Fise de lucru matematica clasa a V-a

Investeşte în oameni! Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013 Axa prioritară: 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi socieţătii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie: 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate Titlul proiectului: „Şcoala viitorului!” – Î mpreună mpreună pentru o societate bazată pe cunoaştere ”

Cod Contract: POSDRU/17/1.1/G/20765

Beneficiar: Inspectoratul Şcolar al Judeţului Vâlcea

Numere prime. Numere compuse.

Determinarea numerelor prime in condiţii date Prof. Cotoi Valerian Scoala cu clasele I – VIII – VIII ,,Teodor Balasel’’ Stefanesti, Valcea

Definiţie: Se numeşte prim orice număr natural, diferit de 1, care are ca divizori numai pe 1 si pe el însuşi. Divizori proprii. Divizori improrii

Orice numar natural m are divizorii improprii 1 si numeste divizor propriu.

m. Orice alt divizor se

Exemplu: Multimea divizorilor lui 6 este D = {1, 2, 3, 6}. 1 si 6 se numesc divizori improrii ai lui 6, iar 2 si 3 se numesc divizori proprii ai lui 6. Deci De ci se numeş num eşte te număr num ăr prim pr im oric or icee numă nu mărr natur nat ural, al, dife di feri ritt de 1, care ca re admite adm ite numai divizori improprii.

Exemplu: Numărul 2 se divide numai cu 1 si cu 2, adică numai cu 1 si cu el însuşi. Număr Nu mărul ul 3 se divi di vide de,, de asem as emen enea ea,, nu numa maii cu 1 s i cu el îns în s uşi. uş i. Următoarele nume re sunt prime: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47. Orice număr natural care nu este prim se numeşte neprim. Numerele neprime diferite de 1 se numesc numere compuse . De exemplu numerele naturale 0, 4, 6, 8, 10, 24, 1470 sunt compuse. Cum recunoastem daca un numar natural este prim Impartim numarul, pe rand, la toate numerele prime in ordine crescătoare, incepand cu 2, pana cand obtinem un cat mai mic ssau egal cu impartitorul. Daca




numarul se divide cu unul din aceste numere prime, este evident ca el nu este prim. Daca numarul considerat considerat nu se divide cu nici nici unul din aceste numere numere prime, atunci el este numar prim. Exemplu

numărul 137

137 nu se divide cu 2, cu 3, cu 5. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 7 facem impartirea lui 137 la 7 si obţinem catul 19 si restul 4. Deci 137 nu se divide cu 7. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 11, facem impartirea lui 137 la 11. Obtinem catul 12 si restul 5. Deci 137 nu se divide cu 11. Deoarece catul (12) este mai mare decat impartitorul (11), continuam sa facem impartiri. Pentru a vedea daca 137 se divide cu 13 facem impartirea si obtinem catul 10 si restul 7. Numarul 137 nu se divide cu 13. Am aratat ca 137 nu se divide cu nici un numar prim mai mic sau egal cu 13. Afirmam ca el nu se divide nici cu numerele compuse mai mici decat 13. Intr-adevar, daca 137 nu se divide cu 2, el nu se divide nici cu urmatorii multiplii ai lui 2:4, 6, 8, 10, 12, iar iar daca 137 nu se divide cu 3, el nu se divide nici nici cu 6, 9, 12. Pana aici am aratat ca numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13. Este oare posibil ca 137 sa se divida cu un numar natural c mai mare decat 13 ? Acest lucru nu este posibil, caci daca 137 se divide cu un numar c mai mare dacat 13, atunci el se divide si cu catul impartirii lui 137 la numarul natural c ; acest cat este un numar mai mic decat 13. Or, am aratat ca 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13. In concluzie: numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13, nici cu un numar natural mai mare decat 13. El este deci numar prim. Ciurul lui Eratostate

11

2 12

3 4 5 6 7 8 9 10 13 14 15 16 17 18 19 20




numarul se divide cu unul din aceste numere prime, este evident ca el nu este prim. Daca numarul considerat considerat nu se divide cu nici nici unul din aceste numere numere prime, atunci el este numar prim. Exemplu

numărul 137

137 nu se divide cu 2, cu 3, cu 5. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 7 facem impartirea lui 137 la 7 si obţinem catul 19 si restul 4. Deci 137 nu se divide cu 7. Pentru a se vedea daca 137 se divide cu 11, facem impartirea lui 137 la 11. Obtinem catul 12 si restul 5. Deci 137 nu se divide cu 11. Deoarece catul (12) este mai mare decat impartitorul (11), continuam sa facem impartiri. Pentru a vedea daca 137 se divide cu 13 facem impartirea si obtinem catul 10 si restul 7. Numarul 137 nu se divide cu 13. Am aratat ca 137 nu se divide cu nici un numar prim mai mic sau egal cu 13. Afirmam ca el nu se divide nici cu numerele compuse mai mici decat 13. Intr-adevar, daca 137 nu se divide cu 2, el nu se divide nici cu urmatorii multiplii ai lui 2:4, 6, 8, 10, 12, iar iar daca 137 nu se divide cu 3, el nu se divide nici nici cu 6, 9, 12. Pana aici am aratat ca numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13. Este oare posibil ca 137 sa se divida cu un numar natural c mai mare decat 13 ? Acest lucru nu este posibil, caci daca 137 se divide cu un numar c mai mare dacat 13, atunci el se divide si cu catul impartirii lui 137 la numarul natural c ; acest cat este un numar mai mic decat 13. Or, am aratat ca 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13. In concluzie: numarul 137 nu se divide cu nici un numar natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13, nici cu un numar natural mai mare decat 13. El este deci numar prim. Ciurul lui Eratostate

11

2 12

3 4 5 6 7 8 9 10 13 14 15 16 17 18 19 20




21 31 41 51 61 71 81 91

22 32 42 52 62 72 82 92

23 33 43 53 63 73 83 93

24 34 44 54 64 74 84 94

25 25 35 45 55 65 75 75 85 95 95

26 36 46 56 66 76 86 96

27 37 47 57 67 77 87 97

28 38 48 58 68 78 88 98

29 39 49 59 69 79 89 99

30 40 50 60 70 80 90 100

Numerele prime mai mici dacat o 100 Cum identificăm un număr prim ? Dacă un număr: este par, nu este prim, pentru că este divizibil cu 2; are suma cifrelor multiplu de 3, nu este prim, pr im, deoarece este divizibil cu

3; are ultima cifră 0 sau 5, nu este prim, deoarece este divizibil cu 5;

Metoda: se verifică dacă numărul respectiv este divizibil cu 2; 3 sau cu 5. Daca este divizibil cu unul dintre aceste numere, înseamnă ca numărul este compus si te opreşti. Nu continui impartirile! Daca nu este divizibi l cu nici unul dintre aceste numere numere se continuă prin împărţiri cu numere numere prime consecutive, în ordine, de la numărul prim 7 spre cel mai mare(din ciurul lui Eratostene). Dacă la una din împărţiri se obţine restul zero, zero, te opreşti , înseamnă că este divizibil cu acel număr şi deci nu este prim, ci compus. Dacă obţii, de fiecare dată, restul diferit de zero,

Investeşte în oameni! Proiect cofinanţat din Fondul Social European prin Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 – 2013 Axa prioritară: 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi socieţătii bazate pe cunoaştere” Domeniul major de intervenţie: 1.1 „Acces la educaţie şi formare profesională iniţială de calitate Titlul proiectului: „Şcoala viitorului!” – Î mpreună pentru o societate bazată pe cunoaştere ”



atunci împărţirile continuă, până când la o împărţire obţii câtul egal cu impartitorul si restul diferit de zero(te opresti) sau catul mai mic decât împărţitorul şi restul diferit de zero. În această situaţie numărul este prim .

Exemple: . 848 nu este prim, deoarece este par; . 1251 nu este prim, deoarece 1 + 2 + 5 + 1 = 9 ; 3/ 9 şi deci 3/ 1251. . 375 nu este prim, deoarece este divizibil cu 5; Să verificăm numărul 2807 : - nu este par, nu este divizibil cu 2; - 2 + 8 + 7 = 17, 17 nu este divizibil cu 3, deci nu este divizibil cu 3; - ultima cifră nu este nici 0 , nici 5, nu este divizibil cu 5; - 2807 = 7 · 40 1, restul este 0, deci numărul este divizibil cu 7 . Ne oprim; numărul nu este prim, este compus. - Să verificăm numărul 1549: - nu este par, nu este divizibil cu 2; - 1 + 5 + 4 + 9 = 19; 3 nu divide 19; 3 nu divide 1549; - Ultima cifră nu este nici 0 şi nici 5, nu este divizibil cu 5; - continuăm prin împărţiri succesive:

1549 7 1549 = 7 · 221 + 2 ; 14 221 2=0 = 14 221 > 7 14 = =9 nu putem spune 7 că este prim, 2 nici compus ;

1549 11 11 140 =44 1549 = 11· 140 + 9 44 9=0 ==9 140 > 11 0 nu putem spune că este 9 prim, nici compus;




1549 13 13 119 =24 1549 = 13 · 119 + 2; 13 2=0 119 119 > 13 117 = =2 nu putem spune că este prim, nici compus; 1549 19 152 81 = =29 19 10

1549 17 153 91 = =19 17 =2

1549 = 19∙ 81 + 10; 10 = 0 81 > 19 nu putem spune că este prim, nici compus;

1549 29 145 53 = =99 81 18

1549 = 29 · 53 + 18; 18 = 0 53 > 29 nu putem spune că este prim, nici compus;

1549 138 =169 161 = =8

1549 = 17∙ 91 + 2 2=0 91 > 17 nu putem spune că este prim, nici compus; 23 67 1549 = 23 · 67 + 8 8=0 67 > 23 nu putem spune că este prim, nici compus;

1549 31 124 49 =309 279 30

1549 = 31· 49 + 30 30 = 0 49 > 31

nu putem spune că este prim, nici compus;




1549 37 148 41 = =69 1549 = 37 · 41 + 32; 37 32 = 0 32 41 > 37 nu putem spune că este prim, nici compus

1549 41 123 37 = 319 287 =32

1549 = 41∙ 37 + 32 32 = 0 37 < 41

Da, acum putem spune că 1549 este număr prim: am obţinut câtul mai mic decât împărţitorul şi restul diferit de 0.

