- }<.J; > .
Si ahora decimos que vamos a usar la misma ecuación en la mecánica cuántica, podemos hallar fácilmente < j f > . Sólo tenemos que sumar los {2/ + I) valores posibles de J] y dividir por el numero total;
> =
/
+ O' -
1)' + ■ ■ ■ + ( - J + 2 / -i- í
I)' +
^2
(34 25)
Para un sistema de espín 3 12 se tiene; < Jl> =
(3/2 )^ +
(1/2)^ 4
(-1 /2 )^^ + ( - 3 / 2 ) ^ 1 4
Concluimos que j
y =
3|?í^ - 1(1 + 1)^1^
Dejamos que ustedes demuestren que la ecuación (34.25), junto con la ecuación (34.24), da ei resultado general
J - J = J( j' + i)h^.
( 34.26)
Aunque clásicamente pensaríamos que el mayor valor posible de la componente z de J es justamente el módulo de 7 - o sea s, ^J-J- cuánticamente, el máximo de J . siempre es unpoco menor porque Jh siempre es menor que y/(/' + \)h. El momentum angular nunca yace "completamente en la dirección z".
34-8
Energía magnética de los átomos
Ahora queremos hablarles nuevamente del momento magnético. Hemos dicho que en la mecánica cuántica el momento magnètico de un sistema atómico deierminado se puede escribir en función del momentum angular mediante la ecuación (M.6), (34.27)
Un imán colocado en un campo magnético externo tendrá una energia magnética adicional que depende de la componente de su momento magnético en la dirección del campo. Sabemos que = ~¡J^· Si.
(34.28)
= -M.fi-
(34.29)
Eligiendo el eje z en la dirección de B,
Usando la ecuación (34.27) tenemos
La mecánica cuántica dice que J. sólo puede tener ciertos valores; jh , ( j -jh . En consecuencia, la energia magnética de un sistema atómico no es arbitraria; sólo puede tener ciertos valores. Por ejemplo, su valor máximo es
Los valores posibies de la energia magnética s
los valores posiblesy, {7' - 1 ) , (7 - 2 )..,,( - _ /'+ I), ~j. En otras palabras, c:uando se pone sistema atómico en un campo magnético j energia varia en uní1 cantidad que proporcional al campo y proporcional a Umag
-------B
- " I ti
Fig. 34-5. Energías magnéticas posibles le un sistema atómico de espín 3 /2 en n campo magnético B.
J^. Decimos que la energía de un sistema atòmico "se desdobla en 2J + 1 niveles” debido al campo magnético. Por ejemplo, un àtomo cuya energia es U q fuera de un campo magnético y cuyo J es 3 /2 , tendrá cuatro energías posibles al colocarle en un campo. Podemos mostrar estas energías por medio de un diagrama de niveles de energia como el dibujado en la figura 34-5. Cualquier átomo en particular sólo puede tener una de las cuatro energías posibles en un campo determinado B. Esto es lo que la mecánica cuántica dice sobre et comportamiento de un sistema atòmico en un campo magnético.
El sistema "atómico'' más simple es un electrón solo. El espin de un electrón es 1/2 , por lo que hay dos estados posibles: = h /2 y J ^ ~ - h / 2 . Para un electrón en reposo (sin movimiento orbital) el momento magnético de espin tiene un g que vale 2, de modo que la energia magnética puede ser ± ^ g B . La figura 34-6 muestra las energías posibles en un campo magnético, Hablando a la ligera decimos que et electrón tiene su espín o "hacia arriba” (según el campo) o "hacia abajo” (opuesto al campo). Para sistemas de espin más alto hay más estados. Podemos pensar que el espin está "hacía arriba” o "hacia abajo” o inclinado a cierto "ángulo” intermedio, según sea ei valor de J^. Lfsaremos estos resultados cuánticos para estudiar las propiedades magnéticas de los materiales en el próximo capítulo.
35 P a r a m a g n e tis m o y
35-2
re s o n a n c ia
m a g n é tic a
Ei experimento de Stern-Gerlach 35-6
Resonancia magnética nuclear
Releer: Capitulo 1 1, Dentro de los dielécl,
35-Í
Estados magnéticos cuantizados
En el último capitulo describimos cómo en la mecánica cuántica el momentum angular de algo no tiene una dirección arbitraria, sino que su componente según un eje dado sólo puede tomar ciertos valores discretos igualmente espaciados. Es algo raro y chocante. Quizás piensen que no deberíamos entrar en tales cosas hasta que ustedes estén más avanzados y listos para aceptar esta clase de idea. En reali dad, sus mentes nunca estarán suficientemente listas -en el sentido de que sean capaces de aceptar fácilmente tai c osa-. N o hay modo descriptivo alguno de ha ceria inteligible y que a la vez no sea tan sutil y avanzado en su propia forma que resulte más complicado que lo que tratan de explicar. El comportamiento de la materia a escala microscópica es verdaderamente muy extraño - co m o hemos se ñalado muchas v eces- y es diferente de cualquier cosa a la que están acostumbra dos. A medida que avanzamos en la fisica clásica, es una buena' idea tratar de ¡rse familiarizando poco a poco con el comportamiento de las cosas a una escala micros cópica, al principio como una suerte de experiencia sin ninguna comprensión profunda. La comprensión de ello viene muy lentamente, si es que viene. Natural mente, uno es capaz de saber qué va a suceder en una situación cuántica -si esto es lo que comprensión significa-, pero nunca se tiene la sensación de comodidad de que estas reglas cuánticas son "naturales", Por supuesto que lo son. pero no son naturales para nuestra experiencia propia a un nivel ordinario. Debemos aclarar que la actitud que vamos a tomar respecto a esta regla del momentum angular es completamente diferente de muchas de las otras cuestiones de que hemos hablado. No vamos a tratar de "explicarla”, pero al menos debemos decirles
io que sucede; no seria honrado describirles las propiedades magnéticas de los materiales sin mencionarles el hecho de que la descripción clásica del magnetismo -de! momentum angular y de los momentos magné ticos- es incorrecta. Una de las caracteristicas más chocantes y perturbadoras de la mecánica cuántica CS que si toman el momentum angular según cualquier eje particular encuentran que siempre es un entero o un semientero por ñ. Esto es así, sea cual sea el eje que tomen. Las sutilezas de este hecho curioso -qu e pueden tomar cuaiquier otro eje y encuen tran que la componente según él también está incluida en el mismo conjunto de valores-- las dejaremos para un capitulo posterior, cuando experimentarán la satisfacción de ver cómo se resuelve finalmente esta paradoja aparente. Ahora aceptaremos solamente el hecho de que para cada sistema atómico hay un número J. llamado espín del sistema -qu e debe ser un entero o un semienteroy de que la componente del momentum angular según cualquier eje particular ten drá siempre uno de los siguientes valores entre + y
J - 1 J ~ 2
[-J También hemos mencionado que todo sistema atómico sencillo tiene un mo mento magnético que tiene la misma dirección que el momentum angular. Esto no sólo es válido para átomos y núcleos sino también para las particulas fundamen tales. Toda partícula fundamental tiene su valor propio característico para J y para su momento magnético. (Para algunas particulas ambos son cero.) Lo que queremos dar a entender por "el momento magnético" en esa afirmación es que la energia del sistema en un campo magnético, en la dirección z por ejemplo, se puede escribir en la forma para campos magnéticos débiles. Debemos imponer la condición de que el campo no debe ser muy intenso, porque de otro modo podria perturbar los movimientos internos del sistema y la energia no seria una medida del momento magnético que se encontraba presente antes de que se aplicase el campo. Pero si el campo es suficientemente débil, el mismo varia la energia en la cantidad A[/ = i ecuación tenemos que r
(35.2) nplazai / i. por V-.
(35.3)
donde J- tiene uno de los valores de la ecuación (35.1). Supongan que tenemos un sistema de espin J — 3 /2 . En ausencia de un campo magnético, el sistema tiene cuatro estados diferentes posibles correspondientes a los valores diferentes de J., todos los cuales tienen exactamente la misma energia, Pero en el momento en que introducimos el campo magnético, hay una energia adicional de interacción que separa estos estados en c\¡atro niveles de energía levemente diferentes. Las energías de estos niveles están dadas por una
sistema de espin / tiene (2/ + 1} valores posibles de energia en un campo magnético B. El desdoblamiento de energia es proporcional a B para cam pos débiles. cierta energia proporcional a B. multiplicada por fi por 3 /2 , 1 /2 , - I /2 y - 3 /2 - ic s valores de J¿-. Los diagramas de la figura 35-1 muestran los desdoblamientos de los niveles de energía para sistemas atómicos con espines 1/2 , 1 y 3 /2 (recuerden que el momento magnético siempre es antiparalelo at momentum angular para cualquier ordenamiento de electrones). Observarán en los diagramas que el “centro de gravedad” de ios niveles de energia es el mismo con o sin campo magnético. Observen también que los espacia raientos de un nivel al siguiente son siempre iguales para una particula dada en un campo magnético dado. Vamos a escribir el espaciamiento de energia, para un campo magnético B dado, como t w - lo cual es simplemente una defmición de cOp-. Usando las ecuaciones (35.2) y (35.3^, tenemos
(35,4) La cantidad g ( q /lm ) es justamente el cociente entre el momento magnético y el momentum angular - e s una propiedad de la partícula- La ecuación (35 4) es la misma fórmula que obtuvim.os en ei capítulo 34 para la velocidad angular de pre cesión en un campo magnético de un giroscopio cuyo momentum angular es / y cuyo momento magnético es ¡x.
35 -2
EJ experimento de Síera-Gerlach
El hecho de que el momentum angular esté cuantizado es tan sorprendente que vamos a hacer un poquito de historia acerca de él. Su descubrimiento produjo una gran sorpresa (aunque teóricamente se esperaba). Stern y Gerlach lo observaron por primera vez en un experimento realizado en 1922. Si lo desean, pueden consi derar el experimento de Stern-Gerlach como una justificación directa de la creencia en !a cuantización del momentum angular. Stern y Gerlach idearon un experimento para medir el momento magnético de un átomo de plata. Produjeron un haz de áto mos de plata evaporando plata en un horno y dejando que algunos salieran a través de una serie de agujeros pequeños. Este haz se dirigió entre los polos de un imán especial, como muestra la fígura 35-2. Su idea fue la siguiente: si el átomo de plata tiene un momento magnético ^ y lo colocamos en un campo magnético B, tendrá una energia siendo z la dirección del campo magnético. En la teoria clásica (x^ seria igual al momento magnético por el coseno del ángulo formado por el momento y el campo magnético, por lo que la energia adicional en el campo sería
A t/ =
(35.5)
Naturalmente, al salir los átomos del horno sus momentos magnéticos apuntarían en cuaiquier dirección posible y encontraríamos cualquier valor para d. Ahora bien, si el campo magnéíico varia muy ràpidamente con z —si hay un gradiente intenso de c a m p o - la energia magnética variará también con ¡a posición y habrá una fuerza sobre los momentos magnéticos cuya dirección dependerá de si el coseno de 6 es positivo -o negativo. Los átomos serán atraídos hacia arriba o hacia abajo por una fuerza proporcional a la derivada de la energia magnética; según el príncipio de los trabajos virtuales, tenemos (35.6) Stern y Gerlach construyeron su imán con uno de los polos muy en punta para le así se produjese una variación muy rápida dei campo magnético. El haz
de àiomos de piata se dirigió justamenie a lo largo de este filo para que asi los átomos se viesen sometidos a una fuerza vertical en un campo no homogéneo. U n átomo de plata con su momento magnético dirigido horizontalmente no expe rimentaría fuerza y pasaría en linea recta el imán. Un átomo cuyo momento mag nético estuviese exactamente vertical experimentarla una fuerza vertical que lo em pujaría hacia el polo en la punta del imán. Un átomo cuyo momento magnético apuntase hacía abajo experimentaría un empuje hacía abajo. Por consiguiente, cuan do abandonasen el imán, los átomos se distribuirían de acuerdo a sus compórtenles verticales de momento magnético. Todos los ángulos son posibles en la teoría clásica, de modo que cuando los átomos de plata se recogen por deposición en una lámina de vidrio, se espera una distribución de plata según una línea vertical. La altura de la linea sería proporcional al módulo del momento magnético. El tremendo fracaso de las ideas clásicas se puso de manifiesto cuando Stern y Gerlach vieron io que en la realidad sucede. Encontraron en la lámina de vidrio dos manchas nítidas. Los áto mos de plata habían formado dos haces. Es casi milagroso que un haz de átomos cuyos espines estarían aparentemente orientados al azar se desdoble en dos haces separados. ¿Cómo sabe el momento magnético que solamente se le permite llevar ciertas componentes en la dirección del campo magnético? En realidad éste fue el comienzo del descubrimiento de la cuantización del momentum angular, y en lugar de tratar de darles una explicación teórica, solamente les diré que se atengan al resultado del experimento tal como los físicos de entonces tuvieron que aceptarlo en su momento cuando se realizó el expe rimento por primera vez. Es un hecho experim ental que la energía de un átomo en un campo magnético toma una serie de valores particulares. Para cada uno de estos valores la energía es proporcional a la intensidad del campo. Por consiguiente, en una región donde el campo varía, el principio de los trabajos virtuales nos dice que la fuerza magnética posible sobre los átomos tendrá un conjunto de valores discretos; la fuerza es diferente para cada estado y, por lo tanto, el haz de átomos se desdobla en un número pequeño de haces distintos. Se puede encontrar la intensidad del momento magnético a partir de la medida de ía desviación de los haces. 35-3 El método de haces moleculares de Rabi Describiremos ahora un aparato mejorado de medida de momentos magnéticos que desarrollaron I, I. Rabi y sus colaboradoies. La desviación de los átomos en el experimento de Stern-Gerlach es muy pequeña y la medida del momento magnético no es muy precisa. La técnica de Rabi permite una precisión fantàstica en la medida de los momentos magnéticos. El mètodo se basa en el hecho de que la energia original de los átomos en un campo magnético se desdobla en un número finito de niveles de energía. Que la energía de un átomo en un campo magnético pueda tener solamente ciertas energías discretas no es realmente más sorprendente, que el hecho de que los átomos en general puedan tener solamente ciertos niveles discretos de energia -a lg o que mencionamos con frecuencia en el volumen Ì-. ¿Por qué no valdría lo mismo para átomos en un campo magnético? Si, sirve. Pero se intenta correlacio narlo con la idea de un momento magnético orientado que impEca algunas compli caciones raras de la mecánica cuántica. Cuando un átomo tiene dos niveles que difieren en energía en la cantidad ¿i U, puede realizar una transición dei nivel superior al nivel inferior mediante la emisión de un cuanto
de luz de frecuencia a;, siendo ho; = Ai/.
(.35.7)
Lo mismo puede suceder con átomos en un campo magnético. Sólo que, desde luego, las diferencias de eiergia son tan pequeñas que la frecuencia no corresponde a lu? sino a microondas o a radiofrecuencias. Las transiciones deí nivel inferior de energia a un nive! superior de un átomo, también pueden tener lugar mediante la absorción de luz o, en el caso de átomos en un campo magnético, mediante la absorción de energía de microondas. Asi pues, sí tenemos un átomo en un campo magnético, podemos causar transiciones de un estado a otro mediante ia aplicación de un campo electromagnético adicional de la frecuencia apropiada. En otras palabras, si tenemos un átorho en un campo magnético intenso y le ‘'hacemos cosquillas" al átomo con un campo electromagnético débil que varia, habrá una cierta probabilidad de pasarlo a otro nivel si la frecuencia es próxima a la o» de la ecuación (35.7). Para un átomo en un campo magnético, esta frecuencia es justamente to que antes llamamos y está dada en función de! campo magnético por la ecuación (35.4), Si se cosquillea al átomo con la frecuencia incorrecta, la probabilidad de causar una transición es muy pequeña. Por consiguiente, en la probabilidad de causar una transición hay una resonancia aguda en a>p. Midiendo la frecuencia de esta resonancia en un campo magnéfico B conocido, podemos medir Ja cantidad g(q /2 m ) con gran precisión, y de aqui sacar el factor g.
Fig. 35-3 La precesión clásica de i itomo con momento magnético /f y rr
Es interesante cuando se llega a la misma conclusión desde un punto de vista clásico. Según la imagen clásica, cuando colocamos un pequeño giroscopio de mo J en un campo magnético externo, el mento magnético fiy momentum angular giroscopio precesará alrededor de un eje paralelo al campo magnético (ver la Fig, 35-3). Supongan que preguntamos: ¿cómo podemos cambiar ei ángulo ud giroscopio clásico respecto a! campo -expresamente, respecto al eje z - ? El campo magnético produce un torque en dirección horizontal. Pensarían que tal torque está tratando de alinear el imán con el campo, pero solamente causa la precesión. Si queremos cambiar el ángulo de! giroscopio respecto al eje z, debemos aplicarle un torque en dirección del eje z. Si aplicamos un torque que va en la misma dirección que la precesión, el ángulo de! giroscopio cambiará y darà una componente más pequeña de J en ta dirección z. En la figura 35-3, aumentará el ángulo entre 7 y el eje z. Si tratamos de impedir la precesión, J se mueve hacia la vertical.
un campo magnétic normal a n, como e ilante, cor
¿Cómo podemos aplicar la clase de torque que deseamos a nuestro àtomo prece sando en un campo magnético uniforme? La respuesta es: aplicando un pequeño campo magnético lateral. Puede que piensen que la dirección de este campo mag nético tendria que rotar con la precesión del momento magnético de manera que siempre formase con él un ángulo recto, como el campo B' en !a figura 35-4(a). Este campo sirve, pero un campo horizontal alterno es casi tan bueno. Si tenemos un campo horizontal B' pequeño, el cual está siempre en la dirección ,x (más o menos) y que oscila con la frecuencia en cada semiciclo el torque sobre el mo mento magnético se invierte, de modo que tiene un efecto acumulativo que es casi tan efectivo como un campo magnético rotatorio. Clásicamente, pues, esperaríamos que la componente del momento magnético según la dirección z cambiase si tene mos un campo magnético oscilatorio muy débil con una frecuencia exactamente Es natura) que, clásicamente, cambiaria continuamente, pero en ia mecánica cuántica la componente z del momento magnético no se puede ajustar continua mente. Debe saltar de repente de un valor a otro. Hemos hecho la comparación entre las consecuencias de la mecánica clásica y de la mecánica cuántica para darles cierta idea de lo que puede suceder clásicamente y de cómo se relaciona con lo que realmente sucede en la mecánica cuántica. A propósito, notarán que la frecuencia de resonancia esperada es la misma en ambos casos.
Una nota adicional: según lo que hemos dicho acerca de la mecánica cuántica, no hay razón aparente para que no haya también transiciones a la frecuencia la ) Resulta que no hay nada análogo en el caso clásico, ni tampoco sucede en la teoría cuántica -por !o menos en el método particular de inducir las transiciones que hemos descrito-. Con un campo magnético horizontal oscilante, la probabilidad de que una frecuencia la>p cause un salto de dos pasos al mismo tiempo es cero. La probabilidad de que ocurran transiciones, bien hacia arriba bien hacia abajo, es so lamente a la frecuencia coAhora estamos preparados para describir el método de Rabi para la medida de momentos magnéticos. Consideraremos aqui solamente dicha operación para átomos de espin I /2. La figura 35-5 muestra un diagrama del aparato. Hay un horno que produce un haz de átomos neutros que pasa a través de tres imanes. El imán I es exactamente como el de la figura 35-2 y tiene un campo con un gradiente de campo intenso -diga mos que con d B j d z positiva. Si los átomos tienen momento magnético, serán desviados
hacia abajo si J . = + h /2 , o hacia arriba si = h¡ 2 (ya que y J son opuestos en los electrones). Si considerarnos solamente los átomos que atraviesan la rendija Sj, hay las dos trayectorias posibles que se muestran. Los átomos de J- = + h / 2 deben seguir la curva a para atravesar la rendija y los de J, = ~ t / 2 deben seguir la curva b. Los átomos que salgan del horno según otros caminos no atravesarán ia lendija. El imán 2 tiene un campo uniforme. N o se ejercen fuerzas sobre los átomos en esta región, por lo que atraviesan en linea i -’cta y entran en el imán 3. El imán 3 es exactamente corno el imán 1 pero con el car:ipo invenido de modo que d B J d z liene signo opuesto. Los átomos de J¡ = + 7 f/2 «.decirnos ‘'con espin hacia arriba") que sintieron un empaje hacia abajo en el imán I, sienten un empuje hacia arriba en el imán 3; continúan en el camino a y atravesando la rendija S^ llegan a un detector. Los átomos de = - í / 2 (“con espin hacia abajo") también sienten fuerzas opues tas en los im.anes 1 y 3, siguen el camino b que también los conduce al detector a través de la rendija S,· El detector se puede construir de diversas maneras, dependiendo del átomo que se mida. Por ejempio, para átomos de un meta! aicaiino corno el sodio, e) deíeccor puede ser un alambre delgado y caliente de tungsteno conectado a un medidor sensible de corriente. Cuando Jos átomos de sodio aterrizan en e) alambre, se eva poran como iones N a“^ dejando allá un electrón. Se establece una corriente pro porcionaJ aJ número de átomos de sodio que llegan por segundo. En el entrehierro del imán 2 hay un conjunto de bobinas que produce un campo magnético horizontal B' pequeño. Las bobinas funcionan mediante una corriente que oscila a una frecuencia <>> variable. Asi, pues, entre los polos del imán 2 hay un campo vertical B,, constante e intenso y un campo horizontal B' oscilante y débil. Supongan que hacernos la frecuencia o; deJ campo osciJante igual a -ia frecuencia de ‘‘precesión” de los átomos en el campo B. El campo oscilante hará que aigunos de los átomos que pasen hagan transiciones de un J. at otro. Un átomo cuyo espin inicial estaba “hacia arriba” (/^ = + h/2) puede ser cambiado “ hacia abajo" [ J ¡ = ~h/2 ). Este átomo tiene ahora invertida la dirección de su momento magnético por to que sentirá una fuerza hacia abajo en el imán 3 y seguirá el ca mino a', que muestra la figura 35-5. Ya no pasará a través de la rendija hacia el detector. Análogamente, algunos de los átomos cuyos espines iniciales estaban hacia abajo (J, = - l i l i ) se
invertirán hacia arriba {J^ = -t-^/2) cuando pasen por el imán 2, seguirán el camino b' y no llegarán al detector. Si el campo oscilante B' tiene una frecuencia apreciablemente diferente de cop. no invertirá espines y los átomos seguirán sus caminos no perturbados hacia el detector. De este modo pueden ver que la frecuencia de “precesión” cop de los áto mos en el campo Bq se puede encontrar variando la frecuencia co del campo B' hasta que se observe una disminución en ia corriente de átomos que llega al detector. Ocurrirá una disminución de la corriente cuando co esté “en resonancia” con oj~ Una representación de la corriente del detector en función de co se puede parecer a lo que muestra la figura 35-6. Conociendo co. podemos obtener el valor de g del átomo.
Estos experimentos con haces atómicos, o como se les Uama corrientemente, ex perimentos de resonancia de haces “moleculares", son una manera delicada y bella de medir las propiedades magnéticas de los objetos atómicos. Se puede determinar con gran precisión la frecuencia de resonancia co. —de hecho, con una precisión mayor que con la que medimos el campo magnético B„, el cual debemos conocer para encontrar g. 35-4
Paramagnetismo macroscópico de materiales
Ahora desearíamos describir el fenómeno del paramagnetismo macroscópico de los materiales. Supongan que tenemos una sustancia cuyos átomos tienen momen tos magnéticos permanentes, por ejemplo, un cristal de sulfato de cobre. En el cristal hay iones de cobre cuyas capas electrónicas internas üenen un momentum angular resultante y un momento magnético resultante. Asi, pues, ei ion cobre es un objeto que liene un momento magnético permanente. Digamos unas palabras sobre cuáles átomos tienen momentos magnéticos y cuáles no. Cualquier átomo, el sodio por ejemplo, que tenga un número impar de electrones, tendrá momento magnético. El sodio tiene un electrón en su capa incompleta y este electrón da al átomo un espin y un momento magnético. Sin embargo, ordinariamente cuando se forman los compuestos, íos electrones adicionales de la capa externa se acoplan con otros electrones cuyos espines tienen direcciones opuestas, de modo que todos los momenta angulares y todos los momentos magnéticos de los electrones de valen cia se cancelan corrientemente. Esta es la razón, en general, para que las m.e!r,:ulas no tengan
momento magnético. Por supuesto, si tienen un gas de átomos de sodio, no existe esa compensación*. Del mismo modo, si tienen lo que se llama en química un “radical libre” - u n objeto con un número impar de electrones de valencia-· los enla ces no se saturan compietamente y hay un momentum angular resultante. En la mayoría de los materiales macroscópicos hay un momento magnético re sultante solamente si hay átomos presentes cuya capa electrónica interna no está compieta. En este caso, puede haber un momentum angular resuhante y un momen to magnético. Estos átomos se encuentran en la parte de los “elementos de transición” de la tabla periódica -po r ejemplo, el cromo, ei manganeso, el hierro, el níquel, el cobalto, el paladio y el platino son elementos de esta clase-. Todos los elementos de ias tierras raras también tienen capas internas incompletas y, por lo tanto, tienen momentos magnéticos permanentes. Hay un par de elementos extraños que también tienen momentos magnéticos; uno de ellos es el oxigeno liquido, pero dejaremos que el departamento de química les explique el porqué. Supongan ahora que tenemos una caja llena de átomos o moléculas con mo mentos permanentes -dig am os un gas, un liquido o un cristal-. N os gustaría saber qué sucede.sí aplicamos un campo magnéíico externo. Sin ningún campo magnético, los átomos son empujados desordenadamente por los movimientos térmicos y los momentos se mueven apuntando en todas direcciones. Pero cuando hay un campo magnético, éste trata de alinear los imanes pequeños; hay entonces más momentos en la dirección det campo que en otra dirección. El material se ha “ magnetizado".
sultante por unidad de volumen, con lo cual entendemos la suma vectorial de todos los momentos magnéticos atómicos en una unidad de volumen. Si hay N átomos por unidad de volumen y su momento promedio es < / i > , M se puede expresar como N por el momento atómico promedio: N < fx>
(35.8)
La defmición de M corresponde a la definición de polarización eléctríca P del capítulo 10. La teoria clásica del paramagnetismo es exactamente c omo la teoria de la constan te dieléctrica que dimos en el capitulo 11. Se supone que cada uno de los átomos tenga un momento magnético fx, que siempre tiene el mismo módulo, pero que puede apuntar en cualquier dirección. En un campo B, la energía magnética es ·B = -fiB eos tí, donde B es el ángulo formado por el momento y el campo. Según la mecánica estadística, la probabilidad relativa de tener cualquier ángulo es g-energía/fcr por lo que los ángulos próximos a cero son más probables que los próximos a n. Procediendo exactamente como hicimos en la sección 11-3, encontramos que para campos magnéticos pequeños, M es paralelo a B y su módulo es (35.9) [ver la ecuación (11.20)). Esta fórmula aproximada es correcta solamente para mucho menor que uno.
u mayona, awnqiie también haya algunas
Encontramos que la magnetización inducida - e l momento magnético por unidad de vo lu men- es proporcional al campo magnético. Este es el fenòmeno del paramagnetismo. Verán que el efecto es más intenso a bajas temperaturas y más débil a temperaturas más aitas. Cuando apü'camos un campo a una sustancia, ella desarrolla, para campos pequeños, un momento magnético proporciona! al campo. Se llama susceptibilidad magnética al cociente entre M y B (para campos pequeños). Ahora queremos considerar el paramagnetismo desde el punto de vista de la mecánica cuántica. Tomamos en primer lugar un átomo de espín 1/2. En ausencia de campo magnético los átomos tiene una cierta energia, pero en un campo magnético hay dos energías posibles, una para cada valor de J^. Para = Ti¡2, el campo magnético hace que la energía sufra una variación
;
(35.10)
(El corrimiento de energía A U es positivo para un átomo ya que la carga del electrón es negativa.) Para = - ü H , la energia varía en la cantidad AC/3 =
LU =
(3 5 .'»
(35.13)
El significado de /íq es claro: -^g es la componente i del momento magnético en el caso de espín hacía arriba y es la componente z del momento magnético en el caso de espín hacia abajo. Ahora bien, la mecánica estadística nos dice que laprobabilidad de que átomo esté en un estado u otro es proporcional a
un
^-(energía del estado)/AT, En ausencia del campo magnético, los dos estados tienen la misma energia y por eso cuando hay equilibrio en un campo magnético, las probabilidades son propor cionales a (35,!4) El número de átomos por unidad de volumen con espín hacia arriba es (35.15)
(35.16)
L a constante a hay que determinarla de manera que A '„„ta+A'.b.jo=A'. nùmero total de ì
3 por unidad de volumen. Asi, obtenemos
Lo que nos interesa es el momento magnético promedio según el eje z. Los átomos de espin hacia arriba contribuirán con un momento y los de espin hacia abajo lo harán con + Hq. de este modo, el momento promedio es
El momento magnético por unidad de volumen M es entonces N las ecuaciones (35.15), (35.16) y (35.17) obtenemos
Esla es la fórmula cuántica para M en el caso de átomos con j = 1 /2. A proposito, esta fórmula también se puede escribir de un modo algo más conciso en términos de la función tangente hiperbólica: M = Np-Q tanh
kT
(35.21)
La figura 35-7 muestra una representación de M en función de B. Cuando B se hace muy grande, la tangente hiperbólica se aproxima a 1 y M hacia ei valor limite Por consiguiente, para campos intensos la magnetización se saturo. Podemos ver por qué ocurre asi; para campos suficientemente intensos todos los momentos están alineados en la misma dirección. En otras palabras, todos se en cuentran en el estado de espin hacia abajo y cada átomo contribuye con el mo mento Mn·
Fig. 35-7. Variación de la magnetización paramagnética en función de la intensidad del campo magnético B.
En la mayoria de los casos normales -diga mos, para los momentos típicos, la temperatura ambiente y los campos que ordinariamente se puede obtener (del orden de 10.000 gauss)-- el cociente fx^B/kT es del orden 0,02. Se debe bajar mucho la temperatura para ver la saturación. A temperaturas normales, se puede reemplazar tanh X por x y escribir M = -- 0 -
(35.22)
M es proporcional a B. igual que en la teoria clásica. D e hecho, la fórmula es casi exactamente igual, excepto que parece que falta un factor de 1/3, Pero aún necesitamos relacionar la de la fórmula cuántica con la /u. que aparece en ei resultado clásico, ecuación (35.9). En la fórmula clásica, lo que aparece es momento magnético, o sea
=
el cuadrado del vector
Señalamos en el capitulo anterior que con mucha probabilidad pueden obtener la respuesta correcta de un cálculo clásico reemplazando J-J por ,/(■/-i- \)ñ-. En nues tro caso particular tenemos que M I , por lo que j U + 1)*" = Sustituyendo esto en lugar de J-J en la ecuación (35.23), obtenemos
o en función de
defmida en la ecuación (35.12), f i - t i = 3mo·
Sustituyendo fj} en la fórmula clásica (35.9) por esto, verdaderamente nos reproduce la fórmula cuántica correcta, ecuación (35.22). La teoria cuántica del paramagnetismo se extiende fácilmente a átomos de cual quier espin j. La magnetización en un campo débil es
M =
(35.24)
donde í'« = f l
(35.25)
es una combinación de constantes con las dimensiones de un momento magnético. Se llama magnetón de Bohr. La mayoria de los átomos tienen momentos de este tamaño aproximadamente. El momento magnético de espín del electrón vale casi exactamente un magnetón de Bohr.
35-5
Eiifdaiìiienio poi- ¿iesnaagneiizacióíí adiabálica
Hay una aplicación especial del paramagnetismo que es muy interesante. A muy bajas temperaturas es posible alinear los ¡manes atómicos en un campo intenso. Es posible entonces descender a temperaturas extremadamente bajas mediante un proceso llamado desmagnetización adiabática. Podemos tomar una sa! paramagné tica (por ejempto, una que contenga un cierto número de átomos de tierras raras como nitrato amónico de praseodimio), y comenzar a enfriarla, con helio liquido hasta uno o dos grados absolutos en un campo magnético intenso. Asi, el factor f í B / k T es mayor que 1 - m á s parecido a 2 o a 3 - La mayoria de los espines están alineados y la magnetización está casi saturada. Digamos, para simplificar, que el campo es muy potente y que la temperatura es muy baja, por lo que casi todos los átomos están alineados. Ahora aislamos la sal térmicamente (digamos que quitando el helio liquido y haciendo un buen vacío) y apagamos el campo magnético. La temperatura de la sal sigue bajando. Ahora bien, si quitasen e! campo de repente, el movimiento desordenado y las sacudidas de los átomos en la red cristalina sacarían gradualmente lodos los es pines del alineamiento. Unos estarían hacia arríba y otros hacía abajo. Pero si no hay campo (y despreciando las interacciones entre los imanes atómicos, que darán solamente un error despreciable), no se necesita energía para voltear los imanes atómicos. Podrían distribuir al azar sus espines sin ningún cambio de ener gía y por lo tanto sin ningún cambio de temperatura. Supongan, sin embargo, que mientras los imanes atómicos están siendo zarandea dos por el movimiento térmico, hay aim un poco de campo magnético presente. Entonces se necesita trabajo para ponerlos en dirección opuesta al campo -deben realiza r trabajo contra el campo -. Esto loma energia de los movimientos térmicos y baja la temperatura. Asi, pues, si el campo magnético intenso no se retira muy rápida mente, la temperatura de la sal disminuirá -se ha enfriado por desmagnetizaciónDesde el punto de vista cuántico, cuando el campo es intenso todos los átomos están en el estado inferior, porque la probabilidad de que alguno se encuentre en el estado superior es increíblemente pequeña. Pero a medida que disminuye el campo hay más y más probabilidad de que las fluctuaciones térmicas empujen un átomo al estado superior. Cuando esto sucede, e! átomo absorbe la energia A Ù ~ fi^B. Por consiguien te, si el campo magnético se saca lentamente, las transiciones magnéticas pueden to mar energía de las vibraciones térmicas del cristal, enfriándolo. D e esie modo es posi ble ir desde una temperatura de unos pocos grados absolutos hasta una temperatura de unas pocas milésimas de grado. ¿Les gustaría enfriar aún más? Pues bien, la Naturaleza ha proporcionado un medio. Ya hemos mencionado que los núcleos atómicos también tienen momentos magnéticos. Nuestras fórmulas del paramagnetismo sirven igualmente bien para los núcleos, .excepto que los momentos de los núcleos son aproximadamente un millar de veces más pequeños. (Son del orden de magnitud de qhU m p donde m p ts la masa del protón, por lo que son menores por el cociente de las masas del electrón y del protón.) Con tales momentos magnéticos, aun a una temperatura de 2°K, el factor /j.B lk T es solamente unas pocas milésimas. Pero si usamos el proceso de desmag netización paramagnètica para descender a una temperatura de unas milésimas de grado, ,u B ík T se hace casi I - a estas temperaturas bajas podemos comenzar a saturar los momentos nucleares-. Es una ventura, ya que podemos usar entonces
la desmagnetización'adiabática del magnetismo nuclear para alcanzar temperaturas aún más bajas. En resumen, es posible realizar dos etapas para enfriamiento magné tico. Primero usamos desmagnetización adiabática de iones paramagnéticos hasta alcanzar unas milésimas de grado. Luego, usamos la sal paramagnética fría para enfriar cierto material que tenga un magnetismo nuclear intenso. Finalmente, cuando quitemos el campo magnético de este material, su temperatura descenderá a unas mi llonésimas de grado sobre el cero absoluto - s i lo hemos hecho todo muy cuidadosa-
35-6
Resonancia magnética nuclear
Hemos dicho que el paramagnetismo atómico es muy pequeño y que el magne tismo nuclear es aún un millar de veces menor. Aun así, es relativamente fácil observar ei magnetismo nuclear mediante e! fenómeno de “resonancia magnética nuclear”. Supongan que tomamos una sustancia, tal como agua, en la que todos los espines electrónicos están exactamente equilibrados de manera que su- momen to magnético resultante es cero. Las moléculas aún tendrán un momento magnético muy, muy débil debido al momento magnético nuclear del núcleo de hidrógeno. Supongan que colocamos una muestra pequeña de agua en un campo magnético B. Como los protones (del hidrógeno) tienen espin 1 /2 , tendrán dos estados posibles de energia. Si el agua está en equilibrio térmico, habrá levemente más protones en los estados de energía más baja - co n sus momentos paralelos al c am p o- Hay un momento magnético pequeño resultante por unidad de volumen. Com o el momento del protón es solamente una milésima de un momento atómico, la magnetización que marcha como -usa ndo la ecuación ( 3 5 .2 2 )- tiene solamente una milloné sima de la intensidad del paramagnetismo atómico tipico (ésta es la razón por la que hemos escogido un material sin magnetismo atómico). Si lo calculan, la dife rencia entre el número de protones con espín hacia arriba y con espín hacia abajo es solamente uno en 10®: ¡el efecto es verdaderamente muy pequeño! N o obstante, se puede observar del siguiente modo. Supongan que rodeamos la muestra de agua con una pequeña bobina que pro duce un pequeño campo magnético horizontal oscilante. Si el campo oscila a la frecuencia cop, inducirá transiciones entre los dos estados de energía -¡ustamente como describimos en el caso del experimento de Rabi en la sección 35-3, Cuando un protón salta de un estado de energía superior a uno inferior, suelta la energía f x ji, que, como hemos visto, es igual a ña>p. Si salta del estado de energia inferior al superior, absorberá la energía TitOp de la bobina. Como hay levemente más protones en el estado inferior que en el superior, habrá una absorción resultante de energia de !a bobina. Aunque el efecto es muy pequeño, la leve absorción de energia se puede ver con un amplificador electrónico sensible. Lo mismo que en el experimento de haces moleculares de Rabi, la absorción de energia se verá solamente cuando el campo oscilante esté en resonancia, es decir, cuando
De ordinario es más conveniente buscar la resonancia variando B y conservando c fijo. La absorción de energía aparecerá evidentemente cuando
Fig, 35-8. Un aparato de resonancia
La figura 35-8 muestra un tipico ap ar at o de resonancia magnética nuclear. Un oscilador de alta frecuencia se conecta a la bobina pequeña colocada entre los polos de un gran electroimán. D os bobinas pequeñas auxiliares se conectan a una corrienie de 60 ciclos de modo que el campo magnético está modulado airededor de su valor promedio en una cantidad tnuy pequeña. Como ejempio, digamos que la corriente principal del imán se ajusta para producir un campo de 5.000 gauss y que las bobinas auxiliares producen una variación de + 1 gauss respecto a ese valor. Si se coloca el oscilador a 21,2 megaciclos por segundo, se encontrará ia resonancia protónica cada vez que el campo baira 5000 gaus (usando ia ecuación ( 3 4 .J3) con 5,58 para el protón). El circuito del oscilador es de tal forma que da una señal de salida adicional proporcional a cualquier variación de potencia que se absorba del oscilador. Esta señal alimenta el amplificador de desviación vertical de un osciloscopio, Ei barrido horizontal del osciloscopio se dispara una sola vez en cada cicJo de la frecuencia de modulación del campo (más comúnmente, la desviación horizontal se hace pro porcional al campo que modula). Antes de que la muestra de agua se coloque en ia bobina de aita frecuencia. Ja pofenc/a sacada dei oscilador tiene algún valor (no varia con el campo magnético). Sm embargo, cuando se coloca una boiellita de agua en ta bobina, aparece una señal en el osciloscopio, como lo muestra la figura. Vemos una imagen de !a po tencia absorbida por la reorientación del espin de ios protones. En la práctica, es difícil saber cóm o ajustar el imán principal a exactamente 50 00 gauss. Lo que se liace es ajustar la corriente de! imán principal hasta que aparece en el osciloscopio la señal de resonancia. Resulta que éste es ahora eJ modo más conveniente de hacer una medida precisa de la intensidad de un campo magnético. Naturalmente, antes alguien tuvo que medir con precisión el campo magnético y la frecuencia para determinar el valor de g del protón. Pero una vez que se ha hecho esto, un aparato de resonancia protónica com o el de la figura se puede usar como “magnetòmetro a resonancia protónica".
Diremos algo de la forma de la señal. Si variásemos el campo magnéíico muy lentamente, esperaríamos ver una curva de resonancia normal- La absorción de energia sería n\áxima cuando (x>p igualase exactamente la frecuencia deJ oscilador. Habría alguna absorción a frecuencias cercanas ya que todos los protones no se encuentran en el mismo campo exactamente - y campos diferentes significan fre cuencias de resonancia levemente diferentes. Incidentalmente, uno se podria preguntar sí a la frecuencia de resonancia de beríamos ver alguna señal. ¿N o sería de esperar que el campo de alta frecuencia igualase la población de los dos estados y así no habria señal excepto en el mo mento de colocar el agua? N o exactamente,, porque aunque tratemos de iguaíar las dos poblaciones, los movimientos térmicos por su pan e tratan de conservar la proporción para la temperatura T. Si nos situamos en la resonancia, la potencia que los núcleos absorben es justamente la que se pierde por los movimientos térmi cos. Sin embargo, hay relativamente poco “contacto térmico” entre Jos momentos magnéticos protónicos y los movimientos atómicos. Los protones están relativamen te aislados en el centro de las distribuciones electrónicas. Por lo tanto,' ia señal de resonancia en agua pura es en realidad muy pequeña de ordinario para ser vista. Para aumentar la absorción es necesario aumentar el “contacto íérmíco”. Esto se iiace corrientemente añadiendo al agua un poco de óxido de hierro. Los átomos de hierro son com o imanes pequeños; cuando se zarandean en su danza térmica, pro ducen campos magnéticos danzantes pequeñísimos en los protones. Estos campos variables “acoplan” Jos imanes protónicos a las vibraciones atómicas y tienden a establecer el equilibrio térmico. Es por medio de este “acopiamiento” que los pro tones en los estados de energía más alta pueden perder su energia y así son capaces de absorber nuevamente energia del oscilador. En la práctica la señal de salida de un aparato de resonancia nuclear no se parece a una curva de resonancia normal. Corrientemente es una señal más com plicada con oscilaciones - c o m o la dibujada en Ja figura-. Tales señales aparecen debido a los campos variables. La explicación de ello deberia ser cuántica, pero se puede demostrar que en esos experimentos las ideas clásicas de momentos que pre cesan dan siempre la respuesta correcta. Clásicamente diríamos que cuando Uega mos a Ja resonancia comen za mos a tener un rnonfón de imanes nucleares que precesan en sincronía, Al realizarlo, hacemos que precesen juntos. Estos imanes nucleares, todos rotando juntos, inducirán tma fem en la bobina del oscilador a la frecuencia (xjp. Pero como el campo magnético aumenta con el tiempo, la frecuencia de precesión también aumenta y el voltaje inducido se encuentra pronto a una frecuencia un poco mayor que la frecuencia del oscilador. Cuando la fem inducida esté alternadamente en fase o defasada con el oscilador, la potencia •'absorbida" será positiva o negativa alternadamente. Asi, en el osciloscopio vemos pulsación eníre la frecuencia protónica y la frecuencia del oscilador. Como las frecuencias de los protones no son todas idénticas (protones diferentes se encuentran en campos ligeramente diferentes) y también posiblemente debido a la perturbación del óxido de hierro en el agua, los momentos que precesan libremente pronto se defasan y ia pulsación desaparece. Estos fenómenos de resonancia magnética se han usado de diversos modos como herramientas para nuevos haJJazgos en ía materia -especia/mente en química y en la física nuclear-. Está demás decir que los valores numéricos de los mo mentos
magnéticos de los núcleos nos indican algo de su estructura. Se ha aprendido mucho en química con la estructura (o forma) de las resonancias. A causa de los campos magnéticos producidos por núcleos cercanos, la posición exacta de la resonancia nuclear está algo movida dependiendo del ambiente en que un núcleo particular se encuentra. La medida de este corrimiento ayuda a determinar cuáles átomos están cerca de cuáles y ayuda a esclarecer los detalles de la estructura molecular. Igualmente importante es la resonancia de espin electrónico de radicales libres. Aunque no haya muchos de esos radicales en el equilibrio, si son con frecuencia estados intermedios de reacciones químicas. Una medida de una resonancia de espin electrónico es una comprobación delicada de la presencia de radicales libres y es con frecuencia la clave para entender el mecanismo de ciertas reacciones quimicas.
36-1
Corrientes de magnedzacíóin
36-2
El campo H
36-4 Inductancias con núcleo de hierro 36-5 Electroimanes
36-3
La curva de magnetización
36-6 Magnetización espontánea
Releer: Capitulo 10, Dieléctricos Capítulo 17, L a ley de inducción
36-1
Comentes de magnetización
En este capitulo discutiremos algunos materiales en los cuales [ja fuerza resultan te de ios momentos magnéticos que hay en el matenal es mucho^mayor que en el caso dei paramagnetismo o el diamagnetismo. El fenómeno se llama ferromagnetis/TíOjEn materiales paramagnéticos y diamagnéticos los momentos magnéticos induci dos generalmente son tan débiles que no necesitamos preocupamos de los campos adicionales producidos por los momentos magnéticos. Sin embargo,?en materiales ferrom agnéticos los momentos magnéticos inducidos por los campo? magnéticos aplicados son muy grandes y tienen un gran efecto sobre los mismos camposj En realidad, los momentos inducidos son tan fuertes que a menudo son los efectos do minantes que producen los campos observados. Asi pues, entre las cuestiones de que nos debemos preocupar está la leoría matemática de los grandes momentos magné ticos inducidos. Por supuesto ésta es simplemente una cuestión técnica. El problema real es ¿por qué los momentos magnéticos son lan fuertes?; ¿cómo funciona todo esto? En breve volveremos sobre este asunto. Encontrar los campos magnéticos de materiales ferromagnéticos es algo como encontrar los campos electrostáticos en presencia de dieiéctricos. Recordarán que primero describimos las propiedades internas de un dieléctrico en función de un campo vectorial P, el momento dipolar por unidad de volumen. Luego nos imagina mos que los efectos de esta polarización son equivalentes a una densidad de carga /7poi dada por la divergencia de P: Ppoi = - v - p .
(36.1)
La carga total en cualquier situación se puede escribir como la suma de esta carga de polarización más todas las otras cargas, cuya densidad escribimos* pp^i- Por consiguiente la ecuación de 1 sobre conductores,
seria la misma que
Maxwell que rela ciona la divergencia de E co n la densidad de carga se transform a en V · £■ = ~ = ^0 V E =
- ^
otras eo"
^0
+ ÍSÍB<^. «0
Entonces podemos sacar la parte de polarización de ía carga y pasarla al otro miembro de !a ecuación, para obtener la nueva ley
1 dieléctrico depende de la
Juntar E y P como en ia ecuación (36.2) es útil, por supuesto, solamente si co nocemos alguna relación entre ellos. Hemos visto que ía teoría que relaciona el momento dipolar eléctrico inducido con el campo era un asunto relativamente com plicado y se puede realmente aplicar sólo a ciertas situaciones sencillas y aún enton ces como una aproximación, (^err ía recordarles una de ias ideas aproximadas que usamos. Para hallar el momento dipolar inducido de un átomo dentro de un dieléc trico, es necesario conocer el campo eléctrico que actúa sobre un átomo individual. Hicimos la aproximación --<íue no es tan mala en muchos casos— de que el campo sobre ei átomo es el mismo que habría en el centro dei agujero pequeño que queda ría si sacáramos el átomo (sin cambiar los momentos dipolares de todos los átomos vecinos). También recordarán que el campo eléctrico en una cavidad en un dieléc trico polarizado depende de la forma de la cavidad. Resumimos nuestro resultado anterior en la fígura 36-1. Para una cavidad delgada en forma de disco perpendicular a la polarización, el
cam po eléctrico en la cavidad está dado por ^cavidad
= £ 'dieléctrico f — > eo
lo cuai demostramos usando la ley de Gauss. Por otra parte, en una ranura en for ma de aguja paralela a la polarización, demostramos -usa ndo el hecho de que el rotor de E es cer o - que los campos eléctricos dentro y fuera de la ranura son igua les. Finalmente, hallamos que para una cavidad esférica el campo eléctrico estaba a un tercio de camino entre el campo de la ranura y el campo del disco:
^cavidad =
+
5 “
(cavidadcsférica).
