltImetro indicará 13 o 14 V. Si la baterIa no está cargada, el voltaje será igual o inferior a 12 V si La baterla está descargada. Las baterIas de los automóviles se pueden recargar, pero existen otras baterIas que pueden no ser recargabLes, ya que Las reacciones quIrnicas en aLgunas no se pueden invertir. En estos casos, el arreglo de La figura 26-15b generará un desperdicio de energIa. R

(a) y (b) Baterlas en serie, (c) en paralelo FIGURA 26-15

WA a

I.5V

I

I

1.5V

R

12V

Ejemplo 26-10. Arranque de un automóvil con baterla FIGURA 26-16

auxiliar.

r=

0.02 Q 12.5 V Cables pasacorriente

In

Las fuentes de fem también se pueden conectar en paraLeLo, véase la figura 26-15c, esta configuracion es ütil solamente si ambas fems son iguales. El arreglo en paralelo no se utiliza para aumentar el voltaje, aunque proporciona una mayor cantidad de energIa cuando se necesitan corrientes elevadas. Cada una de Las celdas en paralelo tienen que producir solo una fracciOn de Ia corriente total, en consecuencia La pérdida debido a la resistencia interna es menor que en una soLa celda, y La baterIa se descargará con menor faciLidad.

Arranque de un automóvil con baterla auxiliar. Se utiliza un acumulador en buen estado como baterla auxiliar para arrancar otro automóvil cuya baterIa está descargada. La baterIa en buen estado tiene una fern de 12.5 V y su resistencia interna es 0.020 11. Suponga que la baterIa descargada tiene una fern igual a 10.1 V y su resistencia interna es 0.10 fl Los cables pasa corriente son de cobre, tienen una Longitud de 3.0 m y diámetro de 0.50 cm. Estos cables se conectan como lo indica Ia figura 26-16. Suponga que el motor de La marcha se puede representar con un resistor

r O.1OQ R

Motor de la marcha

668

CAP1TULO 26

In 13

R = 0.15 fl. Determine Ia corriente que circula en eL motor de Ia marcha (a) si solamente se conecta Ia baterla descargada, (b) si se conecta además Ia baterla en buen estado, como se indica en La figura 26-16.

(a) El circuito es simple: una fem de 10.1 V se conecta a dos resistores en serie, 0.10 fl + 0.15 fl. = 0.25 ft De aquI que la corriente sea I = V/R = (10.1 V)I SOLUCION

(0.25 11) = 40 A.

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(b) Primero se tiene que calcular la resistencia de los cables pasa corriente que se conectan a Ia baterIa que está en buen estado. De Ia ecuaciOn 25-3, cada cable tiene una resistencia igual a R3 = pL/A = (1.68 x 10 fl-m)(3.0 m)/(m)(0.25 X 10 m)2= 0.0026 fi. Al aplicar Ia ley de Kirchhoff en el lazo exterior completo se obtiene

12.5 V - 11(2R + r) - I3R5 = 0 12.5 V - 11(0.025fl) - 13(0.15fl) = 0.

(a) La ley del lazo para el lazo inferior, incluyendo Ia baterla descargada y el motor de arranque, da

10.1V - 13(0.15fl) - I2(0.bofl) = 0.

(b)

La ley del punto de union en el punto B indica que 11 + J

(c)

= 13.

Ahora se tienen tres ecuaciones y tres incOgnitas. Al combinar las ecuaciones (a) y (c)

para eliminar I se obtiene

12.5 V - (13 - 12)(0.025 1) - 13(0.15 fi) = 0 12.5 V - 13(0.175fl) + 12(0.025fl) = 0. Al combinar esta ültima ecuación con (b) se obtiene 13 = 71 A. Un poco mejor que en (a). Las dems corrientes son 12 = -6.2 A e = 77 A.

El circuito que se muestra en la figura 26-16, sin el motor de arranque, muestra cOmo se puede cargar una baterIa. La baterIa que tiene mayor carga empuja a las cargas hacia Ia baterIa que tiene menor carga. Observe que en este ejemplo '2 = -6.2 A, esto indica que Ia dirección real de la corriente es opuesta a Ia que se asumió en Ia figura 26-16. El voltaje en las terminales de Ia baterIa que tiene poca carga y voltaje de 10.1 V es VBA = 10.1 V + (6.2 A)(0.10 fl) = 10.7 V.

Se invierten los cables pasa corriente. Qué suceder si los cab'es pasa corriente del ejemplo 26-10 se conectaran al revés por accidente, quedando Ia terminal positiva de una baterla con la negativa de Ia otra? ,Esto serIa peligroso? SOLUCION Consideremos el circuito de Ia figura 26-17. AOn cuando el motor de la marcha esté desconectado (el interruptor S de la figura 26-17 está abierto) existirá un problema silas baterIas se conectan de esta forma. De acuerdo con Ia ley del lazo de Kirchhoff, en el lazo superior donde fluye Ia corriente I se tiene que

12.5V - I(2R + 0.lOfl + 0.02fl) + 10.1V = 0 donde cada R3 = 0.0026 fl. Al resolver para 1:

22.6V

- 0.125(1

10.1 V S

= 180A.

Esta corriente extremadamente elevada que fluye en las baterIas podrIa hacer que estas se calienten demasiado y que exploten. Por ejemplo, Ia potencia disipada en Ia baterIa que tiene poca carga es P = !2r = (180 A)2(0.10(1) = 3200 W.

I

Motor de la marcha FIGURA 26-17

Ejemplo 26-11.

Circuitos que contienen resistores y capacitores (circuitos RC Hasta ahora, nuestro estudio de circuitos en este capftulo ha incluido corrientes estables que no cambian con respecto al tiempo. Ahora examinaremos circuitos que contienen resistores y capacitores. Estos circuitos se conocen como circuitos RC. Los circuitos RC

son bastante comunes en nuestra vida diana: se utilizan para controlar Ia velocidad de los limpiaparabrisas de los autos, controlan el cambio de luces en los semforos, se utilizan además en las luces de destello de las cámaras fotográficas y en los marcapasos

cardIacos.

SECCION 26-4

Circuitos que contienen resistores y capacitores (circuitos RC)

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669

Ahora vamos a examinar el circuito sencillo tipo RC que se muestra en Ia figura 26-18. Cuando se cierra el interruptor S, la corriente comienza a fluir inmediatamente en el circuito. Los electrones salen de la terminal negativa de Ia baterIa, pasan por el resistor R y se acumulan en Ia placa superior del capacitor. También entrarán electrones hacia Ia terminal positiva de la baterfa, dejando una carga positiva en La otra placa del capacitor. Conforme se acumula carga en el capacitor, aumenta Ia diferencia de potencial entre sus terminales, y La corriente se reduce hasta que eventualrnente el voLtaje en el capacitor es igual a la fern de La baterIa . En ese mornento ya no existe diferencia de potencia! en el resistor, y cesa el flujo de corriente. En consecuencia Ia carga Q en el capacitor aumenta de manera gradual como se indica en Ia figura 26-18b, hasta que alcanza su valor máxirno igual a C, (ecuación 24-1, Qmáx = CVba = Ci). La forma matemática de esta curva, en otras palabras Q en funciOn del tiempo, se puede obtener utilizando la ley de conservación de Ia energIa (o ley de Kirchhoff del lazo). La fern de la baterla es igual a la suma de las caIdas de voltaje en el resistor (ZR) y en el capacitor (Q/C):

I?

-

C

s (t = 0) (a) Cc8

-

0.63 C

= IR+

Carga

0

TRC

La resistencia R incluye todos los resistores del circuito, incluyendo la resistencia interna, I es la corriente que circula en el circuito en un instante determinado y Q es Ia carga en el capacitor en ese mismo instarite determinado. Aunque , R y C son constantes, 2RC Tiempo (b)

3RC

Q e / son funciones del tiempo. La rapidez con la que fluye Ia carga en el resistor (1 = dQ/dt) es igual a La rapidez con que la carga se acumula en el capacitor. De ahI

que

cg

0.37&R

0

I

RC

2RC Tiempo

1

CQ - RC

Corriente

0

dQ

= Rd +f7Q,

La ecuación se puede resolver organizando los términos: dQ dt

S..

C-)

(26-4)

3RC

(c)

FIGURA26-18 ParaelcircuitoRC que se muestra en (a), La carga en el capacitor aumenta con el tiempo como se indica en (b), y Ia corriente en el resistor disminuye en el tiempo como se muestra en (c).

Ahora se integra desde t = 0, cuando Q = 0, hasta el tiempo t cuando la carga Q está en el capacitor. dQ 1 ' = Id! RC j0 _10

c-Q ln(C - Q) - (lnC) =

0

en consecuencia

RC

In (C - Q) - In (Ci) = - RC

Q\ ln(

t

RC

Al aplicar el exponencial en ambos lados

1c

0

=

Q = C(i - e_1').

(26-5a)

La diferencia de potencial en el capacitor es V = Q/C, en consecuencia =

- ett).

(26Sb)

De la ecuaciOn 26-5 se observa que la carga Q en el capacitor y el voltaje V aumentan desde cero en I = 0 hasta los valores máximos Qmx = C', y V = , después de un tiernpo muy prolongado. La cantidad RC que aparece en el exponente se conoce corno constante de tiempo del circuito T:

T = RC. (Las unidades de RC son = (V/A)(C/V) = C/(C/s) = s.) Esto representa el tiempo que necesita el capacitor para alcanzar (1 - e) = 0.63 o el 63 por ciento de su 610

CAPiTULO 26

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carga completa. En consecuencia el producto RC indica La rapidez de carga del capacitor. Por ejemplo, en un circuito donde R = 200 kfl y C = 3.0 F, la constante de tiempa es (2.0 x 1O (l)(3.0 x 10 F) = 0.60 s. Si la resistencia es rnuy pequena, Ia constante de tiempo será mucho menor. Esto tiene sentido, ya que una resistencia inferior retardará el flujo de las cargas en menor cantidad. Todos los circuitos contienen cierta resistencia (en los alambres de conexiOn), en consecuencia un capacitor jamás se podrá cargar en forma instantánea cuando se conecta a una baterIa. De Ia ecuación 26-5, parecerá que Q y V jamás alcanzarán su valor maxima en un intervalo finito de tiempo. No obstante alcanzarán el 86 por ciento de su valor maximo en 2RC, el 95 por ciento en 3RC, el 98 por ciento en 4RC, y demás. Q y V se aproximan a sus valores máximos en forma asintOtica. Por ejemplo, si R = 20 kfl y C = 0.30 F, la constante de tiempo es (2.0 X iU fl)(3.0 X iO F) = 6.0 X 1O s. En consecuencia el capacitor tiene más de un 98 por ciento de carga en menos de de segundo. La corriente I que fluye en el circuito de La figura 26-18a en cualquier tiempo I se puede obtener al diferenciar La ecuación 26-5a: dQ

dt

= -e_

(26-6)

R

como era de esperarse paEn consecuencia, en el tiempo t = 0, Ia corriente es I = ra un circuito que sOlo contiene un resistor (aOn no hay diferencia de potencial en el capacitor). Luego Ia corriente disminuye en forma exponencial con respecto a! tiempo con una constante igual a RC. Esto se muestra en la figura 26-18c. La constante de tiempa RC representa el tiempo que necesita la corriente para disminuir a 1/e 0.37 de su valor inicial. La capacitancia en el circuito de la figura

Circuito RC con fern.

zo-ioa es u = u.iU F, la resistencia total es 20 kfl y la fern de Ia baterIa es 12 V. De-

termine (a) Ia constante de tiempo, (b) Ia carga maxima que puede adquirir el capacitor, (c) el tiempo que necesita para cargarse y alcanzar el 99 por ciento de su valor, (d) Ia corriente I cuando Ia carga Q está a La mitad de su valor máximo, (e) la corriente maxima y (1) la carga Q cuando La corriente es 0.20 de su valor máximo. SOLUCION (a) La constante de tiempo es RC = (2.0 X iO fl)(3.0 X iO F) = = (3.0 X iO F)(12 V) = 3.6 C. (c) En 6.0 x iO s. (b) La carga maxima es Q = la ecuaciOn 26-5a, si Q

0.99C 0

= 0.99 G:

= c(i - e-"), = 1 - 0.99 = 0.01.

e_1

Entonces RC

por tanto

= -In(0.01) = 4.6 = 4.6RC = 28 x iO

s

o 28 ms (menos que s). De la parte (b) Ia carga maxima es 3.6 p.C. Cuando la carga tiene La mitad de su valor, 1.8 p.C, Ia corriente I en el circuito se puede calcular utilizando la ecuaciOn diferencial original, o ecuaciOn 26-4:

( I =1 I--I = Q'\

R \.

C1

/ 12V 2.0 x iO (1'. 1

1.8 x 106c

I =300p.A. 0.30 x 106 F I

La corriente tiene un valor máximo cuando no hay carga en el capacitor (Q = 0):

'mx

- R-

12V

2.0 X iOf1

= 600 p.A.

De nuevo al utilizar La ecuación 26-4, con I = 0.20, 'max = 120 p.A, se tiene

Q = C(

- IR) = (3.0 X iO- F)[12V - (1.2 X 10-a A)(2.0 X iU)] = 2.9p.C. SECCION 26-4


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611

Qo

FIGURA 26-19 Para el circuito RC del inciso (a), La carga Q en el capaci-

Vojc

tor disminuye con el tiempo, como se muestra en (b), después que el interruptor se cierra en t = 0. El voltaje en el capacitor sigue Ia misma curva ya que V cx Q.

1

RC

(1=0) (a)

2RC Tiempo (b)

3RC

El circuito anterior mvolucró Ia carga de un capacitor con una baterla y un resistor. Ahora vamos a analizar otra situaciOn: cuando un capacitor ya está cargado (digamos a un voltaje V0), y se permite que el capacitor se descargue a través de un resistor R como se muestra en La figura 26-19a. (En este caso no bay baterIa.) Cuando el interruptor S est cerrado, Ia carga empieza a fluir por el resistor R, pasando por un lado del capacitor hacia el otro, hasta que el capacitor se descarga por completo. El voltaje en el resistor en cualquier instante es igual at voltaje en el capacitor:

JR = La rapidez con Ia que sale carga deJ capacitor es igual al valor negativo de Ia corriente

en el resistor, I = dQ/dt, como el capacitor se está descargando (Q disminuye). La ecuación anterior se puede expresar como dQ R dt

-

Q

En consecuencia se tiene

dQ

dt RC

Q-

y se integra de t = 0 cuando Ia carga en el capacitor es Q0, a cierto tiempo t cuando la carga es Q: Q = 0

RC

Q = Q0e_'.

(26-7)

En consecuencia la carga en el capacitor disminuye en forma exponencial con respecto al tiempo de acuerdo a Ia constante de tiempo RC. Esto se muestra en Ia figura 26-19b. La corriente es =

dQ di

Q0

= RC

= 10

(26-8)

y también disrninuye en forma exponencial con respecto al tiempo con la misma constante de tiempo RC. Tanto Ia carga como el voltaje en el capacitor (V = Q/C), asI co-

mo la corriente que circula en el resistor, disrninuyen un 37 por ciento de su valor original en una constante de tiempo t = = RC.

Descarga de un circuito RC. En el circuito RC de Ia figUra 2O-0, Ia baterfa ha cargado completamente at capacitor, por tanto Q0 = C Entonces en el tiempo t = 0 el interruptor se mueve de Ia posición a hacia Ia posición b. La fern de ta baterfa es 20.0 V y la capacitancia es C = 1.02 sF. La corriente disminuye en 0.50 de su valor inicial en 40 is. ,Cuát es el valor de R? (b) CuáI es el valor de Q?

,Cul es Ia carga en el capacitor en t = 0? (c) Cul es el valor de Q en t = 60 ts?

672

CAPITULO 26

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FIGURA 26-20

Ejemplo 26-13.

(a) En t = 0, Ia baterIa se desconecta del circuito y el capacitor comienza a descargarse en ci resistor, como en Ia figura 26-19. En cualquier tiempo después t, ecuaciOn 26-7, se tiene SOLUCION

= Ce_tI',

Q = Q0e' e

dQ dt

1

En t = 40s, I = 0.5010. Dc ahI que 0.5010 =

o, al caicular logaritmos naturales en ambos lados (In 0.50 = -0.693): 0.693

RC

y

R=

(40 x 106s)

(0.693)(1.02 x 10-6 F)

(0.693)C

-

57fl.

En t = 0,

Q = Qo

= c-?.g

En I = 60jis,

Q = Qe

= (1.02 x 10F)(20.0V) = 20.4pC.

60)< 0s

(570)(1.02X106F)

= 7.3/LC.

Aplicaciones de los circuitos RC La carga y descarga de un circuito RC se puede utilizar para producir pulsos de voltaje en una frecuencia regular. La carga del capacitor aumenta a un voltaje especifico, luego se descarga ci capacitor. Una forma sencilla de iniciar una descarga es mediante el uso de un

tubo ileno de gas que conduce corriente cuando ci voltaje entre sus terminales ilega a un nivel estabiecido V0. Una vez que ha terniinado Ia descarga, ci tubo deja de conducir corriente y ci proceso de recarga se repite una y otra vez, comenzando en V. La figura 26-21 muestra un circuito de esta clase y la forma de onda "diente de sierra" que produce. La luz indicadora de vuelta (luz intermitente) de un automóvii puede ser una de las aplicaciones de un circuito oscilador que produce una forma de onda diente de sierra. En este caso la baterIa proporciona la fern ( = 12 V), la kmpara de neon que está

FIGURA 26-21 (a) Un circuito RC que incluye un tubo con gas, el cual opera como interruptor. El circuito produce una forma de onda tipo diente de sierra, como se muestra en (b)

destelio es un capacitor cuyo valor es moderadamente eievado. El limpiaparabrisas interrnitente de un automóvil también puede utilizar un circuito RC. La constante de tiempo RC puede variar con la ayuda de un interruptor de varias posiciones para utilizar diferentes valores de R con un valor fijo de C. Esta constante determina Ia velocidad de los limpiadores. Otro uso interesante de un circuito RC es ci marcapasos elcctrOnico, el cual puede hacer que un corazón que dejó de latir comience a hacerio de nuevo al aplicar un estimuio eléctrico a través de electrodos que se conectan ai pecho dcl paciente. El estImulo se

(a)

liena de gas destella a una frecuencia de aproximadamente 2 ciclos por segundo. Esta lampara es ci indicador de las luces direccionales. Ei componente principal de Ia unidad de

puede repetir en la frecuencia normal de los latidos del corazOn si es necesario. El corazOn en sí mismo contienc células marcapasos que envIan pulsos eléctricos cuya frecuencia es de 60 a 80 pulsos por minuto. Estas senales inducen ci inicio de cada iatido. En ciertos padecimientos dcl corazón, este marcapasos natural no funciona en la forma adecuada y ci corazOn pierde su frecuencia de iatido. Las personas quc sufren de esta enfermedad pueden utilizar ci marcapasos electrónico que produce un puiso de voltaje regular que inicia y controla Ia frecuencia de los iatidos dcl corazón. Los electrodos se impiantan en o cerca dci corazOn y ci circuito contiene normalmente un capacitor y un resistor. La carga en el

capacitor aumenta hasta llegar a cierto punto y luego se descarga. Luego comienza de nuevo la carga. La frecuencia de los latidos depende de los valores de R y C. SECCION 26-4

Vt V0 VU,

0

Tiempo (b)


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613

*

e FISICAAPLICADA

-a -'

Un multImetro utilizado como voltImetro. FIGURA 26-22

AmperImetros y voltImetros de CD El amperImetro se utiliza para realizar mediciones de corriente, mientras que el voltImetro mide diferencia de potencial o voltaje. La parte crucial de un amperImetro o voltImetro analogico es el galvanómetro. En estos instrumentos una aguja móvil indica el resultado de la mediciOn en una escala (figura 26-22). La operación del galvanOmetro se basa en el principio de fuerza entre un campo magnético y una bobina de alambre que transporta corriente, el cual se analizar en el capItulo 27. Por ahora nos interesa saber que Ia deflexiOn de la aguja de un galvanometro es proporcional a Ia corriente que fluye a través del galvanometro. La sensibilidad de corriente a mOxima escala (im) de un galvanOmetro es Ia corriente que se necesita para producir Ia deflexiOn de maxima escala en la aguja. El galvanOmetro se puede utilizar para medir corrientes pequenas. Por ejempio, un galvanOmetro cuya sensibilidad es 50 A puede medir corrientes desde 1 tA (las corrientes inferiores a 1 ILA son muy difIciles de leer en Ia escala) hasta 50 ptA. Para medir corrientes mayores, se conecta un resistor en paralelo con el galvanometro. En consecuencia, el amperImetro, representado por el sImbolo 0 está formado por un galvanOmetro ( ® ) que tiene conectado un resistor en paralelo, el cual se conoce como resistor en derivación (en derivaciOn es sinOnimo de en paralelo), como se muestra en Ia figura 26-23. El resistor en derivación es RSh y Ia resistencia de Ia bobina del galvanOmetro (donde circula Ia corriente) es r. El valor de RSh (que se elige de acuerdo a Ia deflexión a maxima escala deseada) normalmente es muy pequeflo, lo que da al amperImetro una resistencia interna muy pequefla.

El amperImetro está integrado por un galvanometro conectado en paralelo con un resistor en derivación, cuya resistencia es muy FIGURA 26-23

í-ø.-AmperImetro S

S

-

pequena, RSh.

Diseño de un amperImetro. Diseñe un amperlimetro que tenga una ietlexion a maxima escala de 1.0 A, utilice para tal fin un galvanOmetro cuya sensibilidad de maxima escala es 50 btA y su resistencia es r = 30 11. Verifique si Ia escala es lineal. SOLUCION Cuando Ia corriente total que circula por el medidor es 1 A, se desea que Ia corriente en el galvanOmetro 'G sea exactamente igual a 50 tA (para obtener Ia deflexiOn a maxima escala), véase La figura 26-23. Por tanto, cuando fluye una corriente de 1.0 A en el medidor, Ia corriente 'R = 0.999950 A debe circular por el resistor en derivación RSh. Como Ia diferencia de potencial en el resistor de derivaciOn y en el galvanometro es Ia misma se tiene IRRsh = IGr, entonces Rsh

I,r

(5.0 x 105A)(30fl)

= 1.5 X ioci,

= j = (0.999950 A) o 0.0015 fl. La resistencia del resistor en derivaciOn debe ser muy pequena para que la mayor parte de Ia corriente circule a través de él. Si Ia corriente I que fluye por el medidor es 0.50 A, entonces Ia corriente que fluye en el galvanómetro sera 'G = IRRSh/r = (0.50 A)(1.5 x i0 fl)/(30 fi) = 25 iA, la cual proporciona Ia deflexiOn a maxima escala deseada.

El voltImetro ( 0 ) también está integrado por un galvanOmetro y un resistor. Pero en este caso el resistor Rser se conecta en serie, figura 26-24, y su valor es elevado, debido a lo anterior el voltImetro tiene una resistencia interna elevada. Un voltImetro está integrado por un galvanometro conectado en serie con un resistor FIGURA 26-24

VoltImetro

de valor elevado Rser.

674

CAPITULO 26

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R r

r

Diseño de un voltImetro. Utilice un galvanOmetro que tiene una resistencia interna r = 30 fl y una sensibilidad de corriente a maxima escala de 50 tA para disenar un voltImetro que proporcione una indicación de 0 a 15 V. La escala es lineal?

a

"V (a)

15V = (50tA)(r + Rser), Rser =

R2

R1

SOLUCION Cuando Ia diferencia de potencial en las terminales del voltImetro es 15 V, la corriente que circula por el instrumento debe ser 50 tA para dar una deflexión de maxima escala. De La ley de Ohm, V = IR, se tiene (véase La figura 26-24)

por tanto

c

b

15V

5.0 x 105A

r = 300 kfl - 30fl = 300kfl.

Observe que r = 30 fi es muy pequefio si se compara con el valor de Rser, en consecuencia el valor de r no influye significativamente en el cálculo.

De nuevo Ia escala será lineal: si el voltaje que se va a medir es 6.0 V, Ia corriente que circuIa por el voltImetro será (6.0 V)/(3.0 x iO fi) = 2.0 X iO- A, 020 ptA. Esto producira dos quintas partes de la deflexión de maxima escala, como es necesario (6.0 V/15.0 V = 2/5).

Los medidores antes mencionados son para corriente directa. Un medidor de cd se puede modificar para que realice mediciones de ca si e conectan diodos que permiten el flujo de corriente solamente en una direcciOn. Un medidor de ca se puede calibrar para que realice mediciones de valores rcm (raIz cuadrática media) o valores pico. V

* Ikn d voltImetros y ampere''s

(c)

Suponga que desea determinar la corriente en el circuito de Ia figura 26-25a, y el voltaje V en el resistor R1. ,COmo tiene que conectar el amperImetro y el voltImetro en el circuito? Como el amperImetro se utiliza para medir la corriente que fluye en el circuito, se debe conectar directamente en el circuito, en serie con los demás elementos, como se muestra en la figura 26-25b. Cuanto menor sea la resistencia interna del amperImetro el circuito que se mide se vera menos afectado. Por otra parte el voltImetro se conecta en paralelo en los puntos del circuito donde se desea medir el voltaje. El voltImetro se utiliza para medir la diferencia de potencial entre dos puntos, y sus puntas de prueba (cables de conexión) se conectan en ambos puntos como se muestra en Ia figura 26-25c, para medir el voltaje en R1. Cuanto mayor sea Ia resistencia interna del voltImetro (Rse, + r en la figura 26-24) el circuito que se mide se vera menos afectado. Los voltimetros y amperfmetros pueden tener varios resistores en serie o resistores en derivaciOn para ofrecer varias escalas de medición. Los multImefros pueden medir voltaje, corriente y resistencia, algunas veces se conocen como VOMs (voltInietroOhmetroamperImetro). Los medidores que tienen indicación digital se conocen como voltImetros digitales (DVM) o multImetros digitales (DMM), figura 26-26. Para medir resistencia, el medidor debe incluir una baterIa de voltaje conocido conectada en serie con un resistor (Rser), a su vez este arreglo se conecta en serie con un amperImetro. Este circuito completo es un óhmetro, figura 26-27. El resistor que se va a medir cierra el circuito. La deflexiOn de Ia aguja del instrumento es inversamente proporcional a La resistencia. La calibraciOn de Ia escala depende del valor del resistor en serie. Como un Ohmetro envIa una corriente que circula por el dispositivo cuya resistencia se desea determinar, no se debe utilizar en dispositivos que son muy delicados ya que podrIan sufrir danos debido a esa corriente. La sensibilidad de un medidor se especifica por lo general en la carátula del mismo. Puede especificarse en cierta cantidad de ohms por volt, la cual indica cuantos ohms de resistencia representa el medidor por cada volt de lectura a maxima escala. Por ejemplo, si Ia sensibilidad es 30,000 fl/V, significa que el medidor tiene una resistencia de 300,000 fi en la escala de 10 V. La sensibilidad de corriente a maxima escala, 'm' que se analiz6 en la secciOn anterior, es solamente el recIproco de Ia sensibilidad en fl/V.

*sEccION 26-5

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FIGURA 26-25 te y voltaje.

Medición de corrien-

FIGURA 26-26 Un multImetro digital se utiliza para medir resistencia.

I

FIGURA 26-27

Un Ohmetro.

AmperImetros y voltImetros de CD

615

* Efectos de Ia resistencia del medidor Es importarite conocer la sensibilidad del medidor, ya que en muchos casos su resistencia puede afectar seriamente a los resultados de La medición. Como muestra se tiene el siguiente ejemplo. b

a

c

Lectura de voltaje contra voltaje real. Suponga que va a proDar un circuito electrOnico que tiene dos resistores R1 y R2, el valor de ambos es 15 kfl,

R2

R1

y esthn conectados en serie como se indica en Ia figura 26-28a. La baterla mantiene

un voltaje de 8.0 V en los resistores, y su resistencia interna es despreciable. Se utiliza un voltImetro cuya sensibilidad es 10,000 fl/V en Ia escala de 5.0 V. CuáI es Ia indicación

de voltaje del medidor cuando se conecta entre las terminales de R1? ,Cuál es el error que provoca Ia resistencia finita del medidor?

"V

En la escala de 5.0 V el voltImetro tiene una resistencia interna de (5.0 V) (10,000 fl/V) = 50,000 fi. Cuando se conecta en R1, como se indica en la figura 26-28b, se tiene Un resistor de 50 kfl en paralelo con R1 = 15 kfl. La resistencia neta Req de ambos resistores está determinada por SOLUCION

C

1

1

Req - SOkfl

13

lSkfl - lSOkfl'

por tanto Req = 11.5 kfl. Esta Req está en serie con R2 = 15 kfl, en consecuencia la resistencia total del circuito es 26.5 kfl. De ahI que Ia corriente que se toma de la ba-

V

FIGURA 26-28

1

+

terIa es

Ejemplo 26-16.

= 26.5 kfl

= 0.30 mA.

Luego entonces, Ia caIda de voltaje en R1 es Ia misma que en el voltImetro, (3.0 X 10 A)

x i0 fi) = 3.5 V. [La caIda de voltaje en R2 es (3.0 X 10A)(15 X iO fi) = 4.5 V, para un total de 8.0 V.] Si suponemos que el medidor es preciso, indicará una lectura de 3.5 V en R1. En el circuito normal, cuando no se conecta el medidor R1 = R2,en consecuencia el voltaje en R1 es Ia mitad del voltaje de Ia baterfa o 4.0 V. En resumen, debido a su resistencia interna, el medidor proporciona una indicaciOn de voltaje inferior, en este caso la diferencia es de 0.5 V, superior al 10 por ciento. (11.5

El ejemplo 26-16 muestra en qué forma puede afectar el medidor al circuito y proporcionar una lectura errónea. Sin embargo, si Ia resistencia del voltimetro es bastante superior a las resistencia del circuito, el medidor tendr1 poco efecto en el circuito que se mide y sus lecturas serán confiables, al menos con relación a la precision del medidor. TIpica-

mente Ia precision de los medidores analOgicos es 3 o 4 por ciento de Ia deflexión a maxima escala. El amperImetro también puede interferir con el circuito, pero su efecto sera mInimo Si SU resistencia es mucho menor que Ia resistencia del circuito. Para voltI-

metros y amperImetros, mientras más sensible sea el galvanómetro sus efectos serán menores. Un medidor con sensibilidad de 50,000 fl/V será mucho mejor que otro cuya sensibilidad sea 10,000 fl/V. Los voltImetros electrOnicos que utilizan transistores, este tipo incluye a los medidores digitales, tienen una resistencia de entrada muy elevada (que normalmente se especifica en ohms) en el intervalo de 106 a 108 fi, o mas. En consecuencia su efecto es mInimo en La mayor parte de los circuitos y sus lecturas son muy confiables. La precision tIpica de los medidores digitales es una parte en iO (igual a 0.01 por ciento) o mejor. Los instrumentos más sofisticados alcanzan precisiones de una parte en 106.

*

Transductores V termooares El transductor es un dispositivo que convierte una clase de energIa en otra. Una bocina de alta fidelidad transforma Ia energIa eléctrica en energIa sonora (véase el capItulo 27). En forma similar el micrOfono convierte el sonido a una seflal eléctrica.

676

CAPiTULO 26

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Transductor de deformaciOn hecho con alambre. FIGURA 26-29

Con bastante frecuencia los transductores se utilizan para medir cantidades especiales. En este caso se puede pensar que un transductor convierte una seflal determinada a otra seflal de distinto tipo, que normalmente es eléctrico. El termómetro de resistencia y el termistor que se mencionaron en los capItulos anteriores son ejemplos de transductores: básicamente traducen un cambio en la temperatura en la variaciOn de una propiedad eléctrica, en este caso resistencia. Un sensor (o transductor) de deformacion, figura 26-29, utiliza Ia elasticidad de un alambre que se expande en forma proporcional a Ia deformación (o fuerza) aplicada. Cuando se expande, su resistencia debe aumentar ya que es rnás largo y su sección transversal disminuye (véase La ecuaciOn 25-3). El alambre delgado de un sensor de deforrnaciOn está unido a un material flexible de soporte. Cuando el sensor de deformaciOn se monta firmemente a una estructura, su resistencia varIa en forma proporcional a cualquier cambio o deformaciOn de Ia estructura. Como el alambre del sensor de deformaciOn no debe deformarse más allá de su lImite elástico, el cambio en su longitud es mInimo. Como el cambio en la resistencia del alambre es muy pequeno, (menor a una parte por mil) se utiiza un puente de Wheatstone (con mucha sensibilidad) para medirlo. Los sensores de deformaciOn se deben calibrar con surno cuidado y se utilizan en muchas aplicaciones, se usan en modelos de estructuras propuestas por arquitectos e ingenieros para determinar Ia deformación en puntos crIticos. El sensor de deforrnación se puede colocar en una membrana o diafragma. Cualquier cambio en la presión que incide en Ia membrana provocará la deformaciOn del alambre del sensor. En consecuencia el sensor de deformaciOn se puede utilizar para medir presión, en este caso el sensor se llama transductor de presión. Otra clase de transductor de presion utiliza el efecto piezoeléctrico. Este efecto aparece en ciertos cristales, por ejemplo cuarzo, los cuales se polarizan (secciOn 24-5) cuando se aplica una fuerza mecánica y producen una fern que es proporcional a la fuerza aplicada. El termopar es un dispositivo que produce una señal eléctrica cuando se somete a diferentes temperaturas. A diferencia del termómetro de resistencia, en el que varIa la resistencia con relación a Ia temperatura, el termopar produce una fern que se basa en el "efecto termoeléctrico". Cuando dos metales diferentes, digarnos hierro y cobre, se unen en sus extremos como se indica en la figura 26-30a, se produce una fern en ambas uniones siempre que estas se encuentren a diferentes temperaturas.t La magnitud de esta fern depende de Ia diferencia en la temperatura. En Ia operación del termopar, una de sus uniones se mantiene a una temperatura conocida. Esta "temperatura de referencia" es de 0°C. La uniOn restante, conocida como "uniOn de prueba" se coloca en el lugar donde se desea medir la temperatura. La fern se mide en alguna forma precisa, (figura 26-30b); en este caso las terminales tienen que ser del rnismo material y deben mantenerse a la misma temperatura para evitar Ia generacion de ferns adicionales. Con frecuencia las uniones del termopar se conectan con puntas especiales de prueba, estas conexiones adicionales deben mantenerse a La misma temperatura. El microfono es un transductor que convierte las ondas sonoras en seflales eléctricas. Una clase de micrófono es el micrófono tipo capacitor (o condensador), figura 26-31. La presión variable de Las ondas sonoras provoca que una de las placas del capacitor C se desplace hacia adelante y hacia atrás. Como ya se vio en el capItulo 24, la capacitancia es inversamente proporcional a la distancia de separación de las placas. En consecuencia una onda sonora provoca Ia variación de Ia capacitancia, a su vez esto produce un cambio en Ia carga Q de las placas (Q = CV), lo anterior genera una corriente eléctrica que tiene Ia misma frecuencia que la onda sonora que entra al micrOfono. Parte de Ia explicaciOn teOrica es que Los electrones de un metal ocupan estados de menor energIa, en cornparaciOn con los electrones del otro metal; en consecuencia, algunos de ellos fluyen a través de Ia union. Esto hace que un metal sea ligeramente más positivo que el otto, por tanto se forma un potencial de contacto entre ambos metales. Si las dos uniones se encuentran a La misma ternperatura, en cada una existirá el mismo potencial de contacto; en consecuencia, ambos potenciales se balancean y no hay flujo de corriente. Pero si una de las uniones se encuentra a una temperatura superior, entonces se alteran los estados de energfa y los potenciales de contacto serán diferentes. En consecuencia, se producirá una fern neta y habra flujo de corriente.

*SECCION 26-6

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Cobre

Cahentes

FrIo

Hierro

Dispositivo medidor de voltaje

('j

Ci'

Caliente.

FrIo (uniOn de

referencia)

1e

FIGURA 26-30

Termopar

FIGURA 26-31 Diagrama de un micrOfono tipo capacitor.

PresiOn del

sonid

Vsa]ida

Placa

T

V

mOvil

(diafragma)

Transductores y termopares

677

Resumen Un dispositivo que transforma una clase de energIa a energIa eléctrica se corioce corno fuente de fern. La baterIa se comporta corno una fuente de fern que incluye una resistencia interna en serie. La fern es Ia diferericia de potencial que está deterrninada por las reacciones qulmicas que ocurren en el interior de la baterIa, y es igual a! voltaje en las terrninales

de Ia baterIa cuando no circula corriente. Cuando circula corrierite, el voltaje en las terminales de Ia baterfa es rnenor que esta fern por una cantidad igual a Ia caIda de voltaje Ir que aparece en Ia resistencia interna. Cuando se conectan resistores en serie (de extrerno a extrerno), La resistencia equivalente es igual a Ia surna de las resistencias individuales:

Req = R1 + R2 + Cuando se conectan resistores en paralelo, el recIproco de Ia resistencia total es igual al recIproco de las resistencias in-

dividuales:

1

Req

= ++.... 1

1

R1

R2

En Ia conexiOn tipo paralelo la resistencia neta es menor que cualquiera de las resistencias individuales.

Las Ieyes de Kirchhoff son muy ütiles para determinar las corrientes y los voltajes en los circuitos. La ley de puntos de union de Kirchhoff se basa en Ia conservaciOn de las cargas eléctricas e indica que la surna de todas las corrientes que entran en cualquier punto de union es igual a Ia surna de las corrientes que salen de ese punto de union. La segtrnda ley o ley del lazo se basa en Ia conservaciOn de Ia energia e indica que la

surna algebraica de los carnbios de voltaje en cualquier trayectoria cerrada (lazo o rnalla) de un circuito es igual a cero. Cuando un circuito RC que contiene un resistor en serie con un capacitor se conecta a una fuente de fern de cd, el voltaje en el capacitor aurnenta gradualrnente con respecto al tiempo. Dicho aumento esth caracterizado por una funciOn

exponencial de Ia forma (1 - e_tt), donde Ia constante de tiempo - = RC es el tiempo que necesita el voltaje para alcanzar el 63 por ciento de su valor rnáximo. La corriente en

el resistor disminuye conforme Un capacitor que se descarga en i.m resistor estará caracterizado por la misrna constante de tiempo: en el tiernpo i- = RC, el voltaje en el capacitor disrninuye un 37 por ciento de su valor inicial. La carga en el capacitor, y el voltaje en sus terrninales, disrninuye conforrne al igual que la corriente.

Preci U ntas Explique porqué los pájaros se pueden parar en los cables de las lIneas de alta tension con seguridad, mientras que el hecho de colocar una escalera de metal en un cable de este tipo para desatorar un papalote resulta extremadamente peligroso. Analice las ventajas y desventajas que tienen las luces de los rboles de navidad cuando Se conectan en paralelo contra las

luces que se conectan en serie. Si todo lo que tiene es una lInea de 120 V, podrfa conectar Varias lámparas de 6 V sin quemar ninguna? ,Explique cómo? Dos lámparas incandescentes cuya resistencia es R1 y R2 (>R1) se conectan en serie. Cuál brilla más? Qué sucederIa si se conectan en paralelo? Describa con sumo cuidado Ia diferencia entre fern y diferencia de potencial. Los contactos o toma corrientes de las casas vienen en módulos dobles, ,están conectados en serie o en paralelo? 6COmo lo sabe? Si tiene dos lámparas idénticas y dos baterlas idénticas, LcOmo conectarIa estos elementos en un circuito para obtener Ia mdxima potencia posible. (Suponga que Ia resistencia interna de las baterfas es despreciable.) Explique por qué la ley del lazo de Kirchhoff se basa en Ia conservación de las cargas eléctricas. Explique pot qué la ley del lazo de Kirchhoff es resultado de Ia ley de conservación de la energIa. tCómo cambiarIa Ia resistencia total del circuito eléctrico de su recámara si además de tener un foco de 60 watts conecta otro foco adicional de 100 W? En base a] circuito de Ia figura 26-32, utilice las palabras "aumenta", "disminuye" o "permanece igual" para terminar las siguientes oraciones: (a) Si aumenta R7, Ia diferencia de potencial entre A y E (suponga que el amperImetro y no tienen resistencia)

678

CAPTULO 26

FIGURA 26-32

Pregunta 11. Si aumenta R7, Ia diferencia de potencial entre A y E (suponga que el amperImetro y tienen resistencia) Si aumenta R7, Ia caIda de voltaje en R4 Si disminuye R2, la corriente en R1 Si disminuye R2, Ia corriente en R6 Si disminuye R2, Ia corriente en R3 Si aumenta R5, Ia caIda de voltaje en R2 Si aumenta R5, Ia caIda de voltaje en R4 Si aumentan R2, R5 y R7, entonces

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,Por qué se conectan en serie las baterIas? (,Por qué se conectan en paralelo? Tiene sentido si las baterias son casi idénticas (o no to son) en cada caso? ,El voltaje entre terminates de una baterIa puede ser superior a su fern? La fuente de 18 V de Ia figura 26-33 "está cargando" a Ia baterIa de 12 V. Explique córno sucede lo anterior.

-.-I 1.OQ

= 18V

Cuando se aplica Ia ley del tazo de Kirchhoff en et circuito de Ia figura 26-33. ,El signo (o Ia dirección) de ta fern de la baterIa depende de Ia dirección de Ia corriente que fluye en La baterIa? En un circuito RC, Ia corriente sale de Ia baterIa hasta que el capacitor se carga completamente. tLa energia total que suniinistra Ia baterIa es igual a Ia energIa total que almacena el capacitor? En caso contrario explique hacia dónde va la energia adicional. Diseñe un circuito en et que dos interruptores diferentes similares a los de la figura 26-34 se utilicen para encender ci mismo foco desde extremos opuestos de una habitación.

R = 6.6 Q

r = 2.0 Q

= t2V FIGURA 26-33

Preguntas 14 y 18; y problema 24.

Explique en detalle cOrno podrIa medir La resistencia interna de una baterIa. Compare y analice las fOrmulas para los valores equivalentes de los resistores y capacitores cuando se conectan en serie y en paralelo. Suponga que tres capacitores idénticos están conectados a una baterIa. ,Almacenarán más energIa si se conectan en serie o en para]elo?


,Cuál es La principal diferencia entre un voltImetro y un amperImetro?

Que sucederIa si por error utiliza un amperImetro cuando en realidad necesitaba un voltimetro? Explique por qué un amperImetro ideal deberfa tener una resistencia cero y un voltImetro ideal una resistencia infinita.

Problemas Suponga que tiene un resistor de 500 Cl, otro de 900 Cl, y

Calcule el vottaje en las terminales de una baterIa que tiene una resistencia interna de 0.900 11 y una fern de 8.50 V cuando Ia baterIa se conecta en serie con (a) un resistor de 68.0 fi, y (b) un resistor de 680 fl. (1) Cuatro baterlas de 2.0 V se conectan en serie con una lámpara de 12 Si Ia corriente resultante es de 0.62 A, ,cuál es La resistencia interna de cada baterIa, suponiendo que todas son idénticas y despreciando la resistencia de los alambres de conexiOn? Una pita seca de 1.5 V se puede probar si se conecta a un amperImetro de baja resistencia. La pita debe proporcionar como rnInirno 25 A. 1,Cuál será Ia resistencia interna de Ia pita en este caso? (II) (,Cuál será Ia resistencia interna de un acurnulador automotriz de 12.0 V si el voltaje en sus terminates disrninuye a 9.8 V

uno de 1.40 kCl. Cuál será (a) el máximo y (b) el mmnimo valor de resistencia que puede obtener at combinar estos resistores?

Suponga que tiene una baterla de 6.0 V y desea aplicar

un voltaje de 4.0 V. Si tiene una cantidad itimitada de resistores de 1.0 Cl, cOmo los conectarla para realizar un divisor de voltaje que proporcione una salida de 4.0 V para una entrada de 6.0 V? (II) Tres resistores de 1.20 kCl se pueden conectar entre sí en cuatro formas diferentes, para hacer combinaciones de circuitos en serie y/o paraleto. ,Cuáles serIan estas cuatro formas y cuál seria Ia resistencia total en cada caso? (II) Cuál será la resistencia neta del circuito de La figura 26-35? Cada resistor es R = 2.8 kCl.

cuando el motor de arranque (marcha) consume 60 A? Cuál es Ia resistencia del motor de arranque?

En los siguientes probtemas desprecie Ia resistencia interna de Ia baterIa a menos que se especifique lo contrario. (I) Cuatro támparas incandescentes de 90 (1 se conectan en serie. Cuát será Ia resistencia total del circuito? ,Cuál será La resistencia total si se conectan en paralelo?

(I) Tres Iámparas incandescentes de 40 Cl y tres lámparas de 80 Cl se conectan en serie. (a) Cuál será Ia resistencia total del circuito? (b) Cuál será Ia resistencia del circuito silas seis lamparas se conectan en paralelo? (I) Si se tiene solamente un resistor de 25 Cl y otro de 70 Cl, men-

cione todos los valores posibles de resistencia que se pueden

12 V

FIGURA 26-35 ProbLemas 11 y 18.

obtener.

Problemas

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679

(II) Ocho focos se conectan en serie a una lInea de 110 V. (a) Cuál es el voltaje en cada foco?, (b) si Ia corriente es 0.60 A, cuál ser La resiStencia y Ia potencia disipada en cada foco? (II) Ocho focos se conectan en paralelo a una ilnea de 110 V, para esto se utilizan dos alambres cuya resistencia es 1.5 ci. Si en cada foco fluye una corriente de 340 mA, cuál Será Ia resistencia de cada uno y qué fracciOn de Ia potencia total se desperdicia en los alambres de conexión? (II) Ocho luces para árbol de navidad de 7.0 W se conectan en serie a una lInea de 110 V. Cuál es Ia resistencia de cada foco? (II) La inspecciOn detallada de un circuito eléctrico revela que por accidente se conectó un resistor de 480 ci en lugar de un resistor de 320 ci. Corno Se puede arreglar este problerna sin tener

que quitar ningtin elernento que existe en el circuito? (II) Cuando se conectan dos resistores en serie a una lInea de

Una baterIa que tiene una fern de 12.0 V tiene un voltaje entre terrninales de 11.8 V cuando se conecta a un circuito que tiene dos lárnparas, cada una está especificada a 3.0 W (a 12 V) y se conecta en paralelo con Ia baterIa. ,Cuál es Ia resistencia interna de Ia baterla? Un resistor de 3.8 kci y otro de 2.1 kci se conectan en paralelo, a su vez esta combinaciOn se conecta en serie con un resistor de 1.8 kci. Si cada resistor se especifica a W, cuáI será el voltaje rnáximo que se puede aplicar en toda La red?

(I) Calcule La corriente en el circuito de Ia figura 26-38 y demuestre que Ia suma de todas las variaciones de voltaje en el circuito es cero.

110 V utilizan una cuarta parte de Ia potencia que se utiliza cuando los resistores se conectan en paralelo. Si el valor de un

resistor es 1.6 kci, ,cuál es el valor del otro? (II) Una lámpara incandescente de 75 W, 110 V se conecta en paralelo con otra ldrnpara de 40 W, 110 V. ,Cuál es Ia resistencia neta de ambas? (II) Calcule Ia corriente que circula en cada resistor de Ia figura 26-35 si cada resistencia es R = 2.20 kci. Cuál es Ia diferencia de potencial entre los puntos A y B? (II) Considere el circuito de resistores que se muestra en Ia figura 26-36. Responda las siguientes preguntas en forma cualitativa: (a) qué sucede con el voltaje en cada resistor cuando se cierra el interruptor S?, (b) qué sucede con Ia corriente que

circula en cada resistor cuando se cierra el interruptor?, (c)

,qué sucede con Ia potencia de salida de La baterIa cuando se = R3 = R4 = 100 ci, y V = 45.0 V, determine Ia corriente en cada resistor antes y después de cerrar el interruptor. Se confirmaron sus predicciones

cierra el interruptor? (d) Si R1 =

8.0 Q

12.0 Q

FIGURA 26-38

Problema 23.

(II) Determine el voltaje entre terniinales de cada baterIa en La figura 26-33. (II) Determine Ia magnitud y dirección de las corrientes en R1 y R2, en La figura 26-39.

(II) Repita el problerna 25, pero ahora suponga que cada baterIa tiene una resistencia interna r = 1.2 ci.

V1=9.OV R1=22Q

-H F-MM-R2 = 15 Q

cualitativas?

V3 = 6.0 V II

FIGURA 26-36

Problema 19.

(II) Tres resistores iguales R se conectan a una baterla como se muestra en La figura 26-37. Explique en forma cualitativa qué sucede con: (a) Ia calda de voltaje en cada uno de los resistores, (b) Ia corriente que fluye en cada resistor, (c) el voltaje en las terminales de Ia baterla cuando se abre el interruptor S, después que estuvo cerrado durante bastante tiempo. (d) Si La fern de Ia baterIa es 12.0 V, ,cuál será el voltaje entre sus terminales cuando se cierra el interruptor? Considere que Ia resistencia interna de Ia baterIa es 0.50 ci y R = 5.50 ci. (e) (,Cuál será el voltaje en las terminales cuando se abre el interruptor?

FIGURA 26-39

FIGURA 26-40

Problemas 25 y 26.

Problemas 27 y 28.

(II) Determine las magnitudes y direcciones de las corrientes en cada resistor de Ia figura 26-40. Las ferns de las baterIas son = 9.0 V, 2 = 12.0 V y los resistores tienen los siguientes valores: R1 = 15 II, R2 = 20 ci y R3 = 40 ci.

(II) Repita el problerna 27 suponiendo que cada baterfa tiene una resistencia interna r = 1.0 ci. (II) Determine Ia corriente en cada uno de Los resistores de La figura 26-41.

FIGURA 26-41

FIGURA 26-37

Problerna 20. 680

CAPITULO 26

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6.OV

Problemas 29 y 30.

(II) Si el resistor de 20 fl de Ia figura 26-41 se pone en corto circuito (resistencia = 0), ,cuá1 será Ia corriente que circula en el resistor de 10 fl? (II) La corriente que pasa por el resistor de 4.0 kIt de Ia figura 26-42 es 3.50 mA. j,Cuál será el voltaje entre terminales Vba de Ia baterIa desconocida? (Hay dos respuestas, explique por qué).

(III) Para el circuito que se muestra en Ia figura 26-45, determine (a) Ia corriente que fluye en Ia baterIa de 14 V y (b) Ia diferencia de potencial entre los puntos a y b.

4.0 kQ

18V

14 V

12V FIGURA 26-42

FIGURA 26-45

Problerna 31.

Suponga que el resistor de 10 It de Ia figura 26-43 se reemplaza por una resistencia desconocida R. Luego se mide Ia corriente que fluye en este resistor desconocido, Ia cual se dirige hacia Ia derecha y su valor es '2 = 0.90 A, cuál es el valor de R? (11) Suponga que Ia baterIa de 6.0 V de la figura 26-43 se reernplaza por una fern de valor desconocido i. Si La corriente que fluye por el resistor de 10 It es 12 = 0.30 A y se dirige a Ia izquierda, cuál es el valor de ? Suponga que r = 1.0 It.

Problema 38.

(III) Determine Ia resistencia neta en Ia figura 26-44 (a) entre los puntos a y c, (b) entre los puntoS a y b. Suponga que R' R. [Sugerencia: aplique una fern y determine las corrientes, utilice simetrIa en las uniones.] (III) Se tienen doce resistores, cada uno tiene una resistencia R,

y se conectan en las esquinas de un cubo corno se indica en Ia figura 26-46. Determine La resistencia equivalente (a) entre los puntos a y b; (b) entre los puntos a y c, que son los extremos diagonales de un lado; (c) entre los puntos a y d, al final de La diagonal de volumen. [Sugerencia: aplique una fern y determine las corrientes, utilice simetrIa en las uniones.]

12 Q

18 Q FIGURA 26-43

6.0 V

/3

Problemas 32,33,34 y 35.

Deterrnine las corrientes I, 12 e /3 en Ia figura 26-43. Suponga que Ia resistencia interna de cada baterla es r = 1.0 It. ,Cuál será el voltaje en las terminales de Ia baterla de 6.0 V? (III) 6Cuál será el valor de Ia corriente 1 en Ia figura 26-43 Si se pone en corto el resistor de 18 It? Considere que r = 1.0 ft. (III) Determine Ia resistencia neta de Ia red que se muestra en Ia figura 26-44 (a) entre los puntos a y c, y (b) entre los puntos a y b. Suponga que R' = R. [Sugerencia: utilice Ia simetrIa.]


(II) En La figura 26-18a, La resistencia total es 15 kIt y La fern de Ia baterIa es 24.0 V. Si Ia constante de tiempo es 55 p.s. calcule

(a) La capacitancia total del circuito y (b) el tiempo necesario para que el voltaje en el resistor alcance el nivel de 16.0 V.

(II) Para el cirduito RC de La figura 26-19a, R = 6.7 kIt y C = 6.0 p.E El voltaje del capacitor es V0 en t = 0 cuando el in-

terruptor está cerrado. ,Cuánto tiempo necesita el capacitor para descargarse a 1.0 por ciento de u valor inicial? (II) Considere el circuito en serie RC de Ia figura 26-18a. Cuánto tiempo se necesita para que Ia energIa que está almacenada


en un capacitor alcance La mitad de su valor máximo? Exprese La respuesta en términos de La constante de tiempo r = RC.

(III) Se aplica un voltaje V a n resistores que están conectados en paralelo. Si a su vez los resistores estan conectados en serie con el voltaje aplicado, dernuestre que Ia potencia transforrnada disminuye en el factor n2.

(II) Dos capacitores de 6.0 p.F, dos resistores de 2.2 kIt y una fuente de 12.0 V se conectan en serie. Comenzando desde eI eStado sin carga, j,cuánto tiempo se requiere para que La corriente disminuya desde su valor iniciaL hasta 1.50 mA?

Problemas

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681

(III) (a) Determine Ia constante de tiempo para cargar a] capacitor del circuito de La figura 26-47. [Sugerencia: aplique las leyes de Kirchhoff.] (b) Cuá] será La carga maxima en el capacitor? R1

-c

FIGURA 26-47 ProbLema 45.

(III) Dos resistores y dos capacitores sin carga se conectan como indica La figura 26-48. Luego se aplica una diferencia de potencial de 24 V en el circuito. (a) ,Cuál es eL potenciaL en eL punto a cuan-

do S está abierto? (Suponga que V = 0 en Ia terminal negativa de La fuente.) (b) Cuál es el potencial en eL punto b cuando el inte-

rruptor está abierto? (c) Cuando el interruptor está cerrado,

i,cuál será La diferencia de potencial en el punto b? (d) j,Cuánta carga fluye a través del interruptor S después que se ha cerrado? (Ill) Suponga que el interruptor S de La figura 26-48 está cerrado. ,CuáL es La constante de tiempo (o constantes de tiempo) para cargar a los capacitores una vez que se han aplicado 24 V?

8.8 Q

0.48 F

I

(II) Un amperImetro cuya resistencia interna es 60 It indica una lectura de 4.25 mA cuando se conecta a un circuito que contiene una baterIa y dos resistores en serie cuyo valor es 700 It y 400 It. LCuáL es Ia corriente real que circula cuando eL amperImetro no está presente? (II) Una baterIa con = 12.0 V y resistencia interna r = 1.0 It se conecta a dos resistores de 9.0 kIt que están conectados en sene. Se utiLiza un arnperIrnetro cuya resistencia interna es 0.50 It para medir La corriente y aL mismo tiempo un voltfmetro cuya resistencia interna es 11.5 kIt mide eL voltaje en uno de Los resistores del circuito en 9.0 kIt. CuáL es La Lectura del voLtImetro y el amperIrnetro?

(II) Una baterIa de 12.0 V (suponga que su resistencia interna es 0 It) se conecta a dos resistores en serie. Un voltIrnetro cuya resistencia interna es 15.0 kIt indica una Lectura de 5.5 V y 4.0 V, respectivarnente, cuando se conecta en cada uno de los resistores. i,CuáL es La resistencia de cada resistor?

Dos resistores de 8.4 kIt se conectan en serie a una baterfa. Un vo]tIrnetro cuya sensibiLidad es 1000 It/V en La escala de 3 V presenta una Lectura de 2.0 V cuando se conecta en cualquiera de Los resistores. ,CuáI es La fern de La baterIa? (Ignore La resistencia interna de La baterIa.) Se rnide el voltaje en el resistor de 120 kIt de un circuito que contiene cierta resistencia adicional (R2) que está en serie con una baterfa (V), eL voltIrnetro que se utiliza tiene una sensibiLidad de 20,000 It/V y La indicación de voltaje es 25 V en Ia escala de 100 V. En La escala de 30 V Ia lectura es de 23 V. j,CuáL

es el voltaje real considerando que se elimina el voltImetro?

+ 24 V

S

4.4 Q

Cuál es eL valor de R2?

b

0.24 iF

T


(III) Un voltImetro y un amperIrnetro se pueden conectar corno se indica en Ia figura 26-49a para rnedir Ia resistencia R. El vabr de R no es precisamente V/I, donde V es Ia indicaciOn del voltimetro, I es Ia lectura del arnperImetro, ya que en realidad parte de La corriente circula por ci voltIrnetro. (a) Demuestre que ci valor real de R está determinado por

1_I RV R

1

*

*

(I) tCuáL es La resistencia de un voltimetro en Ia escala de 250 V si Ia sensibiLidad del medidor es 50,000 fl/V? (I) Un amperImetro tiene una sensibiidad de 20,000 fl/V. ,CuáL es Ia corriente que fluye por el gaLvanOmetro para producir una defLexión de maxima escaLa?

*

(II) Un galvanórnetro tiene una resistencia interna de 30 fi y La deflexión de maxima escaLa sucede con una corriente de 50 iA. Describa cómo se debe utilizar el galvanómetro para fabricar

(a) un amperImetro que mida corrientes hasta 30 A, y (b) un *

voltImetro cuya deflexiOn de maxima escala sea 1000V. (II) Un galvanómetro tiene una sensibiLidad de 35 kIt/V y una

donde R es La resistencia del vo]tImetro. Observe que R V/I si R >> R. (b) EL voLtImetro y eL amperImetro tarnbién se pueden conectar corno se indica en Ia figura 26-49b para medir La resistencia R. Demuestre que en este caso

R=

- RA

donde V e I son Las Lecturas del voltimetro y arnperImetro, RA

es La resistencia del amperImetro. Observe que R RA << R.

resistencia interna de 20.0 It. i,Qué se tiene que hacer para (a) obtener un amperimetro con una defLexión de maxima escala de 2.0 A, (b) un voltImetro con una deflexión de maxima escala de 1.OV? (II) La deflexión de maxima escala de un amperimetro es de 20 mA, y está integrado por un resistor de 0.20 It en paraleLo con un galvanOmetro de 30 It. ,Qué modificaciones debe reaLizar al circuito del amperImetro para transformarLo en un voLtImetro

*

(a)

que tenga una indicación de maxima escala de 10 V? Recuerde que debe utiLizar el rnismo galvanOmetro. jCuáL será Ia sensibilidad del voLtImetro (fl/V)?

(II) Una baterIa de 45 V (cuya resistencia interna es despreciable) se conecta a dos resistores en serie de 37 kIt y 28 kIt. Qué Lectura se obtendrá si se utiLiza un voltImetro, cuya resistencia interna es 100 kIt, para medir el voltaje en cada resistor? ,CuáL es La inexactitud porcentual debido a La resistencia del medidor en cada caso?

*

682

CAPiTULO 26

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FIGURA 26-49

Problema 59.

V/I si

(I) Un termopar de cobre-constatán produce ferns de aproximadamente 40 V/°C. Si Ia temperatura de referencia es 25°C, cuál deberá ser la temperatura de La union de prueba (suponga que La temperatura aumenta) si Ia fern que se produce es 1.72 mV? (I) Para una uniOn hierro-cobre que está a temperatura ambiente, Ia fern que produce un termopar es 14 VI°C. Si el valor más pequeno de la fern que se puede detectar es 0.50 jtV/ °C, ,cuál será La exactitud de la indicaciOn de temperatura?

(II) El factor de deformaciOn K de un sensor de deformaciOn se define como el cambio porcentual en resistencia (R/R) dividido entre el cambio porcentual en longitud:

K

= L/L y es relativarnente constante a una temperatura determinada. En otras palabras, el carnbio en Ia resistencia R es propor-

cional al carnbio en longitud zxL del alambre. (a) Demuestre que esta relaciOn lineal es razonable para valores pequefios de L/L. (b) Un sensor de deformaciOn con factor de deformación igual a 1.8 se coloca en un mOsculo pequeno que tiene aproximada-

mente 4.5 milirnetros de ancho. El sensor se conecta en lugar del resistor desconocido en el puente de Wheatstone (ejemplo

26-9). Luego se relaja el mOsculo y el puente de Wheatstone está balanceado cuando R2/R = 1.4800 y R3 = 40.700 fi. Cuando ,En el mOsculo se contrae el balance sucede en R3 = 40.736 cuánto ha cambiado Ia anchura del mOsculo? .

Problemas generales Suponga que desea aplicar una diferencia de potencial de

Un marcapasos cardiaco está diseñado para operar a 72 latidos/minuto, este equipo utiliza un capacitor de 7.5 F en un circuito sencillo RC. Cuál debe ser el valor de la resiStencia a utilizar si el marcapasos debe dispararse (descarga del capacitor) cuando el voltaje alcanza el 45 por ciento de su valor máxirno?

Una lampara de tres vias puede prod ucir 50 W, 100 W o 150 W a 120 V. Esta lámpara tiene dos filarnentos que se pueden conectar en forrna individual o en paralelo a la Ilnea de 120 V. Describa cómo tiene que conectar los filamentos para producir la poten-

La resistencia interna de una pila de mercurio de 1.35 V es

0.25 V entre dos puntos del cuerpo. La resistencia es aproximadamente 2000 fi y sOlo tiene una baterfa de 6 V. Cómo puede conectar uno o más resistores para producir el voltaje deseado?

cia deseada. j,Cuál debe ser la resistencia de los filamentos en cada caso? Suponga que desea conectar un aparato que está a 115 m de dis-

tancia del contacto eléctrico. Cada uno de los alambres de conexiOn del aparato tiene una resistencia por unidad de longitud /m. Si el aparato consume 3 A, Lcuál seth la calda de voltaje en los alambres de conexiOn y qué voltaje se aplicará al aparato? igual a 0.0065

La electricidad puede ser un peligro en los hospitales, especialmente para los pacientes que están conectados a un electrocardiógrafo mediante electrodos. Por ejemplo, suponga que el motor de una cama de hospital tiene un cortocircuito en su cubierta de metal, suponga además que Ia conexión a tierra de Ia cubierta del motor está abierta (o nunca se conectó en primera instancia). Si una enfermera toca la cama y al paciente a! mismo tiempo, ella se volverá un conductor y cerrará el circuito, el cual se forma del paciente a tierra a través del electrocardiOgrafo. La figura 26-50 muestra el diagrama esquemático de esta situación. Calcule Ia corriente que circula por el paciente. Cama

Enfermera

Paciente

(bajaR)

iO4Q

iO4Q

°Motor

0.030 fi, mientras que Ia resistencia interna de una pila seca de 1.5 V es 0.35 fi. Explique por que motivo tres pilas de mercurio pueden alimentar de manera más efectiva un audIfono que consume 2 fl a 4.0 V que la pila seca. Suponga que la resistencia de una persona es 1100 fl. (a) tQué corriente circulará a través de la persona si conecta por accidente a Ia Ilnea de 110 V. (b) Si existe una trayectoria alternativa al paso de La corriente cuya resistencia es 40 fl, ,cuál seth la corriente que circula por Ia persona? (c) Si la fuente de voltaje puede producir 1.5 A como máximo, cuánta corriente circulará por Ia persona en el inciso (b)? Una longitud desconocida de alambre de platino cuyo diámetro es 0.920 mm se conecta como la resistencia desconocida en el circuito del puente de Wheatstone (ejemplo 26-9 y figura 26-51). Las ramas 1 y 2 tienen las siguientes resistencias 38.0 y 46.0

res-

pectivamente. El balance se obtiene cuando R3 = 3.48 1. 1,Cuál es la longitud del alambre de platino?

Equipo ECC (baja R)

\. 220V

FIGURA

26-51

Puente de Wheatstone, problema 70.

JFIGURA

26-50 Problerna 66. Problemas generales

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683

Suponga que dos baterIas que tienen ferns desiguales 2.0 V

y

3.0 V se conectan corno Se indica en Ia figura 26-52. La resistencia interna de cada una es r = 0.10 fl y R = 4.0 fl. Cuál es el voltaje en el resistor R?

forrne), mientras que R representa solarnente la resistencia de Ia parte A hacia el contacto rnóvil que est en C. Cuando se va a medir una fern de valor desconocido, l5. se conecta corno se

R = 4.0 Q

WA

rnuestra en el circuito, después se rnueve el contacto rnóvil (cur-

=2.0V

c

Un potenciómetro es un dispositivo que mide en forma precisa diferencias de potencial o fern, para esto utiliza Ia técnica de "detecciOn de cero". La figura 26-55 muestra el circuito simple de un potenciórnetro, en el que R' representa Ia resistencia total de A a B (que puede ser un resistor de alambre devanado en forma uni-

sor) hasta que el galvanometro 0 da una indicaciOn nula (por

FIGURA 26-52

=3.0V

Problerna 71.

ejernplo cero) cuando Se cierra el interruptor S. En este caso decimos que Ia resistencia entre A y C es R. Luego se conecta una fern estándar '. (cuyo valor se conoce en forrna precisa) en lugar de y de nuevo se mueve el contacto C hasta que La corriente que fluye por el galvanOrnetro es cero (rnientras el interruptor S

está cerrado). La resistencia entre A y C ahora es R,. (a) Demuestre que Ia fern desconocida esta determinada por

Los electrocardiografos se conectan con bastante frecuencia corno se indica en Ia figura 26-53. Se dice que las terminales tienen acoplamiento capacitivo. La constante de tiernpo tIpica para este circuito es 3.0 s, lo que permite registrar en forrna precisa los carnbios rápidos en el potencial. Si C = 3.0 F, ,cuá1 será el valor de R?

Al electrodo de Ia pierna izquierda

c

=

(R

donde R, R, y se conocen en forma precisa. Se supone que Ia baterIa es nueva y proporciona un voltaje constante. (b) El

potenciOrnetro se balancea con una pila estándar de 1.0182 V cuando el contacto rnóvil está a 25.4 crn de su longitud total que es 100.0 crn. Cuando se conecta Ia fern desconocida el contacto rnóvil estd a 45.8 cm. Cuá1 es Ia fern desconocida? (c) El galvanOrnetro de un potenciOrnetro tiene una resistencia interna de 30 It y puede detectar corrientes tan pequeflas corno 0.015 rnA. Cuál es Ia rnInirna incertidurnbre posible cuando Se rnide el

voltaje desconocido? (d) Explique Ia ventaja que ofrece esté rnétodo de detección de cero para rnedir fern.

Graficador

-

Al electrodo de la pierna derecha (tierra)

Baterla de trabajo

C Al electrodo del brazo FIGURA 26-53

Problerna 72.

Una baterla produce 40.8 V cuando circula por ella una corriente de 7.40 A, pero produce 44.5 V cuando se toma una corriente de 2.20 A. £,Cuál es Ia fern y Ia resistencia interna de la baterIa? LCuántos resistores del mismo valor y potencia de W se deben utilizar para producir un resistor equivalente de 1.2 kfl, SW? (,CuáI será Ia resistencia de cada uno y en qué forma Se deben conectar?

Algunos interruptores/atenuadores de luz utilizan un resistor variable como se muestra en Ia figura 26-54. El cursor del resistor variable se rnueve de Ia posición x = 0 a x = 1, y Ia resisten-

cia en Ia posiciOn x es proporcional al desplazarniento x (Ia resistencia total del potenciómetro es R0 = 100 It) ,Cuál es Ia potencia que se entrega a Ia lámpara si (a) x = 1.00, (b) x = 0.50, (c) x = 0.25?

+

or

-

'gs

FIGURA 26-55

Circuito del potenciómetro, problerna 76.

Con frecuencia los dispositivos electrOnicos utilizan un circuito RC para proteger contra sobrecargas transitorias de voltaje corno Se rnuestra en Ia figura 26-56. (a) Si se supone que el dispositivo de protección debe rnantener el voltaje de alirnentación (corno rninirno) a un 70 por ciento de su valor nominal durante

0.20 s, cuáI es el valor del resistor? El capacitor es de 14 tF. (b) Entre qué par de terrninales se debe conectar el dispositi-

vo, ab; bc, o ac?

Parte

R0= 100Q

electrOnica

Ripa = 200 Q FIGURA 26-54

684

CAPITULO 26

Problerna 75.

Fuente de Protector alirnentaciOn de sobrecargas

Circuitos de CD

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FIGURA 26-56

Problema 77.

Para el circuito de Ia figura 26-19a, dernuestre que La disminudon en La energIa almacenada en el capacitor desde t = 0 hasta una constante de tiempo es igual a Ia energIa que disipa el resistor en forma de calor. Una celda solar cuyo lado mide 3 cm tiene una salida de 350 mA a 0.80 V cuando se expone completamente a Ia Iuz del sol. Se requiere un tablero solar que entrega una corriente de 1.0 A a una fern de 100 V para una carga externa. ,Cuantas celdas se necesitan?, ,cuáles serán las dimensiones del tablero y cómo se deben conectar Las celdas entre sI? (,COmo se puede optimizar Ia salida del tablero solar? Determine la corriente en cada resistor del circuito de Ia figura 26-57.

En el circuito de la figura 26-60, el interruptor S se cierra en un tiempo t = 0. (a) Después que el capacitor se ha cargado cornpletamente, ,cuál será el voltaje en sus terminales? i,Cuánta carga hay en el capacitor? (b) De nuevo se abre el interruptor S. (,Cuánto tiempo transcurrirá para que el capacitor se descargue hasta que sOlo tenga un 5.0 por ciento de su carga inicial?

10.0 Q

8.00 V

5.0 Q 5.00 Q

bUoy__f.

4.00 V

12.00 Q

6.00Q

Problema 83.

FIGURA 26-60

+1-

4.00Q

5.00 V FIGURA 26-57

Problerna 80.

En el circuito de La figura 26-58, el interruptor S se cierra en el tiempo t = 0. (a) i,CuáI es La corriente 10 que sale de Ia baterIa en el tiempo t = 0, inrnediatamente después que se cierra el interruptor? (b) i,CuáI es La corriente I que circula cierto tiempo después? (c) i,Cuánta carga se ha acumulado en el capacitor después de esta cantidad de tiempo? (d) Por Oltimo, si el interruptor S se abre nuevamente, cuánto tiempo transcurrirá des-

pués que se ha abierto el interruptor S para que el capacitor pierda el 80 por ciento de su carga?

La figura 26-61 muestra eI circuito de un oscilador de onda tipo diente de sierra. En el tiernpo t = 0, se cierra el interruptor S. En un principio Ia Iárnpara de neon tiene una resistencia infinita hasta que el voltaje entre sus terminales alcanza el nivel de 90.0 V, a partir de ese momento Ia Iámpara empieza a conducir ofreciendo poca resistencia (inicialrnente cero). Luego la lampara deja de conducir (su resistencia se vuelve esencialmente infinita) cuando el voltaje cae por debajo de 70.0 V. (a) i,En qué tiempo t Ia lámpara de neon alcanza el nivel de 90.0 V y empieza a conducir? (b) (,En qué tiempo 2 La lámpara de neOn alcan-

za el nivel de 90.0 V por segunda vez y empieza a conducir nuevamente? (c) Dibuje Ia forma de onda diente de Sierra entre el tiempo t = 0 y t = 0.50 segundos.

100.0 V

f.

33.0 kQ C

=

4.00 F

FIGURA 26-61 FIGURA 26-58

Foco Salida de neon

Problema 84.

Problema 81.

Una fuente de poder tiene un voltaje fijo de salida de 12.0 V,

pero se necesita VT = 3.0 V para un experimento. (a) Utilizando el divisor de voltaje de Ia figura 26-59, ,cuál deberá ser el valor de R2 si R1 = 10.0 11? (b) j,Cuál es el voltaje VT si conecta una carga a Ia terminal de 3.0 V, Ia resistencia de carga es 7.0 fl?

12.0

V1

I FIGURA 26-59

R2

VT

Problema 82.

Problemas generales

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685

Los imanes producen campos magneticos, pero las corrientes eléctricas también producen campos magnéticos. Una corriente eléctrica que fluye en el alambre recto de Ia figura genera un campo magnetico que hace que las partIculas pequenas de hierro (limadura de hierro) se ajusten at patron del campo. En las secciones siguientes de este capftulo se retomará Ia definición de campo magnético y se demostrarO que La direcciOn del campo magnético se ajusta at patrOn de Ia limadura de hierro. Las lIneas de campo magnético que se generan debido a! campo eléctrico (en este alambre recto) forman cIrcu]os alrededor del alambre.También se analizará cOmo es que el campo magnético ejerce una fuerza en corrientes eléctricas y en partIculas con carga, asI como algunas aplicaciones ütiles de Ia interacciOn entre los campos magnéticos, las corrientes eléctricas y las cargas eléctricas en movimiento.

Magnetismo historia del magnetismo se inicia hace miles de años, en las antiguas civilizaciones del Asia Menor. En una region conocida como Magnesia se descubrió que existlan rocas que se atraIan unas a otras. Estas rocas se ilamaron "magnetos" en honor al lugar donde fueron descubiertas. No fue sino hasta el siglo XIX que se descubrió que Ia electricidad y el electromagnetismo estaban Intimamente relacionados entre sI. Un descubrimiento crucial fue el hecho de que las corrientes eléctricas producen efectos magnéticos (que serán identificados como "campos magnéticos") como sucede en los imanes. El funcionamiento de cualquier tipo de dispositivo que se utiliza en la actualidad depende del magnetismo, como se vera en los siguientes capItulos, desde las brUjulas hasta los motores, las bocinas, las memorias de computadora y los generadores eléctricos.

La

Imanes v camoos maqnéticos Todos hemos observado que un imán atrae clips, agujas y otros objetos hechos de hierro. Cualquier imOn, ya sea que tenga forma de barra o de herradura, tiene dos extremos o caras, que se conocen con el nombre de polos, en estas regiones el efecto magnético es mucho mOs fuerte. Si se suspende un imán con una cuerda fina, se encontrará que uno de los polos del imán siempre apunta hacia el norte. No se sabe con precision cuOndo se descubrió este hecho, pero existe evidencia de que en el siglo XI (o quizas antes) los chinos 686

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utilizaban este principio para guiar a sus naves. Este es, desde luego, ci principio de operación de Ia brUjula. Una briijula de aguja es simplemente un imán que está montado sobre su centro de gravedad, en consecuencia, puede girar libremente. El polo de ml imán, que

está suspendido libremente, que apunta hacia el norte geográfico se conoce como polo node del imán. El otro polo del imán que apunta hacia el sur se conoce como polo sur. Es un hecho conocido por todos que cuando dos imanes se acercan uno a otro, cada uno ejerce una fuerza en el otro. La fuerza puede ser tanto de atracción como de repulsion y se puede sentir aun cuando los imanes no se tocan. Si ci poio forte de un imán se acerca al polo forte de otro imn, Ia fuerza es repulsiva. En forma similar cuando se acercan dos polos sur, Ia fuerza será repulsiva. Pero cuando ci polo norte se acerca al polo sur de otro imán Ia fuerza será atractiva. Estos resultados se muestran en Ia figura 27-1, y son similares a lo que sucede con Ia fuerza entre cargas eiectricas; p0los iguales se repelen y polos opuestos se atraen. Pero no se deben confundir los polos magnélicos con las cargas eléctricas. No es lo mismo. Una diferencia importante es que una carga eléctrica positiva o negativa se puede aislar con facilidad. Pero el hecho de aisiar un solo polo magnético puede ser algo imposible de lograr. Si un imán de barra se corta a Ia mitad, no se obtienen poios magnéticos aislados, en vez de eso se producen dos imanes nuevos, véase Ia figura 27-2. Si se repite Ia operaciOn de corte del imin, se producirán nuevos imanes, cada uno de los cuaies tendrá un polo forte y un polo sur. Los fIsicos han realizado investigaciones en bOsqueda de un solo poio magnetico (el monopoio) pero hasta Ia fecha no han encontrado ninguno. Solamente ci hierro y unos clementos como el cobaito, nIqucl, gadoiinio y ciertas aleaciones exhiben efectos magnéticos considerables. Sc dice que estos materiales son ferromagnéticos (del latin ferrum que significa hierro). Los materiales restantes muestran un efecto magnético ligero, el cuai es extremadamente débil y sOlo se puede detec-

N

Ii tepuisiOn

AtracciOn

27-1 Polos iguaies de un imán se repeien, polos opuestos se atraen. FIGURA

FIGURA 27-2 Si se rompe un imán a Ia mitad, no sOlo se obtienen polos norte y sur aislados, en vez de eso se obtienen dos nuevos imanes, cada uno de los cuaies tendrá un polo sur y un polo forte.

tar con instrumentos de laboratorio. En las secciones 28-7 y 28-9 se analizaré con

mayor detalie ci tema dcl ferromagnetismo. Resulta Otil hablar de un campo eléctrico que rodea una carga eléctrica. En Ia misma forma, podcmos imaginar un campo magnético quc rodca a un imgn. En consccucncia, Ia fucrza que ejerce un imán sobre otro se puede describir como Ia intcracción entre un imn y ci campo magnético que produce otro imán. AsI como dibujamos lineas de campo eiéctrico, también podemos dibujar lineas de campo magnético. Estas Ciltimas se pucdcn dibujar, como sucede en ci caso de las iIncas dc campo cléctrico, para que (1) Ia dirccciOn dci campo magnético sea tangentc a una lInca en cuaiquicr punto y (2) ci nümero de [Incas por unidad de superuicic sea proporcional a Ia fuerza dci campo magnético. La dirección dcl campo magnético en un punto detcrminado se puede definir como Ia dirección a la que apuntarIa ci polo norte de la brOjula cuando se coloca en ese punto (en Ia sección 27-3 se proporcionará una definiciOn más precisa). La figura 27-3a muestra cOmo se detecta una lInea de campo magnético alredcdor de un imán rectangular con Ia ayuda de una brOjula dc aguja. La figura 27-3b muestra ci campo magnetico que se determinO de csta forma, en ci caso de un campo que rodea a un imán rectangular. Cabe indicar quc, debido a nuestra definiciOn, las [Incas siempre salen dci poio norte y se dirigen al polo sur de un imn (ci poio forte de una brUjula de aguja es atraldo por ci poio sur dc otro imén). La figura 27-4 muestra Ia forma en Ia que las limaduras dc hierro revelan las ilneas de campo magnetico.

-

Is

N

ELI. Na S

I

S

N) S N

NJ

3

i:

Lmneas de campo ,nagnélico

FIGURA

27-4 Las limaduras de

hierro indican las lIneas de campo magnético que rodean a un imán rectangular.

27-3 (a) RepresentaciOn de una lInea de campo magnético en un imán tipo barra. (b) LIneas de campo magnético de un imán rectangular. FIGURA

n

(a) (b)

SECCION 27i

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Imanes y campos eléctricos

687

Polo norte geogréfiep

Polo magnético

Bra LI

( La Tierra act(ia como un imán gigante, pero sus polos magnéticos no coinciden con los polos geográficos. Por definición los polos magnéticos se encuentran en el eje de rotaciOn de Ia Tierra. FIGURA 27-5

Empleo de un mapa y una brtijula para orientarse. Primero se alInea Ia brüjula para4ue Ia aguja se aleje del forte verdadero (N) en exactamente Ia misma cantidad de grados de inclinaciOn que indica el mapa. Luego se ailnea el mapa con el norte verdadero, como se indica, pero no se alInea con Ia aguja de La brüjula. FIGURA 27-6

Polo magnético

Polo sur geogréfico

Las ilneas de campo magnético continüan en el interior del imán, como se indica en La figura 27-3. Sin embargo, debido a Ia falta de p0105 magnéticos ünicos, las lIneas de campo magnetico forman trayectorias cerradas, a diferencia de las lIneas de campo eléctrico que inician en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. El campo magnético de La Tierra se muestra en Ia figura 27-5. El patron de las 11neas de campo se comporta como si existiera un imán tipo barra (imaginario) en el interior de Ia Tierra. Como el polo norte de una brüjula de aguja apunta hacia el norte, el polo magnético que se encueritra en el norte geografico es en realidad el polo magnético sur, como se indica en Ia figura 27-5, con Ia S en el diagrama esquemático de un imén tipo barra que se encuentra en el interior de Ia Tierra. (Recuerde que el polo norte de un imán es atraldo por el polo sur de otro.) Sin embargo, este polo se sigue identificando como "el polo norte magnético" o "norte geomagnético" simplemente porque se encuentra en el forte. En forma similar el polo magnético que se encuentra en el extremo sur de la Tierra, cerca del poio sur geográfico, es el 0lO forte magnetico. Los polos magnéticos de la Tierra no coinciden con los polos geograficos, los polos magnéticos se encuentran en el eje de rotación de Ia Tierra. Por ejemplo el pOLO forte magnético se encuentra al norte de Canada, que está a una distancia de 1300 km del polo forte geografico, o "norte verdadero". Lo anterior se debe tomar en cuenta cuando se utiliza una brüjula (figura 27-6). La diferencia angular entre el norte magnético (que indica Ia brUjula) y el norte verdadero (geografico) se denomina inclinación magnética. En Estados Unidos esta inclinaciOn varIa de 00 hasta quizés 25°, dependiendo de Ia ubicación. En Ia figura 27-5 se puede observar que el campo magnetico de La Tierra no es tangente a Ia superficie terrestre en todos los puntos. El angulo que forma el campo mag-

nético de la Tierra con respecto a La horizontal en cualquier punto se conoce como ángulo de inclinación longitudinal.

El campo magnético más sencillo es el campo uniforme, que no varla de un punto a otro. Un campo perfectamente uniforme sobre una superficie extensa no es Mcii de producir. Pero el campo entre dos polos (o secciones) planos y paralelos de un imén es casi uniforme si el area de las caras de los polos es grande en comparación con su distancia de separaciOn, como se indica en Ia figura 27-7. El campo se "deforma" un poco en los bordes y deja de ser uniforme. Las JIneas de campo con separación uniforme que se observan en el dibujo indican que el campo es uniforme en los puntos que no están muy cerca del borde, en forma similar al campo eléctrico entre dos placas paralelas (figura 23-1). El campo magnético entre dos polos grandes de un imán es casi uniforme excepto en Los bordes. FIGURA 27-7

N

fBI H

688

CAPTULO 27

Magnetismo

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(a) Deflexión de Ia aguja de varias brñjulas cerca de un alambre que transporta corriente, esto indica Ia presencia y direcciOn del campo FIGURA 27-8

magnético.

t

(b)

FIGURA 27-9 (a) Lineas de campo magnético airededor de una corriente eléctrica en un alambre recto. (b) Regla de Ia mano derecha para recordar Ia direcdOn del campo magnético: cuando el pulgar apunta en la direcciOn de La corriente convencional, los dedos que envuelven el alambre apuntan en Ia dirección del campo magnético.

LIneas de campo magnético alrededor de una bobina circular de alambre. FIGURA 27-10

Las corrientes eléctricas oroducen maqnetismo Durante el siglo XVIII muchos cientIficos trataron de buscar una conexión entre la electricidad y el magnetismo. En esa época se demostrO que una carga eléctrica estacionaria y un imán no tenIan ninguna influencia entre si. Pero en 1820 Hans Christian Oersted (1777-1851) descubriO que cuando una brtijula de aguja se acercaba cerca de un conductor eléctrico (alambre), Ia aguja giraba cuando el alambre se conectaba a una baterla y comenzaba a fluir corriente. Como ya se ha visto, Ia aguja de una brOjula puede girar (o moverse) debido a un campo magnético. Oersted descubriO que Ia corriente eléctrica produce un campo magnético. HabIa descubierto una conexiOn entre Ia eJectricidad y el magnetismo. La brOjula de aguja que se coloca cerca de Ia sección recta de un alambre que conduce corriente se alInea a sí misma de tal forma que es tangente a! cIrculo que se dibuja airededor del alambre, figura 27-8. En consecuencia, las lIneas de campo magnetico que produce la corriente en un alambre recto tienen forma de cIrculos, y el alambre se encuentra en su centro, figura 27-9a. La direcciOn de estas ilneas se indica por el polo norte de Ia brUjula en La figura 27-8. Existe una forma sencilla para recordar Ia direcciOn de las lIneas de campo magnético en este caso. Se conoce como Ia regla de Ia mano derecha:

se sujeta el alambre con la mano derecha de tal forma que el dedo pulgar apunte en dirección de la corriente convencional (positiva), entonces los dedos rodearán al alambre en Ia direcciOn del campo magnético, figura 27-9b. Las lineas de campo magnético que genera una bobina circular de alambre que transporta cornente se pueden determinar en forma similar con Ia ayuda de una brOjula. El resultado Se muestra en Ia figura 27-10. De nuevo se puede utilizar Ia regla de Ia mano derecha como se indica en Ia figura 27-11.

I as corrk'nle.v electricas produceit campUs tflagn en cos

Regla tie Ia mano de.recha para

deterrninar it, direccion del cwnpo inagnEtico

Regla de Ia mano derecha para determinar la direcciOn del campo magnético en relaciOn a Ia corriente. FIGURA 27-11

Campo magnético

Fuerza de una corriente eléctrica en un campo maqnético; definición de B En Ia secciOn 27-2 se observó que una corriente eléctrica ejerce una fuerza en un imán, como sucede en una brOjula de aguja. De acuerdo con Ia tercera ley de Newton, se puede esperar que lo contrario también sea válido; es decir que tin imán ejerza unafuerza en tin alambre que transporta corriente. De hecho los experimentos confirman este efecto, y también fue observado por primera vez por Oersted. SECCION 27-3

Fuerza de una corriente eléctrica en un campo magnético; definición de B

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689

La fuerza se dirige

hacia rrihi

B

Regla de la mano derecha (c)

(b)

(a)

(a) Fuerza en un alambre que transporta corriente que se coloca en un campo magnético B; (b) lo mismo pero se invierte Ia corriente, (c) regla de Ia mano derecha para el inciso (b). FIGURA 27-12

B

J

Alambre que transporta corriente en un campo magnético. La fuerza en el alambre se dirige hacia Ia página.

Ahora se va a examinar en detalle Ia fuerza que se ejerce sobre un conductor que transporta corriente. Suponga que un alambre recto se coloca entre los polos de un imán que tiene forma de herradura conio se indica en La figura 27-12. Cuando fluye una corriente en el alambre, se ejerce una fuerza en el, pero esta fuerza no se dirige hacia alguno de los polos del imán. En vez de eso la fuerza se dirige en angulos rectos hacia la direcciOn del campo magnético, hacia abajo, como se puede observar en Ia figura 27-12a. Si se invierte la dirección de Ia corriente, entonces Ia fuerza tendrá Ia dirección opuesta, figura 27-12b. Se ha encontrado que la dirección de Ia fuerza siempre es perpendicular a Ia dirección de Ia corriente y iambién es perpendicular a la dirección del campo magnético B. Esta afirmaciOn no describe completamente Ia direcciOn, sin embargo: La fuerza puede dirigirse hacia arriba o hacia abajo en Ia figura 27-12b, y aün puede ser perpendicular tanto a la corriente como a B. En forma experimental la direcciOn de Ia fuerza está determinada por otra regla de la mano derecha, como se indica en la figura 27-12c. Oriente su mano derecha para que los dedos extendidos puedan apuntar en Ia direcciOn de Ia corriente, y cuando usted doble sus dedos estos apuntarán en la dirección de las lIneas de campo magnético y el dedo pulgar apuntará en dirección de la fuerza en el alambre. Esto describe la direcciOn de la fuerza. j,Qué hay acerca de su magnitud? Se ha encontrado experimentalmente que Ia magnitud de Ia fuerza es directamente proporcional a la corriente I que circula por el alambre, y a la longitud I del alambre que se encuentra bajo La acciOn del campo magnético (que se supone uniforme). Aün más, si el campo magnético se hace más fuerte, La fuerza aumentará proporcionalmente. La fuerza también depende del ángulo 0 que se forma entre la dirección de Ia corriente y el campo magnético (figura 27-13). Cuando la corriente es perpendicular a las Ilneas de campo la fuerza es más intenso. Cuando el alambre es paralelo a las lmneas de camp0 magnético no existe riinguna fuerza. A otros ángulos la fuerza es proporcional a sen 0 (figura 27-13). En consecuencia para ujia corriente I que circula en el alambre, que tiene una longitud I inmersa en un campo magnético uniforme B, se tiene

FIGURA 27-13

F cx JIB sen0.

Hasta este momento no se ha definido la fuerza del campo magnético de manera precisa. De hecho, el campo magnético B se puede definir convenientemente en términos de Ia proporciOn anterior para que la constante de proporcionalidad sea exactamente 1. Entonces se tiene (27-1) F = JIB sen 0. Si Ia dirección de la corriente es perpendicular al campo (0 = 90°),entonces Ia fuerza es

Fm = JIB.

[I

I

B]

(27-2)

Si La corriente es paralela al campo (6 = 00), entonces Ia fuerza es cero. La magnitud de B se puede definir como B = Fm/Il donde Fmáx es Ia magnitud de Ia fuerza en una longitud recta de alambre I que transporta una corriente I cuando el alambre es perpendicular a B. 690

CAPITULO 27

Magnetismo

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La relaciOn entre Ia fuerza F que actüa en un alambre que transporta una corriente I, y el campo magnético B que produce Ia fuerza, se puede escribir como uria ecuaciOn vectorial. Para hacer esto cabe recordar que la dirección de F está determinada por Ia regla de Ia mano derecha (figura 27-13c), y su magnitud por La ecuación 27-1. Esto es consistente con La definición del producto cruz de un vector (véase Ia sección 11-1), en consecuencia se puede escribir (27-3) donde I es un vector cuya magnitud es Ia longitud del alambre y su direcciOri se extiende a lo largo del alambre (que se supone es recto) en Ia direcciOn de La corriente convencional (positiva). El análisis anterior se aplica si el campo magnetico es uniforme y el alambre es recto. Si B no es uniforme, 0 si el alambre no forma el mismo ángulo 0 con respecto a B en cualquier punto, entonces Ia ecuación 27-3 se puede escribir como

(27-4) donde dF es Ia fuerza infinitesimal que act(ia sobre una longitud diferencial de alambre dl. La fuerza total en el alambre se obtiene al integrar. La ecuaciOn 27-4 se puede utilizar (asI como Ia ecuación 27-2 o 27-3) como una definiciOn practica de B. Una forma equivalente de definir a B, en términos de Ia fuerza en una carga eléctrica mOvil se analizar en la siguiente sección. La unidad del SI para el campo magnético B es el tesla (T). De las ecuaciones

27-1, 2, 3 o 4 es claro que IT = 1 N/Am. Un nombre más antiguo para el tesla es

"weber por metro cuadrado" (1 Wb/m2 = 1 T). Otra unidad que se utiliza comünmente para especificar el campo magnético en unidades cgs es el gauss, (G): 1 G = 10 T. Un campo que está especificado en gauss siempre deberá convertirse a teslas antes de utilizar cualquier otra unidad del SI. Para obtener "experiencia" en el uso de estas unidades cabe indicar que el campo magnetico de la Tierra en su superficie es aproximadamente G o 0.5 X i0 T. Por otra parte los electroimanes fuertes pueden producir campos en el orden de varios teslas, y los materiales superconductores pueden generar campos hasta de 10 T. En un diagrama, cuando se desea representar un campo magnético que apunta hacia el exterior de Ia pigina (hacia el lector) o hacia el interior de Ia pgina se utilizan los sImbolos 0 o X respectivamente. El 0 trata de recordar la punta de una flecha que se dirige al lector, en tanto que x o ® representa Ia cola de una flecha que se aleja (véanse las figuras 27-14 y 27-15.)

Medición de un campo magnético. Una bobina rectangular ne aiamnre se cuelga en forma vertical como se indica en Ia figura 27-14. Un campo magnético B se dirige en forma horizontal y perpendicular hacia el alambre, y apunta a! exterior de Ia página en todos los puntos de acuerdo al sImbolo 0. El campo magnético B es casi uniforme a lo largo de la porciOn horizontal ab del alambre (longitud I = 10.0 cm) que está cerca del centro del imn grande que produce el campo. La parte superior de Ia bobina de alambre está fuera del campo. La bobina cuelga de una balanza que mide Ia fuerza hacia abajo (además de Ia fuerza de gravedad) de F = 3.48 X 102 N cuando el alambre transporta una corriente I = 0.245 A. i,CuáI es La magnitud del campo magnetico B en el centro del imán?

Medición del campo magnético B,ejemplo 27-1. FIGURA 27-14

(0 (0

(0.

10.0cm -

SOLUCION Las fuerzas magneticas en las dos secciones verticales de la bobina de alambre apuntan hacia Ia izquierda y Ia derecha respectivamente. Estas fuerzas son iguales y tienen direcciones contrarias, en consecuencia Ia suma de ambas es cero. De ahI que La fuerza magnética en Ia bobina es La fuerza en la sección horizontal ab cuya longitud es I = 0.100 m (y 0 = 90° en consecuencia sen 0 = 1); por tanto

I

I

B

F

3.48 x 102N

- 142T

- II - (0.245A)(0.lOOm) -

.

Esta técnica constituye una forma muy precisa para determinar los campos magnéticos. SECCION 27-3

00 CR c® 0 II tytStaftacia

lc' &sej a op® a'_____ ala a 'a a 0000',aaoa loi

r

-

I

I

I

b

F

i

-

Fuerza de una corriente eléctrica en un campo magnetico; definiciOn de B

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691

I

I

Fuerza magnética en un alambre semicircular. Un alambre

B0

(seIeja

del lectoñ

= 11B

I FIGURA 27-15

Ejemplo 27-2.

rigiao que transporta una corriente / está integrado por un semicIrculo de radio R y dos porciones rectas como se muestra en Ia figura 27-15. El alambre descansa en un piano perpendicular al campo magnético uniforme 8. Cada una de las partes rectas tiene una longitud I en el interior del campo. Determine Ia fuerza neta en el alambre debido al campo magnetico B0. SOLUCION Las fuerzas en las dos secciones rectas son iguales (= JIB0) y tienen direcciones contrarias, en consecuencia se cancelan. De ahI que la fuerza neta es Ia que actüa en Ia sección semicircular. El semicIrculo se divide en partes pequefias dl = R d4) como se indica y se utiliza Ia ecuaciOn 27-4 dF = Id! x B para calcular dF = IB0R d4), donde dF es Ia fuerza en la longitud dl = R d4), y el angulo entre dl y B0 es 900 (por tanto, sen 0 = 1 en el producto cruz). La componente en x de la fuerza dF en el segmento dl y Ia componente en x de dF para un dl que se localiza simétricamente en el otro lado del semicircuio se canceiarán entre si. En consecuencia, en todo ei semicIrculo no existirá Ia componente en x de Ia fuerza. Debido a lo anterior se debe enfocar la atenciOn en las componentes y, cada una es igual a dF sen 4), y Ia magnitud de Ia fuerza total será:

F =

fIT I

Jo

fIT

dF sen 4) = lB0 R

I

Jo

IT

sen 4)

dçb = -lB0 R cos 4)

= 21B0R, 0

con una direcciOn vertical y hacia arriba a lo iargo del eje y en Ia figura 27-15.

Fuerza en una carga eléctrica que se mueve en un campo magnético Se ha visto que un alambre que transporta corriente experimenta una fuerza cuando se coloca en un campo magnético. Como Ia corriente que circula en un alambre est formada por cargas eiéctricas en movimiento, se podrIa esperar que esas particulas con carga que se mueven libremente (no en el alambre) también pueden experimentar una fuerza cuando pasan a través de un campo magnético. De los conocimientos que ya se tienen se puede predecir Ia fuerza que actüa en una sola carga eléctrica que esth en movimiento. Si una cantidad N de estas partIculas de carga q circuia a través de un punto determinado en un tiempo t, éstas constituirán una corriente I = Nq/t. Sites el tiempo que le toma a una carga q recorrer una distancia L en un campo magnetico B, entonces I = Vt donde v es Ia velocidad de la partIcula. En consecuen-

cia,lafuerzadeestasNpartIculases,deacuerdoalaecuación27-3,F = Ii x B = (Nq/t) (Vt) x B = Nqv x B. La fuerza en una de esas N partIculas es entonces

(27-5a)

FIGURA 27-16 Fuerza en partIculas con carga debido a un campo magnetico que es perpendicular a la dirección del campo magnético.

Este resultado básico e importante se puede considerar como una forma alternativa para definir ei campo magnetico B, en lugar de las ecuaciones 27-4 o 27-3. La magnitud de Ia fuerza en Ia ecuación 27-5a es F = qvB sen 0. (27-5b) Esto da Ia magnitud de Ia fuerza en un partIcula de carga q que se mueve a una velocidad V en un punto donde el campo magnético tiene una magnitud B. El ánguio entre V y B es 0. La fuerza es mayor cuando Ia partIcula se mueve en forma perpendicular a B (0 = 90°): = qvB. [v B] Fm

I

La fuerza es cero si Ia partIcula se mueve en forma paralela a las lIneas de campo

N

Regla de Ia mano derecha

692

CAPITULO 27

(0 = 0). La dirección de la fuerza es perpendicular al campo magnético B y a la velocidad v de la partIcuia. La direcciOn se determina con la regla de Ia mano derecha, al igual que para cualquier producto cruz (siempre que q > 0): oriente la mano derecha de tal forma que los dedos extendidos apunten hacia la direcciOn del movimiento de la partIcula (V) y cuando usted doble los dedos éstos apuntarn en Ia direcciOn de B. Entonces ei pulgar apuntará en Ia dirección de la fuerza. Esto es cierto sOlo para las cargas positivas y se puede observar en la situaciOn "hacia abajo" de Ia figura 27-16. Para las partIcuias que tienen carga negativa, la fuerza se encuentra exactamente en la direcciOn opuesta "hacia arriba" de Ia figura 27-16.

Magnetismo

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Fuerza magnética en un proton. Un proton que tiene una yelocidad de 5.0 x 106 rn/s en un campo magnético siente una fuerza de 8.0 X 10-14 N

hacia el oeste cuando se mueve verticalmente hacia arriba. Cuando se mueve en forma horizontal hacia el norte experirnenta una fuerza cero. Cuá1 es Ia magnitud

y direcciOn del campo magnetico en esta region? (La carga del proton es q = +e = 1.6 X

10-19 C.)

SOLUCION Corno el proton no experirnenta ninguna fuerza cuando se desplaza ha-

cia el norte, el campo debe tener Ia direcciOn norte-sur. Para producir una fuerza hacia el oeste cuando el proton se desplaza hacia arriba, Ia regla de Ia mano derecha indica que B debe apuntar hacia el forte. (El dedo pulgar apunta hacia el oeste y los dedos extendidos de la mano derecha apuntan hacia arriba solo cuando los dedos doblados apuntan hacia el norte.) De Ia ecuaciOn 27-5 se tiene que Ia magnitud de B (cuando 0 = 90°) es B

F

8.0x104N

qv

(1.6 x i09C)(5.0 x 106m/s)

= 0.1OT.

La trayectoria de una particula con carga que se mueve en un plano que es perpendicular a un campo magnético uniforrne es un cIrculo, véase la figura 27-17, donde el campo magnético se dirige hacia el papel y está representado por X. Un electrOn en el punto P se mueve hacia Ia derecha, y La fuerza en él en este punto se dirige hacia abajo como se indica en Ia figura (utilice Ia regla de Ia mano derecha e invierta Ia direcciOn porque la carga es negativa). En consecuencia el electron se desvIa hacia abajo. Un rnornento después, por decir cuando el electrOn ilega a! punto 0, la fuerza sigue siendo perpendicular a Ia velocidad y tiene Ia direcciOn que se indica. Corno Ia fuerza siempre es perpendicular a v, Ia magnitud de v no cambia, se mueve a velocidad constante. Pero la partIcula modifica su direcciOn y se mueve describiendo una trayectoria circular con una aceleraciOn centrIpeta constante (véase el ejemplo 27-4) debido a la fuerza magnética que se dirige hacia ci centro de este circulo en todos los puntos. El electrOn se mueve en el sentido del giro de las manecillas del reloj en la figura 27-17. Una partIcula positiva experirnentará una fuerza que tendrá direcciOn opuesta y en consecuencia se moverá en sentido contrario a! giro de las manecillas del reloj. Trayectoria del electron en un campo magnético uniforme. Un electrOn viaja a 2.0 x iO rn/s en un piano perpendicular a un campo magnético de 0.010 T. Describa la trayectoria del electron. SOLUCION El electron se mueve a una velocidad v en una trayectoria curva cuyo radio de curvatura se calcula utilizando Ia segunda ley de Newton, F = ma. La aceleraciOn centrIpeta es a = v2/r (ecuaciOn 3-14). La fuerza está determinada por Ia ecuaciOn 27-5 con sen B = 1, F = qvB, en consecuencia se tiene

_p

/

,

Trayectoria del electrOn

'S

B apunta hacia Ia página

FIGURA 27-17 La fuerza que ejerce un campo magnético uniforme en una partIcula móvil con carga (en este caso

un electron) produce una trayectoria circular.

F = ma my2

qvB= r

Al resolver para r se tiene my r qB Corno F es perpendicular a v, la magnitud de v no cambia. De esta ecuación se observa que si B = constante, entonces r = constante, y la curva deberé ser un cIrculo como ya se indicó anteriormente. Para obtener r se sustituyen los nOrneros: (9.1 x 10_31 kg)(2.0 x i07 m/s)

r=

(1.6 x 1o'9c)(o.oloT)

= 1.1 X 102m = 1.1cm.

El tiempo T que necesita una partIcula de carga q que se mueve a velocidad constante v para realizar una revoluciOn en un campo magnetico uniforme B (I v) es T = 2lrr/v, donde 2irr es Ia circunferencia de esta trayectoria circular. Del ejernplo 27-4, r = mv/qB, de tal forma que

T=2m qB

SECCION 27-4

Fuerza en una carga eléctrica que se mueve en un campo magnetico

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693

Como T es el periodo de rotaciOn, la frecuencia de rotaciOn es qB 1 (27-6) T 27rm Esta se conoce como frecuencia de ciclotrón de una partIcula que se mueve en un campo porque es Ia frecuencia de rotaciOn de las partIculas en un ciclotrón (véase el problema 59). Observe que f no depende de Ia velocidad, Si V es grande, r aumenta (r = mv/qB) para un B determinado, pero Ia frecuencia es independiente de V y r, mientras que V flO esté cerca de la velocidad de la luz (secciOn 7-5 o capItulo 37).

f=-=

B

J

It / ;i ' '

FIGURA 27-18

Ejemplo Conceptual 27-5.

VP11) "' 'T' ' "'- Una trayectoria espiral. j,Cuál será La trayectona de una partIcula con carga en un campo magnético uniforme Si SU velocidad no es perpendicular al campo magnético? RESPUESTA El vector velocidad se puede partir en las componentes que son paralelas y perpendiculares a! campo. La componente de velocidad que es paralela a las lIneas de campo no expenimenta ninguna fuerza, en consecuencia esta componente permanece constante. La componente de velocidad que es perpendicular al campo produce un movimiento circular en torno a las lIneas de campo. Al unir ambos movimientos se produce un movimiento helicoidal (esférico) airededor de las lIneas de campo como se indica en Ia figura 27-18.

'-' '

'

.. . J.J4

c.

,-

Aurora boreal. Los jones con carga que provie-

nen Oel Sot (el viento solar ) se aproximan a la Tierra y entran a Ia atmOsfera prin-

cipalmente cerca de los polos, algunas veces provocan un fenómeno que se conoce como aurora boreal o "luces del forte" en las latitudes del norte. ,Por qué razOn los iones se dirigen hacia los polos? RESPUESTA Un vistazo a Ia figura 27-19 (véase también La figura 27-18) proporcionará la respuesta. Imagine un haz de partIculas con carga que se aproximan a Ia Tierra como se mdica. La componente de velocidad, que es perpendicular al campo para cada partIcula, se transforma en una órbita circular airededor de las lIneas de campo, en tanto que Ia componente de velocidad que es paralela a las Ilneas de campo transporta a las partIculas a lo largo de las Ilneas de campo hacia los polos. La elevada concentraciOn de partIculas con carga ioniza el aire, y los electrones que se recombinan con los átomos emiten luz, que es Ia aurora boreal, esto ocurre especialmente durante los periodos de mayor actividad en las manchas solares cuando el viento solar es más fuerte.

PartIcula con carga aproximándose a la Tierra

(a) Diagrama que muestra una partIcula con carga que Se aproxima a Ia Tierra, Ia cual es "atrapada" por el campo magnetico de la Tierra. Estas partIculas siguen las lIneas de campo hacia los polos como se indica. (b) FotografIa de una aurora boreal. FIGURA 27-19

B

B

(a)

(b)

Si una partIcula con carga q se mueve a una velocidad v en presencia tanto de un campo magnético B como de un campo eléctrico E, la partIcula experimentará una fuerza F = q(E+vxB) (27-7) aquf se han utilizado las ecuaciones 21-3 y 27-5. La ecuaciOn 27-7 se conoce como ecuación de Lorenlz y es considerada una de las ecuaciones básicas de la fIsica. 694

CAPITULO 27

Magnetismo

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Selector de velocidad o filtro: campos cruzados B y E. Algu-experimentos electrOnicos requieren un haz de partIculas con carga, iv pero estas se deben mover casi a la misma velocidad. Esto se puede lograr si se utilizan tanto un campo magnético uniforme como un campo eléctrico uniforme, ambos se disponen de tal forma que se encuentran a ngulos rectos uno del otro. Como se muestra en Ia figura 27-20a, las partIcuias de carga q pasan a través de Ia abertura S1 y entran a Ia region donde B apunta hacia la página y E se dirige de Ia placa positiva a la placa negativa. Si las partIculas entran con velocidades diferentes, demuestre la forma en Ia que este dispositivo "selecciona" una velocidad en particular y determine cuál es esta velocidad.

S2

B (hacia Ia pagina)

/

q

V

(a)

SOLUCION Después de pasar por Ia abertura S1, cada partIcula estará sometida a dos fuerzas como se indica en Ia figura 27-20b. Si q es positiva, Ia fuerza magnética se dirigini hacia arriba y Ia fuerza eléctrica se dirigirá hacia abajo (si q es negativa sucederá lo contrario). Se supone que Ia abertura de salida S2 está alineada directamente con S y la velocidad de las partIculas v. Dependiendo de la magnitud de v, algunas partIculas se desviarán hacia arriba y otras se desviarán hacia abajo. Las Onicas partIculas que pasarán a través de Ia abertura S2 serán aquellas cuya fuerza neta sea cero:

FE = qE

(b)

que tengan una velocidad

E

(27-8)

Este resultado no depende del signo de Ia carga q.

xB

FB -

F = qvB - qE = 0. De ahI que este dispositivo seleccione las partIculas

v=-

1

FIGURA

27-20 Un selector de

velocidad: Si V = E/B, Ia partIcula pasa a través deS1 y S2.

27-21 Cálculo del par en una bobina de corriente que se encuentra en un campo magnético B. (a) La cara de Ia bobina es paralela a las lIneas de campo de B, (b) visia superior, (c) La bobina forma un ángulo con B, esto reduce el par ya que el brazo disminuye. FIGURA

Par en una bobina de corriente; momento de un dipolo maqnético Cuando una corriente eléctrica fluye en una bobina (o lazo) cerrada de alambre que se coloca en un campo magnético, como se muestra en Ia figura 27-21, Ia fuerza magnetica en Ia corriente puede producir un par. Este es el principio bsico de operaciOn de una cantidad bastante importante de dispositivos prácticos, incluyendo voltImetros, amperlmetros y motores. (Estas aplicaciones se analizarán en Ia siguiente sección.) La interacciOn entre una corriente y un campo magnetico es importante en otras areas, incluyendo

Eje de rotación

Ia fIsica atOmica.

Cuando Ia corriente fluye a través de la bobina de Ia figura 27-21a, cuya cara se supone paralela a B y tiene forma rectangular, el campo magnetico ejerce una fuerza en ambas secciones verticales del alambre como se muestra, F1 y F2 (véase también Ia vista superior, figura 27-21b). Observe que debido a Ia regla de Ia mano derecha, Ia dirección de la fuerza F1 en la corriente que se dirige hacia arriba a Ia izquierda es contraria a Ia dirección de la fuerza F2 que se dirige hacia abajo a la derecha, pero Ia magnitud de ambas es Ia misma. Ambas fuerzas producen un par neto que produce el giro de Ia bobina en tomb a su eje vertical. Ahora se va a calcular Ia magnitud de este par. De Ia ecuaciOn 27-2, la fuerza tiene una magnitud F = JaB, donde a es La longitud del brazo vertical de Ia bobina. El brazo de palanca de cada fuerza es b/2, donde b es Ia anchura del brazo vertical de Ia bobina, y el "eje" se localiza en el punto medio. Entonces el par total es la suma de los pares que generan cada una de las fuerzas, en consecuencia

T = IaB + JaB

B

jftb-=L: cF2 ii L5:çJ

F4ia

h

Eje B

= IabB = JAB,

donde A = ab es el area de la bobina. Si Ia bobina tiene N vueltas de alambre, el par de N vueltas es T = NIAB. Si Ia bobina forma un ángulo B con el campo magnético (como se indica en la figura 21-27c) las fuerzas no cambian pero cada brazo de palanca se reduce de b a b sen 0. Observe que el ángulo 0 se elige para que sea ci ángulo entre B y el vector perpendicular a la cara de Ia bobina, figura 27-21c. En consecuencia el par es (27-9) T = NIAB sen 0. Esta formula, que en este caso se obtuvo para una bobina rectangular, es válida para cualquier bobina plana sin importar su forma. SECCION 27-5

tF N/A (1 a Ia cara de Ia bobina)

ije

B

(c)

Par en una bobina de corriente; momento de un dipolo magnético

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La cantidad NIA se conoce como momento dipolar magnético de Ia bobina, y se considera un vector: p.

= NJA,

(27-10)

donde Ia direcciOn de A (y en consecuencia de i) es perpendicular al piano de la bobina (Ia flecha puriteada en la figura 27-21c) de acuerdo con la regia de la mano derecha (cierre ei puflo de tal forma que los dedos envuelvan a ia bobina en direcciOn del flujo de Ia corriente, entonces el dedo pulgar apuntará en dirección de p. y A). Con esta definición se puede reescribir Ia ecuación 27-9 en la forma vectorial: T

= NIA x B

0

=

(27-11)

p. X B,

lo que proporciona Ia magnitud y dirección adecuadas de T. La ecuaciOn 27-11 tiene ia misma forma que la ecuaciOn 21-9b para un dipolo

eléctrico (cuyo momento dipolar eléctrico es p) en un campo eléctrico E, que es

= p x E. AsI como Ia energIa potencial en un dipolo eléctrico está determinada por E cuando se encuentra en un campo eléctrico, se puede esperar una forma siU=

milar para el dipolo magnético en un campo magnético. Para que una bobina de corriente pueda girar (figura 27-21) conforme aumenta 9, se debe reaiizar un trabajo contra Ia fuerza que genera el campo magnetico. En consecuencia Ia energIa potencial depende del ángulo (véase la ecuaciOn 10-22, el principio de trabajoenergIa para el movimiento rotacional) de acuerdo a U =

JTdo = JNIABsenOdo =

Bcos9 + C.

Si se elige U = 0 en U = 1T/2, entonces Ia constante arbitraria C es cero y la energIa potencial es

U = p.BcosU = p. B,

(27-12)

como era de esperarse. Los imanes en forma de barra y las bnjulas de aguja, asi como las bobinas de corriente, se pueden considerar como dipolos magnéticos. Observe las sorprendentes similitudes entre los campos que producen un imán tipo barra y una bobina de corriente, figuras 27-3b y 27-10.

Par en una bobina. Una bobina circular de alambre tiene un cm y contiene 10 vueltas. La corriente en cada vuelta es 3.00 A y Ia bobina se coloca en un campo magnetico de 2.00 T. Determine el par máximo y el mlnimo que ejerce el campo en Ia bobina.

dimetro de

SOLUCION La ecuaciOn 27-9 es válida para una bobina de cualquier forma, incluyendo Ia circular, el area es

A = irr2

= IT(0.lOOm)2 = 3.14 X 102m2.

El par máximo sucede cuando Ia bobina es paralela al campo magnético, en consecuencia 0 = 90° en la figura 27-21c, y sen 0 = 1 en Ia ecuación 27-9: T

= NIABsenO = (10)(3.00A)(3.14

El par mInimo sucede cuando sen ecuación 27-9. 696

CAPITULO 27

Magnetismo

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9

X

102m2)(2.00T)(1) = 1.88mN.

= 0, en tal caso

9

= 0°, entonces i- = 0 de Ia

Momento magnético de un átomo de hidrógeno. Determine o ulpolar magnetico del electrOn que gira alrededor del proton de un tomo de hidrOgeno (en el modelo de Bohr), suponga que se encuentra en su estado de reposo con una órbita circular de radio 0.529 X 10-10 m. [Nota: Esta es una imagen muy burda de la estructura atOmica; sin embargo, produce un resultado preciso.] ci

SOLUCION De la segunda ley de Newton, F = ma, se tiene lo siguiente, ya que el electron se mantiene en su Orbita debido a Ia fuerza de coulomb my2

47T0r2 - r 0

v= 74ir0mr -

/(8.99 X i09 N m2/C2)(1.60 x 10

C)2

(9.11 X 10H3 kg)(0.529 x 10°m)

V

= 2.19 x i0 rn/s.

como Ia corriente es la carga eléctrica que circula en un punto determinado por unidad de tiempo, el electrOn que describe una Orbita es equivalente a una corriente e

ev

T

2lTr

donde T = 2irr/v es el tiempo que se requiere para una Orbita. Como el area de Ia Orbita es A = irr2, el momento dipolar magnetico es

= IA =

ev 2lTr

(irr2) =

evr

(1.60 x 1019C)(2.19 X 106m/s)(0.529 X 101°m) = 9.27 X 1024Am2,

o9.27 X 10J/T.

Aplicaciones: galvanómetros, motores v bocinas El componente básico de los medidores analOgicos (aquellos que tienen aguja y escala indicadora), incluyendo los amperImetros, voltImetros y Ohmetros analogicos, es un galvanOmetro. Ya se ha visto cOmo se diseflan estos instrumentos, (secciOn 26-5), y ahora se va a analizar cOmo funciona el elemento crucial, el galvanOmetro. Como se indica en la figura 27-22, un galvanómetro está formado por una bobina de alambre (que tiene conectada la aguja indicadora) que está suspendida en el campo magnético de un iman permanente. Cuando fluye una corriente en la bobina de alambre, el campo magnético ejerce un par en Ia bobina, como lo indica Ia ecuaciOn 27-9, T = NIAB sen 0. Este par es vencido por la acción de un resorte que ejerce un par Ts, que es aproximadamente proporcional al ángulo 4) en el que gira el resorte (ley de Hooke). Es decir, T = k4), donde k es la constante de rigidez del resorte. En consecuencia Ia bobina y la aguja indicadora girarán solamente hasta el punto donde el par del resorte balancee el par que produce el campo magnético. De Ia ecuación 27-9 se tiene que k4) = NIAB sen 0 o

,,/Pivote\( FIGURA 27-22

NIABsenO k

FIGURA 27-23

Por tanto Ia deflexiOn de Ia aguja indicadora 4) es directamente proporcional a la corrien-

te I que fluye en Ia bobina. Pero también depende del ángulo 9 que forma Ia bobina con respecto a B. Para que el medidor sea Otil se necesita que 4) dependa solamente de la corriente, independientemente de 9. Para resolver este problema se utilizan imanes permanentes que tienen polos curvos, y Ia bobina del galvanometro se coloca alrededor de un nOcleo cilIndrico de hierro como se indica en la figura 27-23. El hierro tiende a concentrar las lIneas de campo magnético de tal forma que B apuntará siempre en forma paralela a Ia cara de La bobina (el embobinado de alambre) que está fuera del nOcleo. Entonces La fuerza siempre será perpendicular a La cara de la bobina y el par no variará con el ángulo. En consecuencia, 4) será proporcional a I como se requiere.

*sEccION 27-6

GalvanOmetro.

Bobina de un

galvanOmetro montada en un nücleo de hierro. Aguja indicadora

\-_

NOcleo de hierro

Aplicaciones: galvanometros, motores y bocinas

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Terminales de alambre a Ia bobina de Ia armadura

Armadura

Conmutador\,.

'F

I

I

scobillas/ 1 Fuente de voltaje

/'

Escobillas BaterIa

decd

Diagrama de un motor sencillo de cd. FIGURA 27-24

f

FIGURA 27-25 El arreglo conmutador-escobilla en un motor asegura Ia alternaciOn de La corriente en La armadura para que Ia rotación sea continua. Los conmutadores están unidos al eje del motor y giran con éI, mientras que Las escobillas permanecen estacionarias.

Un motor eléctrico cambia La energIa eléctrica a energIa mecnica (rotacional). Un motor opera con el mismo principio que un galvanometro, con Ia excepción de que no existen resortes, en consecuencia Ia bobina puede girar en forma continua en una dirección. La bobina es ms grande y se monta en un cilindro largo que se denomina rotor o armadura, figura 27-24. En realidad, el rotor tiene varias bobinas, aunque en el dibujo sOlo se indica una. La armadura se monta en un eje. En el momento que se muestra en la figura 27-24, el campo magnético ejerce una fuerza en la corriente de Ia bobina como se indica. Sin embargo, cuando Ia bobina (que gira en sentido contrario a las manecillas del reloj en Ia figura 27-24) pasa más alI de Ia posicion vertical, las fuerzas actOan para regresar a Ia bobina a Ia posición vertical si La corriente permanece sin cambio. Pero si Ia corriente puede invertirse en cierta forma en ese momento crItico, las fuerzas se mvertirán y Ia bobina continuará girando en la misma direcciOn. En consecuencia, se necesita que Ia corriente se modifique (alterne) para que el motor gire en forma continua en una dirección. Esto se puede lograr si se utiliza un motor de cd con conmutadores y escobillas,

7,',

como se muestra en Ia figura 27-25. Las escobillas son contactos estacionarios que ejercen presiOn sobre los conmutadores conductores que están montados en el eje del motor. En

FIGURA 27-26 Motor con muchos devanados.

FIGURA 27-27

Bocina.

Cubierta rIgida de metal Bobina de alambre (montada en el cono de la bocina)

\

,

L

Imán

111

Tern,iinale-

de entrad

698

Cono

CAPITULO 27

Magnetismo

Ia mitad de cada revoluciOn, cada conmutador cambia su conexiOn a Ia otra escobilla. Esto hace que se invierta Ia corriente en La bobina cada media revoLuciOn para producir Ia rotación continua de La armadura. La mayor parte de los motores contienen varias bobinas, que se denominan "devanados", cada una se Localiza en una posición diferente en Ia armadura, figura 27-26. La corriente fLuye a través de cada bobina solamente durante una parte pequena de cada revolución, justo en el momento en que su orientaciOn produce el par máximo. De esta forma, un motor produce un par bastante más estable en comparacion con el par que se obtendrIa con una sola bobina. Un motor de Ca, que se conecta a una corriente alterna, puede trabajar sin necesidad de conmutadores ya que La corriente alterna varla por si misma. Muchos motores utilizan bobirias de alambre para producir un campo magnetico (electroimanes) en lugar de utilizar un imn permanente. De hecho el diseño de Ia mayor parte de los motores es más complejo que lo que se describiO en esta secciOn, pero los principios generales de operacion son Los mismos. Una bocina funciona también con el principio de que un imán ejerce una fuerza en un alambre que transporta corriente. La salida eLéctrica de un receptor estereofOnico o televisor se conecta a las terminales de una bocina. Las terminales de Ia bocina estan conectadas internamente a una bobina de alambre, que a su vez está acoplada al cono de La bocina, figura 27-27. El cono de Ia bocina está hecho de cartOn endurecido y se monta de tal forma que se puede mover libremente hacia delante y hacia atrás. Un imn permanente se monta directamente en lInea con Ia bobina de alambre. Cuando La corriente alterna de una sefial de audio circula por La bobina de alambre (que se puede mover Libremente en el interior del imn permanente), Ia bobina experimenta una fuerza debido al campo magnético del imn. Conforme La corriente alterna su valor a Ia frecuencia de Ia seflal de audio, el conj unto que forman Ia bobina y el cono móvil se mueven hacia delante y hacia atrás a esa misma frecuencia, Lo que provoca compresiones y expansiones alternadas del aire circundante, con Ia consiguiente generaciOn de ondas sonoras. En consecuencia una bocina convierte la energIa eléctrica a energIa sonora, y las frecuencias e intensidades de las ondas de sonido que se emiten pueden ser una reproducciOn exacta de Ia señal eléctrica de entrada.

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Descubrimiento y propiedades del electron En Ia actualidad, el electron juega un papel básico en la comprensiOn de la electricidad y el magnetismo. Pero su existencia no fue sugerida sirio hasta la década de 1890. En esta sección analizaremos el descubrimiento del electrOn, ya que los campos magnéticos fueron cruciales para medir sus propiedades. A fines del siglo XIX, se realizaron estudios relativos a la descarga de electricidad a través de gases enrarecidos. El aparato que se muestra en Ia figura 27-28 consiste en un tubo de vidrio que tiene dos electrodos y a! que se le ha practicado vaclo, solo contiene una pequena cantidad de gas. Cuando se aplica un voltaje muy elevado a los electrodos una mancha oscura parece extenderse lejos del ctodo (electrodo negativo) hacia el extremo opuesto del tubo; entonces el extremo lejano del tubo comienza a resplandecer. Si se insertan una o más rejillas que tienen una perforaciOn como se indica en Ia figura, el resplandor se reduce a un punto pequeno que aparece al final del tubo. Parecla que el cátodo hubiera emitido algo que viajO hacia el extremo opuesto del tubo. Este "álgo" se identificO como rayos catódicos. Hubo mucha discusiOn acerca de qué podrIan ser estos rayos. Algunos cientIficos pensaron que podrIan ser similares a Ia luz. Pero la observaciOn de que el punto briliante al final del tubo podrIa desviarse hacia un lado debido a la acciOn de un campo eléctrico o magnético sugerIa que los rayos catOdicos podIan ser partIculas con carga; y Ia direcciOn de Ia deflexión era consistente con una carga negativa. ACm mOs, si el tubo contenfa cierta clase de gas enrarecido, la trayectoria de los rayos catOdicos se hacla visible mediante un destello suave. Desde 1897 se han realizado estimaciones con relaciOn a Ia carga e de las (supuestas) partIculas de los rayos catOdicos, también se ha calculado Ia razOn carga-masa e/m. Pero en ese aflo J. J.Thomson (1856-1940) logrO medir directamente el cociente e,4n, utilizando el aparato que se muestra en Ia figura 27-29. Los rayos catOdicos se aceleran con un voltaje elevado y luego se hacen pasar entre un par de placas paralelas que se encuentran en el interior del tubo. El voltaje que se aplica a las placas produce un camp0 eléctrico, y un par de bobinas producen un campo magnético. Cuando solamente está presente el campo eléctrico, y por ejemplo la placa superior es positiva, los rayos catOdicos se desvfan hacia arriba en la trayectoria que se muestra en Ia figura 27-29. Si sOlo existe un campo magnético, y si éste se dirige hacia abajo, los rayos se desvIan hacia la parte inferior siguiendo Ia trayectoria c. Estas observaciones eran lo esperado pa-

Pantallas

/

Cátodo

(

Resplandor

-7

Anodo

-. Alto + voltaje

FIGURA

27-28 Thbo de descarga.

En algunos modelos una de las pantallas es el ánodo (placa positiva).

ra una partIcula que tiene carga negativa. La fuerza en los rayos debido al campo magnético es F = evB, donde e es Ia carga y v es Ia velocidad de los rayos catOdicos. En ausencia de un campo eléctrico, los rayos se desvfan siguiendo una trayectoria curva,

por tanto, a partir de F = ma se tiene

evB = mr y

e V m Br El radio de curvatura r se puede medir y también B. La velocidad v se puede calcular si se aplica un campo eléctrico además del campo magnético. El campo eléctrico E se ajusta para que los rayos catódicos no sean desviados y sigan Ia trayectoria b de Ia figura 27-29. Esto FIGURA

27-29 Los rayos catOdicos

son desviados por los campos eléctrico y magnético.

. Alto . voltaje

Placas de campo eléctrico

Bobinas que producen campo magnético

(a)

SEcCION 27-7

Descubrimiento y propiedades del electron

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es similar a! selector de velocidad del ejemplo 27-7, donde Ia fuerza que genera el campo eléctrico F = eE es balanceada por Ia fuerza que produce el campo magnético, F = evB. En consecuencia eE = evB y v = E/B. Al combinar estas ecuaciones con la ecuación anterior se tiene e E m = B2r

(27-13)

Todas las cantidades del lado derecho se pueden medir, aunque e y m no se pueden determinar en forma independiente, se puede determinar la razón e/m. El valor que se acepta en Ia actualidad es elm = 1.76 X 1011 C/kg. Muy pronto los rayos catOdicos cambiaron su nombre por el de electrones. Se sabe que el descubrimiento del electron, como muchos otros descubrimientos de la ciencia, no es tan obvio como La obtenciOn de oro o petróleo. ,Acaso el descubrimiento del electron se debe acreditar a Ia persona que lo descubrió por primera vez en el destello del tubo? ,O se debe acreditar a Ia persona que los identificO primero como rayos catOdicos? Quizás Ia respuesta es ninguna de las dos, ya que no concebIan a! electrOn como lo conocemos en Ia actualidad. De hecho el crédito por el descubrimiento del electrOn se otorga a Thomson, pero no porque hubiera sido el primero en observar el destello en el tubo. En vez de esto le fue otorgado porque pensó que este fenOmeno era producido por partIculas pequefias con carga negativa y realizó mediciones precisas de estas partIculas. De hecho, él argumentO que estas partIculas eran constituyentes de los átomos, y no se trataba de jones o átomos en sí como podrIa pensarse. También desarrolló una teorIa de Ia materia que involucra al electrOn. Su punto de vista estuvo tan cerca de lo que se acepta en la actualidad, que por este motivo le fue otorgado el crédito de este "descubrimiento" a Thomson. Sin embargo hay que indicar que ni él ui cualquiera en Ia actualidad ha podido ver en realidad un electron. Analizaremos esto brevemente, ya que este punto ilustra el hecho de que los descubrimientos en la ciencia no siempre son asuntos tangibles. De hecho algunos filOsofos de La ciencia piensan que Ia palabra "descubrimiento" no resulta apropiada, como en este caso. Thomson pensó que el electron no era un átomo, sino que en vez de esto era un elemento constituyente o una parte del átomo. Pronto llegO a la evidencia convincente de lo anterior, cuando se determinO Ia carga y Ia masa de los rayos catódicos. El discIpulo de Thomson, J. S. Townsend realizO las primeras mediciones directas de e en 1897. Pero fue el refinado experunento de Ia gota de aceite de Robert A. Millikan (1868-1953) lo que produjo un valor exacto de La carga del electrOn y demostró que la carga viene en cantiAtomizador

Experimento de La gota de aceite de Millikan. FIGURA 27-30

dades discretas. En este experimento, unas gotas pequenas de aceite mineral que transportan una carga eléctrica se dejan caer bajo Ia acciOn de la fuerza de gravedad entre dos placas paralelas, véase Ia figura 27-30. El campo eléctrico E entre las placas se ajustó hasta que Ia gota quedo suspendida en el aire. En ese momento el empuje hacia abajo de Ia gravedad (mg) quedO balanceado por Ia fuerza que se dirige hacia arriba generada por el campo eléctrico. En consecuencia qE = mg, por lo que Ia carga es q = mg/E. La masa de La gota se determinO midiendo su velocidad terminal en ausencia de campo eléctrico. Algunas veces Ia gota tenla carga negativa, y otras carga positiva, esto sugerIa que Ia gota habla adquirido o perdido electrones (por fricciOn, al momento que salfa del atomizador). Las cuidadosas observaciones de Millikan y el análisis que presentó eran evidencia convincente que demostraba que cualquier carga era una integral mUltiple de una carga más pequefia, e, que se describla como un electrOn, el valor de e era

1.6 X 1019 C. (Como ya se ha mencionado en el capItulo 21, el valor real de e es 1.602 X 10 C.) Este valor de e, combinado con Ia mediciOn de e/m proporciona Ia del electrOn (1.6 x 1019 C)/(1.76 X lO C/kg) = 9.1 X iO' kg. Esta inferior a una milésima parte de Ia masa del átomo más pequeno, y en consecuencia confirma Ia idea de que el electrOn solamente es una parte del átomo. El valor que se ha aceptado en La actualidad para La masa del electrOn es me = 9.11 X 1031 kg.

' 'vir r' -s(C' Tp- r Un virtazr ii El tubo de rayos catOdicos (TRC), que es el tubo de imagen de un receptor de televi-

siOn, de un osciloscopio, o de un monitor de computadora, se analizO en el capItulo 23. En Ia figura 23-19 se analizó un diseno que utiliza placas eléctricas de deflexiOn para dirigir el haz de electrones. Sin embargo, Ia mayor parte de los tubos de rayos catOdicos utilizan el campo magnetico que producen unas bobinas para dirigir el haz de electrones. Estas bobinas funcionan en forma similar a las bobinas de La figura 27-29. En Ia actualidad se utilizan sistemas de deflexiOn que pertenecen a ambos tipos, tanto eléctrica como magnética. 100

CAPITULO 27

Magnetismo

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*

Efecto Hall Cuando un conductor que transporta corriente se mantiene firmemente en un campo magnético, el campo ejerce una fuerza lateral en las cargas que se mueven en el conductor. Por ejemplo, silos electrones se mueven a Ia derecha en el conductor rectangular que se muestra en Ia figura 27-31a, el campo magnético que se dirige al interior ejercerá una fuerza hacia abajo en los electrones, FB = -evd x B, donde Vd es Ia velocidad de deriva de los electrones (sección 25-8). En consecuencia los eJectrones tratarán de moverse más cerca de la cara D que de Ia cara C. En consecuencia se generará una diferencia de potencial entre las caras C y D del conductor. Esta diferencia de potencial aumentará hasta que el campo eléctrico EH que produce ejerza una fuerza eE en las cargas mOviLes que sea igual y opuesta a Ia fuerza magnética. Este efecto se conoce como efecto Hall, ya que fue descubierto por E. H. Hall en 1879. La diferencia de potencial que se produce se conoce como fern de efecto Hall. El campo eléctrico que genera La separaciOn de las cargas se denomina campo Hall, EH, y apunta hacia abajo en la figura 27-31a. En el equilibrio, Ia fuerza que genera este campo eléctrico estará balanceada con la fuerza magnetica evd B, por tanto eEH = eVdB.

En consecuencia EH = Vd B. Entonces la fern de efecto Hall será (suponiendo que el conductor sea Largo y delgado para que EH sea uniforme) (27-14) = EHI = VdBI, donde I es el ancho del conductor. Una corriente de cargas negativas que se mueven a la derecha equivale a una corriente de cargas positivas que se mueven a la izquierda, al menos esto se curnple en Ia mayor parte de las propuestas. Pero el efecto Hall puede distinguir las diferencias entre ambas. Como se puede observar en Ia figura 27-31b, las partIculas positivas que se mueven a [a izquierda se desvIan hacia abajo, en consecuencia Ia superficie inferior es positiva con respecto a Ia superficie superior. Esto es lo contrario a la parte (a). De hecho, La dirección de la fern en el efecto Hall revelO por vez primera que en los conductores de metal se mueven las partIculas negativas. La magnitud de la fern de efecto Hall es proporcional a La fuerza del campo magnético. En consecuencia el efecto Hall se puede utilizar para medir la fuerza de los campos magnéticos. Para esto se calibra primero el conductor, que se conoce como sonda de Hall, en presencia de campos rnagnéticos conocidos. Luego, para ese rnismo valor de corriente, La fern de salida será una indicación de B. Las sondas de Hall pueden ser muy pequefias y son iitiles y precisas en su forma de uso. El efecto Hall también se puede utilizar para medir Ia velocidad de deriva de los portadores de cargas cuando se conoce el campo magnético externo B. Estas mediciones permiten también Ia determinación de la densidad de portadores de carga en un material.

X

X XDX

x

x xx x +

X

+ X

4-

+

XDX

p

X

x

-

j x

iX

X

FIGURA 27-31 Efecto Hall. (a) Las cargas negativas se mueven a la derecha como La corriente. (b) Las cargas positivas se mueven a La izquierda conio La corriente.

Velocidad de deriva usando el efecto hail. Una cinta larga de coore que tiene 1.8 cm de ancho y 1.0 mm de espesor se coloca en un campo magnético de 1.2 T como se indica en La figura 27-31a. Cuando una corriente estable de 15 A circula a través de Ia cinta, se mide la fern de efecto Hall y es 1.02 /LV. Determine Ia velocidad de deriva de Los electrones y la densidad (cantidad por unidad de volurnen) de los eLectrones libres (conductores) en el cobre. SOLUCION La velocidad de deriva (ecuación 27-14) es

=

H

BI

=

1...Xi'J i Cr)

(1.2T)(1.8 x 102m)

= 4.7 X 10 rn/S.

La densidad de los portadores de carga n se obtiene de Ia ecuaciOn 25-13, I = nevd A donde A es el area de La sección transversal a través de la cual fluye la corriente I. Entonces

I

15 A

evd A

(1.6 X 10-19 C)(4.7 X 105m/s)(1.8 X 10m)(1.0 X 10rn)

= 11 X 10rn3. Este valor de la densidad de electrones Libres en el cobre, n = 11 X 10 por m3, es el valor experimental. Este valor representa más de un electron libre por cada átomo, como ya se vio anteriormente en el ejemplo 25-12 el resultado es 8.4 x 10 m3. *SECCION 27-8

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Efecto HaIl

101

*

S2

L

S I

E

BI

\'

\

2r

Espectrómetro de masa A principios del siglo XX se desarrollaron varios métodos para medir las ma.sas de los átomos. Uno de los métodos ms precisos es el espectrómefro de masa de La figura 27-32. Los jones se producen por calentamiento, o debido a una corriente eléctrica en Ia fuente S. Las partIculas se aceleran y luego se hacen pasar por la abertura S1 con la ayuda de un selector de velocidad de campos magnéticos y eléctricos cruzados (como en el ejemplo 27-7). Solamente los jones que tienen una velocidad v = E/B pasaran sin desviarse y sa1drin por la abertura 52. En Ia segunda region que se localiza despues de S2, solamente existe un campo magnético B', en consecuencia los jones seguirn una trayectona circular. El radio de su trayectoria se puede medir porque Los jones oscurecen La placa fotografica cuando golpean en ella. Como qvB' = mv2/r y v = E/B, entonces

m=

PelIcula fotográfica

Espectrómetro de masa Bainbridge. Los campos magn&icos B y B' salen del papel (como lo indican los puntos). FIGURA 27-32

qB'r

qBB'r

= E Al medir las cantidades de Ia derecha se puede determinar m. Observe lo siguiente: para los jones que tienen Ia misrna carga, la masa de cada uno es proporcjonal al radio de su trayectoria. Las masas de muchos átomos se han determinado en esta forma. Cuando se utiljza una sustancia pura, algunas veces aparecen dos (o más) marcas muy cerca una de otra en Ia peLIcula fotográfica. Por ejemplo el neOn produce dos marcas cuyos radios corresponden a átomos que tienen una masa de 20 y 22 unidades de masa atOmica (u). La idea de impurezas se eljmjnO y se llegó a Ia conclusiOn de que deberlan existir dos clases diferentes de neOn con masas diferentes. Estas formas diferentes se denominan isótopos. Luego se descubriO que La mayor parte de los elementos están formados por mezclas de isótopos, y Ia diferencia en las masas se debe a una diferencja en la cantidad de neutrones. Los espectrOmetros de masa se pueden utilizar para separar elementos djferentes y sus isOtopos, además de moléculas diferentes. EspectrometrIa de masa. Los átomos de carbOn tienen una IL.O u y están mezclados con otro elemento desconocido. En un espectrómetro de masa el carbOn dibuja una trayectoria cuyo radio es 22.4 cm y La trayectoria del elemento desconocido tiene un radio de 26.2 cm. ,Cuál es el elemento desconocido? Suponga que ambos tienen la misma carga. SOLUCION Como Ia masa es proporcional al radio, se tiene m 26.2cm 117 22.4 cm mc Entonces m = 1.17 X 12.0 u = 14.0 u. Probablemente ci otro elemento es nitrógeno (véase Ia tabla periódjca en La página A-36). Sin embargo podrIa tratarse de un isótopo del carbon u oxigeno. En consecuencia se necesita mayor análisis fIsico o quImico. lIldSd 0U i

ii

Resumen Un imn tiene dos polos, forte y sur. El pOlO forte es el extremo que apunta hacia el forte geográfico cuando el imán se suspende libremente. Los polos opuestos de dos imanes se atraen, en tanto que polos iguales se repelen. Se puede imaginar que un campo magnético rodea a Cada imán. La unidad del SI para el campo magnetico es el tesla (T). Las corrientes eléctricas producen campos magnéticos. Por ejemplo, las ilneas de campo magnético que genera Ia corriente que circula en un alambre recto forman un cIrculo airededor del alambre, y el campo ejerce una fuerza en los imanes que se colocan cerca del alambre. Un campo magnético ejerce una fuerza en una corriente eléctrica. La fuerza en una longitud infinitesimal de alambre 702

CAP1TULO 27

dl que transporta una corriente I en un carnpo magnetico B es

dF = I dl x B.

Si el campo B es uniforme en una longitud I de alambre recto, entonces la fuerza es

F = II x B

y tiene una magnitud

F = JIB sen6 donde 0 es el angulo entre el campo magnetico B y el alambre. La dirección de Ia fuerza es perpendicular al alambre y al campo magnético, y está determinada por Ia regla de La mano derecha. Esta relaciOn sirve como definiciOn del camP0 magnetico B.

Magnetismo

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En forma similar, un campo magnético B ejerce una fuerza en una carga q que se mueve a una velocidad v,

= p. X B,

F = qv X B. La magnitud de Ia fuerza es

F = qvB sen 0,

donde 0 es el ángulo entre v y B. La trayectoria de una partIcula con carga que se mueve en forma perpendicular a un campo magnético uniforme es un cIrculo. Si estn presentes campos magnéticos y eléctricos, Ia fuerza es

F = qE + qv x

El par en una bobina que transporta corriente y se en-

cuentra en un campo magnético B es

B.

donde p. es el momento dipolar magnélico de Ia bobina: p. = NIA. N es Ia cantidad de vueltas que transportan una corriente I en Ia bobina, A es ei vector perpendicular al piano de Ia bobina (utilice Ia regla de Ia mano derecha) y su magnitud es igual al area de Ia bobina. La mediciOn del cociente cargamasa (e4n) dei electron se realizó utilizando campos eléctricos y magnéticos. La carga e del electrOn se midiO por primera vez en el experimento de ha gota de aceite de Millikan, entonces se determinó la masa del electrOn a partir del valor medido en el cociente e,4n.

Preci u ntas Una brOjula de aguja no siempre se balancea en forma paralela a la superficie terrestre, pero uno de sus extremos puede inchnarse hacia abajo. Explique. Dibuje las lIneas de campo magnetico airededor de una secciOn

recta de alambre que transporta una corriente que circula en

forma horizontal hacia la izquierda. ,En qué dirección estarán las lIneas de campo magnético que

rodean un alambre recto que transporta una corriente que se

dirige hacia usted? Un imán con forma de herradura se mantiene en forma vertical con el pOlO forte en la izquierda y con el polo sur a la derecha. Un alambre pasa entre los polos, a una misma distancia de ambos, y transporta una corriente que se aleja de usted. ,En qué dirección actOa la fuerza en el alambre? En Ia rehaciOn F = II x B, ,qué pares de vectores (F, 1, B) se encuentran siempre a 900? Qué puede estar a otros ángulos? El campo magnético que genera Ia corriente que circuha en los alambres de una casa puede afectar a una brüjula de aguja. Analice los efectos en términos de las corrientes, incluyendo si se trata de cd o ca.

Si una particula que tiene carga negativa entra a una region

donde el campo magnético es uniforme y es perpendicular a Ia velocidad de Ia partIcula, la energIa cinética de Ia partIcula aumentará, disminuirá o se mantendrO sin cambio? Explique su respuesta. (Ignore Ia fuerza de gravedad.) En Ia figura 27-33 las partfculas con carga se mueven en los airededores de un alambre que transporta corriente. Para cada partIcula con carga Ia flecha indica Ia dirección del movimiento de Ia particula y los signos + o - indican el signo de Ia carga. Para cada una de las partIculas indique ha dirección de Ia fuerza magnética debido al campo magnético que produce el alambre.

Observe que ei patrOn de las lIneas de campo magnetico que rodean a un imán tipo barra es similar al patrOn del campo ehéctrico airededor de un dipoio eléctrico. A partir de este hecho, indique cOmo cambiar el campo magnético con respecto a Ia distancia si (a) se encuentra cerca de uno de los polos de un imán tipo barra de gran longitud, (b) se encuentra lejos de un imn como un todo. Exphique por qué se distorsiona ha imagen de un receptor de televisiOn cuando se acerca un imn a Ia pantalla. Explique ade-

más por qué se oscurece completamente Ia imagen cuando el campo es muy fuerte. [Pero no se arriesgue, no trate de hacer esto ya que podrIa daflar su televisor.] Describa Ia trayectoria de una partIcula que tiene carga negativa en el filtro de velocidad de La figura 27-20 Si SU velocidad supera al cociente E/. ,,Cuál serO su trayectoria SI V < E/B? Habrá alguna diferencia si La partIcula tiene carga positiva? Puede hacer que un electron que estO en reposo comience a moverse con un campo magnético? (,Con un campo ehéctrico? Una partIcuha con carga se mueve en un circulo bajo Ia influencia de un campo magnético uniforme. Si se enciende un campo eléctrico que apunta en [a misma direcciOn deh campo magnético, describa Ia trayectoria de ha partIcuha con carga. La fuerza en una partIcuha que se encuentra en un campo magnético es eh principio de operaciOn del bombeo electromagnético. Se utiliza para bombear fluidos metáhicos (como eh sodio) y

en tiempos recientes se utiliza para bombear sangre en los corazones artificiales. El diagrama bOsico se muestra en ha figura 27-35. Un campo eléctrico se aplica en forma perpendicuhar ah

vaso sanguIneo y al campo magnético. Explique cómo es que los iones se mueven. tLos jones positivos y negativos experimentan una fuerza que tiene Ia misma direcciOn?

t

t FIGURA

27-33

Pregunta 8.

-S

FIGURA

27-34 Pregunta 9.

9. Una partIcula con carga positiva en un campo magnético no

uniforme sigue Ia trayectoria que se muestra en Ia figura 27-34. Indique Ia direcciOn del campo magnético en cualquier punto del espacio, suponiendo que la trayectoria siempre se encuentra en el piano de Ia pOgina, e indique las magnitudes reiativas del campo en cada region.

FIGURA

27-35 Bombeo ehectromagnético en unvaso

sanguIneo, pregunta 15.

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Preguntas

703

16.

Un haz de eiectrones se dirige hacia un alambre horizontal que transporta una corriente de izquierda a derecha (véase Ia figura 27-36). c!,En qué direcciOn se desvIa el haz?

I

Dirección del electron

FIGURA 27-36

Pregunta 16.

clase de campo o campos rodean a una carga eléctrica que está en movimiento? ,Se podria haber definido la direcciOn del campo magnético B para que estuviera en Ia direcciOn de Ia fuerza en una particula

tQué

móvil con carga? Explique. Una partIcula con carga se mueve en lInea recta a través de una

,COmo puede fabricarse una brOjula de aguja sin usar hierro o cualquier otro material ferromagnetico?

Indique cOmo podrIa determinar ci momento dipolar de un imán tipo barra o de una brCijula de aguja. ,En qué posiciones (si existe aiguna) una bobina dc corricntc quc sc coioca en un campo magnético uniforme se encontrarO (a) en cquilibrio cstable. (b) en cquiiibrio inestable?

Una picza rectangular dc material semiconductor sc inscrta en un campo magnético y se conccta una baterfa en sus extrcmos como se indica en Ia figura 27-37 Cuando se conecta un voitImctro sensible cntre los puntos ay b se descubre que ci punto a se encuentra a mayor potencial quc ci punto b. LCuai scrO ci signo de los portadores dc carga en ci material semiconductor?

region particular del espacio. LAcaso puede existir un campo magnético diferente de cero en esta region? En caso afirmativo

B

HI,t

indique dos situaciones posibies. Si una partIcula móvil con carga se desvIa hacia un lado en cierta en esa region? regiOn del espacio, ,se puede conciuir que B Explique. En una regiOn particular del espacio existe un campo magnético uniforme B. Fuera de esta region B = 0. ,Podrá inyectar un electrOn desde ci exterior hacia el campo en forma perpendicu-

lar para que el electron se mueva en una trayectoria circular y cerrada en el campo? j,Qué sucederO si ci electrOn se inyecta cerca del centro? (,Cómo se pucde saber si los electrones que se desplazan en cierta region dcl espacio serán desviados por un campo ciéctrico o un campo magnético (o por ambos)?

