FILTRO DIGITAL PASO BAJO USANDO LA VENTANA BLACKMAN José Miguel Carrillo Aguirre, Edgar Iván Barrera Granados, Rafael Ernesto González Valle, Benjamín Antonio Robles Rivas
Abstr act- E n este este documento se presentan presentan l as noci ones on es básicas de la el abor ació aci ón de f il tr os digit di gitales ales (F I R), espec especí íf icamente un f i l tr o paso baj o con el mé mé todo de d e vent ventan ana a de ti po BL ACK M AN , té cni ca que nos per per mite mi te elaborar elabor ar f i lt r os más exactos, exactos, el el fi l tr o se desarrollara como una herramienta ejecutable en Octave, este documento pr esent esenta a la l a teor ía básica del f i l tr o asícom asícomo o l os cál cul os n ecesari ecesari os par a el desar desar r oll ol l o del del progr ama en en lenguaj e Octave Octave.. I.
INTRODUCCION
E
l desarrollo de la tecnología en la actualidad avanza de manera inimaginable, desarrollando nuevas técnicas de comunicación o transmisión de datos, con lo q se busca suplir la necesidad de información y comunicación de la humanidad, esto brinda un reto muy grande para los desarrolladores desarrolladores e ingenieros a cargo del manejo de esta información. El tratamiento de señales es sin duda unos de los pilares fundamentales de la comunicación, entre las necesidad existentes en este ámbito se presenta el desarrollo de operaciones de filtrado, lo cual significa separar elementos de interés dentro del espectro de la señal de
acuerdo a criterios establecidos (por ejemplo determinada frecuencia), esto es en otras palabras cambiar las amplitudes amplitudes relativas de las componente de la señal, amplificando las de interés y atenuando las que no se desean. Muchos son los tipos de filtro existentes, que son caracterizados por las especificaciones del tipo filtrado o señal sobre la que actuaran, nuestro estudio se basara en los filtros discretos, específicamente los filtros no recursivos o de respuesta al impulso finito. (FIR por sus siglas en ingles) En este informe se presentan las nociones básicas y necesarias necesarias para el diseño e implementación de un filtro FIR, utilizando el método de ventaneo, siendo este desarrollado en el lenguaje de programación de la herramienta matemática de Octave. II.
MARCO TEORICO
Un filtro digital es un tipo de filtro que opera sobre señales discretas y cuantificadas, implementado con tecnología digital, bien como un circuito digital o como un programa informático. a) Definición:
Un filtro digital es un sistema que, dependiendo de las variaciones de las señales de entrada en el tiempo y amplitud, se realiza un procesamiento matemático sobre dicha señal; generalmente mediante el uso de la Transformada rápida de Fourier; obteniéndose en la salida el resultado del procesamiento procesamiento matemático matemático o la señal de salida. Los filtros digitales tienen como entrada una señal analógica o digital y en su salida tienen otra señal analógica o digital, pudiendo haber cambiado en amplitud, frecuencia o fase dependiendo de las características del filtro digital.
El filtrado digital es parte del procesado de señal digital. Se le da la denominación de digital más por su funcionamiento interno que por su dependencia del tipo de señal a filtrar, así podríamos llamar filtro digital tanto a un filtro que realiza el procesado de señales digitales como a otro que lo haga de señales analógicas.
Los filtros FIR no recursivos, son siempre estables, pues los polos que poseen siempre estarán en cero. El filtro FIR que se tratara en este documento, se desarrollara mediante el método conocido como de la ventana para el cual se ha seleccionado el tipo de ventana BLACKMAN c) Método de la ventana
Un tema muy importante es considerar las limitaciones del filtro de entrada debido a Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon que en pocas palabras; si se desea procesar hasta una frecuencia de 10KHz, se debe tener una frecuencia de muestreo por lo menos de 20 KHz. b) Filtros FIR FIR es un acrónimo en inglés para Finite Impulse Response o Respuesta finita al impulso. Se trata de un tipo de filtros digitales cuya respuesta a una señal impulso como entrada tendrá un número finito de términos no nulos. Los filtros FIR son preferibles en este caso a los filtros denominados IIR (Infinite Impulse Response) puesto que estos últimos no pueden aprovechar las bondades de la transformada rápida de Fourier para su implementación, puesto que octave necesita un número finito de puntos a muestrear. Algunas ventajas de los filtros FIR:
Pueden diseñarse con fase perfectamente lineal Son incondicionalmente estabales Son factibles a utilizar la transformada rápida de Fourier Mejorar la selectividad requiere número de puntos M muy grande
un
Realización eficiente en forma tanto recursiva como no recursiva
Las ventanas son funciones matemáticas usadas con frecuencia en el análisis y el procesamiento de señales para evitar las discontinuidades al principio y al final de los bloques analizados. En procesamiento de señales, una ventana se utiliza cuando nos interesa una señal de longitud voluntariamente limitada. En efecto, una señal real tiene que ser de tiempo finito; además, un cálculo sólo es posible a partir de un número finito de puntos. Para observar una señal en un tiempo finito, la multiplicamos por una función ventana.