Pentru a şti ( mai exact) , unde ne oprim cu împărţirile, procedăm în felul următor: Căutăm primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim mai mare decât 1549 : Observăm că: 1549 = 39² + 28. Primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim este 1681( cu rădăcina numărul prim 41). Înseamnă că ultima împărţire trebuie să se oprească la împărţirea cu 41.

În general: Dacă, după ce găseşti primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim mai mare decât numărul dat, numerele prime mai mici decât acest număr nu divid acel număr, atunci putem spune că numărul este prim. Dacă unul dintre aceste numere prime mai mici decât pătratul perfect cu rădăcina număr prim divide numărul, atunci numărul este compus.




Exemple: . 529 este prim sau este compus? Primul pătrat perfect cu rădăcina număr prim este 841 care are rădăcina 29. 0bservăm că 529 este divizibil cu 23(primul număr prim mai mic decât 29) şi deci nu este prim.

. 317 este prim sau este compus? Primul pătrat perfect mai mare decât 317 şi care are rădăcina număr prim este 361 cu rădăcina numărul prim, 19 . Înseamnă că, dacă este număr prim, împărţirea trebuie să se oprească la împărţirea cu 19. Se verifică dacă numărul este divizibil cu numerele prime mai mici decât 19, fie în sens invers, fie cum am demonstrat mai sus. PITAGORA PRINTRE NUMERE PRIME SI DIVIZIBILITATE

Am sa incep povestea mea cu un citat al lui Emerson, in eseul : “ Despre prietenie” unde acesta spune ca : …singura cale ca sa ai un prieten este ca tu insuti sa fii unul . Este foarte greu sa-ti gasesti un prieten dar este si mai greu de crezut ca nu numai oamenii isi pot gasi prieteni, ci si numerele. De aceea am sa va spun o poveste despre numerele prietene : Ca sa-si asigure protectia unui senior ce-l dusmanea, un cavaler a trimis acestuia un dar foarte curios fiindca l-a potrivit in asa fel ca sa cuprinda exact 220 de bucati. Anume: saci de grau, de poame uscate, vase de vin, de ulei, oi, porci si la acestea a adaugat o punga de bani, atatia la numar cat mai era nevoie ca impreuna cu numarul celorlalte bunuri sa ajunga la 220. "

"




Separat, intr-o punga de piele, cavalarelul i-a trimis seniorului un medalion pe care era incrustat numarul 284. Seniorul nestiind ce semnificatie sa dea neobisnuitului cadou, s-a dus sa se lamureasca la cel mai mare matematician de atunci, Pitagora. Pitagora si-a dat seama imediat ca aceasta problema poate fi rezolvata cu ajutorul numerelor prime si a incercat sa-i explice seniorului de unde ar trebui sa inceapa cu rezolvarea problemei. El a inceput sa explice astfel : Numim numar prim orice numar natural mai mare decat 1,care are numai divizori improprii.Numerele prime sunt:2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31... Obs.:Singurul nr.prim si par este 2. Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in factori primi,adica il impartim la toate numerele prime cu care este divizibil.Daca este divizibil doar cu 1 si cu el insusi,atunci numarul este prim. Dupa aceste mici explicatii, Pitagora il ruga pe senior sa imparta cele doua numere in factori primi. Atunci seniorul nota pe hartie : 220 = 2 x 2 x 5 x 11 284 = 2 x 2 x 71 Dar exista o deosebire intre factorii primi ai unui numar si divizorii lui, divizorii unui numar nu sunt numai factorii lui primi ci si produsele formate de acestia. Daca reluam calculul adaugand si pe 1 (unu) printre factorii primi se poate constata ca prin adunarea partilor lui 220 se obtine 284. 2x2=4 2 x 5 = 10 2 x 11 = 22 5 x 11 = 55 2 x 2 x 5 = 20




2 x 2 x 11 = 44 2 x 5 x 11 = 110 Deci : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284 Daca il luam pe 284 descompus in factori primi obtinem 2 x 2 x 71 2x2=4 2 x 71 = 142 Deci : 1 + 2 +4+ 71 + 142 = 220 Seniorul pleca multumit de explicatia data de marele Pitagora si astfel reusi sa inteleaga mesajul cavalerului. Raspandindu-se vorba prin tinut despre intelepciunea lui Pitagora, intr-o dimineata acesta se trezi cu un nou musafir care incerca sa il puna in incurcatura pe marele invatat. Astfel Pitagora trebui sa rezolve o noua problema care se pezenta astfel : - Un copil este de doua ori mai varstnic decat sora lui. Ea are de trei ori mai multe cirese decat are el alune. Daca inmultim numarul ce reprezinta varsta copilului cu numarul cireselor obtinem 510. Ce varsta are sora copilului si cate alune are el ?. Pitagora se gandi un pic si isi dadu seama ca are de a face din nou cu numerele prime. Astfel daca descompunem in factori primi numarul 510, obtinem : 2 x 3 x 5 x 17. Varsta frateleui trebuie sa fie compusa din doi dintre acesti factori. Cum este dublul varstei sorei, unul din numere neaparat este 2. Numarul cireselor trebuie sa fie un multiplu de 3. Raman doi factori primi : 5 si 17. Dar varsta fratelui nu poate fi 2 x 17 = 34, pentru ca este inca un copil. Atunci putem spune ca are 2 x 5 = 10 ani, iar surioara lui are 10 – 5 = 5 ani.




Numarul cireselor va fi de 3 x 17 = 51, iar cel al alunelor este 17. Dar Pitagora il provoca pe musafirul sau sa rezolve si el o problema destul de simpla, iar acesta accepta. Problema spunea cam asa ceva: Care sunt nr. prime de 2 cifre,avand produsul cifrelor 6? Rezolvare: ab=?,a este numar natural nenul si axb=6 =>a;b sunt divizori ai lui 6 D6={1;2;3;6} a=1,b=6=>ab=16 si nu este nr. prim a=2,b=3=>ab=23 si este prim a=3,b=2=>ab=32 si nu este prim a=6,b=1=>ab=61 si este prim ab={23;61} Pitagora spuse o alta problema crezand ca isi va pune musafirul in mare incurcatura, dar acesta o rezolva pe loc astfel: Care este numarul divizorilor naturali ai numarului: p=2x3x5 Rezolvare: Nr. divizorilor este: (3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24 In timp ce Pitagora cu musafirul sau se delectau rezolvand probleme, la usa lui Pitagora aparu un tanar care avea o problema cu mostenirea lasata de tatal sau. La inceput Pitagora nu a vrut sa il ajute, dar mai tarziu ascultandu-i problema mai pe indelete se invoi sa ii dea o mana de ajutor. Iata cum se prezenta problema : Un negustor grec avea trei fii. Dupa moartea sa, el lasa mostenire celor trei copii ai lui 19 camile.Dar el le-a spus copiilor sa le imparta in felul urmator : fiul cel mare sa ia jumatate din numarul camilelor, cel mijlociu 1/4 din toate camilele, iar cel mai mic 1/5 din numarul lor.




Dupa moartea tatalui lor, cei trei feciori au incercat sa imparta intre ei camilele asa cum lasase cu limba de moarte parintele lor. Dar neizbutind sa faca imparteala, au cerut sfatul invatatului Pitagora. Astfel ca Pitagora se duse impreuna cu tanarul in grajd si ii dadu acestuia o camila, spunandu-i ca acum daca va merge acasa va putea rezolva problema mostenirii fara nici o dificultate. Tanarul se duse acasa putin nedumerit, dar cand ajunse acasa isi dadu seama ca acum avea 20 de camile si totul se putea rezolva mai usor. Feciorii facura urmatoarele impartiri : 20 : 2 = 10 20 : 4 = 5 20 : 5 = 4 10 + 5 + 4 = 19 camile Dupa impartirea facuta, cei trei feciori au observat ca au o camila in plus. Bineanteles ca aceasta era camila marelui invatat Pitagora asa ca se duse toti trei si o duse acestuia inapoi, multumindu-i pentru ajutorul dat. Exercitiu rezolvat Determinati numerele naturale prime a, b, c astfel incat a+ 6b+ 2c= 46.

