ING ELECTRONICA E INSTRUMENTACION
ELECTROMAGNETISMO II
QUINTO A
1. Demuestre que Exs = Ae j (k 0 z +φ) es una solución de la ecuación vectorial de Helmholtz, ecuación (30), para k 0= ωμ0 _0 y cualquier valor de φ y A. Exs = Ae j (k 0 z +φ)
+ 022 + 5 1.1. 〈〉 : √ √ ×√ √ 1.34×10 4× 10 : .×× 4.69− 1.34 − −. / √ √ √ √ 169 − 169 −. 〈〉 × ∗ /
2. Una onda plana uniforme de 100 MHz se propaga en un medio sin pérdidas para el cual a) b)
Encuentre: Encuentre: a)
; b)β ;c)λ ;d)
;e)
;f)
c) λ: λ = d) e)
ɳ =ɳ /
Ω’
ɳ
f)
3. Un campo H en el espacio libre está dado por H ( x, t ) = 10 cos (108t − βx ) ay A/m. Encuentre: a) β; b) λ; c )
( x, t ) en P (0.1, (0.1, 0.2, 0.3) en t = 1 ns.
a) β: Ya que tenemos una onda plana uniforme,
10−. 31010 0.33 Thus Thus
/
, donde identificamos
18.9 , , , 37710cos103.77 10 cos10 . 0. 1 10 cos1010−0.330.1 3., 73. 7 7 10 7 10cos6.7 10− 3.76 10 / b) λ: Sabemos
en P (0.1, 0.2, 0.3) en
c)
t=1 ns: Usamos
El vector dirección
de
E será
, ya que es necesario que S=ExH, Donde S es - dirigido. En el punto
dado, la coordenada correspondiente es
. Usando esto, junto con
, Finalmente obtenemos:
4. Dados E ( z, t ) = E 0e−α z sen (ωt − β z )a x y η = |η| e j φ , encuentre: a) E s; b) H s; c ) S . a) Usando la identidad de Euler para el seno, nosotros podemos escribir el campo dado de la forma:
Por lo tanto identificamos el factor de la forma:
b) Con el viaje en la dirección positiva del eje z, y con Es a lo largo del eje positivo x, Hs asumimos a lo largo del eje positivo y, por lo tanto:
c)
5. Una onda plana uniforme de 150 MHz en el espacio libre está descrita por:
4 102 , .− /.
a) Encuentre los valores numéricos de
2 215010 310− 22 2 2 1.310510 2 2 2 , 1. 5 , 20 . ,, 4102 , 8 4 20 10 3 ×1081. 5 ×1090. 2 0 /4. /4 /4 1/√ 2 20 , 1.5 √ 12 (12 14)8.5 9.9 | | |||| 24.1./∗ 44 104 10 4 104 10 ⁄ || 37724.1 9.08 / , 2 5 30 (50 )/. ; ; ; b) Encuentre
Con:
c) ¿Qué es
á ?
Entonces:
6. Una onda plana polarizada linealmente en el espacio libre tiene un campo eléctrico dado por
Encuentre:
, 25 30 cos(50)/ 50 50∗3∗10 1.5 ∗10 . 25 30 exp50 . 1 25 30− 〈〉 12 ℛ ∗∗ 〈〉 21 ℛ25 30∗25 30 〈〉 23177 25 30 〈〉 2.0 . ( 2 5)−, /,,, , ,,,. 1500 /
7. La intensidad del campo magnético factorial de una onda plana uniforme de 400MHz que se propaga en un cierto material sin pérdidas es . Sabiendo que la amplitud máxima de E es , encuentre
En primer lugar, a partir de la expresión factorial podemos identificar del argumento de la función exponencial.