1. I

FIGURA 27-37

Pregunta 26.

Dos ioncs ticncn Ia misma masa, pero uno está ligcramcnte ionizado y ci otro cstá doblemcnte ionizado. (,En qué forma diferirán sus posicioncs en Ia pclIcuia del espectrOmetro de masa de Ia figura 27-32?

Problemas

(I) (a) Cuál será Ia fuerza por metro de longitud en un alambre recto que transporta una corriente de 7.40 A cuando ci alambre es perpendicular a un campo magnético uniforme de 0.90 T? (b) 6Qué sucederá si ci ángulo entre ci alambre y el campo es 45°? (I) Calcule Ia fucrza magnética en un alambre cuya longitud es 240 m si se coloca entre dos torres que transportan una corriente de 150 A. El campo magnético de La Tierra cs 5.0 X i0 T y forma un ángulo de 60° con ci alambre. (I) Cuánta corriente fluirá en un alambre que tiene una Iongitud de 4.20 m si La fuerza maxima en ci aiambre es 0.900 N cuando sc coloca en un campo magnético uniforme de 0.0800 T? (I) Un alambre cuya longitud es 1.5 m y transporta una corriente de 4.5 A se coloca en forma horizontal. En ese punto de la superficic terrestre, ci ángulo de inmersiOn dcl campo magnético de Ia Tierra forma un angulo de 40° con ci alambre. Calcule la fuerza magnética en ci alambre debido a! campo magnético

de Ia Tierra de 5.5 X i0 T en ese punto. La fuerza en un alambre que transporta una corriente de 8.75 A tiene un valor mOximo de 1.18 N cuando cI alambrc se coloca entrc los poios de un imán. Si las caras de los polos dci imán tienen un diámetro de 5.5 cm, cuái será Ia fucrza aproxi-

mada dcl campo magnético? Se midc Ia fuerza magnética por metro en un alambre y csta es solamente ci 45 por ciento dc su valor máximo posible. Obtenga la relaciOn cntre ci alambre y ci campo si Ia fucrza es maxima, y obtcnga la relaciOn real, para esto caicule ci Ongulo entre ci alambre y ci campo magnético. 704

CAPITULO 27

Magnetismo

(II) La fuerza en un aiambre ticne un valor mOximo de 5.30 N cuando ci alambre sc coloca cntrc los polos de un imán. La corricnte fiuye en forma horizontal hacia La dcrecha y ci campo magnético es vertical. Se observa quc ci alambre "salta" hacia ci obscrvador cuando sc cnciendc Ia corriente. (a) ,Qué ciase de polo magnético ticnc La partc superior dc La cara dcl imOn? (b) Si las caras dc los poios ticnen un diOmetro dc 10.0 cm, caicuic Ia corriente en ci aiambrc si ci campo cs 0.15 T. (c) Si ci alambre sc levanta para quc formc un ánguio de 10° con la horizontal, quc fucrza cxperimcntará? (II) Suponga quc Los alambre rcctos quc se concctan al conductor sc dobian formando un semicIrcuio en Ia figura 27-15, pero todavIa sc encuentran en ci piano de ia pOgina, dc tal forma que son horizontalcs en La base dci scmicIrculo. Si una longitud L de cada uno permanccc en ci campo B, Lcuál scrá la fucrza total en ci conductor?

(II) Un aiambrc rccto de cobrc cuyo diámctro es 2.0 mm puede fiotar en forma horizontal en el aire porquc Ia fuerza dcl campo magnético de Ia Tierra (B) (quc es horizontal) cs al mismo tiempo perpendicular al alambre y tiene una magnitud de 5.0 >< 105T. Cuái cs Ia corricntc que transporta ci alambre? (II) Un aiambrc largo se ticnde a lo largo dcl eje x y transporta una corriente dc 3.0 A hacia La dcrccha (+x). El alambrc pasa a

través dc un campo magnético uniformc B = (0.201-0.30j +

0.25k)T. Determine las componentes dc Ia fucrza en ci aiambre por cm dc Longitud.

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(III) Un alambre curvo, que conecta dos puntos a y b, descansa en un piano perpendicular a un campo magnético uniforme B y transporta una corriente 1. Demuestre que Ia fuerza magnética

resultante en el alambre, sin importar cuál es su forma, es Ia misma que en un alambre recto que se conecta a dos puntos que transportan Ia misma corriente I. Véase la figura 27-38.

P

\ L:4 t t

cu,/N,

x

)<

X

i.:

I

If

I:;! I

X

x

/I x

)<

FIGURA 27-38

X

X

Probiema 11.

FIGURA 27-39

Problerna 12.

(III) Una bobina circular de alambre de radio r transporta una corriente I. La bobina se coloca en un campo magnético cuyas IIneas rectas parecen apartarse de un punto que está a una distancia d por debajo del eje del anillo. (Es decir, el campo forma un ángulo 0 con Ia bobina en todos los puntos, figura 27-39, en tanto que tan 0 = rid.) Determine Ia fuerza en Ia bobina.

(I) Determine Ia magnitud y direcciOn de Ia fuerza en un electrOn que viaja a 7.75 x iO rn/s en forrna horizontal al este y en un campo rnagnético vertical que se dirige hacia arriba y tiene una fuerza de 0.85 T. (I) Encuentre Ia direcciOn de Ia fuerza en una carga negativa para cada diagrarna de Ia figura 27-40, donde v es Ia velocidad de la carga y B es Ia direcciOn del campo magnético. (® significa que el vector apunta hacia dentro, ® significa que apunta hacia fuera, hacia el lector.) B B

v

Iv

'B

(a)

V

(b)

(d)

(c) B

V V

B

(f)

(e) FIGURA 27-40

3.5 x i1IY T, respectivamente. (,Cuál es el radio de la Orbita del electron si se apaga el carnpo eléctrico? Para una partIcula de rnasa m y carga q que se mueve en una trayectoria circular en un campo magnético B, (a) dernuestre que su energfa cinética es proporcional a r2, el cuadrado del radio de curvatura de su trayectoria, y (b) dernuestre que su momento angular es L = qBr2 cerca del centro del cIrculo.

(II) Un electron se mueve a una velocidad v = (4.Oi-6.Oj) X iO4 rn/s en un carnpo rnagnético B = (-0.80i + 0.60j)T. Deterrnine Ia magnitud y dirección de la fuerza que actOa en el

positiva y se rnueve a una velocidad v.

F

(c)

(II) Un átorno de helio con carga doble cuya rnasa es 6.6 x 10_27 kg se acelera con un voltaje de 2100 V. (a) ,CuOl

será su radio de curvatura si se rnueve en un plano perpendicular a un campo uniforme de 0.340 T? (b) (,Cuál serO su periodo de revoluciOn? (II) Una bala de 3.40 g se rnueva a una velocidad de 160 rn/s perpendicular al carnpo magnético de Ia Tierra de 5.00 x iO T. Si Ia bala posee una carga neta de 13.5 X i0 C, j,a qué distancia se desviará de su trayectoria debido al campo magnético de Ia Tierra después que ha recorrido 1.00 km? (II) Suponga que el campo magnético de Ia Tierra en el ecua-

dor tiene una magnitud de 0.40 X 10 T y se dirige al forte en todos los puntos. Con qué rapidez se debe rnover un iOn de uranio (m = 238u, q = e) para recorrer Ia tierra 5.0 km por encirna del ecuador? Se puede ignorar La gravedad? Un proton (masa mr), un deuterión (m = 2mg, Q = e), y una partfcula alfa (m = 4in, Q = 2e) se aceleran con una misma diferencia de potencial V y después entran a un campo magnético uniforme B donde se rnueven en trayectorias circulares perpendiculares a B. Deterrnine el radio de las trayectorias pa-

ra el deuteriOn y Ia partIcula alfa en térrninos del protOn. (II) Un protOn se mueve a través de una regiOn en el espacio donde ya existe un campo rnagnético B = (0.45i + 0.20j)T, y un campo eléctrico E = (3.Oi-4.2j) X iO V/rn. En un instante determinado, Ia velocidad del protOn es v = (6.01 + 3.Oj-5.Ok) X protOn.

donde F representa Ia fuerza en una partIcula que tiene carga

V

(II) Un protOn que tiene una energIa cinética de 5.0 MeV entra a un campo magnético de 0.20 T, en un piano perpendicular al campo. Cuál es el radio de su trayectoria? (II) Un electrOn experimenta Ia mayor de las fuerzas conforme viaja a 2.9 x 106 rn/s en un campo magnético cuando se desplaza hacia el norte. La fuerza se dirige hacia arriba y su magnitud es 7.2 X 1013 N. ,Cuál será Ia magnitud y direcciOn del campo magnético?

iO rn/s. Determine las cornponentes de Ia fuerza total en el

Problema 14.

(I) Determine Ia direcciOn de B en cada caso de Ia figura 27-41,

(b)

y rnagnéticos cruzados cuya rnagnitud es 8.8 X i0 V/rn y

electrOn.

x L

Una partIcula con carga q se rnueve en una trayectoria circular de radio r en un carnpo rnagnético uniforrne B. Demuestre que su rnornento es p = qBr. (H) ,CuOl serO la velocidad de un haz de electrones que avanza sin desviarse cuando pasa a través de unos carnpos eléctricos

FIGURA 27-41

Problema 15.

(I) Un electron se proyecta verticalmente hacia arriba a una yelocidad de 1.80 X 106 rn/s hacia un campo rnagnético uniforme de 0.250 T que se dirige en forma horizontal y se aleja del observador. Describa la trayectoria del electrOn en este campo.

(II) Un electrOn experimenta una fuerza F = (3.8i-2.7j) X 10 N cuando pasa a través de un campo magnético B = (0.35T)k. Determine Ia velocidad del electrOn. (II) Un electrOn entra a un campo magnético uniforme B = 0.23 T en un Ongulo de 45° con respecto a B. Deterrnine el radio r y el paso p (distancia entre las vueltas) de Ia trayectoria helicoidal del electrOn suponiendo que su velocidad es 3.0 X 106 m/s, véase Ia figura 27-42.

iicicic

'V

)

(-J

HH

B

FIGURA 27-42

Problerna 29.

2r B

Problemas

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105

(II) La trayectoria de los protones que salen de un acelerador debe doblarse en 900 en un imán que dobla para que no choquen con Ia barrera en su trayectoria, Ia cual se enduentra a una distancia I de su agujero de salida en el acelerador. Demuestre que el campo B en el imán que dobla, se supone uniforme y puede ejercer en un area i x I, debe tener una magnitud minima de (2mK/e2I2), donde m es Ia masa del proton y K es la B energIa cinOtica. (II) Un protOn que se mueve a una velocidad v = 2.0 X i0 rn/s

en una regiOn libre de carnpo entra abruptamente a un campo magnético esencialmente uniforme B = 0.850 T como se muestra en Ia figura 27-43, (B v). Si el protOn entra a la regiOn de campo rnagnético a un ángulo de 450 como se indica, (a) cuál es el Ongulo de salida (b) a qué distancia x sale del campo.

I

(I) La aguja de un galvanórnetro tiene una deflexión a maxima escala a una corriente de 63.0 p.A. Que corriente proporcionará una deflexión de maxima escala si el campo magnético disminuye en un 0.860 de su valor original? (I) El resorte de un galvanórnetro se debilita un 20 por ciento con ci paso de los aflos, ,que corriente proporcionara una defiexiOn de maxima escala si La corriente original era de 36.0 MA?

(I) Si la corriente en un motor disrninuye un 18 por ciento, (,en qué factor cambia el par de salida?

(I) ,Cuál es el valor de q/m para un partIcula que se mueve en un cIrcuio de 8.0 mm de radio en un campo magnético de 0.46 T Si un campo eléctrico cruzado de 200 V/rn hace que Ia trayectona sea recta?

(11) Una gota de aceite cuya masa es 3.3 x 10' kg se mantiene en reposo entre dos placas grandes que están separadas a una distancia de 1.0 cm corno en Ia figura 27.30. Si Ia diferencia de potencial entre las placas es 340 V, cuántos electrones en exceso tiene La gota?

FIGURA 27-43

450

Problema 31.

(I) Una bobina circular cuyo diárnetro es 13.0 cm se coloca con su cara paralela a un campo magnético uniforme entre los polos de un imOn grande. Cuando fluye una corriente de 7.10 A en la bobina el par en ella es 0.185 rnN, cuál es Ia fuerza del campo magnético? ,Cuánto trabajo se requiere para hacer girar una bobina de

corriente (figura 27-21) en un campo magnético uniforme B desde (a) 0 = 0, (1B) a 0 = 180°, (b) 0 = 90° a 90°? Demuestre que el momento dipolar magnético .t de un

electron que orbita el nUcleo de un Otomo de hidrogeno se relaciona con el momento orbital L del electrOn de acuerdo a e

L. 2m (II) Una bobina circular de alambre cuyo diámetro es 17.0 cm y contiene 12 vueltas descansa en forma plana a la Tierra. El camp.

=

P0 magnético de Ia Tierra en esa ubicación tiene Ia siguiente magnitud 5.5 X i0 T y apunta hacia la Tierra a un Ongulo de 66° por debajo de la lInea que apunta al forte. Si una corriente

de 7.10 A circula por Ia bobina en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, (a) determine el par en Ia bobina, (b) cuOI borde de Ia bobina se levantarO, el del norte, del este, del sur o del oeste? (II) Una bobina circular de alarnbre cuyo diOmetro es 20.0 cm descansa en el piano xy. La corriente en cada vuelta de Ia bobina es 7.6 A y fluye en el sentido del giro de las manecilias del reIoj, y un campo magnético externo B = (0.801 + 0.60j-0.65k)T pasa a través de Ia bobina. Determine (a) el momento magnético de Ia bobina , (b) el par en Ia bobina debido at campo magnético cxterno, (c) Ia energia potencial U de Ia bobina en el campo (iguale U a cero como se realizO en el análisis de Ia figura 27-21).

(III) Suponga que Ia barra no conductora de longitud I transporta una carga Q que estO distribuida de manera uniforme. La barra se hace girar a una velocidad angular w airededor de un eje perpendicular a Ia barra en uno de sus extremos. Demuestre que el momento dipolar magnetico de esta varilla es QwI2. [Sugerencia: considere el movimiento de cada longitud infinitesinial de varilla.] 706

CAPITULO 27

(II) Una muestra rectangular de un metal tiene una achura de 3.0 cm y 500 p.m de espesor. Cuando la muestra transporta una corriente de 42 A y Se coloca en un campo magnético de 0.80 T se produce una fern de efecto Hall de 6.5 MV. Determine (a) el

carnpo Hall en el conductor, (b) Ia velocidad de deriva en los electrones de conducciOn, (c) Ia densidad de electrones libres en el metal.

(II) En una sonda que utiliza el efecto Hall para medir campos magnéticos, una corriente de 12.0 A circula a través de una cmta de metal de sodio de 1.50cm de ancho y 1.30 mm de espesor. Si Ia fern de efecto Hall es 2.42 p.V, cuál serO Ia magnitud del campo rnagnético (que se torna perpendicular a Ia superficie plana de la cinta)? Suponga un electrOn libre por átomo de Na, y Ia gravedad especifica del Na es 0.971. (II) El efecto Hall se puede utilizar para medir Ia rapidez del flujo sanguIneo porque Ia sangre contiene jones que constituyen una corriente eléctrica. (a) El signo de los iones modifica en alguna forma Ia fern? (b) Determine Ia velocidad de flujo en una arteria cuyo diametro es 3.3 mm si la fern medida es de 0.10 rnV y B es 0.070 T. (En Ia práctica real Se utiliza un campo magnetico variable.)

En un espectrOrnetro de masa, los Otornos de gerrnanio tienen los siguientes radios de curvatura 21.0,21.6,21.9,22.2 y 22.8 cm. El radio mayor correSponde a una masa atOmica de 76 u. CuáIes son las masas atOmicas de los isOtopos restantes? Suponga que el campo eléctrico entre las placas del espec-

trOmetro de masa de Ia figura 27-32 es 2.48 X iO V/rn y el

campo magnético es B = B' = 0.58 T. La fuente con tiene isOto05 de carbOn cuyos nOmeros de masa son 12, 13 y 14, los cuales provienen de la raIz seca de un arbol. (Para calcular las masas atOrnicas, multiplique por 1.66 x 10 kg.) cCuál será Ia separaciOn entre las IIneas que forman los jones con carga de cada cIase en Ia pelIcula fotografica? Qué sucederIa silos iones tuvieran el doble de carga?

Magnetismo

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(II) Un espectrOmetro de masa se utiiza para monitorear Ia contaminaciOn del aire. Sin embargo, es difIcil separar las moléculas que tienen masas casi idénticas como es el CO (28.0106 u) y N2 (28.0134 u). ,Cuál será el radio de curvatura que debe tener el espectrOmetro de masa si ambas moléculas están separadas en La pelIcuIa por una distancia de 0.50 mm?

(II) Una clase de espectrOmetro de masa acelera los iones con un voLtaje V antes que estos puedan entrar a un campo magnético B. Se supone que los iones arrancan del reposo. Demuestre que Ia masa de un ion es in = qB2R2/2V, donde R es el radio de Ia trayectoria de Los jones en el campo magnético y q es su carga.

Problemas eneraIes Los protones se mueven en un circulo de radio 5.10 cm y un campo magnetico de 0.725 T. j,Qué valor del campo eléctrico hará que las trayectorias sean rectas? ,En qué dirección debe apuntar el campo eléctrico? Los protones que tienen un momento 4.8 X 1016kgm/s se dirigen magnéticamente en el sentido del giro de las manecillas del

reloj en una trayectoria circular cuyo diámetro es 2.0 km en el acelerador del laboratorio nacional Fermi en Illinois. ,Cudl es Ia magnitud y direcciOn del campo en los irnanes que rodean al tubo de haz? Un proton y un electrOn tienen Ia misma energIa cinética después que han entrado a una region donde el campo magnético es constante. LCuál será Ia relación entre el radio de sus trayectorias circulares? Cerca del ecuador, el campo magnetico terrestre apunta casi en

forma horizontal hacia el forte y tiene una magnitud de B = 0.50 X 104T. LCul deber ser Ia magnitud y dirección

de Ia velocidad del electron si su peso se va a balancear exactamente con Ia fuerza magnetica? Calcule Ia fuerza en un aeroplano que ha adquirido una carga neta de 1550 .tC y viaja a una velocidad de 120 rn/s en lorma perpendicular al campo magnético terrestre 5.0 X i0 T. El cable de aiirnentaciOn de un tranvIa eléctrico transporta una corriente horizontal de cd de 330 A hacia el este. El campo magnético terrestre es 5.0 x 105T y forrna un ánguLo de inmersión de 22° en esta ubicación. Calcule Ia magnitud y direcciOn de Ia fuerza rnagnetica en una longitud de 10 m de este cable. Dos alambres paralelos están separados por una distancia I en el piano horizontal y sirven como rieles para soportar una barra ligera de metal cuya masa es m (y es perpendicular a cada riel),

figura 27-44. Un campo magnético B se dirige verticalmente hacia arriba (hacia fuera en el diagrama) y actOa en el sistema. En t = 0, los alambres que se conectan a los rieles se conectan a una fuente de corriente constante y una corriente I cornienza a circular en el sisterna. Determine La velocidad de La barra, que cornienza desde eL reposo en t = 0, como funciOn del tiempo (a) suponga que no hay fricción entre La barra y Los rieles, y (b)

Suponga que Ia barra de La figura 27-44 (problema 56) tiene una masa m = 0.40 kg, una longitud de 22.0 cm y Ia corriente que circula a través de esta es I = 40 A. Si el coeficiente de fricciOn estática es p. = 0.50, determine el campo magnético mInimo B (no necesariamente es vertical) que hará que La barra se deslice. Indique La magnitud de B y su direcciOn en relaciOn a Ia vertical. Calcule Ia deflexiOn mOxirna aproximada del haz de electrones cerca del centro de Ia pantalla de un receptor de TV debido al campo magnético de La Tierra de 5.0 X iO T. Suponga que La pantalLa estd a 20 cm del cañon de electrones donde se aceleran los electrones (a) con un voltaje de 2.0 kV, (b) con 30 kV. Cabe indicar que en los televisores a color eJ haz debe dirigirse

en forma precisa a menos de 1 mm para golpear Ia capa de fOsforo en ci Lugar adecuado. Corno el campo magnetico de La

Tierra es considerable, se utilizan blindajes de metal mu para reducir ci campo magnético terrestre en eL TRC. (Véase Ia sec-

ciOn 23-9).

EL cidoirOn (figura 27-45) es un dispositivo que se utiliza para acelerar partIcuLas elementales, como son Los protones, a veloci-

dades elevadas. Las partIculas comienzan en el punto A con cierta veLocidad inicial y viajan en Orbitas circuLares en el camP0 magnético B. Las partIcuLas se van acelerando a velocidades

cada vez mayores cada vez que pasan por Ia abertura entre las placas de metal, donde existe un campo eléctrico E. (No hay ningOn campo eléctrico en ci interior de Ia cavidad de las placas de metal.) El campo eléctrico cambia su direcciOn cada medio cicLo debido a un voltaje de ca V = V0sen2lTft de tal forma que Las partIcuLas aumentan su velocidad cada vez que pasan por La abertura. (a) Demuestre que Ia frecuenciafdel voltaje debe ser f = Bq/2irm donde q es La carga de las partIculas, m es su masa. (b) Demuestre que Ia energIa cinética de Las partIculas aumenta en 2qV0 en cada revoluciOn, suponiendo que La abertura es pequena. (c) Si eL radio del ciclotrOn es 2.0 m y La

magnitud del campo magnetico es 0.50 T, ,cuOl serO el valor máximo de Ia energIa cinética de los protones acelerados en MeV?

considere que el coeficiente de fricción es tk. (c) ,En qué dirección se mueve Ia barra, hacia el este o el oeste, si La corriente que circula por ella se dirige al forte? Norte

I

OO®OOE®®®OC)O /Este I

00000® 000000

B(

U U U U U U U U U 1) Sur

U11

FIGURA 27-44 Vista inferior de una barra que se desliza sobre unos rieles. Problemas 56 y 57.

Abertura Placas FIGURA 27-45

N

7-I Oeste

-r-

BG) () 12) ') 12) 12) (2) 12) (2) 12) (Th 12)8

Un cicLotrOn, probLema 59.

Problemas generales

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107

La bobina rectangular de alambre que se muestra en La figura 27-21 tiene una masa m y transporta una corriente I. Demuestre que si Ia bobina se orienta en un ángulo 0 << I (en radianes), entonces realizarO un movimiento armOnico simple en 0 = 0. Calcule el periodo del movimiento. Los campos magnéticos son muy Otiles en los aceleradores de partIculas para "conducir el haz", es decir, los campos magnéticos se pueden utilizar para cambiar Ia direcciOn del haz sin alterar su velocidad (figura 27-46). Analice cOrno sucede lo anterior con un haz de protones. ,Qué sucederO a los protones si no se mueven con Ia velocidad a la que se disefló el campo magnético? Si el campo se extiende sobre una region que mide 5.0 cm de ancho y tiene una magnitud de 0.33 T, Len qué ángulo aproximado se desviará un haz de protones que viaja a 0.75 x i0 m/s?

recciOn horizontal con un voitaje de 25 kV. Luego pasan a través de un campo magnético uniforme B a una distancia de 3.5 cm, esto los desvIa hacia arriba para que ileguen a Ia parte superior de Ia pantalla que está alejada a una distancia de 22 cm, a 11 cm por encima del centro. Calcule el valor de B. Efecto Zeeman. En el modelo de Bohr para el Otomo de hidrO-

geno, el electron se mantiene en su Orbita circular de radio r

IrnOn

0B0 Tubos al vaclo, en su interior los protones se mueven velozmente en el sentido que indican las flechas FIGURA 27-46

(a) LCuál será el valor del campo magnético para producir un haz de electrones que viajan a Ia derecha a una velocidad de 4.8 x 106 m/s, para que el haz pase sin desviarse a través de una region donde el campo eléctrico uniforme tiene una magnitud de 10,000 V/rn y apunta verticalmente hacia arriba. (b) LCuál serO Ia direcciOn del campo magnético si se sabe que es perpendicular al campo eléctrico? (c) LCuál es La frecuencia de Ia órbita circular de los electrones si se apaga el campo eléctrico? En un tubo de rayos catódicos los electrones se aceleran en di-

Problema 61.

Una bobma cuadrada de alambre de aluminio mide 20.0 cm por lado. Debe transportar una corriente de 25.0 A y debe girar en un campo magnético uniforme de 1.65 T como se muestra en Ia figura 27-47. (a) Determine el diOmetro mInimo del alambre para que Ia bobina no se fracture debido a Ia tensiOn o el desgaste. Suponga un factor de seguridad de 10 (consulte la tabla 12-2.) (b) LC.1OI será La resistencia de una sola vuelta de este alambre?

airededor del nticleo de protones gracias a Ia atracciOn electrostática. Si los átomos se colocan en un campo magnético débil B, Ia frecuencia de rotaciOn de los electrones que giran en ei piano perpendicular a B cambia de acuerdo con eB = ± 4rrm donde e y m son Ia carga y masa del electron. (a) Obtenga el resultado anterior suponiendo que La fuerza que genera B es mucho menor que Ia fuerza que produce La atracciOn eiectrostática del nCicleo. (b) LQué indica ei signo ±? Un proton sigue una trayectoria espiral a través de un gas en un campo magnético de 0.010 T, perpendicular al piano de Ia espiral, como se muestra en Ia figura 27-49. En dos vueltas sucesivas, P y 0, los radios son 10.0 mm y 8.5 mm respectivamente. Caicule ei cambio en La energIa cinética del proton conforme viaja de P a Q. y

a

B

.5.

i}a

a

x FIGURA 27-49

Problerna 67.

b FIGURA 27-50

Problema 68.

La fuerza neta en una bobina de corriente que se encuentra en un campo magnetico uniforme es cero, ya que las contribuciones a La fuerza neta de los lados opuestos de Ia bobina se canceIan. Sin embargo, si La magnitud del campo varIa de un lado de FIGURA 27-47

FIGURA 27-48

Problema 63.

Problema 62.

La figura 27-48 muestra un lanzador de proyectiles. Una corriente considerable se mueve en una bobina cerrada que está formada por los rieles fijos, una fuente de energia y una barra muy ligera (que casi no tiene fricción) que toca los rieles. El campo magnético es perpendicular al piano del circuito. Si Ia longitud de Ia barra es 20 cm, tiene una masa de 1.5 g y se coloca en un campo de 1.7 T, qué fiujo constante de corriente se necesita para acelerar la barra a 30 ni/s en una distancia de 1.0 m? LEn qué direcciOn debe apuntar el campo?

708

CAP1TULO 27

La bobina a otro, entonces se puede generar una fuerza neta

en La bobina. Considere una bobina cuadrada cuyos lados muden a, uno de sus lados se localiza en x = b en ei piano xy (figura 27-50). Un campo magnético se dirige a lo largo del eje z, su magnitud varIa con respecto a x de acuerdo a

B=B(1_). Si La corriente en La bobina circula en sentido contrario al giro de Las manecilias del reloj (es decir, el momento dipolar magnético de La bobina se encuentra a Lo largo del eje z), encuentre una expresión para La fuerza neta en Ia bobina.

Magnetismo

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I?I

4',5

_i/,

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-

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,Jf )

Un bobina larga de alambre cuyas vueltas están embobinadas (devanadas) muy cerca unas de otras se conoce como solenoide. Cuando circula una corriente eléctrica por un solenoide se produce un campo magnético casi uniforme en el interior de las vueltas, como lo indica Ia alineación de las limaduras de hierro en la fotografIa. La magnitud del campo en el interior de un solenoide se puede calcular con Ia Jey de Ampere, una de las leyes generates más importantes del electromagnetismo, que relaciona los campos magnéticos y las corrientes eléctricas. En este capItulo se analizarán estas relaciones con sumo detalle, además de otras formas que existen para prod ucir campos magnéticos.

I4'

Fuentes de campo magnético el capItulo anterior se analizaron principalmente los efectos (fuerzas y pares) que produce un campo magnético en las corrientes eléctricas y en las cargas que están en movimiento. Sin embargo, como se vera en este capftulo, además de los imanes, las corrientes eléctricas también pueden producir campos magnéticos (este fue el gran descubrimiento de Oersted). Este aspecto del magnetismo, Ia producciOn de campos magnéticos, es el tema que se estudiará en este capItulo. También se analizará cOmo se determina la fuerza de los campos magnéticos en algunas situaciones simples, y se estudiarán algunas relaciones generates entre los campos magnéticos y las fuentes que los producen. Se comienza con el caso más sencillo, el campo magnetico que produce un alambre recto de gran longitud que transporta una corriente eléctrica estable. Luego se analizará la forma en la que este campo, que es creado por un alambre, ejerce una fuerza sobre otro alambre que también conduce corriente. Resulta bastante interesante que esta interacción se utilice para definir en forma precisa dos unidades que pertenecen at sistema internacional de unidades: las de corriente eléctrica y carga eléctrica, el ampere y el coulomb respectivamente. Luego se desarrollará un enfoque elegante para encontrar la conexión que existe entre Ia corriente y el campo magnetico, Ia cual se denomina ley de Ampere, una de las ecuaciones fundamentales de Ia ffsica. También se examinará una segunda técnica para determinar el campo magnetico que produce una corriente, La cual se denomina ley de Biot-Savart; aunque la visualización intuitiva de esta ley es difIcil, la ley de Biot-Savart permite resolver problemas con mayor facilidad en Ia mayor parte de los casos en cornparacion con la ley de Ampere. Por Ultimo, el capItulo termina con el análisis del liierro y otros materiales magnéticos, incluyendo cOmo es que producen campos magnéticos.

En

709

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Campo magnético debido a un alambre recto En Ja secciOn 27-2, figura 27-9, se vio que el campo magnético que produce una corrien-

te eléctrica (que circula en un alambre recto de gran longitud) es tal que las lIneas de campo son cIrculos en cuyo centro se encuentra el alambre, figura 28-1. Usted podrIa esperar que la fuerza del campo magnético en un punto determinado sea mayor si aumenta Ia corriente que fluye por el alambre, y que el campo sea menor en las partes ms alejadas del alambre. Lo anterior es cierto. Los experimentos han demostrado que el campo magnético B en un punto cercano a un alambre recto y largo es directamente proporcional a la corriente que fluye por el alambre I e inversamente proporcional a Ia distancia r del alambre: FIGURA 28-1 Al igual que en La figura 27-9a, las lIneas de campo magnético se localizan airededor de un alambre largo y recto que transporta una corriente I.

B cx

Esta relación ser válida siempre que r, Ia distancia perpendicular a! alambre, sea menor que La distancia entre los extremos del alambre (por ejemplo cuando el alambre es largo).

La constante de proporcionalidad se escribe comot .r/2ir, por tanto

B=

it 10cm -.

FIGURA 28-2

Ejemplo 28-1.

FIGURA 28-3 (a) Dos conductores paralelos que transportan corrientes ! e '2 (b) Campo magnético producido por i. (El campo magnético que produce i no se muestra.)

[fuera de un alambre argo y rectol

(28i)

El valor de Ia constante p, que se conoce como permeabilidad del espacio libre, es = 4ii >< 107Tm/A (véase la secciOn 28-3).

Cálculo de B cerca de un alambre. Un alambre eléctrico que se encuentra en orma vertical en Ia pared de un edificio transporta un corriente de cd de 25 A que se dirige hacia arriba. ,Cul es el campo magnetico en un punto que se localiza a 10 cm de norte en el alambre (figura 28-2)? SOLUCION De acuerdo a Ia ecuaciOn 28-1:

B=

2r

=

(4iT X

107Tm/A)(25A) (21T)(0.lOm)

= 5.0x105T,

o 0.50 G. De acuerdo a Ia ley de La mano derecha (figura 27-9b), el campo apunta hacia el oeste (hacia La pgina en Ia figura 28-2) en este punto. Como este campo tiene aproximadamente Ia misma magnitud que el campo de La Tierra, una brUjula de aguja que se coloque en esta ubicaciOn no apuntar hacia el forte, sino en dirección noroeste.

Fuerza entre dos alambres paralelos Se ha visto que un alambre que transporta una corriente produce un campo magnético (cuya magnitud está determinada por Ia ecuaciOn 28-1 si el alambre es recto y de gran longitud), aün más, este alambre experimentar una fuerza cuando se coloque en un campo magnetico (secciOn 27-3, ecuación 27-1). En consecuencia se espera que dos alambres que transportan corriente ejerzan una fuerza uno sobre otro. Considere dos conductores paraLelos y largos que están separados por una distancia d, como en La figura 28-3a. Los alambres transportan las corrientes I e '2 respectivamente. Cada corriente produce un campo magnético que "sierite" el otro conductor, de tal forma que cada conductor ejerce una fuerza sobre el conductor restante, como mdicó Ampere. Por ejemplo el campo magnetico B1 que produce 1 está determinado por Ia ecuación 28-1. En Ia posición del segundo conductor, Ia magnitud del campo magnético

que produce I es

B1 (a) 110

CAPITULO 28

(b)

/.L0

-. '1

21T d

La constante se elige de esta manera un tanto complicada de tal forma que Ia ley de Ampere (sección 28-4), que se considera es más fundamental, tenga una forma más simple y elegante.

Fuentes de campo magnetico

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En la figura 28-3b se muestra solamente el campo que produce I. De acuerdo a La ecuaciOn 27-2, la fuerza F por unidad de longitud I en el conductor que transporta la corriente '2, cuando el campo y Ia corriente son perpendiculares, es = Observe que Ia fuerza en 12 se debe solamente a! campo que produce ii. Desde luego que '2 también produce un campo, pero este no ejerce una fuerza sobre si mismo. Al sustituir B1 en Ia fOrmula anterior para calcular Ia fuerza por unidad de longitud en '2 se tiene

F /

/L0 '112

j/2

'1

(28-2)

- 21T d

Si se utiliza Ia regla de la mano derecha de Ia figura 27-9b se observa que las Ilneas de B1 son como se indica en la figura 28-3b. Luego al utilizar la regla de La mano derecha de la figura 27-12c se observa que la fuerza que se ejerce en '2 se dirigira a Ia izquierda en Ia figura 28-3b. Es decir, 1 ejerce una fuerza de atracciOn sobre '2 (figura 28-4a). Lo anterior se cumple siempre y cuando las corrientes estén en la misma dirección. Si '2 tiene direcciOn opuesta, Ia regla de la mano derecha indica que Ia fuerza tiene direcciOn contraria. Es decir, I ejerce una fuerza de repulsion en '2 (figura 28-4b). Un razonamiento similar a! anterior muestra que el campo magnético que produce '2 ejerce una fuerza de igual magnitud y signo opuesto en 1. Se espera que esto sea cierto debido a Ia tercera ley de Newton. Entonces, como se indica en Ia figura 28-4, las corrientes paralelas que fluyen en Ia misma direcciOn se atraen, en tanto que corrientes paralelas que fluyen en direcciOn opuesta se repelen. Fuerza entre dos alambres que conducen corriente.

iii_ u

'2

FF

F

F

(a)

(b)

(a) Corrientes paralelas que fluyen en Ia misma dirección ejercen una fuerza de atracción entre sf. (b) Corrientes paralelas que fluyen en direcciones contrarias ejercen una fuerza de repulsiOn entre sI. FIGURA 28-4

Los dos

jjxiOn de un electrodoméstico tienen una longitud de 2.0 metros, estan separados por una distaricia de 3.0 mm y transportan una corriente de 8.0 A. Calcule Ia fuerza entre ambos alambres. SOLUCION

De La ecuaciOn 28-2 se tiene

F=

(2.0 x

107Tm/A)(8.0A)2(2.0m) = 8.5x103N (3.0 x 103m)

donde t0/2ir = 2.0 x 107Tm/A. Como las corrientes tienen direcciones opuestas, Ia fuerza tenderá a separarlos.

Suspension de una corriente con otra. Un alambre horizontal transporta una corriente I = 80 A cd. Un segundo alambre paralelo que se coloca a 20 cm por debajo del primero (figura 28-5) debe transportar una corriente '2 de tal forma que el valor de esta corriente y su interacciOn con Ia corriente del primer alam-

bre evite que el segundo alambre caiga debido a La fuerza de gravedad. j,Cuál debe ser la corriente 12? El alambre inferior tiene una masa de 0.12 g por metro de longitud.

La fuerza de gravedad en el alambre 2 se dirige hacia abajo, y tiene Ia siguiente magnitud por cada gramo de longitud: SOLUCION

F 1

-

mg I

-

(0.12 X iO

kg)(9.8 m/s2)

1.Om

= 1.18

X

FIGURA 28-5

d = 20cm FB

Ejemplo 28-3.

-

= 80A

'2 =

103N/m.

La fuerza magnética en el alambre 2 debe dirigirse hacia arriba (en consecuencia '2 debe tener Ia misma direcciOn que Ii), si d = 0.20 m e '1 = 80 A, La magnitud de Ia fuerza es

F I

ho '1'2

- 2ir

d

Resolvemos para '2 y encontramos que 12

2-d IF" = ItoIl

21T(0.20m)

= (4

X

107Tm/A)(80A)

(1.18 x 103N/m) = 15A. SECCION 28-2

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Fuerza entre dos alambres paralelos

111

Definiciones operacionales de Ampere

yCoulomb Quizás se ha preguntado cómo es que se ha determinado que el valor exacto de Ia constante p es 4r X 107T-m/A. A continuación se explica cómo se hizo. Utilizando

Ia definiciOn antigua de ampere, el valor de ji0 que se determiriO en forma experimental es muy cercano a este valor. En la actualidad, se ha definido en forma precisa que p es 417- X 107 Tm/A. Esto desde luego no se podrIa haber realizado si el ampere se hubiera definido en forma independiente. En Ia actualidad el ampere, unidad de corriente, se ha definido en términos del campo magnético B que produce utilizando el valor antes mencionado de p.o.

En especial se utiliza Ia fuerza entre dos alambres paralelos que transportan corriente (ecuaciOn 28-2) para definir en forma precisa el ampere. Si I = '2 = 1 A exactamente, y los dos alambres estn separados por una distancia de 1 m, entonces

F

'1'2 2ii d /L0

(4

X

107T-m/A) (1A)(1A) (2ir) (lm)

2 X

107N/m.

En consecuencia un ampere se define corno Ia corriente que fluye en cada uno de los dos conductores rectos, paralelos y de gran longitud que están separados por una distancia de 1 m, Ia cual produce una fuerza de 2.0 X iO- N/rn en Ia longitud de cada conductor. Esta es la definiciOn precisa del ampere. En consecuencia el coulomb se define en forma exacta como un ampere por Segundo: 1 C = 1 A-s. El valor de k o e en la ley de Coulomb (secciOn 21-5) se obtiene en forma experimental. Esto puede parecer una forma un tanto rebuscada para definir cantidades. La ra-

zOn que existe detrs de esto es el deseo de indicar definiciones operacionales de las cantidades, es decir, las definiciones de cantidades que se pueden medir en realidad cuando se tiene un conjunto definido de operaciones a realizar. Por ejemplo, Ia unidad de carga (el coulomb) se puede definir en términos de Ia fuerza entre dos cargas iguales después de haber definido un valor para o k en las ecuaciones 21-1 o 21-2. Sin embargo, la realización de un experimento real que permita medir Ia fuerza entre dos cargas es muy difIcil. For una parte cualquier cantidad deseada de carga no se puede obtener de manera precisa y con facilidad, y la carga tiende a fugarse de los objetos en el aire. Por otra parte, Ia cantidad de corriente en un alambre se puede modificar en forma precisa y continua (al conectar un resistor variable en el circuito). En consecuencia la fuerza entre dos conductores que transportan corriente es mucho ms fácil de medir con precisiOn. Y esta es la razOn por Ia que primero se define el ampere y luego se define el coulomb en términos del ampere. En el National Institute of Standards and Technology de Maryland, en Estados Unidos, se han realizado mediciones precisas de corriente utilizando bobinas circulares de alambre en lugar de secciones rectas de alambre porque su uso es más conveniente y preciso. Una trayectoria arbitraria encierra una corriente, para Ia ley de Ampere. La trayectoria se divide en segmentos de igual longitud 1. FIGURA 28-6

/t'

La fuerza de los campos eléctricos y magnéticos también de define de manera operacional: el campo eléctrico en términos de Ia fuerza medible en una carga con Ia ecuación 21-3; y el campo magnetico en términos de Ia fuerza por unidad de longitud en un alambre que transporta corriente con Ia ecuación 27-2.

Lev de Ampere En Ia sección 28-1 se yb que Ia ecuaciOn 28-1 proporciona Ia relaciOn entre Ia corrien-

/.\

Trayectoria cerrada formada por los longitud es L1

712

Area que encierra Ia trayectoria

I

I

CAPTULO 28

te que circula en un alambre largo y recto y el campo magnético que produce. Esta ecuación es válida solamente para un alambre recto y largo. Pero surge Ia siguiente cuestiOn: i,existe una relaciOn general entre la corriente que fluye en un alambre de cualquier forma y el campo magnético que lo rodea? La respuesta es SI: el cientIfico

frances Andre Marie Ampere (1775-1836) propuso esta relaciOn después del descubrimiento de Oersted. Considere una trayectoria arbitraria y cerrada airededor de una corriente como se muestra en Ia figura 28-6, e imagine que esta trayectoria está formada por segmentos cortos cuya longitud es iXl. Primero se calcula el producto de Ia longitud de cada segmento por La componente de B que es paralela a ese segmento (esta componente se llama B11). Si ahora se suman todos esos términos, de acuerdo a Ia ley de

Ampere, el resultado será igual a p veces la corriente neta 'end que circula a través de la superficie que encierra la trayectoria: BiiLl = /O'encI.

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Las longitudes L1 se eligen para que B11 sea esencialmente constante a lo largo de cada longitud. La suma debe realizarse en una trayectoria cerrada; e 'end es la corriente neta que pasa a través de la superficie que está delimitada por esta superficie cerrada. En el esta relación se vuelve lImite cuando L1

(28-3)

B dl = /10 'end,

donde dl es el vector de longitud infinitesimal y el producto punto asegura que se considere la componente paralela de B. La ecuaciOn 28-3 se conoce como Ia ley de Ampere. El integrando de la ecuaciOn 28-3 se toma airededor de Ia trayectoria cerrada, e 'end es la corriente que circula a través del area que encierra la trayectoria cerrada. Para comprender mejor Ia ley de Ampere conviene aplicarla al caso más sencillo de un alambre largo y recto que transporta una corriente I (que ya se ha examinado anteriormente), el cual sirviO como inspiración para el mismo Ampere. Supongase que se desea encontrar Ia magnitud de B en algén punto A que se encuentra a una distancia r del alambre (figura 28-7). Se sabe que las lineas de campo magnetico tienen forma circular y rodean al alambre que se localiza en el centro. Al aplicar Ia ecuaciOn 28-3 se elige como trayectoria de integraciOn un cIrculo de radio r. La elecciOn de Ia trayectona es nuestra, en consecuencia se elige la que sea más conveniente: en cualquier punto de esta trayectoria circular, B será tangente al cfrculo. Aün más, como todos los puntos de la trayectoria se encuentran a la misma distancia del alambre, por simetrIa se espera que B tenga Ia misma magnitud en cada punto. En consecuencia para cualquier segmento corto del cIrculo (figura 28-7) B será paralelo a ese segmento, y por tanto /_to1

donde

=

B dl

=

Bdl = B

dl = B(2irr),

TI FIGURA 28-7

Trayectoria circular

de radio r.

dl = 2rrr, es la circunferencia del cIrculo, e 'end = I. Al resolver B se obtiene B

I_to I

2irr

Que es justo Ia ecuaciOn 28-1 para el campo cerca de un alambre largo y recto como ya se vio anteriormente. La ley de ampere funciona en este caso sencillo. Muchos experimentos indican que Ia ley de Ampere es valida en general. Sin embargo, como sucede con la ley de Gauss para el campo eléctrico, su valor práctico como medio para calcular el campo magnético se ye limitado principalmente a situaciones donde existe simetrIa. Su importancia reside en que relaciona el campo magnético con la corriente en una forma direcFIGURA 28-8 LIneas de campo magnético alrededor de dos alambres ta y matemáticamente elegante. En consecuencia La ley de Ampere es considerada una cualquier situación paralelos y largos que transportan de las leyes básicas de electricidad y magnetismo. Es valida para corrientes iguales I e '2, Ia corriente donde las corrientes y los campos son estables y no varIan con relación al tiempo, y rio sale de Ia hoja y se dirige al lector. existen materiales magnéticos. Ahora se puede comprender porqué La constante de la ecuación 28-1 se escribe en Ia ecuación 28-3, como /2r. Lo anterior sucede para que solamente aparezca por ejemplo en lugar de 2irk si se hubiera utilizado k en la ecuación 28-1. De esta forma, Ia ecuación más fundamental (la ley de Ampere) tiene Ia forma más sencilla. Se debe indicar que el término B en la ley de ampere no solo es necesario debido a Ia corriente 'end La ley de Ampere, como sucede con Ia ley de Gauss para el campo eléctrico, es vélida en general. B es el campo en cada punto del espacio (a lo largo de la trayectoria elegida) que generan todas las fuentes, incluyendo la corriente I que encierra Ia trayectoria, además de cualquier otra fuente. Por ejemplo, el campo que rodea a dos alambres paralelos que transportan corriente es Ia suma vectorial de los campos que produce cada uno, y las lIneas de campo se indican en Ia figura 28-8. Si Ia trayectoria que se elige para la integral (ecuación 28-3) es un circulo que se localiza en el centro de uno de los alambres cuyo radio es inferior a la distancia que existe entre los alambres (la lInea punteada de Ia figura 28-8), entonces solamente se incluirá la corriente (Ji) que circula en el alambre encerrado en el lado derecho de la ecuaciOn 28-3. B en el lado izquierdo de Ia ecuación deberá ser el B total en cada punto debido a los dos alambres. Observe además que 4B dl para Ia trayectoria que se muestra en Ia figura 28-8 es Ia misma sin importar si existe o no el segundo alambre (en ambos casos es igual a /_t0I1). j,Cómo es posible? Esto sucede por Ia siguiente razón: aun cuando los campos que generan los dos alambres tienden a cancelarse entre si en los puntos que se encuentran entre ambos, como sucede en el punto N del diagrama (B = 0 en el punto que se encuentra a Ia mitad del camino entre los alambres si!1 = '2), en el punto M de la figura los campos se suman para producir un campo mayor. En La suma, dl, B estos efectos se balancean de modo que dl = pI sin importar la existencia del segundo alambre. La integral B dl será SECCION 28-4 713 Ia misma en cada caso, aun cuando B no sea el mismo en cualquier punto en ambos casos.

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Campo en el interior y el exterior de un alambre. Un con-

ductor cilIndrico largo y recto de radio R transporta una corriente I con densidad de corriente uniforme en el conductor. Determine el campo magnético (a) que apunta hacia el exterior del conductor (r > R), y (b) que apunta hacia el interior del conductor (r < R). Véase Ia figura 28-9. Suponga que r, la distancia radial del eje, es mucho menor que Ia longitud del alambre. (c) Si R = 2.0 mm e I = 60 A, cuál es el valor de B en r = 1.0 mm, r = 2.0 mm y r = 3.0 mm? SOLUCION

(a) Como el alambre es largo, recto y cilIndrico, debido a Ia simetrIa de

Ia situación se espera que el campo magnético sea el mismo en todos los puntos que están a la misma distancia del centro del conductor, no hay ninguna razón por Ia que cualquier punto deba tener preferencia sobre los demás si todos están a una

misma distancia del alambre (los puntos son fIsicamente equivalentes), en consecuencia B debe tener el mismo valor en todos los puntos que se encuentran a Ia misma distancia del centro. También se espera que B sea tangente a los cIrculos que rodean al alambre (figura 28-1) en consecuencia se seleccionará una trayectoria circular de integraciOn fuera del alambre (r > R) pero en forma concéntrica a ella, como sucediO en Ia figura 28-7. Entonces 'end = I por tanto

B

0

r=R

r

(b)

FIGIJRA 28-9 Campo magnético en el interior y en el exterior de un conductor cilIndrico.

5lBdl = B(2rr) = ILOIencI 0

B

[r

- 2irr

>R I

que es el resultado para un alambre delgado. (b) En el interior del alambre (r < R), de nuevo se elige una trayectoria circular concéntrica con el cilindro, se espera que B sea tangencial a esta trayectoria, y nuevamente debido a Ia simetrIa, el campo tendr La misma magnitud en todos los puntos del cIrculo. La corriente que encierra en este caso es inferior a I por un factor que es Ia relaciOn entre las areas:

'end =

rrr2

irR 2

De Ia ley de Ampere se tiene

B dl = PO'encI B(2lTr) = por tanto B

p0Ir

[r < R]

2irR2

El campo es cero en el centro del conductor y aumenta en forma lineal con r hasta que r = R; más allá de r = R, B disminuye conforme hr. Esto se indica en Ia figura 28-9b. Observe que estos resultados son válidos solamente para los puntos que se encuentran cerca del centro del conductor en comparacióri a su longitud. Para que fluya la corriente, deben existir alambres de conexiOn (digamos a Ia baterIa) y el campo que generan estos alambres conductores (si no estan muy lejos) destruirá Ia supuesta simetrIa.

(c) En r = 2.0 mm La superficie del alambre es r = R, por tanto B

(41T

2rR

X 107Tm/A)(60A) (2ir)(2.0 X 103m)

= 6.0 x 103T.

Como se vio en (b), en el interior del alambre B es lineal en r. En consecuencia, en r = 1.0 mm B tendra La mitad del valor que tendrIa en r = 2.0 mm o 3.0 x iO T. Fuera del alambre, B disminuye conforme 1/r, de tal modo que en r = 3.0 mm será 2/3 más grande que en r = 2.0 mm, o B = 4.0 X 103T. Para verificar se utiliza el resultado de (a), B = ,a0I/2irr, lo que produce el mismo resultado. 114

CAPITULO 28

Fuentes de campo magnético

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-

"

-

-r Cable coaxial. Un cable coaxial está formado un aidilluic que está rodeado por una malla cilIndrica de metal, como se muestra en la figura 28-10. Los dos conductores están separados por una cubierta aislante. El -

-

alambre central transporta una corriente hacia el otro extremo del cable, y Ia malla exterior transporta Ia corriente de retorno y normalmente se considera el conductor de tierra. Describa el campo magnético (a) en el espacio entre los conductores y (b) fuera del cable. RESPUESTA (a) En el espacio entre los conductores se puede aplicar la ley de Ampere para una trayectoria circular alrededor del centro del alambre, tal como se realizó en el caso de Ia figura 28-7, y Ia magnitud del campo está determinada por La ecuación 28-1. La corriente en el conductor exterior no tiene presencia en este resultado (la ley de Ampere utiliza solamente Ia corriente que se encierra en el interior de la trayectona; siempre que las corrientes que se localizan en el exterior de la trayectoria no afecten La simetrIa del campo, en este caso las corrientes en el exterior de Ia trayectoria no contribuirán al campo a lo largo de toda la trayectoria). (b) Fuera del cable se puede dibujar una trayectoria circular similar, donde se espera que el campo tenga la misma simetrIa circular. Sin embargo, en este caso existen dos corrientes que encierra Ia trayectoria, y Ia suma de ambas es cero. El campo en el exterior del alambre es cero. Esta caracterIstica ütiI del cable coaxial se conoce como blindaje inherente, en consecuencia ningiTh campo magnético disperso puede escapar del cable. El conductor cilIndrico externo también evita que los campos eléctricos externos perturben la señal que circula por el conductor interno (véase también el ejemplo 21-13). Esto hace que el cable coaxial sea ideal para transportar seflales en equipos sensibles. Los audiOfilos utilizan cable coaxial entre los componentes de los equipos estereofónicos y en las bocinas.

e

Malla cilIndrica

Alambre sólido Cable coaxial. Ejemplo conceptual 28-5. FIGURA 28-10

Uso de Ia ley de Ampere. Utilice Ia ley de Ampere para demostrar que en cualquier region del espacio donde no hay corrientes el campo magnetico no puede ser unidireccional y no uniforme como se indica en la figura 28ha.

SOLUCION La mayor separaciOn entre las lIneas cerca de la parte superior en Ia figura 28ha indica que el campo tiene menor magnitud en La parte superior que en Ia parte inferior. Ahora se va a aplicar Ia ley de Ampere a Ia trayectoria rectangular abcd que se muestra en lIneas punteadas en el diagrama. Como esta trayectoria no encierra ninguna corriente,

B-dI = 0. La integral a lo largo de las secciones ab y cd es cero. Ya que B I dl. En consecuencia

B dl = BbCI - Bdal =

(BbC - Bda)l,

que es diferente de cero porque el campo BbC en Ia trayectoria bc es inferior que el campo Bda en la trayectoria da. En consecuencia se tiene una contradicciOn: B dl no puede ser cero (ya que I = 0) y al mismo tiempo diferente de cero. En consecuencia se ha demostrado que un campo unidireccional no uniforme no es consistente con Ia ley de Ampere. Un campo no uniforme cuya dirección varle también, como se mdica en Ia figura 28lib, es consistente con Ia ley de Ampere (puede convencerse a sí mismo de este hecho) y es posible. La deformación de un campo magnetico permanente (figura 27-7) tiene esta forma. FIGURA 28-11

Ejemplo 28-6.

B

B

(a)

(b) SECCION 28-4

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115

RESO LU C IO N

Ley de Ampe

DE PROBLEMAS Utilice Ia simetrIa para determinar la direcciOn de B a lo largo de Ia trayectoria de integración. Si se elige una trayectoria adecuada, B será paralelo o perpendicular a dicha trayectoria. Evalüe el lado derecho de la ecuaciOn de la ley de Ampere a! determinar Ia corriente que encierra la trayectoria. Tenga cuidado con los signos. Deje que los dedos de la mano derecha se cierren en direcciOn de B para que el dedo pulgar indique Ia dirección de la corriente positiva. Si el problema involucra un conductor sOlido y su trayectona de integración no encierra a toda la corriente, calcule la corriente que encierra la trayectoria utilizando Ia densidad de corriente (corriente por unidad de area) multiplicada por el area encerrada (como en el ejemplo 28-4).

La ley de Ampere, al igual que Ia ley de Gauss, siempre es

un enunciado válido. Pero su uso como herramienta de cálculo está limitado principalmente a sistemas que tienen un alto grado de simetrIa. El primer paso al aplicar la ley de Ampere es identificar cualquier simetrIa que pueda ser de utilidad. Seleccione una trayectoria de integración que refleje la simetrIa (véanse los ejemplos para comprender mejor este punto). En especial se deben buscar trayectorias en las que B tenga una magnitud constante B a lo largo de toda la trayectoria o en segmentos de la trayectoria. Compruebe que Ia trayectoria de integraciOn pase a través del punto donde se desea evaluar el campo magnético.

Campo magnético en un solenoide v en un toroide Una bobina larga de alambre que tiene muchas vueltas se denomina sojenoide. Cada vuelta produce un campo magnético como se indicó en Ia figura 27-10. En Ia figura 28-12a se observa el campo que genera un solenoide cuando sus vueltas están muy Separadas. Cerca de cada alambre, las Ilneas de campo son circulos prOximos como sucede en un alambre recto (es decir, a distancias que son pequenas en comparación con la curvatura del alambre). Entre dos alambres cualquiera, los campos que produce cada vueita tienden a cancelarse. Hacia ai centro del solenoide, los campos se suman para producir un campo que puede ser bastante grande y uniforme. Para un solenoide largo, cuyas vueltas están muy cerca unas de otras, el campo es casi uniforme y paralelo a los ejes del solenoide en toda la sección transversal, como se indica en la figura 28-12b. El campo en el exterior del solenoide es muy pequeno en comparaciOn con el campo que se genera en su interior, excepto cerca de los extremos del solenoide. Observe que la misma cantidad de lIneas de campo que se concentran en el interior del solenoide se esparcen en ci vasto espacio que existe en ci exterior del solenoide.

I

(a)

(b)

28-12 Campo magnético que produce un soienoide (a) cuyas vueitas están muy separadas, (b) cuyas vueltas están cerca unas de otras. FIGURA

716

CAPiTULO 28


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Corriente que sale

OOOOO®OGOOEYde1ahoia B

-1d

bL----

Corriente que entra a Ia hoja

-1a

El campo magnético en el interior de un solenoide muy largo es uniforme. Las lIneas punteadas indican La trayectoria que se eligió para usarse en Ia ley de Ampere. FIGURA 28-13

Ahora se va a utilizar la ley de Ampere para determinar el campo magnético en el interior de un solenoide muy largo (idealmente la longitud es infinita) cuyas vueltas están embobinadas muy cerca. Se elige la trayectoria abcd que se muestra en la figura 28-13, lejos de cualquiera de los extremos, para aplicar la ley de Ampere. Se considerará que esta trayectoria está integrada por cuatro segmentos, que son los lados de un rectángulo: ab, be, cd y da. Entonces el lado izquierdo de la ecuación 28-3 de Ia ley de Ampere es 1d ra r 4B.dI = I BdI+ I Bd1+ I Bd1+ I Bd1. Ja

J

Jc

Jb

Jd

El campo en el exterior deJ solenoide es tan pequeflo que es despreciable si se compara con el campo en el interior. En consecuencia el primer término de esta suma será cero. Aün más, B es perpendicular a los segmentos be y da que se localizan en el interior del solenoide, y es cercano a cero entre y fuera de las bobinas, por lo anterior estos términos también son cero. Entonces se ha reducido la integral al segmento cd donde B es un campo casi uniforme en el interior de solenoide, y es paralelo a dl, por tanto

oBdi

=

Jc

Bdl = BI,

donde / es Ia longitud de cd. Ahora se va a determinar la corriente que encierra esta bobina para el lado derecho de Ia ley de Ampere, ecuación 28-3. Si Ia corriente I fluye por el alambre del solenoide, la corriente total que encierra Ia trayectoria abed es NI donde N es la cantidad de vueltas que encierra nuestra trayectoria (cinco en la figura 28-13). En consecuencia la ley de Ampere indica

BI = ,a0NI. Si n = N/I es Ia cantidad de vueltcts por unidad de Ion gitud, entonces

B = ji.0nI.

[solenoide]

(28-4)

Esta es la magnitud del campo magnetico en el interior de un solenoide. Observe que B depende solamente de la cantidad de vueltas por unidad de longitud y de Ia corriente I. El campo no depende de Ia posicion en el interior del solenoide, por tanto B es uriiforme. Esto es estrictamente cierto solo para un solenoide infinito, pero es una buena aproximacion para los solenoides reales para los puntos que no están cerca de los extremos del solenoide. Campo en el interior de un solenoide. Un solenoide delgado de 1U cm de largo para aplicaciones que utilizan la conmutaciOn electromecánica rápida tiene un total de 400 vueltas de alambre y transporta una corriente de 2.0 A. Calcule el campo en el interior del solenoide cerca del centro.

SOLUCION La cantidad de vueltas por unidad de longitud es n = 400/0.10 m = 4.0 X i0 m'. por tanto

B = it0nI = (12.57 X 107Tm/A)(4.0 X 10 m1)(2.0A) = 1.0 x 102T. SECCION 28-5

Campo magnético en un solenoide y en un toroide

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117

Un examen a la figura 28-12 muestra que el campo en el exterior de un solenoi-

de es muy similar a! campo de un inián tipo barra (figura 27-3). No obstante, el solenoide

actt.ia como un imn, uno de sus extremos sirve como polo forte y el otro como polo

sur, dependiendo de Ia dirección de La corriente que circula en las vueltas. Como las lIneas de campo magnetico salen del POlO forte de un imán, ci POlO forte de los solenoides de

la figura 28-12 se encuentra a la derecha. Los solenoides tienen muchas aplicaciones prcticas, algunas de las cuales se analizarán en Ia sección 28-8 de este capitulo. Toroide.

Utilice La ley de Ampere para determinar el campo mag-

netico (a) en el interior y (b) en el exterior de un toroide, que es como un solenoide que esth doblado en forma de un cIrculo como se indica en la figura 28-14a. SOLUCION

Las lIneas de campo magnético en el interior de un toroide son cIrcuios concéntricos al toroide (si usted piensa que el toroide es un solenoide que se ha doblado en forma de cIrculo, entonces las IIneas de campo se doblan junto con el solenoide). Una de estas IIneas cuyo radio es r y se encuentra en el interior del toroide se elige como Ia trayectoria de integración como se indica en Ia lInea punteada identificada como "trayectoria 1" en Ia figura 28-14a. Se toma esta elecciOn para utilizar Ia simetrIa de la situaciOn, en consecuencia B debe ser el mismo en todos los puntos a lo largo de Ia trayectoria (aunque no es necesariamente el mismo a través de toda la secciOn transversal del toroide), por tanto de Ia ley de Ampere se tiene Trayectona I

B dl = PO'encI

Trayectona 2 (a)

que se transforma en

B(2iTr) =

donde N es Ia cantidad total de vueltas e I es Ia corriente en cada una de las vueltas. Entonces 1i0NI

B

2i,-r

(b) (a) Un toroide. (b) Sección transversal de un toroide que muestra Ia dirección de Ia corriente en tres vueltas: 0 significa que Ia corriente se dirige hacia el lector, ® significa que Ia corriente se aleja del lector. FIGURA 28-14

El campo magnetico B no es uniforme en el interior del toroide; es mayor en el borde interior (donde r es más pequeflo) y es menor en el borde exterior. Sin embargo, si el toroide es grande, pero delgado (de tal forma que Ia diferencia entre el radio interior y exterior es pequena en comparación con el radio promedio) el campo será esencialmente uniforme en el interior del toroide. En este caso Ia fOrmula para B se

reduce a Ia de ut-i solenoide recto B = p0nI donde n = N/(2-r) es Ia cantidad de

vueltas por unidad de longitud. (b) Fuera del toroide Ia trayectoria de integración es un cIrculo concéntrico a! toroide, el cual está identificado como "trayectoria 2" en la figura 28-14a. Esta trayectoria encierra N vueltas que transportan una corriente I en una direcciOn y N vueltas que transportan La misma corriente en direcciOn opuesta. (La figura 28-14b muestra Ia direcciOn de la corriente para las partes de las bobinas en el interior y en el exterior del toroide.) En consecuencia la corriente neta que encierra Ia trayectoria 2 es cero. Para un toroide cuyas vueltas están muy cerca unas de otras, todos los puntos de Ia trayectoria 2 Son equidiStantes del toroide y equivalentes, por tanto B debe ser ci mismo en todos los puntos de la trayectoria. De ahI que Ia ley de Ampere indique B

dl = /O'encI

B(2lTr) = 0 0

B = 0.

Lo mismo se cumple para una trayectoria cuyo radio es más pequeno que el radio del toroide. En consecuencia no existe campo en ci exterior de un toroide cuyas vueltas estén muy cerca unas de otras. Todo ci campo se iocaiizará en ci interior de las vueltas. 718

CAP1TULO 28


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Le de Biot-Savart La utilidad de Ia ley de Ampere para determinar el campo magnético B que producen corrientes eléctricas particulares está limitada a situaciones donde Ia simetrIa de las corrientes permite evaluar B dl con facilidad. Claro está que lo anterior no invalida a Ia ley de Ampere, ni reduce su importancia fundamental. Cabe recordar el caso eléctrico, donde se considera que La ley de Gauss es fundamental pero en Ia realidad su uso está limitado a Los cálcuios de E. Con frecuencia se tiene que determinar el campo eléctrico E con otro método sumando las contribuciones de Los elementos infinitesimales de carga dq a través de Ia ley de Coulomb: dE = (1/4ire0)(dq/r2). El equivalente magnetico de esta forma infinitesimal de Ia ley de Coulomb serIa itii para Las corrientes que no tienen mucha simetrIa. Esta Icy fue desarroliada por Jean Baptiste Biot (1774-1862) y Felix Savart (1791-1841) poco después del descubrimiento de Oersted en 1820 que indicaba que una corriente produce un campo magnético. De acuerdo con Biot y Savart, una corriente I que fluye en cualquier trayectoria se puede considerar como muchos elementos infinitesimales (pequenos) de corriente como sucede en el alambre de Ia figura 28-15. Si dl representa una longitud infinitesimal a lo largo de Ia trayectoria de flujo de Ia corriente, entorices el campo magnetico, dB, en cualquier punto P en ci espacio (debido a este elemento de corriente) está determinado por

dB=

I dl X r 41r

(28-5)

r2

donde r es ci vector de despiazamiento desde ci eiemento dl hasta ci punto P, y r = nT es ci vector unitario en dirección de r (véase la figura 28-15). La ecuaciOn 28-5 se conoce como Ia ley de Biot-Savart. La magnitud de dB es dB =

,u01 disenO 417-r

2

(28-6)

'

donde 6 es ci ángulo entre dl y r (figura 28-15). El campo magnético total en ci punto P se calcula sumando (integrando) sobre todos los elementos de corriente:

B = JdB. Observe que este es ci vector suma. La icy de Biot-Savart es ci equivalente magnético de Ia Icy de Coulomb en su forma infinitesimal. Dc hecho es una Icy del cuadrado inverso, al igual que Ia ley de Coulomb. Una diferencia importante entre Ia icy de Biot-Savart y Ia icy de Ampere es que en ia icy de Ampere [B dl = /-LoJenc!I, B noes producido totalmente por La corriente que encierra La trayectoria de integraciOn. Pero en Ia Icy de Biot-Savart ci campo dB en Ia ecuación 28-5 es producido completamente por ci elemento de corriente I dl. Para calcuiar ci campo total B en cuaiquier punto dcl espacio, es necesario incluir todas las corrientes. dB (hacia el exterior)

P

28-15 Ley de Biot-Savart: el campo en P debido al elemento de corrienFIGUR.A

te I dies dB = (p, I/4'ir)(dl x I/r2).

r dl

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SECCION 28-6

Ley de Biot-Savart

719

p

B debido a una corriente I en un alambre recto. Para el

dB (hacia el interior)

campo que esta cerca de un alambre recto y largo que transporta una corriente I, demuestre que la ley de Biot-Savart produce el mismo resuitado que La ecuación 28-1,

B = i0I/2rrr.

SOLUCION Se calcula el campo magnetico en la figura 28-16 en el punto P, que se encuentra a una distancia perpendicular R de un alambre infinitamente largo. La corriente se mueve hacia arriba, y tanto dl como r, que aparecen en el producto cruz de Ia ecuacion 28-5, se encuentran en el piano de La página. En consecuencia Ia direcciOn del camp0 dB debido a cada elemento de corriente deberá dirigirse hacia el piano de La página como se indica (regla de Ia mano derecha para el producto cruz dl X I. Por tanto, todo dB tiene la misma direcciOn en el punto F, y se suma para dar la misma dirección a B de acuerdo con los resultados anteriores (figuras 28-1,28-7 y 28-9). La magnitud de B será Determinación de B debido a un alambre largo y recto utilizando Ia ley de Biot-Savart. FIGURA 28-16

B-Ap0IIT Jy=oo

2'

dy = +Rcsc2OdO

- sen2O - (R/r)2 -

dysenO r donde dy = dl y r2 = R2 + y2. Observe que se integra sobre y (La longitud del alambre) y en consecuencia R se considera constante. Tanto y como U son variables, pero no son independientes. De hecho y = -R/tanO. Observe que y se mide en dirección positiva a partir del punto 0, por tanto, para el elemento de corriente que se está considerando y < 0. Entonces r2dO RdO RdU I

R

For tanto Ia integral se vuelve

B=

/101 1 f

/LØI

- I senOdU = - 47TR cosO 4ir R Jo=o

=

/.L0I

2ITR

que es la ecuaciOn 28-1 para ei campo cerca de un alambre largo, donde se ha utilizado R en lugar de r. DeterminaciOn de B debido a una bobina de corriente. FIGURA 28-17

n

t -i- Li

LC

Bobina de corriente. Determine B para los puntos que están ina circular de alambre de radio R que transporta una corriente 1,

figura 28-17.

SOLUCION Para un elemento de corriente que se localiza en La parte superior de la bobina, el campo magnetico dB en el punto P del eje tiene la direcciOn y magnitud que se indican (ecuaciOn 28-5) dB

/101d1 4ITr2

= dl. Se puede dividir a dB

ya que dl es perpendicular a r de tal forma que dl x

fldentro)

en las componentes dB11 y dB1, que son paralelas y perpendiculares al eje como se indica. Cuando se suman todos los elementos del lazo Ia simetrIa indica que las componentes perpendiculares se cancelarán en lados opuestos, por tanto B1 = 0. De ahI que el campo total B apuntará a lo largo del eje, y tendrá Ia siguiente magnitud

B = B11 = IdBcos4 =

j

IdB J

-r

=

IdB J

(R2+x2)

donde x es Ia distancia de P desde el centro del anillo, y r2 = R2 + x2. Ahora nos colocamos en dB de la ecuaciOn anterior e integramos alrededor de la bobina de corriente, indicando que todos los segmentos de corriente dl están a la misma distancia, (R2 + x2), del punto P: B

t0I

R

I dl

/101R2

2(R2 + x2) (R2 + x2) J como f dl = 2IrR, es Ia circunferencia de La bobina. Justo en el centro de la bobina (donde x = 0) el campo tiene su valor máximo B

720

CAP1TLILO 28

I_to I

= 2R

Fuentes de campo magnético www.FreeLibros.me

[en el centro de Ia bobina]

Recuerde de la secciOn 27-5 que una bobina de corriente, similar a Ia que ya se ha analizado, se considera un dipolo magnético. Ya se vio que un dipolo magnetico tiene un momento dipolar

= NL4, donde A es el rea de La bobina y N es la cantidad de vueltas de Ia bobina, cada una transporta una corriente 1. También se vio en el capftulo 27 que un dipolo magnetico que se coloca en un campo magnético externo experimenta un par y posee energIa potencial, como un dipolo eléctrico. En el ejemplo 28-10 se analizó otro aspecto de un dipolo magnético: el campo magnético que produce un dipolo magnético tiene una magnitud (a lo largo del eje del dipolo) igual a

B= 2(R2

+

Esta expresión se puede escribir en términos del momento dipolar magnético = IA = Iii-R2

B

(para una sola bobina N = 1): /10

-

11

[dipolo magnetico]

2i-(R2+x2)

(28-7a)

(Cabe iridicar La distinciOn entre del momento dipolar y p. que es la constante de permeabilidad magnetica.) Para distancias que estn lejos de la bobina, x >> R, en consecuencia B 2ir

[en el eje, dipolo magnético, x >> R]

x3

(28-7b)

El campo magnético en el eje de un dipolo magnetico disminuye con el cubo de Ia distancia, al igual que en el dipolo eléctrico. B disminuye también con el cubo de La distancia para los puntos que no estän en el eje, aunque el factor de multiplicaciOn no es el mismo. El campo magnético que produce una bobina de corriente se puede determinar en varios puntos utilizando la ley de Biot-Savart. La figura 28-18 muestra Las lIneas de campo alrededor de una bobina de corriente.

B debido a un segmento de alambre. Una cuarta parte de una booina circular de alambre transporta una corriente I como se indica en La figura 28-19. La corriente I entra y sale de Los segmentos rectos de alambre segtin se indica, los alambres rectos se encuentran en direcciOn radial con relaciOn al centro de C en Ia porción circular. Calcule el campo magnetico en el punto C.

FIGURA 28-18 Campo magnético debido a una bobina circular de alambre (igual que en Ia figura 27-10.)

FIGURA 28-19

Ejemplo 28-11.

I

dl

dB = donde 90° =

r = R

p I dl 4rR2

es el radio de La secciOn curva, y sen U en Ia ecuaciOn

28-6

1. Como r = R para todas las piezas dl, entonces

B = JdB

1d1 4irR2

J

/1I 41TR2

(2R)

es sen

/1I - 8R SECCION 28-6

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Ley de Biot-Savart

121

*

Materiales mannéticos; ferromaenetismo Los campos magnéticos se pueden producir por (a) materiales magneticos (imanes) y (b) por corrientes eléctricas. Estas ültimas se han estudiado ampliamente en este capitulo. Ahora se analizarán los materiales magnéticos, los cuales están presentes en nuestra vida diana: imanes, nücleos de hierro de los motores y electroimanes, cintas para grabación magnética y discos para almacenar datos en las computadoras, La cinta magnetica de las tarjetas de crédito. En La sección 27-1 se vio que el hierro (y algunos materiales ms) puede formar imanes fuertes. Se dice que estos materiales son ferromagnéticos. A continuación se estudiarán con mayor detalle las fuentes de ferromagnetismo. Un imn tipo barra, que tiene dos polos opuestos cerca de sus extremos, se asemeja a un dipolo eléctrico (cargas positiva y negativa de igual magnitud que están Se-

paradas por una distancia). De hecho un imán tipo barra se conoce como "dipolo

2

,1

(a)

(b)

FIGURA 28-20 (a) Una pieza de hierro sin magnetizar está formada por dominios que se arreglan al azar. Cada dominio es como Un imn pequefio, las flechas representan La dirección de magnetización, La punta de flecha es el polo forte. (b) En un imán, los dominios se alInean preferentemente en una direcciOn, el tamaflo de los dominios se puede alterar durante el proceso de magnetización.

Las limaduras de hierro se aiInean a lo largo de las iIneas de campo magnëtico. FIGURA 28-21

magnetico". Existen polos opuestos separados por una distancia. Y las LIneas de cam0 magnetico de un imán tipo barra forman un patron similar a! del campo eléctrico de un dipolo eLéctrico: compare Ia figura 21-33a con La figura 27-3b. Un examen microscOpico revelarla que en realidad un imán está formado por regiones pequefias que se denominan dominios, cuya longitud o anchura es de aproximadamente 1 mm. Cada dominio se comporta como un imán pequeno que tiene polos norte y sur. En una pieza de hierro sin magnetizar, estos dominios están dispuestos al azar, como se muestra en La figura 28-20a. Los efectos magnéticos de Los dominios se cancelan entre Si de tal forma que esta pieza de hierro no es un imán. En un imán los dominios estn alineados en forma preferenciaL en una dirección como se indica en la figura 28-20b (en este caso hacia abajo). Se puede crear un imán a partir de una pieza de hierro sin magnetizar si esta se coloca en un campo magnetico fuerte. (Una aguja se puede magnetizar si se frota en uno de los polos de un imán fuerte.) Observaciones precisas mdican que en realidad Ia magnetizacion de Los dominios se puede girar Ligeramente para que sea más paralela al campo externo. 0 con mayor frecuencia, Los bordes de los dominios se mueven para que aquellos dominios cuya orientaciOn magnetica sea paralela al campo externo crezcan en tamaflo a expensas de otros dominios, como puede ver si se comparan las figuras 28-20a y 28-20b. Esto explica porqué un irnán puede recoger piezas de hierro que no están magnetizadas como son los clips para papeL. El campo magnetico provoca Ia ligera aLineación de Los dominios en el objeto desmagnetizado de tal forma que el objeto se transforma en un imán temporal cuyo polo norte se dirige al polo sur del imán permanente, y viceversa; por tanto se produce una atracción. En forma similar, Las limaduras de hierro se arregLarán entre si en un campo magnético como lo hace una brUjuLa de aguja, y con esto revelarn La forma del campo magnético, figura 28-21. Un imán de hierro puede permanecer magnetizado durante largo tiempo, y en

este caso se conoce como un "imán permanente". Sin embargo, si usted avienta un

imán al sueLo o Lo golpea con un martillo puede hacer que los dominios se coloquen al azar. En consecuencia el imán puede perder algo o todo de su magnetismo. El hecho de caLentar un imán también puede hacen que pierda su magnetismo, ya que a! aumentar La temperatura se incrementa el movimiento térmico aleatonio de los átomos, a su vez esto desordena los dominios del imán. Pon encima de cierta temperatura que se conoce como temperalura Curie (1043 K para el hierro) un imán pierde sus propiedades magnéticas.t La sorprendente semejanza que existe entre los campos que produce un imn tip0 barra (figura 27-3b) y La corniente eLéctrica en una bobma (figura 28-18) sugiere que el campo magnético que produce una corriente puede tener cierta relaciOn con el ferromagnetismo, esta idea fue propuesta por Ampere en el siglo XIX. De acuerdo con La teorIa atOmica moderna, los átomos que integran cuaLquier material se pueden visualizar burdamente como si contuvieran electrones que giran alrededor de un nücleo central. Como Los electrones tienen carga, éstos constituyen una corriente eLéctnica y en consecuencia producen un campo magnetico. Pero si flO existe un campo externo, Los electrones que giran en diferentes átomos se acomodan aL azar, en consecuencia Los efectos magnéticos que producen Las diferentes Orbitas de todos Los átomos del material se El hierro, nIquel, cobalto, gadolinio y ciertas aleaciones son ferromagnéticas a temperatura ambiente; algunos otros elementos y aleaciones tiene temperaturas Curie más bajas y en consecuencia solo son ferromagnéticos a bajas temperaturas.

722

CAPITULO 28


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cancelan. Sin embargo, los electrones en sí mismos producen un campo magnético adicional e intrInseco, estas partIculas poseen un momento magnético intrInseco que se conoce

como su momento magnetico o "spin"t. En la actualidad se cree que el campo magnetico que produce el "spin" del electrOn es el que genera el ferromagnetismo. En la mayor parte de los materiales, los campos magneticos que genera el "spin" del electrOn se cancelan porque están orientados a! azar. Pero en el hierro y otros materiales ferromagnéticos opera un complicado mecanismo de cooperaciOn que se denomina "acoplamiento de intercambio". El resultado es que el "spin" del electron contribuye a! ferromagnetismo en un punto de dominio en Ia misma direcciOn. En consecuencia el campo magnético débil que produce cada uno de los electrones se suma para producir el campo magnético de un dominio. Cuando los dominios están alineados, como ya se ha visto, se produce un imn fuerte.

Electroimanes y solenoides Un solenoide está integrado por una bobina larga con muchas vueltas de alambre como ya se vio en la secciOn 28-5. El campo magnético en el interior de un solenoide puede ser muy grande ya que será Ia suma de los campos que genera la corriente en cada una de las vueltas de alambre (véase la figura 28-22). El solenoide actOa como un imán, un extremo se puede considerar como el pOlO forte y el otro el polo sur, dependiendo de la direcciOn de Ia corriente que circula en las vueltas (utilice Ia regla de Ia mano derecha). Como las lIneas de campo magnético salen del poio forte de un imán, el polo forte del solenoide de Ia figura 28-22 está a la derecha. Si una pieza de hierro se coloca en el interior de un solenoide, el campo magnético aumentará enormemente porque los dominios del hierro se alInean con el campo magnético que produce Ia corriente. El campo magnetico resultante es la suma del camP0 que genera la corriente y el campo del hierro, y puede ser cientos o miles de veces ms grande que el campo que genera solamente Ia corriente (véase Ia secciOn 28-9). Este arreglo se conoce como un electroimán. El hierro que se utiliza en los electroimanes adquiere y pierde su magnetismo con mucha rapidez cuando se enciende y se apaga La corriente, este hierro se conoce como "hierro suave". (Solamente se considera "suave" en el contexto magnetico.) El hierro que mantiene su magnetismo aun cuando no se aplica un campo externo se denomina "hierro fuerte". El hierro fuerte se utiliza en imanes permanentes. El hierro suave se utiliza normalmente en electroimanes doride el campo se puede encender y apagar con rapidez. El hecho de que el hierro sea suave o fuerte depende del tratamiento térmico y de otros factores. Los electroimanes se utilizan en muchas aplicaciones prácticas, desde motores y generadores hasta Ia producción de campos magnéticos muy elevados para fines de investigacion. En ciertas aplicaciones no se utiliza un nOcleo de hierro, el campo magnético proviene solamente de la corriente que circula en las bobinas de alambre. Cuando Ia corriente fluye en forma continua en un electroimán normal, se puede producir una gran cantidad de energIa que se desperdicia en forma de calor (potencia = 12R). En estos casos Se utilizan bobinas de enfriamiento (que están formadas por una tuberIa de agua) para absorber el calor en las aplicaciones industriales. En ciertas aplicaciones se utilizan imanes superconductores. Los alambres que transportan corriente están fabricados con material superconductor (sección 25-9) para mantener a las bobinas debajo de la temperatura de transiciOn. En Ia ausencia de un nücleo de hierro se pueden producir campos muy grandes (debido a Ia saturaciOn de nOcleo de hierro, véase Ia siguiente secciOn), estos campos son mayores a los campos que se obtienen cuando se utilizan nCicleos de hierro. En estos casos no se necesita energIa para mantener una corriente elevada en las bobinas superconductoras, lo que significa un ahorro considerable de electricidad, tampoco se disipan enormes cantidades de calor. Desde luego que se necesita energIa para mantener a las bobinas superconductoras a Ia temperatura deseada (que es muy baja). Otro dispositivo ütil está formado por un solenoide en el que una barra de hierro se inserta parcialmente en el nOcleo del solerioide. Esta combinaciOn también se

FIGURA 28-22 Campo magnético de un solenoide. El polo forte de este solenoide, similar al de un imán, está a la derecha, y el polo sur está a Ia izquierda.

tEl nombre "spin" proviene de una sugerencia que indica que este momento magnético intrinseco es resultado del giro del electron sobre su eje (asi cowo del giro del electron airededor del nOcleo) para producir el campo adicional. Sin embargo, este punto de vista del giro del electron está bastante simplificado y no es válido.

*SECCION 28-8

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Electroimanes y solenoides

723

Varilla de hierro

/

conoce como solenoide. Un uso simple es el timbre o campana eléctrica (figura 28-23). Cuando se aprieta el botOn se cierra el circuito, Ia bobina se transforma en un imán y ejerce una fuerza en Ia barra de hierro. La barra es jalada al interior del nücleo y gotpea la campana. En la marcha de los automOviles se utiliza un solenoide de gran tama-

rnbre

Resorte

no. Cuando se acciona el interruptor de encendido de un automóvil se cierra un circuito que además de encender el motor de la marcha activa un solenoide que permite el contacto directo del motor de Ia marcha con eJ engrane de giro (bendix) que se conecta directamente al ciguenal del motor. Los solenoides se utilizan como interruptores en otros dispositivos, como sucede en los grabadores de cinta. Los solenoides tienen Ia ventaja de que pueden mover partes mecánicas de manera rapida y precisa.

Interruptor 120 V

* 20 V

Solenoide que se utiliza como una campana eléctrica. FIGURA 28-23

Campos magnéticos en materiales magnéticos; histéresis El campo en un solenoide largo es directamente proporcional a La corriente. De hecho Ia ecuación 28-4 indica que el campo en el interior de un solenoide (B0) está determinado por

B0 = ,a0nJ. Esta relación es válida si el interior del n(icleo solamente contiene aire. Si se coloca una pieza de hierro o cualquier otro material ferromagnetico en el interior del solenoide, el campo aumentará en gran forma, con frecuencia cientos o miles de veces. Esto sucede porque los dominios del hierro se a!Inean preferentemente con el campo externo. El campo magnético resultante es Ia suma del campo que genera Ia corriente y el campo que produce el hierro. Algunas veces es conveniente indicar el campo total como una suma de dos términos:

B = B0 + BM. -4

FIGURA 28-24

Toroide con n0cleo

B(T)

b 1.00

0.60

0.40 0.20

i.o

o.o B0 (103 T)

724

(28-9)

es Ia permeabilidad magnética del material (no hay que confundirla con .t para el momento magnético). En los materiales ferromagnéticos es bastante superior que t0. Para los demás materiales, su valor es muy cercano a .t0 (sección 28-10). Sin embargo, el valor de no es constante en los materiales ferromagneticos, depende del valor del campo externo B0, como lo demuestra el siguiente experimento. En general las mediciones en materia[es magnéticos se realizan utilizando un toroide, el cual es en esencia un solenoide largo que se dobla en forma de cIrculo (figura 28-24), para que prácticamente todas las lIneas de B permanezcan en el interior del to-

roide. Suponga que el toroide tiene un nécleo de hierro que en un principio no está

0.80

o

indicar si se reemplaza Ia constante en Ia ecuación 28-4 con otra constante , que es caracterIstica del material que se encuentra en el niicleo de Ia bobina:

B = ,anl;

FIGURA 28-25 Campo magnético total B en un toroide con n0cleo de hierro en función del campo externo B0 (B0 es producido por Ia corriente I que circula en Ia bobina). 1.20

En esta expresión B0 se refiere al campo que produce Ia corriente en el alambre (el campo "externo"). Este es el campo que estarIa presente en ausencia de un material ferromagnético. Luego BM representa el campo adicional que produce el material ferromagnético en sí, con bastante frecuencia BM >> B0.

En este caso el campo total en el interior de un solenoide también se puede

Ju-de hierro.

(28-8)

CAPITULO 28

magnetizado y no existe corriente en los devanados del toroide. Entonces La corriente I aumenta lentamente, y B0 aumenta linealmente con relación a I. El campo total B también aumenta, pero sigue La Ilnea curva que se indica en La gráfica de Ia figura 28-25. (Observe que las escalas son diferentes: B >> B0.) En un principio, punto a, los dominios estn orientados al azar (sección 28-7). Conforme aumenta B0, los dominios se ailnean cada vez mns hasta Ilegar al punto b, cuando casi todos están alineados. Entonces se dice que el hierro se aproxima a La saturación. El punto b se encuentra tIpicamente a un 70 por ciento de Ia saturación completa. (Si B0 aumenta aün ms, Ia curva sigue creciendo lentamente y alcartza una saturación del 98 por ciento solamente cuando B0 alcanza un valor que supera un centésimo del valor que est arriba del punto b; los ültimos dominios son los más difIciles de alinear.) Luego suponga que el campo externo B0 se reduce


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porque disminuye la corriente en las bobinas. Conforme se reduce la corriente hasta liegar a cero, mdicado como el punto c en la figura 28-26, el dominio no se vuelve completamente aleatorio. AUn queda cierto magnetismo permanente. Si Ia corriente invierte su direcciOn se puede provocar el giro de una cantidad importante de dominios, de tat forma que B = 0 (punto d). Conforme aumenta el valor de Ia corriente invertida, el hierro se aproxima a La saturaciOn en Ia direcciOn opuesta (punto e). Por ültimo, si Ia corriente se reduce nuevamente a cero y luego aumenta en Ia direcciOn original, el campo total sigue la trayectoria efgb, y de nuevo se aproxima a Ia saturaciOn en el punto b. Observe que en este ciclo el campo no paso a través del origen (punto a). El hecho de que La curva no se dibuje a sI misma en la misma trayectoria se conoce como histéresis. La curva bcdefgb se conoce como lazo e histéresis. En este ciclo gran parte de la energIa se transforma a energia térmica (fricciOn) debido a la realineaciOn de los dominios. Se puede demostrar que Ia energIa que se disipa en esta forma es proporcional at irea del lazo de histéresis. En los puntos c y f, el nOcleo de hierro se magnetiza aun cuando no existe corriente en Las bobinas. Estos puntos corresponden a un imán permanente. En un imán permanente se desea que ac y af tengan Ia mayor longitud posible. Se dice que los materiales en los que se cumple esta condición tienen una retentividad elevada. Los materiales que tienen una curva de histéresis ms amplia como sucede en Ia figura 28-26 se conocen como materiales magnéticamente "duros". Por otra parte, una curva de histéresis similar a Ia figura 28-27 sucede en el "hierro suave". Este es el que se prefiere en los electroimanes y transformadores (secciOn 29-6) ya que el campo se puede apagar con mayor rapidez, y se puede invertir con menor pérdida de energia. Un material ferromagnetico se puede desmagnetizar, es decir perder su magnetismo. Esto se puede realizar si se invierte varias veces Ia corriente de magnetizaciOn mientras disminuye su magnitud. Esto produce la curva de Ia figura 28-28. Las cabezas de un equipo de grabacion se desmagnetizan en esta forma. El campo magnético alternante que actOa en las cabezas debido a Ia acciOn del instrumento desmagnetizador es fuerte cuando se coloca cerca de las cabezas y disminuye conforme se aleja lentamente de las cabezas. Las cintas de video y audio pueden borrarse y resultar dañadas debido a Ia acciOn de campos magneticos, at igual que los discos para computadora.

*

Paramagnetismo y diamagnetismo Todos los materiales son magnéticos hasta cierto grado. Los materiales que no son ferromagnéticos caen en dos categorIas principales: paramagnéticos cuando la permeabilidad magnetica a es ligeramente mayor que r0; y diamagnéticos cuando r es ligeramente inferior que p.o. La razón de a p1 para cualquier material se conoce como permeabilidad relativa Km Km

e

Curva de histéresis.

FIGURA 28-26

FIGURA 28-27 Curva de histéresis para el hierro suave. B

FIGURA 28-28 Lazos sucesivos de histéresis durante Ia desmagnetizaciOn. B

I-0 H

Otro parmetro Otil es Ia susceptibilidad magnética X que se define como:

B0

Xm = Km - 1. > 1 y Xm > 0, en tanto que en las sustancias Las sustancias paramagneticas tienen diamagnéticas Km < 1 y Xm < 0. Véase Ia tabla 28-1. T' BI

'8- I

-

iéticas

Sustancia diamagnética

Sustancia paramagnética Aluminio Calcio Magnesio Oxigeno (PTS) Platino Tungsteno

e;ceç tibilici.ades' na

Parama'ji netismo y ciamagi letismo:

2.3 >< 10

1.9 x 10 1.2 x 10 2.1 X 10

Xm

-9.8 X 10 -2.2 X 10

Cobre Diamante Oro

2.9 x i0

Plomo NitrOgeno (PTS)

6.8 X iO

Silicio

-3.6 X i0 -1.7 X i0 -5.0 )< iO -4.2 X 1O

*sEcclON 28-10

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Paramagnetismo y diamagnetismo

725

La diferencia entre los materiales paramagnéticos y diamagnéticos se puede entender teóricamente en el nivel molecular, en funciOn de Ia existencia o ausencia de un momento dipolar magnético permanente en las moléculas. El paramagnetismo sucede en los materiales cuyas moléculas (o jones) tienen un momento dipolar magnetico permanente.t En ausencia de un campo externo, las moléculas se orientan al azar y no se observan efectos magneticos. Sin embargo, cuando se aplica un campo magnético externo, por ejemplo cuando se coloca el material en un solenoide, el campo aplicado ejerce un par en los dipolos magnéticos (sección 27-5), lo que tiende a alinear a los dipolos magnéticos con el campo. El campo magnético total (campo externo más el campo que generan los dipolos magnéticos alineados) ser ligeramente mayor que B0. Sin embargo el movimiento térmico de las moléculas reduce la alineación. Una cantidad ütil es el vector de magnetización, M, que se define como el momento dipolar magnetico por unidad de volumen.

M= donde ji es el momento dipolar magnético de la muestra y V es su volumen. Se ha encontrado en forma experimental que M es directamente proporcional a! campo magne-

tico externo (que trata de alinear a los dipolos) e inversamente proporcional a la temperatura Kelvin T (que trata de aleatorizar a las direcciones de los dipolos). Esta es Ia ley de Curie, fue Pierre Curie (1859-1906) quien expresO por primera vez:

M=C donde C es una constante. Si La relaciOn BIT es muy grande (B muy grande o T muy pequefla) Ia !ey de Curie deja de ser precisa; conforme aumenta B (o T disminuye), la magnetizaciOn se aproxima a cierto valor máximo Mmáx. Esto tiene sentido, desde luego, ya que Mmdx corresponde a Ia alineación total de todos los dipolos magnéticos permanentes. Sin embargo, aün con campos magnéticos muy grandes =2.0 T, se observan normalmente desviaciones de Ia ley de Curie a temperaturas muy bajas, en el orden de pocos grados Kelvin. Como ya se mencionO en la secciOn 28-7, los materiales ferromagnéticos dejan de serb por encima de una temperatura caracterIstica que se conoce como temperatura Curie (1043 K para el hierro). For encima de esta temperatura Curie generalmente estos materiales se vuelven paramagneticos. Los materiales diamagnéticos (en los que Lm es ligeramente inferior a bto) estn integrados por moléculas que no tienen un momento dipolar magnético permanente. Cuando se aplica un campo magnético externo, se inducen dipolos magneticos, pero el momento dipolar magnético se induce en dirección opuesta a Ia del campo. De ahI que e! campo total puede ser ligeramente inferior que el campo externo. El efecto del camp0 externo (en el modelo burdo de los electrones que giran airededor del nücleo) es un aumento en la velocidad "orbital" de los electrones que giran en una direcciOn, y La disminución de Ia velocidad de los electrones que giran en direcciOn contraria; e! resultado neto es un momento dipolar que se opone al campo externo. El diamagnetismo está presente en todos los materiales, pero es todavIa ms débil que el paramagnetismo y por tanto es eliminado por los efectos paramagnéticos y ferromagnéticos en los materiales que presentan otras formas de magnetismo.

tOtros tipos de paramagnetismo también ocurren cuyo origen es diferente de los descritos aqul, como con los metales en los que pueden contribuir los electrones libres.

726

CAPITULO 28


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Resumen La Icy de Ampere indica que Ia integral de ilnea del campo magnético B alrededor de cualquier bobina cerrada es igual a p. veces Ia corriente total neta 'end que encierra la bobina:

B dl =

/-0'enct

El campo magnetico B a una distancia r de un alambre recto y largo es directamente proporcional a Ia corriente I que circula en el alambre e inversamente proporcional a r. Las lIneas de campo magnético son cIrculos que estn centrados con relación a! alambre. El campo magnetico en el interior de un solenoide delgado que tiene muchas vueltas de alambre es B = 1tt0nI, donde n es la cantidad de vueltas por unidad de longitud e I es Ia corriente que circula en cada bobina. La fuerza que ejerce un alambre largo que transporta corriente sobre otro alambre paralelo que también transporta corriente, el cual est a una distancia I del primero, sirve como definiciOn para La unidad ampere, asI como para el coulomb.

La ley de Biot-Savart es ütil para determinar el campo magnético que produce un arreglo determinado de corrientes. Esta ley indica que dB

donde dB es Ia contribuciOn al campo total en algün punto P debido a una corriente I que fluye por una longitud infinitesimal dl de esta trayectoria, y r es el vector unitario a lo largo de la direcciOn del vector de desplazamiento r de dl a P. El campo total B será La integral en todo dB. El hierro y otros materiales pueden convertirse en imanes fuertes y permanentes. Se dice que estos son materiales ferromagnéticos. Los materiales ferromagnéticos están integrados por dominios pequeños (cada uno es un imán pequeflo) que

están alineados preferiblemente en un imán permanente, pero están alineados at azar en una muestra que carece de magnetismo.

Cuando un material ferromagnetico se coloca en un camP0 magnético B0 que produce una corriente, por decir en el interior de un solenoide o toroide, el material se magnetiza. Sin embargo cuando cesa el flujo de corriente, el material permanece magnetizado. Cuando Ia magnitud de la corriente

aumenta en dirección opuesta (y se invierte de nuevo) se

puede elaborar una gráfica del campo total B contra B0, que se conoce como lazo de histéresis, el hecho de que las curvas no se formen de nuevo se conoce como histéresis.

i0Idlx 4r

r2

Prequntas El campo magnético que genera la corriente que circula en los alambres de su casa puede afectar a una briijula. Ana]ice el problema en términos de las corrientes, dependiendo de si se trata de cd o Ca, y de Ia distancia que separa a los alambres. Compare el campo magnético que genera una corriente que circula por Ufl Conductor recto y largo con el campo eléctrico que produce una lInea de carga eléctrica en reposo, que es recta y larga (sección 21-7). Dos alambres largos que transportan corrientes iguales I se encuentran a ángulos rectos entre si, pero no se tocan. Describa La fuerza magnética que ejercen entre si. Un alambre horizontal transporta una corriente considerable. Otro alambre que transporta corriente en Ia misma dirección se suspende debajo del primero. ,La corriente que circula en el primer alambre puede mantener suspendido at segundo alambre desafiando a Ia fuerza de gravedad? En qué condiciones se logrará el equilibrio? Un alambre horizontal que transporta corriente y tiene libertad de movimiento en el campo gravitacional de Ia Tierra se suspende directamente encima de otro alambre paralelo que transporta corriente. (a) LEn qué dirección circula la corriente en el alambre inferior? (b) ,El alambre superior se puede mantener en equilibrio estable debido a Ia fuerza magnética en el alambre inferior? Explique (a) Escriba la ley de Ampere para una trayectoria que rodea a los dos conductores de Ia figura 28-8. (b) Repita (a) suponiendo que Ia corriente inferior '2 tiene dirección opuesta (12 = Suponga que el conductor cilIndrico de la figura 28-9a tiene una abertura concéntrica de forma cilIndrica en su interior (lo que hace que se parezca a un tubo). tQué puede decir de B en

Explique por qué un campo como el que se muestra en La figura

28llb es consistente con Ia ley de.Ampere. Las lIneas se pueden curvar hacia arriba en vez de hacerlo hacia abajo? LCuáI serIa el efecto de B en el interior de un solenoide largo Si (a) se duplica el diimetro de todas sus vueltas, (b) se duplica Ia separaciOn entre las vueltas, (c) se duplica Ia longitud del solenoide además de La cantidad total de vueltas? Utitice Ia ley de BiotSavart para convencerse a sí mismo de que el campo en Ia bobina de corriente de la figura 28-18 es correcto en los puntos que están fuera del eje. Piensa que B será el mismo para todos los puntos que están en el pIano de Ia bobina de corriente de Ia figura 28-18? ,Porqué el hecho de torcer los cables de los dispositivos eléctricos reduce los efectos magnéticos en las terminales? Compare La ley de Biot-Savart con La ley de Coulomb, Lcuáles son las similitudes y diferencias? El relevador es una clase de interruptor magnético similar al solenoide. El relevador es un electroimán (Ia barra de hierro en el interior de La bobina no se mueve), cuando este se activa atrae

a una pieza de hierro suave en el pivote. Diseñe un relevador (a) para hacer un timbre, (b) para cerrar un interruptor eléctrico. El relevador se utiliza en el ültimo caso cuando Se necesita un interruptor en un circuito que transporta mucha corriente pero no se desea que esa corriente elevada fluya a través del interruptor principal. Por ejemplo el interruptor de encendido de un automóviL se conecta a un relevador de tal forma que Ia corriente elevada que se necesita para el arranque no circule a través del interruptor del tablero.

Ia cavidad?

Preguntas

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727

COmo podria medir el momento dipolar magnético de Ia Tierra?

Cómo podrIa definir o deterrninar Ia fuerza del poio magnético (Ia equivalente magnética de una sola carga eléctrica) para (a) un imán tipo barra, (b) un lazo de corriente? Un imán fuerte atrae a un bloque pesado (partiendo del reposo) de hierro. Antes que el bloque golpee al imán este habrá adquirido una cantidad considerable de energIa cinética. (a) LCuál es Ia fuente de esta energIa cinética? (b) Cuando el bloque golpea al imán, algunos de los dominios del imán cambian a! azar; describa las transformaciones de energIa. LUn imán atraerá a cualquier objeto metálico o a cualquiera que esté hecho de hierro? (Pruebe y yea.) Porqué sucede lo anterior? Un clavo sin magnetizar no atraerá a un clip que no este magnetizado. Sin embargo, si uno de los extremos del clavo toca a un imán, el otro extremo atraerá al clip. Explique.

,COmo supone que se encontraron los primeros imanes en

Magnesia? ,Porqué cualquiera de los polos de un imán atraerá a una pieza de hierro sin magnetizar?

Suponga que tiene tres barras de hierro, dos están magnetizadas pero Ia tercera no lo está. Córno podrIa determinar cuáles están magnetizadas sin utilizar ningOn objeto adicional? Dos barras de hierro se atraen entre sI sin irnportar cuáles son los extrernos que se tocan. Se tratará de dos imanes? Explique *24. Describa Ia curva de magnetización para (a) una sustancia paramagnética, (b) una sustancia diarnagnética y compare con Ia curva de una sustancia ferromagnética (figura 28-26). * 25. LTodos los materiales se pueden considerar como (a) diamagnéticos (b) paramagnéticos (c) ferromagnéticos?

Problemas (I) Los cables que se utilizan para pasar corriente a un automOvii normalmente transportan una corriente de 65 A. ,Cuál será Ia fuerza del campo magnético a una distancia de 7.5 cm? Compare este resultado con el campo magnético de La Tierra. (I) Un conductor eléctrico produce un campo magnético que no es superior a! campo de Ia Tierra (0.55 )< 10 T) a una distancia de 25 cm. ,Cuál es Ia corriente maxima que puede transportar el conductor?

Dos alambres delgados, largos y paralelos que están separados a una distancia de 15 cm transportan corrientes de 25 A en Ia misma dirección. Determine Ia fuerza del campo magnético en un punto que se encuentra a una distancia de 12.0 cm de un alambre y 5.0 cm del otro (figura 28-30).

(I) ,Cuái es Ia magnitud y dirección de Ia fuerza entre dos alambres paralelos cuya longitud es de 45 cm y están separados a una distancia de 6 cm, cada uno transporta una corriente de 35 A en Ia misma dirección?

(I) Un alambre recto y vertical que transporta (hacia arriba) una corriente de 22 A ejerce una fuerza de atracción por unidad de longitud igual a 8.8 x 10 N/rn sobre otro alambre pa-

ralelo que está a una distancia de 7.0 cm. Cuál es La magnitud y dirección de la corriente que fluye en el segundo alambre? En Ia figura 28-29, un alambre recto y largo transporta una corriente I que sale de Ia página y se dirige al lector. Indique con las flechas adecuadas Ia dirección de B en cada uno de los puntos C, D y E en el plano de Ia página.

FIGURA

28-30

Problema 7.

(II) Una brCijula horizontal se coloca a 20 cm del sur con respecto a un alambre recto y vertical que transporta una corriente de 40 A (que se dirige hacia abajo). ,En qué dirección apunta Ia aguja de Ia brOjula en esta ubicación? Suponga que La corn-

ponente horizontal del campo de La Tierra en este punto es

0.45 X 10 T y Ia declinación magnética es 00. (II) Un alambre largo y horizontal transporta una corriente de 22 A que se dirige a! forte. Cual es el campo magnético neto a 20.0 cm del oeste del alambre si el campo de Ia Tierra en ese punto apunta hacia abajo, a 40° por debajo de La horizontal, y

IC. I

tiene una magnitud de 5.0 X i0 T? (II) Un haz recto de protones pasa por un punto determinado en el espacio a una rapidez de 1.5 x iO protones/s. ,Cual será el campo magnético que se produce a una distancia de 2.0 m

E FIGURA

del haz?

28-29 Problema 5.

Se realiza un experimento que involucra a! campo magnético de laTierra a una distancia de 1.00 rn de un cable eléctrico. ,Cuál es Ia corriente maxima permisible en el cable si Ia exactitud del

experirnento es de t1 por ciento. 728

CAPITULO 28

(II) Determine el campo magnético en el punto medio entre dos alambres largos y rectos que estan separados por una distancia de 2.0 cm en términos de La corriente I en un alambre cuando el otro transporta una corriente de 15 A. Suponga que estas corrientes están (a) en Ia misma dirección y (b) en direcciones opuestas.


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Un par de alambres largos se utiliza para conducir una corriente de 25 A de cd hacia el interior y el exterior de un instrumento. Si ci diámetro de los alambres es despreciable y están separados por una distancia de 2.8 mm, j,cuál es el campo magnético a una distancia de 10.0 cm de su punto medio, en su piano (figura 28-31)? Compare el resultado con el campo magnetico de Ia Tierra.

(II) Repita el probtema 15 si el alambre en x = 0 transpQrta el doble de corriente (21) que el otro alambre, y esta corriente tiene sentido opuesto. (II) Dos alambres largos están orientados de tal forma que sean perpendiculares entre Si, y en eJ punto más cercano, están separados por una distancia de 20.0 cm (figura 28-34). ,Cuál es La magnitud del campo magnético en el punto medio entre los dos alambres si el alambre superior transporta una corriente de 20 A y ci inferior una corriente de 5.0 A?

10.0 cm

B=?

10.0cm

FIGURA 28-34

Problema 17.

10.0 cm C

Alambre inferior

(II) Dos alambres largos y paralelos que están separados por

2.8 mm FIGURA 28-3 1

una distancia de 7.0 cm transportan una corriente de 16.5 A que fluye en La misma direcciOn. Determine Ia fuerza del campo magnetico en ci punto P que está a una distancia de 12.0 cm de un alambre y 13.0 cm del otro. Véase Ia figura 28-35.

Problema 12.

(II) Una brOjula tipo compás apunta a 20° aL NE hacia ei exte-

rior. Sin embargo, cuando se coloca a 12.0 cm del este de un alambre vertical que se encuentra en el interior de un edificio, Ia aguja apunta a 55° NE. j,Cuál es Ia magnitud y direcciOn de Ia

corriente en el alambre? El campo magnético de La Tierra es 0.50 X 10 T en dirección horizontal.

(II) Una bobina rectangular de alambre se coloca cerca de

un alambre recto, como se muestra en Ia figura 28-32. En ambos alambres circula una corriente de 2.5 A. ,Cuál es Ia magnitud y direcciOn de Ia fuerza neta en La bobina?

-

12.0cm

13.0cm

2.5 A 2.5 A

FIGURA 28-35

3.0 cm

Problema 18.

I-

I

(III) Una cinta conductora muy larga y plana de anchura L y espesor despreciable descansa en el piano horizontal y transporta una corriente uniforme I a través de su secciOn transversal. (a) Demuestre que en Los puntos que se encuentran a una

5.0 cm

I

k

10.0cm

FIGURA 28-32

distancia y justo encima del centro de Ia cinta el campo está determinado por

.1

B=

Problema 14.

(II) Dos alambres Largos y paralelos están separados por una distancia d y transportan corrientes de igual magnitud I en La misma direcciOn. Un alambre se encuentra en x = 0, eL otro en x = d, figura 28-33. Determine B entre los alambres en funciOn de x.

FIGURA 28-33

Problemas 15 y 16.

u01

irL

tan

_1L

2y

suponiendo que Ia longitud de La cinta es infinita. [Sugerencia: divida Ia cinta en muchos "alambres" delgados y sume (integre) en Ia cinta.] (b) ,CuáL es el valor de B cuando y >> L? ,Esto tiene sentido? Explique. (III) Un electron se mueve en un piano que también contiene un alambre Largo y recto que transporta corriente. El electrOn forma un ángulo de 45° con respecto al alambre, y se desplaza a una velocidad de 3.4 x 106 m/s, cuando se mantiene a una distancia de 50 cm. El electrOn se aproxima un máximo de 1.0 cm anteS de ser repelido, pero siempre se mueve en el mismo pIano. j.Cuál es La corriente que circula en el alambre?

(I) Un solenoide que tiene una longitud de 40.0 cm y dimetro de 1.35 cm debe producir un campo de 0.385 mT en su centro. j.Cuánta corriente debe transportar el solenoide si tiene 1000 vueltas de alambre?

Problemas

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729

(II) Un alambre (en un piano) tiene La forma quc se indica en La figura 28-37, dos arcos de un cIrculo estén conectados por longitudes radiales dc alambre. Determine B en ci punto C en

(I) Un solenoide de 32 cm de longitud y 1.8 cm de diámetro debe producir un campo magnético de 0.30 T en su centro. Si la corriente maxima es 5.7 A. ,,Cuántas vueltas debe tener el solenoide?

términos de R1, R2, 0 y ia corriente I.

(1) Un alambre de cobre con diámetro de 2.5 mm transporta una corriente de 40 A. Determine el campo magnético: (a) en Ia superficie del alambre, (b) en el interior del alambre, a 0.50 mm por debajo de su superficie y (c) en el exterior del alambre, a 2.5 mm de su superficie?

(II) Un toroide (figura 28-14) tiene un diámetro interior de

50.0 cm y un diámetro exterior de 54.0 cm. Transporta una corriente de 25.0 A y tiene 500 vueltas. Determine el intervalo de valores de B en el interior del toroide. (II) Un alambre de cobre que mide 20.0 cm de largo y tiene un diámetro de 2.0 mm, incluyendo ci aisiamiento, se embobina fortnando una sola capa, las bobinas adyacentes se tocan unas

C

a otras, para formar un solenoide cuyo diámetro es 2.50 cm. ,Cuái es (a) Ia longitud del solenoide y (b) ci campo en ci

centro del solenoide cuando La corriente que circula en el alambre es 20.0 A? (II) (a) Utihce la ecuación 28-1 y Ia naturaleza vectorial de B para demostrar que las lIneas de campo magnético alrededor de dos alambres paralcios y Largos que transportan corricntcs iguales i = '2 son como se indica en Ia figura 28-8. (b) Dibuje las iIneas equipotenciales airededor de dos cargas positivas cstacio-

FIGURA 28-37

-

Problema 30.

(II) Un aniilo conductor de forma circular y radio R cstá conectado a dos aiambrcs rcctos y exteriores quc tcrniinan en ambos extremos dc un diámctro (figura 28-38). La corriente I se divide en dos partes desiguaies mientras pasa a través dci aniilo como sc indica. ,Cuál es ci valor de B en ci centro dci aniHo?

narias. (c) ,Los dos diagramas son simiiarcs? ,Son idénticos? tPor qué si o por qué no? (H) Un cable coaxial está formado por un conductor interno y

-

1 41

sóIido cuyo radio es R1, ci cual está rodeado por un tubo cilIndrico y concéntrico cuyo radio interior es R2 y radio exterior es R3 (figura 28-36). Los conductores transportan corrientes iguales y

opuestas I quc cstán distribuidas de mancra uniforme a través de sus secciones transversales. Determine ci campo magnético a una distancia R dci eje para: (a) R < R1; (b) R1 < R <

(c) R2 < R < R3; (d) R> R3.

FIGURA 28-38

Problema 31.

(II) Una bobina pequcna de alambre cuyo radio es 1.8 cm se coloca en ci centro dc una bobina de alambre de 25.0 cm. Los pianos de Las bobinas son perpcndicuiares entre si, y en cada uno fluyc una corriente de 7.0 A. Determine ci par quc ejerce FIGURA 28-36

Problemas 27 y 28.

(III) Suponga que Ia corriente en ci cable coaxial dci probiema 27, figura 28-36, no cstá distribuida de mancra uniforme, en vez de eso La densidad de corriente j varIa linealmente con Ia dis-

tancia desde ci centro: j = C1R para ci conductor interior y = C2R para ci conductor exterior. Cada conductor transporta la misma corriente total 1, en direcciones opuestas. Determine ci campo magnético en términos de 1 en las cuatro regiones

Ia bobina grande en Ia bobina pequcna, qué suposición dc simplificación tuvo que rcahzar? (II) Un alambre adquiere Ia forma de dos mitades de un cIrduio que cstán conectadas por secciones rectas de igual iongitud coma se indica en Ia figura 28-39. La corricnte I fluyc en sentido contrario al giro de Las manecillas dci rcioj en el circuito. Deter-

mine (a) ia rnagnitud y dirección dci campo magnético en ci

centro C, y (b) ci momento dipolar magnético dcl circuito.

j2

dcl espacio quc se indican en ci problema 27.

(I) El campo magnético de La Tierra es esencialmente ci de un dipolo magnético. Si ci campo cerca dcl Polo Norte es aproximadamente 1.0 X 10 T, ,cuá1 será ci campo (aproximado) a 13,000 km por encima de La superficic dci Polo Norte? 130

CAPITULO 28


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FIGURA 28-39

Problema 33.

(II) Utilice Ia ley de BiotSavart para demostrar que el campo magnético B que genera una sola carga puntual q que se mueve a una velocidad v en un punto P cuyo vector de posición con relaciOn a Ia carga es r (figura 28-40), está determinado por B

qv X r

i.t0

- 4ir

(II) Un segmento de alambre cuya longitud es I transporta una corriente I como se indica en Ia figura 28-43. (a) Demuestre que para los puntos que se encuentran a lo largo del eje x positivo (el eje del alambre), como es el punto Q, Ia magnitud del camp0 B es cero. (b) Determine una formula para el campo en los puntos que se localizan a lo largo del eje y, como el punto P.

r3

y

(Suponga que v es mucho menor que Ia velocidad de la luz.)

-

p

I

p

x Q

FIGURA 28-43

Problema 37.

V

FIGURA 28-40

Problema

34.

(U) Un disco circular y no conductor, de radio R, transporta

una carga eléctrica Q que está distribuida de manera uniforme. El plato comienza a girar a una velocidad angular w alrededor de un eje que es perpendicular al disco y se localiza en su centro (figura 28-41). Determine (a) su momento dipolar magnético y (b) el campo magnético en los puntos que se encuentran en su eje a una distancia x de su centro; (c) j,la ecuaciOn 28-7b se aplica en este caso cuando x >> R?

Problema

P

I FIGURA 28-44

Problema 38.

(II) Un alambre se dobla formando un polIgono regular que tiene n lados, cuyos vertices se encuentran a una distancia R del centro. (Véase Ia figura 28-45, Ia cual muestra el caso especial para n = 6.) Si el alambre transporta una corriente jo' (a) determine el campo magnético en el centro; (b) si se permite que n sea oo), demuestre que Ia fOrmula de la parte (a) muy grande (n se reduce a La fOrmula para una bobina circular (ejemplo 28-10).

x

FIGURA 28-41

(II) Utilice el resultado del problema 37 para calcular el campo magnético en el punto P de La figura 28-44 debido a la corriente que circula en la bobina cuadrada.

35.

(II) Considere una secciOn recta de alambre cuya longitud es 1,

como se indica en Ia figura 28-42, la cual transporta una corriente I. (a) Demuestre que el campo magnético en el punto P a una distancia R del alambre a lo largo de su bisector perpendicular es

FIGURA 28-45

B=

Problema 39.

/h0' 2irR (2 + 4R2)

(b) Demuestre que esto es consistente con el ejemplo 28-9 para un alambre infinito.

21 R

(III) Comience con el resultado del ejemplo 28-10 para el campo magnético a lo largo del eje de una sola bobina para obtener el campo en el interior de un solenoide muy largo (ecuaciOn 28-4). (III) Una sola bobina rectangular de alambre, cuyos lados son a y b, transporta una corriente I. El origen del sistema de coordenadas xy se coloca en Ia esquina inferior izquierda del rectOngulo, el eje x es paralelo al lado b (figura 28-46). Determine el campo magnetico B en todos los puntos (x, y) que se localizan en el interior de Ia bobina. y

.P I 1

2

"VI

10 FIGURA 28-42

Problema

36.

I

b

It]

x

FIGURA 28-46

Problema 41.

Problemas

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731

(III) Una bobina cuadrada de alambre, cuyo lado es 1, transporta una corriente I. (a) Determine el campo magnético B en los puntos de una Ilnea que es perpendicular ai piano del cuadrado, Ia cual pasa a través del centro del mismo, figura 28-47. Exprese B en funciOn de x, que es Ia distancia a lo largo de Ia !Inea que parte del centro del cuadrado. (b) Para x >> 1, el cuadrado pa-

rece ser un dipolo magnético? En caso afirmativo, ,cuil es el momento dipolar?

I

(I) A continuaciOn se presentan varios valores de B una pieza de hierro conforme esta se magnetiza:

y

B0 para

B0(104T)

0

0.13

0.25

0.50

0.63

0.78

1.0

B(T1

0

0.0042

0.010

0.028

0.043

0.095

0.45

0.67

B0(104T)

1.9

2.5

6.3

13.0

130

1,300

10,000

B(T)

1.01

1.18

1.44

1.58

1.72

2.26

3.15

1.3

I

x FIGURA 28-47

Problema 42.

(II) Un átomo de hierro tiene un momento dipolar magnético de 1.8 X 1023 A.m2. (a) Determine el momento dipolar de una barra de hierro que tiene 12 cm de longitud, 1.2 cm de ancho y 1.2 cm de espesor si está saturada al 100 por ciento. (b) ,Que par se ejercerá sobre esta barra cuando se coloca en un campo de 1.2 T que actila en angulos rectos con relación a Ia barra?

Determine Ia permeabilidad magnética j para cada valor y realice una gráfica de j contra B0. Un toroide grande y delgado tiene 400 vueltas de alambre por metro y por el alambre fluye una corriente de 20 A. Si Ia permeabilidad relativa del hierro es 3000, ,cuál es el campo total B en el interior del toroide? Un solenoide con nOcleo de hierro tiene 38 cm de longitud, 1.8cm de diámetro y 600 vueltas de alambre. Cuando circula una corriente de 48 A por el alambre Se produce un campo magnético de 2.2 T. ,CuáI es Ia permeabilidad j. con esta magnitud del campo?

Problemas generales Tres alambres largos y paraielos están a una distancia de 38.0 cm entre si. (Al mirar entre ellos, se observa que forman las tres esquinas de un triángulo equiiátero.) La corriente en cada alambre

es 8.00 A, pero Ia dirección de Ia corriente del alambre M se opone a la de los alambres N y P, figura 28-48. Determine Ia fuerza magnética por unidad de longitud en cada alambre debi-

Una vuelta rectangular de alambre transporta una corriente de 2.0 A y descansa en un piano que también contiene un alambre muy recto que transporta una corriente de 10.0 A como se mdica en Ia figura 28-49. Determine (a) Ia fuerza neta y (b) el par neto en Ia bobina debido al alambre recto.

do a los dos restantes.

Hiocm-

2.OA

2.0A

I-

'I

12cm

FIGURA 28-49

FIGURA 28-48

Problemas 47 y 48.

En Ia figura 28-48 el alambre superior es de cobre y tiene un diá-

metro de 2.0 mm y se suspende en el aire debido a las fuerzas magnéticas que producen los alambres inferiores. La corriente que circula en los dos alambres inferiores es 20.0 A. Caicule el flujo de corriente que se requiere en el alambre que estd sus-

26 m

Problema 50.

Una hoja conductora y muy larga cuyo espesor es t transporta una densidad de corriente uniforme j a través de su secciOn transversal (figura 28-50). Determine el campo magnético (magnitud y direcciOn) a una distancia y por encima del piano. (Suponga que el piano tiene una longitud y anchura infinitas.)

pendido. Un electron entra a un solenoide largo con un ángulo de 70 con

respecto a! eje. Si el campo de 3.3 X 10 T es uniforme, determine el radio y el paso (distancia entre las vueltas) de Ia trayectoria helicoidal del electron si su velocidad es 1.3 X i07 m/s. 732

CAPITULO 28


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FIGURA 28-50

Probiema 51.

Un alambre largo y horizontal transporta una corriente de 48 A. Otro alambre de cobre que tiene un diámetro de 2.5 mm es paralelo al primero pero está situado a 15 cm por debajo del primero, y se mantiene suspendido debido al campo magnético (figura 28-51). (a) ,,Cuál es Ia magnitud y dirección de Ia corrjente en el alambre inferior? (b) El alambre inferior se encuentra en equilibrio estable? (c) Repita los incisos (a) y (b) si el Segundo alambre se suspende 15 cm encima del primer alambre debido al campo magnético del primero.

-

1= 48 A 15 cm

1=?

Un aeroplano de juguete de 175 g que tiene una carga de 18.0 mC

y viaja a 2.8 m/s pasa a una distancia de 8.6 cm de un alambre, casi paralelo a su trayectoria, el cual transporta una corriente de 30 A. ,Qué aceleraciOn (en g) proporciona esta interacción al aeroplano? Suponga que un electroimán utiliza una bobina cuyo diámetro es 2.0 m (Ia cual está hecha de alambre de cobre cuyo lado mide 2.0 mm). La fuente de energIa proporciona 50 V a una potencia maxima de salida de 1.0 kW. (a) Cuántas vueltas se necesitan para que Ia fuente de poder opere a su capacidad maxima? (b) ,,Cuál es Ia fuerza del campo magnético en el centro de Ia bobina? (c) Si utiliza una mayor cantidad de vueltas y Ia misma fuente de energIa, ,se generará un campo con mayor fuerza? Explique.

FIGURA 28-51

Cuatro alambres paralelos y largos se localizan en las esquinas de un cuadrado cuyo lado es 1, y transportan corrientes iguales

Problema 52.

Se tiene 1.0 kg de cobre y se desea fabricar un solenoide que produzca el mayor campo magnético posible. Considere las variables de diámetro del solenoide, su longitud y demás para determinar si deber utilizar un alambre de cobre largo y delgado

10 que son perpendiculares a Ia página como se indica en Ia figura 28-53. Determine Ia magnitud y direcciOn de B en el centro del cuadrado.

U otro corto y grueso. Para dos alambres largos y paralelos que están separados a una distancia L, los cuales transportan corrientes I e '2 como se indica en Ia figura 28-8, demuestre que para Ia trayectoria circu-

/

r

lar de radio r(r < L) que está centrada en I

51B.dl = de acuerdo a Ia ley de Ampere. (Pero no utilice La ley de Ampere.) Cerca de los polos de Ia Tierra el campo magnético es de 1 G (1 x 10 T). Imagine un modelo simple en el que el campo de Ia Tierra es prod ucido por una sola bobina de corriente airededor del ecuador. LCuál será Ia corriente que transporta esta bobina? Una bobina cuadrada de alambre, cuyo lado es L, transporta una corriente I. Demuestre que el campo magnético en el ceotro de Ia bobina es B

2\/ji0l irL

[Sugerencia: Determine B para cada segmento de longitud L.]

En el problema 56, si se modifica la forma de Ia bobina para que sea un cIrculo, tB aumentará o disminuirá en el centro?

S®

C

C

1

FIGURA 28-53

Problema 61.

Determine el campo magnético en el punto P que produce un alambre largo que tiene un doblez en forma cuadrada como se indica en Ia figura 28-54. El punto P está a Ia mitad del camino entre las dos esquinas. [Sugerencia: puede utilizar el resultado de los problemas 36 y 37.]

F-a -H

Explique. Dos bobinas grandes de alambre, cada una tiene N vueltas que transportan una corriente I y están separadas a una distancia igual al radio R de las bobinas, se conocen como bobina.s Helmholtz (véase Ia figura 28-52). (a) Determine B en los puntos x a lo largo de Ia lInea que une a sus centros. Sea x = 0 en el centro de una bobina,x = R en el centro de Ia otra. (b) Realice un gráfica de B contra x desde x = 0 hasta x = R. (c) Determine B en el eje en el punto medio entre las bobinas (x = R/2) si R = 20.0 cm, I = 35 A, y cada bobina tiene N = 350 vueltas. (d) Demuestre que el

S

P

FIGURA 28-54

Problema 62.

campo en el punto medio ernie las bobinas es particularmente

uniforme al demostrar que cuando Ia separación entre las bobinas es R, entonces dB/dx = 0 y d2B/dx2 = 0 en el punto medio.

Suponga que se desea tener una idea del campo magnético que producen Las lIneas de transmisión de energIa eléctrica. Usted calcula que los dos alambres que se colocan a 30 m por encima del nivel del suelo están separados por una distancia de 3 m. Una Ilamada a La conipaflIa local que produce energIa proporciona La información siguiente: las lIneas operan a 10 kV y proporcionan un máximo de 40 MW a La población local. Calcule el valor máximo del campo magnético que puede experimentar cuando camina debajo de estas Ilneas de transmisión de energfa, y compare el resultado con el campo de Ia Tierra. Cabe in-

dicar que si la corriente es Ca, el campo magnético también cambiará. FIGURA 28-52

Problema 58.

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Problemas generales

733

Una de las leyes más importantes de Ia fIsica es la ley de inducción de Faraday, Ia cual indica que un campo magnético cambiante produce una fern inducida. La foto muestra un irnán tipo barra que se mueve en el interior de una bobina, y el galvanómetro registra una corriente inducida. Este fenOmerio de inducción electromagnética es la base de muchos dispositivos, desde generadores, alternadores, transformadores, grabadoras de cinta y lectura de las memorias de las computadoras.

S

Inducción electromagnética y ley de Faraday el capItulo 27 se analizaron dos formas en las que se relacionan la electricidad y el magnetismo: (1) Ia corriente eléctrica produce un campo magnético, y (2) eI campo magnético ejerce una fuerza en Ia corriente eléctrica o carga eléctrica que está en movimiento. Estos descubrimientos se realizaron en 1820-1821. En ese entonces los cientIficos empezaron a preguntarse: silas corrientes eléctricas producen un campo magnético, será posible que un campo magnético pueda producir una corriente eléctrica? Diez años después el norteamericano Joseph Henry (1797-1878) y el inglés Michael Faraday (1791-1867) descubrieron en forma independiente que esto era posible. Pero Faraday publicó sus resultados primero e investigO el asunto con más detalle. Ahora analizarernos este fenOmeno y algunas de sus aplicaciones en este mundo moy cambiante, como es el generador eléctrico. dem

En

FEM inducida En su intento por producir una corriente eléctrica a partir de un campo magnetico, Faraday utilizO un aparato similar al que se indica en la figura 29-1. Una bobina de alambre, X, se conectaba a una baterIa. La corriente que flula por X producla un campo magnetico que era intensificado por el nücleo de hierro. Faraday esperaba que al utilizar una baterfa con la energIa suficiente, Ia corriente estable que circulaba en X generara un campo magnético considerable, lo cual a su vez producirIa corriente en una segunda bobina Y. Este segundo circuito, Y, está conectado a un galvanometro para detectar cualquier corriente, pero no tiene ninguna baterIa. Faraday no tuvo ningün éxito con 734

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FIGURA 29-1 Experirnento de Faraday para inducir una fern.

corrientes estables. Pero el efecto a largo plazo se observO finalmente cuando Faraday notó que Ia aguja del galvanOrnetro (en ci circuito Y) se desplazaba con fuerza cuando cerraba el interruptor en ci circuito X. Además Ia aguja del galvanómetro se despiazaba en dirección opuesta cuando abrIa el interruptor. Una corriente estable en X no producIa ninguna corriente en Y. Solamente cuando la corriente en X cornenzaba a fluir o se detenIa se producla una corriente en Y. Faraday conciuyó que un carnpo magnetico estabie no produce corriente, pero un campo magnético variable si puede producir corriente eléctrica. Esta corriente se conoce corno corriente inducida. Cuando cambia ci campo magnético en Ia bobina Y, fluye una corriente corno i ahI existiera una fuente de fern. En consecuencia se puede decir que una fern inducida se produce debido a un campo rnagnético cambiante. Faraday realizO rns experirnentos relacionados con Ia inducción eiectromagnétiCa, asI es corno se conoce este fenórneno. Por ejernpio, Ia figura 29-2 muestra lo siguiente: si se introduce con rapidez un imán en ci interior de una bobina de aiarnbre, se induce corriente en ci aiarnbre. Si ci irnán se quita rápidarnente entonces se induce una corriente que tiene sentido opuesto. Aün más, si se rnantiene fijo ci irnn y Ia bobina de alambre se acerca o se aieja del irnán, o se gira Ia bobina, de nuevo se induce una fern y fluye corriente. Se requiere rnovimiento o carnbio de Ia posiciOn para generar

una fern. No importa si se mueve ci irnán o Ia bobina, lo que irnporta es ci movimiento relativo.

29-2 (a) Una corriente se induce cuando ci imán se mueve hacia Ia bobina. (b) La corriente inducida es opuesta cuando ci irnán se mueve para aiejarlo de Ia bobina. Observe que ci cero dci gaivanometro esta en ci centro de Ia escaia y La aguja se despiaza hacia Ia izquierda o Ia derecha, dependiendo de Ia direcciOn de la corriente. En (c) no se induce corriente Si ci imán no se mueve con reiaciOn a La bobina. Lo que importa es el movimiento relativo. El imán pucde mantenerse fijo y se puede mover Ia bobina, esto inducirá tarnbién una fern. FIGURA

0

I

-

/

/ Elimánse

mueve hacia bobina.

(a)

Sin movimiento

I iEiimán

arribaenia

-

(b)

se mueve hacia abajo

(c)

SECCION 29-1

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FEM inducida

135

Ley de inducción de Faraday; ley de Lenz

B11

0 B1

'

'

I

-

= B1A = BA cos0 = B A.

Al2

Determinación del flujo a través de una bobina de alambre piano. Esta bobina es cuadrada, su lado mide I y su area es FIGURA 29-3

A=

Faraday investigO en forma cuantitativa qué factores influIan en Ia magnitud de Ia fern inducida. Antes que nada descubriO que a mayor rapidez de cambio del Ilujo magnético, Ia fern inducida es mayor. Pero Ia fern no es meramente proporcional a Ia rapidez de cambio del Ilujo magnético B. En vez de eso Ia fern es proporcional a la rapidez de cambio del flujo niagnético 1B que circula a través del circuito o bobina cuya area es A. El flujo magnético de un campo magnético uniforme se define corno

12.

El flujo magnético (I es proporcional a la cantidad de Ilneas de B que atraviesan Ia bobina. FIGURA 29-4

B

III

0=900

0=45°

0=0°

(a)

(b)

(c)

[B uniforme]

(29la)

De ahI que B1es la componente del campo magnético B que es perpendicular a Ia Cara de la bobina, y 0 es el angulo entre B y el vector A (que representa el drea) cuya direcciOn es perpendicular a Ia cara de Ia bobina. Estas cantidades se muestran en la figura 29-3 para una bobina cuadrada de lado / y area A = 2 Si el area tiene otra forma, o B no es uniforme, el flujo magnético se puede indicar comot

= JB dA.

(29lb)

Como ya se vio anteriormente, las lIneas de B (al igual que Las lineas de E) se pueden dibujar de tal forma que La cantidad de lIneas por unidad de area sea proporcional a Ia fuerza del carnpo. Entonces el flujo D, se puede pensar como si fuera proporcional a Ia cantidad total de /Ineas que pasan a través de Ia bobina. Lo anterior se muestra en Ia figura 29-4, donde Ia bobina es vista desde un lado (en el borde). Para 0 = 90°, no hay lIneas que atraviesen Ia bobina y i?B = 0, en tanto que ?8 es máximo cuando 0 = 0. La unidad de flujo magnético es el teslametro2 o weber: 1 Wb = 1Tm2. Con esta definición del flujo, ahora se pueden indicar los resultados de las investigaciones de Faraday: la fern inducida en un circuito es igual a La rapidez de cambio del flujo magnético que pasa a través del circuito:

dB dt

(29-2a)

Este resultado fundamental se conoce como ley de inducción de Faraday y es una de las leyes basicas del electromagnetismo. Si el circuito contiene N vueltas (que están embobinadas una cerca de Ia otra) las ferns que se inducen en cada una se surnan, en consecuencia

= N dB dt

(29-2b)

El signo rnenos en la ecuación 29-2 se coloca para indicar en qué dirección actüa La fern inducida. Los experirnentos han demostrado que:

Una fern inducida produce una corriente cuyo campo magnético se opone al carnbio original en el flujo. Esta se conoce corno ley de Lenz. Dicho de otra forrna, esta ley es válida aim cuando la corriente no puede fluir (como sucede cuando el circuito no estim completo):

La fern inducida siempre tiene una dirección que se opone al carnbio original en el flujo que Ia produjo. Ahora se va a aplicar la ley de Lenz al caso de rnovimiento relativo entre un irnán y una bobina, figura 29-2. El flujo cambiante a través de Ia bobina induce una fern, que a su vez produce una corriente en Ia bobina. Esta corriente inducida produce su propio carnpo

tLa integral se realiza sobre una superficie abierta, es decir, una superficie que está delimitada por una curva cerrada como un cIrculo o por un cuadrado. En este análisis el area está envuella por Ia bobina. El area no es una superficie cerrada como Ia que se utilizó en Ia Icy de Gauss del capitulo 22.

136

CAPTULO 29

InducciOn electromagnética y ley de Faraday

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magnético. En Ia figura 29-2a se observa que Ia distancia entre Ia bobina y el imán disminuye. El campo magnético (y Ia cantidad de ilneas de campo), y en consecuencia ci flujo,

a través de la bobina aumenta. El campo magnético del imàn apunta hacia fuera. Para oponerse a este aurnento, ci campo en ci interior de Ia bobina que produce Ia corriente inducida apunta hacia abajo. En consecuencia Ia Fey de Lenz indica que Ia corriente se mueve como se indica (utilice Ia regla de Ia mano derecha). En Ia figura 29-2b, el flujo disminuye (porque el imàn se aleja), en consecuencia Ia corriente inducida produce un campo magnético que se dirige hacia arriba en el interior de Ia bobina, este camp0 "trata" de mantener el estado de las cosas. La corriente es como se indica. Ahora se va a considerar qué sucederIa si Ia ley de Lenz no fuese cierta, pero fuera válida a Ia inversa. La corriente inducida en esta situaciOn imaginaria producirá un flujo que tiene Ia misma dirección que el cambio original. Este gran cambio en el flujo producirá una corriente aün mayor seguida de un cambio todavIa mayor en el flujo, y asI sucesivarnente. La corriente seguirá aumentando en forma indefinida, to que producirá una potencia (= 12R) aun después que hubiera terminado ci estImulo inicial. Lo anterior es una violaciOn a Ia conservaciOn de là energIa. Estos "dispositivos de movimiento perpetuo" no existen. En consecuencia Ia Fey de Lenz (corno se indicO Ia prirnera vez, no en este ejemplo) es consistente con Ia ley de conservación de Ia energIa.

xxxxxxxxxx XXX XXX X X 4c

xxxxxxxxxx )< x x )c X X X '<

'C

)(

x x x x -de44

Elfiujo EE

XXx

B

xxxx

<

a través de La bobina disminuye

(hacia adentro)

XXXXXXXXXX

XxxXXXXxXx

29-5 Una corriente se puede inducir a] modificar el area de Ia bobina. En este caso y en La figura 29-6 el flujo que pasa a través de Ia bobina se reduce. En este ejemplo Ia corriente inducida actàa en Ia dirección que se indica para tratar de mantener ci flujo original (I = BA) al producir su propio campo magnético hacia Ia página. En otras palabras, como ci area A disminuye Ia corriente actiia para aumentar B en Ia direcciOn original (hacia adentro). FIGURA

Flujo rnáxirno

rr

XXXXXxXXXX xxXx xx X:-:(>;:r x X

XX,,.

X X X .'C X X X

><

x

a

FIGURA

29-6 Se puede inducir

una corriente at girar Ia bobina en un campo magnético.

NX

disrninuye

xxxxxkXX

XXXX

xxXXX)eXX

EIflujo' )(

.

(hacia adentro)

x

X

e

)<

x/\cxx

)<

x

x; ,. xx:'xxx x:

B

'X "C )<

>'

x::Txxxx.1. I x x :: X

xxxxxxxxxx

>' 'xx .;;;-_.

x )<

XX1;

xxxxxxx xxx

xXxx: x xx

-

x x

'< X XXX

Es importante indicar que siempre que exista un cambio en el flujo se inducirá una fern. Corno ci flujo magnético es = fB.dA = J'Bcose dA, se observa que Ia fern se puede inducir en tres formas: (1) por un campo magnético variable, (2) por un carnbio en ci area A de Ia bobina en ci carnpo, (3) por un cambio en Ia orientaciOn de la bobina 0 con respecto at campo. Las figuras 29-1 y 29-2 muestran el caso 1. Los ejemplos de los casos 2 y 3 se indican en las figuras 29-5 y 29-6 respectivamente.

Fiujo cero SECCION 29-2

Ley de inducciOn de Faraday; ley de Lenz

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737

FIGURA 29-7

(c) Se jala la bobina hacia la derecha, fuera del campo magnético que apunta hacia el exterior de la página.

(b)

(a) El polo magnético N se mueve hacia la bobina en ei interior de la página.

El polo magnético N se mueve hacia la bobina en el piano de la pagina.

(e)

(d) La bobina se encoge en un campo magnético que apunta hacia Ia página.

La bobina gira sobre el diánietro vertical, su lado izquierdo se dirige hacia el lector y el lado derecho Se aleja del lector, en un campo magnético que apunta de derecha a izquierda en el plano de la página.

Ejemplo 29-1.

C" "'TUAL 29-1 Práctica con Ia ley de Lenz. 1,En qué dirección inducirá corriente en la bobina para cada situación de Ia figura 29-7? RESPUESTA (a) Las lIneas de campo magnético apuntan hacia el exterior del polo N del irnán, en consecuencia, conforme el irnn se mueve hacia la bobina el campo apunta hacia La página y se hace rnás fuerte. La corriente se inducirá en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj para producir un campo B fuera de La página para que su propio flujo contrarreste el cambio externo. El campo está en el plano de la página, en consecuencia el flujo que pasa a través de la bobina es cero durante todo el proceso; de ahI que no hay carnbio en el flujo rnagnético con respecto al tiempo y en consecuencia no existirá fern o corriente inducida en Ia bobina. En un principio el campo magnetico que apunta hacia el exterior de la pagina pasa a través de la bobina. Si se saca a Ia bobina fuera del campo, Ia corriente inducida estará en una dirección para hacer la deficiencia: el flujo de corriente será en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj para producir un campo magnético hacia el exterior (hacia el lector). El flujo se dirige hacia la página y el area de la bobina se encoge para que el flujo disrninuya; de ahI que la corriente inducida fluye en el sentido del giro de las manecillas del reloj para tratar de producir su propio flujo en Ia página y hacer que el flujo

disminuya.

En un principio no existe flujo a través de la bobina (,por que?). Cuando comienza a girar Ia bobina, el flujo comienza a pasar a través de la bobina y se incrementa hacia el lado izquierdo. Para contrarrestar esto, Ia bobina debe tener una corriente inducida en una direcciOn contraria al giro de las manecillas del reloj para producir su propio flujo hacia la derecha. B =0.600T x x

B=0

--F

ex

k 5.00 cmH Ejemplo 29-2. La bobina cuadrada en un campo magnético B = 0.600T se empuja en forma repentina hacia Ia derecha a una region donde B = 0. FIGURA 29-8

Jalar una bobina de un campo magnético. Una bobina cuadrada de alambre que rnide 5.00 cm de lado contiene 1000 vueltas y se coloca en forma perpendicular a una carnpo magnético uniforme de 0.600 T, como se indica en Ia figura 29-8. La bobina se saca en forrna rápida y uniforme del campo (se mueve en forma perpendicular a B) hacia una region donde B disrninuye abruptarnente hasta cero. En t = 0, el borde derecho de la bobina se encuentra en La esquina del campo. Se necesitan 0.100 s para que toda la bobina alcance La region del campo libre. Calcule (a) la rapidez de cambio del flujo a través de la bobina, (b) Ia fern y Ia corriente inducida, y (c) la energIa que se disipa en Ia bobina si su resistencia es 100 fl. (d) Cuál es Ia fuerza promedio que se requiere? SOLUCION (a) Primero se calcula el cambio en el flujo magnetico durante el intervalo de tiempo t = 0.100 s. El area de la bobina es A = (5.00 X 102m)2 = 2.50 X 103m2. En un pnncipio el flujo es I = BA = (0.600T)(2.50 X 103m) = 1.50 x i0 Wb. Después de 0.100 s, eL flujo es cero. La rapidez de cambio en el flujo es constante (porque la bobina es cuadrada) e igual a

0 - 1.50x103Wb = -1.50

X

102Wb/s.

(b) La fern inducida (ecuaciOn 29-2) durante este periodo es 738

CAPITULO 29

= -N dI8 = -(100)(-1.50 X 10Wb/s) = 1.50 V. www.FreeLibros.me

La corriente es

1.50V

=

= 100 fl

= 15.0 mA,

y por la ley de Lenz Ia corriente debe tener el sentido del giro de las manecillas del reloj para oponerse al flujo que disrninuye en Ia página. La energIa total que se disipa es

E = Pt = I2Rt = (1.50 x 10_2A)2(looc)(o.loos) = 2.25 x 10-3J. Ahora se puede calcular Ia fuerza directamente utilizando F = Ii X B, que es Ia ecuaciOn 27-3 cuando B es constante. La fuerza que ejerce el campo magnético en las secciones superior e inferior de Ia bobina cuadrada de la figura 29-8 tiene sentidos opuestos y se cancela. La fuerza magnética FM que se ejerce en Ia secciOn vertical izquierda de Ia bobina cuadrada actüa a Ia izquierda como se indica porque Ia corriente se dirige hacia arriba (en el sentido del giro de las manecillas del reloj). El lado derecho de Ia bobina está en Ia regiOn donde B = 0. De ahI que Ia fuerza externa que se necesita (hacia la derecha) tiene una magnitud Fext = NI/B = (100)(0.0150A)(0.0500m)(0.600T) = 0.0450N, ya que existen N = 100 bobinas que transportan corriente. También se puede calcular Ia fuerza promedio utilizando el resultado de La parte (c): de Ia conservaciOn de Ia energIa se tiene que la energia disipada E es igual al trabajo

W que se necesita para jalar a Ia bobina fuera del campo. Como W = Fd donde

d = 5.00 cm, entonces

F

w d

2.25 x 10-3J = 0.0450N 5.00 X 102m

que es el mismo resultado, como era de esperarse.

FEM inducida en un conductor móvil La figura 29-9 muestra otra forma de inducir una fern, y esta situación ayuda a cornprender la naturaleza de la fern inducida. Suponga que un campo magnético uniforme B es perpendicular al area que lirnita un conductor que tiene forma de U y Ia barra rnOvil que descansa en el conductor. Si Ia barra se puede mover a una velocidad v, viajará una distancia dx = v dt en un tiempo dl. Por tanto, el area de Ia bobina aumenta cierta cantidad que es dA = ldx = lv dl en un tiempo dt. De acuerdo a Ia ley de Faraday, existirá una fem inducida cuya magnitud es

dIB

BdA

Blvdt

= Blv.

(29-3)

= dt = dt = dl Esta ecuaciOn es válida siempre que B, 1, y v sean mutuamente perpendiculares. (En caso contrario solamente se utilizan las componerites de cada una que son perpendiculares entre sI.) La fern que se induce en un conductor que se mueve en un campo magnético se conoce como fern de movimiento. También se puede obtener la ecuación 29-3 sin usar Ia ley de Faraday. En el capItub 27 se vio que una partIcula con carga que se mueve en forma perpendicular a un campo rnagnético B a una velocidad v experimenta una fuerza F = qv x B. Cuando Ia barra de Ia figura 29-9a se mueve a Ia derecha con una velocidad v, los electrones de Ia

barra se mueven a esta misma velocidad. En consecuencia, como v J B, cada electrOn experirnenta una fuerza F = qvB, Ia cual actOa hacia arriba como se indica en Ia figura 29-9b. Si Ia barra no estuviera en contacto con el conductor que tiene forma de U, los electrones libres se agruparlan en el extremo superior de Ia barra, dejando al otro extremo con carga positiva. En consecuencia también se inducirfa una fern. Si Ia barra se desliza en el conductor que tiene forma de U, los electrones fluirán en Ia barra. Entorices existirá una corriente (convencional) que fluira en el sentido del giro de las manecillas del reloj en Ia bobma. Para calcular Ia fern, se deterrnina el trabajo W que se necesita para mover una carga q desde un extremo de la barra al otro en contra de esta diferencia de potencial: W = fuerza X distancia = (qvB)(1). La fern es igual al trabajo realizado por unidad de carga, entonces = W/q = qvBl/q = Blv, como se indicO arriba.t Este argurnento, que es básicamente el mismo que para el efecto Hall (secciOn 27-8), explica esta forma de inducir una fern. No explica el caso general de inducciOn electromagnética.

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29-9 (a) Una barra conductora se mueve a Ia derecha en un conductor que tiene forma de U, en un campo magnetico uniforme B que apunta hacia el exterior de Ia página. (b) Se observa Ia barra solamente, se indica Ia fuerza en un electrOn. FIGURA

00000-0 / 0000 j0

000090 0 00 B (hacia fuera)

(a)

000 000 000 000

-t-4--LA

0_H® -

0

vdt

I

rL

oofl (b)

SECCON 29-3

739

La fern produce un campo eléctrico E en Ia barra, el cual hace que los electrones se muevan a lo largo (como en Ia secciOn 25-8). Suponiendo que E es uniforme en Ia barra, entonces E = /I = By.

LUn avión que se mueve desarrolla una fern considerable? Un aeroplano viaja a 1000 km/h en una region donde el campo magnético de la Tierra es 5.0 x iO T y es casi vertical (figura 29-10). i,Cuál es la diferencia de potencial que se induce entre las puntas de las alas que están separadas por una distancia de 70 m? SOLUCION

Como v = 1000 km/h = 280 m/s, y v I B, se tiene que

= BIv = (5.0 x 105T)(70m)(280m/s) = 1.0 V. No hay que preocuparse. FIGLIRA 29-10

Ejemplo 29-3.