(36.3)
Este fue el campo usado al considerar lo que le sucede a un átomo dentro de un dieléctrico polarizado. Discutamos ahora lo análogo de todo esto en el caso del magnetismo. Una mane ra sencilla y directa de hacerlo es diciendo que M, el momento magnético por uni dad de volumen, es como P, el momento dipolar eléctrico por unidad de volumen y que, por consiguiente, menos la divergencia de M es equivalente a una ‘‘densidad de , carga magnética” p „ -signifique io que signifique-. Por supuesto, el problema es que no hay tal cosa com o una “carga magnética" en el mundo fisico. Como sabemos, divergencia de B siempre es cero, Pero esto no nos debe detener de crear una analogía artificial y escribir • M ------ (36.4) donde se debe entender que es puramente matemática. Entonces podríamos hacer una analogía completa con el caso electrostático y usar todas nuestras viejas ecua ciones de la electrostática. Se ha hecho a menudo algo parecido. En realidad, his tóricamente, hasta se creyó que la analogía era correcta. Se creía que la cantidad p „ representábanla densidad de “polos magnéticos”. N o obstante, en la actualidad sabemos que | a _magnetización de los materiales proviene de, comentes circulantes dentrc^de los atoraos -debidas a los electrones girando sobre si mismos o al movimiénto~de los electrones en el átomo. Por lo tanto, es más elegante desde el punto de vista fisico describir las cosas de un modo realista en función de las corrientes atómicas, en lugar de hacerlo en función de una densidad de ciertos “polos magné ticos” imaginarios. A propósito, estas corrientes algunas veces son llamadas co rrientes “amperianas”, porque Ampere fue el primero en sugerir que el magnetismo de la materia provenía de corrieníes atómicas circulantes. La densidad real de corriente microscópica en la materia magnetizada es, por su puesto, muy complicada. Su valor depende de qué punto se esté mirando en el áto mo - e s grande en algunos lugares y pequeño en otros-; va en una dirección en una parte del átomo y en la dirección opuesta en otra (tal como varía el campo eléctrico microscópico dentro de un dieléctrico). En muchos probiemas prácticos, sin embargo, solamente estamos interesados en los campos fuera de la materia o en el campo magnét^o dé ntf^'de la materia -donde damos a entender un promedio tomado s ü ^ e muchísimos átom os- . Sólo ’
para lales problemas macroscópicos es conveniente describir el estado magnético de ¡a materia en función de M, el momento dipolar promedio por unidad de volumen^ Aiiora nos interesa demostrar que las corrientes atómicas de la materia magnetizada pueden dar lugar a ciertas corrientes macroscópicas que están relacionadas con M. Con tal objeto separemos la de^sidE^ de_comeate.j -que es la fuente real de los campos magnéticos- en varias partesTuna parte para describir las corrientes circu lantes de los imanes atómicos y las otras partes para describir cualesquiera otras corrientes que haya. Generalmente es más conveniente separar las corrientes en tres partes. En el capitulo 32 hicimos una distinción entre las corrientes que circulan li bremente en los conductores y las que se deben a los movimientos de oscilación de las cargas ligadas en los dieléctricos. En la sección 32-2, escribimos
; = /pol + /'otras donde representaba las corrientes debidas al movimiento de las cargas ligadas en los dieléctricos y daba cuenta de las otras corrientes. Ahora avancemos otro paso. Separemos en una parte, que describe las corrientes promedio dentroV de materiales magnetizados y un término adicional que podemos llamar para lo que quede. El último termino generalmente se referirá a las corrientes en conducto res, pero también puede incluir otras corrientes -por ejemplo, las corrientes debidas a cargas que se mueven libremente por el espacio vacio-. Asi pues, escribiremos para la densidad de corriente total: J = Jeoi + imag + Áond.
(36.5)
Por supuesto, es esta corriente total la que corresponde poner en la ecuación de
Ahora tenemos que relacionar la corriente con el vector magnetización M. Para que pudan ver hacia dónde vamos, les diremos que el resultado va a ser = V X M.
(36.7)
Si se nos da el vector magnetización M en cualquier punto de un material magnéti co. la densidad de corriente de circulación está dada por el rotor de M. Veamos si podemos entender por que es asi. Tomemos primero el caso de una barra cilindrica que tiene una magnetización uniforme paralela a su eje. Fisicamente, sabemos que tal magnetización uniforme realmente significa una densidad uniforme de corriente atómica que circula en cualquier lugar dentro deí material. Supongan que tratemos de imaginar cuál seria el aspecto de las corrientes en una sección transversal del materia!. Esperariamos ver corrientes algo asi como tas mostradas en la figura 36-2. Cada corriente atómica da vueltas v vueltas en un circulo pequeño, con todas las comentes circulantes dan do vueltas en el mismo sentido. Ahora bien, ¿cuál es la corriente efectiva? En la mayor parte de la barra no hay ningún electo debido a que a cada com ente corres ponde otra inmediatamente contigua que va
Fig, 36-2. Diagrama esquemático de 3S comentes atómicas circulantes ta! co no se ven en una sección transversal de
en sentido apuesto. Si imaginamos una superficie pequeña -pero mucho_más grande que un sólo áto m o - tal como !a indicada en la figura 36-2 por la línea ÁB. la corriente resultante a través de tai superficie es cero. No hay corriente resultante en ninguna parte dentro del material. Noten, sm embargo, que en la superficie del material hay corrientes atómicas que no son canceladas por ninguna corriente vecina que vaya en sentido opuesto. En la superficie hay una corriente resultante que siempre irà en el mismo sentido alrededor de la barra. Ahora ven por qué dijimos anteriormente que una barra unit"ormemente magnetizada es equivalente a un solenoide largo por el que circula una corriente eléctrica, ¿Cómo ajustamos este punto de vista con la ecuación (36.7)? Primero, dentro del material la magnetización M es constante, asi que todas sus derivadas son cero. Esto concuerda con nuestra imagen geométrica. N o obstante, en la superficie M no es realmente constante - e s constante hasta el borde y luego va de repente a cero-. Asi pues, Justo en la superficie hay gradientes tremendos que, de acuerdo a la ecuación (36,7), darán una alta densidad de corriente. Supongan que observamos lo que sucede cerca del punto C en la ñgura 36-2. Tomando las direcciones x t y como en la figura, la magnetización M está en la dirección z. Escribiendo las componentes de la ecuación (36.7), tenemos dM ,
dx En el punto C, la derivada ' d M j d y es cero, pero d M ¡ d x es grande y positiva. La ecuación (,36,7) mdica que hay una gran densidad de corriente en la dirección menos V. Esto concuerda con nuestra imagen de una corriente de superficie que va alre dedor de la barra. Ahora queremos hallar la densidad de corriente para un caso más complicado en el cual la magnetización varía de un punto a otro en un material. Es fácil ver cualitativamente que si la magnetización es diferente en dos regiones contiguas, no habrá una cancelación perfecta de las corrientes circulantes de modo que habrá una corriente resultante en el volumen del material. Es este efecto el que queremos calcular cuantitativamente.
Area A del lazo
Fig. 36-4. Un pequeño bloque mag netizado es equivalente a una corriente circulante de superficie. Primero necesitamos recordar los resultados de la sección 14-5, que una corrien te circulante / tiene un momento magnético fx dado por M = ¡A,
(36.9)
donde A es el área del lazo de corriente (ver figura 36-3). Consideremos ahora un pequeño bloque rectangular dentro de un material magnetizado, como el esbozado en la figura 36-4. Tom amos el bloque lan pequeño que podamos considerar que la magnetización es uniforme dentro de él. Si este bloque tiene una magnetización en la dirección z, el efecto resultante será el mismo que si hubiese una co de superficie airededor de los lados verticales, como se muestra. Podemos hallar la magnitud de estas corrientes usando la ecuación (36.9). El momento magnético total del bloque es igual al producto de la magnetización por el volumen: yu = M¡.{abc), de donde obtenemos (recordando que el área de la curva es ac) I = M,b. En otras palabras, la corriente por unidad de longitud (verticalmente) en cada una de las superficies verticales es igual a M^. Ahora imaginemos dos de tales bloques uno a continuación del otro, como muestra la figura 36-5. C omo el bloque 2 está ligeramente desplazado del bloque 1, tendrá una componente vertical de magnetización ligeramente diferente, la cual lla maremos M , + 4 M -
ellos. Ahora bien, sobre la superficie entre los dos bloques habrá dos contribuciones a la corriente total. El bloque 1 producirá una corriente que fluye en la dirección posi tiva de y, y el bloque 2 producirá una corriente de superficie I 2 que fiuye en la dirección negativa de La corriente de superficie total en la dirección positiva de y 5 la s M ,b -
(M , 4· AM,)b
Podemos escribir AM^ como el producto de la derivada de en la dirección ; el desplazamiento desde el bloque 1 al bloque 2, ei cual es simplemente a:
La corriente que fluye entre los dos bloques es entonces / = - dx
ab.
Para relacionar la corriente 1 con una densidad de corriente volumétrica promedio j, debemos damos cuenta de que esta corriente I realmente está distribuida sobre una cierta sección transversal. Si imaginamos que el volumen total del material está lleno de esos bloques pequeños, se puede asociar con cada bloque una de tales caras (perpendicular ai eje Entonces vemos que el área a asociar con la c om ie n te 1 es simplemente el área ab de una de ias caras del frente. Obtenemos ei resultado ■ = _L = ab
3x
Tenemos aJ menos el comienzo del rotor de M. Debe haber otro término en j\. proveniente de la variación de la componente x de la magnetización con z. Esta contribución a j vendrá de la superficie entre ; debe dividir mitad y mitad í
los dos bloques pequeños al poner uno sobre otro, corno muestra la figura 36 6. Usando el mismo razonamiento que acabamos de hacer, pueden demostrar que esta superficie contribuirá a la componente la cantidad d M ^ td z . Estas son las únicas superficies que pueden contribuir a la componente j ’ de la corriente; asi que tenemos que ia densidad de corriente total en ia dirección y es dM x J y ----- J l Calculando las corrientes en las caras restantes de un cubo - o usando el hecho de que nuestra dirección £ es compietamente arbitraria- podemos concluir que el vec tor densidad de corriente realmente está dado por la ecuación i = V X M. Así pues, si escogemos describir la situación magnética en la materia en función dei momento magnético promedio por unidad de volumen M, hallamos que las co rrientes atómicas circulantes son equivalentes a una densidad de corriente promedio en ia materia, dada por la ecuación (36.7). Si el material también es un dieléctrico, debe haber además una corriente de polarización jpoi =: dV'¡dt. Y si el material también es un conductor, debemos, además, tener una corriente de conducción jcondPodemos escribir la corriente total en la forma dP
36-2
(36.10)
El campo H
A continuación introducimos en las ecuaciones de Maxwell la corriente tai como aparece en la ecuación (36.10). Obtenemos
Podemos p asar el térm ino t LM al primer miembro:
'
i ( ■■* £ )
(36.11)
Como señalamos en el capítulo 32, a mucha gente le gusta escribir (E + P/e«) como un nuevo vector de campo D /é q. Análogamente conviene a menudo escribir (B —M A q c’) como un solo vector de campo. N osotros decidimos definir un nuevo vector de campo H por g __ Entonces la ecuac
(36.12)
€oC2
(36.11) se transforma en X H = /cond 'l· — ■
(36.13)
Es sencilla en apariencia, pero precisamente toda la complejidad i letras D y H. Ahora debemos advertir lo siguiente: la mayoría de los que i las unidades MKS han escogido una definición diferente de H. Llamando campo H' (por supuesto lo siguen llamando H sin !a prima), lo definen como H' =
- M.
(36.14)
(También, comúnmente escriben como un nuevo número ! ¡asi tienen una constante más de la cual seguir la pista!) Con esta definición, la ecuación (36.13) parece aún más simple; V X f f' -
■
(36.15)
Pero ias dificultades con esta definición de H' son: primero, que no concuerda con la definición de quienes no usan las unidades MKS, y, segundo, que hace que H' y B tengan unidades diferentes. Pensamos que es más conveniente que H tenga las mis mas unidades de B - e n lugar de las unidades de M, como H'—. Pero si van a ser in genieros y quieren trabajar en el diseño de transformadores, imanes, y cosas por el estilo, tendrán que tener cuidado. Encontrarán muchos libros que usan para H la de finición (36.14) en vez de nuestra definición (26.12); y muchos otros libros -esp e cialmente manuales sobre materiales m ag né ticos- que relacionan B y H en la forma que lo hemos hecho. Hay, pues, que cerciorarse cuál es la convención que ellos es tán usando. Una de las formas de darse cuenta es por ias unidades que usan. Recuerden que en el sistema MKS, B - y , por lo tanto, nuestro IHI- se miden con la unidad: un Weber por metro cuadrado, igual a lO.OOO gauss. En el sistema MKS, un momento magnético (producto de una corríente por un área) tiene la unidad: un ampere-metro^. Luego, la magnetización M tiene la unidad; un ampere por metro. Las unidades de H' son las mismas que las de M. Pueden ver que esto concuerda con la ecuai (36.15), puesto que V tiene las dimensiones de uno sobre una longitud. Los que i electroimanes, también adquieren el hábito de llamar unidad de H (con la definición de W ) “un amper-vwe/w por metro” -pensando en las vueltas de alambre de un bobinado. Pero una “vuelta” realmente es un número sin dimen sión, asi que
no pueden confundirse. Como nuestra H es igual a H ' si están usando el siste ma MKS, H (en webers/metro^) es igual a 47t x 10'’ por H ' (en amperes por me tro). Quizás sea más conveniente recordar que H (en gauss) = 0,0126 H ' (en amp /metro).
Tabla 36 -1 ÜDÍdades de cantidades magnéticas [fi] = weber/metro^ = 10^ gauss [H ] ~ weber/metro^ = 10^ gauss or 10^ oersted [M ] — ampere/metro [H '] - ampere/ metro Conversiones conveoìeutes S (gauss) = 10^ 5 (weber/metro^) íf (gauss) = íT (oersted) = 0.0126//'(amp/meiro) Hay algo mucho peor. ¡Muchos que usan nuestra definición de H han decidido llamar ias unidades de H y B con nombres diferentesl Aunque tengan las mismas dimensiones, Ilamaíi a la unidad de B un gauss y a ia unidad de H un oersted (en honor a Gauss y Oersted, por supuesto). Asi pues, en muchos libros hallarán grá ficas con B representado en gauss y H en oersteds. Realmente son fa misma unidad —10“'* de ia unidad MKS~. Hemos resumido la confusión sobre unidades magnéticas en la tabla 36-1.
36-3
La curva de i
Ahora examinaremos algunas situaciones más sencillas en las cuales el campo magnético es constante, o en las cuales los campos varian tan lentamente como para que podamos despreciar d i y l B t en comparaciÓQ con Jc-ond· Entonces los cam pos obedecen las ecuaciones W - B = 0,
(36.16)
V X a = ÁondAoc”, H = B -
M Ittf? .
(36.18)
Supongan que tenemos un toro (una rosca) de hierro cubierto con una bobina de alambre de cobre, como muestra la figura 36-7(a). Una corriente / circula por ei alambre. ¿Cuál es el campo magnético? El campo magnéíico estará principalmente dentro del hierro; alli, las líneas de B serán círculos, como muestra la fígura 36-7(b). Como el flujo de B es continuo, su divergencia es cero y satisface la ecuación (36.16). En seguida, escribimos la ecuación (36.17) en otra forma integrando alre dedor de la curva cerrada F dibujada en la figura 36-7(b). Según el
nado con ut (b) Sección transversal del toro que mues tra líneas de campo, teorema de Stokes tenemos que £ a -d s =
j
■ a da,
(36.19)
donde la integral de j es sobre cualquier superficie,5 limitada por F. En cada vuelta del devanado esta superficie se corta una sola vez. Cada vuelta contribuye con la corriente / a la integral y si hay N vueltas en total, la integral es N I. Por la simetria de nuestro problema, B es el mismo a lo largo de toda la curva P; si suponemos que la magnetización y, por lo tanto, también el campo H es constante a lo largo de F, la ecuación (36.19) se transforma en Hl donde / es la longitud de 1
NI
i r. Así pues, Ì NI €qC2 /
(36.20)
Debido a que H es directamente proporcional a Ja comente de magnetización en casos como éste, a veces se le Uama campo magnetizante. Todo lo que necesitamos ahora es una ecuación que relacione H con B. ¡Pero no hay tal ecuación! Por supuesto, está la ecuación (36.18), pero no sirve porque no hay relación directa entre M y B para un material ferromagnètico como el hierro. La magnetización M depende de toda la historia pasada del hierro y no solamente de lo que B es en el momento. No obstante, no todo está perdido. Podemos obtener soluciones en ciertos casos sencillos. Si empezamos con hierro no magnethado -digamos, con hierro recocido a temperaturas altas— entonces, en la geometría sencilla del toro, todo el hierro tendrá la misma historia magnética. Por consiguiente, podemos decir algo acerca de M -y por lo tanto acerca de la relación entre B y H—a partir de mediciones expe rimentales. Según la ecuación (36.20) el campo B en el toro está dado por el pro ducto de una constante por la corriente 1 del devanado. El campo B se puede medir integrando sobre el tiempo la fem en la bobina (o en una bobina adicional enrollada sobre la bobina magnetizante mostrada en la fígura).
Esta fem es igual a la denvada respecto al tiempo del flujo de B, asi que la integral de la fem en el tiempo es igual al producto de B por la sección del toro. La figura 36-8 muestra la relación entre B y H, observada con un toro de hierro dulce. Cuando se da corriente por primera vez, B aumenta ai aumentar H a io largo de la curva a. Noten las diferentes escalas de B y H; inicialmente sólo necesita un H relativamente pequeño para producir un B grande. ¿Por qué B es mucho mayor con el hierro que lo que seria con el aire? Porque hay una magnetización M grande, la cual es equivalente a una corriente de superficie grande sobre el hierro - e l campo B proviene de la suma de esta corriente y la conducción en el devanado—. Más ade lante estudiaremos por qué M debe ser grande.
Para valores grandes de H, la curva de magnetización deja de crecer fuertemen te. Decimos que el hierro se satura. Con la escala de nuestra figura la curva parece que se vuelve horizontal. En realidad, continúa subiendo ligeramente -par a campos grandes, B se vuelve proporciona! a H y con pendiente unitaria-. N o hay aumento adicional de M. D e paso, debemos señalar que si se hiciese el toro de algún material no magnético, M seria cero y B sería igual a H para todos los campos. Lo primero que notamos es que la curva a de la figura 36-8 -qu e es la asi lla mada curva de m agnetización- es altamente no lineal. Pero es peor que eso. Si después de alcanzar la saturación disminuimos la corríente en la bobina para llevar H a cero, el campo magnético B cae siguiendo la curva b. Cuando H alcanza el cero, algo queda de B. Aun sin ninguna corriente magnetizante hay un campo mag nético en el hierro - s e ha magnetizado permanentemente-. Si ahora aplicamos una corriente negativa a la bobina, la curva B-H continúa a lo largo de b hasta que se sature el hierro en la dirección negativa.
Si nuevamente llevamos la corriente a cero, B sigue la curva c. Si alternamos la corriente entre grandes valores positivos y negativos, la curva B -H va y viene prácticamente a lo largo de las curvas ¿ y e . Sin embargo, si variam,os H en una forma arbitraria, po de mos obtener curvas más complicadas que, en general, estarán en alguna parte entre las curvas 6 y c. La curva formada por oscilaciones repetidas de los campos se llama cun>a de histéresis del hierro. Vemos además que no podemos escribir una relación funcional como S —f iW ·, debido a que los valores de B en cualquier momento dependen no solamente de lo que H es en ese instante, sino también de su historia completa. Naturalmente, las curvas de magnetización e histéresis son diferentes en sustancias diferentes. La forma de las curvas depende de manera deciaiva de la composición química del ma terial y también de los detalles de su preparación y subsiguiente tratamiento fisíco. Discutiremos algunas de las explicaciones físicas de estas complicaciones en el capi tulo siguiente.
36-4
Inductancias con núcleo de hierro
Una de las aplicaciones más importantes de los materiales magnéticos es en los circuitos eléctricos -po r ejemplo, en transformadores, motores eléctricos, etc.-. Una razón es que con hierro podemos controlar por dónde van los campos magnéticos y ejemplo, la inductancia “toroidal” típica se hace muy parecida al objeto mostrado en la figura 36-7. Para una inductancia dada, puede ser de volumen mucho menor y usar mucho menos cobre que una inductancia equivalente con “ núcleo de aire”. Para una inductancia dada, obtenemos una resistencia mucho menor en el devanado, así que la inductancia se acerca mucho más a la “ideal” -particularmente para frecuencias bajas-. Es muy fácil comprender cualitativamente cómo trabajan tales inductancias. Si I es la corriente en el devanado, el campo H producido en el interior es proporcional a / - c o m o lo indica la ecuación (3 6.20)-. El voltaje 1) en los terminales está relacionado con el campo magnético B. Despreciando la resislei\cia del devanado, el voltaje "ü es proporcional a d B l d t . La inductancia C, que es ei cociente entre T.J y d l / d t (ver sección 17-7), incluye además la relación entre B y H en el hierro. Como B es mucho mayor que H, obtenemos un factor grande en la inductancia. Físicamente, lo que sucede es que una corriente pequeña en la bobina, la cual debería producir ordinariamente un campo magnético pequeño, hace que los pequeños imanes “esclavos” en el hierro se alineen y produzcan una corriente “ magnética” tremendamente mayor que la corriente externa en el deva nado. Es como si tuviésemos muchísima más corriente por la bobina que la que real mente tenemos. Cuando invertimos la corriente, todos los imanes pequeños se reo rientan -to d a s esas corrientes internas se invierten— y obtenemos una fem inducida mucho mayor que la que obtendríamos sin el hierro. Si queremos calcular la induc tancia, podemos hacerlo a través de la energía —como ¡o describimos en la sección 17-8-. La rapidez a la cual la fuente de corriente produce energía es / D . El voltaje es el producto de la sección A del núcleo por N por d B /d i. Según la ecuación (36.20), / = ie^c^!/N)H. Tenemos así dU
= VJ = ( h c ^IA)H
■
Integrando so bre el tiempo, obtenem os
J
U
(36,21)
H dB.
Nótese que ¡A es el volumen del toro, asi que hemos demostrado que la densidad de energia u = U /v o \ en un material magnético está dada por (36.22) Lina característica interesante está implícita aquí. Cuando usamos corriente al terna, el hierro recorre una curva de histéresis. Como B no es una función sencilla de H, la integral \H d B alrededor de un ciclo completo no es igual a cero. Es ^ àrea encerrada dentro de la curva de histeresis. Entonces, la fuente conductora produce una cierta energia resultante en cada ciclo - u n a energia proporcional a! área encerrada por la curva de histéresis-. Y esa energia se “ pierde” . Se pierde para las acciones electromagnéticas, pero aparece como calor en el hierro. Se llama pérdida por histéresis. Para mantener las pérdidas de energia pequeñas, nos gustaria que la curva de histéresis fuese tan angosta como fuera posible. Una forma de disminuir ei área de la curva es reduciendo el campo máximo que se obtiene durante cada ciclo. Para campos máximos menores, obtenemos una curva de histéresis como ia mostra da en la figura 36-9. También se diseñan materiales especiales para obtener una curva muy angosta. Los así llamados hierros de transformador —que son aleaciones de hierro con una cantidad pequeña de silicio- han sido elaborados para contar con esta propiedad. Cuando se hace que una inductancia recorra una curva de histéresis pequeña, la relación entre B y H s t puede aproximar por una ecuación lineal. Por lo común se escribe B = íiH. (36.23) La constante f¡ no es el momento magnético que hemos usado anteriormente. Se ¡a llama permeabilidad del hierro. (También se la llama algunas veces “permeabilidad relativa".) La permeabilidad de hierros comunes es tipicamente de varios miles. Hay aleaciones especiales, como el “supermaloy", cuya permeabilidad puede llegar a un millón. Si usamos la aproximación B = /iH en la ecuación (36.21), podemos escribir la energia de una inductancia toroidal en la forma U = (€qC^M)m j
H d H = (eocV/í)
p.H
Asi pues, la densidad de energia es aproximadamente
"
2
^
Ahora podemos poner la energía de la ecuación (36.24) igual a la energia £ / - / 2 de una inductancia y despejar £ . Obtenemos
£. = (€ üc‘^IA)¡x
■
Usando H U de la ecuación (36.20), tenemos
(36.25) La inductancia es proporcional a p.· Si quieren inductancias para cosas com o ampli ficadores de audio, tratarán de hacerlas funcionar sobre una curva de histéresis don de la relación B -H sea tan lineal como sea posible. (Recordarán que en ei capítu lo 50, vo!. I, tratamos acerca de la producción de armónicos en sistemas no lineales.) Para estos ñnes, la ecuación (36.23) es una aproximación muy útil. En cambio, si quieren producir armónicos, pueden usar una inductancia haciéndola trabajar intencíonalmente en una forma aitamente no lineal. Entonces tendrán que usar la curva B-H completa y analizar qué sucede por medio de métodos gráficos o numéricos. A menudo, un “transformador” se hace poniendo dos bobinas en el mismo toro —o núcleo— de un material megriético. (Para transformadores grandes, el núcleo se hace con proporciones rectangulares por conveniencia.) Además una corriente varia ble en el devanado “ primario” hará que el campo magnético en el núcleo cambie, lo cuai induce una fem en el devanado “secundario”. Com o e! flujo a través de ca da vuelta de ambos devanados es el mismo, las fems en los dos devanados están en la misma relación que el número de vuehas en cada uno de ellos. Un voltaje aplica do al primario es transformado a un voltaje diferente en el secundario. Com o se ne cesita cierta corriente resultante para producir el cambio requerido en el campo magnético, la suma algebraica de las corrientes en los dos devanados será fija e igual a la corriente “magnetizante” requerida. Si la corriente extraída del secundario aumenta, la corriente del primero debe aumentar en proporción - h a y una “transfor mación” de corriente lo mismo que de Voltaje.
36-5
ElecÉrolmanes
Discutamos ahora una situación práctica que es un poco más complicada. Su pongan que tenemos un electroimán de la forma bastante normal mostrada en la figura 36-10 -h a y un yugo de hierro en forma de “ C ” , con una bobina de muchas vueltas de alambre enrollado alrededor del mismo. ¿Cuál es e! campo magnético B en el entrehierro?
Fig. 36-10.
Un electroir
do con todas las otras dimen siones, podemos, en primera aproximación, suponer que las líneas de B darán vuelta a lo la'rgo del lazo, tal como lo harán en el toro. Tendrán más o menos el aspecto que muestra la figura 36-]l(a ). Tienden a abrirse un poco en el entrehierro pero si la abertura es angosta, éste será un efecto pequeño. Es una buena aproximación su poner que el flujo de B a través de cualquier sección transversal del yugo es constante. Si el yugo tiene sección uniforme - y si despreciamos cualquier efecto de borde en el entrehierro o en las esquinas- podemos decir que B es uniforme en todo el yugo. Además, B tendrá el mismo valor en el entrehierro. Esto se deduce de la ecua ción (36.16). Imaginemos una superficie cerrada S , como muestra la figura 36.1 l(b). 1 el que t
entrehierro y la otra en ei hierro. El ñujo total de B que sale de esta superficie debe ser cero. Llamando al campo en el entrehierro y al campo en el hierro, tene-
Como /1| = A-, (en nuestra aproximación), concluimos q u e £ , = Ahora consideremos H. Otra vez podem.os usar la ecuación (36.19), tomando la integral de íinea a lo largo de la curva f de la figura 36-ll(b). Com o antes, el segundo miembro es NI, el número de vueltas por la corriente. Sin embargo, ahora H será diferente en el aire y en el hierro. Llamando al campo en el hierro y a la longitud de la trayectoria alrededor del yugo, esta parte de ia curva contribuirà con la cantidad a la integral. Llamando al campo en el entrehierro y /, al espesor de éste, obtenemos la contribución del entrehierro. Tenemos que
Ahora sabemos otra cosa; que en el entrehierro la magnetización de modo que B, = // , . Como S, = B^, la ecuación (36.26) se transforma (36.27) Aún tenemos dos incógnitas. Para hallar B¡^ y necesitamos otra relación —o sea, la que relaciona B con H en el hierro. Si podemos hacer la aproximación de que 5 , = podemos resolver la ecua ción algebraicamente. N o obstante, hagámoslo para el caso general, en que la curva de magnetización
del hierro es como la que rnuestra la Hgura 36-8. Lo que queremos es la solución simultánea de esta relación funcional junto con la ecuación (36.27). Podemos hallar la representando ia ecuación (26.27) sobre la misma gráfica de ja curva de magneti zación, como se ha hecho en la figura 36-12. Donde se intersectan las dos curvas, tenemos nuestra solución. Para una corriente I dada, la función (36.27) es la linea recta marcada / > O en la figura 36-12. La linea intersecta el eje = 0) en H . = N ¡ ft y \a pendiente es Corrientes diferentes sólo desplazan ta linea horizontalmente. En la figura 36-12, vernos que para una corriente dada hay varias soluciones diferentes, según cómo lleguemos alli. Si han construido el imán y han encendido la corriente /, el campo 5 . (que también es 5 , ) tendrá el valor dado por a. Si han elevado la com ente a algún valor muy alto y la han bajado a /, el campo estará dado por el punió b. Y si han tenido una corriente negativa alta en e! imán y luego la han subido a I. el campo es el punto c- El campo en et entrehierro dependerá de lo que havan hecho anteriormente. Cuando la corriente en el imán es cero, la relación entre y en la ecua ción (36.27) está mostrada por la línea marcada / = O en la figura. Aún hay varias soluciones posibles. Si primero han saturado el hierro, debe haber un campo residual considerable en el imán tal como el dado por el punto d. Pueden quitar la bobina y tienen un imán permanente. Pueden ver que para un buen imán permanente, necesi tan un material con una curva de histéresis ancha. Aleaciones especiales, tales como el Alnico V, liene curvas muy anchas.
36-6
Magnetización espontánea
Ahora vamos a la cuestión de por qué en materiales ferromagnéticos un campo magnético pequeño produce una magnetización grande. La magnetización de maferiales ferromagnéticos, corno el hierro y el níquel, se debe al momento magnético de los electrones en la capa interna del átomo. Cada electrón tiene un momento magnéúco/í iguai al producto de q /2 m por su factor g. por su momenium angular J. Para un solo electron con movimiento orbital resultante cero, g = 2 y ta componente de 3 en cualquier dirección -dig am os que la dirección r - es ± h / 2 , así que la compo nente de /( según el eje 2· es
" 0.928 X 10-"^’ anip-m*.
(36.28)
En un átomo de hierro hay dos electrones que contribuyen al ferromagnetismo, así que para que la discusión sea más sencilla hablaremos del níquel, el cual es ferromagnètico como el hierro pero solamente tiene un electrón en la capa interna. (Es fácil extender el razonamiento al hierro.) Ahora bien, lo que queremos señalar es que en presencia de un campo externo B, los imanes atómicos tienden a alinearse con el campo, pero sufren choques por el movimiento térmico, tal como lo describirnos para materiales paramagnéticos. En el capitulo anterior concluimos que el balance entre un campo magnético que trata de alinear los imanes atómicos y los
movimientos térmicos que tratan de desordenarlo producía el resultado de que ei momento magnético medio por unidad de volumen terminaría siendo
M = Ny. tenh
·
Por entendemos el campo que actúa en ei átomo, y k T es la energia de Boitzmann, En ia teoría dei paramagnetismo usamos para 5^ simplemente el mismo B, despreciando la parte del campo en cualquier átomo dado producido por los áto mos vecinos. En el caso ferromagnètico hay una complicación. N o debemos usar el campo promedio en el hierro para el B^ que actúa sobre un átomo individual. En cambio, debemos proceder como en ei caso de los dieléctricos -te nemos que hallar el campo local que actúa en un solo át omo-. Para una determinación exacta debe mos agregar los campos en el átomo en cuestión debidos a todos los otroá átomos de la red cristalina. Pero tal como lo hicimos para los dieléctricos, haremos la aproximación de que el campo en un átomo es el mismo que encontraríamos en una cavidad esférica pequeña en el material -suponiendo que ios momentos de los áto mos en la vecindad no varian porla presencia de la cavidad. Siguiendo los razonamientos hechos en el capitulo II , diriamos que se puede escribir
Pero esto no es correcto. Sin embargo, podemos utilizar los resultados dei capítulo II, haciendo una comparación cuidadosa de las ecuaciones del capitulo 11 con las ecuaciones del ferromagnetismo en este capitulo. Juntemos las ecuaciones correspon dientes. Para regiones donde no hay conducción de corriente o cargas tenemos: :>stática
Ferromagnetismo estálico
■ (e ^
V ■S = O
= O
X I
M\ eocV
Estos dos juegos de ecuaciones pueden considerarse análogos si hacemos la siguiente correspondencia puram ente malemática·.
£
^
.
E + Í - * B. eo
Esto es lo mismo que hacer la analogía E -
H,
P ^ M / c '^.
(36.31)
las ecuaciones del ferromagnetismo
7 X íí -
O,
se parecen a las ecuaciones de la electrostática. Esta correspondencia puramente algebraica ha dado lugar a cierta confusión en el pasado. Se tenia la tendencia a pensar que H era "el campo magnético”. I^ero, como hemos visto, B y E son ñsicamente los campos fundamentales y H es una idea derivada. Asi, aunque las ecuaciones son análogas, el contenido físico no es anàlogo. Sin embargo, esto no impide que usemos el orincip'O de que ecuaciones iguales tie nen soluciones iguales. Podemos usar nuestro resultado anterior para el campo eléctrico dentro de cavi dades de diversas formas en los dieléctricos -resumidas en la figura 3 6 - 1 - para hallar el campo H dentro de las cavidades correspondientes. Conociendo H, pode mos determinar B. Por ejemplo, (usando los resultados que resumimos en la sec ción 1), ei campo H en una cavidad en forma de aguja paralela a M es el mismo que el H en el material, 1= cavidad, tenemos €oC2 Por otra parte, para l a cavidad en forma de disco, perpendicula
(36.33) Ì M, tenemos
TO ^cavidad — Hdieléctrici la cual se traduce
O. en función de II (36.34) cavidad e ¡férica, haciendo nuestra analogia ( //,a· .ad -
«c .id.d =
+
i ecuación
A
- I
(36.35)
Este resultado es completamente diferente del que obtuvimos para E. Por supuesto, es posible obtener estos resultados en una forma más física, usan do las ecuaciones de Maxwell directamente. Por ejemplo, la ecuación (36,34) pro viene directamente de v · B = 0. (Usen una superficie gausiana que esté mitad en el material y mitad fuera.) Análogamente, pueden obtener la ecuación (36.33) usando una integral de linea a lo largo de una curva que sube por dentro
de la cavidad y luego retorna a través del material. Fisicamente, el campo en la ca vidad està reducido debido a las corrientes de superficie - la s cuales están dadas por \7 X M -. Dejaremos a cargo de ustedes la demostración de que la ecuación (36.35) también se puede obtener considerando los efectos de las corrientes de superficie en los limites de la cavidad esfénca. Al hallar la magnetización de equilibrio a partir de la ecuación (36.29), resulta más conveniente trabajar con H; asi que escribimos B, = ff + X
eoC-
·
(36.36)
En la aproximación de la cavidad esférica, debemos tener A — { pero como verán, más adelante usaremos algún otro valor, asi que lo dejamos como un parámetro ajustable. Además, tomaremos todos los campos en la misma dirección, de modo que no nos preocuparemos de la dirección de los vectores. Si sustituyésemos la ecuación (36.36) en la ecuación (36.29), tendríamos una ecuación que relaciona la magneti zación M con el campo magnetizante H: Ai = Wm
-
No obstante, es ur 1 ecuación que no se puede resolver explicitamente, remos gráficamente Pongamos el p oblema en una forma generalizada escribiendo la pci en la forma J o
'
i que lo ha:ión (36.29) (36.37)
donde A/jg, es ei valor de saturación de la magnetización, o sea N p , y .v representa fiBalk T. La curva a en la figura 36-14 muestra cómo M/Wsat depencíe de -v. Pode mos también escribir x en función de M - utilizando la ecuación (36.36) para - e n la forma M (36.38) ^ kT kT \éoC^kTj Para cualquier valor determmado de H, ua es una relación lineal entre y X. La intersección con el eje x está en x = a H / k T y !a pendiente es ^,,c-kT/p.\M,^,. Para cualquier
valor particular de H, tendríamos una recta como la indicada con b en la figura 36-13. La intersección de las curvas a y b nos da la solución para Hemos resuelto el problema. Veamos ahora cóm o se comportan las soluciones en diversas circunstancias. Com enzamos con H = Q. Hay dos situaciones posibles indicadas por las rectas ó, y ¿2 figura 36-14. Notarán que según (a ecuación (3Ó.38) ¡a pendiente de ia recta es proporcional a la temperatura absoluta T. Asi, a altas temperaturas tendría mos una recta como 6,. La solución es - 0. Cuando el campo magnetizante H es cero, la magnetización también es cero. Pero a bajas temperaturas tendríamos una recta como y liay dos soluciones para M /A /jaj-un aconM/M ^a, = Oy la otra con cerca de uno-. Resulta que sólo el valor más alto es estable -com o se puede ver calculando pequeñas varíaciones airededor de estas soluciones. Por lo tanto, de acuerdo con estas ideas, un material magnético debe magne tizarse espontáneamente a temperaturas lo suficientemente bajas. En resumen, cuando los movimientos térmicos son lo suficientemente pequeños, el acoplamiento entre los imanes atómicos hace que todos éstos se alineen paralelos unos a otros -te nemos un material permanentemente magnetizado, análogo a los ferroeléctricos que discu timos en el capítulo 11.
Si empezamos a alta temperatura y la bajamos, hay una temperatura crítica, llamada temperatura de Curie a la cual el comportamiento ferromagnètico apare ce de repente. Esta temperatura corresponde a la recta ó, de la figura 36 14, que es tangente a la curva a y tiene, por supuesto, pendiente 1. La temperatura de Curie está dada por /liXA/sat Si quie
„
I.
n, podemos escribir la ecuación (36.38) i
kT
T
(36.39) sencillamente en función de (36,40)
Veamos ahora qué sucede para campos magnetizantes H pequeños. Podemos ver en la figura 36-14 cómo suceden las cosas si corremos nuestras rectas un poco a la derecha. Para el caso de bajas temperaturas, el punto de intersección se moverá hacia afuera un poquito
a lo largo de la parte de baja pendiente de la curva a , y M cambiará relativamente poco. Para el caso de temperatura alta, sin embargo, el punto de intersección se correrà hacia la parte más empinada de la curva a y M cambiará relativamente rà pido. En realidad, podemos aproximar la parte de la curva a por una recta de pendiente unitaria y escribir: M
_
_ y.H kT +
( M \ T \M ,J ■
Ahora podemos despejar M
uH “ k ( T - r„) '
Tenemos una ley algo parecida a la que teníamos para el paramagnetismo. Para e! paramagnetismo, temamos
U na diferencia es que ahora tenemos la magnetización en función de H , que incluye algunos de los efectos de la interacción de los imanes atómicos, pero la diferencia principal es que la magnetización es inversamente proporcional a la diferencia eníre T y T^, en lugar de la temperatura absoluta T únicamente. Despreciar las interac ciones entre átomos vecinos corresponde a tomar A = O, lo cual, según la ecuación (36.39), significa tomar 7^ = 0. Entonces los resultados son justamente los que obtuvimos en el capitulo 35. Podemos comprobar nuestra descripción teórica con los datos experimentales del níquel. Experimentalmente se observa que el comportamiento ferromagnètico del níquel desaparece cuando se eleva su temperatura por encuna de los 63 T K . Pode mos comparar esto con la T^ calculada mediante la ecuación (36.39). Recordando que Msat - /iiN, tenemos n
;
De la densidad y el peso atómico del níquel, obtenemos = 9.1 X 10^« m “ l Tomando fx de la ecuación (36.28), y poneindo Á = \ , obtenemos T , = 0.24°K. ¡Hay una discrepancia por un factor de cerca de 26(X)! Nuestra teoria del ferromag netismo falla completamente. Podemos tratar de “remendar” la teoria com o Weiss lo hizo, diciendo que por alguna razón desconocida A no es un tercio, sino (2600) x ^ (o alrededor de 900). Resulta que se obtienen valores parecidos para oíros m á te n l e s ferromagnéticos tal como el hierro. Para entender lo que esto significa, volvamos a la ecuación (36.36). Vemos que una A grande significa que Ba, el campo local sobre el átomo, parece ser muchísimo mayor de lo que
pensaríamos. En efecto, escnbiendo H ^ B - M /¿ ^ c - , tenemos (X - I)M = B -f ^ éoc'·' Conforme a nuestra idea original - co n ,l ^ { - la magnetización local M reduce el campo efectivo B^ en la cantidad ~\M/c(¡. Aunque nuestro modelo de una cavidad esférica no fuese muy bueno, aún seria de esperar alguna reducción. En cambio, para explicar el fenómeno del ferromagnetismo, tenemos que imaginarnos que el campo acrecienia e! campo local en algún factor grande - c o m o mil o m ás-. Parece no haber ninguna manera razonable de fabricar tales campos tremendos en un áto mo --¡ni aúri campos del signo apropiado!-. Claramente, nuestra teoria “magnética” del ferromagnetismo es un triste fracaso. Debemos concluir entonces que el ferromagnetismo liene que ver con alguna interacción no magnética entre los momenta angulares de espín de los electrones de átomos vecinos. Esta interacción debe gene rar una fuerte tendencia de todos los espines a alinearse en una dirección. Veremos luego que esto tiene que ver con la mecánica cuántica y el principio de exclusión de Pauli. Finalmente, examinemos lo que sucede a temperaturas bajas -par a T < T^-. Hemos visto que hay además una magnetización espontánea -aún con H = O -dada por la intersección de las curvas o y éj de la figura 36-14. Si calculamos M para varias temperaturas -cambiando la pendiente de la recta b j - obtenemos la curva teórica mostrada cii ia figura 36-15. Esta curva debe ser la misma para todos !os materiales ferromagnéticos para los cuales el momento atómico proviene de un solo electrón. Las curvas para otros materiales son sólo ligeramente diferentes. En e! limite, cuando T tiende a cero absoluto, M tiende a Cuando se aumenta la temperatura, ia magnetización disminuye, cayendo a cero a la tem peratura de Curie. Los puntos de la figura 36-15 son tas observaciones expenmentales para el niquel. Concuerdan con la curva teórica bastante bien. Aunque no entendamos el mecanismo básico, ias caracteristicas generales de la teoría pa·
Finalmente, hay una discrepancia perturbadora más en nuestra tentativa de comprender ei ferromagnetismo. Hemos encontrado que por encima de cierta tempe ratura el material debe comportarse como una sustancia paramagnética con una inagnetización M proporcional a / / (o B) y que por debajo de esa temperatura debe volverse espontáneamente magnetizado- Pero eso no es lo que hallamos cuando medimos la curva de magnetización del hierro. Solamente se volvía permanentemente magnetizado después de haberlo “magnetizado” . D e acuerdo a las ideas que acaba mos de discutir ¡debe magnetizarse él mismo! ¿Qué es lo que está mal? Bien, resul ta que si examinan un cristal suricieniemenie pequeño de hierro o niquel, en verdad está completamente magnetizado. Pero en trozos grandes de hierro, hay muchas re giones o '"dominios" que están magnetizadas en diferentes direcciones, asi que en gran escala la magnetización promedio es cero. Sin embargo, en cada dominio pequeiño, el hierro tiene una magnetización escondida, siendo M casi igual a Las consecuencias de esta estructura de dominios son que las propiedades macros cópicas de trozos grandes de material son muy diferentes de las propiedades micros cópicas que realmente hemos estado tratando. En la próxima clase estudiaremos lo referente al comportamiento práctico de los materiales magnéticos en escala grande.
37 M a te ria le s
m a g n é tic o s
37-1
Qué es €l ferromagnetismo
37-4
Materiales ferromagnéticos
37-2
Propiedades termodinámicas
37-5
Materiales magnéticos fuera de
37-3
La curva de histéresis
Referencias: Bozorth, R. M., '■‘Magnetism", Encyclopaedia Britannica, Vol. 14, 1957, págs, 636 -667 Kittel, C., Introducción a la físic a del estado sólido, Reverté, Barce lona, 1965.
37-1
Qué es el ferromagnetismo
En este capitulo discutiremos el comportamiento y peculiaridades de los mate riales ferromagnéticos y de otros materiales magnéticos extraños. Sin embargo, antes df proceder a estudiar los materiales magnéticos, repasaremos rápidamente algo aceica de la teoria general de imanes que aprendimos en el capitulo anterior. Primero imaginamos las corrientes atómicas dentro del material que son respon sables de! magnetismo, y luego las describimos en función de una densidad de corriente volumétrica = V x M. Recalcamos que no se supone que esto repre sente ias verdaderas com entes. Cuando la magnetización es uniforme las corrientes realmente no se cancelan en forma exacta; esto es, los remolinos de corriente de un electrón en un átomo y los remolinos de corriente de un electrón en otro átomo no se superponen de tal forma que la suma sea exactamente cero. Aún dentro de un solo átomo la distribución de magnetismo no es uniforme. Por ejemplo, en un átomo de hierro ia magnetización está distribuida en una capa más o menos esférica, no muy cerca del núcleo ni muy lejos tampoco. Luego, el magnetismo de la materia es una cosa bastante complicada en sus detalles; es muy irregular. Sin embargo, nos vemos obligados ahora a ignorar esta detallada complejidad y discutir el fenómeno desde un punto de vista macroscópico y promedio. Entonces es cierto que la co rriente promedio en la región interna, sobre cualquier área fmita que sea grande comparada con un átomo, es cero cuando M == 0. Asi pues, lo que entendemos por magnetización por unidad de volumen y y lo demás, en el nivel que ahora esta mos considerando, es un promedio sobre regiones que son grandes con el espacio ocupado por un solo átomo.