25 −
|| √ 1500∗ 2 5 √ 29 √ 29 278.5 2 225 0.25 25 2 ×40025 × 10 1.01 ×10 / 278.5377 0.546 1.01 √ 8×10 . 79 4.01− 2.19 ℋ,,,2cos {(22×400×10 5) } 25 25 5si n 2×400×10 25 / 2cos8×1025 5si n8 ×10 , / , . / ,× / 0. 224 − ,× || . 28 || . 474 .× 2.69 ・
Ω
8. Permita que los campos
y representen una onda plana uniforme que se propaga a una velocidad de en un dieléctrico perfecto. Encuentre: a) ; b) λ; c) η; d)
; e)
a)
b) c)
d)
Ω
e)
2.69 1.7
9. La región 1, z < 0, y la región 2, z > 0, son perfectos dieléctricos ( μ = μ0,
∈,
=
0). Una onda plana uniforme que se propaga en la dirección de a z tiene una frecuencia en radianes de 3 × 1010 rad/s. Sus longitudes de onda en las dos regiones son λ1= 5 cm y λ2 = 3 cm. ¿Qué porcentaje de la energía incidente sobre la frontera es: a) reflejada; b) transmitida; c ) ¿cuál es la razón de onda estacionaria de la región 1?
2∗10 2 3∗102 √ 4 ∗90. 4 0.4 5 2∗10 5∗10 0. 4 ∈ 377 4/9251 | | −− Ԑ , , ||( )−− Ԑ, {}||( )− ℋ, {} ||( )− <> × ∗ ||[ ]−
10. En un medio caracterizado por una impedancia intrínseca , se propaga una onda plana polarizada linealmente con un campo magnético dado por . Encuentre: a) ; b) ; c) ;d) a) Exigir componentes ortogonales de encontramos
para cada componente
b)
Φ
c)
d)
Φ
²
del
11. Una onda plana uniforme de 2GHz tiene una amplitud
1/
1.610−/ 3.010−/ ⁄ 2 1 1 − − 2 . 5 10 3 . 0 10 2210 2 1 0.533 1 28.1/ ⁄ 2 1 1 112/ ,1.4−.cos410112/ 1.8,0.2 0.74/ 1 1 / − 2 . 5 x10 3.010− 110.533 26365.7273∠14 −. − (1.410 2711.4 ) 5.16−.−1− / ,5.16 −.cos41011214 (0,0,0, t=0) y se propaga en la dirección , є
P(0,0,1.8cm) en 0.2ns; b) a) Literal a μє
є є
μє
є є
⍺
⍺
Si t=0.2 y z=1.8
b) Literal b
μ
є
є є
en un medio en el que є
, y μ=2.5 μH/m. Encuentre : a)
en P en 2ns.
en
en
Si t=0.2ns y z=1.8cm
1.8cm,0.2ns 3.0A/m
12. La onda plana ES=300 e-jkx a y V/m se propaga en un material cuyo µ=2.25 µH/m, Є’= 9pF/m y Є’’=7.8pF/m. Si w=64Mrad/s, encuentre: a) α
b) β
c) Vp
d) λ
∈′ ∈′ ′ 2 1 ∈′ 1 − 2. 2 5∗10 9∗10 64∗10 2 10.867 1
0.116 / 2∈′ 1 ∈′∈′′ 1 0.311 / 64∗10/0.311 2.06∗10 / 2 2/0.311 20.2 ′ 1 1 λ
λ
e) η
0.21.5− 450650
, ,′
300 ∕ ∗ 1 1 ⁄ 40060 ′1 /′0.21.5 ∗ ′ ∗ 1 1 45060450602.06∗10 ∗ ∗∗ ∗ 1 0.21.50.21.5 2.29 ∗∗ 1 ⁄ 2.02.6∗1029 1.11∗10− 3∗10 − 1.23∗10 − 3 ∗101.11∗10 ⁄ 1 ⁄ 1 11 ⁄⁄ 01..25 − / 0.271 11.23∗100.271 > 1.07∗10− / 0.271> 2.90∗10− / ∗ ′ ∗ 1 1 2.06∗10 >2.28∗10− / ′ 2 4× 10− 1.5 / 13. Una onda plana uniforme que se propaga en la dirección tiene y , encuentre para Ω. Si el medio.