Fuerza en Ia barra. Para hacer que Ia barra de la figura 29-9a se mueva a La cierecna con una velocidad v, se debe aplicar una fuerza. (a) Explique y determine La magnitud de Ia fuerza requerida. (b) j,Qué potencia externa se necesita para mover Ia barra? SOLUCION (a) Cuando Ia barra se mueve a la derecha, La corriente fluye hacia abajo en Ia barra, como ya se analizO. Esto se puede ver de Ia ley de Lenz: el flujo magnetico que se dirige hacia arriba a través de Ia bobina aumenta, en consecuencia La corriente inducida deberá oponerse a este aumento. En consecuencia Ia corriente fluye en el sentido del giro de las manecillas del reloj para producir un campo magnético en la página (regla de Ia mano derecha). La fuerza en Ia barra mOvil es F = II >< B cuando B es constante (ecuación 27-3). La regla de Ia mano derecha indica que esta fuerza se dirige a Ia izquierda, y en consecuencia es una "fuerza de arrastre" que se opone al esfuerzo de mover Ia barra a La derecha. La magnitud de Ia fuerza externa, que se dirige a La derecha, debe ser F = JIB, donde Ia

corriente es J = C/R = BIv/R. La resistencia R es Ia resistencia de todo el circuito, Ia barra y el conductor en forma de U. La fuerza F que se requiere para mover la barra es

F = JIB

B212

P=Fv=

B212v2

= R Si B, I y R son constantes, entonces se produce una velocidad constante v debido a Ia acciOn de una fuerza constante. El hecho de que R sea constante implica que toda Ia resistencia está en la barra no asI en el conductor que tiene forma de U. (b) La potencia externa que se necesita para mover Ia barra cuando R es constante es R

La potencia que se disipa en La resistencia es P = 12R. Pero I = /R = BIv/R,

P = J2

=

B212v2

R en consecuencia La potencia de entrada es igual a Ia potencia que se disipa en Ia resistencia en cualquier momento.

Generadores eléctricos FIGURA 29-11

Un generador de Ca.

El eje gira mecánicamente

, Anillos

-' colectores

Escobillas

740

CAP1TULO 29

Probablemente el resultado práctico más importante del gran descubrimiento de Faraday fue el desarrollo del generador eléctrico o dInamo. Un generador convierte Ia energia mecánica a energIa eléctrica. Esto es lo contrario a lo que hace un motor. Básicamente, un generador es lo inverso de un motor. La figura 29-11 muestra el diagrama simplificado de un generador de Ca. Un generador está integrado por muchas vueltas de alambre (en Ia figura solamente se muestra una) que se embobinan en una armadura que puede girar en un campo magnético. El eje se hace girar en forma mecánica (debido a Ia acciOn de una caida de agua, una banda que se conecta a un motor), y se induce una fern en Ia bobina giratoria. En consecuencia La salida del generador es una corriente eléctriCa. En Ia figura 29-11, Ia ecuaciOn F = qv >< B indica lo siguiente: cuando La armadura gira en sentido contrario al de las manecillas del reLoj, la corriente (convencional) en el alambre identificado como A se dirige hacia fuera, en consecuencia La corriente sale de Ia escobilla A, como se indica. (Cada escobilla ejerce presión sobre un anillo colector continuo.) Después de media revoluciOn, el alambre A se encontrará en el lugar donde ahora está el alambre C en el dibujo, y La corriente en la escobiLla A se dirigirá hacia adentro. En consecuencia la corriente que se produce es alterna. A continuaciOn se va a analizar lo anterior con más detalle.

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Supongase que [a bobina está hecha para que gire en un campo magnético uniforme B a una velocidad angular constante w. De La ley de Faraday (ecuación 29-2a), se tiene que Ia fern inducida es d -

JB

dA = -

[BA cos 0]

fern 'go

donde A es el area de La bobina y 0 es el angulo entre B y A. Como w = dO/dt, entonces 0 = 0 + at. En forma arbitraria se liace que Oo = 0, entonces

Tiempo

0

= -BA-(coswt) = BAwsenwt. Si la bobina que gira contiene N vueltas = NBAüisenwt = 0senwt.

(29-4)

En consecuencia Ia fern de salida es senoidal (figura 29-12) y tiene una amplitud = NBAw. Esta bobina giratoria en un campo magnetico es el principio básico de operaciOn de un generador de Ca. Cerca de un 99 por ciento de la electricidad que se utiliza en Estados Unidos es producida por generadores (véase Ia figura 29-13). La frecuencia f = w/2ii- es 60 Hz para el uso general en Estados Uriidos y Canada, aunque en muchos paIses se utiliza la frecuencia de 50 Hz. En las plantas generadoras de electricidad, la armadura de los generadores se monta en un eje y se conecta a una turbina, que es el equivalente moderno de una rueda de agua. La presión del agua en una presa puede hacer girar a Ia turbina en una planta hidroeléctrica. Sin embargo Ia mayor parte de la energia eléctrica que se genera en Ia actualidad en Estados Unidos se produce en plantas de vapor, donde Ia quema de combustibles fósiles (carbon, aceite, gas natural) hace que hierva el agua para producir vapor de alta presiOn que a su vez hace girar a las turbinas. Mientras tanto en las plantas nucleares, Ia energIa nuclear que se libera se utiliza para producir vapor que hace girar a las turbinas. En consecuencia, una máquina térmica (capItulo 20) que se conecta a un generador es el medio principal para generar corriente eléctrica. Las compafiIas que generan energIa eléctrica mantienen en forma precisa la frecuencia de 60 Hz. En la resoluciOn de problemas se suporidrá que esta frecuencia es tan precisa como las demás cantidades que se indican.

Un generador de ca produce una corriente alterna. La fern de salida es = C0 sen wt, donde = NABw (ecuaciOn 29-4). FIGURA 29-12

FIGURA 29-13 generadores accionados por agua en Ia base de La presa Boulder, en Nevada.

Un generador de Ca. La armadura de un generador de ca que opera a OU Hz gira en un carnpo magnetico de 0.15 T. Si el area de Ia bobina es = 170 V? 2.0 X 10-2 m2, ,cuántas vueltas se necesitarán para generar una salida pico = NBAa. SOLUCION De Ia ecuaciOn 29-4 se observa que Ia fern maxima es Como o = 2irf = (6.28)(60s) = 377s entonces 170V = 150 vueltas. N = BAw = (0.15 T)(2.0 >K i0 m2)(377 s-') Un generador de cd es muy parecido a un generador de Ca, excepto que los anillos colectores son reemplazados por un conmutador que está formado por varias secciones de anillos divididos, figura 29-14a. La salida de este generador se puede "suavizar" o filtrar Si se conecta un capacitor en paralelo con Ia salida (sección 26-4). El uso de muchos devanados en la armadura es más comün, como en Ia figura 29-14b, lo que produce una salida más suave. (a) Un generador de cd con un par de conmutadores, y (b) un generador de cd con muchos pares de conmutadores y devanados. FIGURA 29-14

V

V

(a)

(b)

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SECCION 29-4

741

En el pasado los automOviles utilizaban generadores de cd. Sin embargo en la actualidad se utilizan generadores de ca o alternadores, estos evitan los problemas que genera el desgaste y el arqueo eléctrico (chispas) entre los anillos divididos del conmutador de los generadores de cd. Los alternadores son diferentes de los generadores de cd que se analizaron anteriormente en los siguientes aspectos: en un alternador Ia corriente que proviene de Ia baterIa genera un campo magnetico en un electroimn, que se conoce como rotor, el cual está hecho para girar gracias a que se conecta con una banda a! motor. Airededor del rotor se encuentra una serie de bobinas estacionarias que se conocen como estator, figura 29-15. El campo magnético del rotor pasa a través de las bobinas del estator, y como el rotor está girando, el campo a través de las bobinas fijas del estator varfa. En consecuencia se induce una corriente alterna en las bobinas del estator, que es la salida. Esta salida de ca se transforma en cd para cargar a La baterIa con

la ayuda de diodos semiconductores, que permiten el flujo de corriente solamente en una direcciOn.

29-15 (a) Diagrama esquematico simplificado de un alternador. La corriente de entrada del electroimán del rotor se conecta a través de anilios colectores continuos. Aigunas veces el electroimán del rotor es reempiazado pot un imán permanente. (b) Apariencia real del alternador. El rotor est hecho para girar gracias a la energIa que le transmite una banda que se conecta al motor. La corriente en Ia bobina de alambre del rotor produce un campo magnético en su interior (sobre su eje) que apunta horizontaimente hacia Ia izquierda, en consecuencia esto crea los polos norte y sur en las cubiertas que se localizan en los extremos del rotor. Estas cubiertas tienen forma de dedos triangulares que se dobian sobre Ia bobina, esta configuración produce polos norte y sur que están muy cerca e intercalados entre si. Las iIneas de campo magnético se indican con lIneas azules en Ia figura 29-15b. Conforme gira el rotor estas lIneas de campo pasan a través de las bobinas fijas del estator (que para facilitar Ia comprensión se muestran a la derecha en Ia figura, pero en realidad el rotor gira en el interior del estator) induciendo una corriente en ellas, que es Ia salida. FIGURA

Vueltas de alambre (donde se induce Ia corrierne)

Bobina del estator (donde se induce Ia fern) Corriente que produce ci

Corriente Polo de entrada sur

cam oB

Anilios colectores

I

Corriente de salida (inducido)

Polo norte

N'

"-I

(Eiectroimán

- giratorio)

Bobina del estator (donde se induce Ia fern)

(I

Anillos colectores Bobina (produce B)

Gira Rotor

Ensamble del estator (b)

(a)

*

N

Fuerza contraelectromotriz y contrapar; corrientes parásitas

* Fuerza contraelectromotriz Un motor gira y produce energIa mecánica cuando fluye una corriente en el. A partir

142

CAPITULO 29

de Ia descripciOn de la secciOn 27-6 de un motor sencillo de cd, usted puede esperar que La armadura se acelere en forma indefinida debido al par que existe en ella. Sin embargo, conforme gira Ia armadura del motor, el flujo magnetico a través de Ia bobina cambia y se genera una fem. Esta fem inducida actüa para oponerse al movimiento (ley de Lenz) y se conoce como fern inversa o fuerza contraelectromotriz. Mientras mayor sea la velocidad del motor Ia fuerza contraelectromotriz también aumentará. Normalmente un motor gira y realiza trabajo en algo, pero si no existe carga en el motor, su velocidad aumentará hasta que Ia fuerza contraelectromotriz sea igual a! voltaje de entrada. Cuando existe carga mecánica en el motor, su velocidad estará limitada por esta carga. Entonces Ia fuerza contraelectromotriz será menor que el voltaje externo que se aplica a! motor. Mientras mayor sea Ia carga mecánica, el motor girará a una menor velocidad y w, ecuaciOn 29-4). la fuerza contraelectromotriz también será menor (

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Fuerza contraelectromotriz en un motor. Los devanados de la armadura de un motor de cd tienen una resistencia de 5.0 fl. El motor se conecta a una lInea de 120 V y cuando este alcanza su velocidad mxima con la carga normal, la fuerza contraelectromotriz es 108 V. Calcule (a) Ia corriente en el motor justo cuando comienza a arrancar y (b) la corriente cuarido alcanza su velocidad maxima.

Fuerza contraelectromotriz inducida en ci devanado de Ia armadura II

Devanados del motor 5.0 Q

inducida = 108 V

(a) En un principio el motor no está girando (o lo hace muy despacio), de tal forma que no hay fuerza contraelectromotriz inducida. Entonces a partir de Ia Jey de Ohm Ia corriente es SOLUCION

I=

120V

V

=

5.0

II

= 24A.

= 120V

A maxima velocidad, Ia fuerza contraelectromotriz es una fuente de fern que se opone a Ia fuente exterior. Esta fuerza contraelectromotriz se representa como una baterIa en el circuito equivalente de Ia figura 29-16. En este caso la ley de Ohio (o Ia ley de Kirchhoff) indica que (b)

120V -

Circuito de un motor que muestra la fuerza contraelectromotriz inducida. FIGURA 29-16

108V = I(5.Ofl).

Por tanto

I

12V

= 2.4A.

=

Este resultado demuestra que Ia corriente puede ser muy elevada cuando el motor cornienza a girar. Por esta razóri las luces de su casa disminuyen un poco cuando el motor del refrigerador (o cualquier otro motor de gran tamafio) comienza a funcionar. Esta corriente inicial de alto valor hace que ci voltaje en los contactos de La casa disminuya, como ci alambrado de Ia casa tiene cierta resistencia, entonces existirá una calda de voltaje en este alambrado cuando se consumen corrientes elevadas.

-

a_

.

I

7

Sobrecarga de un motor. Cuando se utiliza un electrociomesuco corno es una ticuadora, un taladro, o una maquina de coser, puede suceder que ci aparato se sobrecargue, o se atasque, de tal forma que el motor dismmuye su velocidad en forma considerable o se detienen cuando está conectado a la energIa el aparato se puede quemar. Explique por qué sucede esto. I

Los motores están diseñados para operar a cierta velocidad a un voltaje determinado, ci diseflador de los mismos debe considerar la fuerza contraelectromotriz. Si Ia velocidad de rotación disrninuye entonces la fuerza contraelectromotriz no será tan elevada como es de esperarse ( c< a, eduación 29-4) y la corriente aumentará hasta ilegar a un nivel que provocara ci sobrecalentamiento de los devanados del motor, a tal grado que se producirán daños irreparables en ci motor. RESPUESTA

* Contrapar En un generador Ia situación es inversa a Ia de un motor. Corno ya se vio anteriormente, ci giro mecánico de Ia armadura induce una fern en las bobinas del estator, que es Ia salida del generador. Si el generador no se conecta a un circuito externo, la fern estará presente en sus terminales pero no habrá flujo de corriente. En este caso se necesita poco esfuerzo para hacer girar Ia armadura. Pero si ci generador Se conecta a un dispositivo que consume corriente, entonces fluye una corriente en las bobinas de Ia armadura. Como esta bobina que transporta corriente se encuentra en un campo magnético, se ejercerá un par en ella (como sucede en un motor) y este par se opondrá al movimiento (utilice Ia regla de la mano derecha para la fuerza en un alambre, figura 29-11). Este par se denomma confrapar. Cuanto mayor sea Ia carga eléctrica ci contrapar aumentará. Dc aqul que ci par que se aplica externamente tenga que ser mayor para que ci generador continue operando. Esto tiene sentido desde el punto de vista del principio de conservación de Ia energIa. Sc necesita una mayor cantidad de encrgIa rnecánica de entrada para producir más cncrgIa eléctrica de salida. *SECCION 29-5

Fuerza contraelectromotriz y contrapar; corrientes parásitas

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743

/

* Corrienteslarásitas

0 'N

1

B (hacia adentro

Las corrientes inducidas no tienen que estar confinadas en trayectorias bien definidas como sucede en los alambres. Por ejemplo considere la rueda giratoria de metal de la figura 29-17a. Se aplica un campo magnético a un area Jimitada como se iridica en los puntos que están en el papel. La sección de Ia rueda que se encuentra en el campo magnético tiene una fern inducida en ella debido al movimiento del conductor, en consecuencia Ia secciOn transporta electrones. El flujo (convencional) de corriente se dirige hacia arriba en Ia regiOn del campo magnético (figura 29-17b), y la corriente sigue una trayectoria de retorno hacia abajo fuera de esta regiOn. ,Por qué? De acuerdo con Ia ley de Lenz, las corrientes inducidas se oponen al cambio que las genera. Considere la parte de Ia rueda que estO identificada como c en La figura 29-17b, donde el campo magnético es cero, pero está a punto de entrar en Ia region donde B apunta hacia la pagina. Para oponerse a este cambio, Ia corriente inducida fluye en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj para producir un campo que se dirige fuera de la página (regla de Ia mano derecha). En forma similar, Ia regiOn d estO a punto de moverse a e, donde B es cero. De ahI que la corriente fluya en el sentido del giro de las manecillas del reloj para producir un carnpo (que se dirige hacia Ia pagina) que se opone a este cambio. Estas corrientes se denominan corrientes parásitas y se pueden producir en cualquier conductor que se mueve a través de un campo magnético, o en una zona donde varIa el campo magnético. En la figura 29-17, el campo magnético ejerce una fuerza F en las corrientes inducidas que ha generado, y esa fuerza se opone al movimiento de giro. De ahI que las co-

rrientes parásitas se pueden utilizar como un dispositivo de frenado suave en un Producción de corrientes parásitas en una rueda que FIGURA 29-17

gira.

Reparación de un transformador reductor en un poste. FIGURA 29-18

automOvil. Para detener el automOvil se puede encender un electroiman que aplicarO su campo ya sea en las ruedas o en el riel de acero que se mueve en Ia parte inferior de las mismas. Las corrientes parOsitas también se pueden utilizar para amortiguar (reducir) la oscilaciOn de un sistema vibratorio. Sin embargo las corrientes parOsitas pueden ser un problema. Por ejemplo las corrientes parásitas que se inducen en La armadura de un mo-

tor o generador producen calor (P = I) y Ia consiguiente pérdida de energIa. Para reducir las corrientes parásitas las armaduras estan laminadas, es decir, están integradas

por una serie de láminas delgadas de hierro que están aisladas una de otra (véase La figura 29-19 de La siguiente sección). En consecuencia, Ia longitud de La trayectoria total de las corrientes parásitas estará confinada a cada bloque, lo que aumentarO La resistencia total, en consecuencia Ia corriente parásita y las pérdidas por calor serán inferiores.

Transformadores y transmisión de enerqIa El transformador es un dispositivo que aumenta o disminuye un voltaje de ca. Los transformadores se encuentran en cualquier lugar: en los receptores de TV para generar el alto voltaje que necesita el cinescopio, en los reproductores portOtiies de cinta

FIGURA 29-19 Transformador elevador (N = 4, N = 12).

Secundario Prirnario VP

:

.1 IIIiNp

(entrada) .1 Hhlvueltas :

salida)

.111111

Ns

vueltas

VsNs dcIdl

Nücleo de hierro laminado 144

CAPiTULO 29

("WaLkman"), en los postes de alumbrado (figura 29-18) para reducir eL alto voltaje que proviene de Ia companIa eléctrica a un nivel utilizable en los hogares (110 V o 220 V), y en muchas aplicaciones adicionales. Un transformador está formado por dos bobinas de alambre que se denominan devanado primario y secundario. Los dos devanados (o bobinas) pueden estar embobinados uno en el interior del otro (se utiliza alambre aislado); o pueden estar enlazados con un nOcleo de hierro suave (que está Laminado para evitar las perdidas que generan Las corrientes parásitas, sección 29-5), como se indica en Ia figura 29-19. Los transformadores estOn diseñados para que (casi) todo el flujo magnético que produce Ia corriente en el devanado primario pase a través del devanado secundario, de aquI en adelante asumiremos que esto es cierto. También asumiremos que las pérdidas de energIa en la resistencia de las bobinas y la histéresis del hierro son despreciables, lo cual es una buena aproximaciOn para Los transformadores reales, ya que en ocasiones su eficiencia es superior al 99 por ciento. Cuando se aplica un voltaje de ca al primario, el campo magnético variable que produce inducirá un voltaje de La misma frecuencia en el secundario. Sin embargo eL voltaje será diferente de acuerdo a Ia cantidad de vueltas de cada bobina. De La ley de Faraday se tiene que eL voltaje inducido en el secundario es

donde N5 es La cantidad de vueltas en el devanado secundario y dt'/dt es La rapidez con La que cambia el flujo magnético.

lnducciOn electromagnetica y ley de Faraday

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El voltaje de entrada en el primario (Vp) también se relaciona con la rapidez de cambio del flujo magnético

Vp = N

d18 dt

donde N es la cantidad de vueltas en el devanado primario. La anterior se cumpte porque el flujo variable produce una fuerza contraelectromotriz NpdB/dl, en el pri-

mario que balancea exactamente al voltaje aplicado (Vp) si Ia resistencia en el primario es despreciable (leyes de Kirchhoff). Al dividir ambas ecuaciones suponiendo que las pérdidas en el flujo son muy pequenas o inexistentes, se tiene V5

(29-5)

-

Esta ecuación del transformador indica cOma se relaciona el voltaje del secundario (salida) con el voltaje del primario (entrada): V y V en la ecuación 29-5 pueden ser vol-

tajes rcm o voltajes pica. (Los voltajes de CD no funcionan en un transformador

porque no producen cambios en el flujo magnetico.) Si N5 es mayor que N, entonces se tiene un transformador elevador. El voltaje en el secundario es mayor que el voltaje en el primaria. Por ejemplo, si Ia cantidad de vueltas en el devanado secundario es el doble que en el devanado primario, entonces el voltaje en el secundario será dos veces el voltaje en el primario. Si N5 es menor que N, entonces se tiene un transformador reductor. Aunque un voltaje de ca se puede aumentar a disminuir en un transformador, no se puede dar nada par hecho. La conservación de energIa indica que Ia potencia de salida no puede ser mayor que Ia potencia de entrada. La eficiencia de un transformador bien disenado puede ser superior a! 99 por ciento, en consecuencia se pierde poca energla en forma de calor. La potencia de salida es esencialmente igual a Ia potencia de entrada. Coma la potencia es P = VI (ecuación 25-6), se tiene

VPIP = VsIs, 0

(29-6)

Transformador de un radio portátil. Un receptor portátil de radio ut11iza un transformador que reduce el voltaje de 120 V a 9.0 Vca. (El circuita del secundario contiene diodos para cambiar los 9 Vca a cd.) El secundario tiene 30 vueltas y el receptor consume 400 mA. Calcule: (a) Ia cantidad de vueltas en el primario, (b) la corriente en el primario y (c) Ia potencia transformada. SOLUCION

(a) Se trata de un transformador reductor, y de la ecuaciOn 29-5 se tiene

N = N5

V

(30)(120V) = 400 vueltas. = (9.0V)

De Ia ecuación 29-6,

= 's

N5

= (0.40A)400) = 0.030A.

La patencia transformada es

P = l5V = (9.OV)(0.40A) = 3.6W, si se supone que la eficiencia es del 100 par ciento, entonces esta potencia es igual a la patencia del primaria, P = (120 V)(0.030 A) = 3.6W. SECCION 29-6

Transformadores y transmisiOn de energIa

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745

Interruptor

- Interruptor

V cerrado

abierto

(a)

Tiempo

Un transformador funciona solamente con ca. Una corriente de cd en el prirnario no producirá un cambio en el flujo y en consecuencia no inducirá fern en el secundario. Sin embargo, si se aplica un voltaje de cd en el primario a través de uri interruptor, justo en el instante que se cierra o se abre el interruptor se inducirá una corriente en el secundario. For ejemplo si Ia cd se enciende y se apaga como se indica en la figura 29-20a,

el voltaje que se induce en el secundario ser corno se indica en la figura 29-20b.

VSk

Tiempo

(b) El voltaje de cd que Se enciende y se apaga como se indica en (a) genera pulsos de voltaje en el secundario (b). Las escalas de voltaje en (a) y (b) no necesariamente son FIGURA 29-20

Observe que el voltaje en el secundario disminuye hasta cero cuando el voltaje de cd es estable. Esta es bsicamente Ia forma como se produce el alto voltaje en el sistema de encendido de un automOvil, el alto voltaje se crea para producir una chiSpa en el entrehierro de una bujIa para encender Ia mezcla gasolinaaire. El transforrnador se conoce sencillamente como "bobina de encendido" y transforma el voltaje de 12 V de la baterIa (cuando se apaga Ia corriente) a un pico hasta de 25 kV. Alto voltaje en

Ia Imnea de transmisión

iguales.

Planta generadora de energfa FIGURA 29-21

En Ia transmisión de energIa eléctrica desde Ia planta generadora hasta los hogares se utiiizan transformadores en varias etapas.

.LJ

Transformador reductor (subestación)

Transformador

Transformador reductor

L

iILii

12,000 V

240 000V

II

2400 V 240V

Los transformadores juegan un papel importante en Ia transmisión de Ia electricidad. Con frecuencia las plantas generadoras de energIa se localizan a cierta distancia de las areas metropolitanas, en consecuencia la electricidad debe transmitirse a través de grandes distancias (figura 29-21). Siernpre existirá cierta cantidad de energIa que se pierde en las IIneas de transmisión, pero estas pérdidas se pueden rninimizar si Ia energIa se transmite a altos voltajes con la ayuda de transformadores elevadores, como se mdica en el siguiente ejemplo. Lineas de transmisión. La planta generadora de energIa eléctrica envIa una potencia eléctrica promedio de 120 kW a un poblado pequeno que está situado a una distancia de 10 km. Las lIneas de transrnisiOn tienen una resistencia total de 0.40 fl. Calcule Ia pérdida de energIa si esta se transmite a (a) 240 V, (b) 24,000 V.

No se puede utilizar Ia ecuaciOn P = V2/R porque R es Ia resistencia de las lIneas de transmisión, y no se conoce la caIda de voltaje que hay en ellas; los voltajes que se indican se aplican en las lIneas además de la carga (el poblado). Pero en cada caso se puede determinar Ia corriente I que circula en las IIneas, para luego calcular la pérdida de potencia en P = 12R. (a) Si los 120 kW se envIan a 240 V, la corriente total ser SOLUCION

= P

1.2x105W = 500 A. = 2.4 x 102 V

La pérdida de energIa en las lIneas PL es

= 12R = (500A)2(0.40fl) = 100kw. En consecuencia ms de un 80 por ciento de toda La energIa se perderá en forma de calor en la IIneas de transmisión! 746

CAPITULO 29

InducciOn electromagnetica y ley de Faraday

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ib0'

(b) Si Los 120 kW se envIan a 24,000 V, la corriente total ser1

j=

V

2.4x104V

= 5.OA.

Entonces Ia pérdida de energIa en las Imneas será

= JR = (5.OA)2(0.40fl) = lOW, que es mucho menor a por ciento. Se observa que mientras mayor sea el voltaje Ia corriente será menor y en consecuencia se desperdiciará menos energIa en la Ilnea de transmisiOn. For esta razón la energia se transmite normalmente a voltajes muy elevados, tan altos como 7100 kV. La gran ventaja de la ca, y La razón principal por la que su uso es casi universal, es que el voltaje se puede aumentar o disminuir con facilidad con un transformador. El voltaje de salida de una planta generadora de electricidad se eleva antes de enviarse a las Ilneas de transmisión. Después que llega a una ciudad, el voltaje se reduce en etapas en subestaciones eléctricas antes de ser distribuido. El voltaje que circula en las lIneas eléctricas de las ciudades es de 2400 V, y se reduce en transformadores a 240 V o 120 V para su uso doméstico (figuras 29-18 y 29-21).

Un flujo magnético variable produce un campo eléctrico Ya se ha visto en los capItulos anteriores (en especial en el capItulo 25, secciOn 25-8) que cuando una corriente eléctrica fluye en un alambre, se produce un campo eléctrico en el alambre que realiza el trabajo de mover a los electrones. En este capitulo se ha visto que un flujo magnetico variable induce una corriente en el alambre, esto implica Ia existencia de un campo eléctrico en el alambre que es inducido por el flujo magnético variable. En consecuencia se puede liegar a Ia siguiente conclusiOn que es muy importante

un flujo magnético variable induce un canipo eléctrico.

Este resultado se aplica no solamente a los alambres y otros conductores, en realidad es un resultado general que se aplica a cualquier region del espacio. De hecho, se producirá un campo eléctrico en cualquier punto del espacio donde exista un campo magnético variable. Leu de Faraday, forma general Estas ideas se pueden expresar matemáticamente al generalizar Ia relación que existe entre el campo eléctrico y La diferencia de potencial entre dos puntos a y b: Vb = E dl (ecuaciOn 23-3) donde dl es un elemento de desplazamiento a lo largo de Ia trayectoria de integraciOn. La fem que se induce en un circuito es igual a! trabajo que realiza el campo eléctrico por unidad de carga, el cual es igual a Ia integral de E dl alrededor de Ia trayectoria cerrada:

=

dl.

(29-7)

Al combinar esta expresiOn con la ecuación 29-2a se obtiene una forma más elegante de Ia ley de Faraday

51EdI

d8

(29-8)

La cual relaciona un flujo magnético variable con el campo eléctrico que produce. La integral del lado izquierdo se realiza alrededor de una trayectoria que encierra el grea en La que varIa el flujo magnético ct. Esta forma más e!egante de Ia ley de Faraday (ecuaciOn 29-8) es válida no solo en los conductores, sino en cualquier region del espacio. Lo anterior se va a mostrar en el siguiente ejemplo. SECCION 29-7

Un flujo magnético variable produce un campo eléctrico

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747

E producida por B variable. Un campo rnagnético B entre las caras cie un etectroirnán es casi uniforme en cuaiquier instante sobre un area circular de radio r0 como se indica en las figuras 29-22a y b. La corriente en los devanados del electroirnán aurnenta en el tiempo de tal forma que B varIa a una razón constante dB/dt en cada punto. Más allá de Ia region circular (r > r0) se supone que B = 0 todo el tiempo. Determine ci campo eléctrico E en cualquier punto P que está a una distancia r del centro del area circular. SOLUCION El flujo magnético cambiante a través del circulo que tiene radio r (que se muestra con lIneas punteadas en Ia fig. 29-22b) producirá una fern airededor de este cIrculo. Como todos los puntos en el cIrculo de lIneas punteadas son fIsicarnente equivalentes, ci campo eléctrico tarnbién rnostrará esta sirnetrIa y se localizará en ci piano perpendicular a B. En consecuencia se puede esperar que E sea perpendicular a B y que además sea tangente a al cIrcuio de radio r. La direcciOn de E se indica en Ia figura 29-22b y c, ya que de acuerdo a Ia ley de Lenz el campo E que se induce debe ser capaz de prod ucir una corriente que a su vez genere un campo magnético que se opone al carnbio original en B. Por simetrIa, tarnbién se espera que E tenga Ia misma magnitud en todos los puntos del circulo cuyo radio es r. En consecuencia este cIrcuto será Ia trayectoria de integración en Ia ecuación 29-8 (si se ignora ci signo de menos se puede centrar Ia atenciOn en Ia rnagnitud porque ya se tiene La dirección de E de Ia Icy de Lenz). Dc lo anterior se obtiene

S

N

óoo

/'000o G') 0'0 or"

rO

0'0 ®T® 00

®:' 0 ®:

0'

E(2r) = (r2), E

ya que

[r < roI

= BA = B(r2) en cuaiquier instante. Al resolver para r dB E=d

E se obtiene

[r
r0), rnás aliá de ese punto Esta expresiOn es válida hasta en ci borde del cIrculo (r B = 0. Si ahora se considera un punto donde r > r0, ci flujo a través del cIrculo de ra= rrB. Entonces Ia ecuación 29-8 indica dio r será dB [r > ro] E(2irr) = rr

dt

0

r dB

[r>ro]

E=2r

dl En consecuencia la magnitud del campo eléctrico aumenta linealmente desde cero en ci centro del electroimán hasta E = (dB/dt)(r0/2) en ci borde, y entonces disrninuye en forrna inversamente proporcional a Ia distancia en Ia regiOn que se encuentra rnás allá del carnpo magnético. Las lIneas de campo eléctrico son cIrculos como se indica en Ia figura 29-22c. La figura 29-22d muestra una grafica de E versus r. E

*r

r0

r

Ejemplo 29-10. (a) Vista lateral de B constante. (b) Vista superior para determinar el campo eléctrico E en el punto P. (c) LIneas de E que son consecuencia de un aumento en B (que apunta hacia fuera). (d) Gráfica de E versus r. FIGURA 29-22

' qr 'eneran porque los cambios en B no son conservativos

El ejemplo 29-10 rnuestra una diferencia irnportante entre los carnpos eléctricos que son producidos por los campos rnagnéticos variables y los campos eléctricos que son producidos por las cargas eléctricas en reposo (campos electrostaticos). Las Ilneas de campo eléctrico que se producen en ci caso electrostático (capItuios 21 a 24) comienzan y terminan en las cargas eléctricas. Pero las ]Ineas de campo eléctrico que produce un campo magnético variable son continuas, forman lazos o trayectorias cerradas. Esta distinciOn va aOn mas adelante y es muy importante. En ci caso electrostático la diferencia de potencial entre dos puntos está determinada por

= Va

Vb

dl.

Si Ia integral se toma airededor de una trayectoria cerrada, de tal forrna que los puntos a y b sean los mismos, entonces Vab = 0. Dc ahI que Ia integral de E dl en una trayectoria cerrada sea cero: E

dl = 0.

[campo e]ectrostático]

Lo anterior se justifica en el hecho de que Ia fuerza electrostática (ley de Coulomb) es una fuerza conservativa, y en consecuencia se puede definir como una funciOn de Ia 748

CAPITULO 29

inducción eiectromagnética y iey de Faraday

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energia potencial. De hecho la relación anterior, E dl = 0, indica que el trabajo rcalizado por unidad de carga en cualquier trayectoria cerrada es cero (a ci trabajo realizado entre dos puntos cualesquiera es independiente de Ia trayectoria (véase el capItulo 8), que es una propiedad que solamente pertenece a Las fuerzas conservativas. Pero en el caso no electrosttico, cuando el campo eléctrico es producido por un campo magnético variable, Ia integral alrededor de una trayectoria cerrada es distinta de cero, y está determinada por La ecuación 29-8:

oEdl = - dcIB dt En consecuencia liegarnos a Ia conclusiOn de que las fuerzas que son generadas por camP05 magnéticos variables son no conservativas. Sin embargo todavIa no se puede definir una energIa potencial, o funciOn potencial, en cualquier punto del espacio para ei caso no electrostático. Aunque los campos eléctricos estáticos son campos conservativos, el camp0 eléctrico que produce un campo magnético variable es un campo no conservativo.

Aplicaciones de Ia inducción: sistemas de sonido, memorias para computadoras, sismógrafos Existen varias clases de microfonos, Ia mayor parte de ellos funcionan bajo el principio de inducciOn. En cierta forma un micrOfono es lo inverso de una bocina (secciOn 27-6). Una bobina pequena que se conecta a una membrana est suspendida cerca de un imán permanente pequeno, como se muestra en la figura 29-23. La bobina se mueve en el campo magnético cuando las ondas sonoras golpean Ia membrana. La frecuencia de la fern inducida es igual a la frecuencia de las ondas sonoras que golpean Ia membrana, y esta fern es la "senal" que se puede amplificar para enviarla posteriormente a las bocinas, o se puede enviar a un grabador de cinta para su registro en una cinta magnética. En un micrófono de "cinta" una cinta delgada de metal se suspende entre los poios de un imn permanente. La cinta vibra en respuesta a las ondas sonoras y Ia fern que se induce en Ia cinta es proporcional a su velocidad. La grabacion y lectura en cinta magnética se realiza en las cabezas que se encuentran en el interior del reproductor de cinta. La cinta de grabacion que se utiliza en los equipos de grabaciOn de audio y video está formada por una capa delgada de óxido magnético que se deposita en Ia superficie de una cinta de plástico. Durante el proceso de grabaciOn, la señal de voltaje de audio o video se envia a la cabeza de grabacion, que actOa como un electroirnán pequeno (figura 29-24) que magnetiza Ia sección estrecha de cinta que pasa sobre el entrehierro angosto de Ia cabeza en cada instante. Durante Ia grabaciOn, el magnetismo variable de Ia cinta magnética mOvil en el entrehierro produce cambios correspondientes en el campo magnético en el interior de Ia cabeza de hierro suave, lo que a su vez induce una fern en la bobina (ley de Faraday). La fern inducida es la sefal de salida que se puede amplificar y enviar a una bocina (o en el caso de una señal de video al tubo de imagen). En los equipos de grabacion de audio y video las seflales pueden ser analógicas (si su amplitud varia continuamente en el tiernpo). La variaciOn en el grado de magnetizacion de la cinta en cualquier punto refleja Ia variaciOn en amplitud de la señal de audio o video. La informaciOn digital, como la que se utiliza en los discos (duros y flexibles) para computadora o en Ia cinta magnética para computadoras y cierta clase de grabadoras digitales, se lee y escribe con Ia ayuda de cabezas que son básicarnente iguales a las que se describieron anteriormente (figura 29-24). La diferencia esencial se encuentra en las senales, que no son anaiOgicas sino digitales, y en especial pertenecen al tipo binario, lo que significa que solamente hay dos valores posibles para cada uno de los espacios predeterminados que se presentan en una cantidad extremadarnente elevada en los discos o cinta. Los dos valores posibles se denominan 1 y 0. El voltaje de Ia seflal no varfa en forma continua, en vez de eso adquiere solamente dos valores, digarnos +5 volts y 0 volts, que corresponden al 1 y al 0 respectivamente. En consecuencia Ia información se transporta en series de "bits", cada uno de los cuales puede tener solamente uno de dos valores, 1 a 0. En otro campo, Ia geofisica, existe un dispositivo importante cuya operación se basa en Ia inducciOn electrornagnetica, el sismografo. Este equipo se instala en contacto directo con Ia superficie de Ia Tierra y convierte el movimiento de Ia Tierra que se produce debido a un sisrno o a una explosion (estas se producen cuando se buscan minerales a se realizan pruebas de explosivos) a una señal eléctrica. Un sismógrafo contiene un imán y una bobina de alarnbre, uno de estos elementos se fija rigidarnente a La cubierta *SEccION 29-8

Bobina pequefia

Membrana

/ de alambre

/

,'\I'

s(

mnJ

}

/ Al grabador de cinta a amplificador FIGURA 29-23 Diagrarna de un rnicrOfono que opera par inducciOn.

FIGURA 29-24 Cabeza de grabaciOn y reproducción de un reproductor de cinta o una unidad de disco. Durante Ia grabaciOn (o escritura) Ia senal deetrica de entrada de La cabeza (que actüa coma un electroirnán) magnetiza Ia cinta a el disco. En Ia reproducciOn (o lectura) el campo magnetico variable que proviene de Ia cinta a el disco induce un campo magnético variable en Ia cabeza, Ia que a su vez induce utia fern en Ia bobina que corresponde a Ia señal de salida. Senal eléctrica de entrada (o salida)

Cabeza de

-

Bobina

lectura a /

grabaciOn

(entrehicrrC

Linta a disco magnético en rnovirniento

Aplicaciones de Ia inducciOn: sistemas de sonido, memorias para computadoras,...

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que se mueve conforme se desplaza Ia Tierra. El otro elemerito es inercial y está suspendido de Ia cubierta con un resorte. En el instrumento que se muestra en Ia figura 29-25 la bobina se mueve con Ia Tierra y el movimiento relativo del imán y La bobina produce una fern inducida en Ia bobina, que es Ia salida del dispositivo. En la mayor parte de los sismografos La bobina es el elemento inercial y el irnán se mueve con la Tierra.

(a) Un sisrnografo. (b)Indicación de un sismOgrafo (sismo en Northridge, California; 17 de enero de 1994). FIGURA 29-25

Bobina

Resortes de suspensiOn

-

- -Imán

permanente

(b)

(a)

Resumen El flujo magnético que circula a través de una bobina es igual al producto del area de Ia bobina por la componente perpendicular del campo magnético (uniforme): = B1 A = BA cos 0. Si B no es uniforme entonces

JB.dA.

=

Si el campo magnético a través de una bobina de alambre

varfa con respecto al tiempo, entonces se inducirá una fern en Ia bobina. La magnitud de Ia fern inducida es igual a Ia rapidez de cambio del flujo magnético que pasa a través de Ia bobina por la cantidad de vueltas de Ia bobina N:

= N d18 dt

Un generador eléctrico convierte Ia energIa rnecánica en energIa eléctrica. Su funcionamiento se basa en La ley de Faraday: una bobina de alambre se hace girar de manera uniforme por medios mecánicos en un campo magnetico, y el

flujo cambiante a través de Ia bobina induce una corriente senoidal, que es Ia salida del generador. Un motor, que funciona en forma inversa a! generador, actéa como un generador ya que Ia fuerza contraeleclromotriz se induce en su bobina giratoria; como esta fuerza contraelectrornotriz se opone al voltaje de entrada, puede actuar para limitar Ia corriente en Ia bobina del motor. En forma similar, un generador actOa como un motor en lo que respecta a! contrapar que actüa en su bobina giratoria. El transformador es un dispositivo que cambia Ia magnitud

Es decir La ley de inducción de Faraday.

La fern inducida, y Ia corriente que produce, tienen una dirección que se opone a! carnbio en el flujo que La provoca (ley de Lenz). También, a partir de Ia ley de Faraday, se observa que un alambre delgado cuya longitud es / y se mueve a una vetocidad v en forma perpendicular a un campo magnético cuya fuerza es B tiene una fern inducida entre sus extrernos igual a:

= Blv.

de un voltaje de ca. Está integrado por un devanado primario y secundario. El flujo cambiante que produce el voltaje de ca en el primario induce un voltaje de ca en eI secundario. En un transformador que tiene una eficiencia del 100 por ciento, La razón entre los voltajes de salida y entrada (V5/V) es igual a La razOn de la cantidad de vueltas N en el secundario y la cantidad de vueltas en el prirnario N: V

La ley de Faraday también indica que un campo magnetico variable produce tin campo eléctrico. La relación maternática es

5EdI

d

N

V-N

La razOn entre la corriente del secundario y el prirnario es inversa a Ia relación de vueltas:

y es la forma general de Ia ley de Faraday. La integral de Ia izquierda se toma en el lazo (o bobina) donde varIa el camP0 rnagnético

Preci u ntas (,CuáI serO la ventaja que presenta el uso de bobinas con muchas vueltas en los experimentos de Faraday? Suponga que usted detiene una bobina circular de alambre y en forma repentina se impulsa un imOn (primero el polo sur) hacia el centro de Ia bobina. i,Se induce una corriente en el alambre? LSe induce una corriente cuando el imOn se mantiene estable en el interior de Ia bobina? LSe induce una corriente cuando se retira el imán? Si su respuesta es afirmativa en cada caso indique Ia direcciOn.

150

CAPiTULO 29

Suponga que observa a lo largo de una IInea que se encuentra entre los centros de dos bobinas circulares (pero separadas) de alambre, una está detrás de Ia otra. De repente se conecta una baterIa en la bobina frontal, estableciendo asI una corriente en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj. (a) LSe inducirO una corriente en Ia segunda bobina? (b) En caso afirmativo. LCuándo inicia esta corriente? (c) cCuándo se detiene? (d) LQué direcciOn tiene? (e) LExiste una fuerza entre las dos bobinas? (f) En caso afirmativo, Len qué dirección?

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Suponga que se desconecta La baterIa en Ia pregunta 3. ,Se inducirá una corriente en Ia segunda bobina? De ser asi, ,cuándo inicia y cuándo se detiene? ,Qué dirección tiene esta corriente? Dos bobinas de alambre se mueven en los airededores de un alambre recto de gran longitud que transporta una corriente estable como se indica en La figura 29-26. Calcule La dirección de Ia corriente inducida en cada bobina.

coy tI

* 14. ,Un freno que opera a base de corrientes parásitas (figura

29-17) trabajará en una rueda de cobre o aluniinio, o esta solamente tiene que ser ferromagnética? * [5. Se ha sugerido que las corrientes parOsitas se utilicen para ayudar a clasificar los desechos sólidos con fines de reciclado. Primero los desechos se clasifican en piezas pequenas y luego se separan los desechos de hierro con Ia ayuda de un imán de cd. Entonces los desechos se hacen pasar por una rampa y se dirigen a irnanes permanentes. tCOmo ayudará esto en La separaciOn de metales no ferrosos (Al, Cu, Pb, bronce)? * 16. La barra de metal de Ia figura 29-27 que tiene un pivote en un extremo y aberturas en el otro cae con mayor rapidez a través de un carnpo magnético que una barra sOlida. Explique.


Existirá una fuerza entre las dos bobinas de Ia pregunta 5? Si La respuesta es afirmativa, cuál será su direcciOn? ,En qué dirección fluirá Ia corriente en Ia figura 29-9 si Ia barra se mueve hacia La izquierda, lo que hace que ci area de Ia bobina disminuya a Ia izquierda? Algunos quemadores de estufas modernas operan gracias a Ia inducción. Es decir, una corriente de ca pasa a través de una bobina que es ci "quemador", uno que nunca se calienta. Explique por qué razón el quernador calentará una charola de metal no asI un contenedor de vidrio. Una region donde no se desea campo magnético estO rodeada por una hoja de metal que tiene baja resistividad. (a) La hoja blindará ci interior de un campo magnético que varIa rOpidamente en el exterior? Explique. (b) ,Actuará como un blindaje ante el campo magnético estático? (c) ,Qué sucederá si Ia hoja está hecha de material superconductor (resistividad = 0)? Demuestre utilizando Ia ley de Lenz que Ia fem que se induce en Ia varilla mOvil de Ia figura 29-9 es positiva en la parte inferior y negativa en La parte superior, de tal forma que Ia corriente fluye en ci sentido del giro de las manecillas del reloj en Ia bobina del circuito de Ia izquierda. CuM será Ia ventaja que se obtiene al colocar dos alambres conductores y aislados que transportan ca cerca uno del otro, o qué sucede cuando se trenzan? Explique exactarnente porqué las luces pueden disminuir brevemente cuando arranca el motor de un refrigerador. Cuando se conecta un calentador eléctrico las luces pueden disminuir su intensidad y permanecer asI todo el tiempo que esté conectado el calentador. * 13. Utilice Ia figura 29-11 y Ia regla de Ia mano derecha para demostrar porqué el contrapar en un generador se opone al movimiento.

x

x

FIGURA 29-27

Pregunta 16.

Una hoja de aLurninio se mantiene entre Los polos de un imán en forma de barra de grandes dimensiones, se requiere cierta fuerza para retirar La hoja del campo magnético aun cuando esta no sea ferromagnética y no toque los polos. Explique. Una barra de metal tiene un pivote en su extrerno superior y oscila libremente en ausencia de campo magnético; pero cuando existe un campo magnético Las oscilaciones se arnortiguan con facilidad. Explique. (Este amortiguamiento magnético se utiliza en una gran cantidad de dispositivos prácticos.)

Un transformador blindado tiene cuatro terminales que salen de su cubierta. LCOmo podria determinar la relaciOn de vueltas de ambos devanados sin tener que desarmar ci transformador? COmo podrIa saber qué alambres corresponden a cada devanado? Un transforrnador que está disenado para una entrada de 120 Vca se quernarO si se conecta a una fuente de 120 Vcd. Explique. [Sugerencia: normalmente La resistencia del devanado primario es muy pequena.] Ya que un rnicrOfono rnagnético es muy similar a una bocina, se podrá utilizar una bocina (secciOn 27-6) como rnicrOfono?

Es decir, ,podrIa hablar en una bocina y obtener una senal de salida que se pueda amplificar? Explique. Cornente de acuerdo a su respuesta, en qué difiere La construcciOn de un micrOfono de Ia de una bocina?

Problemas (I) El flujo magnético a través de una bobina de alambre que contiene dos vueltas varIa uniformemente desde -80 Wb hasta +58 Wb en 0.72 s. LCuál es Ia fern que se induce en La bobina? (1) Una bobina circular cuyo diámetro es 26 cm descansa en un piano perpendicular a un campo magnético de 0.90 T. Si Ia bobina se quita del campo después de 0.15 s, ,cuá1 es Ia fern inducida promedio? (I) La bobina rectangular que se muestra en La figura 29-28 se

empuja hacia un campo magnético que apunta hacia adentro como se indica. tCuál es la dirección de Ia corriente inducida? Explique.

x x

.x

"x xxxx FIGURA 29-28 Problema 3.

R


(I) El polo norte del imán de la figura 29-29 se inserta en una bobina. ,En que direcciOn fluye La corriente inducida en eI resistor R? Explique.

Problemas

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751

(I) Una bobina de aiarnbre cuyo diámetro es 7.2 cm se orienta en un principio en forma perpendicular a un campo magnético de 1.3 T. La bobina se gira para que su piano sea paralelo a Ia dirección del campo en 0.20 s. Cuál es Ia fern promedio que se induce en La bobina?

Una bobina de alambre cuyo diárnetro es 9.2 cm se orienta para que su piano sea perpendicular a un carnpo magnético de 0.63 T que apunta hacia arriba. Durante 0.15 s ei cambio varIa a 0.25 T y apunta hacia abajo. LCul es Ia fern promedio que se induce en La bobina? Cuál será Ia dirección de Ia corriente inducida en Ia bobi-

na circular debido a la corriente que se rnuestra en cada parte de Ia figura 29-30? Explique. I disminuye

I aurnenta (a)

0

(b)

I constante

(II) Una vuelta circular y eIstica en ci piano del papel permanece en un campo rnagnético de 0.75 T que apunta hacia el papel. Si ci diámetro de Ia bobina cambia de 20.0 cm a 6.0 cm en 0.5 s, (a) cuál es Ia direcciOn de Ia corriente inducida? (b) ,Cuál es Ia magnitud de la fern inducida promedio? (c) Si La resistencia de Ia bobina es 2.5 1, ,cuáI será la corriente inducida promedio durante 0.50 s? (II) Una vuelta de alambre cuyos lados rniden 15 cm se hace girar de rnanera uniforme airededor de un eje que está en su centro y es paraieio a dos lados. La bobina gira 360° en un campo magnético B que es perpendicular a su eje en 45 rns. Si Ia fern inducida es 70 mV, ,cuái es ci valor prornedio de B? (II) Una vuelta circular de alambre cuyo diárnetro es 20 crn tiene una resistencia de 150 fl. En un principio se encuentra en un campo magnético de 0.40 T, cuyo piano es perpendicular a B, pero Ia bobina se quita del carnpo después de 100 rns. Calcule La energIa eléctrica que se disipa en este proceso. (II) Una sola vuelta rectangular de alambre cuyas dimensiones se muestran en Ia figura 29-33 se coloca de tal forma que una parte de elia se encuentra en ci interior de una region donde ci campo magnetico es uniforme y es 0.450 T, pero otra parte de Ia misma bobina se encuentra fuera de este campo. La resistencia total de Ia bobina es 0.230 fi. Caicuie La fuerza que se requiere para sacar a La bobina del campo (a Ia derecha) a una veiocidad constante de 3.40 rn/s. La gravedad es despreciabie.

I aurnenta

x x

(d)

(c)

FIGURA 29-30

xx

0.350m X

Problerna 7.

(II) (a) Si La resistencia del resistor de Ia figura 29-31 aumenta lentamente, cul ser Ia dirección de Ia corriente inducida en Ia bobina circular pequena que está en ei interior de Ia bobina grande? (b) CuáI será si La bobina pequena se coloca fuera y a Ia izquierda de Ia bobina grande? Explique.

F

x x

1

x F

0.750rn

FIGURA 29-33

FIGURA 29-3 1

Problema 8. (II) Si el solenoide de La figura 29-32 se saca de Ia bobina corno se indica, qué direcciOn tendrá Ia corriente que se induce en Ia bobina? Explique.

FIGURA 29-32

Problerna 9.

(II) El campo magnético perpendicular a una bobina circular de alambre que tiene 20 cm de dirnetro cambia de 0.52 T a -0.45 T en 180 rns, donde ei signo + significa que ci campo apunta hacia fuera de un observador, y el signo - significa que el campo apunta hacia ci observador. (a) Caicule Ia fern inducida. (b) ,En qué dirección fluirá Ia corriente inducida? 152

CAPITULO 29

Problema 14.

(II) El campo magnético perpendicular a una sola vuelta circular de alambre de cobre cuyo diárnetro es 15.6 cm disminuye de rnanera uniforme de 0.550 T hasta 0. Si ci diárnetro del alambre es 2.05 mm, cuánta carga se mueve a través de Ia bobina durante esta operaciOn? (II) El flujo magnético a través de cada vuelta de una bobina que tiene 60 vueltas está deterrninado por (8.81 - 0.5it) x 102Tm2, donde ci tiempot está en segundos. (a) Determine fern °4 en función dci tiempo. (b) LCuáI es ci valor de °4 en t = lOs y i = SOs? (II) Una bobina cuyo diOrnetro es 35.0 cm está formada por 20 vueltas de aiarnbre circular de cobre cuyo diárnetro es 2.0 mm.

Un carnpo magnético uniforme perpendicular ai piano de Ia bobina varla a una rapidez de 3.20 x 103T/s. Determine (a)

Ia corriente en La bobina, y (b) Ia rapidez a Ia que se produce Ia energia térmica. (II) Una sola vuelta circular de alambre se coloca en ci interior de un solenoide largo cuyo piano es perpendicular at eje del solenoide. El area de Ia vueita es A1 y ci area del solenoide es A2,

ci solenoide tiene n vueltas por unidad de iongitud. Una corriente I = I cos wt fluye por Las vueltas del solenoide. LCual es Ia fern que se induce en Ia vuelta circular pequena?

(II) El area de una vuetta circular y elástica disrninuye a una rapidez constante, dA/dt = -3.50 >< 10 rn2/s. La vuelta está en un campo magnético B = 0.48 T cuya direcciOn es perpendicular al piano de La vuelta. En z = 0, Ia vueIta tiene un Orea A = 0.285 rn2. Determine La fern inducida en t = 0 yt = 2.00 s.

Inducción electromagnética y ley de Faraday

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Suponga que el radio de La vuelta elástica del probLema 19

aumenta a una rapidez constante dr/dt = 7.00 cm/s. Determine Ia fem inducida en Ia vuelta en t = 0 y I = 1.00 s. Determine el flujo magnético a través de una vuelta cuadrada cuyo lado es a (figura 29-34) si un lado de La vuelta es paralelo a un alambre recto que transporta una corriente I. La distancia entre La vuelta y el alambre es a.

(III) Una secciOn pequena de alambre, de longitud a, se mueve a una velocidad v en forrna paralela a un alambre de gran longitud que transporta una corriente I como se indica en Ia figura 29-36. El extremo cercano del alambre pequeno estO a una distancia b del alambre Largo. Suponiendo que el alambre vertical es muy Largo si se compara con a + b, determine Ia fern entre los extremos del alambre pequeno. Suponga que v (a) tiene Ia misma dirección que 1, (b) tiene dirección contraria a I.

a

It r

dr

a

b

FIGURA 29-34

Problema 21.

La barra mOvil de La figura 29-9 tiene una longitud de 19.0 cm y se mueve a una velocidad de 25.0 cm/s. Si el campo magnético es 0.750 T, calcule La fern que se genera. En Ia figura 29-9, Ia barra se mueve a una velocidad de 1.8 m/s, tiene una longitud de 24.0 cm y su resistencia es 2.2 fi. El campo magnético es 0.35 T y Ia resistencia del conductor que tiene forma de U es 26.0 LI en un instante determinado. Calcule: (a) La fem inducida; (b) Ia corniente que fluye en el conductor que tiene forma de U; (c) La fuerza externa que se necesita para mantener constante Ia velocidad de Ia barra en ese instante. (II) Si el conductor de Ia figura 29-9 que tiene forma de U tiene una resistividad p, en tanto que La resistividad de Ia barra móvil es despreciable, obtenga La formula para la corniente I en función del tiempo. Suponga que La longitud de La barra es 1, comienza en Ia parte inferior de U en I = 0, y se mueve a una

velocidad uniforme v en el campo magnético B. La secciOn

transversal de Ia barra y de todas las parteS de U es A. (II) Una barra conductora descansa sobre dos rides paralelos sin fricciOn que a su vez estan en un campo magnético B que es I a los rieles y La barra, como se indica en La figura 29-35. (a) Si los rides son horizontales y se le da un empuje inicial a Ia barra, la barra viajarO a velocidad constante aun cuando esté presente un campo magnético? (b) Suponga que en t = 0 cuando La

barra tiene una velocidad v = v0 los dos rieles se conectan eléctricamente con un alambre del punto a al punto b. Supo-

niendo que La barra tiene una resistencia R y La resistencia de los rieles es despreciable, determine Ia velocidad de La harra en funciOn del tiempo. Analice su respuesta.

a

(.)

b

® & 0-

B

(Q

V


(I) El generador de un carro cuyo motor gira a 950 rpm produce 12.4 ft ,CuOl serO Ia salida si La velocidad de giro es 2400 rpm, suponiendo que lo demás permanece constante?

Demuestre que Ia salida rcm de un generador de ca es

Vrcm = NABw/\/.

Un generador sencillo tienen una bobina cuadrada de 420 vueltas y el Lado de las vueltas rnide 21.0 cm. ,A qué rapidez debe girar en un campo de 0.350 T para producir una saLida pico de 120 V? (IL) La bobina de una arrnadura circular que tiene un diOmetro

de 10.0 cm y 350 vueltas gira 60 revoluciones/segundo en un

campo magnético uniforme de 0.45 T. ,CuáL serO el voltaje rcm de salida del generador? ,COmo se debe modificar La frecuencia de giro para duplicar Ia salida de voltaje rem?

La armadura de un motor tiene una resistencia de 3.75 LI. Si el motor consume 9.20 A cuando opera a velocidad mOxima y se conecta a una IInea de 120 V, cuáL es el valor de La fuerza contraelectromotniz? (1) La fuerza contraelectromotniz en un motor es 72 V cuando este opera a 1800 rpm. ,CuOl será La fuerza contraeLectnomotniz a 2500 rpm si el campo magnético no cambia?

C:)

0

®®GO S®


(LII) Suponga que una barra conductora (de masa m y resistencia R) descansa sobre dos rides paralelos sin fricción y resistencia que están separados por una distancia I de un campo magnético uniforme B que es I a los nieles y La barra, como se indica en Ia figura 29-35. En I = 0, Ia barra está en reposo y se conecta una fuente de fern en Los puntos a y b. Determine la velocidad de La barra en funciOn del tiempo (a) si Ia fuente genera una corriente constante I, (b) si La fuente proporciona una 10 constante. (c) jLa barra alcanza una velocidad terminal en cuaLquier caso? En caso afirmativo, ,cuOL es?

La fuerza contraelectromotriz en un motor es 100 V cuando el motor opera a 1000 rpm. COmo debe cambiar eL campo magnético del motor si se desea reducir Ia fuerza contraelectnomotriz a 75 V cuando el motor opera a 2500 rpm? (II) LCuOL serO La corniente en el motor del ejemplo 29-6 si La carga hace que el motor funcione a La mitad de su velocidad? (II) Un generadon de cd está especificado a 10 kW, 200 V y 50 A cuando gira a 1000 rpm. La resistencia del devanado de La anmadura es 0.40 LI. (a) CalcuLe el voltaje "sin carga" a 1000 rpm (cuando no hay un circuito conectado a Ia salida del generador).

(b) Calcule el voltaje a carga completa (par ejempLo a 50 A) cuando el generador opera a 800 rpm. Suponga que La magnitud del campo magnético permanece constante.

Problemas

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753

Determine ci campo eiéctrico en ia barra mOvii dcl probie-

(I) Un transformador está disenado para cambiar 120 V a 8500 V, y tiene 500 vueltas en ci primario. Cuántas vueltas debe tener en ci secundario suponiendo que La eficiencia es del 100 por cicnto? (I) Un transformador tiene 720 vueitas en el primario y 120 vuei-

ma 22. En La figura 29-22c, dibuje dos cIrcuios pequcfios e idénticos,

Suponiendo que La eficiencia es del 100 por ciento, ,en qué factor modifica ei voitaje? tEn qué factor modifica La corriente? (I) Un transformador elevador aumenta de 22 V a 120 V. Cuál es Ia corriente en ei secundario si se compara con Ia corriente en ci primario? Suponga que La eficiencia es del 100 por ciento. Las luces de neon requicren un voltaje de 12 kV para fun-

troncs y proporcionar aita energia, cstá formado por un tubo

tas en el secundario. De qué clase de translormador se trata?

cionar. Para operar con una ilnea de 220 V. ,Cuái debe ser La relación de vueltas entre el secundario y ei primario del transformador? Cuái será el voitaje de salida Si el transformador se conecta al revés? (ii) El transformador de un tren a escala se conecta a 120 Vca, y consume 0.65 A cuando suministra una corriente de 15 A al tren. (a) ,Cuái es ci voitaje en Los rides? (b) ,Se trata de un transformador eLevador o reductor de voltaje? ci voitaje de salida de un transformador de 100 W es 12 V y La corriente de entrada es 26 A. (a) ,Se trata de un transformador eLevador o reductor? (b) ,En qué factor sc multiplica ci

coioque uno cerca dcl centro de ia region dci carnpo magnético y ci otro ccrca dci borde (sin ir mOs aiiO dcl borde). Dcmuestrc quc Ia fern airededor dc cada cIrculo es La misma, aun cuando E sea mayor en Ia regiOn del cfrcuio exterior. (II) Ei betatrón es un dispositivo quc se utiliza para acelerar cieccircular al quc sc Ic practicO vacIo, ci cuai sc coloca en un campo magnético (figura 29-37), iuego se inyectan electrones en el tubo. El cicctroimán produce un campo que (1) mantienc a los eiectro-

nes en su Orbita circular en ci interior dci tubo, (2) aumenta ia velocidad de ios electrones cuando cambia B. (a) Expiiquc cOmo se aceleran Los ciectroncs (véase La figura 29-37). (b) LEn qué direcciOn se muevcn los electroncs en ia figura 29-37 (indiquc La direcciOn como si estuvicra viendo dcsdc arriba)? (c) tB debc aumcntar o disminuir para aceicrar a Los ciectrones? (d) EL campo magnético cs en realidad de 60 Hz, ca. Demuestrc quc ios dcctrones se pueden acelerar soiamentc durante de ciclo ( s).

(Durantc este tiempo hacen cientos de miles de revoiuciones y adquieren una encrgIa muy elevada.)

voltaje?

(II) Un transformador tiene 330 vueitas en ci primario y 1510 vueitas en el sccundario. El voltaje de entrada es 120 V y Ia corriente de salida es 15.0 A. iCuál es ci voitaje de salida y Ia corriente de entrada suponiendo que Ia eficiencia es dcl 100 por

J

B

f t

t

ciento?

/

(II) Si Ia potencia que ilega a un pobiado es 30 MW a 45 kV (rcm) y proviene de un generador a través de lIneas de transmisión de 3.0 fl, caicuie (a) La fern en ci punto donde se conecta ci generador a las lIneas de transmisión, (b) Ia fracciOn de la potencia gencrada quc se pierde en las ilneas de transmisión. (III) Si se van a transmitir 65 kW en dos iIneas de transmisión de 0.100 fi, calcule cuánta potencia se ahorra si el voitaje se dcva de 120 V a 1200 V y luego se reduce, en iugar de transmitir

a 120 V. Suponga que Ia eficiencia de los transformadores es dci 99 por ciento. (III) Discñe una iInea de transmisión de cd que pueda transmitir 300 MW de eiectricidad a 200 km con tan sóio un pérdida dci 2 por ciento. Los alambres tienen quc ser de aiuminio y ci voltaje es 600 kV.

Tubo en el que viajan los eiectrones

FIGURA

29-37

Probiemas 49 y 50.

(III) Demuestre que en ci betatrOn los cLcctrones (probLema 49

y figura 29-37) se aceleran en un radio constante si ci campo

magnético B0 en La posiciOn de La Orbita dc ios ciectrones en ci tubo es iguai a La mitad del valor promcdio dci campo magndtico (Bpron) sobre ci area de La órbita circular en cada momento:

Bv. (Por esta razón ias caras dci polo tienen una forma extrafia, como se indica en Ia figura 29-37.) (III) Encuentre una formula para ci campo eléctrico neto en La barra mOvil dci probiema 26 en funciOn dcl ticmpo para cada caso, (a) y (b). B0

Problemas ceneraIes Suponga quc está viendo los dos lazos de corriente en ci piano de Ia página como se indica en Ia figura 29-38. Cuando se cierra ci interruptor que está en Ia bobina dci lado izquierdo, (a) Lcuái cs ia dirccciOn de Ia corriente inducida en ci otro lazo? (b) Cuái es Ia situaciOn después dc un tiempo considerable? (c) Cuái es ia direcciOn de ia corriente inducida en ci segundo lazo si este sc jaia rápidamentc en forma horizontal a ia derecha?

Un gcnerador sencillo sc utiiiza para gencrar un voitaje pico de salida dc 24.0 V. La armadura cuadrada está formada por devanados cuyos Lados miden 7.0 cm y gira en un campo de 0.420 T con una rapidez de 60 rev/s. LCuOntas vucitas de aiambrc se deben embobinar en La armadura cuadrada? Una bobina cuadrada cuyos lados miden 24.0 cm tiene una rcsistencia de 6.50 fl. En un principio se cncuentra en un campo magnético de 0.755 T, quc es perpendicular aL piano de B, luego

Ia bobina se quita dcl campo dcspués de 40.0 ms. Caicule Ia

FIGURA

754

CAPITULO 29

29-38 Probiema 52.

energIa cléctrica que se disipa en cstc proceso. Dos rides conductores cuya resistencia es despreciabic estOn separados por una distancia de 30 cm, descansan en una pendiente de 50 Los rides están unidos en Ia parte inferior con un resistor dc 0.60 fl, y en La parte superior estOn unidos por una barra dc cobre (cuya masa cs 0.040 kg) quc descansa atravesada en ios rieies. Todo ci aparato se sumerge en un campo vertical dc 0.55T. LCuál es La vciocidad terminal (estable) de ia barra conforme esta se desiiza sin fricciOn hacia abajo sobre los rieles?

Inducción electromagnética y ley de Faraday

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Un par de Imneas de transmisiOn tienen una resistencia de 0.80 fi y transportan 700 A a una distancia de 9.0 km. Si el voltaje rcm de entrada es 42 kV, calcule (a) el voltaje en el otro extremo de las lIneas, (b) Ia potencia de entrada, (c) Ia pérdida de potencia en las lIneas, (d) Ia potencia de salida. Una planta generadora produce potencia a 24 kV, la planta se localiza a 24 km de distancia de un poblado que requiere 50 MW de energia a 12 kV. Las Ilneas de transmisiOn que van de la plan-

ta al poblado tienen una resistencia total de 0.10 fl/km. Cuál debe ser el voltaje de salida del transformador de La planta generadora para obtener una eficiencia global en la transmisión de energia del 98.5 por ciento, suponiendo que el transformadot es perfecto? Una bobina que tiene 150 vueltas, 5.2 cm de radio y una resistencia de 11.0 fi rodea a un solenoide que tiene 200 vueltas/cm y 4.5 cm de radio. La corriente en el solenoide varla a una ra-

zOn constante de 0 a 2.0 A en 0.10 s. Caicule la magnitud y dirección de Ia corriente que se induce en la bobina. Un anillo que tiene 3.0 cm de radio y resistencia de 0.025 fi se hace girar alrededor de un eje a través de su diámetro en 90° debido a Ia acciOn de un campo magnético de 0.15 T que es perpendicular a ese eje. 1,Cuál será la mayor cantidad de electrones que fluirán desde un punto fijo en el anillo cuando se termine este proceso? Calcule el voltaje pico de salida de un generador sencillo que tiene unã armadura con bobina.s cuadradas, sus lados nuden 6.60 cm, la armadura contiene 125 vueltas y gira en un campo de 0.200 T a razón de 120 rev/s.

Un carro eléctrico y pequeno supera una fuerza de fricción de 250 N cuando viaja a 30 km/h. El motor eléctrico es alimentado por diez baterIas de 12.0 V que se conectan en serie, y está acoplado directamente a las ruedas cuyo diámetro es 50 cm. La armadura está integrada por 300 vueltas que tienen forma rectangular (10 cm x 15 cm) y gira en un campo magnético de 0.60 T. (a) ,Cuánta corriente consume el motor para producir el par necesario? (b) tCuál es Ia fuerza contraelectromotriz? (,Cuánta potencia se disipa en las bobinas de La armadura? LQué porcentaje de Ia potencia de entrada se utiliza para operar el carro? La bobina de bñsqueda que se utiliza para medir B (también conocida como bobin.a exploradora) es una bobina pequena que tiene N vueltas, cada una tiene una sección transversal A. Esta se conecta a un galvanómetro balIstico, que es un dispositivo que se utiliza para medir Ia carga total Q que pasa a través de ci en un tiempo breve. La bobina exploradora se coloca en el campo magnético que se va a medir, el frente de Ia bobina debe ser perpendicular al campo. Luego Ia bobina se gira 180°. Demuestre que Ia carga total Q que fluye en Ia corriente inducida durante este tiempo breve de exploración es proporcional al campo magnético B. En especial demuestre que B está determinado pot B

QR

= 2NA

donde R es Ia resistencia total del circuito, incluyendo la resistencia de la bobina y la resistencia del galvanOmetro balIstico que mide Ia carga Q. Los devanados primarios de un transformador que tiene una eficiencia del 80 por ciento se conectan a 110 Vca. Los devanados secundarios se conectan a través de una lámpara incandescente de 2.4 fi, 75W. (a) Calcule la corriente que circula en el devanado primario del transformador. (b) Calcule Ia relaciOn en el nOmero de vueltas del devanado primario y el devanado secundario del transformador.

,Cuál será la energIa que se disipa en función del tiempo en

una bobina circular que tiene 10 vueltas de alambre, 10.0 cm de radio y su resistencia es 2.0 fi, si el piano de La bobina es perpendicular al campo magnético, el cual está determinado por

B(t) = Boe1h

con B0 = 0.50T y T = 0.lOs? Una barra delgada de metal cuya longitud es L gira a una velocidad angular w airededor de un eje en uno de sus extremos. El eje de giro es perpendicular a Ia barra y es paralelo a un campo magnético uniforme B. Determine Ia fem que se produce entre los extremos de Ia barra. Las Lámparas de escritorio de alta intensidad están especificadas a 40 fi, pero requieren 12 V. Estas lámparas contienen un transformador que convierte el voltaje residencial de 120 V. (a) ,El transformador que se utiliza es reductor o elevador? (b) CuáL es Ia corriente en el devanado secundario cuando se enciende La lámpara? (c) £,Cuál es Ia corriente en el primario? (d) ,CuáI es La resistencia de La lámpara cuando esté encendida? Demuestre que la pérdida de potencia en las lIneas de transmisiOn L está determinada por L = (PT)2 RL/V2, donde T es la potencia que se transmite al usuario, V es el voltaje entregado y RL es Ia resistencia de las LIneas de energla. El campo magnético de un motor de cd del tipo "devanado en derivación" es producido por las bobmas de campo que se conectan en paralelo con las bobinas de Ia armadura. Suponga que Ia resistencia de las bobinas de campo es 36.0 fi y de Las bobinas de La armadura es 3.00 fi. La fuerza contraelectromotriz a velocidad maxima es 105 V cuando el motor se conecta a 115 Vcd. (a) Dibuje ci circuito equivalente para Ia situación que surge cuando el motor acaba de arrancar y cuando opera a velocidad maxima. (,Cuál es Ia corriente total que consume el motor al inicio?,

,Ciiál es Ia corriente total que consume el motor cuando

opera a velocidad maxima? Aplique La icy de Faraday, en la forma de Ia ecuación 29-8, para demostrar que el campo de electricidad estática entre las placas de un capacitor de placas paralelas no puede disminuir en forma repentina a cero en Los bordes, pero de hecho debe dispersarse. Utilice La trayectoria punteada de La figura 29-39.

FIGURA 29-39 ProbLema 69.

Un disco metálico y circular de radio R gira a una velocidad angular w airededor de su eje (en el centro) que es perpendicular a su cara. EL disco gira en un campo magnético uniforme B cuya dirección es paraLela al eje de giro. Determine La fem que se induce entre el centro y los bordes. ,Cithl será La magnitud y dirección del campo eléctrico en cada punto del disco giratorio del probLema 70? Suponga que el "freno magnético" de Ia figura 29-17 actOa en un disco metáLico de forma circular de radio R, espesor d, y resistividad eléctrica p. El campo magnético B es perpendicular al disco y actOa sobre un area pequefia A cuyo centro se encuentra a una distancia I del centro del disco. Cuando el disco gira a una velocidad angular w, sobre un eje que está en su centro, determine una formula aproximada que defina el par que actda para reducir la velocidad del disco.

Problemas generales

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155

La bujIa de un automóvil recibe alto voltaje, el cual a su vez produce un campo eléctrico en el aire que rodea al electrodo de Ia bujIa. Este campo tiene Ia fuerza suficiente como para sacar a los electrones de los átornos de La rnezcla de aire-gaso-

lina y formar una chispa. El alto voltaje se produce de Ia baterIa del autornóvil básica de 12V en una bobina de inducciOn, que es básicarnente un transforrnador o inductancia mutua. Cualquier bobina de alambre tiene inductancia propia (o autoinductancia). Una variación en Ia corriente que circula por Ia bobina provoca una fern inducida. Estos inductores son Otiles en muchos circuitos.

Inductancia y oscilaciones electromagnéticas el capItulo anterior se analizO La forma en La que un flujo magnético cambiante en un circuito induce una fern en ese circuito. Anteriormente se vio que una corriente eléctrica produce un campo magnético. Al combinar ambas ideas es de esperarse que un cambio en Ia corriente de un circuito pueda inducir una fern y una corriente en otro circuito que está cerca del primero, y aün más inducir una fern en sí misma. Ya vimos un ejemplo en el capItulo anterior (transformadores), pero ahora tra-

En

tarernos este efecto en una forma rnás general en términos de La inductancia mutua y Ia

inductancia propia. El concepto de inductancia proporciona eL punto de partida para tratar eL almacenarniento de energIa en un campo magnetico. Este capItuLo termina con el análisis de circuitos que contienen inductancia asI corno resistencia yb capacitaricia.

Inductancia mutua Bobina 1

Bobina 2

j 111111

'WI'

In

Si dos bobinas se colocan una cerca de la otra, corno en La figura 30-1, Ia corriente cambiante que circula en una inducirá una fern en Ia otra. De acuerdo con La ley de Faraday, Ia fern 2 que se induce en la bobina 2 es proporcional a Ia rapidez de cambio del flujo que pasa a través de ella. El flujo es producido por La corriente I en La bobiria 1, y con frecuencia es conveniente expresar La fern en La bobina 2 en términos de Ia corriente en La bobina 1.

FIGURA 30-1 Una corriente variable en una bobina inducirá corriente en La segunda bobina.

Dejamos que (1)2! sea el flujo magnetico en cada vuelta de Ia bobina 2 que es generado por Ia corriente que circuLa en La bobina 1. Si La bobina 2 contiene N2 vueltas, entonces N2 (1)21 es eL flujo total que pasa por La bobina 2. Si ambas bobinas están fijas en el espacio, N2 'p21 es proporcional a la corriente I en La bobina 1; Ia constante de proporcionalidad se conoce como induclancia mutua, M21, y está definida por M21

=(30-1) N1)

De acuerdo con La ley de Faraday, Ia fern corriente que varIa en La bobina 1 es:

que se induce en La bobina 2 debido a Ia

= N2 dc1)21 dt 756

Al cornbinar esta ecuación con La 30-1 reescrita como (1)21 = M2111/N2, para luego caLcular Ia derivada se obtiene

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d11

=

(30-2)

Esta expresiOn relaciona el cambio en la corriente de La bobina 1 con Ia fern que se induce en Ia bobina 2. La inductancia mutua de Ia bobina 2 con respecto a Ia bobina 1, M1, es una "constante" en el sentido de que no depende de 1. M21 depende de factores "geométricos" corno son el tamaflo, Ia forma y La cantidad de vueltas, las posiciones relativas de ambas bobinas y la presencia de hierro (o cualquier otro material ferromagnético). For ejemplo, mientras más se alejeri entre silas dos bobinas de Ia figura 30-1, pasará una menor cantidad de lineas de flujo en Ia bobina 2, de tal forma que M21 ser menor. En ciertos arreglos se puede calcular la inductancia mutua (véase ci ejemplo 30-1), pero con mayor frecuencia la inductancia mutua se determma en forma experimental. Supongase ahora Ia situación inversa, cuando una corriente variable en la bobina 2 induce una fern en la bobina 1. En este caso d12

=

dt

donde M12 es Ia inductancia mutua de Ia bobina I con respecto a Ia bobina 2. Se puede dernostrar (aunque esto no se hará aqul) que M12 = M21. En consecuencia, en cualquier arreglo de bobinas no se necesitan los subIndices y Ia expresiOn se transforma en

ill = fyi12 = M21, de tal forma que d12

y

(30-3a)

Md11

(30-3b)

La unidad del SI para Ia inductancia mutua es el henry (H), donde 1 H = 1 V s/

A = lfls.

Solenoide y una bobina. Un solenoide largo y delgado cuya iongitua es i y secciOn transversal A contiene N1 vueltas de alambre. Alrededor de este solenoide se devana una bobina con N2 cantidad de vueltas, figura 30-2. Suponga que todo el flujo que proviene de la bobina 1 (solenoide) pasa a través de la bobina 2, calcule Ia inductancia rnutua. SOLUCION Primero se determina el flujo que produce el solenoide, ci cual pasa de manera uniforrne a Ia bobina N2: ci carnpo rnagnético en el interior del solenoide se obtuvo en el capItulo 28, ecuación 28-4:

B=

FIGURA 30-2

Ejemplo 30-1.

N1

donde i es la corriente que circula en el solenoide. Las vueltas del solenoide están rnuy cerca, en consecuencia se supone que todo ci flujo del solenoide se transfiere a Ia bobina. Entonces el flujo (1)21 en La bobina 2 es N1

21 = BA = a0-1--I1A. De ah.I que la inductancia mutua sea M

N21)21

-

I

En este caso se calculó M21, sin embargo Ia obtenciOn de M12 es más complicada. Ya que M21 = M12 = M, se puede efectuar el cálculo más senciiio para obtener M. Cabe indicar que M depende solarnente de factores geométricos, no asI de las corrientes.

SECCION 30-1

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Inductancia mutua

757

El transformador es un ejemplo de inductancia mutua en el que se maxirniza el acoplarniento para que casi todas las lIneas de flujo pasen a través de ambas bobinas. Sin embargo, la inductancia rnutua tiene otros usos. Por ejemplo, en algunos marcapaSOS (que se utilizan para regular los latidos del corazón para mantener el flujo sanguIneo en el paciente) son alirnentados desde el exterior. La potencia de una bobina externa se transrnite a través de La inductancia rnutua a una segunda bobina que se encuentra en el marcapasos que se aloja en el corazón. Este equipo tiene muchas ventajas con relación a los marcapasos que operan con baterIas, ya que se elirnina Ia cirugIa para reemplazar Ia baterla que ha perdido su carga. Sin embargo, algunas veces Ia inductancia mutua puede ser un problema. Cualquier corriente que varIe en un circuito puede producir una fern en otra parte del rnismo circuito o en un circuito diferente, aün cuando Los conductores no tengan La forma de una bobina. Norrnalrnente, Ia inductancia rnutua M es muy pequefla, a no ser que las bobinas tengan rnuchas vueltas yb se utilicen nücleos de hierro. No obstante, en situaciones donde existen senales pequefias, pueden surgir problemas de inductancia rnutua. En estos casos se utiliza cable blindado (que tiene un conductor interior rodeado por un conductor cilIndrico que se conecta a tierra) para resolver el problema.

Inductancia propia o autoinductancia El concepto de inductancia se aplica tarnbién a una sola bobina aislada que tiene N vueltas. Cuando una corriente variable pasa a través de Ia bobina (o solenoide), se pro-

duce un flujo magnético variable en el interior de Ia bobina, el cual induce a su vez una fern en Ia misrna bobina. Esta fern inducida se opone a las variaciones en el flujo (ley de Lenz). Por ejernplo, si aurnenta La corriente que circula en Ia bobina, el flujo rnagnetico creciente induce una fern que se opone a Ia corriente original y trata de retardar este aurnento. Si la corriente disrninuye en La bobina, Ia disrninuciOn en el flujo induce una fern que tiene Ia misrna dirección que la corriente, en consecuencia trata de rnantener Ia corriente original. El flujo rnagnético I que pasa a través de N vueltas de una bobina es proporcional a Ia corriente I de la bobina, en consecuencia Ia inductancia propia L se define corno (en analogla a Ia inductancia rnutua) L

NB =

(30-4)

En consecuencia Ia fern que se induce en La bobina con inductancia propia L es, a partir de 12 a ley de Faraday

dl = L -_. = N dB dt

(30-5)

Al igual que la inductancia mutua, la inductancia propia se rnide en henrys. La rnagnitud de L depende de la geornetrIa y la presencia de material ferrornagnetico. La inductancia propia se puede definir, como ya se hizo anteriormente, para cualquier circuito o parte de un circuito. Los circuitos siernpre contienen cierta inductancia, pero esta es pequena a menos que el circuito tenga una bobina con muchas vueltas. Una bobina que tiene una inductancia propia considerable L se denomina inductor. El inductor se representa en los diagrarnas esquernáticos de un circuito por el sImbolo

'bb1i'---.

[sIrnbolo de un inductor]

Este puede ser ütil en algunos circuitos. Con frecuencia se desea evitar La inductancia en un circuito. Los resistores de precision están integrados por una bobina de alambre y en consecuencia pueden terier cierta inductancia adernás de Ia resistencia. La inductancia se puede minirnizar si el ernbobinado de alarnbre se divide en dos secciones y cada una se embobina en sentido opuesto, de esta forrna La corriente que fluye en direcciones opuestas produce un flujo rnagnético neto pequefio, este tipo de ernbobinado se conoce como "devanado no inductivo". 758

CAP1TULO 30

Inductancia y oscilaciones electromagnéticas

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Si la resistencia de un inductor es despreciable, entonces la inductancia (o fern in-

ducida) es Ia que controlará a una corriente que varIa. Si una fuente de voltaje cambiante o alterno se conecta a Ia bobina, este voltaje aplicado se balanceará debido a Ia fern que se induce en Ia bobina, Ia cual estará determinada por Ia ecuación 30-5. Como se puede ver de la ecuación 30-5, para una determinada, si Ia inductancia L es grande entonces el cambio en La corriente (y en consecuencia Ia corriente en sí Si se trata de ca) será pequeno. Si Ia inductancia aumenta entonces La corriente de ca disminuirá. En consecuencia un inductor acttia como una resistencia para impedir el flujo de corriente alterna. Se utiliza el término reactancia o impedancia para designar esta propiedad de los iriductores. En el capItulo 31 se analizará con mayor detalle Ia reactancia (o impedancia), se vera que no solo depende de L, también de la frecuencia. A continuaciOn se rnencionará un ejemplo de La importancia que tiene La impedancia. Normalmente la resistencia del devanado primario de un transformador es muy pequena, quizás inferior a 1 fi. Si Ia resistencia fuera el ünico factor que lirnita Ia corriente en un transformador, justo en el momento que se aplica un voltaje al transformador circularIan corrientes rnuy elevadas. Por este motivo cuando se conecta un transformador (diseflado para operar en ca) a una fuente de cd se puede quemar el devanado primario. La fern inducida (o reactancia) de Ia bobina es lo que lirnita La corriente a un valor razonable.

Los inductores tienen inductancias que van desde 1 .tH hasta I H (1H =

henry = 1 fls).

1

, ,-.i Dirección de Ia fern en un inductor. (a) SuL) ... .1.. ponga que una corriente circula a través de la bobina de Ia figura 30-3, de izquierda a derecha, y aumenta con respecto al tiempo. j,Cuál es Ia dirección de la fern inducida? (b) Si la corriente pasa a través de la bobina en La misma direcciOn, pero disrninuye con respecto al tiempo, i,cuál será entonces Ia direcciOn de la fern inducida? (a) De la ley de Lenz se sabe que la fern inducida se debe oponer al cambio en el flujo magnético. Si Ia corriente aumenta, lo mismo sucede con el flujo RESPUESTA

magnético. La fern inducida se opone a un aurnento en el flujo, esto significa que actüa corno una fuente de fern que se opone a Ia fuente externa de fern que excita Ia corriente. En consecuencia Ia fern que se induce en La bobina se opone a I en La figura 30-3a. En otras palabras el iiiductor se puede pensar corno una baterla que tiene su terminal positiva en el punto A en la izquierda y Ia terminal negativa en el punto B a la derecha. (b) Si la corriente disminuye, entonces por ley de Lenz, La fern inducida actüa para aumentar el flujo, como una fuente de fern que refuerza Ia fern externa. La fern induci-

___

incremento

--

decremento -

o_j_o_o_o_'

'

+

FIGURA 30-3 Ejemplo 30-2. Los signos + y - se refieren a Ia fern inducida, debido a la corriente cambiante, como silos puntos A y B fueran las terminales de una baterIa.

da actüa para incrementar I en Ia figura 30-3b, por tanto en esta situaciOn se puede pensar que la fern inducida es una baterla cuya terminal positiva está en Ia derecha en el punto B. Inductancia de un solenoide. (a) Determine Ia formula para La inductancia propia L de un solenoide cuyas vueltas están devanadas muy cerca unas de otras. El solenoide está formado pOT una bobina de gran longitud 1, tiene N vueltas de aLambre y su secciOn transversal es A. (b) CaLcule el valor de L si N = 100,1 = 5.0 cm,

y el nOcleo es de aire. (c) Calcule L si el solenoide tiene un nOcLeo de hierro con .t = 4000 i.t0.

A = 0.30 cm2

(a) Para determinar la inductancia L, lo más sencillo es comenzar con Ia ecuaciOn 30-4, prirnero se debe deterrninar el flujo. De acuerdo con Ia ecuación 28-4, el campo rnagnético en el interior de un solenoide es conStante: B = ji0nl, donde n = N/I. El flujo es 1B = BA = 1a0NIA/1, por tanto SOLUCION

L

N4B

1i0N2A

I

I

X 107T rn/A (4 X 10-v T.m/A)(100)2(3.0 X 105m2) = 7.5pH. L = (5.0 x 102 m)

Corno /L0 = 4ir

Se reemplaza

j.

por t

= 4000 t0 de tal forma que L será 4000 veces superior.

L = 0.030 H = 30 rnH.

SECCION 30-2

Inductancia propia o autoinductancia

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759

XXXXXXXXxXXX I x xxx xx >< x xxx x)dr x x x x >< xix x x x x >< 2r1

L

-

ccoo

ccc

B

FIGURA 30-4 Ejemplo 3. Cable

coaxial (a) vista posterior, (b) vista lateral (secciOn transversal).

0 0 000 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 000

'

(b)

(a)

Inductancia de un cable coaxial. Determine Ia inductancia por uniLac e tongitud de un cable coaxial, el radio del conductor interior es r1 y el radio del conductor exterior es r2, figura 30-4. Suponga que los conductores son delgados, de tal forma que el campo magnético en su interior es despreciable. Los conductores transportan corrientes iguales I en direcciones opuestas. SOLUCION De nuevo se tiene que calcular el campo magnético J?B = fB dA, entre los conductores. Las lIneas de B son cIrculos que rodean al conductor interior (solo se muestra una lInea en Ia figura 30-4a). De Ia ley de Ampere se tiene B dl = pI, La magriitud del campo a una distancia r del centro, cuando el conductor interior transporta una corriente I, es (véase también el ejemplo 28-4): B

2lTr

El flujo magnético a través de un recungulo de anchura dr y longitud / (a lo largo del cable, figura 30-4b) que está a una distancia r del centro es

dB = B(ldr) =

/10!

Id

El flujo total en una longitud 1 del cable es fr2 dr f Po11 = = ln-r2r1 r 21T 2ir j Jr Como Ia corriente I fluye completamente en una dirección en el conductor interior, pero La misma corriente I fluye en direcciOn opuesta en el conductor exterior, solamente se tiene una vuelta, de tal forma que N = 1. De ahI que Ia inductancia propia para una longitud I es

I-

d8 =

L== In B

I

/1l 2-

r2 r1

La inductancia por unidad de longitud es

L -= I

r2 lnr1 21T /10

Observe que L depende solamente de los factores geométricos, no asI de Ia corriente 1.

EnergIa almacenada en un camno maqnético Cuando un inductor de inductancia L transporta una corriente I que varla con una rapidez di/dI, Ia energIa alimenta al inductor con una rapidez

P = 1 = LI donde P es la potencia luego de aplicar la ecuaciOn 3O-5. Ahora vamos a calcular el trabajo que se requiere para incrementar La corriente en un inductor desde cero AquI no hay un signo de menos porque estarnos proporcionando poder para oponerse a Ia fern del inductor.

760

CAPITULO 30

Inductancia y oscilaciones electromagneticas

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hasta cierto valor I. Al utilizar estas ecuaciones el trabajo dW que se realiza en el tiempo di' es

dW = Pdt = LId!. Entonces el trabajo total que se realiza para incrementar Ia corriente desde cero hasta I es W =

IdW =

J

I

Jo

LIdI =

LJ2.

El trabajo realizado es igual a Ia energIa U que se almacena en el inductor cuando este iltimo transporta una corriente I (Se tiene que U = 0 cuando I = 0):

U=

(30-6)

Esto se puede comparar con La energIa que se almacena en un capacitor C, cuando la diferencia de potencial en sus terminales es V (véase la secciOn 24-4):

U=

CV2.

Se puede considerar que la energIa que se almacena en un capacitor reside en el campo eléctrico entre sus placas, de igual forma se puede decir que Ia energIa que se almacena en un inductor se guarda en su campo magnetico. Para escribir la energIa en términos del campo magnético se puede utilizar el resultado del ejemplo 30-3, el cual inclica que Ia inductancia en un solenoide ideal (despreciando los efectos en los bordes) es L = aoN2A/l. El campo magnético B en un solenoide se relaciona con Ia corriente I por B = pNI/l. En consecuencia

U=

i(oN2A)(Bi)2

LI

= 2-Al. j-t0

Se puede pensar que esta energia reside en el volumen que ocupan los devanados, que es Al. Entonces la energIa por unidad de volumen o densidad de energIa es 1 B2 2

u = densidad de energIa = -

(30-7)

Se puede demostrar que esta fOrmula, que se obtuvo para el caso especial de tin solenoide, es válida para cualquier regiOn del espacio donde existe un campo magnetico. Si se sustituye por p.. Esta ecuación es anáestá presente un material ferromagnetico, loga a La de un campo eléctrico, 0E2, ecuación 24-6. Energia almacenada en un cable coaxial. (a) (,Cuánta energia por unidad de longitud se puede almacenar en un cable coaxial cuyos conductores tienen radios r1 y r2? (ejemplo 30-4, figura 30-4), jcuál de los conductores transportará una corriente I? (b) Dónde es mayor Ia densidad de energIa? SOLUCION

(a) La inductancia por unidad de longitud, como ya se vio en el ejem-

plo 30-4, es

-L = I

p.o

r2

2ir

r

Se desea obtener La energIa almacenada por unidad de longitud, la cual es

-= U I

LI2 I

=

p.0!2 41T

ln-rr1

(b) Como B = u0I/2irr, el campo es mayor cerca de Ia superficie del conductor interno, en consecuencia la densidad de energIa u = B2/2p.o, será mayor en ese punto. SECCION 30-3

EnergIa almacenada en un campo magnético

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161

Circuitos LR C L

It Interruptor

(a)

V0

I A'maxO/R 0.63 'max

Cualquier inductor tendrá cierta resistencia. El inductor Se representa considerando una inductancia L y una resistencia R en forma independiente, como se indica en Ia figura 30-5a. La resistencia R también puede incluir un resistor independiente conectado en serie. Ahora cabe preguntarse ,que sucede cuando una baterIa o cualquier otra fuente de voltaje de cd (V0) se conecta en serie a un circuito LR? La corriente comienza a fluir justo en el instante en el que se cierra el interruptor que conecta Ia baterla. La corriente aumenta comenzando desde cero. La fern que se induce en el inductor se opone a esta corriente, lo que significa que el punto B en La figura 30-5 es positivo con relación al punto C. Sin embargo, en cuanto comienza a fluir La corriente también se produce un voltaje (= IR) en Ia resistencia. De ahI que el voltaje que se aplica a La inductancia disminuye y Ia corriente aumenta rápidamente. En consecuencia Ia corriente se incrementa en forma gradual como se indica en Ia figura 30-5b, y se aproxima a un valor fijo 'max = VO/R cuando toda Ia caIda de voltaje está presente en La resistencia.

Lo anterior se puede dernostrar en forma anailtica al aplicar Ia ley del lazo de Kirchhoff al circuito de Ia figura 30-5a. Las ferns que existen en el circuito son el vol-

TRL

Tiempo

taje de La baterIa V0 y Ia fern

(b) (a) Corriente en un circuito LR, (b) aumento en Ia corriente cuando se conecta a Ia baterla.

= L(dI/dt) en el inductor que se opone a La corrien-

te que aumenta. De ahI que Ia surna de Ia caldas de potencial en el lazo es

V0LIR = 0,

FIGURA 30-5

donde I es Ia corriente que fluye en el circuito en cualquier instante. Al cambiar los términos de Ia ecuaciOn se obtiene

L'+RI

= V0.

(30-8)

Esta es una ecuación diferencial lineal que se puede integrar en forma similar como se hizo en Ia secciOn 26-4 para el circuito RC. Al modificar e integrar la ecuaciOn 30-8 se obtiene:

dl

J1=0V0IR -

('dl

ln (v0IR

Entonces

1

0

0,

I= donde

V0

- e_h/T)

L R

(30-9) (30-10)

es Ia constante de tiempo del circuito LR. El sImbolo T representa el tiempo que nec sita la corriente para alcanzar (1 - l/e) = 0.63 o el 63 por ciento de su valor máximo (V0/R). La ecuaciOn 30-9 se grafica en Ia figura 30Sb. (Comparela con el circuito RC, El interruptor se acciona rápidamente de tal forma que La baterIa se desconecta pero todavIa se tiene un circuito. La corriente en FIGURA 30-6

este momento (sea t = 0) es I.

secciOn 26-4.)

Ahora supongase que el interruptor de Ia figura 30-5a cambia de posiciOn para eliminar a Ia baterIa del circuito, los puntos A y C se conectan eritre si como se indica en La figura 30-6. En el momento que ocurre La conmutaciOn (digamos en t = 0) Ia corriente es It,. Entonces Ia ecuación diferencial (ecuación 30-8) se transforma en (ya

que l' = 0)

= 0. AL reorganizar e integrar la ecuación se obtiene

f'dI

V0

762

CAPITULO 30

=

I'R

donde I = I, en t = 0, e I = I en el tiernpo t.


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Luego esta ecuación Se integra para obtener

myI = 0

R

t

I = I0e

(30-11)

de nuevo la constante de tiempo es T = L/R. Entonces Ia corriente disminuye en forma exponencial hasta ilegar a cero como se indica en La figura 30-7. El análisis muestra que siempre existe un "tiempo de reacción" cuando por ejemplo se enciende o apaga un electroimán. También se observa que un circuito LR tiene propiedades similares a las de uii circuito RC (secciOn 26-4.) Sin embargo, a diferencia del caso del capacitor, en este caso La constante de tiempo es inversamenle proporcional a R. Circuito LR. En t = 0, se conecta una baterIa de 12.0 V en serie con un resistor de 30 fl y un inductor de 220 mH, como se muestra en Ia figura 30-8. Cuál es La corriente en t = 0? (b) Cuál es La constante de tiempo? (c) CuáI es Ia corriente maxima? (d) j,Cuánto tiernpo necesitará la corriente para alcanzar su valor maximo posible? (e) En este instante, ,con qué rapidez entrega energIa Ia baterIa? (f) j,Con qué rapidez se almacena energIa en el campo magnético del inductor?

(a) La corriente no puede saltar en forma instantánea desde cero hasta cualquier otro valor cuando se cierra el interruptor porque el inductor se opone a! cambio (<& = -L(dI/dt)). En consecuencia justo después que se ha cerrado el interruptor La corriente I sigue siendo cero en I = 0 y luego comienza a aumentar. La constante de tiempo es, partiendo de Ia ecuación 30-10, T = L/R = (0.22 H)/ (30 fi) = 7.3 ms. (c) La corriente aLcanza su valor máximo y estable después de bastante tiempo, cuando dI/dt = 0, entonces 'm V0/R = 12.0 V/30 fl 0.40 A. Se hace que I = = V0/2R en la ecuación 30-9, Jo que produce

Tiempo FIGURA 30-7 DisminuciOn de la corriente en Ia figura 30-6, algOn

tiempo después que se ha desconectado Ia baterla del circuito.

FIGURA 30-8

Ejemplo 30-7.

L220mH R=

(S

30Q

SOLUCION

II

V0 = 12.OV

1 - e_f/T = 0 e_h/T

=1-

=

Al resolver para I:

= i-1n2 = (7.3 X 10-3s)(0.69) = 5.Oms. En este instante, I = I/2 = 200 mA, por tanto la energIa que entrega la ba-

terIa es

P = [V = (0.20 A)(12V) = 2.4W. De Ia ecuaciOn 30-6 se tiene que la energIa almacenada en un inductor L en cualquier instante es

U = LI donde I es Ia corriente que fluye en el inductor en ese instante. La rapidez con Ia que

cambia La energIa es

dULIdI dt

-

dl

Se puede diferenciar La ecuación 30-9 para obtener di/dI, o se puede utilizar directamente Ia ecuación diferencial 30-8: =

I(L)

= I(V0-RI) = (0.20A)[12V - (30(1)(0.20A)] = 1.2W.

En consecuencia solo una parte de Ia energIa de Ia baterla se alimenta al inductor en ese instante, dOnde está el resto? SECCION 30-4

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Circuitos LR

763

Circuitos LCv oscilaciones electroma' iéticas

_tbT' I(despuésque L

se ha cerrado el interruptor)

I

(InterruPtor

FIGURA 30-9 Un circuito LC.

En cualquier circuito eléctrico pueden existir tres componentes bsicas: resistencia, capacitancia e inductancia, adems de una fuente de fern. (También pueden existir cornponentes más cornplejas corno es el caso de los diodos y transistores.) Anteriormente se han analizado tanto los circuitos RC como los circuitos LR. Ahora se estudiar un circuito LC que solarnente contiene capacitancia C e inductancia L, figura 30-9. Se trata de un circuito ideal en el que se supone que no existe resistencia en el inductor, en la siguiente sección se incluirá Ia resistencia en este circuito. Ahora supóngase que el capacitor de Ia figura 30-9 está cargado en un principio, en consecuencia una placa tiene carga Q0 y la otra -Q0. SupOngase ahora que en el tiernpo t = 0 se cierra el interruptor. El capacitor comienza a descargarse inmediatarnente. Conforme esto sucede Ia corriente I que circula en el inductor aumenta. Al aplicar la ley del lazo de Kirchhoff (la suma de los cambios de potencial en el lazo es cero):

= 0. Como Ia carga sale de Ia placa positiva del capacitor para producir la corriente I como se indica en la figura 30-9, Ia carga Q en Ia placa positiva del capacitor disminuye, por tanto I = -dQ/dt. Entonces la ecuaciOn anterior se puede escribir como d2Q

Q

dt2 + LC

= 0.

(30-12)

Que es una ecuaciOn diferencial con la que estamos familiarizados, ya que tiene Ia misma forma que la ecuación para el movirniento arrnónico simple (capItulo 14, ecuaciOn 14-3). La soluciOn de Ia ecuaciOn 30-12 es

Q = Q0 cos (wt + 4))

(30-13)

donde Q0 y 4) son constantes que dependen de las condiciones iniciales. Al insertar Ia ecuaciOn 30-13 en 30-12 se observa que d2Q/d12 = -o?Q0cos(wt + 4)), por tanto

-w2Qocos(wt + 4)) + 1Qocos(wt + 4)) = 0 0

(2 +

cos(wt + 4)) = 0.

Esta relación puede ser válida todo el tiempo t solamente si (w2 + 1/LC) = 0, esto indica que

w = 2f FIGURA 30-10 Carga Q y corriente I en un circuito LC. El periodo es 2ir / I

T=-=

f

L

=

\'Lc

(30-14)

La ecuación 30-13 indica que Ia carga en el capacitor de un circuito LC oscila en forma senoidal. La corriente en el inductor es

= 2irVLC.

=

dQ

- dt

= wQ0sen(wt + 4))

= Iosen(wt + 4));

Q0-.

V

(30-15)

en consecuencia La corriente tarnbién es senoidal. El valor máximo de I es C) -QO-

wQo

Jo = wQ0 = QO/\/LC. La figura 30-10 muestra una gráfica de las ecuaciones 30-14 y 30-15 para Q e I cuando 4) = 0. Ahora conviene analizar las oscilaciones LC desde el punto de vista de Ia energla. La energIa que se almacena en el campo eléctrico de un capacitor en cualquier tiempo t es (véase la ecuaciOn 24-5): LiE

764

CAPITULO 30

1Q2

QO2(4))


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La energIa que se almacena en el campo magnético de un inductor en el mismo instante de tiempo es (ecuación 30-6): Lw2Q

1

UB =

=

2

sen2(wt + 4,) =

sen2(wt + 4,)

cabe indicar que se utilizó Ia ecuaciOn 30-14. Si 4, = 0, entonces en los tiempos I = 0,

t=

t = T y dems (donde T es el periodo = 1/f = 2ir/cu), se tiene que

UE = Q/2C y UB = 0. Es decir, toda la energIa se almacena en el campo eléctrico

del capacitor. Pero en t = T, T, LIE = 0 y U8 = Q/2C, de tal forma que toda Ia energIa se almacena en el campo magnético del inductor. En cualquier tiempo t, Ia energIa total es

U = U + UB

=

1

f)2

_+LI2 1

2C

2

QO[2(1

+ 4,) + sen2(wt + 4,)1

(30-16)

De aquI que Ia energIa total es constante, y por tanto se conserva. Lo que se tiene en este circuito LC es un oscilador LC u oscilación eIectiomagnética. La carga Q oscila de un lado a otro, va de una placa del capacitor a Ia otra, este proceso se repite en forma continua. De Ia misma forma, Ia corriente oscila de un lado a otro. También se trata de oscilaciones de energIa: cuando Q es maxima toda Ia energIa se almacena en el campo eléctrico del capacitor; pero cuando Q es cero, la corriente I es maxima y toda Ia energIa se almacena en el campo magnético del inductor. En consecuencia Ia energIa oscila entre el almacenamiento en el campo eléctrico del capacitor y el almacenamiento en el campo magnetico del inductor, véase la figura 30-11.

Circuito LC. Un capacitor de 1200 pF se carga completamente

con una fuente de 500 Vcd. Luego el capacitor se desconecta de Ia fuente y se conecta en el tiempo t = 0 a un inductor de 75 mH. Determine (a) la carga inicial en el capacitor, (b) Ia corriente maxima, (c) Ia frecuenciafy el periodo Tde la oscilaciOn, (d) Ia energIa total que oscila en el sistema.

/

UE

0

T

T

T

T

La energIa UE (ilnea gris) y UB (lfnea azul) almacenada en un capacitor e inductor en función del tiempo. Observe que Ia energIa oscita entre energIa eléctrica y magnética. FIGURA 30-11

(a) La fuente de alimentaciOn, antes de desconectarla, proporciona al capacitor una carga de SOLUCION

= cv = (1.2 x 10-9F)(500V) = 6.0 >< i0

C.

La corriente maxima, 'max' es (véase la ecuación 30-15) 'max

= wQ0

\/LC

=

(6.0 x i0 C) = 63 mA. \/(0.075H)(1.2 X iO F)

La frecuencia se calcula con Ia ecuaciOn 30-14

f

1

2

(2\/Lc)

= 17kHz,

y el periodo T es

T = 1 = 6.OX10-5s. (d) Por ültimo Ia energIa total (ecuación 30-16) es

U=

(6.0 x iO C)2 Q = 2C 2(1.2 x 10-9F)

= 1.5 x 104W.

SECCION 30-5

Circuitos LC y oscilaciones electromagneticas 765

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Oscilaciones con resistencia (circuito RLC) El circuito LC que se analizO en Ia secciOn anterior es ideal. Siempre existirá cierta resistencia R en cualquier circuito. Ahora analizaremos un circuito sencillo tipo RLC,

figura 30-12. De nuevo vamos a suponer que el capacitor tiene inicialmente una carga Q0 y la baterIa o cualquier otra fuente de energIa se elimina del circuito. El interruptor se cierra en el tiempo t = 0. Como ahora existe una resistencia en el circuito, es de esperarse que una parte de Ia energIa se convierta a energIa térmica, y en consecuencia no se esperan oscilaciones no amortiguadas como sucede en un circuito LC puro. De nuevo se utiliza Ia ley del lazo de Kirchhoff en este circuito, y se obtiene FIGURA 30-12

Circuito RLC.

= 0, que es la misma ecuaciOn de La sección 30-5 con Ia adiciOn de Ia caIda de voltaje JR en

el resistor. Ya que I = dQ/dt, como ya se vio en Ia secciOn 30-5, esta ecuaciOn se transforma en

L FIGURA 30-13 La carga Q en el capacitor de un circuito RLC es una función del tiempo: Ia curva A corresponde a una oscilaciOn subamortiguada (R2 < 4L/C), Ia curva B corresponde a un amortiguamiento critico y Ia curva C corresponde a una oscilación sobreamortiguada. Qo

A

d2Q dt2

+R

dQ + dl

1

=

(30-17)

Esta ecuación diferencial de segundo orden en Ia variable Q tiene exactamente la misma forma que la del oscilador armónico amortiguado, ecuación 14-15: d2x dx md2bd+kx = 0.

De ahI que se puede analizar nuestro circuito RLC en Ia misma forma que el movimiento armónico amortiguado, sección 14-7. Nuestro sistema puede experimentar oscilaciones amortiguadas: Ia curva A de Ia figura 30-13 (sistema subamortiguado), o puede estar crIticamente amortiguado (curva B), o sobreamortiguado (curva C), dependiendo de los valores relativos de R, L y C. Al utilizar los resultados de Ia secciOn 14-7 y reemplazar m por L, b por R y k por C', se encuentra que el sistema estará subamortiguado cuando

R2 <

4L

y sobreamortiguado cuando R2 > 4L/C. El amortiguamiento crItico (curva B de Ia figura 30-13) sucede cuando R2 = 4L/C. Si R es más pequeno que \/4L/C, entonces Ia frecuencia angular w' será

(U' =

1

R2

LC

4L2

(30-18)

(compárela con Ia ecuaciOn 14-20). Y Ia carga Q como función del tiempo será

Q = Qe

R

2L'cos(w't + 4,)

(30-19)

donde 4) es una fase constante (compárela con Ia ecuación 14-19). Los osciladores son un elemento importante en muchos dispositivos electrOnicos: los receptores de radio y television los utilizan para sintonizar frecuencias, los reproductores de cinta los utilizan cuando graban (Ia "frecuencia de polarizaciOn"), etc. Como siempre existirá cierta resistencia, es comtin que los osciladores eléctricos necesiten una entrada periOdica de energIa para compensar la energia que se convierte a energIa térmica en Ia resistencia.

Oscilaciones amortiguadas. En t = 0 se conecta un inductor de 4U mH en serie con un resistor R = 3.0 y un capacitor cargado C = 4.8 F. (a) Demuestre que este circuito oscilará. (b) Determine La frecuencia. (c) Cuá1 será el tiempo necesario para que La amplitud de La carga disminuya a Ia mitad de su valor inicial? (d) será La amplitud actual? (e) Qué valor de R hará que el circuito deje de oscilar? 766

CAPiTULO 30


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(a) Para que esté subamortiguado, se debe tener R2 < 4L/C. Como

SOLUCION

R2 = 9.02 y 4L/C = 4(0.040H)/(4.8 x 10F) = 3.3 x 104fl2, esta relación se cumple, en consecuencia el circuito oscilará. Se utiliza Ia ecuación 30-18:

= 2.3x103

=

= 2r\JLC 4L2 De la ecuaciOri 30-19, Ia amplitud será Ia mitad cuando

Lt _1

R

e

0

2L = R 1n2 = l8ms.

Al diferenciar Ia ecuaciOri 30-19 se obtiene I = -dQ/dt (consulte los comentarios que estn justo antes de Ia ecuación 30-12), observe que 4) = 0 ya que Q = en t = 0: R/R dQ 1 = =

-

Qoe2Ltcosüt +

\/LC)

donde se aproxima w' \/l/LC. Como R es mucho menor que \/4L/C (véase el inciso a anterior) se puede ignorar el término cos w't, entonces

I

Qo

\/LC

e

-

senat.

En consecuencia Ia amplitud de Ia corriente inicial es Q0/'/LC. No se tiene Q0, pero si por ejemplo esta fuera 1 C, entonces jo = (1.0 x 1O6 C)! 10-6 F) X x i0 H)(4.8 = 2.3 mA. Para que le circuito tenga amortiguamiento crItico o esté sobrearnortiguado, se

Resumen Una corriente cambiante en una bobina de alambre inducirá una fern en una segunda bobina que se coloque cerca de Ia primera. La inductancia mutua, M, se define corno Ia constante de proporcionalidad que existe entre la fern inducida en la segunda bobina y la rapidez de cambio de la corriente en Ia prirner bobina:

= -MdI/d(.

M= N8

donde t es el flujo magnetico a través de una bobina (o circuito) que tiene N vueltas, el cual es generado por Ia corriente I que circula en una segunda bobina o circuito.

En el interior de una sola bobina, una corriente variable induce una fern en oposición <, por tanto Ia bobina tiene inductancia propia L que está definida por

= -LdI/dt.

Esta fern inducida actOa como una impedancia para el flujo de una corriente alterna. L también se puede escribir como donde B es el flujo a través de Ia inductancia cuando fluye una corriente I en sus N vueltas. Cuando Ia cornente en una inductancia L es I, Ia energia que se almacena en la inductancia está determinada por

U=

U-

1

B2

donde es la permeabilidad magnética en esa region. Cuando una inductancia L y una resistencia R se conectan en serie a una fuente de fern V0. Ia corriente aurnenta de acuerdo al exponencial de la forma

Pero M Se puede escribir corno

L = N-I

Esta energIa se puede pensar corno si estuviera almacenada en el carnpo magnetico del inductor. La densidad de energIa u en cualquier campo magnético B está determinada por

I= donde

(i - e_hIT),

T = L/R

es Ia constante de tiernpo. Eventualrnente Ia corriente ilega a / = V0/R. Si Ia baterIa se desconecta en forma repentina del circuito LR, y el circuito permanece cornpleto, la corriente

disrninuye en forma exponencial I = I0e'1, con Ia misma

constante de tiernpo T. La corriente en un circuito LC puro (o carga en el capacitor) oscilará en forrna senoidal. La energIa tarnbién oscilará de un lado a otro, entre los estados eléctrico y magnético, del capacitor al inductor y del inductor al capacitor. La corriente

en un circuito serie RLC (o carga en el capacitor) siempre que el capacitor esté cargado en cierto instante, puede expe-

rirnentar oscilaciones amortiguadas, oscilaciones crIticarnente arnortiguadas u oscilaciones sobrearnortiguadas.

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Resumen

767

Preguntas En las situaciones donde una sefial pequefia debe viajar cierta distancia, se utiliza un "cable blindado", en este caso el alambre de senal está rodeado por un aislante que a su vez está rodeado por un conductor cilIndrico. ,Porqué se necesita ese blindaje? Cufll es Ia ventaja que se obtiene a! acercar dos alambres que transportan ca? El primario de un transformador de Ia lInea telefónica tiene una resistencia de 0.10 fl y el voltaje de entrada es 2400 V ca. ,Puede calcular Ia corriente que fluirá? jAcaso serfa de 24,000 A? Explique.

Un transformador diseflado para una entrada de 120 V ca se

quemará si se conecta a una fuente de 120 V cd. Explique. [Sugerencia: normalmente La resistencia del devanado primario es muy pequena.] ,Cómo conectarIa dos bobinas circulares para que su inductan-

cia mutua fuera (a) La miss grande, (b) Ia menor? Realice lo anterior sin separar las bobinas una distancia considerable. Si las dos bobinas de la figura 30i se conectan eLéctricamente, seguirá existiendo Ia inductancia mutua? Suponga que La segunda bobina que tiene N2 vueltas de la figura 30-2 se mueve para que esté cerca de La parte final del solenoide i,Cómo afectarIa esto a Ia inductancia mutua? ,Dos circuitos que tienen inductancia rnutua tarnbién pueden tener inductancia propia? Explique. La inductancia propia por unidad de longitud de un solenoide es mayor en su centro que en sus extrernos? La densidad de energIa es mayor cerca de los extremos de un solenoide o cerca de su centro? Si tiene una longitud determinada de alambre, i,en qué forma debe acomodarlo para obtener Ia mayor autoinductancia? LPara obtener Ia menor?

En una baterla cuando Ia corriente tiene Ia misma direcciOn que Ia fern, Ia energIa de La baterIa disminuye, por otra parte, cuando Ia corriente tiene direcciOn opuesta, Ia energIa de Ia ba-

teria aumenta (asI corno Ia carga en La baterIa). LLo anterior también es cierto para un inductor? Dos solenoides tienen La misma Longitud y area transversal circular. Ambos están formados por vueltas de alambre que estan devanadas una cerca de las otras, pero un solenoide utiliza un a!arnbre de menor calibre que el otro. CuflI tendrá La mayor inductaricia? 1,CuáI tendrá La mayor constante inductiva de tiempo?

,La fem de Ia baterIa de Ia figura 30-5a afecta el tiempo que

necesita el circuito LR para alcanzar: (a) una fracciOn de su corriente maxima posible, (b) un valor determinado de corriente?

Un circuito que tiene una constante inductiva considerable

transporta una corriente estabLe. Si se abre ci interruptor, puede producirse una chispa rnuy grande (que algunas veces es peligrosa). Explique lo que sucede. En ci instante que se conecta La baterIa a! circuito LR de la figura 30-5a, Ia fern en ci inductor adquiere su valor máximo ai'in cuando La corriente es cero. Explique. Explique fisicarnente por qué es de esperarse que La constante

de tiernpo de un circuito LR sea proporcional a L e inversa-

rnente proporcional R, ecuación 30-10. Explique cOrno es que un solenoide cuyos extremos estfin conectados entre ii puede oscilar por si mismo como un circuito LC. i,De dOnde proviene La capacitancia? ,Qué es Lo que mantiene oscilando a un circuito LC aCm después que se ha descargado cornpLetarnente Ia capacitancia? LLa corriente en el inductor siempre es Ia rnisrna como sucede en el resistor del circuito LRC de La figura 30-12?

Problemas Suponga que Ia segunda bobina del ejemplo 30-1 (figura

30-2) tiene dos veces el difimetro del solenoide, pero sigue siendo concéntrica con relaciOn a! centro. i,Cuál es la inductancia mutua? Suponga que el solenoide es muy largo. Una bobina de 2.44 rn de longitud contiene 300 vueltas que estfln devanadas en un nOcleo de hierro ( prornedio = 2OOO.) además de una bobina que tiene 100 vueltas. Las vueltas de cada bobina tienen un radio de 2.00 cm. Si Ia corriente en Ia pri-

(III) Un alambre recto de gran longitud y una vuelta de alarnbre con forma rectangular se encuentran en ei mismo piano, figura 30-14. Determine Ia inductancia mutua en términos de 12 y w, el resto de este circuito está muy Lejos ii se compara con l, 12

W.

mera bobina disminuye uniformemente de 12.0 A a cero en

9.8 ms, determine: (a) La inductancia mutua M, (b) Ia fem que se induce en Ia segunda bobina.

(II) Determine Ia inductancia rnutua por unidad de longitud entre dos solenoides, uno se encuentra dentro del otro, los radios son r1 y r2, (r2 < r1), las vueltas por unidad de longitud

w 1'

son n1 y n2.

Una bobina delgada y de poco espesor tiene N2 vueltas, cada una tiene un area A2, esta bobina se coloca en el interior de un soLenoide largo, cerca de su centro. El solenoide tiene N1 vueltas, su longitud es I y su area es A. Determine Ia inductancia mutua en funciOn de 0, el angulo entre el piano de La bobina pequena y el eje del solenoide.

768

CAPITULO 30


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12

FIGURA

30-14 Problema 5.

(I) Si Ia corriente en una bobina de 180 rnH varIa constantemente de 20.0 mA a 38.0 mA en 340 ms, jcuál será Ia fern inducida? (I) Calcule Ia inductancia L de una bobina con nOcleo de aire

de 0.45 m de longitud y 3.7 cm de diámetro que contiene 20,000 vueltas. (I) (,Cuál será La inductancia de una bobina si esta produce una fern de 8.50 V cuando Ia corriente que circula en ella varIa uniformemente de -22.0 mA a +23.0 rnA en 21.0 ms? ,Cuá1 será Ia inductancia de un cable coaxial que tiene 22 rn de longitud y el diámetro de sus conductores interior y exterior es 2.0 y 3.5 mm respectivamente? (1) Se induce una fern de 35 V en una bobina de 150 mH gracias

a uria corriente que aurnenta uniformemente desde cero hasta 1 en 3.0 ms. Cuál es el valor de I? (LI) Si el conductor exterior de un cable coaxial tiene un radio de 3.00 mm, ,cuál deber ser el radio del conductor interior para que Ia inductancia por unidad de longitud no sea mayor a 40 nfl por metro? (11) (a) Demuestre que si dos circuitos, como las bobinas de Ia figura 30-1, transportan corrienteS I e '2' el flujo magnético en cada uno es = L1I1 + MI2 y I2 = L212 + MI1. (b) Determine Ia formula para Ia fern que se induce en cada bobina en

términos de Ia rapidez de cambio de la corriente en ambas

bobinas. Se desenrolla el alambre de un solenoide cuyas vueltas estOn cerca unas de otras, este se utiliza para embobinar otro solenoi-

de que tiene un diámetro 3.0 veces mayor que el primero. En qué factor se modifica La inductancia? (II) Una bobina tiene una resistencia de 2.70 i y una inductan-

(I) El campo magnético en el interior de un solenoide que tiene n0cleo de aire, 32.0 cm de longitud y 2.10 cm de diámetro es 0.600 T. Cuánta energIa se almacena en ese campo?

(I) ,Cuánta energIa se almacena en un inductor de 400 mH en el instante que Ia corriente es 9.0 A? Un valor tIpico de los campos eléctrico y magnético que se obtienen en un laboratorio es 1.0 X iO V/m y 2.0 T. (a) Determine La densidad de energIa de cada campo y compare los resultados. (b) Qué magnitud debe tener el campo eléctrico para producir Ia misma densidad de energIa que el campo magnético de 2.OT?

Cuál es Ia densidad de energIa en el centro de una vuelta circular de alambre que transporta una corriente de 30 A si el radio de Ia vuelta es 28.0 cm?

(II) Calcule las densidades de energIa magnética y eléctrica en Ia superficie de un alambre de cobre (cuyo diOmetro es 3.00 mm) que transporta una corriente de 25 A. (11) Para el toroide de Ia figura 30-15, determine Ia densidad de energIa en el campo magnético en funciOn de r (r1 < r < r2) e integre Ia densidad de energIa en el volumen para obtener La energIa total que se almacena en el toroide, el cual transporta una corriente I en cada una de sus N vueltas.

(II) Determine Ia energIa total que se almacena por unidad de longitud en el campo magnético que existe entre los cilindros coaxiales de cable coaxial. Utilice Ia ecuaciOn 30-7 para Ia densidad de energIa e integre en el volumen. Compare su respuesta con Ia que obtuvo en el ejemplo 30-5.

cia de 0.418 H. Si Ia corriente es 5.00 A y aumenta a razón de

4.50 A/s, Lcuál es La diferencia de potencial en La bobina en ese momenta? (II) Ignore cualquier inductancia mutua, ,cuOl será Ia inductan-

cia equivalente de dos inductores que se conectan (a) en serie, (b) en paralelo? (II) Un toroide tiene una secciOn transversal rectangular como se muestra en Ia figura 30-15. Demuestre que Ia inductancia propia es 0N2h

2r

in

r2

ri

donde N es Ia cantidad total de vueltas, r, r2 y h son las dimensiones que se muestran en La fig. 30-15. [Sugerencia: utilice Ia ley de Ampere para obtener B en función de r en el interior del toroide, luego integre.]

(II) ,Después de cuántas constantes de tiempo Ia corriente de La figura 30-5 alcanzará (a) el 10 par ciento, (b) el 1.0 por ciento y (c) el 0.10 por ciento de su valor máximo?

(II) Cuántas constantes de tiempo se necesitan para que La diferencia de potencial en el resistor de un circuito LR, Similar al de Ia figura 30-6, disminuya al 1.0 por ciento de su valor inicial?

(LI) En el ejemplo 30-6, a qué otro lugar distinto del inductor se dirige Ia potencia que entrega La baterIa? Realice cálculos para demostrar que Ia energIa se conserva.

(II) Determine dI/dt en I = 0 cuando se conecta Ia baterIa en el circuito de Ia figura 30-Sa y demuestre que si I contintia aumentando a esta razOn, alcanzará su valor máximo en una constante de tiempo.

(II) Se necesitan 2.56 ms para que Ia corriente en un circuito LR aumente desde cero hasta Ia mitad de su valor mOximo. Determine (a) La constante de tiempo del circuito, (b) La resistencia del circuito si L = 310 H.

?a iit%f1 UI

FIGURA 30-15 Problemas 16 y 22. Un toroide con secciOn transversal rectangular, tiene N vueltas y transporta una corriente I.

(II) (a) Determine La energIa que se almacena en el inductor L en funciOn del tiempo para el circuito LR de La figura 30-5a. (b) ,,Despues de cugntas constantes de tiempo La energIa almacenada alcanza el 99 par ciento de su valor máximo?

Problemas

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769

(II) En el circuito de Ia figura 30-16 determine La corriente en

cada resistor (J, '2, 13) (a) cuando se cierra el interruptor, (b)

cierto tiempo después que se cierra el interruptor. Luego que el

interruptor ha permanecido cerrado durante mucho tiempo, este se abre nuevamente, ,cuál será el valor de Las corrientes

!, 13, 13 (c) justo después que se ha abierto, (d) después de bastante tiempo?

(II) En un circuito oscilador RLC, (,cuánto tiempo se necesita

para que La energIa que se almacena en los campos del capacitor y el inductor disminuya a Ia mitad de su valor inicial? (Véase Ia figura 30-12, suponga que R << \/4L/C.)

(II) Un circuito LC amortiguado pierde 5.5 por ciento de su energIa electromagnética por cada ciclo de energfa térmica. Si y C = 1.00 jF, cu8l es el valor de R? L = 65 (II) (a) Obtenga Ia ecuación diferencial para Ia corriente I en ci circuito LRC de Ia figura 30-12 a! diferenciar La ecuaciOn 30-17. (b) Obtenga una soluciOn general para 1, suponiendo que ci cir-

cuito se conecta en el tiempo I = 0 con una carga Qo en ci capacitor. Suponga que R << \/4L/C. (c) Compare el resultado del inciso (d) del ejemplo 30-8 y analice las diferencias. (d) tQué complicaciones pueden surgir si R no es muy inferior a \/4L/C, digamos R Comenzando con Ia ecuación 30-19, con i = 0, demuestre que La corriente I en un circuito LRC iigeramente amortiguado FIGURA 30-16

Problema 30.

está determinada por

I donde

(I) El capacitor variable del sintonizador de un receptor de AM tiene una capacitancia de 1800 pF cuando ci receptor se sintoniza en una estación en 550 kHz. (a) ,Cuál deberá ser Ia capacitancia para una estación que está en 1600 kHz? (b) Cuál será Ia inductancia (que se supone es constante)? (I) (a) Si las condiciones iniciales de un circuito LC son I = 1 y Q = 0 en t = 0, escriba Q en funciOn del tiempo. (b) En Ia práctica cómo podrIa obtener estas condiciones iniciales? Utilice las definiciones de faradio y henry para demostrar

que 1/\/LC tiene unidades de s'.

Un capacitor de 760 pF se carga a 135 V y luego se conecta

rápidamente a un inductor de 175 mH. Determine (a) La frecuencia de osciiaciOn, (b) ci valor pico de La corriente y (c) La energIa maxima que se almacena en el campo magnético del inductor.

(II) En t = 0, Q =

e I = 0 en un circuito LC. Justo en el

primer instante que La energIa se reparte en partes iguales entre ci inductor y ci capacitor (a) ,cuál es Ia carga en el capacitor?

,Cuánto tiempo habrá transcurrido (en términos del pe-

riodo T)?

0

\/LC

e'sen(w't + 6)

8 = tan1

R

2Lw

(LI) Demucstrc que La constante de fase está determinada por

4

en Ia ecuación 30-19

4L \' = cot ( R2C) I = 0 en t = 0 en ci circuito de La figura 30-12. Suponga que 4L/C. Cuánta resistencia se debe afladir a un circuito meramente LC (L = 300 mH, C = 1800 pF) para cambiar La frecuencia de oscilación en un 0.10 por ciento? tLa frecuencia habrá aumcntado o disminuido? (III) Suponga que una batcrIa de voltaje fijo V0 se conecta en ci circuito RLC de Ia figura 30-12. En el tiempo I = 0 se cierra el interruptor. Suponiendo que ci circuito está bastante sobreamortiguado (R2 >> 4L/C), (a) Determine La corriente en función dci tiempo. (b) Reaiice una gráfica de I versus t. (c) Compare su resultado con circuito puramente RC, en ci que L = 0. Los circuitos reales tipo RC siempre tienen cierta inductancia, en consecuencia ci resultado de este probiema es más real que un circuito RC puro. Si

R2 <<

Problemas eenerales Un inductor cilIndrico relleno con nOcleo de aire tiene 3000 vueltas, su diámetro es 2.5 cm y su longitud es 28.2 cm. ,Cuál es

su inductancia? ,Cuántas vueltas se necesitarIan para generar Ia misma inductancia si el nOcleo fuera de hierro? Suponga que la

permeabilidad magnética del hierro es aproximadamente 1000 vcces superior a La permeabiiidad del espacio iibrc. En t = 0, La corriente que fluye por un inductor de 60.0 mH es 50.0 mA y aumenta con una rapidez de 100 mA/s. (,Cuál es Ia energIa inicial que se aimacena en el inductor?, ,cuánto tiempo se necesita para que Ia cnergIa aumente en un factor de 10 a partir de su valor inicial?

Caicule La impedancia mutua M entre dos bobinas pcqucñas, cuyos radios son r1 y r2. Ambas bobinas están separadas por una distancia / quc es grande si se compara con r1 y r2, figura 30-17. Indique ci valor de M en función de 0, eL ángulo cntrc los pianos de ambas bobinas. Suponga quc Ia lInea que une sus centros es perpendicular a! piano de ia bobina 1.

Un capacitor de 3000 pF se carga a 120 V y luego se conecta rápidamente a un inductor. La frecuencia de osciiación es 20 kHz. Determine (a) la inductancia, (b) el valor pico de Ia corriente y Ia energIa maxima que se aimacena en el campo magnético del inductor. 770

CAPTULO 30


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FIGURA 30-17

ProbLema 46.

tCuántas vueltas aproximadamente tendrá una bobina con nOcleo de aire Si SU diámetro es 2.2 cm, su longitud es 17.0 cm y su inductancia es 25 mH? j,Cuántas vueltas debe tener si tiene un rn'icleo de hierro y (a) Demuestre que ia inductancia propia L de un toroide (figura 30-18) cuyo radio es r0 y contiene N vueltas (cada una tiene un diámetro d) es

= 10?

L

poN2d2

Suponiendo que el campo magnético promedio de la Tierra es 0.50 X 10 T cerca de La superficie, calcule Ia energIa total que se almacena en este campo en los primeros 10 km por encima de la superficie terrestre. Demuestre que una fracción de Ia energIa electromagnética que se pierde (debido a Ia energfa térmica) por cada ciclo en un circuito LCR ligeramente amortiguado (R2 << 4L/C) es LU 2irR -

Lv

U

8r0

r0>> d. Suponga que el campo es uniforme en el interior del toroide, esto será cierto en realidad? El resultado es consistente con L para el caso de un solenoide? (b) Calcule Ia inductancia L de un toroide, considere que ci diámetro de las vueltas es 2.0 cm y el diámetro de todo el anillo es 50 cm. Suponga que el campo en el interior del toroide es uniforme y el toroide tiene un total de 550 vueltas de alambre. si

Q

La cantidad Q se define como Q = Lw/R y Se conoce como valor Q, o factor de calidad, del circuito. Esta cantidad es una

indicaciOn del amortiguamiento que existe. Si Q es elevado entonces el amortiguamiento es pequeflo y se requiere una menor cantidad de energIa para mantener las oscilaciones.

Dos solenoides tienen Ia misma longitud y area transversal circular, pero el solenoide 1 utiliza un alambre que es La mitad de delgado que el alambre del solenoide 2. (a) ,Cuál es la relaciOn que guardan sus inductancias? (b) LCuál es la relación de

sus constantes inductivas de tiempo (suponiendo que no hay otra resiStencia en los circuitos)? (a) Para un circuito LRC subamortiguado, determine Ia fOrmu-

la de Ia energIa U = U + UB que se almacena en los campos eléctrico y magnético en funciOn del tiempo. Indiquela en términos de Ia carga inicial Q0 en el capacitor. (b) Demuestre que

dU/di se relaciona con Ia rapidez a Ia que se transforma Ia energIa en el resistor 12R.

Un dispositivo electrónico necesita protecciOn contra los

Trayectoria 1 FIGURA 30-18

Trayectoa 2 Toroide, problema 48.

Se tiene un par de alambres paralelos y delgados, por ejemplo ci cable de una lámpara, ambos están separados por una distancia I, cada uno tiene un radio r, y transportan corriente a un circuito que está a cierta distancia. Ignore ci campo en ci interior de cada alambre y demuestre que La inductancia por unidad de longitud es (/LO/r) in[(l - r)/rI. La diferencia de potencial en una bobina determinada es 2.55 V cuando Ia corriente es 360 mA, Ia cual varIa con una rapidez de 340 mA/s. Un instante después La diferencia de potenciai es 1.82 V en tanto que La corriente es 420 mA, y disminuye con una rapidez de 180 mA/s. Determine Ia inductancia y Ia resistencia de Ia bobina. (a) Demuestre lo siguiente: si dos bobinas pequenas (con inductancias L1 y L2) se conectan en serie y se dejan una cerca de Ia otra, Ia inductancia propia neta es

cambios repentinos que generan las sobrecargas transitorias de corriente. En especial después que se ha conectado Ia alimentación al dispositivo, Ia corriente aumenta a un valor que no supera 7.5 mA durante los primeros 100 ts. El dispositivo tiene una resistencia de 150 fl y está diseflado para operar a 50 mA. ,COmo se puede proteger a! dispositivo? El circuito de Ia figura 30-19a puede integrar (en el sentido de realizar cálculos) el voltaje de entrada V siempre que Ia constante de tiempo L/R sea grande en comparaciOn con el tiempo en el que varla Vent. Explique cOmo trabaja este integrador y realice un dibujo de la forma de onda de salida cuando Ia entrada es una forma de onda cuadrada como se muestra en Ia figura 30-19b. [Sugerencia: escriba Ia ley del lazo de Kirchhoff para el circuito. Multiplique cada término de la ecuación diferencial (en I) por ci factor e1" para facilitar La integraciOn.]

L = L1 + L2 ± 2M donde M es su inductancia mutua. Explique el signo ±. (b)

Qué se tiene que hacer para que M sea cero (o aproximadamente cero)? (c) Determine Ia inductancia neta si ambas bobinas se conectan en paralelo, suponga que la inductancia mutua es despreciable. Si M se puede ignorar, ,cómo afectarIa esto a su respuesta?

;

L

Vent

R

Vsai

I

Vent

FIGURA

30-19

Problema 57.

Problemas generales

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771

El receptor estereofOnico es un circuito de ca muy complejo. La lInea de alimentación doméstica donde se conecta el receptor es de ca. La senal de audio es una forma de onda de ca que tiene frecuencias de audio. Los circuitos en ci i.nterior del receptor contienen capacitores, inductores y resistores, además de otros elementos más complicados como diodos y transistores. El bafle incluye tanto la bocina como un circuito de Ca, el crossover (el cual se anaiizará en este capItulo) que se utiliza para dividir Ia seflal entre Ia bocina de baja frecuencia (woofer) y Ia de aita (tweeter).

Circuitos de CA los capItulos anteriores se analizaron los circuitos que contienen una combinaciOn de resistores, capacitores e inductores (o los tres elementos), pero solamente se consideraron cuando se conectaban a una fuerite de cd o fern, a cuando no se conectaban a ninguna fuente y se observó Ia descarga del capacitor en un circuito RC, o cuando se analizó Ia oscilación en un circuito LC o RLC, véanse las secciones 26-4, 30-4, 30-5 y 30-6. Ahora se van a analizar estos elementos de circuito cuando se conectan a una fuente de voltaje alterno que produce una corriente alterna (ca). Estos circuitos de ca son importantes por varias razones, primero porque la salida de la mayor parte de los generadores (sección 29-4) es senoidal y Ia mayor parte de Ia eJectricidad que se genera y se transmite es ca. En segundo lugar, cualquier voltaje que varle con respecto al tiempo, sin importar cuan complejo sea, se puede escribir como una suma de términos que incluyen senos y cosenos de diferentes frecuencias en una serie de Fourier. En consecuencia, Ia respuesta de los resistores, capacitores e inductores a una fuente senoidal de fern es de gran importancia.

En

Introducción:circuitos de CA En Ia sección 25-7 se analizaron brevemente las corrientes alternas, se vio que para las corrientes y los voltajes que varIan en forma senoidal, los valores rcm y pico están relacionados por V rcm -

VU

2

I rcm -

Ahora se analizará cómo se comporta un resistor, capacitor o inductor cuando se conectan a una fuente de voltaje alterno, cuyo sImbolo es [sImbolo de una fuente de Ca] la cual produce un voltaje senoidal cuya frecuencia es f Primero se analizarn R, L y C en forma individual y después los tres juntos. En cada caso se asumirá que el voltaje genera una corriente (31-1) I = 10sen2fi = I0senwt donde w = 2lTf. 772

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Circuitos de CA que solo contienen resistencia R Cuando una fuente de ca se conecta a un resistor como se indica en Ia figura 31la, Ia corriente aurnenta y disminuye con el voltaje alterno, y la ley del lazo de Kirchhoff indica que V - JR = 0. De ahI que V = l0Rsenwt = V0senwt donde V0 = IR es el voltaje pico. La figura 31lb también muestra el voltaje (curva gris) y Ia corriente (curva azul). Como Ia corriente es cero cuando el voltaje es cero y Ia corriente alcanza su valor pico al igual que el voltaje, se dice que Ia corriente y el voltaje están en fase. La energIa se transforma en calor (secciOn 25-7) a una rapidez promedio igual a

P=

0 = 'o sen Uit V = V0 sen wt

'cm R = Vcm/R. FIGURA 31-1 Conexión de un resistor conectado a una fuente de Ca. La corriente está en fase con el voltaje en el resistor.

Circuitos de CA que solamente contienen inductancia L En Ia figura 31-2a un inductor o inductancia L, que se representa con el sIrnbolo se conecta a una fuente de ca. Se ignora cualquier resistencia que pudiera tener el inductor (que normalmente es muy pequena). El voltaje que se aplica al inductor será igual a la fern que genera en el inductor la corriente cambiante, de acuerdo a Ia ecuaciOn 30-5. Esto es porque Ia suma de los cambios del potencial eléctrico en cualquier circuito cerrado debe ser cero, segün indica la ley de Kirchhoff. En consecuencia

VL

V

I

ConexiOn de un inductor a una fuente de ca. La corriente (curva delgada) está retrasada con respecto al voltaje (curva gruesa) por un cuarto de ciclo o 90°. FIGURA 31-2

L

=0

]

0 V

= L_d = oLl0coswt.

(a)

(31-2)

Al utilizar la identidad cosO = sen(O + 900) se tiene

V0 -,

V = wLl0sen(wt + 90°) = V0sen(wt + 90°) donde

(31-3a)

10

0

a

(31-3b)

V0 = I0wL

es el voltaje pico. La corriente I y el voltaje V en el inductor en función del tiempo se grafican en la figura 31-2b. De esta grfica, asi como de las ecuaciones 31-3, est claro que Ia corriente y el voltaje están fuera de fase en un cuarto de ciclo, que equivale a -/2 radianes o 90°. De la grfica se observa que en an inductor, Ia corriente está retrasada con respecto al voltaje en 90°. Es decir, la corriente en un inductor alcanza su valor pico un cuarto de ciclo después que el voltaje Ilega a su valor pico. En forma alternativa, Se puede decir que el voltaje se adelanta a Ia corriente por 90°. Como Ia corriente y el voltaje están desfasados en 90°, en el promedio la energIa no se transforma en otras formas de energIa en un inductor; en especial, no se disipa energIa como energIa térmica. La explicación de lo anterior se puede obtener a partir de Ia figura 31-2b. Del punto c al d, el voltaje aurnenta de cero a su valor máximo. Sin ernbargo, Ia corriente fluye en direcciOn opuesta al voltaje y se aproxirna a cero. La potencia prornedio en este intervalo, VI, es negativa. Pero de d a! e tanto V corno I son positivos, esta contribución equilibra Ia contribuciOn negativa del cuarto de ciclo anterior. En el resto del ciclo se aplican consideraciones sirnilares. En consecuencia, Ia potencia promedio que se transforma en uno o varios ciclos es cero. Se puede observar que Ia energIa que proviene de Ia fuente pasa al campo magnético del inductor, donde se almacena en forma temporal. Luego el campo disminuye y Ia energIa se regresa a Ia fuente. Nada se disipa en este proceso. Compare esta situaciOn con un resistor, donde la corriente siempre fluye en Ia misma dirección que el voltaje y Ia energIa se transfiere hacia ci exterior de Ia fuente y nunca regresa. (El producto VI nunca es negativo.) La energIa no se almacena en el resistor, en cambio se transforma a energia térmica. SECCION 31-3

I = 'o sen wt

V = V0 cos wE

V0 sen (wt + 90°)

(b)

Circuitos de CA que solamente contienen inductancia L

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773

AsI como el resistor impide el flujo de Ia carga, el inductor impide el flujo de las cargas en una corriente alterna, debido a Ia fern (de sentido contrario) que se produce.

Para un resistor R, Ia corriente y el voltaje pico están relacionados de acuerdo a V0 = 10R. Para el inductor se tiene una relación similar:

valores máximos solamente, no valores en cualquier instante

Vo=IOXL

1

(314a)

donde, a partir de La ecuaciOn 31-3b (31-4b) XL = wL. El término XL se denomina reactancia inductiva (o impedancia) del inductor y es Mcii dernostrar que su unidad es el ohm. Normalmente se utiliza el término "reactancia" para

referirse solamente a las propiedades inductivas. Entonces el término "impedancia"

incluye las cualidades totales que "impiden" el paso de corriente en La bobina, Ia inductancia al igual que la reactancia que puede tener (en Ia sección 31-5 se analizará esto con más detalle). En la ausencia de cualquier resistencia (o capacitancia), Ia impedancia es igual a Ia reactancia. Las cantidades V0 e 1 en Ia ecuación 31-4a se refieren a los valores pico. (Aunque también esto es válido para valores rcm, Vm = XL.) Sin embargo, hay que mencionar lo siguiente: aunque esta ecuaciOn relaciona los valores pico, la corriente y el voltaje pico no se alcanzan al mismo tiempo, en consecuencia Ia ecuación 31-4a no es válida en cualquier instante en particular, como en el caso del resistor (V = IR).

Cabe indicar también que a partir de Ia ecuaciOn 31-4b, si w = 2irf = 0 (para

que la corriente sea cd), entonceS no existe fern inversa y no hay impedancia al flujo de la carga.

Reactancia de una bobina. La resistencia de una bobina es I 1.UU, SL ductancia es 0.300 H. Determine Ia corriente en Ia bobina si (a) se aplica un voltaje de 120 Vcd, (b) se aplica un voltaje de 120 Vca a 60.0 Hz.

(a) No hay reactancia inductiva (XL = 0 ya que f = 0), en consecuencia la resistencia es SOLUCION

= V

120V

= loon

= 120A.

(b) En este caso Ia reactancia inductiva es:

XL = 27rfL = (6.28)(60.0s1)(0.300H) = 113fl. En cornparaciOn a este valor, Ia resistencia de 1.00 1 se puede ignorar. Entonces Vç 120V 1. 06 A. rcm

XL -

-

[Existe la tentaciOn de indicar que la impedancia total es 113fl + ifl = 114fl. Esto implicarIa tan solo el 1 por ciento de la caIda de voltaje en ci inductor, o aproximadamente 1 V, en consecuencia la caIda de voltaje en el inductor serIa 119 V. Aunque la calda de voltaje de 1 Vrcm en ci resistor es un dato exacto, el resto de las afirmaciones no son válidas debido a la alteración en la fase del inductor. Esto se anaiizará en la secciOn 31-5.1

Circuitos de CA que solamente contienen capacitancia C Cuando se coriecta un capacitor a una baterIa, las placas del capacitor adquieren rapidamente cargas iguales pero de signo opuesto, pero en el circuito no fluye ninguna corriente estable. Un capacitor evita el flujo de las corrientes de cd. Sin embargo, si se conecta un capacitor a una fuente de voltaje alterno, como se indica en La figura 31-3a, Ia corriente aiterna fluirá en forma continua. Esto sucede porque Ia primera vez que se apaga ci voitaje de ca, Ia carga comienza a fluir por tanto una placa adquiere una carga negativa y Ia otra adquiere una carga positiva. Pero cuando ci voltaje se invierte, las cargas fluyen en direcciones opuestas. En consecuencia, cuando se aplica un voltaje de ca, Ia corriente de ca está presente en el circuito de manera continua. 714

CAPITULO 31

Circuitos de CA

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Ahora vamos a analizar esto con mayor detalle. De acuerdo a Ia ley del lazo de Kirchhoff, el voltaje que aplica en Ia fuente debe ser igual a! voltaje en el capacitor en cualquier comento: C

donde C es Ia capacitancia y Q es Ia carga en las placas del capacitor. Ahora la corrien-

te I en cualquier instante (que está dada por I = I sen dQ dl

WI) es

= I0senwt. V

De ahI que Ia carga Q en las placas en cualquier instante sea

ft

Q=

I

Jo

dQ =

ft I

Jo

I sen wt dt = -

I0 W

I = I sen WI V = -V0 cos WI = V0 sen (wt - 90°)

cos wt.

(b) FIGURA 31-3 ConexiOn de un capacitor a una fuente de ca. La corriente se adelanta a! voltaje en un cuarto de

Entonces el voltaje en el capacitor es

V = Q- = -Io C

(i\

wC )

ciclo o 90°.

coswt.

Al utilizar Ia identidad trigonométrica cos 0 = -sen (0 =

900)

se obtiene

'o() sen(wt - 90°) = V0sen(wt - 90°)

(31-5a)

donde V0

(31-Sb)

=

es el voltaje pico. La corriente I(= losenwi) y el voltaje V (ecuaciOn 31-5a) en el ca-

pacitor se grafican en la figura 31-3b. De la gráfica, y al comparar la ecuaciOn 31-5a con Ia ecuación 31-1, es claro que la corriente y el voltaje están fuera de fase en un cuarto de ciclo o 90° (17-12 radianes):

En un capacitor Ia corriente se adelanta al voltaje en 900. En forma alternativa se puede decir que el voltaje se retrasa con relación a la corriente en 90°. Esta es Ia situaciOn opuesta a lo que sucede con el inductor donde La corriente se retrasa con relaciOn al voltaje en 90°. Como la corriente y el voltaje están desfasados en 90°, Ia potencia promedio que se disipa es cero, como sucede con el inductor. La energIa que proviene de Ia fuente se alimenta al capacitor, donde se almacena en el campo eléctrico entre las placas. Conforme disminuye el campo, la energIa regresa a La fuente. En consecuencia, en un circuito de ca solamente Ia resistencia disipará energIa en forma de energIa térmica. La relaciOn entre el voltaje aplicado y Ia corriente en un capacitor se puede escribir en forma similar al caso de Ia inductancia: V0 = I0X

valores máximos solamente, [no valores en cuaLquier instante F

(31-6a)

donde X es Ia reactancia capacitiva (o impedancia) del capacitor, y su unidad es el ohm, X está determinada por (véase la ecuaciOn 31-5b)

X

1

(31-6b)

La ecuación 31-6a relaciona los valores pico de V e I, o los valores rcm (Vrcm = 'rcrn Xc).

Pero esta ecuación no es válida en un instante en particular ya que V e I estn fuera de fase.

SECCION 31-4

Circuitos de CA que solamente contienen capacitancia C 775

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Cabe indicar de Ia ecuaciOn 31-6b que para las condiciones de cd, & = 2i-f = 0 y X se vuelven infinitas. AsI es como debe ser, ya que una capacitancia pura no permite el paso de Ia corriente de cd. También hay que indicar que Ia reactancia de un inductor aumenta con La frecuencia, pero Ia reactaricia de un capacitor disminuye con Ia frecuencia. Reactancia de un capacitor. ,Cules son las corrientes pico y rcm en el circuito de La figura 31-3a si C = 1.OF y Vrcm = 120 V? Realice los cálculos

para (a) f = 60 Hz, (b) f = 6.0 X iO Hz. SOLUCION (a) V0 = \/ Vrcm = 170 V. Entonces

2irfC = (6.28)(6Os)(1.O X 106 F) =2.7kg.