En el capitulo a/iterior también descubrimos que un material ferromagnètico tiene las siguientes propiedades interesantes: por encima de una temperatura deter minada no es fuertemente magnético, mientras que por debajo de esta temperatura se vuelve magnètico. Es fácil demostrar esto experimentalmente. Un pedazo de alambre de niquel a la temperatura ambiente es atraído por un imán. Sin embargo, si con un mechero lo calentamos por encima de su temperatura de Curie, se vuelve no magnético y no es atraído por el imán —aun cuando se lo acerque bien al imán-. Si lo dejamos cerca del imán mientras se enfría, en el instante en que su temperatura cae por debajo de la temperatura crítica, ¡eí imán (o atrae de repente otra vezf
La teoria general del ferromagnetismo que usaremos supone que el espin del electrón es reponsable de la magnetización. El electrón tiene espin un medio y lleva un magnetón de Bohr de momento magnético fx — f i p ~ q fiH m. El espín del elec trón puede estar apuntando tanto “hacía arriba” como “hacia abajo”. Debido a que el electrón tiene una carga negativa, cuando su espin es “hacía arriba’’ tiene un momento negativo y cuando su espín es “hacía abajo” tiene un momento positivo. Con nuestra convención habitual, el momento fx del electrón es opuesto a su espin. Hemos encontrado que la energia de orientación de un dipolo magnético en un campo aplicado B dado es -/x -B , pero la energia de un electrón con espín depende deiaUneamiento de los espines más cercanos. En el hierro, si el momento de un átomo está “hacia arriba”, hay una iendencia muy fuerte a que el momento de uno contiguo también esté “hacía arriba”. Esto es lo que hace que el hierro, el cobaho y ei níquel sean fuertemente magnéticos - io d o s los momentos quieren ser paralelos-. La primera pregunta que tenemos que discutir es p o r qué. Poco después del desarrollo de la mecánica cuántica, se notó que hay una fuerza aparente muy fuerte - n o una fuerza magnética o cualquier otra clase de fuerza real, sino solamente una fuerza aparente- tratando de alinear los espines de electrones cercanos en direcciones opuestas. Estas fuerzas están íntimamente relacionadas con las fuerzas químicas de valencia. Hay un principio de la mecánica cuántica -llamado principio de exclu sión - que dice que dos electrones no pueden ocupar exactamente el mismo estado, que no pueden estar exactamente en la misma condición en io que respecta a posición y orientación de! espín*. Por ejemplo, si están en ei mismo punto, la única alternativa es tener sus espines opuestos. A si pues, si hay una región del espacio entre átomos donde a los electrones les gusta congregarse (com o en un enlace químico) y queremos poner otro electrón encima de uno que ya esté allí, la única forma de hacerlo es que el espín del segundo apunte en dirección opuesta al espín del primero. Tener los espines paralelos es contra las leyes, a menos que los electrones estén lejos uno de otro. Esto tiene el efecto de que un par de electrones con espines paralelos cerca uno del otro tiene mucha más energía que un par de elec trones con espines opuestos; el efecto resultante es como si una fuerza tratara de invertir el espín. A veces se llama f u e rza de intercambio a esta fuerza de inversión de espin, pero este nombre sólo la hace más misteriosa - n o es un nombre muy bueno-. Es stmpiemente por el principio de exclusión que los electrones tienen una tendencia a hacer que sus espines sean opuestos. En realidad, ¡esa es la explicación de la carencia de magnetismo en la casi totalidad de las sustancias! Los espines de los electrones libres en el exterior de los átomos tienen una fortisima tendencia
a equilibrarse en direcciones opuestas, bl problema es explicar por qué en materiales como el hierro sucede precisamente io contrario de lo que seria de esperar. Hemos resumido el efecto de alineamiento supuesto agregando un término con veniente en la ecuación de energia, diciendo que si los imanes electrónicos vecinos 'ienen una magnetización media M, entonces el momento de un electrón tiene una fuerte tendencia a estar en la misma dirección que la magnetización media de los átomos vecinos. Por lo tanto, podemos escribir para las dos posibles orientaciones del espin t, Energia del espín' “hacia arriba” -
-\-n ( ^
Energía del espín “hacia abajo” = ~ í l { h ^
, ’
(37,1) '
Cuando quedó claro que la mecánica cuántica podía proporcionar una tremenda fuerza orientadora del espin -aunque aparentemente del signo errado- se sugirió que el ferromagnetismo debe tener su origen en la misma fuerza, que debido a la complejidad de! hierro y al gran número de electrones implicados, el signo de la energía de interacción podria resultar a ¡a inversa. Por la época en que se pensó en esto -alrededor de 1927, cuando se empezó a comprender la mecánica cuánticamucha gente había estado baciendú diversas estimaciones y semicálculos, tratando de conseguir una predicción teórica de À. Los cálculos más recientes de la energía entre los dos espines electrónicos en el hierro -suponiendo que la interacción es directamente entre los dos electrones de átomos vecin os- dan aún el signo errado. La comprensión actual del fenómeno es suponer que esto se debe en cierta medida a la complejidad de la situación y ¡tener la esperanza de que e! próximo hombre que haga el cálculo con una situación más complicada obtenga la respuesta correcta! Se cree que el espín hacia arriba de uno de los electrones de !a capa interna, que está produciendo el magnetismo, tiende a hacer que los electrones de conducción que vuelan por fuera tengan el espín opuesto. Es de esperar que esto suceda porque los electrones de conducción entran en la misma región que los electrones “magné ticos”. Como se mueven, pueden llevar al átomo siguiente su preferencia a estar cabeza abajo; es decir un electrón “magnético” trata de forzar a los electrones de conducción a ser opuestos y e! electrón de conducción hace luego que el electrón “magnético” siguiente se oponga a éi. La doble interacción es equivalente a una interacción que trata de alinear los dos electrones “magnéticos·”. En otras palabras, la tendencia a que los espines sean paralelos se debe a un intermediario que tiende en cierta medida a ser opuesto a ambos. Este mecanismo no requiere que los electro nes de conducción estén completamente “cabeza abajo” . Podrian tener sólo una ligera preferencia a estar hacia abajo, ía suficiente como para hacer sean mayores las probabilidades de que los magnéticos estén en el otro sentido. Este es el mecanis mo que quienes han calculado tales cosas creen actualmente que es el responsable del ferrot Escribimos estas ecuaciones con H = B - iv ! e n iugar de B para estar de acuerdo con el trabajo del último capitulo. Puede que prefieran escribir U - ± fiBa = ± fi(B X'M donde A' = A - 1- Es lo mismo.
magnetismo. Pero debe mos recalcar que hoy en día nadie puede calcular la magnitud de A sab iendo simpiemente que el material es el número 26 en la tabla periódica. En suma, no io comprendemos perfectamente. Continuemos, ahora, con la teoría para luego volver a discutir cierto error implí cito en !a forma en que la hemos enunciado. Si el momento magnético de un deter minado electrón es “hacia arríba” , la energia proviene del campo externo y también de la tendencia de los espines a estar paralelos. Com o la energía es menor cuando los espines son paralelos, a veces se considera el efecto como si se debiera a un “ campo interno efectivo”. Pero recuerden, no se debe a una fuerza magnética ver dadera; es una interacción más complicada. En todo caso, tomamos las ecuacio nes (37.1) como las fórmulas para la energía de los dos estados de espín de un electrón “magnético”. A una temperatura T, la probabilidad relativa de estos dos estados es proporcional a e-energía/^r la cual podemos escribir como con X = /ii(H + ÍM /er¡c^)/kT. Entonces, si calculamos el valor medio del momento mag nético, hallamos (com o en el capitulo anterior) que es M = Nf i tanh Jt.
(37.2)
Ahora querriamos calcular 1a energía interna del material. Notamos que la ener gía de un electrón es exactamente proporcional al momento magnético, asi que el cálculo del momento medio y el de la energía ^media son los rnismos '«xcep to que en La energía media es entonces
H +
^
j tanh x.
Ahora bien, esto no es del todo correcto. El término ÁM/e^c^ representa interac ciones de todos los p are s posibles de átomos y debemos acordamos de contar cada par solamente una vez. (Cuando consideramos la energía de un electrón en el campo de los restantes y luego la energia de un segundo electrón en el campo de los res tantes, hemos contado parte de la primera energía una vez más.) Por lo tanto, de bemos dividir el término de interacción mutua por dos, y nuestra fórmula para la energía se transforma en. < C7> = - N ^ { h +
ta n h X.
(37.3)
En el capítulo anterior descubrimos una cosa interesante: que por debajo de una temperatura determinada el material halla una solución de las ecuaciones en la que ei momento magnético no es cero, aún sin campo magnetizante externo. Haciendo / / = O en la ecuación (37.2), encontramos que M
> (í£ ) donde Mgai = Ñ p y T^. — fxXM^^JkeQC'^. Resolviendo esta ecuación (gráficamente o en. cualquier otra forma), hallamos que la relación en función de T lT ^ ts
función de la temperatura. [ Con permiso de ta Encyclopaedia Britannica. ] una curva como la marcada “leoría cuántica” en la figura 37-1. La curva de trazos marcada “ cobalto, níquel” muestra los resultados experímentales con cristales de estos eiementos. La teoría y el experimento concuerdan razonablemente. La figu ra muestra también el resultado de la teoría clásica, donde los cálculos se hacen suponiendo que los imanes atómicos pueden tener todas las orientaciones posibles en el espacio. Pueden ver que esta suposición da una predicción que ni se acerca a los hechos experimentales. Aun la teoría cuánlica se desvia del comportamiento observado a temperaturas altas y bajas. La razón de esla desviación es que hemos hecho una aproximación bastante descuidada en la teoría; hemos supuesto que la energía de un átomo depen de de la magnetización medía de los átomos cercanos. En otras palabras, por cada uno que esté “hacia arriba” en las cercanias de un átomo dado, habrá una contri bución de energía debido aí efecto cuántico de alineación. ¿Pero cuantos hay apun tando “ hacia arriba” ? En promedio, esto se mide por la magnetización M - p e r o solamente en p rom edio -. En algún lugar, un átomo particular podria encontrar to do s sus vecinos “hacía arriba”. Entonces su energía sería mayor que el promedio. Otro podría encontrar algunos hacia arriba y algunos hacia abajo, tal vez prome diando a cero, y no se tendría ninguna energía de ese término, y asi siguiendo. Lo que (iebeñamos hacer es usar aJgún tipo de promedio más complicado, porque los átomos que están en diferentes lugares tienen diferentes ambientes y los números de átomos hacia arríba y hacia abajo son diferentes para cada uno. En lugar de tomar un átomo sujeto a una influencia promedio, deberíamos tomar cada uno en su situación real, calcular su energía y hallar la energia media. Pero ¿cómo hallar cuántos están “ hacia arriba” y cuántos “hacia abajo” en la vecindad? Por supuesto, esto es precisamente lo que estamos tratando de calcular —el número de espines “hacía arriba” y “hacía abajo”- asi que tenemos un problema de correlaciones interconectado y muy complicado,
un problem a que nunca ha sido resuelto. Es un problem a fascinante y lleno de m oti vación que ha existido p or años y sobre el cual algunos de los m ás grandes ñsicos han escrito, pero ni siquiera ellos lo han resuelto com pletam ente. R esulta que a bajas tem p eratu ras, cuando casi to d o s lus im anes atóm icos están "'h acia a rrib a ” y unos pocos “ h acia ab ajo ” , es fácil resolverlo; y a tem peraturas altas, bastante por encim a de la tem peratura de C urie T^, cuando están casi todos aí a za r, o tra vez es fácil. A m enudo es fácil calcu lar desviaciones pequeñas de algu n a situación sencilla e idealizada, asi que se com prende b astan te bien p or qué hay desviaciones respecto de la teoría sim ple a tem peraturas b ajas. T am bién se com pren de físicam ente que p or razones estadísticas la m agnetización debe desviarse a tem p eraturas altas. Pero el com po itam ien lo c o rrecto cerca del pu n to de C urie n u nca ha sido resuelto com pletam ente. E ste es un problem a interesante p ara estudiar algún dia que quieran un problem a que n u nca ha sido resuelto.
37-2
P ropiedades term odisiánúcas
En el capítulo an terio r dim os la base necesaria p a ra calcuiar las propiedades term odinám icas de m ateriales ferrom agnéticos. N atu ralm en te, están relacionadas con la energia interna del cristal, la cual incluye interacciones de ios diversos espines, y e stá dada por la ecuación (37.3). P a ra la energía de m agnetización espontánea por debajo del punto C urie, podem os p o ner / / = O en la ecuación (37.3) y -n o ta n d o que tgh X == /M sat“ hallam os u na energía m edia p roporcional a
(37.5) Si ahora representam os en u na gráfica la energia debida al m agnetism o en función de la tem peratura, obtenem os u na curva que es m enos el cu adrado de la curva de la ñgura 37-1, com o se ha dibujado en la figura 37-2(a). Si m idiéram os el calor específico de tal m aterial obtendríam os una curva que es la derivada de 37-2(a). E stá m ostrado en ia ñ g ura 37-2(b). Sube lentam ente al aum entar la tem peratura, pero cae súbitam ente a cero tvi T = L a caida bru sca se debe al cam bio de pendientede la energía m agnética y
La energía por unidad de volumen y el calor específico de un cristal ferrü-
ocurre justo en el punto Curie. Asi pues, sin ninguna m edición m agnética podem os descubrir que algo está ocurriendo dentro del hierro o del niquel midiendo esta propiedad term odinám ica. Sin em bargo, tanto los d ato s experim entales com o la teoria m ejorada (con nuctuaciones incluidas) sugieren que esta curva sencitta está errada y que la situación verdadera es realm ente más com plicada. La curva va más alto en el pico y cae a cero algo lentam ente. A unque la tem p eratu ra sea lo suTicientemente alia com o p ara hacer que los espines se orienten al azar en p ro medio, quedan regiones locales donde hay u na cierta c an tid ad de polarización y en estas regiones los espines todavía tienen un poco de energía adicional de interac ción -la cual sólo cae lentam ente a medida que los espines se disponen m ás y más at azar al aum entar la tem peratura. Asi pues, la curva verdadera se parece a la de la figura 37-2{c). U no de los restos de la fisica teórica hoy en dia es hallar una descripción teórica exacta del carácter del calor especifico cerca de la transición de Curie - u n problem a fascinante que aún no ha sido resu elto -. N aturalm ente, este problem a está muy relacionado con la form a de la curva de m agnetización en la misma región. A hora querem os describir algunos experim entos, diferentes de los term odinám icos, que dem uestran que hay algo corredo en nuestra interpretación del m agnetis mo. C uando se m agnetiza e! m aterial hasta la saturación a tem peraturas suficiente m ente b ajas, M es casi igual a -c a si todos ios espines son paralelos, lo mismo que sus m om entos m agnéticos-- Podem os co m p ro b ar esto con un experim ento. Su pongan que suspendem os un imán de b arra de una fibra delgada y luego lo rodea m os de una bobina de m odo que podam os invertir et cam po m agnético sin tocar el imán ni aplicarle torque alguno. Este es un experim ento m uy dificil porque las fuerzas m agnéticas son tan grandes que cualquier irregularidad, cualquier desequi librio, o cualquier falta de perfección del hierro, producirá torques accidentales. Sin em bargo, el experim ento ha sido hecho con ium o cuidado m inim izando los tor ques accidentales. Por medio del cam po m agnéfico de una bobina que rodea la b arra, invertim os al tiempo to d o s los imanes atóm icos. Al hacer esto tam bién cam biam os los m om enta angulares de todos los espines de "h acia a rrib a " a "h ac ia a b ajo ” (ver la figura 37 -3)- Para que el m om entum angular se conserve al invertir los espines, ei resto de ia barra debe tener una variación opuesta de m om ento angular. Et imán com pleto em pezará a gjrar. Y realm ente, cuan d o hacem os ei experim ento, haliamo.s que el imán gira ligeram ente. Podem os medir el
Fig. 37-3. Cuando se invK netización de una barra de hier parte cierta velocidad angular.
m om entum angular lotal im partido a to d o el im án, et cual es sim plem ente N por ñ, la variación de m om entum angular de cada espin. Ei cociente entre el m omentum angular y el m om ento m agnético m edido de esta form a resulta dentro del 1 0 por ciento de lo que calculam os. En realidad, nuestros cálculos suponen que los imanes atóm icos se deben m eram ente al espín del electrón, pero hay adem ás ciarlo movi miento orbital en la m ayoria de los m ateriales. El m ovim iento orbital no es com pletam ente libre de la red y no contribuye más que en un pequeño porcentaje a! m agnetism o. E n efecto, e! cam po m agnético de satu ració n que se obtiene tom ando Mjjg, = N p y usando ia densidad 7,9 del hierro y el m om ento p del electrón con espín, es alrededor de 20.000 gauss. Pero conform e a los d atos experim entales está realm ente en las cercanias de 21.500 gauss. E sta es u n a m agnitud de error típica - 5 ó 10 por c ien to - debido a que despreciam os las contribuciones de los mom enta orbitales que no hem os incluido al hacer el análisis. Por lo tanto una ligera dis crepancia con ias m ediciones girom agnéticas es m uy com prensible.
37-4
L a curva de histéresis
H em os concluido de nuestro análisis teórico que un m aterial feiTomagnético debe m agnetizarse espontáneam ente p or debajo de u na tem peratura determ inada, de m odo que todo el m agnetism o estañ a en la m ism a dirección. Pero sabem os que esto no es cierto en el caso de un pedazo com ún de hierro no magnetizado. ¿Por qué codo ei hierro no está magnetizado'·^ Podem os explicarlo con ia ay uda de la figura 37-4. Supongan que el hierro fuera un gran m onocristal de la form a m ostrada en la figura 37-4(a) y se m agnetizara espontáneam ente en u na dirección. E ntonces habria un cam po m agnético externo considerable que tendria un m ontón de energía. Pode m os reducir esa energia de cam po si arreglam os que un lado del bloque esté m agne tizado “ hacia a rrib a ” y el o tro lado m agnetizado “ hacia a b ajo ” , com o en la figura 37-4(b). P or supuesto, entonces los cam pos se extenderían fuera del hierro sobre m enor volum en, de m odo que allí h abría m enor energía. ¡A h, pero un m om ento! En la c ap a entre las dos regiones tenem os electrones con espín hacia arrib a ju n to a electrones con espín h acia abajo. Pero el ferrom ag netism o aparece solam ente en ios m ateriales p ara los cuales la energia se reduce si los electrones están paralelos en lugar de opuestos. Así pues, tenem os que agregar cierta energía adicional a lo largo de la línea punteada de la figura 37-4(b). A veces se llam a energia de pa re d a esta energía. U na región que solam ente tenga una direc ción de m agnetización se llam a dominio. E n la superficie de separación - ‘"la p ared ” entre los dos dom inios, donde tenem os átom os en lados opuestos que tienen espines en direcciones diferentes, hay u n a energia por unidad de área de la pared. L o hemos descrito
como si dos átom os adyacentes tuvieran espines exactam ente opu esto s, pero resulta que la naturaleza a justa las cosas de m odo que la transición sea m ás gradual. Pero no necesitam os preocu p am o s de estos detalles tan sutiles a estas alturas. A hora bien, la cuestión es: ¿cuándo es m ejor o peor hacer u na pared? La res puesta es que depende del tam año de los dom inios. Supongan que au m entáram os el bloque a escala de m odo que todo fuese dos veces m a yo r. El volum en del espacio externo lleno de un fuerte cam po m agnético seria ocho veces m ayor y ta energia del cam po m agnético, que es proporcional al volum en, tam bién seria ocho veces m ayor. Pero la superficie entre los dos dom inios, la cual d ará la energia de la pared, será sólo cuatro veces m ay o r. Por lo tan to , si el pedazo de hierro es suficientem ente grande, será provechoso dividirlo en más dom inios. E sta es la razó n de por qué úni cam ente ios cristales pequeñísim os pueden tener un solo dom inio. C ualquier objeto grande - d e tam año m ay o r que alrededor de un centésirno de milím etro— ten d rá por lo menos una pared de dom im o; y cualquier objeto ord in ario , del orden del centím e tro, e stará dividido en m uchos dom inios, com o m uestra la figura. L a división en do minios continúa hasta que la energia necesaria pa ra po ner una p are d adicional sea lan grande como la dism inución de energía del campo m agnético fu e ra del c rista l En realidad, la n a tu raleza ha descubierto o tra m anera de b a jar la energia: no es de ninguna m anera necesario tener un cam po por fuera si una región trian g u lar pe queña se m agnetiza lateralm ente, com o en la figura 37-4(d)*. Luego, con el arreglo de ia figura 37-4(d), vem os que no hay cam po externo, sino únicam ente unas pocas paredes más de dom inio. P ero esto introduce un nuevo tipo de problem a. R esu lta que cuan d o se magneti za un cristal de hierro, cam bia su longitud en la dirección de la m agnetización, así que un cubo “ideal" con su m agnetización “ hacia a rrib a ” digam os, ya no será un cubo perfecto. L a dim ensión “ vertical” se rá diferente de la “ h o rizo n tal” . E ste efecto se llam a ‘‘magneíostricción". D ebido a tales cam bios geom étricos, los trozos triangu lares pequeños de la figura 37-4(b) ya no “ en ca jan ” , p or asi d ecir, en el espacio dis ponible -e l cristal se ha alarg ad o dem asiado en un sentido y aco rtad o dem asiado en el o tro -. Por supuesto, en cajan realm ente, pero ap lastán d o se; y esto implica cierto esfuerzo m ecánico. A sí pues, este arreglo también in troduce una energía adicional. Es el balance de todas estas energías lo que determ ina cóm o se disponen los dom i nios de m anera com plicada en un pedazo de hierro no im antado.
A hora bien ¿qué sucede cuando aplicam os un cam po m agnético externo? Para tom ar un caso sencillo, consideren un cristal cuyos dom inios sean com o m uestra la figura 37-4(d). Si aplicam os un cam po m agnético extem o h acia arriba, ¿de qué m anera se m agnetiza el cristal? Prim ero, la pared de dom inio que está en el medio se puede correr hacia un lado (hacia la derecha) y reducir la energia. Se corre de modo que la región que está “ h acia a rrib a " se vuelve m ás grande que la región que está “ hacia a b ajo ” . H ay m ás im anes elem entales alineados h acia arriba con el cam po y esto da una energía m ás baja. A si pues, en un pedazo * Puede que se estén preguntando cómo es que los espines que tienen que estar “hacia arriba” o “hacia abajo” ¡también pueden estar “de costado” ! Es una buena pregunta, pero no te prestaremos atención por ahora. Adoptaremos simplemente e( punto de vista clásico, consi derando lüs imanes atómicos como dipolos clásicos que pueden polarizarse de costado. La mecánica cuántica exige una habilidad considerable para comprender cómo las cosas pueden -·—' “hacia aixiba y hacia abajo” y “a la derecha y a la izquierda”,
de hierro en cam pos débiles -a ! com ienzo m ism o de la m ag n etizació n - las paredes de dom inio em piezan a m overse y se trag an ias regiones que están m agnetizadas en dirección opuesta al cam po. A m edida que el cam po co ntinúa aum entando todo el cristal se convierte paulatinam ente en un solo dom inio grande que el cam po ex terno ayuda a m antem er alineado. E n un cam po fuerte, al cristal “ le g usta” estar todo en un sentido sim plem eníe porque se reduce su energía en el cam po aplicado - lo que im porta ya no es sólo el propio cam po externo del cristal.
Fig. 37-5. Un campo magnetizante H oblicuo respecto al eje cristalino cam biará gradualmente la dirección de la magnetización sin cambiar su módulo. ¿Y si la geom etria no es ta n sim ple? ¿Y si los ejes del cristal y su m agnetización espontánea están en una dirección, pero aplicam os ei cam po m agnético en alguna aíra dirección —digam os que a 4 5 °? -. Se po d ría pensar que los dom inios se volve rían a form ar con su m agnetización paralela al cam po y entonces, com o an tes, po drían transform arse todos en un solo dom inio. Pero no es ta n fácil que el hierro haga esto, pues la energía necesaria pa ra m agnetizar un crista! depende de la dirección de m agnetización respecto a los ejes del cristal. Es relativam ente fácü m agnetizar hierro en u na dirección paralela a los ejes de! cristal, pero se gasta m á s energia p ara m agnetizarlo en alguna o tra dirección -c o m o a 45^* respecto a uno de los ejes— P or lo ta n to si aplicam os un cam po m agnético en esa dirección, lo que sucede prim ero es que los dom inios que a p u n tan según una de las direcciones prefe ridas que esté cerca del cam po aplicado, crecen h asta que la m agnetización esté toda según una de estas direcciones. E n tonces, con campos mucho m ás fu e rte s, la mag netización es forzada gradualm ente a ser paralela al cam po, com o en el esquem a de la figura 37-5. L a figura 37-6 m uestra algunas m edidas de las curvas de m agnetización de mo nocristales de hierro. Para com prenderlas, prim ero debem os explicar algo sobre la notación que se usa p ara describir direcciones en un crista!. H ay m uchas
n>o
/ Fig, 37-6, Las componentes de fV8 p ralelas a H, para diversas direcciones de ... H (con respecto a ios ejes cristalinos), (De: F. Bitter, Introduction to Ferromag netism , McGraw-Hill Book Co., Inc., New J York, 1937.]
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M to
t()i-ina,s de corlar un cn sial p ara producir una cara que sea un plano de átom os. Cualquiera que haya pasado en auto por un huerto o un viñedo lo sabe - e s algo fascinante de o bserv ar-. Si miran en un sentido, ven filas de árboles - s i miran en Otro .sentido, ven diferentes filas de árboles, e tc,-. De m anera sim ilar, un cristal tiene Tamilias de planos deíinidas que poseen m uchos átom os y ios planos tienen esta c aracterística im portante (consideram os un cristal cúbico p ara hacerlo más fácil): si observam os dónde los planos cortan los tres eies de coo rd en ad as, en contram os que las inversas de las tres distancias a! origen están en la proporción de núm eros ente ros sim ples. Se tom an estos tres núm eros enteros com o la definición de los planos. P or ejem plo, la figura 37 7(a) m uestra un plano paralelo al plano y z . Se io llama plano llOOl; las inversas de sus intersecciones con los ejes v y z son cero. A la dirección perpendicular a tal plano (en un cristal cúbico) se le da ei mismo conjunto de núm eros. Es fácil entender la idea en un cristal cúbico, porque entonces los índices I IOO! representan un vector que tiene una com ponente u nitaria en la dirección x y ninguna en ias direcciones y y z. La dirección IIIO l está en una dirección a 4.5“ con respecto a los ejes x e y , com o m uestra la figura 37-7(b), y la dirección I 11 11 está en la dirección de la diagonal del cubo, com o en la figura 37-7(c).
Fig. 37-7.
Modo de designar los planos crisTalinos
Volviendo ahora a la figura 37-6, vem os las curvas de m agnetización de un m o nocristal de hierro en diversas direcciones. P nm ero, observen que p ara cam pos muy dim inutos - la n débiles que es difícil verlos en la e sca la- la m agneüzación aum enta extrem adam ente rápido h asta alcanzar grandes valores. Si et cam po está en la dirección (iOOl —o sea según una de esas lindas y fáciles direcciones de m agnetización- la curva sube h asta un valor alto, se curva un poco y luego se satura. Lo que sucede es que los dom inios que ya habia se elim inan muy fácilmente. Solam ente se necesita un cam po pequeño p ara co rrer las paredes de dom inio y tra garse todos los dom inios en “ sentido e rrad o ” . Los m onocristales de hierro son enorm em ente perm eables (en el sentido m agnético), m ucho m ás que el hierro policristalino ordinario. Un cristal perfecto se m agnetiza con extrem a facilidad. ¿Por qué la curva es redondeada? ¿Por qué no sube directam ente hasta la satu ració n ? No estam os seguros; podrían estudiario ustedes algún dia. C om prendem os, sí, por qué
es horizonial para cam pos altos. C u ando todo el bloque es un solo dom inio, un cam po m agnético adicional no puede p roducir más m agnetización - y a está en M^a\ con todos los electrones alineados. A hora bien, si tratam o s de' hacer lo mismo en la dirección 1 iiO i -q u e es\á a 4 5 “ de los ejes del c ris ta l- ¿qué sucederá? A plicam os un cam po peqiieriisimo y la m agnetización se encu m b ra repentinam ente a medida que crecen los dom inios. A m edida que seguim os, luego, aum entando el cam po, encontram os que se necesita m uchisim o cam po p ara alcanzar la satu ració n , porque ahora la m agnetización se está apartando de una dirección ‘T ácil” . Si esta explicación es c o rrecta, el punto en el cual la curva ! i 1 0 ! e>cirapolada hacia atrás c o rta el eje vertical seria l / > / 2 del valor de saturación. En efecto, resulta cercanísim o a \ l \ / 2 . A nálogam ente, en la dirección I 1 III -q u e está según la diagonal del c u b o - hallam os, com o es de esperar, que la curva extrapolada conduce a aproxim adam ente a 1 /i/ 3 del valor de saturación.
La figura 37-8 m uestra la situación correspondiente p ara o tro s dos m ateriales: niquel y cobalto. El níquel es diferente del hierro. En el niquel, resulta que la dirección | 1 111 es la dirección fácil de m agnetización. El cobalto tiene una forma cristalina hexagonal y en este caso se ha hecho un galim atias en el sistem a de no m enclatura. Se quiere tener tres ejes en la base del hexágono y uno perpendicular a ellos, asi que se han usado cuatro índices. La dirección 100011 es la dirección del eje del hexágono y 110101 es perpendicular a ese eje. Vemos que los cristales de m etales diferentes se com portan en form a diferente.
Fig. 37-9. Estructura microscópica ; un material ferromagnètico no magnetiido. Cada grano cristalino tiene una di cción de fácil magnetización y se rompe 1dominios que (por lo común) se magnezan en forma espontánea paralelamente esta dirección.
A hora debem os discutir un m aterial poÜ crisíalino, ta l com o un p edazo o rdinario de hierro. D entro de esto s m ateriales h ay m uchísim os cristales pequeños con sus ejes cristalinos a puntan d o en todas direcciones. E sto s no son lo m ism o que los d o minios. Ps.ecuerden que los dom inios eran todos p arte de un solo cristal, pero en un pedazo de hierro hay m uchos cristales diferentes con sus ejes en diferentes direc ciones, tal com o m uestra la figura 37-9. D entro de c ad a uno de estos cristales, por lo general, h a b rá tam bién ciertos dom inios. C u an d o aplicam os un c a m p o pequeño a un trozo de m aterial policristalino, lo que ocu rre es que las paredes de los dom inios com ienzan a desplazarse y crecen más ios dom inios que tienen una dirección favo rable de m agnetización fácil. E ste crecim iento es reversible rrüentras el cam po sea m uy pequeño —si suprim im os ei cam po Ja m agnetización vuelve a cero—. E sta p arte de la curva de m agnetización está indicada con a en la figura 37-10.
P a ra cam pos m ayores -e n la región b de la cu rv a de m agnetización m o stra d a las c osas se hacen m ucho m ás com plicadas. E n c ad a cristal pequeño del m aterial hay esfuerzos y dislocaciones; h ay im purezas, suciedad e im perfecciones. Y en todo cam po, excepto el m ás débil, las paredes de dom inio se pegan a ellas al desplazarse. H ay un a energia de interacción eníre la p ared de dom inio y la dislocación, el limite de gran o a la im pureza. A sí pues, cuan d o la p a re d llega a uno de ellos, se queda pegada; se queda allí m ientras h ay a cierto cam po. Pero cuando se aum enta el cam po, la pared se zafa de repente y co ntinúa d esplazándose. P o r lo ta n to , el m ovim ien to de las paredes de dom inio no es suave com o en un cristal perfecto - s e p a ra de vez en cuando y se desplaza a saltos. Si exam ináram os la m agnetización en escala m icros cópica, veríam os algo asi com o lo que m uestra el detalle incluido en la figura 37-10. A hora bien, lo im portante es que estos saltos de m agnetización pueden o casionar u na pérdida de energía. En prim er lugar, cuan d o una pared logra zafarse de un im pedim ento, se mueve m uy ràpidam ente h asta el siguiente, puesto que el cam po ya e stá por encim a del que se necesitaría p a ra el m ovim iento sin obstáculos. El m ovim iento rápido significa que h ay cam pos m agnéticos fuertem ente variables que producen corrientes p arásitas en el cristal. E sta s corrientes producen pérdidas de energía al calentar el m etal. U n segundo efecto es que cuan d o un dom inio cam bia de repente, parte del cristal cam bia sus dim ensiones debido a la m agnetostricción. C a d a cam bio repentino de u na pared de dom inio origina una pequeña o n d a sonora que se lleva energia. D ebido a estos efectos, la segunda p arte de la curva de m agneti z ación es irreversible y se pierde energia. E ste es el origen del efecto de histéresis, porque hacer avanzar u n a pared de dom inio -d ete n ció n b ru sc a - y luego haceria vol ver hacia atrás -dete n ció n b ru sc a - produce u n resu ltad o diferente. E s com o roce “ a sa cu d id a s” y se gasta energía.
Finalm ente, p ara cam pos suficientem ente altos, cu ando hem os desplazado todas las paredes de dom inio y m agnetizado cad a cristal en la m ejor dirección, todavía quedan algunas cristalitas al a za r cuyas direcciones de fácil m agnetización no están en la dirección del cam po m agnético externo. E ntonces se necesita mucho más cam po para orien tar esos m om entos m agnéticos. Por eso la m agnetización aum enta lenta pero en form a p areja con cam pos altos —o sea en la región indicada con c en la fig u ra-. L a m agnetización no llega abruptam ente a su valor de satu ra ción porque en la últim a parte de la curva los im anes atóm icos están dando vuelta en ei cam po intenso. Vem os entonces p or qué la curva de m agnetización de un m a terial policrislalino ordinari.o, es tal com o la m o strad a en la figura 37-10: al principio sube poco y reversiblemente, luego sube irreversiblem ente y finalm ente se curva suavem ente h acia la horizontal. P o r supuesto, no h ay una separación neta entre estas tres regiones - s e pasa de una a o tra suavem ente. N o es difícil dem o strar que el proceso de m agnetización en la parte niedia de la curva de m agnetización es a salto s -q u e las paredes de dom inio saltan y, se detienen bruscam ente a m edida que se corren— T odo io que necesitan es u na b obina de alam bre - c o n m uchos miles de v u eltas- conectada a un am plificador y un parlante, com o m uestra la fígura 37-11. Si ponen unas pocas h ojas de acero al silicio (del tipo que se utiliza en los tran sfo rm ad o res) en el centro de la bobina y acercan lenta m ente un im án a la pila de h o ja s, los cam bios repentinos de m agnetización produci rán im pulsos o fem en la b o b in a, que se oyen nítidam ente com o diq u es en el p ar lante. A l a cercar m ás el im án al hierro oirán u na an d an ad a de d iq u es que suenan algo así com o el ruido de granos de arena que caen unos sobre o tros al inclinar una la ta de arena. L as paredes de dom inio están sa ltan d o , deteniéndose y volviendo a saltar a m edida que el cam po aum enta. E ste fenómeno se llam a efecto B arkhausen.
Fig. 37-11. Las variaciones repenti nas de magnetización de la tira de acero se escuchan como diques en el parlante.
Si acercan aún m ás ei im án a las hojas de hierro, el ruido se hace más y más fuerte por unos instantes pero luego h ay relativam ente poco ruido cuando el imán está m uy cerca. ¿ P o r qué? Porque casi todas las paredes de dom inio se han despla zado todo lo que pueden. Lo que hace cualquier aum ento de cam po es sim plem ente girar la inagnetización de cada dom inio, lo cual es un p roceso parejo. Si ahora retiran el im án, com o p ara pasar a la ram a descendente de la curva de histéresis, tod o s los dom inios tratan de volver al estado de baja energía y oyen otra a ndanada de saltos h acia atrás. T am bién pueden n o tar que si Uevan el imán hasta cierta distancia y luego lo acercan y alejan m uy po co , h ay relativam ente poco ruido. D e nuevo es com o inclinar u na lata de aren a; una vez que los granos se han desplazado hasta d etem erse, no se los p ertu rb a con
ivimieníos de !a lata. En el hierro, las pequeñas variaciones de cam po son suficientes p ara que ninguna pared tran sp o n g a las “ lo m as” .
37-4
M ateriales ferromagiiiéíicos
Q uerriam os hablar ah o ra de los diversos tipos de m ateriales m agnéticos que hay en el m undo técnico y considerar algunos de los problem as que intervienen en el diseño de m ateriales m agnéticos p ara diferntes aplicaciones. En prim er lugar, la expresión “ propiedades m agnéticas del hierro ” , que ta n to se oye, es inapropiada - n o hay tal c o sa -. El “ h ierro” no e.s un m aterial bien definido; las propiedades del hierro dependen en form a decisiva de la cantidad de im purezas y tam bién de cómo e stá form ado el hierro. Se d a rá n cuenta de que las propiedades m agnéticas depende rán de la facilidad de desplazam iento de las paredes de dom inio y de que ésta es una propiedad m acroscópica y no u na propiedad de cad a átom o. A sí pues, el ferrom ag netism o práctico no es realm ente una propiedad de un átom o de hierro - e s u na p ro piedad de un trozo de hierro bajo cierta fo r m a - . Por ejem pio, ei hierro puede tener dos form as cristalinas. L a form a com ún tiene u n a red cristalina cúbica de cuerpo centrado, pero tam bién puede tener una red cúbica de c aras cen trad as la cu al, sin em bargo, es ^estable sólo a tem peraturas superiores a L^IOO^C. Por^ supuesto, a esa Sin em bargo, aleando crom o y níquel con e¡ h ierro (una m ezcla posible es J 8 p or ciento de crom o y 8 p or ciento de níquel) podem os o btener lo que se llam a acero inoxidable, el cual, aunque es principalm ente h ierro, retiene la red de c aras centradas aún a bajas tem peraturas. D ebido a que su estru ctu ra cristalina es diferente, tiene propiedades m agnéticas com pletam ente diferentes. L a m ayoría de los aceros inoxida bles n o son m agnéticos en g rad o apreciable, aim que hay algunos tip o s que lo son algo -dep e n d e de la com posición de la aleación— A unque la aleación sea m agnética, no es ferrom agnètica com o el hierro com ún -a u n q u e sea en su m ay o r p arte puro hierro. Q uerríam os describir ah o ra algunos m ateriales especiales que h an sido d esarro llados con propiedades m agnéticas especiales. En prim er lu g ar, si querem os hacer un im án perm anente, necesitam os un m aterial con un lazo de histéresis enorm em ente ancho, de m odo que al co rta r la corriente y volver a un cam po m agnetizante nulo, quede u na gran m agnetización. E n esos m ateriales las paredes de dom inio deben e star “ congeladas” en su lugar lo m áxim o posible. U no de tales m ateriales es la no table aleación “A lnico V ” ( 5 1 % F e, 8 % A l, 1 4 % N i, 2 4 % C o, 3 % Cu). (La com posición bastante com pleja de esta aleación es u na indicación del esfuerzo m inu cioso em pleado en desarrollar buenos im anes. ¡Q ué paciencia se necesita p ara mez c lar cinco cosas y probarlas h asta en co n trar la m ejor su stan cia!) C u an d o el A lnico solidifica, hay una “ segunda fase” que precipita produciendo m uchos granos m inúsculos y esfuerzos in tern o s m uy grandes. E n este m aterial es m uy difícil que los lím ites de dom inio se m uevan. A dem ás de tener u n a com posición precisa, eí A lnico se “ tra b a ja ” m ecánicam ente p ara que sus cristales adopten la form a de lar gos g ranos en la dirección en que va a ser la m agnetización. E n to n ces, la m agneti z ación ten d rá una tendencia n atu ral a estar alineada en estas direcciones y se que d a rá así debido a los efectos de anisotropia. A ún m ás, h asta se enfría
el m aterial en un cam po m agnético extem o al fabricarlo, de m odo que los granos crezcan con la dirección cristalina ap ro p iad a. La figura 3 7 '1 2 m uestra la curva de histéresis del A lnico V. Pueden ver que es unas 500 "eces más ancha que la cur.-a de histéresis del hierro dulce que m ostram os en la ñ g ura 36-8 dei capitulo anterior. V ayam os a o tro tipo de m aterial. P a ra construir transfom iadores y m otores que rem os un m aterial que sea m agnéticam ente “ blan d o ” —un m ateriai en el que se pue da variar fácilm ente la m agnetización de m odo que aplicando un cam po m uy peque ño se produzca u n a m agnetización eno ra\e. P a ra conseguirlo, necesitam os m aterial puro y bien recocido, el cual ten d rá m uy pocas dislocaciones e im purezas de modo que las paredes de dom inio se puedan d esp lazar fácilínente. T am bién sería bueno si pudiéram os lograr que ia anisotropía fuese pequeña, De este m odo, aunque un grano del m aterial form ara un ángulo inap ro p iad o con el cam po, se m agnetizaría fácilm ente. A hora bien, hem os dicho que el hierro prefiere m agnedzarse en la di rección [ 1 0 0 ], m ientras que el níquel lo prefiere en la dirección ( l l l ] ; asi pues, si m ezclam os hierro y níquel en diversas p roporciones, podriam os tener la esperanza de encontrar que en cierta proporción apro p iad a la aleación no prefiera ninguna dirección - la s direcciones [lOOj y [111] serían equivalentes-. R esulta que esto ocurre con una m ezcla de 70 p or ciento de níquel y 30 p or ciento de hierro. A dem ás -posib lem ente por casualidad o quizás p or alguna relación ñsica entre los efectos de anisotropía y de m ag n eto stricció n - resulta que la m agnetostricción del hierro y la del niquel tienen signos opuestos. Y en u na aleación de los dos m etales esta p ro piedad pa sa por cero cuan d o contiene 80 por ciento de niquel. Asi pues, en algún punto entre 70 y 80 por ciento de níquel obtenem os m ateriales m agnéticos muy “ b lan dos” -aleacio n es que son m uy fáciles de m ag n etizar-. Se las llam a permaloys. L os perm aloys son útiles p ara tran sfo rm ad o res de alta calidad (a niveles de señal bajos), pero no servirían p ara im anes perm anentes. Los perm aloys deben ser fab rica dos y m anipulados m uy cuidadosam ente. L as propiedades m agnéticas de un pedazo de perm aloy experim entan cam bios radicales si se lo som ete a esfuerzos superiores a su lírrüte elástico —no se io debe doblar—. E n tonces su perm eabilidad se reduce debi do a las dislocaciones, bandas de deslizam iento, etc., producidas p or las deform acio nes m ecánicas. Los
límites de dom inio y a no pueden m overse fácilm ente. Sin em bargo, se puede recobrar la alta perm eabilidad m ediante ei recocido a tem p eratu ras altas. A m enudo es conveniente tener algunos núm eros p a ra c arac teriz ar los diversos m ateriales m agnéticos. D os núm eros útiles son ias intersecciones de la c u rv a de histéresis con los ejes B y H , com o se indica en la figura 37-12. E stas intersecciones se llam an campo m agnético residual y fu e r z a coercitiva La tabla 3 7 -i da una lista de estos núm eros en algunos m ateriales m agnéticos. T ab la 3 7 -i Propiedades de algunos m aleríales feirom agíséíicos
M aterial Superm aloy A cero al silicio (transform ador) H ierro A rm co Alrüco V 37-5
Br de cam po Fu erza magnético coercitiva residuai , (gauss) (gauss) (;=¿ 5.000)
0,004
M ateriales m agnéticos ñ iera de So com ún
Q uerriam os discu tir ah o ra algunos de los m ateriales m agnéticos m ás exóticos. E n la tab la periódica h ay m uchos elem entos que tienen cap as electrónicas in ternas incom pletas y que p or lo ta n to tienen m om entos m agnéticos atóm icos. P o r ejem plo, inm ediatam ente después de los elem entos ferrom agnéticos h ierro , niquel y co balto, encontrarán el crom o y el m anganeso. ¿Por qué no son ferrom agnéticos? L a res puesta es que el térm ino en À de la ecuación (37.1) tiene el signa opuesto en estos elem entos. En la red del crom o, p o r ejem plo, los espines de los átom os de crom o se alternan de átom o en átom o, com o m uestra la figura 37-13(b). A si pues, el crom o es “ m agnético” desde su propio punto de vista, pero no es técnicam ente interesante porque no hay efectos m agnéticos externos. El crom o es entonces un ejem plo de m a terial en e! que los efectos cuánticos hacen que los espines sean alternos. E sta clase de m aterial se llam a antiferrom agnético. En los m ateriales
Fig. 37-13. Orientación relativa de lo: espines electrónicos en diversos materia les: (a) ferromagnètico, (b) antiferromag nético, (c) ferrila, (d) aleación hierro-itrio (Las flechas de trazos indican la direcciót del momentum angular total, incluyendo e movimiento orbital.)
anfiferroraagnéficos el aíineam iento tam bién depende de la tem peratura. P o r debajo de u na tem peratura crítica, to d o s los espines están alineados alternadam ente, pero cuan do se calienta el m aterial p or encim a de cierta tem peratura -q u e tam bién se llam a tem pevatura de C u rie - los espines se orien tan repentinam ente al a za r. In ter nam ente hay un a transición repentina. E sta tran sició n se puede ver en ia curva del calor especifico. T am bién se m anifiesta en ciertos efectos “ m agnéticos” especiales. P o r ejem plo, se puede verificar la existencia de los espines alternados dispersando neutrones en un cristal de crom o. Com o el neutrón mismo tiene espín (y m om ento m agnètico), tiene una am plitud de dispersión diferente según su espin paralelo u o puesto al espin del dispersor. Por lo ta n to , cu an d o en un cristal los espines están alternos, obtenem os un diagram a de interferencia diferente de cuan d o tienen una distribución al azar.
Fig. 37-14. Estructura cristalina del mineral espinela (MgAl204): los iones ocupan los lugares tetraédricos, cada uno rodeado de cuatro iones oxíge no; los Iones A i^ ocupan lugares octaé dricos, cada uno rodeado de seis iones oxígeno. |De: Charles Kittel, Introducción a ia física del estado sólido, Reverté, Bar celona, 1965.1 H ay otra clase de su stan cia en la que los efectos cuánticos hacen que los espines electrónicos se alternen, pero sin em bargo es fe rrom agnetica - e s decir que el cristal tiene una m agnetización neta p erm an en te-. L a idea en que se b a sa el com por tam iento de estos m ateriales está ilustrada en la fígura 3 7 -)4 . La figura m uestra ia estructura cristalina de la espinela, un óxido de m agnesio y alum inio que, com o se m uestra, no es m agnético. El óxido tiene dos clases de átom o m etálicos: m agnesio y alum inio. A hora bien, si reem plazam os el m agnesio y el alum inio p or dos elem entos m agnéticos com o el hierro y el zinc, o por zinc y m anganeso - e n o tras p alab ras, si introducim os átom os m agnéticos en vez de no m ag n ético s- ocurre algo interesante. Llam em os a a una clase de átom o m etálico y 6 a la o tra; entonces hay que consi derar la siguiente com binación de fuerzas m agnéticas. H ay una interacción a-b que tra ta de hacer que los átom os ü y los ¿ tengan espines opuestos -p o rq u e la m ecá nica cuántica siem pre da el signo opuesto (excepto en los cristales m isteriosos de hierro, niquel y c o b alto )-. Luego h ay una interacción a-a directa que tra ta de hacer que los a estén opuestos y tam bién u na interacción b - b que tra ta de que ios b estén opuestos. A hora bien, por supuesto que no podem os hacer que todo esté opuesto a to d o : a o puesto a b, a opuesto a a y b opuesto a b. Posiblem ente por las distancias entre los ü y ia presencia del oxígeno (aunque realm ente no sabem os po r qué), resulta que la interacción a-b es más in tensa que la a a o la b-b. A sí pues, la solución que la natu raleza usa en este caso es hacer que to d o s los a estén parale los entre s i y todos los b p a ra d lo s efitre s¡\ pero que los dos sistem as estén opues tos. E sto d a la m ás b aja energia debido a la m ayor intensidad de la interacción
R esultado; iodos los a tienen el espín hacia arriba y los b hacia a b ajo —o viceversa, por supuesto-, Pero si los m om entos m agnéticos del átom o tipo a y los del tipo b no son iguales, podem os obtener la situación m ostrada en la figura 37-13(c) y puede haber una m agnetización resultante en ei m aterial. El m aterial será entonces ferrom agnético -afinque algo débil-. E stos materiales se llaman ferriía s. N o tienen una magnetización de saturación tan alta com o ei hierro - p o r razones o b v ia s- asi que sólo son útiles para cam pos pequeños. Pero tienen una diferencia m uy im portante: son aisladores; las ferritas son aisladores ferrom agnéticos. T en d rán corrientes p ará sitas muy pequeñas en cam pos de alta frecuencia, de m odo que se los puede utilizar en sistem as de m icroondas, p or ejem plo. Los cam pos de m icroondas podrán entrar en un m aterial aislante de esta clase, m ientras que en un co n d u cto r com o el hierro las corrientes parásitas se lo im pedirian.