Solutie: 56  2, 6b  2, 2c 2  a  2 a nr prim

  a= 2 

Inlocuind in egalitate se obtine: 2+ 6b+ 2c= 46 / :2 1+ 3b+ c= 23/ -1 3b+ c= 22  3b si c au aceeasi paritate Daca b= 2 obtinem 6+ c= 22/-6  c= 16 (nu convine deoarece 16 nu este numar prim) Daca b= 3 obtinem 9+ c= 22/-9  c= 13 Daca b= 5 obtinem 15+ c= 22/-15  c= 7 Daca b= 7 obtinem 21+ c= 22/-21  c=1 (nu convine, 1 nu este numar prim) Deci (a,b,c)  {(2,3,13), (2,5,7)}




FISA DE LUCRU. NUMERE PRIME SI COMPUSE

1. Se considera sirul de numere naturale : 0; 41; 12; 26; 302; 1600; 2703; 5025; 1586; 750; 6400; 418. Precizati care numere din sirul de mai sus sunt divizibile cu:2,3,4,5,9,10,25,100. 2. Determinati numerele naturale de forma 4 x1y divizibile cu 15. 3. Fie multimile: A={ x / x  , 2  x  11 si x 3 } B={ y / y  , y  14 si y 6 }. Determinati : A  B; A  B; A  B 4. Stabiliti care din urmatoarele numere sunt prime si care sunt compuse: 73, 121, 283 si 423 5. a) Suma a doua numere prime este 99. Aflati numerele. b) Suma dintre un numar natural par si un numar prim este 2010. Aflati numerele c) Diferenta dintre un numar natural impar si un numar prim este 103. Aflati numerele 6. Alegeti raspunsul corect: a) Daca produsul dintre un numar prim si un numar impar este 54, atunci numerele sunt: A. 1 si 54 ; B. 2 si 27 ; C. 3 si 18 ; D. 6 si 9 b) Daca numerele prime a si b , a



9. Sa se determine numerele prime a, b, ccare indeplinesc simultan relatiile: a+b+c=2008 si b+c=759 EXERCITII PROPUSE CA TEMA

1.Suma dintre un număr prim şi un număr impar este 371. Aflaţi numerele. 2. Stabiliţi dacǎ numǎrul 413 este prim sau compus. 3. Aflaţi numerele naturale a, b şi c, ştiind că a este număr prim, a +b + c = 61 şi b = 25+c. 4. Aflaţi numerele naturale prime a, b, c care verifică egalitatea:

a + 2b + 10c = 82 5. Aflaţi dacǎ existǎ a,b,c,d prime astfel încât 3a+5(3b+7c)=330– 45d. 6. Arǎtaţi cǎ numǎrul y=2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31– 169 nu este prim. 7. Să se determine numerele prime a, b, c care satisfac relaţia 10a+5b+2c=75. 8. Un segment [AB] are lu ngimea de 3280 cm. El este împărtit în segmente disjuncte, necongruente, de lungime cm fiecare. Numărul segmentelor în care este împărtit [AB] este: a) 6 ; b) 9 ; c) 8; d) 7. Rezolvare Trecem numărul 3280 din baza 10 în baza 3. Avem : = . Trecând apoi din baza 3 în baza 10 , ; adică , obtinem: = + + + + + + + 3280 = + + + + + + + Segmentele vor avea lungimile de cm, cm, cm, cm, cm, cm, 3cm si =1 cm. Deci vom avea 8 segmente.




Metoda comparaţiei.Metoda grafică.Metoda reducerii la unitate.Metoda figurativă.

Prof. BADEA CĂTĂLIN Metoda comparaţiei

Pentru rezolvarea problemelor prin această metodă parcurgem etapele: -stabilim simbolurile problemei -comparăm cele 2 cazuri -eliminăm una din necunoscute -se determină cealaltă necunoscută -înlocuim în una din situaţiile iniţiale Avem două tipuri de probleme: a)eliminarea unei necunoscute prin scădere 1.Se ştie că 4 cărţi şi 5 caiete costă 42000 lei,iar12 cărţi şi 7 caiete costă 110000 lei. Cât costă o carte şi cât costă un caiet? 2.Cinci sărituri ale unui ogar şi 7 sărituri ale unei vulpi măsoară împreună 17m.Două sărituri ale unui ogar şi 5 sărituri ale unei vulpi măsoară împreună 9m.Ce distanţă parcurge fiecare după 30 de sărituri? 3.Când un sfert din numărul băieţilor din clasa a- IV-a A pleacă în curtea şcolii, în clasă rămân 24 de elevi. Când un sfert din numărul din numărul fetelor pleacă din clasă, în clasă rămân 25 de elevi. Câţi elevi sunt în clasa a -IV-a A? 4.7 echere,4 compasuri şi 5 raportoare costă 67 lei; 4 echere,7 compasuri şi 6 raportoare costă 65 lei, iar 1 echer,1 compas şi 15 raportoare costă 68 lei. Cât costă 1echer,1 compas şi 1 raportor? b) eliminarea unei necunoscute prin înlocuire 1. 3 kg de banane costă atât cât 5 kg de portocale. Pentru Crăciun s-au cumpărat 30 kg de banane şi 45 kg de portocale şi s-au plătit 34200 lei. Care este preţul unui kg de banane şi care este preţul unui kg de portocale? 2. Patru mere cântăresc cât 5 pere,3 pere cântăresc cât 7 piersici, iar 5 piersici cântăresc cât 8 nuci. Dacă pe un taler al unei balanţe aşezăm 3 mere, câte nuci trebuie să aşezăm pe celălalt taler pentru ca balanţa să fie în echilibru?




Metoda grafică

Reprezentarea datelor problemelor se face, de regulă, prin segmente de dreaptă, care vor fi luate ca părţi. Avem mai multe tipuri de probleme : a)când se cunosc suma şi diferenţa 1.Suma a trei numere este 340.Suma primelor două este mai mare decât suma ultimelor două cu 80,iar al doilea număr este cu 50 mai mare decât al treilea. Să se afle cele trei numere. 2.Suma a două numere este 168. Aşezându-i unuia din ele cifra 1 în faţă, obţinem un număr egal cu celălalt. Să se afle cele două numere. b) când se cunosc suma şi raportul 1.Suma a trei numere naturale este123.Al doilea număr este cu 2 mai mare decât triplul primului număr, iar al treilea este jumătate din suma celorlalte două numere. Să se afle numerele. 2.Suma a două numere naturale este de forma 3a . Să se afle cele două numere, ştiind că unul din ele este de 3 ori mai mare decât celălalt. 3.Să se afle trei numere, ştiind că produsul primelor două este 21,produsul ultimelor două este 84,iar suma dintre primul şi ultimul este 15. c)când se cunosc diferenţa şi raportul 1.Vârsta unei fete este în prezent cu 21 de ani mai mică decât vârsta mamei sale. Peste 9 ani vârsta mamei va fi de 2 ori mai mare decât vârsta fiicei sale. Aflaţi vârsta pe care o are fiecare în prezent. 2.Împărţind un număr la celălalt obţinem câtul 3 şi restul 5,iar diferenţa lor este 21.Să se afle cele două numere. d) când cunoaştem raportul lor iniţial şi apoi raportul după unele modificări 1.Într-o fructieră sunt de 3 ori mai multe prune decât mere. La masă sunt 5 persoane şi fiecare din ele îşi ia pe farfurioară câte un măr şi câte o prună. Rămân în fructieră de 5 ori mai multe prune d ecât mere. Câte mere şi câte prune erau iniţial? 2. Împărţind un număr la altul obţinem câtul 4 şi restul 3. Împărţind primul număr ,mărit cu 2, la al doilea număr ,micşorat cu 2 obţinem câtul 5 şi restul 5. e) când cunoaştem fracţii dintr -un întreg 1.Un tată îşi împarte moştenirea celor 4 fii în felul următor: primul ia jumătate din avere, minus 3000 de galbeni al doilea ia o treime ,minus 1000de galbeni al treilea ia exact o pătrime din avere al patrulea ia 600 livre şi o cincime din avere. Cât era întreaga avere şi care a fost partea fiecăruia?




2.Un biciclist a parcurs decât

1 4

4 9

dintr-un drum şi îşi dă seama că mai are de mers cu 3 km mai puţin

din rest pentru a ajunge la jumătatea drumului. Ce lungime are drumul?

