Figuras amorfas — Document Transcript
1. Mediciones De Figuras Amorfas
Introducción: Las figuras amorfas, “son aquellas figuras que no tienen
forma porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni triángulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme". y su principal finalidad es encontrar en una gráfica dada su área de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la fig ura amorfa”. La notación sumatoria es encontrar el valor de la ecuación dada respecto a un número determinado cuando un punto “n” tiende a cualquier número dado. Existen dos tipos de
notación sumatoria: la notación sumatoria abierta y la notación sumatoria pertinente. La suma de riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una series de fórmulas para una aproximación del área total bajo la gráfica de una curva. La integral definida se utiliza para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas, también son llamadas así porque dada una ecuación su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podría decir que se conoce el valor al que se quiere graficar es a función.
MEDICIONES APROXIMADAS DE FIGURAS AMORFAS Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar s u área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las fórmulas de otras figuras. Para un polígono irregular (figuras con curvas) trazas diagonales y resuelve s por triángulos. NOTACIÓN DE SUMATORIA
En el estudio del área se trataran sumas de muchos términos, de modo que se introduce una notación, llamada notación sigma, para facilitar la escritura de estas s umas. Esta notación requiere el uso del símbolo ( Σ ),la letra sigma mayúscula del alfabeto griego.
1.1 Medición aproximada de figuras amorfas `·. .·´¯`·
Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun queriendo utilizar las formulasde otras figuras.
AT= A1+A2 n=número de partición *Ejemplo:
A1=(.5)(0) =0 A2=(.5)(.25) =.125 A3=(.5)(1) =.5 A4=(.5)(2.25) =1.125 A5=(.5)(4) =2 A6=(.5)(6.25) =3.125 A7=(.5)(9) =4.5 A8=(.5)(12.25)=6.125
AT= 17.5
1.2 Notación sumatoria —o—
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita. Dada una sucesión: Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma. El nombre de esta notación se denomina de la letra griega
(sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma"). La notación sigma es de la siguiente manera:
La suma de los primeros pares
Impares
*Ejemplo:
1.3 Sumatoria de Riemann °•..•°
0En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el área bajo una curva, este metodo es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemánBernhard Riemann. La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
*Ejemplo: ºEncuentre el área bajo el área de f(x)=x+2
en el interválo de [0,4]
°•..•°
2.1 Definición de Integral Indefinida `·. .·´¯ `·
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivasque puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee: integral de x diferencial de x .
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integracióny puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitivade f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitivade una función es correcta basta con derivar.
Ejemplo:
Sustitición:
u= 4x-3 du= 4 dx du= 4x dx
·´ ¯ `·. .· ´
2.2 Propiedades de Integrales Indefinidas ≈o Oo ≈
1.La integral de una sumade funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
Ejemplo:
2.La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integralde la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
Ejemplo:
≈o Oo ≈
2.3 Cálculo de Integrales Indefinidas °•..•°
Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;… Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.
°•..•°
2.1 Definición de Integral Indefinida `·. .·´¯ `·
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivasque puede tener una función. Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee: integral de x diferencial de x .
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integracióny puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitivade f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitivade una función es correcta basta con derivar.
Ejemplo:
Sustitición:
u= 4x-3 du= 4 dx du= 4x dx
·´ ¯ `·. .· ´
1.7 Integrales impropias _.-* *-._
I. Definida
i)Si f es continua sobre [a,b) y
cuando
entonces:
ii)Si f es continua sobre (a,b] y
cuando
entonces:
iii) Si cuando para alguna en c en (a,b) y f es continua en todos los demás números en [a,b] de entonces:
*Ejemplo:
_.-* *-._
Teorema de integral indefinida Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: El valor f © se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b]. Quizá sea interesante hacer varias observaciones: 1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad. 2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente. 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla. 2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta. Para una primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hipótesis de nuestro teorema. La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente: Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.
El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más
pequeño que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de error. 3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de funciones. Aquí el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la familia de funciones exponenciales que estudiamos, también con dominio en todos los números reales y fácilmente integrables, se caracteriza por su monotonía. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuación general en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [−0.5 , 0.5], lo que hace que
la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse de una función constante el teorema carece de interés. En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos según los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido. El control k permite variar la función exponencial considerada. Los controles a y b representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes estudiar diferentes intervalos en cada función que representes
funcion primitiva una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original ej: y=3x”+2x+18
dy/dx=6x+2 dy=6x+2 (dx) Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c
Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano. Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral. Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio). F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.
Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real. Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral: Aquí están las principales funciones primitivas: Función F: primitiva de f función f: derivada de F Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2– 3x). Como no se conoce primitivas de
un producto, desarollemos la expresión: x(2 – 3x)= 2x - 3×2. 2x es la derivada de x2, 3×2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7. Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f: Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.
Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x. La relación de Chasles: cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos (con a < b < c )como analíticos, tiene como consecuencia: La segunda fórmula se interpreta fácilmente: el área entre las rectas x = a y .. x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas. La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace. Otras propiedades Las primitivas de una función impar es siempre par. En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par. La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0. En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales: Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidiad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).
En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal. Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación: El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f −1, y la suma es el rectángulo
cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f −1 aplicando la simetría axial al
rededor de la diagonal y = x. El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f −1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.
PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN Primera propiedad Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un número), la función F(x) + C es otra primitiva de f(x). Demostración: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero. (F(x) + C)’ = F’(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x)
Ejercicio: Encontrar tres primitivas de la función cos x. Resolución: • Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.
• Tres primitivas de cos x son, por ejemplo,
Segunda propiedad Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas. Demostración: Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C. Tercera propiedad Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la función f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte. Demostración: Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f’(x) = 0, entonces f(x) = C. Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F’(x) = f(x); si G(x) es otra primitiva de f(x), G’(x) = f(x). Restando miembro a miembro, F’(x) - G’(x) = (F(x) - G(x))’ = f(x)
- f(x) = 0, de donde se
deduce que F(x) - G(x) = C.
Teorema fundamental del cálculo De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegación, búsqueda El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.
Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo. El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación. Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
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