H ay o tra clase de m ateriales m agnéticos que sólo recientem ente h an sido descu biertos -m iem bros de la fam ilia de los o n osilicatos llam ados gra n a te s-. Tam bién son cristales cuya red contiene dos clases de átom os m etálicos y tam bién tenem os una situación en la que podem os sustituir las dos ciases de átom os casi a voluntad. E ntre los m uchos com puestos de interés hay uno que es com pletam ente ferrom agnè tico. Tiene hierro e itrio en !a estru ctu ra del g ranate y la razó n de que sea ferrom agnètico es m uy curiosa. T am bién aquí la m ecánica cu án tica hace que los espines vecinos sean opuestos, de m odo que h ay un sistem a trab ad o de espines, con los espines electrónicos del hierro en un sentido y los del itrio en el o puesto. Pero el átom o de itrio es com plicado. Es una tierra rara y su m om ento m agnético es en gran parte contribución dei movim iento orbital de ios electrones. E sta contribución del movim iento orbital es en el itrio opuesta a la del espin y adem ás es m ayor. Por lo tanto, aunque la m ecánica cu án tica, actuando a trav és del principio de exclusión, haga que los espines del itrio sean opuestos a los del h ierro, logra que el m om ento magnético total del átom o de itrio sea paralelo al h ierro debido al efecto orbital —com o se ha esquem atizado en ía figura 3 7 -I3 (d )-. E n co nsecuencia, el m aterial es un com puesto ferrom agnètico norm al.
En algunos de los elem entos de ias tierras raras ap arece o tro ejem plo interesante de ferrom agnetism o. Tiene que ver con una disposición de los espines aún m ás cu riosa. El m aterial no es ferrom agnètico en el sentido de que todos los espines sean paralelos, ni antiferrom agnético en el sentido de que sean opuestos dos a dos. En estos m ateriales todos los espines que están en im a cam ada son paralelos y yacen en el plano de la cam ada. En la siguiente cam ada íos espines tam bién son paralelos entre si pero apuntan en u na dirección algo diferente. En la cam ada siguiente hay otra dirección y así sucesivam ente. El resultado es que el v ector de m agnetización local varia en form a de espiral -lo s m om entos m agnéticos de c am ad as sucesivas rotan a m edida que avanzam os perpendicularm ente a las c am a d as-. Es interesante analizar lo que pasa cuando se aplica un cam po a esa espiral - to d a s las torsiones y rotaciones que deben experim entar to d o s esos im anes a tó m ic o s-. (¡A algunos les gusta divertirse con la teoria de estas cosas!) N o sólo están los casos de espirales 'c h a ta s” , sino tam bién aquéllos en que las direcciones de los m om entos m agnéticos de cam adas sucesivas describen un cono, de m odo que tiene una com ponente en es piral y tam bién ¡una com ponente ferrom agnètica uniform e en una dirección!
Las propiedades m agnéticas de los m ateriales, estudiadas a un nivel más avanza do de io que hem os podido hacer aquí, han fascinado a los fisicos de to d a laya. E n prim er lugar, están los individuos p rácticos que am an en co n trar m aneras de hacer las cosas mejor -a m a n diseñar m ateriales m agnéticos m ejores y m ás intere sa n te s -. El descubrim iento de cosas com o las ferritas, o su aplicación, inm ediata m ente deslum bra a los que les g usta ver nuevas m aneras de hacer las cosas. E stán a dem ás, los que encuentran fascinación en la terrible com plejidad que puede produ cir la n aturaleza, em pleando unas pocas leyes básicas. P artien d o de una m ism a idea general, la naturaleza va del ferrom agnetism o del hierro y sus dom inios, al antiferrom agnetism o del crom o, al m agnetism o de ferritas y gran ates, a la estructura espiral de las tierras raras, y asi sucesivam ente. Es fascinante d escubrir experim en talm ente todas las cosas extrañas que p asan en estas sustancias especiales. Luego, p ara los físicos teóricos, el ferrom agnetism o presenta el reto de una cantidad de bellos problem as, interesantísim os y no resueltos aún. U n reto es sim plem ente com prender por qué existen. O tro es predecir la estadística de los espines en interacción de una red ideal. A ún dejando de lado cualquier com plicación extrínseca posible, este problem a ha desafiado h asta ahora to d a com prensión. L a razó n de que sea tan interesante se debe a que es un problem a de enunciación fácil: dado un m ontón de espines electrónicos en u na red regular y que in teractú an conform e a la ley tai y tal, ¿qué h arán? El enunciado es sim ple, pero d u ran te años ha resistido un análisis com pleto. A unque ha sido analizado bastante cuidadosam ente a tem peraturas no m uy cercanas al punto de C urie, to davía la teo ría de la tran sició n repentina en el punto de C urie necesita ser com pletada. Finalm ente, lodo el tem a de un sistem a de espines e im anes atóm icos —en m ate riales ferrom agnéticos o en param agnéticos y en el m agnetism o n u c lea r- tam bién ha constituido algo fascinante p ara los estudiantes av anzados de ñsica. Se puede a lte ra r el sistem a de espines con cam pos m agnéticos externos, así que se pueden hacer m uchos artificios con resonancias, efectos de relajam iento, ecos de espín y o tro s efectos. Sirve de p rototipo de m uchos sistem as term odinám icos com plicados. P ero en los m ateriales param agnéticos la situación es a m enudo bastan te sim ple, y m uchos han gozado realizando experim entos o explicando teóricam ente los fenó menos. C erram os ah o ra nuestro estudio de la electricidad y el m agnetism o. En e! prim er capítulo hablam os de los pasos gigantescos dados desde las prim eras observacio nes de los griegos sobre el com portam iento extraño del ám b ar y la piedra im án. N o o b stante, en nuestro largo e intrincado estudio ¡nunca hem os explicado ni p o r qué cuando fro ta m o s un p ed azo de ám b ar aparece carga sobre él, ni p o r qué una piedra im án está imancadal P odrían decir: “ B ueno, sim plem ente no obtuvim os el signo co rrec to ”. N o , ía co sa es peor. A unque obtuviéramos el signo co rrecto , nos quedaría esta pregunta: ¿por qué la piedra im án que se encuentra en el suelo e stá m agnetizada? C laro que está el cam po m agnético terrestre, pero id e dónde proviene e l campo terrestre'i R ealm ente nadie lo sabe; sólo ha habido algunas conjeturas buenas. C om o ven, esta n u estra física es un engaño: em pezam os con los fenóm enos de la piedra im án y del ám b ar y term inam os no com prendiendo ninguno de los dos muy bien. ¡Pero en el cam ino hemos obtenido u na cantidad form idable de inform ación interesantísim a y útilísim a!
38 E la s tic id a d
38-1
L ey de H ooke
38-2
D efonnaciones específicas unifor- 38-5
3 8-4
L a viga flexionada iFlexión lateral
Releer: C apítulo 47, vol. I, So nido. L a ecuación de onda
3 8 -í
L ey de H ooke
E l tem a de la elasticidad tra ta el com portam iento de las su stan cias que tienen la propiedad de recuperar su ta m añ o y form a cu an d o se quitan las fuerzas que p ro ducen deform aciones. E n co n tram o s esta pro p ied ad elástica en cierta m edida en iodos los cuerpos sólidos. Si tuviéram os íiem po de tra ta r el tem a extensam ente, tendríam os que exam inar m uchas co sas: el c o m p o rtam ien to de m ateriales, las leyes generales de la elasticidad, la teo ría general de la elasticidad, la m aqu in aria atóm ica que determ ina las propiedades elásticas y finalm ente las lim itaciones de las leyes e lásticas cu an d o las fuerzas se vuelven ta n grandes q ue h ay flujo plástico y fractu ras. T ard a ría m ás tiem po del que tenem os p a ra c u b rír to d o s estos tem as en detalle, así que tendrem os que d ejar de íado algunas co sas. P o r ejem plo, no discutirem os ía plasticidad o las lim itaciones de las leyes elásticas. (T ocam os brevem ente este tem a al hablar de las dislocaciones en m etales.) T am p o co podrem os discutir los m ecanis m os internos de la elasticidad - a s í que nu estro tratam ien to no ten d rá la “ completid a d ” que hem os tratad o de a lcan zar en los prim eros c ap ítu lo s- N u estra principal intención es fam iliarizarlos con algunas de las m aneras de tra ta r problem as prácticos tales com o la flexión de vigas. C u ando presionan un tro zo de m aterial, “ cede” - e l m aterial se d efo rm a -. Sí la fuerza es lo suficientem ente pequeña, el desplazam iento relativo de los diversos puntos en el m aterial es proporcional a la fuerza -d ec im o s que el com portam iento es elástico--. Solam ente discutirem os el com portam iento elástico. Prim ero escríbirem os las leyes fundam entales de la elasticidad y luego las aplicarem os a un cierto núm ero de situaciones diferentes. S upongan que tom am os un bloque rectan g u lar de m aterial de lo n ^ tu d /, ancho w y a ltura h, com o m uestra la figura 38-1. Si tiram os de los extrem os con u n a fuerza F, la longitud aum enta u na can tid ad á l. Supondrem os en todos los casos que la va riación de longitud es una fracción pequeña de la Jongiíud original. E n efecto, p ara m ateriales com o la m adera y el acero, el m aterial se rom perá si la varíación de lon gitud supera
un porcentaje pequeño de la longitud original. P a ra u n a gran can tid ad de m ateriales, los experim entos dem uestran que p a ra alargam ientos suficientem ente pequeños la fuerza es proporcional ai alargam iento: F oc A/.
' (38, Î)
E sta relación se conoce com o ía ley de H ooke. El alargam iento A l de ía b a rra tam bién dependerá de su longitud. Podem os hallar cóm o po r el siguiente razonam iento. Si pegam os dos bloques idénticos, ex trem o con extrem o, las m ism as fuerzas actú an sobre c ad a u n o de los bloques; cada uno cederá A l. E ntonces, el estiram iento de un bloque de longitud 21 sería dos veces m ayor que el de un bloque de igual sección tran sv ersal pero de longitud l. Para tener un núm ero m ás característico del m aterial y m enos que de cualquier form a particular, escogem os el cociente A //J entre el alargam iento y la longitud o rig n al. E ste cociente es prop o rcio n al a la fuerza pero independiente de /: (38.2) L a fuerza F tam bién dependerá del área del bloque, Supongan que ponem os dos bloques uno Junto al o tro. E n tonces, p a ra un estiram iento A l dado tendríam os la fuerza F sobre c ada bloque, o eí doble en la com binación de los dos bloques. Para un estiram iento dado la fuerza debe ser p roporcional al área de la sección tran sv er sal A del bloque. P a ra o btener u n a ley en la cual el coeficiente de proporcionalidad sea independiente de ias dim ensiones deí cuerpo, escribim os la ley de H ooke p a ra un bloque rectangular en la form a F=
(38.3)
YA
L a constante Y es u na p ropiedad de la natu raleza del m aterial únicam ente; se la co noce com o m ódulo de Young. (C om únm ente verán que el m ódulo de Y oung es lla m ado E . P ero hem os u sado E p ara cam pos eléctricos, energia y fem, asi que prefe rim os usar una letra diferente.) La fu e rza po r un ida d de área se llam a esfuerzo y el estiram iento p or unidad de longitud - e l estiram iento fra c c io n a l- se llam a la deform ación especifica. En con secuencia se puede escribir la ecuación (38.3) en la siguiente form a; - 7 = Y y.
M
esfuerzo = (m ódulo de Y oung) x (deform ación especifica).
(38.4)
H ay una c o ntrap arte de la ley de H ooke: cu ando estiran un bloque de m aterial en una dirección se contrae perpendicularm ente al estiram iento. L a contracción en anchura es proporcional a) ancho h>y tam bién a á l / i L a contracción lateral está en la m ism a proporción p ara el ancho y el alto y com únm ente se escribe
w
h
"
/
'
donde la constante a es o tra propiedad de! m aterial llam ado razón de Poisson. Siem pre es de signo positivo y es un núm ero m enor que 1 ¡1. (Es “ razo n ab le” que sea generalm ente positiva, pero no está m uy claro que deba ser así.) L as dos constantes Y y o especifican com pletam ente las propiedades elásticas de un materia) homogéneo isótropo {esto es, no cristalino). E n m ateriales cristalinos los estiram ientos y contracciones pueden ser diferentes en distintas direcciones, así que puede haber m ás constantes elásticas. Restringirem os nu estra discusión por algún tiem po a m ateriales isó tro p o s hom ogéneos cuyas propiedades se puedan des cribir con Y y
D eform aciones específicas uiraformes
C om o prim er ejem plo veam os qué le sucede a un bloque rectangular som etido a una presión hidrostática uniform e. P o n g a m o s'u n bloque den tro del agua en un ta n que de presión. E ntonces h a b rá una fuerza actu an d o hacia el interior sobre cada c ara del bloque, proporcional
al àrea (ver figura 38-2). C om o la presión h id ro stática es unifonne, el esfuerzo (fuerza por unidad de área) en cada cara dei bloque es el mismo. T ratarem os prim e ro !a varíación de longitud. L.a variación de longitud del bloque se puede considerar com o la sum a de las variaciones de longitud que ocu rren en los tres problem as in dependientes bosquejados en la figura 38-3.
/
Y
Problem a 2. Si presionam os sobre los co stad o s del bloque con la presión p, la deform ación com presronal es o tra vez p / Y , pero aJiora querem os fa deform ación longitudinal. Podem os obtenerla de ia deform ación especifica lateral m ultiplicada por - a . L a deform ación lateral es Sí : =
z .
_
Problem a 3. Si presionam os verticalm ente so b re el bloque, la deform ación com presiona] es una vez m ás p l Y y la deform ación correspondiente en ¡a dirección lateral es oira vez - i r p/ Y. O btenem os
C om binando estos resultados à i = àl^ A lj + Al¡ -o b ten em o s
de los tres
problema;
P or supuesto, el problem a es sim étrico en las tres d irecciones, de lo cual se deduce que f
f
(1 -
2a).
(38.7)
La variación de volum en b ajo u na presión h id ro stática tam bién es de algún in te rés. Com o V = Iwh, podem os escribir, p a ra desplazam ientos pequeños, ^
_ A/ V
Aw
A/í
~
T ‘
U sando (38.6) y (38.7), tenem os ^
= -3 ^
-
2o·).
(38.8)
A algunos les g usta lla m a r a A V ¡ V Ja deform ación d e volumen y escriben ~K
AK
El esfuerzo de volum en p es pro p o rcio n al a la defo n nació n de volum en --la ley de H ooque u na vez m ás— E l coeficiente K se llam a módulo de e lasticidad de volumen·., e stá relacionado con las o tras co n stan tes p or ■3 0 ^ -2 .) · Com o K es de algún interés práctico , m uchos m anuales d an Y y K tn lu g ar de Y y CT. Si buscan ct, siem pre pueden obtenerla de la ecuación (38.9). T am bién podem os ver que según la ecuació n (38.9) la razó n de P oisson ct debe ser m enor que un m e dio. Si no fuera así, el m ódulo de eiasíicidad de volum en sería negativo y eJ m aterial se dilataría al aum entar la presión. E sto nos perm itiría extraer energía m ecánica de cuaiquier bloque que h ay a p or ahí -sig n ificaría que el bloque está en equilibrio inestable-. Si em pezara a d ilatarse co n tin u aría p or sí m ism o con u na liberación de energía.
A hora querem os co n sid erar lo que sucede cuando aplican u n a deform ación “de c orte” sobre algo. P o r deform ación de c o rte entendem os la clase de distorsión m ostrada en la figura 38-4. E xam inem os previam ente Jas deform aciones específicas en un cubo sujeto a las
Fig. 38-5. Un cubo con fuerza; compresión en las caras superior e rior, e iguales fuerzas de tracción ei
fuerzas m ostradas en !a Figura 38-5. T am bién aquí podem os dividir el problem a en dos: las presiones verticales y las tracciones horizontales. L lam ando A al área de la c ara del cubo, tenem os p ara la variación de longitud en dirección horizontal Al I 1 = Y A
¡ F l + aF + '^ Y A = - ~ T - Á ·
L a variación de altura es sim plem ente m enos esta expresión. Supongan ah o ra que tenem os el m ism o cubo sujeto a la fuerza de corte m o strad a en la figura 38-6(a). N oten que todas las fuerzas tienen que ser iguales si no ha de haber torques resultantes y el cubo ha de estar en equilibrio. (F u erzas análogas deben existir tam bién en la figura 38-4, p uesto que el bloque está en equilibrio. Se producen por m edio de la “ co la ” que m antiene el bloque fijo a la m esa.) Se dice entonces que el cubo está en un estad o de c o rte pu ro . Pero noten que si cortam os el cubo por un plano a 45"^ -d ig am o s que según la
fuerzas de compresión y de tracción en (b).
;n ia figura— la fuerza to tal actu an te a trav és dei plano es n orm al al plano e igual a -/2G . El área sobre la cual actú a esta fuerza es - / í / l ; por ta n to , el esfuerzo norm al a este plano es sim plem ente G /A . A nálogam ente, si exam inam os un plano a 45° en el otro sentido diagonal B en la fig u ra-v em o s que h ay un esfuer zo com presional - G / A norm al a este p la n o -. Según esto, vem os que eí esfuerzo enuñ ''estad o de corte p uro ” es equivalente a una com binación de esfuerzos de tensión y com presión de igual intensidad y perpendiculares uno a o tro , y form ando un ángulo de 45 ” con las caras originales del cubo. Los esfuerzos y deform aciones in ternas son tos m ism os que hallaríam os en el bloque m ayor de m aterial con las fuerzas m o stra das en la figura 38-6(b). Pero este es el problem a que ya resolvim os. La variación de longitud de la diagonal está dada p or la ecuación (38.10),
A m enudo conviene expresar un esfuerzo de corte en función del ángulo en que se tuerce el cubo -e l ángulo O en la figura 3 8 -7 -. Por ia geom etria de ia figura pue den ver que el desplazam iento horizontal ^ dei borde superior es igual a \/T á D . Asi pues. lá D
AD
(38.12)
El esfuerzo de corte g se define com o la fuerza tangencial so b re u na ca i dividida por ei área, g = G /A . U sando la ecuación (3^,11) en (38.12), obtenem os
L form a de: “esfuerzo = co n stan te p or deform ación especíg = MÖ.
(38.13)
El coeficiente de proporcio n alid ad ¡j. se llam a módulo de torsión (o a veces, coeficiente de rigidez). E stá dado en función de y y o· por
2(1 + <7) '
(38.14)
A propósito, el m ódulo de torsión debe ser positivo - d e o tra m an era podrian o bte ner trab a jo de un bloque a u to co rta n te-. Según la ecuación (38.14), a debe ser m ayor que —1. Sabem os entonces que a debe estar entre - I y -ien la práctica, no obstante, siem pre es m ay o r que cero.
C om o últim o ejem plo del tipo de situación donde los esfuerzos son uniform es en todo el m aterial, considerem os el problem a de un bloque que se estira, m ientras al mism o tiem po se lo fu e r z a de m odo que no se produce ninguna con tracció n late ra!. (T écnicam ente, es un poco m ás fáci! com prim irlo im pidiendo que los co stad o s se com ben, pero es el mism o problem a.) ¿Q ué sucede? Bueno, debe h aber fuerzas latera les que le im pidan cam biar de espesor -fu e rz a s que no conocem os de antem ano pero que tendrem os que calcular—. Es la m ism a clase de problem a que ya hem os resuelto, solam ente que cón un trab a jo algebraico un poco diferente. Im aginem os fuerzas sobre los tres pares de c aras, com o m uestra la figura 38-8; calculem os los cam bios de las dim ensiones y escojam os las fuerzas transversales que hacen que el ancho y la altura perm anezcan constantes. Siguiendo el razonam iento h abitual, obtenem os p ara las tres deform aciones:
Y
■ (38.16) (38.17)
A hora bien, com o se supone que A ly y Al^ son cero, las ecuaciones (38.16) y (38.17) dan dos ecuaciones que relacionan Fy y con F^. R esolviéndolas co njunta mente, obtenem os que
L·=L·= A„
A,
\ -
(38.18)
Sustituyendo en (38.15), tenem os (38,19) '.on Ja expresión cuadrálic
7 “
1 o facto read a;
( T + V ) ( r — 2 ï ) '^ 7 ·
C uando forzam os los lados, el m ódulo de Y oung se obtiene m ultiplicado p or una función com plicada de a . T al com o pueden ver fácilm ente en la ecu ació n (38.19), eí fac to r dejante de ' Y siem pre es m ay o r q ue 1. E s m ás diñcil estirar eJ bJoque c uando se m antienen los lados firm es - lo que tam bién significa que un bloque es m ás resistente cuando se m antienen los lados firmes que cu ando no.
38-3
L a b a rra de torsióct; o n d as de co rte
V olvam os ah o ra n u estra atención a un ejem plo que es m ás com plicado porque partes diferentes del m aterial son som etidas a esfuerzos diferentes. C onsiderem os una varilla retorcida tal com o po d rían en co n trar en un á rb o l de tran sm isió n de alguna m aquinaría, o en una fibra de susp-.-'isión de cu arzo u sad a en un instrum ento delicado. C om o probablem ente sab rán pci experim entos con el péndulo de torsión, el torque sobre una varilla reto rcid a es p roporcional al ángulo - l a co n stan te de proporcionalidad depende evidentem ente de la longitud de la varilla, del radio de la varilla y de las propiedades del m aterial—. L a preg u n ta es: ¿de qué m anera? A h o ra estam os en condiciones de co n testar esta p reg u n ta; sim plem ente, es cuestión de h a cer un poco de geom etría. L a figura 38-9(a) m uestra u n a varilla cilindrica de longitud L y radio a , con un extrem o retorcido un ángulo
y determ inar io que le sucede a cada capa por sep arado. Em pecernos exam inando un cilindro corto y delgado de radio r (m enor que a) y espesor A r -c o m o m uestra ia figura 38-9(b)-. A h o ra bien, si exam inam os un pedazo de este cilindro que origi nalm ente era un cuadrad o pequeño, vem os que se ha deform ado en un paraleiogramo. C ada elem ento del cilindro sufre una deform ación de corte y ei ángulo de deform ación O es
El esfuerzo de corte g en el m ateriai es por lo ta n to | según ia ecuación (38.13)1, « = h8 = M^·
(38.21)
El esfuerzo de corte es la fuerza tangencial A F sobre el extrem o del cu ad rad o di vidida por el área A /A r del extrem o jver figura 38-9(c)|: AF ^ ~ AI Ar ' L a fuerza A F sobre el extrem o de tal cu ad rad o p roduce un to rque A r respecto al eje de la varilla igual a A r = r A F = rg A l Ar.
(38.22)
El torque total t es la sum a de tales torques extendida a una circunferencia com pleta del cilindro. Asi pues, ju n ta n d o suficientes pedazos de m odo que la sum a de los A l dé 2nr, hallam os que el to rque total para un lubo hueco es rg(2Trr)A r.
(38.23)
O sea, usando (38.21), T = 2τ^¡ — ^
.
O btenernos que la rigidez rotacional t A/í de un tubo hueco esproporcional del radio r y al espesor A r e inversam ente proporcional a ia longitud L.
(38,24)
al cubo
A hora podem os im aginarnos una varilla sólida form ada por una serie de tubos concéntricos, cada uno retorcido el m ismo ángulo (p (aunque los esfuerzos internos son diferentes para c ad a tubo). El to rq u e to tal es la sum a de ios torques necesarios para ro tar c ada c apa; p ara la varilla sólida se tendrá
»· = ü, el radio de la varilla. Integrando, tenem os r = M^
0.
(38.25)
P ara una varilla en to rsió n , el toque es proporcional al ángulo y es proporcional a !a cuarta potencia de( diám etro - u n a varilla de espesor doble es dieciséis veces más resistente a la torsión. A ntes de a b andon ar el tem a de ia torsión, apliquem os lo que hem os aprendido a un problem a interesante: ondas torsionales. Si lom an u na varilla larga y de repente retuercen un exrrem o, una o nda de torsión co rre a lo largo de ia variila, tai com o se ha dibujado esquem áticam ente en la figura 38-10(a), E sto es algo m ás in teresante que una torsión unifonne -v eam o s cóm o podem os a n alizar lo que sucede. (b)
Fig. 38-10.
---------
(a) Onda torsionai en una varilla, [b] Un elemento de volumen de la varilla.
Sea z la distancia desde algún punto d ado en la varilla. P a ra u n a torsión estáti ca, el torque es el mism o a todo lo largo de la varilla y es p roporcional a ¡¡>lL, el ángulo totai de torsión sobre la longitud total. Lo que interesa es la defonnación torsionai local que es, com o se d arán cu en ta, d f j d z . C u an d o la torsión a lo largo de la varilla no es uniform e, debem os sustituir ia ecuación (38.25) p or
(38.26) V eam os ahora qué le sucede a un elem ento de longitud A z que la figura 3 8 -i0 (b ) m uestra aum entado. H ay un torque t( z ) en el extrem o 1 del p edazo pequeño de va rilla y un torque diferente x(z + á z ) en el extrem o 2. Si A z es suficientem ente pequeño, podem os u sa r un desarrollo de T aylor y escribir r (z + Az) = t ( z ) +
Az.
(38.27)
El torque resultante A r que actúa sobre el pedazo pequeño de varilla entre z y z + A z es evidentem ente la diferencia entre r(z) y ~(z + A z), o sea A r ( 5 t/5 z )A z . D erivando la ecuación (3 8.26), obtenem os
AW = (Tra^Az)p, donde p es ia densidad del m aterial. O btuvim os en el capítulo 19, vol. I que
el m om ento de inercia de un cilindro circular es inercia de nuestro pedazo, tenem os A/ = - p a ^A z.
!1 \ llam ando A í al m om ento de (38.29)
L as ieyes de N ew ton dicen que el to rq u e es igual al m om ento de inercia por la aceleración angular, o sea
Juntando todo, obtenem os
R econocerán en esta expresión !a ecuación de o nda unidim ensional. Hem os encon trado que las ondas de torsión se pro p ag arán a io largo de la varilla con la velocidad
C uan to m ás densa es la varilla —a rigidez co n stan te— m ás lentas son las on d as; y cuanto m ás rígida es la varilla, m ás rápido se p ropagan las ondas. L a veiocidad no depende del diám etro de la varilla. L as ondas torsionales son un ejem plo especial de ondas de corte. E n general, las ondas de corte son aquéllas en que las deform aciones no cam bian el volumen de cuaiquier p arte del m aterial. En las o ndas torsionales, tenem os una distríbución particular de tales esfuerzos de corte: están distribuidos en círculo. Pero p ara cualquier disposición de esfuerzos de co rte , las ondas se pro p ag arán con la m ism a velocidad —ia que da la ecuación (3 8 .3 2 )-. P o r ejem plo, ¡os sism ólogos han en co n trado esas ondas de corte propagándose en el interior de la tierra. Podem os tener otro tipo de o n d a en el m undo elástico dentro de un m aterial só lido. Si presionan algo, pueden p rovocar ondas ^‘longitudinales" -tam b ién Damadas ondas “com presionales”- . Son com o las o ndas so n o ras en el aire o en el agua -lo s desplazam ientos están en la m ism a dirección que la propagación de las ondas— (En la superficie de un cuerpo elástico tam bién puede haber o tros tipos de ondas -lla m ad a s “ ondas de R ayleigh” u “ o ndas de L ove” - . En ellas, las deform aciones no son ni puram ente longitudinales ni puram ente transversales. N o tendrem os tiem po de estudiarlas.) Y ya que estam os en el tem a de las o n d as, ¿cuál es la velocidad de las ondas com presionales puras en un cuerpo sóüdo g rande com o la tierra? D ecim os “ g ran d e” porque la velocidad del sonido en un cuerpo grueso no es la m ism a que, p or ejem plo, a lo largo de u na varilla fina. P o r cuerpo “ g ru eso ” entendem os que las dim en siones transversales son m ucho m ayores que la longitud de onda del sonido. L uego, cuando presionam os el objeto, no se puede d ilatar lateralm ente -só lo se puede com prim ir en una dim ensión-. A fortunadam ente
ya hem os estudiado el c a so especial de Ja com presión de un m aterial elástico co n s treñido. T am bién hem os estudiado en el capituio 4 7 , vof. I, ia velocidad de las o ndas sonoras en un gas. Siguiendo el mism o razo n am ien to pueden ver que la velocidad del sonido en un sólido es igual a !p, donde Y es el “ m ódulo longitudinal” - o presión dividida p o r la variación relativa de la lo n g itu d - p ara e) caso de co n s tricción. E s precisam ente el cociente entre A lH y F Í A o btenido en la ecuación (38.20). A sí pues, la velocidad de las o ndas longitudinales e stá d ad a por
( 1 +
2
> y 1 / 2 , el m ódulo de to rsió n p. es m enor que eí m ódus m ayor que Y, asi que
E sto significa que las on d as longitudinales viajan m ás ráp id o que las o ndas de corte. U na de las form as m ás precisas de medir las co n stan tes elásticas de u n a su stan cia es m idiendo la densidad del m aterial y las velocidades de ios dos tipos de ondas. De esla inform ación se p u ede obtener y a . A p ro p ó sito , m idiendo la diferencia en el tiem po de llegada de las d o s clases de o ndas provenientes de un terrem o to el sism ó logo puede estim ar —aún sólo con las señales recibidas en u n a sola estación— la dis tan cia al tem blor.
38-4
L a viga flexionada
A h o ra exam inarem os o tro tem a p ráctico : la fle x ió n de u n a b a rra o u n a viga. ¿C uáles son las fuerzas cu an d o flexionam os u na b a rra de sección tran sv ersal a rb i tra ria ? Lo estudiarem os pensando en una b a rra de sección circu lar, pero nuestra respuesta servirá p a ra cualquier form a. Sin em bargo p ara a h o rrar tiem po, reco rta rem os un poco de m o d o que n u estra teo ría será solam ente ap roxim ada. N u estro s resultados serán c orrecto s solam ente cu ando el radio de flexión sea m ucho m ayor que el espesor de la viga.
Fig. 38-11.
Una viga flexionada.
S upongan que to m a n los d o s ex trem o s de u n a b a rra rec ta y la d oblan se g ún a lgu na c urva c o m o la m o stra d a en ¡a ñ g u ra 3 8 -1 1 . ¿ Q u é su ced e dentro de la ba rra? Bien, el que esté cu rvada significa que el m aterial en la parte interna de la curva está com prim ido y el m aterial en la parte externa está estirado. H ay cierta superficie más o m enos paralela al eje de la barra que no está ni com prim ida ni estirada. Se Uama superficie neutra. Sería de esp erar que esta super ficie esté cerca de la “ m itad ” de la sección transversal. Se puede d em o strar (pero no lo harem os aqui) que p ara pequeñas flexiones de vigas sim ples, la superficie neutra va a lo largo dei “ centro de g rav ed ad ” de la sección tran sv ersal. E sto es cierto solam ente para flexión “ p u ra ” - s i no se está estirando o com prim iendo la viga al m ism o tiempo.
Fig. 38-12. {a) Segmento pequeño de una viga flexionada (¿). Sección trans versal de la viga. Para flexión pura, entonces, una reb an ad a delgada de la b arra se deform a com o m uestra la figura 3 8 -I2 (a). El m aterial p or debajo de la superficie neutra tiene una deform ación com presional que es proporcional a la distancia a la su perficie neu tra; y el m aterial por encim a está estirado, tam bién en proporción a su distancia a la superficie neutra. Así pues, el estiram iento longitudinal A l es p roporcional a la altura y. La constante de proporcionalidad es precisam ente / sob re el radio de curv atu ra de la b arra - v e r figura 38-12: úd
y
L uego, la fuerza por unidad de área -e t e sfu e rz o - sobre una faja pequeña ' tam bién es proporcional a la distancia a la superficie neutra. — = AA
Y L ·. R
(38,34)
Exam inem os a ho ra las fuerzas que podrían producir tales deform aciones. Las fuerzas que actúan sobre el pequeño segm ento dibujado en la figura 38-12 están indicadas en la m isma. Si consideram os cualquier corte transversal, las fuerzas actúan a través de él, en un sentido p or encim a de la superficie n eu tra y en el otro por debajo. Vienen en p ares p ara fo rm ar un “ m om ento de fiexión” 3 H -c o n lo cual en tendem os el torque respecto a la línea n e u tra -. Podem os calcular ei m om ento total integrando la fuerza m ultiplicada p or la distancia a la superficie
neutra en una de las caras del segm ento de la ñ g ura 38-12;
j
3Tl -
Según la ecuación (38.34), d F -
ydF.
(38,35)
Y y íR d A , así que
La integral de y~dA es lo que podem os llam ar el“ m om ento de inercia” de ta sección transversal repecto a un eje tiorízontal que pasa por su “ centro de m asa” *; lo llam arem os /: 3TC =
”
(38,36)
(38,37)
E ntonces la ecuación (38.36) nos da la relación entre el m om ento de flexión w y la curvatura \ / R de la viga. La “ rigidez” de la viga es proporcional a K y al m om ento de inercia I. En otras p alabras, si quieren ta viga más rígida posible con una cantidad dada de alum inio, digam os, deben poner lo que más puedan de él tan lejos de la superñcie neutra com o sea posible, p ara form ar un m om ento de inercia grande. Sin em bargo, no pueden ¡levar esto al extrem o, porque entonces la viga no se flexíonará com o lo hem os supuesto - s e pan d eará o reto rcerá vol viéndose débil otra v e z - A h o ra pueden ver por qué las vigas estructurales se hacen en form a de I o de H —com o m uestra la figura 38-13.
Com o ejem plo del uso de nuestra ecuación de viga (38.36), calculem os la flexión de una viga voladiza con una fuerza concen trad a W que actú a en el extre mo libre, com o m uestra la figura 3 8 -Í4. (Por “ voladiza” entendem os sim plem ente que la viga está soportad a de tal form a que la posición y ia pendiente están fijas realmente el momento de inercia de i
extrem o - e s tà em potrada en u na p ared de c em en to -.) ¿C u ál es la form a de la viga? Llam em os z a la deflección a la d istancia x desde el extrem o fijo; querem os conocer z(x). C alcularem os solam ente p a ra flexiones pequeñas. T am bién supondre m os que la viga es larga en co m p aració n con su sección transversal. A h o ra bien, com o saben de sus cursos de m atem ática, la cu rv atu ra 1 /R de cuaiquier curva z (x ) e stá dada por 1 (P zjd x^ R ~ Í r + '( d z /d x ) ^ ] ^ iz
(38.38)
C om o solam ente estam os interesados en pendientes pequeñas -g en eralm en te éste es el caso en e structu ras de in g en iería- despreciam os { d z /d x Y en com paración con 1 y lom am os R
(38.39)
dx^
T am bién necesitam os conocer el m om ento de flexión 3Tí. E s u na función de ;c porque es igual al torque con respecto al eje neu tro de cualquier sección. D es preciem os el peso de la viga y tom em os solam ente la fuerza h a cia ab ajo W en e! extrem o dv*. la viga. (Pueden incluir el peso de la v iga ustedes m ism os, si quieren.) Luego, el m om ento de flexión en x es 3IE(^> = W {L -
x\
porque éste es el torque ejercido p o r el peso W con respecto al punto x -e l torque que la viga debe so p o rta r en x ~ . O btenem os
d “z W . S ¡= Y Í< L -x ). L a podem os integrar sin ningún artificio; obtenem os l¥ ( L x ^
" = YT
x^ \
-
t
) ■
usando nuestra suposición de que z(0) = O y que d z / d x tam bién X = 0. E sta es la
form a de )a viga. EJ desplazamiento del extn (38.42) el desplazam iento del extrem o de u na viga aum enta
; el cubo de la longitud.
Al desarrollar n u estra teoria aproxim ada de la viga, hem os supuesto que la sección de ia viga no cam bia cuan d o la doblam os. C u an d o el espesor de la viga es pequeño com parad o con el radio de cu rv a tu ra, la sección transversal cam bia m uy poco y nuestro resultado and a bien. Sin em bargo, en general este efecto no se puede despreciar, com o pueden d em o strar fácilm ente d oblando una goma de b o rra r blanda entre los dedos. Si la sección era originalm ente rectan g u lar, encon trará n que al dob larla, la base se com ba (ver figura 38-15). E sto sucede porque cuando com prim im os la base, el m ateriai se expande lateraím ente - e n la m edida que indica la relación de Poisson— L a gom a es fácil de do b lar o estirar, pero se parece a un liquido en que es dificil cam biar el volum en -c o m o se m anifiesta cla ram ente cuando doblan la g o m a -. P a ra un m aterial incom presible, la relación de Poisson debe ser exactam ente I /2 ^ a r a la gom a es aproxim adam ente esta mism a.
38-5
Flexión lateral
Q uerem os a hora u sar nu estra teoria de la viga p ara com prender la teoria de la flexión lateral, o p andeo, de vigas, colum nas o varillas. C onsiderem os la situación representada en la figura 38-16 en la que u na varilla que norm alm ente debe ser recta es m antenida en flexión m ediante dos fuerzas opuestas que presionan en los extre m os de la m ism a. Q uerriam os calcular la form a de la varilla y la m agnitud de las fu e rza s en los extrem os.
Fig. 38-16.
Una viga flexada.
38-17
Sea y (x ) la deflección de la vanlia respecto de la linea recta entre los extrem os, donde x es (a distan cia a uno de los extrem os. £ 1 m om ento de flexión 3)1 en eí pun to P de ía figura es igual a la fuerza F m ultiplicada p or el brazo del m om ento, que es la distancia perpendicular >>, 3il(x) = F y.
(38.43)
U sando la ecuación de la viga (38.36), tenem os
P a ra deflecciones p eq ueñas, podem os tom ar \ ! R ^ - ( P y l d x ^ (el signo m enos es porque la cu rv atu ra es hacia abajo). O btenem os /
(38.45)
que es la ecuación diferencial de una o n d a senoidal. A sí pues, p ara deflecciones pequeñas, ía curva de tal viga flexionada es una curva senoidal. La “ longitud de o n d a ” A de la onda senoidal es dos veces la d istancia L entre los extrem os. Si la curvatura es pequeña, ésta no es sino el doble de la longitud de la varilla sin flexión. Así pues, la c urv a es = K s , n irx/L . T om ando la derivada segunda, tenem os dS C om parando ésta con la ecuación (38.45), vem os que la fuerza es (38.46) ¡para flexiones pequeñas, la fuerza es independiente del desplazam iento y producido po r la flexión'. Tenem os entonces lo siguiente desde el punto de vista físico. Si la fuerza es me nor que la F dada en la ecuación (38.46), no hiabrá flexión alguna. Pero si es ligera m ente m ayor que esta fuerza, el m aterial se flexionará m ucho de repente - e s to es, p ara fuerzas m ayores que la fuerza critica (a m enudo llam ada “ fuerza de E uler” ) la viga se p a n d ea rá -. Si la carg a sobre el segundo piso de un edificio excede de la fuerza de E uler que pueden so p o rtar las colum nas, el ediñcio se desplo m ará. O tro lugar en donde la fuerza de pandeo tiene im portancia capital es en los cohetes espaciales. De una parte, ei cohete debe ser cap az de m antener su propio peso en la ram pa de lanzam iento y resistir los esfuerzos d u ran te la aceleración; y de o tra, es im portante lim itar el peso de la estru ctu ra a un mínimo, de m odo que la carga útil y la cap acid ad del com bustible puedan ser lo m ás grande posible. En realidad una viga no se desplom ará necesariam ente del todo cuando la fuerza exceda ia fuerza de Euler. C u ando los desplazam ientos se hacen grandes la fuerza es rnayor que
la que hem os encontrad o , debido a los térm inos en 1 IR de la ecuación (38.38), que hem os despreciado. P a ra h allar las fuerzas correspondientes a una flexión grande de la viga, tenem os que volver a la ecuación exacta, ecuación (38.44) que teníam os antes de usar la relación aproxim ada de R con y. L a ecuación (38.44) tiene una propiedad geom étrica b astan te sim ple*. Es un poco com plicada de h allar, pero es interesante. En iugar de describir la curva en función de x e j;, podem os u sa r dos nuevas variables: la distancia S a lo largo de la curva; y la pendiente 9 de la tangente a la curva. Véi figuia 38-17. L a cu rvatura es la variación del ángulo por unidad de distancia: 1
de
Por lo ta n to , podem os escribir la ecuación ex acta (38.44) e
TS~
-Y I^ ·
respecto a 5 y reem plazam os d y /d S p or ; (38.47) [Si O es pequeño, volvem os a obtener la ecuación (38.45). T o d o m arch a a las mil maravillas.) A hora bien, puede ser que les cause satisfacción, o n o , saber que la ecuación (38.47) es exactam ente la m ism a que se obtiene p ara las oscilaciones de gran am pli tud de un péndulo - c o n F / Y I reem plazada por o tra c o n stan te, n atu ralm en te-. A prendim os allá en el capítulo 9, vol. I, cóm o hallar num éricam ente la solución de ta! ecuacióní·. Las * Casualmente, la misma ecuación aparece e memsco en la superficie de un líquido contenido e mismas soluciones geométricas. t Las soluciones también se pueden expresar en función de ciertas funciones, llamadas “ funciones elípticas de Jacobi” , que otros ya han calculado.
respuestas que obtendrán son ciertas curvas fascinantes -co n o c id as com o curvas de la “ E lá stic a ”- . L a figura 38-18 m uestra tres curvas p ara valores diferentes de F /Y I.
39 M a t e r ia l e s e lá s tic o s
3 9 -1
E l tensor de deform ación especí-
39 2
El tensor de elasticid ad
39-3
L os m ovim ientos d en tro de i cuerpo elástico
39-4
C om p o rtam ien to no elástico
39-5
C álculo de las co n stan tes elás-
R eleer: C . K ittel, In troducción a la fís ica de l estado sólido. E ditorial Reverté, í celona, 1965
39-1
1 tensor de deform ación específica
En el capítulo anterio r hablam os de. Ia distorsión de ciertos o bjetos elásticos particulares. E n este capítulo querem os ver lo que sucede en general den tro de un m aterial elástico. N os g u staría describir las condiciones de esfuerzo y deform ación específica dentro de algún bloque grande de gelatina al retorcerlo y com prim irlo en cuaJquier form a com plicada. P a ra hacerlo , necesitam os describir la deform ación específica local en cada punto en un cuerpo elàstico ; podem os hacerio dando un conjunto de seis núm eros -q u e son las com ponentes desniips
e desplaza a P' cuando el bloque se deforma.
de un tensor sim étrico - p a ra c ad a pun to . A nteriorm ente hablam os del ten so r es fuerzo (capitulo 31); ah o ra necesitam os ei ten so r de deform ación especifica. Im aginen que em pezam os con el m aterial inicialm ente sin d efonnación y o b ser vam os el m ovim iento de u na partícula pequeña de “ suciedad” em potrada dentro del m aterial cuando se le aplica u na deform ación. U na partícula que estaba en el punto P localizado en r = (x, y , z) se m ueve a u na nueva posición P ' en r '= ( x ', y , z') com o se m uestra en ia figura 39-1. L lam arem os u al v ector desplazam iento de P a F . E ntonces M
r' -
í·.
(39.1)
El desplazam iento n depende, p or sup u esto , del punto P de p artid a, de m odo que u es una función vectorial de r - o si prefieren, de (x, y , z). V eam os prim ero una situación sencilla en la cual la deform ación es constante en todo el m aterial - a s i que tenem os lo que se llam a una deform ación homogénea—. Supongan, por ejem plo, que tenem os un bloque de m aterial y lo estiram os unifor m em ente. Sim plem ente cam biam os sus dim ensiones uniform em ente en una dirección -d ig am o s que en la dirección x, com o m uestra la figura 3 9 -2 - El desplazam iento v-x de una partícula en la dirección x es proporciona! a x. Hn efecto, w.
L a constante de proporcionalidad po r qué usam os un subíndice doble.)
A/
es, p or supuesto, igual a A l/l . (Pronto verán
nea de corte. Si la deform ación no es uniform e, la relación entre y x v a ria rá de un lugar a o tro en el m aterial. E n el caso general definim os p or medio de u na especie de A lU local, es decir p or e ,, = d u jd x . E ste núm ero gam iento en puede haber m eros
(39.2)
—que a h o ra esuna función de x,_y y z— describe la m agnitud del a lar ia dirección x en to d o el pedazo de gelatina. P o r sunviesto, tam bién alargam ientos en las direcciones y y z. L os describim os con los nú (39.3)
Tam bién necesitam os poder describir las deform aciones tipo corte. Im aginem os un cubo pequeño delim itado den tro de la gelatina inicialm ente no pertu rb ad a. C u an do la gelatina se deform a, este cubo puede tran sfo rm arse en un p aralelogram o, com o se ve en la figura 39-3*. En esta clase de d eform ación, el m ovim iento según x de c ada partícula es proporcional a su co o rdenada y. (39.4) Y tam bién hay un movim iento según
p roporcional a x, Wf/ = 2
A si pues, podem os describir tal deform ación de co rte escribiendo
1 dos partes iguales y
A-hora bien, se p o d ría pensar que c u an d o las deform aciones no son hom ogéneas podríam os describir ias deform aciones de corte generalizadas definiendo las canti dades y m ediante dy
d.