Metoda figurativă

Ca şi metoda grafică, aceasta constă în reprezentarea prin desen a mărimilor necunoscute şi fixarea în desen a relaţiilor dintre ele. Figurarea este mai sugestivă deoarece folosim simboluri. 1.Dacă elevii unei clase se aşează câte 2 într -o bancă rămân 3 elevi în picioare; dacă se aşează câte 3 elevi într-o bancă rămân 3 bănci goale şi una ocupată de un elev. Câte bănci şi câţi elevi sunt în clasă? 2.La un concurs au participat băieţi şi fete. Numărul fetelor a fost cât jumătate plus unu din numărul băieţilor. După o probă ,au fost eliminaţi 4 băieţi şi 7 fete, rămânând astfel de 3 ori mai mulţi băieţi decât fete. Câţi băieţi şi câte fete au fost iniţial ? 3. Într-un coş sunt de 3 ori mai multe mere decât pere. Cele 4 persoane de la masă mănâncă câte un măr şi câte o pară. În coş rămân de patru ori mai multe mere decât pere. Câte mere şi câte pere erau iniţial în coş? Metoda reducerii la unitate

Această metodă se poate sintetiza prin regula: pentru a şti valoarea mai multor unităţi trebuie să determinăm valoarea unei singure unităţi şi invers. Cele două mărimi prezente în probleme pot fi în relaţie de: -direct proporţionalitate adică dacă una din ele se măreşte(se micşorează) de un anumit număr de ori , atunci şi cealaltă se măreşte(se micşorează) de acelaşi număr de ori. -invers proporţionalitate adică dacă una din ele se măreşte(se micşorează) de un anumit număr de ori , atunci cealaltă se micşorează(se măreşte) de acelaşi număr de ori. Mărimile sunt direct proporţionale

1.În 7 ore un biciclist parcurge 105 km, iar un automobilist parcurge în 3 ore 195 km. Cu câţi km parcurge mai mult automobilistul în patru ore decât biciclistul în 9 ore? 2 Inima unui om bate de aproximativ 140 de ori în 2 minute. De câte ori bate într-o oră?




Mărimile sunt invers proporţionale

1.Dacă un elev ar lucra suplimentar câte 5 probleme pe zi, ar termina de rezolvat problemele dintr-o culegere în 18 zile. În câte zile ar termina lucrând câte 6 probleme pe zi. 2. Pentru a termina o lucrare în 7 zile sunt necesari 12 muncitori. Câţi muncitori sunt necesari pentru a termina o lucrare în 4 zile?

Regula de trei compusă

1.Prin 3 robinete, deschise timp de 4 zile, câte 7 ore pe zi, curg 30240 litri de apă. În câte zile , prin 4 robinete cu acelaşi debit , deschise câte 3 ore pe zi, curg câte 21600 litri de apă? 2.O lucrare poate fi executată în 20 de zile de către 15 muncitori. Deoarece, după 8 zile de lucru, unii dintre aceşti muncitori pleacă pe alt şantier, lucrarea se termină după alte 30 zile. Câţi muncitori au plecat pe alt şantier? 3. În 12 zile o echipă de muncitori ar efectua

2 5

dintr-o lucrare, iar alta

În câte zile, lucrând împreună, ar termina lucrarea cele două echipe?

4 9

din rest.




Tema 2-clasa a V-a-

excelenţă Metoda falsei ipoteze. Metoda mersului invers. Probleme de

mişcare. Prof. Badea Delia , Şc. „Take Ionescu” Rm Vâlcea 1. Metoda falsei ipoteze.

Metoda falsei ipoteze are la bază o presupunere, o ipoteză. Ea solicită introducerea unor date ipotetice şi confruntarea situaţiei obţinute astfel cu situaţia reală. Întâmplător, ele pot coincide. În alte cazuri ele nu coincid, dar concluziile deduse din această confruntare ne coordonează căutările. Avem probleme : -cu 2 mărimi ce solicită o singură ipoteză -cu mai multe mărimi ce solicită mai multe ipoteze succesive sau gruparea elementelor din diferite mulţimi pentru a elimina din mărimi. 1. Adrian are suma de 435 lei în bancnote de 5 lei şi 10 lei. Ştiind că sunt în total 50 de bancnote, să se afle câte bancnote de fiecare fel are Adrian. 2. 300 de grinzi , unele de brad şi unele de stejar cântăresc împreună 10524 kg. O grindă de brad cântăreşte 28 kg , iar una de stejar ,46 kg. Câte grinzi de fiecare fel sunt? 3. Un ţăran are găini şi oi, în total 77 capete şi 184 picioare. Câte găini şi câte oi are ţăranul? 4. Într-un bloc sunt apartamente cu 2 şi 3 camere, în total 44 apartamente cu 99 de camere. Câte apartamente sunt de fiecare fel? 5. Cantitatea de 102 l de vin se toarnă în 39 vase de 1l ,5l şi 10l. Să se afle câte vase sunt de fiecare fel ştiind că numărul vaselor de 1l este de 3 ori mai mare decât al vaselor de 5l. 6. La o librărie s-au adus 31 de truse cu 2,3 şi 4 creioane, în total 105 creioane. Ştiind că numărul truselor de 4 creioane este de trei ori mai mare decât al celor cu două creioane, aflaţi numărul truselor de fiecare fel.




7. Cristian a cumpărat cu 281 lei 15 caiete de trei feluri: de 10 lei , de 15 lei şi de 47 de lei. Câte caiete de fiecare fel a cumpărat , ştiind că cele de 10 lei erau de 2 ori mai multe decât cele de 15 lei. 8. La o fermă sunt vaci, oi , găini şi raţe, în total 3623 de capete şi 12096 de picioare. Ştiind că oi sunt de 4 ori mai multe decât vaci, iar numărul găinilor este cu 2 mai mic decât triplul numerelor de raţe, să se afle câte vaci, oi, găini şi raţe are ferma. 9. S-a amestecat o cantitate de bomboane , de 36 lei pe kg ,cu o altă cantitate de bomboane de 24 de lei pe kg. Cantitatea astfel obţinută s-a vândut cu 27 de lei pe kg. Ce cantitate s-a luat din fiecare calitate , dacă din bomboanele de prima calitate s-au luat mai puţin cu 48 kg decât din cele de-a doua calitate. 10.Dacă într-o sală de clasă se aşează câte 3 elevi într-o bancă, rămân 5 bănci libere, iar dacă se aşează câte 2, rămân 5 elevi în picioare. Câţi elevi şi câte bănci sunt în sală?

11. Într-o sală intră mai mulţi elevi. Dacă se aşează câte 2 în bancă , rămân 9 elevi în picioare, iar dacă se aşează câte 3 într -o bancă , rămân 7 bănci neocupate şi una ocupată cu un singur elev. Câte bănci şi câţi elevi sunt? 2.Metoda mersului invers. Metoda mersului invers se foloseşte în anumite probleme în care elementul necunoscut apare la începutul şirului de relaţii dat în enunţ. Se urmăreşte enunţul de la sfârşit la început, mergând invers , în fiecare etapă a metodei se efectuează operaţia inversă celei din enunţ. 1.M-am gândit la un număr, l-am împărţit la 4,la rezultat am adunat 8, iar din suma obţinută înjumătăţită am scăzut 5 şi apoi am înmulţit cu 2 obţinând 18. La ce număr m-am gândit? 2.Aflaţi numărul natural „a” din ecuaţia: 5+5:{*5+5·(a-5)]:5-5}=10 3.Un vânzător vinde pepeni la 3 cumpărători. Primului îi vinde o jumătate din cantitate, celui de-al doilea o treime din ce îi rămăsese, iar celui de-al treilea o cincime din noul rest. Câţi pepeni a avut iniţial vânzătorul , dacă i-au mai rămas 16 pepeni?

4.Un gospodar vinde cireşe la trei cumpărători. Primului îi vinde jumătate din cantitate şi încă o jumătate de kg; celui de al doilea, jumătate din cantitatea rămasă şi încă o jumătate de kg, iar celui de al treilea, jumătate din cantitatea rămasă după plecarea celui de al doilea şi încă o jumătate de kg. Ştiind că după plecarea celui de al treilea cumpărător au mai rămas 3 kg de cireşe, se cere să se afle câte kg de cireşe a avut producătorul şi ce cantitate a cumpărat fiecare dintre cei trei cumpărători. 5.Dintr-un coş cu mere se ia jumătate din numărul merelor şi încă un măr; apoi două treimi din numărul merelor rămase şi încă două mere; apoi trei pătrimi din rest şi încă trei mere. După ce se mai ia jumătate din numărul merelor rămase şi încă 5 mere, se constată că au mai rămas în coş 4 mere. Câte mere au fost în coş şi câte mere s-au luat de fiecare dată? 6.În vacanţa de vară o grupă de elevi a organizat o excursie de 3 zile cu biciclete. În prima zi au mers 1/3 din distanţa totală , fără 2 km. A doua zi au mers jumătate din distanţa rămasă , fără 3




km, iar în a treia zi 8/9 din distanţa rămasă după a doua zi şi încă 6 km. Câţi kilometrii au mers elevii în cele trei zile? 7.Avem două vase A şi B cu apă. Turnăm a treia parte din A în B. Apoi turnăm a treia parte din B în A şi apoi constatăm că în fiecare vas se afla 36 litri apă. Câţi litri de apă erau iniţial în fiecare vas? 8. Avem trei vase cu apă. Jumătate din apa din primul vas o distribuim în mod egal în celelalte două vase. Apoi, jumătate din apa ce se află acum în al doilea vas o vărsăm, în mod egal , în primul şi respectiv al treilea vas. În sfârşit , turnăm jumătate din apa ce se află în al treilea vas, în mod egal, în primul şi respectiv al doilea vas. După aceste operaţii constatăm că în primul vas se află 60l, în al doilea 36l iar în al treilea se află 40l.Ce cantitate de apă era iniţial în fiecare vas? 3.Probleme de mişcare.