14. Un cierto material no magnético tiene como constantes a
y
. Encuentre la distancia a la que una onda plana
uniforme pueda propagarse a través de este material antes de que: a) sea
atenuada 1 Np; b) el nivel de su potencia se reduzca a la mitad; c) la fase se corra 360°. a)
4 ×10 28.854×10− 7.1×10− . 2 1.5×107.2 1×10− ∗ 377√ 2 1.42×10−/ 1.42×10−− 706 − / 1/2 .× 244m Entonces,
<< 1
Utilizando la forma aproximada para α
Dado en la ecuación (51), escrito en términos de:
α
La distancia requerida es ahora:
b) La relación de gobierno es
α
ó
α
c) Esta distancia se define como la longitud de onda , donde
[[(.××√) ]] 0.89
15. Una señal de radar 10 GHz puede representarse como una onda plana uniforme en una suficientemente pequeña región. Calcular la longitud de onda en centímetros y la atenuación en nepers por metro si la onda se propaga en un material no magnético cuyos valores son: a) b) c)
. .− . . ′
y
′′
y
′
′
y
′′
′′
SOLUCIÓN:
a) En un material no magnético, tendríamos:
/ ∝ 2 1 1
/ 2 1 1
2 2 310 / 10 3. ∝0 / < <1 /2.13−
Con los valores dados de
y
, está claro que
, y que:
También es claro que b) En este caso
, y así
Por lo tanto λ = 2π / β = 2,95 cm. Entonces:
− 210 9 . 0 010 2 2 2 2310 √ 1.04 9.2410− / c) Utilizando las fórmulas anteriores, obtenemos:
/ 210 3 10√ √2. 25 1 7.2.25 1 4.71 − Y entonces λ = 2π / β = 1.33 cm. Luego:
2 . 5 7. 2 √ ∝ 210 1 3 10√ 2 2.5 1 335 /
16. El factor de potencia de un capacitor está definido como el coseno del ángulo de fase de la impedancia y su es , donde R es la resistencia en paralelo. Suponga un capacitor ideal de placas paralelas que tiene un dieléctrico caracterizado por , ´ y . Encuentre el factor de potencia y en términos de la tangente de pérdidas.
1 1 1 11 1 1 1 −∗ costan1 1 . 0 −60 || 250 j30 0.2 2− |< |> 400 /0 60 0 ´
ɛ
´
ɛ
17. Una onda plana uniforme que se propaga en la dirección dieléctrico que tiene una conductividad finita tiene los valores . Si en , encuentre: Ω y
en un
a)
Deje η para una onda uniforme plana que se Ω y propaga en la dirección en un dieléctrico que tiene alguna conductividad finita. Si en , encontrar: en
y
: Asuma la x-polarización para el campo eléctrico.
Entonces:
1
1
2
2
Re{E s H s*}
1 2
W m2
Evaluando en z 0 Obtenemos
400 n
*
e z e j z ay
1 1 4 2(0.2) z a 8.0 10 e Re az z * n 250 j 30
(400)2 e 2 z Re
< S > 315e2(0.2) z a z
Re 400e z e j z
S z 0 315a z
W m2
Y en z = 60 cm Pz,av (z = 0.6)=315e2(0.2)(0.6) a z 248 az
W m2
60 60
b) La disipación de potencia óhmica promedio en watts por metro cúbico en 3
El promedio ohmic impulsa la disipación en vatios por metro cúbico en la : En este punto un defecto se hace evidente en la declaración de problema, desde la solución de esta parte de dos modos diferentes da los resultados que no son los mismos. Me manifestaré: En el primer método, usamos el teorema de Poynting en la forma de punto (la primera ecuación en lo alto de p. 366), que modificamos para el caso de campos medios de tiempo para leer · S J · E
Donde la parte derecha es la disipación de potencia media por volumen. Note que la parte derecha adicional llama en el teorema de Poynting que describe cambios de la energía almacenada en los campos ambos será el cero en el estado estable. Aplicamos nuestra ecuación al resultado de parte a: J · E · S
d dz
315e2(0.2) z
J · E · S (0.4)(315)e2(0.2) z J · E · S 126 e 2(0.2) z
En
60
W m3
, esto se convierte en J · E 99.1
W m3
. En el segundo método, se
resuelve para la conductividad y evaluamos J · E E 2 usamos. jk j ò 1 j ò / ò
Y n
ò
1 1 j ò / ò
Tomamos la proporción jk n
jò 1 j ò / ò jwò wò
Indefinido ò encontramos
0.2 j 2 S jk Re 1.74x103 m n 250 j 30
Re
Ahora encontramos el poder disoluto por volumen 2 1 E 2 1.74 x103 400e0.2 z 2
60
109 /
En la , esto evalúa como consistencia entre los dos métodos requiere esto
. Uno puede mostrar que la
jk * n 2
Re
Esta relación no sostiene la utilización de los números como dado en la declaración de problema y el valor de s encontrada encima. Note que en el Problema 12.13, donde todos los valores son calculados, la relación realmente sostiene y resultados constantes son obtenidos usando ambos métodos.