Pero hay una dificultad. Suponga
S on com o las ecuaciones (39.4) y (39.5) excepto que di signo de está invertido. C on estos desplazam ientos un cubo pequeño en la gelatina sim plem ente se corre un ángulo 8 /2 , com o m uestra la ñ g u ra 39-4. N o h ay ninguna deform ación -s ó lo una rotación en ei e sp ac io -. N o h ay d istorsión del m aterial; las posiciones relativas de todos los átom os no han variado. D ebem os de alguna m anera hacer n uestras defini ciones de m odo que las rotaciones p u ras no estén incluidas en las deform aciones de corte. E3 punto clave es que si d u y l d x y d u j d y son iguales y o p uestas, no hay deform ación; asi que podem os arreglar las cosas definiendo + dUx/dy). P a ra una rotación pu ra am bos son cero, pero p ara u na deform ación de corte pura obtenem os que es igual a com o queríam os. En la distorsión m ás genera) -q u e puede incJuir alargamiento o com presión ade m ás de la de corte— definim os e! estad o de deform ación dan d o los nueve núm eros
_
dux
^(dU y/dx + du^/dy),
Estus son los térm inos de un tensor de deform ación especifica. C om o es un tensor sim étrico -n u e stra s definiciones hacen sie m p re- realm ente hay solo seis núm eros diferentes. R eco rd arán (vean el capítulo 3 i) que la característica general de un tensor es que ¡os términos se transform an c o m o los p ro ductos de las com po nentes de dos veclores. (Si A y B son vectores, C,^ = A es un tensor.) C ad a térm i no de Cfy es un prod u cto (o la sum a de tales productos) de fas com poneíites de) vector u = i^, u^) y del op erad o r v = ( d ! d x , d I d y , 'ó I d i) , que sabem os se transform a com o un vector. Llam em os x ,. x ,· 3 ,r, y. z, y u ,, ¿í, a u^, «,,, u.: luego podem os escribir el térm ino general e¡j del ten so r de deform ación especifica en la form a = UáiJ,-/dx, -I- d u,/d xi),
(39.8)
donde i y J pueden ser 1, 2 y 3. C u an d o tenem os una deform ación hom ogénea -q u e puede incluir tanto a larg a m iento com o c o rte - to d as las e,, son co n stan tes y podem os escribir : e„x +
+ e„ z.
(39.9)
(E scogem os nuestro origen de x, v, z en el punto donde u es cero.) En este caso el tensor deform ación e¡: da la relación entre dos vectores: el v ector posición r = (x, / , z) y el vector desplazam iento u (¿¡„ íí,, u -J. C u ando tas deform aciones no son hom ogéneas, cualquier pedazo de la gelatina tam bién puede sufá r una torsión -h a b rá una rotación toca)-. Si las distorsiones son todas pequeñas, tendrem os A ,u = Y ^ ( e ,j~ donde
(39.10)
es un tensor antisim étrico, = i{díh /d x^ -
d u fd x ·),
(39,11)
que describe la rotación. Sin em bargo, no nos preocuparem os m ás de las rotaciones, sino únicam ente de las deform aciones descritas por el ten so r sim étrico e,y,
39-2
El tensor de elasticidad
A hora que hem os descrito las deform aciones especificas, querem os relacionarlas con las fuerzas internas -lo s esfuerzos en el m a terial-. Suponem os que la ley de H ooke es. vàlida y escribim os que los esfuerzos son proporcionales a las d eform acio nes especificas. En el capitulo 3 1 definirnos el tensor de esfuerzos 5'yComo ¡a com po nente i de la fuerza a través de un área unitaria perpendicular al eje j . La ley de H ooke dice que cada com ponente de S,j está linealm ente relacionada con cada unu de tas com ponentes de ta deform ación especifica. C om o S y e tienen nueve com po nentes, hay 9 x 9 = 81 coeficientes posibles q ue describen las propiedades elásticas del m aterial. Son co n stan tes si el m aterial es hom ogéneo. Indicam os estos coefi cientes con y los definim os m ediante la ecuación s„
-
C „ ue„ ,
(39.12)
donde i , j , k, l tom an los valores 1, 2 ó 3. Com o los coeficientes C y/,/relacionan un tensor con otro, tam bién form an un ten so r - u n ten so r de cuarto rango—. Podem os llam arlo iensor de elasticidad. Supongan que todas las C son conocidas y que aplican una fuerza com plicada a un objeto de u na form a peculiar. H ab rá toda clase de distorsiones y el o bjeto queda rá finalm ente con alguna form a reto rcid a. ¿C uáles son los desplazam ientos? Pueden ver que es un problem a com plicado. Si conocieran las deform aciones específicas, podrían hallar los esfuerzos em pleando la ecuación (39.12) - o v icev ersa-. Pero los esfuerzos y deform aciones que hay finalm ente en un pu n to dependen de !o que suce de en todo el resto del m aterial. L a m anera m ás fácil de atac ar el problem a es considerar la energia. C uando hay un a fuerza F proporcional a un desplazam iento x , digam os que F = íoc, el tra bajo requerido p a ra cualquier desplazam iento x es k x ^ /2 . En una form a sim ilar, el trab ajo w que se realiza dentro de cada unidad de volumen de un m aterial distorsio nado resulta ser W= è £
(39.13)
■jeu d \o \.
(39.14)
E ntonces ésta es la energia potencial alm acenada en los esfuerzos internos del m a terial. A hora bien, cu an d o un cuerpo e stá en equilibrio, esla energía inlerna debe ser mínim a. A sí pues, el problem a de hallar las deform aciones en un cuerpo puede ser resuelto hallando el con ju n to de desplazam ientos ii en to d o el cuerpo que hagan W mínimo. En el capítulo 19 dim os algunos ideas generales del cálculo de variacio nes usadas p a ra a tac ar problem as de m inim ización corno éste. A quí no podem os entrar en m ás detalles sobre el problem a. En lo que estam os m ás interesados ah o ra es en lo que se pueda decir de las p ro piedades generales del ten so r de elasticidad. Prim ero, está claro que realm ente no hay 81 térm inos diferentes en Com o y e,y son am bos tensores sim étricos, cada uno con sólo seis térm inos diferentes, puede haber a lo sumo 36 términos diferentes en C,yí-;. Sin em bargo, hay generalm ente m uchos menos. E xam inam os el caso especial de un cristal cúbico. E n él, la densidad de energía ív em pieza así:
+ + CyyyyCly
+ C:,xyyexxeyy , . . etc . . . . . . t i c . . . ttC...},
(39.15)
¡con un total de 81 térm inos! A hora bien, un cristal cúbico tiene cierta sim etría. En particular, si se gira el cristal 90°, tiene las m ism as propiedades físicas. T iene la m is m a rigidez ta nto p ara alargam ientos en la dirección y com o p ara alargam ientos en la dirección x. Por lo ta n to , si cam biam os nuestra definición de las direcciones de las coordenadas a: e en la ecuación (39.15),
lergía no debe cam biar. P a ra un crislal cùbico debe s (39.16) L uego podem os d em o strar que ios térm inos com o deben ser cero. U n cristai cúbico tiene ia propiedad de ser sim étrico frente a u na reflexión respecto a cualquier plano perpendicuiar a uno de los ejes. Si reem plazam os y en vez de —y, nada es diferente. Pero cam biando á t y & -y , se tran sfo rm a en - e ^ - u n despla zam iento que iba hacia -^y ah o ra es h acia - y - . P a ra que la energía no cam bie, C ^ ^ d e b e transform arse en cuan d o hacem os u na reflexión. Pero un cristal reflejado es el mismo que antes, así que debe ser igual a - C x ^ y E sto puede suceder sola m ente si am bos son cero. U stedes dirán, “ ¡pero el m ism o razonam iento d a rá Cyyyy = O!” . N o , porque hay cuatro y . El signo cam bia u n a vez p or cada y y cu atro m enos dan un m ás. Si hay dos o cuatro y , el térm ino no tiene p or qué ser cero. Es cero solam ente cuando hay una o tres. A sí pues, p a ra un cristal cúbico, cualquier térm ino no nulo de C tendrá solam ente un número pa r de subíndices idénticos. (E videntem ente, ei razonam iento que hem os hecho p a ra y ta m b ién sirve p a ra x y z·) E n to n c es se p u eden ten er térm inos com o y cosas asi. Sin em bargo, y a hem os dem ostrado que si cam biam os to d as fas x y y viceversa (o to d as las z y x, etc.) debemos obtener - c o n un cristal cú b ico - el mism o núm ero. E sto significa que h ay solamente tres posibilidades no nulas diferentes·.
x ( = Q . . . = C „ „ ), v i-c . etc.), .Í.X = etc.). P a ra un cristal cúbico, entonces, la densidad de energía ten d rá este aspecto;
w =
+ e%) ^l·2C2χyy(eχχ€yp + eyy€2¡: -h ez^ezx) + e l + elx)}.
(39.18)
Pa ra un m aterial isó tro p o -e sto es, no cristalino— )a sim etría es aún m ás alta. L as C deben ser las m ism as p ara cualquier sistem a de co o rdenadas que se escoja. R esulta entonces que h ay o tra relación entre las C, a saber. = Cx^yy + C^y^y. Podem os ver que esto es así, p or el siguiente razonam iento general. El tensor de es fuerzos S¡j tiene que estar relacionado con e¡j en una form a que no dependa de ias direcciones de las coordenadas -d e b e estar relacionado solam ente m ediante can tid a des escalares. “ E so es fácil” , dirán. “ L a única form a de o btener S q de es m ul tiplicando por u na co n stante escalar. Es precisam ente ia iey de Hooice. D ebe ser que S¡j = (constante e,y. Pero eso no es del todo c o rrecto ; tam bién podría estar el te nsor unitario 8¿¡ m ultiplicado p or algún escalar, linealm ente relacionado
con c,Y- El único invariante lineal en las e que pueden hacer e + z ^ que es un escalar.) A si pues, la form a má isó tro p o s- de la ecuación que relaciona ^9,^ con e,y es S„ -
2mc¡, + X
S,,,
(39.20)
(L a prim era constante se escribe de ordinario com o dos por p : entonces el coefi cíente // es igual al módulo de corte que definim os en el capítulo anterior.) Las con.s tantes y A se llam an constantes elásticas de Lam é. C o m p aran d o la ecuación (39.20) con la ecuación (39.12) se ve que = >'· C . , . , = 2 m, C . . . . - 2,. + X.
(39.21)
Así pues, hem os dem ostrado que la ecuación (39.19) realm ente es cierta. Tam bién ven que las propiedades elásticas de un m aterial isótropo están dadas com plciam cnic por dos constantes, com o dijim os en el capítulo anterior. Las C se pueden poner en función de dos cualesquiera de las conslanics eiásii cas que hem os usado anteriorm ente —p or ejem plo, en función del m ódulo de Yo\mg K y de la razón de Poisson cr-. D ejarem os a su cargo que dem uestren que
(1
39-3
+ a)
Los movimientos dentro de un cuerpo elástico
H em os visto que en un cuerpo elàstico en equilibrio los esfuerzos internos se ajustan para hacer minim a la energia. A h o ra veam os lo que sucede cuando las fuer zas internas no están en equilibrio. D igam os que tenem os un trozo pequeño de mate rial dentro de cierta superficie A . Ver la figura 39-5. Si e! tro zo está en equilibrio, ia fuerza total F que actúa sobre él debe ser cero. Podem os considerar que esta fuer za está form ada por dos partes. Podria haber una parte debida a fuerzas “ externas" com o la gravedad, las cuaics actúan a d istan cia sobre la m ateria contenida en el trozo produciendo una fu e rza por unid ad de volumen La fuerza externa total es la integral de sobre el volumen de! trozo:
= j
dV.
(.39,23)
En el equilibrio, esta fuerza estarla equilibrada por la fuerza tota! proveniente del m aterial cercano que actú a a través de ia superficie A. C u ando e! trozo no está en equilibrio
- s i se está m ovie n d o - ia sum a de las fuerzas internas y externas es igual a la i por la aceieración. T endríam os Fext +
áV,
donde p es la densidad del m aterial y r su aceleración. A h o ra podem os com binar las ecuaciones (39.23) y (39.24), escribiendo (39.25) Sim plificarem os la escritu ra definiendo /=
- /e x .
(39.26)
L uego, la ecuación (39.25) se con v ien e en (39.27) L o que hem os llam ado F¡n¡ está relacionado con ios esfuerzos en el m aterial. Ei tensor de esfuerzos Sfj fue definido (capitulo 31) de m odo que la com ponente x de la fuerza tíF a través dei elem ento de superficie da, de versor norm al n, está dada por dF^ = (S.^íí^ + + S x,n ,)d a. (39.28) L a com ponente ;c de F¡n, sobre nuestro pequeño tro zo es entonces la integral de dFx sobre la superficie. Sustituyendo esto en la com ponente x de la ecuación (39.27), obtenem os + S „ n , + S ,.n ,') d a = T enem os una integral de superficie relacionada con u na integral de volum en --y esto nos recuerda algo que aprendim os en electricidad. N oten que si ignoran el prim er subíndice
a: en cada una de las S del prim er m iem bro de la ecuación (39.29), ésta tiene preci sam ente e! aspecto de la in te ^ aJ de u na can tid ad “S ” · n - e s to es, la com ponente norm al de un vector (sobre la su p erficie)-. Seria el flujo de “ S ” que sale del volum en. Y se podría escribir esto, usan d o la ley de G au ss, com o la integra! de vo lum en de la divergencia de “ S ” . E n realidad, esto es válido h a y a o no subíndice x —es sim plem ente un teorem a m atem ático que se obtiene integ ran d o p o r p a rte s-. En o tras palabras, podem os poner la ecuación (39.29) en la form a
A ho ra podem os suprim ir las integrales de volum en y escribir ía ecuación diferencial p ara la com ponente general de f en la form a =
, <39.31)
E sta expresión dice cóm o está relacio n ad a la fuerza p o r u nidad de volum en con el tensor de esfuerzo S¡j. L a teoría de los m ovim ientos d en tro de un sólido procede de esta m an era. Si em pezam os conociendo eí desplazam iento inicial - d a d o p or u , digam os— podem os o btener las deform aciones €¡j. A p a rtir de las deform aciones podem os o b ten er los esfuerzos usando la ecuación (39.12). A p artir de los esfuerzos podem os ob ten er la densidad de fuerza f en la ecuación (39.31). C o nociendo f, podem os o b ten er de la ecuación (39.26), ia aceleración r del m aterial, que nos dice cóm o están variando los desplazam ientos. Ju n tan d o to d o obtenem os la h orripilante ecuación de m ovim ien to p ara un sólido elástico. Sólo escribirem os a co n tinuación el resultado que se obtie ne p ara un m aterial isó tro p o . Si u san la ecuación (39.20) p a ra S y y escriben la gycom o { { d u j/d x j + d u j/d x ,) , llegan a la ecuación vectorial / = ( \ + m) V (V ■ u) -f
(39.32)
En realidad, pueden ver que la ecuación que relaciona f y u debe tener e sta form a. L a fuerza debe depender de Sa segunda derivada del desplazam iento u . ¿Q ué deriva das segundas de u hay que co n stitu y an vectores? U na es v ( V - u ) ; es un v ector ver dadero. L a o tra es v^ u . A sí que la form a m ás general es / -
ü V (V -H )+ b V \
que es precisam ente (39.32) con u n a definición diferente de las con stan tes. Puede que se estén preguntando p or qué no tenem os un tercer térm ino u sando V x V x u, que tam bién es un vector. Pero recuerden que v x V x u es lo m ism o que v ^ u - v ( v - u ) , así que es u na com binación lineal de los dos térm inos que tenem os. A gregándolo no agregam os nad a nuevo. H em os d em o strad o u na vez m ás que los m ateriales isótropos tienen solam ente dos c o n stan tes elásticas. P a ra la ecuación de m ovim iento del m aterial, podem os poner (39.32) igual a p d ^ u /d l^ “ despreciando p o r ah o ra cualquier fuerza de volum en com o la g rav e d ad y obtener (I l l
= (X +
v ( v ■ «) + MV V
(39.33)
Se pitrccc un poco a la ecuación de onda que teníam os en el clectrom agncli.sm o, excepto que hay un térm ino adicional com pücado. Para m ateriales cuyas propieda des clásticas son las m ism as en cualquier p arte, podem os ver cuál es el aspecto de In solución generalcom o sigue. R ecordarán que se puede escribir cualquier cam po vectorial com o la sum a de dos vectores; uno cuya divergencia escero y el o tro cuyo rcuor es cero. En otras palab ras, podem os poner Sí = « , + ÍÍ2 , V -?jf=0, Sustituyendo
por hí, -ip d ^ d í^ iu , +
(39.34)
V X íís - 0.
(39,35)
en (39.33), obtenem os = (X + m) V (V ■ « ,) -f
+ Ma).
(39-36)
í'odcm os elim inar u , tom ando la divergencia de esta ecuación,
pd^/d/^y ■ «2)
= (X + íí)V ^( V ■ M2) + mV ■ W 2 .
C om o se puede intercam biar los operadores (V -) y (v ), podem os sacar la divergen cia Tactor com ún y obtener V ■
-
( \ + 2 n ) v ‘ a-¿) -
0.
(39.37)
Com o V X es cero por definición, el ro to r del corchete í 1 tam bién es cero, asi que el corchete mismo es idénticam enle nulo y p a h s 2 /d í^ = (A -i- 2 m )V \2 ·
(39,38)
lista es la ecuación de onda vectorial para ondas que se m ueven a la velocidad C, v/( l + 2^')7/^ C om o el ro to r de u , es cero, no hay deform aciones de corte asociadas com o esta o n d a; esta onda es justam ente la onda com presional ~ ti[) 0 so n o ra - discutida en el capitulo anterior y la velocidad es precisam ente la que ha llamos para De una m anera sim ilar -to m a n d o el ro to r de la ecuación (3 9 .3 6 )- podem os demostrnr que y, satisface la ecuación p
(39,39)
O tra vez es una ecuación de onda vectorial p ara ondas con la velocidad C j - \ / / '/ / '· Com o es cero, u, no produce variaciones de densidad; el vector u, co rresp o n de a la onda transversal o tipo de corte que vimos en el capitulo anterior y C’, Q ,,,,.. Si querem os conocer los esfuerzos estáticos en un m aterial isótropo, en principio piulriam os hallarlos resolviendo ia ecuación (39.32) con f igual a cero —o igual a las lu e r/as estáticas de volum en debidas a la gravedad, tal com o /;g -b a jo ciertas condi ciones que están relacionadas con las fu er/as que actúan sobre la superficie de nues tro bloque grande de m aterial, listo es algo más difícil de hacer que losproblem as correspondientes dcl electrcim agnetism o. Es m ás difícil, prim ero, porque las ecuacio nes son un poco más dificiles de m anejar; segundo, porque las form as do los cuerpos '“lásticos en los que más interesados estam os generalm ente son m ucho más com pli cadas. r.ii electrom agnetism o, a m enudo estam os interesados en resolver las ecu acio nes (.le Maxweii alrededor de form as geom étricas relativam ente sim ples,
tales com o cilindros, esferas, etc., puesto que éstas son form as convenientes para dispositivos eléctricos. En elasticidad, los objetos que quisiéram os analizar pueden tener form as muy com plicadas -c o m o u n gancho de grú a o un cigüeñal de autom óvil, o el ro to r de una turb in a de g a s -. A veces se pueden resolver aproxim adam ente estos problem as con m étodos num éricos, usan d o el principio de m inim a energía m encio nado anteriorm ente. O tra form a es u sa r un m odelo del objeto y m edir los esfuerzos internos experim entalm ente, usan d o luz polarizada. El m étodo funciona asi: cuan d o se som ete a tensión un m aterial isótropo tran s parente - p o r ejem plo, un plástico tran sp aren te com o el lu c ite - se vuelve birrefringente. Si se envia luz p o larizada a través de él, el plano de polarización ro ta cierto ángulo en relación con el esfuerzo; m idiendo la ro tació n , se puede m edir el esfuerzo. L a figura 39-6 m uestra el aspecto que p o dría tener el dispositivo experim ental. La figura 39-7 es una fotografía de un m odelo fotoelàstico de una form a com plicada som etida a esfuerzo.
Fig. 39-7. Un modelo piástico someti do a esfuerzo tal como se ve entre polaroides perpendiculares, ÍDe F, W, Sears, Optica, Aguilar, Madrid, 1960,1
39-4
ComporíasBÍento mo elástico
E n to d a s estas cosas que hem os estad o diciendo, hem os su p u esto q ue el esfuerzo es proporcional a la d eform ación; en general esto no es cierto. L a figura 39-8 m uestra una curva tipica de esfuerzo -d efo rm ac ió n específica de un m aierial d ú c til-. P a ra deform aciones pequeñas, el esfuerzo es p roporcional a la deform ación especí fica. A la larga, sin em bargo, después de un punto determ inado, la relación entre esfuerzo y deform ación em pieza a desviarse desde u na linea recta. E n m uchos m ate riales -lo s que llam aríam os “ frágiles”— los objetos se rom pen con deform aciones un p oco p o r encim a del pu n to donde la curva em pieza a d oblarse. E n general, h ay otras com plicaciones en la relación esfuerzo-deform ación especifica. P o r ejem plo, si d efo n n an un objeto, los esfuerzos pueden ser altos al principio, pero decrecen len ta m ente con el tiem po. A dem ás, si van a esfuerzos altos, p ero no h asta el pu n to de “ ro tu ra ” , cuando bajan la defo n n ació n el esfuerzo reto rn a rá siguiendo u na curva diferente. H ay un pequeño efecto de histéresis (com o el que vimos e n tre £ y H en m ateriales m agnéticos).
Fig. 39'8. Una relación típica esfuer zo-deformación específica para grandes deformaciones. El esfuerzo al cual un m aterial se romp)e varía am pliam ente de un m aterial a o tro. A lgunos m ateriales se rom perán cuando el esfuerzo de tensión m áxim o alcance un valor determ inado. O tro s m ateriales cederán cuando el esfuerzo de carie máxim o alcance un
cierto valor. La tiza es un ejem plo de un m ateriai que es m ucho m ás débil en ten sión que en corte. Si se hala de los extrem os de un pedazo de tiza, la tiza se rom pe perpendiculannente a la dirección de los esfuerzos aplicados, com o m uestra la figura 39-9(a). Se rom pe perpendicularm ente a ia fuerza aplicada porque es sólo un conglom erado de p artículas fácilm ente separables. Sin em bargo, el m aterial es m ucho m ás resistente al esfuerzo de co rte, porque las p artículas se obstaculizan entre si. R ecordarán que cuan d o teníam os una varilla som etida a torsión hab ia un esfuerzo de corte en to d a ella. T am bién dem ostram os que un esfuerzo de corte era equivalente a una com binación de u na tensión y una com presión a 45°. P o r estas razones, si se tuerce un pedazo de tiza, se rom perá a lo largo de una superficie com plicada que em pezará form ando 45° con el eje. La fígura 39-9(b) m uestra una fotografía de un pedazo de liza rota de esta m anera. L a tiza se rom pe donde el ma-· terial e stá en tensión m áxim a. O tros m ateriales se com portan de u na m anera e x trañ a y com plicada. C uan to m ás com plicados son los m ateriales, m ás interesante es su com portam iento. Si-tom a m os una hoja de plástico “ sa ra n ” (N T ), la hacem os un bollo en form a de pelota y la arrojam os sobre u n a m esa, se desdobla lentam ente y vueive a su form a original. A prim era vista, estaríam o s tentados a pen.sar que es la inercia la que hace que vuelva a su form a original plana. Sin em bargo, un cálculo sencillo dem uestra que la inercia es muy pequeña (varios órdenes de m agnitud) p ara p roducir el efecto. Parece que hay dos efectos im portantes com pitiendo; “ algo” dentro del m aterial “ recu erd a” la form a que tenia iiúcialm enle y “ tra ta ” de volver a ella, pero algo m ás “ prefiere” la nueva form a y “ se resiste” a volver a la prim era. N o intentarem os describir el m ecanism o puesto en juego en el plàstico saran , pero pueden darse una idea de cóm o se puede producir tal efecto por medio del modelo siguiente. Im aginen un m aterial hecho de fibras largas, flexibles pero fuertes, m ezcladas con algunas celdas huecas llenas de un líquido viscoso. Im aginen tam bién que hay cam inos delgados de u na celda a la siguiente de m odo que el líqui do puede filtrarse lentam ente de una celda a su vecina. C u an d o arrugam os en la m ano una hoja de este m aterial, d istorsionam os las fibras larg as, exprim iendo el liquido de ias celdas en un lugar y forzándolo dentro de o tras celdas que se han a largado. C uando io soltam o s, las fibras largas tra ta n de volver a su form a original. Pero p ara hacerio tienen que obligar al líquido a volver a su ubicación original -io que sucederá en fon n a relativam ente lenta debido a la viscosidad—. L as fuerzas que a plicam os al arru g ar la hoja son m ayores que las fuerzas pro d u cid as por las fibras. Podem os arrugar la h oja ràpidam ente, pero se recu p erará m ás lentam ente. Es evi dente que una com binación de grandes m oléculas rígidas y pequeñas moléculas m ó viles en el plástico saran es causante de su co m portam iento. E sta idea tam bién con cuerda con el hecho de que el m aterial vuelve m ás ràp id am en te a su form a original cuan do está caliente que cuan d o está frío -e l c alo r aum enta la movilidad (dism i nuye la viscosidad) de las m oléculas pequeñas. A unque hem os estad o discutiendo cóm o pierde su validez la ley de H ooke, qui zás lo notable no es que la ley de H ooke deje de valer p ara deform aciones grandes sino que sea de validez ta n general. Podem os hacem o s u na idea de por qué es asi, observando la energía de deform ación de un m aterial. D ecir que el esfuerzo es pro porcional a la deform ación específica, es lo mism o que decir que la energía de deform ación varia com o el cu ad rad o de la deform ación especifica. Supongan que tenem os una varilla y que ia retorcem os en un ánguio pequeño 0. Si N. de, T.: Se trata de uti termoplàstico resistente y flexible muy utilizado para envolver alimentos por su impermeabilidad y su resistencia a los agentes químicos. Generalmente se lo confunde con el celofán y por ello su nombre que proviene de una marca de fábrica. Es práclicamenie desconocido en la América Lalina.
vale la iey de H ooke, fa energia de defoim aciòn debería ser p roporcional ai cu adrado de (>■ Supongan que la energía sea una función arb itraría del ángulo; podríam os escribirla en la form a de un desarrollo de T aylor alrededor de un ángulo cero: U(&) = í/(0) + U'(0)0 -l·-
..,
(39.40)
E( torque t es la derivada de U con respecto al ángulo; tendríam os entoi'ice.s !(0) = l/XO) + ( r( 0 ) 8 +
+ ■■■
(39.4Í)
Sí m edím os los ángulos desde la posición de equilibrio, el prím er térm ino es cero, así que el prim ero de los térm inos restantes es proporcional a y p ara ángulos su/lcientem ente pequeños, d om inará sobre el térm ino en Q -. lE n realidad, los m ate riales son suficientem ente sim étricos internam ente de m odo que t ( 0 ) = —t(-(.í); el térm ino en O- será cero y la desviación de la línearidad provendría únicam ente del térm ino en l) \ Sin em bargo, no hay razón p ara que esto sea cierto p ara com presio nes y tensiones.! Lo que no hem os explicado es por qué los m ateriales se rom pen de ordinario poco después que los tcim inos do orden superior se to rn an significaiivos.
39-5
C áículo de 5as constantes elásticas
Com o último tem a de elasticidad querríam os m o strar cóm o se podria tra ta r de calcular las constantes elásticas de un m aterial, em pezando con algún conocim iento de las propiedades de los átom os que form an el m aterial. T om arem os solam ente el c aso sencillo de un cristal cùbico iónico corría el cloruro de sodio. C uando se deform a un cristal, varian su volum en o su form a. T ales variaciones dan lugar a un aum ento de la energia potencia! del cristal. Para calcular la variación de la energía de form ación, tenem os que saber a dónde va cada átom o. En cristales com plicados, los átom os se redistribuyen en la red de m aneras m uy com plicadas p ara hacer que la energia total sea lo más pequeña posible. Esto hace que el cálculo de la energía de deform ación sea bastante dilicil. Sin em bargo, en el caso de un cristal cubico sencillo es fácil ver lo que sucederá. La distorsión dentro del cristal será geom étri cam ente sim ilar a la distorsión de las paredes externas del crístal. Podem os calcular las c o n stan tes elásticas de un cristal cúbico en la form a si guiente. Supongam os prim ero alguna ley de fuerza entre cad a p ar de átom os del cristal. Calculem os la variación de la energía interna del cristal cuando se lo a parta de su form a de equilibrio. E sto nos da una relación entre la energia y ía defonnación específica, que es c u ad rática en todas las deform aciones específicas. C om parando la energía obtenida de esta m anera con la ecuación (39.13), podem os identificar eí coeficiente de cada térm ino con las constantes elásticas C,y;(. Para nuestro ejem pio supondrem os una ley de fuerza sim ple: que la fuerza entre áíom os vecinos es una fuerza centra!, con lo cual entendem os que actú a según la recta que une los dos átom os. Es de esperar que las fuerzas en cristales iónicos sean com o ésta, puesto que son principalm ente fuerzas de C oulom b, (L as fuerzas de los enlaces covalentes generalm ente son más com plicadas, puesto que pueden ejercer un em puje lateral sobre un átom o vecino; dejarem os de lado esta com plicación,) A de más vam os a incluir únicam ente
(N o V -T T T ^ |C ,V ^ T T T V .r„;)
e estamos teniendo e
las fuer/a.s enirc cada átom o y sus vecinos prim ero y segundo. En otras palabras. harem os una aproxim ación que desprecia todas las fuerzas provenientes de más allá dei segundo vecino. La figura 39-10(a) m uestra las fiicrzas que incluirem os, en el plano -vy. T am bién hay que incluir las fuerzas correspondienies en los planos vr y Com o sólo estam os inieresados en ios coeFicientes elásticos que corresponden a deform aciones especificas pequeñas, y en consecuancia queremos que la energía sólo contenga térm inos cu ad rático s en las deform aciones, podem os im aginar que la fuerza entre cada par de átom os varia Imealmente con el d cspla/am iento. Entonces podem os im aginarnos que cada p ar de átom os está unido por un reso n e lineali, c o nio se lui representado en la figura 39-IO(b). T o d o s los resortes cnirc un àtom o de sodio y un atom o de cloro deben tener la m ism a constante elàstica A,, digam os. Los resortes e nue dos sodios y entre dos cloros deben tener diferentes constantes, pero harem os nuestra discusión tom ándolas iguales; las llam arem os Á.,. (Podriam os volver luego y hacerlas diferentes después que h ayam os visto cóm o Uaecr los cálculos.) Supiíngan aliora que se distorsiona el cristal con una deform ación uniform e des crita por ol tensor de deform ación especifica e,y. En general, tendrá ccnnponentcs en lus que iníervienen .v, y ; ; pero ahora solam ente considerarem os una deform a ción especifica co¡i las tres com ponentes y c’,.,. para (lue sea más fácil de vi su a li/a r. Si elegim os un átornii com o origen, ei desplazam iento de cualquier otm átom o estará dado por ecuaciones com o la ecuación (39.9); ». = Uy = CxyX + ey^y.
(39.42)
1" íil íl! áiom àio o en .c Si¡pon¿^an que llam am os ""úlomo úlom o 1" r O y muñera nos en el plano .vi· com o m uestra la figura 3 9 -1 1. L lam ando a a la constante de la red. obtenem os los dcspla/.am ientt)s y í/,, según ,v y según r. listados en la ta b U \3 4 -l. A hora podeni
39-16
Fig, 39-11-
Desplazamientos del primer y segundo átomos más vecinos ael átonio 1
h orizontal entre el átom o 1 y el átom o 2 e
(39.43) N oten que en prim er o rd en , el desplazam iento según y del átom o 2 no varía la lon gitud del resorte entre el átom o 1 y el áto m o 2. Sin em bargo, p ara o btener la energia de deform ación de un resorte diagonal, ta i com o el que va al átom o 3, nece sitam os calcular la variación de longitud debida a los desplazam ientos horizontal y vertical. P ara desplazam ientos pequeños respecto al cubo original, podem os escri bir la variación de d istan cia al átom o 3 com o la sum a de las com ponentes de y Uy en la dirección diagonal, es decir I
U sando los valores de
.
,
^
y Uy de la ta b la, obtenem os la
k i íU r + UyV
V2
kza-
posición átom o
u. 0, a
2
k
0
0
a,0
3
a, a
4
0,a
5
-a, a
6 7 8
0, ~ a
kl + e,y)a
(^yx + eyy)a €y,a
kl
( - e „ . + eyy)a
k2
-a ,0
(~ e .x + e,^)a -e,,a
~a, ~ a
~ {e.. +
- (e i/i + eyy)a
exv^
k\
-ex ya
9
kz
k2 .kl
{exx -
{eyx - e^y)a
k2
P a ra la energía to ta l de to d o s los resortes en el plano x y, necesitam os la sum a de ocho térm inos com o (39.43) y (39.44). L lam ando Í/q a esta energía obtenem os
4- ^
(eiI + Syx + exy + e y y f
+
~
+ k ,e L
+ ^
( e ,,
- e„
+
+ -T f e · -
- e„ +
fe . + e„ +
+
e „)" e„f
- =■« + " » ) Í ■
P a ra obtener la energia to ta l de to d o s los resortes unidos al átom o 1, debem os a gregar algo a la energía d ad a p o r la ecuación (39.45). A unque tengam os únicam en te com ponentes x e y de la deform ación específica, h ay adem ás cierta energia aso c iada con ios segundos vecinos fuera del plano xy. E sta energía adicional es (39.46) L as constantes elásticas están relacionadas con la densidad de energia w por la ecuación (39.13). L a energia que hem os calculado es 1a energia asociada con un á tom o, o m ás bien, es dos veces la energía p o r átom o, puesto que se debe asignar la m itad de la energia de cad a resorte a cad a uno de los dos átom os que une. Com o h a y 1/a^ átom os por unidad de volum en, w y Ua están relacionados por
para hallar las constanlcs clásticas Cy,-./, sólo necesitam os desarro llar los cu a drados que aparecen en la ecuación (39.45) ••agregando los térm inos de (39,46>- y c om parar los coencientes de e,/*./ con los coeficientes correspondientes en la ecuación (39.13). Por ejem plo, reuniendo ios térm inos en c;, y en c’f ,, obtenem os el factor (k , + 2k^)a \
Para los térm inos restantes hay una ligera com plicación. Com o no podem os distin guir el producto de dos térm inos com o de el coeficiente de esos térm i nos en nuestra expresión de la energia es igual a la sum a de los térm inos de la ecuación (39.13). El coeí'ieienle de e , e n la ecuación (39.45) es 2k^, asi que tene2^2
( C „ „ + c„„) = i sim etria de nuestro cristal,
- C,,,„
Por un proceso sim ilar, también podem os obtener c.
. „ = c ,„ „ = í; í .
Finalm ente, notarán que cualquier térm ino que contenga x o y una sola vez e.s cero -c o m o concluim os antes por argum entos de sim etría-. Resum iendo nuestros re sultados;
c „ „ >= c , „ . = - f , C„„ -
C „„ = C „„ = C„„ = ^
p, 47) ,
C .„ , = C„„„ = etc. = 0 . Hem os podido relacionar las constantes elásticas de vctlumencon las propiedades atóm icas que aparecen en las constantes y F'-n nuestro caso particular. Resulta -co m o qui/.ás puedan ver por la m anera de hacer los cálculos -que estos térm inos siempre son iguales para un cristal cúbico, cualquiera sea el núm ero de térm inos de l'uer/.a que se lom e en cuenta, siempre (¡ue las Tucr/as actúen siilam entc según la recta c|ue une cada par de átom os -<;sto es, entanto las que liay en una viga voladi/.a (y que realm ente hay en enlaces covalentes).
C:cxx. Na K Fe Diamond Al LiF NaCl KCl NaBr Kí AgCl
0.055 0.046 2-37 10.76 1,08 1,19 0,486 0.40 0,33 0.27 0,60
0,042 0,037 1,41 1,25 0,62 0,54 0,!27 0.062 0,13 0,043 0.36
0.049 0,026 1.16 5,76 0.28 0.53 0.128 0.062 0,13 0.042 0,062
Podem os com probar esta conclusión con las m ediciones experim entales de las constantes elásticas. En la tab la 39-2 dam os los valores observados de ios tres coeficientes elásticos de varios cristales cúbicos*. N o ta rá n que y en gene ral no son iguales. L a razón es que en los metales com o el sodio y el potasio las fuerzas interatóm icas no están según la recta que une ios átom os, com o supusim os en nuestro m odelo. El diam ante no obedece la ley, debido a que en el m ismo las fuerzas son fuerzas covalentes y tienen propiedades direccionales -lo s enlaces prefe rirían form ar ángulos te traé d rico s- Los cristales iónicos com o el fluoruro de litio, el cloruro de sodio, etc., tienen todas las propiedades físicas supuestas en nuestro m odelo y la tab la dem uestra que las constantes y son casi iguales. No está claro por qué el cloruro de plata no satisface la condición
E l flu jo
d e i a g u a seca
40-1
H id rostática
40-2
L as ecuaciones de m ovinuento 40-5
40-1
40 4
C ircuiación L ineas de vórtice
H idrostática
El lem a flujo de flúidos y p articu lan n en te det ag u a, fascina a to d o el m undo. T odos podem os reco rd ar cóm o, siendo niños, ju g áb am o s con esa co sa ex traña en la bañera o en charcos fangosos. Y a m ayores, observam os arro y o s, cascad as y rem oli nos y quedam os fascinados p or esta su stan cia que parece casi viva en com paración con (os sólidos. El com portam iento de los fluidos es en m uchos aspectos altam ente inesperado e interesante —es el tem a de este capitulo y del siguiente—. El em peño de un niño tratan d o de rep resar u n a pequeña corriente de agu a que co rre p o r la calle y su asom bro frente a la m anera ex trañ a en que el agua se vueive a abrir cam ino, tiene su analogía en n u estras ten tativ as d u ran te años p ara com prender el flujo de ñúidos. H em os tratad o de represar el agua -e n n u estro intelecto— obteniendo las le yes y ecuaciones que describen el flujo. D escribirem os estas ten tativ as en este capí tulo. E n el capítulo siguiente, describirem os la m anera singular en que el agu a ha roto la represa y escapado a n u estras ten tativ as de com prenderla. Suponem os que ya conocen las propiedades elem entales del agua. La principal propiedad que distingue un fluido de un sóüdo es que un fluido no puede m antener un esfuerzo de corte duran te ningún intervalo de tiem po. Si se aplica un esfuerzo de c o n e a un flùido, éste se m overá p or efecto de dicho esfuerzo. Los líquidos espesos com o la miel se m ueven m ás lentam ente que los flúidos com o el aire o el agua. La m edida de la facilidad con la que un flùido cede al esfuerzo es su viscosidad. En este capítulo considerarem os sólo situaciones en las que se puede ignorar los efec tos de viscosidad, ios cuaies serán considerados en el capitulo siguiente. E m pezarem os considerando la hidrostática, o sea la teoria de líquidos en reposo. C uanto los líquidos están en reposo, no h ay fuerzas de c o rte (aún en líquidos vis cosos). P o r lo tanto, la ley de la hid ro stática es que los esfuerzos siem pre son p er pendiculares a cualquier superficie d en tro del flùido. La fuerza norm al p or unidad de área se ilam a presión. El que no hay a esfuerzo de corte en un fluido estático impli ca que el esfuerzo de la presión es el mism o en todas direcciones (fig. 40-1). D ejare m os que se entretengan dem ostrando
Fig. 40-1. En un flùido, estático la fuerza por unidad de área a través de cual quier superficie es normal a (a superficie y es la misma para todas las orientaciones de la superficie. que Sí no iiay esfuerzo de corte en ningún plano de un fluido, ¡a presión debe ser la misma en cualquier dirección. L a presión en un flùido puede variar de un lugar a otro. P o r ejem plo,'en un fluido estático en ia superficie de ia tierra, !a presión v ariará con la altura debido al peso del fluido. Si se co nsidera constante la densidad p del fluido y si la presión en cualquier nivel a rbitrario cero es (Fig. 40-2), ia presión a u n a altu ra h por encim a de este punto es p=^ - pgh, donde g es la fuerza gravitacional p o r unidad de rna sa. La com binación P + pgh es, por ta n to , u na co n stan te en el flùido estático. E sta relación nos es conocida, pero ahora derivarem os un resultado m ás general del que es un caso especial.
Si tom am os un cubo pequeño de agua, ¿cuál es ¡a fuerza resultante sobre él d e bida a la presión? C om o la presión en cualquier lugar es la m ism a en todas direc ciones, puede haber una fuerza resultante p or unidad de volumen solam ente debido a que la presión varía de un p u n to a o tro. Supongan q ue la presión está variando en la dirección a: - y tom em os las direcciones de ias co o rdenadas p aralelas a las a ristas del c u b a -. L a presión sobre la c ara en x da la fuerza
Fig, 40-3. La fuerza de presión resul tante en un cubo es - v p por unidad de volumen. p A y á z (Fig. 40-3), y la presión sobre ia cara en x -i- zix da ia fuerza -[ p + { d p ! B x) z\x] A y A z , asi que ia fuerza resultante es ~ { d p l d x ) A x A y A z . Si tom am os ios otros pares de caras de! cubo, vem os Fácilmente que ia fuerza de presión por unidad de volum en es -\7p. Si no iiay o tras fuerzas -ta ie s com o la g rav e d ad - ia presión se debe com pensar para que h ay a equilibrio. T om em os una circu n stan cia en la que tales fuerzas adicionales pueden estar des critas por una energía potencial, com o po d ria ser en el caso de ia gravitación; re presentem os con (p dei potenciai p o r unidad de m asa. (Por ejem plo, p ara ia grave dad, (p es sim plem ente gz.) L a fuerza p or unidad de m asa está d ad a en térm inos del potencial por y si p es ia densidad dei flùido, ia fuerza p o r unidad de volumen es -p'<7
-V p -
■ ■0 .
(40.1)
L a ecuación (40.1) es la ecuación de la h id ro stática. En general, no tiene solución. Si la densidad varia en el espacio en u na form a arb itraria, no h ay m anera de que las fuerzas estén equilibradas y el fluido no puede estar en equilibrio estàtico. Se esta blecerán corrientes de convección. Podem os ver esto en la ecu ació n , ya que el térm i no de presión es un gradiente puro, m ientras que p ara p variable ei o tro térm ino no lo es. Sólo cuando p es co n stante el térm ino potencial es un gradiente puro. E n to n ces la ecuación tiene una solución p
p4> — const.
O tra posibilidad que perm ite el equilibrio h idrostático es cuan d o p es función de p únicam ente. Sin em bargo, dejarem os el tem a de la hidro stática porque está lejos de ser tan interesante com o lo que o curre cu ando los flúidos están en m ovim iento.
40-2
L s s e c u a d o m s de movjswienío
Prim ero discuürem os m ovim ientos de flúidos en una form a teórica puram ente a b strac ta y luego considerarem os ejem plos especiales. P ara d escrib ir el m ovim ien to de flúidos, debem os d ar sus propiedades en cada punto. P o r ejem pio, en lugares diferentes, el agua (llam em os “ agu a” ai fluido) se está m oviendo con velocidades di ferentes. P or lo tanto , p a ra especificar el c arácter del flujo debem os d ar las tres com ponentes de la velocidad en cada punto y p ara cualquier instante. Si podem os hallar las ecuaciones que determ inan la velocidad, podrem os sab er cóm o se mueve el liquido en todo instante. Sin em bargo, la velocidad no es la
única propiedad del fluido que varia de un punto a otro. A cabam os de discutir la variación de la presión de un punto a otro. Y hay aún o tras variables. Tam bién pue de liaber una variación de densidad de un punto a o tro. A dem ás, el fluido podria ser un cond uctor y conducir una corriente eléctrica cuya densidad j varia de un punto a otro en m ódulo y dirección. Puede haber u na leniperatiira que varia de un punto a otro, o im campo magnéíico, etc. A sí pues, el núm ero de cam pos necesarios para describir ía situación com pleta depende de lo com plicado que sea el problem a. H ay fenóm enos inleresanies cuando las corrientes y e! m agnetism o juegan un pape! im portante en la determ inación de! co m p onam iento del flùido; el tem a se Iiama magnetohidrodinám ica y está siendo objeto de gran atención en la actualidad. Sin em bargo, no vam os a considerar estas situaciones com plicadas deliido a que ya hay fenóm enos interesantes a un b ajo nivel de com plejidad y aún el bajo nivel más elemental será suficientem ente com pücado. C onsiderarem os la situación donde no hay cam po m agnéíico ni conductividad y no nos preocuparem os de la tem peratura debido a que supondrem os que la densidad y la presión determ inan de m anera unívoca la tem peratura en cuaiquier punto. De hecho, reducirem os la com plejidad de nuestro trab a jo suponiendo que la densidad es constante -im aginam os que el fluido es esencialm ente incom presible. D icho de otra m anera, estam os suponiendo que las variaciones de presión son tan pequeñas que las variaciones de densidad p roducidas p or eüas son despreciables. Si éste no es e! caso, encontrarem os fenóm enos adicionales a los que hem os estado discutiendo aqui - p o r ejem pio, la propagación del sonido y de ondas ue choque. Ya hem os discutido la p ro pagación del sonido y de o ndas de choque con cierta extensión, asi que ah o ra ais larem os de estos otros fenóm enos nuestra consideración de la hidrodinám ica, h acien do la aproxim ación de que la densidad p es una co n stan te. Es fácil determ inar cuando la aproxim ación constante es buena. Podem os decir que si las velocidades de flujo son m ucho m enores que !a velocidad de a n a o n d a so n o ra en el fluido, no tenem os que preocupam os de variaciones en la densidad. El hecho de que el agua eluda nuestras tentativas de com prenderla no está relacionado con la aproxim ación de densidad cons tante. Las com plicaciones que perm iten que el agua eluda nuestra com prensión serán discutidas en el siguiente capitulo.
E n la leoría general de flúidos se debe em pezar con una ecuación de estado para el flùido, que conecte la presión con la densidad- En nuestra aproxim ación, esta ecuación de estado es sim plem ente p = const. E sta es entonces la prim era relación entre n uestras variables. La relación siguiente expresa la conservación de la m ateria - s i la m ateria fluye hacia afuera desde un punto, debe haber una dism inución de la que q u e d a-. Si ia velocidad del flùido es v, ia m asa que fluye por unidad de tiem po a través de un área unitaria de superficie es la com ponente de p v norm al a la supeificie. H em os tenido u na relación parecida en electricidad. T am bién sabem os p or la electricidad que la divergencia de tal canti dad da la dism inución de la densidad por unidad de tiempo. A nálogam ente, la ecua-
■ {pv} = -
t
(40.2)
expresa la conservación de la m asa en un fluido; es la ecuación de continuidad de la hidrodinám ica. En nuestra aproxim ación, que es la aproxim ación de fluido in co m presible, p es constante y la ecuación de continuidad es sim plem ente W
= 0.