En consecuencia

V0

170V

= Xc = 2.7 x io Vrcm

'rcm

(b) Para f = 6.0

X X

120V

2.7 x iOi

i0 Hz, X ser

cia en f es dramática.

r___Senal C

-: :cuIto 1.,

Señal

(b)

= 44 mA. , Jo = 630 A, e J,, = 440 A. La dependen-

Los capacitores se utilizan en una amplia variedad de propósitos, algunos de los cuales ya se han descrito. La figura 31-4 muestra dos aplicaciones adicionales. En 31-4a se dice que el circuito A está acoplado capacitivamente al circuito B. El propOsito del capacitor es evitar que el voltaje de cd pase de A a B, pero permite el paso de Ia señal de ca sin mayores problemas. Si el valor de C es suficientemente grande, Ia seflal de ca no se atenuará en forma considerable, pero se filtrará la senal de cd. El capacitor de Ia

figura 31-4b permite el paso de ca no asI de cd. En este caso se puede mantener un voltaje de cd entre los circuitos A y B. Si Ia capacitancia C es muy grande, el capacitor ofrecerá poca impedancia a Ia señal de ca que sale de A, Ia cual pasar a tierra en ]u

(a)

I

0.27

= 63 mA,

B

FIGURA 31-4 Dos usos comunes para Un capacitor. FIGURA 31-5

Crossover de un bafle.

gar de pasar por B. En consecuencia el capacitor de Ia figura 31-4b actüa como un fihtro cuando se requiere un voltaje constante de cd, cualquier variación en el voltaje pasará a tierra en vez de ir al circuito B. Los capacitores que se utilizan en las formas antes descritas son muy comunes en Los circuitos. Los bafles que tienen bocinas independientes para Los sonidos de alta y baja frecuencia utilizan un dispositivo sencillo, ci crossover, el cual utiliza inductores y capacitores para filtrar las frecuencias que Ilegan a cada bocina. Los sonidos de baja frecuencia llegan a una bocina cuyo diámetro es grande, que se conoce como woofer. Los sonidos

de alta frecuencia se envIan a La bocina de diámetro pequeno, que se conoce como tweeter. (Recuerde las ondas estacionarias del capItulo 16, los objetos pequefios que vibran tienen frecuencias de resonancia elevadas, mientras tanto los objetos grandes que vibran tienen frecuencias de resonancia inferiores.) El diagrama sencillo de Ia figura 31-5 muestra que La señal de salida del amplificador se envIa al tweeter y al woofer en paralelo. El capacitor en el circuito del tweeter impide el paso de las senales de baja frecuencia (como el capacitor de Ia figura 31-4a). El inductor en el circuito del woofer impide el paso de las señales de alta frecuencia (XL = 2ITfL) para que el woofer emita principalmente sonidos de baja frecuencia.

Salida del amplificador

Circuito de CA tipo LRC en serie FIGLIRA 31-6

Un circuito LRC.

Ahora se anahzará un circuito que contiene los tres elementos en serie, un resistor R, un inductor L y un capacitor C, figura 31-6. Si un circuito determinado contiene solamente dos de estos elementos, todavIa se pueden utilizar Los resultados de esta secciOn al hacer que R = 0, L = 0 o C = c (infinito) seg6n se requiera. VR, VL y V representan el voltaje en las terminales de cada elemento en un instante determinado de tiempo, VRO, VLO y V representan Los valores máximos (pico) de estos voltajes. El voltaje en cada

uno de los elementos seguirá las relaciones de fase que se analizaron en las secciones 776

CAPITULO 31

Circuitos de CA

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estará en fase con Ia corriente, VL se adelantará a Ia corriente en 90° y V se retrasará con respecto a Ia corriente en 900. En cualquier instante el voltaje que suministra la fuente ser, de acuerdo a Ia icy del lazo de anteriores de este capItulo. Es decir

VR

Kirchhoff,

V = V, +

VL

+ V.

(31-7)

Sin embargo, como los diferentes voltajes están desfasados no aicanzarán sus valores pico (o máximos) ai mismo tiempo, y ci voltaje pico de la fuente (V0) no será igual a VRO + VLO + V0. En consecuencia los voltajes rem (que son los voitajes que miden normalmente los voitImetros de ca) no se pueden sumar aritméticamente para obtener ci voitaje rem de la fuente. Ahora se va a anaiizar ci circuito en detalle. Lo que se desea caicular es La impedancia del circuito como un todo, Ia corriente pico I que fluye y ia diferencia de fase entre ci voitaje y Ia corriente de Ia fuente. Primero se observa que ia corriente en cualquier instante debe ser La misma en todos los puntos del circuito. En consecuencia, las corrientes en cada elemento están en fase una con otra, aunque los voltajes no lo estén. Se elige ci origen en el tiempo (t = 0) de tal forma que Ia corriente en cua!quier instante es

y 7L0 = IOXL

1 = I0senwt '0

como se reaLizó en las secciones anteriores de este capItuio. Ahora se anaiizará el circuito LRC utilizando ci ya conocido fasort: las flechas (que actUan en forma similar a los vectores) se dibujan en un sistema de coordenadas xy para representar Ia amplitud de cada voltaje. La Ion gitud de cada flecha representa Ia magnitud del voltaje pico en cada elemento: VRO = 10R,

VLO = JOXL,

x VRO=IOR

V0 10X (a)

V() =

Ei ángulo de cada flecha representa ia fase de cada voitaje con relaciOn a ia corriente, y las flechas giran a una velocidad angular w para tomar en cuenta Ia depcndencia en ci tiempo de ios voltajes y Ia corricnte. En especial, Ia proyección de cada fiecha en el eje y representará ci voitaje en cada elemento en un tiempo determinado. A continuaciOn vamos a anaiizar cOmo funciona esto:

,VRO =

VLO=IOXL

R

Primero se dibuja ci fasor para ci tiempo t = 0. La corriente en t = 0 es

x

/ = l0senwt = 0, y ia flecha se dibuja para representar I en La dirección positiva dci eje x en ci fasor, figura 31-7a. (Observe que ia proyección de 1 en ci eje y es cero, io quc corresponde a I = 0 en t = 0.) El voitaje en ci resistor siempre está en fase con Ia corriente, en consecuencia ia flecha que representa V0 se dibuja paralcia a 1 en el eje x como se indica. Como ci voitaje en el inductor VL se adelanta a Ia corriente en 90°, VLO se adelanta a VRO en 90°, y se dibuja perpendicular como se indica. V, se retrasa con respecto a ia corriente en 90°, de ahI que V0 se retrase con reiación a VRO en 90°, en consecuencia V,0 se dibuja en forma perpendicular a VRO, pero se dirige hacia abajo (figura 31-7a). Ahora bien, si se hace girar este diagrama como un todo a una frecuen-

cia anguiar w, cntonces se obtiene ci diagrama de Ia figura 31-7b: Después de un

V0 = IoXc (b)

VLO

---

VL

tiempo t, cada fiecha ha girado un ángulo wi. Entonces, como ya se mencionó antes, las

proyeccioncs de cada fiecha en ci eje y representan ci voltaje en cada elemento en ci instante t. Véase La figura 31-7c. Por cjempio, la proyeccion de VRO en ci eje y es VROsenwt (= I0Rsenwt = JR ya que I = /0senwt). Las proyccciones de VLO y V en = V0cOSwt = Vcosen(wt eiejey son VL = VLOcoswt = VLsen(wt + 90°),y

90°). Estos resultados son consistentes con los resuitados anteriores como se indica en las figuras 31-1, 31-2 y 31-3. Véanse también Las ecuaciones 31-3a y 31-5a. El hecho de mantener ci angulo de 90° entre cada vector asegura las relaciones adecuadas de fase. Aunquc estos hechos demuestran La validcz dcl diagrama de fasor, en realidad estamos intcresados en ia forma como se deben sumar Los voltajes.

VR

VRO

,J x

vci

vcO

(c)

Diagrama de fases (fasor) para un circuito scrie LRC. FIGURA 31-7

'En yes de esto se puede realizar el análisis si se reescribe Ia ecuación 31-7 como una ecuación diferencial (Se

hace que V = Q/C, V, = 1R = (dQ/dt)R, y VL = L d1/d(, y luego se resuelve Ia ecuación diferencial. La forma de ecuaciOn diferencial que se obtendria ser Similar a Ia ecuación 14-21 de Ia sección 14-8, (vibraciones forzadas) y se puede resolver en Ia misma forma. LOS fasores son mgs fáciles y at mismo tiempo proporcionan cierta información fisica de Ia situación.

SECCION 31-5

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Circuito de CA tipo LRC en serie

177

VLO

vco (VLO- Vc'o)

//

,/

La suma de las proyecciones de los tres vectores en el eje y es igual a la proyecciOn de su suma. Pero la suma de las proyecciones representa el voltaje instantáneo en todo el circuito, que es el voltaje de Ia fuente V. Entonces se puede hacer que La suma

VRO

vectorial de estos vectores sea el vector que representa ci voltaje pico de la fuente

(Ut

'0

x

V0 en el diagrama del fasor. Esto se muestra en Ia figura 31-8, donde se observa que V0 forma un angulo 4) con V0 e Jo. Conforme pasa el tiempo, V0 gira con los demás vectores, en consecuencia el voltaje instantáneo V (proyección de V0 en el eje y) es (véase La figura 31-8):

V = Vosen(wt + q). Diagrama de fases (fasor) para un circuito serie LRC, se indica el vector suma V0. FIGURA 31-8

En consecuencia se observa que el voitaje que proviene de Ia fuente está fuera de fase con Ia corriente en un ingulo 4). A partir de este anlisis se pueden obtener aigunas conciusiones ütiles. Primero se determina Ia impedancia total del circuito Z, Ia cual está definida por Ia relaciOn Vrcm = IrcmZ,

V0=10Z.

0

(31-8)

De Ia figura 31-8, a! utilizar el teorema de Pitágoras se tiene que

=

Vv0 + (VLo - v0)

=

IR2 + (I0XL

-

I0x)2

= I0R2 + (XL - x)2. En consecuencia de las ecuaciones 31-8, 31-4b y 31-6b,

Z=

+ (XL - x)2

(31-9a)

=IR2+/ L wC

(31-9b)

I

V

Esto proporciona Ia impedancia total del circuito Z. Además, de la figura 31-8 se puede determinar el ángulo de fase 4):

tan4) =

VLO-VC0I0(XL-Xc)xL_Xc 10R

VRO

R

0

cos4)=

VRO

V0

=

10R

R

10Z

Z

Observe que la figura 31-8 se dibujó para ci caso XL > X, y Ia corriente se retrasa con respecto al voltaje en 4). Si lo contrario es cierto, XL < X, entonces 4) de Ia ecuación 31-10 es inferior a cero, y Ia corriente se adelanta a! voltaje de Ia fuente. Por ültimo se puede determinar la potcncia que disipa ci circuito. Anteriormente se vio quc Ia potencia solamcnte es disipada por Ia resistencia: Ia inductancia o la capacitancia no disipan ninguna. En consecuencia, Ia potcncia promedio es P = 'm R. Pcro de Ia ecuación 31-lOb, R = Z cos 4). Por tanto

P = 1cmZcoS4) = JrcmVrcmcos4).

El factor cos se conoce como el factor de potencia del circuito. Para un resistor puro, cos 4) = 1 y P = 'rcm Vrcm. Para un capacitor o inductor solamente, 4) = -90° o +90° rcspectivamentc, en consecuencia cos 4) = 0 y no sc disipa potencia. Como comprobaciOn, observe que R = X = 0, entonces = 90°, y V0 se adelanta a Ia corriente en 90°, como debe suceder para un inductor solo. En forma similar, si R = L = 0, 4, = 90° y V0 se retrasa 90° con re!aciOn a Ia corriente, como debe suceder para un capacitor. 778

CAP1TULO 31

Circuitos de CA

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Claro est que Ia verificaciOn de este análisis es un experimento; el cual estarg completamente de acuerdo con estos resultados.t

Circuito LRC. Suponga que R = 25.0 ci, L = 30.0 mH y = i.0 pt en ia figura 31-6. Estos elementos se conectan a una fuente de 90 V ca (rcm) y 500 Hz. Calcule (a) La corriente en el circuito, (b) las lecturas del voltIme-

tro (rcm) en cada elemento, (c) el ángulo de fase 4, y (d) la potencia que se disipa en el circuito. SOLUCION 500 s1:

(a) Primero se calculan las impedancias individuales en f = 500 Hz =

XL = 27rfL = 94.2 ci, 1

2TrfC

Entonces

=26.5(1.

z = VR2 + (XL - x)2 = \/(25.0ci)2 + (94.2 ci

- 26.5(1)2 = 72.2 ci.

Dc la ecuacióri 31-8 'rcm

90.0 V

Vrcm

z = 72.2(1

1.25 A.

El voltaje rcm en cada elemento es (V)rcm = IrcmR = (1.25 A)(25.0 ci) = 31.2 V (VL)rcm = 1rcmXL = (1.25 A)(94.2ci)

118V

(Vc)rcm = IrcmXc = (1.25 A)(26.5 (1)

33.1V.

Observe que la suma de estos voltajes no es igual al voltaje de la fuente, 90.0 V(rcm). En vez de eso el voltaje rcm en la inductancia es superior al voltaje de Ia fuente. Esto puede suceder porque los diferentes voltajes están fuera de fase unos con otros, y en cualquier instante un voltaje puede ser negativo para compensar el valor de otro voltaje positivo. Sin embargo los voltajes rcm siempre son positivos por definiciOn. Aunque los voltajes rcm no tienen que sumar el mismo valor que el voltaje de Ia fuente, los voltajes instantáneos en cualquier instante se suman, y claro está que la suma de estos tiene que ser igual al voltaje de La fuente en ese instante. El ángulo de fase 4) est determinado por Ia ecuación 31lOb cos4)

R

25.0(1

= Z = 72.2 ci

= 0.346,

por tanto 4) = 69.7°. Observe que 4) es positivo porque en este caso XL > X, entonces 'v

> V en la figura 31-8.

P = JrcmVrcmCO54) = (1.25 A)(90.OV)(25.0fl/72.2fl) = 39.0W.

Al comienzo de esta secciOn se eligiO Ia fase de Ia corriente de tal forma que I = I0senwL Desde luego que esta elección es arbitraria. (Lo que es fIsicamente importante es Ia diferencia de fase 4) entre Ia corriente y el voltaje.) Si en vez de lo anterior se hubiera elegido V = V0senwt, entonces Ia corriente I serIa

I = Isen(ot

4')

donde 4) e I tendrIan los mismos valores que indican las ecuaciones 31-8, 31-9 y 31-10.

SECCION 31-5

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Circuito de CA tipo LRC en serie

779

Resonancia en los circuitos de CA La corriente rcm en un circuito LRC en serie está determinada por (véanse las ecuaciones 31-8 y 31-9): V

V

'rcm

z

(31-12)

\/R2 + (oiL

wC) Como La impedancia de los inductores y capacitores depende de Ia frecuencia f ( w/2ii-) de Ia fuente, La corriente en un circuito LRC dependerá de Ia frecuencia. De Ia ecuación 31-12 se puede observar que Ia corriente ser maxima a una frecuencia tal que

/

oiL-

1

wCJ

0.

Al resolver esta ecuación para w La solución es w0: = 'rcm

Para R pequeña

Para R grande

0 0.90 w0

1.10w0

FIGURA 31-9 Corriente en un circuito LRC en función de La

frecuencia, el pico de resonancia se en w = w0 = \/1/LC.

(31-13)

\/LC

Cuando w = w0, el circuito está en resonancia y f0 = wo/2ir es Ia frecuencia de resonancia del circuito. En esta frecuencia, Xc = XL, en consecuencia Ia impedancia es meramente resistiva y cos = 1. En Ia figura 31-9 se muestra una grafica de 'rcm versus w para valores particulares de R, L y C. Si R es pequena en comparaciOn de XL y X, el pico de resonancia sera elevado y afilado. Cuando R es muy pequefia el circuito se aproxima a! circuito puro LC que se analizO en Ia sección 30-5. La resonancia eléctrica es análoga a La resonancia mecánica, la cual se analizO en el capItulo 14. La energIa que Ia fuente transfiere al sistema es maxima en Ia resonancia, ya sea que se trate de resonancia eléctrica, la oscilación de un resorte, o los ejempbs de Ia sección 14-8. Esto es cierto en el caso eléctrico y se puede comprobar en la ecuación 31-11. En la resonancia cos4 = 1, e l,, es maxima. Cuando el voltaje Vrcm es constante, Ia potencia es maxima en Ia resonancia. Una gráfica de potencia versus picos de frecuencia es similar a La gráfica de corriente de La figura 31-9. La resonancia eléctrica se utiliza en muchos circuitos. Por ejemplo los receptores de radio y televisiOn utilizan circuitos resonantes para sintonizar las estaciones. La mayor parte de las frecuencias Ilegan al circuito, pero una cantidad considerable de corriente fluye solamente en las frecuencias que están cerca o en el valor exacto de Ia frecuencia de resonancia. L o C pueden ser variables para permitir Ia sintonfa de diferentes estaciones.

Oscilador de una estación de radio. Una estaciOn de radio tiene autorizaciOn para transmitir en una frecuencia de 1040 kHz. Si usted va a discñar un circuito receptor que sintonice esa estación, y cuenta con una bobina cuya inductancia es 4.0 mH, cuál es La capacitancia que se necesita?

SOLUCION El circuito sintonizado debe tener una frecuencia de resonancia de 1040 kHz. El uso de un inductor en serie con un capacitor realizará La Labor. Como La resonancia está en

/1

fo=ILc 1

usted necesita un capacitor cuyo valor sea C

780

CAPTULO 31

1

1

L(2-f0)2

(4.0 x 10-s H)(2->< 1.04 x 106 sI)2

Circuitos de CA

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= 5.85 X 1012F = 5.85 pF

*

Acoplamiento de impedancias El hecho de conectar un circuito eléctrico a otro es muy comün. For ejemplo, Ia antena de TV se conecta a un receptor de TV; un sintonizador de FM se conecta a un amplificador; Ia salida de un amplificador se conecta a una bocina; los electrodos de un ECG o EEG (electrocardiograma y electroencefalograma, que son trazos de las seflales que provienen del corazOn y cerebro respectivamente) se conectan a un amplificador o a un registrador. En la mayor parte de los casos es muy importante la transferencia mixima de potencia de un circuito a otro, con un mInimo de pérdidas. Esto se puede realizar cuando Ia impedancia de salida de un circuito está acoplada con la impedancia de entrada del otro.

Para demostrar porqué es cierto to anterior, vamos a considerar un circuito sen-

que solamente contiene resistencia. En Ia figura 31-10 la fuente del circuito 1 puede representar una fuente de alimentación, Ia salida de un amplificador, la sefial que procub

viene de una antena, Ia punta de prueba de un equipo de laboratorio, o un conjunto de electrodos. R1 representa Ia resistencia de este dispositivo e incluye la resistencia interna de Ia fuente. R1 se conoce como impedancia de salida (o resistencia) del circuito 1. La salida del circuito 1 se encuentra entre las terminales a y b, que a su vez están conectadas a Ia entrada del circuito 2. Esto puede ser un tanto complicado. R2 es Ia "resistencia equivalente de entrada" del circuito 2. La potencia que se entrega at circuito 2 es P = 12R2, donde I = V/(R1 + R2). For tanto

P -- IR2

V2R2

- (R1 + R2)2 Al dividir Ia parte superior e inferior del lado derecho por R se tiene

V

Fuente

devoltaje Circuito 1

R2

b Circuito 2

La salida del circuito de Ia izquierda es Ia entrada del circuito de ]a derecha. FIGURA 31-10

P= La pregunta es Ia siguiente: si Ia resistencia de Ia fuente es R1, qué valor debe tener R2 para transferir la potencia mixima al circuito 2? Para determinar lo anterior, se calcuIa la derivada de P con respecto a R2, y se iguala a cero: 0

dP

V2 (1 - R2/R1)

- dR2 - R (1

+ R2/R1)3 Esta expresión puede ser cero sOlo si (1 - R2/R1) = 0, o R2 = R1. En consecuencia, Ia potencia maxima se transmite cuando la impedancia de salida de un dispositivo es igual a Ia impedancia de enirada de otro dispositivo (el segundo). Esto se conoce como acoplamiento de impedancias. En un circuito de ca que contiene capacitores e inductores, las diferentes fases son importantes y el análisis es más complicado. Sin embargo se Ilega al mismo resultado: para maximizar Ia transferencia de potencia es importante el acoplamiento de las impedancias (Z2 = Z1). Además, se debe tener conocimiento de que se puede distorsionar en forma considerable una seflal. Por ejemplo, cuando se conecta un circuito adicional, éste puede hacer que el primer circuito entre en resonancia, o puede eliminar la resonancia a cierta frecuencia. Sin las consideraciones adecuadas en las impedancias que están involucradas, una persona puede efectuar mediciones que carezcan completamente de sentido. Normalmente, los ingenieros examinan estas consideraciones cuando diseflan un conjunto de aparatos. Han habido ocasiones en las que los investigadores han conectado entre si varias componentes sin tomar en cuenta el acoplamiento de sus impedancias, para luego anunciar un "descubrimiento nuevo" que posteriormente se determinO que era penoso debido a Ia falla en el acoplamiento de las impedancias, y dejO de ser el fenOmeno natural que habIan pensado. En algunos casos se utiliza un transformador para modificar una impedancia, de tal forma que se puede acoplar a otro circuito. Si Z, es la impedancia del secundario y *SECCION 31-7

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Acoplamiento de impedancias

781

Z, es Ia impedancia del primario, entonces pico o rcm de corriente y voltaje). De ahI que

= JZ, y V, =

(I y V son valores

(N'2

VI

Z - VI - N)

ya se han utilizado las ecuaciones 29-5 y 29-6 para un transformador. En consecuencia Ia impedancia se puede modificar con Ia ayuda de un transformador. Ciertos instrumentos, como son los osciloscopios, requieren solamente una señal de voltaje y muy poca potencia. En este caso Ia transferencia maxima de potencia no es tan importante y en consecuencia estos instrumentos pueden tener una impedancia de entrada elevada, lo que proporciona Ia ventaja de que el instrumento toma muy poca corriente y molesta lo menos posible al circuito original.

CA trifásica Normalmente las lIneas de transmisiOn están integradas por cuatro alambres, en vez de dos como usted podrIa esperar. Uno de estos alambres es tierra; los tres restantes se utilizan para transmitir la energia trifásica de ca, que Cs una superposiciOn de tres voltajes de ca que estan desfasados 120° entre Si: V1 = V0senwt

V2 = V0sen(wt + 21T/3)

V3 = Vosen(wt + 4ii-/3).

(Véase Ia figura 31-11.) Por qué se utiliza Ia energIa trifásica? Ya se vio en Ia figura 25-20 que Ia ca monofásica (por ejemplo el voltaje V1 en sI) entrega energIa a una carga en forma de pulsos. Se puede entregar un flujo mucho mas suave de energIa Si SC utiliza la alimentaciOn trifasica. Suponga que cada uno de los tres voltajes que integran una fuente trifásica se conectan a un resistor R. Entonces Ia potencia entregada es:

P= Se puede demostrar que esta energIa es constante e igual a 3V/2R, que es tres veces la potencia rem que entrega una fuente monofésica. El flujo suave de energIa hace que el equipo eléctrico opere con mayor facilidad. Aunque los hogares utilizan alimentación monofásica de Ca, Ia mayor parte de la maquinaria tipo industrial está diseñada para operar con alimentaciOn trifésica. Tres voltajes fuera IT radianes), en de fase en 1200 ( una IInea de alimentación trifásica. FIGURA 31-11

vI

7L

-\:

t(s) V2

'V3

Circuito trifásico. En un circuito trifásico hay 266 Vrcm entre Ia lInea 1 y tierra. ,Cuál es el voltaje rem entre las lIneas 2 y 3?

SOLUCION Se tiene

Vrcm = v0iV = 266 V. De ahI que V0 = 376 V. Ahora V3 - V2 = Vo[sen(wl + 4ir/3) - sen(wt + 2ir/3)] = 2V0sen()cos(2wt) pero se utiliza Ia identidad senA - senB = 2sen(A - B) cos(A + B). El voltaje

rem es

(V3 - V2)rcm

782

CAPiTULO 31

1

2V0sen

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IT

3

= \/(376V)(0.866) = 460 Vrms.

Resumen La capacitancia y La inductancia ofrecen cierta impedancia (o resLstencia) a! flujo de La corriente alterna, como sucede con La resistencia. Esta impedancia se conoce como reactancia X. Para La capacitancia y La inductancia La reactancia se define, como sucede con los resistores, como la constante de proporcionalidad entre el voltaje y Ia corriente (ya sea que se trate de valores rem o pico). En un capacitor

V0 = I0X, y en un inductor

En un circuito de ca tipo LRC en serie, la impedancia total Z se define como el equivalente de V = JR para Ia resistencia, ya sea V0 = 10Z o Vtçm = jrcmZ. Z se relaciona con R, C y L de acuerdo a

Z=

+ (XL - x)2.

La corriente en el circuito se retrasa (o adelanta) con respecto a! voltaje de Ia fuente en un ánguLo 4) que está determinado por cos4) = R/Z. En un circuito LRC solamente Ia resistencia disipa energIa con una rapidez

V0 = JOXL.

= 1crnZc0s4)

La reactancia de un capacitor disminuye con Ia frecuencia:

donde el factor cos 4) se conoce como factor de potencia.

X = 1/wC, donde w = 2-f, y f es Ia frecuencia. La reactancia de un inductor aumenta con Ia frecuencia:

Un circuito RLC en serie resuena a una frecuencia que está determinada por

wo -

XL = wL.

En un resistor Ia corriente siempre estará en fase con el

voltaje, pero esto no es cierto en los inductores y capacitores: en un inductor La corriente sé retrasa con relación al voltaje en 90°, y en un capacitor Ia corriente se adelanta al voltaje en 90°.

1

\/LC

0

fo---2r 27r\/LC (O

1

La corriente rem en el circuito es maxima cuando el voltaje aplicado tiene una frecuencia f. Mientras menor sea La resistencia R, el pico de resonancia será más grande y afilado.

Preq u ntas ,Bajo qué condiciones Ia impedancia de un circuito LRC es

Si cos 4) es inferior a cero, ecuación 31-11, esto indica que

minima? LPor qué se puede suponer que La corriente en un circuito LRC tendrá La misrna frecuencia que Ia fern aplicada?

plique.

En un circuito LRC, si XL > X se dice que el circuito es predominanternente inductivo. Si X > XL se dice que el circuito es predorninantemente capacitivo. Analice las razones de estos términos. ,Indican algo acerca de los valores relativos de L y C en una frecuencia determinada? ,Acaso los resuttados de Ia secciOn 31-5 se aproxirnan a los resultados adecuados que se esperan cuando w se aproxima a cero? jCuáles son los resultados esperados? Cuando un generador de ca se conecta a un circuito LRC, Lde dónde proviene La energIa en ültirna instancia? AdOnde va? LEn qué forma afectan los valores de L, C y R a Ia energIa que suministra el generador? Analice Ia validez de las dos leyes de Kirchhoff (secciOn 26-3) cuando se aplican a circuitos de ca que contienen varios lazos.

,Es posible que Ia potencia de salida instantánea de un generador de ca se conecte a un cirduito LRC aiin cuando esta p0tencia sea negativa? Explique. j,Puede indicar si Ia corriente en un circuito LRC se adelanta o se retrasa con respecto al voltaje aplicado si se conoce el factor de potencia cos 4)?

P < 0. LEsto puede suceder? LCos cb puede ser negativo? ExE] factor de potencia (cos 4)) depende de la frecuencia? LLa p0tencia disipada en un circuito LRC depende de la frecuencia? Cuál es el significado del signo de 4) (+ o )? Se trata de una convención o una regla fija? Describa brevemente en qué rnanera afecta la frecuencia de Ia fuente de fern a Ia irnpedancia de (a) una resistencia pura, (b) una capacitancia pura, (c) una inductancia pura, (d) un circuito LRC que está cerca de La resonancia (R pequena), (e) un circuito LRC que está lejos de Ia resonancia (R pequena).

Analice Ia respuesta de un circuito LRC conforrne R -* 0

cuando Ia frecuencia est (a) en resonancia, (b) cerca de resonancia, (c) lejos de resonancia. Hay disipación de energIa en cada caso? Analice las transformaciones de energia que ocurren en cada caso. i,Puede indicar si un circuito está o no en resonancia Si tiene el valor del factor de potencia, cos 4)? Un circuito resonante LRC se conoce corno circuito oscilador. LQue es lo que oscila? Compare Las oscilaciones de un circuito LRC con La vibración de una masa m en un resorte. LA qué corresponden L y C en el sistema rnecánico?

Preguntas

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783

Problemas F a una frecuencia de (a) 60 Hz, (b) 1.0 MHz? (I) ,A qué frecuencia un inductor de 22.0 mH tendrá una reactancia de 660 1? (I) A qué frecuencia un capacitor de 2.40 iF tendrS una reactancia de 6.70 kfl? (I) Realice una gráfica de Ia impedancia de un capacitor de 5.8 en función de Ia frecuencia, desde 10 Hz hasta 1000 Hz. Realice una grafica de Ia impedancia de un inductor de 5.00 mH en funciOn de Ia frecuencia, desde 100 Hz hasta 10,000 Hz. (1) Calcule La impedancia de, y Ia corriente rem, en una bobina de radio de 36.0 mH que se conecta a una Imnea de ca de 750 V (rcm), 33.3 kHz. Ignore Ia resistencia. ,CuáI será La inductancia L del primario de un transformador cuya entrada es 110 V a 60 Hz y Ia corriente que consume es 2.2 A? Suponga que no fluye corriente en el secundario. (II) (a) LCuál será Ia impedancia de un capacitor de 0.036 F que se conecta a una Ilnea de 22 kV (rcm) y 600 Hz? (b) jCuál será el valor pico de Ia corriente y su frecuencia? (11) En lugar de comenzar nuestro análisis de los circuitos de ca con La ecuación 31-1, suponga que hemos asumido que eL voLtaje externo era V = V0 sen wt. Demuestre que cuando este voltaje (a) se conecta solamente a un capacitor C, La corriente será I = wCV0 cos wi = wCV0 sen (wt + 90°), y (b) cuando (I) Cuá1 es La reactancia de un capacitor de 7.2

ta solamente a un inductor L, Ia corriente será I = -(V0/wL) coswt = (Vo/wL) sen(wi - 90°). (II) Una corriente I = 1.80 cos3771 (len amperes, ten segundos y el "ángulo en radianes") fLuye en un circuito LR tipo Sen

en el que L = 3.85 mH y R = 260 Ii CuáL es Ia potencia

disipada promedio? (II) Un capacitor se conecta en paralelo con cierto dispositivo B, como se muestra en La figura 31-4b, para eliminar las señales parásitas de alta frecuencia, pero debe permitir el paso de Ia corriente de lInea de 60 Hz con pocas pérdidas. Suponga que el circuito B de La figura 31-4b tiene una resistencia R = 400 1 conectada a tierra, y C = 0.35 tE ,,Qué porcentaje de La corriente de entrada pasani a través de C en vez de pasar por R si (a) Ia frecuencia es 60 Hz, (b) Ia frecuencia es 60,000 Hz?

(I) Un resistor de 1.20 kfl y un capacitor de 6.8 F se conectan en serie a una fuente de ca. Calcule La impedancia del circuito si Ia frecuencia de Ia fuente es (a) 60 Hz, (b) 60,000 Hz. (I) Un resistor de 90 kfl se conecta en serie con un inductor de 26.0 mH a una fuente de ca. Calcule La impedancia del circuito Si La frecuencia de Ia fuente es (a) 50 Hz, (b) 50.000 Hz. Para un voLtaje de 120 Vca 60 Hz, el flujo de una corriente

(IL) (a) CuáI será La corriente rcm en un circuito serie LR cuando se aplica un voltaje de 120 V, 60 Hz, donde R = 765 2 y L = 250 mI-i? (b) ,,Cuál será el anguLo de fase entre el voltaje y La corriente? (c) Cuánta potencia se disipa? (d) ,CuáLes serán Las lecturas de un voLtImetro rcm en R y L? (II) Un inductor de 35 mH que tiene una resistencia de 2.0 fi se conecta en serie con un capacitor de 20 j.tF a una fuente de 45 V, 60 Hz. CaLcule (a) La corriente rem, (b) eL ángulo de fase, (c) La potencia que disipa eL circuito.

(IL) Una bobina de 40 mH cuya resistencia es 0.80 ft se conecta a un capacitor y a una fuente de voLtaje de 360 Hz. LSi La corriente y eL voltaje están en fase, cuál será eL valor de C? (II) ,CuáI será La resistencia de una bobina si su impedancia es 335 ft y su reactancia es 45.5 fl?

(II) En el circuito LRC de La figura 31-6, suponga que I = J

senwt y V = V0sen(wt + c/). Determine Ia potencia instanninea que disipa eL circuito a partir de P = IV, utilice estas ecuacio-

nes y demuestre que en el promedio P = V0 l cos , Lo cual confirma La ecuación 31-11. (IL) Si V = V0sen wt, LcuáL será el valor promedio de V en (a) un ciclo completo, (b) La mitad de un cicLo? ,COmo se compara esto con Vrem?

(IL) Un circuito está integrado par un resistor de 150 ft en serie con inductor de 40.0 mH y un generador decade 60.0 V. La potencia que disipa el circuito es 15.5 W. CuáL es Ia frecuencia del generador? (II) ,CuáI es Ia impedancia total, el ángulo de fase, y Ia corriente rem en un circuito LRC que se conecta a una fuente de 800 Vrcm, 10.0 kHz si L = 32.0 mH, R = 8.70 kft, y C = 5000 pF?

Un capacitor de 3200 pF se conecta en serie con un inductor de 26.0 H cuya resistencia es 2.00 ft. ,CuáI es La frecuencia de resonancia del circuito? (1) Cuoil es La frecuencia de resonancia del circuito LRC del ejemplo 31-3? ,,Con qué rapidez se toma Ia energia del generador, en el promedio, a esta frecuencia? Un circuito LRC tiene L = 4.15 mH y R = 220 ft. (a) ,Qué valor debe tener C para generar La resonancia a 33.0 kHz? (b) LCuáL será La corriente mxima en La resonancia si el voltaje cxterno pica es 136 V?

(Ii) ,CuáL seni Ia corriente pico en eI problema 26 si el valor del capacitor se elige para que Ia frecuencia de resonancia sea el doble de Ia frecuencia aplicada de 33.0 kHz? (IL) Un circuito resonante que utiliza un capacitor de 220 tF debe resonar a 18 kI-Iz. EL inductor con nOcleo de aire debe ser un solenoide cuyas vueltas están cerca unas de otras, y debe embobinarse con 12.0 m de alambre aislado cuyo diámetro es 1.1 mm. Cuántas vueltas debe tenet el inductor? (II) (a) Demuestre que La osciLación de Ia carga Q en el capacitot de un circuito LRC tiene una amplitud

de 70 mA a través del cuerpo durante 1.0 s puede ser letal. ,CuáI debe ser Ia impedancia del cuerpo para evitar que esto suceda? (a) Cuál es Ia corriente rcm en un circuito RC tipo serie si R = 6.0 kfl, C = 0.80 F, y el voLtaje rem aplicado es 120 V a 60 Hz? (b) LCuáL es el ángulo de fase entre eL voltaje y La co-

rriente? (c) Cuil es La potencia que disipa el circuito? (d) ,Cules serlan Las lecturas de un voltImetro en R y C? 784

CAPITULO 31

Circuitos de CA

V0

=

(wR) +

(W2L

-

A qué frecuencia angular w' será máximo el valor de Q0? Compare eI resultado con un oscilador armónico amortiguado y analice su respuesta (véase también Ia pregunta 16 de este capituLo).

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(II) Demuestre que Ia anchura de un pico de resonancia, que se define como Ia diferencia en frecuencia (angular) entre dos fre \/R/L. está determinada por w cuencias donde I =

(II) (a) Determine una fOrmula para Ia potencia promedio P que se disipa en un circuito LRC en términos de L, R, C, w y V0. (b) A qué frecuencia es maxima La potericia? (c) Determine una fOrmula aproximada para el ancho del pico de resonancia en Ia potencia promedio, w, que es la diferencia entre dos frecuencias angulares, donde P tiene [a mitad de su valor mOximo. Suponga que el pica es puntiagudo.

(I) La salida de un amplificador ECG tiene una impedancia de 35 kIt, y se va a conectar a una bocina de 8.0 It con La ayuda de un transformador. j,Cudl deberd set Ia relaciOn de vueltas del transformador? (I) Un amplificador de audio tiene conexiones de salida de 411, 811 y 16 It. Si se van a conectar dos bocinas de 8 11 en paraLelo, a qué terminal se deben conectar?

Problemas generales Suponga que el circuito B de Ia figura 31-4a está formado por una resistencia R = 800 fl y una capacitancia C = 1.2 F. Este capacitor actuarO para eliminar Ia corriente de 60 Hz pero dejará pasar Ia senal de alta frecuencia de 60,000 Hz? Para compro-

bar lo anterior determine La caIda de voltaje en R para una senal de 130 mV cuya frecuencia es (a) 60 Hz, (b) 60,000 Hz. Una bobina de 230 mH cuya resistencia es 18.5 fl se conecta a un capacitor C y a una fuente de voltaje de 3360 Hz. Cuál debe ser el valor de C para que Ia corriente y el voltaje estén en fase?

Un circuito contiene dos elementos pero no se sabe si se trata de L, R a C. La corriente en este circuito es 5.6 A cuando se conecta a una fuente de 120 V, 60 Hz. La corriente estO retrasada

con relaciOn al voltaje en 50g. CuOles son los dos elementos y cud les son sus valores? Una bobina opera a 240 V y 60 Hz y consume 22.8 A. ,Cudl es La inductancia de La bobina? (a) LCudl serd Ia impedancia de un capacitor aislado de 0.038 F que se conecta a una Linea de 4.0 kV (rcm) de 700 Hz? (b) ,Cudl serd el valor pico de Ia corriente?

Un resistor de 3.5 kIt se conecta en serie con un inductor de 620 mH, ambos se energizan con una fuente de ca. ,A qué frecuencia se duplicard Ia impedancia con respecto a Ia impedancia a 60 Hz?

(a) ,Cudl serd Ia corriente rcm en un circuito RC si R = 8.80 kIt, C = 1.80 F, y el voltaje rcm aplicado es 120 V a 60 Hz?

En el andlisis del circuito serie LRC de Ia figura 31-6, suponga que V = V0 sen at. (a) Construya el diagrama de fasores, como el de La figura 31-8. (b) Escriba una fOrmula para La corriente I, defina todos los términos. Un voltaje V = 0.95 sen 754t se aplica a un circuito LRC (I estO en amperes, t en segundos, y el anguLo en radianes) donde L = 22.0 mH, R = 23.2 kIt y C = 0.30 F. (a) Cudl serO Ia impedancia y eL ángulo de fase? (b) ,Cudnta potencia se disipa en el circuito? (c) LCuál serd La corriente y el voltaje rem en cada elemento? Circuito de fihtro. La figura 31-12 muestra el circuito de un filtro sencillo que fue disenado para permitir el paso de voltajes de cd con minima atenuación, y eliminar tanto como sea posible, cualquier componente de ca (como el voltaje de Ilnea de 60 Hz que puede provocar ruido en un receptor estereofOnico). Suponga que V00 = V1 + V2, donde V1 es cd y V2 = V20 sen wE. Suponga ademds que cualquier resistencia es muy pequena. (a)

Determine Ia corriente que pasa por el capacitor, indique Ia amplitud y Ia fase (suponga que R = 0 y XL > Xc). (b) Demuestre que Ia componente de ca del voltaje de salida V,,ai es igual a (Q/C) - V1, donde Q es La carga en el capacitor en cualquier instante, y determine Ia amplitud y Ia fase de V2001 (c) De-

muestre que Ia atenuación del voltaje de ca es mayor cuando X << X, y calcule La relaciOn del voltaje de ca de salida con respecto al voltaje de entrada en este caso. (d) Compare el voltaje de salida de cd con el voltaje de entrada.

(6) ,Cuál es el ángulo de fase entre el voltaje y Ia corriente?, (c) LCuOI serd La potencia que disipa el circuito? (d) LCudles serOn las lecturas de un voltImetro en R y C? Una inductancia consume 2.5 A cd cuando se conecta a una baterIa de 36 V. Cuando se conecta a una lInea de 120 Vrcm, 60 Hz, consume una corriente de 3.8 A (rcm). Determine La inductancia y Ia resistencia de Ia bobina. El factor Q de un circuito resonante se puede definir como La relaciOn del voltaje en el capacitor (o inductor) con el voltaje en el resistor, en La resonancia. Conforme aumenta el factor Q, Ia curva de resonancia será mOs afilada y Ia sintonla serd mOs estrecha. (a) Demuestre que el factor Q estO determinado por

La ecuaciOn Q = (1/R)'./L/C. (b) ,A qué frecuencia de resonancia (sif0 = 1.0 MHz) debe ser el valor de L yR para producir un factor Q de 1000? Suponga que C = 0.010 E (c) LCudI

será el factor Q del circuito del ejempLo 31-3? [Nota: véase también el problema 53 del capftulo 30.] En un circuito serie LRC, Ia inductancia es 20 mH, Ia capacitancia es 50 nIF y Ia resistencia es 200 It. ,A qué frecuencia el factor de potencia serd 0.17?

IL

ThT'

Vent

1¶ C

Vsaj

I FIGURA 31-12

ProbLemas 46 y 47.

Demuestre lo siguiente: si el inductor L en el circuito de filtro de La figura 31-12 (probLema 46) es reemplazado par un resistor de valor elevado R, aOn existird una atenuaciOn significativa del voltaje de ca y poca atenuaciOn del voltaje de cd si el voltaje de entrada de cd es elevado y La corriente (y Ia potencia) son bajas.

Problemas generales

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785

Un resistor R, un capacitor C y un inductor L se conectan en paralelo a un generador de ca como se indica en La figura 31-13. La fern de Ia fuente es V = V0 sen t. Determine Ia corriente en funciOn del tiempo (inciuyendo Ia amplitud y Ia fase) (a) en el resistor, (b) en ci inductor, (c) en ci capacitor, (d) ,cuái es Ia corriente total que sale de Ia fuente? (Indique Ia amplitud 1 y La fase). (e) Determine Ia impedancia Z definida como Z = V0/10. (f) Cual será el factor de potencia?

Un inductor L está en serie con un resistor R. Ambos son cxcitados por una fuente de voltaje senoidal, Ia cual responde a La siguiente ecuaciOn diferencial:

V0senwt = L4+RI. Demuestre que La corriente que tiene La forma siguiente

I = I0sen(wt - cb) fluye en el circuito, para esto reaiice Ia sustituciOn directa en Ia ecuación diferencial. Determine Ia ampli-

tud de Ia corriente (Jo) y Ia diferencia de fase cb entre Ia

corriente y Ia fuente de voltaje. Para ci circuito de Ia figura 31-14, demuestre V = V0 sen t. Calcule Ia corriente en cada elemento dci circuito, asf como la impedancia total.

FIGURA 31-13

Probiema 48. FIGURA 3 1-14

Problema 53.

Suponga que un circuito serie LRC tiene dos resistores R1 y R2, dos capacitores C1 y C2, y dos inductores L1 y L2, todos es-

tos elementos están en serie. Calcule La impedancia total del circuito.

Determine Ia inductancia L del primario de un transformador cuya entrada es 220 V a 60 Hz cuando consume una corriente de 5.8 A. Suponga que no hay corriente en el secundario. Se tiene un electroimán pequefio que consume 300 W de un circuito residencial que opera a 120 V, 60 Hz. Con La ayuda de un multImetro de ca se determina que Ia unidad consume 4.0 A rem. ,Cuáles son los vaiores de La inductancia y su resistencia

Demuestre que si se cumple La condición R1 R2 = L/C en ci cir-

cuito de Ia figura 31-15, entonces La diferencia de potencial entre Los puntos a y b es cero para todas Las frecuencias.

interna.

786

CAPiTULO 31

Circuitos de CA

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R

b

jL


Estas antenas circulares, cada una de 25 m de diámetro, están dirigidas para captar ondas de radio del espacio exterior. Las ondas de radio son ondas electromagnéticas (EM) con frecuencias que van de unos cuantos cientos de Hz a cerca de 100 MI-li. Estas antenas están conectadas electrónicamente entre si para obtener mejores detalles. Veremos en este capItulo que Maxwell predijo Ia existencia de ondas EM con base en sus famosas ecuaciones. Las ecuaciones de Maxwell son en sí mismas un magnIfico resumen del electromagnetismo. Examinaremos también cOmo las ondas EM portan energIa y momentum lineal.

Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas culminación de Ia teorfa electromagnética en el siglo XIX fue la predicción, y Ia verificación experimental, de que las ondas de campos electromagneticos p0than viajar a través del espacio. Este logro abrió todo un nuevo mundo de comunicaciones, primero el telegrafo inalámbrico, y luego la radio y Ia television. Además, se produjo Ia espectacular predicciOn de que Ia luz es una onda electromagnetica. La predicción teórica de las ondas electromagnéticas fue el trabajo del fIsico escocés James Clerk Maxwell (1831-1879; figura 32-1), quien unificó, en una magnIfica teoria, todos los fenOmenos de La electricidad y el magnetismo. El desarrollo de Ia teorIa electromagnética a principios del siglo XJX por Oersted, Ampere, y otros no fue hecha realmente en términos de campos eléctricos y magnéticos. La idea de campo fue introducida tiempo después por Faraday, y no fue comOnmente usada hasta que Maxwell demostró que todos los fenómenos eléctricos y magnéticos podIan describirse usando sOlo cuatro ecuaciones que implican campos eléctricos y magnéticos. Dichas ecuaciones, conocidas como ecuaciones de Maxwell, son básicas para todo el electromagnetismo. Se consideran fundamentales en el mismo sentido en que las tres leyes de Newton del movimiento y La ley de Ia gravitaciOn universal lo son para La mecánica. En cierto sentido, se consideran aOn más fundamentales, ya que son consistentes con la teorIa de Ia relatividad (capItulo 37), mientras que las leyes de Newton no lo son. Como todo el electromagnetismo está contenido en este conj unto de cuatro ecuaciones, las ecuaciones de Maxwell son consideradas como uno de los grandes triunfos del intelecto humano. Antes de proceder a analizar las ecuaciones de Maxwell y las ondas electromagnéticas, primero tenemos que estudiar una nueva predicciOn de Maxwell, asi como la ley de Gauss sobre el magnetismo.

La

FIGURA 32-1 (1831-1879).

James Clerk Maxwell

787

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Campos eléctricos variables producen campos magnéticos; ley de Ampere y corriente de desolazamiento LeydeAmpère Oersted descubrió que un campo magnético es producido por una corriente eléctrica, y Ia relaciOn matemática está dada por Ia ley de Ampere (ecuación 28-3):

B dl =

PO'encI

,Es posible que los campos magneticos sean producidos también de alguna otra manera? Pues si un campo magnético variable produce un campo eléctrico, como vimos en Ia seccion 29-7, entonces tal vez el enunciado inverso sea cierto también: tin campo eléctrico variable producirá tin campo magnético. Si esto fuese cierto, se tendrIa una beJia simetrIa en Ia naturaleza. Trayectoria

"cerrada

- I r"Supethcie 1

/

Superficie 2

Ley de Ampere aplicada a dos superficies diferentes limitadas por Ia misma trayectoria cerrada. FIGURA 32-2

FIGURA 32-3 Descarga de un capacitor. Ninguna corriente de conducciOn pasa por Ia superficie 2. Un término adicional se necesita en La ley de Ampere.

Trayectona "cerrada

Superficie 1

\

Superficie 2

Para respaldar esta idea de que un campo eléctrico variable puede producir un campo magnético, usamos un razonamiento indirecto. De acuerdo con la ley de Ampère, dividimos cualquier trayectoria cerrada escogida en segmentos cortos dl, tomamos el producto punto de cada dl con el campo magnético B en ese segmento, y sumamos (integramos) todos esos productos sobre Ia trayectoria cerrada escogida. Esa suma será igual a p multiplicado por Ia corriente total I que pasa por una superficie limitada por Ia trayectoria de Ia integral de lInea. Cuando aplicamos la ley de Ampere al campo alrededor de un alambre recto (secciOn 28-4), imaginamos que Ia corriente pasa por el rea circular encerrada por nuestro Jazo circular y esa area es Ia superficie plana 1 mostrada en Ia figura 32-2. Sin embargo, podrIamos también usar la superficie 2 en forma de bolsa en Ia figura 32-2 como Ia superficie para la ley de Ampere, ya que Ia misma corriente I pasa por ella. Consideremos ahora Ia trayectoria cerrada circular para Ia situación de Ia figura 32-3, donde un capacitor se está descargando. La ley de Ampere funciona para Ia superficie 1 (la corriente I pasa por Ia superficie 1), pero no furiciona para la superficie 2, ya que ninguna corriente pasa por Ia superficie 2. Existe un campo magnético alrededor del alambre, por lo que el lado izquierdo de Ia ley de Ampere no es cero; sin embargo, ninguna corriente fluye por Ia superficie 2, por lo que el lado derecho es cero. Parece haber una contradicción en Ia ley de Ampere. Sin embargo, hay un campo magnetico preserite en Ia figura 32-3, solo si fluye carga hacia o desde las placas del capacitor. La carga cambiante sobre las placas significa que el campo eléctrico entre las placas está cambiando con el tiempo. Maxwell resolviO el problema de ausencia de corriente a través de Ia superficie 2 en La figura 32-3 al proponer que se requiere un término extra en La ley de Ampere implicando el campo eléctrico cambiante entre las placas. Veamos cul debe ser este término determinéndolo para el campo eléctrico variable entre las placas del capacitor en Ia figura 32-3. La carga Q en un capacitor de capacitancia C es Q = CV, donde V es Ia diferencia de potencial entre las placas. Recuérdese también que V = Ed, donde d es la (pequena) separaciOn de las placas y E es La intensidad (uniforme) del campo eléctrico entre ellas, e ignoramos cualquier dispersion del campo. También, para un capacitor de placas paralelas, C = e0A/d, donde A es el érea de cada placa (véase el capItulo 24). Combinando esto, obtenemos,

Q=

= 0AE.

=

Ahora, si la carga sobre Ia placa cambia a razOn de dQ/dt, el campo eléctrico cambia a una razOn proporcional. Esto es, diferenciando esta expresiOn para Q, tenemos:

dQ dt

788

CAP1TULO 32

dE

EOAd

Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagneticas

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Ahora dQ/dt es también La corriente de desplazamiento I entrando 0 saliendo del capacitor:

'dt

dQ

dE

dIE

oAdtodt

donde E = EA es el flujo elécfrico a través de Ia trayectoria cerrada (superficie 2 en Ia figura 32-3). Para que funcione la ley de Ampere para Ia superficie 2 en Ia figura 32-3, asI como para la superficie 1 (donde fluye la corriente I), escribimos:

B dl =

0 'end +

d dt

(32-1)

Esta ecuación representa Ia forma general de Ia ley de Amperet e incorpora la idea de Maxwell de que un campo magnético puede ser causado no sOlo por una corriente eléctrica ordinaria, sino también por un campo eléctrico variable o flujo eléctrico variable. Aunque llegamos a ella para un caso especial, Ia ecuaciOn 32i es válida en general. El Oltimo término a Ia derecha en La ecuaciOn 32-1 es usualmente rnuy pequeno y no es fácil de medir de manera experimental. Carga de un capacitor. Un capacitor con intervalo de aire de 30 placas circulares de area A = 100 cm2. Es cargado por una baterIa de 70 V a pF tieL través de un resistor de 2.0 fl. En el instante en que Ia baterla se conecta, el campo eléctrico entre las placas cambia más rápidamente. En este instante, calcule (a) Ia corriente que entra en las placas, y (b) la razOn de cambio del campo eléctrico entre las placas. (c) Determine el campo magnético inducido entre las placas. SupOngase que E es uniforme entre las placas en cualquier instante y que es cero en todos los puntos más allé de los bordes de las placas.

(a) En Ia sección 26-4 estudiamos los circuitos RC y vimos que la carga sobre un capacitor en proceso de ser cargado, como funciOn del tiempo, es SOLUCION

Q = CVo(i donde V0 es el voltaje de Ia baterIa. Para encontrar La corriente en I = 0, diferenciamos esto y sustituimos los valores V0 = 70V, C = 3OpF, R = 2.011:

dQ dt

CVO

t=0

RC

70V

10R2.Ocl =35A

Esta es Ia razón a Ia que la carga se acumula en el capacitor y es igual a Ia corriente que fluye en el circuito en este instante. (b) El campo eléctrico entre dos conductores muy cercanos entre 51 está dado por

E==

E

como lo vimos en el capItulo 21 (véase el ejemplo 21-12). Por consiguiente

dE dt

dQ/dt

35A

- 0A - (8.85 X 1012C2/Nm2)(1.0 X 10m)

= 4.0 x

1014 V/rn. s.

tEn realidad, hay un tercer término a Ia derecha para el caso en que un campo magnético es producido por materiales magnetizados. Esto se toma en cuenta cambiando p por e, pero estaremos interesados principalmente en los casos en que no se tiene presente material magnético. En presencia de un dieléctrico, es teemplazado por = Ke0 (vease Ia secciOn 24-5).

SECCION 32-1

Campos eléctricos variables producen campos magnéticos; ley de Ampere y corriente...

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789

A (cara de Ia placa del capacitor)

PQ 0000.

0 0 0 0-

(TPT -

dCJ?r

Bd1 =

®-rr

I

(c) Aunque no Jo probaremos, esperarlamos que las lIneas de B fuesen perpendiculares E y, por simetrIa, que fuesen cIrculos, como se muestran en la figura 32-4; esta es Ia misma simetrIa que vimos para la situación inversa de un campo magnético variable produciendo un campo eléctrico (sección 29-7, véase Ia figura 29-22). Para determinar B entre las placas, aplicamos la Icy de Ampere, ecuación 32-1, con la corriente 'end = 0: a

(hacia afu era del papel)

dt

Escogemos para nuestra trayectoria un cIrculo de radio r, con centro en el centro de la placa, siguiendo asI una lInea de campo magnético como la mostrada en la figura 32-4. Para r r0 (el radio de Ia placa) el flujo a través de un cIrculo de radio r es E(irr2), ya que E se supone uniforme dentro de las placas en cualquier instante. Entonces, de la ley de Ampere tenemos

Vista frontal de una placa circular de un capacitor de placa paralela. E entre las placas seflala hacia el observador; las lIneas de B son cIrculos. (Ejemplo 32-1.) FIGURA 32-4

B(2irr) = /LoEof(ITr2E) =

p001rr

Por consiguiente,

B=

/L00 dE

rd

2

[r

ro]

Suponemos E = 0 para r > r0, por lo que para puntos más allá del borde de las placas todo el flujo está contenido dentro de las placas (area = irr) y Dff = E1Tr. La ley de Ampere da entonces

B(2irr) = i.ocof(1TrE) =

p00Trr0-

0

oEor dE

B

2r

[r

dt

ro]

B tiene su valor máximo en r = r0 que, por cualquiera de las relaciones anteriores (usando r0 = \/A/ir = 5.6 cm), es B

=

ri00r0

2

dE dl

(4i X i0 T' m/A)(8.85 X 10-12 C2/N rn2)(5.6 x 102 m)(4.0 X 10 V/rn. s)

= 1.2 x 104T.

Este es un campo muy pequeflo y dura sOlo brevemente (la constante de tiempo RC = 6.0 X 10s) por lo que serIa muy difIcil de medir. Escribamos el campo magnético B fuera de las placas del capacitor del ejemplo 32-1 en términos de Ia corriente I que sale de las placas. El campo eléctrico entre las placas se puede escribir E = cr/e0 = Q/e0A, como lo acabamos de ver (parte b). Por consiguiente, B para r > r0 es, con dQ/dt = I, B

-

p00r dE 2r dl

-

ii0e0r 2r

I

ttoI

0rr - 2irr

Esta es Ia misma fOrmula para el campo que rodea a un alambre (ecuación 28-1). AsI, el campo B fuera del capacitor es el mismo que el que se encuentra fuera del alambre. En otras palabras, el campo magnético producido por ci campo eléctrico variable entre las placas es el mismo que el producido por Ia corriente en el alambre. 790

CAPITLILO 32


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Corriente de desplazamiento Maxwell consideró conveniente interpretar el segundo término a Ia derecha en la ecuación 32-1 como equivalente a una corriente eléctrica. Ella llamO corriente de desplazamiento, 'D Una corriente ordinaria I es liamada entonces una corriente de conducción. La ley de Ampere puede entonces escribirse como

B dl =

(32-2)

+ 1D)encl

donde d1)E

(32-3) dt El término "corriente de desplazamiento" se basO en una vieja teorla descartada; no se confunda usted: I, no representa un flujo de carga eléctricat ni tampoco hay un desplazamiento. =

Ley de Gauss para el maqnetismo Estamos casi en una posiciOn de poder establecer las ecuaciones de Maxwell, pero primero tenemos que analizar el equivalente magnético de la ley de Gauss. Como vimos en el capItulo 29, para un campo magnético B, el flujo mcignétiCO 'B a través de una superficie se define como

=

fB

dA

donde la integral es sobre el area de una superficie abierta o cerrada. El flujo magnético a través de una superficie cerrada, es decir, una superficie que encierra completamente un volumen, se escribe (1)8 =

B dA.

En el caso eléctrico, vimos en La secciOn 22-2 que el flujo eléctrico 1)E a través de una superficie cerrada es igual a Ia carga neta total Q encerrada por la superficie, dividida entre (ecuación 22-4):

E dA =

0

Esta relaciOn es Ia ley de Gauss para la electricidad. Podemos escribir una relación similar para el flujo magnético. Sin embargo, hemos visto que a pesar de bflsquedas intensas, jamás se han observado polos magnéticos aislados (monopolos), esto es, el equivalente magnético de simples cargas eléctricas. Por consiguiente, Ia ley de Gauss para el magnetismo es

B dA = 0.

(32-4)

LIneas de campo magnético para una barra imantada. FIGURA 32-5

En términos de IIneas de campo magnético, esta relación nos dice qué tantas ilneas entran como salen al volumen encerrado. Si los monopolos magnéticos no existen, entonces no hay "fuentes" o "sumideros" donde las Ilneas de campo magnético se inicien o se detengan, tal como las lmneas de campo eléctrico se inician en cargas positivas o se detienen en cargas negativas. Las lIneas de campo magnético deben ser entonces continuas. Ain para una barra imantada existe un campo magnetico B tanto dentro como fuera del material magnético, y las lIneas de B son lazos cerrados, como se muestra en Ia figura 32-5. La interpretaciOn del campo eléctrico variable como una corriente de desplazamiento concuerda bien con nuestro análisis en el capItulo 31 donde vimos que una corriente alterna parece pasar por un capacitor (aunque no La carga). También significa que Ia regla del punto de Kirchhoff será válida aun en una placa de capacitor: pues La corriente de conducción fluye hacia La placa, pero ninguna corriente de conducciOn fluye hacia afuera de Ia placa. Más bien una "corriente de desplazamiento" fluye desde una placa (hacia Ia otra).

SECCION 32-2

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Ley de Gauss para el magnetismo

791

Ecuaciones de Maxwell Con Ia extensiOn de la ley de Ampere dada por Ia ecuaciOn 32-1 más Ia ley de Gauss para el magnetismo (ecuación 32-4), estamos ahora listos para establecer las cuatro ecuaciones de Maxwell. Las hemos visto todas antes en los pasados capItulos. En ausencia de materiales dieléctricos o magnéticos, las ecuaciones de Maxwell son:

ECL)ACIONES

DL AI4XWELL

EdA = 0Q BdA = 0

(32-5a) (32-5b)

Edl = dB dt 5Bd1 =

(32-5c) dt

(32-5d)

Las primeras dos ecuaciones de Maxwell son simplemente Ia ley de Gauss para Ia electricidad (capItulo 22, ecuaciOn 22-4) y la ley de Gauss para el magnetismo (secciOn 32-2, ecuación 32-4). La tercera es Ia ley de Faraday (capftulo 29, ecuaciOn 29-2) y Ia cuarta es la ley de Ampere modificada por Maxwell (ecuación 32-1). (Suprimimos los subIndices por simplicidad.)

Ellas se pueden resumir en palabras: (1) una forma generalizada de la ley de

Coulomb, relacionando el campo eléctrico a sus fuentes, o cargas electricas; (2) lo mismo para el campo magnético, excepto que Si 110 hay monopolos magneticos, las lIneas de campo magnético son continuas, esto es, no comienzan o terminan (como lo hacen las lIneas de campo eléctrico en las cargas); (3) un campo eléctrico es producido por un campo magrletico variable; (4) un campo magnético es producido por una corriente eléctrica o por un campo eléctrico variable. Las ecuaciones de Maxwell son las ecuaciones básicas para todo el electromagnetismo. Todo el electromagnetismo est contenido en este conjunto de cuatro ecuaciones. Son tan fundamentales como las tres leyes del movimiento de Newton y Ia ley de Ia gravitación universal. En capItulos previos hemos visto que podemos tratar los campos eléctricos y magnCticos por separado si no varIan con el tiempo. Pero no los podemos tratar de manera independiente si cambian con el tiempo, ya que un campo magnCtico variable produce un campo elCctrico, y un campo eléctrico variable produce un campo magnético. Un resultado importante de esas relaciones es la producciOn de ondas electromagnéticas.

Producción de ondas electromagneticas I

o

®

FIGURA

oitT O

bién variable. Este campo eléctrico variable producirá a su vez un campo magnético

-1

+1 B es hacia afuera

De acuerdo con Maxwell, un campo magnetico será producido en el espacio vaclo si hay un campo eléctrico variable. De esto, Maxwell derivO otra sorprendente conclusiOn. Si un campo magnético variable produce un campo eléctrico, ese campo eléctrico será tam-

0 0

®

I- 0

B es

0

adentro

32-6 Campos producidos

por carga fluyendo en conductores. Toma tiempo para los campos E y B viajar hacia afuera a puntos distantes.

192

CAPITULO 32

que a su vez será variable y producirá un campo eléctrico variable, etc. Cuando Maxwell manipulO sus ecuaciones, encontrO que el resultado neto de esos campos variables interactuantes era una onda de campos eléctricos y magnéticos que puede realmente propagarse (viajar) por el espacio. Examinaremos ahora, de manera simplificada, cOmo tales ondas electromagnéticas pueden ser producidas. (En Ia sección 32-5 las examinaremos más cuantitativamente.)

Consideremos dos barras conductoras que servirán como una "antena", figura 32-6a. Supongase que esas dos barras están conectadas por un interruptor a las terminales opuestas de una baterIa. Tan pronto como el interruptor se cierra, Ia barra superior se carga positivamente y Ia inferior se carga negativamente. Las IIneas de campo eléctrico se forman como se iridica por los cIrculos en Ia figura 32-6b. Cuando las cargas fluyen, existe una corriente cuya dirección está indicada por las flechas. Se produce por tanto un campo magnético cerca de Ia antena. Las lIneas de campo magnético encierran


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los alambres y por consiguiente, en el piano de la página, B seflala hacia el papel (®) a Ia derecha y hacia afuera del papel (0) a Ia izquierda. Preguntamos ahora, ,qué tan lejos se extienden esos campos eléctricos y magneticos? En el caso esttico, los campos se extienden hacia afuera iridefinidamente lejos. Sin embargo, cuando el interruptor en la figura

32-6 se cierra, los campos rápidamente aparecen en Ia cercanla, pero les toma tiempo aicanzar puntos distantes. Ambos campos, ei eléctrico y el magnético, almacenan energla y esta energIa no puede ser transferida a puntos distantes con rapidex infinita. Veremos ahora la situación de Ia figura 32-7 donde nuestra antena está conectada a un generador de ca. En Ia figura 32-7a, la conexión ha sido justamente estabiecida. La carga empieza a acumularse y los campos se forman como en Ia figura 32-6. Los signos + y - en Ia figura 32-7a indican Ia carga neta en cada barra. Las flechas negras indican Ia direcciOn de Ia corriente. El campo eléctrico es representado por las curvas en el plano de Ia pagina; y el campo magnético, de acuerdo con la regla de Ia mano derecha es hacia (®) o saliendo (0) de Ia página. En Ia figura 32-7b, el voltaje del generador de ca ha invertido su dirección, asI como la corriente y el nuevo campo magnético. Como los nuevos campos han cambiado de dirección, las ilneas viejas se pliegan para conectarse a algunas de las lIneas nuevas y forman lazos cerrados como se muestra.t Sin embargo, los campos viejos no desaparecen repentinamente, están en camino a puntos distantes. Como un camP0 magnético variable produce un campo eléctrico, y un campo eléctrico variable produce un campo magnético, esta combinaciOn de campos eléctricos y magneticos variables que se mueven hacia afuera es autosoportante y no depende más de las cargas en Ia antena. Los campos no lejanos de Ia antena, ilamados campo cercano, se vuelven muy complicados, pero no estamos interesados en ellos. Nos interesan más bien los campos alejados de Ia antena (ellos son en general lo que detectamos), a los que llamamos el campo de radiación. Las lIneas de campo eléctrico forman lazos, como se muestra en la figura 32-8, y continüan moviéndose hacia afuera. Las lineas de campo magnético también forman lazos cerrados, pero no se muestran ya que son perpendiculares a Ia pagina. Aunque las Ilneas se muestran sOlo a Ia derecha de Ia fuente, los campos también viajan en otras direcciones. Las intensidades de campo son maximas en direcciones perpendiculares a las cargas oscilantes, y caen a cero a lo largo de Ia direcciOn de la oscilación, arriba y abajo de Ia antena en Ia figura 32-8. Se encontró que las magnitudes de E y B en el campo de radiación decrecen con Ia distancia hr. (Compare esto con el campo eléctrico estático dado por Ia ley de Coulomb donde E decrece con hr2.) La energIa ilevada por la onda electromagnetica es propor-

Secuencia que muestra campos eléctricos y magnéticos que se dispersan hacia afuera a partir de cargas oscilantes sobre dos conductores conectados a una fuente de ca (véase el texto). FIGURA 32-7

cional (como para cualquier onda, capItulo 15) a! cuadrado de la amplitud, E2 o B2, como

veremos en la sección 32-7, por lo que La intensidad de la onda decrece con hr2. Varias cosas acerca del campo de radiación pueden notarse en Ia figura 32-8. Primero, los campos eléctrico y magnético en cualquier p unto son perpendiculares entre si y a Ia dirección del movimiento. Segundo, podemos ver que los campos alternan su direcciOn

(B entra a Ia página en algunos puntos y sale de la página en otros, y similarmente para E). AsI, Ia intensidad de los campos varla de un máximo en una dirección, a cero, a un máximo en la otra dirección. Los campos eléctrico y magnético están "en fase", esto es, son cero en los mismos puntos y alcanzan sus máximos en los mismos puntos en el espacio. Finalmente, muy lejos de la antena (figura 32-8b) las Ilneas de campo son bastante planas sobre un area razonablemente grande, y a las ondas se les llaman ondas planas.

tEstamOs considerando ondas que viajan por el espacio vaclo, por 10 que no hay cargas para las lIneas de E donde éstas comiencen o se detengan, y formen entonces lazos cerrados. Las lineas de campo magnético siempre forman lazos cerrados ya que parece no haber polos magnéticos (separados).

(a) Los campos de radiaciOn (lejos de Ia antena) producidos por una señal senoidal sobre Ia antena. Los lazos cerrados representan lIneas de campo eléctrico. Las lIneas de campo magnético, perpendiculares a la página y representadas por ® y 0, también forman lazos cerrados. (b) Muy lejos de La antena, los frentes de onda (lIneas de campo) son esencialmente pianos sobre un area bastante grande, y son llamados ondas planas. FIGURA 32-8

DirecciOn .1

Antena

viaje

(a)

SECCION 32-4

ProducciOn de ondas electromagnéticas

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193

FIGURA 32-9 Intensidades de campo eléctrico y magnético en una onda electromagnética. E y B están en angulos rectos entre si. El patron total se mueve en una direcciOn perpendicular a E y a B.

/

Si el voltaje fuente varfa senoidalmente, entonces las intensidades en los campos eléctrico y magnético en el campo de radiaciOn variarOn también senoidaimente. El CarOcter senoidal de las ondas se muestra en la figura 32-9 donde las intensidades de cam0 estOn graficadas como funciOn de Ia posición. NOtese que B y E son perpendiculares entre si y a la direcciOn de viaje, como se indicO arriba. Liamamos a esas ondas, ondas electromagnéticas (EM). Son ondas transversales y se parecen a otros tipos de ondas (capItuio 15). Sin embargo, las ondas EM son siempre ondas de campos, no de materia como las ondas en el agua o en una cuerda. Como son campos, las ondas EM se pueden propagar en el espacio vacIo. Hemos visto en el análisis anterior que las ondas EM son producidas por cargas eléctricas que oscilan en una antena, y por consiguiente estOn siendo aceleradas. De hecho, podemos decir en general que las cargas eléctricas aceleradas dan lugar a ondas electromagnéticas. Las ondas eiectromagneticas se pueden producir también de otra manera, Ia cual requiere Ia descripciOn de los niveles atOmicos y nucleares, que veremos después. E

y

x

7-----;

V

-

A

DirecciOn del movimiento de la onda

B

Ondas electromagneticas, y su rapidez, a partir de las ecuaciones de Maxwell Examinemos ahora cOmo Ia existencia de las ondas EM se deriva de las ecuaciones de Maxwell. Veremos que Ia predicciOn de Maxwell de Ia existencia de las ondas EM fue sorprendente. Igualmente sorprendente fue la predicción de Ia rapidez a Ia que viajan. Comenzamos considerando una region de espacio libre, donde no hay cargas ni corrientes de conducción, esto es, lejos de Ia fuente de manera que los frentes de onda (las lIneas de campo en Ia figura 32-8) son esencialmente pianos sobre un area razonable. Se Ilaman entonces ondas planas, esto es, que en cualquier instante, E y B son uniformes sobre un piano razonablemente piano perpendicular a la direcciOn de propagaciOn. Suponemos también, en un sistema coordenado particular, que Ia onda estO viajando en Ia dirección x con velocidad v = vi, que E es paralelo al eje y, y que B es paralelo al eje z, como en Ia figura 32-9. Las ecuaciones de Maxwell, con Q = I = 0, son entonces E

dA = 0

B dA = E

(32-6a) (32-6b)

0

dI= dB

B dl =

dt

dcIE dt

(32-6c)

(32-6d)

NOtese Ia hermosa simetrIa de estas ecuaciones. El término a la derecha en la Oltima ecuación, concebida por Maxwell, es esencial para esta simetria. Es también esencial para que se produzcan ondas electromagnéticas, como veremos ahora. 794

CAPITULO 32


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Si Ia onda es senoidal con longitud de onda A y frecuencia f, entonces, como vimos en el capItulo 15, sección 15-4, una tal onda viajera se puede escribir como

donde

E = E = E0sen(kx - wE) B = B = B0sen(kx - wt)

k=

w=2irf,

(32-7)

y

fA==v,

(32-8)

en donde v es Ia rapidez de Ia onda. Aunque visualizar la onda como senoidal es conveniente, no tendremos que suponer esto en lo que sigue. Consideremos ahora un pequeno rectánguio en ci piano del campo eléctrico como se muestra en Ia figura 32-10. Este rectángulo tiene una altura finita iy y un ancho muy deigado que lo tomamos como la distancia infinitesimal dx. Para mostrar que E, B, y v están en la orientaciOn mostrada, aplicamos Ia ley de Lenz a este lazo rectangular. El flujo magnético variable a través de este lazo está relacionado con el campo eléctrico alrededor del lazo por la ley de Faraday (tercera ecuación de Maxwell, ecuación 32-6c).

Para el caso mostrado, B a través del lazo está decreciendo con el tiempo (Ia onda

se mueve hacia Ia derecha). El campo eléctrico debe tener entonces una dirección que se oponga a este cambio, o sea que E debe ser mayor del lado derecho del lazo que del izquierdo, tal como se muestra (para que produzca una corriente antihoraria cuyo campo magnético actiie oponiéndose al cambio en clB, pero por supuesto que no hay corriente). Este breve razonamiento muestra que Ia orientación de E, B y v tienen Ia relación correcta asI como se muestra. Esto es, v está en la dirección de E >< B. Apliquemos ahora Ia ley de Faraday, que es Ia tercera ecuaciOn de Maxwell (ecuación 32-6c),

E dl =

FIGURA 32-10

Apiicación de Ia icy

de Faraday al rectangulo (y)(dx).

dB di

al rectánguio de aitura Iy y ancho dx mostrado en la figura 32-10. Primero consideradl. A lo argo de las cortas secciones superior e inferior de longitud dx, E es mos perpendicular a dl, por lo que E dl = 0. A lo largo de los lados verticales, hacemos E ci campo eléctrico a lo largo del lado izquierdo, y sobre el lado derecho, donde será ligeramente mayor, lo hacemos E + dE. Entonces, si tomamos el lazo en sentido antihorario,

Edl = (E+dE)y-Ey = dEy. Para el lado derecho de Ia Icy de Faraday, el fiujo magnético a través deJ lazo cambia segCin

dB dB =-dxLy, di

ya que el rea del lazo, (dx)(z\y) no cambia. AsI, la ley de Faraday nos da

dEzy = -dxy 0

dE

dx -

di

En realidad, E y B son furiciones de la posición x y del tiernpo t. Debemos por tanto usar derivadas parciales: 0E 8x

-

(32-9)

8t

donde aE/ax significa Ia derivada de E con respecto a x mientras t se mantiene constante, y aB/at es la derivada de B con respecto a t mientras x se mantiene constante. SECCION 32-5

Ondas electromagnéticas, y su rapidez, a partir de las ecuaciones de Maxwell

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795

1JY

Aplicación de Ia cuarta ecuaciOn de Maxwell FIGURA 32-11

al rectángulo (z)(dx).

Podemos obtener otra importante relación entre E y B en adiciOn a Ia ecuaciOn 32-9. Para hacerlo, consideremos ahora un pequeno rectángulo en el piano de B, cuya longitud y ancho sean LIz y dx, corno se muestra en la figura 32-11. A este lazo rectangular aplicamos la cuarta ecuaciOn de Maxwell (la extensiOn de la ley de Ampere):

dE

B dl =

dl donde hemos tornado / = 0 ya que suponemos Ia ausencia de corrientes de conducción. A lo largo de los lados cortos (dx), B dl es cero ya que B es perpendicular a dl. A lo largo de los lados largos (LIz), B es el campo magnético a lo largo del lado izquierdo de longitud LIz, y B + dB es el campo a lo largo del lado derecho. De nuevo integramos en sentido antihorario, y

B dl = B LIz - (B + dB) LIZ = dB LIZ. El lado derecho de la cuarta ecuación de Maxwell es =

P0Odl

dE

100dx LIz.

Igualando las dos expresiones, obtenemos dE

dB LIz = /ioojdx LIz 0

(32-10)

=

donde hemos reemplazado dB/dxr y dE/dI por las derivadas parciales apropiadas, igual que antes.

Podemos usar las ecuaciones 32-9 y 32-10 para obtener una relación entre las

magnitudes de E y B, y la velocidad v. Sean E y B dadas por las ecuaciones 32-7 como funciOn de x y I. Cuando aplicamos Ia ecuaciOn 32-9, tomando las derivadas de E y B como son dadas por las ecuaciones 32-7, obtenemos

kE0cos(kx - WI) = wBocos(kx 0 E0

W

y BE están en fase, vemos como v = w/k (véase Ia ecuaciOn 32-8 o la 15-12). Como que E y B están relacionadas por E -

(32li)

=v

en cualquier punto del espacio, donde v es Ia velocidad de la onda. Ahora aplicarnos La ecuaciOn 32-10 a los campos senoidaies (ecuaciones 32-7) y obtenemos

kB0cos(kx - WI) = io0WE0cos(kx - WI) 0 B0

E0 196

CAPITULO 32

=

/i0E0W

k

= /L0E0V.


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Pero B0/E0 = 1/v de la ecuaciOn 32il, por lo que 1

/J,00V = 0 1

V=

(32-12)

V o /to

AsI, Ia velocidad de las ondas electrornagnéticas en el espacio libre es una constante, independiente de Ia longitud de onda o de Ia frecuencia. Si le damos valores a y encontramos

v=

1

Ve0/Lo - V(8.85 x 1012C2/N.m2)(4 X 107T.rn/A) = 3.00 x 108 rn/s.

Este es un resultado sorprendente, pues es precisamente igual a Ia velocidad medida de Ia luz.

* Obtenciôn de Ia velocidad de Ia Iuz (en general) Podernos obtener la velocidad de las ondas EM sin tener que suponer ondas senoidales,

combinando las ecuaciones 32-9 y 32-10 corno sigue. Tomamos la derivada con respecto a t de Ia ecuaciOn 32-10 a2B

92E L0

atax -

at2

Luego tomamos Ia derivada de Ia ecuación 32-9 con respecto a x: a2E

a2B

ax2 -

atax

Corno a2B/at ax aparece en ambas relaciones, obtenernos 2E at2

=

1

a2E

p00 ax2

(32-13a)

Tomando otras derivadas de las ecuaciones 32-9 y 32-10, obtenemos Ia misma relaciOn para B: 2B

1

2B

at2 - /.L00 ax2

(32-13b)

Ambas ecuaciones 32-13 tienen La forma de Ia ecuación de onda para una onda plana viajando en la dirección x, a2y at2

2a2y

- V ax2'

corno vimos en Ia sección 15-5 (ecuación 15-16). Vemos que Ia velocidad v está dada por

=

1

IL0 0

de acuerdo con La ecuación 32-12. Vernos asf que un resultado natural de las ecuaciones de Maxwell es que E y B obedecen la ecuaciOn de onda para ondas viajando con rapidez v = l/VILOEo. Fue con base en esto que Maxwell predijo La existencia de las ondas electrornagnéticas. SECCION 32-5

Ondas electromagneticas, y su rapidez, a partir de las ecuaciones de Maxwell

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791

La Iuz como onda electromagnética

"el esoectro electromarnético Los cálculos en Ia secciOn 32-5 dieron el resultado que Maxwell mismo determinO: que Ia velocidad de las ondas EM es de 3.00 >< l0 m/s, misma que Ia velocidad medida para Ia luz.

Se habIa mostrado hace unos 60 años que La luz se comporta corno una onda (veremos esto en el capItulo 35). Pero nadie sabIa qué clase de onda era, esto es, 1que es lo que oscila en una onda de luz? Maxwell, con base en Ia velocidad calculada de las ondas EM, considerO que Ia luz debe ser una onda electrornagnética. Esta idea pronto fue aceptada generalmente por los cientIficos, pero no plenamente sino hasta que las ondas EM fueron detectadas experimentalmente por Heinrich Hertz (1857-1894) en 1887, ocho años después de Ia muerte de Maxwell. Hertz usO un aparato centellador en el que Ia carga se desplazaba de ida y vuelta durante un cierto tiempo pequeflo, generando ondas cuya frecuencia era de aproximadarnente iO Hz. El las detectO a cierta distancia usando un lazo de alambre en el que se producIa una fern cuando pasaba a través de él un campo magnético variable. Se rnostrO luego que esas ondas viajan a la velocidad de Ia Iuz, 3.00 X 10 m/s, y que exhiben todas las caracterIsticas de la luz como reflexión, refracción e interferencia. La (mica diferencia consistla en que no eran visibles. El experirnento de Hertz fue una fuerte confirrnaciOn de Ia teorIa de Maxwell. Las longitudes de onda de Ia luz visible fueron medidas en la primera década del siglo XIX, antes que nadie irnaginase que Ia luz fuese una onda electrornagnética. Se determinó que las longitudes de onda se encontraban entre 4.0 x 1O m y 7.5 x i0 m; o bien, entre 400 nm y 750 nrn (1 nm = iO m). Las frecuencias de Ia luz visible se pueden encontrar usando Ia ecuaciOn 15-1, que reescribimos aquI: (32-14)

fik = c

donde fy A son Ia frecuencia y longitud de onda, respectivarnente, de Ia onda. AquI c es Ia velocidad de Ia luz, 3.00 x 10 rn/s, y recibe el sImbolo especial c debido a su universalidad para todas las ondas EM en el espacio libre. La ecuaciOn 32-14 nos dice que las frecuencias de Ia luz visible son de entre 4.0 >< 1014 Hz y 7.5 )< i0 Hz. (Recuérdese

que 1 Hz = 1 ciclo por segundo = 1 s.)

Pero la luz visible es solo un tipo de onda EM. Corno hemos visto, Hertz produjo ondas EM de frecuencia mucho menor, de aproximadamente iO Hz. Estas se Ilaman ondas de radio, ya que las frecuencias en este rango son usadas para transrnitir seilales de radio y de television. Las ondas electromagnéticas, o radiación EM como a veces las liamarnos, han sido producidas o detectadas en un amplio rango de frecuencias. Son usualmente categorizadas corno se muestra en La figura 32-12, que se conoce corno el espectro electromagnético. Las ondas de radio y las microondas se pueden producir en el laboratorio usando equipo electrOnico, corno lo vimos en la figura 32-7. Las ondas de alta frecuencia son muy difIciles de producir electrOnicamente. Esas y otros tipos de ondas EM son producidas en procesos naturales, como ernisiones de átomos, moléculas y nOcleos. Las ondas EM

FIGURA 32-12

Espectro electromagnético. Longitud de onda (m) 3m

3x1Om

3x104m I

I

I

Infrarrojo Ondas de radio

6',r1L

Radio a,npilud

mad.4)

ITI

I

102

I

106

Rayos X

TeIéf000, cchdo,oS

I

I

I

l0

I

i0

Rayos gamma

Ultravioleta

Microondas (porej., radar FM

(ca)

3x 10'2m

3 x 10-8m

I

I

I

10'°

I

1012

10

I

I

1018

Frecuencia (Hz)

f.4x 10'

798

CAPITULO 32

Luz visible


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I

1020

se pueden producir por Ia aceleraciOn de electrones u otras partIculas cargadas, como los electrones acelerados en Ia antena de Ia figura 32-7. Otro ejemplo son los rayos X, que Se producen (capItulo 36) cuando electrones rpidos son rpidamente desacelerados a! golpear un blanco metálico. Incluso Ia luz visible emitida por un foco incandescente ordinarjo es debjda a electrones sometidos a aceleración dentro del filamento caliente. Veremos luego varios tipos de ondas EM. Sin embargo, vale Ia pena mencionar aquI que Ia radiaciOn infrarroja (IR) (ondas EM cuya frecuencia es justamente menor que Ia de Ia luz visible) es principalmente responsable del efecto térmico del Sol, el cual emite no solo luz visible, sino también considerables cantidades de JR y UV (ultravioleta). Las moléculas de nuestra piel tienden a "resonar" a frecuencias infrarrojas, por lo que son las absorbidas preferentemente y nos calientan. Los humanos experimentarnos las ondas EM de manera diferente dependiendo de sus longitudes de onda: nuestros ojos detectan longitudes de onda entre 4 y 7 X i0 m (luz visible), mientras que nuestra piel detecta longitudes de onda mOs largas (IR). Muchas longitudes de onda EM no podernos detectarlas directamente en absoluto. Longitudes de onda de las ondas EM. Calcule Ia longitud de onda: (a) de una onda EM de 60 Hz, (b) de una onda de radio FM de 93.3 MHz, y (c) de un rayo de luz roja visible de un lOser de frecuencia 4.74 X iO Hz. S0LUCION

(a) Corno c = Af,

3.0 x 108 rn/s = 5.OXlO6m 60s

A = -c =

f

o 5000 km. 60 Hz es la frecuencia de Ia corriente alterna en Estados Unidos, y, como vemos aquI, una longitud de onda se extiende a través de todo ese pals.

3.00 x 108 rn/s

93.3 x i0

=3.22m.

La longitud de una antena FM es aproxirnadarnente Ia mitad de esto (A).

A=

3.00 X 108 rn/s

4.74 X 10's'

= 6.33 x i0 m (= 633 nrn).

Determinación de E y B en ondas EM. SupOngase que La onda EM de 60 Hz en el ejemplo 32-2 es una onda senoidal que se propaga en Ia dirección z con E seflalando en Ia direcciOn x, y E0 = 2.0 V/rn. Escriba expresiones vectoriales para E y B como funciones de Ia posición y el tiempo. SOLUCION

De la ecuación 32-8, tenemos 2

k = 2w/A

5.0 X 106m

= 1.26 X 106rn1

w = 2irf = 27T(6OHz) = 3.77 X 102 rad/s. De Ia ecuaciOn 32-11 con v = c, encontramos que

B0 =

E0 C

=

2.0 V/rn = 6.7 x 109T. 3.0 X 108 rn/s

La direcciOn de propagación es Ia de E x B, como en la figura 32-9. Con E señalando en Ia direcciOn x, y Ia onda propagOndose en Ia direcciOn z, B debe señalar en Ia direcciOn y. Usando las ecuaciones 32-7, hallamos:

E = i(2.OV/rn)sen[(1.26 >< 10m1)z - (3.77 X 102 rad/s)t]

B = j(6.67 X 109T)sen[(1.26 X lcr6m')z - (3.77 X 102 rad/s)t] SECCION 32-6

La Iuz como onda electromagnetica y el espectro electromagnetico

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199

Las ondas electromagneticas pueden viajar a lo largo de lIneas de transrnisión, asI como en el espacio vaclo. Cuando una fuente de fern es conectada a una ilnea de transrnisión, sean dos alambres paralelos 0 un cable coaxial (figura 32-13), el campo eléctrico dentro de los alarnbres no se establece inmediatarnente en todos los puntos a lo largo de ellos, tal corno vimos en la sección 32-4 con referencia a la figura 32-7. Se puede mostrar que silos alarnbres están separados por aire, Ia señal eléctrica viaja a Jo largo de los alambres con rapidez c = 3.0 x 108 rn/s. For ejemplo, cuando se acciona un interruptor de corriente eléctrica, la luz tarda en manifestarse una pequena fracciOn de segundo después. Si los alarnbres estn en un rnedio cuya permisividad eléctrica es y la permeabilidad magnética es jt, Ia rapidez no es dada por la ecuación 32-12, sino por FIGURA 32-13

Cable coaxial.

EnerqIa en las ondas EM; el vector Poynting Las ondas electrornagnéticas ilevan energIa de una regiOn del espacio a otra. Esta energIa está asociada con los campos rnóviles eléctrico y magnético. En Ia secciOn 24-4 vimos que la densidad de energIa (J/m3) alrnacenada en un campo eléctrico E es UE = donde UE es Ia energIa por unidad de volurnen. La energIa almacenada en un carnpo magnético B, corno lo virnos en la secciOn 30-3, está dada por Ufi = B2/to. AsI, Ia energfa total almacenada por volumen unitario en una regiOn del espacio donde hay una onda electromagnética es

u=

1

E2 +

-

lB2

(32-15)

En esta ecuación, E y B representan las intensidades de los carnpos eléctrico y magnético de Ia onda en cualquier instante en una pequena region del espacio. Podemos escribir Ia ecuaciOn 32-15 en términos solo del carnpo E, ya que de Ia ecuación 32-12 tenernos \/o1Lo = 1/c, y de la ecuación 32-11, B = E/c. Insertarnos esto en la ecuaciOn 32-15 y obtenemos

u=

+

2

i-t0

(32-16a)

E2.

Observe que Ia densidad de la energIa asociada con el campo B es igual a la asociada con el compo E, asI que cada una contribuye con Ia mitad de la energIa total. Podemos escribir también la densidad de Ia energIa sOlo en términos del carnpo B: B2

u = E = 0c2 B2 =

/-to

0 B2 U

(32-16b)

1-to

Podemos tarnbién escribir u en un término que contenga a E y B:

u=0E2=0EcB-

/

EB

V 0 P'o

0

u=

IE /JØ

(32-16c)

Las ecuaciones 32-16 dan Ia densidad de energIa en cualquier region del espacio en cualquier instante. 800

CAPITULO 32

Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas

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/

y x

E

FIGURA

32-14 Onda electromag-

nética que porta energIa a través del area A.

dx = cdt

Determinemos ahora Ia energIa que la onda transporta por unidad de tiempo y por unidad de area. Esto es dado por un vector S, que se llama vector de Poynting.t Las unidades de S son W/m2. La direcciOn de S es la direcciOn en que Ia energIa es transportada, que es Ia direcciOn en que Ia onda se mueve. Imaginemos que la onda pasa por

un area A perpendicular a! eje x como se muestra en la figura 32-14. En un tiempo corto dt, la onda se mueve hacia la derecha una distancia dx = c di, donde c es Ia rapidez de Ia onda. La energIa que pasa por A en el tiempo di es la energIa que ocupa el volumen dV = A dx = Ac dt. La densidad de energIa u es u = 0E2 donde E es el campo eléctrico en este volumen en el instante dado. La energIa total dU contenida en este volumen dV es entonces Ia densidad de energIa u por el volumen: dU = u dV = (e E2)(Ac di). Por tanto, La energIa que pasa por el area A en el tiempo di es

S=

ldU = 0cE. 2

Como E = cB y c =

i/V0.t0,

S = cE = 2

(32-17)

esto puede también escribirse como

cB2 /to

EB /L

La dirección de S es a lo largo de v, perpendicular a E y B, por lo que el vector Poynting S se puede escribir

(E x B).

S

(32-18)

La ecuación 32-17 o Ia 32-18 da la energIa transportada por unidad de area y por unidad de tiempo en cualquier instanle. A meriudo queremos conocer el promedio sobre un periodo extenso de tiempo ya que las frecuencias son usualmente tan al1 que no detectamos Ia rápida variación en tiempo. Si E y B son senoidales, entonces E2 = E/2, justo como para las corrientes eléctricas y los voltajes (sección 25-7), donde E0 es el valor máximo de E. Podemos escribir, en promedio, para Ia magnitud del vector Poynting,

-S =1 e0cE = lc ---B = 2jt0

2

E0B0

(32-19a)

2I-to

donde B0 es el valor maximo de B. Este valor promediado de S es Ia intensidad, defini-

da como Ia potencia promedio transferida a través de una unidad de area (sección 15-3). Podemos también escribir E1.01 Brms

(32-19b)

I-to

donde Erms y Br,s son los valores rms (Erms =

Brms =

\/B2rms)\

tEn honor de J. H. Poynting (1852-1914).

SECCION 32-7

EnergIa en las ondas EM; el vector Poynting

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801

E y B del Sol. La radiación del Sol llega a la Tierra (arriba de la auiiosiera a Iazon de aproximadamente 1350 W/m2. Suponga que se trata de una soIa onda EM y calcule los valores mximos de E y B.

SOLUCION Como S = 1350W/rn2 = EocE/2, entonces 2S

E0 =

EQC

2(1350 W/rn2)

=\/ (8.85 X 10-12 C2/N . m2)(3.0 x 108 m/s) = 1.01 X iO V/rn. De La ecuación 32-11, B = E/c, entonces B0

-

E0 C

1.01 X i0 V/rn - 3.00>< 108 rn/s

3.37

x 10T.

Este ejemplo ilustra que B tiene un valor numérico pequeno comparado con el de E. Esto se debe a las diferentes unidades para E y B y Ia manera en que esas unidades estan definidas. Pero, como vimos antes, B contribuye con la misma energIa E que en la onda.

*

Presión de Ia radiaciOn Si las ondas electromagnéticas contienen energIa, como lo acabamos de ver, entonces podrIamos esperar que contengan también momentum lineal. Cuando una onda electromagnética encuentra La superficie de un objeto y es absorbida o reflejada, habrá una fuerza ejercida sobre Ia superficie como resultado de Ia transferencia del momentum lineal (F = dp/dt), justo como cuando un objeto golpea una superficie. La fuerza por unidad de area ejercida por las ondas se llama presión de Ia radiación, y su existencia fue predicha pot Maxwell, quien mostrO que Si Ufl rayo de radiación EM (por ejemplo, Iuz) es completamente absorbido por un objeto, entonces el momentum lineal transferido es '-'U C

donde zU es Ia energIa absorbida por el objeto en un tiempo Lt y c es La rapidez de La luz. Si en vez de esto, la luz es totalmente reflejada (suponga que el objeto es un espeJo), entonceS el momentum lineal transferido es dos veces más grande, taL como en eL caso de una pelota que rebota elásticamente en una superficie (capItulo 7):

2U C

Si una superficie absorbe parte de La energIa y refleja parte de ella, entonces = k zU/c, donde k es una constante entre 1 y 2.

Usando Ia segunda ley de Newton, podemos calcular la fuerza y la presiOn ejercidas por Ia radiaciOn sobre eL objeto. La fuerza F esta dada por

F=--dp La razOn promedio con que la energIa es entregada al objeto está relacionada con el vector Poynting por = donde A es el area de la sección transversal del objeto que intercepta Ia radiación. 802

CAPITULO 32


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La presiOn P de Ia radiación (suponiendo absorción total) está dada por

Fld 1 dUS - A - A dt - Ac dt - c

Si Ia luz es totalmente reflejada, Ia presiOn es el doble de grande:

P=. Presión solar. La radiaciOn del Sol que llega a Ia superricle cie Ia I terra transporta energIa a razOn de aproximadamente 1000 W/m2. Estime Ia presión y Ia fuerza ejercidas por el So! sobre su mano exteridida.

SOLUCION La radiaciOn es parcialmente reflejada y parcialmente absorbida, por !o que estimaremos simplemente P = S/c, lo que da

p= c

1000W/rn2

3 X 10 rn/s

3X106N/m2.

Una estimaciOn del area de Ia mano extendida serIa de aproximadarnente 10 cm por 20 cm, o A = 0.02 m2. La fuerza es entonces

F = PA

(3

x 10N/m2)(0.02m2)

6 >< 108N.

Esos nümeros son pequenos. En comparaciOn, Ia fuerza de la gravedad sobre !a mano es de airededor de media libra, o m = 0.2 kg, rng (0.2 kg)(9.8 m/s2) 2 N. Vemos que Ia presión de Ia radiaciOn sobre Ia mano es imperceptible.

Aunque usted no puede sentir directamente los efectos de Ia presiOn de Ia radiaciOn, el fenómeno es muy sorprendente a! aplicarlo a tomos irradiados por un rayo Iaser. Un átomo tiene una masa del orden de 1027 kg, y un laser puede entregar energIa a razOn de 1000 W/m2. Esta es Ia misma intensidad usada en el ejemplo 32-5, pero aquI una presión de radiación de 10 N/rn2 serIa muy considerable sobre una molécula cuya masa fuese de entre 10_23 y 10_26 kg. Dc hecho, es posible mover átomos y moléculas dirigiendolos con un rayo laser, en un dispositivo liamado "pinzas Opticas". Las pinzas ópticas tienen algunas aplicaciones sorprendentes. Son de gran interés especial para los biólogos, ya que las pinzas ópticas pueden manipular organismos vivos sin dafiarlos. Las pinzas Opticas se han usado para medir las propiedades elásticas del DNA jalando cada extremo de Ia molécula con esas pinzas.

*

Radio v television Las ondas electromagnéticas ofrecen la posibilidad de transmitir información a grandes distancias. Entre los primeros en considerar esto y ponerlo en práctica se encontraba Guglielmo Marconi (1874-1937) quien, a finales del siglo XIX, inventó y desarrollO Ia telegraffa inalámbrica. Con ella pudieron enviarse mensajes a cientos de kilórnetros a Ia velocidad de Ia Iuz sin usar alambres. Las primeras señales fueron meramente pulsos largos y cortos que podlan traducirse en palabras por rnedio de un cOdigo consistente en "puntos" y "rayas" del cOdigo Morse. En la década siguiente se desarrollaron los tubos de vaclo o bulbos, de Los cuales nacieron el radio y Ia televisiOn. Analizarernos brevemente (1) cómo son transmitidas las seflales de radio y de television, y (2) cOmo son recibidas en los hogares. *SECCION 32-9

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Radio y television

803

Antena transmisora

Señal

Ondas de sonido

de audio

Senal de audio ,IIn

Senal

- (amplificada)

modulada

zclador

I

Micrófono

Amplificador RF

-

Señal RF = portadora

FIGURA 32-15

Diagrama de bloques de un transmisor de radio.

El proceso por medio del cual una estación de radio transmite informaciOn (palabras y mOsica) está delineado en Ia figura 32-15. La información audible (sonido) se cambia a una seflal eléctrica de la misma frecuencia por medio de un micrófono o una grabadora de cinta. Esta seflal eléctrica se llama audiofrecuencia (AF), ya que las frecuencias estn en el mismo rango auditivo (20 a 20,000 Hz). La señal es amplificada electrónicamente y luego es mezclada con una señal con frecuencia de radio (RF) hamada su frecuencia portadora. Las estaciones de radio AM tienen frecuencias portadoras de entre 530 kHz y 1600 kHz. Por ejemplo, "710 en su banda" significa una estación cuya frecuencia portadora es de 710 kHz. Las estaciones de radio FM tienen frecuencias portadoras mucho más altas, entre 88 MHz y 108 MHz. Las frecuencias portadoras para

estaciones de televisiOn en Estados Unidos se encuentran entre 54 MHz y 88 MHz para los canales del 2 al 6, y entre 174 MHz y 216 MHz para los canales del 7 al 13; las estaciones UHF (frecuencias ultraaltas) tienen frecuencias portadoras aOn más altas, entre 470 MHz y 890 MHz. La mezcla de las frecuencias de audio y portadoras se hace de dos maneras. En la

modulación de Ia amplitud (AM), la amplitud, la onda portadora de frecuencia ms grande se hace variar en proporciOn a Ia amplitud de La seflal de audio, como se muestra en la figura 32-16. Esto se llama "modulaciOn de Ia amplitud" porque La amplitud de Ia

portadora es alterada ("modulada" significa cambiar o alterar). En La modulación de Ia frecuencia (FM), La frecuencia de Ia onda portadora se cambia en proporción a Ia amplitud de Ia señal audio, como se muestra en Ia figura 32-17. La senal mezclada es amphificada ms aOn y es enviada entonces a La antena, desde donde Ia mezcla compLeja de frecuencias es enviada en forma de ondas EM. Un transmisor de teLevisiOn trabaja de manera similar, usando modulaciOn de Ia frecuencia, excepto que tanto las senales de audio como las de video son mezcladas con frecuencias portadoras. FIGURA 32-16 En Ia modulaciOn de Ia amplitud (AM), Ia amplitud de Ia senal portadora se hace variar en proporciOn a la amplitud de La senal de audio.

FIGURA 32-17 En la modulaciOn de frecuencia (FM), la frecuencia de La senal portadora se hace cambiar en proporción a Ia amplitud de Ia senal de audio. Este método se usa por Ia radio FM y televisiOn.

Programa (audio)

?rograma (audio)

Portadora

Portadora 0 4 $

V

Señal total (AM)

804

CAPITULO 32

Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas

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Senal total (FM)

Antena receptora Señal

RF

Sintonizador y amplificador RF

Detector

Señal de audio

(demodulaciOn)

FIGURA 32-18 Diagrama de bloques de un receptor simple de radio.

Bocina

Amplificador AF

Vearnos ahora el otro extremo del proceso, La recepción de los programas de radio y de televisiOn en casa. En La figura 32-18 se muestra el diagrarna de un simple radio-

rreceptor. Las ondas EM enviadas por todas las estaciones son recibidas por Ia antena. Un tipo de antena consiste en una o ms barras conductoras; el campo eléctrico en las ondas EM ejerce una fuerza sobre los electrones en el conductor, ocasionando que se muevan de ida y vuelta con las frecuencias de Las ondas (figura 32-19a). Un segundo tipo de antena consiste en una bobina tubular de alambre, que se encuentra a menudo en los radios de AM, o eJ simple lazo de una antena de televisiOn UHF. Estas antenas detectan el campo magnético de La onda, pues el campo B variable induce una fern en Ia bobina (figura 32-19b).

FIGURA 32-19 Antenas. (a) El campo eLéctrico de una onda EM produce una corriente en una antena que consiste en barras o aLambres rectos. (b) Un campo magnético variable induce una fern y una corriente en una antena de lazo.

Antena de barra Antena

4j Corriente producida

F

por Un campo eléctrico

de Lazo

B

Corriente inducida

Dirección de onda EM

Al receptor

(a)

Al receptor (aparato de TV)

P

(b)

La seflal que La antena detecta y envIa al receptor es rnuy pequena y contiene frecuencias de muchas estaciones diferentes. El receptor selecciona una frecuencia de RF particular (en un rango estrecho de frecuencias) correspondiente a una estaciOn particular usando

un circuito resonante LC (secciones 30-5 y 31-6) con un capacitor o inductor variable. Un ejemplo simple se muestra en Ia figura 32-20. Una estaciOn particular es "sintonizada" ajustando L y C de manera que Ia frecuencia resonante del circuito iguale a La frecuencia de La portadora de Ia estaciOn. La senal, que contiene las frecuencias de audio y de Ia portadora pasa a continuaciOn al detector (figura 32-18) donde tiene lugar Ia "demoduIación", esto es, Ia frecuencia portadora RF es separada de La seflal de audio, La cual es amplificada y enviada a una bocina o a unos audIfonos. Los receptores modernos tienen más elementos o etapas que los mostrados. Se usan varios métodos para incrementar La sensibilidad y selectividad (capacidad de detectar senales débiles y distinguirlas de las de otras estaciones), y minimizar La distorsión de Ia senal original.t Un receptor de televisiOn hace cosas similares con las seflaLes de audio y de video. La seflal de audio pasa finalmente a La bocina y La señal de video a la pantalla o tubo de rayos catódicos (CRT) cuya operaciOn vimos en las secciones 23-9 y 27-7.

FIGURA 32-20 Etapa simple de sintonizaciOn de un radio. Antena

Transistor amplificado Circuito de sintonización

tPara transmisión en estéreo FM, dos señales son Ilevadas por Ia onda portadora. Una de esas señales contiene frecuencias de hasta 15 kHz, que incluye Ia mayor parte de las audiofrecuencias. La otra señal incluye el mismo rango de frecuencias, pero se afladen a ella 19 kHz. Un receptor est6reo resta esta seflal de 19,000 Hz y distribuye las dos senales a los canales izquierdo y derecho. La primera seflaJ consiste en Ia suma de los canales izquierdo y derecho (L + R), por lo que los radios monoaurales detectan todo el sonido. La segunda sefia! es Ia diferencia entre los canales izquierdo y derecho (L - R). Por consiguiente, el receptor debe sumar y restar Las dos senales para obtener seflal izquierda y derecha de cada canal.

*scc\j 32-9 www.FreeLibros.me

Radio y televisiOn

805

Sintonización de una estación. Una estación de radio FM i1Hz. Calcule (a) Ia longitud de onda transmisora, y (b) el valor de Ia capacitancia en el circuito sintonizador si L = 0.40H. transmite a 1O

(a) La frecuencia portadora es f = 100MHz = 1.0 x 108s1, por lo

SOLUCION que A

(3.0 x 108m/s) = 3.Om. (1.0 x lo8sH)

c

=

Las longitudes de onda de otras seflales FM (88 MHz a 108 MHz) son cercanas a ésta. Las antenas FM son tIpicamente de 1.5 m de longitud, o aproximadamente una media longitud de onda. Esta longitud se escoge de manera que Ia antena reaccione de modo resonante y sea entonces más sensitiva a las frecuencias FM.

(b) De acuerdo a Ia ecuaciOn 30-14 o la 31-13, la frecuencia resonante es fo = 1/ (2ir\/LC). Por tanto, 1

4ir2fL

4(3.14)2(1.0 x 10s_')2(4.0 X 10 H)

= 6.3 pF.

Por supuesto, el capacitor o inductor es variable, de manera que también se puedan seleccionar otras estaciones.

Las diversas regiones del espectro de ondas de radio son asignadas por dependencias del gobierno para varios fines. Además de las mencionadas antes, hay "bandas" asignadas para su uso en barcos, aviones, policla, fuerzas armadas, aficionados, satélites, espacio y radar. Por ejemplo, los teléfonos celulares ocupan una banda de 824 MHz a 894 MHz.

Resumen James Clerk Maxwell sintetizO una elegante teorIa en La que todos los fenómenos eléctricos y magnéticos pueden ser descritos usando cuatro ecuaciones, Ilamadas ahora ecuaciones de Maxwell. Se basan en ideas previas, pero Maxwell agrego una más, esto es, que un campo eléctrico variable produce un campo magnético. Las ecuaciones de Maxwell son

d;E.dA = J

oBdA

0

= 0

Ed1 Bd1

dc18

=

=

dt

dE

Poi+PoEodt

Los campos eléctrico y magnético en una onda EM son perpendiculares entre si y a La dirección de propagaciOn. Después que las ondas EM fueron detectadas experimentalmente a fines del siglo XIX, la idea de que Ia luz es una onda EM (aunque de una frecuencia mucho mayor que las de aquellas detectadas directarnente) vino a ser generalmente aceptada. El espectro electromagnético incluye ondas EM de una amplia variedad de longitudes de onda, desde microondas y ondas de radio hasta luz visible, rayos X y rayos gama,

todas las cuales viajan por el espacio con una rapidez de

Las dos a Ia izquierda son las leyes de Gauss para Ia electri-

c = 3.00 x 108 rn/s. La energIa Ilevada por las ondas EM puede ser descrita por el vector Poynting

Faraday y La ley de Ampere (ampliada por Maxwell). La teorfa de Maxwell predice que las ondas electromag-

S = ExB

cidad y el magnetismo; las dos a Ia derecha son Ia ley de

néticas (EM) transversales se producen acelerando cargas eléctricas y que esas ondas se propagan por el espacio con Ia rapidez de la Iuz c, dada por

C-

1

V0/L0

que da Ia razOn de energfa por unidad de tiempo o por unidad de area al cruzarla cuando los campos eléctrico éctrico y magnético en una onda EM en el espacio libre son E y B.

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Preq u ntas Suponga que usted mira en Ia misma dirección en que un campo

eléctrico E crece. ,Tendr sentido horario o antihorario el camp0 magnético inducido? ,COmo será ese campo si E señala hacia usted y está decreciendo?

,Cuál es Ia direcciOn de Ia corriente de desplazamiento en Ia figura 32-3? (Nota: El capacitor se está descargando.) ,Por qué es el campo magnético de una corriente de desplazamiento en un capacitor mucho mds difIcil de detectar que el campo magnético de una corriente de conducción? Hay buenas razones para ilamar al término pOEQdctE/d1 en Ia ecuación 32-1 una "corriente"? ExplIquelo. El campo eléctrico en una onda EM viajando al forte oscila en

un piano este-oeste. Describa Ia dirección del vector campo magnético en esta onda. ,Es ei sonido una onda electromagnética? Si no, qué ciase de onda es?

Pueden las ondas EM viajar a través de un vacIo perfecto? Pueden hacerlo las ondas de sonido?

Cuando se acciona un interruptor de luz, aparece ésta inmediatamente? ExplIquelo. ,Son las longitudes de onda de las senales de radio y de televisiOn más largas o mds cortas que las detectables por el ojo humano? Qué le dice et resultado del ejemplo 32-2 acerca de Ia fase de

Cuando usted conecta dos bocinas a Ia salida de un amplificador estéreo, deberá asegurarse que los alambres conductores sean de Ia misma longitud de manera que no exista un retraso en tiempo entre las bocinas? Explique. En el espectro electromagnético, ,qué tipo de onda EM tendrá una longitud de onda de iO km, 1 km, I m, 1 cm, 1 mm, 1 m? Una persona extraviada puede enviar mensajes por destellos de una lámpara usando el codigo Morse. Esta es en realidad una onda EM modulada. Se trata de AM o de FM? Cuál es aproximadamente La frecuencia de Ia onda portadora? ,Pueden dos estaciones de radio o de televisiOn transmitir con Ia misma frecuencia portadora? ExplIquelo.

Si un transmisor de radio tiene una antena vertical, deberá una antena receptora (tipo barra) ser vertical u horizontal para obtener Ia mejor recepciOn? Las frecuencias portadoras de transmisiones en FM son mucho mayores que para transmisiones en AM. Con base en lo que usted aprendió en el capItulo 15 sobre difracciOn, explique porqué Ia senales de AM pueden ser detectadas más fácilmente que Las señales de FM detrás de pequenas colinas o de edificios. Analice cOmo Los teléfonos inalámbricos hacen uso de Las ondas EM. COmo Lo hacen los teléfonos celulares?

una corriente alterna de 60 Hz que comienza en una planta de potencia en comparaciOn con La fase en una casa a 200 km de distancia?

Problemas (1) Determine la razón a Ia que ei campo eléctrico cambia entre las piacas redondas de un capacitor, de 6.0 cm de didmetro, silas placas están a 1.3 mm entre si y el voltaje entre ellas está cambiando a razón de 120 V/s. Calcule La corriente de desplazamiento I entre las placas cuadradas, con 3.8 cm de lado, de un capacitor si el campo eléctrico está cambiando a razón de 2.0 X 106 V/ms.

(II) Si existiesen los monopolos magnéticos, cudL de las ecuaciones de Maxwell se alterarIa y cuál serIa su nueva forma? Considere que Qm es La intensidad de un monopolo magnético,

En un instante dado, una corriente de 1.8 A f]uye en los alambres conectados a un capacitor de placas paralelas. Cul es La razón a La que el campo eléctrico est cambiando si las

(t) Si el campo magnético en una onda EM viajera tiene un valor pico de 17.5 nT, cuál es el valor pico de Ia intensidad del campo eléctrico? (I) Si el campo eléctrico en una onda EM tiene un valor pico de 0.43 X 10 V/m, Lcual es el valor pico de Ia intensidad del campo magnético? En una onda EM que viaja hacia el oeste, el campo B oscila verticalmente y tiene una frecuencia de 80.0 kHz y una intensidad rms de 6.75 X 109T, cuáI es La frecuencia y La intensidad rms del campo eléctrico y cudl su direcciOn? El campo eléctrico de una onda EM plana está dado por E = E0cos(kz + o1), E = E = 0. Determine (a) Ia magnitud y direcciOn de B, y (b) Ia direcciOn de propagaciOn.

piacas cuadradas tienen 1.60 cm de lado? (LI) Un capacitor de 1200 nF con piacas circulares paralelas de 2.0 cm de diámetro está acumulando carga a razón de 35.0 mC/s en algOn instante. ,Cuál será La intensidad del campo magnético inducido a 10.0 cm radialmente hacia afuera desde el centro de las placas? CuáI serd el valor de La intensidad del campo después que ei capacitor está totalmente cargado?

(IL) Muestre que Ia corriente de desplazamiento a través de

un capacitor de placas paralelas puede escribirse como Jo = CdV/dt, doncle V es el voltaje a través del capacitor en cualquier instante. (II) Suponga que un capacitor con intervalo de aire tiene placas circulares de radio R = 2.5 cm y separaciOn d = 2.0 mm. Una fem de 96.0 Hz, Cf = lcoswt, es aphcada al capacitor. La corriente de desplazamiento máximo es de 35 A. Determine (a) , (c) el Ia corriente de conducción maxima 1, (b) el valor de valor máximo de d(P/dt entre las placas. Desprecie los efectos

análogo a La carga eléctrica Q.

marginales.

Problemas

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807

(I) ,Cuá1 es Ia frecuencia de una microonda cuya longitud de onda es de 1.80 cm?

(I) (a) ,Cuâl es Ia longitud de onda de una señal de radar de 27.75 X i0 Hz? (b) Cual es Ia frecuencia de Un rayo X con longitud de onda de 0.10 nm? (I) Una onda EM tiene una longitud de onda de 850 nm. LCuál es su frecuencia, y cómo Ia clasificarlamos? (I) Una onda EM tiene una frecuencia de 9.56 x 1014 Hz. ,Cuál es su longitud de onda y cOmo Ia clasificarIamos?

Un año luz es una medida de distancia (no de tiempo). LCuantos metros viaja La luz en un aOo?

j,Cuánto tiempo tomarfa a un mensaje enviado como ondas de radio desde Ia Tierra Ilegar a (a) Marte, (b) una nave espacial cerca de Saturno? (II) Los kser pulsantes usados en ciencia y medicina producen ráfagas muy cortas de energIa electromagnética. Si La longitud de onda de Ia luz laser es de 1062 nm (esto corresponde a un Laser NeodimioYAG), y el pulso dura 30 picosegundos, ,cuántas

longitudes de onda se encuentran dentro del puiso del laser? ,Qué tan corto tendrIa que ser el puiso para que tuviera solo una longitud de onda?

El campo E en una onda EM tiene un pico de 36.5 mV/rn. LCuál es Ia razOn promedio con La que esta onda Ileva energIa por unidad de area por unidad de tiempo? El campo magnético en una onda EM viajera tiene una intensidad rms de 32.5 nT. ,Cuánto tiempo le toma entregar 335 J de energia a 1.00 cm2 de una pared en Ia que incide perpendicularmente? (II) ,CuOnta energIa es transportada a través de 1.00 cm2 por hora por una onda EM cuyo campo E tiene una intensidad rrns de 28.6 rnV/m? (II) Una onda EM que se dispersa esféricamente parte de una fuente de 1000W. A una distancia de 10.0 m, 1cuOl es Ia intensidad y cuál es el valor rms del campo eléctrico? (II) ,CuáI es Ia energIa contenida en un volumen de 1.00 m3 cerca de Ia superficie de Ia Tierra debido a Ia energia radiante del Sol? Véase el ejemplo 32-4. (II) Un laser de 12.8 rnW forma un rayo estrecho de 2.00 mm de diámetro. ,Cuáles son los valores (rms) promedio de E y B en ci rayo?

(II) Estime Ia salida promedio de potencia del Sol, dado que aproximadamente 1350 W/m2 Ilegan a La atmósfera superior de Ia Tierra. (II) Un laser pulsante de alta energIa emite un pulso de 1.0 ns

de duración con potencia promedio de 2.5 X 10" W. El rayo tiene 2.2 x i0 m de radio. Determine (a) Ia energIa entregada en cada pulso, y (b) ei valor rms del campo eléctrico.

808

CAPiTULO 32

(HI) (a) Muestre que el vector Poynting S apunta radialmente hacia ei centro de un capacitor de placas circulares paralelas cuando está siendo cargado como en eL ejempLo 32-1. (b) Integre S sobre La frontera cilIndrica del intervalo del capacitor para mostrar que La razón a La que La energIa entra aL capacitor es igual a La razón a Ia que la energia electrostática está siendo almacenada en el campo eléctrico del capacitor (sección 24-.4). Ignore los efectos marginales de E.

Estime La presiOn de Ia radiación debida a un foco de 100W

a una distancia de 8.0 cm desde el centro del foco. Estime La fuerza ejercida en Ia punta de uno de sus dedos si to coloca a esa distancia. Cuando el Sot de volvió luminoso y caliente tiempo atrás, se cree que emitIa partIcuLas de polvo y átomos individuales hacia afuera del sisterna solar usando presiOn de radiaciOn. Calcule qué pequeflas tenIan que ser las partIculas de polvo para ser lanzadas comparando La fuerza de radiaciOn con Ia fuerza gravi-

tatoria sobre las partIculas. Suponga que las partIculas eran esféricas, con densidad de 2.0 X i0 kg/rn3, y que absorbIan

totalmente La radiaciOn del Sot, el cual tiene una potencia promedio de salida de 3.8 x 1026 W. Analizarnos en el texto dos ecuaciones diferentes para La transmisiOn de momentum lineal por radiaciOn, una válida para absorciOn total, y La otra váiida para refLexión total. La Oltima ecuaciOn es idéntica a Ia primera con Ia excepciOn de un factor

de dos. Dé un argumento mecánico simple para este factor de dos tratando La luz corno partIculas sin masa (fotones) cada una con momentum lineal p. En el caso de absorciOn, Las partIcuLas de Iuz chocan en forma completamente inelOstica con un objeto

masivo, mientras que en el caso de reflexión chocan elasticamente. Analice esas coLisiones y explique el factor de dos.

(I) EL capacitor variable en el sintonizador de un radio de AM tiene una capacitancia de 2400 pF cuando eL radio estO en sintonIa con una estaciOn de 550 kHz. ,CuOl debe ser Ia capacitancia de una estaciOn al otro lado de Ia banda con 1550 kHz? El oscilador de una estaciOn FM de 96.1 MHz tiene una inductancia de 1.8 H. ,Qué valor debe tener Ia capacitancia? Cierto circuito de sintonización de radio de FM tiene un capacitor fijo de C = 840 pF. La sintonizaciOn se hace por medio de una inductancia variable. ,Qué rango de valores debe tener Ia inductancia para sintonizar estaciones de entre 88 MHz y 108 MHz?

(11) Un operador aficionado de radio desea construir un receptor que pueda sintonizar un rango de frecuencias de entre 14.0 MHz y 15.0 MHz. Un capacitor variable tiene una capacitancia minima de 92 pF. (a) ,Cuá1 es el valor requerido de Ia in-

ductancia? (b) cCuál es La capacitancia maxima usada en el capacitor variable?


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Problemas generales (a) (,Cuál es la longitud de onda de una estación de AM de 680 kHz? (b) Una estaciOn de FM transmite a 100.7 MHz. LCuál es Ia longitud de onda de esta onda? Compare 940 sobre la banda de AM con 94 sobre La banda de FM. é,Cuál tiene Ia longitud de onda más grande, y por qué factor es más grande? Las frecuencias de las transmisiones de television varfan entre 54.0 MHz para el canal 2 y 806 MHz para el canal 69 (y más allá). Cuáles son las Longitudes de onda de esos dos canales? Si eL Sol fuese a desaparecer o en alguna forma fuese a cambiar radicalmente su rendimiento, ,cuánto tiempo nos tomarIa en La Tierra enterarnos acerca de ello? (a) Qué tiempo tardó un mensaje enviado desde Ia Tierra en Ilegar a los primeros astronautas en Ia Luna? (b) Cuánto tiempo tardará un mensaje enviado desde La Tierra en llegar a Los primeros astronautas que Ileguen a Marte; suponga que Marte

estarO en su posición más cercana a La Tierra (78 >< 106 km)? Una senal de voz por radio desde la tripulación del Apolo en Ia Luna se envIa a una multitud de espectadores desde un micrOfono. Si usted estO a 50 metros de La bocina, Lcuál es el tiempo total de retraso entre el momento en que usted oye el sonido y cuando el sonido parte de La Luna?

Una fuente puntual emite energIa Luminosa uniformemente en todas direcciones a una razón promedio P0 con una sola frecuencia f. Demuestre que el campo eléctrico pico en la onda está dado por

E0

/pocPo

1V 2r2

,Cuáles son E0 y B0 a 2.00 m de una fuente luminosa de 100 W? Suponga que el foco emite radiaciOn de una sola frecuencia uniformernente en todas direcciones. Estime el campo eléctrico rms en Ia luz solar que ilega a Marte, si sabemos que la Tierra recibe aproximadamente 1350 W/rn2 y que Marte estO 1.52 veces más lejos del Sol (en promedio) que

Suponga que una estaciOn de radio de 50 kW emite ondas EM uniformemente en todas direcciones. (a) Cuánta energIa por segundo cruza un area de 1.0 m2 a 100 m desde Ia antena trans-

misora? (b) ,Cuál es la magnitud rms del campo E en este

punto, suponiendo que Ia estaciOn estO operando con plena p0tencia? (c) ,CuOl es el voltaje inducido en una antena vertical de 1.0 m de longitud de un automOvil a esta distancia? Repita el problema 47 para una distancia de 100 km desde Ia estación. Con referencia a! problema 47, cuOl es el nivel máximo de potencia de Ia estaciOn de radio para evitar ruptura eléctrica del aire a una distancia de 1.0 m desde la antena? Suponga que la antena es una fuente puntual. La ruptura del aire tiene lugar en un campo eléctrico de aproximadamente 3 x 106 V/rn. [Sugerencia: véase el problema 411

j,Qué tan grande serO generado un fem (rms) en una antena que consiste en una bobina circular con 380 vueltas de alambre de 2.2 cm de diámetro si Ia onda EM tiene una frecuencia de 810 kHz y transporta energIa a una razón prornedio de 1.0 x 10 W/m2 en Ia antena? [Sugerencia: usted puede usar la ecuación 29-4 para un generador, ya que podrIa aplicarse a un

observador inoviéndose con Ia bobina de manera que el campo magnético oscilase con Ia frecuencia f = w/2ir.] La capacitancia variable de un sintonizador de radio consiste en seis placas conectadas entre Si alternadamente entre otras seis placas, también conectadas entre Si (fig. 32-22). Cada pLaca está separada de su vecina por 1.1 mm de aire. Un conjunto de placas se puede mover de manera que el area de trasLape varIa de 1.0 cm2 a 9.0 cm2. (a) i,Están esos capacitoreS conectados en serie o en paralelo? (b) Determine el rango de valores de Ia capacitancia. (c) Qué valor de inductor es necesario si el radio va a sintonizar estaciones con amplitud modulada de 550 kHz a 1600 kHz?

La Tierra.

En un instante dado, se nota que una onda EM viajera tiene su

mOximo campo magnético señalando al oeste y su mOxirno campo eléctrico senalando al sur. (,En qué direcciOn está viajando Ia onda? Si la razón de flujo de energia es de 500 W/m2, cuOles son los valores mOxirnos para Los dos campos? Quién oirá Ia voz de un cantante prirnero: una persona en una

localidad a 50 m del escenario (véase La figura 32-21), o una persona a 3000 km en casa cuyo oIdo está prOxirno a Ia radio? ,Cuánto tiempo aproximadamente antes? Suponga que el micrOfono está a unos cuantos centimetros del cantante y que Ia temperatura es de 20°C. FIGURA 32-22

50.Om

liIiIF1

:I7

FIGURA 32-21

Problema 51.

Un conductor cilIndrico de radio r y conductividad cr Ileva una corriente permanente I distribuida uniformemente a travéS de su secciOn transversal. (a) Determine E dentro del conductor. (b) Determine B justo afuera del conductor. (c) Determine el vector Poynting S en Ia superficie del conductor y muestre que

I

es normal a Ia superficie y senala hacia adentro. (d) Integre sobre S para mostrar que Ia razOn a Ia que la energIa electro-

Problema 45.

Una antena receptora de FM de 1.80 m de largo está orientada

paralelamente al campo eléctrico de una onda EM. Que tan grande debe ser Ia intensidad del campo E para producir un voltaje de 1.0 mV rms entre los extrernos de la antena? ,Cuál

magnética entra por los lados del conductor es igual a Ia razOn a Ia que Ia energIa es disipada, PR. AsI, podemoS pensar sobre la energIa que entra al conductor en forma de campos electromagnéticos por los lados en vez de por los extremoS.

es Ia razOn de transporte de energIa por unidad de area?

Problemas generales

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809

El reflejo en aguas tranquilas, asi como en un espejo, puede analizarse usando el modelo de rayo de iuz. Esta fotografIa está orientada al derecho o invertida? ,COmo puede usted decidirlo? Cuáles son los indicios? Véase ci ejemplo 33-2. En este primer capItulo sobre luz y Optica, usaremos ci modelo de rayos de Iuz para entender Ia formaciOn de imágenes por espejos, tanto pianos como curvos (esféricos), y comenzaremos a examinar La refracciOn de Ia luz en medios transparentes, lo que nos conducirá a! estudio de las lentes en el próximo capItuio.

Luz:

ref Iexión y ref racción

El

sentido de La vista es extremadamente importante para nosotros, pues nos proporciona gran parte de nuestra información acerca del mundo. ,COmo vemos? ,Qué es lo que ilamamos luz que entra a nuestros ojos y causa Ia sensación de ver? j,Cómo se comporta Ia iuz de manera que podemos ver todo lo que deseamos? En ci capItuio 32 vimos que ia luz puede ser considerada como una forma de radiaciOn electromagnética. Examinaremos ci tema de Ia iuz con todo detalle en los siguientes capItuios.

Vemos un objeto en una de dos maneras: (1) ci objeto puede ser una fuente de luz, como un foco, una fiama o una estrelia, en cuyo caso vemos Ia luz emitida directamente desde ia fuente; o, (2) más comünmente, vemos un objeto por Ia iuz reflejada por éi. La luz puede haberse originado en ci So!, en luces artificiales, o en una fogata. La forma en que los cuerpos emilen luz se entendió solo hasta alrededor de 1920. La manera en que ia luz es reflejada por los objetos se comprendiO mucho antes, ia cual trataremos en Ia secciOn 33-3.

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El modelo de rayo de Juz Una gran cantidad de evidencias sugieren que Ia luz viaja en lIneas rectas bajo una amplia variedad de circunstancias. For ejemplo, una fuente puntual de luz como el Sol produce sombras y el haz de una linterna parece ser una lInea recta. De hecho, inferimos Las posiciones de Los objetos en nuestro ambiente suponiendo que La Iuz se mueve del objeto a los ojos en trayectorias rectas. Nuestra orientación en el mundo fIsico se basa en esta suposiciOn. Esta razonable suposición ha conducido a! modelo de rayo de luz. Este modelo supone que La luz viaja en trayectorias rectas liamadas rayos. En realidad, un rayo es una idealizaciOn; pretende representar un haz extremadamente deLgado de Iuz. Cuando vemos un objeto, de acuerdo con el modelo de rayos, Ia luz Ilega a Los ojos desde cada punto sobre el objeto. Aunque los rayos de Iuz salen de cada punto en muchas direcciones diferentes, normalmente solo un pequeho haz de esos rayos puede entrar a los ojos de un observador, como se muestra en la figura 33-1. Si La cabeza de una persona se mueve hacia un lado, un haz diferente de rayos entrará a Los ojos desde cada punto. Vimos en el capItulo 32 que La Luz puede ser considerada como una onda electromagnética. Aunque el modelo de rayo no trata este aspecto de La luz (veremos su naturaleza ondulatoria en los capitulos 35 y 36), eL modelo de rayo ha tenido mucho éxito en describir muchos aspectos de Ia luz como Ia reflexión, Ia refracción y Ia formaciOn de imágenes mediante espejos y lentes. Como estas explicaciones impLican rayos en lInea recta segOn varios ánguLos, este tema se llama óptica geométrica. Al ignorar Las propiedades ondulatorias de Ia lu.z debemos ser cuidadosos de que cuando Los rayos de luz pasan por objetos o a través de aberturas, deben ser grandes comparados con Ia longitud de onda de La Iuz (de modo que los fenOmenos ondulatorios de interferencia y difracciOn

Este haz entra a Los ojos.

I FIGURA 33-1 Los rayos de luz salen de cada punto de un objeto. Un pequeno haz de rayos que saien de un punto se muestra entrando a los ojos de una persona.

puedan ser ignorados), y omitiremos lo que sucede a Ia luz en los bordes de objetos hasta que Ileguemos a los capItulos 35 y 36.

La velocidad de Ia Iuz y el Indice de ref racción Galileo intentO calcular La velocidad de La luz tratando de medir el tiempo requerido por ésta para viajar una distancia conocida entre las cimas de dos coLinas. SituO a su asistente en una cima, él mismo se colocó en Ia otra y le orclenó a! ayudante que retirase La

cubierta de su Impara en el instante en que viese una luz en Ia hmpara de Galileo,

quien midió eL tiempo entre el destello de su lmpara y el instante en que recibió La luz de La lámpara del asistente. El tiempo fue tan corto que Galileo concluyO que meramente representaba el tiempo de reacciOn humana y que Ia velocidad de Ia luz debIa ser extremadamente alta. La primera determinaciOn con éxito de que La velocidad dela Iuz es finita fue hecha por el astrOnomo danés OLe Roemer (1644-1710). Roemer habIa notado que eL periodo cuidadosamente medido de Jo, una de Ia lunas de JOpiter con un periodo promedio de 42.5 horas, variaba ligeramente, dependiendo del movimiento relativo de La Tierra y de Jupiter. Cuando La Tierra se alejaba de JOpiter, el periodo de Jo era ligeramente mayor, y cuando Ia Tierra se movIa hacia JOpiter, el periodo era ligeramente más corto. Atribuyo esta variaciOn a! tiempo extra necesario para que Ia Luz recorriese Ia creciente distancia a La Tierra cuando ésta estaba retrocediendo, o a! menor tiempo de viaje para Ia distancia decreciente, cuando Los dos planetas se aproximaban entre si. Roemer concluyó que Ia velocidad de La luz, si bien era muy grande, era finita. Desde entonces, se han usado un gran nOmero de procedimientos para medir La velocidad de Ia luz. Entre los más importantes fueron los realizados por el fIsico norteamericano Albert Michelson (1852-1931). Michelson usó el aparato con un espejo giratorio mostrado en La figura 33-2 para una serie de experimentos de gran precisiOn ILevados

SECCION 33-2

La velocidad de Ia Iuz y el Indice de ref racción

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Observador Espejo estacionario

Espejo giratorio de ocho lados I:

Fuente

deluz

TABLA 33-1 Indices de refraccion' C

Material

n

Vaclo

1.0000

T e( ;?S)

Am

V

1.0003

Agt ;'Ia

1.33

A- IcoholHetilico

1.36

Vidrio Cuarzo tundido v'idrio :rown

1.46

edernal Iigerc. *z P. 1

.32

i.58 1.51

Lu cita a Plexiglas

1.53 _________

-. nuro cle sod -. Cl

A = 589nm

Indict de refraccion

35 km

a cabo de 1880 hasta fines de los años 20. La luz de una fuente fue dirigida hacia una cara de un espejo giratorio de ocho caras. La Iuz reflejada viajO a un espejo estacionario situado a gran distancia y de regreso como se muestra en la figura. Si el espejo giraba justamente a Ia velocidad angular correcta, el rayo de luz de retorno se reflejaba en una de las dos caras hacia un pequefio telescopio a través del cual el observador vela. Si la velocidad angular era sOlo ligeramente diferente, el rayo serIa desviado a un lado y no serIa visto por el observador. De La velocidad angular requerida del espejo giratorio y La distancia conocida al espejo estacionario, pudo calcular Ia velocidad de Ia luz. En la década de 1920, Michelson fijO el espejo giratorio en Ia cima del Monte Wilson en el sur de California y el espejo estacionario en el Monte San Antonio, a 35 km de distancia. MidiO luego Ia velocidad de Ia Juz en el vacIo usando un largo tubo a! vacIo. El valor aceptado actualmente para Ia velocidad de la luz c, en el vacIo es c = 2.99792458 X 108 rn/s. Usualmente redondearnos este valor a 3.00 X 108 rn/s cuando no se requieren resultados muy precisos. En el aire, la velocidad es ligeramente menor. En otros materiales transparentes corno el vidrio y el agua, Ia velocidad es siempre menor que en el vacIo. Por ejemplo, en el agua viaja aproximadamente a c. La razOn de la velocidad de la luz en el vacIo a la velocidad v en un material dado se llama Indice de refracción n de ese material: C = _.

242

Diaraarne

(Monte San Antonio)

(Monte Wilson)

FIGURA 33-2 Aparato de Michelson para medir La velocidad de la luz (no está a escala).

(33-1)

El Indice de refracción nunca es menor que 1, y su valor para diferentes materiales se da en la tabla 33-1. Por ejemplo, como n = 2.42 para el diamante, Ia velocidad de Ia luz en el diamante es (3.00 >< 108 rn/s)

= 1.24 )< 108 rn/s. = = 2.42 Como veremos más adelante, n varla un poco con la longitud de onda de La luz, excepto en el vacIo, por lo que se especifica una longitud de onda particular; la tabla 33-1 está referida a la luz amarilla con longitud de onda A = 589 nm. V

Ref lexión; formación de imágenes mediante un espejo piano Cuando Ia luz toca Ia superficie de un objeto, parte de ella es reflejada. El resto es absorbido por el objeto (y transformado en energIa térmica), 0 S el objeto es transparente como el vidrio o el agua, entonces pasa a través de éste. En un objeto muy brillante como un espejo plateado, más del 95% de Ia luz puede ser reflejada. Cuando ci metro foe redefinido en 1983, se Ic dio este valor fijo a Ia velocidad de La luz, y ci metro fue entonces definido en términos de ese valor (véase Ia sección 1-4).

812

CAP1TULO 33

Luz: reflexiOn y ref racciOn

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Normal a Ia superficie

Normal a Ia superficie

Angulo de Angulo de incidencia reflexión

Rayo de luz incidente

Rayo de

luzreflejado

Angulo de Angulo de incidencia reflexión Rayo de luz

(a)

Or

Ui

(b)

FIGURA 33-3 Ley de reflexión: (a) Muestra un rayo incidente reflejado en Ia parte superior de una superficie plana; (b) muestra una vista lateral o de perfil, que usaremos debido a su claridad.

Cuando un haz estrecho de luz toca una superficie plana (figura 33-3), definimos el ángulo de incidencia O como el ángulo que un rayo incidente forma con la normal a Ia superficie, y el ángulo de reflexión 0, como el ángulo que el rayo reflejado forma con la normal. Se encuentra que los rayos incidentes y reflejados se hallan en el mismo piano con Ia normal a Ia superficie, y que el angulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Esta es Ia ley de reflexión y se indica en Ia figura 33-3, Ia cual era conocida por los antiguos griegos. Usted puede confirmarla haciendo incidir el haz angosto de una lámpara en un espejo en una habitación oscurecida. Cuando la luz incide sobre una superficie rugosa, aun microscópicamente rugosa como esta página, es reflejada en muchas direcciones, figura 33-4. Esto se llama reflexión difusa. Sin embargo, Ia ley de Ia reflexión es atm válida, en cada pequena secciOn de Ia superficie. Debido a la reflexión difusa en todas direcciones, un objeto ordinario puede ser visto desde muchos ángulos diferentes. Cuando usted mueve la cabeza lateralmente, rayos reflejados difererites Ilegan a! ojo desde cada punto del objeto (como los de esta pgina), figura 33-5a. Comparemos la reflexiOn difusa con Ia reflexión de un espejo, que se conoce como reflexión especular. ("Speculum" es Ia palabra latina para espejo.) Cuando un rayo estrecho de luz toca un espejo, Ia luz no 11egar a los ojos a menos que estén situados en el lugar correcto donde se satisfaga la ley de reflexión, como se muestra en Ia figura 33-5b. Esto es lo que da lugar a las propiedades especiales de formación de imagenes de los espejos.

33-4 ReflexiOn difusa en una superficie rugosa. FIGURA

Espejo.s (reflexiOn especular,)

Cuando usted se ye directamente en un espejo, observa lo que parece ser usted mismo, asI como los varios objetos que están alrededor y detrás de usted, figura 33-6. La cara y los otros objetos se yen como si estuviesen enfrente de usted, más aIIá del espejo; pero, por supuesto, no lo están. Lo que usted ye en el espejo es una imagen de los objetos. El ojo en ambas posiciones ye la luz reflejada

Este ojo no ye la luz

Ia luz

V (a)

Este ojo ye

(b)

FIGURA 33-5 Un rayo de luz de una linterna brilla sobre (a) papel blanco, y (b) en un espejo. En Ia parte (a) usted puede ver Ia luz blanca reflejada en varios puntos debido a Ia reflexiOn difusa. Pero en Ia parte (b), usted ye Ia luz reflejada solo cuando el ojo está colocado correctamente (o = Of); esto se conoce como reflexión especular. (Galileo, usando razonamientos semejantes, indicO que Ia Luna debe tener una superficie rugosa ms que una superficie altamente pulida como un espejo, como algunos pensaban.)

SECCION 33-3

FIGURA

33-6 Cuando se ye en un

espejo, ye Ia imagen de usted mismo y de los objetos a su alrededor. NOtese que no se ye a sí mismo como otros le yen, porque Ia izquierda y Ia derecha aparecen invertidas en Ia imagen.

ReflexiOn; formaciOn de imágenes mediante un espejo piano

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813

Espejo piano

B'

FIGURA

D

33-7 Formación de una

imagen virtual med iante un espejo piano.

fJLsiancia imagen = distoncia objeto

lmágenes teaks y wruwfes

d0

d1

H

La figura 33-7 muestra cOmo se forma una imagen en un espejo piano, de acuerdo con ci modelo de rayo. Vemos ci espejo, de borde, en ci diagrama de la figura 33-7 y los rayos se muestran reflejados desde la superficie frontal. (Por to general, los espejos de buena calidad se construyen poniendo un recubrimiento metálico altamente reflejante sobre una superficie de una pieza muy plana de vidrio.) Los rayos de dos puntos diferentes sobre un objeto se muestran en la figura 33-7: los rayos parten de un punto sobre Ia parte superior de una botella, y desde un punto dcl fondo de Ia misma. Los rayos parten de cada punto sobre el objeto en muchas direcciones, pero solo se muestran aqucilos dentro dci haz de rayos que ilegan a los ojos desde Los dos puntos. Los rayos divergentes que entran a los ojos parecen venir de detrs dcl espejo como se muestra por las lIneas punteadas. Es decir, los ojos y ci cerebro interpretan cualesquier rayos que entran a los ojos como si hubiesen seguido una trayectoria en lInea recta. El punto desde ci cual cada haz de rayo parece provenir es un punto de Ia imagen. Para cada punto dcl objeto, hay un punto imagen correspondiente. Concentrémonos en los dos rayos que parten del punto A sobre ci objeto y tocan ci espejo en los puntos B y B'. Los ingulos ADB y CDB son ngulos rectos; y los angulos ABD y CBD son iguales debido a la icy de Ia reflexión. Por tanto, los dos tringuios ABD y CBD son congruentes, y la longitud AD = CD. La imagen aparece asI tan lejos dctrás dci espejo como ci objeto está a! frente: Ia distancia imagen, d (distancia del espejo a Ia imagen, figura 33-7), es igual a Ia distancia objeto, d0. Dc la geometrIa, vemos también que Ia aitura de Ia imagen es La misma que Ia dci objeto. Los rayos de luz no pasan realmente por ia ubicación misma de Ia imagen. Meramcntc parece como si Ia luz viniese de Ia imagen porque ci ccrcbro interpreta cualquicr rayo de luz que entra a los ojos como si tuviesc una trayectoria en Ilnea recta desde el frente de nosotros. Como los rayos no pasan realmente por la imagen, ésta no aparecerá sobre un papel o una pelIcuia colocado en la posiciórl de La imagen. Por tanto, se llama imagen virtual. Esto cs para distinguirla de una imagen real en la que Ia luz pasa por

la imagen y por ello podrIa aparecer sobre papel o pelIcula colocado en Ia posición de Ia imagen. Veremos quc los cspcjos y lentes curvos pueden formar imágenes reales. La lente dc un proyector de peilculas, por cjcmplo, produce una imagen real que es visible sobre la pantalla.

.-.

Qué tan alto debe ser un espejo de cuerpo . .. . .JA entero' Una mujcr con una estatura de 1.60 m cstá parada frente a un espejo piano EJEMPL(,

vertical. ,CuáI es ia altura minima dcl espejo y qué tan alto debe estar su bordc inferior arriba dcl sucio para que ella yea todo su cuerpo? Suponga que los ojos están 10 cm debajo de la parte superior de Ia cabeza. La situación sc muestra en ci diagrama de La figura 33-8. Primero considere ci rayo que sale dcl pie, AB, que al reflejarse se vuelve ci BE y entra al ojo E. La luz del punto A (ci pie) entra al ojo dcspués de reflejarse en B; ci espejo no necesita extenderse más abajo que B. Como ci ángulo dc reflexiOn cs igual at ángulo de incidencia, la aitura BD es la mitad de Ia altura AE. Como AE = 1.60 m - 0.10 m = 1.50 m, entonces BD = 0.75 m. Similarmente, si Ia mujer debe ver Ia parte superior de la cabeza, ci borde superior dcl espejo necesita alcanzar sOlo ci punto F, que est a 5 cm debajo RESPUESTA

814

CAP1TULO 33

Luz: reflexiOn y refracciOn

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G

H F

0.10 m -V

0 0. LL

1.50 m B

'S

Imageri

'S

'S

'S

A

D

'S

'S

'S

FIGURA 33-8 Viéndose a sí misma en un espejo. Ejemplo 33-1.

S.

C

de Ia parte superior de Ia cabeza (mitad de GE = 10 cm). Entonces, DF = 1.55 m, y el espejo tiene que tener una altura vertical de sOlo (1.55 m - 0.75 m) = 0.80 m. El borde del fondo del espejo debe estar entonces a 0.75 m arriba del piso. En general, un espejo necesita ser sOlo Ia mitad de alto que una persona para que ésta pueda verse completa en ci espejo. ,Depende este resultado de Ia distancia de Ia persona a! espejo? EJEMPLO CONCEPTUAL 3-2 LEstá Ia foto de cabeza? Un examen de la fotografla presentada en Ia primera pgina de este capItulo revela que en Ia porciOn superior Ia imagen del Sol se ye claramente, mientras que en Ia porciOn inferior, la imagen del So! está parcialmente bloqueada por las tres ramas. ,Por qué no es Ia refiexiOn en el agua una replica exacta de !a escena real? Ilustre su respuesta dibujando un croquis de esta situaciOn, mostrando ci Sol, Ia cámara, las ramas, y dos rayos del Sol a Ia cámara (uno directo y otro reflejado). ,Aciara su croquis si Ia fotografla est derecha o de cabeza?

Tenemos que dibujar dos diagramas, uno suponiendo que Ia foto en Ia pgina 810 está derecha y otro suponiendo que está invertida. La figura 33-9 está dibujada suponiendo que la foto est invertida. En este caso, ci Sol bloqueado por el árboi serIa Ia vista directa y Ia vista completa del Sol serIa Ia reflexión. Entonces, dibujado como en Ia figura 33-9, el rayo que se refleja en el agua y hacia Ia cmara viaja segt'm un ánguio bajo Ia rama, mientras que ci rayo que viaja directamente hacia Ia cimara pasa por las ramas. Esto funciona. Trate de dibujar un diagrama suponiendo que Ia foto está derecha (suponiendo entonces que Ia imagen del Sol en Ia reflexiOn está ms alto por arriba del horizonte que como se ye directamente). Esto no funcionart La foto presentada en Ia página 810 está invertida. Además, ,qué pasa con Ia gente en Ia foto? Trate de dibujar un diagrama que muestre porque Ia gente no aparece en la reflexión. [Sugerencia: suponga que ellos no están sentados sobre el borde del estanque, sino un poco atrás del borde.] Luego trate de dibujar un diagrama de lo inverso (es decir, suponga que Ia foto es derecha de maneRESPUESTA

ra que las personas son visibles solo en la reflexión). En general, las imágenes reflejadas no son replicas perfectas cuando están implicados pianos diferentes (distancias). Ramas

FIGURA 33-9

Rayodirecto Sol

-

Ejemplo 33-2.

Cámara U

ojo

Rayo reflejado

I Agua

SECCION 33-3

Ref IexiOn; formadOn de imagenes mediante un espejo pIano

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815

FIGURA 33-10 Espejos con superfides esféricas convexa y cOncava. Note

Normal a Ia supefficie

o.

que O = 0 para cada rayo.

Normal a la superficie 3pejo

Espejo convexo

(a) FIGURA 33-11 (a) Un espejo cOncavo cosmético da una imagen ampliada. (b) Un espejo convexo en una tienda reduce las imágenes e incluye un amplio campo visual.

cóncavo

(b)

Formación de imágenes mediante espejos esféricos Las superficies reflectantes no tienen que ser planas. Los espejos curvos más comuries son esfericos, lo que significa que forman una secciOn de una esfera. Un espejo esférico se llama convexo si Ia reflexiOn tierie lugar sobre Ia superficie exterior de Ia forma esférica de manera que el centro de la superficie del espejo se curva hacia fuera, hacia el observador (figura 33-lOa). Un espejo se llama cóncavo Si la superficie reflectora está sobre la superficie interior de Ia esfera de manera que el centro del espejo se curva hacia adelante, es decir, alejándose del observador (como una "cueva"), figura 33-lOb. Los eSpejoS cóncavos se usan como espejos cosméticos o para rasurarse (figura 33-ha) y los espejos convexos se usan a veces en autos y camiones (espejos retrovisores) y en tiendas (para detectar ladrones), porque abarcan un amplio campo visual (figura 33-lib).

Estos rayos son los dnicos que tocarán el espejo, y son esencialmente paralelos si el objeto está muy lejos. Si la distancia al objeto es grande comparada con el tamano del espejo (o lente), los rayos son casi paralelos. Son paralelos para un objeto en el infinito (oo).

FIGURA 33-12

Para ver cOmo los espejos esféricos forman imágenes, consideremos primero un objeto que esté muy lejos de un espejo cóncavo. Para un objeto distante, como se muestra en la figura 33-12, los rayos desde cada punto del objeto que llegan al espejo serán casi paralelos. Para un objeto infinitamente lejano (por ejemplo, el Sol y las estrellas), los rayos serIan precisamente paralelos. Ahora consideremos tales rayos paralelos incidiendo sobre un espejo cOncavo como en la figura 33-13. La ley de Ia reflexión es válida para FIGURA 33-13 Los rayos paralelos que tocan un espejo esférico cOncavo no se enfocan precisamente en un solo punto.

816

CAP1TULO 33

Luz: ref IexiOn y refracciOn

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rfi- :2 A

r

Eje principal

f

FIGURA 33-14 Los rayos paralelos a! eje principal de un espejo esférico liegan a un foco en F, ilamado punto focal, siempre que el espejo sea pequeflo comparado con su radio de curvatura r, de modo que los rayos sean "paraxiales", es decir, que formen sOlo angulos pequeflos con el eje.

cada uno de esos rayos en el punto en que tocan al espejo. Como puede verse, no todos ellos liegan a un solo punto. Para formar una imagen nItida, los rayos deben liegar a un punto. AsI, un espejo esférico no formará una imagen tan nItida como un espejo piano. Sin embargo, como mostraremos abajo, si ei espejo es pequeflo comparado con su radio de curvatura, de manera que los rayos refiejados forman sOlo angulos pequeños a! reflejarse, entonces los rayos se cruzarán entre ellos en prcticamente Un solo punto, 0 foco, como se muestra en la figura 33-14. En el caso mostrado, los rayos son paralelos a! eje principal, que se define como Ia iInea recta perpendicuiar a la superficie curva en su centro (linea CA en el diagrama). El punto F, donde los rayos paralelos ai eje principal llegan después de reflejarse, se llama punto focal del espejo. La distancia entre F y ei centro del espejo, longitud FA, se llama longitud focal,f, del espejo. Otra manera de definir el punto focal es decir que es el punto imagen para un objeto infinitamente alejado a lo largo del eje principal. La imagen del Soi, por ejemplo, estarIa en F. Ahora mostraremos, para un espejo cuya superficie reulectora es pequena comparada con el radio de curvatura, que los rayos casi se encuentran en un punto comün, F, y calcularemos también la longitud focal f. En esta aproximaciOn, consideramos solo rayos que forman un pequeno ángulo con el eje principal, los cuales se llaman rayos paraxiales, y sus ángulos se muestran exagerados para mayor clarjdad en Ia figura 33-14.