Formulele de bază ale acestui tip de probleme sunt: d=v·t , v=d:t, t=d:v, unde d=distanţa, lungimea drumului pe care se deplasează mobilul, v=viteza cu care se deplasează, t= timpul în care se face deplasarea . Probleme de aflare a uneia din cele trei mărimi: 1.Un tren cu lungimea de 35 decametri intră pe podul de la Cernavodă cu viteza de 600 de metri pe minut. După 7 minute iese de pe pod. Ce lungime are podul? 2.Sunetul parcurge , în 3 minute, 612 hm. Care este viteza sunetului în metri pe secundă? 3. Un elev se deplasează cu viteza medie de 82m/min.În cât timp străbate o distanţă de 41 dam? 4.O veveriţă aduce o alună în vizuină în 4 minute. Care este distanţa de la alun la vizuină , dacă fuge fără alune cu 6m/s, iar cu alune cu 3m/s? Probleme de întâlnire: 5.Doi biciclişti pleacă din A spre B , unul în întâmpinarea celuilalt , primul cu viteza medie de 20km/h şi celălalt cu 29 km/h. Ştiind că distanţa dintre A şi B este de 98 km aflaţi: a)după cât timp se întâlnesc. b)ce distanţă este între ei după o oră de la plecare. 6.Un automobilist pleacă din Rm.Vâlcea spre Botoşani ,cu o viteză medie de 64km/h, iar simultan , din Botoşani spre Rm. Vâlcea, pleacă un autocar , cu viteza medie de 77km/h. Se întâlnesc după 4 ore de la plecare. a) Care este distanţa dintre cele două oraşe? b)Ce distanţă se află între ele după 3 ore de la plecare? c)Dar după 5 ore? d)Ce distanţa mai are fiecare de parcurs, până la destinaţie , după 6 ore de mers? 7.Distanţa de la Arad la Bucureşti este de 547 km. Din Arad pleacă spre Bucureşti la ora 12 ,un autobuz, iar din Bucureşti pleacă spre Arad, la ora 16, un autocar care are viteza cu 19 km/h mai mare decât a




autobuzului. Cele două autovehicule se întâlnesc la ora 19. Câţi kilometri a parcurs fiecare până la momentul întâlnirii? Probleme de urmărire: 8.La ora 7, din A spre B pleacă un motociclist cu viteza de 52km/h. La ora 9 pleacă din A spre B , un automobilist cu viteza medie de 78km/h. a)La ce oră îl ajunge din urmă? b)Care este distanţa dintre A şi B , dacă plecând la ora 10, automobilistul l-ar fi ajuns din urmă , chiar în B? 9.Doi biciclişti parcurg o pistă circulară , pornind din acelaşi loc şi în acelaşi sens. Unul rulează cu 15m/s şi altul cu 20m/s.Ştiind că unul trece pe lângă celălalt într-un minut şi 24 secunde , să se afle: a)lungimea pistei b)de câte ori înconjoară fiecare pista, până în momentul întâlnirii. 10. Viteza unui păstrăv este de 20km/h. El înoată 72km , de la A la B , în sensul curentului apei , în 3 ore. În cât timp parcurge păstrăvul distanţa de la B la A. 11.Un ogar fugăreşte un iepure care are 18 sărituri avans. În timp ce iepurele face 6 sărituri , ogarul face numai patru, dar 5 sărituri ale ogarului fac cât 9 ale iepurelui. Câte sărituri face ogarul până prinde iepurele?




Scoaterea factorului comun Prof.Statie Ileana

1) Dacă xz  7 yz  z  49 şi x  7 y =6,aflaţi numerele naturale x,y,z. 2) Dacă a +b=25 şi b+c=34,aflaţi 13a  18b  5c ; ab  b2  ac  bc ; ac  bc  ab  a 2 . 3) Dacă x  y =21 şi 4 x  7 y  3z  117 ,aflaţi x + xy  xz  yz . 4) Dacă a  b  23 şi 7a  b  6c  131 ,calculaţi a2  ab  ac  bc . 5) Rezolvaţi ecuaţia x  3xyz  xz  102 , dacă x,y,z N şi z  3 yz  16. 6) Rezolvaţi ecuaţia 3 x  4 x  5x  ....  2004x  32  223223 2

Criptaritm 1) Reconstituiţi adunarea GIURGIU  IURGIU + URGIU  RGIU  GIU  IU  U =1506641. Reconstituiţi adunarea ARE  OARE  SOARE  74915 .

2) 3) Aflaţi xyz ştiind că xyz12  12 xyz  1xyz2  2xyz1  124053 4) Suma dintre abc şi răsturnatul său cba este 423.Aflati a  b  c . 5) Determinaţi numerele naturale de trei cifre care sunt mai mari cu 693 decat răsturnatele lor. 6) Aflati abcd ştiind că a  b  c  d  25 si abc  ab  a  319 . 7) Determinaţi abc ştiind că abc  6  bc . 8) Determinaţi abc ştiind că a4  5aa  a 6a  bcb . 9) Aflati abcd ştiind că abcd : c  bdc . 10) Aflaţi ab dacă 63a85  1996  14a2a48b. 11) Aflaţi ab dacă ab  ba  xya. 12) Determinaţi numărul par abc ştiind că 2  4  6  8  ...  abc  abc00 . 13) Determinaţi numărul abc care se împarte exact la 3 ştiind că 3  6  9  ...  abc  abc00.




14) Determinaţi numărul

abc care se împarte exact la 4

ştiind că

4  8  12  ...  abc  abc00. 2

15) Aflaţi x, y, z ştiind că xyz  yz . 16) Un număr natural de şase cifre are ultima cifră 6.Se mută această cifră la începutul numărului şi se obţine un număr de 4 ori mai mare. Aflaţi numărul. 17) Aflaţi numărul abcdef dacă abcdef  3  bcdefa . 18) Aflaţi cifrele a şi b şi numărul natural n dacă n  1ab  2ab  ab  11ab . 19) Determinaţi numerele abcd ştiind că abcd  bcd  cd  d  3000 . 20) Să se determine numărul abcd ştiind că abcd  abc  ab  a  1770 . 21) Reconstituiţi adunarea: abcd  bcdd  9486. 22) Determinţi cifrele a,b,c ştiind că a  b  7 şi abc  c(a  5)a  (a  1)cb  10  b (a  2)(b  5) . 23) Care sunt numerele

abc pentru

care  abc  bc  c  :  abc  bc  c   2 ?

24) Aflaţi cifra c ştiind că abcd  4  dcba . 25) Determinaţi a,b,c astfel ca a0a  bb  caaa 2.




CALCULUL UNOR SUME REMARCABILE .ŞIRURI

prof. Aron Roxana, C.N.Mircea cel Bătrân I. Calculaţi sumele: 1).

2).

7). 2+4+6+…+100 8). 3+6+9+…+2010

3). 1+2+3+…+50 9). 6+12+18+…+2010 4). 1+2+3+…+2009 10). 140+133+126+…+7 5). 0+1+2+3+…+500 11). 10+11+12+…+100 6). 91+90+89+…+1 12). 25+30+35+…+2010 II. 13). Se consideră suma S=1+3+5+…+101 a. Câţi termeni are suma? b. Calculaţi suma şi verificaţi că este pătrat perfect. 14). Calculaţi suma S=2009+2007+2005+…+3+1 15). Se consideră suma S=1+5+9+…2009 a. Câţi termeni are suma? b. 1751 este termen al sumei? c. Calculaţi suma . 16). Se dă şirul 1, 4, 7, 10, … a. Care este al 50-lea termen al şirului? b. Calculaţi suma primilor 50 de termeni. 17). Aflaţi câte numere de forma există şi apoi calculaţi suma lor. 18). Calculează suma tuturor numerelor naturale de 3 cifre care se impart exact la 12. 19). Determină cel mai mic şi apoi cel mai mare număr de 4 cifre care împărţit la 9 dă restul 2. Calculează suma tuturor numerelor de 4 cifre care împărţite la 9 dau restul 2.




III. 20). Să se determine numărul a natural care verifică egalitatea: 21). Calculează 22). Arătaţi că numărul

este cub perfect. este

23). Demonstraţi că oricare ar fi n număr natural, numărul pătrat perfect.

la 2000.

24). Aflaţi restul împărţirii numărului la

25). Determină numărul

ştiind că =

.