(40.3)
L a velocidad del flùido v -c o m o el cam po m agnético B - tiene divergencia nula. (A m enudo las ecuaciones hidrodinám icas son muy análogas a las ecuaciones elec trodinám icas; por esto estudiam os prim ero la electrodinám ica. H ay quienes sostie nen lo contrario; piensan que se deberia estudiar prim ero la hidrodinám ica p ara que sea m ás fácil com prender la electricidad después. Pero realm ente la electrodi námica es m ucho m ás fácil que la hidrodinám ica.) O btendrem os nuestra próxim a ecuación de las leyes de N ew ton, que nos dicen cóm o varia ia velocidad debido a las fuerzas. L a m asa de un elem ento de volum en dei flùido por su aceleración debe ser igual a la fuerza so b re eJ e km en to . T om an do un elem ento de volum en unitario y llam ando f a la fuerza p or unidad de voium en, tenem os p X (ac ele rac ió n ) = / . E scribirem os la densidad de fuerza com o la sum a de tres térm inos Ya hem os consi derado la fuerza de presión por unidad de volum en, - s /p . Luego están las fuerzas “ externas” que actúan a distancia -c o m o ia gravedad o ia electricid ad -. C u ando hay fuerzas conservativas con un potencial · (Si las fuerzas externas no fueran conservativas, tendríam os que escribir p ara la fuerza externa p or unidad de volum en.) Luego h ay o tra fuerza “in ter n a ” por unidad de volum en, que se debe a que en un fluido que flu y e tam bién puede liaber un esfuerzo de corle. E sta se llam a fuerza de viscosidad, que escribirem os fvisc· N uestra ecuacióri de m ovim iento es p X (ac ele rac ió n ) = — V p -
pV + Aiac·
(40.4)
E n este capitulo supondrem os que-eU líquido es “ delg ad o ” en el sentido de que la viscosidad no es im p o rtan te, asi que om itirem os Al elim inar los térm inos de viscosidad, estam os haciendo u na aproxim ación que describe cierta m ateria ideal en lugar del agua real. John von N eum ann estab a perfectam ente consciente de la gran diferencia entre ¡o que sucede cuando n o se tienen los térm inos de visco.sidad y cuando sí se tienen, y tam bién estab a consciente de que d u ran te la m ayor p arte del desarrollo de la hidrodinám ica h asta alrededor de 1900, casi todo el interés estuvo en resolver bonitos problem as m atem áticos con esta aproxim ación que no tiene casi n ad a que ver con los flúidos reales. C aracterizó al teórico que h acia tales análisis com o un hom bre que estudiaba el “ agua se ca ” . T ales análisis dejan de lado una p ro piedad esencial del flùido. Y puesto que estam os dejan d o de lado esta propiedad en nuestros cálculos en este capítulo, hem os d ado el título de “El flujo del agu a se c a ” . E stam os posponiendo la discusión del agua real p ara el próxim o capítulo. Si elim inam os fviso tenem os en la ecuación (40.4) todo lo que necesitam os ex cepto una expresión p ara la aceleración. Se po d ria pen sar que la fórm ula p a ra la aceleración de una partícu d a del flùido es m uy sencilla, ya que parece evidente que
velocidad de una partícula del fiiMáo en algún lugar del mismo, la aceleración seria sim plemente 8 \ ¡d t. N o lo es - y por una razón bastante s u til- L a derivada d v I d t es )a rapidez con que la velocidad v{x, y, z, /) varia en un p u n to fij o del espacio. Lo que necesitamos es la rapidez con que varia la velocidad de un p e d a zo pa rticular del ñúido. Imaginen que m arcam os una de ias gotas de agua con una m anchita colorea da de m odo que podam os observaria. E n un intervalo de tiempo pequeño Aí, esta g o ta se m overá a una posición diferente. Si la gota se está moviendo según cierta trayectoria, com o m uestra la figura 40-4, duranie A t se podría mover desde P , hasta P 2· E n realidad, se moverá en la dirección x una cantidad Ai,y en la dirección 3;,la cantidad V y A t. y tv\ Id. dirección z la cantidad Vz A t. Vem os que si \{ x , y, z, t) es la velocidad de la particula del ñúido que está en (x, y , z) en el instante t, la velo cidad de la m ism a partícula en el insíaníe ¿ + A t está d ad a por v(x -h Ax, y -f- Ay, z + Az, t + A t) - con Ax = Vr At,
A y = Vy Aí,
Az = y- At.
Según la definición de las derívadas parciales —recuerden la ecuación (2.7)-mos, en prím er orden, que v (x + Vx At, y + Vy Aí, z +
Aí, t + Aí) Ay
= v(x,y.z,t)+
a,.
A,,
+
L a aceleración A v / A t ts dv t9;c +
_L_ 3;; +
áz
'
Podemos escribir esto sim bólicamente - tr a ta n d o v com o un v e c to r - como (40,5) N ote n que puede haber una aceleración aunque d v / d t = O, de m odo que ia veio cidad en un pu n to dado no esté varia ndo. P o r ejemplo, el agua que fluye en circulo a una velocidad constante se está acelerando aunque la velocidad en un punto dado no esté cam biando. Por supuesto, la razón es que la velocidad de una porción par ticular de agua
que está inicialmenie en un punto sobre el círculo tiene una dirección diferente un momento después; hay una aceleración centrípeta. El resto de nuestra teoría es sólo m atemàtica; hallar soluciones de la ecuación de movim iento que se obtiene introduciendo la aceleración (40.5) en la ecuación (40.4). Obtenemos ^ + (ti ■ V)a = al
p
-
V* ,
(40.6)
donde se ha omitido la viscosidad. Podemos escribir esta ecuación en otra forma usando la siguiente identidad del análisis vectorial: (v · v )y = ('^ X y) X y -|- -|v (y ■ t/). vSi definim os un nuevo campo vectorial ü como el rotor de v, f ì = V X y,
(40.7)
se puede escribir la identidad vectorial en la forma ( y V)y =
X y +
y nuestra ecuación de movimiento (40.6) se transform a en ^
+ a X V + ^W v^ ^ - - f
-
^4>·
(40.8)
Pueden com probar que las ecuaciones (40.6) y (40.8) son equivalentes veriñcando que las componentes de los dos miembros son iguales - y haciendo uso de (40.7). El cam po vectorial Q se llama verticidad. Si la vorticidad es cero en cualquier lugar, decimos que el flujo es irrotacionai Ya definimos en la sección 3-5 algo lla m ado circulación de un cam po vectorial. La circulación a lo largo de cualquier ca mino cerrado en un flùido es la integral de linea de la velocidad del flùido, en un m omento dado, alrededor de ese camino: (circulación) =
^ v ds.
L a circulación por unidad de área para un camino infinitesimal es entonces - u san d o el teorema de S to k es- igual a V x v. Asi pues, la vorticidad Ü es la circulación al rededor de un àrea unitaria (perpendicular a la dirección de H). Tam bién se deduce que si ponen una pequeña im pureza - n o un punto infmitesim al- en cualquier iugar del liquido, rotará con velocidad angular Ü / 2 . Traten de ver si pueden demostrarlo. Tam bién pueden com probar que para un balde de agua en una mesa giratoria, Q es igual al doble de la velocidad angular local del agua. Si estam os interesados únicamente en el cam pó de velocidades, podemos elimi nar la presión de nuestras ecuaciones. T om ando el rotor de ambos miembros de ia ecuación (40,8), recordando que /i es constante y que el rotor de cualquier gradiente es cero, y usando la ecuación (40.3), obtenemos ^
¥ X ( a X ¡)) = 0.
(40.9)
Esta ecuación, ju n to con las ecuaciones a -
V X y
(40.10)
y ■'^■y = 0,
(40.Í1)
describe completam ente ei c am po de velocidades v. Matem áticam ente hablando, si conocem os Q en cierto instante, tenem os el rotor del vector velocidad y también sabem os que su divergencia es cero, asi que da da la situación física tenem os lodo lo que necesitamos para determinar v en cualquier lugar. (Es como en el magnetismo donde tenía mos V - B = 0 y V x ! B = j / E n t o n c e s , una Q dada determina v tal com o una j dada determina B. Luego, conociendo v, ia ecuación (40.9) da la de rivada de n respecto al tie mpo, de la qvie podem os obtener la nueva Q para el ins ta nte siguiente. Volviendo a usar la ecuación (40.10), hallamos la nueva v, y asi siguiendo. Ven cómo estas ecuaciones contienen todo elm ecanism o para calcular el flujo. N oten, sin embargo, que este procedim iento da la velocidad del campo sola mente; hemos perdido toda información sobre la presión. Señalemos una consecuencia especial de nuestra ecuación. Si = O en cualquier lugar y en cualquier instante t, d Q / b t tambié n es cero, asi que Q es cero en cual quier lugar en t -i- A l. T enemos una solución de la ecuación; el flujo es perm anente mente irrotacional. Si un flujo empieza con una rotación cero, siempre tendrá rota ción cero. Las ecuaciones a resolver son entonces V . y = 0,
^ X y
= 0,
Son precisamente como las ecuaciones para los cam pos electrostático y magnetostático en el espacio libre. M ás ta rde volveremos a ellas y observaremos algunos p ro blemas especiales.
40-3
Flujo estacionario; te orema de BemouUi
Volvamos ahora a ia ecuación de movim iento (40.8), pero lim itándonos a situa ciones en que el flujo es “ estacionario” . Por flujo estacionario entendemos que en cualquier punto del fluido la velocidad nunca varía. El fluido en cualquier punto siempre es reemplazado por nuevo fluido que se mueve exactam ente en la misma form a. La distribución de velocidades es siempre igual - v es un campo vectorial e stático-. Tal com o representamos “ líneas de c a m p o ” en la magnetostática, ahora podemos dib ujar líneas que siempre son tangentes a la velocidad del fluido, como m uestra la figura 40-5. Estas líneas se llaman líneas de cornente . En el fiujo esta c ionario son evidentemente las trayectorias reales de las particulas del fluido. (En el flujo no estacionario el dia gram a de líneas de cornente varia con el tiempo y en cualquier instante no representa la trayectoria de particula alguna del fluido.) Un fiujo estacionario no significa que no esté sucediendo n ad a - lo s átomos del fiúido se están movimiento y cam biando sus velocidades-. Sólo significa que d v ! 5 / = 0. Luego, si multiplicam os escalarmente por v ia ecuación de movim iento, el térm ino v · (D x v) se elimina y nos queda V £ + * +
= 0.
(40,12)
Esta ecuación dice que para un desplazam ie nto pequeño en la dirección de la velo cidad del flu id o la cantidad entre los corchetes no cambia. A h o ra bien, en un flujo estacionario todos ios desplazam ientos son a lo largo de las lineas de corriente, así que la ecuación (40.12) nos dice que para todos ¡os puntos a lo largo de una lí nea de corriente, podemos escribir t (linea de corrie nte).
(40,13)
E sta es e! teorema de Bernoulli. En general, la constante puede ser diferente para líneas de corriente diferentes; todo lo que sabemos es que el prim er miembro de la ecuación (40.13) es el mismo a todo ¡o largo de una íinea de corriente dada. A pro p ó sito. notemos que para un movim iento irrotacional estacionario p a ra el cual Ù = O, la ecuación de movimJenfo (40.8) nos da la relación • = O, -
= c onst (en todas p artes).
(40.14)
Es precisamente com o la ecuación (40.13) excepto que ahora ia constajiíe tiene el m ism o valor en todo el fiúido. El teorema de Bernoulli no es en esencia j:ada m ás que una manifestación de la conservación de la energía. U n te orema de conservación tal com o éste nos da mucha informa-
ción sobre un flujo sin tener que resolver de heciio las ecuaciones detalladas. El teo rema de Bernouilli es tan importa nte y tan sencillo que nos gusta ria demostrarles có mo se lo puede deducir en una form a diferente de los cálculos form ales que hemos estado empleando. Imaginen un haz de líneas de conien te adyacente s que form en un tubo de flujo como el esquema de la figura 40-6. Com o las paredes del tubo están hechas de líneas de corriente, ningún ñúido ñuirá a través de las mismas. Llamem os A , a la sección del tubo de corriente en un extremo, v, a la velocidad del fiúido ahí, p, a la densidad del ñúido y 2 y (pi- A hora bien, después de un c orto intervalo de tiempo A t, el fiúido que estaba en ,4| se ha movido una distancia V, A t y el fiúido que habia en A-, se ha movido un a distancia v-^At I Fig, 40-6 (b)|. L a conservación de la m usa exige que la m asa que entra a través de A^ sea igual a la m asa que sale a través de A^· Estas masas en estos dos extremos deben ser iguales; A M = p i A i V i A í — P 2A 2V2 AÍ. Así pues, tenemos la igualdad p iA iV i = p 2 ^ 2 í'2 -
(40.15)
Esta ecuación nos dice que la velocidad varía inversamente al área del tubo de co rriente si p es constante. Calculem os ahora el trabajo realizado por la presión del ñúido. El trabajo rea lizado sobre el flùido que entra por A¡ es p^A^v^At y el entregado en A^ esPiA^v^ At. El trabajo total realizado por el fiúido entre A^ y A^ es, por lo tanto, P l A i V i At — P2Á2V2At, que debe ser igual al desde Ay hasta
aum ento de la energía de una m asa A M del flùido cuando va otras palabras, P iÁ ^V i At - p 2 A 2V 2 át = A M( E2 -
El ),
(40.16)
donde es la energía por unidad de m asa del ñúido en ^4, y E 2 ts la energia por unidad de m asa en A j- Se puede escribir la energia por unidad de m asa del flùido en i form a
donde es la energia cinética por unidad de m asa,
, , , ,,
P2A2V2AÍ -
1 2 2 "^ +
1 2 ~ 2"' "
.
rr
Pero hemos visto que A M ~ pA vA t, asi que obtenemos ^
+ i »? + * 1 +
t/i -
^
~ kí + ^ 2 +
í/ 2 ,
(40,17)
que es el resultado de Bernoulli con un térm ino adicional p ara la energia interna. Si el fluido es incompresible, el térm ino de energia inte rna es ei mismo en ambos miembros y obte nem os otra vez que fa ecuación (40.14) es válida a lo largo de cuai quier linea de corriente.
40-7.
Flujo que sale de un t
Considerem os ahora algunos ejemplos simples en los que la integral de Bernoulli nos da una descripción del flujo. Supongan que tenemos agua que e stá fluyendo de un agujero cerca del fondo de un tanque, com o muestra Ja llgura 40-7. Tomemos una situación en la que la velocidad del flujo en el agujero es m ucho m ayor que la velocidad del flujo cerca de la parte superior del tanque; en o tras palabras, imagi nemos que ei diá metro dei tanque es tan grande que podem os d espreciar el descenso del nivel de) liquido. (Podríam os hacer cálculos más exactos si quisiéramos.) En la parte superior del tanque, la presión es la presión atm osféric a, y la presión a los lados del chorro también es E scribamos ahora nuestra ecuación de Bernoulli para una linea de corriente, ta l como la que m uestra la flgura. E n la parte superior de] tanque tenemos que v es igual a cero y ta mbié n que el potencial gravitacional tp es cero. En el agujero la velocidad es Ugai y
pgh, (40,18)
Esta velocidad es precisamente la que hemos obtenido para algo que cae a la dis ta ncia /). Esto no es m uy sorprendente, puesto que el agua gana energia cinética en la salida a expensas de la energia potencial del agua de la parte superior de! tanque. Sin em bargo, no crean que pueden calcular la velocidad con que el fluido sale del ta nque multiplicando esta velocidad por la sección del agujero. Las velocidades del flùido en el chorro que abandona el agujero no son todas paralelas entre si, sino que tienen componentes dirigidas internamente hacia el centro del flujo -e! chorro es convergente-. Después que el chorro ha recorrido un camm o corto, no hay más contracción y las velocidades se vuelven paralelas. Asi pues, el flujo total es la velo cidad por el urea en f i f ptnKo. De hecho, si tenem os un aliviadero en l'orma de
"1 agujeio reöondü con un borde afilado, eì chorro se contrae al 62 por ciento del àrea del agujero. Eí área efectiva reducida de la descarga varía para form as diferenies de tubos de descarga y las contracciones experimentales están disponibles en tablas de cocßcienles de descarga.
Con un tubo de descarga el flujo se contrae a la liad de la sección de la abertura Si e¡ tubo de descarga es reentrante, como m uestra ía figura 40-8, se puede de m ostrar en una form a sumamente elegante que el coeficiente de descarga es exacta mente 50 por ciento. Sugeriremos cómo demostrario. H em os usado la conservación -d e la energia para obtener la velocidad, ecuación (40.18), pero también hay que con siderar la conservación del momenium. Com o hay un flujo hacia afuera de momen tum en et chorro de descarga, debe haber una fuerza aplicada sobre la sección tran s versal del tubo de descarga. ¿De dónde proviene ía fuerza? La fuerza debe provenir d e !a presión en las paredes. Mientras t\ agujero de descarga sea pequeño y esté lejos de ias paredes, la velocidad del flùido cerca de las paredes del tanque será muy pequeña. Por io ta nto, ía presión sobre cada cara es casi exactam ente la presión estática en un flùido en reposo -seg ú n !a ecuación (30.14)--. Luego, la presión estática en cualquier punto de ¡a pared deí tanque debe ser equilibrada por una presión igual en un punto situado en la pared opuesta, excepto en los puntos de la pared opuestos al tubo de descarga. Si calc ula mos et momenium que esta presión h ace que se vierta por el ch o rro, podemos dem ostrar que el coeficiente de descarga es N o podemos usar este método p a ra un agujero de descarga como el m ostrado en la figura 40-7, sin em bargo, porque el aumento de velocidad a lo dargo de la pared cerca del área de d escarga da una caida de presión que no esiam os en condiciones de calcular. Veamos otro ejemplo; un tubo horizontal de sección variable, com o mueslra la figura 40-9, con agua que entra por un extremo y sale por el otro. La conservación de ta energia, o sea la fórm ula de Bernoulli, dice que la presión es baja en la región estrecha, donde la velocidad es alta. Podemos dem ostrar fàcilmente este efecto mi diendo ia presión en diferentes secciones con pequeñas columnas verticales de agua adosadas al tubo de flujo por medio de agujeros suficientemente pequeños para que no afecten el fiujo. Entonces se mide la presión por la altura del agua en estas co lumnas verticales. Se encuentra que ta presión es menor
en la región estrecha que a am bos lados. Si más allá del estrechamiento la sección vuelve al mismo valor que tenía antes del mismo, la presión sube o tra vez. h a fórm u la de Bernoulli prediria que la presión aguas abajo del estrecham iento debe ser igual a la que habia aguas arriba, pero en realidad es apreciablemente menor. L a razón de que nuestra predicción sea errada es que hemos despreciado las fuerzas de roce de bidas a la viscosiíiad, que ocasionan una pérdida de presión a lo largo del tubo, A pesar de esta caida de presión, la presión es netam ente m enor en e¡ estrechamiento (debido a la velocidad m ayor) que a ambos lados - c o m o predijo Bernoulli-. La velo cidad Vj debe superar ciertamente a v, para que pase la misma cantidad de agua a través del tubo angosto. Asi pues, eí agua se acelera al ir de la parte an ch a a la a n gosta. La fuerza que da esta aceleración proviene de la caida de la presión. Podem os com probar nuestros resultados con otra demostración simple. S upon gan que tenem os un tanque con un tubo de descarga que lanza un chorro de agua hacia arriba r a m o m uestra la figura 40-10. Si la velocidad de descarg a fuera t tamente \/2 g h , e! agua de ('
alcanzaría un nivel igual a la superficie del agua en el ta nque. Experim eníalm ente, llega algo más bajo. N uestra predicción es aproxim adam ente correcta, pero o tra vez la fricción viscosa que no ha sido incluida en nuestra fórm ula de conservación de la energía ha dado lugar a una pérdida de energia. ¿ H an tenido dos pedazos de papel casi juntos y tratad o de separarlos soplando? T raten. Se ju m a n . Por supuesto, la razón es que el aire tiene una velocidad mayor yendo p or ei espacio estrecho entre ias hojas que yendo por afuera. La presión entre las hojas es m enor que la presión atm osféric a, de m odo que se ju n tan en lugar de separarse.
40-4
Circulación
Vimos al comienzo de la sección anterior que si tenemos un flùido incom presible sin circulación, el flujo satisface las dos ecuaciones siguientes; V -V = o,
V X V = 0.
(40,19)
Son ¡guajes a las ecuaciones de la electrostá tica o de la magnetostática en el espacio vacio. La divergencia del cam po eléctrico es cero cuando no hay cargas y el rotor del c am po electrostático siempre es cero. El rotor del cam po magnético es cero si no hay corrientes y la divergencia del cam po magnético siempre es cero. Por lo tanto, las ecuaciones (40.19) tienen la misma solución que la s ecuaciones p ara E en elec tr ostática o para B en m agnetostática. A decir verdad, ya hemos resuelto en la sec ción 12-5 el problem a del flujo de un fluido que pasa en torno a una esfera como una analogía electrostática. L a analogia electrostá tica es un cam po eléctrico unifor me más un cam po dipolar. El cam po dipolar se ajusta de m odo que la velocidad de flujo norm al a ía superñcie de la esfera sea cero. El mismo problem a para el flujo transversal en tom o a un cilindro se puede resolver de manera similar usando una linea dipolar conveniente con un cam po de flujo uniforme. E sta solución es válida p a ra una situación en la que la velocidad del fluido a grandes distancias es cons ta nte - ta n to en módulo como en dir ección-. L a solución está representada en la fi gura 40-11 (a). H ay otra solución para el Oujo en to m o a un cilindro cuando las condiciones son tales que el fluido a grandes distancias se mueve en círculo alrededor del cilin dro. Entonces el
flujo es circular en cualquier parte, com o en la figura 4 0 -11(b). T ai flujo tiene una circulación alrededor del cilindro, aunque V x v sea aún cero en el flù id o . ¿Cóm o puede haber circulación sin roi.or? T enemos una circulación alrededor del cilindro debi do a que la integral de línea de v alrededor de cualquier la zo que encierre al cilin dro no es cero. Al mismo tiempo, la integral de linea de v airededor de cualquier tr a yectoria cerrada que no incluya al cilindro es cero. Vimos lo mismo cuando halla mos el cam po magnético alrededor de un alambre. El rotor de B era cero fuera del alam bre, aunque la integral de línea de B alrededor de una tray ecto n a que encerraba el alam bre no era cero. El campo de velocidad en una circulación irroíaciotial alre dedor de un cilindro es precisamente lo mismo que el cam po magnético alrededor del alambre. Pa ra una trayectoria circular con su centro en el centro del cilindro, la integral de línea de la velocidad es
• ds = 2Trv. En el flujo irrotacional la integral debe ser mdependiente de r. Llam ando C al valor constante, tenemos que V=
(40.20)
donde v es la velocidad tangencial y r es la distancia al eje. H ay una linda demostración de un flùido que circula alrededor de un agujero. Tom en un ta nque cilindrico transparente con un agujero de d escarga en el centro del fondo. Llénenlo de agua, provoquen cierta circulación con un palo y quiten el ta pón de da descarga. Obtienen el lindo efecto m ostrado en la figura 40-12. (¡H an visto una cosa similar m uchas veces en la bañera!) A unque le pongan alguna u¡ al principio, pronto desaparece debido a la viscosidad y ei flujo se vuelve irrotacional - a u n q u e siempre con cierta circulación alrededor del agujero.
Podemos calc ula r le óricamente la form a de la superficie inte rna dei agua. A me dida que una particula de agua se mueve hacia el interior, adquiere velocidad. Según la ecuación (40.20) la velocidad tangencial crece com o 1 ¡r - s e debe simplemente a la conservación del mom enium angular, como la patinadora que ju n ta sus brazos. T am bién la velocidad radial crece como 1/r. Ignorando el movim iento tangencial, tenemos agua que va radialm ente hacia un agujero; de V - v = O se deduce que la velocidad radia l es proporcional a 1/r. De modo que la velocidad total también aum enta según 1 /r , y el agua va a lo largo de una espirai de A rquímedes. L a super ficie aire-agua está to da a la presión atm osférica, asi que -se g ú n la ecuación (40 .1 4 )debemos te ner la propiedad gz +
= const,
Pero Ves proporcional a 1 Jr, asi que la form a de la superficie es (2 -
^o) = ^ ■
U n punto interesante - q u e no es cierto en general, pero es cierto para un flujo irrotacional incom presible- es que si tenemos una solución y una se gunda solución, entonces la sum a también es una solución. Esto es cierto debido a que las ecuaciones (40.19) son lineales. Las ecuaciones completas de la hidrodinámic a, ecuaciones (40.8), (40.9) y (40.10), no son lineales, lo cual significa una diferencia enorm e. Sin embargo, p ara un fiujo irrotacional alrededor dei cilindro podemos superponer el flujo de la fi g ura 4 0 - 1 l(a) sobre el flujo de la figura 40-1 l(b) y obtener el nuevo dia grama de flujo m ostrado en la figura 4 0 - ll( c ) . Este flujo tiene interés especial. La velocidad del flujo es m ayor en la parte superior de! cilindro que en la parte inferior. Las presiones son p or lo ta nto menores en la parte superior que en la parte inferior. Asi pues, cuando tenem os una combinación de una circulación alrededor de un cilindro y un flujo hori zontal resultante, hay una fu e r z a vertical resultante sobre el cilindro - s e la Wa.ma.fuerza ascensional— Por supuesto, si no hay circulación, no hay fuerza resultante sobre ningún cuerpo, conforme a nuestra teoria del agua “ seca” .
40-5
Lineáis de vórtice
Ya hemos escrito las ecuaciones generales del fiujo de un flùido incompresible cuando puede haber vorticidad. Son I. n. nr.
V ■y a -
O,
V X y,
~ - t V X (£ 2 X o) = 0 . ot
El contenido físico de estas ecuaciones ha sido descrito por H elmholtz en función de tres teoremas. Prím ero, im aginen que dibujáram os en el flùido las líneas de vórtice tn lu gar de las lineas de corriente. Por lineas de vórtice entendemos lineas de cam po que tienen la dirección de í l y una densidad en cualquier región proporcional al módulo de Q. Según II, la divergencia de D siempre es cero (recuerden —sección 3 -7 - que la
ií: l
divergencia de un rotor siempre es cero). Así pues, tas líneas de vórtice son com o las tincas de B - n u n c a empie zan ni term inan y siempre tienden a ir en trayectorias cerra das. A hora bien, H elmhottz describió IIÍ en palabras con el siguiente enunciado; las lineas de vórtice se mueven con el flùido. Esto significa que si se hubiesen m arcad o tas partícula s de flùido a to largo de algunas líneas de vórtice -c o lo re án d o la s con tinta, por ejempio— entonces, com o el flùido se mueve y arrastra estas partículas con él, ellas siempre indicarán las líneas de vórtice. Sea cual sea ta form a en que los átomos del li quido se m uevan, las líneas de vórtice se m overán con eüos. E sta es una form a de des cribir las leyes. Tam bién sugiere un m étodo para resolver cualquier problem a. D ad o el diagrama inicial de flujo -dig am o s que v en todas p a rte s - pueden calc ula r Li. Conociendo v tam bién pueden decir dónde estarán las líneas de vórtice un m om ento después - s e mueven con la velocidad v— C on la nueva Ü pueden usar 1 y II para hallar la nueva v. (E scom o d problema de haJJar B conocie ndo la s corrientes.) Si dam os el diagram a de flujo en un instante podem os en principio calcularlo para todos los tiempos posteriores. T en e mos la solución general para el flujo no viscoso.
Pig, 40-13. {al Un grupo de (ínes vórtice en f; (b) Las mismas líneas e instante t' más tarde. Q uerriam os dem ostrar cóm o se puede comprender, al menos parcialmente, el enunciado de H elmoholtz - y por lo tanto I11-. Es realmente la tey de conservación de! m om entum angular aplicada a un fluido. Imaginen un pequeño cilindro de flùido cuyo eje es paralelo a las líneas de vórtice, com o en la figura 40-13(a). Algún tiempo des pués, esta m ism a porción de flùido e stará en algún otro lugar. G eneralm ente, ocupará un cüindro de diá m etro diferente y estará en un lugar diferente. Tam bién puede tener una orientación diferente, digamos que com o en la figura 40-13(b). Sin em bargo, si el diámelro ha cam biado, la longitud ha brá aum entado p a ra m antener et volumen cons ta nte (puesto que estam os suponie ndo un flùido incompresible). A dem ás, com o las líneas de vórtice están fijas al material, sü densidad au m en tará a medida que et área de la sección transversal dism inuye. Et producto de la vorticidad ü y eí área A del ci lindro perm anecerá constante; así que, de acuerdo a Helmholtz, te ndríamos SÍ2^2 = «1^ 1.
(40.21)
O bserven ahora que con viscosidad cero todas las fuerzas sobre la superficie del volumen cilindrico (o c ualquie r volumen, por cierto) son perpendiculares a lasuperflficie. Las fuerzas de presión pueden hacer que el volumen se mueva de un lugar a otro, o pueden hacer que cambie de form a; pero sin fuerzas tangenciales el m ódulo del m om enium angular de¡ m aterial que hay dentro no puede variar. El momentum angu lar del liquido contenido en el cilindro pequeño es su m om ento de inercia / por la velo cidad angular del liquido, que es proporcional a la vorticidad Q. Para un cilindro, el m om ento de inercia es proporcional a /nr^. Asi pues, de la conservación del momen tu m angular concluiríamos que
Pero la m asa es \a m ism a, M , = M ¡, y ias áreas son propocionales a R ', asi que otra vez obtenem os la ecuación (40.21). El enuncia do de H e lm h o ltz -q u e es equivalente a I I I - es una consecuencia de que no habiendo viscosidad el momentum angular de un elemento del fiúido no puede cambiar.
H ay una linda demostración de un vórtice en movim iento que se h ace con e! a p ara to sencillo de la figura 40-14. Es un “ta m b o r" de medio metro de diámetro y medio m etro de alto hecho estirando una hoja gruesa de gom a sobre ei extremo abierto de u na “ c a ja ” cilindrica. El “ fondo” -el tam bor está colocado de la d o - es sólido excep tuando que fiene un agujero de 7 u 8 cm. Si dan un golpe fuerte con la m ano en el dia fragm a de gom a se proyccta un anillo de vórtice p o r el agujero. A unque eí vórtice es invisible, pueden decir que “ existe” porque sopla una vela situada a una distancia de 3 a 6 metros. Por lo que se ta rda un poco en verse el efecto, podemos decir que “al g o ” está viajando a una velocidad finita. Podrán ver mejor lo que está sucediendo si prim ero echan un poco de hum o dentro de la caja. Entonces ven el vórtice com o un hermoso “ anillo de hu m o ” . El anillo de humo es un haz de lineas de vórtice en form a de toro, com o muestra la figura 4 0 -l5(a). C om o Ll ■= ^ x v, estas líneas de vòrtice representan tambié n una circulación de v com o muestra la paríe (b) de ¡a figura. Podemos entender e¡ movi miento de avance del aniUo en ia siguiente form a: la velocidad circulante en la parle inferior dei anillo se extiende a la parte superior, teniendo allí un movimiento de avance. Com o las lineas de Í3 se mueven con el fluido, también se moverán hacia ade lante con la velocidad v. (Por supuesto, la circuJación de v alrededor de ia parte su perior del anillo es responsable del movimiento de avance de la s lineas de vórtice en la parte inferior.) A hora debemos mencionar una seria dificultad. Ya hemos n otado que la ecuación (40.9) dice que si Q es inicialmente cero, seria siempre cero. Este resultado es un gran
movimiento Fig. 40-15, Un anillo de vórtice en ® | movimiento {un anillo de humo), (a) Las líneas de vòrtice, (b) Una sección transv versai del anillo. fracaso de la teoria del agua "sec a ” , debido a que significa que una vez que Q es cero, siempre es cero --es imposible producir un vòrtice en ninguna circunsta ncia. Sin em bargo, en nuestra demostración sencilla con e! ta m bor, podemos generar un anillo de vòrtice em pezando con aire que inicialmente estaba en reposo. (Ciertamente, v = O y = O en cualquier parte dentro de la caja antes de golpearla.) A dem ás, todos sa be mos que podemos form ar voríicidad en un lago con un remo. Evidentemenie, tenemos que ir a una teoría del agua “ m oja da ” para lograr una comprensión completa del com portam iento de un núido. O tra característica incorrecta de la teoría del agua seca es la suposición que hicimos en cuanío al flujo en la frontera entre ella y la superficie de un sòlido. C u a n d o dis cutimos ei flujo transversal en to m o a un cilindro - c o m o en la figura 40-11, por ejemplo-- perm itimos que el fluido se deslizara sobre la superñcie del sòlido. En nuestra te oria, la velocidad en una superficie sòlida podria te ner cualquier valor dependiendo de cómo hubiese empezado y no consideramos cualquier “fricción” entre el fluido y el sólido. Es un hecho experim ental, sin em bargo, que la veiocidad de ur\ fiúido real siempre üeude a cero en la superficie de un objeto sòlido. Por tanto, nuestra solución para un cüindro, con o sin circula ción, está equivocada - c o m o tambié n nuestro resultado en cuanto a la producción de vorticidad-. Les hablarem os de teorías más coiTCCtas en el capítulo siguiente.
ÍI-2
Ftojo viscoso
M-3
El número de Reynolds
41-1
4S-5
E3 Hmiíe de viscosidad msSa
41-6
IFlmijo de Cometíe
Viscosidad
En el capitulo anterior estudiamos et comportam iento del agua dejando de lado et fenómeno de viscosidad. A hora querríamos estudia r los fenómenos del flujo de fluidos, incluyendo ¡os efectos de la viscosidad. Querem os examinar el cnmpnrtom iento real de los flúidos. Describiremos cualitativamente el com portam iento verda dero de los flúidos en diversas circunsta ncias para que se llagan una idea del tema. A unque verán algunas ecuaciones complicadas y oirán h ablar de algunas cosas complicadas, nuestro propósito no es que aprendan tod o eso. E n cierto sentido, éste es un capítulo “ cultural’' que les d a rá una idea de cóm o es el m undo. H ay una sola c o sa que vate ta pena aprender y es la definición simple de viscosidad de ia que nos ocuparem os dentro de un momento. El resto es sólo p a ra que se entretengan.
(41.1) En ta aproxim ación del agua “ seca” omitim os el último térm ino, asi que hemos des preciado todo efecto de viscosidad. A dem ás, hicim os a veces una aproxim ación adicional considerando que el flùido era incompresible; teníamos entonces una ecuación más
Esta última aproxim ación es a menudo bastante buena -especialm ente cuando las velocidades de flujo son m ucho menores que la veiocidad del sonido. Pero en tos núidos reales casi nunca es cierto que podam os despreciar la fricción inte rna que llamamos viscosidad; la m ayoria de las cosas interesantes que ocurren provienen de ella en una u otra form a. Por ejemplo, vimos que en el agua “ seca” la circulación nunca cambia: si no la hay al principio, no la ha brá nunca. N o obsta nte , la circula ción en fiúidos es algo que ocurre todos los dias. T enemos que arreglar nuestra teoría.
C om encem os con un hecho experimental im porta nte . Al calc ula r el flujo del a gua “ se ca ” que pa sa en torno o alrededor de un cilindro —el llamado “ flujo poíencial” - no habia raz ó n para no perm itir que el agua tuviera una velocidad tangen te a la superficie; sólo la com ponente normal tenia que ser cero. N o tuvim os en cuenta la posibilidad de que pudie ra haber una fuerza de corte entre el liquido y el sólido. R esulta que —aunque de ninguna m anera es evidente por sí mismo— en to da circunstancia en que se h a hecho una verificación experim ental, la velocidad de un flù id o es exactam ente cero en la superficie de un sólido. Sin d u d a h ab rán nota do que las aspas de un ventila dor acumulan una fina capa de polvo —y que sigue estan do alii después que el ventila dor ha estado agitando el aire-. Pueden ver el mismo efecto aún en el gran ventila dor de un túnel de viento. ¿Por qué el aire no saca el polvo? A unque las aspas dei ventilador se estén moviendo a alta velocidad a través del aire, la velocidad del aire respecto a las aspas tiende a cero justo en la su perficie. P or eso las partícula s más pequeñas de polvo no son perturbadas*. Tene mos que m odificar Ja te oría para que esté de acuerdo con el hecho experímental de que en todos los flúidos ordinaríos las moléculas que están ju n to a la superficie de un sóüdo tienen velocidad cero (respecto a la superficie)t. AREA A
■Jy
v= 0 O riginalmente habíam os caracterizado un liquido por el hecho de que si se le aplica un esfuerzo de corte - p o r pequeño que se q u ie ra - cede. Fluye. En situaciones estáticas no hay esfuerzos de corte. Pero antes de que se alcance el equilibrio - e m tanto lo sigan em p u ja n d o - puede haber fuerzas de corte. La viscosidad describa estas fuerzas de corte que existen en un flùido en movim iento. Pa ra tener una medida de las fuerzas de corte durante el movim iento de un líquido, consideremos el siguiente tipo de experim ento. Supongan que tenem os dos superficies sólidas planas con agua entre ellas, c om o en la figura 41-1, y mante nemos una quieta mientras movemos la o tra paralelamente a ella a una velocidad b aja Vq- Si miden la fuerza necesaria para mante ner el movim iento de la placa superior, encuentran que es proporcional al área de las placas y a v^/d, donde d es la distancia entre las placas. Entonces el esfuerzo de corte F ¡A es proporcional a v jd ·.
^
-
." o
L a constante de proporcionalidad r¡ se Uama coeficiente de viscosidad. * Pueden soplar y sacar las particulas grandes de pi no las finísimas. Las grandes se van con la corriente de aiie. t Pueden iraagijiar circunstancias en que esto no es > “líquido”, pero es claro que se lo puede deslizar sobre i nuestra aseveración debe dejar de valer en algún punto.
Si tenemos una situación más com plicada, siempre podemos considerar una p equeña celda rectangular y plana en el agua con sus caras paralelas al flujo,, como en la figura 41-2. La fuerza de corte a través de esta celda está d ad a por
AA
Ay
dy
(41.2)
A h o ra bien, d i \ J d y es la derivada de la deformación de corte definida en el capitulo 38, asi que para un liquido, ei esfuerzo de corte es proporcional a la derivada de la deformación de corte. En el caso general escribim os / ÓVy I dvx Si hay una rotación uniforme del fluido, d v ^ l d y es menos d V y /d x y S^y es cero - c o m o debe ser, ya que no hay esfuerzos en un flùido que rota uniform em ente-. (Hicim os algo similar al definir e^y en el capitulo 39.) Po r supuesto, están las expresiones correspondientes p a ra Sy^ y C om o ejemplo de aplicación de estos conceptos, consideremos el movimiento de un flùido entre dos cilindros coaxiales. Sea a el radio del cilindro interno, b el del externo y v^ y v^ las correspondiente s velocidades periféricas. Vean la figura 41-3. Podriamos preguntar: ¿cuál es la distribución de velocidades entre los cilin d ros? Para responder este pregunta, comencemos por hallar una fórm ula para el esfuerzo de corte por viscosidad en el fiúido a una distancia rd e ! eje. Po r la simetría del problem a, podem os suponer que el flujo siempre es tangencial y que su módulo depende ùnicam ente de r: v = v(r). Si observamos un punto en el agua a un radio r, sus coordenadas en función del tiempo son X = /-COSO)/,
y = rsen w /,
d onde co ~ v/r. Las componentes x e _v de la velocidad son = —rcüsenú;/ — — wy Según la ecuación (41.3) tenem os
and
Vy = rw eos wr = wx.
(41.4)
Fig. 41-3. Ei flujo de un fluido f dos cilindros concéntricos que rot; velocidades angulares diferentes.
Para un punto en en ese punto
= O, d c o id y = O y . -.'óíoidx es igual a rdcoidr. Por lo t
(41.(
'dr
(Es razonable que S dependa de d c o !d r \ cuando (o no varía con r, el líquido está en rotación uniforme y no hay esfuerzos.) El esfuerzo que hemos calculado es el esfuerzo tangencial de corte que es el mismo alrededor de to do el cilindro. Podemos obte ner el torque que actúa a través de una superficie cilindrica de radio r multiplicando el esfuerzo de corte por el brazo de momento r y el área Inri. Obtenemos
(41.7) C om o el movim iento del agua es estacionario - n o hay aceleración an g u lar- el to rque resultante sobre la capa cilindrica de agua entre r y r + d r debe ser cero; es decir que el to rque en r tiene que estar equilibrado por un torque igual y opuesto en dr, de m odo que t tiene que ser independiente de r. En otras palabras, H d(ij ¡ d r ts r es iguai a una constante A , digamos, y (41.8) Integrando tenemos que
“ = - ^ L as constantes A y i
+ fi-
2 determinan por las condiciones
= c
i r — b. O bte aemos
Asi pues, conocem os w en función de r y de ella v = w r. Si queremos el torque, podemos obtenerlo de las ecuaciones (41.7) y (41.^
- (Wb -
Cüa).
(41.11)
Es proporcional a la velocidad angular relativa de los cilindros. U no de los aparatos comunes p a ra medir coeficientes de viscosidad se construye de esta m anera. U no de los cilindros -digam os que el externo— está sobre pivotes, pero se lo mantiene en reposo media nte una balanza de resorte que mide el to rque que experim enta, mien tr as se rota el cilindro interno a velocidad angular constante. Luego se determina el coeficiente de viscosidad con ia ecuación (41.11). Según su definición, ven que las unidades de rj son newton-seg/m ^. P ara el agua a 20°C, 1 0 ·^ newton-seg/m ^, Por locom ún es más conveniente usar la viscosidad especifica, que es rj dividida por la densidad p. Los valores p a ra el agua y el aire son entonces comparables: aguaa20°C ,
r?/p = IQ -'- m V se g, (41.12)
a ir e a 2 0 ° C ,
Vp ^
15 X 10-°m V seg.
D e ordinario, las viscosidades dependen fuertemente de la tem peratura. Por ejemplo, p a ra el agua justo por encim a del punto de congelación, r]/p es 1 , 8 veces mayor que a 20“C. 41-2
Flyjo viscoso
Pasem os ahora a la teoría general del flujo viscoso - p o r lo menos en la form a m ás general que conoce el hombre—. Y a com prendem os que las componentes del es fuerzo de corte son proporcionales a las derivadas espaciales de las diversas componentes de la velocidad tal com o d v j d y ó d v y id x . Sin em bargo, en el caso general de un flùido compresible, el esfuerzo contiene otro térm ino que depende de otras derivadas de ia velocidad. L a expresión general es Sw -
+ V M V ·.).
(41.13)
donde x, es una de las com ponentes cartesianas x. y o z y es una de las c o m p o n en tes cartesianas de la velocidad. (El sim bolo S,j es la delta de K ronecker que es I para / — j y O para i ^ J). El té rm ino adicional agrega rj'V · v a todos tos elemen tos diagonales S ,, deJ tensor de esfuerzo. Si el liquido es incompresible, ·v = 0 y este té rm ino adicional no aparece. Por lo tanto tiene que ver con fuerzas internas d urante la compresión. A si pues, se necesitan dos constantes p ara describir el liqui do, ta! com o teníam os dos constantes para describir un sólido elástico homogéneo. El coeficiente rj es el coeficiente de viscosidad “ ordinario" con que ya nos hemos encontrado. Tam bién se lo llama p rim e r coeficiente de viscosidad o “ coeficiente de viscosidad tangenciai de c o rte ” y el nuevo coeficiente j¡' se llama segundo coeficienie de viscosidad. A hora queremos determinar la fuerza de viscosidad por unidad devolum en/^j-cpara introducirla en la ecuación ( 4 l . i ) y obtener la ecuación de movirnienio de un fluido real. La fuerza sobre un pequeño elemento cúbico de volumen de un fluido es la resultante de las fuerzas sobre las seis caras. T om án d o las de a dos obte ndremos diferencias que dependen de las derívadas de los esfuerzos y por lo tan to de las derivadas segundas de la velocidad. E sto es muy bueno porque nos llevará de vuelta a una ecuación vectorial. L a com ponente de la fuerza de viscosidad por unidad de volumen en ía dirección de ia com ponente cartesiana x , es
= . ±
, i K
| .
+ l::)} + 4 ( v v · » ) .
(4U 4)
Por lo com ún, la variación de los coeficientes de viscosidad con la posición es poca y se la puede despreciar. Luego, la fuerza de viscosidad por unidad de volumen sólo contiene derivadas segundas de la veiocidad. Vimos en el capitulo 39 que la form a más general de derivadas segundas que puede a parecer en u n a ecuación vectorial es la sum a de un térm ino con un la pla cia no (V · V v = V^v) y un té rm ino con el gra diente de la divergencia (v (V · v)). La ecuación (41.14) es precisam ente u n a sum a de este tipo con los coeficientes rj y (q + r^'). O btenemos / v i.. = ,
+ (, +
V ) V (V · v%
(41.15)
En el caso incompresible, V - v = 0 , y la fuerza de viscosidad por unidad de vo lumen es simplemente E sta es la que muchos usan; sin em bargo, si quisieran calc ula r la absorción de sonido en un flùido, necesitarian el segundo térm ino. A hora podem os com pletar la ecuación general de movim iento p a ra un fluido real. Sustituyendo la ecuación (41.15) en la ecuación (41.1) obte nem os
p
+ (o · V)!)} = - V p -
IJ Vi, + 7, V 'd + ( l + , ') '«’(V ■ t')·
E s complicada; pero la naturaleza es así.
41-6
pj— f O X y
+ 2
= ~^P -
P
+ ( 7, +
n ') V ( V - v ) .
(41.16)
De nuevo estam os suponie ndo que las únicas fuerzas de masa que actúan son fuer zas conservativas tal como la gravedad. Para ver lo que significa el nuevo térm ino, examinemos el caso de un /luido incompresible. E ntonces, si to m am os el rotor de la ecuación (41.16), obtenem os ^ 7 + 'C' X (íi X y) ^ - V“Q.
(41.17)
E sta ecuaciór\ es com o la (40.9) excepto por el nuevo térm ino del segundo miembro. Cuando el segundo miembro era cero, teníamos el teorema de Helmholtz según el cual la vorticidad acom paña ai fluido. A hora tenemos en el segundo miembro el térm ino no nulo y bastante complicado, el cual, sin em bargo, tiene consecuencias físicas directas. Si por el momento dejamos de lado el térm ino v x (Í2 x v), tenemos una ecuación de difusión. El nuevo térm ino significa que la vorticidad íá se difunde por el fiúido. Si hay un gradiente grande de vorticidad, se extenderá por el fiúido circundante. Este es el térm ino que hace que los anillos de humo engrosen a medida que avanzan. A dem ás se manifiesta elegantemente si m andan un vórtice “ limpio" (un anillo “ sin hum o" hecho por el aparato descrito en el capitulo anterior) a través de una nube de humo. Cuando sale de la nube ha sacado un poco de humo y verán que queda et hueco dejado por el paso del anillo. Parte de la i i se difunde hacia afuera en el hum o, pero mateniendo su movim iento de avance con el vórtice.
41-3
El núm ero de Reynolds
D escribiremos ahora el cambio que aparece en el carácter de) ílujo de Jo.s flúidos como consecuencia del nuevo térm ino de viscosidad. Exam inaremos dos problemas con algún detalle. El primero es el fiujo de un fluido que pasa en torno a un cilindro - fiujo que tratam os de calcular en el capítulo anterior usando la teoría de) flujo no viscoso-. R esulta que actualm ente sólo se puede resolver las ecuaciones con visco sidad en unos pocos casos especiales. Así pues, parte de lo que les contarem os está basado en medidas experimentales -suponiendo que el modelo experimenta) satis face la ecuación (41.17). El problem a m ate mático es éste; queremos la solución para el flujo transversal de un fiúido viscoso incompresible en torno a un cilindro largo de diá metro D. E) flujo debe estar dado por la ecuación (41.17) y por
1 las condiciones de que la velocidad a gran distancia sea cié te V (paralela al eje x) y que en la superficie del cilindro .
Esto especifica completamente el problema matemático. Si examinan las ecuaciones, verán que hay cuatro parám etros diferentes en ei problema: p, D y K Podrian pensar que tenemos que dar to d a una serie de casos para diferentes diferentes D , etc. Sin embargo, éste no es e] caso. T odas las soluciones diferentes posibles corresponden a diferentes valores de un solo pa rá m e tro- Esto es lo más general e im portante que podemos decir sobre el flujo viscoso. Para ver por qué es asi, observen primero que la viscosidad y la densidad aparecen únicamente en el cociente /¡/p -la viscosidad especifica-. Esto reduce a tres el n ú m ero de parám etros independientes. Supongan ahora que medim os todas las dis (ancias u.sando com o unidad la única longitud que aparece en el problem a: el diá m etro D del cilindro; es decir que sustituim os x, y. z por las nuevas variables ,r', 2 ' con X
= x 'D , y = y 'D ,
z = z'D .