18. Dado una onda plana uniforme de 100MHz en un medio del que se sabe que es un buen dieléctrico. El campo eléctrico fasorial es . Determine: a)n; b) ; c) S; d) la potencia en watts que incide en una superficie rectangular que mide 20*30 m en z=10m.
4−.− / 20 , 0.5 , 2∗10 , 3∗10 / 20 3 ∗10 2∗10 9.5−5 91.3 8.1∗10 / 0. 5 2 − 2 0 . 5 10 2∗10 2377 √ 91.34∗10−/ 1 12 √ 37791.3 1.025 39.50.99 39.54 0.99 −.− 0.101−.−−. / ´
´
´
´
´´
´
´
´´
a)
´´
´
b)
´
c) Utilizando el resultado del apartado b) se obtiene:
12 ∗ 0.12014 −. cos0.025 0.202− /
f) La potencia en watts que es incidente en una superficie rectangular de 20m*30m en z=10m. A 10 m la densidad de energía es
0.202− 9.2∗10− / 9. 2 ∗10− ∗20∗305.35 ∈ .
Entonces la potencia incidente en el área dada es:
19. Dos cilindros perfectamente conductores de radios 8 y 20 mm son coaxiales. La región entre los cilindros está llena de un dieléctrico perfecto para el que = 10−9/4π F/m y μr = 1. Si el valor de en la región es de (500/ ρ) cos (ωt − 4 z )a ρ V/m, encuentre:
∈
a) ω, en coordenadas cilíndricas, con la ayuda de las ecuaciones de Maxwell; b) H ( ρ, z, t ) ; c) S( ρ, z, t ); d ) la potencia promedio que pasa a través de la sección transversal 8 < ρ < 20 mm,
0 < φ < 2π .
200 ∅ 200 4200∅ ∅ ∅ ∅ ∫ 42000∅ 4 ∅ ∅ 410− 4/ ∅ 1 ∅ 8000∅ 4108000− 80004 ∫ 410− 4 410− 4 / 108000− 4 /
a)
b)
c)
8000 500 410 − 10 / ,, 4102000− 4∅ 4 cos4104 ∅ / 4104 cos4104 ∅ − 2x10 ρ 4104 /
P (ρ, φ, z) =
d)
. 1 10 . ρ ∅ 210 ln 2085.7 60 − / −∅ / 10, 0 << , 0 <∅<2. 1 15 2 ∗ 2 / ⁄ 15 2 . sin ⁄ 15 13 2 0⁄3 258 3.13
20. Si y en el espacio libre, encuentre la potencia promedio que pasa hacia fuera a traves de la superficie
La distancia del radio a la superficie
10
21. Un cascarón cilíndrico de 1 cm < ρ < 1.2 cm está compuesto de un material conductor para el que σ = 106 S/m. Las regiones internas y externas no son conductoras. Sea Hφ = 2000 A/m en ρ = 1.2 cm. a) Encuentre H en cualquier punto. b) Encuentre E en cualquier punto. c ) Encuentre S en cualquier punto.
∮.22000 21.2 10−2000 48 1.44148 10− 1.0910 / ∅= . 1.09 10∅ 54.5 10 1 / ∅ 482 24 / 1.0109∗10 а 1.09а / ∗1. 0 9а ∗ 54.5 10 1а 59.4 10 1а / .01 <<.012 1.09а ∗ 24 а 26 а / >.012
b)
c)
22. Las dimensiones interiores y exteriores de una línea de transmisión coaxial de cobre son 2 y 7 mm, respectivamente. Ambos conductores tienen un grosor mucho mayor que δ . El dieléctrico no tiene pérdidas y la frecuencia
de operación es de 400 MHz. Calcule la resistencia por metro de largo del: a) conductor interior; a) conductor exterior; c ) la línea de transmisión.
a) conductor interior
1 4 × 104 ×1 10−5.8× 10 3.3 × 106m 3.3m 21 22 × 1035.8 ×1 1073.3 × 106 0.42 ohms/m b 27 ∗0.42 ohmsm 0.12 ohms/m a) conductor exterior
b) la línea de transmisión.
R = Rin + Rout = 0.54 ohms / m.