Primero consideramos un rayo que toca el espejo en B en la figura 33-14. El punto C es el centro de curvatura del espejo (el ceritro de la esfera de la cual el espejo es una parte). La lInea CB es entonces igual a r, o radio de curvatura, y CB es normal a Ia superficie del espejo en B. El rayo incidente que toca al espejo en B forma un ingulo 0 con eSta normal, y por consiguiente el rayo reflejado, BF, también forma un ngulo 6 con la

normal. NOtese también de Ia geometrIa que el ángulo BCF es también 0 como se muestra. El triangulo CBF es isOsceles porque dos de sus angulos son iguales. AsI entonces, Ia longitud CF = BE Suponemos que el espejo tiene un ancho o diámetro que es pequeno comparado con su radio de curvatura, por Jo que los ángulos son pequefios, y la longitud FB es casi igual a Ia longitud FA. En esta aproximaciOn, FA = FC. Pero

FA = f, La longitud focal, y CA = 2 FA = r. La longitud focal es entonces Ia mitad del radio de curvatura:

f=

(33-2)

Este razonamiento supuso sOlo que el ángulo 0 era pequeno, por lo que el mismo resultado es aplicable para todos los otros rayos paraxiales.Todos los rayos paraxiales pasan entonces por el mismo punto F en Ia aproximaciOn paraxial. Como es solo aproximadamente cierto que los rayos Ilegan a un foco perfecto en F, entre más curvo sea el espejo, peor será Ia aproximaciOn (figura 33-13) y ms borrosa será Ia imagen. Este "defecto" de los espejos esféricos se llama aberración esférica; Ia analizaremos con más detalle con respecto a las lentes en el capItulo 34. Por otra parte, un reflector parabólico refleja los rayos a un foco perfecto. Sin embargo, debido a que las formas parabólicas son ms difIciles de fabricar y mucho más caras, los espejos esféricos se usan para Ia mayor parte de los propOsitos. (Muchos telescopios astronOmicos usan reflectores parabolicos.) AquI consideramos sOlo espejos esféricos y supondremos que son pequenos comparados con sus radios de curvatura de modo que Ia imagen es nItida y que se cumple la ecuaciOn 33-2. SECCION 33-4

Formación de imágenes mediante espejos esféricos

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817

Vimos que para un objeto en el infinito La imagen está localizada en el punto focal de un espejo esférico cóncavo, donde f = r/2. Pero, dónde se encuentra Ia imagen para un objeto que no está en el infinito? Primero consideremos el objeto mostrado como una flecha en Ia figura 33-15, que est colocado en el punto 0 entre F y C. Determinemos dOnde estará Ia imagen para un punto dado 0' sobre el objeto. Para hacer esto p0demos dibujar varios rayos y nos aseguramos que se refiejen en el espejo de modo que el ángulo de reflexión sea igual al ngulo de incidencia. La determinaciOn de Ia posiciOn de Ia imagen se simplifica si tratamos con tres rayos particularmente simples. Esos son los rayos llamados 1, 2 y 3 en Ia figura 33-15 y los dibujamos partiendo del punto 0' del objeto como sigue: El rayo 1 se dibuja paralelo al eje; por tanto, después de reflejarse debe pasar a lo largo de una IInea por F (como vimos en la figura 33-14, y to dibujamos aquI en Ia figura 33-iSa). El rayo 2 parte de 0' y se hace pasar por F; por tanto, debe reflejarse de manera que sea paralelo al eje (figura 33-15b). El rayo 3 se escoge perpendicular al espejo y entonces se dibuja de modo que pase por C, el centro de curvatura; este rayo está a to largo de un radio de Ia superficie esférica, y como es perpendicular al espejo se reflejará sobre 51 mismo (figura 33-15c).

El punto en que esos rayos se cortan es el punto imagen 1'. Todos los otros rayos del mismo punto objeto pasaran por este punto imagen. Para encontrar el punto imagen para cualquier punto, sOlo tienen que usarse esos tres rayos particulares. En rea]idad, solo dos de esos rayos son necesarios, pero el tercero sirve como comprobación. Hemos mostrado el punto imagen en Ia figura 33-15 sOlo para un solo punto sobre el objeto. Otros puntos sobre el objeto tienen su imagen cerca, por lo que se forma una imagen completa del objeto, como se muestra por Ia flecha rayada en Ia figura 33-15c. Como la luz pasa realmente por Ia imagen misma, esta es una imagen real que aparecerá sobre un pedazo de papel o pelIcula situadas ahI. Esto puede compararse con la imagen virtual formada por un espejo pIano (la luz no pasa realmente por esa imagen, figura 33-7). La imagen en la figura 33-15 puede verse por el ojo cuando está situado a Ia izquierda de Ia imagen de modo que algunos de los rayos divergiendo de cada punto sobre La imagen (como el punto I') puedan entrar a! ojo como se muestra en Ia figura 33-15c. (Véanse también las figuras 33-1 y 33-7.) Rayos dejan el punto 0' sobre el objeto (una flecha). Se muestran los tres rayos más ütiles para determinar dónde se forma Ia imagen I'. [Nótese que Ia altura de nuestro espejo no es pequena comparada con f, por lo que nuestro diagrama no dará Ia posición precisa de Ia imagen.] FIGURA 33-15

0'

(a) El rayo 1 sale de 0' paralelo al eje y Se refleja por F.

(b)

El rayo 2 pasa por F y luego se refleja de regreso paralelamente al eje.

(c)

El rayo 3 llega perpendicularmente al espejo y luego se refleja de regreso sobre si inismo y pasa por C (centro de curvatura).

C

1

I

2

Rayos divergentes dirigiéndose hacia el ojo 818

CAP1TULO 33

I


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I'

33-16 Diagrama para obtener Ia ecuaciOn de los espejos. Para Ia derivaciOn, suponemos que el tamano del espejo es pequeno comparado con su radio de curvatura. FIGURA

I.

d0

d

Los puntos imagen pueden determinarse, burdamente, dibujando los tres rayos como se describió arriba, pero una alta precisiOn es difIcil de obtener. Por una parte es difIcil dibujar ángulos pequenos para los rayos "paraxiales" coma los supusimos. Sin embargo, es posible obtener una ecuaciOn que dé Ia distancia imagen si se conocen Ia distancia objeto y el radio de curvatura del espejo. Para hacerlo, nos referimos a Ia figura 33-16. La distancia del objeto a! centro del espejo, Ilamada distancia objeto, está designada par d0. La distancia imagen se designa d. La altura del objeto 00' se llama h0 y Ia altura de Ia imagen J'I es h,. Dos rayos se muestran, ei O'FBI' (mismo que el rayo 2 en Ia figura previa) y el 0'AI'. El rayo O'AI' obedece Ia ley de Ia reflexiOn, por supuesto, par lo que los dos triángulos rectos O'AO e I'Al son semejantes. For tanto, tenemos d0

h1 - d1 Para el otro rayo, O'FBI', los triángulos O'FO y AFB son también semejantes ya que Ia longitud AB = h (en nuestra aproximación de un espejo que es pequefio comparado con su radio) y FA = f, la longitud focal del espejo. Por tanto,

d0-f

OF h1 FA f Los lados izquierdos de las dos expresiones precedentes son iguales, por lo que podeh0

mos igualar los lados derechos: d0

d0

d1

-f f

Dividimos ahora ambos lados entre d0 y reordenando obtenemos 1

1

1

(333)

= Esta es Ia ecuación que buscábamos, se llama ecuación de los espejos y relaciona las distancias del objeto e imagen con Ia longitud focal f (donde f = r/2). El aumento lateral, m, de un eSpejo se define coma Ia altura de Ia imagen dividida entre Ia altura del objeto. Dc nuestro primer conjunto de triángulos semejantes anteriores, podemos escribir:

m=

=

d,

(33-4)

El signo menos en Ia ecuación 33-4 es irisertado como una convenciOn. Tenemos

que ser cuidadosos con los signos de todas Las cantidades en las ecuaciónes 33-3 y 33-4. Las convenciones de signos se escogen para dar las localizaciones y orientaciones correctas de las imágenes, tal coma son predichas par los diagramas de rayos. La convención de signos que usamos son: Ia altura de Ia imagen h es positiva si la imagen está derecha, y negativa si está invertida, relativa al objeto (suponiendo que h0 se toma como positiva); d, y d0 son positivas si La imagen y el objeto están en el lado reflejante

del espejo (coma en Ia figura 33-16), pero si Ia imagen o el objeto están detrás del espejo, Ia distancia correspondiente es negativa (un ejemplo, 33-5, puede verse en Ia figura 33-17). El aumento (ecuaciOn 33-4) es entonces positivo para una imagen derecha y negativo para una imagen invertida. Resumiremos Ia convenciOn de signos con ms detalles después de que veamos los espejos convexos en esta secciOn. SECCION 33-4

FormaciOn de imágenes mediante espejos esféricos

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819

Imagen en un espejo cóncavo. Un anillo de diamante de 1.50 cm de alto se coloca a 20.0 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es de 30.0 cm. Determine (a) Ia posicion de Ia imagen, y (b) su tamaño.

La longitud focal es f = r/2 = 15.0 cm. El diagrama de rayos es básicamente como el mostrado en La figura 33-15 y figura 33-16, ya que el objeto está entre F y C. Con referencia a Ia figura 33-15 o a la figura 33-16, tenemos CA = r = 30.0 cm, FA = f = 15.0 cm, y OA = d0 = 20.0 cm. (a) De Ia ecuaciOn 33-3 SOLUCION

1

=

d1

RESOLUCION DEL PROBLEMA

1

f

-

1

d

=

1

1

15.0 cm

20.0 cm

= 0.0167 cm

-1

d1 = 1/0.0167 cm' = 60.0 cm. La imagen está a 60.0 cm del espejo del mismo Iado que el objeto. (b) De la ecuación 33-4, el aumento lateral es

AsI,

m=

60.0 cm 20.0 cm

=-3.00.

Por lo tanto, Ia altura de Ia imagen es h1

= mh0 = (-3.00)(1.5 cm) = 4.5 cm.

El signo menos nos recuerda que Ia imagen es invertida, como en las figuras 33-15 y 33-16.

-'

Rayos reversibles. Si el objeto del ejemplo 33-3 Se cotoca cioncie esta Ia imagen (vease Ia figura 33-16), i,dOnde estará Ia nueva imagen? RESPUESTA La ecuación de espejos es simétrica en d0 y d,. Entonces la nueva imagen estará donde estaba el viejo objeto. De hecho, en Ia figura 33-16 sOlo tenemos que invertir la direcciOn de los rayos para obtener nuestra nueva situaciOn.

Objeto más cercano al espejo cóncavo. Un objeto de 1.00 cm de alto se coloca a 10.0 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es de 30.0 cm. Dibuje un diagrama de rayos para localizar (aproximadamente) Ia posiciOrl de la imagen. (b) Determine anailticamente Ia posiciOn de Ia imagen y el aumento. SOLUCION

(a) Como f = r/2 = 15.0 cm, el objeto está entre el espejo y el punto

focal. Dibujamos los tres rayos como se describiO antes (figura 33-15) y esto se muestra en Ia figura 33-17. El rayo 1 sale de Ia punta de nuestro objeto dirigiéndose hacia el espejo paralelamente al eje y se refleja pasando por F. El rayo 2 no puede dirigirse hacia F porque no tocarla el espejo; el rayo 2 debe dirigirse como si comenzara en F (lInea punteada) y se dirige al espejo de donde se refleja paralelamente al eje principal. El rayo 3 es perpendicular al espejo, como antes. Los rayos reflejados del espejo

divergen y nunca se encuentran en un punto. Sin embargo, parecen provenir de un punto detrás del espejo. Este punto es la imagen que está entonces detrás del espejo y es virtual (Por qué?) Usamos Ia ecuación 33-3 para hallar d cuando d0 = 10.0 cm: 1

1

1

2-3

1

d1

15.0cm

10.0cm

30.0cm

30.0cm

Por tanto, d = 30.0 cm. El signo menos significa que Ia imagen está detrás del espejo.

El aumento lateral es m =

d/d0

= (-30.0 cm)/(10.0 cm) = +3.00. La imagen es

entonces 3.00 veces mayor que el objeto; el signo más indica que la imagen está derecha (10 que es consistente con el diagrama de rayos, figura 33-17). [Nótese que Ia distancia a Ia imagen no puede obtenerse exactamente midiendo en Ia figura 33-17, porque nuestro diagrama viola Ia suposiciOn de rayos paraxiales (tuvimos que hacerlo asI, para hacer a todos los rayos claramente visibles).]

820

CAPiTULO 33

Luz: ref IexiOn y ref racción

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2

1

,'

'p

Objeto colocado dentro del punto focal F. La imagen está delrás del espejo y es virtual, ejemplo 33-5. [NOtese que Ia escala vertical (altura del objeto = 1.0 cm) es diferente de Ia horizontal (OA = 10.0 cm) pot facilidad de dibujo, y esto afecta Ia precision del mismo.I FIGURA 33-17

0

A

Es Otil comparar las figuras 33-15 y 33-17. Podemos ver que si el objeto está dentro del punto focal, como en Ia figura 33-17, Ia imagen es virtual, derecha y amplificada. AsI es como se usa un espejo de rasurar; usted debe colocar su cabeza dentro del punto focal para verse de pie (figura 33ha). Si el objeto está más allá del punto focal, como en Ia figura 33-15, Ia imagen es real e invertida (de cabeza y difIcil de usar). Si el aumento es mayor o menor que 1.0 en el Oltimo caso, depende de la posición del objeto respecto al centro de curvatura o punto C. La ecuaciOn de los espejos también es válida para un espejo piano: la longitud focal es f = r/2 = 0°, y Ia ecuaciOn 33-3 da d = d0. El anlisis usado para espejos cOncavos se puede aplicar a espejos convexos. La ecuaciOn de los espejos (ecuación 33-3) es vlida para un espejo convexo, aunque las cantidades implicadas deben ser cuidadosamente definidas. La figura 33-18a muestra rayos paralelos que caen sobre un espejo convexo. De nuevo, Ia aberraciOn esférica estará presente, pero suponemos que el tamaño del espejo es pequeno comparado con su radio de curvatura. Los rayos reflejados divergen, pero parecen venir del punto F detrás del espejo. Este es el punto focal, y su distancia al centro del espejo es Ia longitud focal, f. Es fácil mostrar que de nuevo f = r/2. Vemos que un objeto en el infinito produce una imagen virtual en un espejo corivexo. Sin importar dOnde esté colocado el objeto sobre ellado reflejante de un espejo convexo, Ia imagen será virtual y derecha, como se indica en Ia figura 33-18b. Para hallar la imagen, dibujamos los rayos 1 y 3 de acuerdo con las reglas usadas antes sobre el espejo cOncavo, como se muestra en Ia figura 33-18b. NOtese que aunque los rayos 1 y 3 no pasan realmente por los puntos F y C, Ia lInea a io largo de Ia cual están dibujados si pasa (mostrados con lIneas de rayas).

Espejo convexo: (a) el punto focal está en F, detrás del espejo; (b) Ia imagen I del objeto en 0 es virtual, derecho, y más pequena que el objeto. [No está a escala para el ejemplo 33-6.] FIGURA 33-18

F

H-f

'

3

C

0

A

1F

C

- d0+- d1=

(a)

(b)

SECCION 33-4

FormaciOn de imágenes mediante espejos esféricos

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821

La ecuación de los espejos, ecuaciOn 33-3, es válida para espejos convexos pero Ia longitud focal f debe considerarse negativa, asI como también el radio de curvatura. La demostración se deja como un problema. Se deja también como un problema el demostrar que la ecuación 33-4 para el aumento es también válida. Espejo retrovisor convexo. Un espejo retrovisor convexo de un auto tiene un raaio de curvatura de 16 m. Determine Ia localizaciOn de Ia imagen y su aumento para un objeto a 10.0 m del espejo.

El diagrama de rayos será como el de la figura 33-18, pero La distancia grande a! objeto (d0 = 10.0 m) hace difIcil un dibujo preciso. Tenemos un espejo convexo, por to que r es negativo por convenciOn. EspecIficamente, r = 16 m, por lo que SOLUCION

111 f

f = 8.0 m. La ecuaciOn de los espejos da d

d

1

1

8.0 m

10.0 m

18 80 m

Entonces, d = 80 m/18 = 4.4 m, o 4.4 m detrás del espejo. El aumento lateral es

m = d/d0 = (-4.4m)/(10.Om) = 0.44.

La imagen de pie es un poco menor que la mitad del tamaño del objeto. Los espejos retrovisores a veces tienen Ia advertencia de que los objetos se yen más lejos (Se yen más pequenos) de lo que realmente están; juzgar distancias en un espejo esférico requiere de cierta habilidad.

RESO LU C IO N

Espejo

DE PROBLEMAS

Siempre dibuje un diagrama de rayos aun cuando vaya a efectuar un cálculo analItico; el diagrama sirve como comprobación, aunque no precisa. Dibuje por to menos dos, de preferencia tres rayos, de los fácites de dibujar, como se describió en la figura 33-15. Dibuje por to general los rayos comenzando desde un punto sobre el objeto a Ia izquierda del espejo y procediendo hacia la derecha. Use las ecuaciones 33-3 y 33-4; es crucialmente importante seguir ta convención de signos.

Convención de signos Cuando el objeto, Ia imagen o el punto focal estdn sobre el tado reflector del espejo (a Ia izquierda en todos nuestros dibujos), Ia distancia correspondiente se consi-

dera positiva. Si cualquiera de esos puntos está detrás del espejo (a Ia derecha) Ia distancia correspondiente es

negativa.t La altura h1 de Ia altura es positiva Si La imagen está derecha, y negativa si está invertida con relación at objeto (es decir, si h0 se toma como positiva).

Las distancias de los objetos son positivas para objetos materiales, pero pueden ser negativas en sistemas con más de un espejo o lente; vOase Ia secciOn 34-3.

Ref racciOn; ley de Snell Cuando Ia luz pasa de un medio a otro con un Indice diferente de refracción (secciOn 33-2), parte de La Iuz incidente es reflejada en Ia frontera. El resto pasa at nuevo medio. Si un rayo de luz es incidente formando un ángulo con Ia superficie (que no sea perpendicular), el rayo se inclina at entrar at nuevo medlo. Esta desviaciOn se llama refracción. La figura 33-19a muestra un rayo que pasa del aire al agua. El nguLo 1 es et angulo que el rayo incidente forma con La perpendicular a Ia superficie y se llama ángulo de incidencia. El ángulo 02 es el ángulo de refracción, o sea el angulo que el rayo refractado forma con Ia perpendicular. NOtese que el rayo se desvIa hacia la normal cuando entra at agua. Este es siempre el caso cuando el rayo entra a un medio donde 822

CAPTULO 33

Luz: ref Iexión y refracción

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Normal

Normal Rayo reflejado

Rayo '-t incidente

Rayo reflejado

0

02

Aire (n2)

Aire (n1)

Rayo reflejad

Agua (n2) 02

v

Agua(n1)

l._:\\ Rayo 101

Refracción. (a) Luz refractada al pasar del aire (n1) al agua (n2): n2 > n1. (b) Luz refractada al pasar del agua (n1) a! aire (n2): (n2): FIGURA 33-19

incidente

Rayo reflejado

(a)

n2>ni

(b)

nI > n2.

izi>n2

La velocidad de La luz es menor. Si Ia luz viaja de un medio a otro donde su velocidad es mayor, el rayo se desvfa alejándose de La normal; esto se muestra en Ia figura 33-19b para un rayo que viaja del agua a! aire. La refracción es responsable de cierto nümero de ilusiones Opticas comunes. For ejemplo, cuando una persona está parada y metida en el agua hasta Ia cintura, parece tener piernas cortas. Como se muestra en La figura 33-20, los rayos que parten del pie de la persona son desviados en Ia superficie. El cerebro del observador supone que los rayos han viajado por una trayectoria recta, por lo que los pies parecen estar más arriba de lo que en realidad esthn. Similarmente, cuando usted introduce un lápiz en agua, parece que se dobla (figura 33-21). El angulo de refracción depende de Ia velocidad de la luz en los dos medios y del ángulo incidente. Una reLación analItica entre 0 y 02 fue obtenida de manera experimental alrededor de 1621 por WiI!ebrord Snell (1591-1626), y se conoce como Icy de Snell y se escribe

(33-5)

n1senO1 = n2senO2.

es el ángulo de incidencia y 02 es el ángulo de refracción; n1 y n2 son los respectivos Indices de refracciOn en los materiales. Véase La figura 33-19. Los rayos incidentes y refractados se encuentran en el mismo piano, que también incluye La perpendicular a Ia superficie. La ley de Snell es Ia ley de refracción básica. La ley de Snell puede obtenerse de Ia teoria ondulatoria de la luz (capitulo 35), y de hecho Ia obtuvimos en Ia secciOn 15-10 donde Ia ecuación 15-19 esjusto una combinaciOn de las ecuaciones 33-5 y 33-1. Es claro de la ley de Snell que si n2 > n1, entonces 02 < 0. Es decir, Si la luz en-

tra a un medio donde n es mayor (y menor su velocidad), el rayo es desviado hacia la normal. Y si n2 < n1, entonces 02 > 0, de manera que el rayo se desvIa alejndose de Ia normal. Esto lo vimos en Ia figura 33-19. FIGURA 33-20 El diagrama de rayos muestra por qué las piernas de una persona se yen más cortas cuando está metida en el agua hasta Ia cintura: Ia trayectoria de La luz que viaja de los pies del bañista a los ojos del observador se desvIa hacia La superficie del agua, y el cerebro interpreta Ia luz como que viaja en linea recta, desde un punto más arriba (lmnea punteada).

Un lápiz en el agua se ye como doblado aunque en realidad no lo está. FIGURA 33-21

El pie parece estar aquf

SECCION 33-5

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RefracciOn; ley de SnelI

823

Refracción a través de un vidrio piano. Un haz de luz toca una pieza plana cie vidrio uniformemente espeso con un ngulo de incidencia de 600, como se muestra en la figura 33-22. Si el Indice de refracciOn del vidrio es de 1.50, (a) cuál es el ángulo de refracciOn 0A en el vidrio?; (b) ,cuál es el ngulo O con que el rayo emerge del vidrio? SOLUCION (a) Suponemos que el rayo incidente está en el aire, por lo que n1 = 1.00 y. n2 = 1.50. Entonces, de Ia ecuaciOn 33-5 tenemos sen °A

Rayo del objeto

/

/

/

''Imagen" (donde parece estar el objeto)

FIGURA 33-22

sen 60° = 0.577,

=

por lo que °A = 35.2. (b) Como las caras del vidrio son paralelas, el ángulo de incidencia en la segunda superficie es justamente 0A' por Jo que sen 0A = 0.577. Esta vez n1 = 1.50 y n2 = 1.00. AsI, °B ( 02) es

Luz pasarido a través

sen 0

de una pieza de vidrio (ejemplo 33-7).

1.50

= 1.00

sen 0A = 0.866,

y 08 = 60.0°. La dirección del haz no cambia entonces al pasar a través de una pieza de vidrio de espesor uniforme. Deberla ser claro que esto es asI para cualquier ángulo de incidencia. Sin embargo, el rayo es desplazado hacia un ado. Usted puede observar esto mirando a través de una pieza de vidrio (cerca de su borde) algün objeto y luego moviendo Ia cabeza hacia un lado de manera que pueda ver el objeto directamente.

Profundidad aparente de una alberca. Un baflista dejó caer sus

lentes de sol en el lado poco profundo de una alberca, marcado con 1.0 m de profundidad. Pero éstos no parecen estar a tal profundidad. LPor qué? jQué tan profundo parecen estar los lentes cuando usted los ye directamente hacia abajo en el agua? FIGURA 33-23

Ejemplo 33-8.

SOLUCION

El diagrama de rayos de la figura 33-23 muestra por qué eJ agua parecc ser menos profunda que en Ia realidad. Los rayos que viajan hacia arriba desde los anteojos que están en el fondo de Ia alberca son refractados alejándose de Ia normal

cuando salen del agua. Los rayos parecen divergir desde un punto más alto en el agua. Para calcular Ia profundidad aparente d', dada una profundidad real d = 1.0 m, usamos Ia ley de Snelt con n1 = 1 para el aire y n2 = 1.33 para el agua: sen 01 = sen 02. Estamos considerando sOlo ángulos pequenos, por lo que sen 0 tan 0 0, con 0 en radianes. La ley de Sitell toma entonces la forma

if

d = 1.0 m

01

Dc la figura 33-23, vemos que 01

Liafas

protectoras

tan 01 =

Y

02

tan 02 =

Poniendo estas expresiones en Ia ley de Snell, 01 n202, obtenemos x x d 1.Om o = 0.75 m.

= 1.33

La piscina parece ser sOlo tres cuartas partes tan profunda de lo que realmente es.

Espectro visible y dispersion Una propiedad obvia de la luz visible es su color, el cual está relacionado con las longitudes de onda o con las frecuencias de Ia luz. (La forma en que esto fue descubierto se vera en el capItulo 35.) La luz visible, a Ia que son sensibles los ojos, cae en el rango de longitudes de onda de aproximadamente 400 nm a 750 nm.t Esto se conoce como el 5A veces Se usa Ia unidad angstrom (A) con referencia a Ia uz: iA = 1 x 10°m. La Iuz visible cae entonces en el rango de longitud de onda de 4000 A a 7500 A.

824

CAPITULO 33


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Uv

JR

I

I

I

I

I

700 nm

600 nm

500 nm

400 nm

I

I

I

espectro visible, y dentro de él se encuentran los colores diferentes que van del violeta al rojo, como se muestra en Ia figura 33-24. La luz con longitud de onda más corta que 400 nm se llama ultravioleta (UV), y Ia luz con longitud de onda mayor que 750 nm se llama infrarroja (IR). Aunque los ojos humanos no son sensibles a la UV o a La IR, algunos tipos de pelIcula fotogrfica sI responden a ellas. Un prisma separa La luz blanca en un arcoiris de colores, como se muestra en La figura 33-25. Esto sucede porque el Indice de refracciOn de un material depende de Ia longitud de onda, como se muestra para diferentes materiales en Ia figura 33-26. La luz blanca es una mezcla de todas las longitudes de onda visibles, y cuando incide en un prisma, como en Ia figura 33-27, las diferentes longitudes de onda son desviadas con ángulos diferentes. Como el mndice de refracciOn es mayor para las longitudes de onda corta, Ia luz violeta es Ia ms desviada y Ia roja la menos desviada como se indica. Esta division de la iuz bianca en el espectro total se llama dispersion.

FIGURA 33-24 Espectro de luz visible, mostrando ci rango de longitudes de onda para los diversos colores.

La Iuz blanca al pasar a través de un prisma se descompone en sus colores constituyentes. FIGURA 33-25

Luz blanca dispersada por un prisma en el espectro visible.

FIGURA 33-26 Indice de refracciOn como funciOn de Ia longitud de onda

FIGURA 33-27

para diferentes sólidos transparentes. 1.7

Vidrio de silicato de pedernal

Vidrio de borato de pdemaI

Pared o pantalla

Cuárzo

Silicato de vidrio crown Cuarzo fundido

1.4

400 Violeta

500 600 Longitud de onda (nm) Azul

Verde Amarillo

700

Naranja

ROJO

Los arcoiris son un ejemplo espectacular de dispersion por las gotas de agua. Usted puede observar un arcoiris cuando ye caer gotas de agua con el Sol a su espalda. La figura 33-28 muestra cOmo los rayos rojos y violetas son desviados por gotas esféricas de agua y son reflejados desde su superficie posterior. La luz roja es la menos desviada y Ilega entonces a los ojos del observador desde las gotas en el cielo, como se muestra en el diagrama. AsI entonces, Ia parte superior del arcoiris es roja. El especlro eleclromagnélico cOmplelo eslá ilustrado en Ia figura 32-12.

Estos dos rayos son vistos por el observador (no está a escala)

Rojo Naranja Ar tarillo

Violeta

Verde

Anti Violeta

Violeta

(a) FIGURA 33-28

(b)

(a) Diagrama de rayos que explica como se forma un arcoiris (b).

SECCION 33-6

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Espectro visible y dispersion

825

Ref Iexión total interna; fibras ópticas Cuando Ia Iuz pasa de un material a un segundo material donde el Indice de refracciOn es menor (digamos, del agua al aire), Ia luz se inclina alejándose de Ia normal, como en el caso de los rayos I y J en Ia figura 33-29. Para un ángulo de incidencia particular, el ángulo de refracción será de 90°, y el rayo refractado rozará Ia superficie (rayo K) en este caso. El ángulo incidente para el cual esto ocurre se llama el ángulo crItico, Oc. De Ia ley de Snell, el 0 está dado por

sen 0 =

nl

sen 90° =

(33-6)

nl

Para cualquier ángulo incidente menor que O habrá un rayo refractado, aunque parte de Ia luz se reflejará también en Ia frontera. Sin embargo, para angulos iricidentes mayores que 0c la ley de Snell nos dirIa que sen 02 es mayor que 1.00. Sin embargo, el Seno de un ángulo nunca puede ser mayor que 1.00. En este caso no hay rayo refractado en absoluto, y toda Ia Iuz es reflejada, como el caso del rayo L en La figura 33-29. Este efecto se llama reflexión total interna. Pero nótese que la reflexiOn total interna puede ocurrir sOlo cuando Ia luz toca una frontera donde el medio posterior tiene un Indice merior de refracción. FIGURA33-29 Comon2 < n1,los rayos de luz son reflejados interna-

mente en forma total si 0 > 0, como en el rayo L. Si 0 < 0, como en los rayos I y J, solo una parte de Ia luz es reflejada, y el resto es refractada.

L. L.. .. .J4 ..-J Vision desde abajo del agua. Describa lo que veria una persona que mirase hacia arriba desde el fondo de una superficie perfectamente lisa como la de un lago o de una alberca. RESPUESTA Para una interfaz aire-agua, el Ongulo crItico estO dado por sen O

1.00

= 1.33

= 0.750.

Por tanto, O = 49°. La persona verIa entonces el mundo exterior comprimido en un cIrculo cuyo borde formarIa un Ongulo de 49° con Ia vertical. MOs allO de este Ongulo, Ia

persona verIa reflexiones de los lados y fondo de Ia alberca o del lago (figura 33-30).

(a) Rayos de luz, y (b) vista hacia arriba desde abajo del agua (Ia superficie del agua debe estar muy lisa). FIGURA 33-30

v90 (a)

(b)

Los diamantes obtienen su brillo a partir de una combinaciOn de dispersion (sección anterior) y reflexiOn total interna. Como los diamantes tienen un Indice de refracciOn

muy alto, de aproximadamente 2.4, el Ongulo crItico para Ia reflexiOn total interna es de solo 25°. La luz incidente toca por tanto muchas de las superficies internas antes de tocar una con menos de 25° y luego emerger. Después de muchas reflexiones, Ia luz 826

CAP1TULO 33

Luz: ref lexiOn y refracciOn

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Reflexión total interna de Ia luz por prismas en binoculares. FIGURA 33-31

Luz reflejada totalmente en Ia superficie interior de una fibra de vidrio o una fibra plástica transparente.

FIGURA 33-32

ha viajado lo suficiente como para que los colores queden separados y sean vistos de forma individual y brillante por los ojos, antes de salir del cristal. Muchos instrumentos ópticos, como los binoculares, hacen uso de Ia reflexión total interna dentro de un prisma para reflejar Ia luz. La ventaja es que casi el 100% de Ia luz es reflejada, mientras que aun los mejores espejos reflejan algo menos que el 100%. La imagen es entonces más brillante. Para el vidrio con n = 1.50, O = 41.8°. Por tanto, los prismas a 45° reflejan toda Ia luz internamente, Si se orientan como se muestra en los binoculares de Ia figura 33-31. La reflexiOn total interna es el principio detrás de las fibras ópticas. Ahora pueden fabricarse fibras de vidrio y de plstico tan deigadas como de unos cuantos micrometros de diámetro. Un mazo de esas fibras diminutas se llama tubo de Iuz o cable, y Ia luz puede ser transmitida a lo largo de él con casi ninguna pérdida debido a Ia reflexiOn total interna. La figura 33-32 muestra cOmo Ia luz que viaja por una fibra delgada tiene sOlo colisiones de roce con las paredes, de tal manera que ocurre una reflexiOn total interna. AOn si el tubo de luz es doblado en una forma complicada, el ángulo cr1tico no se excederá, por lo que la luz es transmitida prácticamente sin disminuciOn en su intensidad (véase Ia figura 33-33). Ocurren pérdidas muy pequenas, principalmente por reflexión en los extremos y absorciones dentro de Ia fibra. Importantes aplicaciones de los cables de fibras Opticas tienen lugar en las telecomunicaciones y en medicina. Se usan para transmitir llamadas telefOnicas, señales de video y datos de computadoras. La seflal es un rayo de luz modulado (un rayo de luz cuya intensidad puede ser variada) y es transmitida a una velocidad mucho mayor y con menor pérdida y menor interferencia que una sejial eléctrica en un alambre de cobre. Han sido desarrolladas fibras Opticas que pueden soportar más de 100 longitudes de onda separadas, cada una modulada para Ilevar hasta 10 gigabits (1010 bits) de informaciOn por segundo. Esto significa un terabit (1012 bits) por segundo para las 100 longitudes de ondas completas. El uso sofisticado de las fibras opticas para transmitir una

ReflexiOn total interna dentro de las pequenas fibras de este tubo de Iuz, hace posible transmitir luz en trayectorias complejas con pérdida minima. FIGURA 33-33

(a) Cómo se hace una imagen de fibra óptica. (b) Ejemplo de un dispositivo de fibra óptica insertado a través de Ia nariz, y Ia imagen que se ye. FIGURA 33-34

A

imagen clara es particularmente Otil en medicina, figura 33-34. For ejemplo, los pulniones de un paciente pueden ser examinados insertando un tubo de luz conocido como bron-

coscopio a través de Ia boca y hacia abajo por el tubo bronquial. La luz se envIa hacia abajo por un conjunto exterior de fibras para iluminar los pulmones. La luz reflejada regresa hacia arriba por un nOcleo central de fibras. La luz directamente enfrente de cada fibra viaja hacia arriba por esa fibra. En el extremo opuesto, un observador ye una sen de puntos brillantes y oscuros, como en una pantalla de television, es decir, una imagen de lo que se encuentra en el extremo opuesto. Se usan lentes en cada extremo: en el extremo del objeto para traer los rayos en paralelo, y en el extremo de observaciOn como en un telescopio. La imagen pueden ser vista directamente o en un monitor o pelicula de television. Las fibras deben estar ópticamente aisladas una de otra, usualmente por un recubrimiento delgado de material cuyo indice de refracciOn es menor que el de Ia fibra. Las fibras deben disponerse precisamente en forma paralela una con otra para que Ia imagen sea clara. Entre más fibras haya y sean ms pequenas, Ia imagen resultari ms detallada. Tales instrumentos, incluidos los broncoscopios, colonescopios (para ver el colon) y endoscopios (para ver el estomago u otros organos) son extremadamente ütiles para examinar los lugares dificiles de Ilegar. SECCION 33-7

(a)

A

(b)

Reflexión total interna; fibras Opticas

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827

nl

FIGURA 33-35 Los rayos desde un punto 0 sobre un objeto se enfocarán en un solo punto imagen I por una frontera esférica entre dos materiales transparentes ( n2 > n1), siempre que los rayos formen ángulos pequeflos con el eje.

C 0

*

Ref racción en una superficie esférica Examinaremos ahora la refracción de rayos en la superficie esférica de un material transparente. Una superficie de esas podrIa ser Ia cara de una lente o la cornea del ojo. Por lo general, consideremos un objeto que está ubicado en un medio cuyo Indice de refracciOn es n1, y los rayos desde cada punto del objeto pueden entrar a un medio cuyo Indice de refracciOn es n2. El radio de curvatura de Ia frontera esférica es R, y su centro de curvatura está en el punto C, figura 33-35. Mostramos ahora que todos los rayos que dejan un punto 0 sobre el objeto estarn enfocados en un solo punto I, que es el punto imagen, si consideramos sOlo rayos paraxiales, o sea, rayos que forman un Ongulo pequeno con el eje. Consideremos entonces un solo rayo que deja el punto 0 como se muestra en la figura 33-36. Por Ia ley de Snell, ecuación 33-5, tenemos n1sen61 = n2senO2.

Estamos suponiendo que los ángulos O, 02, a, /3, y y son pequenos, por lo que sen 0

0 (en radianes), y La ley de Snell puede expresarse aproximadamente como n101 = n202

Además, /3 + 4 = 180° y 02 + y + 4 = 180°, por lo que

/3 = Similarmente, para e] triángulo OPC,

= a + j3. Esas tres relaciones se pueden combinar y dar

na + n2y = (n2 - n1)/3. Como estamos considerando sOlo el caso de ángulos pequeflos, podemos escribir, aproximadamente,

an-'h

h

/3=-k,

h

>'=-'

donde d0 y d son las distancias del objeto y Ia imagen y h es la altura como se muestra en la figura 33-36. Sustituimos estos valores en la ecuación previa, dividimos entre h, y obtenemos /l

fl2

=

R

(337)

Para una distancia al objeto dada d0, esta ecuaciOn nos dice que d1 o distancia a Ia imagen no depende del angulo de un rayo. For consiguiente, todos los rayos paraxiales se Diagrama para probar que todos los rayos paraxiales desde 0 tienen su foco en el mismo FIGURA 33-36

punto I (n > n1).

828

CAPITULO 33

Luz: ref lexiOn y ref racciOn

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0

FR--- I

C

1

d0

I

nl

n..

FIGURA 33-37 Los rayos desde 0 son refractados por una superficie cOncava para formar una imagen virtual ( n2 > n1).

encuentran en el mismo punto 1. Esto es cierto, por supuesto, solo para rayos que forman ngulos pequenos con el eje y con cada otro rayo. Esto es equivalente a suponer que el ancho de Ia superficie esférica refractante es pequeno comparado con su radio de curvatura. Si esta suposición no es cierta, los rayos no convergirn a un punto; habr aberraciOn esférica, como en el caso de un espejo (véase la figura 33-13), y Ia imagen Será borrosa. (La aberración esférica se analizará con mayor detaUe en la sección 34-10.)

Obtuvimos Ia ecuaciOn 33-7 usando Ia figura 33-36 para Ia cual Ia superficie esférica es convexa (como es vista por el rayo incidente). Es también válida para una superficie cOncava, como puede verse usando Ia figura 33-37 si hacemos las siguientes convenciones:

Si Ia superficie es convexa (de manera que el centro de curvatura C esté sobre el lado de Ia superficie opuesto a aquel de donde viene Ia luz), R es positiva; si la superficie es cóncava (C sobre el mismo lado del que viene Ia luz) R es negativa. La distancia a Ia imagen, d1, sigue Ia misma convenciOn: positiva Si est sobre el lado opuesto de donde viene Ia ]uz (imagen real), negativa si está del mismo lado (imagen virtual). La distancia al objeto es positiva si est del mismo lado de donde viene la luz, objeto real (éste es el caso normal, aunque cuando varias superficies doblan Ia Iuz puede que no sea asI), de otra manera es negativa; objeto virtual. Para el caso mostrado en Ia figura 33-37 con una superficie cOncava, R y d, son negativas cuando se usan en Ia ecuación 33-7. NOtese, en eSte caso, que Ia imagen es virtual.

abajo cii uu tanque?

iai

Profundidad aparente II. Una persona ye verticalmente hacia Je de 1.0 m de profundidad. ,Qué profundidad parece tener el CS-

SOLUCION

El ejemplo 33-8 resolviO este problema usando Ia ley de Snell. Aqul usamos Ia ecuación 33-7. Un diagrama de rayos se muestra en Ia figura 33-38. El punto 0 representa un punto sobre el fondo de Ia piscina. Los rayos divergen y parecen venir del punto I o imagen. Tenemos d0 = 1.0 m y, para una superficie plana, R = GX. La ecuaciOn 33-7 toma entonces Ia forma 1.33

1.Om

+

1.00 d,

=

(1.00 - 1.33) 00

=0

Por consiguiente, d, = -(1.0 m)/(1.33) = -0.75 m. La piscina parece ser sOlo tres cuartas partes tan profunda como to es realmente; obtenemos el mismo resultado que en el ejemplo 33-8. El signo menos nos dice que el punto imagen I está del mismo lado de La superficie que 0, y la imagen es virtual. Para otros ingulos que no sean verticales, esta conclusiOn debe modificarse. FIGURA 33-38

Ejemplo 33-10.

Aire:,12= 1.00 Agua: n1 = 1.33

SECCION 33-8

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Ref racción en una superficie esférica

829

Una "Iente esférica. Una fuente puntual de luz es colocada a una distancia de 25.0 cm del centro de una esfera de vidrio ( n = 1.5) de radio 10.0 cm, igura 33-39. Encuentre Ia imagen de Ia fuente.

SOLUCION Como se muestra en la figura 33-39, hay dos refracciones, y las trataremos sucesivamente, una a La vez. Los rayos de luz de La fuente se refractan primero desde Ia superficie convexa de vidrio de cara a la fuente. Analizamos esta refracción despreciando el lado posterior de Ia esfera, tratándola como si tuviese Ia forma mostrada en Ia figura 33-35. Usando Ia ecuación 33-7, suponiendo rayos paraxiales, con n1 = 1.0, n2 = 1.5, R = 10.0 cm y d0 = 25.0 cm - 10.0 cm = 15.0 cm, despejamos Ia distancia a La imagen formada en La superficie 1, d1: 1

d

i /1.5 - 1.0

- 1.5

\ 10.0 cm

'

1.0

1

15.0 cm) -

90.0 cm

AsI entonces, Ia imagen de La primera refracción está ubicada a 90.0 cm a La izquierda de Ia superficie frontal. Esta imagen sirve ahora como el objeto para La refracción que ocurre en Ia superficie posterior (superficie 2) de la esfera. Esta superficie es cOncava y R = - 10.0 cm, y consideramos un rayo cercano al eje. La distancia a! objeto es entonces d02 = 90.0 cm + 2(10.0 cm) = 110.0 cm, y La ecuación 33-7 da, con n1 = 1.5, n2 = 1.0, 1.

/1.0-1.5

d12 - 1.0 \-10.Ocm

1.5

4.0

110.0 cm

110.0cm

por to que d,2 = 28 cm. La imagen final está entonces localizada a una distancia de 28 cm desde el lado posterior de La esfera.

Ejemplo 33-11.

FIGURA 33-39

Fuente

'I

= 10.0 cm

'2

Resumen La Iuz parece viajar a to largo de trayectorias en Ilnea recta, Ilamadas rayos, con una velocidad v que depende del Indice de refracción n del material; es decir C

V = n-, donde c es Ia velocidad de ta luz en el vacIo.

Cuando Ia luz se refleja desde una superficie plana, el

angulo de reflexion es igual a! angulo de incidencia. Esta ley de reflexión explica porqué los espejos pueden formar imágenes. En un espejo piano, la imagen es virtual, derecha, del mismo tamaflo que el objeto, y está tan atrs del espejo como el objeto está a! frente de él. Un espejo esférico puede ser cóncavo o convexo. Un espejo esférico cOncavo enfoca rayos paralelos de luz (luz de un objeto muy distante) a un punto Ilamado el punto focal. La distancia de este punto desde el espejo es La longitud focal f del espejo y

f=. donde r es el radio de curvatura del espejo. 830

CAPITULO 33

Luz: ref lexiOn y refracciOn

Los rayos paralelos que caen sobre un espejo convexo se reflejan desde el espejo como si divergiesen desde un punto comün detrás del espejo. La distaricia de este punto desde el espejo es La longitud focal y se considera negativa para un espejo convexo. Para un objeto dado, La posicion y el tamaflo de Ia imagen formada por un espejo se pueden encontrar por el trazo de rayos. Algebraicamente, Ia relación entre distancias de imagen y objeto, d y d0, y la longitud focal f, está dada por Ia ecuación de los espejos: 1

1

d0

d1

=

1

f

La razón de aitura de imagen a altura de objeto, que es

igual at aumento m, es

h,

d1

Si los rayos que convergen para formar una imagen pasan realmente por Ia imagen, de manera que la imagen aparecerá sobre una pelIcula o pantalla situada ahI, se dice que Ia imagen es una imagen real. Si Los rayos no pasan realmente por La imagen, se dice que ésta es una imagen virtual.

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Cuando Ia luz pasa de un medio transparente a otro, los rayos se desvfan o refractan. La ley de Ia refracción (ley de Snell) establece que n1senO1 = n2sen02,

donde n1 y 0 son el Indice de refracciOn y el ángulo con Ia normal a Ia superficie para el rayo incidente, y n2 y 02 lo son para el rayo refractado. La longitud de onda de Ia luz determina su color; el es-

Los prismas de vidrio (y otros materiales trartsparentes) pueden separar la iuz blanca en su colores constituyentes debido a que el Iridice de refracciOn varfa con ia longitud de onda, fenOmeno conocido como dispersion. Cuando los rayos de luz aicanzan la frontera de un material donde decrece el Indice de refracciOn, los rayos sern reflejados totalmente de manera interna si el ángulo incidente 0 es tal que Ia Icy de Sneil predecirfa sen 02 > 1; esto ocurre si 0 excede el ángulo crItico c dado por

pectro visible se extiende de 400 nm (violeta) a cerca de

sen0 =

750 nm (rojo).

nl

Preciuntas Cuál serIa La apariencia de Ia Luna si tuviera (a) una superficie rugosa; (b) una superficie pulida tipo espejo?

Se dice que ArquImedes quemO toda Ia flota romana en ci

puerto de Siracusa enfocando los rayos solares con un enorme espejo esférico. ,Es esto razonable? Si un espejo cóncavo produce una imagen real, es Ia imagen necesariamente invertida? Cuando emplea un espejo cóncavo, no puede ver una imagen invertida de usted mismo a menos que coloque Ia cabeza más aiiá del centro de curvatura C. Sin embargo, usted puede ver una imagen invertida de otro objeto colocado entre C y F, como en Ia figura 33-IS. ExpIfquelo. [Sugerencia: usted puede ver una imagen real sOlo si ci ojo está detrás de Ia imagen, de modo que esta se pueda formar.] ,Cuál es Ia longitud focal de un espejo piano? Cuái es el aumento de un espejo piano? Es Ia ecuación de los espejos, ecuación 33-3, váiida para un espejo piano? ExpiIqueio. ,COmo podrIa usted determinar Ia veiocidad de La Iuz en un objeto sOhdo, rectangular y transparente? Cuando usted ye el reflejo de Ia Luna en un mar ondulado, aparece aiargada (figura 33-40). ExplIquelo.

,Cuiil es ci anguio de refracción cuando un rayo de luz encuentra Ia frontera entre dos materiales perpendicularmente? Cuando usted ye hacia abajo en una aiberca o en un lago, usted es propenso a subestimar su profundidad. COmo varIa Ia profundidad aparente con ei ánguio de visiOn? (Use diagramas de rayos.)

Dibuje un diagrama de rayos para mostrar porqué una barra recta se ye doblada cuando parte de ella está bajo ci agua (fi-

gura 33-21). Cuando un haz ancho de luz paraieia entra al agua con cierto ánguio, ci haz se ensancha. ExpiIquelo. Usted está en un acuario y yen un pez dentro de él. Un rayo de iuz que emerge del tanque desde ci pez se muestra en ia figura 33-41. También se muestra Ia posiciOn aparente del pez como es visto por ci ojo. En ci dibujo, indique Ia posición real aproximada dci pez. Justifique brevemente su respuesta.

FIGURA 33-41

Pregunta 13.

COmo puede usted "ver" una gota redonda de agua sobre una mesa aOn cuando ci agua es transparente e incolora? Puede un rayo de iuz que viaja en ci aire ser totaimente reflejado cuando toca una superficie lisa de agua si ci anguio mcidente es recto? Cuando usted ye hacia arriba un objeto en ci aire desde ci fondo de una aiberca, i,se ye ci objeto dcl mismo tamaño que cuando io ye directamente en ci aire? ExpiIqueio. Qué tipo de espejo se muestra en La figura 33-42?

FIGURA 33-40

Pregunta 8.

FIGURA 33-42

Pregunta 17.

Preguntas

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831

Problemas -

(I) ,Cuái es Ia velocidad de Ia luz en (a) alcohol etilico, (b) en lucita?

(II) Dos espejos pianos se encuentran segOn un ánguio de 135°, figura 33-45. Si los rayos de Iuz tocan un espejo a 40° como se muestra, ,con qué anguio 4) saien del segundo espejo?

(I) La velocidad de Ia luz en hielo es de 2.29 X 108 rn/s. ,CuáI es el Indice de refracciOn del hielo? (I) ,Qué tiempo le torna a La luz ilegar a La Tierra desde el Sol que está a 1.50 x 108 km de distancia? Nuestra estreila más cercana (aparte del Sol) está a 4.2 altos luz. Es decir, le toma a La luz 4.2 años liegar a Ia Tierra desde ella. tQué tan lejos está Ia estrella en metros?

La luz es emitida desde el filamento de un foco ordinario de Iuz en ráfagas de trenes de ondas de aproximadamente 10 s de duración. CuáI es La longitud en el espacio de tales trenes de ondas? (II) La velocidad de Ia iuz en cierta sustancia es 92% de su valor en el agua. ,Cuál es el Indice de refracciOn de esa sustancia? (II) ,Cuál es Ia minima rapidez angular con Ia que ei espejo de ocho lados de Michelson tendrIa que girar para que Ia iuz se reflejase hacia el ojo de un observador desde caras sucesivas del espejo (figura 33-2)?

Suponga que quiere tornar una fotografia de usted mismo viendo su imagen en un espejo situado a 1.8 m de distancia.

,Para qué distancia debe enfocarse La lente de Ia cimara? Coloque dos espejos pianos de manera que formen un angulo recto corno en Ia figura 33-43. Cuando usted se ye en este espejo doble, se ye tal como otros lo yen, en vez de en posición

40°

FIGURA 33-45 Probierna 11.

(II) Suponga que usted está a 80 cm de un espejo piano. Qué area del espejo se usa para reflejar los rayos que provienen de un punto en Ia punta de ia nariz y entran a uno de los ojos, Si ei cliámetro de Ia pupila es de 5.0 mm?

Demuestre que si dos espejos pianos forman un ánguio cb, un solo rayo reflejado sucesivamente en ambos espejos es desviado un ánguio de 24) independienternente del ángulo incidente. Suponga 4) < 90° y que tienen iugar solo dos refiexiones, una desde cada espejo. Suponga que un tercer espejo se coloca debajo de los dos mostrados en Ia figura 33-43, de manera que los tres son perpendiculares entre si. (a) Demuestre que para tal "reflector de esquina", cuaiquier rayo incidente regresará con su direcciOn original después de tres reflexiones. (0) Qué sucede si el rayo efectlta sOlo dos reflexiones?

invertida como en un espejo simple. Haga un diagrama para

mostrar cómo ocurre esto.

(I) Un espejo cóncavo dirigido ai Sal enfoca Los rayos de éste en un punto situado a 18.2 cm frente al espejo. Cuál es ei radio de Ia superficie esférica con ia que fue hecho ei espejo? LQué tan iejos de un espejo cOncavo (radio de 22.0 cm) debe colocarse un objeto para que su irnagen esté en el infinito?

Muestre con diagramas de rayos que el aumento de un espejo cOncavo es menor que 1 si ei objeto está rnás alla del centro de curvatura C, y es mayor que 1 si está entre este punto y ei espejo. FIGURA 33-43 Probiemas 9 y 14.

(II) Una persona cuyos ojos están a 1.54 m por arriba del piso está a 2.30 m enfrente de un espejo piano vertical cuyo borde inferior está a 40 cm por arriba del piso, figura 33-44. LCuái es Ia distancia horizontal x a La base de Ia pared que soporta ei espejo desde el punto rnás cercano sobre el piso que se puede ver reflejado en ei espejo?

F-2.30 m-H

if

1.54 m

b.

832

CAPiTULO 33

_-'1T40 cm


(II) Si usted se ye en una esfera de Navidad con diOmetro de 9.0 cm cuando su cara está a 25.0 cm de distancia de ella, dOnde está su imagen? Es reai a virtual? ,Es derecha o invertida? (II) Un espejo en un parque de diversiones muestra una imagen derecha de cualquier persona que esté a 1.5 m enfrente de éi. Si La imagen es tres veces La estatura de Ia persona, ,cuái es el radio de curvatura del espejo?

(II) Un dentista quiere un espejo pequeflo que, cuando esté a 2.00 cm de un diente, produzca una imagen derecha con un aumento de 5.0x. ,Qué tipo de espejo debe usarse y cuál debe ser su radio de curvatura? (II) Aigunos espejos retrovisores producen imágenes de los autos detrfls de usted que son menores de io que serIan si el espejo fuese pIano. ,Son los espejos cOncavos 0 convexos? Cuál es el radio de curvatura de un espejo silos autos que estan a 20.0 m atrás aparecen de 0.33 de su tamaflo normal?

Luz: ref IexiOn y refracciOn

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(11) Un objeto luminoso de 3.0 mm de altura se coloca a 20 cm de un espejo convexo de 20 cm de radio de curvatura. (a) Demuestre trazando rayos que La imagen es virtual, y estime Ia distancia a Ia imagen. (b) Demuestre que para calcular esta distancia (negativa) a La imagen con Ia ecuaciOn 33-3, es suficiente hacer igual a 10 cm La longitud focal. (c) Caicule ci tamaño de La imagen usando Ia ecuaciOn 33-4.

Los rayos solares en cierta posiciOn forman un ánguio de 43.0° con Ia vertical debajo dcl agua. A qué ángulo sobre ci horizonte está el Sol? Un haz dc iuz incide sobre un prisma equiiátero de vidrio formando un ngulo de 45.0° con una cara, figura 33-46. CalcuIc ci ánguio con que Ia iuz emerge dc La cara opucsta. Suponga que n = 1.50.

(II) (a) DOnde debe colocarse un objeto frente a un espejo cOncavo para que produzca una imagen en Ia misma posición que ci objeto? (b) LEs Ia imagen real o virtual? (c) LEs Ia imagen invertida o derecha? (d) LCuOl es ci aumcnto de Ia imagen?

(II) La imagen de un rboi distante es virtual y muy pequena cuando se ye en un espejo curvo. La imagen se ye de 14.0 cm detrás dcl espejo. Qué tipo de espejo es este y cul es su radio de curvatura? (II) Use Ia ecuación de los espejos para mostrar que Ia magnitud del aumento de un espejo cóncavo es menor que 1 si ci objeto está detrás del centro de curvatura C (d0 > r), y es mayor que 1 si ci objeto está dentro de C (d0 < r).

(II) Demuestre, usando un diagrama de rayos, que ci aumento m de un espejo convexo es m = d1/d0, justo como para un espejo cóncavo. [Sugerencia: considere un rayo de Ia parte Superior dcl objeto que se refleje en ci centro dcl espejo.]

FIGURA 33-46 ProbIemas 36 y 52.

(II) Para inspeccionar ci fondo de una aiberca en Ia noche, un guardia La iiumina con un rayo dc iuz de su iinterna, situada ésta a 1.3 m por arriba del nivel dci agua; ci rayo toca La superficie dci agua en un punto a 2.7 m dc su pie situado en ci borde de Ia alberca (figura 33-47). DOnde toca ci rayo de luz ci fondo de La alberca, medido desde Ia pared debajo de sus Si Ia alberca tiene 2.1 m de profundidad?

(II) Use diagramas de rayos para mostrar que Ia ecuaciOn de los espejos, ecuación 33-3, es válida para un espejo convcxo siempre quc fse considere negativa. El aumento de un espejo convexo cs de +0.55x para objetos a 3.2 m del espejo. Cuái es Ia longitud focal de este espejo? (IT) Un objeto de 4.5 cm de altura se coloca a 28 cm enfrente de un espejo esfOrico. Se desea producir una imagen virtual quc es-

té derecha y sea de 3.5 cm de altura. (a) LQué tipo de espejo debe usarse? (b) j,DOnde se localiza Ia imagen? (c) ,Cuái es Ia longitud focal del espejo? (d) ,CuáI es ci radio de curvatura del espejo?

(TI) Un espejo para rasurarse está diseflado para amplificar La cara por un factor de 1.3 cuando esta colocada a 20.0 cm frente

al espejo. (a) De qué tipo de espejo se trata? (b) Describa el tipo de imagen que ci espejo forma de Ia cara. (c) Calcule ci radio de curvatura requerido para ci espejo.

Un objeto corto delgado (como un tramo corto de alambre) de longitud I es colocado sobre, y paraiclo al eje principal de un espejo esférico. Demuestre que La imagen tiene longitud 1' = ml si ci aumento longitudinal es igual a m2 donde m es ci aumento lateral (ecuaciOn 33-4). LPor qué ci signo menos? [Sugerencia: encuentre las posiciones de las imágencS para ambos cxtrcmos de Ia barra y suponga que I es muy pequcna.

(1) El haz de iuz de una linterna toca Ia superficie de una piaca de vidrio (n = 1.50) con un ánguio de 63° respecto a Ia normal. CuOl es ci ángulo de refracción?

I.3m

Ij

2.7 m

2.1 m

I

FIGURA 33-47

Probiema 37.

(II) Un rayo de iuz en ci aire toca una placa de vidrio crown (n = 1.52) y es parciaimente reflcjado y parciaimcntc refractado. Encuentre ci ángulo de incidencia si ci ánguio de rcfiexiOn cs doble que ci ánguio de rcfracciOn. (II) Si ci medio a La izquierda dcl vidrio en Ia figura 33-22 es diferente que ci de Ia dcrccha (de manera que hay tres matcriales diferentes de difcrcntc Indicc de refracciOn), muestre que ci angulo de refracciOn en ci terccr medio (a Ia derccha dci vidrio) es ci mismo que si Ia iuz pasara dci primer medio al tercero directamente (como si ci vidrio fuese de espesor cero). (IT) Un acuario ileno de agua tienc parcdcs de vidrio piano cuyo Indice de rcfracciOn es 1.58. Un rayo de iuz dci exterior al acuario toca ci vidrio con un ánguio de 43.5° a Ia perpendicular (figura 33-48). LCuái es ci ánguio de este rayo de luz cuando (a) entra al vidrio, y luego (b) al agua? (c) Cuái scrIa ci ángulo refractado si el rayo entrase al agua directamente?

(I) Un buzo desde abajo en ci agua emite con su linterna un rayo de luz, que forma un ángulo de 32.5° con Ia vertical. Con qué nguIo sale ci rayo de iuz dci agua?

(I) Un rayo de iuz desde una fuente bajo ci agua sale de ésta con un nguio de 76.0°. ,Con qué angulo de incidencia tocO el

Vidrio

Aire

Agua FIGURA 33-48

Probiema 40.

rayo La interfaz aireagua por debajo de La superficie?

Problemas

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833

Demuestre en general que para un rayo de Iuz incidente sobre una capa uniforme de material transparente, como en La figura 33-22, Ia dirección del rayo emergente es paralela al rayo incidente, independientemente del ángulo Ode incidencia. Suponga que el medio sobre los dos lados es el mismo.

Un rayo de luz incide sobre una pieza plana de vidrio como en la figura 33-22. Demuestre que si el ángulo 0 incidente es pequeno, eI rayo es desplazado una distancia d = t0(n - 1)/n, donde t es el espesor del vidrio y 0 está en radianes.

Un rayo de luz es emitido 8.0 cm por debajo de Ia superficie de un lIquido y toca Ia superficie a 7.0 cm del punto directamente arriba de La fuente. Si ocurre refLexión total interna, ,qué puede usted decir acerca del Indice de refracciOn del lIquido? Suponga que un rayo de luz toca Ia cara izquierda del prisma en Ia figura 33-46 a 45° como se muestra, pero es retlejado interna y totalmente en ci lado opuesto. Si el ángulo superior es 0 = 75°, ,qué puede usted decir acerca del Indice de refracciOn del prisma?

(III) Un rayo de Iuz entra por el extremo de una fibra Optica como se muestra en Ia figura 33-51. Demuestre que podemos (I) tEn qué porcentaje excede,aproximadamente, Ia velocidad de Ia luz roja (700 nm) Ia de Ia luz violeta (400 nm) en el vidrio de silicato de pedernal? (Véase La figura 33-26).

En qué porcentaje es Ia velocidad de Ia luz azul (450 nm)

garantizar reflexiOn total interna en La superficie lateral del ma-

terial (en el punto a), si el Indice de refracción es mayor que aproximadamente 1.42. En otras palabras, independientemente del ángulo a, el rayo de luz se refleja de regreso al material en el punto a.

menor que Ia velocidad de Ia luz roja (700 nm), en el vidrio de silicato de pedernal. (Véase Ia figura 33-26).

(TI) Un rayo de luz toca una pieza de vidrio con un angulo de incidencia de 60.00°. El rayo contiene dos longitudes de onda, 450.0 nm y 700.0 nm, para las cuales el Indice de refracción del vidrio es 1.4820 y 1.4742, respectivamente. LCuál es el angulo entre los dos rayos refractados? Un rayo paralelo de luz que contiene dos longitudes de onda, A1 = 450 nm y A2 = 650 nm, entra al vidrio de silicato de pedernal de un prisma equilátero como se muestra en Ia figura 33-49 ,Con qué ángulo sale cada rayo del prisma (dé el angulo con normal a Ia cara)?

45.0° FIGURA 33-49

Problema 46.

Aire

Material transparente

FIGURA 33-51

Problema 53.

(Lii) (a) CuáI es ci mInimo Indice de refracciOn para un prisma

de vidrio o de plástico para ser usado en binoculares (figura 33-31) de manera que ocurra reflexiOn total interna a 45°? (b) LFuncionarán Los binoculares si sus prismas (suponga n = 1.50)

están inmersos en agua? (c) Qué n mInimo se necesita si los prismas están inmersos en agua?

(II) Una pieza de vidrio piano (n = 1.50) de 12.0 cm de espesor se encuentra sobre La superficie de un estanque de 12.0 cm de profundidad. ,A qué profundidad desde Ia parte superior del vidrio se ye ci fondo del estanque, visto directamente desde arriba?

Cuál es el ánguLo critico para La interfaz entre el agua y Ia lucita? LDe qué material debe partir Ia luz para ser reflejada internamente? (1) El ángulo crItico para cierta interfaz liquido-aire es de 51.30. LCuál es el Indice de refracción del lIquido?

Un rayo de luz es emitido en una alberca Ilena de agua desde una profundidad de 82.0 cm. ,Dónde debe tocar Ia interfaz aireagua, respecto al punto directamente arriba de él, para que Ia luz no salga del agua?

(II) Un rayo de luz entra a una fibra Optica con un ángulo de 15.00 respecto al eje longitudinal de Ia fibra, como en Ia figura 33SO. Calcule Ia distancia que el rayo de luz viaja entre reflexiones sucesivas en los lados de La fibra. Suponga que La fibra tiene un Indice de refracción de 1.55 y es de 1.40 X 10 m de diámetro.

Un pez nada en una pecera de vidrio esférica delgada de espesor unifornie. Suponiendo que ci radio de curvatura de Ia pecera es de 25.0 cm, ubique Ia imagen del pez si éste se localiza: (a) en el centro de Ia pecera; (b) a 20.0 cm del lado de Ia pecera entre el observador y ci centro de Ia pecera. [Sugerencia: para (a), ,cuáI es ci ángulo de incidencia de La Iuz cuando toca La interfaz aguavidrio? Dado esto, j,donde está Ia imagen? Finalmente, verifique esto por cálcuio, notando que R debe ser negativo.]

(iLL) Demuestre que Ia ecuación 33-7 es válida para superficies esféricas convexas y cóncavas y para objetos e imagenes situadas en forma diferente, siempre que se acaten las convenciones vistas en La sección 33-8. Demuestre esto usando diagramas semejantes a La figura 33-36 para todos Los casos posibles. Suponga 2 > 1 y iuego n2 < n1.

Una moneda se encuentra en eL fondo de una alberca de 1.00 m de profundidad. Si un observador Ia ye a un dnguLo de 45°, ,dónde está La imagen de Ia moneda relativa a La moneda? [Sit-

gerencia: Ia imagen se encuentra trazando hacia atris hasta Ia intersecciOn de dos rayos.] FIGURA 33-50

834

CAPITULO 33

Problema 50.

Luz: ref IexiOn y ref racciOn

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Problemas generales Dos espejos pianos están uno frente at otro a 2.0 m de distancia como en La figura 33-52. Usted esta parado a 1.5 m de uno de

Si ci ánguio superior de un prisma es de 4 = 72° (véase La figura 33-55), cuál es ci mInimo ángulo de incidencia para un rayo si

de usted mismo. (a) LQué tan lejos esti de las primeras tres imágenes de usted mismo en el espejo? (b) ,En que direcciOn están esas tres primeras imagenes, viendo hacia usted 0 al revés?

éste debe emerger por ci lado opuesto (es decir, no ser totalmente reflejado internamente), dado que n = 1.56? Cuando Ia luz pasa a través de un prisma, ci angulo que ci rayo refractado forma respecto al rayo incidente se llama ángulo de

esos espejos y se ye en él. Usted observa imgenes mOltiples

desviaciOn 6, figura 33-55. Demuestre que este ánguio es minimo

cuando ci rayo pasa a través dci prisma simétricamente y perpendicular a La bisectriz del änguio superior , y demuestre que ci ánguio mInimo de dcsviaciOn 6m' está relacionado con ci indice de refracciOn dci prisma n por

l.5m

2.0 m

sen( + 8m)

FIGURA 33-52

sen/2

Problema 59.

Queremos determinar Ia profundidad de una piscina ilena de agua midiendo ci ancho (x = 5.50 m) y luego notando que ci borde del fondo de Ia alberca es visible a un ángulo de 14.0° sobre Ia horizontal, como se muestra en Ia figura 33-53. Calcule Ia profundidad de Ia alberca.

14.0

1-5.50 mAgua

T

LProfundidad?

I

Probiema 60.

FIGURA 33-53

Una persona de 1.70 m de estatura está parada a 3.80 m de un espejo convexo y nota que ye precisamente Ia mitad de Ia altura que observa cuando está frente a un espejo piano coiocado a Ia misma distancia. Cuál es el radio de curvatura del espejo convexo? (Suponga que sen 0 0.) El ángulo crItico de una pieza de plástico en el aire es O = 37.3°. Cuái es el ánguio crItico del mismo plástico si cstá inmerso en agua?

A cada estudiante en un iaboratorio de fIsica se ie asigna haliar La ubicaciOn en que un objeto brillante debe estar situado para que un espejo cOncavo con radio de curvatura r = 40 cm, pro-

duzca una imagen tres veces ci tamano del objeto. Dos estudiantes terminan Ia tarea en tiempos diferentes usando equipo idéntico, pero cuando comparan sus notas, descubren que sus respuestas para La distancia del objeto no son las mismas. Expli-

El principio de Fermat estabiece que "La iuz viaja entre dos puntos a lo largo de Ia trayectoria que requiere ci tiempo mInimo, en comparación con otras trayectorias cercanas". Dci principio de Fermat obtenga (a) Ia icy de Ia rcflexión (0 = Or) y (b) Ia Icy de La refracciOn (Ley de Sneii). [Sugerencia: escoja dos puntos apropiados de manera que un rayo entre eilos pueda expcrimentar reflexiOn o refracciOn. Dibuje una trayectoria burda para un rayo entre esos puntos, y escriba una expresión para ci tiempo requerido por Ia Iuz para viajar La trayectoria arbitraria escogida. Luego derive para encontrar ci mInimo.]

Las caras extremas de una barra ciiIndrica de vidrio (n = 1.54) son perpendiculares a los iados. Muestre que un rayo de luz que entrc por una cara extrcma a cuaiquier ánguio será totaimente reflejado internamente dentro de Ia barra cuando toque los Iados. Suponga quc Ia barra está en ci aire. LQué pasa si cstá en ci agua? Suponga que La figura 33-35 muestra una barra ciiIndrica cuyo cxtremo ticne un radio de curvatura R = 2.0 cm, y que La barra cstá inmersa en agua con Indice de refracción de 1.33. La barra tiene Indice de refracción dc 1.50. Encuentre La posición de Ia imagcn de un objcto de 2.0 mm de aitura iocahzado a 20 cm desde ci extremo de La barra.

Una fibra Optica es un ciiindro iargo transparente de diámetro d e Indice de rcfracciOn n. Si esta fibra es dobiada agudamente, parte dc La Iuz que toca ci iado del ciiindro pucde escapar en vez de reflcjarse hacia La fibra (figura 33-56). CuáI es el más pcqueflo radio de curvatura en una sccción corta doblada para Ia cuai una reflcxión total interna estar garantizada para Iuz viajando iniciaimcnte paralela al eje dc Ia fibra?

que por qué no tienen necesariamente que repetir Ia tarea, y

justilique su respuesta con un cálcuio.

Un caleidoscopio forma patrones simétricos con dos espejos pianos con ángulo de 60° entre elios, como se muestra en Ia figura 33-54. Dibuje Ia ubicaciOn de las im6genes (algunas de ellas imágenes de im6genes) del objeto situado entre los espejos.

F

*, 60°

FIGURA 33-54 Probiema 64.

FIGURA 33-55

Problemas 65 y

66.

dFIGURA 33-56

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Probiema 70.

Problemas generales

835

De los muchos dispositivos Opticos que veremos en este capItulo, Ia lente de aumento es el más simple. Aquf se muestra tal dispositivo amplificando una página que describe cómo funciona de acuerdo con el modelo de rayos. En este capItulo examinamos lentes delgadas en detalle, viendo cOmo determinar La posiciOn de La imagen como funciOn de La posición del objeto y de Ia longitud focal de Ia lente, con base en el modelo de rayos. Luego examinaremos varios dispositivos Opticos, desde cámaras y anteojos hasta telescopios y microscopios.

34-7

Magnifying Glass

luch ol lit remainder ti, hut chapter .11 deal with i'ptcal tics ices thu .0 cite. ;'ro.Ju e utijgnttieu umacs ol 0tipecl We lInt discusa lhc .lmplv rna*niikr. or

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m*gnif'ilnjc Øais. which is simplY $ convergilig lens. Fig. ta1kw large it' ohjcci appears. and riots much deiil we can see on it. depends in ii IC sr/ct ii the iungt. ii umikes ott the retina rms. in turn. depends on the angle

F4GURE 31-26

it)aiiilt in

,ohtcnded hi the object at he ese Fr rxanipl a penny held )Ilcnt Iron, the ee kiol., (ttKt ,i lull as one held (glens away becaust ihe angle it contends is iwtco as great (Fig. .44 - 27). When ste want to c.nutut,c Ic tail on an object. tic bring it up

hi,i .1 .,n.I ht In.igc .1

Fti.ik

Wh.ii tltc .hiMccI ' tucvivd at athorict aisvinct the itt. c m tlw retina peaRl. Mi FIGURE 34-27

he .'i.tti Jitcat' laict and ulKile iii he tee" I bc mine S that P. Frc-att I iii, ol,cc I subtcflJs lit than in lb) thu.'' I

cloc to our eves s.

hit tu .utslcnd,. a gre.iter angle However our es-cs ran accom tandard distance

illodale only up "ii pontt the near point I ..tnd we w tIl assume

of Seni .n the near point in wilal foIhow A magnihtnit gUs allows us in plait the obyeo closer 10 our eve so thai a stut'iencts i peak' ante. As nowfl in Ftg .4-2&r. the otijeci P. placed al the tsxal point or lust w,thtts ii. Then Ott conewiI lens produces a virtual Image, which must be ii Iea't oil Ir..m thee Sc. if the C is lo (cwus on tt. IliAc ese i rc Iacd. the image "ill be .fl nutintis. and n 'hi' 'asc the object is exactly at the (tx-al point. (You tuiikci'tt .td1tu'ttnc.tl LIUrI( when you "kus" on the object I-is mov

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W

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6

where 9 and tI' are shown in H Ientuh by noting that H = h/N Ii is the heighi " the object an

134

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Lentes e instrumentos ópticos (a) Lentes convergentes y (b) lentes divergentes. (c) Foto de una lente convergente (a Ia izquierda) y una lente divergente. (d) Lentes convergentes (arriba), y lentes divergentes, en posición plana sobre el papel, y separadas del papel para formar imágenes. FIGURA 34-1

Las

leyes de La ref]exiOn y La refracciOn, particularmente esta Ultima, son Ia base

para explicar La operaciOn de muchos instrumentos Opticos. En este capItulo analizaremos Las lentes simples usando ci modelo de los rayos Opticos tratado en ci capItulo anterior. Luego analizaremos varios instrumentos ópticos, como Ia lente de aumento, el ojo humano, Los telescopios y microscopios. La figura 34-1 muestra varios tipos de lentes.

0

Convexa Planoconvexa Menisco doble

convexo

(a) Lentes convergentes

Cóncava Pianocóncava Menisco doble

cóncavo

(b) Lentes divergentes 836

(c)(d) www.FreeLibros.me

Lentes delgadas; trazado de rayos El dispositivo Optico simple más importante es sin duda Ia lente delgada. El desarrollo de dispositivos Opticos usando lentes data de los siglos XVI y XVII, aunque el primer registro sobre anteojos se remonta al siglo XIII. Actualmente encontramos lentes en anteojos, cámaras, lupas, telescopios, binoculares, microscopios y muchos instrumentos especializados. Una lente delgada es usualmente circular en su secciOn transversal, y sus dos caras son porciones de una esfera. (Aunque las superficies cilindricas son también posibles, nos concentraremos en las esféricas.) Las dos caras pueden ser cóncavas, convexas, o planas; varios tipos se muestran en Ia figura 34-1 en sección transversal. La importancia de las lentes es que forman imágenes de objetos como se muestra en la figura 34-2.

La lente convergente (en soporte) forma una imagen ("F" grande sobre La pantalla a Ia derecha) de un objeto brillante (resplandeciente "F" a Ia izquierda). FIGURA 34-2

F'

Consideremos los rayos paralelos al eje de la lente doblemente convexa que se muestra en sección transversal en Ia figura 34-3a. Suponemos que la lente est hecha de vidrio o de plástico transparente, de manera que su Indice dc refracciOn es mayor que el del aire. El eje de una lente es una lInea recta que pasa por ci centro de Ia lente perpendicularmente a sus dos superficies (figura 34-3). De la ley de Snell, podemos ver que cada rayo en Ia figura 34-3a se desvIa hacia el eje en ambas superficies (nOtense las lIneas punteadas que indican las normales a cada superficie para el rayo superior). Si los rayos paralelos al eje caen sobre una lente delgada se enfocarn en un punto liamado punto focal F. Esto no será precisamente cierto para una lente con superficies esféricas. Pero será casi cierto, es decir, los rayos paralelos sern enfocados a una region pequena que es casi un punto, si el diámetro de Ia lente es pequefio comparado con los radios de curvatura de las dos superficies de Ia lente. Este criterio es satisfecho por una lente delgada, o sea, una que es muy delgada comparada con su diámetro, y consideraremos aqul solo estas lentes delgadas. Las pedras preciosas redondeadas usadas como amplificadores probablemente datan de muchos anos antes.

Rayos paralelos son Ilevados a un foco por una lente delgada convergente. FIGURA 34-3

f (a)

(b) SECCION 34-1

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Lentes deigadas; trazado de rayos

837

Los rayos de un punto sobre un objeto distante son esencialmente paralelos (véase Ia figura 33-12). Por tanto, podemos decir también que el punto focal es el punto iniagen

Imagen del Sol, casi abriendo un agujero sobre un pedazo de papel. FIGURA 34-4

para un objeto en el infinito sobre el eje principal. Asi, el punto focal de una lente se puede encontrar localizando el punto donde los rayos solares (o aquellos de aigün otro objeto distante) Ilegan a formar una imagen nItida, figura 34-4. La distancia del punto focal desde el centro de Ia lente se llama longitud focal, f. Una lente se puede voltear de manera que Ia luz pueda pasar por ella desde el lado opuesto. La longitud focal es Ia misma sobre ambos lados, como veremos luego, aun silas curvaturas de las dos superficies de Ia lente son diferentes. Si rayos paralelos caen sobre una lente segün cierto ángulo, como en la figura 34-3b, quedan enfocados en un punto F, El piano en el que caen todos los puntos como el F y F, se llama piano focal de Ia lente. Cualquier lentet que tiene mayor espesor en el centro que en los bordes hará que los rayos paralelos convergen a un punto, y ésta es Ilamada una lente convergente (véase La figura 34-la). Las lentes que son más deigadas en el centro que en los bordes (figura 34-Ib) se Ilaman lentes divergentes, porque hacen que Ia luz paralela diverja, como se muestra en Ia figura 34-5. El punto focal F de una lente divergente se define como el punto desde el cual los rayos refractados, que se originan de rayos incidentes paralelos, parecen emerger como se muestra en la figura. La distancia de F a la lente se llama longitud focal, igual que para una lente convergente. Los optometristas y los oftalmólogos, en vez de usar la longitud focal, usan el recIproco de la longitud focal para especificar Ia capacidad de los anteojos o de los lentes de contacto. Esto se llama potencia P de una lente: =

FIGURA 34-5

Lente divergente.

(34-1)

La unidad para Ia potencia de lentest es la dioptrfa (D), que es un metro inverso: 1 D = 1 rn-'. Por ejemplo, una lente con 20 cm de longitud focal tiene una potencia P = 1/0.20 m = 5.0 D. Usaremos principalmente aquI Ia longitud focal, pero nos referiremos de nuevo a Ia potencia de una lente cuando analicemos las lentes de anteo-

jos en Ia sección 34-6.

El parmetro ms importante de una lente es su longitud focal f. Para una lente

convergente, f se mide fácilmente encontrando el punto imagen del Sol u otros objetos distantes. Una vez conocida f, Ia posición imagen puede encontrarse para cualquier objeto. Encontrar el punto imagen dibujando rayos serfa difIcil si tuviésemos que determinar todos los ángulos de refracción. En vez de ello, podemos hacerlo muy simplemente usando ciertos hechos que ya conocemos, por ejemplo, que un rayo paralelo al eje de Ia

lente pasa (después de refractarse) por el punto focal. De hecho, para encontrar un

punto imagen, tenemos que considerar solo los tres rayos indicados en Ia figura 34-6, que muestra una flecha como el objeto y una lerite convergente formando una imagen a la derecha. Esos rayos, emanando de un solo punto sobre el objeto, están dibujados como si Ia lente fuese infinitamente delgada, y mostramos sOlo un quiebre agudo dentro de la lente en vez de las refracciones en cada superficie. Esos tres rayos se dibujan como sigue:

El rayo 1 se dibuja paralelo al eje; por tanto, es refractado por la lente de manera que pasa a lo largo de una IInea por el punto focal F, figura 34-6a. (Véase también Ia figura 34-3a.) El rayo 2 se dibuja sobre una linea que pasa por el otro punto focal F' (lado frontal de Ia lente en Ia figura 34-6) y emerge de Ia lente paralelo al eje, figura 34-6b. El rayo 3 está dirigido hacia el centro de la lente, donde las dos superficies son esencialmente paralelas una a otra; este rayo emerge entonces de Ia lente con el mismo ángulo con el que entró; como vimos en el ejemplo 33-8, el rayo se desplazará ligeramente hacia un lado, pero como supusimos que Ia lente es delgada, dibujamos recto ci rayo 3 tal como se muestra. En realidad, cualesquiera dos de esos rayos será suficiente para localizar el punto imagen, que es el punto donde se intersecan. El dibujo del tercer rayo puede servir como comprobaciOn. Estamos suponiendo que Ia lente tiene un Indice de refracción mayor que Ia del material que Ia rodea. como una lente de vidrio o de plástico en aire, lo que es Ia situación usual. tNOtese que Ia potencia de Ia lente nada tiene que ver con Ia potencia como razOn de efectuar trabajo o transformar energIa (secciOn 8-8).

838

CAP1TULO 34

Lentes e instrumentos ópticos

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El rayo 1 sale del punto superior sobre el objeto, viaja paralelo al eje y luego se refracta a través del punto focal.

El rayo 2 pasa por F'; por tanto, es paralelo al eje más alIá de Ia lente.

El rayo 3 pasa por ci centro de la lente (supuestamente muy delgada).

LocalizaciOn de Ia iniagen por trazado de rayos para una lente convergente. Los rayos salen de cada punto sobre eJ objeto. Se muestran los tres rayos más dtiles, saliendo de la punta del objeto, para determinar dónde se forma Ia imagen de ese punto. FIGURA 34-6

De esta manera podemos hallar el punto imagen para un punto del objeto (Ia parte superior de la flecha en Ia figura 34-6). Los puntos imagen para todos los otros puntos sobre el objeto pueden encontrarse en forma similar para determinar la imagen completa del objeto. Como los rayos pasan realmente por la imagen para el caso mostrado en Ia figura 34-6, se trata de una imagen real (véase Ia página 814). La imagen podrIa ser detectada por una pelIcula, o ser vista sobre una superficie situada en Ia posiciOn de Ia imagen (figura 34-2). La imagen podrIa también verse directamente por el ojo cuando éste se coloca detrs de Ia imagen, como se muestra en Ia figura 34-6c, de manera que algunos de los rayos que divergen de cada punto de la imagen entran al ojo.t Véase Ia figura 34-7. tEn La secciOn 34-6 veremos porque para ver a inlagen, los rayos deben diverger de cada punto sobre Ia imagen, pero es esencialmente porque vemos objetos reales cuando rayos divergentes de cada punto entran al ojo como se muestra en Ia figura 33-1.

FIGURA 34-7 (a) Una lente convergente puede formar una imagen real (aquI, de un edificio distante) sobre una pantalla. (b) Esa imagen real es también directamente visible al ojo. La figura 34-id muestra imágenes vistas por el ojo hechas por lentes tanto divergentes como convergentes.

(a)

(b)

SECCION 34-1

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Lentes delgadas; trazado de rayos

839

FIGURA 34-8

LocalizaciOn de La

imagen por trazado de rayos para una lente divergente.

Dibujando los mismos tres rayos podemos determinar Ia posición de Ia imagen para una lente divergente, como se muestra en Ia figura 34-8. NOtese que el rayo 1 se dibuja paralelo al eje, pero no pasa por el punto focal F' detrs de la lente. Más bien parece venir del punto focal F enfrente de la lente (Ilnea punteada). El rayo 2 está dirigido hacia F' y es refractado paralelamente por la lente. El rayo 3 pasa directa-

mente por el centro de La lente. Los tres rayos refractados parecen emerger de un

punto a Ia izquierda de La lente. Esta es La imagen I. Como los rayos no pasan por La imagen, se trata de una imagen virtual. Nótese que el ojo no distingue entre imágenes reales y virtuales; ambas son visibles.

La ecuación de las lentes Derivaremos ahora una ecuación que relaciona Ia distancia a La imagen con La distancia al objeto y La longitud focal de Ia lente. Esto hará la determinación de Ia posicion de La imagen más rápida y ms precisa que por medio del trazado de rayos. Sea d0 La distancia al objeto, o sea La distancia at objeto desde el centro de Ia Lente y d, La distancia a La imagen, esto es, La distancia de La imagen desde el centro de La lente; y sean h0 y h las

alturas del objeto y de Ia imagen, respectivamente. Considere Los dos rayos mostrados en La figura 34-9 para una Lente convergente (supuesta muy delgada). Los triángulos Obtención de Ia ecuación de las lentes para una lente convergente. FIGURA 34-9

f-H d0

FI'I y FBA (véase La figura 34-9) son semejantes porque el ángulo AFB es igual al ángulo IFI'; por tanto,

d-f f

h0

ya que Ia longitud AB = h0. Los triángulos OAO' e IA!' son semejantes. Por tanto, d1

h0 - d0 Igualamos los Lados derechos de estas dos ecuaciones, dividimos entre d,, y reordenamos para obtener 1

1

1

=I

(34-2)

Esta es Ia liamada ecuación de las Jentes. Relaciona Ia distancia a La imagen d con Ia distancia at objeto d0 y con La longitud focal f. Es Ia ecuación más ütiL en Ia Optica 840

CAPITULO 34

Lentes e instrumentos Opticos

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Obtención de Ia ecuación de las lentes para una lente divergente. FIGURA 34-10

geometrica. (Es interesante notar que es exactamente Ia misma que La ecuación de los espejos, ecuaciOn 33-3.) NOtese que si el objeto está en el infinito, entonces l/d. = 0, por to que d = f. AsI, la longitud focal es la distancia a Ia imagen para un objeto en el infinito, como se mencionO antes. Podemos obtener la ecuaciOn zle las lentes para una lente divergente usando Ia figura 34-10. Los triángulos IAI' y OAO' son semejantes; y los triángulos IFI' y AFB son semejantes. AsI, (notando que Ia longitud AB = h0) h1

d,

h0 - d0

f - d,

y

h0

f

Cuando estas expresiones se igualan y se simplifican, obtenemos 1

d0

1

1

d1 -

f

Esta ecuaciOn resulta ser La misma que La ecuación 34-2 si hacemosfy d, negativas. Es decir, tomamos f como negativa para una lente divergente, y d, como negativa cuando Ia imagen está sobre el mismo lado de Ia lente que del que viene la luz. AsI, la ecuaciOn 34-2 será válida tanto para lentes convergentes como para lentes divergentes, y para todas las situaciones, si usamos las siguientes convenciones de signo:

La longitud focal es positiva para las lentes convergentes y negativa para las


lentes divergentes. La distancia a! objeto es positiva Si está del lado de la lente de donde viene Ia luz (este es usualmente el caso, aunque cuando se usan lentes en combinación podrIa no ser asI); de otra manera es negativa.

La distancia a la imagen es positiva si está en el lado opuesto de la lente de donde viene la Luz; si está del mismo lado, d, es negativa. En forma equivalente, Ia

distancia a la imagerl es positiva para una imagen real y negativa para una imageti virtual. La altura de La imagen, h,, es positiva si Ia imagen es derecha, y negativa si La imagen está invertida respecto at objeto. (h0 se toma siempre como positiva.)

Amplificación El aumenlo lateral m de una lente se define como Ia razón de La aLtura de la imagen a Ia altura del objeto, m = h/h0. De las figuras 34-9 y 34-10 y de las convenciones hechas, tenemos

m=h

d1

(34-3)

Para una imagen derecha, el aumento es positivo, y para una imagen invertida m es negativo.

De Ia convenciOn 1, se sigue que Ia potencia (ecuaciOn 34-1) de una lente convergente, en dioptrIas, es positiva, mientras que Ia potencia de una Lente divergente es negativa. A una lente convergente se le llama a veces lente positiva, y a una lente divergente una lente negativa. SECCION 34-2

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La ecuaciOn de las lentes

841

Lentes delgadas

RESOLUCIO N

DE PHOBLEMAS

(ecuación 34 -3). TLa ecuaciOr1 Lde las lentes :ecw ;iOn 34-2) implic:a irecIprocos; evite el error obvio - )Ividai tomar el recIpr oca 4. Siga las Convenciones de signos daCias ntes. 5. Compruebe qiJe ris rest. .icstas ira LI Liiticas sears consi tentes con su -liagrama & rt Os I

Comc siernpre, lea V VI.jelva a teer el problema. Dibu un d ma Je rayos. ori )reicisión si es posible, ç ero auin uno- burd p ted set-''it cc mo confirmaciOn cl 1' os resi: Llltados ar ali - iti..coi Dit je por lo menos dos, y irIli.n ent, los tr's, dc, - o :&yos ' ' fáciles de dibujar ç rfen1.. d scritos en las 1ig.in. - 4-6 1 '3F Sc)l'.dCYC? i( anall '-ticas., d sneje ar incOgnitas en la eci iaciOri de las lentes (eciJaciOn 34-2 ) y la amplificaciOn

as

:

-

-

Imagen formada por las lentes convergentes. 1,Cul es (a) Ia posiciOn, y (b) el tamaño, de Ia imagen de una flor de 7.6 cm de alto colocada a 1.00 m de una lente de cmara con +50.0 mm de longitud focal?

SOLUCION La figura 34-11 es un burdo diagrama de rayos que muestra solo los rayos 1 y 3 para un solo punto sobre Ia for. Vemos que Ia imagen deberIa estar un poco detrás del punto focal F a Ia derecha de la lente. (a) Encontramos la posiciOn de la imagen analIticamente usando Ia ecuaciOn de las lentes o ecuaciOn 34-2. La lente de la cámara es convergente, con f = +5.00 cm, y d0 = 100 cm, por lo que la ecua-

111 d-f

ciOn de las lentes da

d

-

1

5.00 cm

1

100 cm -

20.0-1.0 100 cm

Entonces 100 cm

d1

=

19.0

= 5.26 cm,

o 52.6 mm detrás de Ia lente. NOtese que La imagen está 2.6 mm más lejos de Ia lente que Ia imagen para un objeto en el infinito. Ciertamente, cuando se enfoca Ia lente de una cámara, entre más cerca está el objeto de ella, más lejos debe estar Ia lente de la pelIcula.

(b) El aumento es

m=-

d1

cm = - 5.26 100 cm

= 0.0526;

por lo que h

= rnh0 = (-0.0526)(7.6cm) = 0.40cm.

La imagen tiene 4.0 mm de altura y está invertida (m < 0), como en Ia figura 34-9, y se muestra en nuestro croquis, figura 34-11. FIGURA 34-11

Ejemplo 34-1. (No está a escala.)

1

Eje

3

F' Flor

(F /

[magen

100cm

Objeto cercano a una lente convergente. Un objeto es colocado a 10 cm de una lente convergente con 15 cm de longitud focal. Determine Ia posiciOn de Ia imagen y tamaño, (a) analIticamente, y (b) usarido un diagrama de rayos. 842

CAPTULO 34


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2

V

SOLUCION

(a) Dados f = 15 cm

1_ -

0

y d0

= 10 cm, entonces

1

1

15cm

-

F'

FIGURA 34-12 Un objeto colocado dentro del punto focal de una lente convergente produce una imagen virtual. Ejemplo 34-2.

1

10cm -

30cm'


y d, = 30 cm. (Recuerde tomar el recIproco.) Como

d, es negativo, Ia imagen debe ser virtual y estar del mismo lado de Ia lente que el objeto. El aumento

d,

30 cm

d0

10cm

=3.0.

La imagen es tres veces más grande que el objeto y está derecha. Esta lente est

siendo usada como una simple lente de aumento, to cual veremos con más detalle en Ia sección 34-7. (b) El diagrama de rayos se muestra en la figura 34-12 y confirma et resultado en Ia parte (a). Para el punto 0' en la parte superior del objeto, et rayo 1 es fácil de dibujar, pero el rayo 2 es algo más complejo: si to dibujamos dirigiendose hacia F', ira en sentido equivocado, por to que tenemos que dibujarlo como si viniese de F' (lInea punteada), tocase Ia tente y tuego saliese paralelo at eje principal. Lo proyectamos hacia atrás con una lInea punteada, como tenemoS que hacerto también para el rayo 1, para hatlar dOnde se encuentran. El rayo 3 es fácil de dibujar, a través del centro de Ia lente, y encuentra a los otros dos rayos en el punto imagen I'. De eSte Ultimo ejemplo y de la figura 34-12, vemos que siempre que un objeto se coloca entre una lente convergente y su punto focal, Ia imagen es virtual.

Lente divergente. ,DOnde debe colocarse un pequeno insecto si una lente divergente de 25 cm de tongitud focal debe formar una imagen virtual a 20 cm enfrente de Ia lente?

El diagrama de rayos es bsicamente el de la figura 34-10 porque nuestra tente aquf es divergente y Ia imagen est enfrente de Ia lente dentro de Ia distancia focal. (SerIa un buen ejercicio dibujar el diagrama de rayos a escala, precisamente ahora.) Como f = 25 cm y d = 20 cm, entonces Ia ecuaciOn 34-2 da SOLUCION

11 1 d0 f

-

1

1

25cm

4+5

1

+ 20cm - 100cm - 100cm

El objeto debe estar entonces a 100 cm enfrente de Ia lente.

Combinación de lentes Veremos ahora ejemplos que ilustran cOmo tratar con tentes utilizadas en combinaciOn. En general, cuando la luz pasa por más de una lente, encontramos Ia imagen formada por Ia primera lente como si ésta estuviese sola. Esta imagen es et objeto para Ia segunda lerite, y encontramos la imagen formada entonces por esta segunda lente, que es Ia imagen final si hay solo dos lentes. El aumento total será el producto de los aumentos por separado de cada lente, como veremos. SECCION 34-3

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CombinaciOn de lentes

843

F

I

S

F1

F

F2

S

S

S

80.0 cm

(a)

0 FIGURA 34-13

Ejemplo 34-4.

(b)

Un sistema de dos lentes. Dos lentes convergentes, con longi20.0 cm y f2 = 25.0 cm, están separadas 80.0 cm, como se muestra en iies j Ia figura 34-13a. Un objeto se coloca a 60.0 cm enfrente de Ia primera lente como se muestra en Ia figura 34-13b. Determine (a) Ia posición, y (b) ci aumento de Ia imagen final formada por Ia combinación de las dos lentes. iui

S IL

-

(a) El objeto está a una distancia d0 = +60.0 cm de Ia primera lente, y ésta forma una imagen cuya posiciOn se puede calcular usando Ia ecuaciOn de las SOLUCION

lentes:

11 - f1 - d

1

1

1

3-1

1

60.0 cm - 60.0 cm - 30.0 cm

- 20.0 cm

La primera imagen I esti entonces a d, = 30.0 cm detrás de la primera lente. Esta imagen se vuelve ci objeto para Ia segunda lente. Ella está a una distancia d02 = 80.0 cm - 30.0 cm = 50.0 cm enfrente de Ia lente 2, como se muestra en la figura 34-13b. La imagen formada por Ia segunda lente, de nuevo usando Ia ecuación de las lentes, está a una distancia d,2 de Ia segunda lente:

11

1

1

1

d2 - f2 - d0 - 25.0 cm

4-2

2

50.0 cm - 100.0 cm - 100.0 cm

For tanto, d2 = 50.0 cm detrás de la lente 2. Esta es Ia imagen final (véase Ia figura 34-13b). (b) La primera iente tiene un aumento (ecuación 34-3) m1

=

d1

d01

30.0 cm 60.0 cm

-

0.500.

AsI, Ia primera imagen es invertida y tiene Ia mitad de altura del objeto; de nuevo, por Ia ecuaciOn 34-3,

h1 = m1h01 = -0.500h01. La segunda lente toma esta imagen como objeto y cambia su altura por un factor

d2 m2=- d02

50.0 cm 50.0 cm

1.000.

La altura de Ia imagen final es (recuerde que h02 =

h12 = m2h02 =

= m2m1h01.

Vemos en esta ecuaciOn que el aumento total es el producto de m1 y m2, que aquI es igual a (-1.000)(-0.500) = +0.500, o 1/2 de Ia altura original y derecha. 844

CAPITULO 34


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Punto imagen hecho por Ia primera lente (punto objeto para Ia segunda lente)

---

Jmagen hecha por la segunda lente (imagen final) DeterminaciOn de Ia longitud focal de una lente divergente. Ejemplo 34-5. FIGURA 34-14

fc

fT = 28.5 cm

Medición de f para una lente divergente. Para medir Ia iongitud ocaI de una lente divergente se coloca una lente convergente en contacto con aquella, como se muestra en la figura 34-14. Los rayos solares quedan enfocados por esta combinación en un punto 28.5 cm detrás de las lentes como se muestra. Si la lente convergente tiene una longitud focal f de 16.0 cm, ,cuiI es Ia longitud focal fde Ia lente divergente? Suponga que ambas lentes son delgadas y que el espacio entre ellas es despreciable.

SOLUCION Los rayos solares son enfocados 28.5 cm detrás de Ia combinación, por lo que la longitud focal de la combinaciOn total es fT = 28.5 cm. Si Ia lente divergente no estuviera presente, Ia lente convergente formarIa Ia imagen en su punto focal, esto es, a una distancia f = 16.0 cm detrás de ella (lIneas punteadas en Ia figura 34-14). Cuando La lente divergente se coloca próxima a Ia lente convergente, tratamos la imagen formada por Ia primera lente como el objeto para la segunda lente. Como este objeto se encuentra a Ia derecha de Ia lente divergente, esta es una situaciOn donde d0 es negativa (véase Ia convención de signo). AsI, para Ia lente divergente, el objeto es virtual y d0 = 16.0 cm. La Lente divergente forma la imagen de este objeto virtual a una distancia d, = 28.5 cm (esto fue dado). Entonces, = fD

d0

+

d,

1

1

16.0cm

28.5 cm

= 0.0274 cm1.

Tomamos el recIproco para hallar fD = 1/(0.0274 cmH) = 36.5 cm. Nótese que Ia lente convergente debe ser "más fuerte" que Ia lente divergente, esto es, debe tener una longitud focal cuya magnitud sea menor que Ia de Ia lente divergente, para que esta técnica funcione.

Ecuación del fabricante de lentes En esta secciOn probaremos que los rayos paralelos son Ilevados a un foco en un solo punto por una lente delgada. AL mismo tiempo, obtendremos una ecuación que relaciona la longitud focal de una lente con los radios de curvatura de sus dos superficies, que se conoce como ecuación del fabricante de lentes. En Ia figura 34-15, un rayo paralelo al eje de una lente es refractado en la superficie frontal de la lente en el punto A1 y es refractado en Ia superficie posterior en el punto A2. Este rayo pasa entonces por el punto F que Ilamamos el punto focal para este rayo. El punto A está a una altura h1 por arriba del eje, y el punto A2 a una altura h2 por arriba del eje. C y C2 son los centros de durvatura de las dos superficies de Ia lente; entonces, Ia Longitud CA = R1, es el radio de curvatura de Ia superficie frontal, y C2A2 = R2 es el radio de la segunda superficie. El espesor de la lente ha sido dibujado muy exageradamente para ver con claridad los diversos ángulos. Pero supondremos que la lente es en realidad muy delgada y que los ángulos entre los rayos y el eje son pequenos. En esta aproximacion, h1 h2, y los senos y las tangentes de todos los ngulos serán iguales a los mismos ángulos en radianes. Por ejemplo, sen 6 0 (en radianes). tan 01 SECCION 34-4

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EcuaciOn del fabricante de lentes

845

-

- - Scz C2

Diagrama de un rayo que pasa por una lente para Ia obtenciOn de Ia ecuación del fabricante de FIGURA 34-15

lentes.

Con esta aproximación, la ley de Snell nos dice entonces que = nO2

04 = nO3

donde n es el Indice de refracción del vidrio, y suponemos que Ia lente esth rodeada por aire (n = 1). NOtese también en Ia figura 34-15 que 01

a

senO1 =

h1

h2 R2

Esta ültima expresiOn se debe a que Ia distancia de F a Ia lente (supuesta muy delgada) es f. Del diagrama, el ángulo y es

y = 0 - 02. Un examen cuidadoso de Ia figura 34-15 muestra también que

a = 03 - y. Esto puede verse dibujando una lInea horizontal hacia Ia izquierda desde el punto A2, que divide al ángulo 03 en dos partes. La parte superior es igual a y y la parte inferior es igual a a. (Los ángulos opuestos entre una lInea oblicua y dos ilneas paralelas son iguales.) AsI, 03 = y + a. Finalmente, dibujando una IInea horizontal hacia Ia derecha desde el punto A2, dividimos 04 en dos partes. La parte superior es a y Ia inferior es /3. AsI,

04 = a + f3. Ahora combinamos todas estas ecuaciones:

a = O3

(0102) =

=

0 h2

h2

R2

nR2

Como la lente es delgada, h1 meradores. 846

CAPiTULO 34

h1

nf

R1

nR1

h2 y todas las h se pueden cancelar de todos los nu-


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Luego multiplicamos por n y reordenamos para encontrar que

(i

1

I

(34-4)

Esta es conocida como Ia ecuación del fabricante de lentes. Relaciona Ia longitud focal de una lente con los radios de curvatura de sus dos superficies y su Indice de refracciOn. NOtese que no depende de h o h2. Asi, Ia posiciOn del punto F no depende de dOnde el rayo toca Ia lente. Por consiguiente, todos los rayos paralelos al eje de una lente delgada pasarán por el mismo punto F, lo que querIamos demostrar. En nuestra derivación, ambas superficies son convexas y R y R2 son considerados positivos. La ecuaciOn 34-4 también funciona para lentes con una 0 ambas superficies cOncavas; pero para una superficie cOncava, ci radio debe ser considerado negativo. Nótese en Ia ecuación 34-4 que la ecuación es simétrica en R1 y R2. Entonces, si una lente se voltea de manera que Ia luz caiga sobre Ia otra superficie, Ia Jongitud focal es Ia misma aun silas dos lentes son diferentes.

f

Cálculo de fpara una lente convergente. Una lente de menisco convexo (figuras 34-la y 34-16) está hecha de vidrio con n = 1.50. El radio de curvatura de Ia superficie convexa es de 22.4 cm y el de Ia superficie cOncava es de 46.2 cm. (a) j,Cuál es Ia longitud focal? (b) ,DOnde quedará enfocado un objeto situado a 2.00 m de distancia?

'-Q1C1

-46.2cm

C2 1

(a) R1 = 22.4 cm y R2 = -46.2 cm; éste (iltimo es negativo porque se

SOLUCION

refiere a Ia superficie cOncava. Entonces

= (1.50

l.00)(i

FIGURA 34-16

46.2cm)

Ejemplo 34-6.

= 0.0115cm1. Por lo que

f=

0.0115 cm

=87cm

y Ia lente es convergente. NOtese que si volteamos la lente de manera que R1 = -46.2 cm y R2 = +22.4 cm, obtenemos el mismo resultado. (b) De la ecuaciOn de las lentes, con = 0.87 m y d0 = 2.00 m, tenemos

11 -1

d, - f

f

1

- 0.87m

2.00m

= 0.65 m1,

por lo que d, = 1/0.65 rn' = 1.53 m. Cálculo de fpara una lente divergente. Una lente planocOncava de tucita (véase Ia figura 34-ib) tiene una superficie plana y Ia otra tiene R = -18.4 cm. ,Cuál es la longitud focal?

Dc la tabla 33-1, n para La lucita es de 1.51. Una superficie plana tiene un radio de curvatura infinito; si lo Ilamamos R1, entonces l/R1 = 0. Por tanto, SOLUCION

= (1.51 - l.00)(_ AsI entonces, f

=

18.4cm)

(-18.4 cm)/0.51 = -36 cm, y la lente es divergente.

tAlgunos libros usan una convenciOn diferente, por ejemplo, R1 y R2 se consideran positivos si

SUS centros de curvatura están a La derecha de Ia lente, en cuyo caso un signo menos aparece en Ia equivalente ecuaciOn 34-4.

SECCION 34-4

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Ecuación del fabricante de lentes

847

*

Lente visor Lente

Diafragma Obturador iris o "stop" FIGURA 34-17

PelIcula

Una cámara simple.

Sobre esta cámara, los grados de abertura y el anillo de enfoque están sobre Ia lente de Ia cámara. La rapidez del obturador se selecciona sobre La pequefia rueda en La parte superior del cuerpo de Ia cámara. FIGURA 34-18

Cámaras En ci resto de este capItulo, veremos brevemente algunos de los instrumentos Opticos más comunes, incluidos la cámara, los ojos y las lentes correctivas, Ia lente de aumento, los telescopios y los microscopios. Los elementos bsicos de una cámara son una lente, una caja hermética a la luz, un obturaclor para dejar pasar la Iuz a través de la lente sOlo brevemente, y una placa o pelIcula sensibilizada (figura 34-17). Cuando se abre el obturador, Ia luz de los objetos externos en el campo visual es enfocada por Ia lente como una imagen sobre Ia pelIcula, La cual contiene productos quImicos sensibles que sufren cambios cuando Ia luz incide sobre ellos. En el proceso de revelado, las reacciones quImicas ocasionan que las Oreas modificadas se vuelvan opacas de manera que la imagen quede registrada sobre Ia pelIcula.t Puede ver Ia imagen de usted mismo si retira La parte posterior de Ia cámara y ye a través de una pieza de papel de seda o cera (sobre el cual se puede formar Ia imagen) colocada en Ia posiciOn de Ia pelIcula con el obturador abierto. Hay tres ajustes principales en las cámaras de buena calidad: rapidez del obturador, grado de abertura y enfoque (véase la figura 34-18), los cuales veremos ahora. Rapidez del obturador. Se refiere al tiempo en que está abierto el obturador y Ia peIlcula es expuesta. Puede variar de un segundo o més ("exposiciones de tiempo") a s

o menos. Para evitar lo borroso debido al movimiento de Ia cámara, una rapidez mayor s es Ia que se usa normalmente. Si el objeto se mueve, se requiere una rapidez del a obturador ms grande para "detener" Ia acción. Un obturador puede estar "detrás de Ia lente" como en Ia figura 34-17 o es un obturador de "piano focal", que es una cortina mOvil colocada justamente enfrente de La pelIcula. Grado de abertura. La cantidad de Iuz que llega a Ia pelIcula debe ser cuidadosamente controiada para evitar La subexposición (se muestra muy poca luz de los objetos, excepto de los más brillantes) o Ia sobreexposición (demasiada iuz, de modo que todos los objetos brillantes se yen igual con una consecuente falta de contraste y una apariencia como "lavada"). Para controlar Ia exposiciOn, se coloca un "stop" o diafragma de iris, cuya abertura es de diOmetro variable, detrás de La lente (figura 34-17). Se puede variar el tamaño de La abertura para compensar los dIas brillantes u oscuros, La sensibilidad de La pelIculat usada, y para diferentes velocidades del obturador. El tamaño de Ia abertura es especificado por ci grado de abertura, definido como

grado de abertura =

f

donde f es Ia longitud focal de Ia lente y D es ci dhmetro de La abertura. Por ejemplo, cuando una lente con Longitud focal de 50 mm tiene una abertura D = 25 mm, decimos que estO fija en f/2. Cuando La lente estO fija en f/8, Ia abertura es solo de 6 mm (50/6k = 8). Entre mayor es La rapidez del obturador, o mOs oscuro es ci dIa, mayor debe ser Ia abertura para obtener una exposiciOn adecuada. Esto corresponde a un menor grado de abertura. Entre menor es el grado de abertura, más luz pasa a trayes de La Lente hacia Ia pelIcula. El menor grado de abertura de una lente (maxima abertura) se Llama rapidez de Ia Lente. Es comOn encontrar hoy en dIa lentes con f/2.0 y algunas aOn més rapidas. La ventaja de una lente rápida es que permite tomar fotograflas bajo malas condiciones de iluminaciOn. Las Lentes de buena calidad consisten en varios elementos para reducir Los efectos presentes en Las lentes delgadas simples (secciOn 34-10). Las medidas estándar del grado de abertura en Las lentes de buena Calidad son 1.0, 1.4,2.0,2.8,4.0, 5.6, 8, 11, 16,22 y 32. Cada una de estas aberturas corres-

ponde a una reducción del diámetro por un factor de aproximadamente \/ = 1.4. Debido a que La cantidad de luz que Ilega a Ia pelIcula es proporcional al area de La abertura y por tanto proporcionai al cuadrado del diámetro, cada grado de abertura estandar corresponde a un factor de 2 en Ia intensidad de Luz que Llega a La pelicula.

tESto se llama un negatiro, porque las Ireas negras corresponden a objetos brillantes y viceversa. El mismo proceso ocurre durante Ia impresión para producir una fotografia "positiva" en blanco y negro a partir del negativo. Las pelIculas a color usan tres tintes correspondientes a los colores primarios. Diferentes pelIculas tienen diferentes sensitividades a Ia luz, liamadas "rapidez de Ia pelIcula", y se especifican con un ni'jmero "ASA'; una pellcula "rapida" es más sensitiva y necesita menos luz para producir una buena imagen.

848

CAPITULO 34


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I

FIGURA 34-19

(a)

(b)

Fotos con cOmara

enfocada (a) sobre un objeto cercano con un objeto distante borroso, y (b) sobre un objeto más distante con un objeto cercano borroso.

Enfoque. El enfoque es Ia operación de colocar Ia lente en Ia posición correcta relativa a La peilcula para lograr Ia imagen más nItida posible. La distancia a Ia imagen es un mInimo para objetos en ci infinito (Se usa el sImbolo oo para infinito) y es igual a Ia longitud focal. Para objetos más cercanos, Ia distancia a Ia imagen es mayor que Ia longitud focal, como puede verse de Ia ecuación de lentes, 1/f = l/d0 + l/d. Para enfocar objetos cercanos, la lente debe por tanto alejarse de Ia pelIcula y esto se hace usualmente girando un anillo colocado sobre Ia lente. Si Ia lente se enfoca sobre un objeto cercano, se formará una imagen nItida de él, pero los objetos distantes pueden aparecer borrosos (figura 34-19). Los rayos de un punto sobre ci objeto distante estarán fuera de foco y formarán un cIrculo sobre Ia peIlcula como se muestra (en forma exagerada) en Ia figura 34-20. El objeto distante producirá asI una imagen que consiste en cIrculos trasiapados y se vera borrosa. Esos cIrculos se liaman cIrculos de confusion. Para incluir objetos cercanos y distantes en la misma fotograffa, usted puede tratar de fijar el foco de Ia lente en una posición intermedia. Para una distancia dada de fijación, hay un rango de distancias sobre las cuales los cIrculos de confusiOn senin suficientemente pequenos para que las imágenes sean razonablemente nItidas. Esto se llama profundidad de campo. Para una selecciOn particular del diametro del cIrculo de confusiOn como Ilmite superior (se toma tIpicamente igual a 0.03 mm para camaras de 35 mm), Ia profundidad de campo varIa con Ia abertura de Ia lente. Si ésta es pequefia, sOlo son aceptados los rayos que pasan por Ia parte central de Ia lente y forman cIrculos más pequenos de confusion para una distancia al objeto dada. For consiguiente, con aberturas más pequenas de Ia lente, un rango mayor de distancias al objeto caerá dentro del criterio del cIrculo de confusiOn, de manera que Ia profundidad de campo es mayor.

Rayos de Un objeto cercano Rayos de Un

objeto distante

S

"Cfrculo de confusion" para un objeto distante (muy exagerado)

FIGURA 34-20 Cuando Ia lente se coloca para enfocar un objeto cercano, los puntos sobre un objeto distante producen cIrculos borrosos. (El efecto se muestra muy exagerado.)

* SECCION 34-5

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Cámaras

849

Las lentes de las cámaras se clasifican en normales, telefoto y gran angular, segOn sea Ia longitud focal y el tamaño de Ia pelIcula. Una lente normal es una que cubre Ia pelIcula con un campo visual que corresponde aproximadamerite a Ia de La visiOn normal. Una lente normal para peilcula de 35 mm tiene una longitud focal en la vecindad de 50 mm.t Una lente telefolo, como su nombre lo indica, actOa como un telescopio para amplificar las imOgenes. Las lentes telefoto tienen longitudes focales ms largas que una lente normal. Como vimos en Ia secciOn 34-2 (ecuación 34-.3), Ia altura de Ia imagen para una distancia al objeto dada es proporcional a Ia distancia a Ia imagen y será mayor para una lente con longitud focal mOs grande. Para objetos distantes, la altura de la imagen es aproximadamente proporcional a Ia longitud focal (,puede usted probarlo?). AsI, una

lente telefoto de 200 mm para usarse con una cámara de 35 mm da una amplificaciOn 4 X sobre Ia lente normal de 50 mm. Una lente gran angular tiene una longitud focal mOs corta que Ia normal: se incluye un campo visual amplio y los objetos aparecen de menor tamaflo. Una lente zoom es aquella cuya longitud focal puede cambiarse de manera que usted puede acercarse o alejarse del objeto al cambiar la longitud focal.

P'') (' 4Rapidez del obturador. Para mejorar Ia profundidad de campo, usted detiene la lente de La cOmara dos grados de abertura (digamos, de f/4 a f/8). ,Qué debe hacer con la rapidez del obturador para mantener Ia misma exposición?

La cantidad de luz admitida por la lente es proporcional al Orea de Ia abertura de Ia misma. Reduciendo Ia abertura de Ia lente un grado de abertura se reduce el diámetro por Un factor de \/, y el Orea por un factor de 2. Bajando dos grados de abertura se reduce el Orea de Ia abertura de Ia lente por un factor de 4. Para mantener Ia misma exposiciOn, el obturador debe abrirse un tiempo 4 veces mayor. Entonces, si Ia rapidez del obturador era de 250 S tendrO que incrementarse a S. RESPUESTA

El ojo humano; lentes correctivas El ojo humano se parece a una cOmara fotográfica en su estructura básica (figura 34-21) pero es mOs complicado. El ojo es un volumen encerrado al cual Ilega Ia luz a través de una lente. Un diafragma, Ilamado iris (Ia parte coloreada del ojo), se ajusta automáticamente para controlar la cantidad de luz que le entra. El orificio en el iris a través del cual pasa la luz (pupila) es negro porque ninguna luz se refleja en él y muy poca luz se .ç-Retina refleja hacia afuera desde el interior del ojo. La retina, que juega el papel de la pelIcula de una cOmara, estO sobre la superficie posterior curva. Consiste en un arreglo comple\FOvea jo de nervios y receptores conocidos como bastones y conos que cambian la energIa de Ia luz en señales eléctricas que viajan a lo largo de los nervios. La reconstrucciOn de Ia

MOsculos

ciliares

L

Iris

Pupila

('

imagen desde todos esos pequenos receptores se hace principalmente en el cerebro,

Cornea

Nervio

Lente

Optico

MOsculos ciliares FIGURA 34-21

Diagrama de un ojo

humano.

aunque algOn análisis es hecho aparentemente en Ia red de nervios complejamente interconectada de Ia retina. En el centro de la retina hay una pequefia area Ilamada fovea, de aproximadamente 0.25 mm de diOmetro, donde los conos están muy cercanos entre si y ah.I se encuentra la imagen mOs nItida y Ia mejor discriminaciOn del color.

A diferencia de una cámara fotogrOfica, el ojo no tiene obturador. La funciOn equivalente es Ilevada a cabo por el sistema nervioso, que analiza las señales para formar imagenes a razón de aproximadamente 30 por segundo. Esto puede compararse con las cOmaras de cine o de televisiOn que operan tomando una serie de fotograffas estOticas a razOn de 24 (cine) o 30 (televisiOn americana) por segundo. Su rápida proyecciOn sobre una pantalla da Ia apariencia de movimiento. La lente del ojo hace poco respecto a Ia desviación de los rayos de luz. La mayor parte de Ia refracciOn se hace en Ia superficie frontal de la cornea (Indice de refracciOn = 1.376), que también actOa como una cubierta protectora. La lente actOa como tNOtese que una "cimara de con una longitud focal.

850

CAPITULO 34

35

mm" usa pelIcula que tene


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35

mm de ancho; estos

35

m.m no deben confundirse

Punto focal de lente y cornea

un ajuste fino para enfocar a diferentes distancias. Esto se logra por medio de los mOscu-

los ciliares (figura 34-21), que cambian Ia curvatura de Ia lente de manera que es modificada su longitud focal. Para enfocar un objeto distante, los müsculos se relajan y Ia lente se adelgaza, figura 34-22a, y los rayos paralelos se enfocan en el punto focal (sobre la retina). Para enfocar un objeto cercano, los msculos se contraen, ocasionando que ci centro de Ia lente se vuelva ms espeso, figura 34-22b, acortando asI Ia longitud focal y las imágenes de objetos cercanos para que puedan enfocarse sobre la retina, detrás del punto focal. Este ajuste del enfoque se llama acomodación. La distancia más cerca a Ia que el ojo puede enfocarse claramente se llama punto cercano del ojo. Para los jóvenes adultos es tIpicamente de 25 cm, aunque los adolescentes pueden a menudo enfocar Ia vision en objetos tan cercanos como 10 cm. Al ir aumentando Ia edad, Ia habilidad para acomodar se reduce y el punto cercano aumenta. El punto lejano de una persona dada es Ia distancia más lejana a Ia que un objeto puede verse claramente. Para algunos fines, es Otil habiar de un ojo normal (un tipo de promedio sobre la poblaciOn) que se define como uno que tiene un punto cercano de 25 cm y un punto lejano en ci infinito. Para revisar su propio punto cercano, coloque este libro cerca del ojo y muévalo lentamente alejndolo hasta que las letras se vean nItidas.

Una gran parte de Ia poblaciOn tiene ojos que no se acomodan dentro del rango normal de 25 cm a! infinito, o tienen algcin otro defecto. Dos defectos comunes son Ia miopIa y La presbicia. Ambos pueden ser corregidos en gran medida con lentes, ya sean anteojos o lentes de contacto. La miopIa se refiere a cuando los ojos sOlo pueden enfocarse sobre objetos cercanos. El punto lejano no está en el infinito, sino algo más cerca, por lo que los objetos distantes no son vistos claramente. La miopIa es causada usualmente por un giobo ocular muy grande, aunque a veces es Ia curvatura de Ia cOrnea Ia que es muy grande. En ambos casos, Las imágenes de objetos distantes se enfocan frente a Ia retina. Una lente divergente, al ocasionar que diverjan los rayos paralelos, permite que se enfoquen sobre Ia retina (figura 34-23a) y se corrija asI este defecto. La presbicia o hipermetropIa, se refiere a cuando ci ojo no puede enfocar los objetos cercanos. Si bien los objetos distantes usualmente se yen con claridad, el punto cercano es a veces mayor que los 25 cm "normales", lo que dificulta Ia lectura. Este defecto es causado por un globo ocular muy corto o (menos frecuente) por una córnea que no está suficientemente curvada. Esto se corrige por medio de una lente convergente, figura 34-23b. Similar a Ia hipermetropla es Ia presbiopIa, que se refiere a Ia decreciente capacidad del ojo de acomodarse con el paso de los años, y ci punto cercano se mueve hacia afuera. Las lentes convergentes también sirven para compensar esta

Punto focal de lente y cOrnea

34-22 AdaptaciOn por un ojo normal: (a) lente relajado, enfocado en el infinito; (b) lente engrosado, enfocado sobre un objeto cercano. FIGURA

a nomalIa

El astigmatismo es causado usualmente por una cOrnea o una lente fuera de redondez de manera que los objetos puntuales son enfocados como lIneas cortas, que empanan Ia itnagen. El astigmatismo se corrige usando una lente cilIndrica que, para los ojos con miopIa o presbicia, se sobrepone sobre Ia superficie esférica de manera que el radio de curvatura del lente corrector es diferente en pianos diferentes. FIGURA 34-23 Defectos del ojo corregidos con ientes: (a) un ojo miope, que no puede enfocarse clararnente sobre objetos distantes, puede ser corregido por medio de una lente divergente; (b) un ojo présbita, que no puede enfocarse claramente sobre objetos cercanos, puede ser corregido por medio de una lente convergente.

(b) Ojo présbita

SECCION 34-6

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El ojo humano; lentes correctivas

851

Lente

Imagen

A

Ojo

Objeto

d0

d

Anteojos de lectura

FIGURA 34-24

(Ejemplo 34-9).

Ojo présbita. Una persona présbita en particular tiene un punto cercano de 100 cm, qué potencia deben tener los anteojos de manera que pueda leer un periódico a una distancia de 25 cm? Suponga que Ia lente está muy cercana a los ojos.

Cuando el objeto se coloca a 25 cm de La lente, queremos que La imagen esté a 100 cm del mismo lado de la lente, por Lo que será virtual, figura 34-24. Asi, = 25 cm, d, = -100 cm, y La ecuación de las lentes da SOLUCION

1

=

1

1

-+

4-1

=

=

1

100cm 33 cm -100cm f AsI, f = 33 cm = 0.33 m. La potencia P de Ia lente es P = 1/f = +3.0 D. El signo 25 cm

más indica que se trata de una lente convergente.

Un ojo miope tiene puntos cercano y lejano de 12 cm

Ojo miope.

y 17 cm, respectivamente. (a) ,Qué potencia es necesaria para que esta persona yea objetos distantes cLaramente, y (b) dónde estará entonces el punto cercano? Suponga que Ia Lente est a 2.0 cm del ojo (tIpico para anteojos). (a) Primero determinamos Ia potencia de Ia lente necesaria para enfocar objetos en el infinito, cuando ci ojo está relajado. Para un objeto distante (d0 = ), como se muestra en Ia figura 34-25, la lente debe poner Ia imagen a 17 cm del ojo (su punto lejano), que esti a 15 cm enfrente de Ia lente; por consiguiente, d, = -15 cm. Usamos SOLUCION

2cm.

I

objeto en el infinito I

Ia ecuación de las lentes para encontrar Ia longitud focal de Ia lente necesaria: 1

17 cm

f

(punto lejano) FIGURA 34-25

Ejemplo 34-iDa.

FIGURA 34-26

Ejemplo 34-lOb.

1

15cm

+=1

1

00

15cm

AsI, f = -15cm = -0.15 m o P = i/f = -6.7 D. El signo menos indica que ella debe

ser una lente divergente. (b) Para determinar el punto cercano al usar los anteojos notamos que una imagen nItida estará a 12 cm del ojo (su punto cercano, véase Ia figura 34-26), que está a 10 cm de Ia lente; entonces d = -0.10 m y Ia ecuación de las lentes da

1_ 1_ - f - - - 0.15 m + 0.10 m - 0.30 m 1

II

1

1

d0 F.

12cm (punto cercano)

AsI, d0 = 30 cm, lo que significa que ci punto cercano, cuando Ia persona está usando

anteojos, está a 30 cm enfrente de Ia lente.

Los lentes de contacto podrIan usarse para corregir Ia vista en ci ejemplo 34-10. Como estos lentes se colocan directamente sobre Ia cornea, no restamos los 2.0 cm para las distancias a Ia imagen. Esto es, para objetos distantes, d, = -17 cm, por lo que P = 1/f = -5.9 D (dioptrias). El nuevo punto cercano estarIa a 41 cm. Vemos asI que una Lente de contacto y una lente de anteojo requerirán potencias ligeramente diferentes, o longitudes focales, para el mismo ojo debido a sus colocaciones diferentes con respecto al ojo. 852

CAPITULO 34


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Lente de aumento Una buena parte del resto de este capItulo tratará con dispositivos ópticos que se usan para producir imágenes amplificadas de objetos. Analizaremos primero el amplificador simple, o lente de aumento, que es simplemente una lente convergente (véase la fotograffa at inicio del capItulo). Qué tan grande se ye un objeto y cwSntos detalles vemos en él, depende del tamano de Ia imagen que se forma en Ia retina. Esto a su vez depende del ángulo subtendido por el objeto en el ojo. Por ejemplo, una moneda sostenida a 30 cm del ojo se ye dos veces más grande que sostenida a 60 cm porque el ángulo que subtiende es entonces dos veces más grande (figura 34-27). Cuando queremos examinar detalles sobre un objeto, acercamos éste al ojo para que subtienda un mayor ngulo. Sin embargo, los ojos se pueden acomodar solo hasta cierto punto (el punto cercano), y para Ia siguiente supondremos una distancia estndar de 25 cm coma el punto cercano. Una lente de aumento nos permite colocar el objeto más cerca a los ojos de manera que subtienda un ángulo mayor. Como se muestra en Ia figura 34-28a, el objeto se coloca en el punto focal o justo dentro de éI. Entonces La lente convergente produce una imagen virtual que debe estar par Ia menos a 25 cm del ojo para que éste la enfoque. Si el ojo está relajado, Ia imagen estar en el infinito y en este caso el objeto está exactamente en et punto focal. (Usted hace este ligero ajuste cuando "enfoca" el objeto moviendo Ia lente de aumento.)

Imagen

Cuando el mismo objeto es vista desde una menor distancia, Ia imagen sabre Ia retina es mayor, par Ia que el objeto aparece mayor y pueden verse mOs detalles. El Ongulo 0 que el objeto subtiende en (a) es mayor queen (b). FIGURA 34-27

FIGURA 34-28 Hoja vista (a) a través de una lente de aumenta, y (b) con sob el ojo, con el ojo enfocada en su punto cercano. Imagen

/,\ /

L

L

to

L

F

(a)

N

(= 25 cm para un ojo normal) (b)

Una comparaciOn de Ia parte (a) de Ia figura 34-28 con Ia parte (b), en donde el mismo objeto se ye en el punto cercano con el ojo sin ayuda, revela que el Ongulo que

el objeto subtiende es mucho mayor cuando se usa tente de aumento. El aumento angular o potencia de aumento, M, de Ia lente se define como Ia razOn del ingulo subtendido por un objeto at usar Ia lente, al Ongulo subtendido par el ojo sin ayuda, con el objeto en el punto cercano N del ojo (N = 25 cm para el ojo normal):

M=+

(34-5)

donde 0 y 0' se niuestran en Ia figura 34-28. Podemos escribir M en términos de Ia langitud focal notando que 0 = h/N (figura 34-28b) y 0' = h/d0 (figura 34-28a), donde h es la altura del objeto y suponemos que los Ongulos son pequefios por lo que 0 y 0' son iguales a sus senos y tangentes. Si el ojo está relajado (para un esfuerzo minima en el), Ia imagen estarO en el infinito y el objeto estarO precisamente en el punto focal; véase Ia figura 34-29. Entonces, d0 = f y 0' = h/f. AsI,

M

h/f

0 - h/N - f

ojoenfocadoenoo;

-

LN = 25 cm para un ojo normal

FIGURA 34-29 Con el aja relajado, el abjeto se sitOa en el punta focal, y La imagen estO en el infinito. CompOrelo con Ia figura 34-28a donde Ia imagen estO en el punta cercano del ojo. Thmge.

en

linflno-

(34-6a)

Vemos que entre mOs corta es Ia longitud focal de Ia lente, mayor es el aumento. [Sin embargo, los amplificadores simples de una sola lente están limitados a cerca de 2 X a 3 >< SECCION 34-7

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Lente de aumento

853

debido a Ia distorsión por aberraciOn esférica (sección 34-10),I La amplificaciOn de una lente dada puede incrementarse un poco moviéndola y ajustando el ojo de modo

que se enfoque sobre la imagen en el punto cercano de éste. En este caso, d, = N

(véase Ia figura 34-28a) si el ojo está muy cerca del amplificador. La distancia al objeto d0 es entonces dada por 1

1

1

=f

= fN 1

1

Vemos en esta ecuación que d0
M=

0

h/d0

N

h/N

d0

=

f

N)

0

M=

ojo enfocado en el punto cercano, N; N = 25 cm para un ojo normal

+ 1.

(34-6b)

Vemos que el aumento es ligeramente mayor cuando el ojo está enfocado en su punto cercano, en vez de relajado.

AL.... Una lupa de joyero. Una lente convergente de t cm cle longitud Local se usa como "lupa de joyero", que es un anteojo amplificador. Estime (a) el aumento cuando el ojo está relajado, y (b) el aumento si el ojo está enfocado en su punto cercano N = 25 cm. (a) Lente objetivo (montada ahora en un marco de marfil) del telescopio con que Galileo hizo sus descubrimientos, incluyendo las lunas de Jupiter. (b) Telescopios hechos por Galileo. FIGURA 34-30

(a) Con el ojo relajado enfocado en el inuinito, M = N/f = 25 cm/8 cm 3x. (b) El aumento cuando el ojo esti enfocado en su punto cercano (N = 25 cm), y Ia lente está cercana al ojo, Cs: SOLUCION

M = 1+

*

= 1+4x.

Telesco'ios Un telescopio se usa para amplificar objetos muy distantes. En Ia mayor parte de los casos, el objeto se puede considerar como situado en el infinito. Galileo, aunque él no lo inventó,t convirtió el telescopio en un importante y (nil

instrumento. Fue el primero en examinar el firmamento con un telescopio (figura 34-30), e hizo descubrimientos espectaculares (las lunas de Jupiter, las fases de Venus, las manchas solares, Ia estructura de Ia superficie de Ia Luna, que La VIa Lactea está compuesta de un ni.'imero enorme de estrellas individuales, entre otros). (a)

Existen varios tipos de telescopios astronómicos. El tipo comtin de refracción, Ilamado a veces kepleriano, contiene dos lentes convergentes colocadas en los extremos opuestos de un tubo largo, como se muestra en Ia figura 34-31. La lente mus cercana al objeto se llama lente objetivo y forma una imagen real I del objeto distante en el piano de su punto focal F0 (o cercano a él si el objeto no está en el infinito). Aunque esta imagen I es más pequena que el objeto original, subtiende un ángulo mayor y está muy cercana a Ia segunda lente, ilamada ocular, que actOa como amplificador. Es decir, tGalileo consrruyó su primer telescopio en 1609 después de saber que dicho instrumento ya se usaba en

(b)

854

CAPITULO 34

Holanda. Los primeros telescopios amplificaban solo 3 a 4 veces, pero Galileo de inmediato construyO Ufl Instrumento con potencia de 30. El primer telescopio holands parece datar de 1604, pero hay una referencia que sugiere que este puede haber sido copiado de un telescopio italiano construido en 1590. Kepler huzo una descripción de rayos (1611) del ielescopio kepleriano, que se llama asi en su honor porque primero lo describiO, aunque no 10 construyO.


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fo

fe

fe

Rayos paralelos deL objeto

F

en el infinito

'I /

,---Ocular

Objetivo

Telescopio astronOmico (refractor). La luz paralela de un punto en un objeto distante (d0 = o) es Ilevada a un foco por La lente objetivo en su pIano focal. Esta imagen (Ii) es amplificada por el ocular para formar Ia imagen final '2 SOlo dos de los rayos mostrados son rayos estándar descritos en Ia figura 34-6. FIGURA 34-31

,-

12

el ocular amplifica Ia imagen producida por el objetivo para producir una segunda imagen grandemente amplificada 12, que es virtual e invertida. Si el ojo está relajado, el ocular se ajusta de manera que Ia imagen '2 esté en el infinito. Entonces Ia imagen real I está en el punto focal F', del ocular, y la distancia entre las lentes es f. + f, para un objeto en el infinito. Para encontrar el aumento total de este telescopio, notamos que el ngulo que un

objeto subtiende al ser visto por el ojo sin ayuda es justo el ángulo 0 subtendido en el objetivo del telescopio. De Ia figura 34-31 podemos ver que 0 h/f0, donde h es la altura de Ia imagen I y suponemos que 0 es pequefio de modo que tan 0 0. Nótese también que el ms grueso de los tres rayos dibujados en Ia figura 34-31 es paralelo al eje antes de qiie toque al ocular y por tanto pasa por el punto focal F, del ocular. AsI, 0'

h/fe y Ia potencia amplificadora total (amplificación angular) de este telescopio es

M =

= -

(34-7)

donde hemos insertado un signo menos para indicar que Ia imagen es invertida. Para lograr una gran amplificaciOn, Ia lente objetivo debe tener una longitud focal grande y el ocular una longitud focal corta. Amplificación de un telescopio. El telescopio refractor mis grande del mundo está ubicado en el Observatorio Yerkes en Wisconsin, figura 34-32. Se le conoce como el telescopio de "40 pulgadas", lo que significa que el diámetro del objetivo es de 40 pulgadas, o 102 cm. El objetivo tiene una longitud focal de 19 m, y el ocular tiene una longitud focal de 10 cm. (a) Calcule Ia potencia amplificadora total de este telescopio. (b) Estime La longitud del telescopio. SOLUCION

(a) De Ia ecuación

M

fe

34-7

19m 0.lOm

FIGURA 34-32 Este gran telescoplo refractor fue construido en 1897 y se encuentra en el Observatorio Yerkes en Wisconsin. La lente objetivo tiene 102 cm (40 pulgadas) de dimetro y el tubo del telescopio tiene aproximadamente 19 m de largo.

encontramos

= 190X. r

(b) Para un ojo relajado, Ia imagen I está en el punto focal de las lentes ocular y ob19 m, que es esencialjetivo. La distancia entre las dos lentes es entonces f0 + fe merite Ia longitud del telescopio.

Para que un telescopio astronómico produzca imágenes brillantes de estrellas distantes, Ia lente objetivo debe ser grande para permitir La entrada de tanta luz como sea posible. De hecho, el diámetro del objetivo (y por tanto, su "potencia para recolectar luz") es un parmetro importante para un telescopio astronOmico, y es por lo que los más grandes se especifican dando el diámetro del objetivo (tal como el telescopio *sECCION 34-8

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Telescopios

855

Espejo cóncavo (objetivo)

Ocular (espejo)

(a)

-

(b)

(c)

(d)

34-33 Un espejo cóncavo se puede usar como el objetivo de un telescopio astronómico. Una lente (a) o un espejo (b) se pueden usar como el ocular. El arreglo (a) se llama foco newtoniano y el (b) foco de cassegrainano. Otros arreglos son también posibles. (c) El telescopio Hale de 200 pulgadas (diámetro del espejo) en el monte Palomar en California. (d) El telescopio Keck de [0 metros en Mauna Kea, Hawaii. El Keck combina 36 espejos hexagonales de 1.8 metros y es equivalente a un solo reflector muy grande (10 metros de diámetro). FIGURA

FIGURA

Hale dc 200 pulgadas en Monte Palomar). La construcciOn y pulido de grandes lentes es muy difIcil. Pot tanto, los telescopios más grandes son los lelescopios reflectores que usan un espejo curvo como objetivo, figura 34-33, ya que un espejo tiene sOlo una superficie por pulirse y puede ser soportado sobre toda su superficiet (una lente grande, soportada en sus bordes, se flexionarla bajo su propio peso). Normaimente, Ia lente ocular o espejo (véase la figura 34-33) es retirada para que Ia imagen real formada pot el espejo objetivo pueda ser registrada directamente sobre una peiIcuia. Un telescopio terrestre (para vet objetos sobre Ia Tierra), a diferencia de su contraparte astronOmica, debe dat una imagen derecha. Dos disenos se muestran en Ia figura 34-34. El tipo galileano mostrado en Ia parte (a), que usó Galileo en sus grandes descubrimientos astronómicos, tiene una lente divergente como ocular que intercepta los rayos convergentes de Ia lente objetivo antes de que alcancen al foco, y actUa para formar una imagen virtual derecha. Este diseflo es usado a menudo en los gemelos de teatro. El tubo es razonabiemente corto y el campo visual es pequeflo. El segundo tipo, mostrado en Ia figura 34-34b, a menudo se Ic llama catalejo y usa una tercera lente ("lente de campo") cuyo fin es formar una imagen derecha, como se muestra. El catalejo debe ser bastante largo. El diseiio más práctico es ci binocular prismático que se muestra en Ia figura 33-31. El objetivo y el ocular son lentes convergentes. Los prismas reflejan los rayos por reflexión total interna y acortan ci tamano fIsico del dispositivo y producen una imagen derecha. Un prisma reinvierte La imagen en el piano vertical, el otro en el piano horizontal.

34-34 Teiescopios terrestres

que producen una imagen derecha: (a) galileano; (b) tipo espIa, 0 lente de cam p0. Imagen final (virtual) Rayos paralelos desde objeto distante

-

-

V

Objetivo

(a)

Lente de campo

Ocular

(b)

*

Microscopio compuesto El microscopio compuesto, al igual que ci telescopio, tiene ientes objetivo y ocular, figura 34-35. El diseflo es diferente al de un telescopio porque ci microscopio se usa para ver tOtra ventaja de los espejos es que no inuestran aberraciOn cromática ya que a luz no pasa a través de ademés, pueden ser pulidos en forma parabólica para corregir Ia aberración esférica (sección 34-10). El copio tipo reflector fue propuesto primero pot Newton.

856

CAPiTULO 34


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cOos; teles-

H d0

Hfe Ocular

Objeto

Objetivo

I

F0'

Fe

12

(b)

(a)

FIGURA 34-35 Microscopio compuesto: (a) diagrama de rayos, (b) fotografla (Ia iluminación viene de abajo a Ia derecha, luego hacia arriba por La diapositiva que sostiene al objeto).

objetos que se encuentran muy cerca, por lo que La distancia a ellos es muy pequefia. El objeto se coloca justo ms aIIá del punto focal del objetivo como se muestra en La figura 34-35a. La imagen I formada por La lente objetivo es real, bastante lejos de Ia lente, y muy amplificada. Esta imagen es amplificada por el ocular en una imagen virtual 12 muy grande, que es vista por ci ojo y está invertida. El aumento total de un microscopio es el producto de los aumentos producidos por las dos lentes. La imagen I formada por ci objetivo es un factor m0 mayor que ci objeto mismo. De Ia figura 34-35a y la ecuación 34-3 para ci aumento lateral de una lente simple, tenemos h1 d (34-8)

Ife

o

üo

donde d0 y d son las distancias al objeto y a La imagen para Ia lente objetivo, I es la distancia entre las lentes (igual a Ia longitud del cañon), e ignoramos ei signo menos en Ia ecuación 34-3 que solo nos dice que Ia imagen es invertida. Hacemos d, = 1 -f, que es cierta sOlo si el ojo está relajado, de manera que Ia imagen I está en el punto focal F del ocular. El ocular actüa como un amplificador simp]e. Si suponemos que ci ojo está relajado, ci aumento angular del ocular M es (de Ia ecuación 34-6a)

Me =

(349)

'

donde el punto cercano N = 25 cm para el ojo normal. Como el ocular agranda Ia imagen formada por el objetivo, ci aumento angular total M es el producto del aumento lateral de Ia lente objetivo m0 multiplicada por el aumento angular M de La lente ocular (ecuaciones 34-8 y 34-9):

M = Memo =

(I - fe

\fel\

d0

(34-iDa)

I

NI

(34-lOb)

fe fo

La aproximación, ecuaciOn 34-lOb, es adecuada cuando J y f0 son pequenas comparadas con I, por lo que 1 - fe I y d0 f0 (figura 34-35a). Esta es una buena aproximacion para grandes aumentos, ya que éstos se obtienen cuando f. y f, son muy pequefias (están *SECCION 349

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Microscopio compuesto

857

en el denominador de la ecuaciOn 34lOb). Para hacer lentes de muy corta longitud focal, to que puede hacerse ms convenientemente para el objetivo, deben usarse lentes compuestas que impliquen varios elementos con Ia idea de evitar aberraciones serias, como se vera en Ia siguiente secciOn.

Microscopio. Un microscopio compuesto consiste en un ocular de lox y un objetivo de 50x a 17.0 cm uno del otro. Determine (a) el aumento total, (b) Ia longitud focal de cada lente, y (c) la posición del objeto cuando la imagen final está en foco con el ojo relajado. Suponga que se trata de un ojo normal, por to que N = 25 cm. (a) La amp!ificaciOn total es (l0x)(50x) = 500x. La longitud focal del ocular es (ecuaciOn 34-9) f,, = N/M, = 25 cm/1O = 2.5 cm. Para la Jente objetivo, es más fácil primero encontrar d. (parte (c)) antes de encontrar f0 porque podemos usar la ecuaciOn 34-8. Despejando d0, encontramos SOLUCION

d0 =

I-f m0

=

(17.0cm - 2.5 cm) 50

= 0.29cm.

Entonces, de Ia ecuaciOn de las lentes con d, = 1f. = 14.5 cm (yea Ia figura 34-35a), 1

1

1

1

f0

d0

d

0.29cm

+

1

14.5 cm

=3.52

por lo que f0 = 0.28 cm. Hemos calculado d0 = 0.29 cm, que es muy cercano a f0.

*

Aberraciones de lentes v espeios Antes en este capItulo desarrollamos una teorIa de Ia formaciOn de imagenes por medio de una lente delgada. Encontramos, por ejemplo, que todos los rayos desde cada punto en un objeto son Ilevados a un solo punto o punto imagen. Este y otros resultados se basaron en aproximaciones como, por ejemplo, que todos los rayos forman ángulos pequeOos entre 51 y que por tanto podemos usar sen 0 0. Debido a esas aproximaciones, esperamos desviaciones de la simple teorIa y a éstas se le Ilaman aberraciones de las lentes. Hay varios tipos de aberraciones; analizaremos cada una de ellas brevemente por separado pero todas ellas pueden estar presentes a Ia vez. Consideremos un objeto en cualquier punto (aUn en el infinito) sobre el eje de una lente. Los rayos desde este punto que pasan por las regiones exteriores de Ia lente son Ilevados a un foco en un punto diferente del de aquelios rayos que pasan por el centro de Ia lente. Esto se llama aberración esférica, y se muestra en forma exagerada en Ia figura 34-36. En consecuencia, Ia imagen vista sobre una pieza de petIcula (por ejemplo) no será un punto, sino una pequefia mancha circular de luz. Si Ia pelIcula se coloca en el punto C, como se indica, ci circulo tendrfl su diámetro mOs pequeflo, al que se llama

cIrculo de confusion mInima. La aberración esférica estd presente siempre que se usen superficies esféricas. Esta puede ser corregida usando superficies de lentes no esféricas, pero pulir tales lentes es dificil y caro. Aunque puede ser minimizada con superficies esféricas escogiendo las curvaturas de manera que cantidades iguales de desviaciOn ocurran en cada superficie de lente; una lente se puede diseñar asI para solo una distancia particular al objeto. La aberraciOn esférica es usualmente corregida (queremos decir, reducida considerablemente) por el uso de varias lentes en combinaciOn y usando sOlo Ia parte central de las lentes. Aberración esférica (exagerada). El cIrculo de minima confusiOn está en C. FIGURA 34-36

858

CAPTULO 34

Lentes e instrumentos ópticos www.FreeLibros.me

Distorsión. Las lentes pueden format Ia imagen de una retIduIa cuadrada de lIneas perpendiculares para producir (a) una distorsiOn de barrii o (b) una distorsiOn de alfiletero. Esas distorsiones se pueden ver en las fotografIas de Ia figura 34-id. FIGURA 34-37

(a)

(b)

Para puntos del objeto fuera del eje de la lente ocurren aberraciones adicionales. Los rayos a! pasar por las diferentes partes de Ia lente ocasionari dispersiOn de Ia imagen que es no circular. No entraremos en los detalles, sino señalaremos meramente que hay dos efectos: Ia coma (porque Ia imagen de un punto tiene forma de cometa en vez de cIrculo) y astigmatismo fuera de eje.t Además, los puntos imagen para objetos fuera del eje pero a la misma distancia de Ia lente no caen sobre una superficie plana, sino sobre una superficie curva, es decir, el piano focal no es piano. (Esperamos esto porque los puntos sobre una superficie plana, como Ia de una peilcula en una cámara, no están equidistantes de Ia lente.) Esta aberraciOn se conoce como curvatura de campo y es obviamente un problema en cmaras y otros dispositivos donde Ia pelIcula se coloca sobre una superficie plana. Sin embargo, en el ojo, Ia retina es curva, lo que compensa este efecto. Otra aberraciOn, conocida como distorsión, es un resultado de Ia variaciOn del aumento a distancias diferentes desde ci eje de Ia lente. AsI, un objeto en lInea recta situado a alguna distancia del eje puede formar una imagen curva. Una retIcula cuadrada puede distorsionarse y producir "distorsión de barril", o "distorsiOn de alfiletero", figura 34-37. La (iltima es comOn en lentes de gran angular. Todas las aberraciones anteriores ocurren con La luz monocromdtica y por consiguiente se les llama aberraciones monocromáticas. La luz normal no es monocromtica y habr también aberración cromática. Esta aberraciOn surge debido a Ia dispersiOn o variaciOn del Indice de refracciOn de materiales transparentes con la longitud de onda (secciOn 33-6). Por ejemplo, Ia luz azul es desviada por ci vidrio más que Ia iuz roja. Entonces, si Iuz blanca incide sobre una iente, los colores diferentes son enfocados en puntos diferentes, figura 34-38, y se tendrán franjas coloreadas en Ia imagen. La aberración cromática se puede eliminar para dos colores cualesquiera (y reducirse considerablemente para todos los otros) usando dos lentes hechos de materiales diferentes con diferentes Indices de refracciOn y dispersiOn. Norma]mente una lente es convergente y la otra divergente, y a menudo son pegadas entre si (figura 34-39). Una combinaciOn asi de lentes se llama doblete acromático (o lente "correctora de color"). No es posible corregir totalmente todas las aberraciones. Combinando dos o más lentes entre SI se pueden reducir las aberraciones. Las lentes de alta calidad usadas en cámaras, microscopios y otros dispositivos, son Jentes compuestas que consisten en muchas lentes simples (Ilamadas elementos). Una lente de cámara de alta calidad tIpica puede contener de seis a ocho (o más) elementos. Por simplicidad indicaremos normalmente las lentes en diagramas como si fuesen lentes simpies. Debe recordarse, sin embargo, que las lentes de buena calidad son cornpuestas. El ojo humano está sometido también a aberraciones, pero son mInimas. Por ejemplo, Ia aberraciOn esférica es minimizada porque (1) Ia cOrnea es menos curva en los bordes que en el centro, y (2) Ia lente es menos densa en los bordes que en ci centro. Ambos efectos ocasionan que los rayos en los bordes exteriores sean menos desviados y asI se reduzca Ia aberraciOn esférica. La aberraciOn cromática es parcialmente cornpensada ya que la lente absorbe apreciablemente las longitudes de onda más cortas y Ia retina es menos sensible a las longitudes de onda azules y violeta. Esta es justamente Ia region del espectro donde la dispersiOn, y por consiguiente Ia aberraciOn cromática, es maxima (figura 33-26). Los espejos esféricos (secciOn 33-4) también sufren aberraciones incluida Ia aberraciOn esférica (véase la figura 33-13). Los espejos pueden ser puiidos en forma parabOlica para corregir Ia aberraciOn esférica, pero estos son mucho más dificiles de fabricar y por tanto muy caros. Sin embargo, los espejos esféricos no exhiben aberraciOn cromática porque Ia Iuz no pasa por ellos.