Para una mejor comprensión se analizara brevemente el método de la ventana cuadrada el cual consiste en multiplicar la función por un rectángulo de tiempo finito definido como:
Así, cuando multiplicamos una señal s(t) por esta ventana, obtendremos únicamente los T primeros segundos de la señal: observamos la señal en un intervalo T. En vez de estudiar la señal s(t), se estudia la señal truncada: s h(t) = s(t).h(t) Si pasamos al dominio de la frecuencia, mediante una transformada de Fourier, obtenemos el producto de la convolucion Sh(f)=S(f)*H(f), donde H(f) es la TF de la ventana.
Como se mencionó anteriormente la ventana seleccionada para este filtro es una ventana BLACKMAN la cual está definida como:
)( ) (
Dónde:
a0 = 0.42, a 1= 0.5 y a2= 0.08
d) Diseño del filtro pasa-bajos La ecuación para un sistema FIR, sistema no recursivo es:
[] ∑ [] [] [] ∑ [ ]
Ahora se debe proceder a obtener la respuesta al impulso, haciendo x[n] =
Se observa que la respuesta al impulso para este sistema tiene duración finita.
Fig 1. Forma general de ventana BLACKMAN
La figura 2. Muestra la respuesta en frecuencia de la ventana tipo Blackman esto será muy útil para consideraciones del diseño del filtro.
De las diferentes técnicas de diseño se desarrolla la técnica de ventaneo con la que primero se debe decidir las especificaciones de respuesta en frecuencia H d(w) y determinar su correspondiente en respuesta al impulso hd(n). Para diseñar un filtro FIR con características específicas tenemos las siguientes ecuaciones:
H d ( w)
h
jwn n e d
n 0
La ecuación de diseño para el filtro FIR resulta:
hd n
1
2
H d we jwn dw
En general la respuesta h d(n) es infinita pero esta es truncada mediante el ventaneo, en el Fig 2. Respuesta en frecuencia de la ventana BLACKMAN
punto: n M 1 y multiplicando por la ventana rectangular o unitaria se obtiene
sin hd (n) wc
M 1 M 1 ( n ) sin wc ( n ) 2 2 M 1 ( n ) 2
n n
M
1
2 M 1
Finalmente como se planteó anteriormente la ventana seleccionada será la Blackman definida por:
) ( ) (
2
Una vez obtenida la h(n) del filtro deseado se le aplica el tipo de ventana más adecuada a las necesidades realizando la multiplicación correspondiente de acuerdo a las especificaciones en este caso la ventana elegida es la de tipo Blackman correspondiente a:
)( ) ( []
III.
cuando a las aplicaciones deseadas en el tratamiento de señales y comunicaciones
La respuesta espectral para el filtro ideal está dada por:
oscilación
grande
en
las
relativamente
cercanías
de
la
abrupto de la respuesta al impulso de respuesta infinita
Usando
diversas
ventana
se
funciones
puede
truncar
de la
secuencia de modo más suave y efectivo
Se tiene una fc = 350 Hz
h[n] = 700 sinc(700.n)
sobre
se produce a causa del truncamiento
La respuesta al impulso discreto está dada por:
Dado que la ecuación puede representarse en una función SINC entonces:
El fenómeno Gibbs, que produce una
discontinuidad de la respuesta ideal,
, w[n] para el filtro a desarrollar
Entonces:
Los filtros FIR presentan ventajas importantes respecto a los IIR en
e) Determinación de las ecuaciones h[n],
[] []
CONCLUSIONES
IV.
BIBLIOGRAFIA
http://es.wikipedia.org/wiki/Finite_impulse_response http://es.wikipedia.org/wiki/Filtro_digital http://varoitus.barcelonamedia.org/rafael/Teaching/Courses/ DSP/modulo7.pdf http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/jaure gui_v_jj/capitulo2.pdf http://dsp1.materia.unsl.edu.ar/Filtros%20FIR%20Ejemplos.p df http://www.slideshare.net/kevinXD123/ss-cap7-disenofiltros-fir http://es.wikipedia.org/wiki/Dise%C3%B1o_de_Filtros_de_Re spuesta_Finita_al_Impulso
Para nuestro caso:
[] {