Entonces D desaparece de (41.19). De la misma m anera, si m edim os todas las velo cidades en térm inos de K - o sea que ponemos u v’V - nos desem barazam os de y , y i’’ es simplemente igual a 1 a grandes distancias. Com o hemos fijado nuestras unidades de iongicud y de velocidad, nuestra unidad de tiempo es ahora ¿)/K, asi que debemos poner (41.20) Con nuestras nuevas variables, las derivadas que ap arecen en la ecuación (41.18) se transforman de d / d x tn (1 iD )d /'d x \ etc,; asi pues, la ecuación (41.18) se convierte en a = V X t) = ~ V ' X v' = ™ s i'.
(41.21)
N uestra ecuación principal (41.17) foma entonces la form a
+ T ' X ( « ' X „ ') =
vV .
Si nos acordam os de que hay que escribir todas las ecuaciones con todas las (
+ V X ( a X y) = -- v ' a
^ 1/4 = i.
= i-, -
0
El significado fisico de todo esto es ¡nleresantisimo. Significa, por ejemplo, que si resolvemos el problema del flujo para una velocidad F, y cierto diámetro D, del cilindro, y luego preguntamos cuál es el flujo para un diámetro diferente y un flùido diferente, el flujo será ei mismo para la velocidad que dé el mismo nùmero de R eynolds, es decir, cuando (Rl = ^
Vi D^ = (Rj = ^
K2D 2.
(41,25)
Pa ra dos situaciones cualesquiera que tengan ei mismo nùmero de Reynolds, el tlujo ten d rá el mismo “ aspecto” - e n función de las variables x", y', z' y t' calibradas en form a a p ropiada-. Esto constituye un enunciado im portante porque significa que po demos determinar cuál será el comportamiento del flujo de aire en torno de un ala de avión sin tener que construir un avión y probarlo. En su lugar, podemos hacer un modelo y hacer mediciones usando una velocidad que dé el mismo nùmero de Reynolds. Este es el principio que permite aplicar los resultados de medidas en “ túnel de viento” sobre aviones en escala reducida, o los resultados de medidas en “ cuba de p rueba” sobre modelos de barcos en escala, a loS objetos de tam año nor mal, Recuerden, sin embargo, que sólo podemos hacer esto siempre que se puede despreciar la compresibilidad del fluido. De lo contrario aparece una nueva cantidad; la veiocidad del sonido. Y situaciones diferentes se corresponderán real mente sóio si el cociente entre F y la velocidad del sonido también es el mismo. Este último cociente se llama número de M ach. Asi pues, para velocidades cercanas a la del sonido o m ayores, los flujos son iguales en dos situaciones si tanto el número de M ach como el número de R eynolds son iguales a am bas situaciones.
41-4
¡Flujo transversal esi to m o a un csísndro circular
Volvamos al problem a del flujo a baja velocidad (casi incompresible) en torno a un cilindro. D arem os una descripción cualitativa del flujo de un flùido real. Hay muchas cosas que querríamos saber sobre este flujo —por ejemplo, ¿cuál es la fuerza de arrastre sobre el cilindro? L a fuerza de arrastre sobre un cilindro está representa d a en la figura 41-4 en función de (R - q u e es proporcional a la velocidad del aire si se mantiene fijo todo lo d e m á s- Lo que se ha representado realmente es el llamado coeficiente de arrastre C q , que es un nùmero adim ensíonal igual a la fuerza dividida por \p V ^D l, donde
D es el diàm etro, / la longitud del cilindro y p la densidad del liquido: Cii =
ip V ^ D l
El coeficiente de arrastre varia de una m anera bastante com plicada, d á ndonos un preindicio de que algo bastante interesante y com plicado está sucediendo en el flujo. Describiremos ahora la naturaleza del flujo p a ra diferentes intervalos del núm ero de Reynolds. Prim ero, c uando el número de Reynolds es m uy pequeño, el flujo es casi estacionario; es decir que la velocidad es constante en todo p u nto, y el fiujo da vuelta alrededor del cilindro. Sin em bargo, la verdadera distribución de las lineas de flujo n o es com o en el flujo potencial. Son soluciones de una ecuación algo diferente. C u ando la velocidad es muy baja o, lo que es equivalente, cu an d o la viscosidad es muy alta de m odo que el fluido es com o miel, los térm inos inerciales son desprecia bles y el flujo queda descrito por la ecuación VHi = 0 . E sta ecuación fue resuelta por prim era vez por Stokes, quien también resolvió el mismo problem a con u n a esfera. Si tienen una esferita moviéndose en esas condi ciones de número de Reynolds bajo, la fuerza necesaria para arrastraría es igual a ó n ija V , donde a es el radio de la esfera y F su velocidad. E sta es una fórm ula Utilísima porque da la velocidad a la cual los pequeños granos de suciedad (u otras particulas de las que se pueda hacer la aproxim ación a esferas) se mueven en un núido bajo la acción de una fuerza dada —com o por ejemplo, en u n a centrífuga,
en la sedim entación o en la difusión. En la región de números de Reynolds bajos - p a r a CR m enor que 1 - las iineas de v alrededor de un cilindro son como las dibu ja d as en la figura 41-5. Si ahora aum entam os la velocidad del fluido para obtener un número de Rey nolds un poco m ayor que í, encontram os que ei ñujo es diferente. H ay una circula ción detrás del cilindro, com o m uestra la figura 41-6(b). T odavía es una cuestión abierta el detenninar si siempre hay
Fig. 4 1-6.
Flujo transversal e
n cilindro para diversos números de Reynolds.
circulación alli hasta en los núnieros de Reynolds más pequeños o si las cosas cambian repentinamente en un cierto número de Reynolds. Se solía pensar que la circulación crecía continuamente. Pero ahora se cree que aparece repentinamente y esta claro que la circulación crece con (fi . En todo cas(j, hay un caracter ditercnle del flujo p aia en la región entre cerca de 10 y 30. H ay un par de vórtices detrás del cilindro. El flujo cambia nuevamente cuando llegamos a un número de unos 40 o algo así. De repente hay un cambio completo del carácter de! movimiento. Lo que ocurre es que uno de los vórtices que hay detrás del cilindro se hace tan largo que se rompe v va corriente abajo con el flùido. Entonces ei fluido hace com o un m eandro detrás del cilindro, que al cerrarse form a un nuevo vórtice. Los vórtices se desprenden al te rnadam ente de cada lado, de m odo que una vista in stantánea del flujo es más o menos como se ha esquematizado en la figura 4l-6(c). La corriente de vórtices se llama “ calle de vórtices de K árm án” . Siempre aparece para (R > 40. En la figura 41-7 m ostram os una fotografía de un flujo de este tipo.
Fig. 41-7. Fotografía tomada por Lue wig Prandt de la "calle de vórtices" en i flujo detrás de un cilindro. La diferencia entre el flujo de la figura 4i-6(c) y el de la 41-6(b) o el de la 4 l-6 (a) es casi u a a diferencia local de régimen. En. la figura 4 1-6(a)o la (b ),Ia velocidad es constante, mientras que en la figura 4I-6(c) la velocidad en cualquier punto varia en el tiempo. N o hay soluciones estacionarias por encim a de (R = 40 - lo cual he mos indicado en la figura 41-4 con una linea de tra z o s-. Para estos números de Reynolds mayores, el flujo varia en el tiempo, pero de una m anera regular y cíclica. Podemos hacernos una idea física de cómo se producen estos vórtices. Sabemos que la velocidad del flùido debe ser cero en la superficie del cilindro y además que debe aum entar rápidamente al alejarse de la superficie. Esta gran variación local de la velocidad del fluido es la que crea la vorticidad. A hora bien, cuando la velo cidad de la corriente principal es suficientemente baja hay bastante tiempo para que esta vorticidad se difunda alejándose de la pequeña región cerca de la superficie del sólido donde se produce y form ando una gran región de vorticidad. Esta imagen fí sica debe a yudar a prepararnos para el siguiente cambio de naturaleza de! flujo c uando la velocidad de la corriente principa!, o (R , aum enta aún más. A medida que la velocidad aum enta más y m ás, la vorticidad tiene cad a vez menos tiempo de difundirse y ocupar una región m ayor del fiúido. Cuando llegamos a un número de Reynolds de varios cientos, la vorticidad comienza a llenar una b anda delgada, com o muestra
la figura 4i-ó(d). En esta capa el flujo es caótico e irregular. La región se ¡lama capa lím iie y esta zona de flujo irregular se aleja más y más corrie nte abajo a medi d a que CR aumenta. En la región turbule nta, las velocidades son muy irregulares y ■‘ruidosas” ; además el flujo ya no es bidimensional sino que se arrem olina en las tres dimensiones. Todavía queda un movim iento alternado superpuesto al turbulento. A um entando aún más ei número de Reynolds, la región turbulenta se abre cam i no liasta alcanzar (para flujos algo por encim a de (R = 10^) el punto en que las lineas de ílujo dejan el cilindro. El flujo es com o m uestra la figura 41-6(e) y tenem os lo que se llama una “ capa límite de turbule ncia ” . A dem ás la fuerza de arrastre varia radic alm ente; disminuye en un factor grande, como m uestra la figura 41-4. En esta región de velocidades, la fuerza de arrastre realmente dism inuye al aum entar la ve locidad. Parece que hay poca evidencia de que haya periodicidad. ¿Y qué pasa para números de Reynolds aún m ayores? Si aum entam os la veloci dad aún m ás, la estela vuelve a aum entar de ta m año, aum en tan d o la fuerza de arrastre. Los experim entos más recientes - q u e van h asta (R = 10'' más o m e n o sindican que aparece una nueva periodicidad en la estela, sea porque to d a la estela está oscilando en un movim iento global, sea porque aparece un nuevo tipo de vórtice ju n to con un movim iento irregular ruidoso. T odavía los detalles no son totalm ente claros y se los está estudia ndo experimentalmente.
4 i-5
El límite de viscosidad nula
Q uerriam os señala r que ninguno de los flujos que hemos descrito se parece en algo ai flujo potencial que hallamos en el capitulo precedente. A primera vista es bastante sorprendente. D espués de to do, (R es proporcional a I/?/, así que hacer tender r¡ a cero es equivalente a hacer tender (R a infinito. Y si tom am os e! límite para CR grande en la ecuación (41,23) desaparece el segundo miembro y obtenemos precisamente la ecuación del capítulo anterior. N o obstante, les resultaría dificil creer que eí flujo altamente turbule nto para (R = 10’ estuviera tendiendo a! fiujo uniforme calculado con la ecuación del agua “ seca” . ¿Cóm o puede ser que a medida que nos aproxim am os a (R = co, el flujo descrito por la ecuación (41.23) dé una so lución completam ente diferente de la que obtuvim os tom ando r¡ ~ O como punto de partida? La respuesta es muy interesante. O bserven que el segundo miembro de l a . ecuación (41.23) es I/(R por una derivada segunda. Es la derivada más alta que aparece en ia ecuación. Lo que ocurre es que aunque el coeficiente 1 / (R es peque ño, hay variaciones rapidísim as de íi cerca de la superficie. Estas variaciones rápi das compensan el coeficiente pequeño y el producto no tiende a cero al aum entar CR. L,as soluciones no tienden al caso líjnite cuando el coeficiente de tiende a
Puede que se estén preguntando: “ ¿C óm o es esta turbule ncia en escala muy pe queña y cóm o se m antiene? ¿C óm o puede la vorticidad p roducida cerca de la super ficie dei cilindro generar tanto ruido de fondo?” De nuevo la respuesta es intere sante. La vorticidad tiene una tendencia a amplificarse. Si por un m om ento olvida mos la difusión de la vorticidad, la cu.gl ocasiona pérdias, las leyes de fiujo dicen (como hemos visto) que las Imeas de vórtice son a rrastrad as con el flùido a velo cidad V,
Podem os im aginar cierto núm ero de lineas de Ü que se están deform ando y retor ciendo debido al com plicado diagram a de flujo de v. E sto acerca las líneas y las mezcla todas. Lineas que antes eran simples se entrelazan y se ju ntan . Serán más largas y más apretadas. L a inte nsidad de la vorticidad au m en tará y asi sus irregula ridades - lo s más y los m e n o s- tambié n a um entarán en general. Asi pues, la m agni tud de la .vorticidad en tres dim ensiones aum enta a medida que arrem olinam os el liquido. Tam bién podrian preguntar: “ ¿ C uándo es el ñujo potencial una te oría satisfac to ria ? ” En prim er lugar, es satisfactoria fuera de la región turbulenta, donde la vorticidad no ha entrado por difusión en íorm s apreciable. D an d o a los cuerpos perñles especiales (“ aerodinám icos”), podemos hacer que la región de turbulencia sea lo menor posible; el ñujo en to m o a las alas de un avión - la s cuales están cui dadosam ente dise ñ ad a s- es casi tota lm ente un verdadero ñu jo potencial. 41-6
Flujo de Couette
Es posible dem ostrar que ei c arácter complejo y cam biante del flujo transversal en torno a un cilindro no es especial, sino que la gran varie dad de posibilidades de ñujo se presenta en genera!. H em os hallado en la sección 1 una soiución p ara el ñ u jo viscoso entre dos cilindros y podem os com parar los resultados con lo que ocurre en la realidad. Si tom am os dos cilindros concéntricos con aceite entre eüos y su s pen d em o s polvo ñno de alum inio en e! aceite, es fácil ver el ñ ujo. Si ro ta m o s le ntam ente el cilindro externo no o curre n a d a in e sp era d o ; vean la figura 41-8(a). Si a su vez, se ro ta lentam ente -.;l cilindro in tern o , no p a sa n a d a del otro m u n d o. Sin e m bargo, si ro tam o s el ciiindro intern o a m a y o r v elocidad, reci birnos una sorpresa. El ñ ujo se rom pe en b a n d as h o rizo ntale s, co m o indica la figura 41'8(b). C uando el cilindro externo rota a una velocidad p arecida estando el interno en reposo, el efecto no se presenta. ¿Cóm o puede ser que haya una diferencia entre rotar el cilindro interno y rotar el externo? D espués de todo, el dia g ram a de ñujo que obtuvim os en la sección l dependía únic am ente de a)¿,-coa· P o demos encontrar la respuesta exam inando las secciones transversales m ostradas en la fígura 41-9. C uando lá^s carnadas inte rnas del ñúido se están movie ndo más rá pidamente que ias externas, tienden a desplazarse hacia afuera - l a fuerza centrífuga es m ayor que la presión que las mantiene en su lu g a r-. U na cam ad a no se puede mover to da uniformemente porque ias cam adas externas se lo obsta culizan. Se debe lo m per en células y circular, com o m uestra Fig. 41-8. Diagrama de flujo de un lí quido entre dos cilindros transparentes en rotación.
Fig. 41-9.
Por qué el flujo se rompe en bandas.
la figura 41-9(b). Es como las corrientes de convección en una habitación que tiene aire caliente abajo. Cuando el cilindro in íenio está en reposo y el externo tiem: una velocidad aita, las fuerzas centrífugas establecen un gradiente de presión que mantiene todo en equilibrio - v ea n ta figura 41-9(c) (como en una habitación ccn aire caliente cerca del techo). Aceleremos ahora el cilindro interno. Al principio aum enta el número de bandas. Luego vemos que de repente ias bandas se hacen onduladas, com o en ia flgura 41-8(c), y las ondas se desplazan alrededor del cilindro. Se puede medir fàcilmente la velocidad de estas ondas. Pa ra velocidades de rotación altas, se aproxim a a \ de la velocidad del cilindro interno. ¡Y nadie sabe por qué! Ahí tienen un desaño; un simple número com o \ y ninguna explicación. En realidad, no se com prende muy bien todo el mecanismo de la form ación de ondas; sin embargo, es ñujo laminar estacionario. Si ahora empezam os a rotar el cilindro extenio tambié n -p e r o en sentido opues to— el dia gram a de ñujo comie nza a romperse. O bte nem os regiones onduladas que alternan con regiones aparente mente tranquilas, com o se ha esquematizado en la fi gura 41'8(d), form ando un diagram a en espiral. Sin embargo, en estas regiones “ tranquilas” podemos ver que el ñujo es realm ente bastante irregulär; en realidad, es completamente turbulento. Las regiones onduladas también empiezan a m ostrar ñujo turbule nto irregular. Si se rotan los cilindros aún más rápidamente, todo el ñujo se vuelve caóticamente turbulento. Vem os en este experim ento simple m uchos regímenes interesantes de flujo que son enteram ente diferentes y que no obstante están contenidos en nuestra ecuación simple para diversos valores de un solo parám etro . Con los cilindros rotantes podemos ver m uchos efectos que se presentan en el ñujo que pasa en to m o a un cilindro; prim ero, hay un ñujo estacionario; segundo, se establece un fiujo que varia en el tiempo, pero de una m anera regular y uniforme; finalmente, el flujo se vuelve completam ente irregular. Todos han visto los mismos efectos en la columna de humo que sube de un cigarrillo en aire quieto. H ay una columna estacionaria y uniforme seguida de una especie de ensortijado a medida que la corriente de humo comie nza a romperse, te rm inando finalmente en una nube de humo irregular y arremolinada. La lección importa nte que se debe aprender de todo esto es que hay una variedad fa bulosa de comportam ientos escondida en el conjunto simple de ecuaciones (41.23). Todas son soluciones de las mismas ecuaciones, sólo que con valores diferentes de
es que aciualm enle no tenemos e! poder m ate mático para analizarla s, excepto para números de Reynolds muy pequeños - e s decir, en el caso comple tam ente viscoso-. El que hayam os escrito una ecuación no le quita al flujo de flúidos ni su encanto, ni su m isteno, ni su asombro. Si lai variedad es posible con una ecuación simple que tiene un solo parámetro, ¡la variedad que se tendrá con ecuaciones más complejas! Q uizás la ecuación funda mental que describe las nebulosas llenas de remolinos, y las estrellas y galaxias que se condensan, giran y explotan, es sólo una ecuación simple para el comportamiento hidrodinámico de hidrógeno gaseoso casi puro. A menudo se dice, por un miedo in justificado a la fisica, que no se puede escribir una ecuación de la vida. Bueno, quiz ás podamos. En realidad, es muy posible que ya te ngam os la ecuación en una aproxim ación suficiente cuando escribim os ia ecuación de la mecánic a cuántica:
.
A cabam os de ver que la complejidad de las cosas puede escaparse muy fácil y espectacula rm ente de la sim plicidad de las ecuaciones que las describen. Por desco n ocim ie nto de los alcances de las ecuaciones simples, ei hom bre ha llegado frecuen temente a la conclusión de que nada inferior a D ios, y no simples ecuaciones, puede explicar las complejidades del universo. tales encontram os un conjunto de conceptos y aproxim aciones que utilizar en el estudio de las soluciones: calles de vórtices, estelas tu rbulentas, capas límite. Cu ando tenem os ecuaciones similares en situaciones menos familiares en las que ni siquiera podemos experim entar, tratam os de resolverlas de una manera primitiva, vacilante y confusa para intentar determinar qué nuevas caracteristicas cualitativas pueden resultar o qué nuevas form as cualitativas son consecuencia de ¡as ecuacio nes. Por ejemplo, nuestras ecuaciones para el sol como una esfera de hidrógeno gaseoso, describen un sol sin m anchas solares, sin la estructura de granos de arroz de la superficie, sin prominencias, sin coronas. Y sin em bargo, todo eso está en las ecuaciones; sólo que no hemos encontrado la manera de extraerlo de alii. E stán los que se van a sentir defraudados cuando no se encuentre vida en otros planetas. Yo no -quiero recordar y gozar y sorprenderme una vez más, a través de la exploración interplanetaria, con la variedad y novedad infinitas de los fenómenos que principios tan simples pueden g e n e r a r - La puesta a prueba de la ciencia es su capacidad de predecir. Si nunca hubiesen estado en la tierra, ¿podrian ustedes prede cir las torm entas, ios volcanes, las olas de los océanos, las au ro ras y los colores de los ocasos? Será una lección saludable cuando aprendam os lo que pasa en cada uno de esos planetas muertos, esas ocho o diez pelotas, lodas aglomeradas a partir de la misma nube de polvo y todas obedeciendo exactam ente las mismas leyes de la física. La próxim a gran era del desperta r del intelecto hum ano puede muy bien pro p o r cionar un método para com prender el contenido cuaüiaiivo de las ecuaciones. Hoy no podemos. Hoy no podemos ver que ¡as ecuaciones de! flujo del agua contenga cosas tales com o la estructura de la turbule ncia en form a de los avisos de las barberías que se ve entre los cilindros rotantes. H oy no podemos ver si la ecuación de Schrödinger contiene ranas, compositores de música o la moralidad - o si no los c o n tie ne- No podemos decir sí se necesita o no algo m ás, com o Dios. Y por lo ta n to podemos tener opiniones bien definidas en uno u otro sentido.
42-2
L a curvatura mensìonal
42-3
N uestro espacio es
en elespacio
dtmen-
42-6
tridi-
42-7
La curvatura del
espacio-tiempo
42-8
El m o v irn ien io tiempo curvo
en el e sp ac io -
curvo
42-4
G eom etría en el espacio-tiempo
42-5
L a gravedad y el principio de equivalencia
42-1
L a veiocidad de 5«s relojes en «n c am po gravitacional
E spacios curvos en dos dimensiones
De acuerdo con N ew ton todas las cosas atraen a todas las demás cosas con una fuerza inversamente proporcional al c uadrado de la distancia entre eiias, y los objetos responden a las fuerzas con aceleraciones proporcionales a las fuerzas. Son las leyes de N ew ton de la gravitación universal y del movim iento. Com o saben, dan cuenta dei movimiento de pelotas, planetas, satélites, galaxias, etc. Einstein tenia una interpretación diferente de la iey de gravitación. De acuerdo con él, espacio y tiempo —que deben ponerse juntos com o espacio-tiempo— se curvan en las vecindades de masas pesadas. Y es el esfuerzo de las cosas por seguir “ lineas rectas” en este espacio-tiempo curvo el que hace que se m uevan en la form a en que lo hacen. Esta es una idea compleja - m u y com pleja-. Es la idea que quere mos explicar en este capitulo. N uestro tema tiene tres partes. En una intervienen ios efectos gravitatorios; en otra las ideas de espacio-tiempo que ya hemos estudia do; en la tercera ia idea del espacio-tiempo curvo. Simplificaremos nuestro te ma en el comienzo no preocupándo nos de la gravedad y dejando de lado el tiempo —discutiendo simplemente el espacio curvo-. Les hablarem os más adelante de ias otras partes, pero nos concentraremos ahora en la idea del espacio curvo - ^ u é se entiende por espacio curvo, y más especificamente qué se entiende por espacio curvo en esta aplicación de Einste in-, Ahora bien, resulta que aún así es algo difícil en tres dimensiones. Por io tanto reduciremos prim eramente el problem a aun más y hablarem os de qué se entiende con las pala bras “espacio c urv o” en dos dimensiones. Con ei fm de entender esta idea del espacio curvo en dos dimensiones tienen que darse cuenta realmente del punto de vista lim itado de quien vive en un espacio de este tipo. Supongan que nos im aginamos un insecto sin ojos que vive sobre un pía-
el obje to se estira debido a la dilata ción térm ica. T odas las cosas son más la rgas en los lugares calientes que en los fríos y todas las cosas tienen el mismo coeficiente de dilatación. Liam arem os “placa caliente ” a la casa de nuestro tercer insecto aunque preferíríamos pensar particularm ente en una clase especia] de placa caliente que sea fría en el centro y c ada vez más caliente a m edida que nos aproxim am os a ios b o r des (Fig. 42-3). A h o ra vamos a im aginar que nuestros insectos comie nzan a estudiar geometría. A unque im aginemos que son ciegos, es decir que no pueden ver n a d a del m undo “ exteríor” , pueden tiacer muchas cosas con sus patas y antenas. Pueden dibuja r líneas, pueden construir reglas y medir longitudes. Supongamos· prim eram ente que c om ie nzan con la idea más simple de geometría. A prenden a traz ar u n a recta - defi nida com o la línea más corta entre dos p u n to s-. N uestro prím er insecto —vean ia figura 4 2 - 4 - aprende a traz ar m uy buenas rectas. Pero ¿qué sucede con el insecto
de ia esfera? T raz a sus rectas com o la m enor distancia —p a ra é l- entre dos p untos, com o se ve en la fígura 42-5. A nosotros nos p arecerá u n a cu rv a, pero el in secto no tiene medios para salir de la esfera y descubrir que en “ realidad” h a y una linea m ás corta. Sabe sim plemente que si intenta en su m undo o tra trayectoria, siem pre será m ás larga que su recta. Porque debemos reconocer que su recta es el arco m á s co rto entre dos puntos. (Por supuesto, es un a rc o de circulo máxim o.)
Construcción de i
Finalm ente, nuestro tercer insecto - e l de la figura 4 2 - 3 - dibujará igualm ente su “ rec ta ” que a nosotros nos parecerá una curva. Por ejemplo, la m enor distancia entre ^4 y J? en la fígura 42-6 será una curva com o la indic ada. ¿Po r qué? Porque cuando la línea se curva hacia ia parte m ás caliente de ía placa caíiente, ias regías se vuelven más largas (desde nuestro punto de vista omnisciente) y b a stan menos “ m etros” puestos en fila p a ra ir desde A ha sta B . P o r lo ta n to , p a ra é l ia línea es recta --no tiene m anera de saber que pudiera haber alguien fuera, en un extraño m un do tridim ensional que pudiera llam ar “r ec ta ” a una línea diferente.
no, corno m uestra la figura 42-1. Se puede mover solamente sobre el plano y no tiene m a nera de saber si hay un medio de descubrir un “ m undo exterior” . (No tiene la im aginación de ustedes.) Por supuesto, vam os a razo n ar por analogia. Vivim os en un m undo tridim ensional y no nos im aginamos para nada que se pueda salir de este m undo tridim ensional en una nueva dirección; de m anera que haremos las cosas por analogía. Es com o si fuésemos insectos viviendo en un plano y hubiera un espacio en otra dirección. Es por esto que trabajarem os prim ero con el insecto, recordando que debe vivir sobre su superficie y no puede salir de ella. C om o otro ejemplo de insecto que vive en dos dim ensiones, podemos im aginamos uno que viva sobre una esfera. Imaginam os que puede cam inar por la superficie de la esfera, como se ve en la figura 42-2, pero no puede mirar hacia “ a rrib a” , hacia ) hacia “ afuera” .
42-2,
Insecto ;
V am os a considerar ahora una tercera clase de cria tura. Tam bién es un insecto com o los demás, y también vive sobre un plano como nuestro primer animalito, pero esta vez el plano es muy particular. L a tem peratura es diferente en diferentes lugares. A dem ás, el insecto y cualquier regla que pudiera utilizar están hechas del mismo material, que se dilata cuando se calienta. Siempre que el insecto coloque una regla en cualquier lugar para medir algo, la regla se dilata en form a inmediata a fin de a doptar la longitud correspondiente a esa tem peratura y ese lugar. D ondequiera que coloque algún objeto - é l mismo, una regla, un triángulo o cualquier o tra c o s a -
insecto sobre
Creemos que aho ra ya tienen la idea de que todo el resto de nuestro análisis se realizará siempre desde ei punto de vista de ias criaturas en ias superficies par ticulares y no desde nuestro punto de vista. Con esto en mente, veamos qué otros aspectos tienen sus geometrías. Supongan que todos lo insectos han aprendido a construir dos líneas que se intersectan en un ángulo recto. (Pueden im aginarse cómo podrían hacerlo.) Entonces nuestro primer animalejo (el que está sobre el plano normal) descubre un hecho interesante. Si parte del punto A y construye una línea de 100 centímetros de largo, luego dobla un ángulo recto y m arca otros IOO centí metros, luego dobla otro ángulo recto y prosigue por otros ICO centímetros, luego dobla un tercer ángulo recto y m arca una c uarta línea de 1 0 0 centímetros; al fmal se encuentran en el punto de partida, como m uestra la figura 42-7(a). Es una propie dad de su m undo - u n o de los hechos de su “ geometría ” . Luego descubre otra cosa interesante. Si construye un triángulo - u n a figura con tres rectas— Ja sum a de ios ángulos es igual a i 80", es decir, a la suma de dos ángulos rectos. Vean la figura 42-7(b). Luego inventa el circulo. ¿Qué es el circulo? U n círculo se construye de esta m a nera: a partir de un solo punto se trazan lineas rectas en m uchísim as direcciones y se señala un conjunto de puntos que están todos a la misma distancia del punto de partida. Vean la fígura 42-7(c). (Debemos tener cuidado al definir estas cosas para que podam os hacer Jas analogías con respecto a sus com pañeros.) P o r supuesto, la curva obtenida es equivalente a la que se obte ndría hacie ndo girar una regla en torno de un punto. C om o quiera que sea, nuestro insecto aprende a construir círcu los. L uego, un día piensa en medir la distancia alrededor del círculo. Mide varios círculos y encuentra una clara relación; la distancia alrededor del círculo es siempre el mismo número multiplicado por el radio r (que por supuesto es la d istan cia desde el centro hasta la curva). La circunferencia y el radio tienen siempre la misma relación -aproxim adam ente 6,283 - independientemente del tam año del circulo. Veamos ahora qué han encontrado los otros insectos respecto a sus geometrías. Prim ero, ¿qué sucede con el insecto que está sobre la esfera cuando trata de construir un cuadrado?
Si él sigue las rectas que di ames probablemente pensará que el resultado no valia tanto trabajo. Obtiene ñgura parecida a la que se m uestra en la figura 42-8. Su punto final B nc uperpone a su punto de partida A. N o resulta ninuna esfera y prueben. Algo similar ie sucederá a guna figura cerrada. Consigan nuestro amigo de ia placa caliente. Si tr aza cuatro rectas de igual longitud -m edidas )n sus reglas que se dila ta n - unidas en ángulos recios obtienen una figura parecida la de la figura 42-9.
Supongan ahora que cada uno de nuestros insectos tiene su propio Euclides que le ha dicho cóm o “debe” ser la geometria y que han verificado aproxim adamente lo que él dice, haciendo mediciones imperfectas en pequeña escala. Al intentar luego hacer medidas más precisas en una escala m ayor habrán descubierto que algo estaba equivocado. Lo que im porta es que sólo con mediciones geométricas descubrirán que pasa algo con su espacio. Defmim os un espacio curvo como aquél donde la geo metría no es la que se espera para un plano. La geometría de los insectos sobre la esfera o sobre ia placa caliente es la geometria de un espacio curvo. Las reglas de la geometría Euclidiana fracasan. Y no es necesarío poder salir del piano para d a r nos cuenta de que el mundo en que vivimos es curvo. N o es necesarío circunnavegar el globo para darse cuenta de que es una pelota. Pueden encontrar que viven sobre una pelota simplemente construyendo un cuadrado. Si el cuadrado es muy pequeño n ecesitarán bastante precisión, pero si el c uadrado es grande las medidas podrán realizarse más imperfectamente. T omemos ei caso de un triángulo sobre un plano. La suma de los ángulos es 180°. N uestro amigo de la esfera podrá encontrar triángulos muy raros. Por ejemplo puede encontrar triángulos que tienen tres ángulos rectos. ¡De verdad! La ñgura 42-10 m uestra uno. Supongan que nuestro insecto parte del polo norte y tr aza una línea recta hasta el ecuador. Luego dobla un ángulo recto y construye otra linea a misma longitud. Luego hace lo mismo. Debido a la longitud muy
especia] que ha tom ado se encuentra nuevamente en el punto de partida y además e ncuentra la prim era linea recta en ángulo recto. Por lo tan to no hay du d as de que p a ra él su triángulo tiene tres ángulos rectos, es decir que la sum a es 270 grados. Resulta que para él la sum a de (os ángulos de un triángulo es siempre m ay o r que 180 grados. E n efecto, el exceso (para el caso especial m ostrado es de 90 grados) es proporcional a la superficie del triángulo. Si un triángulo sobre una esfera es muy pequeño sus ángulos sum an apro xim adam ente 180'’, sólo un poco más. A medida que el triángulo es m ayor, ia discrepancia se hace mayor. El insecto que está sobre la placa caliente descubrirá dificultades similares con sus triángulos. Pasemos a examinar lo que encuentran los otros insectos respecto a los circuios. C o nstruyen circuios y miden sus circunferencias. Po r ejemplo, ei insecto de la es fera podrá trazar un circulo tal com o el de la figura 42-11. Y descubrirá que la cir-
cunferencia es menor que 2n por el radio. (Pueden ver que debido a la sabiduría de nuestra vista tridim ensional esto resulta evidente, ya que cuando habla del “ radio" se refiere a una curva m ás larga que el radio verdadero de círculo.) Supongan que el insecto de la esfera ha leído a Euclides y decide predecir un radio dividiendo la cir cunferencia C por 27i; obtiene w
=
( « ■ ')
Luego encontrará que el radio medido es más largo que el predicho. Continuando con su estudio, pod rá definir la diferencia como el “ exceso radia l” y escribir
) el exceso radial depende del tam año del círculo.
N uestro insecto de la placa caliente descubrirá un fenómeno parecido. Supon gan que trace un círculo centrado en ei punto frío de la placa com o en la figura 42-12. Si lo observásem os mientras traza el circulo nota ríam os que sus reglas son más cortas cerca del centro y más largas a medida que las lleva hacia la periferia -au n q u e el insecto no lo sabe, por s u p u e sto - Cuando mide la circunferencia, la regla es siempre larga, asi que también él encuentra que el radio medido es m ayor que el predicho C i l n . El insecto de ía piaca caliente también encuentra un “exceso radia l” . Y nuevamente ta m agnitud del exceso depende del radio del círculo.
Definiremos com o “ espacio curvo” aquél en que se presenta n errores geométri cos de este tipo: la suma de los ángulos de un triángulo es diferente de 180°; la cir cunferencia dividida por 2n no es igual al radio; la regla para traz ar un c uadrado no da. una figura cerrada. Pueden pensar otros. H em os dado dos ejemplos diferentes de espacio curvo: la esfera y la placa ca liente. Sin em bargo, es interesante que si tom am os la variación correcta de la tem peratura en función de la distancia en la placa caliente, las dos geometrías serán exactam ente iguales. E sío es bastante divertido. Podem os hacer que el insecto de la placa caliente obtenga exactam ente el mismo resultado que el animalejo de la esfera, A aquellos a quienes gusta la geometria y ios problem as geométricos les diremos cóm o lo pueden hacer. Si suponen que la longitud de ias reglas (en cuanto está determ inada p or la temperatura) varían en proporción de uno más cierta constante por el c uadrado de la distancia a! origen, puedan encontrar que la geometría de la placa caüente es exactam ente igual en todos los detalles* a la geometría de la esfera. H ay, por supuesto, otras clases de geometría. Podríam os interesarnos por la geo metría de un insecto que vive sobre una pera, es decir algo que te nga una curvatura más acentuada en un lugar que en otro, de m anera que el exceso angular en los tríángulos sea más notabie cuando construye triángulos pequeños en un lugar de su m undo que c uando ios construye en otra parte. En otras palabras, ía curvatura de un espacio puede variar de un lugar a otro. E s sólo una generalización de la idea. Tam bién se la puede imitar con una distribución correspondiente de temperaturas sobre una placa caliente. Podemos señalar adem ás que los resultados podrían presentarse con el tipo opuesto de discrepancia. Podría n encontrar, por ejemplo, que todos los triángulos tienen la sum a de sus ángulos menor que 180 grados cuando son muy grandes. Pue de parecer imposible, pero no lo es. Prim ero que to do, podríam os tener una placa calJente con la temperatura decreciendo con la distancia al centro. Entonces todos Los efectos se invertirán. Pero también podem os hacer esto en form a puramente geométrica observando la *
Excepto para e) punto en el infinito.
geometria bidimensional de la superficie de una silla de montar, im aginen una super ficie en form a de silla de m onta r como la esbozada en la figura 42-13. Dibujen ahora un "circulo” sobre, la superficie, definido como el lugar geométrico de todos los puntos a la misma distancia de un centro. Este circulo es una curva que oscila hacia arriba y hacia abajo con un efecto de festón. La circunferencia que resulta es mayor que la que seria de esperar del cálculo de I n r . Asi pues C / l n es ahora me nor que r. El “exceso radia l" será negativo.
Esferas, peras y superficies similares son todas de curvatura positiva; mientras que las otras se llaman superficies de curvatura negativa. En general, un m undo de dos dim ensiones tendrá una curvatura que varia de un lugar a otro y puede ser posi tiva en algunos lugares y negativa en otros. En general, entendemos por espacio curvo simplemente uno en el que las regías de la geometria de Euclides pierden va lidez por discrepancia de un signo u otro. El grado de curvatura —definido por el exceso radial, diga m o s- puede variar de un lugar a otro. Señalemos que, según nuestra definición de curvatura, resulta bastante sorpren dente que un cilindro no sea curvo. Si un insecto viviera sobre un cilindro, tal como m uestra la figura 42-14, encontraría que los triángulos, cuadrados y círculos tienen el mismo comportamiento que sobre un plano. Esto es fácil de ver, pensando simple mente cómo se verían todas las figuras si el cilindro se desarrollase sobre un plano. Entonces se puede hacer que todas las
figuras geométricas correspondan exaciam ente a ¡as que están en el plano. Así pues, no hay form a de que un insecto que viva sobre un cilindro (suponiendo que no dé la vuelta a todo el cilindro sino que realice sólo mediciones locales) descubra que su espacto es curvo. De lo que vamos a hablar es de to que se llama más precisa mente curvatura intrínseca·, esto es, una curvatura que se puede encontrar solamente por mediciones en una región logal. (Un cilindro no tiene curvatura intrinseca.) Este es el sentido que pretendía Einstein cuando decía que nuestro espacio es curvo. Pero, hasta ahora, hemos definido solamente un espacio curvo en dos dim ensiones; debemos seguir adelante para ver qué puede significar esta ¡dea en tres dimensiones.
42-2
La curvatura en el espacio tridimensional
Vivimos en un espacio tridim ensional y vamos a considerar la idea de que el es pacio tridim ensional es curvo. Ustedes me dirán, ¿pero cóm o puede im aginar que se curva en una dirección cualquiera? Bueno, no podemos im aginarnos que el espacio se curva en una dirección cualquiera porque nuestra im aginación no es lo suficiente mente buena. (Quizá sea bueno que no podamos im aginarnos mucho, a fin de no desvincularnos demasiado del m undo real.) Pero podemos siempre definir una curva tu ra sin salimos de nuestro mundo tridim ensional. T odo lo que hemos discutido respecto a dos dimensiones fue simplemente un ejercicio para mostrarles cómo pode mos obtener una defmición de la curvatura que no requería que pudiéramos “ mirar hacia de ntro” desde fuera. Podemos determinar si nuestro m undo es o no curvo de una manera bastante anàloga a la usada por los señores que viven sobre ia esfera o sobre la placa ca liente. Puede que no seamos capaces de distinguir entre estos dos casos, pero cier tamente podemos distinguirlos del caso del espacio plano, es decir del plano ordinario. ¿ C ó m o ? B astante fácil: se traza un triángulo y se miden los ángulos. O traz am o s un g ran círculo y m edim os la circunferencia y el radio. O tr a tam os de tr azar un cuadrado preciso, o construir un cubo. En cada caso verificamos si se cumplen las leyes de la geometría. Si no se cumplen decimos que nuestro espa cio es curvo. Si trazam os un gran tnángulo y la sum a de los ángulos excede los 180 grados, podemos decir que nuestro espacio es curvo. O si medimos el radio de un círculo y no resulta igual a la circunferencia sobre 2n, podemos decir que nuestro espacio es curvo. N otarán que en tres dim ensiones la situación puede ser mucho más complicada que para dos. En dos dim ensiones hay cierto grado de curvatura en cualquier punto. Pero en tres dim ensiones puede haber varias componentes de la curvatura. Si tr aza mos un triángulo sobre cierto plano, podremos obtener una respuesta diferente de la
que obterìdxiamos si orientam os el plano del triángulo de una m anera diferente. O podemos tom ar el ejemplo de un círculo. Supongan que dibuja mos un circulo y me dim os el radio y no coincide con C U n , de m odo que hay cierto exceso radia l. Dibu jam os ahora otro circulo perpendicular al prim ero - c o m o en la figura 4 2 - 1 5 - No es necesario que el exceso sea exactam ente el mismo p ara ambos circuios. En efecto, puede haber un exceso positivo para el círculo de un plano y un defecto (exceso negativo) p a ra el círculo del otro plano. Q uizás estén pensando en una idea mejor; ¿no podríam os evitar todas estas com ponentes utilizando una esfera en tres dimensiones? Podemos especificar una esfera tom ando todos los puntos de una superficie que estén a la misma distancia de un punto del espacio. Luego podemos medir la superficie trazan d o nn retículo rectangular muy fino sobre la superficie de la esfera y su m ando todos los pedacitos de superficie. D e acuerdo con Euclides la superficie tota l A debería ser 4 7 t por el cuadrado del radio; por lo tanto podemos definir un “ radio pred ich o '’ como ^ A l4 n . Pero también podemos medir directa mente el radio hacie ndo un agujero h asta el centro y midiendo la distancia. Nuevam ente podemos to m ar e! radio medido menos el predic ho y llamar exceso radial a la diferencia. _
/
superficie medida \ ’
que será una medida perfectamente satisfactoria de ia curvatura. Tiene ia gran venta ja de que no depende de cómo se orienta un triángulo o un círculo. Pero el exceso radial de una esfera tiene además una desventaja; no caracteriz a completam ente al espacio. D a lo que se llama la curvatura m edia del m undo tridi mensional, puesto que es un efecto promedio sobre las diversas curvaturas. Siendo un promedio, no resuelve completam ente el problem a de definir la geometría. Si sola mente se conoce este número no se pueden predecir todas ias propiedades de la geometria del espacio, porque no se puede decir qué sucede con un círculo de oríentacíón diferente. La definición compie ta requiere ía especificación de seis '"números de curv a tu ra ” en cada punto. Por supuesto, los m ate máticos saben cóm o escribir todos estos números. Pueden algún día leer en un libro de m atem ática cóm o se los escribe a todos de una manera elegante y con gran clase, pero es una buena idea conocer prim ero en form a rudim entaria qué es lo que tratan de escribir. Para Ja m ayoría de nuestros objetivos la curvatura media será suficiente*.
42-3
N uestro espacio es curvo
A hora viene el problem a principal. ¿Es cierto? Es decir, el espacio fisíco real de tres dim ensiones en que vivimos, ¿es curvo? U na vez que ha tenido imaginación * Para completar las cosas debemos mencionar aigo más. Si quieren llevar a tres dimen siones la placa caJiente como modelo de espacio curvo, tienen que imaginar que la longitud de la regla no sólo depende de dónde la ponen, sino también de qué onentación tiene cuando se la coloca sobre algo. Es una generalización del caso simple en que la longitud dela regla depende de dónde está, pero es la misma si se laorienta en dirección norte-sur, este-oeste o arriba-abajo. Se necesita esta geHeraiización si quieren representar un espacio iñóimensional de geometría arbitrana con ese modelo, aunque da la casualidad que no es necesaria en dos dimensiones.
suficiente para darse cuenta de la posibilidad de que e) espacio sea curvo, Ja mente fiumana siente naturalm ente curiosidad por saber si e! m undo real es o no curvo. Se han hecho medidas geométricas directas p a ra tratar de descubrirlo, pero no se han encontrado desviaciones. Por otro la do, con razonam ientos sobre la gravitación, Einstein descubrió que el espacio es curvo y queremos contarle s cuál es la ley de Einstein para el grado de curvatura, y hablarles también un poco de cómo llegó a su descubrimiento. Einstein dijo que el espacio es curvo y que la m ateria es la responsable de la cur vatura. (La m ateria es además el origen de la gravitación, por lo que la gravedad es tá relacionada con la curvatura -p e r o esto vendrá más adelante en este capítulo-.) Supongam os, para facilitar las cosas, que la materia está distribuida en form a con tinua con cierta densidad, que puede varia r, sin em bargo, tanto como quieran de un lugar a o tro t. La regla que Einstein dio para la curvatura es la siguiente: si en una región del espacio hay m ateria y tom am os una esfera suficientemente pequeña como p ara que la densidad ¡) de la materia que contiene sea efectivamente consta,nte, en tonces el exceso radial para la esfera es proporcional a la m asa que contiene. Uti lizando la definición de exceso radial tenem os
Exceso radial = / ^
- ^ f r ·M .
(4 2 J)
Aqui, G es la constante gravitacional {de la teoria de New ton), c es la velocidad de la luz y M = 4npr^ /3 es la masa de la m ateria contenida en la esfera. E sta es la ley de Einstein para la curvatura media del espacio. Supongan que tom am os Ja tierra corno ejempJo y oJvidamos que Ja densidad va ria de un punto a otro -a s i que no tenemos que hacer ninguna integral-. Supongan que medimos la superficie de la rierra muy cuidadosamente y Juego hacem os un agujero hasta el centro y medim os el radio, A partir del área de la superficie podría mos calcular el radio predic ho que se obtendría haciendo la superficie igual a Al c om parar el radio predicho con el efectivo, encontraría mos que el radio efectivo e.xcede a) predicho en la cantidad dada por la ecuación (42.3). La constante G/'ic^ es de aproxim adam ente 2,5 x 10”·^ cm por gramo, así que por cada gramo de material el radio medido difiere del predic ho en 2,5 x lü '^ ’ cm. Introduciendo la m asa de la tierra, que es de alrededor de 6 x 10^' gramos, se encuentra que la sierra liene un radio que es 1,5 miUmetros m ayor que el que deberia tener de acuerdo a su superficie"*. H aciendo el mismo cálculo para el sol, encuentran que el radio del sol es medio kilómetro más largo. Deben notai que la ley dice que la curvatura media p o r encim a de la superficie de (a tierra es cero. Pero esto no significa que todas las componentes de Ja curvatura sean cero. Puede haber - y en efecto la h a y - cierta curvatura por encima de la tierra. Para un circulo habrá un exceso radial con un signo para una cierta orientación y con el signo opuesto para otra orientación. Se encuentra inmediatamente que el pro medio sobre una esfera es cero cuando no hay masa dentro de ella. A propósito, se encuentra que hay una relación entre las diversas componentes de la curvatura y la
t Nadie -ni Einstein- sabe cómo hacer las cosas si la materia está concentrada ' puntos. *
Aproximadamente, porque la densidad no es independiente del radio como estamos s
variación de la curvatura media de un iugar a olro. Así pues, si conocen ia c u rv a tura en todas partes, pueden determinar íos detalles de la curvatura en cad a punto. La curvatura media por encim a de la tierra varia con la altura, asi que alli el espacio es curvo. Y cs esta curvatura lo que vemos como fuerza gravitacional. Supongan que tenemos un insecto sobre un plano y que el " plan o " tiene peque ñas ronchas en la superficie. Donde tiaya una roncha el insecto concluirá que su espacio tiene pequeñas regiones con curvatura localizada. Tenemos lo mismo en tres dimensiones. D onde hay un terrón de materia, nuestro espacio tridim ensional tendrá una Curvatura local - u n a especie de roncha Indimensional. Si hacemos un montón de protuberancias sobre un plano podria haber una cur vatura global además de todas las ronchas: la superficie podria llegar a parecerse a una pelota. Seria interesante saber si nuestro espacio tiene una cu rv atu ra media total además de las ronchas locales, debidas a los terrones de m ateria com o la tierra y el sol. Los astrofísicos han estado tratando de resolver esta cuestión realizando medi das en galaxias muy distantes. Por ejemplo, si el número de galaxias que vemos en un cascaron esférico a una gran distancia fuera diferente del que seria de esperar según nuestro conocim iento del radio del cascarón tendríamos una medida del exce so radial de una esfera trem endam ente grande. A partúr de tales mediciones se espera determinar si el universo entero es en promedio plano o redondo -si es ‘‘cerrado" com o una esfera, o "abierto" cono un plano. Puede que hayan oído hablar de los debates que se realizan sobre este tem.a. Hay debates debido a que las medidas as tronómic as todavía no son nada concluyentes: los datos experimentales no son lo suficientemente precisos para dar una respuesta definida. D esafortunadam ente, no tenem os la más vaga idea sobre la curvatura global de nuestro universo en una esca la grande.