FIGURA 34-38

AberraciOn cromO-

tica. Colores diferentes son enfocados en puntos diferentes. Doblete acromOtico.

FIGURA 34-39

Blanco

I

°J° Blanco

tAunque el efecto es el mismo que para astigmatismo en et ojo (secciOn 34-6), Ia causa es diferente. El astigmatismo fuera de eje noes problema en el ojo porque los objetos son claramente vistos sOlo en Ia fOvea, sobre el eje de Ia lente.

*SECCION 34-10

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Aberraciones de lentes y espejos 859

Resumen Una Jente usa Ia refracción para producir una imagen real o virtual. Los rayos paralelos de luz son enfocados a un punto Ilamado punto focal, por una lente convergente. La distancia

del punto focal de Ia lente se llama longitud focal f de Ia lente. Después de que rayos paralelos pasan por una lente divergente, parecen divergir de un punto, su punto focal; Ia correspondiente longitud focal se considera negativa. La potencia P de una lente, que es P = 1/f, está dada en dioptrIas, que son unidades de metro inverso (rn'). Para un objeto dado, Ia posiciOn y el tamaño de la imagen formada por una lente puede encontrarse por medio de trazado de rayos. Algebraicamente, Ia relación entre las distancias de la imagen y del objeto, d, y d0, y Ia longitud focal f, está dada por La ecuación de las lentes: 1

1

d0

d1

=

cercanos.

Un ampliflcador simple o lupa es una lente convergente que forma una imagen virtual de un objeto colocado en (o dentro) el punto focal. El aumento angular, cuando se ye por un ojo relajado normal, es

M= donde fes Ia longitud focal de Ia lente y N Cs el punto cercano del ojo (25 cm para un ojo "normal"). Un telescopio astronómico consiste en una lente objetivo a espejo y en un ocular que amplifica Ia imagen real forma-

da por el objetivo. La amplificación es igual a Ia razón de

f

La razOn de Ia altura de Ia imagen a Ia altura del objeto, que es igual al aumento m, es

m=

objetos distantes. Las lentes convergentes se usan para corregir defectos en que el ojo no puede enfocarse en objetos

h1

d

h0

d0

Al usar las varias ecuaciones de Ia óptica geométrica, es importante recordar Ia convención de signos para todas las cantidades implicadas: repásela cuidadosamente al resolver

las longitudes focales del objetivo y ocular, y Ia imagen es iflvertida:

Un microscopio compuesto usa también lentes objetivo y ocular, y La imagen final es invertida. El aumento total es el producto de los aumentos de las dos lentes y es aproximadamente

problemas. Una lente de cámara forma una imagen sobre una pelIcu-

Ia al permitir que luz penetre por un obturador. La lente se enfoca moviéndoLa con respecto a la pelIcula, y su grado de abertura ütil (o abertura de Ia lente) debe ser ajustada por el brillo de Ia escena y la rapidez del obturador. El grado de abertura ütil de La lente se define como La razón de Ia longitud focal al diámetro de Ia abertura de Ia lente. El ojo humano también se ajusta por Ia luz disponible, abriendo y cerrando el iris, el cual se enfoca no moviendo Ia lente, sino ajustando Ia forma de ésta para variar su longitud focal. La imagen se forma sobre Ia retina, que contierie un conj unto de receptores conocidos como bastones y conos. Los anteojos o lentes de contacto se usan para corregir el defecto de un ojo miope, que no puede enfocarse bien en

M

(N71 \feIfo

donde I es La distancia entre las lentes, N es el punto cercano del ojo, y .f0 y f, son las longitudes focales del objetivo y ocular, respectivamente. Los microscopios, telescopios y otros instrumentos ópticos estin limitados en La formación de imágenes nItidas por las aberraciones de las lentes. stas incluyen La aberración esférica, en La que los rayos que pasan por el borde de una lente no estin enfocados en el mismo punto como los que pasan cerca del centro; y La aberración cromática, en Ia que cobres diferentes son enfocados en puntos diferentes. Las lentes compuestas, que consisten en varios elementos, pueden usarse para corregir Las aberraciones.

Prequntas ,DOnde debe colocarse Ia pelicula para que Ia lente de una cámara forme una imagen nItida de un objeto lejano? Un fotógrafo se acerca a su sujeto y luego reenfoca. LSe aleja 0 se acerca Ia lente de Ia cámara a Ia pelicula? ,Puede una lente divergente formar una imagen real bajo cualquier circunstancia? Expliquelo. Demuestre que una imagen real formada por una lente delgada es siempre invertida, mientras que una imagen virtual es siempre derecha si el objeto es real. Se dice que los rayos de luz son "reversibles". Es esto consistente con Ia ecuaciOn de las lentes? 860

CAPITULO 34

,Pueden proyectarse imágenes reales sobre una pantalla? ,Pueden hacerlo imágenes virtuales? ,Pueden ellas ser fotografiadas? AnalIcelo cuidadosamente. Una lente convergente delgada se mueve acercándose a un objeto cercano. La imagen real que se forma, ,cambia (a) en posición, (b) en tamaflo? Si es asi, descniba cOmo. Compare La ecuación de espejos con Ia ecuación de lentes. Comente sobre las similitudes y diferencias, especialmente La convención de signos para las cantidades implicadas. Una Lente está hecha de un material con un Indice de refracción

n = 1.30. En aire, es una Lente convergente. Seguirá siendo


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convergente si se coloca en agua? ExplIquelo usando un diagrama de rayos.

Un perro con Ia cola en el aire está de frente a una lente convergente. Si Ia nariz y Ia cola están cada una a Ia vez enfocadas sobre una pantalla, ,cuál tendri un mayor aumento? Un gato con Ia cola en el aire está frente a una lente convergente. Bajo qué circunstancias será Ia imagen de Ia nariz virtual y La imagen de Ia cola real? ,DOnde estará La imagen del resto del gato? Por qué, en el ejemplo 34-5, debe Ia lente convergente tener una longitud focal ms corta que Ia lente divergente si Ia longitud focal de ésta Oltima va a ser determinada combinándolas? Una lente no simétrica (digamos, planoconvexa) forma una imagen de un objeto cercano. Cambia el punto imagen si Ia lente se gira airededor? Entre m6s gruesa es una lente doblemente convexa en el centro comparada con sus bordes, más corta es Ia longitud focal para un diámetro de Ia lente. ExplIquelo. Depende Ia longitud focal de una lente del fluido en que está

ella inmersa? Qué se puede decir acerca de Ia longitud focal de un espejo esférico? ExplIquelo. Una lente submarina consiste en un recipiente de plãstico cuidadosamente formado por paredes delgadas, Ileno de aire. Que forma debe tener para ser (a) convergente, (b) divergente? Use diagramas de rayos para apoyar sus respuestas. 6

17.

Por qué es mayor Ia profundidad de campo y más nItida Ia imagen cuando Ia lente de una cmara es "detenida" en un nOmero de abertura mayor? Desprecie La difracciOn.

18. Explique porqué los nadadores con buenos ojos yen los objetos distantes borrosos cuando estOn bajo el agua. Use un diagrama y muestre porqué las gafas protectoras corrigen este probiema. 6 19. Podr ver claramente bajo el agua una persona miope que usa ientes correctivos, usando éstos? Use un diagrama para mostrar porqué Si 0 por qué no. Usted puede decir si una persona es miope o présbita fijándose en el ancho de La cara a través de sus anteojos. Si Ia cara de Ia persona aparece más estrecha a través de los anteojos, ,es ella présbita o miope? El ojo humano se parece mucho a una cOmara, sin embargo, cuando el obturador de una cOmara se deja abierto y La cOmara se mueve, Ia imagen se verO borrosa; pero cuando usted mueve Ia cabeza con los ojos abiertos, ye aCm claramente. ExplIquelo. Al intentar discernir detalles distantes, Ia gente a veces entrecierra los ojos. Por qué ayuda esto? LE5 Ia imagen formada sobre Ia retina del ojo humano derecha o invertida? Analice las implicaciones de esto para nuestra percepción de objetos. Los anteojos para leer uSan lentes convergentes. Una Simple lupa es también una lente convergente. CSon por tanto amplificadores los anteojos para leer? Analice las similitudes y diferencias entre las lentes convergentes usadas para esos dos propOsitos diferentes. La aberración esférica en una lente delgada es minimizada silos rayos son desviados igualmente por Las dos superficies. Si una lente planoconvexa se usa para formar una imagen real de un objeto en el infinito, ,qué superficie debe estar frente al objeto? Use diagramas de rayos para mostrar porqué debe ser asI.

Problemas (II) Una lente con longitud focal de 80 mm se usa para enfocar (I) Una imagen nItida está localizada a 88.0 mm detrOs de una lente convergente con longitud focal de 65.0 mm. Encuentre Ia

distancia a! objeto (a) usando un diagrama de rayos, (b) por cO!culo.

(I) Cierta lente enfoca un objeto situado a 2.85 m de distancia como una imagen de 48.3 cm del otro lado de Ia lente. De qué tipo de lente se trata y cuOl es su longitud focal? (,Es Ia imagen real o virtual? (a) ,Cuál es Ia potencia de una lente con 27.5 cm de longitud focal? (b) Cuál es Ia longitud focal de una lente de -6.25 dioptrIas? Son esas lentes convergentes o divergentes? Un coleccionista de estampillas usa una lente convergente con longitud focal de 24 cm para ver una estampilla de 18 cm enfrente de Ia lente. (a) ,DOnde estO localizada La imagen? (6) ,CuOl es el aumento? (II) Que tan grande es Ia imagen del Soi sobre Ia pelIcula usada en una cOmara con (a) una lente de longitud focal de 28 mm,

(b) una lente con longitud focal de 50 mm, y (c) una lente con longitud focal de 200 mm? El diámetro del Sol es de 1.4 X 106

y estO a una distancia de 1.5 x 108 km. (II) Una diapositiva de 35 mm (el tamano es realmente de 24 X 36 mm) va a proyectarse sobre una pantalla de 1.80 por 2.70 m colocada a 8.00 m del proyector. LQué longitud focal debe tener Ia lente para que Ia imagen cubra Ia pantalla?

una imagen sobre Ia pelIcula de una cámara. La distancia maxima permitida entre Ia lente y el piano de Ia pelIcula es de 120 mm. (a) LQué tan iejos adelante de Ia pelIcula debe estar Ia lente si el

objeto por ser fotografiado eStá a 10.0 m? (b) ,Si está a 3.0 m? (c) CSi está a 1.0 m? (d) ,CuSl es Ia distancia minima a La que un objeto podrIa estar para ser fotografiado nItidamente? (IL) Una Iente de -6.0 dioptrias es mantenida a 12.5 cm de una hormiga de 1.0 mm de altura. tCuál es Ia posición, ci tipo y La altura de La imagen?

(LI) Se desea amplificar un material de lectura por un factor de 2.5x cuando un hbro se coloca a 8.0 cm detrás de una lente. (a) Dibuje un diagrama de rayos y describa el tipo de imagen que reSulta. (b) ,Qué tipo de lente es necesario para esto? (c) ,CuOI es La potencia de La lente en dioptrIas? (LI) (a) Que tan lejos de una Lente con longitud focal de 50.0 mm debe situarse un objeto para que su imagen se amplifique 2.00x y sea real? (b) ,Qué tan lejos para que Ia imagen sea virtual y se amplifique 2.00x? (II) (a) Se forma Ia imagen de un objeto situado 37.5 cm enfrente de una cierta iente a 8.20 cm enfrente de esa lente (del mismo Lado que el objeto). Qué tipo de lente es esta y cuál es su longitud focal? CEs Ia imagen real o virtual? (b) Si Ia imagen estuviese localizada, en vez de esto, a 46.0 cm enfrente de La lente, ,qué tipo de lente serla y qué Longitud focal tendrIa?

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Problemas

861

(II) (a) Un insecto de 2.20 cm de altura está a 1.10 m de una lente con longitud focal de 135 mm. ,DOnde está Ia imagen, qué tan alta y de qué tipo es? (b) Qué pasa si f = -135 mm?

(I) Una Lente doblemente cOncava tiene radios en sus superficies de 33.4 cm y 23.8 cm. i,CuáI es La longitud focal si n = 1.58?

(II) Un objeto brillante y una pantalla de observaciOn están separados una distancia de 76.0 cm. ,En que posiciOn(es) entre el objeto y Ia pantalla debe colocarse una lente con longitud focal de 16.0 cm para producir una imagen nItida sobre Ia pantalla? [Sugerencia:primero dibuje un diagrama.]

(I) Ambas superficies de una Lente dobLemente convexa tienen radios de 31.0 cm. Si Ia longitud focal es de 28.9 cm, Lcuál es el Indice de refracciOn del material de Ia lente?

(II) Qué tan separados están un objeto y una imagen formada por una lente convergente con 75 cm de longitud focal si Ia imagen es 2.75x mayor que el objeto y es real?

Demuestre analIticamente que Ia imagen formada por una lente convergente es real e invertida si el objeto está ms all del punto focal (d0 > f), y es virtual y derecha si el objeto eStá dentro del punto focal (d0 < J). Describa Ia imagen si el objeto es asimismo una imagen formada por otra lente, de manera que su posición está más allá de Ia lente (sobre el lado de Ia lente opuesto al lado de que viene Ia luz), para Ia cual -d0 > f, y pa-

ra Ia cual 0 < -d0 < f. (a) Demuestre que La ecuación de las lentes se puede escribir en Ia forma newloniana:

xx' = f2, donde X es La distancia del objeto al punto focal sobre el lado frontal de Ia lente, y x' es Ia distancia de Ia imagen al punto focal sobre el otro lado de Ia lente. Calcule Ia posición de una imagen si el objeto se coloca a 45.0 cm enfrente de una lente convexa con longitud focal de 32.0 cm usando (b) Ia forma estándar de Ia formula para lentes delgadas, y (c) La forma newtoniana, obtenida arriba.

(II) Dos lentes convergentes de 27.0 cm de longitud focal se colocan a 16.5 cm una de otra. Un objeto se coloca a 35.0 cm enfrente de una de ellas. DOnde estará Ia imagen final formada por Ia segunda lente? ,CuáI es el aumento total? (II) Una Lente divergente con f = -31.5 cm se coLoca a 14.0 cm detrás de una lente convergente con f = 20.0 cm. ,DOnde quedará enfocado un objeto situado en el infinito? (H) Las dos lentes convergentes del ejemplo 34-4 están colocadas ahora solo a 20.0 cm de distancia. El objeto está aOn a 60.0 cm enfrente de La primera lente como en Ia figura 34-13. En este caso, determine (a) Ia posiciOn de La imagen final, y (b) el aumento total. (c) Esboce el diagrama de rayos para este sistema.

(II) Una lente convergente de 31.0 cm de longitud focal está a 24.0 cm detrás de una lente divergente. Rayos de luz paralelos tocan Ia lente divergente. Después de pasar por La lente convergente, Ia luz es de nuevo paralela. ,Cuál es Ia longitud focal de Ia lente divergente? [Sugerencia: dibuje primero un diagrama de rayos.]

(H) Una lente divergente se coloca cerca de una lente convergente de longitud focal fc' como en La figura 34-14. Si fT representa La longitud focal de La combinaciOn, demuestre que Ia

longitud focal de Ia lente divergente,f, está dada por

1_i

fD - fT

862

CAPITIJLO 34

1

(I) Demuestre que si La lente del ejemplo 34-7 se invierte de manera que La luz entra por Ia cara curva, La longitud focal no cambia.

(I) Una lente planoconvexa (figura 34-la) va a tener una Longitud focal de 17.5 cm. Si se fabrica de cuarzo fundido, cuál debe ser el radio de curvatura de Ia superficie convexa?

Una Lente pLanocOncava de vidrio (n = 1.50) tiene una longitud focal de -21.5 cm. CuáI es el radio de Ia superficie cóncava?

(LI) Una prescripciOn para una lente correctiva requiere +2.50 dioptrIas. El fabricante de Ia lente pule La lente de un material virgen con n = 1.56 y una superficie frontal convexa preformada con radio de curvatura de 20.0 cm. i,Cuál debe ser el radio de curvatura de la otra superficie?

Un objeto se coloca a 90.0 cm de una lente de aumento (n = 1.56) con una superficie cóncava de radio de 22.0 cm y una superficie convexa de radio de 18.5 cm. i,DOnde se encuentra Ia imagen final? i,CuL es La amplificaciOn?

Una Lente de vidrio (n = 1.50) en el aire tiene una potencia de +4.5 dioptrIas. i,CuOL será su potencia si se Le sumerge en agua?

(1) Una lente con longitud focal de 45 mm tiene grados de abertura que van de f/1.4 a f/22. i,Cuál es el rango correspondiente de Los diámetros de Los diafragmas de La lente?

(I) Una Lente de cámara de televisiOn tiene una longitud focal de 14 cm y un diOmetro de Iente de 6.0 cm. jCuOL es su grado de abertura?

Una fotografIa apropiadamente expuesta se toma a f/16 y s. i,Qué abertura de Lente se requerirla si La velocidad deL oh-

turador fuese de -'j s? Una cOmara usa un pequeno agujero en vez de una lente. Muestre, usando diagramas de rayos, cOmo imágenes razonablemente nItidas se pueden formar usando dicha cOmara. En particular, considere dos objetos punto a 2.0 cm de distancia que estOn a 1.0 m de un orificio de 1.0 mm de diOmetro. Muestre que sobre una pieza de pelIcuLa a 7.0 cm detrás del orificio los dos objetos producen dos cIrculos separados que no se traslapan.

s a f/Il. Ba(II) Suponga que una exposiciOn correcta es de jo las mismas condiciones, qué tiempo de exposiciOn se requerirIa para un estenoscopio si el diOmetro del orificio es de 1.0 mm y La peLIcuLa está a 7.0 cm del orificio? (II) Un fotOgrafo desea fotografiar un árboL de 32 m de aLtura desde una distancia de 55 m. i,Que Longitud focal para una lente debe usar si Ia imagen debe Ilenar La aLtura de 24 mm de La pellcula?

fc


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Un ojo humano tiene aproximadamente 2.0 cm de iargo y Ia pupila tiene un diimetro máximo de aproximadamente 5.0 mm. ,Cul es Ia "rapidez" de esta lente?

Una persona tiene problemas para leer un libro sostenido en el extremo de su brazo, a una distancia de 50 cm. Qué potencia de lentes de lectura debe serle prescrita, suponiendo que ellos estarán a 2.0 cm del ojo y que quiere leer en ci punto cercano "normal" de 25 cm? (II) ,De qué potencia se requieren anteojos de lectura para una persona cuyo punto cercano est a 120 cm, de manera que pueda leer una pantalla de computadora situada a 50 cm? Suponga una distancia lente-ojo de 1.8 cm.

(TI) Un insecto pequeOo esti colocado a 5.35 cm de una lente de longitud focal de +6.00 cm. Calcule (a) Ia posiciOn de Ia imagen, y (b) ci aumento angular.

(II) Una lente de aumento con una longitud focal de 9.5 cm se usa para leer colocada a una distancia de 8.5 cm. Calcule: (a) La posiciOn de Ia imagen; (b) ci aumento lineal; y (c) ci aumento angular.

(II) Una lente de aumcnto está clasificada como 3.0x para un ojo normal relajado. ,CuSi scrIa ci aumento para un ojo relajado cuyo punto cercano está (a) a 60 cm, y (b) a 18 cm? Explique las diferencias.

(II) Demuestre que si La persona miope en el ejemplo 34-10 usase lentes de contacto corregidos para ci punto lejano (= co),

(I) ,Cuál es ci aumento de un teiescopio astronOmico cuya lente objetivo tiene una longitud focal de 72 cm, y cuyo ocular tie-

ci punto cercano estarIa a 41 cm. (,SerIa mejor usar anteojos en este caso?)

ne una longitud focal de 2.8 cm? Cui es Ia longitud total del

(II) El ojo izquierdo de una persona es corregido por una lente de -4.0 dioptrIas, a 2.0 cm del ojo. (a) ,Es esta persona miope o présbita? (b) LCuál es ci punto lejano de esta persona sin

(I) El aumento total de un telescopio astronOmico se desea que sea dc 25X. Si se usa un objetivo de 80 cm de longitud focal, Lcuál debe ser Ia longitud focal del ocular? Cuál es Ia longitud total del teicscopio cuando se ajusta para usarse por un ojo re-

lentes?

(II) El ojo derecho de una persona puede ver objetos claramente solo si ellos están entre 25 cm y 75 cm. (a) ,Qué potencia de lentes de contacto se requiere para que los objetos Jejanos se vean nItidamente? (b) Dónde estará ci punto cercano cuando las lentes esten colocadas?

(II) ,Cuánto más largo es ci ojo miope en ci ejempio 34-10 que los 2.0 cm de un ojo normal?

(II) Una iente de los anteojos de una persona miope tiene una longitud focal de - 25.0 cm y Ia lente está a 1.8 cm del ojo. Si La persona cambia a lentes de contacto quc están colocados directamente sobre ci ojo, ,cuál deberá ser Ia longitud focal de los correspondientes ientes de contacto?

(II) Cuál es Ia longitud focal del sistema ocular dcl ojo cuando se ye un objeto (a) en ci infinito, y (b) a 30 cm dci ojo? Suponga que Ia distancia lente-retina es de 2.0 cm. (II) Una persona miope tiene puntos cercano y lejano de 10.0 y 20.0 cm, respectivamente. Si se pone un par de anteojos con potencia P = -4.0 D, Lcuics son sus nuevos puntos cercano y Icjano? Desprecie Ia distancia entre su ojo y Ia lente.

teiescopio cuando se ajusta para un ojo relajado?

laj ado?

Un binocular de 8.0x tienc oculares con longitud focal de 3.0 cm, cuái es Ia longitud focal de Las lentes objetivo?

Un teiescopio astronOmico tiene un objetivo con longitud focal de 95 cm y un ocular con +35D, ,cuái es Ia amplificaciOn total? (II) Un tclescopio astronOmico tiene sus dos lentes a 76.0 cm dc distancia. Si Ia lente objetivo tiene una Longitud focal de 74.5 cm, ,cuál es el aumento de este telescopio? Suponga un ojo relajado.

(Ii) Un telescopio galileano ajustado para un ojo relajado tiene 33.0 cm de largo. Si La lente objetivo tiene una Longitud focal de 36.0 cm, cuál es su aumento? Cuál es Ia potencia de aumento de un telescopio astronOmico quc usa un espejo reflector cuyo radio de curvatura es de 6.2 m y un ocular cuya longitud focal es de 2.8 cm? (TI)

(II) La imagen de La Luna aparece amplificada 120x por un telescopio astronOmico reflector con un ocular con longitud focal de 3.3 cm, cuálcs son Ia longitud focal y ci radio de curvatura del espejo principal?

(TI) Un tciescopio astronOmico dc 130x está ajustado para un (I) ,Cugl es ci aumento de una lente usada con un ojo relajado si su longitud focal es de 11 cm?

(I) Cuál es Ia longitud focal de un anteojo amplificador de amplificaciOn 3.0x para un ojo normal relajado? Un amplificador se clasifica como 2.5x para un ojo normal enfocado en una imagen en ci punto cercano. (a) Cuál es su longitud focal? (b) ,Cuái es su longitud focal si ci 2.5x se refiere a un ojo relajado?

ojo relajado cuando las dos lentes están separadas una distancia de 1.25 m, ,cuil es La longitud focal de cada lente?

(III) Un par de binoculares 7.0x tiene un objetivo con longitud focal de 26 cm. Si los binoculares están enfocados sobre un objeto a 4.0 m (del objetivo), ,cuái es ci aumento? (El 7.Ox se refiere a objetos en el infinito; Ia ccuación 34-7 es válida sOlo para objetos en el infinito y no para objetos cercanos.)

(TI) Sherlock Holmes usa como lupa una ientc con longitud focal de 8.50 cm. Para obtener un aumento máximo, ,dOnde debe colocarse ci objeto (suponga un ojo normal) y cuál será ci aumento?

(I) Un microscopio usa un ocular con Longitud focal de 1.6 cm. Usando un ojo normal con una imagen final en el infinito, La longitud dcl tubo es de 17.5 cm y La longitud focal dcl objctivo es de 0.65 cm, ,cuál es ci aumento del microscopio?

Un perno de 3.70 mm de ancho es visto con una lente cuya longitud focal es de 9.00 cm. Un ojo normal ye Ia imagen en su punto cercano. Caicule (a) Ia ampiificación angular, (b) ci ancho de La imagen, y (c) Ia distancia al objeto desde La Lente.

(T) Un microscopio 650x usa una lente objetivo con longitud focal de 0.40 cm. Si Ia longitud dcl tubo cs de 17.5 cm, cuái es La longitud focal del ocular? Suponga un ojo normal y que La imagen final estâ en ci infinito.

Problemas

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863

(II) Un microscopio tiene un ocular de 12.0>< y un objetivo de 56.0x separados 20.0 cm. Caicule (a) el aumento total, (b) Ia longitud focal de cada lente, y (c) dónde el objeto debe estar para que un ojo normal relajado io yea en foco. (II) Un microscopio tiene un ocular con longitud focal de 1.8 cm y un objetivo con 0.80 cm. Suponierido un ojo normal relajado, calcule (a) Ia posición del objeto si Ia distancia entre las lentes es de 16.0 cm, y (b) ci aumento total. (II) Resuelva el problema 69 suponiendo que Ia imagen final

está localizada a 25 cm del ocular (punto cercano de un ojo

(III) Examinemos Ia aberración esférica en una situaciOn particular. Una lente planoconvexa con Indice de refracciOn de 1.50

y un radio de curvatura R = 12.0 cm se muestra en La figura 34-40. Considere un rayo que Ilega paralelo al eje principal y a una aitura h por arriba de éste como se muestra. Determine Ia

distancia d desde Ia cara piana de Ia lente, a donde este rayo cruza ci eje principal si (a) h = 1.0 cm, y (b) h = 6.0 cm. (c)

tQué separados están esos "puntos focales"? (d) ,Qué tan grande es ci "cIrculo de confusiOn" producido por ci rayo con Ia h = 6.0 cm en ci "punto focal" para Ia h = 1.0 cm?

normal).

(II) La Lente ocular de un microscopio compuesto tiene una

/

longitud focal de 2.70 cm y el objetivo tiene f = 0.740 cm. Si un objeto se coloca a 0.790 cm de Ia lente objetivo, calcule (a) Ia distancia entre las lentes cuando ci microscopio está ajustado para un ojo relajado, y (b) ei aumento total.

h

(II) Una lente acromática estS hecha de dos lentes muy delgadas colocadas en contacto que tienen longitudes focales de f1 = -28 cm y f2 = +23 cm. (a) ,Es Ia combinaciOn convergente o divergente? (b) ,Cuál es La longitud focal neta?

FIGURA 34-40

Problema 71.

Problemas cienerales Si una lente telefoto de 135 mm está diseñada para cubrir distancias de objetos desde 1.40 m a , ,sobre qué distancia relativa al piano de Ia pelIcula debe moverse Ia iente? Una lente con longitud focal de 200 mm puede ajustarse a una distancia de entre 200.0 mm y 206.0 mm de Ia pelIcuia. Para qué rango de distancias ai objeto puede ella ajustarse? Demuestre que para objetos muy lejanos (supOngaios en ci infinito), Ia amplificaciOn de Ia lente de una cámara es proporcionai a su longitud focal. Para una cSmara equipada con una iente de iongitud focal de 50 mm, cuáI es Ia distancia al objeto si Ia altura de Ia imagen es igual a Ia altura del objeto? Qué tan lejos está ci objeto de Ia imagen sobre Ia pelIcula? LCUá1 es La potencia amplificadora de una lente +8.0 D usada como un amplificador? Suponga un ojo normal relajado. Una lente planoconvexa de lucita (figura 34-la) tiene una superficie plana y otra con R = 18.4 cm. Se usa para ver un objeto, localizado a 66.0 cm de La lente, que es una mezcla de rojo y amarillo. El fndice de refracción de Ia lucita es 1.5106 para Ia luz roja y de 1.5226 para Ia luz amarilla. ,Cules son las locaiizaciones de las imagenes roja y amarilia formadas por Ia lente? Una estrella de cine sorprende a un periodista tomando fotos de ella en su casa. Afirma que ci periodista allanO su propiedad y para probarlo, presenta como evidencia Ia pelIcula que Ic quito. Su eStatura de 1.75 m es de 8.25 mm sobre Ia peiIcuia, y ia longitud focal de Ia iente de Ia cámara es de 200 mm. ,A qué distancia estaba ella con reiaciOn al periodista?

En un proyector de diapositivas 0 pelIculas, La pelIcula actOa como el objeto cuya imagen se proyecta sobre una pantalla (figura 34-41). Si una lente de Longitud focal de 100 mm debe proyectar una imagen sobre una pantafla aiejada 7.50 m, ,qué tan lejos de Ia iente debe estar Ia diapositiva? Si Ia diapositiva tiene 36 mm de ancho, qué tan ancha será La imagen sobre La pantalla?

Transparencia Lente FIGURA 34-41

Pantalla

Proyector de transparencias, probiema 79.

Una iente convergente con iongitud focal de 12.0 cm se coloca en contacto con una lente divergente con longitud focal de 20.0 cm. ,CuáI es Ia longitud focal de La combinación? ,Es convergente o divergente ia combinación? Muestre analiticamente que una lente divergente nunca puede formar una imagen reai de un objeto reai. ,Puede usted describit una situaciOn en Ia que una lente divergente forme una imagen real? Una veia encendida se coloca a 30 cm por enfrente de una iente convergente de longitud focal ft = 15 cm, que a su vez está

50 cm enfrente de otra lente convergente de longitud focal

f2 = 10 cm (véase Ia figura 34-42). (a) Dibuje un diagrama de rayos y estime Ia localizaciOn y ci tamaño de La imagen final. (b) Calcule La posición y el tamaflo de Ia imagen final. f1=15 cm

1

30cm

i

FIGURA 34-42

864

CAPTLPLO 34


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f2=10 cm

50cm Problema 82.

Un objeto brillante se coloca a un lado de una lente convergente de longitud focal f, y una pantalla blanca para ver Ia imagen está en el lado opuesto. La distancia dT = d + d0 entre el objeto y Ia pantalla se mantiene fija, pero Ia lente puede moverse. Demuestre que (a) si dT > 4f, habrá dos posiciones donde Ia lente puede ser colocada y producir una imagen nitida sobre Ia pantalla, y (b) si dT < 4f, no habrá ninguna posiciOn de Ia lente que forme una imagen nItida. (c) Determine La distancia entre las dos posiciones de La lente en Ia parte (a), y La razón de los tamaños de La imagen.

(a) Demuestre que si dos lentes delgadas de longitud focal f y f2 se ponen en contacto entre si, La longitud focal de Ia combinación está dada por fT = ff2/(f + f2). (b) Demuestre que Ia potencia P de Ia combinación de las dos lentes es Ia suma de sus potencias separadas, P = P1 + P2.

Una lente cuyo Indice de refracción es n es sumergida en un material cuyo Indice de refracción es n' (n' 1). Obtenga La equivalente de las ecuaciones 34-2, 34-3 y 34-4 para esta lente.

Sam compra anteojos con +2.5 dioptrIas que corrigen su visiOn defectuosa para poner su punto cercano en 25 cm. (Suponga que éI Ileva Las lentes a 2.0cm de sus ojos.) (a) LEs Sam, miope o présbita? (b) Calcule Ia longitud focal de los lentes de Sam. (c) Calcule el punto cercano de Sam sin lentes. (d) Pam, que tiene ojos normales con punto cercano en 25 cm, se pane los anteojos de Sam. Calcule el punto cercano de Pam con los anteojos puestos de Sam. Una persona de 50 años usa anteojos de +2.5 dioptrIas para poder Leer un periOdico a 25 cm de distancia. Diez altos despues debe sostener el periOdico a 35 cm para leerlo claramente con los mismos anteojos. Qué potencia necesita ahora para sus anteojos? (Las distancias se miden desde La lente.) Una mujer puede ver claramente con su ojo derecho solo cuando Los objetos estltn alejados entre 40 cm y 150 cm. Que potencia

deben tener los bifocales prescritos para que ella pueda ver objetos distantes claramente (parte superior) y leer un libro situado a 25 cm (parte inferior)? Suponga que Los bifocales están a 2.0 cm del ojo.

Un niño tiene un punto cercano de 15 cm. Cuál es Ia amplificación mxima que el nilto puede obtener usando un amplificador con longitud focal de 8.0 cm? Compare esto con La de un ojo normal. Cuando el amanecer pasO hacia el medio dia, y La luz del Sol se volviO más intensa, un fotOgrafo que estaba tomando repetidas fotos del mismo objeto notO que si mantenla su velocidad cons-

tante del obturador, tenla que cambiar el nUmero-f de f/5.6 a f/22. Cuánto se incrementó Ia intensidad de Ia luz solar durante ese tiempo?

Una persona trata de hacer un telescopio usando lentes de anteojos de lectura. Ellos tienen potencias de +2.0 D y +5.0 D, respectivamente. (a) ,Qué amplificaciOn maxima es posible para el telescopio? (b) Qué lente debe usarse como ocular? Los tiempos de exposición deben aumentarse para fotos tomadas a muy cortas distancias, debido a La distancia incrementada de La Lente a La pelIcula para una imagen nItida. (a) Demuestre que cuando el objeto estlt tan cerca a La cámara que Ia altura de Ia imagen es igual a Ia altura del objeto, el tiempo de exposición debe ser cuatro veces mayor que cuando el objeto estlt a una gran distancia (digamos en el infinito), dadas La misma iluminaciOn y abertura. (b) Demuestre que si d0 es por lo menos cuatro o cinco veces La longitud focalfde La lente,el tiempo de exposiciOn se incrementa despreciablemente relativo al mismo objeto situado a una gran distancia.

La lente objetivo y el ocular de un telescopio estltn separados 85 cm. Si el ocular tiene +25 dioptrIas, ,cultl es Ia amplificaciOn total del telescopio?

Problemas generales

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La naturaleza ondulatoria de Ia luz explica muy bien cómo Ia luz reflejada de las superficies frontal y posterior de esta pelIcula delgada de agua jabonosa interfiere constructivamente para producir los colores brillantes. Qué color vemos depende del espesor de Ia peIlcula en ese punto; Ia pelIcula es muy delgada en Ia parte superior y se vuelye más espesa hacia el fondo (debido a Ia gravedad). LPuede usted determinar, usando los colores de Ia luz, el espesor de la pelIcula en cualquier punto? Deberá poder hacerlo después de leer este capitulo.

La naturaleza ondulatoria de Ia Iuz; I nterferencia

Es

obvio que Ia Iuz es portadora de energia para quien con una lente de aumento haya enfocado los rayos solares sobre un trozo de papel y quemado un agujero en éL. Pero, cómo viaja Ia luz y en qué forma es transportada esta energIa? En nuestro anáLisis de las ondas en el capItulo 15, vimos que Ia energIa puede ser transportada de un lugar a otro en básicamente dos formas: por partIculas o por ondas. En el primer caso, los cuerpos materiales o partIculas pueden Ilevar energIa como cuando se origina una avalancha o un torrente de agua. En el segundo caso, las ondas de agua y de sonido pueden Ilevar energIa sobre grandes distancias aün cuando Ia masa misma no viaja esas disiancias. Entonces, ,qué podemos decir sobre Ia naturaleza de Ia luz, viaja como una corriente de partIculas alejándose de su fuente, o to hace en forma de ondas que se dispersan desde su fuente? HistOricamente, este asunto ha resultado muy difIcil de elucidar. For una parte, La luz no se revela a sí misma de ninguna manera obvia como formada de pequenas particulas ni vemos pasar pequeflas ondas de luz como lo vemos con las ondas de agua. La evidencia pareció favorecer primero a un Lado y luego al otro hasta aproximadamente 1830, cuando La mayorIa de los fIsicos aceptaron La teorIa ondulatoria. Hacia fines del siglo XIX, Ia luz fue considerada como una onda electromagnetica (capItulo 32). A principios del siglo XX se mostrO que La luz tenIa también una naturaleza corpuscular, como se vera en el capItulo 38. No obstante, Ia teorla ondulatoria de La luz permanece válida y ha tenido mucho éxito. Investigaremos ahora Ia evidencia para la teorIa ondulatoria y cómo ésta ha explicado una amplia gama de fenOmenos.

866

N.del E.: El concepto de velocidad es vectorial mientras que Ia rapidez es escalar. De hecho, Ia rapidez es Ia magnitud de Ia velocidad. En el caso unidimensional ambos términos se usan indistintamente. Sin embargo, en el caso de Ia Iuz se usa velocidad. Más aün, en castellano usamos "velocidad de Ia luz".

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Princioio de Huyqens v difracción El cientIfico holandés Christian Huygens (1629-1695), un contemporáneo de Newton, propuso una teoria ondulatoria para Ia luz que tuvo mucho mérito. TodavIa de utilidad, hoy en dIa existe una técnica que él desarrollO para predecir Ia posiciOn futura de un frente de onda cuando se conoce una posiciOn anterior de ésta. Esto se conoce como el principio de Huygens y puede enunciarse como sigue: Todo punto sobre un frente de onda se puede considerar como una fuenie de pequenos frenles de onda que se difunden en dirección hacia adelante a Ia rapidez de Ia onda misma. El nuevo frente de onda es Ia envolvente de Sodas los pequenos frentes de ondas, es decir, Ia tan genie a todos ellos. Como un ejemplo simple del uso del principio de Huygens, considere el frente de onda AB en Ia figura 35-1, que viaja aiejándose de una fuente S. Suponemos que el medio es isoirópico, es decir, Ia rapidez v de las ondas es Ia misma en todas direcciones. Para ha liar el frente de onda un corto tiempo t después de que está en AB, se dibujan pequefios circulos con radio r = vi. Los centros de esos pequenos cIrculos están sobre el frente de onda original AB y los cIrculos representan trenes de onda (imaginarios) de Huygens. La tangente a todos esos trenes de onda, o linea CD, es Ia nueva posición del frente de onda. El principio de Huygens es particularmente Util cuando las ondas inciden sobre

A

Fuente

.

S

un obstculo y los frentes de onda son parcialmente interrumpidos. El principio de Huygens predice que las ondas se desvIan detrás de un obstcuio, como se muestra en la figura 35-2. Esto es justamente lo que hacen las olas, como lo vimos en el Ca-

pItuio 15 (figuras 15-32 y 15-33). La desviaciOn de las ondas detrás de obstculos hacia la "regiOn de sombra" se conoce como difracción. Como La difracción ocurre en ondas pero no en partIculas, puede servir como un medio para evidenciar Ia naturaleza de La !uz.

B1

I) Principio de Huygens usado para determinar el frente de onda CD cuando el frente de onda AB es dado. FIGURA 35-1

Se difracta realmente Ia luz? A mediados del siglo XVII, un sacerdote jesuita, Francesco Grimaldi (1618-1663), observO que cuando Ia luz solar entraba a una habitación oscura por un pequeno orificio hacia una pantalla, el punto sobre Ia pared opuesta era mayor que el que se esperarfa a partir de rayos geométricos. También observO que el borde de Ia imagen no era nItido, sino que estaba rodeado por franjas de cobres. Grimaldi atribuyó esto a la difracción de Ia Iuz. NOtese que el modelo de rayos (capItulo 33) no puede explicar la difracciOn y es importante ser consciente de las limitaciones de este modelo. La Optica geométrica al usar rayos tiene tanto éxito en su limitada esfera porque las aberturas y obstácubos normales son mucho mayores que Ia longitud de onda de Ia luz y ocurre relativamente poca difracciOn o desviaciOn.

FIGURA 35-2 El principio de Huygens es consistente con La difrac-

ción (a) airededor del borde de un obstáculo, (b) a través de un orificio grande, (c) a través de un orificio pequeno cuyo tamaño es del orden de La longitud de onda de ësta.

(a)

(b)

(c)

Principlo de Huygens y Ia ley de ref racción Las leyes de Ia reflexiOn y de Ia refracciOn eran bien conocidas en tiempo de Newton. La ley de Ia reflexión no podia distinguir entre las dos teorlas: ondas versus partIculas, que vimos en La página anterior. Pues cuando las ondas se reflejan en un obstáculo, el ángulo de incidencia es igual al Ingulo de reflexión (figura 15-22). Lo mismo es cierto de las partIculas; piense en una pelota de tenis sin rotaciOn que golpea una superficie plana. SECCION 35-2

Principio de Huygens y Ia ley de refracciOn

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861

RefracciOn explicada, usando ei principio de Huygens. FIGURA 35-3

La ley de La refracciOn es otro asunto. Considere La luz entrando a un medio donde es desviada hacia La normal, como cuando pasa del aire al agua. Como se muestra en Ia figura 35-3, este efecto se puede construir aplicando ci principio de Huygens Si SUponemos que Ia velocidad de La luz es menor en el segundo medio (v2 < v1). En ci tiempo i, el punto B sobre el frente de onda AB se desplaza una distancia v1t para liegar a! punto D. For otra parte, el punto A viaja una distancia v2t para Ilegar ai punto C, y v2t < v11. El principio de Huygens se aplica a los puntos A y B para obtener los frentes curvos mostrados en C y D. El frente de onda es tangente a esos dos frentes, de manera que el nuevo frente de onda es La lInea CD. For consiguiente los rayos, que son perpendiculares a los frentes de onda, se desvIan hacia Ia normal si v2 < v1, como est dibujado.t Newton postuLó Ia teorla corpuscular de La luz que predecIa ci resultado opuesto, o sea que Ia velocidad de Ia luz serIa mayor en ci segundo medio (v2 > v,). AsI, Ia teorIa onduiatoria predice que La velocidad de la luz en ci agua, por ejemplo, es menor que en ci aire; y Ia teorla de partIculas de Newton predice lo contrario. Un experimento para mcdir La velocidad de Ia luz en ci agua fue Ilevado a cabo en 1850 por el fIsico frances Jean Foucauit, y se confirmO Ia predicciOri de La teorIa ondulatoria. En ese entonces, Ia teorIa ondulatoria ya habIa sido plenamente aceptada, como veremos en La siguiente secciOn.

Es fácil mostrar que La icy de La refracciOn de Snell se infiere directamente dcl principio de Huygens, dado que Ia velocidad de La Luz v en cuaiquier medio est1 rclacionada con La veiocidad c en ci vacIo y con ci Indice de refracciOn n por La ecuaciOn 33-1, v = c/n. Dc La construcciOn de Huygens de La figura 35-3, ci ángulo ADC es igual a 02 y ci iInguio BAD es iguaL a 0. Entonces, para Los dos triánguios que tienen ci lado comün AD, tenemos sen 0

vu

= AD'

sen 02 =

v21

AD

Dividimos esas dos ecuaciones y obtenemos: senO V1 senO2 - V2

Entonces,comov1 = c/n1 y v2 = c/n2,

n1sen0 = n2sen02, que es La icy dc La rcfracciOn de SnelI, o ccuación 33-5. (La icy de Ia reflexiOn sc pucdc obtener del principio dc Huygens de manera similar, y esto se da como Problcma 1 ai final dcl capItuio.) Este es básicamente el mismo que el análisis airededor de Ia figura 15-31.

868

CAPiTULO 35

La naturaleza ondulatoria de Ia iuz; interferencia

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Cuando una onda de luz viaja de un medio a otro, su frecuencia no cambia, pero si su longitud de onda. Esto puede verse en Ia figura 35-3, donde suponemos que cada una de las imneas que representa un frente de onda corresponde a una cresta (pico) de Ia onda. Entonces A2

V2t

V2

n1

A1 - v1t - V1 - fl2' donde, en el ültimo paso, usamos Ia ecuaciOn 33-1, v = c/n. Si el medio 1 es un vacIo (o aire), entonces n1 = A, V1 = c, y Ilamamos A1 simplemente I, entonces Ia longitud de orida en otro medio de mndice de refracciOn n (= n2) será

= A-.

(35-1)

n

Este resultado es consistente con el hecho de que Ia frecuenciafno cambia ya que c = fA.

Combinando esto con v = fA en un medio donde v = c/n da A = v/f = c/nf =

fA/nf = A/n, que comprueba lo anterior. Los frentes de onda se pueden usar para explicar cOmo se producen los espejismos por Ia refracciOn de Ia luz. Por ejemplo, expliquemos por qué en un clIa caluroso los conductores yen a veces un espejismo de agua sobre Ia carretera adelante de ellos, con los vehIculos distantes reflejados sobre ella (figura 35-4a). En un dIa caluroso, puede haber una capa de aire muy caliente cerca del pavimento (calentada por los rayos

solares al incidir éstos sobre el camino). El aire caliente es menos denso que el aire fresco, por lo que el Indice de refracciOn es ligeramente menor en el aire caliente. En Ia figura 35-4b, vemos un diagrama de Ia luz que proviene de un punto sobre un auto distante (a la derecha) dirigiéndose hacia el observador. Se muestran frentes de onda y dos rayos. El rayo A se dirige directamente al observador y sigue una trayectoria recta, y representa Ia vista normal del auto. El rayo B es un rayo inicialmente dirigido ligeramente hacia abajo, pero no toca el suelo. Más bien, el rayo B es desviado Iigeramente al moverse a través de capas de aire de diferentes Indices de refracciOn. Los frentes de onda, mostrados en azul en la figura 35-4b, se mueven ligeramente más rápido en las capas de aire cerca del suelo (véase Ia figura 35-3, y también Ia analogIa del soidado en Ia figura 15-31). AsI el rayo B es desviado como se muestra, y parece al observador provenir de abajo (linea rayada) como si se reflejase en el camino. Dc ahi el espejismo.

(a) Un espejismo en Ia carretera. (b) Dibujo (muy exagerado) que muestra frentes de onclas y rayos para explicar los espejismos en carreteras. NOtese cómo las secciones de los frentes de onda cerca del terreno se mueven más rápido y estdn por consiguiente más separados. FIGURA 35-4

Rayo directo Observadc$

-

--4-

I

t 1

/

A

I

1---1ray0

S

-

Parece

.

,

Rayo dirigido ligeramente

/hacia abajo

-

ProveId;

S

(b)

(a)

SECCION 35-2

Principio de Huygens y Ia ley de ref racciOn

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869

Interferencia; experimento de Young de Ia doble ranura

Rayos del So!

rn

Pantalla de observación

Paritalla de observación (predicción de Ia teorIa de partIculas)

En 1801, el inglés Thomas Young (1773-1829) obtuvo evidencia convincente sobre Ia naturaleza ondulatoria de La luz y fue incluso capaz de medir las longitudes de onda de Ia !uz visible. La figura 35-5a muestra un diagrama esquemático del famoso experimento de Ia doble ranura de Young. La luz de una sola fuente (Young usó el Sol) cae sobre una pantalla que contiene dos ranuras S1 y S2 muy cercanas entre si. Si La luz consiste en pequenas partIculas, podrIamos esperar ver dos lIneas brillantes sobre una pantalla colocada detrás de las ranuras como en (b). Pero Young observó en vez de esto una sen de !Ineas brillantes como en (c). Fue capaz de explicar este resultado como un fenOmeno de interferencia de ondas. Para ver esto, imagine ondas p!anas de luz de una sola longitud de onda o luz monocromática (que significa de un solo color) que cae sobre las dos ranuras, como se muestra en Ia figura 35-6. Debido a la difracciOn, las ondas salen de las dos ranuras dispersándose como se muestra. Esto es equivalente al patrOn de interferencia producido cuando dos piedras se tiran a Un lago (figura 15-24), o cuando interfiere el sonido proveniente de dos altoparlantes (figura 16-16). FIGURA 35-6 Si Ia Iuz es una onda, La luz que pasa por una de las dos ranuras deberIa interferir con Ia luz que pasa por Ia otra ranura.

IJ

Rayos

(c)

IS2'

Pantalla de observación (real)

35-5 (a) Experimento de Ia doble ranura de Young. (b) Si Ia Iuz consistiese de partIculas, esperarIamos ver dos ilneas briflantes sobre La pantalla detrás de las ranuras. (c) Young observO muchas !Ineas. FIGURA

Frentes de onda

Para ver cómo se produce un patron de interferencia sobre Ia pantalla, usamos Ia figura 35-7. Ondas de longitud de onda A se muestran entrando por las ranuras S1 y S2, que están a una distancia d entre sí. Las ondas se dispersan en todas direcciones después de pasar por las ranuras, pero ellas se muestran sOlo para tres nguIos diferentes 0. En Ia figura 35-7a, se muestran las ondas que Ilegan al centro de La pantalla (0 = 0). Las ondas de las dos ranuras viajan Ia misma distancia, por !o que están en fase: una cresta de una onda ilega a! mismo tiempo que una cresta de La otra onda. Por tanto, las amplitudes de

FIGURA 35-7 COmo Ia teorla ondulatoria explica el patron de Ilneas vistas en el experimento de Ia doble ranura. (a) En el centro de Ia pantalla, las ondas desde cada ranura han viajado Ia misma distancia y están en fase. (b) A este ángulo 0, Ia onda inferior viaja una distancia adicional de una longitud de onda entera, y las ondas están en fase; note en el triángulo sombreado que Ia distancia adicional es igual a d sen 0. (c) Para este ángulo 0, Ia onda inferior viaja una distancia adicional a media longitud, de modo que las dos ondas Ilegan a Ia pantalla totalmente fuera de fase. (d) Un diagrama más detallado que muestra Ia geometrIa para las partes (b) y (c).

Brillante (interferencia

5constructiva)

Brillante (interferencia constructiva)

Oscuro (interferencia destnictiva)

-

"N

-

d

=A

L

(a) 870

0_-__0

Distancia adicional

S2

CAPiTULO 35

d1

Distancia adicional L

Pantalla

(b)

La naturaleza ondulatoria de Ia luz; interferencia

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_I_

(c)

a

I' -- -S2_ \o

d2 -

2

Pantalla

S1\

= d sen 0

Pantalla

(d)

las dos ondas se suman para formar una mayor amplitud como se muestra en Ia figura 35-8a. Esta es una interferencia constnictiva, y se tiene un punto briliante en el centro de Ia pantalla. La interferencia constructiva también ocurre cuando las trayectorias de los dos rayos difieren en una longitud de onda (o cualquier nUmero entero de longitudes de onda), como se muestra en Ia figura 35-7b. Pero si un rayo viaja una distancia adicional de media longitud de onda (o A, A, y asI sucesivamente), las dos ondas están exactamente fuera de fase cuando ilegan a la pantalla: las crestas de una onda Ilegan al mismo tiempo que los vaJles de Ia otra onda, y se suman para producir una amplitud nula (figura 35-8b). Esta es interferencia destructiva, y Ia pantalla queda oscura, figura 35-7c. AsI, habra una serie de lIneas brillantes y oscuras (o franjas) sobre Ia pantalla de observaciOn. Para determinar exactamente dOnde caen las Ilneas brillantes, primero notamos que Ia figura 35-7 está dibujada algo exageradamente; en situaciones reales Ia distaricia d entre las ranuras es muy pequena comparada con la distancia L a Ia pantalla. Los rayos desde cada ranura en cada caso serán esencialmente paralelos y 0 es el ángulo que ellos forman con Ia horizontal, como se muestra en la figura 35-7d. Del triangulo recto mostrado en Ia figura 35-7, podemos ver que Ia distancia adicional viajada por el rayo inferior es d sen 6. Ocurrirá interferencia constructiva y una franja brillante aparecerá sobre la pantalla, cuando la diferencia de trayectorias, d sen 6, sea igual a un nUmero entero de longitudes de onda:

d sen 6 = mA,

m = 0, 1, 2,

fl: -.w 1vv .JJ_'t +

-7---

\.1\1 (a)

(b)

FIGURA 35-8

Interferencia constructiva. Interferencia destructiva. (Véase también Ia secciOn 15-8.)

r interferencia 1

(35-2a) L constructiva] El valor de m se llama orden de Ia franja de interferencia. E primer orden (m = 1), por ejemplo, es La primera franja a cada lado de la franja central (en 0 = 0). La interferencia destructiva ocurre cuando Ia diferencia de trayectorias, d sen 0, es , y asI sucesivamente, de Ia longitud de onda:

dsenO = (m + flA,

m = 0,1,2,.

rinterferencia

(35-2b)

Ldestructiva

La intensidad de las franjas brillantes es mayor para Ia franja central (m = 0) y disminuye para órdenes mayores, como se muestra en Ia figura 35-9. Interferencia m = 3

2

0

1

1

2

constructiva

Interferencia destructiva

(a)

(a) Franjas de interferencia producidas por un experimento de doble ranura y detectadas por una pelIcula fotografica colocada sobre Ia pantalla de observación. La flecha señala Ia franja central. (b) Intensidad de Ia luz en el patron de interferencia. Se muestran tamblén los valores de m para Ia ecuación 35-2a (interferencia constructiva) y Ia ecuaciOn 35-2b (interferencia destructiva). FIGURA 35-9

m=2

1

0

0

(b)

-. '- Patron de IIneas de interferencia. (a) Habrá ( uL numero inunito ae puntos soore Ia pantalla donde ocurra interferencia constructiva y destructiva, o solo un nOmero finito de puntos? (b) tEstán los puntos vecinos de interferencia constructiva uniformemente espaciados, o no es uniforme el espaciamiento entre puntos vecinos de interferencia constructiva? RESPUESTA (a) Cuando usted ye las ecuaciones 35-2a y b podrIa estar tentado a decir, dados los valores m = 0, 1, 2, ... junto a las ecuaciones, que hay un nimero infinito de puntos de interferencia constructiva y destructiva. Sin embargo, recuerde que sen 0 no puede exceder de 1. Se tiene asI un lImite superior para los valores de m que se pueden usar en esas ecuaciones. Para la ecuaciOn 35-2a, el valor máximo de m es el entero mas cercano en valor pero más pequeno que d/A. Hay entonces un nOmero finito de puntos de iriterferencia constructiva y destructiva dispersos sobre una pantalla infinitamente alta. (b) El espaciamiento entre puntos vecinos de interferencia constructiva o destructiva no es uniforme: el espaciamiento se vuelve mayor cuando 0 es más grande y usted puede verificar esta afirmaciOn matemáticamente. Para valores pequeflos de 0 el espaciamiento es casi uniforme, como se vera en el ejemplo 35-2. SECCION 35-3

Interferencia; experimento de Young de Ia doble ranura

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871

FIGURA

SI'

35-10 Para ángulos pe-

quenos, las franjas de interferencia ocurreri a una distancia x = OL arriba de Ia franja central (m = 0); 0 y x1 son para Ia franja de primer orden (m = 1), 02 y x2 son para m = 2. L

Separación de las lIneas por interferencia de doble ranura.

Una pantalla que contiene dos ranuras separadas 0.100 mm está a 1.20 m de Ia pantaHa de observación. Luz de longitud de onda A = 500 nm incide sobre las ranuras desde una fuente distante. ,A qué distancia aproximada estarán las franjas brillantes de interferencia sobre la pantalla?

SOLUCION Dado d = 0.100 mm = 1.00

X 10 m, A = 500 >< 1O m, y L = 1.20 m, la franja de primer orden (m = 1) ocurre segUn un ángulo 0 dado por

sen01 =

(1)(500 X 10m) = 5.00 x i0. 1.00 X 104m

mA

d

Este es un ángulo muy pequeno por lo que podemos tomar sen 0 = 6, con 6 en radianes. La franja de primer orden ocurrir a una distancia x1 por arriba del centro de Ia pantalla (véase la figura 35-10), dada por x1/L = tan 0 = 0, por lo que = L01 = (1.20 m)(5.00 X i0) = 6.00 mm.

La franja de segundo orden (m = 2) ocurriri en

x2 = L02 = L

= 12.0 mm

por arriba del centro, etc. Las franjas de orden inferior están entonces separadas a

6.00 mm.

-,

LI .... . JL.. Cambio de Ia longitud de onda. (a) Qué le sucede a! patron de interterencia mostrado en Ia figura 35-10, ejemplo 35-2, si Ia luz mci-

dente (500 nm) es reemplazada por luz de longitud de onda igual a 700 nm? (b) Qué sucede si en vez de esto las ranuras de separan más entre si? RESPUESTA

(a) Cuando A aumenta en La ecuaciOn 35-2a pero d permanece cons-

tante, entonces el ángulo 0 para mäximos aumenta y el patrOn de interferencia se difunde. (b) Aumentando el espaciamiento d de las ranuras se reduce 6 para cada orden, por lo que las lIneas se acercan entre si.

De las ecuaciones 35-2 podemos ver que, excepto por la franja de orden cero en el centro, Ia posiciOn de las franjas depende de Ia longitud de onda. En consecuencia, cuando luz blanca incide sobre las dos ranuras, como Young encontró en sus experimentos, Ia franja central es blanca, pero las franjas primera (y superiores) contienen un espectro de colores como un arcoiris; 0 se encontrO como un valor mInimo para Ia luz violeta y un mximo para Ia luz roja. Midiendo la posiciOn de esas franjas, Young fue el primero en determinar las longitudes de onda de Ia luz visible (usando las ecuaciones 35-2). Al hacerlo asI, él mostró que lo que distingue fIsicamente a los diferentes colores es su longitud de onda, idea presentada antes por Grimaldi en 1665. 872

CAPITULO 35

La naturaleza ondulatoria de Ia Iuz; interferencia www.FreeLibros.me

Blanco

Longitudes de onda por interferencia de doble ranura. Luz nianca pasa por uos ranuras separadas 0.50 mm y se observa un patrOn de interferencia sobre una pantalla situada a 2.5 m de ellas. Las franjas de primer orden parecen un arcoiris con La luz violeta y el rojo en cada extremo. La luz violeta cae aproximadamente 2.0 mm y el rojo a 3.5 mm del centro de Ia franja central btanca (figura 35-11). Estime las longitudes de onda de Ia luz violeta y de la luz roja.

Usamos Ia ecuación 35-2a con m = I y sen 0 = 0. Entonces para luz violeta, x = 2.0 mm, por lo que (véase también Ia figura 35-10)

SOLUCION

A=

dO

m

d x -mL =

/5.0 X 104m /2.0 X 103m 1

j\

2.5m

/

H2.0 mmH

i-.----- 3.5 mmi FIGURA 35-11

Ejemplo 35-4.

SECCION 35-4

Coherencia

= 4.0 X 107m,

o 400 nm. Para luz roja, x = 3.5 mm, por Jo que d x

AmL

(5.0 x iO m) (3.5 X iO3 m 1

2.5m

= 70 X iO m = 700

Coherencia Las dos ranuras en Ia figura 35-7 actOan como si ellas fuesen dos fuentes de radiaciOn. Se Ilaman fuentes coherenles porque las ondas que salen de ellas tiene Ia misma relaciOn de fase entre sí en todo momento. Esto sucede asI porque las ondas provienen de una sola fuente a la izquierda de Las dos ranuras en la figura 35-7. Un patron de interferencia se observa sOlo cuando las fuentes son coherentes. Si dos pequenos focos reemplazan a las dos ranuras, no se vera un patron de interferencia. La !uz emitida por un foco tendrIa una fase aleatoria con respecto al segundo foco, y Ia pantalla estarfa más o menos uniformemente iluminada. Dos fuentes de este tipo, cuyas ondas de salida tienen fases sin relaciOn fija entre ellas a to largo del tiempo, se Ilaman fuentes incoherentes. El tema de la coherencia es algo complicado y lo veremos aquI sOlo brevemente. Dos rayos de luz no tienen que estar en fase para ser coherentes y producir un patron de interferencia. For ejemplo, suponga que una pieza de vidrio se coloca enfrente de Ia ranura inferior en Ia figura 35-7 y suponga que el vidrio es lo suficientemente grueso como para retardar la luz de manera que ésta entra a Ia ranura inferior una media Jongitud de onda detrOs de La luz que entra por Ia ranura superior. Los dos rayos estarIan fuera de fase 180° en forma constante, pero habrIa aUn un patron de interferencia sobre La pantalla. (LPuede usted conjeturar cOmo se verIa éste? Sugerencia: el punto central serIa oscuro en vez de brillante.) Dos ayos pueden ser coherentes si están en fase o fuera de fase; Jo importante es que ellos tengan una relaciOn de fase constante entre 51 a lo largo del tiempo. Las fuentes coherentes de ondas de agua o de sonido son mas faciles de obtener que las fuentes coherentes de luz; dos bocinas que reciben Ia misma senal de frecuencia pura de un amplificador serOn fuentes coherentes. Y dos antenas conectadas al mis-

mo oscilador LC pueden ser fuentes coherentes de ondas electromagnéticas de baja

frecuencia. Pero los osciladores LC a las altas frecuencias de Ia luz visible (1015 Hz) no existen ya que L y C no pueden hacerse suficientemente pequefios. Para fuentes de luz visible tenemos que confiar en las oscilaciones (o aceleraciones) de la carga eléctrica dentro de los átomos. En un foco incandescente, por ejemplo, los átomos en el filamento están excitados por el calor, y despiden "trenes de ondas" de luz, cada uno de los cuales dura aproximadamente 10-8 s. La Iuz que vemos es Ia suma de un gran nOmero de

dichos trenes de ondas que tienen una relaciOn de fase aleatoria entre si. Dos focos de luz no son entonces coherentes y no debe verse un patrOn de interferencia. Fue solo hasta la década de 1950 que se desarrollO una fuente de luz realmente coherente, el lOser. Debido a su coherencia, la luz laser sobre una ranura doble produce un patron de interferencia muy "limpio".

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873

La coherencia es un concepto relativo. Una coherencia perfecta de un haz corresponde a luz que es perfectamente senoidal (de una frecuencia) en todo tiempo, mientras que incoherencia completa ocurre cuando hay ondas cuyas relaciones de fase son completamente aleatorias en ci tiempo. Una medida de La "coherencia relativa" se puede definir en términos de Ia nitidez de un patron de interferencia de dos ranuras.

Intensidad en el patron de interferencia

'or doble ranura Vimos en Ia sección 35-3 que ci patron de interferencia producido por Ia iuz coherente de las dos ranuras, S1 y S2 (figuras 35-7 y 35-9), produce una serie de franjas brillantes y oscuras. Si las dos ondas monocromáticas de longitud de onda A están en fase en las ranuras, los máximos (puntos más brillantes) ocurren en cngulos 0 dados por

dsenO = mA, y los mInimos (puntos más oscuros) cuando

dsenO = (m + donde m es un entero (m = 0, 1,2,...). Determinamos ahora Ia intensidad de la luz en todos los puntos en ci patron (es decir, para todo ángu!o 0). For simplicidad, supongamos que si cualquier ranura estu-

viese cubjerta, Ia luz que pasa por la otra ranura se difractarla suficientemente para iluminar una gran porciOn de La pantaila uniformemente. La intensidad I de la luz en cualquier punto es proporcional al cuadrado de su amplitud de onda (secciOn 15-3). Tratando La

FIGURA 35-12

DeterminaciOn de La

intensidad en un patron de interferencia de doble ranura. No está a escala: de hecho L >> d, y los dos rayos resultan esencialmente paralelos.

luz como una onda electromagnetica, / es proporcional al cuadrado del campo eléctrico E o campo magnético B (secciOn 32-7). Como E y B son proporcionales entre si, no importa cuul usemos, pero es convencional usar E y escribir Ia intensidad como I cx E2. El campo eléctrico E en cualquier punto P (véase Ia figura 35-12) será La suma de los vectores de campo eléctrico de las ondas que vienen de cada una de las dos ranuras, E1 y E2. Como E1 y E2 son esentialmente paralelas (sobre una pantalla a gran distancia comparada con Ia separaciOn de Las ranuras), la magnitud del campo eléctrico a un gulo 0 (esto es, en el punto P) seré

E = E1 + E2. E2 varIan senoidalmente con frecuencia f = c/A, pero difieren en fase, dependiendo de sus diferentes distancias de viaje desde las ranuras. El campo eléctrico en P puede entonces escribirse para La Luz de cada una de las dos ranuras, usando w 2-f, E1 y

como

E1 = E10senwt

E2 = E20sen(wt + 6)

(35-3)

donde E10 y E20 son sus respectivas amplitudes y 8 es La diferencia de fase. El valor de 6 depende del ángulo 0, por lo que determinaremos ahora 6 como función de 0. En ci centro de Ia pantalla (punto 0), 8 = 0. Si La diferencia en longitud de trayectoria de P a S y S2 es d sen 0 = A/2, las dos ondas están exactamente fuera de fase por lo que 6 = ir (o 1800). Si d sen 0 = A, las dos ondas difieren en fase en 6 = 2-. En general, 6 está relacionada con 0 por 6

2r

dsenO A

0

8=

dsen9.

(35-4)

Para determinar E0 = E1 + E2, sumamos los dos escalares E1 y E2 que son funciones senoidales con diferencia de fase 8. Una manera de determinar Ia suma de E1 y E2 es usar un diagrama de fasores. (Ya usamos este procedimiento antes en ci capItulo 31.) Como se muestra en Ia figura 35-13, dibujamos una flecha de Longitud E0 para representar 814

CAPITULO 35

La naturaleza ondulatoria de Ia Iuz; interferencia

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la amplitud de E1 (ecuación 35-3); y La flecha de longitud E20, que dibujamos formando un ángulo fijo 8 con E10, representa Ia amplitud de E2. Cuando el diagrama gira con frecuencia angular w respecto al origen, las proyecciones de E10 y E20 sobre el eje vertical representan E1 y E2 como una funciOn del tiempo (véase Ia ecuación 35-3). Hacemos = E1 + E2, y que E00 sea Ia suma "vectorial" de E10 y E20; es Ia amplitud de Ia suma Ia proyecciOn de E00 sobre el eje vertical es justamente E0. Si las dos ranuras proporcionan igual iluminación, de tat manera que E10 = E23 = E0, entonces de la figura 35-13, el

E2

20

ngulo 4 = 6/2, y podemos escribir E0 = E00 sen (0)1

0

+

De Ia figura 35-13 podemos también ver que E00 = 2E0 cos

Diagrama de fasor para el patron de interferencia de doble ranura. FIGLIRA 35-13

= 2E0 cos

(35-5b)

Combinando las ecuaciones 35-5a y b, obtenemos sen (aft

E0 = 2E0 cos

(35-5c)

+

donde 6 est dado por Ia ecuación 35-4.También podemos derivar Ia ecuación 35Sc cuando E10 = E20, usando la identidad trigonométrica

sen A + sen B = 2 sen

A+B

AB

cos

Esto es, sumamos las dos ecuaciones 35-3 y obtenemos la ecuaciOn 35-5:

E0 = E1 + E2 = 2E0sen wi +

8

cos

8

No estamos realmente interesados en E como funciOn del tiempo, ya que para luz visible Ia frecuencia (10' a i0' Hz) es demasiado grande para ser notada. Estamos interesados en la intensidad promedio, que es proporcional a Ia amplitud al cuadrado E0. Cancelamos ahora Ia palabra promedio y hacemos que cx E) sea Ia intensidad en cualquier punto P a un ángulo 0 con Ia horizontal. Hacemos que 4 sea Ia intensidad en el punto 0 o centro de Ia pantalla donde 0 = 6 = 0, de manera que cx (E10 + E20)2 = (2E0)2. La razOn 4/Jo es entonces igual a Ia razOn de los cuadrados de las amplitudes del campo eléctrico en esos dos puntos, por lo que ,

O

Jo

=

=cos2

'-WOO

2

(2E0)

donde usamos Ia ecuaciOn 35Sb. AsI, la intensidad 4 en cualquier punto está relacionada a Ia intensidad mxima en el centro de Ia pantalla por

= 4cos

2

2 I

= /0cos2 I

(35-6)

dsenO \

A)

donde 6 fue dada por Ia ecuaciOn 35-4. Esta es Ia relación que buscábamos. De Ia ecuación 35-6 vemos que los mximos ocurren donde cos 6/2 = ± 1, que corresponde a 6 = 0, 2ir, 4ir, ; de Ia ecuación 35-4, 6 tiene esos valores cuando dsen6 = mA, m = 0,1,2,. Los mInimos ocurren donde 8 = , 3, 5r.....que corresponden a

dsenO = (m +

)A,

m = 0,1,2,.

Estos son los mismos resultados que obtuvimos en la sección 35-3. Pero ahora conocemos no solo Ia posición de los máximos y mInimos, sino que con Ia ecuaciOn 35-6 podemos determinar Ia intensidad en todos los puntos. NJ0 estamos sumando los vectores rea]es de campo eléctrico; ms bien, estamos sumando los "fasores" para obtener Ia amplitud, tomando en cuenta Ia diferencia de fase de las dos ondas.

SECCION 35-5

Intensidad en el patrOn de interferencia por doble ranura

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875

En Ia situación usual en que La distancia L a Ia pantalla desde las ranuras es grande en comparación con Ia separaciOn entre ranuras d(L >> d), si consideramos sOlo puntos P cuya distancia y desde el centro (punto 0) es pequefia comparada con L(y << L) (véase Ia figura 35-12), entonces y

sen U

=

De esto se infiere (véase Ia ecuación 35-4) que

2ir d

6=--7y. La ecuaciOn 35-6 toma entonces Ia forma

'0 =

\12

(ird Io[cosy)j

[y << L, d << L]

(35-7)

La intensidad I como funciOn de La diferencia de fase 6 está graficada en Ia figura 35-14. En Ia aproximación de Ia ecuaciOn 35-7, el eje horizontal podrIa también ser Ia posición y sobre la pantalla. El patrOn de intensiclad expresado en las ecuaciones 35-6 y 35-7, y graficado en la figura 35-14, muestra una serie de m6ximos de igual altura, y se basa en Ia suposición de que cada ranura (sola) iluminaria Ia pantalla uniformemente. Esto no es nunca totalmente cierto, como lo veremos cuando veamos Ia difracción en el siguiente capItulo. Veremos que el máximo central es más intenso y cada mximo sucesivo a cada lado es menos intenso.

'0

2 fuentes coherentes

Intensidad I corno función de Ia diferencia de fase 6 y Ia posiciOn sobre Ia pantalla y (suponiendo y << L). FIGURA 35-14

-

-4r -3r -2r I

-5 I

I

I

I

I

Ejemplo 35-5. Los dos puntos representan las antenas.

-, -

S

F- dH

I

I

-'ir

0

'ir

I

I

I

0

AL

-SAL -2AL -3AL -AL -AL 2d d 2d d 2d

FIGURA 35-15

2 fuentes

/ incoherentes

.

2d

2'ir

3ir

4'ir

I

AL

d

5ir

i.y(siy<
3AL 2AL SAL 2d

d

2d

Intensidad de una antena de radar. Dos antenas de radio estan localizadas cerca entre si, como se muestra en la figura 35-15, separadas por una distancia d. Las antenas radian en fase entre si, emitiendo ondas de intensidad 1 con longitud de onda A. (a) Calcule Ia intensidad neta como funciOn de U para puntos muy alejados de las antenas. (b) Para d = A, determine I y halle en qué direcciones es I un máximo y un minimo. (c) Resuelva Ia parte b cuando d = A/2. (a) Este arreglo es similar al del experimento de doble ranura de Young. Los puntos de interferencia constructiva y destructiva son aOn dados por las ecuaciones 35-2a y b, y Ia intensidad neta como funciOn de Ia posiciOn es dada por La

SOLUCION

ecuaciOn 35-6 o 35-7. (b) Hacemos d = A en La ecuación 35-6 y encontramos Ia intensidad,

I = /0cos2('irsenO). I es un máximo, igual a 1, cuando sen 9 = 0, 1 o -1, esto es, 0 = 0,90°, 1800 y 2700. 1 es

cero cuando sen 0 =

y -, para los cuales 0 = 30°, 150°, 210° y 330°. (c) Para

d = A/2, I es maximizado cuando 0 = 0 y 180° y minimizado para 90° y 270°.

876

CAPTULO 35


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Los arreglos de antenas son importantes cuando una señal direccional tiene que ser transmitida como en ci radar. Vimos en ci ejemplo 35-5b y c que Ia intensidad es maximizada a to largo de direcciones particulares y cae lentamente a cero para otros angulos. Un haz estrecho serIa (itil para concentrar Ia energIa del radar en un blanco y puede lograrse esto usando un arreglo con más de dos antenas. Si las fases de las antenas son variadas entre 51, entonces el patron de radiación cambiar de dirección sin tener que rearreglar fIsicamente las antenas. Un arreglo tal de antenas Se llama arreglo de fase dirigido electrónicamente.

* Intensidad ' ' cc Consideremos brevemente el patron de intensidad silas dos ranuras en Ia figura 35-12 son reempiazadas por dos fuentes incoherentes de igual intensidad (E10 = E20 = E0). No habrá patron de interferencia sino más bien una iluminaciOn uniforme de Ia pantaha. La diferencia de fase 6 entre las dos ondas varIa aleatoriamente en cualquier punto P. Debemos asI usar el promedio de tiempo sobre cos26/2 en la ecuaciOn 35-6, que es igual a . La intensidad, I de las dos fuentes incoherentes será 'inc = 'coh donde 'coh es Ia intensidad debido a dos fuentes coherentes en un mximo (Icoh es la I de Ia ecuaciOn 35-6). Este resultado, que se muestra como Ia linea rayada en Ia figura 35-14, es confirmado experimentalmente y se puede obtener de otra manera: cuando las fuentes son coherentes, sumamos sus amplitudes de onda y luego las elevamos a! cuadrado para obtener Ia intensidad 'coh

(E10 + E20)2.

Pero silas fuentes son incoherentes, cada onda produce una intensidad no re!acionada con la otra, y las dos intensidades se suman:

E0 + E0. Esto es, elevamos al cuadrado las amplitudes y luego las sumamos. Si E,0 = E20 = E0, entonces las dos relaciones anteriores son 'coh o

por lo que

(2E0)2 = 4E

'inc x E + E = 2E

'inc = 'coh que es nueStro resultado anterior.

Interferencia en pelIculas deiriadas La interferencia de Ia luz da lugar a muchos fenOmenos comunes como los brillantes colores reflejados en una burbuja de jabOn y en una capa delgada de aceite o de gasolina sobre el agua, figura 35-16. En estos y otros casos, los colores son ci resultado de Ia interferencia constructiva entre Ia iuz reflejada desde las dos superficies de Ia capa o pelicula delgada.

Patrones de interferencia en pelIcula delgada vistos en (a) burbujas de jabón, (b) pelIcula delgada de agua jabonosa, y (c) capa delgada de gasolina sobre agua. FIGURA 35-16

'b)

(a)

SECCION 35-6

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Interferencia en peilculas delgadas

(c)

811

Aire Ace

Agua

Para ver cómo sucede esto, consideremos una superficie lisa de agua en cuya parte superior se encuentra una pe!Icula delgada uniforme de otra sustancia, digamos una capa de aceite cuyo IndLce de refracción es menor que el del agua (en un momento yeremos porqué suponemos esto); véase Ia figura 35-17. Suponga por un momento que La luz incidente es de una sola Longitud de onda. Parte de Ia iuz incidente es reflejada en A sobre Ia superficie superior, y parte de Ia luz transmitida es reflejada en B sobre la superficie inferior. La parte reflejada en Ia superficie inferior debe viajar Ia distancia adicional ABC. Si esta diferencia de trayectorias ABC es igual a uno o a un nümero entero de longitudes de onda en Ia peilcula (A,,), Las dos ondas Liegarán a! ojo en fase e interferirán constructivamente. For tanto, Ia regiOn AC sobre Ia superficie de Ia peiIcula se verO brillante. Pero si ABC es igual a A, A,,, y asI sucesivamente, las dos ondas estarán exactamente fuera de fase, ocurrir interferencia destructiva, y eL Orea AC sobre La pe-

lIcula estará oscura. La longitud de onda A,, es la longitud de onda en Ia pelIcula:

A,, = A/n donde n es ci Indice de refracciOn en la peLIcuLa y A es Ia longitud de onda en ci vacIo. FIGURA 35-17

Luz reflejada desde

las superficies superior e inferior de una pelicula delgada de aceite sobre agua. El anáiisis supone que La luz toca Ia superficie perpendicularmente, pero se muestra aquI con un pequeno ángulo por claridad.

Cuando Luz blanca cae sobre una tat peiIcula, La diferencia de trayectoria ABC será igual a A,, (o mA,,, con m = un entero) para solo una Longitud de onda a un ángulo dado de vision. El color correspondiente a A (A en aire) se vera muy briliante. Con la luz vista segOn un Ongulo Ligeramente diferente, La diferencia de trayectoria ABC será más larga o mOs corta y un color diferente experimentarO interferencia constructiva. AsI, para una fuente ampliada (no puntual) que emita luz blanca, se verán una serie de colores brillantes prOximos entre sí. Las variaciones en ci espesor de Ia peilcula alterarOn también Ia diferencia de trayectoria ABC y por to tanto afectarOn ci color de Ia luz que es mOs fuertemente reflejada. Cuando una superficie curva de vidrio se coloca en contacto con una superficie plana de vidrio, figura 35-18, se ye una serie de anilios concéntricos cuando se iiumina desde arriba por medio de Luz monocromOtica. Estos se liaman anillos de Newton y son debidos a inferencia entre rayos reflejados por La superficie superior e inferior de Ia muy delgada capa de aire entre Las dos piezas de vidrio. Como esta capa (que es equivalente a una pelIcuLa delgada) aumenta de ancho desde el punto central de contacto hacia los bordes, Ia longitud de trayectoria adicional para ci rayo inferior (igual a BCD) varIa; donde es igual a cero, A, A, A, 2A, y asI sucesivamente, ella corresponde a interferencia constructiva y destructiva respectivamente; y esto da lugar a Ia serie de IIneas brillantes y oscuras vistas en ia figura 35-18b. El punto de contacto de las dos superficies de vidrio (A en Ia figura 35-18a) es oseuro en La figura 35-18b. Como Ia diferencia de trayectoria es aquI cero, esperamos que los rayos reflejados desde cada superficie estén en fase por to que este punto central deberIa 5cr brillante. Pero es oscuro, to que nos dice que los dos rayos deben estar cornpletamente fuera de fase. Esto puede suceder sOlo porque una de Las ondas sufre un cambio de fase de 1800 at reflejarse, correspondiente a cicLo. Ciertarnente, este y otros experimentos reveLan que un haz de luz reflejado por un material cuyo Indice de refraccion es mayor que el del material en el cual está viajando, cambia de fase en 180° o ciclo. 'Aunque Newlon dio una descripción elaborada de ellos, hablan sido primero observados y descritos por su conlemporáneo, Robert Hooke.

FIGURA 35-18

Aniilos

de Newton.

Ni' B' -

-

(a)

J (b)

818

CAPITULO 35


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a!

h12>fI

(a)

nl

(b)

a2 <

FIGURA 35-19 (a) El rayo refiejado cambia de fase en 1800 o ciclo si

n2 > n1,pero(b)no sin2 < n1.

Véase Ia figura 35-19. Si el Indice refractivo es menor que ci del material en que La luz est viajando, no ocurre cambio de fase.t [Esto se puede obtener de las ecuaciones de Maxwell. Ello corresponde a Ia reflexión de una onda que viaja a lo Fargo de una cuerda cuando ella alcanza el extremo; como vimos en La figura 15-19, si el extremo está fijo, La onda cambia de fase y el pulso se invierte, pero si el extremo está libre, no ocurre cambio de fase.] AsI, el rayo refiejado por Ia superficie curva arriba de Ia capa de aire en Ia figura 35-18a no sufre cambio de fase. El rayo reflejado en Ia superficie inferior, donde el haz en ci aire toca al vidrio, sufre un cambio de fase de 1800 ( A). Los dos rayos refiejados en ci punto de contacto A de las dos superficies de vidrio (donde La capa de aire tiende a un espesor cero) estarán entonces fuera de fase 180° ( A), y se presenta un punto oscuro. Otras bandas oscuras ocurrirán cuando Ia diferencia de trayectoria BCD en la figura 35-18a es igual a un ntmero entero de longitudes de onda. Las bandas brillantes ocurrirn cuando Ia diferencia de trayectoria sea A, A, y asI sucesivamente, porque ci cambio de fase en una superficic agrega efectivamente otra A.

FIGURA 35-20 (a) Los rayos de Iuz refLejados desde Las superficics supe-

rior e inferior de una cuña delgada de airc interfieren para producir bandas briliantes y oscuras. (b) PatrOn observado cuando Las placas de vidrio son ópticamente planas; (c) patron cuando Las pLacas no son planas. Véase ci ejemplo 35-6.

I'

PelIcula delgada de aire, en forma de cuña. Un alambre muy fino con 7.35 X iO3 mm de diámctro se coloca entre dos placas planas de vidrio, como

se indica en Ia figura 35-20a. Luz cuya longitud de onda en ci aire es de 600 nm incide (y es vista) perpendicularmente sobre Las placas y se yen una scrie de bandas brillantes y oscuras, figura 35-20b. Cuántas bandas de luz y oscuras habrá en este caso? El area prOxima al alambre, ,será brillante u oscura?

SOLUCION La peiIcula deigada es La cufia de aire entre las dos placas de vidrio. Debido a! cambio de fase en Ia superficie inferior, habrá una banda oscura cuando Ia

2t=mA,

m=0,1,2,.

Las bandas brillantes ocurren cuando 2t = (m + )A, donde m es un entero. En Ia posición del alambre, t = 7.35 X 10 m. En este punto habrá 2 I/A = (2)(7.35 x 106 m)/ (6.00 X 107m) = 24.5 longitudes de onda. Este es un "semientero", por lo que el area próxima al aiambre será brillante. Habrá un total de 25 IIneas oscuras a Lo largo de Las piacas, correspondientes a Longitudes de trayectoria de OA, 1A, 2A, 3A,

, 24A,

incluyendo aquella en ci punto de contacto A (m = 0). Entre ciias, habrá 24 LIncas brillantes más una en el extremo, o sea, 25. Las bandas briliantes y oscuras serfln rectas solo silas placas de vidrio son extremadamente planas. Si no to son, ci patrOn es disparejo, como en La figura 35-20c. Vemos asI una manera muy precisa de probar qué tan piana es una superficie de vidrio. Las superficies de lentes curvas pueden también probarse por precision en forma similar colocando Ia lente sobre una superficie piana de vidrio y observando los aniilos de Newton (figura 35-18b) por circuiaridad perfecta.

h

C B

(a)

"1

diferencia de trayectoria sea 0, A, 2A, 3A, y asI sucesivamente. Como los rayos de iuz son perpendiculares a las piacas, Ia longitud de trayectoria extra es igual a 2t, donde I es ci espesor de Ia breclia de aire en cualquier punto; Las bandas oscuras ocurren entonces donde

\

tNotese que en Ia figura 35-17, Ia Iuz que se refleja en ambas interfaces, aire-aceite y aceite-agua, sufriO un cambio de fase de A, ya que supusimos 'agua > nacette > 'aire Como los cambios de fase fueron iguales, no afectaron nuestro aná!isis.

SECCION 35-6

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Interferencia en peliculas delgadas

879

Si La cuña entre las dos placas de vidrio del ejemplo 35-6 se Ilena con alguna sustancia transparente que no sea aire, digamos agua, el patron se desplaza porque Ia longitud de onda de Ia luz cambia. En un material donde el Indice de refracciOn es n, La longitud de onda es A = A/n donde A es La longitud de onda en el vacIo (véase La ecuación 35-1). For ejemplo, si Ia cuña delgada del ejemplo 35-6 estuviese Ilena con agua, A = 600 nm/1.33 = 450 nm; en vez de 25 lIneas oscuras, habrIa 33. Cuando luz blanca (en vez de luz monocromática) incide sobre la cuña delgada de las figuras 35-18a o 35-20a, se yen una serie de franjas coloreadas. Esto es debido a que ocurre interferencia constructiva en Ia luz reflejada en localidades diferentes a lo largo de Ia cuña para longitudes de onda diferentes. Una diferencia tal en espesor es parte de Ia razOn por Ia que los colores brillantes aparecen cuando Ia luz es reflejada en una burbuja de jabOn o en una capa delgada de aceite o de gasolina sobre un estanque (figura 35-16). Qué longitudes de onda se yen más brillantes depende también del ángulo de visiOn, como vimos antes.


Espesor de una burbuja de jabón. Una burbuja de jabón aparece verde (A = 4U nm) en el punto de su superficie frontal más cercano al observador. Cuál es su espesor mInimo? Suponga n = 1.35.

SOLUCION La luz es reflejada perpendicularmente desde el punto sobre una perficie esférica más cercano al observador, figura 35-21. Por tanto, Ia diferencia de trayectoria es 21, donde t es el espesor de La pelIcula de jabón. La luz reflejada desde Ia primera (exterior) superficie sufre un cambio de fase de A (el Indice de refracciOn del jabOn es mayor que el del aire), mientras que en Ia segunda superficie (interior) esto no sucede. Por tanto, La luz verde es brillante cuando La diferencia de trayectoria minima es igual a A. AsI, 21 = A/2n, por lo que

n= 1.35.

A

= 4n

n=l.00

n=l.0O

HIH FIGURA 35-21

(540nm) = lOOnm. (4)(i.35)

Este es el espesor minimo. La superficie frontal aparecerIa también verde si 2t = 3A/2n, y, en general, si 21 = (2m + 1)A/2n, donde m es un entero. NOtese que el verde se ye en el aire, por lo que A = 540 nm (no A/n).

Ejemplo 35-7.

Una importante aplicaciOn de Ia interferencia de peliculas delgadas es en el recu-

brimiento de vidrio para hacerlo "no reflejante", particularmente para lentes. Una

FIGURA 35-22 Una lente recubierta. NOtese el halo de La luz reflejada en [a superficie frontal de Ia lente.

4 880

CAPITULO 35

superficie de vidrio refleja aproximadamente 4% de Ia luz incidente sobre ella. Las cmaras de buena calidad, los microscopios y otros instrumentos Opticos pueden contener de seis a diez lentes delgadas. La reflexiOn desde todas esas superficies puede reducir considerablemente el nivel de Ia luz, y reflexiones mUltiples producen una nebulosidad que reduce Ia calidad de Ia imagen. Reduciendo Ia reflexiOn, La transmisiOn se incrementa. Un recubrimiento muy delgado sobre las superficies de las lentes puede reducir reflexiones considerablemente: el espesor de Ia pelicula se escoge de manera que Ia luz (por lo menos para una longitud de onda) reflejada desde las superficies frontal y posterior de Ia pelicula interfiera destructivamente. La cantidad de reflexión en una frontera depende de Ia diferencia en Los indices de refracciOn de Los dos materiales. Idealmente, el material de recubrimiento debe tener un indice de refracciOn que es la media geométrica de los Indices para aire y vidrio, de manera que Ia cantidad de reflexión en cada superficie sea aproximadamente igual. Asi entonces, Ia interferencia destructiva puede ocurrir casi completamente para una longitud de onda particular dependiendo del espesor del recubrimiento. Longitudes de onda cercanas interferirin por Lo menos parcialmente en forma destructiva, pero es claro que un solo recubrimiento no puede eliminar las reflexiones para todas Las longitudes de onda. Sin embargo, un solo recubrimiento puede reducir la reflexiOn total del 4 al 1% de La Iuz incidente. A menudo, eL recubrimiento se diseña para eliminar el centro del espectro reflejado (aproximadamente 550 nm). Los extremos del espectro (rojo y violeta) no se reducirán mucho. Como una mezcla de rojo y vioLeta genera morado, La luz que se ye reflejada desde tales lentes recubiertas es morada (figura 35-22). Las lentes que contienen dos o tres recubrimientos separados pueden reducir más efectivamente un rango más amplio de longitudes de onda reflejantes.


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Revestimiento no reflectivo. ,Cuál es el espesor de un recubrimiento Optico de MgF2, cuyo Indice de refracciOn es n = 1.38, que se disefla para eliminar Ia luz reflejada en longitudes de onda centradas en 550 nm cuando ésta mcide normalmente sobre vidrio con n = 1.50?

Recubrimiento

SOLUCION La figura 35-23 muestra un rayo incidente y dos rayos reflejados en las superficies frontal y posterior del recubrimiento sobre las lentes. Los rayos no están dibujados totalmente perpendiculares a Ia lente para poder ver cada uno de ellos. Para eliminar Ia reflexión, queremos que Los rayos reflejados 1 y 2 estén longitud de onda fuera de fase entre si de manera que interfieran destructivamente. Ambos rayos, experimentarl un cambio de fase de A cuando se reflejan, respectivamente, de las superficies frontal y posterior del recubrimiento. Por tanto, queremos que La distancia extra viajada por el rayo 2 ( = 2t) sea un nOmero semientero de longitudes de onda. Es decir, 2/ = (m + )A,1, donde m es un entero y A, es La longitud de onda dentro del recubrimiento de MgF2. Se escoge usualmente el espesor miriimo (m = 0) porque Ia interferencia destructiva ocurriré entonces sobre el ángulo más ampLio. Entonces A0

=

A

=

(550nm) = 99.6nm. = (4)(1.38)

Vidrio

Aire 2

Rayo transmitido

a FIGURA 35-23 El rayo incidente de luz es parcialmente reflejado en La superficie frontal de una lente recubierta (rayo 1) y de nuevo es parcialmente reflejado en La superficie posterior del recubrimiento (rayo 2), con La mayor parte de Ia energia pasando como el rayo transmitido hacia el vidrio.

Interferómetro de Michelson Un instrumento Otil que implica interferencia de ondas es el interferómelro de Michelson (figura 35_24),t inventado por el norteamericano Albert A. Michelson (secciOn 33-2). Luz monocromátjca proveniente de un solo punto sobre una fuente extendida se muestra incidiendo sobre un espejo M5 semiplateado. Este espejo divisor de haz M5 tiene una capa delgada de plata que refleja sOlo Ia mitad de Ia luz que ilega a éi, por lo que Ia mitad del rayo pasa hacia un espejo fijo M2, desde donde es reflejado. La otra mitad es reflejada por M5 hacia un espejo M1 que es móvil (por medio de un tornillo de cuerda fina), donde también es reflejado de regreso. Al regresar, parte del rayo 1 pasa por M5 y liega al ojo; y parte del rayo 2, al regresar, es reflejado por M hacia ci ojo. Si Las dos longitudes de las trayectorias son idénticas, Los dos rayos coherentes que entran al ojo interfieren constructivamente y puede verse un punto brillante. Si el espejo mOvil se mueve una distancia A/4, un rayo viajará una distancia adicional igual a A/2 (porque viaja de ida y vuelta sobre La distancia A/4). En este caso, los dos rayos interferirán destructivamente y se vera un punto oscuro. Conforme M1 se mueve adicionalmente, recurrirá ci briiio (cuando La diferencia de trayectorias es A), luego oscuridad, y asi sucesivamente. Mediciones muy precisas de longitud pueden hacerse con un interferOmetro. EL movimiento del espejo M1 en solo A produce una clara diferencia entre briiio y oscuridad. Para A = 400 nm, esto significa una precisiOn de 100 nm o 10 mm. Si ci espejo M1 es inclinado muy ligeramente, Los puntos brillantes u oscuros se yen en vez de una serie de lineas o "franjas" brillantes y oscuras. Contando ci nUmero de franjas, o una fracción de ellas, se pueden efectuar mediciones extremadamente precisas. Michelson vio que ci interferómetro podia usarse para determinar Ia longitud del metro estandar en términos de Ia Jongitud de onda de una luz particular. En 1960, se escogió ese estándar como una linea naranja particular en ci espectro del kryptOn-86 (átomos de krypton con masa atOmica 86). Mediciones cuidadosas repetidas del viejo metro estándar (La distancia entre dos marcas sobre una barra de pLatinoiridio que se mantiene en Paris) fueron hechas para establecer que 1 metro es igual a 1,650,763.73 longitudes de onda de esta luz, que fue definida como el metro. En 1983, el metro fue redefinido en términos de La velocidad de La Luz (sección 1-4).

FIGURA 35-24 Michelson.

InterferOmetro de M1 (espejo móvil)

Fuente

I

M5

M2

'1

(espejo fijo) Ojo

11-lay otros tipos de interferómetros, pero el de Michelson es el más conocido.

* SECCION 35-7

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lnterferOmetro de Michelson

881

*

Intensidad luminosa Aunque La intensidad de Ia luz, como para cualquier onda electromagnética, es medida por el vector Poynting en V/m2, y Ia salida total de potencia de una fuente puede ser medida en watts, (el flub radiante), tales elementos no son adecuados para medir la sensaciOn visual que Ilamamos brillo. La razón es que aqul estamos realmente interesados solo en el espectro visible, mientras que las dos cantidades antes mencionadas toman en cuenta todas las longitudes de onda presentes. Es importante también tomar en cuenta Ia sensibilidad del ojo frente a diferentes longitudes de onda; por ejemplo, el ojo es ms sensible en La porciOn central del espectro (amarillo, 550 nm) y asI una fuente amarilla aparecerIa más brillante que una roja o una azul con la misma salida de potencia. Esos factores se toman en cuenta en Ia cantidad flujo luminoso, F,, cuya unidad es el lumen (Im). Un lumen se define experimentalmente como el brillo de una superficie de platino de 1/60 cm2 en su temperatura de fusion (1770°C). Es equivalente a 1/683 watts de luz de 555 nm. Como el flujo luminoso de una fuente puede no ser uniforme en todas direcciones, definimos Ia intensidad luminosa I, como el flujo luminoso por ángulo sólido unitario (estereorradián). Su unidad es La candela (cd) donde 1 cd = 1 lm/sr. La iluminancia, E,, es el flujo luminoso incidente sobre una superficie por area unitaria de Ia superficie: E, = F,/A. Su unidad es el lumen por metro cuadrado (lm/m2) y es una medida de La iluminación que cae sobre una superficie.t No entraremos en mayor detalle en este tema. Lo hemos presentado aquI ya que la intensidad luminosa, medida por Ia candela en unidades SI, es una de las siete cantidades básicas del SI. (Véase la secciOn 1-4 y Ia tabla 1-5.) Las otras seis (y sus unidades) ya las hemos tratado: longitud (m), tiempo (s), masa (kg), corriente eléctrica (A), ternperatura (K). y cantidad de sustancia (mol). Iluminación de un foco de Iuz. El brillo de un tipo particular de u:eo ue ivu vv se clasifica como de 1700 Im. Determine (a) Ia intensidad luminosa y (b) la iluminancia a una distancia de 2.0 m. Suponga que La potencia luminosa es uniforme en todas direcciones.

SOLUCION

(a) Una esfera corresponde a 41T Sr. Por tanto, I, = 1700 lm/4n

sr = 135 cd. Esta no depende de Ia distancia. (b) En d = 2.0 rn de la fuente, el flujo luminoso por area unitaria es

E1 =

F,

=

17001m

=34lm/m. 2

4rd2 (4ir)(2.Om)2 La iluminancia decrece con el cuadrado de la distancia.

Interfererida

A ESO LU C ION

DE PRO BLEMAS LOS efectos

t

mt CIfCfl: :encia depcnden del arribo simultá-

riCc de iiC'OS U más Cnd:a4 a! mismo punto en el espacio.

La interte rencia constructiva ocurre cuando ilegan ondas en fase er.itre SI: una cresta de una onda liega a! mismo tiem ue la cresta de otra onda. Las amplitudes de las --

or

IS SC Stiman

entonces para formar una amplitud mafor. La interferencia constructiva también ocurre cuando Ia Jife rencia de fase es exactamente una longitud de )flC3 h en tera o cualquier mültiplo entero de una longitud de

da entera: IA, 2A, 3A, La -intb' rferencia destructiva ocurre cuando una cresta de un a ond.i Ilega a! mismo tiempo que un valle de otra on-

da. I

de manera que Ia amplitud total se reduce aJ cerc si la dos amplitudes son iguales. La interferencia iest i uctiva ocurre siempre que Ia diferencia de fase es un nOmero medioentero de longitudes de onda. Asi, Ia atnplitud total será cero si dos ondas idénticas liegan una media Ion-

gitud de onda fuera de fase, o (m + )A fuera de fase

cuando m es un entero. Para interferencia en pelIcula delgada, no ol vide un desplazamiento de fase de media longitud de onda adicional que se presenta cuando Ia Iuz se refleja desde U 1 medio Opticamente más denso (pasando de un medio renor a otro con mayor Indice de refracciOn).

amplitudes se suman, pero son de signo opuesto,

La unidad britinica es el pie-candela, o lumen por pie cuadrado.

882

CAPiTIJLO 35

La naturaleza ondulatoria de Ia luz; interferencia

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Resumen La teorIa ondulatoria de Ia luz es fuertemente soportada por las observaciones de que Ia Iuz exhibe interferencia y difracción. La teorIa ondulatoria también explica Ia refracción de Ia luz y el hecho de que Ia Iuz viaja más lentamente en sólidos transparentes y lIquidos que en el aire. La longitud de onda de Ia Iuz en un medio con Indice de refracciOn n es

sen0 = (m + donde m es un entero (0, 1, 2, ). La intensidad de Ia Iuz 1 en cualquier punto en un patrOn de interferencia de doble ranura puede calcularse usando un diagrama de fasores, el cual predice que

= A-,

= i cos2

n

donde I es Ia intensidad en 0 = 0 y el ángulo de fase 6 es donde A es la longitud de onda en el vacIo. La frecuencia no cambia.

El experimento de Ia doble ranura de Young demostró claramente Ia interferencia de la luz. Los puntos brillantes observados en el patrOn de iriterferencia fueron explicados como interferencia constructiva entre los rayos o haces que pasan por las dos ranuras, donde los haces difieren en las longitudes de las trayectorias en un nOmero entero de longi-

tudes de onda. Las areas oscuras entre ellos son debidas a interferencia destructiva cuando las longitudes de las trayectorias difieren en A, A, etc. Los ángulos 0 en que ocurre Ia interferencia constructiva están dados por

sen0 = mj donde A es Ia longitud de orida de la luz, d es Ia separaciOn de las ranuras, y m es un entero (0, 1, 2, ). La interferencia destructiva ocurre en angulos 0 dados por

8=

2lTd

sen0.

Dos fuentes de luz son perfectamente coherentes si las ondas que salen de ellas son senoidales, de Ia misma frecuencia, y mantienen Ia misma relaciOn de fase en todo tiempo. Si las ondas de Iuz de las dos fuentes tienen una fase aleatoria entre si en el tiempo (como dos focos de luz incandescentes), las dos fuentes son incoherentes.

La luz reflejada de las superficies frontal y posterior de una pelIcula delgada de material transparente puede interferir constructiva o destructivamente, dependiendo de la diferencia de trayectoria óptica. Un cambio de fase de 180° o ocurre cuando Ia luz se refleja en una superficie donde el Indice de refracciOn aumenta. Tal interferencia de pelIcula delgada tiene muchas aplicaciones prácticas, como el recubrimiento de lentes y el uso de los anillos de Newton para revisar Ia uniformidad de las superficies de vidrios.

Prequntas Es aplicable el principio de Huygens a las ondas sonoras? (,A las ondas de agua? LCuOl es Ia evidencia de que Ia luz posee energia? LPor qué Ia luz es descrita a veces como rayos y a veces como ondas? Podemos ofr sonidos airededor de las esquinas pero no podemos ver airededor de ellas, y sin embargo el sonido y Ia luz son ondas. Explique Ia diferencia. ,Puede Ia longitud de onda de Ia luz set determinada por mediciones de reflexiOn o de refracciOn? Luz roja monocromática incide sobre una doble ranura y el pa-

En cuánto deben diferir las longitudes de las ondas de dos rayos de Iuz de La misma fuente para interferir destructivamente? Si el experimento de Ia doble ranura de Young se efectuase sumergido en agua, ,cOmo cambiarIa el patrOn de franjas? ,Por qué Ia Iuz de los dos faros de un auto distante no produce un patron de interferencia? ,Por qué las franjas de interferencia que se notan sOlo en una pelIcula delgada como una burbuja de jabOn no se notan en una pieza gruesa, digamos, de vidrio? Por qué están los anillos de Newton (figura 35-18) más cerca entre si lejos del centro?

distancia. Explique cómo cambia el patrOn de franjas si La fuente de luz roja es reemplazada por una fuente de luz azul. Suponga que luz blanca incide sobre las dos ranuras de Ia figura

cuando se observan bajo luz reflejada. Qué longitudes de onda supone usted que el diseflo del recubrimiento debe eliminar por completo? Una gota de aceite sobre un estanque se ye brillante en sus bordes donde su espesor es mucho menor que las longitudes de onda de La luz visible. j,Qué puede usted decir acerca del Indice de refracciOn del aceite? * 16. Describa cómo un interferOmetro de Michelson podrIa usarse

trón de interferencia se ye sobre una pantalla situada a cierta

35-7, pero una ranura está cubierta pot un filtro rojo (700 nm) y Ia otra por un filtro azul (450 nm). Describa el patrOn sobre Ia pantalla.

Compare el experimento de Ia doble ranura para ondas acOsticas con el de ondas de luz. Comente sobre las similitudes y diferencias.

Algunas lentes recubiertas se yen de color amarillo verdoso

para medir el mndice de refracciOn del aire.

Preguntas

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883

Problemas (II) Obtenga La Ley de reflexiOn, esto es, que el angulo de inciden-

El punto central sobre La pantalla, en vez de ser un máximo, es oscuro. LCuál es el espesor (mInimo) del plástico?

cia es igual al ángulo de reflexión desde una superficie plana, usando el principio para ondas de Huygens.

(I) Luz monocromática que incide sobre dos ranuras separadas 0.016 mm produce La franja de quinto orden con un nguIo de 9.8°. ,Cuál es La longitud de onda de La luz usada? La franja de tercer orden de 610 nm es observada a un angulo de 18° cuando Ia luz incide sobre dos ranuras estrechas. ,Que separaciOn hay entre las ranuras? Luz monocromática incide sobre dos ranuras muy estrechas, separadas 0.048 mm entre sI. Franjas sucesivas sobre una pantalla a 5.00 m de distancia están a 6.5 cm cerca del centro del patron. ,CuáL es La longitud de onda y Ia frecuencia de Ia luz incidente? (II) Un haz paralelo de Iuz de un laser HeNe, con una Longitud de onda de 656 nm, incide sobre dos ranuras muy estrechas separadas a 0.060 mm. j,Qué separadas están las franjas en el centro del patron si Ia pantalla está a 3.6 m de distancia? (II) Un haz de luz de 680 nm de longitud de onda incide sobre dos ranuras y produce un patron de interferencia en el que La franja de cuarto orden está a 38 mm de Ia franja central sobre

(I) Si una ranura en Ia ligura 35-12 es cubierta, ,por qué factor cambia Ia intensidad en el centro de Ia pantalla? (II) Demuestre que el ancho angular total a medio máximo del pico central en un patrOn de interferencia de doble ranura está dado por O = A/2d si A << d. (II) Suponga que una ranura de un aparato de doble ranura es más ancha que La otra de manera que Ia intensidad de Ia luz que pasa por ella es de magnitud doble. Determine La intensidad 1 como funciOn de Ia posición (0) sobre Ia pantalla para luz coherente. (III) (a) Considere tres fuentes de luz coherente igualmente espaciadas y de igual intensidad (como si agregara una tercera ra-

nura a las dos de la figura 35-12). Use el método de fasores

para obtener La intensidad como funciOn de La diferencia de fase 8 (ecuaciOn 35-4). (b) Determine Las posiciones de máximos y mInimos.

(III) Aplique el método de fasores a cuatro ranuras paralelas separadas a distancias iguales d. Suponga luz coherente y determine Ia intensidad como función de La posiciOn sobre Ia pantaha y halle las posiciones de los maximos y mInimos.

una pantaLLa situada a 2.0 m de distancia. Cuál es La separaciOn de las dos ranuras?

(II) Si Iuz de 720 nm y 660 nm pasa por dos ranuras separadas 0.58 mm, qué separadas están las franjas de segundo orden para esas dos longitudes de onda sobre una pantalla situada a 1.0 m de distancia? (II) Suponga que una pieza delgada de vidrio se coloca frente a Ia ranura inferior en Ia figura 35-7 de manera que dos ondas entran a las ranuras 180° fuera de fase (figura 35-25). Describa en detalle el patrOn de interferencia sobre Ia pantalla.


(II) En un experimento de doble ranura se encuentra que luz azul con longitud de onda de 460 nm da un maximo de segundo

orden en cierta localidad sobre La pantalla. ,Qué longitud de onda de luz visible tendrIa un mInimo en Ia misma localidad?

(II) Un haz de luz de longitud de onda de 480 nm en el aire incide sobre dos ranuras separadas 6.00 X 10 mm. Las ranuras están inmersas en agua, asI como lo está una pantalla de observaciOn situada a 40.0 cm de distancia. ,Qué tan separadas están las franjas sobre Ia pantalla? (III) Una hoja muy delgada de plástico (n = 1.60) cubre una ranura de un aparato de doble ranura iluminado por luz de 640 nm. 884

CAP1TULO 35

(I) Si una burbuja de jabón tiene 120 nm de espesor, qué color se vera en el centro cuando esté ilurninada normalmente por Iuz blanca? Suponga que n = 1.34. jQué tan separadas estan las franjas oscuras en el ejemplo 35-6 si Las placas de vidrio son cada una de 26.5 cm de longitud? Cual es el espesor mInimo (>0) de una pelicula de jabón (n = 1.34) que se verIa negra si se ilumina con luz de 480 nm? Suponga que hay aire en ambos lados de La pelIcula de jabOn. (II) Una lente se ye amarilla verdosa (A = 570 nm es La mas intensa) cuando luz blanca se refleja de ella. ,Que espesor mInimo de recubrimiento (n = 1.28) piensa usted que se usO en taL Lente (vidrio), y porqué? (II) Un total de 28 anillos de Newton brillantes y 28 oscuros (sin contar el punto oscuro en el centro) se observan cuando luz de 650 nm incide normalmente sobre una lente pIano convexa que descansa sobre una superficie piana de vidrio (figura 35-18). Qué más grueso es ci centro que Los bordes?

(II) Una hoja fina de metal separa un extremo de dos piezas de vidrio Opticamente piano, como en Ia figura 35-20. Cuando luz de longitud de onda de 670 nm incide normalmente, se observan 25 lIneas oscuras (con una en cada extremo). (,De qué grueso es La hoja?

(II) ,Qué grueso (mInimo) debe tener Ia capa de aire entre dos superficies planas de vidrio si éste debe verse brillante cuando Luz de 480 nm incida normalmente sobre 81. (,Cuál debe ser el espesor para que se yea oscuro? (II) Una pelIcuia delgada de alcohol (n = 1.36) se encuentra sobre una placa plana de vidrio (n = 1.51). Cuando Iuz monocromatica, cuya longitud de onda puede cambiar, incide normalmente, ha luz reflejada es un mInimo para A = 512 nm y un maximo para A = 640 nm. CuaI es el espesor de La peilcula?


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(II) Cuando un aparato de anillos de Newton (figura 35-18) es sumergido en un lIquido, el diámetro del octavo anillo oscuro decrece de 2.92 cm a 2.60 cm. LCuál es el Indice de refracciOn del lIquido? (II) Una lente piano convexa de lucita de 3.4 cm de diámetro es

al espejo M1

Recipiente de vidrio Fuente

colocada sobre una pieza plana de vidrio como en Ia figura

Ms{

35-18. Cuando Iuz de 580 nm incide normalmente sobre ella se observan 48 anillos brillantes, el (iltimo justo en el borde. LCuáI es el radio de curvatura de Ia superficie de Ia lente, y La longitud focal de la lente?

FIGURA 35-26

Demuestre que el radio r del anillo oscuro m_m0 de Newton, visto directamente desde arriba (figura 35-18), está dado por r = \/mAR, donde R es el radio de durvatura de Ia super-

M2

1.30cm Problema 32.

de 1.30 cm de profundidad. Cuando se permite que un gas Ilene lentamente el recipiente, se cuentan un total de 186 franjas oscuras pasando por una lInea de referencia. La Iuz usada tiene una longitud de onda de 610 nm. Calcule ci Indice de refracciOn del gas en su densidad final, suponiendo que ci interferOmetro está en el vaclo. (III) Las lIneas D amarillas de sodio tienen longitudes de onda de 589.0 y 589.6 rim. Cuando éstas se usan para iluminar un interferOmetro de Michelson, se nota que las franjas de interfe-

ficie curva del vidrio y A es Ia longitud de onda de Ia luz usada. Suponga que el espesor de Ia capa de aire es mucho menor que R en todos los puntos y que r << R.

Use el resultado del problema 27 para mostrar que Ia distancia entre anillos oscuros adyacentes de Newton es AR

rencia desaparecen y reaparecen periOdicamente cuando se mueve el espejo M1. Por qué sucede esto? ,,Cuánto debe mo-

4m para el m_m0 aniUo, suponiendo m >> 1. (III) Un recubrimiento Optico simple reduce Ia reflexión a cero para A = 550 nm. ,Por qué factor se reduce Ia intensidad por el recubrimiento para A = 450 nm y A = 650 nm en comparación con recubrimiento nub? Suponga incidencia normal.

verse el espejo entre una desapariciOn y Ia siguiente?

*

(I) La iluminancia de Ia luz solar directa sobre Ia Tierra es aproximadamente de iO lm/m2. Estime ci fiujo luminoso y Ia intensidad luminosa del Sob.

*

(II) Cuál es Ia longitud de onda de Ia luz que entra a un interferOmetro si se cuentan 344 franjas brillantes cuando el espejo móvil se mueve 0.125 mm?

,Qué tan lejos debe moverse ci espejo M1 en un interferOmetro de Michelson para que pasen 750 franjas de luz de 589 nm

por una lInea de referenda? Uno de los haces de un interferOmetro (figura 35-26) pasa por un pequefio recipiente de vidrio que contiene una cavidad

(II) La eficiencia luminosa de un foco es Ia razOn del flujo luminoso a La entrada de potencia eléctrica. (a) i,Cuál es Ia eficien-

cia luminosa de un foco de 100 W y 1700 lm? (b) i,Cuántas lámparas fluorescentes de 40 W y 60 lm/W serian necesarias para producir una iluminancia de 250 im/m2 sobre el piso de una fábrica de area 25 m X 30 m? Suponga que las luces estOn a 10 m por arriba del piso y que La mitad de sus flujos liegan a éste.

Problemas renerales Un haz de luz de longitud de onda A incide sobre una pantalla que contiene dos ranuras separadas una distancia d, con un angulo 0 a Ia normal. Determine el ángulo 0, en que ocurre el máximo de orden mésimo. Las ondas de televisiOn y de radio pueden reflejarse de montaflas cercanas o por aeroplanos, y las reflexiones pueden interferir con Ia senal directa de Ia estación. (a) Determine qué tipo de interferencia ocurrirá cuando senales de televisiOn de 75 MHz Ilegan a un receptor directamente desde una estaciOn lejana, y son reflejadas por un aeroplano situado a 118 m directamente arriba del receptor. (Suponga un cambio de fase de A en Ia senal al reflejarse ésta.) (b) Qué tipo de interferencia ocurrirO si el avión está 22 m mas cerca del receptor?

Una estación de radio que opera a 102.1 MI-li transmite desde dos antenas idénticas a La misma elevación pero separadas 7.0 m de distancia d horizontal, figura 35-27. Una seflal maxima se encuentra a lo largo de Ia lInea media, perpendicular a d en su punto medio y extendiéndose horizontalmente en ambos sentidos. Si Ia IInea media se toma a 0°, en qué otro angubo(s) 0 se detecta una seflal mOxima? .Una señal minima? Suponga que todas las mediciones se hacen a mOs de 7 m de las torres de las antenas.

Antenal

0

LInea media

d Antena 2


Problemas generales

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885

Un haz de luz de longitud de onda igual a 690 nm pasa por dos ranuras estrechas separadas 0.60 mm entre sI. La pantalla está a 1.50 m de distancia. Una segunda fuente de longitud de onda desconocida produce su franja de segundo orden 1.13 mm más cerca a! mOximo central que Ia Iuz de 690 nm. ,CuáI es Ia longitud de onda de Ia luz desconocida?

Cuando una particula cargada, como un proton, viaja a través de un medio transparente con una rapidez v mayor que Ia rapidez de La luz en ese medio (v = c/n), emite rediaciOn electromagnetica (luz) Ilamada radiación Cerenckow. Esta es Ia equivalente electromagnética de una onda de choque (véase La secciOn 16-8) y est-á confinada a un ángulo particular que de-

pende de v y v. Determine este ángulo para un protOn que

,Cuál es el Indice de refracciOn de un material claro si un espesor mInimo de él de 150 nm, al colocarlo sobre vidrio, es necesario para reducir Ia reflexiOn a casi cero cuando luz de 600 nm incide normalmente sobre éI? (,Se tiene una opciOn para una respuesta?

viaja a 2.21 x 108 m/s en un plástico cuyo Indice de refracciOn es de 1.52. Cuál es el espesor mInimo (no cero) para Ia capa de aire entre dos superficies planas de vidrio si el vidrio debe aparecer oscuro cuando luz de 640 nm incide normalmente? Cuál es el espesor si el vidrio debe aparecer brillante?

Un haz de Iuz monocromática de longitud de onda variable incide normalmente sobre una hoja delgada de pelIcula plástica en el aire. La luz reflejada es un mInimo sOlo para A = 510 nm y A = 680 nm en el espectro visible. (,Cuál es el espesor de Ia pelicula (n = 1.58)?

El espejo de Lloyd proporciona una manera de obtener un

patron de interferencia de doble ranura con una sola fuente, de manera que La luz es coherente; como se muestra en Ia figura 35-29, Ia luz que se refleja del espejo pIano parece venir de Ia imagen virtual de La ranura. Describa en detalle el patron de interferencia sobre Ia pantalla.

En un experimento en un tanque de agua, las ondas de agua son generadas con sus crestas separadas a cada 3.5 cm y paralelas. Estas pasan a través de dos aberturas a 6.0 cm en un largo tablero de madera. Si el extremo del tanque está 2.0 m más allá del tablero, LdOnde deberla usted estar con respecto a Ia direcciOn "recta a través" para recibir poca o ninguna acciOn de las olas? Compare el espesor mInimo necesario para un recubrimiento antirreflector (n = 1.38) aplicado a una lente de vidrio para eliminar reflexiones (a) azules (450 nm), o (b) rojas (700 nm) para luz que incide normalmente. Suponga que usted ye Ia luz trarirmitida a través de una pelIcuIa delgada sobre una pieza plana de vidrio. Dibuje un diagrama, similar at de las figuras 35-47 o 35-23, y describa las condiciones requeridas para máximos y mInimos. Considere todos los valores posibles del Indice de refracciOn. Analice el tamaño relativo de los mInimos comparados con los máximos y el cero. Los aviones de combate Stealth están diseflados para no reflejar el radar, cuya longitud de onda es tIpicamente de 2 cm, usando un recubrimiento antirreflejante. Despreciando cualquier cambio en longitud de onda en el recubrimiento, estime el espesor de éste. Espejos muy reflectivos para una longitud de onda particular pueden fabricarse alternando muchas capas de materiales transparentes de Indices de refracciOn n1 y n2 (1 < n1 < n2). ,Cules deben ser los espesores mInimos d1 y d2 de Ia figura 35-28, en términos de Ia longitud de onda A incidente, para maximizar Ia reflexión?

\

j

S

I-

CAPITLILO 35

/

Imagen virtual de Ia ranura

FIGURA 35-29

Espejo

Pantalla

Problema 49.

Considere el arreglo de antenas del ejemplo 35-5, figura 35-15. Sea d = A/2, y suponga que las dos antenas están ahora 180° fuera de fase entre si. Encuentre las direcciones para interferencias constructiva y destructiva, y compárelas con el caso en que las fuentes están en fase. (Esos resultados ilustran Ia base de las antenas direccionales.) Suponga que los espejos en un interferOmetro de Michelson estan perfectamente alineados y que las longitudes de las trayectorias a los espejos MT y M2 son idénticas. Con esas condiciones iniciales, un observador ye un máximo brillante en el centro del area de observaciOn. Ahora uno de los espejos es movido una centro del area de observaciOn como funciOn de x, Ia distancia que el espejo se moviO desde las condiciones iniciales.

d2


886

0

distancia x. Determine una fOrmula para Ia intensidad en el

ni d1

Fuente


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Luz paralela coherente de un laser, que

actOa como una fuente casi puntual, ilumina estas tijeras. En vez de una sombra nItida, se tiene un patron de difracciOn, que representa una fuerte confirmaciOn de La teorla ondulatonia de Ia luz. Los patrones de difracción se desvanecen cuando se usan fuentes extendidas de Iuz, por lo que no se yen, si bien un examen cuidadoso de las sombras manifestará un aspecto borroso. Examinaremos Ia difracción por una sola ranura, y cOmo afecta el patron de doble ranura, asI como las rejiLLas de difracciOn y los rayos X. Veremos cOmo Ia difnacciOn afecta at

resoluciOn de los instrumentos ópticos, y que La resoluciOn ültima nunca puede sen mayor que Ia longitud de onda de Ia radiaciOn usada. Finalmente, estudiaremos La polanizaciOn de La luz.

Difracción y polarizaciOn experimento de Young de Ia doble ranura proporcionO una base firme a la teona ondulatoria de Ia luz. Pero su completa aceptación surgió solo de los estudios sobre La difracción realizados mOs de una década después. Ya hemos estudiado brevemenite Ia difracciOn con respecto a las olas (secciOn 15-11) asI como a Ia luz (secciOn 35-1) y hemos visto que ella se refiere a la dispersiOn o Ia desviación de las ondas alrededor de los bordes. Analizaremos ahora Ia difracciOn con más detalle, incluyendo sus importantes efectos prOcticos de limitar la cantidad de detalle o resolución que puede obtenerse con cualquier instrumento Optico incluidos los telescopios, las cOmaras, y el ojo.

El

Una parte deJ estudio de la teorIa de las ondas se debe a Augustin Fresnel

(1788-1827) quien en 1819 presentó a La Academia Francesa una teorIa ondulatoria de Ia luz que predecIa y explicaba los efectos de interferencia y difracción. Casi inmediatamente después Siméon Poisson (1781-1840) seflalO una inferencia contraintuitiva: de acuerdo con La teorfa ondulatoria de Fresnel, si La Iuz de una fuente puntual cayese sobre un disco sOlido, parte de Ia luz incidente serIa difractada alrededor de los bordes e interferirIa de forma constructiva en el centro de Ia sombra (figura 36-1). Tal predicciOn parecIa muy improbable. Pero cuando el expenimento lo llevó a cabo François Arago, se vio el punto briLlante exactamente en el centro de la sombra (figura 36-2a). Esto fue una fuerte evidenicia en favor de Ia teorla ondulatoria.

SombraJ Disco' sOlidc

Punto bnillante FIGURA 36-1

Si

La Luz es una onda,

un punto bnillante aparecerá en el centro de Ia sombra de un disco sOlido iluminado por una fuente puntual de luz monocromOtica.

881

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La figura 36-2a es una fotografla de Ia sombra arrojada por una moneda usando una fuente (casi) puntual de luz, en este caso, un laser. El punto brillante está claramente presente en el centro. NOtese que hay también franjas brillarites y oscuras más alla de la sombra que se parecen a las franjas de interferencia de una dobJe ranura. Ciertarnente, son debidas a Ia interferencia de ondas difractadas airededor del disco, y el conjunto se llama patron de difracción. Un patron de difracciOn existe airededor de cualquier objeto con bordes agudos iluminado por una fuente puntual, como se muestra en la figura 36-2b y c. No somos siempre conscientes de Ia difracción porque Ia mayor parte de las fuentes de luz en Ia vida diana no son puntos, por lo que la luz de partes diferentes diluye el patron.

Difracción por una sola ranura Para ver cOmo surge un patrOn de difracción, analizaremos el importante caso de Ia Iuz monocromática que pasa a través de una ranura delgada. Supondremos que rayos paralelos (ondas planas) de luz inciden sobre Ia ranura de ancho a, y pasan a través hacia una pantalla de observación situada muy lejos. Si Ia pantalla de observación no está muy lejos, se pueden usar lentes para hacer paralelos Los rayos.t Como sabemos del estudio de las olas y del principio de Huygens, las ondas que pasan por la ranura se dispersan en todas direcciones. Examinaremos ahora cOmo Jas ondas que pasan por diferentes partes de Ia ranura interfieren entre si.

Rayos paralelos de luz monocromática pasan por Ia rariura delgada como se muestra en Ia figura 36-3a. La Iuz incide sobre una pantalla que se supone muy alejada, por lo que los rayos dirigidos a cualquier punto son esencialmente paralelos. Primero consideramos los rayos que pasan en ilnea recta como en La figura 36-3a. Ellos están todos en fase, por lo que habrá un punto central brillante sobre la pantalla. En La figura 36-3b consideramos rayos que se mueven segOn un ángulo 9 de manera que el rayo por Ia parte superior de la ranura viaja exactamente una longitud de onda adicional que el rayo por el horde inferior. El rayo que pasa exactamente por el centro de La ranura viajarä media longitud de onda más que el rayo en el fondo de La ranura. Esos dos rayos estaran exactamente fuera de fase entre 51 e interferirán destructivamente. Similarmente, un rayo ligeramente arriba del fondo cancelará un rayo que esté a la misma distancia arriba del rayo central. Cada rayo que pase por la mitad inferior de la ranura cancelará un rayo correspondiente que pase por Ia mitad superior. AsI, todos los rayos Un patron de difracciOn, implicando rayos paralelos, se llama difracciOn de Fraunhofer. Si Ia pantalla está cerca v no se usan lentes, se llama difraccion de Fresnel. El análisis en el Oltimo caso es algo complicado, por In que consideraremos sOlo et caso limite de Ia difracciOn de Fraunhofer.

FIGURA 36-2 Patrones de difracción de (a) un disco circular (una moneda), (b) una hoja de rasurar, (c) una sola ranura, cada uno iluminado por una fuente puntual de luz monocromática.

(a)

888

CAPITULO 36

DifracciOn y polarizaciOn

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(b)

(c)

(a) 0=0

(b) sen0=

Brillante FIGURA 36-3

Oscura

(d) sen0=

(c) sen0=

a

Brillante 2a

Oscura

Análisis de patrones de difracción formados por Iuz a! pasar a través de una ranura delgada.

interfieren destructivamente en pares, y ninguna luz llegar a Ia pantalla bajo este ánguJo. Se ye en el diagrama que e! ngulo bajo e! cual tiene esto lugar es cuando A = a sen 0, por lo que

sen0 =

.

[primer mInimo] (36-1)

La intensidad de Ia !uz es un máximo en 0 = 00 y decrece a un mInimo (intensidad = cero) en el ángu!o 0 dado por la eduaciOn 36-1. Considere ahora un ángulo 0 mayor tal que el rayo superior viaja A más que ci rayo inferior, como en la figura 36-3c. En este caso, los rayos del tercio inferior de Ia ranu-

ra se cancelan en pares con aquellos del tercio medio porque ellos estarn A/2 fuera de fase. Sin embargo, Ia Iuz del tercio superior de ía ranura llegar aUn a la pantal!a, por Jo 3A/2a, pero no será tan brique habrá un punto brillante con centro cerca de sen 0 liante como el punto central en 0 = 0. Para un ángulo 0 atm más grande, tal que ci rayo superior viaja 2A más que el rayo inferior, figura 36-3d, los rayos del cuarto inferior de !a ranura se cancelan con aquellos del cuarto justo arriba porque las longitudes de las trayectorias difieren en A/2. Y los rayos a través del cuarto de La ranura justo arriba del centro se cancelan con aquellos que pasan por el cuarto superior. A este ángulo habrá de nuevo un minimo de intensidad cero en el patron de difracciOn. Una gráfica de la intensidad como función del ngulo se muestra en la figura 36-4. Esto concuerda bien con la fotografIa de la figura 36-2c. NOtese que los mInimos (intensidad cero) ocurren en

asen0 = mA,

m = 1, 2, 3,,

[mInimos]

(36-2)

Intensidad

---+

0

+

sen0

2

Intensidad en el patrOn de difracción de una sola ranura como FIGURA 36-4

funciOn de sen 0. NOtese que el maximo central es no sOlo más alto que los mOximos a cada lado, sino tambiOn del

doble de ancho (ancho 2A/a) que cualesquiera de los otros (cada uno de solo A/a de ancho).

pero no en m = 0 donde se tiene el máximo más intenso. Entre los mInimos, ocurren

A, A, máximos de menor intensidad en aproximadamente (pero no exactamente) m [Nótese que los mInimos para un patron de difracción, ecuaciOn 36-2, satisfaceri un criterio muy similar al relativo a los máximos (puntos brillantes) de interferencia en ranura doble, ecuaciOn 35-2a.]

FIGURA 36-5

Ejemplo 36-1.

Difracción maxima por una sola ranura. Luz de 750 nm de longituci de onda pasa por una ranura de 1.0 X i0 mm de ancho. De qué ancho es el mximo central (a) en grados, y (b) en centImetros, sobre una pantalla a 20 cm de distancia?

SOLUCION

(a) El primer mInimo ocurre en A

sen0 = -a

7.5X107m = 0.75

= 1.0x10 m

Ranura

For lo que 0 490 Este es el ángulo entre ci centro y ci primer mInimo, figura 36-5. El Ongulo subtendido por el máximo central total, entre los mmnimos arriba y abajo del centro, es el doble de esto, o sea 98°. (b) El ancho del máximo central es 2x, donde tan 0 = x/20 cm. Entonces, 2x = 2(20 cm)(tan 49°) = 46 cm. Un ancho muy grande de la pantalla será iluminado, pero no ser normalmente muy brillante ya que será poca La cantidad de luz que pasa a través de una ranura tan pequena y está dispersa sobre una gran area. SECCION 36-1

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Intensidad

\

de Ia luz sobre" ± Ia pantalla

DifracciOn por una sola ranura

889

Ejemplo 36-2.

FIGURA 36-6

EJEMPLO CONCEPTUAL 6-2 Dispersion de Ia difracciOn. Un haz de luz briha a través de un orificio rectangular que es más estrecho en la dirección vertical que en Ia horizontal, figura 36-6. (a) Espera usted que el patron de difracción esté ms disperso en Ia dirección vertical o en Ia direcciOn horizontal? (b) cDeberIa ser una bocina de altoparlante en un estadio alta y estrecha, a ancha y plana? RESPUESTA (a) De Ia ecuaciOn 36-2 podemos ver que si hacemos Ia ranura (ancho a) más estrecha, el patron se dispersa más. Esto es consistente con nuestro estudio

anterior de las ondas en el capItulo 15 del valumen I. Por conSiguiente, La difracciOn a través del orificio rectangular será más ancha verticalmente, ya que la abertura en esa direcciOn es más pequefia.

(b) Para el altoparlante, el patron de sonido deseado es uno dispersado horizontalmente, por Ia que Ia bocina debe ser alta y estrecha (gire 90° Ia [igura 36-6).

Intensidad en el patron de difracción de una sola ranura

FIGURA 36-7 Ranura de ancho a dividida en N franjas de ancho y.

__i

Ly

'

Alapantalla

:

a - -. S S

Hemos determinado las posiciones de los mInimos en el patron de difracción producido por Ia luz al pasar par una sola ranura, ecuaciOn 36-2. Veremos ahora un método para predecir Ia amplitud e intensidad en cualquier punto del patron usando el procedimiento del fasor estudiado en Ia secciOn 35-5. Consideremos Ia ranura dividida en N franjas muy delgadas de ancho iXy como se indica en la figura 36-7. Cada franja envIa luz en todas direcciones hacia una pantalla a Ia derecha. De nuevo tomamas los rayos, dirigiéndose a cualquier punta particular sobre Ia pantalla distante, coma paralelos, todos formando un ángulo 0 con la horizontal como se muestra. Escagemas el ancho de franja y mucho menor que la longitud de onda A de Ia luz monocromática que incide sabre Ia ranura, par lo que toda la luz de una franja dada está en fase. Las franjas son del misma tamaño, y si toda Ia ranura está uniformemente iluminada, podemas tamar las amplitudes de onda del campo elOctrico E0 de cada franja delgada coma iguales siempre que 0 no sea muy grande. Sin embargo, las amplitudes separadas de las franjas diferentes diferirán en fase. La diferencia en fase de la luz que proviene de franjas adyacentes será (véase Ia secciOn 35-5, ecuación 35-4)

U

f3

2-

Lysen0

(36-3)

ya que La diferencia en Ia langitud de Ia trayectaria es lXy sen 0. La amplitud total sabre la pantalla a cualquier Ongulo U será Ia suma de las amplitudes de onda separadas debido a cada franja. Esas ondas tienen Ia misma amplitud

iE0 pero difieren en fase. Para obtener Ia amplitud total, pademos usar un diagrama

de fasor coma Ia hicimos en Ia sección 35-5 (figura 35-13). Los diagramas de fasor para cuatro ángulos 0 diferentes se muestran en Ia figura 36-8. En el centro de la pantalla, 0 = 0, las ondas de cada franja estmn todas en fase (/3 = 0, ecuación 36-3), par Ia que las flechas que representan cada iE0 se alInean coma se muestra en Ia figura 36-8a. La amphitud total de la Iuz que llega al centro de La pantalla es entances E0 = NLXE0. A un ángulo pequeño 0, para un punto sabre Ia pantalla distante no lejos del centro, la figura 36-8b muestra cOma las ondas de amplitud LE0 se suman para dar E0, Ia amplitud total sabre Ia pantalla baja este ángula 0. Nótese que cada onda difiere en fase de Ia adyacente en LJ3. La diferencia de fase entre las ondas en los bordes superior e inferior de Ia ranura es

= Nf3 =

2ir

2ir

Nysen0 = Taseno

(36-4)

donde a = N zy es el ancho total de la ranura. Aunque el "arco" en La figura 36-8b tiene langitud N E0 y es igual a E0 (amplitud total en 0 = 0), Ia amplitud de La onda total E0 en el ángulo 0 es ha suma vectorial de cada amplitud de onda y es entances igual a Ia longitud de La cuerda, coma se muestra. La cuerda es más corta que el arca, par Ia

que E < E0. 890

CAPTULO 36


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E0

E0(=NAE0)

/3

= N A/3

0

AE0

(a) En el centro, 0 = 0.

0

(c) Primer mInimo, E0 = 0 (/3 = 360°).

(b) Entre el centro y primer minimo

(d) Cerca de máximo secundarlo.

Diagrama de fasores para difracción en una ranura, que da Ia amplitud total E en cuatro ángulos 0 diferentes. FIGURA 36-8

Para el 6 mayor, eventualmente Ilegamos al caso, ilustrado en Ia figura 36-8c, en que la cadena de flechas se cierra sobre Si misma. En este caso Ia suma vectorial es cero, por lo que E0 = 0 para este ángulo 0. Esto corresponde al primer mInimo. Como /3 = N Af3 es 3600 o 2ir en este caso, tenemos de Ia ecuación 36-3, 2

= NLJ3 =

N(L1Ysen6)

o, como el ancho de Ia ranura a = N y, A

sen 0 = a-. El primer mInimo (E0 = 0) ocurre entonces donde sen 6 = A/a, que es el mismo resultado que obtuvimos en Ia sección previa, ecuación 36-1. Para valores aün mayores de 0, Ia cadena de flechas se mueven en espiral más allá de 360°. La figura 36-8d muestra el caso cerca del máximo secundario próximo al primer mmnimo. AquI, /3 = N f3 360° + 180° = 540° o 3ir. (Nótese que aunque /3 puede ser de 540°, 0 puede ser un nguIo muy pequefio, dependiendo de los valores de a y A.) Cuando /3 = 4ir, tenemos un doble circulo y de nuevo un mInimo, donde sen 6 = 2A/a, correspondiente a m = 2 en Ia ecuaciOn 36-2. Cuando se consideran ngulos 6 mayores, ocurren nuevos máximos y mInimos. Pero como Ia longitud total del arco permanece constante, igual a NiXE0(= E0), cada mximo sucesivo es cada vez menor conforme el arco se enrolla sobre sI mismo. SECCION 36-2

Intensidad en el patrOn de difracción de una sola ranura

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891

DeterminaciOn de Ia amplitud E0 como función de 0 para difracciOn por una sola ranura. FIGURA 36-9

Para obtener una expresiOn cuantitativa para La amplitud (y La intensidad) para cualquier punto sobre Ia pantalla (esto es, para cualquier ángulo 0), consideramos ahode manera que ty se vuelve el ancho infinitesimal dy. En este caso, ra el lImite N los diagramas de La figura 36-8 se vuelven curvas suaves, una de las cuales se muestra en La figura 36-9. Para cualquier 0, La ampLitud de onda sobre la pantalla es E0, igual a Ia cuerda en La figura 36-9. La longitud del arco es E0, igual que antes. Si r es el radio de curvatura del arco, entonces E0

= r sen =

/3

Usando radianes para /3/2, tenemos también E0

2

r2.

Combinamos esas expresiones para obtener E0 = E0

senf3/2

=r

f3/2

(36-5)

El ángulo /3 es La diferencia de fase entre las ondas de Los bordes superior e inferior de la ranura. La diferencia de trayectoria para esos dos rayos es a sen 0 (véase Ia figura 36-7, asI como Ia ecuación 36-4), por lo que

/3 =2ir - asen0.

(36-6)

La intensidad es proporcional al cuadrado de Ia amplitud de onda, por lo que La intensidad 1 a cualquier ángulo 0 es, de La ecuaciOn 36-5, 10 = 10

sen /3/2

2

(36-7)

/3/2

donde 10(x E) es La intensidad en 0 = 0 (el máximo central). Podemos combinar las ecuaciones 36-7 y 36-6 (aunque es a menudo más simple dejarlas como ecuaciones separadas) para obtener

- sen irasen0 '0 =

2

A

ira sen 0

(36-8)

A

De acuerdo con Ia ecuación 36-8, los mInimos (i = 0) ocurren donde sen

(ira senO/A) = 0, lo que significa que ira sen 0/A debe ser ii, 2ir, 3ir, etc., o 892

CAP1TLILO 36

DifracciOn y polarización

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asenO = mA,

m

= 1,2,3,"

[mInimos]

que es lo que hemos obtenido previamente, ecuación 36-2. Nótese que m no puede ser cero: cuando j3/2 = lTasenO/A = 0, el denominador asI como el numerador en las ecuaciones 36-7 o 36-8 desaparece. Podemos evaluar la intensidad en este caso tomando ci lImite como 0 -+ 0 (o /3 -* 0); para ángulos muy pequeflos, sen sen/3/2 13/2, por 10 que (sen/3/2)/(13/2) 1 e 1 = 4' que es ci mximo en ci centro del patrOn. La intensidad 4 como función de 0, tal como es dada por la ecuación 36-8, corresponde al diagrama de Ia figura 36-4. AL,.,.. . Intensidad en los máximos secundarios. Estime las intensidades de los primeros dos máximos secundarios a cada lado del máximo central.

Los máximos secundarios ocurren cerca de Ia mitad entre los mInimos, en aproximadamente SOLUCION

rasen0 2

A

(m+r.

m 1, 2, 3,

Los máximos reales no estn exactamente en esos puntos (sus posiciones se pueden determinar diferenciando la ecuaciOn 36-7 (véase el problema 10)) pero estamos buscando sOlo una estimaciOn. Usando esos valores para /3 en las ecuaciones 36-7 o 36-8, con sen (m + )i = 1, resulta

4=

'0

(m + 1)22

m =

1,2,3,

Para m = 1 y 2, obtenemos '0

= 222 61.7

= 0.045 I

[m=1]

= 0.016 I.

[m = 2]

El primer máximo a un lado del pico central tiene solo 1/22, o 4.5%, de Ia intensidad de la intensidad central, y los siguientes son ms pequenos aOn, como puede verse en la figura 36-4 y en Ia fotografIa de Ia figura 36-2c.

La difracciOn por una abertura circular produce un patron similar (si bien circular en vez de rectangular) y es de gran importancia práctica, ya que las lentes son esencialmente aberturas circulares a través de las cuales pasa la luz. Veremos esto en Ia sección 36-4 asI cOmo La difracciOn limita Ia resolución (o nitidez) de Las imgenes.

*

Difracción en el experimento de doble ranura Cuando analizamos el experimento de Young de doble ranura en la secciOn 35-5, supusimos que la porciOn central sobre Ia pantalla estaba uniformemente iluminada. Esto es equivalente a suponer que las ranuras son infinitamente estrechas, de modo que ci pico de difracciOn central est disperso sobre toda Ia pantalla. Esto nunca puede ser el caso para ranuras reales; Ia difracciOn reduce Ia intensidad del brillo de las franjas de interferencia al lado del centro por lo que no son de la misma altura como se mostrO en Ia figura 35-14. (Se mostraron más correctamente en Ia figura 35-9b.) *SECCION 36-3

Difracción en el experimento de doble ranura

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893

Para calcular la intensidaci en un patron de interferencia por doble ranura, incluyendo Ia di[racciOn, supongamos que Las ranuras tienen ancho igual a y que sus centros están separados por una distancia d. Como La distancia a la pantalla es grande compa-

rada con Ia separación d entre ranuras, Ia amplitud de onda debido a cada ranura es

esencialmente la misma en cada punto sobre La pantalla. Entonces, La amplitud de onda total a cualquier ángulo 0 no será ya

E90 = 2E0cos' como fue dada por Ia ecuaciOn 35-5b. Debe ser modificada, debido a La difracciOn, por La ecuaciOn 36-5, por lo que E90 = 2E0(

senf3/2\I cos 6-. 2 /3/2

1

(NOtese que en este capItulo hemos tratado hasta ahora sOlo con La amplitud de E, por Lo que meramente escribimos E9 en vez de E90 como lo hicimos en el capItulo 35.) AsI, La intensidad estará dada por 19

-

\2/

I

sen 13/2 /3/2 )

cos

6

(36-9)

2

donde, de Las ecuaciones 36-6 y 35-4,

- = - asen0 2

A

y

- = - rdsen0. 6

2

A

EL primer término en paréntesis en La ecuación 36-9 a veces es Ilamado eL "factor de difracción" y el segundo el "factor de interferencia". Esos dos factores están graficados en La figura 36lOa y b para eL caso en que d = 6a, y a = bA. (La figura 36lOb es esencialmente Ia misma que La figura 35-14.) La figura 36lOc muestra el producto de esas dos curvas I, que es La intensidad real como funciOn de 0 (o como funciOn de Ia posiciOn sobre La pantalla para 8 no muy grande) como es dada por la ecuación 36-9. Como se indica por las lIneas rayadas en Ia figura 36lOc, el factor de difracción actOa como un tipo de envolvente que limita los picos de interferencia.

Muestre por qué el pico central Difracción más interferencia. cie ciirraccion en Ia figura 36lOc contiene 11 franjas de interferencia. SOLUCION

El primer mInimo en el patron de difracción ocurre donde A

sen 0 = a-. Como d = 6a, dsenO =

6a()

= 6A.

De La ecuación 35-2a, los picos de interferencia (máximos) ocurren para d sen 8 = mA, donde m puede ser 0, 1," o cualquier entero. El mInimo de difracciOn (d sen 0 = 6A)

coincide entonces con m = 6 en el patron de interferencia, por lo que el pico m = 6 no aparece. Por consiguiente, el pico central de difracciOn encierra el pico central de interferencia (m = 0) y cinco picos (m = 1 a 5) a cada lado para un total de 11. Como el sexto orden no aparece, se dice que es un "orden faltante."

894

CAPITULO 36

Difracción y polarizaciOn

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100

5°

5°

0

100

(a) Factor de difracción, (sen2f3/2)/(/3/2)2 vs. U

100

--

-

0 (b) Factor de interferencia, cos2 5°

/ 100

5°

0

--

5°

10°

vs. 0

50

100

0

(c) Intensidad, 1 vs. 0

FIGURA 36-10 (a) Factor de difracciOn, (b) factor de interferencia, y (c) intensidad resultante 1,graficada como funciOn de 0 para d = 6a = 60A.

NOtese de este ditimo ejemplo que el nümero de franjas de interferencia en el pico central de difracción depende sOlo de Ia razón d/a. No depende de La longitud de onda A. El espaciamiento real (en ángulo, o en posiciOn sobre Ia pantalla) si depende de A. Para el caso ilustrado, a = bA, y entonces el primer mfnimo de difracciOn ocurre cuando senO = A/a = 0.10 o aproximadamente 6°. La disminuciOn de Ia intensidad de las franjas de interferencia al alejarnos del centro, como es graficada en Ia figura 36-10, se muestra en la figura 36-11. Los patrones debido a interferencia y difracciOn surgen del mismo fenOmeno, La superposiciOn de ondas coherentes de fase diferente. La distinciOn entre ellas no es tanto fIsica como por conveniencia de descripción, como en esta secciOn, donde analizamos el patron de dos ranuras en términos de interferencia y difracciOn por separado. En general, usamos Ia palabra "difracciOn" al referirnos a un análisis por superposiciOn

de muchas fuentes infinitesimales y usualmente contiguas, como cuando subdividimos una fuente en partes infinitesimales. Usamos el término "interferencia" cuando superponemos Ia onda de un nOmero finito (usualmente pequeno) de fuentes coherentes. FotografIas de un patron de interferencia por doble ranura mostrando los efectos de la difracciOn. En ambos casos d = 0.50 mm, mientras que a = 0.040 mm en (a) y 0.080 mm en (b). FIGURA 36-11

*SECCION 36-3

Difracción en el experimento de doble ranura

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895

LImites de resolución; aberturas circulares La capacidad de una lente para producir imOgenes distintas de dos objetos puntuales muy cercanos entre si se llama resolución de Ia lente. Entre más cerca pueden estar las dos imOgenes y aOn verse como distintas (en vez de verse como borrones traslapados), mayor es Ia resolución. For ejemplo, la resolución de la lente de una cOmara es a menudo especificada como el nOmero de lIneas por milImetro,t y puede ser determinada fotografiando un conjunto estándar de ilneas paralelas sobre peilcula de grano fino. El espaciamiento mInimo de Ilneas distinguibles en Ia pelIcula usando Ia lente da Ia resolución.

0

Fotografias de imagenes (muy amplificadas) formadas por una lente, mostrando el patrOn de difracción de una imagen para: (a) un solo objeto puntual; (b) dos objetos puntuales cuyas imágenes son apenas resueltas. FIGURA 36-12

Dos factores principales limitan Ia resoluciOn de una lente. El primero son Las aberraciones de Ia lente. Como ya vimos, debido a las aberraciones esféricas y otras aberraciones, un objeto puntual no es Un punto sobre Ia imagen sino un pequeno manchOn. El diseño cuidadoso de las lentes compuestas puede reducir las aberraciones considerablemente, pero no pueden eliminarse por completo. El segundo factor que limita Ia resoluciOn es la difraccion, que no puede ser corregida porque es un resultado debido a Ia naturaleza ondulatoria de Ia luz. Veremos esto ahora. En la sección 36-1 vimos que como Ia Luz viaja como una onda, la luz de una fuente puntual al pasar por una ranura se dispersa en un patrOn de difracciOn (figuras 36-2 y 36-4). Una lente, debido a sus bordes, actOa como una ranura. Cuando una lente forma Ia imagen de un objeto puntual, la imagen es en realidad un pequeno patron de difracciOn. Asf, una imagen serIa borrosa aun si estuvieran ausentes las aberraciones. En el análisis que sigue, suponemos que la lente está libre de aberraciones, por lo que podemos enfocar nuestra atención en los efectos de difracciOn y en cuánto limitan la resolución de una lente. En La figura 36-4 vimos que el patron de difracción producido por Ia luz al pasar por una ranura rectangular tiene un mOximo central en el que la mayor parte de Ia luz incide. Este pico central cae a un mInimo a cada lado de su centro, sen 0 = A/a (ecuacion 36-1), donde a es el ancho de Ia ranura, A es segOn un ángulo 0 Ia longitud de onda usada, y suponemos que 0 es pequeno. Hay también franjas de baja intensidad mOs allO de este Ongulo. Para una lente, o cualquier orificio circular, Ia imagen de un objeto puntual consistirO de un pico central circular (Ilamado punto de difracción

o disco de Airy) rodeado por franjas circulares tenues, como se muestra en la figura 36-12a. El máximo central tiene un semiancho angular dado por 1.22A

D

donde D es el diOmetro de Ia abertura circular. Esta fOrmula difiere de aquella para una ranura (ecuaciOn 36-1) por el factor 1.22. Este factor aparece porque el ancho de un orificio circular no es uniforme (como una ranura rectangular), sino que varIa de su diOmetro D a cero. Un análisis cuidadoso muestra que el ancho "promedio" es D/1.22. For consiguiente, obtenemos Ia ecuaciOn anterior en vez de Ia ecuaciOn 36-1. tEsto puede ser especificado como el centro del campo visual asI como en los bordes, donde es usualmente menor debido a las aberraciones fuera del eje.