1.2∗10/
23. Un conductor tubular hueco está construido de latón y tiene una conductividad de . Los radios interior y exterior son de 9 y 10mm, respectivamente. Calcule la resistencia por metro de longitud a una frecuencia de: a) cd
1.2∗1001.01 0.009 1.4∗10−Ω/ b) 20MHz
⁄ − 2 0 20∗104∗10−1.2∗10−⁄ 203.25∗10−
20 21 1.2∗102∗0.1 13.25∗10− 204.1∗10−Ω/ c) 2GHz
2 −⁄ 2∗104∗10−1.2∗10−⁄ 20 3.25∗10− 2 21 1.2∗102∗0.1 13.25∗10− 20 4.1∗10−Ω/ 1. 2 ×10 / 500 50≮0° / 19.8 2.25× 104×1 10−1.2× 10 9.28 × 10− 1 −− 50−−⁄ 50−.⁄ −.⁄ −.50 ⁄ −.⁄
24. La mayoría de los hornos de microondas trabaja a 2.45 Ghz. Suponga que y para el acero inoxidable del interior del horno y encuentre la profundidad de penetración. b) En la superficie del conductor, ; grafique una curva de la amplitud de versus el ángulo de a medida que le campo se propaga a través del acero inoxidable. a)
b)
El tamaño de conductividad es alto y usamos la formula . Tambien asuminos que la direccion entre el conductor es z, el campo dependiente de la profundidad se escribe como
Donde:
es la amplitud es el ángulo
− . 9.⁄ 2 8 Donde
; la amplitud de partida es de 50
25. Un buen conductor tiene forma plana y transporta una onda plana uniforme que tiene una longitud de onda de 0.3 mm y una velocidad de
10/
3×
. Suponiendo que el conductor no es magnético, determine su
frecuencia y conductividad.
3× 10 3× 10− 101 2 1 4 9 × 10−1404× 10− 1.1× 10 /
26. Las dimensiones de una cierta línea de transmisión coaxial son a = 0,8 mm y b = 4 mm. El grosor del conductor es de 0,6 mm, y todos los conductores tienen σ = 1,6 × 107 S / m. a) Calcule R, la resistencia por unidad de longitud, con una frecuencia de funcionamiento de 2,4 GHz. b) Utilice la información de Secciones. 6,4 y 9,10 para encontrar C y L, la capacitancia y la inductancia por unidad de longitud, respectivamente. El cable coaxial es llena de aire. c) Encuentra α y β si α + jβ =
1 2.4 1041 10−1.6 10 2.57 10−2.57
SOLUCIÓN: a)
b)
c)
21 20.8 10−1.61 102.57 10− 4.84 ℎ/ 0.48 4.84 0.97 ℎ/ 5.81 ℎ/. − 2 2 8 . 8 54 10 ln/ ln4/.8 3.46 10− / − 4 10 2 ln 2 ln4/.83.22 10− / / ∝ √ √ 2 1 1 / √ √ 2 1 1
Reemplazando valores de los literales anteriores:
∝3.50.0 103 −/ / / / × / / ´ .0003 2. 1 1.5 ×10 / 27. La superficie plana forma una interface de latón y teflón. Utilice los datos disponibles en el apéndice C para evaluar las relaciones siguientes para una onda plana uniforme que tiene una ; (a) ; (b) ; (c) ;
a) Desde el apéndice C encontramos para el teflón, haciendo al material un buen dieléctrico. También para el teflón . Para el latón , siendo el latón un buen conductor en la frecuencia
de la emisora. Para un buen dieléctrico (Teflón) nosotros usaremos aproximaciones.
1 1 2 2 2 1 1 8
Para el latón (buen conductor) tenemos
4×10−1.5×10 6.1ó44×10 2 14×10 −
Ahora
1 2 ó 1⁄2.00036.41×104×10 / 3×10√ 2.1 4.7×10− 22// ó 3×104×106.1√4×10 2.1 3.2×10 // 3. 2 ×10 10−15−; / / −10 33.7° b)
c)
28. Una onda plana uniforme en el espacio libre tiene el vector de campo eléctrico dado por . a) Describa la polarización de la onda; b) encuentre c) determine la densidad de potenciapromedio en la onda en . a) Puesto que los dos componentes tienen una diferencia de fase fijo (en este caso cero) con respecto al tiempo y la posición, la onda tiene polarización lineal , con el vector de campo en el plano yz a un ángulo: /15)=
al eje y
b) Con la propagación en frente de X, se tendría:
c)
10377 − 1577 − 26.5− 39.8− / 1 1 1 0 1 5 2 ∗ 2 377 377 0.43 /
29. Considere una onda con polarización circular izquierda en el espacio libre que se propaga en la dirección Z hacia delante. El campo eléctrico lo da la ecuación (100). a). Determine el fasor de campo magnético, H s.