26)Să se completeze cu încă trei termeni următoarele şiruri: 1) 14, 15, 16,... 2) 8, 10, 12,... 3) 13, 15, 17,... 4) 5, 8, 11,... 5) 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,... 6) 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, ... 7) 1, 2, 6, 24, 120, ... 8) 1, 3, 7, 15, ... 9) 61, 52, 63, ... 27) Să se determine numărul de numere din următoarele şiruri: 1)15, 16, 17, ..., 30 2) 2, 4, 6, ..., 54 3) 4, 7, 10, ..., 76 4) 2, 7, 12, ..., 77 28) Se consideră şirul de numere naturale: 2, 7, 12, 17, 22, ... a) Aflaţi al 501-lea termen al şirului; b) Stabiliţi dacă 2007 este un termen al şirului. Dar 2008? c) Calculaţi suma primilor 100 termeni ai şirului. 29) Se consideră şirul de numere naturale: 12, 45, 78, 111, ... a) Completaţi şirul cu încă doi termeni; b) Care este al 2008-lea este termen al şirului? c) Demonstraţi că oricare termen al şirului este divizibil cu 3. 30) Fie şirul de numere 1, 5, 9, 13,... a) Completaţi şirul cu încă 3 t ermeni b) Găsiţi al 155-lea, al 378-lea, al 2003-lea număr din şir. c) Justificaţi care dintre următoarele numere fac parte din şir: 497, 531, 794, 1073. Precizaţi locul în şir, dacă este cazul. d) Calculaţi suma primilor 20 termeni.




31). Fie şirul de numere naturale: 1; 23; 456; 7 8910; ... Să se determine al 7 -lea şi al 100-lea termen . 32) Fie numărul A= 1234567891011121314...20022003. a) Aflaţi câte cifre are numărul A. b) Care este a 2000-a cifră a numărului A? 33) Fie A  9  99  999  ....  999 ... 9 . Câte cifre de 1 are numărul A? 2007cifre

34) Calculaţi următoarele sume: a) S=111+222+...+999 b) S=9+19+29+...+1999 c) S=3+5+7+...+2001-2-4-6-...-2000 35) Calculaţi următoarele sume: a) S=12+23+...+1920

b) S=123+234+...+181920

... 25 . 36) Fie S  5  25  225  2225....  222    2007cifre

a) Câte cifre are termenul din mijloc? b) Câte cifre de 2 sunt în sumă? c) Câte cifre de 5 sunt în sumă? d) Care sunt ultimele două cifre ale lui S?




Teorema impartirii cu rest

Oricare ar fi numerele naturale a si b, cu b≠0, exista doua numere reale q si r, numite cat si respectiv rest, astfel incat a=bq+r, 0≤r
1. Determinati toate numerele naturale de forma abc care impartite la bc dau catul 5 si restul bc -5.(Braila, et. locala) 2. Sa se determine suma tututror resturilor impartirilor la 10 ale numerelor naturale n, cu proprietatea 0≤n≤2009.(Bucuresti, et. locala) 3. Un numar natural impartit la 8 da restul 5 si impartit la 9 da restul 7. Ce rest va da numarul impartit prin 72?(Buzau, et. judeteana) 4. Consideram multimea tuturor numerelor naturale care impartite la 101 dau catul egal cu restul. Aratati ca dublul sumei elementelor acestei multimi se poate scrie ca produsul a trei numere naturale consecutive.(Caras-Severin, et. locala) 5. Suma a 10 numere naturale este 2009. Impartind fiecare din aceste numere la numarul natural nenul n se obtin numai resturi egale cu 2 sau cu 3. Suma tuturor acestor resturi este egala cu 28. a) Cate resturi din cele 10, sunt egale cu 2? b) Determinati cel mai mic numar n care satisface conditiile din enunt. (Constanta, et. locala) 6. Sa se determine toate perechile de numere naturale nenule, stiind ca impartindu-l pe primul la al doilea si pe al doilea la primul se obtine, de fiecare data, suma intre cat si rest egala cu 4.(Constanta, et. judeteana) 7. Determinati cel mai mare numar de forma xyz6 care impartit la un numar de doua cifre sa dea restul 98. (Dambovita, et. locala) 8. Aratati ca nu exista niciun numar natural care impartit la 35 da restul 7 si impartit la 21 da restul 6.(Dolj, et. locala)




9. Fie a,b,c trei numere naturale care impartite pe rand la 2009 dau resturile 1935, 700, 800. Sa se determine restul impartirii numarului a+3b+5c la 2009.(Galati, et. judeteana) 10. a)Aflati cate numere naturale exista, care impartite la 320 dau catul egal cu restul. Aratati ca 2247 dace parte dintre ele si ca toate sunt divizibile cu 321. b) Aflati cate numere de 4 cifre indeplinesc conditiile de la punctul ,,a” si calculati suma lor.(Gorj, et. judeteana) 11. Suma a patru numere naturale este 420. Daca se impart cele patru numere prin acelasi numar natural nenul se obtin caturile numere naturale consecutive, iar resturile 1, 2, 3 si respectiv 4. Determinati numerele.(Hunedoara, et. locala) 12. Suma a doua numere naturale este 2009, iar daca impartim numarul mare la sfertul numarului mic obtinem catul si restul egale cu 7. Aflati numerele.(Maramures, et. locala) 13. Aflati numerele naturale de doua cifre a si b stiind ca daca impartim pe a la b obtinem restul 30, iar daca impartim pe b la a obtinem restul 35.(Maramures, et. judeteana) 14. Impartind numarul A la 2008 obtinem restul 512. Aflati restul imaprtirii lui a la 251.(Mehedinti, et. locala) 15. Determinati numerele abcd stiind ca daca impartim numarul 2009 la numarul aa obtinem catul bc si restul d.(Mehedinti, et. judeteana) 16. La o impartire a doua numere naturale, suma dintre cat, impartitor si rest este 114. Stiind ca diferenta dintre cat si impartitor este 55, iar impartitorul este cu 2 mai mic decat triplul restului, aflati cele doua numere.(Olt, et. locala) 17. Un numar este cu 17 mai mare decat altul. Impartind suma numerelor la diferenta lor obtinem 235 si restul 0. Aflati numerele.(Salaj, et. locala) 18. a) Aflati restul impartirii numarului B=1∙2∙3∙…∙2009+3 la 8. b) Aflati restul impartirii numarului B=1∙2∙3∙…∙2009-3 la 8. (Timis, et. locala) 19. Fie numerele x1,x2,x3,…,x2009, care, impartite la un numar natural nenul n, dau resturi diferite doua cate doua si caturi nenule, diferite doua cate doua. a) Aratati ca n ≥2009. b) Calculati cea mai mica valoare a sumei x1+x2+x3+…+x2009.(Timis, et. judeteana) 20. Aranjam numerele 1,2,3,…,2009 astfel : 1 5;6;7;8;9; 21;22;23;24;25; 37;38;39;40;41 2 4 10 20 26 36 3 3 11 19 27 35 4 2 12 18 28 34 51 13;14;15;16;17; 29;30;31;32;33




Pe care linie se afla 2009? Justificati! (Valcea, et. locala) - Tema 1. Sa se calculeze suma tututror numerelor naturale care impartite la 2002 dau catul 7. 2. Determinati suma resturilor impartirilor a 100 de numere consecutive la 19, stiind ca primul se imparte exact la 19. 3. Intr-o impartire de numere naturale nenule, deimpartitul este 33 ori mai mare decat restul, impartitorul este dublul catului, iar restul este jumatete din cat. a) Aflati deimpartitul, impartitorul, catul si restul. b) Aratati ca deimpartitul se poate scrie ca produs de doua numere consecutive. 4. Cate numere naturale mai mici decat 4230 impartite la 38 dau restul 11? 5. Cate numere de trei cifre exista cu proprietatea ca impartite la un numar de doua cifre dau restul 97? 6. Un numar de trei cifre are primele doua cifre identice, iar a treia cifra este 5. Acest numar se imparte la un numar de o singura cifra si se obtine restul 8. Sa se gasesca deimartitul, impartitorul si catul. 7. Aflati cel mai mare numar natural de trei cifre care impartit la cel mai mare numar natural de doua cifre da cel mai mare rest. 8. La impartitrea cu rest a doua numere naturale, a caror suma nu depaseste 111, obtinem catul 3 si restul 19. Deduceti toate valorile posibile pentru deimpartit si impartitor . II.Probleme date la alte concursuri

Principiul lui Dirichlet (principiul cutiei)

Daca in doua „cutii” se gasesc trei obiecte (sau mai multe), atunci exista o „cutie” care contine cel putin doua obiecte. Sau Fiind date n ,,cutii” si n+1 obiecte, atunci exista o cutie care contine doua obiecte.

Aplicatii: 1.Se dau sapte numere naturale. Demonstrati ca printre numerele naturale date cel putin doua dau acelasi rest la impartirea cu 6. 2.Sa se demonstreze ca printre oricare sase numere naturale exista doua numere a caror diferenta este divizibila cu 5. 3.Intr-o padure de conifere cresc 600.000 de brazi. Fiecare brad are cel mult 500.000 de ace. Sa se demonstreze ca exista 2 brazi cu acelasi numar de ace.