42-4
G eometría en el espacio-tiempo
A hora tenem os que hablar del tiempo. Com o saben por la teoría especial de la relatividad, las mediciones del espacio y las del tiempo están interrelacionadas. Y sería una especie de locura que algo sucediera en el espacio en lo que el tiempo no interviniera. Recordarán que la medición del tiempo depende de ta velocidad con que se mueven. Por ejemplo, si observamos un sujeto que se va en una nave espacial vemos que las cosas suceden más lentamente para él que para nosotros. Digamos que parta de viaje y vuelva exactam ente en 1 0 0 segundos según nuestros relojes; su reloj podria decir que ha estado fuera solamente 95 segundos. En comparación con los nuestros, su reloj - y todos los otros procesos, como los latidos de su co r a z ó n - han andado más lentamente. C onsideremos ahora un problema interesante. Supongan que uno de ustedes es el que está en la nave espacial. Parte con una señal dada y regresa al punto de partida justo en el momento de recibir una ultima señal -d ig am o s que exactamente 100 segundos después de acuerdo con nuestro reloj-, Y le pedimos además que reali ce el viaje de tal manera que su reloj marque el intervalo de tiempo m ás largo posi ble. ¿Cómo se deberá mover? Deberá perm anecer quieto. Si realiza el más pequeño movimiento su reloj m arcará menos de IOO seg en el momento de llegar de vuelta.
Supongan, sin embargo, que modificanios un poco e¡ problema. Supongan que le pedimos que p arta del punto A a una señal dada y que vaya al punto B (ambos fijos en relación a nosotros) y que lo haga de tal m anera que esté de regreso justo en el momento de una segunda señal (digam os que 1 0 0 segundos después según nuestro reloj fijo). N uevamente le pedim os que realice e¡ viaje de manera que regrese con su reloj marcando el mayor tiempo posible. ¿Cómo hacerlo? ¿Por cuál camino y ajustá ndose a qué horario su reloj m arcará el m ayor intervalo de tiempo cuando regrese? La respuesta es que ta rda rá el m ayor tiempo posible desde su punto de vista si realiza el viaje a velocidad uniforme en linca recta. La razón: cualquier movimiento extra y cualquier m ayor velocidad extra h a rá andar más lentamente su reloj. (Como la desviación tem poral depende del cuadrado de la velocidad, lo que pierden por ir más rápido en un lado nunca lo pueden ganar yendo más lentamente Lo esencial de todo esto es que podem os usar ia idea p a ra definir “ una, r ecta” en el espacio-tiempo. Lo análogo de una recta en el espacio es para el espaciotiempo un movimiento a velocidad uniforme en dirección fija. La curva de menor distancia en el espacio corresponde en el espacio-tiempo no al camino de m enor tiempo, sino al de m ayor tiempo, a causa de las cosas divertidas que suceden con los signos de los térm inos temporales en relatividad. Movimiento en “linea rec ta ” ^ o análogo a “ velocidad rectilínea uniforme”- e s entonces el movi miento que transporta un reloj desde un lugar en un cierto instante hasta otro lugar en otro insíaníe de modo que el reloj marque el m ayor tiempo posible. E sta será nuestra definición de lo análogo de la recta en el espacio-tiempo.
42-5
La gravedad y el principio de equivalencia
A hora estam os listos para discutir las leyes de la gravitación. Einstein tratab a de construir una te oría de la gravitación que se adaptase a la teoria de la relatividad que habia desarrollado anteriormente. Continuó en su esfuerzo h asta que llegó a un pnncipio importa nte que lo guió para obtener las leyes correctas. Este principio se basa en la idea de que cuando algo cae libremente, todo en su interior parece no tener peso. Por ejemplo, un satélite cae libremente en la gravedad de la tierra, y un astronauta a bordo se siente desprovisto de peso. Esta idea, enunciada con mayor precisión, se llama principio de equivalencia de Einste in. Depende del hecho d eq u e todos los objetos caen exactam ente con la misma aceleración, cualesquiera sean su m asa o su composición. Si tenem os una nave espacial que se está moviendo con los motores apagados -de modo que está en caida lib re - con un hombre en su inte rior, las leyes que gobiernan la caida del hombre y la de la nave son las mismas. Así, si se ubica en el medio de la nave, perm anecerá allí. N o cae con respecto a la nave. Esto es lo que queremos significar cuando decimos que “ no tiene peso". S upongan ahora que están en un cohete espacial que está acelerando. ¿Aceleran do respecto a qué? Decim os sim plemente que sus motores están encendidos generaJido un empuje de manera que no está moviéndose en caída libre. Imaginemos además que están muy lejos en el espacio vacio de m anera que prácticamente no hay fuerzas gravitacionales actuando sobre la nave. Si la nave tiene una aceleración de “ 3 g ” podrán pararse sobre el “ piso” y sentirán su peso normal. Adem ás, si suel tan una pelota, “ caerá" hacia el piso.
¿Por qué? Porque la nave está acelerando ' ‘hacia arrib a ” , pero sobre la pelota no están actuando fuerzas, asi que no sufrirá aceleración; se quedará atrás. D entro de la nave la pelota a parecerá como teniendo una aceleración de “ 1 g” hacia abajo. C om parem os a hora esta situación con la de una nave espacial que perm anece en reposo sobre la superficie de la tierra. \T üdo es lo m ism o\ Se sentirán apretados hacia el piso, una pelota caerá con una aceleración de I g, y asi siguiendo. Y e nton ces ¿cómo podrian distinguir desde dentro de una nave espacial si están posados sobre la tierra o si se están acelerando en el espacio libre? D e acuerdo con el prin cipio de equivalencia de Einstein ¡no hay form a de decirlo si solamente realizan mediciones de lo que sucede en el interior! Pa ra ser estrictamente correctos, esto es cierto, exceptuando un factor en el inte rior de la nave. Et c am po gravitacional de la tierra no es exactam ente uniforme, asi que una pelota en caída libre sufre aceleraciones ligeramente diferentes en diferentes lugares -4a dirección y el módulo cam b ian -, Pero si im aginamos un campo gravi tacional rigurosamente uniforme, un sistema con una aceleración constante lo imita por completo en todos los aspectos. Este es el fundam ento del principio de equi valencia.
42-6
La veiocidad de los relojes en un campo gravitacional
Q uerem os aplicar a h ora el principio de equivalencia p ara hallar algo extraño que sucede en un campo gravitacional. Les mostrarem os aJgo que sucede en un cohete espacial y que probable mente no hubieran esperado que sucediera en un cam po gravitacional. Su pongan que colocamos un reloj en la “cab e za ” de la nave espacial -es decir, en el extremo “delantero”- y colocamos otro reloj idéntico en la “’c o la” , como en la figura 42-16. Llamem os /I y 5 a los dos relojes. Si com param os estos dos relojes cuando la nave acelera, el reloj de la cabeza parece m archa más rápido que el de la cola. Para ver esto, imaginemos que el reloj delantero emite un destello de luz cada segundo y que ustedes están sentados en la cola c om parando la llegada de los destellos de luz con los tic-tac del reloj B. D igamos que el cohete está en la posición a de ta figura 42-17 cuando el reloj >1 emite un destello, y en la posición b cuando el destello llega al reloj B. Posteriormente, la nave estará en la posición c cuando ei reloj A emita su próxim o destello, y en la po sición d cuando ven que llega el reloj B. El prim er destello recorre la distancia Z-i y el segundo destello la distancia menor ¿ 2· Es una distancia m enor porque la nave está acelerando y tiene una velocidad m ayor en el momento de! segundo destello. Pueden ver entonces, que si los dos d e s tellos fueron emitidos por el reloj A con una separación de 1 segundo, llegarán al reloj B con una separación algo menor que un se gundo, puesto que el segundo des tello no tarda tanto tiempo en el recorrido. La misma cosa sucederá también con , todos los destellos posteriores. Así pues, si estuviesen sentados en la cola podrian concluir que el reloj A e stá marchando más rápido que el B. Si hicieran la misma ' cosa a la inversa -considerando que el reloj B emite luz y observándola desde el reloj A - encontraría n que el reloj B está marchando m ás lento que el A. T o d o con cuerda y no hay nada de misterioso en todo esto. Pero consideremos ahora que el cohete espacial está en reposo en el cam po de gravedad terrestre. S ucede la m ism a cosa. Si se sientan en el suelo con un reloj y observan otro colocado en un estante alto, ¡éste aparecerá com o marchando más
^ero está mal. Los liempos deben ser iguales. Si no hay aceleración no hay razón para que los relojes ap arezcan en d esacuerdo” . Pero debe ser asi si el principio de equivalencia es correcto. Y Einstein insistió en que el principio era correcto, y siguió adelante correcta mente, con co raje. Propuso que los relojes ubicados en lugares diferentes de un cam po graviiacional deben aparecer m archando a velocidade.s diferentes. Pero si uno Fig. 42-17. Un reloj en la cabeza de un cohete espacial que acelera parece adelantarse respecto a un reloj en la cola
POSICION d ____ ^
^ \
POSICION b -----
y \; T ‘ím L| I ..L . POSICION a -----
i.,
®
\
aparece siempre m archando a una velocidad diferente con respecto al otro , entonces desde e! p unto de vista de! prim ero, el otro esiá m a rc h2,ndo a una velocidad diferente. Pero a h o ra ven que tenemos p a ra los relojes algo análogo a la dilatación del metro de que hablam os antes, c uando tenía mos el insecto sobre la placa caliente. Im aginábam os que reglas, insectos y todas las cosas cam biaban de longitud de la m isma m anera a ias diversas te m peraturas de m odo ta l que n u nca podían darse cuenta de que sus metros cam biaban al moverse sobre la placa caüente. Es lo mismo que con los relojes en un c am po gravitacional. C ada reloj que colocam os a un nivel más alto se ve m a rc har más rápidamente. !x)s latidos del corazón van m ás rápido, todos los procesos m archan más rápido. Si no fuera asi, podrían hallar la diferencia entre un campK) gravitacional y un sisíema de referencia acelerado. L a idea de que e! tiempo puede variar de un lugar a otro es diñcil, pero ésta es la que usó Einstein, y es la co rrecta - a u n q u e no io U sando el principio de equivalencia podemos calc ula r cu án to varía ia veiocidad de un reloj con la altura en un cam po gravitacional. Calculam os simplemente la dis crepancia aparente entre los dos relojes del cohete espacial en aceleración. L a form a más simple de hacerlo es utilizar el resultado que e ncontram os en el capitulo 34 del vol. I p ara el efecto Doppler. E ncontram os alli -v e a n la ecuación ( 3 4 .1 4 )- que si v es la veiocidad relativa de un a fuente y un receptor, la frecuencia recibida oj está relacionada con la frecuencia emitida mediante
o. = Wo --7=--:=irzr:i ·
(42.4)
Si consideramos a hora el cohete espacial que acelera de la figura 42-17, el emisor y el receptor se están moviendo con igual velocidad en cualquier instante. Pero durante el tiempo que ta rda la señal de luz en ir desde el reloj A h asta el reloj B la nave ha acelerado. E n efecto, h a adquirido la velocidad adicional gt, donde g es la acelera ción y / es el tiempo que ha ta rda do la luz en recorrer la distancia H entre A y B. E ste tiempo es muy aproxim adamente H /c . Así pues, cuando las señales Llegan a B, la nave ha aum entado sus velocidades en g H /c . El receptor tiene siempre esta veloci d ad con respecto a l emisor en el instante en que la señal llega h asta él. Así esta es entonces la veiocidad que debemos usar en la fórm ula del corrim iento Doppler, e cuación (42.4). Suponiendo que la aceieración y la longitud de la nave son sufi cientemente pequeñas, ya que esta velocidad es m ucho m enor que c, podem os des preciar e! térm ino en v^/c^. T enem os que (42.5) Así pues, tenemos la siguiente relación para los dos relojes de la nave espacial;
donde H es la altura del emisor sobre ei receptor. S e g ú n el principio de equivalencia el m ism o resultado debe valer p a ra dos relo je s separados p o r la altura H en un campo gravitacional con una aceleración de caída libre igual a g.
Esta es una idea tan importa nte qiie querriamos dem ostrar que se deduce de otra ley de la física: de la conservación de la energia. Sabemos que la fuerza gravitacional sobre un objeto es proporcional a su m asa ¡VI, la cual está relacionada con su ener gia interna total E por M ~ E/c~. Por ejemplo, la m asa de! núcleo determinada a partir de las energías de las reacciones nucleares que transm utan un núcleo en otro, concuerda con las masas obtenidas a partir de los pesos atómicos.
Consideremos ahora un átomo que tiene un estado de energia mínima total E¡, y un estado de energia más alta £■,, y que puede pasar del estado £■, al E^ medi la emisión de luz. La frecuencia oj de la luz estará dada por fio) = £) — E q.
(42.7)
Supongan ahora que tenemos un átomo de este tipo en el estado f , sobre el suelo y que !o llevamos desde el piso hasta ia altura H . P ara hacerio debemos realizar cierto trabajo para subir la m asa m, = E, contra la fuerza de gravedad. La cantidad de trabajo realizado es
Luego dejamos que el átomo emita un fotón y vaya al estado de energia más bajo Eq. Después llevamos el átomo nuevamente al suelo. En el viaje de vuelta la masa es E^lc}·, se restituye la energía f l « /í,
·
(42,9)
así que hemos realizado una cantidad neta de trabajo igua! a
Aü =
off.
(42.10)
Al emitir el fotón, el átomo cede la energia E^ - E^. Supongan ahora que el fotón haya bajado hasta el piso y que haya sido absorbido. ¿C uánta energia entregará allí? Pensarán a prim era vista que debe entregar precisamente la energía £ , - E^. Pero esto no puede ser correcto si se conserva ta energía, como se deduce a partir del siguiente razonamiento. Partimos con la energía £ , sobre el piso. Al final la energia al nivel del piso es la energía E^ del átomo en su estado más bajo, más la energía £V recibida del fotón. En el ínterin tuvim os que suministrar la energia adicio nal zi t / de la ecuación (42.10). Si la energía se conserva, la energia final al nivel dei piso debe ser m ayor que la de partida en una cantidad que es precisamente el trab a jo que hemos realizado. Es decir que debemos tener
+ £o = £ i + Aí/, o sea
(42.11) E f = ( £ j _ - £o) + At/.
El fotón no puede llegar aJ piso precisamente con la energia E ^ —E^ con la que p artió, sino con una energia un jx k o menor. D e o tra m an era se habia perdido cierta energia. Si sustáruimos en la ecuación (4 2 .1 1) el A U que obtuvim os en la ecuación (42.10) obte nem os que el fotón tlega al sueio con ia energia
= (£ , Pero un fotón con energia £y tiene la frecuencia pj = Er/H. L lam ando co^ a la fre cuencia del fotón emitido - q u e según la ecuación (42.7^ es igual a ( £ , - E ^ l h - el resultado de la ecuación da nuevamente la relación (42.5) entre las frecuencias del fotón al ser absorbido sobre el suelo y al ser emitido. Se puede obtener a hora el mismo resultado de o tra m anera. U n fotón de fre cuencia üene la energia £g = C om o ia energia £ qtiene la m asa gravitacional E q/ c^ el fotón tiene una masa (que no es m asa en reposo) y es ■‘atra íd o " p or la tierra. C ayendo desde ¡a altura H ganará una energía adicional {ña>Q/cr)gH, de m anera que llega con la energia
Pero su frecuencia después de la caida es dan d o nuevamente el resultado de la ecuación (42.5). N uestras ideas sobre la relatividad, la fisica cuántica y la conservación de la energia encajan perí'ectamente sólo si las predic ciones de Einstein sobre los relojes en un camjx) gravitacional son correctas. Las variaciones de fre cuencia de que estam os hablando son nonnalm ente muy pequeñas. Por ejemplo, p a ra una diferencia de altura de 2 0 metros en la superficie de la ü erra, la diferencia de frecuencia es solamente de alrededor de dos p a n es en 1 0 '^ Sin em bargo, preci sam ente taJ cam bio ha sido encontrado recientemente en íorm a experimenta! usando el efecto M ossbauer*. Einstein tenia perfecta razón. 42-7
La curvatura del espacso-tiempo
A h o ra queremos rela cionar lo que hemos estado diciendo con la idea del espa cio-tiempo curvo. Y a hemos puntualizado que si ei tiempo tran scu rre con diferente rapidez en lugares diferentes, es análogo al espacio c u n o de la placa caliente. P ero es más que una analogia; significa que el espacio-tiempo es cur\'0 . Tratem os de hacer aJguna geometría en eJ espado-tiempc». E sío puede parecer extraño al principio pero frecuentemente hemos construido diagram as en el espacio-iiempo representando distancias según un eje y üem po según otro eje. Sup>ongan que tr atam os de construir u n rectángulo en el espacio-tiempo. Com enzam os por traz ar un gráfico de altura H en función de l com o en la figura 42-18(a). P ara construir la base de nuestro rec tángulo tom am os un obje to que en reposo está a la altura H . y seguimos su línea de urjYerso duram e ),00 segundos. O bte nem os la linea B D de la parte (b) de la fi g ura que es paralela al eje i. Tom em os ahora otro objeto que esté 100 metros sobre el prim ero en / = 0. Parte del punto A en la figura 42-!8(c). A h o ra seguimos su linea de universo durante lOO ® R, V. Pound y G. A. Rebka, Jr. Physical Re\iew Leiiers. voi. 4, pág. 337 (1960).
de segundos medidos por im reloj en ,,4. El obje to va de ^ a C, com o se m uestra en la parte (d) de ia figura. Pero notem os que com o ei tiempo tran scu rre con rapidez di ferente a las dos alturas - h e m o s supuesto que hay un c am po gravitacional— los dos puntos C y D no son sim ultáneos. Si queremos comple tar el c u ad rad o trazan d o una linea al punto C ' que está 100 metros sobre D al mism o tiempo, com o en ta figura 42-18(e), los lados no empalman. Es esto lo que querem os significar cu an d o decimos que el espacio-tiempo es curvo.
42-8
El movissáenSo ee eS espfficio-dsmpo curvo
y
Considerem os un ju ego de ingenio interesante. T enemos dos relojes idénticos. A y B , ubic ados juntos sobre la superficie de la tierra com o en la fígura 42-19. Llevamos ahora el reloj A hasta cierta altura H , lo dejam os ahí un rato y lo lleva mos nuevamente al suelo de m odo que llegue precisamente en el instante en que el reloj B ha avanzado 100 segundos. El reloj m arcará algo así com o 107 segundos, porque m archó más ràpido cuando estaba en el aire. A h ora bien, éste es el ju ego de ingenio. ¿C óm o debemos mover el reloj A de m anera que m arque el m ay o r tiempo posible -suponie ndo siempre que regresa cuando B marca 100 segundos? Ustedes dirán; ‘“E s fácil. Simplemente lleve a .4 tan alto com o pueda. P o r lo tanto andará lo m ás rápidamente posible, y m arcará la màxim a h o ra c uando regrese". Equivoca do. Olvidan algo: tenem os solamente 100 segundos p ara subir y bajar. Si vamos muy alto, debemos ir muy ràpido para llegar alli y regresar en 100 segundos. Y no deben olvidar ei efecto de ia relatividad especial según el cuai ios reiojes en movim iento se atrasan en el factor \ / l —v-/c-. Este efecto relativista a ctú a en el sentido de hacer que el reloj A m arque menos tiempo que el B . Ven que tenem os una especie de juego. Si nos quedam os quietos con ei reloj A obte nem os 100 segundos. Si subim os lentamente hasta una jxque ña altura y regresamos lentamente, podemos obtener un tiempo algo m enor que 100 segundos. Si vamos un ¡x k o m ás alto, puede ser que podam os ganar un poco más. Pero si vam os dem asiado alto tenem os que
Fig. 42-Ì9. En un campo gravitaci nal uniforme la trayectoria que da el tier po propio máximo dado un intervalo ( tiempo fijo es una parábola.
movernos rápido para llegar y puede que ei reloj se atrase tanto como para que regresemos en menos de 100 segundos. ¿Qué program a de altura en función del tiempo - h a s ta qué altura y con qué velocidad llegar alli, ajustadas cuidadosa mente para regresar cuando e! reloj B ha m archado IOO se g u n d o s- podrá dar el m ayor tiempo posible m arcado por el reloj A l R espuesta; calculen con qué velocidad hay que lanzar una pelota al aire de m a nera que regrese a la tierra en exactam ente 100 segundos. El movim iento de la pelota -p artiendo rápido, frenándose, deteniéndose y volviendo hacia abajo— es exac ta m ente el movimiento correcto que hace máxim o el tiempo en un reloj de pulsera m ontado sobre la pelota. Considerem os ahora un juego de ingenio ligeramente diferente. Tenemos dos puntos A y B sobre la superficie de la tierra a cierta disLantia uno de otro, liarem o s el mismo juego que antes para hallar io que ¡¡amamos linea recta. Preguntam os cóm o debemos ir de /í a 5 de manera que ei tiempo que m arca nuestro reloj en movim iento sea el m ayor posible -suponiendo que partimos de A con una señal d a da y que llegamos a B con otra, digamos que 100 segundos más tarde sgún un reloj fijo-. A hora dirán: “ Bueno, hemos encontrado antes que lo que hay que hacer es moverse en línea recta a velocidad-uniforme determ inada a fin de ilegar a B exac tamente 100 segundos más tarde. Si no seguimos una linea recta se necesitará ir más rápido y nuestro reloj se atrasará. ¡Pero un momento! Eso era antes de tom ar en cuenta la gravedad. ¿N o es mejor subir un poco y luego bajar? ¿Acaso nuestro reloj no se adelantará un poco cuando estemos más alto? Así es en verdad. Si re suelven el probiem a matem ático de a justar ia curva del movim iento de manera que el tiempo transcurrido para el reloj en movimiento sea el m áxim o posible, encuentran que el movimiento es una parábola, la misma curva seguida por cualquier cosa que se mueve en una trayectoria balística libre en el cam po gravitacional, como en la figura 42-19. Por lo tanto, la ley de movimiento en un cam po gravitacional se puede enunciar así: un objeto se m ueve siem pre de un pu n to a otro de m anera que un reloj que lo acompaña indica un tiempo m ás largo que el que indicaría sobre cualquier otra trayectoria posible - p o r supuesto, con las mismas condiciones inicial y final-. El tiempo medido por el reloj en movimiento se llama frecuentemente “ tiempo propio” . En caída libre, ia trayectoria hace máxim o el tiempo propio del objeto que
Veamos cómo funciona todo esto. Com encemos con la ecuación (42.5) que dice que el adelanto de frecuencia de un reloj en movim iento es
Adem ás de esto, debemos recordar que hay una corrección de signo opuesto, por efecto de la velocidad. Para este efecto sabem os que Ló = Aunque el principio es válido para cualquier velocidad, tomemos un ejemplo en que la velocidad sea siempre mucho m enor que c. Podemos escribir entonces esta ecu a ción en la form a q ^ = ojo(l y el atraso de frecuencia de nuestro reloj es (42.14) C om binando los dos térm inos (42.13) y (42.14) tenem os que
(sH -
j ) ■
(« .1 5 )
Tal corrim iento de frecuencia de nuestro reloj en movimiento significa que si medi mos un tiempo di en un reloj fijo, el reloj en movimiento registrará el tiempo
( f - é ) El atraso total de tiempo sobre la trayectoria es la integral del térm ino adicional c respecto al tiempo, es decir
que se supone es un máximo. El térm ino g H es precisamente el potencial gravitacional
Pero ahora el integrando es precisamente ta diferencia entre las energias cinética y potencial. Y si miran en el capítulo 19 verán que al discutir el principio de mínima acción dem ostram os que las leyes de N ew ton para un objeto en cualquier potencial se podían escribir exactam ente en la form a de la ecuación (42.18). 42-9
La teoría de la gravitación de Einstein
L a form a dada por Einstein a las ecuaciones de movim iento —que el tiempo pro pio debe ser máxim o en el espacio-tiempo curvo-·- da los mismos resultados que las leyes de Newton a
bajas velocidades. M ie ntras G ordon C ooper giraba alrededor de la tierra, su reloj m arcaba la hora más adelantada que la que marcaría en cualquier otra trayectoria que puedan im aginar para su satélite*. Asi pues, se puede enunciar la ley de gravitación en té rm inos délas ideas d éla geome tría del espacio-tiempo de esta m anera notable. Las particula s siempre tard an el m ayor tiempo propio - q u e en el espacio-tiempo es una cantidad análoga a la “ m enor dis ta n cia ”- . Esta es la iey de movim iento en un cam po gravitacional. La gran ventaja de ponerla en esta íorm a es que la ley no depende de ias coordenadas ni de cualquier o tra form a de defmir la situación.
(1)
Cóm o cambia !a geometría del espacio-tiempo cuando hay materia presen te - e s decir, que la curvatura expresada en té rm inos del exceso radia! es proporcional a la m asa contenida en una esfera, ecuación (42.3).
(2)
C om o se mueven los objetos si hay solamente fuerzas gravitacionales - e s decir, que los objetos se mueven de m odo que sus tiempos propios entre dos situaciones term inales sean un máxim o.
E stas dos leyes corresponden a pares similares de leyes que hemos visto anteríor mente. O riginalmente describía mos el movim iento en un cam po gravitacional en tér minos de la ley de gravitación de N ew ton (la de la inversa del cu adrado) y sus leyes de movim iento. A hora las leyes (1) y (2) las reempla zan. N uestro nuevo par de leyes corresponde ta mbié n a lo que hemos visto en electrodinám ica. T eníamos alli nuestra ley —el sistema de ecuaciones de Maxwell— que determina los cam pos producidos por ias cargas. N os dice cóm o cam bia el c arácter del “ espacio” por la presencia de materia cargada, que es lo que nos da la ley ( l) para la gravedad. A dem ás, teníamos una ¡ey sobre cóm o se mueven las partícula s en los cam pos dados - d ( m V ) / d t = q(E + V X B), P ara la gravedad, esto está da do por !a ley (2). En las leyes (1) y (2) tienen un enuncia do preciso de la teoria de la gravitación de Einstein - a u n q u e por lo com ún la encontrarán en una form a m atem ática más c o m p licada-. Sin em bargo, debemos agregar algo m ás. Tal com o las escalas de tiempo cambian de iu gar a iu gar en un c am po gravitacional, también lo hacen las escalas de longitud. Las reglas cambian de longitud c uando se mueven. Es imposible que con el espacio y el tiempo tan íntimamente mezcla dos le suceda algo al tiempo sin que se reñeje de algún m odo en el espacio. T om en h asta el ejemplo m ás simple: se están moviendo respecto a la tierra. Lo que es “ tiem po” desde su punto de vista es ei) parte espacio desde nuestro punto de vista. Asi pues, debe haber cam bios en el espacio. Es el espacio-tiempo en su conjunto el que se distorsiona por la presencia de mate ria , y esto es m ás complicado que un cambio en la escala de los tiempos únicamente. Sin em bargo, la regla que habíam os dado en la ecuación (42.3 ) es sufi ciente para determinar comple tam ente todas las leyes de gravitación, siempre que se entienda que esta regla sobre la curvatura del espacio sirve no sólo p ara el punto de vista de un observador, sino que es válida para todos. Un observador en movim iento respecto a una m asa de material * E.strictamente hablando es solamente un máximo ¡ocal. Deberiamos haber dicho que el tiem{» propio es mayor que para otra trayectoria vecina. Por ejemplo, el tiempo propio de una órbita elipiica en tomo a la tierra no es necesariamente mayor que para la trayectoria balística de un objeto lanzado a gran altura y que luego cae.
ve un contenido de m asa diferente, debido a la energia cinética que el material tiene respecto a él, y se debe incluir la m asa correspondiente a esta energia. La teoría debe ser pla nteada de m anera que cualquiera - s e mueva com o se mueva-c uando dibuje una esfera, encuentra que el exceso radial es G/3c^ por la m asa total (o mejor dicho, G/Bc·* por el contenido total de energía) de la esfera. Que esta ley —ley ( I ) - debe ser válida en cualquier sistema en m ovim iento es una de ias grandes leyes de la gravitación, llamada ecuación de campo de Einste in. La o tra gran ley es la (2 ) —que las cosas deben moverse de m anera que el tiempo propio sea un m á xim o- y se llama ecuación de movimiento de Einstein. Escribir estas ieyes en form a algebraica comple ta, para co m pararlas con las leyes de N ew ton o para relacionarlas con la electrodinám ica, es mate máticamente difícil. Pero es la form a en que se presenta n actualm ente nuestras leyes más comple tas para ía física de ia gravedad. A unque da n un resultado en concordancia con la mecánic a de N ew ton para el ejemplo simple que hemos considerado, no sucede siempre así. L as tres-discrepan cias deducidas prim eramente por Einstein han sido confirm adas experimentalmente; la órbita de M ercurio no es una elipse fija; la luz de las estrellas que pasa cerca deí sol se desvia el doble de lo que sería de esperar; y )a rapidez de los relojes depende de su ubicación en un c am po gravitatorio. Siempre que se encuentra que ias predicciones de Einsíein han diferido de las de ia mecánica de N ew ton, la N aturaleza h a elegido las de Einstein. V am os a resum ir todo lo que hemos dicho de la siguiente manera. Prim ero, las escalas de tiempo y de distancia dependen del lugar del espacio donde se realice la medición y del tiempo. E sto es equivalente a la afirmación de que el espaciotiempo es curvo, A partir de la superficie medida de una esfera podemos definir un radio predicho \/A /4 7 í , pero ei radio reai medido debe te ner un exceso sobre aquél que es proporcional (la constante es G /c ^) a la m asa tota l contenida dentro de la esfera. Esto fija el grado exacto de curvatura del espacio-tiempo. Y la curvatura debe ser la misma, mire quien mire y se mueva corno se mueva. En segundo lugar, las partículas se mueven en “ linea recta” (trayectoria s de tiempo propio máxim o) en este espacio-tiempo curvo. Este es el contenido de la formulación de Einstein de las leyes de gravitación.
Absorción, coeficiente de, 32-! 1 Acción minima, principio de, 19 Acoplamiento, coenciente de. 1 Agua, '•‘mojada'’, 41-1 ss ‘‘seca^’, 40-1 ss Aharanov, 15-17 Aislador, 1-3, 10-1 Alnico V, 37-15 Ambar, 1-15 Ampère, A,, 13-6 Ampère, ley de, I 3-8 Amperímetro, 16-2 Angulo de precesión, 34-6 Antiferromagnetismo. 37-17 Aloino, esiabilidad del. 5 4 modelo Rmherí'nrd-Bohr. modelo de Thomson. 5-4 Autoinductancia. 16-7. 17-16 ss Barra de torsión, 38-9 ss Batería, 22-11 Bell, A G.. 16-5 Bernoulli, teorema de. 40-8 ss Betatrón. 17-6 Biot-Savail. ley de. 14-14 B o h m .7-11, 15-17 Bohr, N , 5-4 Bopp, 28-11 Born. M.. 2810 Bragg, L . 30-16 Bragg-Nye. modelo cristalino de, 30-16 s Cálculo, diíerencial, 2-1 ss iniegral. 3-1 ss de variaciones, 19-6 Calor, conducción del, 3-8 ss ecuación de difusión del, 3-11 especiñco, 37-6 flujo de, 2-12s, 12 2 ss Cámara de "Boys··, 9-16 Campo, bidimensional. 7-2 ss en una cavidad, 5-14 ss
de un conducíor. 5-13 ss cargado, 6-12 ss ecuación de, de Einstein, 42-23 eléctrico, 1-4, 1-5, 6-1 ss, 7-1 ss relatividad del. 13-11 ss electrostático, 5-1 ss, 7-1 ss energía det. 8-15 ss de una grilla. 7-14 s energia de, 27-1 ss de una carga punlual, 28- I s escalar, 2-4 i nlensidad de, 1-6 lineas de. 4-17 magnético, 1-4, 1-5, 13-1, I4-! ss relatividad del, 13-11 ss magnetizante, 36-11 momenium del, 27-13 ss de una carga en movimiento, 28-2 s que se propaga. 18-7 ss tensorial, 31-17 vecional. I -5 ss. 2-2 ss Campo guia en aceleradores. 29-8 ss Capa limite, 41-13 Capacidad, 6-18 de un condensador, 8-3 Capacitancia, 6-18 mutua, 22-29 Capacitor, 22-4 ss, 23-4 ss de placas paralelas, 6-17 ss, 8-5 Carga, conservación de ta, 13-2 ss densidad de, 2-12, 4-4, 5-8 imagen. 6-13 Carga punlual, energia electrostática c una. 8-18 energía de campo de una. 28-1 s Cargas, esfera de, 5-8 ss hoja de, 5-6 linea de, 5-5 ss movimiento de, 29-1 ss separación de. 9-12 ss Ciividad resonante. 23-1 ss Celda, cúbica, 30-12 hexagonal, 30-12 monoclinica. 30-12
ortorróm bica, 30-12 te tragonal, 30-12 Circuitos, de corrie nte alterna, 22-1 ss equivalentes, 22-17 ss resonantes, 23-17 ss Circulación, 1-7, 3-11 ss Clausius-M ossotti, ecuación de, 11-11 s 32-9 Coeficiente, de absorción, 32-11 de acoplam iento, 17-20 de a rr a s tre ,41-9 de descarga, 40-12 de viscosidad, 41-2 C ondensador de placas paralelas, 6-18 s 8'4 Cociductividad, 32-15 térm ica, 2-13, 12-3 Conductor, 1-3 cargado, 8-3 ss Conservación, de la carga, 13-2 ss de la energía, 27-1 ss Constantes elásticas, 39-8, 39-15 ss de Lam é, 39-8 Corriente, alterna, 22-1 ss densidad de, 2-12, 13-2, 13-3 ss eléctrica, 13-3 ss en la atm ósfera, 9-3 ss inducida, 16-2 ss parí nperianas, 36-3 atómicas, 13-8 ss de magnetización, 36-1 ss Coulomb, ley de, 4-3 ss, 5-IÜ Cristal, 30-1 ss geometría de un, 30-3 ss molecular, 30-4 Cuadrivectores, 25-1 ss Curie, \ey de, 15-7 tem peratura de, 36-22 Curie- Weiss, ley de, 11-16 Curvatura, del espacio-tiempo, 42-19 s de superficies, 42-8 ss del espacio tridim ensional, 42-9 ss ley de, de Einstein, 42-11
D aiam bertiano, 25-11 Deybe, longitud de, 7-13 Deformación especí/íca, 38 de volumen, 38-5 D ek a de K ronecker, 31-8
Descarga guía escalonada, 9-17 D esmagnetización adiabática, 35-14 s D ia niagnctisnio, 34-1 ss Dieléctrica, constante, iO-1 ss Dieléctrico, iO-I ss, l i- I ss D ifracción de rayos X- 30-2 Difusión de neutrones, 12-10 ss ecuación de, 1 2 - 1 1 D ipoiar, m om ento, 6-5 pote ncial, 6-5 ss D ipolo, 21-7 ss eléctrico, 6 - 2 ss m agnético, 14-11 ss molecular, 1 1 - 1 Dirac, P„ 2-2, 28-10 Dislocación, 30-14 ss p or deslizamiento, 30-15 helicoidal, 30-15 Divergencia, 25-9 operador, 2 - 1 1 Doppler, efecto, 42-16 Dominio, 37-8
Ecuación de movim iento de Einstein, 42-23 Efecto, Barkhausen, 37-14 D oppler, 42-16 M óssbauer, 42-18 Efluvio eléctrico, 9-16 Einstein, ley de curvatura dei espacio, 42-11 principio de equivalencia. 42-13 teoria de la gravitación, 42-22 ss Elástica, curvas de la, 38-20 Elásticas, constantes, 39-8, 39-15 ss Elasticidad, 38-1 ss tensor de. 39-5 ss Elásticos, materiales, 39-1 ss Electreto, 1113 Electrodinámica, 1-4 nota ción relativista. 25-1 ss Electroim án, 36-16 ss Electromagnética, masa, 28-4 ss onda, 2 0 -i ss, 2 1 - 1 ss Electromagnetismo, 1-1 ss leyes del, 1 - 8 ss E lectrostática, 4-1 ss, 5-1 ecuaciones de la, 1 0 - 8 ss Electrostática, energía, 8-1 ss lente, 29-4 ss
Electrostático, cam po, 5-1 ss, 7-1 ss potencial, ecuaciones del, 6 - 2 Elementos de circuiio, 23-1 ss activos, 2 2 - 8 pasivos, 2 2 ' 8 Ernisividad, 6 - 2 2 Energia. 22-19 ss del c am po electrostáiico. 8-15 ss de un condensador, 8-3 ss conservación de la, 27-1 ss densidad de, 27-3 eléctrica. 15-5 ss electrostática, 8 - 1 ss de una carga punlual. 8-18 de un cristal iónico. 8-7 ss de núcleos. 8 - 1 0 ss flujo de. 27-3 magnética, 17-18 ss mecánica. 15-5 ss de pared, 37-8 Enlace, covalente, 30-4 iónico. 30-4 Equipotenciales, superficies. 4-17 ss Esfuerzo, 38-2 de volumen, 38-5 Espacio curvo, 42-1 ss Espacio-tiempo, 26-17 curvatura del, 42-19 Espectro de m om enta. 29-2 E spectrómetro de m om enta, 29-3 Espinela, 37-18 Espin-órbita, fuerza. 8-10 Espin del protón, 8-10 ■'E spiritualidad'·, 25-15 E sta do, excitado. 8 - 1 1 fundam enta l. 8 - 1 1 E sta dos magnéticos cuantizados. 35-1 E sta do sólido, fisica. del, 8-9 Euler. fuerza de, 38-18 Exceso radial, 42-7 " E xtiañas'·. particulas. 8-11
Factor de propagación, 22-24 Farad (unidad). 6 - 20 Faraday, M.. 10-1 Faraday, ley de inducción de. 17-2 Ferrila. 37-Í9 Ferroele ctric idad. ll- 1 4 s s Ferrom agnètico, aislador, 37-19
Ferrom agnetism o. 34-1. 36-1 ss, 37-1 : Feynman, R., 28-11 Filtros, 22-23 ss Flujo, 1 - 6 ss, 3-4 ss. 4-11 ss de un cam po vectoriai. 3-4 ss de Couette. 41-14 ss eléctrico. 1 - 8 ss regla del, 17-1 ss Flujo de fluidos, 12-13 ss estacionario. 40-8 ss irrotacional. 40-7 viscoso, 41-5 ss Fourier, teorema de. 7-15 Franklin. B ..5 -10 Frecuencia, de corle. 22-23 de L arm or, 34-10 de plasma, 7-10, 32-17 Fuerza, eléctrica. 1-1 ss, 13-1 electromotriz , 16-4 de Euler, 38-18 de intercambio. 37-2 de Lorentz , 13-1, 15-22 magnética, 1-3, 13-1 sobre una corriente, 13-4 ss Función de Bessel, 23-9
G alvanóm etro. 1-13, 16-2 G ausiana. superficie, 10-2 Gauss. K „ 16-3 G auss, ley de, 4-14 ss. 5-1 ss teorema de. 3-8 Geiger. 5-4 G enerad o r, de corriente alterna, 17-9 ss eléctrico, 16-1 ss, 2 2 - 8 ss de van de G ra a f f 5-16, 8-11 G erlach, 3 5 ^ G o ta que se rompe, teoría de la, 9-14 G radiente, operador, 2-6 ss. 3-1 ss de potencial en la atm ósfera. 9-1 ss G ranate, 37-19 G ravitación, teoria de la, de Einstein. 42-22 ss
H am ilton, primera función principal de. 19-13 Haces moleculares, método de Rabi. 35-5 ss Helmholtz, H.. 40-16 Hess. 9-3
Midrosiálica. 40-1 ss Hisiéresis, curva de, 36-12. 37-8 s Hooke. ley de. 38-1 ss
Mach, núm ero de, 41-9 M cCullogh. 1-14 M agnética, energia, 17-18 ss fuerza, 1-3, 13-1 sobre una corriente. 13-4 ss lente, 29-5 resonancia, 35-1 ss. 35-6 ptibilidari, 35-11 Tipo, 1-4, 1-5. 13-i:
Iluminación, 12-16 Im peda Indeier
auto, 16-7, 17-17 ss fDutua, 17-13 ss, 22-28 Infeld. 28-10 Integral, de linea, 3-2 vectorial, 3-1 ss Intercam bio, fuerza de, 37-2 ionosfera. 7-8 Isotenna. 2-4 Isotérm ica, superficie, 2-4
relatividad del, 13-11 ss 37-1 ss
Maxwell, J. C „ 1-12, 1-16, 5-11, 18-3 Maxweil, ecuaciones de, 2-2, 2-12, 46-1, 18-1 ss, 32-4 ss
K árm án. calle de vórtices de, 41-42 Kilocaioría (unidad), 8 - 8 Kirchhoff, leyes de. 22-12 ss
Microscopio, a emisión p o r cam po, 6 electrónico, 29-6 ss Minkowski, espacio de, 31-19
Lamb, .5-12 Lam é, constantes elásticas de, 39-8 Landé, factor de, 34-5
M ódulo, de corte, 38-8 de \ de Y oung, 38-2 Molécula, no polar, 11-2 pola r, l l - l , i 1-5 ss M om ento magnético, 14-12, 34-4 ss orientado, 35-5 M om entum de campo de una carga m ovim iento, 28-2 ss Móssbauer, efecto, 42-18 M otores eléctricos, 16-1 ss Movim iento, de cargas. 29-1 ss en el espaoo-tiem po curvo, 42-19 s
escala de, 18-16 fórm ula de, 21-19 fuerza de. 13-1, 15-22
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”
N ewton, I., 4-16 N ew ton, leyes de, 7-8 Nuclear, fac to rg , 34-6 inte racción, 8 - 1 1 lesonancia magnética, 35-1.5 N úm ero, de Mach, 41-9 de Reynolds, 41-7 ss Nye, J. F,, 30-16
O ersted (unidad), 36-10 O nda, ecuación de, 18-14 ss guias de, 24-1 ss O ndas, de corte, 38-12 electromagnéticas, 2 1 - 1 ss esféricas, 20-16 ss, 21-3 ss pla nas, 2 0 - 1 ss de Rayleigh, 38-12 reflejadas, 33-12 ss transm itidas, 33-12 ss tridim ensionales, 2 0 - 1 1 ss O perador, divergencia, 2-11 gradiente, 2 - 6 lapla cia no, 2-16 rotor, 2 - 1 2 vectorial, 2 - 1 0 O rbitas atóm icas, 1-12
Param agnetism o, 34-1 ss, Particulas, coloidales, 7-1 ‘'e xtrañas'’, 8 - 1 1 Permaloy, 37-16 Perm eabilidad, 36-14 relativa, 36-14 Piedra im án, 1-16 Piezoelectricidad, 11-13 Pm . 7-11 Piroelectricidad, 11-13 Plano de clivaje (o de exfoliación), 30-3 Plasm a, frecuencia de, 7-10, 32-17 oscilaciones de, 7-8 ss Plim pton, 5-11 Poincaré, esfuerzos de, 28-6 Poisson, razón de, 38-3 Poiariz abilidad, atómica, 32-3 iónica, 11-14 Polarización, 32-1 ss cargas de, 10-5 ss electrónica, 1 1 - 2 ss de orientación, 11 -5 ss
vector de, 10-4 Potencial(es), cuadrupolar, 6-12 eléctrico, 4-6 ss electrostático, ecuaciones del. 6 - 2 de Liénard-W iechert. 21-16 vectorial, 14-1 ss, 15-9 ss de velocidades, 12-14 Poynting, J., 27-4 Poynting, vector de, 27-8 Precesión, ángulo de, 34-6 de imanes atómicos, 34-6 ss Priestley, J., 5-11 Principio, de acción minima, 19-1 ss de equivalencia de Einstein, 42-13 de exclusión, 37-2 de indete rminación, 5-5 de superposición, 1-4, 4-3 ss Proble mas de contorno. 7-2 Producto, escalar, 2-7, 25-4 ss vectorial, 2-12, 31-11 ss Profundidad de penetración, 32-16
Rabi, L L, 35-5 Rabi, m étodo de los haces res de, 35-5 Radio clásico del electrón, 28Rayos cósm icos, 9-4 Reactancia, 22-20 Rectificador, 22-26 Red cristalina, 30-6 ss plana, 30-8 triclinica, 30-11 trigonal, 30-11 Reflexión, inte rna lotal. 33-18 de la iuz, 33-1 ss Refracción de la luz, 33-1 ss Regla de Lenz, 16-7, 34-2 Relá mpago, 9-16 ss Relatividad, del campo elécti del cam po magnético, 13-11 Resistor, 22-6 Resonancia magnética, 35-6 nuclear, 35-15 ss Resonante(s), cavidad, 23-9 ss circuitos, 23-17 ss m odo, 23-15 R etherford, 5-12 Rotor, 2-12 nulo, 3-16 ss
voltaje, 6 - 2 0 ss r, m odelo atómic o de,
1 de, 15-17 Snell, ley de, 33-1 Solenoide, 13-9 Slern, 35-4 Síern-Gerlach, experim ento de, 35-¿ Stokes, teorema de, 3-13 ss Superficie, equipotencial, 4-17 ss gausiana, 1 0 - 2 isoterma, 2 4 Supermaloy, 36-14 Superposic ión, 13-18 pnncipio de, 1-4, 4-3 ss Susceptibilidad, eléctrica, 1 0 - 6 magnética, 35-11
T aylor, desarrollo de, 6-11 Tensión superficial, 12-7 T ensor, 26-12,31-1 ss de deformaciones, 31-17, 39-1 ; de esfuerzos. 31-13 ss Term odinám ica, 37-6 ss T h om pson, 5-4 modelo atómico de. 5-4
van de Graaff. generador de. 5-16, 8-1,1 Variable compleja, 7-3 ss ■ Velocidad de la luz, 18-12 ss Versor, 2-5 Viga, voladiza, 38-Í5 ss Hexionada, 38-13 ss Viscosidad, 41-1 ss coeficiente de, 41-2 V oltím etro, 16-2 von N eum ann, J.. 12-13, 40-5 V orticidad, 40-7
W eber, 16-3 W eber(unidad), 13-12 Wheeler. 28-11 Wilson, C. T. R., 9-15
Y oung. m ódulo de, 38Y ukawa, H., 28-18 Y ukaw a, potencial de.