100→ ( )− , , ( )− , 12 ×∗ , 12 ( )− × ( )+ , / ⇒ . − b). Determine una expresión para la densidad de potencia promedio en la onda en W/m 2 a través de la aplicación directa de (77).
30. El campo eléctrico de una onda plana uniforme en el espacio libre está dado porE s= 100(a z + j a x ) polarización de la onda.
. Determine: a) f ; b) H s; c ) ‹ S ›. d ) Describa la
a) f: Desde el campo dado, identificamos De modo que
b
f πω π 2.39 Ghz
β50 ω
: Cada uno de las dos componentes de
(en el espacio libre),
debe emparejar con un vector de
campo magnético, de tal manera que el producto cruz del campo eléctrico con el campo magnético da un vector en la dirección y positiva. La magnitud total es la magnitud del campo eléctrico dividido por el espacio libre impedancia intrínseca. Así
c)
37710 − <≥ 12 ℛ × ∗ 37750 × × 100377 0.27 0: 0, 10cos sin 0 0
d) Describir la polarización de la onda: Esto puede ser visto por escribir el campo eléctrico en
Forma instantánea real y, a continuación, evaluar el resultado en
En
, el campo es enteramente por sí sola z, y luego adquiere una creciente
negativa como componente aumenta. Por consiguiente, el campo gira en sentido horario en el plano
cuando mirando hacia atrás hacia el plano de
positivo. Dado que la onda se propaga en el sentido positivo dirección y tiene la misma amplitud y , identificamos la polarización circular izquierda.
31. Una onda plana uniforme polarizada linealmente que se propaga en la
dirección z hacia delante, ingresa en un material anisotrópico sin pérdidas, en el que la constante dieléctrica que las ondas polarizadas encuentran a lo
. . largo de
difiere de las ondas polarizadas que se ven a lo largo de
. Suponga
,
y el campo eléctrico de la onda a la
entrada está polarizado a 45° con respecto a los ejes x y y positivos. a) Determine, en t érminos de la longitud de onda en el espacio libre, λ, la
longitud más corta del material tal que la onda, a medida que aparece en la salida, esté polarizada circularmente. b) ¿La onda de salida estará polarizada a la derecha o a la izquierda? a) Como el campo eléctrico de la onda a la entrada está polarizado a 45°, las componentes x y y son de igual magnitud, y la polarización circular resultará si la diferencia de fase entre las componentes es .
/2 /2 2 2 58.23 58.3 4 14.6
b) Con el dieléctrico constante mayor para ondas x-polarizadas, la componente x retrasará la componente y en el tiempo en la salida. El campo puede ser descrito por , que es la polarización circular a la izquierda.
32. Suponga que la longitud del medio del problema 12.31 es del doble de la que que se determina en el. Describa la polarizacion de la onda de salida en este caso.
0 − − − − − ( ) : (− >) [ ] − 90 15 18− /
33. Dada una onda para la cual
medio caracterizado por una impedancia intrínseca compleja, η: a) Encuentre
.
en un
1 18 15 − /. ,1 12 151∗8 , 2 ∗ ∗ , 275 1∗/
b) Determine la densidad de potencia promedio en
34. Dada la onda general polarizada elípticamente de la ecuación (93)
a) Demuestre, utilizando métodos similares a los del ejemplo 12.7, que una onda polarizada linealmente resulta de sobreponer el campo dado y un campo con fase corrida de la forma:
en donde δ es una constante. Sumando los dos campos da
, (1) ∅ −∅− − −∅ −∅− , 2 cos2 cos∅/2 −
Simplificando:
Que eta polarizada linealmente
b) Encuentre δ en términos de φ tal que la onda resultante esté polarizada linealmente a lo largo del eje x . Al inspeccionar la parte resultado, logramos un componente cero y cuando
2∅ o múltiplos impares de π