4.Intr-o clasa sunt 40 de elevi. Exista o luna a anului in care cel putin 4 elevi isi sarbatoresc ziua de nastere? 5.Sa se arate ca din trei numere naturale se pot alege doua a caror suma si diferenta sa fie divizibile cu 2. Observatii: 1.Suma si diferenta a doua numere naturale au aceeasi paritate. 2.Numarul ±1±2±3±…±n si 1+2+…+n au aceeasi paritate. 6.Aratati ca din 2011 numere naturale, se pot alege doua a caror diferenta este divizibila cu 2010. Generalizare: Aratati ca din n+1 numere naturale, se pot alege doua a caror diferenta este divizibila cu n. 7. In 500 cutii se afla mere. Se stie ca in fiecare cutie se afla cel mult 240 mere. Sa se demonstreze ca exista cel putin 3 cutii care au acelasi numar de mere. 8.Intr-o cutie sunt 10 creioane de culoare rosie, 8 de culoare albastra, 8 de culoare verde si 4 de culoare galbena. Aleator(la intamplare) din cutie se extrag n creioane. Sa se determine numarul minim de creioane care trebuie extras, astfel incat sa fie: a)nu mai putin de 4 creioane de aceeasi culoare; b)cate un creion de fiecare culoare. 9.La teza de matematica, dintr-o clasa de 30 de elevi, 22 de elevi au rezolvat prima problema, 23 de elevi au rezolvat-o pe a doua, 24 de elevi au rezolvat-o pe a treia si 25 de elevii au rezolvat-o pe a patra. Sa se arate ca cel putin 4 elevi au rezolvat toate cele 4 probleme. 10.Intr-o scoala sunt 1099 de elevi. Aratati ca exista cel putin 4 elevi care isi serbeaza ziua de nastere in aceeasi zi a anului. 11.Intr-o urna se afla mai multe bile care difera numai prin culoare. Daca sunt bile de 5 culori diferite, care este numarul minim de bile pe care trebuie sa il extragem din urna, fara a privi inauntru, pentru a fi sigur ca am scos doua bile de aceeasi culoare? 12.In 10 cutii se afla 84 de bile de 4 culori diferite. Stiind ca in fiecare cutie se afla bile de toate culorile, aratati ca exista doua cutii cu acelasi numar de bile. 13.Se pot pune 209 bomboane in 20 de cutii astfel incat in fiecare cutie sa fie cel putin o bomboana si sa nu existe doua cutii cu acelasi numar de bomboane? 14.Intr-un magazin s-au adus 25 de lazi de mere de trei calitati.In fiecare lada sunt numai mere de aceeasi calitate. Se pot gasi totdeauna 9 lazi astfel incat toate cele 9 lazi sa contina mere de aceeasi calitate? 15.Suma mai multor numere naturale distincte este 5051. Sa se arate ca cel putin unul dintre ele este mai mare ca 100.




Tema: 1.a)Aratati ca din 733 de elevi ai unei scoli, cel putin 3 elevi s-au nascut in aceeasi zi a anului. b)Aratai ca din 8 elevi, cel putin 2 s-au nascut in aceeasi zi a saptamanii. 2.Suma a 63 de numere naturale este 2005. a)Demonstrati ca cel putin doua dintre ele sunt egale; b)Daca din cele 63 de numere, 62 sunt egale, cate solutii are problema? 3.Aratati ca din 23 de numere naturale exista in totdeauna cel putin 3 numere care dau acelasi rest la impartirea cu 11. 4.La olimpiada de matematica dintr-o scoala participa 60 de elevi. 40 au rezolvat prima problema, 40 a doua problema, 51 a treia si 54 a patra. Sa se arate ca exista cel putin 5 elevi care au obtinut punctajul maxim.




TEOREMA IMPARŢIRII CU REST

31 octombrie 2010

Prof. Genoiu Leon

Daca d şi î sunt numere naturale,cu î  0,atunci există şi sunt unice numerele naturale c şi r,numite cât şi r espectiv rest,astfel încât d=î c+r, r<î. 

Probleme propuse 1.Relaţia 58=10  5+8 reprezinta relaţia teoremei imparţirii cu rest? 2.Cu numerele 0;5;5;7 se poate scrie o relaţie care sa reprezinte teorema împarţirii cu rest? 3.Ce numar natural dă prin împarţire la 4 câtul 6? 4.Determinaţi numerele naturale mai mici ca 60,care prin împărţire la 9 dau restul 5. 5.Determinaţi numerele naturale de trei cifre care împărţite la 200 dau rest ul 15. 6.Determinaţi toate numerele naturale de trei cifre care prin împărţire la un număr de două cifre

dau câtul 9 şi restul 98. 7.Determinaţi cel mai mare număr natural care la împărţirea cu 305 dă câtul şi restul mai mici sau egale cu 503. 8.Care este cel mai mare număr natural care âmpărţit la 200 dă câtul 200? 9.Aflaţi toate numerele naturale care împărţite la 6 dau câtul egal cu restul. 10.Determinaţi cel mai mare număr natural n care împărţit la 2010 dă câtul mai mic decât restul. 11.La o împărţire, restul este16,deîmpărţitul este 26806, iar câtul este 705. Să se afle împărţitorul. 12.Dacă împărţim suma numerelor 171 şi 30 la diferenţa dintre 18 şi un alt număr a obţinem cîtul 22 şi restul 3. Aflaţi numărul a. 13.Împărţind un număr la 8 obţinem restul 2.iar cîtul este cu 244 mai mic decît dublul numărului. Care este numărul ? 14.Suma a două numere naturale diferite este 54. Să se afle cele două numere,ştiind că dacă împărţim numărul mai mare la 7,obţinem cîtul şi restul egale cu numărul mai mic.(Rezolvaţi şi prin metoda grafică). 15.Suma a trei numere naturale este2028.Al doilea număr este de trei ori mai mic decît primul. Dacă se împarte al treilea număr la diferenţa dintre primul şi al doilea, se obţine cîtul 110 şi restul 12 . Aflaţi cele trei numere. 16.Aflaţi numerele naturale a şi b care îndeplinesc simultan condiţiile: i) a + b= 24 ii)a+b se împarte exact la a – b.




17.Dacă restul împărţirii numărului a la b este a, restul împărţirii numărului 2b la c este 2b, arătaţi că c-2a >0. 18.Aflaţi cîte numere de două cifre dau restul 1 la împărţirea cu 6 . 19.Aflaţi cîte numere de trei cifre dau restul 8 la împărţirea cu cu 13. 20.Aflaţi cîte numere de patru cifre dau restul 3 la împărţirea cu 16. 21.Aflaţi toate numerele naturale care împărţite la 8 dau cîtul egal cu restul. 22.Aflaţi toate numerele naturale care împărţite la 9 dau restul de două o ri mai mic decît cîtul. 23.Aflaţi toate numerele naturale care împărţite la 7 dau restul mai mare cu 2 decît câtul. 24.Aflaţi toate numerele naturale de două cifre care împărţite la un număr natural format dintr -

o singură cifră dă restul 8. 25.Aflati cel mai mare număr natural de trei cifre care împărţit la un număr natural de două cifre dă restul 97. PRINCIPIUL CUTIEI (LUI DIRICHLET)

Prof. Genoiu Leon “Dacă în n cutii se află n+1 sau mai multe obiecte,atunci exist ă o cutie care conţine cel puţin două obiecte’’. Probleme(cazul optim) 1.Este posibil să asezăm 36 de bile in 8 cutii, astfel încât în fiecare cutie să fie cel puţin o bilă şi să nu

existe două cutii cu acelaşi număr de bile? Dar 9 bile în 4 cutii? Dar 155 de bile în 10 cutii,astfel încât în fiecare cutie să fie cel puţin 10 bile şi să nu existe două cutii cu acelaşi număr de bile? 2. a)Se poate scrie numărul 5049 ca sumă a 100 de numere naturale nenule si distincte? b)Dar ca sumă a 100 de numere naturale distincte? 3.Suma a 100 de numere naturale distincte şi nenule este 5051. Aflaţi numerele. 4. În10 cutii se găsesc 84 de bile roşii,galbene,albastre sau verzi. Ştiind că în fiecare cutie se află bile de toate culorile, este posibil să nu existe două cutii cu acelaşi număr de bile? 5.Suma a 2003 numere naturale,distincte este egală cu 2005003. Calculaţi produsul acestor numere. Probleme(cazul cel mai nefavorabil) 6.Într-o urna se află mai multe bile care diferă numai prin culoare.Dacă sunt bile de 5 culori diferite,

care este numărul minim de bile pe care trebuie să le extragem din urnă, fără a privi înăuntru, pentru a fi siguri că am scos două bile de aceeaşi culoare? 7.Într-o urnă sunt 12 bile roşii, 30 de bile albastre şi 65 de bile galbene.Fără a ne uita în urnă: i)Care este cel mai mic număr de bile , pe care trebuie să le extragem, pentru a fi siguri că am luat: a)cel puţin o bilă albastră?




b)cel puţin o bila de fiecare culoare? c)cel puţin trei bile de aceeaşi culoare? ii)Care este cel mai mare număr de bile pe care putem să le luăm,pentru a fi siguri că au rămas: a)cel puţin o bilă albastră? b)cel puţin cîte o bilă de fiecare culoare? c)cel puţin două bile de aceeaşi culoare? 8Arătaţi că din 2010 numere naturale,oarecare,există cel puţin două care prin impărţire la 2009

dau acelaşi rest. 9.Arătaţi că din patru numere naturale,oarecare există cel puţin două a căror sumă sau diferenţă se împarte exact la 5. 10.Într-o şcoală sunt 1831 de elevi. Demonstraţi că există cel puţin 6elevi care-şi serbează ziua de naştere în aceeaşi zi. 11. La olimpiada de matematică dintr -o şcoală,participă60 de elevi. 40 au rezolvat prima problemă, 40 au rezolvat a doua problemă,51 a treia şi 54 a patra problemă. Să se arate că există cel puţin 5 elevi care au rezolvat cele patru probleme. 12.Să se arate că oricum am alege şapte pătrate perfecte distincte,există cel puţin două a căror diferenţă se împarte exact la 10. 13.Se pot transporta 50 de buşteni ,avînd masele de: 370kg,372kg,374kg,......,468kg, cu 7 camioane de cîte 3 tone? Fiecare camion face un singur transport. 14.Într-un magazin s-au adus 34 de lăzi cu mere de trei calităţi.În fiecare ladă sunt numai mere de aceeaşi calitate. Se pot găsi totdeauna 12 lăzi astfel încât toate aceste 12 lăzi să conţină mere de aceeaşi calitate? 15. Fie 100de numere naturale nenule şi distincte, avînd suma 9998. Arătaţi ca printre ele există cel puţin două numere pare. 16. Suma a 63 numere naturale nenule este 2000. Sa se arate ca cel putin doua dintre acestea sunt egale. Care este cel mai mare numar de numere egale cu proprietatea ceruta?