Intensidad de Ia luz a través de un patrOn de difracción de un orificio circular. FIGURA 36-13

Intensidad

l.22A 0 l.22i D

896

CAPITULO 36


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D

0

El criterio de Rayleigh. Dos imágenes son justamente resueltas cuando el centro del pico de difracción de una está directamente sabre el primer mInima en el patrOn de difracciOn de Ia otra. Los dos objetos puntuales 0 y 0' subtienden un angulo 0 en Ia lente: sOlo un rayo es dibujado para cada objeto, para indicar el centro del patron de difracciOn de su imagen.

FIGURA 36-14

La intensidad de la luz en el patron de difracción de luz de una fuente puntual que pasa por una abertura circular se muestra en Ia figura 36-13. La imagen para una fuente no puntual es una superposición de tales patrones. Para la mayor parte de los fines tenemos que considerar sOlo el punto central, ya que los anillos concéntricos son mucho más tenues. Si dos objetos puntuales estn muy cercanos, los patrones de difracciOn de sus imágenes se traslaparán como se muestra en Ia figura 36-12b. Conforme los objetos se aproximan, se alcanza una separacion donde no se puede decir si se trata de dos imágenes traslapadas o de una sola imagen. La separacion a la que esto ocurre es juzgada diferente por diferentes observadores. Sin embargo, un criterio por lo general aceptado es uno propuesto por Lord Rayleigh (1842-1919). Este cnterio de Rayleigh establece que dos imá genes son justamente resolvibles cuando el centro del disco de difraccion de una imagen está directamente sobre el primer mInimo en el patron de difraccion del otro. Esto se muestra en Ia figura 36-14. Como el primer mInimo está a un ngulo 0 = 1.22A/D del mximo central, Ia figura 36-14 muestra que dos objetos se pueden considerarjustamente resolvibles si están separados por este ángulo 0: l.22A

(36-10)

D

Este es el IImite de resoluciOn impuesto por Ia naturaleza ondulatoria de Ia Iuz debido a Ia difracciOn.

El telescopio espacial Hubble. El telescopio espacial Hubble L) reflector y fue puesto en órbita por arriba de Ia atmósfera de La Tierra, de manera que su resoluciOn no fuese limitada por Ia turbulencia atmosférica (figura 36-15). El diOmetro de su objetivo as de 2.4 m. Para luz visible, digamos A = 550 nm, estime Ia mejorIa en resoluciOn que el Hubble ofrece sobre los telescopios terrestres, que estn limitados en resolución por el movimiento de Ia atmOsfera terrestre con aproximadamente media segundo de arco (cada grado está dividido en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos, par lo que 10 = 3600 segundos de arco). f13 1)

El telescopio espacial Hubble, con Ia Tierra at fondo. Los paneles frontales son celdas solares que recogen energIa del Sol. FIGURA 36-15

U! L1

SOLUCION Los telescopios terrestres estOn limitados a una resoluciOn angular de

0=

2irrad\

(zoo)0 ( 3600 )

= 2.4

X

10-6 rad.

Por otra parte, el Hubble estO limitado por difracciOn (ecuación 36-10) que para A = 550 nm es de

0=

1.22(550 x iO

2.4 m

m)

= 2.8

X

lO7rad,

que es una resolución casi diez veces mejor.

SECCION 36-4

LImites de resolución; aberturas circulares

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891

Resolución de telescopios y microscopios; el Ilmite A PodrIa pensarse que un microscopio 0 i.m telescopio podrIan diseflarse para producir cualquier amplificaciOn deseada, dependiendo de la selecciOn de las longitudes focales y de Ia calidad de las lentes. Pero esto no es posible, debido a Ia difracción. Un incremento en Ia amplificaciOn más allá de un cierto punto resulta meramente en amplificaciOn de los patrones de difracción. Esto podrIa ser enganoso ya que podrIamos pensar que estamos viendo detalles de un objeto cuando en realidad vemos detalles del patron de difracción. Para examinar este problema, aplicamos el criterio de Rayleigh: dos objetos (o dos puntos cercanos sobre un objeto) son justamente resolvibles si están separados por un ángulo U (figura 36-14) dado por la ecuaciOn 36-10: 1.22A

Esto es válido para un microscopio 0 wi telescopio, donde D es el diámetro de la lente objetivo. Para un telescopio, la resoluciOn se especifica expresando U como es dado por esta ecuación.t Para un microscopio, es más conveniente especificar la distancia real s entre dos puntos que son apenas resolvibles, figura 36-14. Como los objetos son normalmente colocados cerca del punto focal del objetivo del microscopio, U = s/f, o s = fU. Si cornbinarnos esto con la ecuaciOn 36-10, obtenemos para la potencia de resolución (PR):

PR = s = fU

1.22Af

(36-11)

D

=

La distancia s se llama potencia de resoluciOn de la lente porque es Ia separación minima de dos objetos puntuales que apenas pueden ser resueltos, suponiendo Ia más alta calidad de lente ya que este lImite es impuesto por la naturaleza ondulatoria de Ia luz. Resolución del telescopio (ondas de radio versus Iuz visible). tLual es ia separaciOn angular minima teOrica que puede ser justamente resuelta por: el telescopio de 200 pulgadas en Monte Palomar (figura 34-33c); y (b) el radiotelescopio en Arecibo (figura 36-16), cuyo diárnetro es de 300 rn y cuyo radio de curvatura es también de 300 m. Suponga A = 550 nm para el telescopio de luz visible en La parte (a), y A = 4 cm (la longitud de onda más corta con que el radiotelescopio ha sido operado) en Ia parte (b).

(a) Como D = 200 pulgadas = 5.1 m, tenemos de la ecuación 36-10 que

SOLUCION

(1.22)(5.50 x iO m)

1 22A U

FIGURA 36-16 El radiotelescopio de 300 metros en Arecibo, Puerto Rico, usa ondas de radio (figura 32-12) en lugar de luz visible.

=

D

=

(5.1 m)

= 1.3 x i0 rad,

o 0.75 x io- grados. (Nótese que esto equivale a resolver dos puntos a menos de 1 cm entre si desde una distancia de 100 km.) Este es el limite impuesto por Ia difracción. La resoluciOn no es en realidad tan buena debido a las aberraciones y sobre todo por la turbulencia en Ia atmósfera. De hecho, los objetivos de gran diámetro no se justifican por una mayor resolución, sino por su mayor capacidad de captar luz; ellos permiten Ia entrada de una mayor cantidad de luz y pueden verse entonces objetos más tenues.

Los radiotelescopios no son perturbados por la turbulencia de Ia atmOsfera, y para ondas de radio con A = 0.04 m Ia resoluciOn es

U=

(1.22)(0.04 m) (300 m)

= 1.6X10rad.

Los telescopios con objetivos de gran diámetro son usualmente limitados no por difracciOn, sino por otros efectos como Ia turbulencia en Ia atmósfera. For otra parte, a resolución de un microscopio de aba calidad es normalmente limitada por difracciOn porque los objetivos de los microscopios son lentes compuestas coinpiejas que contienen muchos elementos de dimetro pequeno (ya que fes pequena).

898

CAPITULO 36


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La difracciOn impone un Ilmite ültimo sobre los detalles que se pueden ver en cualquier objeto. En la ecuaciOn 36-11 notamos que Ia longitud focal de una lente no puede

hacerse menor que (aproximadamente) el radio de Ia lente, y aun eso es muy difIcil de lograr (véase Ia ecuaciOn del fabricante de lentes (ecuaciOn 34-4)). En este caso, Ia ecuaciOn 36-11 da, con f D/2, PR

(36-12)

Podemos decir entonces, digamos con un factor de más o menos 2, que

no es posible resolver detafles de objetos mis pequeños que Ia longitud de onda de Ia radiación usada. Esta es una regla empIrica importante y ütil. Actualmente las lentes compuestas son tan bien disefladas que el lImite real de resolución es a menudo establecido por Ia difracciOn, esto es, por la longitud de onda de Ia luz usada. Para obtener mayores detalles, se tiene que usar radiaciOn de longitud de onda más corta. Usando radiación ultravioleta se puede incrementar la resolución por un factor de tal vez 2. Sin embargo, más importante fue el descubrimiento, a principios del siglo XX, de que los electrones tienen propiedades ondulatorias y que sus longitudes de onda pueden ser muy pequefias. La naturaleza ondulatoria de los electrones es usada en el microscopio electrOnico, que puede amplificar entre 100 y 1000 veces ms que un microscopio de luz visible gracias a las longitudes de onda mucho más cortas. Los rayos X tienen también longitudes de onda muy cortas y se usan a menudo para estudiar objetos en gran detalle (secciOn 36-10).

*

Resolución del ojo humano v el aumento Util La resoluciOn del ojo humano está limitada por varios factores, todos de aproximadamente el mismo orden de magnitud. La mejor resoluciOn se tiene en Ia fOvea, donde el espaciamiento entre los conos es el más pequeno, aproximadamente de 3 m (= 3000 nm). El diámetro de Ia pupila varIa de cerca de 0.1 cm a cerca de 0.8 cm. Entonces para A = 550 nm (donde Ia sensibilidad del ojo es maxima), el limite de difracciOn es aproximadamente 0 1.22A/D 8 x 10 rad a 6 X 10 rad. Como el ojo es aproximadamente de 2 cm de largo, esto corresponde a una potencia resolutiva de s (8 x 10 rad) (2 x 102m) 2m en el mejor de los casos, a cerca de 15 m en el peor (pupila pequefla). Las aberraciones esférica y cromática también limitan Ia resoluciOn a 10 m, poco mas o menos. El resultado neto es que el ojo puede resolver objetos cuya separaciOn angular es en el mejor de los casos de 5 x 10 rad aproximadamente. Esto corresponde a objetos separados 1 cm a una distancia de cerca de 20 m. El punto cercano tIpico de un ojo humano es de aproximadamente 25 cm. A esta distancia, el ojo puede justamente resolver objetos que están a (25 cm)(5 X 10 rad) 10 m = mm. Como los mejores microscopios de luz pueden resolver objetos no menores que aproximadamente 200 rim en el mejor de los casos (ecuaciOn 36-12 para luz violeta, A = 400 nm), Ia amplificaciOn Otil [= (resoluciOn con el ojo simple)/(resoluciOn con microscopio)1 está limitada a cerca de

iO m 200 X 109m

= 500X.

En Ia práctica, amplificaciones de aproximadamente 1000X son a menudo usadas para minimizar el forzamiento de los ojos. Amplificaciones mayores harán simpiemente visible el patrOn de difracciOn producido por el objetivo del microscopio. *SECCION 36-6

Resolución del ojo humano y el aumento ütl

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Rejillas de difracción

FIGURA 36-17

Rejilla de difracción.

Un gran niimero de ranuras igualmente espaciadas se llama rejilla de difracción, si bien el término "rejilla de interferencia" podrIa ser también apropiado. Las rejillas pueden hacerse por maquinado de precisiOn de lIneas paralelas muy finas sobre una placa de vidrio. Los espacios sin tocar entre las lIneas sirven como ranuras. Las transparencias fotográficas de una rejilla original sirven como rejillas de bajo costo. Rejillas que contienen 10,000 lIneas por centImetro son comunes actualmente, y son muy Otiles para Ia mediciOn precisa de longitudes de onda. Una rejilla de difracciOn que contiene ranuras se llama rejilla de transmisión. Se usan también rejillas de reflexión, que se hacen rayando Ilneas finas sobre una superficie metálica o de vidrio de Ia que Ia luz es reflejada y analizada. El análisis es básicamente el mismo que para una rejilla de transmisión, Ia cual estudiaremos ahora. El análisis de una rejilla de difracción es muy parecido al del experimento de Young de doble ranura. Suponemos que rayos paralelos de Iuz inciden sobre la rejilla, como se muestra en Ia figura 36-17. También suponemos que las rejillas son suficientemente estrechas de manera que Ia difracciOn por cada una de ellas difunde Iuz sobre un angulo muy amplio sobre una pantalla distante detrs de Ia rejilla, y puede ocurrir interferencia con la luz de todas las otras ranuras. Los rayos de luz que pasan por cada ranura sin desviaciOn (0 = 0°) interfieren constructivamente para producir una Ilnea brillante en el centro de Ia pantalla. Ocurre también interferencia constructiva a un ngu10 0 tal que los rayos de ranuras adyacentes viajan una distancia adicional de i1 = mA, donde m es un entero. AsI, si d es la distancia entre ranuras, entonces vemos de Ia figura 36-17 que X1 = d sen 0, y sen 0

FIGURA 36-18 Intensidad en funciOn del ángulo 0 de vista (o posicion sobre Ia pantalla) para (a) dos ranuras, (b) seis ranuras. Para una rejilla de difracción, ci nfimero de ranuras es muy grande (--1O) y los picos son atn más delgados.

m=1

m=O

m=l

(a)

m=1

m=0 (b)

900

CAPITULO 36

m=1

mA

=d

'

m = 0, 1, 2,

[máximos principalesj

(36-13)

es el criterio para tener un máximo de brillantez. Esta es la misma ecuaciOn que para la situación de doble ranura, y de nuevo m se llama el orden del patron. Sin embargo, hay una importante diferencia entre el patron de una doble ranura y el de una ranura mOltiple. Los máximos brillantes son mucho más nItidos y estrechos para una rejitia. For qué pasa esto, puede verse como sigue. Suponga que el ángulo 0 se incrementa justamente un poco más allá que el requerido para un máximo. En el caso de sOlo dos ranuras, las dos ondas estarán solo ligeramente fuera de fase, por lo que ocurrirá una interferencia constructiva casi total. Esto significa que los máximos son anchos (véase la figura 35-9). Para una rejilla, las ondas de dos ranuras adyacentes tampoco estarán significativamente fuera de fase. Pero las ondas de una ranura y las de una segunda situada a unos pocos cientos de ranuras pueden estar exactamente fuera de faSe; toda o casi toda Ia luz se cancelará en pares en este caso. For ejemplo, suponga que el ngulo 0 es diferente de su máximo de primer orden por lo que Ia longitud adicional de trayectoria para un par de ranuras adyacentes no es exactamente A sino más bien 1.0010 A. La onda a través de una ranura y Ia de otra situada a 500 ranuras estarán fuera de fase en 1.5000A, o exactamente 1 longitudes de onda, por lo que las dos se cancelarán. Un par de ranuras, una abajo de cada una de éstas, también conducirán a una cancelaciOn. Esto es, Ia Iuz de Ia ranura 1 cancela Ia de la ranura 501; Ia luz de la ranura 2 cancela Ia de Ia ranura 502, y asI sucesivamente. AsI, incluso para un angulo pequeflot corresponexiste mucha interferencia desdiente a una longitud adicional de trayectoria de tructiva y los máximos son entonces muy estrechos. Entre más lIneas se tengan en una rejilla, ms agudos serán los picos (véase Ia figura 36-18). Como una rejilla produce 11neas más agudas (y brillantes) que dos ranuras solas, éste es un dispositivo mucho ms preciso para medir longitudes de onda. Suponga que Ia luz que incide sobre una rejilla de difracciOn no es monocromática, sino que consiste de dos o mâs longitudes de onda distintas. Entonces, para todos los Ordenes diferentes a m = 0, cada longitud de onda producirá un máximo a un ángulo diferente (figura 36-19a), como en el caso de una ranura doble. Si luz blanca incide sobre una rejilla, ci máximo central (m = 0) será un pico blanco agudo. Pero para todos los Dcpendiendo del ni.imero total de ranuras, puede haber o no cancelaciOn completa para tal ángulo, por lo que habrá picos muy pequenos entre los máximos principales (véase Ia fgura 36-18b), pero son usualmente demasiado pcquenos para poder ser vistos.


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m=2m=1 m=1

m=2

400 700

700 nm

400 nm

nrnnm

400 nm

Ambas A

m=2

700 400

700 nm

nmnm

m=1

m=0

m=1

m=2

Arcoiris

Blanco

Arcoiris

Arcoiris (más tenue)

m=2

Arcoiris (más tenue)

m=1 m=1m=2

m=0

Espectro producido por una rejilla: (a) dos longitudes de onda, 400 nm y 700 nm; (b) luz blanca. El segundo orden será normalmente más tenue que el primer orden. (No se muestran Ordenes superiores.) Si el espaciamiento en Ia rejilla es suficientemente pequeno, estarán ausentes el segundo y los Ordenes superiores. FIGURA 36-19

otros órdenes se tendrá un espectro distinto de colores disperso sobre un cierto ancho angular, figura 36-19b. Como una rejilla de difracciOn dispersa la luz en sus componentes de longitud de onda, el patrOn resultante se llama espectro. Rejillas de difracción: Ilneas. Calcule los angulos de primero y Segundo orden para luz de 400 nm y 700 nm de longitud de onda si La rejilla contiene 10,000 lIneas/cm.

SOLUCION La rejilla contiene iO lIneas/cm = 106/m, lo que implica que Ia separaciOn entre ranuras es d = (1/106) m = 1.0 X 10 m. En el orden primero (m = 1), los ángulos son sen O4 sen O7

mA

(1)(4.0 X 107m)

d

1.0X106m

= 0.400

= 0.700

por lo que 0400 = 23.6° pero O7

= 44.4°. En el segundo orden,

(2)(4.0 x 107m) = 0.800 1.0 X 106m

sen O4

=

sen O7

= 1.40

por lo que 04 = 53.1°, pero el segundo orden no existe para A = 700 urn porque sen 0 no puede exceder a 1. No aparecerán Ordenes superiores.

La rejilla de difracciOn es la componente esencial de un espectroscopio, que es un dispositivo para la medición precisa de longitudes de ondas, como lo veremos a continuaciOn. FIGURA 36-20

EspectOmetro o

espectroscoplo.

El espectrómetro y espectroscopIa Un espectrómetro o espectroscopio, figura 36-20, es un instrumentot para medir longitudes de onda con precision usando una rejilla o prisma de difracción, para separar dife-

rentes longitudes de onda de luz. La luz de una fuente pasa a través de una ranura

estrecha S en el colimador. La ranura está en el punto focal de La lente L, por lo que luz paralela incide sobre Ia rejilla. El telescopio mOvil puede ayudar a enfocar los rayos.

/

Fuente Colimador

Rejilla 0

.

tSi el espectro de una fuente es registrado (digamos, sobre una pelicula) más que visto por el ojo, el dispositivo se llama e.specirómetro o espectrografo, en comparacion con un espectroscopio, que es solo para ver; pero estos términos son a menudo intercambiables Los aparatos que miclen tambiOn Ia intensidad de Ia luz de una longitud de onda dada se Ilaman especfrofotómetros.

*sEcclON 36-8

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Telescopio

El espectrOmetro y espectroscopIa

Ojo 901

HidrOgeno atóniico

Mercurio

Sodio

Espectro de absorcióri solar FIGURA 36-21

Espectro de lIneas para los gases indicados, y espectro del Sol mostrando Ilneas de absorción.

Nada se vera en el telescopio de observación a menos que esté posicionado a un ángulo 0 que corresponde a un pico de difracciOn (Se usa normalmente el primer orden) de una longitud de onda emitida por Ia fuente. El angulo 0 se puede medir con muy alta precision, por lo que Ia longitud de onda de una ilnea se puede determinar con alta precisiOn usando la ecuaciOn 36-13: d m

A = sen 0, donde m es un entero que representa el orden, y d es Ia distancia entre ilneas de Ia rejilla. La lInea que usted ye en un espectrOmetro correspondiente a cada longitud de on-

da es en realidad una imagen 4e Ia ranura S. Entre más delgada es La ranura, más delgada es la ilnea (pero más tenue) y con mas precision podemos medir su posiciOn angular. Si Ia Ilnea contiene un rango continuo de longitudes de onda, se ye entonces

un espectro continuo en el espectroscopio. Un uso importante de un espectrómetro es para Ia identificaciOn de átomos o moléculas. Cuando un gas es calentado o una corriente eléctrica grande pasa por él, el gas emite un especiro de IIneas caracterIstico. Esto es, sOlo ciertas longitudes de onda discretas de luz son emitidas, y éstas son diferentes para diferentes elementos y cornpuestos. La figura 36-21 muestra el espectro de IIneas para varios elementos en estado gaseoso. Los espectros de lIneas Se presentan sOlo para gases a altas temperaturas y bajas presiones. La luz de sOlidos calentados, como el filarnento de un foco, e incluso de un objeto gaseoso denso como el Sol, producen un espectro continuo que incluye un arnplio rango de longitudes de onda. La figura 36-21 muestra tamblén el "espectro continuo" del Sol, que contiene Varias IIneas oscuras (sOlo se muestran las más prominentes), liamadas Imneas de absorción. Los átomos y las moléculas pueden absorber Iuz a las mismas longitudes de onda con las que emiten luz. Las lIneas de absorciOn del Sol son debidas a Ia absorciOn por átomos y moléculas en Ia atmOsfera exterior más frIa del Sol, asI corno por atomos y moléculas en Ia atmOsfera de Ia Tierra. Un análisis detallado de todas esas miles de lIneas revela que por lo menos dos tercios de todos los elementos están presentes en Ia atmOsfera del Sol. La presencia de elementos en Ia atmósfera de otros planetas, en el espacio interestelar, y en estrellas se determina también por espectroscopia.

902

CAPITIJLO 36

Difracción y polarización

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Anchos de picos y potencia resolutiva de una rejilla de difracción Observamos ahora el patron de máximos producidos por una rejilla de mOltiples ranuras usando diagramas de fasores. Podemos determinar una formula para el ancho de cada pico, y veremos por qué hay máximos pequenos entre los máximos principales, como se indica en Ia figura 36-18b. Antes que nada, debe notarse que los patrones por dos ranuras y por seis ranuras rnostrados en la figura 36-18 fueron dibujados suponiendo ranuras muy estrechas para que la difracciOn no limitase Ia aitura de los picos. Para rejihas de difracciOn reales, este no es normalmente el caso: ci ancho de la ranura a no es a menudo mucho más pequefio que Ia separaciOn d de las ranuras, y La difracciOn limita asi la intensidad de los picos por lo que el pico central (m = 0) es más brillante que los picos laterales. No nos preocuparemos acerca de este efecto sobre Ia intensidad pero notaremos que si un mInimo de difracción coincide con un orden particular del patron de interferencia, ese orden no aparecerä. (Por ejemplo, si d = 2a, todos los Ordenes pares, m = 2, 4, , faltarán, ,puede usted ver por qué? Sugerencia: véase el ejemplo 36-4.) Las figuras 36-22 y 36-23 muestran diagramas de fasores para una rejilla de dos ranuras y otra de seis, respectivamente. Cada flecha corta representa Ia amplitud de una onda de una sola ranura, y su suma vectorial (como fasores) representa Ia amplitud total para un nguio U dado de visual. La parte (a) de cada figura muestra el diagrama de fasores en U = 00, en el centro del patrOn, que es ci máximo central (m = 0). La parte (b) de cada figura muestra Ia condición para el mInimo adyacente: donde las flechas se cierran primero sobre SI mismas (se suman a cero), por lo que Ia amplitud E6 es cero. Para dos ranuras, esto ocurre cuando las dos amplitudes separadas están 180° fuera de fase. Para seis ranuras, ello ocurre cuando cada amplitud forma un ángulo de 60° con su vecina. Para dos ranuras, el mInimo ocurre cuando la fase entre ranuras es 2ir/2 (en radianes); para seis ranuras ello ocurre cuando La fase 6 es 2ir/6; y en el caso ge-

E0

Máximo central 0 = 0,6 = 0

E0 =0

=I80

MInimo: 6 = 180°

36-22 Diagrama de fasor para dos ranuras (a) en el máximo central, (b) en el mmnimo más cercano. FIGURA

36-23 Diagrama de fasor para seis ranuras (a) en el máximo central, (b) en el mInimo más cercano. FIGURA

(a) Máximo central 0 = 0, 6 = 0

/

neral de N ranuras, el mInimo ocurre para una diferencia de fase entre ranuras adyacentes de

6= 60°

6=

2

(b) MInimo: 6 = 60°

(36-14)

.

,A qué corresponde esto en U? Nótese primero que 6 está relacionado con U por

-= 6

d sen U

2ir

A

0

6=

d sen U

(36-15)

A

la posiciOn angular del mInimo prOximo justo como en Ia ecuación 35-4. Llamemos al pico en 0 = 0. Esto corresponde a una longitud de trayectoria adicional entre ranupor lo que ras adyacentes (véase Ia figura 36-17) de t\1 = d sen

dsenU0

= 2i7-

Insertamos Ia ecuación 36-14 para 6 y haliamos sen zU0 =

Como

A

(36-16a)

es usuaimente pequefio (N es usualmente muy grande para una rejilla), sen LU0 por lo que en el iImite de nguios pequenos, podemos escribir A

(36-16b)

- Nd

Es ciaro de cualquiera de las dos (iltimas relaciones que entre mayor es N, más estre= A/2d, que es lo que obtuvimos antes cho será el pico central. (Para N = 2, sen para ha doble ranura, ecuación 35-2b, con m = 0.) *SECCION 36-9

Anchos de picos y potenda resolutiva de una rejilla de difracción

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903

E FIGURA 36-24 Diagrama de fasores para el pico secundario.

Cualesquiera de las ecuaciones 36-16 muestra por qué los picos se vuelven más estrechos con N más grandes. El origen de los pequenos mximos secundarios entre los picos principales (véase Ia figura 36-18b) puede ser deducido del diagrama de la figura 36-24. Este es una continuaciOn de Ia figura 36-23b (donde 6 = 600); pero ahora Ia fase ha sido incrementada a casi 90°, donde E0 es un máximo relativo. NOtese que E0 es mucho menor que E0 (figura 36-23a), por lo que Ia intensidad en este máximo secundario es mucho menor que en un pico principal. Conforme 6 (y 0) aumentan aün más, E0 decrece nuevamente a cero (un "cIrculo doble"), luego alcanza otro pequeno máximo, y asI sucesivamente. Eventualmente el diagrama se deserivuelve de nuevo y cuando 8 = 360°, todas las amplitudes se encuentran de nuevo en una lInea recta (como en Ia figura 35-23a) correspondiente al siguiente máximo principal (m = 1 en Ia ecuaciOn 36-13). La ecuación 36-16b da el medio ancho del pico central (rn = 0). Para determinar el ancho medio de picos de orden superior, XOm para orden m, diferenciamos Ia ecuaciOn 36-15 para relacionar el cambio 6 en 8 con el cambio 0 en el ángulo 6: =

2i-d A

cos0z6.

Si LOm representa el ancho medio de un pico de orden m (m = 1, 2, es decir, el angulo entre el pico máximo y el minimo a cualquier lado, entonces 1x8 = 2ir/N, como es dado por la ecuaciOn 36-14. Insertamos esto en la relaciOn anterior y encontramos 0m

(36-17)

= Ndcos0m'

donde 0m es Ia posiciOn angular del pico rn_1m0 como es dado por la ec. 36-13. Esta deducciOn es válida, por supuesto, solo para un pequeno 6(= 2w/N) que es el caso para rejillas reales ya que N es del orden de io o mayor. Una propiedad importante de cualquiera rejilla de difracciOn usada en un espectroscopio es su capacidad de resolver dos longitudes de onda muy cercanamente espaciadas. La potencia de resolución R de una rejilla se define como

R=

(36-18)

.

Con poco esfuerzo y usando Ia ecuaciOn 36-17 podemos mostrar que LXA = AN/rn donde N es el nOmero total de lineas en la rejilla y m es el orden. Tenemos entonces R = Nm.

(36-19)

Entre mayor es el valor de R, más cercanas pueden estar dos longitudes de onda y adn ser resolvibles. Si R es dado, Ia separaciOn minima i.A entre dos longitudes de onda cerca de A, es (ecuaciOn 36-18) A L1A

=

Resolución de dos lineas cercanas. La luz amarilla ne sodio, que consiste en dos longitudes de onda, A1 = 589.00 nm y A2 = 589.59 nm, incide sobre una rejilla de difracción con 7500 lineas/cm. Determine (a) el orden máximo m que estará presente para luz de sodio, (b) el ancho de rejillas necesarias para resolver las dos lIneas de sodio, (c) el ancho angular de cada lInea de sodio. SOLUCION (a) Como d = 1 cm/7500 = 1.33 x 10-6 m, entonces el valor máximo de m para A = 589 nm puede encontrarse de Ia ecuaciOn 35-13 con sen 0 1: = A

sen0

X 10 m 5.89X107m

<1.33

= 2.25,

por lo que m = 2 es el orden máximo presente. 904

CAPiTULO 36


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La potencia de resolución necesaria es

589nm 0.59nm De la ecuaciOn 36-19, el nOmero total N de lIneas necesarias es N = Rim = 1000/ R

A

LA

2 = 500, por lo que la rejilla debe ser sOlo de 500/7500 cm' = 0.0667 cm de ancho. Una rejilla tIpica es de unos pocos centimetros de ancho, y resolverá fácilmente las dos lIneas.

Tenemos que usar Ia ecuaciOn 36-17 para m = 2, pero ,que es cos

02?

De la

ecuaciOn36-13,

senO2=m

.

=

(RQ

1fl

m\

= 0.886.

Entonces cos 02 = (1 sen2O2) = 0.464. Para una rejilla con las 500 lmneas mInimas, el

ancho angular (ecuación 36-17) para m = 2 es 02 =

A

NdcosO2

=

589X109m (500)(1.33 >< 106m)(0.464)

= 0.00l9rad,

00.110.

Ravos X y difracción de rayos X En 1895,W. C. Roentgen (1845-1923) descubriO que cuando los electrones son acelerados por un alto voltaje en un tubo al vacIo e inciden sobre una superficie de vidrio (o metal) dentro del tubo, minerales fluorescentes alejados a cierta distancia brillarán y una pelIcula fotográfica quedará expuesta. Roentgen atribuyó esos efectos a un nuevo tipo de radiación (diferente de los rayos catOdicos). A dicha radiación se le llamO rayos X, por Ia variable algebraica x que representa una incOgnita. El pronto encontrO que los rayos X penetran mejor algunos materiales que otros y unas pocas semanas después presentO la primera fotografla de rayos X (la mano de su esposa). La producciOn de rayos X es usualmente hecha hoy en dIa en un tubo (figura 36-25) similar al de Roentgen, usando voltajes de entre 30 kV y 150 kV. Las investigaciones sobre Ia naturaleza de los rayos X indicaron que no eran partIculas cargadas (como electrones) ya que rio podIan ser desviados por campos eléctricos o magneticos. Se sugiriO que podrIan ser una forma de luz invisible. Sin embargo, no mostraron efectos de difracción o interferencia usando rejillas ordinarias. Por supuesto, si sus longitudes de onda fuesen mucho más pequefias que el espaciamiento tIpico de las rejillas de 10 m (= i0 nm), no cabrIa esperar esos efectos. Alrededor de 1912 fue sugerido por Max von Laue (1879-1960) que silos átomos en un cristal estuviesen dispuestos en un arreglo regular (véase Ia figura 17-2a), dicho cristal podria servir como una rejilla de difracción para longitudes de onda muy pequefias del orden del espacia-

FIGURA 36-25 Tubo de rayos X. Los

electrones emitidos por un filamento calentado en un tubo al vaclo son acelerados por un alto voltaje. Cuando ellos golpean Ia superficie del ánodo, o "blanco", son emitidos rayos X.

[

miento entre átomos, estimado igual a 100 m (= 10nm). Los experimentos pronto mostraron que los rayos X dispersados por un cristal mostraban los picos y valles de un patron de difracciOn (figura 36-26). Se mostrO asI que los rayos X tienen naturaleza ondulatoria y que los tomos están arreglados de manera regular en los cristales. Actualmente, los rayos X son identificados como radiaciOn electromagnetica con longitudes de onda en el rango de aproximadamente 10-2 nm a 10 nm, rango fcilmente producido en un tubo de rayos X. FIGURA 36-26

Este patron de difrac-

dOn de rayos X fue uno de los primeros

observados por Max von Laue en 1912 cuando los dirigiO a un cristal de sulfuro de zinc. El patrOn de difracciOn fue detectado directamente sobre una placa fotográfica.

*SECCION 36-10

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Blanco/' (ánodo)

Alto voltaje

Rayos X y difracciOn de rayos X

905

II

--.

.

dC

FIGURA 36-27 por Un

DifracciOn de rayos X

Vimos en Ia secciOn 36-5 que La luz de longitud de onda más corta proporciona mayor resoluciOn cuando estamos examinando un objeto microscOpicamente. Como los rayos X tienen longitudes de onda mucho más cortas que Ia luz visible, en principio deberlan ofrecer una resoluciOn mucho mayor. Sin embargo, parece no haber un material efectivo para usarse como lente para los rayos X de longitud de onda muy corta. La ingeniosa pero complicada técnica de difracción de rayos X (o cristalografla) ha resultado ser muy efectiva para examinar ci microscópico mundo de átomos y moléculas. En un simple cristal como la NaC1, los ãtomos están arreglados en una forma cübica ordenada, figura 36-27, con los átomos espaciados una distancia d entre ellos. Suponga que on haz de rayos X incide sobre el cristal con un ángulo 4) respecto a Ia superficie, y que los dos rayos rnostrados son reflejados por dos pianos subsecuentes de átomos como se muestra. Los dos rayos interferirán constructivamente si Ia distancia adicional que el rayo I viaja es un nümero entero de longitudes de onda mayor que Ia que ei rayo II viaja. Esta distancia adicional es 2d sen 4). Por tanto, Ia interferencia constructiva ocurrirá cuando

mit = 2dsen4),

m = 1,2,3,,

(36-20)

donde m puede ser cualquier entero. (Nótese que 4) no es el ángulo con respecto a Ia normal a la superficie.) A ésta se le llama ecuación de Bragg en honor a W. L. Bragg

(1890-1971), quien Ia obtuvo y que junto con so padre W. H. Bragg (1862-1942), desarro-. 116 Ia teorIa y técnica de difracciOn de rayos X por cristales en 1912-1913. De modo que si se conoce Ia longitud de onda de los rayos X y se mide el ángulo 4) en que ocurre Ia interferencia constructiva, se puede obtener d. Esta es Ia base de Ia cristaiografIa de rayos X. Los patrones de difracciOn de rayos X son muy complicados. Antes que nada, un

J

S

. .

.

c

.

S

S

S

Hay muchos pianos posibles dentro de un cristal desde los cuales pueden ser difractados los rayos X. FIGURA 36-28

cristal es un objeto tridimensional, y los rayos X pueden ser difractados desde pianos diferentes a diferentes ángulos dentro del cristal, como se muestra en Ia figura 36-28. Aunque el anlisis es compiejo, mucho puede aprenderse acerca de cuaiquier sustancia que pueda ponerse en forma cristalina. Si Ia sustancia no es un solo cristal sino una mezcIa de muchos pequenos cristales, como en un metal o polvo, entonces en vez de una serie de puntos, como en Ia figura 36-26, se obtiene una serie de cIrcuios, figura 36-29, cada uno correspondiente a Ia difracciOn de un cierto orden m de un conjunto particular de pianos paralelos. La difracción de rayos X ha sido muy Util en Ia deterniinación de Ia estructura de moléculas bioiógicamente importantes. Por ejemplo, fue con Ia ayuda de La difracción de rayos X que, en 1953, J. D. Watson y F. H. C. Crick descifraron Ia estructura en doble hélice del ADN.

(a) La difracción de rayos X por una sustancia policristalina produce un conjunto de anillos circulares como en (b), que es para un acetoacetato de sodio policristalino. FIGURA 36-29

L

(a)

906

CAPITULO 36

(b)


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Polarización Una importante y Util propiedad de la Iuz es que puede ser polarizada. Para ver qué significa esto, examinemos ondas viajando sobre una cuerda. Una cuerda puede ponerse a oscilar en un piano vertical como en Ia figura 36-30a, o en un piano horizontal como en la figura 36-30b. En cada caso se dice que Ia onda está polarizada linealmente o p0iarizada piana, es decir, las osciiaciones tienen lugar en un piano. Si ahora colocamos un obstáculo que contenga una ranura vertical en ta trayectoria de Ia onda, figura 36-31, una onda polarizada verticaimente pasará por Ia ranura, pero no una onda polarizada horizontaimente. Si se usa una ranura horizontal, Ia on-

/

da poiarizada verticalmente ser detenida. Si ambos tipos de ranura se usan, ambos tipos de ondas serán detenidas. NOtese que la polarizaciOn puede existir solo para ondas transversales, y no para ondas Iongitudinaies como el sonido. Las ültimas oscilan sOlo a to largo de Ia direcciOn del movimiento, y ninguna orientación de Ia ranura las detiene.

r

36-30 (Arriba) Ondas transversales sobre una cuerda polarizada (a) en un piano vertical y (b) en un piano horizontal. FIGURA

'I

(a)

(b)

36-31 OscitaciOn de los vectores de campo eléctrico en tuz no polarizada. La iuz está viajando hacia dentro o hacia afuera de Ia página. [Nota: este diagrama se apiicarIa al campo magnético B en una onda de EM, véase pie de pgina.] FIGURA

La teorIa de Maxwell de Ia iuz como ondas electromagneticas (EM) predice que la Iuz puede ser poiarizada ya que una onda EM es una onda transversal. La dirección de Ia polarización en una onda EM polarizacla plana se toma como Ia direcciOn del vector E del campo eléctrico. La luz no está necesariamente polarizada. Puede estar no polarizada, to que significa que La fuente tiene oscilaciones en muchos pianos at mismo tiempo, como se muestra en Ia figura 36-32. Un foco ordinario incandescente emite Iuz no polarizada, como io hace el So!.

36-32 Oscilación de los vectores de campo eiéctrico en luz no polarizada. La iuz está viajando hacia o desde Ia pagina. FIGURA

Polaroid La luz polarizada piana se puede obtener de luz no poiarizada usando ciertos cristales como Ia turmalina. 0, más comUnmente hoy en dIa, podemos usar una hoja Polaroid. (Los materiales Polaroid fueron inventados en 1929 por Edwin Land.) Una hoja Polaroid consiste en largas y complicadas moiéculas dispuestas paralelamente entre sí. Un polarizador actUa como una serie de ranuras paralelas que permiten que una orienta-

ciOn de Ia polarizaciOn pase casi sin disminución (esta dirección se llama eje del Polaroid), mientras que una poiarizaciOn perpendicular es absorbida casi completamente.t

tcomo ocurre esto puede ser explicado a nivel molecular. Un campo eléctrico E que oscila paralelamente a las moléculas largas, puede poner electrones en movimiento a 10 largo de las moléculas, efectuando asI trabajo sobre ellas y transfiriéndoles energIa. Por tanto, si E es paralelo a las moléculas, es absorbido. Un campo eléctrico E perpendicular a las motéculas largas no tiene esta posibilidad de efectuar trabajo y transferir su energIa, por 10 que pasa libremente a través de ellas. Ciiando hablamos del eje de un polarizador, queremos decir Ia dirección en que E pasa, pot lo que el eje de un polarizador es perpendicular a las moléculas largas. (Si queremos pensar que hay ranuras entre las moléculas paralelas en el sentido de Ia figura 36-31, entonces Ia figura 36-31 se aplicaria al campo B en Ia onda EM, no al campo E.)

SECCION 36-11

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PoiarizaciOn

901

'-0 I?

0

=

cos 0

I

Eje Un polarizador vertical transmite solo La componente vertical de una onda (campo eléctrico) iricidente sobre éI. FIGURA 36-33

Rayo incidente polarizado segün un ángulo 0 respecto a La vertical con amplitud E0.

Polarizador vertical

Onda transmitida

Si un rayo de Iuz polarizada piana incide en un polarizador cuyo eje forma un ángulo 0 con Ia dirección de Ia poiarización incidente, el rayo emergerá polarizado piano paralelo al eje del polarizador y su amplitud se reducirá en cos 0, figura 36-33. AsI, un polarizador pasará sOlo esa componente de polarización (el vector campo eiéctrico, E) que es paralelo a su eje. Como La intensidad de un rayo de luz es proporcional al cuadrado de Ia ampiitud (secciones 15-3 y 32-7), vemos que Ia intensidad de un rayo poiarizado plano transmitido por un polarizador es

I = I0cos0,

(36-21)

donde 0 es el ángulo entre el eje del poiarizador y el piano de polarización de Ia onda incidente, e I es La intensidad incidente.t Un Polaroid se puede usar como un polarizador para producir luz polarizada plana a partir de iuz sin polarizar, ya que sOlo La componente de luz paralela a! eje es transmitida. Un Polaroid puede también usarse como un analizador para determinar (1) si Ia Luz es polarizada y (2) cuál es el piano de polarización. Un Polaroid actuando como un analizador pasaré Ia misma cantidad de luz independientemente de La orientaciOn de su eje si Ia luz no está polarizada; ensaye girar una lente de un par de anteojos PoLaroides mientras ye a travéS de elLos un foco encendido. Sin embargo, si La Luz est poJarizada, cuando usted gira el polarizador, la !uz transmitida será un máximo cuando el piano de polarizaciOn es paralelo al eje del poiarizador, y un mInimo cuando es perpendicular a él. Si usted hace esto mientras observa el firmamento, de preferencia en nguio recto a Ia dirección del Sol, vera que Ia Luz del firmamento está polarizada. (La luz solar directa no está polarizada, pero no yea directamente ai Sol inciuso a través de

-

Luz no polarizada

Polarizado'

Luz polarizada

Dirección de La luz

'0

L0

un poiarizador, pues pueden ocurrir danos en los ojos.) Si Ia iuz transmitida por un analizador cae a cero en una orientaciOn, entonces esté 100 por ciento polarizada plana. Si solo alcanza un mInimo, La Iuz está parcialmente polarizada. La iuz no polarizada consiste en direcciones de polarización a! azar. Cada una de esas direcciones de polarizaciOn puede separarse en componentes a lo largo de dos di-

recciones mutuamente perpendiculares. En promedio, un rayo no polarizado puede imaginarse como dos rayos polarizados pianos de igual magriitud perpendiculares entre si. Cuando luz no polarizada pasa por un polarizador, una de las componentes es eliminada. La intensidad de La luz que pasa es reducida a Ia mitad ya que es eliminada

FIGURA 36-34

La mitad de ella I = Jo (figura 36-34). Cuando dos polarizadores estan cruzados, esto es, sus ejes son perpendiculares en-

reduce a La mitad.

tre si, la Iuz no polarizada puede ser totalmente detenida. Como se muestra en la figura 36-35, Ia luz no polarizada es polarizada plana por el primer Polaroid (el poiarizador). El segundo Polaroid, el analizador, elimina entonces esta componente ya que su eje es perpendicular ai primero. Usted puede ensayar esto con anteojos poiarizados (figura 36-36). NOtese que los anteojos polarizados eliminan 50% de La luz no polarizada debido a su propiedad poiarizante; ellos absorben aOn más por estar coloreados.

Luz no polarizada tiene componentes vertical y horizontal. Después de pasar por un polarizador, una de esas componentes es eliminada. La intensidad de Ia Iuz se

La ecuaciOn 36-21 se llama a menudo ley de Malus, en honor a Etienne MaLus, un contemporáneo de Fresnel.

908

CAP1TULO 36


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Analizador (eje horizontal)

Polarizador (eje vertical)

-Luz no polarizada

FIGURA 36-35

-

-

Dirección de Ia luz

''!i liii

Ninguna 'uz

Luz polarizada plana

Polarizadores cruzados eliminan completamente Ia Iuz. Polarizadores cruzados. Cuando los dos anteojos solares polarizados se traslapan, con ejes perpendiculares, casi no pasa luz. FIGURA 36-36

Dos polarizadores a 600. Luz no polarizada pasa por dos polarizadores; el eje de uno es vertical y el del otro está a 60° respecto a Ia vertical. ,Cuál

es Ia orientaciOn e intensidad de Ia luz transmitida?

El primer polarizador elimma Ia mitad de la luz por 10 que Ia intensidad La Iuz que Ilega a! segundo polarizador está verticalmente polarizada y reducida en intensidad (ecuaciOn 36-21) a SOLUCION

se reduce a Ia mitad: I =

'2 = 11(cos 600)2 = Ii. AsI, 12 = 1. La luz transmitida tiene una intensidad de un octavo de la original y está polarizada plana a 60° respecto a La vertical.

EJEMPLO CONCEPTUAL 36-10 Tres polarizadores. Vimos en Ia figura 36-35 que cuando luz no polarizada incide sobre dos polarizadores cruzados (ejes a 90°), ninguna luz pasa por ellos. Qué sucede si Ufl tercer polarizador, con eje a 45° respecto a cada uno de Los otros dos, es colocado entre ellos? RESPUESTA

Comenzamos justo como en el ejemplo 36-9. El primer polarizador cam-

bia Ia luz no polarizada a polarizada plana y reduce Ia intensidad de 1 a I = I. El

segundo polarizador reduce adicionalmente Ia intensidad en (cos 450)2, ecuaciOn 36-21:

'2 = 11(cos45°)2 = 1i =

1o.

La Luz que deja el segundo polarizador est polarizada plana a 45° (figura 36-37) respecto a! tercer polarizador, por lo que el ililtimo reduce Ia intensidad a

13 = 12(cos45°)2 =

lj

FIGURA 36-37

Ejemplo 36-10.

Dirección de La lu

o 13 = 1. AsI, de Ia intensidad original es transmitida. Pero si no poriemos el polarizador a 45°, resultará una intensidad cero (figura 36-35). El polarizador a 45° debe insertarse entre los otros dos para que haya transmisión. Si lo ponemos antes o después de los otros dos, la intensidad resultante será cero.

Jo

Io

Un uso importante de los polarizadores es en una carátula de cristal lIqwdo (LCD).

Los LCD se usan en muchas aplicaciones, desde relojes digitales hasta en pequeflos televisores. Cada pixel (elemento graficador) consiste en un pequefio cristal lIquido contenido entre dos placas de vidrio cuyas superficies exteriores tienen una peilcula delgada de polarizador. Los cristales IIquidos son materiales que, a temperatura ambiente, existen en una fase que no es ni totalmente sOlida ni totalmente lIquida. Los de utilidad están compuestos de moléculas en forma de barras que interactüan sOlo débilmente entre 51 y tienden a alinearse una con otra. La dirección total de alineamiento se puede controlar usando campos eléctricos. Cada pixel puede ser brillante u oscuro dependiendo de ese alineamiento relativo a los polarizadores en los extremos. Las carátulas de color se pueden obtener usando filtros de colores. SECCION 36-11

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PolarizaciOn

909

Polarización or reflexión Otra manera de producir luz polarizada a partir de luz sin polarizar es por reflexiOn.

La luz reflejada por una superficie no metálica, como Ia superficie lisa del agua en un lago, está parcialmente polarizada paralelamente a Ia superficie. FIGURA 36-38

FotografIas de un rio, (a) permitiendo que toda Ia luz entre en Ia lente de Ia cámara, y (b) usando un polarizador ajustable para absorber Ia mayorIa de Ia luz (polarizada) reflejada desde la superficie del agua, permitiendo que Ia luz más tenue del fondo del rio, y cuaLquier pez que se encuentre ahf, puedan ser más fácilmente vistos.

Cuando Ia Iuz toca una superficie no metálica a un ángulo diferente a la perpendicular, el rayo reflejado es polarizado preferencialmente en el piano paralelo a la superficie, figura 36-38. En otras palabras, la componente con polarización en el plano perpendicular a Ia superficie es preferencialmente transmitida o absorbida. Usted puede verificar esto girando lentes Polaroid contra el Sol mientras ye a través de ellos Ia superficie plana de un lago o de un camino. Como Ia mayor parte de las superficies exteriores son horizontales, las lentes Polaroid se hacen con sus ejes verticales para eliminar la componente horizontal más fuertemente reflejada, y reducir asI la luz deslumbrante. Los pescadores usan anteojos Polaroid para eliminar la Iuz deslumbrante reflejada por Ia superficie de un Iago o una corriente y ver lo que hay debajo del agua con mayor claridad (figura 36-39).

FIGURA 36-39

En Ia luz reflejada es polarizada plana paralelamente a Ia superficie, y O + 0r = 900, donde °r es el ángulo de refracción. (Los puntos grandes representan vibraciones perpendiculares a Ia pagina.) FIGURA 36-40

I

0

r- 0

(b)

(a)

La cantidad de polarizaciOn en el rayo reflejado depende del ángulo, que varIa de no polarizaciOn a incidencia normal hasta 100% de polarización a un ángulo conocido como el ánguio de polarización, O Este ángulo está relacionado con el indice de refracción de los dos materiales a cada lado de Ia frontera por Ia ecuaciOn

tanO =

'

(36-22a)

donde n1 es el indice de refracciOn del material en ci que ci rayo est viajando, y n2 es el del medio más allá de la frontera reflectante. Si ci rayo estS viajando en aire, n1 = 1, y la ecuación 36-22a resulta ser (36-22b) tan6 = n. El ánguio de polarizaciOn O es Ilamado también ángulo de Brewster, y las ecuaciones 36-22 se conocen como Ia ley de Brewster, en honor del fIsico escocés David Brewster (1781-1868), quien las dedujo experimentalmente en 1812. Las ecuaciones 36-22 pueden ser obtenidas a partir de Ia teorla de las ondas electromagnéticas de Ia luz. Es interesante que bajo el ángulo de Brewster, los rayos reflejados y transmitidos forman un ángulo de 90° entre si; esto es, O + °r = 90°, figura 36-40. Esto puede verse sustituyendo Ia ecuaciOn 36-22a, n2 = n tan O = n1 sen 0/cos O,, en Ia ley de Snell, n1 senOr = n2senOr, y obtener cos O = sen 6 que solo se cumple si O = 90° -

Angulo de polarización. (a) ,A qué ngulo de incidencia es Ia iuz soiar reejaua por un lago polarizado piano? (b) ,Cuál es el angulo de refracción? SOLUCION (a) Usamos la ecuación 36-22b con n = 1.33, por lo que tan 0 = 1.33 y O = 53.1°. (b) fir = 90.0° - 0p = 36.9°. tsolo una fracción de Ia luz incidente es reflejada en La superficie del medio transparente. Aunque esta luz reel resto de Ia luz, que es transmitida al nuevo medio, está solo flejada es 100 por ciento polarizada (Si 0 = parcialmente polarizado.

910

CAPITULO 36


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*

Luz solar no polarizada

Dispersion de Ia Iuz por Ia atmósfera

Molécula

02 oN2

Las puestas de Sot son rojas, el cielo es azul, y Ia iuz del firmamento está polarizada (por lo menos parcialmente). Estos fenOmenos pueden explicarse con base en Ia dispersión de Ia luz por las moléculas de Ia atmOsfera. En la figura 36-41 vemos iuz no polarizada del Sol incidiendo sobre una molécula de Ia atmOsfera de Ia Tierra. El campo eléctrico de las ondas EM pone las cargas eléctricas dentro de la molécula en movimiento, y Ia molécula absorbe parte de Ia radiaciOn incidente. Como vimos en la secciOn

32-4, las cargas eléctricas oscilantes producen ondas EM. El campo eléctrico de esas ondas está en un piano que incluye La lInea de osciiaciOn. La intensidad es más fuerte a io largo de una lInea perpendicular a Ia oscilaciOn y disminuye a cero a lo largo de Ia IInea de oscilación (secciOn 32-4). En ia figura 36-41 el movimiento de las cargas está separado en dos componentes. Un observador en InguIo recto a Ia direcciOn de Ia luz solar, como se muestra, vera luz polarizada plana porque ninguna luz es emitida a lo largo de Ia lInea de Ia otra componente de Ia oscilaciOn. (Otra manera de entender esto es notar que cuando se mira a lo largo de Ia ilnea de oscilaciOn, uno no ye Ia oscilación, y por consiguiente no ye las ondas hechas por ella. Ademas, Ia onda EM rio produce oscilaciOn a Io largo de su propia direcciOn de movimiento.) Bajo otros ángulos de vision,

ambas componentes estarán presentes; sin embargo, una será mas fuerte por lo que Ia luz aparece parcialmente polarizada. AsI, el proceso de dispersion explica la polarización de la Iuz en el firmamento. La dispersion de Ia luz por Ia atmOsfera de Ia Tierra depende de A. Para particulas mucho más pequenas que Ia longitud de onda de Ia luz (tales como las moléculas de aire), las partIculas serán una obstrucción menor para las longitudes de onda grandes que para las pequeflas. De hecho, Ia dispersion disminuye segOn 1/A4. La iuz azul y Ia violeta son mucho más dispersas que Ia roja y Ia naranja, que es por to que el cielo se ye azul. En la puesta del Sol, los rayos solares pasan a través de una trayectoria mayor en Ia atmOsfera. Mucho del azul ha sido tomado por la dispersion. A Ia luz que Ilega a Ia superficie de Ia Tierra y es reflejada por las nubes y Ia neblina, le falta el azul y es por eso que las puestas de Sol aparezcan rojizas. La dependencia de Ia dispersiOn en 1/A4 es válida sOlo silos objetos dispersores son mucho más pequenos que Ia longitud de onda de Ia luz. Esto es cierto para las moléculas de oxIgeno y nitrOgeno cuyos diametros son aproximadamente de 0.2 nm. Sin embargo, las nubes contienen gotitas o cristales de agua que son mucho mayores que A. Ellas dispersan todas las frecuencias de Ia luz casi uniformemente. For consiguiente las nubes se yen blancas (o grises, si están en Ia sombra).

La Iuz dispersada en ángulos rectos está polarizada plana

Observador FIGURA 36-41 Luz solar no polarizada dispersada por moléculas del aire. Un observador en ángulo recto ye luz polarizada plana, ya que Ia componente de oscilación a lo largo de Ia Ilnea visual no emite luz a lo largo de esa Imnea.

Resumen La difracción Se refiere al hecho de que Ia iuz, al igual que otras ondas, se desvIa alrededor de objetos al pasar por ellos, y se dispersa al pasar por ranuras estrechas. Esta disminución da lugar a un patron de difracciOn debido a la interferencia entre los rayos de luz que viajan diferentes distancias. La luz que pasa por una ranura muy delgada de ancho a, producirá un patrOn con un máximo central bnllante cuyo ancho medio 0 está dado por

La intensidad en cualquier punto del patron de difracciOn por simple ranura puede calcularse usando diagramas de íasor. El mismo procedimiento puede usarse para determinar Ia intensidad del patron producido por dos ranuras.

El patron para interferencia por dos ranuras se puede

describir como una serie de máximos debidos a La interferencia de la luz en las dos ranuras, modificado por una "envolvente" debido a Ia difracciOn en cada ranura.

La naturaleza oridulatoria de la luz limita Ia nitidez o

sen0 = A-. a

flanqueado en ambos lados por lIneas más tenues. Los minimos en el patron de difracción se presentan en

asen0 = mA donde m = 1, 2, 3, ., pero no m = 0 (para el cual el patrOn

resolución de las imágenes. Debido a la difracciOn, no es posible discernir detalles menores que ía longitud de onda de Ia radiaciOn que se esté usando. La amplificación Otil de un

microscopio de luz natural está limitada por Ia difracciOn aproximadamente a 1000X.

tiene su maximo más intenso).

Resumen

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911

Una rejifla de difracción consiste en muchas ranuras o 11neas paratelas, cada una separada de su vecina por una distancia d. Los picos de interferencia constructiva ocurren segUn Ongulos 0 dados por

sen0 =

mA

d

donde m = 0, 1, 2, . Los picos son mucho más brillantes y agudos para una rejilla de difracciOn que para el aparato simple de dos ranuras. El ancho del pico es inversamente proporcional al nOmero total de lmneas en Ia rejilla. Una rejilla (o prisma) de difracciOn se usa en un especiroscopio para separar colores diferentes o para observar espectros de iIneas, ya que para un orden dado m, 0 depende de A. La determinaciOn precisa de la longitud de onda se puede hacer con un espectroscopio por medio de una mediciOn cuidadosa de 0.

En Iuz no polarizada, los vectores de campo eléctrico oscilan transversalmente en todas direcciones. Si el vector

eléctrico oscila sOlo en un piano, se dice que Ia luz está p0-

larizada plana. La luz puede también estar parcialmente

polarizada. Cuando un rayo de luz no polarizada pasa a travOs de una hoja Polaroid, el rayo emergente est polarizado piano. Cuando un rayo de luz está polarizado y pasa a través de un Polaroid, Ia intensidad varfa at ser girado el Polaroid. AsI, un Polaroid puede actuar como polarizador o como analizador. La intensidad de un rayo polarizado piano incidente sobre un Polaroid es reducida por el factor cos2 0

donde 0 es el ánguio entre el eje del Polaroid y el piano micial de polarizaciOn.

La Iuz puede también ser parcial o totalmente polarizada por reIlexión. Si iuz viajando en el aire es reflejada desde un medio con Indice de refracciOn n, el rayo reflejado estar completamente polarizado piano si el ángulo incidente O está dado por tan O, = n. El hecho de que Ia luz puede ser poFarizada muestra que debe ser una onda transversal.

Preq u ntas Las ondas de radio y La luz son ondas electromagneticas. LPor qué podemos oIr un radio detrás de una colina cuando no podemos ver Ia antena transmisora? Ponga una mano cerca del ojo y enfoque La vision a una fuente de luz distante a través de una ranura delgada entre dos dedos. (Ajuste los dedos para obtener el mejor patrOn.) Describa el patron que usted ye. Una ranura rectangular es dos veces tan alta como ancha. ,Se difundirá Ia luz más en el piano horizontal o en el piano vertical? Describa el patron. Explique por qué los patrones de difracciOn son más dificiles de observar con una fuente de luz extendida que con una fuente de luz puntual. Compare también una fuente monocromática con Iuz blanca.

Para difracción por una sola ranura, cuál es el etecto de incrementar (a) el ancho de Ia ranura, (b) Ia longitud de onda? Describa el patrOn de difracciOn por ranura simple producido

cuando Iuz blanca cae sobre una ranura con ancho de (a) 50 nm, (b) 50,000 nm.

,Qué le sucede al patrOn de difracciOn de una ranura simple si todo el aparato está inmerso en (a) agua, (b) en el vacIo, en vez de en el aire? Describa claramente Ia diferencia entre los ángulos 0 y f3, como en Ia ecuaciOn 36-6.

En el patrOn de difracción por ranura simple, ,por qué el primer máximo excéntrico no ocurre en exactamente sen 0 = A/a?

La figura 36-10 muestra un patron de interferencia pot dos ranuras para el caso en que d es mayor que a. Puede ocurrir el caso inverso, cuando d es menor que a? Cuando se toman en cuenta tanto Ia difracciOn como la interferencia en el experimento de doble ranura, analice el efecto de incrementar (a) Ia longitud de onda, (b) Ia separaciOn entre ranuras, (c) el ancho de ranura. 12. Comente sobre las sirnilitudes y diferencias de interferencia por doble ranura y difracciOn por simple ranura. 912

CAPITULO 36

,,Limita La difracciOn Ia resolución de imOgenes formadas por (a) espejos esféricos, (b) espejos pianos? LLos efectos de difracciOn ocurren tanto para imágenes virtuales como para imagenes reales? ,,Cuáles son las ventajas (indique por lo menos dos) del uso de grandes espejos reflectores en los telescopios astronOmicos?

Los átomos tienén diámetros de aproximadamente 10

cm.

Puede La luz visible usarse para "ver" un átomo? Por qué sí o por qué no? ,Qué color de luz visible da Ia mejor resolución en un microscopio? Si se usara luz monocromOtica en un microscopio, ,afectarIa el color La resoluciOn? Comente at respecto. ,PodrIa una rejiila de difracciOn ser ILamada también una rejilla de interferencia? Comente al respecto. Para luz que consiste en longitudes de onda de entre 400 nm y 700 nm, incidiendo normaimente sobre una rejifla de difracciOn, ,para qué Ordenes (si existen) habrIa traslape en et espectro observado? Depende su respuesta del ancho de ranura? ,Cuál es Ia diferencia en los patrones de interferencia formados (i) por dos ranuras separadas 10 cm, y (ii) por una rejilla de difracción que contiene i0 IIneas/cm? Luz blanca incide (a) sobre una rejilla de difracciOn y (b) sobre un prisma. Un arcoiris aparece sobre una pared justo abajo del rayo horizontal incidente en cada caso. tCuál es el color de Ia parte superior del arcoiris en cada caso? Explique por qué hay pequenos picos entre los picos principales producidos pot una rejilla de difracciOn iluminada por Iuz monocromática. Por qué son tan pequefios los picos? LQué nos dice La polarizaciOn acerca de Ia naturaleza de Ia Iuz? COmo puede usted estabiecer si un par de lentes solares estOn polarizados o no? ,Cuál setIa el color del cielo si La Tierra no tuviese atmOsfeta? Si La atmOsfera de Ia Tierra fuese 50 veces más densa de to que es, ,serIa aCm blanca Ia luz del SoL, o serIa de algOn otro color?


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Problemas (I) Si luz de 680 nm incide sobre una ranura de 0.0345 mm de ancho, cuál es el ancho angular del pico central de difracción?

Luz monocromática incide sobre una ranura de 3.00 X i0 mm de ancho. Si el angulo entre las primeras franjas oscuras a cada lado del máximo central es de 37.00 (franja oscura a franja oscura), cuál es la longitud de onda de Ia luz usada? Una luz de longitud de onda de 550 nm incide en una ranura que tiene 3.50 >< i0 mm de ancho. Estime qué tan lejos del máximo central está Ia primera franja maxima de difracciOn

(II) Suponga d = a en un aparato de doble ranura, de modo que las dos ranuras se juntan en una sola de ancho 2a. Muestre que Ia ecuación 36-9 se reduce a Ia ecuaciOn correcta para difracciOn en una ranura.

(II) Dos ranuras de 0.010 mm de ancho están a una distancia de 0.030 mm (centro a centro). Determine (a) el espaciamiento entre franjas de interferencia para Iuz de 550 nm sobre una pantalla a 1.0 m de distancia y (b) Ia distancia entre los dos mInimos de difracciOn a ambos lados del máximo central de Ia envolvente.

,Cuántas franjas están contenidas en eh pico central de di-

si Ia pantalla esta a 10.0 m de distancia.

fracciOn para un patrOn de doble ranura si (a) d = 2.00a, (b)

(II) Una luz monocromatica de longitud de onda de 689 nm incide sobre una ranura. Calcule el ancho de Ia ranura si el ángulo entre las primeras franjas brillantes a cada lado del máximo central es de 38°.

d = 12.Oa, (c) d = 4.50a, (d) 7.20a.

(II) Si una ranura difracta luz de 550 nm de manera que el máximo de difracciOn es de 8.0 cm de ancho sobre una pantaha a 2.50 m de distancia, ,cu8l ser8 el ancho del máximo de

difracción para una Iuz incidiendo con una longitud de onda de 400 nm?

(II) (a) Para una longitud de onda A dada, cuát es el ancho máximo de ranura para el que no habrá mInimos de difracciOn? (b) CuáI es el ancho máximo de ranura para que Ia Iuz visible no exhiba un mInimo de difracciOn?

(11) LDe qué ancho es el pico de difracción central sobre una pantalla situada 3.50 m detrás de una ranura de 0.0655 mm de ancho iluminada por una luz de 400 nm?

(II) Si luz paralela cae sobre una sola ranura de ancho a con un ángulo de 30° respecto a ha normal, describa el patrOn de difracción.

(II) Si se duplica el ancho de una sola ranura, ha intensidad de ha luz que pasa por Ia ranura se duplica. (a) Sin embargo, muestre que Ia intensidad en el centro de ha pantalla crece por un factor de 4. (b) Explique por qué esto no viola Ia conservación de Ia energIa.

(III) (a) Explique por qué los máximos secundarios en el patrón de difracciOn de simple ranura no ocurren precisamente en (b) Diferenciando ha /3/2 = (m + )1T, donde m = 1, 2, 3, ecuación 36-7, muestre que los mOximos secundarios ocurren cuando j3/2 satisface Ia relación tan (/3/2) = /3/2. (c) Trace cuidadosa y precisamente las curvas y = /3/2 y y = tan /3/2. A partir de las intersecciones, determine los valores de /3 para los máximos secundarios primero y segundo. ,CuáI es Ia diferencia en

por ciento de /3/2 = (m + (III) Determine, aproximadamente, el ancho angular a medio máximo (donde I = 1) del pico central de difracciOn para una sola ranura. [Sugerencia: use métodos gráficos o de tanteos; el

problema no puede ser resuelto analIticamente.] Suponga A = 550 nm y a = 2.60 X 10 mm.

Dibuje diagramas de fasores (como en Ia figura 36-8) para el experimento de doble ranura, incluyendo interferencia y difracción. Haga un diagrama para cada uno de varios puntos cruciales en el patrOn (véase ha figura 36lOc) como en el centro, primer mInimo, siguiente mOximo, y a sen 0 = A/a.

(III) (a) Obtenga una expresiOn para Ia intensidad en el patron de interferencia de tres ranuras igualmente espaciadas. Exprésela en términos de 8 = 2ird sen 0/A donde d es Ia distancia entre ranuras adyacentes y suponga que el ancho de cada ranura a A. (b) Muestre que hay sOlo un máximo secundario entre picos principahes.

(1) ,CuáI es el IImite de resolución angular impuesta por difracciOn en el telescopio Monte Wilson de 100 pulgadas (diámetro del espejo) (A = 500 nm)? (II) Dos estrellas a 10 aflos Iuz de distancia son apenas resueltas por un telescopio de 90 cm (diámetro del espejo). Qué tan separadas están las estrellas? Suponga A = 550 nm y que ha resoluciOn está himitada por difracciOn.

(II) La lente normal en una cOmara de 35 mm tiene una longitud focal de 50 mm. Su diámetro de abertura varIa desde un máximo de 25 mm (f/2) hasta un mInimo de 3.0 mm (f/16). Determine el hImite de resoluciOn impuesto por Ia difracción para f/2 y f/16. EspecifIquelo como eh nOmero de hmneas por milImetro resueltas sobre ha pelIcuha. Considere A = 500 nm. (II) Suponga que desea construir un telescopio que pueda resolver detahhes de 7.0 km sobre La Luna que está a 384,000 km de distancia. Usted tiene una lente objetivo con longitud focal de 2.0 m cuyo diámetro es de 11.0 cm. ,Qué longitud focal para eh ocular es necesaria Si SU ojo puede resolver objetos separados 0.10 mm a una distancia de 25 cm? ,Cuál es el lImite de resoluciOn impuesto por el tamaño de La lente objetivo (es decir, por difracciOn)? Use A = 500 nm.

(I) tA qué ángulo producirá una Iuz de 440 nm un m8ximo de tercer orden al incidir sobre una rejilla cuyas ranuras están Separadas 1.35 X

iO cm?

(I) LCuántas hmneas por centimetro tiene una rejilla si el tercer orden ocurre a un ánguho de 13.0° para una Iuz de 650 nm? de difracciOn central contenga precisamente 15 franjas.

(I) Una rejilla tiene 6600 lIneas/cm. ,Cuántos Ordenes espectrahes pueden verse cuando está ihuminada por huz blanca?

(II) Si un patron de doble ranura contiene exactamente 7 franjas en eI pico central de difracción, j,qué puede usted decir acerca del ancho y de ha separaciOn de ha ranura?

(I) Una rejihLa con 3500 lIneas/cm produce una franja de tercer orden a un angulo de 22.0°. Qué longitud de onda de Iuz se est8 usando?

(II) Diseñe un aparato de doble ranura de manera que el pico

Problemas

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913

Una fuente de luz produce lIneas de primer orden cuando incide normalmente sobre una rejilla de difracciOn de 10,000 Iifleas/cm bajo los ángulos 29.8°, 37.7°, 39.6°, y 48.9°. Cuáles son las longitudes de onda? Una luz blanca que contiene longitudes de onda de 400 nm a 750 nm incide sobre una rejilla con 7800 lIneas/cm. De qué ancho es el espectro de primer orden sobre una pantalla alejada a 2.80 m? (II) Demuestre que los espectros de segundo y tercer orden de luz blanca producidos por una rejilla de difracciOn siempre se traslapan. Qué longitudes de onda se traslapan? (H) Dos lfneas espectrales de primer orden se miden con un espectrómetro de 9550 IIneas/cm segOn los ángulos, a cada lado del centro, de +26°38', +41°02', y 26°18', 40°27'. Cuáles son las longitudes de onda correspondientes?

(II) Suponga que los ángulos medidos en el problema 30 se

produjeron cuando el espectrOmetro (pero no Ia fuente) estaba sumergido en agua. Cuáles serIan entonces las longitudes de onda (en el aire)? (II) La lInea de primer orden de luz de 589 nm que incide sobre una rejilla de difracción se observa a un ángulo de 15.5°. ,Qué tan separadas están las ranuras? ,A qué ángulo se observará Ia lInea de tercer orden? (II) Una luz monocromática incide sobre una rejilla de difracciOn de transmisión con un ángulo 4) respecto a La normal. Demuestre que Ia ecuación 36-13 para máximos de difracción debe ser reemplazada por

d(sen4) ± senO) = Explique el signo ±.

mA.

m

= 0,1,2,.

cuando un minimo de difracciOn coincide con un máximo de difracciOn. Sea a el ancho de cada ranura y d Ia separación de las ranuras y muestre (a) que si d = 2a, todos los Ordenes pares (m = 2,4,6,...) están ausentes. (b) Muestre que habrá Ordenes faltantes siempre que

dm1

(I) Dos polarizadores están orientados a 75° entre si. Luz no

polarizada incide sobre ellos. (,Qué fracciOn de Ia intensidad de Ia luz es transmitida? (I) Dos polarizadores están alineados de manera que Ia luz que pasa por ellos es un máximo. ,A qué Ongulo debe estar colocado uno de ellos para que Ia intensidad se reduzca subsecuentemente a Ia mitad?

,Cuál es el ingulo de Brewster para una superficie airevidrio (n = 1.56)? (1) ,Cuál es el lngulo de Brewster para un diamante sumergido en agua si La luz está incidiendo en el diamante mientras viaja en ci agua? ,A qué ángulo deben los ejes de dos polarizadores colocarse para reducir Ia intensidad de La luz incidente no polarizada a (II) El ángulo critico por reflexiOn total interna en una frontera entre dos materiales es de 52°. CuáI es el angulo de Brewster en esta frontera? (II) Cuál serIa el ángulo de Brewster para reflexiones en Ia superficie del agua para luz proveniente de debajo de Ia superficie? Compárelo con el Sngulo para reflexiOn interna total, y con ci ingulo de Brewster para Iuz proveniente de arriba de Ia superficie.

a m2 donde m1 y m2 son enteros. (c) Analice el caso d = a, el lImite en que el espacio entre ranuras se vuelve despreciable. (II) Una luz de 580 nm incide normalmente sobre una rejilla de difracción que tiene d = 3.00a = 1200 nm. (a) Cuántos Ordenes (máximos principales) están presentes? (b) Si Ia rejilla tiene 1.80 cm de ancho, ,cuál es el ancho angular total de cada mdximo principal? (It) Una rejilla de difracción con 6500 lIneas/cm tiene 3.61 cm de ancho. Si una luz con longitudes de onda de cerca de 624 nm incide sobre Ia rejilla, )qué tan cercanas pueden ser dos longitudes de onda para poder ser resueltas en cualquier orden? Qué orden da Ia mejor resoluciOn? (U) Una rejilla de difracciOn tiene 16,000 IIneas en un ancho de 2.4 cm. Determine (a) su potencia de resolución en los Ordenes primero y segundo, y (b) Ia resoluciOn en longitud de onda minima (A) que se puede obtener para A 410 nm. (II) Para una longitud de onda y un ángulo de difracciOn fijos, muestre que Ia potencia de resolución de una rejilla de difracciOn depende del ancho total, Nd, donde N es el nOmero total de ranuras, cada una de ancho d. (II) Determine una fOrmula para Ia diferencia minima en frecuencia, f, que una rejilla de difracciOn puede resolver cuando dos frecuencias,f1 f = f, inciden sobre ella.

CAPITULO 36

(11) Se miden picos de difracciOn de rayos X correspondientes a los primeros tres órdenes (m = 1,2, y 3). ,Se puede determinar La longitud de onda A de los rayos X y ci espaciamiento d de Ia red? Pruebe su respuesta.

(a),(b)?

(II) Ordenes faltantes ocurren para una rejilla de difracciOn

914

(II) Rayos X con longitud de onda de 0.138 nm inciden sobre un cristal cuyos átomos, que se encuentran en pianos, estân a 0.265 nm entre si. Con que angulo deben dirigirse los rayos X para observar el primer máximo de difracciOn? (II) DifracciOn Bragg de primer orden se observa a 26.2° en un cristal con espaciamiento entre átomos de 0.24 nm. (a) tA qué angulo se observará el segundo orden? (b) ,Cul es La longitud de onda de los rayos X?

(II) Dos polarizadores están orientados a 34° entre si. Una luz polarizada a un ángulo de 17.0° respecto a cada polarizador pasa por ambos. ,Qué reducciOn en intensidad tiene lugar? (II) Una luz no polarizada pasa por cinco hojas Polaroid sucesivas, donde el eje de cada una forma un ángulo de 45° con La hoja previa. Cuál es La intensidad del rayo transmitido? (II) Describa cómo girar 90° el piano de polarización de un ra-

yo de luz polarizada plana y producir sOlo un 10% de pérdida en intensidad, usando polarizadores. (III) El porcentaje de polarizaciOn P de un rayo de Iuz parcialmente polarizado es definido como 'max - 'ml,, 'max + 'mix

x

100

donde

e I,,,,, son las intensidades maxima y minima que se obtienen cuando Ia iuz pasa par un polarizador que es girado lentamente. Tal luz se puede considerar como Ia suma de dos rayos desigualmente polarizados en un plano de intensidad 1,,,,, e I,,,,, perpendicularmente entre SI. Demuestre que Ia luz transmitida por un polarizador, cuyo eje forma un ángulo 4) con La dirección en que se obtiene 'ma,,, tiene intensidad 1

+p

cos 24) m,lx

donde p = P/100 es La "polarización fraccional".

DifracciOn y polarización

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Problemas generales ,,A qué angulo sobre ci horizonte está ci Sol cuando Ia luz reflejada por un lago tranquilo estO más fucrtcmente polarizada? Luz no polarizada cac sobre dos hojas polarizadoras cuyos ejes cstán en ánguios rcctos. (a) ,Qué fracción de ia intcnsidad de Ia luz incidentc es transmitida? (b) ,Qué fracciOn es transmitida si se coloca un tcrccr polarizador entre los primcros dos de manera quc su cjc forma un ángulo dc 60° con ci eje del primer polarizador? (c) jQué succdc si ci tcrcer polarizador cstá cnfrcnte de los otros dos? Cuatro polarizadores son colocados en sucesión con sus cjcs vertical, a 30° respecto a ia vertical, a 60° respecto a ia vertical,

Ciiando iuz vioieta de longitud de onda de 415 nm incide sobre

una sola ranura, crea un pico central de difracción que es de

9.20 cm de ancho sobre una pantalla a 2.55 m de distancia. 6Que tan ancha es Ia ranura? Un profesor se encuentra bastante atras de una puerta exterior de 0.88 m de ancho y sopla un silbato de frecuencia 750 Hz. Ignorando reflexiones, estime a qué anguio(s) no es posible escuchar claramente el silbato en ci patio de juego fuera de Ia puerta. Las alas de cierto insecto tienen una serie de lIneas paralelas a través de ellas. Cuando una luz de 460 nm incidente normalmente es reflejada por el ala, ésta se ye brillante al observarla segOn un ánguio de 50°. j,Qué tan separadas están las IIneas? 6Cuántas lIneas por centimetro debe tener una rejilla para que no haya un espectro de segundo orden para cualquier longitud de onda visible? Una luz incide sobre una rejilla de difracciOn con 7500 ilneas por centImetro y ci patron se ye sobre una pantalla localizada a 2.5 m de La rejilla. El rayo de luz incidente consiste en dos longitudes de onda, A1 = 4.4 X i0 m y A2 = 6.3 X iO m. Calcule Ia distancia lineal entre las franjas brillantes de primer orden de esas dos longitudes de onda sobre Ia pantaila.

y a 90°. (a) Calcule qué fracciOn dc Ia luz no polarizada incidentc cs transmitida por los cuatro poiarizadorcs. (b) Pucde Ia Juz

transmitida scr disminuida al quitar uno de ios poiarizadores? Si es asf, cuOi de ellos? (c) ,Puedc Ia intensidad de ia 1w transmitida ser cxtinguida ai quitar los polarizadores? Si cs asI, é,cuOl o cuáies?

A qué ángulo dcbcn colocarse ios ejes de dos polarizadores para reducir Ia intensidad dc la luz incidente no polarizada por un factor adicionai (dcspués que ci primer polarizador ia reduce a Ia mitad) de (a) 25 %, (b) 10%, (c) 1%? Dos poiarizadores están orientados a 40° entre si y 1w polarizada plana incide sobre cilos. Si sOlo 15% dc la iuz pasa por ambos,

Si una iuz paralela cae sobre una sola ranura de ancho a con un ángulo de 20° respecto a la normal, describa ci patron de difracciOn.

Cuando una luz amarilla de sodio, A = 589 nm, incide sobre una rejilla de difracción, su pico de primer orden sobre una pantalia a 60.0 cm de distancia cae a 3.32 cm del pico central. Otra fuente produce una lInea a 3.71 cm del pico central. ,Cuá1 es su longitud de onda? ,Cuántas lIneas/cm hay en la rejilla? iCuál es ci orden espectral más alto que puede verse si una rejilia con 6000 lineas por cm es iluminada con luz laser de 633 nm? Suponga incidencia normal. Dos y sOlo dos Ordenes espectrales compietos pueden verse a cada lado dcl máximo central cuando luz blanca es enviada a trayes de una rejilla de difracciOn. Cuál es el nümcro máximo de lIneas por cm para la rejilla?

Dos de las Ilneas dcl espectro del hidrOgeno atómico tienen

longitudes de onda de 656 nm y 410 nm. Si éstas cacn con mcidencia normal sobre una rejilla con 7600 lIneas por cm, ,cuál será Ia separaciOn angular de las dos longitudes de onda en ci espectro de primer orden? Una luz que incide normalmente sobre una rejilla con 9850 Iineas/cm contiene tres iIneas en ci espectro de primer orden a gulos de 31.2°, 36.4°, y 47.5°. LQué longitudes de onda son éstas?

*

*

cuOl era Ia dirccciOn inicial dc polarizaciOn de Ia iuz incidente? Muestre que si dos fucntes dc iuz igualmcnte intensas producen 1w que esta poiarizada piana, pero con sus pianos de poiarizaciOn perpendiculares entre sí, no pueden producir un patrOn de interferencia aCm si estOn en fase en todo momento. Los aviones de espionajc vucian a alturas cxtremadamcntc altas (25 km) para evitar ser intcrceptados. Sus cOmaras pucdcn discernir objetos tan pcqucfios como de 5 cm. (,CuáI dcbc ser la abcrtura minima de La ientc dc Ia cOmara para dar esta resoluciOn? (Use A = 550 nm.) Rayos X con iongitud de onda de 0.0973 nm son dirigidos a un cristal dcsconocido. El segundo mOximo de difracciOn sc rcgistra a 23.4°. ,Cuá1 es el espaciamicnto cntre los pianos dci cristai? Rayos X dc longitud de onda dc 0.10 nm inciden sobrc una muestra de polvo microcristalino como en La figura 36-29. La mucstra está localizada a 10 cm de Ia pelicula fotográfica. La estructura

cristalina de Ia mucstra tiene un espaciamicnto atOmico de

0.25 nm. Calcule los radios dc Los aniilos de difracciOn correspondientes a Ia dispersiOn dc primcro y segundo orden.

(a) ,Desde qué distancia puede ci ojo humano distinguir las

dos luces delanteras de un auto, separadas entre si 2 m? Considere sOlo efectos de difracciOn y suponga un diOmetro de ojo de 5.0 mm y una longitud de onda de 500 nm. (b) tCuái es Ia separación angular minima que ci ojo puede resolver al observar dos cstrellas, considerando sOlo cfectos de difracciOn? En realidad es dc 1' dc arco. tPor qué no es igual a su rcspuesta en (b)?

Problemas generales

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915

Albert Einstein (1879-1955), una de las grandes mQntes del siglo XX, fue el creador de las teorlas especial y general de Ia relatividad. En este capitulo examinamos Ia teorIa de Ia relatividad especial, que incluye varios resultados no clásicos, entre ellos Ia contracciOn de La longitud, Ia dilatación del tiempo en marcos de referencia móviles, y nuevas formulas para el momento lineal y Ia energIa.

Teorla de Ia relatividad especial fIsica a fines del siglo XIX tenIa tras de si un periodo de gran progreso. Las teorIas desarrolladas en los tres siglos precedentes hablan tenido gran éxito en explicar un amplio rango de fenOmenos naturales. La mecOnica de Newton explicO con gran belleza el movimiento de los objetos sobre La Tierra y en el firmamento. Además, coristituyó Ia base para el tratamiento con éxito de los fluidos, del movimiento ondulatorio, y del sonido. La teorIa cinética explicO el comportamiento de los gases y otros materiales. La teorla del electromagnetismo de Maxwell no sOlo unificO los fenOmenos eléctricos y magnéticos, sino que predijo la existencia de las ondas electromagnéticas (EM), las cuales se comportarIan en todo sentido como la luz, por lo que ésta vino a considerarse como una onda electromagnetica. ParecIa que el mundo natural, visto a través dc los ojos de los fIsicos, estaba muy bien explicado. Quedaban pendierites algunos acertijos, pero se pensaba que pronto serfan explicados usando los principios

La

e

ya conocidos.

FIGURA 37-1

segunda esposa.

Albert Einstein y su

Pero no todo resultO tan sencillo. Más bien, esos pocos acertijos fueron resueltos sOlo gracias a Ia introducciOn, a principios del siglo XX, de dos nuevas teorlas revolucionarias que modificarIan toda nuestra concepciOn de la naturaleza: Ia teorIa de Ia relatividad y Ia teorIa cuánhica. La fIsica como se conocIa a finales del siglo XIX (10 que hemos visto hasta ahora en este libro) es conocida como fIsica clásica. La nueva fIsica que creciO de la gran

revolución a la vuelta del siglo XX se llama ahora fIsica moderna. En este capItulo presentamos La teorfa especial de Ia relatividad que fue primero propuesta por Albert Einstein (1879-1955; figura 37-1) en 1905.

916

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Relatividad qalileana-newtoniana La teorIa de Ia relatividad especial de Einstein tierie que ver con Ia forma en que observamos los eventos, particularmente sobre cómo los objetos y los eventos son observados desde diferentes marcos de referencia. Este tema, por supuesto, ya habla sido explorado por Galileo y Newton. La teorIa de Ia relatividad especial trata con eventos que son observados y medi-

dos desde los llamados marcos de referenda inercial que (secciones 4-2 y 11-9) son marcos de referencia en los que es vélida Ia primera ley de Newton: si un objeto no experimenta ninguna fuerza neta, ci objeto permanece en reposo o continua en movimiento con velocidad constante en lInea recta. Es més fácil analizar objetos cuando son observados y medidos desde marcos inerciales; y Ia Tierra, aunque no es un marco iner-

cial plenamente (gira), es bastante cercana a ello para Ia mayor parte de los fines de modo que podemos considerarla un marco inercial. Los marcos de referencia en rotaciOn o acelerados son marcos no inerciales y no nos ocuparemos de ellos en este capItulo. Un marco de referencia que se mueve con velocidad constante con respecto a un marco inercial es asimismo un marco inercial, ya que las leyes de Newton se cumpien

también en él. Cuando decimos que observamos o hacemos mediciones desde cierto marco de referencia, significa que estamos en reposo en ese marco de referencia. Tanto Galileo como Newton estaban conscientes de lo que ahora ilamamos el

principio de relatividad aplicado a Ia mecánica: las leyes básicas de Ia fIsica son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales. Usted habrá reconocido su validez en Ia vida diana. Por ejemplo, los objetos se mueven de Ia misma manera en un tren o en un aeroplano que se mueve uniformemente (velocidad constante) que como se mueven sobre Ia Tierra. (Esto presupone que no hay vibraciones o bamboleos, pues de otra manera se tendria un marco de referencia no inercial.) Cuando usted camina, toma una taza de sopa, juega pingpong, o deja caer un lápiz sobre el piso al viajar en un tren, en aeroplano o en barco que se mueven a velocidad coristante, los cuerpos se mueven justamente como lo hacen cuando usted esth en reposo sobre la Tierra. Suponga que está en un auto que viaja rápidamente a velocidad constante. Si dentro del auto deja caer una moneda desde Ia altura de la cabeza, i,cOmo caer'á? La moneda cae verticaimente con respecto al auto y toca el piso directamente abajo del punto en que fue liberada, figura

37-2a. (Si arroja Ia moneda por Ia ventana del auto, esto no sucede porque el aire en movimiento la arrastrar hacia atrás con respecto al auto.) Esto es precisamente como los objetos caen en la Tierra (verticalmente) y asI nuestro experimento en el auto en movimiento est de acuerdo con el principio de la relatividad. Sin embargo, nótese en este ejemplo que para un observador sobre Ia Tierra, Ia moneda sigue una trayectoria curva, figura 37-2b. La trayectoria real seguida por la moneda es diferente dependiendo desde qué marco de referencia se observe. Esto no viola el principio de relatividad porque este principio establece que las leyes de la fIsica son las mismas en todos los marcos inerciales. La misma ley de Ia gravedad y las mismas leyes del movimiento se aplican en ambos marcos de referencia. La aceleración de Ia moneda es Ia misma también en ambos marcos de referencia. La diferencia en las figuras 37-2a y b es que en el marco de referencia de Ia Tierra, Ia moneda tiene una velo-

a

a

(a)

(b)

Marco de referenda = auto

Marco de referencia = Tierra

SECCION 37-1

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Una moneda Ia deja caer una persona en un auto en movimiento. (a) En ci marco de referencia del auto, Ia moneda cae hacia abajo en lInea recta. (b) En un marco de referencia fijo sobre Ia Tierra, Ia moneda sigue una trayectoria curva (parabólica). Las vistas superiores muestran el momento de Ia liberación de Ia moneda, y las vistas inferiores Ia muestran un corto tiempo después. FIGURA 37-2

Relatividad galileana-newtoniana

911

cidad inicial (igual a Ia del auto). Las leyes de Ia fIsica predicen entonces que ella Seguirá una trayectoria parabólica como cualquier proyectil. En el marco de referencia del auto, no hay velocidad inicial y las leyes de Ia fIsica predicen que Ia moneda caerá verticalmente. Las leyes son las mismas en ambos marcos de referencia aunque las trayectorias especIficas son diferentes La relatividad galileananewtoniana implica ciertas hipOtesis no demostrables que tienen sentido en Ia experiencia diana. Se supone que las longitudes de los objetos son las mismas en un marco de referencia, asI como en otro y que el tiempo pasa a la misma razón en marcos diferentes de referencia. En mecnica clásica, el espacio y el tiempo son entonces considerados como absolutos: su medición no cambia de un marco de referencia a otro. La masa de un objeto, asI como todas las fuerzas, se supone que son invaniables frente a un cambio del marco de referencia inercial. La posición de un objeto es, por supuesto, diferente cuando se especifica en diferentes marcos de referencia, y lo mismo pasa con Ia velocidad. For ejemplo, una persona puede caminar dentro de un autobOs hacia el frente con una velocidad de 5 km/h. Pero si el autobüs se mueve a 40 km/h con respecto a Ia Tierra, Ia persona se está entonces moviendo con una velocidad de 45 km/h con respecto a Ia Tierra. Sin embargo, Ia aceleración de un cuerpo es La misma en cualquier marco de referencia inercial de acuerdo con Ia mecánica clásica. Esto es debido a que el cambio de velocidad y el intervalo de tiempo serán los mismos. Por ejemplo, Ia persona en el autobüs puede acelerar de 0 a 5 km/h en 1.0 segundos, por lo que a = 5 km/h/s en el marco de referencia del autobüs. Con respecto a Ia Tierra, la aceleraciOn es (45 km/h - 40 km/h)/(1.0 s) = 5 krn/h/s, que es Ia misma. Como ni F, m, ni a cambian de un marco inercial a otro, Ia segunda ley de Newton, F = ma, no cambia tampoco. AsI pues, Ia segunda ley de Newton satisface el principio de relatividad. Se puede mostrar fácilmente que las otras leyes de Ia mecánica también satisfacen el principio de relatividad. Que las leyes de la mecánica sean las mismas en todos los marcos de referencia inerciales implica que ningün marco inercial es especial en algün sentido. Expresamos esta importante conclusion diciendo que todos los marcos de referenda inerciales son equivalentes para la descripción de los fenómenos mecánicos. NingOn marco de referencia inercial es mejor que otro. Un marco de referencia fijo a un automóvil o a un aviOn que viaja a velocidad constante es tan bueno como uno fijo a Ia 'Tierra. Cuando usted viaja con velocidad constante en un automOvil o en un aeroplano, es justarnente tan válido decir que usted está en reposo y que Ia Yierra se mueve, como lo es decir lo contrario. No existe ningOn expenirnento que pueda efectuar para decir qué marco está "realmente" en reposo y cul está moviéndose. AsI entonces, no hay manera de afirmar que un marco de referencia particular esté en reposo absoluto. Sin embargo, en Ia Oltima mitad del siglo XIX surgiO una complicación. Cuando Maxwell presentO su extensa y rnuy exitosa teorIa del electrornagnetismo (capItulo 32), estableciO que La luz puede ser considerada como una onda electromagnetica. Las ecuaciones de Maxwell predijeron que Ia velocidad de la luz c serIa de 3.00 X 108 m/s; y esto es justamente lo que se midió, sin error experimental. Surgio entonces la pregunta: j,en qué marco de referencia tiene la luz precisamente el valor predicho por Ia teorla de Maxwell? Pues se suponIa que la luz tendrIa una velocidad diferente en diferentes marcos de referencia. Por ejemplo, si unos observadores viajaran en una nave espacial con una velocidad de 1.0 x 108 rn/s alejándose de una fuente de luz, podrIamos esperar que ellos midiesen que La velocidad de la luz que los alcanza fuese de 3.0 X 108 m/s - 1.0 x 108 m/s = 2.0 x 108 rn/s. Pero las ecuaciones de Maxwell no contemplan velocidades relativas. Predicen que la velocidad de la Iuz es de c = 3.0 x 108 rn/s. Esto pareciO implicar que debe haber algOn marco de referencia especial donde c tenga este valor. Virnos en los capItulos 15 y 16 del volurnen I que las ondas viajan sobre el agua y a lo largo de cuerdas, y que las ondas acOsticas viajan en el aire y otros materiales.

918

CAPITULO 37

TeorIa de Ia relatividad especial

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Los fIsicos del siglo XIX vieron el mundo material en términos de las Ieyes de Ia mecnica, por lo que era natural que ellos pensaran que la luz también debe viajar en algün medio. Ellos liamaron éter a este medio transparente y supusieron que permeaba todo el espacio.t Por tanto se supuso que la velocidad de Ia luz dada por las ecuaciones de Maxwell debe ser con respecto a! éter. Sin embargo, resu!tO que las ecuaciones de Maxwell no satisfacIan el principio de relatividad. No eran las mismas en todos los marcos de referencia inerciales, tomaban su forma más simple en el marco en que c = 3.00 x 108 m/s; es decir, en un marco de referencia en reposo en el éter. En cualquier otro marco de referencia tenlan que agregarse términos adicionales para tomar en cuenta Ia velocidad relativa. Asi entonces, aunque la mayor parte de las leyes de Ia fisica obedecIan el principio de relatividad, las Ieyes de la electricidad y del magnetismo aparentemente no lo hacIan. Más bien, pareclan preferir un marco de referencia que era mejor que cualquier otro que podrIa ser considerado como absolutamente en reposo. Los cientificos se abocaron a determinar Ia velocidad de Ia Tierra relativa a este marco absoluto, cualquiera que pudiese ser. Se disenaron varios experimentos muy ingeniosos. El más directo fue efectuado por A. A. Michelson y E. W. Morley a finales de Ia década de 1880. Los detalles de este experimento se analizan en Ia siguiente sección. Brevemente, lo que ellos hicieron fue medir la diferencia en Ia velocidad de Ia luz en diferentes direcciones. Esperaban encontrar una diferencia dependiendo de la orientaciOn de su aparato con respecto al éter. Asi como un bote tiene velocidades diferentes relativas a Ia tierra firme cuando se mueve aguas arriba, aguas abajo, o a través de Ia corriente, asI también se esperaba que Ia luz tuviese velocidades diferentes dependiendo de la velocidad del éter con respecto a Ia Tierra.

Tan extraño como pudiese parecer, no detectarori ninguna diferencia. Esto se convirtiO en un gran misterio. Se presentaron varias explicaciones durante varios años, pero condujeron a contradicciones o no fueron comUnmente aceptadas. Entonces, en 1905, Albert Einstein propuso una teoria radicalmente nueva que reconciliaba esos mOltiples problemas de una manera muy sencilla. Pero al mismo tiempo, como pronto veremos, esta teorIa cambió completamente nuestras ideas sobre el espacio y el tiempo.

*

El experimento de Michelson-Morley El experimento de Michelson y Morley fue ideado para medir la velocidad del éter, el medio en que se suponla viajaba la luz, con respecto a la Tierra. Los cientificos esperaban encontrar asI un marco de referencia absoluto, uno que pudiese considerarse en reposo. Una de las posibilidades que los cientificos del siglo XIX consideraron fue que el éter estaba fijo relativo a! Sol corno centro del Universo. Si este fuese el caso (por supuesto, no habla garantIa), Ia velocidad de la Tierra de cerca de 3 X 108 rn/s en su Orbita airededor del Sol producirIa un cambio de 1 parte en i0 en Ia velocidad de Ia luz (3.0 x 108 m/s). Una mediciOn directa de Ia velocidad de La luz con esta precision no era posible. Pero A. A. Michelson, con Ia ayuda de E. W. Morley, fue capaz de usar su interferOmetro (secciOn 35-7) para medir Ia diferencia en Ia velocidad de la luz en diferentes direcciones con esta precision.

tEl medio para las ondas de luz no podrIa ser el aire, ya que Ia luz viaja del So! a Ia Tierra a través de espacio casi vacIo. Por tanto, otro medio fue postulado, que se IlamO éter. El éter no sOlo era transparente, sino que debido a Ia dificultad de detectarlo, se supuso que tenia densidad cero.

*sEccION 37-2

El experimento de Michelson-Morley

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919

_rtr

M1

'V

Viento del éter

Espejo semiplateado Ms Viga 2

11

Fuente

M2

'- v (de la corriente)'

12

Velocidad = +

Velocjdad =

-

L

Rápido (corriente abajo)

Despacio (corriente arriba)

(a)

FIGURA

v'= c2 v2

37-3 El experimento de Michelson-Morley. (a) InterferOmetro de

Michelson. (b) Analogla del bote: el bote 1 va y vuelve a través de Ia corriente; el bote 2 va aguas abajo y de regreso aguas arriba. (c) Cilculo de La velocidad del bote (o haz de luz) viajando perpendicularmente a La corriente (o al viento del éter).

(c)

Este famoso experimento se basa en el principio mostrado en Ia figura 37-3. La parte (a) es un diagrama del interferómetro de Michelson, y se supone que el "viento del dter" se mueve con velocidad v hacia Ia derecha. (Alternativamente, se supone a Ia Tierra moviéndose hacia Ia izquierda con respecto al éter con velocidad v.) La luz de Ia fuente es dividida en dos rayos por el espejo semiplateado M5. Un rayo viaja a! espejo M1 y el otro al espejo M2. Los rayos son reflejados por M1 y M2 y se juntan de nuevo despues de pasar por M5. Los rayos ahora superpuestos interfieren eritre si y Ia resultante es vista por el ojo del observador como un patrOn de interferencia (ya analizado en La sección 35-7).

Si ocurre una interferencia constructiva o destructiva en el centro del patron de interferencia, depende de las fases relativas de los dos rayos después que han viajado por sus trayectorias separadas. Para examinar esto, consideremos una analogIa de un bote desplazandose aguas arriba y aguas abajo, y a través de un rio cuya corriente se mueve con velocidad v, como se muestra en La figura 37-3b. En aguas tranquilas, el bote puede desplazarse con velocidad c (no la velocidad de Ia Iuz en este caso). Primero consideramos el rayo 2 en La figura 37-3a, que viaja paralelamente at "viento del éter". En su viaje de Ms a M2, esperamos que Ia luz viaje con velocidad c + v, justo como un bote que viaja aguas abajo (véase la figura 37-3b) suma La yelocidad del rio a su propia velocidad. Como el rayo viaja una distancia 12, el tiempo que le toma ir de Ms a M2 es t = 12/(c + v). Para hacer el viaje de retorno de M2 a M5, la luz debe moverse contra el viento del éter (como el bote viajando aguas arriba), por lo que su velocidad relativa se espera que sea c - v. El tiempo para el viaje de retorno es /2, ,C - v). El tiempo total requerido por el rayo 2 para viajar de Ms a M2 y de regreso a M5 es

12 12

920

CAPITULO 37

c+v

+

12

c-v


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2/2

c(1 - v2/c2)

Consideremos ahora el rayo 1 que viaja transversalmente al viento del éter. AquI Ia analogla del bote (parte b) es particularmente Otil. El bote va del muelle A al muelle B directamente a través de la corriente. Si el bote se dirige directamente a B, la corriente lo llevará aguas abajo. Para alcanzar el muelle B, el bote debe dirigirse con un Ongulo aguas arriba. El ngu10 preciso depende de las magnitudes de c y v, pero esto no es en sí mismo de interés para nosotros. La parte (c) de Ia figura 37-3 muestra cómo calcular Ia velocidad v' del bote relativa a Ia Tierra cuando éste cruza Ia corriente. Como c, v, y v' forman un triángulo recto, tenemos que v' = Vc2 - v2. El bote tiene Ia misma velocidad cuando regresa. Si ahora aplicamos estos principios al rayo de luz 1 en Ia figura 37-3a, vemos que el rayo viaja con una velocidad \/c2 V2 al ir de Ms a M1 y de regreso. La distancia total viajada es 2/i, por lo que el tiempo requerido por el rayo 1 para ir de ida y vuelta es 211/Vc2 - v2, o

-

21

11 =

Vi

v2/c2

NOtese que el denominador en esta ecuación para contiene una raIz cuadrada, mientras que no Ia contiene para 12. Si 11 = 12 = 1, vemos que el rayo 2 se quedará atrás del rayo 1 por una cantidad 11

=

2 - 11

21( =

1

1

7 \i - v2/c2 Vi - V2/C2)

Si v = 0, entonces zt = 0, y los dos rayos regresarOn en fase ya que estaban inicialmente 0, y los dos rayos regresarOn fuera de fase. Si este en fase. Pero si v 0, entonces cambio de fase de Ia condiciOn v = 0 a aquella para v = v pudiese ser medida, entonces se podrIa determinar v. Pero Ia Tierra no puede ser detenida. Además, no deberfamos ser

it

demasiado rápidos en suponer que las longitudes no son afectadas por el movimiento y suponer por tanto que 1 = 12. Michelson y Morley se dieron cuenta de que podIan detectar la diferencia en fase (suponiendo que v 0) si giraban el aparato 900, pues entonces el patron de interferencia entre los dos rayos deberIa cambiar. En Ia posiciOn girada, el rayo 1 se moverla ahora paralelo al éter y el rayo 2 perpendicular a el. AsI, los papeles se invertirIan y en Ia posición girada los tiempos (designados por primas) serIan 21

c(i - v2/c2)

y

t2-

21

,

c Vi -

v2/c2

La diferencia en tiempo entre los dos rayos en la posición no girada (sin primas) serIa

= '2 -

11

=

21

212

c(i - v2/c2)

c Vi -

En Ia posición girada, la diferencia en tiempo serIa

= t2 -

=

212

21

c Vi - v2/c2

c(i - v2/c2)

Cuando se hace Ia rotación, las franjas del patron de interferencia (secciOn 35-7) se desplazarOn una cantidad determinada por la diferencia:

-

t' =

i 2(1'+12)( 1 - v2/c2

-

1

Vi

- v2/c2 /

*SECCION 37-2

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El experimento de Michelson-Morley

921

Esta expresión puede simplificarse considerablemente si suponemos que v/c << 1. ya que en este caso podemos usar el desarrollo binomial (apéndice A) y obtenemos 1

1

1_v2/c2'12 Y Vi - v2/c2

1+

C

-

C

+ 12)(i

+ c2- - 1 -

1v2 Entonces

1v2

2c2j

(i + 12) Ahora tomamos v = 3.0 X i0 m/s, Ia velocidad de Ia Tierra en su órbita alrededor

del Sol. En los experimentos de Michelson y Morley, los brazos 1 y 12 eran de aproximadamente 11 m de longitud. La diferencia en tiempo serIa entonces de aproximada men te

(22m)(3.0 x i0 rn/s)2 (3.0 x 108 rn/s)3

7.0 >< 1016s.

Para luz visible de longitud de onda A = 5.5 X iO m, la frecuencia serIa f = c/A = (3.0 x 108 rn/s)/(5.5 X iO rn) = 5.5 X 1014 Hz, que significa que las crestas de las ondas pasan por cada punto cada 1/(5.5 X 10Il Hz) = 1.8 X 1015 s. Entonces, con una diferencia de tiempo de 7.0 X 10-16 s, Michelson y Morley deberlan haber notado un mo-

vimiento en el patron de interferencia de (7.0 X 10-16 s)/(i.8 X i05 s) = 0.4 de franja. Ellos podrIan haber detectado esto fácilmente, ya que su aparato era capaz de observar un desplazamiento de franja tan pequeno como 0.01 de franja. Pero no encontraron ningán desplazamiento de franja en absoluto! Fijaron el aparato segOn varias orientaciones. Hicieron observaciones dIa y noche de manera que pudieran tener varias orientaciones con respecto al Sol (debido a Ia rotaciOn de Ia Tierra). Ensayaron en diferentes estaciones del año (la Tierra en diferentes posiciones de su órbita alrededor del Sol) y nunca observaron un desplazamiento importante de franj as.

Este resultado nub fue uno de los grandes acertijos de Ia fIsica a finales del siglo XIX, y explicarlo era un reto difIcil. Una posibilidad de explicar ese resultado nub fue propuesto por G. F. Fitzgerald y H. A. Lorentz (en Ia década de 1890); sugirieron que cualquier longitud (incluido el brazo de un interferOmetro) se contrae por un factor

Vi -

v2/c2) en la dirección del movimiento a través del éter. De acuerdo con Lorentz, esto podrIa deberse al éter afectando las fuerzas entre las moléculas de una sustancia, que se suponIan de naturaleza eléctrica. Esta teorIa fue reemplazada por otra teorIa más completa propuesta por Albert Einstein en 1905, la teorIa de la relatividad especial.

Postulados de Ia teorla de Ia relatividad especial Los problemas que existlan a Ia vuelta del siglo respecto a la teorIa electromagnética y Ia mecánica newtoniana fueron elegantemente resueltos por Ia introducción de Ia teorfa de Ia relatividad de Einstein en 1905. Sin embargo, Einstein aparentemente no estuvo influido directamente por el resultado nub del experimento de MichelsonMorley. Lo que motivO a Einstein fueron ciertas preguntas relativas a la teorIa electromagnética y a las ondas de luz. Por ejemplo, él se preguntO: "Qué verla O si viajara en un rayo de luz?" La respuesta fue que en vez de una onda electromagnetica viajera, él

922

CAPITULO 37


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verIa alternadamente campos eléctricos y magnéticos en reposo cuya magnitud cambia-

rIa en el espacio, pero no cambiarla en el tiempo. Sin embargo, tales campos nunca habIan sido detectados y no eran consistentes con Ia teorIa electromagnética de Maxwell. El concluyó que por consiguiente no era razonable pensar que Ia velocidad de la luz relativa a cualquier observador pudiese reducirse a cero, o de hecho reducirse en absoluto. Esta idea llegO a ser el segundo postulado de su teorIa de la relatividad. Einstein concluyó que las inconsistencias que encontró en la teorIa electromagnética eran debidas a Ia hipótesis de que existIa un espacio absoluto. En su famoso artIculo de 1905, propuso eliminar por completo Ia idea del éter y Ia hipótesis acompafiante de un marco de referencia absoluto en reposo. Esta propuesta fue incorporada en dos postulados. El primer postulado fue una extensiOn del principio newtoniano de relatividad para incluir no solo las leyes de la mecnica, sino también las del resto de la fIsica, incluida Ia electricidad y el magnetismo:

Primer postulado (el principio de relatividad): todas las Ieyes de Ia fIsica tienen Ia misma forma en todos los marcos de referenda. El segundo postulado es consistente con el primero:

Segundo postulado (constancia de Ia velocidad de Ia luz): Ia Iuz se propaga a través del espacio vacIo con una velocidad definida c, en todos los marcos inerciaIe independiente de Ia velocidad de Ia fuente o del observador. Estos dos postulados forman La base de la teorIa de Ia relatividad especial de Einstein. Se llama "especial" para distinguirla de su posterior "teorIa de Ia relatividad general," que trata con marcos de referencia no inerciales (acelerados). La teorIa especial, que es Ia analizada aquI, trata sOlo con marcos inerciales. El segundo postulado puede parecer difIcil de aceptar, pues viola las nociones del sentido comOn. Primero tenemos que pensar que Ia luz viaja a través del espacio vacIo. Sin embargo, renunciar al éter no es muy difIcil, ya que después de todo, nunca ha sido detectado. Pero el segundo postulado también nos dice que Ia velocidad de la luz en el vacIo es siempre la misma, 3.00 x 108 m/s, independientemente de cuál sea Ia velocidad del observador o de la fuente. AsI, una persona acercándose o alejndose de una fuente de luz medirI La misma velocidad para esa Iuz que alguien en reposo con respecto a Ia fuente. Esto entra en conflicto con nuestras nociones diarias, pues esperarlamos tener que sumar Ia velocidad del observador. Parte del problema es que en nuestras experiencias diarias, nunca medimos velocidades tan grandes como Ia de La luz. No podemos esperar entonces que nuestra experiencia diana sea de gran ayuda al tratar con una velocidad tan grande. Por otra parte, el experimento de MichelsonMorley es totalmente consistente con el segundo postulado.t La propuesta de Einstein tiene cierta belleza. Al eliminar Ia idea de un marco de referencia absoluto, fue posible reconciliar Ia mecánica clásica con la teorIa electromagnetica de Maxwell. La velocidad de Ia luz predicha por las ecuaciones de Maxwell es Ia velocidad de la luz en el vacIo en cualquier marco de referencia. La teorIa de Einstein requiriO abandonar las nociones del sentido comOn de espacio y tiempo. En las siguientes secciones examinaremos algurias consecuencias extrañas e interesantes de Ia relatividad especial. En su mayor parte nuestros razonamientos serán simples. Usaremos la técnica que empleO Einstein: imaginaremos situaciones experimentales muy simples en las que se requiere poca matemática. De esta manera, podemos ver muchas de las consecuencias de la teorla de la relatividad, sin implicarnos en cálculos detallados. Einstein IlamO a estos experimentos, "experimentos pensados". A partir de Ia sección 37-8 veremos con más detalle Ia matemática de Ia relatividad.

El experimento de Michelson-Morley puede ser considerado también como evidencia para ei primer postulado, pues se trataba de medir el movimiento de Ia Tierra respecto a un marco de referencia absoluto. Su falla en lograrlo implica Ia ausencia de un marco de referencia preferido.

SECCION 37-3

Postulados de Ia teorIa de Ia relatividad especial

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923

Si mu Ita n e ida d Una de las consecuencias importartes de Ia teorla de la relatividad es que no podemos considerar al tiempo como una cantidad absoluta. Nadie duda que el tiempo fluye hacia adelante y nunca regresa. Pero como veremos en esta secciOn y en Ia siguiente, el intervalo de tiempo entre dos eventos, e incluso que dos eventos sean simultneos, depende del marco de referencia de los observadores. Se dice que dos eventos ocurren simultáneamente silo hacen exactamente a! mismo tiempo. Pero cómo sabemos si dos eventos ocurren precisamente al misrno tiempo? Si ocurren en ci mismo punto del espacio, como dos manzanas cayendo en la cabeza al mismo tiempo, resulta fáci] de determinar. Pero si los dos eventos ocurren en lugares muy distantes uno del otro, es más difIcil saber si los eventos son simultáneos ya que

tenemos que tomar en cuenta el tiempo que toma Ia luz de los eventos en ilegar a

nosotros. Como Ia luz viaja con velocidad finita, una persona que ye dos eventos debe calcular hacia atrás para haliar cundo ocurrieron realmente. Por ejemplo, si se observa que dos eventos ocurren al mismo tiempo, pero uno tuvo lugar ms lejos del observador que el otro, entonces ci más distante debió haber ocurrido antes, y los dos eventos no fueron simultneos. FIGURA 37-4 Un momento después de que ei rayo toca los puntos A y B, los pulsos de luz estn viajando hacia el observador 0, pero 0 "ye" el rayo sOlo cuando Ia luz Ilega a 0.

0

Luz proveniente de los dos eventos

en A yB

01s 4+4l

liJ

02'

I v-

4I

0

FIGURA 37-5 Los observadores 01 y 02, en dos trenes diferentes (dos marcos de referencia diferentes), se mueven con velocidad relativa v. 02

dice que 0 se mueve hacia la derecha (a); 01 dice que 02 se mueve hacia Ia izquierda (b). Ambos puntos de vista son legItimos; todo depende del marco de referencia. 924

CAPTUL0 37

Haremos ahora uso de un simple experimento pensado. Suponemos un observador, llamado 0, localizado exactamente a Ia mitad entre los puntos A y B donde ocurren dos eventos, figura 37-4. Los dos eventos pueden ser rayos que tocan los puntos A y B, como se muestra, o cuaiquier otro tipo de eventos. Para eventos breves como los rayos, sOlo pulsos cortos de luz viajarán hacia afuera desde A y B y llegarn a 0. 0 "ye" los eventos cuando los pulsos de luz Ilegan al punto 0. Si los dos pulsos liegan a 0 al mismo tiempo, entonces los dos eventos tuvieron que ser simultáneos. Esto es asI porque los dos pulsos de luz viajan con Ia misma velocidad (postulado 2), y como Ia distancia OA es igual a OB, ci tiempo en que la luz viaja de A a 0 y de B a 0 debe ser ci mismo. El observador 0 puede entonces establecer con certeza que los dos eventos ocurrieron simultáneamente. For otra parte, si 0 ye Ia luz de un evento antes que Ia del otro, entonces será cierto que el primer evento ocurrió primero. El asunto que queremos realmente examinar es éste: si dos eventos son simultáneos a un observador en un marco de referencia, 1son también simultáneos a otro observador que se mueve con respecto al primero? Liamemos a los observadores 01 y 02 y supongamos que están fijos en los marcos de referencia 1 y 2 que se mueven con velocidad v relativa entre 51. Esos dos marcos de referencia pueden considerarse como si fuesen trenes (figura 37-5). 02 dice que 01 se mueve hacia la derecha con velocidad v, como en Ia figura 37-5a; y 01 dice que 02 se mueve hacia la izquierda con velocidad v, como en la figura 37-Sb. Ambos puntos de vista son legItimos de acuerdo con ci principio de relatividad. (No hay por supuesto ningfin tercer punto de vista que nos diga quién se está moviendo "realmente".)


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37-6 Experimento pensado sobre simultaneidad. Para el observador 02, el marco de referencia de 0 se mueve hacia Ia clerecha. En (a), un rayo toca los dos marcos de referencia en A1 FIGURA

A1 I\.

-9I2

0

y A2, y un segundo rayo toca B1 y B2. (b) Un instante después, Ia Iuz de los dos

02 (a)

9i

L.. 1-

-

-

eventos Ilega a °2 at mismo tiempo, por lo que de acuerdo con el observador 02 los dos rayos de luz Ilegan simultáneamente. Pero en el marco de referenda de 0, Ia luz de B1 ya llegó a 01, mientras que Ia luz de A1 no ha Ilegado aün a 0. Entonces, en el marco de referencia de 0 eI evento en B1 debe hacer precedido al evento en A1. El tiempo noes absoluto.

(b)

Supongamos ahora que ocurren dos eventos que son observados y medidos por ambos observadores. Supongamos de nuevo que los dos eventos son Ia calda de dos rayos y que éstos marcan ambos trenes en el lugar en que to tocan: en A1 y B1 en el tren de 0, y en A2 y B2 en el tren de 02. Por simplicidad, suponemos que 01 se encuentra exactamente entre A1 y B1, y que 02 está a Ia mitad entre A2 y B2. Nos ponemos ahora en un marco de referencia o en el otro, desde el cual hacemos nuestras observaciones y mediciones. Pongámonos en el marco de referencia de 02, por lo que observamos a 01 moviéndose hacia la derecha con velocidad v. Supongamos también que los dos eventos ocurren simultáneamente en el marco de 02 y justo en el instante en que 01 y 02 están sobrepuestos uno at otro, figura 37-6a. Breve lapso después, figura 37-6b, Ia luz de A2 y B2 Ilega a 02 al mismo tiempo (hemos supuesto esto). Como 02 sabe (o mide) que las distancias 02A2 y 02B2 son iguales, 02 sabe que los dos eventos son simultneos en el marco de referencia 02. 1Pero qué observa y mide el observador 0? Desde nuestro marco de referencia (02) podemos predecir que observar 0. Vemos que 01 se mueve hacia Ia derecha durante el tiempo que Ia luz está viajando hacia 01 desde A1 y B1. Como se muestra en Ia figura 37-6b, podemos ver desde nuestro marco de referericia 02 que Ia luz desde B1 ya paso 01, mientras que la luz desde A1 no ha Ilegado todavIa a 01. Por to tanto, es claro que 0 observará Ia luz que viene de B1 antes de que observe la luz que viene de A1. Ahora, el marco de 01 es tan bueno como el de 02. La luz viaja con Ia misma velocidad c para 01 como para 02 (segundo postulado)t; y en el marco de referencia 0, esta yelocidad c es por supuesto Ia misma para Ia Iuz que viaja de A1 a °l como lo es para la luz que viaja de B1 a 01. Además, Ia distancia 01A1 es igual a 01B1. Por consiguiente, como 01 observa La luz de B1 antes que a La luz de A1 (establecimos esto antes desde el marco de referenda 02, figura 37-6b), entonces el observador 0 puede solo concluir que el evento en B1 ocurriO antes que et evento en A1. Los dos eventos no son simultneos para °1, aun cuando lo son para 02.

Encontramos asI que dos eventos que son simultáneos para un observador no son necesariamente simulthneos para un segundo observador. Es tentador preguntar: "Qué observador tiene Ia razón, 01 u 02?" La respuesta, de acuerdo con Ia relatividad, es que ambos tienen razOn. No hay un "mejor" marco de referencia que podamos escoger para determinar qué observador tiene la razOn. Ambos marcos son igualmente buenos. Podemos solo concluir que Ia simultaneidad no es tin concepto absoluto, sino relativo. Sin embargo, no somos conscientes de esto en Ia vida diana, porque el efecto es notable sOlo cuando Ia velocidad relativa de los dos marcos de referencia es muy grande (cercana a c), o las distancias implicadas son muy grandes. tNotese que 01 no se ye a sj misnio alcanzando a un rayo de Iuz y dejando atrás a! otro (este es el punlo de vIsta de 02 de 0 que pasa con 0k). 01 ye ambos rayos de luz viajando con Ia misma velocidad c.

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SECCION 37-4

Simultaneidad

925

Debido a! principio de relatividad, ci razonamiento que dimos para ci experimento pensado de la figura 37-6 puede darse también para el marco de referencia 01. En este caso, 0 estará en reposo y vera ci evento B1 ocurrir antes que el A1. Pero 0 reconocerá (ensáyeio y véalo dibujando un diagrama equivalente a! de Ia figura 37-6) que 02, que se mueve hacia Ia izquierda con velocidad v, vera los dos eventos como simultáneos.

Dilatación d& tiempo y Ia paradoja de los gemelos El hecho de que dos eventos simultaneos a un observador puedan no ser simultáneos a un segundo observador sugiere que el tiempo mismo no sea absoluto. !PodrIa ser que ci tiempo pase en forma diferente a como pasa en otro marco de referencia? Esto es lo que predice la teorIa de la relatividad de Einstein, como muestra ci siguiente experimento pensado. La figura 37-7 muestra una nave espacial viajando frente a la Tierra a gran velocidad. El punto de vista de un observador sobre la nave se muestra en La parte (a) y el de un observador sobre la Tierra en Ia parte (b). Ambos observadores tienen relojes exactos. La persona sobre Ia nave (a) envIa un rayo de luz y mide ci tiempo que toma a Ia luz viajar a través de La nave y regresar después de reflejarse en un espejo. La Iuz viaja una es distancia 2D con velocidad c, por lo que el tiempo requerido, que ilamaremos to =

2D C

Este es el intervalo de tiempo medido por el observador sobre Ia nave espacial. El observador sobre Ia Tierra, figura 37-7b, observa el mismo proceso. Pero para este observador, la nave se está moviendo. Por lo que La luz viaja la trayectoria diagonal mostrada yendo a través de Ia nave, reflejándose en ci espejo, y regresando a La fuente. Aunque La luz viaja con Ia misma velocidad para este observador (segundo postuLado), La dilatación del tiempo se puede mostrar con un experimento pensado: el tiempo que Fe toma a Ia luz viajar de ida y vuelta sobre una nave espacial es mayor para el observador sobre Ia Tierra (b) que para el observador sobre Ia nave espacial (a).

Espejo

FIGURA 37-7

I I D

Fuente de luz

(a)

Receptor

Cronómetro

>1

(b)

Tierra

926

CAPITULO 37


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ella viaja una distancia mayor. Por consiguiente, el tiempo requerido, medido por el observador en La Tierra, será mayor que el medido por el observador en La nave. El intervaJo de tiempo, t, observado por el observador en Ia Tierra se puede calcular como sigue. En el tiempo t, La nave viaja una distancia 2L = v Lt donde v es Ia velocidad de Ia nave (figura 37-7b). La luz viaja entonces una distancia total sobre su trayectoria diagonal de 2\/D2 + L2, y por tanto

c=

2V'D2 + L2

4

Lt

Elevamos aI cuadrado ambos lados y despejamos t; hallamos que 4D2

(t)2 2D c

-

Combinamos esto con Ia fOrmula anterior para

=

t0 (t0 = 2D/c) y encontramos: (37-1)

- v2/c2

Como - v2/c2 es siempre menor que 1, vemos que Lxt > Es decir, el intervalo de tiempo entre los dos eventos (el envIo de Ia luz, y su recepción en la nave) es mayor para el observador en Ia Tierra que para el observador en Ia nave. Este es un resultado general de La teorla de La relatividad, y se conoce como dilatación del tiempo. Establecido simplemente, el efecto de Ia dilataciOn del tiempo dice que

los relojes en movimiento relativo a an observador son medidos por ese observador como andando más lentamente (en comparación con relojes en reposo).

Sin embargo, no debemos pensar que los relojes tienen Ia culpa de alguna manera. El tiempo realmente se mide como transcurriendo más lentamente en cualquier marco de referencia mOviI en comparaciOn con ci suyo propio. Este sorprendente resultado es una consecuencia inevitable de los dos postulados de Ia teorIa de Ia relatividad. El concepto de La dilatación del tiempo puede ser difIcil de aceptar, pues viola nuestro sentido comUn. Podemos ver de Ia ecuaciOn 37-1 que el efecto de la dilataciOn del tiempo es despreciabie a menos que v sea razonabiemente cercana a c. Si v es mucho menor que c, entonces ci término v2/c2 es mucho menor que el 1 en el denominador de la ecuaciOn 37-1, y entonces zt zt0 (véase eL ejemplo 37-2). Las velocidades que experimentamos en La vida diana son mucho menores que c, por Jo que no debe sorprendernos que ordinariamente no notemos Ia dilatación del tiempo. Los experimentos han probado ci efecto de Ia dilataciOn del tiempo, y han confirmado las predicciones de Einstein. Por ejemplo, en 1971, unos relojes atómicos extremadamente precisos fueron transportados airededor del mundo en aviones a reacciOn. La velocidad de Los aviones

(i0 km/h) era mucho menor que c, por Jo que los relojes tenIan que ser exactos en nanosegundos (10-v s) para poder detectar cuaiquier dilatación del tiempo. TenIan esta exactitud y confirmaron Ia ecuaciOn 37-1 dentro del error experimental. Sin embargo, Ia dilataciOn del tiempo habIa sido confirmada décadas antes por observaciones de "partIculas elementales" que tienen masas muy pequefias (tIpicamente 10 a 10-27 kg) y que por ello requieren poca energIa para ser aceleradas a velocidades cercanas a La velocidad de Ia luz, c. Muchas de esas partIculas eLementales no son estables y decaen después de cierto tiempo a partfcuIas ms ligeras. Un ejemplo es ci muOn, cuya vida media es 2.2 s en reposo. Experimentos cuidadosos mostraron que cuando un muOn viaja a altas velocidades, su tiempo de vida se mide más largo que cuando está en reposo, justo como lo predice Ia fOrmula de Ia diiatación del tiempo. SECCION 37-5

DilataciOn del tiempo y Ia paradoja de los gemelos

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927

Vida de un muon en movimiento.

(a) Cui será la vida me-

dia de un muOn medida en el iaboratorio si viaja a v = 0.60c = 1.8 X 108 rn/s con respecto al iaboratorio? Su vida media en reposo es de 2.2 X 10 ja un muOn en ci iaboratorio, en promedio, antes de decaer?

s. (b)

Cuánto via-

(a) Si un observador se moviese junto con el muOn (ci muOn estarIa en reposo respecto a este observador), ci muOn tendria una vida media de 2.2 X 10 s. Para un observador en ei iaboratorio, ci muOn vive ms tiempo debido a la diiataciOn del tiempo. De La ecuaciOn 37-1 con v = 0.60c, tenemos

Solución

zt0

2.2 >< 106s 0.36 c2

.ji

2.2 >< 106s

\0.64

= 2.8 X 106s.

(b) A una velocidad de 1.8 x 108 m/s, La fIsica clásica nos dice que con una vida media de 2.2 ,as, un muOn promedio viajarla d = vi = (1.8 x 108 m/s) (2.2 x 10 s) = 400 m. Pero Ia relatividad predice una distancia promedio de (1.8 x 108 m/s)(2.8 x 10 s) = 500 m, y es esta mayor distancia Ia que se mide experimentaimente.

Tenemos que hacer un comentario acerca del uso de La ecuación 37-1 y ci sigriifirepresenta ci intervaio de cado de tXt y Lt0. La ecuaciOn es verdadera sOlo cuando tiempo entre los dos eventos en un marco de referencia donde ocurren los dos eventos en ci mismo punto en el espacio (como en la figura 37-7a donde los dos eventos son ci envIo y Ia recepciOn del rayo de luz). Este intervalo de tiempo, t0 se Llama tiempo propio. Entonces tXt en La ecuación 37-1 representa ci intervalo de tiempo entre los dos

eventos tai como se miden en un marco de referencia que se mueve con velocidad v con respecto al primero. En ci ejemplo 37-1, t0 (y no t) se hizo igual a 2.2 X 10 s porque es solo en ci marco en reposo dcl muOn que los dos eventos ("nacimiento" y "decaimiento") ocurren en ci mismo punto en ci espacio.

Dilatación del tiempo a 100 km/h. Revisemos Ia dilataciOn del tiempo para veiocidades ordinarias. Un automOvil viajando a 100 km/h recorre una cierta distancia en 10.00 s segOn ci reioj del conductor. Que intervalo de tiempo mide un observador en reposo sobre Ia Tierra?

SOLUCION La velocidad dci automOvil relativa a La Tierra es 100 km/h = (1.00 X iO m)/ (3600 s) = 27.8 m/s. Hacemos t0 = 10.00 s en La fOrmula de dilatación del ticmpo (ci conductor estO en reposo en ci marco de referencia dcl automOvil), y entonces

t es

Lt =

L

10.00 S

10.00 S

to

/

27.8 rn/s

\2

- 8.59 x

10-L5

3.00 x 108m/s) Si usted inserta csos nUmeros en una caicuiadora, obtcndrá it = 10.00 s, ya que ci denominador difiere de 1 por una cantidad muy pequeña. Ciertamente, ci tiempo mcdido por un observador sobre La Tierra no scrIa diferentc del medido por ci conductor, aUn con ci mejor de Los instrumentos actuales. Una computadora que pudiese calcular

con un gran nOmero de lugares decimaies revciarIa una diferencia entre tt y RESOLUCION DE PROBLEMAS

Pero podemos estimar ia diferencia bastantc fácilmente usando ci desarrollo binomial (apéndicc A),

(1 ± x) 928

CAPiTULO 37

1 ± nx.

Teoria de Ia relatividad especial

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[para x << 1]

En nuestra fOrmula para Ia dilataciOn del tiempo, tenemos el factor (1 - v2/c2)_. Entonces

/

v2\_

= Lt0 1--c2j \

1

10.00 SI 1 L

(

1 v2

Lt0I1+--2cj \

1 ( 27.8 rn/s \2] + -2 I\3.00>< 108m/sJ j

-

1O.00s + 4 X 10 '5s.

I

La diferencia entre t y it es entonces predicha igual a 4 trernadamente pequena.

X

10-15 s, una cantidad ex-

La dilataciOn del tiempo ha despertado interesantes especulaciones acerca del viaje espacial. De acuerdo con Ia fIsica clásica (newtoniana), alcanzar una estrella a 100 años luz no serIa posible para mortales ordinarios (1 año luzes Ia distancia que Ia luz viaja en un aflo = 3.0 x 108 rn/s x 3.15 x iO s = 9.5 X 10b m). Aun si una nave pudiese viajar con velocidad cercana a Ia de Ia luz, le tomarIa rnás de 100 años Ilegar a una tal estrella. Pero Ia dilatación del tiempo nos dice que el tiempo implicado serla menor para un astronauta. En una nave espacial viajando a v = 0.999c, el tiempo para un tal viaje serfa de sOlo t0 = t\/1 - z/c2 = (100 anos)Vi - (0.999)2 = 4.5 años. La dilataciOn del tiempo permite asI tal viaje, pero los enormes problernas prácticos de alcanzar tales velocidades no serán superados en el futuro cercano. Nótese en este ejemplo que mientras 100 aflos pasarIan en Ia Tierra, sOlo pasanan 4.5 años para el astronauta en el viaje. LE5 que los relojes se retrasarfan para el astronauta? La respuesta es que no. Todos los procesos, incluidos el envejecimiento y otros procesos biolOgicos transcurren más lentamente para e] astronauta de acuerdo con el observador en La Tierra. Pero para el astronauta, el tiempo pasarIa de manera normal. El astronauta experimentarIa 4.5 años de dormir, corner, leer, etc., normales. Y Ia gente en Ia Tierra experimentarIa 100 años de actividad ordinaria. Poco después de que Einstein propuso la teorIa de Ia relatividad especial, fue señalada una aparente paradoja. De acuerdo con esta paradoja de los gemelos, suponga que uno de un par de gemelos de 20 aflos de edad emprende un viaje con muy alta velocidad a una estrella distarite y de regreso a Ia Tierra, mientras el otro gemelo permanece aquf. De acuerdo con el gernelo en Ia Tierra, el gernelo viajero envejecerá menos. En tanto que 20 aflos podrIan pasar para el gernelo en Ia Tierra, tal vez sOlo 1 año (dependiendo de la velocidad de la nave) pasarIa para el gemelo viajero. Entonces, cuando el viajero retornase, el gemelo en la Tierra tendrIa 40 años de edad mientras que el gemelo viajero tendrIa solo 21 aflos.

Este es el punto de vista del gernelo en Ia Tierra. Pero, quë pensarfa el gemelo viajero? Si todos los marcos de referencia irierciales son igualmente buenos, ,no podrIa el gemelo viajero pensar lo rnismo que el gemelo en Ia Tierra, pero sOlo que a! revés? No puede el gemelo astronauta afirmar que corno Ia Tierra se est alejando con alta velocidad, el tiempo pasa más lentamente en La Tierra y que el gemelo ahI envejecerá menos? Esto es lo opuesto de lo que el gemelo en Ia Tierra predice. Ellos no pueden arnbos tener razón, pues después de todo Ia nave regresa a Ia Tierra y una comparacion directa de edades y relojes puede efectuarse. Sin embargo, no existe ninguna paradoja. Las consecuencias de la teorIa especial de Ia relatividad, en este caso, la dilataciOn del tiempo, sOlo pueden aplicarse por ob-

servadores en marcos de referencia inerciales. La Tierra es tal marco (o casi uno),

mientraS que Ia nave no lo es. La nave acelera al principio y final de su viaje y, lo que es rnás importante, cuando lo hace a! regresar, en el punto rnás distante de su viaje. Durante esos periodos de aceleraciOn, el gemelo en la nave no está manteniendo un marco de referencia inercial permanente, por lo que las predicciones del gemelo astronauta basada en Ia relatividad especial no son válidas. El gemelo en la Tierra está en un marco inercial y puede hacer predicciones válidas. No hay entonces una paradoja. El punto de vista del gemelo viajero expresado arriba no es correcto. Las predicciones del gemelo en Ia Tierra son vglidas de acuerdo con Ia teorIa de la relatividad, y Ia predicciOn de que el gemelo viajero regresa con menos aflos es La apropiada. La teorIa de Ia relatividad general, que trata con marcos de referencia acelerados, confirma este resultado. SECCION 37-5

DilataciOn del tiempo y Ia paradoja de los gemelos

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929

FIGURA 37-8 (a) Una nave espacial viajando con muy alta velocidad de La Tierra a Neptuno, vista desde ci marco de referencia de Ia Tierra. (b) Vistos por un observador sobre Ia nave, Neptuno y Ia Tierra están moviéndose a muy alta velocidad i La Tierra se aleja de Ia nave y un tiempo después el planeta Neptuno se acerca a Ia nave. [NOtese que desde La nave, parte (b), cada planeta no se ye acortado porque a altas velocidades Los observadores yen el borde gula (como en La figura 37-10), y ci efecto neto es dejar su apariencia como un cIrculo.]

Tierra

Neptuno

*v

V

Tierra

Neptuno

Contracción de Ia Ionciitud No solo los intervalos de tiempo son diferentes en diferentes marcos de referencia. Los intervalos espaciales, longitudes y distancias, son también diferentes de acuerdo con Ia teorla de La relatividad especial; ilustraremos esto con un experimento pensado. Los observadores en La Tierra yen una nave espaciaL viajando con velocidad v de La Tierra a, digamos, Neptuno, figura 37-8a. La distancia entre los planetas, medida por los observadores en Ia Tierra, es L0. El tiempo requerido para ci viaje, medido desde Ia Tierra, es t = L0/v. En Ia figura 37-8b vemos ci punto de vista de observadores sobre la nave espacial. En este marco de referencia, la nave espacial está en reposo; Ia Tierra y Neptuno se mueven con velocidad v. (Suponemos que v es mucho mayor que la yelocidad relativa de Neptuno y Ia Tierra, por lo que La Oltima puede ser despreciada.) El tiempo entre Ia partida de Ia Tierra y la Ilegada a Neptuno (observado desde la nave) es ci "tiempo propio" (ya que los dos eventos ocurren en el mismo punto del espacio, es decir, sobre Ia nave espacial). For tanto, ci intervalo de tiempo es menor para los observadores en La nave que para los observadores en Ia Tierra, debido a la dilataciOn del tiempo. = Lt\/1 - v2/c2. Dc Ia ecuación 37-1, ci tiempo para ci viaje visto desde Ia nave es Como los observadores en Ia nave miden La misma velocidad pero menos tiempo entre esos dos eventos, ellos deben tambiéri medir una menor distancia. Si L es Ia distancia entre los planetas vista ésta por los observadores en La nave, entonces L = v t0. Ya hemos visto que t0 = tVi - v2/c2 y Lt = L0/v, entonces tenemos que L = v ito = v

- v2/c2 = L0\/1 - v2/c2. Es decir, L = L0

v2

(37-2)

Este es un resultado general de La teorIa de La relatividad especial y se aplica a longitudes de objetos asI como a distancias. El resultado se puede establecer simplemente en palabras como:

Ia longitud de un objeto es más corta cuando se mueve respecto al observador que cuando está en reposo. Esto se llama contracción de Ia longitud. La longitud L0 en la ecuación 37-2 se llama Iongitud propia. Es Ia longitud del objeto (o distancia entre dos puntos cuyas posiciones son

medidas al mismo tiempo) segOn es determinada por observadores en reposo con respecto a éi. La ecuaciOn 37-2 da Ia longitud L que será medida por observadores cuando el objeto pasa frente a ellos con velocidad v. Sin embargo, es importante notar que Ia coritracción de Ia longitud ocurre solo a lo largo de Ia dirección del movimiento. Por ejempio, La nave espacial en la figura 37-8a se acorta en longitud, pero su altura es la misma que cuando está en reposo. La contracciOn de la Longitud, como La dilataciOn del tiempo, no es apreciable en Ia vida diana porque el factor \/1 - v2/c2 en La ecuaciOn 37-2 difiere de 1.00 significativamente sOlo cuando v es muy grande. 930

CAPITULO 37


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Contracción de un cuadro Uria pintura rectangular mide 1.00 m de altura y 1.50 m de ancho, y cuelga de una pared lateral de una nave espacial que se mueve frente a Ia Tierra con una velocidad de 0.90c. Véase Ia figura 37-9a. (a) jCules son las dimensiones de Ia pintura de acuerdo con el capitán de Ia nave espacial? (b) ,Cuáles son las dimensiones vistas por un observador sobre la Tierra?

(a) La pintura (como todo lo demás en La nave) es vista perfectamente normal por todas las personas en La nave, por lo que el capitán ye una pintura de 1.00 m por 1.50 m. (b) Solo es acortada la dimensiOn en La direcciOn del movimiento, por lo que la altura se mantiene sin cambio en 1.00 m, figura 37-9b. Sin embargo, la longitud se contrae a

m

SOLUCION

L

(0.90)2 =

X

'I

T

1 00

0.65m.

Las dimensiones de Ia pintura son entonces 1.00 m

l.50m

(a)

L = L0

= (1.50m)\/1 -

I I

1 00

m

I

0.65 m.

La apariencia de los objetos que se mueven con velocidad relativIstica La ecuación 37-2 nos dice cul será Ia longitud medida de mt objeto cuando éste viaje

(b) FIGURA 37-9

Ejemplo 37-3.

con velocidad v. La apariencia del objeto es otro asunto. Por ejemplo, supongamos que

usted está viajando hacia Ia izquierda frente a un pequeflo edificio con velocidad v = 0.85c. Esto es equivalente a que el edificio se mueva frente a usted hacia Ia derecha con velocidad v. El edificio se vera mas estrecho (de Ia misma attura), pero también podrá ver el lado del edificio aun si está directamente enfrente de él. Esto se muestra en La figura 37-lOb; Ia parte (a) muestra el edificio en reposo. El hecho de que usted yea el lado del edificio no es realmente un efecto relativIstico, sino es debido a Ia velocidad finita de Ia luz. Para ver cOmo ocurre esto, nos fijamos en La figura 37-lOc que es una vista superior del edificio visto desde arriba. En el instante mostrado, el observador 0 está directamente enfrente del edificio. La luz de los puntos A y B Ilegan a 0 al mismo tiempo. Si el edificio estuviese en reposo, La luz del punto C nunca llegarIa a 0. Pero el edificio se mueve con velocidad muy alta y "se quita del camino" de manera que C SI puede llegar a 0. En el instante mostrado, Ia luz del punto C, cuando estaba en una posición previa (C' en el diagrama), puede Ilegar a 0 porque el edificio se ha movido. Para liegar al observador al mismo tiempo que la luz de A y B, Ia Iuz de C tuvo que partir en un tiempo anterior ya que debe viajar una distancia mayor. AsI entonces, es La luz de C' Ia que Ilega aL observador al mismo tiempo que La luz de A y B. Asi es como un observador podrIa ver el frente y el lado de un objeto al mismo tiempo aun cuando esté directamente frente a éI. Por el mismo razonamiento puede mostrarse que objetos esféricos tendrán adn un perfil circular a altas velocidades. Por eso, Los planetas en La figura 37-Sb están dibujados redondos en vez de contraidos. tSerIa un error pensar que el edificio en a figura 37-lOb se veria girado. Esto no es correcto ya que en ese Caso el lado A Se verla más corto que el lado B. De hecho, si el observador está directamente enfrente, esos lados aparecen de Ia misma altura. Asi, el edificio se ye contraIdo en su cara frontal. pero también vemos el lado, como se describio arriba. Adems, aunque no se muestra en Ia figura 37-lOb, las paredes del edificio aparecerIan curvas, debido a las diferentes distancias del ojo del observador a los varios puntos, de Ia parte superior a Ia base a lo largo de una pared vertical.

B

FIGURA 37-10 Edificio visto (a) en reposo y (b) moviéndose a aLta velocidad. (c) EL diagrama expLica porqué el

A

C

I

111

lado del edificio se alcanza a ver (véase el texto).

JI (a)

(b)

(c)

SECCION 37-6

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ContracciOn de Ia longitud

931

Espacio-tiempo en cuatro dimensiones Irnaginemos una persona en un tren que se mueve a muy alta velocidad, digamos a 0.65c, figura 37-11. Esta persona comienza a corner a las 7:00 y terrnina a las 7:15, de acuerdo con un reloj en el tren. Los dos eventos, principio y fin de la comida, tienen lugar en el mismo punto del tren. El tiempo entre esos dos eventos es entonces de 15 minutos. Para observadores en Ia Tierra, [a comida tardará más, 20 minutos de acuerdo con Ia ecuación 37-1. Supongarnos que La comida fue servida en un plato de 20 cm de diámetro. Para observadores sobre Ia Tierra, el plato es de sOlo 15 cm de ancho (contracción de la longitud). Para observadores en [a Tierra, Ia comida se ye más pequena pero dura rnás. En cierto sentido, esos dos efectos, la dilataciOn del tiempo y la contracción de La longitud, se equilibran uno con el otro. Cuando se yen desde Ia Tierra, lo que Ia comi-

De acuerdo con un reloj exacto sobre un tren que viaja a alta velocidad, una persona (a) comienza a cenar a las 7:00 y (b) termina de cenar a las 7:15. Al principio de Ia cena, los observadores sobre Ia Tierra ponen sus relojes de acuerdo con el reloj del tren. Esos observadores miden el tiempo de Ia cena igual a 20 minutos. FIGURA 37-11

cia parece perder en tarnaño lo gana en el tiempo que clura. El espacio, o longitud, es intercambiado por tiempo. Consideraciones como éstas conducen a la idea de un espacio-tiempo cuatridimensional: el espacio toma tres dirnensiones y el tiempo es una cuarta dimensiOn. El espacio y ci tiempo están Intimamente relacionados. Tat como cuando oprimimos un globo y hacemos una dimension mayor y otra rnás pequena, cuando examinamos objetos y eventos desde diferentes marcos de referencia, una cierta cantidad de espacio es intercambiado por tiempo, y viceversa. Aunque Ia idea de cuatro dimensiones puede parecer extraña, se refiere meramente al hecho de que cualquier objeto o evento es especificado por cuatro cantidades, tres para describir dOnde en el espacio, y una para describir cuándo en el tiempo. El aspecto verdaderamente insOlito del espacio-tiempo cuatridimensional es que el espacio y ci tiempo se pueden entremezclar: un poco de uno se puede intercambiar por un poco del otro cuando se cambia el marco de referencia. Es dificil para Ia mayorIa de nosotros entender Ia idea del espacio-tiernpo cuatridimensional. Dc alguna manera sentimos, tat como los fIsicos lo sentlan antes del advenimiento de la relatividad, que el espacio y el tiempo son entidades completamente separadas. Sin embargo, hemos encontrado en nuestros experimentos pensados que no son completamente separadas. Nuestra dificultad en aceptar esto es reminiscencia de Ia situaciOn que prevalecIa en el siglo XVII, en ta epoca de Galileo y Newton. Antes de Galileo, Ia direcciOn vertical, en La que caen los objetos, era considerada diferente de las dos dimensiones horizontales. Galileo mostrO que La dimensiOn vertical difiere sOlo en que ella es la dirección en que actOa Ia gravedad. Dc otro modo, las tres dimensiones son equivalentes, un punto de vista que aceptamos actualmente. Ahora se nos pide que aceptemos una dimension más, el tiempo, que habIamos pensado como diferente en algOn sentido. Esto no quiere decir que no haya distinciOn entre ci espacio y ci tiempo. Lo que Ia re[atividad ha mostrado es que las determinaciones del espacio y el tiempo no son independientes una de otra.

Transformaciones de Galileo v de Lorentz Examinaremos ahora con detalle La matemOtica de cantidades retacionadas en un marco de referencia inercial con Las cantidades equivalentes en otro. En particular, veremos cOmo las posiciones y las velocidades se transforman (es decir, cambian) de un marco a otro. El marco inercial de referencia S' se mueve hacia Ia derecha con velocidad v respecto al

y

FIGURA 37-12

5,

S

V

marco S.

.p Vt

x

932

CAPiTULO 37


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Comenzamos con el punto de vista clásico 0 galileano. Consideremos dos marcos de referencia S y 5' que est caracterizado cada uno por un conj unto de ejes coordenados, figura 37-12. Los ejes x y y (el z no se muestra) se refieren a S y x' y y' a 5'. Los ejes x y x'se traslapan sobre si, y suponemos que el marco 5' se mueve hacia la derecha (en Ia dirección x) con velocidad v con respecto a S. Y por simplicidad suponemos los orIgenes 0 y O'de los dos marcos de referencia superpuestos en el tiempo t = 0. Consideremos ahora un evento que ocurre en algdn punto P (figura 37-12) representado por las coordenadas x yç z'en el marco de referencia 5' en el tiempo t'. Cules serán las coordenadas de P en S? Como S y S' se traslapan exactamente a! principio, después de un tiempo t', 5' se habrá movido una distancia vt'. Por tanto, en el tiempo 1', x = x' + vi'. Por otra parte, las coordenadas y y z no se alteran por el movimiento a Jo largo del eje x; entonces y = y'y z = z'. Finalmente, como el tiempo se supone absoluto en la fIsica de Galileo y Newton, los relojes en los dos marcos concordarán entre si; por tanto t = t'. Resumimos esto en las siguientes ecuaciones de transformación de Galileo:

x = x' + Vt'

y = y'

[Galileana]

Z = Z' t

(37-3)

= t'.

Estas ecuaciones dan Ia coordenada de un evento en el marco S cuando aquellas en el marco 5' son conocidas. Si se conocen las coordenadas en el marco 5, las coordenadas en 5' se obtienen de

X' = X - Vt,

y' = y,

I' = I.

Z' = Z,

[Galileana]

Esas cuatro ecuaciones son Ia transformaciOn "inversa" y son obtenidas muy fácilmente de las ecuaciones 37-3. NOtese que el efecto es meramente intercambiar las cantidades con primas y las sin primas y reemplazar v por v. Esto tiene sentido porque desde el marco 5', 5 se mueve hacia Ia izquierda (sentido x negativo) con velocidad v. Supongamos ahora que el punto P en la figura 37-12 representa una partIcula en movimiento. Sean las componentes de su vector velocidad en 5', u's, u'y, u'. (Usamos u

para distinguirla de la velocidad relativa v de los dos marcos.) Ahora uç = dx'/dt', u = dy'/dt'y u = dZ'/di'. La velocidad de P vista desde S tendrá componentes u, u, y u. Podemos mostrar cOmo éstas están relacionadas con las componentes de velocidad en 5' diferenciando las ecuaciones 37-3. Para u obtenemos

dx

d(x' + Vt')

=U+V

dt' ya que v se supone constante. Para las otras componentes, u = u y u = u, por lo que tenemos

U

=U+V

u

=u

[Galileana]

(37-4)

uz = u'z. Estas se conocen como ecuaciones de transformación galileanas de Ia velocidad. Vemos que las componentes y y Z de Ia velocidad no cambian, pero Ia componente x difiere en

v u = u + v. Esto es justamente lo que hemos usado antes a! tratar con velocidad

relativa. Las transformaciones galileanas, ecuaciones 37-3 y 37-4, son válidas solo cuando las velocidades implicadas son mucho menores que c. Por ejemplo, podemos ver que Ia

primera de las ecuaciones 37-4 no funcionará para Ia velocidad de Ia luz; pues Ia luz viajando en S' con velocidad u = c tendrá velocidad c + v en 5, mientras que Ia teorIa de Ia relatividad insiste que debe ser c en S. Es claro entonces que se necesita un nuevo grupo de ecuaciones de transformaciOn para tratar con velocidades relativistas. Obtendremos las ecuaciones requeridas de manera simple, viendo de nuevo la figura 37-12. Suponemos que Ia transformaciOn es lineal y de Ia forma SECCION 37-8

Transformaciones de Galileo y de Lorentz

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933

(i) x = y(x' + vi'), y = y', z = z'. Esto es, modificamos Ia primera de las ecuaciones 37-3 multiplicando por una cons te y que debe aün ser determinada (no relativIsticamente, y = 1). Pero suponemos que las ecuaciones y y z no cambian ya que no hay contracciOn de Ia longitud en esas direcclones. No supondremos una forma para t, sino que Ia deduciremos. Las ecuaciones inversas deben tener Ia misma forma con v reemplazada por v. (El principio de relatividad lo demanda, puesto que S' moviéndose hacia la derecha con respecto a S es equivalente a S moviéndose hacia la izquierda con respecto a S'.) Por tanto

x' = y(x - Vt).