DIVIZIBILITATE IN N. PROPRIETATILE RELATIEI DE DIVIZIBILITATE. CRITERII DE DIVIZIBILITATE Def .

Numarul natural b divide numarul natural a daca exista un numar natural c astfel

incat a=b∙c. Notam ba sau a  b. Notam Da={xN xa}; citim multimea divizorilor lui a. Notam Ma= {xN x  a}; citim multimea multiplilor lui a. Proprietatile relatiei de divizibilitate

1.aa, xN (reflexivitatea) 2.ab si baa=b (antisimetria) 3.ab si bcac (tranzitivitatea) 4.a1a=1 5.a0, aN 6.0aa=0 7.ab  a b∙c, cN 8.ab1 si ab2ab1+b2 si ab1-b2 (b1≥b2) Generalizare: ab1, ab2,…, abn ab1+b2+…+bn 9.ab si a ∤ca∤b+c 10.ab1 si ab2ab1c1+b2c2 c1, c2N Generalizare: ab1, ab2,…, abn ab1c1+b2c2+…+bncn, c1, c2 ,…, cnN 11.abacbc cN 12. ab bc si c≠0ab 13. a1b1 si a2b2a1∙a2b1∙b2 Generalizare: a1b1, a2b2,…,anbn a1∙a2∙…∙anb1∙b2∙…∙bn. Criterii de divizibilitate 1.Criteriul de divizibilitate cu 2.

Un numar natural este divizibil cu 2 daca si numai daca ultima sa cifra este para, adica: 0, 2, 4, 6, 8. 2. Criteriul de divizibilitate cu 3. Un numar natural este divizibil cu 3 daca si numai daca suma cifrelor sale este divizibila cu 3.




Un numar natural este divizibil cu 4 daca si numai daca ultimele doua cifre ale sale formeaza un numar care este divizibil cu 4. 4. Criteriul de divizibilitate cu 5. Un numar natural este divizibil cu 5 daca si numai daca ultima sa cifra este 0 sau 5. 5. Criteriul de divizibilitate cu 9. Un numar natural este divizibil cu 9 daca si numai daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9. 6. Criteriul de divizibilitate cu 10. Un numar natural este divizibil cu 10 daca si numai daca ultima sa cifra este 0. n n 7. Criteriul de divizibilitate cu 10 , n N. Un numar natural este divizibil cu 10 daca si numai daca ultimele n cifre ale sale sunt zerouri. 8. Criteriul de divizibilitate cu 25. Un numar natural este divizibil cu 25 daca si numai daca ultimele doua cifre ale sale sunt: 00, 25, 50, 75. 9. Criteriul de divizibilitate cu 8. Un numar natural este divizibil cu 8 daca si numai daca suma dintre cifra unitatilor, dublul cifrei zecilor si cifra sutelor marita de 4 ori, este divizibila cu 8.(Exemplu: 512912 are 2+2∙1+4∙9=40 8). 10. Criteriul de divizibilitate cu 7, 11 si 13. Un numar natural este divizibil cu 7, cu 11 sau cu 13 daca si numai daca diferenta dintre cele doua numere naturale, obtinute din numarul dat prin taierea lui in doua, astfel ca la dreapta sa ramana 3 cifre, se divide cu 7, cu 11 sau respectiv cu 13. (Exemplu: a) 4653 are 653-4 =649=11∙59 11;b)8645 are 645-8=637=7∙91 7; c)68068 are 68-68=0 si este divizibil atat cu 7, cat si cu 11 si 13). 11.Alt criteriu de divizibilitate cu 11. Un numar natural este divizibil cu 11 daca si numai daca diferenta dintre suma cifrelor cu indice (rang) par si suma cifrelor cu indice (rang) impar din numarul natural dat este divizibila cu 11. Daca N= a n a n 1a n 2 ...a 1a 0 , atunci 11N 11 ( a1+a3+a5+…)-( a0+a2+a4+…) sau 11( a0+a2+a4+…)-( a1+a3+a5+…). (Exemplu: 4653 este divizibil cu 11, deoarece 11(4+5)-(6+3)). 12. Criteriul de divizibilitate cu 3, 7 si 19. Un numar natural este divizibil cu 3, cu 7 sau cu 19 daca si numai daca suma dintre numarul format din ultimele doua cifre marit de patru ori si numarul format din celelalte cifre este divizibila cu 3, cu 7, respectiv cu 19. Daca N= a n a n 1a n 2 ...a 1a 0 , atunci 19N19 a n a n 1a n 2 ...a 2 +4 a 1a 0 . (Exemplu: 107445 este divizibil cu 19, deoarece 19(1074+4∙45) adica 1919∙66). 13. Criteriul de divizibilitate cu 27 si 37. Un numar natural este divizibil cu 27 sau 37 daca si numai daca suma numerelor obtinute din numarul natural dat prin taierea acestuia in grupe de trei cifre , incepand de la dreapta, se divide cu 27 sau 37. (Exemplu: a)141912 este divizibil cu 27, deoarece 27(141+912) adica 2727∙39;b)352351 este divizibil cu 37, deoarece 37(352+351) adica 3737∙19). 3. Criteriul de divizibilitate cu 4.




APLICATII

1.Sa se arate ca numarul A=2n+1∙3n +2n∙3n+1+6n+1, nN* este divizibil cu 33. 2.Aratati ca numarul a=22n+1∙9n∙7n+1+28n∙32n+1-4n∙32n∙7n este divizibil cu 4032, n N*. 3. Sa se arate ca numarul A=22n+3∙52n+1 -1, nN,este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 9. 4.Stabiliti daca numarul 1234567…40 se divide cu 9. 5.Aratati ca oricum am alege 7 numere naturale patrate perfecte, exista cel putin doua a caror diferenta este un numar care se divide cu 10. 6.Sa se arate ca numarul a=61+62+…+6100 este divizibil cu 42. 7.Demonstrati ca numarul a=21+22+…+22004 se divide cu 63. 8.Sa se arate ca numarul n=9+92+93+…+91998 este divizibil cu 5 numere naturale impare consecutive. 9.Aratati ca N=213+223+233+243+…+22003 este divizibil cu 103. 10.Sa se arate ca numerele de forma 73k+2∙113k+1∙53k+539, cu k numar natural, se divide cu 1078. 11.Aratati ca numarul a=340-240 se divide cu 5. 12.Sa se demonstreze ca numarul E= abcd  dcba se divide cu 11. 13.Demonstrati ca numerele a0b  b0a  ab0  ba0 sunt divizibile cu 211, oricare ar fi cifrele a si b. 14.Fie a si b numere naturale astfel incat 3a+4b se divide cu 7.Aratati ca 4a+3b se divide cu 7. 15.Aratati ca numarul A=(2n+1)(4n+1)(5n+3), cu n natural, se divide cu 3. 16.Sa se arate ca numerele naturale de forma abbab -2b sunt divizibile cu 7. 17.Stiind ca un numar natural prin impartirea la 95 da restul 71, sa se arate ca restul impartirii numarului la 19 este divizibil cu 7. 18.Fie a,b,c N* si A=3a+4b+5c, iar B=2a+5b+8c. Daca A este divizibil cu 7, demonstrati ca si B este divizibil cu 7. 19.Fie A=x+5y+3z, B=3x+4y+z, x,y,zN*. Aratati ca daca A si B se divid cu 11 atunci z se divide cu 11. 20.Sa se arate ca pentru a,bN au loc implicatiile: a) 7(a+b)7(3a-4b) b) 7(a+6b)7(3a+4b) 21.Sa se arate ca numarul n=1988100+1987100-198650-198950 este divizibil cu 10. 22.Aratati ca numarul N=1∙2∙3∙…∙1111 se divide cu 11110, dar nu se divide cu 11111. 23.Determinati x numar natural daca:

Fise de lucru matematica clasa a V-a

Recommend Documents