(ii)

Ahora, si Ufl pulso de luz deja el origen comün de S y S' en el tiempo I = t' = 0, después de un tiempo t el habrá viajado una distancia x = Ct 0 x' = ct' a lo largo del eje x. Por tanto, de las ecuaciones (i) y (ii) anteriores,

ci = y(ct' + Vt') = y(c + v)i', Ct' = y(ct - vi) = y(c - v)t.

(iii) (iv)

Sustituimos t'de Ia ecuaciOn (iv) en Ia ecuación (iii) y encontramos ct = y(c + v)y(c = v) (i/c) = y2 (c - )t/c. Cancelamos Ia t en cada lado y despejamos y para encontrar 1

= Vi -

Ahora que hemos encontrado y, tenemos sOlo que encontrar Ia relaciOn entre t y 1'. Pa-

ra hacerlo, combinamos x' = y(x - Vt) con x = y(x' + Vt'):

x' = y(x - Vt) = y(y[x' + Vt'] - Vt). Despejamos t y encontramos t = y(t' + vx'/c2). En resumen,

x = y(x' + Vt')

= Vi

y=

_ V2/C2

(x' + Vt') (37-5)

z=

/

VX'

1

+

VX'

C C2 f Vi - V2/C2 Estas son las ecuaciones de transformación de Lorentz. Fueron primero propuestas, en forma ligeramente diferente, por Lorentz en 1904, para explicar el resultado nub del experimento de MichelsonMorley y hacer que las ecuaciones de Maxwell tomaran Ia misma forma en todos los marcos de referencia inerciales. Un año despues Einstein las obtuvo en forma independiente con base en su teorfa de Ia relatividad. Nótese que no sOlo es Ia ecuaciOn x modificada en comparaciOn con Ia transformaciOn galileana, sino que tamblén lo es la ecuación t; vemos directamente en esta Oltima ecuación cOmo se mezclan las coordenadas de espacio y tiempo.

2

Obtención de Ia contracción de Ia longitud. Obtenga Ia

formula de la contracciOn de Ia longitud, ecuaciOn 37-2, a partir de las ecuaciones de transformaciOn de Lorentz. SOLUCION Sea L0 la longitud de un objeto en reposo sobre el eje x en S. Las coordenadas de sus dos puntos extremos son x1 y x2, de manera que x2 - = L0. En

cualquier instante en 5', los puntos extremos estaniin en xc y x de acuerdo con las ecuaciones de transformaciOn de Lorentz. La longitud medida en 5' es L = x - xi. Un observador en 5' mide esta longitud midiendo x y xi al mismo tiempo (en el marco de referencia 5'), por lo que t = t. Entonces, de la primera de las ecuaciones 37-5,

= Vl_v2/c22+Vt2Vt

L0 = Como t = t, tenemos L0

=

- v2/c

L = L0V1

-

V2/C2,

que es Ia ecuaciOn 37-2. 934

CAPITULO 37

TeorIa de a relatividad especial

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x) =

L

Vi -

Obtenciôn de Ia dilatación del tiempo. Obtenga la fOrmula de Ia dilatación del tiempo, ecuación 37-1, usando las ecuaciones de transformaciOn de Lorentz. SOLUCION El tiempo

entre dos eventos que ocurren en el mismo lugar (x = xj') en S' se mide igual a = - ti'. Como x = xc, entonces de Ia Oltima de las ciones 37-5, el tiempo iXi entre los eventos se mide en S igual a

/

1

=

- v2/c2

=

It' k 2 - t'' U

1

-

-

'2 +

-

vx

- -

Lt0

- v2/c2

que es La ecuaciOn 37-1. NOtese que escogimos S' como el marco en el que los dos eventos ocurren en el mismo lugar, por lo que xc = x y los términos que contienen xc y x se cancelan.

Las ecuaciones relativIsticamente correctas para la velocidad se obtienen fácilmente diferenciando las ecuaciones 37-5 respecto al tiempo. Por ejemplo, (usando y = 1/Vi - v2/c2 y Ia regla de Ia cadena para derivadas): dx

d

u = -a-- = - [y(x' + vt')I

d1 y(x' + Vt')] - dt'

dt' = dt

Fdx'

'Ldt'

1 dt' +vIj dt

Pero dx'/dt' = u y dt'/dt = 1/(dt/dt') = l/[y(l + vu/c2)] donde hemos diferenciado Ia Oltima de las ecuaciones 37-5 con respecto al tiempo. Por tanto UX

-

+ v)]

u+V

[y(1 + vu/c2)] - 1 + vu/c2

Las otras se obtienen de Ia misma manera y se resumen a continuación:

u+V

(37-6a)

= 1 + vuc2 uy/1 - 1 + vuc2

(37-6b)

u'V'1 - v2/c2 = 1 + vu/c2

(37-6c)

Nótese que aunque Ia velocidad relativa v es en Ia dirección x, Ia transformaciOn de todas las componentes de Ia velocidad de una partIcula estn afectadas por v y Ia compo-

nente x de la velocidad de la partIcula; esto no fue asI para Ia transformaciOn de Galileo, ecuaciones 37-4.

Suma de velocidades. hgura 37-13 con respecto a Ia Tierra.

Calcule Ia velocidad del cohete 2 en Ia

El cohete 2 se mueve con velocidad u' = O.60c con respecto al cohete 1. El cohete 1 tiene velocidad v = O.60c con respecto a La Tierra. Las velocidades están a lo largo de Ia misma lInea recta que consideramos como el eje x (y x'). Tenemos que usar solo la primera de las ecuaciones 37-6. La velocidad del cohete 2 es entonces con respecto a Ia Tierra SOLUCION

u= u' + v 1+

Vu,

O.60c + O.60c (O.60c)(O.60c)

1.20c 1.36

El cohete 2 es disparado desde el cohete 1 con velocidad u' = O.60c. ,,Cuá1 es Ia velocidad del cohete 2 con respecto a la Tierra? FIGURA 37-13

u'O.6Oc con

-

respecto al cohete 1

/

v= O.60c con respecto a Ia Tierra

O.88c.

(La transformaciOn galileana darIa u = 1.20c.) SECCION 37-8

Transformaciones de Galileo y de Lorentz

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935

NOtese que las ecuaciones 37-6 se reducen a las formas clásicas (galileanas) para vetocidades pequefias comparadas con La velocidad de Ia luz, ya que 1 + vu'/c2 1 para v y u' << c. En el otro extremo, consideremos que el cohete 1 en la figura 37-13 envIa un rayo de Iuz, de manera que u' = c. Entonces la ecuación 37-6a nos dice que la velocidad de Ia luz relativa a Ia Tierra es O.60c + C

u= 1

60)(c)

= C,

lo que es consistente con el segundo postulado de relatividad.

Masa y momento lineal relativIsticos Hasta ahora en este capItulo hemos visto que dos cantidades mecánicas bsicas, los intervalos de longitud y de tiempo, necesitan ser modificadas porque son relativas; sus valores dependen del marco de referencia en que se miden. PodrIamos esperar que otras cantidades fIsicas requiriesen también alguna modificación de acuerdo con Ia teorIa de Ia relatividad, cantidades tales como el momento lineal, la energIa, y Ia masa.

Examinemos primero el momento lineal que clásicamente es definido como masa por velocidad, p = my. Clásicamente, el momento lineal es una cantidad que se conserva. SerIa un gran beneficio Si Ia ley de la conservación del momento lineal fuese aün vJida en el dominio relativIstico, e insistiremos que lo es cuando investiguemos cualquier modificación posible a la definición del momento lineal. Una buena conjetura sobre cómo el momento lineal podrIa ser alterado serIa por el uso del factor y = 1/\/1 - /c2, como en las ecuaciones 37-1, 2, y 37-5. Pero seamos un poco más generales y definamos el momento lineal por p = frnv donde fes alguna función de v,f(v). Consideremos ahora una colisión hipotética entre dos objetos (un experimento pensado) y veamos qué forma f(v) debe tomar para que el momento lineal se conserve. Nuestro experimento pensado implica Ia colisiOn elástica de dos bolas idénticas. Si las dos bolas viajan con Ia misma velocidad v, podemos decir con seguridad que tendrán Ia misma magnitud de momento lineal. La colisión en este experimento pensado tiene lugar como sigue. Consideremos dos marcos de referencia inerciales, S y 5', que se mueven a Io largo del eje x con una velocidad v entre si. En el marco de referencia S, una pelota (llámeta pelota A) se tanza con velocidad a a Io largo del eje y. En eI marco de referencia S', una segunda pelota (B) se lanza con velocidad a a to targo del eje negativo y'. Las dos pelotas son lanzadas at tiempo justo de manera que entren en colisión. Suponemos que ellas rebotan elásticamente y, por simetrIa, cada una se mueve con Ia misma velocidad a de regreso a to largo del eje y en el marco de referencia de su tanzador. La figura 37-14a muestra Ia co-

lisión vista por la persona en el marco de referencia S; y la figura 37-14b muestra la colisión vista desde el marco de referencia S'. En el marco de referencia S, la pelota A tiene velocidad +u a to largo del eje y antes de la colisiOn y u a lo largo del eje y despues

de Ia colisión. En el marco S', Ia petota A tiene, tanto antes como después de Ia colisiOn, una componente x de velocidad igual a B y una componente y (véase Ia ecuación 37-6b con u' = 0) de magnitud

uVi - v2/c2. Lo mismo se cumple para Ia pelota B, excepto en reversa. Las componentes de velocidad

están indicadas en Ia figura 37-14. Supongamos además que u << v, de manera que la vetocidad de La pelota A sea esenciatmente v como se ye en et marco de referencia 5', y entonces el momento lineal de A se puede escribirf(v)mv. Similarmente, et momen-

to lineal de B en et marco de referencia S es f(v)mv. Apticamos ahora Ia ley de ta

conservaciOn del momento lineal, que esperamos permanezca válido en Ia relatividad, 936

CAPITULO 37


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v Punto de colisión

- y'

B

!uIvic

S

(a)

s,

B

0

Punto de

u.J1 _v2/c24

colisiOn (b)

Obtención de Ia formula del momento lineal. Colisión vista (a) desde el marco de referencia S, (b) desde el marco de referencia S'. FIGURA 37-14

si el momento lineal tiene que ser redefinido. Esto es, suponemos que el momento lineal total antes de Ia colisiOn es igual a] total después de Ia colisión. Aplicamos esto a Ia componente y del momento lineal en el marco de referencia S (figura 37-14a): atm

f(u)mu - f(v)mu\/1 - v2/c2 = f(u)mu + f(v)mu\/1 - v2/c2, donde usamos f(u) para Ia pelota A porque su velocidad en S es sOlo u. Despejamos f(v) y obtenemos

f(u)

f(v)

-

Esta relaciOn es válida para cualquier u y v, (siempre que u << v), y para simplificarla de manera que podamos despejarf, consideremos qué sucede si hacemos que u se vuelva muy pequeña y tienda a cero (esto corresponde a una colisiOn de roce con una de las pelotas esencialmente en reposo y Ia otra moviértdose con velocidad v). Entonces, los términos de momento lineal f(u)mu están en ci dominio no relativIstico y toman Ia forma clásica, simplemente mu, lo que significa que f(u) = 1. La ecuación previa toma entonces Ia forma

f(v)=

1

- v2/c2

Vemos que f(v) resulta ser el factor que usamos antes y llamamos y, y hemos visto aquI que es válido para Ia pelota A. Usando Ia figura 37-14 podemos obtener Ia misma relaciOn para Ia pelota B. Podemos concluir entonces que necesitamos definir ci momento lineal relativIstico de una partIcula como

p=

my

-

=ymv.

(37-7)

Con esta definición, como vimos en nuestro experimento pensado, la icy de Ia conservaciOn lineal permanecerá válida aun en ci dominio relativista. Esta fOrmula del momen-

to lineal relativista (ecuaciOn 37-7) ha sido probada un gran nOmero de veces sobre pequeñas partIculas elementales y se ha encontrado válida. SECCION 37-9

Masa y momento lineal relativIsticos

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937

Esta definiciOn relativIstica del momento lineal, ecuación 37-7, es a veces interpretada como un incremento en Ia masa de un objeto. Es decir, podemos mantener la forma de nuestra definición clásica del momento lineal como p = mrelv, pero sOlo si interpretamos mrel como la masa relativista, que aumenta con la velocidad de acuerdo con mrel

(37-8)

v2i2

En eSta fOrmula para el "incremento de masa", a m se le llama masa en reposo del objeto, es decir Ia masa que él tiene medida respecto a un marco de referencia en el que él está en reposo; y mrel es Ia masa relativista del objeto en un marco de referencia en el que éJ se mueve con velocidad v. Con esta interpretaciOn, Ia masa de un objeto parece incrementarse conforme aumenta su velocidad. Pero debemos ser cuidadosos con el uso de la masa relativista. No podemos justamente insertarla en fOrmulas como F = ma

o K = mv2 (como podemos hacerlo aquI para el momento lineal, obteniendo la

ecuación 37-7). Por ejemplo, si sustituimos Ia ecuaciOn 37-8 en F = ma, obtenemos una fOrmula que no concuerda con el experimento. Si, no obstante, escribimos Ia Segunda ley de Newton en su forma ms general, F = dp/dt, obtenemos un resultado correcto. Es decir, la segunda ley de Newton, en su forma más general es dp my d = F= (ymv) (379) = dt

d(

-

y es válida relativIsticamente.t

Siempre que hablamos de la masa de un objeto, implicamos su masa en reposo (un valor fijo). En Ia rara ocasiOn en que queramos referirnos a Ia masa relativista de un objeto, lo diremos asI explIcitamente.

La velocidad Ilmite c Un resultado básico de la teorIa de Ia relatividad especial es que Ia velocidad de un objeto no puede igualar o exceder La velocidad de Ia luz. Que Ia velocidad de Ia luz es un lImite natural de Ia velocidad en el Universo puede verse de cualesquiera de las ecuaciones 37-1, 37-2, 37-7, o de Ia fOrmula de adiciOn de velocidades. Tal vez sea más f1cil verb con Ia ecuaciOn 37-7. Cuando un objeto es acelerado a velocidades cada vez más grandes, su momento lineal se vuelve también cada vez más grande. De hecho, Sj V fuese igual a c, el denominador en esta ecuación serIa cero, y el momento lineal serla infinito. Para acelerar un objeto hasta V = c se requerirla energIa infinita, y por tanto no es posible alcanzarla.

EnergIa v masa; E = mc2 Cuando una fuerza neta permanente se aplica a un objeto, el objeto aumenta su velocidad. Como Ia fuerza está actuando a través de una distancia, sobre el objeto se efectüa un trabajo y su energIa se incrementa. Cuando Ia velocidad del objeto se aproxima a c, la velocidad no puede incrementarse indefinidamente ya que ésta no puede exceder a c. Por otra parte, Ia masa relativista del objeto crece con ritmo creciente. Es decir, el trabajo hecho sobre un objeto no sOlo aumenta su velocidad sino que también contribuye al crecimiento de su inercia. Normalmente, el trabajo hecho sobre un objeto incrementa su energIa. Este nuevo rasgo caracterIstico de la teorfa de Ia relatividad conduce a La idea de que la masa es una forma de energIa, parte crucial de la teorIa de la relatividad de Einstein. tEs claro que Ia segunda ley de Newton escrita como F = ma no es válida, aün si usamos Ia masa relatwista. Se tiene un término adicional: d(ymv) dp d(mreiv) dmrei F - mrela + di = dt dt dt

-

938

CAPITULO 37


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Para encontrar la relaciOri matemática entre masa y energIa, suponemos que el teorema del trabajo y Ia energIa es aün válido en Ia relatividad, y consideraremos que el movimiento es a lo largo del eje x. El trabajo hecho para incrementar Ia velocidad de una partIcula de cero a v es

if

dx = Jif dpvdt = jifvdp

ff dp

W = JFdx = j i

t

i

i

I

donde i yfse refieren a los estados inicial (v = 0) y final (v = v). Como d(pv) = p dv + v dv podemos escribir por lo que

vdp = d(pv)-pdv W=

jdv) - Jpdv.

Como Ia integraciOn es Ia inversa exacta de la diferenciaciOn, el primer término a la derecha toma Ia forma my2

1

j1

d(pv) = pv = (ymv)v

= v/i

- v2/c2

El segundo término en nuestra ecuación para W es fácilmerite integrado ya que

d dv

(v/i

- v2/c2) = - (v/c2)/v/1 - v2/c2,

y entonces se convierte en I_f

- ii p dv = - I I

my

V

v/i - v2/c2

dv = mc2v/l - v2/c2

V

0

= mc2v/i - v2/c2 - mc2. Finalmente, tenemos para W: my2

v/i - v2/c2

+ mc2 v/i - v2/c2 - mc2.

Multiplicamos el segundo término por v/i - v2/c2/v/i - v2/c2 = 1, y obtenemos

W=

mc2

v/i

mc2.

-

Por el teorema del trabajo y la energIa, el trabajo hecho debe ser igual a Ia energIa cinética final K ya que Ia partIcula partió del reposo. Por tanto

K=

mc2

v/i - v2/c2

mc2

= ymc2 - mc2 = (y - i)mc2.

(37-lOa)

(37-lob)

Es claro que La energIa cinética K no es my2 para altas velocidades. [ my2 no es correcta para Ia m en reposo, ni para una masa relativista.] Las ecuaciones 37-10 requieren de una iriterpretación. Antes que nada, que significa el segundo término en Ia ecuaciOn 37-iOa, esto es mc2? Consistente con La idea de que la masa es una forma de energIa, Einstein llamó mc2 Ia energia en reposo del objeto. Podemos reordenar la ecuaciOn 37-i0a y escribir

(37-ha)

E = K + mc2, donde

E = ymc2 =

/

mc2

Vi -

(37-lib)

se llama energIa total E de Ia partIcula (suponiendo que no hay energIa potencial), y es igual a La energIa en reposo más La energIa cinética. SECCION 37-11

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EnergIa y masa; E = mc2

939

Para una partIcula en reposo en un marco dado de referencia, K es cero en La ecuaciOn 37ha, por Jo que su energIa total es su energIa en reposo: E = mc2. (37-12) AquI tenernos La famosa formula de Einstein, E = mc2. Esta fOrmula relaciona maternticarnente los conceptos de energIa y masa. Pero para que esta idea tenga sentido desde un punto de vista práctico, Ia masa debe ser convertible en energia y viceversa. Es decir, si Ia masa es una forma de energIa, entonces deberla ser convertible a otras formas de energIa tal corno otros tipos de energIa son interconvertibles, Einstein sugiriO que esto podrIa ser posible, y ciertamente los cambios de masa a otras formas de energIa y viceversa han sido confirmados experimentalmente un gran nOmero de veces. La equivalencia entre Ia masa y Ia energIa es fácilmente detectada en Ia fIsica de las partIculas elernentales y en La fIsica nuclear. Por ejemplo, se observa que el piOn neutro (ITo) de masa en reposo 2.4 x 1O_28 kg decae en pura radiaciOn electrornagnética (fotones). El ii° desaparece por completo en el proceso. La cantidad de energIa electromagnética producida se encuentra que es exactamente igual a Ia predicha por la formula de Einstein, E = mc2. El proceso inverso es tarnbién comUnmente observado en el laboratorio: Ia radiaciOn electrornagnética bajo ciertas condiciones puede convertirse en partIculas materiales tales corno electrones. A una escala mayor, Ia energia producida en plantas de energIa nuclear es un resultado de Ia pérdida de masa en reposo del combustible uranio al experimentar éste el proceso Ilamado fisiOn. AOn la energfa radiante que recibimos del Sol es un ejemplo de E = mc2; la masa del Sol está contirivamente decreciendo al radiar éste energIa electromagnetica hacia el exterior. Creernos ahora que Ia relaciOn E = mc2 se aplica a todos los procesos, aunque los cambios son a menudo demasiado pequeflos para medirlos. Es decir, cuando la energia de un sistema cambia una cantidad E, Ia masa del sisterna cambia una cantidad zXm dada por

= (m)(c2). En una reacción qulmica donde se gana o pierde calor, Las masas de los reactantes y los productos sern diferentes. Aun cuando el agua es calentada en una estufa, su masa se incrernenta rnuy ligeramente.t EnergIa cinética de un pión. Un meson ir° (m = 2.4 X lO kg) viaja con una veiocidad v = O.80c = 2.4 X i0 rn/s. .Cuál es su energIa cinética? Cornprela con un cálculo clásico. SOLUCION

donde

Entonces RESOLUCION DEL PROBLEMA

Sustituimos valores en Ia ecuaciOn 37lob

K = (y - 1)mc2

- Vi

1

- v2/c2

- Vi

1

- (0.80)2

- 1.67.

K = (1.67 - 1)(2.4>< 1028kg)(3.O x 108m/s)2

= 1.4 x lO"J.

NOtese que las unidades de mc2 son kg.m2/s2, que es el joule. Un cálculo clásico darla K = mv2 = (2.4 X 1028kg)(2.4 X 108m/s) = 6.9 x lO12J, aproximadamente Ia mitad, pero éste no es un resultado correcto. Energia de Ia desintegración nuclear. La energIa requerida o liberada en reacciones y desintegraciones nucleares proviene de un cambio en Ia masa entre las partIculas iniciales y finales. En un tipo de desintegracion radiactiva, un itomo de uranjo (m = 232.03714 u) decae en un átomo de torio (m = 228.02873 u) más un átomo de helio (m = 4.00260 u) donde las masas (siempre masas en reposo) dadas están en unidades de masa atOmica (1 u = 1.6605 X 10 kg). Calcule Ia energIa liberada en esta desintegraciOri. tEste ültimo ejemplo es también fácil de entender desde ci punto de vista de Ia teorla cinética (capitulo 18): como se anade calor, Ia temperatura y por tanto Ia velocidad promedio de las moléculas crece, y Ia ecuación 37-8 nos dice que Ia niasa relativIstica de las moléculas también se incrementa.

940

CAPITULO 37


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La masa inicial es 232.03714 u, y después de la desintegración es 228.02873 u + 4.00260 u = 232.03133 u, por lo que hay un decremento en masa de ).00581 u. Este decremento de masa, que es igual a (0.00581 u)(1.66 X 10-27) = 3OLUCION

.64 X 10-30 kg, se cambia a energIa cinética. AsI entonces,

E = Amc2 = (9.64 >< 10-30 kg)(3.0 X 108 rn/s)2 = 8.68 )< 10'3J. Como 1 MeV = 1.60 x iO' J, Ia energIa liberada es 5.4 MeV. Cambio de masa en una reacción quImica. Cuando dos moles de hidrogeno y un mol de oxIgeno reaccionan para formar dos moles de agua, la energIa liberada es 484 kJ. (,Cuánto decrece la masa en esta reacciOn? SOLUCION Usando la ecuaciOn 37-12 tenemos para el cambio en la masa iXm: =

(-484 x iO J)

=

c2

(3.00 x 10 rn/s)2

= 5.38 X 1012kg.

La masa inicial del sistema es 0.002 kg + 0.016 kg = 0.018 kg. El cambio en Ia masa es relativamente muy pequeno y puede normalmente ser despreciado. [La conservaciOn de Ia masa es usualmente un principio razonable aplicable en las reacciones quImicas.]

La ecuaciOn 37lOa para la energIa cinética es

/ K=mc2I

1

1

I Para velocidades pequenas, v<< c, podemos desarrollar Ia rafz cuadrada en el denomi-

- v2/c2

nador usando el desarrollo binomial (1 ± x) = 1 ± nx + n(n - 1)x2/2! + ... . Con n

-

, obtenemos

1v2 Kmc2(1+__+1I 2c2

donde los puntos en Ia primera expresiOn representan términos muy pequefios en el desarrollo que hemos despreciado ya que supusimos que v << c. Entonces, a veJocidades pequefias, la forma relativista para Ia energIa cinética se reduce a Ia forma clásica, K = mv2. Esto es, por supuesto, lo que quisieramos. Ello hace a la relatividad una teorIa ms viable ya que ella puede predecir exactamente resultados a baja velocidad asI como a alta. Las otras ecuaciones de la relatividad especial también se reducen a sus equivalentes clásicos a velocidades ordinarias: Ia contracciOn de la longitud, Ia dilataciOn del tiempo, y modificaciones al momento lineal, asI como a Ia energIa cinética,

todas desaparecen para v << c ya que \/1 - v2/c2

1.

Una relaciOn ütil entre Ia energIa total £ de una partIcula y su momento lineal p puede también obtenerse. El momento lineal de una partIcula de masa m y velocidad v está dado por Ia ecuaciOn 37-7 my

p = ymV =

La energIa total es

Vi -

E = K + mc2 0

E = ymc2 =

mc2

- v2/c2 Elevamos al cuadrado esta ecuación (e insertamos "V2 - v2" que es cero, pero nos ayudará): m2c2(v2 - v2 + c2) E2

=

1/c2

C+

m2c4(1 - v2/c2)

1v2/c2

(37-13) E2 = p2c2 + m2c4. La energIa total puede entonces escribirse en términos del momento lineal p, o en términos de Ia energIa cinética (ecuaciOn 37-11), donde hemos supuesto que no hay energIa potencial. SECCION 37-11

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EnergIa y masa; E = mc2

941

Podemos reescribir Ia ecuaciOn 37-13 como E2 - p2c2 = m2c4. Como Ia masa en reOS0 m de una partIcula dada es Ia misma en cualquier marco de referencia, vemos que la cantidad E2 - p2c2 debe también ser la misma en cualquier marco de referencia. AsI, en cualquier momento dado Ia energIa total E y el momento lineal p de una partIcula serán diferentes en marcos de referencia diferentes, pero Ia cantidad E2 - p2c2 tendr el mismo valor en todos los marcos de referencia inerciales. Decimos que Ia cantidad E2 - p2c2 es invariante bajo una transformaciOn de Lorentz.

*

Corrimiento Doppler para Ia luz En la secciOn 16-7 vimos cómo la frecuencia y longitud de onda del somdo son alteradas

Fuente Observador

I Cresta emitida cuando Ia fuente estaba en el punto 2 Cresta ernitida cuando Ia fuente estaba en el punto I cAt

Desplazamiento Doppler para Ia luz. (a) Marco de referencia de Ia fuente de Iuz. (b) Marco de referencia del observador, hacia quien Ia fuente se está moviendo. FIGURA 37-15

Si Ia fuente del sonido y el observador se mueven acercándose o alejándose entre si. Cuando una fuente se mueve acercándose a nosotros, la frecuencia es mayor que cuando Ia fuente está en reposo. Si Ia fuente se mueve alejándose de nosotros, la frecuencia es menor. Obtuvimos cuatro ecuaciones diferentes para el corrimiento Doppler (ecuaciones 16-9a y b, ecuaciones 16lOa y b), dependiendo de Ia dirección del movimiento relativo y de si Ia fuente o el observador se estn moviendo. El efecto Doppler ocurre también para Ia Iuz; pero Ia frecuencia o Ia lorigitud de onda desplazada está dada por ecuaciones ligeramente diferentes, y hay solo dos de ellas; porque para Ia luz, de acuerdo con Ia relatividad especial, no podemos hacer una distinción entre el movimiento de Ia fuente y el movimiento del observador. (Recuerde que el sonido viaja en un medio como el aire, mientras que Ia luz no; no hay evidencia de un éter.) Para obtener el corrimiento Doppler para la Iuz, consideremos una fuente de luz y un observador que se mueven uno hacia el otro y sea v su velocidad relativa medida en el marco de referencia de Ia fuente o del observador. La figura 37-15a muestra una fuente en reposo emitiendo ondas de luz de frecuencia fo y longitudes de onda A0 = c/f. Se muestran dos crestas de onda, separadas una distancia A0, cuando Ia segunda cresta ha sido justamente emitida. En la figura 37-15b, Ia fuente se muestra moviéndose con yelocidad v hacia un observador eStacionario que vera Ia longitud de onda A algo menor que A0. (Esto es parecido a la figura 16-20 para eI sonido.) Sea t el tiempo entre crestas detectadas por eI observador, cuyo marco de referencia se muestra en Ia figura 37-15b. De Ia figura 37-15b vemos que

A = cttvt

donde c L! Cs Ia distancia que Ia creSta 1 se ha movido en el tiempo zt después de que ha sido emitida, y v es la distancia que Ia fuente se ha movido en el tiempo t. Has-

ta ahora nuestra derivación no ha diferido de aquella para el sonido (sección 16-7). Ahora invocamos la teorla de Ia relatividad. El tiempo entre emisiones de crestas de

ondas ha sufrido Ia dilataciOn del tiempo: = - v2/c2 donde At0 Cs el tiempo entre emisiones de crestas de ondas en el marco de referencia en que Ia fuente está en reposo (tiempo "propio"). En el marco de referencia de Ia fuente (figura 37-15a), tenemos 1

Ito

fo

c

At0 = - =

(ecuaciones 3-15 y 32-14). Entonces

A = (c - v) At = (c - v) 0

Ic - v

A.=A0 I Vc + V La frecuenciafes (recuerde que A0 = c/f0)

f= 942

CAPITULO 37

c

=

/c+v C-V


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At0

- v2/c2

-

(cv) c2

- v2

A0

La fuente y el observador se mueven acercandose uno al otro L

(37-14a)

La fuente y el observador se mueven acercandose uno al otro

(37-14b)

Aqul fo es Ia frecuencja de Ia Iuz vista en el marco de referencia de Ia fuente, y f es Ia frecuencia medida por un observador que se mueve hacia Ja fuente o hacia quien la fuente se esté moviendo. Las ecuaciones 37-14 dependen sOlo de Ia velocidad relativa v. Para movimierito relativo alejándose los observadores uno del otro, hacemos v < 0 en las ecuaciones 37-14, y obtenemos

v

A

= fo

La fuente y el observador se mueven alejándose uno del otro

(37-15a) (37-15b)

De las ecuaciones 37-14 y 37-15 podemos ver que Ia luz de una fuente que se mueve hacia nosotros tendrá una mayor frecuencia y una menor longitud de onda,

mientras que si una fuente de luz se aleja de nosotros, veremos una frecuencia menor y una mayor longitud de onda. En el Ultimo caso, Ia luz visible tendrá su longitud de onda alargada hacia el extremo rojo del espectro visible (figura 33-24), un efecto liamado corrimiento at rojo. Todos los átomos tienen su firma distintiva en términos de las fre-

cuencias de luz que emiten. En 1929, el astrOnomo norteamericano Edwin Hubble (1889-1953) encontró que Ia radiaciOn de átomos en muchas galaxias sufre corrimiento al rojo. Es decir, las frecuencias de luz emitida son menores que las emitidas por tomos estacionarios sobre Ia Tierra, sugiriendo esto que las galaxias esthn alejándose de nosotros. Esto es el origen de Ia idea de que el Universo se está expand iendo.

El impacto de Ia relatividad especial Una gran cantidad de experimentos se han efectuado para probar las predicciones de Ia teorIa de Ia relatividad especial. Dentro del error experimental, ninguna contradicciOn se ha encontrado. Por tanto, los cientIficos han aceptado Ia relatividad como una descripciOn exacta de la naturaleza. A velocidades mucho menores que la velocidad de Ia luz, las fOrmulas relativIsticas se reducen a las fOrmulas clásicas, tal como lo hemos visto. EsperarIamos, por supuesto

(o ms bien insistirIamos), que esto sea asI ya que Ia mecánica newtoniana funciona muy bien para los objetos que se mueven con velocidades v << c. Esta insistencia de que una teorla más general (tal como Ia relatividad) dé los mismos resultados que una teorla más restringida (tal como la mecánica clásica que trabaja con v << c) se llama principio de correspondencia. Las dos teorIas deben corresponder donde sus dominios de validez se traslapan. La relatividad no contradice entonces a La mecinica clásica. Más bien, es una teorIa más general, de Ia cual Ia mecinica cftsica se considera ahora ser un caso Ilmite.

La importancia de la relatividad no es simplemente que dé resultados más exactos, especialmente a muy altas velocidades. Mucho ms que eso, ha cambiado Ia mane-

ra en que vemos al mundo. Los conceptos de espacio y tiempo se yen ahora como

relativos, y entremezclados entre 51, mientras que antes se consideraban absolutos y separados. Aun nuestros conceptos de materia y energIa han cambiado: cualesquiera de ellos puede ser convertido en el otro. El impacto de la relatividad se extiende bastante más allá de La fisica: ha influido en las otras ciencias, incluso en el mundo del arte y Ia literatura; ciertamente ha entrado a Ia cultura general. Desde un punto de vista práctico, no tenemos mucha oportunidad en nuestra vida cotidiana de usar la matemática de Ia relatividad. Por ejemplo, el factor \/1 - v2/c2, que aparece en muchas fOrmulas relativisticas, tiene un valor de 0.995 cuando v = 0.lOc. Entonces, para velocidades tan altas como 0.10c = 3.0 X i0 m/s, el factor \/1 - v2/c2 en Las fOrmulas relativIsticas da una corrección numérica de menos del 1%. Para velocidades menores que 0.lOc, o a menos que La masa y Ia energIa se intercambien, no necesitamos generalmente usar las más complicadas fOrmulas relativIsticas, y podemos usar las fOrmulas clásicas más simples. *SECCION 37-13

El impacto de Ia relatividad especial

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Resumen Un marco de referenda inercial es uno en el que es vlida La ley de Ia inercia de Newton. Los marcos de referencia inerciales se pueden mover con velocidad constante relativa entre si; los marcos de referencia acelerados son no inerciales. La teorla de la relatividad especial se basa en dos principios: el principio de relatividad, que establece que las leyes de La fIsica son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales, y el principio de La constancia de Ia velocidad de Ia Iuz, que establece que Ia velocidad de La luz en el espacio Va-

do tiene el mismo valor en todos los marcos de referencia

La suma de velocidades debe también hacerse de manera especial. Todos esos efectos relativistas son importantes sOlo a grandes velocidades, cercanas a La veLocidad de La luz, que es La velocidad maxima en el Universo. La teorIa de La relatividad ha cambiado nuestras nociones de espacio y tiempo, asI como las de momento Lineal, energla, y masa. EL espacio y el tiempo están Intimamente conedtados, con el tiempo como una cuarta dimensiOn en adiciOn a las tres dimensiones de espacio. El momento lineal de un objeto esté dado por

inerciales.

Una consecuencia de La teorla de Ia relatividad es que dos eventos que son simuLtáneos en un marco de referencia pueden no ser simuLtáneos en otro. Otros efectos son La dilatación del tiempo: Los relojes en movimiento se retrasan; y Ia contracción de Ia longitud: La longitud de un objeto en movimiento es menor (en la direcciOn de su movimiento) que cuando está en reposo. Cuantitativamente,

Lt =

donde L y t son La Longitud y eL intervalo de tiempo de objetos (o eventos) observados al moverse con velocidad v; L0 y t0 son la longitud propia y el tiempo proplo, es decir, las mismas cantidades medidas en eL marco de reposo de Los objetos 0 eventos. Las transforinaciones de Lorentz relacionan las posiciones y Los tiempos de eventos en un marco de referencia inercial con sus posiciones y tiempos en un segundo marco de referencia inercial.

x = y(x' + vi')

t=Y

=

1 - v2/c2

masa, donde la masa relativista es mrel = 'ym y m es La masa en reposo del objeto (v = 0). La masa y La energIa son equivalentes. La ecuaciOn

E = mc2

t

Vi -

y= z = z'

my

Esta fOrmula se puede interpretar como un incremento de

-

L = L0V1 L

p = ymv

nos dice cuánta energIa E es necesaria para crear una masa m, o viceversa. Dicho de otra manera, E = mc2 es La cantidad de energIa que un objeto tiene debido a su masa m. La Ley de Ia conservación de La energIa debe incluir la masa como una forma de Ia energIa.

La energIa cinética K de un objeto que se mueve con yeLocidad v está dada por K

(y - 1)mc2

mc 2

Vi -

mc2

donde m es La masa en reposo del objeto. La energIa total E es

E = K + mc2 = ymc2. /

vx' C

El momento Lineal p de un objeto esté reLacionado con su energIa total E (suponiendo cero energIa potencial) por

2

donde y = 1/V'i - v2/c2.

E2 = p2c2 + m2c4.

Preciuntas Usted se encuentra en un vagón de ferrocarril sin ventanas de un tren con movimiento sumamente uniforme. ,,Hay aLgdn experimento fIsico que pueda efectuarse en el vagón del tren para determinar si éste se está moviendo? Usted habrá tenido Ia experiencia de estar en una luz roja de tránsito, cuando ye al auto al lado del suyo rodar hacia adelante. Instintivamente oprime el pedal del freno, pensando que su auto se mueve hacia atrás. LQué dice esto respecto al movimiento absoluto y reLativo?

Un trabajador está parado sobre Ia plataforma de un tren en

movimiento y Lanza hacia arriba (desde su punto de vista) una bola pesada. Lgnorando La resistencia del aire, ,caerá a boLa sobre el carro o detrás de éL? 944

CAPITULO 37

,,Viaja La Tierra reaLmente aLrededor del SoI? O es también válido decir que el Sol viaja alrededor de La Tierra? AnaLice esto en vista del primer principio de relatividad (que no hay un marco de referencia privilegiado). Si viaja en una nave espacial a 0.5c aLejándose de una estrelLa, a qué velocidad lo pasaria La Luz de Ia estrelLa? ,,Dos eventos que ocurren en el mismo lugar y al mismo tiempo

para un observador serin simultáneos para un segundo observador que se niueve con respecto al primero? Analice ci experimento pensado de La secciOn 37-4 desde el punto de vista de O. (Haga un diagrama análogo aL de Ia figura 37-6.)


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El efecto de Ia dilatación del tiempo es a veces expresado como "los relojes en movimiento se retrasan." En realidad, este efecto nada tiene que ver con que el movimiento afecte el funcionamiento de los relojes. De qué se trata entonces? ,La dilatación del tiempo significa que el tiempo pasa en rea-

lidad más lentamente en marcos de referencia móviles o que

sOlo parece transcurrir más lentamente? Una joven astronauta ha regresado a casa después de un largo viaje. Ella se dirige a un hombre viejo canoso y en Ia conversaciOn que se establece se refiere a él como a su hijo. LCOmo p0dna ser esto posible? Si estuviera viajando alejándose de Ia Tierra con una velocidad de USc, LnotarIa un cambio en los latidos del corazOn? i,CambiarIa su masa, estatura, o dimension de Ia cintura? Qué dirlan los observadores sobre Ia Tierra si usaran telescopios para verb a usted? Ocurre Ia dilataciOn del tiempo y Ia contracciOn de La longitud a velocidades ordinarias, digamos a 90 km/h?

Suponga que Ia velocidad de Ia [uz fuese infinita. i,Qué pasarfa a las predicciones relativistas de Ia contracciOn de Ia longitud y Ia dilataciOn del tiempo? Explique cOmo las formulas para Ia contracciOn de La longitud y Ia dilataciOn del tiempo se podrIan usar para indicar que c es Ia velocidad lImite en el Universo. Está en conflicto Ia ecuaciOn E = mc2 con el principio de La conservaciOn de la energIa? ExplIquelo. Si La masa es una forma de energIa, ,significa esto que un resorte tiene más masa cuando está compnirnido que cuando está relaj ado?

No es correcto decir que "Ia masa no puede ser creada ni destruida". LQué se deberia decir mejor? i,Es nuestra nociOn intuitiva de que las velocidads simplemente se suman, coma lo hicimos en Ia secciOn 3-10, totalmente errOnea?

Problemas (I) Las longitudes y los intervalos de tiempo dependen del factor

Vi -

v2/c

de acuerdo con Ia teorfa de Ia relatividad (ecuación 37-1 y 37-2). EvalUe este factor para velocidades de: (a) v = 20,000 rn/s (velocidad tIpica de un satelite); (b) v = 0.OlOOc; (c)

v = 0.lOOc; (d) v = 0.900c; (e) v = 0.990c; (J) v = 0.999c. (I) Una nave espacial In rebasa a usted con una velocidad de 0.750c. Usted mide su longitud igual a 28.2 m. Qué largo tendna en reposo Ia nave espacial? (I) Un cierto tipo de partIcula elemental viaja con una velocidad de 2.70 x 108 rn/s. A esta velocidad, su vida promedio se mide igual a 4.76 x 10 s. Cuál es Ia duraciOn de La vida de Ia particula en reposo? Si usted fuese a viajar a una estrella a 100 años luz de Ia Tierra con una velocidad de 2.5 X io m/s, i,cuánto medirIa para usted esta distancia? i,CuáI es Ia velocidad de un piOrl si su vida promedio me-

dida es de 4.10 X 10 s? En reposo, su vida media es de 2.60 x l0 s. (II) Suponga que usted decide viajar a una estrella que está a

75 años Luz. Qué tan rápido tendrIa que viajar para que Ia distancia fuese sOlo de 25 años luz? (II) A qué velocidad difieren las fOrmulas relativIsticas para los intervalos de longitud y tiempo de los valores clásicos en 1.00 por ciento? (Esta es una manera razonable de estimar cuándo efectuar cálcubos relativIsticos en vez de clásicos.) (II) Suponga que una noticia periodIstica reporta que La nave espacial Enterprise acaba de regreSar de un viaje de 5 años durante el cual viajO a 0.84c. (a) Si el reporte significa 5.0 años de liempo terrestre, cuánto tiempo transcurniO en Ia nave? (b) Si el reporte significa 5.0 aflos de tiempo en Ia nave, cuánto tiempa transcurriO en Ia Tierra?

(II) Cierta estrella está a 95.0 años Iuz. i,Cuánto tiempo le tomari a una nave espacial viajando a 0.960c alcanzar esa estrella desde Ia Tierra, medido par observadores: (a) sabre Ia Tierra, (b) sobre La nave espacial? (c) Cuál es Ia distancia viajada segUn observadores en Ia nave? (d) i,Qué velocidad calcularán los ocupantes de La nave de acuerdo con Los resultados de (b) y (c)? (II) Un amigo suyo viaja en un auto deportivo con una velocidad de 0.660c. En eL marco de referencia de usted el auto mide 4.80 m de longitud y 1.25 m de altura. (a) i,CuáI serO su longitud y altura en reposo? (b) i,CuUntos segundos transcurren en el re-

Loj de su amigo cuando en el de usted transcurren 20.0 s? (c) i,Qué tan rUpido parece usted estar viajando de acuerdo con su amigo? (d) i,CuUntos segundos transcurnen segOn él en el reloj de usted cuando en el reloj de éI transcurren 20.0 s? (II) i,Qué tan rápido debe moverse un piOn ordinario para viajar 15 m antes de decaer? Su vida promedio en reposo es de 2.6 X 10

s.

(I) Suponga en La figura 37-12 que Los orIgenes de S y 5' se tras-

Lapan en t = t' = 0 y que 5' se mueve con velocidad v = 30 rn/s con respecto a S. En 5' una persona esta en reposo en un punto cuyas coordenadas son = 25 m, y' = 20 rn, y z' = 0. Calcule las coondenadas de esta persona en S (x, y, z) en (a) t = 2.5 s, (b) t = 10.0 s. Use La transformaciOn galileana. (I) Resuelva el problerna 12 usando Ia transformaciOn de Lorentz y mm velocidad relativa v = 1.80 x 108 rn/s, pero escoja para el tiempo (a) 2.5 ss y (b) 10.0 s. (I) Una persona que viaja en un cohete a 0.50c (con respecto a La Tierra) observa un meteoro que se aproxima por detrás y La rebasa con una velocidad que ella mide igual a 0.50c. LA qué velocidad Se mueve el meteoro con nespecto a Ia Tierra?

Problemas

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(II) Dos naves espaciales parten de Ia Tierra en sentidos opuestos, cada una con una velocidad de 0.50c con respecto a Ia Tierra. (a) ,Cuál es Ia velocidad de Ia nave 1 respecto a Ia nave 2? (b) jCuOl es La velocidad de Ia nave 2 relativa a La nave 1? (II) Una nave espacial deja Ia Tierra viajando a 0.71c. Una Segunda nave deja Ia prirnera con una velocidad de 0.87c con respecto a Ia prirnera. Calcule Ia velocidad de Ia segunda nave con respecto a Ia Tlerra si ésta es disparada (a) en Ia misma direcciOn en que se mueve La prirnera nave, y (b) directarnente de regreso hacia Ia Tierra. (II) En el problerna 12, suponga que Ia persona se mueve con

una velocidad cuyas cornponentes son uç = u' = 25.0 rn/s.

,Cuál será su velocidad con respecto a S? (Dé Ia magnitud y Ia

direcciOn.)

(II) En el problerna 13 suponga que Ia persona se rnueve con una

velocidad (con un cohete) cuyas componentes son u' = u' = 2.0 x i0 rn/s. ,Cuál será su velocidad (rnagnitud y dirección)

con respecto a S? (II) Una nave espacial que viaja a 0.66c aiejándose de Ia Tierra dispara un rnódulo con velocidad de 0.82c en angulo recto a su propia direcciOn de viaje (segOn es visto por Ia nave espaciai). ,Cuál es Ia velocidad del mOdulo, y su direcciOn de viaje (relativa a Ia dirección de Ia nave), segOn son vistas por un observador sobre La Tierra?

Si una partIcula se mueve en el piano xy del sistema S

(figura 37-12) con veiocidad ii en una direcciOn que forrna un anguLo 0 con ci eje x, dernuestre que ella forrna un Ongulo 0' en

S' dado por tan 0' = (sen 0)\/1 - v2/c2/(cos 0 - v/u).

(11) Una barra de longitud L0, en reposo en el rnarco de referencia S, forma un ángulo 0 con ci eje x. En ci rnarco de referencia S', que se rnueve hacia Ia derecha con velocidad v = vi con respecto a S, deterrnine (a) Ia longitud L de Ia barra, y (b) el angulo 0' que ella forma con el eje x'. En el viejo Oeste, un sheriff que viaja en un tren a 50 rn/s ye un duelo entre dos hornbres de pie sobre Ia Tierra separados entre Si 50 rn paralelos a Ia via del tren. Los instrurnentos del sheriff indican que en su marco de referencia los dos hombres dispararon sirnultánearnente. (a) Cuál de los dos hornbres, el prirnero que ci tren pasa (A) o ci segundo (B) debe ser arrestado por disparar ci primer balazo? Es decir, en ci marco de referencia de los dos hombres, ,quién disparO prirnero? (b) ,Qué tanto antes disparó eI? Quien fue herido prirnero? (III) Un joven carnpesino que estudia fisica cree poder ajustar una barra de 13.0 rn de largo en un granero de 10.0 m de largo si éI corre suficienternente rápido junto con Ia barra. LPuede lograrlo? Expliquelo en detalle. ,COrno concuerda esto con Ia idea de que cuando éi está corriendo, ci granero se ye rnás corto que 10.0 rn?

(II) CuáI es ci carnbio porcentual en ci mornento lineal dc un proton quc acelera (a) de 0.45c a 0.90c, (b) de 0.90c a 0.98c?

(I) Una cierta reacciOn quimica rcquiere 4.82 X iO J dc entrada de energia para llcvarse a cabo. Cuál es ci incremcnto de masa dc los productos sobre los reactantes? (I) Cuando un nOcico de uranio sc rompe en ci proceso conocido corno fisión en un reactor nuclear, los fragmentos rcsuLtantes tienen una energia cinética total de aproxirnadamente 200 MeV. ,Cuánta masa se picrdc en ci proceso? (I) Calcuic La encrgIa en reposo de un electrOn en joules y en McV (1 McV = 1.60 X l0 J). (I) Calcule Ia rnasa en rcposo de un protOn en MeV/c2.

El consumo anual total de cncrgia en Estados Unidos es cerca de 8 X 1019 J. Cudnta masa tendria que convertirse en energia para satisfaccr este consurno? Cuánta energIa se puede obtcner a! convertir 1.0 gramo de rnasa? Cuáuta masa podrIa esta cnergIa clevar a una aitura dc 100 m? (II) Demucstrc que cuando Ia cncrgIa cinética de una partIcula cs igual a su cnergia en reposo, Ia velocidad de Ia partIcula es aproxirnadamente 0.866c.

(II) A qué velocidad será Ia cnergia cinética dc un objeto 25 por cicnto dc su energia en reposo? (II) (a) Cuánto trabajo sc requicre para acelerar un proton del reposo hasta una velocidad de 0.997c? (b) ,Cuá1 serfa el momcnto lineal de este proton? (11) Calcule Ia energia cinética y ci rnomcnto lineal de un protOn quc viaja a 2.60 X

108

rn/s.

(ii) ,CuáI es ci rnorncnto lineal de un proton de 750 MeV (cs decir, su cnergia cinética cs de 750 MeV)? (11) jCuál cs Ia velocidad de un proton acelerado por una diferencia dc potcncial de 95 MV? (II) Cuál es La vclocidad de un electrOn cuya energia cinética es 1.00 MeV?

(II) ,CuáI es La velocidad de un electrOn cuando golpea una

pantaila de televisiOn después de ser acelerado por los 25,000 V del cinescopio?

(II) Dos particulas idénticas de rnasa en reposo m se acercan entre sI con iguales y opuestas veLocidades v. La colisión es cornpletamente inelastica y resuita en una soLa partIcuLa en reposo. ,Cual es Ia rnasa en reposo de Ia nueva particuLa? ,Cuanta energia se perdiO en Ia colisiOn? LCuánta encrgia cinética se pierde en esta colisiOn? (II) Calcule Ia velocidad de un protOn (m = 1.67 x 1027 kg)

cuya energfa cinética es exactarnente La mitad de su energia

(I) (,CuáL es ci mornento lineal de un proton que viaja a v = 0.85c? ,A qué velocidad será Ia masa relativista de un objeto ci doble de su masa en reposo? Una partIcuia con masa en reposo m viaja con una veio-

cidad v = 0.20c. ,A qué velocidad Sc duplicara su rnomento lineal? (II) (a) Una particula viaja a v = 0.lOc ,Por qué porcentaje es-

tará equivocado ci cálculo de su mornento lineal si sc usa para ello Ia fOrrnula clásica? (b) Repita ci cálculo para v = 0.50c.

946

CAPITULO 37

total. (II) LCuál es Ia velocidad y el momento lineal de un electrOn (m = 9.11 X 10-31) cuya energia cinética es igual a su energIa en reposo? (II) Suponga que una nave espacial con masa de 27,000 kg es acelerada a 0.21c. (a) ,Cuánta energIa cinética tiene La nave?

(b) Si se usa Ia formula ciOsica para Ia energia cinética, ,qué error porcentual se tendria? (IL) Calcule Ia energIa cinética y ci momento lineal de un protOn (m = 1.67 x 1027 kg) que viaja a 8.4 X i0 rn/s. tQué error porcentual se tendrIa si se usaran fOrmulas ciásicas?

Teoria de Ia relatividad especial

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(II) El nOcteo del americium, 2Am, decae en un ndcleo de

(III) (a) En el marco de referencia S, una partfcula tiene mo-

neptunio, Np, at emitir una partIcula alfa de masa 4.00260u y energIa cinética de 5.5 MeV. Estime Ia masa del nUcleo de neptunio, despreciando su retroceso, dado que la masa del americium es de 241.05682 u.

figura 37-12, el momento lineal tiene componentes

mento lineal p = pi a lo largo del eje x positivo. Demuestre que en el marco S', que se mueve con velocidad v como en Ia

(II) Un electrOn (m = 9.11 X i0' kg) es acelerado desde el

Px

reposo hasta una velocidad v por una fuerza conservativa. En este proceso, su energia potencial decrece en 5.60 X i0_14 J. Determine la velocidad v del electron.

Py = Py

(II) Haga una gráfica de Ia energIa cinética versus el momento lineal para (a) una particula de masa en reposo diferente de cero, y (b) una partIcula con masa en reposo cero.

P = Pz

Epv

Vi -

(II) tQue intensidad de campo magnético Se necesita para mantener protones de 900 0eV girando en un cIrculo de radio igual a 1.0 km (digamos, en el sincrotrOn Fermilab)? Use Ia masa relativista. La masa en reposo del proton es de 0.938 Ge V/c2. (1 GeV = i09 eV.)

(II) Un muon negativo viajando a 33% de la velocidad de Ia luz choca frontalmente con un muon positivo viajando a 50% de Ia velocidad de Ia luz. Los dos muones (cada uno de masa 105.7 MeV/c2) se aniquilan; ,cuánta energIa electromagnética producen?

(II) Demuestre que Ia energia de una partIcula de carga e girando en un cIrculo de radio r en un campo magnético B está dada por E (en eV) = Brc en el limite relativIstico (v c). (II) Demuestre que La energIa cinética K de una partIcula de masa en reposo in está relacionada con su momento lineal p por Ia ecuaciOn

p = VK + 2Kmc2/c.

-

Px - yE/c2 Vi - v2/c2

v2/c2

(Esas ecuaciones de transformaciOn son vOlidas realmente para

cualquiera direcciOn de p.) (b) Demuestre que p, p, p, E/c se transforman de acuerdo con la transformaciOn de Lorentz de Ia misma manera que x, y, z, ci.

(II) Cierta galaxia tiene un corrimiento Doppler dado por fo - f = 0.797 f0. tQué tan rOpido se aleja ella de nosotros? (II) Un quasar emite lIneas familiares de hidrOgeno cuyas longitudes de onda son 3.0 veces más largas que las medidas en laboratorio. (a) tCuOl es La velocidad de este quasar? (b) Qué resultado se obtendrIa si usted usase el desplazamiento Doppler "clOsico"? visto en el capftulo 16 del volumen I. (II) Una nave espacial moviéndose hacia Ia Tierra a 0.80c transmite seflales de radio a 95.0 MHz. tA qué frecuencia deberIan sintonizarse los receptores en Ia Tierra?

(II) A partir de Ia ecuaciOn 37iSa, demuestre que el cornmiento Doppler en longitud de onda es LA

V

A

C

Si V << c.

Problemas generales Como regla empIrica, cualquier cosa que viaje más rápido que aproximadamente 0.lc se llama relativista, esto es, aquella para Ia cual la corrección usando relatividad especial es un efecto significante. (,Es el electrOn en un átomo de hidrógeno (radio 0.5 x 10_b m) relativista? (Trate el electrOn como si estuviese en una Orbita circular alrededor del proton.) Se Ileva un reloj atOmico al Polo Norte, mientras que otro permanece en el Ecuador. Cuánto tiempo estarOn ellos fuera de sincronfa después de un ano? La estrella mOs cercana a Ia Tierra es Proxima Centauri, que estO a una distancia de 4.3 aflos luz. (a) £,A qué velocidad constante debe viajar una nave espacial desde Ia Tierra para Ilegar a la estrella en 4.0 aflos, medido esto por pasajeros en Ia nave espacial? (b) ,CuOnto tiempo durarla el viaje de acuerdo con observadores terrestres?

Obtenga una fOrmula que muestre cOmo Ia densidad aparente de un objeto cambia con Ia velocidad v relativa a un observador. [Sugerencia: use Ia masa relativIstica.]

Un aviOn viaja a 1500 km/h airededor del mundo, regresando al mismo lugar, en un cIrculo de radio esencialmente igual al de Ia Tierra. Estime Ia diferencia en tiempo para efectuar el viaje visto desde Ia Tierra y visto desde observadores en el aviOn. [Sugerencia: use el desarrollo binomial, apéndice A.] (a) i,CuOl es Ia velocidad de un electron cuya energIa cinética es 10,000 veces su energIa en reposo? Tales velocidades se alcanzan

en el Stanford Linear Accelerator, SLAC. (b) Si los electrones viajan en el Iaboratorio a través de un tubo de 3.0 km de largo (como en el SLAC), ,qué tan largo es este tubo en el marco de referencia de los electrones?

Problemas generales

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947

LCuántos gramos de materia tendrian que ser totalmente destruidos para mantener encendido un foco de 100 W durante 1

Demuestre analIticarnente que una partIcula con momento lineal p y energIa E tiene una velocidad dada por

aflo?

Que cantidad mInima de energIa electrornagnética se necesita para producir un electron y un positron juntos? Un positrOn es una partIcula con Ia misma masa que Un electron, pero con carga opuesta. (NOtese que La carga eléctrica se conserva en este proceso. Véase La secciOn 38-4.)

Una masa de 1.68 kg oscila sobre ci extremo de un resorte cuya

constante es k = 48.7 N/rn. Si este sisterna está en una nave que pasa frente a La Tierra a 0.900c, i,cuâl es su periodo de osciLaciOn de acuerdo con (a) observadores sobre Ia nave, y (b) observadores sobre La Tierra?

Un electrOn (m = 9.11 X iO' kg) entra a un campo magnético uniforme B = 1.8 T, y se inueve perpendicularmente a las Iineas del campo con una velocidad v 0.92c. j,Cuál es ci radio de curvatura de su trayectoria? Un observador sobre La Tierra ye una nave enerniga acercarse con velocidad de 0.60c. El Enterprise viene al rescate (figura 37-16), rebasando a los enemigos mientras se mueve directamente hacia Ia ilierra con una velocidad de 0.90c relativa a ella. Cuál es Ia velocidad relativa de una nave vista por Ia otra? Enterprise

v = 0.90c v = 0.60c FIGURA 37-16

Problema 70.

pc2 V

PC

= E = \/m2c2

+ p2

Una lámina de vidrio se mueve hacia La derecha con velocidad v.

Un rayo de luz es emitido en ci punto A (figura 37-17), pasa a través del vidrio y ilega al punto B situado a una distancia L. El vidrio tienc espesor d en ci marco de referencia en ci que estO en reposo, y La veiocidad de Ia Luz en ci vidrio es c/n. i,CuOnto tiernpo Ic torna a La luz ir del punto A al punto B de acuerdo con un

observador en reposo con respecto a los puntos A y B? Cornpruebe su respuesta para Los casos v = 0, n = 1, y para v = c. vidrio S

S

A

B

FIGURA 37-17 Problcrna 78.

L

()2

es Demuestre que Ia "distancia" espacio-tiernpo (cIt)2 invariante, o sea que todos los observadores en marcos de referencia inerciales calculan el mismo nOrnero para esta cantidad para cuaLquier par de eventos. La nave espacial ficticia Enterprise obtiene su potencia combinando materia y antirnateria, logrando una conversiOn compieta de rnasa en energIa. Si Ia masa dcl Enterprise cs aproximadamente 5 X iO kg, cuánta masa debe convertirse en energIa cinética para acelerar La nave del reposo a un décirno de La yeLocidad de La luz?

Un neutron libre puede decaer en un proton, un electrOn, y un neutrino. Suponga que la masa en reposo del neutrino es cero y Las otras masas pueden encontrarse en La tabla interior de Ia guarda frontal. Determine Ia energia cinética total compartida entre las tres partIculas cuando un neutrOn decae en reposo. El Sol irradia energIa a razón de aproximadamente 4 x 1026 W. (a) tA qué razón está decreciendo la masa dcl Sol? (b) cQué tiempo Ic toma al Sol perder una masa igual a Ia de La Tierra? (c) Estirne cuánto durarIa ci Sot si radiara constantemente a esta razón. Una partIcula desconocida tiene una carga negativa y una velocidad de 2.24 X 108 rn/s. Su momento lineal es de 3.07 X 10 kgm/s. Identifique La partIcula encontrando su masa. i,Cunta energIa se requiere para romper un nOcleo de helio

Una nave espaciai (marco de referencia 5') pasa frente a Ia Tienra (marco de referencia S) con velocidad v, La cual seflala a lo largo de los ejes x y x La nave espacial emite luz a lo largo de su eje y' como se muestra en La figura 37-18. (a) j,Qué ángulo forma esta Luz con ci eje x en ci marco de referencia de Ia Tienra? (b) Muestre que Ia Iuz se mueve con velocidad c también en ei marco de referencia de Ia Tierra (es decir, dada c en ci marco 5'). (c) Compare estos resultados relativistas con lo que se obtcndnIa clásicamente (transformaciones galileanas).

Nave espacial

en sus partes constituyentes, dos protones y dos neutrones? Las masas en reposo de un protOn (incluido un electrOn), un neutrOn, y helio son, respectivarnente, 1.00783 u, 1.00867 u, y 4.00260 u. (Esto se llama energIa total de uniOn del nOcleo He.) i,Cuál es ci incrernento porcentual en La masa (relativista) de un auto que viaja a 110 km/h respecto al reposo? Dos protones, cada uno con velocidad de 0.935c en ci laboratorio, se mueven uno hacia el otro. Determine (a) ci mornento li-

neal de cada protOn en ci iaboratorio, (b) el momenta lineal total de los dos protones en ci laboratonio, y (c) el mornento lineal de un proton visto por ci otro protOn.

948

CAPITULO 37


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Problerna 81.

FIGURA 37-18

C = cj I

'

V

APENDICES

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Formulas matemáticas Fórmujla cuadrática Si

entonces

ax2 + bx + C = 0

x=

b ± Vb2 - 4ac 2a

Desarrollo binomial

(1±x)=1±nx+ (x + y)fl = xn(1 +

n(n-1)

n(n-1)(n-2)

2!

3!

= xn(1 +

x

n

x

+

3

X2)

n(n - 1) Y2 2!

Otros desarrollos ex

1 + x +

x2

x3

+

3!

2!

x2 x3 ln(1+x)= x --i+ -i--

0-

sen0

3!

+

02

cosO = 1 - - + 2!

En general:

5! o

+

x4 4

-

4!

tanO = 0 3+ - +152 ü +

-

/df\

f(x) = f(0) + I

I

x+

<

(d2f\ x2 dx2)2)

Areas ',Volümenes A

)hjett

rea

superficiai

Circulo, radio Esfera, radic

4irr2

altura ....- 2irr2 + 2irrh

CiIindTo circular recto. radio

Con. cireuluri - r cto, radk , altura -

-

n

-

irr2 + ir V. 2 +

'

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A-i

i 'metrIaplana 1.

Si Ia lInea a1 es paralela a Ia lInea a2, enton-

ces 0 = FIGURA Ai 2.

Si a1 I a2 y b1 I b2, entonces 9 = 0.

FIGURA A-2

La suma de los ángulos en cualquier triángulo ptano es 1800. Teorema de Pitágoras: En cualquier triángulo recto (un ángulo = 90°) de lados a, b y C:

a

90_

a2+b2=c2

b

donde c es la longitud de la hipotenusa (opuesta a! ángulo de 90°).

FIGURA A-3

i -Henrs e identidades trigonométricas (Vea la figura A-4.)

sen 9 = cosO =

tanO =

FIGURA A-4

a2 +

2

0

csc0 =

h a h 0

a

sec0 = senO cos 0

cotO =

1

senO - 0 1

cos9

a

1

tan0 [Teorema de pitagorasi.

= h2

La figura A-5 muestra los signos (+ o ) que el coseno, el seno y la tangente toman para los ángulos q en los cuatro cuadrantes (0° a 360°). Note que los ángulos se miden en sentido antihorario desde el eje x, como se muestra; los angulos negativos se miden desde el eje x hacia abajo en sentido horario: por ejemplo, 30° = + 330°, etcetera. Segundo cuadrante (90° a 180°)

Tercer cuadrante (180° a 270°)

y>O

x<0 y>0

x<0 y<0

Cuarto cuadrante (270° a 360°)

senO =y/r>0

sen 0>0

sen 0 <0

sen 0<0 cos9>0 tan 0<0

Primer cuadraute (0° a 90°)

FIGURA AS

x>0

cos 0 = t

A-2

Apéndice A

FOrmulas matemáticas

0 =y/x>0

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cos 0<0 tan o
cos 0<0 tan 0>0

x>0 y<0

Las siguientes son algunas identidades ütiies entre las funciones trigonométricas:

sen20 + cos20 = 1, sec2O - tan20 = 1, csc0 - cot20 = 1 sen20 = 2sen0cosO cos 20 = cos2 0 - sen2 0 = 2 cos2 0 - 1 = 1 - 2 sen20 tan 20 =

sen(A ± B)

2 tan 0

1 - tan20 senAcosB ± cosAsenB

cos(A ± B) = cos A cos B

senA senB

tanA ± tanB tan(A ± B) 1 + tanAtanB sen(180° - 0) = sen0

cos(180° 0) = cosO sen(90° - 0) = cos0 cos(90° - 0) = sen0 cos(-0) = cosO sen(-0) sen0

tan(-0) = tan 0

/1cosO

sen0 = \I

CO5210

2

= \/1+COSO 2

'

tan0Vlco5e 1 + cosO

7A±B\)cos /A+B\

sen A ± senB = 2sen(

abc

2

2

)

Para cualquier tringulo (yea Ia figura A-6):

sena

sen/3

seny

[Ley de los senos]

= a2 + b2 - 2abcosy. [Ley de los cosenos]

FIGURA A-6

Logaritmos Las siguientes identidades se aplican a logaritmos comunes (base 10), logaritmos naturates (base e) que son a menudo abreviados in, o logaritmos en cualquier otra base.

iog(ab) = toga + logb

Iog() = toga - togb ioga = nioga. Vv1 La suma de veclores se ye en las secciones 3-2 a Ia 3-5. La multiplicación de vectores se ye en las secciones 3-3,7-2 y 11-1.

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SECCION A-8

Vectores

A-3

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Derivadas e integrales Derivadas: Reglasgenerales (yea también Ia secciOn 2-3.)

dx dx =

a-dfdx

(a = constante)

=+

C

d

=

dx

dx

df

dg + f-

df dy

- dy dx dx dy

1

(dy

[regia de ia cadena] Si

dy dx

. dx

flrivadas Funciones particulares da dx

=0

d -dx xn =

(a = constante)

nxn

d.senaX = acosax

dx d

- cos ax dx

=

a senax

d = asec2ax tanax dx

d - in ax = x1

dx

dx

= ae

A-5

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Intearales indefinidas: RegIasgn'r (Vea también Ia secciOn 7-3.)

J dx = x

Jaf(x)dx

J[f(x)

+

g(x)dx

=

ajf(x)dx

=

Jf(x)dx

(a = constante) +

Ju dv = uv - Jv du

Jg(x)dx [integracion por partes]

'aiIes indefinidas: Funciones particulares (Una constante arbitraria puede anadirse al lado derecho de cada ecuación).

Ja dx

= ax

Jxmdx= J

ax dx

1

m+ 1

snax a

11

I dx = jx

J

dx x2 + a2

(m-1)

m+I

- insecax

Itan ax dx J

I

constant)

= - -1a cos ax

Jcos ax dx =

J exdx

a =

mx

= 1

= -a tan' a (x-a

x2a2 = 2a in \x+a) Jdx

(x2> a2)

/a+x\ =---inl \axJ 2a 1

I

dx

I Vx2 ± a2 I

In(x + Vx2 ± a2)

dx

±x

(x2 ± a2) x dx

a2Vx2 ± a2

I

A-6

SECCION B-4

1

x2 ± a2

Integrales indefinidas: funciones particulares

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(x
Fuerza gravitatoria debido a una distribución esférica de Ia masa En el capItulo 6 (sección 6-1), establecimos que Ia fuerza gravitatoria ejercida por o sobre una esfera uniforme actüa como si toda Ia masa de la esfera estuviese concentrada en su centro. En otras palabras, la fuerza gravitatoria que una esfera uniforme ejerce sobre una partIcula exterior es

F=G

m,

[m fuera de Ia esfera de masa MI

donde m es la masa de Ia partIcula, M es Ia masa de Ia esfera, y r la distancia de m a! centro de Ia esfera. Obtendremos ahora este resultado. Usaremos los conceptos de cantidades infinitamente pequenas y de integraciOn. Consideramos primero un cascarón esférico uniforme muy deigado de masa M cuyo espesor t es pequeno comparado con su radio R (Fig. Ci). La fuerza sobre una partIcula de masa m a una distancia r del centro del cascarOn se puede calcular como Ia suma vectorial de las fuerzas debido a todas las partIculas del cascarón. Imaginamos a éste dividido en franjas circulares (infinitesimales) delgadas de manera que todos los puntos sobre una franja están a Ia misma distancia de Ia partIcula m. Una de esas franjas circulares, designada AB, se muestra en Ia figura. Ci. Ella tiene ancho R dq, espesor t y radio R sen 6. La fuerza sobre la partIcula m debido a una pequena pieza de franja en el punto A esth representada por el vector FA mostrado. La fuerza debido a una pequena pieza de franja en el punto B, que es diametralmente opuesto a A, es Ia fuerza FB. Consideramos que las dos piezas en A y B son de masas iguales, por lo que FA = FB. Las componentes horizontales de FA y F son cada una igual a FA CO5 çb

y señalan hacia el centro del cascarOn. Las componentes verticales de FA y F son de igual magnitud y señalan en sentidos opuestos, por lo que se cancelan. Como para cada punto sobre la franja hay un punto correspondiente diametralmente opuesto (como A y B), vemos que Ia fuerza neta debido a la franja entera senala hacia el centro del cascarOn. Su magnitud ser

dF = G

mdM

donde dM es la masa de toda Ia franja circular y I es Ia distancia de todos los puntos sobre la franja a m, como se muestra. Escribimos dM en términos de la densidad p; por densidad queremos decir masa por volumeri unitario (sección 13i). Por consiguiente,

Ci Cálculo de Ia fuerza gravitatoria sobre una partIcula de masa m debido a un cascarón esférico uniforme de radio R y FIGURA

masa M.

1,

Cd

9

FA

r FB

A-i

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dM = pdV, donde dV es el volumen de Ia franja y es igual a (2irR sen O)(t)(R d6). La fuerza dF debido a Ia franja circular mostrada es entonces

dF = G

mp2i-R2tSefl6 dO 12

cos.

(Ci)

Para obtener Ia fuerza total F que el cascarOn entero ejerce sobre la partIcula m, tenemos que integrar sobre todas las franjas circulares: es decir, de 6 = 00 a 0 = 180°. Pero nuestra expresiOn para dF contiene 1 y 4), que son funciones de 6. Dc la figura

Ci podemos ver que 1

cos4)

= r - RcosO.

Además, podemos escribir la ley de los cosenos para el triángulo CmA: cos 0

r2 + R2 - 12 2rR

(C-2)

Con esas dos expresiones podemos reducir nuestras tres variables (1, q, f) a solo una, que escogemos como 1. Hacemos dos cosas con Ia ecuación C-2: (1) La ponemos en La ecuaciOn para I cos f dada arriba:

r2+12R2

1

cos4) = --(r - RcosO)

= 2,-I y (2) diferenciamos ambos lados de Ia ecuaciOn C-2 (porque sen 6 dO aparece en Ia expresión para dF, ecuación Ci): 21 dl

2rR

=

senj= IrRdl

0

ya que r y R se consideran constantes al sumar sobre las franjas. Ahora insertamos éstas en la ecuación Ci para dFy encontramos

RI dF=Gmpirt-jIl

r\

+

r2R2\)dl. 12

Ahora integramos para obtener La fuerza neta sobre nuestro cascarón delgado de radio R. Para integrar sobre todas las franjas (6 = 0° a 180°), debemos pasar de I = r - R a

= r + R (yea Ia figura Ci). AsI entonces,

r2 - R21'

R I FGmpir1-1 r

I

J1=r-R

L

R

= Gmpirt - (4R). r

El volumen V del cascarOn esférico es su area (4irR2) veces el espesor t. Por tanto, Ia masa M = pV = p4i-R2t, y finalmente

F=Gm1

partIcula de masa m fuera de un cascarOn esférico delgado uniforme de masa M

Este resultado nos da la fuerza que un cascarOn delgado ejerce sobre una partIcula de masa m a una distancia r del centro del cascarón, y fuera del cascarOn. Vemos que Ia fuerza es la misma que La que existe entre m y una partIcula de masa M en el centro del cascarón. En otras palabras, para fines de calcular la fuerza gravitatoria ejercida sobre o por un cascarón esférico uniforme, podemos considerar toda su masa concentrada en su centro. Lo que hemos obtenido para un cascarón es válido también para una esfera sólida, ya que una esfera sólida se puede considerar hecha de muchos cascarones concéntricos, de R = 0 a R = R0, donde R0 es el radio de Ia esfera sólida. i,Por qué? Porque si cada cascarón tiene masa dM, escribimos para cada cascarón, dF = Gm dM/r2, donde r es Ia distancia del centro C a Ia masa m y es Ia misma para todos los cascarones. La A-8

APENDICE C

Fuerza gravitacional debido a una distribuciOn esférica de Ia masa

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fuerza total es igual entonces a Ia suma o integral sobre dM, lo que da Ia masa total M. El resultado PartIcula de masa m fuera de F=Gm1 (C-3) una esfera sOlida de masa M

es válido para una esfera sólida de masa M aun si Ia densidad varIa con La distancia desde el centro. (No es válido si La densidad varIa dentro de cada cascarOn, es decir, depende no solo de R.) La fuerza gravitatoria ejercida sobre o por objetos esféricos, como Ia Tierra, el So! y la Luna, puede entonces considerarse actuando como si los objetos fuesen partIculas puntuales. Este resultado, ecuaciOn C-3, es cierto sOlo si Ia masa m está fuera de la esfera. Consideremos a continuaciOn una rnasa puntual m localizada dentro del cascarón esférico de la figura Ci. AquI, r es menor que R, y Ia integraciOn sobre I serla desde I =R R + r,porloque

ral=

[I

r2_R2]r0

AsI entonces, Ia fuerza sobre cua!quier masa es igual a cero. Este resultado tiene importancia particular para Ia fuerza e1ectrosttica, que es también una ley de cuadrado inverso. Para la situación gravitatoria, vemos que en puntos dentro de una esfera sOlida, digamos a 1000 km debajo de Ia superficie de La Tierra, sOlo La masa hasta ese radio contribuye a Ia fuerza neta. Los cascarones exteriores más aIlá del punto en cuestión no contribuyen con ningOn efecto gravitatorio. Los resultados que hemos obtenido aqul pueden también obtenerse usando La analogla gravitatoria de La ley de Ia electrostática de Gauss (capItulo 22).

APENDICE C

Fuerza gravitacional debido a una distribuciOn esférica de Ia masa

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A-9

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Isótopos seleccionados (4)

11)

NIinero témico

I

z

Elemento

-fl_,pJv

fl

HidrOgeno

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Respuestas a problemas impares 1. 6.3 )< i0 N. 3. 2.7 x iO- N. 5. 5.5 x 1O N.

83.8 N lejos del centro del triángulo. 2.96 X 102 N hacia el centro del cuadrado.

15. F1 =

= (kQ2/e2)[(-12 -3V'/4)i (kQ2/e2)

+ (6 + 3V/4)j],F4 =

[(12 - 2\/)i + (-4 -2\f2)jI. 17. (a) Qi = Q2 = QT; (b) Q1 (or Q2) = 0. 19.

(1/4r0)[Q(r3 - r)

0.402Q0, 0.366 de Q0.

21. 60.2 X 106C,29.8 x 1OC; -16.8 x 10 C, 106.8 x 10 C. 23. F = -(1.9okQ2/e2)(i + j + k). 25. 2.18 x 10-16 N (oeste). 27. 7.43 X 106 N/C (arriba). 29. (1.39 x 102 N/C)j.

+ q(r - r)]/(r - r)r2;

65. (b) DirecciOn del dipolo. 67. 6.8 >< 103C.

(q + Q)/4r0r2. 25. (a) q/4ir0r2 ; (b) (q + Q)/4E0r2; (c) E(r < r) = Q/41T0r2, E(r> r0) = 2Q/4ire0r2; E(r < TO) = -Q/4ror2,

69. 5.7 x iO'3 C. 71. F, = 0.30 N, 265° del eje x, F2 = 0.26 N, 139° del eje x, F3 = 0.26 N, 30° del eje x.

(kQ2/e2)[(-2 + 3'\//4)i

+ (4 - 3V/4)jI,F2 = (kQ2/e2) [(2 + 2\/)i + (-6 + 2V)jI, F3

23. (a) q/40r2;

(pE/1)"/27r.

9. -5.4 x l0 C. 13.

a2/cr, = -(r,/r2)2; (e) o- = 0.

63. (a)0<<1;

7. 8.66 cm. 11.

(o,r + o.2r2)/60r2;

61. (a) 3.4 X 10-20 C; (b) No; (c) 8.5 X 10-26 m N; (d)2.5 x 1026J.

E(r>r0) = 0. 27. (a) crR0/r; (b) 0; (c) el mismo. 29. (a) 0; (b) Q/2ir0Lr; (c) 0; (d) eQ/4ir0L.

73. 4.2 X i05 N/C arriba. 75. 0.444Q, 0.333e de Q0. 77. 5.60 m de Ia carga positiva, y 3.60 m de Ia carga negativa. 79. (a) En Ia dirección de Ia velocidad, hacia Ia derecha; (b) 2.1 x 102 N/C.

31. (a) 0;

-2.3 X 102 N/C (hacia el eje); -1.8 X 102 N/C (hacia el eje).

33. (a) pET/2o; (b) pER/2or;

81. O = 18°.

83. (1.08 X 102 N/C)! (3.00 - cos [(12.5 s')t]j2, arriba. 85. EA = 4.2 X i0 N/C (derecha), E8 = -1.4 X 102 N/C (izquierda), Ec = -2.8 X 102 N/C (izquierda), ED = -4.2 X 102 N/C (izquierda).

87. d(1 + \/) de Ia carga negativa, y d(2 + V2) de Ia carga positiva.

33.

(c)pE(r2 + R - R)/2e0T;

PE(R + R - R)/20T;

(10 N/C) 10

8 6

4 2

0 4. 4. 4.

4T\

1. (a) 41 N m2/C; (b) 29 N m2/C;

(1e = 0,

= -(6.50 x iO N/C)e2, cIr = e = +(6.50 x 102 N/C)e2, 'FlOdos los dem6s = 0. = 0

5. 12.8 nC.

56° por encima de Ia horizontal. 39. 5.61 >< 102 N/C alejándose de Ia esquina opuesta.

9.

10_b

41. Ql/Q2 = 43. (a) 2Qy/4ire0(y2 + e2)30j. Q 4 49.

lxi L

-2AsenO0

4r0R

51. (a)

(2a/i-)j

(x2 + a2)312 j.

(Li + [x - (x2 + L2)'2]j}.

53.

(o/20)k.

55. (a) a = -(3.5 X 1O' rn/s2) i

-(1.41 )< 1016 m/s2) j; (b) 0 = -104°. 57. 0 = -28°.

59. (b) 2ir(4ire,niR3/qQ).

I

I

15

20

r (cm)

37.

gdA

= -431GM.

39. Qenc =

x 10 N m2/C, -1.69 X 102 Nrn2/C.

43. (a) 0; (b) Q/25ir0r

3.75 x 10' C.

11. (a) -1.0 X 102 N/C (hacia el alambre); (b) -2.5 X 102 N/C (lejos del centro). E(107N/C) 13.

1.9 0

35. Q/0\/. 41. 3.95

7. -1.2,C.

I

7.5

r(cm)

15

A

4lrEox(x2 + L2)'72

I

10

0. 3.

N/C (sur). 37. 4.5 x 10 N/C arriba, 1.2 X iO N/C, 35. 8.26 X

5

15. (a) 5.5 X i0 N/C (lejos del centro);

no es perpendicular; no es Otil.

45. (a) 0.677e = + 1.08 X 10-19 C; (b) 3.5 >< 10" N/C. 47. (a) pEro/660 (derecha); -l7pE'0/S4o (izquierda). 49. (a) 0; (b) 5.65 X 102 N/C (derecha); 5.65 X i05 N/C (derecha); -5.00 x 10 C/rn2; + 5.00 x 106 C/rn2.

(b) 0.

17. (a) -8.00 C;

+1.00tC

19. (a) 0; (b) o-/E; no se modifica.

21. (a) 0; (b) o-,r/0r2;

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1. -4.2 x i0 J (lo realiza el campo). 3. 3.4 X iO' J.

5. VaVb+72.8V. 7. 7.04 V.

A-il

9.

55. (a) 2.0 keV; (b) 42.8.

C.

0.8

11. (a) VBA = 0;(b) VCB = VCA = -2100 V.

-2100V;(c)

59. 3Q/20ire0r.

(a) -9.6 x 10 V; (b) V(os) = +9.6 X 108 V. 15. (a) El mismo; (b) Q2 = r2Q/(r1 + r2).

61. 5.4 )<

13.

17.

57. (a) (-4 + /)Q2/4b ; (b) 0. 10

V/rn.

63. 9 x 102V. 65. (a)1.1 MV;(b) 13kg.

57. C = 23AKK2/d(K + K2). 59. (a) 0.40Q0, 1.60Q0; (b) 0.40V0. 61. (a) 111 pF; (b) 1.66 x 10_8 C;

67. 7.2 MV. 69. 1.58 x i0' electrones. 71. 1.7 x 1012 V.

(a) Q/4r0r; (Q/8ir0r0)[3 - (r2/r)]; V

1.84 x 108 C; 1.17 X iO V/rn; (e) 3.34

73. 1.03 x 10 rn/s. 75. V.

=

Vb =

r 0

-3.5 Q/4eL, -5.2 Q/40L,

83. (a)pE(r - r)/3r;

(p/6eo)[3r - r2 - (2r/r)J

r0

A

(pE/2eo)(r - ri), el

19.

(a) V0 + (uRo/0) ln(R0/r);

21.

(a)29V;

r

J).

(1/20)q(2b - d)/b(d - b).

j- [(x2 + R)''2 - (x2 + R)"2]. Q

33.

8i0L

35.

6

9.

1.8

x 102 rn2.

11.

7.1

x 104E

13. 23 nC. 17. 4.5 ><

(x+L\ ,x>L. ml

\x-LJ

10

C.

81. 660 pF en paralelo.

83. Q1 = 11C,Q2 = V1

Q1 = 350 1LC, Q2 = 117 I.LC. 25. (a) 3.71 F; (b) Vab = Vi = 26.0 V, V2 = 14.9V,V =

27. 18 nF (en paralelo), 1.6 nF (en serie). = CV/5, 29. (a)3C/5;(b)Q1 = = 2CV/5, Q4 = 3CV/5, V1 = V2 = V/5, V3 = 2V/5, V4 = 3V/5.

53. (a) U = + Q1Q3/r13 + Q1Q4/r14 + Q2Q3/r23 + Q2Q4/r24 + Q3Q4/r34). (b) U = (1/41To)(QIQ2/rI2 + Q1Q3/r13 + Q1Q4/r14 + Q1Q5/r15 + Q2Q3/r23 + Q2Q4/r24 + Q2Q5/r25 + Q3Q4/r34 + Q3Q5/r35 + Q4Q5/r45).

Respuestas a problemas impares

= 13uC,

= 11V,V = 6.5 V, V = 4.4V.

85. Q2x/2A0. 87. (a) 7.4 nF, 0.33 C, 1.5 x iO4 V/rn, 7.5 x 10 J; (b) 27 nF, 1.2 tC,

lily.

1.5 x i0 V/rn,2.7 x 10J.

89. (a) 66 pF; (b) 30 tC; (c) 7.0 rnrn; (d) 450 V.

electron/s. x 10' A. 5. 7.5 x 10EV. 7. 2.1 X 1021 electron/mm. 1. 9.38 X 10

3.

Q=

C1C2VO/(CI + C2),

= CV0/(C1 + C2).

11.

Q2 = Q4 = 60tC; V1 7.5

= V2 =

V3

=

V4

2.1

9. (a)

33. (a)Q1 = Q = 301LC;

47. E = 2y(2z - 1)i-2(.y + x - 2xz)j + (4xy)k. 49. (a) 9.6 x iO eV; (b) 1.9 x i0 eV. 51. -.2.4 x 104V.

Egiass

(b) el voltaje disrninuirá en forrna exponencial.

21. 2880 pF, si. 23. (a) (C1C2 + C1C3 + C2C3)/ (C2 + C3);

31.

39. (a) 8.5 x iO° C m; (b) cero. 41. (a) -0.088V;(b) 1%. 43. (a) 5.2 X

Ej

79. (a) 0.10 MV;

V/rn.

-2x2) +2x3].

37. 3.2 mm.

A-lB

i0

(b)

27. 2.33 X i0 rn/s. 31.

+1

69. (a)4x;(b)4x;(c)x. 71. 10.9 V. 73. (b) 1.5 >< 10_b F/rn. 75. U2/U1 = 1/2K,E2/E1 = 1/K. 77. (a) 19 J; (b) 0.19 MW.

0.80,F. 7. 2.00.

19. (a)0A/(d -

MV.

29. VBA =

+++

67. 11 ,uF.

5.

23. +0.19J. 4.2

+

L

3. 6.3pF.

(b)V= V0;(c)V0.

(b) -29eV (-4.6 x i0

++

1+

potencial es

1. 2.6E

r0

0

(g) 172 pF; (h) 2.58 x 10-8 C. 63. 22%. 65. Q = 4.41 x i0 C, QInd = 3.65 X iO C, Eaire = 2.69 X i0l V/rn, Evidrio = 4.64 X iO V/rn;

continuo en r1 y r2.

E

X iO

V/rn;(J) 150V;

V = -6.8 Q/4ie0L. 77. (a) 5.8 X iO V; (b) 9.2 x iO' J. 79. Va - Vb = (A/2ir0) In(Rb/Ra).

25.

(c) -1.4 x 10 J; (d) Ia energIa potencial almacenada no se conserva. 51. 1.5 x 10b0 F. 53. 0.46 C. 55. 3.3 x 102J.

= 3.75 V; (c)

V.

16 fl;

0.57

19.

1.8

x i0

39. 2.0 >< iO J. 41. 2.3 x 103J.

43. 1.65 x 107J. 45. (a) 2.5 x i0

27. 3.2W. 29. 37V.

25. R =

J; (b) 6.2 X 10 J; Qpar = 4.2 .tC, Qser = 1.0 1LLC.

J;

(b) 8.1

X

i0

C.

13. RA! = 1.2Rcu. 15. 1/6 de Ia longitud, 8.3 1, 1.7 11.

21. R2 =

10

6.8

17. 58.3°C.

35. 3.0E (0A/d)[1 37. C

47. (a) 2.2 x

(b)

rnrn.

X i0

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J;

°C.

(r2-r)/4ircrrr2.

31. (a) 240 (1, 0.50 A; (b) 33. 0.092 kWh, 22/mes.

96 Cl, 1.25 A.

35. 1.1 kWh. 37. 3. 39. 5.3 kW. 41. 0.128 kg/s. 43. 0.094 A. 45. (a) Infinito;(b) 1.9 X 102D 47. 636 V, 5.66 A. 49. 1.5 kW, 3.0 kW, 0.

51. (a) 7.8 X 10b0 m/s; (b) 10.5 A/rn2 a lo largo del alambre; (c) 1.8 x iO V/rn. 53. 2.7 A/rn2 forte.

55. 12h. 57. 6.67 x 102 S. 59. (a) 8.6 fi, 1.1W; (b) 4X. 61. (a) $44; (b) 1.8 X i0 kg/yr. 63. (a) -19.5%; (b) el porcentaje en la disminución de Ia potencia de salida será menor. 65. (a) 1.44 X i0 W; (b) 17W; (c) 11 W;

(d) 0.8/dfa.

67. (a) 1.5 kW; (b) 12.5 A. 69. 2. 71. 0.303 mm, 28.0 m. 73. (a) 1.2 kW; (b) 100W. 75. 1.4 X 1012 protones. 77. Ia = 2.8 X i05 A/rn2,

lb = 1.6 x 10 A/rn2.

1. (a) 8.39 V; (b) 8.49 V.

3. 0.060 fi.

5. 360fl,23fl. 7. 25c1,70c1,95n,18n. 9. ConexiOn en serie. 11. 4.6 kfl. 13. 310 fl,3.7%. 15. 960 fi en paralelo. 17. 105 fi.

t = 1.23. 45. (a) T = RR2C/(R + (b) Qm0x =

47. 2.1

rnás, y los protones rnás rápidos se desviarãn menos, 0 = 12°. 63. 2.0 A, abajo.

R2C/(R1 + R2).

s.

65. 7.3 x 103T. 67. -2.1 x 1020 J.

49. 50aA. 51. (a) 2.9 X i0 fI en paralelo; 35 k(1 en serie. 53. 22 V, 17 V, 14% bajo. 55. 0.85rnA,4.3V. 57. 9.6 V.

3. 0.18 N atracción.

61. 3.6 x 102 C°.

5. B

1. 1.7 )< 10T,3.1X.

63. Dos resistores en serie. 65. 2.2V,116V. 67. 0.19 Mfl. 69. (a) 0.10 A; (b) 0.10 A; (c) 53 rnA. 71. 2.5 V. 73. 46.1 V,0.71 fi. 75. (a) 72.0W; (b) 14.2 W; (c) 3.76W. 77. (a) 40 kfl; (b) entre b y c. 79. 375 celdas, 3.8 m >< 0.090 rn. 81. (a) 0.50 A; (b) 0.17 A; (c) 3.3 ftC; (d) 32 ts. 83. (a) + 6.8 V, 10.2 C; (b) 28 s.

I® 7.

8.9 X 10 T, 70° por encirna de a horizontal. 9. 4.0 x i0 T, 15° por debajo de Ia horizontal.

11. (a) (2.0 x i0 T/A)(15 A -1) arriba; (b) (2.0 x iO- T/A)(15A + 1) abajo. 13. 2lAabajo.

15. [(j./4i)2J(d - 2x)/x(d - x)]j. 17. 4.12 x 105T. 19. (b) (0/4sr)(21/y).

1. (a) 6.7 N/rn; (b) 4.7 N/rn. 3. 2.68A. 5. 0.243T. 7. (a) Polo sur; (b) 3.5 x 102 A;

21. 0.123 A.

5.22 N.

9. 5.5 x 103A. 13. 1.05 X i0 N Norte. 15. (a) Hacia abajo; (b) dentro; (c)

23. (a) 6.4 X 103T; (b) 3.8 X 103T; (c)2.1 X 103T. 25. (a) 51 crn;(b) 1.3 X 102T.

27. (a) (oIo/2irR)r circular sentido contrario al giro del reloj; 10/2irr circular sentido contrario al giro del reloj;

21. 1.6m.

(d)! = J = 0.300A,12 = 0,

'2'3'4

35. (a) 4.33 x i0

13 = 14 = 0.150 A; I = 0.338 A, 0.113A. 21. 0.4 fi. 23. 0.41 A.

33. (a)2B;(b)0.

25. 1 = 0.68 A, '2 = -0.40 A.

41. 1.2 x iO C/kg. 43. (a) 2.2 x io- V/rn; 2.7 x 10 rn/s; 6.4 x 10 electrones/rn3.

27. 1 = 0.18 A derecha, 12 = 0.32 A izquierda, 13 = 0.14 A arriba. 29. '1 = 0.274 A, 12 = 0.222 A, 13 = 0.266 A,!4 = 0.229 A, 15 = 0.007 A, I = 0.496 A.

31. 52V,-28V. El valor negativo sign ifica que Ia baterla apunta en Ia otra direcciOn.

33. 70V. 35. 1 = 0.783 A.

39. (a) R(3R + 5R')/8(R + R'); (b) R/2. s.

(1 10/2irr)(R - r2)/(R - R)

23. (a) 2.7 cm; (b) 3.8 X iO s. 25. 1.034 x 100 rn/s (oeste), Ia gravedad se puede ignorar.

27. (6.41 - 10.3j - 0.24k)] X 10 29. 5.3 X i0 m, 3.3 X 10 rn. 31. (a) 45°; (b) 3.5 X i0 m.

nuyen; (b) Ii ( = 1) y '2 aumentan, 13 y 14 disminuyen; (c) aumentan;

D E

derecha.

19. (a) V1 y V2 aumentan; V3 y V4 disrni-

41. (a) 3.7 nF; (b) 22

61. Los protones ms lentos se desviarán

43.

circular sentido contrario al giro del reloj; (d) 0.

29. 3.6 x 10T.

N.

1/8R fuera de Ia página. 33. (a) p.0I(R + R2)/4R1R2 hacia La 31.

página; (b) irI(R + R) hacia Ia pagina.

rn N;

(b) extremo norte.

39. 29tA.

I,

ettoQwIR2+2x2_ 2xVR2+x2]. 2srR2L \/R2 + x2

45. (a)Deterrnine Ia polaridad de Ia fern; (b) 0.43 rn/s. 47. 1.53 mm, 0.76mm. 51. 3.0 T arriba. 53. 1.1 X 10-6 rn/s oeste. 55. 0.17 N, 68° por encima de Ia horizontal hacia el forte. 57. 0.20 T, 26.6° de La vertical. 59. (c) 48 MeV.

QwR2.

35.

sf.

37. (b) B =

1L/41Ty(L2 + y2)"2

circular.

39. (a) (Jo/21TR)n tan (sr/n) hacia La página.

41. B

(x2 .),2)l/2

[(b - x)2 +


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A-19

+

[(a - y)2 + (b - x)2]112

(a - y)(b - x) + (a -

+

x(a - y)

fuera de Ia página.

43. (a)26Arn2;(b)31mN. 45. 30T. 47. FM/L = 5.84 x i0 up, FN/L = 3.37 X i0 N/rn 600 debajo de La lInea que se dirige a P,

F/L

= 3.37 x i05 N/rn 60°

debajo de Ia lInea que se dirige a

49.

N.

0.27 mm, 1.4 cm.

51. B = Lojt/2 paralelo a Ia hoja, perpendicular a Ia corriente

43. 549 V,68.6A. 45. 56.8 kW. 47. 0.188 V/rn. 49. (b) Sentido de giro del reloj; (c) dB/dt >0. (g 51. (a) IR/e (constante); (b) _e_B2e2t/mR. 53. 31 vueltas. 55. v = 0.76 rn/s. 57. 184 kV. 59. 1.5 x 1017. 61. (a) 23 A; (b) 90 V; (c) 6.9 >< 102W; (d) 75%. 63. (a) 0.85 A; (b) 8.2. 65.

55. 3 X 109A. 57. B disrninuirá. 59. 2.1 X 106g. 61.

63.

21/Lir (izquierda). 4 x 10T,cerca del 10% del campo de Ia Tierra.

1. -3.8>< 102V. 3. Sentido contrario al giro del reioj. 5. 0.026 V.

7. (a) Sentido contrario al giro el reloj; sentido de giro del reloj; (c) cero; (d) sentido contrario at giro del reloj. 9. Sentido contrario al giro del reloj. 1L (a) Sentido de giro del reloj; (b) 43

mV;(c)l7mA.

del eje.

15. 4.21 C. 17. (a) 5.2 X 102 A; (b) 0.32 rnW. 19. 1.7 x 10_2 V.

21. (Ja/2ir) In 2. 23. (a) 0.15 V; (b) 5.4 X i0 A; 4.5 x 10 N. 25. (a) Se moverá a velocidad constante; (b) v = voe_mR.

27. (b)

pIv /a+b'\ ln

2

b

) a lo largo del

alambre largo.

Iv (b)

In

3. M/C = 5. M = (w/2ir) 7. 1.2 H.

(a+b'\

2ir b ) alambre largo. 31. 0.33 kV, 120 rev/s. 33. 100 V.

ln(2/1).

9. 2.5 X 106H. 11.

r1

2.5 mm.

13. 3. 15. (a) L1 + L2; (b) = L1L2/(L1 + L2). 17. 15.9J. 19. (a) uE = 4.4 X i0 J/rn3, u8 = 1.6 X 106J/m3,uB>>uE; E = 6.0 x 108 V/rn. 21. 4.4 J/m3, 1.6 x 10 J/m3. 23. (p0J 2/4.) ln(r2/r1).

25. t/T = 4.6. 27. (dl/dt)0 = V0/L. 29. (a) (LV2/2R2)(1 - 2e'1° + e2"°); (b) = 5.3.

150-

5,000

7. 0.13 H. 11. (a)5.0%;(b)98%. 13. (a) 9.0 kfl; (b) 10.2 kfl. 15. (a) 18 mA; (b) -29°; (c) 1.8W; (d)VR = 105V,V = 58V. 17. (a) 0.38 A; (b) -89°; (c) 0.29W. 19. 3320.. 2 2V' 21. (a) 0; (b)-V0 V112 = 23. 8.78 kfl, -7.66°, 91.1 mA. 25. 265 Hz,324W. 27. 52.5 mA. 29. (b) w'2 = [(1/LC) - (R2/2L2)]; (c) k R. 1/C, m -* L, b 31. (a) VR/[2R2 + 2(wL - 1/wC)2]; (b)w'2 = 1/LC;(c) = R/L.

33. 40.. 35. 9.76 nF. 37. 27.9 rnH. 39. 1.6kHz. 41. 14fl,75mH.

io Hz. 1.88 x 10 W; (c) 2.8 x 10 A, 0.66 V, 4.7 i0 V,

43. 2.2

X iO Hz, 1.1 X

23.6 k(1,

10.8°;

+ [w(L1 + L2) (C1 + C2)/wC1C2j2}'12.

51. 19(1,62mH.

47. 3.0 )< l03vueltas,95 vueltas. 51. (b) Colocando un bobina en forma perpendicular a la otra;

53./=

2M).

57. Vent

)sen(wI+4))

=

(_) [_()coswt +

=

()[()cos(wI+4))_cos(wI)],

=

4)

(XL - X)R i0 V/rn . s. iO' V/rn .

7. 9$ B . dA = /.LOQm, 9$

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+ cos(wt)],

XCXL

41. (a)5.2V;

(b) transforrnador reductor.

4))

I /XCXL\2 Z= 1R2+H--

tan

1"sal

(V0'\

1. 9.2 3. 7.9


(b)

49. ((R1 + R2)2

39. 0.18.

A-20

10,000

><

J.

(c) L1L2/(L1 + L2); (LIL2 - M2)/(L + L2 55. (a) 1(Q 2/C)e -Rt/L

f(Hz)

I

00

0.126 V.

lejos del

35. 13A. 37. 3.54 X i0 Vueltas.

300-

45. (a)

31. (a) 213 pF; (b) 46.5 H. 35. (a) Q = Q0/V'; (b) T/8. 37. R = 2.30 11. 41. Disminuye, 1.15 kQ. 43. 20 rnH, 95 vueltas. 45. (a) 21 mH; (b) 45 mA;

2.2 x i0

X(fl)

5.

-

1. M=NN2A/e.

t/r

13. 1.1 x 10J.

hacia el centro.

71. Bwr, en forma radial hacia el exterior

(direcciones opuestas en arnbos

lados). 53. A lo largo, delgado y corto, piano.

BwL2

1. (a) 3.7 x 102 fl; (b) 2.2 x 102 çl. 3. 9.90 Hz.

X ><

E . d = /:LO dQm/dI - d8/di.

9. 1.4 X 10'3T. 11. (a) B0 = E0/c, - y-dirección; (b) -z-dirección.

13. (a)

1.08 cm; (b) 3.0 x 1018 Hz. 15. 314 nm, ultravioleta. 17. (a) 4.3 mm; (b) 71 mm.

19. 1.77 x 1OW/m2. 21. 7.82 >< i0 J/h.

37. 4.6m. 43. 3.0%.

29. +1.15D. 31. f/2.3. 35. 41 mm. 37. +2.3 D. 39. Las lentes podrIan ser mejores. 41. (a) -1.33 D; (b) 38 cm.

45. 0.22°. 47. 61.7°,Jucite. 49. 93.5 cm. 51. flhiquido

1.5.

55. 17.0 cm debajo de Ia superficie del

43. -26.8 cm.

vidrio. 59. (a) 3.0 m, 4.0 m, 7.0 rn; (b) hacia usted, lejos de usted, hacia usted.

23. 4.50 x 10J. 25. 3.8 x 1026W.

45. 17 cm, 100 cm. 47. 8.3 cm. 49. A 6.3 cm de Ia lente, 3.9X.

61. -3.80m.

29. r<3 X 107m. 31. 302pE

63. Seleccione diferentes signos para Ia

33. 2.59 nH L 3.89 nH. 35. (a) 441 m; (b) 2.979 rn.

65.

53. (a) 7.2X;(b)2.2X.

amplificación; 13.3 cm, 26.7 cm.

55. 3.2 cm, 83 cm.

56.1°.

57. -33X. 59. 12x.

69. 81 cm (en el interior del vidrio).

5.56 rn, 0.372 m.

37.

51. (a) -49.4 cm; (b) 4.7X.

39. (a) 1.28 s; (b) 4.3 mm. 43. 469 V/rn. 45. La persona en el radio escucha la voz 0.14 s antes. 47. (a) 0.40W; (b) 12 V/rn; (c) 12 V. 49. 1.5 x 1011W. 51. (a) Parallel; 8.9 pF 80 pF; 1.05 mH 1.12 mH.

61. f0 = 4.0 m, r = 8.0 m.

63. 7.5x. 65. 1.7 cm. 67. (a) 0.85 cm; (b) 230x.

1. (a)

0

F

1. (a) 2.21 x 10 rn/s; (b)1.99 X 108 rn/s. 3. 8.33 mm. 5. 3 m.

3. (a) 3.64 D, convergente; (b) -16.0 cm, divergente. 5. (a) -0.26 mm; (b) -0.47 mm; (c) -1.9 mm. 7. (a) 81 mm; (b) 82 mm; (c) 87 mm; (d)

7. 3.4 x i0 rad/s. 9. 13 es Ia imagen deseada: 13 44 44

44 44

4444/

/ / /

81. 0<-d0<-f. 83. (c) 1d =

(c) 7.5 D.

11. (a) -10.5 cm (divergente), virtual; +203 cm (convergente).

m =

13. 22.9 cm, 53.1 cm.

/

Objeto

85.

15. Real y hacia la parte superior derecha. 17. Real,21.3 cm Real, 21.3cm ms allá de Ia segunda lente, -0.708 (invertida). 19. (a) +7.14 cm; (b) -0.357 (invertida);

\/d4 - 4dTf, (d1 + Vd - 4dTf2 dT - \/d4 - 4dTf)

1/f' = [(n/n') - 1][(1/R1) + (1/R2]; (1/d0) + (1/a1) = 1/f', donde

1/f' = [(n/n') - I]/f(n - 1);

m = -d1/d0.

87. +3.6 D.

89. 2.9x,4.1x. 91. (a) -2.5 X; (b) 5.0 D. 93. -20X.

Dependiendo hacia donde dirige su mirada, puede ver dos imgenes adicionales. 11

00.

75. 100 mm, 200 mm. 77. 79.4 cm, 75.5 cm. 79. 0.101 m, -2.7 m.

9. (a) Virtual; (b) lentes convergentes;

12

'I

73. 6.87 m
24 cm.

S

44

69. (a) 14.4 cm; (b) 137x. 71. (a) 15.9 cm; (b) 14.3 cm; (c) 1.6 cm; (d) r = 0.46 cm.

(b) 24.9 cm.

50

15. 36.4 cm.

19. 4.5m. 21. Convexo, -20 m. 23. (a) Centro de durvatura; (b) Real; invertido; (d) -1.

1211

Ft

2I

1

29. (a) Espejo convexo; (b) 22 cm detrás de Ia superficie; (c) -98 cm;

-196cm.

33. 45.60. 35. 24.9°.

23. 1.54. 25. 8.1 cm. 27. -1.87 m (cOncavo).

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3. 5.9 pm. 5. 3.9 cm.


A-21

7. 0.21 mm 9. 613 nm 11. 533 nm 15. (a) 4/Jo = (1 + 4 cos 8 + 4 cos 6)/9; (b) sen 0máx = mAid, m = 0, ±1, ±2,

sen Omn = (m + k)AId;k = 1,2;

m = 0, ±1, ±2 Centro Rendija

Rendija 2

I Rendiji2

Siguiente máximo

E0=0

Rendijal

sen U = Ala

Rendija 1f

E1

.

Rendija2

'Rendija 1

15. (a) 1.8 cm; (b) 11.0 cm. 17.

19. 2.4 x 10 rad = (1.4 X 10-)° = 0.050". 21. 820 lIneas/mm, 102 lIneas/mrn. 23. 5.61°.

25. Dos ordenes completos. Pnmer minimo

E0

13. d = 4a.

E0=0 Rendija 2

27. 497 nm, 612 nm, 637 nm, 754 rim. 29. 600 nm a 750 nm de segundo orden se traslapa con 400 nm a 500 nm de

tercer orden. 31. 621 nm, 909 nrn. 35. (a) Dos órdenes; (b) 6.44 X i0 rad = 13.3", 7.36 >< iO rad = 15.2", 2.52 X iO rad = 52.0".

37. (a) 1.60 X 10, 3.20 X i0; (b) 0.026 rim, 0.013 nm.

17. Naranja-rojo. 19. 179 nm.

21. 9.1 rm. 23. l2Onm,240nm. 25. 1.26. 29. 0.47,0.23. 31. 0.221 mm. 33. 0.289 mm. 35. (a) 17 Irn/W; (b) 156. 37. (a) Constructivo; (b) destructivo. 39. 464 nm. 41. 646nm. 43. (a) 81.5 nrn; (b) 127 nm. 45. 0.5 cm. 47. 0 = 63.3°.

49. sen0

= (m + )A/2S,m = 0,1,2,

sen 0mjfl = mA/2S, m = 0, 1,2 51. I/Jo = cos (2lTx/A).

39.

if = f/mN.

41. (a) 62.0°; (b) 0.21 nrn. 43. 0.033. 45. 57.3°. 47. (a) 35°; (b) 63°. 49. 36.9°, 53.1°.

51. I /32. 55. 31° En cualquier Jado de Ia normal. 57. 12,500 lIneas/crn.

59. sen 0 = sen 20° - (mA/a),

m = ±1, ±2

61. Dos Ordenes. 63. 11.7°. 65. (a) 16 km; (b) 0.42'. 67. (a) 0; (b) 0.0941o; no se transrnite luz. 69. (a) 30°; (b) 18°; (c) 5.7°. 73. 0.245 nrn.

1. (a) 1.00; (b) 0.99995; (c) 0.995; 0.436; (e) 0.141; (J) 0.0447.

1. 2.26°. 3. 2.4 rn. 5. 5.8 cm. 7. 4.28 cm. 9. (b) La intensidad prornedio es 2 X. 11. 10.7°.

A-fl


3. 2.07 x 10

s.

5. 0.773c. 7. 0.141c. 9. (a) 99.0 yr; (b) 27.7 yr; (c) 26.6 ly; (d) 0.960c.

11. 0.89c = 2.7 >< 108 rn/s.

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13. (a) (470 m, 20 m, 0); (b) (1820 rn, 20 m, 0). 15. (a) 0.80c; (b) -0.80c. 17. 60 rn/s, 24°. 19. 2.7 x 108 rn/s, 43°.

21. (a) L0\/1 - (v/c)2cos2O; (b) tan 0' = tan o/\/1 - (v/c)2. 23. No es posible en el marco del cuerpo. 25. 0.866c.

27. (a)0.5%;(b)13%. 29. 5.36 x i0-' kg. 31. 8.20 X i0' J, 0.511 MeV. 33. 9 X 102 kg. 37. (a) 11.2 GeV (1.79 X iO J); 6.45 x 10-18 kg rn/s.

39. 7.49 X i0' kg

rn/s.

41. 0.941c.

43. M = 2m/V'l - (v2/c2), KpDrdida = 2mc21[1/\/1 - (v2/c2)] 1).

45. 0.866c, 4.73 x 10_22 kg m/s. 47. 39 MeV (6.3 x 10_12 J) 1.5 X i0 kg m/s, -6%, -4%. 49. 0.804c. 51. 3.OT. 57. (a) 0.80c; (b) 2.Oc.

61. 3.8 x i0 s. 63. p = Po/[l - (v2/c2)]. 65. (a) 1.5 rn/s menor que c; (b) 30 cm.

67. 1.02 MeV (1.64 x i0' J). 69. 2.2 mm. 71. 0.78 MeV.

73. Electron.

75. 5.19 x 10'%. 81. (a) c = tan [(c2/v2) - 111/2; tan 0 = c/v, u = Vv2 + c2.

F

Indice Nota: La abreviaciOn defn significa que Ia página indicada proporciona Ia definiciOn del término;frz significa que Ia referencia está en una nota de página, pr significa que se encuentra en un

problema o pregunta;ffsignifica en las

páginas siguientes. Los nUmeros de página como A-3 indican los apéndices que están después del texto principal.

A Aberración: cromática, 856 fn; 859 de lentes, 858-59 esférica, 817,829,858 AberraciOn monocromática, 859 AcciOn a distancia, 147,554 AcciOn-reacción (tercera ley de Newton), 82-85 AceleraciOn, 23-37,54-55, 64-65, 80-82 angular, 241-42 centrIpeta, 64-65, 144 ff, 242 Coriolis, 292-94 de Ia gravedad, 31ff 85, 137-39 de Ia Luna, 134

de movimiento en forma constante, 26ff, 54-55

en g's, 36

instantánea, 25,54 promedio, 23-24,54 radial, 64-65, 69, 114ff, 242

relacionada con Ia fuerza, 80-82 tangencial, 121-22,242 uniforme, 26ff 52,243-244 variable, 36-37 AcelerOmetro, 94 Acomodamiento del ojo, 851 Acondicionador de aire, 525-28

Adhesion, 352 Adición de velocidades, 66-68 relativIstica, 935-36 Agujero negro, 149 Ala de un aeroplano, 348 Alternadores, 742 AM (modulación en amplitud), 804 Amapère (unidad), 637,712 definiciOn operacional del, 712 Amortiguamiento crItico, 376 Amortiguamiento magnético, 751pr amplificaciOn (itil del, 899 Ampere Andre, 637,712,722,787 AmperImetro, 674-76, 697 AmplificaciOn angular, 853 Amplitud: de una onda, 390, 396,419,422 de una vibración, 363 presiOn, 420

Análisis dimensional, 12-13 Analizador (de luz polarizada), 908 Angstrom (unidad), 824fn Angulo: de Brewster, 910 de fase, 366, 398,778 de incidencia, 403,408, 813, 822 de inmersión, 688 de reflexiOn, 403, 813 de refracción, 408-9, 822

mediciOn en radianes del, 240 polarización, 910 Angulo y ley de Brewster, 910 Anillos de Newton, 878 armónico amortiguado, 374-77 armónico simple, 364ss armónico, 364ss. Anodo, 605 Antena, 787, 805, 876-77 Antena dipolo, 793 Antinodes, 405,427

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A-23

Arago, F, 887 Arco, 319-21 Area: fOrmulas para,A-1 debajo de una curva o gráfica Aristóteles, 2,78-79 Armadura, 698,744 ArquImedes, 340-1 Astigmatismo, 851 Astigmatismo fuera del eje, 859 atOmica, 446

AtmOsfera (unidad), 337-40 AtmOsfera, dispersiOn de Ia luz por la, 911

Atomos, 446-47 (véase lamblén

Estructura atOmica,TeorIa cinética) carga eléctrica en los, 547 Aumento de masa en Ia relatividad, 936-38

aumento del. 856-58, 898-99 bajo Ia acciOn de la gravedad (caIda libre), 31-36 Aurora Boreal, 694 Autoclave, 482pr AutomOvil eléctrico, 592, 657 pr Avogadro, Amedeo, 459

B Balance, 308

Banda transportadora, 228 Bar (unidad), 337 BarOmetro, 339

C Cable coaxial, 632 pr, 715,760-61,800 Calculos aproximados, 9-12 Calentador eléctrico, 643 Calibrador aneroide, 338-9 Calor especIfico molar, 498-99 CalorIa (unidad), 486-7 relacionada con el joule, 486 CalorimetrIa, 489-90 Ca!orImetro, 489-90 CalorImetro de bomba, 490 Cámara, 848-50 enfoque automático, 419 Cambio de fase (o estado), 473-76, 490-93

Camino libre medio, 478-79 Campo eléctrico, 545 ff, 595-97, 602-3 cilcu!o del, 558-61, 595, 602-3 de un dipolo, 565-67, 603 en dieléctrico, 622-25 en onda electromagnetica, 792-803 energIa almacenada en, 621 generado por un campo magnetico variable, 747-49 movimiento de una partIcula con carga en el, 564-65, 694

Base, cantidades derivadas y unidades derivadas, 8

producido por un dipolo, 566 que produce un campo magnetico,

BaterIa, 635-6, 659, 668 Baterfa eléctrica, 635-36, 659, 668

relaciOn con el potencial eléctrico,

Batidos (mezcla de sonidos), 429-32 Be!, 421

Bell, Alexander Graham; 421 Bernoulli, Daniel, 345-6 BetatrOn, 754pr Binoculares, 827, 856 Biot, Jean Baptist, 719 Bobina (véase Inductor) Bolsas de aire, 30 Boltzmann, Ludwig, 535-6 Bomba centrIfuga, 353 Bomba circu!ante, 353 Boyle, Robert, 455 Brae,Tycho, 143 Bragg,W.H., 906 Bragg, W.L., 906

Brazo del momento, 247 Brewster, D., 910 Broglie, Louis de (véase también de Broglie)

A-24

Broncoscopio, 827 Brown, Robert, 446 BrOjula, magnética, 688,710 BSCCO, 650 Btu, 486

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788-91

595-97, 602-3

y conductores, 562-63 Campo magnetico, 686-702,709-26 Campo no conservador, 748-49 Campo próximo, 793 Candela (unidad), 882 Cantidad conservada, 183 Cantidad de movimiento, 206ss, 936-38, 941

Cantidades angulares, 240-43,246-7, Cantidades derivadas, 8 Capacidad (véase también capacitancia) Capacitancia, 614-21 Capacitores, 613-21 carga de los, 789-90 como filtro, 776 en circuitos, 669-73,764-65,774 ff en serie y paralelo, 617-20 reactancia de los, 775 usos de los, 776

Capilares, 352 Capilaridad, 351-52 Carburador de un automóvil, 348 Carga (véase también Carga eléctrica) Carga de enlace, 625 Carga de una baterIa, 659 fn, 668 Carga eléctrica, 545 ff conservación de Ia, 546-47 cuantizaciOn de Ia, 550 "de prueba", 554 del electrOn, 550,722-23 densidad de carga, 582 elemental, 550 en el átomo, 547 enlace, 625 inducida, 548-49, 625 libre, 625

movimiento de Ia, en un campo eléctrico, 564-65 movimiento de Ia, en un campo magnético, 692-95 punto(defn), 551 Carga eléctrica negativa, 546,593 centro de, 221-24 Carnot, S., 520 Catedrales, 319 Cátodo, 605 Causalidad, 146 Cavendish, Henry, 135, 137, 148 Celda eléctrica, 635 Celda seca, 636 CentIgrado (véase también escala de temperatura CeJsius) Centro de flotaciOn, 357 pr Centro de gravedad (CG), 223 Centro de masa (CM), 221-4 movimiento traslacional y, 225-7, 262-65

para el cuerpo humano, 221-2 CERN, 117-18 Cero absoluto, 455,238 Ciclo (defn), 363 Ciclo de Braytori, 544 pr Ciclo de Carnot, 520-25 Ciclo de Otto, 524 CiclotrOn, 707 pr Cielo azul, 911 Cinta y discos magnéticos, 749 circular no uniforme, 121-22 circular uniforme, 63-65, ll4ss, 371

Circuito (véase tambiénCircuitos eléctricos) Circuitos de CA, 658fn, 772-83 Circuitos de CD, 658-77 Circuitos eléctricos, 636, 658-77, 772-83

acoplamiento de impedancia de los, 781-82

constantes de tiempo de los, 670,762

de Ca, 658 fn, 772-83 de cd, 658-77 domésticos, 644-45 LC, 764-65 LR, 762-63 LRC, 766-67,776-79

puesta a tierra de los, 651-52 que incluyen capacitores, 669-73, 764-67,774 ff RC, 699-73 resonantes, 780 y las leyes de Kirchhoff, 664-69 CIrculo de confusiOn, 859 CIrculo de (iltima confusiOn, 858 Clausius, R.J.E., 517, 533 Coeficiente de desempeflo, 526 Cohesion, 352 Colisión, 211-20 elástica, 214-17 melástica, 214,217-18 ColisiOn completamente ineIstica, 217-18

Colisión nuclear, 217,220 compuesto, 856-58 con aceleraciOn constante, 26ss. cOncavo y convexo, 819ss Colonoscopio, 827 Color de Ia luz relacionado con Ia frecuencia y longitud de onda, 872, 878 del cielo, 911

Columnas de aire, vibraciones de, 424-29 Coma, 859 Componentes del vector, 48-52 CompresiOn (onda longitudinal), 391

Computadora: discos para, 749 informaciOn digital y,749 monitor, 606 teclados, 616 unidad de disco duro, 243-44 Concreto, pretensado y reforzado, 313 CondensaciOn, 475 Conducción, de calor, 503-5 Conductancia, 656 pr Conductividad: eléctrica, 640, 649 térmica, 503-5

Conductores: de calor, 504

eléctricos, 547-48, 562-63, 640

Conmutador, 698 conservaciOn de Ia. 208-11 conservaciOn del, 257-59,288-89 Constante de Boltzmann, 459 Constante de difusión, 480 Contante dieléctrica, 621 -22 Continuidad, ecuaciOn de, 344

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A-25

Contra par, 743 Convección, 505 ConvecciOn natural, 505

convenciones de signo para la. 819,841

Corrección por Ia resistencia de los. 676

de capacitor, 677 de cinta,749 de las ondas, 388ss. de traslación, 16-238,262-65 de un proyectii, 55-63 de una partIcula cargada en un campo eléctrico, 564-65 Convenciones, signos (opciones geometricas), 819,822 Copiadora, electrostática, 555 Cornea, 850

Corriente (véase también Corriente eléctrica) Corriente alterna (CA), 645-46,772-83 Corriente convencional (defn), 637 Corriente de conducciOn (defn), 791 Corriente de desplazamiento, 791 Corriente directa (cd)(véase también Corriente eléctrica) Corriente eléctrica, 634-52 (véase también Circuitos eléctricos) cd (defn), 645 conducción (defn), 791 convencional, 637 de ca, 645-46,772-83 de fuga, 652 densidad, 647-49 desplazamiento, 791 fuerza magnetica en la, 689-92 inducida, 735 peligros de la, 651-52 pico, 645

produce un campo magnético, 689, 719-21

producida por un campo magnético, 747-49 rcm, 646 vista microscOpica, 647-49 y ley de Ohm, 638-39 Corrientes Eddy, 744

Coulomb (unidad), 550,712 definición operacional del, 712 Coulomb, Charles,549-50 Crane, 304 Creatividad en Ia ciencia, 3 Crick, F.H.C., 906 CristalografIa, 906

Curie M.Y P.,726 Curvatura del campo, 859 Curvatura del universo (espacio-tiempo), 149

Charles, Jacques, 455

A-26

indice

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D dB (unidad), 421 Decibel (dB), 421 Declinación magnetica, 688 definiciOn de, 687-88Defectos de la vista (ojo), 851 Defibrliador, 632 pr, 651 fn Definiciones operativas, 8,712 Del, 603 fn Densidad, 332-33 y flotación, 342 Densidad de carga, 582 Densidad de corriente, 647-79 Densidad de flujo magnético (v. Campo magnetico) descripciOn del (cinemática), 16-67 Derivadas, 21-22, A-4A-5 parciales, 399 DesaceleraciOn (defn), 24 Descarga de un capacitor, 672 Descartes, R., 146 DescripciOn macroscópica del sistema, 445

DescripciOn microscOpica de un sistema, 445

determinación del. 691 "Descubrimientos" en Ia ciencia, 700 Desintegracion radiactiva, (véase Rad iactividad) Desmagnetización, 725 Desorden y orderi, 533-34 Desplazamiento, 17-18, 46-47 angular, 246-47 de ondas, 396 en movimiento de vibración, 363 vector, 46-47,53 Desplazamiento continental, 342 Determinismo, 147 Diamagnetismo, 725-26 Diamante, 826-27 Dieléctricos, 621-26 descripciOn molecular de los, 624-26 DifracciOn, 867,887-911

a diferencia de Ia interferencia, 896 como lImite de resoluciOn, 896-97 de Ia luz, 867,887-911 de rayos X, 905-6 en experimento de doble rendija, 896 en ondas de agua, 410 Fraunhofer, 888 fn Fresnel, 888 fn por abertura circular, 896-97 por una sola abertura, 888-93 Difusión, 479-80 ley de Ficks de Ia, 480 Dimensiones, 12-13

Dma (unidad), 81

Eficiencia de un motor de calor, 519,

del movimiento rotacional, 247 ff dinámica del diagrama de Moseley,

Einstein, A., 148, 169,446, 916, 922-23,

Dinmica, 16,77 ff 77ss.

DInamo (véase también Generador eléctrico) DioptrIa, 838 Dipolo eléctrico, 565-67, 578,601-3 Dipolo y momentos de dipolo: eléctrico, 565-67,578, 601-3 Dipolos magnéticos y momentos dipolares, 695-97,721 direcciOn del. 689-92 Disco airy, 896 Disco o fuente de difracción, 896 DispersiOn, 402,824-25 Dispositivo no Ohmico, 638 Distancia: imagen, 814, 819 Distancia a! objeto, 814,819,828-29 distancia focal de los. 817, 821

Distancia de frenado de un automóvil, 29,167 Distancia de paro de un automOvil, 29, 167

Distorsión, en lentes, 859 DistribuciOn de Maxwell las velocidades moleculares, 470-72 dominios del, 722 Distributiva, propiedad, 160 Divisor de haz, 881 DNA, 573 pr, 906 Doblete acromático, 859 Dominio magnético, 722 Domo, 319-21 Doppler, J.C., 432 fn

E E = mc2, 938-42

EbulliciOn, 475-76,490-93 (véase también Fase, cambios de) ECG, 606 EcuaciOn de Bernoulli, 345-47 Ecu aciOn de Bragg, 906 EcuaciOn de Clausius de estado, 477 EcuaciOn de difusiOn, 480 EcuaciOn de los espejos, 81 9-22 Ecuaciones de Maxwell, 787,792-806, 918-19, 934

electrónico, 899 Edison, Thomas A., 605

Efecto Doppler: en el sonido, 432-35

en Ia luz, 435, 942-43

Eficiencia de Carnot, 522-23

522-23 940-41

Eje de un lente, 837 Eje, instantáneo, 246 EKG, 606 Elasticidad, 309-12 Electricidad, estática, 545 Embobinado no inductivo, 758 en colisiones, 208-20 en la teorIa de la relatividad, 936-38 energIa almacenada en el. 760-61 Empuje, 340-43 EnergIa de activación, 471 EnergIa eléctrica, 603-5, 620-21 almacenada en un campo eléctrico, 321

almacenada en un capacitor, 620-21 EnergIa mecánica, 182-89 EnergIa nuclear, 741 EnergIa potencial elástica, 181,369 EnergIa potencial eléctrica, 591-94, 603-5

Enunciado de Clausius de Ia segunda ley de termodinámica, 517, 526, 533 Equilibrio neutro, 198, 308 Equivalente mecánico del calor, 486 esférico, 816-22

Errores de Ia calculadora, 5 Escala de temperatura absoluta, 447 ff, 460,538 Escala de temperatura Celsius, 448-9

Escobillas, 698,740 Esfuerzo de compresion, 311 Espacio absoluto, 918,923 Espectro atOmico, 863-65 Espectro continuo, 902 Espectro de absorciOn, 902 EspectrOmetro (espectrOgrafo) de masas, 702 Espejismo, 869 Espejo cóncavo, 816, 820 Espejo convexo, 816 Estructura atOmica: primeros modelos de Ia, 862-3

Expansion binomial, A-i Experimento de la gota de aceite, 700

Experimento de Michelson y Morley, 9 19-23, 923fn

Experimento de Millikan de Ia gota de aceite, 700

Experimento de rendija doble (Iuz), 870-73

intensidad en el patrOn, 874-77, 895

jnd ice

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A-27

P F Ee.m. de movimiento, 739 Factores de conversion, 8, en el interior de Ia segunda y tercera de forros Fisica clásica (defn), 1, 916 FIsica moderna (defn), 1,916 Fluido sanguIneo, 344-45 Flujo eléctrico, 575-78,789 Flujo magnético, 736,791 Foco newtoniano, 862 Frecuencia angular, 366 Frecuencia de batido, 431 Frecuencia de ciclotrón, 694 Frecuencia de colisiOn, 483 pr Frecuencia de portadora, 804 Frecuencia natural, 366,378,405 (.t. Frecuencia de resonancia) fuentes del. 709-26 Fuerza contra electromotriz en el. 742-43

Freno, hidrulico, 338 Frenos anti-bloqueo, 119 Fuentes coherentes de luz, 873-74, 877 Fuerza (pseudo) centrifuga, 115,291 Fuerza centrIpeta, 114 Fuerza conservativa, 177-78,749 Fuerza contraelectromotriz, 742-43 Fuerza de arrastre, 122-23 Fuerza de compresiOn, 313 Fuerza de contacto, 86, 148 Fuerza de Coriolis, 292-94 Fuerza de empuje, 340-43 Fuerza disipativa, 189-92 Fuerza eléctrica, 545ff, 694 ley de Coulomb para Ia, 549-53 Fuerza magnética, 686, 689-95 Fuerza neta, 80,88 Fuerza no conservadora, 178 Fuerza normal, 85-87, 107

G GalvanOmetro de balIstica, 755pr Gases nobles general, 262-68,283-84 gravitatoria vs. inercial, 148 Generador de CA, 740-41 Generador de CD, 741 Generador eléctrico, 740-42 Grad iente de concentración, 480 Grados de libertad, 500-01

H HipOtesis de Avogadro, 459

A-28

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IlusiOn óptica, 869 Imágenes médicas, 437 Jmán, 686-88 InducciOn magnética (v. Campo

magnético) Inductancia mutua, 756-58 inercial, 148 Información analOgica, 749 Información digital, 749 InmersiOn, ángulo de, 688 IntegraciOn numérica, 36-37 Interferencia constructiva, 404,430, 871

Interferencia destructiva, 404,430, 871

InterferOmetro de Michelson, 881, 919-22

Interruptor termomagnético, 644 Intervalo audible, 418 Instrumentos musicales, 424-29 Instrumentos Opticos, 827,836-60

L Lente acromático, 859 Lente de aumento, 836, 853-54 Lente divergente, 836 ff Lente negativa, 841 Lente normal, 850 Lente objetiva, 854 Lente ocular (v. Ocular) Lentes compuestos, 859, 899 Lentes convergentes, 836 ff Lentes correctivos, 850-52 Lentes de contacto, 852 Levantamiento dinámico, 348 Ley de Ampere, 712-15, 788-90 Ley de Biot-Savart, 71 9-21 Ley de Boyle, 455-56, 467 Ley de Coulomb, 549-53, 575-86 Forma vectorial de Ia, 553 Ley de Curie, 726 Ley de Charles, 455

LeydeDebye,514pr

Ley de enfriamiento de Newton, 515pr Ley de Ia gravitaciOn universal de Newton, 133-37 Ley de Ohm, 638-39 Leyes de Newton del. 78-85ss., 207,209, 225, 226,250, Leyes de conservaciOn: de Ia carga elCctrica, 546-47 de Ia energIa, 182-92,493-95 del momento angular, 257-59 del momento lineal, 208-11

Leyes del movimiento de Newton, 7885ss, 207,209,225,226, Lineal, 16-37, 206ss LIneas del campo magnetico, 687 LImite de difracción de Ia resoluciOn de una lente, 896-97 LImite de ruptura, 309 LImite elástico, 309 LIneas de absorción, 902 LIneas de campo eléctrico, 561-62,576 Luces, de un árbol de navidad, 658 Luminosidad absoluta (estrellas y galaxias), 145-146 Lupa, sencilla, 853-54 Luz coherente, 873-74, 877 Luz monocromática (defn), 870

M Mach, E., 435np Macroestado, 535-36 magnético, 749 Magnetismo, 686-726 Magnetización (vector de), 726 Manómetro, 338 Maquina de Atwood, 92, 277pr, 286 Máquina de Carnot, 520-25 Marco de referencia no inercial, 79,291 Marconi, Guglielmo, 803 Masa, 7,79,82 Masa atómica, 446 Masa molecular, 446 Materia, estados de la, 332,446-47 Maxwell, James Clerk, 470,787,792, 797-98, 918 Mecánica newtoniana, 79-146 Med idores, 674-76,697 Metro (unidad), 6, 812fi, 881 MeV (mega electron volt) (v. ElectrOn volt) Mho (unidad), 656pr Michelson, A., 811-12, 881, 919-22 Microestado, 5 35-36 Micrófono de capacitor, 677 MicrOmetro, 10 Microondas, 798 Microscopio compuesto, 856-58 mmHg (unidad), 339 Mode los, 3

ModulaciOn, 804 Modulación en amplitud (AM), 804 Modulo a granel, 310,312 MOdulo elástico, 309-12 y velocidad de las ondas sonoras, 393 MOdulos de elasticidad, 309-12 Mol (defn), 456 molecular, 446

Momento angular, 256-60,281-89 en los tomos, 906 ley de conservación del, 257-59, 288-89 vector, naturaleza del, 25 9-60, 28 1-90 Momento de inercia, 249-56, 374

Momento de una fuerza, 247 Momento magnético, 695-97 Morley, E. W., 9 19-22

Motor de CA, 698 Motor de CD, 698 Motor Diesel, 540 pr Motor eléctrico, 698,742-43 fuerza contra-electromotrjz en, 742-43 Movimiento, 16-299, 916-44 Movimiento armOnico amortiguado, 374-77 Movirniento Browniano, 446 Movimiento circular, 63-665, 114-22 uniforme, 63-65, 114 ff, 371

Movimiento circular no uniforma, 121-22

movimiento de una partIcula cargada en un. 692-95, MultImetro, 675 MuOn, 928

Müsculos y articulaciones, fuerzas en los, 306

N Negativa, 848np Neptuno, 146 NeutrOn, 547 Newton (unidad), 81 Newton, Isaac, 16,79, 133-34, 146-48,207, 856ss, 917

No conductores, 547-48,640 Nodos, 405,427

Nümero de Avogadro, 459

0 Oested, H.C., 688-89,709,787-88 Ohm (unidad), 638 Ohm, G. S., 638 Ohmetro, 675, 697 OIdo, respuesta del, 422 Ojo miope, 851 Ojo , 851-52 Ojo normal, 851 Onda compuesta, 401 Onda de curvatura (bow wave), 436 Ondas en un terremoto, 394, 396,409 Ondas mecánicas(defn), 16

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Onnes, 1-I. K., 650

Optica, geometrica, 8llss Orden de magnitud y estimaciOn rápida, 9,96 Orden del patron de interferencia o difracciOn, 871

Orden y desorden, 533-34 Oscilaciones (v. Vibraciones) Oscilador, de diente de sierra, 685pr oscilatorio, 362-80 Osciloscopio, 605-6,782 Osteoporosis para el movimiento rotarorio, 250,256, 282,283-85 patron de, 7 periOdico (defrz), 362

P Paradoja del reloj (véase también paradoja de los gemelos) Patrones de difracción, 888 ff de rayos X, 905-6 de una abertura circular, 896-97 de una sola rendija, 888-93 Péndulo cOnico, 116 Péndulo de balfstica, 218 Peralte de curvas, 118-20

Pérdida aparente de peso, 142 Permeabilidad magnética, 710,724-25 Peso atOm ico, 446frz

Pincetas opticas, 803 planetario, Leyes de Kepler del, 143-46, 288-89 pIano, 812-15 Poder de amplificaciOn, 853,855 (vt. AmplificaciOri) poder de resoluciOn del. 898-99 Polaroides cruzados, 908 Polo Norte, 687 Polos magnéticos, 686-87 Posición angular, 240

Potencial de contacto, 677, fn Potencial eléctrico, 591-604 (véase también Diferencia de potencial) de un dipolo, 601-2 de una sola carga puntual, 597-98 debido a cualquier distribución de una carga, 599 relaciOn con el campo eléctrico, 595-97, 602-3

Presión atmosférica, 336-40 Principio de ArquImedes, 340-43 Principio de Bernoulli, 345-49 Principio de correspondencia, 943 Proceso adiabático, 495-96,502-3, 531, 537

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Producto cruzado, 279-80 Producto punto, 159-61 Profundidad de campo, 849 Propiedad conmutativa, 160 Puente de capacitancia, 630 pr Puentes, 315-18 Punto cercano, del ojo, 851 Punto crItico, 473 Punto de ebulliciOn, 475-76 Punto de fusion, 491(v.t. Fase, cambios de) Punto de rocIo, 476 Punto focal Cassegrainiano, 856

R Radiación de Cerenckow, 886 pr Radio de Bohr, 590pr Rapideces moleculares, 466-72 Rapidez media, 469 Rayos catódicos, 605,699 (véase también Electron) Reacción quImica, velocidad de Ia, 471 Reactancia capacitiva, 775 Reactores nucleares rectilIneo, 16-37 Recubrimiento Optico, 880-81 relaciOn entre Ia fuerza y Ia. 206-8 relativista, 936-38, 941 relativo, 66-68, 916-44 Reflexión difusa, 813 Region elástica, 309 Rejilla de difracciOn, 900-905 poder de resolución de Ia, 903-5 Resistencia del aire, 31-33, 122-23 Resorte elástico, 181 Resultado nub, 922 RetIcula de cristal, 446-47 Riesgos eléctricos, 651-52 Rigidez dieléctrica, 622 RotaciOn de un eje (defn), 240 rotatorio, 239-94 rotatorio uniforme, 243-44 Ruido, 429

S

Sensitividad de corriente, 674 SIntesis de Newton, 143-46 Sistema abierto, 493 Sistema británico de unidades, 8 Sistema cerrado, 493 Sistema métrico, 6-8 Sistema de unidades CGS, 8 Sistemas de coordenadas, 17 SobreamortiguaciOn, 376

Sobreexposición, 848 Sobretono, 406,426-27 Superficie aerodinámica, 348

T Teléfono celular, 806 Telescopio astronómico, 854-56 Temperatura crItica, 473 Temperatura Curie, 722 Temperaturas de operaciOn, 517 total, de un sistema de partIculas, 222-23

Teorema de Carnot, 522-23 TeorIa calórica, 486 Termómetro de gas de volumen constante, 449,460 Termómetro de tira bimetálica, 448 Timbre, 724 Trarisformación de masa en energIa, 938-42

Trasera, fuerzas en, 331pr TRC, 605-6, 700,805 Tubo de Organo, 427-28 Thbo de rayos catOdicos (TRC) 605-6, 700,805 Thbos de neOn unidades de, 7,79

U Unidad de destello para cámara, 621 Unidad de masa atOmica, 7,446 Unidades MKS (v. Unidades SI) uniformemente acelerado, 26ss, 54-55 Universo dominado por Ia materia Otil, 899

utilizado en el telescopio, 856 variable, 227-29

V Valor de Dulong y Petit, 501 Valores de constantes, en el interior de Ia segunda y tercera de forros Velocidad angular, 241-44 Velocidad de deriva, 647-49, 701 Velocidad promedio, 18 Ventaja mecánica, 93,303 Vibraciones moleculares, 501 vibratorio, 362-80 Vidrio no reflector, 880 Volumen de un. en un gas ideal, 457Viga voladiza, 304-5 Voltaje de ruptura, 596 VoltImetro digital, 675

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Créditos de fotograflas 21-38 Michael J. Lutch/Boston Museum of Science CO-23 Photodisc 23-21 Photodisc CO-24 Photodisc CO-25 Photodisc 25-1 J.-L. Charmet/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc. 25-10 Photodisc 25-13 Richard Megna/Fundamental Photographs 25-16 Photodisc 25-26 Takeshi Takahara/Photo Researchers, Inc. 25-33 Liaison Agency, Inc. CO-26a Steve Weinrebe/Stock Boston CO-26b Sony Electronics, Inc. 26-22 Paul Silverman/Fundamental Photographs 26-26 Paul Silverman/Fundamental Photographs CO-27 Richard Megna/Fundamental Photographs 27-8 Richard Megna/Fundamental Photographs 27-19 Pekka ParviainenlScience Photo Library/Photo Researchers, Inc. CO-28 Manfred Kage/Peter Arnold, Inc. CO-29 Richard Megna/Fundamental Photographs 29-15 Tomas D.W. FriedmannlPhoto Researchers, Inc. 29-20 Jon FeingershlComstock 29-28b National Earthquake Information Center, U.S.G.S. CO-31v1 Albert J. Copley/Visuals Unlimited CO-31v2 Mary Teresa Giancoli 32-1 AlP Emilio Segre' Visual Archives 32-14 The Image Works CO-33 Douglas C. Giancoli 33-6 Douglas C. Giancoli 33-ha Mary Teresa Giancoli and Suzanne Saylor 33-lib Mary Teresa Giancoli 33-28b Michael Giannechini/Photo Researchers, Inc. 33-34b S. Elleringmann/Bilderberg/Aurora & Quanta Productions 33-40 Douglas C. Giancoli 33-42 Mary Teresa Giancoli CO-34 Mary Teresa Giancoli 34-ic Douglas C. Giancoli 34-id Douglas C. Giancoli 34-2 Douglas C. Giancoli and Howard Shugat 34-4 Douglas C. Giancoli 34-7a Douglas C. Giancoli 34-7b Douglas C. Giancoli 34-18 Mary Teresa Giancoli 34-19a Mary Teresa Giancoli 34-19b Mary Teresa Giancoli 34-26 Mary Teresa Giancoli 34-30a Franca Pnncipe/Istituto e Museo di Storia della Scienza, Florence, Italy 34-32 Yerkes Observatory, University of Chicago 34-33c Palomar Observatory/California Institute of Technology 34-33d Joe McNally/Joe McNally Photography 34-35b Olympus America Inc. CO-35 Larry Mulvehill/Photo Researchers, Inc. 35-4a John M. Dunay IVLFundamental Photographs 35-9a Bausch & Lomb Incorporated 35-16a Photodisc 35-16b Richard Megna/Fundamental Photographs 35-16c Yoav Levy/ Phototake NYC 35-18b Ken Kay/Fundamental Photographs 35-20b Bausch & Lomb Incorporated 35-20c Bausch & Lomb Incorporated 35-22 Kristen Brochmann/Fundamental Photographs CO-36 Richard Megna/Fundamental Photographs 36-2a Reprinted with permission from P.M. Rinard, American Journal of Physics, Vol. 44, #1, 1976, p. 70. Copyright 1976 American Association of Physics Teachers. 36-2b Ken Kay/Fundamental Photographs 36-2c Ken Kay/Fundamental Photographs 36-ha Richard Megna/Fundamental Photographs 36-lib Richard Megna/Fundamental Photographs 36-i2a and b Reproduced by permission from M. Cagnet, M. Francon, and J.Thrier,The Atlas of Optical Phenomena. Berlin: Springer-Verlag, 1962. 36-15 Space Telescope Science Institute 36-16 The Arecibo Observatory is part of the National Astronomy and Ionosphere Center which is operated by Cornell University under a cooperative agreement with the National Science Foundation. 36-21 Wabash Instrument Corp/Fundamental Photographs 36-26 Photo by W. Friedrich/Max von Laue. Burndy Library, Dibner Institute for the History of Science and Technology, Cambridge, Massachusetts. 36-29b Bausch & Lomb Incorporated 36-36 Diane Schiumo/Fundamental Photographs 36-39a Douglas C. Giancoli 36-39b Douglas C. Giancoli CO-37 Image of Albert Einstein licensed by Einstein Archives, Hebrew University, Jerusalem, represented by Roger Richman Agency, Beverly Hills, California 37-1 AlP Emilio Segre Visual Archives Table of Contents Photos p. v (left) NOAA/Phil Degginger/Color-Pic, Inc. p. v (right) Mark Wagner/Tony Stone Images p. vi (left) Jess Stock/Tony Stone Images p. vi (right) Photograph by Dr. Harold E. Edgerton, © The Harold E. Edgerton 1992 Trust. Courtesy Palm Press p. vii (left) Ch. Russeil/Kipa/Sygma Photo News p.vii (right) Tibor Bognar/The Stock Market p. viii (left) Richard Megna/Fundamental Photographs p. viii (right) Douglas C. Giancoli p. ix (top) S. Fevat/Le Matin de Lausanne/Sygma Photo News p. ix (bottom) Richard A. Cooke Ill/Tony Stone Images (right) David Woodfall/Tony Stone Images and AP/ Wide World Photos p. x (left) Fundamental Photographs p. x (right) Richard Kaylin/Tony Stone Images p. xi (left) Mahaux Photography/The Image Bank p. xi (right) Manfred Cage/Peter Arnold, Inc. p. xii Werner H. Muller/Peter Arnold, Inc. p. xiii (left) Mary Teresa Giancoli. p. xiii (right) Larry MulvehillIPhoto Researchers, Inc. p. xiv Image of Albert Einstein licensed by Einstein Archives, Hebrew University, Jerusalem, represented by Roger Richman Agency, Beverly Hills, California p xiv (right) Donna McWilliamIAP/Wide World Photos p. xv (left) Charles O'Rear/Corbis (right) Fermilab p. xvi (left) Jeff Hester and Paul Scowen, Arizona State University, and NASA (right) R. J. Dufour, Rice University.

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Tabla periódica de los e1ementos Grupo Grupo i II

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§ Valores de la masa atómica promediada sobre los isótopos en los porcentajes en que ellos ocurren sobre Ia superficie de Ia Tierra. Para muchoselementos inestables, Ia masa de los isótopos de más larga vida se da en paréntesis. Revisiones de 1999. (yea también el apéndice D.)

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Tabia trigonométrica Angulo en grados

Angulo en radianes

Seno

Coseno

Tangente

0°

0.000

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1.000

2°

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50

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Angulo en grados

Angulo en Radianes

0.017

46°

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0.122

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10°

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15°

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20°

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22°

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230

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Seno

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0.755

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67°

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68°

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69° 70°

1.204

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71°

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28°

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72° 73° 74°

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3° 4°

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Fl

PARA UNIVERSITARIOS DOUGLAS C. GIANCOLI

Tercera edición. Volumen II

Este libro ofrece una presentaciOn profunda de Ia IIsica, con un enfoque donde el autor reconoce que la fisica es una descripciOn de Ia realidad, y comienza cada tema con observaciones y experiencias concretas que los estudiantes captan de forma directa; de alil se pasa a las generalizaciones y tratamientos más formales lo cual hace más fácil e interesante cada tema; asI, se acerca más a la manera en que la fIsica se practica en la realidad. Ciertamente, la meta de este libro es ayudar a los estudiantes a "ver el mundo a través de ojos que conozcan la fIsica".

FIsica para universitarios contiene un amplio rango de ejemplos, problemas y aplicaciones de tecnologIa, ingenierIa, arquitectura, ciencias de Ia Tierra, ciencias ambientales, biologla, medicina y de la vida cotidiana.

La resoluciOn de problemas es una parte crucial del aprendizaje de la fIsica y un medio poderoso para

comprender los conceptos y principios de la misma. Este libro contiene muchas ayudas para resolver problemas: ejemplos resueltos; recuadros con estrategias para la resoluciOn de problemas; notas marginales de resoluciOn de problemas; uso de la estimaciOn. Al final de cada capItulo se incluyen preguntas conceptuales, problemas clasificados por grado de dificultad y un conjunto de problemas generales. Las figuras y fotograflas ofrecen claridad a los análisis y hacen más fácil el aprendizaje de los principios fIsicos implicados.

Adicionalmente, este texto cuenta con una excelente e interactiva pagina en Internet de nuestra Companion Website. Una lista parcial del contenido innovador de este sitio es: Series de preguntas de verdadero/falso por capitulo, generadas en forma algorItmica, las cuales exigen la lectura cuidadosa por parte de los estudiantes; ademäs, los resultados pueden ser enviados a los profesores por Internet.

Ejemplos interactivos y animados acompanados de preguntas y actividades en escenarios del tipo "qué pasaria si'. VInculos con otros sitios. Sugerencias para la enseñanza y el estudio de la fIsica.

OTRAS OBRAS DE INTERES PUBLICADAS POR PEARSON: ALONSO y FINN: FIsica ALONSO y FiNN: Fisica; voiumen I: Mecanica; volumen II: Campos y ondas; volumen III: Fundamentos cuánticos y estadIsticos

FEYNMAN, LEIGHTON y SANDS: FIsica; volumen I: Mecánica, radiaciOn y calor; volumen II: Electromagnetismo y materia; volumen III: Mecánica cuântica GIANCOLI: FIsica para universitarios, volumen I, tercera ediciOn SEARS, ZEMANSKY, YOUNG y FREEDMAN: FIsica universitaria, volumen I y volumen II, novena edición SERR.ANO, GARCIA y GUTIERREZ: Electricidad y magnetismo. Estrategias en Ia soluciOn de problemas y aplicaciones HECHT: Optica, tercera ediciOn

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ISBN 9?0-2L-0133-

EN ESPANOL:

LA HERRAMIENTA MAS UTIL DE ENSthANZA EN LINEA

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78970 2 60 1333

90000

Física Para Universitarios Volumen II, 3ra Edición - Douglas C. Giancoli

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